Обложка
Серия
Титульный лист
Аннотация и выходные данные
П.С. Александров
От редколлегии
Павел Сергеевич Александров
1. О мощности множеств, измеримых по Борелю
2. Компактные топологические пространства
3. О локальных свойствах множеств и понятии компактности
4. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы топологическое пространство было метризуемо
5. О множествах, дополнительных $A$-множествам
6. 06 эквивалентности понятий интеграла Перрона и Данжуа
7. О множествах первого класса и абстрактных пространствах
8. К теории топологических пространств
9. О строении бикомпактных топологических пространств
10. О метризации локально компактных пространств
11. Об обосновании $n$-мерной теоретико-множественной топологии
12. Симплициальные аппроксимации в общей топологии
13. О нульмерных множествах
14. $A$-множества и топологическая сходимость
15. О последовательностях топологических пространств
16. О счетнократных открытых отображениях
17. Обзор некоторых нерешенных проблем теоретико-множественной топологии
18. К теории топологических пространств
19. Дискретные пространства
20. О бикомпактных расширениях топологических пространств
21. О приводимых множествах
22. О понятии пространства в топологии
23. О гомеоморфизме точечных множеств
24. О метризации топологических пространств
25. О вполне регулярных пространствах и их бикомпактных расширениях
26. О диадических бикомпактах
СОДЕРЖАНИЕ
Выходные данные
Text
                    П.С.АЛЕКСАНДРОВ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
И ТЕОРИЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ


П. С. АЛЕКСАНДРОВ ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: А. Н. КОЛМОГОРОВ - главный редактор, А. А. МАЛЬЦЕВ, Л. С. ПОНТРЯГИН, А. Н. ТИХОНОВ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТ УРЫ 1978
П. С. АЛЕКСАНДРОВ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1978
22.161.5 А 46 УДК 517.5 Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств. Александров П. С. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1978, 416 стр. Книга содержит основные результаты по дескриптивной теории множеств (теорема о мощности борелев- ских множеств; Л-множества и их дополнения) и работу об интегралах, а также первый цикл основных работ по общей топологии. Этот цикл посвящен главным образом бикомпактным и локально бикомпактным пространствам и проблемам метризации. Сюда не вошел известный (совместный с П. С. Урысоном) «Мемуар о компактных топологических пространствах», поскольку в 1971 г. появилось его новое издание в виде отдельной книги. Книга рассчитана на научных работников, студентов старших курсов математических факультетов университетов и аспирантов. 20203-157 А 053(02)-78 бг> 1Ь © Главная редакция физико- математической литературы издательства «Наука», 1978
II. С. Александров
ОТ РЕДКОЛЛЕГИИ Научное творчество Павла Сергеевича Александрова, крупнейшего математика, одного из основателей целого нового направления — топологии, исключительно глубоко. Его основополагающие работы в области топологии до сих пор являются богатейшим источником идей и фактов, их знание необходимо и для дальнейшего развития науки, и для правильного понимания истории вопроса. Учитывая это, Президиум АН СССР принял постановление издать основные работы П. С. Александрова в трех томах — издание тем более необходимое, что значительная часть из этих работ вообще не публиковалась на русском языке. В настоящее издание вошли журнальные статьи П. С. Александрова, являющиеся ключевыми в идейном плане и представляющие наибольший исторический интерес. Работы, выходившие отдельными изданиями, и монографии в издание не включены. Внутри томов работы расположены в хронологическом порядке. Текст почти нигде не изменен, кроме исправления замеченных неточностей и унификации обозначений и ссылок. В конце третьего тома дается полная библиография работ П. С. Александрова по состоянию на 1 января 1978 г. В работе над изданием приняли активное участие члены семинара, ученики и ученики учеников П. С. Александрова: А. В. Архангельский, Н. А. Берикашвили, В. И. Зайцев, А. В. Зарелуа, В. И. Кузьминов, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, Е. Г. Скляренко, Ю. М. Смирнов, И. А. Шведов, Е. В. Щепин, М. А. Штанько и многие другие. Всем им редакция выражает глубокую благодарность. Переводчики статей, опубликованных на иностранных языках, указаны в сносках к статьям.
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ *) Не так давно исполнилось восемьдесят лет Павлу Сергеевичу Александрову. Родился Павел Сергеевич 7 мая 1896 г. в городе Бого- родске (ныне Ногинск). Его отец, Сергей Александрович Александров, принадлежал к передовой русской интеллигенции своего времени. Он оказал большое влияние на формирование мировоззрения Павла Сергеевича, привил ему еще в юношеские годы уважение и интерес к науке, а также уважение к труду, направленному на благо народа. Сергей Александрович закончил медицинский факультет Московского университета. Он отклонил предложение остаться для работы в университете, так как считал, что медицину нужно нести в народ, и уехал работать участковым врачом в Ярославскую губернию. Позднее Сергей Александрович работал старшим врачом Богородской уездной земской больницы, а все последующие годы — с 1897 по день своей смерти в 1920 г.— старшим врачом Смоленской губернской больницы, которая благодаря ему выдвинулась в число лучших в то время больниц России. Сергей Александрович был крупным специалистом-хирургом и в то же время ярким представителем русской земской медицины. Мать Павла Сергеевича, Цезария Акимовна Александрова (урожденная Здановская), была хорошо образованным человеком, отдавшим все свои силы воспитанию детей. «В доме всегда было много музыки»,— вспоминает Павел Сергеевич, все братья и сестры которого обучались музыке. Мать обучала Павла Сергеевича французскому языку, в раннем детстве он хорошо овладел также немецким языком. ) Первая часть статьи представляет собой сокращенный вариант юбилейной статьи, посвященной 80-летию П. С. Александрова (УМН, 1976, 31, с. 3-15).
8 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ В годы обучения в Смоленской общественной гимназии (Павел Сергеевич был в ней первым учеником и окончил ее с золотой медалью) на своеобразный склад ума и математическую одаренность Павла Сергеевича обратил внимание его учитель математики Александр Романович Эйгес. Павел Сергеевич, в отличие от обычных школьных математических талантов, не увлекался решением математических задач на построение или головоломных уравнений. Еще в гимназии Павел Сергеевич изучал небесную механику и математический анализ. Но его преимущественный интерес был направлен к фундаментальным вопросам математики — основаниям геометрии и неевклидовой геометрии. А. Р. Эйгес правильно оценил своего ученика и оказал решающее влияние на выбор им математической профессии. А. Р. Эйгес, будучи человеком большой и широкой культуры, оказал большое влияние на литературные вкусы своего ученика и на его гуманитарные интересы. По окончании гимназии (1913 г.) Павел Сергеевич поступил в Московский университет, рассчитывая сделаться по окончании курса преподавателем математики в гимназии, так как деятельность учителя казалась ему всегда привлекательной. И с этих пор вся жизнь Павла Сергеевича неразрывно связана с Московским университетом. Уже на первом курсе он по совету В. В. Степанова принял участие в семинаре Д. Ф. Егорова. В. В. Степанов, бывавший часто в семье Александровых еще в Смоленске, с самого начала студенческой жизни Павла Сергеевича проявлял большой интерес к его математическим занятиям и своими советами содействовал их успеху. На втором курсе произошла встреча Павла Сергеевича с Николаем Николаевичем Лузиным. Павел Сергеевич вспоминает об этом так. «После лекции Лузина я обратился к нему за советом, как мне заниматься математикой дальше, и был прежде всего поражен внимательностью Лузина к собеседнику — 18-летнему студенту... Я стал тогда же учеником Лузина, и это было в эпоху его наивысшего творческого подъема... Видя Лузина в эти годы, я видел действительно то, что называется вдохновенным отношением к науке. Я не только учился у него мате- натике, я получил и урок того, что такое настоящий уче- оый, а также и урок того, чем может и должен быть про-
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 9 фессор университета. Тогда же я понял, что наука и приобщение к ней новых молодых людей — две стороны одной и той же деятельности — деятельности ученого». В 1915 г. Павел Сергеевич получает свой первый научный результат: доказывает фундаментальную теорему о мощности Б-множеств. Он доказывает, что каждое несчетное борелевское множество содержит совершенное подмножество. Аппарат, созданный Павлом Сергеевичем для доказательства этой теоремы,— Л-операция (названная так М. Я. Суслиным в честь Павла Сергеевича) — оказал очень существенное влияние на дальнейшее развитие теоретико-множественных методов. Теорема Александрова о мощности борелевских множеств произвела сильное впечатление на Лебега, считавшего, что она вызывает значительный и философский интерес. Так блестяще началось научное творчество Павла Сергеевича Александрова — творчество, которому суждено было длиться долго. Пытаясь сейчас обнять единым взглядом все сделанное Павлом Сергеевичем, мы прежде всего испытываем глубокое впечатление от внутреннего единства, гармонии созданного им. Это единство состоит, в частности, в глубокой взаимосвязи всех поднятых им тем и вопросов. Труды Павла Сергеевича Александрова — нечто неизмеримо большее, чем собрание выдающихся научных результатов,— это сама живая наука в одном из ее воплощений. Его творчество неотделимо от всего развития топологии как одна из тех главных сил, которые прямо или косвенно проявились во всех происходивших в этой науке крупных движениях. Это влияние Павла Сергеевича связано, в частности, с его даром почувствовать необходимость в новой математической концепции, остро увидеть ее и несколькими основополагающими результатами выявить ее роль, обозначив тем самым исходящий от нового понятия творческий импульс. Так было с понятием Л-операции и связанными с ним результатами Павла Сергеевича, о которых уже говорилось выше. Добавим лишь, что сейчас Л-опе- рация принадлежит к числу самых плодотворных понятий дескриптивной теории множеств. Ярчайшим примером остроты математического «видения» является введение П. С. Александровым понятия бикомпакта и выяснение им/уже в самом начале развития
10 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ теории бикомпактных пространств, самых существенных свойств бикомпактов. Павлом Сергеевичем было, в частности, показано, что в классе регулярных пространств бикомпактность тождественна абсолютной замкнутости, откуда была выведена, с помощью теоремы о сохранении бикомпактности при непрерывных отображениях, дальнейшая теорема о непрерывных разбиениях, порождаемых непрерывными отображениями бикомпактов в хаусдор- фовы пространства. Созданная П. С. Александровым (на предварительном этапе в содружестве с П. С. Урысоном) теория бикомпактных пространств стала основой большинства дальнейших теоретико-множественных исследований и проникла своими идеями в теорию непрерывных групп, функциональный анализ, математическую логику и многие разделы математики. Творчество Павла Сергеевича Александрова никогда не развивается в пустоте, ему не свойственно замыкаться в самом себе. На свое математическое творчество Павел Сергеевич всегда смотрел и смотрит как на основу общения с людьми. И в этом отношении его достижения и влияние — не меньше собственно научных достижений: Павел Сергеевич стал одним из тех немногих людей, которым прямо обязана становлением и расцветом математика в нашей стране и прежде всего московская математическая школа. Современная московская математическая школа по существу началась с Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина. В первые годы после Великой Октябрьской революции, несмотря на суровое время, научная работа в области математики в Московском университете быстро расширялась. Павел Сергеевич принадлежал тогда, вместе с группой других блестящих молодых математиков, «Лузита- нии» — окрестности Н. Н. Лузина. Л. А. Люстерник вспоминает об этом времени в стихах, полных энтузиазма: ...Пусть твой багаж не очень грузен, Вперед! В себе уверен будь! Великий бог — профессор Лузин Укажет нам в науке путь! А божество уж окружало Созвездие полубогов: Иван Иванович Привалов,
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 11 Димитр Евгеньевич Меньшов, И Александров, остро взвинчен, И милый Павел Урысон, И философствующий Хинчин,— И несколько других персон. Дни легендарной «Лузитании», Дни увлечений и исканий... В 1918 г. по предложению Н. Н. Лузина Павел Сергеевич стал заниматься континуум-проблемой. Неизбежная, как теперь это ясно, неудача в ее решении привела его к разочарованию в своих математических силах. Он уехал сначала в Новгород-Северский, где работал режиссером драматического театра, а затем в Чернигов, где был председателем театрального комитета, входившего в губернский отдел народного образования. В Чернигове Павел Сергеевич читал лекции по русской и зарубежной литературе, циклы лекций о Достоевском, Гоголе, Гёте, которые пользовались очень большим успехом. В Чернигове он познакомился с некоторыми оказавшимися там поэтами, музыкантами, художниками. Там, в частности, произошло его знакомство с Л. В. Собиновым. В 1920 г. П. С. Александров вернулся в Москву, где был тепло встречен Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, И. И. Приваловым, В. В. Степановым. В 1920—1921 гг. Павел Сергеевич жил в Смоленске, преподавал в Смоленском университете, но ежемесячно приезжал в Москву для сдачи экзаменов, соответствующих теперешним кандидатским. Во время этих экзаменов Павел Сергеевич и подружился с П. С. Урысоном. С 1921 г. П. С. Александров начал работать в качестве приват-доцента в Московском университете. В 1921 — 1923 гг. он прочитал курс теории функций действительного переменного и первый в Московском университете курс общей топологии, а также несколько других курсов, например, курс теории Галуа. Лето 1922 г. Павел Сергеевич и Павел Самуилович Урысон провели вместе вблизи Болшева под Москвой, и именно этим летом ими было положено начало серьезным исследованиям по топологии в нашей стране. Отсюда ведет начало ныне известная во всем мире московская топологическая школа. В то время понятие топологиче-
12 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ ского пространства уже существовало — оно наметилось в работах М. Фреше (1906 г.) и в книге Ф. Хаусдорфа (1914 г.). Но это была лишь абстрактная общая схема. Наполнить понятие топологического пространства богатым геометрическим содержанием, сделать его необходимым общим достоянием всех математиков — это и было дело, начатое у нас в стране в июле 1922 г. П. С. Александровым и П. С. Урысоном. Уже первые результаты были весьма значительны. П. С. Александров и П. С. Урысон начали с построения теории счетно компактных пространств, далеко развитой затем П. С. Александровым в теорию бикомпактных и локально бикомпактных пространств. П. С. Александровыми П. С. Урысоном была решена проблема метризации, причем были введены понятия, оказавшие большое влияние на дальнейшее развитие исследований в смежных областях; мы еще скажем об этом ниже. Наконец, П. С. Александровым в 1925 г. была дана окончательная, ныне общепринятая фор мааксиоматикитопологическогопространства. Летом 1923 г. и 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон были в Гёттингене и установили научные контакты со знаменитой Гёттингенской математической школой, которую в то время возглавлял Д. Гильберт. Своими учителями П. С. Александров считает Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина, Л. Брауэра, Э. Нётер и Д. Гильберта, так как именно эти математики оказали наибольшее влияние на формирование научного мировоззрения и на все научное творчество Павла Сергеевича. О научной жизни в этот период в Гёттингене П. С. Александров писал в своих воспоминаниях о Р. Куранте (УМН, 1975, 30, № 4, с. 205—226) и в воспоминаниях о X. Хопфе (УМН, 1977, 32, с. 203-208). Научная атмосфера Гёттингенского университета того времени имела сходство с научной атмосферой в Лузин- ской школе в годы ее расцвета. Особенно интересным и плодотворным было общение с Э. Нётер и ее учениками, а также с Р. Курантом и его школой. Летом 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон поехали в Бонн к Хаус- дорфу и затем в Амстердам к Брауэру. Хаусдорф проявил большой интерес к их новым результатам, изложению и обсуждению которых были посвящены все вечера, проведенные в доме Хаусдорфа.
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 13 Ежедневно в Бонне Павел Сергеевич и Павел Самуилович переплывали Рейн, что было совсем не безопасно и вызывало неодобрение Хаусдорфа. Пребывание у Брау- эра в 1924 г. оставило у Павла Сергеевича особенно теплые воспоминания. Научные беседы с ним были очень интенсивны. Часто они прерывались музыкой. И Брауэр, и Хаусдорф были хорошими пианистами. После короткого пребывания в Париже в августе 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон поехали в Бретань и поселились на берегу океана в рыбацком поселке Ба (Bourg de Batz). 17 августа 1924 г., в возрасте 26 лет, П. С. Урысон погиб во время купания в Атлантическом океане. Еще утром того же дня он увлеченно работал, им была написана первая страница его новой статьи... С весны 1925 г. по лето 1926 г. П. С. Александров находился в Голландии. Вместе с Брауэром он готовил рукописи П. С. Урысона к изданию, читал корректуры. Благодаря их усилиям ничего из того, что сделал П. С. Урысон, не пропало. Летом 1925 г. и затем в последующие годы вплоть до 1932 г. П. С. Александров читал лекции в Гёттингене, участвовал в семинарах Э. Нётер, вел топологический семинар с X. Хопфом. 1926 г. положил начало большой дружбе П. С. Александрова и X. Хопфа, их научному общению и плодотворной совместной работе. В 1926 г. П. С. Александров вместе с Хопфом и Нейгебауером путешествовали по югу Франции. Начиная с осени 1927 г., Павел Сергеевич вместе с X. Хопфом провели год в Прин- стоне (США), где в то же время находились такие выдающиеся топологи, как Александер, Лефшец, Веблен. Научное общение этих ученых оказалось чрезвычайно плодотворным для развития топологии. Тогда же Павел Сергеевич и X. Хопф обсуждали план совместной книги «Топология», сыгравшей затем исключительно важную роль в развитии топологии и всей математики в целом. Закончена книга была осенью 1935 г. в Крыму, недалеко от Ялты, где в это время находились П. С. Александров, А. Н. Колмогоров и X. Хопф. Особое место в жизни П. С. Александрова занимает его Дружба с А. Н. Колмогоровым, начало которой относится к 1929 г. Вместе с А. Н. Колмогоровым Павел Сергеевич много путешествовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу, по югу Франции. С 1935 г. начинается, как
14 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ говорит Павел Сергеевич, комаровский период в его жизни. С Комаровкой, деревушкой под Москвой, где находится дом, принадлежащий с 1935 г. П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, связано немало событий в истории математики Московского университета за последние 40 лет. Здесь были задуманы и выполнены многие выдающиеся работы. В Комаровке часто бывали, а иногда жили продолжительное время многие ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича. Комаровку посещали также выдающиеся зарубежные математики (Адамар, Фреше, Банах, Хопф, Куратовский и другие). Открытый характер творчества Павла Сергеевича, его педагогическое мастерство и личное обаяние быстро привлекли к нему учеников. Одним из первых учеников Павла Сергеевича был Андрей Николаевич Тихонов (он слушал лекции Павла Сергеевича по топологии — тогда доцента МГУ — в 1923 г.). А. Н. Тихонов внес важный вклад в теорию бикомпактных пространств, доказав фундаментальную и теперь знаменитую теорему о бикомпакт- ности произведения любого множества бикомпактных пространств. А. Н. Тихоновым же было открыто «правильное» определение топологии произведения любого множества пространств и доказаны важные теоремы о погружении в бесконечномерные кубы, чем были созданы основы теории бикомпактных расширений. Открытый характер творчества Павла Сергеевича проявляется, в частности, и в том, что, получая центральные основополагающие результаты в новой, только что открытой области, он никогда не стремится ее исчерпать, рассматривая свою работу как основу для творчества своих непосредственных учеников и других исследователей. Это качество, несомненно, связано также с широтой научных интересов Павла Сергеевича, личным научным творчеством которого глубоко затронуты все основные разделы топологии. Примеров сказанному — поистине огромное число, и мы не будем их здесь приводить. Обратим внимание лишь на крайний случай, когда важнейшее, как было затем обнаружено развитием топологии, понятие локально конечного покрытия было введено Павлом Сергеевичем как бы мимоходом (1924 г.). Тогда Павел Сергеевич доказал, что в каждое открытое покры-
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 18 тие сепарабельного метрического пространства можно вписать локально конечное открытое покрытие, т. е. доказал паракомпактность сепарабельных метрических пространств. Через 20 лет этот результат был передоказан Ж. Дьедонне (введшим термин «паракомпактное пространство»), а через 24 года, в 1948 г., А. X. Стоун показал, что от требования сепарабельности можно отказаться — что составляет содержание его замечательной теоремы о паракомпактности произвольного метрического пространства. Мы видим, таким образом, что у истоков современных метризационных критериев и теории паракомпактных пространств находится понятие локально конечного покрытия, введенное П. С. Александровым еще в 1924 г. В 1925—1929 гг. П. С. Александров в ряде фундаментальных и чрезвычайно целеустремленных работ созда,ет основы гомологической теории общих топологических пространств и общий метод перенесения на теоретико-множественные объекты методов комбинаторной топологии. При этом он кладет в основу своих рассуждений понятие нерва покрытия, введенное им в 1925 г.,— чрезвычайно простое, но фундаментальное по значению понятие. С помощью понятия нерва N^ покрытия со П. С. Александров сопоставляет пространству X некоторый обратный спектр, состоящий из комплексов N^ и их отображений. Таким образом, оказывается принципиально возможным истолковать все топологические свойства пространства X как свойства его спектра, т. е. сводить их к свойствам комплексов 7VW и их отображений. В частности, это относится (и, конечно, в первую очередь) к размер- ностным и гомологическим свойствам. Принципиальное значение возникающей таким образом новой точки зрения на теоретико-множественную топологию и методы ее построения не нуждается в пояснении. В результате возник некоторый синтез комбинаторно- алгебраических и теоретико-множественных методов в топологии, в большой степени определивший развитие топологии в течение ряда лет. Первым применением понятия нерва была известная теорема Александрова об е-сдвигах компактов на полиэдры, состоящая в том, что любой лежащий, например, в гильбертовом пространстве компакт данной размерности я можно при любом е > 0 посредством так называемой
16 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 8-деформации (т. е. непрерывной деформации, смещающей каждую точку меньше, чем на е) превратить в полиэдр той же (и не меньшей) размерности. Эта теорема в свою очередь легла в основу доказательства теоремы Нёбелинга— Понтрягина о вложимости ?г-мерного компакта в (2?г + 1)- мерное евклидово пространство. Любопытно, что этот чисто теоретико-множественный результат требует комбинаторных методов при доказательстве. Первым примером применения построенной теории гомологии была гомологическая теория размерности, созданная П. С. Александровым в 1928—1930 гг. и представляющая собой одно из важнейших открытий в топологии. Как это характерно для творчества П. С. Александрова, в основе теории лежат прозрачные геометрические идеи. Вот одна из таких идей: размерность компакта Ф не ниже я, если на таем имеется нетривиальный (не гомологичный нулю на некотором подкомпакте Ф' е Ф) цикл размерности п — 1, гомологичный нулю на всем Ф. Другие характеристики размерности, предложенные П. С. Александровым, основаны на столь же геометричных понятиях зацепления циклов и «разбиения» гомологии. Значение теории, построенной П. С. Александровым, не только в том, что она дает новый, мощный инструмент исследования (пример тому — решение Л. С. Понтряги- ным-проблемы поведения размерности при перемножении пространств, целиком основанное на гомологической теории размерности). Важный аспект ее состоит и в том, что получила прямое подтверждение сама теория размерности, созданная совсем незадолго до этого. Именно, факт совпадения в широком классе компактных пространств гомологической размерности и размерности через покрытия, инвариантов, построенных с абсолютно различных точек зрения, показывает правильность и естественность определения размерности. Как обычно, большие продвижения в одной области связаны с продвижениями и в соседних областях. Так, для гомологической теории размерности П. С. Александ- рову^понадобилось одно утверждение об отображениях полиэдра в сферу. Доказательство этого утверждения было «заказано» X. Хопфу, и из этого произошла классическая теорема Хопфа о классификации непрерывных отображений ?г-мерного и (п + 1)-мерного полиэдра в
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 17 n-мерную сферу, впервые изложенная в письме Хопфа к П. С. Александрову, опубликованном в «Математическом сборнике». Работы П. С. Александрова в этом направлении были продолжены и развиты многими математиками: А. Н. Колмогоровым, К. А. Ситниковым, К. М. Куратовским, Г. С. Чогошвили, Е. Г. Скляренко, В. И. Кузьминовым, И. А. Шведовым,— разумеется, здесь названы не все. Некоторые результаты из этой области получили замечательные чисто теоретико-множественные обобщения. Так, теорема П. С. Александрова об е-сдвигах компактов в полиэдры многие годы спустя предстала в новом облачении — в форме теоремы Даукера, характеризующей паракомпакты в терминах со-отображений их в метрические пространства. Этот результат Даукера — один из центральных сейчас в теории паракомпактных пространств. Другое применение построенной гомологической теории — теория двойственности, восходящая к Дж. Алек- сандеру и получившая дальнейшее развитие после открытия А. Н. Колмогоровым и Дж. Александером когомологических групп. Предметом двойственности этого типа являются соотношения между группами гомологии компакта в евклидовом пространстве (или, более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка задачи здесь включает определение групп гомологии открытого множества — дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить всю область на твердую основу. На этом пути Л. С. Понтрягин нашел и доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа законы получили после создания Л. С. Понтрягиным теории двойственности локально бикомпактных групп. Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в единое целое до того совершенно различные ветви топологии — алгебраическая, восходящая к А. Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая от Фреше — Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга П. С. Александрова. Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна была служить совместная трехтомная монография П. С. Александрова и X. Хопфа «Топология».
18 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ К сожалению, война помешала завершению этого труда, и написанным оказался лишь первый том, известная во всем мире «Топология I», по которой учились все современные топологи. Написанпая выдающимися представителями обоих направлений в топологии книга по богатству заложенных в ней идей, по яркости изложения остается непревзойденной. Следующий большой этап в творчестве П. С. Александрова имеет своей кульминацией его так называемую «казанскую» работу, написанную в 1941—1942 гг., посвященную изучению гомологическими методами формы и расположения комплекса (и замкнутого множества) в объемлющем комплексе (и замкнутом множестве). Не перечисляя конкретных результатов, полученных в эти годы П. С. Александровым, достаточно сказать, что в указанной работе впервые были выписаны все элементы точной последовательности, столь сейчас употребительного инструмента во всех разделах математики, пользующихся алгебраическими методами. Наконец, в конце сороковых — начале пятидесятых годов П. С. Александров, а затем его ученики, среди которых прежде всего нужно назвать К. А. Ситникова, занимаются построением гомологической теории незамкнутых множеств в евклидовых пространствах, что привело к дальнейшему развитию и самой гомологической теории (работы Г. С. Чогошвили и его учеников). Павлу Сергеевичу принадлежит, в частности, первый общий закон двойственности для незамкнутого множества, лежащего в евклидовом пространстве, и целый ряд других результатов. Результаты П. С. Александрова по гомологической теории и теоремам двойственности для незамкнутых множеств составили знаменитую большую его работу «Основные соотношения двойственности для незамкнутых множеств», опубликованную в «Математическом сборнике» в 1947 г. Работа по созданию гомологической теории топологических пространств и, в частности, гомологической теории размерности велась Павлом Сергеевичем Александровым параллельно с работой в чисто теоретико-множественном направлении. В 1939 г. им было проведено важное исследование бикомпактных расширений вполне регулярных пространств. Здесь примененная новая точка зрения оказалась весьма плодотворной и, в частности,
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 19 появилась впоследствии в работах В. И. Пономарева и многих других авторов. Вообще, под самым непосредственным влиянием Павла Сергеевича развивалась вся теория непрерывных отображений топологических пространств. Она началась по существу с создания П. С. Александровым еще в двадцатые годы теории непрерывных отображений и отвечающих им непрерывных разбиений бикомпактов. Вероятно, нет ни одного важного положения этой теории, которое не послужило бы отправной точкой дальнейших исследований. Так, уже упоминавшейся теореме П. С. Александрова о представлении каждого компакта как непрерывного образа канторова совершенного множества соответствуют теперь теорема о том, что каждый бикомпакт является непрерывным образом нульмерного бикомпакта того же веса, и вся теория диадических бикомпактов. Вся теория непрерывных отображений бикомпактов развилась в теорию совершенных отображений произвольных вполне регулярных пространств, весьма общую и насыщенную богатейшим конкретным материалом. П. С. Александрову принадлежат первые фундаментальные результаты об открытых отображениях бикомпактов и постановка основных задач в этой области. Им было доказано сохранение размерности dim при открытых счетнократных отображениях (бикомпактов) — результат, теснейшим образом связанный с проблематикой открытых нульмерных отображений и открытых конечнократных отображений, в частности, с задачей о существовании открытого нульмерного отображения куба на куб большей размерности. Под влиянием Павла Сергеевича были выполнены первые основополагающие работы по теории замкнутых непрерывных отображений небикомпактных метрических пространств на метрические пространства. Учеником П. С. Александрова И. А. Вайнштейном был получен фундаментальный результат о периферической бикомпактности всякого такого отображения. Это утверждение послужило прообразом и ступенью к многим важным результатам в общей теории замкнутых отображений, полученным у нас и за границей (А. X. Стоуном, К. Моритой, Н. С. Лашневым и др.). Особенно много внимания общей теории непрерывных отображений Павел Сергеевич уделяет в период, начав-
20 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОЙ шийся в 1954 г., когда семинар для начинающих, созданный Павлом Сергеевичем, увлек большую группу первокурсников и определил для многих из них их научное будущее. Начиная с этого времени, Павел Сергеевич в значительной степени концентрируется на теоретико-множественных вопросах топологии и воспитании учеников в этой области. В обзорах, опубликованных в УМН в 1960 и 1964 гг., Павел Сергеевич подводит первые итоги работы этой только что выращенной им группы молодых ученых и определяет направления дальнейшего исследования, формулируя множество интереснейших конкретных задач. Особенно большое влияние на развитие исследований в общей топологии в последние годы оказал обзорный доклад П. С. Александрова на Втором Пражском симпозиуме по общей топологии и ее применениям в 1966 г. В этом докладе были сформулированы основные принципы взаимной классификации пространств и отображений. Сегодня трудно даже перечислить все интересные исследования, вызванные к жизни этим докладом. Павел Сергеевич никогда не мыслил научной деятельности вне педагогического воздействия, вне контакта с учениками. Он сам отмечает четыре основные хронологические группы своих учеников, четыре «пласта» или «слоя». К первой группе относятся А. Н. Тихонов, Л. А. Тумар- кин, В. В. Немыцкий, А. Н. Черкасов, Н. Б. Веденисов. В это же время учеником Павла Сергеевича стал Л. С. Пон- трягин, который уже в первые аспирантские годы сделал крупные открытия в топологии. Ко второй группе (сороковые годы) принадлежат Ю. М. Смирнов, К. А. Ситников, О. В. Локуциевский, Е. Ф. Мищенко. К поколению пятидесятых годов относятся А. В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарев, а также Е. Г. Скляренко и А. А. Мальцев, бывшие в аспирантуре соответственно у Ю. М. Смирнова и К. А. Ситникова. Группу самых молодых учеников образуют В. В. Федорчук, В. И. Зайцев и Е. В. Щепин. Конечно, перечислить всех учеников Павла Сергеевича невозможно, и мы указали только некоторых. Трудно назвать кого-либо из видных советских топологов, на кого Павел Сергеевич не оказал бы большого и часто решающего влияния, и можно сказать, что все
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 21 они в том или ином смысле являются учениками Павла Сергеевича. Пожалуй, наиболее тесные отношения сложились у него с учениками, зачисленными в университет в 1954 г. Воспитанию их и тех, кто пришел позднее, Павел Сергеевич отдает буквально все силы. Воздействие Павла Сергеевича на занимающегося в его топологическом классе молодого человека никогда не сводится к чисто математическому влиянию, сколь бы ни было существенно и значительно последнее. Это и физическое воспитание в топологических прогулках, в дальних многодневных лодочных походах (в Ново-Окатово, по реке Медведица и др.), в переплы- вании Волги и других мощных водных преград или многочасовых лыжных прогулках по подмосковным местам с яркими фантастическими названиями, данными самим Павлом Сергеевичем (поход к Жар-птицам, например!). Воспитание в смысле Павла Сергеевича — это (и прежде всего!) воспитание чувств, эмоций. В одном из номеров газеты «Московскийуниверситет», обращенном к первокурсникам, Павел Сергеевич писал: «Любая научная одаренность слагается из трех компонентов — интеллектуального, волевого и эмоционального... Именно способность к всезахв&тывающему эмоциональному напряжению и составляет необходимое, часто решающее условие для научного творчества». Отсюда глубокий интерес Павла Сергеевича ко всей, в частности, эмоциональной личности своих учеников и стремление помочь ее сформированию — музыкальными вечерами в университете или личными приглашениямитв Малый зал консерватории, публичным выступлением о призвании ученого в актовом зале МГУ или беседой в домашнем кругу в Москве, Комаровке или на прогулке. Но, главным образом, «воспитание чувств» осуществляется личным примером Павла Сергеевича, его заботой об учениках и добротой к ним. Эмоция для Павла Сергеевича составляет важнейший элемент не только научного творчества, но (и даже в большей степени) и педагогической деятельности. Не спокойно-сдержанное, рассудочно-холодное восприятие доставленного ему учеником результата, а яркая эмоциональная оценка его — вот что характерно Для Павла Сергеевича. Способность увлечься сделанным Другим человеком — благороднейшее качество? в полной
22 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ мере присущее Павлу Сергеевичу Александрову. «Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг»— эти слова Ф. Хаусдорфа и есть тот принцип, из которого исходит Павел Сергеевич в отношении к математическому творчеству своих учеников и вообще всех близких ему математиков. Радость, проявляемая Павлом Сергеевичем, вливает новые силы и дает новое вдохновение. Научная и педагогическая деятельность Павла Сергеевича органически сочетается с общественной и административной. Во время международных поездок, начавшихся с 1923 г., он встречался с Гильбертом, Брауэром, Хаусдорфом, Хопфом, Курантом и многими другими зарубежными математиками, с некоторыми из них он долгое время сотрудничал и дружил. Образовавшиеся таким образом международные контакты Павла Сергеевича служили и служат поднятию престижа советской математической науки и содействуют росту и расцвету московской математической школы. С 1958 по 1962 г. П. С. Александров был вице-президентом Международного математического союза. Павел Сергеевич руководит кафедрой высшей геометрии и топологии в Московском университете, заведует отделением математики МГУ и проявляет в этом качестве большую заботу о всем аспирантском коллективе. Возглавляет Павел Сергеевич и отдел общей топологии Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова. В течение тридцати трех лет Павел Сергеевич был президентом Московского математического общества, а в 1964 г. он избран почетным президентом. П. С. Александров — член редколлегий нескольких ведущих математических журналов, главный редактор журнала «Успехи математических наук». В 1935 г. он был в числе первых организаторов Московской математической олимпиады для школьников. Большую роль в развитии науки и математического образования в нашей стране сыграли книги, написанные Павлом Сергеевичем: «Введение в общую теорию множеств и функций», «Комбинаторная топология». Недавно вышли новые книги Павла Сергеевича Александрова: «Лекции по аналитической геометрии», «Теория размерности» (совместно с Б. А. Пасынковым) и «Введение р гомологическую теорию размерности»»
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 2Н Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергеевича высоко оценена: В 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1953 г.— действительным ее членом. П. С. Александров является также членом Гёттингенской академии наук, Австрийской академии наук, Академии Леополь- дина в Галле, Польской академии наук, Академии наук ГДР, Национальной академии наук США, членом Американского философского общества в Филадельфии, почетным доктором Берлинского университета им. Гумбольта, почетным членом Голландского математического общества. Правительство Советского Союза наградило Павла Сергеевича многими орденами, присвоило ему звание Героя Социалистического Труда. За работу «Гомологические свойства расположения комплексов и замкнутых множеств» Совет Министров СССР присудил ему Государственную премию первой степени, а за цикл работ по гомологической теории размерности Павлу Сергеевичу Александрову присуждена международная премия имени Н. И. Лобачевского. Трудно переоценить ту роль, которую сыграли П. С. Александров и созданная им научная школа в развитии советской математики, в повышении ее международного престижа. П. С. Александров имеет исключительно высокий международный авторитет, пользуется глубоким уважением математиков всего мира. * * # Основателю и руководителю советской топологической школы Павлу Сергеевичу Александрову не так давно исполнилось восемьдесят лет — большой срок для того, чтобы много сделать, и малый срок для того, чтобы осуществить все задуманное и желаемое. Все развитие советской — и не только советской — топологии тесно связано с трудами Павла Сергеевича. В каждом ее направлении от теоретико-множественного до алгебраического есть очень большая доля его жизни как в самих научных исследованиях, как в заботах о топологических конференциях и семинарах, так, не в последнюю очередь, в живом непрерывном внимании к начинающим молодым ученым. Именно всем этим вызвано желание опубликовать в настоящем издании около 70 его избранных работ. Нет
24 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ сомнения, что эти труды П. С. Александрова окажут серьезное влияние на дальнейшее развитие советской топологии, не говоря уже о том, что дадут читателю заманчивую возможность пройти вместе с автором длинный и интересный путь развития важного направления математики. Все эти избранные работы Павла Сергеевича можно разделить (конечно, несколько субъективно) на следующие три части: 1) топологические и компактные пространства; 2) теория размерности топологических пространств; 3) гомологии и аппроксимация топологических пространств. В соответствии с этим в достаточной мере условным разбиением и произведено разбиение издания на три книги. Попытаемся решить трудную задачу охарактеризовать роль и значение этих работ в здании современной топологии. В первой части достаточно естественно выделяются три темы: а) дескриптивная теория множеств и пространств; б) теория компактных и биокомпактных пространств; в) вопросы метризации топологических пространств. К дескриптивной теории множеств относятся многие из первых работ Павла Сергеевича (№№ 1, 5, 6, 7, 14 из т. I). В них ярко выделяется самый первый его научный результат: фундаментальная теорема о мощности 5-множеств, утверждающая, что всякое несчетное боре- левское множество содержит совершенное подмножество, а значит, и имеет мощность континуума. Связям дескриптивной теории множеств с топологией посвящены работы №№ 5, 7, 15 из т. I. Нельзя пройти мимо теоремы о гомеоморфизме всякого абсолютного бб-множества некоторому полному метрическому пространству, которая стала основой внутренней характеристики свойства полноты метризуемого пространства (№ 7, т. I). Теория бикомпактных пространств, созданная П. С. Александровым и развитая его учениками — в первую очередь А. Н. Тихоновым,— является капитальным вкладом в современную математику. Ей уделены работы №№ 3, 9, 10, 20, 22, 25, 26 и др. из т. I. Она началась тщательным исследованием понятия счетной компактности (№ 2, т. I), проведенным совместно с П. С. Уры- соном. Неожиданный для того времени отказ от «паразита
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 25 счетности», сделанный ими в их знаменитом «Мемуаре о компактных топологических пространствах», оказался фундаментальным для всей математики, а не только для топологии. Вместо того, чтобы требовать вместе с Фреше возможности выбора конечного подпокрытия из всякого счетного открытого покрытия, они потребовали возможности такого выбора из всякого открытого покрытия! Это даже привело к изменению терминологии на Западе: компактностью там ныне называют бикомпактность. Из многочисленных результатов Мемуара отметим теорему о совпадении свойства бикомпактности в классе регулярных пространств со свойством абсолютной замкнутости в том же классе, т. е. со свойством пространства оказываться замкнутым множеством при всяком топологическом вложении в пространство данного класса. Отсюда, пользуясь сохранением бикомпактности при непрерывных отображениях, он получил теорему о факторизации или, как ранее говорили, о «непрерывных разбиениях», порождаемых непрерывными отображениями бикомпактных пространств на хаусдорфовы. Замечательна и следующая характеристика бикомпактов веса т: каждый из них является непрерывным образом некоторого замкнутого множества из обобщенного канторова дисконтинуума Dx — произведения т штук двоеточий D (№ 18, т. I). В связи с этим П. С. Александров вводит важное понятие диадического бикомпакта как непрерывного образа всего обобщенного канторова диоконтинуума DT (№ 18, т. I). Дело в том, что в отличие от счетного случая не всякий бикомпакт несчетного веса диадичен (как было показано в ответ на вопрос Павла Сергеевича польским математиком Марчевским). Выдвинутая Павлом Сергеевичем гипотеза о диадичности пространства любой бикомпактной группы была доказана Ивановским и Кузьминовым. Таким образом, оказалось-, что класс диадических бикомпактов включает в себя как все метризуемые бикомпакты, так и все бикомпактные группы. Роль диадических бикомпактов заключается в том, что они обладают многими «хорошими» свойствами перечисленных выше традиционно «хороших» пространств. Многие теоремы для диадических бикомпактов звучат и проще и естественней, чем в общем случае. В настоящее время возникла общая теория диадических бикомпактов, которой много занимались и занимаются как
26 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ у нас, так и за границей, начиная с Марчевского и кончая Е. В. Щепиным. Вопросом, всегда привлекавшим Павла Сергеевича, был вопрос о метризации топологических пространств (№№ 4, 10, 24 и др., т. I), т. е. вопрос о топологических условиях, необходимых и достаточных, при которых топологическое пространство обладает метрикой, порождающей исходную топологию. Это — принципиально очень важный вопрос о возможности «перевода» с топологического языка на более привычный и удобный в математической практике язык метрики. Первая общая теорема о метризации была доказана Павлом Сергеевичем совместно с П. С. Урысоном еще в 1922 г. (№ 4, т. I). Сейчас она формулируется так: топологическое пространство метри- зуемо в точности тогда, когда оно паракомпактно и имеет счетную измельчающуюся систему открытых покрытий. Участвующее здесь свойство паракомпактности получило широкое «право гражданства» в топологии. Оно заключается в том, что в каждое открытое покрытие можно вписать открытое локально конечное покрытие, т. е. такое покрытие, что у каждой точки пространства, которое она покрывает, имеется окрестность, пересекающаяся не более чем с конечным числом элементов этого покрытия. То, что свойством паракомпактности обладает каждое сепарабель- ное метрическое пространство, было доказано П. С. Александровым еще в 1924 г. (№ 8, т. I). Свойство паракомпактности оказалось необходимым средством и в получении метризационных теоремБинга, НагатыиЮ. М. Смирнова. В 1961 г. П. С. Александровым на этой основе был получен еще один новый интересный критерий метризуемости (№ 24, т. I). Теперь удобно перейти к обзору третьего тома, минуя второй, тем более что работы №№ 12 и 23 из т. I прямо связаны с ним. Он в основном разбивается на следующие три темы: а) симплициальные аппроксимации пространств; б) комбинаторная топология; в) гомологическая теория размерности. К первой относятся работы №№ 12, 23 из т. I и № 4 из т. III. В этих работах заложены основы многих аппрокспмационных методов топологии (и не только топологии): приближение топологических пространств геометрическими объектами, в частности, симплициальными комплексами, что позволяет сводить многие общие про-
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 27 блемы к задачам, носящим чисто геометрический характер, а потому или уже решенным или же решаемым известными способами. Главным средством решения вопроса симплициальной аппроксимации пространств явилось найденное Павлом Сергеевичем чрезвычайно удачное понятие нерва покрытия, введенного им в 1925 г. (№ И, т. I). Нерв системы подмножеств Ak пространства X — не что иное, как геометрическая схема пересечений этих подмножеств: каждому Ak сопоставляется абстрактная точка — вершина нерва, а каждому непустому пересечению ОЛь. — абстрактный симплекс с вершинами, соответствующими множествам Ah„ дающим это пересечение. Совокупность всех таких симплексов вместе с геометрическим отношением подчинения (Г < 71', если Т есть грань симплекса Т') и есть нерв К рассматриваемой системы подмножеств, в частности, покрытия а аппроксимируемого пространства X. Нерв Ка является некоторым приближением пространства X. Но все более точные приближения будут получаться, если брать все более и более мелкие покрытия. Павел Сергеевич заметил, что если покрытие & вписано в покрытие р, то имеется естественное порожденное этим «вписыванием» симплициальное отображение лр нерва Ка в нерв К$, -и, главное, если взять измельчающуюся последовательность покрытий а,-, т. е. потребовать, чтобы диаметры кусков покрытий at стремились к нулю с ростом номера i и чтобы каждое покрытие было вписано в предыдущее, то система всех нервов Ка. и всех симплициальных отображений п\\\ : Ка. -+Ка ла* , названная Павлом Сергеевичем проек- 1 3 i-l ционным спектром, дает полную информацию об изучаемом пространстве в случае, если подмножества Ak замкнуты, а пространство является компактом (№ 13, т. I и № 4, т. III). Дело в том, что каждый абстрактно заданный проекционный спектр определяет некоторое предельное пространство, оказывающееся компактом, а если этот спектр получен указанным способом из компакта X, то X оказывается гомеоморфным пределу своего проекционного спектра. Эта конструкция с легкостью была перенесена П. С. Александровым на произвольные бикомпакты (№ И, т' П1). Естественным завершением теоретико-множествец-
28 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ ной части всей этой блестящей концепции явилась теорема о гомеоморфизмах точечных множеств, которая дает необходимые и достаточные условия в терминах проекционных спектров, чтобы два пространства были гомеоморфны. В современных терминах это условие заключается в том, чтобы эти спектры были изоморфны в прокатегории. В дальнейшем эта теоретико-множественная линия была успешно продолжена В. И. Зайцевым. Понятие обратного спектра, составленного из полиэдров или из других достаточно «простых» объектов, естественно возникающее из понятия проекционного спектра, вошло во все разделы современной математики. На нем основаны многие методы алгебраической топологии, а в последнее время оно приобретает все большее и большее значение в гомотопической топологии (теория шейпов) и снова в топологии теоретико-множественной (работы Е. В. Щепина). Конструкция обратного проекционного спектра и теорема о его пределе открыли прямой путь для построения так называемых спектральных гомологических и когомологических групп, а тем самым и самых разнообразных спектральных гомологических и гомотопических инвариантов для широких классов пространств. До работ П. С. Александрова подобные группы и инварианты были известны лишь для полиэдров. К теме «комбинаторная топология» относится большинство работ третьего тома: №№ 2, 5—13. Здание комбинаторной топологии, построенное Павлом Сергеевичем, явилось, как уже было сказано, крепким основанием для современной алгебраической топологии. Трудно, да и невозможно в полном объеме перечислить все ее достижения, собранные Павлом Сергеевичем в капитальном труде «Комбинаторная топология» (М.: Гостехиздат, 1947), переведенном на многие языки мира. Начало положила та же работа № 4 из т. III, в которой были введены числа Бетти для компактов и найдены начальные факты комбинаторной топологии и гомологической теории размерности. В работах №№ 10 и 11 из т. III уже появилась теория спектральных гомологических групп. Идея их построения представляется теперь необыкновенно прозрачной: надо от проекционного спектра {Ка, тс%} перейти Сначала к обратному спектру {Нп (Ка), (зхр)^} из групц
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 29 Бетти комплексов и из гомоморфизмов, порожденных симплициальными отображениями лр, а потом — к пределу полученного обратного спектра групп. На этом же пути получаются и спектральные группы когомологий, открытые Колмогоровым и Александером (см. №№ 7, 9, т. III). Спектральный метод позволяет в общем и ясном виде получить самые различные соотношения типа двойственности, восходящие к Александеру и, конечно, к известному закону двойственности Л. С. Понтрягина (№№ 8, 9, т. Ш). Кульминационными работами этой темы являются работы №№ 9 и 10 из т. III. Первая широко известна многим как «казанская» работа; она посвящена изучению гомологическими методами формы и расположения подкомплекса в комплексе и — с помощью спектрального метода — замкнутого множества в локально бикомпактном пространстве. В этой работе впервые были выписаны все элементы так называемой «точной последовательности», столь ныне употребительной везде, где только употребляется гомологическая алгебра, некоторые истоки которой мы также находим в работах П. С. Александрова. Во второй работе Павел Сергеевич прилагает спектральный метод к нахождению всевозможных законов двойственности, в частности, он доказывает законы двойственности для незамкнутых множеств, получившие свое дальнейшее развитие в работах К. А. Ситникова. Спектральные гомологические методы позволили Павлу Сергеевичу еще в 1928—1930 гг. построить гомологическую теорию размерности (№№ 8—9, т. II), которая представляет собой одну из важных частей не только теории размерности, но и теории гомологии. Главное открытие Павла Сергеевича заключается здесь не только в том, что он увидел (и доказал!), что гомологические методы позволяют охарактеризовать размерность с самых разных неожиданных точек зрения, но и в том, что с ее помощью ему удалось решить ряд трудных проблем. Этой теме посвящены работы №№ 8—10 т. II и №№ 4, 5 т. III, подытоженные в монографии «Введение в гомологическую теорию размерности» (М.: Наука, 1975). Такое интересное и важное понятие, как существенный цикл, позволило Павлу Сергеевичу оценить размерность снизу (тогда как классические определения Брауэра, Менгера и Урысона позволяли это делать лишь сверху): размер-
30 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ ность компакта Ф не ниже п, если на нем имеется цикл размерности п — 1, гомологичный нулю в Ф, но не гомологичный нулю на некотором подкомпакте В. Тонкое понятие зацепления цикла с компактом замечательно решает задачу характеризации размерности: если dim Ф = = п, то, во-первых, для любого к любой ^-мерный цикл zk ~ 0 зацеплен с некоторым подкомпактом В размерности ^дг — к — 1, а, во-вторых, для любого к^.п — 1 найдется йт-мерный цикл zh ~ 0, не зацепленный ни с одним подкомпактом В размерности ^тг — к — 2. Имеются также интересные теоремы о характеристике размерности компакта как при помощи так называемых гомотопических препятствий, так и при помощи поперечников, которые, к сожалению, за недостатком места привести невозможно. Павел Сергеевич определил также различные гомологические размерностные характеристики, которые, как было впоследствии показано М. Ф. Бокштей- ном, дают возможность вычислить размерность произведения А X В по гомологическим размерностям множителей. Естественно, одна из таких размерностей совпадает с размерностью dim, определенной с помощью покрытий. Отметим еще, что Павлом Сергеевичем были введены так называемые циклы по переменному модулю — провозвестники групп гомологии, определенных с помощью пучков, оказавшиеся во многих вопросах более удобными, чем «обычные» циклы по постоянной группе коэффициентов. Теория размерности в том виде, в каком она была оставлена П. С. Урысоном, не только не была законченной, но оставалась открытой буквально со всех сторон для продолжения и развития полученных им замечательных результатов. Все ее вопросы так тесно связаны друг с другом, что очень трудно даже формально поделить ее на какие бы то ни было части, кроме фактически уже сделанного нами разделения: на гомологическую теорию размерности и ... на все остальное. Но и это разделение не выдерживает критики, как видно из того, что в работах №№ 2, 5, 17 и др. из т. II гомологическим методам уделяется большое, если не первостепенное, значение. Даже одна из основных теорем, теорема о характеристике размерности с помощью существенных отображений, полученная им в 1940 г., в полном объеме несет на себе следы несомненного влияния гомологических идей. Именно, отображение
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 31 4. Х-+Т в симплекс Т П. С. Александров называет существенным, если для всякого отображения g: X ->- Г, совпадающего с / на полном прообразе /-1 (Т) границы Т данного симплекса, имеем gX = Т. Теорема утверждает, что даже для всякого нормального пространства dim Х^п в точности тогда, когда имеется хотя бы одно существенное отображение /: X -> Тп на n-мерный симплекс. Эту теорему легко трансформировать в следующую изящную характеристику: dim Х^.п тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого в X множества А всякое отображение /: А -> Вп в л-мерную сферу имеет продолжение /: X ->■ Sn на все X. Так же как и теорема о существенных циклах, эта характеристика позволяет оценить размерность пространства снизу. Она указывает явно на тесную связь теории размерности с теорией продолжения отображений в «достаточно хорошие» объекты и имеет множество самых разнообразных применений в топологии. Уже из самого определения размерности с помощью кратности покрытий и из изложенной выше концепции Павла Сергеевича об аппроксимации видно, что тг-мерные пространства могут быть сколь угодно точно приближены n-мерными комплексами. И в самом деле, одна из основных и существенных теорем Павла Сергеевича устанавливает, что компакт Ф (лежащий в евклидовом или гильбертовом пространстве) имеет размерность ^гс тогда и только тогда, когда при любом е > 0 его можно «е-сдвинуть», т. е. перевести деформацией, смещающей точки не более чем на е, в полиэдр (а можно и компакт) размерности ^.п (№ 4, т. III). Естественно, что в общем случае, когда компакт Ф не лежит в гильбертовом пространстве, эта теорема должна иметь другой вид. Для этого хороши так называемые е-отображения. Это — такие отображения /: Ф -> У, что полные прообразы /-1 (У) всех точек У имеют диаметры < е. Теорема утверждает, что размерность dim Ф^.п в точности в том случае, когда для всякого б > 0 существует е-отображение в полиэдр (а можно и в компакт) размерности п (№№ 1,13,15, т. II). Эти теоремы позволяют оценивать размерность сверху — так же как и классические определения. Последнюю теорему легко перевести на язык покрытий, введя так называемые (о-отображения, где о — покрытие бикомпакта Ф. Это — такие отображения /: Ф -► У, что семейство полных
32 ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ прообразов всех точек Y вписано в со. Таким отображениям и характеристике самых разнообразных топологических свойств пространств с помощью со-отображений посвящено много работ как у нас, так и за границей, начиная с Дау- кера и кончая Пономаревым. Обратим серьезное внимание на то, что теоремы об е-деформациях и е-отображениях хороши еще и тем, что позволяют ввести геометрические характеристики компакта, называемые поперечниками: ^-мерным поперечником а^Ф компакта Ф, лежащего в евклидовом или гильбертовом пространстве, Павел Сергеевич называет нижнюю грань всех таких чисел е > О, для которых существует е-деформация компакта Ф в полиэдр размерности^к. Если компакт Ф не лежит в гильбертовом пространстве, то определяется ^-мерный поперечник а^Ф, в определении которого е-деформации заменены б-отображениями. Хотя эти характеристики были введены, исходя из задач теории размерности, их значение выходит не только за рамки этой теории, но и самой топологии: не так давно К. И. Бабенко обратил внимание на то, что поперечники в высшей степени удобны для некоторых задач вычислительной математики. Среди всех компактов размерности п Урысон выделил, как он говорил, «особенно хорошо связные» в следующем смысле: он назвал канторовым /i-мерным многообразием всякий такой компакт М, который нельзя разбить никаким подкомпактом С размерности ^?г — 2 (где п = = dim М), т. е. в котором для всякого подкомпакта С размерности ^?г — 2 дополнение М \ С связно. Продолжая исследования Урысона, Павел Сергеевич доказал, что всякий л-мерный симплекс является п-мерным канторовым многообразием (Урысон это сделал лишь при дг^З), и доказал теорему Гуревича — Тумаркина о существовании ?1-мерных канторовых многообразий во всяком n-мерном компакте в классе всех бикомпактов. Одновременно он показал, что канторовы тг-мерные многообразия все-таки не так «особенно хорошо связны», как хотелось бы Урысону, и усилил определение Урысона следующим образом: ?г-мерный компакт Ф он назвал континуумом Vй, если для любых двух его непересекающихся подком- пактов А и В, содержащих внутренние точки, найдется такое число d^O, что для каждой перегородки С между А и В поперечник ап~2С больше d (перегородка между
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 33 А и В — это такой подкомпакт С, что Ф \ С разбивается на две непересекающиеся окрестности множеств А и В). Оказывается — и это было показано Павлом Сергеевичем (№ 18, т. П) — всякий га-мерный компакт содержит даже n-мерный континуум Vn\ Из общих результатов П. С. Александрова укажем еще два. Это — доказательство теоремы суммы (dim (А [} 5)^max {dim Л, dim В}) для любых нормальных пространств (№№ 16, 17, т. II) и установление обширного класса /г-мерных пространств («совершенно тг-мерные пространства»), для которых оказываются верными без каких бы то ни было ограничений основные теоремы теории размерности — совместно с Пономаревым (№ 17, т. II). Наконец, укажем еще один результат П. С. Александрова (№ 5, т. II). Это — построение полноценной аксиоматики теории размерности для компактов, впоследствии (заменой аксиомы конечной суммы аксиомой счетной суммы) превращенной в аксиоматику размерности (сепарабельных) метрических пространств Е. В. Ще- пиным. Уже изложенное — а это малая часть того, что сделано П. С. Александровым в теории размерности, — показывает, сколь многим она ему обязана, а если добавить сюда все сделанное его учениками и не только его учениками, следуя его проблемам и настояниям, то можно с уверенностью сказать, что именно Павел Сергеевич Александров является основателем современной теории размерности. Это вполне подтверждается тем, что фундаментальный труд Павла Сергеевича и его ученика Пасынкова «Введение в теорию размерности», содержащий все основные ее факты (М.: Наука, 1973), завоевал себе всемирное признание. Хотелось бы сказать несколько слов о нематематических статьях Павла Сергеевича, вошедших в этот сборник. Прежде всего, это воспоминания о близких ему людях, бывших не только его друзьями, но и замечательными математиками, о Брауэре, Эмми Нётер, Хопфе. В этих воспоминаниях ярко раскрывается история возникновения многих математических идей и результатов, математический дух и личности этих удивительных людей, атмосфера и стиль их ближайшего окружения. Но ясно видно и не только все это: весьма четко выступает на передний план крайне примечательная, заставляющая не один
si ЙАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОЁ раз присматриваться к другим и к себе, личность их описателя — Павла Сергеевича Александрова. Этот человек интересуется всем крупным, что только можно найти внутри и вокруг нас, в частности, тонкими математическими и, конечно, в первую очередь топологическими проблемами и деликатными задачами воспитания молодежи (№ 23, т. II). * * * Нет сомнения в том, что читатели на многих страницах этой книги найдут «нечто, вызывающее человеческий восторг». Это могут быть отдельные результаты, некоторые построения, идеи, мысли и даже чувства. Можно только пожелать, чтобы этот восторг (вместе с надлежащим знанием) для многих читателей стал причиной новых творческих успехов и достижений! Достаточно зная содержание этого сборника, можно с уверенностью сказать, что так оно и будет. Ю* М. Смирнов
1 о мощности МНОЖЕСТВ, ИЗМЕРИМЫХ ПО БОРЕЛЮ*) Целью этой заметки х) является решение следующей проблемы: определить мощность всякого несчетного множества, измеримого по Борелю. Эта проблема была мне поставлена Н. Н. Лузиным, и я благодарен ему за оказанную им поддержку в моей работе. Пусть Е — несчетное множество ^-класса а 2). В силу результатов Лебега мы можем разложить множество Е в таблицу Е\[)Е\[} ... U#1'U... Ei\]El\] ... U#2lU... <и^и---ия£и с двойным входом так, что данное множество Е есть общая часть множеств-сумм, расположенных в горизонтальных строках таблицы. Важно заметить, что класс ар} каждого множества^ меньше, чем а, а>0Ср11. Если E%\ не есть замкнутое множество, то мы можем снова разложить его в аналогичную таблицу. Общий член Е9р^% этой подтаблицы есть множество класса a^f < aqp\. Если Ё$%\ не есть замкнутое множество, то мы можем снова разложить его в таблицу, общий член которой есть 2?рД,*вр,, и т. д. Рассмотрим последовательность множеств вида (1) pQi pQiQt pQi4»Q* ' ^Pii ^PiPt' ^PiPjPa' ' • • Соответствующие классы идут, убывая, так что в ней 32- *) Опубликовано в С. г. Acad. Sci. Paris, 1916, 117, с. 323— ^о под заголовком «Sur le puissance des ensembles (В)».
36 1. О МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ, ИЗМЕРИМЫХ ПО БОРЕЛЮ содержится лишь конечное число членов. Процесс оборвется, когда мы придем к замкнутому множеству Eqi(l2'"q^ (X конечно). Таким образом мы при помощи счетного числа операций представим данное множество Е посредством таблицы, элементы которой суть подтаблицы, и т. д. Назовем теперь произведением данных множеств их пересечение. Беря произвольное натуральное число п, рассмотрим произведение вида где гх, г2, . . ., гп суть произвольные натуральные числа. Заменяя в этом произведении каждый незамкнутый множитель Е^к произведением п — к + 1 множеств ErkSi Егь8* Erksn-k+i, где все s суть произвольно выбранные натуральные числа, мы выводим из произведения пг второе произведение я2, Заменяя в этом д2 каждый незамкнутый множитель Effi произведением п — /с + 1 множеств ЕгкЧ** fiWi** Егь8*1 л-*+1 ^k i 1 uh г 2 " " ' ^h in-fe+1' мы приходим к третьему произведению п3 и т. д. Продолжая рассуждать таким образом, мы придем в конце концов к произведению тс^ (|я конечно), все множители которого суть замкнутые множества. Это произведение снова замкнуто, и мы называем его замкнутым множеством рода л. Все построенные нами произведения имеют конечное число множителей, каждый из которых имеет конечное число индексов; следовательно, множество всех этих произведений счетно. Пусть все множества рода п суть 1 2 v £п» £п» • • • S ^п» • • • Получаем следующую таблицу (ё) множества Е: 1 2 v еи еь ... , еь ... 12 v ег, е2, ... , е2, ... ^п» ^п» • • • » ^п» • • •
1. О МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ, ИЗМЕРИМЫХ ПО БОРЕЛЮ 37 Помня, что каждое множество е*п является некоторым произведением, скажем, что множество ^подчинено множеству е% (п' > п), если все множители произведения вп содержатся среди множителей произведения еХ.'. Мы скажем, что последовательность VI V2 Vft ^п\ч ^П2» • • • » пь' где к = 1, 2, 3, . . ., rcx < л2 < гс3 < . . ., есть правильная цепь таблицы (ё), если множество e*k подчинено множеству e*ft+1, к = 1, 2, 3, . . . Пересече- fe+i ние всех множеств, являющихся элементами данной правильной цепи, называется ядром этой цепи. Установим некоторые свойства таблицы (е). 1) Ядро всякой правильной цепи содержится в Е. 2) Каждая точка множества Е содержится в ядре хотя бы одной правильной цепи. 3) Каждое множество е%, лежащее в тг-й строке таблицы (е) при п >> 1, подчинено единственному элементу (п — 1)-й строки таблицы. 4) Каждое множество е%, лежащее в /г-й строке таблицы (е), имеет по крайней мере одно подчиненное ему множество в (п + 1)-й строке 3). 5) Пусть вп' подчинено множеству вп (п' > п) и пусть М есть несчетное множество точек множества Е f| (еп\вп')- Тогда существует подчиненное множеству evn множество вп', v" =£v', содержащее несчетно много точек множества Е. Назовем множество е% каноническим, если оно содержит несчетное множество точек множества Е. Переходя к доказательству основной теоремы, мы прежде всего оставим- в таблице (е) одни лишь канонические множества. Полученную подтаблицу мы назовем канонической и обозначим снова (е). В ней сохранены те же подчинения, и она обладает теми же свойствами 1) — 5), что и первоначальная таблица,— за исключением свойства 2), которое получает следующую формулировку: 2') Всякая точка множества Е, за исключением, может быть, счетного числа точек, содержится в ядре некоторой правильной цепи. Теорема. Всякое- несчетное множество Е, измеримое по Борелю, содержит совершенное множество.
38 i. о МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ, ИЗМЕРИМЫХ ПО БОРЕЛЮ Утверждение очевидно, если существует правильная цепь, ядро которой (всегда замкнутое) несчетно. Пусть ядро каждой правильной цепи не более чем счетно. В этом случае, каковы бы ни были множество е\ и совершенное множество Р, содержащееся в е% и содержащее несчетно много точек множества Е, в множестве Р в силу свойства 5) существуют два таких совершенных множества Рх и Р2 без общих точек, что каждое из них содержит бесконечно много точек множества Е и которые соответственно содержатся в подчиненных множеству е°п множествах е^ и ?„>, п' > п, v" =t£v\ Мы скажем, что Рг и Р2 суть множества, выведенные из множества Р. Возьмем теперь совершенное множество Р, содержащее бесконечно много точек множества Е и лежащее в е\. В силу только что сказанного, мы можем вывести из множества Р два совершенных множества Рг и Р2 без общих точек; из множества Ра ((%! — 1 или 2) мы можем вывести множества ^а 1 и Ра*г<> аналогично из множества Paia выводим множества Ра а х и Ра а 2 и т. д. Процесс, продолжается неограниченно, и мы получаем бесконечную убывающую последовательность совершенных множеств \^) * » * а, » * at a2i • • • » *а, а2 ... а^Ь • • •» где каждое ak есть 1 или 2. Пересечение всех множеств последовательности (2) есть непустое замкнутое множество Раха2 ... afe...» и Сумма ВСвХ МНОЖвСТВ Paia2 ... ak...i построенных по всевозможным последовательностям (2), есть совершенное множество, содержащееся в Е, что и доказывает теорему. КОММЕНТАРИЙ г) Первоначальный текст этой работы был написан мною на русском языке летом 1915 года. Перевод работы на французский язык был сделан Н. Н. Лузиным который при этом внес некоторые изменения в терминологию, в частности, заменил русский термин «подчинение» термином «diviseur regulier», и заново отредактировал всю работу, оставив без изменений ее математическое содержание. 2) В лебеговской классификации В-множеств в каждом классе рассматриваются два подкласса, состоящие соответственно из множеств & и © данного класса, причем множества данного подкласса ^", соответственно 0, класса а оказываются множествами другого подкласса 0? соответственно ^, класса a + 1.
1. О МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ, ИЗМЕРИМЫХ ПО БОРЕЛЮ 39 3) В силу свойств 1)—4) таблица (е) есть не что иное, как А -система множества Е. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно переписать первую строку таблицы (е) в виде eii e2i • • • i eiit • • •» li " 1, 2, о, . . ., и затем для каждого множества et этой строчки обозначить через ^ilii ег\2ч • • • ? ^iii,? • • • все множества второй строчки таблицы (е), подчиненные множеству е- . После этого все множества второй строчки таблицы (е) обозначаются через eiiiv где ily i2 пробегают все целые положительные значения. В предположении, что все множества и-й строки таблицы (е) записаны в виде ещ ei , мы обозначаем все множества (п + 1)-й строчки таблицы (е), подчиненные данному множеству et t . . . in, через eiii2 •"in1' еИ*2 "•in2' * ' "» еШ2 "'inin+i1 • • # Таким образом вся таблица (е) записывается в обычном виде А -системы. Свойство 5) первоначальной таблицы (е) при этом не находит применения. Это свойство оказывается существенным лишь при доказательстве самой теоремы о мощности.— П. С. Александров. См. также комментарий А. Н. Колмогорова на с. 173—-174,
2 КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА *) 1. Целью настоящей заметки является указание основных свойств одного класса топологических пространств. Специальные свойства евклидова пространства не оказывают влияния на многие предложения современной теории множеств и топологии. Поэтому вполне естественно, что развилась отрасль науки, которая стремилась создать топологическую теорию множеств, достаточно общую и касающуюся внутренних топологических свойств множеств (а не свойств, зависящих от расположения этих множеств в том или ином объемлющем пространстве). Инициатором этого направления в теории множеств был Фреше. Среди топологических пространств одними из наиболее важных являются компактные. Поэтому нам кажется вполне естественным углубленное исследование понятия компактности. Здесь мы хотим подвести итог части результатов этого исследования, отсылая за доказательствами к последующему более полному изложению. 2. 1°. Назовем точкой полного накопления множества Е, лежащего в топологическомг) пространстве i?, всякую точку £, в каждой окрестности которой содержится часть множества Е, мощность которой равна мощности всего множества Е. Следующие три свойства эквивалентны. A. Всякое бесконечное множество, лежащее в R, имеет по крайней мере одну точку полного накопления. B. Всякая вполне упорядоченная система убывающих замкнутых множеств, лежащих в R, имеет непустое пересечение. *) Совместно с П. С. Урысоном. Опубликовано в Bull. Acad, polon. sci. (A), 1923, с. 5—8 под заголовком «Sur les espaces topolo- giques compacts». Перевод с французского В. Е. Шнейдера взят из двухтомника П. С. Урысона. Труды по топологий и другим областям математики.— М.; Л.: Гостехиздат, 1951, с. 848—851.
2, КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 41 С. Из всякой бесконечной совокупности открытых множеств, покрывающих пространство R, можно выделить конечную совокупность, обладающую тем же свойством. Назовем бикомпактными пространствами пространства, удовлетворяющие какому-нибудь одному (и, следовательно, всем трем) из указанных свойств. Называя регулярной мощностью такую, которая не является суммой различных меньших мощностей, обозначим, соответственно, через А0, В0, С0 те свойства, которые получаются из А, В, С, если предполагать, что мощности, фигурирующие в формулировках этих свойств, регулярны. Оказывается, каждое из условий А0, В0, С0 достаточно для бикомпактности пространства (и, очевидно, необходимо). Вот обобщение теоремы 1°: I. Следующие три свойства топологического пространства R эквивалентны: A. Всякое множество Е ^ R, имеющее регулярную мощность ш, заключенную между кХ' и nx», хх> ^ ш ^ ^ нх», имеет по крайней мере одну точку полного накопления. B. Всякая вполне упорядоченная система убывающих непустых замкнутых множеств пространства R, тип которой есть регулярное порядковое число' 0, заключенное между Qxf и QT", QT> ^ 0 ^ QT", имеет непустое пересечение. C. Из всякого множества регулярной мощности ш, заключенной между нТ> и хТ», *V ^ tn ^ *V, открытых множеств, покрывающих пространство R, можно выделить множество меньшей мощности, обладающее тем же свойством. Если хТ" равно мощности пространства R, то мы скажем, что R компактно, начиная с мощности >v. (Таким образом, например, всякое пространство R, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, компактно, начиная с мощности hv) Если кт/ = х0, то мы скажем, что R компактно вплоть до мощности кТ'. (Таким образом, для пространств, компактных в обычном значении, можно только утверждать, что они компактны вплоть до мощности н0.) Отсюда следует, что компактные пространства, удовлетворяющие
42 2. КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА второй аксиоме счетности, и, в частности, компактные метрические пространства бикомпактны. Нам кажется, что формулировка теоремы 1° является окончательным обобщением известной теоремы Боре- ля — Лебега. Отметим, наконец, что на простых примерах можно показать, что предположение регулярности мощностей (соответственно, порядковых типов) необходимо. 3. Топологическое пространство R называется регулярным, если, какова бы ни была окрестность U (х) произвольной точки х, существует окрестность V (х), содержащаяся в U (х) вместе со своими предельными точками. Нерегулярные пространства могут обладать весьма неожиданными свойствами. Например, можно построить нерегулярное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, плотное в себе и имеющее всюду плотное счетное множество; кроме того, в этом пространстве существует компактное в нем открытое множество, хотя множество, состоящее из этого открытого множества и его границы, не компактно в пространстве, а всякое замкнутое множество, содержащееся в этом открытом множестве, не более чем счетно. Можно также построить счетное связное нерегулярное пространство. 4. Топологическое пространство R называется абсолютно замкнутым 2), если к нему нельзя присоединить точку |, которая была бы неизолированной в пространстве Имеет место следующая теорема: II 3). Если топологическое пространство R абсолютно замкнуто, то, каково бы ни было множество Е, лежащее в R, существует по крайней мере одна такая точка £, что для всякой окрестности U (£) точки \ мощ.Я П [U (£)] = мощ. Е. Вот еще две теоремы, которые нам кажутся основными в этой теории: III. Для того чтобы пространство- было бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было регулярным и абсолютно замкнутым. IV. Для того чтобы пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, было бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы всякое его замкнутое подмно-
2. КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 43 жество, рассматриваемое как топологическое пространство, било абсолютно замкнутым 4). Существуют некомпактные нерегулярные абсолютно замкнутые пространства, удовлетворяющие второй аксиоме счетности и имеющие несчетное множество точек, неотделимых друг от друга замкнутыми окрестностями. 5. Что касается мощности бикомпактных пространств, то упомянем следующие теоремы: V. Всякое совершенное множество, лежащее в бикомпактном пространстве R, имеет мощность, не меньшую, чем мощность континуума. Мы скажем, что точка £ топологического пространства R называется особой, если для любой окрестности U (£) этой точки и всякого кардинального числа ш, меньшего мощности пространства R, существуют точки х 6 U (|), характер которых превосходит ш. В этих условиях мы имеем теорему VI. Всякое бикомпактное пространство без изолированных особых точек (в частности, всякое бикомпактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности) содержит совершенное множество. Примеры бикомпактных пространств с изолированными особыми точками элементарны; можно построить пример бикомпактного пространства с совершенным множеством особых точек. Вопрос о том, существует ли бикомпактное пространство без особых точек (в частности, удовлетворяющее первой аксиоме счетности) мощности, большей, чем мощность континуума, остается открытым 5). КОММЕНТАРИЙ Статья представляет собой первую публикацию исследований авторов, составивших принесший им широкую известность «Мемуар о компактных топологических пространствах», опубликованный значительно позже (Memoire sur les espaces topologiques compacts.— Verb. kon. Akad. Wet., 1929, 14, № 1, с 1—96; последнее русское издание: М.: Наука, 1971). Все упоминающиеся в заметке примеры и доказательства сформулированных теорем можно найти в Мемуаре. 1) Как и во всех публикациях того времени, под топологическим пространством понимается всегда хаусдорфово пространство. 2) В современных публикациях — Я-замкнутым. 3) В оригинале приводится несколько иная формулировка теоремы. Доказательство, приведенное в цитированном выше Мемуаре, проходит лишь для приведенного здесь утверждения.
44 2. КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 4) Впоследствии М. X. Стоун, решая проблему, поставленную П. С. Александровым и П. С. Урысоном, освободил эту теорему от предположения первой аксиомы счетности. 5) В обобщенных канторовых дисконтинуумах Z)T, где т > tf0, нет ни одной особой точки. Значит, вопрос о существовании бикомпактов сколь угодно большой мощности, не имеющих особых точек, решается совсем просто — указанием на Dx. Существенно сложнее оказался вопрос о мощности бикомпактов с первой аксиомой счетности. Только в 1969 году А. В. Архангельский доказал, что мощность всякого такого бикомпакта не больше, чем мощность континуума.— Прим. ред.
3 О ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОЖЕСТВ И ПОНЯТИИ КОМПАКТНОСТИ *) 1. Хорошо известно, что евклидово пространство не является компактным, хотя любое замкнутое и ограниченное подмножество этого пространства обладает этим свойством. Также открытые римановы поверхности не являются компактными, и в то же время компактны специальные замкнутые их подмножества, играющие фундаментальную роль в топологии этих поверхностей. Существенным во многих вопросах является не компактность всего данного пространства, а только компактность некоторых подмножеств рассматриваемого пространства. Таким образом мы приходим к тому, чтобы дать следующее определение. Топологическое пространство называется компактным (соответственно бикомпактным) вокруг точки £, если существует окрестность этой точки, становящаяся компактной (бикомпактной) после присоединения к ней всех ее предельных точек **). Пространство, компактное (соответственно бикомпактное) вокруг каждой своей точкиг называется локально компактным (бикомпактным). Можно было бы также говорить и о других локальных свойствах, например, о локальной выполненности второй аксиомы счетности, т. е. выполненности ее в некоторой окрестности рассматриваемой точки, и т. п. Кроме свойств, которые мы назвали свойствами вокруг точки, можно рассмотреть другой класс — свойства в точке. Вот примеры таких свойств: *) Опубликована в Bull. Acad, polon. sci (A), 1923, с. 9—12, под заголовком «О wlasnosciach lokalnych zbiorow i о pojeciu zwartosci. Sur les proprietes locales des ensembles et la notion de compacticite». перевод С. Богатого. **) Мы говорим здесь только о компактности в себе.
46 3. О ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОЖЕСТВ 1°. Мы говорим, что точка £ топологического пространства R является (6)-точкой, если существует счетное семейство ее окрестностей, общей частью которых является в точности точка £. 2°. Мы говорим, что точка £ является (\)-точкой, если можно так выбрать окрестности, определяющие данное топологическое пространство, чтобы получить для точки £ только счетное семейство окрестностей *). 3°. Мы говорим, что точка £ является (к)-точкой, если существует счетное множество, сходящееся к этой точке. Легко можно построить примеры точек, которые являются (б)-точками, не являясь при этом ни (х)-, ни тем более (1)-точками — все (1)-точки являются одновременно (6)- и (х)-точками; существуют (х)-точки, не являющиеся (б)-точками; точки, являющиеся одновременно (б)- и (х)- точками, не являясь (ь)-точками **). Цель этой заметки состоит в изучении некоторых свойств этого типа и особенно — локальной бикомпактности. 2. В последующем важное значение имеет предложение ***): I. В локально бикомпактных пространствах всякая (Ь)-точка является (\)-точкой ****). Мы имеем также следующее предложение: II. Всякая точка локально бикомпактного пространства R, если она не является изолированной в этом пространстве, является единственной точкой полного накопления для некоторого множества точек из /?*****). Следующая теорема является фундаментальной в теории локально бикомпактных пространств. III. Для того чтобы пространство R было локально бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы к нему *) Пространства, всякая точка в которых является (1)-точ- кой, суть в точности пространства с первой аксиомой счетности. **) Примеры, реализующие эту последнюю возможность в компактных пространствах, построены Урысоном [1]. ***) Доказательства приводимых ниже теорем можно найти в Мемуаре [1]. ****) Это предложение-сохраняет силу в регулярных пространствах, но становится неверным в нерегулярных. *****) Мощность которого равна минимальной мощности открытой базы в рассматриваемой точке.
S. О ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОЖЕСТВ 4? можно было присоединить одну точку £ таким образом, чтобы R U I было бикомпактным. Иллюстрацией этой теоремы может служить тот факт, что евклидова плоскость топологически эквивалентна поверхности сферы, из которой удалена одна точка. Следствие I. Совершенное подмножество локально бикомпактного пространства имеет мощность, не меньшую мощности континуума. Следствие II. Класс локально бикомпактных пространств совпадает с классом открытых подмножеств бикомпактных пространств. 3. Принятые определения позволяют дать следующую характеристику регулярных компактных пространств: IV. Для того чтобы регулярное пространство R было компактным, необходимо и достаточно, чтобы к нему нельзя было присоединить никакую точку £ таким образом, чтобы эта точка была (к)-точкой в R U |. Более того, доказывается, что всегда можно предполагать, что точка £ является также (б)-точкой, оставаясь при этом (х)-точкой. Между тем, существуют компактные регулярные пространства, к которым можно присоединить (б)-точку. Уже цитированный пример Урысона показывает, наконец, существование регулярного некомпактного пространства, к которому нельзя присоединить никакую (1)-точку. Следовательно, в общей формулировке IV нельзя заменить (х)-точки ни на (б)-точки, ни на (О-точки. V. Для того чтобы регулярное пространство R, удовлетворяющее второй аксиоме счетности \\D, было компактным, необходимо и достаточно, чтобы к нему нельзя было присоединить никакую точку £, которая была бы (^-точкой в R U g. Можно предположить, по аналогии с метрическими пространствами, что аксиома IID оказывается всегда выполненной, когда в пространстве R существует всюду плотное счетное множество. Но в общем случае нет ничего подобного; именно, можно дать примеры бикомпактных пространств: 1° удовлетворяющих аксиоме 1^ и обладающих всюду плотным счетным подмножеством, но не удовлетворяющих аксиоме IID; 2° обладающих всюду плотным Четным подмножеством, но не удовлетворяющих даже а*сиоме 1^.
48 3. О ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОЖЕСТВ 4. Укажем теперь связи, которые существуют между введенными понятиями и проблемой метризации топологических пространств. Основной в этом изучении будет одна очень важная теорема Урысона, утверждающая, что аксиома llD в компактном топологическом пространстве образует необходимое и достаточное условие для того, чтобы это пространство било метризуемйм (т. е. гомеоморфным метрическому пространству). Переходя к поиску аналогичного условия для локально компактных пространств, нетрудно усмотреть, опираясь на теоремы I и III, что всякое локально компактное пространство, удовлетворяющее аксиоме Пд, является подмножеством компактного пространства, также удовлетворяющего аксиоме П^; следовательно, в силу теоремы Урысона оно метризуемо. Именно таким образом легко доказывается достаточность следующего условия: VI. Для того чтобы локально компактное пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы оно представлялось как объединение некоторого семейства попарно непересекающихся (если это семейство более чем одноэлементно) открытых подмножеств, каждое из которых, рассматриваемое отдельно, удовлетворяет второй аксиоме счетности. Что касается необходимости этого условия, то она доказывается при помощи не очень простого анализа, основанного на двух следующих леммах. Лемма I. Если для каждого порядкового числа а<2 имеется некоторое порядковое число Р = |х (а) ^ а, причем равенство имеет место только для а = 1, то существует несчетное множество чисел а, для определенности аха2 ... а я . . ., X < Q, таких, что \i (аг) = \i (а2) =... . . . = ц («О = . . . Лемма П. Если в метризуемом топологическом пространстве R аксиома IID выполнена локально, то можно таким образом выбрать систему окрестностей для всех точек из R, чтобы каждая точка содержалась не более чем в счетном множестве окрестностей различных точек R. Более того, свойство, сформулированное в лемме II как заключение, становится эквивалентным, будучи применено a priori к локально компактному пространству, условию VI.
3, О ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОЖЕСТВ 49 Следствие. Для того чтобы локально компактное и связное пространство R било метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло аксиоме II д. Наконец, этими же методами доказывается следующая теорема: VII. Всякое связное метрическое пространство либо удовлетворяет второй аксиоме счетности, либо имеет точку, ни в какой окрестности которой эта аксиома не выполняется, ЛИТЕРАТУРА [1] Александров Я. С, Урысон Я. С. Memoire sur les espaces topolo- giques compacts.— Verh. kon. Akad. Wet., 1929, 14, № 1, с 1—96. Русское издание: Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971. КОММЕНТАРИЙ Работа представляет собой предварительный вариант статьи автора из Math. Ann. «О метризации локально компактных топологических пространств» (настоящий том, с.95—104). Здесь впервые в явной форме появляются локальные топологические понятия, играющие сейчас фундаментальную роль в математике. Кроме того, здесь впервые устанавливается тот факт, что класс бикомпактных пространств совпадает с классом регулярных Я-замкнутых пространств.
4 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО БЫЛО МЕТРИЗУЕМО *), Определения. I. Пусть {Vn} — последовательность открытых множеств данного пространства R, каждое из которых содержит данную точку £ 6 R; мы скажем, что она определяет1) эту точку в данном топологическом пространстве Е, если каждое открытое множество, содержащее точку £, содержит по крайней мере одно открытое множество Vn. II. Мы скажем, что система П открытых множеств покрывает пространство Е, если любая точка £ пространства Е принадлежит по крайней мере одному открытому множеству системы П. III. Пусть Пг и П2 — две системы открытых множеств, каждая из которых покрывает Е; мы скажем, что П2 вписано в П1? если каждой паре открытых множеств V2 и W2 из П2, имеющих общие точки, соответствует открытое множество Vx из П1? содержащее V2 (J W2 2). IV. Пусть {П2, П2, . . ., Пп, . . .} — последовательность покрытий пространства; эту последовательность назовем полной цепью, если выполнено следующее условие: пусть £ — произвольная точка пространства Е, a Fx, F2, . . ., Vn, . . .— открытые множества, содержащие точку £, принадлежащие соответственно Пх, П2, . . . . . ., Пд, . . .; тогда последовательность {Vn} определяет точку | в Е. V. Полную цепь {Пх, П2, . . ., Пп, . . .} будем называть регулярной, если для любого п система Пп+1 вписана в Пп 3). *) Совместно с П. С. Урысоном. Опубликовано в С. г. Acad, sci. Paris, 1923, 177, с. 1274—1276, под заголовком «Une condition necessaire et suffisante pour q'une classe (L) soit une classe (D)». Перевод с французского В. Е. Шнейдера взят из двухтомника П. С. Урысона. Труды по топологии и другим областям матема* тики.— М.; Л.: Гостехиздат, 1951, с. 964—965.
4 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ МЕТРИЗУЁМбСТЙ 5i Теорема. Для того чтобы топологическое пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы существовала полная регулярная цепь 4). Доказательство. Для того чтобы показать, что это условие необходимо, достаточно принять за Пп систему, состоящую из всех сферических окрестностей радиуса 2"п (сферическая окрестность с центром в точке х радиуса е есть, по определению, множество точек i/, для которых р (х, у)< е). Покажем теперь, что топологическое пространство Е, имеющее полную регулярную цепь {Пх, П2, . . ., Пп, . . .}, метризуемо. Пусть х и у—две произвольные точки пространства Е; определим их отклонение 5) р (х, у) следующим образом: если не существует ни одного открытого множества П, содержащего обе точки, то мы положим р (#> У) = 1'» в противном случае пусть п — первое такое целое число, что ни одно открытое множество из Пп+1 не содержит этих точек одновременно; в этом случае мы положим р (х, у) = 2"п. Нужно показать, что это отклонение не изменяет предельных соотношений, т. е. что: 1) Каждой точке £ 6 Е и каждому числу е > 0 соответствует такое открытое множество G, содержащее \ч что все его точки х удовлетворяют неравенству р (£, х) <С е. В самом деле, пусть п — первое целое число такое, что 2"п < 6, и пусть Vv V2, . . ., Vn — открытые множества, принадлежащие соответственно Пх, П2, . . ., Пп и содержащие точку \\ тогда за G достаточно принять их общую часть. 2) Каждой точке £ пространства Е и каждому открытому множеству G, содержащему £, соответствует такое е > 0, что все точки ху для которых р (£, х) ^ е, содержатся в G. В самом деле, в противном случае существуют точки х, не принадлежащие G, для которых р (|, х) сколь угодно малы. Следовательно, в каждом Пп существует по крайней мере одно открытое множество Vn, содержащее точку I и не содержащееся в G, что противоречит определению полной цепи. Если полная цепь регулярна, то оба неравенства р (х, у) ^ 2"п и р (г/, z) ^ 2_тг влекут, очевидно, р (#, z) ^ 2"(П_1), т. е. отклонение регулярно. Следовательно, согласно теореме Читтендена5) пространство Е является метрическим пространством, нто и требовалось доказать.
52 4. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ МЕТРИЗУЕМОСТИ КОММЕНТАРИЙ *) Как и во всех работах того времени, под топологическим пространством понимается всегда хаусдорфово пространство. Данное определение является, по существу, определением базы пространства в точке £.— Прим. ред. 2) Это условие, введенное впервые в данной работе, принято называть теперь условием правильной вписанности системы П2 в систему И1. Выражение же «система П2 вписана в систему Щ» сейчас понимают следующим образом: для каждого V2 6 П2 существует Vx 6 Пх такое, что V2 a Уг. Понятие правильной вписанности одного семейства множеств в другое явилось прототипом одного из важнейших понятий теоретико-множественной топологии — понятия звездной вписанности одного семейства множеств в другое — и потому лежит у истоков современной теории паракомпакт- ных пространств.—Л. В. Архангельский. 3) Регулярные полные цепи покрытий называются сейчас измельчающимися последовательностями.— Прим. ред. 4) Имея в виду так называемую большую теорему Стоуна, критерий Александрова — Урысона может быть, очевидно, сформулирован так: для того чтобы топологическое пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы оно было параком- пактом, допускающим счетную измельчающуюся систему открытых покрытий. Критерий Александрова — Урысона, важный и богатый в идейном отношении, послужил основой многих усовершенствований (А. X. Стоун, А. В. Архангельский, Ю. М. Смирнов, Р. Бинг).— А. В. Архангельский. 5) Trans. Агаег. Math. Soc, 1917, 18, с. 161. Неотрицательная симметрическая вещественная функция р: Е X Е -+- В называется отклонением, если р (х, у) = О тогда и только тогда, когда х = у. Отклонение р регулярно, если существует неотрицательная вещественная функция / (*), определенная при t ^ О, стремящаяся к нулю при t ->- 0 и такая, что для любых трех точек х, у, z пространства, удовлетворяющих условиям р (я, у) ^ t, р (у, z) ^ t, всегда выполнено р (я, z) < / (t). Речь идет о следующей теореме Читтендена: Если в топологическом пространстве Е можно задать регулярное отклонение р, определяющее топологию этого пространства в том смысле, что х £ [А] эквивалентно условию р (х, А) = 0 для любых х £ Е, А s Е, то пространство метризуемо.— Прим. ред.
5 О МНОЖЕСТВАХ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ^-МНОЖЕСТВАМ*) 1. Цель настоящей заметки — дать позитивное определение множеств, дополнительных Л-множествам, и применить его затем к доказательству топологической инвариантности этих множеств. Мы предполагаем все множества, с которыми будем иметь дело, лежащими в некотором компактном метрическом пространстве **), стало быть, в частности, в ограниченной части евклидова пространства конечного числа измерений. Рассуждения, которые сейчас последуют, допускают, впрочем, непосредственное обобщение на случай неограниченного подмножества евклидова пространства или на случай нульмерного пространства Р. Бэра. В этих условиях мы можем принять любое из двух следующих эквивалентных между собой определений I, II Л-множеств. Множество точек Е называется А-м ножеством, если для него существует по меньшей мере одна такая определяющая сие те м a S (Eiit ..-ik), где к, ij, . . ., ik пробегают независимо целые положительные значения, что 1° множество Е есть сумма всех множеств -^ij» -^М,» • • • » ^iii2. . .i^> • • • » 2° множества E; t ...f все замкнуты (определение I) или все открыты (определение II). По поводу теории А -множеств см. заметки М. Сусли- на ([2]) и Н. Н. Лузина ([3]), мемуар Лузина и Серпин- ского ([4]) и последующие публикации этих авторов. Следует заметить, что первое доказательство того, что *) Опубликовано в Fundam, math., 1924, 5, с. 160—165, под заголовком «Sur les ensembles complementaires aux ensembles (A)». Перевод с французского В. Л. Илюшина. **) Хаусдорф [1], гл. VII и VIII.
54 5. О МНОЖЕСТВАХ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ А-МНОЖЕСТВАМ каждое множество, измеримое по Борелю, есть множество, измеримое (А), содержится в моей заметке о мощности множеств, измеримых по Борелю ([5]), где была дана для частного случая 5-множеств операция, позднее названная М. Суслиным Л-операцией. 2. Нам понадобятся в дальнейшем следующие понятия. Напомним, что точками нульмерного пространства Бэра Е0 являются произвольные последовательности целых положительных чисел х = (ixi% . . . ik . . .). Элементарные области пространства Е0 (аналогичные, например, прямолинейным интервалам в евклидовом пространстве размерности 1) задаются интервалами [^г2 . . . ik]. Мы понимаем под этим множество всех точек х = (1г1г . . . • • • hrk+i . . . rfe+z . . .), т. е. всех последовательностей, начинающихся с фиксированных целых чисел i^ . . . г&. Число к называется рангом интервала [г^ • • • Ы- Назовем цепью всякую последовательность интервалов U^ . . . ik], построенную по определенному правилу. Наиболее важными для нас будут: (а) а-ц е п и, интервалы [гхг2 ... ik] которых сходятся к одной-единственной точке пространства Е0; они, стало быть, суть цепи вида U'J, U^h • • ., lhi2 - - •, ikh - • •; (?) (т)-цепи, интервалы иг12 . . . ik] которых покрывают все пространство Е0. Мы будем рассматривать также цепи системы S (Etii ...f ) множеств, обозначая таким образом последовательности множеств Et i -.-ik, У которых кортежи индексов (^ . . . ik), рассматриваемые как интервалы [1^2 ... ik] пространства Е0, образуют соответствующую цепь. Мы рассматриваем, в частности, (а)- и (у)-ц е п и системы S (Etli2...ih). Назовем, наконец, ядром цепи пересечение *) всех множеств Et t ..•*., входящих в рассматриваемую цепь; назовем соответственно (а)-я д р о м и (у)-я д р о м *) Можно было бы определить ядро цепи и другими способами. Так, например, можно было бы взять верхний или нижний топологический пределы ([1]) множеств, образующих цепь. Мы приходим на этом пути к такому новому определению Л-множеств (линейных для простоты): Л-множество есть такое множество Е, для которого можно образовать систему S (rt t ... ih), где гг- г-о . . . ik — точки с рациональной абсциссой, и Е — множество всех точек х — lim rt i . . . ib (соответствующих сходящимся последовательное 1 *
5. О МНОЖЕСТВАХ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ А-МНОЖЕСТВАМ 55 системы S (Et t ...*я) множество точек, образованное всеми ((a)- или (у)-)ядрами системы S (Я^у..^). Мы можем теперь переформулировать определения I и II Л-множеств следующим образом: они суть (а)-ядра систем S (Et i ...ik) замкнутых (определение I) или открытых (определение II) множеств Е( t ...^. Основным результатом данной работы является следующая Теорема I. Множества, дополнительные А-множествам, суть (у)-ядра систем S (Et t ...j.), образованных замкнутыми (определение I) или открытыми (определение II) множествами Et t ...t . Иначе говоря, Для того чтобы множество Е было дополнительным некоторому А-множеству, необходимо и достаточно, что- бы было возможным построить систему S (Et t ...*,), образованную замкнутыми (определение I) или открытыми (определение II) множествами Et . ...г- и такую, чтобыЕ было в точности (уУядром системы S (Et t -••(,)• Для того чтобы получить форму I, надо взять А -множество, дополнительное Е, определенному по форме II, и наоборот. Необходимость. Пусть X — ^-множество, а У — его дополнение. Нам будет проще получить для Y систему S (Giii2 ...ik), образованную открытыми множествами. С этой целью мы возьмем для. X систему S(Fi^.. ,i ), образованную замкнутыми множествами, для которой X является (а)-ядром. Мы можем, очевидно, предполагать, что *м,. . .ik. =2 Рчч.. .ikik+1 *)• Положим Gilif.. .ifc = ностям в арифметическом смысле). Мы можем, кроме того, предполагать, что 0 < г^2 . . ,t — rt i ... tk < 1/А. Это определение эквивалентно, очевидно, обычному определению. *) В самом деле, если это не так, то возьмем вместо Fi i Л множества &. . { =F{ f) F{ { f] ..'. П F* * * Обе системы 12 * * я 1 12 12* * • я* ^г г ... г ) и $ № i г ... ? ) 1,меЮ1\ ОЧеВИДНО, ОДНО II ТО Жв (а)-ядро, и в то же время
56 5. О МНОЖЕСТВАХ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ А-МНОЖЕСТВАМ = E\Filit...ih, где Е — все пространство. Множества ^М*...*ь открыты. Обозначим через U (у)-ядро системы S {Gui2.. лк) и докажем, что Y = U. Пусть х £ У — какая-нибудь точка множества У. Предположим противное, т. е. что существует такая точка (1) &,=(*?*2-..*2 -..) пространства Бэра Е0, что где суммирование распространяется на все интервалы Ul 12 • • • Ifc Ь удовлетворяющие условию G.(JC).(JC) ,(JC) Э 3J- г1 г2 ' ' 'гк Тогда ни один из интервалов [г^Ч™ . . . 40)], определенных равенством (1), не является интервалом li[x) i{2Xi . . . . . . ihX)]. Стало быть, о? tf С(о).(0) .<о>, каково бы ни было г, что означает # £ 2?,<о>.«» ,<о> для любого г, следо- вательно, х £ X, вопреки нашему предположению, что х £ У. Мы доказали, таким образом, что Уд[/. Предположим теперь, что существует точка х £ £/, принадлежащая множеству X. Это означало бы существование последовательности ^м(0)' ^*(0Ь(0), ..-, ^,(0>.(0) .(О)..., для которой Следовательно, fe=l f 2 fc=i ' и точка £ /,-(0)т-С0) ;<0> \ не покрыта никаким интервалом [i^ffi ... ikX)], вопреки тому, что x£U. Итак, U ^ У и, следовательно, С/ = У. Наше условие является, таким образом, необходимым.
5. О МНОЖЕСТВАХ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ А-МНОЖЕСТВАМ 57 Достаточность. Пусть U является (у)-ядром системы S (Giii2...ik) и пусть Fi{i2...ik = E\Giii2...ik; пусть, кроме того, множество X является (а)-ядром системы S (Ftii ...^), а У — его дополнением. Повторяя рассуждения, которые мы только что проводили, убеждаемся, что Y есть в точности (7)-ядро системы S (Gt t ...j.), стало быть, Y = U и U есть дополнение к А -множеству, что и требовалось доказать. Заметим еще, что сказанное выше остается без изменений, если мы пожелаем усилить определение (у)-цепи, требуя дополнительно, чтобы соответствующие интервалы не имели попарно общих точек. Проверка проводится совсем элементарными рассуждениями, приводить которые здесь мы не считаем нужным. 3. Отметим, наконец, такое фундаментальное следствие доказанной теоремы. Теорема 2. Множество, гомеоморфное дополнению к А-множеству, само есть дополнение к А-множеству. Доказывается этот факт прямым приложением весьма общего метода, примененного Серпинским [6] к доказательству аналогичной теоремы о В-множествах. В самом деле, в силу теоремы 1 каждое множество, дополнительное А -множеству, задается функцией Г (Gj, G2, . . ., бп, . . .)> где в качестве Gn подставлены подходящие открытые множества и которая дает лишь множества той же природы. Более того, функция Г такова, что всякая точка, которая принадлежит множеству Е = Г (G1? G2, . . ., Gn, . . .), принадлежит бесконечному числу множеств Gn. Это — единственные свойства, использованные в доказательстве Серпинского; оно прилагается без какой бы то ни было модификации, кроме простой смены обозначений; мы считаем возможным не воспроизводить здесь рассуждение Серпинского, отсылая к его уже цитированной заметке [6] *). *) О применении метода Серпинского к интересующей нас проблеме см. мою статью [7].
58 5. О МНОЖЕСТВАХ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ А-МНОЖЕСТВАМ 4. Заметим, заканчивая, что мы владеем теперь двумя методами построения множеств, классы которых уходят в бесконечность: А -операцией и операцией, которую мы обозначим как операцию (Г): она состоит в построении (у)-ядра какой-либо системы S (Et t ---ik)- Одно первое применение какой-либо из этих операций дает уже все множества, измеримые по Борелю; бесконечные применения дают классы все более и более сложных множеств *). Все эти классы топологически инвариантны: в этом убеждаются всегда одним и тем же методом. Мы видим, наконец, что получаемые таким образом множества суть в точности множества, получаемые путем бесконечного комбинирования Л-операции с операцией вычитания **). ЛИТЕРАТУРА [1] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств.— М.: ОНТИ, 1937. [2] Souslin М. Sur une definition des ensembles mesurable (B) sans nombres transfinis.— C.r. Acad. sci. Paris, 1917, 164, с 88—90. [3] Lusin N. N. Sur la classification de M. Baire.— C.r. Acad. sci. Paris, 1917, 164, с 91—93. [4] Lusin N. TV., Sierpinski W. Sur quelques proprietes des ensembles (A).— C.r. Acad. sci. Cracovie, (A), 1918, с 35—48. [5] Alexandroff P. Sur le puissance des ensemble (B).— C.r. Acad. sci. Paris, 1916, 162, с 323—325. Русский перевод: наст, кн., с. 35-39. [6] Sierpinski W. Sur les ensembles mesurable (В).— C.r. Acad. sci. Paris, 1920, 171, с 24-27. [7] Alexandroff P. Sur l'invariance topologique des ensembles com- plementaires aux ensembles (А).— Матем. сб., 1924, 31, с. 310— 318. Комментарий А. Н. Колмогорова см. на с. 173—174. *) Ни один из этих классов не пуст, как доказал А. Н. Колмогоров. **) Проблему изучения множеств, полученных путем комбинации этих двух последних операций, поставил Н. Н. Лузин в своем курсе в Московском университете.
б ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПОНЯТИЙ ИНТЕГРАЛА ПЕРРОНА И ДАНЖУА *) 1. Под интегрируемой в смысле Перрона функцией понимается, как известно, измеримая, почти всюду конечная функция / (х), для которой справедлива следующая конструкция: Возьмем отрезок а ^ х ^ Ъ и рассмотрим на нем все непрерывные функции ф (х), соответственно г|) (х), обладающие следующими свойствами: Щ(х)ф + оо, Щ(х) ф -оо, <р (а) = t|> (а) =■ О, где D<p(x) = \^(*(*+h)-V(x\ Dy<jx) = lim*{x + h)-*{x) w х —точка отрезка a^x^ib. Если lim if» (#) = lim ф (л:) = F (х), то мы говорим, что F (х) есть неопределенный интеграл Перрона функции f (#), a F (Ъ) есть тогда определенный интеграл Перрона \ / (х) dx. щ1 Ясно, что 1. F (х) — непрерывная функция на всем отрезке а ^ # ^ Ъ с начальным значением F (а) = 0. *) Опубликовано в Math. Z., 1924, 20, с. 213—217, иод заголовком «Ober die Aquivalenz des Perronschen und Dcnjoyschen Integral- begriffes». Перевод с немецкого В. И. Пономарева. Об интеграле Перрона см. [1]—[3], об интеграле Данжуа см. [4] и [5].
60 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА 2. Разности сг (х) = ij) (я) — F (х) и р (я) = F (х) — — Ф (х) на всем отрезке а ^ х ^ й — неубывающие непрерывные функции и сг (а) — р (а) = 0. Кроме того, известно, что непрерывная функция F (х) с начальным значением F (а) = 0 является неопределенным интегралом Перрона для функции / (х) тогда и только тогда, когда для каждого положительного числа е найдутся непрерывные функции яр (х) и ф (х), удовлетворяющие паре условий (I), для которых еще выполнены следующие дополнительные условия: (П) 0 < Ц (х) - F (х)< е, 0 < F (х) — ф (х)< е. Функции г|) (х) и ф (я), удовлетворяющие условию (II), как известно, называются е-присоединенными верхними, соответственно нижними функциями для F (х) *). До сих пор было доказано следующее: 1. Ограниченная функция интегрируема в смысле Перрона тогда и только тогда, когда она измерима, а следовательно, интегрируема в смысле Лебега. 2. Функция, интегрируемая в смысле Данжуа, всегда интегрируема и в смысле Перрона. Последнее предложение опубликовано Хаке в 1921 г. в [3]; не зная этой работы, я пришел к тому же самому предложению совсем другим и, как мне кажется, более коротким, путем. В предлагаемой работе я приведу коротко схему этого доказательства и, кроме того, докажу обращение этого предложения, которое, насколько я знаю, никем не было опубликовано. Я только что узнал, что тот же результат получил одновременно Ломан в Утрехте, но он еще не опубликован; оба доказательства получены, таким образом, одновременно и независимо друг от друга. 2. Таким образом, речь идет о следующей теореме: Понятия интеграла в смысле Перрона и в смысле Данжуа полностью эквивалентны. Поскольку, как известно, каждая функция, интегрируемая в смысле Лебега, интегрируема и в смысле Перрона **), то надо лишь доказать следующее: *) Это все имеется у Бауэра ([2]). **) Этот факт доказывается очень просто, например, у Балле Пуссена.
6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА 61 a) Предположение. Пусть функция f (х) дом отрезке а < а <С р» < Ъ интегрируема в смысле Перрона и пусть существует, кроме того,, предел /а, 6 = lim \ f(t)dt. 0-Ь а Утверждение. Тогда функция f (х) интегрируема в смысле Перрона во всем отрезке а ^ х ^ Ь и X F(x) = lim\f(t)dt, F(b) = Ja,b, а-*а J а есть неопределенный интеграл Перрона, Предварительное замечание. Пусть П — любое совершенное нигде не плотное множество, а — нижняя, р — верхняя грань П, ап < х < Ьп — смежные интервалы к П; пусть %п (х) — функция, определенная на интервале (ап, Ьп) и обращающаяся в нуль в точке ап, оо такая,* что ряд 2 I Хп (Ьп) I сходится; пусть выражение 71=1 2*х„(ь»)+еы*) п=1 обозначает функцию, значение которой в точке х, принадлежащей множеству П, равно сумме %п (Ьп) по всем (ап* Ьп), Ъп ^ х, а в точке х из интервала (ak, bk) равно той же сумме плюс %k (х). b) Предположение 1. Пусть функция f (х) интегрируема в смысле Перрона в каждом смежном интервале к П. оо 2. Пусть ряд 2j ®п сходится, где 71=1 <юп= lim | f f(t)dt\ осп u K, Pn) — любые интервалы, удовлетворяющие условию ап^ап < рп < Ьп. 3. Пусть функция /о (х) = / (*), если я 6 П, /о (ж) = О» *С</Ш # (J П,
62 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЁРРО?ТА И ДАНЖУА интегрируема в смысле Лебега: X jf0(t)dt = F0(x). а Утверждение. Тогда функция / (х) интегрируема в смысле Перрона на всем отрезке а ^ х ^ 6, и неопределенный интеграл равен непрерывной функции оо 'Ъп х F(x) = F0(x) + У." J f(t)dt + Q j f{t)dt. Мы доказываем, прежде всего, высказывание а). Действительно, без ограничения общности мы можем считать, что / (х) интегрируема в смысле Перрона в каж- Р дом отрезке а ^С # ^ (5, Р<6, и Ja ъ = lim I / (t) dt. a Мы возьмем теперь точки Ь0 = а, Ьх, Ь2, . . ., Ьп, . . . -v Ь таким образом, чтобы колебание функции F (х) на интервале (Ьп, Ъ) (п ^ 1) было меньше -^ . Пусть теперь г|?п (х) — непрерывная функция, определенная на отрезке Ъп ^ х ^ Ьп+1 и удовлетворяющая соотношениям |яМ*)^(*)-^(М)1<-£ во всех точках х, Ъп ^.х ^ Ъп+1 (в силу нашего предположения такая функция существует). Функция _ п-1 *(*)= S Фт^т+О + ФЛ*). Ьп<«<Ьп+1. т=0 теперь определена и непрерывна на полуинтервале a ^ ^.x<Cb; она стремится, кроме того, к определенному значению С, если х устремить к 6, и притом О < С - F (Ь)< Зе. Мы положим, наконец, г|) (Ь) = С. Пусть теперь х (х) ^ 0 — непрерывная неубывающая функция, не превышающая значения 8 на интервале (а, 6),
6, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА 63 для которой х (а) =_0, х' (Ь) = +оо, и пусть со (х) — колебание функции \р (х) на интервале (х, Ь). Определим функцию y\)(x) = yi(x)-^^(x), если а^.х^Ь{1 ty(x) = 7i(x)-\-ty(x)-\-u>(bi) — со (ж), если Ь{^х^Ь. Тогда ясно, что г|) (х) является 5е-присоединенной функцией к функции F (я), что и требовалось сделать. Можно совершенно аналогично построить ф (х) и тем самым полностью доказать высказывание а). Теперь доказываем высказывание Ь). Относящаяся сюда функция оо Ь?г х F(x) = F0(x) + 2Х j f(t)dt + B j f(t)dt непрерывна для всех x, a ^ x ^ b, и равна нулю в а. Чтобы доказать предложение Ь), достаточно для любого положительного е построить е-присоединенную верхнюю, соответственно нижнюю функцию для функции F (х). Мы поступим следующим образом. Пусть N — такое большое положительное число, что оо 2 <oN+p<e. p=i Построим на каждом отрезке ап^#^ Ьп ^--присоединенные верхние функции tyn{x), tyn(an) = 0, к функциям F (х) — F (ап). Пусть Qn (х) — колебание г|)п (х) на интервале (ап, х), х ^ 6„. Так как, очевидно, соп равно колебанию функции F (х) на интервале (ап, Ьп), то 0<Оп(Ья)<©в + ^г, оо и поэтому сходится ряд 2 £2п (&п) (и тем более сходится 71=1 оо Ряд 2 Qn(z), ап<л:<Ьп). п=1 Выбираем теперь е-присоединенную к функции F0 (х) верхнюю функцию i|)0 (х) на всем отрезке a z^. х ^. b и
64 6* ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА определим, наконец, N Ф (*) = ^о (х) + 2* г|)п (х) + 6'фл (ж) + <Х) + 2* {^N+p ( Vbp) + 1Ы-р (&JV+p)} + 9 {Qtf+ft (X) + ^N+k (*)}, р=1 где 0' для h ^. N играет в точности ту же роль, что 0 для к > 0. Проводя простые выкладки, мы убеждаемся в том, что \|э (х) является 5е-присоединенной верхней функцией к F (х) на всем отрезке а ^ х ^ Ъ. Из этих результатов и первоначального определения Данжуа получаем, что каждая функция, интегрируемая в смысле Данжуа, интегрируема и в смысле Перрона. 3. Мы доказываем теперь со всей обстоятельностью обратное предложение: Каждая функция, интегрируемая в смысле Перрона, интегрируема и в смысле Данжуа. Мы опираемся при этом доказательстве на следующие известные, доказанные Лузиным ([6], [7]) и Данжуа ([8]) результаты. Предварительное замечание. Мы скажем, что вариация непрерывной функции F (х) на совершенном, нигде не плотном множестве П вполне определена, со если ^J^n Для этого множества сходится (wn означает, п=1 как обычно, колебание функции F (х) на смежном интервале (ап, Ьп)). В этом случае, если аир — нижняя, соответственно верхняя грань П, мы говорим, что эта вариация есть VnF = F®)-F(*)- | (F(bn)-F(an)). 71=1 Тогда доказано следующее ([6] — [8]) Предположение. 1. Пусть задано совершенное нигде не плотное множество Р на отрезке [а, 6]. Существует кусок П этого множества *), на котором непрерывная *) Под куском множества Р мы понимаем совокупность всех точек из Р, для которых справедливо неравенство а < х < р, где а, Р — две точки, не принадлежащие множеству Р. Кусок совершенного множества — также совершенное множество.
6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА 65 на отрезке [а, Ь] функция F (х) имеет вполне определенную вариацию. 2. Если совершенное множество П, на котором вариация вполне определена, имеет меру нуль, то Vn F = 0. Утверждение. 1. F (х) почти в каждой точке х1 а^ х ^ Ъ, имеет производную, равную f (х); 2. F (х) есть неопределенный интеграл Данжуа для / (я). Нам остается, таким образом, доказать a) оба факта 1 и 2 для неопределенного интеграла X Перрона F (х) = I / (t) dt и а b) равенство F' (х) = / (х) почти всюду. В связи с этим мы упомянем еще следующую теорему Данжуа ([9]): Если во всякой точке совершенного нигде не плотного множества Р имеет место Z)i|) (х) = — оо, соответственно D ф(я) = +оо, то имеется кусок П множества Р, для всех смежных интервалов которого справедливо неравенство гЬ (х) — \Ь (ап) ^ л ф(я) — Ф («п) ^\ -2-"—rv ; > — к*, соответственно -*-*-^—^v п/ < Х2 х — ап " и х — ап ^ 2 (я — любая точка, ап < х ^ Ьп, а Я,х и А,2 — положительные константы). Вследствие характеристических свойств присоединенных функций г|) (#) и ф (л;) можно, как бы ни были выбраны совершенное нигде не плотное множество Р и обе присоединенные верхняя и нижняя функции г|) (х) и ф (х), найти такие кусок П и положительную константу А,, что имеют место неравенства ур(х) — \р(ап) ^ Ф(*)--ф(<*п) <?1 одновременно для всех интервалов (an, Ьп), смежных к П.
66 6, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАЙ&УА Теперь заметим, что обе функции р (х) = F (х) — ф (х)9 а (х) = ф (ж) — F (х) в точке а обращаются в нуль и, кроме того, на всем интервале (а, Ь) не убывают, а следовательно, неотрицательны. Поэтому имеем F(x)--F (an) = (ф (ж) - ф (ап)) - (а (х) - а (ап)) > > — К (х — ап) — (а (х) — а (ап)) > > —^ (6П — ап) — (а (6П) — а (ап)), F{x)-F (ап) = (Ф (а:) - Ф (ап)) + (р (а;) - р (ап)) < < Я (а: — ап) + р (ж) — р (ап) < < к (Ьп — ап) + р (Ьп) — р (ап); если мы обозначим через М = F (|3n), т = F (ап) максимум, соответственно минимум, а через соп — колебание функции F (х) на (ап, Ъп), то мы видим, что соп = М - т = F (рп) - F (ап) < < {F (Рп) - F (ап)} +{F (ап) - F (ап)} < < 2А. (6п - ап) + (р (Ьп) - р (ап) + а (6п) - а (ап)) и, следовательно, оо оо оо S «>п<2Ь S (&»-«») + S (P(bn)-P<<*»)) + п=1 п=1 п=1 + 2 (а(Ь„)-<т(ап))< П=1 <2ЦЬ-а) + (р(&)-р(а)) + (ог'(6)-<х(а)), оо что, очевидно, означает сходимость ряда 2юп, в кото- ром все члены положительны. Утверждение 1, таким образом, доказано. Для доказательства утверждения 2 предположим, что П — совершенное множество меры нуль, для которого 00 2 соп сходится и VjjF Ф 0. Достаточно предположить, п=1
б. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА 6? что VuF > 0. Я покажу, что в этом случае F (х) не является неопределенным интегралом Перрона функции / (х) на наименьшем отрезке а ^ х ^ Ь, содержащем П. Так как для каждой верхней функции г|) (х) разность а (#) = <ф (х) — F (х) не убывает и в точке а обращается в нуль, то достаточно, очевидно, построить г|э (х) таким образом, чтобы -ф (а) = F (а) = 0, но ^ (6) < F (6). Тем самым названное выше утверждение будет доказано. Мы поступим для этого следующим образом: 1 8 Пусть е < -j VuF и г|)п (х) — -^--присоединенная верхняя функция к функции F(x) — F(an) на интервале (an, Ьп). Мы обозначаем далее через йп (х) колебание функции фп (х) на интервале (ап, х), ап^х ^ Ьп, Qn (6n) = Qn. Так как оо то ряд 2 ^7i сходится. Значит, найдется такое iV, что п=1 00 2 Qjv+p<e- Так как, далее, совершенное множество П p=i имеет меру нуль, то легко построить непрерывную на [а, Ь] неубывающую функцию, которая в точке а обращается в нуль, в точке Ъ меньше е, а во всех точках множества П имеет производную, равную +оо *). Пусть х (х) — такая функция. Мы рассмотрим теперь функцию N г|) (х) = х (х) + 2* 4>п (Ъп) + 6г|>л (х) + 71=1 ОО + 2* {®n+p + Цм+р (bN+P)} + 6' {QN+k (х) + l|)N+fe (*)}, p=i где все обозначения имеют обычный смысл. Тотчас же убеждаемся, что я|) (х) — непрерывная на всем отрезке а < х < Ъ функция, обращающаяся в нуль в точке а. Мы исследуем теперь нижнюю производную функции "Ф (х). Пусть вначале х — точка, не принадлежащая множеству П, т. е. для некоторого к выполнено неравенство *) Такая конструкция имеется, например, у Бауэра ([2]).
68 «• ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА Oh < х < &ft. Тогда ясно, что f >/(« Пусть теперь # — точка множества П, которая отлична от всех точек ап и Ьп. Тогда ty (х + h) — ty (х) __ х (x-\~h) — x (х) h h + оо + Т 2j х \"n+p + V 1°л+рW + у j p=i для достаточно малых А *). Так как первый член суммы (при достаточно малом К) положителен и больше любого наперед заданного числа, а другой член неотрицателен, то во всех точках множества П производная г|/ (х) существует и равна +оо. Разбирая аналогичным образом случай х = ап (соответственно случай х = Ьп), получаем D$(x) > Щп(х). Таким образом, "ф (х) — присоединенная верхняя функция к функции F (х). Теперь мы достигаем желаемого противоречия, оценив значение i|> (Ь). Мы находим: N оо * (Ь)=х (Ъ) + 2 Уп Фп)+2 (qn+p+^N+p (w) =■ n=i p=i 00 оо = x(6)+ 2 (F(6„)-F(an))+ 2 {Ф (*«)-(*(&„)- 71=1 71=1 -*<«»))} + 2 ^iv+P<e + F(&)-Fn/'+ 2 ■£■ + «* = p=l Tl=l = F(b) + 3e-Fn/'<F(b), *) 2£+/l означает, что суммирование ведется только по тем р, для которых х ^ ajv+p < fyv+p ^ * + Л.
6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА 69 что невозможно, так как для верхней функции г|) (х) должно быть ф (Ь) > F (6). Теперь нам остается только показать, что почти всюду F' (х) существует и равняется / (х). Из упомянутой теоремы Лузина — Данжуа сразу следует первое утверждение. Мы должны теперь только доказать, что почти всюду F' (х) = / (х). Предположим противное, пусть существует множество Е положительной меры, во всех точках которого F' (х) — f (х) Ф 0. Мы обозначим через Ет (очевидно, измеримое) множество всех точек, для которых 1*'(*)-/(*)1>± Пусть п — наименьшее число, для которого соответствующее множество Еп имеет положительную меру fx (Еп) = = ц > 0. Мы возьмем теперь положительное число е < < j- и построим е-присоединенные верхнюю и нижню^о функции г|) (х) и ф (х): y(z)=F (х) + а (х), F(x) = q> (х) + р (х). Легко усматриваем, что любые множества А и В, на которых почти всюду существующие производные о' (х) 1 1 / и а' (х) больше у- , имеют меру <-о-ц*) (если бы это было не так, то, например, имели бы p^^y-ji (А)^ ^Т~>£> что противоречит предположению). Мера объединения A \j В, следовательно, меньше ц, и множество Е содержит поэтому подмножество С положительной меры, во всех точках которого производные функций р (х) и а (х) существуют и лежат между Оиг. Пусть теперь £ — произвольная точка множества С. Мы имеем, с одной стороны, V ® = F (1) + °' &XF' (D + ЪГ, *"(5)>*'(5)—БГ *) См. Данжуа ([9]),
70 6, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРРОНА И ДАНЖУА и, так как \|)' (£)>/(£), то С другой стороны, ^(6) = ф'(1) + р'(1)<ф'(1)+^-</(5)+-^-. Таким образом, ir(g)-/(g)i<i, так как Но это вступает в противоречие с определением множества Е, содержащего точку |. Таким образом, доказательство эквивалентности интегралов Перрона и Данжуа полностью завершено. Гёттинген, 14 июня 1923 г. ЛИТЕРАТУРА [1] Perron О. Ober den Integralbegriff.— Heidelberger Sitzungsbe- richte, Math.-nat. Kl. Abt., A, 1914, 14 Abh. [2] Bauer H. Der Perronsche Integrallbegriff und seine Beziehung zum Lebesgueschen.— Monatsh. Math. Phys., 1915, 26, с 153—198. [3] Hake H. Uber de la Vallee Poussins Ober- und Unterfunktionen eirifacher Integrale und die Integraldefinition von Perron.— Math. Ann., 1921, 83, с 119—142. [4] Denjoy A, Une extension de l'integrale de M. Lebesgue.— C.r. Acad. sci. Paris, 1912, 154, с 859—862. [5] Denjoy A. Calcul de la primitive de la fonction derivee la plus gene- rale.— C.r. Acad. sci. Paris, 1912, 154, с 1075—1078. [6] Луаин H. H. Интеграл и тригонометрический ряд.— М.; Л., 1951. [7] Lusin N. N. Sur les proprietes de l'integrale de M. Denjoy.— C.r. Acad. Sci. Paris, 1912, 155, с 1475—1477. [8] Denjoy A. Memoire sur la totalisation des nombres derives non summables.— Ann. Ёс. Norm. Sup., (3), 1916, 33, с 127—168. [9] Denjoy A. Memoire sur les nombres derives des fonctions continues,— J. math. put. appl. (7), 1915, 1, с 105—240.
7 О МНОЖЕСТВАХ ПЕРВОГО КЛАССА И АБСТРАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ *) Согласно Лебегу, множество F первого класса есть пересечение счетного числа открытых множеств. Эти множества (счетные пересечения открытых множеств) названы Хаусдорфом множествами 6?в; они играют фундаментальную роль в современном анализе. Так, всякое измеримое множество есть, с точностью до множества меры нуль, 6?в; всякое множество, измеримое В (и вообще, всякое Л-множество в смысле Суслина) есть ортогональная проекция некоторого G6 (плоского); множество точек непрерывности произвольной функции есть всегда 6?й; множество является дополнительным к множеству первой категории (на совершенном множестве) в том случае, если оно содержит некоторое G6, плотное на том же самом совершенном множестве, и только в том случае и т. д. Обо всех множествах, о которых будет идти речь, можно предполагать, что они расположены в евклидовом пространстве т измерений, или, в более общем случае, в полном метрическом пространстве, обладающем счетным всюду плотным множеством. Цель этой заметки — объяснить в этих условиях топологическую природу множеств G6, охарактеризовав их внутренним образом (т. е. не пользуясь оставшейся частью пространства), и сделать это двумя различными способами. Мы увидим, в частности, что множества G^ суть не что иное, как пространства, полные в себе; теорема Коти характеризует, следовательно, множества F первого класса таким же образом, как теорема Волъцано — Вейерштрас- *) Опубликовано в С. г. Acad. sci. Paris, 1924, 178, с. 185—187, под заголовком «Sur les ensembles de la premiere classe et les espaces abstraits». Перевод с французского В, Л, Кщошина,
72 7. О МНОЖЕСТВАХ ПЕРВОГО КЛАССА са выражает топологическую природу замкнутых ограниченных множеств (которые суть не что иное, как метрические пространства, компактные в себе). Я обозначу лишь основной ход рассуждений; полные доказательства (довольно сложные) появятся в другом месте. Теорема I. Для того чтобы множество точек, лежащее в полном сепарабелъном метрическом пространстве, было множеством[G^, необходимо и достаточно, чтобы оно было гомеоморфно полному пространству. Принимая во внимание теорему Урысона ([1]), можно выразить этот результат еще следующим образом: Для того чтобы сепарабельное метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было преобразовать {взаимно непрерывным образом) в множество1^ С?а, расположенное в компактном метрическом пространстве. Вспомогательные определения. 1°. Пусть Е — метрическое пространство или какое-либо множество, лежащее в таком пространстве. Подмножество G в Е будет называться областью в/?, если G не содержит никакой предельной точки множества Е \ G. 2°. Счетная система 2 областей Vx, V2, . . ., Vn, . . . в Е будет называться определяющей системой пространства (или множества) Е, если всякая область V есть сумма некоторой совокупности областей Vn. 3°. Определяющая система Vx, V2, . . ., Vn, . . . называется замкнутой, если, какова бы ни была последовательность областей V4l, Vi%, . . ., Vin этой системы, удовлетворяющая условию V\ ^ Vi , существуют точки, принадлежащие всем iVi ] (где [Vfft] есть замыкание Vih). 4°. Система я областей Е образует локально конечное покрытие, если, какова бы ни была точка £ £ Е, (a) эта точка содержится хотя бы в одной из областей системы я; (b) существует окрестность точки £, имеющая общие точки не более чем с конечным числом областей системы я. 5°. Определяющая система 2 называется нормальной, если из всякой определяющей системы 20, являющейся частью 2, можно извлечь локально конечное покрытие.
7. О МНОЖЕСТВАХ ПЕРВОГО КЛАССА 73 Это позволяет легко получить из теоремы I следующую теорему: Теорема П. Для того чтобы Е, которое есть сепарабелъное метрическое пространство, было полным, множество, лещащее в полном метрическом пространстве, было множеством Qb в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы можно было us всякой определяющей системы Е извлечь замкнутую определяющую систему. Наиболее трудным в доказательстве этой теоремы является доказательство достаточности условия для полных пространств (необходимость следует из теоремы Хаус- дорфа; [2], с. 318). Она может быть доказана с помощью следующей леммы: Лемма. Для всякого сепарабельного метрического пространства существует нормальная определяющая система. Опираясь на эту лемму, можно построить такую замкнутую определяющую систему S, что: 1°) области, образующие S, распадаются в последовательность д1? л2, ...,' яп, ... локально конечных покрытий; 2°) последовательность покрытий лп является полной регулярной цепью *). Или же можно, основываясь на системах лп, ввести новое расстояние между точками данного пространства, чтобы получить полное метрическое пространство **). Горки — Болшево, Лето 1922 г. ЛИТЕРАТУРА [1] Urysohn P. Les espaces (D) separables et l'espace Hilbertien.— C.r. Acad. Sci. Paris, 1924, 178, с 65—68. [2] Hausdorff F. Grundziige der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств.— М.: ОНТИ, 1937. *) См. заметку П. С. Александрова и П. С. Урысона ([3]). Русский перевод: наст, кн., с. 50—52. **) Определение этого расстояния более сложно, но основывается на той же основной идее, что и цитированная заметка. Доказательство того факта, что мы получаем таким образом полное пространство, основывается на замыкании определяющей системы S Ц на том, что яд являются локально конечными покрытиями,
74 7, О МНОЖЕСТВАХ ПЕРВОГО КЛАССА [3] Alexandroff P., Urysohn P. Une condition necessaire et suffisante pour q'une classe (L) soit une classe (D).— C.r. Acad. sci. Paris, 1923, 177, с 1274—1276. Русский перевод: наст. кн. с. 50—52, КОММЕНТАРИЙ Как известно, неполное метрическое пространство может быть гомеоморфно полному метрическому пространству (например, пространство иррациональных чисел гомеоморфно бэровскому пространству счетного веса). Основным результатом этой заметки является доказательство того, что сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно полному метрическому пространству тогда и только тогда, когда оно в некотором (а тогда и в любом) компактном (а впрочем, даже в полном) метрическом пространстве топологически содержится в качестве множества типа Gq. Эта теорема автоматически переносится на любые метрические (не только сепарабельные) пространства. Эта заметка П. С. Александрова оказала колоссальное влияние на развитие общей топологии. Так, ко всему прочему, в ней определяется понятие локально конечного покрытия, заново примененное (в 1944 г.) Дьедонне при выделении важнейшего в общей топологии и ее приложениях класса паракомпактных пространств. Следует заметить, что фактически в заметке П. С. Александрова доказывается (в современной терминологии) паракомпактность любого сепарабельного метрического пространства. Только в 1948 г. А. X. Стоуном была доказана паракомпактность любого, не обязательно сепарабельного, метрического пространства. В заметке П. С. Александрова дается также критерий гомеоморфности метрического пространства полному метрическому пространству в терминах существования баз определенного вида, что послужило в дальнейшем выделению этого свойства баз и выделению класса пространств, которые в настоящее время называются базисно компактными. С другой стороны (и это, пожалуй, самое главное), основная теорема этой заметки послужила основой для определения Э. Чехом так называемой полноты в смысле Чеха: тихоновское пространство полно в смысле Чеха, если оно является множеством типа G^ в некотором (а тогда и во всяком) своем хаусдорфовом бикомпактном расширении. Для метризуемых пространств это дает новый критерий гомеоморфности полным метрическим пространствам^ 3. Фролик и А. В. Архангельский дали внутренний критерий полноты в смысле Чеха. 3. Фролик >охарактеризовал полные в смысле Чеха параком- пакты как совершенные прообразы'полных метрических пространств. Наконец, А. В. Архангельский, основываясь на понятии полноты в смысле Чеха, определил р-пространства и доказал, что параком- пактные р-пространства — это в точности совершенные прообразы метрических пространств. Все это послужило канвой для многочисленных исследований в направлениях, которые с полным основанием можно считать магистральными во всей общей топологии. В* И* Пономарев
8 К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ •) Под топологическим пространством 5R понимается множество Е (абстрактно заданное), в котором выделены подмножества, окрестности всех точек, таким образом, что выполняются известные четыре аксиомы окрестностей **) Хаусдорфа. Топологическое пространство может определяться посредством различных систем окрестностей, но тогда эти системы окрестностей должны быть эквивалентными ***). Обратно, при нашем подходе, эквивалентные системы окрестностей определяют одно и то же топологическое пространство. Эта точка зрения представляется нам методологически в высшей степени важной, но мы не можем здесь подробнее на этом остановиться — мы хотим здесь только дать краткий обзор основных результатов наших исследований в общей топологии. За подробными доказательствами и примерами мы отсылаем читателя к нашему мемуару [2] о компактных топологических пространствах. 1. Среди всех топологических пространств компактные пространства ****), как известно, играют особенно важную роль. Назвав всякую точку £ пространства 9?, удовлетворяющую равенству *****) Ц7(5)ПЯ»1 = 1Я1 |, *) Совместно с П. С. Урысоном. Опубликовано в Math. Ann., 1924, 92, с. 258—266, под заголовком «Zur Theorie der topolo- gischen Raume». Перевод с немецкого В. И. Пономарева. **) См. [1]. ***) [1], с. 260. ****) [1], с. 230. Компактное пространство, разумеется, всегда компактно в себе. *****) Мы обозначаем через U{%) произвольную окрестность точки I в пространстве 9R, через А [\ В (соответственно П Ап) ~ пересечение множеств Л, В (соответственно Ап); через А [} В (соответственно [} Ап) — объединение (не обязательно дизъюнктных) множеств Л, В (соответственно Ап)\ мощность множества 5Ю будет обозначаться через | Ш |.
76 8. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ точкой полного накопления множества Ж, лежащего в 9?, очевидно, имеем следующую теорему. Теорема 10. Для того чтобы топологическое пространство 9J било компактным, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено одно из следующих трех условий (а тогда и все три): А0. Каждое счетное множество ЯП, лежащее в пространстве 9?, имеет точку полного накопления, В0. Каждая убывающая счетная последовательность в 91 замкнутых непустых множеств имеет непустое пересечение. С0. Если пространство 5R представлено в виде объединения счетного множества открытых множеств, то оно содержится в объединении конечного числа этих открытых множеств. Теперь остается доказать следующее предложение: Теорема I. Следующие три свойства А, В, С эквивалентны друг другу (т. е. каждое топологическое пространство 9ft, обладающее одним из этих свойств, обладает также и двумя другими): A. Каждое бесконечное множество Ш, лежащее в пространстве 9?, имеет точку полного накопления. B. Каждое вполне упорядоченное убывающее множество *) замкнутых непустых множеств г) имеет непустое пересечение. C. Если пространство 91 представлено в виде объединения системы (любой мощности) своих открытых множеств, то оно содержится в объединении конечного числа открытых множеств этой системы **). Эквивалентность условий В и С доказывается без особого труда посредством формального рассмотрения пересечений, объединений и дополнений. Заменив значком =ф- слово «следует», докажем прежде всего, что С =^ А. Предположим противное, пусть существует бесконечное множество 9JI и некоторая окрестность U0 (х) каждой точки х пространства 9? такие, что \тпи0(х)\<\т\. *) Это множество в дальнейшем будет обозначаться через ©. **) В различных других предположениях (не в топологических пространствах) аналогичная теорема доказывалась Муром ([3]), Фреше ([4]), Серпинским ([5]) и другими,
8. К ТЕОРИЙ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 77 Тогда мы мгновенно достигаем противоречия: все пространство согласно свойству С содержится в объединении конечного числа открытых множеств U0 (х), а множество Ш представляется как объединение конечного числа множеств U0 {х) П 9ft» каждое из которых имеет мощность, меньшую мощности ЭД}, что, очевидно, невозможно. Если мы обозначим через А , соответственно через В' свойства, которые возникают из высказываний А, соответственно В путем их ограничения на мощность множества 9Л, соответственно @, регулярными мощностями *), то сразу получается В'=^В. Поэтому теорема будет доказана, если будет установлена справедливость формул В'=^ А'; А' ^ В'. Предположим противное, пусть А' не имеет места и Ш — множество регулярной мощности хх, которое упорядочено по типу **) ох; если ха, а = 1, 2, ... . , . < (ot,- все без исключения точки из Ш и Шх — множество всех точек. ха, а^.Х<. сох, то оказывается, что вполне упорядоченное (а именно, по регулярному порядковому типу (от) убывающее множество @ замкнутых множеств Fx = Ш \ М J имеет пустое пересечение, что противоречит свойству В'. Если теперь, наоборот, в пространстве Ш не выполнено свойство В', то тогда имеется вполне упорядоченное убывающее множество @ замкнутых множеств F1=d F2=> . . . => Fn-=> . . . => Fa => ... (a < (ot) с пустым пересечением. Очевидно, можно предположить, что, кроме того, Fa Ф Fa+V Тогда выбираем для каждого а точку ха 6 Fa \ Fa+1 и доказываем без всякого тРУДа, что множество всех выбранных точек ха не имеет точек полного накопления. Из только что намеченного доказательства, кроме того, следует, что все три свойства А, В, С вытекают *) [1], с. 130; **£ называется регулярным, если со* — регулярное порядковое число. **) [1], с. 125.
78 [8. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСУГРАНСТЁ из каждого свойства А', В' и аналогично образованного свойства С. Сама собой напрашивается мысль, что пространства, в которых эти свойства выполнены, заслуживают особого внимания и специального названия; мы назовем их б и к о м п а к т ными пространствам и.^м 2. Теорему 10 можно следующим образом обобщить, а именно, можно доказать эквивалентность свойств Ат, Вш, Сщ, которые возникают из свойств А0, В0, С0, если заменить слово «счетное» словами «мощности ш» 2). Естественно пространства с этими свойствами назвать инициально компактными пространствами вплоть до мощности Ш. Обычные компактные пространства являются, таким образом, весьма частным случаем. Можно также определить «финальную компактность», начиная с мощности п. Это совершается посредством следующих теорем об эквивалентности: Имеет место \/ где An и Вп получаются из А' и В', если в содержащихся в них высказываниях о множествах 9Л и @ ограничиться регулярными мощностями > п, а Сп образуется следующим образом: Сп. Если пространство 9R содержится в объединении множества регулярной мощности > п открытых множеств, то оно уже содержится в объединении множества мощности < п этих открытых множеств. Таким образом, мы видим, что бикомпактные прост\ ранства одновременно инициально и финально компактны, а именно, для любого кардинального числа, не превышающего мощности всех точек пространства. Примеры. 1. Каждое компактное метрическое пространство бикомпактно *). 2. Каждое упорядоченное мно- *) [1], с. 272—274. Утверждение следует из теорем VI и X Хаус- дорфа.
8. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 79 жество можно рассматривать как топологическое пространство, если в качестве U (£) для каждой точки £ взять множества JXt у, где /х> у — совокупность всех точек, лежащих между жиу, #<£<#. В этом смысле упорядоченное множество, рассматриваемое как пространство, бикомпактно тогда и только тогда, когда оно не имеет щелей и содержит как первый, так и последний элемент. В частности, вполне упорядоченное множество всех порядковых чисел < (ot инициально компактно вплоть до мощности нх, а множество всех чисел <cot бикомпактно. 8. Бикомпактные пространства являются предметом довЬльно законченной теории, основные моменты которой мы *излагаем в нескольких коротких статьях. Здесь мы рассмотрим вопрос о месте бикомпактных пространств среди всех топологических пространств. Вначале мы определяем: [Топологическое пространство Ш называется абсолютно замкнутым 3), если оно замкнуто в каждом объемлющем пространстве 9t.J Можно также сказать: топологическое пространство 3J абсолютно замкнуто тогда и только тогда, когда невозможно присоединить к нему новую точку | таким образом, чтобы так образованное множество 9ft U {£} = SR 1) являлось топологическим пространством, в котором £ — неизолированная точка; 2) содержало первоначальное пространство в качестве подпространства. Имеет место следующая Теорема П. Для того чтобы пространство 9R было абсолютно замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы из каждой системы открытых в нем множеств, покрывающей все пространство 3t, можно было так выделить конечное число, чтобы замыкания выделенных множеств заполняли все пространство *). Условие необходимо. Предположим противное, пусть существует такая система у открытых множеств, что для каждого конечного набора *) Сравните эту теорему со свойством С бикомпактных пространств, j г j F
gO 8. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ этих открытых множеств имеет место соотношение G = Ш \ ([GJ U [G%] U ... U IGJ) ^ Л; тем самым G — непустые открытые множества. Если мы теперь в новой точке £ зададим окрестности U (£)= {|}U G, то мы получим новое пространство 9ft = 8? U {£}, в котором 9ft — незамкнутое подмножество; следовательно, 9R — неабсолютно замкнутое пространство. Условие также достаточно. Предположим, что это условие выполнено и в то же время присоединение одной точки возможно. Рассмотрев 91 = 9ft U Ш» мы Для каждой точки я £ 9i выберем такую окрестность U0 (х), чтобы £ $ [UQ (х)] в пространстве 3t. По нашему предположению имеется конечное множество выбранных окрестностей f/j, для которых и=делили... и № п Открытое в 9i множество SRxMl^] содержит только одну-единственную точку £, которая, таким образом, изолирована в SR, что и требовалось доказать. Теперь легко доказать следующую теорему: Теорема III. Пусть Ш —• произвольное бесконечное подмножество абсолютно замкнутого пространства SR; тогда существует такая точка |, что \ [U (£)] П Ш | = = | ЗЛ |, где U (§) —любая окрестность точки £. Этими теоремами достаточно четко устанавливается аналогия между абсолютно замкнутыми и бикомпактными пространствами. Можно даже сказать, что абсолютно замкнутые пространства «почти бикомпактн ы». Имеются, однако, абсолютно замкнутые пространства, которые даже некомпактны. 4. Чтобы выделить из абсолютно замкнутых пространств бикомпактные пространства, мы вводим следующие понятия: 1. Точка £ называется точкой регулярности пространства 81, если для каждой окрестности U (£) существует такая окрестность V (£), что [V (£)] с: <= и (1). 2. Топологическое пространство, состоящее только из регулярных точек, называется регулярным.
8, К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 81 Мгновенно доказывается, что^ для регулярности пространства 9t необходимо и достаточно, чтобы любая точка £ отделялась от не содержащего ее замкнутого множества F непересекающимися открытыми множествами U и G, так что Теперь напрашивается мысль усилить последнее свойство следующим образом: 3. Пространство называется нормальным, если для каждых двух непересекающихся замкнутых множеств F1 и F2 существуют такие непересекающиеся открытые множества Gt и G2, что Fx cz Gx и F2 cz G2 (легко доказывается, что в нормальных пространствах можно так выбрать Gx и G2, что [Gx] f) Ю2) = А) *). Нормальное топологическое пространство автоматически регулярно. Теперь получается Теорема IV. Каждое бикомпактное пространство нормально **). Теорема доказывается без труда посредством двукратного применения теоремы Бореля — Лебега (Свойства С бикомпактных пространств). На основе теорем III и IV можно, наконец, доказать следующую фундаментальную теорему: Теорема V. Для того чтобы топологическое пространство било бикомпактным, необходимо-и достаточно, чтобы оно было регулярным и абсолютно замкнутым. Благодаря этой теореме регулярные пространства нам представляются очень наглядным и естественным классом пространств; мы упомянем только, что в нерегулярных пространствах могут иметься различные, порою весьма своеобразные, особенности; например, существуют связные счетные пространства и тому подобное. Вообще, топологические свойства нерегулярных пространств представляются нам в таком беспорядочном виде, что для них *) Как нам стало известно, аналогичным понятием пользовался Титце в работе [6]. Только что появившаяся (когда настоящая статья Уже находилась в печати) вторая часть [7] работы Титце содержит и иные точки соприкосновения с нашим исследованием. **) Теорема, вообще говоря, не имеет места в компактных пространствах; нами построено много нерегулярных компактных пространств, однако каждое компактное топологическое пространство, Удовлетворяющее первой аксиоме счетности, регулярно.
85 8. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ затруднительно построить мало-мальски простую теорию *). 5. Понятие абсолютной замкнутости пространства можно распространить и дальше. В этом направлении мы можем рассмотреть все точки пространства 9J, которые характеризуются посредством некоторого свойства <£Р; мы назовем эти точки ^-точками пространства 9t. Можно, например, в качестве свойства & взять свойство быть точкой регулярности пространства. Мы назовем теперь пространство 9J замкнутым по отношению к eiP-т очкам (или просто (S^-з а м к н у- т ы м), если невозможно к пространству 9{ так присоединить новую точку £, чтобы в пополненном пространстве 9ft U {£} = Ж точка £ обладала свойством ^ и не была изолированной. В силу этого определения абсолютно замкнутое пространство — это пространство, замкнутое по отношению к неизолированным точкам. Заметим, что множество всевозможных §Р-точек ^-замкнутого пространства может быть пустым множеством, как можно убедиться на совсем простых примерах. Если мы теперь определим 1. свойство (х) точек | в пространстве 9R: существует счетная последовательность точек пространства 9R, сходящаяся к данной точке £, 2. свойство (i): множество всех окрестностей точки £ пространства R эквивалентно счетному множеству окрестностей 4), 3. свойство (б): точка | является пересечением счетного множества своих окрестностей 5)$ то мы прежде всего убеждаемся посредством примеров, что единственная зависимость, которая имеется между тремя свойствами (х), (t) и §(б), состоит в том, что оба свойства (х) и (б) следуют из (i); (х) и (б) независимы друг от друга; (i) не следует из обоих свойств (х) и (б). Теперь имеет место легко доказываемая Теорема VI. Для того чтобы регулярное топологическое пространство было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было к-замкнутым **). *) Мы отсылаем снова к нашему Мемуару [2], в котором подробно изложена вся теория. **) О соотношениях в бикомпактных пространствах см. статью [8].
8, К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 83 С другой стороны, 1. Существуют абсолютно замкнутые некомпактные (естественно, нерегулярные) пространства, удовлетворяющие даже второй аксиоме счетности. 2. Существует компактное регулярное пространство, не являющееся б-замкнутым. Однако, 2'. Каждое компактное пространство замкнуто по отношению к регулярным б-точкам. 2". Существует некомпактное регулярное пространство, замкнутое по отношению к регулярным б-точкам. 3. Существует некомпактное i-замкнутое регулярное пространство. Далее получается: Теорема VII. Для того чтобы нормальное пространство било компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было i-замкнутым. Теорема VII справедлива в более общей форме. Именно, достаточно только предположить, что любое замкнутое множество F может быть отделено от каждой счетной расходящейся последовательности D (которая не имеет общих точек с F) посредством непересекающихся открытых множеств GF и GD, содержащих соответственно множества F и D; если это условие в пространстве 9? выполнено, то для пространства 9R понятия i-замкнутости и компактности эквивалентны. При доказательстве упомянутой теоремы приходится для некоторой расходящейся счетной последовательности строить окрестности (1) U0 (хг), U0 (за), . . ., Uо (хп), . . . таким образом, чтобы были справедливы следующие равенства: [#о (*i)l П [#о Ы1 = л ПРИ й£&. i=l i=l а это делается без большого труда на основе упомянутого пРедположения об отделимости.
84 6* & ТЕОРИЙ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАЙС'ГЁ С помощью окрестностей (1) мы определяем окрестности присоединенной к пространству 3} новой точки J-. Именно, ее окрестностями объявляем множества г=п+1 Указанное построение можно провести и так, что пространство Й = 9t U {£} будет регулярным (и даже будет удовлетворять тем же условиям отделимости, что и само 94). Важный и интересный вопрос, во всех ли это случаях так, т. е. каждое ли регулярное не абсолютно замкнутое пространство присоединением неизолированной точки может быть расширено до регулярного, остается нерешенным. В другом месте мы приведем решение некоторых других частных случаев этой проблемы. Гёттингену 26 июня 1923 г. ЛИТЕРАТУРА [1] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств.— М.: ОНТИ, 1937. [2] Alexandroff jP., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques compacts.— Amsterdam, Verh. kon. Akad. Wet., 1929, 14, № 1, с 1—96. Русское издание: Александров П. С, Урысон П. С, Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971. [3] Moore R. On the most general class L of Frechet in which the Heine — Borel — Lebesgue theorem holds true,— Profc. Nat. Acad. Sci. USA, 1919, 5, с 206—210. [4] Frechet M. Sur les ensembles abstraits.— Ann. Ёс. Norm. Sup., 1921, с 341-348. [5] Sierpinski W. Sur l'equivalence de trois proprietes des ensembles abstraits.— Fundam. math., 1921, 2, с 179—188. [6] Tietze #. Beitrage zur allgemeinen Topologie, I: Axiome fur verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs.— Math. Ann., 1923, 88, с 290-312. [7] Tietze H. Beitrage zur allgemeinen Topologie, II: Uber die Ein- fuhrung uneigentlicher Elemente.— Math. Ann., 1924, 91, с 210-224. [8] Alexandroff P. Uber die Struktur der bikompakten topologischen Raume.— Math.. Ann., 1924, 92, с 267—274. Русский перевод: наст. кн. с. 86—94.
8, К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 85 КОММЕНТАРИЙ Этой работой началась подробная публикация результатов исследований авторов (после нескольких коротких заметок), составивших Мемуар [2]. Но мемуар был опубликован лишь 5 лет спустя, и мировая математическая общественность смогла познакомиться с новой областью исследования и должным образом оценить ее именно по этой и двум следующим работам. х) Имеется в виду следующее: каждому s £ © поставлено в соответствие замкнутое множество F$ пространства так, что Fs' a Fs при s < s'.— Прим. перев. 2) По поводу этого см. примечание 14 на стр. 122 последнего издания Мемуара [2]. 3) Все пространства, рассматриваемые в работе, хаусдорфовы. Сейчас абсолютно замкнутые пространства чаще называют Я-замк- нутыми пространствами.— Прим. перев. 4) Это означает в современной терминологии, что точка £ имеет счетный характер в 9ft.— Прим. перев. б) Т. е. точка £ имеет счетный псевдохарактер в $.— Прим. перев.
9 О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ *) 1. В работе [1], совместной с П. С. Урысоном, было введено понятие бикомпактного топологического пространства. Там же в некоторой степени указано взаимоотношение класса этих пространств с другими классами топологических пространств. Цель настоящей работы — детальное изучение строения бикомпактных пространств. Особое внимание при этом я хочу обратить на локальное строение бикомпактных пространств, т. е. на свойства окрестностей точек таких пространств. Начну со следующего элементарного примера. Рассмотрим топологическое пространство Ш, состоящее из всех порядковых чисел, не превосходящих ©1? в обычной топологии ([1], § 2, пример 2). Таким образом, окрестности точек а + 1 [соответственно а], отвечающих порядковым числам первого [соответственно второго] класса, выбираются так: U (а+1) = {а+1); Ux (а)= М {р}. Точки со0 и ©! в пространстве Ш обладают свойствами. 1. Существует имеющая мощ- 1. Существует имеющая мощность к0 система открытых мно- ность к* система открытых множеств, пересечение которой со- жеств, пересечение которой состоит гиз единственной точки ;о)0. стоит из единственной точки о)х. 2. Существует имеющая 2. Существует • имеющая мощность к0 определяющая мощность кх определяющая си- система окрестностей точки о)0. стема окрестностей точки ©1. 3. Существует множество 3. Существует множество Et Е0Гмощности к0 такое, что мощности кх такое, что I U (®в) П Е0 | > \U (щ) П Ех | > >\№\U (со0)) П Е0 | > | (Ю\ U (©J) П Ег | для любой окрестности U (со0) для любой окрестности U (щ) точки С00. " ТОЧКИ СОх. *) Опубликована в Math. Ann., 1924, 92, с. 267—274, под заголовком «Ober die Struktur der bikompakten topologischen Raume». Перевод с немецкого H. А. Берикашвили.
9. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 87 2. Приходим, таким образом, к определению. Определение 1. Скажем, что множество Ш в пространстве ft сходится по мощности к точке £, и будем писать lim 5Л = £, если I U (I) П Ш | > | (ft \ U (Б)) п 3» I для любой окрестности U (£) точки £. Непосредственно видно, что: 1) множество может иметь не более одной предельной в этом смысле точки; 2) счетное множество сходится к точке по мощности тогда и только тогда, когда оно сходится к ней в смысле Хаусдорфа *). Определение 2. Наименьшую мощность подмножества в 5R, сходящегося по мощности к данной точке g 6 ft > назовем характером сходимости пространства ft в точке и обозначим х$ (£). Удобно считать, что характер сходимости пространства в изолированной точке равен единице. Нужно подчеркнуть, что топологическое пространство не обязано в каждой точке иметь определенный характер сходимости: в топологическом пространстве может существовать такая неизолированная точка, что к ней не сходится по мощности ни одно подмножество. Напротив, пространство с первой аксиомой счетности в каждой своей точке имеет определенный характер сходимости: к0 или 1. Другие примеры пространств, имеющих определенный характер сходимости в каждой точке, возникают из рассмотрения упорядоченных пространств. Более полное описание поведения пространства в точке получается с помощью дальнейших определений. Определение 3. Псевдохарактером1) пространства ft в точке я £ ft называем наименьшую мощность системы @ открытых множеств в ft, пересечение которой есть {х}, и обозначаем его % (*). Определение 4. Характером пространства ft вточке х называем наименьшую мощность определяющей системы окрестностей точки х (т- е. системы <g> окрестностей точки х такой, что в любой *) См. [2], с. 232.
88 9. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ окрестности точки х содержится целиком некоторая окрестность из системы @) и обозначаем его %<$ (х). И псевдохарактер, и характер любого топологического пространства определены в каждой точке. В частности, в любой неизолированной точке и характер, и псевдохарактер любого пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, равны *0- Прямо из определений следует, что всегда ip$ (х) < < %$ (#)• Простые примеры показывают *), что далеко не всегда г|)де (х) = %<$ (х); более того, все три кардинальных числа \|э$ (х), %$ (х) и щ (х) могут быть различными, могут любые два из них быть равными и отличаться от третьего; наконец, и при грде (х) = х$ (#), и при % (х) < х<т (я) число х$ (х) может быть определено и может не быть определено. 3. Расположение точки в бикомпактном пространстве можно теперь охарактеризовать так: Теорема I. В каждой точке х бикомпактного пространства 9ft имеем г|)$ (х) = %<$ (х). Теорема П. Характер сходимости бикомпактного пространства 9R определен в каждой точке х, и при этом всегда х<$ (х) < %<$ (х). Доказательство теоремы I проводится с помощью следующих двух лемм: Лемма 1. Для того чтобы пространство было бикомпактным, необходимо и достаточно выполнение условия: Пусть @ — любая система замкнутых множеств, каждая конечная подсистема которой имеет непустое пересечение. Тогда и вся система @ имеет непустое пересечение 2). Лемма 2. Из любой определяющей] системы 2(Л) окрестностей точки х пространства 9J можно выбрать подсистему 2JX) мощности г|^ (#), пересечение которой есть {х}. *) Примеры читатель может найти в мемуаре [3]. Нужно еще заметить, что для множества W. регулярной мощности m = | 9J? I соотношения х = lim 50? и /™ (х) < m несовместны. Имеются, с другой стороны, пространства, для которых Хда (х) < *ю W Для нерегулярного Хт (х).
9. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 89 Пусть теперь 2(Х) — множество всех окрестностей точки х в пространстве JR, а 2^ — его подмножество мощности я|)$ (х), существование которого гарантируется леммой 2. Окрестности системы S^ будем обозначать через V (х). Обогащаем теперь систему 2£*} следующим образом. 1. Для каждой окрестности V (х) выбираем окрестность U у (х), удовлетворяющую соотношению *) W v (х)] d V (х). Совокупность всех V (х) и всех Uv (х) обозначаем через 2(*}. 2. Рассматривая все конечные пересечения множеств системы 2(1*), получаем систему S!,**. Мощность системы 2(2*), очевидно, равна гр^ (х). С помощью леммы 1 нетрудно показать, что системы 2(2*) и 2(Х) эквивалентны, чем и устанавливается справедливость теоремы I. Прежде чем перейти к доказательству теоремы II, сделаем еще два замечания. Следствие 1. Если в бикомпактном топологическом пространстве Si каждое замкнутое множество является пересечением счетного числа открытых (т. е. каждое замкнутое множество в 9? является G ^-множеством) 3), то Ш удовлетворяет первой аксиоме счетности. Это утверждение справедливо также для регулярных компактных пространств, но не выполняется для общих топологических пространств (даже компактных). Обратная теорема вообще неверна. Следствие 2. Для любой окрестности U (£) любой точки £ произвольного бикомпактного топологического пространства $ft выполнено **) %$Ш^ I U (?) |. В компактных пространствах имеет место следующая теорема: 10. Если компактное топологическое пространство в некоторой своей точке регулярности имеет псевдохарактер х0, то и его характер в этой точке также равен к0. Как показывают примеры, эту теорему усилить нельзя. Перейдем к эскизу доказательства теоремы II. Пусть дано полное множество 2(аС) окрестностей точки х мощности х<$ (х). Основываясь на теореме Цермело о пол- *) Это всегда возможно, так как всякое бикомпактное пространство регулярно ([1], теорема IV). **) П. С. Урысон построил пространство, характер которого в некоторой точке превышает мощность самого пространства.
90 9. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ ном упорядочении, множество 2(Х) можно считать вполне упорядоченным множеством Vt(x), V,(*), ..., Vn(x), ... Va(x), ... порядкового типа Q*, где Qx — минимальное порядковое число мощности %<$ (х) — Учя (#)• Положим Fx = [VJ. Пусть множество Fa уже построено. Пусть тогда т (а) — первое порядковое число, удовлетворяющее условию ^а\[^х(а) ] 0 Fa Ф А. Положим Лх+i = Ра П [^т(а> 1. Если все Fа, а < Х-, X Ф \i + 1, уже построены, то положим Fx = f\Fa. Процесс прекратится, когда Fa состоит из одной точки. Получаем вполне упорядоченное множество попарно различных замкнутых множеств. Легко убедиться, что порядковый тип G этого множества непременно конфинален порядковому числу Qx, а тогда, как нетрудно показать, множество X всех точек ха, 1^а<0, произвольно выбранных из множеств Pa \ ^a+i> является бесконечным множеством мощности |Х|^%щ(ж)> сходящимся по мощности к точке х. Теорема II этим доказана. 4. Мы хотим теперь подробнее рассмотреть связь между локальными свойствами бикомпактного пространства и некоторыми его свойствами в целом такими, как мощность пространства. Непосредственно из регулярности бикомпактного пространства*) следует Теорема III. Каждое совершенное множество, лежащее в бикомпактном пространстве, имеет мощность > с. Естественно возникает вопрос о существовании совершенных подмножеств в бикомпактных - пространствах. Ответ на этот вопрос опирается на следующее определение. Определение 5. Точка £ топологического пространства 9ft называется точкой уплотнения, если для любого кардинального числа ш < | 9ft | в каждой окрестности U (£) найдутся точки х с условием %<$ (х)> >ш. В силу этого определения множество S всех точек уплотнения пространства 9ft является замкнутым множе- *) [1], теорема IV.
9. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 91 ством; если £ изолирована в 5, то | называется изолированной точкой уплотнения. Сформулируем теперь следующую теорему: Теорема IV. Каждое бикомпактное без совершенных подмножеств пространство всегда содержит изолированную точку уплотнения. Если мощность | 9ft | множества всех точек4 пространства является регулярной мощностью *), то эту теорему еще можно усилить, показав, что в этом случае пространство всегда содержит точку с характером %<$ (£) = | 9ft \. В случае, когда мощность | 9ft | регулярна, теорема сразу следует из следующей, легко доказываемой леммы: Лемма. Если мощность | 9ft | регулярна и £ — изолированная точка замкнутого множества Ф всех точек полного накопления пространства 9ft, то %$ (£) = | 9ft |. Общий случай можно исследовать следующим образом. Пусть мощность | 9ft | нерегулярна и пусть £ — точка полного накопления пространства 9ft, изолированная в множестве всех таких точек. Я утверждаю, что £ — точка уплотнения. Если допустить, что х$ (£) < I 8ft |, то для каждой окрестности U (?) можно построить две другие окрестности U0 (£) и Ux (?) такие, что U0 (£) cz Ux (|) cz с \UX (I) с U (£), и, кроме того, \117г (£)] \ U0 (|) | > > г > ш, где х и ш — любые кардинальные числа, меньшие | 9ft |, а т можно считать регулярным. Достаточно извлечь подмножество Е, \ Е \ = т, из замкнутого множества [U1 (5)] \ U0 (£);,так как пространство не имеет совершенных составных частей, то замкнутое множество F всех точек полного накопления множества Е непременно содержит изолированную точку х £ F cz [иг (1-)]\U0 (£) с с= U (£), и легко можно усмотреть, что %<$ (х) > т > ш. Но этим, очевидно, теорема IV доказана. Из только что полученного результата непосредстенно следует Теорема V. Каждое бикомпактное пространство, Удовлетворяющее первой аксиоме счетности, или счетно, или содержит совершенное подмножество; в последнем случае мощность пространства ^с. Особенно примечательным является тот факт, что g условиях теоремы V расщепление пространства на *) [2], с. 130.
92 9. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ совершенное ядро и счетное подмножество в общем случае не обязано выполняться. Более того, существуют бикомпактные удовлетворяющие первой аксиоме счетности пространства, которые содержат несчетные (именно мощности с) множества изолированных точек. Замечу еще, что теоремы IV и V для компактных (даже регулярных) пространств уже не верны 4). 5. Сейчас я сформулирую общую теорему о мощности Л-множеств. Приведу, прежде всего, определение борелевского множества, следуя Серпинскому. Назовем некоторую систему множеств Г-системой, если сумма и пересечение счетного числа множеств системы снова принадлежат этой системе. Совокупностью борелев- ских множеств теперь называется наименьшая (т. е. содержащаяся в любой другой) Г-система, содержащая все замкнутые и все открытые подмножества данного пространства. С давних пор имелось почти всеобщее мнение о том, что обычными методами анализа за пределы борелевских множеств выйти нельзя. И лишь в 1917 г. М. Суслин показал, что борелевские множества являются специальным случаем существенно более общи* А-м н о ж е с т в *), которые можно определить так. Пусть дана система замкнутых множеств F{л • - • ik> где к, ъг, i2, . . ., ik пробегают все натуральные значения. *) Первое доказательство того факта, что каждое борелевское множество является А-множеством, было полностью проведено, хотя и не сформулировано, в моей заметке [4]. Именно этот факт являлся решающим моментом приведенного там доказательства теоремы о мощности борелевских множеств (которое допускает дословное перенесение на любые Л-множества). М. Суслин ([5]) в январе 1917 г. впервые явно сформулировал определение Л-множества и привел пример А-множества, не являющегося В-множест- вом. После этого Н. Лузин ([6]) доказал, что множество значений аналитически пред ставимой функции ( = бэровской функции) всегда является А-множеством, но не обязано бить В-множеством. Из глубокой теории Суслина — Лузина упомяну хотя бы теорему о том, что множество, дополнительное к Л-множеству, не всегда само является Л-множеством,— в случае, если это так, оба множества должны быть борелевскими. Наконец, П. С. Урысон привел пример регулярного в единичном круге степенного ряда, множество граничных значений которого не является борелевским множеством', одновременно Урысон доказал, что такое множество всегда является Л-множеством. Таким образом, в понятии А-множества мы получаем вполне соответствующий современным требованиям анализа замкнутый в себе класс множеств (см. также статьи Лузина и Сер- пинского [7] и [8] и мои статьи [9] и [10]),
&. О СТРОЕНИИ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТЁ 93 Тогда Л-множества суть объединения множеств вида His2...ih... = Fit [\FiuU[\...[\Fixit...ih[\... Вся теория А -множеств и 5-множеств имеет место в тех бикомпактных топологических пространствах, в которых каждое замкнутое множество есть пересечение счетного числа открытых. Имеет место, в частности, Теорема VI. В бикомпактном пространстве, в котором каждое замкнутое множество является G§- множеством, любое несчетное А-множество (и, в частности, любое несчетное В-множество) содержит совершенное подмножество и потому имеет мощность с. По существу ход доказательства остается тем же, которым я пользовался в 1916 г. для подмножеств евклидова пространства. Предположение о том, что каждое замкнутое множество является 6?6-множеством, имеет основополагающее значение для всей теории мощности, что можно легко продемонстрировать на соответствующих примерах *) 5). Гёттинген, 3 июля 1923 ЛИТЕРАТУРА [1] Alexandroff P., Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Rau- rae.- Math. Ann., 1924, 92, с 258—266. Русский перевод: наст, кн., с. 75—85. [2] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств.— М.: ОНТИ, 1937. [3] Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques compacts. — Verh. kon. Akad. Wet., Amsterdam, 1929, 14, № 1, с 1—96. Русское издание: Александров П. С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971. [4] Alexandroff Р. Surle puissance des ensembles (В).— С.г. Acad. sci. Paris, 1916, 162, с. 323—325. Русский перевод: наст, кн., с 35—39. [5] Souslin М. Sur une definition des ensembles mesurable (B) sans nombres transfinis.— C.r. Acad. sci. Paris, 1917, 164, с 88—90. *) Отмечу, что теорема о мощности борелевских множеств U обычных предположениях) почти одновременно со мною была Доказана Хаусдорфом ([11]). В чисто топологических предположениях вопросы мощности рассматриваются здесь, по-видимому, впервые.
54 9« О СТРОЕНИЙ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ [6] Lusin N. N. Sur la classification de M.Baire. — C.r. Acad, sci Paris, 1917, 164, с 91-93. [7] Lusin N. N., Sierpinski W. Sur quelques proprietes des ensem- bles (A).— C.r. Acad. sci. Paris Cracovie (A), 1918, с 35—48. [8] Lusin N. N., Sierpinski W. Sur un ensemble non mesurable.— J.math. pur. appl., 1923, 2, с 53—72. [9J Alexandroff P. Sur les ensembles complementaires aux ensembles (A).— Fundam. math., 1924, 5, с 160—165. Русский перевод: наст, кн., с. 53—58. [10] Alexandroff P. Sur l'invariance topologique des ensembles com- plentaires aux ensembles (А).— Матем. сб., 1924, 31, с. 310—318. [11] Hausdorff F. Die Machtigkeit der Borelschen Mengen.— Math. Ann., 1916, 77, с 430—437. КОММЕНТАРИЙ x) В оригинале — характер пересечения (Durchschnittscharak- ter).— Прим. перее. 2) Такие системы называются теперь центрированными.— Прим. пер ев. 3) Нормальные пространства, удовлетворяющие этому условию, называются теперь совершенно нормальными.— Прим. перев. 4) Вопрос полностью решен А. В. Архангельским; см., например, книгу Александров П. С, Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности.— М.: Наука, 1973.— Прим. перев. б) В настоящее время можно считать доказанным, что совершенно нормальные бикомпактные пространства образуют класс топологических пространств, в котором естественно строить дескриптивную теорию множеств.— Прим. ред.
10^ О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ *) 1. Определения и замечания *). В недавней работе **) я изучал бикомпактные пространства, в особенности с точки зрения их локальных свойств. Однако ясно, что дл4 этого условие бикомпактности всего пространства в э|елом излишне; вполне достаточно потребовать, чтобы последним свойством обладали замкнутые множества, содержащиеся в некоторых окрестностях всевозможных точек пространства. Этим путем мы приходим} к естественному понятию локальной бикомпактности (соответственно локальной компактности), введя следующие основные определения: A. Топологическое пространство Я называется бикомпактным в точке £ (соответственно компактным в точке), если существует такая окрестность и (£) этой точки, что замыкание [и (£}], рассматриваемое как подпространство, бикомпактно (соответственно компактно). B. Топологическое пространство, бикомпактное (соответственно компактное) в каждой своей точке, называется локально бикомпактным (соответственно локально компактным). Понятие локально бикомпактного пространства мне представляется весьма важным в топологии — достаточно вспомнить обычное евклидово пространство, область одного, двух или большего числа измерений, открытую рима- нову поверхность, в особенности абстрактно заданную. *) Опубликована в Math. Ann., 1924, 92, с. 294—301, под заголовком «Ober die Metrisation der ira Kleinen kompakten topologi- schen Raurae». Перевод с немецкого В. И. Пономарева. **) [1]. Будут предполагаться известными также обозначения 11 результаты работ [2], [3] и определения Хаусдорфа, лежащие в основе всей теории ([4], гл. VII, VIII).
06 10. О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ Первая абстрактная редакция понятия поверхности, кажется, принадлежит Вейлю («Идея римановых поверхностей»). Если отвлечься от отдельных несущественных неточностей *), то определение поверхности по Вейлю может быть сформулировано следующим образом: Топологическое пространство называется поверхностью, если некоторая окрестность каждой его точки взаимно однозначно и взаимно непрерывно (в смысле отображения пространств **)) может быть отображена на внутренность обычного круга. Вейль называет поверхность замкнутой, если она компактна как топологическое пространство. Теперь видно, что это определение доставляет нам весьма отдаленное от наглядного представления понятие замкнутой поверхности. Рассмотрим в качестве примера упорядоченное множество Э, имеющее порядковый тип ***) (Я + 1) Q* + К + (1 + к) Q. Берется далее множество F, которое состоит из всевозможных пар (я, у) элементов из 6. Это множество F будет замкнутой «поверхностью» S в смысле Вейля, если определить окрестности U (§) всех ее «точек» % = (г, у) следующим образом: U (£) = UJ{x, у)) есть совокупность всех % =■ (х,^), где хг < х~< х2, уг < у < у2 (в 6) и xlf ух\ х2, у2 — две произвольные пары элементов из множества 6, удовлетворяющие неравенствам хх < х < х21 ух < у < у2. Поверхность S, которая имеет вид «неархимедовой плоскости», едва ли соответствует наглядному представлению о замкнутой поверхности. Этот недостаток будет преодолен, если мы вместо компактности в качестве характеристического свойства замкнутой поверхности потребуем бикомпактность. Эта замена имеет еще следующее преи- имущество. В силу теоремы III (§ 3 этой работы) замкнутая поверхность в моем смысле удовлетворяет второй аксиоме счетности, а потому в силу замечательной теоремы Урысона является метри- зуемым пространством. Все эти классические топологические образования, рассматриваемые как пространства, некомпактны, но локально бикомпактны. С другой стороны, нам.известно мало топологических теорем, которые оставались бы верными за пределами локально бикомпактных пространств. Только что высказанные соображения позволяют мне сказать, что локально бикомпактные пространства составляют *) Насколько я могу судить, из вейлевских аксиом окрестностей не следует, вообще говоря, возможность отделить две различные точки поверхности непересекающимися окрестностями. **) О непрерывных отображениях топологических пространств см. [4], с. 358 и далее. ***) Q—первое несчетное кардинальное число, Q* — обратный к Q порядковый тип, X—порядковый тип действительных чисел (см. [4], с. 73, 93, 125).
10. О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 97 естественную область действия общетопологических закономерностей. 2. Общие свойства локально компактных пространств. Теорема I. В каждой точке £, в которой данное топологическое пространство бикомпактно, псевдохарактер х) "Фл (£) совпадает с характером %R (£); кроме того, при этом предположении характер сходимости хд (£) в точке % определен и хй (£)^%я (|); при этом точка | является точкой регулярности пространства *). Эта теорема следует непосредственно из свойства, уже доказанного для бикомпактных пространств. Основная теорема 1. Каждое локально бикомпактное топологическое пространство R (в том случае, когда оно само небикомпактно) может быть пополнено до бикомпактного пространства присоединением одной точки; это возможно, кроме того, только одним способом. Мы назовем «Р-областью» такое открытое множество Г, что замыкание [Г] множества Г, рассматриваемое как подпространство, бикомпактно. Тотчас становится ясно, что данное пространство R, если оно небикомпактно, не содержится в объединении конечной системы таких замкнутых множеств [Г], в отличие от того, что каждая точка пространства R (так как R локально бикомпактно) всегда содержится по крайней мере в одной 0-области. Открытое множество G — R \ ([TJ U . . . [) [Гп]), таким образом, всегда непусто, как бы мы ни выбирали Р-области 1\, Г2, . . ., Гп. Теперь мы присоединим к пространству R новую точку | вместе с окрестностями U (£) = {£} (j G. Мгновенно убеждаемся в том, что в R U {|} = R выполнена хаусдорфова аксиома отделимости; кроме того, каждое бесконечное множество, не имеющее в пространстве R точек полного накопления, в пространстве R сходится по мощности **) к точке £• Пространство R, следовательно, бикомпактно. Удается также показать без всякого труда, что любая другая система окрестностей для *) По поводу обозначений см. уже упоминавшиеся работы [1], 12]. Там же соответствующая теорема доказана для бикомпактных пространств. **) См. предыдущее примечание.
96 10. О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ присоединенной точки | эквивалентна только что сконструированной, если только пространство R [} {£} остается бикомпактным; тем самым основная теорема 1 полностью доказана. Замечание. Свойство единственности особенно замечательно потому, что*, вообще говоря, локально бикомпактное пространство присоединением одной точки может быть расширено бесконечно многими способами до абсолютно замкнутого (нерегулярного) пространства. Вследствие теоремы о мощности совершенных множеств в бикомпактных пространствах получается аналогичная теорема для локально бикомпактных пространств как непосредственное следствие только что доказанной основной теоремы. Основная теорема обращается: очевидно, имеет место следующая теорема: Каждое открытое множество бикомпактного пространства (рассматриваемое как подпространство) локально бикомпактно. Класс всех локально бикомпактных пространств совпадает, таким образом, с классом всевозможных открытых множеств бикомпактных пространств *). Если заменить слово «бикомпакт» на слова «компактное пространство», то получится теорема, совершенно аналогичная основной теореме 1. Обратная теорема также верщ*, т. е. любое открытое множество, получаемое из компактного пространства удалением одной точки и рассматриваемое как подпространство, локально компактно. Однако: Имеются лежащие в компактном пространстве открытие множества, не являющиеся локально компактными. Заметим еще, что посредством присоединения одной точки к локально компактному пространству можно получить, вообще говоря, много различных пространств (поэтому для осуществления свойства единственности необходимо требование бикомпактности). *) Следует заметить, что, с другой стороны, каждое замкнутое множество F, лежащее в бикомпактном пространстве R, может так быть заменено одной точкой | (со специально выбранными окрестностями), что получится снова бикомпактное пространство Rlt в котором открытое множество R± \ {£} совпадает с первоначальным открытым множеством R\F.
)# О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ &) 3, Вторая аксиома счетности и проблема метризации топологических пространств. Общая проблема метризации топологических пространств состоит в том, чтобы найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данное топологическое пространство было гомеоморфно некоторому метрическому пространству. Урысон уже разрешил проблему метризации для компактных пространств, именно, он доказал, что в этом случае условие метризуемости состоит в выполнении второй аксиомы счетности *). Так как эта аксиома имеет фундаментальное значение также и для решаемой мною в настоящей работе проблемы метризации локально компактных пространств, то целесообразно остановиться коротко на имеющихся связях между этой аксиомой и другими известными свойствами: Теорема П. В метрическом пространстве каждое из следующих свойств эквивалентно второй аксиоме счетности **): a) Множество попарно непересекающихся открытых множеств не более чем счетно 2). b) Каждое вполне упорядоченное множество убывающих различных замкнутых множеств не более чем счетно. c) Каждое замкнутое множество распадается на совершенное множество и на не более чем счетное множество. d) Открытое множество, являющееся объединением какого-то семейства открытых множеств, представляется в виде объединения некоторого не более чем счетного подсемейства этих открытых множеств. e) Существует счетное всюду плотное множество 3). Напротив, существуют топологические пространства (даже бикомпактные), в которых эти свойства (в том числе и первая аксиома счетности) одновременно выполнены, но которые не удовлетворяют второй аксиоме счетности. Теорема III. Если в бикомпактном пространст- ве R выполнена первая аксиома счетности, но не выполнена *) См. [3]. Пока эта работа находилась в печати, появилась наша совместная с Урысоном заметка [5], в которой решается общая метризационная проблема для топологических пространств. Заме- **м' впрочем, что вывести из общего метризационного критерия Разбираемый здесь случай не проще, чем приведенное здесь прямое Ка**Тельств0, ^° >ке относится и к упомянутой теореме Урысона. ду ) То, что эти свойства в топологических пространствах еле- ш ? из втоРой аксиомы счетности, было доказано еще Хэусдорфом l*J 1см. главу VIII, § 2).
100 10. О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ вторая аксиома счетности, то существует такое совершен* ное множество Pcz R, что для каждой точки из Р любая ее окрестность, рассматриваемая как подпространство не удовлетворяет второй аксиоме счетности *). При этом упомянутое совершенное множество Р может быть как нигде не плотным в пространстве, так и полностью заполнять некоторое открытое множество этого пространства. Теорема IV. Для того чтобы регулярное удовлетворяющее второй аксиоме счетности пространство R было компактным, необходимо и достаточно, чтобы всякое топологическое пространство R, обладающее этими же двумя свойствами и содержащее R в качестве всюду плотного подмножества, совпадало с R. \ Доказательство теорем II и III проводится легко; по поводу доказательства теоремы IV я отсылаю к нашему (совместному с П. Урысоном) Мемуару «О компактных топологических пространствах», где обстоятельно излагается вся теория **). 4. Решение проблемы метризации для локально компактных пространств. Из основной теоремы 1 и теоремы работы [1] получается тотчас, что каждое локально компактное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, метризуемо. Действительно, R расширяется до бикомпактного пространства R =* R [) {£}; вследствие того, что в R выполнена вторая аксиома счетности и пространство регулярно, точка | является пересечением некоторого счетного множества открытых множеств, так что в силу теоремы 1 работы [2] характер пространства R в точке £ равен м0, а поэтому получаем счетную систему, окрестностей для всего пространства R, если к счетной системе окрестностей всевозможных точек из R присоединить счетный набор окрестностей точки £. Так как R -i бикомпакт, то вследствие теоремы Урысона R метризуеме|( итак, R не только метризуемо, но и лежит как открыто| множество в компактном метрическом пространстве. Вт<И рая аксиома счетности выражает, таким образом, доста* *) Для компактных (нсбикомпактных) пространств теорем*! вообще говоря, неверна. } **) См. [6]. i
10# о МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ ДО1 точное, но (как показывают простые примеры) не необходимое условие для метризуемости локально компактного пространства. Однако имеет место Основная теорема 2. Для того чтобы локально компактное топологическое пространство било метри- зуемо, необходимо и достаточно, чтобы пространство либо удовлетворяло второй аксиоме счетности, либо разбивалось на множество (любой мощности) попарно не пересекающихся открытых множеств, каждое из которых (как подпространство) удовлетворяло второй аксиоме счет- ности *). Почти не требует доказательства достаточность только что высказанного условия. Нам, таким образом, надо только показать, что каждое локально компактное метрическое пространство, которое не удовлетворяет второй аксиоме счетности, разлагается на множество открытых множеств, удовлетворяющих этой аксиоме; но это действительно верно, как вытекает из следующего предложения: Лемма. Пусть метрическое пространство R удовлетворяет локальной второй аксиоме счетности **); тогда можно выбрать такую систему шаровых окрестностей, полностью определяющую 4) все пространство, что каждая точка пространства будет принадлежать не более чем счетному множеству этих окрестностей 5). • С помощью принципа полного упорядочения Цермело мы превратим множество всех шаровых окрестностей данного пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество, во вполне упорядоченное множество Vn V V V упорядоченное по порядковому типу Qx (где Qx — начальное число некоторой мощности т). Согласно предположению имеется не более чем счетное всюду плотное в Уг множество Dx. Положим Gx — Vv Предположив, что *) Пространство в этом случае будет локально бикомпактным. *) Так называются пространства, у каждой точки которых имеется окрестность, которая как подпространство удовлетворяет ТоР°й аксиоме счетности.
102Ю. О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ построены Ga и Da для всех а < Я, мы полагаем Gi = Vx\[\jGu] и определяем Dx как некоторое не более чем счетное всюду плотное в Gx множество. Наконец, мы определяем a<GT Легко доказывается, что 1. D всюду плотно в R. г |2. Мощность множества D fl Va для каждого а не более чем к0. * Пусть теперь # — произвольная точка пространства, а рх — верхняя грань всех таких положительных чисел гл, что каждая шаровая окрестность О (х, гх) содержит не более чем счетное всюду плотное множество. Тогда система 2 всех шаровых окрестностей О (#, г), где х 6 D и г < < тг Р* — положительное рациональное число, образует (что доказывается без особого труда) систему окрестностей, которую мы желаем иметь *). Тем самым лемма доказана. Пусть теперь £ — произвольная точка нашего пространства, Г^ — некоторая шаровая окрестность из системы 2, которая содержит точку £. Предположим, что Г® уже определено, причем таким образом, что Тп удовлетворяет второй аксиоме счетности (Г(Р таково). Мы определяем Гп+i как объединение Т® и всех шаровых окрестностей из системы 2, имеющих непустое пересечение с Г„ \ Видим тотчас же **), что Гп+ь а также r«> = i<,eure>u...ui$>u... удовлетворяют второй аксиоме счетности. Теперь мы на мгновение скажем, что точка х сцеплена с точкой |, если существует такое конечное число шаровых *) Существенный момент доказательства состоит в том, что из £ £ О (х, г), где О (х, г) — шаровая окрестность из системы 2, следует х 6 О (£, рл). **) Это по существу следствие свойств системы окрестностей 2, выражаемых леммой.
, О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ ЮЗ окрестностей Ог, 02, - . ., Os из системы 2, что 1. teOi; 2. Ot ПОмфА (l<i^-l); 3. х g Os. Тогда тотчас же доказывается, что Г^ состоит из всех точек пространства R, сцепленных с точкой |. Ввиду этого легко видеть, что для различных точек \ и г\ пространства либо Г<*> = Г<ч), либо Г<5) П Г<ч> = Л. Разложение пространства на удовлетворяющие второй аксиоме счетности попарно не пересекающиеся открытые множества тем самым произведено, и основная теорема 2 доказана. Следствие 1. Для того чтобы связное локально компактное топологическое пространство было метризуе- мо, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло второй аксиоме счетности. Следствие 2. Если в связном метрическом пространстве не выполнена вторая аксиома счетности, то существует по крайней мере одна точка, у которой нет окрестностей, удовлетворяющих этой аксиоме. Все эти теоремы могут быть наглядно пояснены на простых примерах: кроме того, они представляются окончательными, т. е. не допускающими естественных усилений или обобщений. Гёттинген, 10 июля 1923 г. ЛИТЕРАТУРА [1] Alexandroff P. Uber die Struktur der bikompakten topologischen Raume.— Math. Ann., 1924, 92, с 267—274. Русский перевод: наст, кн., с. 86—94. [2] Alexandroff P., Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Raume.— Math. Ann., 1924, 92, c. 258—266. Русский перевод: наст, кн., с. 75—78. [3] Urysohn P. Uber die Metrisation der kompakten topologischen Raume.— Math. Ann., 1924, 92, с 275—293. [4] Hausdorff F. Grundzuge der Mengelehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств.— Mv: ОНТИ, 1937. [5] Alexandroff P., Urysohn P. Une condition necessaire et suffisante pour q'une classe (L) soit une classe (D).— C.r. Acad. sci. Paris, 1923, 177, с 1274—1276. Русский перевод: наст, кн., с. 50—52. [6] Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques compacts. —Verh. kon. Akad. Wet., Amsterdam, 1929, H, № 1, с 1—96. Русское издание: Александров П. С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах,— М.: Наука, 1971,
104 Ю- О МЕТРИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ КОММЕНТАРИЙ х) В оригинале локальная бикомпактность носит название бикомпактности в малом (im Kleinen). Мы и в дальнейшем будем придерживаться современной терминологии, в частности, термин «характер пересечения» (Durchschnittscharakter) переводить как «псевдохарактер».— Прим, перев. 2) Это свойство называется сейчас свойством Суслина.— Прим. перев. 3) Т. е. пространство сепарабельно,— Прим. перев. 4) Имеется в виду система окрестностей, являющаяся базой топологии.— Прим. перев. 5) Т. е. эта система точечно счетна или имеет кратность к0 в современной терминологии.— Прим. перев.
11 ОБ ОБОСНОВАНИИ п-МЕРНОЙ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ТОПОЛОГИИ *) Целью этой работы является теоретико-множественное обоснование понятия n-мерного многообразия, для чего, как легко видеть, достаточно дать топологическое определение тг-мерного элемента, т. е. пространства, гомеоморф- ного симплексу. I. Абстрактно определенный спектр 1. Пусть дано бесконечное множество R каких-нибудь элементов х произвольной природы. Пусть п — любое неотрицательное целое число. Определение 1. Подмножество, состоящее из п + 1 различных элементов множества Я, называется п-м ерным остовом и обозначается через Г(П) **). Замечание. Можно говорить и о содержащихся в га-мерном] остове Г(П> остовах! меньшей размерности (в частности, также о 0-мерном остове), вообще о р-мерных (О^р^п) подостовах остова Г(П). Определение 2. Конечное множество гс-мерных остовов Т\п\ ..., Г?" называется п-мерной сетью1) и обозначается через Х(т = {Г(1п), ..., Г}.П)}; р-мерные под- остовы (0<!р<гс) остовов Г^п), ..., Ггп), образующих сеть Ж(Г1), называются р-мерньтми остовами сети ЗЕ(Д). Определение 3. Измельчение2) сети ЗЕ(П) = = {Г1(Г1), ..., Т1ГЮ} состоит в^следующем: *) Опубликована в Math. Ann., 1925, 94, с. 296—308, под заголовком «Zur Begriindung der /г-dimensionalen mengentheoretischen Topologie». Посвящена памяти П. Урысона. Перевод с немецкого Л. Д. Мдзинаригавили. **) Возможно, с различными индексами: Г(^п), Г(п), Г(п) 4Ч, г£я) И т. д. """ h
106 И. ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ A. Каждому /ьмерному остову Г<,р) (О^р^п) сети Ж(П) взаимно однозначно приводится в соответствие определенный элемент множества R (в случае р ф0 не содержащийся ни в одном остове сети, в случае р = 0 совпадающий с самим остовом Г(#р)), называющийся центром т"я ж~е с т и [остова Г(/>. B. После того] как каждому р-мерному (О^р^я) остову сети $<п) сопоставлен определенный центр тяжести, мы рассматриваем для каждого остова Г^п) сети $(Щ все (п + 1)! последовательностей вида (1) г™ zd г?-» ZD...ZD гу\ где каждый последующий остов меньшей размерности содержится в предшествующем. Каждой такой последовательности соответствует гс-мерный остов, состоящий из центров тяжестей остовов, входящих в последовательность (1). Остову Г4"* таким способом соответствует (п+ 1)! остовов; мы называем их непосредственно производными остовами от Г\п> и обозначаем \*) 1*1, 1*2, . • •» 1*(п+1)| (где знак * может означать также фиксированную систему индексов и т. п.). Таким образом, заменяя каждый остов Т1™ сети Х(П> соответствующими непосредственно производными остовами (2), мы получаем новую' сеть Ж{я) — измельчение сети 3£(П). 2. Пусть сеть ЭЕ(П) состоит из единственного остова Г(П). Измельчая эту сеть, мы получаем сеть Xе/", состоящую из (п + 1)! остовов г(п) г(п) г(п) р(п) 1 1 , 1 2 , . . ., 1{ 9 • . ., l(n+l)!» Из сети $\п) измельчением можно получить новую сеть Ж(2Ш, состоящую из ((п+1)!)2 остовов ri^iff где Г£\, Г^2, . -. ..., T\^if1 ..., ri7?(w+i)! СУТЬ остовы, непосредственно производные от Г(£\ Таким образом получаем последовательность сетей (3') х«\ зег, .... зег, ...,
П. ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ Ю7 где Jft0 состоит из ((n + l)\)h остовов Г!"**, $ (i пробегают независимо друг от друга все значения от 1 до (я_|_1)! включительно), а остовы х*а vb 1г* v2» •'•» 1<« v^+i» ••• Г(п) • . ч м, гй, (п+1) суть непосредственно производные от П™...,! . Определение 4. Каждый остов П™ * Pi Ph, где h есть произвольное натуральное число и рх, . . ., ph — произвольные целые числа между 1 и (п + 1)!, называем производным от остова T^J ... э i (уже не непосредственно). Определение 5. Последовательность (3') тг-мер- ных сетей, в которой первый элемент состоит из единственного остова Г(П), а каждый следующий получен из предыдущего измельчением, называем п-м ерным спектром. II. Спектр в топологических пространствах 3. В дальнейшем мы будем предполагать, что множество /?, из которого мы исходим, есть множество всех точек некоторого топологического пространства, т. е. что в R некоторые подмножества, которые мы будем называть областями, определены таким образом, что выполняются следующие два условия: 1) пересечение двух областей и объединение любого числа областей есть снова область; 2) для каждых двух различных точек (т. е. элементов из R) всегда существуют две области, содержащие соответственно эти точки и между собой 'не пересекающиеся 3). Рассматривая в качестве'окрестности точки £ любую область, ее содержащую, мы в сущности возвращаемся к первоначальному определению Хаусдорфа ([1]). Определение 6. Замыкание объединения остова Чр...,$ и всех производных остовов, полученных Щ
108 И. ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ него *), называется кристаллом R\™ . . ., i, сети S(fen>, соответствующим остову Г-^ ..., ife- При этом остов Г|™ ,,,fi (принадлежащий сети Ж™) называется остовом кристалла R\™ iu. III. Основная теорема 4. Теорема. Пусть в топологическом пространстве R задан n-мерный спектр (3) х™, эе<п\ ..., зег, ..., удовлетворяющий следующим условиям: (a) Два кристалла одной и той же сети имеют общую точку только тогда, когда общую точку имеют их остовы. (b) Каждая убывающая последовательность кристаллов имеет непустое пересечение. (c) Каждая точка пространства содержится хотя бы в одном кристалле. (d) Для каждой точки £ пространства и для каждой области G, содержащей эту точку, найдется сеть из спек- тра такая, что все кристаллы этой сети, содержащие точку £, содержатся в области G. Тогда пространство R гомеоморфно обычному п-мер- ному {замкнутому) симплексу евклидова пространства. Замечание. Только что высказанная теорема дает не только достаточное, но и необходимое условие для существования взаимно однозначного и непрерывного отображения топологического пространства на замкнутый гс-мер- ный симплекс. Именно, рассматривая п + 1 вершину данного ?г-мерного симплекса R в качестве (единственного) гг-мерного остова начальной сети Х(П) и понимая под центрами тяжести остовов Г*р) (0 < р <,п), лежащих в основе операции измельчения, настоящие центры тяжести оо (п+1)! *) Обозначим объединепие М II Г*.п) . ■ Л=1 plf ...,рл=1 через Мz 1 . Тогда М - . есть объединение всех остовов, цервьте к индексов которых суть iv ...,£&. Определение б дает: Мп) . =[М. 4 ].
И. ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИЙ Ю9 симплексов, получаем однозначно определенный спектр (3) *ш\ ЗЕ(Л ..., Пп\ ... замкнутого n-мерного симплекса Д(П). Назовем его барицентрическим спектром. Он удовлетворяет, как сразу видно из элементарных геометрических соображений, всем предпосылкам нашей основной теоремы. IV. Доказательство основной теоремы (п+1)! 5. Лемма 1. Имеем #(.*> . = I I Жп> , . (n+i)! в частности, R = ^J R^. i4=l В самом деле, очевидно, (n-fl)! м«. *k = U м* .v W *й+1=1 следовательно *), ffi. ift = w-,...,g=(U)' м. ч.и- (п+1)! = U ^.....i^f *А+1=4 fe+l ■ (п+1)! После этого равенство R= ^J Ri± следует прямо из v=i условия (с) основной теоремы. оо Лемма 2. Множество [] R\t * состоит только k=\ из одной точки ht iu По условиюД(Ь) это множество во всяком случае непусто; если бы оно содержало две различные точки £ и т], то любая окрестность точки £ по условию (d) содержала бы *) Мы опускаем, где это не может вызвать недоразумения, индекс размерности.
110 it. 6б обоснований п-МЁРНОЙ ТОПОЛОГИЙ каждое Riv...tih *) при достаточно большом к и потому точку tj, что противоречит требованию 2 из п. 3, которое выполняется в каждом топологическом пространстве. Лемма 3. Пространство R компактно **). Пусть Е — бесконечное подмножество в R. Так как h^(n + 1)' при каждом к, то существует бесконечная последовательность RitZDRiuUZD ... ZDRium9a9ikZD в которой каждый кристалл Rit i содержит бесконечное множество точек из Е. оо Пусть f\ R{u ih = £ и G—-произвольное открытое h=i множество, содержащее точку £; по (d) имеем G id Rit ( (для достаточно больших /с), следовательно, £ есть точка накопления для Е. Лемма 4. Пространство R удовтлеворяет второй аксиоме счетности. Пусть Ф1? Ф2, . . ., Фте> . . . суть всевозможные конечные объединения кристаллов и пусть, для произвольного m, Gm есть множество внутренних точек в Фт. Ясно, что множества Gm открыты. Пусть теперь произвольно даны £ и G, £ £ G. По*(с1) имеется Х^ такое, что объединение Фт всех кристаллов сети W£\ содержащих точку £, содержится в G. Я утверждаю, что Фт содержит £ как внутреннюю точку. В самом деле, в противном случае было бы g G № \ Фт1 £ [Ф.1 = Ф„ где Фв есть сумма всех не входящих в Фт кристаллов сети Xfcw; но это противоречит тому факту, что Фт содержит все кристаллы сети ЖЙ", содержащие точку £. Таким образом, £ £ Gm а Фт a G, чем и доказана наша лемма. *) Из указанных в формулировке леммы 2. **) В смысле Фреше — каждое бесконечное подмножество в нем имеет точку накопления.
it. Ofe ОБОСЙОЁАЙЙЙ n-МЁРЙОЙ ^ТОПОЛОГИЙ {{{ Из лемм 3 и 4 и одной теоремы П. Урысона *) следует непосредственно Лемма 5. Пространство R метризуемо. С этого момента R пусть есть метрическое пространство. Лемма 6. Для произвольного г > О имеется положительное целое число ке такое, что б (Ril ik) < е при к> ке **). Предположим, что лемма не верна. Тогда существует бесконечная последовательность кристаллов (4) ^'^'•••'i?hf,,,?/..., h£, диаметры которых ^е. Так как число различных h\ может быть лишь (п + 1)!, то существует наименьшее число гх^(м + 1)! такое, что в последовательности (4) имеется бесконечное число кристаллов, у которых первый индекс есть iv Из тех же соображений мы можем найти такое число £2, что среди тех кристаллов из последовательности (4), в которых первым индексом является itJ встречается бесконечное количество со вторым индексом г2. Продолжая таким образом, мы получаем фиксированную последовательность натуральных чисел 1г, г2, . . ., ik, . . .; ih < (п + 1)!» такую, что каждая комбинация индексов i1? . . ., ik встречается в последовательности (4) бесконечное число раз (в том смысле, что для каждого к имеется бесконечное множество кристаллов последовательности (4), имеющих первыми к индексами значения £1? z2, . . ., ik в данной здесь последовательности). Однако это означает, что, при любом /с, кристалл R%i ik содержится по крайней мере один (и даже бесконечно много) раз в последовательности (4), и, следовательно, б (Riv ...,ife) > £• Так как R есть компактное метрическое пространство и i?i., ..., %ъ =э Ri. гь, %ъ для 1 Л 1 ft Ят 1 произвольного &, то, как легко проверить, получаем так- 00 же б (fl^i, гк) > е, что противоречит лемме 2. Лемма 7. Для произвольного натурального числа к имеется такое dk ^>;0, что любые дез точки пространства *) О метризуемости компактного топологического простран- СТва» удовлетворяющего второй аксиоме счетности, см. [2]. **) Через б (R') обозначим диаметр подмножества R' метрического пространства Л.
112 И. ОБ ОБОСНОВАНИЙ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ R1 расстояние между которыми меньше dk, принадлежат либо одному кристаллу, либо двум кристаллам сети Xh0, имеющим общие точки. Предположим, что лемма не верна. Тогда для каждого натурального числа т найдутся две точки хт и ут такие, что р (хт, ут) < Ч2т и кристаллы RPv ..., pfc и Rqv ...9fe № фиксировано), содержащие соответственно точки хт и ут, не пересекаются между собой. Пусть (О) %mxi %m2i • • • > ^mr> • • • есть подпоследовательность последовательности хт, сходящаяся к некоторой точке £. Тогда последовательность Утх1 УтЖ1 • • • » Утг> • • • сходится к той же точке g (так как р(хт , ут )<lUmr). Теперь можно найти кристалл RPli . ..,Рг, содержащий бесконечное число точек (О) Хт^ч %т^ • • • > %т' ч • • • последовательности (5), и выбрать еще такой кристалл Rqu-'-oQ (в силУ наших предпосылок отличающийся от RPlt ...,Рг), который содержит бесконечное число точек последовательности (') Ут') Ут'^у • • •> #m'i • • • По нашему предположению кристаллы Rpu...,p и RQi q должны не пересекаться между собой; с другой стороны, как RVl,...p, так и RQi q содержат общую предельную точку g последовательностей (6) и (7). Полученное противоречие и доказывает лемму. 6. Пусть (8) X(n\#n\...,4n),... (9) i(n\$n), •••.$in),... суть абстрактно данные спектры.
11, ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ ЦЗ Пусть Мк (соответственно Мь) есть сумма всех остовов, встречающихся в сети Э^п) (соответственно в J^n))> и М = оо оо — U Mk (соответственно M = ^J Mk). h=i fe=i Легко заметить, что между множествами М и М имеется такое взаимно однозначное соответствие 83 (М, М), при котором множества Affe и Mfe, а также множества r£\..,4ft и T™...,ih переходят друг в друга. Только что описанного вида соответствие 25 (М, М) возникает, если выбрать какое-нибудь (из (п-\-1)\ возможных) взаимно однозначное соответствие между Г(п) и Г(п) и далее в последовательностях (8) и (9) центры тяжести сопоставить друг другу последовательно *). Таким способом установленное соответствие 83 (М, М) имеет еще такое очевидное свойство: если Г*"\.., \h и Г^}..., j имеют общий элемент, то общий элемент имеют Г*"*...,* и Г^Г,\..,*'Л» и наоборот. 7. Пусть теперь (8) есть спектр (3), о котором говорилось в основной теореме 4, а (9) есть барицентрический спектр (3) обычного w-мерного симплекса Я, описанный в замечании к теореме 4. В обозначениях п: 6 имеет место следующая Лемма 8. Взаимно однозначное соответствие 93 (Af, М) равномерно непрерывно в обе стороны. Сперва заметим, что между кристаллами i?i"\..,tft и ^*ь ...,гл (последний, очевидно, есть обычный п-мерный симплекс), отвечающими остовам Г^... f ife и Г^..., 4fc> взаимно однозначное соответствие, согласно предположению (а) основной теоремы и высказанному в последней строке п. 6 свойству, удовлетворяет условию: Rix ik и Rju ...jk имеют общую точку тогда и только тогда, когда ее имеют R{t * и Rjt ,- # *) Г(п> и Г(п> суть, как всегда, остовы, с которых начинаются спектры (8) и (9).
444 1Ь ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЁРНОЙ ТОПОЛОГИЙ Пусть теперь ке и dk — числа, найденные по спектру (9) и пространству R тем же способом, как /Cg и dk по спектру (8) и пространству R (леммы 6 и 7). Пусть %8 — наибольшее из чисел ке и ке, а 8k — наименьшее из чисел dk и dk. Пусть е — произвольное положительное число. Выбираем натуральное число /с, большее, чем %ъ, и выбираем т], меньшее, чем 8к. Пусть теперь ах и а2 суть две произвольные точки из одного из множеств М и М, выбранные под единственным условием, чтобы расстояние между ах и а2 было меньше, чем т|; пусть аг и а2 суть точки, соответствующие точкам ах и а2 из другого множества (т. е. если ах и а2 принадлежат М, то точки ах и а2 принадлежат М, и наоборот). Так как р (ах, а2) < т|, то, по лемме 7, обе точки аг и а2, а также точки ах и а2 принадлежат одному и тому же, или двум пересекающимся кристаллам сети Ж1™ (соответственно ЗДП)), каждый из которых, по лемме 6, имеет диаметр < е/2; следовательно, р (а1у а2) <2-е/2 = е, чем и доказывается лемма 8. Общая теорема об отображении полного метрического пространства: 8. Лемма 9 *). Пусть даны в полных метрических пространствах R и R всюду плотные (в R и соответственно в R) подмножества А и А, между которыми имеется взаимно однозначное и равномерно непрерывное в обе стороны отображение. Тогда пространства R и R гомео- морфны. Обозначим через S любое из пространств йиЛ, а через R — лежащее в нем подмножество А или А. Другое пространство (соответственно другое подмножество) обозначим через S (соответственно через В). Точки пространств S, *§, 5, В будем соответственно обозначать £, 1, х, х, причем точки х к х отвечают друг другу при данном взаимно однозначном соответствии между В и В. Поскольку соответствие между А и А равномерно непрерывно в обе стороны, то *) Несмотря на свою простоту, эта лемма часто оказывается полезной при доказательстве многих теорем.
11, ОЁ ОБОСНОВАНИЙ n-МЁРНОЙ ТОПОЛОГИЙ Ц5 1) сходящейся последовательности хг, х2, . . ., хп, . . . соответствует сходящаяся же последовательность хг, х2, . . . 2) двум сходящимся к одной и той же точке последовательностям {х'п} и {х'п} соответствуют последовательности {х'п} и {хп}, также сходящиеся к одной и той же точке. Отсюда легко следует, что, сопоставляя каждой точке £0 пространства S единственную предельную точку £0 всех последовательностей {хп}, соответствующих сходящимся к £0 последовательностям {хп}, мы получаем взаимно однозначное соответствие между S и S (т. е. между R и R). Будем теперь обозначать через | точку, отвечающую точке £ при этом соответствии, и покажем равномерную непрерывность этого соответствия £ -> | в обе стороны. Пусть дано произвольное е > 0. Из нашего предположения следует существование г\ > 0 такого, что из р {х\ хп) < Ti следует р (х', х") < е/2. Пусть теперь р (£', £") < т). Очевидно, .имеем р(6', £') = Hm р(х', х"). х' -*•!' Если х' сходится к I' (соответственно х" сходится к \"), то х' сходится к 1' (соответственно х" сходится к |"). Начиная с определенного момента, имеет место неравенство р (х\ х")<,г\ и потому также р (х\ х") < е/2 ир (g\ f") < ^ е/2 < 6, чем доказывается равномерная непрерывность нашего соответствия и потому вся лемма. 9. Вместе с только что доказанной леммой мы доказали основную теорему: оба пространства R и R компактны, следовательно, полны и содержат гомеоморфные подмножества М и М (из леммы 3), всюду плотные в R и R соответственно. Последняя доказанная лемма дает гомеоморфность R и R.
116 ii« ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ V. Топологическое определение п-мерного сферического пространства 10. Определение 5q абстрактного га-м ерного сферического спектра отличается от определения 5 обычного спектра только тем, что начальная сеть в определении 5 состоит из единственного остова Г(П), а здесь начальная сеть Щ} состоит из п + 2 остовов Tf\ . . ., Г{£2» объединение которых содержит ровно га + 2 различных элементов. Заменяя в предположениях основной теоремы слово «спектр» словами «сферический спектр», мы получаем топологическое пространство /?q, гомеоморфное га-мерному сферическому пространству (т. е. сферической поверхности х\ + . . . + Хп = 1). Это пространство мы будем называть га-м ерным сферическим многообразием. Доказательство остается буквально тем же (нужно только сферическое пространство рассматривать как га-мерную границу (га + 1)-мерного симплекса). Мы получаем таким образом параллельное определение обеих основных понятий: сферического и элементарного пространства. Наконец, топологическое пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству тогда и только тогда, когда оно присоединением одной-единственной точки превращается в сферическое пространство, только что определенное абстрактно *). VI. Определение n-мерного многообразия И. Из приведенных выше определений следует, что га-мерный элемент|Д(П) (т. е. топологическое пространство, удовлетворяющее предположениям раздела III) представляется в виде объединения *) Об общей проблеме расширения топологических пространств с помощью присоединения новых точек см. [3] и [4].
11. ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ Ц7 где G(H) (гомеоморфное внутренности обычного симплекса д<п>) есть область в В(П), а ф(П-4> есть (п — 1)-мерное сферическое многообразие, разложенное на п + 1 (п — 1)- мерных элементов, однозначно определенное спектром (3). Элементы, на которые таким образом разлагается Ф^-1*, называются (п — 1)-м ерными гранями элемента щп\ а ^-мерные (0 < р < п — 1) грани (п — 1)-мерной грани элемента i?(7l) называются /?-мерными гранями элемента /?(П). Нужно подчеркнуть, что р-мер- ные грани (0 < р < п — 1) элемента Я(П) определены полностью спектром (3), а именно, они соответствуют jD-мерным подостовам начального остова Г(П) спектра (3) таким же образом, как все пространство R = Я(П) самому остову Г(П). Нульмерные грани (образующие начальный остов11 Г(П) в (3)) называются* вершинами элемента i?(W). Определение 7. Конечное множество ^-мерных элементов, имеющих общую вершину |, каждые |два из которых имеют общую р-мерную (0 < р < п — 1) грань и не имеют никаких других общих точек, называется п-и ерной звездой, если (п — 1)-мерные грани данного элемента, не содержащие точки g, образуют (п — 1)-мерное сферическое многообразие ф<п-1). Определение 8*). Связное топологическое пространство, которое можно образовать из конечного (соответственно счетного) числа гс-мерных элементов так, что каждые два элемента либо не имеют общей точки, либо имеют общую р-мерную (0 < р < п — 1) грань, и не имеют никаких других общих точек, и так, что элементы, содержащие любую фиксированную вершину, образуют и-мер- ную звезду, называется д-мерным замкнутым (соответственно открытым) многообразием. Доказательство того факта, что элементы звезды включены друг в друга тем же способом, как симплексы некоторой симплициальной звезды л-мерного числового пространства, элементарно. Отсюда следует, что приведенное здесь определение эквивалентно первоначальному определению Брауэра ([5]). Ба (Нижняя Луара), 23 августа 1924 *) См. Брауэр [5].
118 И, ОБ ОБОСНОВАНИИ n-МЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ ЛИТЕРАТУРА [1] Tietze Н. Beitrage zur allgemeinen Topologie, I.— Math. Ann. 1923, 88, с 290—312. [2] Urysohn P. Uber die Metrisation der kompakten topologischen Raume.— Math. Ann., 1924, 92, с 275—293. [3] Alexandroff P., Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Raume.—Math. Ann. 1924, 92, с 254—266. Русский перевод: наст, кн., с. 75—85. [4] Alexandroff P. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Raume.— Math. Ann., 1924, 92, с 294—301. Русский перевод: наст, кн., с. 95—104. [5] Brouwer L. Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten.— Math. Ann., 1912, 71, с 97—106. КОММЕНТАРИЙ Работа посвящена решению важной задачи топологии тех лет — абстрактной характеризации n-мерного элемента (пространства, гомеоморфного га-мерному геометрическому замкнутому симплексу Тп) и я-мерного сферического пространства (гомеоморфного границе (п + 1)-мерного симплекса Тп+1). Работа известна еще и тем, что в ней впервые дается общепринятая в настоящее время форма определения топологического пространства посредством выделения открытых множеств (которые в соответствии с терминологией тех лет называются в работе областями) . Мы сохранили в работе терминологию (сети, остовы) автора, поскольку трудностей в понимании статьи она не представляет, а представляет в то же время значительную историческую ценность. *) Очевидно, имеется в виду то, что сейчас называется абстрактным симплициальным комплексом. 2) Речь идет, как легко видеть, о понятии барицентрического подразделения (или барицентрической производной) абстрактного комплекса. 3) Это и есть первое определение (хаусдорфова) топологического пространства посредством открытых множеств, о котором говорилось выше.—прим. ред.
12 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ в ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ *) В этой работе я хочу показать, что компактные метри- зуемые топологические пространства могут быть определенным образом аппроксимированы с помощью некоторых объектов, состоящих из конечного числа симплексов (и-мерных комплексов); что, обратно, каждое аппроксимируемое таким образом пространство является компактным и метризуемым, что при этом л-мерноепространство **) может быть аппроксимировано с помощью (в классическом смысле) гс-мерных комплексов, и гс-мерные комплексы могут аппроксимировать пространства размерности не выше чем п. В дальнейшем у читателя предполагается знание основных понятий теории размерности ***). I. w-мерные комплексы 1. Под комплексом размерности ^тг мы понимаем (заданную абстрактно) систему из симплексов размерности < п, каждые два из которых или не пересекаются, или пересекаются по общей грани****). Если при этом один симплекс является /ьмерным, а другой д-мер- ным, р < q, то д-мерный симплекс 'может содержать р-мерный в качестве одной из своих граней. Комплекс размерности <тг называется /г-м е р н ы м, если среди его симплексов найдется хотя бы один тг-мер- ный. *) Опубликовано в Math. Ann., 1926, 96, с. 489—511, под заголовком «Simpliziale Approximationen in der allgcmeinen Topo- bgie». Перевод с немецкого В. В. Агароняна. **) По поводу общей теории размерности см. (помимо открывающего эту область исследований краткого сообщения Брауэра И1) работы П. С. Урысона [2]—[3] и К. Менгера [4], [5]. ***) См. предыдущее примечание. Особое значение для всего последующего имеет глава 5 мемуара [3] П. С. Урысона. ****) При этом под нульмерной гранью понимают нерпшну.
120 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ Мы будем всегда считать, что данный комплекс (1) Я = {Slt St, ..., Sx} вместе с составляющими его симплексами содержит и все их грани. Это свойство комплекса может быть названо его полнотой и будет всегда предполагаться выполненным в дальнейшем. 2. С самого начала необходимо сделать следующее замечание. В топологии, как и в элементарной геометрии, тг-мерный симплекс полностью определяется своими п + 1 вершинами, так что два симплекса, имеющие одни и те же вершины, совпадают. Из этого следует, что топологический симплекс может быть определен как система своих вершин «ли даже как конечное множество элементов, называемых «вершинами». Размерность симплекса при этом — просто уменьшенное на единицу число его вершин, а грани симплекса суть подмножества множества его вершин. Мы приходим, таким образом, к следующему определению: Пусть задано бесконечное множество W, элементы которого будем называть вершинами, о котором больше ничего не предполагается. Множество S, состоящее из п + 1 различных элементов множества W, называется и-м ерным симплексом (п = 0, 1, . . .). Собственные подмножества множества S (являющиеся, следовательно, г-мерными симплексами, О^г^д — 1) называются (r-мерными) граня- м и симплекса S. Симплекс S тоже может рассматриваться как своя же несобственная (n-мерная) грань. Говорят, что симплекс S б о л ь ш е, чем симплекс Г, если Т является гранью симплекса S. Два симплекса называются соседними, если они (рассматриваемые как конечные множества) имеют непустое пересечение. В этом случае пересечение всегда! является общей гранью обоих симплексов. *•* Конечное множество не более чем га-мерных симплексов, среди которых имеется хотя бы один и-мерный, называется п-м ерны мТк о м п л е"к сом; [сами симплексы называются элементами комплекса*). *) Здесь нужно отметить, что на эту почву можно перенести вою комбинаторную топологию. Подход к этому указан в моей работе 16].
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 121 II. Элементарный вводный пример 3. Пусть R — окружность. Разделим R на 2m+1 (равных) дуг и обозначим через Йш (заданный геометрически) одномерный комплекс, образованный дугами и их вершинами. Каждая точка х £ R или содержится только в одной дуге из fim или является общей концевой точкой двух дуг. Если обозначить через Яm комплекс, двойственный *) комплексу Й™, то каждой точке х 6 R будет соответствовать или один нульмерный элемент комплекса Лт или два нульмерных элемента, принадлежащих одному и тому же одномерному элементу, и, следовательно, сам одномерный элемент. Каждой точке х 6 R соответствует единственный максимальный элемент комплекса S?m (т. е. элемент, не содержащийся ни в каком другом элементе, соответствующем точке х), и тогда точке х соответствуют также все (их не более двух) грани этого элемента. Поскольку это справедливо для любого т, то каждой точке х 6 R соответствует ц е п"ь (2о) *->, .*» О х» • • • » « ,х » • • •» причем Sm 4х является единственным соответствующим точке х максимальным элементом из комплекса йт. 4. Теперь рассмотрим подробнее, что представляет собой цепь. Различные комплексы Sm, т = 1, 2, . . ., связаны друг с другом тем, что каждой точке х £ R одновременно соответствуют некоторые системы симплексов, принадлежащие различным комплексам йт (при этом не обязательно как максимальные элементы). Если обозначить через Smyim какой-либо элемент комплекса Stm и через Smt im соответствующий элемент из S™, то систему (0-мерных или 1-мерных) элементов будем называть отмеченной, если все эти элементы соответствуют одной и той же точке х £ R (т. е. попросту *) Получающийся из комплекса £& заменой каждого нудь- мерного симплекса одномерным и наоборот.
122 12, АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ если пересечение всех симплексов 5*,^, S*,i2, . . ., Smj непусто). Последовательность (40) Suu, S2U, ..., Sm.^ ... будет называться отмеченной тогда и только тогда, когда каждый ее «отрезок» ISij^ S2j2 , . . ., Sm,im] является отмеченным. Цепь есть не что иное, как отмеченная последовательность, которая перестает быть отмеченной, если какой- либо из ее элементов заменить на больший (0-мерный на 1-мерный). Мы видели, что каждой точке х £ R соответствует единственная цепь (40), и тогда х является единственной точкой, содержащейся во всех симплексах Sm%\ • Но и, наоборот, в силу последнего правила каждая цепь определяет единственную (принадлежащую всем SmjJ ТОЧКУ X £ Д. Две цепи (40) и различны, если, по крайней мере для одного m, Sm9j отличается от 5т,г . Но тогда различны и соответствующие точки х и у и, следовательно, начиная с некоторого иг, симплексы Smj и Smj являются не^ только" различными, но и непересекающимися. Две различные цепи (40) и (50) не могут, следовательно, содержать бесконечное число соседних элементов Sm,i и Smj , т. е. выполнено условие 4° из п. 7 ниже. Очевидно, выполнены и условия 1°, 2°у 3° из п. 6- 5. Рассмотрим теперь следующую систему окрестностей, определяющую окружность как топологическое пространство." Если х есть общая концевая точка двух дуг комплекса S?™, то т-ю окрестность Um (х) точки х мы определим как множество всех точек пары дуг из К™, примыкающих друг к другу в точке х, исключая отличающиеся от х концевые точки этих дуг. Еели же х принадлежит только одной дуге комплекса S?m, то окрестность Um (х) состоит из всех внутренних точек этой дуги.
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 123 Таким (впрочем, единственно разумным) образом для каждой точки х и для каждого т определяется Um (х). Пусть теперь l,ti' 2,г2» ' т,гт» — цепь, соответствующая точке х, и у — какая-то другая точка окружности R. Если обозначить через цепь, соответствующую точке у, то видно, что у тогда и только тогда принадлежит окрестности Um{x), когда S, •, S0 . , ..., 5 . содержатся соответственно в £, . Следовательно, справедливо следующее правило: т-я окрестность точки х состоит из тех точек, соответствующие цепи которых в качестве своих первых т элементов имеют (собственные или несобственные) подэле- менты элементов цепи, соответствующей точке х. Таким образом, с помощью последовательности (20) наша окружность действительно определена как топологическое пространство. Понятие «топологической аппроксимации» окружности комплексом приобретает точный и полностью совпадающий с нашим интуитивным представлением смысл. Теперь мы хотим показать, что тот же смысл вкладывается в понятие топологической аппроксимации любых компактных метризуемых пространств. III. Общее понятие топологической аппроксимации 6. Определение I. Счетная последовательность комплексов \Z) Si, $?2> • • • » Km» • • • » Sm =z{Smt i, Om, 2? • • •» «Sm, A,m/» называется спектром, если задан закон, который так упорядочивает элементы, принадлежащие различным Rm, в отмеченные системы (которые могут называться и группами), чтобы выполнялись следующие условия:
124 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 1°. Каждая группа *) имеет вид <3> l5W*2.<..'--. ^.fj- 2°. Каждый отрезок группы (3) (т. е. каждая система [Sitil Sm, г'], где т' < т) есть снова группа, и наоборот, каждый элемент Sm, гт содержится по крайней мере в одной группе, и каждая группа является отрезком какой-то другой группы. 3°. Каждая отмеченная система остается отмеченной, если в ней какой-то элемент заменить на подэлемент (= грань). Определение II. Спектр называется конечномерным, именно, п-м ерным, если все комплексы йт, из которых он состоит, являются и-мерными. Спектр называется бесконечномерным, если размерность J?m растет неограниченно с ростом т. 7. Пусть дан спектр (2). Определение III. Бесконечная последовательность элементов будет называться отмеченной, если каждый ее отрезок [51 ., S2 { , ..., Sm . ] является отмеченным. Опр^е деление IV. Отмеченная последовательность называется цепью, если ее свойство быть отмеченной утрачивается, если какой-либо из ее элементов заменить на больший элемент Определение V. Спектр называется аппрок- с~и м~и р у ю щ и м, если он удовлетворяет следующему условию г): 4°. Для каждых двух различных цепей (4) и (5) существуют (4*) Si,W 52,V •• su такие __fi.» 1 ^» Jt •• Sm * m, • V ■v натуральные числа »' 52.V ' ' 7 rn • v г и s, что если *) Необходимо подчеркнуть, что в настоящей работе выраже- ия «группа» и «отмеченная система» равнозначны.
12, АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИЙ 125 и (5*) 51,^' S29hJ* ••*' Sm,km ••' суть две цепи, первые г элементов которых содержатся (в том же порядке) в соответствующих элементах цепи (4), соответственно цепи (5), то для каждого т > s имеем smh n smk =л. mthm I» m,ftm При этом две цепи называются различными, если по меньшей мере для одного т различны их т-е элементы. 8. При выполнении условий 1°—4° аппроксимирующий спектр однозначно определяет пространство R (аппроксимируемое этим спектром) следующим образом: Каждую цепь (4) спектра будем называть «точкой пространства R» (6) x=(Suu, s2fh,.... 5m>v...); симплекс Sm, im будем называть m-й координатой точки #, а т-я окрестность точки х состоит по определению из тех точек (7) ^(^..v^v-.^v-). у которых все без исключения первые т координат содержатся *) в соответствующих координатах точки х\ при к < т выполнено включение (8) s* * <= sk i • 9. Имеет место IV. Основная теорема Всякое пространство, определенное с помощью (аппроксимирующего) спектра, является компактным метризуе- мым топологическим пространством» Обратно, каждое компактное метризуемое пространство может быть аппроксимировано спектром', при этом размерность про- *) Еще раз обратим внимание читателя на то, что координата является симплексом и что симплекс есть конечное множество точек. И еще раз сделаем очевидное замечание, что различные цепи мы рассматриваем как различные точки пространства R.
126 12. АППРОКСИМАЦИЙ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ странства равна наименьшему из чисел (п или оо), которые являются размерностями спектров, определяющих это пространство. Доказательство. Предварительное замечание. Сначала сделаем еще один чисто терминологический шаг в определении симплекса: в п. 2 мы отметили, что не делаем никаких предложений о природе элементов множества W\ однако, поскольку для наших целей достаточно предполагать это множество счетным, то, начиная с этого момента, мы условимся, что W есть множество всех натуральных чисел; п-мерный симплекс будет тогда множеством, состоящим из п + 1 различных натуральных чисел *). 10. Сначала докажем, что наше пространство /?, определенное с помощью спектра (2), является топологическим пространством. А **). Каждая точка х имеет по крайней мере одну окрестность (в нашем случае даже счетное множество окрестностей) и содержится в каждой своей окрестности. B. Пусть Up (х) есть р-я, a Uq (х) — g-я окрестность (p^q) точки х. Тогда очевидно, что Up (х) fl Uq (х) = = Uq (*). C. Пусть точка (7) y = (SUJt,S2jt,...,SmJm,...) содержится в Um (х), причем (6) * = tflilt. *2.......Л,, v •••)• Тогда справедливы включения (8) Shjk с Sktik для всех /с<го. Если теперь z есть точка из Um (у), причем (9) * = (Sitht, S2^...9Sn%hmt...)t то ShthhczShjk, fc = l, 2, ..., го. *) Едва ли нужно упоминать, что это условие введено только из соображений удобства и отнюдь не является существенным; впрочем, оно никак не влияет на общность наших рассуждений. **) А, В, С, D суть четыре известные хаусдорфовы аксиомы топологического пространства применительно к пространству R.
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИЙ 127 Итак, вследствие (8) Sk,hk с: Sh,iki /с= 1, 2, ..., m, что означает не что иное, как z 6 Um (х). Поскольку точка z была произвольной точкой из Um (у), то Um (у) а d Um (х). D. Пусть#и1/((6) и (7)) — две произвольные (различные) точки из R. Тогда цепи (6) и (7) являются различными. Значит, по предположению 4° из п. 7, существует наименьшее такое га, что Sktik и Sk%jk не являются соседними, как только к^т. Я утверждаю теперь, что Um (х) f] Um (y)=kA. Пусть, действительно, z является заданной с помощью (9) точкой из Um (х) f] Um {у). Тогда мы имели бы Sm,/iwc:Sm,im и SmthmczSmjm, что противоречит определению числа т. Итак, окрестности Um (х) удовлетворяют всем четырем хаусдорфовым аксиомам А, В, С, D, что и доказывает, что R есть топологическое пространство. Примечание. Чтобы получить этот последний результат, было бы достаточно заменить предположение 4° из п. 7 на значительно более слабое, а именно: Если Smjm П Sm.jm Ф Л Для каждого тп, то цепи (3) и (5) совпадают. Необходимость предположения 4° в первоначальном виде будет ясна из последующего. 11. Пространство R является компактом. В самом деле, пусть (10) Jlf = {*„}, v = l,2,..., есть счетное множество, лежащее в i?, причем для каждого v (11) ^v=(*5lfi(v), S2ii<£>)> •••> 5m,iCv>' •••)' Поскольку £j[v> < Кх (см. (2)), то существует по крайней мере одно такое натуральное число i0t < Хг, что для бесконечного множества значений v выполнено (12,) *г>-*»\
it. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ и тогда [Я^о] есть группа; [St {о] означает при этом группу, состоящую из единственного элемента S{ i0. Предположим теперь, что мы уже построили группу такого вида, что существует бесконечно много значений v, для которых одновременно (12и) W = il, .... 4V) = C т. е. среди точек (11) имеется бесконечно много таких, что первые т координат их суть (13m) £мо, S2io, ..., 5mfiSi. Поскольку (т + 1)-я координата может принимать только конечное множество значений, то существует хотя бы одно такое im+i, что среди #v, первые т координат которых имеют значения (13т), найдется бесконечное множество точек, имеющих симплекс £ L, о своей (т + 1)-й координатой. Таким образом, получаем последовательность (40) 51>4о, 52iij, ..., 5те§Аэ ..., которая обладает следующим свойством: для любого т множество первых т элементов последовательности (40) является группой; (40), следовательно, есть отмеченная последовательность. Если, кроме того, (40) есть цепь, то наше построение завершено. Если же нет, то подвергнем (40) следующему преобразованию. Заменим, если это возможно без того, чтобы утратить свойство последовательности (40) быть отмеченной, элемент 51 ^ на больший элемент S{ л (наиболее высокой размерности) и оставим все остальные элементы из (40) на своих местах. С помощью этой операции (40) превращается в последовательность (4Х), элементами которой являются Sm fi , т = = 1, 2, . . ., причем (4Х) снова является отмеченной последовательностью. Пусть уже построена отмеченная последовательность (4Г), состоящая из элементов Sm л^. Рассмотрим элемент Sr+Il %г и заменим его на больший (по возможности более высокой размерности), если
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 129 при этом последовательность (4Г) не перестает быть отмеченной. Если последнее невозможно, оставим Sr+lt ir без изменений. Все остальные элементы последовательности (4Г) оставим без изменения в любом случае. Полученная таким способом последовательность является отмеченной и будет обозначаться ^ер6з(4г+1); ее элементы обозначаются соответственно через Smt *r+i. Таким образом, для каждого г получаем отмеченную последовательность (4Г), причем (I4) Sr, if = Sr, irr+1 = Sr, iV2 = • ' • Положим теперь для каждого т и получим, таким образом, на основе тождеств (14) отмеченную последовательность (4) ^1,4» ^2,1,, • • •, S т,г„ Я утверждаю теперь, что эта последовательность есть цепь. В самом деле, если бы это было не так, то можно было бы в (4) некоторый элемент Smfi заменить на больший элемент £т>г так, чтобы получилась отмеченная последовательность (4') 5l.ii» 52,г„ ..., Smti'mi ••• Но тогда и последовательность \4m) »bi zTn, 00 .то, ..., *Ь .' , *Ь ,. .т , ... ' ItH 2,t2 ' т, im' iw + I.Ith+i была бы отмеченной, т. е. элемент Smtim был бы неправильно выбран. Свойство последовательности (4) быть цепью и существование точки (6) x=(Si.it, S2tit, ..., Sm,im, ...) этим доказано. Теперь мы видим, что для каждого т найдется бесконечное множество точек xv (см. (11)), которые
130 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ одновременно удовлетворяют включениям А это означает, что х есть предельная точка множества (11). Этим доказана компактность пространства R. Чтобы теперь показать, что R является не только компактным, но и метризуемым, достаточно согласно известной метризационной теореме Урысона доказать, что R удовлетворяет второй аксиоме счетности. Для этого рассмотрим любую заданную с помощью (6) точку х пространства R и ее произвольную окрестность Um(x). Um (х) является множеством тех точек пространства /?, первые т координат которых по порядку содержатся в S\4ix, £2,1 , • • •» Sm,i . Следовательно, каждая окрестность Um (х) полностью определена заданием упорядоченного множества натуральных чисел гг, i2, . . ., im. Но поскольку множество конечных последовательностей натуральных чисел счетно, то счетным является и множество всех различных Um (#), чем доказана метризуемость пространства R. Начиная с этого момента, под R понимается компакт- ное метризуемое пространство. 12. Рассмотрим вначале случай, когда спектр (2) является конечномерным (скажем, тг-мерным), и докажем, что тогда и R является не более чем и-мерным. Доказательство основывается на одной принадлежащей Урысону фундаментальной теореме теории размерности. Чтобы сформулировать эту теорему в удобной для нас форме, введем следующее вспомогательное определение. Пусть е есть произвольное положительное число и р — натуральное число. Конечную систему замкнутых множеств /*\, F2, . . ., Fs, лежащих в метрическом пространстве, назовем (е, р)-п о - к р ы т и е м пространства i?, если выполнены следующие условия:
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 131 a) объединение ^J Ft множеств Ft совпадает с простран- i=l ством R\ b) диаметры б (Ft) множеств Ft, i = 1, 2, . . ., s, все без исключения меньше е; c) не существует ни одной точки пространства R, которая принадлежала бы более чем р множествам Ft. Теперь мы можем сформулировать фундаментальную теорему *) Урысона следующим образом: Для того чтобы компактное метрическое пространство R имело конечную размерность ?г, необходимо и достаточно, чтобы для каждого г > О существовало (е, п + 1)- покрытие пространства R, а для некоторого достаточно малого г не существовало бы ни одного (е, п)-покрытия. Итак, нам нужно теперь доказать, что для компактного метрического пространства i?, определенного с помощью гс-мерного спектра (2), всегда существует (е, п + 1)- покрытие, и притом для каждого сколь угодно малого 8>0. Для доказательства обозначим через FmA множество всех таких точек пространства i?, у которых т-я координата содержит симплекс 5m,f, и докажем сначала, что FmA всегда есть замкнутое множество. В самом деле, пусть (15) #=(£1,11» ^2,4, ..., *Sm.imi •••) есть предельная точка множества FmA. Окрестность Um (х) содержит точки множества Fm>i, что, между прочим, означает, что Sm%im содержит m-ю координату по крайней мере одной принадлежащей множеству FmA точки, откуда, согласно определению множеств FmA, следует включение Smj гэ Smti, которое показывает, что х является точкой множества Fmi. Далее мы докажем, что для каждого е > О существует такое натуральное число тг1 что неравенство W) 8(Fm>i)<B справедливо для всех т^тг. *) Урысон [2], гл. 5.
132 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ В самом деле, пусть последнее утверждение неверно. Тогда существует а > 0 и бесконечное число множеств (17) **mt,pti Гтп2,р,, •••1 Fmh,vki •••» для которых 8(FWfeiPft)^a. Значит, для каждого к существуют две точки xk и i/fe, принадлежащие множеству Pmktphi расстояние между которыми ^а. Переходя, если нужно, в (17) к подпоследовательности, можно считать, что последовательности %k и Уи сходятся соответственно к точкам а; и у, где (18) x = (Sitii, S2ii2, ..., Smt im, ...) и (19) y=z(Sitjl9 S2j2y ..., Smj^ ...) суть две точки пространства /?, расстояние между которыми равно по меньшей мере а и которые, таким образом, заведомо различны. Выберем числа г и s произвольно, а к0 настолько большим, чтобы для всех к > к0 одновременно выполнялись соотношения (20) xk 6 Ur (*), yh € UT (у), pk > s. Поскольку рк-я координата точки хк имеет общие вершины с jPfe-й координатой точки ykl условие 4° из п. 7 не выполняется. Значит, (16) выполнено. Обозначим теперь через (21) ф'Д ФГ, .... Ф?т те из множеств Fmti, которые соответствуют нульмерным элементам Sm, t комплекса ffim, и докажем, что они (для т^тг) образуют (е, п + 1)-покрытие пространства Л. Для этого мы покажем, во-первых, что (для каждого га) пространство R содержится в объединении множеств 21), во-вторых, что нет ни одной точки х d R, которая принадлежала бы более чем п + 1 множествам системы (21). Начнем доказательство с последнею утверждения» Если точка (6) я = (5i,ii' $2Ati •••» ^«.*m» •••) принадлежала бы по крайней мере п + 2 различным множествам Ф™, то т-я координата точки х (т. е. симплекс
12, АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 133 Sm г ) содержала бы соответствующие нульмерные элементы Sm, ь следовательно, по крайней мере л + 2 различные вершины, т. е. имела бы размерность ^п + 1. Но это противоречит нашему предположению, Первое утверждение, т. е. тождество тп (22) R=\J<X>?, 1 = 1 следует из того, что каждая точка (6) пространства R содержится в соответствующем множестве Fm, * и, следовательно, в каждом множестве Ф™, соответствующем вершине симплекса Sm \ . ' тп Этим завершается доказательство того, что dim R ^ п. 13. Пусть теперь С — произвольное и-мерное компактное метрическое пространство. Чтобы показать, что С может быть аппроксимировано n-мерным спектром, рассмотрим сходящуюся к нулю последовательность положительных чисел ет, которые все достаточно малы, чтобы исключить существование (ет, я)-покрытия пространства С. Затем выберем для каждого m некоторое (em> п + 1)-покрытие (23) ФГ, Ф?, ..., Ф?т и построим тг-мерный комплекс $т следующим образом: Симплекс S — ($!, 52, . . ., 5Г), где 5Х, s2, • • •» s* — произвольные (различные) натуральные числа, тогда и только тогда принадлежит комплексу йт, когда множество (24) ф:ПФ"П--.ПФ" = ФГ5] не является пустым (при этом для s > vm все Ф™ по определению предполагаются пустыми). Непосредственно ясно, что вместе с симплексом S и каждая грань симплекса S принадлежит комплексу S?m и, таким образом, $т Удовлетворяет приведенному в § 1 условию полноты 2). 14. Последовательность определенных таким образом и-мерных комплексов превращается в гс-мерный спектр при следующем условии: Пусть (25)
134 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ суть элементы комплекса йт, т — 1, 2, ... Мы говорим тогда, что система элементов {26) [^1,4» 52)i2, . .., 8ту1т] является группой, если (27) ФГ« .]nO[S2|]n...norsml ]=И=Л. Вследствие (24) Ф^сФ™^, как только 5=э5*, откуда следует, что условие (27) остается выполненным, если какой-нибудь из элементов Su,ik (к^.т) заменить на подэлемент. Следовательно, выполнено условие 3° из п. 6. Вторая половина условия 2° следует из того, что ни одно из множеств Ф^ (s^vm) не является пустым. Выполнение условия 1° и первой половины условия 2° не требует доказательства. Остается только проверить условие 4° п. 7, и это делается следующим образом: Пусть дана отмеченная последовательность (28) *51, г j» ^2,г2» ..., Smt f , ... Я утверждаю, что пересечение (29) П ф[*т, ««1 т=1 СОДерЖИТ ОДНу И ТОЛЬКО ОДНу ТОЧКУ Xilti2t...ti , .... В самом деле, поскольку (28) есть отмеченная последовательность, то ни одно из замкнутых множеств Fm = т = f\ ®[sk% гк] не является пустым, и, следовательно, ft=i поскольку FmzD Fm+1, то по теореме пересечения Кантора, справедливой для всех компактных пространств, пересечение всех множеств Fm непусто. Множество (29) не может содержать более одной точки, поскольку б (Ф™)» а следовательно, б (Ф[8т { л) и б (Fm) стремятся к нулю вместе с 1/т. Пусть теперь (28) и (30) ^i.ji» S2j2, ...» ^™,jm, •••
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 135 суть две соседние отмеченные последовательности (т. е. пусть бесконечно много элементов Smk ^ и Smk, j, к = = 1, 2, 3, . . ., являются соседними. Если Smk,ik П SrnkJk = Smk,hk, то 1268 1 (3D Ф[ЧЧ]^Ф[Ч,А]иФЧ^ Поскольку б(Ф[5т h ]) стремится к нулю вместе с 1/к§ то по (31) также Ьтб(Ф[8т^й]иФ[5т^й]) = 0. Обе точки xiuiti ,„ti ... и £;itj2 jfcf..., определяемые соответственно последовательностями (28) и (30), принадлежат, однако, каждому из множеств (&=1, 2, ...) и потому должны совпадать: (о1 ) xiu i9i...,im,... =;r==;rii,i,, ...,jm, . ..• Итак, мы доказали, что пересечения f^ Ф[5т { ] и {] Ф[вт j ] Для соседних отмеченных последовательностей (28) и (30) суть одна и та же точка. Покажем теперь, что отмеченные соседние цепи (28) и (30) обязаны просто совпадать; тем самым 4° будет доказано. В самом деле, если (28) и (30) не совпадают, то имеется по меньшей мере одна пара различных симплексов Sm, { и 5m> j . Значит, хотя бы одна вершина одного из этих симплексов не принадлежит другому, и потому число точек множества Sm, i \J Sm, j строго больше и числа точек множества Smi г , и числа точек множества Smi ■ . Обозначим натуральные числа, из которых состоит Sm, г , через гх, г2, . . ., гр, а числа, из которых coctoih 5m, jm,— через tl9 t2, . . ., tq. Пусть, далее, %, s., . . ., sT суть все различные числа среди чисел гх, г2, . . ., гр,
136 12. АППРОКСИМАЦИИ в; ОБЩЕЙ топологии tlt t2, . . ., tq. Вследствие (24) и (29) имеем <Е <К П <К П • • • П Фу и потому (32) «€Ф"ПФ"П...ПФ". Множество sx, s2, . . ., sr натуральных чисел образует некоторый симплекс Sm h комплекса §rm, причем 5m * ' ГО ' 7П и 5™, j являются собственными гранями этого симплекса. Последовательность (33) в силу соотношений ж ==^t1, i2, . . ., ik, .. . С € Ф[Я1, <tl П • • • П Ф^.,, imii П Ф[5пМт] Л • • • П Ф[з„, lfc] (A; = 1, 2, . . .) и включения (32), т. е. *€Ф[8т.О' является отмеченной, а это противоречит предположению, что последовательность (28) есть цепь. 15, Итак, спектр, построенный в п. 14, определяет некоторое топологическое пространство Д, и нам остается доказать только топологическую тождественность пространств R и С. Это делается следующим образом. В п. 14 мы показали, что каждой отмеченной последовательности (и потому каждой цепи) однозначно соответствует точца х\и \ts ...f \ ... пространства С. Иначе говоря, каждой точке пространства R соответствует некоторая точка пространства С. Покажем сначала, что это соответствие взаимно однозначно. В самом деле, пусть х — произвольная точка пространства С. Обозначим через Фтх, О™*, ..., Фтх те г1 г2 гг множества ФГ, которые содержат точку х\ симплекс {г*, ££, ..., i* } есть тогда некоторый симплекс ж — XU* г2, . . ., ife, . . . ;Г —xii,i2> • •> ife.
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 137 комплекса Rw. Легко видеть, что (28) ^l.ii» ^2,i2> •••> ^m,im> ••• есть цепь и что точка х\л * \ совпадает с х. Дословно повторяя рассуждения предыдущих пунктов, приводящих от соотношения (31*) к последовательности (33), легко доказать, что точка х не может соответствовать двум различным цепям (28) и (30) (ведь соотношение (31*) само следует из того, что точка х оказывается совпадающей одновременно с xiltiat..., im,... и с Xjlt^t ...jm,...). 16. После того как установлено взаимно однозначное соответствие между точками пространств ЯиС, мы можем просто отождествлять эти точки, считая, таким образом, пространства R и С тождественными. Остается доказать, следовательно, что определенная с помощью спектра система окрестностей пространства R эквивалентна системе шаровых окрестностей пространства С. Чтобы достигнуть этой цели, достаточно проверить следующие два утверждения: I. Каждая окрестность Um (х) (см. п. 8) является открытым множеством в С. II. Для произвольного 8>0и произвольной ТОЧКИ X существует окрестность Um(x) диаметра <С е (диаметр, естественно, понимается в метрике пространства С). Доказываем I. Пусть (6) x=(Siyil, S2,it, ..., ^m, imi -..) есть произвольная точка пространства R ~ С. Обозначим через Vm (х) множество^всех точек, т-е координаты кото- т рых содержатся в Sm,im. Тогда Um(x) = f]^yh (х), так что достаточно показать открытость в С каждого Vk (х). Пусть (34) ф£э ф£, ..., Ф™ суть все те Ф™ (i = 1, 2, . . .; см. п. 13), которые не t содержат точку х, и ¥т (х) = [J ФРк — их объединение.
138 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ Таким образом, Ч1^ (х) есть замкнутое не содержащее точки х множество в С. Утверждение I будет доказано, если мы покажем, что (35) Vm (х) = С \ ¥т (х). Пусть у — произвольная точка множества Vm (х): (7) y = (Si, л» S2j2, ..., Sm,jm, ...) и пусть симплекс Smj состоит из чисел s^m, s^m, ..., ^,m. Поскольку (7) есть цепь, у содержится лишь в множествах (36) Ф™ , Фт} , ...,Ф™ 1 2 г (среди всех множеств Ф™). Покажем, что каждое множество в (36) содержит точку х. В самом деле, Smj cz Smti , откуда в силу (24) Но (37) * = *i, *,,.... im,...= n<%m,im], 771=1 так что х 6 Ф[5 • ]? т« е« х действительно содержится в каждом множестве из (36). Мы доказали, таким образом, что множество Ф™ содержит точку я, если оно содержит у. Но это означает, что ни одно из множеств (34) не содержит у, и потому уеС\Ут (X). Поскольку точка у была выбрана произвольно в Vm (я), то мы имеем (38) Vm (х)аС\ Ут (х). Пусть теперь z — произвольная точка из С \ Ч1"™ (х): (9) Z = (Si,ht, S2,h2i •••» Srn,hm, ..-)• Мы хотим доказать, что z£Vm(x), т. е. что
12, АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 139 Если бы это было не так, т. е. если существовало бы натуральное число 5, содержащееся в Smt h , но не содержащееся в 5m, t , то это означало бы включение z 6 Of, что невозможно. Следовательно, Of было бы одним из множеств (34), и точка z тем самым принадлежала бы Ч^ (я), а не С \ ¥т (х). Этим доказано включение (39) и, следовательно, все утверждение I. 17. Переходим к доказательству утверждения П. Пусть точка х £ С и число е >> 0 произвольны, причем х задана своим «координатным разложением» (6). Выберем т столь большим, чтобы для каждого i было б (Of) < е. По доказанному имеем Um (х) cnVm(x) = C\ Wm (х), т. е. каждая точка у £ Z7m (х) принадлежит множеству Of, содержащему точку х. Поскольку 6 (Of) < е, то расстояние р (х, у) для произвольной точки у меньше е и, следовательно, Um (х) содержится в шаровой окрестности S (х, е), что и требовалось доказать. 18. Пусть теперь С есть бесконечномерное компактное метрическое пространство. Для каждого е >> 0 можно определить натуральное число п(г) и1 (е, ?г(е))-покрытие следующим образом. Берут для каждой точки х пространства С окрестность U (х) диаметра < е и выбирают согласно теореме Боре- ля—Лебега конечное число v(e, этих окрестностей так, чтобы их объединение совпадало с С. Пусть Uf\ и[е\ ..., С/^-эти окрестности. Тогда множества Ф<Д Ф<8\ ..., Ф« )f Ф<8) = [0?>] (i< v(e)) образуют (е, п(8))-покрытие, причем п(г) есть порядок ([2], гл. 5) системы всех множеств 0(.8> (г<>(8)), т. е. наибольшее число множеств Ф(г8\ содержащих одну и ту же точку. Допустим, что 8 есть сходящаяся к нулю последовательность значений ^1? &2' • * •» ^mt • • •»
140 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ и выберем только что описанным способом для каждого ew покрытие (23) {ФГ> Ф?, ..., Ф?т), где положено ФГ = Ф|т, vm = v(em). Поскольку пространство С бесконечномерно, то пт = = га(е ) стремится к бесконечности одновременно с т. Начиная с этого момента, построение спектра, аппроксимирующего пространство С, производится с помощью дословного повторения соображений, приведенных в пп. 7—13. Спектр бесконечномерен, поскольку комплексы $т являются ?гт-мерными. Утверждение доказано. V. Заключение 19, Итак, любое топологическое свойство компактного метрического пространства может быть всегда выражено одним из следующих способов: 1. Пространство можно аппроксимировать по крайней мере одним спектром, удовлетворяющим некоторым дополнительным условиям (которые как раз и характеризуют упомянутое свойство). 7" g2. Каждый спектр, аппроксимирующий данное пространство, удовлетворяет некоторым (только что упомянутым) дополнительным условиям. При этом надо отметить, что каждое дополнительное условие, которому спектр может удовлетворять, есть не что иное, как свойство некоторых упорядочений симплексов (следовательно, упорядочений натуральных чисел). Упорядочения, которые определяют строение спектра (и в которых, таким образом, только и заключается все дело), можно разделить на три класса: "*" *У порядочения первого рода — это упорядочения конечных множеств вершин (^натуральных чисел) в'#симплексы. Они имеют только одно свойство, именно, количество натуральных чисел (=вершин), которые должны по необходимости в каждом спектре, определенном данным пространством, соединиться в симплексы. Это свойство есть не что иное, как размерность пространства.
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 141 Упорядочения второго рода — это упорядочения симплексов в комплекс йт. Соответствующие свойства пространства суть не что иное, как свойства (чисто комбинаторной природы), которые по возможности или по необходимости приписываются комплексам, образующим спектр. Эти свойства мы назовем комбинаторными свойствами. Упорядочения третьего рода — это упорядочения конечного множества симплексов, содержащихся в различных комплексах, в отмеченные последовательности. Соответствующие этим упорядочениям свойства пространства с логической точки зрения самые сложные: они редко могут быть представлены в «чистой» форме, т. е. зависящей от свойств первого и второго рода. Впрочем, кажется, что упорядочения третьего рода определяют строение пространства «в малом», насколько это возможно без привлечения свойства размерности. Теперь мы хотим привести элементарные примеры «чистых» свойств второго и третьего рода. 20. Комплекс й называется связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся комплекса. (При этом комплекс $ называется разбитым на два комплекса йх' и ff2> если каждый элемент комплекса S? является элементом комплекса $г или й2 и каждый элемент комплекса $t (& = 1, 2) является элементом комплекса St) Легко доказать, что комплекс St является связным тогда и только тогда, когда каждые два элемента S0 и Sp+1 комплекса S? могут быть соединены с помощью (конечной) последовательности соседних элементов комплекса St\ например, £0, S±, . . ., Sp, Sp+1. Справедливы следующие две теоремы: I. Если компактное метризуемое топологическое пространство R является связным, то каждый спектр, аппроксимирующий это пространство, состоит только из связных комплексов. Пусть дан спектр, аппроксимирующий пространство R: (2) Йх, й2, • • ., Йт> . . . , и пусть, например, комплекс Ят несвязен; следовательно, (24) ят-ад.ия2,, причем $£, и ffim не пересекаются.
142 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ьПусть iOfe1 (соответственно гФ™) суть замкнутые множества Ф™, соответствующие нульмерным элементам комплексов Sim (соответственно йт) (см п. 12, (21)), и Ч^1 (соответственно Ч1^1) — объединения всех множеств ±Ф% (соответственно гФ™)* Тогда д = ЧТичТ- Я утверждаю теперь, что замкнутые множества YJ1 и Ч™ не пересекаются. В самом деле, если бы существовала точка х, принадлежащая множеству ^¥f f] ЧТ, то ее т-я координата Smt t содержала бы элемент комплекса ftw и одновременно элемент комплекса Кт. Следовательно, Smt i не могло бы принадлежать ни комплексу йт, НИ $т. II. Если компактное метризуемое пространство аппроксимируется спектром, состоящим исключительно из связных комплексов, то оно является связным. Доказательство этой теоремы получается сразу (принимая во внимание упомянутые в начале этого параграфа необходимые и достаточные условия связности комплекса и элементарные свойства компактных метрических пространств) применением неравенства (15) (и Содержащего это неравенство абзаца) из п. 12. Итак, мы видим, что свойство компактного метрического пространства быть связным есть комбинаторное свойство пространства, которое при этом можно выразить любым из способов 1 и 2 п. 19. 21. Свойство локальной связности дает нам пример свойства, основанного исключительно на упорядочении третьего рода. Введем следующее обозначение. Пусть произвольно даны: 1) аппроксимирующий спектр (2); 2) нульмерный симплекс Sm, t произвольного, но фиксированного комплекса $т спектра (2); 3) натуральное число s > m. Через Qm% t t s обозначаем тогда комплекс, состоящий из всех тех симплексов комплекса Sls, которые принадлежат по меньшей мере одной группе, содержащей элемент 22» Легко доказать следующую теорему:
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 143 III. Для того чтобы компактное метрическое пространство R было локально связным, необходимо и достаточно, чтобы существовал аппроксимирующий пространство R спектр, все комплексы Qm^ ,s которого были бы связными. Эскиз доказательства таков. Сначала доказывается, что связность всех Qm,i ,s (т, im фиксированы, s >> т меняется) необходима и достаточна для того, чтобы множества Ф^ из (21) п. 12 были связными. Если же все Ф™т суть континуумы, то локальная связность пространства сразу следует из неравенства (16) (п. 12) и известной теоремы Серпинского [7]. Условие теоремы III, таким образом, достаточно. Чтобы увидеть его необходимость, заметим сначала, что для каждого локально связною ^-мерного компактного метрического пространства R и для каждого е > О можно найти (е, п + 1)-покрытие, которое состоит исключительно из континуумов ([2], гл. 5). Отсюда легко следует, что пространство R можно аппроксимировать спектром *), которому принадлежат связные множества ФГ и, следовательно, связные комплексы Qm^ s. 23. Из последнего примера можно видеть важность упорядочений третьего рода. Впрочем, можно легко указать пространства, которые имеют одинаковую размерность и одни и те же комбинаторные свойства (т. е. которые аппроксимируются спектрами, состоящими из одних и тех же комплексов), но несмотря на это являются топологически различными. Достаточно в качестве одного пространства выбрать замкнутый прямолинейный отрезок, а в качестве второго— известную кривую, задаваемую в декартовых координатах следующим образом: i ^ = sinT при 0<^7Г' I — 1-<г/-<1 при х=0. Обе кривые можно аппроксимировать, например, спектрами, все комплексы Й!т которых состоят из т одномерных симплексов, линейно примыкающих друг к другу ) И притом той же самой размерности, что и само R.
144 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ - (!ftm можно представлять себе как результат деления отрезка на т равных частей). 24. Я надеялся показать настоящим нсследованнем, что между классической топологией и современной теоретико-множественной топологией лежит далеко не такая глубокая пропасть, как часто себе представляют. Точнее можно сказать, что топологические свойства в обеих случаях имеют комбинаторную природу, поскольку их можно толковать как свойства расположения конечных схем *). Но есть, однако, существенное различие между нашим общим случаем и случаем классической структуры. Здесь, как и там, имеется последовательность становящихся «произвольно мелкими» схем, совокупность которых определяет пространство. А различие состоит в том, что в классическом случае свойства схем и их последовательное соответствие остаются стационарными, так что пространство можно отождествить с его схемой. В общем же случае эти свойства изменяются при переходе ко все более мелким схемам и само измельчение (упорядочение третьего рода) не может быть представлено в виде последовательного процесса. Соответственно пространство можно образовать только с помощью предельного перехода. Ба (Нижняя Луара), август 1925 г. ЛИТЕРАТУРА [1] Brouwer L. Ober den naturlichen Dimensionsbegriff.— J. reine angew. Math., 1913, 142, с 146—152. [2] Urysohn jP. Les multiplicites Cantoriennes.— C. r. Acad. sci. Paris, 1922, 175, с 440-442. [3] Urysohn P. Memoire sur lcs multiplicites Cantoriennes.— Fundara. math., 1925, 7, с 30—139; 1926, 8, с. 225-359. *) В случае, когда подлежащее спектральной аппроксимации пространство есть, например, замкнутое многообразие, упорядочения третьего рода соответствуют определенным, но косвенным образом тем упорядочениям, которые возникают при переходе от данного клеточного разбиения многообразия к более мелкому (ср. пп. 3—5). Только эти клеточные разбиения нужно сооружать образом, отличным от обычного (см., например, лебеговы кубильяжи в евклидовом пространстве [8]). Фактически имеется в виду рассмотрение последовательности бесконечно измельчающихся клеточных разбиений и их нервов.
12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 145 [4] Menger К. Uber die Dimension von Punktmengen, I.— Monatsh. Math. Phys., 1923, 33, с 148—160. [5] Menger K. Uber die Dimension von Punktmengen, II.— Monatsh. Math. Phys., 1924, 34, с 137-161. [6] A lexandroff P. Zur Begrundung der /t-dimensionalen mengentheore- tischen Topologie.— Math. Ann., 1925, 94, с 296—308. Русский перевод: наст, кн., с. 105—108. [7] Sierpinski W. Une demonstration du theoreme sur la structure des ensembles de points.— Fundam. math., 1920, 1, с 1—6. [8] Lebesgue H. Sur les correspondances entre les points de deux espa- ces.— Fundam. math., 1921, 2, с 256—285. КОММЕНТАРИЙ Обратные спектры (обратные системы) играют в современных топологических (да и не только топологических) исследованиях важнейшую роль. Впервые понятие обратного спектра появилось именно в этой работе П. С. Александрова в виде проекционных спектров (т. е. спектров, состоящих из конечных комплексов или, что то же, из конечных Г0-пространств). Рассматриваемая статья содержит первый еще не совершенный вариант определения проекционного спектра. Более простой вариант (см. ниже) дан в последующих публикациях П. С. Александрова. Основная теорема статьи об аппроксимации (л-мерных) компактов (я-мерными) проекционными спектрами получила дальнейшее развитие в работах А. Г. Куроша (Compositio math., 1935, 2, с. 471—476), показавшего, что любой (не обязательно метризуе- мый) бикомпакт аппроксимируется проекционным спектром из конечных комплексов; Б. А. Пасынкова (Тр. Груз, матем. ин-та, 1960, 27, с. 43—52 и Вестн. МГУ, матем., механ., 1965, № 3, с. 47— 50), установившего взаимно однозначное соответствие между всеми («-мерными) бикомпактами и аппроксимирующими их так называемыми экстремальными проекционными спектрами (и-мерными); В. И. Пономарева (Матем. сб., 1963, 60, № 1, с. 89—119), показавшего, что любой (п-мерный) паракомпакт аппроксимируется проекционным спектром уже из бесконечных (м-мерных) комплексов; В. А. Валиева (ДАН СССР, 1971, 200, № 2, с. 262-265), распространившего результат Пономарева на полные по Дьедонне пространства. В наиболее общей форме проекционные спектры рассмотрены В. И. Зайцевым (Тр. Московск. матем. о-ва, 1972, 27, с. 129-193). Исследованием обратных спектров занималась также многие видные математики, в том числе Г. Фр^йденталь, Стинрод и др.— Прим. В. И. Пономарева. 1) Условие 4° (и затем одно место в доказательстве формулы (16)) здесь формулируется в исправленном виде (взятом из «Замечания» П. С. Александрова к настоящей работе: Alezandroff Р. Bemerkung zu meiner Arbeit «Simpliziale Approximationen in der allgemeinen Topologie».— Math. Ann., 1929, 101, с 452—456). В «Замечании» приводится также новый, более совершенный вариант определения проекционного спектра. Именно,
146 12. АППРОКСИМАЦИИ В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ последовательность комплексов Svj, эт2» • • •» Stm» • • • называется проекционным спектром, если для каждого т определено симплициальное отображение (проекция) я комплекса ®т-ц на комплекс ®т: я (®m+i) = ®т- Отмеченными объявляются последовательности £i» S2y • . ., Sm, • • • симплексов, если Sm £ ®m и л (Sm+1) = Sm для каждого т. Дальнейшие определения (цепи, аппроксимирующего спектра и т. д.) могут быть сформулированы, как в основном тексте.— Прим. ред. 2) Комплекс йт является, легко видеть, нервом системы множеств (24). Именно здесь впервые появляется одно из важнейших понятий топологии — понятие нерва.— Прим. ред.
13 О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ *) 1. В последующем под нульмерным множеством мы понимаем нульмерное метризуемое топологическое пространство со счетной базой **). Название «нульмерные множества» для таких пространств вполне оправдано, поскольку каждое такое пространство гомеоморфно некоторому подмножеству множества всех вещественных иррациональных чисел ***). Как известно, наличие счетной базы следует из одновременного выполнения условий компактности и метризуемости ****). Нульмерные компакты гомеоморфны замкнутым ограниченным нигде не плотным линейным множествам. После этих пояснений можно высказать следующую теорему: I. У каждого бесконечного нульмерного множества М {рассматриваемого как топологическое пространство) существует счетная база 58, удовлетворяющая следующим условиям: 1. Из двух множеств, являющихся элементами базы 85 и имеющих непустое пересечение, одно всегда содержится в другом. *) Работа, совместная с П. С. Урысоном. Опубликована в Math. Ann., 1928, 98, с. 89—106. Русский перевод Е. Ф. Мищенко взят из сборника Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики.—М.; Л.: Гостехиздат, 1951, с. 973—992. **) Терминологию ср. работыП. С. Урысона [1], в особенности § 8, и [2], ч. 1, в особенности с. 268. ***) В самом деле, во-первых, каждое метризуемое пространство со счетной базой гомеоморфно некоторому подмножеству компактного метрического пространства (см. П. С. Урысон [3]), во-вторых, каждое нульмерное подмножество компактного метрического пространства гомеоморфно некоторому подмножеству множества всех иррациональных чисел (см. [2], ч. 1, гл. 1, § 16). ****) См., например, Хаусдорф [4], с. 144, теорема IX.
148 13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 2. Не существует никакой бесконечной возрастающей последовательности множеств, являющихся элементами базы 93 (т. е. каждая возрастающая последовательность множеств Gn б 23, <?!-(= G2 а . . .с Gn с . . ., непременно конечна). Доказательство. Пусть Af — нульмерное метрическое пространство со счетной базой. Для того чтобы система 93 открытых в М множеств была базой метрического пространства Л/, необходимо и достаточно, как легко убедиться, чтобы для каждого положительного е и для каждой точки х пространства М существовало открытое множество, принадлежащее к 93, имеющее диаметр < е и содержащее точку х. С другой стороны, так как М нульмерно, то для каждого е > 0 пространство М может быть разложено на конечное или счетное число попарно не пересекающихся открытых множеств диаметра < е (см., например, [2], ч. I, гл. I, § 17). Принимая это во внимание, получим разложения M=\JMU, (i.) Mit = \jMilit, <w причем все открытые множества Mj,jt...ife удовлетворяют условиям s(MM,...g<|, ^A...vi+1nM1A...ljklj+1-A. Так как каждая точка х пространства М содержится в некотором Miti2.,.ik с произвольно большим &, т. е. с произвольно малым диаметром, то система 93 вс$х Мг\.,%\ является базой пространства М. Кроме того, ясно, что всякая возрастающая последовательность элементов базы 93 конечна.
13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 149 Наконец, два открытых множества системы 93 Mitit...ik и MJlif...iA (Й<А) пересекаются лишь в том случае, когда h = Ч» Н — Ну • • ч /а = *А> но в этом случае Мм»- • -Jh — Miti2.. .ife. Система открытых множеств 95 является, следовательно, базой, удовлетворяющей всем требованиям теоремы I. 2. Из теоремы I легко следует факт, уже отмеченный в начале п. 1, именно, что каждое нульмерное метризуемое пространство со счетной базой (следовательно, в силу известной метризационной теоремы каждое регулярное нульмерное топологическое пространство со счетной базой) может быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображено на подмножество множества иррациональных чисел. В самом деле, каждой точке х пространства М однозначно соответствует последовательность натуральных чисел ix% i2, . . ., ik, ... (определенная из условия х ^ ^\{2-ль) и' следовательно, определенное иррациональное число Полученные таким образом иррациональные числа / (х) образуют, когда х пробегает все пространство М, множество Г, относительно которого легко доказать, что оно [посредством соотношения x~f(x)] взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображается на М. 3. Из теоремы I следует теорема II. Для того чтобы нульмерное множество М было компактом, необходимо и достаточно, чтобы его было невозможно разложить на бесконечное число попарно не пересекающихся открытых множеств.
150 13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ Условие необходимо. Пусть, в самом деле, оо M=\J М" Mt{\Mk = K (для 1фк), п=1 причем все Мп открыты в М. Выбирая в каждом Мп по точке хп, получим бесконечное множество не имеющее в пространстве М предельной точки. Условие достаточно. Это следует из более сильного утверждения: II*. Пусть б — произвольное положительное число и М — некомпактное метрическое пространство со счетной базой. Тогда М можно разложить на счетное число попарно не пересекающихся открытых множеств Мх, М2, . . ., Мп, .. ., каждое из которых имеет диаметр< е. Пусть D — расходящееся (не имеющее предельной точки) множество в М и 95 — база пространства М, удовлетворяющая условиям теоремы I. Для каждой точки х £ М можно выбрать окрестность U (х) (из базы 95) диаметра < е, содержащую не более одной точки множества D. Пусть 95* — выбранная таким образом подсистема базы 95. Вследствие условия 2 теоремы I для каждого входящего в 95* открытого множества можно указать наибольшее содержащее его открытое множество той же системы (т. е. такое, которое уже не содержится ни в каком другом открытом множестве этой системы). Пусть (1) Мг, М2, ..., Мп, ... — эти «наибольшие» открытые множества (среди них никакие два не совпадают между собой). Очевидно, сумма всех открытых множеств (1) дает все пространство М\ кроме того, открытые множества (1) попарно не пересекаются и каждое из них имеет диаметр < б (так как все они принадлежат к 95*). Наконец, последовательность (1) бесконечна, так как каждое Мп содержит не более одной точки бесконечного множества D (которое как подмножествочМ входит в сумму всех Мп). Теорема И*, а следовательно, и теорема II этим доказаны.
13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 151 4. Мы называем множество нигде не компактным, если оно, будучи рассматриваемо как топологическое пространство, не является локально компактным ни в одной своей точке *). Относительно таких множеств можно высказать следующую теорему: III. Для того чтобы нульмерное множество было нигде не компактным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить на всюду плотное подмножество числовой прямой. Достаточность условия очевидна (нульмерное всюду плотное подмножество числовой прямой, рассматриваемое как топологическое пространство, не локально компактно ни в одной точке). Необходимость доказывается следующим образом. Пусть М — нигде не компактное множество. Вследствие теоремы II* существует разложение (2) M=\jMit пространства М на бесконечное число непересекающихся открытых множеств Мг, М2, . . ., М%х, . . ., каждое из которых имеет диаметр < 1. Предположим теперь, что уже построены открытые множества Mitit...ik- Так как М нигде не компактно, то на основании теоремы II*, примененной к множеству М{хх2..Лк, последнее можно разложить на бесконечное число непересекающихся открытых множеств удовлетворяющих условию (3) 6(MM,...Vft+1)<TTr- Таким образом, для всех значений натуральных чисел &, 1г, i2, . . ., ik индуктивно можно определить открытые множества Mitit..,ik. *) Топологическое пространство R называется, как известно, локально компактным в точке £, если существует окрестность точки £, замыкание которой компактно.
152 13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ Каждой точке х £ М соответствует однозначно определенная последовательность содержащих эту точку множеств Mit, Mixi2, . . ., Mixit.„iki • • -ч а значит, и иррациональное число t(x) = i ' * h + ik + Множество всех иррациональных чисел t (х), полученных, когда х пробегает все М, обозначим через Т. Легко видеть, что функция t (х) осуществляет взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между множествами М и Т. Достаточно показать, что Т всюду плотно расположено на положительной части числовой прямой. Пусть даны е > 0 и какое-нибудь положительное иррациональное число ?о — h 1 i% + + 70 * + Мы хотим показать, что существует тЪчка х, принадлежащая пространству М, для которой (4) К - t(x) |< 8. Выберем для этого натуральное число к столь большим, чтобы множество всех иррациональных чисел вида '-«+7FF «2+г
13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 153 имело диаметр <£. Тогда для каждой точки х множества М{о .о .о выполняется неравенство 4, что и требовалось доказать. 5. Теперь мы применим теорему III к одному важному специальному случаю, предположив, что множество М является нульмерным метризуемым пространством со счетной базой и, кроме того, удовлетворяет условию полноты. Последнее условие может быть сформулировано так: метризуемое топологическое пространство называется полным, если при подходящем выборе метрики в нем имеет место критерий сходимости Коши. Метризованное таким образом топологическое пространство, если его рассматривать как метрическое пространство, является замкнутым в каждом объемлющем его метрическом пространстве. Итак, пусть М — полное метризуемое нульмерное пространство со счетной базой, не локально компактное ни в одной своей точке, или, короче, полное, нульмерное^ нигде не компактное множество, которое мы будем мыслить с заданной метрикой, осуществляющей его полноту. Так как каждое множество Мц \ (см. предыдущий 1 пункт) замкнуто*) и 8(Мц ...0<-7г> то на основании известной теоремы Хаусдорфа **) каждая'последовательность натуральных чисел ^1» ^2» • • •» ^ki • • • определяет одну и только одну точку пространства М х 'itit..Ak... — П ^Ut..-v fe=l *) Дополнение My\Mi { i (как сумма всех отличных от М{^ i открытых множеств М^ ...,•) есть открытое множество, следовательно, M\{M\M{i { ) s= Мi { ttfi замкнуто (а не только открыто). **) [4], с. 153, теорема I.
154 13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ и при ЭТОМ t(*iti9...ih...) = ii + 1^ Это означает не что иное, как то, что каждое положительное иррациональное число t содержится в Т, т. е. что в нашем случае М гомеоморфно множеству всех положительных иррациональных чисел, а следовательно, и множеству всех иррациональных чисел. Мы доказали, следовательно, теорему IV. Каждое нульмерное, полное, нигде не компактное множество гомеоморфно множеству всех иррациональных чисел. 6. Последний результат можно высказать в несколько иной форме. Для этого сделаем несколько предварительных замечаний. Назовем топологическое пространство абсолютным G^-множеством, если оно гомеоморфно 6?б-множеству, лежащему в некотором компакте *). Каждое абсолютное 6?6-множество (и только такое множество) гомеоморфно полному метрическому пространству**), так что теорема IV может быть сформулирована так: *) Вследствие цитированной в сноске ***) на с. 147 теоремы Урысона о включепии в гильбертов параллелепипед и топологической инвариантности ^-множеств, лежащих в полных пространствах, класс абсолютных &б~множеств топологически эквивалентен классу (^-множеств, лежащих в полных метрических пространствах со счетной базой. **^ П. С. Александров [5J. Впервые высказанное в этой работе утверждение выведено из того, что топологическая характеристика полных пространств со счетной базой и множеств типа G&, лежащих в таких пространствах, одна и та же. После этого Хаусдорф прямо доказал (см. [4], с. 215, теорема 1), что ^-множества, лежащие в полных метрических пространствах (не непременно имеющие счетную базу), топологически эквивалентны полным пространствам. Затем Веденисов показал, что с помощью теоремы Хаусдорфа и одной теоремы Серпинского ([6], с. 106) все сформулированные в цитированной выше работе [5] результаты можно распространить на произвольные полные метрические пространства,
13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 155 IV bis. Каждое нигде не компактное нульмерное абсолютное G ^-множество гомеоморфно множеству всех иррациональных чисел. 7. Дадим теперь простое прямое доказательство теоремы IV bis. Пусть М* — нульмерное, нигде не компактное, абсолютное 6?б-множество или, как мы скажем короче, нульмерное, неприводимое Ga-множество. На основании теоремы III и топологической инвариантности (тб-множеств мы можем представлять себе М как (^-множество, состоящее из иррациональных чисел, лежащих на единичном отрезке, и всюду плотное на нем. Пусть (5) M = f\Gn, тг=1 причем Gn з Gn+1 и каждое Gn — линейное открытое множество (т. е. сумма конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов). Рассмотрим какое-нибудь линейное открытое множество G (совершенно не зависимое от открытых множеств Gn). Пусть (6) (ах, Ьг), (а2, Ь2), . . ., (ak, bh), . . . (в конечном или бесконечном числе) — те интервалы, на которые распадается G. Мы хотим определить некоторую общую операцию ф (G), позволяющую поставить в соответствие области G некоторую частичную область, состоящую из бесконечного множества попарно не пересекающихся интервалов. Для этого выберем в каждом из интервалов (ak, bk) фиксированное счетное множество рациональных точек • • ч Ck, -U ck, -(i-1)? • • •» £fc,-Ь ck> О» ch, 1> • • • у ch, i-i» ch, U • • •* Удовлетворяющих условиям
156 13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 1- Ck,i < Ck,j (Для i <С /; i и / — произвольные целые числа); 2. lim cht t = ahl lim cfei * = bh; i-* — oo i->oo 3. |cft,,-Cft,i+1|<-^^. Открытое множество Г = ф (G) есть, по определению, сумма всех открытых интервалов {скЛ, ckA+1) [для всех рассматриваемых к и всех целых i (—оо < & < с»)}. 8. Составим теперь последовательность C? = d; Г, = Ф (<??), G*+i = rn f] Сд+1; rn+i = q>(G£). Обозначим затем через Д^ (^ = 1,2,...) все компоненты открытого множества Тг и вообще через &Ui2...ikli &Ui2..Ak2i • • • » ^i1t,...ift+1» • • • все компоненты множества Гь+1, содержащиеся в Д| i ...^ (их, очевидно, имеется счетное множество). Так как длина каждого из интервалов Aj \ .. ; меньше, чем —, и &i i ** вместе со своими концами лежит Ok 1 2" R ft+1 2* lV ному числу в Aii...ffei то каждому положительному иррациональ- t=it- h + ik + соответствует единственная точка оо xitU...ik ... — | I Aiiie.-.i^i fc=t
13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 157 принадлежащая, очевидно, множеству оо (7) C\Th = M*). Таким образом, снова получается взаимно однозначное соответствие между множеством М и множеством всех положительных иррациональных чисел, относительно которого легко доказать, что оно также взаимно непрерывно. 9. Наряду с Сб-множествами один из важнейших классов точечных множеств образуют множества типа F0. В соответствии с нашей предыдущей терминологией мы называем топологическое пространство абсолютным Ра-множеством, если оно юмеоморфно ^-множеству некоторого компакта. В последующем мы ограничимся рассмотрением нульмерных ^-множеств. Относительно них имеет место следующая основная теорема: Для того чтобы абсолютное FVмножество было нульмерным, необходимо и достаточно, чтобы оно не содержало никакого подконтинуума, состоящего более чем us одной точки. Среди нульмерных абсолютных /^-множеств особо выделяются множества, которые не только не компактны, но одновременно и нигде не счетны **). Такие ^-множества мы будем называть неприводимыми. Примечание. Для случая Gfi-множеств вопрос о несчетности не возникал, так как каждое нигде не компактное абсолютное 6?6-множество всегда оказывается и нигде не счетным ***). *) Для доказательства тождества (7) следует только заметить, что, с одной стороны, каждое 1\ содержится в Gk, следовательно, оо оо М ffe С || Gk= М; с другой стороны, так как М состоит из ирра- циональных чисел, то по самому определению операции <р (G) мно- оо жество М содержится в каждом Гк, значит, и в || Гк. k=i **) ^Топологическое пространство называется нигде не счетным, если всякое лежащее в нем непустое открытое множество несчетно. ***) Это следует из того, что всякое счетное ^-множество содержит изолированные точки.
158 13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 10. Имеет место следующая теорема: V. Все нульмерные неприводимые Ра-множества гомео- морфны между собой. Для доказательства теоремы V достаточно показать, что все неприводимые нульмерные ^-множества гомео- морфны одному и тому же множеству Ч*\ которое мы назовем канторовым Fa-множеством. Множество 4я строится следующим образом. Пусть U — произвольный прямолинейный отрезок. Обозначим через Р (U) совершенное подмножество отрезка С/, получающееся применением к U известного канторова процесса деления на три равные части. Пусть, далее, П — совершенное нигде не плотное множество вещественных чисел, не ограниченное ни сверху, ни снизу. Обозначим через U\-> U2? • • •» Uni • • • смежные к П интервалы и положим, по определению, ¥(П) = Пи \JP([Un]). 71=1 Обозначая для каждого целого к (—оо < к < +оо) через Aft отрезок к ^ х ^ к + 1, положим Р0= U Р(Дк), fc=-oo далее, Рп+1 = ¥ (Рп) (Для каждого п = 0, 1,2, . . .) и, наконец, (8) ¥=(jP»- 71=1 11. При доказательстве теоремы о том, что каждое нульмерное неприводимое /^-множество гомеоморфно только что построенному множеству Ч1", мы можем на основании теоремы III ограничиться случаем, когда М является всюду плотным подмножеством числовой прямой. Существенный пункт доказательства составляет следующая Лемма. Пусть М — всюду плотное на числовой прямой неприводимое Fa-множество. Тогда М можно
13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 159 представить как сумму неограниченных в обе стороны совершенных множеств Пп: м= \jun, п=1 причем так, чтобы выполнялись следующие условия: 1. Для каждого п множество Пп содержится в Пп+1. 2. Пусть — смежные к Ип интервалы. Если мы положим (9) F£ = nn+1ntf*, mo а£ будет нижней, а 6£ — верхней границей множества V%. Заметим прежде всего, что множество М a priori задано как сумма замкнутых множеств (10) M=\jFn, п=1 причем легко видеть, что все Fn можно считать неограниченными в обе стороны. Чтобы теперь сделать каждое Fn совершенным, окружим каждую изолированную точку ££ множества Fn «изолирующим» интервалом (а™, р^), позаботившись при этом о том, чтобы две различные изолированные точки £т' и £™" множества Fn были окружены непересекающимися интервалами (а™*, (5^0 и (а^*, Р™*). Возьмем теперь для каждых тик некоторое определенное совершенное подмножество S^>ft множества М, лежащее между gm— 2k т и Ът— 2k+im, и положим (X) Wn __ tn I I I I wn . um — bm U ^J um ,ft« Множество E^ есть, очевидно, совершенное подмножество множества М, содержащее точку £™ и лежащее в («mi Pm). Заменяя Fn множеством Fn [) ^J S™, мы полу- (m) чим совершенное множество.
160 13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 12. Таким образом, в дальнейшем мы можем предполагать, что каждое множество Fn из (10) есть совершенное, неограниченное в обе стороны множество. Положим Пх = F,. Пусть Пп уже определено. Обозначим через Uni=(ani, &?), Un2=(an2> bn2),...,W = (anh, bnk), ... смежные интервалы к Пп и рассмотрим множества W7^ = = Uk П Fn+i [которые совпадают с Ul f) (Fn+i\j Пп)]. В случае если нижняя (соответственно верхняя) граница множества WR совпадает с а£ (соответственно с 6£), полагаем Ть — Л; в случае, если это не так, обозначим через Ti совершенное подмножество множества М, лежащее на отрезке [а£, &£} и содержащее точки а\ и Ъ\ (множество Т\ легко строится методом п. 11). Положим, наконец, оо пп+1=ппи^п+1ии^- fe=l Таким способом мы определим для каждого п совершенное неограниченное в обе стороны множество Пп; легко видеть, что (И) Un"=M п=1 и что все условия леммы выполнены. 13. Теперь уже все готово для доказательства теоремы V: нужно только вспомнить определение (8) множества W. Множества Пх и Рг как совершенные неограниченные в обе стороны нигде не плотные линейные множества подобны между собой (в смысле теории упорядоченных множеств). Наша конструкция позволяет сразу же распространить это подобие с Рп и ПЛ на Рп+1 и Пп+1, так что в конце концов получается подобие, а значит, и юмео- морфизм между множествами ¥ и М. Теорема V этим доказана. Замечание. Рассмотрим ограниченное неприводимое /^-множество W0, отличающееся от W только тем, что при его определении исходным множеством Р0 является канторово совершенное множество Р (А0), среди смежных
13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 161 интервалов к которому рассматриваются лишь конечные интервалы; по теореме V множества Т0и¥ будут гомео- морфны, так что ^о также можно рассматривать как топологический тип всех неприводимых ^-множеств. 14. Неприводимые 6?б-множества, с одной стороны, и неприводимые /^-множества, с другой стороны, не только образуют один топологический тип, определенный в первом случае множеством / всех иррациональных чисел, а во втором — множеством гР. Они обладают, кроме того, топологической однородностью, заключающейся в возможности топологическим преобразованием всего множества перевести друг в друга любые две заданные его точки. В самом деле, этой однородностью, очевидно, обладают и множество /, и множество W (в применении к этим множествам соответствующие топологические преобразования могут быть даже предположены сохраняющими порядок), а значит, и все множества, гомеоморфные множествам/и^F. Итак: VI. Пусть А и В — два нульмерных множества, являющихся либо оба неприводимыми G^-множествами, либо оба неприводимыми F^-множествами; пусть а — произвольная точка множества А и Ъ — произвольная точка множества В, Тогда существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между А и В, при котором точки а и Ъ соответствуют друг другу. 15. Заметим еще, что теорема VI имеет место также для ограниченных совершенных нигде не плотных линейных множеств. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно выбрать определенное совершенное множество, например канторово совершенное множество П, и определенную точку |0 в множестве П, например точку £0 = 0,000 (в троичном разложении), и потом показать, что какова бы ни была точка х0 множества Р, существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между Р и П, при котором точки £0 и х0 соответствуют друг Другу. Множество П есть, как известно, множество всех тех точек единичного отрезка, троичное разложение которых не содержит Цифры 1. Каждая точка £ £ П в троичном разложении имеет только Цифры 0 и 2: g=0, yt . . . ih . . . (ih = 0, 2), и наоборот, каждая такая троичная бесконечная дробь есть троичное разложение некоторой точки из П.
162 13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 16. Применим к множеству Р последовательно разложения на 2, 22, ..., 2к, ... непересекающихся замкнутых множеств Р.- , ci Рх х , Рл i х , ..., раскладывая каждый раз множество Рх х на два множества Р^ л t так, чтобы диаметр множества Р| г ...г стремился к нулю при к—>оо. Индексы ife (принимающие значения 0 и 2) мы будем выбирать так, чтобы каждый раз у тех множеств Pi , Pi i , ... ..., Pi | | , ..., которые содержат заданную точку х0, все индексы были нулями. Каждой точке х из Р соответствует, таким образом, последовательность *i, i2. •••. ^, ... (*ь = 0, 2), следовательно, определенная точка g множества П. Построенное соответствие, как легко убедиться, взаимно однозначно и взаимно непрерывно и обладает тем свойством, что точки £о и ^о переходят одна в другую. 17. Из результатов предыдущего параграфа непосредственно следует, что все множества, которые получаются посредством удаления из ограниченных, совершенных, нигде не плотных множеств одной точки, гомеоморф- ны между собой. В частности, все такие множества гомеоморфны любому неограниченному совершенному нигде не плотному множеству, так как такое множество посредством присоединения к нему бесконечно удаленной точки переходит в множество, гомеоморфное ограниченному совершенному нульмерному множеству. Совершенные неограниченные нигде не плотные множества с топологической точки зрения суть не что иное, как нульмерные локально компактные метризуемые пространства со счетной базой без изолированных точек: в самом деле, каждое такое пространство можно топологически дополнить присоединением одной точки до нульмерного компакта без изолированных точек, т. е. до ограниченного совершенного нульмерного множества на числовой прямой. Если, с дру ой стороны, произвольное нульмерное локально[компактное множество топологически отобразить (что вследствие его нульмерности всегда возможно) в числовую прямую, то оно станет линейным Fp-множеством *). Такое множество мы назовем неприводимым, если оно нигде не счетно (т. е. не содержит изолированных точек). *) Множество называется /^-множеством, если оно может быть представлено как разность двух замкнутых множеств.
13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 163 Следовательно, нульмерные неприводимые ^-множества топологически эквивалентны нульмерным локально компактным топологическим пространствам без изолированных точек. Можно прямо показать, что каждое нульмерное неприводимое Fp-множество можно топологически получить удалением одной точки, например, из канторова совершенного множества. Пусть, в самом деле, М = Р \ F — некоторое неприводимое Fp-множество. Тогда можно предположить, что Р является ограниченным множеством, a F замкнуто и M=\JP[\Un, п где Un — (ап, Ьп) — интервалы, смежные к F. Если теперь конгруэнтно перенести в плоскости отрезки (ап, Ьп) так, чтобы все точки ап попали в одну и ту же точку Si а потом отождествить все точки Ьп с тою же точкой |, то останется только присоединить к множеству М (испытавшему в течение всего построения лишь топологическое преобразование) точку S» чтобы получить совершенное нульмерное плоское множество М US» гомеоморфное нигде не плотному совершенному линейному множеству. Итак: VII. Все нульмерные неприводимые F ^-множества гомео- морфны между собой: они топологически получаются удалением одной точки из канторова совершенного множества и, следовательно, гомеоморфны произвольному совершенному нигде не плотному неограниченному линейному множеству, 18. Согласно классификации борелевских множеств, принадлежащей Бэру и Лебегу, замкнутые множества принадлежат к классу 0, а множества типов Fa и G6 (не являющиеся ни замкнутыми, ни открытыми), в частности и Fp-множества, принадлежат к классу 1. Если мы сохраним ранее введенный смысл понятия неприводимости для каждого из этих классов множеств (в частности, замкнутые множества назовем неприводимыми, если они нигде не конечны, т. е. совершенны), то результаты пп. 7-17 можно сформулировать так:
164 13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ Среди неприводимых нульмерных множеств классов О и 1 имеются лишь следующие четыре топологических типа: 1. Ограниченные совершенные нигде не плотные линейные множества («случай F»), 2. Неограниченные совершенные нигде не плотные линейные множества («случай F9>>). 3. Множество ¥ («случай Fa»), 4. Множество J всех иррациональных чисел («случай 6?б»). Все эти множества топологически однородны. Понятие неприводимого множества можно ввести также для борелевских множеств высших классов (множество класса а называется неприводимым, если ни в какой окрестности своей произвольной точки оно не принадлежит к низшему классу); понятие абсолютною множества данного класса вводится аналогично тому, как оно было введено в пп. 6 и 9 для специального случая G6- и Fa-множеств. Возникает проблема перечисления (или по меньшей мере проблема определения мощности) всех топологических типов неприводимых нульмерных множеств заданного класса. Аналогичная проблема возникает и для так называемых А -множеств. Прибавление. О множествах первой и второй категории В этом прибавлении мы не делаем никаких предположений о размерности рассматриваемых множеств, а также о существовании в них счетной базы; наши рассмотрения справедливы для любых полных метризуемых пространств. Множество М, лежащее в таком пространстве R, называется, как известно, множеством первой категории в пространстве R, если оно может быть представлено как сумма не более чем счетного числа нигде не плотных множеств пространства R. Согласно Н. Н. Лузину множество М есть множество второй категории (в R), если его дополнение R \ М есть множество первой категории. Имеет место следующая теорема: Множество М, лежащее в полном метризуемом пространстве R, тогда и только тогда является множеством
13. О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ 165 второй категории {в смысле Лузина), когда оно содержит всюду плотное в R множество типа G6. Условие необходимо. Пусть, в самом деле, М есть множество второй, следовательно, R \ М — множество первой категории. Тогда R\M = jjNk, причем каждое Nk нигде не плотно в R. Но Wk] тогда также нигде не плотно в Д, так что есть ^-множество второй категории, откуда следует, что содержащееся в М множество R \ Ф всюду плотно в R. Но R \ Ф является 6?б-множеством. Условие достаточно. Пусть, в самом деле, в М содержится всюду плотное в R множество Н типа G6. Тогда п=1 причем каждое Gn есть открытое множество (плотное в R). Замкнутые множества Fn = R \Gn нигде не плот- оо ныв Д, следовательно, Ф = М Fn есть множество пер- 71=1 вой категории. Но Ф и R \ Н тождественны, отсюда следует включение из которого видно, что R \ М — множество первой категории, следовательно, М — множество второй категории, что и требовалось доказать. Заметим, что много теорем из теории функций действительного переменно о, а также из топологии может быть непосредственно выведено из только что доказанной теоремы. Укажем, например, на следующие топологические факты;
166 13, О НУЛЬМЕРНЫХ МНОЖЕСТВАХ I. Если в некотором и-мерном компакте М множество точек х, в которых dim* M^ik (О^йг^гс), всюду плотно, то М — множество второй категории. II. Множество концевых точек общей кривой С тогда и только тогда всюду плотно (в С), когда множество всех остальных точек кривой С является множеством первой категории *). Оба предложения следуют из того факта, что точки, в которых dimxM ^ к, соответственно indx С ^ к, образуют 6?б-множества (соответственно на М и на С). ЛИТЕРАТУРА [1] Urysohn P. Ober die Machtigkeit der zusammenhangenden Men- gen.— Math. Ann., 1925, 94, с 265—295. [2] Urysohn P. Memoire sur les multiplicites Cantoriennes.— Fundara. math., 1925, 7, с 30—139; 1926, 8, с. 225—359. [3] Urysohn P. tJber Hilbertsche Raum als Urbild der metrischen Raume.— Math. Ann., 1924, 92, с 302—304. [4] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф., Теория множеств, М.: ОНТИ, 1937. [5] Alexandroff P. Sur les ensembles de la premiere classe et les espaces abstraits.— C. r. Acad. sci. Paris, 1924, 178, с 185—187. Русский перевод: наст, кн., с. 71—74. [6] Sierpinski W. Une definition topologique des ensembles.— Fun- dam, math., 1924, 6, с 106—110. ПРИМЕЧАНИЯ Эта работа относится к весне 1924 г. и возникла из бесед между ее авторами, не подвергавшихся какой-либо записи. Печатающийся здесь текст составлен П. С. Александровым весной 1926 г. Трудно переоценить влияние этой статьи на последующее развитие общей топологии. Методически вышедшая из дескриптивной теории множеств, эта статья является основополагающей в так называемой общей теории непрерывных отображений, в особенности в той ее части, где важную роль играет бэровское пространство. *) См. по поводу терминологии [2], ч. I, гл. I; ч. II, гл. I,
14^ ^-МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ *) Пусть {Е\х . . . ik) — система множеств фиксированного метрического пространства R; при этом к и ix, . . ., ih пробегают независимо друг от друга все целые положительные значения. Если рассмотреть для каждой последовательности индексов ix, . . ., ik, . . . пересечение 00 Q Eit..Ak и просуммировать эти пересечения по всем последовательностям индексов, то получим множество Е, о котором говорят, что оно образовано из системы множеств {^...гь} с помощью применения А-о п е р а ц и и. Множества, получающиеся применением А -операции из систем замкнутых или открытых множеств пространства /?, называются, как известно, А-м ножествами или сусли и* скими множествами**) пространства R. Возникает вопрос о множествах, которые получаются, если в данном выше определении А -операции вместо пересечений (согласно последовательности индексов) брать другие операции над последовательностями множеств. Мы рассмотрим в этой заметке в качестве таких операций, во-первых, переход к верхнему топологическому пределу и, во-вторых, к нижнему топологическому пределу ***) последовательности множеств и докажем (в предположении, что метрическое пространство R сепарабелъ- но), что таким путем могут быть получены все Л-множе- ства (что, впрочем, тривиально) и только они. *) Опубликовано в Fundam. math., 1935, 25, с. 561—567, под заголовком «Die Л-Mengen und die topologischen Konvergenz». Перевод с немецкого А. Островского. **) См., например, Хаусдорф [1], гл. V, § 19, Александров [2] и Суслин [3]. ***) См., например, Александров — Хопф [4], гл. II, § 5.
168 14. А-МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ Другими словами: обозначим через Aj{Eilm.ti } и At{Eix.,,i^ соответственно множества, получающиеся применением операций It Eix * и It Eix . * —верхнего и нижнего топологического предела соответственно — для каждой последовательности индексов ц, i2, ..., ik, ... и затем суммированием по таким последовательностям индексов. Мы докажем: если все /?{,...ль являются произвольными подмножествами сепарабельного метрического пространства R, то и A-t {Eit...ik) и At {Eit..jh} являются* А-множествами пространства R. Это утверждение может найти некоторые применения (например, в теории свойства достижимости точечных множеств евклидова пространства), к которым я надеюсь вернуться в другой раз. Примечание 1. В нашем утверждении мы говорим о произвольных множествах Eit.„\k (не предполагая заранее, что они замкнуты или открыты). Это основывается на том тривиальном факте, что АТ{Еи..Лк)^АТ{[Еи...ф Примечание 2. Утверждение, о котором идет речь в этой заметке, можно обратить: каждое Л-множество метрического пространства R можно представить и в виде A-{Eiit, .ift}, и в виде А% {Eii_ .г&}, именно, так, что для каждой последовательности индексов ix, г2, . . ., W, . . . последовательность множеств "Ч* ^ЧЧ» • • • ' ^ЧЧ... ikt • • • топологически сходится: It 2?^...\ = It Eit...\ = It Eit... ifc# Можно сказать, что каждое Л-множество можно представить в виде At{Eiitm.i }. Чтобы убедиться в правильности этого утверждения, достаточно данное Л-множество представить в виде A{Eilt„i) (можно с замкнутыми или открытыми Eit..,i) таким образом, чтобы i?^...* 3
14, А-МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ 169 S^i-'fcW» тогда lt^1...ifc=jt£fl...ik = n ^-V Если, кроме этого, предположить (не нарушая общности), что диаметр множества EiU,,ik меньше ilk, то легко получить следующий результат: каждое А-множество может быть представлено в виде At {eii^. .ih}, где eiit t Ah являются одноточечными множествами, и для каждой последовательности индексов последовательность точек eit, eiti2, . . . . . .1 0ii...i/r • • • (в обычном смысле) сходится к точке: lim £ij. . -ik == ^ e%i. . Ли == хг\. . Ли.. .• § 1 1. Пусть Е = Aj{Fit. tJk}, причем F*,. ..lk суть замкнутые подмножества сепарабельного метрического пространства R. Перенумеруем все Fii_jk в простую последовательность: Fu F2, ..., ?> ... Предположим, что уже заданы все множества Fj,...^, причем каждое 9rjt...jk является некоторым Fit,„i . Мы нумеруем все /^ ... * л ... к (с постоянными ц, i2> • • • •••> **> ^i1...in = Fj1...jft, и переменными г, йп+1, ..., hr) в простую последовательность и получаем таким образом множество Prjl...jk -. Легко убедиться, что AT{ril...ik}^AT{Fil...in}. 2. Пусть £/?, Up,...,Uv,... суть все шаровые окрестности радиуса 1/2р пространства i?, имеющие общие точки с Е, с центрами в некотором фиксированном плотном в R счетном множестве. Перенумеруем все непустые выражения вида [U\] {] ^rj1 в простую последовательность (!) О*, Ф2, ..., Фи% •..
170 14. А-МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ Первый элемент пересечения Фгг = [Un] (] ^^ т. е. [Un], обозначим через [Uit], так что наряду с (1) мы получим еще последовательность (2) Ut,U2,...,Uilt... Пусть Ф^... i = [U*] П 9rjt... jk уже построены. Пронумеруем все выражения [U^+i] (] ^h...jhjh (с переменными п и /fe+1) в простую последовательность и определим (2fe) Uix...ihu Uit...ih2, ..., Uit„.ikik+i, ... подобно (2) равенствами 3. Теперь мы докажем, что (3) E = A{Uit...ih}. a) Пусть х£Е, т. е. х£ It F^. . h,- Пусть ^ — первое натуральное число, обладающее тем свойством, что р(я> Fhl_h^)<l/2, Fhi„.hK = <FJt и существует такое Un, что Un Э х, Unf] ¥'и = Фгг ф Л, следовательно, Un = {7^. Пусть теперь нам даны: натуральные числа Х{ <... <ЯГ с р(#, Fhl,„hk )< 1/2S для s^r и множества Fhl„.hk = = ^...V Цпа=ии...18 с *££/*, Oil...ie = ^n^i1...ies9fe =^= Л, s ^ г. Пусть Яг+1 > Лг — первое натуральное число с тем свойством, что р(#, Fh ь* )<l/2r+1 имеем г+1 ^\ ••• Лхг+1 =-^i - WH существу61, ип^ такое, что £/п+ Э Э*, Фг1...гг+1 = [С/;+1)П^1...;г+1^Л. Тогда С/;+1 есть Uix,..\ '^х, и индукция проводится дальше. Таким образом, при каждом &, я^С^... ,-fe и потому b) Пусть х£ A{Uit... ih} и, следовательно, л:^ £/г4 П П Uhi, П •" • • П #i, ....у Диаметр множества СЛ,... ^ не
14. А-МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ 171 превосходит 1/2"-1 и Ф,,... ffc = [Uu ... ift] f] F,-,... Jft Ф A, поэтому р(ж, F*...ifc)< 1/2*"1 и x€ Jt fj,..^£ ft->oo с It ^jt...ik9 а следовательно, согласно п. 1, fe-*oo §2 1. Пусть E = At {Fhi... Л } и # £ Z?—произвольная точка. Мы говорим, что множество Fht...hk имеет порядок ^ р относительно точки х, если к'^р и если найдется последовательность натуральных чисел hk+i, ftfe+2, ... таких, что р(аг, Fhl... hhhh+1...hk+i)< 1/2р. Если Fhi„.hk имеет порядок ]> р относительно по крайней мере одной точки х^Е, то мы скажем, что Fhx...hh имеет порядок > р. Рассмотрим теперь все выражения вида [U^] f]Fhl... hкФ ФА, где Ffll...hk имеет порядок к^ 1, а [£/*] определяется, как раньше (§ 1, п. 2). Перенумеруем эти выражения в простую последовательность: (1) Фи Ф2, -.., ®ч, ... Первый элемент в Ф^ = [U^] f) Fhx...hk, т. е. [£/„], обозначим [C/iJ и наряду с (1) получаем последовательность (2) Ut, f/2, ..., Vio ... Предположим теперь, что множества Ф%х...% и соответственно Uilm„ г уже построены, причем так, что каждое Фг1...гт является пересечением множества F^ ...л, порядка ^ тп с множеством [C/?1...i L где С/?1...| = U™: W Oi1...im = [f/11...imin^,..v Рассмотрим теперь (при тех же постоянных /г4, . . ., hk, что и в (3)) все множества Fh....л.л. ...л. ., имеющие
172 14. А-МНОЖЕСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ порядок > т+1. Пусть это будут множества г х , 1 2 , . . ., г s , . . . Рассмотрим, далее, среди выражений [Un + i]f\Fsx '" k те, которые удовлетворяют условиям p(£/™+1, Fhi ,.. hr)< <l/2m"1, [С/Г'Ш^'^^Л для всех г между к и k + i, к^г^к + i, где F*1*" fe = Fhl... hfehfe+i ... hfc+ji Эти выражения перенумеруем в простую последовательность (lm+l) ®ii...iml» ®il ... im2* • • •> ®ii ... imim+l> ••• Первый элемент в Fu t,, imim+l = [Un + i](] Fsl " ' \ т. е. [CC+1], обозначим через [£/*, ... imim+ib Подобным образом получаем С/^ ... im для каждого т. 2. Покажем теперь, что Е = A {U{x ... i }. а) Пусть я£# и, следовательно, *е it Fhl...hh. Пусть /lhl... hKr — первое из множеств Fht,..hk, удовлетворяющих условию р (х, Fhl ... h^r+p) < 1/2г для каждого р^О. Для каждого г выберем Ur так, чтобы выполнялись условия: Urnr Э #, #п7. П Fht... /^ =7^ Л. Заметим, далее, что Fhl..,h% имеет порядок ^г. Ясно, что U\x совпадает с Uio поскольку Ф^ = [U^] (]Fhl... й^ ^ Л- Рассмотрим £/„,. Во-первых, пересечение С/*, с множеством Fhl...hx, порядок которого ^2, не пусто. Во-вторых, из р (х, Fhl .., hxl+p) < 1/2 и х £ £/£2 следует р (£/£2, Fhl... h^ +р) < 1/2. Следовательно — принимая во внимание равенство Ф>, = [Uit] f\ Fhl ... hx —шар U*, совпадает с Uilit. Пусть уже доказано, что UrTlr = Uil ... ir и Ф^ ... ir = = [Uit...ir]f}Fhl...hkr. Тогда Fhl ... hXr+l совпадает с Fsl ' к и (вследствие того, что р (я, /^... hlr+ ) <l/2r, Unl+\Э*)> очевидно, p (£/£+', /^... h^+p) < l/2r, следова-
14. А-МНОЖЕСТВА Й ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ 173 тельно, [Ur+*t) П Phi ... hXr+1 совпадает сФй... ir+1 и поэтому tC+i = ии •.. ir+i- Таким образом, я £ Uh f] ^Ыг П • • • - - - П C/ii - - - *fc Л •••> т. е. х£А\ин...{к). Ь) Пусть х £ А {Uix ... 4 }, именно, *№№г2п...п^...^п... Из определения Uit,,. i вытекает существование последовательности c[^i1..^jn^I...hXk^AHP(I^....«^^..-.^)<1/2^1 для ^fe-i ^r ^А*. Отсюда следует (так как диаметр Uix ... *h меньше, чем 1/2*"1), что Р (*, Fhl... hr) < l/2fe~r для ^ <r<Xk и, следовательно, ;r£ It Fhl.,.hk, т. е. #£4t{Fhl ... /,ft}. fe-*oo Этим все доказано. Ялта (Крым), 28 сентября 1935 г. ЛИТЕРАТУРА [1] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств.—М.: ОНТИ, 1937. [2] Alexandroff P. Sur le puissance des ensembles (В).—С. r. Acad. sci. Paris, 1916J 162, с. 323—325. Русский перевод: наст, кн., с. 35— 39. [3] Souslin М. Sur une definition des ensembles mesurable (B) sans nombres transfinis.— С. г. Acad. sci. Paris, 1917, 164, с 88—90. [4] Alexandroff P., Hopf H. Topologie, I.— Berlin, 1935. КОММЕНТАРИЙ Всего П. С. Александровым опубликованы 4 работы по дескриптивной теории множеств, из которых лишь одна не вошла в настоящее издание, поскольку является вариантом, по существу, работы № 5 настоящего издания. Особняком стоит студенческая работа № 1 настоящего издания, написанная и опубликованная в 1916 г., посвященная решению вопроса о мощности 5-множеств, поставленного автору его учителем Н. Н. Лузиным. Но самым неожиданным оказалось существование очень простой конструкции, доставляющей любое Б-множество сколь угодно высокого трансфинитного класса,— знаменитая А -операция. Вскоре
174 14. А-МНОЖЁСТВА И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ М. Суслин обнаружил, что эта операция, примененная к открытым или замкнутым множествам (в случае множеств на прямой — к интервалам), приводит к более широкому классу множеств, именно, к классу Л-множеств — одному из центральных объектов изучения дескриптивной теории множеств в последующие годы. Вернувшись к математическим занятиям в 1920 г., П. С. Александров уже в 1921 г. получил новые замечательные результаты, датированные летом 1922 г., но опубликованные лишь в 1924 г. Исходным пунктом была точно поставленная проблема инвариантности по отношению к гомеоморфизмам класса множеств, дополнительных к Л-множествам. Для решения этой проблемы было естественным искать операцию, которая порождала бы все дополнения к А -множествам, похожую по своему «положительному» характеру на А -операцию. Такая операция и была введена П. С. Александровым под названием Г-операции. По первоначальному замыслу и Л-операция, и Г-операция применяются к счетпым семействам множеств, занумерованных «кортежами индексов». Но надлежащая нумерация кортежей превращает Л- и Г-операции в операции над последовательностями множеств. «Позитивный» характер Г-операции делает доказательство топологической инвариантности класса множеств, дополнительных к А -множествам, тривиальным. В работе № 5 настоящего издания содержатся в зародыше также две общие идеи: 1) понятие б^-операции; 2) конструкция для любой 68-операции дополнительной 68-операции. В печати 6s-onepa- ции появились впервые во втором издании «Теории множеств» Ф. Хаусдорфа (1927 г.). Но работа А. Н. Колмогорова «Об операциях над множествами», появившаяся в 1928 г. (Матем. сб., 1928, 15, с. 415—422), была непосредственным откликом на работу П. С. Александрова 1922 г. Теория 65-операций получила позднее большое развитие в работах Л. В. Канторовича и Е. М. Ливенсона (Fundam. math., 1932, 18, с. 214—279 и 1933, 20, с. 54—97), А. А. Ляпунова и других авторов. Эта теория дала общий метод доказательства теорем о непустоте классов трансфинитных классификаций. П. С. Александров в конце статьи № 5 упоминает одну специальную проблему непустоты классов так называемых С-множеств, получающихся поочередным применением Л- и Г-операций. Следует отметить, что эта проблема другим методом была независимо решена Е. А. Селивановским (Матем. сб., 1928, 35, с. 279-313). Последняя работа на эту тему — № 14 — написана значительно позднее. Ее идейный интерес состоит в том, что Л-множества, не являющиеся J5-множествами, могут появляться при решении задач, казалось бы, связанных лишь с множествами более простой структуры. В настоящее время таких примеров много: авторы, занимающиеся конкретными задачами анализа, с удивлением обнаруживают, что одних Я-множеств для получения законченных результатов им мало. А. Н. Колмогоров
15 О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ*) 1. Пусть (1) Х1, Х2, • • •» -^fti * ' • — последовательность топологических пространств и пусть для всякого к задано непрерывное отображение fh пространства Х&+1 на Xk. Семейство пространств Хк и отображений fk называется обратным спектром (Х&, fh), а отображения fk называются проекциями в нем. Обратный спектр (Xk, fk) определяет предельное пространство L = L (Xk, fk) обратного спектра следующим образом **). Точки пространства L суть нити (2) 1 = (#!, ж2, . . ., хк, . . .), xk 6 Xk, xk = / (xkn). Произвольную окрестность U (£) нити £ 6 £ получаем, выбрав произвольно число А:, окрестности U (х^, . . . . . ., U (xk) и рассматривая все такие нити (3) £' = (х'и ^2, . .., Жй , . ..), что 2. Из двух нитей (2) и (3) первая содержит вторую, если для любого к имеем [xk]^> [хк]. Нить (2) называется максимальной (соответственно минимальной), если множество нитей, содержащих (2) *) Опубликовано в С.г. Acad. sci. Paris 1935, 200, с. 1709— 1711, под заголовком «Sur les suites cTespaces topologiques». Перевод c Французского В. Л. Илюшина. **) Понятие предельного пространства обратного спектра известно также Фрейденталю и Понтрягину. Первая идея этого понятия восходит, впрочем, к Брауэру ([!]).
176 15e О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ПРОСТРАНСТВ (соответственно содержащихся в (2)), состоит из единственной нити (2). Обратный спектр (Xkl fk) имеет замкнутые проекции (соответственно открытые проекции), если для каждого к отображение fk замкнуто (соответственно открыто), т. е. переводит любое замкнутое (соответственно открытое) множество в множество того же типа. 3. Предположим, что в обратном спектре (Хк, fk) всякая нить содержится в максимальной нити (соответственно содержит минимальную нить). Оставляя в L (Хк, fh) лишь максимальные (соответственно минимальные) нити, приходим к подпространствам L (Хк1 fh) и L (Хк, /fe), которые будут называться верхним инижним пределом данного обратного спектра. В частном случае, когда все пространства Хк суть ^-пространства, все три определения предела совпадают. 4, Примеры обратных спектров многочисленны. Приведем лишь два. 1) Рассмотрим последовательность (1) разбиений некоторого полиэдра Р, в которой диаметры симплексов из Xk стремятся к 0 вместе с ilk. Комплексы Хк можно ра- сматривать как дискретные пространства. Всякий элемент хк+1 6 Хк+1 содержится во вполне определенном элементе хк = fk (хк+1) пространства Хк. Тем самым определены непрерывные проекции fh пространств Хк+1 на пространства Хк и обратный спектр (Хк, fk) с открытыми проекциями. Полиэдр Р есть нижний предел этого спектра. 2) Аппроксимация компактных метрических пространств проекционными спектрами ([2]) позволяет рассматривать каждое га-мерное пространство этого типа как верхний предел обратного спектра с замкнутыми проекциями, элементы Хк которого суть n-мерные комплексы. Итак, получаем общую теорему (соответствующую в смысле моей заметки [2] теории проекционных спектров), которая может рассматриваться как обобщение примера 1). Теорема. Всякое компактное метрическое пространство п и более измерений есть нижний предел обратного спектра с открытыми проекциями, элементы Хк которого суть конечные дискретные пространства из п и более элементов. Этот спектр обладает следующим дополни-
15. О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ПРОСТРАНСТВ 177 тельным свойством: для каждого к существует такое h> к, что для произвольно выбранных xk и х{ в X, xh и xh в Xh {xk = /fc/h+1 ... fh (xh) = fhfh+1 . .. fh(x'h)) xh и xfh допускают непересекающиеся окрестности в Xh, если [xk] и [x'k] дизъюнктны. Обратно, нижний предел спектра указанного вида всегда есть компактное метрическое пространство п и более измерений. Специализируя обратные спектры, можно построить классический Analysis situs в условиях, значительно более общих и значительно более естественных, чем те, которые налагаются теорией полиэдров. ЛИТЕРАТУРА [1] Brouwer L. Ober de structur der perfekte puntversamelingen.— Proc. kon. Akad. Wet., Amsterdam, 1910, 18, с 833—842. [2] Alexandroff P. Untersuchungen iiber die Gestalt und Lage der abgeschlossenen Mengen.— Ann. Math., 1928—1929, 30, с 101 — 187. Русский перевод: наст, издание, т. III. КОММЕНТАРИЙ Эта небольшая заметка П. С. Александрова содержит первое определение обратного спектра из топологических пространств и предельного пространства такого спектра. Эти понятия принадлежат к важнейшим во всей математике, а в общей топологии —- может быть, к самым важным орудиям исследования. После того, как П. С. Александровым были в [2] определены проекционные спектры (частный случай обратных спектров), общее определение «носилось в воздухе». И действительно, как отмечает сам автор, обратные спектры почти одновременно рассматривались также Фрейденталем (в случае групп) и Понтрягиным (в случае топологических групп). Роль П. С. Александрова в возникновении понятия обратного спектра и в развитии теории обратных спектров, однако, является бесспорно решающей.— Прим. ред.
16 О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ *) 1. Пусть / — однозначное отображение множества X на множество Y. Для каждого элемента а множества X определено кардинальное число т (а) — кратность эле- мента а относительно отображения /, а именно, мощность множества всех тех элементов х £ X (включая а), для которых / (х) = / {а). Если т (а) конечно для всех а£Х, то возможны два случая: или натуральные числа т (а) имеют конечный максимум т, или среди них имеются сколь угодно большие числа. В первом случае / называется отображением ограниченной кратности т, во втором случае — отображением кратности о. И те и другие отображения вместе называются конечнократными отображениями. Если для всех элементов а £ X имеем т (а) ^ а0, причем по крайней мере для одного элемента достигается равенство т (а) = **о> то отображение называется отображением кратности н0. Отображения конечнократные и отображения кратности к0 объединяются под общим названием счетнократных отображений. 2. Под открытым отображением топологического пространства X на топологическое пространство Y понимается непрерывное отображение, при котором образ каждого открытого (в X) множества есть открытое множество в У. Настоящая работа посвящена в основном исследованию счетнократных открытых отображений компактов, в частности, доказательству того, что при таких отображениях размерность не меняется. Названные отображения исследуются при этом в качестве частного случая отображений более общих пространств. Теорему о постоянстве размерности при счетнократных открытых отображениях естественно сопоставить со следующими уже известными результатами: *) Опубликовано в ДАН СССР, 1936/ 4, № 7, с. 283-287.
16. О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 179 1) существуют открытые отображения компактов, повышающие размерность (Колмогоров) *); 2) не существует понижающих размерность счетно- кратных отображений (Гуревич, см. [1]); 3) всякий и-мерный компакт является образом канто- рова дисконтинуума при (п + 1)-кратном непрерывном отображении (Гуревич 12}, Александров [3]). 3. Начинаем со следующего замечания: Теорема I. При любом открытом отображении g хаусдорфова пространства X на (хаусдорфово) прост- ранство Y и для всякого конечного к множество точек х, удовлетворяющих условию т (х) ^ к, открыто, а множество точек, удовлетворяющих условию т (х)^к, замкнуто. Для доказательства достаточно показать: Если т (а) ^ /с, то существует окрестность V (а) точки а, которая состоит из точек X, удовлетворяющих условию т (х) ^ к. Пусть в самом деле g (а) = Ь. Выберем последовательно: точки аг, . . ., ак_± с g (at) = 6, i = 1, . . ., к — 1; окрестности U{а) = С/, U (аг) = Ux, . . ., U {ак^) = Uh.x попарно без общих точек и такие, что U(b)S=g (U) П g (UJ П • • • fl g (Uk-гУ, окрестность V (а) = V ^ U под условием g (V) ^ U (&)» Пусть х 6 V (а). Точка g (х) лежит в U (Ь) и имеет, следовательно, в каждом Ut, i = 1, . . ., к— 1, по крайней мере по одному прообразу, так что т (х) ^ к, что и требовалось доказать. Следствие. Множество точек кратности 1 замкнуто, множество точек бесконечной кратности есть множество Gq. 4. Начиная с этого момента, мы будем рассматривать исключительно метрические пространства со счетным базисом. Среди них два класса пространств будут играть особую роль: пространства Fa и пространства G6. Пространством FG называется метризуемое пространство, являющееся суммой счетного числа компактных замкнутых своих подмножеств (такое пространство всегда имеет счетный базис). Пространство G6 есть метризуемое пространство, допускающее полную метрику. Если в соответствии *) При открытых отображениях аксиомы отделимости очевидно сохраняются.
180 16, О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ с замечанием, сделанным в начале этого параграфа, ограничиться пространствами со счетным базисом, то пространства Fa и пространства 6?б вполне характеризуются тем, что они соответственно юмеоморфны множествам Fa и множествам G6 фундаментального параллелепипеда гильбертова пространства. Пространства, являющиеся одновременно пространствами Fa и G$, можно было бы назвать квазикомпактными пространствами (квазикомпактами). Теорема II. Пусть X и Y суть соответственно Fa- и G^-пространства, g — открытое отображение X на У. Если в силу отображения g никакое подмножество X не отображается топологически на некоторое открытое множество пространства Y, то, за исключением некоторого множества первой категории в Y, всякая точка Y имеет в качестве своего прообраза совершенное множество. Замечание. Так как непрерывный образ всякого пространства Fa есть также пространство Fa, то в условиях нашей теоремы Y квазикомпактно. Доказательство. Пусть ^i» UЧч • • •» Um • • • есть счетный базис пространства X. Так как Un открыто в X, то g есть открытое отображение пространства Un. Пусть Ап cz Un есть множество точек кратности 1 относительно этого отображения; Ап замкнуто в Un, поэтому Ап = ^jFnfk с компактными Fntk. Так как g на Ап взаимно однозначно, значит, тополошчно на Fny k, то в силу наших предположений g(Fn,k) нигде не плотно, значит, g (Ап) = U g (Fn, k) и \J g (An).— первой категории в Y. Если у 6 У \ U $ Ип) и S (х) = У) т0 х ни в какой своей окрестности не имеет кратность 1 относительно отображения g этой окрестности. Другими словами: каждая точка g~x (у) есть точка накопления для g~l (у); это множество, таким образом, плотно в себе и, будучи замкнуто в X, оказывается совершенным, что и требовалось доказать. 5. Непрерывное отображение X на Y называем импер- фектным, если прообраз любой точки пространства Y является множеством, не содержащим никакого совершенного подмножества. Очевидно, всякое счетнократное
16. О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 181 непрерывное отображение пространства С?6 (в частности, всякого квазикомпактного и тем более компактного пространства) имперфектно. Из доказательства теоремы II непосредственно следует Теорема 1Г. Если g — имперфектное открытое отображение пространства F0 на пространство 6?б, то в отображенном пространстве существует компакт, на котором g топологично и образ которого содержит открытое множество. Сделаем теперь следующее замечание. Если X есть пространство FCT, Y — пространство С?6 и g — открытое имперфектное отображение X на Y; если, далее, U открыто в X и V = g (С7), то U есть пространство FG, V есть пространство G6 и отображение g пространства U на пространство V является открытым и имперфектным. Применим это замечание и теорему 1Г к каждому элементу Un счетного базиса X. Получаем в каждом U„ компакт Fn, который в силу g топологически отображается на некоторый компакт g (Fn) ^ Vn, содержащий открытое в Y подмножество #п. Полагая Фп = Fn (] g~x (\Vn]), видим, что Фп топологически отображается на [Нп]. Отсюда следует Теорема III. Пусть g — имперфектное открытое отображение F^-пространства X на G^-пространство Y. В X тогда лежит всюду плотное F^-множество А = = У Ф/,, Ф^ компактно, со следующими свойствами: 1) отображение g на каждом Фк топологично; 2) g (Фь) есть замыкание открытого в Y множества Ни и JJ Hk всюду плотно в Y. Из теоремы II' вытекает далее Теорема IV. Пусть предположения теоремы II' о X, У, g остаются в силе; пусть, кроме того, Y размерно однородно. Тогда dim X = dim Y. Доказательство. Без какого бы то ни было специального предположения относительно Y имеет неравенство dim Y ^ dim X. В самом деле, выбрав компакт F ^ X, имеем dim X = dim F и, так как на F отображение g счетнократпо, dim Y ^ dim g (F)^ >dim F = dim X. С другой стороны, в силу размерной однородности Y всякое открытое множество в Y имеет ТУ же размерность, что и У, откуда по теореме И' непосредственно следует dim Y < dim X.
182 16. О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Добавление (следует из теоремы II). Пусть дано открытое отображение F ^-пространства X на G6-npocm- ранство У и dim У > dim X. Тогда, за исключением точек некоторого множества первой категории в У, все точки Y имеют в качестве прообразов совершенные множества. Докажем следующее общее предложение: Теорема IV. Пусть g есть имперфектное открытое отображение F ^-пространства X на метризуемое пространство У. Тогда dim X = dim У. Доказательство. Вследствие замечания, сделанного в начале доказательства теоремы IV, достаточно показать, что dim У ^ dim X = п. Сначала предположим, что У компактно. По теореме II' пространство У содержит открытое (следовательно, FG) множество Gq, гомеоморфное некоторому подмножеству X. Итак, dim G0 ^ п. Положим Ух = У \ G0 и допустим; что замкнутые множества Ур уже построены для всех порядковых чисел (J < а. Если а второго рода, то полагаем Уа = ^ Ур. Если а первого рода, то поступаем так: в качестве замкнутого подмножества компакта У множество Уа_г есть компакт. Множество Xa-i — g'1 (Уа-i) замкнуто в ^-пространстве X и потому само есть /^-пространство. Нетрудно видеть, что отображение g пространства Ха_г на пространство Уа_х открыто. Поэтому можно применить теорему IV и найти в Уа_х непустое открытое множество 6?а_!, гомеоморфное некоторому подмножеству Ха_г £= X и, следовательно, имеющее размерность ^ п. Полагаем Уа = Уа_г \ Ga_x; Уа замкнуто; Ga_x как открытое подмножество Ya-i есть множество Fa. Существует первое порядковое число a = == X + 1 такое, что Уа пусто, значит, Gx = Ух- Имеем х У = [J Gp, так что У есть сумма счетного числа множеств о Fa размерности не больше /г, значит, и замкнутых множеств размерности не больше п. откуда по теореме суммы в теории размерности следует, что dim У ^ п. Пусть теперь У произвольно. Как непрерывный образ Fa-пространства У само есть Fa-пространство: У = = LJ ^и с компактными Fh. Существует некоторое Fti —
16. О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 183 пусть Ft — той же размерности, что и Y. Множество % = g'1 (Fx) есть ^-пространство, отображаемое открыто и имперфектно на Ft. Поэтому в силу только что сказанного dim X > dim Хг = dim Fx ="dim У, что и требовалось доказать. Следствие. Образ квазикомпактного пространства X при счетнократном открытом отображении имеет ту же размерность, что и X 1). В случае, если X и Y — компакты, имеем еще следующее добавление: Если компакт Y есть образ компакта X при счетно- кратном открытом отображении g, то Y есть сумма попарно не пересекающихся локально компактных множеств (т. е. множеств Fp), на каждое из которых в силу g топологически отображается некоторое подмножество пространства X. 6. Отображение топологического пространства X на топологическое пространство Y называется локально топологическим в точке а £ X, если оно топологично в некоторой окрестности точки а. Очевидно, множество точек локальной топологичности любого отображения открыто в X. Теорема V. При конечнократном открытом отображении g компакта X множество точек локальной топологичности всюду плотно в X2). Доказательство. Имеем X = ^J Fk, где Fk есть множество точек кратности ^ к. Пусть U — произвольное открытое множество X; пусть к — первое такое натуральное число, что U (] Fk содержит открытое (в X) множество U'. Так как Fk_x нигде не плотно, то U' \ Fh_± содержит открытое множество С/", состоящее, очевидно, из одних только точек кратности к. Пусть а = а0 — произвольная точка U"; точки ах, . . ., а^_х определяем условием g (аг) = g (а) = b, i = 1, . . ., к — 1. Выбираем попарно непересекающиеся окрестности U(ai) = Ut, i = 0, 1, ..., к — 1, окрестность U (Ъ) <= g (U0) П • • • П £ (Uk-i) и, наконец, окрестность V = V (а) ^ С/" под условием g (V)cz U (b),
184 16. О СЧЕТНОКРАТНЫХ ОТКРЫТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Если х £ V, то имеется (включая точку х) ровно к точек, пусть х, хг, . . ., я&-1, удовлетворяющих условию у = == g (х) = g (xt), i = 1, 2, . . ., к — 1. Но так как г/ = g (х) £ С/ (Ь), то в каждом Ut имеется точка xh удовлетворяющая условию g(xt) = Ъ. Поэтому в Уне имеется никакой отличной от х точки, отображающейся в z/, т. е. отображение g взаимно однозначно в V, следовательно, топологично во всякой такой окрестности V' (а), для которой [V (а)] с V (а), что и требовалось доказать. 7. Доказательство неповышения размерности при счет- нократных открытых отображениях компактов опирается лишь на теорему суммы, на монотонность и на топологическую инвариантность размерности. Поэтому теорема о неповышении справедлива и для любой гомологической размерности. ЛИТЕРАТУРА [1] Menger К. Dimensionstheorie.— Berlin; Leipzig: Teubner, 1928. [2J Hurewicz W. Tiber stetige Bilder von Punktmengen.— Proc. kon. Akad. Wet., Amsterdam, 1926, 29, с 1015—1017. [3] Alexandroff P. Untersuchungen fiber die Gestalt und Lage abge- schlossener Mengen beliebiger Dimension.— Ann. Math., 1928— 1929, 30, с 101—187. Русский перевод: наст, издание, т. III. КОММЕНТАРИЙ *) Аналог следствия из теоремы IV в п. 5 имеет место и в не- метризуемом случае. Прежде всего, заметим, что полно метризуе- мое (т. е. Gfi-) пространство есть частный случай полного по Чеху, т. е. имеющего тип G$ в каком-нибудь (в любом) своем бикомпактном расширении, вполне регулярного пространства. Кроме того, ясно, что /^-пространство есть частный случай а-бикомпактного (т. е. представляющегося в виде счетной суммы бикомпактов) пространства. Б. А. Пасынковым получен следующий результат: Если существует открытое и счетнократное отображение полного по Чеху нормального пространства X на паракомпакт (лаже на слабо паракомпактное нормальное пространство) У, то dim X > dim У. Из этого утверждения вытекает такое обобщение упомянутого выше следствия из работы П. С. Александрова: Если полное по Чеху а-бикомпактное пространство (в частности, бикомпакт) X обладает открытым счетнократным отображением на вполне регулярное пространство У, то dim X = dim У. 2) Теорема V была распространена А. Н. Колмогоровым на счетнократные открытые отображения компактов (= метризуемых бикомпактов), а Б. А. Пасынковым —на счетнократные открытые отображения полных по Чеху (в частности, бикомпактных) пространств.—Я риле, ред.
17 ОБЗОР НЕКОТОРЫХ НЕРЕШЕННЫХ ПРОБЛЕМ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ТОПОЛОГИИ *) Каждая математическая теория обладает естественной областью существования, т. е. классом объектов, на которые ее результаты распространяются сами собой, тогда как каждое обобщение за ее пределы всегда индивидуально и требует новых исследований, почти всегда достаточно сложных. Таковым является, например, класс суммируемых (или суммируемых с квадратом) функций для большинства теорий, имеющих дело с интегрированием (ряды Фурье, ортогональные функции, интегральные уравнения и т. д.). Самая простая и самая естественная гипотеза, мне кажется,— принять соответствующую область. Можно было бы, разумеется, расширить ее в случаях (впрочем, довольно частых), когда, полученное обобщение достаточно для прояснения вызванных им сложностей; но было бы совершенно бесполезным ее ограничить. Вот почему, например, использование рядов Фурье — Римана (которое еще иногда встречается) мне кажется совершенно необъяснимым. Я. Урысон Проблемы, о которых идет речь в этом докладе, могут быть разделены на следующие группы: 1) теория размерности; 2) определение многообразия в теоретико-множественной топологии и локальные свойства; 3) дискретные пространства и исключение полиэдров из тех рассуждений, в которые они входят не по существу; *) Опубликовано в Матем. сб., 1936, 1 (43), с. 619—634, под заголовком «Einige Problemstellungen in der mengentheoretischen iopologie». Перевод с немецкого А. В. Зарелуа.
186 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 4) теория гомологии некомпактных пространств; 5) общие пространства. Каждой группе проблем посвящен отдельный параграф статьи. § 1 1. Что касается аксиоматики теоретико-множественного определения размерности, то уместно напомнить, что утверждение Менгера ([1]) установлено все еще только для п ^ 2. Об утверждении Менгера я позволил себе высказаться в другом месте ([2]): я не посчитал бы его общее доказательство за окончательное аксиоматическое обоснование теории размерности; это не мешает мне тем не менее рассматривать вопрос: Является ли теоретико-множественная размерность единственной функцией множеств, для которой выполнены высказанные Менее ром условия, — как одну из важнейших проблем теоретико-множественной топологии. Решение этой проблемы нуждается, несомненно, в улучшении комбинаторною аппарата, имеющегося в распоряжении теоретико-множественной топологии в настоящее время *). 2. Работа Нёбелинга о рациональной размерности ([31) подсказывает задачи двоякого характера: во-первых, прояснение аксиоматического содержания индуктивного определения размерности (какие условия нужно наложить на начальный член индукции —«нульмерные множества», чтобы имели место основные теоремы теории Урысона — Менгера?), во-вторых, вопрос о размерностно полноценных множествах в рамках индуктивного построения теории размерности. В частности, стоит исследовать множества, которые получились бы, если в качестве начального члена индукции взять конечные или даже двухт >* ечные множества. 3. Все новейшее развитие топологии с лолнэй однозначностью показало, что теорема Лебега — Брауэра о замощении и основанное на ней определение размерности как уменьшенной на 1 минимальной кратности бесконечно измельчающихся покрытий сделают поивлечение покрытий одним из основных методов и теории размерно-
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 187 сти 2). Поэтому особенно важно полностью выяснить свойства покрытий и некомпактных пространств. Это до сих пор не сделано. Известно: Размерность метризуемого пространства R со счетной базой есть наименьшее число п со свойством: для каждого конечного покрытия R — Gx [} G2 \j . . . U Gs пространства R открытыми множествами можно найти покрытие Л = Hi U Н2 U • • • U Нs кратности п + 1 и условием HL S Gt (14)). Высказанное в этой теореме Менгера свойство я рассматриваю как «настоящее» определение размерности топологических пространств (достоверно то, что это определение приводит к важным утверждениям в случае бикомпактных хаусдорфовых пространств). К вышеупомянутой теореме Менгера примыкает доказанное Гуревичем ([5}): Размерность метризуемого пространства R со счетной базой есть наименьшее число п со следующим свойством: в каждой вполне о1раниченной метрике, которую можно ввести в R, для каждого е > О существует конечное замкнутое е-покрытие кратности п + 1. Зато следующий вопрос остается нерешенным: Пусть R в фиксированной (вполне ограниченной) метрике допускает для каждого г > О конечное замкнутое е- покрытие кратности п + 1. Можно ли отсюда заключить, что R не более чем n-мерно 3)? Аналогичный ропрос (при отказе от полной ограниченности метрики) относится также к счетным покрытиям. 4. Только что обсуждавшиеся вопросы тесно связаны с теоремой Гуревича о вложимости метризуемого пространства со счетной базой в компакт той же размерности. Поэтому здесь уместна следующая задача 4): Пусть М — подмножество пространства Rn. Отыщется ли в этом Rn замкнутое ограниченное множество той же размерности, что и М, которое содержит подмножество, гомеоморфное М? Что касается вложения компактов в евклидовы пространства, то относящийся сюда основной вопрос: При каких условиях r-мерный компакт гомеоморфен подмножеству Rn (п и г фиксированы)? ~— не решен даже для w = 2иг = 1. Для произвольных п й г вопрос остается трудным, даже если под г-мерным компактом мы понимаем лишь полиэдр; остроумными
188 П. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ исследоьаниями Понтрягина, Куратовского, Флореса, ван Кампена и других атакованы только частные случаи этих важных проблем. Упомянем здесь важный результат Флореса и ван Кампена: Для каждого п существует и-мерный полиэдр, который топологически не вкладывается в R™ при т < 2?г + 1. 5. Перехожу сейчас к вопросам, которые относятся к основанной мною «гомологической» теории размерности. Из тринадцати вопросов, которые я поставил в моей работе «Теория размерности» ((2)), вопросы I, Va, VI, IX, X, XI, XII, XIII остаются, насколько я знаю, нерешенными, и я могу по этому поводу лишь еще раз обратить внимание на эти вопросы. Что касается остальных проблем этой серии, то они были решены в положительном смысле: проблема II — Мазуркевичем ([6]), проблема IV — Понт- рягиным ([7]) и Фрейденталем ([8]), проблемы V и VII — Понтрягиным. На половину проблемы VIII ответ дан Понт- рягиным; из короткого сообщения Б. Кауфмана я вывел, что он только что получил полное решение проблемы VIII5). Что же касается проблемы III, то этот вопрос я поставил по недоразумению: он уже давно решен в отрицательном смысле Кнастером. Упомянутые остающиеся еще не решенными восемь вопросов теории размерности я мог бы дополнить следующими: 1) Пусть G — абелева ipynna, Д0 (F) — размерность компакта относительно группы коэффициентов G. Как велика мощность множества различных функций Дс (F)? Существует ли среди них наименьшая? 2) Множество И абелевых групп называется р а з - мерностным базисом, если для каждой абеле- вой группы G и для каждого компакта F найдется принадлежащая ЭД группа А = A (F, G) такая, что AG (F) = = Ал (Л- Мой вопрос звучит теперь так: Существует ли счетный размерностный базис? Образуют ли уже группы Z, Zm, Q, Qx (т = 2, 3, . . .) *) размерностный базис? Может быть, совокупность не более чем счетных групп составляет размерностный базис6)? *) Z обозначает кольцо целых чисел, Zm — кольцо вычетов по модулю т, Q — поле рациональных чисел, Q1 — группу рациональных чисел, редуцированных по модулю 1.
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 189 В связи с первым из двух только что поставленных вопросов я хотел бы еще привлечь внимание к до сих пор полностью игнорированной размерностной функции Д2 (F); мне не кажется невероятным, что AG (F) ^ Д2 (F) для каждого компакта F и любой группы коэффициентов G 7). Если это предположение верно, то размерностно полноценные компакты определились бы как такие компакты F, что AG (^) = dim F- Тот факт, что Az (F) и dim F двойственны одна другой в смысле понтрягинской теории характеров, придал бы этому результату — если он подтвердится — особую значимость. Следовало бы испытать Az (F) также в отношении теоремы произведения. Борсук недавно сделал существенный вклад в решение проблемы размерностной полноценности ([9]). В связи с исследованиями Борсука и как импульс к их продолжению, я мог бы поставить следующую задачу: Определить в топологически инвариантной форме класс компактов, замкнутый относительно топологического произведения, содержащий все конечные полиэдры и для элементов которого размерность относительно любой группы коэффициентов совпадает с размерностью Брауэра — Урысона — Менгера. При этом в определении этого класса не должно делаться никаких специфически размерностных предположений. В частности, остается открытым — несмотря на прежние исследования Борсука — вопрос, не образуют ли такой класс все локально связные компакты 8). Следующий вопрос, которым я мог бы дополнить поставленную в моей «Теории размерности» проблему, гласит: 3) Существует ли компакт F, для которого одновременно dim F = оо и AG (F) < оо (и, например, =1) для произвольной группы коэффициентов G1 Существует ли такой компакт F для каждой группы коэффициентов G {где G=*Z, Q, Zm, т = 2, 3, 4, . . .) »)? 4) Важная методическая задача есть: Привести в соответствующий (т. е. без использования объемлющих пространств) вид те теоремы гомологической теории размерности, которые относятся к внутренней топологии лежащих в Rn компактов 10). Решение этой задачи предполагает уточнение и обобщение аддиционных теорем, известных к настоящему времени.
190 п. бБЗбр Некоторых проблем топологий 6. Теория размерности некомпактных пространств все еще остается доступной только чисто теоретико-множественным методам. Причина такого положения в том, что теория гомологии некомпактных пространств все еще остается в области пожеланий. Позднее я еще возвращусь к этому предмету; в данный момент можно ограничиться формулировкой следующих вопросов: 1) Какие соотношения имеются между размерностью, существованием существенных отображений на п-мерный куб и существованием относительных циклов (в смысле, приблизительно, определения Чеха) в случае некомпактных сепарабельных метрических пространств? Справедлив ли для этих пространств принцип инвариантности Брауэра? Можно ли для этих пространств брауэровскую размерность отождествить с какой.-нибудь гомологической размерностью п)? 2) Пусть М ^ Rn — подмножество R71. Какими свойствами дополнения Rn \ М можно охарактеризовать, если это вообще возможно, размерность множества М 12)? Все это заключает еще один специальный вопрос. Речь идет о существовании или несуществовании двух множеств различной размерности А ^ Rn, В ^ Rn со следующим свойством: для произвольных двух точек а £ А и Ъ £ В найдутся сколь угодно малые окрестности U (а) и U (Ь) (относительно Rn) такие, что U (а) \ А и U (b) \ В гомеоморфны. Эту задачу можно ослабить следующим образом. Спрашивается о существовании двух размерностно однородных множеств А ^ Rn и В ^ Rn различной размерности со свойством: для каждой точки а £ А существует точка Ь 6 В и для каждой точки Ъ £ В существует точка а £ А такие, что существуют сколь угодно малые окрестности U (а) и U (Ь) с гомеоморфными дополнениями U (а)\А и U (Ь)\В 13). § 2 1. Тесно срослась с теорией размерности теория локальных свойств топологических, в частности компактных, пространств. Если для п = 1 эта теория предстает в существенном законченной благодаря работам Урысона и Мен-
Ц ОБЗОР НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 1§1 гера, то для п > 1 ь ее фундамент заложены лишь первые камни. Упомянем здесь рядом с моей работой «О локальных свойствах замкнутых множеств» ([10]) работы Лефшеца, Чеха, Уайлдера (см. [11] и ссылки там на работы Лефшеца, Борсука, Чеха и др.) о локальной связности, так же как многочисленные работы Борсука о понятии локальной стягиваемости и только что появившуюся работу Вога- на (И21), которая выделяется тем, что в ней делается — с успехом — попытка перенести на га-мерный случай определение ветвления, восходящее к Урысону — Менгеру. О всех исследованиях до нынешнего времени в области локальных свойств многомерных объектов позволительно сказать, что они все еще остаются в элементарных главах теории. Именно те части теории ветвления кривых, которые составляют ее особенную прелесть и посредством которых эта теория фактически приводит к многим конкретным геометрическим результатам, в многомерном случае еще едва затронуты: я мог бы указать только на явления конденсации и однородности, а также, главное, на вопрос распределения точек с различными свойствами ветвления. Соотношения между различными определениями локальных групп Бетти (соответственно чисел Бетти), равно как между различными определениями локальной связности, разреженности и т. д., в случае многих измерений еще нуждаются в окончательном прояснении. Остаются неясными, отчасти, и сооношения между локальными свойствами тела и его свойствами в целом. Эти вопросы тесно связаны с другим вопросом, который также далеко не исчерпан: я имею в виду вопрос об (абсолютно) внутренних и граничных точках многомерного компакта. Различные определения, принадлежащие Бор- суку, Вогану, мне и др., должны быть сначала систематизированы, а затем согласованы между собой. Далее, что можно было бы высказать об этих понятиях при специальных предположениях, например, в случае локальной связности во всех размерностях, разреженности и т. п.? При этом важнейший из возникших здесь вопросов относится к взаимному распределению этих категорий точек. Следующий трудный вопрос касается существования специальных окрестностей, например, окрестностей, чей гомологический тип тот же, что у ?г-мерного куба,— в случае, когда локальные группы Бетти каждой точки данного
192 ?• ОБЗОР НЕКО? ОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИЙ компакта изоморфны соответствующим группам внутренней точки. 2. Теория локальных свойств вообще и последние поставленные вопросы в частности приводят нас к важной проблеме теоретико-множественной формулировки понятия многообразия. Эта проблема распадается на различные отдельные вопросы. Первый, классический вопрос, на который только что был дан ответ Нёбелингом: связный компакт, точки которого обладают окрестностями, гомеоморфными i?n, есть многообразие в классическом смысле этого слова (т. е. такой компакт есть полиэдр) 14). Второй вопрос есть вопрос об общих теоретико-множественных условиях, при которых топологическое пространство гомеоморфно многообразию. Этот вопрос, очевидно, родствен задаче дать теоретико-множественную харак- теризацию сферического (соответственно евклидова п- мерного пространства). Это — одна из сложнейших топологических задач; она решена лишь для п ^ 2. Третий вопрос есть вопрос о теоретико-множественном определении и исследовании компактов (соответственно локально компактных пространств), более общих, чем обычные многообразия, но которые обладают всеми (в том числе локальными) гомологическими свойствами обычных многообразий. В последние годы возобновились,— а именно, Лефшецем, Уайлдером, Чехом — атаки на эту задачу, вызванную общей тенденцией исключения понятия полиэдра из топологии. В совместной, Понтрягина и моей, работе [13J этот вопрос получает, мне кажется, свое окончательное решение. Я пола]аю, что предложенное в этом сообщении определение не только схватывает, простым и естественным образом, все гомологические свойства обычных многообразий, но и что оно полностью мотивировано данной в этом сообщении общей локальной теоремой двойственности. Я хотел бы при этом еще подчеркнуть: во-первых, определение имеет последовательный локальный характер (существование гс-мерного существенною цикла, соответственно цикла mod 2, который имеет все многообразие в качестве носителя, в отличие от других определений не постулируется, а доказывается); во-вторых, наше определение естественно приводит к различию между ори-
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 193 ентируемыми и неориентируемыми многообразиями. Теперь остается решить следующую задачу: для упомянутого сейчас понятия многообразия построить всю теорию пересечений Лефшеца и перенести алгебраическую теорию непрерывных отображений Лефшеца — Хопфа. Не вызывает никаких сомнений, что это возможно. Этим гомологическая теория непрерывных отображений получила бы, наконец, свою естественную область существования. Чтобы уточнить широту нового понятия гомологического многообразия, надо построить такое гг-мерное гомологическое многообразие, которое не содержит л-мерного куба. Этой задаче можно придать более точный характер, добавив требования однородности, примерно такие: каждые две точки построенного многообразия должны обладать произвольно малыми гомеоморфными окрестностями. В противоположность этой задаче можно поставить вопрос о построении тотально неоднородного гомологического многообразия, причем под тотальной неоднородностью здесь понимается следующее: никакие две точки не обладают произвольно малыми гомеоморфными окрестностями 15). И наконец, один очень трудный, но ввиду успехов, достигнутых недавно (в особенности, Нёбелингом) 14), совсем не кажущийся безнадежным, важный вопрос: какими свойствами своих проекционных спектров теоретико-множественно характеризуются гомологические многообразия! В частности, можно ли всегда для наших многообразий построить проекционные спектры, элементы которых суть комбинаторные гомологические многообразия в смысле Александера — Понтрягина — ван Кампена? 3. Теоретико-множественным исследованием понятия многообразия является и работа Борсука о сфероидальных и //-сфероидальных пространствах. В связи с этой работой возникают некоторые вопросы, например, о соотношениях между Я-сфероидальными пространствами Бор- сука (имеющими гомологический тип сферы) и гомологическими многообразиями в смысле работы [13]; о разложении «гомологической сферы» на два «гомологических куба», один из которых произвольно мал и пересечение которых есть гомологическая сфера на 1 меньшей размерности; возникает также задача обобщения теоремы двойственности Александера для Sr ^ Sn (где Sr и Sn — гомологические сферы в смысле Борсука^ тли, более общо, для случая
194 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИЙ произвольного компакта F ^ Sn. Конечно, суть этой задачи есть часть вышеуказанной общей проблемы построения теории пересечений в гомологических многообразиях. Напротив, случай Sr ^ Sn может быть доступен (при использовании соответствующих аддиционных теорем) эле* ментарному методу Лебега — Александера. 4. Одна двумерная проблема! Речь идет о континууме F, который выделяется следующими свойствами: 1° Каждая точка компакта F имеет произвольно малые окрестности, границы которых суть простые замкнутые (жордановы) кривые. 2°. Никакая точка не обладает произвольно малыми окрестностями, границы которых гомеоморфны собственному подмножеству простой замкнутой кривой. Назовем, на мгновение, такой континуум «замкнутой поверхностью». «Замкнутые поверхности» мне кажутся стоящими обстоятельного исследования. В частности, следующие утверждения должны быть доказаны или опровергнуты: A. Каждый континуум в i?3, который разбивает R3 в каждой точке в точности на две компоненты, есть «замкнутая поверхность». Обратно, каждая «замкнутая поверхность» F ^ R3 разбивает R3 в каждой точке в точности на две компоненты; каждая «замкнутая поверхность» разбивает также все R3 на две компоненты, образуя их совместную границу. Соответствующие свойства зацепления — для F ^ Rn. B. Если F —«замкнутая поверхность» и S ^ F — простая замкнутая (жорданова) кривая, то возможны только следующие случаи: или S не разбивает F (т. е. F \ S связно), или же S разбивает F в точности на две компоненты, совместная граница которых есть S. C. Мы сформулируем следующее вспомогательное определение. Пусть в компакте F дано открытое множество D, причем [D] \ D есть простая замкнутая кривая. Если а, Ь, с — три фиксированные точки на кривой [D] \ D, то Z), три жордановы дуги ab, be, са (при этом дуги выбраны так, чтобы никакие их три точки не лежали на двух других определенных дугах) и три точки а, 6, с будут называться треугольником. Дуги будут называться сторонами, а три точки а, Ь, с — вершинами треугольника. Под триангуляцией континуума мы понимаем конечную систему треугольников (Diy а^ bt, ct)
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИЙ 195 такую, что, во-первых, ^J [Dt] — F, во-вторых, пересечение [Dt] П \-Dj] всегда или пусто, или есть общая вершина или общая сторона обоих треугольников, и, в-третьих, треугольники с общей вершиной а могут быть упорядочены циклически, например, Dx, D2, . . ., Ds = Dx, и именно так, что [Dt]C\ №i+\] есть сторона, a [Z?£} f] Wj] для О ф i — ) Ф 1 (mod s) состоит лишь из общей вершины а Каждая триангуляция континуума соответствует, очевидно, триангулированной замкнутой поверхности в классическом смысле слова. Мое предположение звучит теперь: Среди всех континуумов «замкнутые поверхности» полностью характеризуются тем, что для любого е > 0 они допускают триангуляции, состоящие из треугольников диаметра <е. В классическом случае поверхностей конечного рода можно так выбирать эти триангуляции, чтобы их род оставался ограниченным. Можно попытаться в дальнейшем получать всё измельчающиеся триангуляции шаг за шагом с помощью «подразделений». Доказательство этих утверждений исчерпывающим образом прояснило бы взаимоотношения между теоретико- множественным и комбинаторными подходами в топологии двумерных многообразий. Естественно, многомерное обобщение этой постановки вопроса также может быть сформулировано. Мы отказываемся здесь от этого. 5. В заключение некоторые задачи о расположении двумерных (соответственно одномерных) фигур в трехмерном пространстве (соответственно в плоскости). 1) Как известно, Антуан и Александер показали, что две области, на которые поверхность топологического типа сферы разбивает R3, не являются необходимо гомео- морфными внутренней и внешней части сферы. С этим смыкаются следующие вопросы: a) Пусть F ^ R3 — поверхность, гомеоморфная сфере; / и Е — ее внутренняя, соответственно внешняя области. Предположим, что в / и Е каждая замкнутая кривая непрерывно стягивается в точку. Можно ли отсюда заключить, что / (соответственно Е) гомеоморфна внутренней (соответственно внешней) части обычной сферы 16)? b) Пусть / — гомеоморфизм между сферой Sr и поверхностью F <=: J?3. Предположим известным, что / продолжа-
196 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИЙ ется в гомеоморфизм некоторых окрестностей множеств Sr и F. Можно ли отсюда заключить, что этот гомеоморфизм допускает продолжение на все R3 17)? 2) Было бы желательным охарактеризовать в терминах внутренней топологии все одномерные континуумы, обладающие каждым из двух следующих свойств: a) среди топологических образов F найдется лежащий в плоскости и образующий там границу ограниченной области; b) существуют топологические образы F, лежащие в плоскости, и каждый из таких образов есть граница некоторой ограниченной плоской области. § з 1. Мы уже упоминали, что теоретико-множественное толкование понятия многообразия происходит из о б щ е й тенденции исключения полиэдров из п-и ерной теоретико-множественной топологии. Сейчас мы хотим высказаться об этом подробнее. Тенденция основывается на том постепенно выявившемся обстоятельстве, что в настоящее время в теоретико- множественной топологии нет теории, имеющей полиэдры в качестве естественной области существования. Так, на деле под это утверждение подходит, во-первых, топология n-мерных многообразий, а во-вторых, собственно топология полиэдров (или комплексов, как обычно говорят). Топология многообразий состоит из двух частей: «гомотопической» части, основывающейся на понятии фундаментальной группы и непрерывной деформации, и алгебраической «теории гомологии». Первая часть поныне работает методами, не нуждающимися в симплициальном или клеточном разбиении многообразия. Понятие топологического многообразия, т. е. компактного (локально компактного) связного метризуемого пространства, все точки которого обладают евклидовыми окрестностями, и есть нужное в данном случае понятие; его полиэдральная структура по существу не нужна. Но в высшей степени вероятным является и то, что сами евклидовы окрестности объективно излишни. На мой взгляд, важной задачей является определить понятие
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 197 «гомотопического многообразия» так, чтобы в этом определении не использовались предположения, связанные с евклидовым пространством, а только общие предположения типа однородности и деформационной свободы 18). Можно ожидать, что эти предположения лежат в направлении борсуковой локальной стягиваемости и будут представлять собой углубление этого понятия. Задача окончательного освобождения гомотопической теории многообразий от всех предположений евклидовости является тем более обнадеживающей, что важнейшие инструменты теории — фундаментальная группа и состоящее с ней в близком родстве понятие накрытия — не имеют дела с предположениями евклидовости и нуждаются только в локальной связности и локальной стягиваемости. 2. Для гомологической теории многообразий программа набросана в предыдущих разделах: речь идет о построении гомолохической теории для определенных Понтряги- ным и мною в [13] гомологических многообразий — программа, осуществление которой обещает определенный успех. 3. Что касается общей «топологии полиэдров», речь идет, в основном, о следующих теориях: a) теория гомологии комплексов; b) теоремы инвариантности, придающие комбинаторной гомологии геометрическое (т. е. от. полиэдра, а не только от комплекса зависящее) содержание; c) теория непрерывных отображений, восходящая, в существенном, к Хопфу и Лефшецу; d) теория зацеплений, сконцентрированная вокруг теоремы двойственности Александера. Что касается последней названной теории, то она раскрылась сегодня целиком в теоретико-множественной топологии: перенос комбинаторных понятий на компакты, построение общей гомологической теории размерности, связавшей, в частности, структурные свойства компакта со свойствами расположения в Rn его топологических образов — эти свойства суть сплошь и рядом зацепления,— и прежде всего понтрягинское обобщение теоремы двойственности Александера, которое получило новое освещение в последней работе Колмогорова [151, означают новый м р идей, и только в нем'брауэровское понятие зацепления достигло своей полной значимости. При наличии всех этих.
198 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ новых идей и результатов, пожалуй, ни один человек не подумает о теории зацеплений полиэдров иначе, как об элементарном средстве, которое существует только для того, чтобы сформулировать понятие зацепления для истинных циклов замкнутых подмножеств Rn и чтобы доказать об этом понятии первые вспомогательные теоремы. Итак, полное исключение полиэдров из теории зацеплений надо рассматривать как факт, имеющийся налицо. 4. Положение названных под а), Ь), с) частей топологии полиэдров в общей картине сегодняшней топологии подвергнется влиянию со стороны, прежде всего, недавно возникшей теории дискретных пространств. К построению этой теории подошли, приблизительно одновременно, с разных сторон: с алгебраическо-теоретико-множественной (Биркгоф ([19]), Клейн, фон Нейман ([16], где имеются ссылки также на работы Оре и Клейна), с чисто алгебраической (Оре), с топологической (Такер ([17]), Александров ([20]); при этом исходная точка Такера была комбинаторной, моя — теоретико-множественной). В конце концов алгебраическое содержание теории дискретных пространств восходит к Дедекинду (дуальные группы), теоретико-множественно — к Муру и Хаусдорфу (частично упорядоченные множества). Теория дискретных пространств делает возможным, в первую очередь, отвечающее замыслу построение собственно комбинаторной теории комплексов и, следовательно, доставляет естественную область существования для названной в части а) теории: ее область существования образуют как раз клеточные пространства Такера ([17]). Простота и логическая естественность аксиом клеточных пространств показывает убедительным образом, что понятия комбинаторной топологии принадлежат к много более общей категории нашего мышления, чем симплициальные разбиения полиэдров. 5. Что касается топологических теорем инвариантности, то уже изложение этих теорем, которое читатель находит в Хопфа и моей книге «Топология, 1», гл. IX, показывает, насколько эти теоремы переплетены с более общими вопросами топологии компактных и локально компактных пространств. Эти вопросы приводят к теории проекционных спектров, т. е. к сходящемуся процессу, Который позволяет'представить компакты (а часто и общие
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 199 пространства) как пределы конечных дискретных пространств и, в частности, конечных симплициальных комплексов. Развитие теории дискретных пространств бросает новый свет на проекционные спектры и позволяет установить два различных способа этих предельных переходов, из которых один рассматривается как обобщение процесса подразделения в комбинаторной топологии ([20]). Возникает задача: специализацией приемов аппроксимации (т. е. рассмотрением специальных проекционных спектров) и специализацией пространств, представимых спектрами, получить, в частности, такие пространства, для которых имеет место инвариантная полиэдральная топология. Эта задача мне кажется очень близкой к своему решению; я надеюсь показать в своей ближайшей работе, что специализация, о которой идет речь, имеет очень простой и естественный характер и что предположения, делающие возможным построение инвариантной полиэдральной топологии, допускают ясную абстрактную формулировку; таким образом, полиэдральная топология находит' свое место в общей топологии. 6. Тем не менее здесь остается сделать еще многое. Во-первых, нужно перенести на эту новую почву теорию непрерывных отображений полиэдров. Во-вторых, необходимо доказать общую теорему о гомеоморфизме, дающую ответ на вопрос: когда два спектра определяют гомеоморфные пространства? Теорему такого рода я доказал в 1928 г. для симплициальных проекционных спектров ([21]); в новой же теории как раз новые несимплициальные спектры ([20]) играют роль последовательности подразделений комбинаторной топологии, а для них теорема о гомеоморфизме пока еще отсутствует. 7. Вероятно, наконец, что понятие спектральной аппроксимации допускает специализацию такую, что специализированные спектры подходят еще ближе к последовательности подразделений полиэдра и, в частности, имеют все те же самые размерности — размерности определенного ими компакта. Существование такого класса спектральных аппроксимаций было бы тогда аналогом теоремы об инвариантности размерностных величин. 8. Теория проекционных спектров должна установить связь с теоретико-множественно определенными многооб*
200 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ разиями: характеризация спектральными разложениями именно теоретико-множественных гомологических многообразий есть настолько же сложная, насколько и привлекательная задача. Пожалуй, общая теорема о гомеоморфизме, о которой шла речь в п. 6, может привести, в частности, и к харак- теризации всех (возможно, и не определенных специально) спектральных разложений полиэдров. М 1. Комбинаторная теория некомпактных пространств еще не построена — и это даже в том случае, если с самого начала ограничиться метризуемыми пространствами со счетным базисом. Правда, мы имеем происходящие от Чеха определения циклов и гомологии ([22]), но эти определения доставляют пока только первые начала некоторой теории гомологии. Значение и важность гомологической теории компактов покоится на конкретном геометрическом знании, к которому нас привело понятие гомологии: теория размерности, теоремы двойственности, теория непрерывных отображений — все эти главы топологии богаты новыми и интересными фактами, воздействие которых чувствуется повсюду в различных областях математики, и это, в существенном, основывается на понятии гомологии. В этом смысле комбинаторная топология некомпактных пространств еще не существует. Таким образом, первый вопрос, который встает, есть следующий: Допускают ли вообще некомпактные пространства алгебр о-комбинаторное изучение (в смысле теории гомологии)1} Хотя положительный ответ на этот вопрос мне представляется вероятным, однако — если оставаться в полной общности метризуемых сепарабельных пространств (а не пространств, близких к локально компактным) — не безусловно достоверным 10). Гипотетический положительный ответ означал бы, прежде всего, законченную гомологическую теорию для конечномерных пространств, т. е. на деле — точечных множеств евклидовых пространств. Именно: 1) теорию размерности этих множеств — в направлении, в котором она предстает сейчас для компактов;
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 201 2) теоремы двойственности или по меньшей мере теоремы существования для теории зацеплений; 3) теорию непрерывных (быть может, замкнутых) отображений. Теоремы двойственности играют, в частности, роль дробного камня для плодотворности теории: теория гомологии без теорем двойственности не привела бы к новым важным результатам. Существуют ли для произвольного множества М с= Rn соотношения двойственности гомологического характера между М и Rn \ М — вопрос, разумеется, решающего значения для дальнейшего развития теоретико-множественной топологии; я воздерживаюсь в данный момент от любого предположения относительно ответа на этот вопрос. Но, может быть, целесообразно поставить этот вопрос сперва не в полной общности, а например, в предположении, что М есть множество типа G6. Перенесение теоремы двойственности Александера на случай множеств типа G6 (соответственно типа Fa), соответственно решение вопроса о возможности такого перенесения было бы необычайно важно. Даже и специальный случай множеств, которые имеют одновременно тип G6 и тип Fa, заслуживает непременного исследования. 2. Как подготовка к общей задаче переноса теоремы двойственности Александера на случай некомпактных множеств может иметь значение следующая проблема. Пусть М — произвольное подмножество i?n, z — обычный полиэдральный цикл, чьи симплексы в совокупности лежат в М. Выражение «z ограничивает в М» может пониматься различным образом, и каждое понимание придает свой особый смысл проблеме, которую мы сформулируем несколькими строками ниже. Из этих различных способов ограничения мы упомянем здесь, например, следующие: a) z ограничивает полиэдральный комплекс, симплексы которого лежат в М; b) z ограничивает кривой комплекс, симплексы которого лежат в М; c) существует компакт F £ М со свойством — образованные z и его подразделениями истинные циклы ограничивают в F. Способы ограничения Ь) и с) сохраняют свое значение и в случае, когда гесть кривой цикл, с) остается в силе —г
202 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ с очевидным изменением содержания — ив том случае, когда z есть произвольный истинный цикл. Затем лежащий в Rn \ М полиэдральный, соответственно кривой, соответственно истинный цикл называется зацепленным с М, если он не ограничивает в Rn \ М. Наш вопрос теперь гласит: Какие топологические свойства метризуемого конечномерного сепарабельного пространства R необходимы и достаточны для того, чтобы для каждого топологического образа М s Rn пространства R существовал зацепленный с М r-мерный цикл! Этот вопрос остается нерешенным полностью даже для г = 0. 3. В теории непрерывных отображений некомпактных пространств до недавнего времени, кроме элементарных фактов, имелись в основном теоремы теоретико-размерно- стного содержания. Новые делающие эпоху исследования Гуревича ([23]) содержат, среди прочего, и важную часть, касающуюся некомпактных пространств, хотя центр ее тем не менее лежит в компактах. Во всяком случае, до построения теории непрерывных отображений некомпактных пространств все еще далеко. Теория непрерывных отображений, вообще, есть такая часть топологии, в которой все еще необходимы весьма специальные утверждения топологии полиэдров. Особенно сильна эта зависимость от полиэдров в исследованиях о неподвижной точке: вспомним, например, о том, что мы до сегодняшнего дня не знаем, обязательно ли имеет ациклический плоский континуум {даже когда он одномерен) при каждом отображении в себя неподвижную точку ао). §5 1. В последние годы все более заметной стала тенденция освобождать общетопологические исследования от предположений счетности. К этому приходят с разных сторон: достаточно упомянуть тополого-теоретико-групповые работы ван Кампена ([24]) и А. Маркова ([251), некоторые из последних работ фон Неймана и — последние по порядку, но не по значению — исследования Колмогорова ([15]) о группах Бетти локально компактных пространств. Я полагаю, что понятие бикомцактности ц локальной биком-
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 203 пактности пространства справедливо сейчас причислить к таким понятиям, которые не только являются предметом специальных исследований, но и получили право общематематического гражданства. Общая (или абстрактная) топология, которая сформировалась у своего основателя фреше, главным образом, из рассмотрения отдельных функциональных пространств, получила у Хаусдорфа преимущественно характер аксиоматического построения учения о точечных множествах. В написанном Урысоном и мною «Мемуаре о компактных топологических пространствах» ([26]), так же как и в наших последующих работах, показано, что теория топологических, в особенности бикомпактных, пространств есть математическая теория, богатая конкретными и своеобразными математическими фактами, ничего общего не имеющая с «чистым поиском обобщений», которым иногда значительно страдает математическая продукция последних десятилетий. Подтверждением этого высказывания служит дальнейшее развитие этой теории Тихоновым ([27]), М. Стоуном ([28]) и другими. Наконец, в работах Чеха и Колмогорова бикомпактные пространства получили комбинаторное истолкование. 2. В настоящий момент следующие вопросы общей топологии, среди других, могут рассматриваться как актуальные: I. Полное построение (примыкающее к Колмогорову) теории гомологии бикомпактных пространств, включая понятия многообразия, сферических многообразий, теорему двойственности Александера и т. д. Окончательное выяснение при этом роли, которую играют различные предположения счетности — среди них первая аксиома счет- ности Хаусдорфа и условие: а) каждое замкнутое множество есть G&- П. Теория размерности бикомпактных пространств. Здесь отсутствуют даже начальные результаты: мы ничего не знаем даже об эквивалентности различных определений размерности 21). 3. Полностью определились и частные проблемы: 1) М. Стоун недавно получил некоторые интересные результаты ([28]), которые связаны более или менее прямо с теорией бикомпактных пространств и отвечают частично на вопросы, которые Урысон и я доставили более десяти дот
204 IV. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ тому назад. Метод доказательства Стоуна основывается на использовании теории так называемых булевых алгебр. Истинное значение, которое имеют эти алгебраические рассмотрения для обсуждаемых Стоуном вопросов, мне представляется еще совсем не ясным. В частности, недавно вполне элементарными и весьма простыми средствами я получил один результат, связанный с многими рассмотрениями Стоуна и частично их усиливающий ([29]). Во всяком случае я думаю, что не только комбинаторное, но и чисто теоретико-множественное исследование бикомпактных пространств может привести к далеко идущим достижениям и что результаты Стоуна могут для этого иметь важное значение. 2) А. Курош недавно перенес теорию проекционных спектров на бикомпактные пространства ([30}). Этот перенос, который ни в какой степени не является тривиальным и который потребовал весьма остроумных соображений, удался в элегантной и простой абстрактной форме. Но при этом остается нерешенной задача, решение которой могло бы иметь принципиальное значение. Как известно, обычные проекционные спектры (компактов) соответствуют последовательности разбиений компактов. Отказ от аксиомы счетности, совершившийся при переходе к бикомпактным пространствам, приносит с собой, в частности, рассмотрение таких (обобщенных) проекционных спектров, которые соответствуют совокупности всех конечных открытых (соответственно замкнутых) покрытий данного бикомпактного пространства, выделяющихся, таким образом, среди всех спектров и связанных инвариантно с пространством. Возникает задача прямого определения этого — в некотором смысле максимального — спектра и тем самым задача связать каждое бикомпактное пространство взаимно однозначным образом с определенным предельно-комбинаторным способом задания.* 3) Э. Чех первым попытался перенести определение размерности Брауэра — Урысона — Менгера на нормальные пространства (без счетной базы), удовлетворяющие условию (а) п. 2 этого параграфа ([31]). При этом он оказался вынужденным видоизменить локальную форму определения Урысона — Менгера так, что отныне разювор идет о размерности не в точке а £ /?, а о размерности в замкнутом подмножестве А <= R ^2) С использованием этого
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 205 видоизмененного определения размерности Чех доказывает многие теоремы теории Урысона — Менгера, однако он был в состоянии доказать только половину урысонов- ской теоремы о покрытии, не приведя противоречащего примера для другой и не доказывая, с другой стороны, что принятое видоизменение определения объективно необходимо (т. е. теоремы теории Урысона — Менгера не обязательно справедливы для пространств с предположенными Чехом условиями). Остается неясной и необходимость специального предположения (а). Поэтому возникают задачи: 1) довести до конца исследования Чеха, в особенности, в их части, связанной с теоремой о покрытии; 2) ответить на вопрос об эквивалентности определений размерности, данных Чехом и Урысоном — Менгером; 3) доказать обычные теоремы теории размерности в случае нормальных пространств (с условием (а) или без условия (а)) или привести противоречащие примеры 21). Мне кажется, что решение этих задач образует дальнейший важный шаг в прояснении роли, которую играют в теоретико-множественной топологии предположения счетности. §6 Из успехов теоретико-множественной топологии последних лет (примерно после 1932 г.) заслуживают упоминания, в особенности, следующие: 1°. Понтрягинская теория характеров топологических абелевых групп и основывающаяся на этой теории его общая теорема двойственности. Разумеется, это открытие стало возможно в первую очередь благодаря тому, что Понтря1ин — тоже первым — принялся топологизировать группы коэффициентов теории гомологии. 2°. Основание и постепенное построение общей гомотопической топологии. Последнее совершилось в двух направлениях: первое в конечном счете восходит к понятию существенного отображения в Sn — стало быть, к работам Хопфа, гомологической теории размерности и некоторым работам Борсука — получает существенно новый поворот в одной работе Брушлинского и приводит к теории Фрей- денталя и к ряду дальнейших работ (Борсук, Эйленберг
206 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИЙ и др.)- Это направление можно было бы отметить заголовком «гомотопический подход к гомологическим проблемам». Созданная Борсуком теория ретрактов (которая возникла независимо от только что упомянутых вопросов) также подпадает под эту рубрику. Второе направление гомотопической тополо1ии только что основано Гуревичем: теория гомотопических групп. 3°. Двойственное в себе построение гомологической топологии локально бикомпактных пространств, принадлежащее Колмогорову. 4°. Доказательство и) Нёбелингом «Hauptvermutung» гомотопической топологии Стейница и триангулируемости топологических многообразий, которое, правда, относится не к теоретико-множественной топологии в общепринятом сейчас смысле, а скорее к топологии полиэдров, работающей теоретико-множественными методами. Типичными для развития теоретико-множественной топологии в последние годы являются ее становящиеся все более сильными связи с алгеброй. Связи эти весьма различного свойства: во-первых, алгебраический аппарат теории гомологии приобретает все увеличивающуюся важность и все расширяющийся объем (привлечение различных групп коэффициентов!). Содержание гомологических методов также очень увеличилось: собственно, понтрягинская теория характеров есть новый инструмент, которым владеют новые исследования. Связанная с этим топологизация ipynn коэффициентов вносит в отношения между алгеброй и топологией, даже в теорию гомологии, новую ноту. Во-вторых, топологическая алгебра, прежде всего, теория топологических групп, которая стала — главным образом благодаря Понтря ину — новой значительной математической дисциплиной. В-третьих, разнообразные связи с абстрактной алгеброй (общая теория колец, булевы алгебры и т. д.), которые возникают в связи с различными аспектами теории дискретных пространств (частично упорядоченных множеств). Общее во всех упомянутых здесь связях топологии с алгеброй то, что в них речь идет не только о применении одной дисциплины в другой, сколько о фактическом слиянии топологического и алгебраического материала —
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 20? явлении, воздействие которого на различные области математических исследований может оказаться чрезвычайно плодотворным. ЛИТЕРАТУРА [1] Menger К. t)ber die Dimension von Punktmengen, III: Zur Begriindung reine axiomatischen Theorie der Dimension.— Monatsh. Math. Phys., 1929, 36, с 193—218. [2] Alexandroff P. Dimensionstheorie.—Math. Ann., 1932, 106, с 161—238. Русский перевод: наст, издание, т. II. [3] Nbbeling G. Ober regular-eindimensionale Raume.— Math. Ann., 1930, 104, с 81-91. [4] Куратовский /Г., Топология, т. I.— М.: Мир, 1966. [5] Hurewicz W. t)ber Einbettung separabler Raume in gleichdimen- sionale kompakte Raume.— Monatsh. Math. Phys., 1930, 37, с 199-208. [6] Mazurkiewicz S. Sur les composantes dimensionnelles d'un compacts.— Fundam. math., 1932, 19, с 243—246. [7] Pontriagin L. The general topological theorem of duality for closed sets.— Ann. Math., 1934, 35, с 904—914. [8] Freudenthal H. Ober die topologische Invarianz kombinatorischer Eigenschaftendes Aussenraumes abgeschlossener Mengen.— Com- positio Math., 1935, 2, с 163—176. [9] Borsuk K. Contribution a la theorie de la dimensions.— С. г. Acad, sci, Paris, 1935, 201, с 1086—1087; Sur les espaces jouis- sant de lapropriete(A).— G. r.Acad. sci. Paris, 1935, 202,с 187— 189. [10] Alexandroff P. On local properties of closed sots. —Ann.Math., 1935, 36, с 1—35. Русский перевод: наст, издание, т. II. [И] Wilder R. On locally connected spaces.— Duke Math. J., 1935, 1, с 543-555. [12] Vaughan H. On local Betti numbers.— Duke Math. J., 1936, 2, с 117—137. [13] Alexandroff P., Pontriagin L. Les varieties a л-dimensions gene- ralisees.— C. r. Acad. sci. Paris, 1936, 202, с 1327—1329. Русский перевод: наст, издание, т. III. [14] Alexandroff P., Hopf Я. Topologie, I.— Berlin, 1935. [15] Kolmogoroff А. Uber die Dualitat im Aufbau der kombinatorischen Topologie.— Матем. сб., 1936, 1 (43), с. 97—102. [16] von Neumann J. Continuous geometry.— Proc. Nat. Acad. sci. USA, 1936, 22, с 92-100. [17] Tucker A. Cell-spaces.—Ann. Math., 1936, 37, с 92—100. [18] Alexandroff P. Sur les espaces discrete.— C.r. Acad. sci. Paris, 1935, 200, с 1649-1651. [19] Birkhoff G. Sur les espaces discrete de la dimensions.— C.r. Acad. sci. Paris, 1935, 201, с 19—21. [20] Alexandroff P. Sur les suites d'espaces topologiques.—C.r. Acad. sci. Paris, 1935, 200, с 1708—1711. Русский перевод: наст, кн., с. 173—177.
208 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ [21] Alexandroff P. Untersuchungen uber Gestalt und Lage abgeschlos- sener Mengen beliebiger Dimension.— Ann. Math., 1928—1929, 30, c. 101 — 187. Русский перевод: наст, издание, т. III. [22] Cech Е. Theorie generale de l'homologie dans un espace quelcon- que.— Fundam. math., 1932, 19, с 149—184. [23] Hurewitcz W. Beitrage zur Topologie der Deformationen, I: Ho- herdimensionale Homotopiegruppen; II: Homotopie- und Homo- logiegruppen; HI: Klassen und Homologietypen von Abbildun- gen; IV: Aspharische Raume.— Proc. kon. Akad. Amsterdam, 1935, 38, с 112-119, 521—528; 1936, 39, с. 117-126, 215-224. [24] van Kampen E. Locally bicompact abelian groups and their character groups.— Ann. Math., 1935, 36, c. 448—463. [25] Markcff A. Uber endlich-dimensional Vectorraume. —Ann. Math., 1935, 36, с 464-506. [26] Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques compacts.—Verh. kon. Akad. Wet., 1929, 14, № i, c. 1—96. Последнее русское издание: Александров П. С, Урысон П. С, Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971. [27] Tychonoff A. t)ber die topologische Erweiterung von Raumen,— Math. Ann., 1930, 102, с 544-561. [28] Stone M. Boolean algebras and their application to topology.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1934, 20, с 107—202. [29] Александров П. С. К теории топологических пространств. ДАН СССР, 1936, 2, с. 51-54; наст, кн., с. 209-215. [30] Kurosch- A. Kombinatorischer Aussenraumes abgeschlossener Mengen.— Compositio Math., 1935, 2, с 472—476. [31] Cech E. Sur la dimension des espaces parfaitement normaux.— Bull, intern. Acad. Sci. de Boheme, 1932 33, с 38—55. КОММЕНТАРИЙ Статья представляет собой изложение доклада, прочитаяпого автором на Первой международной топологической конференции, состоявшейся в Москве в 1935 г. По существу это — программа развития топологии, основанная на состоянии топологии к моменту конференции. Одним из важнейших событий в топологии в тот момент было построение гомологической теории общих топологических пространств и появление тем самым возможности заполнения бреши между теоретико-множественной топологией и топологией алгебраической, основанной на понятии полиэдра. Возможность, которая уже начала осуществляться в открытии П. С. Александровым гомологической теории размерности. Вполне естественно поэтому, что большая часть поставленных вопросов в докладе относится именно к вопросам применения гомологических методов к общим топологическим Пространствам. Последующее развитие топологии показало, что поставленные в докладе проблемы действительно определили во многом пути этого развития. Так, в области общей топологии очень точно указана важность развития топологии без аксиомы счетности, в теории размерности —
17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИИ 209 важность изучения взаимоотношений между основными определениями размерности и построения теории размерности нормальных пространств; указана роль аппроксимации пространств спектрами для изучения свойств пространства. В гомологической теории размерности особенно четко выделены задачи: найти счетный запас групп, размерности по которым определяли бы размерность по любой вообще группе; охарактеризовать размерную неполноценность; установить связи между размерностью и зацеплениями и др. В геометрической топологии подчеркнута важность понятия локально односвязного вложения (задача а) на с. 195) и понятия «вложения с воротником»— частный случай локально плоского вложения (задача Ь) на с. 195); явно поставлена задача исследования свойств вложений в Rn. В области гомологической теории общих пространств точно предсказана возможность содержательной теории, полезной для приложений,— действительно, когомологии сейчас с успехом применяются к широкому кругу задач о любых (паракомпактных) пространствах. Вместе с тем фактически предсказаны (с. 200) трудности приложения гомологических методов к теории размерности нелокально компактных пространств. В теории гомологических {обобщенных) многообразий указано на важность первых работ Уайлдера, который действительно затем создал содержательную теорию. Обращено внимание на важность изучения локальных гомологии и когомологии и соотношений между глобальными и локальными свойствами, что впоследствии и было выполнено с помощью спектральной последовательности и теории пучков. Частным случаем этих соотношений оказались, например, законы двойственности Пуанкаре — Лефшеца, как видно из работ Александрова — Ситникова, Бореля, Раймонда и других авторов. По многим поставленным в работе проблемам имеется уже большая литература и дать сколько-нибудь развернутый комментарий означало бы по меньшей мере удвоить объем самой статьи. Мы поэтому ограничились лишь самыми необходимыми примечаниями. *) Аксиоматика Менгера в больших размерностях оказалась несостоятельной. И. А. Шведов (см. обзор: Кузьминов В, И. Гомологическая теория размерности.— УМН, 1968, 23, с. 3—49, далее цитируемый [К]) показал, что когомологическая размерность по любой конечнопорожденной абелевой группе удовлетворяет всем аксиомам Менгера. Аксиоматику, характеризующую размерность dim в классе компактов, дал П. С. Александров; позже Е. В. Щецин, видоизменив аксиоматику Александрова, характеризовал размерность dim в классе всех метрических пространств (см. книгу Александров, П. С\ Пасынков Б. Л. Введение в общую теорию размерности.— М.: Наука, 1973, далее цитируемую [АП]). 2) Сейчас можно с уверенностью сказать, что это высказывание полностью оправдалось, и не только в теории размерности, но и^во всей общей топологии. 3) М. Катетов показал в 1958 г., что при указанных условиях всегда dim R ^ 2п. К. А. Ситников затем показал, что оценка эта неулучшаема (см. [АП]). Это обстоятельство привело к развитию нового направления — метрической теории размерности.
210 17. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ТОПОЛОГИЙ 4) Эта проблема возникла из бесед П. С. Александрова, X. Хоц- фа и Д. Александера зимой 1927—1928 г. в Принстоне (США) и до сих пор остается открытой. 5) Первое удовлетворительное решение вопроса получено Е. Г. Скляренко; см. П. С. Александров. Введение в гомологическую теорию размерности.—М.: Наука, 1975. 6) В направлении, намеченном вопросами пи. 1) и 2), проведены обширные и глубокие исследования, начавшиеся М. Ф. Бокштейном (см. обзор [К]). 7) Известно, что для любого размерностно неполноценного компакта F верно AZF < Aq^; см. [К]. 8) Все размерностно неполноценные компакты Понтрягина локально связны (см. [К]). 9) В основном проблема остается открытой. Известно лишь, что dim F = 1 при Aq, F = 1. 10) Такая работа проделана; см. [К]. и) Ответы на все эти вопросы даны; см. обзор [К]. 12) Ответа пока нет. 13) Ответа пока нет. 14) Доказательство Нёбелинга оказалось ошибочным. Только недавно было показано существование топологических многообразий, не являющихся кусочно линейными. Задача же триангулируемости (без условия кусочной линейности) топологического многообразия остается открытой и до сих пор. 15) Примеры обобщенных многообразий, не являющихся локально евклидовыми в некоторых (и даже во всех) своих точках, сейчас известны. Теория пересечений Лефшеца и алгебраическая теория Леф- шеца — Хопфа на указанные в статье многообразия не переносилась. 1G) Полного ответа на этот вопрос пока нет, но известно уже многое. Например, известно, что существует «хорошая» дикая сфера во стягиваемой внутренностью (В. Альфорд). 17) Положительный ответ дан М. Брауном. 18) Объекты такого типа сейчас широко используются. 19) Такая теория построена; см., например, Я. С. Александров. Топологические теоремы двойственности, ч. 2: незамкнутые множества.— Труды Математического института АН СССР им. В. А. Стек- лова, 64.— М.: Изд. АН СССР, 1959. 20) И до сегодняшнего! 21) В настоящее время теорию размерности бикомпактных пространств можно считать полностью построенной; см. [АП]. 22) Речь идет о размерности Ind; см. предыдущую сноску.
id_ К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ*) Под топологическими пространствами мы понимаем очень широкий класс пространств (юраздо более широкий, чем пространства Хаусдорфа), а именно, класс так называемых Го-пространств ([1}). Назовем весом пространства R наименьшее кардинальное число т, обладающее тем свойством, что в R существует определяющая система окрестностей мощности т. 1. Для каждого кардинального числа т определяем дисконтинуум Dx как произведение (в смысле А. Н. Тихонова ([2])) пространств, состоящих каждое из двух изолированных точек: точки Dx суть системы | = {ха}, где а пробегает множество значений мощности т и каждое ха равно 0 или 1. Окрестность Uai\ . .as (So) точки £0 = {#£} есть по определению совокупность всех точек £ = {ха} таких, что х = х^ для а = а1? . . ., а8. Пространство Dx есть, как нетрудно видеть, бикомпактное хаусдорфово пространство веса т. Так как окрестности иа, ... as его точек суть множества, одновременно замкнутые и открытые, то Dx нульмерно. Теорема 1. Всякое топологическое пространство веса т есть взаимно однозначный и непрерывный (в одну сторону) образ некоторого множества, лежащего в пространстве Dx. Доказательство. Рассмотрим базис мощности т пространства R; пусть Va суть элементы этого базиса. Лемма. Пусть для каждого Va определено множество Еа, причем каждый раз либо Еа = Уа,либо Еа = R \ Va. Тогда пересечение всех Еа либо пусто, либо состоит из одной точки. В самом деле, пусть р ш q — две различные точки пространства R. Так как в R выполнена аксиома отделимости Колмогорова ([1]), то по крайней мере у одной из двух точек р и q существует окрестность, не содержащая дру- *) Опубликовано в ДАН СССР, 1936, 2 (И), с. 51-54.
212 is. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ гую точку. Пусть, например, Va^р, q ^ R \ Va. Точки р и дне могут одновременно принадлежать к £а, тем более к пересечению всех Еа. Примечание к лемме. Если R — хаусдорфо- во пространство, то для двух точек р и q окрестность Va можно выбрать так, что р (: Va, q £ R \ [Va]. Отсюда следует, что в хаусдорфовом пространстве пересечение всех [Еа] также содержит не более одной точки. Этим замечанием мы воспользуемся в п. 2. Пусть | = {ха} — произвольная точка пространства Dx. Полагаем Еа (£) = Va, если ха = 0, и Еа (£) = = R\Va, если ха==1. Обозначим через X множество тех точек £ 6#т, для которых р| Еа (%)йфА. Для каждойвточки £ £ X полагаем <р (£)= |^ Еа (£). Таким образом определено однозначное отображение множества X в пространство R. Каждая точка р пространства R является при отображении ф образом одной-единственной точки £ £ X. В самом деле, если р £ Fa, полагаем #а = 0; если же р 6 R \ Fa, полагаем #а = 1. Для таким образом полученной точки £ = {#а} имеем Ф (|) = р. Если £ = {ха} и £' = {#«} — две различные точки X, то существует такое а, что ха Ф ха\ пусть, например, ха = 0, х'а = 1; тогда £а (£) = Уа, Еа (£') = = Л \ Va и Ф (Б) ф Ф (Г). Отображение ф непрерывно. Пусть £0 = {#&} — произвольная точка из X, р0 '= ф (£о) — ее образ, Fa — произвольная окрестность точки р0. Тогда 4 = 0и для всех точек %eUa (10) имеем ха = 0, Еа (£) = Fa, <р (£) 6 Fa, что и требовалось доказать. 2. Теорема 2. Всякое бикомпактное хаусдорфово пространство есть непрерывный и однозначный {в одну сторону) образ некоторого нульмерного бикомпактного хаусдорфова пространства того же веса, что и R. Доказательство*). Достаточно показать, что отображение ф множества X на i?, определенное в п. 1, *) Эта теорема есть обобщение теоремы, доказанной мной в 1925 г. о компактных метрических пространствах. Теорема 2 высказана в работе [3] М. Стоуна, причем доказана этим автором на основании теории булевых алгебр, прилагаемой к топологическим пространствам. Теорема 2 была давно известна также А. Н. Колмогорову.
18. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 213 в случае бикомпактного хаусдорфова R может быть распространено (естественно, с потерей взаимной однозначности) на [X]. Пусть | = {#a} есть точка ?[Х]. Определяем Е(1(1), как в п. 1; докажем, что f)[Ea(Q]=£A для %£[Х]. Так как R бикомпактно, то для этого достаточно показать, что для любых <хь ..., ae, данных в конечном числе s, имеем Eat (i) П • • • П Еая (I) Ф Л. Пусть 1' = {х'а) есть произвольная точка X, содержащаяся в Uai ...аЛ£); так как х'а = х для a = ab . .., as, то £«,<!') = *«.(!)■ ••-. Я«.(Г) = Я«.(5), <p(V)£Eai(l)(]...()Eas(t). После этого полагаем для любой точки £ £ [X] 1> (5) = П Ю*®]- Очев» дно, для ?■ £ X имеем г|) (£) = ср (£). На основании примечания к лемме в п. 1 *ф (х) содержит не более одной точки, значит, на основании только что доказанного, состоит из одной точки. Остается доказать, что однозначное отображение *ф множества [X] ^ DT на R непрерывно. Пусты)) (£0) = р; так как Я, как бикомпактное хаусдорфово пространство, регулярно ([5]), то достаточно показать, что при любом выборе окрестности Va 9 р имеем *(ff*(b))S=[Va]. Так как ГаЭр = Ф(1о) = П ^«(1о)Ь то ПРИ ?о = Ю имеем х°а = 0. Поэтому для l£Ua(lo), i = {*a) будет *а = *£ = <), значит, Еа (|) = Яа йо) = ?« и ф (|) g £a &) =* = Va, что и требовалось доказать. 3. Окрестность £/«,... ав (£), I = {#«} f #\ назовем окрестностью первого рода, если ха, — . .. • • • = ^a.s = 0. Все пространство DT (и соответственно X) также считаем за окрестность первого рода любой4* его точки. Если ха. = 1 для i = 1, ..., 5, то С7аг... as (|) называется окрестностью второго рода.
214 18. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Очевидно, что всякая окрестность точки |, которая не первого рода и не второго рода, является пересечением окрестности первого рода и окрестности второго рода. Из приведенного доказательства теоремы 1 следует: при отображении ф окрестности первого рода точек \ £ X переходят в открытие, а окрестности второго рода — в замкнутые множества пространства R, причем всякое открытое множество в R есть сумма, а всякое замкнутое множество — пересечение образов (при отображении ф) окрестностей соответственно первого и второго рода в пространстве X. Само пространство R получается (с точностью до переименования его точек) из пространства X сохранением среди всех окрестностей точек !■ £ X одних лишь окрестностей первого рода. Так как окрестности первого рода, как легко видеть, удовлетворяют первым трем аксиомам Хаусдорфа и аксиоме отделимости Колмогорова ([1]), то всякое пространство, полученное из некоторого множества указанным процессом, есть пространство типа Т0. Итак, нами доказано: Теорема 3. Все топологические пространства типа Т0 и только они получаются из подмножеств X дисконтинуумов Dx сохранением среди всех окрестностей (относительно X), определенных в Dx, одних лишь окрестностей первого рода *). Назовем Fx пространство, получаемое из DT сохранением в нем в качестве, окрестностей одних лишь окрестностей первого рода; FT есть на основании предыдущего бикомпактное Го-пространство, содержащее топологический образ всякого Го-пространства веса ^т. Итак: Теорема 3'. Топологические пространства типа Т0 топологически тождественны с подмножествами бикомпак- ных пространств Fx. В пространствах веса т естественно называть множествами Fa те множества, которые суть суммы не более т замкнутых множеств (для т = х0 получаем обычные множества Fa). Аналогично определяются множества G6. Пусть R — пространство, в котором каждое открытое множество есть множество Fa (этому условию удовлетворяв *) С другой стороны, существуют, как легко показать, взаимно однозначные непрерывные отображения дисконтинуумов 0х (даже для т — 1) на обобщенные топологические пространства, не являющиеся пространствами типа TQ.
18. К ТЕОРИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 215 ют, например, все регулярные пространства). Рассмотрим отображение ф множества X на R, определенное вп. 1. Из п. 3 следует, что ф (Ua ... а ) есть пересечение открытого и замкнутого множеств, т. е. во всяком случае множество, являющееся одновременно FG и С?б. Так как всякое открытое (замкнутое) множество в R есть сумма (пересечение) тне свыше т множеств ср (С7а .. . а ), то имеем следующий результат: Теорема 4. Если R регулярно (и, более общо, если в R каждое открытое множество есть F0), то функция ф, определенная в п. 1, отображающая множество X с= /)т взаимно однозначно на R, отображает всякое открытое множество в X на некоторое множество Fa и всякое замкнутое множество .в X на некоторое множество G6 в R. Для метрических пространств при т=х0 получаем как частный случай теорему, недавно доказанную Куратов- ским и Хаусдорфом. ЛИТЕРАТУРА [1] Alexandroff P., Hopf Н. Topologie, I.— Leipzig, 1935. [2] Tichonoff A. Uber die topologische erweiterung von Raumen.— Math. Ann., 1930, 102, с 544-561. [3] Stone M. #., Boolean algebras and their application to topology.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1934, 20, с 107-202. [4] Куратовский К., Топология, т. 1.—М.г-Мир, 1966. [5] Hausdorff F. Cber innere Abbildungen.— Fundam. math., 1934, 23, с 279—291.
19 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА *) СОДЕРЖАНИЕ Введение 217 § 1. Идентичность понятий дискретного пространства, систе- гмы множеств и частично упорядоченного множества. . 219 § 2. Пять сопровожцающих комплексов, в частности, барицентрическое подразделение 223 § 3. Мультипликативные пространства 4 230 § 4. Теория гомологии локально конечных дискретных пространств 236 § 5. Деформационные теоремы 238 Введение Основная цель настоящей работы заключается в построении теории гомологии дискретных пространств **). При этом, в отличие от Такера и Колмогорова ***), не делается никаких дополнительных предположений, кроме одного предположения типа конечности, которое ниже формулируется под названием локальной конечности. 1. Понятие дискретного пространства идентично понятию частично упорядоченного множества (см. § 1 данной *) Опубликована в Матем. сб., 1937, 2 (44), с. 501—520, под заголовком «Diskrete Raume». Посвящена памяти Эмми Нётер. Перевод с немецкого В. В. Агароняна. **) Дискретные пространства введены мною в качестве спе циального случая топологических пространств в заметке [1]. Эквивалентные понятия рассматривались и намного раньше с различных точек зрения разными исследователями — среди них Гаррет Бирк- гоф, Такер и другие. С алгебраической точки зрения это понятие восходит к Дедекинду ([2]; см. в особенности работу Оре [3]), а с теоретико-множественной — к Хаусдорфу и Э. Муру («частично упорядоченные множества»). Настоящее изложение не опирается на более ранние работы. ***) У. Такер [4], А. Н. Колмогоров [5].
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 217 работы). Дискретное пространство (частично упорядоченное множество) называется локально конечным, если число элементов частично упорядоченного множества, следующих за определенным элементом, а также число элементов, предшествующих определенному элементу, всегда (т. е. для каждого элемента) конечно. Алгебраический г-м ерный комплекс1) дискретного пространства D по области коэффициентов / определяется как кососимметрическая функция f (Ро> • • •» Pr)-> г + 1 аргументов которой пробегают всевозможные (г + 1)-наборы элементов из D и значения которой принадлежат абелевой группе /. При этом выдвигается следующее требование: значение функции f (р0, . . . . . ., рг) может быть отлично от нуля лишь в том случае, если р0, рг, . . ., рг являются элементами некоторого упорядоченного подмножества частично упорядоченного множества D. Граница guf алгебраического комплекса f определяется как (г — 1)-мерный алгебраический комплекс Ги guf = f~4Pbi ..., Pr-i)=Sf (Р, РО, •••, Рг), V где суммирование производится по всем р £D. Это определение алгебраического комплекса и его границы удовлетворяет обычным условиям; в частности,* граница границы алгебраического комплекса всегда есть нуль. Таким образом, приведенное выше определение обычным образом приводит нас к понятиям цикла, гомологии и групп Бетти. Наряду с определением обычною, или нижнего граничного оператора, определяется и верхний граничный оператор gbf в смысле Александера — Колмогорова формулой gof-ГЧРо Рг+1) = Я(-1)*/(-Р-) г без какого-либо предположения о конечности (т. е. для всех без исключения дискретных пространств), где (•/?•) означает (р0, . . ., Pi_in р,+1, . . ., рг). 2. Эти определения мотивируются понятием барицентрического подразделения D0 любого (не обязательно локально конечного) дискретного пространства D. При этом под барицентрическим подразделением D0 частично Упорядоченного множества D понимают частично
218 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА упорядоченное (в смысле обыкновенного включения) множество всех упорядоченных подмножеств множества D. Легко убедиться, что барицентрическое подразделение локально конечного дискретного пространства является обыкновенным симплициальным комплексом. Если дискретное пространство D является клеточным комплексом в обычном смысле, то приведенное здесь определение барицентрического подразделения совпадает с классическим определением. Если для простоты ограничиться на мгновение рассмотрением лишь конечных дискретных пространств, то можно видеть, что эти подсистемы симплексов изоморфны обычным конечным симплициальным комплексам; таким образом, если рассматривать данное конечное пространство D как подмножество симплициального комплекса К и сохранить в барицентрическом подразделении комплекса К лишь те симплексы, вершины которых являются центрами тяжести симплексов, принадлежащих D, то получится барицентрическое подразделение пространства D. Это обстоятельство и первая теорема об е- сдвигах из § 5 делают понятие барицентрического подразделения совершенно наглядным. Теперь легко сообразить, что данное выше определение групп Бетти дискретного пространства совпадает с обычным определением групп Бетти барицентрического подразделения пространства D. 3. Барицентрическое подразделение D0 дискретного пространства D есть наиболее важный из пяти симпли- циальных комплексов, которые очень естественно строятся для каждого локально конечного дискретного пространства и которые мы называем сопровождающими для этого дискретного пространства. Эти симплициальные комплексы связаны между собою простыми геометрическими соотношениями, изучающимися в §§ 2, 3, приводящими к следующему основному результату: для весьма обширного класса пространств, а именно, для всех так называемых мультипликативных пространств (которые соответствуют мультипликативным системам множеств) все пять сопровождающих симплициальных комплексов имеютЧ одни и те же гомологические свойства. Это позволяет в § 4 установить, что для мультипликативных пространств можно получить намеченную выше теорию гомологии и таким
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 219 образом: мультипликативные пространства рассматриваются как локально бикомпактные пространства, и к ним применяются общие колмогоровские определения ([6]). В § 5 конечные покрытия компактов рассматриваются как дискретные пространства и из упомянутой специальной теоремы об е-сдвигах выводится, что каждый компакт с помощью е-сдвига может быть отображен в рассматриваемое как полиэдр барицентрическое подразделение любого своего (замкнутого или открытого) мультипликативного е-покрытия. В § 1 устанавливаются элементарные свойства дискретных пространств. § 1. Идентичность понятий дискретного пространства, системы множеств и частично упорядоченного множества 1. Дискретное пространство *) D — это топологическое пространство, в котором объединение замкнутых множеств в любом числе замкнуто и, следовательно, пересечение любого числа открытых множеств открыто. Таким образом, дискретное пространство можно определить так: это множество D, в котором выделены некоторые подмножества, причем так, что: 1) само множество D и пустое множество выделены; 2) выделены объединения и пересечения любого числа выделенных множеств. Очевидно, что множества, дополнительные к выделенным, также удовлетворяют условиям 1) и 2). Получаются два различных топологических, и притом дискретных пространства, которые в зависимости от того, какие подмножества выделены, определяются как открытые или как замкнутые множества. Эти пространства называются двойственными друг другу. Таким образом, пространство D', двойственное пространству Z), получится, если открытые множества пространства D определить как замкнутые множества пространства D' и наоборот. 2. С точки зрения общей теории множеств содержание понятия «дискретное пространство» разъясняется с помощью следующей теоремы: *) Топологическое пространство будет пониматься здесь в смысле книги Александрова —Хопфа [7].
220 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА I. Дискретное Т ^пространство *) можно превратить в частично упорядоченное множество, если для точек р и р' пространства D положить (1) р'<р тогда и только тогда, когда (2) р' е [pi Наоборот, каждое частично упорядоченное множество можно рассматривать как дискретное Т ^-пространство: полагают (2), если имеет место (1) или р = р'; далее, для каждого непустого подмножества М пространства D определяют замыкание как сумму замыканий отдельных точек множества М, а для пустого множества Л по определению полагают [Л] = Л. Доказательство получается автоматически; в частности, из нулевой аксиомы отделимости сразу видно, что отношения р >> р' и р' > р не совместимы друг с другом. Таким образом, понятия дискретного Го-пространства и частично упорядоченного множества эквивалентны. Если рассматривать дискретное Го-пространство как частично упорядоченное множество, то его замкнутые множества характеризуются следующим свойством: замкнутые множества содержат наряду с каждым своим элементом р все элементы р' < р. Открытые же подмножества G характеризуются, наоборот, тем, что вместе с каждым элементом р в них содержатся все элементы р* > р. Из этого примечания следует: И. Для частично упорядоченного множества переход к двойственному пространству означает обращение отношения порядка (т. е. если для двух точек р и р' дискретного пространства р > р', то в двойственном пространстве р'>р). Начиная с этого момента, мы будем рассматривать исключительно дискретные Т^-пространства: выражение «дискретное пространство» будет всегда означать «дискретное Т^-пространство». 3. Каждое дискретное пространство D изоморфно системе множеств Ф (или может быть пред- *) З^-пространства ~ это пространства, в которых никакие две различные точки не имеют одного и того же замыкания. Это условие можно формулировать и следующим образом: из двух различных точек по крайней мере одна1 обладает окрестностью, в которой не содержится другая точка («нулевая» или колмогоровская аксиома отделимости; см. [7], с. 58).
19 ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 221' ставлено в виде системы множеств) в следующем смысле: точки р пространства D взаимно однозначно соответствуют элементам Р системы 2); р' £ [р] тогда и только тогда, когда для соответствующих Р и Р' имеет место Р' с: Р. В самом деле, достаточно положить Р = р. Мы видим, что множества системы % можно считать подмножествами пространства D. Замыкание [М] множества М точек дискретного пространства D является, как и в случае любого топологического пространства, наименьшим замкнутым множеством, содержащим М (пересечением всех замкнутых множеств, содержащих М). Среди открытых множеств, содержащих данное множество в дискретном пространстве D, также имеется наименьшее, а именно, пересечение всех открытых множеств, содержащих М, обозначаемое через ОМ. Ради симметрии обозначений будем писать AM вместо [М] и будем называть AM оболочкой множества М, а ОМ — звездой множества М. Особенно важными для нас являются оболочка Ар и звезда Ор каждой отдельной точки р в пространстве D. Точки р £ /?, для которых Ар = р (з а м к - нутые точки), будут называться вершинами, а точки р £ Z), д л я которых Op = р (открытые точки), будут называться основными точками пространства D. Л/7-множества так же, как и Ор-множества, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками р (;Z), и р' £ Ар тогда и только тогда, когда Ар' с: Ар или Op' id Ор. Для каждой точки р0 £ Z? множество Ор0 состоит из тех точек р, для которых р0 6 Ар. Определение. Системы множеств И = {А} и $й = {В} называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение включения. Таким образом, справедливы теоремы: III. Система $[ (D) Ар-множеств и система © (D) Op-множеств дискретного пространства D связаны друг с другом следующим образом: каждая из них изоморфна системе множеств, дополнительных (относительно D) к элементам другой системы (т. е. если Ар' а Ар, то Ор' гэ ^ Ор и наоборот). Имеет место также:
222 19. Дискретные пространства IV. Система {0ра} Op-множеств имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда соответствующие ра принадлежат одному и тому же множеству Ар. Мы докажем больше, а именно, что пересечение множеств Ора состоит из всех тех точек р, оболочки Ар которых содержат все соответствующие ра. Так как Ар содержит все ра, то р содержится во всех Ора и наоборот. Относительно определения дискретного пространства заметим еще следующее. Дискретное пространство можно рассматривать как множество D, в котором задано взаимно однозначное соответствие между элементами р £ D и некоторыми подмножествами Ар cz D, а именно так, что выполняются следующие условия: (1) ре Ар, (2) из р' £ Ар и из р" £ Ар' следует р" £ Ар. Тогда Ор определяется как множество всех таких элементов #, что р £ Aq. 4. Определение. Система ф = {М} множеств называется полной, если каждое непустое подмножество каждого множества М £ Ф в свою очередь является элементом системы ф. Очевидно, любую систему множеств ® можно дополнить до полной системы множеств ®, если считать каждое непустое подмножество каждого множества М 6 ф элементом системы Ф; ф называется полной оболочкой системы ф. Дискретное пространство D называется полным, если оно изоморфно некоторой полной системе множеств ф. При этом изоморфизм понимается в том смысле, в каком он определен в начале п. 3: точки р £ D взаимно однозначно соответствуют элементам Р £ Ф и р' £ Ар тогда и только тогда, когда для соответствующих Р, Р' из ф справедливо Р' cz Р. Легко видеть, что: V. Для полноты дискретного пространства необходима и достаточна совокупность следующих условий: 1) каждое Ар-множество содержит по крайней мере одну вершину; 2) никакие два Ар-множества не могут содержать лишь те вершины, которые принадлежат им обоим сразу (т. е.
19, ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 223 если Арф Ар', то по крайней мере в одном из этих множеств есть вершина, не содержащаяся в другом); 3) если М является множеством всех вершин, содержащихся в Ар, то к каждому непустому подмножеству М' множества М можно найти такую точку р' £ Ар, что М является множеством всех вершин, содержащихся в Ар'. Множество всех вершин, содержащихся в Ар, называется остовом точки р. Совокупность условий 1), 2), 3) означает следующее: V'. Система остовов пространства D является полной, и D изоморфно этой полной системе множеств. Поэтому самый простой рецепт построения полного дискретного пространства таков: в D задаются вершины и указывается, какие множества вершин являются остовами. Мы сейчас воспользуемся этим рецептом, чтобы для каждого дискретного пространства построить некоторые тесно связанные с ним полные пространства. Примечание. Упомянутое выше правило построения полных дискретных пространств позволяет установить, что полные пространства с конечными Лр-множествами идентичны областям вершин*) в комбинаторной топологии. Если в дальнейшем под локально конечными пространствами понимать дискретные пространства с конечными Ар- и Ор-ы ножествами, то понятно, что полные локально конечные пространства совпадают с симпли- циальными комплексами из комбинаторной топологии. § 2. Пять сопровождающих комплексов, в частности, барицентрическое подразделение 1. В первую очередь мы дадим определение полной оболочки V (D) и барицентрического подразделения Dq дискретного пространства D как некоторых полных пространств следующим образом: вершины в V (D) ивО0 одни и те же — все точки пространства D. Множество точек пространства D объявляется остовом пространства V (D), если оно является подмножеством некоторого Лр-множе- ства пространства D. Множество М cz D объявляется остовом в D0, если каждые две точки рг и р2 множества М *) [7], с. 155-156.
224 19. ДИСКРЕТНЫЙ ПРОСТРАНСТВА являются инцидентными, т. е. или рх £ Ар21 или Ръ 6 APi- На языке частично упорядоченных множеств это определение, очевидно, означает следующее: множество М с: D является остовом, если оно упорядочено (в смысле существующего в D частичного порядка). Очевидно, DQ cz V (D). Наряду с D0 и V (D), которые определены для каждого дискретного пространства D как непустые полные дискретные пространства, мы определим еще вершинную оболочку v (D) также как некоторое полное пространство, но которое при определенных условиях может быть пустым. Именно, вершинами пространства v (D) являются все вершины пространства D, а множество вершин объявляется остовом пространства v (D), если оно является подмножеством некоторого Лр-множества пространства D. Барицентрическое подразделение n пространства D\ двойственного пространству D, очевидно, идентично барицентрическому подразделению D0 пространства D. Наряду с полными пространствами V (D), v (D), нам понадобятся еще и полные пространства V (D') и v (D'), которые мы обозначим соответственно через V (D) и i/ (D). Эти пространства естественно определяются непосредственно через пространство D, а именно, с помощью понятия нерва системы множеств. Под нервом системы множеств @ понимают полное дискретное пространство N (@), определенное следующим образом. Вершинами в N (@) являются все элементы из @; множество элементов из @ образует остов нерва N (2>), если эти элементы имеют непустое пересечение. Легко доказать, что: VI. V (D) изоморфно нерву системы всех Ар-множеств пространства D; v (D) изоморфно системе тех Ар-множеств, оболочки которых являются основными точками пространства D. Исходя из двойственности, ясно, что V (D) изоморфно нерву системы всех Op-множеств пространства D, a v (D)— нерву системы звезд вершин того же пространства. Примечание 1. Иногда целесообразно рассматривать в качестве вершин пространства D0 не элементы самого пространства D, а некоторые другие находящиеся с ними во взаимно однозначном соответствии объекты такие, как центры тяжести соответствующих эле-
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 225 ментов пространства D. Иными словами, иногда удобно заменять D изоморфным ему пространством или вообще отождествлять изоморфные пространства. Так, например, часто отождествляют V (D) с нервом системы Ор-множеств, у т) — с нервом системы Лр-множеств и т. д. Наконец, заметим, что D0 содержится в пересечении V (D) и V (D), но, вообще говоря, не совпадает с этим пересечением. Примечание 2. Очевидно, что предположение локальной конечности означает нечто иное, как то, что V (D) и V (D) являются симплициальными комплексами. VII. Каждое полное дискретное пространство изо- морфно нерву некоторой системы множеств. Это ясно из тою, что полное пространство D идентично своей вершинной оболочке v (D), а та в свою очередь идентична нерву системы звезд вершин пространства D. Однако не каждое полное дискретное пространство изоморфно полной оболочке дискретного пространства: так, например, треугольный контур не является полной оболочкой. Также не каждое полное пространство изоморфно бари* центрическому подразделению дискретного пространства. Необходимое для изоморфизма условие таково: если два элемента множества вершин М принадлежат одному остову, то М само является остовом. Однако это необходимое условие даже в случае конечных пространств не является достаточным: гс-угольник (в качестве одномерного комплекса) тогда и только тогда является барицентрическим подразделением дискретного пространства, когда п четно (в этом случае я-угольник является барицентрическим подразделением -5-"Угольника 1 . Нерешенная проблема. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы полное дискретное пространство (в частности, конечный симплициальный комплекс) было изоморфно барицентрическому подразделению некоторого дискретного пространства? ^ Естественно, аналогичный вопрос можно задать и по поводу полных оболочек дискретных пространств. 2. Возможность расширить каждую систему множеств До полной в случае локально конечных или конечных Дискретных пространств дает:
226 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА VIII. Любое локально конечное (соответственно конечное) дискретное пространство можно получить, если в сим- плициалъном комплексе (соответственно в конечном сим- плициальном комплексе) отметить некоторые (неглавные) симплексы. VIП\ Каждое конечное дискретное пространство изоморфно множеству граней симплекса достаточно высокой размерности. Только что доказанные факты — хотя и почти сами собой разумеющиеся — имеют двоякое значение. Во-первых, с их помощью понятие дискретного пространства приобретает полную геометрическую наглядность. Во-вторых, они служат тому, чтобы превратить симплициальные комплексы из удобного, но более или менее случайного вспомогательного средства топологических исследований в логически необходимую категорию нашего математического мышления. Для комплексов наше понятие барицентрического подразделения совпадает с классическим понятием. Если, в случае локально конечного D, в барицентрическом подразделении комплекса V (D) оставить только те симплексы, все вершины которых являются центрами тяжести элементов комплекса V (D), принадлежащих/), то и получится барицентрическое подразделение пространства D. Таким образом, понятие барицентрического подразделения локально конечного пространства приобретает ясное геометрическое содержание. Два примера: 1) Пусть D состоит из треугольника abc, его стороны аЪ и вершины а; барицентрическое подразделение пространства D —это треугольник оуа, где о является центром тяжести треугольника abc, ay — центром тяжести стороны аЬ. 2) Пусть D состоит из треугольника abc и его трех вершин а, Ь, с. Барицентрическое подразделение пространства D есть одномерный комплекс, состоящий из трех отрезков оа, ofc, ос и из их концевых точек. 3. Для дискретного пространства, как и для каждого топологического, определено понятие непрерывного отображения. Среди непрерывных отображений особенно важны замкнутые и открытые, которые — кроме своей непрерывности — обладают тем
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 227 свойством, что переводят каждое замкнутое (соответственно открытое) множество из пространства прообразов в замкнутое (соответственно открытое) множество в пространстве образов. Для дискретных пространств замкнутость или открытость отображения / характеризуется тем, что / переводит Лр-множества (соответственно Ор-мно- жества) в таки^ же. Пусть задано непрерывное отображение / пространства Dx в пространство D2\ тогда каждая вершина пространства #1 переходит в вершину пространства D2. Если как Dx так ий2 полные, то замкнутые отображения пространства Z?x на пространство D2 характеризуются тем, что остов каждой точки р £ Dx оказывается отображенным на остов точки / (р), т. е. замкнутые отображения в случае полных пространств совпадают с отображениями, сохраняющими остов, или (в понятном обобщении выражения) симплициальными отображениями и, таким образом, могут быть полностью определены с помощью соответствующих отображений вершин. Непрерывное отображение / произвольного дискретного пространства Dx на дискретное пространство D2 индуцирует, благодаря этому, симплициальное отображение /0 барицентрического подразделения D10 пространства /^ в барицентрическое подразделение D20 пространства £>2, что позволяет сопоставлять центру тяжести любого элемента р £ £>! центр тяжести его образа. Если отображение / является замкнутым, то /0 отображает D10 на D20. Непрерывное отображение / пространства Dx на D2 cz cz Dx называется согласно Борсуку ретрагирую- щим отображением, если оно является тождеством на D2. Если существует ретрагирующее отображение пространства Dx на D2 cz Dx, то D2 называется р е т р а к- т о м пространства D±. Отображение / пространства D± на D2 cz Dt будет в дальнейшем называться квазитождественным, если для каждой точки а £ D± существует Лр-множество, содержащее одновременно а и / (а). Наконец, мы будем говорить (несколько нестрого), что симплициальный комплекс К2 является деформационным ретрактом комплекса Кг zd К2, если ретрагирующее отображение К± на К2 можно получить с помощью непрерывной деформации полиэдра Кг в себя
22В 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (К является при этом полиэдром, состоящим из всех симплексов комплекса К). IX. В случае локально конечного пространства D пространство v (D) является ретрактом пространства V(D), a v* (J)) является ретрактом V (D), причем ретрагирую- щее отображение всегда можно выбрать квазитождественным *) симплициалъным/ Доказательство. Учитывая IV, достаточно доказать первое утверждение. Для этого каждой точке пространства D сопоставим какую-нибудь из ее вершин, То'лда возникает симплициальное отображение V (D) на и (/)), сохраняющее вершины и, следовательно, оставляющее неподвижными все симплексы в и (D), что и требовалось доказать. При построенном таким образом отображении каждый элемент р £ D (рассматриваемый как симплекс из V (D)) переходит во вполне определенный элемент комплекса v (25), а именно, в симплекс из v (/)), определенный вершинами элемента р. Совокупность этих симплексов образует дискретное пространство Е (D) с: и (D) — так называемый вершинный экстракт пространства D. Если пространство D с самого начала полное (и,следовательно, является комплексом), то с помощью упомянутого выше ретрагирующего отображения пространства V (D) на и (D) пространство D изоморфно отображается на v(D) = D = Е (D). 4. Продолжаем исследование определенных в п. 1 полных дискретных пространств. Барицентрическое подразделение А0р множества Ар мы называем барицентрической оболочкой, а барицентрическое подразделение О0р множества 0р — барицентрической звездой точки р относительно D. Как легко видеть, барицентрические оболочки образуют систему множеств, изоморфную пространству Z), откуда из соображений двойственности следует, что барицентрические звезды (относительно D) образуют систему множеств, изоморфную двойственному пространству D'. *) Теорема справедлива и при значительно более общих условиях: для ее справедливости, достаточно, чтобы каждое ^-множество содержало вершину.
19, ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 229 В частности, нерв системы барицентрических главных звезд (= барицентрических звезд вершин) пространства D совпадает с v (D). Поскольку в случае полного пространст- ва J) = v (Z)), то каждое полное дискретное пространство является нервом системы его барицентрических главных звезд — обобщение известной теоремы из теории симпли- циальных комплексов. 5. В этом пункте мы ограничиваемся рассмотрением локально конечных, а иногда (ради простоты) даже конечных дискретных пространств. Пусть D — конечное дискретное пространство. Мы можем рассматривать *) его как подмножество конечного симплициального комплекса К в Rn достаточно высокой размерности. Полиэдр, который является объединением множества симплексов комплекса К, обозначим через К. Каждая точка р g D в нашем рассмотрении является симплексом из К; при этом слово «симплекс» всегда понимается как «открытый симплекс» (симплекс без границы). Тогда Ар состоит из симплекса р и из некоторых граней симплекса р. Объединение множества принадлежащих пространству D симплексов из К образует (вообще говоря, незамкнутое) подмножество множества К, которое мы обозначаем через D. Барицентрическая оболочка А0р возникает, если прямолинейно соединить центр тяжести евклидова симплекса р с симплексами лежащего на грани- ,—' це симплекса р комплекса. Полученный полиэдр А0р является так называемым звездным полиэдром (объединение множества симплексов симплициальной звезды в /?п), и D изоморфно системе полиэдров А^р. Теперь каждый такой полиэдр А0р, если только он сам по себе не является элементарным (т. е. топологическим образом выпуклого полиэдра), можно легко видоизменить в элементарный полиэдр так, что система видоизмененных полиэдров изоморфна исходной системе полиэдров, т. е. пространству Z). Приведенные выше Соображения остаются полностью в силе и для счетных локально конечных дискретных пространств. Чтобы освободиться от условий счетности, необходимо заменить Rn на^линейньте пространства без счетной базы, но на этом *) И притом различными способами.
230 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА мы здесь останавливаться не будем. В приведенных рассуждениях содержится теорема: X. Каждое не более чем счетное локально конечное дискретное пространство D изоморфно некоторой системе звездных полиэдров в Rn, симплициалъное разбиение которой дает барицентрическое подразделение пространства D. Пространство D изоморфно также и некоторой системе элементарных полиэдров в Rn, § 3« Мультипликативные пространства 1. В нашем дальнейшем изложении среди прочего рассматривается и теория гомологии дискретных пространств. Это дает нам повод уже сейчас отметить, что (даже в случае конечного дискретного пространства) свойства гомологии пространств V (D) и v (D) не должны обязательно совпадать с гомологическими свойствами барицентрического подразделения D0: достаточно рассмотреть дискретное пространство D, которое состоит из четырех вершин а, ft, с, d и из двух треугольников аЪс и bed. Однако мы увидим, что обычным путем можно определить обширный класс дискретных пространств, для которых гомологические свойства комплексов V (D) и v (D) совпадают с гомологическими свойствами D0. Определение. Дискретное пространство называется мультипликативным пространством, если пересечение любой системы его ^4р-множеств или пусто, или является Лр-множеством (если система его ^4р-множеств является мультипликативной системой множеств). Простое рассуждение показывает: мультипликативные пространства и только они изоморфны мультипликативным системам множеств. Если в полном пространстве D пересечение некоторого множества Лр-множеств является непустым множеством А 0, то остовы соответствующих точек р также имеют непустое пересечение Х0 и для точки р0 £ D с остовом Х0 имеет место ApQ = А0. Итак, полные дискретные пространства представляют собой специальный случай мультипликативных. Поскольку каждое дискретное пространство можно вложить в полное пространство, то тем более оно может быть вложено в мультипликативное пространство. Это рдожение может быть осуществлено наиболее экономна
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 231 образом так: любое дискретное пространство изоморфно системе © своих Лр-множеств; если дополнить ф до мультипликативной системы множеств фт, то можно рассматривать эту систему как мультипликативное пространство — мультипликативную оболочку 5)т пространства J9m. Пространство, упомянутое в начале параграфа, будучи рассмотренным как оболочка, имеет комплекс, состоящий из двух тетраэдров с общей гранью, в то время как его мультипликативная оболочка (которая в этом случае совпадает с вершинной оболочкой) является комплексом, состоящим из двух треугольников с общим ребром. XI. Одновременно с D мультипликативным является и двойственное пространство D'. Для доказательства достаточно показать, что в мультипликативном пространстве система всех Ор-множеств, дополненная пустым множеством, образует мультипликативную область множеств. Последнее утверждение в свою очередь содержится в сумме двух следующих утверждений: система {Ора} Op-множеств имеет непустое пересечение тогда и только тогда, когда соответствующие ра содержатся в одном и том же ^-множестве (это — теорема IV); в множестве Лр-множеств мультипликативного пространства, которые содержат данные точки ра, имеется наименьшее (а именно, пересечение Ар0 всех этих Ар- множеств), которое и есть Ор0, т. е. пересечение данных Ора. На языке частично упорядоченных множеств аксиома мультипликативности означает следующее: Если множество точек М с: D является ограниченным снизу (т. е. если существует по крайней мере одна точка PodD с р0 <; а для любого а £ М), то М имеет нижнюю границу, т. е. существует а £ D со следующими свойствами:} 1) ос ^ а для любого а £ М; 2) если для какого-нибудь а' £ D выполнено условие а ^ а для каждого а £ М, ш а' ^ а. Содержание предложения XI состоит, таким образом, в следующем: если каждое ограниченное снизу множество имеет нижнюю границу, то каждое ограниченное сверху множество имеет верхнюю границу.
232 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Мультипликативные пространства, и в особенности среди них локально конечные, являются наиболее важными среди дискретных пространств. Они являются естественным обобщением клеточных комплексов и являются в то же время достаточно общими: в частности, каждую конечную систему множеств легко можно расширить до конечной мультипликативной системы множеств. 2. Если пополнить мультипликативное пространство D двумя «идеальными точками»— нулевой точкой 0 и единичной точкой 1,— то возникает алгебраический объект (D) — замкнутая структура в смысле работы Оре [3]. Для любого непустого множества М элементов из (D) можно определить сумму и произведение (всех элементов из М) следующим образом. Если М содержит элемент 1 (соответственно элемент 0) и множество М' остальных элементов множества М не является пустым, то произведение (сумма) элементов М должно равняться произведению (сумме) элементов М'. Если же М не содержит элемента 1, то произведение элементов М равно нулю, если М содержит элемент 0 или если пересечение оболочек элементов М является пустым; если это пересечение непусто, скажем, равно Ар0, p^^D, то р0 объявляется произведением элементов из М. Наконец, полагают 1 X 1 = 1, Таким образом, в этом умножении 0 играет роль нулевого элемента, а единица — роль единичного. Теперь мы определим сумму двумя правилами. Во-первых, сумма всегда равна единице, если хотя бы одно слагаемое равно единице или в D нет ни одной точки, в оболочке которой содержались бы все слагаемые. Если есть такая точка, р, то среди всех этих точек выбирают ту, у которой наименьшая оболочка, и объявляют ее суммой данных точек. Наконец, полагают 0 + 0 = 0. Определенные здесь операции сложения и умножения удовлетворяют условиям работы Оре, цитированной выше. Для*нас важно: XII. Пусть в пространстве D заданы два непустых точечных множества Л, В с i <В*). Если суммой всех элементов из В является {отличная от 1) точка р £ D, *) Выражение А < В означает, что множество А является собственным подмножеством в Bf
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 233 jno суммой всех элементов из А является некоторая точка р' из Ар. Доказательство. Поскольку А с D и А непусто, то сумма элементов из А отлична от нуля. Так как A <L В, то эта сумма может быть равной 1 только тогда, когда равна 1 сумма всех элементов из В, что невозможно по условию теоремы. Следовательно, суммой всех элементов из А является некоторая точка р' £D. Если предположить, что р' не принадлежит Ар, то Ар' не будет подмножеством в Ар и потому в пересечении Ар' П АР == Ар" существует некоторое Лр-множество, содержащее А. Это, однако, противоречит выбору р'. В мультипликативном пространстве D каждому подмножеству М остова однозначно соответствует точка рм £ £ D — сумма всех элементов из М. Получаемое таким образом отображение из v (D) в D непрерывно по теореме XII. Поэтому имеем: XIII. Для мультипликативного пространства D пространство v (D) можно непрерывно отобразить в D с сохранением вершин. Из теоремы IX такой же результат — для локально конечных пространств — получается для V (D). Примечание. Если рассматривать D и v (D) как подпространства в V (D), то можно говорить об элементах (не обязательно вершинах) из v (D), принадлежащих D. Теорему XIII можно на этом пути усилить, требуя сохранения не только вершин, но и всех элементов из v (D), принадлежащих Z). Простые примеры показывают, что для мультипликативных пространств аналогичное усиление невозможно. 3. Когда в условиях теоремы XIII можно v (D) отобразить на D? Если сразу ограничиться мультипликативными пространствами, то для этого необходимо и достаточно следующее условие: Аксиома базы. Точки из D взаимно однозначно соответствуют своим остовам, и р' £ Ар тогда и только тогда, когда остов точки р' является подмножеством остова точки р. Аксиома базы (применимая к любым, не обязательно мультипликативным, пространствам) означает в точности следующее: Р изоморфно подпространству своей вершинной оболочки.
234 19* ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Примечание. Сделанное в последнем абзаце п. 3 примечание, очевидно, справедливо не только для полных пространств, но и для всех пространств с аксиомой базы. XIV. Если в мультипликативном пространстве точки взаимно однозначно соответствуют своим остовам, то для него выполняется аксиома базы. Доказательство. Пусть Gx является остовом точки Pi, G2 — остовом точки р2 и 6?! с: G2. Мы определяем р' через Ар' = Арг П Ар2. Очевидно, что Ар' с: Ар2 и, следовательно, р' £ Ар2. С другой стороны, Gx является остовом точки р', следовательно, р' = р и рг £ Ар2, что и требовалось доказать. Мы можем также сказать: мультипликативные пространства с аксиомой базы — это те мультипликативные пространства, в которых каждый элемент является суммой своих вершин. Для немультипликативных пространств взаимно однозначного соответствия точек и их остовов еще недостаточно для выполнения аксиомы базы. В качестве примера можно взять следующее дискретное пространство. Оно состоит из пяти точек рг, р2, а, Ь, с, причем а, Ь, с — вершины точки рг; кроме этих вершин множество Арх содержит еще только точку рг, в то время как Ар2 состоит из р2, а, ft. Результатам предыдущего пункта в случае мультипликативных пространств с аксиомой базы можно придать следующую, более точную форму: XV. Мультипликативное пространство D с аксиомой базы является квазитождественным ретрактом *) своей вершинной оболочки и своей полной оболочки; его барицентрическое подразделение D0 является симплициальным квазитождественным ретрактом барицентрических подразделений пространств V (D), v (D), V (D), v' (D). 4. Если в теоретико-множественных исследованиях (в которых дискретные — в основном конечные — пространства встречаются в качестве покрытий точечных множеств) можно ограничиться рассмотрением мультипликативных пространств, то аксиома базы является во многих случаях уже слишком сильным ограничением. *) Ретрагирующее отображение не обязано быть замкнутым (пример: D состоит из треугольника, его трех вершин и одной стороны) .
19, ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 235 Поэтому — и само по себе тоже — важно в случае локально конечного D доказать гомологическую эквивалентность до сих пор введенных комплексов в предположении лишь мультипликативной аксиомы. Для этой цели мы рассматриваем D, Е (D) a v (D) и v (D) как подпространства пространства V (D) и определяем S (D) как объединение D и Е (D). Прежде всего ясно: в силу определенного в п. 2 отображения Е (D) является симплициальным квазитождественным ретрактом множества S (D) и, следовательно,Е0 (D) является деформационным ретрактом множества S0 (D). Но можно также получить ретрагирующее отображение S0 (D) на D о, если поставить в соответствие центру тяжести любого элемента из S (D) сам элемент или центр тяжести суммы вершин этого элемента в зависимости от того, принадлежит ли элемент пространству D или нет. Поскольку Е0 (D) и D0 одновременно являются деформационными ретрактами множества S6 (D), то все три комплекса — в случае локально конечного D — имеют одни и те же гомологические свойства. Поскольку Е (D) имеет ту же самую вершинную оболочку v (D), что и D, и Е (D) cz v (Z)), то Е (D) удовлетворяет аксиоме базы. Кроме того, Е (D), как легко видеть, является мультипликативным (если D мультипликативно). Поэтому (согласно XV) Е (D) является квазитождественным ретрактом пространства v (D), а Е0 (D) — симплициальным деформационным ретрактом пространства^ (D). Следовательно: XVI. В случае любого локально конечного мультипликативного пространства D симплициалъные комплексы Dq, V (D), v (D), Е (D), V (D), v' (D) являются гомологически эквивалентными между собой. 5. Гомологическую эквивалентность D0 и V (/)), а следовательно, и гомологическую эквивалентность D0 и V (D) и поэтому — ввиду гомологической эквивалентности V (D) и и (D) — гомологическую эквивалентность Л90, V (Ь), v (D), V' (D), i/ (D) можно доказать без помощи пространства Е (D) для всех локально конечных мультипликативных пространств путем рассмотрения D0 как подкомплекса комплекса V (D). Тогда доказывается: XVII. Пусть D — локально конечное мультипликативное пространство. Барицентрическое подразделение Vq (D)
236 19, ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА комплекса V (D) можно симплициально отобразить на D0 так, что при этом для каждого х £ D0 барицентрическая оболочка А0х a D00 отображается на Ах a D0. Доказательство. Симплициальное отображение V0 (D) на D0 получается, если поставить в соответствие центру тяжести симплекса (pi0, . . ., pir) комплекса V (D), Pih £ Z), h = 0, . . ., г, центр тяжести суммы элементов Рг0» • • -•> Ргг* По теореме XI это отображение вершин порождает симплициальное отображение, сохраняющее вершины комплекса V (D) (которые идентичны вершинам комплекса D0) и ставящее в соответствие каждой вершине барицентрического подразделения Dq0 комплекса D0 cz с: V (D) вершину его носителя в Z)0. Следовательно, по известным теоремам барицентрическое подразделение каждого замкнутого симплекса из D0 отображается на этот симплекс, что и требовалось доказать. § 4. Теория гомологии локально конечных дискретных пространств 1. Приведенные выше рассуждения дают все основания определить группы Бетти локально конечного дискретного пространства как группы Бетти его барицентрического подразделения. В этом и состояло бы тогда содержание теории гомологии этих пространств. Что же касается формы, то ее можно выбрать различными способами, чтобы достигнуть контакта с уже существующими теориями гомологии. Предлагаемое ниже изложение близко к теории Колмогорова. В этом и следующем пунктах под дискретным пространством мы всегда понимаем локально конечное пространство D. Далее, мы называем две точки рир' инцидентными, если р' 6 Ар или р 6 Ар', и определяем г-м ерный алгебраический комплекс1) в D как кососимметрическую функцию f (Ро> • • -1 Рт) г + 1 аргументов, причем р0, . . ., рг являются любыми точками пространства Z), и функция принимает значения в аддитивной абелевой группе — соответствующей области коэффициентов. При этом всегда f (Ро, • • •» Рг) = 0, если среди т^очек р0, . . ., рг имеется хоть одна неинцидентная пара. Тогда граничные
Id. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 237 операторы таковы: guf = f1 (Ро, . • ., Pr-l) = 2 Г (Р, Ро, • • •» Pr-l), Р где суммирование производится по всем р (: D, и где под (•/?*•) подразумевается*) последовательность Ро, • • •> P*-i> Pi+i> • • м Рг- Теперь применима вся теория Колмогорова, развитая для D0 в смысле работы [6]. Если желать и форму изложения сделать возможно более близкой к колмогоровской из работы [6], можно естественным образом — в случае w-теории — определить f как аддитивную кососимметрическую функцию множеств f (MQJ . . ., Мг), где Mt пробегают всевозможные конечные множества в Z), причем в случае одноточечных множеств должно выполняться упомянутое выше условие (1) Г (Ро. . • .. Рг) = о, если хотя бы одна пара ptl pj не является инцидентной. Затем можно определить и оператор gu, как у Колмогорова. 2. Рассмотрим теперь вопрос: какие группы Бетти получатся, если локально конечное пространство D рассмотреть как локально бикомпактное и определить для него и-группы Бетти по Колмогорову в смысле работы [6]. В этом случае рассматриваются аддитивные функции множеств f (Mq, . . ., Afr), аргументы которых Mt cz D являются бикомпактами в D. Но тогда все Мг конечны, и можно снова свести вопрос к рассмотрению функций точек. Единственное отличие от данного выше определения состоит, таким образом, в том, что условие (1) заменяется следующим: (2) f (Ро, • • ч Рг) = 0, если Ар0 П • • • П АРт пусто. Это означает, что получаемые на этом пути группы идентичны группам Бетти пространства N (D) и потому — Для мультипликативных пространств — идентичны группам Бетти пространства D0. Итак, пришли к теореме: *) Цри определении оператора g0 нет нужды предполагать локальную конечность.
238 19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Теория гомологии мультипликативных дискретных пространств может быть без всяких изменений включена в колмогоровское теоретико-множественное построение. 3 *). Существование естественного частичного порядка позволяет упростить, в частности, определение верхних групп Бетти: комплексы f определяются в этом случае как кососимметрические функции упорядоченных подмножеств множества D, состоящих из г -\- 1 точки, в смысле имеющегося в D частичного порядка. Другими словами: f (р0, . . ., рт) определяется теперь только е предположении, что р0 «< р1 <С . . . <С рг. В случае, когда область коэффициентов является кольцом, то же замечание позволяет дать совсем простую конструкцию кольца гомологии (в смысле Александера — Чеха — Уитни) для каждого (не обязательно локально конечного) дискретного пространства: достаточно положить Iff] = Г& (ft, • • • , Pr+s) = f (Ро. ' • •. Рг) • f (Рг, . . ., Pr+S). Дальнейшее построение теории идет дословно так же, как у Александера. Конструкция Александера носит до некоторой степени искусственный характер: нуждаясь для проведения конструкции в упорядочении вершин и не имея инвариантно связанного с D порядка, Александер пользуется введенным произвольно упорядочением. В то же время частичный порядок вершин в D0 дает частичный порядок на D, инвариантно связанный с D. Обычным образом пополняя с помощью трансфинитной индукции частичный порядок до полного, можно показать, что определенное выше кольцо гомологии пространства D идентично кольцу гомологии Александера комплекса D0. § 5. Деформационные теоремы _ 1. В п. 5 § 2 мы определили точечные множества D a Rn. Очевидно, эти точечные множества связаны с пространством D неинвариантно: различным представлениям пространства D в виде множества симплексов в Rn соответствуют различные точечные множества Z), которые, *) Содержанием этого пункта я обязан инициативе А. Н. Колмогорова.
id. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 239 вообще говоря, не являются гомеоморфными. Однако справедлива следующая теорема: XVIII. Полиэдр D0 является ретрактом пространства D. Ретрагирующее отображение f можно выбрать так, что оно является деформацией D в себя, и никакая точка из D при этой деформации не выходит из носителя симплекса в D, которому она принадлежит. Доказательство. Пусть р является множеством всех (внутренних) точек симплекса р £ Z). Мы определяем следующим образом ретрагирующее отображение множества р в А0р отдельно в каждом точечном множестве р П х, где # — любой (открытый) симплекс барицентрического подразделения комплекса, состоящего из симплекса р и всех его граней. Поскольку можно считать, что р П х является непустым, то по крайней мере одна из вершин в х (центр тяжести симплекса р) принадлежит D0. Рассмотрим все те вершины из х, которые принадлежат Z)0; они определяют грань х', также принадлежащую Z)0. В случае, когда х* = х, имеем р [\ х с: S0 и / задается как тождественное отображение. Если же х' Ф х и х" является гранью симплекса х, противоположной грани х', то разобьем х на прямолинейные открытые отрезки, каждый из которых имеет одну концевую точку на ж', а другую на х"', и двигаем каждую точку этого отрезка равномерно вдоль него в концевую точку, принадлежащую х1. Склеивая построенные таким образом для каждых х и р деформации, получаем искомую ретра- гирующую деформацию. 2. Покрытия как дискретные пространства. Пусть ф — мультипликативное конечное покрытие множества М, © ={М1, . . ., Ms), М = = Мг U ... U Ms. Множествам Mt ставим во взаимно однозначное соответствие точки pt дискретного пространства Z), изоморфного ф, так, что pj £ Apt равносильно М] cz Mt. Далее для каждого i = 1, 2, . . ., s определяем Xi = Mt\ и Mh. Mh<M.
240 19, ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Множества Х( являются дизъюнктными и образуют покрытие множества М. Поэтому соотношение а (х) = pt при х £ Х( определяет отображение а множества М в дискретное пространство D. Положим M\ = o^(0Pi)= у Xh. Mh^Mt Поскольку множества Xt образуют покрытие пространства М и Xt cz М\, то и М\ образуют покрытие пространства М. Это покрытие обозначим ф' и назовем двойственным к®; это название пока оправдано только тем, что включения Мt cz Mj и М\ id М) эквивалентны. Вообще говоря, система %' не обязана быть изоморфной пространству D', двойственному D: может случиться, что среди множеств М\ имеются пустые или равные, так что число непустых попарно различных множеств М\ может отличаться от s—числа множеств Mt. Следующие два примера иллюстрируют это обстоятельство. Пример 1. Пусть М — отрезок с концевыми точками а, Ь и серединой с. Покрытие ® пусть состоит из множества М = Мг, отрезков ас = М2 и сЪ = М3 (включающих с) и точки с = Л/4. Тогда М\ = Хх = Л. Пример 2. Рассмотрим квадрат A BCD, четыре его стороны, четыре вершины, половины АЕ и ЕВ стороны АВ, точку Е и квадрат BEST, примыкающий извне к квадрату ABCD по отрезку BE. Объявим эти множества элементами покрытия © и обозначим Мг квадрат A BCD, а сторону А В обозначим ЛТ2. Тогда М\ = М'2. Предположим теперь, что ни одно из множеств М\, l^i^s, не является пустим и что никакие два из них не совпадают. Тогда система множеств ©' изоморфна пространству D', двойственному пространству D. Теперь соотношения М\ <С М'$ и Мt > Mj равносильны, откуда легко получается х\=т\ и M'h= у мн\ и у xh= M'h<M'i МдЭМ,- М;>М{ MfpM. = U х"\ и хй=х„ MfpMt Mh>Mi так что оба двойственных друг другу покрытия приводят к одним и тем же множествам Xt. Выражение «двои-
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 241 ственны друг другу» оправдывается следующим образом: если по приведенному выше рецепту построить покрытие, двойственное покрытию ф', то мы получим первоначально заданное покрытие ф. 3. Мы рассмотрим теперь два важных специальных случая, в которых имеется взаимно однозначное соответствие между множествами М\ и Ми и, следовательно, 5)' изоморфно ф. Первый случай выделяется условием Х% ФА , i = 1, 2, . . ., s. Тогда о есть отображение М н a D; отсюда и из определения множеств М\ следует, что эти множества^ взаимно однозначно соответствуют множествам Mt. Условие Xt Ф Л имеет, однако, весьма ограничительный характер: может статься, что мультипликативное покрытие множества М не содержит мультипликативного подпокрытия, которое удовлетворяло бы этому условию. Чтобы получить пример такого рода, дополним фигуру из второго примера п. 2 двумя квадратами: квадратом ABPQ, примыкающим к квадрату ABCD по стороне АВ и лежащим вне плоскости этого квадрата, и квадратом EARS, который полностью определен двумя своими сторонами ЕА и ES. Если теперь обозначить, как и раньше, АВ через М2, то видно, что Х2 = Л. С другой стороны, наша система множеств не содержит подсистемы, которая образовывала бы мультипликативное покрытие полиэдра, образованного всеми квадратами. Поэтому важен второй специальный случай, именно, случай неприводимого мультипликативного покрытия. Под этим понимают такое мультипликативное покрытие ф множества М, которое не содержит собственного мультипликативного подпокрытия. Как легко видеть, Для неприводимости мультипликативного покрытия необходима и достаточна совокупность следующих условий: 1) если Мг является основным элементом системы ф, то Xt ф Л; 2) каждый элемент системы Ф, который не является основным, является пересечением основных элементов. Пусть М( и Mj — элементы из Ф,
24£ 19, ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА причем Мап и Мэл являются основными элементами. Мы докажем, что М\ Ф М]. В самом деле, по крайней мере один сомножитель из разложения одного из элементов не встречается в разложении другого. Допустим, что Mai не встречается в разложении Mj. Тогда Хах с: Mi и одновременно Xai П М] = Л. Следовательно, М[ Ф Mj. 4. Пусть теперь М — компакт, а ® — неприводимое мультипликативное конечное замкнутое (открытое) покрытие компакта М. Тогда двойственное покрытие 2)' является открытым (замкнутым). Если 2) является е-по- крытием, то ®' является 2е-покрытием.. Поскольку компакт М может быть непрерывно отображен в (рассматриваемые как полиэдры) нервы п (D) = v (D'), а также в п (D') = v (D) с помощью 2е-сдвига и поскольку каждое мультипликативное покрытие множества М содержит неприводимое мультипликативное подпокрытие, то справедливо: XIX. Каждый компакт может быть непрерывно отображен в — рассматриваемую как полиэдр — вершинную оболочку каждого своего конечного замкнутого или открытого мультипликативного г-покрытия с помощью 2е-сдвига. Из XIII и XVIII следует тогда: XX. Каждый компакт может быть непрерывно отображен в — рассматриваемое как полиэдр — барицентрическое подразделение каждого своего конечного замкнутого или открытого мультипликативного г-покрытия с помощью 2г-сдвига. В этой теореме содержится, в частности, доказанная в [8] Колмогоровым и мною теорема: При достаточно малом е длина *) каждого замкнутого и каждого открытого мультипликативного конечного е- покрытия n-мерного компакта не меньше п. Болшево — Комаровка, 31 марта 1937 г. *) Длина системы множеств 21, если она конечна,— наибольшее натуральное г такое, что существует убывающая последователь; ность Л1>Л2>...>ЛГ длины г непустых множеств этой системы. Очевидно, длина системы 21 на единицу больше длины ее барицентрического подразделения.
19. ДИСКРЕТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИТЕРАТУРА Ml Alexandroff P. Sur les espaces discrete. — C.r. Acad. sci. Paris, 1 1935, 200, с 1649-1651. [91 Dedekind R. Ober die von drei Moduln erzeugte Dualgruppen.— 1 Math. Ann., 1900, 53, № 2, с 371-403. roi nre O. On the foundation of abstract algebra.— Ann. Math., 1 1935, 36, с 406-437. [4] Tucker A. Cell-spaces.—Ann. Math., 1936, 37, с 92—100. [51 Kolmogoroff A. Ober die Dualitat im Aufbau der kombinatorischen Topologie.— Матем. сб., 1936, 1 (43), с. 97—102. [61 Kolmogoroff A. Les groupes de Betti des espaces localement com- pacts.- C.r. Acad. sci. Paris, 1936, 202, с 1144—1147. [7] Alexandroff P., Hopf H. Topologie, I.— Berlin; Leipzig, 1936. [8] Alexandroff P., Kolmogoroff Л. Endliche Oberdeckungen topo- logischer Raume.— Fundam. math., 1936, 26, с 267—271. Русский перевод: наст, издание, т. II. КОММЕНТАРИЙ Хотя основная цель статьи — как сказано уже во введении — построение теории гомологии, статья сознательно включена в настоящий том, а не в том, посвященный специально общей теории гомологии. Причина этого — большое количество фундаментальных понятий, вводимых и изучаемых в статье (и, прежде всего, понятие нерва), относящихся ко всей топологии, а не только к гомологической ее части. х) Мы сохранили здесь термины тех лет, если их интерпретация не доставляет затруднения читателю. Так, алгебраический r-мерный комплекс пространства по области коэффициентов / есть, разумеется, r-мерная цепь по группе коэффициентов /, а нижние и верхние теории гомологии суть соответственно теории гомологии и когомологий.
20 О БИКОМПАКТНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ *) Большим успехом общей топологии за последние годы является построение Чехом ([1]) для каждого вполне регулярного пространства **) R бикомпактного расширения ***) рд? вполне характеризующегося следующим свойством: каково бы ни было бикомпактное расширение ЪЯ пространства Л, существует непрерывное отображение $R на frft, оставляющее неподвижными все точки R. Чех определяет пространство р/? следующим образом. Берется множество экземпляров сегмента [0, 1] числовой прямой в таком кардинальном числе т, как велика мощность множества Ф всех непрерывных отображений пространства в отрезок [0, 1]. Берется топологическое произведение ****) Rx всех наших сегментов и устанавливается *) Опубликовано в Матем. сб., 1939, 5 (47), № 2, с. 403—423. **) Определение см. ниже в § 1. ***) Расширением данного топологического пространства П называется вообще всякое топологическое пространство П0, эвентуально удовлетворяющее тем или иным дополнительным условиям и содержащее пространство П в качестве плотного в П0 подмножества. Так, бикомпактное ^-расширение пространства П есть всякое бикомпактное ^-пространство П0, содержащее П в качестве плотного в П0 подмножества (см., однако же, п. 15). В этой работе мы понимаем под бикомпактными расширениями пространства П лишь такие расширения пространства П, которые являются хаусдорфовыми бикомпактными пространствами. ****) В смысле А. Н. Тихонова;/гопологическое произведение данной системы топологических пространств {Па} есть пространство Г, точками которого являются системы {ха} точек пространств Па, по одной точке хи из каждого П^, со следующим определением окрестностей: чтобы получить окрестность 0| точки £ = {ха}, надо в {ха} зафиксировать конечное число «координат» ха>, i = 1, 2, ... . . ., 5, и для каждой из них взять определенную окрестность Оха, в соответствующем П„ . Тогда 0| состоит из всех точек £' = {x'a}f удовлетворяющих условию х'а 6 Оха .
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 245 следующее отображение g пространства Я в Rx: каждой точке х 6 R ставится в соответствие та точка Ят, координаты которой суть образы точки х при различных отображениях системы Ф. Отображение g, как легко видеть, топологическое. Оно заставляет отвечать пространству Я некоторое множество g (R) ^ рЯ. Замыкание множества g (R) в Rx и есть, с точностью до гомеоморфизма, пространство рЯ. В настоящей работе дается новая конструкция пространств» рЯ и выясняется связь между этим пространством и некоторыми другими, в частности, между пространством рЛ и пространством Волмэна *). В § 1 элементарно строятся для каждого регулярного, соответственно вполне регулярного R пространства aR и а'Я, непрерывно отображающиеся на всякое бикомпактное расширение ЬЯ. В § 2, в основном, доказывается, что пространство а'Я представляет собой лишь новую конструкцию для пространства рЯ. В §' 3 доказывается, что для нормального R пространства aR, a'R — РЯ и волмэновское пространство со Я совпадают между собой. В § 4 доказывается, что и в общем случае вполне регулярного R пространство соЯ непрерывно отображается при неподвижных точках R на всякое бикомпактное расширение bR. В § 5 показывается, как в общем случае любого вполне регулярного R получить a'R = ря из соЯ. Для достижения этой цели всякому пространству**) П ставится в соответствие некоторое хаусдорфово пространство Ш, инвариантно связанное с П. Пространство Uh строится как пространство разбиения ([31) П на минимальные замкнутые множества, могущие служить прообразами точек при каком-либо непрерывном отображении П на какое-либо хаусдорфово пространство. Строя пространство П/г для П = соЯ,* где R — произвольное вполне регулярное ^пространство, мы и получаем пространство «'Я = РЯ. *) [2]; волмэновское расширение пространства Н обозначается здесь через со#. ) «Пространство» обозначает в этой работе всегда «7\-прост-
246 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ § 1. Предварительные понятия и определения пространств аК, а' R и со К 1. Пространство R вполне регулярно в точке х, если оно удовлетворяет следующему условию *): каждая окрестность Ох точки х содержит такую окрестность Охх, что существует действительная непрерывная функция, определенная во всем R, заключенная между 0 и 1,. равная нулю во всех точках Огх и равная единице во всех точках R \ Ох. Свойство полной регулярности можно определить несколько иначе: скажем, что открытое множество Г" в п о л- не регулярно включено в открытое множество Г, если всем элементам i некоторого плотного в себе порядкового типа в можно поставить в соответствие открытые множества Tt пространства R таким образом, чтобы из t± < t2 следовало и чтобы Г' соответствовало первому, а Г последнему элементу 0. Заметим сейчас же: объем этого определения не изменится, если в нем вместо какого-нибудь плотного в себе порядкового типа в говорить о порядковом типе т] всех рациональных чисел отрезка [0, 1], так как всякий плотный в себе порядковый тип содержит порядковый тип Т|. *) Первоначальное, тихоновское, определение полной регулярности таково: П вполне регулярно, если для любой точки х0 £ П и для любого не содержащего эту точку замкнутого множества Ф С П можно построить непрерывную функцию / (я), 0 ^ / (х) ^ 1, для всех х £ П, равную нулю в х0 и 1 на Ф. Фиксируя х0 и беря в качестве Ф любое П X Ох0, где Ох0 — произвольная окрестность я0, получаем регулярность в точке. Легко видеть, что это определение эквивалентно определению, данному в тексте: достаточно, следуя Тихонову ([4]), положить jx (х) — fix), если / (х) = 1, 1 /iW = 0, если /(*)<—., /i(*) = 2 (/!(*)-!), если 1 </(*)<!.
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 247 После этого замечания можно, пользуясь известной конструкцией Урысона *), легко доказать: Г' тогда и и только тогда вполне регулярно включено в Г, когда существует непрерывная во всех точках R функция ф (х), 0 ^ ф (я)^1> принимающая на [Г"] значение 0, а на R\T значение 1. Следовательно, R тогда и только тогда вполне регулярно в точке х, когда каждая данная окрестность этой точки содержит окрестность, вполне регулярно включенную в данную окрестность. Теперь делаются естественными следующие определения: Система открытых множеств {Г} пространства R называется регулярной, если каждое множество этой системы содержит замыкание некоторого множества той же системы; система открытых множеств {Г} пространства R называется вполне регулярной, если каждое множество этой системы содержит вполне регулярно включенное в него множество той же системы. 2. Система каких-либо множеств называется центрированной, если любое конечное число множеств этой системы имеет непустое пересечение. 3. Центрированная регулярная система {Г} открытых множеств пространства R называется регулярным концом пространства R, если она ъе является подсистемой никакой отличной от нее центрированной регулярной системы открытых множеств пространства R. Точно так же центрированная вполне регулярная система открытых множеств пространства R называется вполне регулярным концом пространства R, если она не является подсистемой никакой отличной от нее центрированной вполне регулярной системы открытых множеств пространства R. 4. Пусть R — какое-нибудь пространство. Регулярные концы пространства R назовем точками про- *) Хаусдорф [5], с. 131, или Александров — Хопф [3], с. 74. Наоборот, если дана функция / (#), 0 ^ / (я)^1, равная 0 на [Г]' и равная 1 на П \ Г, то, определяя для всякого рационального числа г, 0 < г <т1, открытое множество Гг как множество всех точек х £ Я, для которых / (х) < г, и полагая Г0 = Г, 1\ = Г, видим, что из регулярного включения Г' в'Г в смысле функции следует регулярное включение в нашем смысле.
248 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ странства aR, а вполне регулярные концы пространства R назовем точками пространст- в a a'R. Если х ={Г} есть точка пространства aR или пространства a'R, то самые эти множества Г назовем координатами точки х. Окрестности данной точки х ={Г} пространства aR или пространства a'R определяются так: берется какая-нибудь координата Г точки х и рассматриваются все точки х' — (Г'} соответствующего пространства aR или a'R, имеющие Г в числе своих координат. Эти точки х' и составляют окрестность 0?х точки х. Короче: если Г £ х, то окрестность Огх состоит из всех точек х' таких, что Г £ х\ Мы в дальнейшем будем рассматривать пространство aR лишь для регулярного R, а пространство a'R лишь для вполне регулярного R. 5. Теорема I. Обозначим через {Ох} множество всех открытых множеств данного пространства R, содержащих данную точку х этого пространства. Если R регулярно в точке х, то {Ох} есть регулярный конец пространства R; если R вполне регулярно в точке х, то {Ох} есть вполне регулярный конец пространства R. Доказательство. Очевидно, центрированпая система открытых множеств {Ох} регулярна, если R регулярно, и вполне регулярна, если R вполне регулярно. Поэтому оба утверждения теоремы I будут доказаны, если будет доказано, что для регулярного R система {Ох} не содержится ни в какой отличной от нее центрированной регулярной системе открытых множеств пространства R. Предположим противное и пусть {0} есть центрированная регулярная система открытых множеств, содержащая {Ох} и не совпадающая с нею. Пусть О0 есть какой-либо элемент системы' {О}, не содержащийся в {Ох}. Тогда О0 есть открытое множество, не содержащее х и пересекающееся со всякой окрестностью Ох, так что х £ [<901. Так как {0} регулярна, то существует 0^{0}, lOj] ^ О0. Следовательно, х не входит в [02], так что существует не пересекающееся с 01 множество Ох, что противоречит центрированности системы {0} з {Ох}. Теорема I этим доказана. Следствие. Если {Г} есть реуЪлярный конец регулярного пространства или вполне регулярный конец вполне
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 249 регулярного пространства и если пересечение {\Т всех элементов этого конца непусто, то это пересечение состоит из единственной точки х, и Г ={Ох}. В самом деле, если х есть какая-нибудь точка {] Т, то {Г} U {Ох} есть центрированная система, регулярная в одном случае и вполне регулярная в другом случае. Так как и {Г} и {Ох} суть концы, то необходимо {Ох} = = {Г}. Так как для двух различных точек х и х' системы множеств {Ох} и {Ох'} различны, то 0Г не может содержать более одной точки. Из доказанного следует: заставляя каждой точке х регулярного R соответствовать регулярный конец {Ох}, получим взаимно однозначное отображение R на некоторое множество R' ^ aR; точно так же заставляя каждой точке х вполне регулярного пространства R соответствовать точку {Ох} пространства a'R, получим взаимно однозначное отображение пространства R на некоторое множество R'^ a'R. Так как при этих отображениях множества R' П От и Г, где Г есть произвольное открытое множество в R, взаимно однозначно отображаются друг на друга, то наши отображения суть отображения топологические. Отождествляя точку х £ R с точкой {Ох} соответственно пространств aR и a'R, можно сказать, что R лежит в aR, соответственно в a'R. А так как R при этом, очевидно, плотно в aR (соответственно в a'R), то aR (соответственно a'R) есть расширение R. Если Г есть произвольное открытое множество в Я, то множество #г, состоящее из всех точек х пространства aR или a*R, удовлетворяющих условию Г £ х (т. е. имеющих Г в числе своих координат), открыто в aR (соответственно в a'R), причем (!) Ov[\"K=Y. Лемма I. Если Г0 ^ Г £ х, где х есть регулярный или вполне регулярный конец, то Г0 £ я. В самом деле, присоединяя к х ={Г} элемент Г0, мы не нарушаем ни центрированности, ни регулярности, ни полной регулярности системы {Г} (последнее утверждение следует из того, что если ф (х) = 0 на некотором [Г^] ^ Г и Ф (х) = 1 на R \ Г, то, и подавно, [1\] s Г0 и ср (х) = 1 на R \ Г0).
250 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Замечание. Из леммы I легко выводим: если О есть произвольное открытое множество в а/? (или в а'/?), то О ^ 0{0[xr). В самом деле, так как система всех множеств вида Ог есть базис пространства aR (соответственно се'/?), то О есть сумма всех Or ^ О, поэтому из х £ О следует, что х содержится в некотором От ^ О, Г £ х, откуда, вследствие б{\ R ^ Г, вытекает, что и О (] R £ х, т. е. 6. Пространство Волмэна [2], которое мы обозначаем через со Л, строится для всякого ^-пространства R следующим образом. Точки пространства соR суть максимальные центрированные системы {Ф} замкнутых множеств Ф пространства R, причем центрированная система {Ф} называется максимальной, если она не является подсистемой никакой отличной от нее центрированной системы замкнутых множеств пространства R. Если Ф есть произвольное замкнутое множество пространства /?, то через F<x> обозначаем множество всех точек х £ со/?, удовлетворяющих условию Ф € х: Топология в пространстве со/? определяется тем, что все множества F<d, а также все множества, являющиеся пересечениями любой совокупности множеств F<j,, называются замкнутыми множествами в со/?. Легко видеть, что со/? — всегда бикомпактное /^-пространство. Волмэн далее доказывает*), что со/? тогда и только тогда есть хаусдорфово пространство, когда R нормально. Произвольное открытое множество Г ^ /? определяет в со/? открытое множество Г0 == со/? \ FR\T. Точки х = {Ф} множества Г^ определяются тем, что всякое Ф £ х пересекается с Г и, следовательно, хотя бы одно Ф £ # содержится в Г (так как если бы ни одно Ф £ х не содержалось в Г, то /? \ Г пересекалось бы со всяким Ф £ х, что возможно лишь в случае /? \ Г £ х). 7. Установим некоторые элементарные свойства систем множеств различного типа, которые понадобятся нам в дальнейшем. Трансфинитной индукцией легко доказывается *) [2], с. 119.
20, РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 251 Лемма П. Всякая центрированная система замкнутых (открытых) множеств пространства R содержится по крайней мере в одной максимальной центрированной системе замкнутых (открытых) множеств пространства R. Всякая регулярная (вполне регулярная) центрированная система открытых множеств пространства R содержится по крайней мере в одном регулярном (вполне регулярном) конце пространства R. Далее, Лемма III. Пересечение любого конечного числа элементов данного регулярного (вполне регулярного) конца {Г} есть элемент того же конца {Г}. Пусть, в самом деле, 1\, . . ., Ts суть некоторые элементы конца {Г}. Обозначим, в случае регулярного конца {Г}, через Т\ какой-либо элемент конца, удовлетворяющий условию [Т\] ^ Г$, и заметим, что г,п... nrs => [r;iп .. - п[г;]=]г;п... ппь откуда сразу следует, что, пополняя {Г} всеми множествами вида Г1 f] • • • П Г8, получим вновь регулярную центрированную систему множеств. Так как {Г} есть регулярный конец, то все множества вида 1\ f| . . . f| Fs уже содержатся в {Г}. Для того чтобы аналогичным образом доказать утверждение леммы III для вполне регулярных концов, достаточно убедиться в следующем: если Т\ вполне регулярно включено в Г{, i = 1, 2, . . ., s, то Г", f| • • • П П вполне регулярно включено в I\ f| • • • П Г«- Для этого рассмотрим функции фг (х), причем фг (х) = 0 на [Т\], ф* (х) = = 1 на R \ IV Функция ф2 (х) -\- . . . + <ps (х) равна нулю на [Г,] П • • • П irj], значит, и подавно, на [г; п ... n r;i. Так как Д\1\ П . . . П Г8=(Н\Тг) U . . . U (#\1\), то в каждой точке х £ R \ Тг П . . . П Г5 по крайней мере одна из функций ф^ равна 1, и так как все они неотрицательны, то' cpi (я) + . . . 4- Фв (#)^1. Полагая ф (х) = 1 везде, где фх (х) + . . . + Ф« (#)>!, и ф (х) = фх (х)+ .. . • • • + <ps (х) там, где фх (х) + • • • + <ps (х) ^ 1, имеем КфМ<1, <р(х) = о на [г; п ... П г;], Ф (х) = 1 на R \ Гх f| . . . П Г5, что и требовалось доказать. Наконец,
252 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Лемма IV. Если х = {Г} и х' = {Г'} — две различные точки aR или a'R, то можно выбрать Г £ х и V (: х' так, чтобы Г П Г' = Л. В самом деле, в противном случае {Г} (J {Г'} было бы центрированной регулярной (вполне регулярной) системой и, значит, {Г} ={Г}и{П = {Г}. 8, Докажем теперь, что aR и a'R являются хаусдор- фовыми пространствами. Так как aR и a'R определены как окрестностные пространства, и притом каждая окрестность по определению является окрестностью всякой входящей в нее точки, то достаточно доказать, во-первых, что пересечение двух окрестностей одной и той же точки всегда содержит окрестность той же точки и, во-вторых, что две различные точки всегда имеют непересекающиеся окрестности. Оба утверждения следуют из формулы (2) ОгсПОг' = 0гпг,, которую сейчас и докажем. Если х 6 0Т П От*, то Г £ х, Г' £ х, значит, по лемме III, и Г П Г" £ х, т. е. х £ Огпг'. Наоборот, если х £ 6 Огпг', то Г-fl Г' £ х, значит, на основании леммы I, Г gar, Г' £*, т. е. х£0Т П Of'. § 2. Пространства aR и a'R и бикомпактные расширения пространства R 9. Теорема II. Пространства aR и a'R можно непрерывно отобразить на всякое бикомпактное расширение bR пространства R и притом так, что при этом отображении все точки R остаются неподвижными. Доказательство. Для каждой точки х ={Г} пространства aR (пространства a'R) полагаем где индекс bR снизу означает, что замыкание берется в bR. Докажем, что множество Рг, которое непусто (как пересечение центрированной системы замкнутых подмножеств бикомпактного пространства bR), не может содержать более одной точки. Для этого докажем сначала лемму: Лемма V. Если у £ Рх> то всегда R {] Оу £ х.
20. РАСШИРЕНИЯ ТОКОЛОГИЧЕСКИХ прос'г*>анс'гв 253 В самом деле, по определению точки г/, имеем для любого Г £ х включение у 6 [Г]&я. Значит, для любого Оу {R(\Oy)(\T = Oy{\Y^\. Поэтому {Г} U {R П Оу) центрирована и, будучи, очевидно, регулярна (вполне регулярна) *), необходимо совпадает с {Г}, чем лемма V доказана. Если бы Рх содержало две точки у и у', то, выбирая непересекающиеся Оу и Оу', мы имели бы в х ={Г} два непересекающихся элемента R f] Оу и R f] Оу' в противоречии с центрированностью {Г}. Полагая для всякого х = {Г} £ aR (соответственно 6 a'R) У = /(*) = П1гЬя. получаем однозначное отображение aR (соответственно a'R) в bR. Докажем, что / есть отображение на bR. Для этого рассмотрим произвольную точку у £ bR. Система {Оу} центрирована и вполне регулярна. Значит, ввиду [R]bR = bR, и система {R f) Оу} центрирована и, как легко видеть, вполне регулярна. Дополняем ее до какого- нибудь регулярного (вполне регулярного) конца {Г} = = х £aR (соответственно ^a'R). Имеем / (х) = П [ГЬ* £ П Iд П Оу]ьв £ П 1°УЪв = У, т. е. f (х) = у. Отображение / непрерывно. В самом деле, пусть х = = {Г}> У = 1 (х) — f\ 1Г]ьн. Берем произвольную окрестность Оу в bi?, далее окрестность О'у так, чтобы [0'y]bR s S Oz/. По лемме V, Г = Оу f| R £ #., так что Ог есть окрестность а; в aR (в a'i?). Если х' £ #г» то Г £ я', следовательно, / (х!) £ [Г]ья ^ Ю'уЬя £ 0J/, чем непрерывность / и, значит, вся теорема II доказаны. 10. Рассмотрим теперь случай, когда bR есть пространство $R Чеха. Докажем, что в этом случае отображение / пространства a'R на (J/J взаимно однозначно. Доказательство опирается на следующее свойство**) пространства pi?: *) Имеет место следующее очевидное предложение: если У^ X и Г s X вполне регулярно включено в Г^Х, то #' = Г' П У вполне регулярно включено в Я = Г П У. **) [1], с 833.
254 2о. расширения Топологических пространств Если Ф и Ф' — два вполне разделенных замкнутых множества пространства R (т. е. если существует непрерывная в R функция ф (х), О^ф (#)^1, равная нулю на Ф и равная единице на Ф'), то [Ф]рн П 1Ф']рн= At Возьмем в a'R две различные точки хх = {Г\} и х2 = {Г2}. Выбираем Г*£хи Yl£x2 так, чтобы Г? 011= Л, значит, и Г^П[Г2]н = Л. Вследствие полной регулярности системы {EJ можно найти Г^ £ xt и функцию ф (#), О^ф (#)^1, непрерывную в R, так, чтобы ф(я) = 0 на [Г^н и ф(#) = 1 на i? \ Г"; в частности, ц>(х)=-Л на [Г^д. Замкнутые множества [Г,']н и [Г£]н вполне разделены в R, поэтому [г;ЬнП1Пь = л. так как /меть, /(*2жг2°ь, то }(х1)фЦх2). 11. Доказательство того, что обратное отображение /_1 пространства (З.Й на пространство a'R непрерывно, требует некоторых вспомогательных рассмотрений. Назовем открытое множество Г пространства R к а н о- ническим, если [Г]\Гс[Д\ [Г]]. Для каждого открытого Г существует каноническое открытое множество сГ такое, что Г ^ сТ д= [Г]: достаточно положить сТ = Г и (R \ Ш \ П) (т. е. присоединить к Г все точки границы Г, не являющиеся предельными для R \ [Г]). Легко доказать следующую лемму: Лемма VI. Если Y s X, [Y] = X, mo пересечение с Y канонического подмножества пространства X есть каноническое подмножество пространства Y; обратно, всякое каноническое подмножество пространства Y есть пересечение с Y некоторого канонического подмножества пространства X. Первое утверждение леммы доказывается непосредственным вычислением. Для доказательства второго утверждения возьмем какое-либо каноническое подмножество Н пространства У и пусть Г есть какое-нибудь открытое множество пространства X такое, что Г fl Y — = Я. Простым вычислением доказываем, что сТ fl У = Н, что и требовалось доказать. Лемма VII. Пусть х = {Г} — какая-нибудь точка a'R. Каждое Г £ х содержит некоторое каноническое Тх£х.
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 255 В самом деле, возьмем такое Г0 £ х, чтобы [Г0] s Г, и положим 1\ = сТ0. Так как 1\ э Г0, то по лемме I имеем 1\ 6 я; 1\ канонично и I\ cz [Г0] £ Г. Следствие. Для всякой окрестности 0?х точки х £ a'i? можно найти окрестность 0Т>х ^ 0га; с каноническим Г . В самом деле, достаточно взять каноническое Г' £ #, Г' с Г0. Если х' £Ог'» то Г' £ #'; значит (по лемме I), и Г 6 я', т. е. я' 6#г. Пусть я={Г} — произвольная точка a'R. Обозначим через С всякое каноническое множество в [Ш, дающее в пересечении с R некоторое Г06 х. Такие множества С существуют на основании лемм VII и VI. Лемма VIII. Точка / (х) содержится во всяком С. Достаточно покаяать, что всякое С содержит некоторое [Г] ад. Для этого берем Г £ х, вполне регулярно включенное в С П' -Я = Г0 6 х, и строим функцию ф, 0^ф^1, равную нулю на [Г]н и единице на R \ Г0. Распространяем эту функцию на все {Ш, что всегда возможно *). Тогда Ф = 0 на [Г^рн, Ф=1 на [Д\Го1эя. В силу каноничности С имеем рд\С = №\[С]) и №\С) е[рД\[С]Ь = = КРД\[С]) п Щт = [R\IC] п Щк = = [R\([C П Щ*п П R)bn = [Л\[Гв]№]№ s [ Д \r0]te. Поэтому функция ф равна единице на {Ш \ С. Так как на [Г]рн она равна нулю, то [Г]рн е С, чем лемма VIII доказана. Теперь в двух словах докажем непрерывность обратного отображения /_1 пространства $R на aR. Пусть х ={Г} £ a'i?, / (#) = у. Возьмем произвольную окрестность точки х в a'i? и содержащуюся в этой окрестности окрестность Огх с каноническим Г. Каноническое С ^ (Ш выбираем так, чтобы С (} R = Т. По лемме VIII имеем У 6 С, значит, С есть окрестность i/ и по лемме V для всякой точки у' £ С будет С [\ R = Г £ х' = /"У', т. е. х 6 #г#, что и требовалось доказать. *) Чех [11, с. 831.
256 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Итак, Теорема III. Для всякого вполне регулярного пространства R пространства a'R и $R совпадают с точностью до гомеоморфизма, оставляющего неподвижными все точки R. § 3. Случай нормального R 12, Теорема IV. Для нормального пространства R пространства aR, a'R, $R и (oi? совпадают с точностью до гомеоморфизма, оставляющего неподвижными все точки R. Доказательство. Прежде всего, в случае нормального R пространства aR и a' R тождественны между собой, так как очевидно, что всякая регулярная система открытых множеств нормального пространства вполне регулярна, следовательно, всякий регулярный конец нормального пространства есть вполне регулярный конец. Остается доказать совпадение пространств aR и со/?. Для этого каждой точке х = {Ф} пространства соЯ ставим в соответствие систему {ОФ} всех открытых множеств пространства R, содержащих хотя бы одно Ф 6 #• Система {ОФ}, очевидно, центрирована. В силу нормальности R эта система регулярна. Пусть {0} ^ {ОФ} есть центрированная регулярная система открытых множеств ^R. Докажем, что {0} ={ОФ}. В самом деле, если О0 — произвольный элемент из {0} и Ох (;{#}, [Oil r ^ О0, то при любом выборе ОФ имели бы, вследствие центрированности {0} и включения {0}^{ОФ}, неравенство 0± (] ОФф Ф Л, значит, и подавно [0J f] ОФ Ф Л, а так как R нормально, то и [Ох] П Ф Ф Л. Так как это справедливо для любого Ф 6 х, то [0±] 6 {Ф}, а поэтому О0 6{ОФ}. Итак, {ОФ} есть регулярный конец пространства R, т. е. точка у пространства aR. Полагаем У={ОФ} = /(*). Этим определено отображение / пространства (oi? в пространство aR. Отображение это есть отображение на aR. В самом деле, если у =={Г} есть произвольная точка aR, то {[Г]д} центрировано. Дополняем {[Г]д} до какой- нибудь максимальной центрированной системы {Ф} замкну-
20, РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 257 тых множеств в R. Для точки х = {Ф} 6 соЛ имеем /(*)={ОФ}=>{Г}, так как каждое Г есть некоторое О [TJ н, [Г\] r ^ Г, Г^ £ */. Так как {Г} есть регулярный конец, а {ОФ} — регулярная центрированная система, то {Г} = {ОФ}, т. е. / (х) = У- Отображение / пространства со/? на aR взаимно однозначно. В самом деле, если х ={Ф} и х' = {Ф'} — две различные точки coi?, то можем выбрать непересекающиеся Ф 6 #, Ф' € #'» а в силу нормальности и непересекающиеся ОФ, ОФ' так, что точки / (х) = {ОФ} и / (х') = {ОФ'} различны. Докажем, наконец, непрерывность отображения /. Пусть {Ф} = х 6 (j)R — произвольная точка coi? и у — = f (х) = {ОФ}. Берем произвольную окрестность От точки у, где, очевидно, Г есть некоторое ОФ. Этому Г соответствует открытое множество Г^ ^ со/?, состоящее из всех точек х' £ о)Д, по крайней мере одна из координат которых лежит в Г. Очевидно, х £ Гщ. Пусть х' ~ {Ф'} £ Г. Выбираем Ф' £ #' так, чтобы Ф' ^ Г. Тогда Г есть некоторое ОФ' и/ (хг) ={ОФ'} 6 OK что и требовалось доказать. Отображение /, как взаимно однозначное отображение хаусдорфова бикомпактного пространства coR на хаусдор- фово пространство aR, есть топологическое отображение со/? на aR, очевидно, оставляющее неподвижными все точки R. Теорема IV этим доказана. 13. Замечание. Предыдущее доказательство топологической эквивалентности со/? и aR для нормального R не предполагает, что бикомпактность aR была ранее доказана, тем более, следовательно, не предполагает, что доказано совпадение aR и (5Я. Напротив, из гомеоморфизма aR и coi? следует бикомпактность aR, а из нее гомеоморфизм между aR и р/?. В самом деле, легко доказать следующее предложение: Лемма IX. Если X и Y суть два хаусдорфова пространства, если они в своем пересечении содержат множество R, плотное в обоих этих пространствах, и если существуют непрерывные отображения пространствах наУ и пространства Y на X, оставляющие неподвижными все точки R, то оба эти отображения суть гомеоморфизмы и притом взаимно обратные.
258 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЙРОСТРАНСГВ Из этой леммы непосредственно следует: С точностью до гомеоморфизма, оставляющего неподвижными все точки R, не может существовать более одного бикомпактного расширения пространства R, допускающего непрерывное отображение при неподвижных точках R на всякое бикомпактное расширение пространства R. Поэтому, если aR бикомпактно, то оно непременно совпадает с |1R. § 4. Дальнейшие свойства пространств со/?, aR и a'B = pjR 14. Если R вполне регулярно, но не нормально, то coif заведомо не гомеоморфно (Ш, так как (Ш есть хаусдорфово пространство, а Л в этом случае хаусдорфовым пространством не является. Имеет, однако же, место следующее предложение: • Теорема V. Для всякого вполне регулярного пространства (x>R пространство coi? непрерывно, при неподвижных точках R, отображается на любое бикомпактное расширение пространства R. Доказательство. Пусть bR — какое-нибудь бикомпактное расширение R. Замыкания какого-нибудь множества М £= R в R, bR, coi? будем, по обыкновению, соответственно обозначать через [M]R, Ш]ъл, lM]ciR. Для каждой точки х ={Ф} 6 ®R полагаем / (х) = П [фь*. Вследствие бикомпактности bR и центрированности {Ф} множество f^ [ФЬя непусто. Для доказательства того, что Q [Ф1ья состоит лишь из одной точки, достаточно показать, что для всякой точки у £ f^ [Ф1ья и всякой окрестности Оу точки у в bR имеем {[Oy]bR f] R) £ х\ если это будет показано, то, взявши для двух разных точек У € П №]bR и у' 6 Р [Ф1ьн Две окрестности Оу и Оу' в bR с непересекающимися замыканиями, получим противоречие с центрированностью {Ф}. Итак, пусть Оу произвольно выбрано. По определению у имеем {Оу[\ Д)П Ф = 0уП Ф=И=Л,
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 259 значит, и подавно, (lOy]bR (} R) f\ Ф Ф А при любом ф £ х, следовательно, (КЭДьяП R)tx. Итак, / есть однозначное отображение соД в bR. Пусть у — произвольная точка bR. Окрестности Оу образуют центрированную систему, так же как и Оу f| Д. Дополняем центрированную систему {[Oy]bR [)R} до максимальной центрированной системы {Ф} = х 6 соД. Имеем / (*) = П 1ФЬн s П Н°»1ы« П ^Ьн S П Рим = У' т. е. / (ж) = у. Докажем, наконец, непрерывность отображения /. Пусть х = {Ф} е сой, У = / (х) = П 1фЬн- Берем произвольную окрестность Оу точки у в bR и Оху под условием [О^]^ ^ Оу. Множество Я = OjZ/ П Д есть непустое открытое множество в Д. Точка х принадлежит *) Д^, так как в противном случае было бы x£(dR\Ha, R\H£xr У € [R\H]bR = [R\(Oiy П Я)]м = [Л П фДЧЗДьн s s [рЯ\0,у]ьл, что противоречит тому, что Оху есть окрестность у. Итак, Ни есть окрестность точки х 6 соД. Для произвольного х' £ Я0 имеем, если выбрать лежащую в Я координату Ф' точки х'\ f (*') € [Ф'Ь« S [Я]ьн s [01У]ЬЯ с= Оу, что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что для вполне регулярного, но не нормального R пространство юЯ, заведомо не будучи гомеоморфным пространству |}Д, непрерывно при неподвижных точках Д отображается на рд. 15. 3 а м е ч а н и е. В связи с только что доказанной теоремой возникает вопрос, нельзя ли пространство соД пРи неподвижных точках R непрерывно отобразить на вся- ) Определение Я0) см. в п. 6,
260 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ кое бикомпактное ^-расширение пространства R. Ответ на этот вопрос — отрицательный, по крайней мере, если понимать под бикомпактным Гх-расширением пространства всякое бикомпактное ^-пространство, содержащее R в качестве плотного в R подмножества. Именно, легко показать, что для всякого Гх-пространства R, состоящего из бесконечного множества точек, существуют бикомпактные Гх-расширения, имеющие сколь угодно большую мощность. Для того чтобы построить такие расширения, достаточно взять множество произвольной мощности каких-либо элементов #1» #2» • • • » ^п> • • • » ^со» • • •» ^а» • • • » ^0) » где (ох есть первое порядковое число данной мощности хх, и последовательно присоединять эти элементы в виде точек бикомпактных Гх-расширений i?i cz i?2 cz ... cz Rn cz ... cz R^ cz ... cz Ra cz ... cz i?w следующим образом. Пространство Rx определяется как йу %, причем точка ах получает в качестве окрестностей в R (J аг любое множество вида ах \j (Rx \ Е), где Е есть какое-нибудь конечное подмножество в Д1# Предполагая построенными все пространства R р, (5 < <С а, строим пространство Ra как ^J i? р |J аа и опреде- ляем окрестности аа в Ra как множества вида аа U (J (Яа \ Z?), где Е a Ra есть снова какое-нибудь конечное множество. Все пространства Ra суть, как нетрудно видеть, бикомпактные Т^-расширения пространства Я, причем Rax имеет мощность ^xt. Это положение вещей заставляет изменить определение бикомпактного ^-расширения пространства R следующим образом: бикомпактное ^-пространство bR называется бикомпактным Т^-расширением пространства /?, если R <=, £Z bR и если не существует никакого замкнутого множества в bR, не совпадающего с bR и в то же время содержащего R. Остается открытым вопрос: можно ли для любого Т ^пространства или даже только для любого хаусдорфова пространства R непрерывно отобразить, при неподвижных точках R, пространство соR на всякое бикомпактное расширение bR пространства R в только что установленном новом смысле!
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 261 16. Мы уже видели (см. конец § 3), что для совпадения пространств <xR и a'R = $R необходимо и достаточно, чтобы aR было бикомпактно. Докажем еще следующее предложение: Теорема VI. Для того чтобы пространства aR и a'R = pi? совпадали, необходимо и достаточно, чтобы aR было нормально или чтобы aR было вполне регулярно. Доказательство. Так как a'R = pi? нормально, то достаточно показать, что если aR вполне регулярно, то оно совпадает с a'R = р/?. Это утверждение основывается на следующей лемме: Лемма X. Если aR есть подмножество хаусдорфова пространства S и а £ S \ aR есть предельная точка для aR, то точка а не может быть регулярной точкой пространства S. В самом деле, пусть а регулярна в 5. Тогда, обозначая через Оа произвольную окрестность точки а в S, имеем центрированную регулярную систему {Оа}. Так как а есть предельная точка для aR, значит, и для R, то система {Оа П R} центрирована и, очевидно, регулярна. Обозначим через {Г} какой-либо регулярный конец пространства R, содержащий {Оа f] R), и рассмотрим произвольную окрестность От точки х ={Г} £ а/?. Имеем, вследствие {Оа П R) <= {Г}, 0Г П (Оа П R) => Г П (Оа ПЙ)^А, тем более, #г П Оа Ф Л, так что точки а и х в S не удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа. Лемма X этим доказана. Предположим теперь, что aR вполне регулярно. Тогда aR сг S, где S — бикомпактное нормальное пространство. Из леммы X следует, что aR замкнуто в S, следовательно, бикомпактно и, значит, по доказанному, совпадает с a'R. Только что доказанное предложение заставляет поставить вопрос: Какие аксиомы отделимости выполнены в aR для регулярного и вполне регулярного R и какое значение для топологии R имеет факт выполнения в aR той или иной аксиомы отделимости? Прежде всего, надлежит выяснить, существуют ли такие регулярные (вполне регулярные) пространства R, для которых aR было бы нерегулярным (представляется
262 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ вероятным, что такие пространства Д существуют, но пример такого пространства мне неизвестен). Далее, интересен вопрос о существовании вполне регулярного Д, для которого ссД и а'Д = рД не совпадали бы. В особенности интересно доказать или опровергнуть гипотезу, что лишь в случае нормальности R пространства aR и a'R = рД совпадают. Наконец, подлежит выяснению вопрос об /У-замкнутости пространства aR и о возможности дескриптивного определения их (аналогичного определению пространства a'R = рД как единственного бикомпактного замыкания Д, которое непрерывно, при неподвижных точках Д, можно отобразить на всякое бикомпактное расширение ЬД). Задачу о дескриптивном определении пространств соД для случая, когда R есть произвольное 7\-пространство или хотя бы произвольное хаусдорфо- во пространство, также естественно поставить (см. конец п. 15). § 5. Взаимоотношение пространств со/2 и a'R = РК в общем случае любого вполне регулярного К 17. Мы видели, что для нормального R пространства соД и a'R = рД совпадают, тогда как в случае вполне регулярного, но не нормального Д пространства соД и а'Д = РД всегда различны. Тем не менее легко и в общем случае произвольного вполне регулярного Д получить пространство а'Д = рД из пространства соД весьма естественным образом. Для этого построим сначала для вся кого ^-пространства П некоторое вполне определенное хаусдорфово пространство Ш следующим образом. Напомним сначала, что хаусдорфовым разбиением*) ^-пространства П называется всякое разбиение Р пространства П на попарно не пересекающиеся замкнутые множества А, обладающие следующим свойством: для всяких двух различных элементов А и А' разбиения Р можно найти две непересекающиеся окрестности **)Гэ з4иГ' э^', являющиеся суммами неко- *) Александров — Хопф [3], с. 70. **) Окрестность множества мы всегда понимаем как открытое множество, содержащее данное множество,
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 263 торых элементов разбиения Р(т. е. Г^= = U ^4иГ'=и ^)- Хаусдорфовы разбиения суще- А^Т А<=Т ствуют: разбиение, состоящее из одного элемента А = П, есть хаусдорфово разбиение. Рассмотрим теперь систему ig = {Ра} всех хаусдор- фовых разбиений Ра данного ^-пространства П и систему Р0 вс^х непустых замкнутых множеств вида А0 = = П Aai гДе П°Д знаком пересечения стоит по одному а элементу из каждого хаусдорфова разбиения Ра пространства П. Так как каждая точка пространства П принадлежит к определенному элементу всякого хаусдорфова разбиения Ра пространства П, то каждая точка х £ П принадлежит к некоторому А0 £ PQ. Два различных множества А0 = II Аа и Aq = II Аа не пересекаются, так как если А0 = \\Аа и А о = П А'а различны, то по крайней мере для одного а множества Аа и А 'а из Ра различны и, следовательно, не имеют общих точек. Таким образом, система множеств Р0 есть разбиение пространства П на непересекающиеся замкнутые множества. Очевидно также, что всякое А £ Рао есть сумма тех А0 = Q Ла, для которых Лао = А. Можно написать поэтому А= [J А0 АоСА для всякого A £ Ра. Отсюда следует, что разбиение Р0 есть хаусдорфово разбиение. В самом деле, пусть А] = f\Aa и А\ = ^l^d — два различных элемента Р0. По крайней мере для одного а множества А& и А& различны, следовательно, существуют непересекающиеся открытые множества Г1 з А а и Г^ ^ 2ijB пространстве П, нацело разлагающиеся на содержащиеся в них Аа. Но так как каждое Аа, в свою очередь, нацело разлагается на содержащиеся в нем А0, то то же справедливо для Г1 и Г2, чем хаусдорфовость разбиения ^о и доказана. Итак, хаусдорфово разбиение Р0 есть минимальное хаусдорфово разбиение Т ^пространства в том смысле, что оно является подразделением всякого другого хаусдорфова разбиения пространства: элементы всякого
264 20- РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ хаусдорфова разбиения являются суммами содержащихся в нем элементов разбиения Р0. Очевидно, этим свойством минимальности разбиение Р0 вполне характеризуется среди всех хаусдорфовых разбиений пространства П. Пространство разбиения ZP определено, как известно, для всякого разбиения Р данного ^-пространства П на непересекающиеся замкнутые множества А следующим образом: элементы разбиения Р суть точки пространства ZP; открытые множества пространства ZP суть такие множества элементов А £ Р, что сумма этих элементов в П есть некоторое открытое множество пространства П. Пространство ZP тогда и только тогда хаусдорфово, когда разбиение Р хаусдорфово *). Заставляя соответствовать каждой точке а £ П содержащий эту точку элемент разбиения Р, получим непрерывное отображение hP пространства П на пространство ZP. Пространство ZPo разбиения PD мы и назовем пространством Ш, обозначая соответствующее отображение hPo пространства П на Шь просто через h. Если Ра есть какое-нибудь хаусдорфово разбиение пространства П, то получим непрерывное отображение h0 пространства Шь на ZP , заставляя соответствовать каждому элементу разбиения Р0 содержащий его элемент разбиения Ра. Если хаусдорфово пространство П' есть непрерывный образ пространства П при каком-нибудь отображении g и Ра есть хаусдорфово разбиение пространства П, соответствующее отображению g, то П' есть непрерывный ,(и притом взаимно однозначный) образ ZP и, следовательно, непрерывный образ Шь. Итак, имеет место Теорема VII. Хаусдорфово пространство Шь есть непрерывный образ пространства П. Всякое хаусдорфово пространство, являющееся непрерывным образом пространства П, может быть представлено как непрерывный образ пространства Шь. Если П бикомпактно, то Шь как хаусдорфово пространство, являющееся непрерывным образом бикомпактного пространства П, само бикомпактно. Кроме того, *) Александров — Хопф [3], с. 70,
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 265 всякое непрерывное отображение / пространства П на какое-нибудь хаусдорфово пространство П' может в случае бикомпактного П рассматриваться как отображение ha пространства П на пространство ZP , где Ра есть разбиение П, соответствующее отображению /. 18. Пусть теперь R есть вполне регулярное пространство. В качестве П берем пространство со/? и рассматриваем бикомпактное хаусдорфово пространство Ш = coRh. Лемма XL При отображении h пространства со/? на пространство coRh подпространство R ^ со/? отображается топологически. Для доказательства рассмотрим какое-нибудь бикомпактное расширение bR пространства /?, существующее в силу полной регулярности /?. Непрерывное отображение / пространства со/? на bR, оставляющее неподвижными все точки /?, толкуем как отображение ha пространства со/? на ZP = bR. а Так как отображение h топологично на /?, то никакой элемент разбиения Ра не может содержать более одной точки /?. Тем более это справедливо для элементов минимального разбиения Р0, каждый из которых содержится в некотором элементе разбиения Ра. Таким образом, непрерывное отображение h пространства со/? на со/?/г оказывается на /? ^ со/? взаимно однозначным. Пусть Rh g: (dRh есть образ /? при отображении h. Остается доказать, что отображение А"1, определенное и однозначное на Rh, непрерывно на Rh. Для этого вернемся к бикомпактному расширению bR пространства /? и к непрерывному отображению / пространства со/? на й/?, оставляющему неподвижными все точки /?. Толкуя / как отображение ha пространства со/? на ZP , где Ра есть хаусдорфово разбиение со/?, соответствующее отображению /, отмечаем, что ka топологически отображает /? на некоторое Rha ^ S ZP . Пусть даны х £ /? ^ со/?, xh = h (х) £ Rh ^ со/?/г, яйа = йа (#) 6 #^а ^ Zp . Выбираем произвольную окрестность О^х в со/?. В силу того, что на Rha определено топологическое отображение hax, можно найти такую окрестность Oaxha точки xha, что ha1 {Rha П Oaxha) S ОшХ.
266 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ В силу непрерывности отображения h0 пространства (uRh на ZP имеем такую окрестность Oh (xh) точки xh в (dRh, что hoa (Rh П Oh (xh)) g= Rha П Oa (xK). Поэтому h?h0a(Rh()Oh(xh))<=O*x. Но на Rh отображение halh0 = (holha)~i совпадает с fe""1. Так как Rh f| Oh (xh) есть окрестность относительно Rh точки xh £ Rh, то непрерывность отображения h~l на Rh доказана. Условимся теперь отождествлять каждую точку х £ 6 R ^ cojR с ее образом xh £ Rh ^ caRh при отображении h, т. е. с содержащим точку х элементом разбиения Р0. Это дает возможность рассматривать пространство R = = Rh как подпространство coRh. Докажем, что R = Rh плотно в wRh. В самом деле, всякое открытое множество Th пространства со/?/г, будучи множеством элементов Р0, слагающих собой некоторое открытое множество Г ^ со/?, содержит в себе, в частности, те элементы Р0, на которых лежат содержащиеся в Г точки R. Итак, (dRh есть бикомпактное расширение пространства R. Пусть bR = ZP есть какое-нибудь бикомпактное рас- (X ширение R, причем, как всегда, Рп есть хаусдорфово разбиение со Л, соответствующее непрерывному отображению / = ha пространства coi? на bR, оставляющему неподвижными все точки R. Отождествляя точки R с содержащими их элементами Ра, можем сказать, что при отображении fe0 пространства ($Rh на bR = Zp все точки R остаются неподвижными. Таким образом, мы доказали: Пространство coRh есть бикомпактное расширение вполне регулярного пространства R и может быть, при неподвижных точках R, непрерывно отображено на всякое бикомпактное расширение R. Отсюда, на основании леммы IX, следует: Теорема VIII. Пространство wRh совпадает для всякого вполне регулярного R с пространством a'R = $R-
20, РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 267 Прибавление I В этом прибавлении дается критерий для Я-замкну- тости *) и для бикомпактности пространств, который может быть полезен, в частности, при исследовании упомянутых выше, еще остающихся открытыми, вопросов. Теорема. Хаусдорфово пространство R тогда и только тогда Н-замкнуто, когда всякая максимальная центрированная система открытых множеств содержит систему всех окрестностей некоторой точки R. Доказательство. Пусть R есть хаусдорфово пространство, {Г} — максимальная центрированная система открытых множеств в R. Пусть {Г} не содержит никакой системы {Оа}, где {Оа} есть система всех окрестностей некоторой точки а £ R. Отсюда следует, что, каково бы ни было а £ R, всегда можно найти Оа и Г так, чтобы Оа П Г = Л (в противном случае {Оа} [) {Г} было бы центрированной системой, вопреки свойству максимальности системы Г). Поэтому, присоединяя к R новую точку х с окрестностями х \] Г, получаем хаусдорфово пространство, содержащее R в качестве незамкнутого множества. Необходимость нашего условия этим доказана. Для доказательства достаточности предположим, что условие выполнено, и пусть R [} £ есть хаусдорфово пространство. Если бы {0| [\ R} было центрированной системой, то для некоторого a f Д мы имели бы {01 {] R} 3 3 {Оа}, значит, Оа П 0| Ф Л для любых Оа, 0\, и R\] \ не было бы хаусдорфовым. Поэтому {0\ f| Щ не есть центрированная система, следовательно, существует 0\ = = 5, и \ есть изолированная точка в R (J \. Следствие. Регулярное пространство тогда и и только тогда бикомпактно, когда всякая максимальная центрированная система его открытых множеств содержит систему всех окрестностей некоторой его точки. Прибавление II Очевидно, что среди всех бикомпактных расширений bR данного вполне регулярного пространства R пространство *) Александров — Хоиф [3], с. 89—90,
268 20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ a'i? = pi? обладает наибольшей мощностью. Также и мощность множества всех замкнутых (всех открытых) множеств бикомпактного расширения bR достигает своего максимума для bR = pi?. Пользуясь теорией непрерывных разбиений *), легко доказать, что среди всех бикомпактных расширений пространства R пространство a R = pi? обладает наибольшим весом; при этом под весом пространства понимается наименьшее кардинальное число, являющееся мощностью какого-либо базиса этого пространства. Наше утверждение, очевидно, следует из такой леммы: Если хаусдорфово пространство У является непрерывным образом бикомпактного хаусдорфова пространства X, то вес У не превосходит веса X. Для доказательства рассмотрим какое-либо непрерывное отображение / пространства X на У. Так как разбиение Р пространства X, соответствующее отображению /, непрерывно, то некоторая полная система окрестностей произвольной точки у £ У находится во взаимно однозначном соответствии с множеством конечных покрытий множества /_1 (у) элементами произвольного базиса пространства X. Поэтому можно построить базис пространства У, находящийся во взаимно однозначном соответствии с некоторым множеством конечных комбинаций, составленных из элементов данного базиса X. Отсюда уже непосредственно следует, что вес пространства У не может быть больше веса пространства X. Заметим, наконец, еще следующее. Так как окрестности От в пространстве ai?, а также в пространстве a'i? = pi? взаимно однозначно соответствуют открытым множествам Г с= i?, то вес пространства ai? и a'i? = pi? не может быть больше мощности множества всех опЬкрытых множеств пространства R, т. е. не превосходит 2п, где п есть вес пространства R. Как известно, мощность пространства a'i? = pi? может быть гораздо больше ([7]): для i?, состоящего из счетного числа изолированных точек, a'i? = pi? имеет мощность 22*0. *) [6] или [3J, с. 66—67 и 96—98,
20. РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 269 ЛИТЕРАТУРА [1] Cech Е. On bicompact spaces.— Ann. Math., 1937, 38, с. 823—845. [2] Wallman H. Lattices and topological spaces.— Ann. Math., 1938 39 c. 112 127. [3] Alexandrojt P., Hop! H. Topologie, I.— Berlin, 1936. [4] Tichonoff A. Ober die topologische Erweiterung von Raumen.— Math. Ann., 1929, 102, с 544-561. [5] Хаусдорф Ф. Теория множеств.— М.: ОНТИ, 1937. [6] Alexandroff P. Uber stetige Abbildungen kompakter Raume.— Math. Ann., 1927, 96, с 555—571. Русский перевод: наст, издание, т. II. [7+ Pospisil В. Remark on bicompact spaces.— Ann. Math., 1937, 38, с 845—847. КОММЕНТАРИЙ Эта работа П. С. Александрова явилась началом большой области общей топологии — теории расширений топологических пространств. Этой теории посвящено уже много монографий, и в каждой из них данной работе отводится роль основополагающей. Главным достижением П. С. Александрова в теории бикомпактных расширений является создание им метода центрированных систем множеств (систем со свойством конечного пересечения в другой терминологии). Метод центрированных систем с успехом работает там, где речь идет о всякого рода пополнениях, компактифика- циях и т. д. (см., например, Илиадис С. Д. и Фомин С. В. Метод центрированных систем в теории топологических пространств.— УМН, 1966, 21, № 1, с. 47—76, или Катетов М. Пространства, определяемые заданием семейства центрированных систем.— УМН, 1976, 31, № 5, с. 95-107). Совсем недавно В. М. Ульяновым показано, что не всякое хаусдорфово бикомпактное расширение имеет тип Волмэна, т. е. что не всякое хаусдорфово бикомпактное расширение вполне регулярного пространства может быть получено как пространство максимальных центрированных систем замкнутых множеств из базы- кольца замкнутых множеств расширяемого пространства.— В. И. Пономарев.
21 О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ *) В работе дается инвариантная характеристика и инвариантная трансфинитная классификация широкого класса подмножеств локально бикомпактных хаусдорфовых пространств, совпадающих в метрическом случае с множествами, являющимися одновременно множествами FG и G6. 1. /f-вычеты и Я-приводимые множества Пусть А есть множество, лежащее в топологическом пространстве R. Первым вычетом множества А в смысле Хаусдорфа или первым 7У-вычетом множества А называется множество res А = НА] \А]\ ([А] \ А). Вообще Я-вычеты Аа множества А определяются индуктивно для всех трансфинитных чисел а следующим образом **). А0 = А. Пусть множество А р уже определено для любого Р < а. Если а — число первого рода, то Аа = res 4a-i, если а — число второго рода, то ia = = П А*- Легко установить соотношение res А = [[А] \А)\ ([А] \ А) = А П НА] \ А], из которого видно, что res А а А и res А замкнуто в А* Поэтому вообще, если а<|5, то Лрс:Ла и замкнуто в4а. Таким образом, А = А0 => Аг => А2 zd . . . =Э Ло =э А(Л+1 => . . . *) Совместно с И. В. Проскуряковым. Опубликовано в И АН СССР, сер. матем., 1941, 5, с. 217—224. **) [1], с. 168.
21. О ПРЙЁОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ 2?1 Определение 1. Множество А пространства R называется приводимым по Хаусдорфу ([1]) или Я-п риводимым, если существует порядковое число а, для которого Аа = Л; при этом множество А называется аЯ-приводимым, если а есть наименьшее число, обладающее этим свойством. Хаусдорф показывает *), что в случае пространства R со счетной базой каждое приводимое множество аЯ-при- водимо при некотором ос < Q, где Q — первое число мощности нг. Таким образом, всех классов Я-приводимых множеств пространства R не более к1# При этом все эти классы для весьма широких типов топологических пространств (в частности, для всех несчетных компактов) оказываются непустыми: так, уже среди счетных разрозненных (т. е. не имеющих непустого плотного в себе подмножества) множеств отрезка [0, 1] существуют ссЯ- приводимые множества для любого а<й. Таким образом, классификация Я-приводимых множеств на осЯ-приводи- мые не является бессодержательной. Однако эта классификация, как и понятие вычета данного множества, не является топологически инвариантной, ибо зависит от содержащего множество А пространства. Так, если множество А рассматривать как пространство, то оно всегда приводимо, ибо уже Аг = res А = Л. Если же рассмотреть множество А пространства Я, плотное в R вместе со своим дополнением R \ А, то Аг = res А = А; следовательно, Аа = А для любого а, и А неприводимо. Более того, два гомеоморфных множества одного и того же пространства могут принадлежать к разным классам классификации Хаусдорфа, как это видно из такого простого примера. Пусть пространство R состоит из отрезка [0, 1] числовой прямой и всех точек вида ^.'el+i + -iE«. *. 1 = 1,2,... Множество В точек bht i и Ъ = 1 гомеоморфно множеству А точек ak , = 1 , /с, / = 1,2, ..., 2h 2k+* *) См. [1], с. 168-173.
272 21. О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ и а = 0 и в то же время res В = Л, res А = {0} Ф Л, т. е. В принадлежит к первому, а 4 ко второму классу Неприводимых множеств пространства R. Возникает вопрос, существуют ли пространства такого типа, что классы //-приводимых множеств в этих пространствах обладают топологической инвариантностью, т. е. два гомеоморфных множества одного и того же или двух разных пространств данного типа всегда принадлежат к одному и тому же классу //-приводимых множеств или же одновременно неприводимы. Ниже будет показано (см. теорему III), что это имеет место в двух следующих случаях: (a) R есть локально бикомпактное хаусдорфово пространство, (b) R есть локально компактное хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности. Для удобства изложения сформулируем следующую лемму: Лемма. Пространство R типа (а) или (Ь) регулярно. В самом деле, пространство R можно дополнить одной точкой g до бикомпактного (соответственно компактного) хаусдорфова пространства R (J |, обладающего в случае (Ь) счетной определяющей системой окрестностей в каждой точке *) х Ф %. В случае (а) пространство R |J | нормально, следовательно, регулярно, а в случае (Ь) оно регулярно в каждой точке**) х Ф \. Следовательно, и пространство R регулярно. Теорема I. Для того чтобы подмножество А пространства /?, удовлетворяющего условию (а) {соответственно (Ь)), било бикомпактно {соответственно компактно) в точке х £ А,. необходимо и достаточно, чтобы х £ 6 А \ res А. Ввиду сходства доказательств в обоих случаях рассмотрим лишь случай (Ь). Доказательство необходимости. Пусть А компактно в точке х. Существует окрестность V {х) а А точки х относительно А, замыкание которой относительно А, т. е. множество A fl 1^(^)1, компактно. *) [1], с. 68—70. **) [1], с. 26—28.
21. О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ 273 Это множество замкнуто, так как иначе оно имело бы предельную точку, ему не принадлежащую, и содержало бы сходящуюся к ней последовательность точек, что противоречит его компактности *). Поэтому из V (х)аА[\ [V (х)] следует [V(z)]aA П lV(x)]c=:A. Пусть U (х) есть открытое множество, для которого у (я) = А П U (х). Имеем [А] П U (х) cz [А П U (х)] = IV (х)] cz А, откуда U (х) П (\.А] \ А) = Л и, следовательно, # 6 £ 7? \ НА] \ -4]. Так как х £А, то хеА[\ (R\ 1Ш \4])=4\4П НА] \ 4] = = Л \ res Л. Доказательство достаточности. Пусть х 6 4 \ res А. Тогда ^4\4fl IU1 \ 41 cz Д \ [[А] \А]. По нашей лемме R регулярно. Существует, следовательно, окрестность U (х) точки #, для которой [U (х)] компактно и [U (х)] П НА] \ А] = Л. Поэтому И1П Ш (х)] = {A{][U (х)]) U ((Ш \A)f\ U (х)) = = A[\[U (*)]. Следовательно, множеством! fl Ш (х)] замкнуто. Положим V(x) = Aft U (х).\ Так как V (х) си А [} [U (я)], то [V (х)] а А П W (х)] cz Л, откуда Л П IH*)] = V(x)cz [U(x)l Таким образом, V (х) есть окрестность точки х относительно Л, замыкание которой относительно А, т. е. А {] П [V (х)], как замкнутое подмножество компактного множества [U (#)], компактно; А компактно в точке х. Из теоремы I непосредственно вытекает Следствие. Множество А пространства В, удовлетворяющего условию (а) (соответственно (Ь)), локально *) В случае (а) в соответствующем месте доказательства применяется теорема о том, что бикомпактное хаусдорфово пространство замкнуто во всяком содержащем его хаусдорфовом пространстве.
274 St. 6 приёодимых множеств a& бикомпактно (соответственно локально компактно) тогда и только тогда, когда res А = Л. Все рассуждения данного параграфа остаются справедливыми, если под R понимать, как и выше, топологическое пространство, удовлетворяющее условию (а) (и говорить о точках локальной бикомпактности) или условию (Ь) (и тогда говорить о точках локальной компактности). Ввиду полной аналогии обоих случаев мы ограничимся в дальнейшем лишь случаем (а). 2. Вычеты и приводимость (инвариантные определения) Пусть А есть множество произвольного топологического пространства R. Определим вычеты Аа множества А следующим образом. Положим А0 = А. Пусть вычеты А& уже определены для всех р<а. Если а — число первого рода, то пусть Аа есть множество точек из Аа~г, в которых Аа~х не бикомпактно. Если а — число второго рода, то пусть По индукции множества Аа определены для всех трансфинитных чисел ос, причем легко видеть, что если а <С р, то А& с= Аа и А& замкнуто в Аа. Определение 2. Множество А называется приводимым, если существует порядковое число а, для которого Аа = Л, при этом А называется приводимым' класса а или а-п риводимым, если а есть наименьшее число, обладающее этим свойством. Очевидно, понятие вычета множества А, а потому также понятие приводимого множества и его класса топологически инвариантны. Отсюда, сопоставляя определения 1 и 2 с теоремой I, мы легко получим топологическую инвариантность понятия //-приводимых и а/У-приводимых множеств в случае пространства R типа (а). А именно, справедлива Теорема II. Совокупность всех Н-приводимых множеств хаусдорфова бикомпактного пространства R совпадает с совокупностью всех приводимых множеств этого пространства, причем совокупность аН-приводимых мно-
21. О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ . 275 жесте совпадает с совокупностью а-приводимых множеств для любого порядкового числа а. В самом деле, А0 = А° = А. Пусть для всех (5 < а доказано, что А$ — А$. Если а — число первого рода, то по теореме I имеем 4а = res ;!«_, = res Л""1 = ^а. Если а — число второго рода, то Таким образом, Аа = Аа для любого а. Отсюда и следует наша теорема. 3. Множества, являющиеся одновременно множествами Fa и G6 Интерес, представляемый Я-приводимыми множества- ми, в значительной степени основывается на следующей теореме Хаусдорфа *): В полных метрических пространствах со счетной базой класс Н-приводимих множеств совпадает с классом множеств, являющихся одновременно множествами F0 и G&. Поэтому в разбиении всех Я-приводимых множеств пространства R на х классов аЯ-приводимых множеств мы по существу имеем классификацию множеств, являющихся одновременно множествами FG и G6 в R. В частности, если за пространство R взять фундаментальный гильбертов параллелепипед, то совокупность всех множеств, являющихся множествами FG и G& в R, совпадает с совокупностью всех метризуемых множеств, являющихся одновременно абсолютными F0 л G6, и мы получаем классификацию всех таких множеств. Теорема II устанавливает топологическую инвариантность этой классификации и выясняет ее топологический смысл, состоящий в возможности исчерпать все данное множество путем последовательного удаления (в данном трансфинитном числе раз) точек локальной компактности данного множества и получаемых каждый раз остатков. *) См. [1], с. 170, V, VI.
276 21. О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ Теорема I позволяет далее дать некоторую новую характеристику всех метризуемых множеств, являющихся одновременно абсолютными Fa и G6. Докажем с этой целью такую теорему. Теорема III. Множество А {произвольного топологического пространства R) тогда и только тогда приводимо, когда всякое множество A' cz А, замкнутое в А, содержит по крайней мере одну точку локальной биком- пактности. Доказательство. Пусть каждое замкнутое в А подмножество А' содержит точку локальной бикомпакт- ности. Рассмотрим трансфинитную последовательность вычетов А0 = А, А\ А\ . . ., Л«, . . . На некотором порядковом числе а, мощность которого не превосходит веса множества А, рассматриваемого как пространство, эта последовательность сделается стационарной: A* = Aa+i = ... Из нашего условия и определения множества Аа следует, что при этом непременно Аа = Л; А приводимо. Пусть А приводимо и4' а- А есть множество, замкнутое в А. Так как, начиная с некоторого а, все Аа пусты, то для любой точки х 6 А' существует наименьшее порядковое число ах такое, что х не содержится в Аах. Число ах, очевидно, первого рода. Пусть аХо = а — наименьшее из всех чисел а^., определенных для любой точки х £ А'. Тогда A' cz Аа~1. Так как х0 не содержится в Аа, то х0 есть точка локальной бикомпактности множества Аа~х, следовательно, и замкнутого подмножества А' множества Аа~х. Этим теорема III доказана. Отсюда в связи со сказанным выше получаем теорему IV. Теорема IV. Для того чтобы множество А, лежащее в компактном метрическом пространстве (или, что то же самое, метрическое пространство А со счетным базисом), было одновременно абсолютным Fa и G&, необходимо и достаточно, чтобы каждое замкнутое в А множество имело хотя бы одну точку локальной компактности.
21» О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ 277 4. Случай счетных множеств Рассмотрим теперь счетное множество А компакта R. Наличие в каком-либо подмножестве А' с: А точки локальной компактности равнозначно в этом случае наличию в А9 изолированной точки. В самом деле, в каждой своей изолированной точке множество А' локально компактно. Если, обратно, А9 компактно в точке х, то существует окрестность V (х) этой точки относительно А9, для которой множество А9 (] [V (х)] компактно и, как подмножество метрического пространства R, замкнуто. Если бы А9 не имело изолированных точек, то то же было бы верно для его открытого подмножества V (х). Так как, далее, V (х) с= А9 П W {х)\ с= [V (#)], то и множество А9 {] [V(x)] не имело бы изолированных точек и было бы совершенным подмножеством пространства R. Поэтому его мощность была бы1 равна *) с, что' противоречит тому, что A9 f] П [V (х)] си А9 с А. Это позволяет вывести из теоремы IV следующее известное предложение: С л е д с т в"и е. Для того чтобы счетное множество, лежащее в компакте R, било множеством типа G$, необходимо и достаточно, чтобы оно было разрозненным (т. е. не* содержало плотного в себе4 подмножества). Или Для того чтобы счетное метрическое пространство было абсолютным G& (т. е. было гомеоморфно полному метрическому пространству), необходимо и достаточно, чтобы оно было разрозненным. 5. Отсутствие нетривиальных уплотнений множеств Fa в множества G^ Докажем еще одну теорему, тесно связанную с содержанием данного параграфа. Определение. Уплотнением пространства А на пространство В называется взаимно однозначное и в одну сторону непрерывное отображение А в В. *) [1], с 135, VI.
278 21. О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ Теорема V. Для того чтобы метрическое пространство типа F0 уплотнялось на пространство типа G6, необходимо, чтобы оно само было типа G6. В силу теоремы IV достаточно доказать следующую лемму: Лемма. Если метрическое пространство А типа Fa уплотняется на пространство В типа G6, то каждое замкнутое подмножество А9 пространства А имеет по крайней мере одну точку локальной компактности. Доказательство. Покажем сначала, что пространство А имеет точку локальной компактности. Предположим противное. Пусть А = \jFn, гДе ^п — компакт. Покажем, что при нашем предположении множество Fn нигде не плотно в А. В самом деле, в противном случае множество Fn содержало бы точку х вместе с ее окрестностью U (х) и в силу замкнутости Fn мы имели бы [U (х)] a Fn, [U (х)] компактно, А компактно в точке х, что невозможно. Пусть Фп есть образ Fn в пространстве В при уплотнении А на 5. Так как Fn — компакт, то и Фп — компакт. Покажем, что Фп нигде не плотно в В. Пусть у — точка множества Фп, V (у) — окрестность у, х — прообраз у, U (х) — прообраз V (у). Так как Fn нигде не плотно, то U (х) содержит точку а, не принадлежащую Fn. В силу взаимной однозначности отображения А на В образ точки а в В принадлежит V (у), но не принадлежит Фп. Следовательно, Фп нигде не плотно в В. Поэтому В = МФП первой категории на себе самом, что невозможно, так как В есть абсолютное G&. Пусть теперь А' есть замкнутое подмножество А и В1 — образ 4 в В, Множество А \ А', как открытое подмножество метрического пространства А, есть Fa в А и, следовательно, абсолютное Fa. В силу взаимной однозначности отображения образ А \ А9 в В есть В \ В'. Значит, В \ В' есть абсолютное Fa, а потому В' есть G6 в В, т. е. абсолютное G^. Уплотнение А на В порождает, очевидно, уплотнение А1 на В9 и, так как А1 типа Fa, а В9 типа G6, то по доказанной части леммы множество А9 должно иметь точку локальной компактности. Этим наша лемма, а следовательно, и теорема V доказаны.
21. О ПРИВОДИМЫХ МНОЖЕСТВАХ 279 ЛИТЕРАТУРА. [1] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre.— Leipzig, 1914. Русский перевод: Хаусдорф Ф. Теория множеств,— М.: ОНТИ, 1937. [21 Alexandroff P., Urysohn P. Memoire sur les espaces topologiques compacts.— Verh. kon. Akad. Wet., 1929, 14, № 1, с 1—96. Русский перевод: Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971. КОММЕНТАРИЙ Особо большое внимание впоследствии уделялось одной разновидности приводимых множеств — так называемым разреженным множествам, т. е. таким множествам, в каждом непустом подмножестве которых имеется изолированная точка.— В. И. Пономарев.
22 О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ *) Лобачевский, показавший впервые, что евклидово пространство не является единственным математически мыслимым пространством, тем самым поставил перед математикой проблему геометрической аксиоматики, т. е. проблему построения различных геометрических образов (различных «пространств»), определенных теми или иными системами аксиом. Различные типы этих пространств составляют предмет различных геометрических дисциплин (различных «геометрий»). В настоящей статье нас интересуют те аксиоматически введенные геометрические соотношения, которые называются топологическими и изучением которых занимается топология. Мы стремились освободить читателя от необходимости обращаться при чтении настоящей статьи к специальной топологической литературе: единственное произведение математической литературы, к которому мы считаем себя вправе отсылать читателя,— это русское издание книги Хаусдорфа «Теория множеств».— М.: ОНТИ, 1937, гл. 6 и 7 (лишь изредка еще гл. 4). Доказательства, которые настолько легки, что несомненно могут быть восстановлены читателем, заменяются словами «легко видеть» или «легко доказать» (их, кстати, немного). Остальные или полностью даны, или имеются у Хаусдорфа, куда в этих случаях и отсылается читатель с точным указанием места книги. Дополнительная литература для интересующихся ею читателей указана в конце статьи, однако без всякой претензии на полноту. § 1. Топологические пространства 1. Под топологическим пространством понимается множество Е элементов произвольной природы (называемых точками топологического пространства Е), в котором *) Опубликована в УМН, 1947, 2 (17), с. 5—57.
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 281 выделены некоторые подмножества, называемые открытыми множествами пространства Е, причем предполагается, ЧТо выполнены следующие аксиомы топологического пространства: 1. Все множество Е, а также пустое множество открыты *). 2. Сумма любого числа (конечного или бесконечного) и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Множества, дополнительные к открытым множествам, называются замкнутыми. Из аксиом 1 и 2 следует, что множество всех замкнутых множеств топологического пространства .удовлетворяет следующим условиям: 1'. Все множество Е, а также пустое множество Л замкнуты. 2'. Пересечение любого числа и сумма конечного числа замкнутых множеств замкнуты. Если дана какая-нибудь точка а топологического пространства Е, то каждое открытое множество, содержащее точку а, называется окрестностью этой точки в пространстве Е. Понятие окрестности позволяет легко сформулировать и основное во всех топологических исследованиях понятие точки прикосновения: точка а £ Е называется точкой прикосновения множества М ^ Е, если каждая окрестность точки а содержит по крайней мере одну точку множества М. Частным случаем точек прикосновения являются предельные точки: точка а есть предельная точка множества М, если каждая окрестность точки а содержит бесконечно много точек множества М. Множество всех точек прикосновения данного множества М <=: Е называется замыканием множества М в пространстве Е и обозначается **) через [М]Е (для краткости просто через [М]). Легко доказать, что замыкание любого множества совпадает с пересечением всех замкнутых множеств, со- *) Пустое множество обозначается в этой статье Л. **) Мы отказываемся от употребительного до сих пор обозначения замыкапия множества М через М, так как во многих случаях (в частности, гг в этой статье) важно указывать пространство, в котором замыкание берется.
282 22- о ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ держащих множество М (это свойство множества М могло быть принято за определение замыкания). Легко доказать, что операция замыкания (ставящая в соответствие каждому множеству М его замыкание [М]) удовлетворяет следующим условиям: 1". Дистрибутивность по отношению к сложению, т. е. замыкание суммы двух множеств совпадает с суммой замыканий этих множеств: [М, U М2] = [Мх] и [М2]. 2". Всякое множество содержится в своем замыкании: М £ [М]. 3". Для любого множества М имеем ИМ]] = [Ml. 4". Замыкание пустого множества пусто. Замкнутые множества (определенные нами как множества, дополнительные к открытым) суть не что иное, как множества, совпадающие со своим замыканием. Мы определили топологическое пространство при помощи аксиом 1, 2, налагаемых на открытые множества. Вместо этого можно было бы в основу положить понятие замкнутого множества, подчиненного аксиомам 1', 2'. Можно было бы отправляться и от понятия замыкания и рассматривать 1"—4" как аксиомы, которым подчиняется это понятие. Тогда замкнутые множества определились бы как множества, совпадающие со своими замыканиями, а открытые — как множества, дополнительные к замкнутым. Важно отметить, что все эти подходы приводят нас к тому же самому классу топологических пространств (см. Хаусдорф, § 22). 2. Отображение топологического пространства X в топологическое пространство Y называется непрерывным, если прообраз каждого множества, открытого в У, есть множество, открытое в X (вместо этого можно было бы потребовать, чтобы прообраз каждого замкнутого множества был замкнутым). Легко проверить справедливость критерия непрерывности Коти. Для того чтобы отображение / было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы для любого х £ X и у = / (х) при любом выборе окрестности Оу точки у можно было бы найти такую окрестность Ох точки х, что образ Ох при отображении /
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 283 содержится в Оу. Очевидно, критерий Коши дает возможность говорить о непрерывности отображения в данной точке х. Взаимно однозначное отображение, непрерывное и имеющее непрерывное обратное отображение, называется топологическим (гомеоморфизмом). 3. Какое-нибудь множество 2 открытых множеств топологического пространства Е называется базой этого пространства, если каждое открытое множество пространства Е может быть представлено как сумма некоторых множеств, входящих в систему 2. Наименьшее кардинальное число т такое, что в пространстве Е имеется база, состоящая из т элементов, называется весом пространства Е. Пространства счетного веса (т. е. имеющие счетную базу) раньше назывались пространствами со второй аксиомой счетности. Легко доказать следующее предложение: пусть 2 — база пространства Е\ пусть даны множество М s Е и точка a Z Е. Если каждая окрестность точки а, являющаяся элементом базы 2, содержит хотя бы одну точку множества М, то всякая окрестность точки а содержит точки М, т. е. а есть точка прикосновения М. Аналогично и для предельных точек. Пример. Множество всех интервалов, а также множество всех интервалов с рациональными концами являются базами числовой прямрй, откуда следует, что числовая прямая есть пространство счетного веса. 4. Задание топологического пространства его базой. Для того чтобы данная система 2 открытых множеств пространства Е была базой этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы, какова бы ни была точка х £ Е и окрестность Ох этой точки, можно было бы найти лежащую в Ох окрестность Огх точки х, являющуюся элементом множества 2. Отсюда (или непосредственно из определения базы и аксиом топологического пространства) следует: Если Охх и 02х суть две окрестности одной и той же точки х, входящие в данную базу 2, то пересечение этих окрестностей содержит окрестность той же точки, входящую в базу 2. Вообразим себе теперь множество Е, состоящее из элементов («точек») произвольной природы, и пусть нам Дана система 2 подмножеств Г множества Е, удовлетворяющая следующим двум условиям:
284 22- о ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии (A) Если точка х принадлежит двум данным множествам 1\ и Г2 системы 2, то в системе 2 имеется множество Г3, содержащее точку х и содержащееся в пересечении Гх и Г2. (B) Какова бы ни была точка х, имеется содержащее ее множество Г, входящее в систему 2. Назовем теперь открытыми множествами все множества, входящие в систему 2, а также все множества, могущие быть представленными как суммы множеств, входящих в систему 2; наконец, причислим и пустое множество к числу открытых. Определенные таким образом открытые множества, как легко видеть, удовлетворяют аксиомам 1, 2 и, следовательно, делают множество Е топологическим пространством. Сама система 2 делается одной из баз этого топологического пространства. На практике оказывается удобнее всего превращать какое-либо множество Е в топологическое пространство («задавать топологию в множестве Е») именно таким образом, т. е. указывая в Е удовлетворяющую условиям (А), (В) систему 2 подмножеств Г ^ Е и определяя открытые множества как суммы множеств элементов 2. 5. Естественная топология в множествах, лежащих в данном топологическом пространстве. Всякое множество А, лежащее в топологическом пространстве Е, само превращается в топологическое пространство, если под множествами, открытыми в А, понимать множества, являющиеся пересечениями с А открытых множеств пространства Е. Только эту, «естественную» топологию имеют в виду, когда говорят, что множество, лежащее в топологическом пространстве, само является топологическим пространством. 6. Аксиомы отделимости. Из принятых нами аксиом топологического пространства, в частности, не следует, что множество, содержащее лишь одну точку, непременно замкнуто; существование топологических пространств с незамкнутыми одноточечными множествами сослужит нам в свое время хорошую службу (§§ 5, 6). Однако для конкретной геометрической топологии наша аксиоматика топологических пространств оказывается все же чересчур широкой. Последовательное сужение класса топологических пространств осуществляется в первую очередь при
22* О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА й Топологии 285 помощи так называемых аксиом отделимости. Прежде чем их формулировать, условимся называть окрестностью какого-либо множества М, лежащего в топологическом пространстве Е, всякое открытое множество, содержащее множество М. Теперь назовем соответственно Г0-, Тх-, Т2- пространством топологическое пространство, удовлетворяющее условию: Т0: из всяких двух различных точек х и у по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку; 7\: из двух различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другую точку; Т2- всякие две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Замечание. Условие Тг в точности эквивалентно требованию, чтобы каждое множество, содержащее лишь одну точку, было замкнуто. Условие Т2 называется аксиомой отделимости Хаусдор- фа; поэтому Га-пространства иначе называются хаусдорфо- выми пространствами. Хаусдорфово пространство называется регулярным (или ^-пространством), если оно удовлетворяет условию Г3- если дана точка а и не содержащее эту точку замкнутое множество А, то можно найти не имеющие общих точек окрестность Оа точки а и окрестность О А множества Л. Наконец, хаусдорфово пространство называется нормальным (или Г4-пРостранством), если в нем всякие два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Заметим, что для хаусдорфовых пространств счетного веса условия Г3иТ4 оказываются эквивалентными (Тихонов): каждое из этих условий оказывается необходимым и достаточным для того, чтобы данное хаусдорфово пространство счетного веса было метризуемым, т. е. гомеоморф- ным некоторому метрическому пространству, а именно, гомеоморфным некоторому множеству, лежащему в гильбертовом пространстве (Хаусдорф, § 25). 7. Вполне регулярные (тихоновские) пространства Гр. Мы скажем, что два непересекающихся множества А и В, лежащих в хаусдорфовом пространстве Е, функционально отделимы друг от друга, если можно построить на Е Действительную непрерывную функцию, заключенную
§86 22. 6 ЙОНЯТЙИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ между нулем и единицей и равную нулю на одном из двух данных множеств и единице на другом *). Урысон доказал следующую замечательную теорему (Хаусдорф, § 25): хаусдорфово пространство тогда и только тогда нормально, когда каждые два непересекающихся замкнутых множества в нем функционально отделимы. В свое время мы увидим, что множество, лежащее в нормальном пространстве, может само не быть нормальным пространством. Однако если топологическое пространство Е есть множество, лежащее в некотором нормальном пространстве Е (или, что то же самое, гомеоморф- но множеству, лежащему в нормальном пространстве), то оно не только само является хаусдорфовым (и даже регулярным) пространством, но и удовлетворяет еще и следующему условию, называемому условием полной регулярности или тихоновской аксиомой отделимости: Тр: всякая точка пространства Е функционально отделима от всякого не содержащего эту точку замкнутого множества. Хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие этому условию, называются вполне регулярными или тихоновскими пространствами (Гр-пространство). Легко доказать, что всякое тихоновское пространство регулярно и что всякое множество, лежащее в тихоновском пространстве, само является тихоновским пространством **). Но гораздо труднее доказать, что всякое тихоновское пространство является множеством, лежащим в некотором нормальном пространстве (это будет доказано в § 3). Отсюда будет следовать, что тихоновские пространства тождественны с множествами, лежащими в нормальных пространствах. *) Такая функция есть просто непрерывное отображение пространства Е в отрезок 0 < t < 1 числовой прямой, удовлетворяющее дополнительному условию / (х) = 0 для х £ А, f (х) = 1 для х £ В. **) Докажем последнее утверждение. Пусть в тихоновском пространстве R дано множество Е; пусть А d Е замкнуто в Е и а £ Е \ А. Требуется доказать, что а функционально отделимо от А в Е. Но это следует из того, что точка а не содержится в [А]ц и, значит (в силу полной регулярности /?), функционально отделима от \А]Я в /?.
22. 6 ПОНЯТИЙ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ 28? § 2. Бикомпактые пространства Пусть М — бесконечное множество, лежащее в топологическом пространстве Е. Назовем точку а точкой полного накопления множества М, если пересечение множества М со всякой окрестностью точки а имеет ту же мощность, что и все множество М. Теорема*). Следующие три свойства топологического пространства Е эквивалентны между собой: (а) Всякое бесконечное множество, лежащее в Е, имеет хотя бы одну точку полного накопления. (б) Всякая вполне упорядоченная система убывающих непустых замкнутых множеств пространства Е имеет непустое пересечение. (в) Из всякой системы открытых множеств, покрывающих пространство Е (т. е. имеющих пространство Е ceoqu суммой), можно выделить конечную подсистему, обладающую тем же свойством (т. е. покрывающую пространство Е). Доказательство. Назовем систему множеств центрированной, если любое конечное число множеств, являющихся элементами этой системы, имеет непустое пересечение. Тогда, помня, что замкнутые и открытые множества пространства Е являются взаимно дополнительными и что дополнение к сумме множеств совпадает с пересечением дополнений к слагаемым этой суммы, а дополнение к пересечению есть сумма дополнений, мы без труда убеждаемся в том, что предложение (в) эквивалентно предложению (б') Всякая центрированная система замкнутых множеств пространства Е имеет непустое пересечение. После установления этой эквивалентности достаточно доказать: Первое. Из (а) следует (б). Второе. Из (б) следует (б'). Третье. Из (в) следует (а). *) Для случая хаусдорфовых пространств первое (гораздо более сложное) доказательство дано в работе П. С. Александрова и П. С. Урысона «Мемуар о компактных топологических простран ствах».
288 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ Первое. Пусть дана вполне упорядоченная система убывающих непустых замкнутых множеств (1) Фи Ф2> . • ., Фл, • • ., Фа, • • • Требуется вывести из свойства (а), что система (1) имеет непустое пересечение. Так как, переходя к подсистеме, конфинальной всей системе (1), мы не меняем ее пересечения, то можем предположить, что порядковое число системы (1) есть так называемое начальное порядковое число (т. е. первое число данной мощности) и что все множества Ф различны. Обозначим теперь через ха какую-либо точку, принадлежащую множеству Фа, но не принадлежащую множеству Фа+1- Множество всех выбранных нами точек ха обозначим через X и обозначим через х точку полного накопления множества X. Пусть Фа — произвольный элемент системы (1). Докажем, что х содержится в Фа. В самом деле, открытое множество Е \ Фа содержит лишь те точки х$ множества X, для которых р <; а; множество Ха этих точек имеет мощность, меньшую, чем мощность всего множества X, поэтому точка х, будучи точкой полного накопления множества X, не может иметь открытого множества Е \ Фа в числе своих окрестностей. Другими словами, точка х не содержится в Е \ Фа, т. е. х содержится в Фа. Второе. Предполагая (б) верным, приведем к противоречию предположение, что (б') неверно. Пусть т есть наименьшее (очевидно, бесконечное) кардинальное число, для которого существует центрированная система 2 замкнутых множеств, имеющих пустое пересечение. Обозначим через (ох первое порядковое число мощности т и занумеруем множества системы в последовательность типа Fx, F2, . . ., Fnj . . ., Fa, . . ., a< (ox. Обозначим через Фа пересечение всех F$ с р < а. Так как мощность множества всех таких F р меньше сох, то из определения кардинального числа т вытекает, что Фа непусто. Так как множества Фа образуют вполне упорядоченную убывающую систему, то в силу (б) их пересечение непусто. Но пересечение всех Фа совпадает с пересе-
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 289 чением всех Fa, которое, таким образом, также оказывается непустым, вопреки нашим предположениям. Мы получили нужное нам противоречие. Третье. Надо доказать: если (а) неверно, то и (в) неверно. Пусть (а) неверно. Тогда существует бесконечное множество М, не имеющее точки полного накопления. Следовательно, каждая точка х пространства Е имеет окрестность, мощность пересечения которой с множеством М меньше мощности всего .множества М. Выберем для каждой точки х такую окрестность и обозначим полученную систему открытых множеств через 2. Пусть Гх, . . ., Гв — какая-нибудь конечная подсистема системы 2. Так как мощность каждого из множества М П 1\ меньше мощности М и так как никакое бесконечное множество не может быть представлено как сумма конечного числа своих подмножеств меньшей мощности, то имеются точки М, не принадлежащие ни одному из множеств Tt; другими словами, множества Г1? . . ., Г5, не покрывая даже множества М, тем более не покрывают всего пространства Е. Итак, из системы 2, покрывающей пространство Е, нельзя выбрать никакой конечной подсистемы, обладающей тем же свойством, так что предложение (в) не имеет места. Наша теорема полностью доказана. Определение. Топологическое пространство называется бикомпактным, если оно удовлетворяет одному какому-нибудь, а значит, и каждому из условий (а), (б), (б'), (в). Хаусдорфовы бикомпактные пространства называются бикомпактами. Бикомпактные пространства вообще, а бикомпакты в особенности обладают многими замечательными свойствами, делающими их одним из самых важных классов топологических пространств. Некоторые из этих свойств изложены в § 27 книги Хаусдорфа (куда и отсылаем читателя), другие будут предметом значительной части нашего дальнейшего изложения. Из свойств, которые можно найти в книге Хаусдорфа, особо отметим: Каждый бикомпакт представляет собой нормальное пространство; среди всех нормальных пространств би-
2<Ю 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ компакты характеризуются тем, что всякий бикомпакт во всяком объемлющем его хаусдорфовом пространстве является замкнутым множеством. § 3. Теоремы А. Н, Тихонова 1. Топологическое произведение пространств. Начнем с элементарного примера. Плоскость следующим образом определяется как произведение двух прямых: точки плоскости суть пары х, у, где х и у — точки двух «числовых» прямых X и Y; за элементы базы плоскости возьмем прямоугольники, т. е. множества точек х, у, удовлетворяющих условиям *eu, yev, где U — какой-нибудь интервал на прямой X, V — какой- нибудь интервал на прямой У. Эта база и определяет топологию плоскости. Заметим при этом, что ту же топологию можно было бы получить, взявши за U и V элементы произвольных баз прямых 1и7. В таком же смысле поверхность тора является произведением двух окружностей, трехмерное пространство — произведением трех прямых и т. д. А. Н. Тихонову принадлежит большая заслуга разумного обобщения понятия произведения на случай любого множества топологических пространств. Пусть нам дано множество М произвольной мощности L, состоящее из элементов, которые будем называть «индексами» и будем обозначать через а, р, у и т. п. Каждому индексу а отнесено топологическое пространство Ха. Поставим в соответствие каждому индексу а £ М некоторую точку ха 6 Ха. Получим систему х = {ха} точек ха £ Ха, по одной точке из каждого пространства Ха. Всевозможные такие системы х ={ха} и называются точками нового пространства X, которое, после введения в него топологии, и будет называться топологическим произведением пространств Ха; при этом, если х ={ха} — данная точка X, то точки ха £ Ха называются ее «коорди-
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА Ё топологии 291 латами» *). Топология в пространстве X вводится путем определения базы этого пространства (§ 1, п. 4). База же пространства X строится так. В каждом из пространств Ха выбираем базу 2а (проще всего взять за 2а множество всех открытых множеств пространств Ха). Теперь фиксируем произвольно некоторое конечное множество индексов а1, . . ., аг и берем в 2а , . . ., 2а по произвольному элементу, которые обозначаем соответственно через [/а, . . ., Uа . В качестве элемента U искомой базы 2 пространства X определим множество всех точек х = {#а}, для которых ха 6 Ua , . . ., ха £ Ua (а остальные координаты совершенно произвольны). Меняя выбор индексов ах, . . ., аг, а также элементов Ua^ . . ., Ua баз 2ai, . . . . . ., 2а , будем получать всевозможные элементы базы 2 пространства X. Как было сказано в § 1, п. 4, в качестве открытых множеств пространства X берутся по определению все элементы базы 2 и все множества, которые могут быть представлены как суммы некоторого множества элементов базы 2. Полученное таким образом топологическое пространство X и называется топологическим произведением заданных пространств Ха. Замечание 1. Построенная нами база 2 пространства X, конечно, зависит от выбора баз 2а пространств Ха. Однако легко видеть, что топология пространства X, т. е. система открытых множеств пространства X, от выбора баз 2а не зависит. Поэтому топологическое произведение X пространств Ха определено однозначно, как скоро дана система пространств Ха. Для того чтобы эта однозначность была видна из самого определения, целесообразно потребовать, чтобы в качестве базы 2а была взята совокупность всех открытых множеств пространства Ха. Замечание 2. Легко видеть, что топологическое произведение любого множества хаусдорфовых пространств есть хаусдорфово пространство. Примеры топологических произведений. Топологическим произведением п замкнутых отрезков является, очевидно, я-мерный замкнутый куб. *) Другими словами, точка пространства X есть функция, определенная на множестве М и ставящая в соответствие каждому элементу а £ М некоторую точку ха 6 Ха.
292 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ Докажем, что топологическим произведением счетного множества замкнутых отрезков является так называемый фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства, т. е. метрическое пространство, точками которого являются всевозможные последовательности X = \Х-±, #2 j • • •» ^п» • • • / действительных чисел хп, удовлетворяющих условию 0 < < %п < on » с расстоянием между # = (хг, . . ., яд, . . .) и У = (Уи • • -1 Уп, • • •)» определенным по формуле Обозначим фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства через Q и докажем, что он гомеоморфен топологическому произведению X счетного числа замкнутых отрезков Хп. Так как топологическое произведение определено в чисто топологических терминах, то без ограничения общности мы можем предположить, что Хп есть отрезок 0 < хп < •=- числовой прямой. В этом предположении оба пространства Q и X состоят из одних и тех же точек (1) х = (хи х2, ..., хп, ...), 0<яп<-^, и нам остается доказать, что тождественное отображение X на Q является топологическим. Для этого в свою очередь достаточно убедиться в том, что: а) Какова бы ни была точка (1) и е > 0, можно найти такую окрестность точки х в пространстве X, что для всех точек х' этой окрестности имеем р (#, ж')<е (в Q). б) Какова бы ни была окрестность U точки х в пространстве X, можно найти такое е > О, что все точки х\ удовлетворяющие условию р (#, х') <С е, лежат в С/. Доказательство а). При заданном е < 1 бе- 1 е2 рем п ^ 2 столь большим, чтобы ^ < -^ • Окрестность U точки х в X, определенная условиями l^i—ж;|<тр=-. ...,|*п-л£|<-р=-, есть искомая.
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 293 Доказательство б). Пусть дана произвольная окрестность U точки х в X, определенная условиями где Ua есть произвольная окрестность точки ха в Ха. Наибольшее из чисел аь . . ., аг обозначим через п1 а наименьшее из чисел р (яа., Ха. \ Ua.), i = 1, 2, . . . г, обозначим через е. Тогда в нашей окрестности U точки х содержится окрестность £/', состоящая из всех х' = (х\, хг, . . ., х'п, . . .), удовлетворяющих условиям |я«— #i|<e для i = l, 2, . . ., п. Всякая точка х', удовлетворяющая условию о (х, х') < е в Q, и подавно удовлетворяет условиям (2), а потому содержится в £/', значит, тем более в U. Гомеоморфизм пространств X и Q этим доказан. Еще проще доказывается, что топологическое произведение счетного числа пространств, каждое из которых состоит из двух изолированных точек, гомеоморфно канто- рову совершенному множеству. Это доказательство можно предоставить читателю. 2. Основной теоремой о топологических произведениях является: Первая теорема Тихонова. Топологическое произведение любого множества бикомпактных пространств бикомпактно. Мы приводим чрезвычайно простое доказательство этой теоремы, принадлежащее Шевалле и Фринку. Лемма. Для того чтобы топологическое пространство Е было бикомпактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая центрированная система множеств Ма, лежащих в Е, имела хотя бы одну общую точку прикосновения. Доказательство леммы. Если условие леммы выполнено, то всякая центрированная система замкнутых множеств имеет хотя 6bf одну общую точку и пространство бикомпактно в силу условия (б') предыдущего параграфа. Наоборот, если Е бикомпактно, то замкнутые множества [Ма], образуя центрированную систему, имеют хотя бы одну общую точку, и эта общая точка является общей точкой прикосновения множеств М^.
294 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии Переходим к доказательству теоремы Тихонова. Пусть X — топологическое произведение бикомпактных пространств Ха. Рассмотрим в X какую-либо центрированную систему S множеств Мк. Способом трансфинитной индукции система S легко дополняется до максимальной центрированной системы (т. е. до такой, которая не может быть включена в отличную от нее объемлющую центрированную систему). Поэтому можем с самого начала предположить, что S — максимальная центрированная система. Обозначим через Ма «проекцию» множества М% в Ха, т. е. множество всех точек ха данного Ха, являющихся координатами точек х £ М%. Система Sa всех множеств Ма (здесь а постоянно, а X переменно) есть центрированная система множеств в пространстве Ха. Так как Ха бикомпактно, то множества Ма имеют по крайней мере одну общую точку прикосновения ха. Докажем, что точка х = {ха} е х есть общая точка прикосновения всех множеств Мк. Для этого надо доказать, что всякая окрестность точки х пересекается с любым из множеств М%. Всякая окрестность точки х получается фиксированием некоторого конечного числа индексов ах, . . ., аг и выбором окрестности Ua точки ха для каждого а = ах, . . ., аг. Докажем наше утверждение сначала для «одноиндексных» окрестностей, т. е. таких, при определении которых фиксируется лишь один индекс а = аг. Но для таких окрестностей наше утверждение непосредственно следует из того, что каждая окрестность Ua точки ха в Ха пересекается с любым М£. Так как каждая одноиндексная окрестность точки х пересекается со всеми Д/\ а система всех М% — максимальная центрированная система, то каждая одноиндексная окрестность точки х непременно входит в систему S (иначе эта система не' была бы максимальной центрированной). Но пересечение любого конечного числа элементов максимальной центрированной системы непременно входит в эту систему. Следовательно, всякая окрестность точки х, будучи пересечением конечного числа одноиндекс- цых окрестностей, входит в систему S и, следовательно,
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 295 пересекается со всеми множествами М%, чем теорема Тихонова доказана. Так как топологическое произведение хаусдорфовых пространств есть хаусдорфово пространство, то из только что доказанной теоремы Тихонова вытекает Следствие. Топологическое произведение любого множества бикомпактов есть бикомпакт. 3. Включение вполне регулярных пространств в бикомпакты того же веса. Из данного нами определения топологического произведения и элементарных свойств кардинальных чисел (см., например, Хаусдорф, гл. 2, § 6) легко следует Теорема о весе топологического произведения. Пусть т — какое-нибудь кардинальное число. Топологическое произведение множества мощности ^т топологических пространств Ха, каждое из которых имеет вес <т, есть пространство веса <т. В частности, если т ^ я0 и все Ха счетного веса, то их произведение X имеет вес т. (Вес X не может быть < т, так как всякая база X проектируется в базу Ха.) Отсюда и из только что формулированного следствия к первой теореме Тихонова вытекает, что топологическое произведение множества мощности т > х0 прямолинейных сегментов есть бикомпакт веса т. Этот введенный А. Н. Тихоновым бикомпакт назван им Rx. Теперь мы можем доказать следующее замечательное предложение: Вторая теорема Тихонова. Все вполне регулярные пространства веса <т гомеоморфны множествам, лежащим в пространстве Rx. Обратно, все множества, лежащие в пространстве Rx, вполне регулярны и имеют вес <т. Второе утверждение этой теоремы следует из утверждений, сделанных в конце §§ 1 и 2, и из того, что всякое множество, лежащее в топологическом пространстве веса т, само имеет вес <т. Переходим к доказательству первой половины теоремы. При этом мы следуем классическому мемуару А. Н. Тихонова. Идея тихоновского доказательства состоит в перенесении на случай пространств любого веса конструкции, примененной Урысоном для доказательства того, что всякое нормальное пространство счетного веса гомеоморфно
296 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ множеству, лежащему в фундаментальном параллелепипеде гильбертова пространства. Лемма. Пусть дана точка а во вполне регулярном пространстве Е и окрестность Оа этой точки. Можно найти такую окрестность 0Ya той же точки а, что замкнутые множества [Оха] иЕ \ Оа функционально отделимы. Доказательство этой леммы чрезвычайно просто. Пусть / — функция, непрерывная во всем Е, заключенная между О и 1, равная 0 в а и 1 на £ \ Оа (такая функция существует в силу ого, что Е вполне регулярно). В силу непрерывности функции / существует окрестность Ога, во всех точках которой / принимает значения, меньшие -т-. Теперь определяем функцию ф (х) так: {ф(я) = 1, если f(x) = l; Ф (х) = О, если / (х) <-g- ; Ф(;г) = 2 (/(*)-!), если ±</(*)<1. Функция ф (х) отделяет множество [Ога] от множества Е \ Оа, чем лемма доказана. Пусть теперь Е — вполне регулярное пространство ве^а т. Возьмем базу мощности т пространства Е; обозначим элементы этой базы через С/а, а самоё базу через 2. Пару элементов Ua% С/р базы 2 назовем канонической, если [U$] ^ Ua и при этом множества [Е/р] и Е \ Uа функционально отделимы. Множество всех канонических пар с^ — (Ua, Е/р) обозначим через С; оно, очевидно, имеет мощность <т. С другой стороны, из только что доказанной леммы следует, что множество «вторых» элементов U$ канонических пар образует базу пространства Е, откуда вытекает, что мощность множества С не может быть меньше т. Итак, мощность множества С равна т. Выберем теперь для каждой канонической пары с^ = (Ua, U$) определенную функцию f%, отделяющую [U$] от Е \ Ua. Множество отобранных нами функций также имеет мощность т. Возьмем теперь пространство Rx — топологическое произведение множества мощности т прямолинейных сегментов 7\; эти сегменты представляем себе поставленными во взаимно однозначное соответствие с функциями /^: сегмент
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 297 f х считаем соответствующим функции fx- Наконец, ставим в соответствие точке х £ Е точку у = {tx} пространства /?т, где tx = fx (х). Получаем отображение / пространства Е на некоторое множество Е'', лежащее в i?T. Докажем, что / есть топологическое отображение. Докажем прежде всего, что / взаимно однозначно. В самом деле, пусть х' и х" — две различные точки пространства Е. Берем какую-нибудь окрестность Ua точки х', не содержащую точку х\ Согласно нашей лемме можно найти окрестность U$ точки х с замыканием, лежащим в Uа и функционально отделенным от Е \ Ua. Пара (Ua, Uл) есть некоторая каноническая пара ck, и t'% = = fx (х>) = О, Г% = /я (*") = 1, т. е. точки у' = f (х') и у" = f {х") различны. Докажем теперь, что отображение / непрерывно. Пусть y = f(x) и Оу — какая-нибудь окрестность точки у = {ук)1 состоящая из всех точек yf = {yx}1 для которых y'\£U%i, ..., y'\r£Uxr, где U%i есть окрестность точки ух. на сегменте Т%.. Ввиду непрерывности функций fx. множество fy}.Ux- открыто в Е; следовательно, и множество (/xjt^n • • • П (fllrUxr) =Ох открыто и является окрестностью точки #, причем, очевидно, f(Ox)^Oy. Докажем, наконец, непрерывность обратного отображения Z"1 множества Е' на пространство Е. Пусть у = = f (х), х — f"x (у) и Ua — произвольная окрестность точки х. Требуется найти такую окрестность Оу точки у, что 1"Юу ^ С7а, т. е. чтобы из х$ £ Е \ Ua следовало у' = f (xf) £ Е' \ Оу. Определяем окрестность С7Р точки х так, чтобы (С/а, f/p) было канонической парой с х- Тогда t\ (я) = 0 и fx (х) = 1 для любого х' (z Е \ Ua. Возьмем теперь окрестность Оу точки у = / (х), состоящую из всех точек у', для которых Х-я координата ух отличается от Ух меньше, чем на у . Если х 6 Е \ С7а, то Х-я координата точки у' = / (х') равна 1 > у, т. е. у' 6 Е'\ Оу, чем наше утверждение и вся вторая теорема Тихонова полностью доказаны. Сделаем к только что доказанной теореме несколько простых замечаний. Во-первых, полагая во второй теореме Тихонова т = н0 и помня, что в этом частном слу-
298 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ чае Rx обращается в фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства, видим, что в тихоновской теореме содержится знаменитая теорема Урысона о том, что всякое вполне регулярное пространство счетного веса гомео- морфно некоторому множеству, лежащему в фундаментальном параллелепипеде гильбертова пространства, и, следовательно, гомеоморфно метрическому пространству. Таким образом, для пространств со счетной базой свойства полной регулярности, нормальности, метризуемости эквивалентны между собой: каждое из этих свойств характеризует те пространства счетного веса, которые гомео- морфны подмножествам гильбертова пространства. Заметим далее, что из второй теоремы Тихонова вытекает, что следующие классы топологических пространств совпадают между собой: вполне регулярные пространства; множества, лежащие в нормальных пространствах; множества, лежащие в бикомпактах. Из этого замечания и из первой теоремы Тихонова, наконец, следует, что топологическое произведение любого числа вполне регулярных пространств вполне регулярно. 4. Пример вполне регулярного ненормального пространства строится так. Точки пространства Е суть пары (а, Р), где Р пробегает все натуральные числа и первое трансфинитное число со, а а — все натуральные и все трансфинитные числа до Q (первого трансфинитного числа третьего класса) включительно. Топология в Е задается базой, элементы которой суть множества Ua рд^ всех точек х — (а\ р'), удовлетворяющих условию а < а ^ А,, р < <С Р'^(я (здесь а, р, X, \i произвольно фиксированы, а < X < Q, р < jlx < со). Легко видеть, что Е — бикомпакт (топологическое произведение пространства всех порядковых чисел ^Q на пространство всех порядковых чисел ^со). Пусть Е' — множество всех точек пространства Е, кроме одной лишь точки (Q, со). Множество Е', как лежащее в бикомпакте, вполне регулярно. Оно не нормально, так как в нем имеются два замкнутых множества: A, состоящее из всех точек (а, со), 1 ^ а < Q, и B, состоящее из всех точек (Q, Р), 1 ^ р < со, которые, обладая пустым пересечением, не могут быть заключены в непересекающиеся окрестности.
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 299 с 4. Бикомпактные расширения вполне регулярных я нормальных пространств 1. Всякое пространство уЕ, содержащее данное пространство Е в качестве своего всюду плотного подмножества, называется расширением пространства Е. Нас будет интересовать случай, когда уЕ — бикомпакт и, следовательно, Е вполне регулярно. Только в этом случае мы будем говорить о бикомпактных расширениях пространства Е. Возьмем какое-нибудь вполне регулярное пространство Е веса т и гомеоморфное ему множество Е', лежащее в пространстве i?T. Замыкание множества Е' в Rx есть бикомпакт веса т, содержащий Е' в качестве своего плотного подмножества. Заменяя в пространстве Rx точки множества Е' соответствующими им точками Е и сохраняя неизменной топологию, мы можем считать, что само Е есть всюду плотное подмножество некоторого бикомпакта веса т. Таким образом, всякое вполне регулярное пространство Е имеет бикомпактное расширение и притом того же веса. Ни одно пространство, не являющееся вполне регулярным, бикомпактных расширений, конечно, не имеет. После фундаментальных работ А. Н. Тихонова возникает естественная задача исследования всей совокупности бикомпактных расширений данного вполне регулярного пространства, не ограничиваясь расширениями данного веса. Замечательные результаты в этом направлении получил, пользуясь методами Тихонова, Э. Чех (Eduard Cech). Исследования Чеха были продолжены различными математиками, в том числе автором этой статьи и С. В. Фоминым. 2. Прежде чем излагать построенное Чехом так называемое максимальное бикомпактное расширение данного пространства Е, напомним приобретающее в различных вопросах математики все большее и большее значение понятие частично упорядоченного множества. Данное множество М, о природе элементов которого не делается никаких предположений, называется частично Упорядоченным, если для некоторых пар различных между собой элементов х, у множества М установлено отношение х ^ У (читаемое «элемент х предшествует элементу у»), так что при этом выполнены условия;
300 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 1°. Отношения х < у и у < х исключают друг друга. 2°. Если х <i у и у < z, то # < z. Замечания. Отношение х <С у, называемое отношением порядка, иногда записывается и в виде у > х («элемент у следует за элементом х»). Если отношение порядка установлено для любой пары различных элементов множества М, то множество М называется упорядоченным; таким образом, упорядоченные множества составляют частный случай частично упорядоченных *). Примеры частично упорядоченных множеств. 1°. Пусть М есть некоторое множество множеств; если А, В — два элемента множества М, то пишем А < В, если 4сВ, т. е. если множество А есть собственная часть множества В. Таким образом, множество М делается частично упорядоченным. 2°. Пусть М есть некоторое множество функций, определенных на отрезке 0 ^ t ^ 1 числовой прямой. Для двух функций / и g, входящих в множество М, полагаем / < g, если для любого t, 0^£^1, имеем / (t)^.g (t) и хотя бы для одного t / (t) < g (*). 3°. Пусть множество М состоит из всех точек А, прямых а и плоскостей а трехмерного аффинного или проективного пространства. Пишем А < а, а < а, А < а, если соответственно А инцидентно а, а инцидентно а, А инцидентно а. Непосредственно важен для нас в настоящий момент следующий пример: 4°. Пусть ЬгЕ и Ь2Е — два бикомпактных расширения одного и того же пространства. Положим ЪХЕ < Ь2Е, если существует непрерывное отображение / пространства *) Логичнее и гораздо удобнее было бы называть: частично упорядоченные множества — упорядоченными, упорядоченные множества — вполне упорядоченными, вполне упорядоченные множества — хорошо (или «совершенно») упорядоченными. Так поступает, например, Бурбаки в своем курсе анализа. В настоящей статье я, однако, не решился на такое потрясение общепринятой терминологии.
22» О ПОНЙТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ 301 Ь0Е на ЪХЕ, оставляющее неподвижными все точки множества Е, т. е. удовлетворяющее в каждой точке х £ Е условию / (х) = х (отображения /, удовлетворяющие этому условию, мы будем в этом параграфе называть допустимыми). Введенное этим способом отношение порядка превращает множество всех бикомпактных расширений данного пространства Е в частично упорядоченное. Предложение, доказанное Чехом, заключается в том, что в частично упорядоченном множестве всех бикомпактных расширений данного пространства имеется один наибольший элемент, т. е. такое бикомпактное расширение, которое допустимым образом может быть отображено на всякое бикомпактное расширение пространства Е. Такое максимальное бикомпактное расширение пространства Е единственно (с точностью до гомеоморфизма, оставляющего неподвижными все точки Е). Единственность максимального бикомпактного расширения данного пространства Е вытекает из следующей более общей леммы: Даны два хаусдорфовых пространства X и У, содержащих одно и то же множество А в качестве всюду плотного подмножества. Пусть дано непрерывное отображение / пространства X на Y и непрерывное отображение g пространства Y на X. Если для каждой точки х 6 А имеем / (*) = g (*) = *> то отображение / и g суть взаимно обратные топологические отображения соответственно X на Y и Y на X. Достаточно доказать, что / и g взаимно обратны: тогда топологический характер каждого из этих отображений явится простым следствием непрерывности обоих этих отображений. Пусть для какого-нибудь х £ X имеем / (х) = уи g (у) = = х\ Докажем, что х' = х. В противном случае в силу того, что X — хаусдорфово пространство, существуют непересекающиеся окрестности Ох и Ох' точек х и х'. Берем такую окрестность Оу точки у, чтобы было g (Оу) s Ох'. Заменяя, если нужно, Ох содержащейся в ней окрестностью, мы можем предположить, что / (Ох) е Оу,
302 22. О ПОЙЯТЙИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ значит, gf{Ox)c=g(Oy)czOz'. Тогда для заведомо непустого множества А [\ Ох имеем Af)Ox = gf(A{) Ох) с= Ох' вопреки тому, что Ох и Ох не имеют общих точек. Полученное противоречие доказывает лемму. 3. Построим теперь для всякого вполне регулярного пространства Е следующим образом бикомпактное расширение р£\ относительно которого мы потом докажем, что оно обладает только что определенным свойством максимальности. Рассмотрим множество Ф всех непрерывных отображений фя пространства Е в отрезок 0 ^ t ^ 1 числовой прямой. Пусть т — мощность множества Ф. Каждой функции (рх 6 Ф поставим в соответствие свой экземпляр 2\ сегмента 0^£^1. Возьмем топологическое произведение Rx полученных сегментов Т % и отобразим по методу А. Н. Тихонова пространство Е в Rx: каждой точке х 6 Е поставим в соответствие точку у = ср (х) = {г/я}, где у^ = = фа, (х). Совершенно так же, как при доказательстве второй теоремы Тихонова (§ 3), докажем, что полученное отображение у = у(х) есть топологическое отображение. Е в Rx. Замыкание множества Е' = ф (Е) в пространстве Rx есть бикомпакт, который мы обозначим через (JZ?- Докажем, что бикомпактное расширение $Е простран. ства Е действительно обладает свойством максимальности. Возьмем какое-нибудь бикомпактное расширение ЪЕ нашего пространства Е и построим допустимое отображение $Е на ЪЕ. Начнем с того, что функцию фЛ, ее индекс X и соответствующее Г я назовем на минуту отмеченными, если функция может быть продолжена на ЪЕ. Отмеченные X обозначаем через А/, мощность их множества через т\ Топологическое произведение всех 7V есть бикомпакт Rx\ Так как Е плотно в ЪЕ, то существует лишь одна функция, определенная на ЪЕ и совпадающая на Е с данной отмеченной функцией ф^. С другой стороны, каждое непрерывное отображение ЪЕ в отрезок 0^£^1 определяет отображение множества Е в тот же отрезок, т. е. некоторую отмеченную функцию фг.
22. О ПОНЯТИЙ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ S03 Итак, существует взаимно однозначное соответствие между отмеченными функциями фу на Е и функциями, определенными на ЬЕ. Если ц>у — отмеченная функция, т0 ее продолжение на ЬЕ обозначим через Ьфг* Каждой точке х £ ЬЕ ставим в соответствие точку у' = {у*/} 6 #т ♦ где уу = Ьфя,' (#)• Полученное отображение ф' пространства ЬЕ в /?т топологично, и пространство Е может быть отождествлено со своим образом в Rx при отображении ф\ Ставим теперь в соответствие каждой точке у = {ух\ 6 В* точку у' = {уу} 6 RT , получаемую, если среди X в {i/*.} брать лишь отмеченные индексы. Полученное непрерывное отображение пространства RT в В? обозначим через h. Отождествляя точку х £ Е, с одной стороны, с точкой у = {фЯ (#)} £ Дт, а с другой стороны, с точкой у1 = = {фг (#)} 6 #х\ имеем право сказать, что отображение h оставляет неподвижной каждую точку Е; далее, Е плотно и в $Е и в ЬЕ, значит, в силу непрерывности отображения h имеем Е ^ h ($Е) ^ ЬЕ, а так как h ($Е) как бикомпакт замкнуто в ЬЕ, то h ($Е) = ЬЕ, так что отображение h, рассматриваемое на $Е ^ i?T, есть искомое отображение. Этим максимальность Е доказана. В связи с этим доказательством сделаем следующее важное замечание. Если всякое отображение пространства Е на отрезок 0^£^С1 может быть продолжено на ЬЕ, то RT совпадает с йт и наше отображение h оказывается тождественным, следовательно, ЬЕ необходимо совпадает с ря. С другой стороны, легко видеть, что всякое непрерывное отображение фа, пространства Е в отрезок 04^£^1 действительно может быть продолжено на $Е и даже на все RT з $Е: достаточно каждой точке у = {i/J £ йт поставить в качестве значения функции фх, (у) число ух *)• *) Это действительно будет продолжение функции ф^, определенное на Е, потому что при включении пространства в Rx мы каждой точке х £ Е ставили в соответствие точку у = {ух} £RT, гДе У к = Фа, (х); таким образом, отождествляя точки х g Е с их образами у = {ух}, мы видим, что значение фа, (х) есть просто %-я координата точки у = х.
304 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии Итак, имеем следующее установленное Э. Чехом замечательное свойство открытого им пространства $Е: Теорема. Всякое непрерывное отображение пространства Е в отрезок O^t^.1 может быть продолжено на $Е, причем $Е есть единственное бикомпактное расширение пространства Е, обладающее этим свойством. 4. Дальнейшие свойства пространства PJ5. Теорема. Если А 0 и Ах суть функционально отделенные замкнутые множества вполне регулярного пространства Е, то замыкания множеств А0 и Аг в $Е не пересекаются; при этом среди всех бикомпактных расширений пространства Е пространство (32? единственное, обладающее этим свойством. Доказательство. 1°. Пусть А0 и Аг функционально отделены в £ и пусть / — отделяющая функция, / (х) = О на А0, / (х) = 1 на Аг. Пусть (J/ есть продолжение функции / на $Е; тогда Р/ равно нулю на [А 0] РЕ и равно 1 на Uilps, значит, Ь40](5я и UJ^ не могут иметь общих точек. 2°. Пусть бикомпактное расширение ЪЕ пространства Е обладает тем свойством, что всякие два функционально отделенных замкнутых множества в Е имеют в ЪЕ непересекающиеся замыкания. Рассмотрим допустимое отображение h пространства $Е на ЪЕ и докажем, что h взаимно однозначно; этим и будет доказан гомеоморфизм ЪЕ и р/?. Доказательство ведем от противного: пусть для двух точек Ро 6 $Е, рг 6 $Е имеем h (р0) = h (рг) = q £ ЪЕ. Возьмем в р# функцию / (х), O^f (х)^1, принимающую в р0 значение 0, а в рг значение 1, и обозначим через А0 мно- жество тех точек х £ Е, для которых / (х)^.-^-, а через 2 Аг —- множество тех точек х £ Е, для которых / (#)^-й-. Множества А0 и Аг замкнуты и функционально отделены в Е, следовательно, по предположению, их замыкания в ЪЕ не пересекаются. Поэтому, чтобы привести сделанное предположение к противоречию, достаточно доказать, что точка q принадлежит как [А0]ЬЕ, так и L4ilbE. Достаточно доказать, что q 6 Ы0]6Е. Возьмем произвольную окрестность U точки q в ЪЕ; ее прообраз h'1 U является окрестностью точки р0 в $Е. Так как Е плотно в $Е и / (ро) = 0, то в h'1 U содержатся точки х 6 Е, в которых
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 305 1 /(#)<-о-, которые, следовательно, принадлежат к А0. Итак, (h'ty) П 40 =^ Л, значит, £/ П Л0 Ф Л. Так как С/ — произвольная окрестность точки q, то ^ 6 l^oUfi' что и требовалось доказать. Следствие. Если Е нормально, то всякие два непересекающихся замкнутых множества в Е имеют в $Е непересекающиеся замыкания. Докажем далее, что при любом допустимом отображении h пространства $Е на какое-нибудь бикомпактное расширение ЪЕ множество |3Z? \ Е отображается на ЪЕ \ \ Е. Так как все точки Е остаются неподвижными, то достаточно доказать, что ни одна точка р £ $Е \ Е не отображается посредством h в точку Е. Предположим противное, т. е. р 6 № \ £, q = h(p)eE. Берем функцию ф, отделяющую в $Е точку q от р, ф (q) = = 0, ф (р) = 1, и обозначим через А множество тех точек Е, В КОТОРЫХ ф (х) ^ "о". Так как А Эр замкнуто в Еа ЬЕ, то существует замкнутое в ЬЕ множество Р такое, что Р (] Е = А. Пусть \|э — функция, определенная на ЬЕ и отделяющая q от Р: г|? (д) = 0, ч|) (я) = 1 для х £ Р. Рассматривая гр лишь на /?, продолжим эту функцию в функцию %, определенную на всем $Е. Функция я|Ж (ж) совпадает на £ с функцией х (^), а так как Е плотно в ЬЕ, то и всюду на $Е имеем X (*) = # (ж). В частности, % (р) = # (р) = !>(?) = о. Обозначим теперь через Я открытое множество всех тех 11 я € рЕ, в которых одновременно ф (х) > -у и ][(i)<y, Множество Я непусто, так как в нем содержится, например, точка р. Так как Е плотно в р/?, то в Я существует по крайней мере одна точка с £ Е. Для нее ty (с) = % (t) < 1 ^-тр, откуда и из определения Р следует, что с £Е \Р = Е \ 4,
366 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ а потому по определению А имеем ф (с) < -^ вопреки тому, что с £ Н. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. 5. Максимальное расширение замкнутых множеств пространства Е. Теорема. Пусть А замкнуто во вполне регулярном Е. Замыкание множества А в пространстве $Е тогда и только тогда совпадает с пространством $А, когда всякое непрерывное отображение А в отрезок 0^£<1 может быть продолжено на Е. Доказательство. 1°. Пусть [А] $Е = $А и пусть / — какое-нибудь непрерывное отображение А в отрезок 0^!£^ 1. Докажем, что / можно продолжить на Е. Прежде всего, так как Ы]Р£= {L4, то / можно продолжить на замкнутое в $Е множество Ы]Р£; но $Е — бикомпакт, следовательно, нормальное пространство, а потому по теореме Брауэра — Урысона (Хаусдорф, § 25, теорема IX) функцию / можно продолжить с Ы]рЕ на $Е, значит, в частности, на Е. 2°. Пусть всякое отображение А в отрезок 0^^1 можно продолжить на Е; докажем, что бикомпактное расширение [А]$Е пространства А совпадает с fL4. Для этого достаточно доказать, что всякие два функционально отделенных в А замкнутых в А множества А' и А" имеют в Ы]ря непересекающиеся замыкания. Пусть функция /, определенная на А» отделяет А' от А". По предположению, / может быть продолжена на Е, откуда легко следует, что множества А' и А" (замкнутые в А, значит, в силу замкнутости А замкнутые и в Е) функционально отделены и в Е. Но тогда их замыкания в р#, очевидно, совпадающие с замыканиями тех же множеств в Ы]рЕ, не имеют общих точек, что и требовалось доказать. Так как в случае нормального Е по теореме Брауэра — Урысона всякое непрерывное отображение замкнутого A cz Е может быть распространено на все Е, то имеем Следствие. Если Е нормально, а А замкнуто в Е, то пространство $А совпадает с замыканием А в (JZ?. 6. Пространства аЕ и a'JE. Пусть И и Н' — два открытых множества в хаусдорфовом пространстве Е. Мы скажем, что Н' регулярно содержится (или регулярно вклю-
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ 30? чено) в Я, если [Н'\Е ^ Я или, что, очевидно, то же самое, если замкнутые множества Е\Н и [Н']Е не пересекаются. Назовем Я' вполне регулярно включенным в Я, если Е \ Н и [Я']е функционально отделены в Е. Система 2 = {Я} открытых множеств Я пространства Е называется регулярной {вполне регулярной), если для каждого элемента Я системы 2 имеется элемент Я' той же системы, регулярно (вполне регулярно) включенный в Я. Методом трансфинитной индукции без всякого труда доказывается, что всякая регулярная (вполне регулярная) центрированная система а открытых множеств содержится по крайней мере в одной системе 2 открытых множеств, максимальной по отношению к совокупности двух условий центрированности и (полной) регулярности. Такие системы называются регулярными (вполне регулярными) концами пространства Е. Итак, регулярный (вполне регулярный) конец — это такая регулярная (вполне регулярная) система 2 открытых множеств пространства Е, что не существует никакой отличной от 2 регулярной (вполне регулярной) системы открытых множеств пространства Е, которая содержала бы 2 в качестве подсистемы. Примером регулярного (вполне регулярного) конца может служить система всех окрестностей какой-либо фиксированной точки данного регулярного (вполне регулярного) пространства Е. Обозначим теперь через аЕ (через а'Е) множество всех регулярных (вполне регулярных) концов данного регулярного {вполне регулярного) пространства Е. Множество аЕ (соответственно а'Е) топологизируется следующим образом. Обозначим через Он множество всех регулярных (вполне регулярных) концов, имеющих данное открытое множество Я в числе своих элементов. Множества 0Н1 а также всевозможные суммы таких множеств, определяются в качестве открытых множеств пространства аЕ (пространства а'Е). Этим путем пространства аЕ и аЕ превращаются в хаусдорфовы пространства. Для того чтобы убедиться в этом, докажем несколько простых свойств концов и множеств Он. 1°. Если Я' есть элемент конца х и содержится в открытом множестве Я пространства Е, то и Я £ х.
308 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ В самом деле, присоединяя к х элемент Н, мы не нарушаем ни центрированности, ни (полной) регулярности системы х\ так как х — максимальная система, обладающая этими свойствами, то Н содержится в ней. 2°. Пересечение двух (а следовательно, любого конечного числа) элементов данного конца есть элемент этого конца. Докажем это предложение для вполне регулярных концов (для регулярных доказательство только упрощается). Пусть #!, Н2— два элемента конца х. Присоединяя к х всевозможные элементы Нг П Н2, мы не нарушаем центрированности системы х; получаем новую систему х ~ = {Н'}, которая содержит всевозможные конечные пересечения элементов {#} = х; остается доказать, что мы не нарушим и полной регулярности этой системы. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать: если Н\, i = = 1, 2, вполне регулярно включено в Ht, то Н\ П Щ вполне регулярно включено в Н1 f] Н2. Чтобы убедиться в этом, возьмем для i = 1, 2 функцию /£, отделяющую [Н\]Е от Е \ Яь U = 0 на [Щ]Е, ft = 1 на Е \ Hh Функция Д + /г равна нулю на [Н\]Е f] [Н'2]Е, значит, тем более на [Н\ f) Н'2]Е. Так как Е \ {Н1 f| Н2) = = (Е \ Нг) (J (Е \ #2), то в каждой точке z 6 Е \ \ (Ях П Н2) хотя бы одна из функций /х, /2 равна 1, так что /х (z) + /2 (2) ^ 1- Положим теперь / (z) = 1, если /х (z) + /2 (z) > 1, и / (z) = /х (z) -f /2 (z) во всех остальных точках x £ E. Функция /, так определенная, непрерывна, равна нулю на [Н\ П Щ]Е и равна 1 на Е \ (Ях П-Яг) и> следовательно, отделяет [Н[ f) Н'2]Е от Е \ (Нг f] Я2). 3°. Если х = {На} и х' = {Hi} — два различных конца, то можно найти такие На£ х иН^^х', что На (]Н'а = Л. В самом деле, в противном случае х U х было бы центрированной вполне регулярной системой, следовательно, х (J х' совпадало бы как с х, так и с х'. Для доказательства того, что <хЕ, соответственно а'Е есть топологическое и притом хаусдорфово пространство, достаточно доказать, что: а) пересечение двух множеств типа Он или пусто или является множеством того же типа;
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 309 б) для любых двух различных концов х и х' найдутся такие Н £ х и Н' £ х , что Он{] Он> = Л. Оба утверждения следуют из формулы (1) он п он. = онпн>, которую сейчас и докажем. Если х' £ Он [) Оп>, то Н £ х , #' £ х , значит, в силу 2° и Н[\Н' £ #', т. е. я' £ Онг\Н'- Если, наоборот, я' £ Онпн', то Я П Н' £х', следовательно, в силу 1°иЯиЯ' суть элементы конца #', т. е. / е он п он.. Из формулы (1) или леммы 1 следует далее: 4°. Если Н' с= Я, то Он> s Он- 7. Пространства а2£, а'_Е как расширения пространства Е. Мы уже упоминали, что каждой точке х вполне регулярного пространства Е соответствует некоторый вполне регулярный конец, состоящий из всех окрестностей этой точки, т. е. соответствует некоторая точка пространства аЕ (пространства а'Е). В силу выполненной в Е аксиомы отделимости Хаус- дорфа двум различным точкам Е соответствуют различные концы. Таким образом, установлено взаимно однозначное отображение пространства Е в пространство аЕ, соответственно а'Е; так как множества Он образуют базу точки х в пространстве аЕ, соответственно а'Е, .то это отображение является топологическим. Поэтому мы вправе отождествить каждую точку х£Е с соответствующей ей точкой аЕ, соответственно а'Е, т. е. считать, что Е содержится в аЕ (в а'Е) в качестве, очевидно, всюду плотного множества. Другими словами: аЕ и а'Е суть расширения пространства Е. Назовем базой точки х в пространстве Е всякую систему 2 окрестностей этой точки, обладающую тем свойством, что в любой окрестности точки х содержится хоть одна окрестность, принадлежащая системе 2. Наименьшее кардинальное число ш, являющееся мощностью некоторой базы точки х в пространстве Е, называется весом этой точки в пространстве Е. Из 4° сразу следует: если данные открытые подмножества Н пространства Е образуют базу точки х в Е, то соответствующие множества Он образуют базу точки х
310 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ в пространстве аЕ (соответственно а'/?); отсюда, в свою очередь, вытекает Теорема. Вес каждой точки х £ Е в пространствах аЕ и а'Е совпадает с весом той же точки в пространстве Е. Из этой теоремы мы скоро выведем некоторые весьма важные следствия. 8.Теорема. Пространства аЕ и аЕ могут бить непрерывно отображены на всякое бикомпактное расширение ЪЕ пространства Е так, что все точки Е при этом остаются неподвижными. Доказательство. Для того чтобы не говорить все время о двух пространствах аЕ и а'Е, обозначим через Е любое из них. Для каждой точки х — {На} пространства Е полагаем а Докажем, что множество Рх (которое не пусто как пересечение центрированной системы замкнутых множеств [На]ьЕ бикомпакта ЪЕ) содержит не более одной точки. Для этого докажем сначала лемму. Лемма 1. Если у Z Рх и Оу — произвольная окрестность точки у в пространстве ЪЕ, то открытое в Е множество Оу П Е есть элемент конца х. Для доказательства леммы 1 заметим, что для любого На £ х имеем у £ \На]ЪЕ, значит, Оу П НаФ Л; пополняя конец х элементом Оу f| Е, мы, таким образом, не нарушаем центрированности системы множеств х, так как [Оу{\ Е)[]На=* (Оу П #«) П (Е П Hd) = Оу П Наф Ф Л. Не нарушаем мы и ее свойства полной регулярности, ибо имеет место очевидное предложение: если 7 9 I и Я' g X вполне регулярно включено вЯе!, то Н' П Y вполне регулярно включено в Н П У- Итак, присоединяя к х множество Оу [\ Е, получаем по-прежнему вполне регулярную центрированную систему, откуда вытекает, что Оу [\ Е уже содержалось в х. Лемма доказана. Пусть теперь Рх содержит по крайней мере две точки у и уь. Вйбйрая непересекающиеся Оу и Оу', имели бы в х
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 311 два непересекающихся элемента Оу f| Е и Оу' {] Е, чего не может быть. Единственную точку множества Рх обозначим через р (х) и докажем, что р есть отображение Е на все ЪЕ. Для этого рассмотрим произвольную точку у £ ЪЕ. Система Оу всех окрестностей точки у центрирована и вполне регулярна. Так как Е плотно в Е, то и система Е П Оу центрирована и (в силу сделанного при доказательстве леммы 1 замечания) вполне регулярна. Дополняем систему {Е f] П Оу) до какого-нибудь конца {Яа} = х. Имеем р (х) = П [На]ЬЕ с= [Оу П Я]ьв S [0»]ЬЯ = {»Ь а чем и доказано, что р отображает Е на ЪЕ. Так как при отображении р все точки Z? остаются неподвижными, то остается только доказать непрерывность этого отображения. Для этого возьмем какую-нибудь точку х = {Яа} пространства Е и пусть у = р (х) = = Q Ша]ъЕ- Берем произвольную окрестность Оу точки у а в ЪЕ и окрестность О'у такую, что Ю'у]ЬЕ ^ Оу. По лемме 1, O'yfl Е есть элемент конца х; обозначим этот элемент через Я. Тогда Он есть окрестность точки х; если х' £ Он, то Я £ х', значит, Р(х')£\Я)ье^10'у)ъе^Оу, чем непрерывность отображения р и вся теорема доказаны. Докажем теперь, что отображение р пространства о!Е на $Е взаимно однозначно. Возьмем в а!Е две различные точки х' = {Я'} и х" = {Я"}. Выбираем Я^х'иЯ^ ж" без общих точек. Вследствие полной регулярности системы {Я'} можно найти Н\ £ ж' так, чтобы множества [#j]js и Е \ Яо были функционально отделены. Поэтому множества ' [[Я;Щ зя и [Я\-Я;]РЕ и тем более [Щ]$Е и f#ol зе не пересекаются. Так как р (х) £ [Я^] РЕ и р (я") 6 £ I^olpE» то Р (#') Ф Р 00, чем взаимная однозначность отображения р доказана. 9. Канонические множества и совпадение пространств а -£ и р_Е7 для любого вполне регулярного J57. Сейчас мы ставим перед собой задачу доказать, что отображение
312 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ р'1 пространства $Е на а'Е, обратное отображению р, непрерывно. Отсюда будет вытекать, что отображение р есть топологическое отображение пространства а Е на $Е (оставляющее неподвижными все точки Е) и что, следовательно, бикомпактные расширения а'Е и $Е совпадают для всякого вполне регулярного Е. Доказательству этого основного факта мы должны предпослать краткие сведения о так называемых канонических (открытых и замкнутых) множествах. Пусть Е — какое-нибудь топологическое пространство. Открытое множество Н ^ Е называется каноническим, если оно является множеством всех внутренних точек некоторого замкнутого множества А, что мы записываем так: Н = Е (А). • Замкнутое множество А называется каноническим, если оно является замыканием некоторого открытого множества Н ^ Е, т. е. если А = [Н]Е. Если Н = Е (А), то, конечно, Н = Е (1Н]Е), т. е. под А в формуле Н = Е (А) мы всегда можем понимать каноническое замкнутое множество. Точно так же из А = = [Н]Е следует А = IE (А)]Е, т. е. под Н в А = [Н]Е мы всегда можем понимать каноническое открытое множество. Далее, если Я — Е (А), то Е\Н = [Е \ 1Н]Е]Е, точно так же из А — [Н]Е следует, что Е \ А = = Е (Е \ Е (А)). Другими словами: дополнения к каноническим (открытым, соответственно замкнутым) множествам суть канонические (замкнутые, соответственно открытые) множества. В каждом замкнутом А содержится наибольшее каноническое замкнутое сА = [Е (А)]Е ^ 3 Е (А). Аналогично, каждое открытое Н содержится в наименьшем каноническом открытом сН = Е (1Н]Е) с= [Н]Е. Отсюда сразу следует, что канонические открытые множества образуют (в силу регулярности Е) базу пространства Е. Пусть теперь М— всюду плотное Подмножество пространства Е. Легко видеть: если Н — каноническое открытое множество в Е, то М П Н — каноническое открытое множество в М. Обратно, пусть Г — каноническое открытое множество в М. Беря какое-нибудь открытое
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 313 в Е множество Я, дающее в пересечении с М множество Г, убеждаемся без труда, что М П сН = Г. Итак, каждое каноническое открытое множество в М есть пересечение с М некоторого канонического открытого множества пространства Е. Переходим к рассмотрению пространства а'Е. Пусть х = {Я} — какая-нибудь точка а'Е. Докажем, что каждое Я 6 # содержит некоторое каноническое Я0 £ х. В самом деле, возьмем Я' £ х такое, чтобы было [Н']Е ^ Я, и положим Я0 = сН'. Отсюда вытекает: для любого х (i Е и любого Я 6 х можно найти такое каноническое Я0 £ х, что О но ^ Он- Пусть снова х — {Я} — произвольная точка а'Я. Обозначим через Г всякое каноническое открытое множество в Р#, дающее в пересечении с Е какое-нибудь Я £ х. На основании только что сказанного такие множества Г несомненно существуют. Вернемся к нашему отображению р пространства а'Е на $Е и докажем: Лемма. Точка р (х) содержится во всяком множестве Г. Достаточно, очевидно, показать, что всякое Г содержит некоторое [Я] $Е. Итак, пусть дано некоторое Г. Полагаем Е П Г = Я0 6 х. Берем Нх, вполне регулярно включенное в Я0, и функцию /, равную нулю на [Н^Е и равную 1 на Е \ Я0 (функция / определена на Е). Распространяем функцию / на все пространство $Е> Распространенная функция (мы по-прежнему обозначаем ее через /) равна нулю на [Ях] $Е и равна 1 на IE \ Я0]рЕ. Но в силу каноничности Я0, плотности Е в $Е и равенства Е {] Г = Я0 мы имеем [Я\#0]рд = [Я\(ЯПГ)]Рв = = [Е\[Е[\Т\ЕЪЕ = = [рд\[гырд=рдчг. Итак, функция / равна 1 на $Е \ Г. Так как на [#J {т °на равна нулю, то [Нг] Р£ содержитсяв Г, чем наше утверждение и лемма доказаны.
314 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии Непрерывность обратного отображения р"1 доказывается теперь в двух словах. Пусть у0 £ $Е, х0 = р'ху0 £ 6 а'Е, значит, р (х0) = у0. Берем произвольную окрестность Он точки х0, Н 6 х0; без ограничения общности можем предположить, что Н канонично. Берем каноническое Г в $Е так, чтобы Г (] Е = Н. По лемме имеем у0 £ Г; значит, Г есть окрестность точки у0; и по лемме 1 из п. 8 для каждой точки у £ Г т. е. х £ 0Я, и т. д. 10. Случай нормальных пространств. Если Е нормально, то к максимальному бикомпактному расширению а'Е = $Е можно подойти еще с одной стороны, а именно, доказать его совпадение с так называемым волмэновским расширением соЕ. Пространство юЕ строится следующим образом. Под точками ыЕ понимаются максимальные центрированные системы замкнутых множеств пространства Е. Если х={А} — такая система (т. е. центрированная система замкнутых множеств A s Е, не являющаяся подсистемой какой- либо отличной от х центрированной системы замкнутых множеств Е), то элементы А этой системы называются координатами точки х. Если А — фиксированное замкнутое множество пространства Е, то мы обозначаем через ФА множество тех точек х 6 со/?, которые имеют данное А в числе своих координат. Множества типа ФА, а также всевозможные множества, являющиеся пересечениями множеств ФА, взятых в любом числе, определяются как замкнутые множества пространства ыЕ. Легко видеть, что пересечение любого числа и суммы конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Так как, кроме того, ФЕ = ыЕ и Фд (где Л — пустое множество) пусто, то ыЕ есть топологическое пространство. Пусть Н — открытое множество пространства Е. Обозначим через Гя множество coi? \ Фе\н- Оно, очевидно, открыто в coZ?. Из определения замкнутых множеств в со/? сразу следует, что всякое открытое множество в coi? есть сумма некоторого числа множеств типа Гн, т. ^. что множества этого типа образуют базу пространства со/?.
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 315 Заметим, что множество Гн по самому своему определению состоит из тех и только тех точек х= {А} £ со/?, всякая координата. А которых пересекается с Я (и, следовательно, хотя бы одна координата которых содержится 6 Я, так как если бы ни одно А £ х не содержалось в Я, то Е\Н пересекалось бы со всеми А £ х, что возможно лишь в случае £\Я^, т. е. х £ Фе\я). Пусть теперь # = {А} и х1 = {Л'} — две различные точки со/?. Можно найти А £ х п А' £ х' с пустым пересечением. В силу нормальности Z? существуют непересекающиеся окрестности Я и Я' соответственно А и А'. Множества Гя и Гн* образуют тогда непересекающиеся окрестности точек х и х1 в со#. Итак, при нормальном Е пространство ыЕ есть хаусдорфово пространство (можно было бы доказать, что условие нормальности Е, достаточное для того, чтобы со/? было хаусдорфовым, в то же время и необходимо). Пусть теперь дана произвольная центрированная система множеств типа ФА. Соответствующие А также образуют центрированную систему, так как ФА П Фа' = = Фапа' • Дополняя ее по произволу до какой-нибудь максимальной центрированной системы замкнутых множеств в Е, получим точку х £ со/?, содержащуюся во всех данных ФА. Итак, всякая центрированная система множеств типа ФА имеет непустое пересечение. Отсюда и из определения замкнутых множеств в юЕ сразу вытекает, что всякая центрированная система замкнутых множеств пространства (дЕ имеет непустое пересечение, т. е. что хаусдорфово пространство ыЕ является бикомпактом. Обратимся теперь к рассмотрению пространств аЕ и а'Е в предположении, что Е нормально. В этом предположении всякая регулярная система открытых множеств Е сама собою оказывается вполне регулярной, а значит, и всякий регулярный конец — вполне регулярным. Другими словами, для нормального Е пространства аЕ и а'Е совпадают. Докажем, что в этом случае ыЕ совпадает с аЕ = аЕ. Для достижения этой цели поставим в соответствие каждой точке х = {А} пространства ыЕ систему {ОА} всех открытых множеств, содержащих хотя бы одно А £ х. Система {ОА), очевидно, центрирована. В силу нормальности Е она регулярна. Пусть {О} есть какая-нибудь Центрированная регулярная система Ьткрьггых Множеств Е,
316 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ содержащая систему {ОЛ}. Докажем, что {0} = {ОА}. В самом деле, если О0— произвольный элемент из {0} и Ог £ {О}, [Ог]Е ^ 0О, то при любом выборе ОА имели бы, вследствие центрированности {0} и включения {0} ^ 3 {ОЛ}, неравенство Ох f) О Л =^= Л, значит, и подавно ОА П [OJs Ф Л, а так как Z? нормально, то и [OJs f] Ц i^A. Так как это верно при любом А £ х, то [OJ^ 6 6 {Л}, а потому О0 £ {ОА}. Итак, {ОЛ} есть регулярный конец, т. е. точка у пространства аЕ. Полагаем у = = {ОА} = q (х). Этим определено отображение q пространства coi? в аЕ. Отображение q есть отображение на все аЕ. В самом деле, если у = {Я} — какая-нибудь точка аЕ, то {[Я]^} — центрированная система замкнутых множеств. Дополняем ее до максимальной центрированной системы {А}. Получаем точку х = {А} £ со£\ Для этой точки имеем q (х) = {04} = {Я}, так как каждое Я есть некоторое О [НХ]Е, [Н^е д= Я, Ях £ I/. Так как {Я} есть регулярный конец, а {ОА} —- регулярная центрированная система открытых множеств, то {Я} = {ОА}, т. е. q (х) = i/. Докажем, что отображение взаимно однозначно. В самом деле, если х = {А} и х' = {А'} — две различные точки coZ?, то можно выбрать непересекающиеся А £ х, А' £ #', а в силу нормальности Z? и непересекающиеся ОА и CL4' так, что точки q (х) = {ОА} и q (xf) = {ОА'} различны. Докажем, наконец, непрерывность отображения q. Пусть {А} = х £ <о/? и у = q (х) = {ОА}. Берем произвольную окрестность Он точки у, где, очевидно, Я есть некоторое ОЛ. Этому Я соответствует открытое множество Гн s <дЕ, состоящее, как мы видели, из всех точек х £ со£\ по крайней мере одна из координат которых лежит в Я. Очевидно, х £ Гн. Для х = {А'} £ Гн берем А' <=, Н. Тогда Я есть некоторое 0>Г и g (я') = {04'} 6 Он, что и требовалось доказать. Отображение g как взаимно однозначное и непрерывное отображение бикомпакта ыЕ на хаусдорфово пространство аЕ = a'Z? есть отображение топологическое, очевидно, оставляющее неподвижными все точки Е. Тождественность пространств ыЕ и аЕ = a'Z? этим доказана.
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 317 Замечание. Только что приведенное доказательство топологической эквивалентности пространств соЕ и аЕ = а'Е не предполагает, что бикомпактность а!Е и тем более равенство о!Е = $Е были ранее доказаны. Наоборот, оно дает в случае нормальных пространств наиболее простое построение максимального бикомпактного расширения пространства Е: мы сначала строим бикомпактное расширение со/?, доказываем его тождественность с аЕ = а'Е, откуда в силу п. 8 следует, что аЕ = = afE = со/? есть максимальное бикомпактное расширение, единственность которого следует прямо из элементарной леммы п. 1. Отсюда уже вытекает, если угодно, и тождество между полученным пространством юЕ = аЕ = а'Е и чеховским |3Z?, если доказать непосредственно, как сделано выше, что $Е также обладает свойством максимальности. В общем случае любого вполне регулярного Е бикомпактность пространства а'Е без привлечения чеховской конструкции была доказана С. В. Фоминым в работе «Extensions of topological spaces» (Ann. Math., 1943, 44, с 471—481), которая несомненно и в других отношениях вызовет интерес читателя настоящей статьи. Построение пространства а'Е = $Е из пространства со/? в случае вполне регулярного, но не нормального Е читатель найдет в моей работе «О бикомпактных расширениях топологических пространств» (см. историко-библио- графическую справку в конце статьи). 11. Пространства счерюго локального веса. Мы заканчиваем следующей замечательной теоремой Чеха: Теорема 1. Пусть вполне регулярные пространства Е и Е' имеют в каждой точке счетный локальный вес. Если максимальные бикомпактные расширения пространств Е и Е' гомеоморфны между собой, то гомеоморфны и сами пространства Е и Е'. Таким образом, имеется возможность все топологические свойства пространств счетного локального веса (значит, в частности, топологические свойства любого метрического пространства) свести к топологическим свойствам бикомпактов а'Е = §Е, правда, весьма далеких от того, чтобы иметь во всех своих точках счетный локальный вес. Доказательству этой теоремы мы предпошлем некоторые вспомогательные рассмотрения.
318 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологий Прежде всего заметим: для того чтобы множество М расположенное в нормальном пространстве Е, было множеством нулей какой-нибудь непрерывной функции, необходимо и достаточно, чтобы М одновременно было замкнутым множеством и множеством типа &ь (т. е. пересечением счетного числа открытых множеств) пространства Е. Доказательство не представляет труда: если некоторая непрерывная на Е функция / (х) равна нулю в точках М и только в них, то М (как прообраз точки нуль числовой прямой) оо прежде всего замкнуто. Кроме того, М = f^ Мп, где Мп есть открытое множество, состоящее из всех точек, в которых | / (х) | <С —. Итак, М есть G$. Пусть, обратно, 00 М замкнуто и, кроме того, М = £] Нп, где Нп открыты. В силу нормальности Е существует функция /п, 0^ ^/п (#)^1> непрерывная в Е, равная нулю на М и 1 оо на Е \ Нп. Ряд 2 ~2nfn (х) сходится равномерно, и его сумма есть непрерывная функция / (х), равная нулю в точках М и только в них. После этого замечания, сделанного, если не ошибаюсь, впервые Н. Б. Веденисовым, докажем следующее общее предложение Чеха: Теорема 2. Пусть Е вполне регулярно. Всякое множество А ^ $Е \ Е, одновременно замкнутое и G6 в {$/?, имеет мощность, не меньшую мощности континуума. Воспроизводим доказательство этой теоремы, принадлежащее Э. Чеху. Пусть А ^ $Е\Е есть замкнутое 6?б. Из вышеприведенного построения, доказывающего замечание Н. Б. Веде- нисова, следует, что существует функция /, непрерывная на Е, удовлетворяющая везде на Е неравенству 0 ^ / (х)^ ^1 и имеющая множество А множеством своих нулей. Обозначим через Нп открытое в Е множество, состоящее из всех точек, в которых / (#)<—. Так как Е плотно в $Е, то Нп П Е Ф Л, и мы можем выбрать для каждого п = 1, 2, ... по точке ап £ Нп {] Е. Так как по опре-
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологий §ю делению / имеем / (ап) > 0, то можем предположить без ограничения общности, что / (ап+1) < / (ап). Нумеруем все рациональные числа интервала (0, 1) в последовательность: Г1у r2f Г3ч • • •» rni • • • и строим на интервале (0, 1) непрерывную функцию ф (t), принимающую в точках / {ап) соответственно значения гл, удовлетворяющую, кроме того, условию 0 < ф (t) < 1, а в остальном совершенно произвольную. После этого определяем на Е непрерывную функцию g(*) = Ф / (*)• Распространяем эту функцию на пространство $Е, продолжая обозначать ее через g. Докажем теперь, что, каково бы ни было число а, заключенное между 0 и 1, существует хотя бы одна точка а £ А, в которой g (а) = а. Этим теорема 2, очевидно, будет доказана. Итак, пусть дано а, 0 < а < 1. Берем последовательность г»4, ri2, ri3, . . ., rin, .. ., сходящуюся к а. Без ограничения общности предполагаем, что ix < i2 < *з < • • Обозначим через Мп множество, состоящее из точек at , at , ...Очевидно, Мп^Е, Мп zd Мп+1 для любого п, откуда следует, что замкнутые множества [Мп] $Е имеют по крайней мере одну общую точку а. В силу непрерывности функций / и g имеем, беря справа замыкания на числовой прямой, /«мпы<=[/(мп)ь g(WnhE)£{g(Mn)]; значит, f(a)ef\[f(Mn)], п g(a)tr\[g(Mn)]; П так как 0 < / (ап) <— и g (ап) — гп, то из определения множеств Мп следует, что / (а) = О, g (а) = а, т. е. что а £ А и g (а) = а, чем наше утверждение и теорема 2 доказаны. Из только что доказанной теоремы следует, что никакое конечное или счетное замкнутое множество, расположен-
320 №ш о ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ ное в $Е \ Е, в частности, никакая отдельная точка $Е \ Е, не может быть пересечением счетного числа открытых множеств. А отсюда, в свою очередь, вытекает, что ни в одной точке $Е \ Е вес пространства $Е не может быть счетным. Это свойство пространств Е само по себе представляется весьма замечательным. Предположим теперь, что Е имеет в каждой точке счетный локальный вес. Как мы видели, это свойство точки Е сохраняют и в $Е, а из только что показанного следует, что оно вполне характеризует точки Е в $Е{ для того чтобы точка $Е принадлежала к Е, необходимо и достаточно, чтобы она имела в $Е счетный локальный вес. Если Ех и Е2 — Два пространства счетного локального веса и если р/^ и $Е2 гомеоморфны, то всякое топологическое отображение пространства pZ?i на $Е2 необходимо отображает точки Ei на точки Ег, а точки $ЕХ \ Ех на точки р/?2 \ Е2, т. е. осуществляет вместе с тем и топологическое отображение пространства Ег на пространство Е2. Так как, с другой стороны, при гомеоморфных пространствах Ei и Е2 пространства Р^ и $Е2, очевидно, тоже гомеоморфны, то теорема 1 полностью доказана. Мне неизвестны примеры двух каких бы то ни было небикомпактных вполне регулярных, не гомеоморфных между собой пространств Ег и Е2Л имеющих гомеоморфные между собой р/?! и $Е2. Построение примера двух таких пространств, а также и всякое вообще обобщение теоремы 1 в смысле замены требования локального счетного веса менее стеснительным требованием представляются весьма интересными *). § 5. Топологические пространства как образы множеств, лежащих в пространствах Z>T 1. В 1926 г. я доказал, что всякий компакт (т. е. бикомпакт счетного веса, или, что то же самое, бикомпактное метризуемое пространство) является непрерывным образом канторова совершенного множества и что это свойство вполне характеризует компакты среди всех вообще хаус- дорфовых пространств (см., например, Хаусдорф, с. 175). Мы стремимся теперь освободиться от предположения о счетном весе пространства. Мы замечаем, прежде всего, что каиторово совершенное множество есть не что иное,
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 321 как топологическое произведение счетного множества пространств, каждое из которых состоит из двух изолированных точек. Поэтому естественно для любого кардинального числа т рассмотреть пространство, называемое нами пространством Dx и определяемое как топологическое произведение т пространств, каждое из которых представляет собой пару изолированных точек («простое двоеточие»). При т = к0 пространство Dx есть канторово совершенное множество. При любом т пространство Dx есть бикомпакт веса т. Замечание. Определение топологического пространства дано в этой статье с такой широтой, что «простое двоеточие» не является единственным топологическим пространством, состоящим из двух точек. В простом двоеточии открытыми множествами, очевидно, являются: все пространство, каждая из двух данных точек и пустое множество. Эти же множества являются и замкнутыми. Можно, однако, построить 7,0"пР°странство, состоящее из двух точек а и Ь, определяя в качестве открытых множеств: все пространство, одну из двух данных точек (положим, точку Ь) и пустое множество. Таким образом определенное пространство назовем «связным двоеточием» (оно, как нетрудно видеть, действительно есть связное Го-пространство). Никаких других Го-пространств, кроме простого и связного двоеточия, из двух точек построить нельзя. Топологическое произведение т пространств, каждое из которых есть связное двоеточие, есть бикомпактное Г0-пространство веса т, которое мы называем пространством Fx. Мы сейчас же вернемся к этому пространству. 2. Как показал впервые Э. Шпильрайн (Е. Szpilrajn), для любого кардинального числа т > к0 имеются бикомпакты веса т, не являющиеся непрерывным образом пространства Z)x. Простейший пример такого бикомпакта можно получить следующим образом. Возьмем произвольное множество Е мощности т. Среди элементов («точек») этого множества один, произвольно выбранный, обозначим через £. Открытым множеством назовем: а) всякое множество, не содержащее выделенную точку I; б) среди множеств, содержащих точку |,— всякое множество, содержащее все точки Е, кроме, быть может, конечного числа.
Ш 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАЙСТВА В ТОПОЛОГИЙ Очевидно, все точки Е, кроме точки £, изолированы; что же касается точки £, то она является единственной точкой полного накопления любого бесконечного множества, лежащего в Е. Этот бикомпакт назовем 1Х; он был еще давно рассмотрен П. С. Урысоном и мною в нашем общем Мемуаре, с. 30. Чтобы понять, что бикомпакт 1Х не является непрерывным образом Dx, рассмотрим вместе с Шпильрайном следующее свойство, которое назовем «отрицательной аксиомой счетности». «В пространстве не существует никакой несчетной системы попарно не пересекающихся открытых множеств». Относительно этого свойства Шпильрайн доказывает интересные теоремы: A. Топологическое произведение любого множества пространств, удовлетворяющих отрицательной аксиоме счетности, удовлетворяет этой аксиоме. B. Непрерывный образ пространства, удовлетворяющего отрицательной аксиоме счетности, удовлетворяет этой аксиоме. На доказательстве этих теорем (не представляющем, впрочем, особых трудностей) мы здесь останавливаться не будем. Из этих теорем Шпильрайна сразу следует, что всякий бикомпакт, являющийся непрерывным образом Dx при каком бы то ни было т, удовлетворяет отрицательной аксиоме счетности. Так как бикомпакт 1Х при т > н0 этой аксиоме, очевидно, не удовлетворяет, то 1Х не является непрерывным образом пространства Dx. Замечание. Бикомпакты, являющиеся образами какого-либо из пространств Dx, называются диадическими. Исследование диадических бикомпактов представляется одной из интереснейших задач в теории бикомпактных пространств. В этом направлении имеются интересные работы Н. А. Шанина, которые, однако, все же решают далеко не все вопросы, которые здесь естественно возникают. 3. В этом параграфе мы докажем следующие теоремы: Теорема 1. Всякое Т ^-пространство веса ^т есть взаимно однозначный и в одну сторону непрерывный образ некоторого множества, лежащего в пространстве Dx. Теорема 2. Всякое Т ^-пространство веса ^т гомео- морфно некоторому множеству, лежащему в пространстве Fx. Обратно, всякое множество, лежащее в пространстве Fx, есть Т^-пространство веса ^т.
22< О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ 323 Теорема 3. Всякий бикомпакт веса ^х есть непре- ръьвный образ некоторого замкнутого множества пространства Dx. Прежде чем приступать к доказательству этих теорем, условимся обозначать точки тех двоеточий, произведением которых являются пространства Dx и Fx, через 0 и 1. В случае простых двоеточий каждая из точек0и1является своею собственной окрестностью. В случае связного двоеточия условимся считать, что точка 0 является своею окрестностью, тогда как единственной окрестностью точки 1 является все пространство, т. е. совокупность обеих точек 0 и 1. В соответствии с этим точки Dx и Fx суть теперь системы | = {ха}, где а пробегает множество значений мощности т, а каждая «координата» ха есть О или 1. Базу 2,Dx пространства Dx получим, если возь- мем все множества //а...а» построенные так: если аг . . . <xs — фиксированные индексы, a ix . . . is— фиксированная комбинация, состоящая из нулей и единиц, то #а ...а состоит из всех точек I = {ха}, для которых ха = il7 . . ., xas = is. Элемент базы На '.А называем элементом первого рода, если ix — i2 = . . . = = is = 0. Элемент #а...а называем элементом второго рода, если ix = i2 = . . . = is'= 1. Очевидно, всякий элемент базы 2дт является пересечением некоторого элемента первого и некоторого элемента второго рода. Оставляя в 2D#r лишь одни элементы первого рода, получим, очевидно, базу 2Fx пространства Fx. Из этого простого замечания следует, что Fx есть взаимно однозначный и в одну сторону непрерывный образ пространства Dx. Поэтому теорема 1 является непосредственным следствием теоремы 2. Переходим к доказательству этой последней. Пусть дано Го-пространство Е веса ^т. Берем базу 2 пространства Е, состоящую из открытых множеств Га. Так как пространство Е имеет вес ^т, то мы всегда можем предположить, что индексы а при элементах Га базы 2 пробегают множество мощности в точности т; так как если бы мощность базы 2 была меньше т, то мы могли бы ее дополнить до мощности х, присоединив к ней снабженные различными индексами множества Га, каждое из кото-
324 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ рых совпадает со всем пространством Е. Этого предположения мы и будем держаться при наших дальнейших рассуждениях. Строим теперь топологическое отображение пространства Е в Fx следующим образом. Пусть р — произвольная точка Е. Для каждого а полагаем ха (р) = О, если р £ Га, и ха (Р) =? 1» если х 6 Е \ Га. Положим/ (р) = {ха (р)} £■ £ Fx. Этим установлено однозначное отображение / пространства Е на некоторое множество Е' ^ Fx. Докажем, что отображение / взаимно однозначно. В самом деле, если р и р' — две различные точки Е, то (так как Е есть Г0-пространство) по крайней мере одна из двух точек р, р' имеет окрестность, не содержащую другую. Пусть, например, р £ Га, р' £ Е \ Га, тогда ха (р) = О, ха (р') = = 1 и точки / (р), '/ (р') различны. Отображение / непрерывно. В самом деле, пусть /(р)=е={*«(р)>е^т. и На\У..<х8 — какая-либо окрестность точки g в пространстве ^т. Тогда для всех точек р' £ Га1р| ... f) Г«5 имеем ^(р')=о, ...,*алр')=о, т. е. /(p')^!;::fa, Обратное отображение f'1 множества Е' ^ Fx п& Е непрерывно, так как, какова бы ни была окрестность Га точки р £ Е, мы в £ = {ха} = f (р) имеем ха = О и для окрестности На точки !• получим /~х#а = Га. Теорема 2, а значит, и теорема 1 доказаны. Заметим, и« это нам понадобится при доказательстве теоремы 3, что множество Е' ^ Dx, взаимно однозначным и непрерывным образом которого является пространство Е, получается так: берем какую-либо точку | = {ха} £ Dx. Если ха = 0, полагаем Аа (£) = Га; если #а = 1, полагаем Аа (£) = Е\Га. Из того, что £ удовлетворяет аксиоме Т0, сразу следует, что пересечение всех множеств A a (£) содержит не более одной точки. Множество Е' <=. Dx состоит из тех точек £ = {ха}, для которых пересечение множеств Аа (|) непусто, т. е. содержит единственную точку р = /-1 (|). Заметим, что если Е есть хаусдорфово пространство, то для всяких двух точек р, р' пространства Е можно найти окрестность Га точки р так, что р' 6 6 Е \ [Га]Е, откуда следует, что в хаусдорфовом Е пере-
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 325 сечение всех множеств [Аа (£)]# также содержит не более одной точки. Применим это замечание к доказательству теоремы 3. Достаточно доказать, что отображение f"1 множества Е' на пространство Е в случае, когда Е — бикомпакт, может быть распространено (естественно, с потерей взаимной однозначности) на множество [E']D . Пусть % = {ха}£[Е*)в . Определяем Ла(|), как только что. Докажем, что f] [Аа(%)]ЕФ А. Так как Е биком- а пактно, то достаточно показать, что для любых а1э ..., as, данных в конечном числе, имеем [Aai (1)]Е П ... П [Аа* (Ъ)]еФ Ф А. Пусть %' = {х'а} есть произвольная точка Е', лежащая в окрестности #aY.7.a8 точки £ (очевидно, 1{ = Хао ... ..., *в = яав). Тогда А», (Г) = 4».®. ..•,A0Ls(V) = Aa$(t) и Г1(1')6^«,(5)П...ПЛ».(|), так что последнее пересечение оказывается непустым. После этого полагаем для любой точки £ = {ха} 6 a Так как f^ [Аа (£)]Е состоит не более чем из одной точки a и в то же время непусто, то ф есть однозначное отображение [Е']г> на Е, совпадающее в точках Е' с отображением Z*1. Остается доказать, что <р непрерывно в любой точке &, = {«&>€№'ЬХ. Пусть ф(£0) = />€#. Так как £, будучи бикомпактом, есть регулярное пространство, то достаточно показать, что при 'любом выборе окрестности Га точки р имеем ф (#*а) е [Га]Е. Так как Га $ Р =[\ Ua (ЕоЛя» то Га пересекается a • c^a (£) и, значит (так как^4а(|0) есть или Га, или/? \ Га) + pt == ^а (bo)»
326 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии Отсюда следует, что х°а = 0. Поэтому для любой точки I = {^аЬ лежащей в окрестности Н% точки £0, имеем ха = *°а = 0, значит, Аа (I) = Га и ф (£) с [Ла (g)]B = = [Га]£, что и требовалось доказать. 4. В связи с доказанными в этом параграфе теоремами обратим внимание читателя на следующий, еще не решенный вопрос. Существует ли такое замкнутое множество пространства Z)T, что всякий бикомпакт веса т является непрерывным образом этого замкнутого множества 2)? Из теоремы 3 следует, что в случае отрицательного решения этого вопроса для каждого замкнутого множества А ^ Dx можно будет найти такое замкнутое А'^ Dz, которое не будет непрерывным образом множества А. § 6. Бикомпакты как пределы конечных дискретных пространств 1. Спектры и их предельные пространства. Возьмем единичный квадрат, который будем рассматривать как топологическое произведение двух единичных отрезков Хг = [0 < хг < 1] и Х2 = [0 < х2 < 1]. Если на сег- м нте Х2 определена непрерывная функция хг = я (х2) со значениями, принадлежащими Хг, то график этой функции есть множество всех точек квадрата X, удовлетворяющих условию хг = п (х2). А' алогичи . если дан куб X как произведение трех отрезков: Хг = [0 ^ хх ^ 1], Х2 = = [0 ^ х2 ^ 1] и Х3 = [0 ^ х3 ^ 1], и две непрерывные функции: непрерывное отображение п\ отрезка Х2 на Хг и непрерывное отображение п\ отрезка Х3 на Х2, то можно рассматривать в кубе X множество всех точек (х^ х2, х3), удовлетворяющих совокупности двух условий: Далеко идущим обобщением этих простых замечаний является следующее построение. Рассмотрим некоторое частично упорядоченное множество 0, элементы которого мы будем называть «индексами» и обозначать через а, |5, у и т. д. Предположим, что частично упорядоченное множество в удовлетворяет следующему условию: Условие направленности. Каковы бы ни били элементы а £ в, Р 6 в, в в существуют
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 327 элементы у, следующие как за а, так и за р: у > а, у > р. Пусть теперь каждому индексу а 6 в соответствует топологическое пространство Ха и пусть для любых двух индексов a, р, из которых один, положим р, следует о за другим, определенно непрерывное отображение л£ пространства 1р на Ха. Мы предполагаем, кроме того, что выполнено следующее условие транзитивности: для любых у ;> р > а имеем Тогда в топологическом произведении X пространств Ха определено множество Q, состоящее из всех точек £ = = {ха} £ X, для которых при любых Р > а имеем Множество Q, рассматриваемое с его естественной топологией, определенной объемлющим пространством X, есть топологическое пространство, и оно называется полным предельным пространством спектра {Ха, л»}. При этом спектром называется сама частично упорядоченная система пространств Ха с заданными в ней проекциями я£. Так как топологическое произведение Т0-, 7\-, Т2-, ^-пространств есть соответственно Т0-, 7\-, TV* Гз-пространство и каждая из этих аксиом отделимости сохраняется при переходе от данного пространства к какому-либо лежащему в нем множеству, то предельное пространство спектра, состоящего из Ггпространств, £^С ^ 3, есть ^-пространство. Пользуясь теоремами Тихонова, можно было бы распространить это утверждение и на i = 4. Далее, весьма легко доказывается, что в случае, когда все Ха суть хаусдорфовы пространства, множество Q замкнуто в топологическом произведении X. Отсюда следует, что предел спектра, состоящего из бикомпактов Ха, всегда есть бикомпакт. Однако гораздо деликатнее доказательство того, что предельное пространство спектра, состоящего из непустых бикомпактов Ха, есть непустой бикомпакт. Этими предложениями, при всем их интересе, мы в дальнейшем пользоваться не будем,
328 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ поэтому не будем их и доказывать. Ограничимся одним замечанием и несколькими примерами. Замечание. В этом замечании мы повторим определения полного предельного пространства спектра, не ссылаясь на понятие топологического произведения. Если дан спектр, т. е. неограниченная частично упорядоченная система топологических пространств Ха с проекциями л£, определенными для любой пары (J > а и удовлетворяющими условию транзитивности, то полное предельное пространство Q = lim (Ха, я£) имеет своими точками такие системы: £ = {#<%}» ха£Ха, для которых при р>а всегда ха = п%х$. Зададим конечное множество индексов а4, а2, ..., as, возьмем в Ха1, ..., Xas произвольные открытые множества /iai, ..., tias и рассмотрим множество (быть может, пустое) состоящее из тех точек £• = {ха} £ Q, которые удовлетворяют условиям Непустые среди множеств Он Нп образуют по опре- ai • • • as делению базу пространства Q. Чтобы с самого начала не получать пустых множеств, обычно определяют не элементы базы QH н , а окрестности любой точки £ = al••• as = {ха} £ Q; для получения произвольной окрестности точки £ = {#<х} фиксируют конечное число ее координат ха , . . ., ха и выбирают по окрестности На. каждой из точек xai, i = 1, 2, . . ., s. Беря все £ = {ха} £ Q, у которых xai 6 #ai, . . ., хЛа£ На&, получим окрест- ность Он н (|) точки | *). Из условия направленности, *) Можно, конечно, ограничиться такими Яа, которые принадлежат к заранее фиксированным базам соответствующих пространств Ха.
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 329 которому удовлетворяет наше частично упорядоченное множество индексов, легко следует, что для получения базы пространства Q (системы окрестностей) достаточно ограничиться одноиндексными элементами На (полученными фиксацией лишь одного какого-нибудь индекса а). Это замечание пригодится нам в дальнейшем. Примеры. 1. Пусть а = 1, 2, 3, . . ., п, . . . Пространство Хп состоит из 2П изолированных точек, каждая из которых есть комбинация (*i • •" • *п). где все ik равны 0 или 1. Проекции определяем так: <+1 (к - • • iJn+i) = (h • • • допредельное пространство есть канторово совершенное множество. 2. Пусть а = 1, 2, 3, . . ., п, . . . Пространство Ха есть окружность | z | = 1 на плоскости комплексного переменного z. Считая фиксированной последовательность целых чисел та ^ 2, ти т2, . . ., та, . . ., определяем для каждого а проекцию как отображение Xa+i на Ха, заданное формулой Предельное пространство есть наиболее общий соленоид — одномерный континуум в трехмерном пространстве, являющийся пересечением последовательно вложенных друг в друга кольцевидных тел (гомеоморфных обыкновенному тору) Са, из которых Са+1, находясь внутри Са, обегает его та раз вокруг (вдоль его «оси»). В дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай, когда все Ха, составляющие данный спектр, суть Го-пространства, состоящие из конечного числа точек. Поэтому мы должны, во-первых, несколько ближе ознакомиться с такими пространствами, а во-вторых, доказать несколько вспомогательных предложений, касающихся неограниченных частично упорядоченных систем конечных множеств. 2. Под дискретными пространствами мы понимаем Го-пространства, в которых пересечение любого (а не только
330 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии конечного) числа открытых множеств открыто (или, что то же самое, сумма любого числа замкнутых множеств замкнута). Дискретные пространства среди всех Го-пространств характеризуются, как легко видеть, еще и тем свойством, что в них замыкание суммы любого числа множеств равно сумме замыканий этих множеств. Это последнее свойство сводит замыкание любого множества к замыканию одноточечных множеств. Поэтому ясно, что дискретные 7\-пространства (ввиду того, что в них все одноточечные множества замкнуты) тривиальным образом состоят из одних лишь изолированных точек. Важно отметить, что в дискретных пространствах каждое множество, в частности, каждая точка имеет одну определенную наименьшую окрестность — пересечение всех открытых множеств, содержащих данное множество или данную точку. Всякое дискретное пространство Е естественно превращается в частично упорядоченное множество, если для двух данных точек х и у пространства Е положить у < х тогда и только тогда, когда у входит в замыкание множества, состоящего из точки х (или, что то же, когда х входит в наименьшую окрестность точки у). Обратно, всякое частично упорядоченное множество делается дискретным пространством, если объявить открытым всякое множество, которое, содержа данный элемент х, содержит и все элементы х', удовлетворяющие условию х > х. Поэтому понятие дискретного пространства по существу эквивалентно понятию частично упорядоченного множества и представляет интерес, главным образом, с точки зрения логической систематики — как естественный способ подчинения понятия частично упорядоченного множества общему понятию топологического пространства. Однако если в одних случаях оказывается естественным пользоваться языком частично упорядоченных множеств, то в других (особенно, когда речь идет о конечных множествах) язык топологических пространств оказывает большие услуги, позволяя переносить на дискретные пространства рассуждения и наглядные образы, давно выработавшиеся в комбинаторной топологии комплексов. Замечание 1. Непрерывные отображения дискретных пространств на языке частично упорядоченных множеств суть отображения, сохраняющие порядок (т. е. из х' ^ х^ следует / (#') < / (х'))> В частности, два частично
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 331 упорядоченных множества называются изоморфными или подобными между собой, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок, т. е. если они, рассматриваемые как дискретные пространства, между собой гомеоморфны. При всей его очевидности, очень важным оказывается следующее Замечание 2- Ко всякому частично упорядоченному множеству Е существует двойственное ему частично упорядоченное множество Z?*, состоящее из тех же элементов, но с обращенным отношением порядка: х' < х" в Е означает х" < х' в Е*. На топологическом языке это означает, что открытые множества в Е* суть замкнутые в Е и обратно. Если дано непрерывное отображение л£ дискретного пространства £р в дискретное пространство Еа, то я» будет также непрерывным отображением пространства El в Е&. Замечание 3. Все рассматриваемые в этом параграфе частично упорядоченные множества (дискретные пространства) предполагаются непустыми. 3. Типичные примеры частично упорядоченных множеств (дискретных пространств). Пусть дана какая-нибудь система множеств 2 = {А}. Все множества, являющиеся элементами системы 2, мы можем рассматривать как подмножества одного итого же множества М: за М можно, например, взять просто сумму всех множеств А £ 2. Система 2 естественным образом является частично упорядоченной: полагаем Аа < А р, если Аа с= А р. Теперь мы можем сказать, что всякое частично упорядоченное множество подобно некоторой системе множеств. В самом деле, пусть дано частично упорядоченное множество 9. Для каждого элемента а £ в определяем А = = А (а) как множество всех элементов а' £ в, удовлетворяющих условию а < а. Очевидно, система 2 определенных таким образом множестве (а) подобна частично упорядоченному множеству 0,
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ В качестве примера рассмотрим в я-мерном евклидовом пространстве Rn совокупность п + 1 точек а0, ..., ап, а* = (а*, ..., a\)£Rn, не лежащих ни в каком пространстве числа измерений <С /г. Тогда для каждой точки х — (хх, . . ., хп) нашего ^-мерного пространства однозначно определяются ее п + 1 барицентрических координат М'О» Mi> • • •» Щ в системе а0, . . ., ап условиями \i0+ ... +(in = lf я* = fi0a? + |Aifli + •■ • +Vnau i = l, 2, ..., я (каждая точка х есть центр тяжести единственной нормированной условием [А0 + • • • + \in = 1 системы масс Цо> • • •> И™» расположенных соответственно в точках а0, . . ., ап). Множество точек, все барицентрические координаты которых в системе а0, . . ., ап положительны, образует гс-мерный симплекс с вершинами а0, . . ., ап или, короче, симплекс (а0 . . . ап). Любые г + 1, г = 0, . . . . .., я, среди вершин а0, . . ., ап определяют г-мерное подпространство пространства Rn и в нем г-мерный симплекс. Эти r-мерные симплексы (а*° . . . air) называются r-мерными гранями симплекса (а0 . . . ап). Очевидно, д-мер- ~г+\ (и+1) и (п — 1) . . . (п — г) ныи симплекс имеет Сп+\ = —!—-т-к -,—г-тг г-мер- ^ 1-2 ... (г+1) г ных граней. Грань (а° . . . агг) состоит из всех точек, для которых fij0, (uti1, . . ., \iir положительны, а остальные барицентрические координаты равны нулю. В частности, нульмерные грани симплекса суть его вершины, а сам я-мерный симплекс является своей единственной /г-мерной гранью, называемой «несобственной гранью». Пусть теперь в Rn дано конечное множество К симплексов (разного числа измерений), удовлетворяющее единственному условию, что всякий симплекс, являющийся гранью какого-либо элемента множества К, сам есть элемент множества К. В этих предположениях множество К называется симплициальным комплексом. Симплициаль- ный комплекс называется евклидовым, если никакие два из входящих в него симплексов не имеют общих точек. Всякий симплициальный комплекс естественным образом
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ 333 частично упорядочен: пусть tx, t2 — два различных симплекса К; мы полагаем tx < t2, если t± является собственной гранью симплекса t2. Пусть теперь а1? а2, . . ., as — множество всех вершин комплекса К (т. е. множество всех точек, являющихся вершиной хотя бы одного симплекса из К, или, что то же самое, множество всех нульмерных симплексов этого комплекса). Пусть дано множество каких-нибудь элементов Ьг, Ъ2, . . ., bs, находящихся во взаимно однозначном соответствии с аг, а2, . . ., as. Всякое подмножество {bio, . . ., Ъ\г) нашего множества Ьг, Ь2, . . ., bs назовем остовом, если соответствующие вершины ai0, . . . . . ., a,ir образуют совокупность всех вершин некоторого симплекса t = (aio, . . ., air) комплекса К. Очевидно, всякое непустое подмножество остова есть остов. Множество всех остовов, как частично упорядоченная естественным образом система множеств, очевидно, изоморфно комплексу К и называется абстрактным симплициальным комплексом, изоморфным данному симплициальному комплексу К. Вообще, абстрактным симплициальным комплексом называется всякая (естественным образом частично упорядоченная) конечная система множеств, называемых остовами, удовлетворяющая единственному условию, что всякое непустое подмножество остова есть остов. Числом измерений остова называется уменьшенное на 1 число его элементов, нульмерные остовы называются вершинами. Наибольшее число, являющееся числом измерений какого-либо остова данного комплекса, называется числом измерений или размерностью комплекса. Всякий абстрактный симплициальный комплекс изоморфен некоторому евклидову комплексу. В самом деле, пусть число вершин данного абстрактного симплициального комплекса К равно s. Возьмем (я— ^-мерный симплекс Т = (а± . . . as) и поставим его вершины а>х, . . ., а8 во взаимно однозначное соответствие с вершинами Ьг, . . ., bs комплекса К. Рассмотрим евклидов комплекс К', состоящий из всех тех граней (аг0 . . . агг) симплекса Т, которым соответствуют остовы (Ь*о . . . bir) комплекса К. Комплекс К', очевидно, изоморфен комплексу К, что и требовалось доказать. Немного более сложными рассуждениями можно было бы доказать, что евклидов комплекс, изоморфный данному
534 22. 6 ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ /г-мерному симплициальному комплексу К, можно было бы построить в (2п + 1)-мерном евклидовом пространстве. Всякое конечное частично упорядоченное множество, будучи изоморфным некоторой конечной системе конечных множеств, этим самым изоморфно подмножеству множества всех остовов некоторого абстрактного симплициаль- ного комплекса, а значит, и подмножеству некоторого евклидова комплекса. Приведем несколько важных примеров симплициаль- ных комплексов. Рассмотрим, при данном га>1, множество Гп, состоящее из п + 1 каких-нибудь элементов («вершин») а0, ах, . . ., ап. Комплекс, остовами которого являются множество Тп и все его непустые подмножества, называется элементарным n-мерным комплексом. Он, очевидно, изоморфен евклидову комплексу, состоящему из данного я-мерного симплекса и всех его граней. Если в том же множестве Тп объявим остовами все непустые подмножества, состоящие не более чем из п вершин, то получим симплициальный комплекс, изоморфный евклидову комплексу, элементами которого являются все собственные грани ^-мерного симплекса (т. е. все грани, отличные от самого этого симплекса). Полученный комплекс называется элементарной (п — \)-мерной сферой. Название объясняется тем, что граница гс-мерного симплекса, т. е. теоретико-множественная сумма всех его собственных граней, гомеоморфна (п — 1)-мерной сфере — множеству всех точек (хх, . . ., хп) га-мерного евклидова пространства, удовлетворяющих уравнению х\ + ... + х2п = 1. Вспомним теперь, что частным случаем частично упорядоченных множеств являются просто упорядоченные множества, в которых для любых двух различных элементов а, Ъ имеет место одно из двух отношений: либо а< 6, либо Ъ < а (причем эти два отношения, конечно, исключают друг друга и удовлетворяют условию транзитивности: из а <. Ь, Ъ < с следует а < с). Пусть теперь дано частично упорядоченное множество в. В числе подмножеств множества 6 несомненно имеются упорядоченные: таковы, например, все подмножества, состоящие лишь из одного элемента, все пары вида а < Ь и т. д. Рассмотрим частично упорядоченную систему
22. О ПОНЯТИЙ ПРбСТРАНСФВА В ^ТОПОЛОГИЙ 335 всех (непустых) упорядоченных подмножеств данного частично упорядоченного множества. Эта система называется барицентрической производной частично упорядоченного множества 0 и обозначается через 0Х. В единственно важном для нас случае, когда в есть конечное частично упорядоченное множество, барицентрическая производная 0Х изоморфна симплициальному комплексу: вершинами комплекса 0Х являются элементы At '.^частично упорядоченного множества в; вершины Аг0у\- • •> Air образуют остов, если подмножество А{о, . . . . .- .■'! Air множества в упорядочено в 0 (т. е. для любых двух его элементов A\h и А\ имеем в в либо А г < А\ , либо Aik < ^гл). Наша терминология основана на следующем. Как мы знаем, всякое конечное частично упорядоченное множество изоморфно некоторому множеству симплексов некоторого евклидова комплекса с естественным отношением порядка в нем (Tt < Tj, если Tt есть грань симплекса Tj). Таким образом, мы можем предполагать, что элементами частично упорядоченного множества 6 являются некоторые симплексы какого-то евклидова комплекса К. За вершины комплекса 0 мы примем не сами симплексы Аи являющиеся элементами 0, а однозначно соответствующие им их центры тяжести at. Тогда каждый симплекс (at . . . at ) £ 0 (где at есть центр тяжести А% и, положим, Ль >. . .>At) есть сим- в плекс, геометрически ле- / \Ч жащий на симплексе At / \ N. и имеющий своими верши- /^Л ^^\ нами центры тяжести сим- / ^^Т\. N. плексов Aio, . . ., Air. Ба- /^^ \ ^"^\^N рицентрическая производ- А ^- * --^£* ная евклидова комплекса, состоящего из треугольника ABC, его трех сторон и трех вершин, изображена на прилагаемом чертеже. Вообще, если 0 есть симпли- циальный комплекс, то симплексы комплекса 01? лежащие на данном симплексе Т 6 в, заполняют весь этот симплекс и образуют его подразделение (поэтому барицентрическая производная симплициального комплекса называется его барицентрическим подразделением).
336 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ Для нас, однако, важно, что барицентрическая производная данного частично упорядоченного множества определяется в чисто логических терминах, независимо от какой бы то ни было геометрической иллюстрации. Тем не менее, мы будем пользоваться геометрической терминологией: если At > . . . > i4f в 0, то мы будем говорить, что элемент (Aio . . . At ) барицентрической производной 0Х частично упорядоченного множества в лежит на элементе Aio множества 0 или что элемент Aio £ 0 является носителем элемента (At . . . At ) барицентрической производной 01# Будем теперь трактовать и частично упорядоченное множество 0 и его барицентрическую производную 0Х как дискретные пространства. Тогда, ставя в соответствие каждому элементу (Aio > . . . . . . >At ) пространства 0Х его носитель At £0, получим, очевидно, непрерывное отображение пространства 0Х на пространство 0. Это отображение будем называть естественной проекцией пространства 0Х на 0. 4. Элементарный п -мерный спектр. Топологическое построение n-мерного замкнутого симплекса, п-мерной сферы и n-мерного евклидова пространства. Рассмотрим последовательность абстрактных симплициальных комплексов (1) К0, К-±, К2, . . ., KVi . . ., где К0 есть элементарный д-мерный комплекс, Кг есть барицентрическая производная К0 и вообще Kv+1 есть барицентрическая производная комплекса /jTv. Естественные проекции jtv+1 каждого из комплексов Kv+1, v = = 0, 1, 2, . . ., в предшествующий комплекс Kv порождают проекции nl+h по формуле nv ~nv - • • nv+h-2nv+h-l- Последовательность комплексов (1) вместе с проекциями Jiv+h образует спектр, называемый элементарным п-мер- ным спектром. Этот спектр определяет согласно п. 1 настоящего параграфа некоторое полное предельное Го-пространство Q, точками которого являются проекционные последовательности (2) | = (t0, £1? t2, . . ., tx, . . .),
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 337 где tv 6 ^v| и *v = ^v+1^v+i» Окрестности каждой! точки I = (^о» h-> ^2» • • •» *vi • • •) получим, взявши какое-нибудь v и совокупность всех точек |' = (f0, t[, t'2, ... . . ., t'v, . . .)> Для которых t'v > *v Однако нас интересует сейчас не все полное предельное пространство Q спектра (1), а некоторое лежащее в нем множество Q0, называемое нижним пределом спектра (1) и состоящее из всех так называемых минимальных проекционных последовательностей. При этом проекционная последовательность (2) называется минимальной, если не существует никакой другой проекционной последовательности (2') £' = (*;, *;,*;, ...,*;,...) такой, что для любого v имеем t'v ^ £v. Еще раз подчеркиваем, что понятие элементарного спектра и его нижнего предела формулируется в чисто логических терминах, без привлечения каких-либо геометрических понятий. В этом и заключается интерес нижеследующего предложения: Теорема 1. Нижний предел элементарного п-мер- ного спектра есть топологическое пространство, гомео- морфное n-мерному замкнутому симплексу. (Под /г-мерным замкнутым симплексом понимается замыкание тг-мерного симплекса в м-мерном евклидовом пространстве, т. е. теоретико-множественная сумма w-мерного симплекса и всех его граней.) Доказательство очень просто и требует привлечения, наряду с данным элементарным спектром (1), евклидовых комплексов где К'0 есть комплекс, состоящий из данного и-мерного симплекса Тп и всех его граней, a K^+i при любом v представляет собой барицентрическое подразделение евклидова комплекса К^. Для каждой точки х замкнутого симплекса Тп = [Tn]Rn в каждом комплексе К% существует единственный симплекс £j, содержащий точку х («носитель» точки х в К'у), причем V V где l'v = %]Rn.
338 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ Для того чтобы последовательность симплексов (о ) t0% ti, ..., 2V» • • • » t\ € **v, была последовательностью носителей некоторой точки х £ Тп, необходимо и достаточно, чтобы она имела непустое пересечение, а для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: (а) Каково бы ни было v, существует такое v' > v, что в последовательности (3') имеем t'v cr t'v. С другой стороны, если условие (а) выполнено и для какого-нибудь v мы берем какую-нибудь собственную грань ££ симплекса t'v, то у симплекса t'v> и у всех дальнейших уже нет никакой грани, лежащей на fv. Другими словами, последовательность (3') в этом случае является минимальной. Если же для проекционной последовательности (3') условие (а) не выполнено и для некоторого определенного v0 всякое t'v>, v' > v0, имеет некоторую свою грань на собственной грани симплекса tv0, то, в частности, *v0+i имеет грань ^0+i» лежащую на собственной грани fv0 < tv0\ симплекс К0+2 имеет грань £v0+i, лежащую на ^v0+2» и т- Дм другими словами, мы получаем проекционную последовательность {tv0}, в которой С0 = = t'0, . . ., *;o-i = fve-b *v0 < К0 и для всех V fv ^ t'v. Итак, если условие (а) не выполнено, то проекционная последовательность не является минимальной. Из сказанного следует: каждой точке х £ Тп соответствует единственная минимальная проекционная последовательность, состоящая из симплексов, содержащих х; обратно, каждая минимальная проекционная последовательность является последовательностью носителей одной-единственной точки х 6 Тп. Этим установлено взаимно однозначное соответствие между точками Тп и точками нижнего предела Q0 спектра (1). Так как при этом соответствии окрестностям в Q0 соответствуют окрестности в Тп, составляющие базу пространства Гп, то установленное взаимно однозначное соответствие является топологическим, что и требовалось доказать. < Так как я-мерная сфера гомеоморфна границе (п + 1)- мерного симплекса, то совершенно аналогичными рассуж-
йъ. 6 Понятий ПРОСТРАНСТВА в топологий Ш дениями приходим к доказательству следующего предложения: Теорема 2. Рассмотрим n-мерный сферический спектр, т. е. последовательность абстрактных симпли- циальных комплексов из которых К0 есть элементарный n-мерный сферический комплекс и при всяком v комплекс Кх+1 есть барицентрическая производная комплекса Kv. Определяем Ttv как естественную проекцию комплекса Kv+1 на Kv. Нижний предел полученного таким образом спектра гомеоморфен n-мерной сфере. После того как определена и-мерная сфера, мы определяем топологическое n-мерное евклидово пространство как пространство, полученное удалением из я-мерной сферы одной какой-нибудь ее точки. Таким образом, решается задача топологического определения я-мерного замкнутого симплекса, а также n-мерных сферического и евклидова пространств без предварительного введения действительных чисел. Впервые эта задача была мною решена в 1925 г. в работе «Zur Begriin- dung der тг-dimensionalen mengentheoretischen Topologie». Даваемое мною в этих строках решение этой задачи гораздо проще и прозрачнее, чем первое её решение, хотя и основано на той же идее. По поводу самой этой задачи следует, однако, заметить, что интерес ее потому не следует преувеличивать, что действительные числа, а следовательно, и любое из только что упоминавшихся простейших топологических пространств можно, как известно, определить, отправляясь от целых чисел, в элементарных теоретико-множественных терминах. То, что я здесь делаю, и есть не что иное, как, по-видимому, наиболее простая и компактная аранжировка процесса сведения известных из элементарной геометрии топологических пространств к чисто теоретико-множественным построениям. Эту задачу элементарной логической аранжировки, конечно, не следует смешивать с глубокой проблемой нахождения независимых ни от каких специальных конструкций -Топологических свойств, характеризующих ^-мерное евклидово или w-мерное сферическое пространство среди всех вообще топологических пространств. Эта
340 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологий проблема решена лишь для п = 1 и п = 2 (для п = 1 см., например, Хаусдорф, с. 190, где дается топологическая характеристика простой дуги, т. е. топологического пространства, гомеморфного замкнутому отрезку [«одномерному замкнутому симплексу»]).3) Характеристика простой замкнутой линии [гомеоморфной окружности] и бесконечной прямой после этого не представляет затруднений. Возвращаясь к данной нами выше конструкции, отметим, что она, как мы видели, включается в весьма общее понятие нижнего спектрального предела, которое легко формулировать и для любых спектров. Мы покажем, что, строя нижние пределы спектров, можно получить, отправляясь от конечных дискретных пространств, любые бикомпакты. Таким образом, данное нами построение простейших, классических пространств находит свое естественное место в тех общих топологических конструкциях, которым посвящена настоящая статья. Однако для спектрального построения любых бикомпактов из дискретных пространств нам сначала нужно заняться некоторыми простыми свойствами спектров, составленных из произвольных конечных множеств. К этому мы сейчас и переходим. 5. Леммы А. Г. Куроша. Предметом исследования в данном подразделении этой работы будет служить направленное частично упорядоченное множество М индексов, которые, как всегда, будем обозначать через а, Р, Y, ... и т. д.; «направленность» означает, что для любых двух индексов а, р существует индекс у, следующий как за а, так и за р. Каждому индексу а соответствует конечное множество Ла, элементы которого обозначаем через аа (иногда с различными дополнительными значками). Для любой пары р > а дана проекция я», т. е. отображение множества А р на множество Аа, причем выполнено условие транзитивности: для любых у > р > а имеем Все построение в целом (состоящее из данного частично упорядоченного множества индексов, соответствующих им множеств Аа и проекций я») будем по-прежнему называть (абстрактным) спектром и обозначать через S =
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 341 Проекционным множеством спектра S будем называть всякое непустое множество х, состоящее из элементов аа и удовлетворяющее следующему условию: Для всяких двух различных элементов аа, а$ множества х, из которых ни один не является проекцией другого, можно найти элемент ау 6 х, являющийся общим прообразом аа и ар (т. е. такой элемент aY, что у > а, у >Р и я£а? = аа, я$а? = а$). Проекционное множество х называется полным, если для любого а 6 М имеется аа £ х. Из этого определения следует: 1°. Всякое множество, состоящее лишь из одного элемента аа £ Аа, является проекционным. 2°. Всякое множество, состоящее из какого-нибудь элемента*^ £ Аа и из всех его проекций, является проекционным. 3°. Ни в одном проекционном множестве не может содержаться более одного элемента, принадлежащего к данному Аа. В самом деле, если бы в проекционном множестве х содержалось два элемента аа и а^ из ^4а, то они должны были бы иметь общий прообраз ар, что противоречит однозначности проекции я£. 4°. Если аа, а л суть элементы проекционного множе- ства х и р > а, то непременно я£ар = аа. В самом деле, если бы я«ар = а'а ф аа, то элементы аа и ар имели бы в х общий прообраз ау и было бы Н = n$av, aa = я£ ау = я£ я£ау = я^а^ = аа в противоречии со сделанным предположением. 5°. В полном проекционном множестве х всякие два элемента аа и ар имеют общий прообраз (даже и в том случае, если один из этих элементов, например aa, является проекцией другого, ар). Пусть сначала аа = я^ар. Возьмем Y > Р и в ^v какой-нибудь элемент av. Тогда по 4° имеем яра7 = ар, и все доказано. Если же аа Ф Яа#р, то для ар и aY имеем аЬ — Яра?, и для них утверждение доказано, т. е. у них есть общий прообраз а§. Тогда яраб = ар, л£яб = л£яраб = = яаар = а^, так что а§ есть общий прообраз а^ и а р.
342 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ Замечание. Если А6 суть дискретные пространства и проекции непрерывны, то наш абстрактный спектр является спектром в смысле п. 1 этого параграфа. Из только что доказанных утверждений 3° и 4° следует, что в этом случае понятие «полное проекционное множество» совпадает с понятием «точка^полного предельного пространства», определенным в том^же п. 1. После этих замечаний докажем последовательно следующие предложения, впервые доказанные А. Г. Куро- шем. Лемма 1. Пусть в каждом А а отмечен элемент аа таким образом, что каково бы ни было конечное множество #aj» • • •» #a« отмеченных элементов, они имеют в спектре S хотя бы один общий прообраз. Тогда множество отмеченных элементов есть полное проекционное множество. Доказательство. Обозначим множество отмеченных элементов через х. Достаточно доказать, что для любых двух отмеченных элементов aa, ap можно найти отмеченный элемент, являющийся их общим прообразом. Для достижения этой цели возьмем прежде всего индекс у, следующий как за а, так и за р. Пусть ау — отмеченный элемент в Ау. Покажем, что п^ау = aa, ri$ay = «р. В самом деле, возьмем индекс б, следующий за а, р, у и такой, что в А б имеется общий прообраз а& для всех трех элементов aa, ap, ау (так как эти три элемента отмеченные, то такой индекс б и элемент а$ существуют в силу условия леммы 1). Имеем яаа'ь ~ аа> ■ п\а'ь = #р» Пуй'ь = ау. Но п^а'ь =rjiYjt^aa =л;£а7, т. е. aa = Ji£aY. Аналогично и ap = JiXaY. Лемма 2. Всякое проекционное множество х можно дополнить до полного проекционного множества. Для доказательства достаточно, считая элементы множества х отмеченными в соответствующих Аа, отметить в остальных Аа по элементу так, чтобы вся совокупность отмеченных элементов удовлетворяла условиям леммы 1. Это делается так. Занумеруем при посредстве натуральных и, если понадобится, трансфинитных чисел все А^,
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 343 употребляя эти числа в качестве верхних индексов: Л j л 9 ♦..» л , ...» л , ... (нижние индексы за их ненадобностью временно опускав- ем). Эту нумерацию проведем так, чтобы все Аа, имеющие элементы в х, шли в начале и предшествовали тем А^, которые в х не имеют представителя. Итак, А1 во всяком случае содержит в х элемент а1, и множество, состоящее из одного элемента а1, удовлетворяет условию, налагаемому на отмеченные элементы (любое конечное число отмеченных элементов имеет в S хотя бы один общий прообраз). Пусть теперь для всех X <С \i в Ах отмечено по элементу, так что только что сформулированное условие для этих элементов выполняется. Предположим, что в А*х = Аа = {а^ ..., а£} нельзя отметить элемент аа с выполнением того же условия. Приведем это предположение к противоречию. Предположение наше означает, что для любого а£, i = 1, 2, . . ., можно найти такую конечную систему ah, а\>, ..., a\vtt) (А,4 < ц, ..., Kp(i) < \i) отмеченных ранее элементов, что элементы системы (i) и элемент а% не имеют в S общего прообраза. Объединение всех систем (г), i = 1, 2, . . ., s, дает конечную систему отмеченных элементов, для которого существует, следовательно, общий прообраз ар в некотором А р = А?. Берем у, следующее за аир, и в Ау = А0 некоторый элемент av, являющийся прообразом элемента ар. Образом элемента ау является в Аа = А* некоторый элемент afo. Мы получаем, что элемент а%0 и сумма всех систем (£), следовательно, и подавно а^ и система (i0) имеют общий прообраз, вопреки нашему предположению. Итак, индукция идет дальше и приводит к построению в каждом А& = Аа по отмеченному элементу. Применение леммы 1 завершает теперь доказательство леммы 2. Лемма 3. Пусть дано непустое множество N, состоящее из элементов множеств Аа и удовлетворяющее следующим условиям: 1°. Если аа £ N, то любая проекция элемента аа так- Ш содержится в N,
344 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 2°. Если аа £ N и $ > а, то в N содержится элемент а^^А^ являющийся прообразом элемента аа. В этих условиях в N содержится полное проекционное множество. Доказательство. Возьмем произвольный индекс а и такой индекс р, что в N содержится элемент ар 6 А р. Пусть у > а, р. Берем в А $ прообраз av элемента ар, содержащийся в N. Тогда Пай? 6 N. Итак, N содержит в каждом Аа по крайней мере по одному элементу. Теперь надо отметить в каждом Аа по элементу аа £ N так, чтобы любое конечное число отмеченных элементов имело общий прообраз в N. Процесс последовательного нахождения отмеченных элементов осуществляется трансфинитной индукцией дословно так же, как при доказательстве леммы 2, нужно только при каждом шаге построения брать элементы, принадлежащие N, что возможно в силу условий 1° и 2°. Применение леммы 1 завершает доказательство леммы 3. 6. Пределы и нижние пределы спектров, состоящих из конечных дискретных пространств. Полное предельное пространство спектра S = {Ха, я&} было определено в п. 1 этого параграфа. Теперь мы предполагаем, что все Ха суть конечные дискретные пространства. Среди всех точек полного предельного пространства Q = lim (Ха, я£), т- е. среди всех полных проекционных множеств спектра S = {Ха, я£}, мы выделяем минимальные проекционные множества: полное проекционное множество х = {ха} называется минимальным, если не существует никакого отличного от х проекционного множества х = {#а}, удовлетворяющего условиям ха ^ ха для любого а. Минимальные полные проекционные множества («ми- нимальные точки» предельного пространства Q) образуют множество Q0, лежащее в этом пространстве и называемое нижним пределом спектра S = {Ха1 Я&}. Определение. Мы говорим, что из двух полных проекционных множеств (точек пространства Q = = lim (Ха, п%)) х = {ха} и х' = {х'а} первое объемлет второе, если для любого а имеем ха > %.
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 345 Теорема 1. Каждое проекционное множество объем- лет некоторое минимальное проекционное множество. Доказательство. Пусть дано проекционное множество х = {ха}. Если оно минимальное, теорема доказана. В противном случае берем отличное от х проекционное множество х1 = {#£}, объемлемое множеством х. Предположим, что для всех порядковых чисел X < \х построены проекционные множества хк = {я£}, удовлетворяющие условию: если X' < X" < А,, то xv объем- лет х%". Рассмотрим два случая: 1°. Порядковое число \х — 1 существует. Рассмотрим проекционное множество х^~х = {^-1}- Если оно минимально, то теорема доказана. Если нет, то х^~{ объемлет некоторое отличное от x^-i проекционное множество, которое и обозначим через х&. 2°. Порядковое число \i предельное. Тогда для каждого индекса а рассматриваем Ха^Ха^ ... ^ Х^ ч ... для всех X <С |х. Так как Ха конечно, то в каждой такой последовательности все элементы, начиная с некоторого конечного номера X = Ха, совпадают между собой: ха<* = = #£а+1 = . . . Этот элемент обозначим через #£. Если (J > а, то пах% = Ха* В самом деле, для у > >а, р и для X, равного наибольшему из трех чисел К, Ц, ky, имеем Ха = Я«Лр^ = п^х\\ но х\ =£$, х\ = = #£, так что Ха = Ла#$. Итак, {ха} есть полное проекционное множество, которое и"обозначим через х^. Таким образом, индукция идет дальше до тех пор, пока не получим минимального проекционного множества, объемле- мого всеми предыдущими, значит, в частности, и проекционным множеством х. Теорема 2. Пусть S = {Ха, я£} — спектр, составленный из конечных дискретных пространств Ха. Как полное предельное пространство Q этого спектра, так и нижний предел Q0 бикомпактны. Теорема 2 будет доказана, если мы покажем, что всякое бесконечное множество Е, лежащее в Q, имеет точку полного накопления, лежащую в Q$.
346 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ Пусть Е ^ Q — бесконечное множество, мощность которого обозначим через ш. Всякую точку ха £ Ха назовем отмеченной, если она является координатой некоторого множества^ мощности ш точек! множества Е. Так как каждое Ха конечно, а кардинальное число ш бесконечно, то в каждом Ха имеется по крайней мере одна отмеченная точка. Множество всех отмеченных точек ха, как легко видеть, образует множество, удовлетворяющее обоим условиям леммы 3 предыдущего подразделения. Поэтому существует полное проекционное множество, состоящее из отмеченных точек. Объемлемое им минимальное множество есть точка пространства ()0, являющаяся, очевидно, точкой полного накопления множества Е, что и требовалось доказать. 7. Хаусдорфовы спектры. Формулировка основной теоремы. Назовем спектр S = {Ха, я«} хаусдорфовым, если он удовлетворяет условию: Аксиома Хаусдорфа. Каковы бы ни были две минимальные точки х* — {х^} их"— {хпа}, существует такое а, что наименьшие окрестности Оа (х'а) и Оа (х^) точек х'а, х"ав дискретном пространстве Ха не пересекают- ся {другими словами: в Ха не существует точки ха, одновременно удовлетворяющей] неравенствам ха^х'а, ха Если это условие выполнено, то окрестности Оа (х') и Оа {х") точек х' и х", очевидно, тоже не пересекаются; итак: нижний предел хаусдорфова спектра есть хаус- дорфово пространство (и, следовательно, бикомпакт). Вопрос о том, может ли хаусдорфово пространство быть нижним пределом нехаусдорфова спектра, открыт. Переходим теперь к доказательству основного факта: Теорема 1. Всякий бикомпакт является нижним пределом некоторого хаусдорфова спектра. Таким образом: нижний предел всякого хаусдорфова спектра есть бикомпакт и всякий бикомпакт есть нижний предел некоторого хаусдорфова спектра. 8. Спектр нормального пространства. Пусть Е — нормальное пространство, состоящее из бесконечного числа точек *). Назовем каноническим покрытием простран- *) Для нормальных пространств, состоящих из конечного числа (вГэтом случае непременно изолированных) точек, теорема 1 9чевидна,
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 347 ства Е покрытие, состоящее из конечного числа канонических замкнутых множеств (1) а = «, ..., A«J, не имеющих попарно общих внутренних точек. Другими словами: множества (1) суть соответственно замыкания попарно не пересекающихся открытых множеств (2) Я?, .... НЧа. Для двух канонических покрытий а = {А?, ..., A?J и p = {if, ..., 4р} полагаем р > ос, если каждый элемент А^ £ (5 содержится в одном (а значит, и только в одном) элементе Af£a. Ко всяким двум каноническим покрытиям а, р можно найти каноническое покрытие у, следующее как за а, так и за р: достаточно взять в качестве элементов у замыкания всех непустых среди множеств Hf П Hf. Итак, все канонические покрытия пространства Е образуют частично упорядоченное множество М, удовлетворяющее условию направленности. Теперь построим для каждого а£М дискретное пространство^ Ха. 3 Для этого, кроме самих элементов Af, ..., Af покрытия, рассмотрим еще и все множества {Af, ..., А*} этих элементов, удовлетворяющие тому условию, что пересечение Af f| ... f] Af непусто. Удовлетворяющее этому условию множество элементов Af, ... ..., Af покрытия а обозначим для краткости через а пересечение этих Af, ..., Af —через Af .. л . Все i4io.p>i (в частности, и одноиндексные Af) являются по определению точками дискретного пространства Ха. Чтобы ввести в Ха топологию, или, что |то же самое, чтобы сделать множество Ха частично упорядоченным ?
348 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии положим Af . j <Л? . , если множество А? * = = {Af, ..., Af } является собственным подмножеством множества A?QUa.jq = {Afo, ..., Afq}*). Заметим, что из Af ...j <CAf.. j , очевидно, следует Проекции я£ для Р>а7 определяются так: каждому Aj 6Р соответствует единственное .4?£а, содержащее ^. Это Л? и определяется как проекция я^Л^. После того как определены все л«Л^, полагаем для всякого Aj amj = = {40,.... 4д}€*з . . . , Л.О справа среди множеств п^А) , ..., ЯаЛ^ возможны совпадающие, но каждое из n^Aj, .. ., Щ^А^ есть некоторое Af, множество всех Af, являющихся п^А^ хотя бы для одного из / = /о, ..., jq, и есть по определе- НИЮ Af . i . Это определение проекций завершает построение спектра S = {Xa, я£}, называемого нами спектром нормального пространства Е. 9. Доказательство основной теоремы. Пусть теперь Е — бикомпакт. Докажем, что бикомпакт Е гомеоморфен нижнему пределу своего спектра. Для этого введем некоторые вспомогательные обозначения и докажем ряд лемм. Если xa = Af i есть точка Ха, то в соответствии О' ' ' г с ранее сказанным мы обозначаем через #а = Л?...г непустое множество Af (] .. - (]Af ^Е. Если £ есть произвольная точка Е, то через ха (£) мы обозначаем точку Af ...i пространства Ха, являющуюся множеством всех элементов покрытия а, содержащих *) Таким образом, порядок, устанавливаемый нами в системе множеств А ? ...,-, является двойственным по отношению к «есте- ?о V ственному» порядку в этой системе множеств (см. § 6, п. 3).
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 349 точку £. Точка ха (£) называется носителем в Ха точки %£Е. Множество {#а (Ш носителей точки I во всех Ха, как легко видеть, удовлетворяет условию л$х$(%) = ха(Ъ) для любых Р > а, т. е. есть полное проекционное множество. Мы скоро докажем, что это прекционное множество минимально. Пусть Ха = Af,_i £Ха. Через Н (ха) = Hf .. ti обозначим множество тех точек Е, которые не принадлежат ни к какому Af, отличному от Af, ..., Af. Другими словам, -H?...i =Z?\ U А* и, значит, открыто в Е. Легко видеть, что Я (ха) состоит из всех тех точек £ £ /?, для которых ха(%)^ха, или, что то же, для которых Ха (£) принадлежит к минимальной окрестности точки Ха в <& а • Лемма 1. Множества Я (ха) образуют базу пространства Е. В самом деле, так как множества Я (ха) открыты, то для доказательства леммы 1 достаточно убедиться в том, что уже одни множества Hf образуют базу Е. Пусть точка £ 6 Е и содержащее ее открытое множество Я е Е даны произвольно. Берем открытое Нх, удовлетворяющее условиям \ 6 Ях, [Н^е а Я, полагаем Af-= [Я^д, А% = — [Е \ А]Е и берем каноническое покрытие а, состоящее из А« и Af. Имеем Я« = [А«]Е и £ £ Щ ^ Я. Лемма 1 этим доказана. Лемма 2. Если х = {ха} есть полное проекционное множество, то пересечение всех ха состоит из одной точки £, причем х объемлет проекционное множество х (|) = = {*«<&». Доказательство. Система множеств ха центрирована. В самом деле, каковы бы ни были данные в конечном числе ха±, . . ., хаз, существует |J, следующее за всеми at. Тогда Яр S Ха19 • • •, Х& Е Ха$, ЗНаЧИТ, Х$ £ Ха1 (] . . . П *as и стоящее справа пересечение непусто. Итак, {ха} есть центрированная система замкнутых множеств бикомпакта Е. Значит, пересечение всех ха непусто. Предположим,
350 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ что в этом пересечении содержатся по крайней мере две точки £' и £"• Так как Е — бикомпакт, следовательно, регулярное пространство, то £' и g" имеют окрестности U' и U" с непересекающимися замыканиями. Полагаем A*=[U']E, AZ = IU")S, А« = [Е\(А<?[)А*)]Е. В каноническом покрытии а = {А%, Аа, А%} не существует элемента, содержащего обе точки £' и £", поэтому ха не может содержать одновременно £' и £". Итак, f^ ха а состоит из единственной точки £. Из определения проекционного множества {ха (£)} следует, что для любого а множество ха содержится в ха (£), т. е. х — {ха} объем- лет {ха (I)}. Следствие. Всякое минимальное х = {ха} есть для некоторой точки | £ Е множество х (£) = {ха (£)}. Лемма 3. Для любой точки £ £ Е проекционное множество х (|) = {ха (|)} есть минимальное проекционное множество. В самом деле, пусть х' = {х'а} объемлется множеством х (£). Тогда ха (I) > ха для любого а и ха (£) s х'а, откуда следует, что единственная точка пересечения всех х'а совпадает с £, а значит, по предыдущей лемме, х' объемлет х (|) и, следовательно, х' = х (£), чем минимальность х (|) доказана. Итак, ставя в соответствие каждой точке \ 6 Е проекционное множество х (£) = {ха (£)} ее носителей, мы получаем взаимно однозначное отображение бикомпакта Е на нижний предел Q0 его спектра S = {Ха, Ла}. В силу определения топологии в (?0, с одной стороны, и леммы 1 — с другой, мы сразу видим, что база пространства Е при этом отображении переходит в базу пространства Q0, так что оба] пространства гомеоморфны между собой. Остается доказать, что спектр £ = {Ха, я**} бикомпакта Е есть спектр хаусдорфов. Пусть х* = {х'а} = х (£') и х = = {х"а} — х (£") — два минимальных проекционных множества спектра S. Если мы возьмем окрестности £/', U" точек £', |" с непересекающимися замыканиями и положим A^=[Uf]E,A^[Uff)E,A^ = [E\(A^\jA^)]Ei то видим, что Х'а = *а (!') = -4?, #а = Жа(£") = 4" И ЧТО В Ха нет НИКаКОЙ
£2, 6 ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в Топологий $51 точки ха, удовлетворяющей^ обоим условиям ха>х'а, ха>х"а, что и требовалось доказать. Основная теорема доказана во всех ее частях. 10. Некоторые замечания и проблемы. 1) Один и тот же бикомпакт может быть нижним пределом нескольких хаусдорфовых спектров. В частности, всякий компакт (т. е. бикомпакт счетного веса) всегда является нижним пределом хаусдорфова спектра, состоящего из счетного числа дискретных пространств. Однако спектр данного бикомпакта, как мы его определили в предыдущем подразделении, однозначно определен множеством всех канонических покрытий бикомпакта Е, т. е. однозначно дан нам, если дан самый бикомпакт Е. Возникает задача выделения спектра данного бикомпакта Е из совокупности всех хаусдорфовых спектров, имеющих бикомпакт Е своим нижним пределом, причем такое выделение должно произойти путем указания характеристических свойств этого спектра, без обращения к пространству Е. 2) Дискретные пространства Ха, образующие спектр бикомпакта Е, очевидно, являются пространствами, двойственными к симплициальным комплексам («нервам» покрытий а). С другой стороны, элементарные и сферические спектры, введенные нами в п. 4 настоящего параграфа, являются, как легко видеть, хаусдорфовыми спектрами, состоящими из счетного множества -симплициальних комплексов. Было бы интересно определить все те бикомпакты, которые являются нижними пределами симпли- циальных спектров, т. е. спектров, состоящих из сим- плициальных комплексов. Особенно интересным представляется узнать, существуют ли негомеоморфные замкнутым симплексам бикомпакты, являющиеся нижними пределами спектров S ~ {Ха, я£}, удовлетворяющих следующим условиям: 1°. Каждое Ха есть либо элементарный гс-мерный комплекс, либо симплициальный комплекс, возникающий в результате конечного числа последовательных барицентрических подразделений элементарного ^-мерного комплекса. 2°. Если |3 > а, то Х$ получается из Ха конечным числом последовательных барицентрических подразделений и л£ есть соответствующая естественная проекция.
352 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологий При этом не делается предположения о счетыости множества участвующих в спектре S комплексов Ха. 3) Заметим, наконец, еще следующее обстоятельство. С каждым бикомпактом оказывается инвариантно связанным еще и некоторое бикомпактное Го-пространство, именно полное предельное пространство Q спектра S этого бикомпакта. Было бы интересно получить непосредственную, независимую от специального способа построения пространства Q (или, как говорят, дескриптивную) характеристику этого пространства 4). 11. Проекционные («симплициальные») спектры. Мы вводили топологию в предельном пространстве Q спектра S = {Ха, я£}, определяя в качестве произвольной окрестности На (х) какой-нибудь точки х = {ха} £ Q множество всех точек х' = {х'а} £ Q, удовлетворяющих условию (1) х'<х>Ха- Столь же естественно было бы вместо условия (1) потребовать для определения окрестностей условие ха ^ #а, что приведет, конечно, к другой топологии в Q. Однако если интересоваться совокупностью всех спектров S = = {Ха, я£}, а не каждым спектром в отдельности, то мы ничего нового таким образом не получим, так как одна топология переходит в другую, если от спектра S = {Ха, л»} перейти к двойственному спектру £* = = {Ха, Яа}, в котором каждое Ха двойственно соответствующему Ха, а проекции я£ остаются теми же. При переходе к двойственному спектру минимальные точки естественно делаются «максимальными», и нижний предел спектра превращается в «верхний». При этом существенно отметить, что если S = {Ха, л«} есть спектр пространства Е (п. 7), то в действенном спектре S* = {Х£, я&} все X* суть симплициальные комплексы, а именно, так называемые нервы канонических покрытий. Мы приходим, таким образом, к первоначальному понятию проекционного спектра, данного мною в 1929 г. для случая компактов и обобщенного А. Г. Курошем на случай любых бикомпактов.
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 353 § 7. Спектр нормального пространства и его максимального бикомпактного расширения В п. 8 предыдущего параграфа мы для каждого нормального пространства Е построили спектр, названный нами спектром этого нормального пространства. В том же параграфе мы доказали, что в случае, если данное нормальное пространство Е бикомпактно, нижний предел его спектра гомеоморфен самому пространству Е. В настоящем параграфе мы исследуем спектр любого нормального небикомпактного пространства Е и докажем следующую основную теорему: Теорема 1. Нижний предел спектра любого нормального пространства Е есть максимальное бикомпактное расширение $Е пространства Е. Эта теорема дает нам еще одно определение максимальных бикомпактных расширений (5Z? в случае нормального Е. Так как в силу основной теоремы предыдущего параграфа спектр бикомпакта $Е имеет своим нижним пределом самый этот бикомпакт $Е, то теорема 1 вытекает из следующего предложения: Теорема 2. Спектр нормального пространства Е совпадает со спектром бикомпакта $Е и, значит, в частности, есть хаусдорфов спектр. Для доказательства этой теоремы в свою очередь достаточно доказать предложение: Теорема 3. Оператор \А\$Е (т. е. оператор замыкания в пространстве $Е) осуществляет взаимно однозначное отображение множества всех канонических замкнутых множеств А пространства Е на множество всех канонических замкнутых множеств пространства $Е, причем: 1. Множества *) Р^4Х, . . ., $AS образуют покрытие пространства $Е тогда и только тогда, когда соответствующие им множества Ах, . . ., As образуют покрытие пространства Е. 2. Множества $А и §А' тогда и только тогда имеют общие внутренние точки в р£\ когда множества А и А' имеют общие внутренние точки в Е. *) Для сокращения пишем $А вместо [Л]р£; это, кстати, законно, так как мы видели в § 4, п. 5, что в нормальном пространстве Е Для любого замкнутого А пространство (ЗА совпадает с [А]|з#.
354 22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА в топологии 3. Множества fk4i0, • • ., $Air имеют тогда и только тогда непустое пересечение в $Е, когда соответствующие им множества Ai0, . . ., Air имеют непустое пересечение в Е. 4. Для того чтобы было $А' а $А в $Е, необходимо и достаточно, чтобы для соответствующих множеств А и А' в Е выполнялось включение А' с А. Теорема 2 действительно вытекает из теоремы 3: из утверждений 1 и 2 теоремы 3 следует, что оператор $Е осуществляет взаимно однозначное соответствие между каноническими покрытиями а пространства Е и каноническими покрытиями а пространства (32?. Утверждение 3 теоремы 3 имеет своим следствием, что два соответствующие друг другу покрытия а и а имеют с точностью до обозначения точек одно и то же пространство Ха = X- (один и тот же нерв). Наконец, из утверждения 4 теоремы 3 следует, что отношения р>а и (1>а эквивалентны и что проекции я£ и л| совпадают. Итак, остается только Доказательство теоремы 3. Прежде всего, оператор §Е взаимно однозначно отображает множество всех замкнутых множеств А ^ Е в множество всех замкнутых множеств пространства (3£\ В самом деле, предположим, что замкнутые множества А' и А" пространства Е различны между собой. Тогда существует точка а, принадлежащая одному из двух множеств А', А", например А', и не принадлежащая другому. Таким образом, замкнутые множества а и А" оказываются отделенными друг от друга в Е; значит, в силу свойств пространства $Е замыкания этих множеств в (3£\ т. е. а и (L4", не пересекаются. А это значит, что точка а, принадлежа к |L4', не принадлежит к $А", т. е. что §А' Ф fL4". Из только что доказанного следует, что А' а А" влечет за собой fL4' с $А" (равенство $А' = $А" исключено неравенством А' а А"). Докажем, что из §А' d (L4" вытекает A' cz А". В самом деле, если бы существовала точка а 6 А' \ А", то эта точка была бы отделена в Е от Д", значит, в $Е от fL4", т. е. принадлежа $А', не принадлежала бы §А" вопреки предположению. Итак, взаимно однозначное отображение $Е обладает свойством 4. Оно обладает и свойством 1: если рлх, . . .
22, О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ^ 355 ., $AS не образуют покрытия пространства $Е, то открытое множество $Е \ (P^4iU •' • • U М«) непусто, значит, в силу плотности Е в (32? непусто и Е \ ($Аг [} . . • ... Ul^U) = £\HiU. . .[}А8). Докажем свойство 3. Для этого воспользуемся тождеством пространств $Е и &Е в наших предположениях нормального Е (см. § 4, п. 10). Очевидно, достаточно доказать: 1) Из Аг П . . . П Аг = Л следует рлх П . . . П Mr = = Л. Положим Ot = ФАг (см. § 4, п. 10). Так как Фь ^ At замкнуто, то At ^ [At]^E я=: Ot. Таким образом, утверждение 1) содержится в 2) Из Аг П . . • П Ат = Л следует Фх П . . . П Фг = Л. Но х £ Фх П . . . П Фг означает, что А±, . . ., Ат являются координатами точки х £ со/?, откуда следует, что ЛхП • • • П ^г=^ Л. До сих пор мы рассматривали оператор $Е на множестве всех замкнутых множеств Е. Докажем теперь, что при каноническом А ^ Е множество $А тоже каноническое. Именно, докажем, что если А = [Н]Е, то Для этого прежде всего докажем, что всякое открытое Н ^Е плотно в Он. В самом деле, пусть х = (. . . Н . . .) £ 6 Он. Берем произвольную окрестность Он* точки х. Из Н' 6 х следует, что Н {] Н' Ф Л. Все точки Н {] Н' суть точки Н, принадлежащие к #я', значит (так как Ow — произвольная окрестность точки х), точка а; — точка прикосновения для Я, и наше утверждение доказано. Пусть теперь А = [Н]Е, где Н открыто в Е. Так как Н плотно в 0Н, то [Н] Ря = [Он] qe. Но [Я] Р£: = [[Н]Е] РЕ = L4] рв, что и требовалось доказать. Теперь докажем обратное предложение: если $А канонично, то канонично и А. Именно, если $А = [Г]рЕ, Г открыто в $Е, то А = [Е f| Г]#. В самом деле, так как
:56 22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИЙ Е П Г плотно в Г, то мы имеем рЛ = [Г1Ря=[£ПГЬ=НЯПГЬЫ, т. е. А = [Е П Г]£, что и требовалось доказать. Остается доказать свойство 2 для канонических множеств. Пусть А', А" в Е имеют общие внутренние точки. Тогда А' = [Н']Е, А" = [#"]я, Я' ПЯ'^Аи,М' = Обратно, если рл' = 1Г'ь, М" = [Г"Ь, Г'ПГ'^Л, то при Я' = 5 (1 Г', Я" = Я П Г" имеем Я' П Я" = Э £ П (Г' П Г") ^ Л, А' = [Н']в, А" = [Я"]я, Л' П П Л" э Я' П Н" Ф Л, чем все доказано. ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА § 1 Различные классы топологических пространств, а также специально метрические пространства были введены в науку Фреше (Frechet) в 1906 г. Современное понятие топологического пространства связано, в первую очередь, с именами Ф. Рисса (F. Riesz, 1906) (который, таким образом, наряду с Фреше должен считаться основателем так называемой «абстрактной» топологии), Хаусдорфа (Hausdorff, 1914), Куратовского (1922), Александрова (1925), Сер- пинского (1927), которые в основу понятия топологического пространства ставили соответственно понятия: производного множества, окрестности, замыкания, открытых множеств и замкнутых множеств. §2 Теория бикомпактных пространств в основном построена в работе Alexandrofj P. S., Urysohn P. S. Memoire sur les espaces topologiques compacts.— Verh. kon. Akad. Wet. Amsterdam, 1929, 14, № 1, с 1—96. (Русский перевод: Александров Пь С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971.) К этой работе примыкает, с одной стороны, Urysohn P. S. Ueber die Machtigkeit der zusammenhangenden Mengen.— Math. Ann., 1925, 94, с 262—295, а с другой — Alexandroff P. S. Ueber stetige Abbildungen kompakter Raume.— Math. Ann., 1926, 96, с 555—571. Русский перевод: наст, издание, т. III. §§3, 4 Теория топологических произведений, с одной стороны, и бикомпактных расширений — с другой, а вместе с ними и большая
22. О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ 357 часть исследований последних лет в области теории бикомпактных пространств пошли от классической работы А. Н. Тихонова: Ticho- noff А. N. Ueber die topologische Erweiterung von Raumen.— Math. Ann., 1929, 102, c. 544—561, которая в свою очередь примыкает к вышеупомянутому совместному мемуару П. С. Александрова и П. С. Урысона. Дальнейшая литература: Cech Е. On bicompact spaoes.— Ann. Math., 1937, 38, с. 823— 845. Александров Я. С. О бикомпактных расширениях топологических пространств. — Матем. сб., 1939, 5, с. 403—423;: наст, кн., с. 244-269. Chevalley С» and Frink О. Bicompactness of Cartesian products.— Bull. Amer. Math. Soc, 1941, 47, № 10. Wallman H. Lattices and topological spaces.— Ann. Math., 1938, 39, с 112-127. Фомин С. В. Extensions of topological spaces.— Ann. Math., 1943, 44, с 471—481. §5 Alexandroff P. S. Ueber stetige Abbildungen kompakter Raume.-— Math. Ann., 1926, 96, с 555—571. Русский перевод: наст, издание, т. II, с. 13—35. Александров П. С. К теории топологических пространств.— ДАН СССР, 1936, 2, № 2, с. 51—54; наст, кн., с. 211—215. §6 Alexandroff P. S. Untersuchungen uber Gestalt und Lage abgesch- lossener Mengen beliebiger Dimension. — Ann. Math., 1929, 30, с 101 —187. Русский перевод: наст, издание, т. III. Alexandroff P. S. Sur les suites des espaces topologiques.— C.r. Acad. sci. Paris, 1935,200, с 1708—1709. Русский перевод: наст, кн., с. 175-177.? Alexandroff P. S. Diskrete Raume.— Матем. сб., 1927, 2, с. 501 — 519. Русский перевод: наст, кн., с. 216—242. Kurosch А . G. Ueber den kombinatorischen Aufbau der bikompak- ten topologischen Raume.— Compositio Math., 1935, 2, с 471—476. Курош А. Г. К теории частично упорядоченных систем конечных множеств.— Матем. сб., 1939, 5, с. 345—347. Болшево — Комаровка, 9 сентября 1945 г. КОММЕНТАРИЙ Статья, написанная в 1945 г., относится к некоторым основным результатам в общей топологии, полученным за примерно 10 предвоенных лет. Здесь в доступной для студента форме изложены факты, группирующиеся вокруг трех тем: 1) бикомпактность и тес-
358 220 О ПОНЯТИИ ПРОСТРАНСТВА В ТОПОЛОГИИ рема А. Н. Тихонова; 2) бикомпактные расширения топологических пространств; 3) бикомпакты как проекционные спектры. Если первая тема была вскоре освещена.в книге «Введение в общую теорию множеств и функций», то по второй и третьей темам комментируемая^ статья долгое время оставалась единственным учебным пособием в нашей литературе, и по ней знакомились с такими основными понятиями топологии, как расширение Стоуна — Чеха, обратный спектр и т. д., несколько поколений советских топологов. Идеи, методы и понятия этой статьи во многом способствовали развитию теоретико-множественной топологии в нашей стране. В первую очередь здесь надо отметить построение 10. М. Смирновым бикомпактных расширений пространств близости, построение В. И. Пономаревым всех хаусдорфовых расширений вполне регулярного пространства посредством отношения подчинения и создание В. И. Пономаревым и В. И. Зайцевым общей теории проекционных спектров. х) Такие пространства сейчас известны. М. Катетов ослабил первую аксиому счетности до требования, чтобы каждая точка была 6х-точкой, т. е. 6?б-множеством, к которому сходится нестационарная последовательность. Разнообразные условия, гарантирующие гомеоморфность X и Y в случае гомеоморфных рх и ру, недавно получены Б. А. Пасынковым («О теореме Чеха», появится в «Вестнике МГУ»). А. В. Архангельский 2) В предположении континуум-гипотезы ответ положителен. 3) Эта проблема положительно решена к настоящему времени также для п > 5. 4) Ответов на поставленные в п. 10 вопросы нет и сейчас!
23 О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ*) В этой работе рассматриваются под названием точечных множеств лишь бесконечные множества, лежащие в евклидовых пространствах Rn произвольного числа измерений п; рассматриваются полиэдры пространства i?n, содержащие данное множество Е, и тоиангуляции этих полиэдров, называемые триангуляциями, покрывающими множество Е\ устанавливаются необходимые и достаточные условия, которым должны подчиняться совокупности всех триангуляции, покрывающих соответственно множество Е ^ Rn и множество Е' <=, Rn' для того, чтобы эти множества были гомеоморфны. Эти необходимые и достаточные условия образуют содержание теоремы о гомеоморфизме точечных множеств, составляющей основной предмет работы. § 1. Предварительные понятия Триангуляцией **), лежащей в данном евклидовом пространстве Дп, называется всякое множество т попарно не пересекающихся открытых симплексов (различного числа измерений) пространства Лп, удовлетворяющее следующим условиям: 1°. Всякая грань симплекса, являющегося элементом множества т, сама является элементом множества т. 2°. Каждая точка х, принадлежащая какому-либо симплексу, являющемуся элементом множества т, имеет окрестность относительно Rn, пересекающуюся лишь с конечным числом симплексов из т. *) Работа посвящена X. Хопфу к дню его шестидесятилетия. Опубликована в Тр. Московск. матем. о-ва, 1955, 4, с. 405—420. **) Триангуляции в этом смысле были впервые введены в рассмотрение в книге [1], с. 429, под названием евклидовых к о м п л е к с о в.
360 23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ Из этих условий следует, что всякая триангуляция состоит из конечного или счетного числа симплексов. Теоретико-множественная сумма всех симплексов, являющихся элементами данной триангуляции т, называется телом этой триангуляции и обозначается через т; множество, являющееся телом какой-нибудь триангуляции, называется полиэдром. Известно и легко доказывается (см. [2], § 3), что всякий полиэдр локально компактен; компактами являются только тела конечных триангуляции («конечные» полиэдры). Мы говорим, что триангуляция т покрывает множество Е, если Е <=: т. Триангуляции, покрывающие множество Е, естественно образуют частично упорядоченное множество: скажем, что триангуляция т' следует за триангуляцией т, если каждый симплекс триангуляции т' содержится в некотором (очевидно, единственном) симплексе триангуляции т — в своем носителе в триангуляции т. Легко видеть, что, каковы бы ни были две триангуляции т', т", покрывающие множество Е, существует *) триангуляция т'", покрывающая множество Е и следующая как за т', так и за т". На основании сказанного множество всех триангуляции, лежащих в данном Rn и покрывающих данное множество Е с: i?n, образует при только что принятом определении следования направленное множество. Если т' следует за т, то шглсм т' > т *) Пусть т' и т" — две триангуляции, покрывающие множество Е. Обозначаем через th всевозможные выпуклые многогранники вида iifttj, где й £ т\ *j 6 т". Пусть я £т'Пт"; возьмем окрестность Ох, пересекающуюся лишь с конечным числом симплексов fc» пусть ct[ , . . ., tr\ и лишь с конечным числом симплексов fj, пусть с i[, . . ., С". Тогда Ох может пересекаться лишь с конечным числом многогранников вида th = t\ П t'j, а именно, только с теми из них, у которых одновременно i ^ г' и / ^ г". Таким образом, многогранники th суть элементы комплекса 0 выпуклых многогранников, удовлетворяющего такому же условию локальной конечности, как и триангуляции. Взяв какое-либо (например, центральное — см. [3], с. 171) подразделение комплекса выпуклых многогранников 0, получим триангуляцию т"\ покрывающую Е и следующую за т' и т".
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 361 Пусть т' > т и е' — одна из вершин триангуляции т'. Обозначим через я*У носитель вершины е' в триангуляции т. При этом мы отождествляем симплекс п\ е' с его остовом (т. е. с множеством его вершин), так что имеем право рассматривать тс* как многозначное отображение множества всех вершин комплекса т' в множество всех вершин *) комплекса т. Это отображение называется геометрической проекцией комплекса т' в комплекс т. При этом, как легко убедиться, выполнено условие транзитивности пхх п\>е" = == Ят е" при т" > т' > т для любой вершины в" 6 т". Определение 1. Пусть Е — множество, лежащее в некотором Rn. Направленное множество всех триангуляции, лежащих в этом Rn и покрывающих Е, вместе с геометрическими проекциями этих триангуляции, называется геометрическим спектром**) множества Е в пространстве Rn. Задача этой работы заключается в том, чтобы дать критерий, позволяющий, зная геометрические спектры *) Если t' = (е'0, . . ., е'г) -— какой-либо симплекс триангуляции т', то' симплексы n*'e'Q1 . . ., п%е'г являются гранями некоторого симплекса триангуляции т, т. е. имеют в этой триангуляции комбинаторную сумму (наименьший симплекс, имеющий симплексы л%'е'0, . . ., п\'е'г в числе своих граней). Эта комбинаторная сумма t есть носитель симплекса t' в т. Отождествляя симплексы с их остовами, видим, что t есть не что иное, как я*У (т. е. образ множества (е'01 . . ., е'т) при многозначном отображении л* ). Поэтому отображение л*' ставит в соответствие каждому симплексу t' триангуляции т' симплекс t = ri^t* триангуляции т, являющийся носителем симплекса t' в этой триангуляции. При этом, если несколько симплексов в т' имеют в т' комбинаторную сумму, то и образы этих симплексов имеют в т комбинаторную сумму и образ суммы при отображении я*' есть сумма образов. Отображениях' вт, обладающие этим свойством, естественно назвать линейными отображениями; линейные отображения вполне определяются, если заданы образы вершин, и представляют собой непосредственное и естественное обобщение симплициальных отображений; определенные выше отображения д*' являются линейными. **) Подробнее —п олным геометрическим спектром (см. [4], § 1),
362 23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ двух множеств Е ^ i?n, Е' ^ Rn\ определить, являются ли эти множества гомеоморфными между собой или нет. Для этого мы вводим следующие дальнейшие определения: Определение 2. Пусть дано направленное множество? звездно конечных *) комплексов а, р, . . . Мы предполагаем, что если (J следует в этом множестве за а (что мы записываем так: р > а), то каждой вершине е$ комплекса Р поставлено в соответствие конечное множество Пае$ вершин комплекса а, являющееся остовом некоторого симплекса комплекса а. Мы предполагаем, кроме того, что определенное таким образом многозначное ото- о бражение"—«проекция» л£ множества всех вершин комплекса р в комплекс а — удовлетворяет следующему условию «ослабленной транзитивности»: я£я]{г? = я£г? при у>Р>а для любой вершины еу £ у. В этих условиях направленное множество комплексов а, р, ... вместе с проекциями я£ называется абстрактным спектром: 2 = {а, я£}. Во всем дальнейшем основное место занимает понятие проекционного множества (данного абстрактного спектра): Определение 3. Проекционным множеством называется всякое множество £ — {еа} вершин еа, взятых из комплексов а спектра 2, удовлетворяющее следующим двумя условиям: (А) Каково бы ни было а 6 2, в £ существует вершина еа, принадлежащая комплексу а. (Б) Каково бы ни было конечное число, вершин £<*!» £»t? • • •» £as> принадлежащих множеству |, найдется такое а0 = — a0(ettl, . . ., eas), что для любого еа* £ |, для которого а' > а0, каждая из вершин' eai, . . ., eas содержится *) Под звездно конечным комплексом мы понимаем абстрактный симплициальный комплекс К, содержащий вместе с данным симплексом и все его грани и обладающий тем свойством, что каждая вершина этого комплекса является вершиной лишь конечного числа симплексов комплекса К.
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 363 в проекции вершины еа»: Замечание. Из этого определения следует (см. § 3), что пересечение проекционного множества | с данным комплексом а всегда конечно и является остовом комплекса а. Определим теперь понятие конфинальной части спектра. Определение 4. Спектр 2' = {а', я«'} называется частью спектра 2 = {а, л£}, если каждый комплекс а' спектра 2' является в то же время и некоторым комплексом, входящим в спектр 2; если из того, что Р'>сс' в 2', следует, что Р'>а' и в 2, и если для Р'>а' в 2' и для произвольной вершины ер'бР' проекция я»' £р' этой вершины в спектре 2' содержится в проекции л£',ер' той же вершины в 2: О / Of О/ Замечание. Пусть спектр 2' = {a', j#J }, являющийся частью спектра 2 = {а, я£}, состоит из всех комплексов, входящих в спектр 2; в этом случае мы говорим, что спектр 2 получается из спектра 2 ослаблением проекций. Определение 5. Пусть спектр 2' ={ос', п'а>} является частью спектра 2 = {а, я£}. Мы говорим, что 2' есть конфинальная часть спектра 2, если выполнены следующие два условия: (а) Пополняя произвольное проекционное множество £' спектра 2' проекциями (в 2) всех его элементов и рассматривая в пополненном множестве проекции, как они определены в 2, всегда получаем проекционное множество спектра 2. (б) Беря в произвольном проекционном множестве £ спектра 2 лишь элементы, принадлежащие спектру 2', и рассматривая лишь проекции, определенные в 2', всегда получаем проекционное множество спектра 2'.
364 23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ § 2. Формулировка основной теоремы и ее частных случаев Теорема о гомеоморфизме точечных множеств (теорема 2.1). Пусть Е ^ Rn и Е' ^ Rnf —два множества. Для того чтобы они были гомеоморфны между собой, необходимо и достаточно, чтобы существовал абстрактный спектр 2, содержащий конфинальные части s и s', являющиеся в то же время конфиналъными частями геометрических спектров S и S' соответственно множества Е (в Rn) и Е' (в i?n'). Перед доказательством этой теоремы сделаем по ее поводу несколько замечаний. А Скажем, что триангуляция т' строго покрывает множество Е (или является по отношению к нему канонической*)), если т' покрывает множество Е и если каждый главный симплекс триангуляции т' содержит точки множества Е. Выбрасывая из произвольной покрывающей множество Е триангуляции т все лишние (т. е. не содержащие точек Е) главные симплексы и повторяя это выбрасывание конечное число раз, мы придем к триангуляции т', строго покрывающей множество Е. Отсюда следует, что, сохраняя в геометрическом спектре множества Е одни лишь триангуляции, строго покрывающие множество Е, вместе с теми проекциями, которые были определены в геометрическом спектре, мы получим спектр, так называемый канонический спектр множества Е, который, как мы докажем в § 4, является конфи- нальной частью геометрического спектра. Из изложенного в дальнейших параграфах доказательства теоремы 2.1 будет видно, что упоминаемые в формулировке этой теоремы конфинальные части s и s' геометрических спектров множеств Е и Е' получаются из канонических спектров этих множеств некоторым ослаблением проекций. Пусть теперь Е и Е' — компакты; теорема 2.1 и приведенное ниже ее доказательство (с незначительными оче- *) Под этим названием триангуляции, строго покрывающие множество £, были введены в [2], § 3, где было дано и построение канонической триангуляции т' посредством применения нижеописанной операции «выбрасывания» к произвольной триангуляции т, покрывающей множество Е,
23* О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 365 видными видоизменениями) остаются в силе, если мы сохраним в геометрическом спектре каждого из множеств Е и Е' лишь конечные триангуляции. Для частного случая полиэдров имеет место Теорема 2.2. Пусть Е и Е' — два полиэдра', т — некоторая определенная триангуляция полиэдра Е, а т — некоторая определенная триангуляция полиэдра Е'. Обозначим через а спектр, состоящий из всех подразделений триангуляции т (с тем же порядком и теми же проекциями, которые были введены при определении геометрического спектра) *); точно так же обозначим через о' спектр, состоящий из всех подразделений триангуляции т'. Для того чтобы полиэдры Е иЕ' были гомеоморфны, необходимо и достаточно, чтобы существовал абстрактный спектр 2, содержащий оба спектра а и о' в качестве своих конфинальных частей. При этом, если Е и Е' — полиэдры размерности г, то можно предположить, что спектр 2 состоит из r-мерных комплексов. § 3. Пространство спектра 1. Пусть 2 = {а, Яа} — абстрактный спектр. Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что два комплекса аир, являющиеся различными элементами спектра, не имеют общих вершин **). Назовем нитью спектра 2 всякое проекционное множество £ этого спектра, замкнутое по отношению к операции проектирования в том смысле, что из (J > а, е$ £ £ всегда следует, что п^е^ cz £. Из определения нити следует, что пересечение нити \ с каждым комплексом а спектра 2 (т. е. множество всех вершин комплекса а, являющихся элементами нити £) непусто и является всегда остовом некоторого симплекса ta комплекса а. Непустота пересечения £ f| а вытекает *) Спектр а естественно назвать комбинаторным спектром полиэдра Е, соответствующим данной его триангуляции. **) Для этого достаточно заменить в спектре 2 каждый комплекс а изоморфным ему комплексом а, вершинами которого являются пары ej= (а, е), где е — вершина комплекса а, причем вершины ео, . . ., еТ тогда и только тогда образуют остов комплекса а, когда соответствующие им вершины е0, . . ., ег образуют остов комплекса ее.
366 23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ из того, что нить есть проекционное множество, поэтому в ней содержится некоторая вершина еа комплекса а. С другой стороны, в силу условия (А) в определении проекционного множества каждое конечное подмножество множества ^fl а содержится в проекции некоторой вершины, являющейся элементом множества £, а потому представляет собой остов (некоторого симплекса) комплекса а. Поэтому, если бы £ [\ а было бесконечным, то в этом множестве, а значит и в самом комплексе а, существовала бы бесконечная строго возрастающая последовательность остовов, что противоречит звездной конечности этого комплекса. Итак, все множество | П а конечно и, следовательно, по только что сказанному, является остовом (некоторого симплекса) комплекса а. Обозначая через ta £ а остов, являющийся пересечением \ П а, можем написать £ = ^J ta (причем при а Р ф а пересечение £а (] t$ пусто). Назовем пространством спектра 2 следующим образом определенное топологическое пространство 2. Точки пространства 2 суть нити *) спектра 2; каждый элементе нити £ определяет окрестность Ое этой нити, состоящую из всех нитей, имеющих в числе своих элементов вершину е. Построенное таким образом пространство 2 есть Тг-пространство. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно доказать следующие два утверждения: а) Пересечение двух окрестностей Ое^ иОе. точки £ содержит некоторую окрестность Оеу той же точки. б) Пересечение всех окрестностей произвольной точки 1^2 содержит лишь эту точку |. Для доказательства первого утверждения достаточно взять вершину £Y££, у>ос, р, удовлетворяющую условиям е» € я£ еуу е$ £ п$еу: тогда £ £ Оеу s Ое(Х П Оер В самом *) Существование нитей (и даже проекционных множеств) нами не доказано: поэтому мы не знаем, не будет ли пространство 2 пустым.
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 367 деле, если \' £06у, то е7££'; ыо тогда еа£ jiy^c:^, е$£ £ЦеуаЪ' и, значит, I'£06а, \'£Оер Для доказательства второго утверждения заметим прежде всего, что нити удовлетворяют следующему условию минимальности*): не существует двух нитей £ и £', из которых одна была бы собственным подмножеством другой. В самом деле, предположим, что, например, \' а £. Пусть | = ^ ta, £' = [J t'a. Так как а а ^' с ^, то при всяком а имеем & ^ £а и при некотором а = а0 Пусть eao£tao\t'ao. Существует для нити £ такое р0 = = Р(*ав), что при всяком Р > р0 и *р£*0 имеем: *ae€^£*0. Взяв e&£*0, видим, что *ав € я£ *э cz £'- вопреки предположению. Предположим теперь, что точка | 6 2 содержится в пересечении всех окрестностей точки |' £ 2. Тогда каждая вершина е, являющаяся элементом нити £', является и элементом нити |, т. е. £' с= £ и, значит, по только что доказанному, £' = £. Замечание. Из свойства минимальности нитей спектра легко следует, что для двух различных нитей I = ^J ta и £' = ^J t'a всегда имеется такое а, что первое а сечение fa f) t'a пусто. 2. Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 3.1. Если спектр 2' = {a' ,я'£'} есть понфинальная часть спектра 2 = {ос, я£}, то оба спектра имеют гомеоморфные пространства. Доказательство. Поставим в соответствие каждой нити | = М ta содержащееся в ней множество **) *) Это условие можно было бы назвать и условием максимальности! **) Таким образом, £' состоит из всех еа, £ \% для которых «'6 2'.
368 23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ |' = М ta>. В силу условия (б) в определении кон- а'62' финальной части спектра £' есть проекционное множество и притом, очевидно, нить спектра 2'; эту нить мы обозначим через /£. Итак, определено отображение / пространства 2 в пространство 2'. Докажем, что это отображение есть отображение на все пространство 2'. Пусть ?•' — какая-нибудь нить спектра 2'. Обозначим через £ = g|' множество всех вершин еа всевозможных комплексов а спектра 2, для которых существует такое еа> £ \', а > а, что еа £ п% еа>. В силу условия (а) в определении конфинальности £ есть проекционное множество спектра 2. Для доказательства того, что £ — нить спектра 2, надо только показать, что из Р>аи^^ следует л£*р с: £. По определению множества | для данного е$ £ £ существует ^ £ £', |У > р, для которого е$ 6 я§'*р'. Поэтому л£ер г я£лРр ер'^ ПаЦ' и, следовательно, л^з с: £, чем и доказано, что £ — нить спектра 2. Итак, | есть нить. Докажем, что /g£' = £. Так как для любой нити £ спектра 2 множество /£ есть нить спектра 2' и g£' = \ есть нить спектра 2, то /gg' = £" есть нить спектра 2', причем, очевидно, !•' сг £". Поэтому по свойству минимальности нитей непременно £' = £" = = /gr. Докажем, что для каждой нити £ спектра 2 имеем g/| = £. Мы уже знаем, что g/£ есть нить спектра 2, причем каждый элемент еа этой нити содержится в проекции я» еа* некоторого элемента е^ £ /£ ^ £; так как ЯаЧх' с S» то ^а 6 I, т. е. g/£ ^ £. Из свойства минимальности нитей вновь следует, что g/| = |. Из доказанных соотношений /g£' = £' и g/£ = £ следует, что / и g суть взаимно обратные взаимно однозначные отображения соответственно 2 на 2' и 2' на 2. Остается доказать, что отображения / и g непрерывны. Непрерывность отображения / непосредственно следует из определения окрестностей в пространстве спектра. Докажем непрерывность отображения g. Даны: £0 = = g£o и окрестность Ов(х точки £ в 2. Берем (в соответ-
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 369 ствии с условием (Б) в определении проекционного множества) а0 (еа). р' > а0 (еа), р' 6J1' и е? £ Ъ'0. Тогда е 6 Яа*р' и множество О'е„, ^ 2' всех цепей спектра 2', содержащих вершину е$>, есть окрестность точки £' в пространстве '2/. Докажем, что Wе^ s Оеа. Пусть 5' 6 ^V и ^ " ^'' Тогда *(*-€£'££, значит, еа 6 £ я£ ер' с: 5, т. е. | 6 #eai чем наше утверждение, а с ним и вся теорема 3.1 доказаны. 3. К понятию конфинальной части спектра легко сводится другое понятие, которое понадобится нам в дальнейшем, именно понятие мультипликации («размножения») данного спектра. Мы получаем мультипликацию данного направленного множества (соответственно данного спектра) 2, если заменяем каждый элемент ос 6 2 множеством ста элементов, которые будем обозначать через аХ, ац,, ... и т. д., причем любые два элемента аХ и ац, (а также аХ и Р(л) считаем при X Ф \i соответственно при а Ф Р различными. В множестве 2* полученных таким образом элементов вводим порядок, полагая (J|i > аХ тогда и только тогда, когда р > а. Если 2 — спектр, то мы предполагаем, что комплексы аХ и а изоморфны между собой и связаны определенным «естественным» изоморфизмом (вследствие которого аХ и aji также находятся в отношении определенного «естественного» изоморфизма между собой). В силу этого изоморфизма при Р|л > аХ можно проекцию я£ естественно перенести на комплексы pjx и ой, так что получается проекция тщ. комплекса Рр, в аХ при любых X и (х. Спектр 2* = (cd, я8Ю и называется мультипликацией спектра 2. Отождествляя элемент ос спектра 2 с некоторым определенным элементом аХ0 спектра 2*, можем считать спектр 2 частью спектра 2* и притом, очевидно, конфинальной частью. Поэтому имеет место Теорема 3.2. Мультипликация данного спектра 2 имеет пространство, (естественно) гомеоморфное пространству спектра 2.
370 23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ § 4. Геометрический спектр множества Геометрический спектр S множества Е в Rn был определен в § 1. Частью этого спектра является канонический спектр Sc множества Е, состоящий из триангуляции, строго покрывающих множество Е (проекции в S и в Sc одни и те же). Каждая триангуляция а является, как известно, нервом системы своих главных звезд*). При этом если триангуляция (J следует за триангуляцией а, то каждая главная звезда Ое$ триангуляции р содержится в некоторой главной звезде Оеа триангуляции а. Подробнее: звезда Ое$ триангуляции р содержится во всякой такой и только в такой звезде Оеа триангуляции а, центр которой еа является одной из вершин носителя ta вершины £р. В самом деле, пусть еа — вершина симплекса ta. Тогда звезда симплекса ta содержится в Оеа. Но ta есть носитель точки е$, вначит, Ое$ <= Ota ^ Оеа, чем первое утверждение доказано. Доказываем второе: если еа £ а не есть вершина симплекса ta (носителя точки е$ в а), то Оеа не содержит симплекса ta и, значит, ни одной его точки, в том числе и точки е$ и тем более ее звезды Ое$ в р. Назовем теперь триангуляцию р регулярно следующей за триангуляцией а, если замыкание каждой главной звезды триангуляции р содержится в некоторой главной звезде триангуляции а. Регулярной проекцией вершины е$ £ р в триангуляцию а назовем множество яа тех вершин триангуляции а, звезда каждой из которых содержит замыкание звезды (в Р) вершины £р. Легко видеть, что регулярное следование превращает множество всех триангуляции, покрывающих (соответственно строго покрывающих) множество Е, в направленное множество, которое вместе с регулярными проекциями образует спектр S' (соответственно S'c). Из доказанного следует, что спектры 5' и S'c получаются из спектров S и соответственно Sc ослаблением проекций, так что S' является частью спектра 5, а S'c частью спектра *) Под главной звездой Оеа (с центром еа) триангуляции а понимается точечное множество, являющееся суммой всех (как всегда, открытых) симплексов триангуляции а, имеющих еа одной из своих вершин.
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 371 S , а также частью спектров S и S'. Спектр S" называется ослабленным геометрическим, а спектр $'с — ослабленным каноническим спектром множества Е в Rn. Имеет место Теорема 4.1. Спектры S' utSc являются конфиналь- ными частями спектра S; спектр S'c является конфиналъ- ной частью спектра Sc, а также спектров S' и 5. Пространства всех поименованных спектров гомеоморфны множеству Е. Теорему 4.1 мы легко выведем из следующего предложения: Теорема 4.2. Проекционные множества каждого из спектров 5, S', Sc, S'c вполне характеризуются следующим способом их построения: берется некоторая точка х 6 Е и в каждом а' некоторая грань t'^ носителя t^ точки х. Множество £' этих t'a> есть проекционное множество, и всякое проекционное множество может быть получено этим способом. Проекционное множество £ = = {£«'} является нитью данного спектра в том и только в том случае, когда fa' = ta> для любого а'. Доказательство теоремы 4.2. Обозначим через 2 какой-либо из спектров S, S', Sc, S'c. Пусть х — произвольная точка множества Е. Обозначим через носитель точки х в а', возьмем £а' = (еа'(Ь ...» £а'г')> г <^» и докажем, что *'={««->= U *»- а'еА' есть проекционное множество. Пусть даны какие-нибудь элементы е*, . . ., е> из £'. 1 s Точка х принадлежит звездам Ое *, . . ., Ое ». Выбираем такую триангуляцию <х0, покрывающую множество Е, чтобы всякая главная звезда этой триангуляции, содержащая точку х, имела замыкание, содержащееся в Оеа{(\... [\Оеа>&,
372 23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ и пусть Р' есть триангуляция, регулярно следующая за а0. Тогда каждая звезда Ое^ этой триангуляции, содержащая точку х, т. е. звезда Ое$>, центр е^ которой является вершиной носителя t$> точки х (в Р'), имеет замыкание, содержащееся в Оеа{(] ... (\Oeail откуда, в частности, следует, что каждое е #, i = 1, 2, . . ., 5, является вершиной носителя точки е$> в комплексе aj, так что проекция вершины е$> в комплексе aj содержит гее. Так как ^^ есть произвольная вершина, содержащаяся в £' и для которой р' > а0, то доказано, что £' есть проекционное множество. Пусть теперь \* = {еа'} — проекционное множество спектра 2. Возьмем конечное число элементов множества |': **!' • • •' ea's» находим согласно условию (Б) в определении проекционного множества комплекс а0 = а0 (еа *,. . ., е >) и берем 1 as произвольное е$* £ |', Р' > а0. Тогда во всяком случае звезда Ctep' содержится в каждой из звезд Оеа>, . . ., Оеа'. 1 s Итак, звезды Ctea , взятые в соответствующих а для всех еас' 6 5'» образуют центрированную систему множеств. Тем более центрирована система замыканий этих звезд. Их пересечение, следовательно, непусто. Так как среди звезд Оеа>, е^ £ £', имеются сколь угодно малые по диаметру, то это пересечение состоит лишь из одной точки х и эта точка, принадлежа любому полиэдру, содержащему множество Е, содержится в множестве Е. Докажем, что точка х принадлежит при любом еа> £ £' не только замыканию звезды Оеа>, но и самой этой звезде. Для этого возьмем такую триангуляцию р0, покрывающую множество Е, что всякая звезда этой триангуляции, содержащая точку х, имеет замыкание, содержащееся в Оеа*. Тогда этим свойством будет обладать и всякая триангуляция р\ следующая за ро, в частности, и такая триангуляция р', что некоторая ее вершина е$> содержится в £'. Точка #, принадлежа замыканию звезды Ое^, будет, следовательно, лежать в звезде Оеа>.
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 373 Пусть fa' — носитель точки х в х'. Тогда для любого еа' 6 V точка х принадлежит звезде Оеа>, поэтому еа> есть вершина симплекса ta> и, значит, пересечение множества \' с любым а' есть остов некоторой грани носителя точки х в aV Первое утверждение теоремы 4.2 доказано. Доказываем второе утверждение. Если !• = {ta} есть множество всех носителей некоторой точки х £ Е во всех комплексах а спектра 2, то это множество, будучи, по доказанному, проекционным, очевидно, и замкнуто по отношению к проектированию, т. е. является нитью. Пусть, обратно, множество % = {еа} есть нить спектра 2. Тогда для любого комплекса а этого спектра множество | П a есть некоторый остов fa (в а). Так как £ — проекционное множество, то, по доказанному, существует такая точка х 6 Е, что каждый симплекс t'a есть грань носителя ta (в а) точки х. Но если бы хотя один симплекс t'a был собственной гранью симплекса fa, то было бы нарушено свойство минимальности нити, так как множество Ы ta, а как мы видели, также есть нить. Теорема 4.2 полностью доказана. Пусть теперь 2 и 2' — какие-нибудь два из спектров 5, 5", Sc,\ S'c, выбранные таким образом, что 2' есть часть спектра 2. Пусть |' = {еа>} есть проекционное множество спектра 2'. Тогда существует такая точка х £ Е, что при любом а' остов7!' [) а' = t'a> есть грань носителя (в а') точки х. Это значит, что точка х принадле- жит'всем звездам Ое^оГ- Л, 0eav, где'(еа-0, . . ., eav) = Пополняя] Гмножество £' проекциями (в 2) всех его элементов, получим множество | = {еа}* причем точка х принадлежит звездам Оеа0, . . ., Оеаг, где £а0, . . ., еаг суть принадлежащие (произвольному) комплексу a £ 2 элементы множества £. Таким образом, ^f] а есть грань носителя точки х в а и, следовательно, по теореме 4.2 5 есть проекционное множество спектра 2. С другой стороны, если дано проекционное множество £ спектра 2, то, оставляя в нем лишь элементы, принадлежащие комплексам а' спектра 2', и пользуясь характеристикой проекционных множеств, данных теоремой 4.2, мы сразу видим, что получим проекционное множество
374 23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ спектра 2', чем и доказывается, что 2' есть конфинальная часть спектра 2. Остается доказать, что пространство любого из спектров iS, S', Sc, S'c гомеоморфно множеству Е. Достаточно доказать, что пространство S спектра S гомеоморфно множеству Е. Мы видели при доказательстве теоремы 4.2, что каждой нити | = {еа} спектра S соответствует определенная точка х = / (|) £ Е, являющаяся пересечением звезд Оеа всех вершин еа £ £. Точка х имеет своим носителем в комплексе а симплекс ta, имеющий своим остовом пересечение нити | с комплексом а. Поэтому, если нити | £ !3 и £* 6 S различны, и, следовательно, при некотором а различны симплексы fa = | П а и £* = I* П а> то — так как Раз" личные симплексы комплекса а не пересекаются *) и /(£)€*«, / (I*) 6 £ - точки / (I) и / (£*) различны. Поэтому отображение / есть взаимно однозначное отображение пространства спектра S в Е. Так как множество носителей в различных а £ 5 данной точки х £ Е есть нить спектра 5, то отображение / есть взаимно однозначное отображение пространства S на множество Е. При этом отображении окрестности Ова ^ 5 точки £ соответствует множество всех точек множества Е, принадлежащих звезде Оеа, откуда следует, что взаимно однозначное отображение / является и взаимно непрерывным; доказательство теоремы 4.1 доведено до конца. § 5. Открытый спектр множества Изложенное в этом параграфе определение открытого спектра формально применимо к любому топологическому пространству; возможно, оно имеет интерес для нормальных пространств Е, обладающих тем свойством, что в каждое открытое покрытие пространства Е можно вписать звездно конечное открытое покрытие. Мы в этой работе ограничиваемся случаем, когда Е есть множество, лежащее в каком-либо евклидовом пространстве Rn, т. е. нормальное пространство со счетной базой, имеющее конечную размерность, надеясь в другом месте вернуться *) Симплексы здесь геометрические, их нельзя отождествлять с их остовами!
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 375 к исследованию открытых спектров более общих пространств. Под покрытием во всем дальнейшем будем понимать открытое звездно конечное покрытие. Для упрощения дальнейших формулировок будем говорить, что открытое множество е* пространства Е регулярно содержится в открытом множестве е, если замыкание [е'] множества е' содержится в множестве е. Рассмотрим нервы всевозможных покрытий а, р, . . . пространства Е; покрытие и его нерв обозначаются той же буквой. Будем писать р>а и говорить, что Р следует за а, если покрытие р регулярно вписано в покрытие а, т. е. если каждый элемент покрытия р регулярно содержится в некотором элементе покрытия а. Ставя в соответствие каждому элементу е$ покрытия р все регулярно содержащие его элементы покрытия а, получим (в предположении р>а) проекцию л^ер. Полученное таким образом направленное множество нервов и их проекций образует спектр Q = = {а, я£}, который и называется открытым спектром пространства Е. В этом параграфе доказываются следующие теоремы: Теорема 5.1. Всякое конечномерное нормальное пространство со счетной базой гомеоморфно пространству своего открытого спектра. Теорема 5.2. Некоторая мультипликация открытого спектра произвольного множества Е a Rn содержит в качестве конфинальной части ослабленный канонический спектр множества Е. Достаточно доказать теорему 5.2. В самом деле, каждое конечномерное нормальное пространство со счетной базой может рассматриваться как множество, лежащее в некотором Rn. Далее, данный спектр и всякая его мультипликация имеют одно и то же пространство, тогда как, с другой стороны, ослабленный канонический спектр множества Е имеет пространство, гомеоморфное этому множеству; поэтому теорема 5.1 следует из теоремы 5.2. Доказываем эту последнюю. В направленном множестве всех покрытий множества Е (порядок тот же, что и в спектре Й) канонические покры-
376 23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ тия образуют, как известно, конфинальную часть *). Канонические покрытия (вместе с проекциями, определенными в Q) образуют спектр Qc — спектр канонических покрытий множества Е, составляющий, очевидно, часть спектра Q. Определим мультипликацию й* спектра Q, беря для каждого канонического у в качестве ух любую триангуляцию т7, сильно покрывающую множество Е в Rn и высекающую из этого множества каноническое покрытие у. Проще говоря, получаем мультипликацию Q* спектра Й, считая каждое каноническое покрытие столько раз, сколько имеется высекающих его'канонических триангуляции, так что установлено взаимно однозначное соответствие между каноническими покрытиями у и высекающими их каноническими триан- гуляциями ty; проекции, естественно, остаются те же, что и в спектре Q. Мультиплицированный таким образом спектр канонических покрытий Qc обозначим через Q?. Очевидно, Q? есть часть спектра Q*. Комплексы, образующие спектр Q?, суть триангуляции в i?n, строго покрывающие в Rn множество Ё, но проекции те же, что и в Qc, т. е. еа 6 л£ер» если [Е f] Ое$] ^ Е П Оеа. Ослабляя эти проекции, а именно, полагая еа £ л£ер, если [Ое$] ^ fc Оеа, мы получим спектр 5с, который, таким образом, все еще оказывается частью спектра Q*. Докажем, что- спектр S'c является конфиналъной частью спектра Q*^ (а также, следовательно, и всякой мультипликации Q** спектра Q — это замечание понадобится нам в следующем параграфе). Основой доказательства является Лемма! 5.1. Пусть £' = {е^} есть проекционное множество спектра Q*. Пересечение всех множеств *) *) Это доказано в [2], § 3, где впервые введено и понятие канонического покрытия; каноническим покрытием множества Е с: Rn (относительно этого RTl) называется всякое покрытие 7» элементы которого высекаются из множества Е некоторой триангуляцией tv, канонической относительно Е (т. е. строго покрывающей множество Е) в том смысле, что элементы покрытия у суть пересечения с множеством Е главных звезд триангуляции %у. Очевидно, каноническая триангуляция Tv является нервом выеекае- мого ею канонического покрытия. **) Через еа мы обозначаем как вершины нерва а, так и открытые в Е множества, являющиеся элементами покрытия ос.
23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 377 еа> состоит из одной точки х £ Е. Обратно, предположим, что в каждом покрытии а' £ ^* взято некоторое число элементов е^ таким образом, что эти еа> (взятые по всем а') имеют непустое пересечение (состоящее в этом случае из некоторой точки х £ Е). Тогда множество этих еа> есть проекционное множество спектра Q*. Доказательство. Пусть £' = {еа>} — проекционное множество спектра Q*. Так как среди множеств еа> имеются сколь угодно малые по диаметру (в смысле метрики пространства Rn), то для доказательства первой части леммы достаточно убедиться в том, что множество f^ еа* непусто. Отберем такие всевозможные элементы еу всевозможных канонических покрытий у, что каждое отобранное еу регулярно содержит хотя бы одно е^ £ V- Множество этих отобранных еу обозначим через |. Докажем, что в каждом каноническом покрытии у содержится хотя бы один элемент еу £ £, т. е. что | f] У не пусто при любом каноническом у. В самом деле, возьмем какое-нибудь а' > у и еа> 6 £'» тогда еа* регулярно содержится в некотором еу и, значит, еу £ £. Далее, каковы бы ни были канонические Ti> • • •> Та и eYl 6 5, . . ., eys 6 5, существует ea/g V, регулярно содержащееся во всех этих eyiJ . . ., eYs. В самом деле, по определению множеств eVi, г = 1, . . ., s, каждое из еУ{ регулярно содержит некоторое еа> £ V - Возьмем (согласно условию (Б) в определении проекционного множества) а0 = а0 (е ', . . ., е^>), а' > а0, еа> 6 6'; тог- 1 s да еа> регулярно содержится во всех е *, значит, и подавно во всех eyv i = 1, . . ., s. Отсюда следует, что £ есть центрированная система множеств. Для каждого еу 6 £' возьмем в *) tv звезду ov, высекающую из Е множество еу= Е (]оу. Система всех [оу] (замыкание в Rn) и подавно центрирована. Но [оу] суть компакты в Rn, среди которых имеются *) Мы помним, что через тп обозначена каноническая триангуляция, высекающая каноническое покрытие у.
23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ сколь угодно малые по диаметру, поэтому |j [оу] состоит Y из одной точки х. Докажем, что х £ е^ при любом еа> £ £'. Этим, очевидно, наша цель будет достигнута. Заметим прежде всего, что х = О [оу] содержится Y в £. В самом деле, какова бы ни была окрестность А, множества Е, существует каноническая триангуляция tv, тело которой содержится в X; следовательно, в X содержится и соответствующее [oY], а значит, и точка х. Итак, х содержится в любой окрестности множества Е, а потому х 6 Е* Докажем теперь следующее Вспомогательное утверждение. Каковы бы ни были еу £ |, еа* £ £', существует е$ £ £', регулярно содержащееся и в еу, и в еа'. Действительно, по определению еу существует некоторое регулярно содержащееся в еу множество е^ ££'. Берем а0 = а0 {е^, е$\), Р' > а0, е^ £ V- Тогда е$> регулярно содержится в е^ и в е${, значит, и в еу. Вспомогательное утверждение доказано. Предположим теперь, что точка х не содержится в некотором еа> 6 £'• Берем при некотором а\ > а' множество ва[ 6 1', регулярно содержащееся в еа>. Тогда точка х, принадлежа множеству Е, не содержится в [еа(] (замыкание в Е) и, следовательно, р (х, еа[) = d > 0. Берем такое у, чтобы все звезды оу триангуляции ху имели диаметр <с d, и рассмотрим содержащийся в £ элемент еу покрытия у. В силу вспомогательного утверждения существует некоторое такое е$> 6 £', что [е$>] с еа[ fl £v- Поэтому ev fl еа[, а значит, и подавно [ov] П £а{ непусто (как всегда оуа ту выбрано под условием Е(] оу — еу). Так как х £ [ov] и [ovl fl £(%; непусто, то диаметр [оу] не может быть меньше, чем р (х, еа\) = d, вопреки выбору триангуляции тг. Полученное противоречие доказывает первую часть леммы 5.1. Переходим к доказательтсву второй части. Пусть в каждом а' £ £2* выделены некоторые е^ так, что множество \' всех этих еа> имеет непустое пере-
23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 379 сечение. Это пересечение состоит из некоторой точки х £ Е. Докажем, что |' есть проекционное множество спектра Q*. Возьмем в £' какое-нибудь конечное число элементов ea[i * • •» ea's и рассмотрим покрытие а0 множества Е, обладающее тем свойством, что все элементы покрытия сс0, содержащие точку #, регулярно содержатся в ^П ... ГК;- Тогда то же будет верно и для всякого а', следующего в Q* за а0. Поэтому для всякого еа> £ V, У которого а' > а0, будем иметь е> £ л£'еа> при i = 1, . . ., s, чем доказана вторая часть леммы 5.1, а значит, и вся лемма. Теперь легко доказывается, что S'c есть конфинальная часть спектра Q*. В самом деле, пусть £' = {еа>} есть проекционное множество спектра 5с. Тогда существует точка х £ Е, содержащаяся во всех звездах Оеа>, е^ £ ¥, значит, и во всех элементах Оеа> f| Е соответствующих канойических покрытий. Поэтому, пополняя систему £' = {еа>} всевозможными проекциями (в спектре Q*) ее элементов, мы получим систему элементов всевозможных покрытий а £ Q* и все эти элементы, содержа точку х, образуют по лемме 5.1 проекционное множество спектра Q*. Пусть обратно, £ = {еа} есть проекционное множество спектра Q*. Сохраняя в нем лишь элементы еа>, принадлежащие к S'c, и трактуя их как пересечения с Е звезд вершин еа> канонической триангуляции а', видим, что точка х £ Е принадлежит всем этим Е f| Оеа> и тем более всем Оеа>. Значит, вершины еа>, принадлежащие данной канонической триангуляции а', образуют в ней остов некоторой грани носителя точки х, что, по доказанному в § 4, означает, что совокупность всех еа> £ £, принадлежащих комплексам а' 6 S'c, образует проекционное множество £' спектра S'c. Теорема 5.2, а с нею и теорема 5.1 доказаны.
380 23. О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ Замечание. Из леммы 5.1 легко выводится и прямое доказательство теоремы 5.1 без посредства теоремы 5.2: достаточно заметить, что каждой нити £ спектра Q соответствует точка /(£) =х£Е, для которой нить £ является системой всех окрестностей в пространстве Е. Полученное отображение / есть топологическое отображение пространства спектра Q на множество Е. § 6. Доказательство теоремы о гомеоморфизме множеств Итак, для всякого множества Еа Rn некоторая мультипликация Q* его открытого спектра Q содержит ослабленный канонический спектр S'c множества Е в качестве конфинальной части. При этом мультипликация заключается в том, что мы всякое каноническое (относительно пространства /?п, в котором лежит множество Е) покрытие множества Е считаем в спектре столько раз, сколько в Rn имеется канонических триангуляции, высекающих в множестве Е данное каноническое покрытие. Пусть теперь в некотором Rn дано множество Е\ гомеоморфное множеству Е. Тогда у множеств Е и Е' один и тот же открытый спектр Q. Подвергнем уже построенный спектр Q* дальнейшей мультипликации Q**, заключающейся в том, что мы каждое покрытие множества £", каноническое относительно Rn , считаем столько раз, сколько в Rn имеется канонических триангуляции, высекающих это покрытие. Спектр Q** содержит в качестве конфинальных частей и ослабленный канонический спектр множества Е и ослабленный канонический спектр множества Е'\ Так как ослабленный канонический спектр любого множества является конфинальной частью геометрического спектра этого множества, то первая часть теоремы 2.1 доказана. Доказательство второй части непосредственно следует из того, что спектр и его конфинальная часть имеют одно и то же пространство и что пространством геометрического спектра данного множества Е является само это множество. Теорема о гомеоморфизме точечных множеств полностью доказана. Остается отдельно рассмотреть случай полиэдров.
23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 381 Пусть т — какая-нибудь триангуляция полиэдра Е. Мы рассматриваем всевозможные подразделения а, р, . . . триангуляции т, считая р > а, если р является подразделением триангуляции а, и определяя проекции естественным геометрическим образом: проекция я£ер вершины е$ 6 Р состоит из остова носителя а точки е$. Направленное множество всех подразделений триангуляции т с только что определенными проекциями есть спектр, который естественно назвать комбинаторным спектром Sx полиэдра Е относительно данной его триангуляции т. Методом, неоднократно примененным в этой работе, мы доказываем следующую лемму: Если £' = {еа>} есть проекционное множество спектра SXJ то пересечение всех звезд Оеа>, о! £ £'» непусто и состоит из одной точки х £ Е. Обратно, пусть дана система £' = {еа>} вершин, принадлежащих к некоторым подразделениям а' триангуляции т, образующим конфи- нальную часть направленного множества всех подразделений этой триангуляции. Если пересечение всех звезд Оеа^ где еа>£ £', непусто, то |' есть проекционное множество спектра £х. Из этой леммы легко выводится, что спектр Sx образует конфинальную часть открытого спектра Q полиэдра £, откуда в свою очередь следует теорема 2.3. Возможность ограничиться в ее формулировке спектрами, состоящими из комплексов размерности, равной размерности рассматриваемых полиэдров, вытекает из того, что в открытом спектре.г-мерного полиэдра покрытия кратности г + 1 образуют конфинальную часть, в которой комбинаторный спектр этого полиэдра также содержится в качестве конфинальной части. § 7. Несколько замечаний Теорема о гомеоморфизме точечных множеств, составляющая основное содержание этой работы, очень отягчена лежащим в ее основе понятием конфинальной части спектра. Было бы, конечно, чрезвычайно желательно заменить участвующее в теореме о гомеоморфизме понятие конфинальности более простым понятием, приводящим к аналогичным результатам.
382 23, О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ Откажемся теперь на мгновение от определения конфинальности, сопровождавшего нас в течение всей этой работы, и скажем, что спектр 2' есть в элементарном смысле конфинальная часть спектра 2, если направленное множество всех комплексов, составляющих спектр 2', является конфинальной частью направленного множества комплексов, составляющих спектр 2 (проекции в обоих спектрах одинаковы). Из предыдущего легко следует, что комбинаторные спектры (см. § 6) двух гомео- морфных полиэдров образуют в этом элементарном смысле конфинальные части одного и того же спектра (именно, спектра, состоящего из нервов всех открытых покрытий какого-либо из этих полиэдров с порядком, основанным на обычной — не непременно регулярной — вписанности одного покрытия в другое). Возникает следующая задача, представляющаяся мне в высшей степени интересной: Пусть известно, что комбинаторные спектры двух полиэдров образуют конфинальные в элементарном смысле части одного и того же абстрактного спектра; можно ли утверждать, что в этом случае два данных полиэдра гомеоморфны между собой! Вопрос немного потеряет в представляемом им интересе (а вероятно, и в трудности), если, ставя его, мы ограничимся лишь компактными («конечными») полиэдрами. ЛИТЕРАТУРА [1] Alexandroff P., Hop] Н. Topologie, I.— Berlin: Springer, 1935. [2] Александров П. С. Основные теоремы двойственности для незамкнутых множеств /г-мерного пространства.— Матем. сб., 1947, 21, № 2, с. 161—232, и наст, издание, т. III. [3] Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.; Л.: Гос- техиздат, 1947. [4] Александров П. С. К комбинаторной топологии незамкнутых множеств.— Матем. сб. 1953, 33, № 2, с. 241—260, и наст. издание, т. III. КОММЕНТАРИЙ В результате последующего развития идей П. С. Александрова, заложенных в настоящей статье, было не только получено доказательство содержащегося в § 7 утверждения; но и установлено, что это утверждение остается верным даже при совсем ослабленном понимании конфинальной части спектра. Кроме того, теорема 5.1 была распространена на максимально возможный класс топологических пространств, т. е. на класс ^-пространств, И. А. Шведовым (Тр. Московск. матем. о-ва, 1963, 12, с. 99—124).
24 О МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ *) Несмотря на то, что в работах Нагата, Ю. Смирнова и Бинга (см., например [3], гл. 4) проблема метризации топологических пространств получила свое окончательное решение (более удовлетворительное, чем первое решение этой проблемы, данное П. С. Урысоном и мною в 1923 г. в работе [1]), обширный круг вопросов, связанных с теми или иными метризационными условиями, далеко не исчерпан: это показывают, например, новейшие работы А. Стоуна, Нагата и других, а также непосредственно предшествующая настоящей заметке работа В. Пономарева «Аксиомы счетности и непрерывные отображения», в конце которой ставится новая метризационная задача. То новое решение общей проблемы метризации, которое я даю в нижеследующих строках, примыкает к кругу идей упомянутой работы В. Пономарева: в основе этого решения лежит дальнейшее, по сравнению с работой В. Пономарева, усиление первой аксиомы счетности. Под «пространством» будем все время понимать ^-пространство. Назовем (открытую) базу 93 пространства Хравномерной, если она удовлетворяет следующему условию: всякое бесконечное множество элементов базы 2$, содержащих данную (произвольную) точку i£I, образует базу этой точки**) в пространстве X. Иначе условие равномерности базы 93 можно выразить так: какова бы ни была точка х £ X и ее окрестность Ох, существует не более конечного числа элементов базы SS, содержащих точку х и пересекающихся с X \ Ох. *) Опубликовано в Бюлл.;Польской Акад. наук, сер. матем., 1960, 8, с. 135-140. **) Множество а ={£/"} окрестностей точки х называется базой этой точки в пространстве X, если для любой окрестности Ох найдется такое U £ о, что U С Ох.
384 24. О МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Замечание 1. Очевидно, всякое пространство, имеющее равномерную базу, удовлетворяет первой аксиоме счетности: если в базе 23 какая-нибудь точка имеет несчетное множество окрестностей, то, беря в этом множестве счетное подмножество, получим счетную базу этой точки. Замечание 2. Пусть X — метрическое пространство и о)п — покрытие, состоящее из шаров радиуса 1/п. Вписываем в (оп локально конечное покрытие ov Тогда 9S = II (On, как легко видеть, является равномерной п базой пространства X. Итак, всякое метризуемое пространство имеет равномерную базу. Замечание 3. В дальнейшем мы будем предполагать, что в равномерной базе 23 пространства X не содержится многоточечных множеств, состоящих из изолированных точек. I. Всякая равномерная база 23 пространства X является точечно счетной *). В самом деле, пусть {Опх}, л = 1, 2, 3, ...,— какая- нибудь счетная база (неизолированной) точки х в пространстве X; так как f\ Опх = х, то всякий элемент U п f базы 23 пересекается с некоторым из множеств X \ Опх. Рассмотрим те С/ 6 23, которые содержат точку х\ среди них лишь конечное число может пересекаться сХ \ Опх; совокупность этих U обозначим через вп. Тогда множество всех U £ 23, содержащих точку #, есть счетная сумма Ысгп конечных множеств, чем утверждение I доказано. п II. Пусть о — какая-нибудь подсистема равномерной базы 23. Существует точечно конечная подсистема о0 системы о: о0 ^ о ^ 23, с тем же телом **), что и система а. *) Система множеств S = {С/}, лежащих в X, называется точечно счетной, если точка х £ X принадлежит не более чем счетному числу элементов системы 8. **) Телом системы о* множеств, лежащих в пространстве X, называется множество о £ X, являющееся суммой всех множеств элементов системы о\
24, О МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 385 Доказательство. Нумеруем элементы системы о посредством порядковых чисел: о = {Fa}, a <С сот (где о)х — начальное число мощности, равной мощности системы о). Полагаем Ux = Vx и предположим, что построены U% = Vak для всех к < Х0 так, что 1°. Каждое Vy, v<a*,, содержится в ^J f/u. 2°. Множество U% не содержится в сумме ^J U^. Если ^J и^Ф^Уау то берем первое Fa, обозначим его Fax, не содержащееся в ^J £/*,, и полагаем U%b = Va*. Условие 2°, очевидно, выполнено для А, = Я0. Условие 1° тоже выполнено: при v<ax# имеем Vk^ U ^х (п0 опРеделению аО* Процесс останавливается на некотором Х^(а>Х9 для которого U ^= U ^а* Доказываем, что система о0 = {V\} ^ о точечно конечна. В противном случае пусть х 6 Р| #;сл. Тогда п {Uxn} есть счетная база точки а; и в ней можно выделить бесконечную убывающую подпоследовательность, которую, без ограничения общности, можно предположить совпадающей со всей последовательностью: (1) UKg=>Ukaz>...=>UknZ3... Ввиду условия 2° порядковые числа Ях, Я2, ... могут идти, только убывая; но тогда последовательность (1) может быть только конечной — вопреки предположению. Утверждение II доказано. Следствие. Всякое пространство с равномерной базой точечно паракомпактно х). В самом деле, пусть в пространстве X дана равномерная база 93. Пусть со — какое-нибудь открытое покрытие пространства X. Вписываем в него покрытие о, состоящее из элементов базы 93, и берем в нем точечно конечное подпокрытие а0. Покрытие а0 и подавно вписано в со.
386 24* ° МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ III. Пространство X тогда и только тогда имеет равномерную базу, когда оно имеет счетную полную систему точечно конечных покрытий *). Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что она ясно рисует связь между наличием равномерной базы и метризуемостью пространства: в самом деле, легко видеть, что для метризуемости регулярного пространства X необходимо и достаточно наличия в этом пространстве счетной полной системы локально конечных покрытий **). Доказательство теоремы III. Обозначим через 93* систему (быть может, пустую), состоящую из всех одноточечных открытых множеств (каждое из которых состоит, следовательно, из одной изолированной точки) пространства X. Лемма 1. Если 98 — какая-нибудь база пространства X и (& — точечно конечная система открытых в X множеств (не имеющая общих элементов с Шг), то (23 \©) U 25* есть снова база пространства X. В самом деле, если х — любая неизолированная точка пространства X и 98* с: 9S — какая-либо база этой точки, то лишь конечное число элементов системы 23* может принадлежать к ©. Поэтому 98х\ ©естьбаза точки х. Лемма доказана. Пусть теперь 9S — равномерная база пространства X и ©х = 93* U ©i — какое-нибудь содержащееся в ней точечно конечное покрытие (среди элементов ©', нет одноточечных открытых множеств). Тогда 9Si = SB \ ©J есть снова равномерная база, в которой мы опять находим точечно конечное покрытие ©2=93*11 ©2» В равномерной базе 932 = 93i \ ©2 находим точечно конечное покрытие ©з = »* и @; и т. д. *) Система покрытий 2 = {со} называется полной, если, выбирая из каждого со £ 2 произвольный элемент, содержащий данную (произвольную) точку х £ X, всегда получим базу этой точки. **) Необходимо: если X метризуемо, то в силу метризационного условия (1) в X существует счетная полная система покрытий 2 = {ып}. Вписываем в каждое сод локально конечное соД; тогда {со^} также есть полная система покрытий. Достаточно: объединение счетной полной системы локально конечных покрытий есть, очевидно, база пространства, которое, таким образом, оказывается метризуемым по теореме Нагата — Смирнова.
24€ О МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 38? В результате получаем последовательность покрытий ©и, @2> . . .,©п» • • ^@n = SSi U @п, причем В @п и @т при я^т нет других общих элементов, кроме принадлежащих 2S*. Отсюда и из того, что все @п являются подсистемами равномерной базы 25, сразу следует, что последовательность {@п} образует полную счетную систему (точечно конечных) покрытий. Пусть, обратно, щ, со2, . . ., (оп, . . .— счетная полная система точечно конечных покрытий пространства X. Покажем, что в X существует равномерная база. Для этого, имея два каких-нибудь покрытия аир, обозначим через а Д р покрытие, составленное из всех множеств, являющихся пересечениями какого-нибудь элемента покрытия а с каким-нибудь элементом покрытия р. Если аир — точечно конечные покрытия, то точечно конечным является и покрытие а Д р. Положим теперь ы[ = щ и, предполагая построенным (On, положим (£>'п+1 = (ОпЛ ^n+i* Тогда последовательность {соп} есть полная последовательность точечно конечных покрытий, из которых каждое следующее вписано в предыдущее. Положим 9S = U ^п и докажем, что 23 — равномерная база. Если х — произвольная точка пространства X, {Г} — произвольная бесконечная система содержащих точку х множеств Г £ 2S, то в каждом о)п может содержаться] не более конечного числа этих Г, так что в {Г} имеется бесконечная последовательность <*о = {Г„Л}, пх < п2 < . . . < nk < . . . , элементов Гп/г, принадлежащих соответственно покрытиям confe. Требуется доказать, что о0 есть база точки х. Для каждого к = 1, 2, 3, ... берем в каждом из покрытий о)ь где nh < i < nk+i, по элементу Г^ £ со*, содержащему Tnh+i (такое Tt существует, так как каждое (Dj+i вписано в cdj). Мы, таким образом, пополним систему а0 = {ГПк} до системы а = {Гп}, имеющей по представителю в каждом соп и поэтому являющейся (ввиду полноты системы покрытий сол) базой точки х. То, что сг0 также есть база точки х, непосредственно вытекает из следующей очевидной леммы:
388 24, О МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Лемма 2. Пусть <т0 есть система открытых множеств, каждое из которых содержит данную точку х\ пусть о zd а0 есть также система открытых множеству причем каждое Г 6 о содержит некоторое Г" £ ао- Тогда, если а есть база точки х, то базойг точки х является и а0. Теорема III доказана. Замечание. Из теоремы, доказанной В. В. Не- мыцким и мною в нашей совместной работе [2], следует, что в каждое пространство X с равномерной базой можно ввести «симметрическую метрику Копта» *). В предыдущей заметке В. Пономарев обратил внимание на то, что всякое паракомпактное пространство, имеющее счетную полную систему покрытий {(оп}, метри- зуемо**). Так как, с другой стороны, всякое метризуемое пространство имеет равномерную базу, то получаем следующую теорему 2): IV. Для того чтобы пространство было метризуе- мым, необходимо и достаточно, чтобы оно было параком- пактом с равномерной базой. В силу известной теоремы Э. Майкла (см., например, [3]) всякое коллективно нормальное ***) точечно паракомпактное пространство является паракомпактом. Поэтому из теоремы IV и следствия теоремы II вытекает *) То есть определить в пространстве X неотрицательную симметрическую функцию р (х, у) = р (у, х) пары точек, обращающуюся в нуль тогда и только тогда, когда х = у, определяющую данную в X топологию (это значит, что х есть точка прикосновения множества М ^ X тогда и только тогда, когда inf р (х, у) = 0) уем и удовлетворяющую «условию Коши»: всякая сходящаяся последовательность точек есть фундаментальная. **) В. Пономарев выводит это заключение из метризационной теоремы, доказанной П. С. Урысоном и мною в [1]; оно сразу следует также из теоремы Нагата — Смирнова: вписывая в каждое соп локально конечное покрытие сод, сразу получаем базу ^J соД, удов- п летворяющую условию этой теоремы. ***) Пространство называется коллективно нормальным, если в нем всякая дискретная система замкнутых множеств имеет дизъюнктную систему окрестностей. При этом система 2 = {F} замкнутых множеств дискретна, ели она дизъюнктна (т. е. множества F попарно не пересекаются и если сумма любой подсистемы системы 2 замкнута.
24. О МЕТРИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 389 Метризационная теорема. Для метризуемости топологического пространства необходимо и достаточно, чтобы оно было коллективно нормальным пространством с равномерной базой3). П. С. Урысон в самом начале своих занятий проблемой метризации высказал гипотезу, что условие метризуемости должно получиться в результате одновременного усиления, с одной стороны, аксиом отделимости, а с другой,— первой аксиомы счетности. Наш результат придает точное содержание этой гипотезе П. С. Урысона и доказывает ее спустя 35 лет последе го смерти. ЛИТЕРАТУРА [1] Alexandroff P. Une condition necessaire et suffisante pour q'une classe (L) soit une classe (D).— C.r. Acad. sci. Paris, 1923, 177, с 1274—1276. Русский перевод: наст, кн., с. 50—52. [2] Александров П. £., Немыцкий В. В. Условие метризуемости топологических пространств и аксиома симметрии.— Матем. сб., 1938, 3, с. 663-672. [3] Келли Дж. Общая топология.— М.: Наука, 1968. КОММЕНТАРИЙ х) Пространство называется точечно паракомпактным (или слабо паракомпактным), если в любое его открытое покрытие можно вписать открытое точечно конечное покрытие.. 2) Известен следующий результат Р. Бинга (Metrization of topological spaces.— Canad. J. Math., 1951, 3, c. 175—186): Всякое коллективно нормальное пространство, обладающее счетной полной системой открытых покрытий, метризуемо. Отсюда и из теоремы III вытекает непосредственно и теорема IV. * 3) Отправляясь от данного в работе понятия равномерной базы — оказавшегося важным инструментом во многих вопросах общей топологии,— А. В. Архангельский ввел в рассмотрение регулярные базы (Бюлл. Польской Акад. наук, сер. матем., 1960, 8, с. 589—595) как такие базы 93 пространства X, что для каждой точки х £ X и каждой ее окрестности U найдется окрестность V той же точки такая, что одновременно с V и с X \ U может пересекаться не более конечного числа элементов базы. Оказывается, для метризуемости топологического пространства необходимо и достаточно, чтобы оно было ^-пространством и имело регулярную базу. Что касается равномерных баз, то А. В. Архангельский доказал, что ^-пространства с равномерной базой суть в точности непрерывные открытые образы метрических пространств с бикомпактными прообразами точек.
25 О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ БИКОМПАКТНЫХ РАСШИРЕНИЯХ *) 1. Вполне регулярные пространства были введены А. Н. Тихоновым как пространства, обладающие «достаточно многими» непрерывными функциями. А. Н. Тихонов доказал также, что эти пространства могут быть охарактеризованы свойством быть множествами, лежащими в бикомпактных хаусдорфовых пространствах. Сопоставление и неожиданная эквивалентность этих столь непохожих свойств приводит к задаче о внутренней характеристике этих пространств без привлечения числовых функций и без погружения в другие пространства. Такая характеристика была дана Ю. М. Смирновым [1] и состоит в следующем. Требуется, чтобы у некоторых замкнутых множеств ^-пространства X можно было выделить некоторые окрестности так, чтобы полученная таким образом система выделенных окрестностей удовлетворяла следующим условиям: 1°. Выделенные окрестности имеются у всех точек пространства X, и они образуют базу этого пространства в обычном смысле слова. 2°. Если у замкнутого множества F имеется выделенная окрестность OF, то выделена и меньшая окрестность O'F того же множества таким образом, что OF является выделенной окрестностью и для замыкания [O'F]. Условия 1° и 2° Ю. М. Смирнова фигурируют в числе «аксиом подчинения», рассмотренных нами в работе [2] и эквивалентных аксиомам близости В. А. Ефремовича. В настоящей работе прежде всего показывается (§ 1, теорема 1), что выделение системы окрестностей, удовлетворяющей одним лишь условиям 1° и 2°, сразу же ведет к подчинению, удовлетворяющему всем условиям работы *) Совместно с В. И. Пономаревым. Опубликовано в Вестн. МГУ, сер. матем., мех., 1962, 2, с. 37—43.
25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 391 [2], т. е. к установлению вполне определенной близости в пространстве X, а вместе с тем и к построению вполне определенного бикомпактного расширения этого пространства. Условие 1° при этом выражает тот факт, что вводимая близость согласована с топологией пространства X, тогда как в условии 2° и заключено основное содержание самого понятия подчинения (близости). В работе [2] мы стремились по возможности сузить исходный класс множеств, связанных между собой отношением подчинения. В § 2 настоящей работы мы с другой стороны подходим по существу к той же задаче: мы рассматриваем системы всех разбиений а = {А*, . . ., А^} пространства X; при этом разбиением (или каноническим покрытием) пространства X называется, как известно, конечное покрытие, элементами которого являются замыкания дизъюнктных открытых множеств Af = [U?], U? (} Uf = Л. Если покрытие ос' мельче, чем а (или следует за а), что записывается в виде о! > а, т. е. если каждый элемент а' содержится в некотором элементе а, то а' есть подразделение покрытия а в том смысле, что каждый элемент а' содержится лишь в одном элементе а и каждый элемент покрытия а есть сумма всех содержащихся в нем элементов покрытия а'. Если X есть какое^ нибудь бикомпактное расширение пространства X, то системы всех разбиений пространств X и X находятся во взаимно однозначном соответствии: каждое разбиение а пространства Хвысекает из X разбиение а = Ха пространства X, причем элементы а суть пересечения с X элементов покрытия а, элементы а являются замыканиями в X соответствующих элементов покрытия а. Это соответствие между разбиениями пространств X и X является изоморфизмом в том смысле, что оно сохраняет установленный выше порядок между покрытиями, причем элемент Af покрытия а' тогда и только тогда содержится в элементе Af покрытия а, когда элемент [Aj ]^ покрытия а' содержится в элементе Ы?]^ покрытия а. Возникает естественный вопрос: раз у всех расширений пространства X системы разбиений изоморфны между собой (а именно изоморфны системе разбиений Б самого простран-
392 25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ства X), то какая же дополнительная информация об этой системе 2 позволяет восстановить данное бикомпактное расширение X пространства X? Решение этого вопроса, очевидно, эквивалентно построению данной близости в пространстве X из условий, налагаемых на систему 2. Эта задача и решается в § 2 настоящей работы следующим образом. 2. Назовем элементарным замкнутым множеством ранга а в пространстве X (кратко множеством Аа) всякое множество, являющееся суммой некоторого числа элементов А? покрытия ос 6 2. Дополнение к элементарному замкнутому множеству ранга а назовем элементарным открытым множеством ранга а (кратко — множеством (У1). Очевидно, при а' > а всякое Аа есть некоторое Аа , всякое (У1 есть' некоторое 0а'. Мы скажем, что система 2 всех разбиений пространства X топологизирована, если для каждого элементарного Аа отобраны в качестве окрестностей ОаАа некоторые содержащие его элементарные Оа с соблюдением следующих условий: 1°. Для всякой точки х £ X и всякой ее окрестности Ох в пространстве X существуют такие а, Аа и отобранное ОаАа, что х g Аа <= ОаАа =Юх. 2°. Для всякого Аа и всякой его отобранной окрестности ОаАа найдется такое а' > а и отобранная Оа>Аа, что ОаАа есть одна из отобранных окрестностей множества Аа' = [Оа*Аа]: ОаАа = Оа.[Оа.Аа]. Замечание. Помня все время, что при а' > а всякое Аа и всякое Оа суть соответственно некоторые Аа и Оа , мы считаем всякое отобранное ОаАа в то же время и некоторым отобранным Оа>Аа. Обратно, если Аа и отобранное Оа*Аа суть в то же время некоторые Аа и ОаАа, то мы считаем, что Оа*Аа' есть некоторое отобранное ОаАа. Основным результатом § 2 является
25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 393 Теорема 2. Каждое бикомпактное расширение X пространства X порождает вполне определенную тополо- гизацию системы 2 всех разбиений пространства X: в качестве ОаАа отбираются все О'1, удовлетворяющие тому условию, что Аа и X \ 0% имеют в X дизъюнктные замыкания. Обратно, каждая топологизация системы 2 всех разбиений пространства X однозначно определяет некоторое бикомпактное расширение иХ пространства X. Замечание. Две разные топологизации иг и v2 системы всех разбиений пространства X могут быть эквивалентными, т. е. определять одно и то же бикомпактное расширение X; однако среди всех эквивалентных топологий имеется одна-единственная топологизация v0, максимальная в том смысле, что всякая окрестность""ОаЛа, отобранная в какой-нибудь из данных эквивалентных топологизации, является отобранной и в смысле максимальной топологизации у0. Этой максимальной топологи- зацией является топологизация, порожденная самим данным бикомпактным расширением X (в смысле, указанном формулировке теоремы 2). § 1. Распространение подчинения Теорема 1. Пусть для некоторых пар множеств F, Я {где F замкнуто, Я открыто в пространстве X) определено подчинение F <0 Я, удовлетворяющее следующим условиям: 1°. Если F <imH,mo~F <= Я. 2°. Если F <\щНГ™<о существует такая окрестность OF, что F<iOF <= \OF^ <Y Я. 3°, Если даны произвольная точка х и ее произвольная^ окрестность Ох, то х <1 Ох. Распространяем это подчинение до подчинения < последующим правилам. Полагаем F < Я, если F <0 Я, и, сверх того, полагаем * ^ a) если F, ^ F <1 Я ^"Яь то F{ < Н{; b) если F, <i Я,, F9 <1 Я2, то Fx U F2 < Нг [) U Я2, Рг n F2 < Пх п Я2;
394 25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ с) если F <i#, то (X \ Я) < X \ F. Полученное подчинение удовлетворяет аксиомам К1 — К7 *). Замечание. Если исходное «подчинение» <i удовлетворяет кроме 1° = К2, 2° = К5, 3° = К7 еще и аксиоме отражения К1, то, дополняя его согласно правилу а), получаем подчинение <, также удовлетворяющее аксиоме отражения. В самом деле, пусть F < Я, значит, F с= Ft<\ Нг ^ Я. Тогда 1\Яд Х\ Нг <i <i X \ F2 g= X \ F, т. е. X \ Я< X \ F. Доказательство теоремы 1. 1°. Если мы распространим подчинение <i до подчинения <2 по правилу а), то получим подчинение, которое будет удовлетворять аксиомам К2, КЗ, К5. 2°. Распространяем теперь подчинение <2 до подчинения <з по правилу с), докажем, что подчинение <0 по-прежнему удовлетворяет условиям К2, КЗ, К5. Действительно, ' К2. Пусть (X \ Я) <з (X \ F), т. е. F <2 Я; следовательно, F = Я, т. е. (X \ Я) с (X \ F). КЗ. Если Ft <= X \ Н <з X \ F <= Нъ то X \ X Ях с F <2 Я с= X \ Fl7 (X \ Ях) <2 (X \ Ft), а потому Fx <з J5Tj. К5. Если F <з Я, то (X \ Я) <2 (X \ F), а" тогда существует такое О (X \ Я), что (X \ Я)<2 О (X \ Я), [О (X \ Я)] <2 (X \ F), следовательно, F <з X \ [О (X \ Я)] с (X \ О (X \ Я))<з Я. Обозначим X \ [0( Х\ Я)] = OF. Тогда .F <з OF и [OF] с [Х\ О(Х\ Я)] =Х\ 0(Х \ Я)<з Я, т. е. К5 выполнено. *) Аксиомы К1 — К7 сформулированы в работах [2]. Для удобства читателя приводим их здесь. Подчинение в пространстве X определено для пар множеств F, Я, где F замкнуто, а Я открыто в X. При этом: К1. Если F < Я, то X \ Н < X Ч F. К2. Если F < Я, то F <= Я. КЗ. Если Ft cz F < На Нх, то Fx < Я^ К4. Если Fx < #!, F2 < Я2, то F^U^ < #i U Я2. К5. Если F < Я, то существует OF так, что F < OF, [OF] < Я. Кб. Л < Л. К7. х < Ох.
25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВА* 395 Подчинение <!з распространяем до подчинения < по правилу Ь). Подчинение < удовлетворяет всем аксиомам К1 — К7. В самом деле, аксиомы К2, К4, Кб, К7 очевидны. Доказываем, что выполнена аксиома К1. Достаточно доказать, что если Fx «О Ях, F2 <з Я2, то (X Ч {Н1 \] U #«)) < (X Ч (Л IJ Ft)). Но мы имеем (X \ Я3) <з <з (X \ Л), (X Ч Я2) <з (X Ч ^«), а тогда (X Ч Иг) П П (X Ч Я2) < (X \ Л) П (X \ F2), т. е. X \ (Ях и Я2)< X \ (Л и *,). Доказываем, что выполнена аксиома К5. В самом деле, если Fx <з Ях, F2 <з Я2, то найдутся 0/^ и 0F2 такие, что F1<sOF2, [OF1]<sH1, F2<sOF2, [OF2] <зЯ2. Теперь, полагая О (Fx (J F2) = OFx |J <9F2, получим Fx\) F2<0 (F, U F2) s Ю (Fi U F,)l < #! U Я2. Докажем, наконец, что не нарушится и аксиома КЗ. Пусть Рг <з Ях, F2 <з Я2, F'c?iU ^„ Hi U Я2 сг Я'. Надо доказать, что F' < Я'. Так как F' = [Ff fl Л) U U (Г П ^ и f П ^i ^ ^i <3 Я, = Я', то F* U ^2<3 <з Я'. Аналогично" (F' П ^2) <3 Я'. Следовательно, Г = (F' П Л) U (*" П F^) < Я' U Я' = Я' Так как выполнена К5, то из КЗ (для сумм) выполнена и КЗ (для пересечения). Итак, распространяя подчинение по схеме <i -><!2 -^<з -v<, получаем подчинение <С, УДов- а) с) Ъ) летворяющее всем аксиомам К1 — К7. § 2. Доказательство теоремы 2 1. Напомним прежде всего элементарные свойства системы 2 = {фа} всех разбиений вполне регулярного пространства X, состоящего из бесконечного множества точек. Система 2 является измельчающейся в том смысле, что для любой точки х 6 X и произвольной ее окрестности Ох найдется такое фа 6 2, что звезда точки д:вфа (мы обозначаем ее через 5а х) содержится в Ох. В самом
396 25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ деле, берем окрестность Огх так, чтобы [Огх] ^ Ох, и рассматриваем каноническое покрытие <ра = {[0^], [X \ \ [Ог х]]}. Очевидно, Sax = [0^] ^ Ох, что и требовалось доказать. Система 2 является направленной (в смысле порядка, определенного во введении). В самом деле, пусть qv ={4?\ - . ., А%.}, фа" = {Af, . . ., А%.}. Обозначая через IA открытое ядро произвольного множества А, положим Hf = IAf , Hf = I A J" и рассмотрим покрытие фа, элементами которого являются всевозможные непустые множества At = [Hf П Щ*Ь Легко видеть, что фа есть разбиение, следующее как за фа', так и за фа«. Пусть X есть расширение пространства X. Пусть фа = {Af, . . .,Af} есть разбиение пространства X. Пересекая каждый элемент фа с X, получаем Af = X f| П 4? и фа = Хфа = {Af }, т. е. разбиение пространства X, причем, обратно, Af = [Л?]*- Этим путем устанавливается «естественное» взаимно однозначное соответствие между системой 2 всех разбиений пространства X и системой 2 всех разбиений пространства X, которое сохраняет порядок. В самом деле, Af = IHf]^, где Hf = IxAf. Множества Hf = X Г) Hf суть канонические открытые множества в" X; они дизъюнктны, их сумма всюду плотна в Х;"поэтому фа = {lHf]x} есть разбиение пространства X.*" При этом [Hf]x = Af = X П Af. В самом деле, очевидно, [Hf]x с= Af. Обратно, если х £ Af = [#f]x f] fl 1= [Я?]^ П ЗГ (так как X всюду плотно в X), т<Г *6 [ЯП*. Итак, фа = Хфа есть разбиение пространства X, причем замыкания элементов фа в X суть элементы покрытия фа, откуда следует, что двум различным покрытиям фа и фа/ соответствуют различные Хфа и Хфа*. Остается доказать, что каждое разбиение фа имеет вид фа = Хфа. Но если Фа = (Л?, . . ., А?}, ЛГ= [Я?1х, Hf = TxAf, то множества OHf = Tf суть дизъюнктные^ канонические открытые множества в X, а их сумма всюду плотна в X,
25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ причем [Г?]2 = Ш?]2 = Ы?]2 = А*> так что фа = {Л?} дает нам Хц>а = фа. Если считать всякое 0а, содержащее данное -4а, отобранной окрестностью этого Аа, то полученную топологию в 2 будем называть элементарной. Однако, вообще говоря, она не удовлетворяет условию 2° (см. введение, п. 2). В то же время имеет место предложение: А) Если X нормально, то элементарная топология в системе 2 удовлетворяет условиям 1 и 2. Утверждение А) легко следует из А') Пусть в нормальном пространстве X дано произвольное замкнутое множество А и произвольная его окрестность О А. Существует такое разбиение фа и такое элементарное открытое множество 0а, что А с= 0а <= [0а] <= ОА. Для доказательства утверждения А') возьмем такую окрестность ОгА, что [ОгА] ^ ОА, и положим фа = = {[02-41, [X \ [OiA]]}. Тогда для элементарного открытого множества 0а = X \ [X \ [ОгА]] сХ\(Х\ [0±А]) = 10гА1 во-первых, [0а] ^ [0i^4] cz ОА и, во-вторых, 1\Оа=[Х\ [ОгА]] sX\[01A] = X\ А, т. е. A s 0а, чем утверждение А7) доказано. Беря в предложении А') в качестве множества А произвольную точку х, видим, что элементарная топология в X удовлетворяет условию 1°. Беря в предложении А') в качестве А произвольное элементарное Ла, в качестве ОАа — произвольное 0а-4а, находим 0а'-4а, удовлетворяющее условию Аа s Оа.Аа s [0а,Ла] с= ОаАа. Но в элементарной топологии включение [0а'-4а] s ОаАа уже означает, что ОаАа есть отобранная окрестность множества [0а'Ла], так что условие 2° выполнено.
398 ^5. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 2. Переходим теперь к доказательству основного предложения (введение, теорема 2). Пусть в системе 2 = {сра} всех разбиений вполне регулярного пространства X введена топология, удовлетворяющая условиям 1° и 2° (введение, п. 2). Определим частичное подчинение, полагая Аа <С На всякий раз, как На = ОаАа есть отобранная окрестность множества Аа. Докажем, что выполнены аксиомы К2, К5, К7. Аксиомы К2, Кб очевидны; К7 непосредственно следует из 1°. Докажем К5. Пусть Аа < На, значит, На есть отобранная ОаАа. Берем а' > а так, чтобы в силу 2° было Юа>Аа] < ОаАа. Тогда Аа < ОаЛа, [Оа.А?\ < ОаАа. Итак, продолжая частичное подчинение <о согласно § 1, получаем подчинение <;, удовлетворяющее всем аксиомам К1 — К7. Таким образом, всякая топология на множестве всех разбиений 2 определяет некоторое бикомпактное расширение vX. Пусть теперь в системе 2 всех разбиений бикомпакта X введена элементарная топология. Тогда 2 = {фа} = = {X П фа} есть система всех разбиений пространства X. Для каждого элементарного Аа определяем Оа,А« = X П П °«Ла = X \ U Af. Условия 1° и 2° выполнены. Условие 1°. Пусть даны х, Ох; берем окрестность OjX в X так, чтобы X Q OjX = Ох. Находим Аа так, чтобы х £ Аа s ОаАа ^ OjX. Пересекаем это с X: х 6 Аа <= ОаАа s Ох. Условие 2°. Дана отобранная ОаАа = X [\ ОаАа. Берем такое а', чтобы [ба'Аа]^ £ ОаА% Тогда Оа>Аа = = X П ^а^а и [Оа>А?]х < ОаЛа. Итак, каждое X определяет вполне однозначно топологию в системе 2 всех разбиений пространства X.
25. О ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 3Q9 Докажем теперь, что, беря в системе S = {фа} всех разбиений пространства X топологию у, порожденную бикомпактным расширением X = ЬХ, мы в качестве пространства vX, определенного этой топологией, получаем снова пространство X. В самом деле, топология и получается из элементарной топологии в системе 2 = {фа} всех разбиений пространства X высечением ее пространством X. Но элементарная топология в ii порождает единственное существующее в X подчинение (близость), которое посредством того же высечения переходит в то самое подчинение в X, которое порождается топологией v. Поэтому бикомпактное расширение vX, определенное этой топологией, совпадает с X. Отобранные окрестности ОаАа1 составляющие топологию, порожденную данным бикомпактным расширением X, суть просто близостные окрестности, т. е. окрестности, удовлетворяющие условию: «Аа далеко от X \ ОаАа» (в смысле близости, порожденной бикомпактным расширением X). Но если какая-нибудь топология v в 2 порождает бикомпактное расширение уХ, то для ОаАа, отобранных в смысле этой топологии, всегда Аа будет далеко от X \ ОаАа. Этим доказана максимальность топологии, порожденной в 2 бикомпактным расширением X в классе всех топологий, определяющих это бикомпактное расширение X. Заметим, что эту максимальную топологию легко получить, отправляясь от произвольной топологии в 2, определяющей данное бикомпактное расширение уХ, и пополняя ее (оставаясь в пределах элементарных замкнутых и открытых множеств) по правилам, аналогичным правилам, изложенным в § 1. ЛИТЕРАТУРА [1] Смирнов Ю. М. К теории вполне регулярных пространств.— ДАН СССР, 1948, 62, с. 749—752; Уч. зап. МГУ, матем., 1952, 155, вып. 5, с. 137—155. 12] Александров П. С, Пономарев В. И. О бикомпактных расширениях топологических пространств.— ДАН СССР, 1958, 121, с. 575—578; Вестн. МГУ, сер. матем., мех., астрон., физ., хим., 1959, № 5, с. 93-108.
26 О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ*) В этой работе дается внутренняя характеристика диадических бикомпактов, т. е. бикомпактов X, яляющих- ся непрерывными образами так называемых обобщенных канторовых дисконтинуумов Dx (под Z)x, где т — бесконечное кардинальное число, понимается, как известно, топологическое произведение т бикомпактов Z?x, каждый из которых состоит из конечного числа изолированных точек **)). Важность класса диадических бикомпактов] подтверждается, например, следующими фактами: 1°. Класс ***) диадических бикомпактов есть наименьший класс, удовлетворяющий следующим условиям: а) он содержит все бикомпакты, состоящие из конечного числа точек; б) вместе с данными бикомпактами Ха он содержит их тополо- тическое произведение [[ха; а в) вместе с данным бикомпактом X он содержит и всякий бикомпакт У, являющийся непрерывным образом бикомпакта X. 2°. Класс диадических бикомпактов совпадает с классом всех бикомпактов, являющихся непрерывными образами бикомпактных топологических групп. В частности, пространство всякой бикомпактной топологической группы есть диадический бикомпакт (теорема Ивановского — Кузьминова [4]). 3°. Всякий диадический бикомпакт, удовлетворрющий первой аксиоме счетности, метризуем (теорема А. С. Есенина-Вольпина [3]). Из последнего предложения легко следует, что 4°. Всякий упорядоченный диадический бикомпакт гомеомор- фен ограниченному множеству действительных чисел. *) Совместно с В. И. Пономаревым. Опубликовано в Fundam. math., 1962, 50, № 4, с. 419—429. **) Без ограничения общности можно предполагать, что каждый множитель /\ этого произведения состоит из двух точек. ***) Можно ограничить его требованием, чтобы вес или мощность рассматриваемых бикомпактов не превосходили данного кардинального числа.
26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ 401 Интересные свойства диадических бикомпактов установлены Э. Марчевским (Шпильрайном) [6], Н. А. Шаниным [8] и другими исследователями... Даваемая нами в этой работе характеристика диадических бикомпактов состоит в требовании, чтобы в данном бикомпакте существовала измельчающаяся *) система конечных замкнутых покрытий, являющаяся ветвящейся в смысле, установленном в § 1 этой работы; в § 1 приводятся и элементарные примеры ветвящихся систем покрытий. Дополнительное требование дизъюнктности **) покрытий, образующих данную ветвящуюся систему, характеризует бикомпакты, гомеоморфные самим дисконтинуумам Dx (теорема 1 из § 2). Основной результат доказывается в § 3. В § 4 характеризуются диадические бикомпакты, являющиеся образами дисконтинуума Dx при неприводимых ***) непрерывных отображениях. В § 5 показывается, что кажущееся на первый взгляд естественным ослабление условий, наложенных на ветвящиеся системы покрытий, уже выводит нас за пределы диадических бикомпактов и приводит к новым характеристикам любых бикомпактов. § 1. Основные определения и примеры 1. Обозначим через 0Х направленное множество всех конечных подмножеств а = {к^ . . ., Яп} произвольного абстрактного множества Wx = {Ц (бесконечной) мощности г, упорядоченное по включению: а' >- а, если а' =э а. Элементы а = {7^, . . ., %п) множества 6г называем индексами. Старшими индексами называем индексы, не имеющие предшествующих в 6Х, т. е. индексы а, состоящие лишь из одного элемента К 6 Wx. *) Система покрытий 2 = {фа} пространства X называется измельчающейся, если, какова бы ни была точка х £ X и ее окрестность Ох> найдется такое <ра £ 2, что все элементы покрытия <ра, содержащие точку х, лежат в Ох. **) Покрытие называется дизъюнктным, если оно состоит из попарно не пересекающихся множеств. ***) Непрерывное отображение /: X ->- Y = fX называется неприводимым, если не существует никакого собственного замкнутого подмножества Х0 cz X, для которого fX0 = Y.
402 26. О ДИАДИЧЁСКЙХ ЁЙКОМПАКТА В дальнейшем мы отождествляем элемент X (j WT с множеством а^0х, состоящим из одного этого элемента X, так что Wx а вх. 2. Ветвящаяся система (мощности т) покрытий пространства X есть по определению направленная по множеству вх = {а}, а = {Хг, . . ., Хп), X 6 Wx, система % = = {фа} конечных *) замкнутых покрытий, удовлетворяющая следующим двум условиям: а) Если а = (А^, . . ., Хп), то все элементы Af покрытия фа суть непустые замкнутые множества **), находящиеся во взамно однозначном соответствии со всевозможными комбинациями {Акл, . . ., А\п) элементов покрытий фя! , . . ., фя и допускающие поэтому однозначную запись в виде Af — А.1'". п, где ik пробегает всезна- 1*" п чения от 1 до числа элементов s^ покрытия ф* . б) Элемент А% покрытия фа> называется (непосредственно) подчиненным элементу А% покрытия фа, если а = {A,1? . . ., Хп}, а = {Х±, . . ., Хп, X}, Ah = = ^4i1'". n, А% =Агг".\ш Мы требуем, чтобы всякий Г'Л71 1Ш"1П элемент покрытия фа, а = {Хг, . . ., Яп}, был суммой всех непосредственно подчиненных ему элементов любого покрытия фа/, а' = {Хг, . . ., Хп,Х}, непосредственно сле- дующего за фа, т. е. чтобы А{ г"\ п =\j А. г". п, . I*" п i=l V п А, .. А, Замечание 1. Если А? = А\1"\п, то матрицу 1"'гп ( * '" п \ , определенную с точностью до произвольной \ ii . •. in I *) В определении ветвящейся системы покрытий требование конечности покрытий несущественно; мы его вводим только потому, что все рассматриваемые в дальнейшем покрытия (за исключением одного примера 1° в п. 3 (с. 403)) будут конечными. **) При этом мы допускаем, что два различных элемента Af ni- покрытия фа могут геометрически совпадать, т. е. состоять из тех же точек пространства X; другими словами, мы считаем, что элементы покрытия ф„ суть так называемые обозначенные множества (см. пример из [1], гл. 1, § 1, п. 1:3). С другой стороны, существенно, что все элементы Х1У . . ., Хп любого множества а = ={ХХ, . . ., Хп} £ 6t предполагаются различными.
26. О ДИАДИЧЁСКЙХ БИКОМПАКТАХ 403 перестановки ее столбцов, естественно назвать матрицей данного элемента Л? покрытия сра. Пополняя эту матрицу любым столбцом вида . , где X 6 И\, X Ф Хх, . . ., Хп и X X X i = l,..., sx> получим любой элемент A v" п €ф{Х1,...л *,>, непосредственно подчиненный данному; наоборот, вычеркивая из матрицы элемента Af один какой-нибудь столбец, получим матрицу элемента, непосредственно подчиняющего себе данный элемент А*. Понятие непосредственного подчинения естественно обобщается, если мы будем считать подчиняющим элементом для данного элемента А* всякий элемент, матрица которого получается из матрицы данного элемента вычеркиванием любого числа ее столбцов. Очевидно, всякий элемент А У" .п содержится г1"лп во всяком подчиняющем его элементе; в частности, • /ii;:-^4in...n4:, откуда следует, что любая система элементов А{, взятых по одному из всех {или из некоторых) старших покрытий фх» X 6 Wx, является центрированной. Замечание 2. Пусть а' >- а, т. е. а = {Хг, . . . ...Дт}, а' = {Хг, . . ., А,т,. . .Дп}. Тогда всякий элемент ' X . .А, X Af = А }" ™..'лп покрытия фа' подчинен единственному г1'"гт' п элементу покрытия фа, а именно элементу Л* = = А ^..л™; мы пишем тогда Af < Af. 3. Примеры ветвящихся систем покрытий. 1°. Пусть X — обычное пространство Бэра, точками которого являются произвольные бесконечные последовательности х — = (&!, . . ., кп, . . .) натуральных чисел. Положим т = м0 и обозначим через Wx множество всех натуральных чисел X. Положим при а = {Х±1 . . ., Хп} Аа = ^-К = Ш{х= {К} еХ,ки = к1,.. ., кх=кп). Заметим, что в нашем случае каждое покрытие фа дизъюнктно, т. е. состоит из попарно не пересекающихся множеств. Ветвящаяся система покрытий 51 = {фа} является измельчающейся (бесконечной) системой покрытий.
404 26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ 2°. X — положительная числовая полупрямая, % = = к0. Обозначим через Wx множество всех натуральных чисел А,; через -А^1;;;.^, ih = 0, 1, . . ., 9, обозначим множество всех положительных чисел, обладающих разложением в бесконечную десятичную дробь, у которой J^-й, . . ., Яп-й десятичные знаки соответственно равны *!,..., in- Полученная ветвящаяся система покрытий фа снова измельчающаяся. Ни одно из фа не является дизъюнктным. 3°. Пространство DT имеет измельчающуюся ветвящуюся систему покрытий ЭД = {<ра} мощности т, причем каждое фа дизъюнктно и состоит из открыто-замкнутых множеств, число которых при а = {кг ,. . ., Хп} равно 2п. В самом деле, точки £ 6 Dx суть всевозможные наборы Ё = {Ы> h = 0 или 1. Полагаем при а = {кх , . . . . • ., КЬ Фа = {Ah'^l А^"Ы = 8 (6 = {у\} £Д\ hi = *i. . • •> Дп = *п). гДе *v = Of 1. § 2. Характеристика 2>х 4. Докажем теперь следующее предложение: Если X имеет ветвящуюся измельчающуюся систему мощности т конечных покрытий И = {фа}> каждое из которых дизъюнктно: К А, Фа = {А\-.ф ПРи а = {*!» ' • •' *пЬ то X = Z)x- Заметим прежде всего: из дизъюнктности покрытия фа следует, что его элементы суть открыто-замкнутые множества, а из комбинаторной вписанности дизъюнктного Фа в *) Фа* Л • • • Л Ф*л легко вытекает, что фа = фЛ1Д Д. . .ЛФЯп- Пусть Фх = {А\, . . ., Л^}, К 6 WV Обозначим через Db множество натуральных чисел 1,2,... . . ., $х, снабженных индексом Я (причем пишем s^ вместо *) Мы обозначаем через фЛ Л • • • Л Фя.Л покрытие, элементами которого являются всевозможные непустые множества вида Ait(\ ...П^ , где Ait$4%x, ...,^4 €ФХ -
26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ 405 (sx)b): Dx = {l\, . . ., sx}. Тогда каждой точке х £ X однозначно соответствует набор {-4^}^ определенный тре- бованием х £ Aix, и, следовательно, точка fx = g = {h} е П д, = d\ xewT Посмотрим теперь, скольким точкам х £ X соответствует одна и та же точка | = /a: £ DT. По самому определению отображения / из g = /#, g = {i\} 6 П ^х следует а=(Х1в.ЛЛ)6вт * R так как система {фа} измельчающаяся, то последнее пересечение, содержа точку х, не может содержать никакой другой точки. Итак, отображение / есть взаимно однозначное отображение в Dx. Докажем, что / есть отображение на Z?T. Пусть £ = {г\} £ Dx. Так как всегда по предположению А\^ П • • • П А\£п Ф Л, то система {А\Л центрирована, значит, имеет непустое пересечение, которое по предыдущему не может содержать более одной точки; итак, ^ А\ состоит из одной точки х, и тогда, X€WT по нашему построению, fx = £, так что / есть взаимно однозначное отображение на Z)T. Так как фа — измельчающиеся открыто-замкнутые покрытия, то совокупность их элементов есть база пространства X. При отображении эта база переходит в стандартную базу *) пространства Z?T, т. е. взаимно однозначное отображение / есть гомеоморфизм. Итак: Теорема 1. Пространство Dx есть (с точностью до гомеоморфизма) единственный бикомпакт, имеющий ветвящуюся измельчающуюся систему мощности т, состоящую из дизъюнктных покрытий. *) То есть базу, элементы которой суть всевозможные
406 26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ § 3. Характеристика диадических бикомпактов Пусть X — бикомпакт, имеющий измельчающуюся ветвящуюся систему покрытий мощности т: ?1 = {фа}, Ч>а = {Ааи ...,Л?а}, а = {Л1| ...,ЯпКвх. Рассмотрим в в = вх старшие индексы а = X 6 Wx и соответствующие Фа, = {-4i , . . ., ^s,}- Положим />>. = {1х, .... *х>, #* = П Z)^ xewT Пусть дана точка £ = {^} £ Z)T. Для каждого а = = {Х1? . . ., Хп} положим * (а) = (*V • • •» ЪПЬ где ц , . . ., г^п СУТЬ соответствующие координаты точки I £ Dx. Тогда при а > а (т. е. a' id а), очевидно, i (а') :э и> £ (а). Отсюда легко выводим, что система а = {А?{а)}, взятая по всем а £ 0, центрирована. В самом деле, если а0 = {A%t), . . ., ^4i(aft)} — любая конечная подсистема системы'а и а = ах U . . . U aft, то Аца) подчинено любому из множеств A%t) , . . ., Ai{ak) и, значит, содержится в их пересечении. Множества Л?(а), образуя, таким образом, центрированную систему, имеют непустое пересечение П л?(«>. а£6 Так как система {фа} измельчающаяся, то f| А *а) а£0 не может содержать более одной точки х и мы полагаем (1) х = П Af(a) = п. абв 1°. Отображение /: Dx ->- X есть отображение на X. В самом деле, пусть х £ X. Запишем в = {а} в виде вполне упорядоченного множества 0= {а0, ах, . . ., av,...}_, v < со (т), и возьмем какое-нибудь Л^° = Л (0) £ фао, х £ А (0). Предположим, что для всех (ы <С v выбраны А (|я) 6 фа , ж 6 A (|i), так, что, каковы бы ни были поряд-
26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ 407 ковые числа (в конечном числе) [1г , . . ., fxr < v, существует для некоторого aV', следующего за всеми «in, ,• • ., ац, элемент A (vf) ^ х покрытия cpav,, подчиненный всем A (jlij) ,. . ., A (iir). Докажем, что среди A (v) 6 фа можно выбрать такое A (v) Э #, что, каковы бы ни были \1г ,. . ., цг < v 4 1, существует индекс aV' 6 в, (Xv > aMl, . . ., ад , ив фал;, элемент, содержащий х и подчиненный всем А (ц^), . . ., А (\хГ) и выбранному нами A (v) Э #• Предположим, что такого A (v) найти нельзя. Это значит, что каково бы ни было Aiv 6 £фа , можно подобрать совокупность (i) ранее отобранных множеств: (0 = {A (|ili), . . ., А (|Дг))}, |аь . . . , Vl(i) < v, для которой нет никакого v', удовлетворяющего следующим условиям: (а) Индекс aV' 6 в следует за каждым] из индексов (б) Покрытие фау/ содержит множество Л (v') 3 #, подчиненное всем A (\i\), . . ., A ((ij<i)) и А^. Объединение всех систем (i), построенных для различных элементов A*v фа , есть конечная система а множеств A (|li), |i = \1г, . . ., |яг < v; для нее; следовательно, существует av-, следующее в 0 за всеми a[li , . . ., aMr, и в покрытии фа — некоторое A (v") Э х, подчиненное всем А (\х) £ а. Верем av>, следующее в 0 за av- и за av. В покрытии фау/ существует элемент A (v') 9 #, подчиненный элементу Л (v"), следовательно, всем A (|li) 6 or. Пусть А*г подчиняет себе элемент A (v'). Тогда ^4 (v') подчинен элементу Аа* и всем А (|х) 6 а, в частности, всем А (\х) £ (г0), вопреки1 определению системы (*0). Итак, по индукции для всякого a = av ^ 6 выбран А (ах)=А*£ц)а, Af^x, так, что, каковы бы ни были А?{\ . . .,Air, взятые в конечном числе из отобранных нами, всегда найдется некоторое а,', следующее в © за всеми а1? . . ., аг, и в фау/ элемент Aj , всем А^,. . .
408 26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ . . ., А{г подчинненый. Отсюда вытекает: если а' > а г в в, ToAf<.Af. В самом деле, если Af" < Af, А*]" < Л?, то, беря единственный Л?, подчиняющий себе Л?', видим, что Л"" < Л"» откуда Л£ = Л? (ввиду единственности подчиняющего элемента). Итак, для каждого х £ X имеется в каждом сра такой элемент Af Э х-> что все эти Af образуют «цепь» в том смысле, что из а' > а в в вытекает Af>Af>. Но тогда при а = {Хг, . . ., А,п}, а' = {^,. . ., А,п, ..., Хп>} имеем i = i (а) = {Ц, . . ., i%n} a {i^, . . ., fon,. . ., iv}, так что существует точка £ = {^} 6 ^т» Для которой /6 = *. 2°. Отображение / непрерывно. В самом деле, пусть I = {Q £Z)T, х = /g. Тогда, определяя U .v".n, как в сноске *) на с. 405, видим, что х £ f U} { ^ 1'" п X .. X. ^ Л .1"'п^фа, а = {Xi, . . ., %п}. Так как система {фа} измельчающаяся, то иэ сказанного сразу вытекает непрерывность отображения /. Итак, всякий бикомпакт с ветвящейся измельчающейся системой покрытий есть диадический бикомпакт. Обратно, всякий диадический бикомпакт X имеет ветвящуюся измельчающуюся систему покрытий: в нее переходит естественная ветвящаяся измельчающаяся система покрытий X .л Ш/ -п} бикомпакта Dx. Итак, доказана 1 г\"лп Теорема 2. Для того чтобы бикомпакт X был диадическим, необходимо и достаточно, чтобы он имел ветвящуюся измельчающуюся систему покрытий. § 4. Неприводимо диадические бикомпакты. Разбиением или каноническим покрытием пространства X называется покрытие <ра = {Af}, состоящее из канонических замкнутых множеств *) Af, открытые ядра J А \ которых попарно не пересекаются. *) Каноническим замкнутым множеством называется множество, являющееся замыканием открытого множества.
26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ 409 Бикомпакт X называется неприводимо диадическим, если существует неприводимое *) отображение /: D% -> -> X = fD\ Теорема За. Если X — неприводимо диадический бикомпакт, то в X существует измельчающаяся ветвящаяся система разбиений. Доказательство. Берем в DT естественную ветвящуюся измельчающуюся систему разбиений ба = = {Uf={ V-^}} и рассматриваем в X=fDx, где/: Dx-+X неприводимо, измельчающуюся ветвящуюся систему покрытий Утверждаем: фа есть разбиение. 1°. Vf = JAf \\J Af = X \ \J Af ф А; если бы 5Ф* 5Ф1 X \ (J А? было пусто, то X = (J Af = \JfUf = f[JUf. ЗМ 5Ф1 )фг эф\ Но так как множества Uf образуют дизъюнктное покрытие ба пространства Z?T, то ^J Uf Ф Dx и равенство / ^ Щ— = X противоречит неприводимости отображения /. 2°. Vf П V? = Л. В самом деле, если бы Vf (]Vf ф А, то tlVf()Uf= = Я^ было бы непустым открытым множеством Щ ч^. Uf; вычитая его из Uf (и из DT), получаем замкнутое D0czD , причем, так как Vf s= Af = fUf, то X = fD0, вопреки неприводимости /. 3°. Всякое Af канонично, т. е. Af = [Vf] ***). В самом деле, пусть Af Ч [У?] Ф Л. Тогда, рассматривая / на бикомпакте Iff a Z)\ /: Uf -+Af = fUf, имеем в^ бикомпакте Uf непустое открытое множество Hf = Г1 ^f \ [У?]). Если g6#?, то /6 $[!?], т.е. /g £ Af П U ^' т* е* (рассматривая / снова на всем Н\ *) Определение неприводимого отображения дано во введении **) Вместо Ui V '"' 'п и т. п. мы дальше пишем просто Uf. 1 " * п ***) Квадратные скобки означают замыкание.
410 26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ Dx): I 6/ U ^ Поэтому, вычитая из 1Д (и из Dx) все точки | £ Hf и рассматривая / на остатке D0 = Dx \ Hf, мы не теряем ни одной точки X, т. е. X = /Z>0 вопреки неприводимости отображения /. Утверждение За доказано. Теорема 36. Если в бикомпакте X существует измельчающаяся ветвящаяся система разбиений {фа}, то X — неприводимо диадический бикомпакт. В самом деле, докажем, что в этом случае отображение /: Dx -*• X, построенное в § 3, формула (1), на основе си темы {фа}, неприводимо. Если бы оно не было тако- вым, то существовало бы такое Щ = UУ".п, что / (Dx\ 1"'гп \ и*)=Х. Но это невозможно, так как точки х £ Vf = = J Af являются образами при отображении / лишь- точек £/?. Итак доказана Теорема 3. Среди всех бикомпактов неприводимо диадические характеризуются тем, что у них имеется измельчающаяся ветвящаяся система разбиений. § 5. Случай любых бикомпактов Условия, наложенные нами на понятие ветвящейся системы покрытий, являются очень сильными — это видно, например, из того, что утверждение, сделанное в § 1, замечание 1, является следствием этих условий. Легко, однако, построить пример недиадического бикомпакта, имеющего измельчающуюся систему разбиений {фа} (в смысле § 4), слабо ветвящуюсяв том смысле, что при фа > ф(5 каждый элемент фа распадается на два или более элементов ф р. Определим пространство Д0 как «трансфинитную прямую» (см. [2], гл. 1), т. е. упорядоченное лексикографически пространство всех пар х = (|, £), где \ пробегает все порядковые числа < сог и 0^^1, причем (|, 1) = = (5 + 1,0). Топология в Д0 порядковая. Пополняем пространство Д0 точкой (ох, следующей за всеми х = (£, t), что — опять-таки в порядковой топологии — дает бикомпакт Д = Д0 U (ох. Возьмем теперь на отрезке [0,1] совершенное нигде не плотное множество Р, все точки которого, за исключением принадлежащих ему точек 0 и 1, ирра-
26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ 411 циональны, и рассмотрим подпространство X бикомпакта Д, состоящее из точки о^ и всех точек х = (£, t), | <С coj — любое и t 6 Р. Пространство X, очевидно,— бикомпакт и притом недиадический. Обозначим теперь через W = = (к) множество (мощности нг) всех точек ^=(|, г) 6 Ао> где !<(!)! — любое порядковое и г — произвольное рациональное число интервала (0, 1). Каждое к разбивает упорядоченное множество Д на два сегмента Ш (х^.Х) и % (х^Х) с общим концом Я; пересечение этих сегментов с 1с А дает разбиение <рк бикомпакта X на два дизъюнктных открыто-замкнутых множества А\ и А2. Берем теперь в = {а}, где а = {^, . . ., Яп}, и определяем покрытие фа как состоящее из всех непустых пересечений Ai1 П •.• П Мп, где каждое il4 . . ., in принимает два значения 1 и 2. Ослабляем порядок в 0, полагая а' > а, когда, кроме условия a' id а, выполнено и следующее условие: каждый элемент фа распадается на два или более элементов фа'. Легко проверяется, что полученное таким образом частично упорядоченное множество покрытий фа — направленное и измельчающееся множество. Очевидно, однако, что среди пересечений Ал п ... {] А\п имеются пустые, так что наша система покрытий не является ветвящейся в смысле основного определения, данного в § 1. Понятие подчинения, лежащее в основе ветвящихся систем покрытий, заимствовано из определения Л-операции, как она была определена одним из авторов этой статьи еще в 1916 г. ([161). Для нашей цели удобно говорить об Л-системе покрытий (а не множеств) и определить ее в самом общем виде следующим образом: Направленная по какому-нибудь множеству индексов 0 = {а} система замкнутых покрытий 2 = {фа} пространства X называется Л-системой, если при а' > а, фа = {А*}, фа' = {Af} каждый элемент Af £ фа' подчинен единственному элементу А* £ фа (пишем: Af < <С Af), причем при данных а и а' > а каждое Af £ фа есть сумма всех подчиненных ему Af\ и выполнено условие транзитивности: из А% < Af', Af' < Af следует Af < At
412 26. О ДИАДИЧЕСКИХ БИКОМПАКТАХ Цепью (или нитью) данной Л-системы мы называем систему а = {А*} множеств Л?, взятых по одному из каждого фа и удовлетворяющих условию: при а' > а элемент А* цепи а подчинен элементу Af этой цени. Всякая цепь {Л?} является, как легко видеть, центрированной системой множеств. Пересечение всех множеств, образующих цепь, называется ядром этой цепи. Если ядро всякой цепи непусто, то А-система называется полной. МьГбудем теперь предполагать, что все покрытия фа, образующие данную Л-систему, конечные, и что сама система измельчающаяся. Тогда ядро всякой цепи будет состоять не более чем из одной точки. Буквально повторяя рассуждения § 3 (т. е. по существу рассуждения п. 2 заметки [7]), доказываем, что всякая точка х £ X содержится в ядре некоторой цепи Л-системы. -В работе [7] доказано, что всякое регулярное пространство X имеет «каноническую систему мощности т», т. е. измельчающуюся Л-систему Щ ~ {фа} мощности т, состоящую И8 конечных канонических покрытий (разбиений фа): подчинение получаем, считая при а' > а элемент Af 6 фа' подчиненным элементу А? 6 фа всякий pas, как А У ^ А? (легко видеть, что это единственное подчинение, возможное в Л-системе канонических покрытий). РЕсли X — бикомпакт, то Л-система {фа} автоматически оказывается полной. Докажем обратное предложение: Если пространство X имеет измельчающуюся полную Л-систему 9Г = {фа} мощности т, состоящую иэ конечных покрытий, то X — бикомпакт веса ^т. Достаточно показать, что в наших предположениях X является непрерывным образом некоторого замкнутого множества D0 ^ D . Это доказательство проводится методом работы [7]. Пусть фа = {Л«, . . ., A*J. Полагаем Da = {1а, 2а, . . ., sa} (т. е. Da есть множество натуральных чисел 1, 2, . . . . . ., $а, снабженных индексом а; вместо ($а)а пишем при этом просто sa). Тогда топологическое произведение 11 Da а есть дисконтинуум Dx. Точку | = {ia} £DT, ia £Da, назовем отмеченной, если {Af} есть цепь Л-системы Я. Множество D0 всех отмеченных точек замкнуто. В самом деле, пусть £0 = {i°a} £ №0] (квадратные скобки
26. О ДИЛДИЧЕСКЙХ БИКОМПАКТАХ 413 означают замыкание в DT). Тогда всякая окрестность £/°ч...asg содерЖИТ точки £0 б^о» т- е» в &о существуют точки £ = {ia}, у которых iai = i^, . . ., tas = i^. Пусть a2 >- ax выбраны произвольно; тогда в окрестности иа1а2%0 существует хотя бы одна точка £ 6 #0> и У эт°й точки будет Ц = i^ = i, tai = & = ;. Но g — отмеченная точка, поэтому Af* < Л?*, а это (так как а2 >- ах произвольны) и означает, что {Л?Ь} есть цепь, т. е. £0 — отмеченная точка, £0 6 /)0- Итак, £)0 замкнуто в Z>T. Ставя в соответствие каждой точке £ = {ia} 6 Z?o точку /£, являющуюся ядром цепи {Af }, получим, как легко видеть, непрерывное отображение на весь бикомпакт X. Нами доказана Теорема 4. Для того чтобы регулерное пространство X было бикомпактом, необходимо и достаточно, чтобы, оно имело полную А-систему конечных замкнутых покрытий. Эти покрытия при этом всегда могут быть предположены каноническими, а мощность А-системы —- равной весу пространства X. Теорема 4, являющаяся по существу перефразировкой известной теоремы А. Г. Куроша (см. [5] или [16]), позволяет лучше уяснить ту характеристику диадических бикомпактов, которая дается теоремой 2. С другой стороны, теорема 2 может быть легко переведена на язык проекционных спектров: всякий диадиче- ский бикомпакт веса т и только диадический бикомпакт имеет спектр {Ха, <о£'}, направленный по множеству вх и обладающий тем свойством, что всякий конечный набор вершин е^, . . ., ekn, взятых по одной из комплексов Х^х, . . ., Хьп (со старшими индексами Кх, . . ., Хп), определяет э Ха, где a = {7^, . . ., Хп}, единственную вершину еа, проектирующуюся соответственно в eh, . . . . . ., еЬп\ отсюда следует, что каждая вершина ef однозначно записывается в виде еЬ^---Ьп и что проекции этой вершины определяются вычеркиванием столбцов матрицы Ai ... К\ \Н ••• *п/
414 26. о диаДичёских бикомпактах ЛИТЕРАТУРА [1] Александров П. С. а) Комбинаторная топология.— М.; Л.: Гостехиздат, 1947. б) О понятии пространства в топологии.— УМН, 1947, 2, № 1, с. 5-57; наст, кн., с. 279-358. в) Sur la puissance des ensembles mesurables В.— C.r. Acad. sci. Paris, 1916, 162, с 323—325. Русский перевод: наст, кн., с. 35-39. [2] Alexandrojf Р. £., Urysohn P. S. Memoire sur les espaces topologi- ques compacts.— Verb. kon. Akad. Wet. Amsterdam, 1929, 14, № 1, С 1—96. Русский перевод: Александров П. С, Урысон 77. С. Мемуар о компактных топологических пространствах.— М.: Наука, 1971. [3] Есенин-Вольпин А. С. О зависимости между локальным и интегральным весом в диадических бикомпактах.— ДАН СССР, 1949, 68, с. 441-444. [4] Ивановский Л'. а) Об одной гипотезе П. С. Александрова.— ДАН СССР, 1958, 123, с. 785—786. б) Кузьминов В, О гипотезе П. С. Александрова в теории топологических групп.— ДАН СССР, 1959, 125, с. 727—729. [5] Kurosch А . G. Ober den kombinatorischen Aufbau der bikompakten topologischen Raume.— Compositio Math., 1935, 2, с 471—476. [6] Marczewski E. (Szpilrajn E.). а) Заметка о декартовых произведениях топологических пространств.— ДАН СССР, 1941, 31, с. 525—527. б) Separabilite et multiplication cartesienne.— Fundam. math., 1947, 34, с 127—143. [7] Пономарев В. Нормальные пространства как образы нульмерных.— ДАН СССР, 1960, 132, с. 1269—1272. [8] Шанин И. А. О произведении топологических пространств.— Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, 1948, 24, с. 1 — 112. КОММЕНТАРИЙ В настоящее время теория диадических бикомпактов — класс которых был впервые выделен П. С. Александровым — является одной из наиболее разработанных глав общей топологии (Б. А. Ефимов, А. Пелчинский, Р. Энгелькинг, А. В. Архангельский — если назвать только некоторых авторов в этой области). В результате этих исследований выяснилось, например, что многие кардиналь- нозначные инварианты на диадических бикомпактах совпадают (например, вес, характер, я-вес, я-характер, теснота). С другой стороны, в связи с многими задачами общей топологии, возник вопрос о соабсолютности с диадическими бикомпактами и вопрос о возможности отобразить данный бикомпакт на канторов дисконтинуум или тихоновский куб. Именно с последними вопросами ближе всего соприкасается и настоящая работа. Дело в том, что при решении этих вопросов важное место занимает возможность построить на данном бикомпакте так называемую диадическую систему (той или иной мощности) — в работе она называется ветвящейся — конечных систем множеств.
СОДЕРЖАНИЕ От редколлегии 5 Павел Сергеевич Александров 6 1. О мощности множеств, измеримых по Борелю .... 35 2. Компактные топологические пространства 40 3. О* локальных свойствах множеств и понятии компактности 45 4. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы топологическое пространство было метризуемо 50 5. б, множествах, дополнительных Л-множествам .... 53 6. 06 эквивалентности понятий интеграла Перрона и Дан- жуа 59 7. О множествах первого класса и абстрактных пространствах 71 8. К теории топологических пространств 75 9. О строении бикомпактных топологических пространств 86 10. О метризации локально компактных пространств .... 95 11. Об обосновании n-мерной теоретико-множественной топологии 105 12. Симплициальные аппроксимации в общей топологии . . 119 13. О нульмерных множествах • 147 14. Л-множества и топологическая сходимость 167 15. О последовательностях топологических пространств . . 175 16. О счетнократных открытых отображениях 178 17. Обзор некоторых нерешенных проблем теоретико-множественной топологии 185 18. К теории топологических пространств 211 19. Дискретные пространства 216 20. О бикомпактных расширениях топологических пространств 244 21. О приводимых множествах 271 22. О понятии пространства в топологии "... 280 23. О гомеоморфизме точечных множеств 359 24. О метризации топологических пространств 383 25. О вполне регулярных пространствах и их бикомпактных расширениях 390 26. О диадических бикомпактах 400 415
Павел Сергеевич Александров Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств М., 1978 г., 410 стр. с илл. Редактор А. А. Мальцев, В. В. Донченко Техн. редактор Л. В. Лихачева Корректор Е. Я. Строева ИБ № 11 169 Сдано в набор 27.04.78. Подписано к печати 05И9.78, Т-17242. Бумага 84х1081/32. Тип. М 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать Условн. печ. л. 21,94. Уч.-изд. л. 22,10. Тираж 6000 экз. Заказ № 0722 Цена книги 1 р. 70 к. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография Jvfi 7 «Искра революции» Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам*» издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9