П. С. АЛЕКСАНДРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ
И ОБЩУЮ ТОПОЛОГИЮ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов математических специальностей
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977
517.6
A 46
УДК 513.83
В написании книги принимали участие
В. И. ЗАЙЦЕВ и В. В. ФЕДОРЧУК
Введение в теорию множеств и общую тополо-
гию. Александров П. С. Главная редакция
физико-математической литературы издательства
«Наука», М., 1977, 368 стр.
Первые три главы книги представляют собой
изложение фактов теории множеств с так называемой
«наивной» точки зрения. В главах 4—6 дается изло-
жение основных топологических фактов, касающихся
метрических и топологических пространств. Особое
внимание при этом обращается на метризационные
теоремы и понятия компактности (бикомпактности)
и паракомпактности.
Книга является учебным пособием для студентов
физико-математических факультетов университетов.
Она может быть использована также аспирантами
различных специальностей, нуждающимися в теории
множеств и топологии.
Книгу можно рассматривать как введение в сов-
ременные разделы общей топологии.
Илл. 12, библ. 39.
20203—029
А 053(02)-77
1-77
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 5
Глава первая. О бесконечных множествах............................. 7
§ 1.	Понятие множества............................................ 7
§ 2.	Подмножества. Операции над множествами........................ 8
§ 3.	Взаимно однозначное соответствие между множествами. Отображение
одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества.
Семейства множеств и покрытия......................................12
§ 4.	Теоремы о счетных множествах..................................18
§ 5.	Понятие о частично упорядоченном и (линейно) упорядоченном мно-
жестве . . ’ . *...................................................23
§ 6.	О сравнении мощностей.........................................28
Г лава вторая. Действительные числа..............................  34
§ 1.	Дедекиндовское определение иррационального числа.............34
§ 2.	Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани 37
§ 3.	Действия над действительными числами..........................42
§ 4.	Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность кон-
тинуума ...........................................................47
Г лава третья. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
Трансфинитные числа............................................52
§ 1.	Упорядоченные множества.......................................52
•§ 2.	Определение и примеры вполне упорядоченных	множеств..........57
§ 3.	Основные теоремы о вполне упорядоченных	множествах...........62
§ 4.	Счетные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса).
Понятие конфинальности. Аксиома выбора.............................69
§ 5.	Теорема Цермело...............................................78
§ 6.	Теоремы о кардинальных числах.................................84
§ 7.	Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем началь-
ном числе, которому конфинален данный порядковый тип...............92
Г лава четвертая. Метрические и топологические пространства.......96
§ 1.	Определения и простейшие свойства метрических и топологических
пространств .......................................................96
§ 2.	Непрерывные отображения............,.........................112
§ 3.	Связносгь ...................................................118
<§ 4.	Базы и вес топологического пространства.....................127
§ 5.	Подмножества прямой и	плоскости............................135
§ 6.	Некоторые классические	примеры	метрических пространств и их
свойства.....................................................147
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7.	Пространства со счетной базой..........................................................................................................15$
§ 8.	Аксиомы отделимости....................................................................................................................164
§ 9.	Ограниченные множества в теоремы Больцано—Вейерштрасса,
Кантора и Бореля—Лебега. Теорема Коши..............................180
Глава пятая. Компактные и полные метрические пространства .... 188
§ 1.	Компактность в данном пространстве и компактность в себе .... 188
§ 2.	Непрерывные отображения компактов.....................................................................................................195-
§ 3.	Связность в компактных пространствах...................................................................................................202
§ 4.	Компакты как непрерывные образы канторова дисконтинуума . . .211
§ 5.	Определение и примеры полных метрических пространств...................................................................................210
§ 6.	Пополнение метрического пространства...................................................................................................225
§ 7.	Простейшие свойства полных метрических пространств.....................................................................................229
§ 8.	Компактность и полнота.................................................................................................................230
§ 9.	Множества, являющиеся одновременно множествами Fq и G& в ком-
пактных метрических пространствах..................................232
Глава шестая. Условия типа компактности и метризация топологических
пространств ................................................ 238»
§	1.	Бикомпактные пространства.....................................................................................238
§	2.	Непрерывные отображения бикомпактных пространств.......................................248
§	3.	Теорема Вейерштрасса—Стоуна.................................................................................251
§	4.	Топологическое произведение и теоремы Тихонова.254
§	5.	Внутренняя характеристика вполне регулярных пространств . . . 266-
§ 6.	Максимальное бикомпактное расширение вполне регулярного прост-
ранства ......................................................... 270-
§ 7.	Построение всех бикомпактных расширений данного вполне регуляр-
ного пространства ................................................ 275
§ 8.	Свойства связности и нульмерности для бикомпактов.......................................282
§ 9.	Некоторые универсальные бикомпактные пространства.....................................................................................288
§ 10.	Диадические бикомпакты................................................................................................................291
§ И.	Открытые покрытия; паракомпактность и другие свойства типа ком-
пактности .........................................................295
§ 12.	Локально бикомпактные пространства....................................................................................................311
§ 13.	Метризационные теоремы Александрова — Урысона и Нагата—Смир-
нова ..............................................................315
Прибавление к главе шестой. Теорема о мощности бикомпактов с первой
аксиомой счетности ...........................................319
Прибавление, Проекционные спектры и абсолют.................................................................................................328
$ 1.	Общее понятие обратного спектра топологических пространств. Абс-
трактные проекционные спектры......................................323
§ 2.	Проекционные спектры над семействами разбиений.........................................................................................332
§ 3.	Теорема реализации для абстрактных спектров............................................................................................342
§ 4.	Леммы о неприводимых замкнутых отображениях............................................................................................345
§ 5.	Абсолют регулярного пространства .................................................................................................... 346*
§ 6.	Экстремально несвязные пространства....................................................................................................354
§ 7.	Соабсолютные пространства..............................................................................................................358
Литература..................................................................................................................................362
Предметный указатель........................................................................................................................364
ПРЕДИСЛОВИЕ*)
Эта книга была задумана как второе издание моей книги
«Введение в общую теорию множеств и функций», изданной
в 1948 г. Однако вскоре же после начала работы над этим вто-
рым изданием мне стало ясно, что речь фактически идет о на-
писании новой книги, а не о новом издании уже написанной;
и действительно, из старой книги в новую были перенесены без
существенных изменений лишь первые три главы. В перерабо-
танном виде материал шестой и седьмой глав старой книги был
частично взят мною в пятую главу новой книги. Составляющие
основную часть новой книги главы четвертая и шестая написаны
заново, лишь с небольшими заимствованиями из Прибавлений
к двум последним главам старой книги. Однако сохранился и
общий ее дух, состоящий в элементарном и—как я надеюсь —
логически тщательном изложении рассуждений: формулировок и
доказательств, и пронизывающий всю книгу так называемый
«наивный» подход к основным понятиям теории множеств, непре-
взойденным образом воплощенный в классической книге Ф. Хаус-
дорфа «Теория множеств».
Как мне кажется, предлагаемая вниманию читателя книга-
в ее теперешнем виде может служить руководством для первого
ознакомления с общей топологией, т. е. с теорией топологиче-
ских пространств, с обращением особого внимания на их важ-
нейший частный случай—метризуемые пространства. Отсюда
следует и специальное внимание, уделяемое нами проблеме мет-
ризации топологических пространств. С другой стороны, чрезвы-
чайно большое место в книге занимают пространства, обладающие
тем или иным свойством «типа компактности», т. е. прежде всего
бикомпактные (и локально бикомпактные), а также паракомпакт-
ные пространства. Эти последние тесным образом связаны с об-
щей проблемой метризации. Если прибавить, что вполне регу-
лярные, или тихоновские, пространства суть не что иное, как
подпространства бикомпактов, то станет ясным, что выделение,
*) В списке литературы читатель найдет работы, лишь непосредственно
связанные с теми или иными местами основного текста.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
с одной стороны, метризуемых пространств, а с другой стороны»
пространств, удовлетворяющих условиям типа компактности,
дает нам доступ практически ко всем важнейшим типам тополо-
гических пространств, что и объясняет название основной и
завершающей шестой главы нашей книги.
При этом я хотел бы настойчиво обратить внимание на то,
что Прибавление к книге составляет ее неотъемлемую часть. Оно
написано В. И. Зайцевым и посвящено кругу тесно связанных
между собой вопросов, которые я причисляю к важнейшим среди
разрабатывавшихся в общей топологии за последнюю четверть
века, а именно теории обратных (в частности и в особенности
проекционных) спектров и теории абсолютов и неприводимых
совершенных отображений топологических пространств. Основы
первой теории заложены в работах П. С. Александрова [4],
[5], [8] и А. Г. Кур о ша [1] и получили новое и очень инте-
ресное развитие в работах В. И. Зайцева [2] и [3]. Вторая
теория восходит к работам Глисона (Gleason) и еще даже
М. Стоуна (М. Н. Stone) [1], но свое полное развитие полу-
чила лишь в работах В. И. Пономарева [2] и [3], в которых,
в частности, и была осуществлена связь теории абсолютов и
теории проекционных спектров. Кроме Прибавления В. И. Зай-
цев написал и § 5 гл. 6, в котором он излагает данную им
внутреннюю характеристику тихоновских пространств.
Участие В. И. Зайцева в работе над моей книгой настолько
велико, что я считал необходимым отметить его особо. Это отно-
сится и к В. В. Федорчуку, который не только тщательно от-
редактировал всю книгу, но и внес едва ли не во все ее пара-
графы улучшения, часто очень существенные. Я могу прямо
сказать, что без участия В. В. Федорчука книга в ее настоящем
виде вообще не была бы написана. В работе над этой книгой
В. В. Федорчук был существенно поддержан своим учеником
А. В. Ивановым. Названным моим дорогим ученикам и коллегам
я выражаю искреннюю и сердечную благодарность.
Гильберт часто сравнивал математику с волшебным, чарующим
садом. В этот сад ведут многие различные входы. Одним из них
является и теоретико-множественная топология. Моя книга в пер-
вую очередь обращена к избравшим именно этот вход молодым,
начинающим математикам. Найдя, как я надеюсь, уже в самом
начале пути много прекрасного, они дальше смогут пойти раз-
личными дорогами и прийти в такие углубленные части сада,
что у входа нельзя было предвидеть самого их существования.
Москва	77. Александров
Июнь, 1976 г.	н
Глава первая
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
§ 1. Понятие множества
На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно
определимым понятием, которое выражается словом «совокуп-
ность». Например, можно говорить о совокупности людей, при-
сутствующих в данный момент в данной комнате, о совокуп-
ности гусей, плавающих в пруду, зайцев, живущих в лесах
Московской области, и т. п.
В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «со-
вокупность» употребить слово «множество».
В математике постоянно приходится иметь дело с различными
множествами: например, с множеством вершин или диагоналей
какого-нибудь многоугольника, множеством делителей числа 30
и т. д.
Все приведенные примеры множеств обладают одним сущест-
венным свойством: все эти множества состоят из определенного
конечного числа элементов; последнюю фразу мы понимаем в том
смысле, что в каждом из упомянутых случаев на вопрос «сколько?»
(людей в комнате, гусей на пруду, делителей числа 30) мы можем
ответить или прямым указанием известного нам целого числа
(например, число делителей числа 30 есть 8), или указанием на
то, что целое число, дающее ответ на вопрос, во всяком случае
имеется, хотя в данный момент и при данном состоянии наших
знаний нам может быть и неизвестно, каково оно именно. Мно-
жества, состоящие лишь из конечного числа элементов, назы-
ваются конечными множествами.
В математике приходится постоянно сталкиваться и с дру-
гими—не конечными, или, как принято говорить, бесконечными,
множествами. Таковы, например, множества всех натуральных
чисел, всех четных чисел, всех целых, дающих при делении на 11
в остатке 7, всех прямых, проходящих через данную точку плос-
кости.
Понятие множества для удобства дополняется понятием пус-
того множества. Пустое множество, по определению, не содержит
8
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
элементов; число элементов пустого множества есть нуль. Необ-
ходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что
когда мы определяем тем или иным способом множество, то
мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один
элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся
в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не
можем этого утверждать с уверенностью, так как, может быть,
какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Поляр-
ный круг.
Пустое множество обозначается через Л.
§ 2. Подмножества. Операции над множествами
Введем теперь следующие основные обозначения и понятия.
Для того чтобы указать, что х есть элемент множества Л,
пишут х$А или А Эх (при этом обычно, хотя и далеко не
всегда, обозначают множества большими буквами, а их эле-
менты —малыми).
Определение 1. Если каждый элемент множества А есть
вместе с тем элемент множества В, то множество А называется
частью или подмножеством множества В.
Например, множество всех четных чисел есть часть множе-
ства всех целых чисел. Вместо того чтобы сказать, что множе-
ство А есть часть множества В, говорят часто, что множество А
содержится в множестве В или что А включено в В, и записы-
вают это так:
Л^В или ВзЛ.
Если Л есть подмножество множества В, причем Л=/=В, то
пишут
Л cz В или В □ Л.
Знаки с: называются знаками включения (одного множе-
ства в другое).
Согласно нашему определению всякое множество Л есть под-
множество самого себя. Кроме того, пустое множество есть часть
всякого множества. Множество Л и пустое множество назы-
ваются несобственными подмножествами множества Л; все осталь-
ные подмножества называются собственными. Для всякого эле-
мента а^А подмножеством множества Л является и множе-
ство {а}, состоящее только из этого элемента. Мы часто будем
опускать скобки и обозначать множество {а} через а.
Подмножество множества Л, состоящее из всех элементов,
удовлетворяющих данному условию 51, будем обозначать через
{а (ЕЛ: а удовлетворяет
§2]
ПОДМНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАДМНОЖЕСТВАМИ
9
Предположим, что мы имеем некоторую (конечную или бес-
конечную) совокупность множеств Ла*). Рассмотрим множество
тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из мно-
жеств, входящих в данную совокупность. Множество всех этих
элементов называется суммой (или объединением) множеств, об-
разующих данную совокупность.
Объединение множеств обозначается знаком U; например,
A U В есть объединение множеств А и В\ объединение всех мно-
жеств А данной совокупности 31 множеств обозначается через
U А. Если совокупность 31 состоит из множеств Ла, где а
А €
пробегает некоторое множество индексов А, то их объединение
обозначается через U Аа или просто через U Аа. Если сово-
ае А	а
купность 31 состоит из множеств Ап, где п пробегает все нату-
ральные числа 1,2,3, ..., то их объединение обозначается че-
00
рез U Ап или ЛхиЛ2иЛ3и-..
п = 1
Например, множество всех целых чисел есть объединение
множества всех четных и множества всех нечетных чисел, а также
объединение:
множества Аг всех нечетных чисел, не делящихся на три,
множества Л2 всех четных чисел,
множества А3 всех чисел, делящихся на три (при этом мно-
жества Ai и А3 имеют общие элементы — числа, делящиеся на 6).
Рассмотрим теперь операцию вычитания множеств. Пусть
i/меем два множества А и В (из которых второе может и не
содержаться в первом). Разностью множеств А и В называется
множество тех элементов множества Л, которые не суть эле*
менты множества В. Разность множеств Л и В обозначается
через Л \В.
Переходим к третьей и последней основной операции над
множествами—к операции взятия общей части, или пересечения,
множеств. Пусть мы снова имеем конечную или бесконечную
совокупность множеств Ла. Назовем пересечением этих множеств
множество тех элементов, которые содержатся во всех данных
множествах (множество элементов, общих всем множествам Ла).
Пересечение обозначается знаком Л; так например, АпВ
есть пересечение множеств Л и В. Пересечение всех множеств Л
данной совокупности 31 множеств обозначается через П Л;
А€$1
*) Индексы а, 0, ... (могущие, например, принимать значения 1,2,3,...)
служат для различения элементов данной совокупности: например, мы гово-
рим о множествах Аа, Лр, Ау данной совокупности множеств.
10
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
пересечение совокупности множеств Аа , где а пробегает некоторое
множество индексов А, обозначается через Q Аа или через Q Аа;
А	а
00
в частности Q Ап = At Л А2 П А3 л . • •
п= 1
Примеры.
1. Обозначим через Ап множество всех рациональных чисел,
абсолютная величина которых меньше (где п—натуральное
00
число). Пересечение Q Ап всех множеств Ап состоит из одного
п=1
числа 0.
2. Обозначим через Ап множество всех положительных
I г>
рациональных чисел, меньших чем —. В этом случае нет
ни одного элемента, общего всем множествам А„, т. е. пересе-
00
чение Q Ап всех множеств Ап есть пустое множество.
П=1
Из очевидных свойств действий.сложения, пересечения и вы-
читания отметим
Коммутативность:
Аив=вил, алв=вла.
Ассоциативность:
(A UВ)UС = Я U(ВиQ = л ивUС,
(А Л В) Л С = А Л (В Л С) = Л Л В Л С.
Дистрибутивность (пересечения относительно сложения):
(А и В) Л С = (А л С) U (ВЛС),
вообще
(UAa)nB = U(Aa Л В)
а	а
и, далее,
(А\В) Л С = (А Л С)\В = (А Л С)\(В Л С),
А\В = А\(АЛВ), А = (А ЛВ)и(А\В).
Почти столь же очевидны следующие соотношения двойствен-
ности (сложения и пересечения):
Для любой (конечной или бесконечной) совокупности под-
множеств Аа данного произвольного множества X имеют место
§21
ПОДМНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
11
тождества
х\пла=и(х\ла),	(1)
а	а
х\ила = р|(х\ла).	(2)
а	а
Доказательства обеих формул (1) и (2) совершенно анало-
гичны и проводятся автоматически. Докажем, например, фор-
мулу (1).
Пусть х € Х\ Q Ах- Эт° означает, что х не принадлежит хотя бы
а
одному Ла, т. е. что х принадлежит хотя бы одному Х\Ла,
т. е. x^U(X\4a). Поэтому левая часть формулы (1) содер-
a
жится в правой части.
Пусть, обратно, x£U(X\.-4a); это означает, что х принад-
a
лежит хоть одному Х\Ла, следовательно, х не может принад-
лежать всем Аа, т. е. х не принадлежит Q Аа, значит, х при-
a
надлежит Х\ Q\4a. Таким образом, правая часть формулы (1)
a
есть подмножество левой части. Формула (1) доказана.
В заключение этого параграфа скажем об убывающих и воз-
растающих последовательностях множеств.
Последовательность множеств
Ац •••» Ап* •••	(3)
называется убывающей, соответственно возрастающей, если для
любого п имеем Ап^Ап+1, соответственно Ап^Ап+1, Если при
этом для всех п имеют место более сильные соотношения
Ап^Ап+1, соответственно А„а:Ап+1, то последовательность (3)
называется строго убывающей [строго возрастающей).
Легко видеть, что пересечение (соответственно сумма) любой
бесконечной подпоследовательности убывающей (соответственно воз-
растающей) последовательности (3) совпадает с пересечением (соот-
ветственно суммой) всей последовательности (3).
Любая (конечная или бесконечная) совокупность множеств
называется дизъюнктной или состоящей из дизъюнктных множеств,
если пересечение любых двух (различных) множеств, входящих
в эту совокупность, пусто.
12
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
§ 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами.
Отображение одного множества на другое.
Разбиение множества на подмножества.
Семейства множеств и покрытия
Если два множества состоят из одного и того же конечного
числа элементов, то между элементами этих множеств возможно
установить взаимно однозначное соответствие, т. е. такое соответ-
ствие, при котором каждому элементу одного множества соот-
ветствует один и только один элемент другого множества и об-
ратно; если же число элементов первого множества меньше, чем
второго, то можно установить взаимно однозначное соответствие
между первым множеством и частью второго.
Понятие взаимно однозначного соответствия по существу дела
не предполагает, что множества, между элементами которых
устанавливается это соответствие, непременно конечны.
Приведем примеры взаимно однозначных соответствий между
бесконечными множествами.
1.	Множество А состоит из всех целых положительных чисел,
множество В — из всех целых отрицательных чисел.
Очевидно, мы получим взаимно однозначное соответствие
между множествами А и В, если каждому положительному числу
поставим в соответствие отрицательное с тою же абсолютной
величиной.
2.	Множество А состоит из всех целых положительных чисел,
множество В — из всех положительных четных чисел.
Мы получим взаимно однозначное соответствие между А и В,
если каждому числу п£А поставим в соответствие число 2п£В.
3.	Множество А состоит из всех точек прямой линии (которую
примем за ось абсцисс некоторой координатной системы) *).
Множество В состоит из всех точек полуокружности
х2+(У-1)2 = 1,	У<1,
с центром в точке (0, 1). Концы этой полуокружности, т. е. точки
(1,1) и (—1,1) не принадлежат к ней (в силу условия r/< 1)
(рис. 1).
Полуокружность касается нашей прямой в начале координат.
Устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множе-
ствами А и В, ставя в соответствие каждой точке £ прямой ту
точку т] окружности, в которой эту окружность пересекает луч,
соединяющий центр круга с
4.	Пусть А и В сохраняют смысл, указанный в предыдущем
примере. Пусть В'—интервал (—1; 1) числовой прямой, т. е мно-
*) Мы считаем, что читатель знаком с понятиями числовой прямой и
действительного числа из курса анализа. Подробно мы займемся действитель-
ными числами в следующей главе.
3 3]	ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ	13
жество всех точек оси абсцисс, удовлетворяющих неравенству
— 1<х<1. Проектируя полуокружность В ортогонально на
интервал В' и помня, что А уже поставлено во взаимно одно-
значное соответствие с В, получим взаимно однозначное соот-
ветствие между числовой прямой Л и ее интервалом (—1; 1).
Очевидно, можно таким образом установить взаимно однозначное
соответствие между число-
вой прямой и любым ее ин-	*
тервалом, а следовательно,
и между любыми двумя ин-
тервалами.	______________7_______________
На основе понятия взаим- Г	Г
но однозначного соответст-	\ s' \\/
вия вводится следующее
Определение 2. Два s' х.
множества называются коли-
чественно эквивалентными,
если между ними возможно	Рис. 1.
установить взаимно одно-
значное соответствие. Таким образом, множества А и В в каж-
дом из предыдущих примеров суть множества количественно экви-
валентные.
Количественно эквивалентные множества часто называют
просто эквивалентными множествами.
Замечание 1. Относительно двух эквивалентных множеств
говорят, что они имеют одинаковую мощность.
Замечание 2. Очевидно, что два конечных множества экви-
валентны тогда и только тогда, когда они состоят из одного и
того же числа элементов.
Замечание 3. Из предыдущего определения эквивалент-
ности следует, что два множества А и В, эквивалентных од-
ному и тому же третьему множеству С, эквивалентны между
собою.
Замечание 4. На вопрос, что такое мощность (см. заме-
чание 1), можно ответить лишь так называемым «определением
через абстракцию»: мощность—это то, что есть общего у всех
эквивалентных между собою множеств. Если мы поставим себе
вопрос: «Что есть общего у всех эквивалентных между собою
конечных множеств?», то из сказанного в замечании 2 будет сле-
довать, что этим общим является одинаковое число, или коли-
чество, элементов, из которого состоят все эквивалентные между
собой конечные множества. В этом смысле понятие мощности
является—в применении к бесконечным множествам—аналогом
понятия количества (количественные числа) *).
:) См. в связи с этим замечание в § 5 этой же главы.
14
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. >
Определение 3. Множество, эквивалентное множеству всех
натуральных чисел, называется счетным множеством.
На основании сказанного в замечании 3 мы заключаем, что:
1) всякое множество, эквивалентное счетному множеству, само
есть счетное множество, 2) всякие два счетных множества экви-
валентны.
Определение счетного множества может быть сформулировано
и следующим образом: счетное множество—это такое множество Д,
все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную
последовательность
6ZX, 4Z2, #3» * • ’ >	’ *
так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер п
и каждое натуральное число п было бы в качестве номера дано
одному и лишь одному элементу нашего множества.
Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется
несчетным множеством.
Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами,
или, как говорят, взаимно однозначное отображение одного мно-
жества на другое, есть частный случай общего понятия отобра-
жения: если каким-нибудь образом каждому элементу х некото-
рого множества X поставлен в соответствие определенный элемент у
некоторого множества У, то мы пишем f: X—>У и говорим, чт&
имеется отображение множества X в множество Y, или функция f>
аргумент которой пробегает множество X, а значения принад-
лежат множеству Y. Для того чтобы показать, что данный
элемент у поставлен в соответствие элементу х, пишут y = f(x)
и говорят, что у есть образ элемента х при данном отобра-
жении f.
При этом мы часто будем писать y = fx вместо z/ = /:(x), так
как мы пишем r/ = sinx или t/ = logx, а не sin(x), log(x).
Может случиться, что каждый элемент множества У оказы-
вается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу
множества X. В этом случае мы говорим, что имеем отображе-
ние множества X на множество У.
Наиболее важным случаем отображений является случай
отображения одного множества на другое. К нему легко приво-
дится и общий случай отображения одного множества в другое.
В самом деле, пусть дано какое-нибудь отображение f множе-
ства X в множество У; множество Ух всех тех элементов мно-
жества У, которые в силу отображения f поставлены в соответ-
ствие хотя бы одному элементу множества X, назовем образом
множества X при отображении f и обозначим через f (X) или
через fX. Очевидно, мы имеем отображение множества X на
множество Ух = fX s У.
$3]
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ
15
Пусть f: X—>У и Хо—непустое подмножество множества X.
Ограничением отображения f на Хо называется отображение f
Хо—>У, определяемое равенством f\x0x = fx, х£Х0.
Определение 4. Пусть дано отображение f множества X
на множество Y. Пусть у есть произвольный элемент множе-
ства У. Прообразом или полным прообразом элемента у при ото-
бражении f называется множество всех тех элементов множества X,
которым при отображении f ставится в соответствие данный эле-
мент у'£ X. Это множество обозначается через f“x(z/) или f~ly.
Отображение f множества X на множество У, очевидно, тогда
и только тогда взаимно однозначно, когда прообраз f"1^) каж-
дого элемента у множества У состоит лишь из одного элемента
множества X.
Пусть дано отображение f: X —> У множества X в множество У
и М—произвольное подмножество множества X. Малым образом
множества М при отображении f называется множество всех точек
у g У, прообразы которых содержатся в М. Малый образ мно-
жества М обозначается через f#M. Итак, имеем f#M = {y£Y:
f^y^M}, Легко проверить, что f*M = У\/ (Х\7И).
Из определения малого образа вытекает, что каждый эле-
мент у g У, который в силу соответствия f не поставлен в соот-
ветствие никакому элементу множества X, принадлежит малому
образу любого множества М. Поэтому понятие малого образа
наиболее естественно для отображений «на», поскольку только
в этом случае малый образ меньше (не больше) образа, т. е.
f*M<=fM.
Пусть дано множество X, представленное в виде суммы дизъ-
юнктных (т. е. попарно не пересекающихся) подмножеств (в ко-
нечном или в бесконечном числе). Эти подмножества (множества-
слагаемые нашей суммы) являются-элементами данного разбиения
множества X. Простой пример: пусть X есть множество всех
учащихся в средних школах Москвы. Множество X можно pais-
бить на попарно не пересекающиеся подмножества, например,
следующими двумя способами: 1) мы объединяем в одно слагаемое
всех учащихся одной и той же школы *) (т. е. разбиваем мно-
жество всех учащихся по школам), 2) мы объединяем в одно
слагаемое всех учащихся одного и того же класса (хотя бы и
различных школ). Второй пример: пусть X есть множество всех
точек плоскости; возьмем на этой плоскости какую-нибудь пря-
мую d и разобьем всю плоскость на прямые, параллельные пря-
мой d. Множества точек каждой такой прямой и являются теми
подмножествами, на которые мы разбиваем множество X.
Замечание 5. Если данное множество X разбито на дизъ-
юнктные подмножества, дающие в сумме множество X, то
*) В предположении, что каждый учащийся учится лишь в одной школе.
16
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
для краткости говорят просто о разбиении множества X на
классы.
Следующее предложение непосредственно следует из наших
определений. Пусть дано отображение f множества X на мно-
жество Y. Полные прообразы f"1 (у) всевозможных элементов у
множества Y образуют разбиение множества X на классы. Мно-
жество этих классов находится во взаимно однозначном соот-
ветствии с множеством У.
Обратно: пусть дано разбиение множества X на классы. Это
разбиение порождает отображение множества X на некоторое
множество У, а именно на множество, элементами которого яв-
ляются классы данного разбиения. Это отображение получается,
если заставить соответствовать каждому элементу множества X
тот класс, к которому он принадлежит.
Пример. Тем самым, что учащиеся Москвы распределены
по школам, уже установлено *) отображение множества X всех
учащихся на множество У всех школ: каждому учащемуся со-
ответствует та школа, в которой’он учится.
При всей самоочевидности изложенных фактов они не сразу
получили в математике отчетливую формулировку; получив же
эту формулировку, они сразу приобрели важное значение в ло-
гическом построении различных математических дисциплин.
Пусть дано разбиение множества X на классы. Введем сле-
дующее определение: назовем два элемента множества X экви-
валентными по отношению к данному разбиению, если они при-
надлежат к одному и тому же классу.
Таким образом, если мы разобьем учащихся Москвы по шко-
лам, то двое учащихся будут «эквивалентны», если они учатся
в одной и той же школе (хотя бы и в разных классах). Если
же мы разобьем учащихся по классам, то двое учащихся будут
«эквивалентны», если они учатся в одном и том же классе (хотя
бы и различных школ).
Отношение эквивалентности, только что определенное нами,
очевидно, обладает следующими свойствами, называемыми аксио-
мами эквивалентности:
Свойство симметрии (или взаимности). Если х и х'
эквивалентны, то эквивалентны также х' и х.
Свойство транзитивности (или переходности). Если
эквивалентны элементы х и х', а также х' и х", то х и х" эк-
вивалентны («два элемента х и х", эквивалентные третьему х',
эквивалентны между собою»).
Наконец, мы считаем каждый элемент эквивалентным самому
себе; это свойство отношения эквивалентности называется свой-
ством рефлексивности.
*) См. предыдущую сноску.
S3]
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ И ПОКРЫТИЯ
17
Итак, всякое разбиение данного множества на классы опреде-
ляет между элементами этого множества некоторое отношение
эквивалентности, обладающее свойствами симметрии, транзитив-
ности и рефлексивности.
Предположим теперь, что, обратно, нам удалось установить
некоторый признак, дающий нам возможность о некоторых парах
элементов множества X говорить как об эквивалентных. При этом
мы требуем от этой эквивалентности только, чтобы она обладала
свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности. Дока-
жем, что это отношение эквивалентности определяет разбиение
множества X на классы эквивалентных между собой элементов.
В самом деле, назовем классом £ (х) данного элемента х мно-
жества X множество всех элементов из X, эквивалентных эле-
менту х. Вследствие рефлексивности каждый элемент х содержится
в своем классе. Докажем, что если два класса имеют хоть один
общий элемент, то они непременно совпадают.
В самом деле, пусть классы g(x) и £(х') имеют общий эле-
мент х". Записывая эквивалентность посредством значка ~, имеем
по определению классов х~х", х'~х", следовательно, в силу
симметрии х"~х', а тогда в силу транзитивности х~х'. Пусть
х*— какой-нибудь элемент класса £(х'). Имеем х~х'~х*, а в
силу транзитивности х~х*, т.е. x*gg(x); значит, £(х')^£(х).
Пусть теперь х есть элемент класса £(х). Тогда х~х, по сим-
метрии х~х, и так как х~х', то по транзитивности х~х',
откуда х'~х, т. е. х££(х'); значит, £(х)^с(х').
Таким образом, два класса £(х) и g (х'), имеющие общий эле-
мент, действительно совпадают между собою.
Объединим доказанное в одно предложение:
Каждое разбиение какого-нибудь, множества X на классы опре-
деляет между элементами множества X некоторое отношение
эквивалентности, обладающее свойствами симметрии, транзитив-
ности и рефлексивности. Обратно, каждое отношение эквивалент-
ности, установленное между элементами множества X и обла-
дающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности,
определяет разбиение множествах на классы попарно эквивалент-
ных между собою элементов.
Семейства множеств и покрытия. Пусть X—произвольное
множество. Пусть о = {Л4}—произвольное семейство подмножеств
множества X; объединение всех Л1 £ о назовем телом семейства о
и обозначим через о, так что о^Х. Если Е—произвольное
подмножество множества X, то через оЕ обозначаем подсемейство
семейства о, состоящее из всех элементов этого семейства, пере-
секающихся с Е.
Множество оЕ называется звездой множества Е относительно
семейства о и обозначается часто через ЗваЕ', если при этом Е
18
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
состоит из единственной точки xgX, то пишут Звах и говорят
о звезде точки х относительно семейства о; при этом Звох=Л»
если xgX\a.
Всякое семейство о = {Л4} определяет семейство о* = {Звах},
элементами которого являются звезды всевозможных точек xgX
относительно семейства о. Очевидно, семейства о и о* имеют
одно и то же тело 0=0*.
Семейство о называется покрытием множества ХоьХ, если
Хоьа. Чаще всего мы будем рассматривать покрытия всего
множества X, т. е. семейства множеств о = {Л1}, для которых
<у = Х. В этом случае подпокрытием покрытия о называется всякое
подсемейство о0^о, для которого о0=Х.
Кратностью семейства множеств о в данной точке х С X —
коротко крхо—называется мощность множества всех элементов о,
содержащих точку х. Семейство называется конечнократным или
точечно конечным, если для любого х С X число крхо конечно.
Семейство множеств о называется звездно конечным (звездно счет-
ным), если каждый элемент семейства пересекается лишь с ко-
нечным (счетным) числом элементов этого семейства.
Пусть а = {Л} и р = {В}—покрытия одного и того же мно-
жества X. Будем говорить, что покрытие (3 вписано в покрытие а,
если всякий элемент В покрытия р содержится хотя бы в одном
элементе А покрытия а. В частности, покрытие 0 вписано в по-
крытие а, если р есть подпокрытие покрытия а.
Понятие покрытия и близкие к нему понятия будут играть
большую роль в главе 6.
§ 4. Теоремы о счетных множествах
Переходим к доказательству следующих теорем.
Теорема 1. Всякая часть счетного множества есть либо
конечное, либо счетное множество.
Док а за тел ьс тв о. Пусть А—счетное множество. На основа-
нии определения счетного множества мы вправе предположить,
что все элементы множества А занумерованы и, следовательно,
само множество может быть представлено в виде бесконечной
последовательности
alf а2, а3, •. •, ап, • • <	(1)
Пусть А' есть часть множества А и аПх—первый элемент после-
довательности (1), являющийся вместе с тем элементом множе-
ства А'; пусть ап* будет второй такой элемент в последователь-
ности (1) и т. д.
Возможны лишь два случая: либо мы после конечного числа
шагов исчерпаем все множество Д', которое окажется в этом
§4]
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
19
случае конечным множеством, либо мы получим бесконечную
последовательность
#п,> #п2» •••> #».♦ •••»
к
состоящую из всех элементов А9. Обозначая для простоты’^
через a'k, видим, что А9—счетное множество.
Теорема 2. Сумма конечного или счетного числа конечных
или счетных множеств есть конечное или счетное множество.
(При этом очевидно, что если хотя бы одно слагаемое беско-
нечно, то сумма не может быть конечной и потому есть счетное
множество.)
Доказательство. Пусть данные множества суть Лп Л2,...
..., ЛЛ, ...; обозначим их сумму через Л. Обозначим через Рг
множество всех простых чисел, через Р2—множество всех чи-
сел, являющихся квадратами простых чисел, вообще, через Рп —
множество всех чисел, являющихся n-ми степенями простых
чисел. Множества Рп суть дизъюнктные счетные множества.
Предположим сначала, что множества Ап дизъюнктны. Так
как каждое из этих множеств конечно или счетно, то можно
установить взаимно однозначное соответствие между множеством
Ап и множеством Рп или его частью. Но этим будет установлено
взаимно однозначное соответствие между всем множеством Л и
некоторой частью множества всех натуральных чисел, откуда и
следует, что множество Л не более чем счетно.
В общем случае, когда среди множеств Ап имеются пересе-
кающиеся множества, положим
л^=лп л;=л2\л;,.л; = лл\(л;и... иЛ'_х),...
Множества Л' суть дизъюнктные конечные или счетные ,множе-
ства, имеющие ту же сумму Л, что и множества Л„, откуда
следует, что Л конечно или счетно.
Второе доказательство (мы даем его, простоты ради,
лишь для случая счетного множества попарно не пересекающихся
счетных множеств). Пусть данные счетные множества суть
Л1 =	#12» #13» • • • > #1П> • • • },
Л 2 = {#21> #22» #23» • * • » #2п» * * • }>
Л3 = {#31» #32» #33» * * * » #3п> * * * },
т |#ml> #л?2» #лгЗ» • • • > #mzz> • • • / »
Тогда множество Л = (J Ап может быть следующим образом за-
п
писано в виде счетной последовательности:
#11» #12 > #21» #13» #22» #31» #14» #23» #32» #41» * • •
20
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
Теорема 3. Всякое бесконечное множество М содержит
счетное подмножество.
Доказательство. Так как М бесконечно, мы можем
найти в М два различных элемента, которые обозначим через at
и Ьх, Но множество М не исчерпывается этими двумя элемен-
тами, так что можно найти в М элементу, отличный от аг и Ьг\
М не исчерпывается также и тремя элементами аг, Ьг, а2, так что
существует четвертый элемент Ь2, отличный от уже выбранных
трех.
Продолжая наш процесс, мы выделим из множества М даже
не одно, а два счетных множества:
Д =	&2> ^3» * • * }>
В =	Ь2, Ь3, ...},
чем доказана наша теорема. То обстоятельство, что мы получили
два дизъюнктных счетных множества, позволяет следующим об-
разом усилить формулировку теоремы 3.
Всякое бесконечное множество М содержит счетное множе-
ство А, притом такое, что М \ А есть бесконечное множество
(так как М \ А содержит счетное множество В).
Теорема 4. Если М есть несчетное множество*), а А —
конечное или счетное множество, содержащееся в М, то М и М\А
эквивалентны между собою,
В самом деле, множество М \ А несчетно (так как если бы
7И\Д было конечным или счетным, то на основании теоремы 2
множество М = Ди(Л1\Д) было бы конечным или счетным).
На основании теоремы 3 можно выделить из множества М \ А
счетное множество Дх. Обозначим оставшуюся часть (А1 \ Д) \ At
множества М через N. Имеем
Д4\ A = A1UN,
M = (A(jA1)(jN.
Установим взаимно однозначное соответствие между счетными
множествами Дх и A U А19 а каждый элемент множества N по-
ставим в соответствие самому себе. Этим будет установлено вза-
имно однозначное соответствие между М \ А и М, что и тре-
бовалось доказать.
Теорема 5. Присоединяя к бесконечному множеству А счет-
ное или конечное множество В, получим множество А{]В, эк-
вивалентное множеству А.
В самом деле, если А счетно, то A U В счетно на основании
теоремы 2 и, следовательно, эквивалентно множеству А. Если А
*) Существование несчетных множеств будет доказано в § 6 этой главы.
§4]
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
21
несчетно, то А и В также несчетно; мы можем, следовательно,
получить множество А отнятием от несчетного множества A U В
конечного или счетного множества В, поэтому на основании пре-
дыдущей теоремы A U В и А эквивалентны.
Теорема 6. Всякое бесконечное множество А содержит
собственную часть А', эквивалентную всему множеству А (при-
чем можно предположить, что А \ А' есть бесконечное мно-
жество').
В самом деле, если А—счетное множество, то, выделяя из
него (по теореме 3) счетное подмножество А' (так, чтобы А\ А'
было бесконечно), получим сразу доказательство нашего утвер-
ждения. Если А несчетно, то, выделяя из А любое счетное мно-
жество Ао, получим часть А0 = А\А', эквивалентную множе-
ству А по теореме 4.
Так как никакое конечное множество не содержит части,
эквивалентной всему множеству, то теорема 6 выражает харак-
теристическое свойство бесконечных множеств, т. е. свойство,
принадлежащее любому бесконечному множеству и лишь беско-
нечным множествам. Это позволяет принять свойство, выраженное
теоремой 6, за определение бесконечных множеств.
Очень много приложений имеет следующая простая.
Теорема 7. Множество Р всех пар натуральных чисел*)
счетно.
Доказательство. Назовем высотою пары (р, q) натураль-
ное число p + q- Очевидно, имеется ровно п—1 пар данной вы-
соты п (п> 1), именно
(1, п— 1), (2, п—2), ..., (п — I, I).
Поэтому, обозначая через Рп множество всех пар высоты п, ви-
дим, что множество Р есть сумма счетного множества конечных
множеств Рп, т. е. счетное множество.
Так как каждому положительному дробному числу взаимно
однозначно соответствует несократимая дробь — и, следователь-
q
но, пара натуральных чисел (р, q), то на основании теорем 7 и 1
все положительные дробные числа образуют счетное множество.
Счетным является и множество всех отрицательных дробных чи-
сел. Итак:
Теорема 8. Множество всех рациональных (т. е. целых и
дробньус) чисел счетно.
*) Под парой натуральных чисел понимаются два натуральных числа (не
непременно различных), данных в определенном порядке. Так, (1,2), (2,1),
(1,1) и т. д. суть различные пары натуральных чисел.
22
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
1ГЛ. Г
Пара натуральных чисел есть частный случай конечной по-
следовате л ьности
Р1> Р2> Рт
натуральных чисел *). Докажем общее предложение:
Теорема 9. Множество S всех конечных последовательностей*
составленных из элементов данного счетного множества D, есть
счетное множество.
Доказательство (посредством полной индукции). Из
теоремы 7 вытекает, что множество пар, составленных из эле-
ментов счетного множества D, есть счетное множество. Предпо-
ложим, что доказана счетность множества Sm с всех последова-
тельностей, состоящих из т элементов данного счетного множества
D. Докажем, что множество S всех последовательностей, состоя-
щих из т 4-1 элементов множества D, также счетно. В самом
деле, пусть
D = \dlf d2, •.., dn9 ...}.
Каждой последовательности s(w+n = (dZt, ..., dim, dk) £Sm+1 соот-
ветствует пара (s(m\ dk)9 где s(w) = (dZi, ..., dim) <zSm9 причем.раз-
личным s(/7z+1) соответствуют различные пары этого вида. Так как
множество Sm всех s{m} счетно и может быть записано в виде
s<m>, s<m>,	т0 счетно и множество всех пар (s^, dk)
(взаимно однозначно соответствующих парам натуральных чисел
индексов г, k), а значит, и множество всех s(OT+1).
Так как каждое Sm по доказанному счетно, то счетно и мно-
жество S, что и требовалось доказать.
Из теоремы 9 вытекает ряд следствий. Назовем точку пло-
скости (а также трехмерного и вообще n-мерного пространства}
рациональной, если все ее координаты суть рациональные числа.
Очевидно, рациональная точка п-мерного пространства может
быть рассматриваема как последовательность п рациональных
чисел. Поэтому из теоремы 9 и счетности множества всех рацио-
нальных чисел вытекает
Теорема 10. Множество всех рациональных точек п-мернога
пространства счетно.
Назовем «рациональной окружностью» (а также рациональной сферой трех-
мерного, вообще n-мерного пространства) окружность (или сферу), центр и
радиус которой рациональны. Таким образом, рациональные окружности на-
ходятся во взаимно однозначном соответствии с тройками (х, г/, г) рациональ-
ных чисел (х и у суть координаты центра, а г — радиус). Отсюда и из анало-
гичных соображений для пространства следует, что множество всех рациональных,
окружностей (а также множество всех рациональных сфер) счетно.
*) Строго говоря, последовательность из п (каких угодно) чисел /2, ...
есть функция, определенная на множестве первых п натуральных чисел,,
со значениями /i=/(l), f2=f(2), ...,fn=f(n).
$5]	УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА	23
Точно так же доказывается и
Теорема 11. Множество всех многочленов
Р (х) = аох" + fljX”-1 + ... + а„^х + ап	(2)
€ рациональными коэффициентами счетно.
В самом деле, эти многочлены взаимно однозначно соответ-
ствуют конечным последовательностям
(а0, alt ...» а„)
рациональных чисел.
Комплексное (в частности, действительное) число % называется,
как известно, алгебраическим, если существует многочлен (2)
с’рациональными коэффициентами, обращающийся в нуль
при подстановке х = |. Обозначая через А(Р) множество всех
корней данного многочлена Р (х) с рациональными коэффициен-
тами, видим, что множество всех алгебраических чисел есть
сумма счетного множества конечных множеств А (Р), т. е. счетное
множество. Итак:
Теорема 12 (Кантор). Множество всех алгебраических чисел
счетно.
Во второй главе будет доказано, что множество всех дейст-
вительных чисел несчетно. Называя комплексное (в частности,
действительное) число трансцендентным, если оно не является
алгебраическим, получим в качестве следствия из теорем 12 и 5
теорему о несчетности множества всех трансцендентных действи-
тельных (а значит, и подавно комплексных) чисел.
§ 5. Понятие о частично упорядоченном
и (линейно) упорядоченном множестве
В предыдущем параграфе, а также еще в курсе элементарной
алгебры читатель имел случай познакомиться с множествами,
элементы которых рассматриваются в определенном порядке.
Определение 5. Множество X, состоящее из каких угодно
элементов, называется частично упорядоченным, если в нем уста-
новлено «отношение порядка», т. е. для некоторых пар х, х' его
(различных) элементов известно, что один из них предшествует
другому, например, элемента предшествует элементу х', что за-
писывается так:
х<х' или х'>х.
При этом предполагается, что отношение порядка удовлетворяет
следующему условию транзитивности:
Если х<х' и %'<%", то х<х".
Если в данном частично упорядоченном множестве X отноше-
ние порядка установлено для любых двух различных элементов,
24
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
т. е. для любых двух различных элементов х, х' один предшест-
вует другому, т. е. верно одно и только одно из двух отношений
х<х' или х>х', то частично упорядоченное множество называется
линейно упорядоченным или просто упорядоченным.
Частично упорядоченное множество называется направленным*
если для любых его двух элементов х, х' существует третий х"»
который следует как за х, так и за х': х">х, х">х'.
Понятие конечного упорядоченного множества совпадает с по-
нятием конечной последовательности, состоящей из различных
элементов (откуда, между прочим, следует, что множество всех
конечных упорядоченных множеств, составленных из элементов
данного счетного множества, счетно).
Простейшими примерами бесконечных упорядоченных множеств
являются множество всех целых чисел и множество всех рацио-
нальных чисел; в том и в другом множестве элемент х считается
предшествующим элементу х', если х<х'; этот порядок в мно-
жестве рациональных, в частности целых, чисел называется
«естественным».
Множество всех действительных чисел (числовая прямая)
также может служить примером упорядоченного множества.
Важно с самого начала заметить, что одно и то же множество
можно упорядочить многими различными способами, так что по-
лучатся различные упорядоченные множества. Так, например,
натуральные числа можно упорядочить «естественным образом»»
так что получится последовательность
1,2,3,4, ...;
но можно упорядочить по возрастанию отдельно все нечетные
числа и отдельно все четные и считать всякое нечетное число
предшествующим всякому четному. Получим упорядоченное мно-
жество
1,3,5, ...,2,4,6, ...
Можно также занумеровать каким-нибудь способом все рацио-
нальные числа в последовательность
G, г2, ..., г„, ...
и положить г„<гП', если п<п'.
Множество всех частичных порядков на данном множестве
X само упорядочено естественным образом. Говорят, что порядок
сильнее порядка <2 (или порядок <2 слабее порядка <J, если
для всяких х, у£Х из х<2г/ следует х<гу.
Как следует из определения, всякое (линейно) упорядочен-
ное множество является и частично упорядоченным. Примером
частично, но не линейно упорядоченного множества может слу-
жить множество X всех пар натуральных чисел со следующим
5]
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
25
порядком: (х, у) < (х', у')—тогда и только тогда, когда одновре-
менно х<х' и #<#'. Одним из важнейших примеров частично
упорядоченных множеств является множество всех подмножеств
данного множества X, упорядоченное по включению:
Л4<ЛГ, если AfczM'^X.
Определение 6. Если в данном упорядоченном множе-
стве X имеем а<х<&, то говорим, что элемент х лежит между
элементами aub. Множество всех элементов х. лежащих между
элементами а и Ь. называется интервалом (а; Ь) упорядоченного
множества X. Если к интервалу (я; Ь) прибавить оба его «конца»,
т. е. элементы а и ft, то получим сегмент [а; &]«. В применении
к числовой прямой получаем известные из элементов анализа
понятия интервала (промежутка) и сегмента (отрезка) действи-
тельных чисел *).
Упорядоченное множество может содержать пустые интервалы.
Так, например, в упорядоченном множестве всех натуральных
чисел все интервалы вида (п; п + 1) пусты.
Элементы х и х' упорядоченного множества X называются
соседними, если интервал (х; х') пуст.
Если элемент а частично упорядоченного множества X таков,
что для всякого xgX, х=/=я, имеем а + х. то говорим, что а —
первый (или наименьший) элемент упорядоченного множества X.
Если, наоборот, для всех х£Х, х=£а. имеем х + а. то а назы-
вается последним (или наибольшим) элементом упорядоченного
множества X. Очевидно, во всяком линейно упорядоченном мно-
жестве имеется не более одного первого и не более одного по-
следнего элемента. В то же время в частично, но не линейно
упорядоченном множестве может быть много первых и последних
элементов. Так, например, в приведенном выше частично упоря-
доченном множестве X пар натуральных чисел все пары вида
(1, у) и (х, 1) будут первыми элементами. В любом сегменте \а\ Ь]
упорядоченного множества X (в частности, в любом сегменте
числовой прямой) элемент а является первым, а элемент b—по-
следним. В интервале (а; Ь) числовой прямой нет ни первого, ни
последнего элемента. В множестве всех неотрицательных дейст-
вительных (соответственно рациональных, соответственно целых)
чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет.
В множестве всех неположительных чисел нуль есть последний
элемент.
Определение 7. Взаимно однозначное отображение f
упорядоченного множества X на упорядоченное множество Y
называется соответствием подобия или подобным соответствием.
*) Прибавляя к интервалу (а; Ь) только один из его концов, получим по-
луинтервалы (полусегменты) [а; b) = a\J(a't Ь) и (а; b]=(a\ b)(Jb.
26
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
(ГЛ. Г
если оно сохраняет порядок (т. е. если из в X всегда
следует, что /(х)</(х') в У).
Два упорядоченных множества называются подобными (или
одинаково упорядоченными, или имеющими один и тот же поряд-
ковый тип), если одно из них можно подобно отобразить на
Другое.
Примеры подобных упорядоченных множеств.
1. Любые два конечных линейно упорядоченных множества X
и Y. состоящие из одного и того же числа s элементов, подобны
между собой. В самом деле, выпишем все элементы каждого из-
множеств X и У в том порядке, который дан в этих множествах:
Xj Х2	• ’’х Xs.
У1 < У2 < * * * < УS*
Ставя в соответствие элементу xz элемент yh получим, очевидно^
подобное соответствие между X и Y.
2. Указанное в § 3 (пример 4, рис. 1) взаимно однозначное
соответствие между всей числовой прямой и ее интервалом (—1; 1)
является соответствием подобия. Линейная подстановка У = ^^
устанавливает взаимно подобное соответствие между интервалами
а<х<& и 0 < у < 1 числовой прямой. Итак, все интервалы
числовой прямой подобны между собою и подобны всей число-
вой прямой. Точно так же подобны между собою и все сегменты
числовой прямой.
Весьма важным является следующее замечание. В определе-
нии 7 два подобных между собою упорядоченных множества
названы множествами одного и того же порядкового типа. Таким
образом, понятие порядкового типа получается путем абстракции
из понятия класса подобных между собою упорядоченных множеств
так же, как понятие мощности (или «количественного» типа
множества) получилось путем абстракции из понятия класса
эквивалентных между собою множеств.
Замечание. Класс упорядоченных множеств, подобных данному, так
же как и класс количественно эквивалентных между собою множеств (т. е.
множеств, имеющих одну и ту же мощность), нельзя рассматривать как логи-
чески законченное образование, как множество, все элементы которого дейст-
вительно даны. В самом деле, нельзя мыслить себе совокупность всех вообще
множеств, эквивалентных или подобных данному, хотя бы уже потому, что>
совершенно необозримой является совокупность всех предметов, которые вообще
могут быть элементами каких бы то ни было множеств. Когда в математике
говорят о множестве всех предметов, обладающих каким-то свойством, то
естественно требовать, чтобы заранее было дано какое-то вполне определенное
множество, элементами которого и являются рассматриваемые предметы; иначе
легко прийти к таким не только бессодержательным, но и противоречивым
понятиям, как, например, понятие «множества всех множеств», из существо-
вания которого можно сделать любой нелепый вывод (множество всех множеств
должно было бы содержать себя самого как элемент, содержать в качестве
§ 5J	УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА	27
подмножества множество всех своих подмножеств и т. д.). С другой стороны,
должная осторожность в пользовании словом «все» в только что приведенном
смысле (т. е. применение этого слова лишь к элементам заранее данных мно-
жеств) практически (насколько можно судить по опыту истории теории мно-
жеств) позволяет избежать так называемых «парадоксов» этой теории.
Очевидно, два подобных между собой упорядоченных множе-
ства и подавно эквивалентны между собою, т. е. имеют одну и
ту же мощность. Поэтому можно говорить о мощности данного
порядкового типа, понимая под этим мощность любого множества
этого типа. Так как два конечных упорядоченных множества
подобны между собою тогда, когда они состоят из одного и того
же числа элементов, то порядковые типы конечных упорядочен-
ных множеств находятся во взаимно однозначном соответствии
с их количественными числами (мощностями) и могут быть отож-
дествлены с этими последними. Так в арифметике всегда и де-
лается: натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ... выражают в одно
и то же время как количество элементов («мощность») конечных
множеств, так и порядковый тип конечных упорядоченных мно-
жеств. Совершенно иначе обстоит дело даже с простейшими бес-
конечными множествами, а именно со счетными множествами:
все счетные множества по самому своему определению имеют
одну и ту же мощность (мощность множества всех натуральных
чисел, обозначаемую через Ло *)). Между тем в главе 3 будет
доказано, что число различных порядковых типов счетных упо-
рядоченных множеств не только бесконечно, но даже несчетно.
Подмножество М упорядоченного множества X назовем поряд-
ково выпуклым, если вместе с любыми двумя элементами а, Ь(а< Ь)
множество М содержит ограниченный ими сегмент [а\ Ь]. Пусть
У—произвольное подмножество упорядоченного множества X.
Множество С е У назовем порядковой компонентой множества У,
если С порядково выпукло и не существует порядково выпуклого
множества С' У, содержащего множество С в качестве соб-
ственного подмножества.
Рассмотрим следующее отношение ~ на множестве У:
1. Для всякой точки х g У всегда х~ х.
2. Если х, у и х^у, то х~у тогда и только тогда,
когда [х; у] У, если х<у, или [у\ х]^У, если #<х.
Читатель без труда проверит, что отношение ~ есть отно-
шение эквивалентности на множестве У; следовательно, У рас-
падается на классы эквивалентности. Пусть С—произвольный
класс эквивалентности, а, Ь£С и а<Ь. Из определения отноше-
ния эквивалентности вытекает, что [а; Ь] У. Для всякой точки
xg(a; 6) имеем [я; х]^У; следовательно, а~х и xgC. Поэтому
*) Л есть первая буква древнееврейского алфавита, называемая «алеф»;
выражение читается: «алеф-нуль».
28
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
множество С порядково выпукло. В то же время всякое поряд-
ково выпуклое множество содержится в каком-то классе эквива-
лентности. Таким образом, множество С является порядковой
компонентой множества Y. Итак, нами доказана
Теорема 13. Всякое подмножество Y упорядоченного мно-
жества X распадается в дизъюнктную сумму порядковых ком-
понент.
Упорядоченным множествам посвящена третья глава этой
книги. Здесь же мы ограничимся сделанными элементарными
замечаниями.
§ 6.	О сравнении мощностей
Уже при самом определении мощности мы говорили о том,
что понятие мощности является—в случае бесконечных мно-
жеств— обобщением понятия количества элементов конечного
множества. Однако одно из основных свойств количества заклю-
чается в том, что два количества либо равны, либо одно из них
больше другого. Поэтому естественно возникает вопрос о срав-
нимости мощностей.
Пусть даны два множества А и В. Логически возможны сле-
дующие случаи:
1.	Существует взаимно однозначное соответствие между А и В.
2.	Существует взаимно однозначное соответствие между одним
множеством, например А, и собственною частью другого мно-
жества, В, и в то же время нет взаимно однозначного соответ-
ствия между множеством В и частью множества А.
3.	Существует взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством А и собственной частью множества В, а также взаимно
однозначное соответствие между множеством В и собственной
частью множества А.
4.	Не существует ни взаимно однозначного соответствия
между А и частью В, ни взаимно однозначного соответствия
между В и частью А.
Если А и В—конечные множества, то третий и четвертый
случаи невозможны. В самом деле, если эти множества состоят
из одного и того же числа элементов, то осуществляется первый
случай, а если из разного—то второй.
В § 6 гл. 3 будет доказано, что четвертый случай невозмо-
жен также и в применении к бесконечным множествам. Однако
доказательство это опирается на аксиому (так называемую акси-
ому Цермело (Zermelo)), которая в одних системах построения
теории множеств принимается, а в других нет.
Что касается третьего случая, то для бесконечных множеств
он может осуществляться; например, если А и В—счетные мно-
жества, то для них одновременно осуществляются и первый и
§ 6]
О СРАВНЕНИИ МОЩНОСТЕЙ
29
третий случаи. Мы сейчас докажем, что из выполнения третьего
случая всегда следует выполнение первого. Для бесконечных
множеств, как легко выводится из теоремы 6, всегда из первого
случая следует третий.
Итак, переходим к доказательству следующего предложения:
Теорема 14 (Кантор—Бернштейн). Если из двух множеств
каждое эквивалентно части другого, то эти два множества экви-
валентны между собою.
Доказательство. Пусть А эквивалентно множеству с В
и в то же время В эквивалентно множеству Аг cz А.
В силу взаимно однозначного соответствия, существующего
по предположению между В и Alf множеству Bt соответствует
некоторое подмножество (очевидно, собственное) А2 множества А^
Итак,
A id Лг id Л2,
А эквивалентно Л2, >
(1)
В эквивалентно Лг ,
Если мы докажем, что в условиях (1) множество Аг эквивалентно А
(и Л2), то будет доказана и теорема Кантора—Бернштейна.
Рассмотрим какое-нибудь взаимно однозначное отображение
f множества Л на множество Л2. При отображении f
Л	отображается	на		л2,
Лх с Л	»	»	некоторое	лз с Л2,
Л2 с Л2*	»	»	>>	Л4 с Л3,
Л3 а: Л2	»	»	»	Л5 с Л4
и т.д. до бесконечности.
В силу того же взаимно однозначного отображения /, оче-
видно,
л \	чЛ,	отображается	на	лг	\ Л3,
л^	\Л2	»	»		чЛ4,
л л	Д	»	»	л4^	
лг	\Л4	»	»	лг	\Л„
Л4\Л6		»	»	л,''	\Л7,
откуда следует эквивалентность множеств
(Л\ Л,) и (Л2\ Л3) и (Л4\Л5) и
(Ла\Л3) и (Л4\Л5) и (Ло \Л7) и
Положим теперь
D = А Л At П Л2 П Л3 П • ••
(2>
во
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
Тогда легко проверяются тождества
A = D и (Л \ЛХ) и (Л1\Л2)। и (Л2\Л3) и
U (Л3\Л4) и...,
Л^Ои	(Л4\ Л2) и (Л2\Л3) и
и (Л3\л4) и ...»
которые можно, очевидно, записать и так:
А = [D U (Л \	ч А2) J (А3 \	Л)и...]и
и[М\	SА)и(А2\	чА3)и
	чД2)и(Дзх	чД4)и ...] и
и[(Л2'	\4S)UGV	
(3')
Но в правых частях обоих этих равенств в первой квадратной
скобке заключено одно и то же множество, тогда как во второй
квадратной скобке каждого из этих равенств заключены эквива-
лентные множества (2); устанавливая между этими двумя мно-
жествами (2) взаимно однозначное соответствие и заставляя со-
ответствовать себе самому каждый элемент множества
DU(4\Л2)и(Л3\Л4)и...,
мы получим взаимно однозначное соответствие между множествами
А и Alf что и требовалось доказать.
После того, как мы докажем в главе 3 невозможность чет-
вертого случая, мы сможем сказать, что для двух множеств А
и В могут осуществиться лишь следующие две возможности:
либо множества А и В эквивалентны (имеют одну и ту же мощ-
ность), либо одно из них, например А, эквивалентно собствен-
ной части другого, В, тогда как множество В уже не эквива-
лентно никакой части множества А.
Во втором случае мы говорим, что мощность множества А
меньше мощности множества В (или что мощность множества В
больше мощности множества Д).
Все предыдущие рассуждения о мощности лишь в том случае
могут претендовать на реальный интерес, если существуют раз-
личные бесконечные мощности. Сейчас мы увидим, что это Дей-
ствительно так: мы докажем, что для каждого множества М
существует множество, мощность которого больше мощности
множества М.
Мы докажем даже более точное предложение:
Теорема 15. Пусть X и Y—два произвольных непустых
множества, удовлетворяющих тому единственному условию^ чтобы
Y состояло более чем из одного элемента. Множество всех раз-
§6]
О СРАВНЕНИИ МОЩНОСТЕЙ
31
личных отображений множества X в множество Y имеет мощ-
ность большуюу чем мощность множества X.
При этом мы, естественно, считаем два отображения и
множества X в множество Y различными, если по крайней мере
для одного элемента х£Х элементы f1(x) и /2(х) множества Y
различны между собою.
Доказательство. Обозначим через Yx множество всех
отображений множества X в множество Y. В соответствии с
определением неравенства мощностей мы должны доказать два
утверждения:
1. Существует взаимно однозначное отображение множества X
на некоторое подмножество множества Yx.
2. Не существует взаимно однозначного отображения множе-
ства X на все множество Yx.
Для доказательства первого утверждения выберем в множе-
стве Y два каких-нибудь различных элемента / и / и для каж-
дого элемента х0 множества X построим отображение мно-
жества X в множество Y следующим способом: образ данного
элемента х0 при отображении /*о есть fXQ(xQ) = у', а образ всякого
отличного от х0 элемента х С X при отображении fесть fXQ(x)=y".
Различным элементам xlt х2 множества X соответствуют различ-
ные отображения; в самом деле,
f Ху (^1) = У >
fxM = y".
Итак, нами установлено взаимно однозначное соответствие
между множеством X и частью множества Yx,
Докажем теперь, что не существует никакого взаимно одно-
значного соответствия между множеством X и множеством Yx.
Предположим, что такое соответствие существует, и обозначим
через ft тот элемент множества Yx, который в силу этого соот-
ветствия отвечает элементу g множества X. Искомое противоре-
чие мы получим, если найдем элемент f множества Yx, отлича-
ющийся от всех ft.
Такой элемент f, т. е. такое отображение множества X в мно-
жество У, мы построим следующим образом. Рассмотрим произ-
вольный элемент £ множества X; образ этого элемента при ото-
бражении ft есть элемент ft (%) множества Y. Определим теперь
f (|), положив f (£) = т], где т]—произвольный элемент множества У,
выбранный под единственным условием, чтобы он был отличен
от элемента f^(|) (это условие всегда выполнимо, так как, по
предположению, множество У содержит по крайней мере два
элемента).
Мы утверждаем, что отображение f отлично от всех отобра-
жений ft. В самом деле, если бы f совпадало с некоторым опре-
32
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. 1
деленным f\ то, в частности, для элемента % £ X мы имели бы
вопреки определению отображения f. Теорема этим доказана.
Замечание 1. Только что изложенная теорема, принадле-
жащая к числу замечательнейших предложений теории множеств,
доказана, и притом приведенным здесь методом, основателем
теории множеств Кантором. Самый этот метод доказательства
известен под названием канторова диагонального процесса.
Рассмотрим различные частные случаи теоремы Кантора.
Прежде всего, пусть множество Y состоит из двух элементов,
положим из элементов 0 и I. Тогда каждому отображению f
множества X в множество Y соответствует разбиение множества X
на два подмножества без общих элементов: на подмножество XJ,
состоящее из всех тех элементов х£Х, для которых f(x) = O, и
на подмножество Х{, состоящее из остальных элементов множе-
ства X (т.е. из тех х£Х, для которых f(x)=I). Сосредоточив
свое внимание на подмножествах XJ, мы можем сказатьгкаж-
дому отображению f множества X в множество У, состоящее из
двух элементов 0 и 1, соответствует определенное подмножество Хо
множества X (а именно подмножество Х£). При этом каждое
подмножество Хо множества X поставлено в соответствие вполне
определенному отображению множества X в множество Y (состо-
ящее из двух элементов 0 и I), именно отображению f, опреде-
ляемому условием f(x) = O, если xgX0, f(x)=l, если xgX\X0.
Итак, установлено взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех подмножеств множества X и множеством всех ото-
бражений множества X в множество, состоящее из двух элемен-
тов 0 и I *). Так как это множество отображений имеет мощ-
ность большую, чем множество X, то доказана
Теорема 16. Множество всех подмножеств произвольного
непустого множества X имеет мощность большую, чем мощность
множества X.
Замечание 2. Утверждение теоремы 16 верно и для пус-
того множества X. В этом случае множество всех подмножеств
множества X содержит один элемент—пустое множество—и, зна-
чит, имеет мощность 1. В то же время само множество X имеет
мощность 0.
Замечание 3. Число всех отображений непустого конечного
множества X в непустое конечное множество Y равно, как не-
трудно доказать, Ьа. где а—число элементов множества X,
я b—число элементов множества Y. В частности, число всех
*) При этом соответствии двум несобственным подмножествам множества X
отвечают два отображения, из которых одно отображает все множество X на
элемент 1, а другое — на элемент 0.
§6]
О СРАВНЕНИИ МОЩНОСТЕЙ
33
отображений непустого конечного множества X в множество,
состоящее из двух элементов (или число всех подмножеств ко-
нечного множества X), равно 2а. Поэтому и в случае бесконечных
множеств мощность множества отображений X в Y обозначается
через Ьа, где а и b суть соответственно мощности множеств X
и У. В частности, мощность множества всех подмножеств мно-
жества X обозначается через 2а, где а—мощность множества X.
Эти обозначения логически включаются в общую теорию действий
над мощностями, где рассматривается не только возведение в сте-
пень, но и общее действие умножения мощностей (при любой
мощности множества сомножителей), а также более простое дей-
ствие сложения мощностей. См. об этом § 6 гл. 3.
Рассмотрим множество всех отображений множества N всех
натуральных чисел в множество, состоящее из двух элементов О
и 1. Всякое такое отображение, ставя каждому натуральному
числу в соответствие число м, равное 0 или 1, приводит к по-
строению бесконечной последовательности
^3> • • • » ^л» ’ ’ • >	= | >	(4)
или бесконечной двоичной дроби
п • •	•	• _0
и,	’ • > ^л» • • • > ^л | >
и обратно, всякая такая последовательность, всякая бесконеч-
ная двоичная дробь определяет отображение /, где f(n) = O
или 1. Итак, множество всех бесконечных двоичных дробей имеет
ту же мощность, что и множество всех подмножеств натураль-
ного ряда.
Обозначив (как было сделано выше) мощность счетных мно-
жеств через #0, мы можем сказать, что мощность множества
всех последовательностей (4) есть 2Ко.
Итак, множество всех бесконечных двоичных дробей эквива-
лентно множеству всех подмножеств натурального ряда и имеет
поэтому мощность 2^0.
Определение 8. Мощность 2*® называется мощностью кон-
тинуума и обозначается через с; она—несчетна (2^®>Л0).
Мы встретимся с этой мощностью в конце главы 2 (§ 4).
Глава вторая
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Дедекиндовское определение иррационального числа
В этой главе будет построена теория действительных (вещест-
венных) чисел в предположении, что известны рациональные
числа и арифметические операции над ними. Множество 7?0 всех
рациональных чисел мы собираемся пополнить новыми матема-
тическими объектами, называемыми иррациональными числами,
с тем чтобы получить множество всех действительных чисел
с его алгеброй и топологией. Последняя будет в своем месте
определена.
Множество 7?0 есть упорядоченное множество без пустых ин-
тервалов (каковы бы ни были два различных рациональных
числа г' и г", между г' и г" существует бесконечно много рацио-
нальных чисел г, например: = (г' + г"), г2 = -^-(г' + г1), гз =
= у(Г'+Г2)’ •••)•
После этого предварительного замечания перейдем к изложе-
нию дедекиндовского определения иррационального числа.
Назовем сечением упорядоченного множества X всякое раз-
биение его на два непересекающихся подмножества А и В такие,
что для любых элементов х С А, у € В имеем х < у. Сечение (Л, В)
называется собственным, если оба множества А и В непусты.
Как правило, ниже под сечением будем понимать собственное
сечение, не оговаривая этого особо. Но иногда у нас будет воз-
никать потребность в привлечении и несобственных сечений.
Множество А называется нижним (или левым), а множество
В—верхним (или правым) классом.
В этом параграфе мы будем рассматривать только сечения
в (естественно *) упорядоченном) множестве всех рациональных
чисел.
*) То есть по величине (см. стр. 24).
$ 1]	ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ПО ДЕДЕКИНДУ	35
Примеры сечений.
1.	Если г есть произвольное рациональное число, то, при-
нимая за множество А множество всех рациональных а г, аза
В—множество всех остальных рациональных чисел, получаем
«сечение.
Очевидно, г есть наибольшее число среди всех чисел, при-
надлежащих к нижнему классу Л.
2.	Пусть г—произвольное рациональное число; относим к
классу А все рациональные числа, меньшие чем г, а к классу
В—все остальные рациональные числа. Таким образом, опять
установлено сечение, причем г есть наименьшее число среди всех
чисел класса В;
3.	Отнесем к классу А все отрицательные рациональные числа,
число 0 и все положительные рациональные числа, квадрат кото-
рых меньше 2. Отнесем к классу В все остальные рациональные
числа. Так как не существует рационального числа, квадрат
которого равен 2*), то квадраты всех рациональных чисел, при-
надлежащих к В, больше 2.
Докажем, что в А нет наибольшего, а в В—наименьшего
числа.
Пусть г—произвольное число из класса Л, так что г2 < 2.
Тогда при достаточно большом п также будет содержаться
в этом классе. Действительно, предполагая, что п > 1, имеем
и для того, чтобы правая часть была меньше чем 2, достаточно
взять п >	• Таким образом, каково бы ни было г £ Л, при
достаточно большом п также г-р-^-^Л, т. е. в Л нет наиболь-
шего числа.
Подобным же образом доказывается, что в В нет наимень-
шего числа.
Теорема 1. Для всякого сечения (Л, В) в множестве всех
рациональных чисел имеются лишь следующие три возможности:
*) Так как г2 = | г |2, то достаточно показать, что не существует положи-
тельного рационального числа, квадрат которого равен 2. Целого числа такого
наверное не существует, так как 12 = 1, а для будет п2^4. Пусть суще-
ствует несократимая дробь такая, что -2- Тогда p2=2q2 есть чет-
ное число. Так как квадрат нечетного числа есть нечетное число, то р есть
четное число, р = 2рЛ (где р"—целое), т. е. 4p'2 = 2q2, или q2=2pf\ значит,
—четное число и дробь сократима. Полученное противоречие доказывает
наше утверждение.
36
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 2
1) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г (тогда
в верхнем классе нет наименьшего числа);
2) либо в верхнем классе В имеется наименьшее число г (тогда
в нижнем классе нет наибольшего числа);
Ъ) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего, ни
в верхнем классе нет наименьшего числа.
Доказательство. Четвертый логически возможный слу-
чай: в А есть наибольший элемент а, и в В есть наименьший
элемент b—не может осуществиться, так как тогда между чис-
лами а и b не было бы никакого рационального числа.
Определение 1. В случаях 1) и 2) говорят, что сечение
(Л, В) определяет рациональное число г; в случае 3) говорят,
что сечение определяет некоторое иррациональное число.
Иногда говорят, что иррациональное число есть сечение.
Однако в других построениях теории действительных чисел по
существу те же самые иррациональные числа (например, К2
или л) связываются с совсем другими образованиями, например
бесконечными десятичными дробями; при этом иногда тоже гово-
рят, что иррациональное число есть бесконечная (непериоди-
ческая) десятичная дробь Мы предпочитаем в обоих случаях
говорить, что иррациональное число лишь определяется
сечением или бесконечной десятичной дробью и т. п.
Введем определения понятий «больше» и «меньше» в приме-
нении к иррациональным числам.
Пусть у нас есть иррациональное число g. Это означает, что
у нас есть сечение (А%, В%) в множестве всех рациональных чисел.
Введем следующее определение: всякое иррациональное число £
больше всякого а £ А% и меньше всякого b £ В%.
Определение 2. Иррациональное число g называется поло-
жительным, если | > 0, и отрицательным, если £ < 0.
Предположим, мы имеем два иррациональных числа g и т),
определенных сечениями (Л$, В^ и (Лл> Вп). Возможны три
случая:
1.	Л| = ЛП; тогда В^ = В^ и £ = т].
2.	Имеется число а^А^, не принадлежащее к Лп (т. е.
абЛ|ПВТ1). Тогда*) Лп cz А& и мы полагаем т] <
3.	Имеется число абЛл, не принадлежащее к Л^ (т. е.
я^Л^ОВ^) Тогда Л|аЛГ1, и мы полагаем | < т).
Легко проверить, что эти определения превращают множе-
ство Ri всех действительных (т. е рациональных и иррациональ-
ных) чисел в упорядоченное множество.
Теорема 2. Среди действительных чисел нет наибольшего
и нет наименьшего числа.
') Всякое х^Ац, будучи меньше чем а, содержится в т. е. Л^ CZ Л^.
СЕЧЕНИЯ. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ
37
§2]
Доказательство. Пусть £ есть наибольшее число; % не
может быть рационально, так как g+l>g. Если £ иррацио-
нально, то пусть (Л, В) есть определяющее £ сечение и b£B\
тогда b > g. Аналогично доказывается, что нет наименьшего
действительного числа.
Теорема 3. Каковы бы ни были два различных действитель-
ных числа х и у=^х, можно найти бесконечно много рациональ-
ных чисел, заключенных между ними.
Достаточно показать, что между каждыми двумя действитель-
ными числами существует хотя бы одно рациональное число.
Теорема верна, если х и у оба рациональны.
Пусть одно из них, например х, иррационально, х = (Л, В),
а другое рационально. Если z/>x, тоу^ВивВ нет наимень-
шего числа. Поэтому в В имеется (рациональное) число у',
меньшее чем у и большее чем х. Если у<х, toz/^ЛивЛ
имеется у', большее чем у и меньшее чем х.
Пусть, наконец, оба числа х и у иррациональны. Так как
они различны, то существует хоть одно рациональное число,
принадлежащее к нижнему классу одного сечения и к верхнему
классу другого сечения и, следовательно, меньшее, чем одно из
этих иррациональных чисел, и большее, чем другое.
Теорема 4. Пусть дано иррациональное число £ = (Л, В).
Каково бы ни было положительное число 8, можно найти два
рациональных числа а и Ь, удовлетворяющих неравенствам
и b—а < 8.
Достаточно доказать теорему для рационального 8. В самом
деле, если бы 8 было иррационально, то достаточно было бы
взять положительное рациональное число 8' < 8 (такое 8' суще-
ствует на основании предыдущей теоремы). Итак, пусть 8 рацио-
нально. Возьмем произвольно aQ £ А и Ьо £ В и построим ряд
рациональных чисел:
^о»	9 * ' ’ ’ &п ^0 + а ~2~ •	(1)
Возьмем п >	; тогда ап > bQ9 ап£В. Пусть ak,
есть первое среди чисел (1), принадлежащее к В. Тогда aR_1 £ Л,
яАСВ, 0 <	= <8, что и требовалось доказать.
§ 2. Сечения в множестве действительных чисел.
Верхняя и нижняя грани
Теорема 5. Каково бы ни было сечение (Л, В) в множестве
всех действительных чисел, всегда существует либо наибольшее
число в А, либо наименьшее в В, причем одна из этих возможно-
стей исключает другую.
38
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1ГЛ. 2
Доказательство. Обозначим через Л', соответственно В',
множество рациональных чисел, принадлежащих к Л, соответст-
венно к В. Таким образом, имеем сечение (Л', В') множества
рациональных чисел. Возможны три случая:
I)	либо есть рациональное число, наибольшее в Л';
2)	»	»	»	» , наименьшее в В';
3)	либо в Л' нет наибольшего, а в В' нет наименьшего числа.
Пусть | есть наибольшее число в Л'. Докажем, что £ есть
наибольшее число и в Л. Действительно, в противном случае
в Л существовало бы некоторое а > g; взяв рациональное а'
между g и а. получили бы противоречие, так как а' £ Л', a' > g.
Совершенно аналогично доказывается, что число, наименьшее
в В', является наименьшим и в В.
Остается рассмотреть третий случай. В этом случае сечение
(Л', В') определяет иррациональное число g. Так как каждое
действительное число содержится либо в Л, либо в В, то и |
содержится в одном из двух этих множеств. Пусть, например,
££Л. Если бы в Л существовало а > £, то, беря рациональное
а' между £ и а, имели бы а' £Л' и, значит, а' < £ (вопреки
выбору числа я').
Если бы ££В, то совершенно так же мы доказали бы, что
5 есть наименьшее в В. Наконец, если бы в Л было наибольшее,
а в В—наименьшее число, то получили бы противоречие с тео-
ремой 3.
Замечание о геометрическом изображении дей-
ствительных чисел. Уже в элементарной алгебре, исходя
из наивного представления о прямой линии, показывается, как,
взяв на прямой две точки—нулевую точку (или «начало коор-
динат») и единичную,—можно нанести на этой прямой сетку так
называемых рациональных точек, находящихся во взаимно одно-
значном соответствии с рациональными числами. Этот процесс
построения множества всех рациональных точек прямой может
быть строго обоснован, т. е. выведен из системы аксиом элемен-
тарной геометрии, в рассмотрение которых мы здесь входить не
будем. Эти же аксиомы позволяют поставить остальные (т. е. не
рациональные) точки прямой во взаимно однозначное соответ-
ствие с иррациональными числами, так что в результате уста-
навливается взаимно однозначное соответствие между множеством
всех точек прямой и множеством всех действительных чисел.
Установив раз навсегда такое соответствие, мы говорим о «чис-
ловой прямой». Впрочем, читатель может ограничиться тем, чтобы
попросту называть действительные числа точками числовой пря-
мой и в рассуждениях о них пользоваться геометрическим язы-
ком. Так, например, вместо того, чтобы говорить, что действи-
тельное число а меньше действительного числа ft, мы будем часто
говорить, что точка а лежит левее точки &, и т. п.
§ 2]	СЕЧЕНИЯ. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ	39
Определение 3. Множество М9 состоящее из действитель-
ных чисел, называется ограниченным сверху (соответственно снизу),
если существует такое число с, что все элементы этого множества
меньше (соответственно больше) чем с. Множество называется
ограниченным, если оно одновременно ограничено и сверху и снизу.
Пусть мы имеем непустое множество М9 ограниченное сверху.
Обозначим через В множество всех точек числовой прямой, ле-
жащих вправо от всех точек, образующих множество 7И, и через
А множество всех действительных чисел, не вошедших в В. Оче-
видно, А состоит из всех тех точек х, для каждой из которых
имеется хоть одна точка % множества М, удовлетворяющая ус-
ловию x^g; следовательно, М^А.
Пусть а—произвольная точка множества Л, b—произволь-
ная точка множества В; так как a g Л, то существует точка g g М
такая, что так как Ь£В9 то £ < Ь. Следовательно, а < Ь9
т. е. (Л, В) есть сечение в множестве всех действительных чи-
сел; это сечение на основании теоремы 5 определяет действитель-
ное число Рдр которое есть либо наибольшее в Л, либо наимень-
шее в В.
Докажем, что число есть наименьшее из всех действитель-
ных чисел р, удовлетворяющих условию:
для всех	(1)
В самом деле, Р^ есть либо наибольшее число в Л, либо
наименьшее в В. И в том и в другом случае р^и не может быть
меньше никакого числа g С Л, следовательно, и подавно не мо-
жет быть меньше никакого
С другой стороны, для всякого < Pai можно найти а' между
а и Рлт; так как я'С Л, то существует такое что а'
значит, а < Таким образом, РЛ1 есть действительно наименьшее
число среди всех чисел р, удовлетворяющих условию (1). Число
РЛ1 однозначно определено для всякого непустого ограниченного
сверху множества М и называется верхнею гранью множества М.
Верхнюю грань множества М мы будем обозначать так: sup М
(читается: supremum, ударение на «е»).
Верхняя грань множества в одних случаях принадлежит
к множеству, а в других—нет, как видно из примеров:
1.	Множество всех целых отрицательных чисел имеет своею
верхнею гранью число —1, принадлежащее к этому множеству.
2.	Множество всех отрицательных чисел имеет своею верхнею
гранью число 0, не принадлежащее к этому множеству.
3.	Интервал (0; 1) имеет верхнею гранью число 1, не при-
надлежащее к нему.
4.	Сегмент [0; 1] имеет верхнею гранью число 1, принадле-
жащее к нему.
40
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 2
5.	Множество Л4, состоящее из всех рациональных чисел,
меньших единицы, имеет верхнею гранью число 1, не принад-
лежащее к нему.
Пусть теперь дано непустое множество М, ограниченное снизу.
Отнесем к классу А все числа, которые меньше всех элементов
множества М, к классу В—все остальные действительные числа.
Таким образом, получаем сечение в множестве всех действитель-
ных чисел, определяющее некоторое число ам. Рассуждениями,
совершенно аналогичными тем, которые были только что прове-
дены, мы убеждаемся в том, что ам есть наибольшее среди всех
чисел а, удовлетворяющих условию:	каково бы ни было
Число ам называется нижней гранью множества М и обозна-
чается inf А1 (читается: infimum, ударение на первом «i»).
Из предыдущих определений следует:
Теорема 6. Нет ни одной точки множества М, располо-
женной слева от a = infM, но всякий полусегмент вида [а; Ь)
содержит по крайней мере одну точку ££А1.
Теорема 7. Нет ни одной точки множества А1, располо-
женной справа от 0=supAl, но всякий полусегмент вида (а; 0]
содержит хоть одну точку
Если множество М ограничено, то оно имеет и нижнюю грань
а и верхнюю грань 0. Сегмент [а; 0] содержит все множество М
и есть наименьший сегмент, содержащий это множество (другими
словами, никакой сегмент, составляющий собственную часть сег-
мента [а; 0], уже не содержит всех точек множества М).
Очевидно, если в множестве М есть наибольшее (наименьшее)
число у, то у есть верхняя (нижняя) грань множества М.
Теорема 8. Если М ограничено сверху и	то
sup А^^ sup AL
В самом деле, пусть (Л, В) есть сечение, определяющее sup М,
а (Лп —соответствующее сечение для sup Afx. Из определений
классов В и Вг следует, что	и, значит, sup sup AL
Совершенно так же доказывается
Теорема 9. Если М ограничено снизу и	то
inf Alx^ inf Al.
Следствие, Если М состоит из чисел, меньших или равных а
(где а—произвольное действительное число), то supAl^a.
В самом деле, множество М является частью множества А
всех чисел x^Za и по теореме 8 sup М ^sup А = а.
Аналогично, если М состоит из чисел, больших или равных а,
то inf Af а.
Определение 4. Расстоянием между двумя рациональными
точками a ub^a на прямой называется число b—а.
Пусть имеем два действительных числа а и b > а. Рассмотрим
множество М9 состоящее из рациональных чисел, являющихся
§2)
СЕЧЕНИЯ. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ
41
расстояниями между какими-либо двумя рациональными точками
сегмента [а; Ь]. Верхняя грань (очевидно, ограниченного) мно-
жества М называется расстоянием между точками a ub и обозна-
чается р(а, ft); это же число называется длиною сегмента [я; /?]
(и интервала (а; 6)).
Докажем теперь следующую, во многих случаях полезную
теорему:
Теорема 10. Пусть Р и Q суть два таких непустых мно-
жества, что каждая точка множества Р расположена левее. чем
любая точка множества Q. Если, кроме того, для любого 8>0
имеются две точки х£Р. y£Q. расстояние между которыми
меньше 8, то
sup Р = inf Q.
Доказательство. Прежде всего, множество Р ограничено
сверху, a Q—снизу. Пусть
P=supP, a = infQ.
Если бы было а < р, то в (а; р] имелась бы точка х^Р. а
в [а; х)—точка y£Q и, вопреки предположению, было бы у < х.
Итак, р^я. Если бы было Р<а, то, взяв рациональные
числа а. b так, чтобы а < а < b < р, мы имели бы для любых
х € Ру У € Q неравенство р (х, у) > b—а. вопреки предположению.
Теорема доказана.
Из теоремы 10 вытекает
Следствие 1. Пусть множества Р и Q удовлетворяют ус-
ловию теоремы 10, и пусть g = supP = inf Q. Если Рг^Р и
обладают тем свойством, что для каждого 8>0'можно
найти две точки x^P1uy^Q1. удовлетворяющие условию р (х, у) <8,
то sup Рг = inf Qi = g.
В самом деле, Рг и удовлетворяют условию теоремы 10,
следовательно, sup Рг = inf Qx = Но так как PV^P. Qt^Q.
то (на основании теорем 8, 9)
т. е. =
Следствие 2. Если (А, В) есть сечение в множестве всех
рациональных (соответственно всех действительных) чисел и если
£ есть число, определяемое этим сечением, то
g = sup А = inf В.
В самом деле, пара множеств А и В удовлетворяет (на ос-
новании теоремы 4) всем условиям теоремы 10, так что sup^ =
= infB = g'. Так как g не меньше любого числа из А и не
больше любого числа из В. то sup А g inf В и, значит, |
42
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 2
Следствие 3. Пусть имеем убывающую последовательность
сегментов
^1 — ^2 — ’ * ’ —	— • • • »
причем длина сегментов &п стремится к нулю при возрастании п.
Существует одна и только одна точка принадлежащая всем
сегментам Д„.
В самом деле, множество Р, состоящее из всех точек ап9 и
множество Q, состоящее из всех точек Ьп, очевидно, удовлетво-
ряют всем условиям теоремы 10; поэтому
sup Р = inf Q =
причем для любого п имеем	т. е. Если бы
существовала вторая точка принадлежащая всем Д„, то длина
не могла бы неограниченно убывать, вопреки нашему условию.
§ 3. Действия над действительными числами
Применим теорему 10 к определению сложения и умножения
действительных чисел.
Пусть даны два действительных числа х и у. Числа х и у
определяют сечения (Л*, Вх) и (Ау> Ву) в множестве всех рацио-
нальных чисел, причем Ах (соответственно Ау) состоит из всех
рациональных чисел ах^х (соответственно ау^.у)\ на основании
теоремы 4 можно для всякого положительного 8 > 0 найти такие
числа ах^АХ9 ЬХ£ВХ, соответственно ау£Ау, Ьу£Ву> что
0 < Ьх—ах<&, соответственно 0 < Ьу—ау<&.	(1)
Рассмотрим теперь множество А всех рациональных чисел вида
ах + ау9 где ах, ау — произвольные элементы из Ах, соответственно
из Ау; рассмотрим также множество В всех рациональных чисел
вида bx + by9 где ЬХ£ВХ и Ьу£Ву. Так как каждое ах меньше
каждого Ьх и каждое ау меньше каждого Ьу9 то каждое ах + ау
меньше каждого bx + by. Кроме того, каково бы ни было 8 > 0,
можно найти а = ах + ау£А nb — bx + by^B такие, чтобы Ьх —ах<
<-|- и Ьу—значит, 0<fe—а < 8.
Множества А и В удовлетворяют, таким образом, всем усло-
виям теоремы 10, так что sup А = inf В=£. Теперь определяем:
| = х + у.
Если х и у оба рациональны, то наше определение суммы
х+у превращается в обычное; в самом деле, по определению
множества А число х+у есть в этом случае наибольшее число в А.
Заметим, наконец, что если х—рациональное число, то х+у
есть верхняя грань множества всех рациональных чисел вида
§31
ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
43
х-\-ау, где ау—любое рациональное число, не превосходящее у.
Отсюда, в частности, следует, что 0 + у = у.
Определенное таким образом сложение, очевидно, коммута-
тивно:
х + у = у+х>
Для того чтобы доказать, что оно ассоциативно, т. е. что
(x+y)+z=x+(y+z),
рассмотрим следующие множества рациональных чисел:
Alt состоящее из всех чисел вида ax + y-^-az (где ах+у^х + у, az^z)\
состоящее из всех bx+y-]-bz (где bx+y > х^у, bz > z);
Д2, состоящее из всех ax-\-ay+z\
В2, состоящее из всех bx-\-by+z;
Д3, состоящее из всех ax-\~ay-\-az>
В3, состоящее из всех bx-\-by-\-bz.
Очевидно,
А3 — А^, Дз —
В3 Въ В3 52.
Так как любая пара множеств (Д/, В,), / = 1, 2, 3, удовлетворяет условиям
теоремы 10, то из следствия 1 этой теоремы вытекает, что
sup А3 = inf B3 = sup ^! = inf В1 = (х+у) + z,
sup ?l3 = inf B3 = sup У12 = inf B2 = x-\-(y-\-z),
t. e.
(* + y) + z = x + (y + z)t
что и требовалось доказать.
Для того чтобы определить вычитание действительных чисел,
нужно определить сначала для каждого действительного числа х
число —х. Для этого рассмотрим множество В всех рациональ-
ных чисел Ь^х и множество А всех рациональных чисел а < х.
В А нет наибольшего числа; если же в В есть наименьшее число,
то оно непременно совпадает с х, так как x=infB. Обозначим
через А множество всех чисел —Ъ\ оставшиеся рациональные
числа образуют множество В, состоящее из всех чисел —а\ раз-
биение (А, В) есть сечение множества всех рациональных чисел.
Если в А есть наибольшее число у, то —у = х (как наимень-
шее число в В); тогда и х и у = — х рациональны. Заметим, что
в В нет наименьшего числа (так как в А нет наибольшего);
поэтому, если в А нет наибольшего числа, то сечение (А, В)
определяет иррациональное число, которое мы называем числом
— х (в этом случае в В нет наименьшего числа, и так как в А
нет наибольшего, то и х иррационально). Если х>0, то 0€А,
следовательно, т. е. —х < 0, и обратно. Таким образом,
если	то одно из двух чисел хи —х положительно,
другое отрицательно; положительное из двух чисел хи —х
44
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 2
обозначается через | х | и называется абсолютной величиной чисел
X И —X.
Читателю предоставляется самому доказать, что из двух от-
рицательных чисел то больше, у которого абсолютная величина
меньше.
Докажем, что х + (—х) = 0. В самом деле, по определению
суммы % + (—x) = supA, где А есть множество всех рациональ-
ных чисел вида а+а, причем а^х, а^— х.
Заметим прежде всего, что множество А не содержит ника-
кого положительного числа. В самом деле, среди двух чисел х
и —х одно, пусть х, положительно, другое отрицательно, зло-
тому а отрицательно и |а|^х. Если а отрицательно или нуль,
то а + а также отрицательно; если же а положительно, то, так
как в этом случае а = \а\, \а |^х = |х|, следовательно, |а|^
|а|, и, значит, а+а отрицательно или нуль. Итак, х + (—х)
не может быть положительным числом.
Докажем, что х^-(—х) не может быть отрицательным.
В самом деле, если sup Л < 0, то возьмем, во-первых, рацио-
нальное число г между sup А и 0, во-вторых, два таких рацио-
нальных числа г' и г", чтобы
г' < х < г", г"—г' < | г | = — г.
Имеем —г" <—х, отсюда и из г'<х следует, что г'—г" =
= г' +(—r")gA. С другой стороны, г"—г' <—г, значит, г' —
— г" >r>supA, что противоречит тому, что г'—г"£А. Равен-
ство х + (—х) = 0 доказано.
Разностью двух действительных чисел х и у называется дей-
ствительное число х + (—у); оно обозначается через х—у.
Вычитание, определенное таким образом, есть действие, об-
ратное сложению. В самом деле,
(х— у)+у = (х + (— у))+у = х + ((— у)+у) = х+0 = Х.
Из приведенных свойств сложения, вычитания и умножения
следуют, как известно, все излагаемые в элементарной алгебре
правила, касающиеся этих действий.
Докажем, наконец, что абсолютная величина разности двух
чисел х и у равна расстоянию между точками х и у.
Пусть у<х. Надо доказать, что х—у = р(х, у). Для этого
рассмотрим множества:
А: всех чисел ах + ау, где ах и ау рациональны, ахх, ау
< —у, и
D: всех чисел вида ах—а'у, где ах и ау рациональны, у^
^ау < а'х^х.
Так как элементы множества D могут быть записаны в виде
ах + ау, где = — а'у удовлетворяет условию — х<а^^—у,
§ 3J	ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ	45
то ясно, что supD = supA. Но supD = p(x, у), a supA=x-f-
+ (— у) = х—у, что и требовалось доказать.
Умножение двух действительных чисел х и у мы сначала
определяем в предположении, что х^О, z/^О. Мы это делаем
аналогично тому, как определяли в сво$ время сложение *):
множество А определим как множество всех чисел вида ахау9
где аХ9 ау рациональны, 0^ах^.х, 0^ау^у; множество В
определим как множество всех чисел вида bxby, где и
Ьу> у рациональны. Пусть дано произвольное рациональное
-Е > 0. Пусть т есть натуральное число, большее, чем числа
х+1, //+Ь у. Выберем аХ9 Ьх, ау9 Ъу так, чтобы
g	g
0<^ж ax<2in> 0 <Ьу-—>ая<2т-
Тогда а^у^А, ЬхЬу£В, и так как
Ьх<ахА~<х + \ <т,
то
•О bxby	= ьх (Ру &у) "Н &у (Ь х ах)
. .	8	.	8^8,8
< Ь* 2т + av 2т Т Т — 8’
а потому мы находимся вновь в условиях теоремы 10 и
sup А = inf В.
Число sup А = inf В мы называем произведением ху данных дей-
ствительных чисел хну.
После того как действие умножения определено для неотри-
цательных чисел, мы распространяем его и на отрицательные,
полагая при х > 0, у > 0
X (— у} = (— X) у= — (ху),
(-Х) (- у) = ху.
Доказательство основных свойств умножения (коммутатив-
ность, ассоциативность, дистрибутивность по отношению к сло-
жению), а также свойств х-0 = 0, х-\=х может быть предостав-
лено читателю. Далее, читателю предоставляется самому опре-
делить действие деления (как обратное умножению) по образцу
того, как введено действие вычитания. При этом надо начать
с непосредственного определения числа — (сначала при х > 0),
указав соответствующее сечение множества рациональных чисел,
*) При определении сложения неравенства х^0, г/^0, однако, не пред-
полагались.
46
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(ГЛ. 2
1	1	X
доказать потом, что х- — = 1, и определить, наконец, — как
1 у
х-~ (при ##=0). Проведение всех относящихся сюда рассуж-
дений будет хорошим упражнением.
Замечание о пополнении числовой прямой дву-
мя «несобственными» точками +°° и —оо. Иногда
бывает удобно наряду с обычными точками числовой прямой
(взаимно однозначно соответствующими действительным числам
и отождествленными нами с этими последними) ввести еще две
новые «несобственные» точки, обозначаемые через 4-°° и —оо.
При этом эти две несобственные точки связываются с обычными
точками следующими соотношениями:
Г для любого действительного числа х полагаем
— оо < х < + оо,
в соответствии с чем устанавливается и неравенство
— оо < -|- оо;
2° для любого действительного числа х
(+оо) + х = х + (+<Х>)= 4-00,
(—оо) + X = X + (—°°) = —ОО,
-Ь 0° + ( + °° ) = + °° ,
— оо + (—оо) = —оо,
— (4~оо)= —ОО,   ( оо) = 4"°о,
в соответствии с чем для любого действительного х
X — ( + оо) = %+ ( —°°) = —°°»
X — (—оо)=х + ( + оо)= 4-00;
3° для любого положительного числа х
х-(4~оо) = (4-оо)-х = (4-оо)« (4-оо) = (—оо)-(—оо)= 4-оо,
%•(—оо) = (—оо).х = (4-оо)-(—оо) = (—оо)-(4~оо) = — оо.
Для отрицательного х полагаем
х-(+о°) = — (— х).(4-о°) = — °о
и т. д.
В отличие от этих правил действий, мы действия 4-°° 4-(—оо),
а также (4-оо)-0, (—оо)-0 определять не будем, так как разум-
ным образом их определить нельзя. Числовую прямую, попол-
ненную точками 4-оо и —оо, будем называть расширенной чис-
ловой прямой и обозначать через J?*.
§ 4]	ДВОИЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	47
§ 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби.
Мощность континуума
Сегмент [0; 1] назовем сегментом нулевого ранга и обозначим
через А. Сегменты ^0; и 1] назовем сегментами пер-
вого ранга и обозначим соответственно через До и ДР Каждый
из сегментов первого ранга разделим пополам; получим четыре
сегмента второго ранга:
=	=	4>.= [т4]. дп = [|;1].
Вообще, сегменты n-го ранга получаются от деления пополам
сегментов (п— 1)-го ранга, имеют длину ~ и обозначаются через
где Ч, •••> in независимо друг от друга принимают
значения 0 и 1; при этом	и	суть соответ-
ственно левая и правая половины сегмента Atl ...i v
Пусть х—какое-нибудь действительное число. Если х не
целое, то оно является внутренней точкой одного и только
одного сегмента вида [k\ fe-f-l], где k—целое; число k обозна-
чается через [х] и называется целой частью х\ тогда x = k + x',
где х' принадлежит интервалу (0; 1). Рассмотрим сначала слу-
чай, когда х' не имеет вида ~ (при целом т). Тогда х' при-
надлежит единственному сегменту первого ранга Дц, единствен-
ному сегменту второго ранга Д^сД^, вообще, при любом
п—единственному сегменту п-го ранга Дц...^, Таким образом,
однозначно определяется последовательность сегментов
Дг, Д,л => AWa =>... => Д;,... 1п => . . .,	(1)
единственной общей точкой'которых и является х'. Последова-
тельность чисел
Ч» Ч» Ч» •••» in* •••»	(2)
из которых каждое есть 0 или 1, также определена однозначно
и называется последовательностью двоичных знаков действитель-
ного числа х' и действительного числа х = £+х'; сами эти числа
записываются в виде
X = 0,	• • •». X = ^, ЧЧЧ • • • in * * • >	(2 )
и записи эти называются разложениями соответствующих чисел
в бесконечную двоичную дробь.
Пусть теперь х'ё(0; I) есть так называемое двоично-рацио-
нальное число, т. е. имеет вид
(3)
48
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 2
где дробь несократима, и, следовательно, п в представле-
нии (3) имеет наименьшее возможное значение. Тогда х' является
общим концом двух сегментов Д« и Д*х ранга и, например пра-
вым концом сегмента Д* и левым концом сегмента Д*х (здесь
положено для краткости * = г\.. и *'= г\..	Тогда
х' будет правым концом сегмента Д^ и левый концом сегмента
Д^о, правым концом сегмента ДФ11 и левым концом сегмента
Де,00 и т- Д- Таким образом, число х' определяет не одну, а две
последовательности сегментов вида (I), а именно:
Д^=> - --^Дч...Дч..лп_10=>Дч..лп .1oi=>At-1...izz_1on=>...
и
Дг,=)...=)Дц...; ,=>Дч..л’ Л=>Д^...Г ЛО^Д,;. /	100= -
’	1 п— 1	1	п—1	1 п — I	1	л —1
в соответствии с чем мы получим и две последовательности
двоичных знаков числа х':
1’1, ...» 1п-г, О, 1, 1, 1,	)
Ч, •••, «п-1, 1, 0. 0. 0. •••. )	(4)
из которых, начиная с ранга п + 1, одна состоит из одних нулей,
а вторая—из одних единиц. Числа х и х' имеют по два двоич-
ных разложения.
Пусть, обратно, мы имеем последовательность
z2, z3, ..., in, ...; in = Q или 1,	(2)
отличную от 0, 0, 0, ..., 0, ... и от 1, 1, 1, ..., 1, ... Ей соот-
ветствует последовательность сегментов (1) с единственной общей
точкой х', и (2) есть последовательность двоичных знаков числа х'.
Если мы имеем две различные последовательности вида (2), опре-
деляющие одно и то же действительное число х' интервала (0; 1),
то эти две последовательности (будучи последовательностями
двоичных знаков одного и того же х'С(0;1)), по доказанному,
непременно имеют вид (4), а само число х' является двоично-
рациональным. Итак, учитывая, что каждое целое число k имеет
два двоичных разложения k, 000...0... и k —1,111.. .1..
имеем:
Каждое действительное число х имеет либо лишь одно двоич-
ное разложение
либо два двоичных разложения
k, х..	... и k, + . .Zh-jIOOO. .
$4]	ДВОИЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	49
причем второй случай наступает тогда и только тогда, когда
число х двоично-рационально, т. е. имеет вид х=^ при целых т
и п. Обратно, всякое двоичное разложение определяет одно-един-
ственное неотрицательное действительное число, разложением
которого оно и является.
Замечание 1. Если мы будем сегменты ранга п жшь не
на два, а на какое-нибудь другое постоянное число s равных
частей *) (например, на три или на десять), то получим для
каждого действительного числа х^>0 разложение в бесконечную
троичную, десятичную, вообще s-ичную дробь. По-прежнему
у каждого числа будет либо одно, либо два таких разложения,
причем те числа, у которых имеется два s-ичных разложения,
образуют лишь счетное множество, а именно множество рацио-
т
нальных чисел вида —, где т и п—целые.
Теорема 11. Множество всех действительных чисел имеет
мощность континуума с = 2^о и, следовательно, несчетно**).
Доказательство. Так как вся числовая прямая [нахо-
дится во взаимно однозначном соответствии с любым из своих
интервалов и так как множество двоично-рациональных чисел
счетно, то достаточно доказать, что множество J' всех не двоично-
рациональных чисел интервала (0; 1) имеет мощность с. Но мно-
жество J' находится во взаимно однозначном соответствии с мно-
жеством D' непериодических (т. е. не кончающихся ни одними
нулями, ни одними единицами) бесконечных двоичных дробей z
0,	•
Множество D всех бесконечных двоичных дробей имеет, как мы
видели***), мощность с, а множество D' получается из множе-
ства D вычитанием двух множеств, состоящих соответственно из
дробей вида
0, i J2... i„ООО...
и вида
0, ^1^*2 * ’ ’	1 1 1	’
Каждое из этих множеств находится во взаимно однозначном
соответствии с множеством двоично-рациональных чисел интер-
*) Целое число s^2 будет так называемым «основанием системы счис-
ления».
**) См. конец главы 1, стр. 33. Числовая прямая часто называется ариф-
метическим континуумом («continuum» значит «непрерывное»), поэтому и мощ-
ность с = 2п°, являясь мощностью множества всех действительных чисел, на-
зывается мощностью континуума.
***) См. конец главы 1, стр. 33.
50
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
[ГЛ. 2
вала (0; 1) и потому счетно; следовательно, множество £>', а зна-
чит, и множество J' имеют мощность с, что и требовалось
доказать.
Следующее элементарное доказательство теоремы о несчетности множества
действительных чисел представляет собою применение общих рассуждений
*§ 6 первой главы специально к доказательству несчетности множества всех
десятичных дробей, т. е., по существу,— множества всех отображений мно-
жества натуральных чисел в множество, состоящее из десяти элементов 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Достаточно показать, что множество всех чисел интервала (0; 1) несчетно.
Предположим, что оно счетно. Это означает, что все действительные числа
интервала (0; 1) могут быть занумерованы в одну последовательность
Х2> •••» ХП’ •••	(5)
Каждое число хп может быть представлено единственным образом в виде
бесконечной десятичнрй дроби
v _ п л(/г> л<П>
% YL —	fll'l #2 • • •	• • • w
не являющейся периодической дробью с периодом 9. Возьмем теперь для
каждого п отличное от а(пУ число ЬП9 равное либо 1, либо 2.
Для определенности мы, например, положим:
Ьп=1, если аАП) Ф 1,
&„ = 2, если == 1.
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь
0, М2...&л...	(6)
Она определит некоторое число х интервала (0; 1) (более точно: число х при-
надлежит даже к сегменту [0,1; 0,3]).
Так как мы предполагаем, что последовательность (5) содержит все дейст-
вительные числа интервала (0; 1), то число х занимает в нашей последова-
тельности (5) определенное, пусть, например, m-е, место. Тогда
П	л{т>> л{ПГ>	Г7\
х=и, di .. .ап ...	(/)
-и, следовательно,
(т)	» л(т) г	(т>	<
#1	—Ь-fo б?2	—•••
(так как (6) и (7)—одна и та же бесконечная десятичная дробь). В частности,
ат —bmt
что, однако, невозможно, так как мы выбирали Ьт так, чтобы было Ьт
Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание 2. Из доказанного следует, что всякий сег-
мент, интервал и полуинтервал числовой прямой имеют мощ-
ность континуума, так как все зти множества эквивалентны
между собой и эквивалентны множеству всех действительных
чисел.
Отсюда непосредственно вытекает, что множество всех ирра-
циональных чисел, а также множество иррациональных чисел,
§4]
ДВОИЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
51
содержащихся в любом интервале числовой прямой, несчетны,
ибо каждое из них получается из несчетного множества удале-'
нием из него счетного подмножества. На основании этого полу-
чаем, в частности: между любыми двумя различными веществен-
ными числами найдется иррациональное число и даже несчетно
много их.
Применим замечание 2 к доказательству следующего пред-
ложения:
Теорема 12. Сумма конечного или счетного множества
множеств* имеющих мощность континуума* имеет мощность
континуума.
Пусть наши множества суть
^1» Eq* • ••, Еп* •••,
и пусть Е = [)Еп. Положим А1=Е1* А2 = Е2\А^ вообще
п
Лл = £„\(Л1 U ... U Лл-1).
Очевидно,
£ = U^ = IM„>
п	п
причем множества Ап попарно не пересекаются. Множество
А1 = Е1 имеет мощность континуума, тогда как каждое из мно-
жеств Ап* n> 1, есть подмножество некоторого множества мощ-
ности континуума. Поэтому множество Аг может быть поставлено
во взаимно однозначное соответствие с множеством всех точек
интервала (0; 1), а каждое множество Ап* п > 1, может быть
поставлено во взаимно однозначное соответствие с некоторым
подмножеством соответственно интервала (м—1; п). Вследствие
этого все множество Е оказывается поставленным во взаимно
однозначное соответствие с подмножеством множества всех дейст-
вительных чисел; так как, кроме того, Е содержит часть Еи
имеющую мощность континуума, то по теореме Кантора—Бернш-
тейна Е само имеет мощность континуума, что и требовалось
доказать.
Глава третья
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ
МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Упорядоченные множества
Понятия упорядоченного множества и подобного отображения
одного упорядоченного множества на другое, а также понятие
порядкового типа данного упорядоченного множества были вве-
дены в § 5 гл. 1. Эти понятия лежат в основе всей настоящей
главы. Сделаем по поводу этих основных элементарных понятий
-еще следующее, в сущности, само собою разумеющееся
Замечание 1. Упорядоченное множество А называется
упорядоченным подмножеством упорядоченного множества X,
если каждый элемент а множества А является элементом мно-
жества X и если отношение #<#' в А совпадает с отношением
-а<#' в X. Всякое подмножество упорядоченного множества X
мы будем в этой главе рассматривать как упорядоченное под-
множество. Наконец, на протяжении всей этой главы действует
-следующее соглашение: множество всех действительных чисел и
все его подмножества, в частности любое множество, составлен-
ное из рациональных чисел, считаются упорядоченными естест-
венным образом (т. е. для любых двух действительных, в част-
ности для любых двух рациональных, чисел х, х' отношение
порядка х<х' означает, что х<х').
После этих вводных замечаний докажем следующее важное
предложение:
Теорема 1. Всякое счетное упорядоченное множество X
подобно некоторому подмножеству множества D всех двоично-
рациональных чисел интервала (0; 1), причем если множество X
не содержит ни пустых интервалов, ни первого и ни последнего
элементов, то оно подобно всему множеству D.
Доказательство*). Пусть все элементы множества X
занумерованы в последовательность
%i, х2, .. ., хп, ...	(I)
*) См. ниже замечание 2.
1]
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
53
{причем порядок элементов в множестве X, вообще говоря»
никак не связан с Их порядком в последовательности (1)).
Возьмем какое-нибудь двоично-рациональное число d, пред-
ставим его в виде несократимой дроби и назовем п рангом
числа d. Все множество D распадается на «решетки» элементов
разных рангов: решетка первого ранга состоит из одного
1	~	13
числа у, решетка второго ранга £>2—из двух чисел -у и j
и т. д. Поставим теперь в соответствие числу у элемент хг=
= f и перейдем к решетке второго ранга £>2. Если в X есть
элемент, предшествующий элементу то берем тот из этих
элементов, который имеет в (1) наименьший индекс п, и пола-
г ем f	Если элемента хп<кх1 в X нет, то вычерки-
ваем в решетке О2 элемент ищем в (1) первый элемент хп > х19
з
ставим его в соответствие числу и переходим к решетке D3.
В ней берем сначала число и ищем к нему элемент хп с наи-
меньшим индексом, предшествующий ранее построенным элемен-
лам. Если он имеется, то ставим его в соответствие числу у»
1	3
если нет, то вычеркиваем число -х- и переходим к числу .
о	о
з
К числу -g- стараемся подобрать элемент с наименьшим индек-
сом, находящийся к отобранным элементам множества X в том
3
же порядковом отношении, в каком число у находится к уже
рассмотренным и невычеркнутым числам. Далее переходим
5	v
к числу у и т. д., двигаясь все время от каждой решетки
к решетке следующего ранга, а внутри каждой решетки —
в порядке возрастания ее элементов. В результате получаем
подобное отображение f множества D' невычеркнутых двоичных
чисел в множество X. Докажем, что f есть отображение на все
множество X. В самом деле, пусть это не так и пусть хп есть
первый элемент множества X, не поставленный в соответствие
никакому d. Тогда элементы хх, ..., хп_г поставлены в соответ-
ствие некоторым элементам d19 ...9 dn_ly принадлежащим, поло-
жим, сумме первых k решеток, причем пусть хп лежит между
хр и xq9 имея эти элементы в качестве ближайшего предшест-
вующего и ближайшего следующего. Так как в решетке Dk+1
имеются элементы, лежащие между любыми двумя соседними
54
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА (ГЛ. 3
элементами множества Dr U • • • U Dk, то в Dk+i имеется и пер-
вый по величине элемент dn9 лежащий между dp и dq*> этому
элементу по нашему построению и должен быть поставлен в соот-
ветствие элемент хп. Так же рассуждаем и в том случае, когда
хп предшествует всем элементам ..., >:п_х или следует за
ними всеми.
Первое утверждение теоремы 1 этим доказано. Если X не
содержит крайних элементов и не имеет пустых интервалов, то,
как легко видеть, нам вовсе не придется вычеркивать никаких
элементов в £>, так что получится подобное отображение всего
множества D на* множество X.
Следствие. Множество всех рациональных чисел подобно
множеству всех двоично-рациональных.
Поэтому всякое счетное упорядоченное множество без пустых
интервалов и без крайних элементов подобно также множеству
всех рациональных чисел.
Замечание 2. Если интересоваться лишь первым утверж-
дением теоремы 1, то самое простое доказательство—следующее.
Полагаем	Пусть элементам х19 ..., хп уже постав-
лены в соответствие двоично-рациональные числа ..., dn
интервала (0; 1), среди которых пусть — наименьшее, a dk —
наибольшее. Если хп+1 предшествует всем х19 ...9хп или сле-
дует за всеми ними, то полагаем f (xn+l)=-^-dif соответственно
f(xn+1)=j(i+4).
Если же хп+1 лежит между хр и xq9 р^п, q^n, имея эти
элементы своими соседями, то полагаем
f(xn+1) =j(dp+d9).
Таким образом, определено подобное отображение f множества X
в множество D, и первое утверждение теоремы 1 доказано.
Сечением упорядоченного множества 0 называется, как мы
знаем, такое разбиение множества 0 на два подмножества (на
два «класса») А и В, что каждый элемент одного множества,
например А («нижнего класса»), предшествует каждому элементу
второго множества В («верхнего класса»).
Возможны следующие типы сечений:
1.	В нижнем классе А есть наибольший элемент а, и в верх-
нем классе есть наименьший элемент ft; такое сечение называет-
ся скачком. Очевидно, в этом случае (а; Ь) есть пустой ин-
тервал.
$ 1]
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
55
Обратно, всякому пустому интервалу (а; Ь) упорядоченного
множества 0 однозначно соответствует скачок (Л, В), где А
состоит из всех х<а, а В—из всех #>&*).
Например, 0 состоит из всех х^ О и из всех у~^ 1, А состоит
из всех х^О, В—из всех г/^1; а = 0, Ь=1.
2.	В нижнем классе есть наибольший элемент но в верх-
нем классе нет наименьшего элемента.
3.	В нижнем классе нет наибольшего, но в верхнем есть
наименьший элемент g (сечения типов 2, 3 называются дедекин-
довыми сечениями; элемент | называется элементом, определя-
емым этим сечением).
4.	В нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наи-
меньшего элемента. Такое сечение называется «щелью». Щель,
определяемая несобственным сечением, называется несобственной.
Множество всех щелей упорядоченного множества 0 есть
упорядоченное множество: если Х = (Л, В) и %' = (Л', В')—две
щели, то полагаем Х<А/, если Л с: Л'.
Упорядоченное множество называется замкнутым, если оно
не имеет щелей (собственных и несобственных). Всякое замкну-
тое множество, очевидно, имеет наибольший и наименьший элемент.
Упорядоченное множество называется непрерывным, если все
сечения в нем суть сечения дедекиндовы. Непрерывное упоря-
доченное множество называется открытым,, если у него нет ни
наибольшего, ни наименьшего элемента. Очевидно, присоединяя
к открытому непрерывному множеству два элемента—первый и
последний, получим замкнутое непрерывное упорядоченное мно-
жество (так от числовой прямой Л1, являющейся открытым
непрерывным упорядоченным множеством, мы перешли к замкну-
тому непрерывному упорядоченному множеству /?*).
Назовем подмножество D упорядоченного множества 0 поряд-
ково плотным в 0, если каждый интервал множества 0 содержит
хотя бы один элемент из D. Наконец, множество D назовем
плотным в 0, если каждый непустой интервал множества 0’
содержит хотя бы один элемент из D.
Замечание 3. Из этого определения следует, что если
в упорядоченном множестве 0 имеются скачки (или, что то же,
пустые интервалы), то никакое вообще подмножество £>^0 не
является порядково плотным в 0.
Мы будем в основном интересоваться плотными подмножест-
вами лишь непрерывных упорядоченных множеств, в которых
понятия плотности и порядковой плотности совпадают.
Теорема 2. Пусть 0—непрерывное открытое упорядочен-
ное множество, a D—плотное подмножество множества 0.
*) Запись х < а (соответственно у )> Ь) означает, что либо х а, либо
х==а (соответственно либо у'>Ь, либо у = Ь).
56
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. Э
Существует соответствие подобия между элементами множе-
ства 0\D и (упорядоченным) множеством всех щелей множе-
ства D.
Доказательство. Пусть %—произвольный элемент мно-
жества 0\D. Обозначим через Dj множество всех предшествующих
элементу а через —множество всех следующих за элемен-
том £ элементов множества £>. Легко видеть, что разбиение
X,£ = (D|, £>|) есть сечение множества D и притом щель (так как
если бы, например, в £>j был наибольший элемент а, то между
а и g не содержалось бы ни одного элемента из D). Ясно также*
что двум различным элементам g, т] множества 0\£> соответст-
вуют различные щели = (£>£, £>'() и 2iT1 = (£>^, О^), причем из
следует	Остается доказать, что каждой щели-
X = (£>', D") множества D соответствует элемент ££0\D такой*
что D' = D'i. D" = Dz, Обозначим через 0' множество всех таких
х С 0, что х предшествует любому элементу d £ D". Положим
0" = 0\0'. Легко видеть, что D' = £>П0'т £>" = £>00" и что»
(0', 0") есть сечение в 0. Если g есть элемент, определяемый
в 0 дедекиндовым сечением (0', 0"), то £>'=Dj, £>" = D|. Тео-
рема доказана.
Теорема 3. Пусть даны два открытых непрерывных упоря-
доченных множества 0г и 02 и плотные в них множества Dir
соответственно D2. Если множества Dr и D2 подобны между
собою, то подобны между собою и множества и &2.
В самом деле, соответствие подобия (обозначим его через ср)*
существующее между множествами Dr и £>2, порождает соответ-
ствие подобия яр между множествами щелей этих множеств, а
значит, и между множествами	и 02\£>2. Легко видеть*
что отображения ср и яр вместе дают соответствие подобия между
0Х и 02, чем теорема 3 доказана.
Теорема 4. Всякое открытое непрерывное упорядоченное
множество 0, .в котором плотно некоторое счетное подмноже-
ство D. подобно множеству всех действительных чисел.
Доказательство. Легко видеть, что счетное множество
Е, плотное в непрерывном открытом упорядоченном множестве
0, не имеет ни скачков (пустых интервалов), ни наименьшего,
ни наибольшего элемента и потому в силу теоремы 1 подобно
множеству всех рациональных чисел. Так как есть плот-
ное подмножество непрерывного открытого упорядоченного мно-
жества У?1 всех действительных чисел, то по теореме 3 соот-
ветствие подобия между D и Ro может быть продолжено да
соответствия подобия между 0 и R1, что и требовалось до-
казать.
Замечание 4. Из теоремы 4 следует, что всякое непре-
рывное замкнутое упорядоченное множество, в котором плотно'
некоторое счетное множество, подобно сегменту числовой прямой.
$2J
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
57
Теорема 5. Для всякого упорядоченного множества X суще-
ствует замкнутое упорядоченное множество Y, содержащее мно-
жество X в качестве плотного подмножества.
Доказательство. Множество У\Х будет состоять из
всех щелей (Л, В) множества X, упорядоченных естественным
•образом. Если х£Х, а £ = (Д, В)^У\Х, то тогда и
только тогда, когда х£А. Замкнутость множества Y проверяется
так же, как и отсутствие собственных щелей в множестве дей-
ствительных чисел (см. теорему 5 § 2 гл. 2). Покажем, что X
плотно в Y. Предположим, что существует непустой интервал
(а; Ь) множества У, не пересекающийся с X. Тогда всякий
элемент из (а; Ь) является щелью. Возьмем такой элемент
|б(а; Ь). Пусть | = (Д, В). Поскольку Ап(а; Ь)=Л, то для
всякого х$А имеем либо х<а, либо х = а. Равенство х = а
исключено, поскольку в А нет наибольшего элемента. Поэтому
элемент а является щелью. Предположив, что а = (А', В')9
имеем А = А', т. е. а = %. Это противоречие и завершает дока-
зательство теоремы 5.
§ 2. Определение и примеры
вполне упорядоченных множеств
Определение 1. Упорядоченное множество называется
вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество
содержит первый элемент.
Из этого определения сразу следует, что всякое подмноже-
ство вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядо-
ченное множество.
Замечание 1. Так как к подмножествам любого множества
мы причисляем и само данное множество, то во всяком вполне
упорядоченном непустом множестве содержится первый элемент.
Однако существования первого элемента в самом данном упоря-
доченном множестве еще недостаточно для того, чтобы оно было
вполне упорядоченным; требуется еще, чтобы и во всяком непустом
подмножестве данного множества был первый элемент. Так, мно-
жество всех рациональных чисел сегмента [0; 1] имеет первый
и последний элементы, но оно не является вполне упорядочен-
ным, так как, например, в его подмножестве, состоящем из всех
рациональных чисел интервала (0; 1), первого элемента нет.
Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены.
Примером бесконечного вполне упорядоченного множества яв-
ляется множество всех натуральных чисел; это множество и все
подобные ему называются множествами типа со. Множеством
типа со является, следовательно, например, множество всех чисел
1, 2. 2	...	(1)
2 ’ 3 ’ 4 ’	’ п4-1 ’
58
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА (ГЛ. 3
(так как очевидно, что оно подобно множеству всех натураль-
ных чисел). Но, пополняя множество (1) еще одним элементом,,
именно числом 1 (следующим в порядке возрастания за всеми
п \
числами вида ~ — у J , мы получим множество, состоящее из всех
чисел
J_ А А .?_	1	(2)
2 ’ з ’ 4 ’ * ‘ ’ пЦ-1 ’ * * *’ ь	w
Это множество—тоже вполне упорядоченное и счетное, но оно
не подобно множеству всех натуральных чисел хотя бы потому,
что в множестве (2) есть последний элемент, именно элемент 1,
а в множестве всех натуральных чисел последнего элемента нет.
Множество (2) и всякое подобное ему множество называется
множеством типа co-j-l. Итак, даже вполне упорядоченные
счетные множества могут иметь различные порядковые типы.
Более того, мы увидим в этой главе, что имеется несчетное мно-
жество различных порядковых типов вполне упорядоченных
счетных множеств.
Но прежде чем идти дальше в исследовании вполне упоря-
доченных множеств и даже для того, чтобы обосновать обозна-
чение а>+1 для порядкового типа множества (2), введем весьма
важные вспомогательные понятия, которыми будем постоянно
пользоваться в дальнейшем.
Определение 2. Пусть имеются два упорядоченных мно-
жества А и В, данных в этом порядке (т. е. сначала А, потом В)
и не имеющих общих элементов. Рассмотрим множество Ди В,
состоящее из всех элементов а£А и Ь£В. Превратим множе-
ство А и В в упорядоченное множество Л+В, введя в него
порядок следующим образом: элементы множества А, равно как
элементы множества В, сохраняют свой порядок и в Л-j-B
(т. е. если в А или b < Ь' в В, то те же отношения
сохраняются и в A -f-В); если же а£А, Ь£В, то полагаем
а<Ь в А + В.
Упорядоченное множество А + В называем порядковой суммой
упорядоченных множеств А и В (данных в порядке Я<В).
Если а, р суть порядковые типы множеств А и^В, то порядко-
вый тип множества А+В называется суммой а + Р порядковых
типов а и р (в этом их порядке).
Заметив, что множество, состоящее из одного элемента, имеет
порядковый тип 1, видим, что, присоединяя к какому-либо мно-
жеству порядкового типа а> еще один элемент, следующий за
всеми элементами данного множества типа а>, получим упорядо-
ченное множество, порядковый тип которого, в силу только что
§2]
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
59
сформулированного определения сложения порядковых типов,
есть со + 1.
Аналогично, множество
имеет порядковый тип со+т, а множество
12	3	п	.35	2«+1
2 ’ 3’ 4 ’ ’ ’ *’ п+1 ’ ’ '	2 ’ 3 ’ ’ ’ 7Г+Т ’ ’ ’ ‘
— порядковый тип а> + <о. Тот же порядковый тип а> + <о полу-
чим, если упорядочим все натуральные числа не естественным
образом (по их величине), а так: сначала упорядочим все нечет-
ные числа по величине, а за ними заставим следовать все четные
числа, также упорядоченные по величине: 1, 3, 5, 7, 9,...
..., 2, 4, 6, 8, ...
Введенная только что операция сложения порядковых ти-
пов не обладает свойством коммутативности: так, например»
1 + со = соф со + 1; вообще, для любого натурального п
лг + со = оэ=/=со + гг.
В то же время легко видеть, что сложение порядковых типов
обладает свойством ассоциативности:
(а + Р) + Т = а + (Р+?).
Введем теперь понятие суммы упорядоченного множества
упорядоченных множеств, являющееся обобщением понятия
суммы двух упорядоченных множеств. Пусть дано какое-нибудь
упорядоченное непустое множество А, элементами которого яв-
ляются попарно не пересекающиеся упорядоченные множества
B$. Сумму S= (J всех множеств В^(-А делаем упорядо-
€ А
ченным множеством, обозначаемым через 2 && вводя в мно-
€ А
жество S порядок следующим образом: элементы каждого мно-
жества В% сохраняют тот порядок, который они имели в В&
если же х£В& х' €В%,, то полагаем х<х', если В$<В%, в А,
Упорядоченное множество 2 называем суммой упорядочен-
кого множества А упорядоченных множеств В%.
Если есть порядковый тип множества В% и а—порядко-
вый тип множества А, то порядковый тип s упорядоченного
множества 2 называется суммой по типу а порядковых
В^бА
60
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
типов Ъ^. Это определение законно, так как порядковый тип sr
очевидно, зависит лишь от данных порядковых типов и от
порядкового типа а, а не от того, какие именно множества
В& А этих типов были взяты.
Рассмотрим частный случай только что введенного опреде-
ления. Пусть все множества В% имеют один и-тот же тип Ь.
Тогда порядковый тип их суммы по типу а обозначается через
b-а и называется произведением порядковых типов ft и а в этом
порядке. Так, например, со + со = со-2, хо + со + со = со-3 и т. д.
Замечание 2. Легко видеть, что 2-со = со, 3 со = со и т. д.,
так что 2 • со со 2, 3 со=/=со 3 и т. д.: свойством коммутатив-
ности умножение порядковых типов (даже вполне упорядочен-
ных множеств) не обладает.
Другой пример на умножение порядковых типов. Множество
рациональных чисел
1	2	/г	3 5	iin
У’ У’ ’ ’ •’ пн-1 ’ ’ ’ ’’ У ’ У’ • • •’ 1	’ • • •
*+!>*+!..........*+г^т........
очевидно, упорядочено по типу со • со = со2: тип со• со = со2 получается,
если взять сумму последовательности
А19 А2, ..., Ап, ...
множеств, каждое из которых упорядочено по типу со. Точно
так же сумма последовательности множеств
А19 А2, ..., Ап9 . • •,
каждое из которых имеет тип со2, даст нам множество, упоря-
доченное по типу со2 • со = со3, и т. д., так что можно говорить
о порядковом типе со” при любом п.
Легко доказывается следующая
Теорема 6. Сумма вполне упорядоченного множества вполне
упорядоченных множеств есть вполне упорядоченное множество.
В самом деле, пусть упорядоченное множество С определено
как сумма 2 вполне упорядоченного множества А вполне
ел
упорядоченных множеств В%. Пусть С'—какое-нибудь непустое
подмножество множества С. Так как множество А вполне упо-
рядочено, то среди множеств содержащих элементы множе-
ства С', имеется первое множество В^. Так как множество
С' Л является непустым подмножеством вполне упорядоченного-
множества В^о, то в нем имеется первый элемент. Этот элемент
и есть, очевидно, первый элемент упорядоченного множества
Теорема доказана.
§2J
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
61
Таким образом, в силу теоремы 6, применяя операцию
сложения к вполне упорядоченным множествам, в частности
к конечным множествам, и к последовательностям вполне упо-
рядоченных множеств, мы можем получать все более и более
сложные примеры вполне упорядоченных множеств При этом
сложение конечного числа и счетных последовательностей счет-
ных вполне упорядоченных множеств, естественно, не выводит
нас из класса счетных множеств.
Рассмотрим, в частности, сумму
<о + ®2 + ©» + ... 4-й>"+ ..=2®”.	(3)
п
(О
Порядковый тип 2е0" условно*) обозначаем через со®. Для того
п
чтобы построить множество рациональных чисел, имеющее поряд-
ковый тип со®, можно поступить, например, так: возьмем в ин-
тервале (0; какое-нибудь множество, упорядоченное по
типу co, в интервале (-g-; у 1—какое-нибудь множество, упоря-
о	/ п п4-1 \
доченное по типу со2, вообще, в интервале (	п+2') *
п = 1, 2, 3, ...,—какое-нибудь множество, упорядоченное по типу
<о”+1. Сумма всех полученных множеств имеет тип со®. Теперь
можем строить дальше типы
(0® + 1, ..., (д®4-п, ..., со® + со, ..., СО® 4" <0 ’2, ..., со® +
4" СО-И, . .., СО® + СО-СО = СО® + <02, ..., со®-}-со”, ...
..., со® 4-со® = со®-2, ..., со®-п,
и далее тип со®-со, который условно обозначаем через со®+1, типы
co®+i4-1, ..., со®+14-со®, ..., со®4-1 со®-2, ..., со®+14-о)®-/?, ...
..(о®+14- ш®+1 = со®+1-2, ..., со®+1 - п, ..., со®4’1-оэ=
= С0®+2, ..., С0®+п, ..., С0®+® = (0®’2, ..., со®'”, ..., со®'® =
= , ...
п раз
<0	• ®
Сумма и0-+	4-®““ 4-... 4-0®’’	4-• • • обозначается через
—'
п раз
со®®* или через 8 (Кантор). Далее можно идти тем же путем
и получать порядковые типы е4-1, ..., е4-<о, •••> 8 = е-2, ...
..., 8-е = 82, ... и т. д., не будучи никогда остановленным в этом
*) В этой книге не вводится определение степени с показателем со; инте-
ресующихся этими и дальнейшими понятиями теории упорядоченных множеств
отсылаем к книге Хаусдорфа [1], гл. 3 и 4.
62 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА (ГЛ. 3

процессе. Эти примеры (как, впрочем, уже со, со + 1, со + 2, ...)
показывают, что множество порядковых типов счетных вполне
упорядоченных множеств бесконечно.
Со времен Кантора порядковые типы вполне упорядоченных
множеств называются порядковыми числами. Порядковые типы
конечных множеств суть, как мы уже упоминали, натуральные
числа и число нуль; порядковые типы бесконечных вполне упоря-
доченных множеств называются трансфинитными числами.
Замечание 3. При
рассмотрении вполне упоря-
доченных множеств знаки <,
> заменяются через обыч-
ные <» >.
Приведем в заключение не-
сколько примеров действий над
порядковыми типами упорядочен-
ных, но не вполне упорядоченных
множеств.
Обозначим через р порядковый
тип множества всех действитель-
ных чисел. Упорядочим множест-
во всех комплексных чисел z =
=x-\-iy, полагая для z=x-\-iy9
z' =х' -\-iy'‘
z <z\
если (не взирая на то, какое из
двух чисел у9 у' больше другого)
имеем х < х'. Если же х=х', то
полагаем г < z’, если у < у' (дру-
гими словами, упорядочиваем все пары (х, у), как говорят, в алфавитном
порядке). Этим путем множество всех комплексных чисел оказывается упо-
рядоченным по типу р2.
Примечателен порядковый тип О2, где 0 есть порядковый тип сегмента
числовой прямой. Множество, упорядоченное по типу 02, можно получить,
если взять на плоскости замкнутый квадрат со сторонами, параллельными
осям координат, и вершинами (0,0), (0, 1), (1,0), (1, 1) и упорядочить мно-
жество всех точек z = (x, у), 0*Сх*С 1, б^у^ 1, этого квадрата в «алфа-
витном порядке» (т. е. положить (х, у) < (х', у')> если х < х' или если х=х',
У < У'У
Читателю предлагается проверить, что интервалы (z; z') этого упорядо-
ченного множества для различных z, z' имеют вид, указанный на рис. 2, и что
в нем можно найти систему мощности с попарно не пересекающихся интерва-
лов; при этом наше упорядоченное множество непрерывно и имеет как пер-
вый, так и последний элемент.
§ 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах
Множество всех отрицательных целых чисел
..., — (п + 1), —п, ...,—3, —2, —1	(1)
и всякое подобное ему множество называется множеством поряд-
кового типа со*.
ТЕОРЕМЫ О ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ
63
$ 3]
В множестве (1) есть последний элемент —1, но, очевидно,
нет первого элемента; поэтому это множество, будучи упорядо-
ченным, не является вполне упорядоченным и порядковый тип со*
не есть порядковое число. Более того, имеет место весьма
простая, но тем не менее важная
Теорема 7. Для того чтобы упорядоченное множество не
было вполне упорядоченным, необходимо и достаточно, чтобы в нем
существовало подмножество типа со*.
В самом деле, так как всякое подмножество вполне упоря-
доченного множества вполне упорядочено, а множества типа со*
не вполне упорядочены, то никакое вполне упорядоченное мно-
жество не может содержать подмножества типа со*. Обратно, если
какое-либо упорядоченное множество С не является вполне
упорядоченным, то оно содержит подмножество А без первого
элемента. Возьмем какой-нибудь элемент множества А и обоз-
начим его через а^г. Так как никакой элемент множества Д,
в том числе и элемент а_х, не является первым элементом, то
в А есть элемент, предшествующий элементу а_г\ один из таких
элементов обозначим через а_2:
a_2<a-f.
Так как а_2 также не является первым элементом в А, то имеется
элемент а_3, предшествующий элементу я_2. Повторяя это рас-
суждение, строим для каждого натурального п элемент
множества А, причем
^-(п + 1) а~п*
Множество
•••> ^-(п+1)’	•••> #_3, а_2, а_£
является подмножеством множества А С и имеет тип со*.
Теорема 8. Если f есть подобное отображение вполне у по*
рядоченного множества А в себя, то для любого элемента х £ А
имеем [(х)^-х.
Доказательство. Пусть в А имеются элементы х, не
удовлетворяющие последнему неравенству. Тогда среди этих
элементов имеется первый; обозначим его через Значит,
f (*i) <	(2)
Обозначая элемент f(xt) через х0, переписываем неравенство (2}
в виде
(2 )
и, помня, что f есть подобное отображение, выводим из (2')
неравенство
/М<№)=*о.
64
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3.
Но неравенства f (х0) < х0' и х0 < xi противоречат определению
элемента хг как первого элемента х£А, удовлетворяющего усло-
вию f(x)<x. Теорема 8 доказана.
Пусть теперь х—произвольный элемент вполне упорядочен-
ного множества А. Назовем отрезком множества А, отсеченным
элементом х, и обозначим через А (х) множество всех элементов
х' £ А, предшествующих элементу х (если х—первый элемент
множества А, то А(х) есть пустое множество). Множество всех
остальных элементов множества, Л, т. е. множество всех х"£Д,
удовлетворяющих неравенству х"^х,, назовем хвостом (множе-
ства Л), отсеченным элементом х.
Из теоремы 8 выводится
Теорема 9. Не существует никакого подобного отображе-
ния вполне упорядоченного множества А в отрезок кагого-либо
подмножества А ' s А.
Доказательство. Если бы существовало подобное отоб-
ражение, вполне упорядоченного множества А в отрезок А' (х)
какого-либо подмножества Л'еД, то было бы /(х)£Л'{х) и,
значит, f(x)<x, вопреки теореме 8.
Пусть А (х) и А (х')—два различных отрезка вполне упорядо-
ченного множества А; один из элементов х, х' предшествует
другому, положим х<х'; тогда А (х), очевидно, есть отрезок
множества Л(х'). Итак, из двух отрезков одного и того же
вполне упорядоченного множества один есть отрезок другого.
Поэтому получаем
Следствие 1. Два различных отрезка вполне упорядоченного
множества не могут быть подобны между собою.
Из теоремы 9 вытекает, далее,
Теорема 10. Существует не более одного подобного отобра-
жения одного вполне упорядоченного множества на другое.
В самом деле, пусть f и g—два различных подобных отоб-
ражения вполне упорядоченного множества А на вполне упо-
рядоченное множество В. Так как f и g предположены различ-
ными, то существует элемент а С А, для которого b = f (а) #=
=g(a). Пусть, например, Ь<Ь'. Так как при всяком
подобном отображении f множества А на множество В отрезок
Л(х) множества А переходит в отрезок В (у) множества В, где
g = f(x), то отрезок А (а) множества А подобен отрезкам В(Ь) и
В (Ь') множества В, откуда следует, вопреки только что доказан-
ному, что отрезки В (ft) и В (&') множества В подобны между собою.
Следствие 2. Единственное подобное отображение вполне
упорядоченного множества на себя есть тождественное отоб-
ражение.
Введем теперь следующее основное определение:
Мы говорим, что порядковое число а меньше порядкового числа 0,
если какое-либо (а значит, и любое) вполне упорядоченное мно-
$ 3] ТЕОРЕМЫ О ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ	65
жество типа а подобно некоторому отрезку какого-нибудь
(а следовательно, и любого) вполне упорядоченного множества
типа р. Очевидно, из <х<р, Р<у следует, что а<т. Кроме
того, из нашего определения и теоремы 10 вытекает, что отно-
шения а<р и а = р, а также а<р и а>Р исключают друг
друга. Другими словами, два данных порядковых числа а, р
могут удовлетворять не более чем одному из трех отношений:
а = р, а < р, а > р.
Мы докажем, что одно из этих отношений всегда выполнено.
Другими словами, имеет место
Теорема 11. Для любых двух порядковых чисел а и р всегда
осуществляется один и только один из трех случаев', либо а < р,
либо а = р, либо а>р.
В силу данного выше определения неравенства между по-
рядковыми числами теорема 11 может быть сформулирована
и так:
Теорема 1Г. Пусть даны два вполне упорядоченных мно-
жества А и В. Тогда имеются лишь три возможности: либо А
и В подобны между собою, либо А подобно некоторому отрез-
ку множества В, либо В подобно некоторому отрезку множест-
ва А.
Доказательству теоремы И предпошлем следующее замечание.
Если дано какое-нибудь порядковое число то дано и мно-
жество W (g) всех порядковых чисел, меньших чем g. В самом
деле, задать порядковое число g—значит задать какое-нибудь
вполне упорядоченное множество типа %' тогда даны и все от-
резки этого множества; но порядковые типы этих отрезков как
раз и исчерпывают множество всех порядковых чисел, меньших
чем При этом справедлива
Теорема 11". Отношение а < р, установленное для поряд-
ковых чисел, превращает множество W (£) всех порядковых чисел,
меньших данного порядкового числа Ъ, во вполне упорядоченное
множество типа g.
Доказательство теоремы 11". Как мы только что видели (и как
непосредственно следует из определения отношения а < Р), множество W (£)
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков
А (х) произвольно выбранного множества А тица так как отрезки А (х)
взаимно однозначно соответствуют элементам х £ А, то имеем взаимно одно-
значное соответствие a = f (х), х£А, a£W (Q, между множеством W (|) и мно-
жеством А типа g. При этом соответствии из х < х'' в А следует, что А (х) есть
отрезок множества А (х'), значит, a = f (х) < р=/ (х') в № (|), и обратно.
Теорема 1Г доказана.
Только что доказанная теорема 11" может быть сформулирована так:
Теорема 1Г"'. Элементы всякого вполне упорядоченного множества А
данного типа g могут быть (и притом единственным образом) занумерованы
посредством порядковых чисел а < g так, что получится подобное соответ-
ствие между множеством А и множеством всех порядковых чисел а < £ (т. е.
ха < xfi в А равносильно тому, что а < р).
66
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. $
Переходим теперь к доказательству теоремы 11. Пусть даны
два порядковых числа а, р. Обозначим через D множества
IF(a)f)IF(P). Это множество вполне упорядочено; его тип обо-
значим через 6. Докажем неравенства 6а, 6^р. Достаточна
доказать, например, первое из них. Имеем D^IF(a). Если
D = W (а), то 6 есть порядковый тип множества W (а), т. е. 6 = а„
Пусть D о: W (а). Разбиение
W(a) = D\J(W(a)\D)
есть сечение во вполне упорядоченном множестве IF (а). В самом
деле, пусть x£D, y£W(a)\D. Так как IF (а) упорядочено, та
либо х < у, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен.
Действительно, так как x£IF(a), xglF(p), то одновременна
х<а, х<р. Если бы было у < х, то было бы z/<a, у<Р„
т. е. y^D. Итак, доказано, чтох<у для любых x^D,
y£W (a)\D, а это и означает, что (D, IF (a)\£>) есть* сечение
в IF (а). Пусть 5 < а есть первый элемент в IF (a)\D. Тогда
отрезок, отсекаемый в IF (а) элементом 5, совпадает с £>, т. е. 5
есть порядковый тип множества D, 5 = 6 и 6<а.
Совершенно аналогично доказывается и неравенство б^р.
Однако неравенства 6 < а, 6 < р не могут быть выполнены
одновременно, так как в этом случае мы имели бы 8 £ D, так
что 6 было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть
типом всего D. Итак, имеются лишь следующие возможности:
либо 6 = а, 6 = Р и, значит, а = р;
либо 6 = а, 6<Р и, значит, а<р;
либо б<а, 6 = р и, значит, Р<а.
Основная теорема 11 полностью доказана.
Теорема 12. Любое множество Л, состоящее из порядко-
вых чисел, вполне упорядочено.
Доказательство. Достаточно доказать, что любое не-
пустое множество Л', состоящее из порядковых чисел, имеет
первый элемент: если это будет доказано, то будет доказано,,
в частности, что всякое непустое подмножество Л' множества А
имеет первый элемент, т. е. что А вполне упорядочено.
Возьмем какое-нибудь а'£А*. Если а'—наименьшее из чисел
х£Л', то все доказано. Если же нет, то пересечение IF(a')nAA
непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного мно-
жества IF (а'), содержит первый элемент а. Порядковое число а
и является первым элементом в Л'.
Теорема 13. Пусть 5—какое-нибудь порядковое число. Тогда
54-1 причем не существует никакого порядкового числа 5'>
удовлетворяющего неравенству 5 < I' < £ 4-1 •
$3] ТЕОРЕМЫ О ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ	67
В самом деле, пусть А—какое-нибудь вполне упорядоченное
^множество типа По определению сложения порядковых типов,
множество А' типа g + 1 получим, если присоединим к Я новый
элемент а', следующий за всеми элементами а^Л. Тогда, оче-
видно, Л = Л'(а'), т. е. 5 <5 + 1. Всякое порядковое число
< 5 +1 является типом некоторого отрезка Л' (х) множества Л'.
Но если х = а', то Л' (х) = Л' (а') — А и 5' = g; если же х = а < а'»
то Л'(х) = Л(а) и 5'<В- Теорема доказана.
Утверждение теоремы 13 выражают и так: число 5 + 1 есть
первое порядковое число, следующее за числом 5-
Теорема 14. Пусть А и В—вполне упорядоченные множе-
ства, и пусть а, 0—их порядковые типы. Если А^В, то а^0.
В самом деле, в противном случае имели бы 0 < а и множе-
ство В было бы подобно отрезку своего подмножества Л, что
противоречит теореме 9.
Пусть дано некоторое порядковое число т и каждому а < т
поставлено в соответствие порядковое число ха. Пусть 5—сумма
по типу т всех порядковых чисел ха; обозначаем ее через
1= £ Ха.
а <г
Если Ха есть какое-нибудь множество, упорядоченное по типуха>
то сумма вполне упорядоченного (по типу W (т)) множества мно-
жеств Ха есть вполне упорядоченное множество X, типом кото-
рого является 5- Так как множество Х~ содержит в качестве
своего подмножества каждое из множеств Ха, то на основании
теоремы 14 для любого ха имеем ха^5- Итак, нами доказана
Теорема 15. Сумма любых порядковых чисел ха (данных
с любом порядке) есть порядковое число 5, не меньшее чем любое
из данных слагаемых ха.
Взяв число 5+Ъ видим, что оно больше любого из дан-
ных Ха .
Итак:
Теорема 16. Ко всякому данному множеству порядковых чи-
сел можно построить порядковое число, большее любого из чисел
этого множества.
Отсюда в свою очередь вытекает, что «множество всех поряд-
ковых чисел» не существует вовсе *). Оно и понятно: процесс
построения все больших и больших порядковых чисел по самому
своему существу не может мыслиться как законченный, а «множе-
ство всех порядковых чисел» могло бы возникнуть лишь как
итог этого процесса.
Пусть Л — какое-нибудь непустое множество порядковых чисел.
По теореме 16 существуют числа 5» большие чем все х£ Л. Среди
*) См. замечание из § 5 гл. 1.
68
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
любого множества таких £ имеется одно-единственное наимень-
шее £0. Чтобы получить это £0, возьмем какое-нибудь £, большее
чем все х С А. Тогда во вполне упорядоченном множестве W (£ +1)
будут содержаться числа, большие чем все х$А (например,
число £). Среди этих чисел будет одно наименьшее. Оно и будет
искомым.
Возможны два случая. 1°. В множестве А имеется последний
элемент (т. е. существует наибольшее число х' среди всех чисел
х£А). Тогда, очевидно, £ = х'4-1 и будет первым порядковым
числом, большим чем все х^А.
2°. В А нет последнего элемента. В этом случае первое
число £, большее чем все х$А, обладает тем свойством, что,
каково бы ни было число £' < £, интервал (£'; £) вполне упоря-
доченного множества W (£4-1) содержит числа а содержа
одно какое-нибудь число х'^А, содержит и все числа х£Л,
большие чем это х'. В этом случае говорят, что вполне упоря-
доченное множество А порядковых чисел сходится к числу £ (имеет
число £ своим пределом), и пишут
£ = lim х.
хе А
Пусть, в частности, A = W (£), где £—какое-нибудь порядковое
число. Если в W (5) имеется наибольшее число £', то £ = £'4-1;
в этом случае интервал (£',£'4-2) состоит из единственного
числа £ = £'4-1 и число £ называется числом первого рода (или
изолированным числом). Таковы все натуральные числа, числа
со 4-1, со + п, со24-г^ со3 4-со 4-п и т. д. Если же в W (£) нет
наибольшего числа, то каждый интервал (£',£), где £'—произ-
вольное порядковое число < £, содержит бесконечное множе-
ство порядковых чисел и число £ называется предельным поряд-
ковым числом или числом второго рода. Таковы числа со, со-2,
со-и, со", со° и т. д.
Замечание. Принцип трансфинитной индукции.
Пусть дано какое-нибудь вполне упорядоченное множество W
и некоторое предложение Р = Р(х), зависящее от переменного
элемента этого вполне упорядоченного множества W (обычно W
есть множество всех порядковых чисел, меньших данного числа а,
т. е. в наших обозначениях W = W (а)). В этих предположениях
утверждение, называемое принципом трансфинитной индукции,
может быть сформулировано так:
Если предложение Р верно для первого элемента х0 множе-
ства W и если из того, что оно верно для всех элементов х,
предшествующих данному элементу х', следует, что предложе-
ние Р верно и для элемента х', то предложение Р верно и для
каждого элемента x^W. (При W — W (а>), т. е. когда W есть
множество всех натуральных чисел, принцип трансфинитной
$4J
ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА. АКСИОМА ВЫБОРА
69
индукции превращается в хорошо известный читателю обычный
принцип математической индукции.)
Для доказательства принципа трансфинитной индукции доста-
точно заметить, что если бы существовали элементы х € W, для
которых предложение Р неверно, то среди этих элементов х был
бы первый элемент, пусть х0. Но тогда предложение Р, будучи
верным для всех элементов х € TF, предшествующих элементу х0>
было бы, в силу наших предположений, верно и для элемента
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
§ 4.	Счетные трансфинитные числа
(порядковые числа второго класса).
Понятие конфинальности. Аксиома выбора
Назовем натуральные числа и число нуль порядковыми числами
первого класса; таким образом, числа первого класса суть поряд-
ковые типы конечных вполне упорядоченных множеств. Поряд-
ковые типы счетных вполне упорядоченных множеств назовем
счетными трансфинитными числами или порядковыми (трансфи-
нитными) числами второго класса. Вполне упорядоченное мно-
жество всех чисел первого класса обозначается через 1FO; вполне
упорядоченное множество всех чисел первого и второго клас-
сов—через	вполне упорядоченное множество всех чисел вто-
рого класса—через Zt.
Теорема 17. Каково бы ни было конечное или счетное мно-
жество порядковых чисел второго класса
а2, ..., а„, ...,	(1)
первое порядковое число а, следующее за всеми числами (1), есть
также число второго класса.
Рассмотрим два случая:
а)	Среди чисел (1) есть наибольшее, пусть это будет число аот;
число ат+ 1, по самому своему определению являющееся числом
второго класса, есть первое число, следующее за всеми чис-
лами (1).
б)	Среди чисел (1) нет наибольшего. Обозначим через а пер-
вое порядковое число, следующее за всеми ап. Рассмотрим мно-
жество W (а). Мы утверждаем, что
W(a)= U И7(а„).	(2>
п = 1
В самом деле, правая часть, очевидно, содержится в левой. До-
кажем, что, и наоборот, левая содержится в правой. Пусть
(а). Так как а есть первое число, следующее за всеми ап>
и £ < а, то существует аот > £ и, значит, | € W (ат). Равенство (2)
70
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
этим доказано. Из (2) следует, что множество W (а) счетно. Но а
есть порядковый тип множества W (а), т. е. порядковый тип
счетного вполне упорядоченного множества, чем теорема 17 и
доказана.
Из теоремы 17 вытекают очень важные следствия, а именно:
Теорема 18. Множество Zt всех порядковых чисел второго
класса несчетно.
Действительно, в противном случае, в силу теоремы 17,
существовало бы число второго класса а, следующее за всеми
числами второго класса, т. е. было бы, в частности, а > а, что
противоречит аксиомам порядка.
Мощность множества обозначается через (мы помним,
что счетное множество 1Г0 имеет мощность #0). Первое порядко-
вое число, следующее за всеми числами второго класса, обозна-
чается через сох (иногда через Q). Итак, сох есть порядковый тип
вполне упорядоченного множества Wx = W ((oj. По самому сво-
ему определению есть первое несчетное трансфинитное число,
всякое порядковое число а < конечно или счетно. Отсюда
следует, что всякое несчетное подмножество множества Wt
имеет тот же тип coj (и, следовательно, ту же мощность
В частности, coj можно определить и как порядковый тип вполне
упорядоченного множества Zr всех порядковых чисел второго
класса.
Следствие. Не существует никакого кардинального числа т9
удовлетворяющего неравенству
9,<т< tfv	(3)
В самом деле, пусть такое число т существует; так как
то существует подмножество М множества имеющее
мощность т\ но в силу неравенства (3) множество М несчетно,
а потому, по только что доказанному, имеет мощность Полу-
ченное противоречие доказывает наше утверждение.
Теорема 17 послужит нам поводом к введению важного поня-
тия конфинальности, которое мы сразу дадим во всей его общ-
ности.
Определение конфинальности упорядоченного
множества своему подмножеству. Мы будем говорить,
что упорядоченное множество X конфинально своему подмно-
жеству Д, если в X не существует никакого элемента, следую-
щего за всеми элементами х С А.
Из этого определения следует сразу: в том и только в том
случае, когда в упорядоченном множестве X имеется последний
элемент х19 все множество X конфинально подмножеству, состоя-
щему из одного элементах!. Например, сегмент	1 число-
вой прямой конфинален своему концу I.
$ 4]	ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА. АКСИОМА ВЫБОРА
Интервал 0 < t < 1 конфинален подмножеству, состоящему
п
из всех точек вида , где п—натуральное число.
Определение конфинальности одного порядко-
вого типа другому. Мы скажем, что порядковый тип g кон-
финален порядковому типу а, если некоторое (а следовательно,
и любое) множество X, упорядоченное по типу конфинально
некоторому своему подмножеству Л, имеющему тип а.
Так, например, какой-нибудь порядковый тип % тогда и только
тогда конфинален порядковому числу 1, если £ есть порядковый
тип упорядоченного множества, имеющего последний элемент.
Порядковый тип интервала числовой прямой (совпадающий с по-
рядковым типом всей числовой прямой) конфинален порядковому
числу со (так как числовая прямая конфинальна множеству
натуральных чисел).
Замечание 1. Понятие конфинальности*) в применении к
упорядоченным множествам, не обладая свойством симметрии,
обладает свойством транзитивности: если упорядоченное множе-
ство X конфинально своему подмножеству Хп а Хх—своему
подмножеству Х2, то X конфинально множеству Х2. То же верно
и для порядковых типов.
Теорема 17 может быть теперь сформулирована и следующим
образом:
Теорема 17'. Множество всех порядковых чисел первого
и второго классов не конфинально никакому своему конечному или
счетному подмножеству.
В самом деле, в противном случае можно было бы найти
такое конечное или счетное множество порядковых чисел второго
класса, за которым не следовало бы никакого порядкового числа
второго класса; но это противоречит теореме 17.
Переходя к порядковым типам, можно сказать:
Теорема 17". Трансфинитное число (Oj не конфинально ни-
какому меньшему трансфинитному числу (в частности, числу со).
За каждым порядковым числом а < (ох следует число а + 1 <
< (ох, т. е. число первого рода; значит, все множество кон-
финально подмножеству всех чисел первого рода; последнее под-
множество, следовательно, несчетно и, по доказанному, имеет
тип сох (читатель без труда и непосредственно докажет, что,
ставя в соответствие каждому числу а <(±4 число а 4-1, мы по-
лучим подобное отображение множества W\ на подмножество
всех чисел первого рода). С другой стороны, за каждым числом
а<со1 следует предельное число (например, число а4-®)- От-
сюда вытекает, что множество Wr конфинально подмножеству
всех предельных трансфинитных чисел второго класса, так что
*) Так, как мы его определили.
72
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
это последнее множество также несчетно и имеет порядковый
ТИП (0le
Теорема 19. Если а<<о1 есть предельное трансфинитное
число, то существует счетная последовательность
а0, а1( а2,	...	(4)
возрастающих порядковых чисел, меньших чем а, имеющая число а
своим пределом:
a=Iim а„.
(л)
{Другими словами, к каждому предельному числу а можно подо-
брать последовательность чисел (4) таким образом, что а ока-
жется первым числом, превосходящим любое число из последо-
вательности (4).)
Так, например, co = limn, <o-2 = iim(<o -J-я),	(o2 = lim<o-n,
(л)	И)	(я)
.°
<о° = Итсо", е = Нтсо°’* и т. д.
(п)	(л) ’——'
п раз
Доказательство теоремы 19. Множество W (а) всех
чисел, меньших чем а, счетно (имеет тип а); значит, его эле-
менты могут быть занумерованы в последовательность
• • • »	• • •	(5)
{причем порядок номеров в этой последовательности, вообще
говоря, ничего не имеет общего с порядком во вполне упорядо-
ченном множестве W (а)). Среди чисел (5) нет наибольшего (так
как а—второго рода). Возьмем число a0 = g0. Так как |0 не есть
наибольшее число в последовательности (5), то в этой последо-
вательности существуют числа, большие чем g0. Пусть al = i,Pi —
то из них, которое обладает наименьшим индексом рх^1; имеем
Ро = 0<р1,
Так как число не является наибольшим в последователь-
ности (5), то в этой последовательности существуют числа, боль-
шие чем среди них возьмем число а2 = ^а с наименьшим
индексом р2; при этом р2> рг> ро = 0. Продолжая так рассуж-
дать дальше, получим последовательность
ао = ^о>	= а2=	• • • >	=	•••>	(6)
причем
О = РО<Р1<Р2< ... <ри<...	(7)
Докажем, что a = lima„. Очевидно, а больше, чем любое ал.
(«)
Остается доказать, что не существует никакого g С W (а), кото-
| 4]	ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА. АКСИОМА ВЫБОРА	73
рое бы превосходило все числа (6). Возьмем произвольное
£€1Г(а). Так как в последовательности (5) фигурируют все
элементы множества W (а), то % есть некоторое Так как на-
туральные числа рп неограниченно растут, то существует одно-
единственное рп такое, что
Рп<т<рп+1-
тогда непременно < £pn+1 = an+v так как в противном случае
число |рп+1 было бы выбрано неправильно; было бы больше,
чем |р , и имело бы меньший индекс т, чем число . Тео-
п	п+1
рема 19 доказана.
Эта теорема может быть сформулирована и так:
Теорема 19'. Всякое предельное трансфинитное число вто-
рого класса конфинально числу со.
Таким образом, всякое натуральное число конфинально 1г
а всякое трансфинитное число второго класса конфинально
либо 1 (если оно — первого рода), либо числу со (если оно — пре-
дельное).
Замечание 2. Из теоремы 19 вытекает одно следствие, которому при-
давалось большое значение особенно в первый,«классический» период развития
теории множеств — период, не омраченный никакими сомнениями в право-
мерности тех или иных, с наивной точки зрения очевидных, теоретико-множе-
ственных конструкций. Следствие, о котором идет речь, таково: если у нас
уже построено тем или иным путем множество -всех порядковых чисел W (а),
меньших чем данное число а второго класса, то число а можно всегда пост-
роить одним из двух следующих способов: либо прибавлением 1 к некоторому
вполне определенному числу xf £ W (а) (именно к наибольшему среди всех
чисел x£IF(a), если такое наибольшее число существует), либо переходом
к пределу некоторой возрастающей последовательности (4), составленной из
чисел < а. Таким образом, в то время как каждое натуральное число полу-
чается прибавлением 1 к наибольшему предшествующему ему натуральному
числу, в области трансфинитных чисел одной этой операции прибавления 1
недостаточно, нужна еще операция перехода к пределу возрастающей после-
довательности. Эго положение вещей вызывает, однако, следующее замечание.
В случае чисел натуральных (и трансфинитных первого рода) переход от
чисел, меньших а, к числу а является действительно вполне определенным,
так как существует одн©-единственное наибольшее число в множестве W (а),
к этому числу и надо прибавить !. Этой определенности, однако,^нет, когда
дело идет о построении последовательности (4), имеющей своим пределом дан-
ное предельное число а. .Действительно, последовательность (4) строится
совершенно автоматически,и, как говорят, «эффективно», как скоро нами вы-
брана некоторая определенная запись множества W (а) в виде последователь-
ности (5). Но все дело в том, что выбор этой записи (т. е. выбор некоторргр
взаимно однозначного отображения /а множества W (а) на множество W (со)
всех натуральных чисел-индексов) при настоящем состоянии наших знаний
является актом чистого произвола: мы не имеем никакого закона, по которому
можно было бы построить отображение fa для любого из несчетно-многих
трансфинитных чисел а второго класса.
Мы, правда, знаем, что для каждого а, со < а < ©!, такие отображения
существуют, т. е., что множество fa этих отображений непусто. Но мы не
74
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА |ГЛ. 3
имеем никакого правила, позволяющего из всех этих множеств Га выбрать
по одному определенному элементу. Вместо того, чтобы говорить о множе-
стве Fa всевозможных отображений fa, можно было бы прямо говорить
о множестве 2Иа всех последовательностей (6), сходящихся к предельному
числу а: множества 2Иа непусты в силу теоремы 12, но непустота этих мно-
жеств еще не означает наличия правила, которое позволило бы нам для всех
предельных трансфинитных чисел а < (ох выбрать по одной определенной
последовательности (6).
Существование множества М последовательностей (6), по од-
ной последовательности для каждого предельного а < может
утверждаться нами лишь^ на основе следующего общего допу-
щения, известного под названием аксиомы Цермело (Zermelo)
или аксиомы выбора.
Аксиома выбора. Пусть дано множество ЗЛ, элементами
которого являются попарно не пересекающиеся непустые множе-
ства Ма. Тогда существует множество М, каждый элемент кото-
рого есть элемент та некоторого множества Ма и которое пере-
секается с каждым множеством Ма лишь по одному элементу md.
Другими словами, множество М, существование которого
постулируется этой аксиомой, состоит из элементов, «выбранных
по одному» из каждого множества Ма С 9W.
Аксиома выбора была высказана свыше 70 лет тому назад
и вызвала многочисленные исследования о фактическом месте,
занимаемом ею в логическом построении современной математики.
При этом оказалось, что мы не умеем обойтись без применения аксиомы
Цермело при доказательстве некоторых элементарных теорем, относящихся даже
не к теории множеств в собственном смысле слова, а просто к математичес-
кому анализу. Возьмем, например, следующие два определения непрерывности
функции /, заданной на числовой прямой:
1°. Функция f называется непрерывной в точке х0, если ко всякому по-
ложительному е можно подобрать такое положительное б, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству |х0—х| < б, имеем |/(х0)—/(х)| < е.
2°. Функция f называется непрерывной в точке х0, если для всякой по-
следовательности х19 х2, ..., хп, ..., сходящейся к точке х0, последовательность
/(•Ч), f(x2),..., f(xn), ... сходится к точке /(х0).
Эти два определения, как известно, эквивалентны. Проанализируем обыч-
ное доказательство их эквивалентности. Пусть f непрерывна в точке х0 в пер-
вом смысле, и пусть дана какая-нибудь последовательность xlt х2,	,.ч
сходящаяся к x0. Тогда для любого е > 0 можно найти такое б, что для всех х,
лежащих в интервале (х0—б; х0+б), имеем |f(xj—f(x)\ < е. Взяв для дан-
ного е такое б, подбираем к нему натуральное JV так, чтобы для всех п N
было | х0—хп | < б, значит, | / (х0)—f (хп) | < е. Так как это имеет место для
любого 8>0, то последовательность /(хх),/(х2),..., / (хл),... сходится к/(х0).
Итак, если функция непрерывна в смысле определения 1°, то она непрерывна
и в смысле определения 2°*).
Пусть теперь f—функция, непрерывная в точке х0 в смысле определения 2®.
Докажем, что она непрерывна и в смысле определения Г. Предположим противное.
♦) Заметим, что доказательство этого утверждения не опирается на ак-
сиому Цермело: выбор числа N производится однозначно, так как можно
взять первое такое (натуральное) N, что для всех п,)> N имеем |х0—хп | < б.
ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА. АКСИОМА ВЫБОРА
75
S4J
Тогда существует такое е > 0, что при любом6 > Ов интервале (х0—6; х04-6)
имеются точки Х(в>, для которых |/(х0)—f (х^у) | е. Давая числу 6 значе-
ния 6„ = —- и беря для каждого такого 6Л некоторое которое обозначим
для краткости через хп, получим последовательность точек сходящуюся
к точке х0, в то время как для всех этих точек хп имеем | f (х0)—f (хп) | е.
Доказательство эквивалентности определений 1° и 2° этим закончено.
Рассмотрим ближе вторую половину этого доказательства. Существование
точек х(б), одновременно удовлетворяющих двум условиям | х0—х^у | < 6 и
|/(х0)—не означает (согласно обычной точке зрения, принятой и
в этой книге) того, что мы можем дать правило для фактического построения
одной определенной такой точки: достаточно, чтобы могло привести к проти-
воречию предположение, что множество этих точек пусто. Поэтому предполо-
жение, что функция f не является в смысле определения 1° непрерывной в
данной точке х0, означает лишь, что для некоторого 8 > 0 и любого 6 > О
множество Af(d) тех точек х интервала [х0—6; х0 + 6], для которых |f(x0)—
— / (*) I е» непусто. Переход от последовательности непустых множеств
Мп = М(Ьп>
к последовательности точек хп£Мп может быть осуществлен, вообще говоря,
лишь путем произвольного выбора *) в каждом из множеств Мп по одной
точке, которую мы и обозначаем через хп.
Отметим также, что в неявном виде аксиома выбора в неко-
торых случаях использовалась нами в первой главе.
Применим аксиому выбора к доказательству следующего ин-
тересного предложения:
Теорема 20. Существует множество Е, состоящее из дейст-
вительных чисел и имеющее мощность {другими словами, верно
неравенство	где с, как всегда, есть мощность континуума).
Для доказательства теоремы 20 дадим принадлежащее Лебегу
фактическое разбиение интервала 0 < t < 1 на попарно не
пересекающихся множеств £а,	т. е. дадим представ-
ление интервала 0 < t < 1 в виде суммы 0 Еа попарно не пе-
ресекающихся множеств, причем это представление будет совер-
шенно эффективным (в том смысле, что, как скоро дана точка t
интервала (0; 1), можно однозначно определить то единственное
множество Еа, которому она принадлежит). Разбиение интер-
вала (0; 1) на множества Еа осуществляется так.
Занумеруем раз навсегда все рациональные числа интервала
(0; 1) в последовательность
♦) Множества Мп пересекаются: более того, очевидно, Mn + i <= Мп; поэтому,
чтобы применить аксиому Цермело в том виде, как она была сформулиро-
вана, надо от множеств Мп перейти к множествам Ма\Мп+1, непустые среди
них обозначить через М[, М'ъ,..., Мп, ... и из них уже выбирать на основа-
нии аксиомы Цермело по точке хп (см., впрочем, стр. 79).
76 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА £ГЛ. 3
Пусть t—произвольная точка интервала (0; 1). Число t одно-
значно может быть представлено в виде суммы бесконечного ряда
(»>
(в самом деле, достаточно взять разложение числа t в бесконеч-
ную двоичную дробь, причем в' случае, если t допускает два
таких разложения, берем то из них, которое, начиная с неко-
торого места, состоит из одних единиц; числа п2, ..., nk суть
номера двоичных знаков нашего разложения, равных 1). Имея
разложение (9), рассмотрим множество рациональных чисел
nj Г • • • >	• • •	(Ю)
Возможны два случая:
а)	Множество (10) не является вполне упорядоченным (по
величине входящих в него рациональных чисел); в этом случае
относим точку t к множеству Е^.
б)	Множество (10) вполне упорядочено и имеет тип а,	а < cof,
в этом случае относим точку t к множеству Еа.
Таким образом, каждая точка t интервала (0; 1) попадет в
одно и только в одно множество Еа, где	так что
эти множества попарно не пересекаются и дают в сумме весь
интервал (0; 1). Докажем, что, каково бы ни было трансфинит-
ное число а второго класса, множество Еа непусто.
В самом деле, на основании теоремы 1 существуют множе-
ства Ма, состоящие из рациональных чисел и имеющие поряд-
ковый тип а. Возьмем какое-нибудь одно такое множество Л1а;
пусть его элементы суть рациональные числа
• • • > Г rik* * • •
(записанные в порядке возрастания их номеров в последователь-
ности (8)). Действительное число t =-^; + ^+ • •	• • • со"
держится в множестве Еа.
Для доказательства теоремы 20 нам остается применить ак-
сиому Цермело и выбрать из каждого множества Еа по точке ха.
Полученное множество Е = ’{х0} будет иметь мощность
Замечание 3. Только что приведенный пример пользования аксиомой
Цермело типичен: доказав при помощи этой аксиомы существование имеющих
мощность множеств Е, состоящих из действительных чисел, мы в то же
время лишены какой бы то ни было возможности указать индивидуальный
пример такого множества: два лица, говорящие о каком-либо множестве вида
£ = ^ха}, где Ха£Еа (по одной точке из каждого Еа), никак не могут быть
уверены в том, что они говорят об одном и том же множестве, так как не су-
ществует объективного признака, позволяющего удостовериться в том, что оба
эти лица выбрали из каждого множества Еа по одному и тому же элементу ха.
§4]
ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА. АКСИОМА ВЫБОРА
77
В этом смысле мы говорим, что построенное только что точечное множество Е
мощности есть множество неэффективное (в противоположность множеству ПЛ
мощности /fi, элементами которого являются сами множества Еа\ это мно-
жество ПЛ эффективно, его элементы Еа определены совершенно однозначно,
так как о каждой данной точке t интервала (0; 1) мы можем сказать, какому
именно множеству Еа она принадлежит).
Замечание 4. Приведем несколько дальнейших примеров на примене-
ние аксиомы выбора.
1°. Доказательство теоремы: сумма счетного множества счетных множеств
есть счетное множество—опирается на аксиому Цермело. В самом деле, пусть
дано счетное множество счетных множеств Elt Е2, ...» Еп,... Для простоты
предполагаем, что множества Еп попарно не пересекаются. Так как каждое
из множеств Еп счетно, то для любого п существует по крайней мере одно
взаимно однозначное отображение множества Еп на множество всех натураль-
ных чисел. Другими словами, множество А4„, элементами которого являются
взаимно однозначные отображения множества Еп на множество всех натураль-
ных чисел, непусто. Множества Мп для различных п попарно не пересека-
ются. Применяя аксиому Цермело, выбираем из каждого Мп по одному эле-
менту. Это дает нам возможность для каждого п некоторым определенным
способом записать множество Е в виде бесконечной последовательности:
£И = К, el .... &
оо
Таким образом, все множество Е= Еп записано в виде следующей таблицы:
П=1
elv %	ф •••
4 Ф 4- е4- •••> е1- -
er 4 Ф «г -> е1< -
<£« гз“- «Г •••> ek'
что дает нам возможность занумеровать все элементы множества уже совер-
шенно эффективно (§ 4 гл. 1, стр. 19).
2°. Проведем с полной аккуратностью (опирающееся на аксиому Цермело)
доказательство теоремы 3 § 4 гл. 1:
Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Доказательство. Множество Е бесконечно; это означает, что при
любом натуральном п множество Е содержит подмножество, состоящее из ,п
элементов. Поэтому, обозначая через множество всех подмножеств мно-
жества Е, каждое из которых содержит ровно п\ элементов, мы можем ут-
верждать, что при любом натуральном п множество непусто. Очевидно,
никакие два множества £01^, Р & Я, не пересекаются. Применяя аксиому
Цермело, выберем из каждого множества по одному элементу Мп. Имеем
последовательность
М19 AL>, ..., АГ„, ...
Так как множество Мп состоит из п\ элементов, а число элементов множе-
ства Mi (J ••• U меньше чем
(п-1) Цп- 1) 1J <п!,
78
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 8
то в множестве	можно выбрать элемент хп. Множество
Хр ^2> •••»	•••
есть счетное подмножество множества Е.
Вопрос. Чем отличается только что приведенное доказательство от
доказательства той же теоремы, данного в § 4 гл. 1, ив чем преимущество
теперешнего доказательства сравнительно с тогдашним?
§ 5. Теорема Цермело
Теорема Цермело гласит:
Всякое множество может быть сделано вполне упорядоченным *>
Доказательству (опирающемуся на аксиому Цермело) пред-
пошлем одно общее замечание, касающееся отображений мно-
жеств.
В первой главе (§ 3) понятие отображения множества X в
множество Y было введено как новое элементарное понятие,,
не подлежащее определению: было просто сказано, что если каж-
дому элементу х множества X поставлен в соответствие неко-
торый элемент y = f(x) множества У, то имеется отображение f
множества X в У. Теперь мы заметим, что в действительности
понятие отображения сводится к понятию множества. Именно,,
наряду е данными двумя множествами X и У рассмотрим мно-
жество Z, элементами которого являются всевозможные пары
(х, у), где х G X, у С У. Множество всех таких пар называется про-
изведением множества X на множество У (Кантор) и обозна-
чается через ХхУ. Задать (однозначное) отображение f мно-
жества X в множество У—значит задать некоторсе подмноже-
ство Ф множества Z — X'KY, удовлетворяющее условию: каждый
элемент х0 множества X входит в одну и лить в одну пару
г0 = (х0, У о)» являющуюся элементом множества Ф. Если (х0,
есть (единственная) пара г0^Ф, содержащая данный элемент
х0£Х, то элемент у$ этой пары и есть, по определению, образ-
*) Мы даем теорему Цермело в ее традиционной формулировке. По поводу
этой формулировки вспомним, что мы определили упорядоченное множество
как совокупность двух понятий: во-первых, некоторого множества М и, во-
вторых, имеющегося между любыми двумя различными элементами х, у мно-
жества М. отношения х < у (или у < х); поэтому выражения «данное (вполне)
упорядоченное множество» и «множество всех элементов данного (вполне) упорядо-
ченного множества» имеют неодинаковое содержание (так же как разное содержа-
ние имеют выражения «данное метрическое пространство» и «множество всех точек
данного метрического пространства» или «данная группа» и «множество всех эле-
ментов данной группы»). Если соблюдать полную логическую аккуратность, то»
теорему Цермело следовало бы сформулировать так: «/(о всякому множеству су-
ществует вполне упорядоченное множество, множеством всех элементов?
которого является данное множеством. За исключением случаев, когда данное-
множество М пусто или состоит лишь из одного элемента, для него существует
более одного вполне упорядоченного множества, множеством всех элементов ко-
торых оно является.
ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
79
$5]
^o = f(xo) элемента х0 при отображении f. Обратно, если дан эле-
мент y0^Y, то множество всех элементов х£Х, входящих к ка-
кую-нибудь из пар (х, уq) С Ф, называется прообразом элемента
tj^Y при отображении f и обозначается через
Мы можем теперь дать аксиоме Цермело такую формулировку:
Для всякого множества Эй попарно не пересекающихся непус-
тых множеств Ма существует отображение f множества Эй в
<сумму U	данных множеств Ма такое, что образом вся-
а
кого элемента Ма 6 Эй при этом отображении является некото-
рый элемент та множества Ма:
f(Ma)=ma€Ma.
Докажем, что в этой формулировке аксиомы Цермело можно
•отказаться от требования, чтобы множества Ма попарно не пе-
ресекались. Докажем, другими словами, следующий
Обобщенный принцип выбора. Для всякого множества
Ий непустых множеств Ма существует отображение множества
Ий в сумму (J Ма множеств при котором образом каждого
а
элемента Ма € Эй является некоторый элемент та множест-
ва Ма.
Доказательство заключается в весьма простом сведении дока-
зываемого предложения к аксиоме Цермело в ее первоначальном
виде. Рассмотрим, в самом деле, наряду с каждым данным мно-
жеством Ма множество М'а, элементами которого являются все-
возможные пары вида (Ма, та), где Л4а£9й фиксировано, а т^
суть всевозможные элементы множества Ма. Ставя в соответ-
ствие каждому элементу (Ма, та) множества М'а элемент тЛ
множества МЛ, содержащийся в паре (Л4а, та), получим взаимно
однозначное соответствие между множеством М'а и множеством Л4а.
Множество всех множеств М'а обозначим через Эй! Двум раз-
личным элементам Ма и М$ множества Эй соответствуют непе-
ресекающиеся множества и Л4р, так что к множеству Эй'
множеств Л4« можно применить аксиому Цермело в ее первона-
чальном виде и выбрать из каждого множества М'а по элементу
= (Ма, та) € Ставя в соответствие каждому Ма элемент /иа
{тот самый, который содержится в паре (та, Ма), являющейся
выбранным нами элементом т'^ множества М*), получим отобра-
жение ma = f (Л4а), существование которого утверждается в обоб-
щенном принципе выбора. Обобщенный принцип выбора мы будем
кратко формулировать так:
Если дано какое-нибудь множество Эй непустых множеств Ма,
то можно из всех множеств МЛ выбрать по элементу тЛ
80 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
(причем среди выбранных элементов могут быть и совпа-
дающие).
При доказательстве теоремы Цермело нам будет удобна еще
следующая
Лемма 1. Для того чтобы данное упорядоченное множество М
было вполне упорядоченным, достаточно (и, очевидно, необходимо),
чтобы в множестве М и в верхнем классе любого сечения мно-
жества М был первый элемент.
В самом деле, предположим, что в данном упорядоченном
множестве М наше условие выполнено. Пусть Е—какое-нибудь
непустое подмножество множества М. Докажем, что в Е имеется
первый элемент. Это, очевидно, верно, если Е содержит первый
элемент х0 всего множества М. Пусть элемент х0 не содержится
в Е. Произведем сечение множества М, отнеся к первому
классу А все те элементы х£М, которые предшествуют всем
элементам множества Е, а ко второму классу В—все остальные
элементы множества М. Так как xQ^A и Е<=^В, то оба класса
непусты; кроме того, из х£А, у£В следует х<р, так что мы
действительно имеем сечение. Пусть yQ—первый элемент в В
(такой существует по условию). Докажем, что yQ£E (так как
Е^В, то отсюда будет следовать, что у0—первый элемент в Е).
Но если бы yQ не содержалось в В, то для любого у^Е мы
имели бы yQ < у, откуда г/0 € А, вопреки предположению. Лемма 1
доказана.
Переходим к доказательству теоремы Цермело. Это доказа-
тельство (заимствованное у Хаусдорфа) довольно точно воспро-
изводит доказательство самого Цермело.
Пусть дано произвольное множество М. Так как пустое
(и вообще всякое конечное) множество, очевидно, может быть
вполне упорядочено, то мы можем предположить множество М
непустым (даже бесконечным). Рассмотрим множество всех не-
пустых подмножеств Qa множества М и согласно обобщенному
принципу выбора в каждом из этих множеств Qa выберем по
элементу ра. Этот элемент ра (который считаем определенным
для каждого непустого Qa^ М) называем отмеченным элементом
в Qa. Отмеченный элемент множества Qa называем также «при-
даточным» элементом к множеству Ра = M\Qa и обозначаем
через f(Pa). Таким образом, для всякого множества Ра с: М
однозначно определен придаточный элемент f(Pa) = pa£ Qa =
= Л4\Ра. Множество Р'а = Ра U ра называем «преемником» мно-
жества Ра. Преемник определен, таким образом, для каждого>
множества Ра cz М.
Назовем теперь цепью множества М всякое множество /С,
удовлетворяющее следующим условиям:
а)	элементами множества /С являются подмножества мно-
жества М;
ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
81
б)	пустое множество является элементом множества X;
в)	сумма любых множеств, являющихся элементами множе-
ства /С, есть элемент множества /С;
г)	если Ра£Х и Ра#=Л1, то и Р'а£К.
Цепи существуют-, в самом деле, множество всех подмножеств
множества М является цепью.
Легко проверить, что пересечение любого множества цепей
есть цепь; значит, существует так называемая наименьшая цепь
множества М—именно цепь Хо, являющаяся пересечением всех
цепей множества М. Относительно этой наименьшей цепи Ха
докажем следующее предложение:
Лемма 2. Если А^К^.	А=^В, то либо АсВ,
либо В а. А.
В самом деле, назовем какое-либо множество Р нор-
мальным, если, каково бы ни было ХСХ0» имеем либо Р^Х>
либо X с Р. Для доказательства леммы 2 достаточно убедиться
в том, что все множества Р^Ко нормальны. Для этого обозна-
чим через К' множество всех нормальных Р € Хо- Достаточно
доказать, что X' есть цепь: так как X' Хо и Хо есть наимень-
шая цепь, то отсюда будет следовать, что
Доказательство того, что X' есть цепь, в свою очередь опи-
рается на следующее вспомогательное предложение:
Лемма 2' (к лемме 2). Пусть Р Р а М; если Р—нор-
мальное множество, то для любого множества Х£К0 имеем либо
Х^Р, либо Х^.Р' (другими словами, если Р нормально, то
и Р' нормально).
Для доказательства леммы 2' обозначим через К (Р) мно-
жество всех X С Хо, удовлетворяющих (для данного, зафиксиро-
ванного нормального Р с М) условию: либо X Р, либо Х^Р'.
Достаточно доказать, что X (Р) есть цепь: так как X (Р)^Х0, а
—наименьшая цепь, то отсюда будет следовать, что Х(Р) =
= Хо» т. е. что лемма 2' верна.
Итак доказываем, что X (Р) есть цепь. Очевидно, пустое
множество является элементом множества X (Р).
Пусть даны какие-нибудь Ра€Х(Р); докажем, что их сумма
U Ра также есть элемент множества X (Р). В самом деле, если
а
каждое слагаемое Ра содержится в Р, то и U Ра содержится
а
в Р; если же хоть одно слагаемое Ра не содержится в Р, то
из Ра С К (Р) следует, что Ра э Р', а тогда тем более Раэ Р'.
а
Остается доказать, что из Pa(zK(P), Ра^М, следует, что
Р'а £ К (Р). Но так как Ра £ К (Р), то либо Ра s Р, либо Ра = Р'.
82
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
Во втором случае и подавно Р'а Р'. Рассмотрим первый слу-
чай: Ра^Р. Если Ра = Р, то Ра = Р', и снова Ра € (Р)» Пусть
Ра cz Р; докажем, что в этом случае Р'а^Р. В самом деле, так
как Р предположено нормальным, то либо Р«^Р, тогда все
готово, либо Р^ Р, но в последнем случае мы имели бы
Ра\Ра = (Ра\Р) U (Р\Ра), причем каждое из двух заключен-
ных в скобки слагаемых непусто; поэтому множество Ра\Ра
содержало бы по крайней мере два элемента, тогда как в дейст-
вительности оно состоит из единственного элемента ра. Итак,
случай Р^ =) Р невозможен, и лемма 2' доказана.
Переходим к доказательству леммы 2. Как уже было ска-
зано, достаточно проверить, что множество К' всех нормальных
Р^К есть цепь. Делаем эту проверку. Очевидно, пустое мно-
жество нормально.
Пусть дано любое множество нормальных Ра. Докажем, что
их сумма (J Ра также нормальна. В самом деле, пусть X—про-
се
извольное множество, являющееся элементом множества /Со. Если
каждое Ра содержится в X, то тем же свойством обладает и их
сумма; если хоть одно Ра содержит множество X, то тем более
(J Ра^Х. Нормальность множества (J Ра этим доказана.
а	а
Остается доказать, что если Ра нормально, то тем же свой-
ством обладает и множество Р'а. Но это утверждение, как мы
видели, и есть утверждение леммы 2'.
Лемма 2 доказана. Из нее следует, что, полагая для двух
каких-либо элементов Ра€К0» Рр€/<о
Ра < Рр, если Ра а: Р$,
мы превращаем множество Ко в упорядоченное множество. Дока-
жем, что упорядоченное таким образом множество Ко вполне
упорядочено. В самом деле, пустое множества является, очевидно,
первым элементом множества Ко- В силу леммы 1 остается
доказать, что при всяком сечении /С0 = ДиВ в упорядоченном
множестве Ко верхний класс В содержит первый элемент. Рас-
смотрим сумму Р всех Ра£А. Множество Р есть элемент мно-
жества Ко (по свойству в) цепи), и поэтому либо Pg Л, либо
Р£В. Если Pg Л, то, взяв какое-нибудь Ppg В, имеем Р<Рр,
значит, Р cz Рр. Поэтому Р=/=7И и преемник P' = P(JP множе-
ства Р существует. По самому определению множества Р имеем
Р' gB (так как иначе было бы Р' ^Р). Множество Р' есть
первый элемент множества В (так как если бы был элемент
Рр<Р', Ppg В, то было бы Р < Рр< Р', т. е. PczPpczP', чего
не может быть, так как Р'\Р состоит из единственного эле-
мента р). Итак, в случае PgA в В имеется первый элемент Р\
ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
83
Если же Р^В, то само Р есть первый элемент в В. В самом
деле, каков бы ни был элемент Р$£В, для любого Ра£А имеем
Ра<Р$, т. е. Ра а Р$\ значит, и сумма Р всех Ра содержится
в Р^ т. е. Р <Р&> Итак, есть вполне упорядоченное мно-
жество.
Докажем, наконец, что между множеством М и множеством
всех	Ра=^М, существует взаимно однозначное соответ-
ствие (позволяющее перенести на множество М порядок из вполне
упорядоченного множества и тем сделать множество М вполне
упорядоченным). Искомое взаимно однозначное соответствие осу-
ществляется, как мы сейчас увидим, тем, что мы каждому
Ра=/=М, ставим в соответствие его придаточный элемент
ра = f (Ра). Покажем, что определенное таким образом отображе-
ние f множества всех Ра^К^, Ра^=М, в множество М взаимно
однозначно. В самом деле, если Ра, Р$—два различных элемента
множества и, например, Ра < Рр, то это означает, что Ра а
Но тогда P'(Xt = P(XtOpa (как первый, следующий за Ра элемент
вполне упорядоченного множества Ло) может находиться с мно-
жеством Рр лишь в отношении Ра<Рр, т. е. Pa\J pas Р$. Зна-
чит, РаСРр, тогда как рр не содержится в Рр и поэтому не
может совпадать с ра. Итак, различным элементам множества
соответствуют различные элементы множества М, Остается дока-
зать, что взаимно однозначное отображение f есть отображение
на все множество М. Для этого возьмем какой-нибудь элемент
рСМ. Обозначим через Р сумму всех множеств P^tzK^ не со-
держащих элемент р (такие Ра заведомо существуют: к ним
относится, например, пустое множество, являющееся элементом
множества ЛГ0). Так как /Со—цепь, то PfzKQ. Докажем, что р
есть придаточный элемент к Р, т. е. f(P) = p. Но если бы р не
было придаточным элементом множества Р, то множество Р' гэ Р
также не содержало бы элемент р, что противоречит тому, что
Р есть сумма всех Р0€К0» не содержащих р. Итак, действи-
тельно, f(P) = p, и доказательство теоремы Цермело доведено
до конца.
Замечание 1. Наше последнее рассуждение содержит до-
казательство того, что (единственное) P£KQ> которому, в силу
отображения /, поставлен в соответствие данный элемент р £ М,
есть сумма Р = /-1(р) всех тех Ра€Ло> которые не содержат
элемент р.
Замечание 2. Единственный элемент произвола, содержащийся в только
что приведенном доказательстве теоремы Цермело, состоит в выборе для каж-
дого множества PczAf его придаточного элемента p=f(P)£M\P. После
того как этот выбор сделан, все рассуждения, приводящие к внесению в мно-
жество М полной упорядоченности, происходят совершенно автоматически и
однозначно. Таким образом, если заданное множество М таково, что мы умеем
эффективно осуществить для каждого Р cz М выбор некоторого элемента
€4
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
р € М\Р, то множество М может быть вполне упорядочено эффективным
образом. Так, например, если мы за 7И возьмем множество всех натуральных
чисел и для каждого множества Р с М определим придаточный элемент
p=f(P) как наименьшее натуральное число, не принадлежащее множеству Р,
то, применяя предыдущие рассуждения, мы и получим естественный порядок
в множестве всех натуральных чисел. Если же мы определим f(P) как то,
не принадлежащее множеству Р, натуральное число, которое состоит из
наименьшего числа простых множителей и среди чисел с данным числом мно-
жителей является наименьшим, то мы получим полное упорядочение множества
всех натуральных чисел по типу со2: сначала будут идти все простые числа
в их естественном порядке, потом все числа, состоящие из двух простых
множителей, также в их естественном порядке, и т. д.
Вообще, если нам дано какое-нибудь вполне упорядоченное множество
и мы хотим восстановить этот порядок, рассуждая, как при доказательстве
теоремы Цермело, то нам надо объявить придаточным элементом f (Р) для
любого Р (Z М первый Элемент множества М\Р (в том порядке, который
дан в множестве М с самого начала и который мы хотим восстановить).
В этом, если угодно, и заключается вся идея доказательства Цермело.
§ 6. Теоремы о кардинальных числах
Из теоремы Цермело вытекает, что всякая мощность может
быть рассматриваема как мощность некоторого вполне упорядо-
ченного множества. Это позволяет нам дополнить результаты
§ 6 гл. 1 следующим весьма существенным предложением:
Теорема 21. Всякие две мощности а и b сравнимы между
собою, т. е. либо а <Ь. либо а = Ъ. либо а>Ь. Другими словами,
любое множество мощностей является упорядоченным (по вели-
чине *)).
В самом деле, пусть А и В—два вполне упорядоченных
множества, имеющих соответственно мощности а и Ь. Тогда,
в силу теоремы И', имеются лишь три возможности:
либо А и В подобны между собою (тогда а = Ь)'.
либо А подобно некоторому отрезку множества В (тогда а Ь);
либо В подобно некоторому отрезку множества А (тогда Ь^а).
Теорема 21 этим доказана.
Теперь мощности будут называться также кардинальными
числами.
Из теоремы 21 и из следствия теоремы 18 вытекает
Следствие. Для всякой несчетной мощности т имеем
(т. е. /г; есть наименьшая несчетная мощность).
Установим теперь некоторые соотношения между мощностями и порядко-
выми числами.
Пусть дано какое-нибудь бесконечное кардинальное число т. Рассмотрим
все порядковые числа мощности т (т. е. все порядковые типы вполне упоря-
доченных множеств мощности т). Совокупность этих порядковых чисел обо-
значается через Z (т) и называется числовым классом, соответствующим мощ-
ности т.
f) Даже, как мы сейчас увидим, вполне упорядоченными (теорема 22).
$ 6J	ТЕОРЕМЫ О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ	85
В частности, Z (Ло) есть множество всех счетных трансфинитных чисел,
т. е. чисел «второго класса». Среди порядковых чисел мощности т имеется
наименьшее: оно обозначается через со (т) и называется начальным порядковым
числом мощности т.
Замечание 1. Всякое начальное число со(/п) есть предельное число:
если бы было св (/л)=а+1, то число а, будучи < со (/п), по определению
начального числа имело бы мощность тЛ < т. Но от прибавления одного
элемента мощность бесконечного множества не меняется (§ 6 гл. 1), поэтому
т — тг. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Рассмотрим множество всех начальных чисел бесконечных мощностей,
меньших чем т. Это множество вполне упорядочено. Пусть порядковое число а
есть его порядковый тип. Тогда полагаем
соа = со (m),
т. е. снабжаем каждое начальное порядковое число индексом, равным поряд-
ковому типу множества всех начальных порядковых чисел, меньших чем
данное. Так как а (как и всякое порядковое число) есть порядковый тин
множества W (а) всех порядковых чисел < а, то W (а) подобно множеству
всех начальных чисел, меньших числа ©a=to(/n), так что каждому 0 < a
соответствует top < toa. Отсюда сразу следует, что любое множество начальных
порядковых чисел подобно множеству индексов этих чисел (чем и оправдано
введение индексов). В частности, порядковое число to, являющееся первым
бесконечным порядковым числом, получает теперь обозначение <оо; обозначе-
ние toj также уже было нами введено.
Мощность начального числа toa обозначается через #а (этому общему
обозначению вполне соответствуют ранее введенные обозначения Ло для счет-
ной мощности и /fj для первой несчетной мощности). Таким образом, каждая
мощность т получает обозначение в виде некоторого Ла- Пусть нам дано
любое множество кардинальных чисел. Ставя в соответствие любому из дан-
ных кардинальных чисел m = fta индекс а, получим взаимно однозначное
отображение данного множества мощностей в множество порядковых чисел а;
при этом, если Ла < Лр, то toa < top и, следовательно, a < 0, поэтому наше
соответствие есть соответствие подобия. Отсюда и из того, что всякое мно-
жество порядковых чисел является вполне упорядоченным, следует
Теорема 22. Всякое множество мощностей является вполне упорядо-
ченным (по величине).
Замечание 2. При этом множество всех бесконечных мощностей п,
меньших данной мощное!и /п = Ла, подобно множеству W (а) всех порядковых
чисел 0 < а (или множеству всех начальных порядковых чисел top < ©а).
Мы можем определить число to(m) = toa как порядковый тип множества
всех порядковых чисел, мощность каждого из которых меньше, чем данное
кардинальное число /п=Ла- (Это вытекает из того, что порядковое число
тогда и только тогда меньше, чем данное to(/n) = toa, когда его мощность
^меньше т.)
Естественно заняться исследованием числового класса
Za. = Z (Ла),
соответствующего данной мощности т = Ла, и определить порядковый тип и
мощность этого множества. Прежде всего, очевидно, что числовой класс Za
есть множество всех порядковых чисел g, удовлетворяющих неравенствам
°a 5 < °а+1»
т. е.
Za =
G)
66
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
где для краткости положено
№а = №((0а).
Более того,
^а+1=^а+2а *)»	(2}
где справа сложение вполне упорядоченных множеств определено, как в § 2.
Далее, для любого а имеем
5 zv	(3>
v < а
(сумма берется по вполне упорядоченному множеству всех v < а).
Теорема 23. Множество Za имеет порядковый тип <oa+i и, следова-
тельно, мощность #а+1.
Эту теорему мы выведем из другой, являющейся непосредственным обобще-
нием теоремы 2 § 4 гл. 1.
Теорема 24. Пусть т—бесконечное кардинальное число. Сумма т
множеств Ма, каждое из которых имеет мощность ^т, есть множество
мощности ^т.
До того, как доказывать теорему 24, покажем, как из нее вытекает тео-
рема 23.
Прежде всего, применяя теорему 24 к случаю, когда все слагаемые, кроме
конечного числа, пусты, видим, что частным случаем теоремы 24 является
Теорема 240. Сумма конечного числа множеств, из которых каждое
имеет мощность «С т (где т—бесконечное кардинальное число), есть множе-
ство мощности ^т.
Выведем теперь из теоремы 24 следующее предложение (содержащее тео-
рему 23 как частный случай):
Теорема 23'. В множестве Wa (вообще во всяком вполне упорядоченном
множестве типа соа) хвост, отсеченный любым элементом g, имеет тип соа.
(Чтобы получить из теоремы 23' теорему 23, надо в формулировке теоре-
мы 23' заменить Wa. через И2а+1 и положить |=соа.)
Доказательство теоремы 23'. Для любого £ < ©а имеем
W« = A® + B(l),	(4)
где А (В) есть отрезок отсеченный элементом £ (т. е. множество всех
< В), а В (5) есть хвост этого элемента (т. е. множество всех £', удовлетво-
ряющих неравенствам < соа). Тип множества А (§) есть g; так как соа
есть первое число мощности Ка, то мощность а множества А (g) меньше чем /#а.
Тип множества В (£) есть порядковое число т|^(0а. Пусть г] < Из того,
что соа есть первое число мощности Ла, и из предположения -q < (оа следует,
что мощность b множества В (g) меньше чем Ла. Пусть с есть наибольшее из
кардинальных чисел а и Ь. Имеем с < /fa. Тогда из (4) и теоремы 24 выте-
кает, что мощность множества ТГа = А © + # (g) не превосходит с, т. е. < Ла>
тогда как на самом деле мощность множества Wа равна Ла.
Теорема 23' доказана (в предположении, что доказана теорема 24).
Замечание 3. Если в формулировках теорем 24, 240 предположить,
что хотя бы одно из слагаемых множеств имеет мощность т, то по теореме
Кантора—Бернштейна (§ 6 гл. 1) мощность суммы будет ^т, значит, в силу
теорем 24, 240 — равна т.
Введем теперь следующее определение. Назовем суммой (некоторого конеч-
ного или бесконечного числа) мощностей /иа мощность суммы попарно не пере-
секающихся множеств Л4а, имеющих соответственно мощности (очевидно,
результат зависит лишь от самих мощностей та, а не от того, какое именно
♦) В частности, Zo есть множество порядковых чисел второго класса,
—множество всех натуральных чисел, a — всех чисел < <о1.
$61
ТЕОРЕМЫ О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
87
множество 2Иа мощности та мы взяли). Теорема 24 и ее частный случай 24е
дают нам следующий результат:
Теорема 24'. Сумма т слагаемых, из которых каждое есть некоторое
кардинальное число < т, есть кардинальное число «С т, причем если хотя бы
одно слагаемое равно т, то и сумма есть т*). В частности, сумма конеч-
ного или счетного числа слагаемых, каждое из которых есть данное бесконеч-
ное кардинальное число т, равна т.
Переходя, наконец, к доказательству теоремы 24, заметим, что ее доста-
точно доказать в предположении, что все заданные множества Ма в числе
т = попарно не пересекаются и что каждое из них имеет мощность т =	.
Тогда множество всех множеств Ма можно упорядочить по типу <от:
М2, • • •» Ma, ...
(а пробегает все порядковые числа < gjx), и каждое множество Ма тоже
можно упорядочить по типу (от:
„ = J х„ , х„.....х„ , ... I
а at * (л^	9	J
(р пробегает все порядковые числа < со?).
Все сводится, таким образом, к доказательству следующего предложения:
Теорема 24". Множество всех пар (а, р), где а и р пробегают (неза-
висимо друг от друга) множество всех порядковых чисел *< сот (или вообще
какое-нибудь множество мощности имеет мощность
Другими словами: Произведение (см. начало § 5) двух множеств мощ-
ности Кх имеет ту же мощность Цх.
Эта теорема верна для Предположим, что теорема 24" верна для всея
бесконечных кардинальных чисел < Ях» и докажем, что тогда она верна и для
Лт ’> этим теорема 24 и будет доказана для любого fix.
Итак, рассмотрим множество Е всех пар (а, р), где а и р—всевозмож-
ные порядковые числа < сот. Назовем высотою пары (а, р) порядковое число
л = а+р. Докажем, что для любых а<(ох,р<(Ох имеем Х = а+р<(ох.
В самом деле, пусть, например, а^р; обозначим через а мощность порядко-
вого числа а, через b—мощность порядкового числа р, тогда а<Ь < tfx;
так как теорема 24" (а значит, и теорема 240) предположена верной для кар-
динального числа b < /#х, то a-\-b = b < Их» но тогда и a+Р < сох, и наше
утверждение доказано. Обозначим теперь для каждого X < сох через Е^ множе-
ство всех пар (а, р), высота которых равна Л. Так как каждая пара (а, р)
имеет высоту а + р < (дх , то
£= (J
о < X < о
X
Теперь нам понадобится
Лемма. Для каждого данного К < <&х и любого а«сХ имеется одно-ед ин-
ственное порядковое число р такое, что
ос р Ад
при этом р^Х (так как при р > X имели бы и a-f-p^p > X).
В самом деле, по самому определению сложения порядковых чисел, иско-
мое р однозначно определяется как порядковый тип хвоста, отсекаемого
в множестве IF(X-|-1) элементом а.
*) То же утверждение верно, если ни одно из слагаемых не равно нулю
(в этом случае суммй данных кардинальных чисел есть мощность суммы М
попарно не пересекающихся непустых множеств Afa, данных в числе т). Оче-
видно, мощность множества М в этих условиях ^т; с другой стороны,
в силу теоремы 24' она ^т.
88
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. $
Из леммы следует, что при заданном X каждому а«СХ однозначно соот-
ветствует элемент (а, р) множества Е\, и так как различным а, естественно,,
соответствуют различные элементы множества Е%, то существует взаимно»
однозначное соответствие между множеством Ед, и множеством всех порядко-
вых чисел а<:Х. Это соответствие позволяет перенести в множество Ед поря-
док из множества W (Х+ 1), т. е. считать Ед упорядоченным по типу X-f-1
(отсюда, в частности, следует, что для каждого X < сох множество Ед есть
непустое множество).
Упорядочим теперь все множество Е следующим образом. Если пары
£=(а, р) и £' = (а', р') имеют различные высоты Х=а+Р и ХА = аж + р',
то полагаем £ < £", если X < ХА. Если же а + р = а* + рА = Х, то сохраняем
для £ и £* в Е тот порядок, который £ и £А имели в Ед, т. е. полагаем
£ < £', если а < ай.
Отсюда сразу следует, что упорядоченное множество Е есть сумма упоря-
доченного по типу сох множества вполне упорядоченных множеств Ед и, зна-
чит, само есть вполне упорядоченное множество, тип 0 которого есть сумма
0= 2	(А-+1)-	(5>
о< д <ФТ
Докажем, что 0 = сох ; достаточно доказать, что 0 <1 сох , так как из (5>
ясно, что не может быть 0 < сох.
Предположим, что 0 > <ох. Тогда во вполне упорядоченном множестве Е
существует отсекаемый некоторым элементом Bi = ((*!, pj £Е отрезок
порядкового типа (ох. Пусть X1 = a1 + Pi- Так как Xj < (ох, то мощность с
порядкового числа Xj меньше чем tfx. Для любого элемента | = (а, р) отрез-
ка A (Bi) имеем согласно порядку, установленному в Е, неравенство
значит, и подавно а^Хь р^Хх. Так как с < tfx, то мы можем утверждать
(по теореме 24", которая предполагается доказанной для мощности
что множество всех пар (а, р), где а < Xj.-]- 1, р < Xj-j-1, имеет мощность с.
Но тогда и все множество A (Bi) имеет мощность < #х, вопреки своему
определению.
Теорема 24" и вместе с нею теоремы 24, 240, 24", 23, 23' доказаны.
Прежде чем сформулировать некоторые дальнейшие следствйя теоремы 24,
определим произведение двух кардинальных чисел а и b как мощность мно-
жества, являющегося произведением какого-либо множества А мощности а
и какого-либо множества В мощности b (результат, очевидно, не зависит от
того, какие именно множества А и В заданных мощностей мы возьмем). Из
теоремы 24 следует, что
т2 = т	(6)
(для любого бесконечного кардинального числа т). Так как для любого карди-
нального числа т и любого кардинального числа и,	имеем т2^-
пп&п, то формула (6) допускает следующее обобщение:
пт=т, если	т	(7>
В частности,	для любого а^О.
Из доказанного, далее, следует, что бесконечное кардинальное число т
не может быть представлено в виде суммы какого-либо числа а < т слагае-
мых, каждое из которых равно одному и тому же b < т (так как эта сумма,
очевидно, равна ab, а потому равна наибольшему из двух чисел а, Ь). В част-
ности, кардинальное число вида /Ca+i (т. е. индекс которого есть порядковое
число первого рода) вообще не может быть представлено как сумма меньшего
чем #a+i числа слагаемых, каждое из которых меньше чем tfa+i (так как
каждое из этих слагаемых	число их </?а, значит, сумма <:/fa=/i?a).
Однако уже кардинальное число /f® есть сумма счетного числа меньших
$ в]
ТЕОРЕМЫ О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
89
кардинальных чисел:
«о = Ко+Л1 + Л2+... + «п+..-	(« < ®).
Всякое кардинальное число т, являющееся суммой меньших чем т карди-
нальных чисел, взятых в числе < т, называется иррегулярным} таково, на-
лример, число	Только что была доказана
Теорема 25. Всякое число вида /fa+i регулярно (т. е. не может быть
представлено как сумма, число слагаемых которой меньше чем /fa+i, причем
каждое слагаемое также меньше чем Ла+i).
До сих пор неизвестно, существуют ли регулярные кардинальные числа
вида /fx, где 1—предельное порядковое число. Такие кардинальные числа
называются недостижимыми *); если они существуют, то мощность их индек-
са X (как легко видеть) должна быть равна самому кардинальному числу #
Замечание 4. Из теоремы 240, далее, следует
Те орема 26. Никакое бесконечное кардинальное число т не может быть
представлено в виде суммы конечного числа кардинальных чисел, каждое из кото-
рых меньше чем т (никакое множество данной бесконечной мощности т не
может быть представлено в виде суммы конечного числа множеств мощно-
стей < т.)
В самом деле, если кардинальные числа	ms (данные в конечном
числе) < т, то, обозначая через т' наибольшее из чисел тх,...> ms, заклю-
чаем по теореме 24О, что
тх + /и2 + • • • + ms = т’ < т-
Замечание 5. Другой формой по существу той же теоремы о регуляр-
ности кардинальных чисел вида /fa+i является следующая
Теорема 27. Сумма вполне упорядоченного множества типа < <оа+1
порядковых чисел < <oa+i есть порядковое число < coa+i-
В самом деле, пусть
V
где индекс v пробегает все порядковые числа, меньшие чем некоторое 5 < <o<x+i«
Мощность каждого слагаемого этой суммы < /fa+i, значит,	число сла-
гаемых также ^/#а, значит, вся сумма есть порядковое число мощности
<#а, т. е.
0< <0а+1.
Так же легко доказывается и следующее предложение, естественно обоб-
щающее теорему 17:
Теорема 28. Если множество порядковых чисел £v, каждое из которых
< toa+ь имеет порядковый тип 0 < ща+ь то первое порядковое число, следую-
щее за всеми порядковыми числами £v, входящими в данное множество, также
< С0а+1.
В самом деле, рассмотрим сумму £ = 2	. Каждое из наших порядковых
v
чисел во всяком случае меньше числа £+1, но по теореме 27 имеем
? < <оа+1, значит, и
5 + 1 < 0>а+1 •
Поэтому первое число, следующее за всеми (будучи заведомо не больше
чем £ + 1), также < соа+ь что и требовалось доказать.
*) Хаусдорф считал их в некотором смысле эксорбитантными по вели-
чине и бесполезными для обычных нужд теории множеств.
90
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 5
Замечание 6. Для всяких двух кардинальных чисел а, b мы в § 6
гл. 1 обозначили через аь кардинальное число, являющееся мощностью мно-
жества Дв, где А — какое-нибудь множество мощности а, В—какое-нибудь
множество мощности b и As есть множество всех отображений множества В
в множество А. Легко определить произведение любого конечного или бес-
конечного числа кардинальных чисел аа, переходящее в определение степени аь
в случае, когда все аа равны между собою. Для этого определим произведе-
ние С данного множества В множеств Да.
с=П
да€ В
или просто С~ JJ Да. Именно, элементами множества С являются, по ©пре-
сс
делению, всевозможные отображения / множества В (элементами которого яв-
ляются данные множества Да) в множество Д = U Да, удовлетворяющие уже
а
знакомому нам условию f (Аа)£Аа. Если все множества Аа попарно не пе-
ресекаются (случай, к которому легко сводится и общий случай), то элементы
множества С могут быть определены как всевозможные подмножества множе-
ства U Да, пересекающиеся с каждым из множеств Аа по данному элементу.
а
Если нам дано какое-нибудь множество кардинальных чисел аа, то, беря для
каждого из этих кардинальных чисел аа множество Да мощности аа, опреде-
лим произведение заданных кардинальных чисел как мощность произведения
множеств Да (их можно предположить непересекающимися).
В случае, если все Да имеют ту же мощность а, а множество всех Да имеет
мощность Ь, получаем степень аь. Чтобы убедиться в том, что это определение
степени совпадает с данным в § 6 гл. 1, берем множество В (мощности ^эле-
ментами которого являются все множества Да и только они; так как все мно-
жества Да имеют одну и ту же мощность а, то можно взять одно множество А
той же мощности а, находящееся во вполне определенном взаимно однозначном
соответствии с каждым из множеств Да; это позволяет рассматривать отобра-
жение, ставящее в соответствие каждому элементу Да множества В какой-либо
элемент ха £Аа, как отображение множества В в А и, обратно, любое отобра-
жение В в А—как выбор по элементу ха в каждом Да. Отсюда и следует
тождественность обоих определений степени.
Читатель легко докажет следующее свойство общего умножения мощностей:
если в данном произведении кардинальных чисел заменить некоторые множи-
тели большими кардинальными числами или присоединить новые множители,
отличные от нуля, то произведение может только увеличиться (но может,
остаться и неизменным) *).
Легко проверяется также равенство
=
А именно, берем два непересекающихся множества Вх и В2 мощностей Ьх и Ь2,
а также множество А мощности а\ каждое отображение множества B =
в А однозначно определяет пару отображений: множества Вг и множества В2в
Д, и обратно, каждая такая пара определяет отображение В в Д. Аналогична
*) Доказать эту теорему можно автоматически, отправляясь от определе-
ния неравенства мощностей в главе 1. Заметим, однако, что, например, из а < Ь,
d < ц, вообще говоря, не следует неравенство а? < № (а только аР*^№).

ТЕОРЕМЫ О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
91
доказывается и для любого числа слагаемых формула
ZN ту ьа
а = Ц> .
а
Если все Ьа равны одному и тому же кардинальному числу Ь, а число их равно
г, то получаем формулу
аЬс== (аъ)с.
Замечание 7. Читателю предоставляется проверить, что в случае ко-
нечных кардинальных чисел наши определения действий сложения, умножения,
возведения в степень переходят в обычные определения элементарной арифметики.
Воспользуемся выведенными правилами для некоторых интересных под-
счетов. Прежде всего, из теоремы 24 имеем
На — Ла
для любого бесконечного кардинального числа Ла. Отсюда по индукции по-
лучаем для любого натурального п
Ла = Ла»
Мощность Л о® есть мощность множества всех бесконечных последовательностей
натуральных чисел. Легко непосредственно убедиться в том, что она равна
мощности континуума с=2^®, например, устанавливая взаимно однозначное
соответствие между множеством всех последовательностей (пр п2>	...)
натуральных чисел и множеством всех иррациональных чисел интервала (0; 1)»
данных их разложениями в бесконечную непрерывную дробь
1
Однако имеются читатели, не знакомые с непрерывными дробями; таковые
могут вывести формулу
= с	(«)
из соотношений
£ = 2*»</ф<с*»
И
с^®=с.	(9)
Последнее соотношение доказывается так:
__2^® ^®__2^®.
Далее, имеем
для любого натурального и, т. е. пь,,® = с.
Далее,
Л0! = Ь2-3-...-/г...=с;	(10)
в самом деле,
С=2»» = I-2-2.... <1-2-3-4... <#*• = £.
$2
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
Так как Я1 есть наименьшая из несчетных мощностей, то (что мы до-
казали в § 4 и непосредственно, построив множество действительных чисел,
имеющее мощность Я^), Вопрос о том, имеет ли место равенст-
во с = Лг или неравенство с > Л1» составляет знаменитую»
к онтинуум-проблему, решенную в настоящее время, но в смысле, да-
леком от так называемой «наивной» теории множеств (см. Йех [1]).
Из
с=28»	с8» = с
следует, что
Л?«=с.	(11)
Докажем, с другой стороны, формулу
и даже, для любого Яа < ftp, гораздо более общую формулу
JfKp =28» > «р > На.
Именно, из
2 < На < 28“<28|}
выводим
2	a) 3=2 a P,
что и требовалось доказать.
§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа.
О наименьшем начальном числе, которому конфинален
данный порядковый тип
Порядковое число называется регулярным, если оно не конфинально ника-
кому меньшему порядковому числу. Из конечных порядковых чисел регуляр-
ными являются лишь 0 и 1. Мы увидим далее (теорема 30), что всякое беско-
нечное регулярное число есть начальное число. Однако прежде всего докажем
следующее предложение:
Теорема 29. Для того чтобы начальное число сот было регулярным*
необходимо и достаточно, чтобы его мощность была регулярной.
Доказательство. 1°. Если Ял — иррегулярная мощность, то и сот —
иррегулярное порядковое число. В самом деле, так как мощность , по
предположению, иррегулярна, то она может быть представлена как сумма не-
которого числа b < слагаемых Яа, каждое из которых < Ял. Сумма тек
из этих слагаемых, которые не превосходят Ь, по теореме 24 и сама не пре-
восходит b (ведь число этих слагаемых и подавно ^Ь), Если бы сумма осталь-
ных слагаемых (т. е. тех #а, которые > Ь) была равна некоторому с < то»
сумма всех Яа была бы ^Ь-\-с, т. е. была бы равна наибольшему из чисел.
b и с и, значит, была бы, вопреки предположению, <Ял- Итак, число Ял мо-
жет быть представлено как сумма некоторого числа а < Ял слагаемых, каждое-
из которых < Ял > но > а, В этих предположениях каждое слагаемое фигу-
рирует в нашей сумме число раз, заведомо меньшее, чем само это слагаемое.
Поэтому каждая группа участвующих в нашей сумме равных слагаемых имеет
сумму, равную самому этому слагаемому, так что мы не изменим нашу сумму
Ял > «ели каждое из ее слагаемых будем считать лишь один раз. Итак, можем
S7J
РЕГУЛЯРНЫЕ 1РАНСФИНИ 1НЫЕ ЧИСЛА
93
написать
<1>
а
где порядковое число а пробегает некоторое множество 9 значений, мощность
которого а < и, значит, порядковый тип 0 которого <о>х; при этом а мо-
жет быть предположено меньше любого
Рассмотрим подмножество 0й множества WTt состоящее из всех ©а, для
которых а £0. Множество 0й подобно множеству 0. Докажем, что Wx кон-
финально своему подмножеству 0й; этим и будет доказано, что число сот кон-
финально числу 0 < сот и, следовательно, иррегулярно. Так как fa иррегу-
лярно, то число т (в силу теоремы 25) является предельным. Отсюда следует,
что за всяким числом £ < сот следует начальное число соа < сот: в самом деле,,
если бы за числом £ < со?, мощность которого обозначим через , не следо-
вало бы никакого начального числа, то среди всех кардинальных чисел < fa чи-
сло было бы наибольшим, т. е. былобыт = у-(-1, тогда как т—предельное
число *).
Пусть множество не конфинально своему подмножеству 0й. Тогда су-
ществует число £ < сот, большее чем все соа£0, причем число | может быть,
предположено начальным, £ = соа < сот. Но тогда все слагаемые в правой части
равенства (1) были бы меньше чем /f<j, а так как число их меньше чем каждое
из этих слагаемых, значит, и подавно меньше чем /f<j, то вся сумма в правой
части равенства (1) была бы ^fa<fa. Полученное противоречие доказывает
конфинальность числа <от числу 0 < сох .
2°. Пусть сот иррегулярно и конфинально числу 0 < сот. Так как сот —
начальное число, то 0 имеет мощность b < #т. Множество конфинально
некоторому своему подмножеству 0 типа 0 < сох и мощности <	. Огсюда
следует, что
= U Л (а).
а € 6
Но каждое W (а) имеет мощность < fa > а число этих множеств есть b < fa.
Поэтому иррегулярно. Теорема 29 доказана.
Основным результатом настоящего параграфа является
Теорема 30 (Хаусдорф). Всякое упорядоченное множество А мощности-
fa конфинально некоторому своему вполне упорядоченному подмножеству **}
типа g <: сот.
Прежде чем доказывать эту теорему, сделаем относительно нее некоторые
замечания и выведем из нее некоторые следствия, которые позволяют оценить
ее важность.
Прежде всего, уже было отмечено (в § 4), что упорядоченное множество А
тогда и только тогда конфинально подмножеству, состоящему из одного лишь
элемента, когда в А есть последний элемент.
Рассмотрим далее наиболее важный случай, когда А есть вполне упо-
рядоченное подмножество, тип которого обозначим через 0. Так как мощность А
обозначена через fa, то 0 сох • Теорема 30 утверждает, что число 0 конфи-
*) Заметим, что если g < соа < сот, то и co<j+i < (так как иначе было»
бы т==о+1). Итак, для иррегулярного сот (и даже для всякого сот с предель-
ным индексом т) за каждым g < сот следует начальное число вида g><j+i < сот.
Это замечание нам понадобится при доказательстве теоремы 31.
**) Напоминаем, что всякое подмножество А* упорядоченного множества А
всегда рассматривается нами как упорядоченное множество, причем порядок,
между элементами множества Лй остается тем самым, который эти элементы
имеют в А.
94 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 3
нально некоторому £ «С . Поэтому, если 0 >	, т. е. если 0 не есть начальное
число, то оно конфинально числу£ < 0, т. е. не является регулярным. Итак, и э
теоремы 30 следует, что всякое бесконечное регулярное порядковое число есть не-
пременно начальное число. Это позволяет нам сформулировать доказанную нами
теорему 29 так:
Теорема 29*. Регулярные порядковые числа суть не что иное, как на-
чальные числа регулярных мощностей.
Теперь мы можем несколько усилить и самое теорему 30. Прежде всего,
мы можем ее формулировать так:
Всякий порядковый тип 0 мощности Кт конфинален некоторому порядко-
вому числу £ Сдт .
Беря для данного порядкового типа 0 наименьшее конфинальное ему по-
рядковое число 6, видим, что 5 есть регулярное, следовательно, начальное
число	(так как если бы наше наименьшее 5 не было регулярным,
то оно было бы конфинально некоторому < 5 и этому g* было бы конфи-
нально и 0).
Итак:
Теорема 30'. Ко всякому порядковому типу 0 мощности Кт, в част-
ности ко всякому порядковому числу 0 класса Zx, существует конфинальное
ему наименьшее регулярное соа^(от, причем порядковое число 0 тогда и только
тогда конфинально 1, когда оно первого рода.
Эта теорема является, очевидно, далеко идущим обобщением теоремы 19'§4.
Выведем из теоремы 30 еще одно следствие, касающееся иррегулярных
мощностей. Если Кт иррегулярно, то множество Wx конфинально некоторому
подмножеству 0' типа £ <	. Оставляя в 0' все элементы вида а = (Op+i (если
таковые имеются) и заменяя каждый элемент а, не имеющий этого вида, бли-
жайшим следующим за ним числом вида cop+i (такое имеется, см. сноску на
стр. 93), можем предположить, что 0' состоит из начальных чисел вида
Множество тех порядковых чисел р, для которых сор+1^0', обозначим через
0, причем предполагаем, что порядковый тип | множества 0 есть наименьший
возможный и, следовательно, есть регулярное число < сот. Так как, оче-
видно, «г = £ «р+1. то имеем такой результат:
ре е
Теорема 31. Ко всякому (бесконечному) иррегулярному кардинальному
числу Кт существует такое наименьшее регулярное кардинальное числа
Ко < Кт, что !Лт является суммой вполне упорядоченного по регулярному
типу (Оа множества строго возрастающих кардинальных чисел вида Kp+i < /Ст*
Переходим, наконец, к доказательству теоремы 30.
Пусть А есть упорядоченное множество мощности Кт • Всякое множество
мощности Кт > а значит, и наше множество А может быть поставлено во взаимно
однозначное соответствие с множеством . Это означает, что элементы мно-
жества А могут быть снабжены порядковыми числами а < сот в качестве ин-
дексов, так что получится вполне упорядоченное множество В типа (дт
B = {xlr хг, .... ха, ...}
(а пробегает все значения < сот), состоящее из тех же элементов, что и А*
причем порядок в В, вообще говоря, совершенно отличается от порядка в А
(т. е. при а < р может быть и ха^-х^ в А). Назовем теперь элемент х =
множества А правильным, если для всех у < а имеем xv < ха в А. Элемент хв
есть правильный элемент. Таким образом, множество С всех правильных эле-
ментов заведомо непусто. Кроме того, порядок в множестве С, как в подмно-
жестве упорядоченного множества А, совпадает с порядком, который это мно-
жество получает из вполне упорядоченного множества В (т. е. с порядком
индексов, которыми снабжены элементы множества С): если Ха£С, х$£С и
а < р, то, по самому определению правильного элемента, имеем	в 4.
Таким образом, упорядоченное множество С является подмножеством упоря-
§7]	РЕГУЛЯРНЫЕ ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА	95
доченного множества А и вместе с тем—подмножеством (вполне) упорядочен-
ного множества В. Будучи подмножеством вполне упорядоченного множества В»
имеющего тип <от, множество С само является вполне упорядоченным по типу
Остается доказать, что упорядоченное множество А конфинально своему
вполне упорядоченному подмножеству С. Предположим противное, и пусть
элемент ха в А есть элемент с наименьшим индексом а, следующий в А за
всеми элементами С. Утверждается, что для любого v < а имеем Ху-^ха в А:
в самом деле, в противном случае для некоторого v < а было бы xv>-xcc, и>
значит, уже xv с меньшим индексом v < а следовал бы за всеми элементами
множества С.
Итак, действительно, Ху-£ха для всех v < а. Но это означает, что Ха —
правильный элемент, т. е., вопреки своему определению, ха есть элемент мно-
жества С. Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание. Доказательство теоремы 30 сводится к установлению сле-
дующего, хотя и простого, но все же поучительного факта: каким бы способом
мы ни превращали, данное упорядоченное множество А мощности во вполне
упорядоченное множество В типа сот, при всем имеющемся, вообще говоря,
различии между порядками в А и в В упорядоченное множество А содержит-
конфинальную часть С, для элементов которой порядок, взятый из А, совпа-
дает с порядком, взятым из В.
Глава четвертая
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1.	Определения и простейшие свойства
метрических и топологических пространств
Ввести в какое-либо множество X, состоящее из элементов
произвольной природы, метрику—значит определить для любой
пары элементов х, х' множества X неотрицательное число р(х, х')
так, чтобы соблюдались следующие условия:
1.	Число р(х, х') равно нулю тогда и только тогда, когда х
и х' тождественны между собою, т. е. обозначают один и тот же
элемент множества X.
2.	р(х, х') = р(х', х).
3.	Каковы бы ни были три элемента х, х', х" множества X,
всегда р (х, х') + р (х', х") р (х, х").
Множество X вместе с какой-нибудь введенной в него метри-
кой называется метрическим пространством, элементы множе-
ства X называются точками, а сама функция р (х, х") от двух
переменных точек называется метрикой полученного метрического
пространства, обозначаемого через (X, р), а часто для краткости
и просто через X.
Очевидно, если метрика введена в данное множество X, то
введена она во всякое подмножество Xucz X (как ограничение
функции р). Другими словами, всякое множество, лежащее в ме-
трическом пространстве, также является (вполне определенным)
метрическим пространством.
Если верхняя грань множества всех чисел р(х, х')> когда х, х'
пробегают все точки подмножества М пространства X, есть ко-
нечное число d, то множество М называется ограниченным,
.а число d называется его диаметром. В частности, в этом опре-
делении под множеством М можно понимать и все пространство X.
Расстоянием между двумя множествами М и N в метрическом
пространстве X называется неотрицательное число
р(М, N) = inf р (х, у),	(1)
где х и у—произвольные точки соответственно из М и N.
$ 1]
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
97
Если множества М и N имеют непустое пересечение, то
р(М, У) = 0 (так как в формуле (1) можно взять х = у^М (]N).
Однако может быть р (М, N) = 0 и при непересекающихся Л1 и Af:
достаточно взять в качестве пространства X числовую прямую
и на ней определить М как интервал (0; 1), a N—как интервал
(1; 2); можно было бы также взять за ^множество всех рациональ-
ных, а за М—множество всех иррациональных точек прямой.
В частности, если одно из двух множеств, например У, состоит
лишь из одной точки а, то получаем расстояние р (а, М) от точки а
до множества М, определенное формулой
р (а, М) = inf р (а, х),
где х пробегает все М.
Если 8—какое-либо положйтельное число, а х—какая-либо
фиксированная точка метрического пространства X, то множество
всех точек х', для которых р (х, х') < 8, называется сферической
окрестностью с центром х и радиусом 8 и обозначается через О (х, в).
Аналогично определяется сферическая радиуса 8 окрестность
О(М, 8) подмножества М пространства X. Эго множество всех
таких точек xgX, что р(х, М) . Читатель может доказать,
что сферическая окрестность О (Л4, 8) множества М является
объединением сферических окрестностей радиуса & всех точек
множества М.
Равенство р (х, М) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда
любая сферическая окрестность точки х имеет непустое пересе-
чение с множеством М. В этом случае точка х называется точкой
прикосновения множества М. Очевидно, каждая точка самого мно-
жества М является его точкой прикосновения, но обратное утверж-
дение может и не иметь места: так, например, если М есть откры-
тый интервал числовой прямой с обычным определением расстоя-
ния на ней, то концы интервала, не принадлежа ему, являются
тем не менее его точками прикосновения.
Множество всех точек прикосновения данного множества М
в данном метрическом пространстве X называется замыканием
множества М в пространстве X и обозначается через [Af], Из ска-
занного следует, что всегда М [Л4]. Множество М называется
замкнутым в метрическом пространстве X, если каждая точка
прикосновения множества М есть точка этого множества Л1, т. е.
если [Л4] = М. Читатель без труда может доказать, что диаметр
замыкания [Л4] любого множества М равен диаметру самого мно-
жества М.
Точка х множества М называется внутренней точкой мно-
жества М9 если некоторая ее сферическая окрестность О(х, 8)
^содержится в множестве М. Множество М называется открытым,
«если все его точки суть внутренние.
98
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 4
Непосредственным следствием этих определений является, как
легко проверит читатель, следующее утверждение: множества
Х\М, дополнительное к замкнутому множеству М метрического
пространства X, есть открытое множество этого пространства*
а множество, дополнительное к открытому множеству, замк-
нуто.
Из определения открытого множества как множества, все точки
которого суть внутренние, сразу вытекает, что объединение лю-
бой совокупности открытых множеств данного метрического про-
странства есть открытое множество этого пространства. С другой
стороны, пересечение двух, а следовательно, любого конечного
числа открытых множеств есть открытое множество. В самом
деле, пусть 1\ и Г2—открытые множества метрического простран-
ства X. Докажем, что множество Г^ПГг открыто, т. е. что любая
точка х£Г1ПГ2 есть внутренняя точка множества Г1ПГ2. Так
как точка х есть внутренняя точка каждого из множеств Гх и Г2>
то существуют сферические окрестности О (х, и О(х, £2)ьГ2.
Пусть 8—наименьшее из чисел 8П в2. Тогда О(х, е)^ ГХГ|Г2>
что и требовалось доказать.
Семейство ® всех открытых множеств метрического простран-
ства X называется открытой, а семейство § всех замкнутых
множеств—замкнутой топологией метрического пространства X.
Очевидно, множество всех точек X, равно как и пустое мно-
жество, являются элементами как семейства @, так и семейства
Теперь читатель уже подготовлен для восприятия следующего
фундаментального определения:
Ввести в какое-либо множество X окрытую топологию—значит
выделить некоторое семейство ® подмножеств множества X таким
образом, чтобы выполнялись следующие условия:
I®. Все множество X, а также пустое множество А суть эле-
менты семейства ®.
II®. Объединение любого числа и пересечение конечного числа:
множеств, являющихся элементами семейства ®, суть элементы
семейства ®.
Множество X с введенной в него открытой топологией ® на-
зывается топологическим пространством (X, ®), элементы самого
множества X называются точками пространства (X, ®), а мно-
жества, являющиеся элементами семейства называются откры-
тыми множествами пространства (X, @).
Множества F = X\G, дополнительные к множествам G семей-
ства ®, называются замкнутыми множествами пространства (X, ®)~
Семейство замкнутых множеств называется замкнутой топо-
логией пространства (X, @). Семейство очевидно, удовлетворяет
следующим условиям:
1$. Все множество X и пустое множество суть элементы се-
мейства
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
99
s 1]
11$. Пересечение любого числа и объединение конечного числа
множеств, входящих в семейство являются элементами этого
семейства.
Вместо того чтобы начинать с введения открытой топологии
в множество X и затем определять замкнутые множества ‘ как
дополнения к открытым, можно было сначала ввести в множество X
замкнутую топологию, т. е. выделить некоторое семейство %
подмножеств множества X, удовлетворяющее условиям и Щ,
назвать эти множества замкнутыми в топологическом пространстве
[X, $], а множества, дополнительные к замкнутым, назвать откры-
тыми; тогда семейство @ так определенных открытых множеств
удовлетворяет условиям I®, II®, т. е. образует открытую топо-
логию топологического пространства (X, @) = [Х, ^]. Вместо
(X, ®) и [X, будем в большинстве случаев говорить просто
о топологическом пространстве X. Таким образом, открытая то-
пология ® в каком-либо множестве X однозначно определяет
сопряженную замкнутую, и наоборот. Обе эти топологии вместе —
открытая ® и замкнутая %—образуют топологическую структуру
2	топологического пространства {X, $} = (X, ®) = [X, $].
Причем, очевидно, все равно, начинать ли определение этой
структуры с введения открытой топологии и потом переходом
к дополнительным множествам определять замкнутую топологию
или начинать с замкнутой топологии и определять открытую,
переходя к дополнительным множествам.
Мы видели, что метрика каждого метрического пространства
порождает в множестве всех его точек некоторую топологию,
т. е. превращает данное метрическое пространство в некоторое
определенное топологическое пространство. Короче, каждое мет-
рическое пространство некоторым естественным образом является
и топологическим, Обратно, если топология данного топологи-
ческого пространства может быть порождена некоторой введенной
в множество его точек метрикой, то данное топологическое про-
странство называется метризуемым.
Топология (открытая, соответственно замкнутая) топологиче-
ского пространства X следующим образом порождает топологию
во всяком множестве Х0^Х: подмножество М множества Хо
называется открытым, соответственно замкнутым, в Хо, если оно
является пересечением множества Хо с некоторым открытым,
соответственно замкнутым, множеством пространства X. Таким
образом, всякое множество Хо, лежащее в топологическом про-
странстве X, также является однозначно определенным топо-
логическим пространством. Когда говорят о подпространствах
данного пространства, то имеют в виду именно только что вве-
денное соглашение.
Определе ние 1. Любое открытое множество топологи-
ческого пространства X, содержащее данную точку х, соответст-
100
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ. 4
венно данное множество М, называется окрестностью точки хг
соответственно данного множества Л4, в пространстве X.
Окрестность точки х (множества Л4), как правило, обозна-
чается через Ох (соответственно через ОМ), в случае надобности^
кроме того, через Ux, Vx и т. д.
Естественно вводится
Определение 2. Точка х называется точкой прикосновения,
множества МссХ, если каждая окрестность Ох точки х содержит
по крайней мере одну точку множества М, т. е. если М П Ох=#Л.
Множество всех точек прикосновения множества М в топологи-
ческом пространстве X называется замыканием множества М
в пространстве X и обозначается через или просто через [Л4]-
Так как любая окрестность произвольной точки содержит эту
точку, то каждая точка множества М есть точка прикосновения
множества М, т. е.
М<=[Л1].	(2)
Установим некоторые дальнейшие свойства операции замыка-
ния. Прежде всего, очевидно, что [Х] = Х и [Л]=Л. Очевидно
также, что если множество М содержится в множестве N, то
[Л1] [ЛГ] (свойство «монотонности» замыкания).
Теорема 1. Множество М тогда и только тогда замкнуто
(т. е. является дополнением к некоторому открытому множеству) г
когда [Л4]= М.
В самом деле, пусть М замкнуто в X. Тогда Х\М открыто
и является окрестностью каждой своей точки. Значит, каждая
точка х£ Х\М имеет окрестность (например, окрестность X\Af)F
не пересекающуюся с М; следовательно, ни одна точка х£Х\М
не входит в [М], т. е. [М]^М. А так как, с другой стороны,.
М [Л1], то [М] = М.
Пусть, наоборот, дано, что [М] = М. Докажем, что М за-
мкнуто в X, т. е. что Х\М открыто в X. Действительно, из
условия [М] = М следует, что каждая точка х^Х\М имеет
окрестность Ux, не пересекающуюся с М, т. е. лежащую в Х\М.
Множество Х\М, как сумма окрестностей Ux^ Х\М своих:
точек х, открыто, что и требовалось доказать.
Из включения (2) следует, что для любого М X имеем
[Л4]^[[Л4]]. Докажем обратное включение [[М]] [Л1]; этим
будет доказано, что
[[М]]=[М].	(3>
т. е. что замыкание любого множества М^Х замкнуто.
Пусть х ё [[Л4]]. Возьмем произвольную окрестность Ux точки х~
Она содержит хотя бы одну точку */ё[7И], а являясь окрест-
ностью этой точки у£[М] по определению [М], содержит и точки
множества М. Итак, произвольная окрестность Ux точки х пере-
§ 1]
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
101
секается с М, т. е. х £ [А1]. Включение [[Л1]]	[М], а значит,
и равенство (3) этим доказаны.
Теорема 2. Пересечение всех замкнутых множеств простран-
ства X, содержащих данное множество М, есть [Л4] (т. е. замы-
кание любого множества М есть наименьшее замкнутое множество,
содержащее множество М *); если F—какое-нибудь замкнутое
множество, содержащее множество М, то F з [2И]).
Доказательство. Так как [Л4] замкнуто и содержит М,
то пересечение всех замкнутых множеств, содержащих М, содер-
жится в [Л4]. Для доказательства обратного включения надо
только показать, что [Л4] содержится в любом замкнутом F
(тогда [Л1] будет содержаться и в пересечении всех этих F).
Но если дано замкнутое F з М, то (в силу монотонности замы?
кания) F = [F] з[Л4], что и требовалось доказать.
Докажем, наконец, что для любых: ДзХ, ВзХ
[Л и В] = [Л] и [в].
Так как ЛеЛкВ, В^ЛиВ, то из монотонности замыкания
следует, что [Л] s [Л U В], [В] = [Л U В], значит, [Л] U [В] S
= [Л U В]. Для доказательства обратного включения вспомним,
что [Л] и [В], а значит, и [Л] U [В] замкнуты, а потому по тео-
реме 2 имеем [Л и В] s [Л] U [В].
Следующие из только что установленных свойств операции
замыкания (по причинам, которые сейчас же выяснятся) назы-
ваются основными свойствами или аксиомами замыкания:
Г. [Л U В] = [Л] U [В] (дистрибутивность по отношению к ко-
нечному сложению);
2°. Л<=[Л];
3°. [М]] = [Л];
4°. [А]=Л.
Мы определили топологическое пространство при помощи
аксиом, налагаемых на открытые или на замкнутые множества.
Можно было бы избрать другой путь—отправляться от понятия
замыкания и рассматривать условия 1°—4° как аксиомы, которым
подчиняется это понятие. Тогда замкнутые множества определи-
лись бы как множества, совпадающие со своими замыканиями,,
а открытые—как множества, дополнительные к замкнутым. При
этом легко было бы доказать (и это предоставляется читателю
сделать), что открытые множества удовлетворяют условиям
I®, II®, а замкнутые множества удовлетворяют условиям 1§ и Щ
и приводят посредством определений 1 и 2 к тем же замыканиям,
которые даны a priori. Таким образом, все эти подходы приво-
дят к тому же классу топологических пространств.
*) Замкнутые множества, содержащие 2И, несомненно существуют: напри-
мер, все X.
102
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Замечание I. Исторически первым подходом к понятию
общего топологического пространства, оказавшемуся эквивалент-
ным общепринятому в настоящее время понятию, положенному
в основу нашего изложения, был именно подход, при котором
исходным основным понятием является понятие замыкания мно-
жества. Зтот подход принадлежит польскому математику Кура-
товскому (1922 г.), который при этом сформулировал и основные
аксиомы, которым понятие замыкания удовлетворяет. Поэтому
сформулированные выше аксиомы замыкания называются аксио-
мами Куратовского и их автору принадлежит бесспорный при-
оритет введения современного общего понятия топологического
пространства. Что же касается определения топологического
пространства посредством открытой топологии, то оно впервые
(1925 г.) встречается в работе Александрова [2].
Мы видели выше, что всякое метрическое пространство может
быть рассматриваемо как топологическое пространство. Другой
весьма важный пример топологических пространств получим, если
рассмотрим какое-либо линейно упорядоченное множество X
и определим открытые множества в X как множества, являю-
щиеся суммами порядковых интервалов, взятых в любом числе.
Нетрудно проверить, что это определение открытых множеств
превращает упорядоченное множество X в топологическое
пространство —«пространство данного упорядоченного множест-
ва»,—обозначаемое также через X. Если М есть произвольное
множество, лежащее в X, то точка а£Х тогда и только тогда
является точкой прикосновения множества М9 когда каждый
интервал, содержащий точку а, содержит и точки множества М.
Числовая прямая, т. е. множество всех действительных чисел,
может рассматриваться и как (линейно) упорядоченное множество
и как метрическое пространство (читатель может легко проверить,
что определенное в § 2 гл. 2 расстояние между точками числовой
прямой удовлетворяет аксиомам метрики), причем оба эти подхода
приводят к одной и той же топологии на числовой прямой, т. е.
к одному и тому же топологическому пространству, которое будем
обозначать через Z?1 и называть числовой прямой (топологической).
Замечание 2. Из общего определения топологического
пространства не следует, что множество, состоящее из конечного
числа точек, непременно замкнуто. Возьмем, например, мно-
жество §г, состоящее лишь из двух элементов а и Ь, и объявим
открытыми множествами топологического пространства все мно-
жество пустое множество и множество, состоящее из одной
точки Ъ. Обе аксиомы I и II выполнены, так что % есть топо-
логическое пространство. Замкнутыми множествами в являются
все пустое множество и множество, состоящее из одной точки а.
Множество, состоящее из точки &, замкнутым не является. Заме-
тим, что у точки а имеется лишь одна окрестность, именно все
§ 1J	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	ЮЗ
пространство Замыкание множества, состоящего из точки Ь,
также есть все пространство Это пространство называется
«связным двоеточием»*).
Другой пример конечного топологического пространства получим, взяв
множество X, состоящее из семи «точек»:
а, Ь, с; а, р, у; А,
и приняв, что открытыми множествами являются: пустое множество, а также
следующие множества и всевозможные их суммы:
(а, Ь, с, А), (р, а, с, А), (у, а, Ь, А),
(а, А), (Ь, А), (с, А),
(А).
Легко проверить, что среди «одноточечных» множеств (т. е. множеств состоя-
щих из одной точки) замкнуты лишь а, р, у. Замыканием множества, состоя-
щего из точки а, является (а, р, у) и т. д. Замыканием множества, срсто-
ящего из точки А, является все пространство X. Если считать, что А есть
треугольник с вершинами i р, у и соответственно противолежащими им
сторонами а, Ь9 с, то топология, введенная в пространстве X, приобретает
простой элементарно-геометрический смысл. Имея это в виду, легко построить
пространство, состоящее из девяти точек, соответствующее тетраэдру со всеми
его гранями, ребрами и вершинами, и т. д.
Определение 3. Точка х топологического пространства
X называется предельной точкой множества М^Х, если каж-
дая окрестность точки х содержит бесконечно много точек мно-
жества М. Точка х называется изолированной в X, если мно-
жество, состоящее из одной точки, открыто в X.
Замечание 3. Приведенные в замечании 2 примеры пока-
зывают, что в топологических пространствах может иметь место
следующее явление: каждая окрестность точки х содержит от-
личные от точки х точки конечного множества М; поэтому
точка х топологического пространства X, не являющаяся пре-
дельной точкой для множества всех точек пространства X, может
в то же время не быть изолированной точкой этого простран-
ства (такова, например, одна из двух точек связного двоеточия).
*) Простейшим топологическим пространством, состоящим из двух точек
а и Ь, является «простое двоеточие» D, в котором все четыре содержащихся
в нем множества: A, a, b, аЦЬ—являются, по определению, открытыми
(а следовательно, и замкнутыми). Это топологическое пространство может
быть определено и как метрическое пространство, в котором р (а, Ь) равно,
например, 1 (или какому-нибудь другому положительному числу).
Кроме простого и связного двоеточий, из двух точек а и b можно построить
еще лишь одно топологическое пространство, а именно так называемое «слип-
шееся двоеточие», в котором открытыми множествами являются лишь все
пространство и пустое множество. Однако это пространство (в отличие от
очень важных, при всей их простоте, пространств § и D) никаких применений
не находит (что связано с тем, что открытые множества слипшегося двоеточия
находятся во взаимно однозначном соответствии с открытыми множествами
пространства, состоящего из одной точки).
104
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Естественно сказать, что в топологическом пространстве последователь-
ность точек xlf х2, .хп, ... сходится к точке х, если любая окрестность
точки х содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой.
Частным случаем сходящихся последовательностей являются последователь-
ности стационарные, для которых, начиная с некоторого п, имеем хп =
= хп+1= ... Понятие сходимости имеет в теории топологических пространств
значительно меньшее значение, чем в теории метрических пространств: может
случиться, что точка х топологического пространства X является предельной
точкой множества М^Х и в то же время в М нет никакой последователь-
ности, сходящейся к точке х. Пусть, например, X есть множество всех дей-
ствительных чисел. Назовем открытым в X всякое множество, получающееся
вычитанием любого не более чем счетного множества точек из какого-либо
множества точек, открытого на числовой прямой. Легко видеть, что
в X никакое счетное множество не имеет предельной точки и что для несчет-
ного множества М предельные точки в пространстве X совпадают с точками
конденсации множества М на числовой прямой. При этом точка х топологи-
ческого пространства называется точкой конденсации какого-либо несчетного
множества М, лежащего в этом пространстве, если каждая окрестность точки х
содержит несчетное подмножество точек множества М. Сходящимися в про-
странстве X являются лишь стационарные последовательности. Поэтому, если
точка х есть не принадлежащая множеству М предельная точка этого мно-
жества, то не существует никакой последовательности точек множества М,
сходящейся к точке х.
Тем не менее во многих важных случаях понятие сходимости представ-
ляет интерес и в теории топологических пространств; мы вернемся к этому
вопросу ниже (§ 4); сейчас отметим только, что рассматривая вполне упоря-
доченное множество W ((Di) всех порядковых чисел первого и второго классов
как топологическое пространство, мы замечаем, что сходимость в этом про-
странстве есть не что иное, как сходимость счетной последовательности
порядковых чисел а„ к предельному числу X=lima„, определенная нами
л
в § 4 гл. 3. В связи с этим можно отметить, что трансфинитные числа вто-
рого рода (предельные трансфинитные числа) и только они являются пре-
дельными точками пространства W (©x).
Точка х множества М называется внутренней точкой этого
множества, если существует окрестность точки х, содержащаяся
в множестве М. Совокупность всех внутренних точек множе-
ства М называется открытым ядром множества М и обозна-
чается через <Л4>. Легко проверяется следующее утверждение:
если А и В—взаимно дополнительные множества топологиче-
ского пространства, т. е. В = Х\Д (значит, Л = Х\В), то
Х\[Д] = <В>	(4)
и
Х\<В> = [Д].	(5)
Легко доказывается также, что открытое ядро всякого множе-
ства М есть сумма всех содержащихся в М открытых множеств
(или наибольшее) открытое множество, содержащееся в множе-
стве М. Имеют место следующие соотношения:
t=l, 2
§1]	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	Ю5
Эти соотношения выражают основные свойства открытого ядра
множества; они двойственны основным свойствам замыкания и
могут быть получены из них на основании формулы (4).
Множество М топологического пространства X называется
всюду плотным в пространстве X, если каждая точка х^Х
является точкой прикосновения множества М, т. е. если [А1]х=Х.
Множество М называется плотным в открытом множестве
Г^Х, если Г[М]х или, что то же, если М Л Г всюду плотно
в подпространстве Г^Х; множество М называется нигде не
плотным в X, если оно не плотно ни в каком непустом откры-
том Г^Х. Легко видеть, что М тогда и только тогда нигде не
плотно в X, если каждое непустое открытое Г с X содержит
некоторое такое открытое непустое Го с: Г, что Л4лГ0=Л.
Замечание 4. Легко доказать, что замыкание всякого
нигде не плотного множества нигде не плотно.
Замечание 5. Два взаимно дополнительных множества А
и В могут оба быть всюду плотными в X—пример: множество
всех рациональных и множество всех иррациональных точек
числовой прямой. Однако если замкнутое F всюду плотно в X,
то F = X, если открытое G всюду плотно в X, то F = X\G
нигде не плотно в X.
Всякое множество М а: X всюду плотно в подпространстве
[М] cz X.
Определение 4. Пусть М—произвольное множество про-
странства X; замкнутое множество [Л4]\<А1> называется гра-
ницей множества М и обозначается через грЛ1.
Множество гр М нигде не плотно в X, хотя может быть
всюду плотно в [М].
Фактически мы будем рассматривать только границы откры-
тых множеств и реже границы замкнутых множеств. Очевидно,
что для открытого G, соответственно для замкнутого F, имеем
rpG = [G]\G, rpF = F\ <F>, причем множество rpG нигде
не плотно в [G] = GllrpG и тем более во всем X, а множе-
ство гр F нигде не плотно в X, хотя может быть всюду плот-
ным в F.
Предложение 1. Если F—замкнутое, a G—открытое мно-
жество в пространстве X, то F\G замкнуто, a G\F открыто,
В самом деле, F\G = F(1(X\G), a G\F = G П (X\F), откуда
и следует утверждение.
Канонические замкнутые и открытые множе-
ства (на- и хо-мн ожеств а). Множество, являющееся замы-
канием открытого множества, называется каноническим замкну-
тым или, кратко, уш-множеством. Если A = [G], то G ^<Л> ^А,
значит, А = [G]	[<Л>] А, т. е. Л = [<Л>]; поэтому хя-множе-
ства могут быть определены как множества, являющиеся замы-
канием своего открытого ядра.
106
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
В каждом замкнутом множестве F содержится максималь-
ное ха-множество (быть может, пустое), именно
А = [<Г>].
Очевидно, далее, что сумма двух ха-множеств Ai = [Gi] и A2^=[G2]
есть хя-множество А = [Gx] U [G2] (однако пересечение двух на-
множеств может не быть хя-множеством).
Множества^, являющиеся пересечением конечного числа на-
множеств, называются п-множествами.
Множества, являющиеся открытым ядром какого-нибудь замк-
нутого множества, называются каноническими открытыми или
но-множествами. Если G = <F>, то G = <[G]>, так что хомноже-
ства могут быть определены как открытые ядра своих замыка-
ний. Из А = [<А>] по формуле (4) следует, что Х\А =
=<Х\<А». Аналогичным образом из формулы (5) для мно-
жества G = <[G]> следует равенство X\G = [X\[G]]. Следова-
тельно, канонические открытые множества могут быть определены
как дополнения к каноническим замкнутым, и наоборот.
Всякое открытое множество G содержится в наименьшем
хо-множестве: им является множество <[G]>.
Предложение 2. Если А—произвольное на-множество, а
F—произвольное замкнутое множество пространства X, то
[Д\Г] = [<Д>\Г].
Достаточно доказать, что всякая окрестность Ох всякой точки
x€[A\F] пересекается с множеством <A>\F. Положим
O1 = Oxn(X\F). Так как x£[A\F], то
A#=OxnAn(X\F),
т. е. открытое множество Ог = Ох\Р пересекается с Д = [<Д>],
но тогда и О1П<А>=^=Д, т. е.
Ay=Oxn«A>\F),
что и требовалось доказать.
Вернемся к метрическим пространствам.
Докажем две теоремы, которые (хотя и с разных сторон)
устанавливают связь между замкнутыми и открытыми множе-
ствами.
Теорема 3. Всякие два непересекающихся замкнутых мно-
жества Fx и F2 метрического пространства X имеют в этом
пространстве две непересекающиеся окрестности.
Доказательство. Так как Fx и F2—непересекающиеся
замкнутые множества, то никакая точка одного из этих мно-
жеств не является точкой прикосновения другого. Поэтому для
каждой точки x£Ft число px = p(x, F2) положительно. Точно
§ 1|	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю7
так же для каждой точки имеем ру = р (у, FJ > 0. Положим
хе Ft	у eF2
U1n U2 суть открытые множества, содержащие соответственно
Fj и F2. Докажем, что £7Х Л U2 = A. Пусть, в самом деле, имеется
точка z^U1f)U2. Тогда имеется точка x^F± такая, что
р (х, z) < у, и точка у £F2 такая, что р (у, х) <	. Пусть для
определенности рх^ру. Тогда
р(х, j)<p(r, z) + p(y, г)<^^<рх,
что противоречит определению числа р/, это противоречие дока-
зывает наше утверждение.
Два непересекающихся замкнутых множества Рг и F2 могут не иметь
непересекающихся сферических окрестностей. Дело в том, что Fr и F2 могут
находиться друг от друга на расстоянии, равном нулю (как, например,
гипербола и ее асимптота на обыкновенной числовой плоскости), а тогда,
очевидно, всякая сферическая окрестность одного из наших двух множеств
пересекается со вторым множеством и тем более со всякой его сферической
окрестностью.
Множество М топологического пространства X называется
Ga-множеством (множеством типа G$), если оно является пере-
сечением счетного числа открытых множеств пространства X.
Множества, дополнительные к Се-множествам, называются мно-
жествами типа F^ Из формул двойственности § 2 гл. 1 следует,
что множество тогда и только тогда имеет тип Fa, когда оно
является суммой счетного числа замкнутых множеств.
Теорема 4. Всякое замкнутое множество данного метри-
ческого пространства X является множеством типа Gq.
В самом деле, достаточно показать, что всякое замкнутое
множество F есть пересечение своих сферических окрестностей
вида Un — U	, где n= 1, 2, 3, ... Так как при всяком п
со
имеем F^Unt то, значит,	Uп. Остается только показать,
п=1
со
что всякая точка Un принадлежит множеству F. Но из
Л=1
оо	J
xgQ сразу следует, что при любом п имеем р(х, F)<—,
п=1
т. е. р(х, F) = 0. А это значит, что х есть точка прикосновения
108
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1ГЛ. 4
множества F, т. е., в силу его замкнутости, есть точка самого
множества F.
Поскольку множества, дополнительные к Ge-множествам,
имеют тип fa, доказана также
Теорема 4' • Всякое открытое множество метрического
пространства X есть множество типа Fa.
Борелевские множества в метрических пространствах. Назовем
множествами типа G&y множества, являющиеся суммами счетного
числа множеств типа G^, точно так же множествами типа F<m
назовем множества, являющиеся пересечениями счетного числа
множеств типа Fo. (Заметим, что сумма счетного числа мно-
жеств Fa есть, очевидно, множество Fa, а пересечение счетного
числа множеств G& есть множество Ge-) Далее, назовем множе-
ствами типа Faea множества, являющиеся суммами счетного
числа множеств типа Fae, а множествами типа	—множества,
являющиеся пересечениями счетного числа множеств типа Gea.
Аналогично определяются множества типов Оеабо, Fgm.
G&rttrt, Лтбиба И т. д., причем каждый раз значок <г означает
счетное сложение, а значок 6—счетное пересечение.
В несколько более компактной форме те же множества можно
получить следующим образом. Назовем замкнутые множества
множествами типа (0, б), а открытые множества—множествами
типа (0, а). И те и другие множества вместе назовем множест-
вами типа 0. Предположим, что построены множества типа
п—1. Назовем множествами типа (п, а) множества, являющиеся
суммами счетного числа множеств типа п — 1, а множествами
типа (п, б) множества, являющиеся пересечениями счетного числа
множеств типа п — 1.
(При этом для получения множеств типа (и, о) достаточно
брать счетные суммы множеств типа (п — 1, б), а для получения
множеств типа (п, б)—счетные пересечения множеств типа
(и—1, о), так как счетные суммы множеств типа (п — 1, о),
соответственно счетные пересечения множеств типа (п—1, б),
дают, нам снова множества того же типа.)
Множества типов (и, о) и (п, б) образуют вместе тип п.
Итак:
(0, (т)-открытые множества,
(0, б)-замкнутые множества;
(1, о)-тип Fc,
(1, б)-тип Ge;
(2, о)-тип Gqo,
(2, б)-тип Fae;
тип 0
тип 1
тип 2
S 1]
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
109
(	(3,	о)-тип	Fa6<T>
ТИП О	\	ZQ	Лк	л
(	(3,	б)-тип	G6a6;
Эту классификацию можно продолжить, пользуясь трансфинит-
ными числами второго класса. Пусть построены множества всех
типов а' < а, а а—какое-либо трансфинитное число второго класса.
Называем множествами типа (а, о), соответственно типа (а, б),
множества, являющиеся суммами, соответственно пересечениями,
счетного числа множеств типов <а; множества типов (а, о) и
{а, б) вместе называются множествами типа а. При этом, если
<х—первого рода, а=а'Ч-1, то для получения множеств типа
(а, <0 достаточно брать счетные суммы множеств типа а' (даже
одних лишь множеств типа (а', б)), а для получения множеств
типа (а, б)—счетные пересечения множеств типа (а', о).
Получаемые таким образом множества, т. е. множества все-
возможных типов а, где а есть любое порядковое число < coj,
называются борелевскими множествами или сокращенно В-мно-
жествами данного метрического пространства X.
Замечание 6. Очевидно, всякое множество типа а является
вместе с тем множеством типа р при любом р > а.
Замечание 7. Замкнутые множества называются также
множествами нулевого класса. Если а—какое-нибудь порядковое
число, 1	< (Oj, то множествами класса а называются все мно-
жества типа а, не являющиеся множествами типа а' ни при
каком а'<а. Вопрос о том,- в каких случаях действительно
•существуют множества всех классов а < coj (вопрос о непустоте
классов борелевских множеств), мы в этой книге оставляем
открытым: Заметим лишь, что в случае, если пространство X
состоит из счетного множества точек, все вообще лежащие в нем
множества являются множествами типа Fo (и типа Ge), так что
все классы, начиная со второго, пусты. Наоборот, если X есть
евклидово пространство любого числа измерений, или бэровское
пространство, или гильбертово пространство, то существуют
борелевские множества любого класса а < (доказательство
можно найти в книге Хаусдорфа [1], гл. 8, и в книге
Куратовского [1], т. 1, § 30).
Замечание 8. Мы видели, что любой конечный тип (п, о)
или (п, б) получает естественное обозначение в виде типа F*
или G*, где * есть конечная совокупность значков а и б, удов-
летворяющая следующим условиям:
А)	две одинаковые буквы о или б никогда не встречаются
подряд;
Б) в случае F* первой буквой является а, в случае G* пер-
вой буквой является б;
по
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
В)	если данный тип есть (п, о), соответственно (п, 6), то»
последней буквой в * является о, соответственно 6.
Однако из того, что всякое замкнутое множество есть мно-
жество типа Ge, а всякое открытое множество есть множество’
типа Fa, следует, что всякое множество F0 есть вместе с тем
Сба; всякое G$ есть вообще, всякое F* есть Ge* и всякое
G* есть Таким образом, разница между F* и G# данного
типа п стирается при переходе к следующему типу. Тем более
каждый трансфинитный тип может быть записан и в виде F* и
в виде G*, где * есть некоторое вполне упорядоченное множе-
ство значков о, 6, удовлетворяющее условиям А), Б), В).
Легко доказывается, что дополнение Х\М к любому мно-
жеству М типа а есть множество типа а (а именно, дополнение
к множеству типа (а, о) есть множество типа (а, 6), и обратно).
В самом деле, это утверждение верно для множеств типа 0.
Предположим, что оно доказано для множеств всех типов а' < а.
Тогда из формул двойственности § 2 гл. 1 и из самого опреде-
ления множеств типа а следует, что дополнение к множеству
типа (а, о) есть множество типа (а, 6) и обратно.
Далее, сумма и пересечение счетного числа множеств типа
а есть множество типа а +1.
Рассмотрим теперь некоторую систему К множеств, лежа-
щих в данном пространстве X. Эта система называется телолс
множеств (или просто телом) пространства X, если она удов-
летворяет следующим условиям:
1°. Сумма и пересечение счетного числа множеств, являю-
щихся элементами системы Л, есть элементы системы X-
2°. Дополнение Х\Л4 ко всякому множеству М С К есть
элемент системы X.
Замечание 9. Из этих условий следует, что все простран-
ство X и пустое множество являются элементами всякого тела X-
В самом деле, если Л4£Х, то и Х\Л1(ЕХ, значит, Х=
==Л1 U (Х\Л1) € X и Л = Х\Х€Х.
Далее, из наших условий следует, что разность двух мно-
жеств AljCX, Л12€Х также есть элемент системы X, так как
Мы только что доказали, что суммы и пересечения счетного
числа борелевских множеств пространства X суть борелевские
множества этого пространства, а также что дополнение к боре-
левскому множеству есть борелевское множество. Итак, борелев-
ские множества пространства X образуют тело множеств этого
пространства X.
Докажем теперь, что всякое тело X пространства X, содер-
жащее в числе своих элементов все замкнутые (или все откры-
тые) множества, содержит и все борелевские множества. В самом
<§ 1]	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Ш
деле, если все замкнутые множества являются элементами тела /С,
то элементами этого тела являются и все открытые множества
(как дополнения к замкнутым; если бы было дано, что Д содер-
жит все открытые множества, то К содержало бы и все замкнутые
множества, как дополнения к открытым). Итак, во всяком слу-
чае тело Д содержит в качестве своих элементов все множества
типа 0. Но если Д содержит в числе своих элементов все мно-
жества всех типов а' < а, где а—любое фиксированное порядко-
вое число < (Oj, то Д содержит и все множества типа а, так как
эти множества являются суммами и пересечениями счетного числа
множеств типов а' < а. Наше предложение доказано. Оно мо-
жет быть сформулировано и так:
Теорема 5. Система всех борелевских множеств данного
пространства X есть наименьшее тело множеств пространства
X, содержащее в числе своих элементов все замкнутые (или все
открытые) множества этого пространства.
Доказанная теорема позволяет определить систему всех боре-
левских множеств пространства X (или, как говорят, «борелев-
ское тело пространства X») без применения трансфинитных
чисел.
Заметим прежде всего, что пересечение любого множества
тел Да данного пространства X есть снова тело пространства X.
В самом деле, если даное счетное множество элементов сис-
темы Д= Q Да, то сумма и пересечение множеств 7Иг- (как эле-
а
ментов каждого из тел Д ) содержатся в любом Да, значит,
и в Д. Дополнение к любому М С Д, содержась в любом Да,
также содержится в Д.
С другой стороны, совокупность всех множеств пространства
X, очевидно, есть тело, содержащее в числе своих элементов
все замкнутые (открытые) множества пространства X. Поэтому
можно без каких бы то ни было предварительных рассуждений
говорить о наименьшем теле пространства X, содержащем в числе
-своих элементов все замкнутые (все открытые) множества: этим
-телом является пересечение всех тел Д пространства X, содер-
жащих в числе своих элементов все замкнутые (все открытые)
в X множества; это наименьшее тело и можно определить как
борелевское тело пространства X.
Замечание 10. Борелевские множества являются частным
случаем так называемых Д-множеств (данного пространства X);
определение Д-множеств и Д-операции, при помощи которой
Д-множества получаются из замкнутых множеств, будет дано
в § 4 гл. 5, замечание 4; теория Д-множеств и борелевских
множеств хорошо и подробно изложена в книге Хаусдорфа
£1] и в книге Куратовского [1], т. 1.
112
МЕТРИЧЕСКИЕ И-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
§ 2. Непрерывные отображения
Отображение f: X —>- Y топологического пространства X в то-
пологическое пространство Y называется непрерывным в тачке
х0£Х, если для него выполнено следующее
Условие Коши. Ко всякой окрестности Оуо точки уй = fxft
существует такая окрестность Ох0 точки х0£Х что fOx0s(h/0.
Отображение f:X—>У называется непрерывным отображением
пространства X в пространство Y, если оно непрерывно во
всякой точке х0£Х.
Из этого определения легко следует
Предложение 1. Отображение f: X—>Y тогда и только
тогда непрерывно, когда прообраз каждого открытого множества
Vs У пространства У есть открытое множество U—f^V про-
странства X.
В самом деле, пусть выполнено условие Коши для любой точки
х„£Х и пусть V—произвольное открытое в У множество. Для
доказательства того, что f-1V открыто в X, достаточно доказать,
что любая точка x£f~lV—внутренняя точка множества f-1V.
Но открытое множество V есть окрестность точки y=fx‘, по-
этому существует окрестность Ох точки х в X, для которой fOxsV,
а это и значит, что Oxsf-1V.
Пусть, обратно, прообраз любого открытого в У множества
открыт в X. Докажем, что тогда условие Коши выполнено для
любой точки х0£Х. Берем произвольную окрестность V=Oy„
точки y9 = fx„. Тогда f~lV есть окрестность Ох0 точки х0 и для
нее, очевидно, fOxo^Oye. Из предложения 1 непосредственно
следует
Предложение 2. Отображение f: X—>У тогда и только
тогда непрерывно, когда прообраз f-1 F всякого замкнутого мно-
жества F в Y есть замкнутое множество в X.
Наконец, имеет место
Предложение 3. Отображение f: X—>-У тогда и только
тогда непрерывно, когда для любого множества MsX имеем
ЦМЬеЕМЛу.
Доказательство. 1°. Пусть отображение X—>-У непре-
рывно. Тогда множество f~l [fAf] замкнуто и содержит множество
М. Следовательно, [Af] s f^f/Al], откуда f[Af]s[fAl].
2°. Пусть f[Af]л s [fAd]r для любого AfsX. Докажем, что
f: X—*У непрерывно.
Рассмотрим замкнутое в У множество F. Тогда
откуда If-1/7] s f~*F, значит, f-1/ замкнуто.
Предложение доказано.
S 2]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
113
Докажем следующие два утверждения:
Предложение 4. Пусть Flt Ft—два замкнутых множе-
ства пространства X, дающих в сумме все X, и пусть ftt Ft —»- Y,
f2: Fa —» Y—непрерывные отображения этих замкнутых множеств
в пространство Y, совпадающие на пересечении Ft Л F2. Тогда ото-
бражение ft X—*Y, задаваемое равенствами
f(x) = f1(x), если x^Ft,
f (x) = 'fAx)> если x^Fit
непрерывно.
Доказательство. Достаточно доказать, что прообраз f-1Ф
всякого замкнутого в Y множества Ф замкнут в X. Но (как
легко проверить) /-1Ф = /г1Ф U/г1®- Множество /ггФ (соответ-
ственно ft1®) замкнуто в замкнутом множестве Ft (соответственно
в F2) и, значит, во всем пространстве X; поэтому замкнуто и
множество /~1Ф = /:г1Фи^21Ф. Предложение доказано.
Предложение 5. Пусть система открытых в простран-
стве X множеств 0а, а £$, в сумме дает все пространство X.
Если отображение f: X —>-У таково, что его ограничение fa: 0а—* Y
на каждое множество 0а непрерывно, то непрерывно и само ото-
бражение f.
Доказательство. Рассмотрим произвольное открытое в Y
множество V. Его прообраз
f-wл и оа = и (Г^ л 0а) = и f^v
а	а	а
открыт в X, что и требовалось доказать.
При непрерывном отображении ft X—*У образ открытого»
множества GsX может не быть открытым в У, а образ замк-
нутого множества F s X может не быть замкнутым в У. Например,
рассмотрим в плоскости, снабженной прямоугольной системой
координат, окружность S радиуса 1 с центром в начале коорди-
нат и полуинтервал X = [0 х < 2л) оси абсцисс. Для любой
точки х € X обозначим через fx точку окружности S, радиус-век-
тор которой наклонен к оси абсцисс под углом х. Этим опре-
делено взаимно однозначное непрерывное отображение ft X—><S
полуинтервала X = [0; 2л) на окружность S, при котором образ
полуинтервала 6 = [0; л), являющегося открытым множеством
в пространстве Х = [0; 2л), не есть открытое множество в S,
а образ полуинтервала F = [л; 2л), являющегося замкнутым мно-
жеством в X, не есть замкнутое множество в S.
Определение 5. Отображение ft X—*У топологического
пространства X в топологическое пространство У называется
открытым, соответственно замкнутым, если для любого откры-
того G s X, соответственно замкнутого F s X, образ fG coon-
114	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 4
ветственно /F, является открытым, соответственно замкнутым,
множеством пространства Y.
Из определения сразу следует, что при замкнутом отображе-
нии	X —>Y малый образ f#G *) открытого множества G открыт.
Не оговаривая этого особо, мы будем рассматривать лишь
такие открытые и замкнутые отображения топологических про-
странств, которые вместе с тем являются непрерывными. Следует
-заметить, что среди непрерывных отображений открытые отобра-
жения образуют чрезвычайно специальный класс. Для того чтобы
убедиться в этом, достаточно рассмотреть непрерывные функции
y — fx,	осуществляющие открытые отобра-
жения отрезка Х = [0^х^1] в себя. Эти функции имеют конеч-
ное число точек максимума и минимума на отрезке [0; 1], причем
принимают в точках максимума значение 1, а в точках минимума
значение 0; в промежутках между двумя последовательными
точками экстремума функция f монотонна.
Важным примером открытого отображения одной плоской
области на другую могут служить отображения, осуществляемые
аналитическими функциями комплексного переменного.
Положение замкнутых отображений в топологии совершенно
другое: мы увидим, что для очень важного класса пространств X
и Y всякое непрерывное отображение f: X—>У является замк-
нутым; в частности, это имеет место, если пространства X и Y
определены как множества, лежащие в n-мерном евклидовом
пространстве 7?”, причем X замкнуто и ограничено в Rn, а У Rn
совершенно произвольно.
Имеет место следующая характеристика замкнутых отобра-
жений:
Предложение 6. Непрерывное отображение f: X—>У то-
пологического пространства X замкнуто тогда и только тогда,
когда выполняется условие:
(С-1) Для любого множества M<=Y и любой окрестности О
множества f~*M существует такая окрестность V множества 714,
что
Доказательство Г. Предположим, что отображение f
замкнуто; рассмотрим множество М Y и окрестность О мно-
жества f~*M. Множество F = X\O замкнуто в X и FAf“1M = A.
Поэтому множество fF замкнуто в У и fF А М = Л. Окрестность
V = Y\fF обладает свойством f^V Л F=Л, следовательно,
—условие (С"1) выполнено.
2°. Пусть для отображения f выполнено условие (С"1). Пред-/
положим, что образ fF некоторого замкнутого в X множества F
не замкнут в У. Пусть у €[fF]\fF. Множество X\F является
окрестностью множества f^y. Следовательно, существует такая
?) Определение малого образа см. на стр. 15.
§2]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
115
окрестность V точки у, что f~1V^X\F. Но тогда V(\fF=A„
и поэтому	Полученное противоречие доказывает замк-
нутость отображения f.
Докажем относительно замкнутых (открытых) отображений
еще следующее
Утверждение 1. Если непрерывное отображение f: X —>Y
пространства X в пространство Y замкнуто (открыто), то для
любого множества В^Y отображение f: f~lB—>В также замк-
нуто (открыто).
Доказательство. Рассмотрим замкнутое (открытое) в f^B
множество Т. Тогда в X существует замкнутое (открытое) мно-
жество F, в пересечении с дающее множество Т. По усло-
вию множество fF замкнуто (открыто) в У. Следовательно, замк-
нуто (открыто) в В множество
BftfF = f(f~'BftF) = f7\
что и требовалось доказать.
Рассмотрим случай взаимно однозначного отображения
f: X—>У пространства X на пространство Y. При этом опре-
делено и обратное отображение f ”4 Y—>Х. Рассмотренный выше
пример отображения полуинтервала Х = [0;2л) на окружность S
показывает, что из непрерывности взаимно однозначного отобра-
жения /, вообще говоря, не следует непрерывность обратного
отображения f-1. Однако легко доказать
Предложение 7. Если взаимно однозначное непрерывное
отображение f пространства X на пространство Y замкнуто, то
обратное отображение f"1: Y—>Х непрерывно (и замкнуто).
Это следует из того, что прообраз всякого замкнутого мно-
жества F^X при отображении f”1: Y—>Х есть множество
(f-1)“1F = /:/? с= У, замкнутое в силу замкнутости отображения f.
Аналогично доказывается непрерывность отображения f"1,
обратного к взаимно однозначному, непрерывному и открытому
отображению.
Определение 6. Отображение f: X—>У топологического
пространства X на топологическое пространство У называется
топологическим (или гомеоморфным) отображением X на У, если f
взаимно однозначно и если при этом оба отображения f: X—>У
и f-1: У—>Х непрерывны.
Другими словами: топологическое отображение пространства X
на пространство У—это такое взаимно однозначное отображение
множества X на множество У, при котором множество всех
открытых множеств пространства X отображается на множество
всех открытых множеств пространства У или—что то же—мно-
жество всех замкнутых множеств в X отображается на множе-
ство всех замкнутых множеств в У.
116
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Топологическое отображение f пространства X на какое-нибудь
подпространство Уо пространства Y называется топологическим
отображением пространства X в пространство Y. Пространства X
и Y называются гомеоморфными между собою, если одно из этих
пространств можно топологически отобразить на другое.
Данное выше определение непрерывности означает: отобра-
жение f топологического пространства X в топологическое про-
странство Y непрерывно, если прообраз (открытой, соответственно
замкнутой) топологий пространства Y содержится в (открытой,
«соответственно замкнутой) топологии пространства X. Естественно
возникает вопрос об отображениях f: X—>У, при которых про-
образ топологии пространства Y совпадает с топологией про-
странства X, т. е. множество М Y открыто (замкнуто) в Y
тогда и только тогда, когда открыто (замкнуто) в X множество
f~1M. Отображения, удовлетворяющие этому условию, называются
факторными *). Факторные отображения, очевидно, непрерывны.
Это весьма важный класс отображений. Докажем, в частности,
что все замкнутые и все открытые непрерывные отображения
являются факторными. Доказательства для замкнутых и для
«открытых отображений вполне аналогичны, поэтому ограничимся
замкнутыми отображениями. Итак, пусть отображение f: X—>Y
•замкнуто и пусть Ф—какое-нибудь множество, замкнутое в У.
Тогда /-1Ф замкнуто в X в силу непрерывности отображения f.
Обратно, если для какого-нибудь множества М У множество
/-1А1 = Ф замкнуто в X, то множество М = [Ф замкнуто в У
в силу замкнутости отображения /.
Факторные отображения естественно возникают при так назы-
ваемых факторизациях пространства X по некоторому его раз-
биению. Под разбиением пространства понимается система ЭЛ
его дизъюнктных замкнутых подмножеств {Л4}, объединение ко-
торых есть все X.
Если определено разбиение ЭЛ, то определено и естественное
отображение р,: X—►ЯЛ, состоящее в том, что каждой точке xg X
ставится в соответствие единственное содержащее х множество
М^ЯЛ. Теперь множество ЭЛ превращаем в топологическое про-
странство, объявляя открытым в пространстве ЭЛ всякое мно-
жество 91 ЭЛ, .прообраз р-191 которого при естественном ото-
бражении р: X—>ЭЛ является открытым множеством простран-
ства X. Очевидно, ту же самую топологию на ЭЛ мы получили
бы, называя замкнутым в ЭЛ всякое множество 91^ ЭЛ, прообраз
р-191 которого замкнут в X. Эта топология называется фактор-
ной топологией на множестве ЭЛ (дизъюнктных подмножеств
пространства X, дающих в сумме все X).
*) Факторные отображения были впервые рассмотрены Александро-
вым [3] (см. также Александре в — X о п ф [1], гл. 1, § 5 и гл. 2, §§ 2,3).
$2]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
117
Очевидно, что при факторной топологии в ЭЯ естественное
отображение р,: X—>9Я является факторным и, следовательно,
непрерывным отображением пространства X в пространство ЭЯ.
Само пространство ЭЯ называется при этом пространством раз-
биения ЭЯ или факторпространством X по разбиению ЭЯ. Очевидно
также, что условие замкнутости в X всех М С 9Я равносильно
условию замкнутости всех одноточечных множеств пространства ЭЯ;
это последнее условие выражают, говоря, что ЗЯ есть ^-про-
странство. К этому вопросу мы вернемся в § 8.
Понятия сходимости и равномерной сходимости последова-
тельности непрерывных функций, известные читателю из курса
математического анализа, практически без изменений переносятся
на случай топологических пространств. Пусть X—какое-нибудь
множество и f: X—► Т?1—функция на множестве X. Скажем, что
последовательность функций {/„: п=1,2, ...} сходится к функ-
ции f, если для любого е > 0 и любой данной точки х С X можно
найти такое число пе (зависящее, вообще говоря, не только от
выбранного в, но и от точки х), что
I f (х) — f п (-*)!<« ДЛЯ всех п > пе.	(*)
Если к каждому 8 > 0 можно подобрать п6 так, чтобы усло-
вие (*) выполнялось для всех х£Х, то говорим, что последо-
вательность {fn} сходится к функции f равномерно.
Как читателю уже известно из курса математического ана-
лиза, если последовательность {fn} непрерывных функций на
топологическом (в частности, на метрическом) пространстве X схо-
дится к действительной функции f: X—^R1, то функция f не
обязана быть непрерывной. В то же время имеет место
Предложение 8. Всякая функция f на топологическом про-
странстве X, являющаяся пределом равномерно сходящейся после-
довательности непрерывных функций, непрерывна.
Доказательство. Пусть дана точка хСX и положитель-
ное число 8. Требуется найти такую окрестность Ох точки х, что
| f (х) —f (у) | < 8 для всякой точки у £ Ох. Существует такое
71 = пе/з» что \f(z)—цля. всех т п и всех z£X.
Поскольку функция fn непрерывна, существует такая окрест-
ность Ох ТОЧКИ X, что | fn (х)—fn (у) I < у для всякой точки у € Ох.
Покажем, что окрестность Ох—искомая. Имеем
I f (X)-f (у) I = I f (х) -fn (х) + f „ (x) -f„ (у)+f„ (у) -f (у) I <
< I f (X)-f„ (X) I + I f„ (X) -f „ (y) I + I fn (y) -f (y) |.
Каждое из трех слагаемых в этой сумме меньше чем е/3: пер-
вое и третье—в силу выбора числа п, второе—в силу выбора
окрестности Ох. Таким образом, | /(х)—f (у) | < е для всякой точки
у£Ох. Предложение доказано.
118
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
§ 3. Связность
Пространство X называется несвязным, если его можно пред-
ставить в виде суммы двух непересекающихся непустых замкну-
тых множеств:
X = Ф1иФ2.	(*>
Так как множества Фх и Ф2 взаимно дополнительны, то каждое
из них, как1 дополнение к замкнутому, открыто. Поэтому в опре-
делении несвязного пространства можно замкнутые множества
заменить открытыми или «открыто-замкнутыми», т. е. такими,,
которые одновременно открыты и замкнуты.
В каждом пространстве имеются два «тривиальных» открыто-
замкнутых множества: все пространство и пустое множество. Если
пространство несвязно, то в нем имеются нетривиальные откры-
то-замкнутые множества, т. е. непустые и в то же время не сов-
падающие со всем пространством: таковы каждое из множеств
Фг и Ф2 разбиения (*). Обратно, если в пространстве имеется
хотя бы одно нетривиальное открыто-замкнутое множество Фх,
то его дополнение Ф2 = Х\Фх также является нетривиальным
открыто-замкнутым множеством, так что мы имеем разбиение (*).
Итак:
Пространство тогда и только тогда несвязно, когда в нем
имеется нетривиальное открыто-замкнутое множество. Если же
в пространстве X единственными открыто-замкнутыми множе-
ствами являются два тривиальных (или, что то же самое, если
при всяком представлении пространства X в виде суммы двух
непересекающихся замкнутых слагаемых Фх и Ф2 по крайней
мере одно из этих слагаемых пусто), то X называется связным.
Пустое пространство и точка, очевидно, связные пространства.
Так как всякое множество, лежащее в каком-либо топологи-
ческом пространстве, само является топологическим простран-
ством, то, определив связность топологического пространства,
мы вместе с тем можем установить, будет ли данное множество М,
лежащее в пространстве X, связным или нет. Только при рас-
смотрении разбиений множества М на сумму двух замкнутых
множеств (или при рассмотрении открыто-замкнутых подмножеств
множества 7И) надо помнить, что речь идет о множествах, замк-
нутых и открытых в М, и что множество, замкнутое (или открытое)
в М, может не быть замкнутым (соответственно открытым) в X.
Например, если X есть плоскость, а М—сумма интервалов (0; 1)
и (2; 3) на оси абсцисс, то каждый из этих интервалов представ-
ляет собою открыто-замкнутое множество в М9 не являющееся
в X ни замкнутым, ни открытым.
Замечание 1. Если Хо есть подпространство топологиче-
ского пространства X и множество А/сХ0 открыто-замкнуто в Хо,
то в X существуют открытое множество Ф и замкнутое мно-
-§3]
связность
119
жество Г такие, что Л4 = ХЛГ = ХГ)Ф; однако в пространстве X
может не существовать никакого открыто-замкнутого множества,
дающего в пересечении с Хо множество М. Например, пусть X —
числовая прямая, а Хо—ее подпространство, состоящее из всех
рациональных чисел. Обозначим через М открыто-замкнутое в Хо
множество, состоящее из всех рациональных чисел интервала
К2; К2). Множество М не является пересечением с Хо ни-
какого открыто-замкнутого в X множества (поскольку, как мы
скоро увидим, в X не имеется никакого нетривиального откры-
то-замкнутого множества).
Теорема 6. Сегмент числовой прямой есть связное мно-
жество.
Доказательство от противного. Пусть сегмент [а; &]
несвязен. Тогда он может быть представлен в виде суммы двух
непустых непересекающихся открыто-замкнутых в [а; Ь] мно-
жеств Фх и Ф2. Пусть, например, а^Ф±. Так как Фх открыто
в [а; Ь], то существует такое 8 > 0, что полусегмент [а; я + в)
содержится в Фх. Назовем точку х£[а;Ь] «отмеченной», если
полусегмент [я; х) содержится в Фх. Все точки полусегмента
[а; a-j-s), как мы видели, являются отмеченными; поэтому, обо-
значая через с верхнюю грань множества всех отмеченных точек,
имеем во всяком случае с>а. Утверждается, что с—отмеченная
точка, т. е. что всякая точка х С [а; с) содержится в Фг В самом
деле, пусть дана произвольная точка х£[а; с); так как с—верх-
няя грань множества отмеченных точек, то имеется отмеченная
точка х'>х; следовательно, [а; х')^Фх и, в частности, х.СФ^
Так как все точки полусегмента [а\ с) принадлежат Фх и Фх
замкнуто, то и с^Фр Но Фх, кроме того, и открыто. Поэтому,
если сУ=Ь, то все точки некоторого полусегмента [с; c4-sz), s' > О»
принадлежат Фх и, значит, с + е'—«отмеченная» точка, вопреки
предположению, что с—верхняя грань всех отмеченных точек.
Итак, непременно с = Ь. Но в этом случае, по доказанному, [а; Ь)
содержится в Фх, а в силу замкнутости Ф! в фх содержится
и точка 6, так что Ф2, вопреки нашим предположениям, пусто.
Полученное противоречие доказывает теорему 6.
Примерами несвязных множеств могут служить: 1) сумма двух
сегментов (или двух интервалов) числовой прямой, не имеющих
общих точек (каждый из этих сегментов (соответственно интер-
валов) открыто-замкнут в их сумме); 2) множество R\ всех рацио-
нальных точек числовой прямой (множество всех рациональных
точек, лежащих на каком-нибудь интервале с иррациональными
концами—например, на интервале (—J/2; ]/2),—является от-
крыто-замкнутым множеством в пространстве RI). Подобным же
образом убеждаемся в том, что и множество всех иррациональ-
ных точек прямой несвязно.
120
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. 4
Теорема 7F. Пусть в пространстве X даны два дизъюнкт-
ных замкнутых множества Фх и ф2 и непустое связное мно-
жество М, содержащееся в сумме Фх и Ф2; тогда М непременно
содержится в одном каком-нибудь слагаемом этой суммы, т. е.
либо в Фп либо в Ф2.
В самом деле, так как М ФТ и Ф2, то
М = (МпФ1)и(Л1ПФ2).
Так как Ф^ и Ф2 замкнуты в X, то М П Фх и М П Ф2 замкнуты
в М, а так как М связно, то одно из множеств М П Ф1 или
М П Ф2, например М П Фх, пусто, так что М = М П Ф2 Ф2, что
и требовалось доказать.
Совершенно аналогично доказывается
Теорема 7О. Если связное множество М содержится в сумме
двух дизъюнктных открытых множеств Gx, G2 пространства Хг
то оно целиком содержится в одном из слагаемых этой суммы.
Из этих простых теорем вытекает ряд следствий:
Теорема 8. Пусть в пространстве X дана система (любой
мощности) связных множеств Ма, причем пересечение всех этих
множеств Ма непусто; тогда сумма М всех множеств Ма связна.
В самом деле, если бы множество М было несвязно, то суще-
ствовало бы представление М в виде суммы двух непустых»
непересекающихся, замкнутых в нем множеств Фх и Ф2:
Л1 = Ф1иФ2,
и каждое из множеств Ма содержалось бы, по предыдущей тео-
реме, либо в Фх, либо в ф2. По предположению существует
точка а, принадлежащая всем Л1а; пусть, например, а^Фх.
Тогда каждое Ма9 имея в Фх точку а, должно целиком содер-
жаться в Фх. Значит, и М^Ф!, т. е. ф2 пусто, вопреки нашим
предположениям.
Теорема 9. Пусть для любых двух точек х и у простран-
ства X можно найти содержащее эти две точки связное мно-
жество Сху. Тогда все X связно.
В самом деле, если бы было
Х~Ф1иФ2>
где Фх и Ф2—непустые непересекающиеся замкнутые множества»
то можно было бы взять произвольные две точки х€Фх, #£Ф2.
Связное множество Сху9 содержащее х и у. пересекалось бы как
с Фх так и с Ф2, между тем как по теореме 7F оно должно было
бы лежать либо в Фх, либо в Ф2. Противоречие доказывает
теорему.
связность
121
$3]
Из теоремы 9, теоремы 6 и определения выпуклого множе-
ства ♦) вытекает
Теорема 10. Всякое выпуклое множество связно. Т ак, п-мер-
ное\евклидово пространство при любом п связно. В частности,
•связной является и числовая прямая.
Теорема 11. Связными множествами на прямой являются:
пустое множество, одноточечные множества, сегменты, полусег-
менты (конечные и бесконечные) и интервалы (конечные и беско-
нечные). Никаких других связных множеств на прямой нет.
Так как все перечисленные в теореме 11 множества связны
(хотя бы в силу того, что они выпуклы), остается лишь дока-
зать, что никаких связных множеств, кроме перечисленных, на
прямой нет. Это доказательство опирается на следующую лемму:
Лемма. Если а и b—две точки связного множества С на
прямой, то всякая точка интервала (а\ Ь) содержится в С.
Для доказательства леммы предположим, что точка с интер-
вала (а; Ь) не принадлежит С. Тогда, обозначая через Фх мно-
жество всех точек множества С, лежащих влево от с, а через
Ф2—множество всех точек множества С, лежащих вправо от с,
получим, в противоречии со связностью С, два -непустых откры-
тых в С множества и Ф2, дающих в сумме все С и не имею-
щих общих точек. Лемма доказана.
Пусть теперь С—произвольное связное множество на пря-
мой R1. Предположим сначала, что С ограничено, и пусть а=inf С,
b = sup С. Если х—любая точка интервала (а; Ь), то, беря точки
a' g С, b' С С соответственно на [а; х) и (х; ft] (такие точки суще-
ствуют в силу определения чисел а и Ь), сразу же заключаем
из леммы, что х^С. Итак, интервал (а; Ь) во всяком случае
содержится в С. Так как, с другой стороны, С^[а; &], то С
необходимо совпадает с одним из четырех множеств: (а; Ь), [а; Ь),
(а; Ь] или [а; &].
Если С ограничено лишь с одной стороны, например снизу,
то, полагая а = inf С, доказываем, что бесконечный интервал
(а; оо) содержится в С: для любой точки х £ (а; оо) берем точки
a' g С, Ь' € С соответственно на [а; х) и (х; оо) и заключаем из
леммы, что х£С. Таким образом, в разбираемом случае С есть
либо интервал (а; оо), либо полусегмент [а; оо). Наконец, если С
не ограничено ни сверху, ни снизу, то для любой точки x^R1
берем точку а' £ С слева от х и точку £ (а справа от х, откуда
по лемме х£С, так что C = R*.
Теорема 12. Непрерывный образ связного пространства
связен.
*) Множество М, лежащее в евклидовом n-мерном пространстве, назы-
вается выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки множества М,
целиком лежит в М.
122
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ. *
В самом деле, пусть f есть непрерывное отображение связного
пространства X на пространство У. Требуется доказать, что Y
связно. Но в противном случае мы имели бы разбиение про-
странства Y на два непустых дизъюнктных замкнутых множества:
У = ФхиФ2.
Прообразы Ft и F2 множеств Фх и ф2 были бы непустыми (так
как f отображает X на все Y) дизъюнктными замкнутыми мно-
жествами, дающими в сумме все пространство X, что противо-
речит его связности.
Из теоремы 12 вытекает
Теорема 13. Действительная функция y = f (х), непрерывная
на связном пространстве X и принимающая два каких-нибудь зна-
чения а и Ь, принимает и всякое значение с, лежащее между a u b.
В самом деле, множество Y действительных чисел, являю-
щееся образом пространства X, по теореме 12 связно; поэтому,,
если a£Y, b(-Y и а <с то в силу леммы к теореме 11 имеем
c£Y, что и требовалось доказать.
В частности, утверждение теоремы 13 имеет место для любой
действительной непрерывной функции, определенной на сегменте
или любом (конечном или бесконечном) интервале или полуин-
тервале числовой прямой (что дает известную теорему анализа),
а также для любой непрерывной функции двух переменных,
определенной на каком-либо связном множестве (в частности,
на области), для модуля (а также для действительной части)
непрерывной функции комплексного переменного (рассматривае-
мой на любом связном множестве) и т. д.
Конечную последовательность множеств
Mlf М2, ..., Ms
(лежащих в каком-нибудь пространстве X) назовем цепью множеств (подроб"
нее: цепью, связывающею множества и Ms), если
П Af2 Ф Л, М2 f) М3 Л, ..., П ?= Л.
Последовательным применением теоремы 8 доказываем без труда, что сумма
связных множеств, образующих цепь, есть связное множество. Отсюда и из
теоремы 6 сразу следует, что всякая ломаная линия представляет собою связ-
ное множество. Из связности всех ломаных и из теоремы 9 в свою очередь
вытекает, что всякое множество Л4 из Rn, любые две точки которого могут
быть соединены лежащей в М ломаной, связно. Мы этим доказали одну по-
ловину (достаточность) следующей теоремы:
Теорема 14. Для того чтобы открытое множество V в Rn было связно,,
необходимо и достаточно, чтобы любые две точки множества Г можно было
соединить ломаной, лежащей в Г.
Остается доказать необходимость изложенного в этой теореме условия.
Другими словами, надо доказать, что если в открытом Г <=Rn имеются две
точки а и Ь, которые не могут быть соединены лежащей в Г ломаной, то Г
несвязно.
Для доказательства этого утверждения обозначим через Га множество,
состоящее из точки а и из всех точек множества Г, которые можно соединить
$3]
СВЯЗНОСТЬ
123
«с а лежащими в Г ломаными. По самому определению Гас=Г. Кроме того,
Га непусто (так как содержит а) и не совпадает с Г, так как по предполо-
жению точка b не принадлежит множеству Гэ. Остается доказать, что Га
открыто-замкнуто в Г.
Докажем, что Га открыто. Пусть х £ Га, тогда существует U (х, 8) «с Г;
какова бы ни была точка х'£(/ (х, е), отрезок хх' лежит в U (х, 8)с=Г.
Возьмем какую-нибудь ломаную ах, соединяющую точку а с х; если эта
ломаная не имеет с хх' ни одной общей точки, кроме х, то, присоединяя
отрезок хх', получим ломаную ах'<= Г, соединяющую а с х'; если же
ломаная ах имеет хотя бы одну отличную от х точку пересечения с отрез-
ком хх', то обозначим через х" ту из этих точек, коюрая ближе всего рас-
положена к х'. Тогда ломаная ах" не имеет с отрезком х"х' никакой общей
точки, кроме точки х", и, присоединяя к ломаной ах" отрезок х"х', получим
лежащую в Г ломаную ах', соединяющую а с х'. Итак, каждую точку
х' £ U (х, в) можно соединить с а ломаной, лежащей в Г, так что U (х, 8) cz Га,
и, следовательно, произвольная точка х £Га есть внутренняя точка множе-
ства Г (по отношению к Rnt значит, тем более по отношению к Г), чем до-
казано, что Га открыто.
Докажем, что Га замкнуто в Г. Пусть х' £ Г—точка прикосновения
множества Га. Так как Г открыто, то существует U (х^, 8)^Г. В U (х', в)
существует точка х £ Га, и ее можно соединить с а ломаной ах^г. Так как
отрезок хх' лежит в Г, то, повторяя дословно только что выполненное по-
строение, получим снова ломаную ох', лежащую в Г, так что х' £ Га, что
и требовалось доказать.
Теорема 15. Пусть С—связное множество, лежащее в про-
странстве X; всякое множество Со, содержащее С и содержащееся
в [С], связно.
Обычно формулируют эту теорему так: присоединяя к связному
множеству С любое множество его предельных точек, получим
связное множество. Например, пусть С—множество всех точек
бесконечнозвенной ломаной, изображенной на рис. 3, а В— любое
множество (конечное или бесконечное), лежащее на отрезке [0; 1]
оси ординат. Так как С, как легко видеть, связно, а В состоит
из предельных точек множества С, то в силу теоремы. 15 мно-
жество Со = С и В тоже связно.
Доказательство теоремы 15. Пусть Со удовлетворяет
условиям теоремы 15. Если бы Со не было связно, то мы имели
бы разбиение С^Ф^Фа, где Фх и Ф2 не пересекаются и замк-
нуты в пространстве Со. Но тогда по теореме 7 связное мно-
жество С, содержась в сумме Ф^Фг, содержалось бы в одном
из слагаемых этой суммы, например в Ф1Ж Так как Фх замкнуто
в Со, то всякая точка множества С^, будучи точкой прикосно-
вения для С^Ф1? содержалась бы в Фх. Таким образом, Ф2
пусто, и теорема 15 этим доказана.
Пусть а—произвольная точка пространства X. Назовем ком-
понентой точки а ъ X сумму Са всех связных множеств, лежа-
щих в X и содержащих точку а. Множество Са содержит точку а
(так как множество, состоящее из одной точки, связно). Поэтому Са
124	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 4
непусто. По теореме 8 множество Са связно. Таким образом, Са
есть наибольшее лежащее в X связное множество, содержащее
точку а («наибольшее» в том смысле, что и всякое лежащее в X
связное множество, содержащее точку а, содержится в Са). Нако-
нец, из теоремы 15 следует, что Са замкнуто (в противном слу-
чае, присоединяя к Са какую-нибудь не содержащуюся в
I/
Рис. 3.
нем предельную точку х, мы
получили бы «большее» связ-
ное множество Ca\Jx).
Если компоненты Са и Сь
двух точек а и b простран-
ства X имеют хотя бы одну
общую точку, то они совпа-
дают, так как по теореме 8
множество Са U Съ связно.
Итак, компоненты двух ка-
ких-нибудь точек данного
пространства или совпадают,
или не пересекаются между
собою.
Поэтому каждая компо-
нента Са какой-либо точки
а есть в то же время и ком-
понента любой точки xgCfl, так что все X распадается (и при-
том однозначно) на свои компоненты (т. е. на компоненты раз-
личных точек а£Х). Каждая из компонент пространства X не
содержится ни в каком отличном от нее связном подмножестве
пространства X; в этом смысле компоненты данного простран-
ства суть наибольшие связные подмножества пространства X.
Замечание 2. Как всегда, рассматривая какое-либо мно-
жество MczX как пространство, можем говорить о компонентах
данного множества (лежащего в некотором пространстве). При
этом естественно, что компоненты множества М, будучи замк-
нуты в М, вообще говоря, не будут замкнуты в X.
Примеры.
1. Если X—простое двоеточие, то компонентами X являются
его точки.
2. Если X есть сумма двух или конечного числа попарно
не пересекающихся сегментов числовой прямой, то эти сегменты
и являются компонентами X.
3. В силу теоремы И единственными непустыми связными
множествами, лежащими в множестве всех рациональных точек
или в канторовом совершенном множестве*), являются одното-
чечные множества. То же справедливо и для множества всех
*) См. § 5 этой главы.
связность
125
§ 3]
иррациональных точек. Поэтому, если возьмем за простран-
ство X множество всех рациональных точек, или множество
всех иррациональных точек числовой прямой, или канторово
совершенное множество, то компонента каждой точки а в X
будет состоять из одной этой точки а.
Замечание 3. Пространство X называется вполне несвяз-
ным, если компонента каждой его точки состоит из одной этой
точки. Другими словами, пространство вполне несвязно тогда
и только тогда, когда оно не содержит /нетривиальных связных
подпространств.
Пример 4. Возьмем на оси х множество рациональных
точек 7?0 и в каждой его точке х восставим перпендикуляр
длины 1 в сторону положительных у. Сумму этих перпендику-
ляров обозначим через Q. Отрезки Qx являются компонентами
множества Q.
Всякий сегмент или полусегмент Д, лежащий в открытом
множестве Г числовой прямой 7?1, содержится в непустом ин-
тервале Г's Г. Достаточно рассмотреть случай А = [a; b]е Г.
Тогда, так как Г открыто в 7?1, то имеются лежащие в Г
интервалы (а';а")Э# и (&';&") ЭЬ. Очевидно, интервал (а'; Ь")
содержит сегмент [а; Ь] и лежит в Г. Случай полусегмента Дс=Г
разбирается аналогично. Из доказанного следует, что компо-
ненты непустого открытого множества Г 7?1 суть смежные
интервалы к множеству Ф = 7?1\Г, т. е. интервалы, лежащие
в Г, но имеющие концы, принадлежащие Ф.
Мы видели, что компоненты любого топологического пространства суть
замкнутые множества. Приведенные выше примеры показывают, что компо-
ненты могут не быть открытыми множествами. Приведем еще один пример.
Пусть X состоит из отрезков
•So, Si, 5Л, .
на плоскости, параллельных оси ординат и определяемых условиями:
для So: х = 0,
для Sn: х = ~, O^y^l (п = 1, 2, 3, ...).
Эти отрезки являются компонентами пространства X; Sn при п 1 открыты
в X, но So открытым множеством в X не является.
Открытые связные множества называются областями (данного простран-
ства X).
Ввиду изложенных примеров интересна
Теорема 16. Компоненты любого открытого множества Г евклидова
п-мерного пространства суть области,
В частности, компоненты открытого множества на прямой являются ин-
тервалами.
Для доказательства рассмотрим какую-нибудь точку х компоненты С от-
крытого множества Г точка х, будучи внутренней в Г относительно Rnt
имеет окрестность U (х, 8)<=Г и эта окрестность является связ-
ным множеством (так как она выпукла). Поэтому (х> в) связно
126
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
{теорема 8); а так как С—компонента точки х, то U (х, 8)<=С. Итак, каждая
точка компонеты С является внутренней, значит, С—открытое множество, что
и требовалось доказать.
Теорема 17. Каждое открытое множество Г в п-мерном пространстве
Rn есть сумма конечного или счетного числа попарно не пересекающихся
областей.
Доказательство. Так как компоненты множества Г суть области, не
имеющие попарно общих точек, то остается доказать, что всякое множество S.
попарно не пересекающихся областей в Rn конечно или счетно. Множество
всех рациональных точек п-мерного пространства (т. е. точек, все
координаты которых рациональны) счетно и всюду плотно в Rn. Поэтому,
«беря первую рациональную точку пространства Rn, попавшую в данную
область £3, получим взаимно однозначное отображение системы 3 на некото-
рое подмножество счетного множества R%, чем доказано, что и множесто 3 не
-более чем счетно.
Замечание 4. Доказательство теоремы 16 опирается лишь на связ-
ность сферических окрестностей в Rn и применимо ко всем топологическим
пространствам X, обладающим тем
свойством, что для любой точки
х£Х и любой ее окрестности Ох
имеется связная окрестность U
точки х (т. е. связное открытое
^4$	множество, содержащее точку х),
лежащая в Ох *). Пространства X,
7 удовлетворяющие для любого х£Х
рис> 4.	последнему условию, называются
локально связными (таковы, напри-
мер, евклидовы пространства, а так-
же любые лежащие в них открытые множества). Таким образом, доказывая
теорему 16, мы фактически доказали более общее предложение:
Теорема 18. Компоненты любого локально связного пространства суть
области.
Единственными областями на прямой являются интервалы. Но уже на
плоскости области могут иметь весьма сложный вид. Называя границей об-
ласти Г множество [Г]\Г, можно прежде всего классифицировать плоские
ограниченные области по числу компонент, на которые распадается их гра-
ница. Это число называется порядком связности области. В частности, область,
граница которой есть связное множество, называелся односвязной (рис. 4, а);
область, граница которой состоит из двух компонент, называется двусвязной
(рис. 4, б); область, граница которой состоит из трех компонент, называется
трехсвязной (рис. 4, а) и т. д.
Граница любой области является замкнутым множеством, однако строение
этого замкнутого множества, даже в случае односвязных областей, может быть
чрезвычайно сложным, как показывает рис. 5: граница заштрихованной спи-
ралевидной области состоит из жирно вычерченной кривой и окружности, на
которую эта кривая (и вся область) спиралевидно навивается; эта граница
связна. Элементарные замкнутые кривые, как, например, окружность, эллипс
и т. п., являются одновременно границами двух областей, одна из которых
ограничена и составляет так называемую внутреннюю область к данной кри-
вой, а другая не ограничена («внешняя область к замкнутой кривой»). Однако
граница заштрихованной спиралевидной области Г (на рис. 5) является в то
же время границей и второй, также ограниченной области Г' (область Г' —
разность между изображенным на рис. 5 кругом и замыканием области Г).
*) Как мы узнаем в следующем параграфе, совокупность открытых мно-
жеств {£7} является так называемой базой пространства X.

БАЗЫ И ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
127
Значительно труднее представить себе такое положение вещей, при котором
одно и то же связное замкнутое множество С является границей трех (или
большего числа) попарно не пересекающихся односвязных областей. Чтобы
понять, как это возможно, представим себе остров в открытом море и на нем
два озера и вообразим себе следующую программу работ. В первый час
ведутся каналы от моря и от каждого из двух озер таким образом, чтобы
каждый из этих каналов был «слепым» (т. е. был в действительности заливом
соответствующего водоема), чтобы эти каналы нигде не соприкасались между
собою и чтобы в результата часо-
вой работы расстояние от каждой
точки суши до морской воды, а
также до воды каждого из двух
озер было меньше 1 км. В следу-
ющие полчаса каждый из прове-
денных трех каналов продолжается
так, что по-прежнему все каналы
остаются слепыми и не соприка-
саются между собой и что рассто-
яние от каждой точки суши до во-
д!>1 каждого из трех водоемов ста-
новится меньше чем км. В сле-
дующие затем четверть часа каналы
продолжаются дальше так, чтобы,
по-прежнему не сообщаясь между
собой, они с такой «плотностью»
проникали бы внутрь острова, что-
бы расстояние от каждой точки
суши до воды каждого из трех во-
1	Рис. 5.
доемов сделалось < км, и т. д.
о
Через два часа такой деятельности от острова останется лишь некоторое нигде
не плотное на плоскости связное замкнутое множество С, в любой близости от
каждой точки которого будет находиться вода каждого из трех водоемов, причем
все эти водоемы (море и два озера) по-прежнему будут оставаться разобщен-
ными: воды никаких двух из них не будут смешиваться. Эти водоемы (продол-
женные проведенными из них каналами) и являются теми тремя областями,
общую границу которых образует множество С; одна из этих областей («море»)
не ограничена, остальные две ограничены (рис. 6).
Исследование плоских односвязных областей и их границ возникло в связи
с теорией функций комплексного переменного (теорема Римана о возможности
конформного отображения любой односвязной области на внутренность круга
и—впервые решенная Каратеодори—задача о соответствии границ при этом
отображении).
§ 4. Базы и вес топологического пространства
Пусть s и S—два семейства множеств. Если каждое множе-
ство семейства S есть объединение некоторых множеств семей-
ства s, то говорим, что семейство s аддитивно порождает семей-
ство S или является его аддитивной базой. Если каждое мно-
жество семейства S есть пересечение некоторых множеств
семейства s, то s мультипликативно порождает семейство S, или
является его мультипликативной .базой.
128 МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА |ГЛ. 4
Пусть X—топологическое пространство. Аддитивная база
открытой топологии, т.е. семейства всех открытых множеств
пространства, часто называется сетью пространства X в смысле
Архангельского [1]. Для того чтобы какое-нибудь семей-
ство s множеств пространства
X было его сетью, необходимо
и достаточно, чтобы для каж-
дой точки х£Х и каждой ее
окрестности Ох в семействе s
нашлось множество М, удовле-
творяющее условию х С Ms Ох.
Сеть, состоящая из откры-
тых множеств пространства X,
называется его открытой базой.
Аналогично семейство s мно-
жеств, мультипликативно поро-
ждающее замкнутую топологию
(семейство всех замкнутых мно-
жеств пространства X) и состоя-
щее из замкнутых множеств, на-
рис б	зывается замкнутой базой про-
странства X. Заменяя в данной
базе пространства X (открытой
или замкнутой) все множества их дополнениями, получим (замк-
нутую, соответственно открытую) базу, сопряженную первона-
чально данной. Наименьшее кардинальное число, являющееся
мощностью какой-либо базы пространства X (очевидно, все
равно—открытой или замкнутой), называется весом простран-
ства X и обозначается через wX. Легко видеть, что если Х0^Х,
то wXQ^wX, Пространства, имеющие счетную базу (простран-
ства счетного веса), играют в топологии чрезвычайно важную
роль. Они введены Хаусдорфом (1914 г.) под названием прост-
ранств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности.
Пусть х—произвольная точка пространства X. Всякое семей-
ство s содержащих точку х открытых множеств, обладаюшее
тем свойством, что во всякой окрестности Ох точки х содержится
некоторое множество семейства $, называется (локальной) базой
пространства X в точке х. Наименьшее кардинальное число,
являющееся мощностью какой-либо локальной базы простран-
ства X в данной его точке х, называется локальным весом про-
странства в точке х.
Замечание. Локальный вес пространства в любой его изо-
лированной точке, очевидно, равен 1.
Если локальный вес пространства счетен в каждой точке
х£Х, то пространство, по определению, удовлетворяет первой
аксиоме счетности (Хаусдорф).
§ 4]	БАЗЫ И ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА	129
Важнейшим примером пространств с первой аксиомой счет-
ности являются метрические пространства. Локальную базу
метрического пространства X в любой его точке х образуют,
например, сферические окрестности О^х,где п пробегает
все натуральные числа.
Напомним (см. § 1 гл. 4), что последовательность точек {x,J,
п = 1,2, ..., топологического пространства X сходится к точке х,
если каждая окрестность точки х содержит все точки последова-
тельности {х„}> начиная с некоторой. В этом определении можно,
очевидно, ограничиться лишь окрестностями, принадлежащими
какой-нибудь локальной базе пространства в точке х. Имеет
место следующее
Предложение 1. В пространстве X с первой аксиомой
счетности точка х тогда и только тогда является точкой при-
косновения множества М^Х, когда имеется последовательность
точек {хп\ множества М, сходящаяся в точке х.
Очевидно, достаточно доказать лишь одну половину этого
предложения, а именно найти в множестве М. последователь-
ность точек {хи}, сходящуюся к точке прикосновения х множе-
ства М, Для этого возьмем какую-нибудь счетную базу про-
странства X в точке х. Пусть U k9 6=1, 2, 3, ...,—элементы
этой базы. Заменяя, если нужно, Uk на U А П U2 П . • • Г) Uk* ви-
дим, что без ограничения общности можно предположить, что
(1)
Так как х—точка прикосновения множества М, то для каж-
дого k можно взять точку xk € М 0 Uk. Докажем, что последова-
тельность {хл} сходится в точке х. В самом деле, пусть Ох —
произвольная окрестность точки х. По определению локальной
базы существует Uk Ох, Но ввиду предположенного соотноше-
ния (1) все точки x^,xk+19 ... лежат в Uk^Ox, и сходимость
последовательности {хА} к точке х доказана.
Предложение 1 позволяет свести понятие точки прикоснове-
ние, а следовательно, всю структуру тех пространств, в которых
предложение 1 выполнено, к рассмотрению сходящихся последо-
вательностей точек, что очень важно для приложений. Поэтому
топологически пространства, для которых предложение 1 имеет
место, образует весьма важный класс пространств; эти простран-
ства называются пространствами Фреше—Урысона*). Мы уже
знаем, что пространства с первой аксиомой счетности, и в част-
*) По имени одного из основателей общей топологии—французкого мате-
матика Фреше, желавшего всю общую топологию строить при помощи поня-
тия сходящейся последовательности, и П. С. Урысона, впервые определив-
шего точные логические границы для возможности такого построения.
130
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1ГЛ. 4
ности, метрические (метризуемые) пространства являются про-
странствами Фреше—Урысона.
Пусть дана какая-нибудь база 93= {U} топологического про-
странства X. Выбирая в каждом множестве U €23 по точке,
получим множество точек М^Х, всюду плотное в простран-
стве X (доказательство совсем просто и может быть предостав-
лено читателю). Из только что сказанного следует: если в топо-
логическом пространстве X имеется база мощности хп, то в этом
пространстве имеется и всюду плотное множество мощности ш.
Назовем плотностью пространства X наименьшее такое карди-
нальное число ш, что в пространстве X имеется всюду плотное
множество мощности ш. Мы только что доказали, что плотность
пространства не превосходит его веса.
Пространства счетной плотности (т. е. пространства, содер-
жащие счетное всюду плотное множество) называются сепара-
бельными (термин крайне неудачный, но, к сожалению, укоре-
нившийся и получивший всеобщее распространение). Мы только
что видели, что всякое топологическое пространство со счетной
базой является сепарабельным.
Существуют примеры сепарабельных топологических прост-
ранств, не имеющих счетной базы (эти примеры будут приве-
дены в конце параграфа). Однако имеет место
Теорема 19. Для того чтобы метрическое пространство
имело счетную базу, достаточно и, очевидно, необходимо, чтобы
оно было сепарабельным.
Доказательство. Пусть X—сепарабельное метрическое
пространство, и пусть счетное множество D={d\ всюду плотно
в пространстве X. Рассмотрим семейство 93 всех сферических
окрестностей O(d, г), где точка d пробегает все точки счетного
множества D, а г есть произвольное положительное рациональ-
ное число.
Семейство 33, очевидно, счетно. Докажем, что оно является
базой метрического пространства X. Для этого в каждой точке
х^Х и содержащему ее открытому множеству Г надо подобрать
такой элемент O(d, г) семейства 58, что x£O(d, г)^Г. Так как
х—внутренняя точка множества Г, то существует содержащаяся
в Г сферическая окрестность О(х, е)сГ. Возьмем точку d^D,
лежащую в О^х, 4)’ и положительное рациональное число г
такое, что -| < г <	8. Тогда р (х, d) <	< г, т. е. х € О (d, г).
С другой стороны, для каждой точки x'£O(d, г) имеем
р(х, х')<р(х, d) + p(d, х')< у + г <±4-А8 = е,
значит,
O(d, г)сО(х, е)£=Г,
$4]	БАЗЫ И ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА	131
так что S3 действительно является базой пространства X. Совер-
шенно аналогично доказывается и общее утверждение: вес метри-
ческого пространства равен его плотности.
Важнейшим предложением, касающимся баз и веса простран-
ства, является
Теорема 20 (Александров — Урысон [1]). Если вес
пространства X равен ш, то всякая база 23 пространства X
содержит подмножество S3' мощности ш, также являющееся
базой пространства X.
Доказательство. _Возьмем какую-нибудь базу 23О про-
странства X, имеющую мощность т = ауХ. Обозначим через U эле-
менты базы 23О. Пусть 25—произвольная база пространства X. Нам
надо выделить из базы 25 базу 23'^23, имеющую мощность ш.
Начнем с того, что какую-нибудь пару (t/a, U$) элементов
базы 23О назовем отмеченной, если существует хотя бы одно
¥g23, удовлетворяющее включению
U^V^U^.	(2)
Множество всех отмеченных пар имеет мощность, не большую
чем мощность всех вообще пар базы 23О, т. е. мощность ш.
Для каждой отмеченной пары (f/a, U выберем по одному эле-
менту VC S3, удовлетворяющему условию (2). Множество S3'
отмеченных таким образом элементов V базы S3 также имеет
мощность <лп. Поэтому достаточно доказать, что множество S3'
есть база пространства X.
Итак, пусть даны точка х£Х и ее окрестность Ох. Требуется
найти такое V' €23', чтобы было
xeV'^Ox.	(3)
Так как230 — база, то существует такое £/р€230, чтох£ U^Ox.
Но базой является и S3, поэтому существует И, удовлетворяю-
щее включению
x^V^U^
Наконец, можно найти такое Ua е 23О, что
X^Ua^V-
Отсюда следует, что пара (l/a, U$) отмеченная; поэтому сущест-
вует V' € 23', удовлетворяющее условию Ua^ V' е U$ и тем более
условию (3), что и требовалось доказать.
Понятие базы позволяет выделить следующие важные классы
пространств:
1) Полурегулярные пространства—это пространства, в кото-
рых канонические открытые множества образуют базу *).
*) Заметим, что регулярные пространства будут определены позже (§ 8
гл. 4).
132
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ'ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. 4
2) Индуктивно нульмерные пространства, т. е. такие про-
странства, в которых (не только хо-множества, но даже) открыто-
замкнутые множества образуют базу.
В индуктивно нульмерных пространствах каждое открытое
множество есть сумма, а каждое замкнутое множество—пересе-
чение открыто-замкнутых множеств.
Индуктивно нульмерные пространства будут подробно изу-
чаться в дальнейшем.
Определение топологии в множестве X посредством указания
системы подмножеств, являющейся базой. Определение топологии
посредством окрестностей. Определить топологию в множестве X,
т. е. превратить X в топологическое пространство X,—значит
определить, какие множества мы объявляем открытыми (при
этом должны быть соблюдены условия U, II® § 1). Однако ука-
зать все открытые множества часто бывает затруднительно и
неудобно, во многих конкретных случаях бывает удобно непо-
средственно указывать не все открытые множества подлежащего
определению топологического пространства X, а только некото-
рые из них, а именно множества, которые составят одну из баз
этого пространства (остальные открытые множества определятся
как всевозможные суммы данных множеств).
Такой способ определения топологии основывается на следую-
щем предложении:
Предложение 2. Пусть в множестве X, состоящем из
элементов любой природы, называемых точками, даны подмноже-
ства Га, система которых, обозначаемая нами через S, обладает
следующими свойствами'.
(А) Каждая точка х С X содержится по крайней мере в одном
Га 65.
(Б) Если каждая точка х содержится и в Га£5 и в
то имеется некоторое такое, что х£Г?^ГаГ|Гр.
.Если назвать пустое множество А и всевозможные суммы мно-
жеств Га открытыми множествами, то аксиомы и П<? топо-
логического пространства окажутся выполненными в полученном
топологическом пространстве X, система S будет базой.
Доказательство предоставляем читателю.
Часто, например в первом издании «Теории множеств» Хаус-
дорфа, дается не просто система S множеств Га, удовлетворяю-
щая условиям (А) и (Б), а система множеств U (х), поставленных
в соответствие точкам xgX и называемых окрестностями этих
точек, причем предписывается выполнение трех условий:
А) Каждой точке х б X поставлено в соответствие по крайней
мере одно множество U (х) («каждая точка х£Х имеет хотя бы
одну окрестность»), причем всегда
х(Е U (х).
$ 4]	БАЗЫ И ВЕС ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА	133
Б) Для любых двух окрестностей U1(x) и V2(х) одной и той
же точки х G X существует
(х)Л(72(х).
В) Каково бы ни было y^V (х), существует
U(y)<=U(x).
Если назвать открытым всякое множество Г^Х такое, что
для любой точки х£Г существует (/(х)^Г, то получится топо-
логическое пространство, и система S всех множеств U (х) (рас-
сматриваемых независимо от того, каким точкам х они поставлены
в соответствие) есть база этого пространства.
Доказательство снова предоставляем читателю.
Множества U (х), отнесенные точке х£Х и удовлетворяющие
условиям А), Б), В), образуют то, что Хаусдорф называл систе-
мой окрестностей в пространстве X, а задание при их помощи
топологии называется заданием топологии при помощи системы
окрестностей.
Пример 1. На числовой прямой Z?1 топологию можно задать,
выделив для каждой точки х в качестве определяющих ее окрест-
/ 1 . 1 \
ностеи все интервалы вида (х——; х + — I.
Наряду с понятием базы часто удобно пользоваться понятием
предбазы топологического пространства.
Определение 7. Система S открытых в топологическом
пространстве X множеств Оа называется предбазой простран-
ства X, если множества, являющиеся пересечениями 0а1 Л ••• Л0Г4$
всевозможных конечных систем системы S, образуют базу простран-
ства X. Очевидно, всякая база пространства является и его
предбазой.
Пример 2. На числовой прямой бесконечные интервалы вида
(—	Ь), (а\ + оо)
образуют предбазу, не образуя базы.
Предложение 3. Отображение f: X—>Y пространствах
в пространство Y непрерывно, если прообразы f~lOa элементов
некоторой предбазы 2 = {0а}, а £ Ж, пространства Y открыты в
пространстве X.
Доказательство. Положим
S
оа, Пог
г=1
134
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
По условию множества 0ai ... as образуют базу 33 пространства Y.
Очевидно,
S	S
= Оа<=П НОаг
1=1	t=l
Поэтому прообразы элементов базы 33 открыты в X. Возьмем
открытое в Y множество О. Оно является суммой элементов не-
которой подсистемы ЗУ системы 33, т. е.
О = U
Но тогда множество
f-10=f-1U0«t-<xs = Uri0a1...a,.
являясь суммой открытых в X множеств, открыто в X. Непре-
рывность отображения f доказана.
Частным случаем предложения 3 является
Предложение 4. Для того чтобы взаимно однозначное
отображение f пространства X на пространство Y было гомео-
морфизмом, необходимо и достаточно, чтобы при этом отобра-
жении некоторая база пространства X отображалась на базу
пространства Y.
Доказательство предоставляется читателю.
Примеры пространств с первой аксиомой счет-
ности, содержащих счетное всюду плотное мно-
жество и не имеющих счетной базы. 1. Пространство
состоит из всех точек полусегмента [0; 1). В качестве базы возь-
мем семейство S всех полусегментов вида [х; х'), где 0^х<х'< 1.
Условия (А) (Б) предложения 2, очевидно, выполнены. Первая
аксиома счетности выполнена, поскольку среди полусегментов
|х; х') достаточно взять полусегменты вида (х;х4-г), где г — по-
ложительные рациональные числа. Счетным плотным множеством
является множество рациональных точек полусегмента [0; 1).
В силу теоремы 20 осталось проверить, что семейство S не
содержит никакого счетного подсемейства, являющегося базой.
Но если [х; x')£S и [у, у') удовлетворяет условию: х£[у; у')^
s[x; х'), то непременно х = у. Следовательно, во всякой под-
базе S'czS непременно имеются элементы вида [х; х') при любом
х£[0; 1). Отсюда вытекает, что всякая подбаза базы S имеет
мощность континуума. А это значит, что вес этого пространства
равен с. Построенное нами пространство называется «стрелкой».
2. Среди многочисленных примеров топологических про-
странств, являющихся линейно упорядоченными множествами,
§5]
подмножества прямой и плоскости
135
очень интересно пространство Т2е множества, (линейно) упоря-
доченного по типу 20, где 0—порядковый тип сегмента числовой
прямой. Точки пространства Т2е могут быть записаны в виде
х=(/, i), где t есть произвольная точка сегмента [0; 1], a i = G
или 1; при этом мы полагаем
(/, i) < (Г, /'),
если t < t', а также и если t = f, i = 0, i' = \. Точки x=(t,i)
мы можем представлять себе лежащими на обыкновенной плоско-
сти (так что t есть абсцисса, a i—ордината), что позволит при-
дать нижеследующим отвлеченным рассуждениям своеобразный
наглядно-геометрический смысл.
В пространстве T2q всюду плотно множество D, состоящее
из всех точек вида (г, г), где г рационально (всюду плотными
являются даже каждое из множеств DoczD, DxczD, состоящих
из всех точек вида (г, 0), соответственно (г, 1)).
Пространство, получаемое из Т2е выбрасыванием первой и
последней точек, обычно называют пространством «двух стрелок»
или просто «двумя стрелками». Так же, как и для «стрелки»,
доказывается, что пространство «двух стрелок» имеет вес, рав-
ный с. Это, впрочем, следует из того, что «стрелка» является
подпространством «двух стрелок». Мы еще вернемся к простран-
ству «двух стрелок» в § 1 гл. 6.
§ 5. Подмножества прямой и плоскости
1. Открытые и замкнутые множества на прямой. Пусть Г —
открытое множество на прямой У?1. На стр. 125 мы доказали,
что компоненты открытого множества ГсзУ?1 суть смежные интер-
валы к множеству Ф = У?Х\Г. Поскольку компоненты всякого
множества дизъюнктны, мы получаем, что множество Г состоит
из дизъюнктных интервалов. Но мы знаем (см. теорему 17 § 3),
что всякое множество о дизъюнктных интервалов на прямой не
более чем счетно. Таким образом, доказана
Теорема 21. Всякое открытое множество Г на числовой
прямой Л1 есть сумма конечного или счетного множества дизъюнкт-
ных интервалов, концы которых принадлежат дополнительному
к Г замкнутому множеству Ф = У?Х\Г; среди этих интервалов
могут оказаться один или два бесконечных интервала вида
(— оо; а) или (а\ +оо).
Теорема 21 часто формулируется так:
Теорема 21'. Всякое замкнутое множество Ф на прямой
получается вычитанием из прямой конечного или счетного числа
лнтервалов, смежных к множеству Ф.
Определение 8. Замкнутое множество без изолированных
точек называется совершенным.
136
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. 4
Докажем еще следующее предложение:
Теорема 22. Для того чтобы точка х замкнутого множе-
ства Фс/?1 была изолированной точкой множества Ф, необходимо
и достаточно, чтобы эта точка была общим концом двух смеж-
ных интервалов к множеству Ф.
В самом деле, если точка х есть общий конец двух смежных
к Ф интервалов (а\ х) и (х; 6), то интервал (а\ Ь) содержит един-
ственную точку множества Ф, именно точку х, которая, таким
образом, является изолированной.
Обратно, пусть х—изолированная точка множества Ф и пусть
интервал (а; Ь), содержа точку х, не содержит никакой другой
точки множества Ф. Возьмем какую-либо точку х' интервала
(а; х); она лежит в некоторой компоненте б' множества Г = /?'\Ф,
и эта компонента содержит интервал (а; х) *). Точно так же
компонента б", содержащая какую-либо точку х" интервала (х; Ь),
содержит весь этот интервал. Точка х является, очевидно, пра-
вым концом интервала б' и левым концом интервала б", что и
требовалось доказать.
Следствие. Для того чтобы замкнутое множество Фс/?1
было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы никакие два
смежных к Ф интервала не имели общего конца.
Замечание 1. Пусть А —какое-либо подмножество действи-
тельной прямой; всякое множество, являющееся пересечением
множества А с некоторым интервалом, назовем (открытым) куском
множества А. Из теоремы 21 следует, что всякое множество,
открытое в А, есть сумма конечного или счетного множества
кусков множества А.
2. Нигде не плотные множества на прямой и на плоскости.
Канторово совершенное множество. Если множество М нигде не
плотно на R1, то каждый интервал (а; Р)с/?1 содержит по край-
ней мере одну точку х, не являющуюся точкой прикосновения
множества М. Тогда некоторая окрестность (х—е; х + е) точки х
не содержит ни одной точки множества М. Итак, для того чтобы
множество М было нигде не плотным на R1, необходимо (и, оче-
видно, достаточно), чтобы каждый интервал (а; Р)^/?1 содержал
интервал (а'; Р'), свободный от точек множества М. Аналогично
доказывается, что для того, чтобы множество М было нигде не
плотным в У?2, необходимо и достаточно, чтобы в каждом круге
лежал меньший круг, не содержащий ни одной точки множе-
ства М. Любой отрезок, лежащий на плоскости, любая ломаная
линия, а также такие кривые, как эллипс, гипербола, парабола,
могут служить примерами нигде не плотных совершенных мно-
жеств на плоскости.
♦) Вообще, всякий интервал, содержащийся в открытом множестве Г,
лежит в некоторой компоненте этого множества.
$ 5j	ПОДМНОЖЕСТВА ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ	137
Напомним, что плоской алгебраической кривой называется мно-
жество А тех точек (х, у) плоскости, которые удовлетворяют
некоторому заданному уравнению вида
f(x, у) —О,
где f (х, у) есть многочлен от переменных х, у, не равный тож-
дественно нулю. Докажем следующее предложение:
Теорема 23. Всякая алгебраическая кривая есть множество,
нигде не плотное на плоскости.
Лемма. Существует не более конечного числа таких значе-
ний переменного у, при подстановке которых в многочлен f (х, у)
получается многочлен от х, тождественно равный нулю.
В самом деле, напишем тождество
f (х, у) = р9 (у) хп+р1 (у) X"-1 + . •. + р„-1 (У) х + рп (у),
получаемое, если расположить многочлен f (х, у) по убывающим
степеням х. Здесь коэффициенты pQ(y), рДу), •••» рп(У) суть
многочлены от у с постоянными коэффициентами. Если при дан-
ном значении у = у0 многочлен от х
f (X, ув) = Р9 (у0) Хп + Pi (Уо)	1 + • • . + (Уо) х + Рп (у0)
тождественно равен нулю, то это означает, что число у0 является
корнем алгебраических уравнений р0 (у) = 0, рх (у) = 0, ...
...,р„(у) = О. Так как каждое алгебраическое уравнение имеет
лишь конечное число корней, то лемма доказана.
Докажем теперь, что алгебраическая кривая Л, определяе-
мая уравнением
f(x, у) = 0,
есть множество, нигде не плотное на плоскости. Для этого до-
статочно доказать, что всякое открытое множество Г на плоско-
сти содержит открытое множество Го, свободное от точек кривой
А. Возьмем какую-нибудь точку г0 = (х0, у0) множества Г, выбран-
ную под единственным условием, чтобы у0 было отлично от каж-
дого из того конечного числа значений у, при которых f (х, у)
превращается в тождественно равный нулю многочлен относи-
тельно х. Проведем прямую у = у0, на ней f (х, у) может обра-
титься в нуль лишь для конечного ^исла значений х. Прямая
y = yQ пересекается с открытым множеством Г по открытому на
этой прямой множеству Н, содержащему точку г0 и, следова-
тельно, непустому. Значит, можно найти интервал /70, лежащий
в Н. Возьмем на интервале Яо какую-нибудь точку г = (х, у0),
в которой значение функции f (х, у) отлично от нуля. В силу
того, что многочлен f (х, у) есть непрерывная функция от х, у *),
*) Это мы предполагаем известным из анализа.
138
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
существует такое 8 > 0, что во всех точках окрестности U (г, в)
функция f(x, у) отлична от нуля. С другой стороны, так как Г
открыто, то р(г, 7?2\Г) = в' > 0. Множество Го = (7 (г, в"), где ь"
есть наименьшее из чисел г и е', и есть искомое открытое мно-
жество, содержащееся в Г и свободное от точек кривой Л.
Примеры совершенных нигде не плотных множеств на прямой
далеко не столь элементарны, как приведенные сейчас примеры,
относящиеся к случаю плоскости. Простейшее такое множество
было построено Кантором и известно под названием канторова
совершенного множества или канторова дисконтинуума. Это заме-
чательное множество представляет интерес значительно больший,
чем интерес отдельного примера. Оно имеет большое принципиаль-
ное значение и постоянно применяется всюду, где вообще при-
меняется теория множеств.
Возьмем сегмент [0; 1] числовой прямой. Обозначим его через А
и будем называть сегментом «нулевого ранга». На нем возьмем
два сегмента До = j^O; yj и Aj . Эти сегменты будем на-
зывать сегментами «первого ранга», а лежащий между ними
интервал о = ( у; у)—интервалом «первого ранга». С каждым
пз сегментов До и Aj поступим так же, как с сегментом А, а
именно на Ао и на Дг возьмем по два сегмента «второго ранга»;
это будут первая и третья трети каждого из сегментов первого
ранга, т. е.
Д0о=[о; 4] и л«1 = [4:4] <на А»)
И
Аю=[т;т] и А>1 = [4: (на А1):
между ними лежат соответственно интервалы «второго ранга»
60=fy; у), т. е. средняя треть сегмента До,
и
я /7	8\	А
о1=(у; у!—средняя треть сегмента Д£
(рис. 7). Это построение продолжаем безгранично: пусть построены
2я сегментов n-го ранга А^..лп (каждый из индексов iu ..., in
принимает значения 0 и 1); каждый из сегментов	раз-
делим на три равных по длине куска: два крайних сегмента
Ац..ипо и Ац..лп1 (первая и третья трети сегмента Ait...in) и
лежащий между ними интервал 6^..лп. (средняя треть сегмента
5 5]
ПОДМНОЖЕСТВА ПРЯМОЙ и плоскости
139
Д/1е.л ); это и будут два сегмента и интервал (л + 1)-го ранга,
лежащие на данном сегменте л-го ранга Д^..л .
Замечание 2. Так как сегменты л-го ранга находятся,
попарно, на положительном расстоянии друг от друга, то
это же и подавно справедливо для лежащих на них интервалов
(л + 1)-го ранга. Интервалы рангов ^л лежат между сегментами
л-го ранга и потому находятся на положительном расстоянии
.	$00	4/
|—f—1^>.. Iх
О *оо	koi _/
—1—£—•—3—I
&10Оь Nd!	&ЦОа
1 Л	.
з	1	1
Рис. 7.
от всех интервалов (л+1)-го ранга. Сумму всех сегментов л-го
ранга обозначим через Пп. Это — замкнутое множество, дополне-
ние к которому состоит из двух бесконечных интервалов (— оо; 0)
и (1; + оо) и из всех интервалов ранга ^л. Поэтому пересече-
ние Д = Q Пп-всех множеств Пл есть замкнутое множество, имею-
п
щее своим дополнением сумму всех интервалов	(всевоз-
можных рангов) и двух бесконечных интервалов (— оо; 0) и
(1; + оо). Отсюда, в частности, следует, что концы всех интер-
валов	а, также точки 0 и 1 принадлежат множеству П,
так что интервалы бц., л 9 а также интервалы (— оо; 0) и (I; +оо)
суть все смежные интервалы к замкнутому множеству П. Мно-
жество П и называется канторовым множеством или канторо-
вым дисконтинуумом.
Из замечания 2 следует, что два смежных интервала к мно-
жеству П не только не имеют общих точек, но не имеют и общего
конца, поэтому в силу следствия теоремы 22 замкнутое множе-
ство П—совершенное.
Установим некоторые свойства множества П.
Прежде всего, длина каждого сегмента л-го ранга равна
Мы уже видели, что расстояние между двумя различными сег-
ментами л-го ранга Поэтому каждая точка х£ПсА при-
надлежит единственному сегменту Д£1 первого ранга, единствен-
ному (лежащему на Д£1) сегменту второго ранга Д£-1£-2, вообще,
единственному сегменту л-го ранга Д£1.. л Другими словами,
каждой точке х 6 П однозначно соответствует последовательность
140
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
сегментов
Дц=) =>	... =>Д1Л_л-п=э ...,	(1)
а значит, и последовательность индексов
i\, Ч» •••»	•••> каждое in = 0 или =1.	(2)
При этом каждая последовательность (2) поставлена в соответ-
ствие одной-единственной точке х£П, а именно единственной
точке х, принадлежащей всем сегментам (1). Итак:
1.	Множество П находится во взаимно однозначном соответ-
ствии с множеством всех последовательностей вида (2) или, что
то же самое, всех бесконечных двоичных дробей
0, 1^2.. .1п..., in = । ,	(3)
а потому имеет мощность континуума.
2.	Множество всех конечных смежных интервалов к канторову
дисконтинууму П естественным образом упорядочено («слева на-
право»). Легко видеть, что это упорядоченное множество подобно
множеству всех двоично-рациональных чисел интервала (0; 1)*).
В самом деле, для установления искомого подобного соответ-
ствия достаточно читать систему индексов Ч •••/„-! каждого
интервала	как конечную двоичную дробь
О ;	;	1 — 21 _L_ 21 j t Ь-i , _1_
и, 4 • • • i — 2 ' 4 ‘	2n-1 2n *
Тогда наши смежные интервалы последовательно записываются
при помощи дробных индексов так:
При этом ясно, что взаимное порядковое расположение на пря-
мой наших смежных интервалов таково же, как и расположение
двоично-рациональных чисел, являющихся их индексами, чем
наше утверждение доказано.
*) Можно было бы вывести это утверждение из теоремы 1 § 1 гл. 3, убе-
дившись в том, что среди конечных смежных интервалов нет ни самого левого,
ни самого правого и что между любыми двумя смежными интервалами лежит
бесконечно много смежных интервалов.
§ 5]
ПОДМНОЖЕСТВА ПРЯМОЙ И плоскости
141
Замечание 3. Точки множества П, являющиеся концами
смежных интервалов, называются точками первого рода (im
односторонними точками) множества П. Их, очевидно, лишь
счетное множество. Все остальные точки множества П называются
точками второго рода (или двусторонними точками). Если х есть
левый конец смежного интервала , то х является точкой
пересечения сегментов
Дц..л‘по, Де\..л‘п01> Д^.-.^ои» Д |Ч.. л„ои1 > •••»
а если х есть правый конец смежного интервала бц.../ , то х
является точкой пересечения сегментов
Д^...^!, Дц.,.^10,	Дц--t^iooe» •••
Если же точка х принадлежит сегментам
До =э Дц ZD Дцц ZD Дццц =)...=> Дцц.. лп =э ...,
причем среди индексов in при сколь угодно большом п имеются
как нули, так и единицы, то х—точка второго рода. Таким обра-
зом, среди бесконечных двоичных дробей (3), взаимно однозначно
соответствующих точкам множества П, точкам первого рода
соответствуют дроби (3), у которых все in, начиная с некото-
рого, равны между собою (и которые, следовательно, являются
разложениями двоично-рациональных чисел).
3.	Канторово множество П может быть определено как мно-
жество всех точек сегмента [0; 1], имеющих разложение в троич-
ную дробь, состоящее лишь из цифр 0 и 2.
о	с ( 1	2 \
В самом деле, точки смежного интервала б = (у; у) харак-
теризуются тем, что их разложение в троичную дробь имеет
первый троичный знак 1. Заметим, что концы интервала имеют
по два разложения, а именно:
0,10000000... =0,02222222...
и
0,20000000... = 0,12222222..,
Для нас важно заметить, что каждая из этих точек имеет раз-
ложение, в котором участвуют лишь цифры 0 и 2. Таким обра-
зом, оба сегмента первого ранга состоят из точек, имеющих
разложение в троичную дробь, первой цифрой которого является
либо 0, либо 2. Среди этих точек те, троичное разложение кото-
рых имеет в качестве второй цифры непременно 1, суть интер-
валы 60=^у; и	, т. е. смежные. Итак, точки
смежных интервалов второго ранга характеризуются тем, что они.
142
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
не имея цифры 1 в качестве своего первого троичного знака,
имеют ее неизбежно своим вторым троичным знаком. Следова-
тельно, удаляя из сегмента [0; 1] смежные интервалы первых
двух рангов, мы удалим все точки и только те точки, у которых
цифра 1 непременно появляется в качестве первого или второго
троичного знака. Точно так же убеждаемся в том, что смежные
интервалы третьего ранга состоят из точек, первые два троичных
знака которых отличны от 1, но третий непременно является
единицей, и т. д. Вообще, удаляя из сегмента |0; 1] все смеж-
ные интервалы рангов мы удалим все точки, имеющие
цифру 1 по крайней мере на одном из первых п мест троичного
разложения. Отсюда следует, что сумма всех собственных смеж-
ных интервалов к множеству П сострит из всех точек сегмента
[0; I], троичное разложение которых непременно содержит хотя
бы одну цифру 1. Утверждение 3 этим доказано. Заметим, что
каждая из точек первого рода, будучи точкой вида имеет
два троичных разложения (одно из которых не содержит
цифры 1).
4.	Канторово множество П нигде не плотно на числовой прямой.
В самом деле, так как П замкнуто, то достаточно показать,
*что А^ХП всюду плотно на Z?1, т. е. что каждая точка х чис-
ловой прямой есть точка прикосновения множества /?1\П. Оче-
видно, достаточно рассмотреть случай х£П и показать, что,
каково бы ни было 8 > 0, имеются точки	лежащие
в U (х, 8). Для этого рассмотрим столь большое м, что ^<8.
Так как П„ состоит из конечного числа попарно не пересекаю-
щихся сегментов длины то расстояние от каждой точки мно-
жества Пп (значит, в частности, и от каждой точки х£П) до
суммы интервалов, образующих дополнение к Пи, меньше чем
< 8. Следовательно, U (х, 8) имеет с /?1\ПЯ, а значит, и по-
давно с 7?1\П непустое пересечение, что и требовалось доказать.
5.	Обозначим через множество всех точек множества П,
лежащих на сегменте Д^..лл. При подобном преобразовании
коэффициентом , переводящем сегмент [0; 1] в сегмент
Дц...гл, множество П, очевидно, взаимно однозначно переходит
в множество	откуда, в частности, следует, что множе-
ство Пц..ли имеет мощность континуума. Пусть теперь а—про-
извольная точка множества П. Докажем, что в любой окрестности
U (я, в) содержится не только бесконечное, но даже несчетное
множество точек из П (этим будет дано второе доказательство
того факта, что замкнутое множество П не содержит изолир о-
$ 5]	ПОДМНОЖЕСТВА ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ	143
ванных точек, т. е. является совершенным). Для этого возьмем
столь большое м, что < е, и рассмотрим тот сегмент n-го ранга
Ац...4п, на котором лежит точка а. Так как длина этого сегмента
равна < 8, то он, содержа точку а. целиком лежит в U (а, е),
чем наше утверждение и доказано, ибо U (а. е) содержит часть
Пц...1и множества П, имеющую мощность континуума.
Подведем итог доказанному.
Канторов дисконтинуум П есть нигде не плотное совершен-
ное множество на числовой прямой, каждая точка которого есть
точка конденсации этого множества. Множество всех собствен-
ных смежных интервалов к множеству П, упорядоченное на чис-
ловой прямой естественным образом (слева направо), подобно
множеству всех (двоично-) рациональных чисел.
3.	Общие теоремы о совершенных множествах на прямой.
Усилением свойства 2 канторова дисконтинуума является сле-
дующая общая
Теорема 24. Упорядоченное естественным образом (слева
направо) множество всех конечных смежных интервалов к любому
нигде не плотному непустому совершенному множеству подобно
множеству всех двоично-рациональных чисел.
В силу теоремы 1 § 1 гл. 3 достаточно показать, что
1° среди конечных смежных интервалов к нигде не плотному
совершенному множеству Ф нет ни самого левого, ни самого
правого;
2° между любыми двумя конечными смежными интервалами
к совершенному нигде не плотному множеству Ф лежит по край-
ней мере один смежный интервал к Ф.
Доказательство свойства 1°. Пусть б = (я;6)—ко-
нечный смежный интервал к Ф. Тогда я£Ф. Однако не может
быть а = т!Ф, так как тогда а была бы изолированной точкой
множества Ф. Поэтому имеется точка х^Ф, расположенная
влево от а. Так как Ф нигде не плотно на А?1, то на (х; а) можно
найти точку х'€Г = /?1\Ф. Точка х' принадлежит некоторому
смежному интервалу 6' к Ф, который, содержа точку х' интер-
вала (х; а) и не содержа ни а. ни х, лежит на (х; а), т. е. рас-
положен влево от интервала (а\ Ь) = 8. Итак, никакой конечный
смежный интервал к Ф не является самым левым. Таким же
точно образом убедимся в том, что никакой конечный смежный
интервал к Ф не является самым правым.
Доказательство свойства 2°. Пусть Sx = (ах; Ьх) и
62 = (а2;Ь.2)—два смежных интервала к Ф^ и пусть 6Х лежит
влево от S2. Так как- эти интервалы не имеют общего конца, то
i1=^=a2; так как Ф нигде не плотно, то на (&х; а2) имеется точка
144
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
хС^ХФ и содержащий ее смежный интервал лежит на (&х; а2\
т. е. между и б2, что и требовалось доказать.
Следствие. Упорядоченное множество 0 всех смежных интервалов
к ограниченному совершенному нигде не плотному множеству подобно
множеству всех двоично-рациональных точек сегмента [0; 1].
Из теоремы 24 вытекает, что всякое сечение (Л, В) в указан-
ном упорядоченном множестве 0 принадлежит к одному из сле-
дующих трех типов:
1)	в нижнем классе А есть самый правый, но в верхнем
классе В нет самого левого интервала;
2)	в А нет самого правого, но в В есть самый левый интервал;
3)	ни в А нет самого правого, ни в В нет самого левого
интервала.
Сечения этого третьего рода, как известно, называются
«щелями» в упорядоченном множестве 0. Мы сейчас приложим
только что полученные результаты к доказательству очень важ-
ной теоремы, утверждающей, что все ограниченные нигде не
плотные совершенные множества на прямой подобны между собою.
Определение 9. Точка совершенного множества Ф, являю-
щаяся концом некоторого смежного к Ф интервала, называется
точкой первого рода (или односторонней точкой) множества Ф;
точка х € Ф, не являющаяся концом никакого смежного к Ф
интервала, называется точкой второго рода (или двусторонней
точкой) множества Ф.
Очевидно, если точка «£Ф есть точка первого рода, то все
достаточно близкие к а точки множества Ф расположены с од-
ной стороны от точки а, а именно слева от а, если а—левый
конец некоторого смежного интервала, и справа, если а — правый
конец смежного к Ф интервала. Если же «—точка второго рода,
то в любой близости от точки а и справа, и слева имеются точки
множества Ф.
Каждой точке х £Ф второго рода соответствует вполне опреде-
ленное сечение 0Х = (Ах, Вх) в упорядоченном множестве 0: чтобы
получить это сечение, достаточно отнести к нижнему классу Ах
все смежные интервалы, лежащие левее точки х, тогда верхний
класс Вх будет состоять из смежных интервалов, лежащих пра-
вее точки х. Сечение 0Х = (ЛХ, Вх) есть щель: в самом деле, пусть
б = («;&) есть произвольный интервал, положим нижнего класса;
так как х—точка второго рода, то х=/=&, значит, Ъ < х. Так как
Ф нигде не плотно, то на интервале (6; х) лежит точка х' С Г =
= 7?г\Ф, а значит, и весь смежный интервал, содержащий точку
х', который, таким образом, оказывается справа от интервала б,
но еще слева от точки х. Итак, никакой из интервалов нижнего
класса не является самым правым среди интервалов этого класса.
Точно так же мы убедимся в том, что среди интервалов верхнего
класса нет самого левого.
$ 5J
ПОДМНОЖЕСТВА ПРЯМОЙ и плоскости
145
Двум различным точкам второго рода х и х', х < х', соответст-
вуют различные щели 0* и 0х,9 так как все смежные интер-
валы, лежащие между х и х', попадают в Вх и в то же вре-
мя в Ах>.
Докажем, наконец, что каждая щель 0 = (А, В) в О ока-
зывается поставленной в соответствие некоторой точке второго
рода множества Ф. Другими словами, найдем такую точку вто-
рого рода х € Ф, что А состоит из всех смежных интервалов,,
лежащих левее, а В—из всех смежных интервалов, лежащих
правее точки х. Рассмотрим верхнюю грань а множества, состоя-
щего из концов всех интервалов, являющихся элементами класса
А. Точно так же пусть b есть нижняя грань множества концов-
всех интервалов из В. Так как каждый интервал из А лежит
левее каждого интервала из В, то а^Ь. Однако если бы было
а < 6,то на (а; Ъ) не оказалось бы ни одного смежного интервала
к Ф, а значит, и ни одной точки множества /?Х\Ф, в противо-
речии с тем, что Ф нигде не плотно. Поэтому а = Ь. Полагая
х = а = Ь, видим, что х—точка второго рода и что А действительно-
состоит из интервалов, лежащих левее, а В — из интервалов,
лежащих правее точки х. Итак, наша конструкция дает взаимно
однозначное соответствие между всеми точками второго рода мно-
жества Ф и всеми щелями множества 0. Но множество всех щелей
множества 0 естественным образом оказывается упорядоченным:
достаточно условиться, что щель 0Х = (ЛХ, Вх) предшествует щели
®у = (Ау9 Ву)> если Ах с Ау. Далее, если из двух точек второго-
рода х, у£Ф первая лежит левее второй, то Ах с Ау9 так
что установленное нами соответствие между точками второго
рода множества Ф и щелями в 0 есть соответствие
подоби я.
Пусть теперь даны два ограниченных совершенных нигде не
плотных множества Ф и Ф' на числовой прямой. Множества их
точек первого рода обозначим соответственно через 5 и S', а
упорядоченные множества их конечных смежных интервалов —
через 0 и 0'. Упорядоченные множества 0 и 0' подобны между
собою, так как каждое из них подобно множеству всех двоично-
рациональных чисел. Соответствие подобия между 0 и Q' порож-
дает соответствие подобия между S и S'; если б = (х;г/) и
6'= (*';/)—соответствующие друг другу смежные интервалы к
Ф и Ф', то считаем соответствующими друг другу хи х', у и
у'. Кроме того, ставим в соответствие а= inf Ф и а' = inf Ф\
fe' = sup Ф и b' = sup Ф'. Соответствие подобия между 0 и 0'
порождает соответствие подобия между множествами всех щелей
в 0 и в 0', т. е. между точками второго рода в Ф и Ф'. Оста-
ется показать, что полученное взаимно однозначное соответствие
между всем Ф и всем Ф' есть соответствие подобия. А для этого
достаточно доказать следующее:
146
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Еслих—первого, у—второго рода вФ, а / и у'—соответст-
вующие им точки в Ф', то из х < у, соответственно х > у, следует
х' < у', соответственно х' > у'.
Но отношение х<у равносильно отношению х^Ау, которое,
в силу соответствия между щелями в 0 и в О', переходит в от-
ношение х' С равносильное отношению %'<//'. Аналогично
и для отношения х > у (равносильного отношению х£Ву).
Предыдущими рассуждениями доказана
Тео рем а 25. Все ограниченные совершенные нигде не плотные
множества на прямой подобны между собою. В частности, вся-
кое совершенное ограниченное нигде не плотное множество на пря-
мой подобно канторову дисконтинууму.
Так как топология числовой прямой и лежащих на ней мно-
жеств может рассматриваться как порядковая топология в мно-
жестве действительных чисел, то в теореме 25 слово «подобны»
может быть заменено словом «гомеоморфны».
Теми же рассуждениями доказывается, что все совершенные
нигде не плотные и в обе стороны неограниченные множества
подобны между собою (наши рассуждения даже немного упро-
щаются от того, что такие множества имеют лишь конечные
смежные интервалы). Между прочим, все в обе стороны неогра-
ниченные совершенные нигде не плотные множества подобны,
например, канторову дисконтинууму, из которого удалены две
его крайние (самая левая и самая правая) точки. Аналогично,
совершенное нигде не плотное множество, ограниченное только
снизу (только сверху), подобно канторову дисконтинууму без его
самой правой (самой левой) точки.
Из изложенного следует, что всякое нигде не плотное совер-
шенное множество имеет мощность континуума.
Наконец, если совершенное множество плотно на каком-ни-
будь интервале, то оно содержит этот интервал и, значит, тоже
имеет мощность континуума; итак, имеет место следующий об-
щий результат:
Теорема 26. Всякое совершенное множество на прямой имеет
мощность континуума.
Эту теорему (сначала снова для ограниченных нигде не плот-
ных множеств) можно вывести еще и из других соображений.
-Мы видели, что множество точек второго рода совершенного ни-
где не плотного множества Ф подобно множеству щелей множества
6. Но множество О в свою очередь подобно множеству рациональ-
ных чисел. Значит, множество всех точек второго рода множес-
тва Ф подобно множеству всех щелей множества рациональных
чисел; но множество всех щелей множества рациональных чисел
подобно множеству всех иррациональных чисел. Этот результат
остается в силе и без предположения ограниченности множества
«ф. Итак:
§ 6]	ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ	(4/
Теорема 27. Множество всех точек второго рода любого со-
вершенного нигде не плотного множества на прямой подобно мно-
жеству всех иррациональных чисел и, следовательно, имеет мощ-
ность континуума.
Завершим этот параграф построением стандартного отображе-
ния канторова дисконтинуума на отрезок числовой прямой. По
теореме 24 множество смежных интервалов к канторову дискон-
тинууму подобно множеству двоично-рациональных чисел отрезка.
На смежном интервале Sr к канторову дисконтинууму, имеющем
в качестве номера двоично-раЦиональное число г, полагаем функ-
цию ф равной г, так же как и на его концах. Остается доопре-
делить функцию <р в точках второго рода канторова дисконти-
нуума. Каждая такая точка £ определяет разбиение множества
всех смежных интервалов на два класса—на интервалы, лежа-
щие слева от точки g, и на интервалы, лежащие справа от этой
точки. Тем самым определено сечение (Л, В) в множестве всех
двоично-рациональных чисел отрезка, являющееся щелью. Пола-
гаем ф (|) равным соответствующему этой щели двоично-ирраци-
ональному числу. Итак, построено отображение ф отрезка на
себя. Оно непрерывно, как монотонное отображение одного упо-
рядоченного множества на другое. График этого замечательного
отображения носит название «канторовой лестницы». Ограничение
этого отображения на канторов дисконтинуум П и будет стан-
дартным отображением множества П на отрезок.
§ 6. Некоторые классические примеры
метрических пространств и их свойства
В этом параграфе мы приведем несколько важнейших приме-
ров метрических пространств, постоянно встречающихся во все-
возможных отделах математики.
Числовая прямая У?1 известна читателю еще из средней
школы. Точками п-мерного евклидова пространства Rn называются
последовательности
Xi, х2, •. • , Хп
из п действительных чисел, причем расстояние между двумя
точками х=(х19 ..., хп) и y = (ylt .уп) определяется фор-
мулой
Р(х, f/)=K(X! —Х/!)2+ . . . +(Х„—1/„)2.
Это расстояние, очевидно, удовлетворяет аксиомам тождества
и симметрии. Докажем, что оно удовлетворяет также и аксиоме
треугольника. Доказательство опирается на неравенство Коши —
Буняковского (неправильно называемое также неравенством
148
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Шварца), а именно на неравенство
(О
верное для любых наборов действительных чисел хк и ук.
Начнем с доказательства этого неравенства. Рассмотрим сна-
чала частный случай, когда расстояния от точек х = (х1( ...,х„)
и у = {ул....уп) до начала координат о = (0,	0) равны 1
<т. е. xf+	y't+ ... +^ = 1).
Так как
п	п	п	п
о 2 УкУ == S	2 yi —2 2
k=l	6=1	6=1	6=1
то
п	п	п
S4+S 2 хкук,
6=1	6=1	6=1
п
значит, в силу наших предположений имеем 2^2 У xkyk, т. е.
6=1
п
(V)
6=1
Пусть теперь х = (хп .хп) и у = (у19 .уп)—какие угодно
точки n-мерного пространства Rn.
Положим
Xfr = т-Ч"—- » y’k= 7^=- при fe = 1, 2, ..п.
Тогда расстояние от точек x'=(xi, .х'), у9 ~(у'19 у'п)
до начала координат равно 1, и мы, по только что доказанному,
можем написать
п
2 хкук^ 1,
6=1
т. е.
чем неравенство Коши—Буняковского доказано.
*) Для читателей, знакомых с простейшими понятиями, касающимися
векторов в м-мерном пространстве, заметим, что неравенство (1) для двух век-
торов 5 = (^i, •••» хп) и т| = (yi, ...» уп) особенно просто записывается, если
использовать обозначения скалярного произведения: (£, q) 15 | • | q
ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
149
Докажем теперь, что в пространстве Rn выполнена аксиома
треугольника, т. е. что для любых х= (хп ..., хп) и у = (уи ..., уп)
имеем неравенство (суммирование везде от 1 до п)
V2(^-гЛ)2 < V^xk-y^ +	(2)
Полагая хк—ук = ик, ук—zk = vk, имеем хк—zk — uk-\-vk, так что
подлежащее доказательству неравенство (2) переписывается в виде
К^(ил + ул)2 и1 + К2 vk>
или—по возведении обеих частей в квадрат—в виде
5(«л + ^)2	+	+
т. е.
Но для доказательства этого неравенства достаточно обе части
неравенства Коши—Буняковского помножить на 2 и затем при-
бавить к ним по выражению +
Замечание о метрическом произведении прост-
ранств. Это замечание совершенно естественно примыкает
к определению евклидовых пространств Rn. Пусть даны метри-
ческие пространства
х>, .... х„
(в конечном числе п). Точками метрического произведения X =
= [Ххх ... X Хп] назовем всевозможные последовательности,
каждая из которых состоит из п элементов хх £ Хх, ..хп£ Х„.
Расстояние между двумя точками х = (хх, ..., х„) и у = (ylt .. .,у„)
пространства X определим по формуле
Р(х, у) = Г (р (хх, Уг)У + .. - + (р (х„, уп))\
Читателю предоставляется самому убедиться в том, что введен-
ное таким образом расстояние удовлетворяет всем трем аксиомам
метрического пространства.
Прежде чем определять гильбертово пространство Z?00, яв-
ляющееся как бы бесконечномерным аналогом евклидова про-
странства, запишем одно арифметическое соотношение, непосред-
ственно вытекающее из аксиомы треугольника, выполненной, как
следует из предыдущих рассуждений, в я-мерном евклидовом
пространстве. Именно, применим аксиому треугольника к трем
точкам о = (0, ..., 0), х = (хп ..., х„) и y = (ylt ..., уп) я-мер-
ного евклидова пространства, получаем
р(х, о) + р(о, #)>р(х, у),
150
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4-
т. е.
(Хл—ук)\
(3>
Пусть теперь последовательности действительных чисел
%19 Л29	* ’ * »	* * *
У19 У29	- 9 УП9 ‘ •
суть последовательности со сходящейся суммой к в ад ра-
се	оо
то в (т. е. ряды 2 лп и 2 Уп сходятся). Тогда, переходя в (3}
п=1	п—\
к пределу при п—>оо, получим
(xk—yk)2.
(4)
Так как все написанные ряды—с положительными членами, то
со
из (4) следует сходимость ряда У, (хй—ук)2. Итак, если ряды
t=i
СО	ОС	00
2 А и 2 Уk сходятся, то сходится и ряд 2 (ха—Это
*=1	Ь1	6=1
и есть арифметическое соотношение, нужное нам для определе-
ния пространства Гильберта.
Определение гильбертова пространства R*. Точ-
ками гильбертова пространства являются всевозможные беско-
нечные последовательности действительных чисел
Л\9 Л29	* * * 9 %П9	’ ’ *
со сходящейся суммой квадратов. Расстояние между
двумя точками х = (хп х2, ..., х„, ...) и у = (у19	, уп, ...)
определяется формулой
Р(х, У)=у ^(хп—у„)2
(по только что доказанному, ряд справа сходится в наших пред-
положениях, так что расстояние определено для любых двух
точек гильбертова пространства). Проверяем аксиомы метриче-
ского пространства. Аксиомы тождества и симметрии выполнены
очевидным образом. Аксиома треугольника получается предель-
ным переходом при п—>оо из соответствующего неравенства для
$6]
ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
151
л-мерного евклидова пространства
1/	3 (**—гк)г.
V k=l	Т k=l	9
Множество всех точек х = (х19 х2, ...9хП9 гильбертова
пространства, для которых 0 ^хп -^-(при любом п = 1, 2, 3,...),
обозначается через Q и называется основным параллелепипедом
гильбертова пространства (или просто гильбертовым кирпичом).
Легко видеть, что Q замкнуто в R”>.
Мы знаем, что множество всех рациональных (а также мно-
жество всех иррациональных) трчек числовой прямой R1 всюду
плотно на ней.
Легко найти счетное всюду плотное множество и в п-мерном
евклидовом пространстве Rn при любом п: таким множеством
является, например, множество всех «рациональных» точек, т. е.
точек, у которых все п координат рациональны. Счетность этого
множества доказана в § 4 гл. 1.
В гильбертовом пространстве У?30 также имеется счетное всюду
плотное множество: таким множеством, например, является мно-
жество D всех точек вида
х = (Г1, г2, .... г„, О, 0, 0, ...),	(5)
у которых все координаты рациональны и среди них лишь ко-
нечное (однако сколь угодно большое) число отлично от нуля.
Счетность множества D следует из того, что D есть сумма счет-
ного множества множеств Dn, где Dn, по определению, состоит
из всех точек вида (5) при данном и.
Обобщенное гильбертово пространство Нх
строится для всякого бесконечного кардинального числа т сле-
дующим способом (приводящим в случае счетного т к обыкно-
венному (классическому) гильбертову пространству). Возьмем
какое-либо множество 81 = {а} мощности т, которое назовем мно-
жеством индексов, а сами элементы а множества 51 назовем ин-
дексами. При счетном т возьмем в качестве 81 множество всех
натуральных чисел*). Каждому а^81 поставим в соответствие
некоторое вещественное число ха так, чтобы множество тех а,
для которых ха 0, было не более чем счетно и чтобы при этом
сумма квадратов чисел ха была конечна. Мы получили функцию
х = х(а), определенную на множестве 8г, со значениями, являю-
щимися вещественными числами, и удовлетворяющую поставлен-
ным выше условиям. Каждая такая функция х со значениями
*) При любом т можно, конечно, принять за 81 множество всех порядко-
-вых чисел мощности < т.
152
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
х(а) = ха (каждый набор чисел {ха}, где а пробегает все мно-
жество индексов 31) называется точкой х = {ха} пространства
а сами числа ха, т. е. значения функции х, называются коорди-
натами точки х = {ха). Как и при T=tf0, для всяких двух точек
л = {ха} и х' = {Ха} имеет место неравенство Коши—Буняков-
ского
XccXq^ ~\/	* ~\/	•
а€«	V а €21 V а еЯ
где суммирование ведется по всем а £31 или, что то же самое,
по не более чем счетному множеству тех а, для которых хотя бы
одно из чисел ха, х» отлично от нуля. Из этого неравенства
следует, что для точек х = {ха} и у = {уа] определено конечное
неотрицательное число
Р (*.*/)= т/" 2 (ха—уау,
г а е 21
называемое расстоянием между ними, и что это расстояние (оче-
видно, удовлетворяющее аксиомам тождества и симметрии) удов-
летворяет и аксиоме треугольника. Полученное метрическое про-
странство Нх называется обобщенным гильбертовым простран-
ством «числа измерений т».
Пространство С всех непрерывных функций f
на отрезке |0; 1]. Точками пространства С являются всевоз-
можные вещественные непрерывные функции на отрезке [0; 1]
числовой прямой R1 *). Расстояние p(f, g) между двумя точками
пространства С, т. е. между двумя функциями f и g, опреде-
ляется как
Р(/. g) = sup |f(x)—g(x)|.
Q<x< 1
Читатель легко докажет, что последовательность точек f19 f2i ...
fn, ... пространства С сходится к точке f тогда и только
тогда, когда последовательность функций f2, •	рав-
номерно сходится на отрезке [0; 1] к функции f.
Докажем следующее
П редложение 1. В пространстве С содержится счетное
всюду плотное множество.
Доказательству этого предложения предпошлем несколько
элементарных замечаний. Назовем «допустимой» ломаной всякую
простую ломаную
/. = Л0 Л, ... А„,	(6)
удовлетворяющую следующим условиям:
*) Вместо отрезка [0; 1] можно было бы взять и любой другой отрезок
1«; ь] числовой прямой.
ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
153
5 6]
а)	ломаная L вся расположена в полосе 0 х 1 и с каж-
дой лежащей в этой полосе прямой, параллельной оси ординат,
пересекается в одной лишь точке;
б)	вершинами ломаной L являются точки
До ~ (Хо, Уо)9 ^i = (x1, 4/х), • ••>
с рациональными абсциссами, причем хо = 0, х„ = 1.
Очевидно, каждая допустимая ломаная L является графиком
некоторой непрерывной на [0; 1] функции X (х), линейной в каж-
дом из сегментов [0;xJ, [хх;х2], .K-i‘,1]. Непрерывные
функции этого рода называются кусочно линейными. Кусочно ли-
нейную функцию назовем «допустимой», если ее график есть до-
пустимая ломаная.
Среди допустимых ломаных и соответствующих им кусочно
линейных функций мы особо выделим «регулярные» ломаные и
функции. Допустимую ломаную мы назовем регулярной, если
обе координаты каждой из ее вершин рациональны. Функции,
графиками которых являются регулярные ломаные, назовем
также регулярными. Из теоремы 9 § 4 гл. 1 следует, что мно-
жество всех регулярных ломаных счетно. Следовательно, регу-
лярные функции образуют счетное подмножество Со простран-
ства С. Наша задача—доказать, что множество Со всюду плотно
в С. Это утверждение вытекает из следующих двух предложений:
А) Каковы бы ни были непрерывная на [0; 1] функция f(x)
и положительное число 8, существует допустимая кусочно ли-
нейная функция Х(х), удовлетворяющая для всех х С [0; 1 ] не-
равенству \f(x)—Х(х)|<8.
Б) Каковы бы ни были допустимая кусочно линейная функ-
ция Х(х) и положительное число 8, существует регулярная функ-
ция Л,*(х), удовлетворяющая для всех х£[0;1] неравенству
| X (х)—X* (х) | < 8.
Для доказательства предложения А) воспользуемся известной
из анализа теоремой о том, что всякая непрерывная на сегменте
[0; 1] функция равномерно непрерывна на этом сегменте. Поэтому
для данной непрерывной на [0; 1] функции f(x) можно ко вся-
кому 8 > 0 подобрать б > 0 так, чтобы для любых х' и х" на
сегменте [0; 1], удовлетворяющих неравенству |х'—х"| < б, было
| f (х')—f (х") |<|. Разобьем теперь сегмент [0; 1 ] рациональ-
ными точками х19 ..., хп_г на отрезки
[xw = 0, хх], [хх, Х2], • • • ,	~ 1]
длины < б, и пусть
yi = f (Xi)
ДЛЯ 4=0, 1,..., п. Если ПОЛОЖИТЬ Ai = [xh У;) при 4 = 0, 1, ..., л,
то ломаная (6) будет допустимой; обозначим изображаемую ею
154
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4-
кусочно линейную функцию через %(х). Для каждой точки х
сегмента [0; 1] определим xz из условия xz^x<xz+1. Имеем
оценки
| X (х)-Х (х,) | < | X (х/+1)-Х (X,) I = I f	I < f,
откуда, помня, что X (х,) = f (х;), получаем
I/ (х)-Х (X) КI f (x)-f (X,) I + IX (X,) —X (x) | < | + | = 8,
чем утверждение А) доказано.
Утверждение Б) вытекает из следующего замечания:
Б') Пусть даны допустимая ломаная (6) и число е > 0. Если
£/о» Угу • ••» У'п отличаются соответственно от z/0, у19 .уп
меньше чем на 8 и Л^ = (хь #•), то для функции Л* (х), изобра-
жаемой ломаной А'о А[ ... Л„, будет
| X (х) — X* (х) | < е.
(Утверждение Б) следует из Б'), так как значения у’^ у'19
можно выбрать рациональными.)
Действительно, пусть х—произвольная точка сегмента [0; 1].
Определим xz из условия xz^x<xz+1. Имеемх= Zxz + (1 — /)xz+1>
где
0 < t =	i.
Xi+1—Xi
Тогда
Ь (*)= iy, + (1 -О У1+1,	(х) = ty't + (1 -0 y'i+i
и, следовательно,
к(х)—X*(х) | С11у{— y’i| + (1 — 01yi+i— y’i+11<е[/ +(1 — /)] = е,
что и требовалось доказать.
Бэровские пространства. Пусть {а} — множество
каких-либо элементов а, называемых индексами, и мощность
множества §4 есть произвольно заданное кардинальное число т.
Построим метрическое пространство Вт следующим образом. Точ-
ками пространства Вт являются, по определению, всевозможные
(счетные) последовательности
£=(«1, а2»	...)
элементов множества индексов 31. Расстояние между двумя
точками £ = (alt ..., ап, ...) и — (а{, ..., о^, ...) определяется
$61
ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
155
как
р(В, П=Т’
тде k есть наименьшее из тех натуральных чисел, для которых
Итак, функция расстояния принимает лишь значения
вида у , причем равенство р (В, £') = -^ означает, что а1 = а[9 ...
..., ak-i = ai-i> н° ak^a'k.
Среди аксиом метрического пространства аксиомы тождества
и симметрии выполнены очевидным образом. Легко проверяется
и аксиома треугольника, и даже в следующем усиленном виде:
«если p(g,E') = ^r, p(g', 5") = -^’ то Р(^И = у’ где k есть
наименьшее из двух чисел А/, и, следовательно, \/k—наиболь-
шее из двух расстояний р(|, £') и р(£', £").
Сферической окрестностью О (Ч, точки £=(«!» ..., а„, ...)
является множество 0а1.. всех точек = (о^, ..., а', ...),
для которых
а'п = ап.
.Множество всех сферических окрестностей всевозможных точек
очевидно, равномощно с множеством всевозможных ко-
нечных комбинаций ..., ап, т. е. имеет мощность т. Поэтому
пространство Вт имеет вес т и его законно назвать бэровским
пространством веса т. Сам Бэр построил пространство Вт лишь
для счетной мощности т=&0, и тогда множество SI есть просто
множество всех натуральных чисел и точки пространства В$о суть
счетные последовательности натуральных чисел.
Предложение 2. Бэровсксе пространство В$о гомеоморфно
пространству J всех иррациональных чисел, рассматриваемому
как подпространство числовой прямой R1,
Доказательство. Поскольку множество R рациональных
дочек числовой прямой подобно множеству R2 двоично-рацио-
нальных точек отрезка / = [0; 1] (см. следствие из теоремы 1 § 1
гл. 3), достаточно доказать, что бэровское пространство В$0
гомеоморфно подпространству J2=/\R2 отрезка /,—тем самым
будет доказан и гомеоморфизм пространства В$0 пространству J.
Рассмотрим на сегменте / счетное семейство сегментов 6f = {АД»
/ = ±1, ±2, ±3, ...» где Ау= Г1—-J-.; 1-Д-] при j > 0 и А- =
J	7 L 27	2^ + 1J	7
= [27"1; 27] при j <0. Сегменты Ду. будем называть сегментами
1-го ранга.
Далее, на каждом сегменте 1-го ранга Ду = [«у; 6Д, bj—
построим счетное семейство {ДуД, k = ±l, ±2, ±3,
156
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Г df	d 1
ментов 2-го ранга, где Д/л= —р; bf—при fc>0
и ДуЛ = [ау + б//-2л“1; Лу+dy2л] при &<0, и положим 62 =
= {Ауд.: /, я=±1,±2, ...}. Продолжая эти построения, на сле-
дующем шаге получим семейство сегментов 3-го ранга
63= I, k, i= ±1, ±2, ...}, A/Wc длаДр
и т. д.
со
Положим 6= U Sz. Легко видеть, что множество концов
t=i
всех сегментов, входящих в семейство 6, совпадает с множе-
ством /?2 двоично-рациональных точек отрезка /.
Мы можем считать, что пространство В$о состоит из счетных
последовательностей отличных от нуля целых чисел. В этом
предположении легко построить отображение f: В$0—прост-
ранства В$0 в отрезок /. А именно, положим
f ^2) Ид, • • • > fyb • • • ) ~ Дп, П Дп1Л2 П • • ♦ П Antrt2 .. . П • • •
Полученное отображение взаимно однозначно. Это сразу следует
из построения системы сегментов 6. Покажем, что f(B$0) = J2.
Пусть x£J2 и Д^, Д^2, ..., Д^...^, ...—последователь-
ность вложимых сегментов содержащих точку х. Тогда
f(k^k2,k39 ..., &z .. .) = х. Тем самым доказано, что J2^fB$0.
Пусть теперь x£R2. Тогда х является концом некоторого
сегмента ранга k (число k зависит от х). Значит, х не принад-
лежит никакому сегменту ранга (fe+1). Таким образом, x(£fB$0.
Итак, мы построили взаимно однозначное отображение f про-
странства В$о на пространство J2. Покажем, что отображение f
топологическое.Система множеств|О (г, г я=1, 2,..
образует базу пространства В$о. Каждое множество О {г,
состоит из точек, первые п координат которых равны первым п
координатам гх, ..., гп точки г. Поэтому	=
= ДГ1.. ,гп П J 2- Но множества Д^.. ,ьп 0 Л, ^ = 1, 2, ..., &z = ±l,
d=2, ±3, ..., /=1, ..., м, образуют базу пространства J2.
Итак, отображение f переводит базу пространства В$0 в базу
пространства J2i следовательно, f—топологическое отображение.
Предложение доказано.
Как мы показали, бэровское пространство В$о имеет вес /#0,
т. е. обладает счетной базой. Чтобы получить счетное множе-
ство, всюду плотное в В^о, обозначим через	множество всех
последовательностей вида (п19 1, ..., 1, ...), где п± пробегает
все натуральные числа; через Н2 обозначим множество всех по-
5 6]	ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ	15/
следовательностей вида (nt, n2, 1, ...» 1, ...), где nt и п2 пробе-
гают независимо друг от друга множество всех натуральных
чисел. Вообще, через Hk обозначим множество всех последова-
тельностей вида
0»v ...» nk, 1, ...» 1, ...),
где пи ..., пк пробегают независимо друг от друга множество
всех натуральных чисел. Каждое из множеств Hk счетно; сумма Н
всех множеств Нк есть счетное множество, всюду плотное в бэ-
ровском пространстве В$о.
Обозначим через Мп множество точек плоскости, состоящее
из 2Л-Х точек
/ 1	1 \	/з ] \	/2«— 1	1 \
^2” *	2” J *	\2" ’ 2п )	’ ’ ’ * ’ \ 2п ’	2п J	*
Множество Е определим как сумму всех множеств Мп
(м=1,2, ...). Предельными для множества Е являются все
точки сегмента [0; 1] оси абсцисс.
Рассмотрим в качестве метрического пространства X множе-
ство (лежащее на плоскости R1), состоящее из всех точек мно-
жества Е и из всех точек сегмента [0; 1] оси абсцисс. В этом
пространстве множество Е есть счетное всюду плотное множество.
Любопытно отметить, что множество Е есть минимальное
всюду плотное множество пространства X в том смысле, что
всякое множество, всюду плотное в X, содержит все множе-
ство Е. Читателю предоставляется убедиться в том, что мини-
мальное всюду плотное множество существует в метрическом
пространстое лишь тогда, когда множество всех изолированных
точек этого пространства всюду плотно в нем. В частности, ни
в евклидовых Rn, ни в гильбертовом Ят, ни в бэровском про-
странствах минимальных всюду плотных множеств не сущест-
вует: если из любого множества, всюду плотного в одном из
поименованных пространств, вычесть конечное число точек, то
оставшееся множество будет всюду плотным; можно из любого
множества, всюду плотного в евклидовом, гильбертовом или
бэровском пространстве, вычесть и некоторое бесконечное мно-
жество так, что оставшееся множество будет всюду плотным.
В заключение отметим, что почти все рассмотренные в этом
параграфе метрические пространства, а именно: евклидовы про-
странства Rn произвольного числа измерений, гильбертово про-
странство R°0, пространство С непрерывных функций на отрезке
[0; I], бэровское пространство — являются пространствами
со счетной базой. В самом деле, все вышеуказанные простран-
ства сепарабельны, следовательно, в силу теоремы 19 § 4 все
они имеют счетный вес.
158
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
§ 7. Пространства со счетной базой
Пространства, имеющие счетную базу, т. е. пространства
счетного веса, образуют один из важнейших классов топологи-
ческих пространств, особенно часто встречающийся в приложе-
ниях. Мы видели, что такие важные для всей математики про-
странства, как евклидовы пространства любого числа измерений,
гильбертово пространство, пространство С всех непрерывных
функций, определенных на отрезке [0; 1], пространство Бэра В$9
и ряд других пространств, являются пространствами со счетной
базой. Мы уже знаем, что всякое пространство со счетной базой
сепарабельно, т. е. содержит некоторое счетное всюду плотное
множество. Докажем теперь следующее предложение:
Теорема 28. Если в X имеется счетное всюду плотное
множество, то всякая система S попарно не пересекающихся
открытых множеств пространства X конечна или счетна.
Так как каждая изолированная точка пространства X обра-
зует открытое множество, то в теореме 28 содержится
Теорема 29. Если в X имеется счетное всюду плотное
множество, то множество всех изолированных точек простран-
ства X конечно или счетно.
Доказательство теоремы 28. Пусть в X имеется
всюду плотное счетное множество М. Ставя в соответствие каж-
дому открытому множеству Г££ некоторую определенную из
содержащихся в нем точек множества М, получим взаимно од-
нозначное соответствие между множеством S и некоторым под-
множеством множества М, чем и доказано, что S конечно или
счетно.
Примеры метрических пространств, не содержащих
никакого счетного всюду плотного множества. 1. Обозна-
чим через R какое-нибудь несчетное множество (о природе элементов которого
не делаем никаких предположений). Для любых двух элементов x£R, y£R
полагаем р (х, у) = 1. Это определение расстояния превращает множество R
в метрическое пространство, все точки которого изолированы в R. Поэтому
-единственное множество, всюду плотное в есть само R, которое, по пред-
положению, несчетно.
2. Пусть R2—обыкновенная числовая плоскость, обычное расстояние
между точками г, г' которой будем, как всегда, обозначать через р (г, г').
Пусть о—начало координат. Положим теперь для любых двух точек
z'ZR2
р'(г, г')=р(г, г'),
«если прямая zz' проходит через о, и
р' (г, z') = p(z, о)4-р(о, z'),
-если прямая zz' не проходит через о. Множество точек плоскости R2 с рас-
стоянием р' между ними есть метрическое пространство R. Если на какой-
нибудь прямой, проходящей через о, возьмем множество всех точек, отличных
от точки о, то это множество будет открыто. Значит, в пространстве R имеется
несчетное множество попарно не пересекающихся открытых множеств и, сле-
довательно, нет никакого счетного всюду плотного множества.
§7J
ПРОСТРАНСТВА CO СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
159*
Вспомним, что точка а называется точкой конденсации мно-
жества М в пространстве X, если каждая окрестность точки а
содержит несчетное множество точек множества М. Очевидно,
что только несчетные множества могут иметь точки конденсации
и что каждая точка конденсации и подавно является предель-
ной точкой.
Имеет место следующая замечательная теорема, впервые до-
казанная Линделефом:
Первая теорема Линделефа. Пусть М—множество*
лежащее в пространстве со счетной базой. Тогда точки множе-
ства М, не являющиеся точками конденсации этого множества*
образуют конечное или счетное множество.
Доказательство. Прежде всего замечаем: если
S={rl( Г„
— какая-нибудь определенная счетная база пространства X, то,
для того чтобы точка х была точкой конденсации множества М,
необходимо и достаточно, чтобы каждая S-окрестность *) точки
х содержала несчетное множество точек из М.
Итак, если х не есть точка конденсации множества Л1, то
существует S-окрестность точки х, содержащая не более счет-
ного множества точек из М. Выберем для каждой точки х мно-
жества М, не являющейся точкой конденсации этого множества,
S-окрестность, содержащую не более счетного множества точек
из М. Так как всех S-окрестностей—счетное множество, то
число отобранных окрестностей и подавно не более чем счетно.
В каждой из этих окрестностей помещается не более счетного
множества точек из М; значит, не более чем счетно будет и мно-
жество всех точек множества 7И, попавших в сумму отобранных
S-окрестностей. Так как каждая точка множества М, не являю-
щаяся точкой конденсации, попала хотя бы в одну отобранную
окрестность, то теорема доказана.
Теорема 30. Множество Ф всех точек конденсации любого
множества М, лежащего в пространстве со счетной базой, есть
совершенное множество, пустое в том и только в том случае*
если М не более чем счетно, и несчетное в случае несчетного М.
Каждая точка #€Ф есть точка конденсации и множества Ф.
Доказательство. Обозначим через Ф множество всех
точек конденсации множества М. Из предыдущей теоремы сле-
дует, что Ф в случае несчетного М несчетно; в случае, если М
не более чем счетно, Ф, очевидно, пусто. Докажем, что Ф—со-
вершенное множество.
♦) Под S-окрестностью какой-нибудь точки х мы понимаем окрестность,
принадлежащую базе S.
160
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
1. Множество Ф замкнуто. В самом деле, пусть а—точка
прикосновения множества Ф. Тогда любая окрестность U
точки а содержит некоторую точку х 6 Ф; в качестве открытого
множества, содержащего точку х, множество U является окрест-
ностью этой точки, а потому содержит несчетное множество то-
чек из М. Так как U —произвольная окрестность точки а, то а
-есть точка конденсации множества М, т., е. я^Ф-
2. Докажем, что каждая точка a g Ф есть точка конденсации
множества Ф. В самом деле, пусть U —произвольная окрест-
ность точки а. По определению точки а множество U Л М
несчетно; значит, по теореме Линделефа все его точки (за исклю-
чением, самое большее, счетного их числа) суть точки конден-
сации этого множества U П М, а значит, и подавно точки кон-
денсации множества М, т. е. принадлежат множеству Ф. Итак,
любая окрестность точки а содержит не только бесконечное, но
даже несчетное множество точек множества Ф.
Теорема 30 доказана.
Следствие. Всякое замкнутое множество F, лежащее в про-
странстве со счетной базой, либо не более чем счетно, либо есть
сумма несчетного совершенного множества своих точек конденса-
ции и не более чем счетного множества остальных точек.
В самом деле, обозначая через Ф множество всех точек кон-
денсации множества F, имеем Ф^, в то время как Г\Ф по
первой теореме Линделефа не более чем счетно.
Вторая теорема Линделефа. Какова бы ни была
несчетная система открытых множеств G, заданная в про-
странстве X со счетной базой, в системе 31 можно найти счет-
ную или конечную подсистему Э10, объединение элементов кото-
рой совпадает с объединением элементов системы 31.
Для доказательства возьмем какую-либо счетную базу
1\, Г2, ..., Г„, ...	(1)
пространства X. Элемент Г„ этой базы назовем «отмеченным»,
если Гл содержится по крайней мере в одном G € 31. Пусть
Г Г Г
— все «отмеченные» элементы база (1). Каждое Г\/г содержится,
вообще говоря, в нескольких (возможно, и в бесконечно многих)
различных G € К; выберем для каждого «отмеченного» вполне
определенное содержащее его G £ V, которое обозначим через Gk.
Получим не более чем счетную подсистему
G1>Gg, ...,Gft	(2)
системы V. Мы утверждаем, что сумма всех множеств (2) равна
сумме всех вообще множеств G € К. Достаточно показать, что,
§71
ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
161
какова бы ни была точка х, принадлежащая какому-нибудь G С V,
найдется в (2) множество GA, содержащее точку х. Но, в самом
деле, если xgG, то (так как G открыто, а (1) есть база) суще-
ствует Г„, содержащее х и содержащееся в данном G. Тогда
по самому определению есть отмеченный элемент базы (1) и, сле-
довательно, содержится в некотором Gk из последовательности (2).
Это Gk содержит и точку х, что и требовалось доказать.
Теорема 31 (Бэр—Хаусдорф). Всякая вполне упорядоченная
возрастающая или убывающая система множеств, которые либо
все замкнуты, либо все открыты в пространстве X со счетной
базой, содержит не более счетного числа различных элементов.
Доказательство опирается на следующую лемму:
Лемма. Вполне упорядоченная строго возрастающая (строго
убывающая) система множеств
. с:Мас:...
(соответственно M1zdM2z) ... zdМаz>...), состоящих из нату-
ральных чисел, не более чем счетна.
В самом деле, пусть
6^1a+i\Ala, соответственно ха ё 7Иа\Л1а+1.
Если бы система всех Ма была несчетной, то мы имели бы не-
счетное множество попарно различных натуральных чисел ха,
чего не может быть.
Докажем теперь теорему Бэра—Хаусдорфа. Достаточно дока-
зать ее утверждение, касающееся вполне упорядоченных возрас-
тающих и убывающих систем открытых множеств: переход к до-
полнительным множествам даст утверждения, касающиеся систем
замкнутых множеств. Итак, предположим, что в данной вполне
упорядоченной системе открытых множеств имеется несчетная
подсистема различных множеств
GjlCzGsjC: . ♦. czGac:..., соответственно GjOG^zj ... oGao...
Возьмем какую-нибудь счетную базу пространства и раз навсегда
занумеруем ее элементы:
U„ и..........
Построим теперь для каждого Ga множество Ма, состоящее из
всех тех натуральных чисел п, для которых £/„^Ga. Очевидно,
из того, что GaczG|3, следует, что Л4асМр. Поэтому множества Ма
находятся в условиях леммы, и, значит, среди них не может
иметься несчетного числа различных множеств. Поэтому и среди
множеств Ga не может иметься несчетного числа различных мно-
жеств. Теорема Бэра—Хаусдорфа этим доказана.
Та же теорема может быть высказана и следующим образом
(мы приводим лишь формулировку, касающуюся убывающих
162
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
систем замкнутых множеств, предоставляя остальные три форму-
лировки читателю):
Теорема 31/ Какова бы ни была вполне упорядоченная убы-
вающая система замкнутых множеств пространства X со счет-
ной базой, занумерованных всеми порядковыми числами первого и.
второго классов:
F^F^F^.. .=>Fa-=>..., aOi,	(3)
найдется такое а, что все множества (3), начиная с а-го, совпа-
дают между собой:
Fа = £a+i “ Ра+2 = * • •
Доказательство от противного. Если такого
каждого a < <ог можно найти наименьшее такое р (а), а < ,
и, следовательно, Fa Z) F$ (а). Положим теперь vo*=0 и предпо-
ложим, что для всякого порядкового числа £, меньшего чем некоторое a < (Op
построено порядковое число < <оь так что при £ < £' < а имеем < v^, л
ZD Для построения числа va обозначим через a'J наименьшее числа
< ©!, большее чем все v^, £ < а, и положим va = p (а') > а'. Тогда Fya<ZD
а нет, то для
р (а) < а>!, что
CI F^» с Q C Q Fy^ т. е. Fya с Fy^ для любого £ < а.
?<а	£<а
Таким образом, для любого a < сог строится va так, что множества FVa>
число которых несчетно	все различны между собою в противоречии
с теоремой 31. Теорема ЗГ этим доказана.
Пусть теперь Е—произвольное множество, лежащее в про-
странстве со счетной базой. Обозначим через Е{1) производную
множества Е (т. е. множество всех предельных точек этого мно-ч
жества). Если дано £(а), то определяем £(а+1) как производную
множества £(а). Если р—предельное трансфинитное число вто-
рого класса, то обозначаем через Е{& пересечение всех £(а),
а<р. Определенное таким образом для любого порядкового
числа a < (£>! замкнутое множество £(а) называется производной
порядка а от множества £. Множества £(а) образуют вполне
упорядоченную систему убывающих замкнутых множеств и потому,
начиная с некоторого а < совпадают между собою. Очевидно,
множество £<a) = £<a+1) есть совершенное множество. Итак, имеет
место
Теорема 32 (Кантор—Бендиксон). Для каждого множест-
ва Е, лежащего в пространстве со счетной базой, имеется пер-
вое такое порядковое число а < соп что производная а-го порядка
множества Е есть совершенное множество (быть может, пустое)г
т.е. ew = E«*+1> = ...
Из первой теоремы Линделефа при этом следует, что £10с) мо-
жет быть пустым лишь в случае не более чем счетного £. В слу-
чае же несчетного £ множество £(a) = £(a+1)= .. .есть несчетное
§7]
ПРОСТРАНСТВА СО СЧЕТНОЙ БАЗОЙ
163
совершенное множество (содержащее множество всех точек кон-
денсации множества Е).
Пространства со счетной базой допускают дальнейшие тео-
ремы, касающиеся мощностей различных систем множеств. Прежде
всего, докажем следующее утверждение:
Теорема 33G. Множество всех открытых множеств данного
пространства X со счетной базой не превышает мощности с.
В самом деле, пусть
гх, Г2, ...,	(4)
— база пространства X. Каждому открытому множеству G одно-
значно соответствует подпоследовательность последовательности
(4), состоящая из всех Гл, содержащихся в G. Двум различным
открытым множествам соответствуют различные подпоследова-
тельности, так как если G и G' различны, то существует точка х,
принадлежащая одному из этих множеств, например G, и не при-
надлежащая другому; но тогда существует и окрестность Гп
точки х, лежащая в G, но не лежащая в G'. Итак, установлено
взаимно однозначное соответствие между всеми открытыми мно-
жествами пространства X и некоторыми последовательностями
натуральных чисел (номеров элементов Г„ последовательности (4)).
Этим и доказано, что мощность множества всех открытых мно-
жеств пространства X не превосходит с.
Так как переход от открытого множества к его дополнению
осуществляет взаимно однозначное отображение множества всех
открытых множеств пространства X на множество всех замкнутых
множеств этого пространства, то из теоремы 33О следует
Теорема 33Р. Мощность множества всех замкнутых мно-
жеств пространства со счетной базой не превосходит с.
Из теоремы 33F вытекает
Следствие. Пусть в пространстве X все одноточечные мно-
жества замкнуты (такие пространства называются Т^простран-
ствами (см. § 8)). Если при этом пространство X имеет счет-
ную базу, то мощность множества всех его точек не превосходит с.
Так как евклидово пространство любого числа измерений,
а также гильбертово пространство являются пространствами
со счетной базой, то теоремы 33F и 33О применимы, в част-
ности, и к евклидовым, и к гильбертову пространствам. Однако так
как и в евклидовых пространствах, и в гильбертовом про-
странстве, и в фундаментальном параллелепипеде гильбертова про-
странства содержатся прямолинейные отрезки, например отрезок
[о Xi > х2 = х3 = ... = 0, то мощность каждого из поиме-
нованных пространств по теореме Кантора—-Бернштейна в точ-
ности равна с. Так как в множестве всех замкнутых множеств
данного пространства содержится, в качестве подмножества, мно-
164
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
жество всех точек этого пространства, то множество всех замкну-
тых множеств, лежащих в евклидовом пространстве любого числа
измерений, а также в гильбертовом пространстве и в его фунда-
ментальном параллелепипеде, имеет мощность с.
Итак:
Теорема 34. Мощность п-мерного евклидова пространства
при любом п, мощность гильбертова пространства и его фунда-
ментального параллелепипеда, а также мощность множества всех
замкнутых, равно как и мощность множества всех открытых,
множеств, лежащих в каждом из этих пространств, равны с.
Заметим, что первые два утверждения теоремы 34 могут быть
легко доказаны непосредственно, что мы и рекомендуем сделать
читателю.
Вспомним, наконец, что пространство всех непрерывных функ-
ций, определенных на сегменте [0; 1] (или любом другом сег-
менте), есть пространство со счетной базой (см. § 6) и, следо-
вательно, имеет мощность ^с. Так как в числе непрерывных
функций имеются, в частности, все константы, то заключаем, что
множество всех непрерывных функций, определенных на ка-
ком-либо сегменте, имеет мощность с. Этот факт также легко
доказать непосредственно (пользуясь тем, что всякая непрерыв-
ная функция вполне определена ее значениями в точках какого-
либо всюду плотного множества, например ее значениями в ра-
циональных точках).
§ 8. Аксиомы отделимости
Та общность, с которой мы ввели понятие топологического
пространства, и возможность в столь общих предположениях
определить основные понятия теории точечных множеств имеют
во многих случаях принципиальное значение, а также позволяют
внести в изложение топологических свойств точечных множеств
простоту и логическую прозрачность. Однако свое полное гео-
метрическое содержание теория множеств получает лишь при
постепенном сужении класса топологических пространств, что
достигается введением дополнительных условий, которым рас-
сматриваемые пространства должны удовлетворять. Мы уже по-
знакомились с одним из важнейших .условий такого рода—с тре-
бованием, чтобы пространство имело счетную базу. Однако при
всей важности этого, так сказать, «количественного» ограничения
оно не исключает все пространства, топология в которых чересчур
мало похожа на топологию, скажем, метрических пространств:
мы видели, что даже в пространствах, состоящих из конечного
числа точек, могут, например, иметься незамкнутые одноточеч-
ные множества. С другой стороны, существуют важные классы
топологических пространств, не удовлетворяющих аксиомам счет-
S 8]
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
165
ности. Поэтому приходится налагать на топологические про-
странства требования совсем другой природа — прежде всего
так называемые условия, или аксиомы, отделимости, к которым
мы сейчас и обратимся.
«Нулевая» аксиома отделимости, или аксиома
Колмогорова, требует, чтобы из любых двух различных точек х
и у по крайней мере одна точка имела окрестность, не содержащую
другую точку. Топологические пространства, удовлетворяющие
нулевой аксиоме отделимости, называются Т„-пространствами.
Можно с уверенностью сказать, что топологические пространства,
не являющиеся ^-пространствами (например, слипшееся двоето-
чие (см. стр. 103)), едва ли представляют интерес для исследо-
вания. Поэтому в дальнейшем под топологическим пространством
мы всегда будем понимать Т0-пространство.
В качестве содержательного и важного результата, касающе-
гося Т„-пространств во всей их общности, приведем следующую
теорему:
Теорема Пономарева. Среди всех Т„-пространств про-
странства с первой аксиомой счетности и только они являются
образами метрических пространств при {непрерывных) открытых
отображениях.
Начнем со следующей очевидной леммы:
Лемма 1. Пусть f—однозначное отображение пространства
X на пространство Y. Если для любой точки х£Х некоторая
база 33х этой точки переходит в базу точки fx£Y, то отобра-
жение f непрерывно и открыто. Обратно, при открытом непре-
рывном отображении f: X—всякая база всякой точки х£Х
переходит в базу точки fx£Y.
Из этой леммы сразу следует, что при открытом непрерыв-
ном отображении первая аксиома счетности сохраняется. Отсюда
вытекает одно из двух утверждений теоремы Пономарева, т. е.
что только пространства с первой аксиомой счетности могут быть
образами метрических пространств при (непрерывных) открытых
отображениях.
Переходим к доказательству второго утверждения теоремы.
Пусть X—какое-нибудь Т0-пространство с первой аксиомой
счетности, имеющее вес т. Возьмем какую-нибудь базу 83 — {(/а)
мощности т пространства X. В бэровском пространстве (по-
строенном на том же множестве индексов, что и база 33) назовем
точку ? = («!, ..., а„, ...) отмеченной, если множества t/a,, ...
..., Uа   образуют базу некоторой (и тогда, очевидно, единст-
00
венной) точки х = Q Uan € X. Множество всех отмеченных то-
/1=1
чек пространства Вх обозначим через W\ каждой точке
166
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ. 4
соответствует та — единственная — точка x = f% С X, для которой
. •»	..} является базой и которая может быть запи-
сана в виде
00
х = п
Л=1
Таким образом определенное отображение f: W —> X назы-
вается стандартным. Это отображение есть отображение на все
пространство X.
В самом деле, возьмем какую-нибудь точку х С X и какую-
нибудь счетную базу {(7а1, •••» Uan, •••} этой точки в прост-
ранстве X, составленную из элементов базы S3. Тогда точка
=	а2, ..., а„, .	—отмеченная и f£ = x.
Очевидно, и множество W, и его стандартное отображение f
полностью определены заданием базы S3 пространства X. Дока-
жем, что
f(W	(I)
Включение f(Wf\ 0ai... an) Uai П •. • П Uan непосредственно сле-
дует из определения отображения f. Для доказательства обрат-
ного включения возьмем какую-нибудь точку х С Uat П •. • П Ua
и дополним окрестности 17а1, ..., U ап этой точки какими-нибудь
окрестностями 1/а +1, (взятыми из S3) до базы точки х в X.
Тогда, полагая g = (an •	ап+1, •••)> получим, очевидно,
/^=х. Из равенства (1) в силу леммы 1 следует открытость
и непрерывность отображения f. Теорема полностью доказана.
Усилением нулевой аксиомы отделимости является первая
аксиома отделимости, требующая, чтобы для любых двух
различных точек х и у существовала окрестность точки х, не
содержащая точку у. и окрестность точки у, не содержащая
точку х. Докажем, что первая аксиома отделимости равносильна
требованию, чтобы каждое множество, состоящее лишь из одной
точки, было замкнуто. В самом деле, если в топологическом
пространстве выполнена первая аксиома отделимости, то никакая
точка у, отличная от данной точки xgX, не является точкой
прикосновения одноточечного множества {х} (так как имеется
окрестность U (у), не содержащая точку х). Поэтому замыкание
одноточечного множества {х} содержит лишь эту точку х. Обратно,
если все одноточечные множества замкнуты, то, каковы бы ни
были точки х и у пространства X, открытое множество Х\у
есть окрестность точки х, не содержащая точку у, а открытое
*) Множества Оп „ определены в § 6.
... {Лп
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
167
§ 8]
множество Х\х есть окрестность точки у, не содержащаяся
точку х.
Пространства, удовлетворяющие первой аксиоме отделимости,
называются Т-^-пространствами, Примером Т0-пространства, не
являющегося ^-пространством, может служить связное двоеточие.
Важно отметить следующий факт:
Пусть М—множество, лежащее в Т^-пространстве X. Всякая
точка прикосновения х множества М есть либо предельная точка
множества М (принадлежащая или не принадлежащая множе-
ству Л4), либо точка множества М, изолированная в этом мно-
жестве *).
В самом деле, пусть х С [Al] и пусть существует окрестность
U (х) точки х, содержащая лишь конечное число точек множе-
ства М. Обозначим через хп . . ., xs лежащие в U (х) точки мно-
жества М, отличные от самой точки х. Так как одноточечные
множества в X замкнуты, то, вычитая из U (х) конечное мно-
жество {хп ..., xj, получим окрестность (х) точки х, не со-
держащую ни одной точки множества М, отличной от точки хл
Но так как х € [А1], то Ux (х) А М все же непусто и, следовательно,
х£М. При этом открытое в М множество A'liWif-H состоит из
одной лишь точки х. Наше утверждение доказано. Из всего
следует, что замкнутые множества в Т ^пространстве X могут
быть определены как множества, содержащие все свои предельные
точки.
Замечание 1. Если Т-^-пространство X удовлетворяет первой аксиоме
счетности, то для каждой точки прикосновения х множества М можно найти
сходящуюся к точке х последовательность точек хп этого множества (достаточно
взять	Un (х), где Un (х)—элементы счетной локальной базы в точке х).
При этом, если х есть предельная точка множества М, то все точки хп могут
быть предположены различными.
Вторая, или хаусдорфова, аксиома отделимости
заключается в требовании, чтобы любые две различные точки х
и у топологического пространства X имели непересекающиеся
окрестности U (х) и U (у). Пространства, удовлетворяющие этому
требованию, называются Т^пространствами или хаусдорфовыми
прост ранствами.
Пример нехаусдорфова 7\-пространства X можно получить,
взяв множество X, состоящее из всех действительных чисел
и еще какого-нибудь отличного от них всех элемента £ произ-
вольной природы. Открытыми в X объявляются, во-первых, все
открытые на числовой прямой множества, во-вторых, все мно-
жества вида X\D, где D—произвольные конечные множества
действительных чисел. Легко проверить, что множество X с этой
*) Напоминаем, что изолированность точки х в множестве М означает, что
множество, состоящее из одной точки х, открыто в М.
168
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. 4
топологией есть 7\-пространство. Это пространство не удовлет-
воряет хаусдорфовой аксиоме отделимости: какова бы ни была
точка х С X, любые две окрестности U (£) и U (х) пересекаются
(так как U (|) содержит все действительные числа, кроме, быть
может, некоторого конечного их множества, тогда как U (х) есть
открытое множество на числовой прямой и, значит, содержит
целый интервал).
Назовем регулярным пространством такое 7\-пространство,
в котором для любой точки х и любого не содержащего эту точку
замкнутого множества F существуют дизъюнктные окрестности
Ох и OF. Всякое регулярное пространство, очевидно, хаус-
дорфово.
Для получения примера нерегулярного хаусдорфова про-
странства рассмотрим множество 7? всех действительных чисел
и определим в R топологию при помощи системы окрестностей
(см. § 4) следующим образом: окрестности всех точек х#=0 те
же, что и на числовой прямой; окрестности точки х = 0 полу-
чаются вычитанием из любого содержащего эту точку интервала
всех попавших в этот интервал точек вида—, где п—натураль-
ное число. Пространство R хаусдорфово; множество всех точек
вида замкнуто в /?; всякая окрестность этого замкнутого мно-
жества пересекается со всякой окрестностью точки 0.
Дальнейшее сужение класса пространств получим, если будем
рассматривать так называемые нормальные пространства: нор-
мальным пространством называется такое 7\-пространство X,
в котором всякие два непересекающихся замкнутых множества
имеют непересекающиеся окрестности.
Пример регулярного ненормального пространства можно по-
строить следующим образом. Назовем произведением двух топо-
логических пространств X и Y произведение двух множеств X
и Y (т. е. множество всех пар (х, #), гдех^Х, у£У), в котором
открытыми множествами являются произведения любого откры-
того А X на любое открытое B^Y и всевозможные суммы
таких произведений. Легко доказывается, что произведение двух
регулярных пространств есть регулярное пространство. В част-
ности, регулярным пространством является произведение S про-
странства всех порядковых чисел a^<dr на пространство всех
порядковых чисел р со. Пространство S, впрочем, есть не
только регулярное, но даже нормальное пространство (читателю
рекомендуется доказать это утверждение в качестве упражнения).
Однако, вычитая из пространства S одну лишь точку (<olt со),
получим ненормальное пространство S*. Для того чтобы убедиться
в этом, рассмотрим множество X', состоящее из всех точек вида
(а, со), где а—любое порядковое число <0)!, и множество У',
§8]
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
169
состоящее из всех точек вида (G>lt п), где п—любое натуральное
число, X' и Y' суть замкнутые в S* множества без общих точек,
любые две окрестности U (X') и U (У') которых в пространстве S'
пересекаются (последнее утверждение читатель также должен
сам доказать, опираясь на простые свойства трансфинитных чисел
второго класса). Пространство S*, не будучи нормальным, яв-
ляется регулярным, поскольку всякое подпространство регуляр-
ного пространства регулярно.
Теорема 3 § 1 может теперь быть сформулирована так:
Всякое метрическое пространство нормально.
Так как всякое множество, лежащее в каком-нибудь метри-
ческом пространстве, само является метрическим пространством,
то метрические пространства могут служить примером так назы-
ваемых наследственно нормальных пространств, понимая под
наследственно нормальным такое нормальное пространство, всякое
подмножество которого нормально; наоборот, пространство S,
будучи нормальным, не является наследственно нормальным, так
как содержит в качестве подмножества ненормальное простран-
ство S*.
Важнейшим подклассом класса наследственно нормальных
пространств являются так называемые совершенно нормальные
пространства.
Определение 10. Нормальное пространство X называется
совершенно нормальным, если всякое замкнутое его подмножество
есть бб-множество.
Доказательство наследственной нормальности совершенно нор-
мальных пространств можно найти в книге Александрова —
Пасынкова [1], гл. 1, § 5.
Теоремы 3 и 4 § 1 могут быть теперь объединены следующим
образом:
Теорема 35. Всякое метрическое пространство совершенно
нормально.
Теорема 36. Всякое упорядоченное пространство нормально.
Доказательство. Пусть А и В—дизъюнктные замкнутые
подмножества упорядоченного пространства X. Рассмотрим от-
крытое множество W = X\B. По теореме 13 § 5 гл. 1 множе-
ство W распадается в дизъюнктную сумму порядковых компонент
№а, а С Ж, которые в данном случае, очевидно, открыты. Пока-
жем, что для всякого существует такое открытое множе-
ство Ua, что
Anra^(Jas[t/a]^U7a.	(2)
Если А Л = Л, то положим Ua = Л. Пусть теперь А л Wa Л.
Множество Х\№а распадается в сумму двух порядково выпук-
лых компонент С и D (при этом х < у для х £ С и у £ D). Построим
170
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4г
Такое открытое множество U%9 что
A(]WasU+as[U^X\C.
Возможны три случая.
1°. В множестве Х\С существует наименьший элемент а £ Wa.
Тогда в множестве С существует наибольший элемент Ь, поскольку
в противном случае найдется интервальная окрестность Оа точки а,
содержащаяся в Wa и не пересекающаяся с С, чего не может
быть. Полагаем 1/^ = (Ь; +оо). Множество искомое, поскольку
[U^ = U^Wa.
2°. В множестве Х\С не существует наименьшего элемента,
а в множестве С существует наибольший элемент а, В этом
случае а£В, поскольку в противном случае существует интер-
вальная окрестность Оа, содержащаяся в W и не пересекаю-
щаяся с Wa, т. е. Оа^ что противоречит дизъюнктности мно-
жеств С и Wa. Поскольку a £ В, существует интервальная окрест-
ность (Ь; с) точки а, не пересекающаяся с А. Интервал (а; с)
непуст, так как в множестве Х\С нет наименьшего элемента.
Берем какую-нибудь точку d£(a; с) и полагаем U+ = (d; +оо).
Имеем
Лп^а— [£*, +oo)^(d; 4~оо) = [/J£=[17а] — [d> 4~°°) — Х\С.
3°. Сечение {С, Х\С} является щелью. В этом случае мно-
жества С и Х\С открыто-замкнутый можно положить U£=X\C.
Аналогичным образом, отправляясь от сечения {Х\£>, D},
строим такое открытое множество U~, что
AHWa^U^[U£<=X\D.
Теперь полагаем {/а = ^аП^5. Условие (2) очевидным образом
выполнено.
Положим теперь U = U О а и V = X\[t7]. Открытые мно-
жества U и V дизъюнктны и A^U. Покажем, что B<=V или,
что то же самое, [С7] П В =Л. Предположим, что [£/] П В ^=Л,
и возьмем некоторую точку х £ [U] П В. Тогда либо всякий интер-
вал вида (а; х), либо всякий интервал вида (х; Ь) пересекается
с множеством U (не исключено, что имеют место оба случая од-
новременно). Пусть для определенности (а\ х) П U ф А для всякого
а<х. Пусть Ох—произвольная интервальная окрестность точки х.
Существует такое а С 31, что Лу=(7а^0х. В самом деле, в про-
тивном случае, ввиду порядковой выпуклости множеств t7a и
условия x$[f/a], найдется такое а<х, что (a; x)[\Uа=Х для
всякого а £31. Но если Л=^=(/а^Ох, то OxfM#=A. Следова-
тельно, х£[А] = Л, что противоречит дизъюнктности множеств А
и В. Теорема 36 доказана.
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
171
§8J
Замечание 2. Пусть X—упорядоченное пространство, а
Y —некоторое его подмножество. На подмножестве Y имеется
порядок, наследуемый из X. Поэтому множество Y можно рас-
сматривать как упорядоченное пространство. При этом оказы-
вается, что порядковая топология на множестве Y не обязана
совпадать с топологией, индуцированной на множестве Y топо-
логией пространства X, т. е. подпространство упорядоченного
пространства, вообще говоря, не является упорядоченным про-
странством.
Проиллюстрируем это на следующем примере: пусть X—это
отрезок [—1; 1] числовой прямой, a Y состоит из точки {— 1}
и полусегмента (0; 1]. Тогда точка {—1} является изолирован-
ной в Y, как в подпространстве пространства X. В то же время
в порядковой топологии на множестве Y последовательность
/1=1,2, ... } сходится к точке {—1}.
Но несмотря на то, что свойство быть упорядоченным про-
странством не является наследственным, упорядоченные простран-
ства наследственно нормальны. Это вытекает из нормальности
всякого замкнутого подпространства нормального пространства
и следующего утверждения, доказательство которого предостав-
ляется читателю:
Для всякого подмножества Y упорядоченного пространства X
существует такое упорядоченное пространство Z, которое содер-
жит Y в качестве замкнутого подпространства. При этом можно
считать, что Z<=X.
Одной из интереснейших проблем теории топологических про-
странств является установление необходимых и достаточных
условий для того, чтобы топологическое пространство было, как
говорят, метризуемо, т. е. гомеоморфно некоторому метрическому
пространству. Из сказанного выше следует, что необходимым
условием метризуемости топологического пространства является
его нормальность *). Однако это условие недостаточно: можно
легко доказать, что, например, пространство W (сох) всех поряд-
ковых чисел < сох нормально**), между тем оно (как будет до-
казано в гл. 5) не метризуемо. Тем более замечательна следую-
щая теорема Урысона, полностью решающая задачу метризации
в применении к пространствам со счетной базой:
Первая метризационная теорема Урысона. Для
того чтобы топологическое пространство со счетной базой бы-
ло метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно было нор-
мально.
*) Даже совершенная нормальность,
**) Будучи упорядоченным, оно даже наследственно нормально и, кроме
того, удовлетворяет первой аксиоме счетности.
172
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
Доказательство этой теоремы опирается на другое важное
предложение, доказанное П. С. Урысоном и известное под назва-
нием «большой» леммы Урысона:
Большая лемма Урысона. Пусть А и В—два замк-
нутых непересекающихся множества^нормалъного пространства X.
Для любых двух действительных чисел а9 Ь9 а < &, существует
действительная непрерывная функция fa,b9 определенная во всем
пространстве Х9 принимающая значение а во всех точках мно-
жества А9 значение b во всех точках множества В и удовлетво-
ряющая всюду в X неравенству
Если одно из двух множеств, скажем А, пусто, то достаточно
положить f(x) = b для любого х£Х. Остается рассмотреть слу-
чай, когда ни одно из множеств Л, В не пусто. При этом можно
предположить, что а = 0, Ь = 1, так как fa,b(x) (для любых а, Ь)
получается из /0<1(х) посредством формулы
fa,b(x) = (b—a)fOtl(x) + a,
Дальнейшие рассуждения и будут вестись в предположении
а—0, b — 1. Они опираются на следующую так называемую «малую»
лемму Урысона:
Малая лемма Урысона. Если X нормально и А замк-
нуто в X, ток любой окрестности U (Л) множества А можно
найти такую окрестность U0(A) множества Л, что [(70( Л) [s U (Л).
В частности, в любой окрестности U (х) любой точки х нор-
мального пространства содержится замыкание [С70 (х)] некоторой
окрестности 1/0(х) той же точки х. Легко доказать, что послед-
нее свойство выполнено не только в нормальных, но и в регу-
лярных пространствах и характеризует эти последние (т.е. может
быть принято за определение регулярности). Подобным же образом
малая лемма Урысона в ее общем виде (т. е. для любого замк-
нутого Л) характеризует нормальные пространства.
Характеризует нормальные пространства и большая лемма
Урысона. В самом деле, будучи верной для любого нормального
пространства, она выражает необходимое условие нормальности.
Но это условие и достаточно. Назовем, в самом деле, два дизъ-
юнктных замкнутых множества Л и В функционально отделимыми
(в топологическом пространстве X), если существует определен-
ная на всем X непрерывная функция f, удовлетворяющая усло-
виям 0 f (х) 5^ 1 во всем X, равная нулю на Л и единице на В.
Если замкнутые множества Л и В функционально отделимы в X,
то они имеют дизъюнктные окрестности U А и VB. Действительно,
достаточно определить UA и UB как множества всех точек х,
в которых Z(x)<-i, соответственно f(x)>y, Итак, нормаль-
§8]
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
173
ные пространства могут быть определены как Т^пространства^
в которых любые два непересекающихся замкнутых множества
функционально отделимы.
Очень важен класс Т^-проетранств, в которых каждая точка
функционально отделима от любого не содержащего эту точку
замкнутого множества. Эти пространства, введенные А. Н. Тихо-
новым, называются вполне регулярными.
Простейшим примером вполне регулярных пространств яв-
ляются индуктивно нульмерные 7\-пространства. В самом деле,
пусть в индуктивно нульмерном пространстве X даны Точка х
и не содержащее эту точку замкнутое множество F. Тогда в ок-
рестности Ox=X\F содержится открыто-замкнутая окрест-
ность Огх. Функция, равная нулю на 0гх и единице на X\Oxx,
непрерывна и отделяет точку х от множества F.
Вполне регулярные пространства будут подробно исследованы
в главе 6.
Для доказательства малой леммы Урысона достаточно взять
дизъюнктные окрестности t/Q(A) и V замкнутых множеств А и
X\U (А); тогда множества [t/0 (А)] и V также не имеют общих
точек, т. е. [С/о (A)] s Х\7<= Х\(Х\(/ (А)) = U (А).
Переходим к доказательству большой леммы Урысона. Пола-
гаем U (А)==Г1 = Х\В и находим по малой лемме окрестность
</1(А) = Г0 такую, что [Г0]еГ1( Предположим, что уже построены
открытые множества Г_р (для данного натурального и и р = 0,
2я
1, ...,2я) так, что при р<р' имеем ГГ_р1 (для п = 0 это
2” I 2я
действительно сделано). По малой лемме можно построить от-
крытое Ггр+i так, чтобы
ГГ р 1 £= Гзрч-1 $== Г Г2р+11 — Г р+1 •
L 2п\ 2Я + 1 L 2Я + 1]	2я
Отсюда следует, что для всех двоично-рациональных чисел г,
т. е. для всех чисел вида r = ^,	можно построить
открытые в X множества Гг так, что A s Го и при г < г'
[Гг] = 1>.
Положим теперь для всех остальных t, 0	< 1,
r(=U г,.
Докажем, что всегда
[Г4] s Гг при t < t'.
174
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
В самом деле, беря двоично-рациональные г, г' так, чтобы было
t < г < г9 <
имеем
Г^ГГ) значит, [Г*]^[ГГ]<=1>^1>,
чем утверждение доказано. Наконец, положим rf = A для t <0
и Г# = X для t > 1.
Построим теперь для каждой точки х£Х некоторое сечение
(А*, Вх) в множестве всех действительных чисел: именно, отне-
сем число t к нижнему классу Ах, если х не содержится в Г#>
и к верхнему Вх, если х£1\. Это сечение определяет действи-
тельное число тх, причем, очевидно,	Другими сло-
вами, определена функция
fo, 1 (^) = ^х
во всем пространстве X. При этом fQ д (х) = 0 при х С А и f0 tl (х) = 1
при х£В. Докажем, наконец, непрерывность функции f (х) в
каждой точке х^Х. Взяв произвольное в > 0, рассмотрим окрест-
ность
I/ (х)= ГТхЧ.е\[Гт^е]
точки х. Тогда по самому определению этой окрестности имеем
для всех ее точек xf £U (х)
T# В- Тд/ -|- в,
т. е- lfo,i(x)—fo,iU') I < е» что и требовалось доказать.
Применим теперь большую лемму Урысона к доказательству
метризационной теоремы. Так как требуется доказать лишь до-
статочность условия этой теоремы, то наша цель будет, конечно,
достигнута, если мы докажем следующее предложение:
Теорема Урысона (о погружении). Всякое нормальнее
пространство со счетной базой гомеоморфно некоторому мно-
жеству, лежащему в основном параллелепипеде гильбертова про-
странства *).
Доказательство теоремы о погружении. Возьмем
какую-нибудь счетную базу S данного нормального пространства X.
Пусть
ult ut, ...,uk,...
*) Напомним, что «основной параллелепипед» Q (или «кирпич») гильбер-
това пространства R°° состоит, по определению, из всех точек y = (tlt t2, ...
..., tn,	удовлетворяющих (при любом п=1, 2, 3, ...) условию
tn 2^.
$8]
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
175
— все элементы базы. Пару (Uh Uk) назовем канонической, если
Из малой леммы Урысона вытекает следующее замечание:
Каковы бы ни были точка а € X и ее окрестность U (а), можно
найти каноническую пару (l/z, Uk) такую, что а С Uh Uk^U(a).
В самом деле, так как S есть база, то существует такой эле-
мент Uk этой базы, что а С Uk^ U (я); после этого по малой
лемме Урысона находим окрестность UQ(a) с замыканием, содер-
жащимся в Uk; наконец, берем элемент [/z базы S, удовлетво-
ряющий условию	U о (а). Очевидно, (l/z, Uk) есть искомая
каноническая пара.
Канонические пары образуют счетное множество и поэтому
могут быть раз навсегда занумерованы в счетную последова-
тельность
л2, ...,	.*, яп = (UUk).
Согласно большой лемме Урысона строим для каждой канони-
ческой пары ^n = (Ui, Uk) непрерывную функцию ф„(х), опреде-
ленную во всем пространстве X и удовлетворяющую условиям:
0^ф„(х)^1 для любого х£Х,
Ф„(х) = 0 для
Ф„ W = 1 Для х € X\Uk,
Отнесем любой точке х£Х последовательность чисел
tn = tn^) = ^,	«=1,2,3, ....
и поставим ей в соответствие точку
y =	=	h(x),	...)
гильбертова кирпича Q. Докажем, что полученное отображение f
пространства X на некоторое множество Y Q есть топологи-
ческое отображение. Прежде всего докажем, что отображение f
взаимно однозначно. Покажем, другими словами, что для двух
различных точек х, х' пространства X точки f (х) и f (х') раз-
личны. Для этого возьмем окрестность U (х) точки х, не содер-
жащую точку х', и построим каноническую пару nn — (Uit Uk),
удовлетворяющую условию x£Uh Uk^U(x). Тогда ф„(х) = 0,
Фп(х') = 1, т. е. ^(х) = 0, tn(x') = ^, значит, точки f(x) и f(x')
(имея различные n-координаты) различны.
Докажем, что отображение f непрерывно. Берем произволь-
ную точку х£Х и произвольное 8>0. Очевидно, можем пред-
положить, что е<1. Нам надо найти такую окрестность U (х),
176
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
чтобы для любой точки x'£U(x) было р(/(х), /(%')) <е. Для
1 е2
этого выбираем столь большое т, чтобы gs < у. Вследствие не-
прерывности функций (х), ..., <рга (х) можно найти такие
окрестности (х).......Um (х) точки х, что для х' g U {(х) будем
иметь | <р,- (х)—ф, (х') | < -р=- при i = 1, 2, ..., т. Обозначим
через U (х) пересечение окрестностей (71(х).....U т(х). Для
х' £ U (х) имеем
чем и доказана непрерывность отображения.
Докажем, наконец, непрерывность обратного отображения f-1
множества VsQ на X. Пусть дана произвольная точка y£Y,
и пусть х=/-1 (у), т. е. y—f (х). Для произвольной окрестности U (х)
требуется подобрать такое е > О, чтобы при у' (у, в) было
f~1(y')^U (х). Для того чтобы найти нужное нам в, подбираем
сначала такую каноническую пару яп = (Uit Uk), чтобы было х g Uit
Uk^U (х). Утверждается, что 8 = ^ есть искомое 8.
В самом деле, пусть у* £ U(y, в). Докажем, чтох'=/-1(у') £ U(x).
Но если бы х' £ Х\£/(х), то и подавно х' £X\Uk(x), т. е.
Ф„ (х') = 1. А так как х €	(х), значит, ф„ (х) — 0, то мы имели бы
и
Р(У» /) = Р (/(*). /(*')) Ж (*) — f„(x') 1=^ = 8,
вопреки условию, что у' £U (у, в).
Теорема о погружении полностью доказана.
Этой теореме можно дать такую формулировку.
Для того чтобы топологическое пространство X было гомео-
морфно множеству, лежащему в гильбертовом пространстве, не-
обходимо и достаточно, чтобы оно было нормально и имело счетную
базу.
§83
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
177
(В самом деле, мы только что доказали достаточность этого
условия; необходимость его очевидна, так как гильбертово про-
странство, будучи метрическим пространством, имеет счетную
базу; значит, и всякое множество, лежащее в гильбертовом про-
странстве, есть метрическое, т. е. и подавно нормальное про-
странство со счетной базой.)
Принципиальное значение этой теоремы огромно: она пол-
ностью характеризует с топологической стороны множества, ле-
жащие в гильбертовом пространстве, указывая неожиданно
короткий путь, по которому можно прийти от самых общих то-
пологических построений—топологических пространств—к совер-
шенно конкретному объекту теории точечных множеств—к мно-
жествам, расположенным в гильбертовом пространстве.
Из теоремы о погружении, далее, вытекает:
Все метрические пространства, содержащие счетные всюду
плотные множества, и только такие метрические пространства
гомеоморфны множествам, лежащим в гильбертовом пространстве.
Из большой леммы Урысона вытекает
Предложение 1. Во всякой окрестности OF замкнутого
подмножества F нормального пространства X содержится F^-ок-
рестность 0гР.
В самом деле, пусть f—непрерывная функция на простран-
стве X, принимающая значения на отрезке [0; 1], равная 0 на F
и 1 на X\OF. Положим =	f(x)< 1}. Тогда открытое
множество OjF лежит в OF и является суммой счетного числа
замкнутых множеств
Fn = {xeX:
Применим теперь большую лемму Урысона к доказательству
следующей весьма важной теоремы:
Теорема 37. Ко всякой ограниченной непрерывной функции <р,
заданной на замкнутом множестве Ф нормального пространства X,
существует непрерывная во всем пространстве X функция f, сов-
падающая с (р во всех точках множества Ф *). При этом, если
есть верхняя грань функции |<р| на Ф, то функцию f можно
подобрать так, что верхней гранью ее абсолютной величины (во
всем пространстве X) также будет число g0.
Часто пользуются краткой формулировкой этой теоремы,
говоря, что всякая непрерывная функция, заданная на замкнутом
♦) Теорема о продолжении непрерывных функций характеризует нормаль-
ные пространства (среди всех ^-пространств): если X ненормально, то суще-
ствуют два дизъюнктных замкнутых множества Л и В, не отделимых функ-
ционально; полагая /=0 на А, /=1 на В, имеем непрерывную функцию f,
которая определена на замкнутом множестве Ли# и не может быть продол-
жена на все пространство X.
178
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
множестве пространства X, может быть непрерывно продол-
жена на все пространство X.
Доказательство теоремы 37. Полагаем <р0(х) = ф(х);
эта функция определена лишь на множестве Ф. Пусть н0 > О
есть верхняя грань функции |ф0(. Обозначим через Ло, соответ-
ственно замкнутое множество тех точек множества Ф, в ко-
торых Ф0(х)^—у-» соответственно	Строим по лемме
Урысона непрерывную во всем пространстве X функцию f0, [рав-
ную —на Ао, равную на Во и удовлетворяющую всюду
«5	«5
в X неравенству I /01 тт • Полагаем теперь на Ф
Ф1 (*) = Фо (x)—f0(x).
Функция непрерывна на Ф, и верхняя грань щ функции <рг|
удовлетворяет неравенству
Совершенно так же, как мы перешли от ф0 к <pv переходим
от фх к ф2: обозначаем через А19 Вг замкнутые множества тех
точек множества Ф, в которых фДх)^—^соответственно
<Pi (х)^-у-; строим функцию flt непрерывную во всем X, равную
—на А,, и равную на Вл полагаем на Ф
«5	о
Ч>2 (*) = Ф1 w—
Верхняя грань щ функции | <р31 удовлетворяет неравенству
Р"2 з Mi-
Таким образом шаг за шагом строим функции
Фо = Ф, Ф1, Ф2> •••. Ф»> •••.
непрерывные на Ф, и функции
А>> fit fit • • •» fnt "ч
непрерывные на всем X, причем на Ф имеем
Фп-ы(*) = Фп(*)—fn(x).	(3)
*) Одно из множеств 40, Во при этом может оказаться пустым, что,
однако, не влияет на дальнейшие рассуждения.
§8]
АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
179
Далее, обозначая через верхнюю грань функции | <р„ |, имеем
« = 0,1,2.........................................
значит,
|фп(х)1<(4)4,	(4>
Положим теперь
s„(x)=f0(x) +... +f„(x).
В силу второго из неравенств (4) последовательность
$19 $29 $39 • • • 9 ^П9 • * •
равномерно сходится к непрерывной в X функции /, причем
|/(*)1<Е (т)"-Т = Но,	(5>
п =0 '	'
так что функция | f | ограничена в X тою же константой р0, что
и функция | <р | на Ф.
Далее, по формуле (3) имеем в любой точке х € Ф
М*)=Фл (*)—Фл+1(*),
значит,
sn (х)= <р0 (х)—ф„+1(х),
и так как в силу первого из неравенств (4) функции <pn+i при
п—*оо стремятся к нулю, то для любого х£Ф имеем
f(x) = lim s„ (х) = <р0 (х)= <р (х),
п ею
чем все доказано.
Применим лемму Урысона к доказательству следующего важ-
ного утверждения:
Лемма Веденисова. а) В нормальном пространстве X
всякое замкнутое множество типа Gq и только такое множе-
ство есть множество нулей некоторой непрерывной на X функ-
ции.
б) В нормальном пространстве X для всякого открытого мно-
жества V типа Fа и только для такого множества существует
непрерывная функция f: X—>[0; 1] такая, что U = {х£Х:
f(x)>0}.
Очевидно, что утверждения а) и б) эквивалентны. Докажем
00
утверждение б). Пусть {/= (J Fn, где множества Fn замкнуты.
п = 1
По большой лемме Урысона для всякого п = 1,2, ... существует
180
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
такая непрерывная функция fn: X—> £о;	, что fn(fn)=^ и
<30
f„(X\U) = O. Положим теперь f= У, fn. Функция f непре-
Л = 1
рывна, прскольку она является пределом равномерно сходящейся
Л
последовательности непрерывных функций <р„= 2 Ля- Оче-
т=1
видно, что f(x)=O для всякой точки x£X\U. В то же время,
если х € U, то х ё Fn при некотором п. Тогда f (х) fn (х) = ~ > 0.
Лемма Веденисова доказана.
§ 9. Ограниченные множества в ;
теоремы Больцано—Вейерштрасса, Кантора
и Бореля — Лебега. Теорема Коши
С ограниченными множествами на числовой прямой мы встре-
чались в главе 2. Множество М, лежащее в евклидовом прост-
ранстве, называется ограниченным, если оно целиком лежит в не-
котором шаре (или, что то же самое, в некотором кубе).
Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы проекции
множества М. на каждую координатную ось были ограниченными.
Имеет место следующая фундаментальная теорема:
Теорема 38 (Больцано—Вейерштрасс). Всякое бесконечное
ограниченное множество в евклидовом пространстве ♦) имеет хотя
бы одну предельную точку.
Докажем теорему Больцано — Вейерштрасса для плоских мно-
жеств. Доказательство опирается на следующую лемму:
Лемма. Всякая убывающая последовательность замкнутых
прямоугольников, стороны которых параллельны осям координат
и стремятся по длине к нулю, имеет пересечение, состоящее из
одной-единственной точки.
В самом деле, пусть
Qi — 0.2— ••• — Qn— • * *
— данная последовательность прямоугольников. Спроектируем
эти прямоугольники на ось абсцисс и на ось ординат. Получим
*) В гильбертовом пространстве теорема Больцано—Вейерштрасса уже не
имеет места. В самом деле, бесконечное множество 2И = (х1, . ..,х„, ...}, где
точка хт имеет единственную отличную от нуля m-ю координату, которая
равна 1, ограничено (его диаметр равен j/2). В то же время всякая сфери-
ческая окрестность радиуса ^2/2 пересекается не более чем с одной точкой
множества Af, которое, тем самым, не имеет предельных точек.

ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА В Rn
181
последовательность сегментов
Х1ЭХ,Э...=!Х„ = ...
на оси абсцисс и последовательность сегментов
^ = /,= ...=7,2...
на оси ординат. Каждая из этих последовательностей имеет,
в силу следствия 3 теоремы 10 § 2 гл. 2, пересечение, состоя-
щее из одной точки х0, соответственно у0. Точка g0 = (х0, z/0)
плоскости принадлежит всем прямоугольникам Qn\ их пересече-
ние, таким образом, непусто. Если бы это пересечение, кроме
точки |0, содержало еще какую-нибудь точку |, то, обозначив
через d расстояние между точками |0 и £ и взяв столь боль-
шое и, чтобы обе стороны прямоугольника Qn были меньше у,
мы получили бы противоречие (всякие две точки прямоуголь-
ника Qn имеют расстояние <2y=d, а потому точки g0 и
отстоящие друг от друга на d, не могут в этом прямоугольнике
уместиться).
Переходим непосредственно к доказательству теоремы Боль-
цано—Вейерштрасса. Рассмотрим какое-нибудь ограниченное
множество Е на плоскости. В силу ограниченности множества Е
существует квадрат Qo со сторонами, параллельными осям коор-
динат, содержащий все множество Е. Разобьем квадрат Qo пря-
мыми, параллельными его сторонам, на четыре конгруэнтных
между собою квадрата. Так как множество Е бесконечно, то по
крайней мере один из этих четырех квадратов—назовем его —
содержит бесконечно много точек множества Е. Квадрат имеет
сторону вдвое меньшую, чем сторона квадрата Qo. Разобьем
квадрат на четыре равных квадрата прямыми, параллельными
сторонам; хотя бы один из этих квадратов—обозначим его
через Q2—содержит бесконечно много точек множества Е. Квад-
рат Q2 имеет сторону вдвое меньшую, чем сторона квадрата Q±.
Продолжая это рассуждение, получим убывающую последователь-
ность
Qo => Qi => Q, = Q9 =>...=> Qn => ...
квадратов co сторонами, параллельными осям координат, каж-
дый из которых содержит бесконечно много точек множества Е,
причем сторона Qn+i вдвое меньше стороны Qn, так что мы
находимся в условиях леммы и имеем точку принадлежащую
всем квадратам Qn.
Покажем, что —предельная точка множества Е. В самом
деле, пусть U (20, е)—произвольная окрестность точки g0.
182	МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 4
Возьмем п столь большим, чтобы сторона квадрата была мень-
ше . Любые две точки этого квадрата отстоят друг от друга на
расстояние <у + ’2’ = е> откуда следует, что квадрат Q„, содержа
точку |0, целиком лежит в U (|0, е). По определению квадрата
в нем содержится бесконечное подмножество множества Е, и все
это подмножество содержится в U (£0, е). Так как 8—произвольно
малое положительное число, то есть предельная точка множе-
ства £, и теорема Больцано—Вейерштрасса для плоских мно-
жеств доказана.
Это же доказательство (даже в несколько упрощенном виде}
применимо и к случаю числовой прямой: вместо того, чтобы де-
лить квадрат на четыре равных квадрата, придется отрезок делить
пополам. В случае произвольного n-мерного евклидова простран-
ства n-мерный куб придется делить на 2" равных п-мерных
кубов.
Установим ряд важных предложений, являющихся легкими
следствиями теоремы Больцано—Вейерштрасса.
Теорема 39. Если множество всех точек бесконечной после-
довательности
х2, х3, ...,	.	(1}
ограничено*), то из нее можно выделить сходящуюся подпоследо-
вательность.
Покажем прежде всего, что из последовательности (1) всегда
можно выбрать либо стационарную подпоследовательность (т. е.
такую, все элементы которой, начиная с некоторого, совпадают
между собою), либо подпоследовательность, состоящую из по-
парно различных элементов. В самом деле, положим пг = 1 и бу-
дем искать в последовательности (1) первый элемент хПг, нерав-
ный элементу если такого элемента нет, то
х2 = х3 = . . . = Хп = ...
и вся последовательность (1) стационарна. Если же такой эле-
мент хП2 существует, то ищем первый элемент х„э, п3 > n2 >
отличный как отхП1, так и от хП2. Продолжая этот процесс, мы либо
найдем бесконечную подпоследовательность
х„,,хПг,х„з, ...,xnk, ...,п1<п2<п3< ... <пт< (2)
последовательности (1), состоящую из попарно различных эле-
ментов, либо выделим конечное число элементов
•	• • >	>	(3}
') Говорят кратко: «если последовательность (1) ограничена».
5 9]	ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА В Rn	183
обладающих тем свойством, что каждый из элементов последо-
вательности (1) совпадает с одним из элементов (3). В этом вто-
ром случае некоторая бесконечная подпоследовательность
•	• • >	* * * *	(4)
последовательности (1) будет состоять из элементов, которые все
равны одному и тому же элементу конечного множества (3).
Подпоследовательность (4), очевидно, стационарна и, следо-
вательно, сходится. Остается рассмотреть случай, когда в (1)
имеется бесконечная подпоследовательность (2), состоящая из
попарно различных элементов. Эти элементы образуют бесконеч-
ное ограниченное множество, имеющее в силу теоремы Боль-
цано—Вейерштрасса предельную точку g; выделяя из (2) под-
последовательность, сходящуюся к g, убедимся в справедливости
теоремы 39.
Теорема 40 (Кантор). Всякая последовательность непустых
ограниченных убывающих замкнутых множеств
F1^F2sF33...^Fn3...	(5)
имеет непустое пересечение.
Доказательство. Выбирая из каждого Fn по точке
получаем ограниченную последовательность (1), из которой, по
теореме 39, можно выделить подпоследовательность
^n2> • • • >	> • • • >	(6)
сходящуюся к некоторой точке а. Докажем, что точка а принад-
лежит любому множеству Fn нашей последовательности (5) и,
следовательно, пересечению этих множеств. Возьмем какое-ни-
будь Fn и выделим подпоследовательность последовательности (6),
состоящую из тех xnk , у которых nk > п \ эта подпоследовательность
(все элементы которой принадлежат F„) сходится к той же
точке а, которая, таким образом оказывается точкой прикосно-
вения множества Fn, а так как Fn замкнуто, то a£Fn, что и
требовалось доказать.
Теорема 41 (Борель—Лебег). Из всякой бесконечной си-
стемы S интервалов, покрывающей данный сегмент [а; 0], можно
выделить конечную подсистему, также покрывающую сег-
мент [а; 0].
Мы приводим здесь первоначальное доказательство, принад-
лежащее самому Лебегу. Ниже будет доказана значительно более
общая теорема (§ 1 гл. 5), касающаяся, в частности, и замкну-
тых ограниченных подмножеств евклидова пространства.
Доказательство. Назовем какую-либо точку я€[а;0]
отмеченной, если, существует конечная подсистема системы S,
покрывающая сегмент [а; а]. Обозначим через М множество всех
184
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 4
отмеченных точек. Легко видеть, что М непусто (например, а £ АГ).
Пусть g—верхняя грань множества М. Так как Л1^[а; р], то
a^g^p. Покажем, что g=p. В самом деле, точка g содер-
жится в некотором интервале Д=(х';хяг) системы 2; по опреде-
лению точки g в (/; х") содержится отмеченная точка х, сле-
довательно, сегмент [а; х] покрыт конечной, подсистемой 2*
системы 2. Пусть 2* состоит из интервалов Дх, ..., Др. Тогда
система 2^ , состоящая из интервалов Дх, ..., Др, Д, очевидно,
покрывает сегмент [a; g].
Однако система 2| покрывает не только сегмент [a; g], но
даже сегмент [a; g'], где g'—произвольная точка интервала (g;x"),
так что точка g' > g оказывается отмеченной, если только
€ [а; Р]. Но это лишь в том случае совместно с определением
точки g (как верхней грани множества М отмеченных точек,
лежащих на [а; Р]), если g=P; значит, весь сегмент [а; Р]
покрыт конечной подсистемой 2^=р системы 2, и теорема 41 до-
казана.
Замечание1. Из теоремы Бореля—Лебега в свою очередь легко вы-
водится теорема Больцано—Вейерштрасса. В самом деле, пусть множество
Л1 <=[а; &] не имеет ни одной предельной точки; тогда каждая точка х^[а; Ь]
имеет окрестность U (х, е#), содержащую лишь конечное число точек х. Сис-
тема 2 всех этих U (х, ех) покрывает сегмент [а; Ь] и, значит, по теореме
Бореля—Лебега, содержит конечную подсистему
также покрывающую сегмент [а; &]. Так как каждое из множеств М. П
..., М 0 Us конечно, то и все множество М = (2И П ^i) U • • • U (М П Us)
конечно, и теорема Больцано—Вейерштрасса доказана.
Замечание 2. Читателю рекомендуется доказать предложения, полу-
чающиеся путем замены в формулировке теоремы Бореля — Лебега сегмента
[а; РЬ
1)	произвольным ограниченным замкнутым множеством (на прямой);
2)	замкнутым квадратом;
3)	произвольным замкнутым ограниченным множеством плоскости.
Докажем теперь следующее предложение:
Теорема 42 (принцип сходимости Коши). Для того чтобы
последовательность
• • • >	• • •	(О
точек числовой прямой была сходящейся, необходимо и доста-
точно, чтобы для каждого положительного числа е можно было
найти такое натуральное число пг , чтобы было
Р(*т» х9) = \хр—х9\<г
для всех р и q, больших чем пг .
Необходимость условия непосредственно следует из опреде-
ления сходящейся последовательности.
§ 91	ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА В Rn	185
Докажем, что условие достаточно. Обозначим (для &=1,2,
3, ...) через Ek множество точек
Xk + 1* Xk + 2* * * *
последовательности (1). Очевидно, множество Ei9 значит, тем
более каждое из множеств Ek ограничено ♦) и
£\ =5 Е2 — ^з — • • • — Ek — Ek+i — • • •
Положим
aft = inf£ft, pft = supEft.
На основании теорем 8 и 9 § 2 гл. 2 имеем
a!<a2<a3^..	,
р!>р2>Рз>...>Р*>-..,
причем aft^Z0£. Если а* = 0*, то все точки xk, xk+i, ... совпа-
дают, и тогда последовательность (1) сходится к точке |=хЛ =
= xk+i = • • • Если же ни при каком значении k точка не
совпадает с 0Л, то сегменты [cq; 0J, [a2; 02], [a3; р3], ... обра-
зуют убывающую последовательность. Докажем, что
aft) = 0.
<ю
Для любого данного е > 0 возьмем пе столь большим, чтобы
при р>пе, <7>ле было |хр—х^|<у. Пусть &>пе. Из опре-
деления чисел аъ 0^ следует, что можно найти хр, xq, p^k,
qZ^k, так, что
0<pft—х?<-|.
Отсюда и из |Хр—следует, что Р*—аЛ < е, чем наше
утверждение доказано.
В силу следствия 3 теоремы 10 § 2 гл. 2 существует един-
ственная точка принадлежащая всем сегментам [aft; рЛ]. При
этом, каково бы ни было е > 0, имеется столь большое k, что
£/(£, е)зэ[а*; р*], так что все точки хк, хк+1, ... содержатся
в U (£, е). А это и означает, что | = limxn.
Л-> ОО
Определение 11. Последовательность
Х19 Х29	• • • 9 ХП9
*) В самом деле, возьмем, например, 8=1 и определим для этого е
число пусть хк — самая левая, а х&—самая правая из точек х19 х2, ...
...» хпе+1» тогда все множество лежит на интервале (хк — 1; х^ +D*
186
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. 4
действительных чисел называется возрастающей, если
х2 х
Хп	^л + 1
3
и убывающей, если
Возрастающие и убывающие последовательности объединяются
одним названием монотонных последовательностей.
Теорема 43. Всякая монотонная ограниченная последова-
тельность есть последовательность сходящаяся, причем всякая
ограниченная возрастающая последовательность сходится к своей
верхней грани, а убывающая—к своей нижней грани.
Доказательства в случае возрастающих и убывающих после-
довательностей совершенно аналогичны, рассмотрим поэтому лишь
случай возрастающих последовательностей. Пусть имеем возрас-
тающую последовательность


(7)
и пусть g есть верхняя грань множества всех точек, являющихся
элементами нашей последовательности. Пусть (g—s; g+s) —
произвольная окрестность точки £. Сегмент	содер-
жит по крайней мере одну точку последовательности (7), пусть,
например, точку xk\ так как никакая точка хп, для которой
п > k, не лежит влево от xk и никакая вообще из точек хп не
лежит вправо от £, то все точки хп, п> k, лежат на сегменте
gj, составляющем часть интервала (£—в; Ц-s). Итак,
какова бы ни была окрестность точки |, все хп, начиная с не-
которого, лежат в этой окрестности, а это означает, что limxw = £,
л-хю
что и требовалось доказать.
Закончим этот параграф следующим утверждением:
Теорема 44. Множество всех точек п-мерного евклидова
пространства имеет мощность континуума.
Замечание 3. Эта теорема непосредственно вытекает из
теоремы 24" § 6 гл. 3, согласно которой с” = с. Но мы дадим
здесь элементарное доказательство этого факта. Доказательство
будет проведено для плоскости, но оно без труда переносится
и на общий случай.
Доказательству предпошлем несколько элементарных фактов.
Обозначим через г, q> полярные координаты на плоскости и
установим на каждом луче <р = <р0 =И= О взаимно однозначное соот-
♦) Таким образом, если последовательность является одновременно и воз-
растающей и убывающей, то все элементы ее равны между собой.
§9]
ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА В R‘
187
ветствие между множеством всех точек 0 < г < I и множеством
всех точек 0<г<оо; на луче q> = 0 установим взаимно одно-
значное соответствие между всеми точками 0 г < 1 и всеми
точками О^Сг<оо. В результате получится взаимно однознач-
ное соответствие между множеством всех точек плоскости и мно-
жеством всех точек открытого круга г < 1. Столь же легко
установить взаимно однозначное соответствие между множеством
всех точек плоскости и множеством всех точек открытого квад-
рата 0 < х < 1, 0 < у < 1.
Итак, достаточно доказать, что множество Q всех точек (х, у)
открытого квадрата 0 < х < 1, 0 < у < 1 имеет мощность кон-
тинуума. Запишем для этого координаты х, у произвольной
точки (х, у) £ Q в виде двоичных дробей, не имеющих единицы
в периоде:
х = 0, хгх2х3. . .хп. .. (ч. е. х = 2Е2~ 1 ’
X	п.	1 /
// = о. У1УгУз---Уп--- (т. е. у = £§, yn = Q.\
\	п	1 /
и поставим в соответствие точке (х, у) точку
t = 0, х^лг/лг/з... хпуп... (т. е. t = £	+
X	п 4	'
интервала (0; 1). Каждая точка этого интервала, в двоичном
разложении которой
/ = 0, txt2t3...tn...
имеются нули как на местах с произвольно большими нечетными
номерами, так и на местах с произвольно большими четными
номерами, окажется поставленной, таким образом, в соответст-
вие одной-единственной точке (х, у) £ Q, именно точке с коор-
динатами
X = 0,	• • • >
У = 0,	•••
Итак, установлено взаимно однозначное отображение квадрата Q
на часть интервала (0; 1). С другой стороны, относя каждой
точке t этого интервала точку f/, у) квадрата Q, мы получим,
очевидно, взаимно однозначное отображение интервала (0; 1) на
часть квадрата Q. Следовательно, по теореме 14 § 6 гл. 1 квад-
рат Q имеет ту же мощность, что и интервал (0; 1), т. е. мощ-
ность континуума, и теорема 44 доказана.
Глава пятая
КОМПАКТНЫЕ И ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Компактность в данном пространстве
и компактность в себе
Определение 1. Множество М, лежащее в метрическом
пространстве X, называется компактным в пространстве X, если
из каждой бесконечной последовательности точек множества М
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой
точке пространства X. Если выполнено более сильное условие,
а именно, что из каждой бесконечной последовательности точек
множества М можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся
к некоторой точке множества М, то множество М называется
компактным в себе. Если говорят о компактности какого-либо
метрического пространства (которое рассматривается само по
себе, а не как множество, лежащее в каком-либо объемлющем
пространстве), то, естественно, имеют в виду компактность
в себе: метрическое пространство X называется компактным иди
просто компактом, если из каждой бесконечной последователь-
ности точек этого пространства можно выделить сходящуюся
в этом пространстве подпоследовательность.
Мы говорим, что метрическое пространство X компактно
в точке х£Х (или имеет точку х своей точкой локальной ком-
пактности), если у точки х существует окрестность Ux, замы-
кание [Ux]x которой есть компакт; пространство называется
локально компактным, если каждая его точка есть точка локаль-
ной компактности.
Всякий компакт, очевидно, обладает свойством локальной
компактности. Примером локально компактного пространства,
не являющегося компактом, может служить числовая прямая и
вообще евклидово пространство любого числа измерений. Гиль-
бертово пространство ни в какой своей точке не компактно.
В самом деле, каково бы ни было в > 0, в е-окрестности любой
точки а = (аи .... а„, ...) можно найти расходящуюся после-
КОМПАКТНОСТЬ
189
$ п
довательность хь х2, ...» хт9 .где хт=\аи ...
. е	\
• ♦ ♦ > *Г 2 ’	• • • ) •
Теорема 1. Множество Г всех точек локальной компакт-
ности произвольного пространства X есть открытое в X, быть
может пустое, множество, являющееся локально компактным
пространством.
В самом деле, для любой точки х£Г существует окрест-
ность Ux (относительно X), замыкание которой [(7х]х есть ком-
пакт. Отсюда сразу следует, что всякая точка х € Ux есть точка
локальной компактности пространства, т. е. i/х^Г; значит,
Г открыто в X. Выбрав окрестность Urx так, чтобы \U tx\^U х9
видим, что замыкание окрестности Utx в Г совпадает с ее замы-
канием в X и является компактом, откуда и следует, что Г есть
локально компактное пространство.
Локальную компактность топологических пространств мы
будем изучать в § 12 гл. 6.
Определению компактности может быть придана и такая форма:
Множество М £Х называется компактным в пространстве X,
если каждое бесконечное подмножество множества М имеет
(в пространстве X) хотя бы одну предельную точку.
В самом деле, пусть только что сформулированное условие выполнено.
Докажем, что из любой бесконечной последовательности
•^1» *^2» • • • >	• • •	(О
точек множества М можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
В самом деле, положим %=1 и обозначим через п2 наименьшее п такое, что
точка хп отлична от хпх. Такое п нельзя будет найти лишь в случае, если
все точки (1) совпадают. Вообще, если xnv ..., хПк уже определены, то обоз-
начим через п^+1 наименьшее п такое, что точка хп отлична от x„it х„к.
При этом могут встретиться две возможности:
а)	Для некоторого k (может быть, уже и для /? = 1) окажется, что х„А+1
построить нельзя, т. е. что каждая точка хп совпадает с одной из точек
хп„ ...» хПк, тогда найдется бесконечная подпоследовательность последова-
тельности (1), состоящая из совпадающих между собою точек; эта последова-
тельность сходится, и наше утверждение доказано.
б)	Процесс выделения элементов хП1, ...» хПк продолжается бесконечно
и приводит к построению бесконечной подпоследовательности
• • • >	• • •	(2)
последовательности (1), состоящей из попарно различных точек, так что (2)
является бесконечным подмножеством множества М. Это подмножество имеет,
по предположению, предельную точку х0. Так как метрическое пространство
удовлетворяет первой аксиоме счетности, то, в силу предложения 1 § 4 гл. 4,
из последовательности (2) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся
к точке х0.
Обратно, пусть из каждой последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность и дано какое-нибудь бесконечное подмножество
множества М; тогда в множестве Л10 содержится счетное множество
190
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 5
элементы которого можно занумеровать в виде последовательности (1), состоящей,
«очевидно, из попарно различных точек. Выделяя из этой последовательности
сходящуюся подпоследовательность и обозначая через х0 ее предел, видим,
что х0 есть предельная точка множества М19 а значит, и множества М. Итак,
эквивалентность обоих определений компактности доказана.
В частности, когда М совпадает со всем X, имеем предло-
жение:
Компакты могут быть определены как такие метрические
пространства, в которых каждое бесконечное множество имеет
хотя бы одну предельную точку.
Так как всякое подмножество ограниченного множества огра-
ничено, то из теоремы Больцано—Вейерштрасса следует, что
всякое ограниченное множество евклидова п-мерного пространства
компактно в этом пространстве.
Пусть 8—какое-нибудь положительное число, а М—мно-
жество, лежащее в метрическом пространстве X. Конечное мно-
жество точек а19 а29 ..., aS9 лежащих в М9 называется е-сетью
множества М9 если для любой точки х£М найдется по край-
ней мере одна точка ai9 отстоящая от х на расстояние < 8.
(Пример: пусть М есть обыкновенный квадрат; разобьем его
на квадраты М19 М29 ...9 MS9 диаметр, т. е. длина диагонали,
каждого из которых меньше 8; если в каждом квадрате /И,-
возьмем по точке ai9 то множество этих точек будет 8-сетью
квадрата Л4.) Если множество М имеет при некотором данном
8 > 0 хотя бы одну г-сеть9 то оно ограничено, В самом деле,
пусть Аге = {«1, ...» as} есть 8-сеть множества М; обозначим
через d диаметр множества Ыг9 т. е. наибольшее среди чисел
p(ai9 aj). Для любых двух точек х и х' множества М найдутся
точки ai9 aj нашей 8-сети такие, что р(х, а^ < 8, р(х', а7) < 8,
так что
р(х, х')^р(х, aj + p(az, а7) + р(ау, х') < 8 + d + 8 = d4-2e,
откуда следует, что диаметр множества М не превосходит d 4- 2s.
Назовем теперь множество М вполне ограниченным, если оно
при любом 8 > 0 содержит некоторую 8-сеть. Мы только что
убедились в том, что всякое вполне ограниченное множество М
и подавно является ограниченным, поэтому название выбрано
законно. Докажем следующее предложение:
Теорема 2. Всякое множество М9 компактное в каком-либо
метрическом пространстве X, вполне ограничено.
В самом деле, если множество М X не вполне ограничено,
то существует некоторое 8 > 0, при котором М не содержит
никакой 8-сети. Возьмем произвольную точку а^М. Так как
в М. нет 8-сети, то 8-сетью, в частности, не является множество,
состоящее из единственной точки а^9 поэтому в М можно найти
точку а19 отстоящую от я0 на расстояние > 8. Но пара точек я0,
§ 1]	КОМПАКТНОСТЬ	191
также не образует е-сети множества М\ поэтому в М можно
найти точку а2, отстоящую от каждой из точек а0, аг на рас-
стояние Продолжая это рассуждение, мы шаг за шагом
построим бесконечную последовательность точек
^о> ^1> • • • >	• • •>	(^)
каждая из которых отстоит от всех предшествующих (в после-
довательности (3)) на расстояние е. Поэтому расстояние между
любыми двумя точками последовательности (3) оказывается
Отсюда следует, что последовательность (3) не содержит ника-
кой сходящейся подпоследовательности, и теорема 2 доказана.
Так как ограниченные множества евклидова пространства
компактны, а компактные множества ограничены (даже вполне),,
то из доказанного вытекает
Теорема 3. Для того чтобы множество, лежащее в евкли-
довом пространстве Rn, было компактным в Rn, необходимо и
достаточно, чтобы оно было ограниченным.
Из теорем 2 и 3 следует, что всякое ограниченное множество*
лежащее в п-мерном евклидовом пространстве, является и вполне
ограниченным,— обстоятельство, в котором легко убедиться и
неп осредствен но.
Теорема 4. Для того чтобы множество М, лежащее в мет-
рическом пространстве X было компактом, необходимо и доста-
точно, чтобы оно было замкнуто и компактно в X.
В самом деле, пусть М замкнуто и компактно в X. Тогда
всякое бесконечное подмножество М'<=М имеет в X хотя бы
одну предельную точку а. Так как М замкнуто, то а£М, и,
значит, М' имеет предельную точку в М, откуда и следует»
что М — компакт. Обратно, пусть М компактно в себе. Тогда и
подавно М компактно в X. Докажем, что М, кроме того, и
замкнуто. Если бы это было не так, то существовала бы пре-
дельная точка а множества М, не принадлежащая этому мно-
жеству. Возьмем последовательность точек аг, а2, ..., ап, ...
множества М, сходящуюся к а. Всякая подпоследовательность
этой последовательности также сходится к а£Х\М, т. е. не
сходится ни к какой точке множества М. Итак, последователь-
ность точек ап С М не содержит никакой подпоследовательности,
сходящейся в М, и М не может быть компактно в себе.
Замечание 1. Одно из утверждений теоремы 4 обычно
формулируют так: всякий компакт замкнут в любом объемлю-
щем метрическом пространстве*).
Замечание 2. В гильбертовом пространстве легко найти
ограниченное множество, не являющееся вполне ограниченным:
таково, например, множество Е, состоящее из всех точек, у
‘) В § 1 гл. 6 будет доказано значительно более общее утверждение.
192
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 5
которых одна какая-нибудь координата равна 1, а все остальные
равны нулю. Любые две точки этого множества находятся друг
от друга на расстоянии так что оно ограничено (имеет диа-
метр К2). В то же время оно не вполне ограничено (при в < У2
в Е не существует е-сети).
Теорема 5. Во всяком компакте, состоящем из бесконеч-
ного числа точек, имеется счетное всюду плотное множество.
В самом деле, пусть X—компакт. Так как X, по доказан-
ному, вполне ограничено, то для любого е > 0 в X содержится
е-сеть Ns. Давая в значения 1, у, ..., 4» •••» ПОЛУЧИМ не
более чем счетное множество
<50
A/ = UtfjL>
п=1 п
всюду плотное в X (так как, какова бы ни была точка х£Х,
имеем р(х, 2V) = 0). Множество А/ не может быть конечным, так
как всякое конечное подмножество компакта замкнуто.
Замечание 3. Из определения компактности непосредст-
венно следует:
Если X—компакт, то всякое М^Х компактно в X; по-
этому всякое замкнутое множество какого-либо компакта X само
является компактом.
Теорема 6 (Кантор). Пусть
Ф1ЭФ,эФ,2...эФ,2...	(4)
суть непустые замкнутые компактные множества метрического
пространства X, т. е. компакты, лежащие в X. Их пересечение
оо
ф = Q фп непусто.
П=1
Замечание 4. Теорема Кантора может быть сформулиро-
вана и так:
Любая последовательность непустых убывающих замкнутых
множеств (4) компактного метрического пространства имеет
непустое пересечение.
Доказательство теоремы Кантора совпадает с дан-
ным в § 9 гл. 4 доказательством той же теоремы для замкну-
тых ограниченных множеств в /?". Для любого п возьмем про-
извольную точку а„СФ„. Из последовательности полученных
таким образом точек аг, as, ..., а„, ... выберем сходящуюся
последовательность
оП1, а„г, ..., аПк, ...	(5)
$ 1]
КОМПАКТНОСТЬ
193
(такая существует, так как все ап лежат в ФП а Фх компактно).
Пусть а = 1ипа . Докажем, что а£Фп при любом п. Возьмем
/г-> со
п^>/г. Последовательность^, аЛ^+1, -	• •• состоит из
точек множества Фп и сходится к той же точке а, что и вся
последовательность (5). Поэтому а есть точка прикосновения
множества Ф„. Так как Фп, замкнуто, то что и требо-
валось доказать.
Следствие. Всякая убывающая последовательность непус-
тых замкнутых ограниченных множеств п-мерного евклидова
пространства имеет непустое пересечение.
Замечание 5. Если диаметры множеств (4) стремятся*
к нулю, то пересечение всех множеств Ф„ (непустое в силу тео-
ремы Кантора) состоит из одной-единственной точки.
Наряду с теоремой Кантора одним из важнейших предложен
ний в теории компактных пространств является так называемая
теорема Бореля —Лебега, доказанная первоначально для сегмента
числовой прямой.
Теорема 7. Пусть Ф—компакт, лежащий в метрическом
пространстве X (т. е. в силу теоремы 4 Ф—замкнутое и ком-
пактное в X множество). Из всякой системы S открытых мно-
жеств пространства X, покрывающих *) множество Ф, можно
выделить конечную подсистему, также покрывающую множество Ф.
Другими словами, всякое открытое покрытие компактного
замкнутого множества Ф содержит конечное подпокрытие того
же множества Ф.
Доказательство основывается на следующей лемме:
Лемма. Всякий компакт Ф при любом 8>0 может быть
представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств
диаметра < 8.
Эта лемма весьма просто вытекает из того, что компакт Ф
вполне ограничен. В самом деле, возьмем какую-либо —сеть
N =	а2, .... aj
компакта Ф. Тогда, по самому определению сети, Ф содержится
в сумме множеств U (alt v)> • • •» U \as> v) > значит, и подавно
в сумме множеств £[/ ^а1(	...,	(замыкания
берутся также в Ф). Так как каждое из множеств Ф( = ФП
*) Напомним, что система S множеств покрывает множество Ф, или обра-
зует покрытие множества Ф, если каждая точка множества Ф содержится
хотя бы в одном множестве системы S. Покрытие называется открытым (соот-
ветственно замкнутым), если все его элементы суть открытые (замкнутые) мно-
жества. Покрытие, состоящее из конечного числа элементов, называется ко-
нечным.
194
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 5
п \ait -|j j есть замкнутое множество диаметра =С-д-« »
ф = ф1 U ... U ф5, то лемма доказана.
Докажем теперь теорему Бореля—Лебега от противного.
Пусть компакт Ф s X покрыт некоторой бесконечной системой S
открытых множеств Г пространства X, и пусть никакая конеч-
ная подсистема системы 3 не покрывает Ф. Берем в лемме
8 = 1 и представим Ф в виде суммы конечного числа замкнутых
множеств Ф),	Ф5, диаметры которых <1. Если бы каждое
из этих Ф; было покрыто некоторой конечной подсистемой си-
стемы 2, то и все Ф было бы покрыто конечной подсистемой
системы 2. Поэтому некоторое Ф(1 не покрыто никакой конечной
подсистемой системы 2. Множество Ф1(, как замкнутое под-
множество компакта Ф, есть компакт и потому может
быть представлено в виде суммы конечного числа замкну-
тых множеств Ф/д.Ф/,,,	Ф,^, диаметра <у. По край-
ней мере одно из этих множеств, ф/л, не покрыто никакой
конечной подсистемой системы 2. Это Ф,]1г мы представляем
в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра
< -g-, выбираем среди них одно, Ф^,, не покрытое никакой
конечной подсистемой системы 2, и продолжаем этот процесс до
бесконечности. В результате получаем последовательность
Ф э Ф,, а Ф,-,,-, а Фл/А =>...=> Ф/л.../я = • • •	(6)
компактов, причем ни один из них не покрыт никакой конечной
подсистемой системы 2 и диаметр б(Ф1-1.../п) множества Ф/,<,.../л
меньше чем — . По доказанному пересечение множеств (6) со-
стоит из одной точки а. Это а содержится в некотором Г €2.
Так как Г открыто, то существует U (а, в) а Г. Возьмем п столь
большим, чтобы было < в. Тогда из а€Ф/,.../я и ^(Ф,,...^) < -i-
следует, что	U (а, в) а Г, т. е. что Ф/,„ля покрыто даже
одним элементом Г системы 2 (тогда как мы предположили, что
никакое конечное число элементов системы 2 не покрывает
Ф/,.../я). Полученное противоречие доказывает теорему Бореля —
Лебега.
Теорема Бореля—Лебега полностью характеризует компакты. Другим»
словами, имеет место следующая
Теорема 8'. Пусть множество AfsX удовлетворяет тому условию,
что из всякой системы открытых множеств пространства X, покрываю-
щих М, можно выделить конечную подсистему, обладающую тем же свой-
ством. Тогда М есть компакт.
В самом деле, предположим противное. Тогда в М существует бесконечное
подмножество М', не имеющее в Af никакой предельной точки. Отсюда еле-
!§ 2]	НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПАКТОВ	195
дует, что любая точка х£М имеет окрестность U (х, 8Х), содержащую не более
конечного числа точек множества М". Окрестности U (х, &х) покрывают все
множество М. В силу наших предположений существует конечное число этих
окрестностей Ur = U (хх, гх^, ...» US = U (xs, 8^), также покрывающих М.
Тогда
М* = (М“ П i) U • • • U (М” П UJ,
что невозможно, так как ЛГ—бесконечное множество, а каждое из множеств
JW'TlL/f конечно.
Ограничиваясь наиболее важным частным случаем, когда М = Х, мы при-
ходим к такому предложению:
Теорема 8. Для того чтобы метрическое пространство X было ком-
пактом, необходимо и достаточно, чтобы из каждой системы открытых
.множеств, дающих в сумме пространство X, можно было выбрать конечную
подсистему, обладающую тем же свойством,
§ 2. Непрерывные отображения компактов
Теорема 9. Метрическое пространство, являющееся непре-
рывным образом компакта, само есть компакт*).
Доказательство. Пусть дано непрерывное отображение f
компакта X на метрическое пространство Y. Чтобы доказать,
что Y есть компакт, надо доказать, что из каждой системы 2Г
открытых в Y множеств Га, покрывающих Y, можно выделить
конечную подсистему, обладающую тем же свойством. Но си-
стема 2У открытых множеств /-1(Га) покрывает X и вследствие
компактности X содержит конечную подсистему {f-1 (Г01), .. .,
(Г\)}, также покрывающую X. Но тогда множества ГО1,...,
образуют конечную подсистему системы 2, покрывающую про-
странство Y, что и требовалось доказать.
Из теорем 9 и 4 следует
Теорема 10. Всякое множество М, лежащее в каком-либо
метрическом пространстве X и являющееся непрерывным образом
компакта, замкнуто в пространстве X.
Отсюда, далее, следует
Теорема 11. Всякое непрерывное отображение компакта
является замкнутым отображением.
В самом деле, пусть f—непрерывное отображение компакта X
в какое-либо метрическое пространство Y. Всякое замкнутое
в X множество является компактом (§ 1, замечание 3), поэтому
его образ при отображении f замкнут в Y, что и требовалось
доказать.
Из теоремы 11 вытекает
Теорема 12. Всякое взаимно однозначное и в одну сторону
непрерывное отображение компакта непрерывно и в другую
*) В частности, всякое метрическое пространство, гомеоморфное компакту,
само есть компакт: свойство компактности в себе, как говорят, топологически
инвариантно (что, впрочем, следует из самого определения компактности).
196	МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. 5
сторону и, следовательно, является топологическим отобра-
жением.
В самом деле, пусть f есть взаимно однозначное и непрерыв-
ное в одну сторону отображение компакта X на какое-нибудь
метрическое пространство У. В силу теоремы 9 пространство Y
есть компакт. Требуется доказать, что отображение f-1 ком-
пакта Y на компакт X, обратное отображению f, непрерывно,
т. е. требуется доказать, что прообраз при отображении f-1 вся-
кого замкнутого в X множества М является замкнутым в Y мно-
жеством. Но прообраз (f-1)-1 М множества М при отображении
f-1 совпадает с образом множества М при отображении /, кото-
рый в силу теоремы 11 замкнут в У. Теорема 12 доказана.
Из теоремы 9, далее, вытекает
Теорема 13. Всякая действительная функция y = f (х), опре-
деленная на некотором компакте X и непрерывная на нем, огра-
ничена и принимает в некоторой точке х0£Х наибольшее и
в некоторой точке хг С X наименьшее значение.
В самом деле, образом пространства X при отображении f
является некоторое множество У действительных чисел, и это
множество (в силу теоремы 9) есть компакт, т. е. (в силу тео-
рем 3 и 4) замкнутое и ограниченное множество действительных
чисел. Верхняя и нижняя грани этого множества принадлежат
ему и являются искомыми наибольшим и наименьшим значениями
нашей функции в пространстве X.
Частными случаями теоремы 13 являются известные из ана-
лиза теоремы о том, что всякая непрерывная функция, опреде-
ленная на замкнутом и ограниченном множестве Ф (на прямой,
на плоскости или вообще в Rn, например, модуль непрерывной
функции комплексного переменного), принимает на Ф как наи-
большее, так и наименьшее значения.
Замечание 1. Из теорем 11 и 12 § 3 гл. 4 и теоремы 13
следует, что совокупностью значений действительной функции,
определенной и непрерывной на связном и компактном метри-
ческом пространстве (например, на сегменте числовой прямой
или на замкнутом квадрате или круге), является всегда сег-
мент числовой прямой (или—если функция постоянна—одна
точка).
* *
*
Отображение f пространства X в пространство У называется
равномерно непрерывным, если для любого 8 > 0 можно найти
такое S > 0, что для любых двух точек х' € X, х" € X, расстоя-
ние между которыми в X меньше чем 6, имеем
Р (f (х'), f (%")) < 8 В Y.
§2]	НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПАКТОВ	197
Очевидно, всякое равномерно непрерывное отображение не-
прерывно.
Теорема 14. Всякое непрерывное отображение f компакта
X равномерно непрерывно*).
Доказательство (от противного). Если теорема 14 не-
верна, то существует такое 8 > О, что для любого б > 0 можно
найти пару точек	удовлетворяющую условиям
Р х'а>) <6, р (/ (х(б>), f (xje,)) > е.
Давая 6 значения 1, у, у, ... и обозначая х^ t у х
просто через хп, соответственно х'п, выбираем из последователь-
ности
Xj, ^29 • • * > ^П9 • • •
сходящуюся подпоследовательность
%ПХ 9 %П29 • • • 9 %nk* * * * > IfrP ^nk = ^0*
/г-> оо
Так как р (хп, х'п) < -1, то последовательность
Xflt'9 %П29 • • • 9 Xtlk9 • « •
тоже сходится, и притом к тому же пределу х0.
В силу непрерывности отображения имеем, полагая yk =
= f(xnk), y'k = f (X’nk), равенства
lim yk = lim y'k = f(x0),
k-> CO	/?-> CD
так что при достаточно большом k расстояние р (yk9 y'k) будет
сколь угодно мало. Между тем по предположению p(z/*, y'k)^&
для всех k. Полученное противоречие доказывает теорему 14.
Замечание 2. Легко доказывается следующая
Теорема 15. Метрической произведение двух компактов есть
компакт.
В самом деле, пусть в произведении X = [X' х X"] двух ком-
пактов X' и X" дана последовательность точек {хл}, хп = (х'п, х'п).
Выбираем подпоследовательность {xnk}, xnk = (x'nk, x'nk) так, чтобы
последовательности {x'nk}, {хл/г} были сходящимися соответственно
к х'о и к Хо. Тогда подпоследовательность {xnk} сходится в X
к точке xo = (xj, х'о).
Пример непрерывного отображения отрезка на тре-
угольник («кривая Пеано»). Возьмем разбиение отрезка [0; 1] = 6 на две
его половины: 60= £о; и	1J. Это разбиение отрезка [0; 1]
*) Эта теорема является обобщением известной из курса анализа теоремы.
198
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ. 5
назовем разбиением первого ранга, а отрезки |^0; — J и ; 1J — отрезками
первого ранга. Разбивая каждый отрезок первого ранга на две половины, по-
лучим четыре отрезка б00, 601, 610, 6Х1 второго ранга, образующие разбиение
второго ранга отрезка [0; 1], и т. д. Разбиение и-го ранга состоит из 2п от-
.	/.	.	0\	1
резков Oiii3,,jn ...»4n=-j-J , Длина каждого из которых есть
Аналогичным образом, проводя в равнобедренном прямоугольном тре-
угольнике А высоту*), разобьем его на два равных равнобедренных прямо-
угольных треугольника Ао и Ах. Это — треугольники «первого ранга»; они
образуют «разбиение первого ранга» исходного треугольника Д. Разбивая
каждый треугольник первого ранга его высотой, получим четыре треугольника
второго ранга ДОо> Дох, А10, АХ1. Вообще, при любом п получим 2п треуголь-
ников	...,/и=у) ранга п.
Замечание 3. Все треугольники в нашем построении считаются замк-
нутыми (т. е. к ним присоединяются их вершины и стороны).
Из нашей конструкции вытекает, очевидным образом, что всегда
и Ан. ..zn Z)
Далее, так как длина 6^ # л jn равна , то она стремится к нулю при
неограниченном возрастании п. Легко видеть также, что и диаметр треуголь-
ника А/и../л ПРИ неограниченном возрастании п стремится к нулю. Отсюда
вытекает:
а)	Если для любого п мы обозначим через Рп либо один треугольник
n-го ранга, либо сумму двух прилегающих друг к другу треугольников п-го
ранга, то при неограниченном возрастании п диаметр множества Рп будет
стремиться к нулю.
Нам понадобится еще следующее свойство нашего построения, которое без
труда доказывается (индукцией по рангу п):
б)	Если два отрезка	и	ранга п имеют общий конец, то
треугольники А/1>а./л и	прилегают друг к другу по общей стороне.
Пу	сть теперь t—какая-либо точка отрезка [0; 1]. Для каждого ранга п
имеем либо один-единственный отрезок	ранга п, содержащий внутри
себя точку /, либо два отрезка	и	имеющих точку t своим
общим концом. Обозначим через Рп (t) в первом случае треугольник
а во втором—сумму двух треугольников	и	которые в этом
случае, в силу замечания б), примыкают друг к другу. Легко видеть, что
Рг(0=>Р2(0=>...=Р„ (/)=>...,	(1)
причем вследствие замечания а) пересечение всех Рп (/) состоит из единственной
точки, которую мы и обозначим через f (t).
Мы получили, таким образом, отображение /(/) отрезка [0; 1] в тре-
угольник А.
Докажем прежде всего, что это отображение есть отображение на весь
треугольник А. В самом деле, пусть х—произвольная фиксированная точка
треугольника А. Возьмем какую-нибудь последовательность наших треуголь-
ников
А/1	A;t/2 Z3.. .Z) A/u-a . , Jn Z)...	(2)
*) Под высотой в прямоугольном треугольнике понимаем все время пер-
пендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.
§ 21
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПАКТОВ
199
под условием, чтобы х содержалось в каждом из треугольников A;t... этой
последовательности (для некоторых точек х такая последовательность оказы-
вается определенной однозначно, для других—нет). Последовательности (2)
соответствует последовательность
б;, О Z3.. . ZD	. iп Z3. • •,	(3)
определяющая единственную точку /£[0; 1], являющуюся точкой пересечения
всех отрезков (3), причем из нашего построения легко следует, что для лю-
бого п имеем
Ан... iп — Рп (0 •	(4)
Из того, что
со
0 дй... «„=•*’
л= 1
ОО
на (4) и из того, что Рп (t) состоит из одной лишь точки, вытекает, что
п = 1
со
*= п т. е. х=/(0.
п = 1
Докажем, наконец, что отображение f непрерывно в любой точке
Ц* Пусть
оо
= f (^о) = О ?п
П = 1
Берем произвольное е > 0. Существует такое п» что Рп (/0) U (*о> в). Выби-
раем это п; точка принадлежит либо к единственному отрезку o/t
либо к двум отрезкам . in и 6/t., ,jn ранга п. В первом случае полагаем
б^ = 6;1ее>/ , во втором обозначаем через 6^ отрезок, являющийся суммой
отрезков	и	и через т] — расстояние от /0 до ближайшего
конца отрезка 6'. Тогда для всех /£[0; 1], отстоящих от /0 меньше чем на т),
имеем Рп (t)c=Pn (/0), и, значит,
p(f(Q, /Ю)<е,
что и требовалось доказать.
Замечай ие 4. Дополним только что проведенное построение следующим
замечанием (впервые сделанным Н. Н. Лузиным): в трехмерном пространстве
можно построить простую дугу (т. е. множество, гомеоморфное отрезку [0; 1])
таким образом, что проекцией этой дуги на плоскость будет треугольник*).
Для этого возьмем в плоскости х3=0 трехмерного (хг, х2, х3)-пространства
треугольник А и непрерывно отобразим на него отрезок	Запишем
это отображение / в виде системы двух непрерывных функций
*1=<Р1(/), х2 = <р2(/),
где Х! = ф! (/) и х2 = ф2(0 суть координаты точки x=f(t) треугольника А.
*) Эта простая дуга может служить совершенно непроницаемой для дождя
крышей дома!
200
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ.. 5
Ставя в соответствие точке t отрезка 0*С /	1 точку х трехмерного про-
странства с координатами *i=(pi(/), х2 = ф2 (/), х3 = /, получим топологиче-
ское отображение отрезка [0; 1] на некоторую простую дугу, проекцией кото-
рой на плоскость х = 0 является треугольник Д.
Замечание 5. Лебегу принадлежит следующее изящное построение
непрерывного отображения канторова дисконтинуума П на квадрат. Как
известно, точки множества П среди всех точек числовой прямой 7?1 характе-
ризуются тем, что могут быть выражены в виде бесконечной троичной дроби
,-т+1+-"+зг+--	®
где каждое 0л есть либо 0, либо 2 и, следовательно, может быть записано
в виде 0„=2Z„, где tn есть уже либо 0, либо 1; в соответствии с этим пере-
писываем (5) в виде
г=2'(т+у+-+й-)-	<«>
Поставим в соответствие каждой точке (6) множества П точку (xlt единич-
ного квадрата Q на плоскости R2t полагая
Х1=Ф1	• •’
х2 = Фг (0=“^'+^г+
Получаем отображение f множества Пс[0; 1] в единичный квадрат Q =
=	0^х2<Л] плоскости R2. Пусть x = (xlt х2)—произвольная
точка квадрата Q; записывая ее координаты в виде двоичных дробей
у_Р1.Р2,	дЛд.	п 0
Х1~-+	+	Рп=г
X — I I 4-^4- п — 0
л2 2 I 22	' * * *’	1’
заключаем, что точка х, в силу отображения, поставлена в соответствие точке
множества П, определенной разложением (6), в котором на четных местах
стоят подряд qlf q2, ,,,, qnt ..., а на нечетных plt р2, ..., рп, ... Итак,
отображение f есть отображение множества П на весь квадрат Q.
Докажем, что это отображение непрерывно. В самом деле, если имеем
две точки
'М4+-Й-+---+4+-'-)
И
f=2 Р—4-	4-— -L
\ 3	32“Г---“Г з«I
множества П, у которых t'n tn, то
1
Зл*
Поэтому, если последовательность точек	£ П,
/ЦЬ = 2(>-^-4-— 1	’ tn ‘
\ 3 з2
3"
§2]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ КОМПАКТОВ
201
сходится к 1 = 2 ( -тг+-5т4-
\ 3 1 З2
что при k > kn будем иметь
ti =Ч> . - . > tn ~tn.
, то для любого п можно найти такое kn,
Но из этого условия следует, что и х^ = cpj и х{ку = q2(tk) будут при
неограниченно возрастающем k стремиться соответственно к х1 = ф1(/) и
х2=ф2(0> чем непрерывность функций ф! и ф2, а значит, и отображения f
доказана. В § 4 будет доказана более общая теорема, а именно: всякий ком-
пакт есть образ канторова дисконтинуума при некотором непрерывном
"отображении.
Функции ф! и ф2, определенные на канторовом множестве П, проинтер-
полируем линейно на смежных интервалах к этому множеству, т. е. положим
на каждом смежном интервале (а; 0)
*₽1 W=fl (₽)’
ч>2 w=f 2 <а)+ч>2
получим непрерывные функции (которые тоже обозначим через фь фз), опре-
деленные уже на всем сегменте [0; 1]. Полагая для каждого / £ [0; 1], как
прежде, Xj = фх (/), х2 = ф2(/), получим непрерывное отображение / отрезка
[0; 1] на квадрат Q (это отображение будет отображением на весь квадрат,
потому что, как мы видели, даже /(П)=(?).
Интерес лебеговского построения заключается, в частности, в том, что
оно сразу же обобщается на случай любого числа измерений и приводит
к непрерывным отображениям канторова дисконтинуума П и отрезка на куб
любого числа измерений и даже на гильбертов кирпич *).
Закончим этот параграф доказательством следующей теоремы:
Теорема 16. Если монотонная последовательность непре-
рывных функций **), определенных на компакте X, сходится
*) Определение гильбертова кирпича дано в § 6 гл. 4; из того, что гиль-
бертов кирпич является непрерывным образом отрезка, следует (на основании
теоремы 9) его компактность, которая, впрочем, будет непосредственно дока-
зана в § 8.
**) Последовательность действительных функций
А, ...» fn, ...»	(7)
определенных в пространстве X, называется монотонной, если она является
возрастающей или убывающей последовательностью; при этом последователь-
ность (7) называется возрастающей (соответственно убывающей) на X, если для
любого х £ X имеем
f 1 00 /2 W	f п (х)	• • •»
соответственно
fi (x)^f2 (х)^ ...^fn(x)^ ...
Если, кроме того, по крайней мере для одной точки х £ X имеем
/1W < А (*)<...< fn(*) < ....
соответственно
fi (*) > /2 W > ... > fn (x) > ...
то последовательность (7) называется строго возрастающей (соответственно
строго убывающей).
202
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. 5
к функции, непрерывной на X, то эта последовательность схо-
дится на X равномерно.
Достаточно доказать эту теорему для случая возрастающей
последовательности
(8)
функций, сходящейся во всех точках компакта X к непрерыв-
ной функции f (х).
Требуется доказать, что для любого данного в > 0 можно
найти такое пе, что ири п^ие для всех точек х£Х будет
lf(x)-f„(x)|<e.
Итак, пусть 8 > 0 дано. Обозначим через Г„ множество всех
точек х£Х, для которых выполнено условие
IfW—fB(x)|<8.
Так как и f(x) и fn(x)—непрерывные в X функции, то непре-
рывна и функция | f (х)—fn (х) |, и потому множество Гп при
любом п открыто. Далее, так как последовательность (8) воз-
растает, то во всякой точке х£Г имеем
lf(x)-fB+1(x)|<lf(x)-f„(x)|.
Поэтому, если х€Г„, то х£Гл+1, т. е. Гл = Гл+1 при любом п,
и, значит,
1\£=Г2с=Г3<= ...c=rns ...	(9)
Наконец, так как последовательность (8) сходится в любой
точке xgX, то каждая точка х содержится в некотором Г„.
Таким образом, открытые множества Г„ в своей совокупности
покрывают все пространство X. В силу его компактности отсюда
следует, что пространство X покрыто конечным числом множеств
Гд, пусть множествами Г^, ГПа, ..., Считая индексы
п2, ..., ns возрастающими, заключаем из (9), что PWs совпадает
со всем пространством X. А это означает, что при n^ns для
любой точки х£Х имеем
IfW— f«(x)|<8,
что и требовалось доказать.
§ 3. Связность в компактных пространствах
Теорема 17. Всякие два непустых дизъюнктных замкну-
тых множества метрического пространства X, из которых хотя
бы одно компактно, находятся друг от друга на положительном
расстоянии.
СВЯЗНОСТЬ В КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
203
§ 31
Мы видели в § 1 гл. 4, что всякое метрическое пространство
нормально, т. е. что всякие два дизъюнктных замкнутых мно-
жества в нем имеют дизъюнктные окрестности. Для компактных
метрических пространств верно более сильное утверждение,
а именно:
Следствие 1. Всякие два непустых дизъюнктных замкну-
тых множества компакта X находятся друг от друга на поло-
жительном расстоянии.
Замечание 1. Если Ft и F2—дизъюнктные замкнутые
множества в метрическом пространстве X и p(Fn F2)~d > 0,
то сферические окрестности О (f19	, О (р2, дизъюнктны.
С другой стороны, ветвь гиперболы и одна из ее асимптот могут слу-
жить примером пары дизъюнктных неограниченных замкнутых множеств на
плоскости, расстояние между которыми равно нулю.
Если пространство X есть сумма двух интервалов (0; 1) и (1; 2) числовой
прямой, то каждый из этих интервалов есть замкнутое ограниченное множе-
ство пространства X, а расстояние между ними равно нулю.
Следствие 2. Всякие два непустых дизъюнктных замкну-
тых множеств евклидова п-мерного пространства, из которых
хотя бы одно ограничено, находятся друг от друга на положи-
тельном расстоянии.
Доказательство теоремы 17. Пусть F и Ф замкнуты
в X, непусты, но имеют пустое пересечение. Пусть, кроме того,
Ф компактно. Докажем, что p(F, Ф)>0. В противном случае
мы имели бы две последовательности точек
хх, х2, ..•, хп, ..., xn^F,	(1)
и
У» У^ ...,^„€Ф,	(2)
такие, что lim р (хп, yn) = Q, Вследствие компактности множе-
п-+ а>
ства Ф из (2) можно выбрать подпоследовательность
Уп^ Уп2* * • * ’	‘ ’
сходящуюся к некоторой точке у£Ф. Так как р(хл, уп) стре-
мится к нулю, то последовательность
хп , хп , ..., хп ,...
также сходится к точке у, причем из замкнутости множества F
следует, что y<zF- Таким образом, точка у оказывается общей
точкой множеств F и Ф, вопреки нашему предположению.
Теорема 17 доказана.
204
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ, &
Для всех вопросов о связности компактов следующее поня-
тие (введенное еще Кантором) является основным:
Определение 2. Конечная последовательность точек
at, ...,as метрического пространства X называется г-цепью,
а именно в-цепью, соединяющей точку с точкой as, если
Р ai+i) < 8 для * < Множество М называется ь-сцепленным,
если любые две его точки могут быть соединены в-цепью, состав-
ленной из точек множества М. Множество М называется сцеп-
ленным, если оно является в-сцепленным при любом в>0.
Теорема 18. Всякое связное метрическое пространство X
является сцепленным.
Доказательство. Пусть X не сцеплено. Докажем, что X
не может быть связным. В самом деле, так как X не сцеплено,
то в X можно найти две точки а и Ь, которые при некотором
в > 0 не могут быть соединены никакой в-цепью. Обозначим
через Ае множество всех точек пространства X, которые могут
быть соединены с а посредством в-цепи. Множество Ле непусто
(так как содержит точку а). Оно не совпадает со всем X (так
как не содержит точки Ь), Далее, Ае замкнуто: если а'—точка
прикосновения множества Я8, то имеется точка as С А8, отстоя-
щая от а‘ на расстояние < в. Но as может быть соединено с а
посредством в-цепи а = аг, а2, ..., а/, поэтому имеем и в-цепь
а = а19 а2, ..., as, as+1 = a', соединяющую а с а', т. е. а' С А .
Наконец, множество А8 открыто: если а' € А8, то а' может быть
соединено с а посредством в-цепи; но тогда и всякая точка
a”£U(a', в) может быть соединена с а посредством в-цепи.
Теорема 18 доказана.
Теорема, обратная к теорёме 18, неверна: сумма двух интер-
валов (0; 1) и (1; 2), а также множество всех рациональных
точек числовой прямой могут служить примерами множеств сцеп-
ленных, но несвязных. Однако имеет место
Теорема 19. Всякий сцепленный компакт является связным.
В самом деле, если компакт Ф несвязен, то он может быть
представлен в виде суммы двух непустых непересекающихся
замкнутых множеств: Ф=Ф0 и Ф1- По теореме 16 имеем р (Фо, Фх)=
=в>0. Взяв по произволу точки х0€Ф0 и *1€Ф1> видим, что
эти две точки не могут быть соединены никакой в-цепью.
Непустые связные компакты называются континуумами} среди
них собственно континуумами называются континуумы, содер-
жащие более одной точки (мы скоро увидим, что всякий
собственно континуум имеет мощность с). Из теорем 18 и 19
следует:
Для того чтобы компакт был континуумом, необходимо и
достаточно, чтобы он был сцеплен.
Теорема 20. Пересечение убывающей последовательности
континуумов есть континуум.
$ 3]
СВЯЗНОСТЬ В КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
205
Мы докажем даже более сильное предложение:
Теорема 20'. Пусть Ф^Фз^...	причем
Фп есть непустой ьп-сцепленный компакт и 1ппед = 0. Тогда
со
Q Ф„—континуум.
Л = 1
Доказательство основывается на лемме, полезной и во мно-
гих других случаях.
Лемма. Пусть дана убывающая последовательность непус-
тых компактов
ФхэФ2= ... =Ф„Э ....
(3)
лежащих в метрическом пространстве X. Какова бы ни была
оо
окрестность Г пересечения Ф= Q Ф„ этих компактов, найдется
п = 1
такое пр, что для всех п^>пГ будет Ф„ьГ.
В самом деле, множество Г есть открытое множество, содер-
жащее Ф. Поэтому каждое множество Ф'=Ф„\Г (как пересе-
чение двух замкнутых множеств Ф„ и Х\Г) замкнуто в X,
значит, и подавно в Фг. Кроме того, очевидно, Ф'^Ф'+1. Итак,
множества Ф^ образуют убывающую последовательность ком-
пактов. Их пересечение пусто, так как содержится, с одной
стороны, в Ф^Г, а с другой стороны, в Х\Г. Поэтому все
Ф', начиная с некоторого п = пг, пусты. Но если ФА = Ф„ П (Х\Г)
пусто, то, значит, Ф„еГ, что и требовалось доказать.
Докажем теперь теорему 20'. Предположим, что Ф„ есть
«„-сцепленный компакт (причем Iims„ = 0) и что (непустой)
оо
компакт Ф= Q Ф„ не является континуумом. Тогда Ф = Ф' иФ”,
п — 1
где Ф' и Ф" замкнуты, непусты и не пересекаются, и по тео-
реме 17 имеем р(Ф', Ф") = 8>0. Положим Г' = (7^Ф',	,
Г" = U ^Ф",	. Открытое множество Г = Г' U Г" является окрест-
ностью компакта Ф; поэтому для любого достаточно большого п
имеем Ф„^Г'иГ". При этом Ф; = Ф„пГ'^Ф'=#Л, Ф; = Ф„П
ПГ"^Ф"=И=Л, Ф;иФ„ = Фп и р(ф;, Фп)>^-. Взяв при этом
п столь большим, чтобы было 8„ < -у, увидим, что Ф„, вопреки
предположению, не может быть 8„-сцепленным.
Приведем несколько примеров континуумов. Очевидно, един-
ственными собственно континуумами, лежащими на прямой, явля-
206
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. &
ются сегменты. Так как при непрерывных отображениях сохра-
няется как связность (теорема 12 § 3 гл. 4), так и компактность
(теорема 9 § 2), то непрерывный образ всякого континуума есть
континуум. Отсюда, в частности, следует, что непрерывный образ
прямолинейного сегмента есть континуум. Поэтому всякая
система п непрерывных функций
xz=xz(/),	/=1,2, ...,л,	(4)
заданных на сегменте O^Z^l, определяет в n-мерном прост-
ранстве некоторый континуум, являющийся в силу самих урав-
нений (4) непрерывным образом отрезка [0; 1] и называемый
обычной непрерывной кривой в n-мерном пространстве (система
уравнений (4) называется параметрическим представлением этой
кривой).
Как мы знаем, понятие непрерывной кривой n-мерного про-
странства, определенное так, как мы это только что сделали,
может даже при м = 2 включать в себя геометрические образы,,
вовсе не похожие на то, что мы привыкли называть «линиями».
Так, например, треугольник или квадрат в смысле только что
приведенного определения—непрерывные кривые. Поэтому кон-
тинуумы, являющиеся непрерывными образами прямолинейного
сегмента, в настоящее время предпочитают называть не кривыми,
а жордановыми континуумами. В книге Хаусдорфа [1], §31,
читатель может найти доказательство теоремы, устанавливающей,
что жордановы континуумы тождественны с локально связными
континуумами.
Доказательство опирается на следующую теорему берлин-
ского:
Для того чтобы континуум был локально связен, необходима
и достаточно, чтобы при любом 8 > 0 он представлялся в виде
суммы конечного числа подконтинуумов диаметра < 8.
Один из простейших локально несвязных континуумов получим, если
возьмем график функции t/ = sin — , 0<х*С —, и присоединим к нему все
точки сегмента [—1; 1] оси ординат. Континуум этот гомеоморфен континууму С,
являющемуся суммой вертикальных сегментов
Со={х = О,	C„ = jx=-A-,	n=l,2,3, ...»
и горизонтальных сегментов Dn, причем Dn при нечетном п лежит на оси
, тогда как Dn при четном
абсцисс и соединяет точки ( —, 0 ) и ( ——; , 0
\л )	\n4-l
1	( 1
л лежит на прямой у — 1 и соединяет точки ( —,
*) Читателю рекомендуется сделать чертеж.
§3]
СВЯЗНОСТЬ В КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
207
Приведем несколько примеров локально связных континуумов.
Если из всех точек
X (L	(L 2" —Ц
п 9 2п) ’ \ п * 2я