Дж. Милнор
ТЕ Ρ
rr

Джон Уиллард МИЛ НОР
(род в 1931 г.)
Известный американский математик. В 1951 г. окончил Принстонский
университет. В 1954 г. получил ученую степень доктора наук. С 1960 г. —
профессор Принстонского университета. Лауреат премии им Филдса,
полученной на математическом конгрессе в Стокгольме (1962). Действительный
член Национальной академии наук США и Американской академии наук и
искусств. Иностранный член Российской академии наук (с 1994 г.). Почетный
член Московского математического общества (с 1996 г.). Основные труды
Дж. Милнора относятся к алгебраической топологии и топологии
многообразий. Многие его работы были переведены на русский язык: «Особые точки
комплексных гиперповерхностей», «Теорема об А-кобордизме», «Введение
в алгебраическую tf-теорию», «Голоморфная динамика»,
«Дифференциальная топология» и другие.
Наше издательство предлагает следующие книги:
СПРАВОЧНИК
ВСЕЛЕННАЯ
БРАЙА 'ИН
ОСМОСА
ТЕКСТУР*
РЕАЛЬНОСТИ
i
Новь*
ОР ЛЯ
ЫСШЕЙ Ч
МАТЕМАТИКЕ
ПЕРВЫЕ ПО
0 С
~г
Π С Александров
ВВЕДЕНИЕ
ГЕОРИЮ МНС с
И ОБЩ Ю
! Ί
we
^ ОДвЯОДЯ
Ϊ!5~
-
*
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ополог
?
Л. 3. ЗЛЬСГОЛЬЦ |
ft ИФФЕРЕИЦИАЛЬНЫЕ
УРДВНЕНИ
Н.Стинрод
ТОПОЛОГИЯ Μ
осых
ОИЗВЕДЕН
КУК ТЮГИИ ЮОЯГНООЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИ
1ДТИЧЕСКУЮ
ткк.
9816 ID 120888 Любые отзывы о настоящем издании,
а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru.
Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги
III
H78 5 382I
щи
01 2841II
E-mail:
URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Интернете:
URSS
> в нашем интернет-магазине http://URSS.ru URSS http://URSS.ftJ
наши новые ga^saasss +7(499)724-25-45
КООРДИНАТЫ 117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56

Физико-математическое наследие:
математика (топология)
John Willard Milnor
MORSE THEORY
Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells
Дж. Милнор
ТЕОРИЯ МОРСА
Перевод с английского
и предисловие
В. И. Арнольда
С приложением
Д. В. Аносова
Издание третье
URSS
МОСКВА

ББК 22.147 22.151.4 22.152
Милнор Джон Уиллард
Теория Морса: Пер. с англ. / Предисл. В. И. Арнольда; Прил. Д. В. Аносова.
Изд. 3-е. —М.: Издательство ЛКИ, 2011. — 184 с. (Физико-математическое
наследие: математика (топология).)
Настоящая книга, написанная одним из ведущих американских математиков
Джоном Милнором, широко известным своими работами по топологии гладких
многообразий, представляет собой образцовое изложение нескольких разделов
современной геометрии. Первые главы работы посвящены морсовской теории
критических точек функций и функционалов, римановой геометрии и
вариационному исчислению в целом. Изложение сопровождается примерами приложений
к дифференциальной и алгебраической геометрии, топологии и т. д. Книга
завершается вычислением стабильных гомотопических групп классических групп Ли
(теория Ботта). Избегая современного алгебраического формализма, автор сочетает
геометрическую наглядность со строгостью доказательств. Издание содержит
большое количество рисунков, облегчающих понимание материала.
Книга представляет интерес для широкого круга математиков различных
специальностей, а также для всех, кто знаком с основными понятиями топологии.
Издательство ЛКИ. 117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 11,5. Зак. № 4309.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр. 11.
ISBN 978-5-382-01284-1
© В. И. Арнольд, перевод на русский
язык, предисловие, 1965,2010
© Д. В. Аносов, приложение, 2008, 2010
© Издательство ЛКИ, 2008,2010
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
UR88
E-mail: URSSQURSS.nj
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7(499)724-25-46
9816 ID 120888
9,|785382"01284Т
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Милнора является учебником по теории Морса.
Начиная с простейшего примера и кончая „теоремой
периодичности" Ботта, изложение остается геометрически
наглядным, но строгим; современным, но вместе с тем
элегантным; широким1), но замкнутым в себе: необходимые факты
из дифференциальной геометрии, вариационного исчисления
и т. п. выводятся в нужной автору форме в самой книге.
Теория Морса, т. е. изучение критических точек
функций и функционалов „в целом", играет значительную роль
в современных топологических исследованиях.
„Перестройки Морса" постоянно употребляются как гибкий и
адекватный аппарат при работе с дифференцируемыми
многообразиями, аппарат значительно более удобный и
мощный, чем комбинаторный подход. Развитая здесь
техника уже дала целый ряд фундаментальных результатов.
Например, из доказанной Смей лом „теоремы о точности
неравенств Морсаа вытекает гипотеза Пуанкаре2) в
размерностях выше 5, а также эквивалентность понятий
Λ-гомологичности и диффеоморфизма, существенная для
классификации дифференцируемых структур на сферах3)
(Милнор и Кервер).
!) Заметим, что книга Милнора не претендует на полное
изложение всех вопросов вариационного исчисления в целом.
В частности, классические задачи о геометрически различных
критических точках и о несамопересекающихся замкнутых
геодезических совершенно не затронуты.
2) Многообразие, гомотопически эквивалентное л-мерной
сфере Snt комбинаторно эквивалентно (и тем самым гомео-
морфно) сфере.
8) Пусть | β (л) | — число дифференцируемых многообразий,
гомеоморфных Sn и не диффеоморфных друг другу. Тогда
л
|β(«)Ι
1
1
2
1
3
1
4
?
5
1
6
1
7
28
8
2
9
8
10
6
И
992
12
1
13
3
14
2
...
...
См. К е г ν a i г е Μ., Μ i 1 η о г J., On differential structures on
spheres, Ann. Math., 77, 3(1963), 504—537.
Уважаемые читатели! По техническим причинам в настоящем издании
пагинация книги приводится со страницы 5.

6
Предисловие переводчика
Теория критических точек функционалов получила
интересное приложение в работах Ботта. В то время как
Пуанкаре, Биркгоф, Морс, Шнирельман и Люстерник
применяли топологические методы к задачам
вариационного исчисления в целом· Ботт применил методы
вариационного исчисления в целом к топологической задаче.
Рассматривая минимальные геодезические на классических
группах Ли, он нашел „стабильные гомотопические группы*
последних. Пусть, например, 0{N) — группа
ортогональных матриц порядка Ν, πΛ (Μ) — д-мерная гомотопическая
группа многообразия Μ (т. е. группа гомотопических
классов отображений л-мерной сферы в Λί). Тогда при Ν^>η
имеем πΛ+80(Λ^)==ππΟ(Λ^) и
я
«βΟ (Λ0
0
ζ2
1
ζ2
2
0
3
Ζ
4
0
5
0
б
0
7
Ζ
8
ζ2
9
ζ2
10 ...
0 ...
Здесь Ζ —группа целых чисел, Ζ2 — группа вычетов
по модулю 2, состоящая из двух элементов 0, 1.
Доказанная Bottom теорема периодичности (тея+80=тсяО)
легла в основу интенсивно развивающейся в настоящее
время „/С-теории*. В результате были решены такие
классические задачи, как определение максимального числа k (n)
линейно независимых векторных полей на сфере любой
размерности Sn (Адаме)1) и вычисление индекса
эллиптических дифференциальных операторов в многомерном
случае (Атиа и Зингер).
У читателя этой книги предполагаются лишь очень
небольшие предварительные сведения по топологии:
некоторое представление о многообразиях, гомологиях, гомо-
l) k (2m) = 0; первые несколько значений k (2m -f-1) даются
таблицей
л
*(*)
1
1
3
3
5
1
7
7
9
1
И
3
13
1
15
7
17
1
19
3
...
31
9

Предисловие переводчика
7
топиях и расслоениях1). Смысл нескольких терминов,
менее известных русскому читателю, разъяснен в
приложении, написанном Д. В. Аносовым.
Можно надеяться, что книга Милнора, не отягощенная
алгебраическим формализмом, поможет советским
читателям войти в круг идей и методов современной
дифференциальной топологии.
В. И. Арнольд
*) Необходимый минимум далеко перекрывается книгами
Зейферта и Трельфалля [11], Стинрода [34], Ху Сы-цзяна [43].

Глава I
НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ
НА МНОГООБРАЗИИ
§ 1. Введение
Начнем с примера. Рассмотрим тор М, касающийся
плоскости V, как показано на рис. 1.
Пусть /:M->R (R здесь и далее обозначает
множество всех действительных чисел) — высота точки тора
над плоскостью V. Обозначим через Ма множество всех
точек х£М, в которых /00<а. Тогда справедливы
следующие утверждения.
(1) Если а<0</(р), то Ма пусто.
(2) Если f(p)<a<f(q), то Ма гомеоморфно
двумерной клетке.
(3) Если f(q)<a< /(г), то Ма гомеоморфно
цилиндру.

10 Гл. L Невырожденные гладкие функции на многообразии
(4) Если f{r)<a < /($), то Л1а гомеоморфто
компактному многообразию рола 1, имеющему краем окружность.
Θ
(5) Если /(s)<a, то Ма есть весь тор.
Чтобы описать изменение Ма, когда а проходит через
одну из точек f(p), f(q)> /(г), /($), удобнее
использовать понятие гомотопической эквивалентности, а не
гомеоморфизма. В терминах теории гомотопий
(1)->*(2) есть операция приклеивания нульмерной клетки,
так как с точностью до гомотопического типа
пространство Mat f (р)< а < / (q)t не отличается от нульмерной
клетки:
■ &
Здесь знак « следует понимать так: „имеет тот же
гомотопический тип, что и — *.
(2)->(3) есть операция приклеивания одномерной клетки:
&- ^
(3)->(4) есть снова операция приклеивания одномерной
клетки:

§ 1. Введение
И
(4)->(5) есть операция приклеивания двумерной клетки.
Точное определение операции приклеивания k-мерной
клетки звучит так. Пусть К — любое топологическое
пространство, и пусть
**={*£R*: |Н<1}
есть Л-клетка, состоящая из всех векторов Л-мерного
евклидова пространства, длина которых не превосходит 1·
Граница
;*={jc£R*: ||*|| = Ч .
будет обозначаться через Sk~l. Если g : Sk~l ->Y —
непрерывное отображение, то пространство
γ и/.
(К с Λ-клеткой, приклеенной при помощи g) получается
из топологической суммы (т. е. непересекающегося
объединения) Кие* отождествлением каждой точки x£Sk~l
с точкой g (χ) £ Υ. Чтобы охватить случай Л = 0, мы
считаем, что е° — точка, *° = S~1 — пустое множество;
тогда К с приклеенной нульмерной клеткой есть
объединение К с отдельно лежащей точкой.
Как и следовало ожидать, точки р, q, r и s, в которых
меняется гомотопический тип множества Ма9 допускают
простую характеризацию в терминах функции / — это ее
критические точки. Если выбрать в окрестности одной из
этих точек какую-нибудь систему координат (xt у), то обе
д/ д/ л
производные —-, -~- обратятся в нуль.
Координаты (х, у) в окрестности точки ρ можно
выбрать так, что/ = лг24-У2. в окрестности точки s—так,
что /== const — χ2 — у2, а в окрестностях q и г — так,
что / == const -f- x2 — у2. Заметим, что число минусов
в выражении для / вблизи каждой из этих точек есть
как раз размерность клетки, которую надо приклеить для
перехода от Ма к Мь% где а </(■)< *■
Наши первые теоремы будут обобщением этих фактов
на случай произвольной дифференцируемой функции на
некотором многообразии.
Для дальнейшего ознакомления с теорией Морса
чрезвычайно полезны работы [5, 6, 12, 25].

12 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
§ 2. Определения и леммы
Слова „гладкий" и „дифференцируемый" будут всюду
означать бесконечную дифференцируемость (гладкость
класса С°°). Касательное пространство гладкого
многообразия Μ в точке ρ будет обозначаться через ТМр.
Если g:M-+N— некоторое гладкое отображение,
причем g {ρ) β q, то индуцированное отображение
касательных пространств мы будем обозначать через
g,:TMp-+TNq.
Пусть / — гладкая действительная функция, заданная
на многообразии Μ. Точка ρ £ Μ называется критической
точкой функции /, если индуцированное отображение
/ф-ТМр->ТЦдр) обращается в нуль. Если мы выберем
в окрестности U точки ρ локальную систему координат
х1% ..., хп% то это условие примет вид
Действительное число f(p) называется критическим
значением функции /.
Через Ма мы обозначим множество всех точек х£М,
в которых / (х) <! а. Если а не является критическим
значением /, то Ма — гладкое многообразие с краем
(это вытекает из теоремы о неявной функции). Край Ма
есть множество уровня f~l(a). Это гладкое
подмногообразие в Λί.
Критическая точка ρ называется невырожденной, если
матрица вторых частных производных
невырождена. Непосредственно проверяется, что это
свойство не зависит от системы координат. Это вытекает
также из следующего внутреннего определения.
Пусть ρ — критическая точка /. Определим
симметричный билинейный функционал /т на пространстве ТМр,
называемый гессианом f в точке р. Векторы v, w£TMp
можно включить в векторные поля v, w. Положим

§ 2. Определения и леммы
13
где w(f) означает производную / по направлению w
и vp, конечно, совпадает с v. Мы должны доказать
симметричность fm9 а также корректность определения, т. е.
независимость fm(v, w) от выбора полей ν и w.
Симметричность вытекает из того, что
vp(w(f))—wp(v(f)) = [v9 w]p(f) = 0.
где [ν, w] — скобка Пуассона полей ν и w и где
[v, w]p(f) = Qt так как ρ — критическая точка для /,
а в ней производная / по любому направлению равна нулю.
Итак, гессиан /^ симметричен. Теперь корректность
определения очевидна, так как vp(w(f)) = v(w(f)) не
зависит от поля ν, продолжающего v, a wp (v (/)) не
зависит от w.
Пусть (jc1, ..., хп) — локальная система координат
д
дх1 I " *а~* όχβ
и ν = Σα*Ί&\ -w = Hbl
-Ъ'Ь-ёЬ**
Мы можем положить
ρ
= 71 b* —r-, где Ъг — постоянные. Тогда
l J dxl dxJ
следовательно, матрица /—:—τ-(ρ)) является матрицей
\ дхг дх' I
билинейного функционала /„, относительно базиса -т-т ....
ОХ \р
д |
"·' дх* |/
Теперь мы можем определить индекс и степень
вырождения билинейного функционала Д, на ТМр. Индексом
билинейного функционала Η на векторном пространстве V
называется максимальная размерность подпространств V,
на которых функционал Η отрицательно определен.
Степенью вырождения называется размерность нулевого
пространства, т. е. подпространства, состоящего из всех
векторов v£Vt для которых Η (ν, ό>) = 0 при всех w£ V.

14 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Очевидно, точка ρ тогда и только тогда является
невырожденной критической точкой /, когда степень
вырождения Дф на ТМр равна нулю. Мы будем называть индекс fm
на ТМр просто индексом функции f в критической
точке р. Доказанная ниже лемма Морса показывает, что
поведение / вблизи ρ полностью описывается этим
индексом. Сначала мы докажем следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть f—функция класса С°° в
выпуклой окрестности V точки О в пространстве R" и
/(0) = 0. Тогда существуют функции gl класса С00,
определенные в V и такие, что
η
f {Х\* , Хп) = 2j xlel (XV · * · · хп)>
ых
причем gl(0) = ^L(0).
Доказательство.
ι
л*. «j-f^^v·^*-
О
1 л
Следовательно, можно положить
1
Ы*1 *Λ=/ί3*7('*ι§ "" tx*)dt
Лемма 2.2 (лемма Морса). Пусть ρ —
невырожденная критическая точка /. Тогда в некоторой
окрестности U точки ρ существует такая локальная
система координат (у1, .... ул), что у1(р) = 0 при
всех I и в U справедливо тождество
/ = /(p)_(yl)*_ ... _(уА)2+Су^1)2+ ... +(у*)2§
где λ — индекс / в точке р.

§ 2. Определения и леммы
15
Доказательство. Покажем сначала, что если
подобное выражение для / существует, то λ есть
обязательно индекс / в р. Пусть в какой-нибудь системе
координат (ζ1 ζη) мы имеем
f(q) = f(P)-(zl(q))2
тогда
дЧ
dzl dzJ
(Р) =
... -(zHq))2 +
+(*λ+1(<7))*4- ... -Η*"(<7))2;
2, если / = / <λ.
2, если tz=j>\t
О в остальных случаях.
Следовательно, матрица функционала fm относительно
базиса -^-г I » · · ·. -пг I имеет вид
<?**
dz»\p
—2
—2
Поэтому пространство ТМр имеет подпространство
размерности λ, на котором функционал /^ отрицательно
определен, и подпространство V размерности η— λ, на
котором fm положительно определен. Если бы ТМр имело
подпространство размерности, большей чем λ, на котором
функционал /фф отрицательно определен, то это
подпространство пересекалось бы с V, что, очевидно,
невозможно. Итак, λ есть индекс fm. Покажем теперь, что
нужная система координат (у1, ..., уп) существует.
Очевидно, мы можем предположить, что ρ есть нуль
пространства R" и что /(/?) = /(0) = 0. Согласно лемме 2.1,
ъ некоторой окрестности нуля мы можем написать
/ (Х\ш · · · * *л) — 2j xjSj (XV · · *» хп)·

16 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Так как нуль — критическая точка /, имеем
£/(о)=-|£-(0)=о.
Следовательно, применяя к gj лемму 2.1, получаем гладкие
функции hij% такие, что
η
gj (Xv . . ., .*„) = 2j xi^lJ (XV · · · · xn)·
и, таким образом,
η
f(xv ·.·. J^= Σ ***/**/(*ι Χ)·
Можно предположить, что Α^ = Λ^. так как всегда
можно ввести A// = -s-(Aiy + Ay/) и тогда hlf — hjlt
f^^XiXjhiy Кроме того, матрица (hu(0)) совпадает
с матрицей [γη*—i—(0)), и поэтому невырождена.
Теперь мы покажем, что существует невырожденное
преобразование координат, приводящее / к требуемому
виду (быть может, в меньшей окрестности нуля).
Доказательство аналогично обычной диагонализации
квадратичной формы (см., например, [4, стр. 271)). Основой
доказательства является следующее построение.
Предположим по индукции, что в окрестности Ux
точки 0 существует система координат иг иЛ. в которой
/=±(^)2± ... ±(иг_1)2+ Σ Μ/Μ*ι »я).
i>j>r
где матрицы (Нц(иг ип)) симметричны. Линейной
заменой последних п — г + 1 координат можно добиться
того, что Н„ф)Ф0. Обозначим через g(ux а^
квадратный корень из \Нгг{их% ..., ап)\. Это гладкая и
не обращающаяся в нуль функция от ul9 ..., ип в
меньшей окрестности U2 cz Ux точки 0. Введем новые
координаты vv ..., vn формулами vl = ui при 1Фгч
*г
<* и«)=^их_ ^|ч+2^

§ 2 Определения и леммы
17
Из теоремы о неявной функции следует, что νν ,..,νη
могут служить координатами в достаточно малой
окрестности нуля f/3. Легко проверить, что в С/3 функцию /
можно выразить в виде
индукцию и завершает доказательство
Это заканчивает
леммы 2.2.
Следствие 2.3. Невырожденные критические
точки являются изолированными.
Примеры вырожденных критических точек (для
функций на R и на R2) приведены ниже вместе с графиками.
(a) /(jc) = jc3. Нуль — вырожденная критическая точка.
(б) f(x) = e χί sin2 —. Нуль — вырожденная и
неизолированная критическая точка.
ν
<&.

18 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
(в) f(x% у) = х3 — Ъху2 = Re (л: + /у)3· Нуль —
вырожденная критическая точка („обезьянье седло*).
(г) f(x, у) = л:2. Множеством критических точек (все
они вырожденные) является ось χ—подмногообразие в R2.

§ 2. Определения и леммы
19
(д) f(x, y) = jc2y2. Множество критических точек (все
они вырожденные) состоит из объединения осей χ и у%
которое не является подмногообразием в R2.
Мы закончим этот параграф рассмотрением однопара-
метрических групп диффеоморфизмов. Более подробное
изложение читатель найдет в книге [27].
Одяопараметрической группой диффеоморфизмов
многообразия Μ называется такое отображение класса С°°
<p:RXM->M,
что
1) для каждого i£R отображение φ, :Λί->Λ1,
определенное формулой φ,((7) = φ(ί, q)t является
диффеоморфизмом Μ на себя;
2) для всех i, s^R имеем φ,+5 = φ,οφ5.
Каждой однопараметрической группе φ
диффеоморфизмов многообразия Μ мы сопоставим векторное поле X
на М, полагая для любой гладкой действительной функции /
Л (/)=== Iim 2—τ .
Это векторное поле X называется порождающим группу φ.
Лемма 2.4. Гладкое векторное поле на М,
обращающееся β нуль вне некоторого компактного

20 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
множества К cz Λί, порождает единственную одно-
параметрическую группу диффеоморфизмов
многообразия М.
Доказательство. Пусть задана гладкая кривая
Вектор скорости
определяется соотношением — (/)=Нт <-±-± ^ ■ х ■
(см. § 8). Пусть теперь φ — однопараметрическая группа
диффеоморфизмов, порожденная векторным полем X. При
любом фиксированном q кривая
удовлетворяет дифференциальному уравнению
с начальным условием φο(?) = 0· Действительно,
А-*0
__(/)= Ига ^Л .
= hm 2—г = -Υρ (/),
λ-*ο Λ
где p = <ft(q). Но хорошо известно, что такое
дифференциальное уравнение локально имеет единственное
решение, которое гладко зависит от начальных данных
(см. [10, стр. 166]). Заметим, что в локальных
координатах и1 ип дифференциальное уравнение принимает
более обычный вид —тг= х* (и1> ···· й*)· '=1 п-
Итак, для каждой точки многообразия Μ найдутся
окрестность U и число е > 0, такие, что
дифференциальное уравнение
(?φ (q)
dt = **,»>· То (9) = ?·
имеет единственное гладкое решение при q £ ί/, | /1 < е.

§ 3. Описание гомотопического типа 21
Компактное множество К можно покрыть конечным
числом таких окрестностей U. Пусть ε0 > 0 — наименьшее
из соответствующих чисел е. Полагая <ft(q) = q при qtfcK,
мы находим, что наше дифференциальное уравнение имеет
единственное решение yt(q) при | /1 < е0 и при любом q £ Μ.
Это решение является гладкой функцией обеих
переменных. Далее, очевидно, ^(+s=:(?t09s' если только |/|,
| s |, 11 -f- s I < ε0. Поэтому каждое отображение φ,, 11 | < ε0,
является диффеоморфизмом.
Остается только определить ср, при | /1 ^ ε0. Каждое
число t можно представить в виде суммы кратного ε0/2
и остатка г, где | г | < ^2. Пусть t — k^--+-r (где k > 0).
Положим
где преобразование φ « итерируется k раз. Если k < 0,
нужно только заменить сре „ на cp_s «, итерированное—k раз.
Итак, отображение ср, определено при всех t. Нетрудно
проверить, что отображение φ, определено корректно,
является гладким и φ/+5 = (Ρ/οζΡ5· Лемма 2.4 доказана.
Замечание. Предположение, что X обращается в
нуль вне компактного множества, нельзя отбросить.
Например, пусть Μ — открытый интервал (0, l)crR, а X—
стандартное векторное поле -^- на М. Тогда X не
порождает никакой однопараметрической группы
диффеоморфизмов М.
§ 3. Описание гомотопического типа с помощью
критических значений
В этом параграфе мы используем обозначение
Ма = Г1(—оо9 α] = {ρ£Μ:/(ρ)^α].
где / — действительная функция на многообразии Λί.
Теорема 3.1. Пусть f — гладкая
действительная функция на многообразии М. Пусть а < Ь. Пред-

22 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
положим, что множество f~ [at b]t состоящее из
всех точек р£М, в которых Д<;/(рХ*.
компактно и не содержит критических точек /. Тогда Ма
диффеоморфно Мь. Кроме того, Ма есть
деформационный ретракт Мь, так что отображение
включения Ма->МЬ является гомотопической
эквивалентностью.
Идея доказательства состоит в том, чтобы сдвинуть Мь
вниз на Ма вдоль ортогональных траекторий
гиперповерхностей / = const (см. рис. 2).
Рис. 2.
Выберем на Μ риманову метрику. Скалярное
произведение двух касательных векторов, определенное этой
метрикой, обозначим через (Л\ К). Градиентом
функции / называется векторное поле на Λί, которое
обозначается grad / и определяется равенством 1)
{X, grad/) = *(/)
(X(f)— производная / по направлению Х)%
где X — произвольное векторное поле. Векторное
поле grad/ обращается в нуль в точности в критических
точках функции /. Заметим, что для кривой с: R -> Μ
1) В классических обозначениях, связанных с локальной
системой координат и1,...,ип% градиент имеет компоненты
ή*8 dui
ггтЗ>

§ 3. Описание гомотопического типа 23
dc
с вектором скорости —гг справедливо тождество
/dc . Д d(foc)
Пусть ρ : Л1 -> R—гладкая функция, равная l/(grad /, grad /)
на компактном множестве f~l [а, Ь\ и равная нулю вне
некоторой компактной окрестности этого множества. Тогда
векторное поле X, определенное соотношением
*, = p(0(8Md/V
удовлетворяет условиям леммы 2.4. Следовательно, X
порождает однопараметрическую группу диффеоморфизмов
φ/: Μ -> Αί.
Рассмотрим при фиксированном <7£М функцию
t->f(<pt(q)). Если φ#(0) принадлежит множеству /-1[а, b\.
то
Итак, соответствие
является линейным с производной -f-Ι, пока f(<?t(q))
лежит между α и 6.
Рассмотрим теперь диффеоморфизм <р^_в : Л1 -> М.
Очевидно, он отображает Ма диффеоморфно на Мь.
Это доказывает первую половину теоремы 3.1.
Определим однопараметрическое семейство отображений
г,:АГ-»Мй
положив
Г q, если /(?)<я.
Тогда г0 есть тождественное отображение, a rt —
ретракция Мь на Λ1α. Следовательно, Ма есть деформационный
ретракт Λ4*. Теорема ЗЛ доказана.

24 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Замечание. Условие компактности /" [а, Ь\ нельзя
отбросить. На рис. 3 представлен случай, когда это
множество не является компактным. Многообразие Μ не
содержит точку р. Очевидно, Ма не является
деформационным ретрактом Мь.
Теорема 3.2. Пусть f : Μ ->R — гладкая
функция и ρ — ее невырожденная критическая точка
с индексом λ. Предположим, что множество
f~l[c — е, c + ε], где c = f(p), компактно и не
содержит критических точек /, отличных от р. для
некоторого е > 0. Тогда для всех достаточно
малых ε > 0 множество Мс*9 имеет гомотопический
тип Мс~* с приклеенной клеткой размерности λ.
Идея доказательства этой теоремы понятна из рис. 4,
относящегося к частному случаю функции на торе,
названной в § 1 ^высотой*. Область
Жг~е = /-1(— оо, с —г]
густо заштрихована. Мы введем новую функцию F : M->R,
совпадающую с высотой / всюду, кроме малой
окрестности точки р% где F меньше /. Тогда область
F~l(—оо, с — ε] будет состоять из Мс~я и из маленькой
области Н. лежащей в окрестности точки р. На рис. 4
область Η заштрихована горизонтальными линиями.

§ 3. Описание гомотопического типа 25
Выбрав подходящим образом клетку ехсН, мы
непосредственно убедимся, что Мс~*[)е является
деформационным ретрактом Мс~* [} И (стягивание происходит вдоль
горизонтальных линий). Наконец, применяя теорему 3.1
к функции F и области F~l [с — е, c-\-e]t мы видим,
что МС~*\}Н есть деформационный ретракт Мс+*9 чем
и заканчивается доказательство теоремы 3.2.
Выберем в некоторой окрестности U точки ρ такую
систему координат в1, .... ип, чтобы в U выполнялось
тождество
/ = ^_(й1)2— ... — (ttX)2 + (tf*+l)2-f ... +(ИЛ)2·
Таким образом, критическая точка ρ имеет координаты
и1(р) = ... =ип(р) = 0.
Выберем е > О настолько малым, чтобы
(1) область f~l[c—е, с + е] была компактной и не
содержала критических точек, отличных от р\
(2) образ U при диффеоморфном вложении
(и> un):U->Rn
содержал замкнутый шар
{(αϊ. .... ял):2("')2<2е}.
Определим теперь ех как множество точек из t/, в которых
(их)2Н- ... +(«λ)2<ε и их+1 = ... =ил = 0.
Полученная конфигурация схематически представлена
на рис. 5. Координатные линии изображают соответственно
плоскости их+1== ... =ип — 0 и их= ... = #λ = 0,
окружность—границу шара радиуса |/Ί2ε, а гиперболы —
гиперповерхности f~l (с — ε) и f~l(c-\-s). Область Мс~ш
заштрихована густо, область f~l \с — ε, с] —
вертикальными линиями, область f~l[c, с + е]—в клеточку.
Жирная горизонтальная линия, проходящая через р,
изображает клетку еК
Заметим, что е Π Мс~* есть в точности граница ех%
так что клетка е приклеена к Мс~* в смысле § 1, что

26 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
и требовалось. Нужно доказать, что Мс~ш[}е1 есть
деформационный ретракт Мс+Л.
JuM и»)
Построим новую гладкую функцию F:M->H
следующим образом. Пусть
t*:R->R
— функция класса С°°, удовлетворяющая условиям
μ(0)>ε,
μ (г) = 0 при г > 2е,
— 1 < μ/ (г)< 0 при всех /\
где μ/(г) "===-j-. Вне координатной окрестности U
функция F будет совпадать с /; внутри U положим
Легко проверить, что F — корректно определенная
гладкая функция на М.
Удобно определить две функции
ξ, η :t/-►[(), оо)

§ 3. Описание гомотопического типа 27
соотношениями
η = (βλ+ι)2+ _ + {ип)\
Тогда / = £— ξ+η. так что для всех q£U имеем
Утверждение 1. Область F~l(—оо, c + ε]
совпадает с областью Л1с+в = /"1(—оо, £ + ε].
Доказательство. Вне эллипсоида ξ-f- 2η ^ 2е
функции / и F совпадают. Внутри этого эллипсоида
имеем
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Критические точки функции F
совпадают с критическими точками функции /.
Доказательство. Заметим, что
^==_ι_μ4ξ+2η)<ο,
|1=1-2μ'(ξ + 2η)>1.
Из равенства
где ковекторы d% и ί/η обращаются в нуль одновременно
лишь в начале координат, вытекает, что в U функция F
не имеет других критических точек, кроме начала
координат. Утверждение доказано.
Рассмотрим теперь область F"1 [с — ε, c + ε]. Из
утверждения 1 и неравенства F < / видно, что
F'l[c — e, c + ^czf^lc — e, с-+-е].
Следовательно, область F~l[c — е, c-f-ε] компактна. Она
не может содержать критических точек /\ исключая, быть
может, р. Но
F(p)=zQ — ^(0)<с — ε.

28 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Следовательно, в области F~ [с — е, c-f-εΐ вовсе нет
критических точек. Вместе с теоремой 3.1 это доказывает
следующее
Утверждение 3. Область F~J(—оо, с — е] есть
деформационный ретракт Мс*в.
Рис. 6.
Область F 1(—оо, с — ε] удобно обозначать через
МС~*\}Н. где Я—замыкание множества F~l(—оо, с—в]—
— Мс'\
Замечание. По терминологии Смейла область Мс "* U Η
есть ΜΓ~ε с приклеенной „ручкой" Н. Из теоремы 3.1
следует, что многообразие с краем Мс~ш [} Η диффео-
морфно Мс*щ. Этот факт играет существенную роль
в исследованиях Смейла по структуре дифференцируемых
многообразий (ср. [33]).
Рассмотрим теперь клетку е\ состоящую из всех
точек q, таких, что ξ(?)<ε, η(^) = 0. Заметим, что ех
dF
лежит внутри ручки //. Действительно, так как -^- < О,
имеем при q£ex
но /(?)>* — е.

§ 3. Описание гомотопического типа 29
Рассмотренные области изображены на рис. 6.
Область Мс~* заштрихована густо, ручка Η заштрихована
вертикальными стрелками, а область Ζ7" [с — ε, £-|-ε]—
вертикальными линиями.
Утверждение 4. Область Мс~*\]е является
деформационным ретрактом области Мс~г\}Н.
Доказательство. Деформационная ретракция
rt: Мс~f U Η —> Мс~* U е схематически указана
вертикальными стрелками на рис. 6. Точнее, пусть отображение г,
вне U является тождественным; внутри U определим его
следующим образом. Будем различать три случая, как
отмечено на рис. 7.
Случаи 3 I I Случай 3
Случай 1. В области ξ О определим rt формулой
(и1 ия)->(и1 и\ /α^+1 tun).
Таким образом, гх — тождественное отображение, а г0
отображает всю область на ех. То, что каждое rt отобража-
ет F~l(—оо, с—ε] в себя, следует из неравенства -р > 0.
Случай 2. В области ε<]ξ<;η-|-ε определим rt
формулой
(я1 ип)-+(и1 а\ stux+l. .·., stun).

30 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
где число $,£[0, 1] равно
Таким образом, г1 — снова тождественное отображение,
а г0 отображает всю область в гиперповерхность f~l (с — е).
Читателю следует проверить, что функции stul остаются
непрерывными при ζ->ε, η—>0. Заметим, что при ξ = β
это определение rt совпадает с данным в случае 1.
Случай 3. В области η-+-ε<ξ (τ. е. Мс"л) пусть
rt — тождественное отображение. Это согласуется с
предыдущим определением, когда ξ = η-{-ε.
Тем самым закончено доказательство того, что Мс~6 U ех
есть деформационный ретракт /7"1(—оо, c-f-e]. Вместе
с утверждением 3 это дает доказательство теоремы 3.2.
Замечание 3.3. Предположим, что/~* (с) содержит k
невырожденных критических точек рг, ..., pk с
индексами λα, ..., λΛ. Тогда аналогичное доказательство
показывает, что Мс** имеет гомотопический тип Мс"* U **' U . ·.
... U*Х*.
Замечание 3.4. Простая модификация
доказательства теоремы 3.2 показывает, что само множество Ме
тоже есть деформационный ретракт Мс+Щ.
Действительно, Мс является деформационным ретрактом
множества /*"*(—сю, с], которое само есть деформационный
ретракт Мс*в (см. рис. 8). Объединяя этот факт с
теоремой 3.2, мы легко убеждаемся в том, что Мс~*[)е
является деформационным ретрактом Ме.
Теорема 3.5. Пусть f—гладка^ функция
на многообразии Ж, не имеющая вырожденных
критических точек. Если каждое из множеств Ма
компактно, то Μ имеет гомотопический тип
клеточного комплекса, в котором каждой критической
точке с индексом λ соответствует одна клетка
размерности λ.
(Определение клеточного комплекса (CW-complex)
см. в работе [35].)1)
!) См. также приложение, стр. 168. — Прим. перев.

§ 3. Описание гомотопического типа. 31
Доказательство будет основано на двух леммах о
топологическом пространстве X с приклеенной клеткой.
Лемма 3.6 (Уайтхед). Пусть φ0 α ψγ —гомотопные
отображения сферы ех в X. Тогда тождественное
Рис 8. Множество Мс заштриховано густо, F~l [с, c-f ε]—»
вертикальными линиями.
отображение X продолжается до гомотопической
эквивалентности
k\X\}^ef ->Х[)ьек.
Доказательство. Определим k формулами
&(jc) = jc при х£Х,
k{tu) = 2tu при 0 < / < -ί , и £е\
k (jtu) = <?2-2t (и) при γ < t < 1, и £ ек.
Здесь φ, означает гомотопию между φ0 и <рх, a tu —
произведение скаляра / на единичный вектор и.
Соответствующее отображение
l:X[)9tex->X[)9uek
определяется аналогичными формулами. Нетрудно прове-

32 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
рить, что обе композиции kl и Ik гомотопны
соответствующим тождественным отображениям. Итак, k есть
гомотопическая эквивалентность.
Дальнейшие подробности читатель найдет в лемме 5
статьи [36].
Лемма 3.7. Пусть φ : ех->Х — отображение
приклеивания. Каждая гомотопическая эквивалентность
f:X->Y продолжается до гомотопической
эквивалентности
FiXUve^YUfteK
Доказательство (по неопубликованной работе
П. Хилтона). Определим F условиями
F\e* = I.
(Здесь и далее / — тождественное отображение.) Пусть
g: Υ -> Χ — гомотопически обратное к / отображение·
Определим
G:YU/vex-+X[)g/9eK
соответствующими условиями
G|*x=/.
Так как gf<p гомотопно φ, из леммы 3.6 получаем
гомотопическую эквивалентность
k:X[igf^ex-^X\}^e\
Докажем сначала, что композиция
kQF:X[)teK-+X[)fel·
гомотопна тождественному отображению.
Пусть ht — гомотопия между gf и тождественным
отображением. Пользуясь специальным видом ft, О и F,

§ 3. Описание гомотопического типа 33
заметим, что
kGF(x) = gf(x) при χζΧ.
kQF(tu) = 2tu при 0</<1, и£е\
kQF (tu) = Α2_2/φ («) при ~ < / < 1, и £ *\
Искомая гомотопия
определяется теперь формулами
qx(x)=hx(x) при лг£ЛГ.
ίτ(^)=Γ^^ при 0<ί<1±^,«6^χ.
14-τ
0τ (/я) = λ2- 2/+τφ (я) при —j-~ < / < 1. ΐί £ A
Следовательно, отображение Т7 имеет левое гомотопически
обратное.
Доказательство того, что F есть гомотопическая
эквивалентность, будет проведено совершенно формально на
основе следующего общего соображения.
Утверждение. Если отображение F имеет левое
гомотопически обратное L и правое гомотопически
обратное R> то F есть гомотопическая
эквивалентность, a R {или L) — двустороннее гомотопически
обратное отображение.
Доказательство. Из соотношений
LF~I, Τ7/?—/
вытекает соотношение
L~L(FR) = (LF)R^R-
Следовательно,
RF~LF~I9
т. е. R — двустороннее обратное отображение.
Теперь мы можем закончить доказательство леммы 3.7
следующим образом. Соотношение
kGF~I

34 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
показывает, что F имеет левое гомотопически обратное;
аналогичное рассуждение показывает, что и О имеет левое
гомотопически обратное.
Шаг 1. Так как k(QF)~I и известно, что k имеет
левое обратное, то (GF)k~I.
Шаг 2. Так как Q{Fk)~I и известно» что О имеет
левое обратное, то (Fk)G~l.
Шаг 3. Так как F{kG)~I и F имеет kG левым
гомотопически обратным, то F есть гомотопическая
эквивалентность. Лемма 3.7 доказана.
Доказательство теоремы 3.5. Пусть сг < с2 <£
< сг < ... — критические значения функции /: Μ —> R.
Последовательность {ct} не имеет предельных точек, так
как каждое множество Ма компактно. Множество Ма при
а<сх пусто. Пусть афси с2. съ Предположим,
что Ма имеет гомотопический тип клеточного комплекса.
Пусть с — наименьшее из ct > а. Согласно теоремам 3.1,
3.2 и 3.3, при достаточно малом ε > 0 множество Мс**
имеет тот же гомотопический тип, что и
j \c)
(для некоторых отображений срг ..., <Pi(A причем
существует гомотопическая эквивалентность h : Мс~9~->Ма.
Выше мы предположили, что существует гомотопическая
эквивалентность h': Ма -> К, где К — некоторый
клеточный комплекс.
Каждое отображение W о h о φ^ гомотопно (гомотопия
осуществляется посредством клеточной аппроксимации)
отображению
ψ^:* }->(\j— 1) — остов АГ.
Следовательно, К[}^е ! U ... Ik * ^с) есть клеточный
комплекс, имеющий, согласно леммам 3.6, 3.7, тот же
гомотопический тип, что и Мс*г.
По индукции заключаем отсюда, что любое Ма имеет
гомотопический тип клеточного комплекса. Если Μ
компактно, доказательство закончено. Если Μ не компактно»
но все его критические точки принадлежат одному из
компактных множеств Ма% то рассуждение, аналогичное дока-

§ 4. Примеры
35
зательству теоремы 3.1, показывает, что Ма является
деформационным ретрактом Μ и доказательство завершено.
Если критических точек бесконечно много, то
предыдущее построение дает бесконечную последовательность
гомотопических эквивалентностей
ΜαιαΜα*<ζΜα%α...
У У У
К\ а /\2 cz A3 с...,
каждая из которых продолжает предыдущую. Обозначим
через К объединение Κι с топологией прямого предела,
т. е. с сильнейшей допустимой топологией, и пусть
g : Μ —> К — предельное отображение, Тогда g индуцирует
изоморфизмы гомотопических групп всех размерностей.
Остается воспользоваться теоремой Уайтхеда1) (теорема 1
в работе [35]), чтобы заключить, что g есть
гомотопическая эквивалентность.
[Теорема Уайтхеда утверждает, что если Μ и К оба
подчинены клеточным комплексам, то любое отображение
Μ —> К, индуцирующее изоморфизмы гомотопических
групп, есть гомотопическая эквивалентность. Комплекс К*
конечно, подчинен сам себе. Чтобы доказать, что Μ
подчинено некоторому клеточному комплексу, нужно
рассматривать Μ как ретракт своей трубчатой окрестности
в некотором евклидовом пространстве.]
Доказательство теоремы 3.5 закончено.
Замечание. Мы доказали также, что каждое Ма
имеет гомотопический тип конечного клеточного комплекса,
в котором на каждую критическую точку индекса λ,
лежащую в Ма% приходится по одной клетке размерности λ.
Это утверждение верно даже для критических значений а
(см. замечание 3.4).
§ 4. Примеры
В качестве приложения теорем из § 3 мы докажем
следующую теорему.
Теорема 4.1. (Риб). Если на компактном
многообразии Μ существует гладкая функция /, имеющая
1) См. приложение, стр. 170. — Прим. перев.

36 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
ровно две критические точки, обе невырожденные*
то многообразие Μ гомеоморфно сфере.
Доказательство. Это вытекает из теоремы 3.1
и леммы Морса (лемма 2.2). Две критические точки должны
быть точками минимума и максимума. Пусть, например,
/ (р) = 0 — минимум, a f(q)=l — максимум. Если ε
достаточно мало, то, согласно лемме 2.2, множества Л1' =
= /~1 [0» ε1 и /~* Π — ε· 1] являются замкнутыми д-клет-
ками. Но М* гомеоморфно М1~9 (согласно теореме 3.1).
Итак, Μ есть объединение двух замкнутых я-клеток
М1~* и /-1[1—ε, 1], соединенных по их общему краю.
Легко построить гомеоморфизм между Μ и Sn.
Замечание 1. Теорема остается справедливой и
тогда, когда критические точки вырождены. Однако
доказательство в этом случае сложнее (см. [22, 30]).
Замечание 2. Неверно, что Μ должно быть диф-
феоморфно сфере Sn с ее обычной дифференцируемой
структурой. (См. [23]; доказательство того, что 7-мерная
сфера с нестандартной дифференцируемой структурой
гомеоморфна обычной сфере 57, проведено в этой работе
при помощи построения функции с двумя невырожденными
критическими точками.)
В качестве другого приложения предыдущих теорем
заметим, что если на я-мерном многообразии существует
дифферейцируемая функция с тремя критическими
точками1), то эти точки имеют индексы 0, л и л/2 (двой-
1) На любой замкнутой ориентируемой поверхности
существует функция с тремя критическими точками Годна из которых
вырождена), см. [12]; автор имеет в виду случаи, когда все три
критические точки невырождены. — Прим. перев.

§ 4. Примеры
37
ственность Пуанкаре) и многообразие имеет
гомотопический тип (л/2)-мерной сферы с приклеенной я-клеткой.
Эта ситуация изучена в работе Илса и Кейпера [14]. Такая
функция существует, например, на действительной и на
комплексной проективной плоскости.
Пусть СРп — д-мерное комплексное проективное
пространство. Мы будем рассматривать СРп как множество
классов эквивалентности пропорциональных наборов (z0 zn)
из η + 1 комплексных чисел, таких, что 21 zj I2 = * ·
Класс эквивалентности набора (z0, ..., ζη) обозначим
через (z0: гх: ... : zn).
Определим действительную функцию / на
многообразии СРп равенством
f(zQ:zx: ...:*„) = 2*у1*/12.
где с0, cv ...,ся — различные действительные постоянные.
Чтобы найти критические точки /, рассмотрим
следующую локальную систему координат. Пусть U0 — множество
классов (20: *|: ·.. : zn)> таких, что ζ0 φ 0. и
1*о1-7£- = *у + 'Уу·
Тогда
χν Ух хп> Ул:^о~*К
— искомые координатные функции, отображающие £/0
диффеоморфно на открытый единичный шар в R2/l.
Очевидно, что
так что в координатной окрестности £/0 имеем
/=с0+/|(о-с0)(^+у5).
Итак, единственная критическая точка / в £/0 есть
центральная точка системы координат
р0 — (1 :0:01 ... :0).
В этой точке функция / невырождена и имеет индекс,
равный удвоенному числу тех J, для которых Cj < cQ.

38 Гл. L Невырожденные гладкие функции на многообразии
Точно так же можно рассмотреть другие системы
координат с началом в точках
рх = (0 : 1: ... : 0) рп == (0 :0: ... : 0:1).
Так как эти системы координат покрывают СРп,
единственные критические точки / — это точки р0, рх рп.
Так как индекс / в точке pk равен удвоенному числу тех /,
для которых Cj <ck> каждое четное число от 0 до 2л
является индексом ровно одной точки. По теореме 3.5
СРп имеет гомотопический тип клеточного
комплекса вида
*°U*2U*4U ... \}е2п.
Следовательно, целочисленными группами гомологии
пространства СРп являются следующие:
[ Ζ при 1 = 0, 2, 4 2п,
Hi(CPn;Z)=\n
1 п [ 0 при остальных значениях /.
§ б. Неравенства Морса
В первоначальном изложении Морса теорема 3.5
отсутствовала. Соотношение между топологией
многообразия Μ и критическими точками действительной функции
на Μ описывалось некоторыми неравенствами. В
настоящем параграфе будет изложена эта исходная точка зрения.
Определение. Пусть S — функция,
сопоставляющая некоторым парам пространств целые числа; 5
называется субаддитивной, если S(X, Z)<S(A\ Y)-\-S(Y, Ζ)
при ΧζϊΥζϊΖ. Если же имеет место равенство, то эта
функция называется аддитивной.
Например, взяв за группу коэффициентов любое поле Ft
положим
R\(X* К) = Х-е число Бетти пары (X, К) =
= ранг группы Н\(Х% Y\ F) над F
для любой пары (X* К), для которой этот ранг конечен.
Функция /?λ субаддитивна; это легко усмотреть из
следующего отрезка точной последовательности для тройки

§ S. Неравенства Морса
39
(Χ. Κ, Ζ):
...-►Ях(К, Ζ)->/ίλ(Λ\ Ζ)-+Ηλ(Χ, Υ)->....
Эйлерова характеристика χ (Χ, Υ) = 21 (—1)λ #х (-ΛΓ, Κ)
аддитивна.
Лемма 5.1. Пусть функция S субаддитивна и
η
XQcz... <zXn. Тогда S(Xn, XQ) < Σ S(Xl9 Х^г).
/ = ι
Если S аддитивна, то это неравенство обращается
в равенство.
Доказательство. Проведем индукцию по я· При
/t==l, очевидно, имеет место равенство» а при я = 2
[не] равенство является определением [суб] аддитивности*
Если результат справедлив для η — 1, то S(Xn_v X0)^
< 2 S(Xi9 Χ^χ)· Следовательно,
ι
S(X„ Xd<S(X^x. X0) + S{Xn, X^X
<Σ^(Χ19 X^0>
и результат справедлив для п. Лемма 5.1 доказана.
Пусть S(Xt Q) = S(X). Полагая в лемме 5.1 XQ = 0$
имеем
S(Xn)<i,S{Xt, Χι-ι); (Ι)
1
для аддитивных функций S имеет место равенство.
Пусть Μ — компактное многообразие и / — гладкая
функция на Λ4, все критические точки которой
изолированы и невырождены. Пусть я^... < ak таковы, что Mat
содержит ровно / критических точек и Λ1Λ*=^=Λί.Тогда
нф(м\ ма'-1)=н,(ма1-1\}е\ ΛίΛ'-0=*
(где λ/ — индекс критической точки)
(вырезание)
{группа коэффициентов в размерности λ;,
О в остальных случаях.

40 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Применяя неравенство (1) к 0 = Л1 с:... с Л! * — Μ
и 5 = /?λ, получаем
1*1
где Сх — число критических точек с индексом λ. Применяя
эту формулу в случае 5 = χ, имеем
χ(Μ)= Σ Х(М\ Я^О-С.-^Н-С,- ... ± С„.
Итак, доказана
Теорема 5.2 (слабые неравенства Морса).
Обозначим через Сх число критических точек с
индексом λ на компактном многообразии М. Тогда
ЯХ(Л1)<СХ, (2)
2(-i)^x(iW) = 2(-l)XCx. (3)
Более точные неравенства вытекают из следующих
соображений.
Лемма 5.3. Функция
SX(X. Y) = RX(X, K)-/?x-!(A\ Κ)+/?λ_2(*. Κ)-...
·.· ±#ο(*. Υ)
суб аддитивна.
Доказательство. Пусть дана точная
последовательность
линейных пространств. Ранг гомоморфизма Λ в сумме
с рангом / дает ранг А. Поэтому
rank h = rank A — rank / =
= rank A — rank£-f-ranky =
= rank A — rank B~\- rank С — rank k =
ss= rank A — rank fi-f- rank С — ·. · ± rankD.

§ 5. Неравенства Морса
41
Следовательно, последнее выражение неотрицательно.
Рассмотрим теперь точную гомологическую
последовательность тройки XzdYzdZ. Применяя предыдущие
вычисления к гомоморфизму
Ηχ+iiX. Υ)-*+Ηχ(Υ. Ζ),
мы видим, что
rankd = #x(K. Z) — RX(X, Z)+RX(X, Υ) —
-/?λ_,(Κ. Z)-f...>0.
Следовательно,
SX(Y, Z)-SX(X, Z) + SX{X. K)>0.
что и завершает доказательство.
Применяя эту субаддитивную функцию к пространствам
0czMaiczMaicz ... сМ\
получаем неравенства Морса:
5λ(Λ1)<25λ(Λί4 Ма*-*) = СХ-Сх_х+...±С0
ИЛИ
Ях(М)-Ях-1 №+ ... ±R0(M)4.
<C]l~Cx_lH-...±C0 (40
Эти неравенства действительно сильнее предыдущих.
В самом деле, складывая (4λ) и (4λ_ι)§ получим (2Х),
а сравнивая (4λ) с (4λ-ι) при λ > я, получим равенство (3).
В качестве примера применения неравенств Морса
рассмотрим случай Сх+1 = 0. Тогда /?λ+1 тоже должно быть
нулем. Сравнивая неравенства (4λ) и (4λ+ι), мы видим, что
/?х — /?х-1 -f-... ± /?0 = Сх — Сх_! -f-... ±С0.
Предположим теперь, что Cx_j тоже нуль. Тогда /?λ-1 =0,
и аналогичное рассуждение показывает, что
У?х_2 /?х-зН~ * · · ~ Я0 =^х-2 — ^х-зН" · · · ±С0.
Вычитая это равенство из предыдущего, получаем
Следствие 5.4. Если Сх+1 = Сх-1 = 0, то /?λ = Сх

42 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
(Конечно, это вытекает и из теоремы 3,5.) Заметим,
что этот результат позволяет находить группы гомологии
комплексного проективного пространства (см· § 4) без
помощи теоремы 3.5.
§ 6. Многообразия в евклидовом пространстве
Хотя до сих пор мы рассматривали на многообразии
только функции, все критические точки которых
невырождены, мы пока еще не показали, что такие функции
существуют. В этом параграфе мы построим много
функций, все критические точки которых невырождены, на
любом многообразии, вложенном в R". А именно, определим
при фиксированном p£R* функцию Lp:jM->R, полагая
1*р(Ч)—\(Р— 9\\2· Оказывается, для почти всех ρ
функция Lp имеет лишь невырожденные критические точки.
Пусть Μ с R" — многообразие размерности к < я,
гладко вложенное в R". Определим N с Μ Χ R"
следующим образом:
Λ/={(ήτ, v):q£M, ν перпендикулярно к Μ в q).
Нетрудно видеть, что N есть д-мерное многообразие,
гладко вложенное в R2/I (N есть пространство нормального
векторного пучка многообразия М).
Определим Ε:Ν-*Κη как E(q, v) = q-\-v
(отображение в „конец" ν).
Определение. Точка e£Rn называется фокальной
тонкой (Λί, q) кратности μ, если e — q-^-v, где
(q, ν)ζΝ> и якобиан Ε в точке (qt v) имеет степень
вырождения μ > 0. Точка е называется фокальной точкой
многообразия Л4, если она является фокальной точкой (Ж, q)
для некоторой точки q£M.

§ 6. Многообразия в евклидовом пространстве 43
Интуитивно ясно, что фокальная точка многообразия Μ
есть точка из R72, где пересекаются близкие нормали.
Мы будем пользоваться следующей· теоремой, которую
приводим без доказательства.
Теорема 6.1 (Сард). Если Мг и М2 —
дифференцируемые многообразия одинаковой размерности
со счетным базисом и f: Мх-+М2 принадлежит
классу С1, то образ множества критических точек
имеет в М2 меру нуль.
Критическая точка отображения / есть точка, в
которой якобиан вырожден. Доказательство теоремы 6.1
см. в книге [28].
Следствие 6.2. Для почти всех jc^R" точка χ
не является фокальной точкой многообразия М.
Доказательство. Мы видели, что N есть
n-мерное многообразие. Фокальные точки являются образами
критических точек отображения E:N->Rn. Поэтому
множество фокальных точек имеет меру нуль.
Для лучшего понимания понятия фокальной точки
полезно рассмотреть „вторую основную форму*
многообразия в евклидовом пространстве. Мы не будем пытаться
дать инвариантное определение, а воспользуемся
фиксированной локальной системой координат.
Пусть и1, ..., uk — координаты в некоторой области
многообразия MczW*. Отображение включения Μ в Rn
определяет η гладких функций
хг(и1 и*) хя(*1· .·..«*).
Эти функции будут коротко обозначаться через χ (и1 uk)9
где x = (jclf ..., χη). Соответственно и точка q£MczRn
будет теперь обозначаться через q.
Первой основной формой в данной системе
координат называется, по определению, симметрическая матрица
действительных функций
Вторая основная форма есть симметрическая матрица (ltj)
векторнозначных функций, определенная следующим обра-

44 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
д2х
зом. Вектор —j—γ в некоторой точке многообразия Μ
можно представить как сумму касательного и нормального
к Μ векторов. Мы определим \ц как нормальную компо-
д2х
ненту вектора —?—т. Для любого единичного вектора ν,
диг ди1
нормального к Ж в точке q, матрица
(ν·^Ην·'»>
может быть названа второй основной формой
многообразия Μ в точке q по направлению v.
Предположим для простоты, что координаты были
выбраны так, что матрица gl}% вычисленная в точке q,
единичная. Тогда собственные числа матрицы (ν · 1ц)
называются главными кривизнами Кг, ..., Kk
многообразия Μ в точке q по направлению нормали v. Обратные
величины К\1% ..., К*1 называются главными радиусами
кривизны. Конечно, матрица (ν · 1ц) может оказаться
вырожденной. В этом случае одна или несколько кривизн Kt
обратятся в нуль и соответствующие радиусы КГ1 не
определены.
Рассмотрим теперь нормаль /, состоящую из всех точек
q~Mv, где ν — фиксированный единичный вектор,
ортогональный к Μ в q.
Лемма 6.3. Фокальными точками (М, q) вдоль I
являются в точности точки ц-\-КТгУ· где 1 <[/<[&,
К( Φ 0. Таким образом, на I имеется самое
большее k фокальных точек (Λί, q), причем каждая из них
считается столько раз, какова ее кратность.
Доказательство. Выберем на заданном много*
образии η — k векторных полей w1 (я1 uk), ...
···· wrt-*(tfl я*), так, чтобы wlf .... чгп-ъ были
единичными векторами, ортогональными друг к другу
и к М. На многообразии N с Μ Χ R" можно ввести
следующие координаты (и\ .... ик% tl tn~k). Пусть
{и1 и*. /\ ..., tn~k) отвечает точке
(χ (α1. ·.., а*). 2 /awe (и1 и*) J ζ Ν.

§ 6. Многообразия в евклидовом пространстве 45
Тогда функция
E:N-+Rn
порождает соответствие
(и\ .... и\ tl *""*)-£-> χ (α\ ...,«*) +
л-*
с частными производными
I de dx , γ» ,α &wa
I ди1 ~ d*l^~ Ζ* ди} '
а
де
Скалярные произведения этих n-мерных векторов с ли-
дх дх
нейно независимыми векторами —г-, .... —r, wlf ..·
ди1 ди*
..., wn-k образуют (η Χ #)-матрицу, ранг которой равен
рангу якобиана функции Ε в соответствующей точке.
Эта (η Χ п)-матрица, очевидно, имеет вид
дх дх . у ,ц dwtt дх \ /Y/eJ^ ш\\
Αι< ' А»/+^Г Αι1 dte'y \& A*' РД
О единичная матрица /
Поэтому ее определитель равен определителю матрицы
из левого верхнего угла. С помощью тождества
п д/ дх \ _ <3wg j?x_ , d2x
Λι' Г*' Λ*>/_ du< " dJ "*" β" Λι'Αι/
мы убеждаемся, что в левом верхнем углу написана
матрица
(л,-Σ л*.-by)·
Итак, справедливо
Утверждение 6.4. Точка q + fv тогда и только
тогда является фокальной точкой (М% q) крат-
поста μ, когда матрица
(gij — tv-hj) (*)
вырождена со степенью вырождения μ..

46 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Предположим теперь, что матрица (gtj) единичная.
В этом случае матрица (*) вырождена тогда и только
тогда, когда l/t — собственное значение матрицы (ν · Ijy),
причем кратность μ равна кратности собственного
значения l/t. Лемма 6.3 доказана.
Теперь для фиксированного p^R" изучим функцию
где
/(хС*1 «*>>== ЦжС«ж «*)-Р||2 =
= х · χ— 2χ·ρ + ρ·ρ·
Имеем
df _ о дх г* «ч
Следовательно, критические точки функции / — это те и
только те точки q, для которых вектор q — ρ
перпендикулярен к Μ в q.
Вторые частные производные в критической точке
определяются формулой
д2/ _о / дх <?х , д»х /ν_ΛΛ
ди'аи*~ (да* ' ди*^~ ди'ди* Ч РГ
Полагая ρ = χ-|-/ν, как в доказательстве леммы 6.3,
находим, что
^ = 2 0Г„-*·!„)·
Поэтому справедлива
Лемма 6.5. Точка q£M тогда а только тогда
является вырожденной критической точкой
функции / = 1р, когда ρ — фокальная точка (М9 q).
Степень вырождения критической точки q равна
кратности фокальной точки р.
Объединяя этот результат со следствием 6.2 из теоремы
Сарда, немедленно получаем следующую теорему.
Теорема 6.6. Для почти всех p£Rn (m. е. всех,
кроме множества меры нуль) функция
Lp:M->R
не имеет вырожденных критических точек.

§ 6. Многообразия в евклидовом пространстве 47
Эта теорема имеет несколько интересных следствий.
Следствие 6.7. На любом многообразии Μ
существует дифференцируемая функция, не
имеющая вырожденных критических точек, для которой
каждое множество Ма компактно.
Доказательство. Это следует из теоремы 6.6
и из того факта, что n-мерное многообразие Μ может
быть гладко вложено в R л+1 как замкнутое подмножество
(см. [39]).
Приложение 1. Дифференцируемое
многообразие всегда имеет гомотопический тип клеточного
комплекса. Это вытекает из приведенного выше следствия
и теоремы 3.5.
Приложение 2. На любом компактном
многообразии Μ существует такое векторное поле Х%
что сумма индексов особых точек поля X равна χ(Λ4).
эйлеровой характеристике М. В самом деле, для
любой дифференцируемой функции / на Μ имеем χ(Μ) =
= 2(—1)λ^λ· где ^λ — число критических точек с
индексом λ. Но (—1)λ есть индекс векторного поля grad/
в особой точке, где / имеет индекс λ.
Далее, сумма индексов особых точек любого
векторного поля на Μ есть топологический инвариант Μ (см. [34]).
Следовательно, и для любого векторного поля эта сумма
равна χ(Λί).
Следствие 6.7 можно усилить следующим образом.
Пусть &;>0 — целое число и КаМ — компактное
множество.
Следствие 6.8. Каждая ограниченная гладкая
функция /:M->R может быть равномерно
аппроксимирована гладкой функцией gt не имеющей
вырожденных критических точек. Более того, g можно
выбрать так, чтобы 1-ые производные g на
компактном множестве К равномерно приближали
соответствующие производные f при /<!Л.
(Ср. [26].)
Доказательство. Выберем вложение Н:М->Цп
многообразия Μ в некоторое евклидово пространство в

48 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
качестве ограниченного подмножества. При этом за
первую координату hv возьмем в точности данную функцию /.
Пусть с — достаточно большое число; выберем такую
точку
Р = (—* + *ι· Ч ε/ι)»
близкую к (— с, О, ..., 0) £ R72, чтобы функция Lp : Μ ->R
была невырожденной, и положим
Lp{x)-c*
S^^-^Tc "
Очевидно, g невырождена. Простой подсчет показывает, что
Π
*(*)=/(*)Н-^2а?(*)-
1
/ι л
1 1
Очевидно, если с велико и ε^ малы, то g— требуемая
аппроксимация /.
Развитая теория пригодна также для описания индекса
функции
Lp:M-+R
в критической точке.
Лемма 6.9 (теорема об индексе для Lp). Индекс Lp
в невырожденной критической точкеq ζ Μ равен числу
фокальных точек (М, q), лежащих на отрезке от q
до р, если считать каждую точку столько раз,
какова ее кратность.
Аналогичное утверждение, приведенное в гл. III
(теорема Морса об индексе), имеет фундаментальное значение.
Доказательство. Индекс матрицы
равен числу отрицательных собственных чисел. Если
матрица (gij) единичная, это число совпадает с числом
собственных значений матрицы (ν · 1ц), не меньших чем 1/ί.
Сравнивая это утверждение с леммой 6.3. получаем
требуемое заключение.

§ 7. Теорема Лефшеца о гиперплоских сечениях 49
§ 7. Теорема Лефшеца о гиперплоских сечениях
В качестве применения изложенных выше идей мы
докажем некоторые результаты из топологии
алгебраических многообразий. Впервые они были доказаны Леф-
шецем, исходившим из совершенно других соображений.
Предлагаемое доказательство принадлежит Андреотти
и Франкелу (см. [2, 20]).
Теорема 7.1. Пусть Μ а Сл — неособое
аффинное алгебраическое многообразие действительной
размерности 2k в n-мерном комплексном
пространстве. Тогда
Ht{M\ Z) = 0 при i>k.
Эта теорема вытекает из более сильной теоремы 7.2.
Теорема 7.2. Комплексно-аналитическое
многообразие Μ комплексной размерности k, бианали-
тически вложенное в Сп в качестве замкнутого
подмножества, имеет гомотопический тип k-мерного
клеточного комплекса.
Мы разобьем доказательство на несколько шагов.
Рассмотрим сначала квадратичную форму от k комплексных
переменных
Q(zl z*) = 2ftw*V.
Подставим xh-\-lyh вместо zh и возьмем действительную
часть Q. Это действительная квадратичная форма 2k
действительных переменных
Q'(xl xk. y\ ..., у*) =
Утверждение 1. Если е — собственное значение
формы Q' кратности μ, то — е — тоже собственное
значение той же кратности.
Доказательство. Тождество Q{lzx% .... izk) ==
= — Q(zlt ..., zk) показывает, что квадратичная форма Q'
преобразуется в —Q' при помощи ортогонального
преобразования переменных. Очевидно, это доказывает
справедливость утверждения 1.

50 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Рассмотрим теперь комплексное многообразие М%
бианалитически вложенное в Сп. Пусть q — некоторая
точка в Ж.
Утверждение 2. Фокальные точки (Λί, q) вдоль
любой нормали I расположены симметрично
относительно q.
Иными словами, если q-\-tv — фокальная точка, то
и q — tv — фокальная точка той же кратности.
Доказательство. Выберем на Μ в окрестности q
такие комплексные координаты zl% . .., zkt что zl (q) = ...
... = zk (q) = 0. Отображение включения М -> С"
определяет η комплексно-аналитических функций
wa = wa(zl9 .... ζ*)> α=1 η.
Пусть ν — фиксированный единичный вектор,
ортогональный к Μ в q. Рассмотрим эрмитово скалярное
произведение w и ν:
Оно разлагается в комплексный степенной ряд
2<Μ*\· ..., zk)va — const -{-Q(zl zk)~\- ....
где Q — однородная квадратичная форма (линейные члены
обращаются в нуль, так как вектор ν ортогонален М).
Теперь подставим вместо zh выражение xh-\-lyh% чтобы
получить на Μ действительную систему координат, и
рассмотрим действительное скалярное произведение
w ν = Re 2 w<Pa-
Эта функция разлагается в действительный степенной ряд
w -г> = const-j-Q'Oe* xkt yl У*)+ ....
Очевидно, квадратичные члены Q' определяют вторую
основную форму Μ в q по направлению нормали v.
Согласно утверждению 1, собственные числа Q' разбиваются
на пары противоположных чисел. Поэтому фокальные
точки (Λί, q) на прямой, проходящей через q и q-{-vt
расположены симметрично относительно q. Утверждение 2
доказано.

§ 7. Теорема Лефшеца о гиперплоских сечениях 51
Теперь мы можем доказать теорему 7.2. Выберем такую
точку ρ £ С, чтобы квадрат расстояния до нее
Lp:M->R
не имел вырожденных критических точек. Так как Μ —
замкнутое подмножество Сл, ясно, что каждое множество
Ma = L-l[0, а]
компактно. Рассмотрим теперь индекс функции Lp в
критической точке q. В соответствии с леммой 6.9, этот
индекс равен числу фокальных точек (М, q)t лежащих
на отрезке от ρ до q. Но на всей прямой, соединяющей ρ
с qt имеется самое большее 2k фокальных точек, и они
расположены симметрично относительно q. Следовательно,
не более k из них могут лежать между ρ и q.
Итак, индекс Lp' в q не превосходит Л. Следовательно,
Μ имеет гомотопический тип клеточного комплекса
размерности, не превосходящей Л, что завершает
доказательство теоремы 7.2.
Следствие 7.3 (Лефшец). Пусть
V—алгебраическое многообразие комплексной размерности &,
лежащее в комплексном проективном
пространстве СРп. Пусть Ρ — гиперплоскость в СРЯ,
проходящая через все особые точки V (если они есть).
Тогда отображение включения
V{]P->V
индуцирует изоморфизмы групп гомологии
размерностей, меньших k — U а индуцированный
гомоморфизм
Hk^(Vi\P; Z)->Hfc_l(Y; Z)
есть отображение на.
Доказательство. Используя точную
последовательность пары (V, V(\P)t легко видеть, что достаточно
доказать равенство Нг (V, V ΓΙ Ρ\ Z) = О при г <; k — 1.
Согласно теореме двойственности Лефшеца1), имеем
ЯГ(У, V[\P\ Z)^H**-'(V — (V(\P); Z).
г) См. приложение в конце книги, стр. 179. — Прим. перед.

52 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Но V — (Vfl^) — неособое алгебраическое
подмногообразие в аффинном пространстве СРп — Р. Поэтому из 7.2
вытекает, что последняя группа при г <; k — 1 равна нулю,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7.3 допускает следующее уточнение.
Теорема 7.4 (Лефшец). В предположениях след-
ствия 7.3 относительная гомотопическая группа
icr(V, V(\P) равна нулю при г < k.
Доказательство. Доказательство основано на
предположении, что некоторую окрестность U
пересечения V[\P можно деформировать в V(\P внутри V. Это
можно доказать, например, с помощью теоремы,
утверждающей, что всякое алгебраическое многообразие
триангулируемо 1).
Вместо функции Lp : V — (V Я Р) -*> R мы используем
/: V-^R, где
| 0 при x£V(\P.
/(*)==l l/Lp(x) при χζΡ.
Так как критические точки Lp имеют индекс, не
превосходящий А, индекс критических точек / не меньше,
чем 2k — k = k. Функция / не имеет вырожденных
критических точек, в которых ε <с^ / < сю. Следовательно,
V имеет гомотопический тип Vе = /-1[0, ε] с конечным
числом приклеенных клеток размерности не меньше Λ.
Выберем ε столь малым, что Vs с U. Обозначим
через V единичный r-куб. Тогда каждое отображение
пары (/г, Г) в (V, V Π Ρ) можно деформировать в
отображение
(Λ Α)-*(1Λ V[\P)c{U. V[\P).
так как г < k\ стало быть, можно его деформировать
в отображение в V[\P. Это завершает доказательство.
1) См. Van der W а е г d е η В. L., Einfuhrung in die alge-
braische Oeoraetrie, Berlin, 1939, приложение к гл. 4. — Прим.
перев.

Глава II
КРАТКИЙ КУРС РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 8. Ковариантное дифференцирование
Цель этой главы — дать краткое изложение основных
понятий римановой геометрии, которые понадобятся
в дальнейшем. Более подробные сведения читатель найдет
в книгах [19, 27, 41].
Пусть Μ — гладкое многообразие.
Определение. Аффинная связность в точке ρ £ Μ
есть функция, сопоставляющая каждому касательному
вектору Хр£ТМр и каждому векторному полю Υ новый
касательный вектор
Χρ\-ΥζΤΜρ.
называемый ковариантной производной1) Υ по
направлению Хр. Требуется, чтобы этот вектор был
билинейной функцией от Хр и от Υ.
Далее, если
/:M-*R
— некоторая действительная функция и /К обозначает
векторное поле
<JY)q=f(q)Yr
то требуется, чтобы операция (— удовлетворяла условию
(как обычно, через Xpf обозначена производная / по
направлению Хр).
Глобальная аффинная связность (или просто
связность) на Μ есть функция, сопоставляющая каждой точке
*) Вектор Х\- Υ в книге Номидзу [27] обозначается через
νχΥ. Это обозначение подчеркивает, что дифференциальный one*
ратор X действует на векторном поле Y.

54 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
ρ ζ Μ аффинную связность |— р в точке /?,
удовлетворяющую следующему условию гладкости:
(1) Если X и К — гладкие векторные поля на М% то
векторное поле -ЛГ |— К, определенное формулой
(Χ\-γ)ρ=χρ[-ργ,
должно быть тоже гладким.
Заметим, что
(2) Χ |— Υ есть билинейная функция Χ η Υ,
(3) <JX)\-Y = f{X\-Y).
(4) *^(/к)=а*/)К)+а(*ьп).
Условия (1), (2), (3), (4) можно принять за
определение связности.
В локальных координатах и1, ..., ил, заданных в
координатной окрестности UczM, связность |— определяется д3
гладкими действительными функциями Г*у, заданными на U,
как это объяснено ниже. Обозначим через dk векторное
поле —- на U. Тогда каждое векторное поле X на U
ди*
единственным образом записывается в виде
АГ = 2 xkdk,
где хк — действительные функции на ί/. В частности,
векторное поле dt (— dj можно записать в виде
к
(5) ^μ^ = 2Γ^.
Функции Vij полностью определяют связность на U.
В самом деле, для любых двух векторных полей X = 2 χ1&ι
и Υ = 2 У^у можно вычислить ΛΓ |— К согласно правилам
(2), (3), (4); получается формула
где символом ykt обозначается действительная функция

§ 8. Ковариантное дифференцирование 55
Обратно» для любых гладких действительных
функций Т\) на U можно определить X (— Υ формулой (б).
Выполнение условий (1), (2), (3), (4), (5) очевидно.
С помощью связности }— можно определить ковариант-
ную производную векторного поля вдоль кривой в М.
Введем сначала некоторые определения.
Параметризованная кривая в Μ есть гладкая
функция с действительного переменного t со значениями
Рис. 9.
в М. Векторное поле V вдоль кривой с есть функция,
сопоставляющая каждому / £ R касательный вектор
Эта функция должна быть гладкой в следующем смысле:
для каждой гладкой функции / на Μ соответствие
t-+VJ
должно определять гладкую функцию на R.
Например, векторное поле скорости —гг- кривой с
есть векторное поле вдоль с, определенное правилом
dc__r Л
at ~C* df
Здесь -тт обозначает стандартное векторное поле на
действительной оси и
cm:TRt-+TMeW
— гомоморфизм касательных пространств,
индуцированный отображением с (см. рис. 9),

56 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Предположим теперь, что на Μ задана аффинная
связность. Тогда каждому векторному полю V вдоль с соот-
DV
ветствует новое векторное поле -^т- вдоль с, называемое
новарианпгной производной поля V. Операция
У dt
характеризуется следующими тремя аксиомами:
Μ DjV+W)_DV , DW a
(б) если / — гладкая действительная функция на R, то
D(fV) _dfv. fDV.
dt ~ dt "ry dt ·
(в) если поле V индуцировано векторным полем Υ
на М% т. е. если Vt=Yc{t) при каждом /, то -^- равно
dc
"-тг\— Υ (т. е. ковариантной производной поля Υ в
направлении вектора скорости кривой с).
Лемма 8.1. Существует одна и только одна
операция У-*—!*-* удовлетворяющая трем
перечисленным условиям.
Доказательство. Выберем на Μ локальную
систему координат и пусть и1 (/) un(t) — координаты
точки c(t). Векторное поле V единственным образом
записывается в виде
где νλ% ..., νη — действительные функции на R (или на
подходящем открытом подмножестве в R), a dv ..., дп —
стандартные векторные поля в координатной окрестности.
Из (а), (б) и (в) вытекает, что
DV
dt
-Е^Ч+'З-ь*,)-
-S(4r+S4wW
* \ i.J У

§ 8. Ковариантное дифференцирование 57
I ■ ■ ι .— . ι ■ I I !>.
Обратно, нетрудно проверить, что определенная этим ра-
венством операция -^- удовлетворяет условиям (а), (б)
и (в).
Векторное поле V вдоль с называется параллельным
векторным полем, если его ковариантная
производят
ная —JT- тождественно равна нулю.
Лемма 8.2. Пусть дана кривая с и касательный
вектор VQ β точке с(0). Тогда существует одно и
только одно параллельное векторное поле V вдоль
кривой с, продолжающее VQ.
Доказательство. Дифференциальные уравнения
dvk , V4 dul
dt
Στ1*·'-·
ι. J
имеют решение vk(f), однозначно определенное
начальными данными г;*(0). Так как эти уравнения линейны,
решения можно определить для всех допустимых
значений / (см. [10]).
Мы будем говорить, что вектор Vt получен из V0 при
помощи параллельного перенесения вдоль с.
Предположим теперь, что Μ — риманово многообразие.
Скалярное произведение двух векторов Хр% Υρ обозначим
через {Хр. Υρ).
Определение. Связность |— на Μ совместна
с римановой метрикой, если параллельное перенесение
сохраняет скалярное произведение. Иными словами, для
любой параметризованной кривой с и для любой пары Р9 Ρί
параллельных векторных полей вдоль с скалярное
произведение (Ρ, Ρ') должно быть постоянным вдоль этой
кривой.
Лемма 8.3. Предположим, что связность
совместна с метрикой. Пусть V, W — любые два
векторных поля вдоль с. Тогда

58 Гл. //. Краткий курс римановой геометрии
Доказательство. Выберем векторные поля
Pi».... Pn* параллельные вдоль с и ортонормальные
в одной точке с (и, следовательно, в каждой точке с).
Тогда данные поля V и W можно записать соответственно
в виде 2 ΌιΡι и Σ ^Pj (где ν1 = (V, Pt) есть
действительная функция на R). Следовательно, (V, U?) = 2 νί(®1 й
DV _ у dvl ρ PIT _ у dtp/ p
A ~ L· dt lf dt ~ L· dt W·
Следовательно,
=Σ(#-'+.'^)=^<ν. η
что завершает доказательство.
Следствие 8.4. Для любых векторных полей
К, Υ1 на Μ а для любого ректора Хр£ТМр имеем
Xp(Y, K') = (A-Ph К. Υ'ΡΥ+(ΥΡ, XPh Υ').
Доказательство. Выбарем кривую с, имеющую
при ί==0 вектор скорости Xpt и применим 8.3.
Определение 8.5. Связность [-* называется
симметричной, если она удовлетворяет тождеству1)
(Как обычно, [X, К] означает скобку Пуассона [X, К]/=г
= АГ(К/)—Y(Xf) двух векторных полей.) Применяя это
тождество к случаю X *=д1% Υ = <?у и учитывая, что
!) Следующая формулировка, по-видимому (а, может быть,
и нет), интуитивно более понятна. Определим „вторую кова*
риантную производную" действительной функции / вдоль двух
векторов Xpt Yp как
где Υ—любое векторное поле, продолжающее Υρ. Можно
проверить, что это определение не зависит от выбора Υ (ср. ниже
с доказательством леммы 9.1). Связность симметрична, если
вторая производная симметрична как функция Хр и Υρ.

§ 8. Ковариантное дифференцирование 59
[д1% ду]=^0, получаем соотношение
г?у-г5,=о.
Обратно, если Г?у = Г*/, то с помощью формулы (6)
нетрудно проверить, что связность |— симметрична в
рассматриваемой координатной окрестности.
Лемма 8.6. (Основная лемма римановой геометрии.)
Раманово многообразие допускает одну и только
одну симметричную связность, совместную с его
метрикой. (См. [27. стр. ПО], [19].)
Доказательство единственности.
Применяя 8.4 к векторным полям dit d}t dk и полагая(д}> dk)=:glkt
получаем тождество
*Я» = (^ h дР dk)+(dj, dt h dk).
Переставляя ί, j и kt получим три линейных уравнения
относительно трех величин
{d^dj, дЛ). <*,]-**.*!>. <**Н*|.*/>
(трех, потому что dt\— dj=:dj\— д^. Эти три уравнения
имеют единственное решение; получается первое
тождество Кристоффеля
(pi h dj> dk) = "2 (digjk + djgtk ~ диёцУ
Левая часть этого тождества равна S^V/i1/*· Умножая
на обратную к (glk) матрицу (gkl), получаем второе
тождество Кристоффеля
ft
Следовательно, связность однозначно определена метрикой.
Обратно, определив Г/у этой формулой, можно
проверить, что полученная связность симметрична и совместна
с заданной метрикой. Доказательство закончено.
В дальнейшем мы будем пользоваться другой
характеристикой симметрии. Рассмотрим „параметризованную

60 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
поверхность* в Λί, т. е. гладкую функцию
s:R2->Ai.
Под векторным полем V вдоль s понимается функция,
сопоставляющая каждой точке (лг, y)£R2 касательный
вектор
V(x,y)€™s(x,yV
Например, два стандартных векторных поля -т— и -г-
д д * *
порождают векторные поля $,-з— и $*-з— вдоль s. Эти
> Л ds ds
поля будут коротко обозначаться через -г- и -г-; мы
назовем их „полями векторов скорости* на s.
Для любого гладкого векторного поля V вдоль 5 ко-
Ά DV DV
вариантные производные -^— и —? это новые
векторные поля, которые строятся следующим образом. При
любом фиксированном у0 ограничение V на кривую
x-+s(x, у0)
есть векторное поле вдоль этой кривой. Его ковариантная
производная по χ есть, по определению, (-%—] . Тем
\ 0Х >{Х. Уо)
самым —5— определена вдоль всей параметризованной
поверхности s.
Например, можно образовать по две коварйантные
м ds ds
производные каждого из векторных полей -j— и -^—.
π D ds D ds
Производные -^— ^— и -г--з это просто векторы
ускорений соответствующих координатных кривых. Однако сме-
D ds D ds ^
шанные производные -д—д— и -д— -^— не могут быть
описаны так просто.
Лемма 8.7. Если связность симметрична, то
JD_j)s_ D ds
dx dy dy dx '
Доказательство. Достаточно выразить обе
производные с помощью локальной системы координат.

§ 9. Тензор кривизны
61
§ 9. Тензор кривизны
Тензор кривизны R аффинной связности f— измеряет
асимметрию второй ковариантной производной dt |— {д}\-~ Z)
по / и ). По трем заданным векторным полям Χ, Κ, Ζ
определим новое векторное поле1) R(Xt Y) Z:
R(X% K)Z = (-*h(rb^)) +
+ (Kh(^h2)) + ([^ Y)V-Z).
Лемма 9.1. Значение R(X, Y)Z в точке р£М
зависит лишь от векторов Xpt Yp, Zp в этой точке,
а не от их значений в близких точках. Далее,
соответствие
Хр· Ур» Zp-b'RiXp* Yp)Zp
является трилинейным отображением ТМр χ ΤΜρ χ
X ТМр в ТМр.
Коротко говоря, лемма утверждает, что R есть „тензор*.
Доказательство. Очевидно, /?(Λ\ Κ)Ζ есть
трилинейная функция Х% Υ и Ζ. Если заменить X
кратным /X. то три члена — X\-(Y\-Z)t Y\-(X\-Z)9
[Х9 Υ] |— Ζ заменяются соответственно членами
(Ο-/*|-0Ί-Α
(II) (У/)(Х\- Ζ)+(/Υ\- (Χ\-Ζ)),
(III) - (К/) (Χ \- Ζ) + if [X, Υ] \- Ζ).
Складывая эти три члена, получаем тождество
R(fX. Y)Z=:fR(X, Y)Z.
Соответствующие тождества для К и Ζ легко получаются
при помощи аналогичного вычисления. Предположим теперь,
что X^=^xldi% Υ = Σν^ι и Z = 2**<V Тогда
R(X, К) Ζ ==2 Я (*'<*/. yJdj)(zkdk) =
1) В книге Номидзу R имеет обратный знак. Наш выбор
знака имеет то преимущество, что (в римановом случае)
скалярное произведение (R (дд, dfi dj% dk) совпадает с
классическим Rbijk·

62 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Записывая это выражение в точке р, получим сумму
(/? (Χ. Υ)Ζ)ρ = Σ ** (Р) У1 (Р) *k (Ρ) (Λ Vl9 dj) дш)р%
зависящую только от значений функций хК y*t zk
в точке р% а не от их значений в близких точках.
Доказательство закончено.
Рассмотрим теперь параметризованную поверхность
s:R2->jW.
К данному векторному полю V вдоль s можно применить
два оператора ковариантного дифференцирования -т—
и -г-. Вообще говоря, эти операторы не коммутируют.
_ Л 0 D D xr D D ·, n(ds ds\„
Лемма 9.2. — _ l/- — — ^/^—, ^)V.
Доказательство. Запишем левую и правую части
в локальной системе координат и используем тождество
<>,h (d,Ь дш)-dt\- (d, \-d„) = R(d|t dj)дш.
[Интересно узнать, можно ли построить векторное
поле Я, параллельное вдоль s в том смысле, что
дх ду
и имеющее данное значение Я((Ь0) в начале координат.
Вообще говоря, такого поля не существует. Однако если
окажется, что тензор кривизны есть нуль, то Я можно
построить следующим образом. Пусть Я(дГэ0)—
параллельное векторное поле вдоль оси х9 удовлетворяющее
заданному начальному условию. Для каждого фиксированного лг0
пусть Я<Хо, у) — параллельное векторное поле вдоль кривой
y->s(x0, у),
имеющее выбранное значение при у = 0. Теперь Ρ
определено везде вдоль $. Очевидно, -г-Я—тождественный
нуль и -τ— Ρ — нуль на оси х. Из тождества
D D Ρ- ILJLp — p(J!L *L\p — q
ду дхг ' дх ду^~п\дх' dyj

$ 9. Тензор кривизны
63
вытекает, что -д— -г- Я = 0. Иначе говоря, векторное
D n У
поле ~ггР параллельно вдоль кривых
y->s(x0, у).
Так как ί-г- Я) =0, отсюда вытекает, что -з— Я —
тождественный нуль; итак, поле Ρ параллельно вдоль $.]
Начиная отсюда, мы будем предполагать, что Μ — ри-
маново многообразие, снабженное единственной
симметричной связностью, совместной с его метрикой. Докажем, что
тензор R удовлетворяет четырем соотношениям симметрии.
Лемма 9.3. Тензор кривизны риманова
многообразия удовлетворяет следующим соотношениям:
(1) R(X, Y)Z + R(Y, X)Z=zO,
(2) R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0,
(3) {R(X, Y)Zt W) + {R(X, Y)W. Z) = 0.
(4) {R(X. Y)Z, wy = {R(Z, W)X. Y).
Доказательство. Соотношение
кососимметричности (1) немедленно вытекает из определения тензора R.
Так как все три слагаемых в формуле (2) тензоры,
достаточно доказать эту формулу в случае, когда все
скобки [Χ, К], [К, Ζ]. [Ζ, X] равны нулю. В этом
предположении нужно проверить тождество
-_(*|_ <У|- Z)) + (Kf- (*Ь 2))-
~-(V\-(Z\-X)) + (Zt-(Y\-X))-
~{Ζ[-{ΧΥ-Υ)) + {Χ[-{Ζ\-Υ)) = 0.
Но из симметрии связности вытекает, что
(Kh2)-(Zhl0 = [K. 2] = 0.
Итак, левый верхний член в сумме с правым нижним дает
нуль. Остальные члены тоже попарно приводятся к нулю,
что и доказывает соотношение (2).
Для доказательства тождества (3) нужно показать, что
выражение {R(X. Y) Z, W) кососимметрично по Ζ и Ψ.
Это, очевидно, эквивалентно утверждению, что
(R{X, Y)Z, Z) = 0

64 Гл. //. Краткий курс римановой геометрии
при всех Χ, Υ, Z. Снова можно предположить, что
X, К1 = 0. так что {R(X, Υ) Ζ, Ζ) равно
<(_Λ>0Ί-*)) + 0Ί-(*Η2)). 2>·
Иначе говоря, мы должны доказать симметричность
выражения
{Υ\-{Χ\-Ζ),Ζ)
относительно Χ κ Υ.
Так как [Χ, Υ] = 0, выражение К Α* (Ζ, Ζ)
симметрично относительно X и К. Так как связность совместна
с метрикой, имеем
X{Z, Z) = 2(^h2, Z),
следовательно,
ΚΛΓ<Ζ. Z) = 2(K|-(*h£). Z) + 2<^h^ ^h^>·
Но второе слагаемое, очевидно, симметрично
относительно X и У. Следовательно, (К |— (Χ f- Ζ), Ζ)
симметрично относительно ΑΉΚ, что и доказывает свойство (3).
Свойство (4) можно вывести из (1), (2) и (3)
следующим образом.
<R(X,Y)Z,W>
mx,W)Y,Z)
<R(YtZ)XtW>
\R(Z,X)YtW)
(JUZ.WJXJ)
Формула (2) означает, что сумма величин, написанных
у вершин заштрихованного треугольника W, равна нулю.
Точно так же, на основании (1) и (3), сумма вершин каж-

§ 10. Геодезические и полнота 65
дого из остальных заштрихованных треугольников равна
нулю. Складывая эти тождества для двух верхних зашри-
хованных треугольников и вычитая тождества,
соответствующие нижним, получим, что удвоенная верхняя
вершина минус удвоенная нижняя дают нуль. Это доказывает
соотношение (4), а с ним и лемму 9.3.
§ 10. Геодезические и полнота
Пусть Μ — связное риманово многообразие.
Определение. Параметризованный путь
где / — какой-нибудь интервал действительной прямой,
называется геодезической, если векторное поле
ускорения -тг -gr тождественно равно нулю. Соответственно поле
скорости -^- должно быть параллельным вдоль γ. Если
γ — геодезическая, то, как показывает тождество
dt\dt\ dt'~'\dt dt' dt/ — "'
длина |"^| = Y3Ft "3/Y вектора скорости постоянна
вдоль γ. Вводя длину дуги
-ю-Л
-£· \dt + const,
at II
можно выразить это утверждение так: параметр / вдоль
геодезической линейно зависит от длины дуги. Параметр /
совпадает с длиной дуги тогда и только тогда, когда
В локальных координатах и1 и кривая t -> γ (t) £ Μ
определяет η гладких функций а1 (/) a" (t).
Уравнение геодезической -rr-jf = 0 принимает тогда вид
</*«* . V «ь , , «ч dul dui
dt*
Σ4<* 1ΧΤΓ-1

66 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Существование геодезических, таким образом, определяется
существованием решений некоторой системы
дифференциальных уравнений второго порядка.
Рассмотрим более общую систему уравнений вида
Здесь и означает (а1, .... ип) и F — набор из η функций
класса С°°, определенных в некоторой окрестности U точки
(u„ V06R4
Теорема существования и
единственности 10.1. Существует такая окрестность W
точки (их, vx) и такое число ε > 0, что для каждой
точки (u0, v0) £ W дифференциальное уравнение
=F(»-1)
d2u ^ I d\x
dt*
имеет единственное решение t~>u(t), определенное
при \t\ <ε и удовлетворяющее начальным условиям
u(0) = u0, *±φ) = ν0.
Это решение гладко зависит от начальных условий,
т. е. отображение
(и0. ν0, ί)~>«(0
из WX(—ε, ε) в R" определяется функциями класса С00
по всем 2п-\-\ переменным.
Доказательство. Введением новых переменных
ν1 = --τι- нашу систему η уравнений второго порядка
можно свести к системе 2п уравнений первого порядка
da
l = F<„,v).
Теперь утверждение 10.1 вытекает из [10, стр. 166]. (См.
также лемму 2.4.)

§ 10. Геодезические и полнота
67
Применяя эту теорему к дифференциальным
уравнениям геодезических, получаем следующее утверждение.
Лемма 10.2. Для каждой точки р0 риманова
многообразия Μ существуют такая окрестность U
точки р0 и такое число ε > 0, что для каждой
точка p£U и каждого касательного вектора v£TM0
длины меньше е существует единственная геодеза·
ческая
Т,:(—2. 2)->Λί,
удовлетворяющая условиям
Т„<0) = />. 4?<Р)-*.
Доказательство. Утверждение немедленно
следовало бы из теоремы ЮЛ, если бы мы заменили
интервал (—2, 2) произвольно малым интервалом. Точнее,
существуют окрестность U точки р0 и числа elt г% > 0,
такие, что для каждого p£U и каждого ν £ TMpt || tr||< εν
существует единственная геодезическая
Tv:(— 2е2, 2ε2)-^Λί,
удовлетворяющая требуемым начальным условиям.
Чтобы получить более точное утверждение 10.2,
необходимо только заметить, что дифференциальное уравнение
геодезических обладает следующим свойством
однородности. Пусть с — любая константа. Если
параметризованная кривая
является геодезической, то параметризованная кривая
также является геодезической.
Пусть теперь ε меньше е1е2. Тогда, если ||τ>||<ε и
\t\ <2, то
И«2||<«1 и 1М<2е2-
Поэтому мы можем определить γν(/) как γ fe2t\ Это
доказывает теорему 10.2.

68 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Удобно ввести следующее обозначение. Пусть
ν £ ТМд — касательный вектор, и пусть существует
геодезическая
т:[0, 1]->Л1,
удовлетворяющая условиям
ϊ(0) = <7. |γ(0) = *·
Точку γ (1)£Л4 обозначим ехр^(х>) и назовем
экспонентной1) касательного вектора v. Тогда геодезическая γ
может быть записана в виде
t(t) = expg(tv).
Согласно лемме 10.2, exp^(tf) определена для достаточно
малых \\v\\. Вообще говоря, ехр^(г;) не определена при
больших векторах и. Но если exp^(tf) определена, то
обязательно однозначно.
Определение. Многообразие Μ геодезически
полно, если exp^if) определена для всех точек q£M и
всех векторов v£TMq. Очевидно, это эквивалентно
следующему требованию.
Каждый отрезок геодезической γ0 : [а, Ь]->М
продолжается до бесконечной геодезической f:R->M.
Мы вернемся к изучению полноты, после того как
докажем некоторые локальные результаты.
Пусть Τ Μ — касательное пространство
многообразия Λί, состоящее из всех пар (ρ, ν), ρ£Μ, ν£ΤΜρ.
Мы придадим ТМ следующую структуру класса С°°: если
(и1, ..., ип) — координаты в открытом множестве UcM>
[) Происхождение этого обозначения следующее. Если Μ —
группа всех унитарных (η X л)-матриц, то касательное
пространство в единице ТМ. естественно отождествляется с
пространством коса-эрмитовых (η χ я)-матриц. Функция
ехру: Τ Μ j -> Λί,
определенная выше, выражается в этом случае
экспоненциальным степенным рядом
етфм(А) = 1 + А + ^А* + ^А*+ ....

§ 10. Геодезические и полнота
то каждый касательный вектор в q£U однозначно
представим в виде tldx-{- ... -\-tndn% где д, = —г . Функ-
ди1 \q
ции ult ..., ип, tl9 ..., tn образуют систему координат
в открытом множестве TUczTM.
Лемма 10.2 утверждает, что для каждого ρ £ Μ
отображение
(q, v)-+expg(v)
определено в окрестности V точки (р, 0)£ТМ. Кроме
того, это отображение дифференцируемо в V.
Рассмотрим теперь гладкую функцию F : V->M Χ Λί,
определенную формулой F(qt v) = {qt expg(v)). Якобиан У7
в точке (р, 0) невырожден. В самом деле, обозначая
индуцированные координаты на U X UczMX M через
(и\ «J, и\ αί)· имеем
F /JL\„JL · д
*[ди1) ди[
д<4*
F,
\ dt' ) ди{ '
Итак, матрица Якоби функции F в точке (р, 0) имеет вид
6 3-
потому невырождена.
Из теоремы о неявной функции следует, что F
отображает некоторую окрестность V точки (ρ, 0)£7*Λί диф-
феоморфно на некоторую окрестность точки (ρ, ρ)£ ΛίχΛί.
Мы можем считать, что первая окрестность V' состоит
из всех пар (qt v)t таких, что q принадлежит заданной
окрестности U' точки ρ и ||v||<e- Выберем меньшую
окрестность W точки ρ так, чтобы F(y')z*W X W. Мы
доказали следующее утверждение.
Лемма 10.3. Для каждой точки р£М
существуют окрестность W и число е > 0, такие, что
(1) каждые две точки из W соединяет одна и
только одна геодезическая многообразия Μ длины
меньше е;

70 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
(2) эта геодезическая гладко зависит от двух
рассматриваемых точек (т. е. если /~>ехр^ (tv)t
0<ί<;ΐ, —геодезическая, соединяющая qx и qv то
пара (qv ν)ζΤΜ гладко зависит от qv q^\
(3) для каждой точки q£W отображение ехр^
отображает открытый г-шар из TMQ диффеоморфно
на открытое множество UqzdW.
Замечание. Можно было бы выбрать окрестность W
так, чтобы геодезические, соединяющие любые две ее
точки, лежали целиком в W (см. [37]).
Изучим теперь соотношение между геодезическими и
длиной дуги.
Теорема 10.4. Для W и *, определенных в лемме
10.3, пусть
γ:[0. 1]-*Λ1
— геодезическая длины меньше е, соединяющая две
точки из W, а
ω:[0,1]->Λί
— любой другой кусочно-гладкий путь, соединяющий
те же точки. Тогда
о о
причем равенство достигается лишь при совпадении
точечных множеств ω([0, 1]) и γ([0, 1]).
Итак, γ — кратчайший путь, соединяющий концы γ.
Доказательство будет основано на двух леммах. Пусть
^ = γ(0) и Uq — множество, определенное в лемме 10.3.
Лемма 10.5. В Vq геодезические, выходящие из qt
являются ортогональными траекториями
гиперповерхностей
[txpg(v) :v£TMr \\v\\ =const}.
Доказательство. Пусть t->v(t) — любая кривая
в ТМд, такая, что \\v(t)\\ = 1. Мы должны показать, что

§ /0. Геодезические и полнота
71
соответствующие кривые в Uq
t~>expQ(rQv(t0)),
где 0 < г0 < ε, ортогональны радиальным геодезическим
r->txpq(rv(t0)).
Рассмотрим следующую параметризованную поверхность /:
/(г, t) = expq(rv(t)), 0<r<e.
Нужно доказать, что для всех (г, /)
\дг* dtl υ·
Но
dr\dr9 dt/~\dr dr ■ dt/^Xdr* ¥«/*
Первое выражение в правой части равно нулю, так как
кривые
г->/(Л О
геодезические. Второе выражение равно
/^ JLJ!L\-±A/df дЛ —η
\дг9 dt дг/~ 2 dt\dr ' дг/~υ*
так как -^ = || ν (011= 1· Следовательно, величина
(-/-» --—) не зависит от г. Но при г = 0 имеем
/(0. О = ехр,(0) = ?;
следовательно, -~- (0, 0 = 0- Поэтому (^, -£)
тождественно равно нулю. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь любую кусочно-гладкую кривую
«:[а, b\-+Uq — \q).
Каждая точка ω (О единственным образом записывается
в виде ехРЛг(0. ν(/)). где 0<г(0<« и 1И0Ц =
= 1. v(f)£TMq.
ь
Лемма 10.6 Длина \ \-£f\dt больше или равна
а
\гф) — г(а)\, причем равенство достигается только

72 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
если функция r(t) монотонна, а функция v(t)
постоянна.
Итак, кратчайшим путем, соединяющим две
концентрические сферы с центром qt служит радиальная
геодезическая.
Доказательство. Пусть /(г, t) = exp^ (rv (t)),
так что ω (/) = / (г (/), /). Тогда
dt~drr V>^ dt '
Так как два вектора справа ортогональны и |-~ 1=1·
это дает
1-£Η''<οι°+11[>κωι>.
df л
причем равенство имеет место лишь при —· = 0, т. е.
при ~т=:0. Итак,
ь ь
}\\Щм>{ \r'(t)\dt>\r(b)-r(a)\.
а а
где равенство достигается лишь тогда, когда r(t)
монотонна и v{t) постоянна. Доказательство закончено.
Теперь легко доказать теорему 10.4. Рассмотрим любой
кусочно-гладкий путь ω из q в точку
?' = expert;) £ Uq.
где 0 < г < е, ||#|| = 1. Тогда для любого δ > 0 путь ω
должен содержать отрезок, соединяющий сферу радиуса δ
со сферой радиуса г и лежащий между этими сферами.
Длина этого отрезка не меньше г — δ; устремляя δ к нулю,
видим, что длина ω должна быть не меньше г. Если ω ([0, 1J)
не совпадает с γ([0, 1J), то легко получить строгое
неравенства. Доказательство теоремы 10.4 закончено.
Теорема 10.4 имеет важное
Следствие 10.7. Пусть путь ω : [0, /]->Λί,
параметризованный длиной дуги, не длиннее никакого
другого пути из ω(0) в <о(/). Тогда ω —
геодезическая.

§ 10. Геодезические и полнота
73
Доказательство. Рассмотрим любой отрезок пути ω,
лежащий внутри открытого множества W, введенного выше,
и имеющий длину меньше ε. Этот отрезок является
геодезической, согласно теореме 10.4. Следовательно, весь путь
ω — геодезическая.
Определение. Геодезическая γ : [а, Ь]->М
называется минимальной, если она не длиннее никакого
кусочно-гладкого пути, соединяющего ее концы.
Теорема 10.4 утверждает, что каждый достаточно
малый отрезок геодезической минимален. С другой
стороны, длинная геодезическая может не быть
минимальной. Например, мы вскоре увидим, что дуга большого
круга на единичной сфере является геодезической. Если
такая дуга имеет длину больше π, она, конечно, не
минимальна.
Вообще говоря, минимальная геодезическая не
единственна. Например, противоположные точки единичной
сферы соединены бесконечным множеством минимальных
геодезических. Справедливо, однако, следующее
утверждение.
Определим расстояние р(р, q) между двумя точками
р> q£M как точную нижнюю грань длин кусочно-гладких
дуг, соединяющих эти точки. Очевидно, что при этом Μ
становится метрическим пространством. Из теоремы 10.4
легко следует, что эта метрика совместна с обычной
топологией на М.
Следствие 10.8. Для каждого компактного
множества КаМ найдется 8 > 0, такое, что любые две
точки из К, расстояние между которыми меньше ?.
соединяются единственной геодезической длины
меньше 8. Эта геодезическая минимальна и гладко
зависит от своих концов.
Доказательство. Покроем К открытыми
множествами Wa% как в лемме 10.3, и выберем 8 столь
малым, чтобы любые две точки, удаленные друг от друга
меньше чем на 8, лежали в общем множестве Wa.
Следствие 10.8 доказано.
Напомним, что многообразие Μ геодезически полно,
если каждый отрезок геодезической может быть
продолжен неограниченно.

74 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Теорема 10.9 (Хопф и Ринов1)). Если
многообразие Μ геодезически полно, то любые две его точки
можно соединить минимальной геодезической.
Доказательство. Рассмотрим точки pt q£M
с расстоянием г > 0. Выберем окрестность Upt как
в лемме 10.3. Обозначим через SczUp сферу радиуса
δ < ε вокруг р. Так как S компактна, существует точка
р0 = ехРр(И. 1М1 = 1·
на 5, для которой расстояние до q достигает минимума.
Мы покажем, что
expp(rt0 = tf.
Отсюда вытекает, что отрезок геодезической ί->γ(ί) =
= expp(tv)t 0 < t < г, действительно минимален между
ρ и q.
Для доказательства мы убедимся, что точка,
движущаяся вдоль геодезической γ, должна подходить к q все ближе
и ближе. А именно, мы покажем, что при любом /£[δ,Γ]
Ρ (7(0. q) = r-t. (1,)
Это тождество при t = r доказывает теорему 10.9.
Докажем сначала равенство (1δ). Так как каждый путь
из ρ в q должен пересекать S, имеем
р(р, g) = min(p(p, s) + p(s, 9)) = δ + ρ(ρ0, q).
Следовательно, p(p0, q) = r—δ. Так как /?0 = γ(δ), это
доказывает (1Ь).
Пусть ί0 £ [δ, г] — верхняя грань чисел /, для которых
справедливо тождество (1,). Тогда по непрерывности
справедливо и равенство (Ц). Если t0<r, то мы придем
к противоречию. Пусть S' — маленькая сфера радиуса δ7
вокруг точки γ(ί0), и пусть p'0£S' — точка на S't
наименее удаленная от q (см. рис. 10). Тогда
ρ(ϊ('ο).^) = ηιίη {ρ(γ(ί0). s)-bp(s, ?)}=δ' + ρ(^, q\
Следовательно,
Ρ (Ρ'ο· 4) = (r-t0)-b'. (2)
') См. [29, 42].

§ 10. Геодезические и полнота
7S
Мы утверждаем, что ρ'0 есть ΐί^ο + δ')· Действительно,
неравенство треугольника и равенство (2) дают:
р(/>. р'о)>?(р- ^)—ρ(ρό· ?)='ο+δ'·
Но путь длины в точности ί0 + δ' из ρ в p'Q получится,
если идти по γ от ρ до γ(/0) и затем по минимальной
Рис. 10.
геодезической из γ ΛΛ в p'Q. Так как этот
кусочно-геодезический путь имеет наименьшую длину, он, согласно
10.7, представляет собой целую геодезическую, а поэтому
совпадает с γ.
Итак, γ(/0-|~δ/) = /?^. Равенство (2) принимает вид
ρ (τ (Ό+*'). я) = г - (t0+δ')· (U+r)
Противоречие с определением /0 завершает доказательство.
Доказанная теорема влечет за собой
Следствие 10.10. Если многообразие Μ
геодезически полно, то каждое ограниченное
подмножество в Μ имеет компактное замыкание.
Следовательно, Μ полно как метрическое пространство
(/п. е. каждая фундаментальная последовательность
сходится).
Доказательство. Если множество XczM имеет
диаметр dt то для любой точки ρζ_Χ отображение
ехрр : Τ Μ р —► Μ переводит шар радиуса d вТМр в ком-

76 Гл. //. Краткий курс римановой геометрии
пактное подмножество в Ж, которое, согласно теореме 10.9,
содержит X. Следовательно, замыкание X компактно.
Обратно, если Μ полно как метрическое пространство,
то нетрудно доказать, используя лемму 10.3, что Μ
геодезически полно. Подробности читатель найдет в статье
Хопфа и Ринова [42). Далее мы не будем различать
геодезическую полноту и метрическую полноту, а будем
говорить просто о полных рамановых многообразиях.
Обычные примеры геодезических. В я-мер-
ном евклидовом пространстве R" с обычными
координатами xx,...t xn и обычной римановой метрикой
dxx ® dxx -f- ... + dxn <g> dxn мы имеем Г^ = 0 и
уравнение геодезической γ, определенной соответствием t ->
~Κ*ι (0· · · ■» хп (0)» имеет вид
Решениями являются прямые линии. Это можно было бы
увидеть и следующим образом: легко показать, что
формула длины дуги
совпадает с обычным определением длины дуги как
предела периметров вписанных многоугольников; из этого
определения ясно, что прямые линии имеют минимальную
длину и, следовательно, являются геодезическими.
Геодезическими на сфере Sn служат большие круги,
т. е. пересечения Sn с плоскостями Е2, проходящими
через центр Sn, и только они.
Доказательство. Отражение в плоскости Е2 есть
изометрия I: Sn->Sn с множеством неподвижных точек
С = Sn Π Ε2. Пусть хну — две точки из С, соединенные
единственной минимальной геодезической С. Так как
/ — изометрия, кривая /(С) есть геодезическая той же
длины, что и С, соединяющая /(*) = * с 7(у)==у.
Следовательно, С/ = /(С/); отсюда вытекает, что С7 с:С.
Наконец, так как через каждую точку Sn в любом
направлении проходит большой круг, других
геодезических нет.

§ 10. Геодезические и полнота
77
Противоположные точки сферы соединены континуумом
геодезических минимальной длины. Для любой другой
пары точек имеется единственная геодезическая
минимальной длины, но бесконечное семейство не минимальных
геодезических, зависящих от того, в какую сторону
геодезическая идет и сколько оборотов делает вокруг сферы.
Из тех же соображений следует, что каждый меридиан
поверхности вращения является геодезической.
Геодезическими на поверхности прямого кругового
цилиндра Ζ служат образующие, круговые сечения,
перпендикулярные образующим, а также винтовые линии на Ζ·
Доказательство. Разрежем Ζ вдоль одной из
образующих L. Развертывая Ζ на R2, получаем изометрию
Τ
1 к
V
Μ
[/[
Г"4
1 j
j
11 Ζ — L->R2. Геодезическими на Ζ являются образы
прямых линий в R2 при обратном отображении 7"1. Любые
две точки на Ζ соединены бесконечным числом
геодезических.

Глава 111
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИМЕНЕНИИ
К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
§11. Пространство путей гладкого многообразия
Пусть Μ — гладкое многообразие и р, q—две (не
обязательно различные) точки в М. Кусочно-гладким
путем из ρ в q мы будем называть отображение
ω : [О, 1]->Л4, такое, что
1) существует подразделение 0 = t0 < tx < ... < tk =
= 1 отрезка [0, 1], для которого каждое отображение
ωΙΙ'/-ι» 'Л гладкое класса С°°;
2) а>(0) = /> и о>(1) = ?·
Множество всех кусочно-гладких путей из ρ в q на Μ
мы будем обозначать через 2(Λί; д q), или, короче,
2 (Ж), или 2.
Далее (в § 16) мы снабдим 2 структурой
топологического пространства, но пока это не нужно. Мы будем
представлять себе 2 как нечто вроде „бесконечномерного
многообразия". Чтобы провести аналогию, начнем со
следующего определения.
Касательным пространством к Ω в точке ω мы
назовем векторное пространство, состоящее из всех
кусочно-гладких векторных полей W вдоль пути ω, для
которых W(0) = 0 и №(1) = 0. Это пространство будет
обозначаться через 72ω.
Пусть F — действительная функция на 2. Естественно
возникает вопрос, что понимать под индуцированным
отображением касательных пространств
/=·+:Γ2ω->7^(α)).
Если F—обычная гладкая функция на гладком
многообразии М, то можно определить /% : ТМр ~> 7R/? до
следующим образом.

§11. Пространство путей гладкого многообразия 79
Пусть А' £ ТМр. Выберем в Μ такой гладкий путь
а -> α (а) (определенный при — ε < а < е), что
Тогда F^(X) равно значению v*W> ^
умножении 1ц-о
ному на базисный вектор \-гг) 6^R^(p)·
V "г /т* (/?)
Чтобы провести аналогичное построение для F : 2->R.
потребуется следующее понятие.
Определение. Вариация пуши ω (оставляющая
концы неподвижными) есть функция
а:(—е, ε)->2,
определенная при некотором ε > 0 и такая, что
1) ί(0) = ω;
2) существует подразделение 0 = t0 < tx < ... < /Л = 1
отрезка [0, 1], для которого отображение
α: (—ε, ε) χ [0, 1]->Λί,
определенное формулой a (ut t) = a(u)(t), на каждой
полосе (—ε, e)X[tl_v fj, /=1, ..., Л, принадлежит
классу С°°. _
Заметим, что так как каждый путь а (и) принадлежит
2 = 2(М; р% q), то
3) α (я, 0) = /?, α (и, 1) = ? при всех и£(—ε, ε).
Под вариацией в дальнейшем мы будем понимать
либо а, либо а. Если в приведенном выше определении
интервал (—ε, ε) заменяется окрестностью U точки 0
в Цл, то α (или а) называется п-параметрияеской
вариацией ω.
Теперь α можно рассматривать как „гладкий путь* в 2.
rift
Его „вектором скорости" -j- (0)£Γ2ω по определению
является векторное поле W вдоль ω:

80
Гл. III. Вариационное исчисление
Очевидно, W £Γ2ω. Векторное поле W называется также
векторным полем вариации, соответствующим
вариации а.
Заметим, что для любого W £Γ2ω существует
вариация а:(—е, ε)->2, удовлетворяющая условиям α(0)=ω,
-— (0) = №. Действительно, можно положить
аи
^{u){t) = txv„,t)(uWi\
Пусть F — действительная функция на 2. По аналогии
с определением, данным выше, попытаемся определить
F :Γ2ω->ΓΙ^
И,
следующим образом. Для W £Γ2ω построим вариацию
а:(—е, е)->2, такую, что
ϊ(0) = ». -^(0) = ^.
и положим F*(W) равным произведению — du \
на касательный вектор (-jti · Конечно, без дополни-
\dt/F(m)
тельных предположений о функции F нельзя ручаться,
что эта производная существует и что она не зависит
от выбора а. Мы не станем исследовать условия, которым
должна удовлетворять функция F, чтобы отображение Fm
обладало этими свойствами. Мы указали, как можно
определить F^ только для того, чтобы мотивировать
следующее
Определение. Путь ω называется критическим
путем для функции F-.Q-^H тогда и только тогда,
dF(a(u)) I Л „ -
когда \» \ есть нуль при любой вариации α
аи Ια «о
пути ω.
Пример. Если F достигает минимума на пути ω0 и
dF(a~(u))
все производные н определены, то, очевидно,
ω0 — критический путь.

§ 12. Функция действия
81
§ 12. Функция действия
Предположим теперь, что Μ — риманово многообразие.
Длину вектора ν£ΤΜρ будем обозначать через \\v\\ =
= (t>. ν). Для ω £2 определим действие пути1) ω от α
до * (где 0 < а < Ь <; 1) как
α
Мы будем писать £ вместо Е\.
Можно сравнить действие с длиной дуги от а до b
*·>-/ΐ£|*
а
следующим образом. Согласно неравенству Шварца
примененному к /(/·)= 1 и g(t) —1—£- , имеем
(Ζ*)2 <(*-*)*£
где равенство достигается только при постоянной
функции gt т. е. тогда и только тогда, когда параметр /
пропорционален длине дуги.
Предположим теперь, что существует минимальная
геодезическая γ, соединяющая ;? = ω(0) с 0 = ω(1). Тогда
f(T) = L»(T)<L*(«)<£(·).
Здесь равенство Ζ,2 (γ) = Ζ,2 (ω) возможно, только если
ω — также минимальная геодезическая, быть может иначе
параметризованная (ср. со следствием 10.7). С другой
стороны, равенство Ζ2(ω) = £(ω) возможно, только если
параметр пропорционален длине дуги ω. Итак, Ε (γ) < Ζ? (ω),
1) Автор выразительно, но неправильно называет функцию Ε
энергией. — Прим. перее.

82
Гл. ///. Вариационное исчисление
кроме случая, когда ω — тоже минимальная геодезическая.
Иными словами, доказана
Лемма 12.1 *). Пусть М—полное риманово
многообразие* и пусть расстояние между точками
ρt q£M равно d. Тогда функция действия
£:2(Ж; p. ?)->R
достигает минимума d2 β точности на множестве
минимальных геодезических, соединяющих ρ с q.
Посмотрим, какие пути ω £2 являются критическими
для функции действия Е.
Пусть <х:(—ε, ε)->2—вариация ω и Wt = -r—(Ot t) —
соответствующее векторное поле вариации. Далее, пусть
V/=-^ вектор скорости ω,
. D άω
At—--7r- — вектор ускорения ω,
ktV — Vt+ — Vt- — разрыв вектора скорости
в точке t, где 0 < / < 1.
Конечно, Δ/ν = 0 для всех t, кроме конечного числа
точек разрыва.
Теорема 12.2 (формула первой вариации).
Производная -тг ? равна
δ аи |β=0
1
-2<Wr btV)-f{Wr At)dt.
t 0
Доказательство. Согласно лемме 8.3, имеем
j3/jk да\ _ 0 / D да да\
ди \dt ' dt/~" Z\du dt ' dtl·
Следовательно,
l) Лемма 12.1 представляет собой один из видов „принципа
наименьшего действия" классической механики. — Прим. перев.

§ 12. Функция действия
83
По лемме 8.7 в последнюю формулу вместо -j—-gjr
D да
можно подставить -Af-gf-
Выберем 0 = /0 < tx < ... < tk = 1 так, чтобы
вариация α была дифференцируемой в каждой полосе
(—е, е)Х [/,_!, tt]. Тогда на отрезке [tim_v t(] можно
„интегрировать по частям" следующим образом. Из
тождества
dt
J да да\ /JD_J0_ да\ . / da D да\
\ди ' dt/~\Wdu' dt/^~\Wf WW/
вытекает, что
D да да
'/
Ί-χ
f (-жж> w)dt==
_/да_ da\\t==tl _ f'/*L D да\ И*
~~ \ди · dt/\ , J \ди9 dtWfat-
Складывая соответствующие формулы для / = 1 k
и используя равенство -^- = 0 при * = 0, 1, получаем
1 dE(a(u)) vV* Л da\ Г/*1 D ^м
Τ du ~ Ju\du ' atiW/~J \ди · WWlau
ы\ о
Полагая и = 0, находим искомую формулу
t о
что и требовалось доказать.
Интуитивно ясно, что первый член выражения для
—2—(0) показывает, что изменение пути ω в направлении
уменьшения „излома" уменьшает действие (ср. рис. 11).
Второй член показывает, что вариация пути в напра-
D (d(u\ „
влении вектора ускорения -тт f -зг) стремится уменьшить с.

84 Гл. III. Вариационное исчисление
Напомним, что путь ωζΩ называется геодезической
тогда и только тогда, когда он принадлежит классу С°°
на всем интервале [0, 1] и вектор ускорения "зг(-^-)
тождественно равен нулю вдоль ω.
wtttf-tKO.ttf
ccfe.ti)
\
Путьос(е) ι
меньшим
действием
\
Рис 11.
Следствие 12.3. Путь ω есть критическая
точка функции Ε тогда и только тогда, когда он
является геодезической.
Доказательство. Ясно, что геодезическая является
критической точкой. Пусть ω — критическая точка.
Существует вариация ω, такая, что W(t)=tf(f)A(t), где f(f)
положительна и только в точках tt обращается в нуль.
Тогда
ι
о
Это выражение равно нулю тогда и только тогда, когда
Л(/) = 0 при всех t. Итак, каждый отрезок ω|[ίί§ fi+1]
является геодезической.
Выберем теперь вариацию так, что W (ft) = Δ^ΙΛ Тогда
1 ИР
■H--J-(0) = — 2(Δ/^» ^*У)т*так как 9Т0 нуль· все ^*У
равны нулю и ω принадлежит классу С1 даже в точках tr

$ 13. Гессиан функции действия на критическом пути 85
Теперь из теоремы единственности для дифференциальных
уравнений вытекает, что ω всюду принадлежит классу С00
и, следовательно, является геодезической.
§ 13. Гессиан функции действия на критическом пути
Продолжая аналогию, развитую в предыдущем
параграфе, мы хотим теперь определить билинейный
функционал
где γ — критическая точка функции Е, т. е.
геодезическая. Этот билинейный функционал будет называться
гессианом функции Ε в γ.
Для действительной функции / на многообразии Μ
гессиан в критической точке ρ
f„:TMpXTMp-*K
можно определить так. По Xv X2£TMp построим
гладкое отображение (ии а2) ->а(я,, а2), определенное
в окрестности точки (0, 0) в R2 со значениями из М%
так, что
а(0. 0) = р. -^(0,0) = *,. -^-(0. 0) = *2.
Тогда
Это подсказывает следующее определение £м. По
заданным поляи Wv W2£TQ^ строим двупараметрическую
вариацию
α:ί/χ[0. \\-*Μ,
где U — окрестность точки (0, 0) в R2, так, что
а(0. 0./) = 7(0. -^-(0,0.0 = ^,(0.
-*L(0. 0.0=^2(0

86
Гл. III. Вариационное исчисление
(ср. § 11). Тогда гессиан E„(WV W^ есть, по
определению, вторая частная производная
д*Е$(ии и2)) I
дих ди% |(0f 0) f
где a(uv u2)£Q обозначает путь &(uv и2)(t) = α(uv и2, t).
Эта вторая производная будет обозначаться короче через
тте-*0·0)·
Следующая теорема нужна для доказательства
корректности приведенного определения Е„.
Теорема 13.1 (формула второй вариации). Пусть
а : U —> Q — двупараметрическая вариация
геодезической γ, которой соответствуют векторные поля
вариации
1 д2Е
Тогда вторая производная γ ди ди (0, 0) функции
действия равна
- Σ fr «>· л, ψ) - J(** φ-+* ν. «ό ν) *
t о
где 1/ = -^т- — векторное поле скорости и
Δ' Л — Л ^ ' Л V '
— скачок производной ,.' в одной из конечного
числа ее точек разрыва в открытом единичном
интервале.
Доказательство. В соответствии с теоремой 12.2,
имеем
ι
1 дЕ _ V/ да л ^Л Г/** д дЛ/f/
ϊ^ —~2Л"Эй7· ' л/ J\du2' dt dtlaib

§ 13. Гессиан функции действия на критическом пути 87
Следовательно,
1 д*Е _ χ} / D да . да\Y/jk_ jD_A да\
2 дихди2~ £*\дих du2'**dt/ Zi\du29 ди^ЧйГ
t t
1 1
_ f / D да ULj*L\,//_ С/ да D D ^Хл
J \Λ*, du2 · dt dt/a J \du2 ' ~du7~dF~dt/atu
о о
Вычислим это выражение в точке (uv и2) = (0, 0). Так
как γ = α(0, 0) — целая геодезическая, имеем
А да Л D да
так что первый и третий члены равны нулю.
Преобразуя второй член, находим
1^(0·0)==-Σ<^·Δ^·^)-
1
-l(w*■£*&)*· (13·2)
о
«ι * Д. О
Чтобы поменять местами операторы -^— и -л-,
используем формулу кривизны
^-Ti"-»(i.Ts-)"-ww·
_ D ,r D да D wr
Вместе с тождеством -^—У=-зг-з— = ^зг^1 это дает
σ«! от σ«! от l
^wv=-£mL+R<y>wi>v' <13·3>
Подстановка этого выражения в формулу (13.2) завершает
доказательство теоремы 13.1.
Следствие 13.4. Выражение Ε (Wv W2) =
д2Е
(0, 0) есть корректно определенная били-
дих dut
нейная симметричная функция от Wx и W2-
Доказательство. Формула второй вариации пока-
д2Е
зывает, что д д (0, 0) зависит лишь от векторных

88
Гл. III. Вариационное исчисление
полей вариации Wx и W2> так что определение E^(WX, UP2)
корректно. Эта формула показывает также, что
функция Е„ билинейна. Свойство симметричности
вовсе не очевидно, если исходить из формулы второй
вариации, но оно немедленно следует из симметричности
д2Е д2Е
ди{ ди2 ди2 дих
Замечание 13.5. Диагональные члены Е„(W, W)
квадратичной формы, соответствующей E^t описываются
в терминах однопараметрической вариации γ.
Действительно,
где α:(—ε, е)->2— вариация γ, которой соответствует
векторное поле вариации -т~(0), Равное ^· Для
доказательства этого тождества нужно лишь ввести двупара-
метрическую вариацию
f(ux, и2) = <х.(и1-{-и2)
и заметить, что
J^_d*_ d2EoJ _ d2Eoa
dui Ни ' дих ди2 du2
В качестве применения этого замечания докажем
следующее утверждение.
Лемма 13.6. Если -{—минимальная геодезическая,
соединяющая ρ с q, то квадратичная форма Е^ поло*
жителъно полуопределена. Следовательно, индекс λ
формы Е„ равен нулю.
Доказательство. Из неравенства Е(л(и))^
^. £ί (γ) = Ζ? (α (0)) вытекает, что производная Тг·
вычисленная при и = 0, неотрицательна. Следовательно,
Е„(ЯРШ Г)>0 для всех W.

§ 14. Якобиевы поля
§ 14. Якобиевы поля. Нулевое пространство Е„
Векторное поле У вдоль геодезической γ называется
якобиевы я полем, если оно удовлетворяет
дифференциальному уравнению Якоби
где V = -ту-. Это линейное дифференциальное уравнение
второго порядка. [Его можно привести к более обычному
виду, выбрав вдоль γ ортонормальные параллельные
векторные поля Рх, .... Рп. При J(t) = 2 /' (0 ^ (О
уравнение принимает вид
d}fl
dt2 ^
У-1
2а}(/)/у(/) = 0. /=1 л,
где a'= (/?(V, /^)Vt Ρ,).] Итак, уравнение Якоби имеет 2п
линейно независимых решений вдоль геодезической γ.
Решения имеют гладкость класса С°°. Якобиево поле j
полностью определяется начальными условиями
^(0). ^(о>е™т(0).
Пусть /? = γ(α) и q = ^(b)— две точки
геодезической γ и аФ Ь.
Определение. Точки ρ и q называются
сопряженными1) вдоль γ, если существует ненулевое якобиево
поле J вдоль γ, обращающееся в нуль при / = а и / = £.
Кратностью сопряженных точек ρ и q называется
размерность векторного пространства всех таких якобиевых полей.
Пусть теперь γ — геодезическая из 2 = Ω (Λί; ρ, q).
Напомним, что нулевое пространство гессиана
есть векторное пространство, состоящее из WX^TQ^
таких, что E„(WX, W2) = 0 при всех W2. Степень выро-
1) Если γ имеет самопересечения, определение становится
двусмысленным. Следовало бы говорить, что сопряжены значения
параметра а и Ь.

90 Гл. Ш. Вариационное исчисление
ждения ν формы Е„ равна размерности этого нулевого
пространства. Форма Е^ вырождена, если ν > 0.
Теорема 14.1. Векторное поле WX£TQ^
принадлежит нулевому пространству Е„ тогда и только
тогда, когда Wx есть якобиево поле. Гессиан Е„
вырожден тогда и только тогда, когда концы ρ и q сопря-
оюены вдоль геодезической γ. Степень вырождения Е„
равна кратности ρ и q как сопряженных точек.
Доказательство (ср. с доказательством 12.3).
Если J — якобиево поле, обращающееся в нуль в ρ и в q%
то Л очевидно, принадлежит 72γ. Формула второй
вариации (теорема 13.1) устанавливает, что
ι
-4*·.(-/. ^2)=2<^2('). o)+f{w2. о>л = о.
/ о
Следовательно, J принадлежит нулевому пространству.
Обратно, предположим, что Wx принадлежит нулевому
пространству гессиана Е„. Выберем подразделение 0 =
== tQ < tx < ... < tk = 1 отрезка [0, 1] так, чтобы
^il Ui-i» h\ было гладким при каждом /. Пусть / : [0, 1]->
->[0, 1] — гладкая функция, равная нулю при значениях
параметра t0, tv .... tk и положительная в остальных
точках, и пусть
^(0=/(θ(^-+«(ν. w{)v)t.
Тогда
ι
= Σο+//(/)[-^-Η-/?(^. wjvfdi.
о
Из того» что это выражение равно нулю, следует, что
W\\[ti-xiJi] при каждом / есть якобиево поле.
Пусть теперь W'2£TQ4 — такое поле, что tt^2(^) =
DW
~^Ί([Γ при /==1, 2 Л —1. Тогда
-Ко*. ^-ΣΚ-^Γ-1-/0*-0·

§ 14. Якобиевы поля
91
Следовательно, —— не имеет скачков. Но решение Ψλ
уравнения Якоби полностью определяется векторами Wx (/;)
и -gptfi)· Поэтому к якобиевых полей Wx\[tt^ t^
I = 1, .,., k% образуют вместе якобиево поле Wx класса С00
на всем единичном интервале. Доказательство теоремы 14.1
закончено.
Из доказанной теоремы вытекает, что степень
вырождения ν гессиана Е„ всегда конечна, ибо существует
лишь конечное число линейно независимых якобиевых
полей вдоль γ.
Замечание 14.2. В действительности 0 < ν < л. Так
как пространство якобиевых полей, обращающихся в нуль
при f = 0, имеет размерность в точности я, очевидно,
что ν < п. Мы построим пример якобиева поля,
обращающегося в нуль при / = 0, но не при /=1. Отсюда будет
следовать, что ν < п. Пусть Jt = tVv где V = -^ —
векторное поле скорости. Тогда
dt l v^1 dt v
(DV \ D*J
так как -^- = 01; следовательно, -^- = 0. Далее,
R (V, J) V = tR (V, V) V = 0 ввиду кососимметричности R
по первым двум переменным. Итак, J удовлетворяет
уравнению Якоби. Так как У0 = 0, /j^O, доказательство
закончено.
Пример 1. Предположим, что Μ „плоско* в том
смысле, что тензор кривизны тождественно обращается
в нуль. Тогда уравнение Якоби принимает вид-^г = 0.
Полагая /(/) = 2 /' (0^(0· гДе ?t параллельны, нахо-
d2fl
дим -^ρ· = 0· Очевидно, якобиево поле вдоль γ может
иметь не более одного нуля. Поэтому сопряженных
точек нет и гессиан Е„ невырожден.
Пример 2. Пусть ρ и q — противоположные
точки единичной сферы Sn и γ — дуга большого круга,

92
Гл. III. Вариационное исчисление
соединяющая pug. Мы увидим, что ρ и q —
сопряженные точки кратности η— 1. Следовательно, в этом
примере степень вырождения ν формы Е„ принимает
наибольшее возможное значение. Доказательство основано на
следующих рассуждениях.
Пусть α — однопараметрическая вариация γ, не
обязательно оставляющая концы неподвижными и такая, что
каждая вариация α (и) является геодезической. Мы назовем
геодезической вариацией
*:(—·. е)Х[0, 1]->Л1
отображение класса С00, такое, что α (0, ί) = γ(/) и
каждая кривая α (и) (определенная формулой α (и) (ί) — α (и, t)]
является геодезической.
Лемма 14.3. Если α— геодезическая вариация
riff
пути γ» то векторное поле вариации №(*) = —(О, t)
является якобиевым полем вдоль γ.
Доказательство. Если а—геодезическая вариация γ,
τ0 "7&Ж тожДественно обращается в нуль. Поэтому
" ~~ du dt dt~ dt да dt~+~K \dt * du) dt —
__ D2 da /dct^ da\
~Έ*~Ίϊ~τ~'Κ [dt ' du)
da
dt
[cp. (13.3)]. Следовательно, векторное поле вариации j-
якобиево.
Таким образом, один из способов получить якобиево
поле — передвигать геодезические.
Вернемся к примеру противоположных точек на
единичной /i-мерной сфере. Вращения сферы, оставляющие ρ

§ 14. Якобиевы поля
93
и q неподвижными, определяют векторные поля вариаций»
которые являются якобиевыми полями вдоль γ и
обращаются в нуль в точках ряд. Вращая по η — 1
независимым направлениям, мы получим η — 1 линейно
независимых якобиевых полей. Итак, ρ и q — сопряженные точки
вдоль γ кратности η—1.
Лемма 14.4. Каждое якобиево поле вдоль
геодезической γ: [Ο, 1]->Λ1 можно получать геодезической
вариацией γ.
Доказательство. Выберем окрестность U точки
γ (0) так, чтобы любые две точки в U соединяла
единственная минимальная геодезическая, дифференцируемо
зависящая от концов. Предположим, что γ (06^ ПРИ
0 < t <^ δ. Построим сначала якобиево поле W вдоль
γ |(0, δ] с произвольными заданными значениями при/ = 0
и при ί = δ. Выберем кривую а:(—е, ε)->1/, такую, что
α(0) = γ(0) и -т-(0) — любой заданный вектор из ГЛ1т(о).
Аналогично выберем Ь: (— е, ε) -> U таким, что Ь (0) = γ (δ)
и -з-(0) произвольно. Построим теперь вариацию
α:(—ε. ε) χ [0, δ]->Λί,
определив α (и): [0, δ] -> Μ как единственную минимальную
геодезическую, соединяющую а (и) с Ь(и). Тогда формула
t-+j-(0, /) даст якобиево поле с данными граничными
условиями.

94
Гл. IIL Вариационное исчисление
Любое якобиево поле вдоль γ | [0, δ] можно получить
таким способом: если 0 (γ) — векторное пространство всех
якобиевых полей W вдоль γ, то формула W —>(W(0), W(b))
определяет линейное отображение
Мы показали, что / — отображение на. Так как оба
векторных пространства имеют одну и ту же
размерность 2п, то / — изоморфизм, т. е. якобиево поле
определяется своими значениями в двух точках γ (0), γ (δ),
(Вообще, якобиево поле определяется своими значениями
в двух любых несопряженных точках.) Итак, наше
построение дает все якобиевы поля вдоль γ | [0, δ].
Ограничение геодезической α (и) на интервал [0, δ] не
существенно. Если и достаточно мало, то ввиду
компактности отрезка [0, 1] α (и) продолжается до геодезической,
определенной на всем единичном интервале [0, 1].
Получаем геодезическую вариацию
α':(— ε', ε')Χ[0, 1]-*Λί
с любым заданным якобиевым полем в качестве
векторного поля вариации.
Замечание 14.5. Эти рассуждения показывают, что
в любой такой окрестности U якобиево поле вдоль отрезка
геодезической, лежащего в t/, однозначно определено
своими значениями в концах этого отрезка.
Замечание 14.6. Доказательство показывает также,
что существует окрестность нуля (—δ, δ), такая, что γ (/)
не сопряжено с γ(0) вдоль γ, если ί£(—δ, δ). Мы
увидим в § 15, что множество точек, сопряженных с γ(0)
вдоль всей геодезической γ, не имеет предельных точек.
§ 15. Теорема об индексе
Индекс λ гессиана
определяется как максимальная размерность подпространств
TQV на которых форма Ет отрицательно определена.
Мы докажем следующее утверждение.

§ /5. Теорема об индексе
95
Теорема 15.1 (Морс). Индекс λ формы Е„ равен
числу точек γ(ί)> где 0</< 1, таких, что γ(ί)
сопряжена с γ(0) вдоль γ, если считать каждую
сопряженную точку столько раз, какова ее кратность.
Индекс λ всегда конечен 1).
Отсюда немедленно вытекает
Следствие 15.2. Отрезок геодезической γ: [О, 1]~>Л1
может содержать лишь конечное число точек,
сопряженных с γ(0) вдоль γ.
Для доказательства теоремы 15.1 мы сначала оценим λ,
разложив векторное пространство Г27 на два
ортогональных подпространства, на одном из которых форма Et0
положительно определена.
Каждая точка γ (t) принадлежит некоторому открытому
множеству £Л в котором любые две точки соединяет
единственная минимальная геодезическая, гладко зависящая от
концов (см. § 10). Выберем подразделение 0 = t0 < /j < ...
... < tk = 1 единичного интервала столь мелким, чтобы
каждый отрезок *[\[ti_v tt\ лежал в таком открытом
множестве U; тогда каждый отрезок γ | [ί^ν tt\ минимален.
Пусть TQ1(t0, tx, t2 /Л)еГ07— векторное
пространство, состоящее из всех векторных полей W вдоль γ,
таких, что
1) W|l^-i» fj — якобиево поле вдоль γ | [*/_!, tt\ при
любом /;
2) W обращается в нуль в концевых точках ί = 0,
ί=1.
Итак, ΓΩ7 (t0, tv ..., tk) — конечномерное векторное
пространство, состоящее из ломаных якобиевых полей вдоль γ.
Пусть T'czTQ^— векторное пространство, состоящее
из всех векторных полей W £ TQV для которых UP(/0) = 0,
^(/0 = 0, №(ί2) = 0 W(tk) = 0.
Лемма 15.3. Векторное пространство 72т
разлагается в прямую сумму Г27 (/0, tv ..., tk)®T'.
Эти два подпространства взаимно перпендикулярны
относительно скалярного произведения Е^. Кроме
того, ограничение Е^ на V положительно определено.
') Обобщение этого результата дано в работе [1].

96
Гл. III. Вариационное исчисление
Доказательство. Пусть дано векторное поле
UP £7*2-. Обозначим через Wx то единственное „ломаное
якобиево поле" из Т27 (f0, ..., tk), для которого Wl (tt) =
= W(fj) при ί = 0, 1, ..., k. Из замечания 14.5 следует,
что Wv существует и единственно. Очевидно, W — Wx
принадлежит Т'. Итак, два подпространства Г27 (tQt tx tk)
и V порождают ΓΩΤ и имеют пересечением лишь
нулевое векторное поле.
Если Wx принадлежит Г2т(/0, tv ..., tk) и W2
принадлежит T't то формула второй вариации (13.1)
принимает вид
ι
i Е„ (Wv WJ = - 2 (Wt (t), Δ, ·τ£)-J <Г,. 0> Λ=0.
/ О
Итак, наши подпространства взаимно ортогональны
относительно £,#.
При любом W £ Γ2γ гессиан Ζ;,,, (ИР, ЯР) можно интер-
претировать как вторую производную —-r-j- (0)· где
а: (—ε, ε)->2— любая вариация пути γ с векторным
полем вариации -^(0), равным W (ср. 13.5). Если W
принадлежит 7*, то мы можем считать, что α оставляет точки
ϊ ('ο)» Τ (*ι) Τ (**) неподвижными. Иными словами, мы
можем предполагать, что α (и) (tt) = γ (tt) при i = 0, 1 k.
Докажем, что E„(W, НГ)>0 при №£Г. Каждая
вариация α (а) ζ 2 представляет собой кусочно-гладкий
путь из γ (0) в γ (tx) в γ (1). Но каждый путь γ | ltt_v tt\
минимален, и поэтому имеет меньшее действие, чем любой
другой путь с теми же концами. Это доказывает
неравенство
Я(а(«))>£(Т) = £(а(0)).
Следовательно, вторая производная, вычисленная при и = 0,
неотрицательна.
Докажем, что Е„ (W, W) > 0 при W £ Г, W Φ 0. Пред-
положим, что E„(W, W) равно нулю. Тогда W лежало
бы в нулевом пространстве гессиана Е„. В самом
деле, мы уже видели, что Е„ (Wv W) — Q при любом

§ 15. Теорема об индексе
97
Wx £ 7Ώγ (t0, tx tk). При любом W2 £ Τ' из неравенства
0<E„(W + cW2. W+cW2) =
= 2cE„(W2,W) + c*E„(W2,Wz),
справедливого при всех с, вытекает, что E„(W2> UP) = 0.
Итак, W принадлежит этому нулевому пространству. Но
это нулевое пространство состоит из якобиевых полей,
Так как Т' не содержит якобиевых полей, отличных от
нулевого, получаем, что № = 0.
Итак, квадратичная форма Е^ положительно
определена на Т'. Доказательство леммы 15.3 закончено.
Отсюда непосредственно следует
Лемма 15.4. Индекс (или степень вырождения)
гессиана Е^ равен индексу (или степени вырождения)
ограничения Е^ на пространство Τ&Ί(ί0. tx tk)
ломаных якобиевых полей. В частности (так как
TQ^(tQ, tv ..., tk) — конечномерное векторное про-
странство), этот индекс λ всегда конечен.
Пусть γχ — ограничение γ на интервал [0, τ]. Тогда
Ττ: [0» *1 -> Λ1 есть геодезическая из γ (0) в γ (χ).
Обозначим через λ(τ) индекс гессиана (βο)„* связанного с этой
геодезической. Тогда λ (1) — индекс, который мы стараемся
подсчитать. Заметим прежде всего, что справедливо
Утверждение (1). λ (τ) — монотонная функция τ.
В самом деле, если τ<τ', то существует Х(х)-мерное
пространство 7* векторных полей вдоль γτ, обращающихся
в нуль в γ(0) и γ (τ) и таких, что гессиан (£о)« на этом
пространстве отрицательно определен. Каждое векторное
поле из 7* продолжается до векторного поля вдоль γτ»,
тождественно равного нулю между γ (τ) и γ (τ'). Итак, мы
получили Х(х)-мерное векторное пространство полей
вдоль γτ', на котором форма (βο)^ отрицательно
определена. Поэтому λ(τ)<!λ(τ').
Утверждение (2). λ(τ) = 0 при малых τ.
В самом деле, если t достаточно мало, то \%
— минимальная геодезическая, поэтому λ (τ) = 0, согласно
лемме 13.6.
Исследуем теперь разрывы функции λ (τ). Заметим
сначала, что λ(τ) непрерывна слева.

98
Гл. 111. Вариационное исчисление
Утверждение (3). При всех достаточно малых
е > О имеем λ (τ — ε) = λ (τ).
Доказательство. В соответствии с леммой 15.3,
число λ(1) можно рассматривать как индекс
квадратичной формы на конечномерном векторном пространстве
T2T(i0, tv ..., tk). Мы можем предполагать, что
подразделение выбрано так, что tt < τ < fi+1. Тогда индекс
λ (τ) можно рассматривать как индекс соответствующей
квадратичной формы Нх на соответствующем векторном
пространстве ломаных якобиевых полей вдоль γτ. Это
векторное пространство нужно строить с помощью
подразделения 0 < tx < t2 < ... < tt < τ отрезка [0, τ]. Так
как ломаное якобиево поле однозначно определено своими
значениями в точках деления γ(^), это векторное
пространство изоморфно прямой сумме
Σ = ТЩ (,ι} 0 ТМ1 (,2) 0 ... φ ΤΜΊ (//}.
Заметим, что это векторное пространство Σ не зависит
от τ. Очевидно, что квадратичная форма Нх на Σ
непрерывно зависит от τ.
Но форма Нх отрицательно определена на
подпространстве 7°с Σ размерности λ (τ). Следовательно, при всех τ',
достаточно близких к τ, Ях» отрицательно определена
на 7°. Поэтому λ(τ')!>λ(τ). Но если τ' = τ — ε < τ, то,
согласно утверждению (1), имеем также λ (τ — ε) ^ λ (τ).
Итак, λ (τ — ε) = λ(τ).
Утверждение (4). Пусть ν — степень
вырождения гессиана (£о)**· Тогда при всех достаточно
малых ε > 0 имеем
λ(τ + ε) = λ(*) + ν.
Итак, функция λ(ί) испытывает скачок ν, когда
переменная / проходит через сопряженную точку кратности ν,
и непрерывна в остальных точках. Очевидно, из этого
утверждения вытекает теорема об индексе.
Доказательство того, чта λ(τ + ε)<;λ(τ)+ ν.
Пусть Нх и Σ — те же, что и в доказательстве
утверждения (3). Так как dimS = /i/, то Н% положительно

§ 15. Теорема об индексе
99
определена на некотором подпространстве 7°'α:Σ
размерности nl — λ (τ) — v. При всех τ', достаточно близких
к τ, Ητ' положительно определена на 7°'. Следовательно,
λ(τ') < dim Σ — dimT' < λ(τ) + ν.
Доказательство того, что λ(τ + ε)^λ(τ)-|-ν.
Пусть Wi, ..., W\(z) —λ (τ) векторных полей вдоль γτ,
равных нулю в концевых точках и таких, что матрица
отрицательно определена. Пусть Jv .... /ν —ν линейно
независимых якобиевых полей вдоль γτ, также равных
нулю в концевых точках. Заметим, что ν векторов
линейно независимы. Поэтому можно выбрать ν векторных
полей Χν ..., Λ"ν вдоль γτ+6 так, чтобы матрица
(<^м.*.«>)
равнялась единичной (у X ^-матрице. Продолжим
векторные поля Wt и Jh на γτ+6, полагая их равными нулю при
τ<ί<τ + ε.
С помощью формулы второй вариации мы легко
убеждаемся в том, что
(£о+1)-(Л. Щ = о.
0So+e)«* (Л» Xk) = %hk Фнь — символ Кронекера).
Пусть теперь с — некоторое малое число. Рассмотрим
λ(τ)-|-ν векторных полей
Wlt .... W\w. с-Чх — сХг. .... с-Чч — сХч
вдоль γτ+1. Мы утверждаем, что эти векторные поля
порождают векторное пространство размерности λ (τ) -f- v,
на котором квадратичная форма (£о+6)*» отрицательно
определена. Действительно, матрица (£5+е)## в этом ба-
аисе имеет вид
/((*&.<**. wjj) cA \
\ с А* — 4/-J-c2£/'

100 Гл. Ш. Вариационное исчисление
где А и В — фиксированные матрицы. Если с достаточно
мало, то эта составная матрица, конечно, отрицательно
определена. Утверждение (4) доказано.
Теорема об индексе 15.1, очевидно, вытекает из
утверждений (2), (3), (4).
§ 16· Конечномерная аппроксимация множества Q"
Пусть Μ — связное риманово многообразие и р, q —
две (не обязательно различные) точки М. В множество
2 = 2(Λί; pt q) кусочно-гладких путей класса С00 из ρ
в q можно ввести топологию следующим образом. Пусть
ρ — топологическая метрика М, порожденная его римано-
вой метрикой. Определим расстояние ίί(ω, ω') между
двумя путями ω, ω'ζ 2 с длинами дуг соответственно
s(t)9 s'(t) формулой
1
г ι Τ
1 #· / j~ j~f \ о I
max ρ(ω(/), ω'(ί)) +
(Второе слагаемое добавлено для того, чтобы функция
действия
ь
зм-Л-З·)'*
была непрерывной функцией на 2.) Введенная метрика
определяет искомую топологию в 2.
Пусть с > 0. Обозначим через 2' замкнутое
подмножество Е~г([0, c])czQ и через Int Qc — открытое
подмножество Е~1([09 с)) (где Ε = Ео : 2 -> R — функция
действия). Мы изучим топологию множества 2*, построив
его конечномерные аппроксимации.
Выберем подразделение единичного интервала 0 = t0 <
< tx < ... < tk = 1. Обозначим через 2 (ί0, tl9 ..., tk)
подпространство в 2, состоящее из таких путей ω : [0, I]-*
->Λί, что
1) ω(0) = ρ и ω(1) = <7;
2) ю|[^.|, /|] есть геодезическая при каждом /=s
• ■"· X $ · · · , гС·

§ 16. Конечномерная аппроксимация множества Qc 101
Наконец, определим подпространства
#(*о. h tk) = Qc(\Q(t0, tx tk),
Int Qc (t0, tx, ,.., tk) = (Int Qc) П Ω (t0> tv .... tk).
Лемма 16.1. Пусть Μ — полное риманово
многообразие и с — фиксированное положительное число,
такое, что Qc Φ 0. Тогда для всех достаточно
мелких подразделений (t0, tx tk) отрезка [0, 1]
множество Int Ω^(ί0. tx, ..., tk) можно естественным
образом снабдить структурой гладкого
конечномерного многообразия.
Доказательство. Обозначим через S шар
{х£М:р(х. pXVc).
Заметим, что каждый путь ω £ 2* лежит внутри этого
подмножества ScM; это видно из неравенства L2 *ζ.Ε *^c.
Так как Μ полно, S — компактное множество.
Следовательно (см. следствие 10.8), существует е > 0, такое,
что если х, y£S и р(х, у)< е, то имеется лишь одна
геодезическая из л: в у длины меньше β и эта
геодезическая дифференцируемо зависит от χ и у.
Выберем подразделение (/0, tx tk) отрезка [0, 1]
так, чтобы каждая разность tt — ί^χ была меньше е2/с.
Тогда для каждой ломаной геодезической
ω^'('ο. t\ h)
имеем
(Lt ,·)'=(Ί - Ί-0 (Et ι w) < ('# ~ *ι-0(*·>) <
Итак, геодезическая ω|[//^ι> tt\ однозначно и
дифференцируемо определяется двумя своими концами.
Ломаная геодезическая ω однозначно определяется
набором k — 1 точек
ω(ίχ), ω^ <*(tk_x)£MXMX ... Χ Μ.
Очевидно, соответствие
ω->(ω(βχ)9 ω(/2), ..., ω(ίΛ-1))

102 Гл. III. Вариационное исчисление
определяет гомеоморфизм между lntQc(tQ, tv ..., tk) и
некоторым открытым подмножеством (k — 1)-кратного
произведения Μ Χ Μ Χ ... Χ Λ1. Перенося
дифференцируемую структуру с этого произведения, получаем
утверждение 16.1.
Для сокращения записи обозначим многообразие
lntQe(t0> tx tk) ломаных геодезических через В.
Пусть
— ограничение функциии действия Ε : Q -> R на В.
Теорема 16.2. Функция E':B-+R — гладкая.
Далее, при каждом а < с множество Ba = (E')~l [0,а]
компактно и является деформационным ретрак-
том 1) соответствующего множества Qa.
Критические точки Е' в точности совпадают с критическими
точками Ε в let Qc: это целые геодезические из ρ в q
длины, меньшей Ус. Индекс (или степень вырождения)
гессиана Ет в каждой такой критической точке γ
равен индексу (или степени вырождения) Е^ в γ.
Итак, конечномерное многообразие В оказывается
точной моделью бесконечномерного пространства путей Int 2*.
В качестве непосредственного следствия мы получаем
следующий основной результат.
Теорема 16.3. Пусть Μ — полное риманово
многообразие и р, q£M — две точки, которые не
являются сопряженными ни вдоль какой
геодезической длины, не превосходящей γ~α. Тогда Ω* имеет
гомотопический тип конечного клеточного комплекса,
с одной клеткой размерности λ на каждую
геодезическую Qa, на которой Е„ имеет индекс λ.
(В частности, эта теорема утверждает, что Qa содержит
лишь конечное число геодезических.)
Доказательство теоремы 16.3. Утверждение
следует из теорем 16.2 и 3.5.
1) Точно так же В — деформационный ретракт множества
Int Of.

§ 16. Конечномерная аппроксимация множества Q6 103
Доказательство теоремы 16.2. Так как ломаная
геодезическая ω£β гладко зависит от набора
»(*ι). ω(ί2) ω^.^Λίχ ··· ΧΜ.
ясно, что действие Я'(ω) также гладко зависит от этого
набора. Действительно, справедлива явная формула
k
Ε' (со) = Σ Ρ2 (ω V^), ω (ftWi ~ Ί-ι)·
При α < с множество Ζ?α гомеоморфно множеству всех
(k — 1)-наборов (рх, ·.., pk_x) £S X S X ... X S,
таких, что
Σρ2(Ρ*-ι· Λ)/&-',-ι)<«
(подразумевается, что /?0 = р, pft = q). Как замкнутое
подмножество компактного множества, оно компактно.
Ретракцию г : Int Qc -> В определим так. Пусть г (ω) —
единственная ломаная геодезическая из В, такая, что
каждый путь Γ(ω)|[ί/__1, t{\ представляет собой
геодезическую длины меньше ε из ω(ί/β1) в ω^). Из неравенств
Р20>. а>(0)<Да))<Да>)<с
вытекает, что ω[0, IJczS. Поэтому из неравенств
Ρ2 (ω (t^), ω (/,)) < {t, - tt_x) (ε^ χ(ω)) <-£., = ε*
следует, что г (ω) существует.
Очевидно, Ε (г (ω)) ^ £"(ω)< с. Эта ретракция г
включается в однопараметрическое семейство отображений
ru:MQc->MQc
следующим образом. При ί/β1 <; и ^ tt пусть
( гж(ш)|[0. ^.1] = Γ(ω)|[0, *,_,];
Ι Γα(ω)ΙΙ^~ι» tfl — минимальная геодезическая
I из со(//-в1) в ω (и);
Ι Γ.(ω)|[β. 1] = со|[«. 1].

104 Гл. III. Вариационное исчисление
Тогда г0 — тождественное отображение множества Int 2*
и гх — г. Легко проверить, что функция гй (ω) непрерывна
как функция двух переменных. Это доказывает, что В —
деформационный ретракт множества Int Ω*.
Так как Е(ги(ш)) <;£"(ω), ясно, что каждое Ва также
есть деформационный ретракт 2а.
Каждая геодезическая является также и ломаной
геодезической, поэтому ясно, что каждая .критическая точка*
Ε в Int Of автоматически принадлежит подмногообразию В.
Из формулы первой вариации (теорема 12.2) ясно, что
критическими точками функции Е' являются целые
геодезические и только они.
Рассмотрим касательное пространство ΤΒΊ к
многообразию В в геодезической γ. Оно отождествляется с
пространством Г£?т (/0, tv ..., tk) ломаных якобиевых полей
вдоль γ, как описано в § 15· Это отождествление можно
оправдать так. Пусть
<х:(—е, е)->5
— любая вариация γ в ломаные геодезические. Тогда
соответствующее векторное поле вариации -^(О. О вдоль
γ —ломаное якобиево поле [ср. с леммой 14.3]·
Теперь утверждение, что индекс (или степень
вырождения) гессиана Е„ в γ равен индексу (или степени
вырождения) Е^ф в γ немедленно следует из леммы 15.4.
Это завершает доказательство теоремы 16.2.
Замечание. Как одно из следствий этой теоремы
мы получаем новое доказательство существования
минимальной геодезической, соединяющей две данные точки /?, q
полного многообразия. В самом деле, если Qa(p, q)
непусто, то соответствующее множество Ва компактно и
непусто. Следовательно, непрерывная функция Е': /Ja->R
достигает минимума в некоторой точке γ ζ Ва. Эта γ —
искомая минимальная геодезическая.
§ 17. Топология полного пространства путей
Пусть Μ — риманово многообразие с римановой
метрикой g% и пусть ρ — индуцированная топологическая метрика.
Пусть ρ и q — две (не обязательно различные) точки М.

§ /7. Топология полного пространства путей 105
В теории гомотопий изучают пространство 2* всех
непрерывных путей
ω:[0, 1]->М
из ρ в q с компактно-открытой топологией. Эта
топология может быть также описана как индуцированная
метрикой
d*(a>, ω') = max ρ (ω (t), ω' (ί)).
С другой стороны, мы изучали пространство 2 кусочно-
гладких путей класса С°° из ρ в q с метрикой
ι
ds ds' \2
d(a), a/) = d*(u>, a/) +
о
Так как d^d*t естественное отображение
/:2->2*
непрерывно.
Теорема 17.1. Естественное отображение I
устанавливает гомотопическую эквивалентность 2
и 2*.
Доказательство. Сначала мы определим
непрерывную функцию А : 2*~>(0, 1], обладающую следующим
свойством: из \t —1'\ <2Л(о>) вытекает, что ω (t) н w (f)
соединены единственной минимальной геодезической, гладко
зависящей от своих концов.
Пусть /:Λί->[0, οο) — такая непрерывная функция,
что множество Ζ""1 ([0, г]) компактно при любом г£
£[0, оо). Пусть гг(г)^оо — наибольшее действительное
число, такое, что любые две точки с расстоянием
меньше гх(г) в множестве f~x([0t r]) соединены
единственной минимальной геодезической, гладко зависящей
от своих концов. Так как вг — положительная монотонно
убывающая функция, можно выбрать
ε2 : [0, oo)->R
так, что ε2 непрерывно и
0<е2(г)<е1(г).

106 Гл. III. Вариационное исчисление
Теперь определим
e:Q*->R
формулой
β(ω) = ε2 (max/(*(*))}.
Итак, е непрерывно и любые две точки из ω([0, 1])
с расстоянием, не превосходящим ε (ω), соединены
единственной минимальной геодезической.
Определим непрерывную функцию
F:2*X10, 1]-*R
соотношением
F (ω, α) = (α — 1) ε (ω) + max ρ (ω (/), ω (/'))·
Тогда F, рассматриваемая как функция от α, строга
монотонна и
/"(ω. 0)<0<F((d, 1).
Поэтому для каждого ω £2* существует единственное
а£(0, 1], такое, что F(a), α) = 0. Положим а —2Α (ω).
Так как F непрерывна, непосредственные эпсилон-дельта
рассуждения показывают, что функция Л:2*->(0, 1]
непрерывна. Если \t —1'\ <<х = 2Л(а)), то ρ(ω(ί)), ω(ί'))<
<(1—α)ε(ω)<ε(ω); следовательно, ω(ί) и a>(f)
соединены единственной минимальной геодезической.
Определим теперь А:2*->2 следующим образом.
Пусть Α (ω) — единственный путь, такой, что
1) Λ (ω) совпадает с ω при ί = 0, Л (ω), 2 Л (ω), ...
..., Λ Л (ω) и при /=1, где k — целая часть 1/Л(а>);
2) Α (ω) является геодезической в каждом
промежуточном интервале.
Ясно, что отображение А непрерывно.
Соображения, аналогичные использованным в § 16,
показывают, что композиция
Λοί:2->2
гомотопна тождественному отображению 2. Точно так же
композиция
/оА:2*->2*
гомотопна тождественному отображению. Теорема 17.1
доказана.

§ 17. Топология полного пространства путей 107
Известно, что пространство Ω* имеет гомотопический
тип клеточного комплекса (см. [24]). Отсюда получаем
Следствие 17.2. Пространство 2 имеет
гомотопический тип клеточного комплекса.
Это утверждение допускает следующее усиление.
Теорема 17.3. (Основная теорема теории Морса.)
Пусть Μ—полное риманово многообразие и p,q£M—
две точки, не являющиеся сопряженными ни вдоль
какой геодезической. Тогда Ω(Λί; pt q) или Ω*(Λί; ρ, q)
имеет гомотопический тип счетного клеточного
комплекса* в котором каждой геодезической из ρ в q
с индексом λ отвечает одна клетка размерности λ.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.5.
Выберем последовательность α0<α1<β2<· · ■
действительных чисел, которые не являются критическими значениями
функции действия £, так что каждый интервал (al„v aj)
содержит в точности одно критическое значение.
Рассмотрим последовательность
Qa'czQatc:Qa2c: ....
где мы можем предполагать, что Ωα° пусто. Из теоремы 16.2,
а.
замечания 3.3 и леммы 3.7 следует, что каждое 2 * имеет
гомотопический тип 2 /-1 с конечным числом
приклеенных клеток, по одной клетке размерности λ на каждую
геодезическую индекса λ из Е"1 {а^х% at). Теперь, как
в доказательстве теоремы 3.5, строим последовательность
К0с:Кгс:К2^ ··· клеточных комплексов, клетки которых
описаны выше, и последовательность
S^cQ^cQ^c ...
Υ Υ Υ
/Cq αΚχ cz Κ<ι с ...
гомотопических эквивалентностей. Обозначая через/ : 2->К
прямой предел отображений, мы видим, что / индуцирует
изоморфизмы гомотопических групп всех размерностей. Но
так как известно, что 2 имеет гомотопический тип
клеточного комплекса (см. следствие 17.2), то из теоремы
Уайтхеда следует, что / — гомотопическая эквивалентность.

108 Гл. UL Вариационное исчисление
Доказательство закончено. (Другое доказательство, не
использующее теоремы 17.1, см. на стр. 161.)
Пример. Пространство путей сферы Sn.
Предположим, что ρ и q — не сопряженные точки 5я. Иначе
говоря, что дфр, р\ где р'— точка, противоположная р.
Тогда имеется счетное множество геодезических,
соединяющих ρ с q: γ0, γι§ γ2 А именно, γ0 — кратчайшая
дуга большого круга, соединяющая ρ с q\ *\х — большая
дуга большого круга pq'p'q\ γ2 — дУга Ρ9ΡΎΡ9 и τ· Д-
Индекс к указывает, сколько раз ρ или р' встречается
внутри геодезической γΛ.
Индекс Х(Та) — ft-f- ··· + Н·* равен k{n — 1), так
как каждая внутренняя точка ρ или р' является
сопряженной с ρ кратности η—1. Таким образом, получаем
Следствие 17.4. Пространство петель 2(Sn)
имеет гомотопический тип клеточного комплекса
с одной клеткой каждой из размерностей 0, η—1,
2(д—1), 3(л— 1)
При η > 2 эта информация позволяет немедленно
вычислить гомологии пространства 2 (5я). Так как 2 (5я)
имеет нетривиальные группы гомологии в бесконечном числе
размерностей, справедливо
Следствие 17.5. Пусть Μ имеет гомотопический
тип 5я, где η > 2. Тогда любые две несопряженные
точки в Μ соединены бесконечным числом геодезических.

§ 18. Существование несопряженных точек 109
Это вытекает из того, что гомотопический тип 2*(Л1)
(и, следовательно, 2(Λί)) зависит лишь от гомотопического
типа Λί. В Q(M) должна найтись по крайней мере одна
геодезическая с индексом 0, по крайней мере одна с
индексом η — 1, 2 (я — 1), 3 (η — 1) и т. д.
Замечание. Вообще, если Μ — любое полное не-
стягиваемое многообразие, то любые две несопряженные
точки в Λί соединены бесконечным числом геодезических
(см. [31]).
В качестве другого приложения следствия 17.4 можно
упомянуть доказательство теоремы Фрейденталя о
надстройке (см. следствие 22.3).
§ 18. Существование несопряженных точек
Теорема 17.3 дает хорошее описание пространства
Q(M; ρ, q) в предположении, что вдоль любой
геодезической точки ρ и q не являются сопряженными. В
настоящем параграфе мы, в обоснование этого результата,
покажем, что такие несопряженные точки всегда существуют.
Напомним, что гладкое отображение f :N->M
многообразий одинаковой размерности называется критическим
в точке x£N, если индуцированное отображение
касательных пространств
f.iTNx-+TMf(A
не является взаимно однозначным. Мы применим это
определение к экспоненциальному отображению
ехр = ехрр : ТМр ~> Λί.
(Мы предполагаем, что Μ полно, так что ехр определена
везде; от этого предположения легко избавиться.)
Теорема 18.1. Точка ехр ν сопряжена с ρ вдоль
геодезической γν из ρ в ехр ν тогда и только тогда,
когда отображение ехр является критическим
в точке v.
Доказательство. Предположим, что отображение
ехр критическое в точке v. Тогда ехр#(Лг) = 0 при
некотором ненулевом Χ£Τ(ΤΜρ)ν, где Τ(ΤΜρ)9—касательное

110 Гл. ///. Вариационное исчисление
пространство в точке ν к пространству ТМр9
рассматриваемому как многообразие. Пусть u->v(u) — путь в ТМр,
такой, что υ(0) — ν и -^— (0) = Л\ Тогда отображение а,
определенное формулой а (и, ί) = ехр/г> (я), будет
геодезической вариацией геодезической ιν\ /->ехр/т/.
Следовательно, векторное поле W% определенное формулой
f->-jp (exP^(^))L=o» представляет собой якобиево поле
вдоль γν. Очевидно, W(0) = 0. Имеем также
w W=Ίτ <ехР« ("»l«-o«= «p. -^sr (°) = εχρ.* = o·
Но это поле не обращается в нуль тождественно, так как
T(0^¥¥(exp/'(tf»l(o.o) = ^(tt)l«--^0'
Итак, существует ненулевое якобиево поле вдоль γν от ρ
до ехрх>, равное нулю в этих точках. Следовательно, ρ
и ехрг> сопряжены вдоль γν.
Теперь предположим, что отображение ехрЛ
невырождено в v. Выберем η независимых векторов Хг, ·.., Хп
в Τ (ΤΜΡ)Ό. Тогда векторы ехр„ (Л\), ..., ехр# (Хп)
линейно независимы. В ТМр выберем пути u->vx(u)t ....
«-»«„(«). где ^(0) = tF и ^М(0) = ^.
Тогда alt ..., αΛ, построенные, как указано выше,
будут якобиевыми полями Wl% ..., Wn вдоль γν, равными
нулю в р. Так как ^(1) = ехрф(Лг/) независимы, никакая
нетривиальная линейная комбинация векторов Wt не может
обращаться в нуль в точке ехрг>. Так как η—
размерность пространства якобиевых полей вдоль γ^, равных нулю
в рш то не существует нетривиального якобиева поля
вдоль γν, равного нулю и в р% и в expv. Это завершает
доказательство.
Следствие 18.2. Пусть ρζΜ. Тогда для почти
всех q£M точка ρ не является сопряженной с q
ни вдоль какой геодезической.
Доказательство. Это вытекает из теоремы 18.1
и теоремы Сарда 6.1.

§ 19. Соотношения между топологией и кривизной 111
§ 19. Некоторые соотношения между топологией
и кривизной
В этом параграфе мы опишем поведение геодезических
на многообразиях „отрицательной кривизны" и
„положительной кривизны".
Лемма 19.1. Предположим, что {R(A, В) А% θ)<0
для любой пары векторов А, В касательного
пространства ТМр в любой точке р£М. Тогда
никакие две точки Μ не сопряжены ни вдоль какой
геодезической.
Доказательство. Пусть γ — геодезическая с
векторным полем скорости V. Пусть J—якобиево поле вдоль γ.
Тогда
так что
Следовательно,
dt\dt ' J/ — \ dt2 · V +
2>o.
Итак, функция γ-тг·, J/ монотонно возрастает, причем
строго, если —rr+v-
Если У обращается в нуль и при / = 0, и при t = t0 > 0,
то функция (-jf* ν тоже равна нулю при / = 0 и tQ и,
следовательно, должна обращаться в нуль тождественно на
отрезке [0, /0]. Отсюда вытекает, что
Таким образом, J—тождественный нуль, что и
требовалось доказать.
Замечание. Если А и В — ортогональные
единичные векторы в точке р, то величина {R(A> В) А, В)

112 Гл. ///. Вариационное исчисление
называется кривизной по двумерному направлению,
определенному Л и В. Она равна гауссовой кривизне
поверхности
(uv и2)->гхрр(и1А + и2В),
образованной геодезическими, проходящими через ρ со
скоростью, принадлежащей натянутому на Л и Б
подпространству (см., например, 1191.).
[Интуитивно кривизну многообразия можно описать в
терминах „оптики* внутри многообразия следующим образом.
Будем представлять себе геодезические как пути лучей света.
Рассмотрим наблюдателя в р, смотрящего по направлению
единичного вектора U в точку q = exp(rU). Маленький
отрезок длины L, выходящий из точки q по направлению
единичного вектора W£TMpt будет казаться наблюдателю
отрезком длины
Λίΐ -+--—-{R(Ut W)Ut №)+члены высших степеней по А.
Итак, если кривизна по всем двумерным направлениям
отрицательна, то каждый предмет будет казаться меньшим, чем
он есть на самом деле. Маленькая сфера радиуса е вокруг q
будет казаться эллипсоидом с главными полуосями
.(l+-£*l + '··) е(1+4/С«+ ···)' TAeKv
К2 К η — собственные числа линейного
преобразования W-* R (ί/, W) U. Каждый маленький предмет объема ν
будет казаться имеющим объем ν (1 +-τρ(Κ'ι+Κ'2+ · · ·
• · ■ +#я)+ · · ·). где ΛΊ+ ... -\-Кп—„кривизнаРиччи*
Кф> U)% определенная ниже.]
Вот несколько обычных примеров многообразий
неположительной кривизны.
(1) Евклидово пространство с кривизной нуль.
(2) Параболоид ζ = χ2 — у2 с кривизной меньше нуля.
(3) Гиперболоид вращения jt2-f-y2—22=1 с
кривизной меньше нуля.
(4) Геликоид χ cos ζ + у sin ζ = 0 с кривизной меньше
нуля.
Замечание. Во всех этих примерах кривизна
принимает значения, сколь угодно близкие к нулю. Неизвестно,

§ 19. Соотношения между топологией и кривизной 113
существует ли в трехмерном пространстве полная
поверхность отрицательной кривизны, отграниченной сверху от
нуля1).
Знаменитым примером многообразия всюду
отрицательной кривизны является псевдосфера
* = —yi_*2 —y2+arsechyjt2+y2, *>0,
с римановой метрикой, индуцированной из R3. Здесь
гауссова кривизна имеет постоянное значение —1·
Никакая геодезическая на этой поверхности не имеет
сопряженных точек, хотя две геодезические могут
пересекаться более чем в одной точке. На псевдосфере
реализуется неевклидова геометрия, в которой сумма углов
треугольника меньше π. Это многообразие неполное. В
самом деле, теорема Гильберта гласит, что никакая полная
поверхность постоянной отрицательной кривизны не
может быть вложена в R3 (см., например, [38, стр. 137]).
Существуют, однако, и полные римановы
многообразия постоянной отрицательной кривизны (см., например,
[19, стр. 114—117]). Такое многообразие может быть даже
ι) Η. В. Ефимов доказал недавно, что такой поверхности
класса С2 не существует. [См. Ефимов Н. В., Невозможность
в трехмерном евклидовом пространстве полной регулярной
поверхности с отрицательной верхней гранью гауссовой кривизны.
Докл. АН СССР, 150, № 6 (1963), 1206—1209; Возникновение
особенностей на поверхностях отрицательной кривизны, Машем,
сб., 64(106), 2(1964), 286—320.] —Прим. перев.

114 Гл. III. Вариационное исчисление
компактным· например поверхностью рода не меньше 2
(ср. [8, стр. 263]).
Теорема 19.2 (Картан1)). Предположим, что Μ —
односвязное полное риманово многообразие и что
кривизна {R(A, В) Α, β) двумерных сечений всюду
неположительна. Тогда любые две точки из Μ
соединены единственной геодезической. Кроме того,
Μ диффеоморфно евклидову пространству R*.
Доказательство. Поскольку сопряженных точек
нет, из теоремы об индексе вытекает, что каждая
геодезическая из ρ в q имеет индекс λ —0. Таким образом,
теорема 17.3 в этом случае утверждает, что пространство
путей Ω (Ж; р, q) имеет гомотопический тип нульмерного
клеточного комплекса с одной вершиной для каждой
геодезической.
Из предположения односвязности Μ вытекает связность
2(Λί; ρ, q). Так как связный нульмерный клеточный
комплекс состоит из одной точки, существует ровно одна
геодезическая, соединяющая ρ с q.
Следовательно, экспоненциальное отображение
ехрр : ТМр -> Μ взаимно однозначно и является
отображением на. Из теоремы 18.1 следует, что оно всюду
невырождено, так что ехрр—локальный диффеоморфизм.
Объединяя эти два факта, видим, что ехрр—диффеоморфизм в
целом. Утверждение 19.2 доказано.
Пусть теперь Μ неодносвязно, но полно, и все его
двумерные кривизны неположительны. (Например, Μ
может быть плоским тором 51 X S1 или компактной
поверхностью рода не меньше 2 с постоянной отрицательной
кривизной.) Тогда теорема 19.2 применима к
универсальному накрывающему пространству Μ многообразия М. Ибо
ясно, что на Μ переносится риманова метрика
многообразия М, которое полно и имеет неположительные
двумерные кривизны. Отсюда следует, что в каждом
гомотопическом классе путей с фиксированными концами pt q£M
имеется ровно одна геодезическая.
Стягиваемость Μ налагает сильные ограничения на
топологию М. Например, справедливо
1) См. [16, стр. 228].

§ 19. Соотношения между топологией и кривизной 115
Следствие 19.3. Если Μ полно и (R (А, В) А, В) <0,
то гомотопические группы ^(Λί) равны нулю при
ί> Ι, α π2(Λ1) не содержит элементов конечного
порядка, отличных от единицы.
Доказательство. Очевидно, π;(Λί) = ^(ΛΪ) = 0
при / > 1. Так как Μ стягиваемо, группа когомологий Hk (M)
может быть отождествлена с группой когомологий Hk (πχ (Λί))
группы πχ(Μ) (см., например, [43]). Предположим теперь,
что πχ (Μ) имеет нетривиальную конечную циклическую
подгруппу О. Тогда для подходящего накрывающего Μ про-
странства Μ имеем щ (Μ) = О; следовательно,
Hk(O) = Hk(M) = 0 при k>n.
Но группы когомологий конечной циклической группы
нетривиальны в произвольно больших размерностях. Это
противоречие завершает доказательство.
Теперь мы рассмотрим многообразия „положительной
кривизны". Вместо кривизн по двумерным направлениям
в этом случае для получения более точных результатов
удобно ввести тензор Риччи (иногда называемый „тензором
средней кривизны").
Определение. Тензор Риччи в точке ρ риманова
многообразия Μ есть билинейное спаривание
К:ТМрХТМр-+Ц,
определяемое следующим образом. Пусть К (Uv U^)—след
линейного преобразования
Vr-+R{Uv W)U2
из ТМр в ТМр. (По классической терминологии тензор К
получается из R свертыванием.) Из леммы 9.3 легко
вытекает, что К симметричен: K(UV ί/2) =/С (ί/2, Ux).
Тензор Риччи следующим образом связан с кривизной
по двумерным направлениям. Пусть Uv U2 Un —
ортонормированный базис в касательном пространстве ТМр.
Утверждение. Значение К(Un. Un) равно сумме
кривизн по двумерным направлениям^^ п% U^Unt U^,
где /= 1, 2 η— Ι.

116 Гл. III. Вариационное исчисление
Доказательство. По определению, K{Un% Un)
равно следу матрицы ((/?(£/„, Ut)Un, Uj)). Так как д-й
диагональный член этой матрицы равен нулю, получаем
сумму η — 1 двумерных кривизн, что и утверждалось.
Теорема 19.4 (Майерс [21]). Предположим, что
кривизна Риччи К удовлетворяет условию
K(U9 t/)>(/t-l)/r2
для любого единичного вектора U в любой точке из М\
здесь г — положительная постоянная. Тогда каждая
геодезическая на Μ длины больше кг содержит со-
пряженные точки и поэтому не является
минимальной.
Доказательство. Пусть γ : [0,1]->>Λί—
геодезическая длины L. Выберем вдоль γ параллельные
векторные поля Р19 ...» Я„» ортонормальные в одной точке
и, следовательно, всюду вдоль γ. Можно считать, что полеЯл
направлено вдоль γ, так что
Пусть Wl{f) = {s\n%t)Pl{t). Тогда
1 D /ή» и* ч } Avr D*Wi
о
о
1
= /(81п^)2(^-^(/?(Ял, Pi)Pn9Pl))dt.
0
Суммируя по 1=1, .... η—1, получаем
л-i ι
τ 2 £~ <^<· r<>β / <sln πί)2 ((η~1) *2-σκ λ· Ρ*> >Λ·
1 0
Если Κ(Ρη, Ρη)^(η—1)/г2 и L>«r, то это
выражение отрицательно. Поэтому E^(WitWl)<^0 при
некотором I. Отсюда вытекает положительность индекса γ.
Следовательно, по теореме об индексе γ содержит
сопряженные точки.
Отсюда следует также, что γ не является минимальной
геодезической. В самом деле, если α : (— е, е) -* Q —

§ 19. Соотношения между топологией и кривизной 117
вариация с векторным полем вариации Wlt то
dE&(u)) d*E£{u)) ^A
du — υ· du* ^υ
при и = 0. Поэтому £ (а (и) )< Я (γ) при малых и Ф0.
Доказательство закончено.
Пример. Если Μ — сфера радиуса г, то кривизна
по любому двумерному направлению равна 1/г2. Поэтому
K(U, U) имеет постоянное значение (п—1)/г2.
Теорема 19.4 утверждает, что каждая геодезическая длины
больше πΓ имеет сопряженные точки; константа πΓ —
наилучшая возможная.
Следствие 19.5. Если Μ полно и K{Ut ί/)>-
^(п—1)/г2>0 для всех единичных векторов U,
то Μ компактно и диаметр Μ не превосходит π/\
Доказательство. Пусть р, q£M и γ —
минимальная геодезическая из ρ в q. Тогда длина γ должна
быть не больше πΓ. Следовательно, все точки Μ попарно
удалены друг от друга не более чем на πΓ. Так как
замкнутое ограниченное подмножество полного
многообразия компактно, отсюда следует, что само Μ компактно.
Это следствие применимо, в частности, к
универсальному накрывающему пространству Μ многообразия М.
Так как Μ компактно, фундаментальная группа щ(М)
оказывается конечной. Это утверждение можно усилить
следующим образом.
Теорема 19.6. Если Μ — компактное много·
образие и тензор Риччи К на Μ всюду положи-
те ль но определен, то пространство путей 2(Л4; р, q)
имеет гомотопический тип клеточного комплекса
с конечным числом клеток каждой размерности.
Доказательство. Так как пространство, состоящее
из всех единичных векторов U, касательных к М,
компактно, то непрерывная функция K(Uf ί/) > 0
достигает минимума, который мы можем обозначить через
(п — 1)/г2 > 0. Тогда каждая геодезическая γ ζ 2 (Μ; ρ, q)
длины больше πΓ имеет индекс λ^Ι.

118 Гл. 111. Вариационное исчисление
Рассмотрим теперь геодезическую γ длины больше ΛπΓ.
Аналогичные рассуждения показывают, что γ имеет
индекс λ^Λ. Действительно, для каждого /=1, 2, .... k
можно построить векторное поле Хь вдоль γ, равное
нулю вне интервала \—т~-> ίγ) и такое» ЧТ(>£**(^/» Л^)<0.
Очевидно, E„(Xi%Xj) = Q при I Φ у, так что Хг Xk
порождают Л-мерное подпространство в 7Ί2γ, на котором
форма Е^ отрицательно определена.
Предположим теперь, что точки ρ и q не сопряжены
ни вдоль какой геодезической. Тогда, согласно
теореме 16.3, существует лишь конечное число геодезических,
соединяющих ρ с q и имеющих длину, не
превосходящую frrcr. Следовательно, существует лишь конечное число
геодезических с индексом меньше k\ вместе с теоремой 17.3
это завершает доказательство теоремы 19.6.
Замечание. Автору неизвестно, останется ли
верной эта теорема, если предполагать, что Μ полно, но
не компактно. Приведенное доказательство, очевидно,
не проходит, ибо на многообразиях, подобных параболоиду
2 = je2-|-y2, кривизна K{U* U) не отграничена от нуля.
Было бы интересно выяснить, какие многообразия
допускают метрику, в которой кривизны по всем двумерным
направлениям положительны. Поучительным примером
оказывается произведение 5mXS* двух сфер размерностей
т> k ^> 2. Для этих многообразий тензор Риччи всюду
положительно определен. Однако кривизны по некоторым
двумерным направлениям (соответствующим плоским торам
S1X51crS/rtX5*) равны нулю. Неизвестно, можно ли
изменить метрику в SmXSk так, чтобы все двумерные кри·
визны стали положительны. Известен следующий частный
результат: если такая метрика существует, она не может
сохраняться при инволюции (д:, у) -> (— х, — у)
многообразия Sm X Sk. Это следует из теоремы Сайнджа [32].
Другие теоремы о связи топологии и кривизны можно
найти в работах [3, 9, 44, 47]!).
') См. также В е г g е г М., Les varietes Riemanniennes dont
la courbure satisfait certaines condition, Proceed. Internat.
Congress Math., 1962. — Прим. перев.

Глава IV
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРУППАМ ЛИ И СИММЕТРИЧЕСКИМ
ПРОСТРАНСТВАМ
§ 20. Симметрические пространства
Симметрическим пространством называется
связное риманово многообразие М, такое, что для любой
точки ρζΜ существует изометрия /р : М->Ж,
оставляющая ρ на месте и переворачивающая проходящие через ρ
геодезические; иными словами, если γ — некоторая
геодезическая и γ(0) = /?, то //,(γ(ί)) = γ(—t).
Лемма 20.1. Пусть γ — геодезическая β Μ и
р = Т(0). a q = i(c). Тогда //р (т (f)) = Т ('+ 2с)
(β предположении» что γ(ί) и γ (/ + 2*0 определены).
Кроме того, IqIp сохраняет параллельные
векторные поля вдоль γ.
Доказательство. Пусть γ'(t) = γ(t-f-с). Тогда
γ' — геодезическая и γ'(0)=q. Следовательно, ΙςΙρ(Ί (ί))==
= ντ(-Ο)=Μϊ4-'-Ο)==ϊ'('4-<0==ϊ(ί+2<0.
Если векторное поле V параллельно вдоль γ, то
IP*(V) параллельно (ибо 1Р — изометрия) и /p*V(0) =
= — V(0); поэтому Ipjy(t) = — V{—f). Следовательно,
/<Jp.<y{t)) = V(t + 2c).
Следствие 20.2. Многообразие М полно.
В самом деле, лемма 20.1 показывает, что каждую
геодезическую можно продолжать неограниченно.
Следствие 20.3 Изометрия 1р единственна.
Действительно, каждая точка соединена с ρ
геодезической.
Следствие 20.4. Если UtV и W — параллельные
векторные поля вдоль γ, то R(UtV)W — тоже
параллельное поле вдоль γ.

120 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Доказательство. Заметим, что если X—
четвертое параллельное вдоль γ векторное поле, то величина
(/?(£/, V)W, X) вдоль γ постоянна. В самом деле;
рассмотрим изометрию 7 = /Т(Г/2)/р> переводящую /> = γ(0)
в 0 = γ(£). Согласно лемме 20.1,
<«(*/«■ vjwq. xq)={R<jjup. тур)т.чгрш тщхр).
Так как Т—изометрия, это равно {R(Up,Vp)Wp, Хр}.
Итак, (R(U, V)W, X) принимает постоянное значение
для каждого параллельного векторного поля X. Отсюда,
очевидно, вытекает параллельность поля R(U,V)W.
Многообразия, обладающие свойством 20.4, называются
локально симметрическими. (Классическая теорема,
принадлежащая Картану, гласит, что каждое полное одно-
связное локально симметрическое многообразие является
симметрическим х).)
Уравнения Якоби для любого локально симметрического
многообразия имеют простое явное решение. Пусть
γ : R -> Μ — геодезическая локально симметрического
многообразия. Пусть V = -^-(0) — вектор скорости в точке
ρ = γ(0). Определим линейное преобразование
Κν:ΤΜρ-+ΤΜρ
формулой2) Kv(W) = R(y, W)V. Пусть ег еп —
собственные значения Ку
Теорема 20.5. Точками, сопряженными с ρ
вдоль γ, являются точки тО^/У^/)» г^е ^ — любое
целое число, отличное от нуля, и et — любое
положительное собственное значение Kv. Кратность γ (/)
как сопряженной точки равна числу значений ei%
для которых t кратно ^/Yer
Доказательство. Заметим сначала, что
преобразование Κν является самосопряженным:
{KV(W), W') = {W, KV{W%
0 См. [41]. — Прим. перев.
2) Kv не следует путать с тензором Риччи из § 19·

§ 21. Группы Ли как симметрические пространства 121
Это немедленно вытекает из соотношения симметрии
{R(V. W)V\ W') = {R(V't W')V, W).
Следовательно, можно выбрать в ТМр ортонормирован-
ный базис Ux Un так, что
tfir («/,) = *,£/,.
где ev .... еп — собственные значения. Продолжим Ut
до векторного поля вдоль γ с помощью параллельного
перенесения. Тогда, ввиду локальной симметричности Ж,
соотношение
R(V, Ui)V^eiUi
останется справедливым всюду вдоль γ. Каждое
векторное поле W вдоль γ единственным образом представляется
в виде
W(t) = wl(t)U1(t)+ ... +wn{t)Un{t).
D2W
Тогда уравнение Якоби —-^—|~/ек(ИР) = 0 принимает вид
Σ-τ^+Σ'λ"'-0·
Так как векторы U\ всюду линейно независимы, это
уравнение эквивалентно системе η уравнений
d2wi
dt2
-f- eiwi = 0.
Нас интересуют решения, ^равные нулю при / = 0. Если
^ι > 0. то wt (f) = с ι sin (V^/). ct — некоторая постоянная.
Тогда нули решения wt(f) являются кратными ί = π/|/7^.
Если ^ = 0, то wi(t) = cit, и если et < 0, то ^(ί) =
= ct sh (У I ^ I /) при некотором постоянном ct. Итак,
если е1 < 0, то wi (/) обращается в нуль только при / = 0.
Теорема 20.5 доказана.
§ 21· Группы Ли как симметрические пространства
В этом параграфе мы рассматриваем группу Ли О
с римановой метрикой, инвариантной как относительно
левых сдвигов
LX:G->G, Δ,(σ) = τα,

122 Гл. IV. Приложения к группам, Ли
так и относительно правых сдвигов /?τ(σ) = στ. Такая
метрика заведомо существует, если группа О
коммутативна. Если О компактна, то такая метрика может быть
построена с помощью двусторонне инвариантной меры
Хаара |х. Пусть (,) — любая риманова метрика на О.
Определим новое скалярное произведение (( ,)) формулой
QXQ
Это произведение двусторонне инвариантно.
Лемма 21.1. Если О — группа Ли с двусторонне
инвариантной метрикой, то О— симметрическое
пространство. Отражение /τ в произвольной точке
τ£0 определяется формулой /τ(σ) = то""Ч.
Доказательство. По условию, Ц и Rz — изоме-
трии. Определим отображение Ie:G->Q соотношением
/.(") = "-ι.
Тогда Ie*iTGe->TGe переворачивает касательные
векторы в е, так что /*♦ — изометрия касательного
пространства. Тождество
показывает, что ί€^·Τ09->Τ0^χ есть изометрия при
любом о £0. Так как 1е переворачивает касательное
пространство в е% оно переворачивает проходящие через е
геодезические.
Положим, наконец, /τ(σ)ϊ=τσ""1τ; тогда тождество
/τ = /?τ/<?/?71 показывает, что каждое /τ есть изометрия,
переворачивающая геодезические, проходящие через τ.
Однопараметрической подгруппой в О называется
гомоморфизм класса С00 группы R в G. Хорошо известно,
что однопараметрическая подгруппа в О определяется
своим касательным вектором в е (см. [45]).
Лемма 21.2. Однопараметрическими
подгруппами О являются геодезические γ в О, такие, что
γ(0) = £, и только они.

§ 21. Группы Ли как симметрические пространства 123
Доказательство. Пусть γ : R —► О —
геодезическая, причем γ(0) = *. По лемме 20.1 отображение /γ {t)Ie
переводит γ (и) в γ(#-|-20· Тогда /γ {t)Ie (σ) = γ (/) σγ (/),
следовательно, γ (Οι 00 7 (0 = ΐ (tt + 2/)· По индукции
для любого целого η получаем γ (л^) = (γ (ί) )я. Если t'/t"
рационально, так что t' = n't и f = /*"ί при некотором t
и некоторых целых п' и п"> то γ (^ + О5== (Т (0)" +Л" =
= γ (*') Ϊ СО- По непрерывности γ является гомоморфизмом.
Пусть теперь γ : R -> О — однопараметрическая
подгруппа. Пусть γ' — геодезическая, имеющая тот же
касательный вектор в е9 что и γ. Как мы видели, γ' есть
однопараметрическая подгруппа. Следовательно, γ' — γ.
Доказательство закончено.
Векторное поле X на группе Ли G называется лево-
инвариантным, если (La\(Xt)=Xa-b при любых а,
b из О. Если поля X и Υ левоинвариантны, то поле [X, Υ]
тоже левоинвариантно. Алгебра Ли $ группы О есть
векторное пространство левоинвариантных векторных полей,
превращенное в алгебру операцией [ ].
Алгебра g есть действительно алгебра Ли, так как
тождество Якоби
[[X, Y].Z] + UY9 Ζ), Χ] + [[Ζ9 Χ). Κ] = 0
выполняется для любых (не обязательно левоинвариантных)
векторных полей Χ, Υ и Ζ.
Теорема 21.3. Пусть О — группа Ли с двусто-
ронке инвариантной римановой метрикой. Если X,
К, Ζ и W — левоинвариантные векторные поля
на G, то
(а) <[*, Υ],Ζ) = {Χ. [Г, Ζ]>,
(б) R(X. K)Z = -I[[*, Y]tZ].
(в) (R(X. Υ)Ζ. W) = \[[X, Κ], [Ζ, W]}.
Доказательство. В § 8 мы ввели обозначение
X |— Υ для ковариантной производной К в направлении X.
Для любого левоинвариантного поля X выполняется
тождество
*[-* = ().

124 Гл. IV. Приложения к группам Ли
так как интегральные кривые поля X являются левыми
сдвигами однопараметрических подгрупп и, следовательно,
геодезическими. Поэтому
(Χ+Υ)\- (* + У)«(*Н Х)+(Х\- К)+
+ (К|-*) + агНЮ
равно нулю; следовательно,
С другой стороны,
(X\-Y)-(Y\-X) = [X, П.
согласно определению 8.5. Складывая эти два уравнения·
получаем
(г) 2(Χ\-Υ) = [Χ, П.
Напомним тождество из § 8
Υ{Χ, Ζ) = {Υ\-Χ, Ζ) + {Χ, Υ\-Ζ)
(см. следствие 8.4). Левая часть равна нулю, так как
(Χ, Ζ) постоянно. Подставляя формулу (г) в это
уравнение, получаем
0 = <{К. Χ]. Ζ) + {Χ% [Υ. Ζ)).
Наконец, используя кососимметричность [К, Х]% получаем
искомую формулу 1)
(а) {[Χ. Κ], Ζ> = <*. [Υ, Ζ]).
По определению, R(X, Υ) Ζ равно
-(Χ\-(Υ\-Ζ)) + (Υ\-(Χ\-Ζ)) + ([Χ, Υ]\-Ζ).
При подстановке формулы (г) это выражение принимает вид
-|[АГ. [К, Ζ]1 + 1[Κ, [Χ% Ζ[\+\[[Χ. Π, Ζ\.
Отсюда, используя тождество Якоби, выводим искомую
формулу
(б) R(X, K)Z = 1[[X, Υ]. Ζ).
Формула (в) вытекает из (а) и (б).
!) Трилинейная функция Х> К, Ζ->([Χ, Υ], Ζ) оказывается,
таким образом, кососимметричной по всем трем переменным.
Получается левоинвариантная дифференциальная 3-форма на (7,
представляющая элемент группы когомологий де Рама tP(G).
Таким путем Картан доказал, что Н3 (G) Φ 0 для любой неабе*
левой компактной связной группы Ли (см. [15]).

§ 21. Группы Ли как симметрические пространства 125
Следствие 21.4. Кривизна по любому
двумерному направлению {R(X, Y)X, К) = ~([Л\ Υ], [*. Υ])
неотрицательна и обращается в нуль тогда и
только тогда, когда [X, К] = 0.
Напомним, что центр с алгебры Ли g определяется
как множество тех АГ£д, для которых [X, К] = 0 при
всех К £ g.
Следствие 21.5. Если О имеет двусторонне
инвариантную метрику, а центр ее алгебры Ли
g тривиален* то G компактна и фундаментальная
группа G конечна.
Доказательство. Это вытекает из теоремы
Майерса (§ 19). Пусть Хх — любой единичный вектор
из д; построим ортонормированный базис Хх Хп.
Кривизна Риччи
Κ(Χν *χ)= Σ </?(*!. ΧύΧχ* Xt)
должна быть строго положительной, так как [Xv Xt\ Φ 0
при некотором /. Кроме того, величина Κ(Χχ> Χχ)
отграничена от нуля снизу, так как единичная сфера в g
компактна. Поэтому, согласно следствию 19.5, многообразие О
компактно.
Этот результат можно несколько усилить. Справедливо
Следствие 21.6. Односвязная группа Ли О с
двусторонне инвариантной метрикой распадается в
декартово произведение G'XR*. где G'— компактная
группа и R*— евклидово пространство,
рассматриваемое как аддитивная группа Ли. Центр алгебры
Ли группы G' тривиален.
Обратно, очевидно, что каждое такое произведение
G* X R* обладает двусторонне инвариантной метрикой.
Доказательство. Пусть с — центр алгебры Ли д,
и пусть
д' = {ЛГ£д:(Л:, С) = 0 при всех С£е}

126 Гл. IV. Приложения к группам Ли
— ортогональное дополнение к с. Тогда %' является
подалгеброй Ли. В самом деле, если X, Y£q' и С £ с, то
<[*, К].С> = <*. [К, С]> = 0.
следовательно, [Χ, Υ] £ g'. Поэтому алгебра g распадается
в прямую сумму g'©c алгебр Ли. Значит, G распадается
в декартово произведение G' X G", где G' компактна,
согласно 21.5, a О" односвязна и абелева и, следовательно,
изоморфна некоторому R* (см. [45]). Доказательство
закончено.
Теорема 21.7 (Ботт). Пусть О — компактная
односвязная группа Ли. Тогда пространство петель
£3(0) имеет гомотопический тип клеточного
комплекса без нечетномерных клеток с конечным числом
клеток любой четной размерности λ.
Итак, λ-я группа гомологии пространства 2(0) есть
нуль, если λ нечетно, и свободная абелева группа
конечного ранга, если λ четно.
Замечание 1. Указанный в теореме клеточный
комплекс будет всегда бесконечномерным. Например, если
О — группа 53, состоящая и» единичных кватернионов, то,
как мы видели, группы гомологии Я/(2(53)) являются
бесконечными циклическими при всех четных /.
Замечание 2. Теорема остается справедливой и для
некомпактных групп. Действительно, каждая связная группа
Ли содержит в качестве деформационного ретракта
компактную подгруппу (см. [13]).
Доказательство теоремы 21.7. Выберем две
точки ρ и q в G, не сопряженные ни вдоль какой
геодезической. По теореме 17.3 2(0; р, q) имеет
гомотопический тип клеточного комплекса, в котором каждой
геодезической индекса λ, соединяющей ρ с qt отвечает одна
клетка размерности λ. Согласно теореме 19.4, число
клеток каждой размерности λ конечно. Остается только
доказать, что любая геодезическая имеет четный индекс λ.
Рассмотрим геодезическую γ, выходящую из ρ с
вектором скорости

§ 21, Группы Ли как симметрические пространства 127
В соответствии с теоремой 20.5, сопряженные с ρ точки γ
определяются собственными числами линейного
преобразования
где
KV:TQD->TGD9
1
Kv(W) = R<y. W)V=^av. w\. V]
Определив присоединенный гомоморфизм
AdV: g->g
соотношением
Ad V (W) = [V, W].
найдем
Kv = — ~(AdV>(Adl/).
Линейное преобразование Ad К кососимметрично, т. е.
{AdV(W)t W) = — {W9 AdV(W%
Это немедленно следует из 21.3, (а). Поэтому можно
выбрать в $ такой ортонормированный базис, в котором
матрица AdV имеет вид
0
ах 0
0
а*
а2 0
Следовательно, произведение линейных преобразований
(AdV)°(AdV) имеет матрицу
-а*
— ai

128 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Поэтому ненулевые собственные числа преобразования
Ку = — -ξ-(Αάν)2 положительны и имеют четную
кратность.
Из теоремы 20.5 следует, что точки, сопряженные
с ρ вдоль γ, также имеют четную кратность. Вместе с
теоремой об индексе это показывает, что каждая
геодезическая, ведущая из ρ в q, имеет четный индекс λ, что и
требовалось доказать.
§ 22. Многообразия, составленные
из минимальных геодезических
До сих пор мы рассматривали пространство путей
Ω(Λ1; /?, q), связанное с двумя точками р, q£M „общего
положения". Однако, как указал Ботт, можно получить
очень полезные результаты, рассматривая пары точек р, q,
расположенных некоторым специальным образом.
Например, пусть Μ — единичная сфера 5Л+1 и р, q —
противоположные точки. Тогда минимальных геодезических,
соединяющих ρ с q, бесконечно много. Действительно,
пространство минимальных геодезических Ω** является гладким
д-мерным многообразием, которое можно отождествить
с экватором SnczSn+l. Мы увидим, что это пространство
минимальных геодезических оказывается хорошей
аппроксимацией всего пространства петель 2(5Λ+1).
Φ
Я
Пусть Μ — полное риманово многообразие и р9 q £ Μ—
две точки на расстоянии р(р, q) = y~d друг от друга.

§ 22. Многообразия из минимальных геодезических 129
Теорема 22.1. Если пространство Qd
минимальных геодезических из ρ в q является топологическим
многообразием и если каждая неминимальная
геодезическая из ρ в q имеет индекс не меньше λ0, то
относительные гомотопические группы тгД2, Qd)
тривиальны при 0 <; / < λ0.
Следовательно, при / ^ λ0 — 2 гомоморфизм включения
^(Ω^-^Ω)
является изоморфизмом. Но хорошо известно, что
гомотопическая группа π^(Ω) изоморфна πι+ι(Μ) при
любом / [43]. Таким образом, мы получаем
Следствие 22.2. В тех же предположениях
группа ^(Ω*) изоморфна π/+1(Λί) при 0^/^λ0 — 2.
Применим это следствие к случаю противоположных
точек сферы Sn+l. Очевидно, предположения выполнены
при λ0==2/ι. В самом деле, каждая неминимальная
геодезическая должна обойти по крайней мере полтора раза
вокруг Sn+l и содержать внутри две сопряженные точки,
каждая кратности п. Мы доказали
Следствие 22.3. (Теорема Фрейденталя о надстройке.)
Гомотопическая группа ^(5Л) изоморфна π/+1(5/1"1 ι)
при i^2n— 2.
Из теоремы 22Л вытекает также изоморфизм групп
гомологии пространства петель Ω и многообразия Ω** в
размерностях, не превосходящих Xq — 2. Это получается из
теоремы 22.1 с помощью относительной теоремы Гуре-
вича (см., например [43, стр. 415] и [35]).
Остальную часть § 22 мы посвятим доказательству
теоремы 22.1. Это доказательство будет основано на
следующей лемме, утверждающей, что условие — „все
критические точки имеют индекс не меньше λ^ — сохраняется
при малом шевелении заданной функции.
Пусть К — компактное подмножество евклидова
пространства R" и (/ — окрестность К\ пусть
/:i/->R
— гладкая функция, все критические точки которой,
лежащие в /С, имеют индекс не меньше \.

130 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Лемма 22.4. Если g:U->R— любая гладкая
функция, ^близкая" к f в том смысле, что для
некоторого достаточно малого е
όχι όχι II dxi dxj dxi dxj
<e (/. / = 1 n)
равномерно в К, то все критические точки g в К
имеют индекс не меньше λ0.
(Заметим, что у / допускаются вырожденные
критические точки. В приложениях g — близкая функция без
вырожденных критических точек.)
Доказательство леммы 22.4. Первые
производные функции g грубо описываются одной действительной
функцией
ν*>=Σ|-3&|>°
на U, равной нулю в критических точках g и только
в них. Вторые производные g можно грубо описать с
помощью η непрерывных функций
е ι · · ·» е * и —> Κι
где
обозначают η собственных чисел матрицы 1-з—^—). Итак,
критическая точка χ функции g имеет индекс не меньше λ
тогда и только тогда, когда число ех (х) отрицательно.
Непрерывность функций ех вытекает из непрерывной
зависимости λ-го собственного значения симметрической
матрицы от элементов матрицы1). Это, в свою очередь,
вытекает из непрерывной зависимости корней многочлена
от его коэффициентов. (См. § 14 книги [17].)
1) Это утверждение допускает следующее уточнение.
Рассмотрим две симметрические матрицы η χ п. Если соответствующие
элементы этих матриц различаются не более чем на ε, то
соответствующие собственные значения отличаются, самое большее,
на ле. Это можно доказать с помощью минимаксного
определения собственных чисел, предложенного Курантом (см. § 1 статьи
Куранта [18]).

§ 22. Многообразия из минимальных геодезических 131
Пусть mg(x)— большее из двух чисел kg(x) и — е^(х).
Аналогично пусть Шу(х) — большее из соответствующих
чисел kf(x) и —exf(x). Из предположения, что все
критические точки / в К имеют индекс не меньше Xq,
вытекает, что —**?(.*:)> О при kf(x) — Q. Иначе говоря,
Mj(x) > 0 при всех χ £ /С
Обозначим через δ > 0 минимум т^ на /С.
Предположим, что функция g столь близка к /, что при всех χζΚ
\kg(x)-kf(x)\<b. J ^Ч*)-*>(*) I < δ. (*)
Тогда величина mg(x) положительна при χζΚ и,
следовательно, каждая критическая точка g в К имеет индекс
не меньше λ0.
Чтобы закончить доказательство леммы 22.4, нужно
только показать, что неравенства (*) вытекают из
неравенств
|^IL_i^|<e 1 ^g d*f ι
I dxi dxi I I dxi dxj dxi dxj | ^
при достаточно малом ε. Это следует из соображений
равномерной непрерывности (мы предоставляем читателю
провести соответствующие рассуждения) или из
предыдущего примечания.
Докажем теперь аналог теоремы 22.1 для
действительных функций, заданных на многообразии.
Пусть / : Μ —► R — гладкая действительная функция,
минимум которой равен нулю, такая, что каждое
множество Мс = /~1 [0, с] компактно.
Лемма 22.5. Если множество М° точек минимума
является многообразием и каждая критическая
точка в Μ — М° имеет индекс не меньше λ0, то
*Г(М, М°) = 0 при 0<r<V
Доказательство. Заметим сначала, что М°
является ретрактом некоторой своей окрестности UcrM.
Действительно, Ханнер доказал, что каждое
многообразие М° есть абсолютный окрестностный ретракт
(теорема 3.3 в статье [40]). Заменяя U меньшей окрестностью
(если это потребуется), мы можем считать, что
каждая точка из U соединена с соответствующей точкой в М°

132 Гл. IV. Приложения к группам Ли
единственной минимальной геодезической. Итак, U можно
продеформировать в MP внутри М.
Обозначим через Г единичный куб размерности г < λ0,
и пусть
h\(I\ /V)~>(M, M°)
— любое непрерывное отображение. Мы должны показать,
что h гомотопно отображению А', для которого h' (Ir)czM°.
Пусть с есть максимум / на h (Г). Пусть 3δ > 0 есть
минимум / на множестве Μ — U (функция / имеет
минимум на множестве Μ — £/, так как каждое Μс — U
компактно).
Выберем теперь гладкую функцию
g:Me+2S-+K.
близкую к / и не имеющую вырожденных критических
точек. Такая функция существует, согласно следствию 6.8.
Близость g к / здесь понимается в следующем смысле:
0) |/(*) — £(*)!<* при всех х£Мс+2Ь;
(2) индекс g больше или равен λ0 в каждой
критической точке компактного множества /-Ι[δ. £ + 2δ].
Из леммы 22.4 вытекает, что условие (2) будет
выполнено, если функция g достаточно хорошо
аппроксимирует / и при этом аппроксимируются также первые и
вторые производные. В самом деле, компакт /~г [δ, с -f~ 2δ]
можно покрыть конечным числом компактов /С/, каждый
из которых лежит в одной координатной окрестности.
Лемма 22.4 применима тогда к каждому Кг
Доказательство леммы 22.5 проводится теперь
следующим образом. Функция g — гладкая в компактной области
g~l[2b, с-±-Ъ]с2/~1 [δ, ί + 2δ], все ее критические точки
невырождены и имеют индекс не меньше λ0.
Следовательно, многообразие g~l(—оо, с -f- δ] имеет
гомотопический тип g"1 (— оо, 2δ] с приклеенными клетками
размерностей не меньше λ^
Рассмотрим теперь отображение
h : (Λ Г)->(МС, M°)c:(g-1 (—оо, έτ + δ], Λί°).

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 133
Так как г < λ0, отображение h в (g~l(—оо, £ + δ]> Μ°)
гомотопно отображению
Л' : (/', /v)->(g-i(_ оо, 28], М°).
Но последняя пара содержится в (ί/, Л1°), и U внутри Μ
деформируется в Λί°. Следовательно, h' гомотопно внутри
(М, М°) отображению Л" : (/г, 1Г)-+(М°, Λί°).
Доказательство леммы 22.5 закончено.
Исходная теорема 22.1 доказывается теперь
следующим образом. Очевидно, достаточно доказать, что
^ (Int 2C, Qd) = 0
при произвольно больших значениях с. Как в § 16,
пространство Int Ω* содержит гладкое многообразие
Int Qc (tQt tv ..., tk) в качестве деформационного ретракта.
Пространство минимальных геодезических Qd содержится
в этом гладком многообразии.
Ограничение функции действия E:Q —>R на
Int2*(/0, tv .... tk) почти удовлетворяет условиям 22.5.
Единственное затруднение состоит в том, что значения
Ε (ω) пробегают интервал d^E < £ вместо требуемого
интервала [0, оо). Для исправления этого несоответствия
рассмотрим любой диффеоморфизм
F: [dt с)-МО, оо).
Тогда
FoE:lntQc(tQt tx **)->R
удовлетворяет всем предположениям леммы 22.5.
Следовательно, группа
Ъ (Int Qc (t0 tk), Qd) S π, (Int Qc, Q<*)
тривиальна при I < λ0. Доказательство закончено.
§ 23. Теорема Ботта о периодичности
для унитарной группы
Начнем с обзора известных фактов, касающихся
унитарной группы. Пусть Сп — пространство наборов η
комплексных чисел с обычным эрмитовым скалярным
произведением. По определению унитарной группой U (п)

134 Гл. IV. Приложения к группам Ли
называется группа всех линейных преобразований 5 : Сп ->
->СЛ, сохраняющих это скалярное произведение.
Представляя преобразования матрицами, можно сказать, что
U (л) есть группа всех комплексных (лХл)-матриц 5,
таких, что SS* = I, где 5* — матрица, сопряженная
(транспонированная комплексно-сопряженная) с S.
Для любой комплексной (η X п)-матрицы А
экспонента А определяется сходящимся степенным рядом
ехрЛ = /+Л + ^+'-1лз+.,..
Легко проверяются следующие свойства экспоненты:
(1) ехр (Л*) = (ехр Л)*; ехр^ЛГ^^Пехр Л) Г"1;
(2) если А и В коммутируют, то
ехр (А + В) = (ехр А) (ехр В)..
В частности,
(3) (ехрЛ)(ехр(-Л)) = /;
(4) функция ехр отображает окрестность нуля
в пространстве (η Χ п)-матриц диффеоморфно на
окрестность матрицы I.
Если матрица А косоэрмитова (т. е. Л + Л* = 0), то
из (1) и (3) вытекает, что ехр А унитарна. Обратно, если
ехр Л унитарна и А достаточно близка к 0, то из (1), (3)
и (4) вытекает, что Л-|-Л* = 0. Пользуясь этим, легко
доказать свойства
(5) U (п) есть гладкое подмногообразие
пространства (η Χ п)-матриц\
(6) касательное пространство 711 (я)7 можно
отождествить с пространством косоэрмитовых (η Χ п)-
матриц.
Следовательно, алгебра Ли <} группы U(/t) тоже может
быть отождествлена с пространством косоэрмитовых матриц.
В самом деле, любой касательный вектор в /
единственным образом продолжается до левоинвариантного
векторного поля на U(n). Вычисление показывает, что скобке
Пуассона левоинвариантных векторных полей
соответствует коммутатор матриц [Л, В] = АВ — В А.
Так как группа V(n) компактна, она обладает дву-
сторонне инвариантной римановой метрикой. Заметим, что

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 135
функция
exp :rU(/i)7~>U(/t)f
определенная с помощью экспонент матриц, совпадает
с функцией ехр, определенной в § 10 при помощи
геодезических на полученном римановом многообразии. В самом
деле, для любой косоэрмитовой матрицы А соответствие
t -> ехр (М)
определяет однопараметрическую подгруппу группы U(/n
(согласно свойству (2), приведенному выше), а значит,
геодезическую.
Специальная риманова метрика на U(/t) может быть
определена следующим образом. Для данных матриц
Л, В £ g обозначим через {А, В) действительную часть
комплексного числа
Тг(ЛВ*)=2 АиВи.
Очевидно, это скалярное произведение положительно
определено на д.
Скалярное произведение на g определяет на V(n)
единственную левоинвариантную риманову метрику. Чтобы
проверить, что эта метрика также правоинвариантна,
нужно убедиться в том, что скалярное произведение
инвариантно относительно присоединенного действия U (п) на д.
Определение присоединенного действия Ad(5).
Каждый элемент 5 £ U (я) определяет внутренний
автоморфизм
X->SXS~l = (LsRtl)X
группы U (/г). Индуцированное линейное преобразование
№ϊι\:Τυ{η)ι->Τυ(η)ι
обозначается Ad (S). Таким образом, Ad (5) есть
автоморфизм алгебры Ли группы" U (я). Утверждение (1) (см.
выше) позволяет написать явную формулу
kd(S)A = SAS'\
где Л£д, S£\J(n).

136 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Скалярное произведение (Л, В) сохраняется при
любом таком автоморфизме Ad (5). Действительно, если
Аг = Ad (5) А, Вх — Ad (5) В, то из тождества
ΑλΒ\ = SAS'1 (SBS~1)* = SAB*S~l
вытекает, что
Тг (АХВЪ = Тг (SAB*S~l) = Тг {АВ*).
и, следовательно,
{AvBl) = {A,B).
Поэтому соответствующая левоинвариантная метрика на
U (п) также и правоинвариантна.
Из обычной теории матриц известно, что для любой
матрицы Α £ g существует такое Τ £ U (я)» что матрица
ч-1
Τ AT диагональна:
ТАТ~1 =
{la,
ia*
ia„
где ak действительны. Точно так же для любого S£U(/&)
существует такое Т£\}(п), что
(eiax
TST~l =
е п
где ak снова действительны. Таким образом, мы
непосредственно убеждаемся в том, что отображение ехр : g->U(fl)
является отображением на.
Аналогичным образом можно рассмотреть специальную
унитарную группу SU(/t). По определению, SU(/i) есть
подгруппа U (л), состоящая яз всех матриц с
определителем 1. Рассматривая ехр как обычную экспоненту матрицы
и используя диагональную форму, легко показать, что
det(exp A) = eTrA.

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 137
Из этого соотношения можно усмотреть, что алгебра Ли g
группы SU (п) есть множество всех матриц Л, для которых
А-{-А* = 0 и след Л равен нулю.
Чтобы применить теорию Морса к изучению
топологии U (п) и SU (п), мы начнем с рассмотрения множества
всех геодезических в \ί(η), соединяющих /и —/. Иными
словами, мы будем искать A£TO(n)j = $9 для которых
ехр А = — /. Пусть А — такая матрица; если она не
диагональна, то пусть T£U(ri) — такое, что ТАТ~1 диа-
гональна. Тогда
ехр Τ AT
-ι
: Τ (ехр А) Т~ι = Τ (— /) Τ'ι = — /.
Поэтому достаточно отыскать диагональные матрицы
В этом случае
ш,
ία.
ехр А —
7ία,
I
е п
так что ехрЛ =— / тогда и только тогда, когда А имеет
вид
kxiTz
kdtz
кпы
R>\ ι /Со
с нечетными целыми Λ1> л>2, .... ^л.
Так как длина геодезической t->exptA от / = 0
до ί=1 равна |А\ = |/ТгЛЛ*, то длина геодезической,
определенной матрицей Л, равна π V Λ?+ ... +ЛЛ. Итак,
Л определяет минимальную геодезическую тогда и только
тогда, когда каждое kl равно ± 1, и в этом случае длина
геодезической равна π γ~η. Рассматривая такое Л как

138 Г л, IV, Приложения к группам Ли
линейное отображение Сп на С", замечаем, что А
полностью определяется своими собственными
подпространствами Eigen (/π) (состоящим из всех векторов и£Сл.
для которых Αν = 1πν) и Eigen (—/π) (состоящим из
всех ν £ Сл, для которых Αν = — ίπν). Так как С1
разлагается в ортогональную сумму Eigen (/π) © Eigen (—/π),
матрица А полностью определяется пространством Eigen (/π),
которым может быть произвольное подпространство в Сп.
Итак, пространство всех минимальных геодезических U (п),
соединяющих /с —/, можно отождествить с
пространством всех векторных подпространств в Сл.
К несчастью, этим пространством несколько неудобно
пользоваться, так как его компоненты имеют разные
размерности. Этого затруднения можно избежать, заменив V(n)
пространством SU(fl) и положив п = 2т. В этом случае
все предыдущие рассуждения сохраняются, но
дополнительное условие αλ + ... + а2т = 0, где α ι = ± π, вынуждает
пространство Eigen (/π) быть /ю-мерным (в остальном —
произвольным) векторным подпространством в С2т. Это
доказывает следующую лемму.
Лемма 23.1. Пространство минимальных
геодезических, соединяющих I с —/ в специальной
унитарной группе SU(2m), гомеоморфно комплексному
многообразию Грассмана Gm(C2m), состоящему из
всех т-мерных векторных подпространств
пространства С2т.
В конце этого параграфа будет доказана
Лемма 23.2. Каждая неминимальная
геодезическая, соединяющая 1с —I в SU(2/rc), имеет индекс
не меньше 2т -\- 2.
Объединяя эти две леммы с результатами,
изложенными в § 22, получаем следующее утверждение.
Теорема 23.3 (Ботт). Отображение включения
От (С2т) -> Ω (SU (2т); /, — /) индуцирует изоморфизмы
гомотопических групп в размерностях, не
превосходящих 2т. Поэтому при I < 2т имеем
^Gm(C2m)^*i+1SU(2m).

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 139
С другой стороны, стандартные методы теории гомо-
топий приводят к некоторым другим изоморфизмам.
Лемма 23.4. Группа ^Om(C2m) изоморфна wj_xU(m)
при I < 2т. Далее, при i < 2т
^^UHS^-iU^+lJ^ViU^ + ^S ...
и при j Ф\
rc;U(m)^irySU(m).
Доказательство. Заметим сначала, что при
любом т существует расслоение
U(/w)->U(m+l)->S2m+1.
Из точной гомотопической последовательности этого
расслоения
видно, что
TCf-iUCflO^ETCj^Uim+l) при /<2/и.
(См. [34].) Следовательно, гомоморфизмы включения
π^1ϋ(/η)->π/_1ϋ(^+1)->π^.ιυ(/Λ + 2)~> ...
все являются изоморфизмами, если / ^ 2т. Эти
изоморфные друг другу группы коротко обозначаются через π^ϋ
и называются (/—1)-й стабильной гомотопической
группой соответствующей унитарной группы.
Та же точная последовательность показывает, что при
lz=2m~\-l гомоморфизм
*2/tzU ("О ~* ЪпР (т + 1) = π2/7|ϋ
является отображением на.
Комплексным многообразием Штифеля называется
пространство классов смежности U (2m)/U (m). Точная
последовательность расслоения
U (m) -> U (2т) -> U (2m)/U (m)
показывает, что π^ (U (2m)/{J (m)) = О при i < 2т.
Комплексное многообразие Грассмана можно
отождествить с пространством классов смежности Gm(C2m) —

140 Гл. IV. Приложения к группам Ли
= U (2m)/U (т) X U (т) (см. Стинрод [34, § 7]). Из
точной последовательности расслоения
U (m) -> U (2m)/U (m) -> Om (C2m)
получаем при 1^.2т изоморфизм
Наконец, из точной последовательности расслоения
видно, что при J Φ 1
Лемма 23.4 доказана.
Объединяя лемму 23.4 с теоремой 23.3, находим
*,-iU = π,-ιϋ (m) = Щ0т (C2m) S ^i+1SU (2m) S πι+ιϋ
при 1<;/<;2т. Таким образом, доказана
Теорема периодичности, π^ϋ^π^υ при С^Л.
Для вычисления этих групп достаточно заметить, что U (1)
есть окружность, так что
που = που(1) = 0,
itjU = πχυ (1) = Ζ (бесконечная циклическая).
В качестве проверки рассмотрим трехмерную сферу SU (2).
Имеем
ic2U = ic2SU(2) = 0,
π3υ = π35υ(2)^Ζ.
Итак, доказана следующая
Теорема 23.5 (Ботт). Стабильные гомотопические
группы icjU унитарных групп периодичны с
периодом 2. А именно группы
που ~ tc2U ^ π4υ ^ . . .
равны нулю, а группы
rcjU = π3ϋ 9Ё π5υ = . ..
— бесконечные циклические.

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 141
Остальная часть § 23 посвящена доказательству
леммы 23.2. Мы должны сосчитать индексы всех
неминимальных геодезических, соединяющих /с —/в SU(/&).
где η четно. Напомним, что алгебра Ли
β/ = Τ(8ϋ(Λ))ι
состоит из всех косоэрмитовых (# χ я)-матриц со следом
нуль. Заданной матрице Л£д' соответствует
геодезическая из / в —/ тогда и только тогда, когда собственные
числа А имеют вид /π&1§ ..., /тсАя, где kv ..., kn —
нечетные целые числа, дающие в сумме нуль.
Мы должны найти точки, сопряженные с / вдоль
геодезической
/ -> ехр (М).
Согласно теореме 20.5, они определяются
положительными собственными числами линейного преобразования
Кл'-%'->*-
где
1
KA(W) = R(A. W)A = ±[[A, W]. A]
(см. теорему 21.7).
Можно предположить, что матрица А диагональна:
Л =
/π£.
Ink,
где kx ^ ft2 ^ " · ^ *я· Положим W = (w^). Короткое
вычисление показывает, что
[Л, W] = (i<K(kj — kl)wJl),
следовательно,
[A, [A, W))=(-^(kj- ktfwn\
Укажем теперь базис в д', состоящий из собственных
векторов преобразования КА, а именно:

142 Гл. IV. Приложения к группам Ли
1) при любом У</ матрица Ejt (с элементами ^=1,
etj = — 1, остальные нули) принадлежит д' и является
собственным вектором с собственным значением
2) точно такими же свойствами обладает матрица Eji,
j < i (с элементами ^ = *у = -f- /, остальные нули);
3) каждая диагональная матрица из §' — собственная,
с собственным значением нуль.
Итак, ненулевые собственные значения преобразования
π2
КА равны -j- (kj — &z)2, где kj > kv причем каждое из них
двукратное.
Рассмотрим теперь геодезическую γ(ί) = εχρίΑ Каждое
собственное значение е = — (kj—kt)2 > 0 порождает серию
сопряженных вдоль γ точек, соответствующих значениям
, π 2π 3π
7Т9 7Tf 7Tf ""
(см. теорему 20.5). Подставляя вместо е его значение,
находим
t = _2__ 4 6
kj — ki kj — k% kj — ki
Число таких значений / в открытом интервале (0, 1), оче-
bj—kt
видно, равно —~ *·
Теперь применим теорему об индексе. Для любых /, /,
таких, что kj > kl% мы получим двукратное собственное
π2
значение -r-{kj — k^)- и, соответственно, двойной вклад
в индекс
Суммируя по всем j Z, получаем для индекса
геодезической γ формулу
\= 2 (Л* —Л| —2).

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 143
Например, если γ — минимальная геодезическая, то
все kj равны ±1. Поэтому λ = 0, как и следовало ожидать.
Теперь рассмотрим неминимальные геодезические. Пусть
n = 2m.
Случай 1. По меньшей мере m-\-l из чисел ki
имеют один знак, скажем отрицательны. В этом случае
хотя бы одно из положительных чисел ki должно быть
не меньше 3. Имеем
тп + 1
λ> Σ(3-(-1)-2) = 2(«+1).
1
Случай 2. Среди чисел ki ровно m положительных
и m отрицательных, но не все они равны ± 1. Тогда одно
из них не меньше 3 и одно не больше — 3, так что
ш — 1 т-1
λ> 2(3-(-1)-2)+2(1-(-3)-2) +
+ (3 — (—3) — 2) = 4т > 2 (ш + 1).
Итак, в обоих случаях X^2w-f-2. Это доказывает
лемму 23.2 и тем самым завершает доказательство
теоремы 23.3.
§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы
В этом параграфе приводится аналогичное изучение
итерированного пространства петель ортогональной
группы. Это исследование будет несколько конспективным;
мы опустим многие детали. Наша точка зрения навеяна
статьей [7], связывающей теорему периодичности со
структурой некоторых клиффордовых алгебр.
Рассмотрим векторное пространство R" с обычным
скалярным произведением. Ортогональная группа 0(/ι)
состоит из всех линейных преобразований
Т:Цп-+Ъп,
сохраняющих это скалярное произведение. Иначе говоря,
О (п) состоит из всех действительных (η Χ я)-матриц 7\
таких, что 7Т* = /. Эта группа О (я) вкладывается
в унитарную группу U(/t) в качестве гладкой подгруппы;
поэтому она наследует двусторонне инвариантную риманову
метрику.

144 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Предположим теперь, что η четно.
Определение. Комплексной структурой У в R71
называется линейное преобразование 7:R/I->R/I,
принадлежащее ортогональной группе и удовлетворяющее
тождеству У2 = — /. Пространство всех таких комплексных
структур в R" будет обозначаться через Ω^λ).
Мы вскоре увидим, что Qi(n) есть гладкое
подмногообразие ортогональной группы О(п) (лемма 24.4).
Замечание. Зафиксируем структуру Jx £Qx(n).
Пусть II (η/2) — подгруппа в О (п), состоящая из всех
ортогональных преобразований, перестановочных с Jv
Тогда Qi(n) можно отождествить с факторпростран-
ством О (Λ)/ϋ (/г/2).
Лемма 24.1. Пространство минимальных
геодезических в О (л), соединяющих 1с —/, гомеоморфно
пространству Qi(n) комплексных структур в R*.
Доказательство. Пространство О(п) можно
отождествить с группой ортогональных (η X п)-матриц. Ее
касательное пространство g = 70 (я)/ отождествляется с
пространством кососимметрических (η Χ я)-матриц. Каждая
геодезическая γ, для которой γ(0) = /, единственным
образом записывается в виде
γ(ί) = βχρ(πΜ)
с некоторой матрицей А£%.
Пусть п = 2т. Так как матрица А кососимметриче-
ская, существует такая матрица Τ £ Ο (η), что
[ ° а\ \
— ах О
0 а2
ТАГ1 Λ ~α> °
ι * ι

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 145
где av a2, .... ат^>0. Простое вычисление показывает,
,-1
что матрица Т(ехркА)Т имеет вид
cosufl^ sinuaj О
sin πα
О
О
СОЪКОц
о
О
О
О
О
cosua2 sinua2.
sinua2 cos7ra2
Итак, ехр(тсЛ) =— / тогда и только тогда, когда
#1, а
2»
ат — нечетные целые числа.
Как легко проверить, скалярное произведение (Л, А)
равно 2(а\-\-а\-\- ... + 0^). Следовательно,
геодезическая γ(ί) = βχρ(πΜ), соединяющая /с —Λ минимальна
тогда и только тогда, когда
Если γ минимальна, то
О 1
ах = а2 =
Г"1
-1 О
О 1
-1 О
г=-/,
поэтому А есть комплексная структура.
Обратно, пусть У—любая комплексная структура. Так
как матрица У ортогональна, имеем
JJ* = I,
где У* означает транспонированную матрицу У. Это
обстоятельство, вместе с тождеством УУ=—/, показывает,
что У* = — У. Итак, матрица У кососимметрическая.
Следовательно,
О аг
—а, О
TJT
-1

146 Гл. IV. Приложения к группам Ли
для некоторых alt а2 ат^>0 и некоторой матрицы Т.
Из тождества У2 = — / вытекает теперь, что ах== ...
...=ат=1 и, значит, ехртг/=— /. Лемма 24.1
доказана.
Лемма 24.2. Каждая неминимальная
геодезическая в О (2т), соединяющая 1с —/, имеет индекс
не меньше 2т— 2.
Доказательство аналогично доказательству леммы 23.2.
Пусть геодезическая имеет вид t->exp(ictA), где
\ 0 аг ]
I — а\ °
I 0 д9 I
А— I I
-а2 О
причем ах !> а2 !> ... ]> ат > 0 — нечетные целые числа.
Вычисление показывает, что ненулевыми собственными
значениями линейного преобразования КА = т- (Ad A)2
являются
1) при каждом t<J число (л^ + Д/)2/^
2) при каждом /</ и аьФа^ число (а£ — Д/)2/4.
Каждое из этих собственных значений двукратное. Это
приводит к формуле
λ= Σ (β, + α,—2) + 2 (α,-α,-2).
/ < У al>aj
Для минимальной геодезической имеем ах = α2 = ...
... = am = 1, так что λ = 0, как и следовало ожидать.
Для неминимальной геодезической flj>3 и поэтому
т
λ>Σ(3+1— 2)4-0 = 2λ —2.
2
Доказательство леммы 24.2 закончено.
Воспользуемся теперь теоремой 22.1. Две предыдущие
леммы и тот факт, что Qx (η) — многообразие, приводят
к следующему результату.

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 147
Теорема 24.3 (Ботт). Отображение включения
Qx(n)-~>QO(n) индуцирует изоморфизм
гомотопических групп в размерностях, не превосходящих п—4.
Поэтому при i < η — 4
«Α(/ι)^^+ιΟ(λ).
Теперь мы повторим проведенные рассуждения и
изучим пространство геодезических, соединяющих Ус —У
в Qx(n), и т. д. Предположим, что η делится на 2
в некоторой высокой степени.
Пусть Jlt ..., Jk_x— фиксированные комплексные
структуры в R", антикоммутирующие1) друг с другом:
при г Φ 5. Предположим, что существует еще хотя бы
одна комплексная структура У, антикоммутирующая
Определение. Обозначим через Qk(n) множество
всех комплексных структур в R", антикоммутирующих
с фиксированными структурами Jv ..., /Λ_χ.
Итак, имеем
Qk (n)cQk_x («)с= ... cQx (п)сО (η).
Очевидно, каждое из множеств Qk(n) компактно. Для
единообразия обозначений естественно положить 20(л) —
= 0(л).
Лемма 24.4. Каждое множество Qk (n) является
гладким вполне геодезическим2) подмногообразием
в О (я). Пространство минимальных геодезических,
соединяющих Jx с —Jt в Q{(n). гомеоморфно Ql+l(n)
при О < I < k.
Таким образом, каждая компонента Qk (n) является
симметрическим пространством. В самом деле,
изометрическое отражение О (л) относительно точки,
принадлежащей Qk (/ι), автоматически переводит Qk (n) в себя.
1) Эти структуры превращают R71 в модуль над
соответствующей клиффордовой алгеброй. Однако в последующем изложении
клиффордовы алгебры употребляться не будут.
2) Подмногообразие риманова многообразия называется
вполне геодезическим, если каждая геодезическая в
подмногообразии остается геодезической и в объемлющем многообразии.

148 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Доказательство леммы 24.4. Каждая точка
в О (л), достаточно близкая к единице, единственным
образом записывается в виде ехрЛ, где А — „малая" кососим-
метрическая матрица. Поэтому каждая точка в О (я),
близкая к комплексной структуре У, записывается однозначно
в виде УехрЛ, где А — снова малая кососимметрическая
матрица.
Утверждение 1. УехрЛ является комплексной
структурой тогда и только тогда, когда А анти-
коммутирует с У.
Доказательство. Если А антикоммутирует с У,
то JT AJ= — Л, и поэтому
/ = exp (У1 ЛУ) ехр А = У""1 (ехр А) У ехр Л.
Следовательно, (УехрЛ)2 =—/. Обратно, если (УехрЛ)2 =
= — /, то предыдущее вычисление показывает, что
ехр (У-1 AJ) ехр А = /.
Так как матрица А мала, отсюда вытекает равенство
rlAJ = — At
так что А антикоммутирует с У.
Утверждение 2. УехрЛ антикоммутирует
с комплексными структурами Jv ..., Ул_т тогда
и только тогда, когда А коммутирует с Jv ..., Jk_v
Доказательство аналогично предыдущему.
Заметим, что оба утверждения 1 и 2 налагают на А
линейные условия. Итак, окрестность У в Qk (n) состоит
из всех точек УехрЛ, где А пробегает все малые
матрицы из некоторого линейного подпространства алгебры
Ли д. Отсюда, очевидно, вытекает, что Qk (η) — вполне
геодезическое подмногообразие в О (/ι).
Теперь зафиксируем в Qk(n) точку Jk и предположим,
что существует комплексная структура У, антикоммути-
рующая с У1§ .... Jk. Полагая У=УЛЛ, мы легко
убедимся в том, что А также есть комплексная структура,
антикоммутирующая с Jk. Однако А коммутирует с Jv ...
..-. У*-1· Поэтому формула
/-*Улехр(1с/Л)

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 149
определяет в Qk (η) геодезическую, соединяющую Jk с —Jk.
Так как эта геодезическая минимальна в О (я), она
заведомо минимальна в Qk(ri).
Обратно, пусть γ — любая минимальная геодезическая,
соединяющая Jk с —Jk в Ωλ(λ). Полагая γ(ί) =
= УЛехр(тсМ), находим из 24.1, что А— комплексная
структура, а из утверждений 1 и 2, — что А
коммутирует с Jx УЛ_! и антикоммутирует с Jk. Отсюда
легко следует, что JkA принадлежит Qk+i(n)· Лемма
24.4 доказана.
Замечание. Точка JkA£Qk+l(n), соответствующая
данной геодезической γ, имеет очень простой смысл: это
середина геодезической, γ (γ).
Чтобы перейти к стабильной ситуации, заметим, что
Qk(n) можно следующим образом погрузить в Qk(n-\-n').
Зафиксируем антикоммутирующие комплексные структуры
j[ j'u в Rn'. Тогда каждая структура J£Qk(ri)
определяет комплексную структуру У® У* в R" φ R" , анти-
коммутирующую с J a® J а при <х=1 k—1.
Определение. Обозначим через Qk прямой предел
при л->оо пространств ΩΛ(η) с топологией прямого
предела (т. е. сильнейшей топологией). Пространство
Ο = Ω0 назовем бесконечной ортогональной группой.
Нетрудно видеть, что включения ΩΛ+1(/ι)->2ΩΛ(/ι)
порождают в пределе включения ΩΛ+1->2ΩΛ.
Теорема 24.5. При любом &!>0 предельное
отображение
Qft+1->2fift
является гомотопической эквивалентностью. Имеют
место изоморфизмы
Доказательство будет дано несколько ниже.
Сначала мы опишем каждое из многообразий ΩΛ(/ι)
для Л = 0, I, 2 8.
Q0(n) есть ортогональная группа.
Ωχ (η) есть множество всех комплексных структур в R*.

150 Гл. IV. Приложения к группам Ли
При фиксированной комплексной структуре Jx можно
рассматривать R" как комплексное векторное
пространство СЛ/2.
Q2(n) можно описать как множество „кватернионных
структур" в комплексном векторном пространстве СЛ/2.
При фиксированном У2 из &2 (Л) можно рассматривать Сл/2
как векторное пространство Нл/4 над кватернионами Н.
Пусть Sp(/*/4) — группа изометрий этого векторного
пространства на себя. Тогда Q2(n) можно отождествить
с факторпространством U (/t/2)/Sp (/t/4).
Прежде чем двигаться дальше, удобно положить
η = 16г.
Лемма 24.6-(3). Пространство Яг(\6г) можно
отождествить с кватернаонным многообразием
Грассмана, состоящим из всех кватернионных
подпространств пространства Н4г.
Доказательство. Каждая комплексная структура
Узб^зОбг) определяет разложение пространства Нг =
= R16r на два взаимно ортогональных подпространства Vx
и V2, как это объяснено ниже. Заметим, что JxJ2Jz —
ортогональное преобразование, квадрат которого ΛΛ-4ΛΛΛ
равен -f-7. Поэтому собственные числа ^У^з равны ±1.
Пусть l^1cR16r — подпространство, на котором УХУ2У3 co"
впадает с -f-7, a V2— ортогональное подпространство,
на котором JiJ^Jz совпадает с —/. Тогда, очевидно,
R16r — νχ0νν Так как JXJ2J$ коммутирует с Jx и У2,
ясно, что Vx и V2 инвариантны относительно Jx и У2.
Обратно, пусть дано разложение пространства Н4г =
= V\®V2 на два взаимно ортогональных кватернионных
подпространства. Тогда можно определить У3 £ Ω3 (16г)
соотношениями
Λ[ν2 = ΛΛ|ν2.
Лемма 24.6-(3) доказана.
Пространство Q3(16r) неудобно тем, что оно
содержит компоненты разных размерностей. Удобно
сосредоточить внимание на компоненте наибольшей размерности,
а именно на пространстве 2г-мерных кватернионных под-

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 151
пространств Н^. Далее мы будем считать У3 выбранным
так, что dimHV1 = dimHVr2 = 2r.
Лемма 24.6-(4). Пространство 24(16г) можно
отождествить с множеством всех кватернионных
изометрий Vx на V2. Таким образом, 24(16г) диф-
феоморфно симплектической группе Sp(2r).
Доказательство. Пусть /|6^4(^г)·
Произведение УдУ4 антикоммутирует с JXJ2J^ Поэтому У3У4
отображает Vx на V2 (и V2 на Vx). Так как У3У4 коммутирует
с У2 и У2, отображение
представляет собой кватернионный изоморфизм. Обратно,
пусть дан любой такой изоморфизм Τ :VX-+V2. Легко
видеть, что У4 однозначно определяется соотношениями
\j4\v2=-t-%
Лемма 24.6-(4) доказана.
Лемма 24.6-(5). Пространство 05(16г) можно
отождествить с множеством всех векторных
пространств WczVv таких, что
(1) W инвариантно относительно Jx {т. е. W —
комплексное векторное пространство),
(2) Vx разлагается в ортогональную сумму
W®J2W.
Доказательство. Пусть У5£05(16г). Заметим,
что преобразование JXJ4J5 коммутирует с JXJ^ и имеет
квадрат -\-1. Итак, JxJAJb отображает Vx на себя и
определяет разложение Vx на два взаимно ортогональных
подпространства. Пусть W с Vx — подпространство, на
котором JXJAJ$ совпадает с +/. Так как J2 антикоммутирует
с Jxj\J^, мы видим, что J2W cz Vx есть в точности
ортогональное W подпространство, где JXJ4J$ совпадает с —/.
Очевидно, JXW = W.
Обратно, нетрудно показать, что подпространство W
однозначно определяет некоторое У5.

152 Гл. IV. Приложения к группам, Ли
Замечание. Если U(2r) a Sp(2г) — группа кватер-
нионных автоморфизмов Vl% оставляющих W
неподвижным, то факторпространство Sp(2r)/U(2r) можно
отождествить с 25(16r).
Лемма 24.6-(6). Пространство 2б(16г) можно
отождествить с множеством всех действительных
подпространств X с W, та/сих, что W разлагается
в ортогональную сумму Χ © JXX.
Доказательство. Пусть Уб£Об(16/·). Заметим,
что преобразование У2У4Уб коммутирует и с JXJ2JZ, и
с JXJAJS. Следовательно, У2У4У6 отображает W в себя.
Так как (У2У4Уб)2 = /, отсюда следует, что У2У4Уб опРе"
деляет разложение W на два взаимно ортогональных
подпространства. Пусть X с W есть то подпространство, на
котором У2У4Уб совпадает с -|~/. Тогда JXX—
ортогональное подпространство, на котором У2У4У6 совпадает с — /.
Обратно, пусть дано X a W. Нетрудно видеть, что
Уб однозначно определяется.
Замечание. Обозначим через О (2г) с: U (2г) группу
комплексных автоморфизмов W, оставляющих X
неподвижным. Тогда факторпространство U (2г)/0 (2г) можно
отождествить с Q6(16r).
Лемма 24.6-(7). Пространство Q7(16r) можно
отождествить с действительным многообразием
Грассмана, состоящим из всех действительных
подпространств в «Yg^R2r.
Доказательство. Пусть У7 антикоммутирует
с У1§ .... Уб. Заметим, что JiJ6J7 коммутирует с JXJ2J^
JXJ4J5 и У^Л' а в квадрате дает -j-Λ Итак, JXJ6J7
определяет разложение X на два взаимно ортогональных
подпространства Хх (где JxJqJ7 совпадает с -\-f) и Х2 (где
У1УбУ7 совпадает с —/). Обратно, можно показать, что
Ххс X однозначно определяет У7.
Пространство Q7(16r), подобно figO^)* имеет
компоненты разной размерности. Мы снова ограничимся
компонентой наибольшей размерности, предполагая, что
dim Хх = dim Х2 = г.

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 153
Итак, мы получаем
Утверждение. Наибольшая компонента про-
странства Ω7(16γ) диффеоморфна многообразию
Грассмана, состоящему из r-мерных плоскостей
в R2'.
Лемма 24.6-(8). Пространство Q8(16r) можно
отождествить с множеством всех действительных
изометрий Χλ на Х2-
Доказательство. Пусть У8£28(16г). Тогда
ортогональное преобразование У7У8 коммутирует с JXJ2J^ ΛΛΛ
и ΛΛΛ» но антикоммутирует с JxJqJv Поэтому У7У8
отображает Хх изоморфно на Xv Очевидно, этот
изоморфизм определяет У8 однозначно.
Итак, мы видим, что Ω8(16γ) диффеоморфно
ортогональной группе1) О (г).
Рассмотрим полученный диффеоморфизм Q8(16r)->0(r)
и перейдем к пределу при г->оо. Тогда окажется, что
Ω8 гомеоморфно бесконечной ортогональной группе О.
Объединяя этот факт с теоремой 24.5, получаем
следующий результат.
Теорема 24.7 (Бсдт). Бесконечная
ортогональная группа О имеет тот же гомотопический тип,
что и ее восьмикратное пространство петель.
Поэтому гомотопическая группа π,Ο изоморфна πί+80
при /:>0.
Если обозначить через Sp = Q4 бесконечную симплек-
тическую группу, то вышеприведенные рассуждения
показывают, что О имеет гомотопический тип
четырехкратного пространства петель 2222Sp и что Sp имеет
гомотопический тип четырехкратного пространства петель
Ω22ΩΟ. В действительности гомотопические группы
определяются следующей таблицей
1) Можно показать, что при k > 8 многообразие Ω* (16г)
диффеоморфно Ωλ_8(γ). Действительно, любые дополнительные
комплексные структуры У9, Jw, ..., У* в R16r порождают в Хх
антикоммутирующие комплексные структуры JaJgt УвУю. УвУц»···
..., JiJfr а следовательно, определяют элемент Ω^-βίΟ·
Впрочем, для наших целей достаточно остановиться на k = о.

154 Гл. IV. Приложения к группам Ли
i (mod 8)
0
1
2
3
4
5
6
7
*,о
z2
z2
0
ζ
0
0
0
ζ
it^Sp
0
0
0
ζ
ζ2
ζ2
0
ζ
Проверка правильности этой таблицы предоставляется
читателю. (Заметим, что Sp (1) — трехмерная сфера,
a SO (3) — трехмерное проективное пространство.)
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена
доказательству теоремы 24.5. Сначала докажем одну
алгебраическую лемму. Рассмотрим евклидово векторное
пространство V с антикоммутирующими комплексными структурами
Определение. V называется минимальным
(Jv .... Jkyпространством, если оно не имеет
собственного нетривиального подпространства, инвариантного
относительно действия Jx Jk. Два таких
минимальных пространства изоморфны, если существует изометрия
между ними, коммутирующая с действием Jv .... Jk.
Лемма 24.δ (Ботт и Шапиро). При кфЪ (mod 4)
каждые два минимальных (Jv .... J^-пространства
изоморфны.
Доказательство следует схеме доказательства
леммы 24.6. При & = 0, 1 и 2 минимальным
пространством является в точности одномерное векторное
пространство над действительными или комплексными числами
или над кватернионами. Очевидно, такие пространства
изоморфны.
При & = 3 минимальным пространством по-прежнему
является одномерное векторное пространство над
кватернионами. Здесь, однако, имеются две возможности, в
зависимости от того, равно ли У3 произведению -+"ΛΛ йли
— JXJ2. Это дает два неизоморфных минимальных
пространства, оба размерности 4. Обозначим их Η и Нг.
При k = 4 минимальное пространство должно быть

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 155
изоморфно Η φ Я', причем УдЛ отображает И на Н'.
Размерность его равна 8.
При k = 5, 6 получается то же самое минимальное
пространство Η © #'. Комплексные структуры /5, Уб
определяют выделенные действительные и комплексные
подпространства. При й = 7 мы вновь приходим к тому же
пространству, но здесь есть две возможности,
соответствующие /7 = + ЛЛЛЛ-^б или Л = — ΛΛΛΛ^δΛ- Итак,
в этом случае имеются два неизоморфных минимальных
векторных пространства; обозначим их L и Ζ/.
При k = 8 минимальное векторное пространство
должно быть изоморфно £ φ Ζ/, причем У7У8 отображает L на U.
Размерность этого минимального пространства равна 16.
При k > 8 ситуация повторяется более или менее
периодически, но мы не будем на этом останавливаться, так
как для наших целей достаточно рассмотреть случаи к < 8.
Обозначим через mk размерность минимального
(Jx /^-пространства. Предыдущие рассуждения
показывают, что
/ftQ=l, tJti = 2, /л2 =::/w3 = 4,
nil ===== ль§ = nt§ == ffij == 8, /Wg = 16.
Можно показать, что при &>8 имеем nik = \6mk_s.
Замечание. Числа mk тесно связаны с проблемой
построения линейно независимых векторных полей на
сферах. Предположим, например, что /lf .... Jk — анти-
коммутирующие комплексные структуры в векторном
пространстве V размерности rmk (где г — любое
натуральное число). Тогда для любого единичного вектора
u£V все k векторов Jxti% J2u Jku перпендикулярны
друг к другу и к и. Итак, мы получаем k линейно
независимых векторных полей на (rmk—1)-мерной сфере.
Например, на (4г — 1)-мерной сфере мы получаем 3
векторных поля, на (8г—1)-мерной сфере — 7 векторных
полей, на (16г — 1)-мерной сфере — 8 векторных полей
и т. д. Эти результаты принадлежат Гурвицу и Радону
(см. [46]). Недавно Дж. Ф. Адаме доказал1), что эти
оценки — наилучшие возможные.
х) Адаме Дж. Ф., Векторные поля на сферах, сб.
Математика 7:6 (1963), стр. 49—79. — Прим. перев.

156 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Доказательство теоремы 24.5 при кф2 (mod4).
Мы должны изучить неминимальные геодезические,
соединяющие У и —У в Qk(n). Напомним, что касательное
пространство к Qk (η) в У состоит из всех матриц УЛ, где
1) Л кососимметрична,
2) Л антикоммутирует с У,
3) А коммутирует с Jx Л-г
Обозначим через Τ векторное пространство всех таких
матриц Л. Матрице Л £7 соответствует геодезическая
*->Уехр(тс/Л), соединяющая Ус —У, тогда и только
тогда, когда все ее собственные числа являются
нечетными кратными I.
Каждая такая матрица Α £ Τ определяет
самосопряженное преобразование Кд'.Т —>7\ Так как Ωλ(λ) является
вполне геодезическим подмногообразием в О (л), можно
вычислить КА по формуле
КАВ = — \[А, [Л, β]] = Ι(— Α*Β + 2ΑΒΑ — В А*).
как мы это уже делали раньше. Теперь остается найти
некоторые ненулевые собственные значения
преобразования КА> чтобы можно было оценить снизу индекс
соответствующей геодезической
/~>Уехр(яМ).
Разложим векторное пространство R" в прямую сумму
Λ1Χ φ Λί2 φ ... φ Ms взаимно ортогональных
подпространств, инвариантных и минимальных относительно
действия Jv ..., J/g-i* У и Л. Тогда все собственные
значения Л в Mh должны быть, с точностью до знака1),
одинаковыми. В противном случае Mh разлагалось бы
в сумму собственных подпространств матрицы Л и не
было бы минимальным. Пусть ± iah — два собственных
значения А\ Mh (alt ..., as—нечетные положительные
целые числа).
Заметим теперь, что J' = a~lJA\Mh есть комплексная
структура в Mh% которая антикоммутирует с Jv .... Jk_x
J) Речь идет о комплексных собственных значениях
действительного кососимметрического преобразования. Поэтому эти
собственные значения чисто мнимые и разбиваются на пары
комплек сно-сопряженных.

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 157
и У. Итак, Mh минимально относительно (Jx Λ-ι» ^ Ό·
Поэтому размерность Mh равна mk+v Так как k-\- 1 φ
=£3(mod4), мы видим, что Μν М2 Ms изоморфны
друг другу.
Для любой пары A, у, где Ь>Ф], можно построить
следующий собственный вектор В : R" -> R* линейного
преобразования КА:Т->Т. Пусть Z?|Mj есть нуль при
1фН, у. Пусть i3| ЖЛ — изометрия Л1Л на Л1у,
удовлетворяющая условиям
BJa=*JaB при а=1 Л — 1;
BJ^ — JB и BJ' = + J'B.
Иными словами, Ц | Λί Λ есть изоморфизм ΛίΛ на My, где
черточка указывает на изменение знака У в М}. Такой
изоморфизм существует, согласно лемме 24.8. Наконец,
пусть В | Μj — сопряженное к В \ Mh преобразование,
взятое со знаком минус.
Докажем, что В принадлежит векторному
пространству Т. Так как {Bv* w) = {v, —Bw) при v£Mh,
w £ Μj9 преобразование В кососимметрично. Ясно также,
что B\Mh коммутирует с Jx Jk_x и антикоммутирует
с У. Отсюда легко вытекает, что взятое со знаком минус
сопряженное преобразование B\Mj также коммутирует
с У,, .... УЛ_! и антикоммутирует с У. Итак, В£Т.
Мы утверждаем, что В — собственный вектор
преобразования КА, отвечающий собственному значению
(аЛ + α^)2/4. Например, если v£Mh% то
(ΚΑΒ)ν=-ς(— Α2Β + 2ΑΒΑ — ΒΑ*)ν =
= j (a)Bv + 2ajBahv + Ba\v) = 1 (α, + atf Bv;
в случае ν £ Mj вычисления аналогичны.
Теперь перейдем к подсчету индекса. Число
минимальных пространств MhczRn равно s = n/mk+v По
крайней мере для одного из них целое число ah должно
быть не меньше 3. В противном случае геодезическая
была бы минимальной. Итак, доказано [по-прежнему
в предположении Л =^= 2 (mod 4)1 следующее

158 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Утверждение. Преобразование КА имеет по
меньшей мере s—1 собственных значений,
которые больше или равны (3-f-1)2/4 = 4. Целые числа
s = nlmk+l стремятся к бесконечности, когда η
стремится к бесконечности.
Рассмотрим теперь геодезическую ί—>βχρ(πΜ).
Каждое собственное значение е2 преобразования КА
порождает сопряженные вдоль этой геодезической точки
t = e-\ 2е~\ Зе~\ ... (см. 20.5). Итак, если е2>4,
получается по меньшей мере одна внутренняя сопряжен·
ная точка. По теореме об индексе справедливо
Утверждение. Индекс неминимальной
геодезической, соединяющей J с —J в ЙЛ(д). не меньше, чем
Следовательно, отображение включения
Qk+l(n)->QQk(n)
индуцирует изоморфизм гомотопических групп в
размерностях, не превосходящих 3. Это число
стремится к бесконечности вместе с п. Поэтому, переходя
к прямому пределу при я->оо, получим изоморфизм
гомотопических групп всех размерностей, индуцированный
отображением включения /: ΩΛ+1->ΩΩΛ. Но можно
показать, что и ΩΩΛ, и ΩΛ+1 имеют гомотопический тип
клеточного комплекса. Отсюда, по теореме Уайтхеда,
следует, что / есть гомотопическая эквивалентность. Это
завершает доказательство теоремы 24.5 в предположении,
что £=^=2 (mod 4).
Доказательство теоремы 24.5 в случае Л =
==2 (mod 4).Трудности, возникающие в этом случае, можно
приписать тому, что Qk (n) имеет бесконечную циклическую
фундаментальную группу. Поэтому 2ΩΑ (η) имеет
бесконечно много компонент, тогда как аппроксимирующее
подпространство Qk+\(n) имеет лишь конечное число
компонент.
Для описания фундаментальной группы гс^Л (η)
построим отображение
/:0Л(я)->51сС

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 159
следующим образом. Пусть Jv ..., Jk_l — фиксированные
антикоммутирующие комплексные структуры в R".
Превратим R" в (л/2)-мерное комплексное векторное
пространство, положив
lv = JxJ2 ... Jk_xv
для u^R"; здесь i=Y—1£С. Условие k ==2(mod4)
обеспечивает выполнение равенства i2 = — 1 и
коммутирование Jv У2, ..., Jk_x с /.
Выберем отмеченную точку J£Qk(ri). Заметим, что
для любого J'£Qk(ri) композиция У""1/ коммутирует с /.
Итак, У" У' есть унитарное комплексное линейное
преобразование; оно имеет однозначно определенный
комплексный определитель', который мы обозначим через /(У)·
Рассмотрим теперь геодезическую
£-->Уехр(1сМ),
соединяющую Ус —У в ФЛ(п). Так как А коммутирует
с i — JxJ2 ... УЛ_Х (ср. с утверждением 2 в доказательстве
леммы 24.4), мы можем считать Л также комплексным
линейным преобразованием. В действительности матрица А
косоэрмитова, и ее след — чисто мнимое число. Поэтому
/ (У ехр (π/ А)) = det (exp (*/Л)) = е*'Тг А.
Итак, / отображает данную геодезическую в замкнутую
петлю на 51, которая полностью определяется следом Л.
Таким образом, этот след инвариантен при гомотопии
геодезической в пространстве путей Q(Qfc(n); У, —У).
Индекс этой геодезической λ можно оценить
следующим образом. Как и раньше, разложим R" в
ортогональную сумму Мх © М2 φ ... © Мг где каждое Mh
инвариантно относительно действия Jx, ..., Ул_р У и Л и
минимально. Тогда при каждом h комплексное линейное
преобразование Л|Л1Л может иметь лишь одно
собственное значение, скажем /αΛ, ибо в противном случае Mh
распалось бы на собственные подпространства. Итак,
Л \Mh совпадает с ahJlJ2 ... Ул_1 \Mh. Так как Mh
минимально относительно действия У1§ .... Jk_x и У, его
комплексная размерность равна mk/2. Поэтому след Л равен
'(*ι+ ··· +Д,)тл/2.

160 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Теперь для любого h Φ j можно, как и раньше,
построить собственный вектор В линейного преобразования
В -> КАВ = 1 (— А2В + 2 ABA — ΒΑ2).
Так как Мн и Mj минимальны относительно Jlt..., Jk-\> J*
из леммы 24.8 вытекает, что существует изометрия
B\Mk:Mh-+Mp
коммутирующая с У,, .... УЛ-1 и антикоммутирующая с J.
Пусть B\Mj — взятое со знаком минус преобразование,
сопряженное к В\ Mh> и пусть B\Mt = 0 при ΙφΙι, j.
Тогда простое вычисление показывает, что
KAB = \{ah-ajj>B.
Таким образом, при любых ah > aj мы получаем
собственное значение (аА— Ду)2/4 преобразования КА. Так как
каждое такое собственное значение дает в индекс λ вклад
γ(αΛ—aj)—1, мы получаем неравенство
2λ> Σ (ak~aj-2).
ah>aj
Обратимся теперь к какой-нибудь фиксированной
компоненте пространства 2ΩΑ (л). Иначе говоря, рассмотрим
только те матрицы Л, след которых равен icmk/2, где
с — целая константа.
Соответствующие целые числа а1% , ат
удовлетворяют условиям
1) а1=я2==...=аг==1 (mod2) (таккак ехр(1сЛ)=—-/);
2) β]Ι + α2+ .·· -\-аг = с\
3) max |αΛ| !J>3 (для неминимальной геодезической).
h
Предположим, например, что одно из ah равно —3.
Пусть ρ— сумма положительных ah и —q — сумма
отрицательных ah. Тогда ρ— # = с, p-\-q^r> поэтому
2/> !>/■ + £· Теперь
2λ> Σ (αΑ-β|-2)> Σ <*Λ-(-3)-3) = ρ.
4>ai ah>0
следовательно, 4λ^2/? ^r-f-c, где r = n/mk стремится
к бесконечности вместе с п. Таким образом,
рассматриваемая компонента пространства QQk(n) аппроксимируется

Гомотопический тип монотонной суммы 161
с точностью до все больших и больших размерностей
соответствующими компонентами пространства ΩΛ+1 (л),
когда /t->oo. Переходя к прямому пределу, мы получаем
гомотопическую эквивалентность в каждой компоненте.
Доказательство теоремы 24.5 закончено.
Дополнение. Гомотопический тип монотонной суммы
В этом дополнении мы приведем новый вариант
последнего шага доказательства основной теоремы теории
Морса (теоремы 17.3). Пусть 2в°с:2в|с:2Ласг
...—подмножества пространства путей 2 = 2(Л1; р, q), и пусть
известно, что каждое Ω ' имеет гомотопический тип
некоторого клеточного комплекса. Мы хотим доказать, что
их объединение 2 также имеет гомотопический тип
некоторого клеточного комплекса.
Вообще, рассмотрим топологическое пространство X
и последовательность его подпространств X0cz A\c: X2cz
В какой мере гомотопический тип X определяется
гомотопическими типами Χι?
Удобно рассмотреть бесконечное объединение
** = (Л-0Х[0, l])U(*iX[l. 2])U(*2X[2, 3])U ....
Множество ΛΤι снабжается топологией как подмножество
в XX К.
Определение. Мы скажем, что X есть
гомотопический прямой предел последовательности {Х^, если
отображение проектирования ρ : Χι -> X, определенное
формулой р(х, τ) = Λτ, является гомотопической
эквивалентностью.
Пример 1. Предположим, что каждая точка из X
лежит внутри некоторого Χι и что X паракомпактно.
Тогда, используя разбиение единицы, легко построить
отображение
/:*->R,
такое, что / (х) >- / + 1 при χ £ Xi и / (χ) !> О при всех х.
Соответствие х->(х, /(*)) отображает X гомеоморфно
на подмножество в ΛΊ, которое, очевидно, является
деформационным ретрактом. Поэтому ρ есть гомотопическая
эквивалентность, а А" — гомотопический прямой предел.

162
Дополнение
Пример 2. Пусть X — клеточный комплекс и Xt —
подкомплексы, сумма которых равна X. Так как ρ : Хг -> X
индуцирует изоморфизмы гомотопических групп во всех
размерностях, из теоремы Уайтхеда вытекает, что X —
гомотопический прямой предел.
Пример 3, Единичный интервал [0, 1] не является
гомотопическим прямым пределом последовательности
замкнутых подмножеств
10] U [j. l].
Основной результат настоящего дополнения—следующая
Теорема А. Пусть X—гомотопический прямой
предел последовательности {Xt}% α Υ —
гомотопический прямой предел последовательности {У^}. Пусть
f : X->Y — отображение, осуществляющее
гомотопическую эквивалентность каждого Xi в Yt. Тогда само
отображение /— гомотопическая эквивалентность.
При помощи теоремы А легко доказать теорему 17.3.
Напомним, что мы построили коммутативную диаграмму
гомотопических эквивалентностей
Qfl0cQfllcz2fl2c: ...
У У У
/Cq с К\ а /С2 с ....
Так как Q=[}QlnK=[)Ki — гомотопические прямые
пределы (см. примеры 1 и 2 выше), предельное
отображение Ω—>/С также есть гомотопическая эквивалентность.
Доказательство теоремы А. Определим /£: Хг -> Υ ζ
соотношением /ς(λγ, t) = (f(x)t t). Очевидно, достаточно
доказать, что /Σ — гомотопическая эквивалентность.
Случай 1. Предположим, что Xi = Yi и что каждое
отображение fi:Xi-^ Y i (полученное ограничением /)
гомотопно тождественному. Мы должны доказать, что
/г — гомотопическая эквивалентность.
Замечание. Было бы естественно предположить,
что в наших условиях отображение /Σ на самом деле

Гомотопический тип монотонной суммы 163
гомотопно тождественному. Однако можно построить
примеры, противоречащие этому предположению.
При каждом η определим
Аи : Хп —> Хп
как однопараметрическое семейство отображений, для
которого Ао = /л» А? — тождественное отображение.
Определим гомотопию
Ни '. Хг ~-> Χι
формулами
(a2(jc), fl + 2i) при 0<ί <
Μ*» " + 0 =
1
2 ·
при 2"<ί<?.
при
<*<1.
где 0<ί<1, η = 0, 1, 2, ....
При tf = 0 предыдущая формула определяет
отображение А0: Х%->ХГ которое, очевидно, гомотопно /Σ.
С другой стороны, отображение hx: Хг~+Х* обладает
следующими свойствами:
Нг(х. л+ *) = (*. Λ + 2ί) при 0<ί<1,
Μ*· /t + /)6^+lX[«+l] при γ</<1.
Покажем теперь, что всякое такое отображение Нг
должно быть гомотопической эквивалентностью.
Действительно, гомотопически обратное отображение g : Хъ —► ΧΣ
можно определить формулой
g(x, n-\-t) =
(χ, я + 20 при 0<ί<1,
\hxyx, л + γ— А при ^</<1.
Это определение корректно, так как
hAx, η -Ьу] = К(лг, л+1) = (дг, п+1).
Докажем, что композиция hxg гомотопна тождествен-

164
Дополнение
ному отображению Χζ· Заметим, что
(х, л 4-4ί)
А^х. n+2t)
АЛх. л + γ — Ч ПРИ "2<^<1·
при 0 < t <
4
при -<'<о".
1_
4 *
1_
2
Определим гомотопию Ни : Χι -> Λ"ϊ следующим образом.
При 0 < а < -к- пусть
Ai£(*. n-f-0 при 0<ί<—=^·
Я„(х. л + 0 =
1
+ «<ί<1.
А,(х, л + 1—а) при ~" <*< 2~^~и'
Это определение корректно, так как
— Я! (X, Л 4" 1 —α)·
Далее, Н0 равно А^ и H4t определяется выражением
НЧг(х, л 4-0 =
(х. л + 40 при 0 <*<-£-,
(χ, л+1) при -j <ί < 1.
Очевидно, это отображение гомотопно тождественному.
Итак, hxg гомотопно тождественному отображению.
Совершенно такие же рассуждения показывают, что
отображение ghx тоже гомотопно тождественному.
Доказательство теоремы А в случае 1 закончено.
Случай 2. Теперь пусть X и Υ произвольны. При
любом л пусть gn : Yn->Xn — гомотопически обратное
к /„ отображение. Заметим, что диаграмма
К„ __£^ Хп
Уп+1Ли±1+Хп+1

Гомотопический тип монотонной суммы 165
о (у. л-И)Н
(где /я и jn — отображения включения) гомотопически
коммутативна. Действительно, имеем
In&n ~ 8n+\fn+\ln8n = gn + \Jnfn&n ~ Sn+Vn*
Выберем определенную гомотопию Л2 : Υη-> Χη+ν для
которой ho = lngn. hi=gn+iJn. и определим О: ΚΣ->ΛΊ
формулой
(£«00. л+ 2/) при 0<*<1,
!(*b-i(y). л+1) при ~<ί<1.
Мы покажем, что композиция Qfx: Л^-> ΧΣ является
гомотопической эквивалентностью. Обозначим через Х%
подмножество в Хъ, состоящее из всех пар (jc, τ), где τ < л
(так что Х1 = (Х0Х[0Л])[} ... U(*„-i X [я-L /i])U
U (Хп X 1д1) )* Композиция Of г отображает Х\ в себя,
причем это отображение гомотопно тождественному.
Действительно, X" содержит Хп X [п] в качестве
деформационного ретракта; отображение Gfv ограниченное на
Хп X1ЛЬ можно отождествить с gnfn\ следовательно,
оно гомотопно тождественному отображению. Итак, можно
применить к последовательности [Χι} результаты,
полученные при рассмотрении случая 1. Мы заключаем, что
0/х — гомотопическая эквивалентность.
Это доказывает, что /Σ имеет левое гомотопически
обратное отображение. Аналогичные соображения
показывают, что ДО : Υτ->Υτ — гомотопическая
эквивалентность, так что /г имеет правое гомотопически обратное
отображение. Отсюда следует, что Д — гомотопическая
эквивалентность (ср. с леммой 3.7). Доказательство
теоремы А закончено.
Следствие. Предположим, что X —
гомотопический прямой предел последовательности [ХД. Если
каждое Х1 имеет гомотопический тип клеточного
комплекса, то и X имеет гомотопический тип кле*
точного комплекса.
Доказательство несложно.

ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда
В этом параграфе под пространством всегда
понимается хаусдорфово пространство, а под отображением
пространств — непрерывное отображение. Значок ~
обозначает гомотопию, а символ \х — тождественное
отображение пространства X; Еп есть замкнутый шар
η
II* II2 ^Σ·*?^ 1· а S""""1— ограничивающая его сфера;
/ = [0. ι/.
Подмножество еп пространства X называется п-мерной
клеткой, если существует такое отображение / : Еп~>Х,
что внутренность шара Еп гомеоморфно отображается
на ent а 5я"1 отображается (уже не обязательно
гомеоморфно) на множество деп = еп — еп (черта сверху
обозначает замыкание), называемое границей клетки еп.
Отображение / называется характеристическим
отображением клетки еп. Клеточным разбиением К называется
разбиение пространства X на (непересекающиеся)
подмножества, обладающее следующими свойствами.
1) Каждое из этих подмножеств является клеткой.
2) Граница каждой из я-мерных клеток разбиения К
содержится в объединении всех клеток разбиения /С.
размерность которых меньше п. Это объединение называется
(п—1)-мерным остовом клеточного разбиения К и
обозначается через Кп~1.
3) Подмножество пространства X замкнуто тогда и
только тогда, когда замкнуто его пересечение с
замыканием любой клетки клеточного разбиения /С.
4) Любая клетка содержится в замкнутом множестве,
являющемся объединением конечного числа клеток.
Клеточное разбиение называется конечным, если оно
состоит из конечного числа клеток. В этом случае уело-

§ 1. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда 167
вия 3) и 4) автоматически следуют из остальных условий.
В случае же бесконечного числа клеток это не так.
Например, разбиение отрезка на бесконечное число клеток
не-является клеточным разбиением, хотя 1), 2) и 4)
выполняются. Пример, в котором выполняются 1), 2) и 3),
но разбиение не является клеточным, можно получить,
разбив круг х2 + у2 <; 1 на двумерную клетку х2-ЬУ2< 1
и бесконечное число клеток, лежащих на окружности
*2+у2=1.
Из определения клетки следует, что топология ее
замыкания однозначно определяется характеристическим
отображением. Условие 3) означает, что топология
пространства X должна быть сильнейшей из всех топологий,
совместимых с топологиями клеток (т. е. должна иметь
больше всего открытых и замкнутых множеств). Несмотря
на это, ее часто называют „слабой топологией". Условие
4) называют условием конечности замыкания. Вместе с 2)
оно означает, что граница любой клетки содержится
в конечном объединении клеток меньшей размерности.
Можно доказать, что любой компакт содержится в
объединении конечного числа клеток и что отображение
f:X->Y непрерывно, если для любой клетки е
непрерывно ограничение /1 е отображения / на замыкание этой
клетки.
Пространство, допускающее клеточное разбиение,
называется клеточным полиэдром. Хотя, строго говоря,
термины „клеточное разбиение* и „клеточный полиэдр"
имеют разный смысл, их нередко употребляют как синонимы;
говорят также о „клеточном комплексе". В зарубежной
литературе принят термин CW-complex (С и W —
начальные буквы Closure-finite и Weak topology).
Пусть X — клеточный полиэдр, К — его клеточное
разбиение, a L — некоторая совокупность клеток этого
клеточного разбиения. Обозначим через К подмножество X,
являющееся объединением входящих в L клеток. Если
вместе с каждой клеткой множество Υ содержит и ее
замыкание, то совокупность клеток L называется под-
комплексом клеточного разбиения К (говорят также
о подразбиении, хотя в других разделах математики это
слово употребляется в другом смысле), а К — подполиэ-
дром клеточного полиэдра X. Нетрудно проверить, что

168
Приложение
подполиэдр — замкнутое множество, подкомплекс сам
является клеточным разбиением, подполиэдр сам является
клеточным полиэдром и что л-мерный остов Кп
клеточного разбиения К является подполиэдром.
С помощью характеристического отображения можно
ввести в клетках ориентацию. Имея ориентированные
клетки, можно попытаться обычным способом построить
теорию гомологии. При этом сразу же возникает вопрос,
как определить коэффициенты инцидентности. Для сим-
плициальных комплексов можно дать простое определение
коэффициентов инцидентности, поэтому построение теории
гомологии для симплициальных комплексов можно
произвести, не используя никаких предварительных сведений
из алгебраической топологии. Для произвольных же
клеточных разбиений определение коэффициентов
инцидентности предполагает использование какой-нибудь теории
гомологии или, по крайней мере, чего-нибудь в этом
роде (степень отображения).
Пусть еп и еп~1 — какие-нибудь две ориентированные
клетки клеточного разбиения /С. Пусть /—
характеристическое отображение клетки еп:
f:{En,Sn-l)^en,den).
Стянув в комплексе Кп~1 в одну точку все (п —
^-мерные клетки, кроме еп~19 и весь (п—2)-мерный остов,
построим отображение h : /C/,~1->S/I~*1. Тогда
коэффициент инцидентности [еп : еп~1\ можно определить как
степень отображения hf \Sn~l : Sn~l->Sn~l. Можно
доказать, что 2 \еП '· еп~1\[еп-1 : еп~2] = 0. После того как
определены коэффициенты инцидентности,
удовлетворяющие этому соотношению, построение гомологии
комплекса К производится* по обычной схеме.
Удобство клеточных разбиений для гомотопической
топологии объясняется той простотой, с которой можно
осуществлять различные построения теории гомотопий,
имея дело с клеточными разбиениями. Рассмотрим,
например, часто встречающуюся в книге Милнора операцию
приклеивания клетки (см* § 1). При приклеивании клетки f*
при помощи отображения f : Sn~l ->К к клеточному

§ 1. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда 169
разбиению К получится клеточное разбиение, если f{Sn~l) cz
с Кп~ ; но можно легко доказать, что для любого
отображения f:Sn~l—>K найдется гомотопное ему
отображение, образ которого содержится в /С""1, а лемма 3.6
(стр. 31) утверждает, что гомотопический тип
пространства K\]fEn не изменится, если / заменить гомотопным
отображением.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена теореме
Уайтхеда.
Через Map(Z, X) обозначается совокупность
гомотопических классов отображений пространства Ζ в
пространство X. Любое отображение φ : Χ ->Υ порождает
отображение
<p,:Map(Z, *)->Map(Z, К).
Отображение y:X->Y называется слабой
гомотопической эквивалентностью, если для любого клеточного
полиэдра К отображение
φ,: Map (К. А-)->Мар(К, К)
взаимно однозначно- Наконец, говорят, что пространство X
подчинено пространству Y, если существуют такие
отображения / : X -> К и g :Y->X, что gf ~ lx.
Теорема Уайтхеда. 1) Если отображение
φ:ΛΤ->Κ индуцирует изоморфизм гомотопических
групп, то оно является слабой гомотопической
эквивалентностью.
2) Если, кроме того, пространства Χ, Υ
подчинены клеточным полиэдрам /С, L соответственно,
то отображение φ является гомотопической
эквивалентностью.
Лемма Борсука. Пусть L — произвольный
подкомплекс клеточного разбиения К. Тогда К X О U
U L X / — ретракт К X /.
Эта лемма, особенно в конечномерном случае,
который только и нужен для дальнейшего, доказывается так же,
как обычно (см. [431).
При доказательстве первой части теоремы Уайтхеда
мы можем заменить Υ цилиндром отображения φ: X -> Υ

170
Приложение
и считать X замкнутым подпространством К („дном"
цилиндра), а отображение φ : X -> Υ — вложением (см. [43]).
Поскольку оно индуцирует изоморфизм гомотопических
групп, то относительные группы ^(К, X, х) равны
нулю (х£Х).
Лемма 1. Пусть La К—подкомплекс и пусть
имеется отображение h0 : Κη+ί -> К, такое, что
h0(Kn[)Ln+l)czX. Тогда существует такая
гомотопия ht, что ht \ К" [}Ln+1 = п0\Кя U L"+1 при всех t и
Доказательство. Поскольку искомая гомотопия
должна быть постоянна на Кп, то на Кп+г —Кп ее можно
строить, рассматривая (п -f- 1)-мерные клетки каждую
в отдельности. По существу, надо доказать, что если имеется
отображение /0 :(En*l9 Sn) ->(К, X), то существует такая
гомотопия /,, что ft\ Sn = /01 Sn при всех / и fx (Εη+ι)αΧ.
Из определения πη+ι(Υ, Χ) следует, что существует
гомотопия g(t при которой g0 = /0, gt (Sn)aX и ^ (Я'^сЛ',
но gj не обязательно постоянна по t на 5Л. Тогда
гомотопия
!*a_j-(iPnr) "Ри 1И>1-4'·
/,(*)=
Ш
^(тггх) при II^IK1-\*
обладает всеми требуемыми свойствами.
Лемма 2. Пусть LcK — подкомплекс и пусть
дано отображение g:K->Y, причем g(L)czX. Тогда
существуют гомотопии п" : Кп -*■ Υ (η ^ 0),
обладающие следующими свойствами:
1) Ао = *!**.
2)h?\Ln = g\Ln,
3) hnt+l\Kn = hnt,
4) А? = А? при i>l——i^, и h1(Kn)czX.

§ J. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда 171
Доказательство. Построение А/ очевидно. Пусть Л*
уже построены для всех / < я. Отображения
g\Kn+i:Kn+lX0->Y. G:Ln+lXl-+X
(О (χ, t)=g(x) при x£La+i),
Ηη:Κηχ[θ. 1__^-Γ]->Κ (//"(*, 0 = *"(*))
совпадают в тех точках, где определены какие-нибудь
два из них, поэтому определено (непрерывное) отображение
/СЛ+1Х0и/Гх[0, 1__^т]иГ+1х[о, 1__^_]->К,
которое по% лемме Борсука можно продолжить до
отображения
Ял+1 :/СЛ+1 Χ [θ, 1-_у-К.
Введем обозначение h"*l(x) = Hn+x (х% /). Отображение
Ал+ ι обладает теми свойствами, какими в лемме 1 должно
ι~Ίϊ+ϊ
обладать А0, поэтому его можно продолжить до гомото-
пии Α?+1 ί 1 ц-у < ί < 1 -г-2") · постоянной на
Kn\}Ln+l и такой, что
A,I+I, (i"+1)cJf.
**~ л+2
л+1
При 1 ZCT^*^* полагаем А/ постоянным по t.
Доказательство первой части теоремы Уайтхеда.
Из леммы 2 непосредственно следует, что для любого
отображения g : К -> К, переводящего некоторый под-
полиэдр L в X, найдется гомотопия gi% такая, что £0 = g,
gt\L = g\L и ft(iQc/ [полагаем gt{x)=h!}{x) при
х£Кп — /С*""1]- Следовательно, индуцированное
вложением /: X cz Y отображение Map (К, ЛО->Мар(Я\ К)
является отображением на (при этом можно взять L = 0).
Докажем, далее, что если для двух отображений
έΓο» ί!\·Κ-*Χ существует гомотопия ht: К -> К,
соединяющая /#0 и igx: tg0 = fiQf tgx = hl9 то существует и

172
Приложение
гомотопия gt:K->X, соединяющая g0 и gv Рассмотрим
отображение
#:/СХ/->К, H(xt t) = ht(x).
Оно отображает подкомплекс К X О U К X 1 комплекса
К X / в X. Следовательно, имеется гомотопия Ht: К X
Χ/—>Υ> постоянная по t на „крышке" и „дне" цилиндра
(т. е. совпадающая там с lgQ и igl соответственно) и
такая, что НХ{К X /) с: X. Отображение Нх и определяет
искомую гомотопию gt. Тем самым первая часть теоремы
Уайтхеда доказана.
Доказательство второй части теоремы Уайтхеда.
Рассмотрим диаграмму
χ J-+KA-> χ
γ -Jl+L —+ Υ
в вертикальных строчках которой написаны отображения,
определяющие подчинение пространств Χ, Υ
полиэдрам К, L· По доказанному, отображение
φ, :Map(L, Х)->Жъ?(^ К)
взаимно однозначно. Следовательно, существует такое
отображение α : L-> X, что φα ~ Л. Положим ψ =
= αΑ:Κ->Λ\ Имеем
φψ ===== φαΑ с^ ΛΑ ==r 1 κ. (1)
Сложнее обстоит дело с tyy:X-+X. Докажем,
что ψφ индуцирует изоморфизм гомотопических групп.
Действительно,
φψφ = φαΑφ ~ kh(f c^± φ,
откуда для индуцированных изоморфизмов гомотопических
групп получаем
?·(<№)· = ?··
а так как φ„—изоморфизм, то и (ψφ\— изоморфизм.
Применим теперь первую часть теоремы Уайтхеда
к отображению ψφ : X -> X. Рассуждая так же, как и

£ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 173
выше, построим такое отображение β:#->Λ\ что
(ψφ)β~£ (см. диаграмму)
X J—+K -£-* X
X ^L^k JL·^ χ
Положим χ = β/ : Χ -> Χ. Имеем
ψφχ==ψφβ/~£·/~1χ. (2)
Для завершения доказательства теоремы Уайтхеда
достаточно сослаться на утверждение, содержащееся на
стр. 33 книги Милнора, согласно которому из (1) и (2)
следует, что ψφ~1χ.
§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек
Двойственность Пуанкаре состоит в том, что для
любого замкнутого многообразия Vn имеет место изоморфизм
Н,(У; 0)^Hn'r(V; О). (3)
Здесь группа коэффициентов О может быть любой, если
многообразие Vn ориентируемо; в противном случае
порядок каждого ненулевого элемента группы должен быть
равен двум.
Доказательство (3) основано на том, что существуют
два клеточных разбиения К и К многообразия Vn%
которые двойственны друг другу. Это значит, что любой
/-мерной клетке одного из этих клеточных разбиений,
скажем клетке е*£К> поставлена во взаимно однозначное
соответствие некоторая (п — /)-мерная клетка второго
клеточного разбиения, скажем клетка ея~*£К, причем
для любых двух клеток elt е1"1 £ К их коэффициент
инцидентности с точностью до знака, зависящего только от
размерности, равен коэффициенту инцидентности
соответствующих им клеток разбиения К:
Ψ<ρ
/
/
у

174
Приложение
(Если многообразие Vя не ориентируемо, то коэффициент
инцидентности берется по модулю два.) Такие два
двойственных клеточных разбиения К и К можно устроить
двумя способами. В первом способе используются
барицентрические звезды; см. [11, гл. 10]. Этот способ
годится не только для комбинаторных многообразий, но и
для более общих объектов—так называемых А-многооб-
разий, частными случаями которых являются
псевдомногообразия. В частности, комплексные алгебраические
многообразия и триангулируемые топологические многообразия
являются псевдомногообразиями, и поэтому для них имеет
место двойственность Пуанкаре.
Второй способ связан с теорией Морса и годится
только для гладких многообразий. Он основан на
сравнении критических точек функций /и — /и будет изложен
ниже. Предварительно опишем, как можно получить
любое замкнутое многообразие из шара с помощью
приклеивания ручек.
n-мерной ручкой индекса λ мы будем называть
Η = ΕκχΕη-λ={(χ. y):xeK\ у£Г~\
11*11 <!.· 1М1<1}с:1*хе1Г-\
Пусть Мп — некоторое гладкое многообразие с краем дМп%
и пусть задано гладкое вложение
f:Sx-lXEn~l-+dMn (&-ι = [χ:χ£*\ ||*|| = l)). (4)
Отождествляя точки Мп и Ht соответствующие друг
другу при отображении /, получим новое
многообразие Nn. Говорят, что Nn получено из Мп
приклеиванием ручки Η при помощи отображения /.
Собственно говоря, Νη пока что является только
топологическим, а не гладким многообразием. Гладкое
вложение (4) позволяет рассматривать χ и у как координаты
в f(Sx~l Χ Εη~λ), подчиненные ограничению ||*|| = 1,
||у||<]1. Эти координаты можно продолжить в
некоторую область U cz Мп таким образом, что в этой области
1 < 11*11 < !+δ· IIУII < !+ε и dMn()U имеет
уравнение ||jc|| = 1. Таким образом, U диффеоморфно
подмножеству
V=[(x. у):1<|И<1 + е. ||у||<1 + ·}

§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 175
пространства R ©R" · а при приклеивании ручки Η
к Мп получается множество U U/M точки которого
находятся во взаимно однозначном соответствии с точками
множества V U Η с: Rx © R""**. Множество V [} Η имеет
„угол" в точках 5 ~1 χ Sn *. Простейший способ ввести
гладкую структуру в Ν" — видоизменить определение Η
таким образом, чтобы этот „угол* пропал. Для этого
возьмем функцию φ (ί), определенную при О <С t <^ 1,
бесконечно дифференцируемую при /<1, равную 1/2
при 0^ί<^1/2, возрастающую при 1/2^*^1, равную 1
при t=\ и такую, что обратная к ней при 1/2<;/^]1
функция ψ(ί) бесконечно дифференцируема при / > 1/2 и
обращается в нуль вместе со всеми своими производными
при ί=1. Будем понимать под ручкой Η множество
{(х, у):||*||<1. ΙΜΙ<φ(ΙΙ*ΙΙ)}.
Тогда „угла* не будет. [В определении Νη имеется
произвол, связанный с продолжением координат х, у
с f(Sl~l ХЯ7~ ) в некоторую область на Мп и с
выбором функции φ(ί)· Оказывается, что этот произвол не
существен; многообразие Νη определяется однозначно
с точностью до диффеоморфизма.]
Можно доказать, что если два гладких вложения
/, g : S ~! X Еп~ —>дМп изотопны (в классе гладких
вложений), то многообразия Mn\j/Ht Mn\)gH диффео-
морфны.
Аналогичным образом определяется одновременное
приклеивание к многообразию Мп нескольких ручек
Hlt .... Hk с индексами \ \k при помощи гладких
вложений
fl:Sx^lXEn"^^>dMn fk:Sk*-lXEn~k*-+dM\
Нужно только, чтобы образы этих отображений не
пересекались. Очевидно, что в таком случае ручки Hv ..., Hk
можно приклеивать и не одновременно, а в произвольном
порядке.
Пусть на гладком многообразии Vn задана гладкая
функция /, все критические точки которой невырожден-

176
Приложение
ные. Наряду с описанием множества Жл = /"1(—оо, а]
с точностью до гомотопической эквивалентности для
топологии имеет значение и описание этих множеств с
точностью до диффеоморфизма. А именно, в § 3 книги Мил-
нора фактически доказано, что если на критическом
уровне f~l(c) имеется k невырожденных критических
точек pv ..., pk с индексами \х λΛ, то Мс*ш диф-
феоморфно Mc~B[)Hl[) ...[}Hk, где ручка Hi имеет
индекс λ^ и все ручки приклеиваются одновременно.
Следовательно, Vn представляется в виде некоторого
объединения ручек, приклеенных друг к другу таким
образом, что сначала берется несколько ручек с индексом О,
т. е. шаров, затем к ним приклеивается несколько ручек,
затем к полученному многообразию с краем опять
приклеивается несколько ручек, и т. д. Обратно, пусть Vn
представлено в виде подобного объединения ручек. Тогда можно
построить гладкую функцию, которая имеет внутри каждой
ручки ровно одну критическую точку с индексом, равным
индексу ручки, и определяет, согласно сказанному выше,
представление Vn в виде данного объединения ручек.
Отныне многообразие Vn предполагается замкнутым.
Мэжно считать, что в процессе последовательного
приклеивания ручек каждая ручка приклеивается к ручкам
меньшего индекса. Действительно, по индукции легко
доказать, что если на некотором шаге этого процесса
к некоторому многообразию Мп (состоящему из ранее
приклеенных друг к другу ручек) приклеивается ручка Η
индекса λ при помощи гладкого вложения / : 5 ~1 X En"s ->
-><ШЛ, то, используя гладкую изотопию, можно добиться,
чтобы /(5λ"1 Χ Εη~λ) не пересекалось с границами ручек
индекса ]>λ. Из сказанного легко вывести, что на Vn
существует гладкая функция /, все критические точки
которой невырожденные и такие, что для любой
критической точки ρ индекса λ имеем /(/?)== λ. Функция η — /
тоже обладает этим свойством.
Согласно § 3 книги Милнора, функциям fun — /
соответствуют некоторые клеточные разбиения К и К
многообразия Vn. Оказывается, что эти два клеточных
разбиения двойственны.

§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 177
Прежде чем доказывать последнее утверждение,
повторим применительно к нашему случаю некоторые по-
х i-
строения из § 3. Многообразие Vn и множество Μ 2 —
= /~11 — оо, λ-f- -у представляются в виде объединения
ручек
где tfi = £? Χ ΕηΓ^ — ручка индекса jit приклеенная
к Μ* 2 по некоторому гладкому вложению /^ : 511"1 X
ι ' 1
П — IL U. — —
χ£/ ^—►(Ш 2. Если вместо функции / исходить из
η — /и учесть, что критическая точка функции / с
индексом λ является критической точкой функции η — /
с индексом η — λ, то получим, что ручка Hi будет играть
роль ручки с индексом η — λ; она приклеивается к
при помощи гладкого вложения /п~х : £* χ s"~x~l ->
-λ-i III
-+ дМП 2. Обозначим JSf X 0, 5?"1 X 0, Οχ Е*~**
OXS?^"1 соответственно через ej, s^~lt ^"μ, s*-*1·-1
(мы рассматриваем эти множества как вложенные в У);
Остовы ΑΓλ клеточного разбиения К и гомотопические
эквивалентности ψλ: Λί 2—>КХ можно построить по ин-
дукции. Множество М2 состоит из нескольких шаров,
которые стягиваются в точки, составляющие /С0. Пусть
К* и Ψα Уже построены для μ. < λ. Имеем

178
Приложение
Ручки Hi можно стянуть на ei\j(Srl ХЯ/~ ) с помощью
гомотопии cpj, постоянной на ei \${$Γι Χ £?~ ) и диф-
феоморфно отображающей Hi в Я/ при ί < 1. Получаем
гомотопическую эквивалентность
φλ :М 2->М 2U λ *}U ■-. U λ е\ .
1 Ч *kx λ
По предположению индукции, уже имеется гомотопическая
-*-i -Л-1
эквивалентность ψλ-1 : Μ 2 ->/С ~ » которую, согласно
лемме 3.7, можно продолжить до гомотопической
эквивалентности
λ-Ι
Ψλ:Μ 2lb<U ... ϋλ<
Φλ_ιϊι » Φλ_ιΧ*λ λ
Стоящий справа клеточный комплекс и есть К1, а ψλ =
При построении К вместо деформации ср£ надо
использовать деформацию cpj?~\ стягивающую Hi на
(β}χδΓλ-ι)υίΓλ.
Займемся теперь коэффициентом инцидентности
\е): ^V"1]· Он равен степени отображения st~l-+S ~19
которое является композицией вложения χ*,
гомотопической эквивалентности ψλ__! и отображения pji К ~1 ->
~>S ~\ получающегося стягиванием в точку К ~2 и
(J ή-*. Но Р^_гх) = Р$. где Ру : M^-S^1 ПОЛу-
чается, если Λίλ~8/2 и [J Hh~l стянуть в точку, а к Н) х
применить φ*"1. Итак, коэффициент № : ехГ1] равен
степени отображения Ρ χ. : 5/"1->5λ"1-

§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 179
Легко видеть, что это число равно индексу
пересечения сферы φ^-1^-1 (0<ί<1) и клетки enf . А это
есть коэффициент зацепления LM^s)'1, 55"λ)" Поскольку
при 0 < t < 1 сферы cpj-1^-1 и <p*-V*-x не пересекаются,
то окончательно мы можем написать
[ή:ή~ι] = 1(<ή-ιή-\ ψ-λη-λ) (0<*<1). (5)
Аналогично
[β»~λ+ι: е'/-х] = L fy-lsn.-K <ή~ιή~ι). (б)
Сравнивая (5) и (6), мы видим, что комплексы К и К
двойственны.
Примечание к стр. 51.
На стр. 51 Милнор упоминает теорему двойственности
Лефшеца. Эта теорема утверждает, что если (V, W) есть
д-мерное относительное многообразие, т. е. если
V zd W и V — W есть л-мерное многообразие, то
Hr(V, W· G)^Hn~r(V — W\G). (7)
(О — любая группа коэффициентов с обычной оговоркой
в случае неориентируемости; в правой части нужно брать
когомологии с компактными носителями.) Когда W пусто,
то утверждение „(V, W) — относительное многообразие*
означает, что V — многообразие (как говорят иногда в
подобной ситуации, „абсолютное" многообразие). В этом
случае (7) есть обычная двойственность Пуанкаре.
Если V и W — алгебраические многообразия, то V
является конечным полиэдром к W — его подполиэдром.
В таком случае (7) можно доказать с помощью
барицентрических звезд так же, как доказывается двойственность
Пуанкаре для абсолютных многообразий в цитированной
книге Зейферта и Трельфалля.
Аносов Д. В.

ЛИТЕРАТУРА
Амброуз (Ambrose W.)
[11 The index theorem in Riemannlan geometry, Ann. Math.,
73 (1961), 49-86.
Андреотти, Франкел (Andreotti Α., Frankel Т.)
[2] The Lefschetz theorem on hyperplane sections, Ann. Math.,
69 (1959), 713—717.
Берже (Berger M.)
[3] Sur certaines varifetes Riemanniennes a courbure positive,
C. /?. Acad. Sci, Paris, 247 (1958), 1165—1168.
Биркгоф и Маклейн (Birkhoff, MacLane)
[4] A survey of modern algebra.
Ботт (Bott R.)
[5] The stable homotopy of the classical groups, Ann. Math.t
70 (1959), 313-337.
[6] Morse Theory and its application to homotopy theory.
Lecture notes by A. van de Ven (mimeographed),
University of Bonn, 1960.
Ботт и Шапиро (Bott R., Shapiro A.)
[7] On Clifford modules (в печати).
Гильберт Д. и Ко н-Ф о с с е н С.
[8] Наглядная геометрия, М. — Л., 1951. Изд. 5. М: URSS, 2010.
Гольдберг (Goldberg S. I.)
[9] Curvature and Homology, Academic Press, 1^962.
Γ η £ й r 3 f G rave s^
110] The Theory of Functions of Real Variables.
Зейферт Г, Трельфалль Н.
[11] Топология, М. —Л., 1938.
[12] Вариационное исчисление в целом, ИЛ, М., 1947.
Ивасава (Iwasawa К.)
[13] On some types of topological groups, Ann. Math., 50
(1949).
Иле, Кёйпер (Ells J., Kuiper N.)
[14] Closed manifolds which admit nondegenerate functions
with three critical points, Proc. Konikl. NederL Acad,
wet, ser. A, 64 (1961), 411—417.

Литература
181
К а ρ τ а н Э. (С а г t а п Ε.)
[15] La topologie des espaces representatives des groups
de Lie, Paris, Hermann, 1936.
£16] Геометрия римановых пространств, Изд. 2. Μ.: Книжный
дом «Jbi6poKOM»/URSS, 2010.
К н о π (Κ η ο ρ ρ Κ.)
[17] Theory of functions, part II, Dover, 1947.
Курант (Courant R.)
[18] Ober die Abhangigkeit der Schwingungszahlen einer
Membran ..., Nachr. Konig. Gesellsch. Wiss. Gottingen,
Math.-Phys. KI., 1919, 255—264.
Лаугвитц (Laugwitz)
[19] Differential-Qeometrie, Teubner, 1960.
Лебшец (Lefschetz S.)
[20] L'analysis situs et la gfeometrie algfebrique, Paris, 1924.
Майерс (Myers S. B.)
[21] Rieraann manifolds with positive mean curvature, Duke
Math. J., 8 (1941), 401-404.
Μ и л η ο ρ (Μ i 1 η о г J.)
[22] So га тез de varietes diffferentiables et structures difteren-
tiables des spheres, Bull. Soc. Math, de France, 87 (1959),
43&-444.
[23] On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. Math.t
64 (1956) 399—405. [Перевод в сб. Математика. 1:3
(1957), 35—42.]
[24] On spaces having the homotopy type of a CW-complex,
Trans. Amer. Math. Soc, 90 (1959), 272—280.
Mope (Morse M.)
[25] The calculus of variations in the large, New York, 1934.
[26] The critical points of a function of η variables, Trans,
Amer. Math. Soc.t 33 (1931), 71—91.
Номидзу К.
[27] Группы Ли и дифференциальная геометрия, ИЛ, М., I960.
Де Рам Ж. (De Rham Q.)
[28] Дифференцируемые многообразия, Изд.2. М.: URSS, 2006.
[29] Sur la reductibility d'un espace de Riemann, Comm.
Math. Helv., 26 (1952)
Розен (Rosen R.)
[30] A weak form of the star conjecture for manifolds, Abstract
570—28, Notices Amer. Math. Soc, 7 (1960), 380.
Cepp (Serre J. P.)
[31] Homologie slnguliere des espaces fibres, Ann. Math.,
54 (1951), 425—505. (Перевод в сб. .Расслоенные
пространства·, ИЛ, М., 1958, стр. 9—114.)

182
Литература
С а й н д ж (S у η g e J. L.)
[32] On the connectivity of spaces of positive curvature,
Quart. J. Math. (Oxford), 7 (1936), 316—320.
С μ e й л (S m a 1 e S.)
[33] Generalized Poincare's conjecture in dimensions greater
than four, Ann. Math., 74 (1961), 391—406. [Перевод в сб.
Математика, 6:3 (1962), 139—155.]
Стинрод Η.
[34] Топология косых произведений, Изд. 3. М: Книжный дом
«J1h6pokom»/URSS, 2010.
Уайтхед (Whitehead J. H. С.)
[35] Combinatorial Homotopy I, Bull. Amer. Math. Soc, 55
(1949), 213—245.
[36] On Simply Connected 4-dimensional Polyhedra, Comm.
Math. Helv., 22 (1949), 48—92.
[37] Convex regions in the geometry of paths, Quart. J. Math.,
3 (1932), з£~42.
Уилмор (Willmore)
[38] Differential Qeometry.
У и τ η и Х.
[39] Геометрическая теория интегрирования, ИЛ, М., 1960
Ханнер (Наппег О)
[40] Some theorems on absolute neighborhood retracts, Ark.
Math., 1 (1950), 389—408.
Хелгасон С.
[41] Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства, М., 1964.
Хопф, Ринов (Hopf Η., Rinow W.)
[42] Ober den Begriff der volistandigen differentialgeomet-
rischen Flache, Comm. Math., Helv., 3 (1931), 209—225.
Xy С ы-цзян
[43] Теория гомотопий, Μ., 1964. Изд. 3.M.:URSS,2010.
Чжзнь Шзн-шэнь (С hern S. S.)
[44] On curvature and characteristic classes of a Riemann
manifold, Abh. Math. Sem., Hamburg, 20 (1955), 117—126.
Шевалле К.
[45] Теория групп Ли, Μ., 1948, 1958.
Экман (Eckmann В.)
[46] Oruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz —
Radon, Comm. Math. Helv., 15 (1943), 358—366.
Яно К. и Бохнер С.
[47] Кривизна и числа Бетти, ИЛ, М., 1957.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 5
Глава I. Невырожденные гладкие функции на
многообразии 9
§ 1· Введение 9
§ 2. Определения и леммы 12
§ 3. Описание гомотопического типа с помощью
критических значений 21
§ 4. Примеры 35
§ 5. Неравенства Морса 38
§ 6. Многообразия в евклидовом пространстве .... 42
§ 7. Теорема Лефшеца о гиперплоских сечениях ... 49
Глава II. Краткий курс римановой геометрии 53
§ 8. Ковариантное дифференцирование 53
§ 9. Тензор кривизны 61
§ 10. Геодезические и полнота 65
Глава III. Вариационное исчисление в применении
к геодезическим 78
§ 11. Пространство путей гладкого многообразия ... 78
§ 12. Функция действия f 81
§ 13. Гессиан функции действия на критическом пути 85
§ 14. Якобиевы поля 89
§ 15. Теорема об индексе 94
§ 16. Конечномерная аппроксимация множества Qc . . . 100
§ 17. Топология полного пространства путей 104
§ 18. Существование несопряженных точек 109
§ 19. Некоторые соотношения между топологий и
кривизной 111
Глава IV. Приложения к группам Ли и
симметрическим пространствам 119
§ 20. Симметрические пространства 119
§21. Группы Ли как симметрические пространства . . 121

184
Оглавление
§ 22. Многообразия, составленные из минимальных
геодезических 128
§ 23. Теорема Ботта о периодичности для унитарной
группы 133
§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 143
Дополнение. Гомотопический тип монотонной суммы . . 161
Приложение. Д. В. Аносов 166
§ 1. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда .... 166
§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек . 173
Литература 180

URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS
Другие книги нашего издательства:
Учебники и задачники по математике
Краснов МЛ. и др. Вся высшая математика. Т. 1—7.
Краснов М.Л.у Киселев А. //., Макаренко Г. И. Сборники задач
«Вся высшая математика» с подробными решениями.
Тактаров II. Г. Справочник по высшей математике для студентов вузов.
БоярчукА. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т. 1-5.
Босс В. Интуиция и математика.
Босс В. Лекции по математике. Т. 1-15:
Т. 1: Анализ; Т. 2: Дифференциальные уравнения; Т. 3: Линейная алгебра;
Т. 4: Вероятность, информация, статистика; Т. 5: Функциональный анализ;
Т. 6: От Диофанта до Тьюринга; Т. 7: Оптимизация; Т. 8: Теория групп; Т. 9: ТФКП;
Т. 10. Перебор и эффективные алгоритмы; Т. 11. Уравнения математической физики;
Т. 12. Контрпримеры и парадоксы; Т. 13. Топология; Т. 14. Теория чисел;
Т. 15. Нелинейные операторы и неподвижные точки.
Алексеев В. М. (ред.) Избранные задачи по математике из журнала "АММ".
Жуков А. В. и др. Элегантная математика. Задачи и решения.
Арлазаров В. В. и др. Сборник задач по математике для физико-математических школ.
Медведев Г. Н. Задачи вступительных экзаменов по математике на физфаке МГУ.
Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями).
Попов Г. II. Сборник исторических задач по элементарной математике.
Золотаревская Д. И. Теория вероятностей. Задачи с решениями.
Золотаревская Д. И. Сборник задач по линейной алгебре.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.
Антоневич А. Б. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу.
Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу.
Грищенко А. Е. и др. Теория функций комплексного переменного: Решение задач.
Сурдин В. Г. Астрономические задачи с решениями.
Гамов Г., Стерн М. Занимательные задачи.
Яглом А. А/., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.
Супрун В. II. Математика для старшеклассников. Кн. 1,2.
Базылев Д. Ф. Олимпиадные задачи по математике.
Куланин Е.Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах.
Эвнин А Ю. Задачник по дискретной математике.
Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. Кн. 1,2.
0Э
09
Ш\
0Э
09
ΐ WW
ι
09
И
m
Тел./факс:
+7(499)724-25-45
(многоканальный)
E-mail:
UR5S@URSS.ru
http://URSS.ni
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«Библио-Глобус» (м. Лубянка, ул. Мясницлая, 6. Тел. (495) 625-2457)
«Москиошй дои пиит» (и. Арбатская, ул. Новь* Арбат, 8. Тед. (495) 203-8242)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001,
780-3370)
«Дои научю-техиичесной книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)
«Дои книги на Ладожской» (и. Бауманская, ул. Ладожская, 8, сгр.1. Тел. 267-
0302)
«Гнозис» (м. Университет, 1 гуи. корпус МГУ, иоин.141. Тел. (495) 939-4713)
«У Кентавра» (РГГУ) <м. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (499) 973-4301)
«СПб. дои иниги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 448-2355)
с/э
ю
5Sl·
ее
со
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru

URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных
экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.
URSS
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.
Постников Μ. Μ Лекции по алгебраической топологии. Кн. 1,2.
Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий.
Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия.
Александров П. С. Введение в теорию групп.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия.
Клейн Ф. Высшая геометрия.
Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.
Егоров И. П. Об обобщенных пространствах.
Фиников С. П. Теория поверхностей.
Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии.
Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия.
Позняк Э. Г. у Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.
Атанасиу Г. и др. Дифференциально-геометрические структуры.
Атанасиу Г. и др. Дифференциальная геометрия второго порядка и приложения.
Кривошапко С. #., Иванов В. Н. Энциклопедия аналитических поверхностей.
Смирнов Ю. М. Курс аналитической геометрии.
Дарбу Г. Принципы аналитической геометрии.
Золотаревская Д. И. Аналитическая геометрия.
Никифоров В. Α., Шкода Б. В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Картон Э. Геометрия римановых пространств.
Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия.
Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии.
СавеловА.А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения.
Серия «Физико-математическое наследие: математика (топология)»
Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.
Стинрод Н. Топология косых произведений.
Листинг И. Б. Предварительные исследования по топологии.
СО
ОЭ
09
09
09
09
■
I
ОЭ
09
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел. +7 (499) 724-25-45 (многоканальный)
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература
09
09
URSS.ru
URSS.ru
UHSS.ru
URSS.ru
&