Text
                    Элементарная ТОПОЛОГИЯ
О. Я. Виро
Н. Ю. Нецветаев
О. А. Иванов
В. М. Харламов


О. Я. Виро, О. А. Иванов Н. Ю. Нецветаев, В.М.Харламов ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТОПОЛОГИЯ Издание второе, исправленное Москва Издательство МЦНМО, 2012
УДК 22.152 ББК 515.14 В44 Виро О. Я., Иванов О. Α., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. В44 Элементарная топология. — 2-е изд., исправл. — М.: МЦНМО, 2012. - 358+х с. ISBN 978-5-94057-894-9 В книге рассказывается об основных понятиях топологии. В нее включен основополагающий материал по общей топологии и введение в алгебраическую топологию, которое выстраивается вокруг понятий фундаментальной группы и накрывающего пространства. Основной материал книги содержит большое количество нетривиальных примеров и задач различной степени трудности. Книга предназначена для студентов младших курсов. Первое издание книги вышло в 2010 г. ББК 515.14 Олег Янович Виро, Олег Александрович Иванов, Никита Юрьевич Нецветаев, Вячеслав Михайлович Харламов ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТОПОЛОГИЯ Подписано в печать 19.10.2011 г. Формат 70 X 100 !/i6. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Печ. л. 23. Тираж; 1500 экз. Заказ № 6219. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83. Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «Дом печати — ВЯТКА» в полном соответствии с качеством предоставленных материалов 610033, г. Киров, ул. Московская, 122 Факс: (8332) 53-53-80, 62-10-36 http://www.gipp.kirov.ru e-mail: order@gipp.kirov.ru Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга» Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru © Авторский коллектив, 2010. ISBN 978-5-94057-894-9 © МЦНМО, 2010.
Оглавление Предисловие 1 Часть I. Общая топология Глава 1. Структуры и пространства § 1. Теоретико-множественное отступление: множества 13 1.1. Множества и элементы (13). 1.2. Равенство множеств (14). 1.3. Пустое множество (14). 1.4. Основные числовые множества (15). 1.5. Задание множества явным перечнем его элементов (15). 1.6. Подмножества (15). 1.7. Свойства включения (16). 1.8. Доказывая равенство множеств, доказывают два включения (16). 1.9. Включение и принадлежность (16). 1.10. Задание подмножества условием на его элементы (17). 1.11. Пересечение и объединение (17). 1.12. Разные разности (19). § 2. Топология в множестве 20 2.1. Определение топологического пространства (20). 2.2. Простейшие примеры (20). 2.3. Самый важный пример: вещественная прямая (21). 2.4. Дополнительные примеры (21). 2.5. Употребление новых терминов: точки, открытые множества, замкнутые множества (21). 2.6. Теоретико-множественное отступление: формулы де Моргана (22). 2.7. Открытость и замкнутость (22). 2.8. Задание топологии совокупностью замкнутых множеств (23). 2.9. Окрестности (23). 2.10х. Открытые множества на прямой (23). 2.Их. Канторово множество (23). 2.12х. Топология и арифметические прогрессии (24). §3. Базы 24 3.1. Определение базы (24). 3.2. Какие наборы множеств являются базами (24). 3.3. Базы на плоскости (25). 3.4. Предбазы (25). 3.5. Бесконечность множества простых чисел (26). 3.6. Иерархия топологий (26). §4. Метрические пространства 26 4.1. Определение и первые примеры (26). 4.2. Дальнейшие примеры (27). 4.3. Шары и сферы (27). 4.4. Подпространства метрического пространства (28). 4.5. Удивительные шары (28). 4.6. Отрезок — это то, что лежит между (28). 4.7. Ограниченные множества и шары (29).
IV Оглавление 4.8. Нормы и нормированные пространства (29). 4.9. Метрическая топология (29). 4.10. Открытость и замкнутость шаров и сфер (30). 4.11. Метризуемые пространства (30). 4.12. Эквивалентные метрики (30). 4.13. Действия с метриками (30). 4.14. Расстояние от точки до множества (31). 4.15х. Расстояния между множествами (31). 4.16х. Ультраметрики и р-адические числа (32). 4.17х. Асимметри- ки (32). §5. Подпространства 33 5.1. Определение и простейшие примеры (33). 5.2. Относительность открытости (34). 5.3. Транзитивность относительной топологии (34). 5.4. Традиционная неполнота обозначений (34). § 6. Расположение точек относительно множества 35 6.1. Внутренние, внешние и граничные точки (35). 6.2. Внутренность и внешность (35). 6.3. Замыкание (35). 6.4. Замыкание в метрическом пространстве (36). 6.5. Граница (36). 6.6. Внутренность и замыкание при утончении топологии (36). 6.7. Внутренность и замыкание как операции над множествами (36). 6.8. Попеременное применение С1 и Int (37). 6.9. Множества с общей границей (37). 6.10. Выпуклость и операции Int, C1 и Рг (37). 6.11. Задание топологии посредством операций замыкания и внутренности (38). 6.12. Плотные множества (38). 6.13. Нигде не плотные множества (38). 6.14. Предельные и изолированные точки (39). 6.15. Локально замкнутые множества (39). § 7. Упорядоченные множества 39 7.1. Строгие порядки (39). 7.2. Нестрогие порядки (40). 7.3. Взаимосвязь между строгими и нестрогими порядками (40). 7.4. Конусы (41). 7.5. Расположение элемента относительно множества (42). 7.6. Линейные порядки (42). 7.7. Топологии линейного порядка (43). 7.8. Топология частичного порядка (44). 7.9. Как нарисовать чум (44). § 8. Циклические порядки 45 8.1. Циклические порядки в конечном множестве (45). 8.2х. Циклические порядки в бесконечных множествах (46). 8.3х. Топология циклического порядка (48). Доказательства и комментарии 48 Глава 2. Непрерывность §9. Теоретико-множественное отступление: отображения 57 9.1. Отображения и их основные типы (57). 9.2. Образы и прообразы (57). 9.3. Тождественные отображения и включения (58). 9.4. Композиции (59). 9.5. Обратные и обратимые отображения (59). 9.6. Сужения и подотображения (59). § 10. Непрерывные отображения 60 10.1. Определение и основные свойства непрерывных отображений (60). 10.2. Переформулировки основного определения (60). 10.3. Дальнейшие примеры (61). 10.4. Поведение плотных множеств при непрерывных отображениях (61). 10.5. Локальная непрерывность (61).
Оглавление ν 10.6. Свойства непрерывных функций (62). 10.7. Непрерывность расстояний (62). 10.8. Изометрии (62). 10.9. Сжимающие отображения (63). 10.10. Множества, задаваемые уравнениями и неравенствами (63). 10.11. Теоретико-множественное отступление: покрытия (63). 10.12. Фундаментальные покрытия (63). 10.13х. Монотонные отображения (64). 10.14х. Расстояние Громова-Хаусдорфа (65). 10.15х. Функции на канторовом множестве и кривые Пеано (65). §11. Гомеоморфизмы 66 11.1. Определение и основные свойства гомеоморфизмов (66). 11.2. Го- меоморфные пространства (66). 11.3. Роль гомеоморфизмов (67). 11.4. Дальнейшие примеры гомеоморфизмов (67). 11.5. Примеры го- меоморфных пространств (68). 11.6. Примеры негомеоморфных пространств (71). 11.7. Проблема гомеоморфизма и топологические свойства (72). 11.8. Вложения (72). 11.9. Эквивалентность вложений (73). Доказательства и комментарии 74 Глава 3. Топологические свойства §12. Связность 79 12.1. Определение связности и первые примеры (79). 12.2. Связные множества (79). 12.3. Свойства связных множеств (80). 12.4. Компоненты связности (80). 12.5. Вполне несвязные пространства (81). 12.6. Связность и граница множества (81). 12.7. Связность и непрерывные отображения (81). 12.8. Связные подмножества числовой прямой (82). § 13. Приложения понятия связности 83 13.1. Теорема о промежуточном значении и её обобщения (83). 13.2. Приложение к проблеме гомеоморфизма (83). 13.Зх. Индукция по связности (84). 13.4х. Разрезание блинов на равновеликие части (84). § 14. Линейная связность 85 14.1. Пути (85). 14.2. Линейно связные пространства (85). 14.3. Линейно связные множества (86). 14.4. Свойства линейно связных множеств (86). 14.5. Компоненты линейной связности (86). 14.6. Линейная связность и непрерывные отображения (87). 14.7. Связность и линейная связность (87). 14.8х. Связность посредством ломаных (87). 14.9х. Связность некоторых множеств матриц (88). §15. Аксиомы отделимости 88 15.1. Аксиома Хаусдорфа (88). 15.2. Пределы последовательностей (89). 15.3. Множество совпадения и множество неподвижных точек (89). 15.4. Наследственные свойства (90). 15.5. Первая аксиома отделимости (90). 15.6. Аксиома Колмогорова (91). 15.7. Третья аксиома отделимости (91). 15.8. Четвёртая аксиома отделимости (92). 15.9х. Пространство Немыцкого (93). 15.10х. Лемма Урысона и теорема Титце (93). § 16. Аксиомы счётности 94
VI Оглавление 16.1. Теоретико-множественное отступление: счётность (94). 16.2. Вторая аксиома счётности и сепарабельность (94). 16.3. Базы в точке (95). 16.4. Первая аксиома счётности (95). 16.5. Секвенциальный подход к топологии (96). 16.6. Секвенциальная непрерывность (97). 16.7х. Теоремы вложимости и метризуемости (97). § 17. Компактность 97 17.1. Определение компактности (97). 17.2. Терминологические замечания (98). 17.3. Компактность на языке замкнутых множеств (98). 17.4. Компактные множества (98). 17.5. Компактность и замкнутость (99). 17.6. Компактность и аксиомы отделимости (99). 17.7. Компактность в евклидовом пространстве (99). 17.8. Компактность и непрерывные отображения (100). 17.9. Замкнутые отображения (101). 17.10х. Нормы в R™ (101). 17.11х. Индукция по компактности (101). § 18. Секвенциальная компактность 102 18.1. Секвенциальная компактность и компактность (102). 18.2. Секвенциальная компактность в метрических пространствах (102). 18.3. Компактность и полнота (103). 18.4х. Некомпактность бесконечномерных шаров (103). 18.5х. р-адические числа (104). 18.6х. Пространства выпуклых фигур (104). § 19х. Локальная компактность и паракомпактность 105 19.1х. Локальная компактность (105). 19.2х. Одноточечная компак- тификация (105). 19.Зх. Собственные отображения (106). 19.4х. Локально конечные семейства (107). 19.5х. Паракомпактные пространства (107). 19.6х. Паракомпактность и аксиомы отделимости (107). 19.7х. Разбиения единицы (108). 19.8х. Приложение: составление вложений из кусков (108). Доказательства и комментарии 109 Глава 4. Топологические конструкции § 20. Перемножение 121 20.1. Теоретико-множественное отступление: перемножение множеств (121). 20.2. Графики (121). 20.3. Перемножение топологий (122). 20.4. Топологические свойства проекций и слоев (122). 20.5. Перемножение отображений (123). 20.6. Свойства диагонали и других графиков (124). 20.7. Топологические свойства произведений (124). 20.8. Представление пространств в виде произведений (125). §21. Факторизация 126 21.1. Теоретико-множественное отступление: разбиения и отношения эквивалентности (126). 21.2. Фактортопология (127). 21.3. Топологические свойства факторпространств (127). 21.4. Теоретико- множественное отступление: факторотображения (128). 21.5. Непрерывность факторотображений (128). 21.6х. Замкнутые разбиения (129). 21.7х. Открытые разбиения (129). §22. Зверинец факторпространств 129
Оглавление vn 22.1. Инструмент распознавания факторпространств (129). 22.2. Живописание разбиений (130). 22.3. Добро пожаловать в зверинец! (131). 22.4. Транзитивность факторизации (132). 22.5. Лента Мёбиуса (132). 22.6. Стягивание подпространств (133). 22.7. Пространства красивых конфигураций (133). 22.8. Бутылка Клейна (133). 22.9. Проективная плоскость (134). 22.10. Понимаете ли Вы, что делаете? (134). 22.11. Сумма множеств (134). 22.12. Сумма пространств (134). 22.13. Склеивание пространств (135). 22.14. Основные поверхности (136). §23. Проективные пространства 138 23.1. Вещественные проективные пространства (138). 23.2х. Комплексные проективные пространства (139). 23.Зх. Кватернионные проективные пространства (139). § 24х. Конечные топологические пространства 141 24.1х. Теоретико-множественное отступление: расщепление транзитивного отношения на эквивалентность и порядок (141). 24.2х. Структура конечного топологического пространства (142). 24.Зх. Симплици- альные схемы (143). 24.4х. Барицентрическое подразделение частично упорядоченного множества (144). § 25х. Пространства непрерывных отображений 145 25.1х. Множества непрерывных отображений (145). 25.2х. Топологии в множестве непрерывных отображений (145). 25.Зх. Топологические свойства пространств непрерывных отображений (146). 25.4х. Метри- зуемый случай (146). 25.5х. Связь с другими конструкциями (147). 25.6х. Отображения XxY-+ZhX-+ C(Y, Z) (148). Доказательства и комментарии 149 Глава 5х. Элементы топологической алгебры § 26х. Алгебраическое отступление: группы и гомоморфизмы 160 26.1х. Понятие группы (160). 26.2х. Аддитивные и мультипликативные обозначения (161). 26.Зх. Гомоморфизмы (162). 26.4х. Подгруппы (163). § 27х. Топологические группы 164 27.1х. Определение топологической группы (164). 27.2х. Примеры топологических групп (165). 27.3х. Автогомеоморфизмы, делающие топологическую группу однородной (165). 27.4х. Окрестности (166). 27.5х. Аксиомы отделимости (167). 27.6х. Аксиомы счётности (167). § 28х. Конструкции 168 28.1х. Подгруппы (168). 28.2х. Нормальные подгруппы (169). 28.Зх. Гомоморфизмы (169). 28.4х. Локальные изоморфизмы (170). 28.5х. Прямые произведения (170). 28.6х. Группы гомеоморфизмов (172). § 29х. Действия топологических групп 172
Vll] Оглавление 29.lx. Действие группы на множестве (172). 29.2х. Непрерывные действия (173). 29.Зх. Пространства орбит (174). 29.4х. Однородные пространства (175). Доказательства и комментарии 176 Часть II. Элементы алгебраической топологии Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа § 30. Гомотопии 183 30.1. Непрерывные деформации отображений (183). 30.2. Гомотопия как отображение и как семейство отображений (183). 30.3. Гомотопность как отношение (184). 30.4. Прямолинейная гомотопия (185). 30.5. Отображения в звёздные множества (185). 30.6. Отображения из звездных множеств (185). 30.7. Простенькие гомотопии (185). 30.8. Два естественных свойства гомотопии (186). 30.9. Связанные гомотопии (186). 30.10. Гомотопии и пути (186). 30.11. Гомотопии путей (187). §31. Гомотопические свойства умножения путей 187 31.1. Умножение гомотопических классов путей (187). 31.2. Ассоциативность (187). 31.3. Единица (188). 31.4. Обратные элементы (188). § 32. Фундаментальная группа 189 32.1. Определение фундаментальной группы (189). 32.2. Почему индекс 1? (189). 32.3. Круговые петли (190). 32.4. Самые первые вычисления (190). 32.5. Фундаментальная группа произведения (191). 32.6. Односвязность (191). 32.7х. Фундаментальная группа топологической группы (193). 32.8х. Высшие гомотопические группы (193). §33. Роль отмеченной точки 194 33.1. Предварительное описание роли отмеченной точки (194). 33.2. Перенос вдоль пути (194). 33.3. Свойства отображения Ts (195). 33.4. Роль пути (195). 33.5х. Перенос вдоль пути в топологической группе (195). 33.6х. В высших гомотопических группах (196). Доказательства и комментарии 197 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы §34. Накрытия 203 34.1. Определение накрытия (203). 3412. Примеры накрытий (204). 34.3. Локальные гомеоморфизмы и накрытия (204). 34.4. Число листов накрытия (205). 34.5. Универсальные накрытия (206). §35. Теоремы о накрывающих путях 206 35.1. Поднятие отображений (206). 35.2. Поднятие пути (206). 35.3. Поднятие гомотопии (207). §36. Вычисление фундаментальных групп 207
Оглавление IX 36.1. Фундаментальная группа окружности (207). 36.2. Фундаментальные группы проективных пространств (208). 36.3. Фундаментальная группа букета окружностей (208). 36.4. Алгебраическое отступление: свободные группы (209). 36.5. Универсальное накрытие букета двух окружностей (210). 36.6х. Фундаментальные группы некоторых конечных пространств (212). Доказательства и комментарии 213 Глава 8. Фундаментальная группа и отображения § 37. Индуцированные гомоморфизмы и их применения 217 37.1. Индуцированный гомоморфизм (217). 37.2. Основная теорема высшей алгебры (218). 37.Зх. Обобщение теоремы о промежуточном значении (219). 37.4х, Степень точки относительно петли (220). 37.5х. Теорема Борсука-Улама (221). § 38. Ретракции и неподвижные точки 221 38.1. Ретракции и ретракты (221). 38.2. Фундаментальная группа и ретракции (222). 38.3. Неподвижные точки (223). §39. Гомотопические эквивалентности 224 39.1. Гомотопическая эквивалентность как отображение (224). 39.2. Гомотопическая эквивалентность как отношение (224). 39.3. Деформационные ретракции (225). 39.4. Примеры гомотопических эквивалентно- стей (225). 39.5. Деформационные ретракции и гомотопические эквивалентности (226). 39.6. Стягиваемые пространства (226). 39.7. Фундаментальная группа и гомотопический тип (227). § 40. Накрытия и фундаментальная группа 227 40.1. Гомоморфизм, индуцированный проекцией (227). 40.2. Ещё раз о числе листов накрытия (228). 40.3. Иерархия накрытий (в узком смысле) (228). § 41х. Классификация накрывающих пространств 229 41.1х. Существование подчинений (229). 41.2х. Микроодносвязность (229). 41.Зх. Существование накрытий (230). 41.4х. Действие фундаментальной группы в слое (231). 41.5х. Автоморфизмы накрытия (231). 41.6х. Регулярные накрытия (232). 41.7х. Подъём и накрытие отображения (233). 41.8х. Индуцированные накрытия (233). 41.Эх. Высшие гомотопические группы накрывающих пространств (233). Доказательства и комментарии 234 ГЛАВА 9. Клеточная техника §42. Клеточные пространства 243 42.1. Определение клеточного пространства (243). 42.2. Первые примеры (245). 42.3. Дальнейшие примеры в размерности два (246). 42.4. Вложения в евклидовы пространства (247). 42.5х. Симплици- альные пространства (248). § 43х. Топологические свойства клеточных пространств 248
χ Оглавление § 44. Клеточные конструкции 250 44.1. Эйлерова характеристика (250). 44.2. Комбинаторное сдавливание и его обобщение (250). 44.Зх. Гомотопические эквивалентности клеточных пространств (251). §45. Одномерные клеточные пространства 253 45.1. Гомотопическая классификация (253). 45.2. Максимальные деревья (254). 45.Зх. Разбивающие клетки (254). 45.4х. Деревья и леса (254). 45.5х. Простые пути (255). § 46. Фундаментальная группа клеточного пространства 256 46.1. Одномерные клеточные пространства (256). 46.2. Образующие (256). 46.3. Соотношения (256). 46.4. Выписывание образующих и соотношений (258). 46.5. Фундаментальные группы основных поверхностей (258). 46.6х. Теорема Зейферта-ван Кампена (259). 46.7х. Теоретико-групповое отступление: свободное произведение с объединенной подгруппой (261). 46.8х. Дополнение к теореме Зейферта- ван Кампена (262). Доказательства и комментарии 264 Указания, комментарии, советы и ответы 279 Литература 350 Предметный указатель 351
Памяти Владимира Абрамовича Рохлина (1919-1984), нашего учителя Предисловие Предмет книги — элементарная топология Под элементарностью понимают близость к основам, элементам. Невозможно определить точно раз и навсегда, какая топология элементарна, а какая — не очень. Элементарная часть предмета — это то, с чего знаток предмета начинает обучать новичка. Мы полагаем, что наш ученик уже готов изучать топологию, и не будем пытаться завоевать его внимание и расположение торопливыми и невразумительными рассказами о таких таинственных и привлекательных вещах как бутылка Клейна1. Всему своё время — дойдёт черёд и до бутылки Клейна. Начнём лее мы с того, что такое топологическое пространство, т. е. с общей топологии. Общая топология уже давно является частью общематематического языка. Термин общая топология обозначает топологию, которая используется большинством математиков. Она учит понятно и точно говорить о вещах, связанных с идеей непрерывности. Она нужна не только для того, чтобы объяснить, что лее такое бутылка Клейна. Это ещё и способ привнести геометрические образы в любую область математики, как бы далека от геометрии эта область ни была на первый взгляд. Как область активных научных исследований общая топология практически завершена. Постоянное использование в качестве общего математического языка отполировали систему её определений и теорем. В наши дни её изучение действительно напоминает скорее изучение языка, нежели математики: приходится выучивать много новых слов, тогда как доказательства большинства теорем чрезвычайно просты. Зато теорем этих очень много. Это и не удивительно — они играют роль правил, регулирующих употребление слов. Книга состоит из двух частей. Общая топология является предметом первой части. Вторая часть посвящена введению в алгебраическую топологию через её наиболее классический и элементарный раздел, выстраивающийся вокруг понятий фундаментальной группы и накрывающего пространства. В элементарную топологию мы включили бы ещё и начальные сведения о многообразиях — пространствах, локально устроенных так лее, как евклидово пространство. Особенно элементарны одномерные и двумерные многооб- 1Тот, кто ищет такой элементарной топологии, найдёт её в книгах по наглядной топологии, иллюстрированных красивыми картинками.
2 Предисловие разия, т. е. кривые и поверхности. Но книга не должна быть слишком толстой, и нам пришлось остановиться. Несколько особняком стоит глава 5х. Её материал играет важную роль во многих разделах математики, но не является необходимым при первоначальном изучении общей топологии. Поэтому освоение этого материала молено отложить до той поры, пока он не появится содержательным образом в других математических курсах (в которых речь пойдет о группах Ли, функциональном анализе и т. д.). Мы поместили его в нашу книгу главным образом потому, что он обеспечивает большой набор разнообразных примеров и упражнений. Для кого эта книга? Читатель может смело браться за эту книгу, если в своём образовании он благополучно добрался до университета. Отдельные самоуверенные смельчаки могут попробовать взяться за неё и раньше. Однако сказать, что предварительных знаний не требуется, нельзя. Предполагается знакомство с вещественными числами. Ну и, конечно, с натуральными, целыми и рациональными. Знакомство с комплексными числами тоже не будет лишним, хотя в первой части книги без них можно и обойтись. Мы предполагаем, что читатель знаком с наивной теорией множеств, но допускаем, что это знакомство может быть поверхностным. Поэтому там, где владение теорией множеств особенно желательно, сделаны специальные теоретико-множественные отступления. Мы не опираемся всерьёз на знание анализа, но поскольку большинство наших читателей с ним всё равно хоть чуть-чуть знакомы, мы не стесняемся прибегать к обозначениям и понятиям из анализа. Во второй части пригодится опыт работы с группами, хотя всё необходимое о группах мы сообщаем. Одно из самых ценных приобретений, которое может сделать читатель, одолев эту книгу, — новые элементы математической культуры, способность понимать и ценить абстрактную аксиоматическую теорию. Чем в большей степени читатель этим уже обладает, тем легче ему будет освоить материал этой книги. Книгой молено пользоваться при подготовке к экзамену по топологии (особенно если он состоит в решении задач). Однако если вы слушаете лекции по топологии, то разумно почитывать её перед лекциями, пытаясь самостоятельно доказывать приводимые утверждения до того, как их докажет лектор. Если вы хотите изучать топологию самостоятельно, эта книга может оказаться как раз тем, что вам нужно. Однако вам следует внимательно перечитать это предисловие с тем, чтобы разобраться, как организован материал и как им пользоваться. Особенности организации текста Даже при беглом просмотре обнаруживается нестандартность организации текста этой книги. Мы сознательно пошли на несколько нововведений. Надеемся, что читатель быстро освоится с ними и найдёт их полезными.
Предисловие 3 Мы знаем, что нужды и интересы наших читателей разнообразны, и осознаём, как трудно сделать книгу интересной и полезной для к а ж д о г о читателя. Для решения этой задачи мы разметили текст так, чтобы читатель мог легко определить, чего молено ждать от каждого фрагмента. Мы надеемся, что это позволит ему организовать изучение материала книги в соответствии со своими вкусами и возможностями. Этой цели служат несколько особенностей организации текста книги. Прежде всего, мы выделили главную, так сказать, лекционную линию. Это тот материал, который мы считаем основным. Он составляет сравнительно небольшую часть текста. Часто он перебивается конкретными примерами, иллюстративными и тренировочными задачами и обсуждением понятий, связанных с этими примерами и задачами, но не используемых в дальнейшем. Некоторые из этих понятий играют фундаментальную роль в других областях математики, но здесь они второстепенны. Словом, основная линия при первой лее возможности перебивается вариациями. Вариации графически ясно отделены от основной темы. Вторая особенность, отличающая эту книгу от большинства других учебников, — отделённость доказательств от формулировок. Она выглядит почти как задачник. При желании её легко было бы сделать малоотличимой по виду от сотен других учебников математики. Для этого нужно все вариации переместить в концы параграфов так, чтобы они выглядели бы упражнениями к основному тексту, а доказательства теорем поместить непосредственно после их формулировок. Основная тема и вариации. Стержнем книги является материал курса топологии для студентов-математиков Санкт-Петербургского (Ленинградского) государственного университета. Этот материал сравнительно невелик и почти не содержит сложных рассуждений. Пусть читатель не думает, что, выделяя основную тему, авторы просто пытаются навязывать ему свои вкусы. Мы не стесняемся при случае свои вкусы навязывать, но здесь прежде всего мы стремимся организовать изучение предмета. Основная тема составляет законченное целое. Читатель, её освоивший, выучил предмет. Заглядывал он в вариации или нет — его дело. Но вариации для того и включены, чтобы помочь в освоении основного материала. Они не сосланы на заключительные страницы параграфов для того, чтобы быть под рукой именно тогда, когда они нужнее всего. Заодно из вариаций можно узнать много интересного. Однако чрезмерно буквальное и тщательное следование вариациям может неоправданно затянуть изучение предмета. Читатели, которые могут самостоятельно доказать утверждения из основной темы, вообще говоря, не нуждаются в решении всех задач, предлагаемых в вариациях, и могут ограничиться беглым знакомством с их условиями и решением наиболее трудных из них. С другой стороны, чем труднее вам доказывать утверждения основной темы, тем с большим вниманием следует отнестись к иллюстративным задачам и с меньшим — к задачам со звездочкой. Мы считаем, что материал, представленный в основной теме, — это тот ми-
4 Предисловие нимум топологии, который должен освоить каждый студент, решивший стать профессиональным математиком. Студенту, чьи интересы окажутся связаны с топологией и другими геометрическими предметами, конечно, придётся изучить гораздо больше. Но и ему этот материал может послужить хорошей основой. Студенту, не рассчитывающему стать профессиональным математиком, далее частичное знакомство с основной темой может оказаться полезным. Кому- то — для подготовки к экзамену, кому-то — для того чтобы почувствовать вкус абстрактной математики, роль определений и ценность точных формулировок. Еще раз подчеркнем, что книга рассчитана на читателя, готового работать активно. Доказательства теорем отделены от их формулировок и помещены в конец текущей главы. По нашему убеждению, первой реакцией на формулировку любого утверждения, коль скоро вам кажется, что вы её поняли, должна быть попытка это утверждение доказать. Или опровергнуть, если доказать не удаётся. Попытка опровергнуть может быть полезна и для достижения лучшего понимания формулировки, и для поиска доказательства. Отдаляя доказательства от формулировок, мы хотим поощрить читателя к продумыванию каждой формулировки, одновременно сделав книжку неудобной для легкомысленного скольжения по диагонали. Впрочем, читатель, предпочитающий более традиционный стиль, сможет либо найти доказательство в конце главы, либо и вовсе пропустить его (правда, рискуя и формулировку понять превратно). Такой стиль может угодить и искушённому читателю, предпочитающему формулировки, не омрачённые доказательствами. Доказательства в большинстве своём нетрудные, придумывать их легко и приятно. Основными структурными единицами книги являются параграфы, которые разделены на пронумерованные и озаглавленные пункты. Каждый пункт посвящен отдельному сюжету и состоит из определений, комментариев, теорем, упражнений, задач и загадок. Теоремы, упражнения, задачи и загадки, относящиеся к основному материалу, нумеруются парами, состоящими из номера параграфа и латинской буквы, отделенных друг от друга точкой. Буквы присваиваются в алфавитном порядке и нумеруют утверждения в пределах параграфа. Под загадкой мы понимаем задачу, решение (а часто и условие) которой следует скорее угадать, чем вычислить или вывести из формулировки. 2.В. Загадка. Принимая во внимание её номер, определите, в каком параграфе должна находиться эта загадка. Да и загадка ли это? Часто после трудной задачи (теоремы) сформулирована последовательность утверждений, являющихся леммами к этой задаче. Такая цепочка нередко завершается задачей, в которой предлагается вернуться к исходной задаче (теореме), вооружившись только что доказанными леммами.
Предисловие 5 Основной материал подаётся в окружении многочисленных тренировочных задач и дополнительных определений, теорем и утверждений. Несмотря на свои связи с основным материалом, они обычно остаются за рамками стандартного лекционного курса. Этот дополнительный материал в книге легко распознаётся по более мелкому шрифту и широким полям, таким, как здесь. Упражнения, задачи и загадки, не включенные в основной материал, но тесно связанные с ним, нумеруются парами, состоящими из номера параграфа и номера этого утверждения в пределах параграфа. 2.5. Найдите в основном тексте книги задачу с тем же номером 2.5. Решения этих задач помещены в конце книги. Многие из предлагаемых иллюстративных задач придумать легко. Более того, при серьезном изучении предмета примеры такого типа и нужно постоянно придумывать. С другой стороны, некоторые задачи, представленные в книге, придумать совсем не просто. Мы широко использовали всевозможные источники, как литературные, так и преподавательский фольклор. Задачи (как основного материала, так и вариаций), которые авторам показались наиболее трудными, помечены, как водится, звёздочкой. Они включены с разными целями: наметить связи с другими областями математики, указать возможные направления развития предмета или просто доставить удовольствие честолюбивому читателю. Дополнительные темы. Мы решили сделать доступными для заинтересованных студентов некоторые теоретические сюжеты, дополняющие основной материал. Их было бы естественно включать в лекционные курсы, предназначенные для старшекурсников (или аспирантов). Однако, как правило, сюжеты эти плохо вписываются в традиционные специальные курсы. Более того, их изучение кажется более естественным именно при первых контактах с топологией. В книге такие сюжеты выделены в отдельные пункты, в номера которых включен символ х, которому мы придаём смысл extra (иногда таким образом помечен и весь параграф, а в одном случае — и целая глава). Отношение к этому материалу как к дополнительному зависит, конечно, от точки зрения. Относя какой-то сюжет к таковому, мы руководствуемся своими представлениями о том, что должно входить в первоначальное изучение топологии. Мы понимаем, что кто-то из коллег может не одобрить наш выбор, но надеемся, что наша разметка не помешает им пользоваться книгой. Новое слово в математике: согда В математической речи часто встречается сложный союз «тогда и только тогда, когда» (другие варианты: «в том и только в том случае, если», «для того чтобы ... необходимо и достаточно, чтобы»). Ни в одном естественном национальном языке нет короткого союза с тем лее смыслом. В письменный английский математики ввели союз «iff», и он получил широкое распространение. Мы предлагаем на ту лее роль слово согда, которое звучит по-русски и имеет достаточно ясную этимологию. Его второй слог - гд а является актив-
6 Предисловие ным славянским корнем, указывающим на время. Он входит в слова тогда, всегда, когда, иногда, никогда, некогда. Первый слог с о - является не менее активной приставкой, которая служит для образования слов, означая общее участие, совместность и т. п., например, современник, соавтор, согласие, соратник. Вместе получается общность времени, что соответствует длинной форме «тогда и только тогда, когда». Как создавалась эта книга Основная тема следует курсу лекций, поставленному Владимиром Абрамовичем Рохлиным на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета в шестидесятые годы минувшего века. Нам кажется уместным начать с обстоятельств создания этого курса, хотя писать книгу мы стали уже после смерти Владимира Абрамовича. В шестидесятые годы в Советском Союзе математика была одной из наиболее привлекательных областей науки для молодых людей, уступая среди негуманитарных наук разве что физике. Каждый ход на отделение математики матмеха ЛГУ поступали более ста студентов, несколько десятков из которых были выпускниками математических школ. Программа лекционных курсов матмеха подверглась серьёзному обновлению. До создания рохлинского курса топология преподавалась на матмехе только в рамках спецкурсов. Рохлину удалось включить в систему общих обязательных курсов семестровый курс топологии. Курс состоял из трёх глав, посвященных, соответственно, общей топологии, фундаментальной группе и
Предисловие 7 накрытиям и многообразиям. Содержание первых двух глав мало отличалось от основного материала этой книги. Последняя глава начиналась с общего определения топологического многообразия, включала топологическую классификацию одномерных многообразий и завершалась либо топологической классификацией триангулированных двумерных многообразий, либо элементами дифференциальной топологии вплоть до вложимости гладкого многообразия в евклидово пространство. Трое из четырёх авторов принадлежат первым поколениям студентов, слушавших рохлинский курс лекций. Это был семестровый курс, три часа в неделю в первом семестре второго курса. От силы две двухчасовые лекции в течение всего семестра посвящались решению задач. Эти занятия проводил не сам Рохлин, а его аспиранты. К примеру, в 1966-68 годах их вёл Миша Громов — выдающийся геометр, в настоящее время профессор парижского Института высших исследований и нью-йоркского Института Куранта. Рохлин считал курс теоретическим и не хотел тратить лекционное время на решение задач. И вправду, в рамках этого курса студентов не приходилось обучать решению серий рутинных задач наподобие традиционных для математического анализа задач на технику дифференцирования и интегрирования. Хоть мы и построили свою книгу отправляясь от лекций Рохлина, никакого представления о стиле рохлинских лекций книга не даёт. Это были блестящие лекции. Владимир Абрамович почти ничего не писал на доске. Тем не менее, записывать за ним было легко. Он говорил не торопясь, максимально простыми и идеально правильными фразами. Последний раз свой обязательный курс топологии Рохлин прочёл в 1973 году. В августе 1974 года в связи с тяжёлой болезнью Рохлина администрации матмеха пришлось искать, кем заменить его как лектора. Задача осложнялась тем, что экзаменационные результаты за предыдущий год были из рук вон плохи. В 1973 году время, отведённое на курс, было увеличено до четырёх часов в неделю, тогда как число студентов увеличилось, а уровень их подготовки соответственно снизился. И экзаменационные оценки «рухнули». Было решено весь поток, состоявший приблизительно из 175 студентов, разделить на два. Лекции студентам, которым предстояло специализироваться по прикладной математике, было поручено читать профессору В. А. Залгаллеру, а лекции «чистым математикам» — ассистенту О. Я. Виро. По предложению Залгаллера были введены практические занятия — один час в неделю. В результате время, отведённое на лекции, уменьшилось, а вместе со временем сократился de facto и объём материала. Оставалось понять, что лее делать на практических занятиях. Пришлось разработать систему задач и упражнений, которые давали бы возможность повторить определения, данные на лекциях, и позволяли бы развивать навыки в доказательстве простых теорем из общей топологии в обстановке несложной аксиоматической теории. При постепенно снижающемся уровне предварительной подготовки студентов практические занятия и задачи становились всё более полезными. Задачи первой части книги — результат наших усилий в этом направлении.
8 Предисловие В 1988 году задачи эти были опубликованы издательством ЛГУ в небольшой книжке «Задачи по топологии». Студенты нашли книжку полезной. Один из них, Алексей Соловьёв, даже перевёл её на английский по собственной инициативе, когда поступил в аспирантуру Университета Калифорнии. Перевод открыл новый этап работы над книгой. Мы стали развивать параллельно русский и английский тексты и охватили практически весь материал рохлинского курса. В 2000 году в издательстве Санкт-Петербургского государственного университета вышло второе русское издание книги, уже включавшее в себя главу о фундаментальной группе и накрытиях. Авторы использовали английский вариант в своих лекциях в США (Университет Калифорнии), Франции (Страсбургский университет) и Швеции (Упсальский университет). Лекции читались для весьма разных аудиторий: как для студентов, так и для аспирантов. Кроме того, мы получали запросы от знакомых и незнакомых профессоров на разрешение использовать английскую версию в их лекциях как в тех лее, так и в других странах. Возникли новые требования к тексту. Например, нас просили включить в книгу решения задач и доказательства теорем, чтобы привести её в соответствие с западными стандартами и превратить из задачника в самодостаточный учебник. Поколебавшись, мы удовлетворили эти просьбы, тем более что к ним присоединилось издательство Американского Математического Общества, в 2008 году выпустившее в свет английское издание этой книги. Мы благодарны всем нашим коллегам за их советы и помощь. Многочисленные полезные замечания и предложения были высказаны М. Ю. Звагель- ским, А. В. Корчагиным, С. С. Подкорытовым, А. Н. Шумаковичем. Мы благодарны Алексею Соловьёву за английский перевод первого издания «Задач по топологии». Мы особо признательны Виктору Абрамовичу Залгаллеру, чей педагогический опыт и искреннее желание помочь сыграли неоценимую роль для нас тогда, когда мы были молодые. Каждому из нас посчастливилось быть учеником Владимира Абрамовича Рохлина, памяти которого мы и посвящаем эту книгу.
Предисловие 9 Авторы, слева направо: Олег Янович Виро Вячеслав Михайлович Харламов Никита Юрьевич Нецветаев Олег Александрович Иванов
ι
Часть I Общая топология
Цель этой части книги — обучение математическому языку. Точнее, одной из наиболее важных его компонент — языку теоретико-множественной топологии, которая имеет дело с основополагающими понятиями, связанными с идеей непрерывности. Термин общая топология обозначает топологию, которая используется большинством математиков. Постоянное использование в качестве общего математического языка отполировали систему её определений и теорем. В наши дни изучение общей топологии действительно напоминает скорее изучение языка, нежели математики: приходится выучивать много новых слов, тогда как доказательства всех теорем чрезвычайно просты. Зато теорем очень много. Это и не удивительно — они играют роль правил, регулирующих употребление слов. Мы должны предупредить студентов, для которых это один из самых первых математических предметов. Не спешите влюбиться в него слишком сильно, не дайте случиться импринтингу. Этот предмет может очаровать, но он не такой живой как многие другие области математики и не способен дать такого простора для захватывающих новых открытий.
Глава 1 Структуры и пространства § 1. Теоретико-множественное отступление: множества Мы начинаем с отступления, которое, впрочем, хотелось бы считать излишним для большинства читателей. Его предмет — наивная теория множеств — тоже часть общематематического языка, но он ещё не топология. О топологии мы ни слова не сможем сказать без этой части (чтобы убедиться в этом, загляните в следующий параграф). Естественно ожидать, что знакомство с наивной теорией множеств происходит при изучении предметов, обычно предшествующих топологии, таких, как математический анализ и алгебра. Если так оно и было, бегло просмотрите этот параграф и принимайтесь за следующий. 1.1. Множества и элементы В любой интеллектуальной деятельности одно из самых основополагающих действий — соединение объектов в группы. Это соединение происходит в умах и совсем не обязательно сопровождается каким бы то ни было реальным действием. Как только группа образована и названа, о ней можно думать и рассуждать и, в частности, включать в другие группы. В математике имеется великолепно разработанная система понятий, которая организует и регламентирует создание таких групп и оперирование ими. Эта система понятий называется наивной теорией множеств, хотя по сути это не столько теория, сколько язык. Первые слова в этом языке — множество и элемент. Под множеством понимают произвольное собрание различных предметов. Предметы, входящие в это собрание, называются элементами этого множества. Множество состоит из своих элементов. Оно образовано из них. Чтобы разнообразить речь, слово множество заменяют словом совокупность. Иногда в том лее смысле употребляют и другие слова, такие, как группа, класс, семейство, но это не вполне безопасно, поскольку каждое из них наделяется в математике другими, как правило, более узкими значениями. То, что χ является элементом множества А, обозначается формулой χ € А. При этом говорят, что χ принадлежит множеству А и А содержит х. Значок € называется символом принадлежности. Он возник как стилизованная греческая буква ε, первая буква латинского слова elementum. Формулу χ £ А
14 Глава 1. Структуры и пространства записывают и так: А э х. Этим подчёркивается очевидная аналогия с символами < и >. Тот факт, что χ не является элементом множества А, записывается формулой χ £ А или А^х. 1.2. Равенство множеств Множество определяется своими элементами. Оно есть не что иное, как собрание своих элементов. Наиболее выпукло это проявляется в том, что множества считаются равными, согда они состоят из одних и тех оке элементов. В этом смысле слово «множество» имеет слегка уничижительный оттенок: когда мы говорим «множество», мы подчёркиваем своё сиюминутное равнодушие к какой бы то ни было организации его элементов. Например, говоря, что прямая есть множество точек, мы даём основание предположить, что две прямые совпадают, согда они состоят из одних и тех лее точек. С другой стороны, мы обязуемся все взаимоотношения точек (расстояния между ними, их порядок на прямой и т. п.) рассматривать отдельно, не включая их в понятие прямой. Элементы, в свою очередь, могут быть множествами, но постольку, поскольку они рассматриваются как элементы, они исполняют роль своего рода атомов, чья внутренняя жизнь игнорируется. Множество молено представлять себе как воображаемый ящик, предназначенный для того, чтобы отделить элементы этого множества от прочих вещей. Соединение каких-то вещей в множество даёт возможность присвоить им общее имя и демонстрирует намерение рассматривать эти вещи как единую общность, не вдаваясь до поры до времени в их природу и отношения между собой. В современной математике слова множество и элемент являются одними из наиболее употребляемых. Они употребляются почти во всех математических текстах, к месту и не к месту. Нехорошо словом «элемент» заменять другие, более значимые слова, превращая его в математический аналог слова-паразита «штука». Когда что-то называют элементом, должно быть ясно, что подразумевается под множеством, чьим элементом это что-то служит. Слово «элемент» осмысленно только в комбинации со словом «множество». Исключений из этого правила не много: нематематические термины (химический элемент, нагревательный элемент), редкие старомодные математические термины (например, подынтегральное выражение называют инфините- зимальным элементом, в старых геометрических текстах точки, прямые и плоскости называются элементами). 1.3. Пустое множество Итак, элемент не может быть без множества. А вот множество может быть без единого элемента. Имеется всего одно такое множество (поскольку множество определяется запасом своих элементов). Оно называется пустым и обозначается символом 0 г. 1Другие обозначения, например, Λ, тоже были в ходу, но постепенно 0 стало общепринятым.
§ 1. Теоретико-множественное отступление: множества 15 1.4. Основные числовые множества Наряду с 0 имеются и другие уникальные множества, столь важные, что они получили свои собственные общепринятые названия и обозначения. Множество всех натуральных чисел, т.е. 1,2,3,4,5,..., обозначается через N. Множество всех целых чисел (как положительных целых, т. е. натуральных чисел, так и отрицательных и нуля) обозначается через Z. Множество всех рациональных чисел (добавьте к целым числам числа, представимые дробя- 9 7 ми, т.е. такие, как, например, ■?,—?) обозначается через Q. Множество всех вещественных чисел (полученное присоединением к множеству Q иррациональных чисел таких, как, например, у/2 и π = 3.14...) обозначается через R. Множество комплексных чисел обозначается через С. 1.5. Задание множества явным перечнем его элементов Множество, заданное списком а,Ь,...,х своих элементов, обозначается символом {а, Ь,..., х}. Другими словами, список объектов, заключенный в фигурные скобки, обозначает множество, элементы которого перечислены в этом списке. Например, {1, 2,123} — множество состоящее из чисел 1, 2 и 123. Формула {а, х, А} обозначает множество, состоящее из элементов а, х и А, какие бы объекты эти три буквы ни обозначали. 1.1. Что такое {0}? Сколько элементов в этом множестве? 1.2. Какие из нижеследующих формул верны: 1) 0ί{0,{0}}; 2) {0} 6 {{0}}; з) 0 е {{0}}? Множество, состоящее из одного элемента, так и называется — одноэлементное множество. 1.3. Является ли множество {{0}} одноэлементным? Заметьте, что множества {1,2,3} и {3, 2,1, 2} равны, поскольку они состоят из одних и тех лее элементов. На первый взгляд, список с повторениями никогда не может возникнуть естественным образом. Появляется даже соблазн на всякий случай запретить списки с повторениями в подобных обозначениях. Однако, как это часто случается с соблазном что-то запретить, в данном случае запрет этот не был бы разумным. Действительно, часто никто не может сказать, имеются в списке повторения или нет. Например, если элементы списка зависят от параметра, то при одних значениях параметра некоторые члены списка могут совпасть, тогда как при других значениях они окажутся различными. 1-4- Сколько элементов содержит каждое из следующих множеств: 1) {1,2,1}; 2) {1,2, {1,2}}; 3) {{2}}; 4){{1},1}; 5) {1,0}; 6){{0},0}; 7){{0},{0}}; 8) {х,3х- 1} при хеЖ1 1.6. Подмножества Если каждый элемент множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что А есть подмножество множества В и что В содержит множество А, а также пишут А с В и В D А. Знаки с и Э называются символами включения. Не случайно они напоминают знаки неравенства < и >.
16 Глава 1. Структуры и пространства 1.А. Пусть множество А состоит из а элементов, а множество В — из b элементов. Если А С В, то а^Ь. 1.7. Свойства включения 1.В. Рефлексивность включения. Включение А С А имеет место для любого множества А, т. е. любое множество содержится в самом себе. Таким образом, знаки включения не вполне соответствуют знакам неравенств < и >. Они ближе к ^ и ^. Обратите внимание на то, что нет такого числа а, которое было бы меньше самого себя; неравенство а <а решений не имеет. 1.С. Вездесущесть пустого множества. 0сА для любого множества А. Другими словами, пустое множество присутствует, в качестве подмножества, в каждом множестве. Итак, в любом множестве А имеются два очевидных подмножества: пустое множество 0 и само А. Подмножество множества А, отличное от 0 и Л, называется его собственным, подмножеством. Слово это употребляется, когда хотят исключить из рассмотрения очевидные подмножества (называемые несобственными.) I.D. Транзитивность включения. Если А, В и С — множества, такие, что Ас В и В СС, то АсС. 1.8. Доказывая равенство множеств, доказывают два включения Имея дело с множествами, часто приходится доказывать, что какие-то два множества, которые возникают, казалось бы, совершенно по-разному, на самом деле совпадают. Наиболее обычный способ доказательства равенства множеств даёт следующая теорема. I.E. Критерий равенства множеств. А = В, согда А С В и В С А. 1.9. Включение и принадлежность I.F. х<ЕА, согда {х} С А. Несмотря на эту очевидную связь и похожесть символов принадлежности € и включения С, понятия принадлежности и включения весьма различны. В самом деле, принадлежность А € -В означает что А — один из элементов множества В (т. е. один из неделимых объектов, составляющих В), тогда как включение А С В означает, что А состоит из некоторых элементов множества В. I.G. Нерефлексивность принадлежности. Постройте такое множество А, что А £ А. Ср. 1.В. 1.Н. Нетранзитивность принадлежности. Постройте такие множества Л, В и С, что А € В и В € С, но А £ С. Ср. I.D.
§ 1. Теоретико-множественное отступление: множества 17 1.10. Задание подмножества условием на его элементы Как мы знаем (см. п. 1.5), множество молено описать, представив список его элементов. К сожалению, этот простейший способ задания множеств не всегда доступен и уж во всяком случае не всегда лёгок. Например, легко сказать: «множество всех решений следующего уравнения» и выписать уравнение. Это — вполне приемлемое недвусмысленное описание множества. Приняв его, молено говорить об этом множестве, обсуждать его свойства, и, в результате, если повезёт, решить уравнение и выписать список всех его решений. (Последнее может оказаться нелёгким делом, но тот факт, что мы не имеем списка всех решений уравнения, не должен помешать нам рассуждать о множестве всех его решений.) Итак, множество молено задать, сформулировав свойства, выделяющие его элементы среди элементов более широкого и уже описанного множества. Соответствующее обозначение: подмножество множества А, состоящее из элементов х, которые удовлетворяют условию Р(х), обозначается через {х € А | Р(х)}- 1.5. Задайте следующие множества списками их элементов (т. е. в виде {а, Ь,. · ■}). 1) {х е N | χ < 5}; 2) {х € Ν | χ < 0}; 3) {χ <Ξ Ζ | χ < 0}. 1.11. Пересечение и объединение Пересечением множеств А и В называется множество, составленное из их общих элементов, т. е. элементов, принадлежащих и А, и В. Оно обозначается через А Г) В. Его можно описать и формулой АпВ = {х\хеА и х(еВ}. Множества А и В называются дизъюнктными или непересекающимися, если их пересечение пусто, т. е. А П В = 0. А В А В А В AnB A\JB Объединением множеств Аи В называется множество, составленное из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств Ли В. Объединение множеств А и В обозначается через Аи В. Его молено описать формулой AUB = {x\x<EA или χ € В}. Здесь союз или понимается в неисключающем смысле: условие «х € А или χ € В» означает, что χ принадлежит хотя бы одному из мнолееств А и В, а, быть может, и обоим. 1.1. Коммутативность операций Пии. Для любых множеств А и В выполнены равенства АС\В = ВС\А и AUB = BUA.
18 Глава 1. Структуры и пространства 1.6. Докажите, что для любого множества А АпА = А, AUA = A, Аи0=АиА<10=0. 1.7. Докажите, что для любых множеств А и В Ас В, согда А П В = А, согда A U В = В. 1.3. Ассоциативность операций Пии. Для любых множеств А, В и С выполнены равенства (АГ)В)Г)С = АГ)(ВГ)С) и (AU В) U С = AU (В U С). Ассоциативность позволяет не заботиться о скобках и даже иногда опускать их, полагая АпВГ)С =(АГ)В)Г)С = АГ)(ВГ)С) и ЛиBUC = (A U В) U С = = A U (В U С). Впрочем, пересечение и объединение сколь угодно большой (в частности, бесконечной) совокупности множеств проще определяется непосредственно. Действительно, пусть Г — некоторая совокупность множеств. Пересечением множеств этой совокупности называется множество, составленное из элементов, которые принадлежат к а лсд ому множеству, входящему в Г. Это множество обозначается через (~\АеГ А- Аналогично, объединением множеств совокупности Г называется множество, составленное из элементов, которые принадлежат хотя бы одному множеству, входящему в Г. Это множество обозначается через UAer ^ · 1.К. Понятия пересечения и объединения множеств произвольной совокупности обобщают понятия пересечения и объединения двух множеств: если Г = {А, В}, то Псег С=АГ)Вт |JCer С = A U В. 1.8. Загадка. Как связаны понятия системы уравнений и пересечения множеств? I.L. Две дистрибутивности. Для любых множеств А, В и С выполнены равенства (А П В) U С = (A U С) Π (В U С), (1.1) (A U В) Π С = (А П С) U (В Π С). (1.2) Первое из этих тождеств проиллюстрировано на следующем рисунке. А В А В А В Подобные картинки называются диаграммами Венна или кругами Эйлера. Они очень полезны, и мы рекомендуем научиться их рисовать для иллюстрации всех теоретико-множественных формул (по крайней мере содержащих не более трёх множеств). 1.М. Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую равенство (1.2). Докажите равенства (1.1) и (1.2), отслеживая все детали доказательства на диаграммах Венна. Нарисуйте диаграммы Венна, иллюстрирующие все последующие формулы этого параграфа.
§ 1. Теоретико-множественное отступление: множества 19 1.9. Загадка. Обобщите теорему 1.L на случай любого числа множеств. I.N. Ещё две дистрибутивности. Пусть А — множество, а Г — множество, все элементы которого являются множествами. Тогда An (J В = (J (Л Π В) и Auf|S= il(^US). вег вег вет вег 1.12. Разные разности Разностью А \ В множеств А и В называется совокупность тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. При этом, вообще говоря, не предполагается, что AD В. В случае, если АэВ, множество А \ В называется также дополнением множества В в множестве А. 1.10. Докажите, что для любых множеств А и β их объединение AL> В представляется как объединение следующих трёх множеств: А \ В, 5\Аи АПВи что эти множества попарно не пересекаются. 1.11. Докажите, что А\(Л\В) = ЛПВ для любых множеств А и В. 1.12. Докажите, что А С В, согда А \ В = 0. 1.13. Докажите, что А П (В \ С) = (А П В) \ (А П С) для любых множеств А, В и С. Симметрической разностью множеств А и В называется множество (A\B)U(B\A). Это множество обозначается через А А В. А В А В А В\В Л\В Α Δ В 1.14- Докажите, что для любых множеств А и В выполнено равенство ЛдВ = (АиВ)\(АпВ). 1.15. Ассоциативность симметрической разности. Докажите, что для любых множеств А, В и С выполнено равенство (А А В) АС = АА(В АС). 1.16. Загадка. Найдите симметричное определение симметрической разности (А А В) АС трёх множеств и обобщите его на случай любого конечного набора множеств. 1.17. Дистрибутивность. Докажите, что (Α Δ В) П С = (А П С) А (В П С) для любых множеств А, В ι/ι С. 1.18. Справедливо ли равенство (Α Δ В) U С = (A U С) А (В U С) для любых множеств А, В и С?
20 Глава 1. Структуры и пространства § 2. Топология в множестве 2.1. Определение топологического пространства Пусть X — некоторое множество. Рассмотрим набор Ω его подмножеств, для которого: 1) объединение любого семейства множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω; 2) пересечение любого конечного семейства множеств, принадлежащих совокупности Ω, также принадлежит совокупности Ω; 3) пустое множество 0 и всё множество X принадлежат Ω. В таком случае о Ω есть топологическая структура или просто топология2 в множестве X; о множество X с выделенной топологической структурой Ω (т. е. пара (Χ, Ω)) называется топологическим пространством; о элементы множества X называются точками этого топологического пространства; о элементы множества Ω называются открытыми множествами пространства (Χ, Ω). Три условия, наложенные выше на Ω, называются аксиомами топологической структуры. 2.2. Простейшие примеры Дискретное пространство — множество, в котором выделенной совокупностью является множество всех его подмножеств. 2. А. Убедитесь в том, что это топологическое пространство, т. е. что здесь действительно выполнены аксиомы топологической структуры. Антидискретное пространство ~ противоположный пример, в котором топологическая структура самая скромная. Она состоит из X и 0. 2.В. Это тоже топологическая структура, не правда ли? Теперь несколько чуть более содержательных примеров. 2.1. Пусть X есть луч [0; +оо), а Ω состоит из 0, X и всевозможных лучей (а; +оо), где а ^ 0. Докажите, что Ω — топологическая структура. 2.2. Пусть X есть плоскость. Является ли топологической структурой набор множеств, состоящих из 0, X и открытых кругов с центром в начале координат и всевозможными радиусами? 2.3. Пусть X состоит из четырёх элементов: X = {a, b, c,d}. Выясните, какие из следующих трёх наборов его подмножеств являются топологическими структурами в X (т. е. удовлетворяют аксиомам топологической структуры): 1) 0, X, {а}, Щ, {а, с}, {а,Ь,с}, {а,Ь}; 2 Эти названия говорят о том, что Ω — действительно важная птица: она носит то же имя, что и целая ветвь математики. Это не означает, конечно же, что Ω совпадает со всей наукой, к изучению которой Вы приступаете, но всё в этой науке и в самом деле так или иначе связано с Ω.
§ 2. Топология в множестве 21 2) 0,Х, {а}, {Ь}, {а,Ь}, {b,d}; 3) 0,X,{a,c,d}, {b,c,d}4 Пространство из задачи 2.1 называется стрелкой. Пространство из задачи 2.3,1) мы будем обозначать пиктограммой If , смысл которой будет разъяснен в § 7. Оба эти пространства, как и пространство из задачи 2.2, не играют серьезной роли, но хороши как учебные примеры. 2.3. Самый важный пример: вещественная прямая Пусть X = Ш. — множество всех вещественных чисел, Ω — совокупность объединений всевозможных семейств открытых интервалов (интервалом мы называем множество вида (а; Ь), где, разумеется, а € Ш. и Ъ € Щ. 2. С. Убедитесь в том, что эта совокупность удовлетворяет аксиомам топологической структуры. Именно эту топологическую структуру имеют в виду всегда, когда о множестве R говорят как о топологическом пространстве, не описывая топологическую структуру явно. Это пространство называется обычно вещественной прямой, а топологическую структуру называют канонической или стандартной топологией в R. 2.4. Дополнительные примеры 2.4- Пусть Χ=ϊπί2 состоит из пустого множества и всевозможных бесконечных подмножеств прямой М. Является ли Ω топологической структурой? 2.5. Пусть опять X = М, а Ω состоит из пустого множества и дополнений всевозможных конечных подмножеств прямой Ж. Является ли такое множество Ω топологической структурой? Пространство из задачи 2.5 ъ дальнейшем обозначается через Mj^ и называется прямой с Τι-топологией или прямой с топологией Зариского. 2.6. Пусть (Χ, Ω) — топологическое пространство, а У — множество, полученное из X добавлением к нему одного элемента а. Является ли набор {{a} U U \ U 6 Ω} U {0} топологической структурой в У? 2.7. Является ли набор множеств {0, {0}, {0,1}} топологической структурой в двухэлементном множестве {0,1}? Топология в У из задачи 2.6 в случае, если топология Ω дискретна, называется топологией всюду плотной точки. Топология задачи 2.7 называется топологией связного двоеточия или топологией Серпинского. 2.8. Перечислите все топологические структуры в двухэлементном множестве, скажем, в {0,1}. 2.5. Употребление новых терминов: точки, открытые множества, замкнутые множества Напомним, что если (Χ, Ω) — топологическое пространство, то элементы множества X называются точками, а элементы множества Ω — открытыми Буква Ω — греческий аналог буквы О, с которой начинаются слова многих языков, означающие одно и то же: open в английском, открытый в русском, offen в немецком, ouvert во французском.
22 Глава 1. Структуры и пространства 2.D. Переформулируйте аксиомы топологической структуры, употребляя термин «открытое множество», где только молено. Говорят, что множество F С X замкнуто в пространстве (Χ, Ω), если его дополнение X \ F открыто (т. е. если X \ F € Ω). 2.6. Теоретико-множественное отступление: формулы де Моргана 2.Е. Пусть Г — произвольная совокупность подмножеств множества X. Тогда *\ U л= Г\(х^А), (1-3) лег дег *\ Π 4 = U(*^)· (1-4) Аег лег Формула (1.4) «в одно действие» выводится из (1.3), не правда ли? Формулы этой задачи представляют собой несимметричные варианты формулировки, в которую симметричным образом входят множества и их дополнения, объединения и пересечения. 2.9. Загадка. Найдите такую формулировку. 2.F. Свойства замкнутых множеств. Докажите что: 1) пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто; 2) объединение любого конечного набора замкнутых множеств замкнуто; 3) пустое множество и всё пространство (т. е. всё множество — носитель топологической структуры) замкнуты. 2.7. Открытость и замкнутость Обратите внимание на то, что замкнутость не есть отрицание открытости. (Кстати, и в обыденной речи это не совсем антонимы.) 2.G. Приведите примеры множеств: 1) являющихся одновременно и открытыми, и замкнутыми (разумеется, в одном и том же пространстве); 2) не являющихся ни открытыми, ни замкнутыми. 2.10. Дайте прямое описание следующих замкнутых множеств: 1) дискретного пространства; 2) антидискретного пространства; 3) стрелки; 4) пространства \f ; 5) пространства S.Tt ■ 2.Η. Замкнуты ли в R замкнутые отрезки [о; 6]? Замкнутость и открытость — во многом аналогичные свойства. Фундаментальное различие между ними состоит в том, что пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто, тогда как пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто, а объединение бесконечного набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто, тогда как объединение любого набора открытых множеств открыто. 2.11. Полуоткрытый промежуток [0; 1) не открыт и не замкнут в К, но представим и как объединение замкнутых множеств и как пересечение открытых. Г 1 Ί °° 2.12. Множество А = {0} U ·! — > замкнуто на числовой прямой.
§ 2. Топология в множестве 23 2.8. Задание топологии совокупностью замкнутых множеств 2.13. Если совокупность Τ подмножеств множества X удовлетворяет следующим условиям: 1) пересечение любого набора множеств, принадлежащих J2', принадлежит J7; 2) объединение любого конечного набора множеств, принадлежащих Τ', принадлежит совокупности Т; 3) 0 и X принадлежат J2', то Τ есть совокупность всех замкнутых множеств некоторого топологического пространства (какого?). 2.14- Перечислите все наборы подмножеств трёхэлементного множества, такие, что существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкнутых множеств. 2.9. Окрестности Окрестностью точки топологического пространства называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Аналитики и французы (следуя Н. Бурбаки) понимают окрестности шире: они называют так любое множество, содержащее окрестность в указанном выше «узком» смысле. 2.15. Дайте прямое описание окрестностей точек 1) в дискретном пространстве; 2) в антидискретном пространстве; 3) в стрелке; 4) в пространстве \f ; 5) в связном двоеточии; 6) в топологии всюду плотной точки. 2.10х. Открытые множества на прямой 2.1х. Любое открытое множество вещественной прямой есть объединение дизъюнктных интервалов. На первый взгляд может показаться, что из теоремы 2.1х следует, что открытые подмножества прямой устроены вполне просто. Однако это далеко не так; они могут располагаться на прямой самым причудливым образом. Как показывает пример из следующего пункта, их дополнения — замкнутые множества — могут быть вполне сложно устроены. И уж, конечно, не следует думать, что всякое замкнутое множество является объединением отрезков. 2.Их. Канторово множество Пусть К — множество вещественных чисел, которые имеют вид J2T=i db где ak = 0 или 2. Другими словами, К состоит из тех чисел, представление которых 0, αλα2 ... α„ ... в троичной системе не содержит единиц, т. е. ак φ 1 при всех к. 2.Jx. Найдите геометрическое описание множества К. 2.Jx.l. Докажите, что 1) Кс[0;1], 2) К не пересекается с ( о; о ) > о) К не пересекается ни с одним из интервалов вида I —-^—; —-^— I, где к и s — произвольные целые числа.
24 Глава 1. Структуры и пространства 2.Jx.2. Представьте К как разность [0; 1] и объединения бесконечного семейства открытых интервалов. 2.Jx.3. Постарайтесь нарисовать К. Множество К называется канторовым множеством [канторовым континуумом, канторовым дисконтинуумом). Оно обладает многочисленными замечательными свойствами и появляется во многих последующих задачах. 2.Кх. Докажите, что множество К является замкнутым. 2.12х. Топология и арифметические прогрессии 2.Lx*. Рассмотрим следующее свойство подмножества F множества натуральных чисел N: существует такое N € N, что F не содержит арифметической прогрессии длиной больше N. Докажите, что набор, состоящий из таких подмножеств и всего множества N, образует совокупность замкнутых множеств некоторой топологии в N. При решении этой задачи, вероятно, не обойтись без следующей теоремы, относящейся к комбинаторике. 2.Мх*. Теорема ван дер Вардена. Для всякого η € N существует такое N € Ν, что если множество {1,2,..., Ν} разбить на два подмножества, то в одном из них найдётся арифметическая прогрессия длиной п. § 3. Базы 3.1. Определение базы Часто топологическую структуру задают посредством описания некоторой её части, достаточной для восстановления всей структуры. Базой топологии называется некоторый набор открытых множеств, такой, что всякое непустое открытое множество представимо в виде объединения множеств из этого набора. К примеру, всевозможные интервалы составляют базу топологии вещественной прямой. 3.1. Могут ли различные топологические структуры иметь одну и ту же базу? 3.2. Найдите какие-нибудь базы следующих топологических структур: 1) дискретного пространства; 2) пространства \J ; 3) антидискретного пространства; 4) стрелки. Постарайтесь выбрать базы поменьше. 3.3. Загадка. Какие топологические структуры имеют в точности одну базу? 3-4- Докажите, что любую базу канонической топологии пространства Ж можно уменьшить. 3.2. Какие наборы множеств являются базами 3. А. Совокупность Σ открытых множеств является базой топологии Ω, согда для всякого множества U € Ω и всякой точки x€:U существует такое множество V € Σ, что χ € V с U. З.В. Совокупность Σ подмножеств множества X является базой некоторой топологии в X, согда X есть объединение множеств из Σ и пересе-
§ 3. Базы 25 чение любых двух множеств из Σ представляется в виде объединения множеств из Σ. 3. С. Покажите, что второе условие в З.В (т. е. условие относительно пересечения) равносильно следующему: пересечение любых двух множеств из Σ вместе с каждой своей точкой содержит некоторое множество из Σ, содержащее эту точку. (Ср. З.А.) 3.3. Базы на плоскости Рассмотрим следующие три набора подмножеств плоскости R2: 1) набор Σ2, состоящий из всевозможных открытых кругов (т.е. кругов, в которые не включаются ограничивающие их окружности); 2) набор Σ°°, состоящий из всевозможных открытых квадратов (квадратов без граничных точек — сторон и вершин), стороны которых параллельны координатным осям (они задаются неравенствами вида max{|:r - а\, \у - Ь\} < г) 3) набор Σ1, состоящий из всевозможных открытых квадратов, стороны которых параллельны биссектрисам координатных углов (они задаются неравенствами вида \х — а\ + \у — Ь\ < г). 3.D. Докажите, что любой элемент набора Σ2 есть объединение элементов набора Σ°°. З.Е. Докажите, что пересечение любых двух элементов набора Σ1 есть объединение элементов набора Σ1. 3.F. Докажите, что каждый из наборов Σ2, Σ°° и Σ1 служит базой некоторой топологической структуры в R2, и структуры, определяемые этими базами, совпадают. 3.4. Предбазы Набор Δ открытых множеств топологического пространства (Χ, Ω) называется предбазой, если набор Σ = \ν Ι V = П Wi, W € Δ, к € Ν} ^ г=1 ' всевозможных конечных пересечений множеств из Δ является базой топологии Ω. 3.5. Покажите, что в любом множестве X набор Δ его подмножеств является предбазой некоторой топологической структуры на X, согда X = (JwgA W·
26 Глава 1. Структуры и пространства 3.5. Бесконечность множества простых чисел 3.6. Докажите, что всевозможные бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в N. 3.7. С помощью этой топологии докажите, что множество простых чисел бесконечно. Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!). 3.6. Иерархия топологий Если Ω2 и Ω2 — топологические структуры в множестве X и Ω,Ύ с Ω2, то говорят, что структура Ω2 тоньше, чем Ω1; а Ωι — грубее, чем Ω2. К примеру, из всех топологических структур в данном множестве антидискретная — самая грубая, а дискретная — самая тонкая, не правда ли? 3.8. Покажите, что ΤΊ-топология (см. §2) грубее обычной топологии вещественной прямой. Базы, задающие одну и ту лее топологическую структуру, называются эквивалентными. 3.G. Загадка. Не упоминая топологических структур, сформулируйте условие, необходимое и достаточное для эквивалентности двух баз. (Ср. 3. D; базы Σ2, Σ°° и Σ1 должны удовлетворять найденному вами условию!) § 4. Метрические пространства 4.1. Определение и первые примеры Функция р: X х X —> Ш.+ = {х€Ш.\х^0} называется метрикой (или расстоянием) в множестве X, если 1) р(х, у) = 0, согда χ = у; 2) р(х, у) = р(у, х) для любых х,у £ X; 3) р(х, у) < р(х, ζ) + ρ(ζ, у) для любых x,y,z е X. Пара (X, р), где ρ — метрика в X, называется метрическим пространством. Условие 3) называется неравенством треугольника. 4-А. Покажите, что для любого множества X функция ™ I 0, если χ = у, I 1, если χ фу, является метрикой. 4·Β. Докажите, что следующая функция есть метрика: txl^ R+: (х,у) н-> \х-у\. 4-С. Докажите, что следующая функция есть метрика: ■ 1/2 ■'· (х>у) ^ ( y](xi -Vif Именно метрики 4.В и 4.С имеют в виду всегда, когда говорят об 1 и К" как о метрических пространствах, не описывая метрику. Метрика 4.В есть специальный случай метрики 4.С. Эти метрики называют евклидовыми.
§ 4. Метрические пространства 27 4.2. Дальнейшие примеры 4-1· Докажите, что следующая функция есть метрика: 1"xR"^R+:(i,!/)h max \xi - Vi\- г=1,...,п 4-2. Докажите, что следующая функция есть метрика: η 1"χΙ"^1+: (χ, у) >->■ Y^\xi-Vi\. i=l Метрики в Мп, введённые в задачах 4.С-4.2, включаются в бесконечную серию метрик ,, ,_ .ι/ρ 0(р): (Х,У) (Σΐχί-κΐΜ , р>1- 4=1 ' 4-3. Докажите, что для любого ρ ^ 1 функция р(р' есть метрика. 4-3.1. Неравенство Гёльдера. Докажите, что если X{,yi ^ 0, p,q > 0 и - + - = 1, то η χ η ч ι/ρ χ η \ 1/q i=l 4i=l / 4=1 7 Метрика из 4- С есть р(2), метрика из ^..2 есть pW, метрику из 4-1 естественно обозначить через р'°°' и включить в эту серию, поскольку, если сц — произвольные неотрицательные числа, то / " \ 1/р lim ( у ар ) = max dj. 4·4· Загадка. Какое отношение имеет это к Σ2, Σ°° и Σ1 из §3? Для вещественного ρ ^ 1 обозначим через £'р) множество всех последовательностей оо {in}J°=1, таких, что ряд Σ |^j|p сходится. i=i 4-5. Докажите, что для любых двух элементов х,у £ £(р' ряд оо Σι^-№ΐρ , i=l сходится и что функция / °° \ 1/Р (х,у) -» i^ln-wl") , р>1, 4=1 / является метрикой в £(р'. 4.3. Шары и сферы Пусть (X, р) — метрическое пространство, а — его точка И1— положительное вещественное число. Множества Вг(а) = {х£Х\р(а,х) <г}, (1.5) Dr(a) = {x£X\p(a,x)^r}, (1.6) Sr(a)={xeX\p(a,x) = r} (1.7) называются, соответственно, открытым шаром (или просто шаром), замкнутым шаром и сферой пространства (X, р) с центром в точке α и радиусом г.
28 Глава 1. Структуры и пространства 4.4. Подпространства метрического пространства Если (X, р) — метрическое пространство и А с X, то сужение метрики ρ на А х А является метрикой в А и (А,р\АхА) — метрическое пространство. Оно называется подпространством пространства (X, р). Шар -Di(O) и сфера θΊ(0) пространства Еп (с евклидовой метрикой) обозначаются символами Dn и 5"-1 и называются n-мерным шаром и (п—1)-мерной сферой. Они рассматриваются как метрические пространства — подпространства пространства R". 4-D. Убедитесь в том, что: D1 есть отрезок [—1; 1], D2 есть круг, 5° — пара точек { — 1,1}; 51 — окружность, S2 — сфера, D3 — шар. Последние два факта объясняют происхождение терминов шар и сфера (в контексте метрических пространств). Некоторые свойства шаров и сфер в произвольном метрическом пространстве напоминают хорошо знакомые свойства плоских кругов и окружностей и пространственных шаров и сфер. 4·Ε. Докажите, что для любых точек х, а произвольного метрического пространства и любого числа г > р(х, а) имеют место включения Вг^р(^а)(х) С Вг(а) и Dr_p(x,a)(x) cDr(a). 4·6. Загадка. А что, если г < р(х,а)1 Каков в этом случае аналог утверждения задачи 4-ЕР. 4.5. Удивительные шары Однако в некоторых метрических пространствах шары и сферы могут обладать и неожиданными свойствами. 4-7- Каковы шары и сферы в плоскости R2 с метриками из 4-1 и 4·% (ср. 4-(У- 4-8. Найдите Γ>ι(α), Г*ι (α), и Si. (α) в пространстве из задачи 4-А. 2 2 4-9. Найдите такое метрическое пространство и два таких шара в нём, чтобы шар большего радиуса содержался в шаре меньшего радиуса и не совпадал с ним. 4· 10. Каково наименьшее число точек в том пространстве, которое требуется построить в задаче 4-9Ί 4-11. Докажите, что в условиях задачи 4-9 больший радиус не превышает удвоенного меньшего радиуса. 4.6. Отрезок — это то, что лежит между 4-12. Докажите, что отрезок с концами в точках а,Ь £ Жп можно описать как множество {хеЖп\р(а,х) + р(х,Ь)=р(а,Ь)}, где ρ — евклидова метрика. 4-13. Как устроены множества указанного в задаче 4·!% вида в Жп (или хотя бы в Ж ) с метриками р'р', 1 ζ ρ < +σο?
§ 4. Метрические пространства 29 4.7. Ограниченные множества и шары Подмножество А метрического пространства (X, р) называется ограниченным, если существует такое число d > 0, что р(х, у) <d для любых х, у £ А. Точная нижняя грань таких d называется диаметром множества А и обозначается через diam А. 4.F. Докажите, что множество А ограничено, согда оно содержится в некотором шаре. 4·14· Как связаны между собой радиус этого шара и diam ΑΊ 4.8. Нормы и нормированные пространства Пусть X — векторное пространство (над полем Ж). Функция X —► R+ : χ ι—> ι—> J a; I называется нормой, если 1) Iа;Ι = 0, согда χ = 0; 2) ||Асе|| = |λ||:τ| для любых А'еМихеХ; 3) \\х + у\\ ^ |а;| + \\у\\ для любых х,у £ X. 4-15. Если χ н-► |х| — норма, то отображение р: X X X -> Ж+: (х, у) ^ \х - у\ есть метрика. Векторное пространство с выделенной нормой называется нормированным. Метрика, определяемая нормой (как в J^.IS), канонически превращает нормированное векторное пространство в метрическое. 4-16. Просмотрите задачи этого параграфа и определите, какие из упомянутых в них метрических пространств являются на самом деле нормированными векторными пространствами. 4· 17. Докажите, что всякий шар в нормированном пространстве является симметричным относительно своего центра выпуклым множеством 4. 4· 18*. Всякое центрально-симметричное выпуклое замкнутое ограниченное множество в Жп, не лежащее ни в каком отличном от М" аффинном подпространстве, является замкнутым шаром единичного радиуса относительно некоторой нормы, которая однозначно определяется этим множеством. 4.9. Метрическая топология 4-G. Множество всех открытых шаров метрического пространства является базой некоторой топологии. Эту топологию называют метрической и говорят, что она порождается метрикой. Всякий раз, когда о метрическом пространстве говорят как о топологическом (например, когда говорят о его открытых и замкнутых множествах, окрестностях и т. п.), имеют в виду эту топологическую структуру. 4·Η. Докажите, что введённая в § 2 стандартная топологическая структура в R порождается метрикой (х,у) ι—> \х — у\. 4Напомним, что множество А называется выпуклым если для любых его точек х, у £ А сегмент, соединяющий х, у, содержится в А. Конечно, поскольку это определение опирается на понятие сегмента, оно имеет смысл только в пространствах, где имеется понятие сегмента, соединяющего точки. Это так, в частности, в векторных и аффинных пространствах над R.
30 Глава 1. Структуры и пространства 4-19. Какая топологическая структура задаётся метрикой задачи ^.Л? 4-1· Критерий открытости. Множество открыто в метрическом пространстве, согда оно содержит каждую свою точку вместе с некоторым шаром, центром которого она является. 4.10. Открытость и замкнутость шаров и сфер 4· 20. Докажите, что всякий замкнутый шар замкнут (относительно метрической топологии). 4-21. Найдите замкнутый шар, являющийся открытым множеством. 4-22. Найдите открытый шар, являющийся замкнутым множеством. 4-23. Докажите, что сферы являются замкнутыми множествами. 4·24· Найдите сферу, являющуюся открытым множеством. 4.11. Метризуемые пространства Топологическое пространство называется метризуемым, если его топологическая структура порождается некоторой метрикой. 4.J. Антидискретное пространство, состоящее более чем из одной точки, неметризуемо. 4·Κ. Пространство с конечным множеством точек метризуемо, согда оно дискретно. 4-25. Какие из топологических пространств, приведённых в качестве примеров в § 2, метризуемы? 4.12. Эквивалентные метрики Две метрики в одном множестве называются эквивалентными, если они порождают одну и ту лее топологию. 4-26. Эквивалентны ли метрики в1", введённые в 4-С, 4.1 и 4.т 4-27. Метрики Ρι,Ρ2 в X эквивалентны, если существует такие числа с, С > 0, что cpi(x, у) ζ Р2(х, У) Ss ζ Cpi(x, у) для любых х, у £ X. 4-28. Обратное, вообще говоря, неверно. 4-29. Загадка. Значит, условие эквивалентности метрик, сформулированное в 4-27, можно ослабить. Как? 4-30. Метрики р(р> в К™, определенные выше перед задачей 4-3, эквивалентны друг другу. 4-31*. Докажите, что следующие две метрики р\ и рс в множестве всех непрерывных функций [0; 1] —> Μ не эквивалентны: Pi(f,9)= f \f(x)-g(x)\dx; pc(/,g) = max{|/(x)-9(x)||x€[0;l]}. Jo Правда ли, что одна из порождаемых ими метрических топологий тоньше другой? 4.13. Действия с метриками 4-32. 1) Докажите, что если Р\,р2 — метрики в X, то р\+ Р2 и тах{р1,рг} — тоже метрики в X. 2) Являются ли метриками функции min{pi,p2}, — и Ριρ2? (Для функции ρ = — полагаем по определению р{х, х) = 0.)
§ 4. Метрические пространства 31 4-33. Докажите, что если р:ХхХ->К есть метрика, то: 1) функция (х,у) ι—► —г—'-. г — тоже метрика; 2) функция (ж, у) н-► тт.{р{х,у), 1} — тоже метрика; 3) функция (ж, у) ι—► f(p(x, у)) тоже является метрикой, если / удовлетворяет следующим требованиям: о Д0) = 0; о / монотонно возрастает; ° f{x + У) < f{x) + f{y) для любых х,у еШ+. 4·3^· Докажите, что метрики ρ и —£— эквивалентны. 4.14. Расстояние от точки до множества Пусть (Х,р) — метрическое пространство, А С X, b £ X. Расстоянием от точки b до множества А называется число р(Ь,А)=Ы{р(Ь,а)\а&А}. 4.L. Докажите, что если А — замкнутое множество, то р(Ь, А) = 0, согда b € А. 4-35. Докажите, что \р(х, А) — р{у, А)\ ζρ(χ, у) для любого множества А и точек х, у того же метрического пространства. р(х, А) < р(х, ζ) < р(х, у)+р(у, ζ) 4.15х. Расстояния между множествами Пусть А и В — ограниченные подмножества метрического пространства (X, р). Расстоянием Хаусдорфа между А и В называется число dp(A, В) = max< swpp(a,B), supp(b, A) >. 4·Μχ. Докажите, что расстояние Хаусдорфа в множестве ограниченных подмножеств метрического пространства удовлетворяет требованиям 2) и 3) из определения метрики. 4·Νχ. Докажите, что для любого метрического пространства расстояние Хаусдорфа является метрикой в множестве его ограниченных замкнутых подмножеств. Пусть А и В — два ограниченных многоугольника на плоскости5. Положим <ίΔ(Λ, В) = S(A) + S(B) - 2S(A Π В), где S(C) — площадь многоугольника С. 4· Ох. Докажите, что d& является метрикой на множестве всех плоских многоугольников. 5Хотя, думается, многоугольники хорошо известны из элементарной геометрии, всё же напомним, что это такое. Многоугольник — это множество, состоящее из точек простой замкнутой ломаной и точек, охваченных ею. Под простой замкнутой ломаной понимают циклическую последовательность отрезков, в которой каждый отрезок начинается в конце предыдущего, и других пересечений отрезки не имеют.
32 Глава 1. Структуры и пространства 4-Рх- Докажите, что на множестве выпуклых многоугольников метрика d<\ эквивалентна метрике Хаусдорфа. 4-Qx- Докажите, что на множестве всех (не обязательно выпуклых) многоугольников метрика d&. не эквивалентна метрике Хаусдорфа. 4.16х. Ультраметрики и р-адические числа Метрика ρ называется улътраметрикой, если она удовлетворяет ультраметрическому неравенству треугольника: р(х, у) ζ max{p(:r, z),p{z, у)} для любых х, у, ζ. Метрическое пространство (X, р) с ультраметрикой ρ называется ультраметрическим. 4-Rx· Среди метрик, введённых в задачах 4-А--4-2, только одна является ультраметрикой. Какая? 4-Sx. Докажите, что в ультраметрическом пространстве все треугольники равнобедренные (т.е. для любых трёх точек а, Ъ и с по крайней мере два из трёх расстояний р(а, b), p(b, с) и р(а, с) равны). 4· Тх. Докажите, что в ультраметрическом пространстве сферы не только замкнуты (см. задачу 4-23), но ещё и открыты. Важнейшим примером ультраметрики является р-адическая метрика в множестве Q всех рациональных чисел: пусть ρ - простое число и разность х — у различных чисел х, у £ Q представляется в виде ^ра, где r,svia — целые, а числа гив взаимно просты с р. Положим р(х, у) = р~а (ясно, что следует считать р(х,х) = 0). 4 ■ Ux. Докажите, что это — ультраметрика. 4.17х. Асимметрики Функция ρ: Χ χ X —► R+ называется асимметрикой в множестве X, если 1) р(х, у) = 0, согда χ = у; 2) р(х, у) ^ р(х, ζ) + ρ(ζ, у) для любых x,y,z G X. Так что асимметрика удовлетворяет условиям 1) и 3) определения метрики (см. п. 4.1), но не удовлетворяет условию 2). Пример асимметрики «из жизни» — наименьшая длина пути автомобиля между точками в городе, в котором имеются улицы с односторонним движением. 4· Vx. Докажите, что если функция р: Хх1->М является асимметрикой, то функция (х,у) ι—> р(х,у) + р(у,х) — метрика в X. Пусть А и В — ограниченные подмножества метрического пространства (X, р). Асимметрикой от А до В называется число ар(А, В) = supp(b, А), ьев
§ 5. Подпространства 33 4· Wx. Асимметрика ар в множестве ограниченных подмножеств метрического пространства удовлетворяет неравенству треугольника из определения асимметрики. 4·Χχ· В метрическом пространстве (X,р) множество В содержится в любом замкнутом множестве, содержащем множество А, согда ар(А, В) = 0. 4·Υχ· Докажите, что ар является асимметрикой в множестве ограниченных замкнутых подмножеств любого метрического пространства (X, р) . Пусть А и В — многоугольники на плоскости. Положим аА(А, В) = S(B) - S(A П В) = S(B \ A), где S(C) — площадь многоугольника С. 4·36χ. Докажите, что ад является асимметрикой на множестве всех плоских многоугольников. Пара (X, р), где ρ — асимметрика в X, называется асимметрическим пространством. Разумеется, всякое метрическое пространство является и асимметрическим. В асимметрическом пространстве шары (открытые и замкнутые) и сферы определяются так лее, как и в метрическом пространстве, см. п. 4.3. 4-Ζχ. Множество всех открытых шаров асимметрического пространства является базой некоторой топологии. Говорят, что эту топологию порождает асимметрика. 4-37х. Докажите, что формула а(х, у) = тах{ж — у, 0} определяет асимметрику в [0; оо) и что топология, порождаемая этой асимметрикой совпадает с топологией стрелки (см. п. 2.2). § 5. Подпространства 5.1. Определение и простейшие примеры Пусть (Χ, Ω) — топологическое пространство, А С X. Обозначим через ΩΑ совокупность множеств вида AC\V, где V £ Ω, т. е. nA = {AnV\Veil}. 5. А. Совокупность ΩΑ есть топологическая структура в множестве А. Пара (Α,ΩΑ) называется подпространством пространства (Χ, Ω), совокупность ΩΑ — относительной топологией или топологией, индуцированной в А топологией Ω, а её элементы — множествами, открытыми в А. 5.В. Стандартная топология в R1 и топология, индуцированная в Ш1 как в подмножестве плоскости, совпадают. 5.1. Загадка. Как по базе топологии в X построить базу топологии, индуцированной на А с X? 5.2. Опишите топологические структуры, которые индуцируются: 1) в множестве натуральных чисел N топологией прямой; 2) в N топологией стрелки; 3) в двухто-
34 Глава 1. Структуры и пространства чечном множестве {1, 2} топологией пространства Мт\ ; 4) в том же множестве {1, 2} топологией стрелки. 5.3. Открыт ли полуоткрытый промежуток [0; 1) в отрезке [0;2], рассматриваемом как подпространство прямой Ж1? 5. С. Множество F замкнуто в подпространстве А С X, согда F = ADE, где множество Ε замкнуто в пространстве X. 5-4- Докажите, что если подмножество подпространства открыто (замкнуто) в объемлющем пространстве, то оно также открыто (соответственно замкнуто) в подпространстве. 5.2. Относительность открытости Множества, открытые в подпространстве, не обязательно открыты в объемлющем пространстве. 5.D. Единственным открытым множеством прямой R1, открытым и в плоскости R2, является пустое множество 0. Однако справедливо следующее утверждение. 5.Е. Открытые множества открытого подпространства открыты и во всём пространстве. (Другими словами, если А € Ω, то ΩΑ С Ω.) Таково лее соотношение между замкнутостью в подпространстве и в пространстве. В частности: 5.F. Замкнутые множества замкнутого подпространства замкнуты во всём пространстве. 5.5. Докажите, что множество U открыто в X, согда каждая его точка обладает в X такой окрестностью V, что множество U Π V открыто в V. Имея в виду этот факт, говорят, что открытость является локальным свойством. Действительно, утверждение 5.5 можно понимать следующим образом: множество открыто, согда оно открыто в окрестности каждой своей точки. 5.6. Покажите, что замкнутость не является локальным свойством. 5.3. Транзитивность относительной топологии 5. G. Транзитивность относительной топологии. Пусть (Χ, Ω) — топологическое пространство и X Э AD В. Тогда (ΩΑ)Β = Ω,Β, т. е. топология, которая индуцируется в В топологией, индуцированной в А, совпадает с топологией, индуцированной непосредственно из X. 5.7. Пусть (Х,р) — метрическое пространство, и пусть А С X. Тогда топология, порождаемая в А метрикой р\аха, совпадает с топологией, которую индуцирует в А топология, порожденная в X метрикой р. 5.8. Загадка. Для доказательства совпадения нужно доказывать два включения. Какое включение здесь менее очевидно? 5.4. Традиционная неполнота обозначений Рассматривать различные топологические структуры в одном и том лее множестве приходится сравнительно редко. Поэтому обычно топологическое пространство обозначают так лее, как и его множество точек, т. е. вместо (Χ, Ω)
§ 6. Расположение точек относительно множества 35 пишут просто X. Аналогично поступают и в случае метрических пространств: вместо (X, р) пишут X. § 6. Расположение точек относительно множества Этот параграф посвящен дальнейшему расширению словаря, необходимого для обсуждения явлений, происходящих в топологических пространствах. 6.1. Внутренние, внешние и граничные точки Пусть X — топологическое пространство, А с X и Ь € X. Точка b называется: о внутренней точкой множества А, если некоторая её окрестность содержится в А; о внешней точкой множества А, если у неё имеется окрестность, не пересекающаяся с А; о граничной точкой множества А, если всякая её окрестность пересекается и с Л и с его дополнением. 6.2. Внутренность и внешность Внутренностью множества, лежащего в топологическом пространстве, называется наибольшее (по включению) открытое множество, содержащееся в нём (т. е. его открытое подмножество, содержащее любое другое его открытое подмножество). Внутренность множества А обозначается символом Int A или, подробнее, Int χ А (от французского interieur и английского interior). 6.А. Всякое подмножество топологического пространства обладает внутренностью. Ею является объединение всех открытых множеств, содержащихся в этом множестве. 6.В. Внутренность всякого множества есть множество его внутренних точек. 6. С. Множество открыто, согда оно совпадает со своей внутренностью. 6.D. Докажите, что в R: 1) lnt[0; 1) = (0; 1); 2) Int Q = 0; 3) Int(R \ Q) = 0. 6.1. Найдите внутренность множества {a,b,d} в пространстве \j . 6.2. Найдите внутренность интервала (0; 1) на прямой с топологией Зариского. Внешностью множества называется наибольшее не пересекающееся с ним открытое множество. Ясно, что внешность А совпадает с Int(X \ А). 6.3. Замыкание Замыканием множества называется наименьшее содержащее его замкнутое множество. Замыкание множества А обозначается символом С1А или, подробнее, С1х А (от французского cloture и английского closure).
36 Глава 1. Структуры и пространства 6.Е. Всякое подмножество топологического пространства обладает замыканием. Им является пересечение всех замкнутых множеств, содержащих это множество. 6.3. 1) Если А — подпространство пространства X и В С А, то С1д В = 0\χ Β Π А. 2) Верно ли, что IntA В = Int χ В П А? Точка Ъ называется точкой прикосновения множества А, если всякая её окрестность пересекается с А. 6.F. Замыкание множества А совпадает с множеством точек прикосновения множества А. 6. G. Множество А замкнуто, согда А = С1 А. 6.Н. Замыкание множества совпадает с дополнением его внешности, т.е. С1А = X \ Int(X \ А), где X — пространство и А С X. 6.1. Докажите, что в R: 1) С1[0; 1) = [0; 1]; 2) C1Q = R; 3) C1(R \ Q) = R. 6.4- Найдите замыкание множества {а} в \j . 6.4. Замыкание в метрическом пространстве Пусть А — подмножество и b — точка метрического пространства (X, р). Напомним (см. п. 4.14), что расстоянием от точки Ь до множества А называется число р(Ь, А) = inf{р(6, а) | α € Л}. 6.3. Докажите, что Ь € С1 А, согда р(Ь, А) = 0. 6.5. Граница Границей множества А называется множество CI A \ Int А. Обозначается граница множества А символом Рг А или, подробнее, Рг^ А (от французского frontiere и английского frontier). 6.5. Найдите в пространстве \J границу множества {а}. 6. К. Граница множества совпадает с множеством его граничных точек. 6.L. Множество А замкнуто, согда Рг Л С А. 6.6. 1) Докажите, что FrA = Fr(X \А). 2) Найдите формулу для Кг А, в которую А и X \ А входили бы симметрично. 6.7. Граница множества равна пересечению замыканий этого множества и его дополнения. Иначе говоря, Кг А = С1А П С1(Х \ А). 6.6. Внутренность и замыкание при утончении топологии 6.8. Пусть Ωι, Ω2 — топологические структуры в Χ, Ωι С Ώ2, и пусть СЦ — замыкание относительно Ω,. Тогда Cli А 3 С1г А для любого А С X. 6.9. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение о внутренности. 6.7. Внутренность и замыкание как операции над множествами 6.10. Докажите, что если А С -В, то Int А С Int В. 6.11. Докажите, что Int Int A = Int A.
§ 6. Расположение точек относительно множества 37 6.12. Правда ли, что для любых множеств А и В справедливы равенства Int(AnB) = Int An Int В, (1.8) Int(A U В) = Int A U Int В? (1.9) 6.13. Приведите пример, в котором одно из равенств предыдущей задачи не выполняется. 6.14· В примере, который вы построили, решив предыдущую задачу, равенство не справедливо, но, вероятно, имеет место включение одной части равенства в другую. Справедливо ли это включение для любых А и В? 6.15. Проведите исследование операции С1, аналогичное намеченному в задачах 6.10-6.14 исследованию операции Int. 6.16. Найдите С1{1}, lnt[0; 1] и Рг(2;+оо) в стрелке. 6.17. Найдите lnt((0; 1] U{2}), Cl({ £ |ra€N}) и FrQ в М. 6.18. Найдите С1 Ν, lnt(0; 1) и Рг[0; 1] в пространстве Мт\. Как в этом пространстве находить замыкание и внутренность произвольного множества? 6.19. Содержит ли сфера границу открытого шара с теми же центром и радиусом? 6.20. Содержит ли сфера границу замкнутого шара с теми же центром и радиусом? 6.21. Найдите сферу, не пересекающуюся с замыканием открытого шара с теми же центром и радиусом. 6.8. Попеременное применение С1 и Int 6.22. Задача Куратовского. Какое наибольшее число попарно различных множеств можно получить из одного множества, применяя к нему последовательно операции С1 и Int? Следующая серия задач поможет Вам решить задачу 6.22. 6.22.1. Найдите такое множество Лс1, чтобы А, С1А, и Int А были бы попарно различны. 6.22.2. Существует ли такое множество ЛС1, что 1) A, CIA, Int A, Clint А попарно различны; 2) A, CIA, Int A, IntCl А попарно различны; 3) A, CIA, Int A, Clint A, IntCIA попарно различны? Если такие множества удалось построить, то продолжайте в том же духе, пока получается. Если эта цепочка перестала удлиняться, то попытайтесь сформулировать теорему, объясняющую неудачу в построениях. 6.22.3. Докажите, что Clint Clint A = Clint A. 6.9. Множества с общей границей 6.23*. Постройте три открытых множества на прямой, имеющих одну и ту же границу. Можно ли в Вашем построении увеличить число множеств? 6.10. Выпуклость и операции Int, С1 и Рг Напомним, что множество А С Мп называется выпуклым, если вместе с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, соединяющий их (другими словами, для любых х, у 6 А каждая точка ζ, принадлежащая отрезку [x;j/], принадлежит и А). 6.24· Если А — выпуклое подмножество пространства Жп, то множества С1А и Int A тоже выпуклы. 6.25. Докажите, что выпуклое подмножество А пространства Мп или содержит шар, или же содержится в (га — 1)-мерном аффинном подпространстве пространства Мп. 6.26. При каких условиях Fr A — выпуклое множество?
38 Глава 1. Структуры и пространства 6.11. Задание топологии посредством операций замыкания и внутренности 6.27*. Пусть в множестве всех подмножеств множества X задана операция СЦ, обладающая следующими свойствами: 1) СЦ0 = 0; 2) CU AD А; 3) СЦ(ЛиВ)=СЦЛиСЦВ; 4) СЦСЦА = СЦА Докажите, что тогда Ω = { U С X | СЦ {X \ U) — X \ U } является топологической структурой и СЦ А совпадает с замыканием С1А в пространстве (Χ, Ω). 6.28. Найдите систему аксиом для Int, аналогичную системе аксиом для С1, данной в задаче 6.27. 6.12. Плотные множества Пусть А и В — подмножества топологического пространства X. Говорят, что А плотно в В, если CI A D В, и что А всюду плотно, если С1А = X. 6.М. Множество всюду плотно в некотором пространстве, согда оно пересекается со всяким непустым открытым в этом пространстве множеством. 6.N. Множество Q всюду плотно в R. 6.29. Дайте прямое описание множеств, всюду плотных в: 1) антидискретном пространстве; 2) стрелке; 3) Жтг · 6.30. Докажите, что топологическое пространство дискретно, согда в нём имеется единственное всюду плотное подмножество (какое, кстати?). 6.31. Каким свойством обладает топологическая структура, если в пространстве существует всюду плотное одноточечное множество? Найдите соответствующий пример в § 2. 6.32. Верно ли, что объединение всюду плотных множеств всюду плотно, пересечение всюду плотных множеств всюду плотно? 6.33. Докажите, что пересечение двух открытых всюду плотных множеств всюду плотно. 6.34· Какое условие в предыдущей задаче является лишним? 6.35*. 1) Докажите, что пересечение счётного семейства открытых всюду плотных в пространстве Ж множеств всюду плотно. 2) Можно ли заменить Ж на произвольное топологическое пространство? 6.36*. Докажите, что множество Q не является пересечением никакого счётного семейства открытых всюду плотных в Ж множеств. 6.13. Нигде не плотные множества Множество называется нигде не плотным, если его внешность всюду плотна. 6.37. Может ли множество быть одновременно всюду плотным и нигде не плотным? 6.0. Множество А нигде не плотно, согда в любой окрестности любой точки существует точка, входящая в дополнение множества А вместе с некоторой своей окрестностью. 6.38. Загадка. Что можно сказать о внутренности нигде не плотного множества? 6.39. Является ли Ж нигде не плотным в М2? 6-40. Докажите, что если А нигде не плотно, то IntCIA = 0.
§ 7. Упорядоченные множества 39 6.41· Докажите, что граница замкнутого множества нигде не плотна. Верно ли это утверждение для границы открытого множества; произвольного множества? 6.^2. Докажите, что объединение конечного набора нигде не плотных множеств нигде не плотно. 6-43. Докажите, что для всякого множества А существует наибольшее открытое множество В, в котором А плотно. Крайние случаи В=ХиВ = 0 означают, что А всюду плотно или А нигде не плотно соответственно. 6-44*· Докажите, что Μ не является объединением счётного числа нигде не плотных множеств. 6.14. Предельные и изолированные точки Точка b называется предельной точкой множества А, если всякая её окрестность пересекается с множеством А \ Ь. 6.Р. Всякая предельная точка множества является его точкой прикосновения. 6-45. Постройте пример, демонстрирующий, что точка прикосновения может не быть предельной точкой. Точка множества А, не являющаяся предельной для этого множества, называется изолированной. 6.Q. Множество А замкнуто, согда оно содержит все свои предельные точки. 6-46. Укажите предельные и изолированные точки множеств (0; 1] U {2}, { — | η £ Ν} в <Q> и в Ж. 6-47. Укажите предельные и изолированные точки множества N в Μτί· 6.15. Локально замкнутые множества Говорят, что подмножество топологического пространства локально замкнуто, если каждая его точка обладает такой окрестностью U, что А П U замкнуто в U (ср. 5.5-5.6). 6-48. Докажите, что следующие условия равносильны: 1) А локально замкнуто в X; 2) А есть открытое подмножество своего замыкания С\х А; 3) А — пересечение открытого и замкнутого подмножеств пространства X. § 7. Упорядоченные множества Этот параграф посвящен структурам порядка, которые играют в математике роль, сравнимую с ролью топологических структур. После краткого общего введения мы сосредоточим внимание на связях между структурами этих двух типов. Как и метрические пространства, частично упорядоченные множества определяют естественные топологические структуры и служат источниками интересных примеров топологических пространств. 7.1. Строгие порядки Напомним, что бинарное отношение -< в множестве X называется отношением строгого частичного порядка, или просто строгим порядком, если оно удовлетворяет следующим двум условиям.
40 Глава 1. Структуры и пространства 1) Иррефлексивность. Ни для какого а € X не верно, что а<а. 2) Транзитивность. Для любых а,6,сбХиза-!би6-!с следует а -< с. 7.-4. Антисимметричность. Если -< — строгий порядок в множестве X, то ни для каких а, Ъ € X не могут выполняться одновременно как а -< 6, так и 6-<о. 7. В. Отношение < в множестве вещественных чисел R является строгим порядком. Формула а -< 6 иногда читается как «а меньше, чем 6» или «6 больше, чем а», но часто, для того чтобы не слишком связывать общее отношения порядка с отношением порядка в R, вместо этого говорят «6 следует за а» или «а предшествует Ь». 7.2. Нестрогие порядки Бинарное отношение ^ в множестве X называется отношением нестрогого частичного порядка, или просто нестрогим порядком, если оно удовлетворяет следующим трём условиям. 1) Транзитивность. Если а =<! Ъ и Ъ =<! с, то а ^ с. 2) Антисимметричность. Если а =<! Ъ и 6 =<! а, то α = b. 3) Рефлексивность, а^, а для любого а. 7. С. Отношение ^ в R является нестрогим порядком. 7.D. В множестве N натуральных чисел отношение а\Ь (т.е. а является делителем Ь) есть отношение нестрогого частичного порядка. 7.1. Является ли отношение а\Ь нестрогим порядком в множестве Ζ целых чисел? Т.Е. В множестве подмножеств множества X отношение включения является нестрогим порядком. 7.3. Взаимосвязь между строгими и нестрогими порядками 7.F. С каждым строгим порядком -< ассоциировано бинарное отношение =<!, определённое в том лее множестве следующим образом: а =<! Ь, если либо а -< Ь, либо а = Ь. Это — нестрогий порядок. 7.G. С каждым нестрогим порядком =<! ассоциировано бинарное отношение -<, определённое в том лее множестве следующим образом: а -< 6, если а =<! b и афЬ. Это — строгий порядок. Т.Н. Конструкции предыдущих двух задач взаимно обратны: примененные одна за другой в любом порядке, они дают исходное отношение. Таким образом, строгий и нестрогий порядки определяются друг по другу и являются разными ликами одной и той лее структуры порядка. Мы уже встречались с подобным явлением в топологии: открытые и замкнутые множества топологического пространства определяются друг по другу и дают различные способы задания топологии. Множество, снабженное отношением частичного порядка (строгим или нестрогим), называется (частично) упорядоченным множеством или, короче,
§ 7. Упорядоченные множества 41 чумом. Другими словами, частично упорядоченное множество (чум) — это пара (X, -<), составленная из множества X и отношения строгого частичного порядка -< на нём. Конечно, сделав необходимые оговорки, вместо строгого частичного порядка молено взять соответствующий нестрогий. Каким порядком, строгим или нестрогим, пользуются в каждом конкретном случае — вопрос удобства, вкуса и традиции. Хотя удобно иметь обе версии, нестрогие порядки постепенно завоевывают одну конкретную ситуацию за другой. Никто, например, не вводит обозначений для строгой делимости, а обозначение С для нестрогого включения множеств вытесняется обозначением с, которое уже почти никогда не понимается как строгое включение. В абстрактной ситуации мы будем пользоваться и тем и другим порядком, обозначая строгий порядок значком -<, а нестрогий — значком =<!. 7.4. Конусы Пусть (X, -<) — упорядоченное множество и а € X. Множество {х € X \ а -< х} называется верхним конусом элемента а, а множество {х € Χ | χ -< а} — его нижним конусом. Сам элемент а не принадлежит своим конусам. Добавив к ним этот элемент, получим пополненные конусы: верхний пополненный конус или звезду Сх (а) = {х € X \ а =<! х} и нижний пополненный конус Сх (а) = {х € € X | χ з$ а}. 7.1. Свойства конусов. Пусть (X,-<) — частично упорядоченное множество. Тогда: 1) С+(Ь)сСх(а), еслиЬ£С+(а); 2) а € С χ (а) для любого а € X; 3) если Сх(а) = СХ{Ь), то а = Ь. 7.J. Конусы определяют порядок. Пусть X — произвольное множество, и пусть в нём для каждого элемента а € X определено множество Са. Если при этом 1) Сь С Са для любого b € Са, 2) а ^Са для любого а € X, 3) Са = Сь влечёт а = Ь, то отношение: а ^Ь, если b € Са, является нестрогим порядком в X и относительно этого порядка Са = С χ (а). 7.2. Пусть СсК3 — множество. Рассмотрим отношение <\с между точками в М3, которое определяется следующим образом: а <\с Ь, если b — а 6 С. Каким условиям должно удовлетворять С, чтобы <\с было нестрогим частичным порядком в М3? Как в этом упорядоченном множестве устроены верхний и нижний конусы произвольного элемента? 7.3. Докажите, что всякий выпуклый конус С в М3 с вершиной в (0,0,0), пересекающийся с некоторой плоскостью, проходящей через (0,0,0), только по (0,0,0), удовлетворяет условиям, найденным в результате решения предыдущей задачи. 7-4· В пространстве-времени М4 специальной теории относительности (в котором точки изображают моментальные точечные события, первые три координаты х\, %2, хз — пространственные, а четвёртая координата t — время) имеется отношение событие (x\,X2,Xi,t) предшествует (и может оказать влияние на) {х\, Х2, %3,t)>
42 Глава 1. Структуры и пространства определяющееся неравенством c(t- t) ^ γ (ΐι - χι)2 + (ΐ2 - Χ2)2 + (хз - хз)2· Является ли это отношение порядком? Если является, то каковы верхние и нижние конусы точки? 7.5. Ответьте на вопросы предыдущей задачи относительно двумерной и трёхмерной версий этого пространства, в которых число пространственных координат равно 1 и 2 соответственно и подмножества которых легче изображать на рисунках. 7.5. Расположение элемента относительно множества Пусть (X, -<) — это чум, А — некоторое его подмножество. Говорят, что Ъ — наибольший элемент множества А, если Ь € А и с =<! Ь для любого с € А. Аналогично, b — наименьший элемент множества А, если Ь € А и b =<! с для любого с € Л. 7.UT. Элемент Ь множества А является наименьшим, согда А с СХ(Ь); элемент Ъ множества А является наибольшим, согда А с Οχ{ο). 7.L. Всякое множество имеет не более одного наибольшего и не более одного наименьшего элемента. Элемент Ь множества А называется его максимальным элементом, если в А нет элемента, большего чем Ь. Если же в А нет элемента, меньшего, чем Ь, то Ъ называется минимальным, элементом множества А. 7.М. Элемент Ъ множества А максимален, согда А П Cx(b) = b; элемент b множества А минимален, согда А П Cx(b) = b. 7.6. Загадка. Как связаны понятия максимального элемента и наибольшего элемента? минимального и наименьшего? Что можно сказать об упорядоченном множестве, для любого подмножества которого эти понятия совпадают? 7.6. Линейные порядки Обратите внимание на то, что определение отношения строгого порядка не требует, чтобы для любых а, Ъ € X было выполнено или а -< Ь, или Ъ -< а, или а = Ь. Если отношение порядка удовлетворяет этому дополнительному требованию (т. е. любые два элемента а и Ъ множества X сравнимы: или а =<! Ь, или Ь =<! а), то говорят, что порядок =<! линеен, а (X, =4) — линейно упорядоченное множество или просто упорядоченное множество6. Если хотят подчеркнуть, что отношение порядка не обязательно линейно, то говорят, что порядок частичный, а множество — частично упорядоченное. 6 Изрядную неразбериху в терминологию внес(ли) Бурбаки. Тогда линейные порядки назывались просто порядками, а порядки не линейные назывались частичными порядками, в редких же ситуациях, когда было не известно, линеен ли порядок, так прямо и говорили, что это не известно. Бурбаки предложил(и) изъять слово «частично», мотивируя это тем, что частичный порядок, как явление более общее, чем линейный порядок (который тогда все называли просто порядком), заслуживает более простого и короткого названия. Во Франции они в этом вполне преуспели, в русской терминологии успех был частичен, а в англоязычной — и вовсе не возможен. Дело в том, что частично упорядоченное множество по-английски называется partially ordered set, а сокращённо — poset. От такого короткого удобного слова, конечно же, невозможно отказаться.
§ 7. Упорядоченные множества 43 7.N. Отношение < в множестве вещественных чисел Ά является линейным порядком. Это — важнейший пример линейно упорядоченного множества. Слова и образы, коренящиеся в нём, нередко распространяются и на все линейно упорядоченные множества. Например, конусы называются лучами, причём верхние конусы называются правыми лучами, а нижние — левыми. 7.7. Упорядоченное множество (X,-;) линейно упорядочено, согда X = C+(a)UC^(a) для любого а £ X. 7.8. В множестве N натуральных чисел отношение а\Ь не является линейным порядком. 7.9. При каких X отношение включения в множестве подмножеств множества X является линейным порядком? 7.7. Топологии линейного порядка 7.0. Пусть (X, -<) — линейно упорядоченное множество. Множество его подмножеств, составленное из множества X и всевозможных правых лучей, т. е. множеств вида {х € X \ а -< х}, где а пробегает всё X, есть база топологической структуры в X. Топологическая структура, порожденная этой базой, называется топологией правых лучей линейно упорядоченного множества (X, -<). Аналогично определяется топология левых лучей линейно упорядоченного множества: она порождается базой, составленной из X и множеств вида {х € Χ | χ -< а} ca€l. 7.10. Топология стрелки (см. § 2) совпадает с топологией правых лучей полупрямой [0;оо), снабженной порядком < . 7.11. Загадка. Насколько условие линейности порядка необходимо в теореме 7. СУ! Найдите ослабление этого условия, которое обеспечивало бы справедливость заключения теоремы 7.0 и позволяло бы представить топологическую структуру, описанную в задаче 2.2, как топологию правых лучей подходящего частичного порядка на плоскости. 7. Р. Пусть (X, -<) — линейно упорядоченное множество. Множество его подмножеств, составленное из X и всевозможных множеств вида {х € X | a -i, χ -< Ь), {х € X | χ -< Ь) и {х € X \ а -< х), где а иЪ пробегают всё множество X, есть база топологической структуры вХ. Топологическая структура, порожденная этой базой, называется интервальной топологией линейно упорядоченного множества. 7.12. Покажите, что интервальная топология есть наименьшая топологическая структура, содержащая топологию правых лучей и топологию левых лучей. 7.Q. Стандартная топология прямой совпадает с интервальной топологией в (R, <).
44 Глава 1. Структуры и пространства 7.8. Топология частичного порядка 7.R. Пусть (X, =^) — (частично) упорядоченное множество. Множество его подмножеств, составленное из всевозможных конусов вида С$(а) = {х€Х | а^х}, где а пробегает всё X, есть база топологической структуры в X. Топологическая структура, порожденная этой базой, называется топологией порядка. 7.5. В топологии порядка всякая точка α ζ Χ обладает наименьшей (по включению) окрестностью. Такой окрестностью является С$(а) = {х€Х \а^х}. 7. Т. Следующие свойства топологического пространства являются равносильными: 1) каждая точка обладает наименьшей (по включению) окрестностью, 2) пересечение любой совокупности открытых множеств открыто, 3) объединение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто. Пространство, удовлетворяющее условиям теоремы 7.Т, называется пространством наименьших окрестностей7. В пространстве наименьших окрестностей открытые и замкнутые множества удовлетворяют одинаковым условиям. В частности, совокупность замкнутых множеств пространства наименьших окрестностей является топологической структурой. Будем говорить, что эта структура противоположна исходной. Она отвечает противоположному частичному порядку. 7.13· Как охарактеризовать в терминах порядка точки, открытые в топологии порядка? То же самое относительно замкнутых точек. 7.14· Дайте непосредственное описание открытых множеств в топологии порядка прямой Ж с порядком <. 7.15. Дайте непосредственное описание замыкания точки в топологии частичного порядка. 7.16. Какие одноточечные множества всюду плотны в топологии частичного порядка? 7.17. В множестве {а, Ь, с, d} рассмотрим частичный порядок, в котором все строгие неравенства таковы: с-<а, d-<c, ά-<,α, d-<b. Проверьте, что это — частичный порядок, и докажите, что топология этого порядка совпадает с топологией пространства \f , описанной в задаче 2.31). 7.9. Как нарисовать чум Теперь мы можем объяснить пиктограмму γ , которой пользуемся для обозначения пространства, определённого в задаче 2.31). Она описывает порядок в множестве {а, Ь, с, d}, задающий топологию согласно 7.17. Действительно, 7Этот класс топологических пространств был введён и изучен П. С. Александровым в 1937 году, Александров назвал их дискретными. Теперь так называются пространства намного более узкого класса. Название пространство наименьших окрестностей (smallest neighborhood space) предложено Кристером Щисельманом (Christer Kiselman).
§ 8. Циклические порядки 45 ч если расставить элементы рассматриваемого упорядоченного множества в узлах графа пиктограммы, как показано на рисунке справа, то окажется, что узлы, отвечающие сравнимым элементам, соединены отрезком или восходящей ломаной, и больший элемент отвечает верхнему узлу. Так молено нарисовать схему, задающую любое конечное частично упорядоченное множество. Элементы его изображаются точками плоскости, причём, если а -< 6, то точка, изображающая 6, выше точки, изображающей а, и эти точки соединены либо отрезком, либо ломаной, звенья которой соединяют точки, изображающие промежуточные элементы возрастающей цепочки а -< сЛ -< с2 -<... -< сп -< Ь. Молено было бы соединить отрезками каждую пару точек, отвечающих сравнимым элементам, но это сделало бы диаграмму излишне запутанной. Поэтому отрезки, которые можно восстановить по другим в силу транзитивности, проводить не стоит. Диаграммы указанного вида называются диаграммами Хассе. 7. U. Докажите, что любое конечное частично упорядоченное множество можно описать такой диаграммой Хассе. 7. V. Опишите топологическую структуру в множестве Ζ целых чисел, которая является топологией порядка, заданного следующей диаграммой Хассе: Пространство задачи 7. V называется цифровой прямой или прямой Халим- ского. В нём каяедое чётное число замкнуто и каяедое нечётное — открыто. 7.18. Сопоставим каждому чётному числу 2fe интервал (2fc — 1, 2fc + 1), а каждому нечётному числу 2fc — 1 одноточечное множество {2fe — 1}. Докажите, что множество целых чисел открыто в топологии Халимского, согда объединение сопоставленных им множеств открыто на стандартной числовой прямой. 7.19. Среди примеров топологических пространств, данных в §2, найдите все, в которых топологию можно задать как топологию порядка. В случаях конечных множеств нарисуйте диаграммы, описывающие соответствующие порядки. § 8. Циклические порядки 8.1. Циклические порядки в конечном множестве Циклическим порядком в конечном множестве называется линейный порядок, рассматриваемый с точностью до циклических перестановок. Линейный порядок позволяет занумеровать элементы конечного множества X натуральными числами от 1 до числа элементов множества X, так что X = = {х!,Х2,- ■ ■ ,хп}- Циклическая перестановка меняет местами первые к элементов с последними η — к элементами, не меняя порядка в пределах каждой из этих групп: (Χΐ, %2ι · · · ι Xkt Я-fc+l) Xk+2-ι ■ ■ · ι %n) ' > (Xk+lj Xk+2i ■ ■ · j Xn·, 2-1; 2-2; · · · > %k)·
46 Глава 1. Структуры и пространства Рассматривая циклический порядок, не имеет смысла говорить о том что один элемент следует за другим, поскольку подходящей циклической перестановкой всего множества любые два элемента молено поставить в противоположном порядке. Однако молено говорить о том, что один элемент непосредственно следует за другим. При этом, разумеется, непосредственно за последним элементом следует самый первый: ведь при любой нетождественной циклической перестановке самый первый элемент будет поставлен непосредственно после самого последнего. В циклически упорядоченном конечном множестве для каждого элемента имеется единственный непосредственно следующий за ним элемент. Этим определяется отображение множества на себя, простейшая циклическая перестановка Xi+i, если г < п, хг, если г = п. Эта перестановка действует транзитивно (т. е. её итерациями любой элемент переводится в любой другой). 8.А. Описанная выше связь обратима: любое отображение Т: X -> X, транзитивно действующее в X, определяет в X циклический порядок, в котором непосредственно за элементом а £ X следует Т(а). 8.В. В множестве, состоящем из η элементов, имеется ровно (п — 1)! попарно различных циклических порядков. В частности, в двухэлементном множестве циклический порядок единствен (и потому не интересен настолько, что иногда даже говорят, что он не имеет смысла), а в трёхэлементном множестве имеются два циклических порядка. 8.2х. Циклические порядки в бесконечных множествах Циклические порядки бывают и в бесконечных множествах. В них многие естественные циклические порядки невозможно определить заданием непосредственного следования элементов. Например, точки окружности молено циклически упорядочить по часовой стрелке (или против часовой стрелки). Однако относительно этого циклического порядка ни одна точка не обладает непосредственно следующей за ней точкой. Такие «непрерывные» циклические порядки молено определить почти так лее, как мы определили выше циклические порядки в конечном мнолеестве. Разница в том, что не всегда возмолено определить достаточное количество циклических преобразований множества, и приходится заменить их циклическими преобразованиями отношения порядка. Именно, циклический порядок есть линейный порядок, рассматриваемый с точностью до циклических преобразований, где под циклическим преобразованием линейного порядка -< в мнолеества X мы понимаем переход от -< к такому линейному
§ 8. Циклические порядки 47 порядку -<', что множество X молено разбить на подмножества А и В, на каждом из которых по отдельности порядки -< и -<' совпадают, тогда как а -< 6 иМ'а для любых аеАибеВ. 8.Сх. Возможность циклического преобразования одного линейного порядка в другой является отношением эквивалентности на множестве всех линейных порядков в фиксированном множестве. Так что циклический порядок есть соответствующий класс эквивалентности. 8.Dx. Докажите, что в случае конечного множества данное определение циклического порядка эквивалентно определению, введённому в предыдущем пункте. 8.Ex. Докажите, что циклический порядок «против часовой стрелки» на окружности невозможно определить как линейный порядок с точностью до циклических преобразований множества. Объясните, какие линейные порядки на окружности определяют этот циклический порядок с точностью до циклических преобразований порядка. 8.Fx. Пусть А — подмножество множества X. Если линейные порядки -<' и -< на X получаются друг из друга циклическим преобразованием, то и сужения этих линейных порядков на А получаются друг из друга циклическим преобразованием. 8. Gx. Следствие. Циклический порядок в множестве определяет циклический порядок в любом его подмножестве. 8.Нх. Циклический порядок в множестве можно восстановить по индуцированным им циклическим порядкам во всех трёхэлементных подмножествах этого множества. 8.Нх.1. Циклический порядок в множестве молено восстановить по индуцированным им циклическим порядкам во всех трёхэлементных подмножествах этого множества, содержащих любой наперед заданный фиксированный элемент. Теорема 8.Нх позволяет описывать циклический порядок как тернарное отношение. Именно, для трёхэлементного множества {а,Ь,с} будем обозначать через [а -< Ъ -< с] циклический порядок, определяемый линейным порядком, в котором справедливы представленные два неравенства (т. е. Ь следует за α и с следует за Ъ). 8.1х. Циклические порядки, индуцированные в трёхэлементных множествах циклическим порядком в множестве X, обладают следующими свойствами: 1) ни для каких a, b £ X не верно, что [а -< а -< Ь]; 2) для любых попарно различных а,Ь,с£ X либо [а -< b-< с], либо [Ь -<а -< с], но оба эти утверждения не могут быть справедливы одновременно; 3) [а -< Ь -< с], согда [Ь -< с -< а], согда [с -< а -< Ь] для любых а,Ь,с £ X; 4) если [а~<Ь~<с] и [а -< c~<d\, то и [a~<b~<d\.
48 Глава 1. Структуры, и пространства Наоборот, если в множестве X задано тернарное отношение, обладающее этими четырьмя свойствами, то оно определяется циклическим порядком вХ. 8.3х. Топология циклического порядка 8.Jx. Пусть X — циклически упорядоченное множество. Набор множеств, открытых во всякой интервальной топологии для каждого линейного порядка, определяющего данный циклический порядок на X, является топологической структурой на множестве X. Топология, определенная в теореме 8.Jx, называется топологией циклического порядка. 8.Кх. Топология циклического порядка относительно обхода окружности 51 против часовой стрелки порождается метрикой р(х, у) = \х — у\ на 51 С С. Доказательства и комментарии 1.А. Вопрос так прост, что трудно найти более элементарные факты, которые могли бы служить отправной точкой доказательства. Что значит, что А состоит из а элементов? Это значит, что мы можем пересчитать элементы множества Л, присваивая им номера 1, 2, 3 и т. д. и что последний элемент при этом получит номер а. Известно, что результат не зависит от порядка, в котором мы расположили элементы множества. (В действительности, молено развить теорию множеств, которая включала бы теорию счёта, где это доказывалось бы как одна из основных теорем. Но поскольку это не вызывает сомнений, мы опускаем доказательство.) Поэтому мы можем начать подсчёт элементов множества В с подсчёта элементов множества А. Пересчитав элементы множества А, мы продолжим подсчёт, если какие-то элементы множества В к этому моменту останутся не сосчитанными. Поэтому число элементов множества А не превосходит числа элементов множества В. 1.В. Напомним, что, согласно определению, включение Ас В означает, что каждый элемент множества А является и элементом множества В. Поэтому утверждение, которое подлежит доказательству, молено переформулировать следующим образом: каждый элемент множества А является элементом множества А. Но это — тавтология. 1.С. Напомним, что, согласно определению, включение Ас В означает, что каждый элемент множества А является и элементом множества В. Поэтому нам нужно доказать, что каждый элемент множества 0 принадлежит и множеству А. Это действительно так, потому что в 0 элементов нет. Если вас это рассуждение не убедило, поставим вопрос иначе: а может ли это включение быть не справедливо? Как это может случится, что 0 не является подмножеством множества А? Это могло бы случиться, только если бы в 0
Доказательства и комментарии 49 нашёлся элемент, не являющийся элементом множества А. Но такого элемента в 0 нет, поскольку в 0 нет никаких элементов. I.D. Нужно доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества С. Пусть χ € А. Так как А с В, то χ € В. А так как В С С, то это, в свою очередь, влечёт χ £ С. Ну а это-то и нужно было доказать. I.E. Мы уже видели, что Ас А. Поэтому если А=В, то АсВиВс А. С другой стороны, включение Ас В означает, что каждый элемент множества А принадлежит иВ,а включение В С А означает, что каждый элемент множества В принадлежит и А. Следовательно, А и В обладают одними и теми лее элементами, а значит, они равны. 1. G. Построить такое множество А, что А^А, легко. Возьмите, например, А = 0, или А = N, или А = {1}, ... 1.Н. Пусть А = {1}, В = {{1}} и С = {{{1}}}· Ясно, чтоАеВиВеС, но А £ С. На самом деле, труднее построить такие множества А, В и С, что А£ В, В е С и А&С. Вот один из простейших примеров: А = {1}, В = {{1}}, С = {{1},{{1}}}· 2.А. Что же нужно проверить? Первая аксиома гласит, что объединение произвольного набора подмножеств множества X является подмножеством того лее множества. Конечно, так оно и есть. Если Аа с X для каждого а, то безусловно (J Аа с X. Точно так лее благополучно дело обстоит и со второй аксиомой, в которой идет речь о пересечении множеств. И, безусловно, 0 С X иХсХ. 2.В. Правда, правда. Если среди объединяемых множеств есть X, то и объединение равно X. А если его там нет, то что лее есть? Только пустое множество. Но тогда и объединение пусто. С пересечениями дело обстоит так лее просто. Если среди пересекаемых мнолееств есть 0, то и пересечение равно 0. А если его там нет, то что лее есть? Только всё X. Но тогда и пересечение равно X. 2. С. Вначале покажите, что \J^an\jB0=\J(AanB0). α β α,β Поэтому, если Аа, В β — интервалы, то справа — объединение интервалов. Для тех, кому калеется, что мнолеество, являющееся таким объединением, очень уле просто устроено, предлагаем следующий вопрос (впрочем, формально улее не имеющий никакого отношения к рассматриваемой задаче). Пусть {г„}^°=1 = = Q (т. е. мы занумеровали все рациональные числа). Покажите, что оо U(r-2-";r + 2-")^R, хотя это мнолеество является объединением некоторых интервалов, содержащих все (!) рациональные числа.
50 Глава 1. Структуры, и пространства 2.D. Объединение любого набора открытых множеств открыто. Пересечение любого конечного набора открытых множеств открыто. Пустое множество и всё пространство — открытые множества. 2.Е. l)iefl(I\A)^VAer:ieI\A <ί=> \/АеГ:х£А <ί=> лег <ί=> χ $. (J Α <ί=> iel\ (J Α. лет лет 2) Замените обе части формулы их дополнениями в множестве X и положите В = X \ А. 2.F. Поскольку по определению замкнутое множество есть дополнение открытого, то утверждение теоремы следует из свойств открытых множеств (примените формулы де Моргана). 2. G. В любом пространстве пустое множество и всё пространство и открыты, и замкнуты, а в дискретном пространстве всякое множество является таковым. Полуоткрытый интервал ни открыт, ни замкнут. 2.Н. Да, всякий отрезок замкнут, поскольку его дополнение R \ [а; Ь] = (-оо; a) U (6; +оо) есть открытое множество. 2.1х. Пусть U — открытое подмножество прямой. Для каждой точки x£U рассмотрим наибольший (по включению) интервал (тх; Мх), содержащий эту точку (им является объединение всех интервалов, содержащих х). Так как множество U открыто, такие интервалы существуют. Ясно, что всякие два интервала данного вида либо не пересекаются, либо совпадают. 2.Кх. Следует из 2.Jx.2. 2.Lx. То, что выполнены условия 1) и 3) из 2.13, — очевидно. Для проверки условия 2) воспользуемся результатом задачи 2.Мх. Пусть множества АиВне содержат арифметических прогрессий длины большей или равной п. Если бы в множестве A\J В содержалась достаточно длинная прогрессия, то в одном из исходных множеств нашлась бы прогрессия длины п. 2.Мх. См. книгу А. Я. Хинчина «Три жемчужины теории чисел». З.А. 1 =Ф-| Пусть Σ является базой топологии Ω и U £ Ω. Представим множество U в виде объединения множеств из базы Σ. Всякая точка x£U окажется покрыта каким-нибудь из этих базисных множеств. Такое множество и молено взять в качестве V. Оно содержится в U, поскольку участвует в его представлении в виде объединения. 1 -Ф=| Наоборот, предположим, что для всякого множества U £ Ω и всякой точки x£U существует такое множество V £ Σ, что χ £ V с U, и покажем, что Σ — база топологии Ω. Для этого нужно убедиться в том, что любое множество U £ Ω представляется в виде объединения множеств, принадлежащих Σ. Для каждой точки x£U выберем, пользуясь предположением, такое множество Vx £ Σ, что χ £ Vx С U и рассмотрим \Jxeu Vx. Заметим, что (JxeU Vx с U, поскольку VXC.U для каждого χ £ U. С другой стороны, каждая точка x£U содержится в своём Vx и, тем более, в [jxeU Vx. Значит, U С Uxgy Vx- Таким образом, U = (JxeU Vx.
Доказательства и комментарии 51 З.В. 1 =»| Пусть Σ — база некоторой топологии. Тогда X, будучи открытым множеством, должно представляться как объединение базисных множеств. Пересечение любых двух множеств из Σ, как пересечение двух открытых множеств, открыто, и, значит, представляется как объединение базисных множеств. 1 -Ф=| Наоборот, допустим, что Σ — такая совокупность подмножеств множества X, что X есть объединение множеств из Σ и пересечение любых двух множеств из Σ представляется в виде объединения множеств из Σ. Докажем, что совокупность всевозможных объединений множеств из Σ удовлетворяет аксиомам топологической структуры. Первая аксиома очевидно выполняется, так как объединение объединений есть объединение. Докажем вторую аксиому (пересечение двух открытых множеств открыто). Пусть U = |Ja Aa и V = Ц, -В/з, где Аа, В0 е Σ. Тогда U Π V = Ц, А, П Ц, Дв = ЩлИ» п в/0> а поскольку пересечения Аа π В β представляются, по предположению, как объединения множеств из Σ, то и U Π V представляется в таком виде. Осталось проверить третью аксиому. В ней нужно проверить только часть о всём пространстве, но согласно предположению, всё пространство X представляется в виде объединения множеств из Σ. 3-D. См. следующее указание. З.Е. Докажите, а затем используйте следующую простую лемму: А = = \Ja Ва, где Ва б В, согда У χ е А 3 Вх е В: χ е Вх с А. 3.F. Фраза: «β есть база некоторой топологической структуры» раскрывается следующим образом: набор всевозможных объединений множеств, принадлежащих набору В, является топологической структурой. Утверждение, что Σ1 — база некоторой топологии, следует из результата задачи З.Е (так что нужно доказать ещё её аналоги применительно к наборам Σ2, Σ°°). Совпадение структур, определенных, к примеру, базами Σ1 и Σ2, означает, что множество, являющееся объединением кругов, есть также и объединение квадратиков, и наоборот. Достаточно ли доказать, что круг есть объединение квадратиков? Как проще всего это сделать (см. указание к задачам 3.D и З.Е)? 3. G. Пусть Σι и Σ2 — базы топологических структур Ω,λ и Ω2 в множестве X. Легко видеть, что 0,г с Ω2, согда VtfeEi Viet/· 3V£E2:x£VcU. Остается заметить, что Ωχ = Ω2, согда Ω! с Ω2 и Ω2 С Ωι. 4-А. Всё, что надо проверить, так это справедливость аксиом метрики для каждого набора точек я, у и ζ. 4-В. Неравенство треугольника в данном случае имеет вид \х-у\ < \х - z\ + \z-y\. Положив а = х — z,b = z— у, получаем стандартное неравенство |α + 6|^|α|+|6|.
52 Глава 1. Структуры, и пространства 4-С. Как и в решении задачи 4-В, неравенство треугольника переписывается в виде (п \ 1/2 / η ч 1/2 / η \ 1/2 i=l ' M=l ' ^i=l ' Двукратное возведение этого неравенства в квадрат и упрощение сводят последнее к неравенству Коши-Буняковского (^ α,6,) ^ Σ &? Σ &?· ^.J5. К примеру, если у £ Sr_p(a.ia)(a;), то р(у, х)<г- р(х, а), откуда, в силу неравенства треугольника, следует, что р(у, а) < г. Последнее неравенство и означает, что у £ Вг(а). 4-F. Покажите, что если d = aiamA и а £ А, то Ac Dd(a). Обратно: diam-Dd(a) ^ 2d (ср. 4-U)· 4- G. Сопоставьте утверждения 3. А, З.В и 4-Е- 4-Н. В стандартной метрике прямой R шарами являются интервалы. 4·Ι. Ι -ν=1 Если множество вместе с каждой своей точкой содержит шар с центром в этой точке, то оно является объединением таких шаров, следовательно, оно открыто. 1 =»1 Если а £ U, где U открыто, то а £ Вг(х) и ВТ-р(а,х)(а) С ВТ{х) C.U. 4-J. В нём слишком мало открытых множеств. Если х, у £ X и г = р(х, у) > > 0, то шар Dr(x) непуст и не совпадает со всем пространством. 4·Κ. 1 =»1 Пусть χ £ X. Положим г = mm{p(x, у) | у £ X \ х}. Какие точки входят в шар Dr(x)1 1 -Ф=| Очевидно. 4-L. Условие р(Ь, А) = 0 означает, что всякий шар с центром в точке Ь пересекается с А. А это значит, в силу того, что А замкнуто и его дополнение открыто, что Ь не принадлежит дополнению множества А и, значит, входит в А 4-М.х. Выполнение условия 2) очевидно. Введём обозначение: г(А, В) = sup p(a, В), zeA так что dp(A} В) =тах{г(А, В),г (В, А)}. Для проверки условия 3) достаточно доказать, что для любых множеств А,В,С С X верно неравенство г(А,С) ^ ^ г (А, В) + г(В, С). Легко видеть, что р(а, С) < р(а, Ь) + р(Ь, С) при всех а£А, b£ В. Отсюда р(а, С) < р(а, Ь) + г(В, С), значит, р(а, С) ^ inf р(а,, Ь) + г (В, С) = р(о, В) + г (В, С) ^ г(А, В) + г(В, С), откуда и следует требуемое неравенство. 4·Νχ. Согласно 4-Мх, dp удовлетворяет условиям 2) и 3) из определения метрики. Из 4-L следует, что если расстояние Хаусдорфа между двумя замкнутыми множествами А и В равно нулю, то А с В и В с А, т. е. А = В. Таким образом, dp удовлетворяет и условию 1).
Доказательства и комментарии 53 4- Ох. Функция dA(A, В) — это площадь симметрической разности многоугольников An В, т. е. площадь множества ААВ = (А \ В) U (В \ А). Ясно, что требует проверки лишь неравенство треугольника. Докажите и используйте включение A\Bc(C\B)U(A\C). 4-Rx- Очевидно, что метрика из 4-А — ультраметрика. То, что остальные метрики таковыми не являются, следует хотя бы из того, что для каждой из них найдутся такие различные точки х, у и ζ, что р(х, у) = р(х, ζ) + ρ(ζ, у). 4 ■ Sx. Из определения ультраметрики следует, что среди попарных расстояний между точками a, b и с не может быть одного, большего двух других. 4- Тх. В силу 4-Sx, если у € Sr(x) и г > s > 0, то В „(у) с Sr(x). 4- Ux. Пусть χ — ζ = j-pai и ζ — у = γ-ρα2· Считаем, для определенности, что <*! ^ а2- Имеем: х _ у = ρ«η (И + Eip-a-x) = Г^^Р"2-"1 . pai ^ Si S2 S1S2 значит, p(x,y) ^ρ~αχ = max{p(x,ζ), p(z,y)}. 5.А. Нужно проверить, что ΩΑ удовлетворяет аксиомам топологической структуры. Проверим первую аксиому. Пусть Г С Од — некоторая совокупность множеств, принадлежащих Од. Нам следует убедиться в том, что Uygr U €Ω,Α. Для каждого [У б Г найдём такое множество Ux € Ω, что U = = An Uχ. Это возможно согласно определению множества Од. Преобразуем интересующее нас множество: IJygr ^ = UuerC^ п Ux) = -^ n (Uy<=r ^*)· Множество Uygr^ принадлежит Ω (т.е. открыто в X) как объединение множеств, открытых в X. (Здесь мы пользуемся тем, что Ω, будучи топологической структурой в X, удовлетворяет первой аксиоме топологической структуры.) Поэтому Α Π (Uy<=r Uχ) принадлежит ΩΑ. Аналогично проверяется вторая аксиома. Третья аксиома следует из того что А = Ап X, а 0 = Ап 0. 5. В. Покажем, что подмножество в R открыто в относительной топологии, согда оно открыто в стандартной топологии прямой. 1 =Н Поскольку пересечение круга с прямой или пусто, или является интервалом, а всякое открытое подмножество плоскости есть объединение открытых кругов, то пересечение открытого подмножества плоскости с прямой есть объединение интервалов, т.е. оно открыто на прямой. 1 -Ф=| Для всякого объединения интервалов на прямой существует объединение кругов, пересечение которого с прямой совпадает с данным объединением интервалов. 5. С. 1 =»1 Если множество F замкнуто в А, то его дополнение Λ\ΡΈΑ открыто в А, т. е. А \ F = АП U, где U открыто в X. Каким же замкнутым множеством высекается множество F на А? Оно высекается множеством X \ U. Действительно, Α Π (X \ U) = А \ (Α Π U) = А \ (А \ F) = F. 1 ■$=! Аналогично доказывается, что пересечение с А множества, замкнутого в X, замкнуто в А. 5.D. Никакой круг в Ш2 не содержится ни в каком подмножестве прямой R.
54 Глава 1. Структуры и пространства 5.Е. Если А б Ω, Be ΩΑ, то В = АП[/, где C/εΩ, значит, множество В принадлежит топологии Ω как пересечение двух множеств, А и U, принадлежащих топологии Ω. 5.F. Рассуждайте как в предыдущей задаче, только используйте 5. С вместо определения топологии подпространства. 5. G. В основе доказательства лежит тождество (U Г\ А) Г\ В = U Г\ В. Оно имеет место, поскольку В с А, и применяется к U £ Ω. Когда U пробегает Ω, правая часть равенства (ипА)Г)В=иг\В пробегает ΩΒ, тогда как левая часть пробегает (ΩΑ)Β. Действительно, элементы топологии ΩΒ получаются как [/П .В с [/ е Ω, а элементы топологии (ΩΑ)Β получаются как V Π В с V € ΩΑ, но V, в свою очередь, как элемент топологии ΩΑ, представляется в виде U Π А, где U е Ω. 6.-4. Объединение всех открытых множеств, содержащихся в множестве А, во-первых, открыто (как объединение открытых множеств), а, во-вторых, содержит любое открытое множество, содержащееся в А, т. е. является наибольшим из этих множеств. 6.В. Пусть точка χ внутренняя, т.е. существует открытое множество Ux с χ £ Ux С А. Тогда Ux С Int А (поскольку Int A — наибольшее из всех открытых множеств, содержащихся в А) а, значит, и χ £ Int А. Обратно, если χ £ Int A, то само множество Int А и есть содержащаяся в А окрестность точки х. 6. С. 1 =Н Если U — открытое множество, то оно и является наибольшим среди всех своих открытых подмножеств. 1 -Ф=| Если множество совпадает со своей внутренностью, то оно открыто, поскольку внутренность любого множества открыта. 6.D. 1) Множество [0; 1) не открыто на прямой, а (0; 1) открыто, поэтому lnt[0; 1) = (0; 1). 2) Поскольку в любом интервале имеются иррациональные точки, то не существует ни одного непустого открытого в обычной топологии множества, лежащего в Q. Значит, IntQ = 0. 3) Поскольку в любом интервале содержатся рациональные точки, то не существует ни одного непустого открытого в обычной топологии множества, лежащего в R \ Q. Значит, Int(R \ Q) = 0. 6.Е. Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество А, во-первых, замкнуто (как пересечение замкнутых множеств), а, во-вторых, содержится в любом замкнутом множестве, содержащим А, т. е. является наименьшим из этих множеств. (Ср. доказательство теоремы 6.А. Вообще, свойства замыканий можно получить из свойств внутренностей заменой объединений на пересечения, и наоборот.) 6.F. Если χ £ С1 А, то найдётся такое замкнутое множество F, что FdAh χ £ F, значит, x£U = X \ F, таким образом, χ не есть точка прикосновения множества А. Докажите обратное включение самостоятельно, ср. 6.Н. 6. G. Доказательство аналогично доказательству теоремы 6. С.
Доказательства и комментарии 55 6.Н. Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество А, совпадает с дополнением объединения всех открытых множеств, содержащихся в множестве А. 6.1. 1) Полуоткрытый промежуток [0; 1) не замкнут, а отрезок [0; 1] замкнут; 2), 3) внешность каждого из множеств Q и R \ Q пуста, поскольку во всяком интервале есть как рациональные, так и иррациональные точки. 6.3. 1 =»1 Если Ь б С1 А, то Ь — точка прикосновения к А, следовательно, Ve>0 За ς. Ar\De(b), значит, Ve>0 Ба£ А: р(а,6) <е, таким образом, р(6, А) = = 0. 1 -Ф=| Простое упражнение. 6.К. Если x€FrA, тох€С\Аих$.Int А, значит, во-первых, всякая окрестность точки χ пересекается с А, во-вторых, никакая окрестность этой точки не содержится в А, следовательно, всякая окрестность пересекается с дополнением множества А. Таким образом, точка χ — граничная. Докажите обратное утверждение самостоятельно. 6.L. Так как Int А с А, то С1А = А, согда Рг А с А. 6.М. 1 =Ф-| Всякое непустое открытое множество является окрестностью любой своей точки. Так как эта точка должна принадлежать замыканию всюду плотного множества А, то её окрестность пересекается с А. 1 -Ф=| Множество, пересекающееся со всяким непустым открытым множеством, содержится в единственном замкнутом множестве — всём пространстве, которое и будет его замыканием. 6.N. См. 6.17. 6.0. Сформулированное условие означает, что в любой окрестности любой точки найдётся внешняя точка множества А, таким образом, внешность А всюду плотна. 6.Q. Воспользуйтесь тем, что всякая точка множества CIA \ А является предельной. 7.F. Требуется проверить, что отношение «а -< 6, либо а = Ъь удовлетворяет трём условиям из определения нестрогого порядка, причём проверка должна опираться исключительно на то, что -< удовлетворяет условиям из определения строгого порядка. Проверим транзитивность. Пусть а =<! Ь и Ь =^ с. Это означает, что либо а -< b и b -< с, либо а = b и Ъ -< с, либо а -< Ъ и b = с, либо а = b n b = с. В первом случае а -< с, в силу транзитивности отношения -<, и значит, а =<! с; во втором случае а = Ь<с, так что а-<сиа^!с;в третьем случае а -< Ъ = с, и значит, α -< с и α =<! с; наконец, в четвёртом случае а = Ь = с, так что а = с и а =^с. Аналогично проверяются два других свойства. 7.1. Первое утверждение следует из транзитивности порядка. В самом деле, рассмотрим произвольный элемент с £ С χ (b). По определению конуса, b =<; с, а условие b € Сх (а) означает, что а =^ Ъ. В силу транзитивности, отсюда следует, что а =<! с, т. е. с € С]£(а). Тем самым, мы показали, что каждый элемент конуса С^(6) принадлежит и С χ (а), так что СХ(Ь) с С_£ (а), что и требовалось показать. Второе утверждение следует из определения конуса и рефлексивности
56 Глава 1. Структуры и пространства порядка. Действительно, по определению, Сх(а) состоит из таких Ь, что а =<! Ь, а в силу рефлексивности порядка а =<! а. Третье утверждение вытекает аналогичным образом из антисимметричности: равенство Сх (α) = Οχ (b) вместе со вторым утверждением влечёт а^Ь иЬ^а, а отсюда и из антисимметричности следует, что а = Ъ. 7.J. Согласно утверждению предыдущей теоремы 7.1, конусы в частично упорядоченном множестве обладают свойствами, входящими в условие рассматриваемой теоремы. В доказательстве теоремы 7.1 мы показали, что эти свойства вытекают из соответствующих условий определения нестрогого порядка. В действительности, они эквивалентны этим условиям. Переставьте слова в доказательстве теоремы 7.1 так, чтобы получилось доказательство теоремы 7.3. 7.0. Согласно теореме З.В, достаточно показать, что пересечение двух правых лучей представляется в виде объединения правых лучей. Рассмотрим пересечение лучей {х £ X | а -< х} и {х £ X | Ъ -< х}. Порядок линеен, поэтому либо а -< Ъ, либо b -< а. Пусть а -< Ъ. Тогда {х £ X | а -< χ} Π {χ G X I b -< χ} = {χ 6 Χ | b -< χ}. 7.R. Согласно теореме З. С, достаточно показать, что любой элемент пересечения двух конусов вида Οχ(α) содержится в этом пересечении вместе с целым конусом того же вида. Пусть с б Сх (а) П Cx(b) и de C5(c). Тогда a^c=4dvib^c^d, так что а =<! d и b =<! d. Следовательно, d £ Οχ (α) Π Οχ (b). Значит, Сх{с) С Сх(а) Π Cx(b). 7. Т. Эквивалентность свойств 2) и 3) доказывается посредством формул де Моргана, ср. 2.F. Докажем, что из 1) следует 2). Рассмотрим пересечение произвольной совокупности открытых множеств. Для любой его точки каждое из пересекаемых множеств является окрестностью. Поэтому её наименьшая окрестность содержится в каждом из пересекаемых множеств, а значит и в пересечении. Итак, любая точка пересечения входит в него вместе с целой окрестностью. Всё пересечение является объединением этих окрестностей. Поэтому оно открыто. Теперь докажем, что если пересечение любой совокупности открытых множеств открыто, то любая точка обладает наименьшей окрестностью. Откуда взять, как построить такую окрестность? Возьмем все окрестности одной точки и рассмотрим их пересечение. В силу предположения это пересечение открыто. Оно содержит эту точку, так что перед нами — её окрестность. Эта окрестность, как пересечение всех окрестностей, содержится в каждой окрестности, т. е. является наименьшей окрестностью. 7. V. Минимальная база этой топологии состоит из одноточечных вида {2fc — 1} с к £ Ъ и трёхточечных множеств вида {2fc — 1,2fc, 2fc + 1}, где снова fee Z.
Глава 2 Непрерывность § 9. Теоретико-множественное отступление: отображения 9.1. Отображения и их основные типы Отображением множества X в множество У называется тройка, составленная из Χ, У и правила, ставящего в соответствие каждому элементу множества X некоторый элемент множества Υ г. Чтобы подчеркнуть то, что отображение / есть отображение множества X в множество У, употребляют обозначения /: X —» Υ или X —» У. Элемент Ь множества У, отвечающий при отображении / элементу а множества X, обозначается /(а) и называется образом элемента а при отображении / (пишут Ь = /(а) или а н-> Ь, или /: а н-► Ь). Отображение /: X —» У называется сюръективным или сюръекцией (или отображением на), если каждый элемент множества У является образом хотя бы одного элемента множества X. Отображение /: X —» У называется инъ- ективным или взаимно однозначным, если каждый элемент множества У является образом не более чем одного элемента множества X. Отображение называется биективным или биекцией, если оно сюръективно и инъективно. 9.2. Образы и прообразы Образом множества А С X при отображении /: X —> Υ называется множество f(A), составленное из образов элементов множества А, т.е. f(A) = = {f(x) Ι χ 6 А}. Образ всего отображаемого множества X, т. е. f(X), называется образом отображения f. Прообразом множества В с У при отображении /: X —» У называется множество f"1(B) тех элементов множества X, образы которых принадлежат В, т.е. f-1(B) = {x£X\f(x)£B}. Предостерегаем читателя от невнимательного обращения с терминами образ и прообраз. Далеко не всегда образ прообраза множества В совпадает с В, 1 Конечно же, правило (как и всё в теории множеств) можно представлять себе как множество. А именно, оно может быть задано множеством упорядоченных пар (ж, у), где χ (Ξ Χ, у ε У, таких, что наше правило ставит элемент у в соответствие элементу х. Это множество пар называется графиком отображения. График является подмножеством множества X х V всех упорядоченных пар (х,у)·
58 Глава 2. Непрерывность а если это и так, то прообраз может быть не единственным множеством, обладающим этим свойством, так что прообраз нельзя определять как множество, образом которого служит данное множество. 9. А. Множество В содержится в образе отображения /, согда f{f-\B))=B. 9. В. Для произвольных f:X —► Υ ш В cY имеет место включение f{r\B))dB. 9. С. Пусть /:Х-»УиДсУ таковы, что / (/"г (В) )=В. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) f~1(B) является единственным подмножеством множества X, образ которого равен В; 2) для любых αχ,α2 £ f~1(B) из равенства /(αϊ) = f(a2) следует равенство αλ =α2. 9.D. Отображение /: X —» Υ инъективно, согда для любого подмножества .В С У, такого, что /(/-1(В)) = В, прообраз f~1(B) является единственным подмножеством множества X, образ которого равен В. 9.Е. f1(f{A)) э А для произвольных f-.X^YnAcX. 9.F. /-1 (/(Л)) = А, согда /(A) Π f(X \ A) = 0. 9.1. Правда ли, что для любых множеств А, В С Υ и любого отображения /: X —> Υ справедливы равенства Г1(АиВ) = Г1(А)иГ1(В), (2.10) Г1(АГ\В)=Г1(А)Г\Г1(В), (2.11) /-1(У\А)=Х\/-1(А)?_ (2.12) 9.2. Правда ли, что для любых множеств А, В С X и любого отображения /: X —> Υ справедливы равенства f(A U В) = /(A) U /(В), (2.13) f(A П В) = f(A) П /(В), (2.14) Д1чЛ)=Уч/(А)? (2.15) 9.3. Приведите примеры, в которых два из равенств предыдущей задачи не выполняются. 9.4· Можно ли заменить неверные равенства задачи 9.2 верными включениями? 9.5. Какое простое условие нужно наложить на /: X —> Υ, чтобы для любых множеств А, В С X были справедливы все равенства задачи £>.ϋ? 9.6. Докажите, что для любого отображения /: X —> Υ и любых множеств А С X и В С У справедливо равенство В Π f(A) = f(f~x(B) Π Α). 9.3. Тождественные отображения и включения Тождественным отображением множества X называется отображение X —» Χ: χ ι—у х. Обозначается оно символом id^ или, если из контекста ясно, каково X, просто символом id.
§ 9. Теоретико-множественное отступление: отображения 59 Если А — подмножество множества X, то отображение А —» Χ: χ ι—► х, называется включением А в X и обозначается через тА: А —» X, а если Л и X не вызывают сомнения, то просто через in. 9. G. Прообразом множества В при включении in: А —» X является множество В Π А. 9.4. Композиции Композицией отображений /: X —> У и g: У —> Ζ называется отображение X —» Ζ: χ н-> g(f(x)). Композицию /ид обозначают через до/. 0.i/. Ассоциативность. Для любых отображений f: X —> У, g:Y—> Ζ и /г: Ζ —> [/ справедливо равенство ho [д о f) = (ho д) о f. 9.1. Для любого отображения /: X —> У справедливо равенство / о (id*) = / = (ιάγ) о /. 9. J. Композиция инъекций есть инъекция. 9. К. Если композиция д о f инъективна, то отображение / инъективно. 9.L. Композиция сюръекций есть сюръекция. 9.М. Если композиция д о / сюръективна, то отображение д также сюръ- ективно. 9.N. Композиция биекций есть биекция. 9.7. Если композиция д о / биективна, то обязательно ли одно из отображений / и д биективно? 9.5. Обратные и обратимые отображения Отображение д: У —► X называется обратным отображению f:X—*Y, если д о / = Ίάχ и / о д = \dY. Отображение, для которого существует обратное, называется обратимым. 9.0. Отображение обратимо, согда оно — биекция. 9.Р. Если обратное отображение существует, то оно единственно. 9.6. Сужения и под отображения Если А — подмножество множества X, а В — подмножество множества У, то всякому отображению f:X—*Y, такому, что f(A) С В, отвечает отображение ab(/): А —» В: χ ι—► f(x), которое называется сокращением отображения / на А, В или подотображением отображения /. Если В = У, то ab(/): А —► У обозначают символом /|А и называют сужением отображения / на А. Если В φ У, то ab(/): А —» В обозначают символом /|д,в или даже просто /|. 9. Q. Сужение отображения /: X —» УнаЛсХ есть композиция включения inA ·. А —» X и /. Короче, /|д = / ° iru. 9.Д. Любое сокращение (в частности, и любое сужение) инъекции есть инъекция. 9.S. Если сужение отображения есть сюръекция, то и исходное отображение сюръективно.
60 Глава 2. Непрерывность § 10. Непрерывные отображения 10.1. Определение и основные свойства непрерывных отображений Пусть Χ, Υ — топологические пространства. Отображение /: X —» Υ называется непрерывным, если прообраз любого открытого подмножества пространства Υ является открытым подмножеством пространства X. 10.А. Отображение непрерывно, согда прообраз любого замкнутого множества замкнут. 10.В. Тождественное отображение любого топологического пространства непрерывно. 10.1. Пусть Ωι, Пг — топологические структуры в X. Отображение id: (Χ, Ωι) —> —> (X, Пг) непрерывно, согда Пг С Ωι. 10.2. Пусть /: X —> У — непрерывное отображение. Останется ли оно непрерывным, если: 1) утончить топологию в X; 2) огрубить топологию в X; 3) утончить топологию в У; 4) огрубить топологию в У? 10.3. Пусть X — дискретное топологическое пространство, а У — произвольное. 1) Какие отображения X —> Υ являются непрерывными? 2) Какие отображения /: Υ —> X непрерывны для любой топологии пространства У? 10-4- Пусть X — антидискретное пространство, a Y — произвольное топологическое пространство. 1) Какие отображения X —> Υ являются непрерывными? 2) Какие отображения /: Υ —> X непрерывны для любой топологии пространства У? 10. С. Пусть А — подпространство пространства X. Тогда отображение in: А —> X непрерывно. 10.D. Топология ΩΑ, индуцированная на А с X топологией пространства X, есть самая грубая из тех топологий в А, относительно которых отображение in: А —» X непрерывно. 10.5. Загадка. Утверждение задачи 10. D имеет естественное обобщение со случая включения in на случай произвольного отображения /: А —> X произвольного множества А. Найдите это обобщение. 10.Е. Композиция непрерывных отображений непрерывна. 10.F. Подотображение непрерывного отображения непрерывно. 10. G. Отображение /: X —» Υ непрерывно, согда непрерывно его подотображение ab(/): X —» /(X). 10.Η. Всякое постоянное отображение (т.е. отображение, образ которого состоит из одной точки) непрерывно. 10.2. Переформулировки основного определения 10.6. Отображение /: X —> Υ непрерывно, согда С1/_1(А) С /_1(С1А) для любого подмножества А С У. 10.7. Сформулируйте и докажите аналогичный критерий с участием Int(/_1(A)) и /-1(Int А). То же самое для С1/(А) и /(С1А). 10.8. Пусть Σ — база топологии пространства У. Докажите, что отображение /: X —> У непрерывно, согда /—1(ί7) — открытое множество для каждого U (Ξ Σ.
§ 10. Непрерывные отображения 61 10.3. Дальнейшие примеры 10.9. Непрерывно ли (в топологии, индуцированной топологией прямой) следующее отображение: . /:[0;2]^[0;2]:*~Г' если χ е [0; 1) 1 l ' J l J \3-x, если хе[1;2]? 10.10. Непрерывно ли отображение / отрезка [0; 2] (с топологией, индуцированной топологией прямой) в стрелку (см. §2), определяемое формулой ^Х)~ \х+1, если же (1;2]? 10.11. Дайте прямое описание непрерывных отображений пространства Μ.χχ (см. § 2) в пространство К. 10.12. Какие отображения Жтх —> Ктх непрерывны? 10.13. Дайте прямое описание непрерывных отображений стрелки в стрелку. 10.14· Пусть отображение /: Ζ+ —> Ж определяется формулой -, если χ φ 0, 10, если χ = 0, и пусть д: Ъ+ —> /(Ζ+) — его подотображение. Снабдим Ζ_)_ и /(Ζ_)_) топологией, индуцированной топологией прямой. Непрерывны ли отображения д и р-1? 10.4. Поведение плотных множеств при непрерывных отображениях 10.15. Докажите, что образ всюду плотного множества при'сюръективном непрерывном отображении всюду плотен. 10.16. Верно ли, что образ нигде не плотного множества при любом непрерывном отображении нигде не плотен? 10.17*. Существует ли в отрезке [0; 1] (с топологией, индуцированной топологией прямой) нигде не плотное подмножество А, допускающее такое непрерывное отображение /: [0; 1] -> [0; 1], что f(A) = [0; 1]? 10.5. Локальная непрерывность Отображение /: X —» Υ называется непрерывным в точке а£Х, если для любой окрестности U точки /(a) существует такая окрестность V точки а, что f(V) С U. 10.1. Отображение /: X —» Υ непрерывно, согда оно непрерывно в каждой точке пространства X. 10.J. Пусть Χ, Υ — метрические пространства, а£Х. Отображение /: X —» Υ непрерывно в точке а, согда для любого шара с центром в точке /(a) существует шар с центром в точке а, образ которого содержится в первом шаре. 10.К. Пусть Χ,Υ — метрические пространства, а£Х. Отображение /: X —» Υ непрерывно в точке а, согда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любой точки χ £ X с р(х,а) < δ имеет место неравенство p(f(x),f(a))<e. Теорема 10.К гарантирует, что в тех случаях, когда применимо определение непрерывности из курса математического анализа, оно равносильно определению, формулируемому в терминах топологических структур.
62 Глава 2. Непрерывность 10.6. Свойства непрерывных функций 10.18. Пусть /, д: X —> Ж — непрерывные отображения. Докажите, что следующие формулы определяют непрерывные отображения X —> К: х |->/(з;) + 9(ж), χ ι-»/(χ)9(χ), ж |-»/(ж) -р(х), ж >-» |/(х)|, χ ι-» тах{/(ж),9(ж)}, ж ι-» тт{/(ж),9(ж)}. 10-19. Докажите, что если отображения f,g: X —> Μ непрерывны и О^р(Х), то непрерывно и отображение 10-20. Постройте такую последовательность непрерывных функций Д: Μ —> Ж, г е £ Ν, чтобы формула /(x)=sup{/i(x)|ieN} определяла функцию /: Μ —> Ж, которая не была бы непрерывной. 10.21. Пусть X — произвольное топологическое пространство. Функция /:X^ln:x« (/i(x),.-.,/n(x)) непрерывна, согда каждая из функций Д: X —> К, г = 1,..., га, непрерывна. Пространство Mat(p x q, Ж) матриц размера ρ χ q с вещественными коэффициентами отличается от МР9 лишь двойной нумерацией естественных координат в нём. 10- 22. Докажите, что если отображения /: X —> Mat(p x q, Ж) и д: X —> Mat(g χ г, Ж) непрерывны, то и отображение X -> Mat(p χγ,Η):ιη g{x)f{x) непрерывно. Напомним, что GL(ra;IR) — подпространство пространства Mat(ra χ га, Μ), состоящее из всех обратимых матриц. 10-23. Докажите, что если отображение /: X —> GL(ra;IR) непрерывно, то и отображение X —> GL(ra;M): χ ι—» (/(ж))-1 непрерывно. 10.7. Непрерывность расстояний 10.L. Для любого подмножества А метрического пространствах функция X —► К, определяемая формулой χ н-> р(а;, Л) (см. §4), непрерывна. 10.24· Топология метрического пространства есть самая грубая топология, относительно которой для любого А С X функция X —> К, определяемая формулой χ t—> p(x,A), непрерывна. 10.8. Изометрии Пусть (Χ, ρχ) и (У, ργ) — метрические пространства. Отображение f:X—* —» У называется изометрическим вложением, если pY(f(a),f(b)) = px(a,b) для любых a,b£ X. Биекция, являющаяся изометрическим вложением, называется изометрией. 10. Μ. Всякое изометрическое вложение инъективно. 10.Ν. Всякое изометрическое вложение непрерывно.
§10. Непрерывные отображения 63 10.9. Сжимающие отображения Отображение /: X —> X метрического пространства в себя называется сжимающим, если существует такое число α (Ξ (0; 1), что р(/(о), /(b)) ζ сср(а, Ь) для любых a,b£ X. 10.25. Докажите, что всякое сжимающее отображение непрерывно. Пусть X и Υ — метрические пространства. Отображение /: X —> Υ называется гёлъ- деровъил, если найдутся такие числа С > 0 и α > 0, что p(f(a), /(b)) ζ Ср(а, Ь)а для любых а,Ь е X. 10.26. Докажите, что всякое гёльдерово отображение непрерывно. 10.10. Множества, задаваемые уравнениями и неравенствами 10.0. Пусть /г'. X —» К, г = 1,... ,п, — непрерывные отображения. Тогда подмножество пространства X, состоящее из всех решений системы уравнений fi(x) = 0,..., fn{x) = 0, замкнуто. 10.Р. Пусть fi'. X —» К, г = 1,...,п, — непрерывные отображения. Тогда подмножество пространства X, состоящее из всех решений системы неравенств fi(x) ^ 0,..., fn(x) Ξ? О, замкнуто, а подмножество, состоящее из всех решений системы неравенств /ι (а;) > 0,..., fn(x) > 0, открыто. 10.27. Где в 10.0 и 10.Ρ конечную систему можно заменить бесконечной? 10.28. Докажите, что в пространстве Мп с η ^ 1 всякое собственное алгебраическое подмножество (т.е. собственное подмножество, задаваемое полиномиальными уравнениями) нигде не плотно. 10.11. Теоретике-множественное отступление: покрытия Множество Г подмножеств множества X называется его покрытием, если X есть объединение множеств из Г, т. е. если X = (JAeT А. В этом случае говорят также, что множества, входящие в Г, покрывают X. Имеется и другое, более широкое понимание этих терминов: множество Г подмножеств множества Υ называется покрытием множества X CY, если X содержится в объединении множеств из Г, т. е. если X С LLer &■· Говорят также, что множества из Г покрывают X. 10.12. Фундаментальные покрытия Рассмотрим покрытие Г топологического пространства X. Каждый элемент покрытия Г наследует из X топологическую структуру. В каком случае топологию в X можно восстановить по этим структурам? В частности, при каких условиях на Г непрерывность отображения /: X —► Υ обеспечивается непрерывностью его сужений на все элементы покрытия Г? Чтобы получить ответы на эти естественные вопросы, решите задачи 10.29-10. V. 10.29. Верно ли, что если сужение отображения /: X —> У на всякий элемент следующего покрытия Г непрерывно, то и само отображение / непрерывно: 1) X = [0; 2], Г = {[0;1],(1;2]}; 2) X = [0;2], Г = {[0; 1], [1;2]}; 3) X = R, Г = {Q,R чЩ; 4) X =R, Г — множество одноточечных подмножеств? Покрытие Г пространства X называется фундаментальным, если множество U С X открыто, согда его пересечения с каждым множеством Л € Г открыты в подпространстве А.
64 Глава 2. Непрерывность 10. Q. Покрытие Г пространства X фундаментально, согда для открытости множества U С X достаточно, чтобы его пересечение с каждым множеством А е Г было открыто в А. 10.R. Покрытие Г пространства X фундаментально, согда для замкнутости множества F с X достаточно, чтобы его пересечение с каждым множеством А £ Г было замкнутым в А. 10.30. Покрытие топологического пространства одноточечными множествами фундаментально, согда пространство дискретно. Покрытие топологического пространства называется открытым, если оно состоит из открытых множеств, и замкнутым — если из замкнутых. Покрытие топологического пространства называется локально конечным, если каждая точка пространства обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом элементов покрытия. 10. S. Всякое открытое покрытие фундаментально. 10. Т. Всякое конечное замкнутое покрытие фундаментально. 10. U. Всякое локальное конечное замкнутое покрытие фундаментально. 10. V. Пусть Г — фундаментальное покрытие пространства X. Если сужение отображения f: X —» Υ на всякий элемент покрытия Г непрерывно, то и само отображение f непрерывно. Говорят, что покрытие Г' вписано в Г, если для каждого множества из Г' существует содержащее его множество из Г. 10.31. Если покрытие Г' вписано в Г и фундаментально, то и покрытие Г фундаментально. 10.32. Пусть Δ — фундаментальное покрытие пространства X, а Г — такое покрытие пространства X, что Гд = {{7 Π А | U ε Γ} есть фундаментальное покрытие подпространства AG X для всякого ΑξΔ. Докажите, что тогда покрытие Г тоже фундаментально. 10.33. Докажите, что фундаментальность покрытия является локальным свойством, т. е. что если каждая точка пространства X обладает такой окрестностью V, для которой покрытие Гц = {{7 Π V \ V (Ξ Г} фундаментально, то и исходное покрытие также является фундаментальным. 10.13х. Монотонные отображения Пусть (X, -<) и (У, -<) — частично упорядоченные множества. Говорят, что отображение /: X —► Υ о монотонно возрастает или просто монотонно, если /(а) =<; /(6) для любых а, Ь € X с а =4 Ь; о монотонно убывает или антимонотонно, если /(6) =<; /(а) для любых а, Ь € X с а =4 Ь; о строго монотонно возрастает (просто строго монотонно), если /(а) -< /(6) для любых а, Ь € X с а -< Ь; о строго монотонно убывает или строго антимонотонно, если /(&) -< /(а) для любых а, Ь € X с а -< Ь. 10. Wx. Пусть X и Υ — линейно упорядоченные множества. Относительно интервальных топологий в X и Υ любое сюръективное строго мо-
§10. Непрерывные отображения 65 нотонное или строго антимонотонное отображение X —» Υ непрерывно. 10.34х· Покажите, что условие сюръективности в 10. Wx является существенным. 10.35х. Покажите, что условие строгой монотонности в утверждении 10. Wx является существенным. 10.36х. В условиях теоремы 10. Wx непрерывно ли отображение / относительно топологии правых (или левых) лучей? 10. Хх. Отображение одного частично упорядоченного множества в другое является возрастающим, согда оно непрерывно относительно топологий порядка. 10.14х. Расстояние Громова-Хаусдорфа 10.37х. Для любых метрических пространств X и У существует метрическое пространство Z, в которое и X и Υ вкладываются изометрически. Изометрически вложив два метрических пространства в одно, мы можем рассмотреть расстояние Хаусдорфа между их образами (см. п.4.15х). Расстоянием Громова-Хаусдорфа между метрическими пространствами X и Υ называется точная нижняя граница расстояний Хаусдорфа для всевозможных пар изометрических вложений этих пространств во всевозможные метрические пространства. 10.38х. Бывают ли такие метрические пространства, между которыми расстояние Громова-Хаусдорфа равно бесконечности? 10.39х. Докажите, что расстояние Громова-Хаусдорфа симметрично и удовлетворяет неравенству треугольника. 10.40х. Загадка. В каком смысле расстояние Громова-Хаусдорфа может удовлетворять первой аксиоме расстояния? 10.15х. Функции на канторовом множестве и кривые Пеано Напомним, что канторово множество К можно определить как множество оо {x€R|x = X)|b, afc = 0;2}. fc=i 10·41χ· Докажите, что отображение оо оо fc=l fc=l является непрерывной сюръекцией. Нарисуйте его график. lO.J^Zx. Докажите, что следующее отображение непрерывно: оо оо ^ 3k ^-" Зк fc = l fc=l Обозначим через К2 множество {(ж, у) £9? \х е К,у е К}. 10-43х. Докажите, что отображение оо / °° °° fc=i ά 4=1 fc=i является непрерывной сюръекцией. 10.44х· Докажите, что отображение 73 : К —> I2, являющееся композицией отображения 72 : К —> К2 и отображения К2 -> I2: (х,у) ^ (71 (ж), 71 (у)) есть непрерывная сюръекция.
66 Глава 2. Непрерывность 10.Jf.bx. Докажите, что отображение 73: К —> / является сужением некоторого непрерывного отображения / —> I2. (Ср. 2.Jx.2.) Отображение, существование которого утверждается в последней задаче, является непрерывной сюръекцией I —> I2. Таким образом, кривая может целиком заполнить квадрат. Кривые, обладающие этим свойством, были впервые построены Д. Пеано в 1890 г. С тех пор было найдено множество примеров таких кривых, называемых кривыми Пеано. Набросок конструкции, предложенной Д. Гильбертом, намечен ниже в задачах 10.46х—10.49х. 10-4 6х. Докажите, что существует такая последовательность непрерывных кусочно линейных отображений /ц.: / —> I2, что 1) /fcCD содержит центры всех 4fe квадратов, получающихся при разбиении каждой стороны на 2к равных отрезков; 2) dist(/fc(z), /fc_i(x)) ^ v/2/2fe+1 для любого χ ζ Ι (здесь dist — стандартная евклидова метрика в!2). 1О.4 7х. Докажите, что всякая последовательность функций fk, которая удовлетворяет требованиям задачи 10.46х, сходится к непрерывной функции f: I —> I2, причём её образ всюду плотен в квадрате I2. 10-48х. Докажите, что всякое непрерывное отображение /: I —> I2 со всюду плотным образом сюръективно 2. 10.49х. Обобщите 10.43х—10.45х и 10.46x-10.48x: докажите существование непрерывных сюръекций / —> 1п с η ^ 3. § 11. Гомеоморфизмы 11.1. Определение и основные свойства гомеоморфизмов Отображение /: X —» Υ называется гомеоморфизмом, если оно обратимо, непрерывно, а обратное к нему отображение также является непрерывным. 11.А. Постройте пример непрерывной биекции, не являющейся гомеоморфизмом. 11.В. Постойте непрерывную биекцию [0; 1) —» S1, не являющуюся гомеоморфизмом. 11.С. Тождественное отображение (любого топологического пространства) есть гомеоморфизм. 11.D. Композиция гомеоморфизмов есть гомеоморфизм. 11.Е. Отображение, обратное гомеоморфизму, есть гомеоморфизм. 11.2. Гомеоморфные пространства Говорят, что пространство X гомеоморфно пространству Υ, если существует гомеоморфизм X —» Υ. 11.F. Гомеоморфность является отношением эквивалентности. 11.1. Загадка. Как теорема 11. F связана с 11.С-11.Е1 2Для решения этой задачи мы рекомендуем привлечь средства извне: либо хорошо известные теоремы анализа, либо результаты, которые будут получены в § 17. См. задачи 17.0, 1Ί.Τ-Ά 17.К.
§11. Гомеоморфизмы 67 11.3. Роль гомеоморфизмов 11.G. Если /: X —» У — гомеоморфизм, то множество U С X открыто (в X), согда f(U) открыто (в У). 11.Н. Отображение /: X —» У есть гомеоморфизм, согда оно является би- екцией, которая определяет биекцию между топологическими структурами пространств X и Υ. 11.1. Пусть /: X —» Υ — гомеоморфизм. Тогда для любого А с X справедливы следующие утверждения: 1) А замкнуто в X, согда f(A) замкнуто в У; 2) f(C\A) = C\f(A); 3) /(IntA) = Int/(A); 4) f(FrA)=Frf(A); 5) А — окрестность точки ιίΧ, согда f(A) — окрестность точки /(ζ); 6) etc. Таким образом, с топологической точки зрения гомеоморфные пространства устроены совершенно одинаково — гомеоморфизм X —» У устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми явлениями в X и У, которые выражаются в терминах топологических структур 3. 11.4. Дальнейшие примеры гомеоморфизмов 11.3. Если /: X —» У — гомеоморфизм, то для любого Л с X подотобра- жение ab(/): А —» /(А) — тоже гомеоморфизм. U.K. Всякая изометрия (см. § 10) есть гомеоморфизм. 11.L. Всякое невырожденное аффинное преобразование пространства Кп есть гомеоморфизм. 11.М. Пусть X uY — линейно упорядоченные множества. Относительно интервальных топологий в X и Υ любое сюръективное строго монотонное или строго антимонотонное отображение X —» У является гомеоморфизмом. 11.N. Следствие. Всякая сюръективная строго монотонная функция /: [а; Ь] —» [с; d\ является гомеоморфизмом. 11.2. Докажите, что инверсия in ^:Mn\0^Mn\0 Ν2 есть гомеоморфизм. 3На первых этапах развития топологии, когда ещё не было выделено понятие топологического пространства, а изучались подпространства евклидовых пространств, их непрерывные отображения и гомеоморфизмы, указанное свойство было положено в основу определения топологии. Ф. Клейн в своей знаменитой Эрлангенской программе, в которой он классифицировал различные геометрии, известные к тому времени (евклидову, аффинную, геометрию подобия, проективную, геометрию Лобачевского и т. п.), определял топологию как часть геометрии, изучающую свойства фигур, которые сохраняются при гомеоморфизмах.
68 Глава 2. Непрерывность 11.3. Пусть Η — {ζ ε C|Im ζ > 0} верхняя полуплоскость. Докажите, что отобрав жение /: Ή —► Ή заданное формулой /(ζ) = —i-τ, где α, b, с, d ε Μ, является гомео- ° 2 > 0· 11.4- Докажите, что биекция Μ —> Μ является гомеоморфизмом, согда она является монотонной функцией. 11.5. 1) Докажите, что всякая биекция антидискретного пространства на себя является гомеоморфизмом. Докажите, что то же самое верно для: 2) дискретного пространства; 3) прямой с топологией Зариского. 11.6. Найдите все гомеоморфизмы пространства \ΐ (см. § 2) на себя. 11.7. Докажите, что всякая непрерывная биекция стрелки на себя является гомеоморфизмом. 11.8. Постройте два гомеоморфных пространства X и Υ и непрерывную биекцию X —► Υ, не являющуюся гомеоморфизмом. 11.9. Является ли отображение 72 : К —> К2, рассмотренное в задаче Ю.^Зх, гомеоморфизмом? Напомним, что К — канторово множество, К = {(ж, у) ε Ж2 | χ ε К, у ε £ К} и 72 определяется формулой Σ зк Σ 3* E«2fc а* 11.5. Примеры гомеоморфных пространств Ниже гомеоморфность обозначается значком =. Это не общепринятое обозначение. В литературе в этом смысле используются практически все символы, близкие к символу =, но отличные от него, например ~, ~, ss. И.О. Докажите, что 1) [0; 1] = [а; Ь] для любых а <Ь; 2) [0; 1) = [а; Ь) S (0; 1] S (а; Ь] для любых а < 6; 3) (0; 1) = (а; Ь) для любых а < Ь; 4) (-1;1)^К; 5) [0;1)^[0;+оо)и(0;1)^(0;+оо). 11. Р. Пусть JV = (0,1) — Северный полюс на единичной окружности. Тогда
§11. Гомеоморфизмы 69 11. Q. График непрерывной функции, заданной на некотором промежутке, гомеоморфен этому промежутку. 11. R. Sn \ point = Άη. Здесь и далее мы для простоты записи (и чтения) будем использовать не вполне корректные обозначения. Именно, при задании подмножеств мы будем опускать первую часть «{(х,у) 6 Ж2 |» формулы. 11.10. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу: 1) вся плоскость Ж2; 2) открытый квадрат Int I2 = { χ, у е (0; 1) }; 3) открытая полоса { χ (Ξ (0; 1) }; 4) открытая полуплоскость Ή — { у > 0 }; 5) открытая полуполоса { χ > 0, у е (0; 1) }; 6) открытый круг { х2 + у2 < 1 }; 7) открытый прямоугольник {а < χ <Ь, с <у < d}; 8) открытый квадрант { ж, у > 0 }; 9) открытый угол { χ > у > 0}; Ю) { У2 + \х\ > ж } — плоскость с разрезом по лучу {у = 0, ж ^ 0 }; 11) открытый полукруг { х2 + у2 < 1, у > 0 }; 12)открытый сектор { ж2 + t/2 < 1, ж > t/ > 0 }. U.S. Докажите, что 1) замкнутый круг D2 гомеоморфен квадрату I2 = { (х, у) е R21 х, у € [0; 1] }; 2) открытый круг Int D2 = { (χ, у) £ Ш2 \ х2 + у2 < 1} гомеоморфен открытому квадрату Int I2 = { (χ, у) € Ш2 \ х, у € (0; 1) }; 3) окружность 51 гомеоморфна контуру квадрата dl2 = I2 \ Int I2. 11. Т. Пусть Δ С К2 — плоское выпуклое ограниченное множество, внутренность U которого непуста. Докажите, что 1) Δ гомеоморфно замкнутому кругу D2; 2) U гомеоморфно открытому кругу В2; 3) Рг Δ = Ft U гомеоморфно окружности S1 ■ 11.11. В каком из случаев, рассматриваемых в задаче 11.Т, можно отказаться от ограниченности? 11.12. Расклассифицируйте с точностью до гомеоморфизма замкнутые выпуклые подмножества плоскости. (Составьте полный список без повторений; докажите, что всякое такое подмножество гомеоморфно одному из списка; доказательство попарной негомеоморфности отложите до § 12.) 11.13*. Обобщите предыдущие три задачи на случай подмножеств пространства Жп с произвольным га. Из последних четырёх задач можно сделать вывод, что в топологии изломы не существенны, т. е. свойство линии или границы области иметь изломы не сохраняется при гомеоморфизмах. В связи с этим решите ещё две задачи. 11.14· Докажите, что всякая замкнутая несамопересекающаяся ломаная в Ж (и в Жп при га > 2) гомеоморфна окружности S1. 11.15. Докажите, что всякая незамкнутая несамопересекающаяся конечнозвенная ломаная в Ж2 (и в Жп с га > 2) гомеоморфна отрезку [0; 1]. В следующей задаче сформулировано обобщение техники, использованной при решении двух предыдущих задач. Интересно, что она используется чаще, чем это может показаться на первый взгляд.
Глава 2. Непрерывность 11.16. Пусть ΧπΥ — топологические пространства, на которых заданы их некоторые фундаментальные покрытия: X — |J Ха и Υ = (Ja Ya. Рассмотрим отображение f: X —> Υ, такое, что f{Xa) = Ya для каждого а, причём каждое из подотображений ab(/): Ха —* Ya является гомеоморфизмом. Тогда и отображение / — гомеоморфизм. 11.17. Докажите, что бесконечный «крест» к2 ^ {\χ\, Ы > ι} ^ ι2 ^ {(± ι, ± 1), (± ι, τ ι)} гомеоморфен квадрату без вершин. 11.18*. Непустое множество Σ С М2 называется «звездой с центром с», если Σ является объединением отрезков и лучей, одним из концов которых является точка с. Докажите, что если множество Σ открыто, то Σ =ϊ В2. (Что можно сказать о замкнутой звезде с непустой границей?) 11.19. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу: 1) полуплоскость { ж ^ 0 }; 2) квадрант { ж, у ^ 0 }; 3) угол {х^у^О}; 4) полуоткрытая полоса { у (Ξ [0; 1) }; 5) квадрат без трёх сторон {0<ж<1, 0ζι/<1}; 6) квадрат без двух сторон { 0 ζ χ, у < 1 }; 7) квадрат без стороны { 0 ζ ж ζ 1, 0 ^у < 1 }; 8) квадрат без вершины {Οζι, t/ζΐ} \(1,1); 9) круг без одной граничной точки { х2 + у2 ζ 1, у φ 1 }; 10)полукруг без диаметра {х2 + у2 ζ 1, у > 0 }; 11) круг без радиуса { х2 + у2 < 1 } \ [0; 1]; 12)квадрат без половины диагонали { \х\ + \у\ ^ 1 } ч [0; 1]. 11.20. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу: 1) проколотая плоскость Ж2 \ (0,0); 2) проколотый открытый круг {0 < х2 + у2 < 1 }; 3) кольцо {а < х2 + у2 < Ь } где 0 < а < Ь; 4) плоскость без круга {х2 + у2 > 1 }; 5) плоскость без квадрата Ж2 \ {ж, у е [0; 1] }; 6) плоскость без отрезка Ж2 \ [0; 1]; 7) Ж2 \ Δ, где Δ — замкнутое ограниченное выпуклое множество с непустой внутренностью. 11.21. Если множество XCl2 есть объединение нескольких отрезков с общим концом, то дополнение Ж2 \ X гомеоморфно проколотой плоскости. 11.22. Если ХсЯ2 есть простая незамкнутая конечнозвенная ломаная, то дополнение Ж2 \ X гомеоморфно проколотой плоскости. 11.23. Докажите, что если К и L — конечные множества точек плоскости, состоящие из одинакового числа точек, то их дополнения гомеоморфны. 11.24- Пусть D\,..., Dn С Ж2 — попарно не пересекающиеся замкнутые круги. Докажите, что дополнение их объединения гомеоморфно плоскости без η точек. 11.25. Пусть D\,. .., Dn CM2 — попарно непересекающиеся замкнутые круги. Дополнение объединения их внутренностей называется плоскостью с η дырами. Докажите, что любые две плоскости с η дырами гомеоморфны (т. е. при изменении взаимного расположения кругов D\,..., Dn топологический тип дополнения объединения их внутренностей не меняется). 11.26. Пусть /,д: Ж —> Ж — непрерывные функции, причём / < д. Докажите, что промежуток { (ж, у) еМ2 | /(ж) ^у^д(х) }, ограниченный их графиками, гомеоморфен замкнутой полосе {(ж, у) | у (Ξ [0; 1]}.
§11. Гомеоморфизмы 71 11.27. Покажите, что кофейная чашка (с добротной ручкой) гомеоморфна бублику. 11.28. Поделите следующий набор предметов на классы гомеоморфных: кофейная чашка, блюдце, стакан, ложка, вилка, нож, тарелка, монета, гвоздь, винт, болт, гайка, шайба, шуруп, обручальное кольцо, сверло, цветочный горшок (с отверстием в донышке), ключ. 11.29. В шаровом слое (промежутке между двумя концентрическими сферами) просверлили цилиндрическое отверстие, соединяющее граничные сферы. Докажите, что оставшаяся часть гомеоморфна шару D3. 11.30. В шаровом слое просверлили отверстие, соединяющее граничные сферы и имеющее форму заузленной трубки (см. рисунок). Докажите, что оставшаяся часть гомеоморфна шару D3. 11.31. Докажите, что поверхности, показанные наследующем рисунке, гомеоморф- ны (и то, и другое — так называемая ручка). 11.32*. Докажите, что поверхности, показанные наследующем рисунке, гомеоморф- ны. 11.33*. Докажите, что Ж3 \ 51 ^Ж3 \ (М1 U {(1,1,1)}). 11.34- Подмножество сферы Sn, определяемое в стандартных координатах пространства Μη+1 неравенством х\ + х\ + ... + х\ < x2k+1 + ...+xl, гомеоморфно Жп \M"-fe. 11.6. Примеры негомеоморфных пространств 11. U. Пространства, состоящие из разного числа точек, негомеоморфны. 11. V. Дискретное и антидискретное пространства, имеющие более одной точки, не гомеоморфны друг другу. 11.35. Докажите, что пространства Z, Q (с индуцированной из Ж топологией), R, ΚΐΊ и стрелка попарно негомеоморфны. 11.36. Постройте два негомеоморфных пространства X и Υ, для которых существуют непрерывные биекции X —> Υ и Υ —> X.
72 Глава 2. Непрерывность 11.7. Проблема гомеоморфизма и топологические свойства Одной из классических проблем топологии является проблема гомеоморфизма: определить, являются ли данные пространства гомеоморфными. В каждом конкретном случае характер решения зависит от ответа. Для доказательства гомеоморфности достаточно построить гомеоморфизм между пространствами, что в той или иной форме обычно и делается. Для доказательства негомеоморфности недостаточно рассмотреть какое-либо определенное отображение, а непосредственно обозреть все отображения обычно невозможно. Поэтому при доказательстве негомеоморфности чаще всего пользуются косвенными средствами: находят какое-нибудь свойство или характеристику, которыми обладает одно пространство, не обладает другое и которые передаются от пространства к пространству при гомеоморфизме. Очевидными примерами таких, как говорят, топологических свойств и инвариантов являются мощность множества точек и мощность топологической структуры (ср. задачи 11.34 и H-U)· Менее очевидные примеры являются основным предметом следующей главы. Информация: негомеоморфности. Евклидовы пространства разных размерностей негомеоморфны; шары Dp, D4 с разными ρ, q негомеоморфны; сферы Sp, S4 с ρ φ q негомеоморфны; сфера S2 не гомеоморфна поверхности бублика; евклидовы пространства не гомеоморфны ни шарам, ни сферам (любых размерностей); буквы А и Ρ негомеоморфны (здесь мы считаем, что эти буквы составлены из линий, лишенных толщины); проколотая плоскость R2 \ point не гомеоморфна плоскости с дырой: R2 \ {х2 + у2 < 1}. Заметим, что эти утверждения — разной степени трудности. Некоторые из них будут доступны уже в следующем параграфе. Некоторые же требуют техники, выходящей за рамки этой книги. 11.8. Вложения Непрерывное отображение /: X —» Υ называется {топологическим) вложением, если подотображение ab(/): X —» f(X) есть гомеоморфизм. 11. W. Включение подпространства в пространство является вложением. 11.Х. Композиция вложений есть вложение. 11.Y. Приведите пример непрерывного инъективного отображения, не являющегося топологическим вложением. (Найдите такой пример выше и придумайте новый.) 11.37. Найдите такие пространства X и У, что X вкладывается в У и У вкладывается в X, но Χ ψ У. 11.38. Докажите, что Q не вкладывается в Ζ. 11.39. 1) Возможно ли вложить дискретное пространство в антидискретное? 2) А наоборот, антидискретное в дискретное? 11.40. Докажите, что пространства Ж, К^ и стрелка не вкладываются друг в друга.
§11. Гомеоморфизмы 73 11.41· Следствие теоремы об обратной функции. Выведите из теоремы об обратной функции (см. любой учебник анализа функций нескольких переменных) следующее утверждение. Для всякой дифференцируемой функции /: Шп —> К™, для которой det ( -^- )(0) φ0, существует такая окрестность U нуля 0 € Ш", для которой отображение /| ц : U -^й" есть вложение, и образ f(U) — открытое множество. 11.9. Эквивалентность вложений Вложения /ь /2: X —» У называются эквивалентньини, если существуют такие гомеоморфизмы hx: X —> X и hY: Y —> Υ, что f2°hx = hY о Д (последнее равенство часто передают, говоря, что диаграмма X —^ Υ коммутативна). Любое вложение окружности S1 в М3 называется узлом. 11.42. Докажите, что узлы /ι,/г'· S1 —> М3 с /ι(52) = /2(S1) эквивалентны. 11.43. Докажите, что следующие два узла эквивалентны. у Информация. Существуют неэквивалентные узлы. Например, σο
74 Глава 2. Непрерывность Доказательства и комментарии 9.А. | -4=1 Если /(/~1(S)) = В, то В, конечно, содержится в образе /. I =>| Если множество В содержится в образе отображения /, то для всякой точки у£ В найдётся точка х, такая, что f(x) = у. По определению, χ е /_1(£?), значит, У & f(f~1(B)). Следовательно, В с f(f~1(B)). Обратное включение верно для любого множества, см. 9.В. 9.В. Если χ е /_1(S), то f(x) е В. 9. С. 1) => 2). Предположим, что из равенства /(С) = В следует, что С = = f~1(B). Если найдутся различные точки а1,а2 6 /_1(S), такие, что /(αϊ) = = /(α2), то f{f"1{B) \ {α2}) = S, что противоречит предположению. 2) =>- 1). Проведём рассуждение от противного. Предположим, что существует такое множество С φ /_1(S), что /(С) =В. Рассмотрим точку αϊ £ е f~1{B) \ С, пусть 6= /(αϊ). Так как /(С) = В, то найдётся точка а2 G С, такая, что f(a2) = Ь. 9.D. Следствие 5. С. 9.Е. Если ζ б А, то f(x) = у б /(-А), значит, ζ е /_1(/(А)). 9.F. Каждое из равенств равносильно тому, что f(x) £ f(A) для всякого элемента χ £ А. 9.G. ίτΓ1(Β) = {χ€Α | х&В} = АГ)В. 9.Н. Пусть хеХ. Тогда (/г о (д о f))(x) = h{(g о /)(!)) = %(/(*;))) = (А о g)(f(x)) = ((ft о g) о f)(x). 9.J. Если X\ фх2, то f{x\) Φ f(x2), так как / — инъекция, и g(f(x1)) φ φ g(f(x2)), так как д — инъекция. 9. К. Если / не является инъекцией, то найдутся такие точки хг фх2, что f(xi) = f(x2), значит, (gof)(x1) = (gof)(x2), что противоречит тому, что до / — инъекция. 9.L. Если f(X) =Y, то g(f(X)) = g(Y) = Ζ, поскольку и отображение д является сюръекцией. 9.0. | =>| Если отображение является биекцией, то оно обратимо. 1 -Ф=| Если отображение обратимо, то оно является биекцией в силу утверждений д.Km д.м. 10.А. I =>] Если отображение / непрерывно, то для всякого замкнутого подмножества F с Υ множество X \ /_1 (F) = /_1 (У \ F) открыто, значит, множество /_1 (F) является замкнутым. 1 -Ф=| Если прообраз любого замкнутого множества замкнут, то аналогичное рассуждение доказывает, что прообраз всякого открытого множества будет открыт. 10. С. Если множество U открыто в пространстве X, то его прообраз in_1([/) = U Π А открыт в подпространстве А по определению топологической структуры подпространства.
Доказательства и комментарии 75 10.D. Если U £ ΩΑ, то U = V Π А, где V е Ω. Далее, так как отображение in: (Α, Ω') —» (Χ, Ω) непрерывно, то прообраз множества [/ = in-1 (V) G Ω'; таким образом, ΩΑ С Ω'. 10. Е. Если [/ G Ωζ, то 5-1(?7) G Ωγ, значит, (5°/Γ1(^) = Γ1(5-1(^))εΩχ, таким образом, композиция д о / является непрерывным отображением. 10.F. {ί\Α,ΒΥ\ν) = {!\А,вТ\и ПВ) = АП f~\U). 10.G. (Ж) / = in/(x)Oab/. £Ц] См. iO.F. 10. Η. Прообраз всякого множества при постоянном отображении либо пуст, либо совпадает со всем пространством. 10.1. I =Н Если / непрерывно, то в качестве окрестности V точки а мы просто можем взять прообраз V = /_1(?7) окрестности точки /(а). 1 -Ф=| Если /(V) С U, то V с /_1(?7), откуда следует, что любая точка множества /_1(?7) — внутренняя, значит, это множество — открытое. 10.J. Воспользуйтесь тем, что в любой окрестности точки метрического пространства существует лежащий в этой окрестности шар с центром в этой точке. 10.К. Условие: «для любой точки χ € X с р(х,а) < δ имеет место неравенство p(f(x), /(a)) < е» означает, что f(Bs) С βε(/(α)). Осталось применить 10.3. 10.L. Непосредственное следствие 4-35. 10.М. Если p(f(x),g(x)) =0, то р(х,у) = 0. 10.N. Поскольку прообраз открытого шара пространства Υ является открытым шаром того лее радиуса в пространстве X. 10.0. Множество решений системы есть пересечение прообразов точки 0 £ R. Поскольку отображения непрерывны, а точка замкнута, то замкнуты её прообразы, значит, замкнуто и их пересечение. 10. Р. Множество решений системы нестрогих неравенств есть пересечение прообразов замкнутого луча [0;+оо), множество решений системы строгих неравенств есть пересечение прообразов открытого луча (0; +оо). 10.R. Рассмотрите дополнение множества F. 10.S. Пусть Г = {Ua}. Если V Π Ua открыто в Ua, то V Π Ua открыто в X, поскольку Uа является открытым. Осталось заметить, что, так как Г является покрытием, то V = \ja (V Π UaJ. 10. Т. Доказательство аналогично предыдущему, поскольку объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. 10. U. Докажите, что объединение локально конечного набора замкнутых множеств замкнуто.
76 Глава 2. Непрерывность 10. V. Если множество U открыто в У, то открыты его прообразы при сужениях на каждый элемент Va покрытия T={Va}. Поскольку (/|v„) (U) = = /_1(?7) Π Va, то открыты все пересечения /_1(?7) Π Va. Так как по условию покрытие Г фундаментально, то открыт прообраз /-1([/), таким образом, отображение / непрерывно. 10. Wx. Достаточно проверить открытость прообраза базового множества, что очевидно, так как, к примеру, прообразом множества {х | а ~< χ ~< Ь} является множество {х \ с -< χ -< d}, где /(с) = а и /(d) = Ъ. 10.Хх. 1 =Ф-| Предположим, что отображение /: X —> У монотонно. Для доказательства непрерывности / достаточно проверить открытость прообразов базовых множеств. Пусть U = Cy(b), V^ = /_1(?7). Нетрудно видеть, что ^ = {Jfix)eu Cx(x), значит, это множество открыто как объединение базовых (в топологии пространства X). \ -Ф=| Проведём рассуждение от противного. Предположим, что / непрерывно в топологиях правых лучей, однако не является монотонным. Значит, найдутся такие точки а -< Ь, что /(6) -< /(а). Докажем, что прообраз луча ?7 = CJ(/(a)) не является открытым в X множеством. Действительно, равенство /_1([/) =:[JCx(za) противоречит тому, что a G /_1(?7), тогда как Ь £ /_1([/), хотя а -< Ь. 11. А. Например, тождественное отображение дискретного топологического пространства X в то лее множество, наделенное тривиальной топологией. 11.В. Рассмотрите отображение χ н-► (cos27nr,sin27nr) £ 51 С Ш2. 11. С. Это и два следующих за ним утверждения сразу следуют из определения гомеоморфизма. 11.F. Смотрите ответ на загадку 11.1. 11.G. Пусть U СХ, V' = f(U) C7, j = /_1: У —> X. Так как гомеоморфизм есть биекция, то U = /_1(V^). Обозначим через д отображение, обратное к /, так что V = д~г(и). 1 =Н Если U открыто, то множество V открыто, поскольку оно есть прообраз открытого множества U при непрерывном отображении д. 1 -v=l Если открыто V, то U — это его прообраз при непрерывном отображении /. ίί.ΙΓ. См. 11.G. 11.1. Гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми, значит, и между замкнутыми множествами. Для доказательства следующих утверждений воспользуйтесь определениями замыкания, внутренности, границы множества. 11.J. Отображение аЬ(/) есть биекция, а непрерывность аЬ(/) и (аЬ/)-1 следует из общей теоремы о сокращении. U.K. Всякая изометрия непрерывна. Отображение, обратное изометрии, само является изометрией. 11.1ι. Если у = Ах + Ь, то χ = А~ху — А~гЬ, т. е. невырожденное аффинное отображение есть биекция. Их непрерывность следует, к примеру, из их лип- шицевости.
Доказательства и комментарии 77 11.М. Всякое сюръективное строго монотонное отображение обратимо, и обратное к нему также является строго монотонным. Теперь можно применить утверждение 10. Wx. И.О. В этих задачах гомеоморфизмами являются стандартные функции. К примеру, гомеоморфизм /: [0; 1] —> [а; Ь] задаётся формулой f(x) = а + (Ь — — а)х, а гомеоморфизм /: (—1; 1) —> R1 — формулой f(x)=tg^-. (Во втором случае нетрудно найти гомеоморфизм, который задаётся рациональной функцией, однако, как это ни странно, достаточно часто появляется именно приведённая формула.) 11.Р. Воспользуйтесь тем, что отображение (ΐ'ΐ) "^ ^ xiV: г ^ (cos27rf,sin27ri) является гомеоморфизмом, и примените утверждения 3) и 4) предыдущей задачи. Приведём также другое решение, которое можно обобщить на высшие размерности. Сужение / центральной проекции R2 \ N —» R1 (на ось абсцисс) на S1 \ N есть гомеоморфизм. Действительно, очевидно, что отображение / обратимо: /_1 — это сужение центральной проекции R2 \ N —> Sl \ N. Отображение S1 \ JV —> R задаётся формулой (х,у) н-> . х_ -, а обратное ему — / От Τ 1 \ формулой χ н-> (-J—- ——-). (Почему эти отображения непрерывны?) 11.Q. Убедитесь в том, что вертикальная проекция на ось абсцисс определяет искомый гомеоморфизм. 11.R. Как обычно, отождествим R" с подмножеством {х е Rn+11 χη+ί = 0}. Сужение центральной проекции 1 \ (0, ...,0,1) -f R" на Sn \ (0,... ,0,1) есть гомеоморфизм, который называется стереографической проекцией. При η = 2 он используется в картографии. Это отображение обратимо, обратное к нему является сужением центральной проекции Rn+1 \ (0,..., 0,1) —> Sn \ (0,..., 0,1) на R". Первое отображение задаётся формулой Х= (Χι,...,Χη+ί) н-> I - ^ ,···,-, " ), а второе — формулой Проверьте это. Убедитесь, что оба отображения непрерывны. U.S. Из доказательства данного утверждения уже будет понятно, что не всегда имеет смысл давать явное описание отображения посредством формул, из которых бывает трудно понять, что они дают именно то, что требуется. Проще давать словесное описание отображения, а доказывать его непрерывность и непрерывность обратного к нему, не опираясь на формулы.
78 Глава 2. Непрерывность 1) Вместо квадрата Ρ удобнее рассматривать (гомеоморфный ему) квадрат вдвое большего размера с центром в начале координат: К = {(х,у) | И<1,|у|<1}. Гомеоморфизм Ρ —> К линеен: (х, у) н-> (2х — 1, 2у — 1). Гомеоморфизмом К —> —> 51 является отображение, заданное формулами Гомеоморфизмом К ^> D2 является отображение /,. ,л ^ /^тах{М,|у|} утях{|д|, |ΐ/|>Λ С геометрической точки зрения этот гомеоморфизм линейно отображает отрезок, соединяющий начала координат с точкой на контуре квадрата, на часть этого отрезка, лежащую внутри круга. 2), 3) Рассмотрите подходящие под отображения построенного выше гомеоморфизма К —> D2. Конечно, утверждение 2) непосредственно следует из доказательства утверждения 1). Интересно, что в случае 3) искомый гомеоморфизм может задать совсем простой формулой дК -+ S1: (х,у) » ( ^L-r.-^jUA V у/Х2 + у2 у/Х2 + У2' (Это просто центральная проекция!) Наконец, можно разделить окружность на четыре дуги и отобразить каждую из них на свою сторону квадрата К. 11. Т. 1) Будем считать для простоты, что D2 С Δ. Для всякой точки χ £ Ш2 \ 0 найдётся единственное положительное число а(х), такое, что а(х) у-, £ Fr Δ. Рассмотрите отображение \х\ Δ —> D2: χ н-> при χ φ 0, тогда как 0 н-► О, а[х) которое и является искомым гомеоморфизмом. Обратите внимание на то, что в случае, когда множество Δ есть квадрат К, мы получим в точности гомеоморфизм, построенный в решении предыдущей задачи. 2), 3) Рассмотрите подходящие подотображения гомеоморфизма Δ —> Ό2. 11. U. Не существует биекции одного пространства на другое. 11. V. В этих пространствах различное число открытых множеств. (К примеру, одноточечное подмножество в одном из них открыто, а в другом — нет.) 11.W. Действительно, если in: А —> X — включение, то подотображение ab(in) = idA — это тождественный гомеоморфизм. 11.Х. Пусть /:Х—>Уи<7:У—>Z — вложения. Тогда подотображение ab(<7 о /) = ab(<7) о ab(/): X —> g(f(X)~) — гомеоморфизм. 11.Y. Уже были примеры [0; 1) —> S1; Z+ —> {0}U{-}. Вот ещё один. Рассмотрим биекцию /: Ζ —> Q и включение in<Q: Q —> R. Композиция in<Q о/: Ζ —> R будет непрерывной инъекцией, но не вложением.
Глава 3 Топологические свойства § 12. Связность 12.1. Определение связности и первые примеры Топологическое пространство X называется связным, если любое его подмножество, открытое и замкнутое одновременно, либо пусто, либо совпадает со всем пространством X. Разбиением множества называется его покрытие попарно непересекающимися множествами; разбить множество — значит построить его разбиение. 12.А. Топологическое пространство связно, согда его нельзя разбить на два непустых открытых множества, согда его нельзя разбить на два непустых замкнутых множества. 12.1. Связны ли пространства 1) антидискретное пространство; 2) стрелка; 3) Ктх? 12.2. Опишите явно все связные дискретные пространства. 12.3. Опишите явно все несвязные двухточечные пространства. 12.4· 1) Связно ли пространство Q рациональных чисел (с топологией, индуцированной из М)? 2) Тот же вопрос относительно множества иррациональных чисел. 12.5. Пусть в множестве X заданы топологические структуры Ωχ и Ω2, причём структура Ω2 является более тонкой (т.е. Ωχ С Ω2). 1) Если пространство (Χ, Ω2) связно, то связно ли пространство (Χ, Ωχ)? 2) Если пространство (Χ, Ωχ) связно, то связно ли пространство {Χ, Ω2)? 12.2. Связные множества Когда говорят, что какое-то множество связно, всегда имеют в виду, что множество лежит в топологическом пространстве (в каком именно — должно быть ясно из контекста) и что с индуцированной этим включением топологией оно является связным пространством. 12.6. Дайте определение несвязного подмножества, не употребляя термин индуцированная топология. 12.7. Связно ли множество {0,1} в 1) К; 2) стрелке; 3) Ктх? 12.8. Опишите явно все связные подмножества 1) стрелки; 2) пространства Μ-τγ · 12.9. Покажите, что множество [0; 1] U (2;3] несвязно в К. 12.10. Докажите, что всякое невыпуклое подмножество прямой несвязно. 12.11. Докажите, что подмножество А топологического пространства X несвязно, согда существуют непустые множества В а С такие, что А = В U С, В Π Clx С = 0 и С П CI* В = 0. 12.12. Укажите какое-нибудь топологическое пространство и в нём такое несвязное подмножество А, что для любых непересекающихся открытых множеств U и У, образующих покрытие множества А, либо U Э А, либо V D А.
80 Глава 3. Топологические свойства 12.13. Докажите, что для любого несвязного множества в Жп существуют непересекающиеся открытые множества U и V, такие, что AcU UV, U (ЛАф0 nV Г\Аф0. Сравните 12.11-12.13 с 12.6. 12.3. Свойства связных множеств 12.14· Пусть X — топологическое пространство. Если подмножество Μ С X связно и непустое собственное подмножество А С X открыто и замкнуто, то либо Μ С А, либо МСХ\А. 12. В. Замыкание связного множества связно. 12.15. Докажите, что если множество А связно и А С В С С1А, то множество В тоже связно. 12. С. Объединение любого семейства попарно пересекающихся связных множеств связно. {Другими словами: пусть {Ах}хеЛ — семейство связных подмножеств пространства X и пусть пересечение любых двух множеств из этого семейства непусто. Тогда множество \JxeA Αχ связно.) 12.D. Специальный случай. Пусть множества А,ВсХ связны и имеют непустое пересечение Α Π Β φ 0. Тогда и их объединение A U В также связно. 12.Е. Пусть {Ах}хеЛ — семейство связных подмножеств пространства X. Предположим, что каждое множество семейства пересекается с множеством Αχ0 (для некоторого А0 е А). Тогда множество (JA(_A Αλ связно. 12.F. Если {Ak}kez — такая последовательность связных множеств, что Ак Π Ак+1 φ 0 при любом к € Ζ, то множество [Jk& Ak связно. 12.16. Покажите, что если множества А, В связны и А П С1В φ 0', то AU В — связное множество. 12.17. Пусть А — связное подмножество связного пространства X и множество ВСХхЛ открыто и замкнуто в топологии подпространства X \ А пространства X. Докажите, что множество A Li В связно. 12.18. Пусть множества A U В и А П В связны. Следует ли из этого связность множеств А и В1 12.19. Пусть множества А а В таковы, что и их объединение, и их пересечение есть связное множество. Докажите, что множества А и В тоже связны, если каждое из них: 1) открыто; 2) замкнуто. 12.20. Пусть А\ D A2 D ... — бесконечная убывающая последовательность связных множеств. Обязательно ли связно пересечение DfcLi Ak"l 12.4. Компоненты связности Компонентной связности пространства X называется всякое его связное подмножество, не содержащееся ни в каком другом (строго большем) связном подмножестве пространства X. 12. G. Каждая точка содержится в некоторой компоненте связности, причём только в одной: эта компонента связности является объединением всех связных множеств, содержащих данную точку. 12.Н. Любые две компоненты связности либо не пересекаются, либо совпадают.
§ 12. Связность 81 Компоненты связности пространства называются также его связными компонентами или просто компонентами. Теоремы 12. Gin 12.Η показывают, что компоненты связности составляют разбиение топологического пространства. Следующая теорема описывает отношение эквивалентности, соответствующее этому разбиению. 12.1. Две точки содержатся в одной компоненте, согда они содержатся в одном связном подмножестве. 12. J. Следствие. Пространство связно, согда любая пара его точек лежит в некотором связном множестве. 12. К. Компоненты связности замкнуты. 12.21. Если у каждой точки пространства X имеется связная окрестность, то каждая компонента X открыта. 12.22. Пусть точки χ ay принадлежат одной компоненте пространства. Если некоторое его подмножество одновременно открыто и замкнуто, то оно либо содержит обе эти точки, либо не содержит ни одной из них (ср. 12.37). 12.5. Вполне несвязные пространства Топологическое пространство называется вполне несвязным, если любая его компонента состоит из одной точки. 12.L. Очевидный пример. Любое дискретное пространство вполне несвязно. 12.М. Пространство Q (с индуцированной из Ш. топологией) является вполне несвязным. Обратите внимание, что Q не дискретно. 12.23. Приведите пример несчётного замкнутого вполне несвязного подмножества прямой. 12.24- Канторово множество (см. 2.Jx) вполне несвязно. 12.6. Связность и граница множества 12.25. Докажите, что если А — собственное непустое подмножество связного топологического пространства, то ΈτΑφ0. 12.26. Пусть F — связное подмножество пространства X. Докажите, что если А С X, F П А ^ 0, Bfn(X\A)/0, то F П Fr A ^ 0. 12.27. Пусть А — подмножество связного топологического пространства. Докажите, что если Ft А — связное множество, то С1А — тоже связное множество. 12.28. Пусть X — связное топологическое пространство, U и V — его пересекающиеся открытые подмножества, имеющие общие внешние точки, причём ни одно из них не является подмножеством другого. Докажите, что если их границы Fr U и Fr V связны, то Fr U Π Fr V φ 0. 12.7. Связность и непрерывные отображения Непрерывным образом пространства называется его образ при непрерывном отображении. 12. N. Непрерывный образ связного пространства связен. [Другими словами, если f: X —> Υ — непрерывное отображение и пространство X связно, то и множество f(X) связно.)
82 Глава 3. Топологические свойства 12.0. Следствие. Связность — топологическое свойство. 12.Р. Следствие. Число компонент связности является топологическим инвариантом. 12. Q. Пространство X несвязно, согда существует непрерывная сюръек- ция X -> 5°. 12.29. При помощи 12.Q часто можно получить более короткие доказательства различных утверждений о связных множествах. Примените её для того чтобы доказать, к примеру, теоремы 12.B-12.F и решить задачи 12.D и 12.16. 12.30. Пусть X — связное пространство и /: X —> Ж — непрерывная функция. Тогда множество f(X) является промежутком в К. 12.31. Если пространство снабжено структурой группы и умножение на любой элемент группы является непрерывным отображением, то связная компонента единицы является нормальной подгруппой. 12.8. Связные подмножества числовой прямой 12.R. Отрезок I = [0; 1] связен. Теорему 12. R можно доказать несколькими способами. Один из них подсказывается задачей 12. Q и опирается на известную теорему о промежуточном значении из математического анализа, см. 13.А. Ниже предлагаются две задачи, доставляющие набросок в сущности того лее самого доказательства: комбинации теоремы 12. Q с традиционным доказательством теоремы о промежуточном значении. См. также 2.1х. 12.R.1. Пусть U, V — подмножества отрезка /, причём V = I \ U. Пусть a£U, b£V и а <Ъ. Докажите, что существуют неубывающая последовательность ап с ах = а, ап G U и невозрастающая последовательность Ъп с 6Х = b, bn б V, такие, что bn - ап = -ф^. 12.R.2. Если в предположениях 12.R.1 U и V замкнуты в /, то кому из них принадлежит с = sup{an} = inf{6n}? 12.32. Выведите 12.R из 2Лх. 12.S. Докажите, что открытое подмножество прямой R имеет счётное число компонент связности. 12.Т. Пространством1 связно. 12. U. Всякое выпуклое подмножество R" связно. (В частности, таковым является всё пространство R", открытый шар Вп и замкнутый шар Dn.) 12. V. Следствие. Любой промежуток в R1 связен. 12. W. Всякое звездное подмножество R" связно. 12.Х. Связность на прямой. Подмножество прямой связно, согда оно есть некоторый промежуток. 12.Y. Докажите, что n-мерная сфера 5" связна. В частности, связна окружность S1. 12.33. Рассмотрим подмножество плоскости, являющееся объединением спирали r = exp( 2j, где φ ^ О (г, φ — полярные координаты), и окружности S . 1) Является ли это множество связным? 2) Изменится ли ответ, если заменить окружность её частью? (Ср. 12.15.)
§ 13. Приложения понятия связности 83 12.34- Связны ли следующие подмножества плоскости: 1) составленное из точек, у которых обе координаты рациональны; 2) составленное из точек, у которых хотя бы одна из координат рациональна; 3) составленное из точек, у которых либо обе координаты рациональны, либо обе — иррациональны? 12.35. Докажите, что е-окрестность всякого связного подмножества евклидова пространства связна при любом е > 0. 12.36. Докажите, что во всякой окрестности U связного подмножества А евклидова пространства содержится связная окрестность множества А. 12.37. Укажите такое пространство и такие его две точки, лежащие в различных компонентах связности, что любое одновременно открытое и замкнутое множество либо содержит обе точки, либо не ^^^^^^^= содержит ни одной из них. (Ср. 12.22.) * '" * § 13. Приложения понятия связности 13.1. Теорема о промежуточном значении и её обобщения Следующая теорема обычно входит в курс математического анализа. Она в определённом смысле эквивалентна связности отрезка. 13.А. Теорема о промежуточном значении. Любая непрерывная функция /: [α; 6] —> №. принимает все значения между /(а) и f(b). Многие задачи, которые можно решить при помощи теоремы о промежуточном значении, можно найти в книжках по анализу. Вот типичная задача этого типа. 13.1. Докажите, что любой многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами обладает вещественным корнем. 13.В. Обобщение. Пусть X — связное пространство и /: X —> Ш. — непрерывная функция. Тогда множество f(X) — промежуток. 13. С. Следствие. Пусть J с R — промежуток и /: J —> R — непрерывная функция. Тогда множество /(J) также является промежутком. (Другими словами, непрерывные функции отображают промежутки в промежутки.) 13.2. Приложение к проблеме гомеоморфизма Напомним, что связность — топологическое свойство, а число компонент связности — топологический инвариант (см. § 11). 13.D. Множества [0; 2] и [0; 1] U [2; 3] не гомеоморфны. Простейшие конструкции, которые переводят гомеоморфные пространства в гомеоморфные, например, удаление одной или нескольких точек, позволяют применять связность и в доказательствах негомеоморфности некоторых связных пространств. 13.Е. Пространства /, R1, 51 и [0;оо) попарно не гомеоморфны. 13.2. Окружность не гомеоморфна никакому подмножеству прямой К1. 13.3. Дайте топологическую классификацию букв латинского алфавита А, В, С, ..., рассматриваемых как подмножества плоскости (линии, из которых составлены буквы, считайте лишенными толщины).
84 Глава 3. Топологические свойства 13.4· Докажите, что квадрат и отрезок не гомеоморфны. Напомним, что существуют непрерывные сюръекции отрезка на квадрат (кривые Пеано), см. § 10. 13.F. Пространства R1 и R" при η > 1 не гомеоморфны. Информация. В действительности, Rp и Ж4 не гомеоморфны при ρ φ q. 13.5. Докажите, что из негомеоморфности Мр и Ш.4 npap^q следует негомеоморфность Sp и Sq при ~ф q. 13.Зх. Индукция по связности Говорят, что функция локально постоянна, если у каждой точки её области определения имеется окрестность, сужение данной функции на которую постоянно. 13.6х. Докажите, что всякая локально постоянная функция непрерывна. 13.7х. Локально постоянная функция на связном множестве постоянна. 13.8х. Загадка. Как связаны задачи 12.26 и 13.7x1 13.9х. Пусть группа G снабжена такой топологией, что для любого элемента д (Ξ G отображение G —> G, определяемое формулой χ ι—► ждж-1, непрерывно, и пусть в этой топологии группа G связна. Если в нормальном делителе Η группы G индуцированная топология дискретна, то он содержится в центре группы G (т. е. hg = gh при любом h е Η и любом д (Ξ G). 13.10х. Индукция по связности. Пусть £ — свойство подмножеств топологического пространства, передающееся от множеств любого семейства с непустыми попарными пересечениями к объединению этих множеств. Если каждая точка пространства имеет окрестность, обладающую свойством £, и пространство связно, то оно обладает и свойством £. 13.Их. Докажите 13.7х а решите 13.9х, основываясь на 13.1 Ох. По поводу других применений индукции по связности см. задачи Ц.Т, 14-22х, 14-24х и Ц.26х. 13.4х. Разрезание блинов на равновеликие части 13.12х. Любой блин сколь угодно нерегулярной формы можно рассечь на две части равной площади одним взмахом ножа так, чтобы разрез был параллелен заданному направлению. Другими словами, если А — ограниченное открытое множество на плоскости а £ — прямая на этой плоскости, то существует такая прямая L, параллельная ■£, которая делит А на два множества равной площади. 13.13х. Если в предположениях 13.12х, множество А связно, то прямая L, существование которой утверждается в предыдущей задаче, единственна. 13.14х. Пусть два блина какой угодно формы лежат на одном блюде. Докажите, что оба их можно рассечь на равные половинки одним взмахом ножа. Другими словами, если А и В — два ограниченных открытых множества на плоскости, то существует прямая, которая делит каждое из них на два множества равной площади. 13.15х. Докажите, что плоский блин произвольной формы можно рассечь на четыре куска равной площади двумя прямыми разрезами, перпендикулярными друг другу. Другими словами, если А — ограниченное связное открытое множество на плоскости, то существуют две перпендикулярные друг другу прямые, которые делят А на четыре части равной площади. 13.16х. Загадка. А что если нож; кривой? Для какой формы лезвия Вы можете сформулировать и решить задачи, подобные задачам 13.12x~13.15x'! 13.Пх. Загадка. Сформулируйте и решите задачи, аналогичные задачам 13.12х~ 13.16х, для областей в трёхмерном пространстве. Можете ли вы при этом увеличить число областей в аналогах задач 13.12хи 13.14x1 13.18х. Загадка. А как насчёт «блинов» в М"?
§ 14. Линейная связность 85 § 14. Линейная связность 14.1. Пути Путём в топологическом пространстве X называется непрерывное отображение отрезка / = [0; 1] в X. Началом пути s: I —> X называется точка s(0) £ X, концом — точка s(l). При этом говорят, что путь s соединяет s(0) с a(l). 14-1· Докажите, что для всякого пути s: / —> X его образ s(/)cX является связным множеством. 14-2. Пусть s: I —> X — путь, соединяющий точку множества А С X с точкой множества X \ А. Докажите, что s(J) Π Pr(A) ^ 0. 14-3. Пусть А — подмножество пространства X, гад: А —> X — включение. Докажите, что и: / —> А — путь в А, согда композиция тд о и: I —> X — это путь в X. Постоянное отображение s: I —> X называется постоянным путём и обозначается е„, где а = s(I). Если s — путь, то обратным ему путём называется путь s"1: t н-> s(l — ί). Хотя обозначение s_1 уже занято (обратным отображением), к недоразумениям эта двусмысленность не приводит, поскольку, когда речь идет о путях, обратные отображения, как правило, не рассматриваются. Пусть и: I —> Χ, υ: / —> X — такие пути, что и(1) = ν(0). Положим и„Ю=/и(И)' «^^[Ο'-δ]. (3 16) ν 7 |ν(2ί-1), если ί€ [§;1]. l^.A. Отображение гш: / —> X, определяемое этой формулой, непрерывно (т.е. является путём). Ср. Ю.Ти 10.V. и(0) "(1)=«(0) Путь uv называется произведением путей wav. Напомним, что произведение определено только если конец и(1) первого пути и совпадает с началом υ(0) второго пути v. 14.2. Линейно связные пространства Топологическое пространство называется линейно связным, если в нём любые две точки можно соединить путём. 14·Β. Отрезок / линейно связен. 14-С. Евклидово пространство любой размерности линейно связно. 14-D. Сфера ненулевой размерности линейно связна. 14·Ε. Нульмерная сфера 5° не является линейно связной. 14·4· Какие из следующих пространств линейно связны: 1) дискретное пространство; 2) антидискретное пространство; 3) стрелка; 4) Μ 74', 5) \f ?
86 Глава 3. Топологические свойства 14.3. Линейно связные множества Линейно связным множеством называют подмножество топологического пространства (какого именно, должно быть ясно из контекста), линейно связное как пространство с топологией, индуцированной из объемлющего пространства. 14-5. Докажите, что подмножество А топологического пространства X линейно связно, согда любые две его точки можно соединить в X путём, целиком лежащим в А (т. е. путём s, для которого s(I) С А). 14-6. Всякое выпуклое подмножество евклидова пространства линейно связно. 14-7. Всякое звездное подмножество Жп линейно связно. 14-8. Образ пути является линейно связным множеством. 14-9. Докажите, что множество плоских выпуклых многоугольников в метрике Хаусдорфа линейно связно. 14-Ю. Загадка. Что можно сказать об утверждении задачи Ц.9 для множества произвольных (не обязательно выпуклых) многоугольников? 14.4. Свойства линейно связных множеств Линейная связность очень похожа на связность и в некоторых важных ситуациях даже равносильна ей. Однако некоторые свойства связности не переносятся на линейную связность (см. Ц-Q, 14-Щ- Те лее свойства, которые переносятся, для линейной связности доказываются проще. 14·F. Объединение любой совокупности попарно пересекающихся линейно связных множеств линейно связно. 14-11· Докажите, что если множества А и В оба замкнуты или оба открыты и их объединение и пересечение линейно связны, το А и В тоже линейно связны. 14-12. 1) Докажите, что внутренность и граница линейно связного множества не обязательно линейно связны. 2) Аналогичное утверждение справедливо для внутренности и границы связного множества. 14-13. Если граница множества Acl" линейно связна, то замыкание этого множества тоже линейно связно. 14-14· Докажите, что утверждение предыдущей задачи имеет место для подмножества произвольного линейно связного пространства. 14.5. Компоненты линейной связности Компонентой линейной связности топологического пространства X называется такое его линейно связное подмножество, которое не содержится ни в каком строго большем линейно связном множестве. 14-G. Каждая точка содержится в некоторой компоненте линейной связности. 14-Н. Две компоненты линейной связности либо не пересекаются, либо совпадают. Теоремы 14-G и Ц.Η показывают, что компоненты линейной связности образуют разбиение рассматриваемого пространства. Следующая теорема описывает соответствующее отношение эквивалентности.
§ 14. Линейном связность 87 14-I- Две точки принадлежат одной компоненте линейной связности, согда их молено соединить путём. В противоположность одному из свойств компонент связности, компоненты линейной связности не обязательно замкнуты (см. Ц-Q, ср. Ц-Р, 14-R-) 14.6. Линейная связность и непрерывные отображения 14 ■·/■ Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен. 14-К. Следствие. Линейная связность является топологическим свойством. 14-L. Следствие. Число компонент линейной связности — топологический инвариант. 14.7. Связность и линейная связность 14-М. Всякое линейно связное пространство связно. Рассмотрим множества A={(x,y)€R2 \x>0,y = sin±} и X = Ли {(0,0)}. 14.15. Нарисуйте множество А. 14·N. Множество А линейно связно, а множество X связно. 14 · О. Выкалывание любой точки множества А делает А и X несвязными (а значит, и не линейно связными). 14·Ρ· Множество X не является линейно связным. 14-Q- Приведите пример линейно связного множества, замыкание которого не является линейно связным. 14-R- Приведите пример незамкнутой компоненты линейной связности. 14-S. В пространстве, каждая точка которого обладает линейно связной окрестностью, компоненты линейной связности открыты. 14· Т. Предположим, что в пространстве X каждая точка обладает линейно связной окрестностью. Тогда X линейно связно, согда X связно. 14· U. Для открытых подмножеств евклидова пространства связность и линейная связность равносильны. 14-1 в. Для подмножеств прямой связность и линейная связность равносильны. 14-17. Если множество А С М" связно, то для всякого е > 0 его е-окрестность линейно связна. 14· 18. Докажите, что во всякой окрестности связного множества в евклидовом пространстве найдётся её линейно связная подокрестность. 14.8х. Связность посредством ломаных Подмножество А евклидова пространства называется связным посредством ломаных, если любые две точки из А можно в А соединить конечнозвенной ломаной. 14-19х. Всякое подмножество К™, связное посредством ломаных, является линейно связным, значит, и связным.
88 Глава 3. Топологические свойства 14·20χ. Всякое выпуклое подмножество Жп связно посредством ломаных. 14·21χ. Всякое звездное подмножество Жп связно посредством ломаных. 14-22х. Для открытых подмножеств евклидова пространства связность посредством ломаных равносильна связности. 14·23χ. Постройте линейно связное неодноточечное подмножество евклидова пространства, никакие две точки которого нельзя соединить в нём ломаной. 14-24Х- Пусть множество ХсЖ2 счётно. Докажите, что его дополнение Ж2 \ Χ связно посредством ломаных. 14-25х. Пусть множество X С Жп является объединением счётного числа аффинных подпространств, размерности которых не превосходят га — 2. Докажите, что его дополнение Ж2 \ X связно посредством ломаных. 14-26х. Пусть X С С" — объединение счётного числа алгебраических множеств (т. е. множеств, задаваемых одним или несколькими алгебраическими уравнениями относительно координат в С"). Докажите, что его дополнение С" \Х связно посредством ломаных. 14.9х. Связность некоторых множеств матриц Вещественные (га χ га)-матрицы образуют координатное пространство, которое отличается от Жп лишь двойной нумерацией своих естественных координат. Аналогично соотносятся множества комплексных (гахга)-матриц и пространство С" (гомеоморф- ное Ж2п ). В следующих задачах через Ε обозначена единичная (гахга)-матрица. 14·27χ. Найдите компоненты связности и компоненты линейной связности следующих подпространств пространства вещественных (гахга)-матриц: 1) GL(n; Ж) = {А | det А фО}; 4) Symm(n;M) Π GL(n;R); 2) 0{п-Ж) = {А\ ААТ=Е}; 5) {А\А2=Е}. 3) Symm(ra; Ж) = {А \ Ат = А}; 14-28х. Найдите компоненты связности и компоненты линейной связности следующих подпространств пространства комплексных (гахга)-матриц: 1) GL(n; С) = {А | det А фО}; 3) Herm(ra;C) = {А | Ат = А}; 2) [/(га; С) = {А | ААТ = Е}; 4) Herm(ra; С) Π GL{n; С). § 15. Аксиомы отделимости Предмет этого параграфа — естественные требования на топологическую структуру, приближающие свойства топологического пространства к свойствам метрических пространств. Известно много различных аксиом отделимости, из которых мы ограничимся пятью наиболее важными. Они имеют номера и обозначаются через Г0, Γι, Γ2, Т3 и Г4 1. 15.1. Аксиома Хаусдорфа Мы начнём с наиболее важной — второй аксиомы, называемой ещё аксиомой Хаусдорфа. Пространства, удовлетворяющие ей, называются хаусдор- фовыми. Состоит она в следующем: любые две различ- у ν ные точки обладают непересекающимися окрестностями. Более формальная запись: Ух,у £ X, хфу, 3Ux,Vy: uxnvy = 0. Буква Τ в этих обозначениях происходит от немецкого слова Trennungsaxiom, которое и означает — аксиома отделимости.
§ 15. Аксиомы, отделимости 89 15.А. Всякое метрическое пространство хаусдорфово. 15.1. Какие из следующих пространств хаусдорфовы: 1) дискретное пространство; 2) антидискретное пространство; 3) стрелка; 4) Штг; 5) If ? В случае если следующая задача заставит вас хоть на минуту задуматься, мы советуем более тщательно обдумать определение и решать все простые задачи. 15.В. Является ли отрезок [0; 1] с индуцированной из R топологией хау- сдорфовым? Обладают ли в нём непересекающимися окрестностями точки 0 и 1? Какими? 15. С. Пространство X является хаусдорфовым, согда для каждой точки χ £ X имеет место равенство {х} = С\иэх CI U. 15.2. Пределы последовательностей Пусть {ап} — последовательность точек топологического пространства X. Точка b £ X называется её пределом, если для любой окрестности U точки b существует такое число N, что an£U при всех п>N 2. Говорят также, что последовательность ап стремится или сходится к b при п, стремящемся к бесконечности. 15.2. Сформулируйте утверждение «Ь не есть предел последовательности αη», употребив частицу «не» как можно позже и не употребляя терминов «предел» и «стремится». 15.3. Предел последовательности не зависит от порядка её членов. Более точно: пусть ап — сходящаяся последовательность: ап —> Ь. Пусть φ: Ν —* N произвольная биекция. Тогда последовательность αφ/η\ также является сходящейся и, более того, имеет тот же самый предел: αψ(ηΛ —► Ь. Например, если все члены последовательности попарно различны, то её сходимость и предел, к которому она стремится, зависит только от множества, образованного её членами. Таким образом, понятия сходимости и предела последовательности по своему существу являются понятиями геометрии. 15.D. В хаусдорфовом пространстве ни одна последовательность не может иметь более одного предела. 15.Е. Докажите, что в пространстве M.Tl каждая точка является пределом последовательности ап = п. 15.3. Множество совпадения и множество неподвижных точек Рассмотрим отображения f,g:X-^Y. Множество С(/, д) = {χ ε Χ | /(ж) = 9(х)} называется множеством совпадения отображений fug. 15.4- Множество совпадения двух непрерывных отображений произвольного пространства в хаусдорфово пространство замкнуто. 15.5. Постройте пример, показывающий, что условие хаусдорфовости в задаче 15.4 существенно. Точка χ е X называется неподвижной точкой отображения /: X —> X, если /(ж) =ж. 2 Можно сказать несколько по-другому: каждая окрестность точки Ь содержит все члены последовательности с достаточно большими номерами.
90 Глава 3. Топологические свойства 15.6. Множество неподвижных точек непрерывного отображения хаусдорфова пространства в себя является замкнутым. 15.7. Постройте пример, показывающий, что условие хаусдорфовости в задаче 15.6 существенно. 15.8. Если отображения f,g:X—*Y непрерывны, пространство Υ хаусдорфово, А — всюду плотное подмножество пространства X и /| д = д\ д, то / = д. 15.9. Загадка. Как связаны между собой задачи 15.4, 15.6 и 15.81 15.4. Наследственные свойства Топологическое свойство называется наследственным, если оно передаётся от пространства к его подпространствам, т. е. если из того, что пространство X обладает этим свойством, следует, что любое подпространство пространства X тоже им обладает. 15.10. Какие из следующих топологических свойств наследственны: 1) конечность множества точек; 4) связность; 2) конечность топологической структуры; 5) линейная связность? 3) бесконечность множества точек; 15.F. Хаусдорфовость наследственна. 15.5. Первая аксиома отделимости Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости 7\, если каждая из любых двух различных точек пространства обладает окрестностью, не содержащей другую из этих точек3. Более формально: Ух,у € Χ, χ фу, 3[/„: x^Uy. 15. G. Следующие свойства топологического пространства X эквивалентны друг другу. 1) X удовлетворяет первой аксиоме отделимости, 2) все одноточечные подмножества пространства X замкнуты; 3) все конечные подмножества пространства X замкнуты. 15.11. Пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости, согда любая его точка совпадает с пересечением всех своих окрестностей. 15.12. Всякое хаусдорфово пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости. 15.И. В хаусдорфовом пространстве все конечные множества замкнуты. 15.1. Всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости. 15.13. Приведите пример, показывающий, что из первой аксиомы отделимости вторая не следует. 15.J. Покажите, что ЖТг удовлетворяет первой аксиоме отделимости и при этом не хаусдорфово. (Ср. 15.13). 15.К. Первая аксиома отделимости наследственна. 15.14- Если для любых различных точек α и Ь топологического пространства X существует такое его непрерывное отображение / в пространство, удовлетворяющее 3 Аксиому ΤΊ ещё называют аксиомой Тихонова.
§ 15. Аксиомы отделимости 91 первой аксиоме отделимости, что /(α) φ /(b), то X удовлетворяет первой аксиоме отделимости. 15.15. Докажите, что всякое непрерывное отображение пространства с тривиальной топологической структурой в пространство, удовлетворяющее первой аксиоме отделимости, постоянно. 15.16. В каждом множестве существует самая грубая топологическая структура, удовлетворяющая первой аксиоме отделимости. Какова она? 15.6. Аксиома Колмогорова Первая аксиома отделимости получается в результате ослабления аксиомы Хаусдорфа. 15.L. Загадка. Как ослабить первую аксиому отделимости? Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет аксиоме Колмогорова или нулевой аксиоме отделимости То, если из любых двух различных точек этого пространства хотя бы одна обладает окрестностью, не содержащей другую из этих точек. 15. М. Антидискретное пространство, содержащее не менее двух точек, не удовлетворяет аксиоме Т0. 15.N. Следующие свойства топологического пространства X эквивалентны друг другу. 1) X удовлетворяет аксиоме Колмогорова; 2) замыкания любых двух различных одноточечных подмножеств пространства X различны; 3) X не содержит неодноточечного антидискретного подпространства; 4) X не содержит двухточечного антидискретного подпространства. Ясно, что пространство удовлетворяет аксиоме Колмогорова, согда топология, индуцированная на всяком двухточечном подпространстве, не является антидискретной. Напомним, что топологией наименьших окрестностей называется топологическая структура, в которой пересечение всех окрестностей, содержащих точку пространства, является окрестностью этой точки. 15.0. Топология является топологией некоторого частичного порядка в множестве, согда это — топология наименьших окрестностей, удовлетворяющая аксиоме Колмогорова. Таким образом, частично упорядоченные множества не только дают многочисленные примеры топологических пространств, среди которых — наиболее фундаментальные пространства, такие, как прямая со стандартной топологией, но и получаются все из топологических пространств специального типа, причём весьма удалённого от класса метрических пространств. 15.7. Третья аксиома отделимости Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет третьей аксиоме отделимости Т3, если в нём любое замкнутое множество и любая
92 Глава 3. Топологические свойства не содержащаяся в этом множестве точка обладает непересекающимися окрестностями, т. е. если для любого замкнутого множества F С X и любой точки бе X \ F существуют дизъюнктные открытые множества [/, V С С X, такие, что U э F и Ъ е V. Топологическое пространство называется регу- лярным, если оно удовлетворяет аксиомам 7\ и Г3. 15-Р. Всякое регулярное пространство хаусдорфово. 15-Q. Пространство регулярно, согда оно удовлетворяет второй и третьей аксиомам отделимости. 15.17. Постройте нерегулярное хаусдорфово пространство. 15.18. Постройте пространство, удовлетворяющее третьей аксиоме отделимости и не удовлетворяющее второй. 15.19. Пространство удовлетворяет третьей аксиоме отделимости, согда в любой окрестности любой его точки содержится замыкание некоторой окрестности этой точки. 15.20. Докажите, что третья аксиома отделимости наследственна. 15-R. Всякое метрическое пространство регулярно. 15.8. Четвёртая аксиома отделимости Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет четвёртой аксиоме отделимости, если в нём любые два непересекающихся замкнутых множества обладают непересекающимися окрестностями, т. е. если для любых замкнутых А,ВсХ с А П В = 0 существуют дизъюнктные открытые множества U, V С X, такие, что А с U и В С V. Топологическое пространство называется нормальным, если оно удовлетворяет первой и четвёртой аксиомам отделимости. 15.S. Всякое нормальное пространство регулярно (и, значит, хаусдорфово). 15. Т. Пространство нормально, согда оно удовлетворяет второй и четвёртой аксиомам отделимости. 15.21. Постройте пространство, удовлетворяющее четвёртой аксиоме отделимости и не удовлетворяющее второй. 15.22. Докажите, что пространство удовлетворяет четвёртой аксиоме отделимости, согда любая окрестность любого его замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества. 15.23. Докажите, что всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально. 15.24· Постройте два замкнутых непересекающихся подмножества некоторого метрического пространства, расстояние между которыми равно нулю. 15.25. Пусть X — пространство, удовлетворяющее аксиоме Тц, F±, F2 и Fs — его замкнутые подмножества с пустым пересечением, F\ Π F% Π F$ = 0. Докажите, что найдутся окрестности Ui D Fi, г = 1, 2,3, такие, что U\ Π Ui Π U-j, = 0. 15- U. Всякое метрическое пространство нормально.
§ 15. Аксиомы отделимости 93 15.26. Если /: X —> Υ — непрерывное сюръективное отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое, и пространство X нормально, то и пространство Υ нормально. 15.9х. Пространство Немыцкого Пусть Ή есть верхняя полуплоскость с обычной евклидовой топологией. Положим Л/" = 7^иЬ, где L есть ось абсцисс, и введём топологию на А/" следующим образом. Открытыми в нём, кроме множеств, открытых в Ή, являются ещё множества вида χ U D, где χ ε L, a D есть открытый круг в Ή., касающийся оси абсцисс в точке х. Полученное пространство называется пространством Немыцкого. 15.27х. Пространство Немыцкого хаусдорфово. 15.28х. Пространство Немыцкого регулярно. 15.29х. Какая топологическая структура индуцируется из Л/" на L? 15.30х. Пространство Немыцкого не является нормальным. 15.31х. Следствие. Существует регулярное пространство не являющееся нормальным. 15.32х. Вложите пространство Немыцкого в нормальное пространство так, чтобы дополнение его образа состояло из одной точки. 15.33х. Следствие. Теорема 15.23 не распространяется на незамкнутые подпространства, т. е. нормальность не наследственна. 15.10х. Лемма Урысона и теорема Титце 15.34х. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые подмножества метрического пространства X. Тогда существует непрерывная функция /: X —> /, такая, что Г1(0)=ЛиГ1(1)=В. 15.35х. Пусть F — замкнутое подмножество метрического пространства X. Тогда всякую непрерывную функцию /: F —> [—1; 1] можно продолжить на всё пространство X. 15.35x.l- Пусть F — замкнутое подмножество метрического пространства X. Для произвольной непрерывной функции /: F —► [—1; 1] найдётся такая функция g: X —* ~* 1~ з; |1'что i-f (ж) ~ 9(ж)1 ^ Iпри всех х е F- 15. Vx. Лемма "Урысона. Для любых непустых непересекающихся замкнутых подмножеств А и В нормального пространства X существует непрерывное отображение /: X —> /, такое, что f(A) = {0} и f(B) = {1}. 15. Vx. 1. Пусть А и В — замкнутые подмножества нормального пространства X. Рассмотрим множество Λ = {— \k, n e 2+, &<2"}. Тогда существует такой набор {Up}peA открытых подмножеств в X, что для любых р, q е Λ верно, что: 1) А С U0 и В С X \ U1 и 2) если ρ < q, то CI Up С Uq. 15. Wx. Теорема Титце. Пусть А — замкнутое подмножество нормального пространства X. Для каждой непрерывной функции f: А —> [—1; 1] существует такая непрерывная функция F: X —> [—1; 1], что F\a = f. 15. Хх. Следствие. Пусть А — замкнутое подмножество нормального пространства X. Тогда любую непрерывную функцию А —> R молено продолжить до непрерывной функции на всём пространстве. 15.36х. Останется ли справедливой теорема Титце, если в ней заменить всюду отрезок [-1; 1] на R; на R"; на S1; на S2? 15.37х. Выведите лемму Урысона из теоремы Титце.
94 Глава 3. Топологические свойства § 16. Аксиомы счётности В этом параграфе мы продолжим изучение топологических свойств, которые имеют характер дополнительных требований, налагаемых на топологическую структуру с целью приблизить рассматриваемую абстрактную ситуацию к конкретным и тем самым сделать её более содержательной. Условия, изучаемые в этом параграфе, ограничивают топологическую структуру сверху: требуется, чтобы нечто было счётным. 16.1. Теоретике-множественное отступление: счётность Напомним, что два множества называются равномощными, если существует биекция одного из них на другое. Множества, равномощные некоторому подмножеству множества N натуральных чисел, называются счётными. 16.1. Множество X является счётным, согда существует инъекция X —► N (или, чуть более общо, инъекция X в некоторое счётное множество). Иногда называют счётными только бесконечные счётные множества, т. е. только множества, равномощные всему N, а наши счётные множества называют не более чем счётными. Это менее удобно; в частности, если последовательно придерживаться такой терминологии, то придется называть этот параграф «Аксиомы не более чем счётности» и терпеть другие неудобства. При нашей терминологии счётность обладает следующими удобными свойствами. 16.А. Всякое подмножество счётного множества счётно. 16. В. Образ счётного множества при любом отображении счётен. 16. С. Следующие множества счетны: 1) Z; 2) N2 = {(&,n)|&,neN}; 3) Q. 16.Ό. Объединение счётного числа счётных множеств счётно. 16.Е. Множество Ш. несчётно. 16.2. Любой дизъюнктный набор восьмерок на плоскости счётен. 16.2. Вторая аксиома счётности и сепарабельность В этом параграфе мы будем изучать три ограничения на топологические структуры. Два из них имеет номера (один и два), у третьего номера нет. Как и в предыдущем параграфе, мы начинаем с ограничения номер два. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, если оно имеет счётную базу. С аксиомой счётности (без номера) связан термин сепарабельность. Говорят, что топологическое пространство сепарабелъно, если оно содержит счётное всюду плотное множество. 16.F. Если пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, то оно сепарабелъно. 16. G. Вторая аксиома счётности наследственна. 16.3. Удовлетворяют ли второй аксиоме счётности стрелка и Жψχ ? 16·4· Сепарабельны ли стрелка и Жт^ 16.5. Постройте пример, показывающий, что сепарабельность не наследственна.
§ 16. Аксиомы счётности 95 16.Η. Метрическое сепарабелъное пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности. 16.1. Следствие. Для метрических пространств вторая аксиома счётности равносильна сепарабельности. 16.J. (Ср. 16.5.) В метрических пространствах сепарабельность наследственна. 16. К. Евклидовы пространства и любые их подпространства сепарабельны и удовлетворяют второй аксиоме счётности. 16.6. Постройте метрическое пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме счётности. 16.7. Докажите, что в сепарабельном пространстве всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств счётна. 16.8. Докажите, что число компонент открытого множества А С М" счётно. 16.L. Непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабелен. 16.9. Постройте пример, показывающий, что непрерывный образ пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счётности, может не удовлетворять этой аксиоме. 16. М. Теорема Линделёфа. Если пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, то из всякого его покрытия открытыми множествами можно выделить счётный набор множеств, также являющийся покрытием. 16.10. Если пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, то из любой его базы можно выделить счётный набор множеств, также являющийся базой этого пространства. 16.11*. Теорема Врауэра. Пусть /С = {Кχ} — семейство замкнутых множеств пространства, обладающего счётной базой, и пусть для любой убывающей последовательности Κι D Къ D ... множеств, принадлежащих семейству, пересечение Π<^ι Ki также принадлежит этому семейству. Тогда /С обладает минимальным множеством, т. е. множеством, никакое собственное подмножество которого не принадлежит /С. 16.3. Базы в точке Пусть X — топологическое пространство, а £ X. Базой пространства X в точке а или базой окрестностей точки о называется такая совокупность окрестностей точки о, что всякая окрестность точки о содержит окрестность из этой совокупности. 16.N. Если Σ — база пространства X, то{[/еЕ|ое[/} есть база окрестностей точки о. 16.12. В метрическом пространстве базами в точке а являются: 1) совокупность всех открытых шаров с центром а; 2) совокупность всех открытых шаров с рациональными радиусами и центром а; 3) совокупность всех открытых шаров с центром а и радиусами гп, где {гп } — любая последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю. 16.13. Каковы минимальные базы окрестностей точки в дискретном и в антидискретном пространствах? 16.4. Первая аксиома счётности Говорят, что пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности, если оно обладает счётными базами во всех своих точках.
96 Глава 3. Топологические свойства 16.0. Всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности. 16, Р. Из второй аксиомы счётности следует первая. 16. Q. Постройте пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности и не удовлетворяющее второй. (Ср. 16.6.) 16.14· Какие из следующих пространств удовлетворяют первой аксиоме счётности: 1) дискретное пространство; 2) антидискретное пространство; 3) стрелка; 4) Mj^? 16.15. Приведите пример сепарабельного пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счётности, в котором не имеет места вторая аксиома счётности. 16.16. Докажите, что если пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности, то у каждой его точки имеется убывающая база в этой точке: U\ Z) !7г 13 ·.. 16.5. Секвенциальный подход к топологии Специалисты по математическому анализу очень любят последовательности и их пределы. Более того, они любят говорить обо всех топологических явлениях, опираясь на эти понятия. Эта традиция не имеет почти никаких математических оправданий, но зато она имеет долгую историю, восходящую к работам XIX века по обоснованию анализа. На самом деле, почти всегда, за очень редкими исключениями (во всех обязательных лекционных курсах матмеха их молено пересчитать по пальцам), удобнее обходиться без последовательностей (если вы занимаетесь топологическими объектами, а не суммированием ряда, где последовательности входят в определения). Отдавая дань традиции, мы объясним здесь, каким образом и в каких случаях топологические понятия молено описывать на языке последовательностей. Последовательность на латинском языке — секвенция. Поэтому соответствующие определения и сам подход называются секвенциальными. Пусть А — подмножество топологического пространства X. Совокупность пределов всевозможных последовательностей точек множества А называются секвенциальным замыканием этого множества. Секвенциальное замыкание множества А мы будем обозначать SC1 А. 16.R. Докажите, что SClAc CIA. 16. S. Если пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётности, то для любого А верно и обратное включение SCI Ad C1 А, и, значит, SC1 А = = С1А Таким образом, в пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности (в частности, во всех метрических пространствах), замыкания множеств молено восстановить (а значит, и определить), зная, какие последовательности сходятся и к какому пределу. По замыканиям, в свою очередь, молено определить и замкнутость, а по замкнутости — открытость и все прочие топологические понятия. 16.17. Пусть X — множество вещественных чисел с топологией, состоящей из 0 и дополнений всевозможных счётных подмножеств. (Проверьте, что это действительно топология.) Как устроены в таком X сходящиеся последовательности, секвенциальные замыкания, замыкания? Докажите, что в X имеются множества А, для которых CIA^SCIA.
§ 17. Компактность 97 16.6. Секвенциальная непрерывность Теперь рассмотрим в том лее духе непрерывность отображений. Говорят, что отображение /: X —> Υ секвенциально непрерывно, если для любой точки Ь е X и любой последовательности ап€Х точек пространства X, стремящейся к Ь, последовательность /(оп) стремится к f(b). 16. Т. Всякое непрерывное отображение секвенциально непрерывно. 16. U. Прообраз секвенциально замкнутого множества при секвенциально непрерывном отображении секвенциально замкнут. 16. V. Если пространство X удовлетворяет первой аксиоме счётно- сти, то любое секвенциально непрерывное отображение f: X —> Υ является непрерывным. Таким образом, для отображений пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счётности, непрерывность и секвенциальная непрерывность равносильны. 16.18. Постройте секвенциально непрерывное, но не непрерывное отображение. (Ср. 16.17.) 16.7х. Теоремы вложимости и метризуемости 16. Wx. Пространство 12 сепарабельно и обладает счётной базой. 16. Хх. Регулярное пространство со счётной базой нормально. 16. Yx. Докажите, что нормальное пространство со счётной базой вкладывается в £2- (Воспользуйтесь леммой Урысона 15. Vx.) 16. Zx. Топологическое пространство со счётной базой метризуемо, согда оно регулярно. § 17. Компактность 17.1. Определение компактности Топологическое свойство, которому посвящен этот параграф, играет особо важную роль и в топологии, и в её приложениях. Оно представляет собой нечто вроде топологического аналога свойства множества быть конечным. (Эта аналогия, по-видимому, никогда не была формализована.) Топологическое пространство называется компактным, если любое его покрытие открытыми множествами содержит конечную часть, также являющуюся покрытием. Покрытия, являющиеся частями данного покрытия, называются его подпокрытиями. Таким образом, топологическое пространство компактно, если из любого его открытого покрытия молено выделить конечное подпокрытие.
98 Глава 3. Топологические свойства 17. А. Любое конечное пространство и любое антидискретное пространство компактны. 17. В. Какие дискретные пространства компактны? 17.1. Пусть Ωι С £Ъ — топологические структуры в множестве X. 1) Следует ли из компактности пространства {Χ, Ω2) компактность пространства (Χ, Ωι)? 2) А наг- оборот? 17. С. Прямая R некомпактна. 17.D. Пространство X некомпактно, согда существует его открытое покрытие, не имеющее ни одного конечного подпокрытия. 17.2. Компактна ли стрелка? А пространство Μτ^? 17.2. Терминологические замечания Первоначально компактностью называлось следующее более слабое свойство: из всякого счётного открытого покрытия молено выделить конечное подпокрытие. 17.Ε. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение равносильно современному. Современное понятие компактности ввели, предложив для него термин бикомпактность, советские математики П. С. Александров (1896-1982) и П. С.Урысон (1898-1924). Введённое понятие оказалось настолько удачным, что практически вытеснило старое и даже отобрало от него имя (иногда термин бикомпактность всё лее употребляется — в основном топологами школы Александрова). Другое отклонение от терминологии идёт от Бурбаки: мы не включаем хаусдорфовость в определение компактности, а Бурбаки включает. Согласно нашему определению пространство RTl компактно, тогда как по Бурбаки — не компактно. 17.3. Компактность на языке замкнутых множеств Говорят, что совокупность подмножеств некоторого множества центрирована, если пересечение любого конечного набора множеств этой совокупности непусто. 17.F. Совокупность Σ подмножеств множества X является центрированным, согда она не содержит такой конечной части Σι, что дополнения множеств, входящих в Ei, покрывают X. 17. G. Топологическое пространство компактно, согда любая центрированная совокупность его замкнутых множеств имеет непустое пересечение. 17.4. Компактные множества Когда говорят, что какое-то множество компактно, всегда имеют в виду, что это множество лежит в топологическом пространстве (в каком именно, должно быть ясно из контекста) и что, будучи наделено индуцированной топологией, оно является компактным пространством.
§ 17. Компактность 99 17. Η. Подмножество топологического пространства X компактно, со- гда из любого его покрытия множествами, открытыми в X, можно выделить конечное подпокрытие. 17.3. Компактно ли множество [1;2) Cl? 17.4· Компактно ли то же самое множество [1;2) в стрелке? 17.5. Найдите необходимое и достаточное условие компактности множества в стрелке, формулируемое в нетопологических терминах. 17.6. Докажите, что любое подмножество пространства Ш.тг является компактным. 17.7. Пусть А и В — компактные подмножества пространства X. 1) Верно ли, что множество AUB компактно? 2) Верно ли, что множество А П В компактно? 17.8. Докажите, что множество А = {0} U { — }^=1 С К компактно. 17.5. Компактность и замкнутость 17.1. Наследственна ли компактность? 17.3. Замкнутое подмножество компактного пространства является компактным. 17. К. Компактное подмножество хаусдорфова пространства является замкнутым. 17.L. Лемма к 17.К, но не только... Если А — компактное подмножество хаусдорфова пространства X ub — точка этого пространства, не лежащая в А, то существуют открытые множества U, V С X, такие, что 6 е V, AcU uUr\V = 0. 17.9. Сконструируйте незамкнутое компактное подмножество какого-нибудь пространства. Какое минимальное число точек необходимо для этого? 17.10. Пересечение любого семейства компактных подмножеств хаусдорфова пространства компактно. (Ср. 17.7.) 17.11. Пусть X — хаусдорфово пространство, {Ка}схеА — семейство его компактных подмножеств, U — некоторое открытое множество, содержащее П<*ел Ка- Тогда ^ -1 Пае А ^а для некотоРого конечного А С Λ. 17.12. Если {Кп} — убывающая последовательность компактных непустых связных подмножеств хаусдорфова пространства, то пересечение (~)^Li Кп непусто и связно. 17.6. Компактность и аксиомы отделимости 17.М. Компактное хаусдорфово пространство регулярно. 17.N. Компактное хаусдорфово пространство нормально. 17.7. Компактность в евклидовом пространстве 17.0. Отрезок I компактен. Напомним что n-мерный куб — это множество Г = {xGMn\xie [0; 1] для г = 1,..., п}. 17. Р. Куб 1п компактен. 17. Q. Компактное подмножество метрического пространства ограничено.
100 Глава 3. Топологические свойства Итак, согласно 17.К и 17. Q, компактные подмножества метрического пространства замкнуты и ограничены. 17. R. Постройте замкнутое ограниченное подмножество метрического пространства, не являющееся компактным. 17.13. Компактны ли метрические пространства из задачи Л^.АЧ 17. S. Подмножество евклидова пространства компактно, согда оно замкнуто и ограничено. 17.14· Какие из следующих множеств компактны: 1) [0; 1); 2) лучМ+ = {жеМ |ж^0}; 3) 51; 4) 5"; 5) однополостный гиперболоид; 6) эллипсоид; 7) [0; 1] Π Q? Матрицу (aij), г = 1,..., га, j = 1,..., к, с вещественными элементами Оу можно рассматривать как точку пространства Жп , занумеровав её элементы числами от 1 до пк каким-либо способом (например, лексикографически). Тем самым множество Mat(raxfe,M) всех таких матриц отождествляется с Жпк и наделяется топологией. (См. § 14.) 17.15. Какие из следующих подмножеств пространства Mat(raxra,M) компактны: 1) GL(n) = {A eMat(raXra,M)| det A ф0}; 2) SL(n)= {A eMat(raxra, Ж) | det A = 1}; 3) О(га) = {Ле Mat(raxra, Ж) \ А — ортогональная матрица}; 4) {А 6 Mat(raXra,M) | А2 — Е} (здесь Ε — это единичная .матрица)? 17.8. Компактность и непрерывные отображения 17. Т. Непрерывный образ компактного пространства компактен {другими словами, если X — компактное пространство, f': X —> Υ — непрерывное отображение, то множество f(X) компактно). 17. U. На компактном множестве всякая непрерывная функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений [другими словами, если f: X —> Ά — непрерывная функция и X компактно, то существует о,6 б X, такие, что /(о) ^ f{x) ^ /(&) для любого χ £ X). (Ср. 17.Τ и 17.S.) 17.16. Если функция /: / —> Ж непрерывна, то /(/) — замкнутый отрезок. 17.17. Пусть А — подмножество К™. Докажите, что А является компактным, согда всякая непрерывная функция на А является ограниченной. 17.18. Докажите, что если F — замкнутое, а К — не пересекающееся с ним компактное подмножество метрического пространства, то p(F, К) > 0. 17.19. Любое открытое множество, содержащее компактное подмножество А метрического пространства X, содержит ε-окрестность множества А для некоторого ε>0. 17.20. Если А — замкнутое связное подмножество пространства Жп и V — его замкнутая ε-окрестность, то множество V линейно связно. 17.21. Докажите, что если в компактном метрическом пространстве замыкание любого открытого шара есть замкнутый шар с тем же центром и того же радиуса, то в этом пространстве любой шар связен. 17.22. Пусть X — компактное метрическое пространство и /: X —► X — такое отображение, что р(/(ж), f(y)) < р(х, у) для любых ж, у е X с χ φ у. Тогда отображение / имеет неподвижную точку и такая точка единственна. (Напомним, что неподвижная точка отображения / — это такая точка ж, что f(x) = х.) 17.23. Для любого покрытия компактного метрического пространства открытыми множествами существует такое число г > 0, что любой открытый шар радиусом г содержится по меньшей мере в одном элементе покрытия.
§17. Компактность 101 17. V. Лемма Лебега. Пусть f: X —> Υ — непрерывное отображение компактного метрического пространства X в топологическое пространство Υ и Г — открытое покрытие пространства Υ. Тогда существует такое число <5 > 0, что образ f(A) любого множества А с X диаметра меньше δ содержится в некотором элементе покрытия Г. 17.9. Замкнутые отображения Непрерывное отображение называется замкнутым, если образы замкнутых множеств замкнуты. 17.24· Непрерывная биекция есть гомеоморфизм, согда она является замкнутым отображением. 17. W. Любое непрерывное отображение компактного пространства в ха- усдорфово пространство замкнуто. Вот два важных следствия этой теоремы. 17.Х. Непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом. 17. Υ. Непрерывная инъекция компактного пространства в хаусдорфово является топологическим вложением. 17.25. Покажите, что в теореме 17.X ни одно из четырёх условий нельзя выбросить, не сделав формулировку неверной. 17.26. Существует ли такое некомпактное множество в евклидовом пространстве, что любое его непрерывное отображение в хаусдорфово пространство замкнуто? (См. утверждения 17. С/и 17. W.) 17.27. Сужение замкнутого отображения на замкнутое подмножество само является замкнутым отображением. 17.28. Пусть отображение /: X —> Υ непрерывно, К С X — компактное множество, а пространство Υ хаусдорфово. Предположим, что сужение }\к является инъектив- ным отображением и для всякой точки α (Ξ К найдётся окрестность Ua, такая, что сужение f\ua инъективно. Докажите, что у множества К существует окрестность U, такая, что сужение f\xj является инъективным отображением. 17.10х. Нормы в Жп 17.29х. Докажите, что любая норма Жп —► Μ есть непрерывная функция. 1 7.30х. Докажите, что любые две нормы в Мп эквивалентны (т. е. задают одну и ту же топологию). См. Л^27, ср. 4.31. 17.31Х. Верно ли утверждение предыдущей задачи для метрик в М"? 17. Их. Индукция по компактности Функция / ·. X —► Μ называется локально ограниченной, если для каждой точки α (Ξ Χ существует такая её окрестность U и такое число Μ > 0, что |/(ж)| ζ Μ при ιξ[/ (т. е. если каждая точка пространства X обладает окрестностью, сужение функции / на которую ограничено). 17.32х. Если пространство X компактно, а функция /: X —► R локально ограничена, то она ограничена. Это утверждение является простейшим применением формулируемого ниже (17. ЗЗх) общего принципа, который можно назвать индукцией по компактности.
102 Глава 3. Топологические свойства Пусть X — топологическое пространство, В — некоторое свойство его подмножеств. Назовем В аддитивным, если объединение любого конечного набора множеств, обладающих свойством В, также обладает свойством S. Скажем, что X локально обладает свойством В, если любая его точка имеет окрестность, обладающую этим свойством. 17.33х. Докажите, что компактное пространство, локально обладающее некоторым аддитивным свойством, само обладает этим свойством. 17.3^х. Выведите при помощи этого принципа утверждения 17. Q, 18.М, и 18.N. § 18. Секвенциальная компактность 18.1. Секвенциальная компактность и компактность Говорят, что топологическое пространство секвенциально компактно, если любая последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность. 18.А. Компактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, секвенциально компактно. Точка b называется точкой накопления множества А, если любая её окрестность содержит бесконечное число точек этого множества. 18.АЛ. В пространстве, удовлетворяющем первой аксиоме отделимости, понятия точки накопления и предельной точки совпадают. 18.А.2. В компактном пространстве всякое бесконечное множество обладает точкой накопления. 18.А.3. Выведите теорему 18.А из 18.А.2. 18.В. Секвенциально компактное пространство со счётной базой компактно. 18.В.1. Всякая убывающая последовательность непустых замкнутых множеств секвенциально компактного пространства обладает непустым пересечением. 18. В. 2. Всякая убывающая последовательность замкнутых непустых множеств имеет непустое пересечение, согда всякая центрированная счётная совокупность замкнутых множеств имеет непустое пересечение. 18.В.З. Выведите теорему 18. В из 18.В.1 и 18. В. 2. 18. С. Для пространств со счётной базой компактность и секвенциальная компактность равносильны. 18.2. Секвенциальная компактность в метрических пространствах Подмножество А метрического пространства X называется его ε-сетью (е — положительное вещественное число), если р(х, А) < ε для любой точки хеХ. 18.D. Всякое компактное метрическое пространство для любого е > 0 обладает конечной е-сетью.
§ 18. Секвенциальная компактность 103 18. Ε. Всякое секвенциально компактное метрическое пространство для любого ε > 0 обладает конечной е-сетью. 18.F. Подмножество метрического пространства всюду плотно, согда оно является е-сетью для любого е > 0. 18. G. Всякое секвенциально компактное метрическое пространство се- парабельно. 18. Н. Всякое секвенциально компактное метрическое пространство обладает счётной базой. 18.1. Для метрических пространств компактность и секвенциальная компактность равносильны. 18.1. Любое секвенциально компактное метрическое пространство ограничено. (Ср. 18.Еи 18.1.) 18.2. Во всяком метрическом пространстве для любого ε > 0 существует: 1) дискретная ε-сеть и даже 2) такая ε-сеть, что расстояние между любыми двумя её точками не меньше ε. 18.3. Компактность и полнота Последовательность {a;n}n<=N точек метрического пространства называют последовательностью Коши и говорят, что она сходится в себе, если для любого е > 0 существует такое число Ν, что р(хп, хт) < е для любых п,т> N. 18.J. Всякая сходящаяся в себе последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится. Метрическое пространство называется полным, если всякая его последовательность Коши имеет предел. 18. К. Метрическое пространство является полным, согда любая убывающая последовательность его замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, обладает непустым пересечением. 18.L. Компактное метрическое пространство полно. 18.М. Полное метрическое пространство компактно, согда для любого е > 0 в нём существует конечная е-сеть. 18.N. Полное метрическое пространство компактно, согда для любого е > 0 в нём существует компактная е-сеть. 18.4х. Некомпактность бесконечномерных шаров Обозначим символом ί°° множество всех ограниченных последовательностей вещественных чисел. Оно является векторным пространством относительно покомпонентных операций. В нём имеется естественная норма ||ж|| = sup{|xn| | η ζ Ν}. 18.3х. Компактны ли замкнутые шары пространства ί°°? А сферы? 18.4х. Компактно ли множество {ж (Ξ ί°° \ \χη\ ζ 2_n,ra e N}? 18.5х. Докажите, что множество {х££°° | \хп\ = 2_n,raeN} гомеоморфно канторову множеству К, введённому в § 2. 18.6х*. Существует ли бесконечномерное нормированное пространство, в котором замкнутые шары компактны?
104 Глава 3. Топологические свойства 18.5х. р-адические числа Фиксируем простое число р. Формальный ряд вида ао + агр + .. . + апрп + .. ., 0 ζ αη < Ρ, α„ G N, называется целым р-адическим числом. (Слово формальный означает здесь, что плюсы не призывают к немедленному сложению, а рассматриваются как своего рода знаки препинания.) Множество целых р-адических чисел обозначается через Zp. Введём в нём следующую метрику: для χ φ у положим р(х,у) =р~т, где т — первый показатель, при котором коэффициенты в рядах χ и у различны. 18.7х. Докажите, что ρ — действительно метрика в Ζρ. Эта метрика называется р-адической, a Zp с нею называется пространством целых р-адических чисел. Имеется инъекция Ζ —> Ζρ, при которой числу ао + агр + ... + апРп С Ζ, Ο ξ а/с < р, ak G N, ставится в соответствие ряд ао + а1Р + ... + апрп + 0 · рп+1 + ..., а числу -(ао + а\р + ... + апрп) е Z, 0 ξ ak < ρ, ak G Ν, сопоставляется ряд bo + bip + ... + bnpn + (p- l)pn+1 + (p - l)pn+2 + ..., где bo + bip + ... + bnpn = pn+1 - (a0 + alP + ... + a„pn). Cp. 4. Ux. 18.8x. Докажите, что образ этой инъекции является всюду плотным множеством в множестве Zp. 18.9х. Является ли пространство Zp полным? 18.1 Ох. Компактно ли Zp? 18.6х. Пространства выпуклых фигур Пусть BcS2 — замкнутый круг радиуса р. Рассмотрим множество Vn всех выпуклых многоугольников Р, таких, что: 1) периметр многоугольника Ρ не превосходит р; 2) Ρ содержится в круге D; 3) Ρ имеет не более η вершин (не исключаются случаи одной и двух вершин, при этом периметр отрезка считаем равным удвоенной длине этого отрезка). См. 4-Мх, ср. 4-Ох. 18.Их. Снабдите это множество естественной структурой топологического пространства. Например, введите естественную метрику. 18.12х. Докажите, что это пространство компактно. 18.13х. Докажите, что среди многоугольников в Vn существует многоугольник наибольшей площади. 18.Цх. Докажите, что среди многоугольников в Vn наибольшую площадь имеет правильный га-угольник. Рассмотрим теперь множество ΤΌο всех выпуклых многоугольников периметра, не превосходящего р, содержащихся в круге радиуса р. Таким образом, ΤΌο = U^=i Vn- 18.15х. Введите в Voo структуру топологического пространства так, чтобы пространства Vn были его подпространствами. 18.16х. Докажите, что пространство νχ, построенное в качестве решения задачи 18.15х, не компактно. Рассмотрим теперь множество V всех замкнутых выпуклых подмножеств плоскости с периметром, не превосходящим р, и содержащихся в круге радиуса р. (Обратите внимание на то, что каждое из них компактно.)
§ 19х. Локальная компактность и паракомпактность 105 18.17х. Введите в это множество топологию, которая бы индуцировала рассмотренные выше топологии пространств многоугольников. 18·18χ. Докажите, что пространство V компактно. 18· 19х. Докажите, что среди всех выпуклых плоских множеств с периметром ρ существует множество наибольшей площади. 18.20х. Докажите, что таковым является круг радиусом —-. § 19х. Локальная компактность и паракомпактность 19.1х. Локальная компактность Топологическое пространство X называется локально компактным, если у каждой его точки имеется окрестность с компактным замыканием. 19.1х. Компактное пространство локально компактно. 19.2х. Какие из следующих пространств локально компактны: 1) К; 2) Q; 3) М"; 4) дискретное пространство? 19. Зх. Приведите пример двух локально компактных подмножеств прямой, объединение которых не является локально компактным. 19. Ах. Наследственна ли локальная компактность? 19. Вх. Замкнутое подмножество локально компактного пространства локально компактно. 19. Сх. Верно ли, что открытое подмножество локально компактного пространства локально компактно? 19.Dx. Хаусдорфово локально компактное пространство регулярно. 19. Ex. Открытое подмножество локально компактного хаусдорфова пространство локально компактно. 19. Fx. Локальная компактность является локальным топологическим свойством для хаусдорфовых пространств. Другими словами, хаусдорфово пространство является локально компактно, согда каждая его точка обладает локально компактной окрестностью. 19.2х. Одноточечная компактификация Пусть (Χ, Ω) — хаусдорфово топологическое пространство и X* — множество, получающееся из X добавлением одной точки х, (которая, конечно, не принадлежит X). Пусть Ω* — совокупность подмножеств X*, состоящая из о множеств, открытых в X, и о множеств вида X* \ С, где С С X — компактное множество: Ω* = Ω U {X* \ С | С С X — компактное множество}. 19. Gx. Докажите, что набор Ω* — топологическая структура. 19.Нх. Докажите, что пространство (Χ*,Ω*) компактно. 19.1х. Включение X ·—+ X* является топологическим вложением (относительно исходной топологии в X и Ω*).
106 Глава 3. Топологические свойства 19-Зх. Если пространство X локально компактно, то пространство (Χ',ίϊ*) хаусдорфово. (Напомним, что X в этом пункте предполагается ха- усдорфовым.) Топологическое вложение пространства X в компактное пространство У называется компактификацией пространства X, если его образ плотен в У. Так лее в этой ситуации называется и пространство Υ. (Для упрощения обозначений мы будем отождествлять X с его образом в У.) 19-Кх. Если X — локально компактное хаусдорфово пространство и У — его хаусдорфова компактификация с одноточечным У \ X, то существует гомеоморфизм У —> X*, тождественный на X. Такое пространство У называется одноточечной компактификацией или компактификацией Александрова пространства X. Из утверждения 19.Кх следует, что пространство У в понятном смысле единственно. 19.Lx. Докажите, что одноточечная компактификация плоскости R2 го- меоморфна S2. 19.4χ· Одноточечная компактификация пространства Жп гомеоморфна сфере Sn. 19.5х. Явно опишите одноточечные компактификации следующих пространств: 1) кольца {(ж, 1/)бК2|1<12+}2< 2}; 2) квадрата без вершин {(х, у) е Ж2 | х, у е [—1; 1], \ху\ < 1}; 3) полосы {(ж, у) е Ж2 | χ е [0; 1]}; 4) компактного пространства. 19-М.х. Локально компактное хаусдорфово пространство регулярно. ί 9.6х. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство, К — некоторое его компактное подмножество, U — окрестность множества К. Тогда существует окрестность V множества К, замыкание С1V которой компактно и содержится в U. 19.3х. Собственные отображения Непрерывное отображение /: X —> У называется собственным, если оно непрерывно и прообраз любого компактного множества при / компактен. Пусть X, У — хаусдорфовы пространства. Всякое непрерывное отображение /: X —> У естественным образом продолжается до отображения [у* при х = х„. 19.Nx. Докажите, что отображение /* непрерывно, согда / является собственным. 19. Ох. Всякое собственное отображение хаусдорфова пространства в хаусдорфово локально компактное пространство замкнуто. Утверждение 19. Ох связано с теоремой 17. W. 19.Рх. Продолжите эту аналогию: сформулируйте и докажите утверждения, соответствующие теоремам 17. Υπ 17.X.
§ 19х. Локальная компактность и паракомпактность 107 19.4х. Локально конечные семейства Множество Г подмножеств пространства X называется локально конечным, если всякая точка пространства X обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом множеств, принадлежащих Г. 19. Qx. Любое локально конечное покрытие компактного пространства конечно. 19.7х. Если множество Г подмножеств пространства X локально конечно, то локально конечно и множество {С1А | А е Г} замыканий множеств из Г. 19.8х. Если семейство Г подмножеств пространства X локально конечно, то каждое компактное подмножество А С X пересекается лишь с конечным числом элементов семейства Г. 19.9х. Если совокупность Г подмножеств пространства X локально конечна и замыкание С1А каждого Α ε Г компактно, то каждое множество Α ε Γ пересекается лишь с конечным числом множеств, принадлежащих Г. 19.1 Ох. Любое локально конечное покрытие секвенциально компактного пространства конечно. 19.Rx. Постройте открытое покрытие евклидова пространства R", которое не обладает локально конечным подпокрытием. Пусть Г и Δ — покрытия множества X. Говорят, что Δ вписано в Г, если каждый элемент AG А содержится в некотором элементе В £ Г. 19. Sx. Во всякое открытое покрытие евклидова пространства R" можно вписать локально конечное покрытие. 19. Тх. Пусть {Ui}ie^ — локально конечное открытое покрытие пространства М". Существует открытое покрытие {V^},<=n пространства R", такое, что CI Vi С Ui при любом г е N. 19.5х. Паракомпактные пространства Пространство X называется паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие молено вписать локально конечное открытое покрытие. 19. Ux. Любое компактное пространство паракомпактно. 19. Vx. Евклидово пространство R" паракомпактно. 19. Wx. Пусть X = U;!li Xii гДе множества Xi компактны и таковы, что Xi с IntXi+1. Тогда пространство X паракомпактно. 19.Хх. Пусть пространство X локально компактно. Если X покрывается счётным числом компактных множеств, то X паракомпактно. 19.Их. Докажите, что если локально компактное пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, то оно паракомпактно. 19.12х. Замкнутое подмножество паракомпактного пространства паракомпактно. 19.13х. Несвязное объединение паракомпактных пространств паракомпактно. 19.6х. Паракомпактность и аксиомы отделимости 19.Цх. Пусть X — паракомпактное пространство, F и Μ — два его непересекающихся подмножества X, причём F замкнуто. Предположим, что F покрыто открытыми множествами [/<*, замыкания которых не пересекаются с множеством Μ: CI Utx Π Μ = 0. Тогда у множеств F и Μ имеются непересекающиеся окрестности.
108 Глава 3. Топологические свойства 19.15х. Хаусдорфово паракомпактное пространство регулярно. 19.16х. Хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. 19.17х. Пусть X — хаусдорфово локально компактное и паракомпактное пространство, Г — локально конечное открытое покрытие X. Тогда у пространства X имеется такое локально конечное открытое покрытие Δ, что замыкания С1V, V е Δ, компактны и покрытие {С1У | V е Δ} вписано в Г. Следующее утверждение является более общим (хотя, с формальной точки зрения, более слабым). 19.18х· Пусть X — нормальное пространство и Г = {Ua} — его локально конечное открытое покрытие. Тогда существует такое локально конечное открытое покрытие {V/з}, что покрытие {CIVJj} вписано в исходное покрытие Г. Информация. Все метризуемые пространства паракомпактны. 19.7х. Разбиения единицы Пусть X — топологическое пространство, /: X —> Ш. — функция. Множество С1{а; £ X | f{x) Φ 0} называется носителем функции /: X —> R и обозначается через supp /. 19.19х. Пусть X — топологическое пространство, а семейство непрерывных функций /о,: X —> К, а е Λ, таково, что носители supp(/a) составляют локально конечное покрытие пространства X. Тогда формула /(*)=Σ)/α(*) «ел определяет непрерывную функцию /: X —> К. Семейство неотрицательных функций fa: X —> R+ называется разбиением единицы, если множества supp(/a) составляют локально конечное покрытие пространства X и имеет место соотношение ^ fa{%) — 1· Говорят, что разбиение единицы {/„} подчинено покрытию {Г}, если всякий носитель supp(/a) содержится в некотором элементе покрытия {Г}. 19. Yx. Для всякого нормального пространства и всякого его локально конечного открытого покрытия существует подчинённое ему разбиение единицы. 19.20х. Пусть пространство X хаусдорфово. Если для каждого его открытого покрытия существует подчинённое ему разбиение единицы, то пространство X пара- компактно. Информация. Хаусдорфово пространство паракомпактно, согда для всякого его открытого покрытия существует подчинённое ему разбиение единицы. 19.8х. Приложение: составление вложений из кусков 19.21х. Пусть X — топологическое пространство и {C/i}*=1 — открытое покрытие X. Если для каждого г множество С/, молено вложить в К™, то пространство X можно вложить в М*(п+1). 19.21x.l- Пусть hi'· Щ —> Мп, 1 = 1,..., к, — вложения и пусть отображения /,: X —> —> Ж образуют разбиение единицы, подчинённое покрытию {[/*}. Положим h\ (χ) = = (hi(x), 1) е Κη+1. Покажите, что отображение X -> М*(гг+1): χ ι-» (/Дж)^(ж))*=1 является вложением. 19.22х. Загадка. Каким образом вы можете обобщить утверждение 19.21х?
Доказательства и комментарии 109 Доказательства и комментарии 12.А. Множество А открыто и замкнуто, согда множества АиХ\Л открыты, согда Α π Χ \ А замкнуты. 12-В. Достаточно доказать следующее формально более слабое утверждение. Пространство, в котором существует связное всюду плотное множество, само является связным. (См. 6.3.) Пусть X — пространство и А — его связное всюду плотное подмножество. Пусть X = U U V, где множества U и V открыты и не пересекаются. Докажем, что одно из этих множеств пусто. Множества С/пАиУпАне пересекаются и открыты в А, значит, А = X Г) А = (U UV) Г) А= (U Г) A) U (VГ) А). Так как А связно, то одно из множеств разбиения, к примеру U Π А, пусто. Тогда и множество U пусто, поскольку А всюду плотно (см. 6.М). 12.С. Для упрощения обозначений положим X ={JXAX. В силу теоремы 12. А достаточно доказать, что если U и V — открытые множества, составляющие разбиение X, то либо U = 0, либо V = 0. Для каждого λ £ Л, поскольку множество Ах по условию связно, либо Ах с U, либо Ах с V (см. 12.Ц). Зафиксируем некоторое λ0 £ Л. Для определенности считаем, что АХо с U. Так как каждое из множеств Ах пересекается с АХо, то все они лежат в U, так что ни одно из них не пересекается с V, следовательно, V = Vr\X = Vn\JAx = \J{V Π Αχ) = 0. λ λ 12.Ε. Примените теорему 12. Ск семейству {Ах U АХо}ХеА, которое состоит из связных множеств (в силу 12.Щ. (Или просто повторите доказательство теоремы 12. С.) 12.F. Используйте рассуждение из 12. С, а для доказательства того, что Ак с U при всех к G Z, примените метод математической индукции. 12. G. Очевидно, поскольку объединение всех связных множеств, содержащих данную точку, во-первых, связно в силу 12. С, во-вторых, максимально. 12. Н. Пусть А и В — компоненты связности. Предположим, что Α Π Β φ 0. В силу 12.D множество Аи В связно. Поскольку компонента является наибольшим связным содержащим некоторую точку множеством, то А Э A U В С С В, значит, А= AU В= В. 12.1. I =>) Это очевидно, так как компонента связна. I <=] Так как в таком случае компоненты точек пересекаются, то они совпадают. 12.К. Пусть А — компонента связности. В силу 12.В её замыкание С1А также является связным. Так как компонента обладает свойством максимальности, то С1А с А. Значит, А = С1 А, так как обратное включение имеет место вообще для любого множества. 12.М. См. 12.10.
по Глава 3. Топологические свойства 12.N. Рассмотрим подотображение ab(/): X —> f(X). Таким образом, достаточно доказать следующую теорему. Если пространство X связно, а отображение /: X —> Υ — непрерывная сюръекция, то и пространство Υ связно. Рассмотрим разбиение пространства Υ на два открытых множества U и V и докажем, что одно из них пусто. В силу непрерывности отображения, прообразы /_1(?7) и /"^(V) открыты и составляют разбиение пространства X. Поскольку X связно, одно из них пусть. Пусть f~1(U) = 0. Так как / сюръ- ективно, то и U = 0. 12. Q. [ =Н Пусть X = U U V, где множества U viV открыты, непусты и не пересекаются. Положим f(x) = — 1 при χ £ U и f{x) = 1 при χ £ V. Отображение /: X —> 5° непрерывно и сюръективно, не правда ли? [ <=\ Предположим противное, пусть X связно. Тогда, в силу 12.Ν, будет связным и 5° — противоречие. 12.R.1. Проведите рассуждение по индукции. Для каждого η = 1,2,3,... положите { 5 ;6")' еСЛИ 2 £[/' (,ΐη;—J—)' если —2—е^· 12-R.2. С одной стороны, с е [/, так как с е С1{ап | η е Ν}, ап G [/, а множество [/ замкнуто в /. С другой стороны, то лее рассуждение показывает, что с е V. Это противоречие показывает, что ί/иУне могут одновременно быть замкнутыми, таким образом, / связен. 12.R. Собственно говоря, в силу 12. Q это утверждение есть следствие теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении. Однако естественнее поступить наоборот: вывести теорему о промежуточном значении из задачи 12. Q и связности L Итак, пусть [0; 1] = U U V, где множества U и V не пересекаются и открыты в [0; 1]. Предположим, что 0 £ U, рассмотрим множество С = {х б [0; 1] | [0; х) С ?/} и положим с = sup С. Покажите, что каждое из предположений -с£[/ис£У- приводит к противоречию. Другие доказательства теоремы 12.R намечены ниже в леммах 12.R.1 и 12.R.2. 12.S. Каждое открытое подмножество прямой есть объединение непересекающихся интервалов, а в каждом интервале есть хотя бы одна рациональная точка. Следовательно, всякое открытое подмножество прямой есть объединение не более чем счётного числа интервалов. Осталось заметить, что каждый из них является связным множеством (см. следующее утверждение). 12. Т. Используйте 12.R и 12.J. (Ср. 12.1/и 12.Х.) 12. U. Используйте 12.R и 12. J. (Напомним, что множество К с К" называется выпуклым, если [р; q] С К для любых точек р, q £ К.) 12. W. Используйте 12.R и 12. С. 12.Х. I =Н Это в точности утверждение 12.10. [ <=\ Это в точности утверждение 12. V. 12.Y. Используйте 11.R, 12.U, и, например, теорему 12.В (или 12.1).
Доказательства и комментарии 111 13.А. Поскольку отрезок связен (см. 12.R), то, в силу 12.N, связен и его образ. Значит (см. 12.30), он является промежутком, следовательно, содержит все точки, лежащие между /(а) и f(b). 13.В. См. доказательство 13.А. 13.D. Одно из них связно, а другое — нет. 13.Е. К примеру, если /: / —> 51 — гомеоморфизм, то и отображение ab/: / \ J ""* S1 х /(о) ~~ гомеоморфизм, что невозможно, поскольку первое множество несвязно, а второе связно, так как гомеоморфно интервалу. 13.F. Аналогично 13-4- 14 А. Так как покрытие < [θ; ^], [,! l] r отрезка [0; 1] является фундаментальным, то из непрерывности сужений отображения на каждый элемент покрытия следует непрерывность самого этого отображения. 14·Β. Если х, у е /, то / —> /: t ν—► (1 — t)x + ty — путь, соединяющий точку χ с точкой у. 14-С Если х,у б К", то отображение и: [0; 1] -► Rn : u(t) = (1 - ί)ζ + ij/ есть путь, соединяющий точку χ с точкой у. 14'D. Воспользуйтесь 11.R и Ц.С. 14-Е. Используйте 12.R и 12.Q. 14-F. Пусть χ и у — точки в рассматриваемом объединении, А и В — множества из данной совокупности, содержащие точки χ и у. Если А = В, то доказывать нечего. Если х€ А, у € В, ζ€ АП В, ни — путь, соединяющий χ с ζ, а υ — путь, соединяющий ζ с у, то путь гш соединяет χ с у. 14-G. Рассмотрите объединение всех линейно связных множеств, содержащих данную точку и используйте 14-F. 14·Η. Аналог 12.Н, вместо 12.D используйте Ц-F. 14·Ι. \ =Н Непосредственно следует из определения. [ <=\ Следует из доказательства утверждения 14-G. 14-J· Если j/j = f(xi), г = 1,2, и и — путь, соединяющий х1 с х2, то как построить путь, соединяющий у1 с у2? 14·Μ. Сопоставьте Ц-8 и 12.3. 14·Ν. Множество А — это образ луча (0;оо) при непрерывном отображении χ н-у (ζ,sin -) ε Μ2, значит, оно линейно связно, следовательно связно. Связность множества X следует из того, что оно содержится в С1 А. (Кстати, что представляет собой множество С1 А?) 14· О. Это совсем очевидно, так как А = (0; +оо). 14·Р- Докажите, что всякий путь в X с началом в точке (0,0) постоянен. Приведём идею доказательства того, что начало координат нельзя соединить
112 Глава 3. Топологические свойства путём с точками множества А. Если такой путь и существует, то найдётся последовательность точек {ί„}, такая, что u(tn) = (——τ—, l). Выберем подпоследовательность tnk —> t,, тогда точка u(t„) по непрерывности должна совпадать с точкой (0,1), таким образом, u(i„) ^ X. 14Q- Множество Ас1 = МЧ {(0, у)\уф 0}; см. задачи 14-N-14-P. 14-R. См. Ц-Q. 14'S. Если Ux — линейно связная окрестность точки х, то Ux лежит целиком в компоненте линейной связности этой точки. 14· Т. | =Н Это утверждение 14-М. \ <=\ Так как компоненты линейной связности пространства X открыты (см. 14-S) и пространство X связно, то в нём имеется всего лишь одна компонента линейной связности. 14-U. Следует из 14-S и 14-Т, поскольку открытый шар в R" является линейно связным множеством. 15.А. Если Γι + r2 ^ р(х1,х2), то шары ВГ1(х1) и ВГ2(х2) не пересекаются. 15.В. Отрезок является метрическим пространством, а множества [0; -~), (^; 1] — это окрестности точек 0 и, соответственно, 1 в [0; 1]. 15. С. | =Н Если у Φ х, то в пространстве имеются две непересекающиеся окрестности Ux и Vy. Следовательно, у$.СШх, значит, у £ {~)иэх CI U. \ <=\ Если у φ χ, то у £ [~)иэх ^Ιί/, откуда следует, что найдётся окрестность Ux, такая, что у £ CI Ux. Положите Vy = X \ CI Ux. 15.D. Предположим противное: пусть хп —> а и хп —> Ь, где афЬ. Пусть U и V — непересекающиеся окрестности точек а и Ь соответственно. При достаточно больших номерах η мы получим, что хп £ U Π V, чего быть не может. 15.Е. Окрестность точки в пространстве M.Tl имеет вид U = Ж \ {χι,... ,xN}, где мы считаем, что х1 < х2 < ■ ■. < xn- Очевидно, что ап €U при всех n>xN. 15.F. Пусть X — пространство, А с X — его подпространство, точки х, у £ £ А различны. Так как X хаусдорфово, то у точек х,у имеются непересекающиеся окрестности U и V. Тогда U Π А и V^flA — это непересекающиеся окрестности точек χ и у в А. (Вспомните определение относительной топологии!) 15.G. 1) => 2). Пусть χ € X. У каждой точки у £ X \х имеется окрестность U, не содержащая точку i,T.e.iicI\i. Следовательно, всякая точка множества X \ χ — внутренняя, поэтому множество Χ \ χ открыто, а его дополнение {х} — замкнуто. 2) => 1). Поскольку все одноточечные подмножества в X замкнуты, х,у € X и хф у, тоХм- окрестность точки у, не содержащая точку х. Таким образом, аксиома ΧΊ выполнена. 2) => 3). Если все одноточечные подмножества замкнуты в X, то замкнуты и все конечные множества (как конечные объединения одноточечных). 3) => 2). Очевидно. 15. Н. Сопоставьте 15.12 и 15. G.
Доказательства и комментарии 113 15.1. Сопоставьте 15. А и 15.12. 15.J. В пространстве RTl всякая точка замкнута, значит, 71 имеет место, однако в нём всякие две окрестности (непустые открытые множества) пересекаются, так что Г2 места не имеет. 15.К. Модифицируйте доказательство 15.F или лее воспользуйтесь теоремой 15.G. 15.N. 1) => 2). Так как пространство X удовлетворяет аксиоме Колмогорова, то для любых двух точек χ иу хотя бы одна не лежит в замыкании другой. 2) => 1). Пусть С1{а;} φ С1{у}. Считаем, для определенности, что ζ G С1{а;} иг^ С1{у}. Тогда найдётся окрестность U точки ζ, которая не содержит точку у. С другой стороны, χ б U, таким образом, мы нашли окрестность точки х, не содержащую точку у. 15.0. I =Н Очевидно. 1 -Ф=| Если для каждой точки χ пространства существует её наименьшая окрестность Сх, то будем говорить, что χ =4 у, если у €СХ. Для доказательства транзитивности предположим, что χ ^у и у =4 ζ. Следовательно, у €СХ, тем самым Сх — окрестность у, значит, Су с Сх, поэтому ζ G Сх, таким образом ,χ=4ζ. Если у€Сх и χ G Су, то Сх = Су, значит, ни одну из этих точек нельзя отделить друг от друга. В силу аксиомы Колмогорова такое возможно лишь если χ = у; таким образом, доказана антисимметричность введённого отношения. Его рефлексивность очевидна. Докажите, что топология введённого частичного порядка совпадает с заданной топологией. 15.Р. Пусть X — регулярное пространство. Рассмотрим в нём две различные точки χ и у. Так как пространство удовлетворяет аксиоме 7\, то множество {у} замкнуто. Осталось применить Т3 к точке χ и одноточечному множеству {у}. 15. Q. GE) См. 15.P. GE) См. 15.12. 15.R. Пусть X — метрическое пространство, χ £ X и г > 0. Докажите, что С1Вг(х) С В2г(х), и воспользуйтесь 15.19. 15-S. Используйте определение нормальности применительно к точке и замкнутому множеству. 15. Т. {=Е\ См. 15.S. QUO См. 15.12. 15. U. Пусть А и В — замкнутые подмножества метрического пространства. Тогда AcU = {χ &Χ \ р(х,А) < р(х,В)} и В с V = {х G X \ р(х, А) > > р(х, В)}. Множества U и V открыты (в силу 10.L) и не пересекаются. 15. Vx.l. Положим Ui = X \ В. Так как пространство X нормально, то найдётся окрестность U0 Ζ) А, такая, что CIUqCUx. Пусть U1/2 ~ окрестность множества СШ0) такая, что ClC/i/2 С Ui. Продолжая построение, мы получим искомый набор {^р}рел· 15. Vx. Положим f(x) = inf{A G Л | χ е C\U\}. Нетрудно видеть, что функция / непрерывна. 15. Wx. Слегка измените доказательство 15.35х, используя лемму Урысона 15. Vx вместо 15.35х.1.
114 Глава 3. Топологические свойства 16. А. Поскольку при биективном соответствии исходного множества с подмножеством N подмножество этого множества также переходит в подмножество N. 16.В. Выберем по одной точке в каждом непустом прообразе точки. Получим подмножество исходного множества (являющегося счётным в силу 16.А), которое находится в биективном соответствии с образом исходного множества. 16. С. 2) Придумайте алгоритм (или даже явную формулу!) для перечисления элементов множества N2. 16.D. Воспользуйтесь 16.С. 16.Е. Выведите это утверждение из 6-44- 16.F. Рассмотрите множество, пересечение которого с каждым из множеств счётной базы состоит из одной точки. 16. G. Как известно, пересечение базовых множеств с некоторым подмножеством образует базу индуцированной на этом подмножестве топологии. 16.Н. Покажите, что если множество А = {xn}^=1 всюду плотно, то набор {Вг(х) | χ £ А, г £ Q, г > 0} является счётной базой пространства X. (Используйте теоремы ^./и З.А, чтобы показать, что это база, и 16.D, что она счётна.) 16.J. В метрических пространствах сепарабельность равносильна второй аксиоме счётности, которая является наследственной (см. 16.1 и 16.С). 16.К. В силу 16. J и 16.Н, достаточно указать всюду плотное в R" подмножество, каковым является Q" = {х е Μ" | xi е Q, г = 1,..., п}. Его плотность проще всего проверить, используя метрику ρ(°°\ Множество Q" счётно в силу 16.Ск 16.D 16.L. Поскольку непрерывный образ всюду плотного множества плотен в образе данного непрерывного отображения. 16. М. Набор подмножеств данной счётной базы, состоящий из всех тех её элементов, которые содержатся хотя бы в одном элементе данного покрытия, образует покрытие пространства. Сопоставив каждому элементу полученного набора один из содержащих его элементов исходного покрытия, мы получим искомое счётное подпокрытие. 16.N. Следствие признака базы данной топологии (см. З.А). 16.0. См. 16.12. 16.Р. См. 16.Ν. 16. Q. Рассмотрите несчётное дискретное пространство. 16.R. Если хп £ А и хп —> а, то а — точка прикосновения множества А. 16.S. Пусть aeCIA Пусть набор {Un}ne® является убывающей базой окрестностей в точке а (см. 16.16). Для каждого η существует хп е Un Π Α, и мы легко получаем, что хп —> а. 16. Т. Действительно, пусть отображение /: X —> Υ непрерывно, b£ X и ап —> Ъ. Мы должны доказать, что /(а„) —> f(b). Рассмотрим окрестность V С С Υ точки f{b). Так как отображение / непрерывно, то множество f~x{V) С X
Доказательства и комментарии 115 является окрестностью точки Ь. Поскольку ап —> Ь, то ап £ / 1(V) для п> N. Следовательно, f(an) £ V при всех п> N, что и требовалось доказать. 16. U. Пусть /: X —> У — секвенциально непрерывное отображение, Л — секвенциально замкнутое множество, хп £ f~1{A) и ι„ -» β. Так как отобра- жение секвенциально непрерывно, то f{xn) —> /(α), а поскольку множество А секвенциально замкнуто, то /(а) £ А, значит, а£ /_1(А), таким образом, множество /-1(А) секвенциально замкнуто. 16. V. Достаточно проверить, что для всякого замкнутого множества F с С Υ замкнут и его прообраз /_1(^) с -X", т· е-> ^о C1(/_1(F)) С /_1(F). Пусть α е Cl(/_1(i1)). Так X удовлетворяет первой аксиоме счётности, то найдётся последовательность хп £ f~1(F), такая, что хп —> а, значит, f(xn) —> /(α) в силу секвенциальной непрерывности /. Так как F замкнуто, то f(a) £ F, поэтому а £ /_1(F). 16. Wx. Заметьте, что множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, несчётно! Поэтому первое побуждение — рассмотреть последовательности, состоящие из рациональных чисел, приводит к несчётному множеству. Искомое множество состоит из таких последовательностей χ = = {xi}, Хг £ Q, что Xi = 0\/i> N для некоторого JV. Используйте то, что если ряд Σ х1 сходится, то для каждого ε > 0 найдётся такое fc, что Y^°°=k х\ < ε. 17.А. Компактность указанных пространств следует просто из того, что в каждом из них имеется лишь конечное число различных открытых множеств. 17. В. Только конечные. 17.С. Рассмотрите покрытие R интервалами (—п;п), η ε N. 17. D. Это в точности отрицание компактности. 17.Е. Воспользуйтесь теоремой Линделёфа 16. М. 17.F. Следствие второй из формул де Моргана. Действительно, (~) Д = 0, согда Χ \ Π Ai = X, согда \J(X \ At) = Χ. 17. G. 1 =Η Рассмотрим дополнения Ua = X \ Fa множеств этой центрированной совокупности. Если pi Fa = 0, то |J Ua = X, таким образом, множества {Uа} образуют покрытие пространства X. Если X компактно, то из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, что противоречит тому, что дополнения элементов этого покрытия имеют непустое пересечение, поскольку рассматриваемая совокупность замкнутых множеств является центрированной. I <=] Докажите это самостоятельно. 17.Н. I =»] Пусть Г ={Ua} — покрытие А множествами, открытыми в пространстве X. Так как А — компактное множество, из его покрытия множествами AC\Ua можно выделить конечное подпокрытие {Ar\Uai}"=1, откуда следует, что множества {Uai} образуют конечное подпокрытие исходного покрытия Г. [ ■<=! Докажите обратное утверждение самостоятельно. 17.1. Конечно, компактность не наследственна.
116 Глава 3. Топологические свойства 17. J. Пусть {Uа} — открытое покрытие замкнутого множества А, тогда {X \ F, Uа} — открытое покрытие пространства X, из которого можно выбрать конечное подпокрытие {X \ F, ?7,}"=1. Ясно, что {К}"=1 — покрытие множества F. 17.К. Следствие 17.L. 17.li. Так как пространство X хаусдорфово, то для всякой точки χ € А найдутся непересекающиеся окрестности Ux точки χ и Vj; точки Ь. Набор {Ux | χ £ А} является покрытием множества А. В силу его компактности, из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие {UXi}?=1. Положим U = υΓ=ι u*i и ν = ΠΓ=ι уьх<)- Множества U и V являются искомыми окрестностями компактного множества А и точки Ь соответственно. 17.М. Следствие 17.К в силу 17. J. 17.N. Поскольку компактное хаусдорфово пространство регулярно, то для замкнутых непересекающихся множеств найдутся такие наборы открытых окрестностей {U^}, где U^ эА,и {Vx \ χ £ В}, что U^ Π Vx — 0. Далее рассуждайте, как в 17.L. 17.0. Если / некомпактен, то существует такое его покрытие Г0, никакая конечная часть которого не покрывает отрезок. Разделим / пополам и обозначим через Д ту половину, которая также не покрывается никакой конечной частью покрытия Г0. Теперь разделим пополам Д, и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков /п, причём длина η-го из них равна 2~п. В силу аксиомы полноты имеем f]In = {хо}. Рассмотрим элемент U0 £ Г0, являющийся окрестностью точки х0. Ясно, что /„ С U0 при достаточно больших п, что противоречит тому, что по построению отрезок 1п не покрывается никакой конечной частью данного покрытия. 17.Р. Разбейте куб на 2" «половинных» кубов и повторите рассуждение, проведённое в доказательстве предыдущей задачи. 17.Q. Рассмотрите покрытие {Дг(£о)}£°=1· 17.R. Пусть X = [0; 1) U (2; 3]. Множество [0; 1) замкнуто в X, но не является компактным. Или ещё проще — смотрите следующую задачу. 17.S. I =Н В силу 17.Q, компактное подмножество R" ограничено, в силу 17.К, оно замкнуто. [ <=\ Если подмножество FcK" ограничено, то оно лежит в некотором кубе, который компактен (17. Р). Поскольку множество F замкнуто, то оно и компактно, в силу 17.J. 17. Т. Воспользуемся теоремой 17.Н. Пусть {Ua} — покрытие f(X) открытыми в Υ множествами, тогда {/-1(t^a)} — покрытие X открытыми в нём множествами. Так как X компактно, то из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие {/-1(£^)}"=1. Набор {?7,}"=1 — конечное подпокрытие множества f(X). 17. U. В силу 17. Τ и 17.S, множество f(X) С Ш. компактно, значит, ограничено, поэтому существуют m = inf/(X) и M = sup/(X). Поскольку f(X) также и замкнуто, то т,М £ f(X), откуда и следует существование таких точек о, b £ X, что /(о) < f(x) ^ /(&) при всех χ £ X.
Доказательства и комментарии 117 17. V. Следует из 17.23: рассмотрите покрытие {/ 1(U) | U € Г} пространства X. 17. W. Непосредственно следует из 17.J, 17. К и 17. Т. 17.Х. Сопоставьте 17. W и 17.21 17. У. См. 17.Х. 18.А.1. | =Н Очевидно. I ■$=! Предположим противное, пусть существует предельная точка х, не являющаяся точкой накопления множества А. Тогда у неё существует окрестность Ux, такая, что множество UXC\A конечно. Следовательно, найдётся такая окрестность Wx точки х, для которой (Wx \х)Г\А = = 0. Противоречие. 18.А.2. От противного: рассмотрите покрытие пространства такими окрестностями его точек, пересечение которых с данным бесконечным множеством конечно. 18.А.З. Пусть А — множество точек данной последовательности. Предположим, что оно бесконечно. По предыдущему утверждению у него имеется точка накопления хо- Пусть {[/„} — счётная база окрестностей точки х0 и хпг £ U1 Π А. Так как множество С/2ПА бесконечно, то найдётся п2 > nlt Хп2 6 U2 Π А. Докажите, что построенная подобным образом подпоследовательность {ж,!,,} исходной последовательности сходится к Xq. Если множество А конечно, то всё значительно проще. 18.В.1. Рассмотрите последовательность {xn}, xn€Fn, и покажите, что если хП]е —> х0, то х0 € Fn при всех η е N. 18.Вх2. Если {Fk} — центрированная последовательность замкнутых множеств, то Нп = Пк=1 Fk — вложенная последовательность замкнутых множеств. 18.В.3. По теореме Линделёфа 16. Μ достаточно рассматривать счётные покрытия {Un}. Если никакой конечный набор множеств из этого покрытия сам покрытием не является, то множества Fn = X \ Un образуют центрированную систему замкнутых множеств. 18. С. Следует из 18.В и 18.А. 18.D. Переформулируем определение е-сети: А является е-сетью, если {Ве(х)}хеА — покрытие X. Теперь доказательство очевидно. 18.Е. Рассуждаем от противного. Если {xi}kll не есть е-сеть, то найдётся такая точка хк, что р(Хг, хк) ^ е, г = 1,.. -, fc — 1. В результате мы получим последовательность, расстояние между любыми двумя членами которой не меньше е, поэтому у неё нет сходящихся подпоследовательностей. 18.F. | =Н Очевидно: всякий открытый шар метрического пространства— открытое в нём множество. [ ■<=! Используйте определение топологии метрического пространства. 18. G. Счётным всюду плотным множеством является объединение его конечных —сетей (см. 18.Е).
118 Глава 3. Топологические свойства 18.Н. Поскольку оно сепарабельно. 18.1. Если X компактно, то оно секвенциально компактно в силу 18.А. Если X секвенциально компактно, то оно сепарабельно, значит, обладает счётной базой. Поэтому из 18. С следует, что оно компактно. 18.3. Пусть последовательность {хп} сходится в себе, а её подпоследовательность хПк имеет своим пределом точку о. Найдём такое число т, что р(хц,хк) < | при fc,£ > m, и такое г, что п4 > т и р(хп.,а) < |. Тогда при всех £ ^ т верно неравенство р(хе, а) ^ р(хе,хщ) + p{^ni, α) < е. 18.К. I =Н Очевидно. I ■$=! Пусть {хп} — фундаментальная последовательность. Пусть п1 таково, что р(хп,хт) < о ПРИ всех п,т^ п1. Значит, хп £ £ D1/2(xni) для всех η ^ п1. Выберем далее п2 > щ так, чтобы р(хп, хт) < 7 при всех п,т^п2. Продолжая построение, получаем последовательность вложенных шаров D1(xni) D D1/2(xn2) 3 ..., для единственной общей точки х0 которых верно, что хп —> Xq. 18.L. Пусть {хп} — фундаментальная последовательность точек компактного метрического пространства. Поскольку оно и секвенциально компактно, то некоторая её подпоследовательность является сходящейся, а тогда сходится и исходная последовательность. 18.Μ. Ι =>\ Во всяком компактном метрическом пространстве имеется конечная е-сеть. 1 -Ф=| Теперь предположим, что для любого е > 0 в пространстве существует конечная е-сеть, и покажем, что это пространство будет секвенциально компактным. Рассмотрим произвольную последовательность {хп}. Обозначим через Ап конечную —сеть пространства X. Поскольку X = = [jxeA B^x), то найдётся такой шар, в котором лежит бесконечно много членов последовательности; пусть хП1 — первый из них. Из остальных лежащих в первом шаре членов выберем хП2 — первый из лежащих в шаре В1/2(х), х£А2. Продолжая построение, получаем подпоследовательность {хПк }■ Покажите, что она фундаментальна. Поскольку по предположению пространство является полным, то построенная последовательность имеет предел. Таким образом, мы доказали, что пространство секвенциально компактно, следовательно, оно и компактно. 18.N. \ <=\ Очевидно. [ =>| Следует из предыдущего утверждения, так как |-сеть для |-сети есть е-сеть всего пространства. 19. Ах. Разумеется, не наследственна. Пример: Q с М. 19.Вх. Пусть U — окрестность с компактным замыканием. Поскольку F — замкнутое множество, то C1F (U Π F) = CI U Π F замкнуто в X и, следовательно, компактно как замкнутое подмножество компактного множества C\U. 19.Сх. Нет, не верно. Пусть X не локально компактно (например, Х = = Q). Положим X* —Х\Л {χ*}, Ω* = {X*} U Ω. Пространство X* компактно, и, следовательно, локально компактно, а X — его открытое подмножество, не являющееся тем не менее локально компактным пространством.
Доказательства и комментарии 119 19. Dx. Рассмотрим произвольную окрестность W некоторой точки χ пространства. Пусть U0 — окрестность точки х, имеющая компактное замыкание. Поскольку пространство хаусдорфово, то {х} = [~)иэх ^ ^' слеД°ватель- но, {х} = Пиэх (CI U0 Π CI U). Каждое из множеств CI U0 Π CI U является компактным, значит, в силу 17.11, найдутся такие окрестности Ui,...,Un, что СШ0 Π Cltfi Π ... Π СШп С W. Пусть V = £/0 П tfi Π ... Π Un. Тогда С1К С W. Таким образом, во всякой окрестности точки лежит замыкание некоторой её окрестности. В силу 15.19 пространство является регулярным. 19.Ex. Пусть множество V открыто в хаусдорфовом локально компактном пространстве X и χ £ V. Пусть U — окрестность точки х, такая, что CI U — компактное множество. В силу 19.Dx и 15.19 у точки χ имеется окрестность W, такая, что CI W с U Π V. Таким образом, Civ W = CI W — компактное множество, значит, V — локально компактное пространство. 19.Fx. 1 =Н Очевидно. [ <=\ Используйте идею из 19.Ex. 19. Gx. Так как 0 и открыто, и компактно в X, то 0, X* е Ω*. Проверим теперь, что объединения и конечные пересечения множеств из Ω* принадлежат Ω*. Это очевидно для множеств, принадлежащих Ω. Пусть X* \ Кх € Ω*, где Кх С X — компактные множества, λ е Λ. Тогда |J(X* \ Кх) = X* \ р] Κλ € Ω*, поскольку X хаусдорфово, так что множество р| Кх компактно. Аналогичным образом, если Λ конечно, то П(^* х ^Ά) = ^* \ U ^λ £ Ω*. Поэтому остается рассмотреть случай, когда объединяются (пересекаются) множества из Ω* и множества из Ω. Мы оставляем разбор этого случая читателю в качестве упражнения. 19.Нх. Рассмотрим тот элемент U = X* \ К0 покрытия, который содержит добавленную точку. Оставшиеся элементы покрытия образуют открытое покрытие компактного множества К0. 19.1х. Другими словами, топология, индуцированная из X* на X, совпадает с исходной топологией пространства X. Так оно и есть, поскольку в хаусдорфовом пространстве X компактные множества являются замкнутыми. 19.Jx. Если х,у£Х, то всё очевидно. Если, к примеру, y = xt, то рассмотрим окрестность Ux точки х, замыкание которой компактно. Тогда Ux и X \ CIUX — окрестности, разделяющие точки ihi,. 19.Кх. Пусть х, = X* \ X и у = Υ \ X. Положим [х при х£Х, J : Υ —> Χ : χ н-> ^ I xt при x = y. Если U С X* и при этом [/ = Χ* \ ΛΓ, где К — компактное множество в X, то множество /_1(?7) = У \ ΛΓ — открыто в У, таким образом, отображение / непрерывно. Осталось применить 17.X. 19. Lx. Убедитесь в том, что если открытое множество U С S2 содержит «северный полюс», то дополнение образа этого множества при стереографической проекции компактно в R2.
120 Глава 3. Топологические свойства 19.Мх. Поскольку X* хаусдорфово и компактно (см. 19.Нх и 19.Jx), то оно регулярно в силу 17.М. Пространство X является подпространством X*, а регулярность наследственна. См. также решение 19.Dx. 19.Nx. 1 =»1 Если /* непрерывно, то таково же и / (в силу 19.1х). Пусть К с С Υ — компактное множество. Положим U=Y^K. Так как /* непрерывно, то множество (f*)~1(U) = X* \ /-1(.iQ открыто в X*, так что множество f~1{K) компактно в X. Следовательно, / — собственное отображение. [ ■<=! Доказательство проводится аналогичным образом. 19. Ох. Пусть /*: X* —> у* — продолжение отображения /: X —> Y. Докажите, что если F замкнуто в X, то F U {*} замкнуто в У, следовательно, компактно в X*. Далее используйте утверждения ΙΘ.Νχ, 17. Win 19.Ix. 19. Рх. Собственная инъекция хаусдорфова пространства в локально компактное хаусдорфово пространство является топологическим вложением. Собственная биекция хаусдорфова пространства в локально компактное хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. 19. Qx. Пусть Г — локально конечное покрытие. Рассмотрим также покрытие Δ пространства X окрестностями, каждая из которых пересекается с конечным числом элементов покрытия Г. В силу компактности X, из Δ молено выделить конечное подпокрытие Δ'. Поскольку каждая из окрестностей, входящих в Δ', пересекается лишь с конечным числом множеств из покрытия Г, то их всего в Г имеется конечное число. 19.Rx. Покрытие R" шарами Вп(0), η £ N. 19.Sx. Используйте локально конечное покрытие R" равными открытыми кубами. 19. Тх. Ср. 19.17х. 19. Ux. Очевидно. 19. Vx. Это в точности утверждение 19. Sx. 19. Wx. Пусть Г — открытое покрытие X. Так как каждое из множеств Ki = Xi \ IntXj_i компактно, то Г содержит конечное подпокрытие 1\ множества Кг. При этом множества W* = IntX,+1 \ Xi-ъ Э Ki образуют локально конечное открытое покрытие X. Рассмотрев (для каждого г) пересечения элементов покрытия 1\ с W,, мы получим локально конечное покрытие, вписанное в Г. 19.Хх. Используя 19.6х, постройте семейство [Д открытых множеств, таких, что для каждого г замыкание Хг = CI Ui компактно и содержится в [/i+1 с С IntXj+i. Осталось воспользоваться утверждением 19. Wx. 19. Yx. Рассмотрим покрытие Г = {[/„}. В силу 19.18х, существует такое открытое покрытие Δ = {Va }, что CI Va С Ua для каждого а. Пусть φα: X —> / — функция Урысона, такая, что supp φα = X \ Ua и у?"1 (1) = CI Va (см. 15. Vx). Положим φ(χ) = ^1αψ<χ{χ)· Тогда набор функций {φα(χ)/φ(χ)} является искомым разбиением единицы.
Глава 4 Топологические конструкции § 20. Перемножение 20.1. Теоретико-множественное отступление: перемножение множеств Прямым произведением (декартовым произведением или просто произведением) множеств X и Υ называется множество Χ χ Υ всех упорядоченных пар (х, у), где х€Х ny€Y. Если АсХ и BcY, toAxBcXxY. Множества Χ χ b, b&Y, и α χ Υ, а£ Χ, называются слоями произведения Χ χ Υ. 20. А. Для любых Ai,A2cXhBi,B2C^ имеют место формулы (Ах U А2) х (Si U В2) = (Ах χ Sx) U (Ах χ В2) U (А2 χ Si) U (А2 χ Β2), (Αι χ Si) Π (А2 χ Β2) = (Αι Π Α2) χ (Β1 Π Β2), (Αχ χ Si) \ (Α2 χ Β2) = ((Αι \ Α2) χ Si) U (Αι χ (Β1 \ S2)). Si m Α2 Αι Α2 Αι Естественные отображения ρτχ: Ι χ F-» Ι: (ι,ι/) и ι и ριγ: Χ χ Υ —> Υ: (χ,у) н-> у называются проекг^шши. 20.В. Докажите, что pr^x(A) — AxY для любого множества А с X. ■ 20.1. Напишите аналогичную формулу для В С Υ. 20.2. Графики Каждому отображению /: X —> Υ молено сопоставить подмножество Г/ = = {(x,f(x)) | χ е X} С X х У, называемое графиком отображения /. 20. С. Множество Г с Χ χ Υ является графиком некоторого отображения /: X —> Υ, согда для любого ιεΐ пересечение ГсххУ состоит ровно из одной точки.
122 Глава 4. Топологические конструкции 20.2. Докажите, что для любого отображения /: X —> Υ и любых множеств А С X иВСУ имеют место формулы f(A) = ρτγ (Tf П (Α χ Υ)) = ρτγ (Γ/ Π pr"1 (A)), Γ1(Β)=ΡΓχ(Γ/η(Χχβ)). Множество Δ = {(ж, ж) | ж ε Χ} называется диагональю произведения X χ Χ. 20.3. Пусть А, В С Χ. Докажите, что (Α χ Β) Π Δ = 0, согда Л П В = 0. 20.4- Докажите, что отображение pr^ L биективно. 20.5. Докажите, что отображение / инъективно, согда отображение ргу |г* инъек- тивно. 20.6. Рассмотрим отображение Τ: Χ χ Υ —> Υ χ X: (ж,у) ι—► (у,ж). Докажите, что Гу-ι = T(Tf) для любого обратимого отображения /: X —> F. 20.3. Перемножение топологий Пусть X и У — топологические пространства. Множество вида U χ V С С Χ χ Υ, где [/ открыто в X nV открыто в У, назовем элементарным. 20.D. Совокупность элементарных множеств является базой некоторой топологии в Χ χ У. Произведением топологических пространств X и У называется множество Χ χ У с топологией, базой которой служит совокупность элементарных множеств. 20.7. Для любых подпространств А и В пространств X и Υ топология произведения А X В совпадает с топологией, индуцированной естественным включением in: А х В -> Χ χ Υ. 20.Е. Произведение Χ χ У канонически гомеоморфно У χ Χ. Слова «канонически гомеоморфно» означают, что не только существует какой попало гомеоморфизм, но имеется некоторый замечательный (очевидный?) гомеоморфизм, который имеет дополнительные приятные свойства. 20.F. Произведение (Χ χ У) χ Ζ канонически гомеоморфно Χ χ (У χ Ζ). 20.8. Бели множество А замкнуто в X, а В — в Y, то А х В замкнуто в Χ χ Υ. 20.9. Докажите, что любых А С X и В С Υ имеет место равенство С1(А X В) = = С1Ах CIS. 20.10. Верно ли, что Int(A χ Β) = Int A x IntS? 20.11. Верно ли, что Fr(A x В) =Fr A x FrS? 20.12. Верно ли, что Рг(А χ В) = (Рг А х В) U (A x Fr β)? 20.13. Верно ли, что если А и В замкнуты, то Fr(A χ Β) = (Fr А х В) U (A x Ft В)? 20.14· Найдите формулу, выражающую Fr(A χ В) в терминах А, В, Έτ Α πΈτ В. 20.4. Топологические свойства проекций и слоев 20.G. Для любых топологических пространств X uY естественные проекции ртх : Χ χ У —> X и ρτγ : Χ χ Υ —> У являются непрерывными отображениями. 20.Н. Топология произведения — самая грубая среди топологий в Χ χ У, относительно которых отображения ргх и ргу непрерывны.
§ 20. Перемножение 123 20.1. Слои произведения канонически гомеоморфны соответствующим сомножителям. Каноническими гомеоморфизмами служат сужения проекций. 20.J. Докажите, что R1 χ R1 = R2, (R1)" = Rn, (/)" = In. (Напоминаем, что In — это п-мерный куб). 20.15. Пусть Σ,χ и Σ,γ — базы пространств X и Υ. Докажите, что множества U X V с U G Σχ и У ε Σ,γ составляют базу пространства Χ χ Υ. 20.16. Докажите, что отображение /: X —> Υ непрерывно, согда prjf |г — гомеоморфизм. 20.17. Докажите, что если W открыто в X xY, то множество prjf(W) открыто в пространстве X. Отображение X —> Υ называется открытым (замкнутым), если образ любого открытого (замкнутого) множества открыт (соответственно замкнут). Таким образом, согласно 20.17, проекция является открытым отображением. 20.18. Является ли ргχ замкнутым отображением? 20.19. Докажите, что для любого пространства X и компактного пространства Υ отображение ргх является замкнутым. 20.5. Перемножение отображений Рассмотрим множества Χ, Υ и Ζ. Отображение /': Ζ —> Χ χ Υ', определяет композиции /i =prxo/: Ζ —> X и /2 = ргго/: Ζ —> Υ, называемые координатными отображениями для /. Ясно, что само отображение / восстанавливается по /ι и /2. 20.К. Докажите, что для любых отображений f1: Ζ —> X и /2: Ζ —> Υ существует одно и только одно отображение /: Ζ —> Χ χ У с ргхо/ = /ι и 20.20. Докажите, что /_1(Ах B)—f^1 (Α) ΙΊ f^1 (В) для любых множеств А С X и БСГ. 20.L. Пусть Χ, Υ и Ζ — топологические пространства. Докажите, что отображение f:Z^>XxY непрерывно, согда непрерывны /ι и /2. Для любых отображений д1: Х1 —> ΥΊ и д2: -Хг —► Уг, можно определить отображение 5ι х ff2: -ΧΊ х -Х"2 -► Vi х У2: (ζι,ζ2) н^ (#i(zi),#2(:r2)), которое называется произведением отображений g1 n д2- 20.21. Докажите, что (gi x g2)(Ai χ Α2) = gi(Ai) x g2(A2) для любых Αχ С Χι и А2СХ2. 20.22. Докажите, что (gi χ g2)-1(Bi χ β2) = g~1(B1) χ g2"1(S2) для любых Si С Y\ и β2 С F2. 20. Μ. Докажите, что произведение непрерывных отображений непрерывно. 20.23. Докажите, что произведение открытых отображений открыто. 20.24- Докажите, что всякая метрика р: X X X —> Ж есть непрерывная функция (относительно топологии, определяемой этой метрикой). 20.25. Рассмотрим отображение /: X —> Υ. Докажите, что его график Г^ совпадает с прообразом диагонали Αγ = {(у, у) | у (Ξ Υ} CY xY при отображении / χ Ίάγ : Χ χ Υ -> Υ χ Υ.
124 Глава 4. Топологические конструкции 20.6. Свойства диагонали и других графиков 20.26. Докажите, что пространство X хаусдорфово, согда диагональ Δ является замкнутым в Χ χ Χ множеством. 20.27. Пусть пространство Υ хаусдорфово и отображение /: X —> Υ непрерывно. Докажите, что множество Гу замкнуто. 20.28. Пусть пространство Υ компактно и множество Г^ замкнуто. Докажите, что отображение / непрерывно. 20.29. Существенно ли условие компактности в задаче 20.281 20.30. Пусть /: Ж —> Ж — непрерывная функция. Докажите, что её график: 1) замкнут в Ж2; 2) связен; 3) линейно связен; 4) локально связен; 5) локально компактен. 20.31. Рассмотрим следующие функции Ж —> Ж: 1) χ при χ = 0, при χ φ 0; 2) χ при χ = 0, при χ φ 0. Какими из перечисленных в 20.30 свойств обладают их графики? 20.32. Следует ли из какого-либо одного из свойств, упомянутых в 20.30, непрерывность исходной функции? 20.33. Предположим, что график Г^ — замкнутое множество. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) / непрерывна; 2) / локально ограничена; 3) график Гу связен; 4) график Г^ линейно связен. 20.34· Докажите, что если Г^ — связное и локально связное множество, то функция / непрерывна. 20.35. Докажите, что если график Гу связен и локально компактен, то функция / непрерывна. 20.36. Верно ли какое-нибудь из утверждений задач 20.33-20.35 для отображений /: Ж2 -> К? 20.7. Топологические свойства произведений 20.N. Произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово. 20.37. Произведение регулярных пространств регулярно. 20.38. Произведение нормальных пространств не обязательно является нормаль- 20.38.1. Пусть 1Ζ — прямая с топологией, базой которой является множество промежутков вида [а; Ь). Докажите, что ΊΖ является нормальным пространством. 20.38.2. Множество V = {(ж, —ж) (Ξ ΊΖ- Χ 1Ζ} замкнуто, а индуцированная на нём топология дискретна. 20.38.3. Укажите два непересекающихся подмножества в V, которые не имеют в 1Ζ Χ 1Ζ непересекающихся окрестностей. 20.0. Произведение сепарабелъных пространств сепарабельно. 20.Р. Произведение пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счётности, удовлетворяет первой аксиоме счётности.
§ 20. Перемножение 125 20. Q. Произведение пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, удовлетворяет второй аксиоме счётности. 20.R. Произведение метризуемых пространств метризуемо. 20. S. Произведение связных пространств связно. 20.39. Докажите, что если Χ, Υ — связные пространства, а А, В — их собственные подмножества, то множество Χ Χ Υ\Ах В связно. 20. Т. Произведение линейно связных пространств линейно связно. 20. U. Произведение компактных пространств компактно. 20-40. Докажите, что произведение локально компактных пространств локально компактно. 20-41· Докажите, что если пространство X паракомпактно, а пространство Υ компактно, тоХхУ паракомпактно. 20-42. Для каких из топологических свойств, рассмотренных выше, из того, что произведение Χ Χ Υ обладает этим свойством, следует, что и пространство X им обладает? 20-43. Пусть /: X —> Υ — замкнутое (не обязательно непрерывное!) отображение. Предположим, что у всякой точки у (ζΥ прообраз f^~1(y) является компактным подмножеством в X. Докажите, что если пространство Υ компактно, то и X также является компактным. 20.8. Представление пространств в виде произведений 20. V. Гомеоморфны ли пространства R2 \ 0 и S1 xl? 20-44- Докажите, что пространство М" \ Жк гомеоморфно Sn~k"1 х Mfe+1. 20.45. Докажите, что пространство 5ПП {χ£Μη+1 \χ\ + ...+χ\ ζζ|+1+.. .+ж^+1} гомеоморфно 5fe_1 χ Dn~k+1. 20.46. Докажите, что пространство 0(п) ортогональных η χ η-матриц гомеоморфно SO(n) χ O(l). 20-47. Докажите, что пространство GL(n) гомеоморфно SL(n) x GL(1). 20.48. Докажите, что пространство GL+(n) = {Ae GL(n) | det A > 0} n(n + l) гомеоморфно SO (η) χ R 2 20.49. Докажите, что пространство 50(4) гомеоморфно S3 х 50(3). Пространство 51 χ S1 называется тором. 20. W. Вложите тор в R3. Произведение к сомножителей 51 χ ... χ S1 называется к-мерным тором. 20.Х. Вложите fc-мерный тор в Rk+1. 20. Υ. Вложите произведения S1 x D2, S1 x S1 χ I и S2 χ Ι вШ.3.
126 Глава 4. Топологические конструкции § 21. Факторизация 21.1. Теоретико-множественное отступление: разбиения и отношения эквивалентности Напомним, что разбиение множества — это его покрытие попарно непересекающимися подмножествами. С каждым разбиением S множества X связано отношение эквивалентности (т. е. рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение): две точки объявляются эквивалентными, если они принадлежат одному элементу разбиения S. Обратно, с каждым отношением эквивалентности в множестве X связано разбиение этого множества на классы эквивалентных элементов. Так что разбиения множества на непустые подмножества и отношения эквивалентности в нём — это по существу одно и то лее, точнее, это два способа описания одного явления. Пусть X — множество, S — его разбиение. Множество, элементами которого являются подмножества X, составляющие разбиение S, называется фактормножеством множества X по разбиению S и обозначается через Χ/β (это множество называется также фактормножеством или множеством классов эквивалентности множества X по соответствующему отношению эквивалентности) 1. 21.1. Загадка. Как эта операция связана с делением чисел? Отчего обозначения и названия похожи? Отображение X —» X/ Si относящее каждой точке х£Х содержащий её элемент разбиения 5, называется проекцией или отображением факторизации и обозначается через рг или prs. Подмножества множества X, составленное из целых элементов разбиения, называются насыщенными. Наименьшее насыщенное множество, содержащее подмножество А множества X, называется насыщением множества А. 21.2. Докажите, что множество А С X есть элемент разбиения S множества X, согда А = pr—1 (point), где рг: X —> X/g — естественная проекция. 21.А. Докажите, что насыщение множества А равно рг-1 (рг(А)). 21.В. Докажите, что множество насыщено, согда оно совпадает со своим насыщением. JHa первый взгляд определение фактормножества противоречит одному из наиболее фундаментальных принципов теории множеств, согласно которому множество определяется своими элементами. В самом деле, этот принцип не оставляет никакого сомнения в том, что X/ S — ^, поскольку S и X/ S имеют одни и те же элементы. Так что кажется нет необходимости вводить X/'д. Истинное значение перехода от разбиения к фактормножеству не в изменении буквального теоретико-множественного смысла, а в изменении нашего отношения к элементам разбиения. Пока мы помним, что они являются подмножествами исходного множества, и не прочь думать об их внутреннем устройстве (хотя бы об их элементах), мы говорим о разбиении. Как только мы стали думать об элементах разбиения как о неделимых частицах, мы начинаем говорить об элементах фактормножества.
§21. Факторизация 127 21.2. Фактортопология Фактормножество Χ/β топологического пространства X по любому его разбиению S на непустые подмножества наделяется естественной топологией: множество U с X/S объявляется открытым в X/Si если открыт его прообраз рг_1(?7) при отображении рг: X —» X/S- 21. С. Если S — разбиение множества Χ, α Ω — топология в X, то набор {U С X/S | Рг_1(?7) 6 Щ действительно является топологической структурой в X/S- Эта топологическая структура называется фактортопологией, а множество X/Si наделенное ею, называется факторпространством пространства X по разбиению S. 21.3. Опишите явно факторпространсгво отрезка по раз- I— 1 1 ] биению S, состоящему из множеств [0; j], (j; j], (|; 1]. 21.4- Что можно сказать о разбиении S топологического · · · пространства X, если факторпространство X/ g дискретно? а Ь с 21.D. Множество в факторпространстве X/S открыто, согда оно — образ насыщенного открытого множества при отображении рг. 21.Е. Множество в факторпространстве X/S замкнуто, согда его прообраз при проекции замкнут в X, согда оно является образом насыщенного замкнутого множества. 21.F. Каноническая проекция рг: X —» X/ S является непрерывным отображением. 21. G. Докажите, что фактортопология является самой тонкой топологией в X/Si п0 отношению к которой проекция рг непрерывна. 21.3. Топологические свойства факторпространств 21.Н. Факторпространство связного пространства связно. 21.1. Факторпространство линейно связного пространства линейно связно. 21.3. Факторпространство сепарабельного пространства сепарабельно. 21. К. Факторпространство компактного пространства компактно. 21.L. Факторпространство прямой по её разбиению на М+ и R \ R+ не хаусдорфово. 21. М. Факторпространство топологического пространства X по разбиению S хаусдорфово, согда любые два элемента этого разбиения обладают непересекающимися насыщенными окрестностями. 21.5. Сформулируйте в том же духе условия, необходимые и достаточные для того чтобы факторпространство удовлетворяло другим аксиомам отделимости и аксиомам счётности. 21.6. Постройте пример, показывающий, что существование счётной базы может теряться при переходе к факторпространству.
128 Глава 4. Топологические конструкции 21.4. Теоретико-множественное отступление: факторотображения Пусть S — разбиение множества X на непустые подмножества и /: X —» —» У — отображение, постоянное на каждом элементе разбиения S. Тогда возникает отображение Χ/β —* У ι относящее каждому элементу А разбиения S элемент f(A). Это отображение обозначается через f/g и называется фактором отображения / (по разбиению S). 21. N. 1) Докажите, что отображение /: X —» У постоянно на каждом элементе разбиения S множества X, согда существует такое отображение д: X/ S —* У ι чт0 коммутативна диаграмма X —> У x/s 2) Докажите, что каждое такое отображение д совпадает с //g- Более общо, если S и Τ — разбиения множеств X и У, то всякому отображению /: X —» У, переводящему элементы разбиения 5 в элементы разбиения Т, отвечает отображение Χ/β —* У/ΖΊ относящее элементу А разбиения S элемент разбиения Т, содержащий f(A). Это отображение обозначается через f I (S Т) и называется факторотображением отображения / (по разбиениям S и Т). 21.0. Обобщите утверждение задачи 21.N на случай отображений fl{s, ту Произвольное отображение f:X—*Y определяет разбиение множества X на непустые прообразы элементов множества У. Это разбиение обозначается через S(f). 21.Р. Отображение f/S(f): X/S(f) ~* У инъективно. Это отображение называется инъективным фактором отображения /. 21.5. Непрерывность факторотображений 21.Q. Если Χ, Υ — топологические пространства, S — разбиение пространства X на непустые множества и f: X —» У — непрерывное отображение, постоянное на каждом элементе разбиения S, то фактор f/g отображения / является непрерывным отображением. 21.7. Если отображение / открыто, то и факторотображение f/g открыто. 21.8. Пусть Χ, Υ — топологические пространства и S — разбиение пространства X на непустые множества. Формула / н-> f/g определяет биекцию множества непрерывных отображений X —> Y, постоянных на каждом элементе разбиения S, на множество всех непрерывных отображений X/S —> У· 21.R. Если /: X —» У — непрерывное отображение, для которого существует отображение f / (S Τ) '■ X/S ~* У Ι Τι т0 эт0 отображение f / (β Τ) непрерывно.
§22. Зверинец факторпространств 129 21.6х. Замкнутые разбиения Разбиение S топологического пространства X называется замкнутым, если насыщение каждого замкнутого множества замкнуто. 21. 9х. Докажите, что разбиение замкнуто, согда каноническая проекция X —> X/ S является замкнутым отображением. 21.10х. Докажите, что разбиение, содержащее всего один неодноточечный элемент, замкнуто, если этот элемент — замкнутое множество. 21.Sx. Пусть X — пространство, удовлетворяющее первой аксиоме отделимости, S — его замкнутое разбиение. Тогда факторпространство Χ/β удовлетворяет первой аксиоме отделимости. 21. Тх. Факторпространство нормального пространства по замкнутому разбиению нормально. 21.7х. Открытые разбиения Разбиение S топологического пространства X называется открытым, если насыщение каждого открытого множества открыто. 21.Их. Докажите, что разбиение открыто, согда каноническая проекция X —> X/g является открытым отображением. 21.12х. Докажите, что если множество А насыщено относительно открытого разбиения, то Int А и С1А тоже насыщены. 21. Ux. Факторпространство пространства со счётной базой по открытому разбиению обладает счётной базой. 21. Vx. Факторпространство пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счётности, по открытому разбиению удовлетворяет первой аксиоме счётности. 21. Wx. Пусть S — открытое разбиение пространства X и Τ — открытое разбиение пространства Υ. Обозначим через S χ Τ разбиение пространства Χ χ Υ, состоящее из множеств вида Ах В, где А£ S и В £ е Т. Тогда инъективный фактор Χ χ Υ/β χ Τ —* X/S x Υ/Τ отображения prs х prT: Χ χ Υ —» Χ/S Χ Υ/Τ является гомеоморфизмом. § 22. Зверинец факторпространств 22.1. Инструмент распознавания факторпространств 22.А. Инъективный фактор непрерывного отображения компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом. (Иными словами, если /: X —» Υ — непрерывное сюръективное отображение, X компактно, Υ хаусдорфово, то отображение f/S(f)'- X/S(f) ~* Υ есть гомеоморфизм). 22. В. Инъективный фактор непрерывного отображения компактного пространства в хаусдорфово пространство является топологическим вложением. 22.1. Опишите разбиения отрезка, факторизации по которым дают связные буквы латинского алфавита. 22.2. Докажите, что существует разбиение отрезка /, факторпространство по которому гомеоморфно квадрату 1x1.
130 Глава 4. Топологические конструкции 22.2. Живописание разбиений Обычно аккуратное буквальное описание разбиения громоздко, но его молено сократить и сделать понятнее. Конечно, это требует более обширного и гибкого словарного запаса, в котором различия между отдельными словами почти неуловимы. Например, выражения профакторизуем и перейдём к факторпространству могут заменятся словами приклеим, стянем, отождествим и тому подобными словами из повседневной речи, имеющие в ней чем-то похожие значения. Некоторые элементы этого языка легко формализуются. Например, факторизация пространства X по разбиению, состоящему из множества А и одноточечных подмножеств дополнения X \ А, называется стягиванием (множества А в точку), а соответствующее факторпространство обозначается через Х/а- 22.3. Пусть пересекающиеся множества А,ВСХ составляют фундаментальное покрытие топологического пространства X. Докажите, что факторотображение Α/ Α ηβ -> Χ /β включения A t—> X является гомеоморфизмом. Если А ж В — непересекающиеся подпространства пространства X и /: А —» В — гомеоморфизм, то факторизация пространства X по разбиению на одноточечные подмножества множества X \ (A U В) и двухточечные множества {х, f(x)}, где χ £ А, называется склеиванием или отождествлением (множеств А и В посредством гомеоморфизма /). Удобный и гибкий подход к описанию разбиений открывается переходом к соответствующим отношениям эквивалентности. Главное достоинство этого подхода в том, что благодаря транзитивности достаточно указать лишь некоторые пары эквивалентных элементов: если сказано, что χ ~ у и у ~ ζ, то нет нужды говорить, что χ ~ ζ, так как это следует из уже сказанного. Таким образом, разбиение может быть описано списком формул вида χ ~ у, которых достаточно для того чтобы восстановить эквивалентность. Такой список формул, заключённый в квадратные скобки, будет обозначать ниже соответствующее разбиение. Например, факторпространство пространства X, полученное в результате отождествления подмножеств Ανι В посредством гомеоморфизма /: А -> В обозначается через Х/[а ^ да) для любого аеА] или просто через Х/\а ~ /(а)]· Некоторые разбиения легко описать картинкой, особенно если исходное пространство вкладывается в плоскость. Например, отрезки, которые должны быть склеены посредством линейных гомеоморфизмов, снабжают одинаковыми буквами а также стрелками, показывающими, как налагаются эти отрезки друг на друга. Ниже мы вводим все эти разновидности описаний разбиений и указываем, как ими пользуются, на примерах, приводя также и громоздкие буквальные описания. Последние выглядят безобразно, но к ним приходится прибегать для того чтобы поддержать у читателя уверенность в правильном понимании новых слов и ощущение их полезности.
§ 22. Зверинец факторпространств 131 22.3. Добро пожаловать в зверинец! 22.С. Докажите, что факторпространство //[о ^, ι] гомеоморфно S1. Другими словами, факторпространство отрезка / по разбиению, состоящему из {0,1} и множеств {а} с а £ (0; 1), гомеоморфно окружности. 22. С. 1. Постройте непрерывное сюръективное отображение / —» S1, у которого разбиение на прообразы точек состоит из одноточечных множеств внутренности отрезка и пары его граничных точек. 22.D. Докажите, что факторпространство Όη/βη~1 гомеоморфно сфере 5". Другими словами, факторпространство шара Dn по его разбиению на одноточечные подмножества его внутренности и на S""1 гомеоморфно 5". Далее мы будем говорить, что если стянуть границу шара в точку, то получится сфера. 22.D.1. Постройте непрерывное отображение шара Dn на сферу 5", переводящее границу шара в одну точку и биективно отображающее его внутренность на дополнение этой точки. 22.Е. Докажите, что факторпространство /2/[(0,ί) ~ (Ι,ί) для t е I] г0~ меоморфно S1 χ I. Другими словами, факторпространство квадрата I2 по разбиению на пары точек {(Ο,ί), (Ι,ί)} с t€ I и на одноточечные подмножества из (0; 1) χ / гомеоморфно цилиндру 51 χ /, Далее мы будем говорить, что если склеить боковые стороны квадрата так, чтобы отождествлялись точки, лежащие на одной высоте, то в результате получится цилиндр. Г> 22.F. Факторпространство 51 χ Ι/[(ζ,0) ~ (ζ, 1) для ζ £ S1] гомеоморфно тору 51 xS1. Другими словами, факторпространство цилиндра S1 χ / по разбиению на одноточечные подмножества его внутренности 51 χ (0; 1) и пары точек оснований, лежащих на одной образующей, гомеоморфно тору 51 χ 51. Говорят, что если склеить основания цилиндра, отождествляя точки, лежащие на одной образующей, то получится тор.
132 Глава 4. Топологические конструкции 22.G. Факторпространство/2Λ(ο,ί) ~ (l,i), (t 0) ~ (ί, 1)1 гомеоморфно тору S1 χ S1. Другими словами, результат факторизации квадрата I2 по разбиению на о одноточечные подмножества его внутренности, о пары точек внутренностей боковых сторон, находящихся на одинаковом расстоянии от нижнего основания, о пары точек внутренностей оснований, лежащих на одной вертикали, о четвёрку вершин, гомеоморфен тору S1 x S1. Говорят, если склеить стороны квадрата, как показано на рисунке, то получится тор. -3 22.4. Транзитивность факторизации Решение задачи 22. G естественно свести к решению задач 22. Ε и 22. F и применению следующей теоремы. 22.Н. Транзитивность факторизации. Если S — разбиение пространства X и S' — разбиение пространства X/д, то факторпространство {X/S)lS' канонически гомеоморфно Χ/χ, где Τ — разбиение пространства X на прообразы элементов разбиения S' при проекции X —» Χ/5- 2 2.5. Лента Мёбиуса Лентой Мёбиуса или листом Мёбиуса называется факторпространство l2/[(0,t) ~ (1,1 — ί)1· Другими словами, это факторпространство квадрата Ρ по разбиению на пары симметричных относительно центра квадрата точек его боковых сторон и на не лежащие на боковых сторонах одноточечные подмножества. Как к тому вы, надеемся, уже привыкли, мы будем говорить, что лента Мёбиуса получается при склеивании боковых сторон квадрата так, чтобы совместились направления, показанные стрелками: 22.1. Докажите, что лента Мёбиуса гомеоморфна поверхности, заметаемой в R3 отрезком, который поворачивается в полуплоскости на 180° вокруг своей середины при одновременном вращении этой полуплоскости на 360° вокруг своей граничной прямой.
§ 22. Зверинец факторпростпранств 133 22.6. Стягивание подпространств 22.4- Докажите, что факторпространство [0; l]/[i; 2] гомеоморфно [0; 1], а фактор- пространство [0; l]/{i, 1} гомеоморфно букве Р. 22.5. Докажите, что следующие пространства гомеоморфны: 1) R2; 2) R2//; 3) К2/д2; 4) R2//2; 5) R2/Ai гДе ^ — объединение нескольких замкнутых отрезков с общим концом; 6) Ж2/β, где В — простая конечнозвенная ломаная, т.е. объединение конечной последовательности замкнутых отрезков, в которой начало каждого следующего отрезка совпадает с концом предыдущего. 22.6. Докажите, что если /: X —> Υ — гомеоморфизм, то факторпространства X/ А и Υ Ι /(Λ) гомеоморфны. 22.7. Рассмотрим луч А = {(ж, у) | i^0,t/ = 0}c82. Верно ли, что факторпространство R2/а гомеоморфно Int D2 U {(0,1)}? 22.7. Пространства красивых конфигураций 22.8. Докажите, что пространство S1/\z ~ е27Г*/3г] гомеоморфно S1. Другими словами, факторпространство окружности по её разбиению на тройки точек, являющихся вершинами равносторонних треугольников, гомеоморфно окружности. 22.9. Докажите, что следующие факторпространства круга D2 гомеоморфны самому кругу D2: 1) о2/[(х,2/)~(-х,-2/)]; 2) Ζ>2/[(χ,ί,)~(χ,-ί/)]; 3) £>2/[(х,у)~(-у,х)]· 22.10. Придумайте обобщение задачи 22.9 с Dn вместо D2. 22.11. Опишите явно факторпространство прямой R1 по отношению эквивалентности i~t/<Si-jGZ. 22.12. Представьте ленту Мёбиуса как факторпространство цилиндра S1 χ /. 22.8. Бутылка Клейна Бутылкой Клейна называется факторпространство /а/[(*. о) ~ (*, 1), (о, *) ~ (ι, ι - *)]■ Другими словами, это факторпространство квадрата I2 по разбиению на о одноточечные подмножества его внутренности, о четвёрку вершин, о пары точек оснований, расположенных на одной вертикали, о пары точек боковых сторон, симметричных относительно центра квадрата. 22.13. Представьте бутылку Клейна как результат факторизации: 1) цилиндра; 2) ленты Мёбиуса. 22.14- Докажите, что пространство S1 χ ^/[(ζ,ιο) ~ (—ζ,ТО)] гомеоморфно бутылке Клейна. (Здесь через w обозначается комплексное число, сопряжённое числу w.) 22.15. Вложите бутылку Клейна в R4 (ср. 22.1 и 20.W). 22.16. Вложите бутылку Клейна в R4 так, чтобы её образ при ортогональной проекции М4 —> R3 выглядел так, как изображено на рисунке.
134 Глава 4. Топологические конструкции 22.9. Проективная плоскость Давайте склеим каждую граничную точку круга D2 с диаметрально противоположной точкой, т. е. профакторизуем круг по разбиению на пары симметричных относительно центра круга точек граничной окружности и одноточечные множества внутренности круга. Результат называется проективной плоскостью. Это пространство, как и бутылка Клейна, не вкладывается в М3, так что его не нарисуешь. Вместо этого мы представим его по-другому. 22. J. Проективная плоскость есть результат склеивания круга и ленты Мёбиуса при помощи гомеоморфизма между граничной окружностью круга и граничной окружностью ленты Мёбиуса. 22.10. Понимаете ли Вы, что делаете? Вас «спровоцировали» ... Решив предыдущую задачу, вы сделали нечто не предусмотренное предыдущей теорией. В самом деле, операция над двумя пространствами, которая в 22.J названа склеиванием, раньше не появлялась. Она представляет собой композицию двух операций — сначала нужно изготовить из двух пространств одно, состоящее из не пересекающихся друг с другом экземпляров исходных пространств, а затем нужно профак- торизовать это пространство, отождествляя точки экземпляра одного пространства с точками экземпляра другого. Займемся первой операцией более детально. 22.11. Сумма множеств Суммой семейства множеств {Ха}аеА называется множество таких пар (ха,а), что ха £ Ха. Обозначается это множество символом UaeA-^™· Таким образом, мы можем записать, что U^=U(^X а). а£А а£А Для каждого β £ А существует естественная инъекция Ίηβ: Χβ -> U Ха: χ ^ (χ,β). а£А Если рассматривается сумма только двух множеств, скажем X и У, про которые известно, что общих точек у них нет, то молено обойтись без семейств и без индексов, положив XLlY = {(x,X)\xeX}U{(y,Y)\yeY}. 22.12. Сумма пространств 22.К. Если {Ха}аеА — семейство топологических пространств, то совокупность подмножеств множества |_|a6A-Xaj прообразы которых при всех включениях ina с а£А являются открытыми, образует топологическую структуру. Сумма множеств [__)α(ΞΑ Ха с этой топологией называется {несвязной) суммой топологических пространств Ха, а £ А.
§22. Зверинец факторпространств 135 22.L. Топология, описанная в 22.К, есть самая тонкая топология, относительно которой все включения та непрерывны. 22.17. Отображения in^: Χβ —► [_1<*еА^<* являются топологическими вложениями и их образы одновременно открыты и замкнуты в и„ед Х<х- 22.18. Какие топологические свойства передаются от слагаемых Ха к несвязной сумме UagA-^"' a какие нет? 22.13. Склеивание пространств Пусть Χ, Υ — топологические пространства, А — подмножество пространства X и /: А —» Υ — непрерывное отображение. Факторпространство (X U Y)l\a ~ f(a) при а £ А] обозначается через X U fY и называется результатом приклеивания пространства X к пространству Υ посредством /. Отображение / называется приклеивающим отображением. Разбиение X U Υ, по которому производится факторизация, состоит из одноточечных множеств, лежащих в т2(У \ А) и in1(X \/(A)), и множеств in^Uh^/-1^)) cxef(A). 22.19. Докажите, что композиция включения Υ —> X и Υ и проекции X U Υ —> —> X U fY является топологическим вложением. 22.20. Докажите, что если Υ — точка, то X U fY ^ Х/а· 22. М. В результате приклеивания шара к его копии посредством тождественного отображения граничной сферы 5"-1 получается пространство, гомеоморфное 5". 22.21. Докажите, что бутылку Клейна можно получить, приклеив ленту Мёбиуса к её копии посредством тождественного отображения граничной окружности. J L 22.22. Докажите, что в результате приклеивания цилиндра S1 χ Ι к его копии посредством тождественного отображения пары граничных окружностей на пару граничных окружностей получается пространство, гомеоморфное S1 χ S1. 22.23. Докажите, что в результате приклеивания полноторил S1 χ D2 к его копии посредством тождественного отображения граничного тора S1 x S1 получается пространство, гомеоморфное S1 x S2. 22.24- Представьте бутылку Клейна как результат приклеивания цилиндра S1 χ Ι к своей копии. 22.25. Докажите, что в результате приклеивания полнотория S1 x D2 к его копии посредством отображения S1 x S1 —» S1 x S1 граничного тора на себя, определяемого формулой (х,у) ь-+ (у, ж), получается пространство, гомеоморфное трёхмерной сфере S3.
136 Глава 4. Топологические конструкции 22. N. Пусть Χ, У — топологические пространства, АсХи/, g: А —> У — непрерывные отображения. Докажите, что если существует такой гомеоморфизм h: У —* У, что hо / = д, то пространства X U/У и X U ,У гомеоморфны. 22.0. Пространство Dn\JfDn гомеоморфно 5" для любого гомеоморфизма 22.26. Расклассифицируйте с точностью до гомеоморфизма пространства, получающиеся из квадрата при помощи склеивания пары его противоположных сторон посредством некоторых гомеоморфизмов. 22.27. Расклассифицируйте с точностью до гомеоморфизма пространства, получающиеся из двух копий S1 χ I при помощи склеивания двух пар S1 х {0,1} посредством некоторых гомеоморфизмов. 22.28. Докажите, что топологический тип результата склеивания двух лент Мёбиуса посредством некоторого гомеоморфизма их граничных окружностей не зависит от выбора гомеоморфизма. 22.29. Расклассифицируйте с точностью до гомеоморфизма пространства, получающиеся из S χ / при помощи склеивания S1 χ 0 с S1 χ 1 посредством некоторого гомеоморфизма. 22.14. Основные поверхности Top S1 χ S1 с удаленным из него подпространством, представляющим собой внутренность вложенного в 51 χ 51 круга D2, называется ручкой. Сфера S2 с удаленными из неё внутренностями η вложенных и попарно непересекающихся кругов D2 называется сферой с η дырами. 22. Р. Сфера с дырой гомеоморфна кругу D2. 22. Q. Сфера с двумя дырами гомеоморфна цилиндру S1 χ I. Сфера с тремя дырами не гомеоморфна какому-либо пространству, с которым мы встречались выше. Однако она заслуживает особого упоминания. Называется эта поверхность штаны. Результат приклеивания к сфере с ρ дырами суммы ρ экземпляров ручки посредством отождествления их граничных окружностей с образами — граничными окружностями сферы с дырами (краями дыр), называется сферой
§ 22. Зверинец факторпространств 137 с ρ ручками или, более торжественно (и до поры до времени менее понятно), ориентируемой замкнутой связной поверхностью рода р. 22.30. Докажите, что сфера с ρ ручками определена с точностью до гомеоморфизма (т. е. топологический тип результата приклеивания не зависит от приклеивающих вложений). 22. R. Сфера с одной ручкой гомеоморфна тору 51 χ S1. 22. S. Сфера с двумя ручками гомеоморфна результату приклеивания ручки к своей копии посредством тождественного отображения граничной окружности. Сфера с двумя ручками называется также кренделем (иногда так называют и сферу с большим числом ручек). Пространство, получающееся из сферы с q дырами в результате приклеивания к ней q экземпляров ленты Мёбиуса посредством отождествления их граничных окружностей с образами — граничными окружностями дыр, называется сферой с q пленками или неориентируемой замкнутой связной поверхностью рода q. 22.31. Докажите, что топологический тип сферы с пленками определен однозначно, т. е. не зависит от выбора приклеивающих гомеоморфизмов. 22. Т. Сфера с одной пленкой гомеоморфна проективной плоскости. 22. U. Сфера с двумя пленками гомеоморфна бутылке Клейна. Сфера, сферы с ручками и сферы с пленками называются основными поверхностями. 22. V*. Сфера с ρ ручками и q пленками (здесь q > 0) гомеоморфна сфере с 2р + q пленками. 22.32. Расклассифицируйте с точностью до гомеоморфизма топологические пространства, получающиеся приклеиванием ρ экземпляров пространства S1 χ Ι к сфере с 2р дырами.
138 Глава 4. Топологические конструкции § 23. Проективные пространства Этот параграф может рассматриваться как продолжение предыдущего. В нём описываются конкретные факторпространства, но эти факторпростран- ства, пожалуй, играют слишком важную роль для того чтобы относиться к ним просто как к примерам, иллюстрирующим факторизацию. 23.1. Вещественные проективные пространства Вещественное проективное пространство размерности η определяется как факторпространство сферы 5" по разбиению на пары диаметрально противоположных точек и обозначается через Ш.Рп. 23.А. Пространство ЖРп гомеоморфно факторпространству п-мерного шара Dn no разбиению на одноточечные подмножества внутренности шара Dn и пары антиподальных точек граничной сферы S"1-1. 23.В. ΆΡ0 есть точка. Пространство Ш.Р1 называется проективной прямой. 23. С. Пространство ΆΡ1 гомеоморфно окружности S1. 23.D. Пространство Ш.Р2 гомеоморфно проективной плоскости, которая была определена в предыдущем пункте. 23. Е. Пространство ЖРп канонически гомеоморфно факторпространству пространства Rn+1 \ 0 по разбиению на одномерные векторные подпространства пространства Rn+1 с удаленным нулем. Точка пространства Rn+1 \ 0 есть последовательность вещественных чисел, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. В этом контексте их принято нумеровать, начиная нумерацию не с единицы, а с нуля (чтобы закончить п-м, а не (п+1)-м), и называть однородными координатами соответствующей точки пространства ЖРп. Точка, ими определяемая, обозначается через (х0 : Χι :...: хп). Однородные координаты определяют точку пространства ЖРп, но не определяются ею: одной и той же точке пространства ЖРп отвечают пропорциональные наборы однородных координат. 23. F. Пространство ΆΡη канонически гомеоморфно пространству прямых пространства R"+1, проходящих через точку 0 = (0,..., 0) с метрикой, которая определяется как угол между прямыми (число, не превышающее π/2). (Прежде всего, докажите, что это действительно метрика.) 23. G. Покажите, что отображение t:Rn -> ΆΡη: (Хг,...,хп) ^ (1 : хг : . .. : хп), является топологическим вложением. Каков образ этого отображения и как устроено обратное отображение образа на R"? 23. Н. Постройте топологическое вложение ЖР71"1 —> ЖРп, образ которого совпадает с ЖРп \ г(К"), где г — вложение, определённое в задаче 23. G. Таким образом, проективное пространство ЖРп можно рассматривать как результат присоединения к евклидову пространству R" «несобственных»
§ 23. Проективные пространства 139 или «бесконечно удалённых» точек, составляющих проективное пространство Ri"1-1 на единицу меньшей размерности. 23.1. Введите естественным образом топологическую структуру в множестве всех прямых на плоскости и докажите, что полученное пространство гомеоморфно: 1) ЖР2 \ point; 2) открытой ленте Мёбиуса (т. е. ленте Мёбиуса с удалённой граничной окружностью). 23.2. Докажите, что множество поворотов трёхмерного пространства Ж3 вокруг всевозможных прямых на всевозможные углы, снабжённое естественной топологической структурой, гомеоморфно ЖР3. 23.2х. Комплексные проективные пространства Комплексное проективное пространство размерности η определяется как факторпространство единичной сферы S2n+1 пространства Cn+1 по её разбиению на окружности, высекаемые (комплексными) прямыми пространства Cn+1, проходящими через начало координат. Обозначается оно через СР". 23.1х. Пространство СР"1 гомеоморфно факторпространству единичного замкнутого шара D2n пространства С" по разбиению, элементами которого служат множества внутренности шара D2n и окружности, высекаемые на его граничной сфере 52"-1 (комплексными) прямыми пространства С", проходящими через начало координат. 23. Jх. Пространство СР° состоит из одной точки. Пространство СР1 называется комплексной проективной прямой. 23. Кх. Комплексная проективная прямая СР1 гомеоморфна S2. 23.Lx. Пространство СР" канонически гомеоморфно факторпространству пространства Cn+1 \ 0 по разбиению на проколотые в точке нуль комплексные прямые пространства Cn+1, проходящие через ноль. Таким образом, пространство СР" можно представить как пространство классов комплексно пропорциональных ненулевых последовательностей (а;о,.. ·, хп) комплексных чисел. Обозначение (х0 : х1 : ... : хп) и термин однородные координаты, введённые выше в вещественном случае, переносятся и на комплексную ситуацию. 23. Мх. Пространство СР" канонически гомеоморфно множеству (комплексных) прямых пространства Cn+1, проходящих через точку ноль, топо- логизированному угловой метрикой (которая принимает значения в проме- жутке[0,|]). 23.Зх. Кватернионные проективные пространства Напомним, что в R4 имеется замечательное умножение, открытое Р. В. Гамильтоном (R. W. Hamilton) в 1843 году, которое можно задать формулой (х1,Х1,Х3,Х4) Χ (ϊ/1,2/2,2/3,2/4) = = (zij/i - Я22/2 - х3Уз ~ ХаУа, Х\У2 + Х2У1 + ХзУа ~ ХаУз, Х\Уз ~ %2Уа + ХзУ\ + %аУ2, Х\Уа + Х2У3 ~ Х3У2 + ХаУ\)· Оно билинейно, и для его описания достаточно указать произведения базис-
140 Глава 4. Топологические конструкции ных векторов. Последние в этом контексте принято обозначать, следуя Гамильтону, так: 1 = (1,0,0,0), г = (0,1,0,0), j = (0,0,1,0) и к = (0,0,0,1). В этих обозначениях 1 действительно является единицей: (1,0,0,0) χ χ = χ для любого xgi4. Остаток таблицы умножения выглядит так: ij = к, jk = i,- ki = j, ji=—k, kj =—г и ik=—j. Вместе с покоординатным сложением это умножение задаёт в R4 структуру алгебры. Её элементы называются кватернионами. 23.Nx. Убедитесь в том, что умножение кватернионов ассоциативно. Оно не коммутативно (например, ij = кф —к = ji). В остальном кватернионы очень похожи на комплексные числа. Как и в множестве комплексных чисел, в множестве кватернионов действует преобразование, которое называется сопряжением, обозначается, как и сопряжение комплексных чисел, чертой: χ н-► х~. Оно задаётся формулой (х1,х2,а?з! £4) >—► {%ι, —%2, —Хз, —Ха) и обладает следующими двумя замечательными свойствами. 23. Ох. Для любых кватернионов а и Ъ имеет место равенство аЪ = Ьа. 23.Рх. Для любого кватерниона а выполнено аа= \а\2, т.е. произведение а на сопряжённый ему кватернион ~а равно (|а|2, 0, 0,0). Последнее свойство позволяет определить для любого элемента а £ R4 обратный элемент а"1 = |α|~2ίϊ такой, что аа"1 = 1. Таким образом, алгебра кватернионов есть алгебра с делением или тело. Она обозначается через Η в честь своего открывателя Гамильтона. В пространстве Н" = R4n имеются правые кватернионные прямые, т. е. подмножества вида {(α-ιξ,..., αηξ) | ξ £ Η}, и аналогичные левые кватернионные прямые {(£<ΐι, · · ·, ξαη) \ ξ £ Η}. Каждая из них представляет собой вещественное четырёхмерное подпространство пространства Н" = R4n. 23.Qx. Найдите правую кватернионную прямую, не являющуюся левой кватернионной прямой. 23. Rx. Покажите, что две правые кватернионные прямые в Н" либо пересекаются только в точке 0, либо совпадают. Факторпространство единичной сферы g4n+3 пространства Hn+1 = R4n+4 по её разбиению на трёхмерные сферы, высекаемые правыми кватернионны- ми прямыми пространства Hn+1, называется (правым) кватернионным проективным пространством размерности п. Аналогично, только с разбиением на левые кватернионные прямые, определяется (левое) кватернионное проективное пространство размерности п. 23. Sx. Гомеоморфны ли правое и левое кватернионные проективные пространства одинаковых размерностей? Левое кватернионное проективное пространство размерности η обозначается через ШРп.
§ 24х. Конечные топологические пространства 141 23. Тх. Пространство ШР° состоит из одной точки. 23. Ux. Пространство ШРп гомеоморфно факторпространству единичного замкнутого шара Din пространства Н" по разбиению, элементами которого служат множества внутренности шара Din и трёхмерные сферы, высекаемые на его граничной сфере S4n~ * (левыми кватернионными) прямыми пространства Н". Пространство ШР1 называется кватернионной проективной прямой. 23. Vx. Кватернионная проективная прямая ШР1 гомеоморфна S4. 23. Wx. Пространство ШРп канонически гомеоморфно факторпространству пространства Hn+1 \ 0 по разбиению на проколотые в точке нуль левые кватернионные прямые пространства Шп+1, проходящие через начало координат. Таким образом, ШРп можно представить как пространство классов кватер- нионно пропорциональных слева ненулевых последовательностей кватернионов (х0, · · · ,хп)· Обозначение (х0 ) и термин однородные координаты, введённые выше в вещественном случае, переносятся и на кватернионную ситуацию. 23. Хх. Пространство ШРп канонически гомеоморфно множеству (левых кватернионных) прямых пространства Hn+1, топологизированному угловой метрикой (которая принимает значения в промежутке [0, ^]). § 24х. Конечные топологические пространства 24.1х. Теоретико-множественное отступление: расщепление транзитивного отношения на эквивалентность и порядок В определениях отношений порядка и эквивалентности условие транзитивности представляется наиболее значимым. В этом пункте мы придадим этому ощущению формальное обоснование, показав, что остальные условия в некотором смысле являются неизбежными естественными спутниками транзитивности, хотя и не следуют из неё. 24·Ах. Пусть -< — транзитивное отношение на множестве X. Тогда отношение ^, определяемое следующим образом: а~Ь, если а -< b или а=Ь, тоже транзитивно (и, кроме того, конечно же рефлексивно, т. е. а^а для любого а £ X). Бинарное отношение ^ в множестве X называется предпорядком, если оно удовлетворяет следующим двум условиям. о Транзитивность. Если а ^ Ь и Ь ^ с, то а ^ с. о Рефлексивность, а ^ α для любого а. Множество X, снабжённое предпорядком ^, называется предупорядоченным.
142 Глава 4. Топологические конструкции Если предпорядок ещё и антисимметричен, то это — нестрогий порядок. 24·1χ· Является ли отношение а \ Ь предпорядком в множестве Ζ целых чисел? 24-Вх. Если (Х,^) — предупорядоченное множество, то отношение ~, определяемое следующим образом: а ~ Ъ, если а ^Ь и b ^ α, является отношением эквивалентности (т. е. сил*л*етричмо, рефлексивно и транзитивно) в X. 24-2х. Какое отношение эквивалентности определяется на множестве целых чисел предпорядком а | Ь? 24-Сх. Пусть [X, ^) — предупорядоченное множество и ~ — отношение эквивалентности, определённое предпорядком ^ на X согласно 24-Вх. Тогда из а' ~ а, а ^ 6 и 6 ~ 6' следует а1 ^<Ь', и тем самым ^ определяет на множестве классов эквивалентности X/^ некоторое отношение. Это отношение является нестрогим порядком. Таким образом, всякое транзитивное отношение порождает отношение эквивалентности и порядок в множестве классов эквивалентных элементов. 24-Dx. Во что вырождается эта цепочка конструкций, если исходное транзитивное отношение было 1) эквивалентностью, 2) нестрогим порядком? 24-Ех. Во всяком топологическом пространстве отношение ^, определяющееся следующим образом: а^Ь, если a G С1{6}, является предпорядком. 24-Зх. Во множестве всех подмножеств произвольного пространства отношение ^, определяющееся следующим образом: А-<В, если АСС1В, является предпорядком. Этот предпорядок определяет отношение эквивалентности, при котором множества эквивалентны, согда их замыкания совпадают. 24.Fx. Отношение эквивалентности, определённое предпорядком теоремы 24-Ех, определяет разбиение пространства на максимальные {по включению) антидискретные подпространства. Факторпространство по этому разбиению удовлетворяет аксиоме Колмогорова Т0. Факторпространство теоремы 24-Fx называется максимальным Т0-фактор- пространством пространства X. 24 ■ Gx. Непрерывный образ антидискретного пространства антидискретен. 24-Нх. Любое непрерывное отображение X —> Υ порождает непрерывное отображение максимального Г0-факторпространства пространства X в максимальное То-факторпространство пространства Υ. 24.2х. Структура конечного топологического пространства Результаты предыдущего пункта дают ключ к пониманию структуры конечных топологических пространств. Пусть X — конечное топологическое
§ 24х. Конечные топологические пространства 143 пространство. Согласно теореме 24-Fx оно оказывается разбито на антидискретные кластеры точек. При непрерывном отображении эти антидискретные кластеры отображаются, согласно 24-Gx, друг в друга. Таким образом, непрерывные отображения конечных пространств индуцируют непрерывные отображения факторпространств по разбиениям на антидискретные кластеры точек, ср. 24-Нх. Факторпространство конечного пространства по разбиению на максимальные антидискретные множества удовлетворяет, согласно 24-Fx, аксиоме отделимости Колмогорова. Как и всякое конечное пространство, оно является пространством наименьших окрестностей. В силу теоремы 15.0, топология этого факторпространства является топологией порядка. В силу теоремы 10.Хх, гомеоморфизмы между пространствами с топологией порядка являются монотонными биекциями. Таким образом, конечное топологическое пространство с точностью до гомеоморфизма характеризуется конечным частично упорядоченным множеством, элементы которого снабжены кратностями, представляющими собой натуральные числа. Два таких пространства гомеоморфны, согда между соответствующими упорядоченными множествами существует монотонная биек- ция, сохраняющая кратности. Для восстановления топологического пространства по упорядоченному множеству с кратностями нужно ввести в это множество топологию порядка, а затем заменить в нём каждую точку антидискретным кластером точек, в котором число точек равно кратности исходной точки. 24.3х. Симплициальные схемы Пусть V — множество и Σ — множество некоторых его конечных подмножеств. Пара (V, Σ) называется симплициальной схемой с множеством вершин V и множеством симплексов Σ, если о каждое подмножество любого элемента множества Σ само принадлежит Σ, о пересечение любого набора элементов множества Σ само принадлежит Σ, о каждое одноэлементное подмножество множества V принадлежит Σ. Множество Σ упорядочено по включению. Наделённое топологией этого частичного порядка, оно называется пространством симплексов симплициальной схемы (Χ, Σ). По каждой симплициальной схеме естественным образом строится и другое топологическое пространство. А именно, для симплициальной схемы (V, Σ) рассмотрим множество S(V, Σ) всех таких функций с: V —» [0; 1], таких, что Supp(c) = {υ € V Ι φ) φ 0} содержится в Σ и Συεν c(v) = 1· Снабдим множество S(V, Σ) топологией, порождаемой метрикой P(ci,c2) =sup|ci(u) -c2(v)\. vev
144 Глава 4. Топологические конструкции Пространство S(V, Σ) покрыто множествами {с е S | Supp(c) = σ}, где σ е Σ. Оно называется симплициалъным или триангулированным пространством, а множества вида {с е 5 | Supp(c) = σ} называются его (открытыми) симплексами. 24·4Χ· Какие открытые симплексы симплициального пространства являются открытыми множествами, какие — замкнутыми, а какие — ни теми, ни другими? 24·Ιχ· Найдите для каждого σ £ Σ гомеоморфизм подпространства {с € S | Supp(c) = σ} с S(V, Σ) на открытый симплекс, размерность которого на единицу меньше числа вершин, содержащихся в σ (напомним, что n-мерным открытым симплексом называется множество п+1 {(x1,...,xn+1)£'Rn+1\xj>0 дня j = l,...,n + l и ]Г:с; = 1}). 24- Jx- Докажите, что для любой симплициальной схемы (V, Σ) фактор- пространство симплициального пространства S(V, Σ) по его разбиению на открытые симплексы гомеоморфно пространству Σ симплексов симплициальной схемы (V, Σ). 24.4х. Барицентрическое подразделение частично упорядоченного множества 24-Кх. Найдите частично упорядоченное множество, не изоморфное упорядоченному по включению множеству симплексов какой бы то ни было симплициальной схемы. Пусть (X, -<) — частично упорядоченное множество. Рассмотрим множество всевозможных непустых конечных строго возрастающих последовательностей Οι -< а2 -<... -< ап элементов множества X, т. е. множество всех непустых конечных подмножеств, в каждом из которых -< индуцирует линейный порядок. Обозначим это множество через X'. Оно естественно упорядочено по включению. Частично упорядоченное множество (Х',С) называется производным частично упорядоченного множества (X, -<). Переход от частично упорядоченного множества к его производному можно повторить любое число раз. Так возникают кратные производные частично упорядоченного множества. 24-Lx. Для любого частично упорядоченного множества (X, -<) пара (X, X1) является симплициальной схемой. Имеется естественное отображение X' —» X, относящее элементу множества X', т. е. конечному непустому линейно упорядоченному подмножеству множества X, его наибольший элемент. 24-Мх. Монотонно ли это отображение? Строго ли монотонно? Монотонно ли аналогичное отображение, относящее конечному непустому линейно упорядоченному подмножеству множества X, его наименьший элемент? Пусть (V, Σ) — симплициальная схема, и Σ' — производное частично упоря-
§ 25х. Пространства непрерывных отображений 145 доченное множество множества Σ (упорядоченного по включению). Симпли- циальная схема (Σ, Σ') называется производной симплициалъной схемой или барицентрическим подразделением симплициальной схемы (V, Σ) Имеется естественное отображение Σ—>S(V, Σ), относящее симплексу σ е Σ, т. е. подмножеству {ν0, νι,...,νη} множества V, функцию Ьа: V —» R с ba(Vi) = ——г и ba{v) = 0 для любого υ ^ σ. Определим отображение β: 5(Σ, Σ') —» 5(ν,Σ), сопоставив функции φ: Σ —» R функцию У^1:«и ^</5(σ)6σ(υ). 24·Νχ. Отображение β: 5(Σ, Σ') —» 5(ν,Σ) является гомеоморфизмом, и этот гомеоморфизм составляет вместе с проекциями S(V, Σ) —» Σ и 5(Σ, Σ') —»■ Σ' на пространства симплексов и естественным отображением Σ' —» Σ коммутативную диаграмму 5(Σ,Σ') —£—► 5(V,E) Σ' § 25х. Пространства непрерывных отображений 25.1х. Множества непрерывных отображений Всюду далее через С(Х, Υ) будет обозначаться множество всех непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Υ. 25.1х. Пусть X ф 0. Докажите, что множество С(Х, Υ) состоит из одного элемента, согда пространство Υ одноточечно. 25.2х. Пусть Хф0. Докажите, что существует естественная инъекция Υ —> C(X, Y), откуда, в частности, следует, что cardC(X, Y) ^ card Y. 25.Зх. Загадка. Найдите естественные условия, при выполнении которых С(Х, Υ) = = Υ. 25.^х. Пусть Υ = {0, 1}, Ωγ = {0, {0}, Υ}. Докажите, что существует биекция между C(X,Y)nnx. 25.5х. Докажите, что если X — конечное дискретное пространство, то С(Х, Y) можно естественным образом отождествить с декартовым произведением Υ χ ... χ Υ (η сомножителей). 25.6χ. Пусть дискретное топологическое пространство Υ состоит из к точек. Найдите необходимое и достаточное условие для того чтобы множество С(Х, Υ) состояло из к2 элементов. 25.2х. Топологии в множестве непрерывных отображений Для χ £ X, U € Ω,γ, К С X положим . W(x,U) = {f:X-+Y\f(x)eU}, W(K,U) = {f:X^Y\f(K)cU},
146 Глава 4. Топологические конструкции и рассмотрим семейства Δο>«ο = {щ^и)\хех, UeΩγ}, Δ(οο) = {W(K, U) I К С X — компактное множество, £/ G Oy}. 25. Ах. Множество Д(рг") является предбазой топологической структуры на множестве С(Х, У). Топологическая структура Ω(ίηϋ) с предбазой Δ(ίηϋ) называется топологией поточечной сходимости, соответствующее топологическое пространство обозначается через С(рш)(Х, У). 25. Вх. Множество Д(со' является предбазой топологической структуры на множестве С{Х, У). Топологическая структура Ω(οο) с предбазой Д(с°) называется компактно- открытой топологией. Всюду далее, если не оговорено противное, будем предполагать, что топологическое пространство C(X,Y) — это пространство всех непрерывных отображений X —» Υ с заданной на нём компактно-открытой топологией. 25. Сх. Имеет место включение Ω(ίΚϋ) С Ω(ο°). 25.7х. Пространства С(1,1) и С(рг") (/, /) не гомеоморфны. Обозначим через Const(X, Υ) множество всех постоянных отображений /: X —> Υ. 25.8х. Докажите, что топологии Q(pw^ и Ω(°°) индуцируют одну и ту же топологическую структуру на множестве Const(X, Y), причём полученное топологическое пространство гомеоморфно Υ. 25.9х. Докажите, что если X = {χι,..., хп} с дискретной топологией, то пространство С(рг")(Х, Υ) гомеоморфно Υ χ ... χ Υ (η сомножителей). Верно ли это для пространства С{Х, У)? 25.Зх. Топологические свойства пространств непрерывных отображений 25.Dx. Докажите, что если пространство Υ хаусдорфово, то и пространство С(рш)(Х, У) хаусдорфово. Верно ли аналогичное утверждение для пространства С(Х, У)? 25.10х. Докажите, что пространство С(1, X) линейно связно, согда пространство X линейно связно. 25. Их. Докажите, что пространство C(pw^(I,I) не компактно. Компактно ли пространство С(1,1)7 25.4х. Метризуемый случай 25. Ex. Если пространство X компактно, а пространство У метризуемо, то пространство C(X,Y) метризуемо. Рассмотрим компактное пространство X и метрическое пространство (У, р). Положим d(f, 9) = max{p(f(x), g{x)) \ x G X). 25.Fx. Для любого компактного топологического пространства X и для любого метрического пространства У функция d является метрикой на множестве C(X,Y).
§ 25х. Пространства непрерывных отображений 147 Пусть X — топологическое пространство, У — метрическое пространство с метрикой р. Говорят, что последовательность /п отображений X —» У равномерно сходится к отображению /: X —> У, если для любого е > 0 существует такое натуральное число JV, что p(fn(x), f(x)) < ε при всех η > JV и χ £ Χ. 25. Gx. Метрика равномерной сходимости. Пусть X — компактное топологическое пространство, а У — метрическое пространство. Последовательность отображений /п: X —» Υ сходится к отображению /: X —> У в топологии, определенной метрикой d, согда последовательность /п равномерно сходится к /. 25.Нх. Полнота С(Х, Y). Пусть X — компактное, а (У, р) — полное метрическое пространство. Тогда метрическое пространство (C(X,Y),d^j полно. 25.1х. Метрика d индуцирует на С(Х, У) компактно-открытую топологию. 25.12х. Пространство С(Ж,1) метризуемо. 25.13х. Если Υ — ограниченное метрическое пространство и X = UiSi -^»> гДе множества Χ, компактны и X, С Int Xi+i для всех г = 1, 2,.. ., то пространство С(Х, Y) метризуемо. Обозначим через Сь(Х,У) множество всех ограниченных непрерывных отображений топологического пространства X в метрическое пространство Y. Положим d°°(f,9) = sup{p(/(i),9(i)) I x e X}. 25.14χ· Функция d°° является метрикой на множестве Съ{Х, Y). 25.15х. Пусть X — топологическое, а У — метрическое пространство. Последовательность /п ограниченных отображений X —> Υ сходится к /: X —> Υ в топологии, индуцированной метрикой d°°, согда /п равномерно сходится к /. 25.16х. Найдите такие пространства X и У, для которых топология, индуцированная метрикой d°°, не совпадает с топологией подпространства Сь(Х, Y) С С(Х, Y). 25.5х. Связь с другими конструкциями 25.Jх. Для любых непрерывных отображений φ: X' —* Χ ή. ·ψ: Υ —* Y' отображение С(Х, У) —> С(Х', У): / н-► ψ о / о φ непрерывно. 25.Кх. Если АсХ, то отображение C(X,Y) —> C(A,Y): f н-> f\A непрерывно. 25.Lx. Если ВсУ, то отображение С (X, В) —> С(Х, У): / н-> гв о/ является топологическим вложением. 25. Мх. Для любых топологических пространств X, У и Ζ пространство С(Х, У χ Ζ) канонически гомеоморфно С(Х, У) χ С(Х, Ζ). 25.Νχ. Пусть {-Xi}"_! — замкнутое покрытие пространства X. Естественное отображение φ: C(X,Y) -> YYl=1C(XuY): / н-> (/|Xl,..., /|Χη) является топологическим вложением. 25. Ох. Загадка. Молено ли обобщить предыдущее утверждение? 25.Рх. Пусть У — хаусдорфово локально компактное топологическое пространство. Тогда естественное отображение φ: C(X,Y) x C(Y,Z) —» -> С (X, Ζ): (f,g) про/ непрерывно.
148 Глава 4. Топологические конструкции 25.17х. Является ли требование локальной компактности Υ существенным для справедливости утверждения 25. Рх! 25.Qx. Пусть X -— компактное хаусдорфово пространство, a S — такое его разбиение, что факторпространство X/g хаусдорфово. (Это верно, например, если S — замкнутое разбиение, т. е. проекция рг: X —» Χ/β — замкнутое отображение.) Тогда естественное отображение ψ: C(X/S,Y) -» C(X,Y): f^/ορτ является топологическим вложением. Другими словами, подпространство пространства С(Х, У), состоящее из отображений, постоянных на каждом элементе разбиения 5, молено отождествить с пространством отображений, заданных на факторпространстве X/S- 25. Rx. Отображение вычисления. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Тогда отображение φ: C(X,Y)xX ^Y: (/, χ) ^ f(x) непрерывно. 25.18x. Существенны ли наложенные в 25. Rx условия на пространство X? 25.6х. Отображения Χ Χ Υ -^ Ζ и X ^ C(Y, Ζ) 25.Sx. Если отображение /: Χ χ У —► Ζ непрерывно, то и отображение F: X —» C(Y,Z), заданное формулой F(x)(y) = f(x,y), непрерывно. При некоторых дополнительных условиях верно и обратное. 25. Тх. Пусть У — хаусдорфово локально компактное пространство, и пусть дано непрерывное отображение F: X —► C(Y,Z). Тогда и отображение /: Χ χ У —► Z: (х,у) н-> F(x)(y) непрерывно. 25. Ux. Если пространство X хаусдорфово и набор Σγ = {Ua} является предбазой топологической структуры пространства У, то набор {W(K, U) \ U € £ Σ} является предбазой компактно-открытой топологии в С(Х, У). 25. Vx. Экспоненциальный закон. Введём отображение Ф: С(Х xY,Z)^ C(X,C(Y,Z)):<P(f)(x): у » f(x,y). Тогда: 1) если пространство X хаусдорфово, то Φ непрерывно; 2) если пространство X хаусдорфово, а пространство У локально компактно и хаусдорфово, то Φ — гомеоморфизм. 25. Wx. Пусть S — разбиение топологического пространстваX, рг: X —» —» X/S — проекция. На пространстве Χ χ У возникает естественное разбиение S' = {А х у | А £ 5, у £ У}. Если топологическое пространство У хаусдорфово и локально компактно, то естественное факторотображение /: (Χ χ Y)/S' ~* X/S х Υ проекции рг χ idy является гомеоморфизмом. 25.19х. Попробуйте доказать утверждение предыдущей теоремы непосредственно.
Доказательства и комментарии 149 Доказательства и комментарии 20.А. К примеру, ζ = (χ, у) £ (Аг χ Вг) Π (А2 х В2) <=> ζ £ Αλ χ ΒΎ, ζ £ А2 χ Β2 <=> <=> хеА1,хеА2,у€В1,уеВ2 <=> <=> χ £ Аг Π А2,у £ Si Π В2 <=> г е (Αι Π А2) χ (Вг Π В2). 20. В. Имеем: pr"1 (A) = {z = (x,y)£XxY\pvx(z)£A} = {(x,y)£XxY\x£A}=Ax У 20. С. I =Н Действительно, Гу Π (а; χ У) = (χ, f{x))- I ·<=! Если пересечение Γη(ιχΚ) состоит из одной точки (х,у), то можно положить f(x) = у. 20. D. Следует из 3. А, поскольку пересечение элементарных множеств является элементарным множеством. 20.Е. Убедитесь в том, что отображение Г: (х,у) >—> (у,х) есть гомеоморфизм. 20. F. Между двумя этими множествами имеется каноническая биекция, поэтому мы просто-напросто запишем, что (X χ У) χΖ = Χ χ (У xZ) = {(x,y,z) \x£X,y£Y,z£Z). Однако элементарные множества в пространствах (Χ χ У) χ Ζ и Χ χ (У χ χ Ζ) различны. Докажите, что в обоих этих топологических пространствах набор {U xV xW\U £ Ωχ, V £ Ω у, W £ Ωζ } является базой их топологических структур. 20. G. Действительно, для всякого открытого множества U С X его прообраз рг^1(?7) = U χ У является элементарным, значит, открытым в Χ χ У множеством. 20. Н. Пусть топология Ω' в Χ χ У такова, что проекции ргх и ргу непрерывны. Тогда, если U £ Ωχ и V £ Ωγ, то pr^1 (U) Π ριγ1 (V") = (U χ Υ) Π (Χ χ V) = = U χ V £ Ω'. Таким образом, всякое базовое множество топологии произведения лежит в Ω', откуда и следует, что Ω' содержит топологию произведения пространств X и У. 20.1. Ясно, что ab(prx) = ргх \Ххуо: X ху0 —* X — непрерывная биекция. Для того чтобы проверить непрерывность обратного к ней отображения, достаточно показать, что всякое множество, открытое в Χ χ у0 как в подпространстве произведения Χ χ У, имеет вид U χ у0. Действительно, Wn(Xxy0) = (\JUaxVa)n(Xxy0)= (J Uaxy0. 20. J. С теоретико-множественной точки зрения R1 χ I1 = й2. Поскольку в качестве базы топологии в Ι1 χ I1 молено взять набор открытых прямоугольников (покажите это), то топологии в R1 χ 11 и К2 имеют одну и ту лее базу, значит, они совпадают. Второе утверяедение доказывается по индукции, а третье является его следствием в силу 20.7.
150 Глава 4. Топологические конструкции 20.К. Положим f(z) = (f1(z),f2(z)). Если f(z) = (χ, у) G Χ χ У, то χ = = (Prx°/)(z) = /ι(г). Аналогично иу = f2(z). 20.L. | =Н Если / непрерывно, то /Ί = ргх°/ и /2 = ргуо/ непрерывны как композиции непрерывных отображений. [ <=\ Далее, поскольку в силу 20.20, /_1([/ χ V) = /Г *(?/) Π f2~1(V), то из непрерывности /ι, /2 следует непрерывность /. 20.М. Вспомните определение произведения топологий и воспользуйтесь 20.22. 20.N. Пусть X и У — хаусдорфовы пространства, и пусть (хг, ух), (х2, у2) G £ Χ χ У — различные точки. Предположим, для определенности, что хг фх2. Так как пространство X хаусдорфово, то у них найдутся непересекающиеся окрестности UXl и UX2. Тогда UX1 χ У и UX2 χ У — непересекающиеся окрестности точек (xi,yi), (x2,y2) G X х У. 20.0. Если А и S счётны и всюду плотны в пространствах X и У соответственно, то множество АхВ, во-первых, счётно, во-вторых, плотно в Χ χ У. 20.Р. См. доказательство следующего утверждения. 20. Q. Докажите, что если Σχ, Σy — счётные базы топологий пространств X и У соответственно, то Σ = {[/ χ V | ί/ G Σχ, V G Σy} — база топологии пространства Χ χ У. 20.R. Покажите, что если ρι,ρ2 — метрики в пространствах X и У, то р((ж1,г/1), (ζ2,2/2)) =тах{р1(а;1,а;2),Р2(г/1,г/2)} есть метрика в Χ χ У. Какой вид имеют шары в метрике р? 20.S. Для любых точек (х1,у1), (х2,у2) G Χ χ У множество (1 χ j/2) U (χι χ У) связно и содержит эти точки. 20. Т. Если и, г> — пути, соединяющие χλ с £2 и, соответственно, уг с у2, то путь их υ соединяет (х1,у1) с (х2,у2). 20. U. Достаточно рассмотреть покрытие, состоящее из элементарных множеств. Поскольку У компактно, то для любого слоя χ χ Υ найдётся конечное подпокрытие {U? х Vх}. Положим Wx = f]Ux. Выделим, используя компактность X, конечное подпокрытие IVх' из покрытия {И^^ех· Набор {U*3 χ V*J} — искомое конечное подпокрытие. 20. V. Да, гомеоморфны. Рассмотрите отображение fry)" ((t^'TAf)'111^*^)· 21. А. Прообраз рг-1 (pr(A)), во-первых, является насыщенным, во-вторых, является наименьшим, так как, если В D А — некоторое насыщенное множество, то В = рг-1 (рг(£?)) э рг-1 (рг(А)). 21.С. Положим 0' = {[/cX/5|pr_1(t/)GO}. Пусть £/а G Ω'. Из того, что рг_1([/а) — открытые множества, следует, что множество pr_1(|Ji7a) = = (J рг_1([/а) также является открытым, таким образом, |J Ua G Ω'. Проверьте оставшиеся аксиомы топологической структуры самостоятельно.
Доказательства и комментарии 151 21.D. \ <=\ Если множество V С X открыто и насыщено, то V = pr_1 (p(V)), значит, множество U = pr(V^) открыто в Χ/β. 1 =Н Если U С X/S открыто, то U = рг(рг_1([/)), где V = рг_1([/) открыто и насыщено. 21.Е. Множество F замкнуто, согда множество Χ/β х Ρ открыто, согда множество ρτ~1(Χ/β \ F) = X \ pr_1(F) открыто, согда множество pr_1(F) замкнуто. 21.F. Прямое следствие определения фактортопологии. 21. G. Надо доказать, что если Ω' — такая топология в Χ/β, ЧТ0 отображение факторизации непрерывно, то Ω' с Ωχ/β· Действительно, если U 6 Ω', то рг_1(?7) е Ωχ, поэтому по определению фактортопологии U £ Ωχ/3- 21.Η. Оно связно как непрерывный образ связного пространства. 21.1. Оно линейно связно как непрерывный образ линейно связного пространства. 21. J. Оно сепарабельно как непрерывный образ сепарабельного пространства. 21.К. Оно компактно как непрерывный образ компактного пространства. 21.L. Это факторпространство состоит из двух точек, одна из которых не открыта в нём. 21.М. | =Н Пусть a, b £ Χ/β и А, В С X — соответствующие элементы разбиения. Если Ua,Ub — непересекающиеся окрестности точек а и 6, то рг_1([/а), рг-1 ([/(,) — непересекающиеся насыщенные окрестности множеств Απ В. [ <j=| Следует из 21. D. 21.N. 1) [=3 Положите д = f/β. β=] Множество f-1(y) = pr~1(g~1(y)) насыщено, т. е. состоит из элементов разбиения S. Значит, / постоянно на каждом из элементов разбиения. 2) Если А — некоторый элемент разбиения β, а — соответствующая ему точка фактормножества и χ £ А, то f'/'β(α) = = f(A)=g(pv(x))=g(a). 21.0. Отображение / переводит элементы разбиения β в элементы разбиения Г, согда существует такое отображение д: Χ/β —» Υ/Τι что диаграмма X —*—* Υ Ргх Χ/β —?-» Υ/τ коммутативна. При этом //(5, Т) = 9- 21.Р. Инъсктивность отображения есть следствие того, что различные элементы разбиения S(f) являются прообразами различных точек пространства У. 21.Q. Так как рт~'((f/S)~\U)) = (f/eopr)-1(U) = f-1(U), то по опреде- лению фактортопологии для любого U £ Ωy множество (//б')_1(^) открыто, таким образом, отображение f/β является непрерывным. 21.R. См. 21.0 и 21.8.
152 Глава 4. Топологические конструкции 21. Sx. Каждое одноточечное подмножество факторпространства Х/д является образом некоторого одноточечного подмножества в X. Так как в X выполнена аксиома Тг, то каждое его одноточечное подмножество замкнуто, значит, в силу 21.9х, и его образ также замкнут. Следовательно, в фактор- пространстве также выполнена аксиома Тг. 21. Тх. Следует из 15.26. 21. Ux. Пусть Un =p(Vn), η G Ν, где {Кг}п(=и — база пространства X. Рассмотрим произвольное открытое множество W в факторпространстве. Так как pr_1 (W) = \JneA Vm т0 w = Pr(Pr_1 (W)) = U„eA Un, таким образом, набор {Un} является базой факторпространства. 21. Vx. Для произвольной точки у G Х/д рассмотрите образ счётной базы в некоторой точке χ Ε рт~г(у). 21. Wx. Поскольку инъективный фактор непрерывной сюръекции является непрерывной биекцией, то остается доказать, что он является открытым отображением, что следует, в силу 21.7, из открытости отображения Χ χ Υ —» -> Х/д χ Υ/τ (см. 20.23). 22.А. Следует из 21.Р, 21.Q, 21. К и 17.Х. 22.В. Аналогично 22. А; используйте 17. Υ вместо 17.X. 22. С. Если /: [0; 1] э t н-► (cos 2πί, sin 2πί) G S1, то разбиение S(f) совпадает с заданным, а факторотображение f /gtf) — это гомеоморфизм как непрерывная биекция компактного пространства на хаусдорфово. 22.D. Если f:DnBx^(- βίηπτ-, - cos7ir) G Sn С Rn+1, то разбиение S(f) совпадает с заданным, a f/g(f) — гомеоморфизм. 22.Е. Рассмотрите отображение д = / χ id: Ρ = Ι χ I —» 51 χ/ (отображение / определено, как в 22. С. 1). Разбиение S(g) совпадает с заданным, так что д/'д(д) — гомеоморфизм. 22.F. Проверьте, что разбиение 5(idsi x/) совпадает с заданным. 22. G. Разбиение 5(/ χ /) совпадает с заданным. 22. Н. Рассмотрим коммутативную диаграмму χ _Jii^ X/s Χ/Τ —*-♦ (X/S)/S' в которой отображение q, очевидно, является биекцией. Утверждение задачи следует из того, что множество U открыто в (Х/д)/д', согда pT1{p21{U)) = = P~1{q~1(U)) открыто в X, согда д_1(?7) открыто в Х/т· 22.1. Чтобы упростить формулы, заменим квадрат Ρ прямоугольником. Формально: рассмотрим отображение φ: [0; 2π] х [—ήί ό] —* ^3' опРеДеляем°й формулой (х,у) ^ ((l+j/sin|)cosa;, (1 + j/sin|)sina;,j/cos|).
Доказательства и комментарии 153 Проверьте, что φ действительно отображает указанный прямоугольник на ленту Мёбиуса и что S(<p) является указанным разбиением. Конечно, исходным моментом рассуждения является не конкретная формула, вначале следует представить себе, как лее должно быть устроено нужное отображение. Горизонтальную среднюю линию прямоугольника отобразим на окружность, являющуюся средней линией ленты Мёбиуса, а каждый из его вертикальных отрезков — на отрезок этой ленты, перпендикулярный её средней линии. Вертикальные стороны прямоугольника при таком отображении переходят в один и тот лее отрезок, но при этом друг с другом будут отояедествляться противоположные вершины (проверьте это). 22. J. См. рисунок и следующие пункты этого параграфа. 22. К. В действительности, проще доказать более общее утверлсдение. Пусть заданы топологические пространства Ха и отображения fa: Ха —» Υ. Тогда Ω = {U С Υ | Ζ"1 (U) открыто в Ха для любого а} — это самая тонкая топологическая структура в Υ относительно которой все отображения fa непрерывны. 22.L. См. указание к 22.К. 22.М. Отобразим D" U £?£ в 5" так, чтобы образ D™ совпадал с верхней полусферой, а образ D% — с нижней. Разбиение на прообразы совпадает с тем разбиением, фактор по которому есть пространство Dn Uid| n-1 Dn- Следовательно, соответствующее факторотображение — гомеоморфизм. 22.N. Рассмотрим отображение F: XUY —► XUY, такое, что F\x = id χ и F\Y = h. Это отображение переводит элемент разбиения, отвечающий отношению эквивалентности ζ ~ f(x) в элемент разбиения, отвечающий отношению эквивалентности х~д(х), следовательно, существует непрерывная биекция Η: X U fY —» X U gF. Поскольку /г-1 — тоже гомеоморфизм, то и отображение Я-1 непрерывно. 22.0. В силу 22.N, достаточно доказать, что любой гомеоморфизм /: S"1-1 —» S"1-1 продолжается до гомеоморфизма F: Dn —» Dn, что очевидно. 22.Р. Например, стереографическая проекция из внутренней точки «дыры» гомеоморфно отображает сферу с дырой на круг. 22. Q. Стереографическая проекция из внутренней точки одной из «дыр» гомеоморфно отображает сферу с двумя дырами на «круг с круглой дырой». Докажите, что он гомеоморфен цилиндру. (Другой вариант: если выбрать центр проекции в «дыре» надлежащим образом, то сфера с двумя дырами отобразится на круглое кольцо, заведомо гомеоморфное цилиндру.) 22.R. По определению ручка гомеоморфна тору с дырой, а сфера с дырой — диску, который эту дыру как раз и заклеивает. 22. S. Разрежьте сферу с двумя ручками на две симметричные части, го- меоморфные ручке. 22. Т. Воспользуйтесь результатами задач 22. Ρ и 22. J. 22. U. Разрежьте квадрат, факторпространством которого является бутылка Клейна, на 5 горизонтальных полосок одинаковой ширины. Тогда средняя
154 Глава 4. Топологические конструкции полоска склеится в лист Мёбиуса, две крайние полоски — ещё в один лист Мёбиуса, а оставшиеся — в кольцо, т. е. как раз в сферу с двумя дырами. (Вот ещё одно, возможно, более наглядное описание. Посмотрите на изображение бутылки Клейна: у неё есть горизонтальная плоскость симметрии. Две горизонтальных плоскости, близкие к плоскости симметрии, и разрезают бутылку Клейна на два листа Мёбиуса и кольцо.) 22. V. Нагляднее всего будет сделать так: выделим одну ручку и одну пленку. Заменим ручку на «трубку» , края которой приклеены к краям двух (достаточно маленьких) дыр на сфере, и начнём двигать одну из дыр. (Топологический тип во время такого движения не меняется.) Подведём дыру к краю пленки, сдвинем её на пленку, обведём вдоль пленки один полный круг и вернём на прежнее место. В результате исходная ручка (тор с дырой) превратится в бутылку Клейна с дырой, которая, как мы знаем из задачи 22. U, разбивается на два листа Мёбиуса — т. е. на две пленки. 23.А. Рассмотрим композицию / вложения Dn в 5" в качестве полусферы и проекцию pr: Sn —» Ш.Рп. Разбиение S(f) совпадает с заданным. Следовательно, f/S(f) ~ гомеоморфизм. 23. С. Рассмотрим отображение /: 51 —► S1, определяемое формулой ζ >—> H22eC. Тогда S1/s(f)=TSLP1· 23.D. См. 23.А. 23.Е. Рассмотрим композицию / вложения сферы S" в R" \ 0 и проекции на факторпространство по указанному разбиению. Ясно, что разбиение S(f) совпадает с разбиением, факторизация по которому является проективным пространством. Значит, f/S(f) — гомеоморфизм. 23. F. Указанная функция является метрикой в силу неравенства треугольника между плоскими углами трёхгранного угла. Сопоставим всякой точке χ £ S" проходящую через начало координат прямую i(x), для которой χ является её направляющим вектором. Тем самым определено непрерывное (проверьте это) отображение 5" в указанное пространство прямых, инъективный фактор которого является гомеоморфизмом. 23. G. Образом этого отображения является множество U0 = {(х0 : хг : ... ■ ■ ■ '■ Хп) I %о Φ 0}, а обратное отображение j: U0 —► Μ" определено формулой (хо : Χι : .. . : хп) ^ ( —, —,. . ., — ). \х0 х0 х0) Поскольку отображение г и обратное к нему непрерывны, г является топологическим вложением. 23.Н. Рассмотрите вложение 5n_1 = Sn Π {χη+1 = 0} -> Sn С Rn+1 и индуцированное им вложение MP"-1 —» RP". 24·Ах. Если а ^ b ^ с, то либо а ~< Ь -< с, либо а = Ь = с, либо а ~< Ь = с, либо а = Ь<с. Во всех четырёх случаях получаем, что а ^ с. 24-Вх. Очевидно, что отношение ~ рефлексивно, симметрично, а также и транзитивно.
Доказательства и комментарии 155 24-Сх. Действительно, если а' ~ а, а ^ Ъ и Ъ ~ 6', то а' ^ а ^ 6 ^ 6', значит, а' ^Ь'. Очевидно, что определенное на классах эквивалентности отношение транзитивно и рефлексивно. Если лее для классов эквивалентностей [а] и [Ь] верно, что а ^ Ъ и Ъ ^ а, то [а] = [6], таким образом, отношение антисимметрично, значит, является нестрогим порядком. 24-Dx. 1) В этом случае мы получаем тривиальный нестрогий порядок на одноточечном множестве; 2) получаем тот лее самый нестрогий порядок на данном множестве. 24-Ех. Данное отношение очевидно рефлексивно. Далее, если а ^ Ь, то во всякой окрестности U точки а лежит точка 6, значит, U является и её окрестностью, поэтому, если b ^ с, то с £ U. Значит, а £ С1{с}, таким образом, а ^ с, тем самым это отношение и транзитивно. 24-Fx. Рассмотрим элемент разбиения, который, по его определению состоит из точек, каждая из которых лежит в замыкании любой другой, значит, всякое открытое в X множество, содержащее одну из этих точек, содержит и любую другую. Таким образом, топология, индуцируемая на каждом элементе разбиения, является антидискретной. Ясно также, что каждый элемент разбиения является максимальным подмножеством, являющимся антидискретным подпространством. Теперь рассмотрим две точки в факторпространстве и две точки х,у £ X, лежащие в соответствующих элементах разбиения. Поскольку χ φ у, то найдётся открытое множество, содержащее одну из этих точек и не содержащее другую. Так как всякое открытое множество пространства X насыщено относительно рассматриваемого разбиения, то его образ в X/g и является искомой окрестностью. 24-Gx. А как лее иначе! 24-Их. Следствие 24-Fx, 24-Gxm 21.R. 25.Ах. Достаточно заметить, что множества данного набора покрывают всё множество С(Х, Υ), следовательно, этот набор является предбазой некоторой топологии на этом множестве. 25.Вх. Аналогично 25. Ах. 25.Сх. Так как всякое одноточечное подмножество компактно, то Δ(ίηϋ) с С Д(со), следовательно, 0<pw) С О(со). 25.Dx. Если / φ д, то найдётся точка χ € X, такая, что f(x) φ д(х). Поскольку Υ хаусдорфово, то у точек f(x) и д{х) имеются непересекающиеся окрестности U и V соответственно. Элементы предбазы W(x, U) и W(x, V) являются непересекающимися окрестностями отображений /ирв пространстве C(pw^(X, Y). Они лее будут непересекающимися окрестностями для fug bC(X,Y). 25.Ex. См. утверждение 25.Ix. 25.Нх. Рассмотрим функции /n £ С(Х, У), образующие фундаментальную последовательность {/n}^Li- Для каждой точки х£Х последовательность {/„(а;)} является фундаментальной в Υ. Поскольку пространство Υ полно,
156 Глава 4. Топологические конструкции то она сходится; положим f(x) =limfn(x). Тем самым определена функция /: X —» Υ. В силу фундаментальности {/„}, для каждого е > 0 существует такое число JV, что p[fn(x), Λ(ζ)) < | при всех n, k ^ JV и χ £ X. Переходя к пределу при к —► оо, мы получаем, что p[fn(x), f(x)) ^ f < I ПРИ всех n^N и χ £ X. Таким образом, чтобы доказать, что /„ —» / при η —► оо, надо проверить, что / £ С(Х, У). Для каждой точки α е X существует её окрестность Uai такая, что ρ(/ν(χ)-> /jv(a)) < § ПРИ всех χ £ Ua. Как следствие неравенства треугольника мы получаем, что при всех χ £ Ua p(f(x)J(a))^p(f(x),fN(x))+p(fN(x),fN(a)) + p{fN(a), /(a)) < ε. Следовательно, функция / является непрерывным пределом исходной фундаментальной последовательности. 25.1х. Рассмотрим произвольное множество W(K, U) из предбазы. Пусть / е W(K, U). Если г = p(f(K), Y \ U), то Д.(/) с W{K, U). Как следствие получаем, что всякое открытое в компактно-открытой топологии множество открыто в топологии, индуцированной метрикой равномерной сходимости. Для того чтобы доказать обратное утверждение, достаточно показать, что для всякого отображения /: X —» Υ и всякого г > 0 найдутся компактные множества Кг, К2, ■ ■ ■, Кп с X и открытые множества иг, U2,..., Un С У, такие, что /6filf(ii„[/,)cDr(/). Рассмотрим покрытие множества /(X) конечным числом шаров радиуса г/4 с центрами в некоторых точках f(x1),f(x2),..., f(xn)- Пусть iQ — прообраз замкнутого шара в Υ радиуса г/4 при отображении /, а [/, — открытый шар радиуса г/2. По построению / е W(K1,U1) Π... Π iy(iin, Un). Рассмотрим произвольное отображение д из этого пересечения. Для всякой точки х£Кг верно, что f(x) и д(х) лежат в одном и том лее открытом шаре радиуса г/2, значит, p(f(x),g(x)) < г. Поскольку, по построению, множества Кг,... ,Кп покрывают X, то p(f(x),g(x)) < г для всех χ £ X, следовательно, d(f,g) < г, значит, зеВД). 25.Jx. Утверждение следует из того, что для всякого компактного множества К С X' и открытого множества U С У прообразом предбазо- вого множества W(K, U) £ A^co^(X',Y') является предбазовое множество W(tp(K), φ-\ϋ)) £ А<-С°\Х, Y). 25.Кх. Немедленно следует из предыдущего. 25.Lx. Ясно, что указанное отображение является инъекцией. Для простоты обозначений отождествим пространство С(Х, В) с его образом при этой инъекции. Для всякого компактного множества К С X и U £ £ ΩΒ через WB(K, U) обозначим соответствующее предбазовое множество в С(Х, В). Если V£ilY, а U = BilV, то имеет место равенство WB(K,U) = = С(Х, В) Π W(K, V), откуда и следует, что из С(Х, Y) на С(Х, В) индуцируется компактно-открытая топология. 25.Мх. Проверьте, что естественное отображение / н-> (pryo/, przo/) является гомеоморфизмом.
Доказательства и комментарии 157 25.Nx. Инъективность отображения φ следует из того, что {Χι} — покрытие, а его непрерывность — из утверждения 25. Кх. Опять-таки, для простоты обозначений отождествим С(Х, Υ) с его образом при инъекции φ. Пусть К С С X — компактное множество, U £ Ω,γ. Положим Ki = К Π Xt и обозначим через W'(Ki, U) соответствующий элемент предбазы A^co^(Xi,Y)- Поскольку, очевидно, W(K, U) =C(X,Y) Π (Wг(Кг, U) χ ... χ Wn(Kn, U)),to непрерывная инъекция φ действительно является топологическим вложением. 25.Рх. Рассмотрим отображения /: X —» Υ, д: Υ —» Ζ, компактное множество К С X и V £ Ωζ такие, что g{f{K)) С V, т. е. </>(/,#) £ W(K, V). Тогда справедливо включение f(K) Сд~г(У) £ilY. Поскольку Υ хаусдорфово и локально компактно, а множество f(K) компактно, то у f{K) найдётся окрестность U, замыкание которой компактно и тоже содержится в д~г(у) (см. 19.6х). В таком случае tp(W(K,U) x W(CIU,V)) С W{K,V) и, следовательно, отобралсение φ непрерывно. 25. Qx. Непрерывность отображения φ следует из 25. Jx, его инъективность очевидна. Пусть К с X/S ~ компактное мнолсество, U £ Оу. Образом открытого предбазового мнолсества W(K, U) С С(Х/g, Y) является множество всех отображений д: X —► У, постоянных на всех элементах разбиений и таких, что д(рт~1(К)) С U. Осталось показать, что множество W(pr~1(K),U) открыто в C(X,Y). Так как факторпространство Х/д хаусдорфово, то множество К замкнуто, а значит, замкнут, а потому и компактен его прообраз рг_1(.йТ). Следовательно, W(pr~1(K), U) — предбазовое множество в С(Х, Y). 25.Rx. Пусть х0 бХ,/0ёС(Х, Y) и V€ Ω,γ таковы, что f0(xo) 6 V. В силу непрерывности отображения /0 у точки х0 найдётся окрестность V, такая, что fo(U') С V. Поскольку пространство X хаусдорфово и локально компактно, то у точки хо имеется окрестность U, замыкание которой компактно и содержится в U'. Осталось заметить, что f(x) G V для всякого отображения feW = W(Cl U, V) и всякой точки x€U,t. е. φ-\ν) Э\¥ xU. 25. Sx. Пусть хо 6 X, К с Υ — компактное множество и V С Ωζ, и пусть F(x0) e W(K, V), т. е. f(x0 xK)cV. Покажем, что отображение F непрерывно. Для этого найдём в X окрестность Щ точки х0 такую, что F(U0) С W(K, V). Последнее включение равносильно тому, что f(U0x К) £ V. Покроем множество х0 χ К конечным набором окрестностей Ui χ VI, таких, что /(Щ χ V) с V. Осталось положить U0 = ΠΓ=ι ^»· 25. Тх. Пусть (хо,уо) £Х xY и пусть G — окрестность точки z0 = f(xo,Vo} — = F(x0)(y0). Поскольку отображение F(x0). Υ —► Ζ непрерывно, то у точки Уо найдётся окрестность W, такая, что F(W) С G. Так как Υ хаусдорфово и локально компактно, то у точки у0 имеется окрестность V с компактным замыканием, такая, что С1V с W и, следовательно, F(x0)(C\ V) с G, т. е. F(x0) £ £\V(C\V,G). В силу непрерывности отображения F у точки х0 найдётся окрестность U такая, что F(U) С W(CIV,G). Тогда, если (х,у) £ U χ V, то F(x) £ W(Cl V,G), значит, f(x,у) = F(x)(y) £ G. Таким образом, f(U xV)cG, т. е. отображение / непрерывно.
158 Глава 4. Топологические конструкции 25. Ux. Достаточно показать, что для любого компактного множества К с С X, любого открытого множества U С Υ и любого отображения / G W(K, U) найдутся такие компактные множества Кг,К2,..., Кт с К я такие открытые множества иг,и2,...,Um G Σγ, что / € WiKuUJ Π W(K2, С/а) П ... П W(Km, Um) С W(K, U). Пусть x&K. Так как f(x) G U, то найдутся такие множества i/f, Щ,..., U*x G G Σγ, что f(x) G i/f Π ί/j Π ... Π [/£_, С [Λ Из непрерывности / следует, что существует окрестность Gx точки х, такая, что f(Gx) G U* Π U2 Π ... Π U*x. Поскольку X локально компактно и хаусдорфово, то оно регулярно, следовательно, у точки χ найдётся её окрестность Vx, такая, что C\VX компактное множество nC\VxcGx. Так как множество К компактно, то оно покрывается конечным числом окрестностей VXi, г = 1,2,..., п. Положим Ki = К Π CI VXi, г = 1,2,..., п, и Ui}■ = t/J*, j = 1,2,..., n^. Тогда множество i=l > = 1 является искомым. 25. Vx. Прежде всего заметим, что из утверждения 25.Sx следует, что отображение Φ определено (т.е. при / G C(X,C(Y, Z)) действительно Ф(/) G G C(X,C(Y, Ζ))), а из утверждения 25.Тх следует, что если пространство Υ локально компактно и хаусдорфово, то Φ обратимо. 1) Пусть К С X и L С Υ — компактные множества, V G Ω^· Множества вида W(L,V) образуют предбазу в C(Y,Z). В силу 25.Ux, множества вида W(K,W(L,V)) образуют предбазу в C(X,C(Y,Z)). Осталось заметить, что Ф-\\¥(К, W(L, V))) = W(K xL,V)£ Д(со>(Х χ Υ, Ζ). Следовательно, отображение Φ непрерывно. 2) Пусть QcXxY — компактное множество и G CG Ωζ. Пусть ψ G G Φ(\Υ((2, G)), таким образом, ψ{χ) ■ у >—> f(x, у) для некоторого отображения / G W(Q, G). Для каждой точки q G Q выберем её окрестность Uq x Vq такую, что: множество C1V", компактно и f(Uq x CIV^) С G. Поскольку Q компактно, то g С IX=i(^ji x V9i)· Множества W{ = W(C\Vqi,G) открыты в C(Y, Z), значит, множества Tt = W(px(Q) Π CI Uqi, Wi) открыты в С(Х, C(Y, Z)). Следовательно, Τ = Π"=ι ^* ~ окрестность точки ψ. Покажем, что Τ С Φ(\ν(<3, G)). Действительно, если φ G Г, то φ = Ф(д), причём д(х, у) G G при (х, у) G Q, так что д G W(Q, G), откуда следует, что φ G Ф(1У((2, G)). Следовательно, множество Ф(\¥((2, G)) открыто, таким образом, Φ — гомеоморфизм. 25. Wx. Факторотображение / очевидно является непрерывной биекци- ей. Рассмотрим отображение факторизации ρ: Χ χ Υ —» (Χ χ Υ)/β'- В силу утверждения 25.Sx отображение Φ: Χ —» C(F, (X χ Υ)/β'), гДе Ф{х){у) = = р(х,у), является непрерывным. Заметим, что отображение Φ постоянно на элементах разбиения S, следовательно, его фактор Φ: Χ/β —* —» C(Y, (Χ χ Υ) Ι β') непрерывен. В силу утверждения 25.Тх непрерывно и отображение д: Χ/β χ Υ —» (Χ χ Υ)/β', где g{z,y) = Ф{г){у). Осталось заметить, что отображения д и / являются взаимно обратными.
Глава 5х Элементы топологической алгебры В этой главе мы будем изучать топологические пространства, тесно связанные с группами: иногда сами пространства являются группами (при этом все отображения, возникающие из групповых соображений, непрерывны), или лее группы действуют на топологических пространствах и как бы состоят из гомеоморфизмов этого пространства. Этот материал связан с различными разделами математики, и хотя он и играет в них существенную роль, не столь уж важен при изучении общей топологии. Чаще всего его изучение молено отложить до той поры, пока он не появится содержательным образом в других математических курсах (в которых речь пойдет о группах Ли, функциональном анализе и т. д.). В контексте нашей книги он интересен тем, что обеспечивает большой набор разнообразных примеров и упражнений. Понятие группы принадлежит алгебре. В математике, основанной на понятии множества, основными объектами являются множества с дополнительными структурами. До сих пор мы встречались лишь с немногими важнейшими из них, такими как топология, метрика, частичный порядок. Топология и метрика возникают из геометрических соображений. Изначально в алгебре рассматривались операции с числами, и её вклад в общий контекст изучения структур на множестве состоял во введении различных структур, связанных с операциями на множествах. Одной из самых простых является групповая структура, появляющаяся в контексте разнообразных математических задач. Достаточно часто она возникает одновременно с некоторой связанной с ней топологической структурой. Предметом топологической алгебры является изучение групповой и топологической структур в их взаимодействии друг с другом. Во второй части этой книги, посвященной алгебраической топологии, группы будут играть более содержательную роль. Так что уже в следующей главе читатель встретится с группами, снова увидит взаимосвязи между топологией и алгеброй, пространствами и группами, однако их взаимодействие будет носить другой характер. Структуры топологического пространства и группы уже не будут заданы на одном и том лее множестве и, так сказать, сосуществовать совместно. Такие алгебраические характеристики, как фундаментальная группа (гомотопические группы), будут нести информацию о топологических свойствах рассматриваемого пространства.
160 Глава 5х. Элементы топологической алгебры § 26х. Алгебраическое отступление: группы и гомоморфизмы Этот раздел включен в книгу, в основном, для того чтобы напомнить читателю основные определения и утверждения, связанные с понятием группы. Мы не предполагаем дать в нём сколь-нибудь полное изложение теории групп, поскольку надеемся, что читатель знаком с понятием группы, гомоморфизма, подгруппы, факторгруппы, и т. д. Если лее это не так, то мы настоятельно рекомендуем прочесть какой-либо учебник, посвященный элементарной теории групп. При наличии математической культуры, безусловно необходимой для того чтобы молено было разобраться в материале, представленном в нашей книге, такое чтение будет одновременно простым, приятным и полезным. На первых порах будет достаточно прочесть определения и доказать теоремы, сформулированные в данном разделе. 26.1х. Понятие группы Напомним, что группой называется множество G, в котором задана групповая операция. Групповой операцией в множестве G называется отображение ω: G х G —> G, удовлетворяющее следующим трем условиям (такназываемым аксиомам группы): о Ассоциативность. ω(α, ω(6, с)) = ω(ω(ο, 6), с) для всех a,b,c £ G. о Существование нейтрального элемента. Существует такой элемент е G G, что и>(е, а) = ω(α, е) = а для всех а £ G. о Существование обратного элемента. Для любого элемента а е G существует такой элемент b€ G, что ω(α, Ь) = w(b, а) = е. 26. Ах. Единственность нейтрального элемента. В любой группе существует единственный нейтральный элемент. 26. Вх. Единственность обратного элемента. Для каждого элемента группы существует единственный обратный ему элемент. 26. Сх. Первые примеры групп. Проверьте, действительно ли в каждом случае мы имеем дело с группой. Каков нейтральный элемент в этой группе? Как найти элемент, обратный данному? 1) Множество G — множество Ζ целых чисел, групповая операция — сложение: ω(α, b) = а + b. 2) Множество G множество v?>o положительных рациональных чисел, групповая операция — умножение: ω (α, b) = ab. 3) G = R, u(a,b) = a + b. 4) G = C, w(a,b)=a + b. 5) G = R\0, w(a,b) = ab. 6) G — это множество всех биекций некоторого множества А на себя, групповой операцией является композиция биекций: ω (а, Ь) = а о Ъ. 26.1х. Простейшая группа. 1) Может ли группа быть пустой? 2) Может ли она состоять из одного элемента?
§26х. Алгебраическое отступление: группы и гомоморфизмы 161 Группа, состоящая из одного элемента, называется тривиальной. 26.2х. Решение уравнений. Пусть в множестве G задана ассоциативная операция ω: G X G —> G. Докажите, что G с введённой операцией является группой, согда для любых Элементов a,b& G существуют единственные элементы х, у £ G, такие, что ω(α, χ) = Ь и и>(у, а) = Ь. 26.2х. Аддитивные и мультипликативные обозначения Обозначения, введённые выше, никогда не используются! Единственное исключение — определение группы. Вместо этого обычно используются мультипликативные или аддитивные обозначения. В мультипликативных обозначениях групповая операция и называется умножением, и обозначается как умножение: (а, Ъ) н-> аЪ. Нейтральный элемент называется единицей и для него используется обозначение 1 (или 1g или е). Элемент, обратный а, обозначается о-1. Такие обозначения естественны, к примеру, когда мы рассматриваем множество ненулевых рациональных чисел с обычным умножением. В аддитивных обозначениях групповая операция называется сложением и обозначается как сложение: (а, Ь) н-► а + Ъ. Нейтральный элемент называется нулем и для него используется обозначение 0. Элемент, обратный а, обозначается —а. Такие обозначения естественны, к примеру, если мы имеем дело с группой целых чисел относительно обычного сложения. Говорят, что групповая операция ω: G x G —> G коммутативна, если для всех a,b€G имеет место равенство ω(α,Ъ) = ω(6,а). Группа с коммутативной групповой операцией называется коммутативной или абелевой. Традиционно аддитивные обозначения используются для абелевых групп. Мультипликативные обозначения используются как в некоммутативном, так и в коммутативном случае. В дальнейшем мы по большей части будем использовать мультипликативные обозначения. 26.3а;. Проверьте, является ли группой: 1) одноточечное множество {а} с операцией аа = а; 2) множество Sn всех биекций множества {1, 2,..., га}, операцией в котором является композиция биекций (симметрическая группа порядка га); 3) множество Жп или С" с покоординатным сложением; 4) множество Нотео(Х) всех гомеоморфизмов топологического пространства X на себя, операцией в котором является композиция гомеоморфизмов; 5) множество GL(n, Ж) всех обратимых вещественных га X га-матриц с операцией матричного умножения; 6) множество Mat(raxra, Ж) всех действительных (гахга)-матриц с операций матричного сложения; 7) множество всех подмножеств множества X, операцией в котором является симметрическая разность множеств: (А, В)н(АиВ)\(АП В); 8) множество Zn классов натуральных чисел, сравнимых по модулю га, с операцией сложения, индуцированной сложением натуральных чисел; 9) множество комплексных корней степени га из единицы с операцией умножения; 10) множество М>о положительных вещественных чисел с операцией умножения; 11) множество S1 С С с операцией умножения; 12) множество всех параллельных переносов плоскости, операцией в котором является композиция переносов.
162 Глава 5х. Элементы топологической алгебры Свойство ассоциативности операции гарантирует, что для всякой конечной последовательности элементов данной группы однозначно определено их произведение, которое может быть вычислено путём последовательного попарного перемножения элементов группы. Последовательность умножений определяется способом расстановки скобок, к примеру, (ab)(c{de)) или a(b({cd)e)). Свойство ассоциативности умножения как раз и обеспечивает независимость результата перемножения данных элементов от способа, каким были расставлены скобки. Если всего имелось три элемента, то скобки молено было расставить двумя способами, и равенство (ab)c = а(6с) в точности означает, что умножение ассоциативно. 26. Dx. Выведите из свойства ассоциативности операции независимость результата перемножения η элементов от порядка исполнения умножений, определенного способом расстановки скобок. Для каждого элемента а группы G равенства ап+1 = апа, а0 = 1 и а~п = — (а-1)" определяют его степень α", ηεΖ. 26.Ex. Докажите, что операция возведения в степень обладает свойствами: ара" = ар+« и (ар)« =ap«. 26.Зх. Гомоморфизмы Отображение f:G^H группы G в группу Η называется гомоморфизмом, если f(xy) = f(x)f(y) для любых элементов х,у £ G. 26.4х. Данное выше определение гомоморфизма было приведено в мультипликативных обозначениях. Как оно будет выглядеть, если использовать аддитивные обозна- чения? А в случае, когда для одной группы использованы аддитивные обозначения, тогда как в другой — мультипликативные? 26.5х. Пусть а является элементом некоторой мультипликативной группы G. Является ли гомоморфизмом отображение Ζ —> G, определенное формулой η ι—► a"? 26. Fx. Рассмотрим группы G и Η. Является ли гомоморфизмом постоянное отображение G —> Η, переводящее всю группу G в нейтральный элемент группы Н? Является ли гомоморфизмом какое-либо другое постоянное отображение G —► Я? 26. Gx. Всякий гомоморфизм переводит нейтральный элемент одной группы в нейтральный элемент другой, а любые два взаимно обратных элемента этой группы — во взаимно обратные. 26. Нх. Тождественное отображение любой группы есть гомоморфизм. Композиция гомоморфизмов есть гомоморфизм. Гомоморфизм называется эпиморфизмом, если он является сюръекцией, мономорфизмом, если он — инъекция, изоморфизмом, если он есть биекция. 26.1х. Отображение, обратное изоморфизму, есть изоморфизм. Две группы называются изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. 26. Jx. Отношение изоморфности групп является отношением эквивалентности. 26.6х. Покажите, что аддитивная группа Ж изоморфна мультипликативной группе М>о-
§ 26х. Алгебраическое отступление: группы и гомоморфизмы 163 26.4х. Подгруппы Подмножество А группы G называется подгруппой группы G, если оно, во-первых, инвариантно относительно групповой операции в G (т. е. ab £ A для любых а, Ъ £ А), во-вторых, множество А, операция в котором определена групповой операцией в G, само является группой. Введём следующие обозначения. Для любых подмножеств An В группы G через АВ будем обозначать множество всех попарных произведений элементов этих групп: АВ = {ab \ а € А, Ь € В}, пусть также А~г = {а~г \ а £ А}. 26. Кх. Подмножество А мультипликативной группы G является её подгруппой, согда АА с А и А~г с А. 26.7х. Одноэлементное подмножество, состоящее из нейтрального элемента группы, является её подгруппой. 26.8х. Докажите, что подмножество А конечной группы G является её подгруппой, согда АА С А. 26.9х. Перечислите все подгруппы аддитивной группы Z. 26.10х. Является ли GL(ra,IR) подгруппой Mat(nxra,M)? (См. обозначения в 26.Зх.) 26. Lx. Образ всякого гомоморфизма /: G —> Η является подгруппой группы Η. 26. Мх. Пусть /: G —► Η — гомоморфизм, К — подгруппа Н. Тогда множество /_1(ii) есть подгруппа группы G. Другими словами, прообраз подгруппы относительно гомоморфизма есть подгруппа. Пусть f:G—>uH — гомоморфизм. Прообраз /_1(е) нейтрального элемента группы Η называется ядром гомоморфизма / и обозначается через Кег /. 26. Νχ. Следствие 26.Мх. Ядро гомоморфизма есть подгруппа. 26. Ох. Гомоморфизм является мономорфизмом, согда его ядро тривиально. 26.Рх. Пересечение любого набора подгрупп данной группы является её подгруппой. Говорят, что подгруппа Η группы G порождается подмножеством S С G, если она является наименьшей (по включению) подгруппой, содержащей это множество. 26. Qx. Подгруппа, порожденная множеством S, совпадает с пересечением всех содержащих множество S подгрупп группы G. С другой стороны, эта подгруппа есть множество всех элементов, являющихся произведениями элементов множества S и элементов, обратных к ним. Элементы множества, порождающего всю группы G, называются образующими этой группы. Группа, порожденная одним элементом, называется циклической. 26. Rx. Циклическая группа состоит из всех степеней её образующей. (То есть если группа G — циклическая и α — её образующая, то G = {ап \ η £ Ζ}.) Всякая циклическая группа является абелевой. 26. Их. Подгруппа Η группы G — циклическая, согда существует эпиморфизм /:Ζ -> Я.
164 Глава 5х. Элементы топологической алгебры 26. Sx. Всякая подгруппа циклической группы является циклической. Число элементов группы конечной G называется порядком этой группы и обозначается через \G\. 26. Тх. Пусть G — конечная циклическая группа. Для всякого положительного делителя d порядка \G\ этой группы существует единственная подгруппа Η группы G, порядок которой равен d. Всякий элемент любой группы порождает подгруппу, состоящую из всех его степеней. Порядок подгруппы, порожденной элементом a£G, называется порядком элемента а. Если подгруппа, порожденная элементом а, бесконечна, то говорят, что элемент а имеет бесконечный порядок. Для всякой подгруппы Η группы G её правыми смежными классами называются множества На = {ха \ χ £ Η}, a£G. Аналогично, множества аН называются её левыми смежными классами. (Вместо «смежный класс» говорят также «класс смежности».) Количество различных правых (или левых) классов смежности по подгруппе Η называется индексом этой подгруппы. 26. Ux. Теорема Лагранжа. Пусть Η — подгруппа конечной группы G. Тогда порядок группы Η является делителем порядка группы G. Подгруппа Η группы G называется нормальной, если aha-1 £ Η для всех элементов h £ Η и а £ G, т. е. GHG-1 С Н. Нормальные подгруппы также называют её нормальными делителями или лее инвариантными подгруппами. У всякой нормальной подгруппы её левые классы смежности совпадают с правыми классами смежности. Множество классов смежности нормальной подгруппы является группой, произведение в которой определено по правилу (аН)(ЬН) = аЬН. Группа классов смежности подгруппы Η в группе G называется факторгруппой G по Η и обозначается G/H. 26. Vx. Ядро всякого гомоморфизма /: G —> Η является нормальной подгруппой группы G. 26. Wx. Образ f(G) всякого гомоморфизма f: G —» Η изоморфен факторгруппе G/Ker/ группы G по ядру гомоморфизма /. 26.Хх. Факторгруппа R/Z канонически изоморфна группе S1. Опишите образ группы Q С Μ при этом изоморфизме. 26. Υχ. Пусть А — нормальная подгруппа, В — подгруппа некоторой группы G. Тогда АН также является подгруппой G, а А П В — нормальной подгруппой группы В, при этом АВ/А = В/А Π В. § 27х. Топологические группы 27.1х. Определение топологической группы Топологической группой называется множество G на котором заданы как топологическая, так и групповая структура. При этом требуется, чтобы отображения G χ G —► G. (х,у) и ip G -* G: ι и χ~λ были непрерывны.
§ 27х. Топологические группы 165 27.1 χ. Пусть G — одновременно группа и топологическое пространство. Докажите, что отображения и): G X G —> G: (ж, у) ι—> ху и a: G —> G: ж ι—> ж-1 непрерывны, согда непрерывно отображение )3:GxG-> G:(i,j/)h жу-1. 27.2а;. Докажите, что для всякой топологической группы G отображение G —> —> G:ii-t ж-1 является гомеоморфизмом. 27.Зх. Пусть G — топологическая группа, X — топологическое пространство и f,g: X —> G — отображения, непрерывные в точке хо £ -f. Докажите, что отображения X —> G: χ н-► /(ж)д(ж) и X —> G: χ ι—> (/(ж))-1 также будут непрерывны в точке жо. 27. Аж. Всякая группа, наделенная дискретной топологической структурой, является топологической группой. 27.4х. Будет ли топологической группа, наделенная антидискретной топологической структурой? 27.2х. Примеры топологических групп 27. Вх. Группы, перечисленные в задаче 26. Сх и наделенные стандартной топологией, являются топологическими группами. 27.5а;. Единичная окружность S1 = {ζ £ С | \ζ\ = 1} с операцией умножения и стандартной топологической структурой является топологической группой. 27.6а;. Являются ли топологическими группами: 1) пространства К", С" и Н" с покоординатным сложением; 2) множества Mat(raxra,M), Mat(raxra,C) и Mat(raxra,H) всех (га χ га)-матриц с вещественными, комплексными и, соответственно, кватернионными коэффициентами, операцией в которых является матричное сложение, а топологией является топология пространства Шк (мы отождествляем Mat(raxra,M) с Μ" , Mat(raxra,C) с С"2 и Mat(raxra,H) с Н"2); 3) множества GL(ra,M), GL(ra,C) и GL(ra,H) всех обратимых (гаχга)-матриц с вещественными, комплексными и, соответственно, кватернионными коэффициентами, операцией в которых является матричное умножение, а топология индуцирована вложением GL(n,K) С Mat(raxra, ЛГ) (где К = Ж, С или Н); 4) множества SL(n,K), 5L(ra,C), О(га), 0(га,С), C/(ra), SO(ra), 50(ra,C), SU(n) и другие подгруппы групп GL{n, К) с К = Ж, С и Н. 27.7а;. Введите на группе Ж с операцией сложения топологическую структуру, отличную от стандартной, дискретной и антидискретной, так, чтобы в результате мы получили топологическую группу. 27.8х. Укажите пару топологических групп, которые гомеоморфны как топологические пространства, но не являются изоморфными как группы. 27.9а;. Определим в множестве G=[0;1) (со стандартной топологической структурой) операцию сложения и{х,у) =х + у (mod 1). Является ли G топологической группой? 27.3х. Автогомеоморфизмы, делающие топологическую группу однородной Отображения группы G на себя, определенные формулами χ \—► ах и χ н-> ха, называются, соответственно, левым и правым сдвигом и обозначаются La и Ra. Заметим, что La о Lb = Lab, тогда как Ra о Rb = Rba (чтобы подправить последнее соотношение, некоторые авторы определяют правый сдвиг как отображение χ н-> χα~λ).
166 Глава 5х. Элементы топологической алгебры 27. Сх. Левый и правый сдвиги являются автогомеоморфизмами топологической группы. Сопряжением, порожденным элементом а группы G, называется отображение G —» G: χ н-► αχα~λ. 27.Dx. Всякое сопряжение является автогомеоморфизмом топологической группы. Следующее свойство топологической группы показывает определенную «однородность» топологической структуры на группе. 27.Ex. Для всякого открытого множества U в топологической группе G и для любого её элемента x£G множества xU, Ux и [У-1 являются открытыми. 27.10х. Справедливо ли аналогичное утверждение для замкнутых множеств? 27.Их. Докажите, что если U и V — подмножества топологической группы и множество U открыто, то UV и VU — открытые множества. 27.12х. Останется ли верным аналог предыдущего утверждения для замкнутого множества? 27.13х. Какие из следующих подгрупп аддитивной группы Ж являются замкнутыми множествами: 1) Z; 2) V2Z; 3) Ζ + λ/2Ζ? 27.Fx. Докажите, что если множество U компактно, а множество V — замкнуто, то множества UV и VU также являются замкнутыми. 27.Fx.l- Рассмотрим непересекающиеся подмножества F и С топологической группы G. Если множество F замкнуто, а С компактно, то найдётся окрестность V единицы, такая, что множество CV U VC не пересекает F. Если топологическая группа G локально компактна, то окрестность V молено выбрать так, чтобы множество C\(CV U VC) было компактным. 27.4х. Окрестности 27. Gx. Если Г — база окрестностей единицы в топологической группе G, то Σ = {aU \ а € G, U € Г} — база топологии в G. Подмножество А группы G называется симметричным, если А-1 = А. 27.Нх. Во всякой окрестности единицы топологической группы содержится симметричная окрестность единицы. 27.1х. Для всякой окрестности U единицы топологической группы существует окрестность V единицы, такая, что VV с U. 27.14х- Для всякой окрестности U единицы топологической группы и всякого нгь турального числа η существует симметричная окрестность V единицы, такая, что У" С U. 27.15х. Если V — симметричная окрестность единицы топологической группы, то множество UnLi ^" есть подгруппа этой группы, являющаяся одновременно открытым и замкнутым множеством. 27.16х. Пусть G — группа и Σ — некоторый набор подмножеств. Докажите, что для того чтобы существовала топологическая структура на группе G, в которой набор Σ
§ 27х. Топологические группы 167 есть база окрестностей единицы, относительно которой G является топологической группой, необходимо и достаточно, чтобы набор Σ удовлетворял следующим пяти условиям: 1) каждое из множеств U £ Σ содержит единицу группы G, 2) для каждого элемента χ £ U £ Σ существует множество У £ Σ, такое, что xV С £/, 3) для каждого множества U £ Σ существует множество У £ Σ, такое, что V-1 С I/, 4) для каждого множества U £ Σ существует множество У £ Σ, такое, что VV С С/, 5) для каждого элемента χ £ G и множества С/ £ Σ существует множество У £ Σ, такое, что У С х~г11х. 27. Jx. Загадка. В каком смысле включение 27.1х напоминает неравенство треугольника? 27.Кх. Пусть С — компактное подмножество топологической группы G. Докажите, что для всякой окрестности U единицы группы существует окрестность V единицы, такая, что для каждого элемента χ £ С справедливо включение V С χ~λυχ. 27.5х. Аксиомы отделимости 27.Lx. Топологическая группа является хаусдорфовой, согда она удовлетворяет первой аксиоме отделимости, согда одноточечное множество {1} замкнуто. 27.Мх. Топологическая группа является хаусдорфовой, согда пересечение всех окрестностей единицы совпадает с {1}. 27.Nx. Если единица топологической группы замкнута, то эта топологическая группа удовлетворяет третьей аксиоме отделимости. Для доказательства используйте следующее утверждение. 27.Nx.l. Для всякой окрестности U единицы в топологической группе G существует окрестность V единицы, такая, что C1V С U. 27. Ох. Следствие. В топологических группах первые три аксиомы отделимости эквивалентны. 27.17х. Докажите, что наконечной группе G существует ровно столько топологических структур, относительно которых она является топологической группой, сколько в G имеется нормальных подгрупп. Точнее, для каждой нормальной подгруппы N конечной группы G множества gN, g £ G, образуют базу топологической структуры, согласованной с групповой. 27.6х. Аксиомы счётности 27.Рх. Если Г — база окрестностей в единице топологической группы G и множество S плотно в G, то набор Σ = {all \ а £ S, U £ Г} есть база топологии группы G. (Ср. 27.Gxvi 16.H.) 27. Qx. Следствие. Всякая сепарабельная и удовлетворяющая первой аксиоме счётности топологическая группа удовлетворяет второй аксиоме счётности. 27.18х*. (Ср. 16.Zx) Всякая топологическая группа, удовлетворяющая первой аксиоме отделимости и второй аксиоме счётности, метризуема.
168 Глава 5х. Элементы топологической алгебры § 28х. Конструкции 28.1х. Подгруппы 28. Ах. Если Η — подгруппа топологической группы G, то Η является топологической группой относительно групповой и топологических структур, наследуемых ею из группы G. 28.1х. Пусть Η — подгруппа абелевой группы G. Докажите, что для всякой структуры топологической группы на Η и базы топологии в единице существует структура топологической группы на G с той же самой базой окрестностей в единице. 28.2х. Докажите, что подгруппа топологической группы открыта, согда её внутренность непуста. 28. Зх. Докажите, что всякая открытая подгруппа топологической группы является одновременно и замкнутой. 28.4х. Докажите, что всякая замкнутая подгруппа конечного индекса является открытой. 28.5х. Приведите пример подгруппы топологической группы, которая: 1) замкнута, но не открыта; 2) не открыта и не замкнута. 28.6х. Докажите, что топология, индуцированная на подгруппе топологической группы, является дискретной, согда в этой подгруппе имеется изолированная точка. 28.Ίχ. Докажите, что подгруппа Η топологической группы G замкнута, согда существует открытое множество U, такое, что U Π Η = U Π C1Η φ 0, т. е. согда Н локально замкнута хотя бы в одной из своих точек. 28.8х. Докажите, что если Η не является замкнутой подгруппой топологической группы G, то множество C1JY \ Η плотно в CI H. 28.9х. Замыкание подгруппы топологической группы является подгруппой этой группы. 28.10х. Верно ли, что внутренность подгруппы топологической группы является подгруппой этой группы? 28. Вх. Связная топологическая группа порождается всякой окрестностью единицы этой группы. 28. Сх. Пусть Η — подгруппа группы G. Введём отношение: а ~ 6, если аЬ~г £ Н. Докажите, что это отношение является отношением эквивалентности, классы эквивалентности по которому совпадают с правыми классами смежности подгруппы Н. 28. Их. Каков аналог утверждения 28.Сх для левых классах смежности? Множество левых классов смежности подгруппы Η в G обозначается через G/H, множество правых классов — через H\G. В случае, если G является топологической группой, множества G/H и H\G наделяются топологической структурой факторпространства и называются пространствами классов смежности. 28.Dx. Для всякой топологической группы G и её подгруппы Н, естественные проекции G —» G/H и G —» H\G являются открытыми отображениями. 28. Ex. Пространство левых (и правых) классов смежности замкнутой подгруппы топологической группы является регулярным. 28.Fx. Если подгруппа Η группы G, а также пространство G/H компактны, то и сама группа G компактна; если подгруппа Η группы G, а также
§ 28х. Конструкции 169 пространство G/H связны, то и сама группа G связна. 28. Gx. Если подгруппа Η группы G связна, то прообраз всякой компоненты пространства G/H является компонентой группы G. 28.12х. Рассмотрим группу SO{n - 1) как подгруппу SO(n). Если га ^2, то пространство SO(n)/SO(n — 1) гомеоморфно S"1-1. 28.13х. Для всякого га ^ 1 группы SO(n), V{n), SU{n), Sp{n) компактны и связны. Сколько компонент связности имеют группы О(га), 0(p,q) (0(p,q) — это группа всех линейных преобразований пространства Mp+5 сохраняющих квадратичную форму х\ + ...+х2р-у\ -...-1/2)? 28.2х. Нормальные подгруппы 28. Нх. Докажите, что замыкание нормальной подгруппы топологической группы G является нормальной подгруппой группы G. 28.1х. Компонента связности единицы в топологической группе есть замкнутая нормальная подгруппа этой группы. 28.14&· Компонента линейной связности единицы в топологической группе есть нормальная подгруппа этой группы. 28. Jx. Факторгруппа топологической группы является топологической группой. 28. Кх. Естественная проекция топологической группы на её факторгруппу является открытым отображением. 28. Lx. Факторгруппа группы, удовлетворяющей первой (второй) аксиоме счётности, удовлетворяет первой (соответственно второй) аксиоме счётности. 28. Мх. Факторгруппа G/H топологической группы G регулярна, согда подгруппа Η замкнута. 28. Νχ. Докажите, что нормальная подгруппа Η открыта в топологической группе G, согда факторгруппа G/H дискретна. Центром группы G называется множество C(G) = {χ е G I xg = gx при всех д € G}. 28.15x. Всякая дискретная нормальная подгруппа связной топологической группы G содержится в центре C(G) этой группы. 28.Зх. Гомоморфизмы Если G и Η — топологические группы, то отображение f:G—*H называется гомоморфизмом, если оно непрерывно и является гомоморфизмом с алгебраической точки зрения. 28. Ох. Групповой гомоморфизм одной топологической группы в другую является гомоморфизмом в смысле топологических групп, согда он непрерывен в единице. Все теоретико-групповые понятия переносятся на топологические группы без изменений. Единственное, что включается дополнительно в определения, связано с существованием на группах топологической структуры. В частности, в теории групп изоморфизмом называется обратимый гомоморфизм. Отображение, обратное к нему, автоматически является гомоморфизмом.
170 Глава 5х. Элементы, топологической алгебры, В теории топологических групп в само определение изоморфизма следует вставить дополнительное условие. Именно, изоморфизмом одной топологической группы на другую называется обратимый гомоморфизм, обратный к которому также является гомоморфизмом. Другими словами, в теории топологических групп под изоморфизмом мы понимаем отображение, которое является изоморфизмом в алгебраическом смысле и гомеоморфизмом топологических пространств. 28.16х, Докажите, что отображение /: [0; 1) —> S1: χ ι—> ε2πιχ есть гомоморфизм (топологических групп). 28.Рх. Эпиморфизм /: G —> J7 является открытым отображением, согда его инъективный фактор / = f/S(f): G/ Ker / —» Η является изоморфизмом. 28. Qx. Эпиморфизм компактной топологической группы на топологическую группу с замкнутой единицей является открытым отображением. 28. Rx. Докажите, что факторгруппа R/Z изоморфна мультипликативной группе S1 С С. 28.4х. Локальные изоморфизмы Пусть G и Η — топологические группы. Локальным изоморфизмом группы G в группу Η называется такой гомеоморфизм / некоторой окрестности U единицы в группе G на окрестность V единицы в группе Н, что 1) f(xy) = f(x)f(y) для всех х,у е [/, таких, что ху е U, 2) ί~~λ{ζΐ) = f~1{z)f~1{t) для всех z,t e V, таких, что zt e V. Топологические группы называются локально изоморфными, если существует локальный изоморфизм одной из них в другую. 28.Sx. Изоморфные топологические группы локально изоморфны. 28. Тх. Аддитивная группа 1R вещественных чисел и мультипликативная группа S1 комплексных чисел, по модулю равных единице, локально изоморфны, но не изоморфны. 28.17х. Докажите, что отношение локальной изоморфности является отношением эквивалентности на классе всех топологических групп. 28.18х. Укажите окрестности единиц в IR и S1 и гомеоморфизм между ними, удовлетворяющие первому условию из определения локального изоморфизма, но не удовлетворяющие второму. 28.19х. Докажите, что для любого гомеоморфизма окрестности единицы одной топологической группы на окрестность единицы другой, удовлетворяющего первому условию из определения локального гомеоморфизма, найдётся локальный изоморфизм, являющийся его подотображением. 28.5х. Прямые произведения Пусть G и Η — топологические группы. В теории групп произведение G χ Η наделяется групповой структурой: (х, и) {у, v) = (xy,uv). В топологии было определено произведение топологических пространств (см. § 20). 28. Ux. Произведение топологических групп является топологической группой.
§ 28х. Конструкции 171 Тем самым, G χ Η — топологическая группа, которая называется прямым произведением групп G и Η. С этим произведением связаны четыре канонических гомоморфизма: два гомоморфизма включения га : G —» G χ //: χ >—> (χ, 1) и гн: Η —» G x ii: £ ι—> (1, χ), каждый из которых является мономорфизмом, и две проекцииpG : G χ Η —> G: (ж,у) ь+^ирн: G χ Я —> Η: (χ, у) ι—> j/, каждая из которых — эпиморфизм. 28.20х. Докажите, что топологические группы G χ Н/гн{Н) и G изоморфны. 28.21х. Перемножение топологических групп коммутативно и ассоциативно: G Χ Η канонически изоморфно Η χ G, a G х (J7 χ Λ") канонически изоморфно (G x /ϊ) Χ Λ". Говорят, что топологическая группа G раскладывается в прямое произведение своих подгрупп А и В, если отображение А х В —» G: (я, у) к-> ccj/ является изоморфизмом. В этом случае группу G обычно отождествляют с произведением Ах В. Предположим, что группа G раскладывается в прямое произведение своих подгрупп А и S в алгебраическом смысле. Напомним, что это имеет место, согда А и В порождают группу G, являются её нормальными подгруппами и А П В = {1}. Поэтому, если эти условия выполнены, то отображение А х В —» —» G: (ж, у) ь-> ху — изоморфизм. 28.22а;*. Докажите, что в описанной ситуации отображение А х В —> G: (χ,ι/) ι—> ι—► χι/ непрерывно. Приведите пример, в котором обратный гомоморфизм не является непрерывным. 28. Vx. Докажите, что если компактная хаусдорфова топологическая группа G раскладывается в прямое произведение своих замкнутых подгрупп в алгебраическом смысле, то G является их прямым произведением (и в топологическом смысле). 28.23а;. Докажите, что мультипликативная группа Ж \ 0 вещественных чисел изоморфна, (как топологическая группа) прямому произведению мультипликативной группы S0 = {1,-1} и мультипликативной группы М* = {х 6 Ж | χ > 0}. 28.2^х. Докажите, что мультипликативная группа С \ 0 комплексных чисел изоморфна (как топологическая группа) прямому произведению мультипликативной группы S1 = {г 6 С | |г| = 1} и мультипликативной группы Ж*^. 28.25х. Докажите, что мультипликативная группа Н\0 кватернионов изоморфна (как топологическая группа) прямому произведению мультипликативной группы £3 = {ζ£Η||ζ| = 1} и мультипликативной группы Ж*,. 28.26х. Докажите, что подгруппа S0 = {1, -1} группы S3 = {г £ Η | |г| = 1} не является её прямым множителем. 28.27х. Найдите топологическую группу, гомеоморфную ЖР . Пусть группа G содержит нормальную подгруппу А и подгруппу В, такие, что АВ = G и Αηβ= {1g}- Если подгруппа В также является нормальной, то G является прямым произведением А х В. В противном случае говорят о полупрямом произведении. 28. Wx. Пусть топологическая группа G является полупрямым произведением своих подгрупп А и В. Если для любых окрестностей единицы U С А и V С В их произведение UV также содержит окрестность единицы, то пространство G гомеоморфно произведению А х В.
172 Глава 5х. Элементы топологической алгебры 28.6х. Группы гомеоморфизмов Обозначим через Homeo X группу гомеоморфизмов топологического пространства X. Напомним, что групповой операцией в этой группе является композиция гомеоморфизмов. Для того чтобы сделать её топологической, мы изменим топологическую структуру на пространстве гомеоморфизмов по сравнению с компактно-открытой топологией на пространстве С(Х, X). 28.Хх. Набор множеств вида W(C, U) и (W(C, U))-1, взятых для всех компактных подмножеств С С X и всех открытых подмножеств U С X является предбазой некоторой топологической структуры на группе Homeo X. Всюду в дальнейшем мы считаем, что на пространстве Homeo X задана топологическая структура с предбазой, описанной в 28.Хх. 28. Yx. Если пространство X является хаусдорфовым и локально компактным, то Homeo X — топологическая группа. 28.Υχ.1. Если X хаусдорфово и локально компактно, то отображение φ: Homeo Χ χ Homeo X —» Homeo X: (g,h) к-> goh непрерывно. § 29х. Действия топологических групп 29.1х. Действие группы на множестве Левым действием группы G на множестве X называется такое отображение GxX->X: (j,i)i-> gx, что 1х = х для любого χ € X и (gh)x = g(hx) для любого χ € X и любых g,h£G. Множество X, на котором задано такое действие, называется левым G-множеством. Правые G-множества определяются аналогичным образом. 29. Ах. На всяком левом G-множестве Χ формула (х, д) ь-> д~гх определяет правое действие группы G. 29. Вх. Пусть X — левое G-множество. Тогда для любого д £ G отображение X —» X: χ к-> дх является биекцией. Левое действие группы G на X называется эффективным, если для любого отличного от единицы элемента д группы G отображение χ ι—> дх не является тождественным. Отображение /: Хг —» Х2 одного левого G-множества в другое называется G-эквивариантным, если f(gx) = gf(x) для всех χ € Х1} д £ G. Говорят, что X является однородным левым G-множеством (или что G действует транзитивно на X), если для любых х,у £ X существует такой элемент g £ G, что у — дх. С очевидными изменениями та лее самая терминология применима и для правых действий. 29. Сх. Естественные действия группы G на множествах G/H и H\G превращает их в однородные левое и, соответственно, правое G-множество. Пусть X — однородное левое G-множество. Рассмотрим точку х€Х и множество Gx = {д е G | дх = х}. Очевидно, что Gx есть подгруппа группы G. Подгруппа Gx называется изотропной подгруппой, соответствующей точке х.
§ 29х. Действия топологических групп 173 29.Dx. Всякое однородное левое (правое) G-множество Χ изоморфно G/H (соответственно H\G), где через Η обозначена изотропная подгруппа, соответствующая некоторой точке множества X. 29.Dx.l. Все изотропные подгруппы Gx, χ Ε Χ, являются попарно сопряженными. Нормализатором Ν(Η) подгруппы Η группы G называется множество {д £ £ G | дНд-1 = Н}. Другими словами, нормализатор есть наибольшая подгруппа в G, содержащая Η в качестве своей нормальной подгруппы. 29. Ex. Группа всех автоморфизмов однородного G-множества Χ изоморфна группе N(H)/H, где Η — изотропная подгруппа, соответствующая некоторой точке множества X. 29.Ех.1. Если изотропные подгруппы, соответствующие точкам х,у £ X, совпадают друг с другом, то найдётся автоизоморфизм G-множества Х, переводящий χ в у. 29.2х. Непрерывные действия Левым G-пространством называется топологическое пространство X, на котором задано левое действие топологической группы G, такое, что отображение G χ X —» X является непрерывным. Все определения, связанные с понятием G-множеств естественным образом переносятся на G-пространства. Отметим, что если группа G дискретна, то любое её действие задаётся непрерывным отображением, тем самым всякое её действие определяет G-пространство. 29.Fx. Пусть X — левое G-пространство. Естественное отображение ψ: G —» HomeoX, индуцированное действием G на X, является групповым гомоморфизмом. 29.Gx. В предположениях предыдущего утверждения, если к тому лее пространство X хаусдорфово и локально компактно, то гомоморфизм G —» —» НотеоХ непрерывен. 29.1х. Проверьте, является ли непрерывным действие данной топологической группы на данном топологическом пространстве и будет ли непрерывным гомоморфизм G -> Homeo XI 1) G — топологическая группа, X = G и G действует на X посредством левых (или правых) сдвигов или же посредством сопряжения; 2) G — топологическая группа, Η — её подгруппа, X = G/H и G действует на X по формуле д(аН) = (да)Н; 3) G= GL(n,K) (где К = Ж, С или Н) и G действует в Кп стандартным образом (как умножение матрицы на вектор); 4) G = GL(n, К) (где К = R, С или Н) и G действует в КРп~г посредством матричного умножения; 5) G = Ο(η,Μ) и G действует в Sn~1 посредством матричного умножения; 6) аддитивная группа М1 действует на торе S1 X ... χ S1 по правилу (wi, ■ . ■, wr) ι—► (ε2πταιίιυι,.. ., e2'rmr't«v); такое действие называется иррациональным потоком, если числа а\,. .. ,аг линейно независимы над Q. Заметим, что если действие G на X не является эффективным, то мы можем рассмотреть его ядро GKer = {д € G \ дх = χ для всех χ € X}, которое явля-
174 Глава 5х. Элементы топологической алгебры ется замкнутой нормальной подгруппой в G. Топологическая группа G/GKei будет естественным образом, и притом эффективно, действовать на X. 29. Нх. Формула gGKeT (χ) — дх определяет эффективное непрерывное действие группы G/GKeT на пространстве X. Говорят, что группа G действует вполне разрывно на пространстве X, если для всякого компактного множества С с X множество {д £ G | дС Г\С =£ 0} является конечным. 29.1х. Если группа G действует вполне разрывно и эффективно на ха- усдорфовом локально компактном пространстве X, то <p(G) является дискретным подмножеством НотеоХ. (Здесь, как и ранее φ: G —► НотеоХ — мономорфизм, индуцированный G-действием.) В частности, G — дискретная топологическая группа. 29.2а;. Перечислите (с точностью до подобия) все треугольники на плоскости Ж2, для которых группа, порожденная симметриями относительно их сторон, действует в Ж2 вполне разрывно. 29.Зх. Пространства орбит Пусть X — G-пространство. Для χ £ X множество G(x) = {дх | д € G} называется орбитой точки х. Транзитивность действия G на X означает, что в пространстве X есть всего одна орбита — всё пространство. Для подмножеств АсХ и Ε cG положим Ε (А) = {да \д£Е,а£ А}. Множество всех орбит обозначим через X/G и наделим фактортопологией. 29. Зх. Если компактная топологическая группа G действует на хаусдор- фовом топологическом пространстве X, то для всякой точки χ £ X каноническое отображение G/Gx —» G{x) является гомеоморфизмом. 29.Зх. Приведите пример хаусдорфова G-пространства Х, для которого тем не менее факторпространство G/Gx не гомеоморфно G(x), 29.Кх. Если компактная топологическая группа G действует на компактном хаусдорфовом пространстве X, то X/G — компактное хаусдорфово пространство. 29.^х. Если группа G компактна, то для всякого G-пространства Χ множество G(A) будет замкнутым (компактным), если замкнуто (соответственно компактно) множество Ас X. 29.Ьх. Рассмотрим каноническое действие мультипликативной группы G = R* на X = Μ: (s,t) ι—► st. Найдите все его орбиты и изотропные подгруппы. Опишите пространство орбит X/G. 29.6х*. Пусть G — группа, порожденная симметриями относительно сторон некоторого треугольника в IR2. Опишите эту группу и пространство орбит Ж2/G. 29.7х. Пусть G — группа из задачи 29.6х, а Н — её подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию преобразований плоскости. Опишите эту группу и пространство орбит U2/G. 29.8х. Рассмотрим диагональное действие тора G= (S1)n+1 на X = СРп, заданного правилом (ζ0,ζλ,...,Ζη.) >-► (ϋ0ζ0,ϋιζ1,...,ϋηζη). Найдите все его орбиты и изотропные подгруппы. Опишите пространство орбит X/G.
§ 29х. Действия топологических групп 175 29.9χ· Рассмотрим каноническое действие (порожденное перестановкой координат) симметрической группы G = Symm(ra) в X = Μ"; Χ = С". Найдите все орбиты и изотропные подгруппы. Опишите пространство орбит X/G. 29.10х. Рассмотрим действие группы G = SO(3) на пространстве X всех симметричных вещественных (3 х 3)-матриц с нулевым следом посредством сопряжения χ ι—► ι—► дхд~г. Найдите все орбиты и изотропные подгруппы. Опишите пространство орбит X/G. 29.4х. Однородные пространства G-пространство называется однородным, если группа G действует на нём транзитивно. 29. Lx. Всякая топологическая группа G является однородным Я-про- странством относительно действия всякой своей подгруппы посредством сдвигов. Факторпространство G/H является однородным G-пространством относительно действия группы G. 29.Мх. Пусть X — G-пространство. Если X uG локально компактны и G имеет счётную базу топологии, то для всякой точки х£Х пространство X гомеоморфно факторпространству G/Gx. 29.Nx. Пусть X — однородное G-пространство. Каноническое отображение G/Gx —> X является гомеоморфизмом, согда оно открыто. 29.Их. Покажите, что 0(п)/0(п - 1) = 5" и U(n)/U(n - 1) = 52η_1. 29.12х. Покажите, что 0(п + 1)/(0(п) х 0(1)) = RPn и U(n + l)/(l/(n) x [/(1)) = = CPn. 29.13x. Покажите, что Sp{n)/Sp(n - 1) = 54"-1, где Sp(n) = {А е GL(H) | АА* = Е}. 29. Цх. Представьте тор S1 x S1 и бутылку Клейна как однородные пространства. 29.15х. Опишите в геометрических терминах однородные пространства: 1) 0(п)/0(1)"; 2) 0(п)/(0{к) χ 0(п - к)); 3) 0(n)/(SO(k) xO(n-k)); 4) 0(п)/0(к). 29.16х*. Представьте S2 x S2 как однородное пространство. 29.1 7х. Опишите пространство орбит SO(n,l)/SO(n).
176 Глава 5х. Элементы топологической алгебры Доказательства и комментарии 27. Ах. Это так, поскольку всякое отображение из дискретного топологического пространства является непрерывным. 27.Вх. В тех случаях, когда группа конечна, наделите её дискретной топологической структурой; в силу 27.Ах, она станет топологической. Более содержательные примеры рассматриваются далее (см. 27.5х,27.6х). 27. Сх. Любой сдвиг непрерывен, а сдвиги, заданные элементами а и а-1, взаимно обратны друг другу. 27.Dx. Аналогично доказательству утверждения 27. Сх. 27.Ex. Для всякого открытого множества U указанные множества являются его образами при гомеоморфизмах, соответственно: левого сдвига на элемент х, правого сдвига на этот элемент, взятия обратного элемента. 27.Fx. Для каждой точки χ £ С выберем окрестность Vx единицы так, чтобы окрестность xVx не пересекалась с множеством F. В силу 27.1х существует окрестность единицы Wx, такая, что W£ С Vx. Так как множество С компактно, то у него существует конечное покрытие множествами Wi = = XlWXl,...,Wn = xnWXn. Положим Vi = |Xi WXi. Тогда CV, С (J W,V C (J iiWx24 С (J iiV,4. i=l i=l i~l Таким образом, множество СУг не пересекается с F. Аналогично строится окрестность Vi, такая, что множество V2C не пересекается с F. Окрестность V = V\ Π V2 обладает требуемым свойством. Если G — локально компактная группа, то следует взять окрестность Vx с компактным замыканием. 27.Fx. Пусть χ £ UV. Так как множества U и xV_1 не пересекаются, то, в силу 27.Fx.l, найдётся окрестность W единицы, такая, что множества WU и xV'1 дизъюнкты. Значит, множество W_1x не пересекается с UV, следовательно, дополнение UV — открытое множество. 27. Gx. Пусть множество V открыто в G, а € V. Если окрестность U € Г такова, что U С a~1V, то aU CV. В силу признака базы данной топологии, Σ — база топологии группы G. 27. Нх. Если U — некоторая окрестность единицы, то U Π U-1 — симметричная окрестность единицы. 27.1х. Из непрерывности умножения следует, что найдутся такие окрестности единицы νλ и F2, что ViV2 С U. Если V = νλ Π F2, то VV С U. 27.Кх. Пусть W — симметричная окрестность единицы, такая, что W3 С U. Выберем конечное покрытие С множествами вида И^ = x^W,..., Wn = xnW, гдехи...,хп&С. Положим V = (~)(xiWx~1). Ясно, что V — окрестность единицы. Если χ б С, то найдётся такой элемент wt e W, что χ = XiWi. Следовательно, χ~Ύνχ = w~1x~1Vxiwi С w^Wwi С W3 С U.
Доказательства и комментарии 177 27.Lx. Если множество {1} является замкнутым, то все одноточечные подмножества этой топологической группы являются замкнутыми, таким образом, G удовлетворяет первой аксиоме отделимости, согда {1} — замкнутое множество. Докажем, что в этом случае G и хаусдорфова. Пусть д φ 1 и U — окрестность единицы, не содержащая элемент д. В силу 27.14х найдётся симметричная окрестность V единицы, такая, что V2 С U. Докажите, что множества gV и V не пересекаются и выведите отсюда хаусдорфовость данной топологической группы. 27.Мх. I =»1 См. 15. С. I <=1 Если единица совпадает с пересечением всех своих окрестностей, то всякий элемент группы есть пересечение своих окрестностей, следовательно, топологическая группа удовлетворяет первой аксиоме отделимости. В силу 27. Lx, она хаусдорфова. 27.Nx. Достаточно взять симметричную окрестность единицы, такую что V2 С U. Действительно, тогда для любого элемента д $U множества gV и V не будут пересекаться. Следовательно, С1V С U. 27. Рх. Рассмотрим открытое множество W и элемент д £ W. Выберем симметричную окрестность V единицы, такую что V2 С W. Существует окрестность U £ Г единицы, такая, что U С V. Найдется точка а£ S, такая, что а £ £ gU-1. Тогда д £ all и а £ gU'1 с gV'1 = gV. Значит, all С aV С gV2 С W. 28.Вх. Следует из 27.15х. 28.Dx. Это так, поскольку для всякого открытого в G множества U, множество UΗ (соответственно HU) также открыто в G. 28.Ex. Пространство G/H удовлетворяют первой аксиоме отделимости, так как для всякого элемента д £ G множество дН замкнуто в G. Поскольку каждое открытое в G/H множество имеет вид {дН \ д е U} (для некоторого открытого в G множества U), то достаточно проверить, что для всякой окрестности U единицы в группе G найдётся окрестность V единицы, такая, что Cl(VH) с UH. Пусть V — симметричная окрестность единицы, такая, что V2 С ?7, см. 27. Цх. Если χ е CI VH, то в окрестности Vx имеется элемент vh, где ν &V и h£ Н. Значит, существует такой элемент υ' £ V, что υ'χ — vh. Следовательно, χ £ V^VH = V2H С UH. 28. Fx. Докажем, что если подгруппа Н компактна, то проекция р: G —» —» G/H замкнута. Пусть множество F с G замкнуто их^ FH. В силу 27. Fx множество FH замкнуто, значит, у точки χ имеется окрестность U, не пересекающаяся с FH, следовательно, множества UH и FH не пересекаются. Тем самым мы нашли насыщенное открытое в G множество, не пересекающееся с насыщением замкнутого множества F, откуда и следует замкнутость проекции. Рассмотрим произвольное центрированное семейство замкнутых в G множеств. По доказанному их образы при проекции ρ образуют центрированное семейство замкнутых множеств, которое, в силу компактности G/H, имеет непустое пересечение. Следовательно, найдётся точка д £ G, такая, что пересечения всех множеств исходного семейства с множеством дН образуют
178 Глава 5х. Элементы топологической алгебры центрированную систему замкнутых множеств. В силу компактности дН, пересечение всех множеств этой системы непусто, значит, группа G компактна. Теперь докажем связность G при условии связности подгруппы Η и пространства G/H. Пусть G = U U V, где U viV — открыты в G, непусты и не пересекаются друг с другом. Из связности любого класса смежности дН, g€G, следует, что каждый из них содержится целиком в одном из открытых множеств, U либо V. Таким образом, группа G распадается в объединение двух открытых и насыщенных множеств, что противоречит связности пространства G/H. 28. Gx. Используйте рассуждение, аналогичное доказательству связности группы в утверждении 28. Fx. 28.Нх. Это так, поскольку если аНа"1 с Н, то а СЦЩа,-1 = СЦаНа-1) с С1(Я). 28.1х. Пусть С — компонента связности единицы. Как всякая компонента связности, множество С замкнуто. Так как множество С-1 связно и содержит единицу, то С-1 С С. Для всякого элемента д £ С множество дС связно и пересекается с С, поэтому дС С С. Следовательно, С — подгруппа. Наконец, для любого д £ G множество дСд-1 связно и содержит единицу, значит, дСд~г С С, таким образом, С —■ нормальная подгруппа. 28. Jx. Пусть G — топологическая группа, Η — её нормальная подгруппа, a,b£G. Рассмотрим в G/H произвольную окрестность класса смежности аЬН; её прообразом в группе G является открытое множество W, состоящее из классов смежности подгруппы Η и содержащее элемент ab, в частности, W — окрестность точки ab. Поскольку G является топологической группой, найдутся окрестности U viV точек а и b соответственно, такие, что UV С W. Тогда {UH)(VН) = (UV)H С WH, следовательно, произведение элементов факторгруппы определяет непрерывное отображение G/H x G/H —> G/H. Докажите самостоятельно, что непрерывно и отображение G/H x G/H: aH —> а~1Н. 28. Кх. Это утверждение является частным случаем 28. Dx. 28.Lx. Если набор {Ua} является базой топологии группы G (или базой топологии в некоторой точке), то набор {UaH} есть база топологии в G/H (соответственно база топологии в соответствующей точке факторпространства). 28. Мх. Это утверждение является частным случаем 28. Ex. 28. Nx. I =Н Если Η — открытая нормальная подгруппа, то все классы смежности также открыты, значит, каждое одноточечное подмножество G/H открыто. I <=] Если единица в факторгруппе открыта, то по определению фактортопологии множество Η открыто в G. 28. Ох. I =Н Очевидно. I <=1 Пусть f:G—*H — групповой гомоморфизм, непрерывный в единице, a£Gnb = f(a)£H. Для произвольной окрестности U элемента Ъ множество Ь~ги является окрестностью единицы группы Н. Значит, найдётся окрестность V единицы группы G, такая, что f{V) С 6_1[/.
Доказательства и комментарии 179 Тогда множество aV — окрестность элемента а и f{aV) = f(a)f(V) = bf(V) С С ЪЪ~ги = U. Таким образом, / непрерывен в любой точке а£ G, т. е. / — гомоморфизм в смысле топологических групп. 28.Рх. | =Н Пусть /: G —» J7 — открытый эпиморфизм. Для всякого открытого в G/Ker/ множества [/ его образ f(U) = /(р-1([/)) открыт (здесь р: G —» G/Ker/ — проекция). [ -<=| Если отображение / открыто, то, в силу 28.Dx, / открыто как композиция открытых отображений. 28. Qx. Следует из 28.Рх, 27.Lxm 11.X. 28.Rx. Следует из 28.Рх, поскольку, как нетрудно видеть, проекция R —» —» 51: χ н-► е2"^1 — открытое отображение. 2#. Тх. Они не изоморфны, так как не гомеоморфны (окружность 51 компактна, а прямая — нет). Проверьте, что отображение К —» 51: χ н-► е2™* является локальным изоморфизмом. 2S. Va:. В данном случае отображение А χ В —> G: (а, 6) ι—> аб является непрерывной биекцией из компактного пространства в хаусдорфово, следовательно, в силу 17.Х, оно — гомеоморфизм. 28. Wx. Отображение А χ В —» G: (а, Ъ) *—> аб является непрерывной биекцией. Докажем, что оно также и открыто. Пусть UcAviVcB — окрестности единиц, а£ Anb£ В. Множество UaVb = abU'V, где U' = b~~1a~~1Uab и V = b~^Vb, содержит abW, где W' — это содержащаяся в U'V окрестность единицы. 28.Хх. См. 25.Вх. 28.Yx.l. Достаточно проверить открытость прообраза любого элемента из предбазы топологии. Для предбазовых множеств вида W{C, U) это следует из утверждения 25.Рх, в доказательстве которого было показано, что для любых элементов gh £ W(C, U) существует такое открытое множество U' с компактным замыканием, что h(C) С U' и д(СШ') С U. В таком случае h е W(C, U'),g€ W(C1 U', U) и gh e ^(W(C1 £/', tf) x W(C, [/')) С С W{C, U). Теперь рассмотрим предбазовое множество (W(C, U))-1 и сведём проверку открытости его прообраза к рассмотренному случаю. Действительно, gh£ (W(C,U))"1, согда h~1g~1 € W(C,U). Выберем открытое множество U' с компактным замыканием так, чтобы д~1{С) С U' и h~1(C\U') С U. Тогда д-1 € W(C, U'), h'1 € W(C1tf', tf)> следовательно, /г"^"1 £ y>(W(Cl[/',[/) χ χ W(C, U')) С W(C, ?7). Заметим, что утверждение леммы справедливо также для обычной компактно-открытой топологии на множестве Homeo X. 28. Yx. Отображение Homeo X —» Homeo X: д ι—> g_1 непрерывно, так как оно переводит предбазовые множества топологии в Homeo X в предбазовые. Следовательно, утверждение будет следовать из 28. Yx.l. 29. Gx. Достаточно проверить открытость прообраза каждого элемента из предбазы топологии. Для предбазовых множеств вида это следует из утверждения 25.Рх. Теперь пусть ip(g) e (W(C, U))~\ Тогда tpig-1) G W(C, U), следовательно, найдётся открытая окрестность V элемента <7_1-£ G, такая, что
180 Глава 5х. Элементы топологической алгебры ψ{ν) С W(C, U). Значит, V-1 — окрестность д в G, такая, что ^(F-1) С С (W(C, и))~г. (Обратите внимание на то, что условия, наложенные на пространство X требовались исключительно для того чтобы группа НотеоХ была топологической.) 29.1х. Проверим, что элемент 1 е G является изолированной точкой. Пусть V — окрестность единицы с компактным замыканием. Так как хаусдорфово локально компактное пространство регулярно, то найдётся окрестность U единицы, такая, что CI U С V, в частности, CI U — компактное множество. Для каждого из конечного набора элементов gk € G, таких, что (gkU)C\V^0 выберем точку хк £ X таким образом, что дк(хк) ^хк,ие'ё окрестность Uk, не содержащую точку дк(хк). Убедитесь, что пересечение G Π W{C\ U,V)C\f] W(xk, Uk) является одноточечным множеством, содержащим только единицу. 29. Jx. Следует из 17.X. 29. Кх. Пространство X/G компактно как непрерывный образ компактного пространства X. Чтобы доказать хаусдорфовость X/G, рассмотрим две различные орбиты G(x) и G(y). В силу компактности орбиты G(y) найдутся непересекающиеся окрестности U э χ viV ~^>G(y). В силу компактности орбиты G(x) существует такой конечный набор элементов gk€G, что множества \JgkU покрывают G(x). Тогда множество C1(|J gkU) = \J CIgkU = \Jgk CI U не пересекается с G(y), так как CI U Π G(y) = 0. Следовательно, X/G — хаусдорфово пространство. 29.Мх. В силу 29.Nx достаточно доказать, что каноническое отображение /: G/Gx —> X является открытым. Пусть V — окрестность единицы с компактным замыканием, а окрестность U единицы такова, что CI U CI U С С V. Поскольку в группе G имеется счётное всюду плотное множество, то существует последовательность элементов дп £ G, такая, что множества gnU образуют открытое покрытие группы G. Осталось доказать, что по крайней мере в одном из множеств f(gnU) = gnf(U) = gnUx имеется внутренняя точка. Предположим противное. Поскольку пространство X хаусдорфово и локально компактно и каждое из множеств f(gn CIU) также является компактным, построим по индукции вложенную последовательность открытых множеств Wn С X с компактным замыканием, такую что множество Wn не пересекается с множествами gkUx при всех к < п, а пересечение gnUx Π Wn замкнуто в Wn. В результате мы получим непустое множество f) Wn, не пересекающееся с G(x), что противоречит условию. 29. Nx. Это так, поскольку каноническое отображение G/Gx —» X является непрерывной биекцией. Поэтому оно — гомеоморфизм, согда оно открыто.
Часть II Элементы алгебраической топологии
Эту часть книги молено рассматривать как введение в алгебраическую топологию — раздел топологии, в котором топологические задачи связываются с алгебраическими. Эти связи используются в обоих направлениях, однако сведение топологических задач к алгебре на первых порах оказывается полезнее, поскольку алгебра как правило легче. Связи обычно устанавливаются согласно следующей схеме. Изобретается конструкция, которая по всякому топологическому пространству X сооружает некоторый алгебраический объект А(Х). Это может быть группа, кольцо, пространство с квадратичной формой и т. п. Сопутствующая конструкция по всякому непрерывному отображению /: X —» Υ создаёт гомоморфизм A(f): А(Х) —» A(Y). Эти конструкции должны удовлетворять некоторым естественным условиям, которые позволили бы связывать топологические явления с их алгебраическими образами. Существует бесчисленное множество конструкций подобного рода. В этой части мы будем заниматься почти исключительно одной из них — самой первой с точки зрения хронологии математики. Изобрёл её Анри Пуанкаре в конце XIX века.
Глава б Гомотопии и фундаментальная группа § 30. Гомотопии 30.1. Непрерывные деформации отображений 30.А. Возможно ли непрерывной деформацией превратить: 1) тождественное отображение idH2: К2 —» Ш2 в постоянное отображение R2 -> R2: χ ^ 0; 2) тождественное отображение idsi: S1 —» 51 в симметрию 51 —» 51: ζ н-> — ζ (здесь окружность 51 отождествляется с множеством {zSC||z| = l}Ha комплексной плоскости); 3) тождественное отображение 51 —» 51 в постоянное отображение S1 -» S1: ζ ^ 1; 4) тождественное отображение S1 —> S1 в двукратное обёртывание 51 -» S1: ζ ^ ζ2; 5) включение S1 —> R2 в постоянное отображение; 6) включение 51 —► Ш2 \ 0 в постоянное отображение? 30.В. Загадка. Какой смысл вы вкладывали в слова «непрерывная деформация», решая предыдущую задачу? Этот параграф посвящен понятию гомотопии, которое как раз и формализует наши интуитивные представления о непрерывной деформации отображения. 30.2. Гомотопия как отображение и как семейство отображений Пусть /, д — два непрерывных отображения топологического пространства X в топологическое пространство У, и пусть Η: Χ χ / —» Υ — непрерывное
184 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа отображение, такое, что Н(х, 0) = f{x) и Н(х, 1) = д(х) для всех χ £ X. Тогда отображения / и д называются гомотопными, а Н называется гомотопией между /и</. Для χ £ X n t€ I обозначим H(x,t) через ht(x). За подобным изменением обозначений стоит изменение точки зрения на Н. Действительно, для фиксированного t формула χ н-> ht(x) определяет отображение ht: X —» У, и Η теперь предстаёт как семейство отображений ht, занумерованных числами t £ €l. 30. С. Каждое из отображений ht непрерывно. 30. D. Следует ли из непрерывности отображений ht непрерывность отображения ΗΊ Условия Н(х, 0) = f{x) и Η (χ, 1) = д(х) в исходном определении гомотопии могут быть записаны как h0 = / и /ii = д. Тем самым гомотопию между /ид молено рассматривать и как непрерывное семейство непрерывных отображений, соединяющее / и д. Подробнее мы поговорим об этом в п. 30.10. 30.3. Гомотопность как отношение 30.Ε. Гомотопность является отношением эквивалентности. 30.Е.1. Для'любого непрерывного отображения /: X —» Υ отображение Η: Χ χΐ ^ У: (x,t) н-> χ является гомотопией между f и f. 30.Ε.2. Если Η — гомотопия между fug, то отображение Я': Хх/ -» У: (x,t) н-> H{x,\-t) является гомотопией между g и f'. 30.Ε. 3. Пусть Η — гомотопия между f и f, а Н' — гомотопия между /' и /". Тогда отображение Η", определенное формулой H„(xt)=iH(x>2t) nput€[0;i], V ' ' \H'{x,2t-\) при ί€ [\\\] является гомотопией между f и f". Гомотопность, будучи отношением эквивалентности, определяет разбиение множества С(Х, У) всевозможных непрерывных отображений пространства X в пространство У на классы эквивалентности. Они называются гомотопическими классами или классами гомотопных отображений. Множество гомотопических классов отображений X —» У обозначается через π(Χ, У) (встречаются и другие обозначения, например, [X, У]). Если отображение гомотопно постоянному, то будем говорить, что оно гомотопно нулю. 30.1. Докажите, что для любого X множество π(Χ, /) состоит из одного элемента. 30.2. Докажите, что два постоянных отображения X —> Υ гомотопны, согда их образы лежат в одной компоненте линейной связности пространства Υ. 30.3. Докажите, что число элементов множества π(/, Υ) совпадает с числом компонент линейной связности пространства Υ.
§ 30. Гомотопии 185 30.4. Прямолинейная гомотопия 30. F. Любые два непрерывных отображения /, д: X —» R" гомотопны. 30. G. Решите предыдущую задачу, показав, что формула H(x,t)=(l-t)f(x)+tg(x) задаёт гомотопию между отображениями / и д. Гомотопия, построенная в 30. G, называется прямолинейной гомотопией. 30. Η. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в выпуклое подмножество евклидова пространства R" гомотопны. 30.5. Отображения в звёздные множества Множество А С М" называется звёздным, если существует такая точка α ξ А, что для любой точки χ е А отрезок [а; х] между α и ж содержится в А. Будем называть точку а центром звездного множества (конечно, центр определен неоднозначно). 30.4· Докажите, что любые два непрерывных отображения в звёздное множество гомотопны. 30.6. Отображения из звездных множеств 30.5. Докажите, что всякое непрерывное отображение звездного множества С С Мп в произвольное пространство гомотопно постоянному отображению. 30-6. Найдите условие (формулируемое в терминах известных топологических свойств пространства X), при выполнении которого любые два непрерывных отображения звездного множества в пространство X гомотопны. 30.7. Простенькие гомотопии 30.7. Докажите, что всякое несюръективное непрерывное отображение произвольного топологического пространства в Sn гомотопно нулю. 30.8. Докажите, что два любых отображения одноточечного пространства в Жп \0 при η > 1 гомотопны. 30.9. Найдите два негомотопных отображения одноточечного пространства bR\0. 30.10- Вычислите, при различных значениях т, η и к, число гомотопических классов отображений {1,2,...,т} -> Жп\{хих2,...,хк}, предполагая, что топология в множестве {1,2 т} дискретна. 30.11. Пусть X — произвольное топологическое пространство, f,g: X —> Жп \0 — непрерывные отображения. Докажите, что если \f(x) — д(х)\ < |/(ж)| для любого χ е X, то отображения / и д гомотопны. 30-12. Докажите, что для любых двух многочленов ρ и q над С одной и той же степени существует такое число г > 0, что для всякого R > г формулы ζ ι—> ρ(ζ) и ζ ι—► q(z) определяют гомотопные отображения {ζ е С | \ζ\ = Щ —* С \0. 30-13. Пусть X — произвольное топологическое пространство. Если непрерывные отображения f,g:X —► Sn таковы, что |/(ж) — д(х)\ < 2 для всякого χ (Ξ Χ, то / гомотопно д. 30.14· Пусть /: Sn —► Sn — непрерывное отображение. Докажите, что если оно не имеет неподвижных точек, т. е. если f(x) φ χ для любой точки χ 6 Sn, то / гомотопно центральной симметрии χ ι—* —χ.
186 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа 30-8. Два естественных свойства гомотопии 30.1. Если h: А —» X, /, /': X —» У, д: У —» β — непрерывные отображения и F: X xl —> У — гомотопия между / и /', то д о F о (/г χ id/) — гомотопия между gofohngof'oh: А—» В. 30. J. Загадка. В условиях предыдущей задачи 50./определите естественным образом отображение π(Χ, У) —» π (А, В) и выпишите естественные свойства этой конструкции. 30. К. Непрерывные отображения /, д: X —» У χ Ζ гомотопны, согда ргу о/ гомотопно ргу од и prz о/ гомотопно prz og. (Здесь ргу: Υ χ Ζ —» Υ и prz :7xZ-tZ- проекции.) 30.9. Связанные гомотопии Пусть Ас X. Говорят, что гомотопия Η: Χ χ / —» Υ связана на А или, короче, что это А-гомотопия, если Н(х, t)=iH(x,0) для всехx€A, t€l. Отображения, которые можно соединить А-гомотопией, называются А-гомотопными. Конечно, Α-гомотопные отображения обязаны совпадать на множестве А. Если хотят подчеркнуть, что никакого условия связанности не предполагается, то говорят, что рассматриваемая гомотопия является свободной. Если лее мы, наоборот, хотим подчеркнуть, что рассматривается связанная гомотопия, то говорим, что она является относительнойλ. 30.L. Так лее как и для обычной (свободной) гомотопии, отношение А- гомотопности отображений есть отношение эквивалентности. Классы, на которые отношение Α-гомотопности разбивает множество непрерывных отображений X —» У, совпадающих на А с отображением f:A—* У, называются А-гомотопическими или относительными классами непрерывных продолжений отображения f па. X. 30.М. Для каких Ас X прямолинейная гомотопия между непрерывными отображениями /, g: X —> W1 связана на А? 30.10. Гомотопии и пути Напомним, что путём в пространстве X называется любое непрерывное отображение / —»■ X. (См. § 14.) 30. N. Загадка. В каком смысле всякий путь является гомотопией? 30.0. Загадка. В каком смысле всякая гомотопия состоит из путей? 30. Р. Загадка. В каком смысле всякая гомотопия является путём? Напомним, что компактно-открытой топологией в множестве С(Х, У) называется топология, предбазой которой являются всевозможные множества вида {φ б С(Х, У) | φ(Κ) С U} для компактных множеств К С X и открытых множеств U С Υ (см. § 25х). 1 Предостережение: существует похожее понятие с тем же названием — относительная гомотопия, однако отличающееся от введённого выше (см. п. 32.8х).
§ 31. Гомотопические свойства умножения путей 187 30.Qx. Всякая гомотетия ht: Χ ^ Υ определяет путь и: t н-> ht в пространстве С(Х, Y), снабженном компактно-открытой топологией. 30. Rx. Если пространство X локально компактно и хаусдорфово, то всякий путь в С(Х, Y) (с компактно-открытой топологией) определяет некоторую гомотопию. 30.11. Гомотопии путей 30.S. Два пути в пространстве X свободно гомотопны, согда их образы лежат в одной и той же компоненте линейной связности этого пространства. Результат этой задачи показывает, что понятие свободной гомотопии путей не представляет интереса. С другой стороны, одна из разновидностей относительной гомотопии путей играет очень важную роль. Это {0,1}-гомотопия. В связи с этим традиционно под гомотопией путей всегда понимают гомотопию, связанную на концах отрезка I (т. е. на множестве {0,1}). Обозначение: {0,1}-гомотопический класс пути s (в дальнейшем — просто гомотопический класс) обозначается через [s]. §31. Гомотопические свойства умножения путей 31.1. Умножение гомотопических классов путей Напомним (см. § 14), что пути и и υ в простран- ^* стве X молено перемножить, если начало ν(0) пути я^-—* -· ^ ^ ' ν совпадает с концом и(1) пути и. Произведение uv ы(°) и\ )— \ ) определено формулой uv(t)=iu{2t) "Ри'^]' w \«(2ί-ΐ) при te [|;l]. 31.А. Если путь и гомотопен пути и', путь υ гомотопен пути ν' и существует произведение uv, то существует произведение и'υ', и оно гомотопно произведению uv. Определим произведение гомотопических классов путей и и ν как гомотопический класс пути uv. Таким образом, произведение [u][v] определено тогда лее, когда определено и произведение uv, и [u][v] = [uv]. Это определение — из тех, что требуют доказательства. 31. В. Произведение гомотопических классов путей определено корректно, т. е. если [и] — [и'] и [ν] = [ν'], то [uv] = [и'ν']. 31.2. Ассоциативность 31. С. Ассоциативно ли умножение путей? Конечно, этот вопрос стоит сформулировать более точно. 31.D. Пусть и, ν и w — пути в некотором пространстве, для которых определены произведения uv и vw (т. е. u(l) =v(0) и v(l) = ui(0)). Всегда ли верно, что (uv)w = u(vw)?
188 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа 31.1. Докажите, что для путей в хаусдорфовом пространстве равенство (uv)w = = u(vw) имеет место, согда каждый из этих путей является постоянным отображением. 31.2. Загадка. Найдите непостоянные пути и, ν и w в антидискретном пространстве, такие, что (uv)w = u(vw). 31. Ε. Умножение гомотопических классов путей ассоциативно. 31.Е.1. Переформулируйте теорему 31. Ε в терминах путей и их гомотопии. 31.Е.2. Найдите такое отображение φ: I —» I, что если и, υ и w — это пути, причём и(1) = ν(0) и υ(1) = = w(0), то ((гш)ад) о φ = u(vw). 31.Е.З. Всякий путь в /, начинающийся в нуле и заканчивающийся в единице, гомотопен пути id: I —» I. 31. Ε.4- Пусть и, ν и w — такие пути в некотором пространстве, что произведения uv и vw определены (т. е. и(1) = υ(0) и υ(ί) = = w(0)). Тогда путь (uv)w гомотопен пути u(vw). Если вы хотите понять смысл теоремы 31-Е, то нужно прежде всего осознать, что пути (uv)w и u(vw) имеют одну и ту лее траекторию, а различаются лишь «расписанием движения» по ней. Поэтому для того чтобы найти го- мотопию между ними, нужно лишь найти непрерывный способ перехода от расписания одного из них на расписание другого. Предложенные выше леммы дают формальный способ такого перехода, но того лее эффекта можно добиться и многими другими способами. 31.3. Выпишите явные формулы для гомотопии Η между путями (uv)w и u(vw). 31.3. Единица Для произвольной точки а £ X обозначим через еа путь / —» X : t ι—> α. 31.F. Является ли путь еа единицей (с точки зрения произведения путей)? Раскроем смысл этого вопроса. 31.G. Пусть и — путь, начинающийся в точке а, т.е. и(0) =а. Верно ли, что еаи = и? Аналогично, верно ли, что если w(l) = α, то vea = ν? 31.4· Докажите, что если еаи = и и пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости, то и = еа- 31. Н. Гомотопический класс [еа] пути еа является единицей относительно умножения гомотопических классов путей. 31.4. Обратные элементы Напомним, что для всякого пути и обратным к нему называется путь и-1, определенный формулой u_1(i) = u(l — t) (см. § 14). 31.1. Является ли обратный путь обратным в смысле умножения путей? Другими словами:
§32. Фундаментальном группа 189 31. J. Верно ли, что если путь и начинается в точке а и заканчивается в точке Ь, то ии~г = еа и и~ги = е&? 31.5. Докажите, что если гш-1 = еа, iou = ea- 31.К. Для всякого пути υ гомотопический класс обратного nymuv"1 является обратным к гомотопическому классу пути ν: [ν]"1 = [г>-1]. 31.К.1. Найдите такое отображение φ: I —» /, что υυ~λ =υ ο ψ для всякого пути v. 31.К.2. Всякий путь в /, начинающийся и заканчивающийся в нуле, гомотопен постоянному пути ео'- I —> I- Мы видим, что хотя с алгебраической точки зрения операция умножения путей не обладает обычными свойствами, такими, как ассоциативность и т. п., она определяет в множестве гомотопических классов путей операцию, которая обладает привычными алгебраическими свойствами. Единственный недостаток этой операции в том, что она определена не для любых двух классов путей. 31.L. Загадка. Какие подмножества множества гомотопических классов путей являются группами относительно перемножения, изученного выше? § 32. Фундаментальная группа 32.1. Определение фундаментальной группы Пусть X — топологическое пространство, х0 £ X. Путь в X, который начинается и заканчивается в точке Хо, назовем петлёй пространства X в хо- Обозначим через Ω^Χ,χο) множество петель X в точке х0, а через ж-1_{Х,х0) — множество гомотопических классов таких петель. В обоих множествах Q,i{X,x0) и ίϊι{Χ,χ0) имеется операция умножения. 32.А. Для любого топологического пространства X и любой его точки х0 множество 7Т1(Х,Хо) гомотопических классов петель пространства X в точке Хо с введённой в § 31 операцией умножения гомотопических классов является группой. Группа тт1(Х,х0) называется фундаментальной группой пространства X в точке х0. Она была введена Анри Пуанкаре, поэтому иногда её называют группой Пуанкаре. Буква π в обозначении — тоже в честь Пуанкаре. 32.2. Почему индекс 1? Нижний индекс 1 в обозначении π1(Χ,χ0) появился много позлее, чем буква π. Он связан с ещё одним названием фундаментальной группы: первая (или одномерная) гомотопическая группа. Имеется бесконечная последовательность групп πΓ(Χ, Хо) с г = 1, 2,..., и фундаментальная группа — первая из них. Многомерные гомотопические группы были введены Витольдом Гуре- вичем в 1935 г., более чем через 30 лет после определения фундаментальной группы. Грубо говоря, общее определение πΓ(Χ,χ0) получается из определения π1(Χ, Хо) посредством повсеместной замены отрезка / на куб 1Г.
190 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа 32.В. Загадка. Как можно обобщить все задачи этого параграфа так, чтобы в них повсюду отрезок I был бы заменён кубом 7Г? Имеется ещё и так называемая «нульмерная гомотопическая группа» π0(Χ,χο), которая, как правило, группой не является. Это — множество компонент линейной связности пространства X. Хотя в множестве π0(Χ,χ0) нет никакой естественной операции умножения (если только пространство X не снабжено дополнительной алгебраической структурой), однако в нём имеется единица: так называют естественный выделенный элемент — компоненту линейной связности пространства X, содержащую точку х0. 32.3. Круговые петли Пусть X — топологическое пространство, х0 € X. Непрерывное отображение £: S1 —» X, такое, что £{1) =Xq, называется круговой петлёй в х0. Свяжем с каждой такой круговой петлёй £ определенную выше петлю пространства X в той лее точке, взяв композицию £ с экспоненциальным отображением 2 I -> S1: t ^ exp(2mt). 32. С. Всякая петля может быть получена таким образом из некоторой круговой петли. Круговые петли называются гомотопными, если они 1-гомотопны (т. е. если гомотопия между ними является связанной в точке 1 £ 51). Гомотопия круговых петель, не связанная в точке 1, называется свободной. 32. D. Круговые петли гомотопны, согда гомотопны соответствующие им обычные петли. 32.1. Какие свободные гомотопии путей соответствуют свободным гомотопиям круговых петель? 32.2. Опишите операцию над круговыми петлями, соответствующую умножению путей. 32.3. Пусть U и V — круговые петли с общей начальной точкой С/(1) = V(l), отвечающие петлям и и V. Докажите, что круговая петля, определяемая формулой \u(z2) при Imz^O, [У(г2) при 1шг<0, отвечает произведению петель вин. 32-4· Как построить фундаментальную группу, отправляясь от круговых петель? 32.4. Самые первые вычисления 32.Е. Группа π1(Άη,0) тривиальна (т.е. состоит из одного элемента). 32.F. Обобщите задачу 32.Ε на случаи, описанные в задачах 30.Η и 30.4- 32.5. Вычислите фундаментальную группу антидискретного пространства. 32.6. Вычислите фундаментальную группу факторпространства круга D2, полученного в результате отождествления каждой точки χ ε D2 с точкой —χ. 32.7. Докажите, что линейно связное двухточечное пространство односвязно. Напомним, что S1 рассматривается как подмножество плоскости Ж2, которая, в свою очередь, канонически отождествляется с множеством С комплексных чисел. Так что 1 (Ξ е51 = {геС||г| = 1}.
§ 32. Фундаментальная группа 191 32. G. При η ^ 2 группа ■K1(Sn, (1,0,... ,0)) тривиальна. Независимо от того, решили Вы задачу 32. G или нет, мы советуем решить задачи 32.G.1 и 32.G.3, которые намечают подход к решению задачи 32. G, предупреждают о естественной ошибке и подготавливают важный инструмент для дальнейших вычислений фундаментальных групп. 32. G. 1. Пусть η ^ 2. Докажите, что всякая петля и: I —» Sn, образ которой не заполняет сферу 5" целиком (т. е. s(I) φ 5"), гомотопна постоянной петле. (Ср. 50.7.) Предостережение: для любого η существуют петли, заполняющие Sn. См. 1049х. 32.G.2. Может ли петля, заполняющая всю сферу 52, быть гомотопной нулю? 32.G.3. Следствие леммы Лебега (см. 11. V). Пусть и: I —» X — путь и Г — открытое покрытие пространства X. Существует последовательность точек Οι,..., Олг £ I, где 0 = аг < α2 < . ·. < ajv-i < ajv = 1, такая, что для всякого г образ u([a,,ai+1]) содержится в некотором элементе покрытия Г. 32. G.4- Пусть η ^ 2. Докажите, что для любого пути и: I —» 5" существует такое разбиение отрезка / на конечное число отрезков, что сужение пути и на каждый из них связанно гомотопно (относительно множества концевых точек этих отрезов) пути, образ которого нигде не плотен на сфере. 32. G. 5. Пусть η ^ 2. Докажите, что всякая петля в 5" гомотопна петле, не заполняющей эту сферу целиком. 32.G.6. 1) Выведите 32.G из 32.G.1 и 32.G.5. 2) Укажите все моменты полученного таким образом решения задачи 32. G, в которых использовалось условие η ^ 2. 32.5. Фундаментальная группа произведения 32.Н. Фундаментальная группа произведения топологических пространств канонически изоморфна произведению фундаментальных групп сомножителей: πλ(Χ χ Υ,{χ0^α))^πλ{Χ,χ0) χ 7Ti(Y,y0). 32.8. Рассмотрим петлю и: I —f X ъ точке хо, петлю »:/->Кв точке я/о и петлю w = и Χ ν: I —* Χ χΥ. Введём петли а':/^ХхУ:(н (ы(*), Уо) и υ': I —► X х χ Υ: t ι—► (xo,v(t)). Докажите, что u'v' ~к;~г;'и'. 32.9. Докажите, что при га ^ 3 группа πι (Жп \ 0, (1, 0,..., 0)) тривиальна. 32.6. Односвязность Непустое топологическое пространство X называется односвязным, если оно линейно связно и всякая петля в нём гомотопна нулю. Таким образом, линейно связное пространство X называется односвязным, если для всякой его точки χ £ X фундаментальная группа πΎ (Χ, χ) тривиальна.
192 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа 32.1. Пусть X — линейно связное топологическое пространство. Следующие утверждения эквивалентны: 1) пространство X односвязно; 2) всякое непрерывное отображение /: S1 —» X (свободно) гомотопно нулю; 3) всякое непрерывное отображение f:S1—>X может быть продолжено до непрерывного отображения D2 —» X; 4) всякие два пути иг,и2: I —» X, соединяющие одни и те же точки х0 и хг, гомотопны друг другу. Теорема 32.1 тесно связана со следующей теоремой 32. J. При этом, поскольку в теореме 32. J речь идёт не обо всех петлях, а об индивидуальной петле, она применима в большем круге ситуаций. 32. J. Пусть s: I —» X — петля в топологическом пространстве X. Следующие утверждения эквивалентны: 1) петля s гомотопна нулю; 2) отображение /: 51 —» X: e2mt ι—> s(t) свободно гомотопно нулю; 3) отображение /: 51 —» X: e2irlt >—> s(t) может быть продолжено до непрерывного отображения D2 —» X; 4) пути s± : I —» X: t ι—> /(e±7rlt) гомотопны друг другу. 32. J.1. Доказательство эквивалентности утверждений 1)~4) требует доказательства по меньшей мере четырёх импликаций. Какие импликации вы выберете для наиболее экономного доказательства теоремы 32. Л 32. J.2. Следует ли из гомотопности круговых петель их свободная гомотопность? 32.J.3. Существует факторотображение гомотопии между некоторым отображением окружности и постоянным отображением окружности, у которого отображаемое пространство гомеоморфно кругу. 32.J.4· Переформулируйте задачу построения гомотопии между путями s+ и s_ как задачу продолжения некоторого непрерывного отображения контура квадрата на его внутренность. 32. J.5. Помогает ли решению задачи продолжения, сформулированной в результате решения задачи 32. J.4, продолжимость круговой петли /: 51 —» X, где f(e2mt) = s(i), до непрерывного отображения круга? 32,. 10- Какие из следующих пространств являются односвязными: 1) дискретное пространство; 2) антидискретное пространство; 3) Мп; 4) выпуклое множество; 5) звездное множество; 6) 5"; 7) М" \0? 32.11. Докажите, что линейно связное топологическое пространство, представимое в виде объединения двух открытых односвязных множеств, пересечение которых линейно связно, само является односвязным. 32.12. Покажите, что требования открытости множеств в задаче 32.11 существенны. 32.13*. Пусть множества U и V открыты в пространстве X. Докажите, что если множества U U V и U Π V односвязны, то и сами U и V односвязны.
§ 32. Фундаментальная группа 193 32.7х. Фундаментальная группа топологической группы Пусть G — топологическая группа. Определим для любых двух петель u,v: I —► G, начинающихся в единице 1 б G, петлю uQv: I —> G формулой (u © u)(s) = u(s) -v(s), где · обозначает групповую операцию в G. 32.Кх. Докажите, что множество 0(G, 1) всех петель в G, начинающихся в 1, с операцией © является группой (напомним, что ег — постоянный путь). 32.Lx. Докажите, что операция © в fl(G, 1) определяет групповую операцию в 7Ti(G, 1) и что эта операция совпадает со стандартной групповой операцией (определённой перемножением путей; ср. 32.8). 32.Lx.l. Для петель и, v. I —► G начинающихся в 1, найдите (иег) © (егу). 32. Мх. Фундаментальная группа любой топологической группы абелева. 32.8х. Высшие гомотопические группы Пусть X — топологическое пространство, х0 € Х- Непрерывное отображение V —» X, отображающее границу dlr куба 1Т в хо, называется г-мерным сфероидом пространства X в точке xq. Два r-мерных сфероида назьюаются гомотопными, если они Э/г-гомотопны. Произведение uv сфероидов и и υ размерности г ^ 1 определяется формулой Ги(2^,*2,...,*г), если U £ [0; \], UV(t1,t2,. . - ,ГГ) = < ч Μ π yi'2' r> 1^(2^-1,^,...,^), если ίι€[|;ΐ]. Обозначим через Ω,Γ(Χ,χ0) множество r-мерных сфероидов пространства X в точке х0. Множество гомотопических классов r-мерных сфероидов пространства X в точке х0 называется r-й (или r-мерной) группой гомотопий или гомотопической группой πΓ(Χ,χ0) этого пространства в х0. Произведение сфероидов индуцирует произведение в множестве πΓ(Χ,χ0) их гомотопических классов, превращая πΓ(Χ,χ0) в группу. 32.Νχ. Найдите πΓ(Μ",0). 32. Ох. При г ^ 2 группа πτ(Χ,χ0) абелева для любых X и х0. 32.Рх. Загадка. Для всякой пары X,х0 и любого числа г^2 группа πΓ(Χ,χο) является фундаментальной группой некоторого вспомогательного пространства. Какого? Аналогично тому, как это было описано в п. 32.3, высшие гомотопические группы молено построить не из гомотопических классов отображений (Ir,dlr) -> (Χ,χο), а как тг(5г,(1,0,...,0); Х,х0). Ещё один стандартный путь их построения заключается в определении жТ{Х,хо) как ■K(Dr,dDr; Χ,χο)- 32. Qx. Постройте естественные биекции *(Г,дГ; Χ,χο) -» *{Dr,dDr; Х,х0) -» π(5Γ,(1,0,...,0); Χ,χ0).
194 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа 32. Rx. Докажите следующее обобщение теоремы 32. Н: πτ(Χ χ Υ, (х0,Уо)) =πτ(Χ,Χο) х тгг(У,Уо)- 32.Sx. Сформулируйте и решите аналоги задач 32.Кх и 32.Lx для высших гомотопических групп 7i>(G, 1) И7Г0((?,1). § 33. Роль отмеченной точки 33.1. Предварительное описание роли отмеченной точки В одних ситуациях выбор отмеченной точки ни на что не влияет, в других — его роль очевидна, в третьих — это очень деликатная тема. В этом параграфе нам предстоит разобраться во всех нюансах, связанных с отмеченной точкой, и мы начнём с предварительных формулировок, описывающих предмет в целом, но без лишних технически деталей. Грубо говоря, выбор отмеченной точки влияет на фундаментальную группу следующим образом. о Если мы изменяем отмеченную точку, оставаясь в пределах одной компоненты линейной связности, то фундаментальная группа остается в одном и том лее классе изоморфных групп. о Однако если фундаментальная группа не коммутативна, невозможно найти естественного изоморфизма между фундаментальными группами с разными отмеченными точками, далее если они лежат в одной и той лее компоненте линейной связности. о Если же отмеченные точки лежат в разных компонентах линейной связности, то соответствующие фундаментальные группы вообще никак не связаны друг с другом. В этом параграфе всё это будет доказано. Доказательство содержит полезные конструкции, значение которых выходит далеко за рамки исходного вопроса о роли отмеченной точки. 33.2. Перенос вдоль пути Пусть х0 и хг — точки топологического пространства X, a s — путь, соединяющий х0 с ϊι. Обозначим гомотопический класс пути s через σ. Определим отображение Ts: щ(Х,х0) —» π^Χ,χ-ι) формулой Ts(a) =σ_1ασ (см. 31.К). 33.1. Для любой петли а: I —> X, представляющей элемент α 6 7и(Х,жо), и всякого пути s: I —> X с s(0) =:хо существует свободная гомотопия Η: Ι χ I —► X между а и петлёй, представляющей элемент Ts(ct), такая, что H(0,t) = H(l,t) — s(t), t ζ Ι. 33.2. Пусть петли а,Ь: I —> X гомотопны посредством такой гомотопии Η: Ι χ / —> —> X, что H(Q,t) = H(l,t) (т. е. Η является свободной гомотопией петель: в каждый момент i £ / начальная точка совпадает с конечной). Положим s(t) = if (0, i) (таким образом, s есть путь, определяемый движением начальной точки рассматриваемой петли при рассматриваемой гомотопии). Тогда гомотопический класс петли Ъ является образом гомотопического класса петли а при отображении Ts: πι(Χ, s(Q)) —> -πι(Χ,β(1)).
§ 33. Роль отмеченной точки 195 33.3. Свойства отображения Ts 33.А. Отображение Т3 является групповым гомоморфизмом3. 33.В. Если путь и соединяет х0 с хг, а путь ν соединяет хх с х2, то Tuv = = TvoTu. Другими словами, диаграмма ж1(Х,х0) —^πι(Χ,χι) π1{Χ,χ2) коммутативна. 33. С. Если путь и гомотопен г>, то Ти = Τυ. 33.D. Τεα=ϊάπι(χ<α):π1(Χ,α) -» π^Χ,α). ЗЗ.Е. Ts-i =T-\ 33.F. Для всякого пути s гомоморфизм Т„ является изоморфизмом. 33. G. Теорема. Если точки х0 и Х\ лежат в одной и той же компоненте линейной связности пространства X, то группы тгДХ, х0) и ^(Х, Х\) изоморфны. Несмотря на результат теоремы 33. G, мы не можем писать жг (Χ) даже если топологическое пространство X линейно связно. Дело в том, что хотя группы ΐΐι{Χ,χ0) и π1(Χ,α;1) изоморфны, между ними нет никакого канонического изоморфизма (см. далее 33. J). 33. Н. Пространство X односвязно, согда оно линейно связно и для некоторой точки х0 € X группа π\{Χ,χο) тривиальна. 33.4. Роль пути 33.1. Если петля s является представителем элемента σ фундаментальной группы π1(Χ,Χο), то Т„ является внутренним автоморфизмом этой группы, определённым формулой а н-> σ_1ασ. 33. J. Пусть X — топологическое пространство, Ζο^ι €Χ. Изоморфизм Ts: 7Ti(X, Xo) —» ττι(Χ,Χι) не зависит от пути s, согда фундаментальная группа π1(Χ,χ0) абелева. Из теоремы 33. J следует, что если фундаментальная группа топологического пространства X абелева, мы вправе писать просто π1(Χ). 33.5х. Перенос вдоль пути в топологической группе В случае, если G — топологическая группа, группы π1(Ο,χ0) и π1(ΰ,χ1) можно связать и по-другому. А именно, гомеоморфизмы Lg: G —» G: χ н-> >—>xgiiRg:G^>G:x>—>gx определяют изоморфизмы (Lx-i ) : 7Ti(G, x0) —► -> π^ΰ,Χ!) и (Rxix-i)t: π^β,χο) -> ^(G,^). 3Напомним — это означает, что Τ3(αβ) = Τ3(α)Τ3(β).
196 Глава 6. Гомотопии и фундаментальном группа 33.Кх. Пусть G — топологическая группа, s: I —» G — путь. Докажите, что Г.= (L.(0)-i.{1)), = (Д.{1).(о)-1),: πι(<?,β(0)) -» ^(G,s(l)). 33. Lx. Выведите из 33. Кх что фундаментальная группа любой топологической группы абелева (ср. 32.Мх). 33.Зх. Докажите, что фундаментальные группы следующих пространств коммутативны: 1) пространства невырожденных вещественных (тгхтг)-матриц GL(n, Ж) = {А | det A ^ 0}; 2) пространства ортогональных вещественных (тгхтг)-матриц 0{п,Ж) = {А\ААТ = Е}; 3) пространства специальных унитарных комплексных (тг χ тг)-матриц SU(n) = {А | ААТ = Е, det A = 1}. 33.6х. В высших гомотопических группах 33. Мх. Загадка. Догадайтесь, как обобщить Ts на высшие гомотопические группы. Вот другой вариант той лее загадки; в нём больше подсказки. 33.Nx. Загадка. Как по пути s:/-»Ic s(0) =х0и сфероиду /: Г —» X в точке х0 соорудить сфероид того же пространства в точке χλ = s(l)? 33. Ох. Докажите, что для любого пути s: I —► X и любого сфероида /: 1Т —+ X, где f{dIT) =s(0), существует его гомотопия Η: 1Τ χ / —► X такая, что Н(д1т χ {t}) — s(t) для всякого t € /, причём сфероид, полученный в результате этой гомотопии, единствен с точностью до гомотопии и тем самым определяет элемент πΓ(Χ, s(l)), зависящий лишь от гомотопического класса пути s и элемента группы πΓ(Χ, s(0)), представленного сфероидом /. Конечно, решение задачи 33. Ох даёт ответ на вопрос предшествующих ей загадок 33.Nxm 33.Мх. Отображение πΓ(Χ, s(0)) —> πΓ(Χ, s(l)), которое определено в 33. Ох, обозначается через Т„. В силу 33.2, оно обобщает отображение Т„, определённое в п. 33.2 в случае г = 1. 33. Рх. Докажите, что свойства отображения Т„, сформулированные в задачах 33.A-33.G, имеют место во всех размерностях. 33. Qx. Загадка. Каковы аналоги теорем ЗЗ.Кхтл 33. Lx для высших гомотопических групп?
Доказательства и комментарии 197 Доказательства и комментарии 30. А. 1), 2), 5) - да; 3), 4), 6) - нет. См. 30.В. ЗО.В. См. п. 30.2. 30. С. Отображение ht непрерывно как сужение гомотопии Η на слой Χ χ {t} с Χ χ /. 30.D. Разумеется, не следует. 30.ЕЛ. Отображение Η непрерывно как композиция проекции ргх: Χ χ х/^Хи отображения /, при этом Н(х, 0) = f(x) = Н(х, 1). Следовательно, Η является гомотопией. 30. Е. 2. Отображение Н' непрерывно как композиция гомеоморфизма Χ χ χ / —» Χ χ I: (x,t) н-> (x,l—t) и гомотопии Н, при этом Н'(х, 0) = Я (ζ, 1) = = д(х) и Н'(х, 1) = Я (ζ, 0) = f(x)· Значит, Я' — гомотопия. ЗО.Е.З. Действительно, Н"(х, 0) = f(x), Η"(χ, 1) = Η'(χ, 1) = /"(ζ). Непрерывность Я" следует из того, что сужение отображения Я" на каждое из множеств Χ χ [0; ~] и Χ χ [,; l] непрерывно и эти множества образуют фундаментальное покрытие произведения Χ χ I. В дальнейшем мы не будем доказывать непрерывность гомотопии, поскольку это всегда будет следовать из явных формул. 30.F. Каждое из них гомотопно постоянному отображению, переводящему всё пространство в начало координат, к примеру, если Н(х, ί) = (1 — t)f(x), то Я: Χ χ I —» R" — гомотопия между / и постоянным отображением χ н-► 0. (Существует более удобная гомотопия между произвольными отображениями вК" -см. 30.G.) 30. G. Действительно, Н(х, 0) = f(x) и Н(х, 1) = д(х). Непрерывность отображения Я очевидна. Она, к примеру, следует из неравенства \H(x,t)-H(x',t')\ < \f(x)-f(x')\ + \g(x)-g(x')\+(\f(x)\+\g(x)\)\t-t'\. 30. Η. Пусть К — выпуклое подмножество К", /, д: X —» К — непрерывные отображения и Я - прямолинейная гомотопия между / и д. Тогда Н(х, t) £К при всех (х, t) € Χ χ I, и мы получаем гомотопию Я: Χ χ I —» if. 30./. Отображение H = goFo(hx id/): Α χ / —> Я непрерывно, Я (α,0) = = g(F(h(a), 0)) =з(/(А(а))) и Я(о, 1) = s(F(A(a), 1)) = <?(/'(А(о))). Следовательно, Я — гомотопия. 30.J. Сопоставим отображению /: X —» Υ композицию до /oh: A —► Я. Предыдущее утверждение показывает, что данное соответствие сохраняет отношение гомотопности, и значит, оно переносится на гомотопические классы отображений. Тем самым определено отображение π(Χ, Υ) —» π (Α, Β). 30. К. Всякое отображение /: X —» Υ χ Ζ однозначно определяется своими координатными отображениями ρτχ о/ и ргу о/.[ =>| Если Я — гомотопия между / и g, то ргу оЯ — гомотопия между ргу о/ и ргу од, а prz оЯ — между
198 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа prz о/ и prz og. [ -<=| Если Ну — гомотопия между ргу о/ и pry og, Я2 — гомотетия между prz о/ и prz og, το формула Я (ζ, ί) = (Яу (я, ί), Hz(x, t)) задаёт гомотопию между fug. 30. L. Доказательство ничем не отличается от доказательства утверждения 30. Е. 30.М. Для тех множеств А, на которых f\A — д\А (т. е. множеств, содержащихся в множестве совпадения этих отображений). 30.N. Путь — это гомотопия отображения точки; ср. 30.8. 30.0. Для всякой точки χ € X отображение их: I —» X : t н-► h(x,t) является путём. 30.Р. Если Я — это гомотопия, то для всякого t € / формула /it = Я (ζ, ί) определяет непрерывное отображение X —» Υ. Таким образом, мы получаем отображение Ή: I —> С(Х, У) отрезка в множество всех непрерывных отображений из X в Υ. Далее см. 30. Qx и 30.Rx. 30. Qx. Следует из 25. Sx. 30. Rx. Следует из 25. Тх. 30. S. Следует из решения задачи 30.3. 31. А. Начнём с наглядного описания искомой гомотопии. Пусть щ: I —» X — гомотопия, соединяющая и и u', a vt: I —» X — гомотопия, соединяющая ν и ν'. Тогда пути utvt с t € [0; 1] составляют гомотопию между uv и u'v'. Теперь приведём более формальное рассуждение. Так как произведение uv определено, то и(1) = v(0). Так как и~и\ то u(l)=u'(l), аналогичным образом и ν(0) = v'(0). Значит, определено произведение u'v'. Гомотопией между uv и u'v' является отображение H:IxI^X:M~(H'Va>* ^ * € [°Д]' V ' ' \H"(2s-l,t) при s€[i;l]. (Оно непрерывно, поскольку множества [θ; -] χ / и [—; l] x / составляют фундаментальное покрытие квадрата Ι χ I, & сужение Я на каждое из этих множеств является непрерывным.) 31.В. Непосредственно следует из 31.А. 31.С. Нет; см. 31.D, ср. 31.1. 31.D. Нет, почти никогда не верно (см. 31.1 и 31.2). Вот простейший пример. Пусть u{s) = 0 и w(s) = 1 при всех s € [0; 1] hu(s) = s. Тогда ((uv)w) (s) = 0 только при s 6 [θ; -], a (u(vw)^j (s) = 0 при s € [θ; ^]. 31.E.1. Переформулировка: для всяких путей и, ν nw, для которых определены произведения uv и vw, пути (uv)w и u(tw) гомотопны. 31.Е.2. Пусть || при s€ [0—], ¥>(*) = 2 ^ "- L"' 2J s-\ при se [|;§], 2s- 1 при s€ [f;l].
Доказательства и комментарии 199 Убедитесь в том, что φ — искомая функция, т.е. что ((m>)iu)(y>(s)) = = (u(vw))(s). 31.Ε.3. Рассмотрите прямолинейную гомотопию, которая, к тому лее, будет связана на {0,1}. 31.Е.4- Следует из 30.1, 31.Е.2 и 31.Е.З. 31.F. См. 31.G. 31. G. Вообще говоря, нет; см. 31.4- 31. Н. Положим |0, если*€[0;1] у ' \2s-l, если s€[|;l]. Убедитесь в том, что еаи = ηοψ. Так как φ ~ id/, то и о φ ~ и, следовательно, [еа][и]= [еаи}= [иоф\ = [и]. 31.1. См. 31.3. 31.3. Конечно, нет. 31. КЛ. Рассмотрите отображение Г 2s, если s€ [0;|], φ^> ~ |2 - 2s, если s € [|; 1]. 31. К. 2. Рассмотрите прямолинейную гомотопию. 31.L. Группами являются множества классов таких путей и, для которых и(0) = и(1) = х0, где х0 — некоторая фиксированная точка пространства X, а также любые их подгруппы. 32.А. Непосредственно следует из утверждений 31.В, 31.Е, 31.Ни 31.К. 32.С. Если и: I —» X — петля, то существует факторотображение и: //{0,1} —» X. Осталось заметить, что //{0,1} = S1. 32.D. \ =»1 Если Я: 51 χ / —» X — гомотопия круговых петель, то гомо- топия Н' обычных петель задаётся формулой H'(s, t) = H(e2vis, t). [ ■<=! Гомо- топии круговых петель является факторами гомотопий обычных петель по разбиению квадрата, порожденному отношением (0, ί) ~ (Ι, ί). 32.Ε. Это так, поскольку имеется линейная гомотопия между всякой петлёй в R" в начале координат и постоянной петлёй. 32. F. Вот возможный вариант обобщения: для всякого выпуклого (и даже звёздного) множества V с М" и всякой точки х0 € V фундаментальная группа 7Ti(V, жо) тривиальна. 32.G.1. Пусть p€5n\u(/). Рассмотрим стереографическую проекцию т: 5" \р —» R". Петля и = то« гомотопна нулю, пусть /г — соответствующая гомотопия. Тогда Η = т~г о h является гомотопией, соединяющей данную петлю и и постоянную петлю на сфере.
200 Глава 6. Гомотопии и фундаментальном группа 32. G. 2. Такие петли заведомо существуют. Действительно, если петля и заполняет всю сферу, то петля ии"1 также её заполняет, но она, тем не менее, гомотопна нулю. 32.G.4· Пусть χ — произвольная точка сферы. Покроем сферу двумя открытыми множествами U — Sn \ {х} и V = Sn \ {—х}. В силу леммы 32.G.3 найдётся такая последовательность точек аг,..., αΝ € /, где 0 = аг < а2 < . · · < < адг-i < aN = 1, что для всякого г образ и([бц, ai+1]) целиком содержится в U или в V. Поскольку каждое из этих множеств гомеоморфно R", где любые два пути с одинаковым началом и концом гомотопны, то каждое из сужений u\[ai,ai+1] гомотопно пути, образом которого является, к примеру, «дуга большой окружности» сферы 5". Таким образом, путь и гомотопен пути, образ которого не то что не заполняет сферу, а даже нигде не плотен в ней. 32. G. 5. Прямое следствие предыдущей леммы. 32.G.6. 1) Прямое следствие лемм 32.G.5 и 32.G.1. 2) Условие η ^ 2 использовалось только в лемме 32. G-4- 32.Н. Сопоставим петле и: I —> Χ χ Υ в точке (х0,у0) петли в X и У, являющиеся координатными отображениями и, иг = ρτχ оиии2= ргу ои. В силу утверждения 30.1, петли и и ν гомотопны, согда иг ~ υλ и и2 ~ ν2. Следовательно, сопоставив классу петли и пару ([и-,], [u2]), мы получим биекцию между фундаментальной группой πι (Χ χ Υ, (χ0, у о)) произведения пространств и произведением πι(Χ,Χο) х 7Ti(Y7yo) фундаментальных групп его сомножителей. Осталось проверить, что построенная биекция является гомоморфизмом, что также очевидно, поскольку ρτχ o(uv) = (ртх ои){ртх ov). 32.1. 1) =Ф 2). Пространство X односвязно => всякая петля в X гомотопна постоянной => всякая круговая петля в X связанно гомотопна нулю => всякая круговая петля свободно гомотопна нулю. 2) =ф 3). По предположению, для произвольного отображения /: 51 —» X существует гомотопия h: 51 χ / —» X, такая, что /г(р, 0) = f(p) и h(p, 1) = Xq. Следовательно, существует такое непрерывное отображение h': S1 x I/iS1 χ 1) —» —» Χ, что h = Ы о рг. Осталось заметить, что 51 χ //(51 χ 1) = D2- 3) =» 4). Положим g(t, 0) = %(£), g(t, 1) = u2(t), g(0, t) = x0 и g(l, t) = xx при t €/. Таким образом, определено отображение границы квадрата Ι χ Ι в X. Поскольку квадрат гомеоморфен кругу, а его граница — окружности, то можно продолжить отображение с границы на весь квадрат. Полученное· продолжение и является гомотопией между иг ии2. 4) =>■ 1). Очевидно. 32.J.1. Разумно рассмотреть импликации 1) =ф 2) =Ф 3) =Ф 4) =Ф 1). 32. J.2. Конечно, следует. При этом, раз петля s гомотопна нулю, то круговая петля / также гомотопна нулю, причём гомотопия даже является связанной в точке 1 € S1. Таким образом, 1) ==> 2). 32.J.3. Данное утверждение подсказывает основную идею доказательства импликации 2) =Ф- 3). Гомотопия между некоторой круговой петлёй /
Доказательства и комментарии 201 и постоянной петлёй есть отображение Η: Sl χ / —» X, постоянное на верхнем основании цилиндра. Следовательно, существует факторотображение 51 х I/sl χ 1 —* Х- Осталось заметить, что факторпространство цилиндра по его верхнему основанию гомеоморфно кругу. 32. J.4. По определению гомотопии Я: / χ I —> X между двумя путями, задано сужение отображения Η на контур квадрата. Следовательно, задача построения гомотопии между двумя путями есть задача продолжения отображения с контура квадрата на сам этот квадрат. 32. J. 5. Всё, что осталось заметить для доказательства импликации 3) => 4), это то, что если F: D2 —» X — это продолжение круговой петли /, то формула H(t,r) = F(cos7rt, (2т — 1) sinπί) определяет гомотопию между s+ и s_. 32. J. Для доказательства теоремы осталось установить справедливость импликации 4) ==> 1). Сформулируем утверждение, не используя понятия круговых петель. Пусть дана петля s: I —» X. Положим s+(t) = s(2t) и s_(i) = = s(l — 2ί). Таким образом, надо доказать, что если пути s+ и s_ гомотопны, то петля s гомотопна нулю. Постарайтесь доказать это самостоятельно. 32. Кх. Ассоциативность операции © следует из ассоциативности умножения в группе G; единицей в множестве 0(G, 1) всех петель является постоянная петля в единице группы; обратным к петле и элементом является путь υ, где v(s) = (u(s))"1. 32.Lx.l. Убедитесь в том, что (uei) © {e^v) = uv. 32.Lx. Докажем, что если и~иь то и® ν ~ u1Q ν, для чего достаточно убедиться в том, что если h — это гомотопия между и и их, то формула H(s, t) = h(s, t)v(s) определяет гомотопию между и © ν и иг © v. Далее, так как иех ~ и и егу ~ υ, то uv = (uei) © (eiv) ~ и © υ, значит, пути uv viuQv лежат в одном гомотопическом классе. Следовательно, операция © порождает в множестве гомотопических классов путей стандартную групповую операцию. 32.Мх. Достаточно доказать, что uv ~ vu, а это следует из цепочки uv = (uei) © (eiv) ~ и © υ ~ (eiw) © (ve^ = vu. 32. Nx. Эта группа тривиальна. Доказательство аналогично доказательству утверждения 32. Е, 33.А. Действительно, если а — [и] и /3= [ν], то Τ„{αβ) = σ~ιαβσ = σ^ασσ^βσ = Τ3{α)Τ3(β). 33. В. Действительно, Тт(а) = [uv^aiuv] = [v]-1[u]-1a[u}[v}=Tv(Tu(a)). 33. С. По самому определению переноса вдоль пути гомоморфизм Т„ зависит только от гомотопического класса пути s.
202 Глава 6. Гомотопии и фундаментальная группа 33.D. Это так, поскольку Геа([и]) = [еаиеа] = [и]. 33.Е. Так как s~1s ~ еХ1, то из 33.B-33.D следует, что Ts-i oTs = Ts-is = Γβχι = id^x,^). Аналогичным образом, Ts о Ta-i = idVl^XtX0y Значит, Ts-i — Τ~λ. 33.F. В силу 33.Ε у гомоморфизма Ts имеется обратный, следовательно, Т„ — изоморфизм. 33. G. Если точки х0 и хх лежат в одной компоненте линейной связности, то их можно соединить путём s. В силу 33.F, гомоморфизм Ts: жх{Х,х0) —» —» πι(Χ,Χι) является изоморфизмом. 33. Η. Прямое следствие теоремы 33. G. 33.1. Прямое следствие определения гомоморфизма Т„. 33.3. | =Н Предположим, что изоморфизм переноса не зависит от пути, в частности, изоморфизм переноса вдоль петли в точке х0 тривиален (т. е. является тождественным). Рассмотрим произвольный элемент β£πχ(Χ,χ0) и петлю s из гомотопического класса β. По условию β~ιαβ = Ts(ot) = а для любого а € ж±{Х, хо). Значит, αβ = βα для любых элементов α, β € π1(Χ, х0), что и означает, что группа жг(Х,х0) абелева. [ <=\ Рассмотрим пути s1;s2, соединяющие точку х0 с точкой хг. Так как Ts s-i = Т~2г о ГЯ1, то TS1 = TS2, согда Ts s-i =id^1(x;a;o). Пусть β ζπ1(Χ,χ0) — это класс петли SiSj1. Если группа πχ{Χ, х0) абелева, то Ts s-i(a) = β~1αβ = α, таким образом, Ts g~i =id, значит, Τ = Τ 2 2 33.Κχ. Пусть и — петля в точке s(0). Формула Я(т,ί) =u(t)s(0)_1s(1) определяет свободную гомотопию между и и петлёй LS(0)-is(1)(u), при этом Я(0, t) — Я(1, t) = s(t). Поэтому, в силу 33.2, петли LS(0)-is(i)(u) и s_1us являются гомотопными, откуда и следует равенство Т„ = (Ls(o)-iS(i)) . Равенство для Дя(о)-1Я(1) доказывается аналогично. 33.Lx. В силу 33.Кх, Ts = (Le), = id^x;3.0) для всякой петли s в точке х0, таким образом, если β — это класс петли s, то Тв(а) = β~λαβ = а, откуда и следует, что α β = /За.
Глава 7 Накрытия и вычисление фундаментальной группы § 34. Накрытия 34.1. Определение накрытия Пусть X и В — топологические пространства, ρ: Χ —» В — непрерывное отображение. Предположим, что ρ сюръективно и что у каждой точки пространства В существует такая окрестность U, что её прообраз р"1 (U) при отображении ρ представляется в виде объединения непересекающихся открытых множеств Va, каждое из которых посредством ρ отображается гомеоморфно на U. В этом случае ρ: X —» В называется накрытием (пространства В), В называется базой этого накрытия, X — накрывающим пространством для В и тотальным пространством этого накрытия. Говорят, что окрестность U является правильно накрытой или правильно накрываемой. Отображение ρ также называется накрывающим отображением или проекцией этого накрытия. 34·А. Для любого топологического пространства В и любого дискретного пространства F проекция prs: В χ F —» В является накрытием. 34-1- Если U' CU С В и окрестность U является правильно накрытой, то и окрестность U' правильно накрыта. Следующее утверждение показывает, что в некотором смысле всякое накрытие локально устроено так лее, как накрытие в 34-А. 34·В. Непрерывная сюръекция р: X —» В есть накрытие, со- гда у каждой точки а € В прообраз р~г(а) является дискретным подпространством пространства X и существует такая её окрестность U в В и такой гомеоморфизм h: р_1(?7) —» U χ ρ-1 (α), что P|p-1(f/)=Prc/o/l· Однако накрытие, представленное в 34-А, само по себе не очень интересно. Такие накрытия называются тривиальными. А вот первый действительно интересный пример накрытия. 34· С. Отображение R —» 51: χ н-> е2тх является накрытием. Для того чтобы выделить наиболее содержательные примеры, будем называть накрытия с линейно связным тотальным пространством накрытиями в узком смысле. Конечно, накрытие из 34-С — это накрытие в узком смысле. !я О
204 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы 34.2. Примеры накрытий 34-D. Отображением2 —» 51 χ R: (χ,у) н-> (е2,тгх,у) является накрытием. 34-Е. Докажите, что если р: X —» В и р': X' —» В' — накрытия, то и рхр':ХхХ' —» В χ В' — накрытие. Если р: X —> S и р': X' —> В' — накрытия, то ρ χ ρ': Χ χ Χ' —» β χ Β' будем называть произведением накрытий р и ρ'. Первый пример произведения накрытий приведен в задаче 34 -D. 34-F. Отображение С—» С \ 0: 2 н-> ez является накрытием. 3^.2. Загадка. В каком смысле накрытия из 34-D и 34-F одинаковы? Введите подходящее отношение эквивалентности накрытий. 34-G. Отображение К2 -> 51 χ 51; (χ,у) ^ {e2vix,e2viy) является накрытием. 34-Н. Для каждого натурального числа η отображение 51 —► S1: ζ н-► ζη является накрытием. 34-3. Докажите, что для каждого натурального числа η отображение С \ 0 —> —> С \ 0: 2 н-► г" является накрытием, 34.1. Для любых натуральных чисел ρ и q отображение 51 χ S1 —» 51 χ χ S1: (z,w) н-> (zp,w") является накрытием. 34. J. Естественная проекция Sn —» MP" есть накрытие. 34.К. Является ли накрытием отображение (0;3) —» S1: χ н-► е2™*? (Ср. &/.L/.) 34.L. Является ли накрытием проекция R2 —> R: (χ, у) н-> ж? Действительно, почему бы не взять в качестве правильно накрытой окрестности открытый интервал (а; Ъ) С Ш: его прообраз (а; 6) χ Μ есть объединение открытых интервалов (a;b) x у, каждый из которых гомеоморфно проектируется (при стандартной проекции {х,у) н-> х) на (а; 6)? 34 4 ■ Постройте накрытие ленты Мёбиуса цилиндром. 34-5. Постройте нетривиальные накрытия ленты Мёбиуса лентой Мёбиуса. 34-6. Постройте накрытие бутылки Клейна тором. Ср. с задачей 22.14- 34-7. Постройте накрытия бутылки Клейна: плоскостью Ж2; цилиндром S1 xl; нетривиальное накрытие самой бутылкой Клейна. 34-8. Дайте прямое описание разбиения плоскости на прообразы точек при накрытии бутылки Клейна плоскостью. 34-9*. Постройте накрытие сферы с данным числом плёнок сферой с некоторым числом ручек. Для каких чисел плёнок это удалось сделать? 34.3. «Локальные гомеоморфизмы и накрытия 34-Ю. Любое накрытие является открытым отображением г. Отображение /: X —> Υ называется локальным гомеоморфизмом, если у всякой точки пространства X имеется окрестность U, образ которой f(U) открыт в У, а приведение U —> f(U) отображения / есть гомеоморфизм. 34-11 ■ Докажите, что всякое накрытие есть локальный гомеоморфизм. 1 Напомним, что отображение называется открытым, если образ любого открытого множества открыт.
§ 34. Накрытия 205 34.12. Существуют ли локальные гомеоморфизмы, не являющиеся накрытиями? 34.13. Докажите, что сужение локального гомеоморфизма на всякое открытое подмножество есть локальный гомеоморфизм. 34.14. Для каких подмножеств прямой Ж сужение отображения Ж —> S1: χ ι—► ε2πιχ является накрытием? 34.15. Найдите нетривиальное накрытие X —> В, у которого тотальное пространство X гомеоморфно базе В, и убедитесь в том, что оно действительно удовлетворяет определению накрытия (хотя В и не является правильно накрываемой окрестностью) . 34.4. Число листов накрытия Пусть ρ: X —» В есть накрытие. Мощность (т. е. число точек) прообраза р~1(а) точки а £ В называется кратностью накрытия в а или числом листов над а. 34·Μ. Если база накрытия связна, то кратность накрытия в точке базы не зависит от выбора этой точки. Тем самым в случае накрытия со связной базой имеет смысл говорить о числе листов данного накрытия, понимая под этим число листов над произвольной точкой его базы. Если число листов конечно и равно п, то накрытие называется п-листным. В противном случае говорят, что накрытие беско- нечнолистно. Ясно, что хотя мы и говорим о числе листов накрытия, сами листы выделить невозможно, если только накрытие не является тривиальным. С другой стороны, мы введём следующее соглашение. По определению, прообраз р~г(и) всякой правильно накрытой окрестности U с В разбивается на открытые подмножества, р~г (U) = U V^, такие, что сужение р\va '■ У<х —» U — гомеоморфизм. Будем называть каждое из подмножеств Va листом над U. 34-16. Определите число листов для каждого из накрытий п. 34.2? Мы не предполагаем, что читатель сможет строго обосновать решения задач 34-17- 34-19. Это будет сделано далее в задачах 40-3-40.6. 34-17. Какие числа могут быть реализованы как числа листов накрытия цилиндром S1 χ Ι ленты Мёбиуса? 34-18*. Какие числа вы можете реализовать как числа листов накрытия ленты Мёбиуса лентой Мёбиуса? 34-19*. Какие числа вы можете реализовать как числа листов накрытия бутылки Клейна тором? 34 ■ 20*. Какие числа могут быть реализованы как числа листов накрытия бутылки Клейна бутылкой Клейна? 34-21*. Постройте d-листное накрытие сферы с ρ ручками сферой с d(p — 1) + 1 ручками. 34-22. Пусть р: X —> Υ и q: Υ —> Ζ — накрытия. Докажите, что если q конечно- листно, той ςορ: Χ -> Ζ — накрытие. 34-23*. Покажите, что предположение о конечности числа листов в задаче 34-22 является существенным. 34-24- Пусть р: X —> В — накрытие с компактной базой В. Докажите, что: 1) если пространство X компактно, то накрытие конечнолистно; 2) если В хаусдорфово и накрытие конечнолистно, то X компактно. 34-25. Пусть X — топологическое пространство, представимое в виде объединения открытых связных множеств U и V. Докажите, что если пересечение U Π V не связно, то X обладает связным бесконечнолистным накрытием.
206 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы 34.5. Универсальные накрытия Накрытие ρ: X —» В называется универсальным, если пространство X од- носвязно. Появление в этом контексте слова универсальное будет объяснено в §40. 34-Ν. Какие из накрытий, обсуждавшихся выше, являются универсальными? § 35. Теоремы о накрывающих путях 35.1. Поднятие отображений Пусть р: X —> В n f: А —* В — произвольные отображения. Говорят, что отображение g: А —» X накрывает отображение / или является его поднятием (по отношению к р), если ρ о g = /. Множество топологических задач могут быть сформулированы как задачи поиска непрерывного накрывающего для данного непрерывного отображения. Задачи этого типа называются задачами поднятия. Их формулировки могут включать дополнительные требования на поднятия, например, в некоторых из них требуется, чтобы поднятие было фиксировано на некотором подпространстве. 35. А. Докажите, что тождественное отображение 51 —» 51 не может быть поднято по отношению к накрытию R —» 51: χ ι—>· е2пгх. (Другими словами, не существует такого непрерывного отображения g: S1 —» Μ, что е2пгд^ = χ для всех χ £ S1.) 35.2. Поднятие пути 35.В. Теорема о накрывающем пути. Пусть р: X —» В — накрытие, х0 е X, Ь0 е В — такие точки, что р(хо) = Ь0. Для любого пути s: I —» В, начинающегося в Ь0, существует единственный путь "s: I —» X, начинающийся в точке х0 и накрывающий путь s. (Другими словами, существует единственный путь ϊ: I —» X, такой, что ?(0) = Хо «pos = s.) Можно доказать и более общее утверждение, чем теорема 35.В — см. задачи 35.1— 35.3. 35.1. Пусть р: X —> В — тривиальное накрытие, хо (Ξ X и Ьо G В — такие точки, что р(жо) —Ьо. Для всякого непрерывного отображения /: А —> В, переводящего некоторую_точку αο (Ξ А в Ьо, существует его непрерывное поднятие /: А —> X, для которого /(ао) — хо· 35.2. Пусть р: X —> В — тривиальное накрытие, хо (Ξ X и Ьо G В — такие точки, что р(хо) = Ьо. Если множество А связно, то для всякого непрерывного отображения f:A—>B, переводящего некоторую точку <вд G А в Ьо, непрерывное поднятие /: А —> —> X с /(ао) = хо единственно. 35.3. Пусть р: X —> В — накрытие, Ά А — некоторое связное и локально связное пространство. Если непрерывные отображения /, g: А —> X совпадают в некоторой точке npof = pog, то f = g. 35.4· Если в задаче 35.2 заменить точки хо, Ьо и ао парами точек, то может статься, что задача поднятия не допускает решения / с /(од) = хо. Сформулируйте условие, необходимое и достаточное для существования такого решения.
§ 36. Вычисление фундаментальных групп 207 35.5. Покажите, что теорема о накрывающем пути 35. В не обобщается на локальные гомеоморфизмы, такие как локальный гомеоморфизм (0, 3) —> S1: χ ι—* ε2πίχ задачи 35.4. 35.6. Рассмотрим накрытие С -> С\0: г i-t ег. Найдите пути, накрывающие пути u(t) = 2 — t, v(t) = (1 4- t)e2wlt и их произведения uv и vu. 35.3. Поднятие гомотопии 35.С. Теорема о накрывающей гомотопии. Пусть ρ: Χ —» В — накрытие, x0GX ub0£B — такие точки, что р(хо) — &о · Пусть пути и, v. I —» —» S начинаются в точке Ь0 и и, v: I —» X — накрывающие их пути с началом в точке х0. Тогда если пути и, ν гомотопны, то пути и, ν также гомотопны. 35.D. Важное следствие. В предположениях теоремы 35.С накрывающие пути и и ν кончаются в одной и той же точке (т. е. ΰ(1) = v(l)). Подчеркнём, что в 35. С и 35.D предполагается, что у накрывающих путей общее начало х0, а тогда, согласно 35.D, совпадают и их концы. 35.Е. Следствие следствия 35.D. Пусть ρ: X —» В — накрытие. Если петля s: I —» В накрывается незамкнутым путём (так сказать, размыкается при поднятии), то она не гомотопна постоянной. 35.7. Линейно связное пространство В, обладающее неоднолистным связным накрытием в узком смысле, неодносвязно. 35.8. Докажите, что любое накрытие ρ: X —> В с односвязным В и линейно связным X является гомеоморфизмом. 35.9. Какие следствия можно извлечь из 35.7 относительно приведённых в §34 примеров накрытий? 35.10. Загадка. Так ли уж важно условие теоремы 35. С, согласно которому отображения и и ν являются путями? На какой класс отображений и пространств вы можете обобщить эту теорему? § 36. Вычисление фундаментальных групп при помощи универсальных накрытий 36.1. Фундаментальная группа окружности Для каждого натурального числа η обозначим через sn петлю / —» 51: t н-> н-> e2"mt. Начальной точкой петли является точка 1 £ С. Гомотопический класс петли Si обозначим через а. Таким образом, а £ π1(51,1). 36.А. Петля sn является представителем класса ап. 36.В. Укажите путь в Ά, начинающийся в точке 0 £ Ά и накрывающий петлю sn относительно универсального накрытия R —» S1. 36.С. Гомоморфизм φ: Ζ —» 7Γι(51,1): я н а", является изоморфизмом. 36.С.1. Формула цн>а" определяет гомоморфизм Ζ —» π1(51,1). 36. С. 2. Если путь 's: I —» R с началом в 0 £ М, накрывающий петлю s: I —» —» S1 (с началом в 1), кончается в точке η (т. е. 7(1) = п), то петля s гомотопна петле sn.
208 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы 36. С. 3. Если петля sn гомотопна постоянной, то η = 0. Следовательно, гомоморфизм φ — мономорфизм. 36.1. Найдите прообраз гомотопического класса петли ί ι—► e27rlt при изоморфизме теоремы 36. С. Обозначим через deg изоморфизм, являющийся обратным к изоморфизму 36. С. 36.2. Для любой петли s: I —> S1, начинающейся в единице, deg([s]) есть целое число, совпадающее с конечной точкой пути, начинающегося в0£1и накрывающего петлю s. 36.D. Следствие теоремы 36. С. Фундаментальная группа п-мерного тора (51)" — свободная абелева группа ранга η (т. е. группа, изоморфная Ζ"). 36. Е. Укажите петли, гомотопические классы которых являются образующими фундаментальной группы тора 51 χ S1. 36. F. Следствие теоремы 36. С. Фундаментальная группа проколотой плоскости R2 \ 0 есть бесконечная циклическая группа. 36.3. Решите задачи 36.D-36.F, не ссылаясь на теоремы Зб.Си 32.Н, а опираясь на явное построение соответствующего универсального накрытия. 36.2. Фундаментальные группы проективных пространств Фундаментальной группой проективной прямой является бесконечная циклическая группа, поскольку проективная прямая гомеоморфна окружности. Нульмерное проективное пространство состоит из одной точки, так что его фундаментальная группа тривиальна. Вычислим теперь фундаментальные группы всех прочих проективных пространств. __ Пусть η ^ 2 и £: I —» RP" — петля, которую накрывает путь £: I —» 5", соединяющий две диаметрально противоположные точки сферы, скажем, полюсы Р+ = (1,0,..., 0) и Р_ = (—1,0,..., 0). Обозначим через λ гомотопический класс петли ί в фундаментальной группе π1(Μ.Ρη, (1:0:...: 0)). 36. G. Для каждого η ^ 2 группа π1(Μ.Ρη, (1: 0:...: 0)) является циклической группой порядка 2. Она состоит из λ и 1. 36. G.I. Лемма. Любая петля в ЖРп с началом в точке (1:0:...: 0) гомотопна или петле ί или постоянной петле. Это зависит от того, соединяет ли путь, накрывающий эту петлю, полюсы Р+ и Р_, или оке он сам является петлёй. 36.4 ■ Где в доказательствах теоремы 36. G и леммы 36. G. 1 использовано предположение η ^ 2? 36.3. Фундаментальная группа букета окружностей Рассмотрим семейство топологических пространств {Ха}, в каждом из которых отмечено по одной точке ха. Рассмотрим несвязную сумму [_|а Ха этих пространств и отождествим в нём все отмеченные точки. Полученное фак- торпространство называется букетом пространств {Ха} и обозначается через \Ja Ха. В частности, букет q окружностей — это пространство, являющееся объединением q экземпляров окружностей, имеющих одну общую точку, называющуюся центром этого букета.
§ 36. Вычисление фундаментальных групп 209 Обозначим букет q окружностей через Вя, а его центр — через с. Пусть иг, ..., ия — петли в Вя, каждая из которых начинается в с и параметризует соответствующую окружность букета Вя. Обозначим через оц гомотопический класс петли ut. 36.Η. Теорема. Группа тг1(Вя, с) является свободной группой, свободно порожденной элементами а1г ..., ая. 36.4. Алгебраическое отступление: свободные группы Напомним, что группа G есть свободная группа со свободными образующими αϊ,..., aq, если: о каждый её элемент χ € G представляется как произведение степеней (с целыми, но не обязательно положительными показателями) элементов аъ ..., ая, т.е. х = α^αζ ... α£; о это представление однозначно с точностью до следующих тривиальных операций: можно вставлять и удалять произведения вида aiaj1 и α~λαι или заменять а™ на αϊа\ с ρ + q = m и обратно. 36.1. Свободная группа определена с точностью до изоморфизма числом своих свободных образующих. Число свободных образующих свободной группы называется её рангом. Стандартным представителем в классе изоморфных свободных групп ранга q является группа слов алфавита, состоящего из q букв а1,..., ая и обратных к ним af1,..., аяг. Два слова представляют один и тот же элемент этой группы тогда и только тогда, когда одно из них может быть получено из другого посредством вставок и удалений фрагментов а^1 и а^1^. Для этой группы мы будем использовать обозначение ¥(а1г..., ая) или просто ¥я, если нас не интересуют конкретные образующие. 36. J. Всякий элемент группы¥(а1,..., ая) обладает единственным кратчайшим представителем. Им является слово, в котором нельзя произвести никаких сокращений. Число букв в кратчайшем представлении элемента χ £ ¥(аг,..., ая) называется длиной элемента χ и обозначается через £(х). Конечно, для того чтобы длина была определена, необходимо, чтобы были фиксированы образующие этой группы. 36.5. Покажите, что автоморфизм группы ¥я может переводить элемент х£¥я в элемент, имеющий другую длину. При каких значениях q это невозможно? Можно ли таким образом получить слово произвольной длины? 36.К. Группа G является свободной группой, свободно порожденной своими элементами alt... ,aq, согда любое отображение множества {αϊ,..., ая} в произвольную группу X продолжается до единственного гомоморфизма G -» X. Иногда утверждение теоремы 36. К принимается за определение свободной группы. Определения такого сорта в большей степени подчеркивают взаимосвязи между различными группами, нежели внутреннюю структуру каждой
210 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы группы. Конечно, такие взаимосвязи позволяют в конечном итоге восстановить и внутреннюю структуру групп. Теперь мы можем переформулировать теорему 36.Η так: Зб.Ъ. Гомоморфизм F(ai,... ,ая) —» тг1(Вд,с), отображающий α, β элемент oti фундаментальной группы букета окружностей, является изоморфизмом. Прежде всего, для простоты ограничимся случаем q=2, чтобы избежать ненужных сложностей в обозначениях и рисунках. Это простейший случай, который действительно полностью представляет общую ситуацию, в то время как в случае q = 1 слишком много специфики (хотя бы потому, что в этом случае группа коммутативна). Чтобы воспользоваться преимуществами букета двух окружностей, изгоним индексы из обозначений. Положим В = В2, и = и1} ν = и2, а = alt β = а2. Теперь утверждение 36.L выглядит следующим образом: Гомоморфизм ¥(а,Ь) —» тт(В,с), при котором а н-> а и Ъ н-> β, является изоморфизмом. Эту теорему можно было бы доказать так же, как теоремы 36. С и 36. G, если бы только знать, как устроено универсальное накрытие букета В. Таким образом, для доказательства теоремы нам придется построить универсальное накрывающее пространство букета двух окружностей. 36.5. Универсальное накрытие букета двух окружностей Обозначим через U mV точки, антиподальные точке с на окружностях букета В. Разрежем В в этих точках, удалив их из В и затем добавив вместо каждой из них две новые точки. Какова бы ни была эта операция разрезания, её результатом является крест К, представляющий собой объединение четырёх отрезков с общим концом с. Отрезки мы будем называть лучами креста. Имеется естественное отображение Р: К —► В, переводящее центр с креста К в центр с букета В, сужение которого на каждый из лучей креста является гомеоморфизмом этого луча на соответствующую полуокружность букета. Поскольку окружности букета В параметризованы петлями и и в, то половинки каждой из окружностей можно упорядочить. Обозначим через U+ ту точку прообраза Р_1([/), которая принадлежит лучу, отображающемуся в первую из половин окружности, содержащей точку U, и через U~ — вторую точку из составляющих этот прообраз. Аналогично обозначим через V+ и V~ точки прообраза Ρ~λ{ν). и- / Ν ν- Сужение отображения Ρ на К \ {U+, U~, V+, V~} является гомеоморфизмом на В \ {U, V}. Поэтому Ρ является накрытием пространства В \ {U, V}. Однако точки U и V не имеют правильно накрытых окрестностей. Более того,
§ 36. Вычисление фундаментальных групп 211 прообраз каждой из них состоит из двух точек (соответствующих концевых точек креста), в окрестности которых Ρ даже не является локальным гомеоморфизмом. Чтобы справиться с этой неприятностью, приклеим в каждой из четырёх концевых точек креста К ещё один экземпляр креста К и продолжим естественным образом отображение Ρ на полученное в результате топологическое пространство. Но теперь появились новые 12 концевых точек, в которых наше отображение не является локальным гомеоморфизмом. Что лее, повторим ту лее операцию, приклеив 12 новых копий креста К. И вот уже у каждой из этих 12 точек есть окрестность, гомеоморфно отобралсающаяся на свой образ в В. Но зато возникли 36 новых концевых точек. И т. д. ... Эта деятельность кажется вполне безумной: исправляя дефекты, мы создаём на каждом шаге в три раза больше новых. Однако если повторить это бесконечно много раз, то все плохие точки исправятся и полученное топологическое пространство с заданным на нём продолжением отображения Ρ окажется накрывающим пространством2. 36.М. Формализуйте описанную выше конструкцию накрытия букета В. Рассмотрим группу F(a, Ь) как топологическое пространство с дискретной топологией и построим его произведение на крест К. Результат — пространство К χ F(a, Ь) — молено рассматривать как набор экземпляров креста К, занумерованных элементами группы ¥(а, Ь). Топологически это несвязная сумма этих экземпляров. Отождествим в К χ F(a, Ъ) точку (U~,g) с (U+,ga) и точку (V~, g) с (V+, gb) для каждого элемента g е F(a, Ь). Обозначим полученное факторпространство через X. 36.N. Композиция естественной проекции К χ F(a, b) —» К и отображения Р: К —> В определяет непрерывное факторотображение ρ: X —» В. 36.0. Отображение ρ: Χ —> В является накрытием. 36.Р. Пространство X линейно связно. Для каждого элемента g £ F(a, Ъ) существует путь, соединяющий точку (с, 1) с точкой (с,д), накрывающий петлю в В, полученную в результате замены в слове д буквы а петлёй и, а буквы Ъ — петлёй υ. 36. Q. Пространство X односвязно. Это напоминает сказочную историю о битве со Змеем Горынычем, но неожиданная счастливая развязка показывает, что математика обладает магической мощью, о какой герои сказок не могли и помыслить. И в самом деле, мы встретили Змея Горыныча К о четырёх головах, доблестно отсекли ему все головы, но, в соответствии с традицией жанра, на месте каждой старой головы выросли три новые. Мы отсекли и их, и история повторилась. А мы и не думаем, как бы избежать этого размножения голов. Знай рубим! В отличие от героев сказок, мы действуем вне Времени, и нам некуда спешить. Повторив бесконечное количество раз упражнение в отсекании экспоненциально растущего числа голов, мы победили! У нашего Горыныча голов-то и не осталось! Такова типичная картина успешной бесконечной конструкции в математике. Иногда, как в нашем случае, такую бесконечную конструкцию можно заменить конечной, но имеющей дело с бесконечными объектами. Однако, случается, что важная конструкция включает бесконечное повторение, которого никак невозможно избежать.
212 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы 36.6*. Пусть пространство X является объединением открытых множеств U и V, пересечение которых имеет не менее трёх компонент связности. Докажите, что фундаментальная группа пространства X неабелева, и, более того, может быть отобрав жена эпиморфно на свободную группу ранга 2. 36.6х. Фундаментальные группы некоторых конечных пространств 36.7х. Докажите, что всякое линейно связное трёхточечное пространство односвяз- но (ср. 32.7). 36.8х. Рассмотрим топологическое пространство X, состоящее из точек а, Ь, с и d, в котором топология задана базой, составленной из множеств {а}, {с}, {а,Ь,с} и {с, d, а}. Докажите, что пространство X неодносвязно. 36.9х. Вычислите πι(Χ). Зб.Юх. Пусть X — конечное топологическое пространство с нетривиальной фундаментальной группой. Пусть по — наименьшее число точек такого пространства. 1) Найдите по. 2) Каковы нетривиальные фундаментальные группы пространства, число точек в котором равно по? 36.Их. 1) Постройте конечное топологическое пространство с неабелевой фундаментальной группой. 2) Каково наименьшее число точек, необходимое для такого пространства? 36.12х*. Постройте конечное топологическое пространство с фундаментальной группой Ζ2.
Доказательства и комментарии 213 Доказательства и комментарии 34·Α.. Покажем, что само множество В является правильно накрытым. Действительно, (ргв) (В) = X = [J eF(B x у), а поскольку топология в пространстве F дискретна, то каждое из множеств В χ у открыто в тотальном пространстве накрытия, а сужение prs на каждое из них есть гомеоморфизм. 34· А. Если p\Va : Va —» U — гомеоморфизм, то ρ гомеоморфно отображает Vanp-1(U')n&U'. 34·Β. I =Н Построим гомеоморфизм h: ρ~λ{υ) —» U χ ρ'1 (а) для произвольной правильно накрытой окрестности U С В точки а. По определению правильно накрытой окрестности, р~г(и) = (JUa. Пусть χ £р~г(и), Рассмотрим то из открытых множеств Ua, которое содержит точку х, и сопоставим ей пару (р(х), с), где {с} = ρ"1 (α) Π Ua. Ясно, что соответствие χ н-> (р(х), с) определяет гомеоморфизм h: р~г(и) —» U χ р~1(а). 1 -Ф=| В силу 34.1, U является правильно накрытой окрестностью, значит, ρ: Χ —» В есть накрытие. 34· С. Для всякой точки ζ € S1 множество Uz—S1 \ {—ζ] является её правильно накрытой окрестностью. Действительно, пусть ζ = е2пгх. Тогда прообраз окрестности Uz — это объединение \Jkez{x + k — ψχ + k+ -Α, ά сужение накрытия на каждый из указанных интервалов является гомеоморфизмом. 34-D- Правильно накрытой окрестностью точки (z,y) £ S1 χ К является произведение (51 \ {—ζ}) χ Μ; ср. 34-Е. 34· Ε. Убедитесь в том, что произведение правильно накрытых окрестностей точек бе В и Ь' б В' является правильно накрытой окрестностью точки (Ь,Ь')£ВхВ'. 34· F. Рассмотрим диаграмму R2 —^—► С Ч Ρ S1 χ R —9—^ С \ О в которой g(z, χ) = zex, h(x,y) = y + 2πίχ, a q(x, y) = (e2nlx,y). Из равенства g{q{x, у)) = β2π1χ ■ ey = ey+27Tix =p(h{x, у)) следует, что она коммутативна. Ясно, что отображения д и h являются гомеоморфизмами. Поскольку, в силу 34- D, отображение q является накрытием, то и ρ — накрытие. 34-G. В силу 34.Е, данное утверждение следует из 34.С. Конечно, его нетрудно доказать и непосредственно. Правильно накрытой окрестностью точки (ζ, ζ') eS1 χ S1 будет произведение (51 \ {—z}) x (S1 \ {—ζ1}). 34·Η. Пусть Z&S1. Прообраз точки —ζ при проекции состоит из η точек, которые разбивают тотальное пространство накрытия на η дуг, при этом сужение проекции на каждую из них определяет гомеоморфизм этой дуги на окрестность 51 \ { — ζ} точки ζ. 34-Ι- В силу 34-Е, это утверждение следует из 34.И.
214 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы 34· J· Прообраз точки у eRP" — это пара {х, —х} с 5" антиподальных точек. Проходящая через центр сферы плоскость, ортогональная вектору х, разбивает сферу на две открытых полусферы, каждая из которых гомеоморф- но проектируется на (гомеоморфную К") окрестность точки у £ RP". 34-К. Нет, не является, поскольку у точки 1 £ 51 не существует правильно накрытой окрестности. 34-L. Указанные в формулировке открытые интервалы не являются открытыми подмножествами плоскости. Более того, поскольку прообраз всякого интервала есть связное множество, его вообще нельзя разбить на открытые непересекающиеся подмножества. 34· М. Докажите, что из определения накрытия следует, что множество точек базы, у которых прообраз имеет заданную мощность, является открытым, и воспользуйтесь связностью базы накрытия. 34-N. Те, в которых накрывающим пространством является Ш.1, R2, R" \ О при η ^ 3, 5" при η ^ 2, т. е. односвязное пространство. 35.А. Предположим, что поднятие g тождественного отображения окружности в себя существует; оно является непрерывной инъекцией 51 —» К. Покажем, что таких инъекций не существует. Пусть giS1) = [а; Ь]. Из теоремы о промежуточном значении следует, что всякая точка χ £ (α; Ъ) является образом по крайней мере двух точек окружности. Следовательно, g — не инъекция. 35.В. Рассмотрим покрытие базы набором правильно накрытых окрестностей его точек и такое разбиение отрезка [0; 1] точками 0 = а0 < аг < ... < ап = 1, что образ s([ai;ai+i]) содержится целиком в одной из правильно накрытых окрестностей; s([a,i; ai+1}) С Ui, г = 0,1,..., η — 1. Поскольку сужение накрытия на прообразp~1(U0) является тривиальным накрытием и /([α0; αϊ]) С U0, то существует такое поднятие отображения s|[ao;ai], что ?(а0) = Хо, пусть хг = J(ai). Аналогичным образом, существует единственное поднятие ?|[αι;α2]; такое, что ?(аг) =хг; пусть £2 = ^(^г); и т. д. Таким образом, поднятие I: I —» X существует. Его единственность очевидна. Тем, кто с этим не согласен, мы предлагаем провести, к примеру, рассуждение по индукции. 35.С. Пусть h: I X / —» В — гомотопиямежду путями иии, таким образом, /г(т, 0) = w(t), Λ,(τ, 1) =г>(т), h(0,t) = b0 и Λ(1,ί) = Ьг € В. Покажем, что существует отображение h: I х / —» X, накрывающее h и такое, что /г(0,0) =xq. Доказательство существования накрывающей гомотопии аналогично доказательству теоремы о накрывающем пути. Разобьём квадрат Ι χ Ι на. квадраты меньшего размера, образ каждого из которых при отображении h содержится в некоторой правильно накрытой окрестности в пространстве В. Сужение hkt( гомотопии h на каждый из «маленьких» квадратов Ikt( будет накрываться соответствующим отображением hk,e- Для того чтобы получить накрывающую h гомотопию, необходимо только добиться, чтобы эти отображения совпали на пересечениях этих квадратов. В силу 35.3, для этого достаточно потребовать, чтобы эти отображения совпали хотя бы в одной точке. Сделаем первый шаг: пусть h(I0,o) С Ub0 и h0β '■ -^ο,ο —» Χ ~~ это такое накрывающее отображение, что
Доказательства и комментарии 215 ^о,о(ао,со) =£о· Теперь положим &ι =/г(а1; с0) Hii =h{a^, c0). Существует отображение Λι,ο: Λ,ο —» -Х\ накрывающее /г|710, такое, что /i],o(ai,e0) = £1. Продолжая построение, мы и получим отображение h, заданную на всём квадрате. Осталось проверить, что h — это гомотопия путей. Рассмотрим накрывающий путь ΰ:ί и h(0,t). Поскольку рои — постоянный путь, то и путь ΰ обязан быть постоянным, значит, /г(0,£) = х0. Аналогичным образом, h{l,t)=x1 — фиксированная точка накрывающего пространства. Значит, h — это гомотопия путей. В заключение заметим, что её единственность следует, опять-таки, из леммы 35.3. 35.D. Формально это действительно следствие, но, собственно говоря, это уже было показано при доказательстве теоремы 35. С. 35.Е. Постоянный путь накрывается постоянным путём. В силу 35.D, всякая петля, гомотопная постоянной петле, накрывается петлёй. 36.А. Рассмотрим пути ¥п: / —» Ш: t н->· nt, Sn-i: / -» β: ί (-» (η-1)ί и ^ : / —» R: t η-> η — 1 +1, накрывающие пути sn, sn^1 и эг соответственно. Поскольку произведение Sn-iSi определено и имеет те лее начало и конец, что и путь 1п, то Jn ~ Sn-iSj, и поэтому sn ~ sn_iSi. Значит, [sn] = [sn_i]a, откуда по индукции и следует равенство [sn\ = a". 36.В. См. доказательство предыдущего утверждения: это путь, заданный формулой Hn{i) = nt. 36. С.1. Если η н а" и ί; н а1*, то п + к н-> an+fe = а" · afe. 36. С. 2. Из односвязности прямой R следует, что пути shs„ гомотопны, значит, гомотопны и пути s, sn, следовательно, [s] = [sn] = а". 36. С. 3. Если η φ 0, то путь ίΓη заканчивается в точке п, значит, не является петлёй. Следовательно, петля sn не гомотопна нулю. 36. С. В силу 36. С. 1, рассматриваемое отображение определено корректно и является гомоморфизмом. В силу 36. С.2, оно — эпиморфизм, а в силу 36. С.3 — мономорфизм. Значит, оно является изоморфизмом. 36. D. Это следует из проведённого вычисления фундаментальной группы окружности и утверждения 32. Н: πΛβ1 χ ... χ S\ (l, ι,..., l)) = ^(S1, l) χ ... χ MS1, i) = Ζ". * ν ' - „ ' η сомножителей п сомножителей 36.Ε. Пусть S1 χ 51 = {(г, го): \ζ\ = 1, |to| = 1} С С х С. Образующими фундаментальной группы π1(β1 xS'1,(l,l)) являются петли Si: t н-> (ε2πιί, 1) и s2:tn (1,е2*й). 36.F. Поскольку R2 \ 0 = 51 χΐ,το ^ (Ж2 \ 0, (1,0)) * ^ (S\1) χ тг^К, 1) ^ Ζ. 36. G. Пусть и — петля в RP", а и — накрывающий её путь в 5". При η ^ 2 сфера 5" односвязна и, если ΰ является петлёй, то и, а значит и и, гомотопны
216 Глава 7. Накрытия и вычисление фундаментальной группы нулю. Если лее и петлёй не является, то, опять-таки в силу односвязности 5", ΰ ~ £, следовательно, и ~ £. 36.G. В силу 36.G-1, фундаментальная группа состоит из двух элементов, значит, она является циклической группой порядка два. 36.Н. См. 36.5. 36.М- См. абзац, следующий за формулировкой данного утверждения. 36.N. Очевидное следствие определения отображения Р. 36.0- Очевидное следствие определения отображения р. 36. Р. Проведите доказательство по индукции. 36. Q. Воспользуйтесь тем, что образ всякой петли, будучи компактным множеством, пересекается только с конечным числом отрезков, из которых состоит тотальное пространство X накрытия, и воспользуйтесь индукцией по числу таких отрезков.
Глава 8 Фундаментальная группа и отображения § 37. Индуцированные гомоморфизмы и их первые применения 37.1. Индуцированный гомоморфизм Пусть /: X —» У — непрерывное отображение топологического пространства X в топологическое пространство У. Пусть х0£Х ну0 = f(x0)£Y- В таком случае говорят, что / отображает пространство с отмеченной точкой (Χ,Χο) в пространство с отмеченной точкой (Y,yo) и пишут /: (X, х0) —» - (Y,y0). Обозначим через /# отображение Ωι(Χ,χ0) —>■ Ωι(Υ, Уо) '■ s >—► / о s. 37.А. Отображение /# переводит гомотопные петли в гомотопные. Поэтому /# определяет отображение /,: ■к1(Х,х0) —» πι (У, у0). 37.В. Для любого непрерывного отображения /: (X, х0) —» (Υ, у0) отображение /»: πι(Χ,χ0) —» πι(Υ,?/ο) является гомоморфизмом. Гомоморфизм /»: πι(Χ, £о) —» ^(У, ΐ/0) называется гомоморфизмом, индуцированным непрерывным отображением /. 37.С. Пусть /: (X, х0) —» (У, у0) и #: (У, ϊ/0) —» (Ζ, ζ0) ~ непрерывные отображения. Тогда (9° /)* = 9*° f*'- ττι(Χ,α;ο) -> 7Γι(Ζ,ζ0). 37.D. Если отображения f,g: (Х,х0) —» (У,?/о) Хо-гомотопны, то /„= д„. 37. Е. Загадка. Как обобщить теорему 57. £> на случай свободно гомотопных отображений? 37.F. Пусть отображение f: X —» У непрерывно, а точки х0 и Х\ пространства X соединены путём s: I —» X. Положим у0 = f(xo) «!/ι= ί{χι)· Тогда следующая диаграмма коммутативна: πλ(Χ,χ0) —^—-> ^(У,у0) тв πι(Χ,Χ!) т.е. Tfos о/,=/,оГ3. /. ni(Y,Vi)
218 Глава 8. Фундаментальном группа и отображения 37.1. Докажите, что отображение С \ 0 —> С\0: ζ н» ζ3 не гомотопно тождественному отображению С \ 0 —> С \ 0. 37.2. Пусть X С К". Докажите, что если непрерывное отображение /: X —> Υ продолжается до непрерывного отображения Жп —> Υ, то гомоморфизм /* : πι(Χ, хо) —> —> πι(Υ,/(жо)) тривиален (т.е. отображает всю группу в единицу) для любой точки хо е А". 37.3. Докажите, что фундаментальная группа всякого линейно связного хаусдор- фова пространства, содержащего открытое множество, гомеоморфное пространству S1 X S1 \ (1,1), бесконечна и не является циклической. 37.3.1. Докажите, что если пространство X, удовлетворяющее условиям задачи 37.3, может быть так отображено посредством непрерывного отображения в пространство Υ с бесконечной нециклической фундаментальной группой, чтобы это отображение индуцировало бы эпиморфизм группы πι(Χ) на πι (У). 37-4· Докажите, что фундаментальная группа пространства GL(ra,C) комплексных неособых (га Хтг)-матриц бесконечна. 37.2. Основная теорема высшей алгебры Здесь мы докажем теорему, которая, на первый взгляд, никакого отношения к фундаментальной группе не имеет. 37.G. Основная теорема высшей алгебры. Всякий многочлен положительной степени от одной переменной с комплексными коэффициентами обладает комплексным корнем. Эквивалентная формулировка: Пусть p(z) = ζη + αχζ71"1 + ... + α„ — многочлен степени η > 0 с комплексными коэффициентами. Тогда существует такое комплексное число w, что p(w) = 0. Хотя эта теорема формулируется чисто алгебраически и называется основной теоремой высшей алгебры, у неё нет ни одного чисто алгебраического доказательства. Её доказательства основаны или на топологических рассуждениях или апеллируют к комплексному анализу. Это не случайно, так как поле С комплексных чисел, так лее, как и поле К, нельзя описать в чисто алгебраических терминах. Все его построения включают какую-либо конструкцию пополнения, ср. § 18. 37.G.1. Редукция к задаче об отображении. Выведите теорему 37. G из следующего утверждения: Каков бы ни был комплексный многочлен p{z) положительной степени, образ отображения С —» С: ζ >—► ρ (ζ) содержит точку 0 £ С. Другими словами, формула ζ н-> ρ[ζ) не определяет отображения С —» С \ 0. 37. G.2. Оценка младших членов. Пусть ρ(ζ) = ζη + α1ζη~1 + .. - + ап — комплексный многочлен, q(z) = zn и r(z) = p(z) — q(z). Тогда существует такое положительное число R, что \r(z)\ < \q(z)\ = Rn для каждого ζ c\z\ = R. 37.G.3. Лемма о даме с собачкой. [Ср. 30.11.) «Дама» q(z) и её «собачка» p(z) гуляют на проколотой плоскости С \ 0 по замкнутому маршруту (т.е. считаем, что Z&S1). Докажите, что если во всякий момент времени «дама» q(z) отпускает от себя «собачку» p(z) меньше, чем на \q(z)\, то путь «собачки» S1 -» С\0: г н» p(z) будет гомотопен пути «дамы» 5'^С\0:гн4 q(z).
§ 37. Индуцированные гомоморфизмы и их применения 219 37.G.4· Очевидная лемма. (Ср. 30.12.) Если f: X —> Υ — непрерывное отображение и s: S1 —» X — стягиваемая петля, то и петля f о s: S1 —> Υ тоже стягиваема. 37.Зх. Обобщение теоремы о промежуточном значении 37. Нх. Загадка. Что может быть аналогом теоремы о промежуточном значении 13.А для отображений /: Dn —» К"? 37. Ιχ. Выясните, эквивалентна ли теорема о промежуточном значении 13. А следующему утверждению. Пусть /: D1 —» К1 — непрерывное отображение. ЕслиО^/(Б°) и подотоб- ражение /0: 5° —» К1 \ 0 отображения / индуцирует непостоянное отобра- жениек0(Б0) —► πο(Μ1\0), то существует такая точка χ € D1, что f(x) = 0. 37. Jx. Загадка. Придумайте обобщение теоремы о промежуточном значении на случай отображений Dn —> К", которое обобщало бы переформулировку этой теоремы, предложенную в задаче 37.1х. Для этого вам придется дать определение индуцированного гомоморфизма для гомотопических групп. 37.Кх. Пусть /: D" —► К" — непрерывное отображение. Если /(S"^1) не содержит 0 £ К" и подотображение /0: Sn~1 —» К" \ 0 отображения f индуцирует ненулевой гомоморфизм то существует такая точка χ £ Dn, что f(x) = 0. Применение теоремы 37.Кх осложнено условием, труднопроверяемым при η > 0. При η = 2 это всё лее не выходит за рамки теории, развитой выше. 37.5х. Пусть /: D2 —> Ж2 — непрерывное отображение. Если /(S1) не содержит точки α (Ξ Μ2 и круговая петля f\si : S1 —> Μ2 \α определяет нетривиальный элемент группы πι(М2 \ а), то существует такая точка χ (Ξ Ο , что f(x) = α. 37.6х. Пусть /: D2 —> Ж2 — непрерывное отображение, сужение которого на граничную окружность S1 круга совпадает с включением S1 —> Ж2. Тогда f(D2) 3 D2. 37.7х. Пусть отображение /: Ж2 —> Ж2 непрерывно и существует такое вещественное число т, что \f{x) — х\ ζ т при любом i£l2. Докажите, что тогда / сюръективно. 37.8х. Пусть u,v: I —> I X I — такие пути, что ы(0) = (0,0), ы(1) = = (1,1), и(0) = (0,1) и и(1) = (1,0). Докажите, что тогда и(1) Π П u(J) ^ 0. 37.8х.1. Пусть и, ν — такие как в 37.8х. Докажите, что 0 е Ж2 принадлежит образу отображения w: I2 —> Ж2, определённого формулой w{x,y) = и(х) — v(y). 37.9χ. Докажите, что существуют такие связные дизъюнктные множества F,GCI2, что (0,0), (1,1) eF и (0,1), (1,0) € G. 37.10х. Можно ли дополнительно потребовать, чтобы множества F и G, удовлетворяющие условиям предыдущей задачи, были замкнутыми? 37.Их*. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая на плоскости, имеющая две точки перегиба, такая, как изображено на рисунке. Докажите, что существует прямая, пресекающая С в таких четырёх точках а, Ъ, с, d, что отрезки [а;Ь], [Ь;с] и [c;d] имеют одинаковую длину. н, S t 1 LLL-»
220 Глава 8. Фундаментальная группа и отображения 37.4х. Степень точки относительно петли Как мы знаем (см. 36.F), фундаментальная группа проколотой плоскости πι (К2 \ 0) изоморфна Z. Имеются два изоморфизма, получающихся друг из друга посредством умножения на —1. Выберем один из них, скажем, тот, который сопоставляет классу петли t <—> (cos27rt, sin27rt) элемент 1 £ Ζ. В терминах круговых петель этот изоморфизм можно представлять себе как функцию, ставящую в соответствие каждой петле /: 51 —» К2 \ 0 целое число. Это число есть не что иное, как количество раз, которое эта петля обходит вокруг 0 (с учётом направления движения). Поменяем теперь точку зрения: фиксируем петлю, но будем варьировать точку. Пусть и: S1 —► К2 — круговая петля на плоскости и з;еК2\ φ(31)- Будем называть степенью точки χ относительно петли и, а также индексом петли и относительно точки χ и обозначать через ind(u, x) целое число, соответствующее гомотопическому классу [и] £ πι (Μ2 \ χ) этой круговой петли при естественном изоморфизме ττλ (Κ2 \ χ) = Ζ (мы используем по существу то лее самое отож- \ ^>~- '^ · ind=o дествление группы πι (К2 \d)cZ, переводящее в 1 гомотопический класс петли t н-► χ + (ϋθβ2πί, 3ίη2πί)). Число ind(u, x) удобно охарактеризовать также следующим образом. Одновременно с круговой петлёй и: S1 —» К2 \ χ рассмотрим отображение ψη .■.S^S^-.z^^ \u(z)-x\' Гомоморфизм (</>„,*) : πι(5'1) ~* ττιΟ^1) переводит образующую а фундаментальной группы окружности в элемент ка, где к = ind(u, x). 37.Lx. Соответствие χ н-> ind(u, x) определяет локально постоянную функцию на К2 xi^S1). 37.12х. Пусть и: S1 —> Ж2 — круговая петля и х,у£Ж2 \«(51). Докажите, что если ind(u, χ) φ ind(u, у), то любой путь в Ж2, соединяющий χ с у, пересекает «(S1). 37.13х. Если «(S1) содержится в некотором круге, а точка χ не принадлежит этому кругу, то ind(w, χ) = 0. 37.1^х. Найдите множество значений функции ind: Ж2 ^«(S1) —> Ζ для следующих круговых петель: 1) u(z) = ζ; 2) u(z) = ζ\ 3) ω(ζ) = ζ + ζ-1 + ζ2 — ζ~2 (здесь, как обычно, ze S1 С С). 37.15x. Вычислите индексы всевозможных петель, образом которых является лемниската (стандартно вложенный букет двух окружностей), относительно различных точек плоскости. 37.16х. Найдите такую круговую петлю /: S1 —> Ж2, для которой существуют точки i,j/£l2 \/(5J) с ind(/,x) = ind(/,у), принадлежащие разным компонентам множества Ж2 \ /(51). 37.17х. Докажите, что для любого луча R С Ж2, исходящего из точки ж, количество точек в /-1(Д) не меньше | ind(/, x)\. 37.Мх. Если отображение и: S1 —» К2 является сужением отображения F: D2 -> К2 и ind(u, χ) φ 0, mox&F(D2). 37. Nx. Если и и υ — круговые петли в К2 с общей начальной точкой
§ 38. Ретракции и неподвижные точки 221 (т. е. u(l) —v(l)), uuv — их произведение, то ina(uv, χ) — ind(u, χ) + ind(w, x) для любой точки χ £ К2 \ uw(51). 37.Ох. Пусть и,ν: S1 —» К2 — круговые петли, ах £R2 \ (^(S1) Uv(S1)). Если существует (свободная) гомотопия щ, t £l, переводящая и в υ и не задевающая точку χ (т. е. такая, что χ £ Ш2 \ u^S1) для каждого t £ I), то ind(u, χ) = ind(w, x). 37.Ρχ. Пусть и: S1 —» С круговая петля и а £ С \ и(51). Тогда ■ AI \ 1 ί \U(Z) ~a\ A mdiu, α) =-—; / ; ; dz. 2πι Jsl u(z) — a 37.Qx. Пусть p(z) — многочлен с комплексными коэффициентами, R> > 0, и пусть z0£C Рассмотрим круговую петлю и: S1 —» С: ζ н-> p(Rz). Если г0£С\ и(51), то у многочленаp(z) — z0 в открытом круге В\ имеется (с учётом кратностей) роено ind(u, zq) корней. 37. Rx. Загадка. На что молено заменить круговую петлю и, область BR и многочлен p(z), чтобы сформулированное утверждение сохранило силу? 37.5х. Теорема Борсука-Улама 37.Sx. Одномерная теорема Борсука—Улама. Для любого непрерывного отображения /: 51 —» К1 существует такая точка ζ е S1, что f(x)=f{— z)· 37. Тх. Двумерная теорема Борсука—Улама. Для любого непрерывного отображения /: S2 —> К2 существует такая точка χ £ S2, что f(x) = f(—x). 37. Тх. 1. Лемма. Если существует непрерывное отображение /: S2 —► R2 с f(x) φ /(—ж), такое, что для любой точки χ £ S2, то существует непрерывное отображение ψ: Μ.Ρ2 —> М.Р1, индуцирующее нетривиальный гомоморфизм ψ»: тг^ШР2) -» πι(ΆΡι). 37.18х. Докажите, что в каждый момент времени существует такая пара антипо- дальных точек на поверхности земного шара, что величины атмосферного давления и температуры в одной из них равны, соответственно, атмосферному давлению и температуре в другой. Теоремы 37.Sx и 37. Тх — частные случаи следующей общей теоремы. Мы не считаем читателя готовым доказать теорему 37. Ux в полной общности, но нет ли ещё одного доступного частного случая? 37. Ux. Теорема Борсука—Улама. Для любого непрерывного отображения /: 5" -» 1" существует такая точка χ € 5", что f(x) = f(—x). § 38. Ретракции и неподвижные точки 38.1. Ретракции и ретракты Непрерывное отображение топологического пространства на своё подпространство называется ретракцией, если его сужение на это подпространство есть тождественное отображение. Другими словами, если X — топологическое пространство, А С X, то отображение ρ: Χ —» А называется ретракцией, если p|A = idA.
222 Глава 8. Фундаментальная группа и отображения 38.А. Пусть ρ — непрерывное отображение топологического пространства X на свое подпространство А. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Р — ретракция; 2) р(а) = а для любой точки а £ А; 3) poin = idA; 4) ρ: Χ —» А есть продолжение тождественного отображения idA. Подпространство А топологического пространства X называется ретрактом X, если существует ретракция X —» А. 38.В. Всякое одноточечное подмножество является ретрактом. Множество из двух точек может не быть ретрактом. 38. С. Никакое двухточечное подмножество прямой К не является её ретрактом. 38.1. Если А — ретракт пространства X и В — ретракт пространства А, то В — ретракт пространства X. 38.2. Если А — ретракт пространства X и В — ретракт пространства Y, то А х В — ретракт пространства Χ χ Υ. 38.3. Отрезок [а;Ь] является ретрактом прямой К. 38-4- Интервал (а; Ь) не является ретрактом прямой К. 38.5. Какие топологические свойства передаются от объемлющего пространства к его ретрактам? 38.6. Докажите, что ретракт хаусдорфова пространства замкнут (в этом пространстве) . 38.7. Докажите, что объединение оси ординат и множества {(ж, у) (Ξ Ж2 | χ > 0, у = = sin-} не является ретрактом плоскости М2 и, более того, не является ретрактом никакой своей окрестности. 38.D. Двоеточие 5° не является ретрактом отрезка D1. Роль понятия ретракта проясняется следующей теоремой. 38.Е. Подмножество А топологического пространства X является его ретрактом, согда всякое непрерывное отображение А —» Υ в произвольное пространство Υ можно продолжить до непрерывного отображения X —» Υ. 38.2. Фундаментальная группа и ретракции 38.F. Если р: X —> А ~ ретракция, г: А —» X — включение и х0 € А, то р„: π1(Χ,χ0) —» π1(Α,χ0) есть эпиморфизм, аг„: π1(Α,χ0) —» кг(Х,Хо) — мономорфизм. 38. G. Загадка. Какое из двух утверждений предыдущей теоремы (о р„ или об г») легче использовать для доказательства того, что множество А С X не есть ретракт пространства ΧΊ 38.Н. Теорема Борсука в размерности два. Окружность S1 не является ретрактом круга D2. 38.8. Является ли проективная прямая ретрактом проективной плоскости? Следующие задачи труднее теоремы 38.Η в том смысле, что их решение не сводится к прямой ссылке на теорему 38. F, а требует обращения к главной идее её доказательства — тождеству р„ о г* = ϊα^πι(Α,ι0)·
§ 38. Ретракции и неподвижные точки 223 38.9. Докажите, что граничная окружность ленты Мёбиуса не является ретрактом самой ленты Мёбиуса. 38.10. Докажите, что граничная окружность ручки не является ретрактом самой ручки. Теорема Борсука в полной общности (т. е. обобщение теоремы 38.Η па старшие размерности) не может быть получена из теоремы 38. F подобно тому, как был выведен её частный случай. Однако её можно доказать, используя обобщение теоремы 38. F на старшие гомотопические группы. 38.1. Теорема Борсука. Сфера S71"1 не является ретрактом шара Dn. На первый взгляд эта теорема может показаться бесполезной. Зачем нам знать, что в какой-то ситуации не существует отображений крайне специального типа — ретракций? Однако в математике теоремы, утверждающие несуществование чего-то, могут быть тесно связаны с другими, более привлекательными результатами. К примеру, из теоремы Борсука следует теорема Брауэра, имеющая широкую область применения. Однако прежде всего мы введём одно важное понятие, связанное с теоремой Брауэра. 38.3. Неподвижные точки Точка а € X называется неподвижной точкой отображения /: X —» X, если /(а) = а. Говорят, что пространство X обладает свойством неподвижной точки, если всякое непрерывное отображение X —» X имеет неподвижную точку. Свойство неподвижной точки означает разрешимость широкого класса уравнений. 38.11. Докажите, что свойство неподвижной точки является топологическим. 38.12. Докажите, что отрезок [а\Ь] обладает свойством неподвижной точки. 38.13. Докажите, что если топологическое пространство обладает свойством неподвижной точки, то этим свойством обладает и всякий его ретракт. 38.14· Пусть X и У — топологические пространства, xq (Ξ X и уо (Ξ Υ. Докажите, что X и Υ обладают свойством неподвижной точки, согда их букет (X, хо) V (Υ, уо) = = X U Y/[xo ~ уо] также обладает свойством неподвижной точки. 38.15. Докажите, что всякое конечное дерево (см. п. 45.4х) обладает свойством неподвижной точки. (Верно ли это утверждение для бесконечных деревьев?) 38.16. Обладает ли пространство Жп при η > 0 свойством неподвижной точки? 38.17. Обладает ли сфера Sn свойством неподвижной точки? 38.18. Докажите, что при нечётных η вещественное проективное пространство ЖРп не обладает свойством неподвижной точки. (Подсказка: Mn+1 =C(n+1)'2.) 38.19*. Докажите, что при нечётных η комплексное проективное пространство СРп не обладает свойством неподвижной точки. Информация. При чётных η проективные пространства RPn и СРп обладают свойством неподвижной точки. 38. J. Теорема Брауэра. Шар Dn обладает свойством неподвижной точки. 38.J.1. Выведите теорему Брауэра в размерности η (т. е. утверждение, что шар Dn обладает свойством неподвижной точки) из теоремы Борсука в той
224 Глава 8. Фундаментальном группа и отображения же размерности (т. е. утверждения, что сфера Sn x не является ретрактом шара Dn). 38. К. Выведите теорему Борсука из теоремы Брауэра. Существование неподвижных точек молено доказывать не только из топологических соображений. 38.20. Докажите, что если /: Жп —> Жп — периодическое аффинное преобразование (т.е. / о ... о / = idg™ при некотором р), то у / есть неподвижная точка. ρ раз § 39. Гомотопические эквивалентности 39.1. Гомотопическая эквивалентность как отображение Пусть X и Υ — топологические пространства, f: X —» Υ n g: Υ —» Χ — непрерывные отображения. Рассмотрим композиции fog: Υ —» Υ vigo f: X —» X. Если эти композиции являются тождественными отображениями, то / и g являются взаимно обратными гомеоморфизмами. Если лее композиции / о g и go f гомотопны тождественным отображениям idy и idx, то отображения / и д называются гомотопически обратными друг другу. Если непрерывное отображение / имеет гомотопически обратное, то говорят, что / гомотопически обратимо, или что / — гомотопическая эквивалентность. 39.А. Докажите утверждения. 1) Всякий гомеоморфизм есть гомотопическая эквивалентность. 2) Всякое отображение, гомотопически обратное гомотопической эквивалентности, само есть гомотопическая эквивалентность. 3) Композиция гомотопических эквивалентностей есть гомотопическая эквивалентность . 39.1. Приведите пример гомотопической эквивалентности, не являющейся гомеоморфизмом. 39.2. Гомотопическая эквивалентность как отношение Топологические пространства X и Υ называются гомотопически эквивалентными, если существует гомотопическая эквивалентность X —» Υ. 39. В. Отношение гомотопической эквивалентности топологических пространств является эквивалентностью. Класс гомотопически эквивалентных пространств называется гомотопическим типом. Таким образом, о гомотопически эквивалентных пространствах говорят, что они принадлежат одному и тому лее гомотопическому типу или имеют один и тот лее гомотопический тип. 39.2. Докажите, что у гомотопически эквивалентных пространств одинаковое число компонент линейной связности. 39.3. Докажите, что у гомотопически эквивалентных пространств одинаковое число компонент связности. 39-4- Найдите бесконечное число пространств, принадлежащих одному и тому же гомотопическому типу, но попарно не гомеоморфных друг другу.
§ 39. Гомотопические эквивалентности 225 39.3. Деформационные ретракции Ретракция ρ: X —» А называется деформационной ретракцией, если её композиция in op с включением in: А —> X гомотопна тождественному отображению ίάχ. Если композиция inop связанно на А гомотопна id^, то ρ называется строгой деформационной ретракцией. Если существует (строгая) деформационная ретракция X на А, то А называется (строгим) деформационным ретрактом пространства X. 39. С. Всякая деформационная ретракция является гомотопической эквивалентностью. 39. D. Если А — деформационный ретракт X, то пространства X и А го- мотопически эквивалентны. 39. Е. Любые два деформационных ретракта одного и того лее пространства гомотопически эквивалентны. 39. F. Если А — деформационный ретракт пространства X, а В — деформационный ретракт пространства У, то А χ В — деформационный ретракт пространства Χ χ Υ. 39.4. Примеры гомотопических эквивалентностей 39.G. Окружность 51 является деформационным ретрактом проколотой плоскости К2 \ 0. 39.5. Докажите, что лента Мёбиуса гомотопически эквивалентна окружности. 39.6. Расклассифицируйте буквы латинского алфавита с точностью до гомотопической эквивалентности. 39. Н. Докажите, что плоскость, из которой удалены s точек, имеет тот лее гомотопический тип, что и букет s окружностей. 39.1. Докажите, что объединение контура квадрата с одной из его диагоналей гомотопически эквивалентно букету двух окружностей. 39.7. Докажите, что ручка гомотопически эквивалентна букету двух окружностей. 39.8. Докажите, что ручка гомотопически эквивалентна объединению трёх дуг, имеющих общие концы (т.е. греческой букве Θ). 39.9. Докажите, что пространство, полученное из сферы S путём отождествления каких-либо двух её точек, гомотопически эквивалентно букету окружности и сферы.
226 Глава 8. Фундаментальная группа и отображения 39.10. Докажите, что пространство комплексных квадратных трёхчленов со старшим коэффициентом 1 и с различными корнями, т. е. пространство {(р, q) e С2 | z2 + pz + q = 0 имеет два различных корня}, гомотопически эквивалентно окружности. 39-11. Докажите, что пространство GL(n,W) обратимых вещественных (пхтг)- матриц гомотопически эквивалентно пространству ортогональных матриц 0(п). 39.12. Загадка. Какое отношение имеет решение предыдущей задачи к ортогона- лизации Г рама-Шмидта, а ортогонализация Грама—Шмидта — к деформационной ретракции? 39.13. Постройте деформационные ретракции: 1) М3 хМ1 -> S1; 2) Жп \Мт -> S"-™-i; 3) 53 \ S1 -> S1; 4) 5" \5m -> S"-"»-l. 5) Tgpn xTgpm _, Tgpn-m-l_ 39.5. Деформационные ретракции и гомотопические эквивалентности 39.J. 1) Молено ли одно из пространств задачи 39.1 вложить в другое? 2) Молено ли вложить каждое из них в плоскость с двумя выколотыми точками в качестве деформационного ретракта? Деформационные ретракции составляют особую разновидность гомотопических эквивалентностей. Они более доступны наглядному представлению, но, как это видно из 39. J, бывают такие гомотопически эквивалентные пространства, что ни одно из них не вкладывается в другое. Создаётся впечатление, что деформационных ретракций не хватает для установления гомотопических эквивалентностей. Однако, это не так. 39.14*. Докажите, что любые два гомотопически эквивалентных пространства могут быть вложены в качестве деформационных ретрактов в одно и то же топологическое пространство. 39.6. Стягиваемые пространства Топологическое пространство называется X стягиваемым, если тояеде- ственное отображение idx: X —> X гомотопно нулю. 39.15. Покажите, что отрезок / и прямая Ж стягиваемы. 39.16. Докажите, что всякое стягиваемое пространство линейно связно. 39.17. Эквивалентны ли следующие свойства пространства X? 1) Пространство X стягиваемо. 2) Пространство X гомотопически эквивалентно точке. 3) Существует деформационная ретракция X на точку. 4) Некоторая точка χ € X является деформационным ретрактом пространства X. 5) Всякое непрерывное отображение произвольного пространства Υ в X гомотопно нулю. 6) Всякое непрерывное отображение из X в произвольное пространство Υ гомотопно нулю. 39.18. Верно ли, что если пространство X стягиваемо, то для любого пространства Υ: 1) любые два непрерывных отображения X —> Υ гомотопны; 2) любые два непрерывных отображения Υ —> X гомотопны?
§ 40. Накрытия и фундаментальная группа 227 39.19. Какие их нижеследующих пространств стягиваемы? 1) Жп; 2) выпуклое множество в Жп; 3) {(х,у)еЖ2\х2-у2^1}; 4) звёздное множество в Жп; 5) конечное дерево (см. п. 45.4х). 39.20. Докажите, что произведение Χ χΥ пространств стягиваемо, согда каждый сомножитель X и Υ стягиваем. 39.7. Фундаментальная группа и гомотопический тип 39. К. Пусть отображения /: X —> Υ и д: Υ —> X гомотопически взаимно обратны, х0 е X uy0€Y —- такие точки, что f(xo) =у0 и д(у0) = хо, и, более того, гомотопии, соединяющие f о g с idy и g о f с idx, неподвижны на уо и Хо соответственно. Тогда f* и gt являются взаимно обратными изоморфизмами между группами πΎ (X, Хо) и πλ (Υ, у0). 39.L. Следствие. Если ρ: X —» А — строгая деформационная ретракция, х0 € А, то р„: ■к1(Х,х0) —> ΐΐι{Α,χ0) и in*: πλ{Α,χ0) —» π1(Χ,χ0) — взаимно обратные изоморфизмы. 39.21. Вычислите фундаментальные группы следующих пространств: 1) Ж3 \К1-, 2) ΜΝ ^Жп; 3) S3 xS1; 4) RN \5"; 5) Ж3 \gi; 6) SN \5"; 7) ЖР3 хМР1; 8) ручка; 9) лента Мёбиуса; 10) сфера с s дырами; 11) бутылка Клейна с одной удаленной точкой; 12) лента Мёбиуса с s дырами. 39.22. Докажите, что граничная окружность ленты Мёбиуса, стандартно вложенной в Ж3 (см. 22.18), не ограничивает вложенного в Ж3 диска, внутренность которого не пересекала бы ленту Мёбиуса. 39.23. 1) Вычислите фундаментальную группу пространства Q всех квадратных комплексных трёхчленов ах2 + Ьх + с, имеющих различные корни. 2) Вычислите фундаментальную группу его подпространства Qj, состоящего из многочленов с а= 1. 39.24- Загадка. Можно ли решить задачу 39.23 посредством выкладок, дающих традиционный вывод формулы для корней квадратного трёхчлена? 39.М. Ослабим предположения теоремы 39.К следующим образом. Будем считать, что д(уо) φ %о и (или) гомотопии, соединяющие / о д с idy и д о f с id χ, не связаны в точках у0 и х0 соответственно. Как тогда связаны между собой /* и <7„? Изоморфны ли группы π1(Χίχ0) и ■K1(Y,y0)'? § 40. Накрытия и фундаментальная группа 40.1. Гомоморфизм, индуцированный проекцией 40.А. Пусть р: X —> В — накрытие, х0 € X и Ь0=р(хо). Тогда ρ* : π\{Χ,Хо) —» T^i(B,bo) — мономорфизм. Назовем группой накрытия р: X —» В в точке Хо подгруппу pt(7r1(X,x0)) группы π^,Β,&ο)· 40.В. Загадка. Определяется ли группа накрытия накрытием? 40. С. Группа накрытия и подъём петель. Опишите на языке теоремы о накрывающем пути 34-J те петли в базе накрытия, гомотопические классы которых принадлежат группе накрытия.
228 Глава 8. Фундаментальном группа и отображения 40.D. Пусть р: X —> В — накрытие, точки χ0,Χι £ X находятся в одной и той лее компоненте линейной связности пространства X и Ь0 = = р(х0) —ρ{χλ). Тогда подгруппы ρί,(π1(Χ,χ0)) и ρ„(π1(Χ,χ1)) сопряжены в тт1(В,Ь0) (т. е. существует такой элемент а группы π^Β,&ο), что р„ [ττλ [Х,х1)) = = α~1ρ^(π1(Χ,χ0))α). 40.Ε. Пусть ρ: Χ —> В — накрытие, х0 &Х и Ь0 —р(х0). Для любого гомотопического класса а £ π1(β,60) существует точка хг ер"1(6о), такая, что ρ„(π1(Χ,χ1)) =α"1ρ,(π1(Χ,χ0))α. 40.F. Пустьр: Χ —> В— накрытие в узком смысле и GCTr1(B,b0)—группа этого накрытия, отвечающая отмеченной точке х0. Подгруппа Η С π1(β,60) является группой того лее накрытия, согда она сопряжена подгруппе G. 40.2. Ещё раз о числе листов накрытия 40.G. Число листов и индекс группы накрытия. У конечнолистного накрытия в узком смысле число листов равно индексу его группы. 40.Н. Листы и правые смежные классы. Пусть ρ: X —» В — накрытие в узком смысле, b0 £ В, х0 е р_1(60). Постройте естественную биекцию множества р_1(60) на множество pt(TT1(X,χο))\πι(Β,bo) правых смежных классов фундаментальной группы базы этого накрытия по группе накрытия. 40-1- Число листов универсального накрытия. Число листов универсального накрытия равно порядку фундаментальной группы его базы. 40.2. Нетривиальность накрытия влечет нетривиальность фундаментальной группы. Фундаментальная группа любого топологического пространства, обладающего нетривиальным линейно связным накрывающим пространством, не тривиальна. 40.3. Чему могут равняться числа листов накрытия ленты Мёбиуса цилиндром S1 х/? 40-4- Чему могут равняться числа листов накрытия ленты Мёбиуса лентой Мёбиуса? 40-5. Чему могут равняться числа листов накрытия бутылки Клейна тором? 40.6. Чему могут равняться числа листов накрытия бутылки Клейна бутылкой Клейна? 40.7. Чему могут равняться числа листов накрытия бутылки Клейна плоскостью М2? 40.8. Чему могут равняться числа листов накрытия бутылки Клейна цилиндром S1 χ К? 40.3. Иерархия накрытий (в узком смысле) Пусть р: X —> В и q: Υ —> В — накрытия в узком смысле, х0 £ X, у0 € Υ и р(хо) = q(yo) = Ь0. Говорят, что накрытие q с отмеченной точкой у0 подчинено накрытию ρ с отмеченной точкой х0, если существует такое отображение φ: X —> У, что q о ψ = ρ и φ(χο) = Уо- Отображение φ в этом случае называется подчинением. 40.1. Подчинение является накрытием. 40. J. Если подчинение существует, то оно единственно. Ср. 35.В. Говорят, что накрытия ρ: Χ ^> В тл q: Y —> В эквивалентны, если суще-
§ 41х. Классификация накрывающих пространств 229 ствует такой гомеоморфизм h: X —> Υ, что ρ = q о h. Гомеоморфизмы /ih/i ' называются в этом случае эквивалентностями. 40.К. Если два накрытия с отмеченной точкой подчинены друг другу, то соответствующие подчинения являются эквивалентностями. 40.L. Эквивалентность накрытий с отмеченной точкой действительно является отношением эквивалентности на множестве накрытий с данной базой. 40.М. Подчинение определяет отношение частичного порядка на множестве классов эквивалентных накрытий с отмеченной точкой и данной базой. 40.9. Какой класс эквивалентных накрытий минимален (т.е. подчинён всем)? 40.N. Пусть р: X —> В и q: Υ —> В — накрытия, х0 £ X, Уо £ Υ и р(хо) — = q(yo) = b0. Если накрытие q с отмеченной точкой у0 подчинено накрытию ρ с отмеченной точкой х0, то группа накрытия ρ содержится в группе накрытия q, т.е. ρ^π^Χ,Χο)) С q*{Ki{Y,y0))· § 41х. Классификация накрывающих пространств 41.1х. Существование подчинений Топологическое пространство называется локально линейно связным, если каждая окрестность U любой его точки содержит линейно связную окрестность V с U этой точки. 41.1х