Фоменко А.Т. Математика и миф сквозь призму геометрии. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998
Ю.И.Манин. Вместо предисловия
Введение. Геометрические образы и ассоциации в математике
I. Геометрические ассоциации в топологии
2. Двумерные поверхности в трехмерном пространстве
3. Локально гомологически нетривиальное пространство
4. Расслоенные пространства
5. Топологический зоопарк
6. Теорема о симплициальной аппроксимации
7. Выворачивание двумерной сферы наизнанку в трехмерном пространстве
8. Расслоение Хопфа и разбиение трехмерной сферы
9. Действие фундаментальной группы на высших гомотопических группах
10. Спектральные последовательности и орбиты действия групп
11. Спектральная последовательность
12. Косы и зацепления
13. Операция разрезания поверхности
14. Алгебраические операции с геометрическими объектами
15. Гомеоморфизм
16. Гомеоморфизм, достаточно близкий к тождественному
17. Развертка триангуляции шара
18. «Теорема о мостовых»
19. Нетривиальный узел в трехмерном пространстве
20. Гомеоморфизмы двумерных поверхностей
21. Гомотопия и вязкая жидкость
22-26. Топологическая задача «о расцеплении зацепленных пальцев»
II. Геометрические ассоциации в теории многообразий
28. Бильярды и эргодичность
29. Бильярд. Клеточные комплексы
30. Внутренние и граничные точки многообразия. Симметрические пространства
31. Гауссово отображение
32. Комплексная динамика и множества Жулиа
33. Кривизна и кручение
34. Проблема алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы в классе всех трехмерных многообразий
35. Двумерная сфера в трехмерном пространстве может быть вывернута наизнанку
36. Операции скручивания, или операции Дена
37. Между двумя максимумами всегда есть седловая критическая точка
III. Геометрические ассоциации в математическом анализе
39. Поверхность уровня сложной гладкой функции
40. Особые точки алгебраических поверхностей
41. Функции Морса и теорема об эйлеровой характеристике
42. График непрерывной, но не гладкой функции
43. Правильные функции Морса на трехмерных многообразиях
44. Особенности гладких функций
46. Деформация римановой поверхности алгебраической функции
IV. Геометрические ассоциации в теории дифференциальных уравнений и физике
48. Эффект намагничивания
49. Векторные поля с нулевой дивергенцией
50. Удар
51. Теория колебаний, волновые процессы
52. График непрерывной, но не гладкой функции
53. Задача о вихрях
54. Движение частиц в электромагнитном поле
55. Случаи интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновой системы, описывающей движение нескольких вихрей
56. Пограничный слой
57. Картина обтекания шара набегающим потоком газа
58. Вибрация жидкости и форма капли
59. Сфера Пуассона
60. Качение и скольжение
V. Геометрические ассоциации в вариационном исчислении
62. Дискретные группы, порожденные отражениями
63. Теорема Пуассона-Лапласа и принципы Плато
64. Площадь поверхности стремится к нулю, а «предел» поверхности совпадает со всем пространством
65. Полиэдры и матрицы инциденций
66. Орбита действия бесконечной группы
67. Двумерные полиэдры, матрицы инциденций, группы цепей
68. Градиентный спуск
69. Ориентируемость и неориентируемость многообразий
70. 2-адический соленоид
71. Гомотопия и отрыв капли от твердой поверхности
72. Пространственная задача многих тел в небесной механике
73, 74. Элементы топологии многообразий
VI. Геометрические ассоциации в алгоритмической и компьютерной геометрии
76. Теорема о фундаментальных группах четырехмерных многообразий
77. Интеграл Римана
78. Ряды Фурье
79. От хаоса к порядку
80. Неорганизованный хаос и геометрия
81. Гауссовы распределения. I
82. Гауссовы распределения. II
83. Вероятностные случайные процессы
84. Замечательные числа. I
85. Замечательные числа. II
86. Спайны двух трехмерных гиперболических компактных замкнутых многообразий наименьшей сложности
87. Геометрия и вероятность
88. Статистическая фантазия
89. Компьютерная геометрия в теории чисел
VII. Геометрические ассоциации в романе М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита»
92. Взгляд
93. Казнь Иешуа
94. Марк Крысобой
97. Казнь
98. «Тьма закрыла Ершалаим»
99. Левий Матвей
100. Мастер и Маргарита
101. Маргарита и зодиакальное созвездие Скорпиона
108. Ночной разговор
113. Доклад Афрания
117. Геометрическая фантазия
VIII. Геометрические ассоциации в общематематических концепциях
119. Геометрическая фантазия
120. Портрет Елены Кузьменко
121. Математическая бесконечность и ее реализация в геометрии и топологии
122. Антидюрер. Из цикла «Диалог с авторами XVI века»
123. Антибрейгель. Из цикла «Диалог с авторами XVI века»
124. Симплициальные пространства и клеточные пространства. Кристалл и жидкость
125. Музыкальный клуб «Топаз» механико-математического факультета МГУ
126. Портрет жены Татьяны
127. Геометрическая фантазия. Библейская легенда о начале страшного суда
128. Апокалипсис
129. Математическая бесконечность
130. Искушение святого Антония
131. Фанатики. Геометрическая фантазия
132. Пуп земли. Геометрическая фантазия
133. Топологическая фантазия на тему работы фотографа Stefan’a Arczynski: «Zdjecie do Plakatu: Pantomima Wrocławska»
134. Созвездие Девы
135. Распятие на Голгофе
136. Слова Юлия Цезаря перед смертью: «И ты, Брут...»
137. Неустойчивое равновесие
138. Атланты
139. Легенда о «Летучем Голландце»
IX
141. Конструирование сложных полиэдров из простых
142. Турбулентность
143. Топологические перестройки поверхностей уровня гладких функций на многообразиях
144. Топологические гомеоморфизмы
145. Аналитические функции и поверхности
146. Алгебраическая поверхность Куммера и ее особые точки
147. Особые точки векторных полей и пограничный слой при обтекании твердого тела в жидкости
Краткие сведения об авторе
Оглавление
Text
                    А  Ш  Фом  е  н  ко
 МАТЕМАТИКА
 иМИФ
 СКВОЗЬ  ПРИЗМУ
ГЕОМЕТРИИ
 Издательство
 Московского  университета
2001


УДК 51+008 ББК 22.1+71 Ф 76 Рецензент: проф. Ю.И. Манин ISBN 5-211-04504-1 © Фоменко А.Т., 2001 г.
Вместо предисловия Автокомментарий, которым снабжен каждый лист А. Т. Фоменко, избавляет меня от необходимости разбирать отдельные работы. Моя задача — указать общий для них контекст. Самый широкий контекст — несомненно цивилизация в культурологическом упо¬ треблении слова, когда это понятие противопоставляется не только природе, но и культуре. Цивилизация как образ жизни общества есть процесс, предполагающий со¬ вокупность высоко специализированных общественных действий, создающих сложные искусственные структуры, которые обречены на распад или окаменение, будучи из¬ влеченными из своей цивилизации. Основной материальной структурой цивилизации является Город. Он же в фило¬ софском плане является основной идеологемой, с которой соотносятся все проявления духовной жизни общества. Отношение к Городу может меняться в очень широких пределах. Утопические проекты голубых городов будущего могут сосуществовать с призывами вернуться к почвенным ценностям, но Город неизменно находится в цент¬ ре всех разнонаправленных тенденций развития цивилизации. Он питает индустрию, идеи прогресса и утопии, он же порождает исторический пессимизм, иррациональный милитаризм и темные мифы современности. Математика — это эзотерический язык цивилизации. Неоднократно отмечалось, что математика по своему существу тавтологична: внутренний смысл любого вы¬ числения или доказательства — сохранение истинности на всем пути от посылок до выводов: но тогда каждый шаг на этом пути — тавтология. Цивилизация тавтоло¬ гична, как математика. Ее творческий дух проявляется не столько в выборе пути по бесконечно ветвящемуся дереву тавтологий, сколько в выборе системы ценностей, которая определяет этот путь, или, скорее, отвергаемые пути. Листы Фоменко задают эту систему ценностей серией отрицаний, что обусловле¬ но вторым, суженным контекстом его творчества — цивилизацией двадцатого века. Вот возможное словесное чтение этой графики: тоталитаризм есть геометрия: свобода есть свобода бегства, а не бега: уход во внутреннюю свободу есть деформация тела и души. Христианство видится через систему призм, преломляющих изначальный образ, который уже невосстановим. Крест исполинских размеров — торжество тоталитар¬ ной геометрии, а распятая на нем душа — незначащее мгновение геометрической вечности. Рационализированный миф язычества и рационализированный миф хрис¬ тианства в графике и тексте Фоменко художественно равноправны: первый обладает, пожалуй, более высоким художественным потенциалом, ибо ближе к подсознанию. Распятия Фоменко проявляют изначальный парадокс христианства, давно замечен¬ ный на Востоке: такой крест нельзя любить и нельзя сделать символом чего бы то ни было человеческого. Геометрия (в техническом смысле этого слова — теория измерений и твердых тел) противостоит топологии как стена или крест противостоят живому телу. Гомеомор¬ физм изображается скрученной в пыточной камере плотью: сама камера вырастает до вселенских размеров: она не может быть ограничена даже стенами. Стены у Фоменко ничего не ограничивают и ничего не разделяют: если приглядеться — их пытают этим
существованием, так же как и людей. Реалистически изображена мука: все остальное лишь чудится измученному сознанию. Имеются многочисленные переклички между работами Фоменко с резко выявленными урбанистическими мотивами и так называ¬ емой “бумажной архитектурой”: они заслуживают отдельного рассмотрения. Дюрер изучал перспективу как дар искусству от просвещенного (просветленного) разума: Фоменко возвращает этот дар с серьезностью, которая могла бы показаться пародийной, если бы не была трагической. Его вариации не темы старых мастеров (например, высоко ценимая мною “Меланхолия”) — отчаянное усилие возобновить диалог с культурой, и в этом он повторяет судьбу всего искусства постиндустриальной эпохи. Геометрия правит перспективой, топология — деформацией. Деформация вообще есть старинный многофункциональный прием искусства. Олень в наскальной галерее великолепно деформирован бегом — разные части его тела увидены в разные моменты времени. Детский рисунок или ковчег Мемлинга деформирован прекрасным видением времени, для которого нет мгновения, а есть лишь длительность, равноправная с пространственной протяженностью. Фигуры Микеланджело деформированы напором божественной энергии, рвущейся изнутри всего сущего: фигура Босха — ухмылкой дьявола: фигуры Сальвадора Дали — тщательно спроектированным хаосом. Фоменко предлагает читателю на выбор два способа рационализации искажен¬ ного мира: посредством математики или мифологии, т.е. смыкает вершины рацио¬ нального размышления с глубинами архаического и бессознательного. В этом сопо¬ ставлении есть глубокая и поучительная ирония: невозможность выбора заставляет признать его ненужность, отождествить крайности и взглянуть со стороны на спо¬ койное существование бытового рассудка. Если в Гамлетовском безумии есть своя система, то и во всякой системе есть свое безумие: способы, которыми Фоменко это демонстрирует, доходят до изощренности в комментарии к листу 53: сообщение о том, что узор игральных камней на стене изображает десятичное разложение “пи”, но од¬ на из цифр сознательно изменена. Недоступность истины, сопровождаемая сознанием искаженности ее передачи — слишком хорошо знакомое моим современникам чувство: здесь оно усугубляется внезапным пониманием, что истина и не нужна. Со всем тем я не хочу сказать, что нам и художнику следует искать утраченный рай гармонии. Дело художника — честность и умение. Тогда он становится одним голосом в большом хоре времени, музыка для которого пишется неведомо кем. Ю. И. Мании Манин Юрий Иванович: член-корреспондент РАН, действительный член многих иностранных академий, включая Академию Наук Ватикана, директор Математичес¬ кого института им. Макса Планка (Бонн, Германия), главный научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова (РАН, Москва), лауреат премии Мос¬ ковского математического общества (1963), лауреат Ленинской премии за работы по алгебраической геометрии (1967), лауреат международной золотой медали Брауера за работы по теории чисел (1987), лауреат международной премии Фредерика Ессера Неммерса (1994).
Посвящается моим родителям Валентине Поликарповне и Тимофею Григорьевичу Фоменко
ВВЕДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ И АССОЦИАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современ¬ ных математических исследованиях, особенно связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, по¬ священных сложным вопросам, например в многомерной геометрии, в вариационном исчислении, активно используется «наглядный жаргон», выработавшийся при иссле¬ довании двумерных и трехмерных образов. Что-то вроде «разрежем поверхность», «склеим листы поверхности», «приклеим цилиндр», «вывернем сферу наизнанку», «присоединим ручку» и проч. Такая на первый взгляд «ненаучная» терминология — отнюдь не прихоть математиков. Скорее, «производственная необходимость». Мате¬ матическое мышление довольно часто вынуждено опираться на неформальные обра¬ зы, поскольку это необходимо при поиске доказательств многих технически трудных результатов. Бывает так, что доказательство строгого математического факта уда¬ ется сначала «разглядеть» лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить его как аккуратное логическое рассуждение. У каждого профессионального математика со временем вырабатываются свои представления о внутренней геометрии известного ему математического мира, а так¬ же о наглядных образах, с которыми у него ассоциируются абстрактные понятия из алгебры, теории чисел, математического анализа. Оказывается, и это чрезвычайно интересно, что у разных математиков одни и те же абстракции часто рождают очень похожие (иногда практически тождественные!) геометрические представления, при¬ чем эти образы «реально существуют», проявляясь в общении математиков и помогая им лучше понять друг друга. Графический материал, предлагаемый читателю, — это попытка «сфотографировать изнутри» своеобразный мир современной математики. Все рисунки либо основаны на конкретных математических конструкциях, идеях, те¬ оремах, либо изображают реальные объекты и процессы, либо отражают абстрактные понятия, например бесконечность, непрерывность, гомеоморфизм, гомотопию. В настоящей книге собраны работы, выполненные автором в разные годы (боль¬ шей частью в 1967-1983 гг.). Автор многие годы читает в МГУ обязательный курс «Дифференциальная геометрия и топология», а также специальные курсы по совре¬ менной геометрии и приложениям, поэтому по собственному опыту знает, как полезно иногда проиллюстрировать сложное математическое понятие неформальным рисун¬ ком. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие графические работы имеют утилитарный характер. Не следует думать, что они идеально соответствуют своим математическим «прототипам». Сюжет каждой работы построен на исключительно субъективных ассоциациях и передает лишь ав¬ торское видение математического «персонажа».
Надо отдавать себе отчет в объективных трудностях, возникающих на этом пу¬ ти. Невозможно (да и не нужно) идеально точно нарисовать на плоском листе бумаги объект, «живущий», скажем, в семимерном пространстве. Ведь мы привыкли лишь к трехмерным (и двумерным) образам. Поэтому «семимерный персонаж» поневоле искажается, будучи принудительно помещен в трехмерное пространство. Приходится жертвовать точностью в пользу наглядности. Многие работы выполнены в шутли¬ вом тоне. Внесение некоторой эмоциональности открывает большие возможности. По¬ этому автор не сдерживал себя, когда удавалось придать рисунку юмористический колорит. Кроме того, многие работы апеллируют скорее к эмоциям зрителя, чем к рациональной стороне его мышления. Возникла мысль — снабдить графические работы математическими и нематема¬ тическими комментариями. Почти все работы отражают «второй слой» информации. Речь идет о внематематических ассоциациях, возникавших у автора в процессе ра¬ боты. Они эмоционально разнообразны: то это шутка и желание увидеть в «сфере с пятью ручками» забавное необычное существо, то гротеск, неожиданно искажаю¬ щий привычные пропорции и масштабы, заставляющий подивиться совсем обычным вещам, то это воспоминания о средневековых мифах. Чтобы не загромождать ком¬ ментарии, ссылки на источники, содержащие те или иные мифы, в книге опущены. Приводя фрагменты мифов, автор устраняется от их оценки. Миф интересен тем, что отражает представления наших предков. Конечно, сегодня многие из легенд представ¬ ляют только литературный интерес. Некоторые рисунки помогут читателю освежить в памяти страницы замечательного романа М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита». Но подобная корреляция рисунков с литературным текстом — всего лишь одна из возможных интерпретаций. Читатели могут увидеть здесь нечто совсем иное. Не¬ сколько слов о предыдущих публикациях и выставках этих работ. Первым опытом автора в области графической визуализации сложных современных математических понятий были иллюстрации к книге Д. Б. Фукса, А. Т. Фоменко, В. Л. Гутенмахера «Гомотопическая топология» (Изд-во МГУ, 1967-1969). Она пользовалась большой популярностью среди математиков — определенную роль в этом сыграли и иллюст¬ рации, вошедшие затем в расширенном варианте (около 40) в большую моногра¬ фию А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукса «Курс гомотопической топологии» (М.: Наука, 1989). В 1990 г. Американское математическое общество издало книгу-альбом А. Т. Fomenko «Mathematical Impressions», включающую 84 рисунка (23 из которых выполнены в цвете), снабженных математическими комментариями. Следующим шагом мож¬ но считать книгу автора «Наглядная геометрия и топология» (Изд-во МГУ, 1993). В 1994 г. она была переведена на английский язык издательством Springer. Ряд ра¬ бот был опубликован в книгах других математиков по их просьбе. Назову здесь лишь некоторые: 1) прекрасные монографии американского математика Н. Коблитца «А Course in Number Theory and Cryptography», «Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms», «Р-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions» (Springer- Verlag); 2) книгу выдающегося российского математика, члена-корреспондента РАН А. Н. Ширяева «Probability» (Springer-Verlag); 3) совместную книгу французского математика Жакода и Ширяева «Limit Theorems for Stochastic Processes» (Springer-Verlag); 4) совместную книгу известных математиков В. В. Калашникова (Россия) и С.Т.Рачева (Болгария) «Математические методы построения стохастических моде¬ лей обслуживания» (М.: Наука, 1988);
5) пользующуюся большой популярностью книгу российских математиков Ю. Г.Борисовича, Н. М.Близнякова, Я. А.Израилевича и А. Т. Фоменко «Введение в топологию» (М.: Высшая школа, 1980; Мир, 1985; Наука, 1995; перевод на английс¬ кий язык — голландское изд-во Kluwer, 1995; перевод на китайский — Пекин, 1992); 6) уникальную книгу болгарского математика И. Стоянова «Counterexamples in Probability» (John Wiley & Sons, 1987, 1997). Кроме того, довольно много графических работ было опубликовано в разные годы в периодической печати, в частности в газетах «Советская культура», «Комсомоль¬ ская правда», «Социалистическая индустрия», «Московские новости», «Вечерний клуб», в журналах «Наука и жизнь», «Техника и наука», «Химия и жизнь», «На¬ ука и религия», «Техника — молодежи», «Культура и жизнь», «Квант», «Советская жизнь», в ежегоднике «Наука и человечество». Много публикаций появилось так¬ же в зарубежной специальной и научно-популярной прессе, например в американском журнале «The Mathematical Intelligencer». Работы демонстрировались на выставках, организованных в разные годы, в ос¬ новном на общественных началах, по просьбам зрителей в научных, учебных, про¬ изводственных центрах Москвы, Ленинграда, Киева, Новосибирска, Свердловска и других городов. Официальные персональные выставки автора проходили в художе¬ ственных музеях Челябинска, Магнитогорска, Магадана. Голландское издательство Reidel (ныне Kluwer) организовало персональную выставку в Амстердаме. Кроме пе¬ речисленных персональных (а всего их насчитывается около 100), работы участво¬ вали в известных всесоюзных и международных выставках «Ученые рисуют» (1982) и «Время-пространство-человек» (1980), экспонировавшихся во многих городах на¬ шей страны и за рубежом. На киностудии «Союзмультфильм» в 1988 г. режиссером В. И. Тарасовым был создан с использованием работ автора получасовой мультфильм «Перевал» по повести К. Булычева. Довольно много работ было использовано в двух¬ серийном телефильме Т. А. Лебедевой «Мир и война» (ЦТ). Определенный интерес читателей и зрителей к перечисленным публикациям и выставкам дает автору сме¬ лость осуществить издание настоящего альбома. Ввиду отсутствия специального художественного образования автор не ограничи¬ вал себя рамками какого-либо одного жанра. Возможно, определенное влияние оказали любимые художники: Босх, Брейгель, Дали, Эшер, Беклин, Дюрер, хотя сознательно¬ го подражания им никогда не было. Все рисунки выполнены от руки, без использова¬ ния компьютерной графики. Работы сгруппированы по темам, указанным в названиях параграфов. Комментарии устроены тая: сначала идет математический слой, затем — внематематические ассоциации. Альбом ни в коей мере не является математической книгой, поэтому читатель, желающий узнать математические подробности, может обратиться к специальным учебникам или монографиям, в том числе и к математи¬ ческим книгам автора (см. библиографию). Автор благодарит Н. С. Моисеенко, изготовившего прекрасные контактные круп¬ ноформатные фотонегативы, необходимые для точного воспроизведения работ.
I ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в ТОПОЛОГИИ
1 РОГАТАЯ СФЕРА (СФЕРА АЛЕКСАНДЕРА) Математика «Рогатая сфера», или «сфера Александера» — объект, хорошо известный в трех¬ мерной топологии и в топологии многообразий. Он позволяет продемонстрировать важный факт теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово про¬ странство. Известно, что двумерная сфера, гладко вложенная в трехмерное евклидо¬ во пространство, разбивает его на две открытые области, одна из них гомеоморфна трехмерному шару, другая — дополнению к этому шару в пространстве. Области односвязны, т.е. любой непрерывный замкнутый путь (петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку. Интуитивно кажется очевидным, что односвязность областей справедлива и для топологических (непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово простран¬ ство. Такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. Однако здесь интуиция нас об¬ манывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены су¬ щественно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких («диких») вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским. Такое вложение строится по¬ этапно и является «пределом» (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому локально плоских) вложений. Нужно «зацепить пальцы рук», так чтобы они не касались друг друга. Далее из «конца каждого пальца» вырастают два новых и также зацепляются, не касаясь друг друга, и т.д. На каждом шаге число пальцев удваивается и вложение усложняется. «Переходя к пределу», мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оказывается, оно не является локально плоским в бесконечном числе точек. Заме¬ чательно, что получившаяся «рогатая сфера» разбивает трехмерное евклидово про¬ странство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая неодносвязна. Мифология В древности узлам (в частности, заузливанию пальцев и т. п.) придавался глу¬ бокий мистический смысл. С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног противодействуют свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, которые изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в маги¬ ческих и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывается, вероятно, на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове иди на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам (тоже важный топологический объект). Вероятно, поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец (Дж.Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»).
2 ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Математика Справа видны сферы — простейшие 2-многообразия. Слева, как листья гигант¬ ских папоротников, вырастают проективные плоскости. Наверху — тор, «бублик». На переднем плане — лист Мебиуса в виде «скрещенного колпака». Здесь же двумер¬ ные поверхности большого рода, т. е. сферы с большим числом ручек. А также две поверхности, не являющиеся многообразиями. Это сферы с тремя отождествленными точками. Получается нечто похожее на морское животное. Легко убедиться, что скре¬ щенный колпак в действительности представляет собой лист Мебиуса. Он расположен в пространстве так, что его граница стала плоской окружностью. Проективная плоскость получается склейкой диска с листом Мебиуса по их общей границе. Поэтому «папоротник» связан как с листом Мебиуса, так и с проективной плоскостью. Проективную плоскость нельзя вложить в R без самопересечений. Однако самопересечения можно устранить, «выйдя» в четырехмерное пространство. Мифология Нельзя не отметить испуг путешественника, случайно оказавшегося в этом диком зоопарке. Древние считали, что все объекты окружающего нас мира имеют душу (камни, реки, растения). Однако увидеть это могут далеко не все.
3 ЛОКАЛЬНО ГОМОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО Математика Изображено двумерное топологическое пространство (бесконечный полиэдр), все группы гомологий которого тривиальны, т. е. равны нулю. Это означает, что любой цикл, расположенный в пространстве, можно затянуть пленкой, т. е. представить в виде границы некоторой «поверхности» на единицу большей размерности. В теории гомологий цикл, являющийся границей некоторой «пленки», считается тривиальным. Группы гомологий — важные топологические инварианты пространств, естествен¬ но появляющиеся во многих вопросах геометрии, механики, математической физики. Цикл можно наглядно представлять себе как «поверхность» без границы. Изображенный полиэдр содержит две замечательные точки. Одна из них видна в левом нижнем углу, а другая отнесена в бесконечность. Каждая из точек замечательна тем, что любая ее открытая окрестность, не совпадающая со всем полиэдром, име¬ ет нетривиальную (т. е. отличную от нуля) группу одномерных гомологий. Полиэдр склеен из бесконечного числа «раковин», каждая из которых изображается колпаком, верхушка которого приклеена в одной точке к основанию колпака. Если разрезать полиэдр в любом месте, то обязательно разрежется по крайней мере одна раковина. В результате в колпаке появится дырка. Она и является нетривиальным одномер¬ ным циклом, который нельзя затянуть пленкой, целиком лежащей внутри отрезанной части полиэдра. Полиэдр сконструирован так. Отверстие каждой раковины заклеено «завитком» следующей раковины. Именно этим объясняется описанное свойство полиэдра. При приближении к особым точкам полиэдра раковины уменьшаются. Мифология В средние века кое-где существовал запрет на ношение колец и узлов. Некото¬ рые народы, например индусы, находили замечательный выход. На руку надевали браслеты в виде незамкнутых спиралей: и не кольцо, и не узел, и красиво. Полине¬ зийский жрец во время праздника иногда выходил со змеей, обвившейся вокруг руки по спирали.
4 РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Математика Расслоение — одно из важнейших понятий современной топологии. Расслоенное пространство представляется в виде объединения слоев, т. е. таких подпространств, которые «похожи друг на друга». Например, гомеоморфны какому-то одному фиксиро¬ ванному пространству. Далее, они должны быть «параметризованы» точками другого пространства, называемого базой расслоения. Поэтому расслоение можно «спроекти¬ ровать» на базу. На рисунке слои изображены в виде повторяющихся человеческих фигур. Слои могут быть устроены чрезвычайно сложно. Расслоение называется ло¬ кально тривиальным, если прообраз любого достаточно малого «шара» базы (при проекции) является прямым произведением «шара» на слой. Мифология Изображена одна из йогических поз, предназначенная для уравновешивания ду¬ ха и сосредоточения. Средневековая легенда о Големе — оживляемом магическими средствами глиняном великане-роботе. Считали, что можно вылепить из глины фи¬ гуру десятилетнего ребенка и оживить ее специальным заклинанием. Фигура быстро растет, достигает исполинского размера и нечеловеческой мощи. Она послушно ис¬ полняет порученную ей работу. Впрочем, если произнести неправильное заклинание, чудовище может выйти из-под контроля и уничтожить своего создателя. Легенды считают создателем Голема раввина Лёва (XVI-XVIIbb.).
5 ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ЗООПАРК Математика Изображены некоторые интересные двумерные полиэдры, возникающие в топо¬ логии, геометрии, теории минимальных поверхностей и позволяющие наглядно про¬ демонстрировать нетривиальные математические, теоремы. Справа вверху зритель видит юмористическую сценку. «Оживший полиэдр» раз¬ валивается на составные части — раковины (скорпионы). Изогнутый к голове хвост «скорпиона» наглядно моделирует конструкцию полиэдра. Хорошо видно, как именно нужно склеивать «раковины», чтобы восстановить весь полиэдр. Показано выворачивание наизнанку двумерного тора, в котором проделана дырка (т.е. вырезан маленький диск). Оказывается, если вывернуть такой продырявленный тор наизнанку (при помощи гомеоморфизма в трехмерном пространстве), то в резуль¬ тате снова получится тор с дыркой. Однако при этом параллель и меридиан начально¬ го тора поменяются местами. Другими словами, внутренняя поверхность тора станет внешней, а внешняя — внутренней. Слева внизу (в тени колонны) лежит «ожерелье Антуана» — известный объект в общей топологии. Рядом (на освещенной площадке) — минимальная поверхность (мыльная пленка). Ее границей является окружность, обладающая тем замечатель¬ ным свойством, что пленка может быть непрерывно отображена на свою границу и при этом граница останется неподвижной. Этот пример Дж. Ф. Адамса удивителен тем, что двумерная поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затя¬ гивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Видно, что эта минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мебиуса с так называемым тройным листом Мебиуса. В центре зала показан 2-адический соленоид — топологический объект, подробнее о котором будет рассказано далее. Мифология Любопытен медвежий праздник, устраиваемый айнами — ныне народностью ост¬ рова Иезо, а прежде острова Сахалин. Айны, хотя и убивали медведя при первой возможности, при разделке туши старались умиротворить божество, представителя которого они убили, с помощью целой системы просительных обрядов. Они усажива¬ лись вокруг зверя, кланялись ему, дарили подарки. Если медведь попал в ловушку и поранился, охотники справляли искупительный обряд. Многие айны гордятся тем, что происходят от медведя. Три жреца наблюдают за правильностью исполнения обрядов.
6 ТЕОРЕМА О СИМПЛИЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ Математика Эта теорема играет важную роль в топологии, поскольку позволяет путем непре¬ рывной деформации превращать любое непрерывное (а потому, быть может, очень сложное) отображение полиэдров в симплициальное отображение, устроенное ло¬ кально довольно просто. Изображен один из центральных моментов доказательст¬ ва этой теоремы. Идея состоит в том, что сначала достаточно малым шевелением в пространстве-образе очищается небольшая область, например внутренность какого- то малого шара. Затем отображение деформируется так, что образы симплексов «выдавливаются» в подполиэдр, образованный симплексами такой же или меньших размерностей. Аналогичная идея используется и в доказательстве теоремы о клеточной аппрок¬ симации произвольного непрерывного отображения полиэдров. Мифология Широко распространен мотив похищения драконом девушки и последующего освобождения ее неустрашимым героем, побеждающим чудовище и вознаграждаемым любовью пленницы. Миф обычно рассказывал о драконе, требовавшем девушек в ка¬ честве ежегодной дани. Мотив сражения героя-змееборца со змеем получил широкое распространение в фольклоре, средневековой литературе. Наиболее ярко он воплотил¬ ся в легендах о святом Георгии. Дракон часто представал многоголовым чудовищем, принимающим разные образы, чаще всего в них присутствовал мотив огня и воды. Особую популярность миф приобретает после эпохи крестовых походов.
7 ВЫВОРАЧИВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ СФЕРЫ НАИЗНАНКУ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Математика Иллюстрируется известная теорема двумерной топологии — выворачивание сфе¬ ры наизнанку. Под выворачиванием здесь понимается гладкая деформация двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве, во время которой не возникает углов, изломов (т. е. точек, где производная не определена или бесконечна). Однако самопе¬ ресечения поверхности допускаются. Оказывается, существует гладкая деформация, меняющая местами наружную и внутреннюю поверхности сферы. Эта деформация довольно сложна, и нарисовать ее последовательные этапы не так-то просто. Мы по¬ казали лишь один из них, отвечающий середине процесса. Мифология Человеческая фигура изображает здесь появление самопересечений сферы при ее деформации. Эта поза хорошо известна в системе йогических упражнений. Она также способствует сосредоточению духа. Черная зеркальная поверхность, по которой начи¬ нает свое скольжение скульптура, присутствует в некоторых средневековых индий¬ ских мифах как средство защиты: опасный дух, увидев свое отражение, обращается в бегство. В средневековой Европе зеркала были окружены толстым слоем поверий и обычаев.
8 РАССЛОЕНИЕ ХОПФА И РАЗБИЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ Математика Расслоение Хопфа — это специальное отображение трехмерной сферы на дву¬ мерную. При этом прообразом любой точки 2-сферы является окружность, вложенная в 3-сферу. Расслоение1 Хопфа не является прямым произведением. Оно возникает во многих вопросах топологии, вариационного исчисления, в теории многообразий. Рас¬ слоение Хопфа тесно связано с разложением 3-сферы в сумму двух полноторий. Полноторие — это заполненный тор, «бублик». Возьмем два полнотория, и скле¬ им их границы посредством диффеоморфизма, отождествляющего параллель первого тора с меридианом второго и, наоборот, меридиан первого тора с параллелью вто¬ рого. Оказывается, получится трехмерная сфера. Эту склейку можно изобразить в трехмерном пространстве. Сначала нужно взять стандартно вложенное полноторие. Если считать, что пространство дополнено одной бесконечно удаленной точкой, то дополнение к первому полноторию будет вторым полноторием. Оно изображено как «шея» человеческой фигуры, вокруг которой обвивается змея. Человек-змея — одна из известных йогических поз. Мифология По космогоническим представлениям тибетцев мир нанизан на вертикальную ось. Это — некая гора. Небо вращается вокруг оси — ледяной горы Тисэ. Ее вершина про¬ ходит через центральное отверстие шатра, или неба. Сквозь это гигантское отверстие солнце, луна и звезды получают свет. В Восточном Тибете вселенную представляли в виде материка, плавающего в океане на спине черепахи или рыбы, придавленной огромной горой, осью вселенной. Иногда говорится о змее, которая обвивает ось мира и, извиваясь, вращает ее сокращениями своего тела.
9 ДЕЙСТВИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ НА ВЫСШИХ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ Математика Каждое топологическое пространство обладает гомотопическими инвариантами, среди которых важное место занимают гомотопические группы. Первая из них называ¬ ется фундаментальной группой. Ее элементы — это классы гомотопных путей. Пути считаются гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга. Элемент гомотопической группы представляется сфероидом, расположенным в про¬ странстве. Сфероид задается непрерывным отображением сферы. Фундаментальная группа естественно действует на высших гомотопических группах. Элемент фунда¬ ментальной группы изображается некоторой петлей. Затем из сфероида вырастает тонкая трубочка, скользящая вдоль петли и заканчивающаяся в ее начальной точке. Таким образом, каждый сфероид заменяется на новый сфероид. Это задает отобра¬ жение элементов гомотопической группы. Разные петли определяют, вообще говоря, разные отображения. Мифология Во многих древних легендах, сказках герой вынимает из своего тела душу и пря¬ чет ее в потайном месте, чтобы стать непобедимым и неуязвимым. Когда в Минагассе (остров Целебес) семья переселяется в новый дом (или целое племя меняет место жи¬ тельства), жрецы собирают души всех членов семьи (племени) в мешки и несут их с собой. При этом считается, что с первым временем пребывания в новых домах сопря¬ жена необычайная опасность. Переноска мешков с душами — ответственная операция, которая может быть доверена лишь людям, унаследовавшим это искусство от отцов и дедов.
10 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ОРБИТЫ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП Математика Во многих физических задачах большую роль играют группы симметрий. Они могут быть как дискретными, так и непрерывными. Например, на конфигурационном или фазовом пространстве может действовать группа Ли. Тогда пространство рассла¬ ивается на орбиты действия группы. Орбита — это множество точек, получающихся из одной точки при действии на нее всевозможными элементами группы преобразова¬ ний. Разные орбиты могут иметь разные размерности. Если на евклидовом простран¬ стве действует подгруппа группы ортогональных преобразований, то орбиты лежат в концентрических сферах. Если же группа содержит подгруппу трансляций, парал¬ лельных переносов, то ее орбиты могут содержать «прямолинейные образующие». Топологию расслоенного пространства часто изучают при помощи спектральных по¬ следовательностей. Мифология В индийской мифологии одна из шкал измерения «космического времени» опреде¬ лялась так. Где-то во мраке космоса висит гигантский куб, изготовленный из чистого алмаза. Раз в несколько тысяч лет прилетает ворон, садится на край куба, отдыхает и чистит о него свой клюв. Это повторяется несчетное число раз. Куб постепенно стачивается. То время, за которое ворон источит весь куб, и есть одна секунда в исчислении времени бога Брамы. Этот чудовищный временной масштаб отражает общую тенденцию средневековых авторов исчислять время, в котором живут боги, совсем по-другому, чем для обычных людей.
11 СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Математика В алгебраической топологии при вычислении групп гомологий и когомологий про¬ странств часто используется метод спектральных последовательностей. Для этого пространство стараются представить в виде расслоения, после чего алгебраическим путем вычисляют бесконечную последовательность таблиц. Каждая такая таблица называется членом спектральной последовательности. Таблицы связаны между собой дифференциальными операциями. С их помощью вычисляется некоторая «предельная таблица», которая и дает нам нужные сведения о гомологиях (когомологиях) рассло¬ енного пространства. На рисунке условно изображена структура таких таблиц. Они бесконечны и раз¬ биты на ячейки (клетки), в каждой из которых помещается некоторая группа. Геомет¬ рическая информация о пространстве расслоения перерабатывается в набор алгебра¬ ических фактов, характеризующих эти таблицы. Если расслоение является прямым произведением, то достаточно вычислить лишь первую таблицу. Остальные с ней сов¬ падают. Если же расслоение нетривиально, то последующие таблицы получаются из предыдущих более сложным образом. Мифология Практически у всех народов птицы выступают как непременный элемент божес¬ твенной сути. На мировом дереве (древе жизни) птица занимает место на вершине. Чаще всего это орел. Обычно птица соотносится с громовержцем: Зевсом, Юпитером, Индрой. Иногда орел или ворон выступают как творцы вселенной. Образ птицы по¬ родил фантастические создания в мифологии: птица Гаруда у индийцев, птица Рух у арабов, жар-птица на Руси и т. д. На мировом дереве птица противопоставляется «нижним животным», в первую очередь змее.
12 КОСЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ Математика Рассмотрим в трехмерном пространстве две параллельные плоскости и в каждой из них отметим конечное множество точек. Пусть эти два множества устроены так, что они совмещаются (отождествляются) при параллельном перемещении плоскостей и наложении их друг на друга. Предположим теперь, что при параллельном перено¬ се первой плоскости (до совпадения со второй) точки первого множества начинают двигаться в этой скользящей плоскости каким-то произвольным образом, лишь бы никакие две точки не совпадали. Предположим, что в тот момент, когда первая плос¬ кость совместится со второй, эти перемещающиеся точки попадут как раз в точки второго множества, отмеченного ранее на второй плоскости. Рассмотрим траектории, прочерченные в пространстве точками первого множества. Эта система непересека- ющихся линий называется косой. Например, траектории, прочерчиваемые корнями полинома при его деформации в классе полиномов без кратных корней, также тесно связаны с косами. Мифология Мировой океан выступает как одно из основных воплощений хаоса (и связанных с ним чудовищ). Согласно шумерской космогонии вначале все мировое пространство заполнял океан без начала и конца. В его недрах таилась праматерь Намму, в чреве которой возникла космическая гора, ставшая впоследствии землей, поднявшейся из океана. Мотив одинокой горы, появляющейся из пучины бесконечных вод, встреча¬ ется во многих мифах. В нганасанском мифе творения сначала вся земля покрыта водой, потом вода спадает и обнажает острую вершину шайтанского хребта, на кото¬ рую падают два первых человека — мужчина и женщина. Библия рассказывает, что после потопа из пучины наконец появилась одинокая гора, к которой и пристал Ноев ковчег. Шумерский миф утверждал, что дуга из блестящего олова, опоясывавшая го¬ ру, позднее стала небом. Вавилонская версия сообщала, что в первозданном кеане не было ничего, кроме двух страшных чудовищ — праотца Апсу и праматери Тиамат.
13 ОПЕРАЦИЯ РАЗРЕЗАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ Математика В топологии и геометрии часто используется разрезание многообразия вдоль какого-то подмногообразия. Если разрезается двумерная поверхность вдоль гладкой кривой, то получается поверхность с краем. Кривая порождает два берега разреза. Затем многообразие можно перестроить, приклеив к этим берегам другую поверх¬ ность (по какому-то отображению границы). Видно, как две человеческие фигуры раздвигают два берега получившегося разреза. Мифология Древняя обсерватория. Прообразы современных обсерваторий сегодня находят во многих древних культурных центрах. Здесь представлена одна из них. Жрецы раз¬ двигают купол, чтобы начать наблюдения над ночным светилом. Исследование и тол¬ кование движения ярких планет составляли важнейшую часть астрологии, из которой выросла астрономия. Чрезвычайно распространенным мотивом является представле¬ ние о людях, переместившихся на небо и ставших там звездами или созвездиями. Так объясняется происхождение большого числа созвездий и многих звезд в греческой мифологии. В кельтской системе мира и легендах селькупов (одного из самодийских народов) звезды считаются корнями деревьев, растущих на «верхнем небе». В Евра¬ зии был распространен мотив звезды (или созвездия) как собаки, посаженной на цепь и стремящейся сорваться с нее, что представляет опасность для всего мироздания.
ц АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ Математика Для вычисления групп гомологий — топологических инвариантов полиэдров — требуется предварительно разбить полиэдр на объединение «элементарных кусков», например симплексов. Идея выделения внутри исследуемого пространства таких прос¬ тейших «блочных» структур и проиллюстрирована рисунком. Затем наступает алгеб¬ раический этап. При изучении примыкания друг к другу таких «блоков» вычисляются группы цепей с граничным оператором, что позволяет в итоге вычислить искомые ин¬ варианты. Мифология Ночной суд, военный трибунал, показательный процесс. Жрецы согнали народ наблюдать за процедурой. Легенда о последнем суде, который состоится в «конце времен». Его будет вершить вернувшийся Иисус. Каждый человек (из всех когда- либо живших) получит сообразно своим делам либо райское блаженство, либо вечное наказание в аду. Каждую душу призовут на суд. Ее дела (добрые и злые) будут взвешены на весах перед лицом Бога. Праведники, приветствуемые ангелами, подни¬ мутся в рай, а грешников бесы отправят в ад. Этот сюжет постоянно разрабатывался в христианских иконах и светской живописи (И. Босх и др.).
15 ГОМЕОМОРФИЗМ Математика Гомеоморфизм — одно из важнейших понятий топологии. Это взаимно однознач¬ ное непрерывное в обе стороны отображение (соответствие). Наглядно его можно представлять как деформацию объектов, «сделанных из резины». При этом запреще¬ ны «разрывы» и «склейки». Настоящая графическая работа иллюстрирует понятие гомеоморфизма. Изображены две человеческие фигуры, слегка напоминающие ком¬ позицию в центре известной картины Рембрандта «Возвращение блудного сына». Однако этот классический образ угадывается далеко не сразу, поскольку компози¬ ция подвергнута гомеоморфизму, исказившему первоначальную картину практичес¬ ки до неузнаваемости. В этом важное свойство гомеоморфизма — менять метрические (и, следовательно, легкоузнаваемые) свойства объекта, но сохранять его топологичес¬ кие (не столь легкораспознаваемые) свойства. На заднем плане видны оснащенные окружности, т. е. окружности, снабженные семейством нормальных реперов. Мифология Миф о близнецах — брате и сестре, вступающих в кровосмесительный брак (ча¬ ще всего в результате уговоров сестры), — был широко распространен в древности. Например, египетский миф об Осирисе и Изиде, древнеиндийский миф о Яме и его сестре-близнеце Ями и т. д. Иногда этот брак начинается еще во чреве матери. Древнейшая точка зрения усматривала родство между животными и близнецами. Нивхи (на Сахалине) хоронили мать близнецов в медвежьей клетке, а о самих близ¬ нецах говорили как о «зверях». Обряд убийства близнецов после их рождения был широко распространен в древности (сами близнецы и их родители считались опас¬ ными). Обычай отделения родителей близнецов от всего племени известен у многих народов Африки. Близнецы и их мать считались существами, соприкоснувшимися со сверхъестественной силой и ставшими ее носителями. Английский исследователь Р. Харрис выдвинул гипотезу, что страх, который некогда внушали близнецы, со¬ гласуется с данными приматологии, указывающими на наличие у приматов тех же основных черт поведения по отношению к двойне. Мать двойни держится поодаль от обезьяньего стада, ее отгоняет в сторону вожак. Широко были распространены мифы о посягательстве близнецов на жизнь родителей.
16 ГОМЕОМОРФИЗМ, ДОСТАТОЧНО БЛИЗКИЙ К ТОЖДЕСТВЕННОМУ Математика Развивается тема работы 4. В данном случае гомеоморфизму подвергнута голова человека. Условно можно представлять себе гомеоморфизм как деформацию «рези¬ новых фигур» без разрывов и склеек. Поскольку в данном случае мы все еще легко распознаем человеческую фигуру, можно считать, что примененный к ней гомеомор¬ физм достаточно близок к тождественному преобразованию. Мифология Проклятие Альбериха. Скандинавские мифы. Гном Альберих проклинает утра¬ ченное им золотое кольцо, предрекая гибель всякому, кто завладеет им. В немецкой «Песне о Нибелунгах» Нибелунги фигурируют как первоначальные обладатели зо¬ лотого клада, которым завладел Зигфрид. С этой версией связано предание о золо¬ том кладе карлика Андвари. Клад включал золотое кольцо, обладавшее волшебным свойством умножать богатства. Но Андвари наложил на него проклятие: всякий, кто завладеет кольцом, погибнет. Кольцо поочередно переходит к разным героям и всем им несет смерть. Широко известна тетралогия Р. Вагнера «Кольцо Нибелунга», осно¬ ванная на скандинавской версии мифа. Роковое кольцо, совершив круг, возвращается к Альбериху, который уже не в силах остановить действие собственного проклятия и гибнет вслед за другими владельцами кольца.
17 РАЗВЕРТКА ТРИАНГУЛЯЦИИ ШАРА Математика Трехмерный шар можно триангулировать (разбить на симплексы) таким обра¬ зом, чтобы каждый симплекс имел ровно одну свою грань (т. е. треугольник) на гра¬ нице шара, а противоположную ей вершину имел бы в центре шара. Такое разбиение шара получается, если заранее триангулирована его граница (т. е. граничная сфера). Если потом развернуть эту триангуляцию, то получится картина, изображенная на рисунке. Мифология Легенда о древнем боге Прометее. Прометей сошел на землю и подарил людям огонь, за что был жестоко наказан Зевсом. Прометея приковали к скале в горах Кав¬ каза (в пределах Скифии), и каждый день орел прилетал и терзал его печень. За ночь рана заживала, а днем орел прилетал вновь... Аргонавты, проплывая вблизи Кавказа, услышали стоны Прометея, прикованного в горах. Однако Прометей знает древнюю тайну: если Зевс женится на богине Фетиде, то родившийся сын свергнет его. Незнание будущего страшит Зевса, и он освобождает Прометея в обмен на информацию о содержании тайны. Указание Зевса реализует Геракл на пути к своему одиннадцатому подвигу: Прометей освобожден за поколение до Троянской войны. В Афинской академии был жертвенник Прометея. От него начи¬ нался бег с зажженными факелами. Огонь нужно было тщательно оберегать. Миф о Прометее — один из самых значительных в мифологии Греции.
18 «ТЕОРЕМА О МОСТОВЫХ» Математика Это теорема из теории топологической размерности (Лебег, Брауэр). Она утверж¬ дает, что двумерный полиэдр можно замостить замкнутыми множествами, пересека¬ ющимися не более чем по три, т. е. что пересечений по четыре можно избежать. Из¬ ображено одно из таких «замощений», где каждая точка покрыта не более чем тремя «кирпичами». Мифология Зевс, рассердившись на род человеческий, послал потоп и уничтожил людей. Но единственная оставшаяся в живых человеческая пара — Девкалион и Пирра — сотво¬ рили новое человечество: они бросали себе за спину камни, и каждый камень превра¬ щался в человека. Легенда связана с мифом о Прометее. Дело в том, что Девкалион — сын Прометея. Прометей здесь выступает в роли благодетеля человечества.
19 НЕТРИВИАЛЬНЫЙ УЗЕЛ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Математика Показан конкретный узел в трехмерном евклидовом пространстве, отличный от тривиального. Узел называется тривиальным, если его можно продеформировать при помощи изотопии (т. е. гладко и без самопересечений) в стандартную окружность, вложенную в плоскость. В противном случае узел называется нетривиальным. Теория узлов — одна из интереснейших и самых сложных областей топологии. Некоторые теоремы теории узлов находят применение в химии (где узлы образованы длинными полимерными цепями), в биологии и т. п. Как узнать, тривиален или нет какой-либо конкретный узел? Например, изобра¬ женный автором. Ответ на вопросы такого типа — одна из центральных тем теории узлов. Существует алгоритм (к сожалению, сложный), позволяющий в принципе выяс¬ нить тривиальность или нетривиальность любого конкретного узла. В некоторых слу¬ чаях нетривиальность узла можно доказать достаточно просто. Для этой цели ищутся (и найдены) частичные инварианты узлов, вычисление которых довольно часто поз¬ воляет установить нетривиальность узла. Читатель может попытаться доказать, что изображенный нами узел действительно нетривиален. Мифология Среди многих табу, соблюдавшихся римскими жрецами, был запрет иметь на одежде хотя бы один узел и запрет носить кольца. То же самое запрещалось мусуль¬ манским паломникам в Мекке. Многие народы имели глубокое предубеждение против завязывания узлов на одежде в определенные критические моменты (при родах, брако¬ сочетании, погребении). Плиний утверждал, что сидеть со сложенными руками рядом с беременной женщиной или больным, — значит причинять им вред. Еще хуже, если вы обнимаете ногу сложенными руками или кладете ногу на ногу. Древние римляне считали подобные позы помехой во всякого рода делах: в военном совете, на собраниях магистратов и т. п. никому не разрешалось скрещивать ноги и сплетать руки. В то же время развязывание узлов приносит больному облегчение.
20 ГОМЕОМОРФИЗМЫ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Математика Изображены разнообразные гомеоморфизмы, которым подвергается обычная че¬ ловеческая фигура. Наглядно видно, что при этом все метрические соотношения раз¬ рушаются (меняются расстояния между точками, меняются углы), однако в целом фигура «узнаваема», так как остаются инвариантными ее топологические характе¬ ристики. Мифология Согласно древней магии, «подобное производит подобное». Эта идеология нашла применение в китайском веровании, будто на судьбу городов глубокое влияние ока¬ зывает их форма. Древний город Цынчэ-фу, очертания которого напоминали карпа, часто становился жертвой нашествий жителей соседнего города Юнчунь, похожего по форме на рыболовную сеть. Это продолжалось до тех пор, пока жителям Цынчэ- фу не пришла в голову счастливая мысль — возвести в центре два высоких храма. Они оказали самое благое влияние на судьбу города, «не позволяя» воображаемой се¬ ти опуститься и запутать воображаемого карпа (Дж. Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»). О влиянии формы города на его судьбу говорит и европейская средневековая астрология.
21 ГОМОТОПИЯ И ВЯЗКАЯ жидкость Математика Иллюстрируется общая идея гомотопии — непрерывной деформации объекта, при которой разрешены «склейки», но запрещены «разрывы». Удачным наглядным обра¬ зом является деформация тяжелой вязкой жидкости., вытекающей из какого-то сосуда (на рисунке эта жидкость выливается из отверстий в небосводе). Те свойства объек¬ тов, которые сохраняются при гомотопиях, называются гомотопически инвариантны¬ ми свойствами. Мифология Начало всемирного потопа. Легенды о великом потопе, в котором погибло поч¬ ти все человечество, известны во многих религиях. Согласно одной из средневековых версий, Бог дал человечеству недельный срок, чтобы оно раскаялось. В продолже¬ ние этого срока солнце каждое утро всходило на западе и каждый вечер заходило на востоке. Но ничто не могло привести к раскаянию нечестивцев, они продолжали издеваться над Ноем. Тогда Бог открыл в небе несколько отверстий, сдвинув звезды из созвездия Плеяд. Вода обрушилась на землю, из-под которой в свою очередь вы¬ ступили «нижние воды». Грешники числом около семисот тысяч человек собрались и окружили Ноев ковчег, умоляя взять их с собой. Ной отказался. Толпа пыталась взломать дверь ковчега, но дикие звери, охранявшие судно, напали на людей и многих сожрали. Остальные потонули в поднявшемся океане.
22-26 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА «О РАСЦЕПЛЕНИИ ЗАЦЕПЛЕННЫХ ПАЛЬЦЕВ» Математика Изображены этапы решения задачи наглядной топологии: как расцепить посред¬ ством гомеоморфизма человеческого тела пальцы рук, зацепленные как показано на рис. 22? Разрешаются произвольные непрерывные деформации фигуры (гомеоморфиз¬ мы) . Необходимая последовательность деформаций (изотопия) показана на рисунках. Впрочем, здесь следует отметить одну тонкость. Успешное решение задачи, пока¬ занное нами, возможно лишь в том случае, когда человек «обнажен по пояс». Если, например, у него на руке надеты часы, то в конце описанной деформации пальцы рук, конечно, расцепятся, однако «завяжется» ремешок часов. Мифология В арабском комментарии к словам Корана «кто похваляется узлами» говорится, что эти слова относятся к колдунам, завязывающим узлы на веревках. Оказывает¬ ся, некий злодей околдовал самого Мухаммеда, затянув на веревке девять узелков и спрятав ее в колодце. Пророк заболел, и кто знает, как обернулось бы дело, если бы архангел Гавриил вовремя не сообщил пророку о местонахождении веревки. Веревку вытащили, пророк прочитал над ней заклинания, причем при прочтении каждого сти¬ ха развязывали один узел. Когда зловещая веревка распуталась, пророк почувствовал облегчение. В то же время сеть со множеством завязанных на ней узлов считалась на Руси действенным средством против колдовства.
II ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в ТЕОРИИ МНОГООБРАЗИЙ
27 КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ Математика Изображено касательное расслоение к окружности с одной угловой точкой. Базой расслоения является окружность, вложенная в двумерную плоскость и имею¬ щая одну особую точку, где касательная к окружности не определена. Слои расслоения — это касательные. Касательное расслоение к окружности гомеоморфно двумерному цилиндру (каждую касательную можно развернуть и направить по нормали к окруж¬ ности, вложенной в плоскость). Этот процесс изображен условно: разные касательные повернулись на разные углы, одна из касательных «отстала» от остальных. Так как в особой точке касательная не определена, слои на модели «уменьшаются» по мере приближения к особой точке: окружность изображена в виде «капли», повисшей на особой точке. Чтобы не загромождать композицию, касательные к правой половине окружности не изображены. Мифология Древнегреческая легенда. Завоеватели захватили храм и, набрасывая веревоч¬ ные петли на расставленные вдоль стен храма огромные каменные статуи, стали сбрасывать их на землю. И вдруг одна из статуй заговорила. Перепуганные солдаты бросились врассыпную. Читатель может видеть эту рассеивающуюся толпу далеко внизу — у подножия пошатнувшейся статуи.
28 БИЛЬЯРДЫ И ЭРГОДИЧНОСТЬ Математика Задача о бильярде изучает, в частности, поведение идеального шара, движу¬ щегося внутри какой-то области и отражающегося от границы области (т. е. от ее «стенок») по правилу: «угол падения равен углу отражения». Характер движения шара зависит, конечно, от формы области. Особый интерес цредставляет исследова¬ ние «предельной картины», когда шар движется «бесконечно долго». В этом случае траектория шара начинает «заметать» данную область, покрывая ее все более услож¬ няющейся сеткой пересекающихся линий. Если фиксировать последовательные поло¬ жения катящегося шара через равные промежутки времени (скажем, через каждые 0,01 секунды), то область начнет «заполняться шарами». Автор изобразил (в виде черных шаров, пересекающих поле слева направо) последовательные положения ка¬ тящегося шара. При этом разные участки области будут заполняться шарами, вообще говоря, неравномерно. На переднем плане видно, что кое-где шары лежат достаточ¬ но плотно, а в некоторых областях их мало (вдали заполнение плоскости шарами кажется более или менее равномерным). Мифология Древняя усыпальница воинов. Воина, павшего в битве, клали в полном его боевом одеянии и вооружении на огромный каменный шар, который специально для этой цели вытачивали из монолита (мифы Атлантики). Никто и никогда потом не прикасался к телу. В результате эти шары покрыли гигантское горное плато, вход на которое был потом запрещен.
29 БИЛЬЯРД. КЛЕТОЧНЫЕ КОМПЛЕКСЫ Математика Развивается тема бильярда рис. 28. Кроме того, иллюстрируется идея склеивания клеточных комплексов из шаров различных размерностей. Мифология Однажды жрецы неправильно совершили ритуал поклонения богам, прилетев¬ шим в образе каменных шаров к храму. Разгневанные боги навсегда покинули страну. Каменные шары рухнули с неба на землю. Некоторые из них раскололись, и их об¬ ломки остались безмолвными памятниками среди пустыни, в которую превратилась некогда цветущая страна.
30 ВНУТРЕННИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ МНОГООБРАЗИЯ. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Математика Изображенные объекты поясняют различие между внутренними и граничными точками многообразия. Внутренние точки обладают окрестностью, гомеоморфной от¬ крытому евклидову шару, а граничные точки лежат на экваториальном сечении поло¬ винки такого шара. Объединение всех граничных точек дает границу многообразия. Склеивая шары и половинки шаров, мы получаем многообразие с краем. Шары, пред¬ лагаемые вниманию читателя, являются стандартными евклидовыми шарами, т. е. допускают ортогональную группу симметрий (вращений), переводящих шар в себя. Евклидов шар — это пример симметрического пространства. В то же время мно¬ гие геометрические объекты могут допускать литпь дискретную группу симметрий (а не непрерывную, как в случае шара). Половинка шара, которая видна на горизон¬ те, не инвариантна при вращениях вокруг оси, проходящей через центр экваториаль¬ ного сечения. Этому препятствует «скульптура», появившаяся на границе полушара (существо с поднятыми руками и шар на вершине колонны). Мифология Духи гор и скал. Согласно древнеиндийской мифологии весь мир, окружающий нас, одушевлен. Души могут переселяться в растения, животных, в камни и т.п. Но есть духи, которые постоянно живут в скалах и обладают особой мудростью (ср. с древней скандинавской богиней земли Эрдой). При этом время для них течет совсем по-другому: одна секунда в жизни скалы — это много тысяч лет для человечества. Поэтому камни понимают нашу жизнь, но мы не понимаем их.
31 ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ Математика Изображены различные поверхности, в каждой точке которых построен вектор, ортогональный поверхности. Нормали изображены в виде длинных острых «пиков», направленных в разные стороны. Параллельно перенося каждый из этих векторов так, что его начало оказывается в начале координат, мы получаем отображение поверх¬ ности на сферу. Это отображение называется гауссовым. Образ гауссова отображения может покрывать лишь часть сферы. Мифология Цари Западной Африки в древности ежегодно в марте совершали человеческое жертвоприношение для получения лучшего урожая. Для этой цели использовали кра¬ сивых девушек. Их специально воспитывали в царском гареме, и фетишеслужители оказывали на их умы столь сильное влияние, что девушки с радостью выходили на¬ встречу своей страшной судьбе. Праздник происходил в присутствии всего народа (Дж. Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»). Считалось, что ритуал имеет большое воспита¬ тельное значение, поэтому на нем обязательно присутствовали войска. После оконча¬ ния торжества титул богини переходил к следующей девушке ровно на один год.
32 КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА И МНОЖЕСТВА ЖУЛИА Математика Фракталы — это сложные множества, хаусдорфова размерность которых не яв¬ ляется целым числом. Они возникают, в частности, в теории итераций комплексных отображений плоскости на себя. Мифология Битва титанов с Зевсом. Титаны — боги первого поколения, рожденные землей Геей и небом Ураном. Затем началась борьба между титанами и олимпийцами, богами с Олимпа. Битва длилась десять лет, пока на помощь олимпийцу Зевсу не пришли сторукие боги. Титаны были побеждены, низвергнуты в тартар (подземное царство), где их вечными стражами стали сторукие. Титаны считались архаическими богами, олицетворявшими грубые, катастрофические силы в природе. Рука Зевса, протянутая с неба, низвергает последнего титана.
33 КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ Математика Бивни окаменевшего чудовища мамонта изображают трубчатые окрестности двух кривых в трехмерном пространстве. В каждой точке кривой определены два ее инварианта — кривизна и кручение. Для изображенных кривых оба этих инвари¬ анта отличны от нуля. В каждой точке поверхности определены гауссова и средняя кривизны. Оказывается, существует простая связь между инвариантами гладкой кри¬ вой и инвариантами двумерной границы ее трубчатой окрестности. В геометрии эта связь изучается так называемой теорией трубок. Мифология Скальный храм в честь бога-слона. Перед охотой охотники приходят к храму, прося простить их за будущие жертвы. Кафры Амакоса, прежде чем напасть на слона, криками просят у него прощения за убийство, которое они намереваются совершить. Они уверяют слона в своем почтении к нему и объясняют, что им нужны его бивни, чтобы сделать бусы и другие украшения. Убив слона, они зарывают в землю кусок его хобота и фигурки из слоновой кости. Таким путем они рассчитывают отвратить несчастье, которое иначе неминуемо обрушилось бы на них.
34 ПРОБЛЕМА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО РАСПОЗНАВАНИЯ СТАНДАРТНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ В КЛАССЕ ВСЕХ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Математика Одна из интересных проблем трехмерной топологии — задача эффективно¬ го и алгоритмического распознавания конкретного трехмерного многообразия (3- многообразия) в классе всех трехмерных многообразий. Например, для случая 3-сферы такая задача решена. Однако обнаруженные теоретические алгоритмы распознава¬ ния 3-сферы достаточно сложны и пока не доведены до эффективной реализации на компьютере. И это притом, что сфера — простейшее многообразие. Казалось бы, не¬ сложно ответить на вопрос, является какое-либо предложенное вам 3-многообразие сферой или нет. Однако при точной математической постановке задачи сразу ста¬ новится ясно, в чем причина трудностей. Дело в том, что алгоритм может работать лишь с «кодами многообразий». Но одно и то же многообразие (в том числе и 3-сфера) представляется бесконечным числом различных кодов, т. е. один и тот же объект мож¬ но закодировать по-разному. Как распознать, задает предъявленный компьютеру код стандартную сферу или нет? Мы сталкиваемся здесь с задачей алгоритмического распознавания кодов конкретного объекта среди множества всех других кодов. Труд¬ ность в том, что 3-сфера может «скрываться» под разными «личинами». Тем не менее теоретический алгоритм найден. Было бы интересно реализовать его на компьютере. Мифология Согласно средневековым воззрениям, во время сна душа может покидать тело и странствовать отдельно от него. Важная часть души и силы считалась заключенной в волосах. В Европе когда-то бытовало мнение, что злые чары ведьм и колдунов за¬ ключены в волосах, и, пока они не острижены, на эту нечисть нет никакой управы. Знаменитый инквизитор Шпренгер (один из авторов известной средневековой книги «Молот ведьм») приказывал перед началом дознания обривать голову подозреваемого. Его более ретивый коллега Куман, прежде чем послать на костер 47 женщин, сбрил им все волосы на теле (Дж.Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»). Самый простой способ из¬ бежать опасности, связанной со стрижкой, — не стричься совсем. К этому средству прибегали в тех случаях, когда считалось, что риск необычайно велик. Франкским королям вообще не разрешалось стричь волосы: они ходили нестриженными с рожде¬ ния. Состричь волосы означало отказаться от права на трон. Хлотарь и Хильдеберт, стремясь захватить трон, хитростью заманили к себе двух истинных наследников — сыновей умершего Хлодомера. Затем они послали в Париж к королеве Клотильде гон¬ ца с ножницами и мечом. Гонец поставил ее перед выбором: или он пострижет детей и они останутся жить, или их ждет смерть. Гордая королева выбрала второй вариант, и несчастные дети погибли.
35 ДВУМЕРНАЯ СФЕРА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ МОЖЕТ БЫТЬ ВЫВЕРНУТА НАИЗНАНКУ Математика Интуитивно ясно, что стандартную окружность, вложенную в плоскость, нельзя «вывернуть наизнанку» посредством гладкой гомотопии в классе погружений. Мож¬ но доказать, что при любой попытке выворачивания обязательно возникнут угловые, «плохие» точки, как результат стягивания бесконечно малых петель. В то же время двумерную сферу можно вывернуть наизнанку в трехмерном евклидовом простран¬ стве в классе гладких погружений, т. е. самопересечения сферы допускаются, однако изломы и нарушения гладкости запрещены. Изобразить выворачивание сферы доволь¬ но сложно. Известно несколько способов таких изображений, но все они достаточно нетривиальны. Один из них условно показан на рисунке. Мифология Храм змея-дракона. Легендарное существо как смесь разных животных: несколь¬ ко голов, туловище змеи, ящера, крокодила, крылья птицы. Иногда в состав тела входят части рыбы, пантеры, льва, козла, собаки, волка и др. Огнедышащий змей — наиболее распространенный мифологический образ европейских легенд. В греческих мифах он трансформировался в образ лернейской гидры с девятью змеиными голова¬ ми. Змей — священный символ египетского фараона (змея У рей). Радуга — символ змея. Этот символ может быть благодатным либо гибельным. По мифологии мун- да, радуга — напоминание об огненном потопе (огненном дожде), который изрыгнул змей, чтобы погубить мир.
36 ОПЕРАЦИИ СКРУЧИВАНИЯ, ИЛИ ОПЕРАЦИИ ЦЕНА Математика Разрежем поверхность по какой-либо замкнутой гладкой самонепересекающейся кривой. Затем обратно склеим два получившихся берега разреза, но применив при этом какой-либо гомеоморфизм, «подкрутку». В результате возникнет некоторый го¬ меоморфизм исходной поверхности. Эти операции применяются для описания групп гомеоморфизмов двумерных поверхностей. Мифология Согласно китайским мифам, где-то в океане имеется огромная воронка (впадина, яма), куда отсасывается лишняя вода. Смерчи — это дети воронки, снующие вокруг и охраняющие ее. Когда океан хочет послать весть небу, смерчи сливаются в ураган, который отправляется в путь. В средневековой Европе долго верили, что Гольфстрим также исчезает в какой-то гигантской воронке, засасывающей корабли. Воронка эта обожествлялась, и, согласно мифам Атлантики, мощные ураганы, возникающие в океане и обрушивающиеся на побережье, — это посланцы Бога, собирающие урожай душ.
37 МЕЖДУ ДВУМЯ МАКСИМУМАМИ ВСЕГДА ЕСТЬ СЕДЛОВАЯ КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА Математика Известная теорема (так называемый принцип перевала) гласит следующее. Пусть гладкая (т.е. с невырожденными критическими точками) функция Морса определена на связном многообразии и имеет на нем по крайней мере два локальных максимума (вместо максимумов можно рассмотреть минимумы). Тогда «между ними» обязатель¬ но есть седловая критическая точка, т. е. «перевал». Идея доказательства интуитивно ясна. Нужно соединить на графике функции две точки максимума резиновой нитью, целиком лежащей на графике, и отпустить ее, запрещая покидать график. Нить нач¬ нет скользить по нему и в конце концов где-то остановится. Ясно, что при этом она пройдет через седло. На рисунке — скалистый пейзаж, соответствующий графику функции с четырьмя максимумами. Здесь они порождают три седла. Мифология Огромная стая птиц закрывает небо. Птицы — один из важнейших элементов практически всех средневековых культов. Вороньи стаи становились объектом тол¬ кований и предсказаний. Жрецы гадали по форме стаи. Иногда ворона — символ коварства, в Японии — вестник богов, в Греции — знак плохих вестей, но символ долголетия, во Франции и Италии — птица, приносящая несчастье. Гусь иногда вы¬ ступал как символ космического хаоса. В средневековой Западной Европе считали, что гуси — ездовые животные ведьм. Дятел в христианской традиции — символ ере¬ си и дьявола. Ворон — часто эквивалент орла — выступает в роли творца мира. Он считался загадочной птицей, несущей угрозу. В сказках встреча воина или ры¬ царя с вороном часто дурное предзнаменование. Впрочем, иногда ворон открывает какую-либо тайну герою.
III ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
38 КРИТИЧЕСКИЕ НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ Математика Если на трехмерном пространстве задана функция, критические точки которой заполняют окружность (критическую окружность), то может случиться, что по нор¬ мали к окружности второй дифференциал функции невырожден. Такие функции иног¬ да называют морс-боттовскими. Часто бывает полезно изучать так называемую села- ратрисную диаграмму, т. е. множество интегральных траекторий градиентного поля функции, входящих в критическую окружность или исходящих из нее. На рисунке условно изображена одна из таких сепаратрисных диаграмм, а именно для критичес¬ кой окружности индекса 1. При этом сама критическая окружность не нарисована (в действительности она зажата между двумя лентами-диаграммами). Входящая (или исходящая) диаграмма гомеоморфна либо кольцу, разрезанному вдоль его оси критической окружностью, либо листу Мебиуса (также разрезанному вдоль его оси). Мифология Скандинавские мифы. Наказание Альбериха. Две бесконечные сжимающиеся и наточенные, как бритвы, золотые ленты. Известное «проклятие Альбериха», послан¬ ное им вслед украденному у него золотому кольцу — кольцу Нибелунга. Это про¬ клятие в конце концов возвращается к Нибелунгу, как бумеранг. Происхождение име¬ ни Нибелунга неясно. Согласно одной из версий, в основе имени лежит nebulones — туманные (немецкое Nebel — туман). Считалось, что Нибелунги — жители гор, под¬ земелий, мрака и туманов. Не очень ясна также принадлежность клада, охраняемого Нибелунгами. По некоторым версиям, эти сокровища принадлежат светлым богам, а по другим, — самим Нибелунгам.
39 ПОВЕРХНОСТЬ УРОВНЯ СЛОЖНОЙ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ Математика Изображена поверхность уровня достаточно сложной гладкой функции, задан¬ ной на трехмерном евклидовом пространстве. Поверхность уровня функции — это множество точек, где значение функции равно некоторой фиксированной постоянной. Изображенная поверхность имеет много особых точек. Они расположены в основном на концах острых «клювов», вырастающих из поверхности. Замечательно, что весь этот хаос особенностей может появиться даже в том случае, когда исходная функция является полиномом. Правда, в таком случае он должен иметь достаточно большую степень. Мифология Скандинавские средневековые мифы. Храм богини земли Эрды, высеченный из монолитной скалы. Богослужение перед храмом, воспроизводящим корни мирового дерева. У этих корней живут норны — богини судьбы, прорицательницы. В «Прори¬ цании вёльвы» пророчица вспоминает девять миров. У корней мирового дерева живет змей Нидхегг. Выше поднимается ствол, на вершине которого — орел, а на среднем уровне — четыре оленя, поедающие листья древа жизни. Предсказательницы-норны определяют судьбы богов. Перед концом мира бог Один спускается в подземное цар¬ ство и, пробудив вёльву от сна, требует от нее пророчества о судьбе богов. Богиня сообщает ему о грядущей катастрофе, приводя Одина в оцепенение, и снова погружа¬ ется в небытие.
40 ОСОБЫЕ ТОЧКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Математика Пейзаж «соткан» из различных алгебраических поверхностей. Алгебраическая поверхность задается в трехмерном пространстве полиномиальным уравнением. Осо¬ бо важными точками поверхностей являются особые точки, где поверхность имеет какую-то особенность, сингулярность. Некоторые типы особенностей можно класси¬ фицировать, хотя это непросто. Типичные особенности напоминают острия, клювы, лезвия. Они появляются в геометрической оптике, в задачах о распространении вол¬ новых фронтов, в теории минимальных поверхностей. Мифология Голгофа, т. е. череп, согласно христианской традиции, —место распятия Христа. Средневековая богословская мысль связывала Голгофу с черепом Адама, который яко¬ бы оказался похоронен прямо под крестом, и кровь Христа, стекая, очистила Адама и все человечество от скверны греха. Средневековые иконы иногда приписывали черепу Адама гигантские размеры. На картинах, изображающих распятие, у ног распятого часто помещался череп Адама. На мозаике, относимой к XI веку, Адам изображен про¬ буждающимся к жизни. Он молитвенно поднимает руки и собирает в сосуд Христову кровь, стекающую с креста.
ФУНКЦИИ МОРСА И ТЕОРЕМА ОБ ЭЙЛЕРОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ Математика Показан типичный график гладкой функции, все критические точки которой не¬ вырождены. Такие функции называются функциями Морса. Они типичны в простран¬ стве всех гладких функций. А именно, любая гладкая функция путем сколь угодно малой деформации может быть превращена в функцию Морса. Критические точки различаются по их типам: минимумы, максимумы и седла (седловые точки). Все эти типы точек можно увидеть, изучая фотографию горного пейзажа. Пики гор — это максимумы функции, впадины — минимумы, а горные перевалы — седла. Оказывается, количество и тип критических точек функции в значительной мере определяют топологию того пространства, на котором эта функция задана. Изучение этой связи составляет предмет теории Морса. Зритель видит горный рельеф острова в океане. Рельеф может быть сколь угодно сложен. Предположим для простоты, что на берегу океана нет критических точек функции, т. е. что прибой превратил прибреж¬ ную полосу суши в наклонную плоскость, сгладив на ней все выпуклости и заполнив песком все впадины. Тогда обнаруживается интересная связь между свойствами гор¬ ного рельефа и береговой линии. Вычислим число А горных пиков на острове (т. е. максимумов функции высоты), число В впадин (т. е. минимумов) и число С перевалов (т. е. седел). Построим число А — С + В. Оно называется эйлеровой характеристикой поверхности. Оказывается, для любого острова, гомеоморфного кругу (т. е. такого, внутри которого нет лагун, озер), это число всегда равно 1. Мифология Извержение вулкана — настолько впечатляющее зрелище, что древний человек естественно обожествил это грозное явление природы. Мифы северных народов вспо¬ минают о сотворении мира в результате извержения подводного вулкана, зародив¬ шегося в недрах Мирового океана, скованного толстым неподвижным льдом. Пламя взломало лед, осветило вселенную и из-под воды поднялась земля.
42 ГРАФИК НЕПРЕРЫВНОЙ, НО НЕ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ Математика Изображен график непрерывной функции от двух переменных, имеющей много точек, где производная стремится к бесконечности. Они отвечают вершинам острых пиков. Нарисованная функция почти всюду дифференцируема, хотя имеет «очень мно¬ го» точек, где дифференцируемости нет. Оказывается, число «плохих» точек можно увеличивать так, что «в пределе» получится непрерывная функция, которая ни в одной точке не является дифференцируемой. Открытие таких непрерывных, но ни¬ где не дифференцируемых функций произвело в XIX веке большое впечатление на математиков. Мифология Средневековые европейские легенды о чистилище. Одна из версий гласит, что души умерших, попав в чистилище, подвешиваются на веревках-качелях и дол¬ гое время раскачиваются над бесконечным океаном огня. Пламя выжигает из душ все нечистое. Чем больше грешил человек в своей земной жизни, тем доль¬ ше его душа раскачивается над огнем. Дж. Дж. Фрэзер отмечал, что в народ¬ ных обычаях, связанных с праздниками огня, есть черты, указывающие на су¬ ществование в Европе в прежние времена практики человеческих жертвоприноше¬ ний. Живые люди часто играли роль олицетворений духа дерева и духа хлеба. В этом качестве они предавались смерти. В праздниках огня инсценировка сожжения людей заходит иногда так далеко, что есть основания рассматривать ее как пережиток более древнего обычая, требовавшего их действительного сожжения (Дж. Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»).
43 ПРАВИЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ МОРСА НА ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Математика Сепаратрисную диаграмму седловой критической точки функции Морса на трех¬ мерном многообразии можно изобразить в виде «колокола». Критические точки функ¬ ции могут распределяться по многообразию довольно хаотично. Однако каждую функ¬ цию Морса можно гладко продеформировать (в классе функций Морса) в так назы¬ ваемую правильную функцию. Функция Морса называется правильной, если все ее критические точки одного индекса лежат на одной поверхности уровня функции. Для трехмерных многообразий это означает, что имеется не более четырех различных кри¬ тических уровней функции. Сначала идут минимумы, потом — седла индекса 1, затем — седла индекса 2 и наконец — максимумы функции. Зритель видит один из уров¬ ней функции, на котором сосредоточены все ее критические точки индекса 2. Рисунок условен в том смысле, что внутри трехмерного евклидова пространства невозможно точно изобразить тот факт, что двумерный сепаратрисный диск должен «опускаться вниз», а одномерный сепаратрисный отрезок должен «подниматься вверх» и быть при этом ортогонален (трансверсален) 2-диску. Мифология В некоторых средневековых европейских мифах обыгрывался образ колоколов, подвешенных в пространстве на бесконечных канатах. Каждый колокол отвечал за судьбу какого-то человека. Под тяжестью человеческих грехов колокол постепенно опускался вниз, а колокол праведника, наоборот, поднимется все выше и выше, к раю. В день Страшного суда все они зазвонят. «Чистые» колокола — высоким тоном, «грязные» — низким. Эти звуки сольются в единую божественную мелодию. Видно, что колоколов, поднимающихся вверх, сравнительно немного. Представление о том, что жизнь (судьба) человека подвешена на тонкой нити, возникло в христианском средневековом богословии. Такую нить можно легко перерезать. На рисунке видно, как некто перекусывает канат-нить. Средневековые богословы изучали вопрос: кому позволено резать нить? Например, может ли обрезать нить жизни не тот, кто подвесил душу?
44 ОСОБЕННОСТИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ Математика Перед зрителем вполне понятный образ. Огромная книга, листы которой перево¬ рачивает внезапно налетевший ураган. Однако, присмотревшись внимательнее, мож¬ но увидеть, что эти листы изгибаются существенно более причудливым образом, чем это бывает с обычными книжными листами. Здесь показаны примеры особенностей, иногда возникающие при гладком отображении двумерной плоскости на себя. Класси¬ фикация таких особенностей — предмет изучения специальной математической дис¬ циплины, имеющей приложения в оптике, механике, математической физике, теории волновых фронтов и т. п. В теории особенностей дифференцируемых отображений получена классификация разных (впрочем, не очень сложных) типов особенностей с точностью до естественной эквивалентности, порожденной регулярными заменами координат. Мифология Книга и ураган. Книга судеб. Судьбы людей записываются либо на листьях свя¬ щенного дерева, либо на свитках, либо в специальной книге. Согласно утверждению китайских жрецов, Книги судеб хранятся в загробном мире. В них записаны основные события и продолжительность жизни каждого человека: умершего, живущего и того, которому только предстоит родиться. Время от времени по царству мертвых проходит страшный ураган, который перемешивает листы книги, а некоторые даже разрыва¬ ет в клочья — так случайным образом перемешиваются судьбы людей. Некоторым любопытным героям удавалось, преодолев немыслимые препятствия, проникнуть в подземное царство, найти Книгу и прочесть в ней свою судьбу. Но как только они прочитывали последнее слово, так падали мертвыми, а соответствующий параграф (абзац) Книги судеб сам собой переписывался заново. Таким образом, не имело ника¬ кого смысла стремиться узнавать свою судьбу. В европейской мифологии Книга судеб также играет огромную роль. И здесь за право прочесть свою судьбу нужно дорого заплатить.
45 РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ ФУНКЦИИ w = ( 1 - z2)1/4 Математика Риманова поверхность алгебраической функции — это двумерная вещественная поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве, на которой данная функ¬ ция однозначна. Теория римановых поверхностей важна не только для комплексно¬ го анализа, но и для теории Галуа. Иллюстрируются свойства 4-значной функции w = (1 — z2)1/4. Если положить w = u+iv и z = х + гу, то вещественная и мнимая час¬ ти этой функции определяют одну и ту же поверхность. Уравнение этой поверхности, записанное относительно и, выглядит так: 256u16 - 128tt12(—х2 + у2 + 1) - 16tt8[7(x4 + у4 - 2х2 + 2у2 + 1) + 20х2у2]- - 8и4[2(х4 + у4 - 2х2 + 2у2 + 1) + Зх2у2][-х2 + у2 + 1] 4- х4у4 = 0. Видны 4 слоя поверхности, лежащие один над другим, с точками ветвления z = ±1. Мифология Металлический храм. Средневековые европейские алхимики верили в связь семи металлов с семью основными планетами-божествами. Медь — это Венера, золото — Солнце, железо — Марс, свинец — Сатурн, ртуть — Меркурий, серебро — Луна, олово — Юпитер. Металл рассматривался как символ подземного царства. Гномы — хранители и знатоки металлов, создатели подземных кузниц и металлических кла¬ дов подземелья. Где-то глубоко под землей, в пещере ими построен металлический храм из семи металлов. «Геральдические» металлы средневекового рыцарства — это серебро с гладкой поверхностью, золото с особой «точечной» обработкой и железо с черной поверхностью. Миф повествует о четырех веках: золотом, серебряном, медном и железном. Подземный металлический храм — это кузница, где гномы готовят неуяз¬ вимую броню для богов. В индийской мифологии из чистого серебра сделана небесная крепость Асур, откуда а суры делали свои враждебные вылазки, пока бог Шива не уничтожил их.
46 ДЕФОРМАЦИЯ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Математика Изображена «трехмерная модель» деформации римановой поверхности алгебра¬ ической функции w = [(z — a)(z — b)(z — с)(z — <i)] в четырехмерном евклидовом пространстве. Риманова поверхность такой функции гомеоморфна двумерной сфере с одной ручкой, т. е. двумерному тору (при условии, что все корни a, b, с, d по¬ линома степени 4 различны). С точки зрения теории алгебраических функций для построения указанной римановой поверхности нужно взять два экземпляра двумер¬ ной сферы, на каждом из которых сделано по два разреза, и склеить (отождествить) соответствующие берега разрезов. В результате получится тор, представленный как две сферы, соединенные двумя трубками-цилиндрами. Такова картина в случае, ког¬ да все 4 корня простые, т. е. не кратные. Если же полином начинает деформироваться таким образом, что его корни стремятся слиться (т. е. когда в пределе получаются кратные корни), то риманова поверхность также реагирует на эту деформацию. Она начинает деформироваться таким образом, что на ней появляются исчезающие цик¬ лы, возникают особые точки, и в результате риманова поверхность перестает быть гладкой. Пример такой деформации и показан нами. Мифология Многорукий Шива — один из центральных богов индийского пантеона. Ему отве¬ дена роль уничтожителя мира и богов в конце каждого временного периода (кальпы). Посредине лба Шивы — третий глаз, появившийся у него, когда жена Парвати, подой¬ дя сзади, закрыла ладонями два других глаза Шивы. Этот глаз особенно губителен. Его пламенем Шива сжег бога любви Каму, когда тот попытался отвлечь его от аскетических подвигов. Шива обычно изображается с многими головами и многими руками. В качестве «великого аскета» он, посыпав обнаженное тело золой, со встав¬ шими копной волосами, с серьгами из змей и ожерельем из черепов, восседает на тигровой шкуре, погруженный в медитацию. Культ Шивы содержит устрашающие черты. Его свита — это злые духи и оборотни. В пуранах перечисляются 1008 имен и эпитетов Шивы (эта тема продолжена на рис. 65). В японской буддийской мифологии популярна тысячерукая Каннон. Поздние ее скульптуры имели по 20 рук справа и слева, не считая двух главных.
IV ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ФИЗИКЕ
47 ТЕОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ Математика При появлении напряжений в сплошной среде в ней возникают и начинают рас¬ пространяться трещины. Теория трещин — одна из самых интересных и сложных в современной механике. На сегодняшний день имеется несколько теоретических мо¬ делей, которыми удается описывать различные типы трещин. Однако математичес¬ кая теория пока далека от совершенства. Она эффективна лишь при определенных ограничениях на тензор напряжений. Выход за рамки этих ограничений приводит к чрезвычайно сложному математическому аппарату, еще до конца не разработанному. На рисунке предпринята попытка изобразить некоторые типы трещин и разрывов в сплошной среде. На заднем плане зритель может видеть ламинарный поток жидкости (или газа) в тот момент, когда скорость его достигла предела, при котором в пото¬ ке начинают возникать завихрения (эффект кавитации, срыва струи и т. д.). В эти критические моменты картина течения газа может измениться скачком и превратить¬ ся в турбулентную. Изучение турбулентности — актуальная тема гидродинамики и аэродинамики. Мифология Богиня Кали («черная», «гонительница») — одна из форм силы бога Шивы, зна¬ менитого божества древнеиндийского пантеона. Шива — третья ипостась брамани- ческой троицы (Брама, Вишну, Шива) — воспринимался как разрушитель. При этом Кала — черный, мрачный, время — эпитет Шивы. Его супруга — Кали. В древних изображениях иногда использовалась в качестве атрибута гирлянда из черепов, об¬ вивающаяся вокруг шеи Кали. Из ее широко разинутого рта свисает длинный язык, окрашенный кровью жертв. Древние индийские тексты (в частности, «Махабхарата») относятся к этой паре скорее отрицательно, однако с уважением. Вызвать гнев такого божества смертельно опасно. Кали — имя злого духа, соблазняющего играть в кости. Кали — название последнего мирового периода. В конце мира Кали окутывает всю вселенную тьмой. Шива, разрушая формы, освобождает дух. И в то же время двойственный образ культа Шивы носит ярко выраженный сексуальный характер (особенно в шактизме, тант¬ ризме ).
ЭФФЕКТ НАМАГНИЧИВАНИЯ Математика Если сплошная среда состоит из частиц, каждая из которых является элементар¬ ным магнитом, то при включении внешнего магнитного поля частицы выстроятся приблизительно в одном направлении, вдоль силовых линий поля. Частицы услов¬ но изображены человеческими фигурками, заполняющими плоскость. Не все частицы могут занять правильное положение. Внутри сплошной среды могут быть точки на¬ рушения однородности. Около них влияние внешнего поля будет искажено. В теории поля элементарные частицы снабжаются моментом вращения (спином), который так¬ же реагирует на внешние поля. Мифология Принесение жертв во время посевов было широко распространено в древности. Мексиканцы приносили человеческие жертвы на разных стадиях созревания маиса, причем возраст жертвы соответствовал стадии. Во время сева приносили в жертву новорожденных младенцев, когда начинали пробиваться побеги — детей старшего возраста. И так до полного созревания урожая, когда в жертву приносили стариков. Мексиканцы явно полагали, что подобное соответствие делало жертвоприношение бо¬ лее действенным (Дж.Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»).
49 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ С НУЛЕВОЙ ДИВЕРГЕНЦИЕЙ Математика Векторные поля на многообразиях интерпретируются как системы обыкновенных дифференциальных уравнений либо как поток жидкости, текущей по поверхности. Важный класс потоков — так называемые потоки с нулевой дивергенцией, моделиру¬ ющие течение идеальной несжимаемой жидкости. Другой важный класс потоков — это гамильтоновы векторные поля. В случае двумерных поверхностей любой поток не¬ сжимаемой жидкости является локально гамильтоновым. В данном случае несжимае¬ мость эквивалентна сохранению площадей фигур на поверхности, увлекаемых потоком жидкости. Хорошо видно, что стекание жидкости может быть довольно причудливым, тем не менее такое течение может иметь нулевую дивергенцию. Запас таких полей до¬ статочно велик. Можно, например, рассматривать потоки, являющиеся градиентами вещественной или мнимой части произвольной комплексно-аналитической функции, заданной на плоскости. Мифология Жертвенник в океане. Мифы Атлантики и Испании. На вершине громадного жертвенника совершалось массовое жертвоприношение, в результате чего первона¬ чально ослепительно белая (специально начищенная) скала покрывалась потеками. По их форме жрецы пытались предсказывать будущее империи. Иногда между пред¬ ставителями разных научных школ возникали жаркие споры: чье предсказание вернее. Если впоследствии предсказание какой-то школы оказывалось ложным, ее предста¬ вителей оппоненты использовали в качестве очередной жертвы. Это обстоятельство вносило элемент здоровой конкуренции и способствовало прогрессу науки. Праздник окончен, и флотилия кораблей покидает храм до следующего года.
50 УДАР Математика Один из интереснейших разделов теоретической механики — исследование удара материальных тел конечного размера с учетом не только их поступательного, прямо¬ линейного движения, но и вращения вокруг своих осей. Соответствующие уравнения достаточно сложны, и решения их часто довольно экзотические. Важный частный случай — столкновение вращающихся материальных шершавых шаров конечного радиуса. Здесь суммируется несколько эффектов: закон отражения идеальных ша¬ ров, рассматриваемых как материальные точки (как в задаче о бильярде), правило композиции векторов угловых скоростей, силы трения. Удар шара о поверхность мо¬ жет привести к разрушению, появлению трещин. Теория возникновения и развития трещин — одна из наиболее актуальных в механике сплошной среды. Существует несколько ее математических моделей. Но далеко не все вопросы здесь ясны до конца. Мифология Каменный град. Боги, обитающие в гигантских каменных шарах, плавающих в небе, разгневались на людей и покинули свои жилища-шары. Лишенные божествен¬ ной силы, шары обрушились на землю, уничтожая все живое. Библия: «Я человек, испытавший горе от жезла гнева Его. Он повел меня и ввел во тьму, а не во свет... Он сокрушил камнями зубы мои, покрыл меня пеплом» (Плач Иеремии 3:1-2,16). Такие легенды могут быть воспоминаниями об извержениях вулканов.
51 ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ Математика Графическая работа представляет разнообразные типы волновых процессов, ко¬ лебаний, встречающихся в механике и математической физике. Например, волна, распространяющаяся из центра рисунка направо, описывается простейшим синусои¬ дальным графиком, на который наложены более мелкие гармоники, колебания высших порядков. Огромные волны-цунами на горизонте также могут изучаться как специаль¬ ный класс решений соответствующих уравнений в частных производных. В послед¬ ние годы много внимания было уделено исследованию солитонов и «мелкой зыби» на водной поверхности. Хорошо видно, что реальная картина распространения волн на поверхности океана чрезвычайно сложна и лишь в грубом приближении может быть исследована в некоторых частных случаях при помощи компьютерного анализа. Сегод¬ ня существует много различных математических теорий, пытающихся моделировать, например, процесс зарождения тайфунов и ураганов в реальной атмосфере. Мифология Легенда о «Летучем Голландце». Знаменитый средневековый миф о корабле- призраке, бесконечно странствующем по океанам вместе с капитаном и командой, над которыми тяготеет проклятие. Встреча с этим мрачным кораблем считалась чрезвычайно опасной. Существовали даже специальные молитвы, предназначенные для предотвращения такой встречи в открытом море. Миф об аргонавтах и их корабле «Арго». При выходе в Понт, «Арго» неизбеж¬ но должен был пройти между сближающимися и вновь расходящимися плавучими скалами Симплегадами. Они уничтожали все проплывающие между ними корабли. Но Финей научил аргонавтов, как обмануть скалы. «Арго» прошел между ними так стремительно, что сблизившиеся скалы лишь слегка повредили корму и застыли после этого навсегда.
52 ГРАФИК НЕПРЕРЫВНОЙ, НО НЕ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ Математика Процессы в твердом материале, происходящие в тот момент, когда его пробивает быстро летящая пуля, представляют большой интерес в механике сплошной среды. Для экспериментального изучения такого удара используют киносъемку, позволяю¬ щую замедлить картину и проследить, таким образом, за всеми этапами процесса. Мифология Тяжелые ледяные конусы, проломившие сверху небесный свод. Древние много спорили о материале, из которого сделано небо. У индейцев суньи и у древних гре¬ ков это камень. В дальнейшем такое представление было вытеснено представлением о металлическом небе. У финикийцев это голубой ковер с блестками. У арабов — мно¬ гоярусное небо из драгоценных сверкающих материалов: золота, хрусталя, жемчуга, смарагда. У индусов — золотое яйцо (земля — серебряное яйцо). Некоторые средневе¬ ковые ученые считали, что небо — это огромная жидкая масса, поддерживаемая над землей твердым прозрачным веществом. На небе живут боги. Иногда они воюют друг с другом. Тогда их топоры и копья проламывают небесную твердь, и с земли через эти пробоины можно увидеть следующие небеса. В джайнской мифологии количество небес доходило до 63.
53 ЗАДАЧА О ВИХРЯХ Математика Многие фундаментальные законы физики описываются гамильтоновыми диффе¬ ренциальными уравнениями. Задача поиска их решений, т. е. интегрирование уравне¬ ний, — одна из самых актуальных. С задачей о вихрях связаны интересные геомет¬ рические образы. Вихрь — это особая точка в потоке жидкости или газа. Около такой точки жидкость вращается, как показано на рисунке. Частицы жидкости движутся по спиралям, приближаясь к центру вихря. Вихри, ураганы, тайфуны возникают в атмосфере. Если в потоке возникло несколько вихрей, они взаимодействуют друг с другом, перемещаясь по поверхности в соответствии с довольно сложными законами. Иногда задача о вихрях интегрируема. Это означает, что удается описать движение центров вихрей при помощи аналитических формул. Мифология Управление ветрами с помощью магии — древнее искусство. Финские колдуны продавали попутный ветер задержанным бурей морякам. Ветер содержался в трех узлах. Если развязать первый, подует умеренный ветер; если второй — сильный; если же развязать третий, начнется ураган. При императоре Константине в Кон¬ стантинополе был предан смерти некто Сопатер по обвинению в задержании ветров с помощью магии. Ветер отождествляли с дыханием богов. В индуистской мифоло¬ гии выдох Брахмы означает творение мира, а вдох — его уничтожение. У древних греков особое внимание уделялось двум ветрам: борею и зефиру. Ветер-вихрь ассоци¬ ировался с деятельностью титанов и циклопов. Эолова пещера — это подземное жили¬ ще ветров. Сильный ветер, буря, ураган — это вестники божественного откровения. Ветер — это обиталище множества духов. Среди них летят и души умерших людей.
54 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ Математика Условно показано упорядоченное движение заряженных частиц, обладающих спи¬ ном (грубо говоря, вращательным движением). При наложении внешнего поля неко¬ торые частицы ориентируются примерно одинаковым образом, выстраиваются вдоль линий поля. Мифология Одно из древних табу запрещало богочеловеку касаться земли ногами. Это пред¬ писание распространялось, в частности, на верховного жреца сапотеков в Мексике. Любое прикосновение к земле было равносильно профанации его святости. Никогда не ступала на землю нога правителя Мексики Монтесумы: знатные ацтеки постоянно носили его на своих плечах. А в местах, где повелитель сходил на землю, подстила¬ ли ему под ноги роскошный ковер. Прикосновение к земле считалось неслыханным позором для микадо. В XVI веке из-за такого проступка микадо был лишен трона. Согласно древнему брахманскому ритуалу, при восшествии на престол царь насту¬ пал на шкуру тигра и на золотое блюдо. С этого момента он на всю оставшуюся часть жизни лишался права ступать по земле босыми ногами. Как отмечал Дж. Дж. Фрэ¬ зер, первобытные лидеры понимали святость, присущую священным лицам, как некую материальную субстанцию, которой священное лицо заряжено, как лейденская банка. При соприкосновении с землей заряд может уйти из богочеловека, так как земля счи¬ талась отличным проводником магических флюидов.
55 СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ И НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВИХРЕЙ Математика Стационарный поток несжимаемой жидкости на плоскости может иметь какое- то количество вихрей, т. е. изолированных точек, в окрестности которых поведение жидкости становится вихреобразным. Оказывается, если количество таких вихрей не¬ велико, то соответствующая система дифференциальных уравнений интегрируется, т. е. существуют дополнительные интегралы движения, решающие задачу. Напро¬ тив, если число вихрей достаточно велико (в общем случае не меньше четырех), то система неинтегрируема. Это означает, что траектории частиц жидкости становятся чрезвычайно сложными и их движение становится похожим на хаотическое. Мифология Из цикла «Трибунал». Выступление председателя военного трибунала с заклю¬ чительным словом. Судьи и председатель видны вдали на наклонной галерее, пе¬ ресекающей небо. Обращает на себя внимание расширенный состав суда (на галерее видны тысячи и тысячи судей). Впрочем, число осужденных, по-видимому, бесконечно (уходящая вдаль счетная последовательность).
56 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Математика При движении потока жидкости и газа вблизи границы потока возникают слож¬ ные эффекты, обусловленные взаимодействием двух сред на поверхности раздела. Возникает так называемый пограничный слой, свойства которого до сих пор пол¬ ностью не изучены. Мифология Из цикла «Трибунал». Осужденный выслушивает приговор. Судьи и присяж¬ ные видны вдали на наклонной галерее, пересекающей небо. Состав суда тот же, что и на предыдущем рисунке. Но здесь заседание посвящено обсуждению персональ¬ ных дел особо значительных фигур. Этим объясняется серьезность и неторопливость процедуры.
57 КАРТИНА ОБТЕКАНИЯ ШАРА НАБЕГАЮЩИМ ПОТОКОМ ГАЗА Математика Здесь представлены некоторые эффекты, связанные с движением тяжелого твер¬ дого тела (например, шара) в набегающем потоке жидкости или газа. При неболь¬ ших скоростях обтекание шара происходит плавно. Если же скорость возрастает, то в реальном потоке появляются завихрения. Существуют различные математические модели, позволяющие изучать и прогнозировать эти явления. Это особенно важно, на¬ пример, при проектировании летательных аппаратов. Движение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости (газе) описывается уравнениями, которые можно изучать методами теории групп Ли и гамильтоновой геометрии. Интересно, что эти уравнения являются частным случаем более общих, «многомерных» уравнений, описывающих движение многомерных аналогов твердого тела (в многомерных пространствах). Мифология Древняя легенда о богах, воплощавшихся в гигантских каменных шарах, пла¬ вающих в небе и иногда спускающихся ниже к земле, чтобы вступить в контакт с поклоняющимися им людьми. Однако смертельно опасно попасть в тень такого шара. Легенда о «мировом яйце». Орфический миф о возникновении из яйца, плавающего в космосе, Фанеса — божественного творца, сияющего, как солнце. В египетском мифе солнце появляется из яйца, снесенного птицей Гоготун. Зритель видит момент, ког¬ да из трещин лопающегося яйца начинает вырываться сияние заключенного в нем солнца.
58 ВИБРАЦИЯ ЖИДКОСТИ И ФОРМА КАПЛИ Математика Если плоский мелкий сосуд (в виде стола с невысоким краем) наполнить жидкос¬ тью, то получится мелкий, но обширный водоем. Если затем стол начинает быстро вибрировать, то поверхность жидкости как бы «вскипает». При ускоренной киносъем¬ ке видно, что из жидкости хаотично поднимаются острые пики, образующие подобие сложного горного пейзажа. Чем быстрее вибрация, тем сложнее получающаяся карти¬ на. Исследование этого эффекта важно при обогащении полезных ископаемых, когда проводится разделение разных фракций породы. В приложениях иногда полезно знать форму капли, отрывающейся от смоченной поверхности под действием силы тяжести или вибрации. Теория движения жидкости в капиллярах, теория формы мениска и капли — одна из интереснейших областей приложения методов современной диффе¬ ренциальной геометрии. Мифология Древние охотники на диких слонов и носорогов в Восточной Африке верили, что если жены изменят им в их отсутствие, то слон или носорог обязательно нападет на них и убьет или тяжело ранит. Во время морского путешествия мужчин девушкам запрещалось есть рыбу с острыми костями или шипами, чтобы с друзьями не произо¬ шло бедствие. Во время войны жены не должны шить иглой и пользоваться гвоздями, чтобы мужья не наступили на боевые шипы, разбросанные на их пути врагами. Вода — одна из фундаментальных стихий всех мифологий, которая выступает как женс¬ кое начало. Брачный союз неба как мужского начала с водой широко распространен у индоевропейцев. Вода выступает также в виде оплодотворяемого мирового яйца. Боги¬ ни любви (Афродита, Иштар и др.) непременно связаны с водой. Например, рождение Афродиты из морской пены и т.п. С другой стороны, являясь началом всех вещей, вода знаменует и их финал, ибо с ней связан мотив всемирного потопа. Изображено также разделение вод на верхние, выливающиеся с неба, и нижние, поднимающиеся снизу, из-под земли.
59 СФЕРА ПУАССОНА Математика Сфера Пуассона — это двумерная сфера, на которую проектируются интеграль¬ ные траектории, описывающие движение тяжелого твердого тела (например, вращаю¬ щегося симметричного волчка). В зависимости от формы твердого тела на этой сфере появляются различные области. Их тип определяет многие качественные особенности движения тела. Мифология По Анаксагору, солнце, луна, планеты и другие небесные светила — это кам¬ ни (каменные шары), некогда оторвавшиеся от Земли. Некоторые из них раскалены вследствие своего быстрого движения. Планеты-боги одушевлены, каждая имеет свою индивидуальность. Другие народы верили, что эти каменные раскаленные шары ка¬ тятся по небесам, которые прогибаются под их тяжестью, как прогибается натяну¬ тая ткань, на которую бросили тяжелый камень. В мифологии Вьетнама божества тоже катят по небу огромные золотые и серебряные шары. Вечером «Господин солн¬ ца» скатывает солнце на землю и скрывает его в темноте под плотным покрывалом. Ночью он катит солнце на восток по южному краю земли. В это время луну катят по тому же пути, но в обратном направлении. Эта процедура и показана на рисунке.
60 КАЧЕНИЕ И СКОЛЬЖЕНИЕ Математика Катящиеся или скользящие диски, пластины, коньки, лезвия бритв — различные примеры механических систем, среди которых важное место занимают так называ¬ емые неголономные системы, или системы с неголономными связями. Классический пример — скольжение конька по льду. Здесь скольжение ограничено условием, что конек не может перемещаться в направлении, ортогональном его лезвию. На матема¬ тическом языке это означает, что наложенная на конек связь выражается дифферен¬ циальной формой, которой соответствует неинтегрируемое распределение. Рисунок показывает скольжение (или качение) похожей механической системы — остро зато¬ ченного «диска» с краем сложной конфигурации. Исследование траекторий движения таких систем — нетривиальная математическая задача. Мифология Колеса Балсага — образ из осетинского эпоса. Дочь Балсага (дочь солнца) оскорб¬ лена Сосланом и просит отца отомстить ему. Балсаг посылает против Сослана ог¬ ромные, все сокрушающие на своем пути колеса. Охваченные пламенем, они несутся с неба на землю, обращая в пепел деревья, сметая все препятствия. Сослан просит дере¬ вья преградить путь колесу Балсага, но лишь хмелю удается обвиться вокруг колеса и остановить его. Однако вскоре колесо Балсага снова пускается в путь, и, когда Со¬ слан отдыхал после охоты, оно наконец настигло героя, перебило ему колени и убило. Мотив гигантского колеса известен во многих культах. Широко распространен ин¬ доевропейский сюжет о состязании двух героев: солнечного (весеннего) и зимнего. Солнечный персонаж появляется в виде колеса, которое скатывается с горы и убива¬ ет противника. В индийском мифе солнечный бог Сурья во время состязания теряет колеса своей колесницы, которыми затем бог Индра убивает демона, и т.д. До не¬ давнего времени у многих народов Европы сохранялся праздник сжигания колес как воспоминание о древних солнечных ритуалах.
V ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ
61 ЭТАП ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНО МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Математика Минимальные поверхности — это поверхности наименьшей площади (или объ¬ ема в многомерном случае). Их физической моделью служат границы раздела двух физических сред, находящихся в равновесии. Например мыльные пленки, затягива¬ ющие замкнутые проволочные контуры, когда их вынимают из мыльного раствора, являются минимальными поверхностями. Знаменитая гипотеза Плато в вариационном исчислении утверждает, что на любой «контур» всегда можно натянуть поверхность наименьшей площади. Или наименьшего объема, если речь идет о многомерных по¬ верхностях. Для двумерных поверхностей эта проблема Плато была решена в первой половине XX века. Для общих многомерных поверхностей полное решение пока от¬ сутствует. Однако доказаны глубокие теоремы, успешно решающие проблему Плато для специальных классов поверхностей. Рисунок показывает один из центральных этапов в доказательстве многомерной проблемы Плато в классе так называемых «гомологических поверхностей». При ми¬ нимизации площади (объема) поверхности может случиться, что из нее начинают вырастать тонкие «усы». Они практически не влияют на площадь (или объем) по¬ верхности, однако существенно искажают ее метрические свойства и характер рас¬ положения поверхности в объемлющем пространстве. Хорошо видно, что эти «усы» могут быть весьма прихотливыми, и их появление может существенно «испортить» минимизирующий процесс. Чтобы этого не случилось, приходится «срезать», «сбри¬ вать» такие «усы». Аккуратное математическое оформление этой идеи и составляет один из самых нетривиальных моментов доказательства. Мифология Атлант — титан, брат Прометея, отличавшийся огромной силой. После пора¬ жения титанов в титаномахии (т. е. в последней битве с Зевсом) Атлант в наказание был вынужден поддерживать на своих плечах небесный свод на крайнем западе, вбли¬ зи сада Гесперид. Геракл добыл золотые яблоки из этого сада с помощью Атланта, который сходил за ними, переложив на Геракла свою ношу. Вернувшись, Атлант от¬ казался снова взвалить на себя свод, но был обманут Гераклом, попросившим Атланта хотя бы на время подержать свод, пока Геракл не сделает себе подушку, дабы смяг¬ чить тяжесть неба. По одной из версий Персей превратил Атланта в скалу, показав ему голову Горгоны.
62 ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ Математика Здесь показана система «зеркал» в трехмерном пространстве, отражения отно¬ сительно которых образуют дискретную группу. Этот класс групп (которые можно определить, конечно, и в многомерных пространствах) играет исключительно важ¬ ную роль в современной геометрии, математической физике. Например, классифика¬ ция специального класса таких групп дает классификацию всех простых компактных групп Ли. Так как каждое зеркало (т. е. гиперплоскость, проходящая через начало координат) однозначно задается своим вектором единичной нормали, все свойства группы, порожденной отражениями, могут быть сформулированы в терминах набора векторов-нормалей к зеркалам. Особый интерес представляют группы, порожденные отражениями в зеркалах, расположенных в многомерном пространстве Лобачевского. В некоторых случаях фактор-пространство пространства Лобачевского по действию такой группы является компактным гиперболическим многообразием конечного объ¬ ема. Исследование таких многообразий — актуальная проблема современной гипер¬ болической геометрии. Данный рисунок построен на базе групп Вейля (и так называ¬ емых камер Вейля), т. е. отражает некоторые алгебраические свойства компактных простых групп Ли. Мифология Легенда рассказывает, что среди древнеегипетских храмов был «зеркальный храм», внутри которого все стены, потолки и проч. были сделаны из зеркгш. В этом храме испытывали жрецов. Под действием специального заклинания душа испыту¬ емого покидала тело и начинала странствовать по храму, бесконечно отражаясь в тысячах зеркал. Обратный путь душа могла найти лишь в том случае, если боги решали, что она чиста. Другая ассоциация — райский сад, гигантский цветок в саду Эдема. В этом саду — фантастические растения, храмы, Золотой и Серебряный го¬ рода. Рай как город — одна из средневековых точек зрения. Материалы, из которых выстроен город, светоносны. Они уподобляются то чистому золоту, то прозрачному стеклу, то кристаллам, то самоцветам. Храм построен в виде цветка мандрагоры. Мандрагора — знаменитый средне¬ вековый образ. Считалось, что этот цветок хранит возбуждающую силу, вызывает любовное влечение. В то же время его называли «свечой дьявола» (якобы светится по ночам в определенные дни), «цветком ведьмы». В средние века процветала индустрия изготовления поддельных мандрагоровых корней — важнейшей части растения.
63 ТЕОРЕМА ПУАССОНА-ЛАПЛАСА И ПРИНЦИПЫ ПЛАТО Математика Двумерная поверхность, разделяющая две физические среды (например, газ-газ, газ-жидкость или жидкость-жидкость), называется поверхностью (границей) разде¬ ла сред. Если эта физическая система находится в равновесии, то известная теорема Пуассона-Лапласа утверждает, что поверхность раздела является поверхностью по¬ стоянной средней кривизны. При этом кривизна пропорциональна разности давлений в соприкасающихся средах. Важный пример таких поверхностей — это мыльные пузы¬ ри и мыльные пленки. Или, более общо, пена, образующаяся при взбивании мыльного раствора. Соседние мыльные пузыри могут образовывать сингулярные ребра, стре¬ мясь вдавиться друг в друга. Эти ребра состоят из сингулярных точек мыльной по¬ верхности. Они могут образовывать очень сложную пространственную структуру. Согласно одному из принципов Плато (Plateau), на одном сингулярном ребре мо¬ гут (устойчиво) встречаться лишь три листа мыльной пленки. Причем эти листы встречаются под равными углами в 120°С. В сингулярной вершине могут сходить¬ ся лишь 4 сингулярных ребра, и тоже под равными углами. Если мыльный пузырь очень осторожно проткнуть тонкой проволокой, то он не лопнет, а будет обволакивать проволоку. Мифология Извержение вулкана в океане. Взрыв раскаленного газа, стремительно разрас¬ тающиеся шары огня. Создание ада, геенны огненной, пекла. Данте зафиксировал одну из средневековых точек зрения, согласно которой в аду протекают реки анти¬ чного айда, образующие единый поток. Этот поток превращается в центре земли в громадное ледяное озеро Коцит. Харон — перевозчик душ умерших через реку. В самом центре ледяного озера (совпадающем с центром вселенной) в толщу льда вмерз Люцифер — верховный дьявол, терзающий «главных грешников». Вдали — пульсирующая огненная пасть, время от времени изрыгающая адское пламя. Надо думать, вся эта живописная картина производила глубочайшее впечатление на средне¬ вековых верующих. В западноевропейском искусстве ад — это огненная пасть сатаны, огненная печь, огненное море с телами грешников. Детали этой картины разрабаты¬ вались в позднесредневековой литературе, живописи и богословии с исключительным вниманием.
64 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ, А «ПРЕДЕЛ» ПОВЕРХНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВОМ Математика Поверхность, гомеоморфная двумерной сфере и расположенная в трехмерном про¬ странстве, может деформироваться таким образом, что ее площадь стремится к нулю, однако «пределом» сферы будет всеобъемлющее пространство. При этом из сферы бу¬ дут вытягиваться утончающиеся отростки-щупальца, площадь которых стремится к нулю, но их «длина», напротив, стремится к бесконечности. Поведение этих щупалец можно задать таким образом, чтобы они «в пределе» заполнили все пространство. Мифология Хуракан (Ураган) — «одноногий» — один из главных богов в мифологии киче, творец и повелитель мира, владыка гроз, ветров и бурь. Простой смертный не может остаться в живых, если увидит «глаз Хуракана» («глаз Урагана»). Сторукие — это чудовища, порожденные богами Геей и Ураном. Сторуких трое. Это Котт, Бриарей и Гиес. У каждого из них по пятьдесят голов и сто рук. Сам Уран, ужаснувшись видом своих страшных потомков, погрузил их в недра земли. Оттуда их вызвал Зевс, чтобы они помогли ему одержать победу над восставшими титанами. Поднявшиеся из-под земли сторукие сокрушили титанов и затем снова погрузились в тартар, чтобы там охранять низверженных. Сторукие внушают страх даже богам. Например, когда Гера, Посейдон и Афина задумали заговор против Зевса, тому до¬ статочно было лишь обратиться к сторуким. Один их вид шокировал противников Зевса, и они поспешно ретировались.
65 ПОЛИЭДРЫ И МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЙ Математика В рисунке использованы разнообразные топологические объекты: полиэдры, осо¬ бые точки поверхностей и т. п. Мифология Из цикла «Трибунал». Заключительное заседание в центральном зале. Главный судья зачитывает решение суда. Остальные судьи заполняют галерею вдали и ряд уступов справа и слева. Суд Христа или последний суд. Каждый человек (см. передний план) призывается на суд, и его судьба зависит от того, какая чаша перевесит: с добрыми или с плохими делами. Гигантские весы расположены позади судей.
66 ОРБИТА ДЕЙСТВИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ГРУППЫ Математика Говорят, что на пространстве задано действие группы, если элементы группы представлены как гомеоморфизмы пространства. Другими словами, задан мономор¬ физм данной группы в группу всех гомеоморфизмов пространства. Изображен важ¬ ный объект, естественно связанный с такими действиями. А именно орбита какой- либо бесконечной подгруппы в данной группе (если, конечно, такая подгруппа есть). Рассмотрим любую область в пространстве, например ромбовидный трехмерный по¬ лиэдр. Затем последовательно применим к ней все элементы бесконечной подгруппы. В результате может получиться бесконечная последовательность полиэдров, «повто¬ ряющих» друг друга. Это и есть орбита данного полиэдра при действии подгруппы (или всей группы). Если полиэдр таков, что его образы «хорошим образом» покрыва¬ ют все пространство (пересекаясь друг с другом лишь по границе), то его называют фундаментальной областью данной подгруппы (группы). Мифология Каменная стена — скала Атлант, поддерживающая небесный свод на западе. Пер¬ сей, показав голову Горгоны титану Атланту, превратил последнего в скалу. Превра¬ щение людей в камни — распространенный вид метаморфоз в мифах Южной Азии, Австралии, Океании, Южной Америки. Люди превращаются в камни, каменные из¬ ваяния либо в момент смерти, либо по приказу богов. Знаменитый греческий миф о Горгонах — чудовищных порождениях морских божеств Форкия и Кето. Две старшие сестры Горгоны бессмертны, а младшая Медуза смертна. Они обитают на крайнем западе рядом с Гесперидами, имеют ужасный вид: крылатые, с чешуей, со змеями вместо волос. Их взор обращает все живое в камень. Персей, как известно, побе¬ дил Медузу лишь потому, что смотрел на ее отражение в своем зеркальном щите. Почему-то считалось, что отраженный взгляд менее опасен, чем взгляд в упор.
67 ДВУМЕРНЫЕ ПОЛИЭДРЫ, МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЙ, ГРУППЫ ЦЕПЕЙ Математика Топология имеет дело в основном с непрерывными объектами, точное описание которых требует привлечения языка непрерывных функций. Например, чтобы точ¬ но описать поверхность уровня какой-либо функции, нужно знать «аналитическую формулу» для этой функции. Однако оказывается, что многие свойства непрерывных объектов могут быть изучены, если представить объект (например, поверхность) в виде симплициального комплекса, т. е. в виде пространства, склеенного из достаточно простых «элементарных кирпичей», например из симплексов разных размерностей. Такое представление позволяет алгоритмически вычислять такие важные топологи¬ ческие инварианты, как группы гомологий. Можно найти копредставление фундамен¬ тальной группы и т. д. Зритель видит, как можно превратить гладкую поверхность в полиэдр, разбив ее на мелкие «кирпичи»: прямоугольники, треугольники, двуугольники и т. п. Там, где поверхность была особенно сильно искривлена, «кирпичи» становятся особенно мелкими. После этого можно перенумеровать все получившиеся нульмерные, одно¬ мерные и двумерные «кирпичи» и составить большую квадратную матрицу, так называемую матрицу инциденций. В ней нужно записать, какие «кирпичи» имеют общие грани или вершины. Если такая матрица составлена, то на следующем шаге можно алгоритмически вычислить группы гомологий поверхности (полиэдра). Мифология Миф сулка (Мелавезия) утверждает, что когда-то море было очень маленьким и помещалось в глиняном горшке. По небрежности богов горшок был опрокинут, и море разлилось широко и окружило землю. Переселение муравьиного народа. Муравьи играют важную роль во многих миро¬ вых культах вследствие своей множественности, коллективности повеления, подвиж¬ ности. Разрушение муравейника всегда рассматривалось как несчастье. Мирмидоня- не, т. е. «муравьиные люди», ведут свое начало от Зевса. Или же Зевс по просьбе царя острова Эгины превратил муравьев в людей, после того как все население ост¬ рова погибло от чумы. Под предводительством Ахилла мирмидоняне-муравьи яростно сражаются под Троей. Переселяясь с места на место в образе муравьев, они тащат с собой маленький щит, закрывающий их тело.
68 ГРАДИЕНТНЫЙ СПУСК Математика Здесь изображена важная в геометрическом вариационном исчислении операция «опускания цикла» вдоль интегральных траекторий градиентного векторного поля. При этом скольжении вниз цикл (который можно условно представлять себе в виде какой-то замкнутой поверхности) рано или поздно «зацепится» за критические точ¬ ки функции (функционала) и повиснет на них. Нарисован цикл, повисший на двух критических точках. Они условно представлены в виде двух штырей, вбитых в блок. Конечномерная теория Морса и ее разнообразные обобщения на бесконечномерный случай фактически изучают поведение циклов при таком «градиентном спуске». Мифология «Усталость» — второе название этой работы. Кроме того, здесь проступают так¬ же легендарные мотивы. Мифы Алтая сообщают, что первоначально было не одно солнце, а несколько. Было настолько жарко, что некий охотник-лучник решил сбить стрелами все солнца, оставив только луну. И он успешно сбил почти все солнца, но в последнем выстреле охотник промахивается. Последняя его стрела ударяется в скалу, раскалывая ее сверху донизу, а охотник превращается в степного сурка табаргана. По другой версии стрелок был по горло зарыт в землю или даже под землю за то, что дерзнул состязаться в стрельбе с самим богом. Охотник проиграл, тем не менее он и поныне продолжает свое опасное занятие, причем его подземные стрелы страшнее небесных, так как стрелы охотника — это чума.
69 ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ И НЕОРИЕНТИРУЕМОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ Математика Изображена цепочка фигур, каждая из которых держит в руках раскаленный шар. Цепочка образует замкнутую петлю. Если на многообразии нарисовать замкнутый не¬ прерывный путь, то можно «протащить» вдоль него репер, т. е. набор касательных векторов, образующих базис в касательной плоскости. Если после такой операции ре¬ пер вернется в исходную точку с противоположной ориентацией, значит, объемлющее многообразие неориентируемо. Задание репера эквивалентно заданию ориентации ша¬ ра малого радиуса, лежащего в многообразии. Другими словами, вместо непрерывной деформации репера вдоль пути можно «прокатить» шар, а затем сравнить его исход¬ ную ориентацию с той, какая появится на нем после однократного обхода петли. Эта идея и изображена на рисунке. Мифология Древний обряд магического управления солнцем с целью прекращения засухи. Весь народ выстраивался в длинную шеренгу, причем каждый держал зеркало или полированный шар. Считалось, что отраженные зеркалами лучи возвратятся к солн¬ цу и оно на время ослепнет и прекратит сжигать страну. Жрец руководил последо¬ вательностью действий.
70 2-АДИЧЕСКИЙ СОЛЕНОИД Математика Этот объект давно известен в топологии как пространство, не только обладаю¬ щее многими интересными свойствами, но и позволяющее проверять разнообразные гипотезы, возникающие в геометрии. Соленоид — хороший «тест». Его конструкция чрезвычайно проста. Нужно взять полноторие, т. е. прямое произведение диска на окружность, или «заполненный тор», бублик. Можно представлять его себе вложен¬ ным в трехмерное пространство в виде поверхности вращения. Затем следует взять второй экземпляр такого же полнотория и вложить его в первое полноторие, как показано на рисунке, т. е. «намотав его» два раза вдоль оси первого полнотория. В результате второе полноторие расположится внутри первого, как змея, свернувшаяся в два кольца. На следующем шаге нужно взять третий экземпляр полнотория и вложить его во второе полноторие, намотав третье полноторие два раза вдоль оси второго полното¬ рия. В результате третье полноторие намотается четыре раза вдоль оси первого. Продолжая процесс, мы получаем бесконечную последовательность полноторий. Они последовательно вложены друг в друга. Поэтому можно рассмотреть их «пре¬ дел». Получающееся «предельное пространство» и называется 2-адическим соленои¬ дом. На рисунке изображена последовательность граничных торов этих полноторий вплоть до тора с номером IX. Номера поставлены на торах. Для ясности часть поверх¬ ности каждого тора удалена (т. е. торы разрезаны), и можно видеть их внутренность. Интерес к этому объекту особенно возрос в последнее время, когда обнаружилось, что такая «2-адическая намотка» торов естественно появляется в гамильтоновой ме¬ ханике. Здесь в качестве торов выступают так называемые торы Лиувилля. Оказалось далее, что «двукратные намотки торов» описывают важные свойства некоторых ин¬ тегрируемых дифференциальных уравнений и их решений. Так неожиданно классический топологический объект возник в современной ма¬ тематической физике. Мифология Змей или змея — один из основных мифологических образов практически всех древних культов. Распространен также образ змеи, проглатывающей саму себя, т. е. заглатывающей свой хвост. В германской мифологии змей-червь — главное воплоще¬ ние космического зла. Он играет основную роль в предстоящей гибели мира. Анало¬ гично в древнеегипетской мифологии прабожество Атум в конце мира должно вер¬ нуться в виде злой змеи У рей в первичный хаос, из которого оно некогда возникло. Часто змея изображается свернутой в несколько колец, которые сложным образом перепутываются. Один из способов древнего гадания — по форме колец и узлов от¬ дыхающей змеи.
71 ГОМОТОПИЯ И ОТРЫВ КАПЛИ ОТ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ Математика Изображено образование капли тяжелой вязкой жидкости, свисающей с твердой поверхности в пространстве. Здесь можно наглядно представить себе начало гомото- пии геометрического объекта. Первоначально он твердый, затем какая-то его часть становится мягкой, податливой и начинает непрерывно деформироваться, как бы под влиянием силы тяжести. Именно такие образы часто возникают в мозгу математи¬ ка, работающего в области гомотопической топологии. Формирование подобных на¬ глядных «картинок» важно для успешной работы и в некоторых других областях математики. Дело в том, что многие глубокие доказательства опираются на нагляд¬ ные интуитивные представления. В математической практике часто случается, что формальное, например алгебраическое, доказательство какого-то факта удается легче получить после того, как в мозгу сложилась ясная геометрическая картина происхо¬ дящего. Мифология Изгнание Адама и Евы из рая. Вкусивши запретный плод, устыдились собствен¬ ной наготы и сделали себе «опоясания». По другой версии, Бог сделал «человеку и жене его одежды кожаные и одел их». Затем Бог изгоняет их из рая, а у входа ставит привратника-херувима, чтобы не допустить возвращения Адама и Евы. Позднейшие версии уточняли географическое положение сада-рая: в плодород¬ ной стране, откуда исходят великие реки. После изгнания Адам и Ева попадают в неуютный грешный мир, полный опасностей. Мотив изгнания многократно обсуж¬ дался в теологической литературе, поскольку библейское предание можно трактовать по-разному.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ Математика В первом приближении можно считать, что планеты Солнечной системы, асте¬ роиды и т. п. движутся в одной плоскости, называемой плоскостью эклиптики. Центр масс всей этой системы можно считать совмещенным с Солнцем. Движение системы управляется ньютоновским потенциалом, согласно законам классической механики. Эволюция системы многих тел определяется начальными данными. Для этого надо задать положения гравитирующих масс и их скорости в начальный момент времени. Известно, что общие решения такой системы уравнений весьма сложны. Еще более сложна задача описания движения многих тел, движущихся в трехмерном простран¬ стве, т. е. не обязательно расположенных в одной плоскости. На рисунке каждое твердое тело условно изображено в виде тяжелой птицы, па¬ рящей в пространстве не по собственному желанию, а в соответствии со взаимным притяжением со стороны других «птиц». Вся эта система вращается вокруг общего центра масс, однако некоторые тела могут удаляться от него, а некоторые — при¬ ближаться или даже «падать» на центр масс. С математической точки зрения задача многих тел является одной из самых интересных задач, поскольку здесь встречаются такие области знания как геометрия, небесная механика, теория дифференциальных уравнений. Мифология Гарпии, вороны, гаруды. Гарпии — архаические доолимпийские божества, кры¬ латые дикие полуженщины-полуптицы безобразного вида. В мифологии Греции они похитительницы детей и человеческих душ, внезапно налетающие и так же стре¬ мительно исчезающие. Связаны с ветрами и бурями. Гаруды в буддийской мифоло¬ гии — огромные птицы, крылья которых порождают ураган и бурю. Иногда гаруды принимают человеческий облик. Вороны связаны с царством мертвых, с жестокими битвами, часто выступают как мудрые птицы, но всегда каик вестники зла. В средне¬ вековой христианской традиции ворон — олицетворение сил ада и дьявола. Умение ворона подражать человеческой речи породило представление о нем как о вестнике богов.
73, 74 ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЙ Математика Юмористические сценки из жизни двумерных и трехмерных многообразий.
VI ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
75 ПРОБЛЕМА РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ Математика Многие современные статистические методы распознавания объектов (образов) основаны на идее узнавания объекта лишь по его отдельным, но весьма существен¬ ным штрихам. Главной проблемой в разработке соответствующих методов является обнаружение таких инвариантных характеристик объектов. Эта задача обычно очень сложна. Здесь уместно вспомнить о науке восстановления первоначального образа жи¬ вых организмов, ныне уже не существующих, развитой в современной палеонтологии. Специалисты вынуждены воссоздавать образ исчезнувшего живого существа, распо¬ лагая часто лишь фрагментами скелета или только отдельными костями животных, случайно сохранившимися до нашего времени. В современной криминалистике также используется метод восстановления лица погибшего человека по его черепу. Для этого используется методика, разработанная профессором М. М. Герасимовым. Мифология Римская легенда о Ромуле и Реме — основателях Рима. Жрица-весталка сдела¬ лась жертвой насилия и в результате родила двойню. Желая избежать наказания, она объявила их отцом бога Марса. Однако эта хитрость не спасла ее от жестокости царя. Жрица была закована в железо и отдана под стражу. Обоих детей царь при¬ казал бросить в реку. Однако корзина с детьми была подхвачена водой и поплыла по реке. Когда вода схлынула, оставив корзину на суше, с соседних холмов к водопою спустилась волчица. Она услышала детский плач и, увидев младенцев, обласкала их, облизала и накормила своим молоком. Вскоре детей нашел и взял к себе смотритель царских стад (Тит Ливий «История Рима от основания Города»). Другая ассоциация: чудовищный пес Кербер — в греческой мифологии страж айда. Изображался иногда с тремя головами, с туловищем, усеянным головами змей. Вместе с лернейской гидрой относился к наиболее страшным порождениям Эхидны. Гераклу удается связать и вывести его из айда, однако по приказу Эврисфея он был вынужден водворить пса на прежнее место. Из ядовитой слюны, стекающей из пасти Кербера, вырастает цветок аконит — одна из составных частей колдовских отваров (впрочем, достать эту слюну очень трудно).
76 ТЕОРЕМА О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУППАХ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Математика Фундаментальная группа «измеряет» число различных неэквивалентных замк¬ нутых петель, которые можно «нарисовать» на данном многообразии. Естественный вопрос: какие группы могут быть представлены как фундаментальные группы глад¬ ких многообразий? Для многообразий размерностей 1 и 2 ответ очень прост. Все такие группы давно описаны и изучены. В размерности 3 известно, что не всякая группа может быть представлена как фундаментальная группа замкнутого трехмерного мно¬ гообразия. Начиная с размерности 4 ситуация меняется. Оказывается, что любая конечно- порожденная группа (т. е. группа с конечным числом образующих и конечным числом соотношений) может быть представлена в виде фундаментальной группы некоторого четырехмерного гладкого компактного связного замкнутого многообразия. Зритель видит один из центральных приемов, используемых при доказательстве этой извест¬ ной топологической теоремы. Сначала нужно построить так называемые «ручки ин¬ декса 1», реализующие образующие данной группы. Трубчатые окрестности таких ручек изображены внизу в виде последовательности лепестков, уходящих вдаль. Затем нужно приклеить к этому пространству некоторое множество «ручек ин¬ декса 2», реализующих соотношения в данной группе. Одна из таких ручек показана в центре рисунка (вверху) в виде огромного темного гибкого объекта, обволакиваю¬ щего «костяк», построенный на предыдущем шаге. То обстоятельство, что это тело изображено как бы «стекающим вниз», соответствует характеру производимой опе¬ рации: мы должны приклеить эту фигуру по некоторому непрерывному отображению ее границы. Мифология Сосуд Пандоры, или космическое яйцо. Пандора — в греческой мифологии первая женщина, созданная Афиной и Гефестом. По замыслу Зевса она должна была принести людям несчастья и соблазны. Когда Пандора открыла сосуд, врученный ей богами, болезни и несчастья, людские пороки и соблазны расползлись по земле. Перепуганная Пандора захлопнула крышку, при этом на дне сосуда осталась надежда. Так люди были лишены даже надежды на лучшую жизнь. Другая версия мифа: гигантское космическое яйцо в индийской мифологии, раз¬ бившееся в космосе. Из него вытек весь видимый мир, включая все несчастья. Из верхней половинки яйца образовалось набо, из нижней — земля.
77 ИНТЕГРАЛ РИМАНА Математика При вычислении интеграла от гладкой функции, заданной на какой-то области двумерной плоскости, можно аппроксимировать эту функцию кусочно-ступенчатой функцией. Для этого нужно построить «призмы», опирающиеся на небольшие пря¬ моугольники в области определения функции. При этом они должны иметь высоту, равную значению функции в некоторой средней точке этого прямоугольника. Начало этого процесса аппроксимации и показано на рисунке. Мифология «Тексты саркофагов» и «Тексты пирамид» принадлежат к древнейшим египет¬ ским текстам, они играли большую роль в египетских ритуалах. Погребения осу¬ ществлялись в основном в саркофагах, размещенных как внутри пирамид, так и в подземельях. Эти знаменитые тексты вырезаны на стенах внутренних помещений пи¬ рамид фараонов V и VI династий древнего царства. В Египте обнаружено огромное количество древних погребений., Каменные саркофаги вытесывали из огромных ка¬ менных блоков. В Египте сохранились каменоломни, в которых из монолитных скал вытесывали также обелиски. Некоторые из обелисков остались незавершенными ле¬ жать в каменоломнях. Другая ассоциация: взгляд Фемиды — богини правосудия. Фемиду обычно из¬ ображали слепой или с повязкой на глазах, но случалось, что она «прозревала» или снимала повязку. Аналогично изображалась римская Фортуна — богиня судьбы.
78 РЯДЫ ФУРЬЕ Математика Каждая «достаточно хорошая» функция может быть разложена в ряд Фурье. Это означает, что функция аппроксимируется частичными суммами сходящегося ряда, со¬ ставленными из гармоник. Чем больше членов этого разложения мы берем, тем более высокочастотные гармоники появляются на графике аппроксимирующей частичной суммы. Показаны графики последовательных частичных сумм. Видно, что по мере удлинения суммы на графике возникают все более мелкие гармоники. Мифология Гибель Ахилла в Троянской войне. Неуязвимый Ахилл погибает от стрел Пари¬ са, направляемых Аполлоном. Первая стрела поражает его в пяту, вторая — в грудь. Пята Ахилла — это единственное место на его теле, которое не было намазано амбро¬ зией и закалено в огне. Мать Ахилла Фетида сделала это, чтобы сын стал неуязвимым и, следовательно, бессмертным. Но ей не удалось закалить все его тело. По другой вер¬ сии с той же целью Фетида окунула Ахилла в воды подземной реки Стикс, и только пятка, за которую она держала ребенка, осталась уязвимой.
79 ОТ ХАОСА К ПОРЯДКУ Математика В основу рисунка положена идея, что многие важные закономерности проявляют¬ ся лишь на статистическом уровне, т. е. при анализе большой совокупности данных. Тот факт, что частота выпадания «орла» при случайном бросании монеты стремит¬ ся к 1/2, становится ясным лишь после длительного эксперимента, когда монету подбрасывают много раз. Здесь закономерность обнаруживается при анализе внеш¬ не хаотической последовательности выпаданий «орла» и «решки». Именно из таких экспериментальных наблюдений и попыток обнаружить закономерности в азартных играх рождались основы теории вероятностей много лет тому назад. В геометричес¬ ких задачах теории вероятностей изучаются, например, закономерности распределе¬ ния различных положений иглы, случайно падающей на плоскость, где нарисованы различные геометрические фигуры. Рисунок не является иллюстрацией к какой-либо конкретной математической те¬ ореме. Он лишь выражает натурфилософскую идею, что внимательное и длительное изучение «хаоса» (изображающего какой-либо реальный процесс) может привести к выявлению скрытой закономерности, управляющей этим хаосом. Правильная крис¬ таллическая структура на горизонте в какой-то мере олицетворяет этот «идеальный закон», стремление к познанию которого является двигателем научной мысли. Мифология Миф о странствиях аргонавтов, возглавляемых Ясоном, в поисках руна. В древ¬ негреческой мифологии царь Ээт, желая погубить Ясона, предложил ему засеять поле зубами фиванского дракона, из которых вырастают воины. Ясон вспахал поле и бро¬ сил в борозду зубы дракона. Когда из них стали вырастать воины, он кинул в них огромный камень, и воины перебили друг друга, начав по ошибке сражаться между собой. Тем не менее Ээт не отдал Ясону золотое руно. Тогда его дочь Медея, влюблен¬ ная в Ясона, усыпила дракона и помогла похитить золотое руно. Впоследствии Ясон погибает под обломками обветшавшего корабля Арго.
80 НЕОРГАНИЗОВАННЫЙ ХАОС И ГЕОМЕТРИЯ Математика Эта графическая работа связана со статистическими образами. Мы видим хао¬ тическое падение бесконечного числа элементарных блоков. С другой стороны, этот хаос мог возникнуть в результате разрезания на элементарные куски какого-то «хоро¬ шо устроенного» полиэдра. Поскольку мы можем разбить полиэдр на очень большое число «малых кусков», он превращается в кажущееся хаотическим скопление парал¬ лелепипедов. Как восстановить полиэдр? Оказывается, для этого достаточно, чтобы каждый элементарный блок «помнил» лишь своих соседей — блоки, с которыми он граничил (т. е. был инцидентен, на геометрическом языке) внутри исходного полиэд¬ ра. Записывая на гранях каждого блока сведения о его соседях, мы получаем матрицы инциденций. Поэтому в случае необходимости все блоки могут снова собраться и вос¬ становить прежний геометрический объект. Мифология Тартар — в древнегреческий мифологии пространство, находящееся где-то в глу¬ бине космоса, даже ниже айда. Тартар на столько отстоит от айда, на сколько земля — от неба. Если бросить медную наковальню с неба на землю, она долетит до земли за девять дней. Столько же потребуется ей, чтобы долететь от айда до тартара. Ясно, что немало дней потребуется той же наковальне, чтобы перед этим добраться от зем¬ ли до айда. Тартар огорожен медной стеной и стеной огня. Ночь окружает его в три ряда. Тартара боятся даже боги. Вдоль стены, окружающей тартар, постоянно ревет ураган. В тартаре залегают корни земли и моря, все концы и все начала. Здесь за медной дверью томятся боги-отцы богов-олимпийцев под охраной сторуких стражей.
81 ГАУССОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. I Математика Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону Гаусса, если ее плотность вероятностей есть График этой важной функции напоминает симметричный холм (горб). Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей. Дело в том, что, как пра¬ вило, нормированные суммы независимых случайных величин (в условиях централь¬ ной предельной теоремы) распределены по нормальному закону. Например, в резуль¬ тате измерения какого-либо предмета неизбежно вкрадываются случайные ошибки. Повторяя измерение несколько раз, мы получаем последовательность независимых случайных величин. Если не выделять ни одно из измерений как главное, то усло¬ вия центральной предельной теоремы будут соблюдены. Поэтому отклонение сред¬ него арифметического сделанных наблюдений от истинного размера предмета есть случайная величина> распределенная приблизительно по закону Гаусса. Чем больше измерений, тем точнее мы определяем размер предмета. Мифология Хаос — изначальная категория. От Хаоса Эрос порождает в тартаре птиц, под¬ нимающихся вверх, на землю и в небо. Птицы рассматриваются в древнегреческой мифологии как одно из первых космогонических начал. Из Хаоса организуется види¬ мый мир, который затем снова обратится в Хаос. Иногда Хаос считался порождением Хроноса, т. е. времени. В финикийской космогонии Хаос «мутный», в нем присутству¬ ют земля и небо, еще не отделенные друг от друга. Хронос изображался иногда как крылатый дракон с головой быка или льва. Хронос также породил Эфир. Хаос счи¬ тается реализацией некоей нематериальной энергии, живущей по своим собственным законам, постичь которые не дано смертным людям.
82 ГАУССОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. II Математика Эта работа составляет единый цикл с предыдущей. Изображены различные типы колоколообразных кривых, моделирующих нормальное распределение. Холмы и горы образованы непрерывно падающими с неба (из бесконечности) брусьями, рельсами, каменными блоками. В центре показано начало этого процесса. Горы на горизонте об¬ разовались в результате длительного падения брусьев. Меняя параметр сг, мы меняем форму колоколообразной кривой. И опять мы видим, что большие совокупности хао¬ тических, случайных событий могут изучаться точными математическими методами: «от хаоса к порядку». Мифология Известный сказочный мотив: чтобы заслужить любовь принцессы и получить ее руку, герой должен преодолеть многочисленные препятствия: отправиться в далекую страну, спастись от покушений на жизнь со стороны врагов, взобраться на высокую гору, найти клад, поймать выпорхнувшую из ларца птицу, убить ее, извлечь яйцо, из него — иголку, сломать ее, уничтожить дракона, охраняющего заветный меч, и т. д. и т. п. На рисунке зритель видит могучего героя в задумчивости в начете тяжелого пути (стоят ли полцарства и любовь принцессы таких трудов?).
83 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Математика Как наглядно изобразить понятие случайного процесса? Представим себе следу¬ ющую картину. В бесконечном пространстве парит обезьяна, в руке которой играль¬ ная кость. На каждой грани этой кости стоит маленькая обезьянка и держит в руке свою игральную кость. На каждой грани каждой такой кости снова стоит обезьянка (еще меньше). И так далее до бесконечности. Итак, за костью первого уровня следуют б костей второго уровня, затем б костей третьего уровня и т. д. Таким образом, все пространство заполняется бесконечным числом обезьян, держащих игральные кости. Затем представим, что каждая обезьяна начинает подбрасывать свою кость слу¬ чайным образом, причем делают они это совершенно независимо друг от друга. В результате вся бесконечная система костей приходит в движение. В каждом узле сис¬ темы возникает беспорядочное, хаотичное вращение игральной кости. Эта картина была подсказана автору профессором А. Н. Ширяевым. Она служит наглядной мо¬ делью случайного процесса — одного из центральных понятий теории вероятностей. Конечно, изобразить буквально эту схему невозможно. Поэтому на рисунке играль¬ ные кости, оснащенные шестью соседними костями, помещены (для простоты) лишь в узлы трехмерной кубической решетки. Мифология Первобытный Хаос. Согласно египетской мифологии, Хаос одушевлен. Его жизнь проявляется в том, что в каждой своей точке он ежесекундно рождает новый Ха¬ ос, который тут же начинает собственную жизнь, рождает внутри себя следующий Хаос и т. д. до бесконечности, причем эти последовательные Хаосы ничего не знают о своей предшествующей жизни и не могут предсказать своего будущего, поскольку бог времени постоянно перемешивает их своим копьем. Эта древняя идея прекрасно соответствует изложенной выше математической схеме.
84 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. I Математика На передней стене монумента изображено десятичное разложение числа тг = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944... Каждой цифре здесь отвечает свой квадратик, содержащий несколько черных кругов (пятен). Число кругов равно соответствующей цифре. После того как первая строка закончилась, десятичное разложение перепрыгивает в начало второй строки и т.д. На боковой стороне монумента аналогичным образом изображено начало десятич¬ ного разложения другого замечательного числа е = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669... Такие десятичные разложения применяются как датчики случайных чисел. Кро¬ ме того, они используются в современной теории кодирования. Вычисление последо¬ вательных цифр их десятичного разложения — интересная задача, решаемая сегодня при помощи компьютеров. Кроме того зритель может увидеть здесь пример фрактала, т. е. замкнутого подмножества плоскости, размерность которого выражается дробным числом (не це¬ лым!). Один из способов получения таких множеств — это последовательное выбрасы¬ вание из плоскости открытых непересекающихся дисков, постепенно уменьшающихся в размерах. Выбрасывать надо так, чтобы «остаток» (аналог классического канторова множества) имел нетривиальную хаусдорфову размерность. В качестве упражнения можно сначала построить такие множества на отрезке. Мифология Число — это одно из самых глубоких понятий, с которым постоянно имели дело древние мыслители. Числам и их толкованию придавалось огромное значение прак¬ тически во всех научных и философских средневековых системах. Раньше цифры обо¬ значались буквами, что открывало дополнительные возможности толкования чисел. Подставляя вместо цифр соответствующие им буквы, специалисты получали разно¬ образные слова. (Делали и наоборот, заменяли буквы в словах числами.) Толкование получившихся «слов» было тем «успешнее», чем бессмысленнее получалось сочета¬ ние букв. Хорошо известны разнообразные толкования числа 666 и проч. Средневе¬ ковая схоластика, интерпретировавшая таким образом некоторые древние тексты, превратилась в результате в рафинированную «науку». Хорошо известна «мистика» числа 7 и др.
85 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. II Математика Этот рисунок развивает идею предыдущего. На передней стене здания изобра¬ жено начало десятичного разложения числа 7Г, на боковой стене — разложение числа е. Сделаем здесь лишь одно замечание: все графические листы выполнены от руки, без использования компьютерной графики. В частности, на передней стене в одном из квадратов намеренно допущена ошибка: поставлена неправильная цифра. Найдите это место и впишите правильную! Мифология Средневековые толкователи считали, что число 1 в наиболее древних текстах встречается исключительно редко. Первым священным числом в целом ряде традиций было число 3 — образ абсо¬ лютного совершенства. Это божественные троицы, трехглавые божества, три героя сказки, различные триады и проч. Числу 4 приписывалась обычно статика, устойчивость. Это 4 стороны света, 4 времени года, символика квадрата, креста и т. п. Семерка возникала как сумма 3+4 и считалась особо магическим числом. Семер¬ ка участвует в конструировании мирового древа. Это число дней недели, количество цветов спектра, тонов в музыке и т. д. Широко известны опасные свойства числа 13, в то время как 12 рассматривалось как счастливое число. Напомним: 12-членные пантеоны богов, 12 апостолов. Наиболее часто встречающимися в священных текстах считали числа: 2, 3, 7, 9, 12, 24, 33, 36, 37, 99. Любопытно, что число 10 якобы появлялось редко.
86 СПАЙНЫ ДВУХ ТРЕХМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ КОМПАКТНЫХ ЗАМКНУТЫХ МНОГООБРАЗИЙ НАИМЕНЬШЕЙ СЛОЖНОСТИ Математика Над горизонтом поднимаются два полиэдра. Они изображают двумерные окрест¬ ности одномерных остовов в спайнах двух трехмерных многообразий, названных в заголовке. По этим двумерным полиэдрам можно восстановить 3-многообразие одно¬ значно, с точностью до гомеоморфизма. Эти два замечательных многообразия являют¬ ся первыми примерами так называемых изоэнергетических поверхностей, на которых любое гамильтоново дифференциальное уравнение неинтегрируемо в классе гладких интегралов общего положения. Этот факт был открыт в результате соединения двух теорий: теории сложности 3-многообразий и теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых уравнений. В частности, обнаружилось, что эти два многообразия имеют наименьшую сложность в классе всех гиперболических замк¬ нутых компактных 3-многообразий, а потому, вероятно, одно из этих многообразий имеет и наименьший возможный гиперболический объем, равный ~ 0,94. Мифология Джинны — это духи мусульманских легенд, часто злые. Им приносили жертвы и к ним обращались за помощью. Они созданы из бездымного огня и представляют со¬ бой воздушные или огненные тела, обладающие разумом. Джинны могут мгновенно приобретать любую форму и выполнять любые приказания, надо только правиль¬ но произносить соответствующие заклинания. Ошибка при озвучивании магической формулы может быть смертельно опасна для заклинателя. В средневековой Европе то¬ же известен миф о гибели ученика мага, ошибочно произнесшего неполную формулу и уничтоженного появившимся разъяренным духом. Проблема подчинения джиннов человеку составляла содержание специальной оккультной науки средневековья. В сказ¬ ках джинн, выпущенный из сосуда, в котором томился несколько тысяч лет, некоторое время выполняет приказания освободившего его человека. Но через некоторое время джинн стремится покинуть своего временного хозяина. Для его удержания было раз¬ работано много заклинаний и формул.
87 ГЕОМЕТРИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ Математика В последние годы возникло новое научное направление, которое условно можно назвать «геометрия и вероятность». Оказалось, что во многих задачах теории веро¬ ятностей естественно возникают такие классические объекты геометрии, как тензор кривизны, аффинная связность и др. Более того, некоторые вероятностные теоремы наиболее естественно формулируются именно на геометрическом языке. Мифология Развалины вавилонской башни. Огромное поле, усеянное кирпичами в виде иг¬ ральных костей. Согласно преданию, в Древнем Вавилоне люди попытались постро¬ ить башню до неба, наделали много кирпичей (обожженных в огне) и начали возво¬ дить башню. Однако боги возмутились таким высокомерием людей и смешали их языки. Строители перестали понимать друг друга и рассеялись по земле. Башня осталась недостроенной и постепенно разрушилась. На горизонте — воспоминание о всемирном потопе (строительство, по преданию, относится к эпохе после потопа). Гадание по картам и игральным костям. Впрочем, ввиду большого числа костей, высыпанных кем-то на равнину, правильное предсказание судьбы, вероятно, потре¬ бует значительного времени.
88 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ Математика Игральные кости со случайным распределением чисел на гранях опять-таки (см. рис. 83) ассоциируются с некоторыми задачами математической статистики. Мифология По Библии, Бог отделил воду, которая под твердью, от воды, которая над твер¬ дью. Небесные сферы прозрачны и становятся видимыми, только когда на них сверху выливается вода. Потоки воды, струящиеся из отверстий в небе, тормозятся прозрач¬ ными сферами, расположенными на разных уровнях.
89 КОМПЬЮТЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Математика Известна задача о представлении натуральных чисел п > 1 в виде сумм п = ii[ + П2 + ■ ■ ■ + nrs, где все числа щ неотрицательные целые. Фиксируем про¬ извольные значения г > 2 и s > 1. Тогда все натуральные числа разбиваются на два класса. К одному относятся натуральные числа, которые представляются в нужном (см. выше) виде. Ко второму классу — числа, которые нельзя при заданных парамет¬ рах г и s представить в таком виде. Обобщенная проблема Варинга звучит так: как описать каждый из указанных классов? Задача эта сложна. Зритель видит некоторые геометрические образы, связанные с проблемой Варинга. Мифология Три древних мага танцуют, каждый на своей куче белых и черных камней. Экста¬ тический танец длится несколько часов. В результате кучи теряют свою первоначаль¬ ную форму, черные и белые камни хаотически перемешиваются. Когда танец прекра¬ щается, главный маг подходит к россыпи камней и, всматриваясь в получившийся черно-белый узор, начинает гадание.
VII ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ В РОМАНЕ М. А. БУЛГАКОВА «МАСТЕР и МАРГАРИТА» Материал этого параграфа особый: он содержит набор математических фантазий, внема- тематические интерпретации которых навеяны романом Булгакова. Это единственный цикл работ автора, посвященный конкретному литературному произведению. Рисунки отражают личное восприятие атмосферы романа. Наверняка у читателя вырабо¬ тались собственный зрительские образы. Поэтому возможен конфликт между моим видением романа и читательским. Основное внимание уделено линии Пилат—Иешуа. Рисунки снабже¬ ны теми фрагментами текста, с которыми они ассоциировались у меня.
90 СКЛЕЙКА ПОЛИЭДРОВ УМЕНЬШАЕТ ИХ ОБЩУЮ ГРАНИЦУ (ТОПОЛОГИЯ) Математика Изображены трехмерные полиэдры, склеиваемые по некоторым частям их границ. В результате получается новый полиэдр, граница которого «меньше», чем «сумма границ» исходных. Роман Беседа Пилата с Иешуа принимает неожиданный оборот. С одной стороны, аре¬ стант Иешуа в одно мгновение вылечивает страшную головную боль прокуратора. В то же время выясняется, что в словах арестованного можно (при желании) усмот¬ реть намек на непочтительное его отношение к римскому кесарю-императору. Нали¬ чие письменного свидетельства об этих неосторожных словах Иешуа бесповоротно решает его судьбу, тем более что при допросе присутствует секретарь-писарь, акку¬ ратно фиксирующий всю беседу. Эти стенограммы, надо думать, просматривались затем соответствующими компетентными органами. «Опять-таки виновата была, вероятно, кровь, прилившая к вискам и застучав¬ шая в них, только у прокуратора что-то случилось со зрением. Так, померещилось ему, что голова арестанта уплыла куда-то, а вместо нее появилась другая. На этой плешивой голове сидел редкозубый золотой венец; на лбу была круглая язва, разъедаю¬ щая кожу и смазанная мазью; запавший беззубый рот с отвисшей нижней капризной губой. Пилату показалось, что исчезли розовые колонны балкона и кровли Ерша- лаима вдали, внизу за садом, и все утонуло в густейшей зелени капрейских садов. И со слухом совершилось что-то странное — как будто вдали проиграли негромко и грозно трубы и очень явственно послышался носовой голос, надменно тянущий слова: «Закон об оскорблении величества...» Мысли понеслись короткие, бессвязные и необыкновенные: «Погиб!», потом: «Погибли!..» И какая-то совсем нелепая среди них о каком-то долженствующем непременно быть — и с кем?! — бессмертии, причем бессмертие почему-то вызвало нестерпимую тоску.»
91 ПОЛИЭДРЫ И СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ЦЕПИ (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ) Математика Работа развивает идею, представленную на предыдущем рисунке. Кроме того, иллюстрируется такое важное понятие, как симплициальяая цепь, т. е. объект, со¬ ставленный из «элементарных кирпичей», снабженных некоторыми числовыми ко¬ эффициентами. Такие цепи можно складывать и вычитать, как элементы абелевой группы. Вводя понятие граничного оператора, можно вычислять границу цепи, а за¬ тем определить группы гомологий как фактор-группу группы циклов по подгруппе границ. Наглядно цепь можно представлять себе как произвольный набор блоков, снабженных числовыми метками. Роман Пилат отдает приказ о казни Иешуа и двух преступников и в то же время пы¬ тается спасти Иешуа, пользуясь обычаем помилования одного из осужденных перед великим праздником. Однако Синедрион категорически отказывается удовлетворить пожелание Пилата и освобождает Вар-раввана. Пилату ничего не остается, как утвер¬ дить приговор и объявить его на площади перед огромной толпой. «Великий врач» уходит от него безвозвратно. Эта мысль приводит Пилата в бешенство, усугубляемое его очевидным бессилием. Сцена объявления Пилатом приговора Иешуа и двум преступникам. «Он выждал некоторое время, зная, что никакой силой нельзя заставить умолк¬ нуть толпу, пока она не выдохнет все, что накопилось у нее внутри, и не смолкнет сама. И когда этот момент наступил, прокуратор выбросил вверх правую руку, и по¬ следний шум сдуло с толпы. Тогда Пилат набрал, сколько мог, горячего воздуха в грудь и закричал, и сорван¬ ный его голос понесло над тысячами голов: — Именем кесаря-императора! Тут в уши ему ударил несколько раз железный рубленый крик — в когортах, взбросив вверх копья и значки, страшно прокричали солдаты: — Да здравствует кесарь!»
92 ВЗГЛЯД Математика Взгляд Бегемота. Эта графическая работа не несет в себе специального мате¬ матического содержания. Математика проявляется здесь лишь в характере и форме линий, в композиции. Роман Это взгляд огромного черного кота Бегемота, спутника Воланда — одного из ге¬ роев романа. Бегемот — паж Воланда, играющий роль умного шута при встречах с москвичами (испорченными квартирным вопросом). Формально в романе нет точных указаний на то, что Бегемот лично присутствует в древнем Ершалаиме при казни Ие¬ шуа. Однако мне представляется, что несколько намеков, разбросанных Булгаковым в тексте, позволяют предположить, что, по мысли Булгакова, это было именно так. В частности, вероятно, Бегемот присутствует и при ночном разговоре Пилата с Аф- ранием, и на Лысой горе, и еще в нескольких узловых эпизодах, связанных с судьбой Иешуа и Пилата. «Солнце уже снижалось над Лысой горой, и была эта гора оцеплена двойным оцеплением. < ... > Жар еще был невыносим, и солдаты в обоих оцеплениях страдали от него, томились от скуки и в душе проклинали трех разбойников, искренне желая им скорейшей смерти.»
93 КАЗНЬ ИЕШУА Роман Казнь Иешуа: он и двое преступников распяты на Голгофе, оцепленной римским войском. За казнью наблюдает Афраний — начальник тайной службы при проку¬ раторе Пилате. Казнью руководят Марк Крысобой и начальник храмовой стражи Ершалаима. Афраний имел мимолетное совещание с Пилатом в затемненной комнате во дворце, прежде чем отбыть на казнь. «Тот человек в капюшоне поместился невдалеке от столбов на трехногом таб¬ урете и сидел в благодушной неподвижности, изредка, впрочем, от скуки, прутиком расковыривая песок.»
94 МАРК КРЫСОБОЙ Роман Казнь началась после полудня и длилась уже долго. Страшная жара разогнала любопытствующих, и на Лысой Горе остались лишь осужденные и охраняющие их римские когорты, оцепившие вершину горы. «Римская пехота на втором ярусе страдала еще больше кавалеристов. Кентури- он Крысобой единственно что разрешил солдатам — это снять шлемы и накрыться белыми повязками, смоченными водой, но держал солдат стоя и с копьями в руках. Сам он в такой же повязке, но не смоченной, а сухой, расхаживал невдалеке от группы палачей, не сняв даже со своей рубахи накладных серебряных львиных морд, не сняв поножей, меча и ножа. Солнце било прямо в кентуриона, не причиняя ему никакого вреда, и на львиные морды нельзя было взглянуть, глаза выедал ослепительный блеск как бы вскипавшего на солнце серебра. На изуродованном лице Крысобоя не выражалось ни утомления, ни неудовольст¬ вия, и казалось, что великан кентурион в силах ходить так весь день, всю ночь и еще день, — словом, столько, сколько будет надо. Все так же ходить, наложив руки на тяжелый с медными бляхами пояс, все так же сурово поглядывая то на столбы с казнимыми, то на солдат в цепи, все так же равнодушно отбрасывая носком мохнато¬ го сапога попадающиеся ему под ноги выбеленные временем человеческие кости или мелкие кремни.»
95 ПОЛИЭДРЫ И ИХ ГРАНИЦЫ (ТОПОЛОГИЯ) Математика Изображен кубический полиэдр с разрезом. Этот образ наглядно поясняет тот алгебро-геометрический факт, что суммирование цепей приводит иногда к взаим¬ ному уничтожению общих кусков границы, входящих в сумму с противоположны¬ ми знаками. «Заклеивая» трещину в полиэдре, мы очевидно уменьшаем его общую границу. Роман Единственным посторонним зрителем казни оставался Левий Матвей, один из учеников Иешуа. Сначала он хотел прорваться к повозке, на которой везли учителя, а затем, когда это не удалось, остался на горе, ожидая конца казни. «Тут что-то дунуло в лицо бывшему сборщику и что-то зашелестело у него под ногами. Дунуло еще раз, и тогда, открыв глаза, Левий увидел, что все в мире, под влиянием ли его проклятий или в силу каких-либо других причин, изменилось. Солнце исчезло, не дойдя до моря, в котором тонуло ежевечерне. Поглотив его, по небу с запада поднималась грозно и неуклонно грозовая туча. Края ее уже вскипали белой пеной, черное дымное брюхо отсвечивало желтым. Туча ворчала, и из нее время от времени вываливались огненные нити.»
96 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ) Математика В основе понятия симплициального комплекса (полиэдра) лежит интуитивно яс¬ ное представление этого объекта как результата склейки друг с другом простейших «кирпичей», имеющих «кусочно-линейную структуру», т. е. тетраэдров, призм, ко¬ нусов над многоугольниками, многогранников и т. п. Эти строительные блоки могут быть очень разнообразны, однако каждый из них можно считать составленным из прямолинейных тетраэдров или симплексов. Именно поэтому все такие составные объекты были названы симплициальными комплексами. Однако в современной топо¬ логии для конкретных вычислений чаще используются клеточные комплексы, склеен¬ ные из клеток — гомеоморфных образов шаров. Выяснилось, что во многих вопросах (например, при вычислении групп гомологий) излишне мелкое дробление полиэдра на симплексы невыгодно. Те же группы можно вычислить, разбивая полиэдр на более крупные блоки, гомеоморфные шарам. Это прямолинейные призмы, кубы, параллеле¬ пипеды и т. п. Роман Финал казни в начале пятого ее часа. Прискакавший из города трибун отдает приказ завершить казнь преступников. Крысобой, трибун и Афраний направляются к столбам, на которых привязаны казнимые. «Счастливее двух других был Иешуа. В первый же час его стали поражать об¬ мороки, а затем он впал в забытье, повесив голову в размотавшейся чалме. Мухи и слепни поэтому совершенно облепили его, так что лицо его исчезло под черной шеве¬ лящейся массой. В паху, и на животе, и под мышками сидели жирные слепни и сосали желтое обнаженное тело. Повинуясь жестам человека в капюшоне, один из палачей взял копье, а другой принес к столбу ведро и губку. Первый из палачей поднял копье и постучал им спер¬ ва по одной, потом по другой руке Иешуа, вытянутым и привязанным веревками к поперечной перекладине столба. Тело с выпятившимися ребрами вздрогнуло. Палач провел концом копья по животу. Тогда Иешуа поднял голову, и мухи с гуденьем сня¬ лись, и открылось лицо повешенного, распухшее от укусов, с заплывшими глазами, неузнаваемое лицо».
97 КАЗНЬ Роман «Великодушный» прокуратор-игемон решает завершить казнь досрочно, чтобы сократить мучения Иешуа. По версии Булгакова, в душе Пилата борются три чувст¬ ва: долг перед империей в лице кесаря, трезвое желание заполучить к себе великого врача-Иешуа, излечивающего головную боль, и смутное ощущение вины «за что-то неправильно содеянное». «Становилось все темнее. Туча залила уже полнеба, стремясь к Ершалаиму, бе¬ лые кипящие облака неслись впереди напоенной черной влагой и огнем тучи. Сверк¬ нуло и ударило над самым холмом. Палач снял губку с копья. — Славь великодушного игемона! — торжественно шепнул он и тихонько кольнул Иешуа в сердце. Тот вздрогнул, шепнул: — Игемон!.. Кровь побежала по его животу, нижняя челюсть судорожно дрогнула, и голова его повисла. При втором громовом ударе палач уже поил Дисмаса и с теми же словами: — Славь игемона! — убил и его».
98 «ТЬМА ЗАКРЫЛА ЕРШАЛАИМ» Роман Начальник тайной полиции, держа на контроле такую важную операцию, дол¬ жен быть лично убежден в абсолютно точном исполнении приказа. Многовековой опыт убеждает, что серьезные политические дела нельзя перепоручать никому, да¬ же близким соратникам. Во всяком случае не исключено, что Пилат мог попросить проконтролировать операцию какому-то еще более близкому соратнику. «Человек в капюшоне шел по следам палача и кентуриона, а за ним начальник храмовой стражи. Остановившись у первого столба, человек в капюшоне внимательно оглядел окровавленного Иешуа, тронул белой рукой ступню и сказал спутникам: — Мертв. То же повторилось и у двух других столбов. После этого трибун сделал знак кентуриону и, повернувшись, начал уходить с вершины вместе с начальником храмовой стражи и человеком в капюшоне. Настала полутьма, и молнии бороздили черное небо. Из него вдруг брызнуло огнем, и крик кен¬ туриона: «Снимай цепь!» — утонул в грохоте. Счастливые солдаты кинулись бежать с холма, надевая шлемы. Тьма закрыла Ершалаим.»
99 ЛЕВИЙ МАТВЕЙ Роман Когда войска покинули Голгофу, на ней остался лишь Левий Матвей. «Он то пропадал в полной мгле, то вдруг освещался трепещущим светом. Добравшись до столбов, уже по щиколотку в воде, он содрал с себя отяжелев¬ ший, пропитанный водою таллиф, Остался в одной рубахе и припал к ногам Иешуа. Он перерезал веревки на голенях, поднялся на нижнюю перекладину, обнял Иешуа и освободил руки от верхних связей. Голое влажное тело Иешуа обрушилось на Левия и повалило его наземь. Левий тут же хотел взвалить его на плечи, но какая-то мысль остановила его. Он оставил на земле в воде тело с запрокинутой головой и разме¬ танными руками и побежал на разъезжающихся в глиняной жиже ногах к другим столбам. Он перерезал веревки и на них, и два тело обрушились на землю. Прошло несколько минут, и на вершине холма остались только эти два тела и три пустых столба. Вода била и поворачивала эти тела.»
100 МАСТЕР И МАРГАРИТА Роман Мастер и Маргарита. На мастера обрушивается травля его коллег-писателей. «Отеческий» анализ творчества Булгакова в свое время был дан некоторыми его коллегами на страницах центральной советской прессы. Мастер на грани безумия и сжигает свой роман о Понтии Пилате в печке. Неожиданно в его комнату врыва¬ ется Маргарита. «Тихо вскрикнув, она голыми руками выбросила из печки на пол последнее, что там оставалось, пачку, которая занялась сразу. Дым наполнил комнату сейчас же. Я ногами затоптал огонь, а она повалилась на диван и заплакала неудержимо и судорожно. Когда она утихла, я сказал: — Я возненавидел этот роман, и я боюсь. Я болен. Мне страшно. Она поднялась и заговорила: — Боже, как ты болен. За что это, за что? Но я тебя спасу, я тебя спасу. Что же это такое? Я видел ее вспухшие от дыму и плача глаза, чувствовал, как холодные руки гладят мне лоб.»
101 МАРГАРИТА И ЗОДИАКАЛЬНОЕ СОЗВЕЗДИЕ СКОРПИОНА Роман Мастер попадает в сумасшедший дом, о чем Маргарита не знает. Неожиданно к ней является один из приближенных Воланда рыцарь Азазелло и предлагает явиться «в гости к знатному иностранцу», где она сможет узнать о судьбе мастера. Согласив¬ шись и намазавшись по требованию Азазелло волшебным кремом, она превращается в ведьму. «— Сегодня вечером, ровно в половину десятого, потрудитесь, раздевшись донага, натереть этою мазью лицо и все тело.» Маргарита намазывается кремом, взлетает в ночное небо и направляется за пре¬ делы Москвы. «Раза два или три она видела под собою тускло отсвечивающие какие-то сабли, лежащие в открытых черных футлярах, и сообразила, что это реки. Поворачивая голову вверх и влево, летящая любовалась тем, что луна несется над нею, как сумасшедшая, обратно в Москву и в то же время странным образом стоит на месте, так что отчетливо виден на ней какой-то загадочный, темный — не то дракон, не то конек-горбунок, острой мордой обращенный к покинутому городу.»
102 ДВУМЕРНЫЙ ТОР КАК ФАКТОР ПЛОСКОСТИ ПО ДЕЙСТВИЮ ГРУППЫ Z + Z (ГРУППЫ ЛИ) Математика Абелева группа z + z может действовать на плоскости как группа сдвигов вдоль координатных осей. Факторизуя плоскость по этому действию, получаем тор. На плос¬ кости возникает целочисленная решетка — разбиение на конгруэнтные плоские квад¬ раты, изображенное на листе как шахматная доска. Роман Маргариту встречает сотрудник Воланда Коровьев. Оказывается, она приглаше¬ на на прием к самому сатане. «— Но к делу, к делу, Маргарита Николаевна. Вы женщина весьма умная и, конечно, уже догадались о том, кто наш хозяин. Сердце Маргариты стукнуло, и она кивнула головой.» Выясняется, что Воланд дает весенний бал «ста королей», на котором Маргарите предложено быть королевой. «— Короче! — вскричал Коровьев, — совсем коротко: вы не откажетесь принять на себя эту обязанность? — Не откажусь, — твердо ответила Маргарита. — Кончено! — сказал Коровьев и, подняв лампаду, добавил: — Прошу за мной... Тут Коровьев задул свою лампаду, и она пропала у него из рук, и Маргарита увидела лежащую на полу перед нею полоску света под какой-то темной дверью. И в эту дверь Коровьев тихо стукнул. Тут Маргарита взволновалась настолько, что у нее застучали зубы и по спине прошел озноб. Дверь раскрылась.»
103 ЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ — ПРОСТЕЙШАЯ МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ) Математика Здесь продемонстрирована следующая простая, но важная теорема. Евклидова плоскость в трехмерном евклидовом пространстве является глобально минимальной поверхностью. Напомним, что поверхность называется локально минимальной, если при любом малом возмущении с малым (т. е. сосредоточенным в малой области про¬ странства) носителем площадь поверхности может только увеличиться. Возмущение плоскости показано на рисунке локальным вспучиванием поверхности. Ясно, что при этом площадь поверхности увеличилась. Это обстоятельство изображено также уве¬ личением размеров квадратов, оказавшихся в зоне возмущения. Первоначально (т. е. до возмущения) все квадраты были одинаковы. Плоскость замечательна также тем, что ее площадь не уменьшается при любом возмущении (т. е. при возмущении про¬ извольно большой амплитуды и с любым носителем). В то же время следует пом¬ нить, что некоторые минимальные поверхности (более сложные, чем плоскость) мо¬ гут уменьшить свою площадь, если возмущение мало по амплитуде, но имеет большой носитель. Таков, например, двумерный экватор в стандартной трехмерной сфере. Роман Войдя в комнату, Маргарита оказывается лицом к лицу с Воландом, который в это время играет в шахматы с котом Бегемотом. Ее встречают приветливо, кот тут же начинает валять дурака при молчаливом одобрении коллег. «Воланд взял с постели длинную пшату, наклонившись, пошевелил ею под кро¬ ватью и сказал: — Вылезай! Партия отменяется. Прибыла гостья. — Ни в коем случае, — тревожно свистнул по-суфлерски над ухом Маргариты Коровьев. — Ни в коем случае... — начала Маргарита. — Мессир... — дохнул Коровьев в ухо. — Ни в коем случае, мессир, — справившись с собой, тихо, но ясно ответила Мар¬ гарита и, улыбнувшись, добавила: — Я умоляю вас не прерывать партии. Я полагаю, что шахматные журналы заплатили бы недурные деньги, если б имели возможность ее напечатать.»
104 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И ТЕОРЕМА О СИМПЛИЦИАЛВНОЙ АППРОКСИМАЦИИ (ТОПОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ) Математика Любое непрерывное отображение полиэдров (симплициальных комплексов) можно всегда аппроксимировать кусочно-линейным отображением, гомотопным ис¬ ходному. Другими словами, непрерывное отображение можно сколь угодно малым «шеве¬ лением» превратить в отображение, линейное на каждом симплексе отображаемого полиэдра. Эта теорема часто используется как полезное техническое средство при изучении отображений полиэдров. Эта идея иллюстрируется примером графика ал¬ гебраической функции. Функция задается довольно сложной формулой, что видно из характера графика. На нем много «пиков». Отображение, задаваемое данной функци¬ ей, конечно, не линейное. Однако согласно теореме о симплициальной аппроксимации его можно аппроксимировать кусочно-линейным отображением. На рисунке показа¬ но достаточно мелкое разбиение поверхности на квадраты. Каждый из них можно затем разбить на два треугольника, т. е. на два двумерных симплекса. Поскольку размер квадратов мал по сравнению с размером всей поверхности, на каждом из них отображение можно считать линейным. Роман Начинается беседа Воланда с Маргаритой. По ходу разговора Маргарита обна¬ руживает, что шахматные фигурки живые и что на доске разыгрывается настоящая драма. «На доске тем временем происходило смятение. Совершенно расстроенный король в белой мантии топтался на клетке, в отчаянии вздымая руки. Три белых пешки- ландскнехты с алебардами растерянно глядели на офицера, размахивающего шпагой и указывающего вперед, где в смежных клетках, белой и черной, виднелись черные всадники Воланда на двух горячих, роющих копытами клетки, конях.» Бегемот проигрывает партию. «— Ты сдаешься или нет? — прокричал страшным голосом Воланд. — Разрешите подумать, — смиренно ответил кот, положил локти на стол, уткнул уши в лапы и стал думать. Думал он долго и наконец сказал: — Сдаюсь.»
105 ОДНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА ПЛАТО. ЗАДАЧА ШТЕЙНЕРА (ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Математика Пусть в некоторые точки плоскости «вбиты колышки», а к ним привязаны рези¬ новые нити, образующие «резиновую сеть». Предоставим этой системе нитей свободно деформироваться. Сеть будет стремиться к положению, отвечающему минимальной длине резиновых нитей. Вопрос: каковы минимальные сети и сколько их? При этом сеть может иметь особенности: из ее узлов может выходить по несколько нитей. Ока¬ зывается, для устойчивости сети необходимо, чтобы из каждого узла выходило ровно по три нити. Толстые резиновые жгуты на рисунке только что были освобождены и начали скользить, стремясь к оптимальному положению. Роман Наконец, Маргарита в сопровождении свиты оказывается в гигантском зале, пока еще без гостей. Она занимает свое королевское место, ожидая появления приглашен¬ ных на бал королей, герцогов, кавалеров, самоубийц, отравительниц, висельников и сводниц, тюремщиков и шулеров, палачей, доносчиков, изменников, безумцев, сыщи¬ ков, растлителей. «В спину веяло холодом, оглянувшись, Маргарита увидела, что из мраморной стены сзади нее бьет шипящее вино и стекает в ледяной бассейн. У левой ноги она чувствовала что-то теплое и мохнатое. Это был Бегемот. Маргарита была в высоте, и из-под ног ее вниз уходила грандиозная лестница, крытая ковром. Внизу, так далеко, как будто бы Маргарита смотрела обратным спо¬ собом в бинокль, она видела громаднейшую швейцарскую с совершенно необъятным камином, в холодную и черную пасть которого мог свободно въехать пятитонный грузовик. Швейцарская и лестница, до боли в глазах залитая светом, были пусты. Трубы теперь доносились до Маргариты издалека. Так простояли неподвижно около минуты.»
106 ТОЧКИ БИФУРКАЦИЙ (АНАЛИЗ) Математика Изображены точки бифуркации гладкой функции. Роман Финал бала сатаны. Гости собираются в центральный зал, в центре которого — возвышение для Воланда. Наконец, появляется он сам. Воланд завершает ежегод¬ ный бал, подняв чашу, изготовленную из черепа соперника, «проигравшего партию». На этот раз эта роль выпала несчастному литератору Берлиозу. «Прихрамывая, Воланд остановился возле своего возвышения, и сейчас же Аза¬ зелло оказался перец ним с блюдом в руках, и на этом блюде Маргарита увидела отрезанную голову человека с выбитыми передними зубами. Продолжала стоять пол¬ нейшая тишина, и ее прервал только один раз далеко послышавшийся, непонятный в этих условиях звонок, как бывает с парадного входа. — Михаил Александрович, — негромко обратился Воланд к голове, и тогда веки убитого приподнялись и на мертвом лице Маргарита, содрогнувшись, увидела жи¬ вые, полные смысла и страдания глаза. — Все сбылось, не правда ли?.. Вы всегда были горячим проповедником той теории, что по отрезании головы жизнь в человеке прекращается, он превращается в золу и уходит в небытие. Мне приятно сообщить вам, в присутствии моих гостей, хотя они и служат доказательством совсем другой теории, о том, что ваша теория солидна и остроумна. Впрочем, ведь все теории сто¬ ят одна другой. Есть среди них и такая, согласно которой каждому будет дано по его вере. Да сбудется же это! Вы уходите в небытие, а мне радостно будет из чаши, в которую вы превращаетесь, выпить за бытие.»
107 РЕТРАКЦИЯ ПРОСТРАНСТВА НА ЕГО ПОДПРОСТРАНСТВО (ТОПОЛОГИЯ) Математика Иллюстрируется идея ретракции (стягивания) топологического пространства X на его замкнутое подпространство Y. Это подмножество изображено в виде прямоли¬ нейного евклидова полиэдра, составленного из огромных параллелепипедов. Деформа¬ ционная ретракция — это непрерывная гомотопия (деформация) пространства X по себе таким образом, что в конце деформации все пространство X стягивается на Y, причем в процессе деформации подпространство У должно быть неподвижно, т. е. его точки должны «стоять на месте». Дополнение к подмножеству У изображено в виде аморфных гибких структур, которые мягко оседают на жесткий полиэдр У. Таким образом, полиэдр У «втягивает в себя» все остальные точки объемлющего пространства X. Роман И снова мы возвращаемся к истории Пилата. Конец дня казни. Наступает ночь, и на город обрушивается страшный ураган. «Пропал Ершалаим — великий город, как будто не существовал на свете. Все пожрала тьма, напугавшая все живое в Ершалаимё и его окрестностях. Странную тучу принесло со стороны моря к концу дня, четырнадцатого дня весеннего месяца нисана. Она уже навалилась своим брюхом на Лысый Череп, где палачи поспешно кололи казнимых, она навалилась на храм в Ершалаиме, сползла дымными потоками с хол¬ ма и залила Нижний Город. Она вливалась в окошки и гнала с кривых улиц людей в дома. Она не спешила отдавать свою влагу и отдавала только свет. Лишь только дымное черное варево распарывал огонь, из кромешной тьмы взлетала вверх вели¬ кая глыба храма со сверкающим чешуйчатым покровом. Но он угасал во мгновение, и храм погружался в темную бездну. Несколько раз он выскакивал из нее и опять проваливался, и каждый раз этот провал сопровождался грохотом катастрофы. Другие трепетные мерцания вызывали из бездны противостоящий храму на за¬ падном холме дворец Ирода Великого, и страшные безглазые золотые статуи взлетали к черному небу, простирая к нему руки. Но опять прятался небесный огонь, и тяжелые удары грома загоняли золотых идолов во тьму.»
108 НОЧНОЙ РАЗГОВОР Роман Ночной разговор Понтия Пилата и Афрания — начальника тайной службы, — это одна из вершин романа. Изящество этой беседы производит особенно сильное впечатление на фоне предыдущих событий. Пилат находит очень привлекательную форму, в которую облекает свой приказ немедленно уничтожить Иуду. Еще более изящен ответ Афрания, обещающего немедленно принять все возможные меры по охране Иуды из Кириафа. Искренняя забота обоих собеседников о судьбе Иуды — классический пример политически грамотной беседы. «Тут прокуратор умолк, оглянулся, нет ли кого на балконе, и потом сказал тихо: — Так вот в чем дело — я получил сегодня сведения о том, что его зарежут сегодня ночью. < ... > — Осмелюсь спросить, от кого же эти сведения? — Позвольте мне пока этого не говорить, тем более что они случайны, темны и недостоверны. Но я обязан предвидеть все. Такова моя должность, а пуще всего я обязан верить своему предчувствию, ибо никогда еще оно меня не обманывало... Вот поэтому я прошу вас заняться этим делом, т. е. принять меры к охране Иуды из Кириафа. — Приказание игемона будет исполнено, — заговорил Афраний, — но я должен успокоить игемона: замысел злодеев чрезвычайно трудно выполним. Ведь подумать только, — гость, говоря, обернулся и продолжал: — выследить человека, зарезать, да еще узнать, сколько получил, да ухитриться вернуть деньги Кайфе, и все это в одну ночь? Сегодня? — И тем не менее его зарежут сегодня, — упрямо повторил Пилат, — у меня пред¬ чувствие, говорю я вам! Не было случая, чтобы оно меня обмануло, — тут судорога прошла по лицу прокуратора, и он коротко потер руки. — Слушаю, — покорно отозвался гость, поднялся, выпрямился и вдруг спросил сурово: — Так зарежут, игемон? — Да, — ответил Пилат, — и вся надежда только на вашу изумляющую всех исполнительность.»
109 ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ) Математика Граница каждого трехмерного тела, изображенного здесь, состоит из шести граней-прямоугольников. Склеивая параллелепипеды указанным образом, мы оче¬ видно уменьшаем их общую границу. При каждой склейке взаимно уничтожаются два прямоугольника. Тем не менее после каждой склейки получается трехмерное те¬ ло, граница которого по-прежнему гомеоморфна двумерной сфере (граница каждого параллелепипеда гомеоморфна сфере). Таким образом, рисунок показывает различие между понятиями геометрической границы и алгебраической границы. В то же время формально-алгебраические вычисления с алгебраическими границами помогают нам составить представление о геометрической границе интересующего нас объекта. Если полиэдр составлен из нескольких подполиэдров, то, вычисляя их границы и составляя из них алгебраическую сумму, мы можем привести подобные члены, сокра¬ тив слагаемые, отличающиеся лишь знаками. В результате мы вычисляем границу большого полиэдра. Роман Убийство Иуды, которого усиленно охраняет тайная служба римского прокура¬ тора. Совершенно случайно на пути Иуды оказывается женщина, которой он давно увлечен. Она неожиданно приглашает его явиться на свидание к условленному мес¬ ту за городом. Иуда слегка удивлен, но, естественно, устремляется на свидание. Как потом доложит растерянный Афраний прокуратору, агенты тайной полиции в этот момент почему-то потеряли из виду Иуду. Впрочем, через несколько часов Афраний уверенно отметет гипотезу Пилата о том, что, возможно, в неожиданном убийстве Иу¬ ды замешана женщина. Поскольку, по словам Афрания, убить человека при помощи женщины стоит огромных денег, которых, конечно же, нет у нищих и разрозненных последователей Иешуа. «Становилось прохладнее. Тогда он замедлил шаг и негромко крикнул: — Низа! Но вместо Низы, отлепившись от толстого ствола маслины, на дорогу выпрыг¬ нула мужская коренастая фигура, и что-то блеснуло у нее в руке и тотчас потухло. Иуда шарахнулся назад и слабо вскрикнул: — Ах! Второй человек преградил ему путь. Первый, что был впереди, спросил Иуду: — Сколько получил сейчас? Говори, если хочешь сохранить жизнь! Надежда вспыхнула в сердце Иуды. Он отчаянно вскричал: — Тридцать тетрадрахм! Тридцать тетрадрахм! Все, что получил, с собою. Вот деньги! Берите, но отдайте жизнь!»
по ПОЛИЭДРЫ. ОТРЫВ КАПЛИ ЖИДКОСТИ ОТ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ (ГЕОМЕТРИЯ И ГИДРОСТАТИКА) Математика Капля жидкости в момент отрыва от поверхности приобретает вполне определен¬ ную форму. Эта форма задается решением некоторого дифференциального уравнения. Роман «Человек спереди мгновенно выхватил из рук Иуды кошель. И в тот же миг за спиной у Иуды взлетел нож, как молния, и ударил влюбленного под лопатку. Иуду швырнуло вперед, и руки со скрюченными пальцами он выбросил в воздух. Передний человек поймал Иуду на свой нож и по рукоять всадил его в сердце Иуды. — Ни...за... — не своим, высоким и чистым молодым голосом, а голосом низким и укоризненным проговорил Иуда и больше не издал ни одного звука. Тело его так сильно ударилось об землю, что она загудела.» По приказу Афрания (совершенно случайно оказавшегося на месте убийства) Иу¬ ду обыскивают и забирают кошель с «тридцатью сребренниками». Как вскоре с грус¬ тью доложит Афраний прокуратору, убит Иуда был необыкновенно искусно. Впрочем, как выясняется, обнаружить убийц будет чрезвычайно трудно. Хотя, конечно, рим¬ ская полиция приложит все усилия, чтобы в кратчайший срок найти и наказать их.
Ill ОБЩАЯ ГРАНИЦА ПОЛИЭДРОВ МОЖЕТ УМЕНЬШИТЬСЯ ПРИ ИХ СКЛЕЙКЕ (ТЕОРИЯ ПОЛИЭДРОВ) Математика Иллюстрируется важная геометрическая операция: разрезание полиэдра и (обратная операция) склейка двух или нескольких полиэдров по части их границы. Пусть даны два полиэдра «с границей», например два многообразия с границей. Если эти границы содержат «одинаковые куски», то можно отождествить их посредством какого-то гомеоморфизма. А затем склеить полиэдры по этой части границы. В ре¬ зультате общая граница уменьшится. Роман Ночь. Прокуратор на балконе дворца ожидает доклада Афрания о том, как была организована охрана Иуды из Кириафа. «Дворец Ирода Великого не принимал никакого участия в торжестве пасхаль¬ ной ночи. В подсобных покоях дворца, обращенных на юг, где разместились офицеры римской когорты и легат легиона, светились огни, там чувствовалось какое-то движе¬ ние и жизнь, передняя же часть, парадная, где был единственный и невольный жилец дворца — прокуратор... как будто ослепла под ярчайшей луной. Тут, внутри дворца, господствовали мрак и тишина. < ... > Оголенная луна висела высоко в чистом небе, и прокуратор не сводил с нее глаз в течение нескольких часов.»
112 РОСТ КРИСТАЛЛОВ (КРИСТАЛЛОГРАФИЯ) Математика Рост кристаллов подчиняется сложным закономерностям, в результате чего мо¬ гут образовываться очень сложные упорядоченные структуры. Бесконечная гряда тя¬ желых «кристаллических облаков» включает в себя как упорядоченные элементы, так и более мелкие кристаллические формы, придающие всему пейзажу в целом кажущу¬ юся хаотичность. Роман В полночь прокуратор засыпает и видит сон, в котором он идет по светящейся дороге к луне вместе с Иешуа и о чем-то с ним беседует. Это спор, очень интересный и нескончаемый. «Все это было хорошо, но тем ужаснее было пробуждение игемона. Ванга зарычал на луну, и скользкая, как бы укатанная маслом, голубая дорога перед прокуратором провалилась. Он открыл глаза, и первое, что вспомнил, это что казнь была. Первое, что сделал прокуратор, это привычным жестом вцепился в ошейник Банги, потом больными глазами стал искать луну и увидел, что она немного отошла в сторону и посеребрилась. Ее свет перебивал неприятный, беспокойный свет, играющий на балконе перед самыми глазами. В руках кентуриона Крысобоя пылал и коптил факел. Державший его со страхом и злобой косился на опасного зверя, приготовившегося к прыжку.» И в этот момент гигантский черный кот Бегемот — спутник Воланда — мед¬ ленно поворачивается и неторопливо покидает место казни на Лысой горе. Драма завершается, зрители уходят с трибун.
113 ДОКЛАД АФРАНИЯ Роман На балконе появляется Афраний с докладом, что ему не удалось предотвратить убийство Иуды и что он готов идти под суд и в отставку. Прокуратор, подумав, от¬ клоняет просьбу об отставке. Афраний обещает завтра же начать официальное и бес¬ пощадное расследование по обнаружению убийц и их наказанию. Основная трудность состоит в том, что члены Синедриона упорно настаивают, что никому (следователь¬ но, и Иуде) никакие деньги не выплачивались. А предположение, будто Иуда донес Синедриону на Иешуа, неоправданно порочит это почтенное и уважаемое учреждение. И речи быть не может о том, что Синедрион был как-то заинтересован в казни Иешуа. Пилат соглашается, что такая позиция Синедриона может очень осложнить процесс расследования. В то же время надо приложить все усилия, чтобы сотрудничество с Синедрионом продолжалось, развивалось и крепло. «— Да, Афраний, вот что внезапно мне пришло в голову: не покончил ли он сам с собой? — О нет, прокуратор, — даже откинувшись от удивления в кресле, ответил Аф¬ раний, — простите меня, но это совершенно невероятно! — Ах, в этом городе все вероятно! Я готов спорить, что через самое короткое время слухи об этом поползут во всему городу. Тут Афраний метнул в прокуратора свой взгляд, подумал и ответил: — Это может быть, прокуратор.» Неожиданно прокуратор вспоминает, что когда-то он занял у Афрания немного денег и поэтому хотел бы вернуть долг, поскольку и о безделице нужно обязательно помнить (хотя это было действительно давно). Очень кстати в кабинете прокуратора совершенно случайно оказывается тяжелый кошель с золотом. Между прочим, предчувствие не обмануло Пилата. Действительно, вскоре по го¬ роду поползли упорные слухи о самоубийстве раскаявшегося Иуды. Ничего удиви¬ тельного в этом нет, поскольку такой опытный администратор как Пилат, столько лет прослуживший на востоке, естественно, хорошо знал нравы и обычаи местного народа.
1Ц ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА ВНУТРИ КРИСТАЛЛА (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА) Математика Пучок лучей света, войдя в кристалл, движется внутри него по сложным законам и, выходя наружу, сильно преобразуется. Здесь показано одно из возможных распреде¬ лений различных освещенных зон на поверхности кристаллического параллелепипеда. Роман Афраний доставляет во дворец к прокуратору Левия Матвея. Короткая беседа Матвея с прокуратором, в которой выясняется, что Матвея опередили в его стремле¬ нии убить Иуду. «Прошел час. Левия не было во дворце. Теперь тишину рассвета нарушал только тихий шум шагов часовых в саду. Луна быстро выцветала, на другом краю неба бы¬ ло видно беловатое пятнышко утренней звезды. Светильники давным-давно погасли. На ложе лежал прокуратор. Подложив руку под щеку, он спал и дышал беззвучно. Рядом с ним спал Банга. Так встретил рассвет пятнадцатого нисана пятый прокуратор Иудеи Понтий Пилат.»
115 ВНУТРИ КРИСТАЛЛА (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА Математика Наблюдатель находится внутри кристалла и видит «несколько солнц», хотя в действительности они появились лишь в результате сложной системы преломлений различных пучков лучей, вошедших в кристалл через его разные наружные грани. Роман Прощание с Пилатом. Мастер завершает свой роман, освобождая прокуратора. «Луна хорошо помогала Маргарите, светила лучше, чем самый лучший электричес¬ кий фонарь, и Маргарита видела, что сидящий, глаза которого казались слепыми, коротко потирает свои руки и эти самые незрячие глаза вперяет в диск луны. Теперь уж Маргарита видела, что рядом с тяжелым каменным креслом, на котором блестят от луны какие-то искры, лежит темная, громадная остроухая собака и так же, как ее хозяин, беспокойно глядит на луну. У ног сидящего валяются черепки разбитого кувшина и простирается невысыха¬ ющая черно-красная лужа. Всадники остановили своих коней.»
116 СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ, КУБИЧЕСКИЕ, КЛЕТОЧНЫЕ ЦЕПИ (ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ) Математика Понятие симплициальной, или клеточной цепи лежит в основе вычисления та¬ ких топологических инвариантов пространств, как группы гомологий и когомоло¬ гий. Предположим, что пространство представлено в виде объединения элементар¬ ных «кирпичей» — кубов, симплексов, или клеток. Чтобы задать симплициальную цепь, нужно приписать каждому симплексу произвольное число, т. е. снабдить этот «кирпич» числовым коэффициентом. Эти коэффициенты могут быть самой разной природы: целые, рациональные, вычеты по модулю р. Изображенный полиэдр разбит на квадраты. Каждому квадрату приписан числовой коэффициент, условно представ¬ ленный в виде человеческой фигурки. Разные позы — разные коэффициенты. Теперь можно вычислить границу цепи. Просуммируем все отрезки, составляющие границы квадратов, с учетом их числовых коэффициентов. Если в результате получится ноль, цепь называется циклом. Незави¬ симые циклы составляют базис группы гомологий. Роман «— Он говорит, — раздался голос Воланда, — одно и то же, он говорит, что и при луне ему нет покоя и что у него плохая должность. Так говорит он всегда, когда не спит, а когда спит, то видит одно и то же — лунную дорогу, и хочет пойти по ней и разговаривать с арестантом Га-Ноцри, потому что, как он утверждает, он чего-то не договорил тогда, давно, четырнадцатого числа весеннего месяца нисана. Но увы, на эту дорогу ему выйти почему-то не удается, и к нему никто не приходит. Тогда, что ж поделаешь, приходится разговаривать ему с самим собою. Впрочем, нужно же какое-нибудь разнообразие, и к своей речи о луне он нередко прибавляет, что более всего в мире ненавидит свое бессмертие и неслыханную славу... Теперь ваш роман вы можете кончить одною фразой! Мастер как будто бы этого ждал уже, пока стоял неподвижно и смотрел на си¬ дящего прокуратора. Он сложил руки рупором и крикнул так, что эхо запрыгало по безлюдным и безлесым горам: — Свободен! Свободен! Он ждет тебя!» Эта сцена завершает роман о Понтии Пилате. Здесь мы расстаемся с Михаи¬ лом Афанасьевичем Булгаковым. Последний рисунок этого параграфа уже не связан напрямую с «Мастером и Маргаритой», хотя несет его отпечаток.
117 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ Математика В композиции использованы элементы двумерной топологии и теории алгебраи¬ ческих поверхностей. Мифология Ассоциативная связь с «молением о чаше» (Новый Завет). Согласно евангели¬ ям, Иисус перед своим арестом уединяется в Гефсиманском саду и молит Бога не подвергать его тяжкому испытанию. «И, отойдя немного, пал на лице Свое, молился и говорил: — Отче Мой! если возможно, да минует Меня чаша сия; впрочем не как Я хочу, но как Ты» (Евангелие от Матфея. 26:39).
VIII ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АССОЦИАЦИИ в ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ
118 ЗВЕЗДНАЯ ДИАГРАММА ГЕРЦШПРУНГА-РЕССЕЛА Математика Чтобы выяснить, нет ли какой-нибудь зависимости между спектральным классом и светимостью звезды, в начале XX века два астронома — голландец Герцшпрунг и американец Рессел — независимо друг от друга построили следующую диаграмму. Вдоль горизонтальной оси они отложили последовательность спектральных классов, а по вертикальной оси — абсолютные звездные величины звезд таким образом, чтобы они убывали вверх по оси и, следовательно, светимости росли. Каждая звезда изобра¬ зилась на диаграмме точкой. Оказалось, что искомая зависимость существует. Звезды расположились на диаграмме не хаотически, а вдоль нескольких «линий». На рисунке условно изображена так называемая главная последовательность звезд и субкарли¬ ки. В астрономии эта диаграмма сегодня называется диаграммой спектр-светимость. Наше Солнце расположено приблизительно в центре изогнутой, «утолщенной» линии. Сегодня нет общепризнанной версии о том, какова природа этой зависимости. Мифология Библейское пророчество Даниила рассказывает о пире царя Валтасара, прогне¬ вавшего Бога. Валтасар, сын Навуходоносора, устраивает пир, на котором пользуется священными сосудами, захваченными его отцом в Иерусалиме. Из стены храма по¬ является человеческая рука, пальцы которой пишут на стене три загадочных слова: Мене, Текел, Упарсин. В ту же самую ночь Валтасар был убит (Даниил : 5). Неко¬ торые ученые полагают, что в этой легенде нашло свое отражение появление на небе кометы и что правильное прочтение библейского текста позволяет восстановить ее путь на звездном небе.
119 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ Мифология Дж. Дж. Фрэзер сообщает следующий факт. Правитель города Каликута на Ма- лабарском берегу носил титул Саморина. По традициям того времени, по оконча¬ нии двенадцатилетнего царствования Саморин был обязан публично перерезать себе горло. Смерть до истечения этого срока спасла бы его от мучительной церемонии публичного самоубийства на воздвигнутом специально для этого помосте. Сначала полагалось дать пир многочисленной местной знати. По окончании пира он должен был приветствовать гостей и взойти на эшафот, чтобы на глазах присутствующих надлежащим образом исполнить мрачный ритуал. Тут же на престол поднимался следующий царь. Впрочем, такие обычаи, вероятно, существовали лишь ограниченное время. Следующие правители наконец пришли к простой и здравой мысли, что вместо себя можно послать на эшафот «заместителя», например преступника. Либо же трансфор¬ мировать кровавый ритуал в некий символический и неопасный обряд. Именно это вскоре и произошло в реальной истории средневековых обычаев престолонаследия.
120 ПОРТРЕТ ЕЛЕНЫ КУЗЬМЕНКО Математика Известно, что текстовая и зрительная информация часто избыточна. Например, из литературного текста можно без особого ущерба для понимания выбросить фраг¬ менты многих слов, а иногда и целые слова, встречающиеся внутри устойчивых, при¬ вычных словосочетаний, — при этом смысл текста не утратится. Точно так же из зрительного образа можно удалить многие фрагменты, и тем не менее он останет¬ ся узнаваемым. Конечно, нужно удалять лишь малосущественные детали, сохраняя главное. На этой идее основаны многие современные методы теории распознавания образов. Внематематические ассоциации Этот женский портрет лишен некоторых деталей, и тем не менее он сохраняет са¬ мые существенные, характерные, легко узнаваемые черты оригинала. Отсюда видно, насколько устойчиво зрительное восприятие к «белому шуму» помех.
121 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ И ЕЕ РЕАЛИЗАЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ Математика Алгоритмическая неразрешимость задачи классификации многообразий в размер¬ ностях, больших чем три. Математическая бесконечность очень наглядно проявляется в геометрии, причем уже на самых первых стадиях ее изучения. Само понятие пре¬ дельной точки множества основано на идее бесконечности. Одним из наиболее глубо¬ ких проявлений математической бесконечности является алгоритмическая неразреши¬ мость некоторых задач топологии. Каждое гладкое компактное многообразие можно представить в виде симплициального комплекса. Следовательно, составив таблицу, в которой перечислены все симплексы, все их грани и коэффициенты инцидентнос¬ ти, мы можем задать многообразие таблицей (матрицей), рассматривая ее как код многообразия. Возникает задача алгоритмической классификации многообразий фиксированной размерности. А именно: существует ли алгоритм, действующий «по единой програм¬ ме» (допускающий, в принципе, реализацию на компьютере) и отвечающий на следу¬ ющий вопрос: определяют ли два произвольных кода (поданных на «вход» алгоритма) диффеоморфные (или гомеоморфные) многообразия? Многообразия размерности 1 и 2 классифицированы, причем эта классификация очень проста. Относительно многообразий размерности 3 ситуация существенно иная. Сегодня неизвестен алгоритм распознавания и классификации трехмерных многооб¬ разий. Начиная с размерности 4 картина проясняется. Доказано, что многообразия раз¬ мерностей 4, 5, б и т. д. невозможно классифицировать в принципе. Это строгая мате¬ матическая теорема. Итак, начиная с размерности 4 не существует алгоритма, опре¬ деленного на множестве кодов всех таких многообразий и отвечающего на вопрос: задают ли два любые кода, поданные на его «вход», диффеоморфные многообразия? Мифология Майя есть непреодолимая для обыкновенного человека и неизбежная иллюзия те¬ кучести бытия. Школа Шанкары признает майю необъяснимой и отождествляет ее с «незнанием». Это некая вселенская иллюзия, нереальность. Разные философские школы по-разному трактовали этот принцип индийского мировоззрения. Действи¬ тельность понимается всего лишь как греза божества, а мир — это божественная игра. Часто майя выступает как женщина небесного происхождения. Иногда майя появляется как обман, хитрость, колдовское изменение вида. Это одно из ключевых понятий древнеиндийской модели мира.
122 АНТИДЮРЕР. ИЗ ЦИКЛА «ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА» Математика Геометрическая фантазия на темы общематематических концепций. В истории живописи особое место занимают художники XVI-XVIIbb. В их работах ярко отрази¬ лись средневековая философия и научные концепции той эпохи. Интересно проследить эволюцию научных представлений за прошедшие с тех пор 300 лет. Так возник цикл работ «Диалог с авторами XVI века». Многие сюжеты понятны только при сопо¬ ставлении с теми средневековыми произведениями, которые послужили причиной их создания. Настоящая работа — результат размышлений над известной гравюрой А. Дюрера «Меланхолия». За прошедшие три столетия многое изменилось в восприятии научных достижений. Приведем лишь один пример. Дюрер поместил в верхний правый угол магический квадрат. У нас он заменен десятичным разложением числа е = 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967... Эта последовательность цифр записана по квадратной спирали, раскручивающейся от центра квадрата (см. цифру 2 в центре) против часовой стрелки. Изображены первые 121 знаков десятичного разложения числа е. Такие десятичные разложения (некото¬ рых иррациональных чисел) иногда используются как датчики случайных чисел в статистических исследованиях. Зритель может также найти здесь изображение се- паратрисной диаграммы критической точки индекса 1 гладкой функции, заданной на трехмерном пространстве. Это «колокольчик» с язьпсом-сепаратрисой (рядом с числом е). Мифология Средневековый мистицизм достиг одной из своих вершин в толковании чисел, в попытках при помощи арифметических операций над числами открыть законы бытия. Например, характер протекания времени зависел от того, кто «наблюдает» за ним. Считалось, что один день творения для Бога — это тысяча лет с точки зре¬ ния обычного человека. Складывая числа, средневековый мистик был убежден, что он «суммирует» отвечающие им сущности. Хорошо известно средневековое правило обнаружения дьявола. Если заменить в его имени все буквы цифрами и подсчитать сумму, то должно получиться 666. Таким образом, — уверенно утверждали мисти¬ ки, — 666 — это «печать Сатаны». Между прочим, сумма цифровых значений букв имени Сатаны по-еврейски дает 364 = 365 — 1. А следовательно, — продолжали спе¬ циалисты, — над одним днем в году Сатана не властен. Ясно, что такая идеология предоставляла широчайшие возможности для разнообразных толкований одних и тех же словесных формул и заклинаний.
123 АНТИБРЕЙГЕЛЬ. ИЗ ЦИКЛА «ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА» Математика Работа создана по мотивам известной гравюры Питера Брейгеля «Алхимики». Иллюстрируются понятия математической бесконечности (уходящие за горизонт ча¬ ши с расплавленным металлом), динамических потоков, аналитических функций (облака в небе), гомеоморфизма и гомотопии (в виде деформаций человеческого те¬ ла). Отражена эволюция математических представлений за триста лет, прошедших со времен Брейгеля. Мифология Согласно убеждениям средневековых алхимиков, металлы образуют единую сис¬ тему, шкалу. Следовательно, они могут превращаться друг в друга. Особое внима¬ ние уделялось превращениям, в результате которых должно было получиться золото. Многие легенды описывают попытки средневековых мастеров изготовить золото из более распространенных металлов, например из свинца. Даосские алхимические трак¬ таты уделяли особое внимание киновари, наделяя ее волшебными свойствами. Счи¬ талось, что при правильной многократной перегонке киновари можно получить не только золото, но даже эликсир бессмертия. Согласно некоторым рецептам, в особен¬ но критические моменты изготовления золота в кипящий расплав нужно добавлять такие совершенно необходимые компоненты как сушеный хвостик мыши и т. п. Алхи¬ мики работали при дворах европейских монархов, постоянно держа их в напряжении обещаниями «вот-вот» получить груды золота. Неудачи объяснялись, естественно, происками врагов. Впрочем, современная химия в значительной мере выросла из ал¬ химии, так же как астрономия — из астрологии.
Щ СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. КРИСТАЛЛ И ЖИДКОСТЬ Математика Сделана попытка показать взаимоотношение двух языков, используемых в то¬ пологии. Симплициальные пространства можно представлять себе как объекты, «до¬ статочно хорошо» склеенные из простых блоков, элементарных кирпичей: тетраэдров, призм, кубов, параллелепипедов и т. п. Клеточные пространства — это объекты, «до¬ статочно хорошо» склеенные из евклидовых шаров, рассматриваемых с точностью до гомеоморфизмов. Психологический образ симплициального комплекса — это не¬ что угловатое, жесткое, с прямолинейными ребрами и гранями. Нечто похожее на сложный кристалл. Психологический образ клеточного комплекса — это податливое, мягкое, аморфное, гибкое. Как деформирующаяся глиняная скульптура. Тем не ме¬ нее с математической точки зрения в классе «хороших пространств» это один и тот лее вид объектов, если считать, что они склеены из конечного числа элементарных «кирпичей». Каждый конечный симплициальный комплекс является клеточным, и, наоборот, каждый конечный клеточный комплекс представляется в виде симплици¬ ального пространства. Большой кристалл, изображенный справа, обладает сложной группой симметрий. Классификация кристаллических структур — одна из ветвей теории групп. Мифология «Погоня». Человек на переднем плане догоняет убегающую от него фигуру, на¬ ходящуюся на линии горизонта. Вечный бег без отдыха и остановки. Знаменитая средневековая легенда об Агасфере. Во время страдальческого пути Христа на Голгофу под бременем креста Агасфер оскорбительно отказал Иисусу в кратком отдыхе и безжалостно потребовал идти дальше. За это ему было отказано в могильном покое. Он обречен теперь из века в век безостановочно скитаться по миру, ожидая второго пришествия Христа. Встреча с Агасфером — дурное предзна¬ менование. В «Большой хронике» Матвея Парижского (около 1250 г.) рассказано об архиепископе, прибывшем в Англию из Великой Армении и уверявшем, что он лично знаком с живым современником и оскорбителем Христа по имени Картафил. В XV веке миф об Агасфере приобретает более мрачные черты. В этих версиях акцент делается на мотиве наказания Агасфера. В разные столетия время от вре¬ мени появлялись очевидцы, клявшиеся, будто они лично встречали странствующего Агасфера и даже беседовали с ним.
125 МУЗЫКАЛЬНЫЙ КЛУБ «ТОПАЗ» МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ Рисунок посвящен юбилею музыкального клуба, организованного автором в 60-х годах для студентов и сотрудников механико-математического факультета. Изобра¬ жены реальные студенты и аспиранты математики и физики, принимавшие в разные годы активное участие в работе клуба. Слева направо: Александр Звонкин, Анатолий Фоменко, Юрий Лезнер (внизу), Владимир Кузнецов (вверху), Энно Йоон, Валерий Пахомов. Сидящая мужская фигура справа — композитор XIX века Антон Брукнер, произведения которого часто исполнялись и обсуждались на заседаниях клуба.
126 ПОРТРЕТ ЖЕНЫ ТАТЬЯНЫ Математика присутствует здесь лишь в виде сложного рельефа двумерных по¬ верхностей. Характер линий излома, особых точек и ветвей поверхностей напоминает об аналитических функциях. Справа можно увидеть листы однозначности римановой поверхности алгебраической функции.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ. БИБЛЕЙСКАЯ ЛЕГЕНДА О НАЧАЛЕ СТРАШНОГО СУДА Из цикла «Апокалипсис». «И увидел я мертвых, малых и великих, стоящих пред Богом, и книги раскрыты были... и судимы были мертвые по написанному в книгах, сообразно с делами своими... И кто не был записан в книге жизни, тот был брошен в озеро огненное» (Апокалипсис. 20 : 12-15). Средневековая легенда о Страшном суде утверждает, что скоро (впрочем, от¬ носительно конкретных сроков имеются разногласия) состоится второе пришествие Христа-судьи. Он призовет всех на суд и воздаст каждому по делам его. Мотив су¬ да тесно связан с действиями дьявола, выступающего в качестве оппонента Иисуса. Считается, что в будущем Сатана получит кратковременный реванш во времена ан¬ тихриста, однако затем будет окончательно заключен в ад. Средневековая фантазия была неутомима в описании образа Сатаны, приписывая ему чудовищное смешение антропоморфных и животных черт. Пасть Сатаны отождествлялась со входом в ад, у него три лица (красное, бледно-желтое и черное), шесть крыльев нетопыря.
128 АПОКАЛИПСИС Математика Геометрическая фантазия на темы известной библейской книги Апокалипсис. В рисунке использованы разнообразные математические образы в попытке передать глубокое впечатление, которое оставляет эта книга. Среди этих образов следует отметить: понятие математической бесконечности, понятие гомотопии и гомеомор¬ физма (деформации человеческих тел), элементы фрактальной геометрии, линзовые пространства — класс многообразий из трехмерной топологии, особые точки алгеб¬ раических поверхностей. Мифология Мотив Страшного суда — один из самых популярных в средневековой идеологии. В этот момент будут отделены злые люди от добрых, «плевелы» от «пшеницы». Вся Вселенная придет в движение, весь космос содрогнется. Земля и море, звери, пти¬ цы, рыбы отдадут назад поглощенные ими тела мертвецов. Человек, очнувшийся от смертного сна, со страхом видит перед собой Христа-судью и ждет приговора. Рас¬ крываются книги, в которых записаны все свершенные дела. Все это происходит на фоне космической катастрофы. Меркнут луна и солнце, звезды падают с неба, небо лопается и сворачивается, как свиток. Земля разрезается гигантской трещиной, дости¬ гающей до ада, и две получившиеся ее половины начинают медленно поворачиваться, раздавливая все, попавшее между ними.
129 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ Математика Рисунок отражает размышления математика над таким фундаментальным по¬ нятием как математическая бесконечность. Оно сопровождает практически все ма¬ тематические теории, выступая «в разных одеждах» в геометрии, в математичес¬ кой логике, в теории чисел. Потенциальная и актуальная бесконечность, парадоксы математической логики, алгоритмически неразрешимые математические проблемы, континуум-гипотеза и ее разнообразные версии, конструктивная математика, инту¬ иционизм (в духе А. Пуанкаре). Все эти понятия и научные направления вызваны к жизни реальным существованием математической бесконечности. Ее изучение — не только математическая, но и философская проблема познания окружающего нас мира. Внематематические ассоциации Любые два человеческих лица могут быть отождествлены при помощи подходя¬ щего гомеоморфизма. Следовательно, с геометрической точки зрения все разнообразие лиц и их эмоций можно получить из какого-то одного «идеального героя», искажая его бесконечной последовательностью гомеоморфизмов. Представлены внематемати¬ ческие параллели с идеями средневековых художников, пытавшихся запечатлеть свое представление «физической и нравственной бесконечности» в полотнах, посвященных страданиям Иисуса Христа. Средневековая живопись постоянно обращалась к сцене избиения Христа и глум¬ ления над ним, когда он несет свой крест на Голгофу. При этом толпы, окружающие Иисуса, превращались в скопище всех человеческих пороков и страстей. Здесь идея толпы доведена до своего логического завершения. Толпа стала бесконечной. Беско¬ нечной стала и гамма эмоций, охватившая толпу, сопровождающую Христа.
ISO ИСКУШЕНИЕ СВЯТОГО АНТОНИЯ Математика По мотивам известной средневековой легенды об искушении святого Антония. Ис¬ пользован язык математических образов. Видны поверхности Бельтрами. Это «тру¬ бы», «воронки», на которых реализуется гиперболическая метрика (метрика Лоба¬ чевского). Представлены также идеи математической бесконечности, гомеоморфизма, непрерывной деформации, напоминается также о некоторых еще не решенных знаме¬ нитых проблемах, в частности о проблеме Пуанкаре: является ли односвязное ком¬ пактное трехмерное многообразие стандартной сферой? Упомянутая здесь (как еще не решенная) теорема Ферма была решена уже после того, как рисунок был создан. Мифология Согласно легенде, святой Антоний выдержал невероятные испытания и искуше¬ ния, посланные ему. Этот сюжет чрезвычайно популярен в средневековой живопи¬ си. К нему обращаются и многие современные авторы, усматривая в этой легенде общечеловеческий смысл, сохраняющий актуальность во все эпохи. Бесы (особенно распространенные в средневековой Европе) — это бывшие ангелы, отпавшие от Бо¬ га и ставшие слугами Сатаны («ангелами бездны»). Они искушают всех людей, но особенным их вниманием пользуются монахи, отшельники, пустынники, намеренно избиравшие для своих скитов «особо проклятые» места с целью противостоять бесам. Основатель христианского монашества Антоний Великий — герой многих легенд о преодолении бесовских козней. Чтобы добиться полного доверия соблазняемого, бесы могут принимать образ ангела или даже Христа. В этом образе они стараются совра¬ тить монаха с его пути, запугивая или, напротив, расхваливая отшельника. Бесы предлагают себя, в частности, для блуда — мужчине в образе женщины («суккуб»), женщине — в виде мужчины («инкуб»). Если монах ведет себя правильно, бес ис¬ чезает со страшным шумом, оставляя сильный запах серы. Часто бесы являются к подвижнику в виде гротескных чудовищ (огнедышащий змей, медведь со многи¬ ми головами, жаба). К этой же проблематике относятся и знаменитые европейские образы черного пса (пуделя) и черного кота. Бесы инспирируют видения, галлюцина¬ ции, бред, могут являться в образе близких людей. Их крылья (память об ангельском происхождении) — это крылья летучих мышей или дракона.
131 ФАНАТИКИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ В поздне-средневековой Индии долго существовал удивительный обычай. По окончании празднества, происходившего раз в 12 лет, царь Саморина обязан был чет¬ верым из гостей, претендентам на его корону, предоставить возможность совершить дерзкую вылазку — силой оружия проложить себе путь через толпу в несколько тысяч телохранителей, в центре которой находился царь. Тот, кому удастся это практически невозможное предприятие, наследует империю. Вооруженные до зубов телохранители, естественно, получали приказ убить смельчаков. Из толпы выступала группа укра¬ шенных цветами и вымазанных золою людей с мечами в руках. Мгновение — и вот они уже прокладывают себе путь среди копий, отбиваются мечами, извиваясь и кор¬ чась, как угри. Один за другим они падают, сраженные сталью. Они умирают даже не ради призрачной короны, а чтобы продемонстрировать окружающим свою доблесть. Та же великолепная демонстрация храбрости, то же бесполезное принесение в жерт¬ ву человеческих жизней повторяется и в остальные дни праздника (Дж. Дж. Фрэзер «Золотая ветвь»).
132 ПУП ЗЕМЛИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ Пуп земли служит опорой, например, оси мира (в древних мифах). Иногда это вершина горы, к которой пристал Ноев ковчег, когда закончился всемирный потоп. Согласно индийской традиции, Вселенная, расширяясь после взрыва, распространя¬ ется вокруг Пупа земли как своего центра. В византийских мистериях это идеальный центр медитативного транса. Страбон утверждал, что в Дельфах встретились по¬ сланные Зевсом с востока и с запада два орла. В память об этом событии в середине дельфийского храма был установлен мраморный шар. В некоторых традициях Пуп земли отмечается каменными сферами или полусферами (т. е. яйцо или половинка яйца). В Южной Индии такие камни называются до сих пор «пуповыми камнями». Иногда Пуп земли — это место рождения первого человека. У греков Пуп земли рас¬ сматривался и как вход в преисподнюю. Кроме Дельф Пупом земли считался и город Энна в центре Сицилии. Согласно легенде, именно здесь Аид похитил Персефону.
133 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ НА ТЕМУ РАБОТЫ ФОТОГРАФА STEFAN’A ARCZYNSKI: «ZDJECIE DO PLAKATU: PANTOMIMA WROCŁAWSKA»
134 СОЗВЕЗДИЕ ДЕВЫ
135 РАСПЯТИЕ НА ГОЛГОФЕ
136 СЛОВА ЮЛИЯ ЦЕЗАРЯ ПЕРЕД СМЕРТЬЮ: «И ТЫ, БРУТ...»
137 НЕУСТОЙЧИВОЕ РАВНОВЕСИЕ
138 АТЛАНТЫ
139 ЛЕГЕНДА О «ЛЕТУЧЕМ ГОЛЛАНДЦЕ»
IX
цо ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК, ПЛАВАЮЩИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Математика Тяжелый гироскоп — это волчок, т.е. симметричное твердое тело, вращающееся вокруг своей оси. Замечательным его свойством является то, что ось волчка сохраняет свою ориентацию в окружающем пространстве независимо от того, как перемещается аппарат, внутри которого помещен гироскоп (например, ракета). Это важный прибор, применяемый в навигационной технике, в системе ориентации летательных аппаратов в окружающем пространстве. Уравнения движения тяжелого твердого тела изучаются сегодня методами теории дифференциальных уравнений, симплектической геометрии, алгебры и топологии. Если твердое тело имеет «произвольную» форму, т. е. не облада¬ ет никакими симметриями, его движение будет хаотичным, тело будет беспорядочно кувыркаться в пространстве. Мифология Ледяная скала-сосулька, расплавившаяся в космосе. По поверью индейцев-сеналов (Сев. Америка) весь мир был когда-то огненным шаром, а от него огненная стихия перешла на деревья. Именно поэтому, если потереть друг о друга два куска дере¬ ва, появляется огонь. Аналогично, племя майду убеждено, что когда-то Земля была расплавленным шаром, огонь которого впитали в себя деревья. Да и сегодня корни могучих дубов уходят в подземную бездну, где до сих пор пылает пламя, и пьют эту энергию. Поэтому молния чаще всего поражает дуб, стремясь быстрее слиться с подземным огнем. Скрытое пламя, которым питается дуб, очищает от скверны всех, приближающихся к нему. Вокруг дуба распространяется облако невидимого огня. У древних германцев дубы, пораженные молнией, были окружены орелом славы, так как в их обугленном расщепленном остове видели руку самого великого Громо¬ вержца. В геометрическом узоре угловатых ветвей дуба — отражение ломаных стрел небесных молний. (1973 г. Размер: 30,5x42,5 см. Бумага, тушь, перо, карандаш, масло).
Ц1 КОНСТРУИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПОЛИЭДРОВ ИЗ ПРОСТЫХ Математика Показано построение сложных топологических пространств из простых состав¬ ных элементов: симплексов, кубов и т.п. Каждый из этих «кирпичей» снабжен кусочно-линейной структурой и, в частности, имеет грани, являющиеся прямолиней¬ ными многогранниками. Если два «кирпича» имеют линейно-изоморфные грани, то можно отождествить их при помощи линейных гомеоморфизмов (линейных невырож¬ денных отображений). Следовательно, склеив «кирпичи» по этим граням, мы получим более сложный полиэдр. Продолжая этот процесс, мы можем сконструировать чрез¬ вычайно сложный объект. Нетривиальная математическая идея, лежащая в основе этой как будто бы простой операции, состоит в том, что, хотя локально все опера¬ ции склейки линейны, в результате получаются существенно нелинейные объекты. Оказывается, сложные нелинейные структуры часто могут быть аппроксимирова¬ ны кусочно-линейными структурами. Например, сфера может быть представлена как граница выпуклого многогранника. (1972 г. Размер: 31x43 см. Бумага, тушь, перо, карандаш).
Ц2 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Математика Геометрическая фантазия на тему турбулентности и динамических систем. Хао¬ тическое движение траекторий сложных динамических систем (эргодических систем) ассоциируется с эффектом турбулентности в потоках реальной жидкости или газа. Движение раскаленных частиц в потоке пламени подчиняется чрезвычайно сложным закономерностям, часть которых может быть описана дифференциальными уравне¬ ниями в частных производных. Мифология Картина посвящена памяти замечательного литовского поэта и художника М. К. Чюрлениса. Ассоциативная связь с его известной картиной «Над вечным по¬ коем». Странствующий корабль-парусник в ночном океане. Легенда о «Летучем Гол¬ ландце», обреченном бесконечно бороздить моря и внушать страх встречным кораб¬ лям. Раз в году при приближении зимы «Летучий Голландец» уходит далеко на юг к печально знаменитому мысу Горн и пытается обогнуть его, чтобы прорваться из Атлантического океана в Тихий. Однако тяготеющее над ним проклятие не пускает корабль. Другая ассоциация — легенда о Ноевом ковчеге. В первой библейской Книге Бы¬ тия рассказывается: воды подняли ковчег, и он отправился в плавание по поверхности океана, который полностью скрыл под собою всю прежнюю землю. Говорится, что во¬ да поднялась на пятнадцать локтей выше самых высоких гор и погибли все, жившие до Потопа (Бытие, 7:17-20). Когда потоп кончился, вода стала спадать и ковчег, на¬ конец, пристал к вершине горы. Согласно некоторым версиям, это гора Арарат (во всяком случае, сообщения о том, что остатки ковчега найдены здесь в Х1Х-ХХвв. появлялись неоднократно). (1973 г. Размер: 30,5x43 см. Бумага, тушь, карандаш, масло).
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРЕСТРОЙКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ УРОВНЯ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ Математика Каждая гладкая функция, заданная на гладком многообразии, расслаивает его на гиперповерхности уровня. При изменении значения функции (например, при его возрастании), соответствующая поверхность уровня деформируется внутри многооб¬ разия и меняет свое положение. Когда значение функции проходит через критичес¬ кое, поверхность уровня перестраивается, меняется ее топология. К ней специальным образом приклеиваются «ручки» — гомеоморфные образы евклидовых шаров (если функция имеет невырожденные критические точки). Таким образом, различия между соседними поверхностями уровня определяются тем, какие именно критические точки функции попали в пространство (слой) между этими гиперповерхностями. На рисунке в образной форме показаны перестройки поверхностей уровня в виде слоев облаков в небе. Мифология Рассвет последнего дня Валхаллы. Скандинавские и германские мифы рассказы¬ вают о гибели светлых богов (возглавляемых Вотаном). На огромной скале находится Валхалла — храм-обитель богов. Вотану не удалось остановить действие проклятия Альбериха и бог огня Логе уже готовится подняться к небу, чтобы поглотить древний утративший силу пантеон. Боги неподвижно ожидают финала, они не в состоянии из¬ менить события. В это утро начался Всемирный потоп. Вот как рассказывает об этом древний шумерийский миф: «Когда стало рассветать, появилось на горизонте черное облако. Рамман гремел среди небес, а боги Мужати и Лугал предшествовали ему. По¬ добно гонцам шли они по горам и равнинам: Ирригал сорвал с корабля мачту. Явился Ниниб и разразился бурей. Боги Ануннаки вздымали кверху пылающие факелы, бро¬ сающие яркий свет на землю. Смерч бога Раммана поднимался к небесам, и дневной свет потух во мраке... Один не видел другого, люди не узнавали друг друга. Боги на небесах испугались потопа и стали пятиться назад, карабкаться по небосклону к обители Ану. Боги припадали к земле, как собаки, жались у стен. Истар надрывалась от крика, как женщина в родовых муках... » (цит. по: Дж. Дж. Фрэзер. «Фольклор в Ветхрм Завете». М.-Л., 1931. С. 51). (1972 г. Размер: 61x85 см. Бумага, тушь, перо, карандаш).
щ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ Математика «Человеческая фигура», например, под действием гомеоморфизма может изме¬ ниться до неузнаваемости, однако сохранит свои основные топологические характе¬ ристики. Топология, в частности, изучает свойства объектов, сохраняющиеся при го¬ меоморфизмах. Кристаллографические группы и «плотные упаковки» пространства. Пространство можно замостить повторяющимися конгруэнтными фигурами таким образом, что между ними не будет никаких «просветов». Мифология Внутренность пещеры-вселенной. В ее центре поднимается огромный каменный храм, высеченный из монолитной горы. На вершине храма — каменные фигуры гигантов-титанов, переплетенные в яростной последней схватке. У основания этих фигур площадь перед входом в храм. На площади — людские толпы, празднующие первый восход солнца. Торжество, праздник, веселье, выборы жреца-царя. Храм как напоминание о войне титанов с богами. Титаны восстали против богов, но Зевс нис¬ проверг титанов и погрузил их разум во мрак. Безумные титаны напали друг на друга и уничтожили сами себя в этой последней схватке. Те же, кто уцелели, были свергнуты в тартар, подземное царство. Образ горы (например, Олимпа в греческой традиции) — один из центральных в мифологиях многих народов. Гора находится в центре мира, ее вершина упирается в Полярную звезду, а ось мира пронизывает гору сверху донизу. Обычно гора окружена Мировым океаном. Широко распространенный мистический культ пещер тесно связан с культом Горы. Солнце и луна движутся вокруг вершины горы, попеременно скрываясь за ней. С земли вершина горы видна плохо, так как скрыта облаками, и только в моменты великих потрясений открыва¬ ется вид на обитель богов. (1970 г. Размер: 61x85 см. Бумага, тушь, гуашь, карандаш).
Ц5 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПОВЕРХНОСТИ Математика Рисунок передает интуитивное представление о характере аналитических функ¬ ций и аналитических многообразий. Интуитивно им соответствуют плавные геомет¬ рические образы: если встречаются особые точки, то они также составляют «изящ¬ ные» кривые, поверхности. Например, гладкая кривая на плоскости может иметь из¬ лом под углом в 90°. Аналитическая кривая не может иметь такого излома. Типичная картина аналитического излома — это так называемый «клюв», когда две ветви ана¬ литической кривой касаются и угол между двумя касательными нулевой (или 180°). Рисунок представляет разнообразные аналитические образы, кривые, поверхности, их особые точки и т.д. На рисунке также видны некоторые минимальные поверх¬ ности (мыльные пленки, мыльные пузыри). Замечательным фактом является анали¬ тичность минимальной поверхности во всех ее регулярных, т.е. неособых точках. На рисунке показаны также поверхности постоянной средней кривизны — границы раз¬ дела двух физических сред, находящихся в равновесии. Минимальные поверхности — это частный случай, когда давления в соприкасающихся средах одинаковы. Мифология Горящий змей-дракон спускается с неба. Легенда о грехопадении Адама и Бвы. Змей соблазнил Еву съесть запретный плод в раю. Разгневанный Бог проклял за это змея (змею) и сказал, что теперь змея будет всю жизнь ползать на животе и всегда будет вражда между потомками змеи и потомками Евы: люди будут убивать змею ударом по голове, а змея будет жалить людей в пятку. В то же время образ огненно¬ го змея-дракона чрезвычайно распространен в мифологии практически всех народов. Очень часто радуга — это часть туловища огромного змея, смутно видимого сквозь облака после дождя. Отсюда же происходит, вероятно, обычай сжигать клубок живых змей на костре под пение ритуальной молитвы. Многие племена считают, что завид¬ ный дар бессмертия, достигаемый путем периодического сбрасывания кожи (как у змеи), был некогда доступен человеческому роду, но по несчастной случайности дар этот перешел к некоторым низшим созданиям. На Каролинских островах существует предание, что некогда люди не знали смерти, или точнее, она была лишь кратким сном. Люди умирали вместе с исчезновением луны и возрождались к жизни с но¬ вым появлением ее, как бы просыпаясь после освежающего сна. Но некий злой гений (змей?) сумел каким-то образом превратить легкий сон в вечный и непробудный. (Дж.Дж. Фрэзер. «Фольклор в Ветхом Завете»). Эта красивая и грустная легенда в разных вариантах встречается во многих мифологиях. (1971 г. Размер: 50x70 см. Картон, масло).
Ц6 АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КУММЕРА И ЕЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ Математика Изображена известная поверхность Куммера с восемью вещественными двойны¬ ми точками и двойными плоскостями. Каждая из восьми вещественных двойных плос¬ костей содержит четыре вещественные двойные точки. Оставшиеся две точки комп¬ лексно сопряжены. Поверхность степени 4 может иметь в комплексном проективном пространстве не более 16 обычных двойных точек. Поверхности четвертой степени, имеющие точно такое число двойных точек, называются поверхностями Куммера. Со¬ отношения инцидентности между 16 двойными точками и 16 плоскостями одно и то же для всех поверхностей Куммера. Каждая из этих 16 плоскостей касается поверх¬ ности Куммера вдоль коники. Другими словами, пересечение поверхности с такой плоскостью является кривой второй степени в плоскости и плоскость касательна к поверхности в каждой точке пересечения. В силу этих соображений такие плоскости называются двойными. В отличие от кубических, поверхности четвертой степени в комплексном проективном пространстве еще полностью не классифицированы. Такой полный список должен будет содержать несколько сотен типов поверхностей. Поверх¬ ности Куммера — это пример поверхностей степени 4, играющих важную роль в теории алгебраических поверхностей. Это теория — особый «мир», населенный заме¬ чательными объектами, один из которых зритель видит в этой работе. Мифология Легенда о ниспровержении языческого бога Перуна в Древней Руси при Влади¬ мире Святом. Вернувшись в Киев, Владимир прежде всего крестил сыновей, затем приказал ниспровергнуть языческие идолы. Одних рассекли на части, других сожг¬ ли, а главного — Перуна — привязали к хвосту лошади и потащили с горы, причем двенадцать человек били истукана палками. «Это было сделано, — прибавляет лето¬ писец, — не потому, чтобы дерево чувствовало, но на поругание бесу, который этим идолом прельщал людей, — так пусть же от людей примет и возмездие. Когда волок¬ ли идола в Днепр, то народ плакал: а когда Перун поплыл по реке, то приставлены были люди, которые должны были отталкивать его от берега, до тех пор пока пройдет пороги» (С.М. Соловьев. Сочинения. Кн. 1. М.: Мысль, 1988. С. 175). Однако древний Перун не проклял свою землю, а благословил ее. (1971 г. Размер: 38x52 см. Бумага, тушь, гуашь, перо, карандаш).
Ц 7 ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ Математика Показана картина обтекания сложного твердого тела, помещенного в набегаю¬ щий поток жидкости или газа. Наиболее интересные события происходят в так на¬ зываемом пограничном слое, т.е. в слое жидкости, непосредственно примыкающем к границе твердого тела. Поток жидкости можно моделировать векторным полем, ин¬ тегральные траектории которого изображают линии тока в жидкости, т.е. линии, по которым движутся частицы жидкости. Наиболее важные события происходят в осо¬ бых точках векторного поля. Например, они могут соответствовать источникам или стокам жидкости, или же носить седловой характер. Например, на рисунке отчет¬ ливо видно образование седловой точки потока в том месте, где набегающий поток ударяется о поверхность тела, ортогональную одной из линий тока. Интересно, что многие важные примеры потоков жидкости на поверхностях можно моделировать по¬ тенциальными векторными полями, потенциалы которых являются вещественной или мнимой частью комплексных функций. Мифология Гибель Аякса — одного из героев Троянской войны. Отличаясь буйным и дерзким нравом, во время взятия Трои изнасиловал знаменитую предсказательницу Кассанд¬ ру, искавшую защиты у алтаря Афины. За это святотатство ахейцы хотели побить его камнями, но Аякс нашел убежище у того же алтаря Афины. Однако при возвраще¬ нии флота разгневанная Афина разбила бурей у Кикладских островов корабль Аякса, метнув в него перун. Аякс пытался спастись, уцепившись за скалу, но тут же само¬ надеянно похвалился, что остался жив вопреки воле богов. Это заяявление оказалось роковым. Посейдон ударом трезубца расколол скалу, — и Аякс погиб в бушующем океане и огне. (1980 г. Размер: 36x52 см. Бумага, тушь, перо, карандаш).
Краткие сведения об авторе: Анатолий Тимофеевич Фоменко родился в 1945 г. Он академик Российской Ака¬ демии наук, действительный член Российской Академии естественных наук, дей¬ ствительный член Международной Академии наук высшей школы, доктор физико- математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геомет¬ рии и приложений механико-математического факультета Московского государствен¬ ного университета. А. Т. Фоменко решил проблему Плато в теории многомерных спектральных ми¬ нимальных поверхностей, создал теорию послойной классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Он автор 180 научных работ, 30 монографий и учебников по математике и приложениям, переведенных на английский, французский, японский и др. языки зарубежными издательствами. Специалист в области геомет¬ рии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, сим- плектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геомет¬ рии. Лауреат премии Московского математического общества (1974), лауреат премии президиума Академии наук СССР за работы по вариационному исчислению (1987), лауреат Государственной премии России за работы в области геометрии и теории динамических систем (1996).
ОГЛАВЛЕНИЕ Ю.И.Манин. Вместо предисловия Введение. Геометрические образы и ассоциации в математике I. Геометрические ассоциации в топологии Рогатая сфера (сфера Александера) 1 Двумерные поверхности в трехмерном пространстве 2 Локально гомологически нетривиальное пространство 3 Расслоенные пространства 4 Топологический зоопарк 5 Теорема о симплициальной аппроксимации 6 Выворачивание двумерной сферы наизнанку в трехмерном пространстве 7 Расслоение Хопфа и разбиение трехмерной сферы 8 Действие фундаментальной группы на высших гомотопических группах 9 Спектральные последовательности и орбиты действия групп 10 Спектральная последовательность 11 Косы и зацепления 12 Операция разрезания поверхности 13 Алгебраические операции с геометрическими объектами 14 Гомеоморфизм 15 Гомеоморфизм, достаточно близкий к тождественному 16 Развертка триангуляции шара 17 «Теорема о мостовых» 18 Нетривиальный узел в трехмерном пространстве 19 Гомеоморфизмы двумерных поверхностей 20 Гомотопия и вязкая жидкость 21 Топологическая задача «о расцеплении зацепленных пальцев» 22-26 II. Геометрические ассоциации в теории многообразий Касательное расслоение 27 Бильярды и эргодичность 28 Бильярд. Клеточные комплексы 29 Внутренние и граничные точки многообразия. Симметрические пространства 30 Гауссово отображение 31
Комплексная динамика и множества Жулиа 32 Кривизна и кручение 33 Проблема алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы в классе всех трехмерных многообразий 34 Двумерная сфера в трехмерном пространстве может быть вывернута наизнанку 35 Операции скручивания, или операции Дена 36 Между двумя максимумами всегда есть седловая критическая точка 37 III. Геометрические ассоциации в математическом анализе Критические невырожденные многообразия гладких функций 38 Поверхность уровня сложной гладкой функции 39 Особые точки алгебраических поверхностей 40 Функции Морса и теорема об эйлеровой характеристике 41 График непрерывной, но не гладкой функции 42 Правильные функции Морса на трехмерных многообразиях 43 Особенности гладких функций 44 Риманова поверхность функции w = (1 — z2)1/4 45 Деформация римановой поверхности алгебраической функции 46 IV. Геометрические ассоциации в теории дифференциальных уравнений и физике Теория возникновения и распространения трещин в сплошной среде 47 Эффект намагничивания 48 Векторные поля с нулевой дивергенцией 49 Удар 50 Теория колебаний, волновые процессы 51 График непрерывной, но не гладкой функции 52 Задача о вихрях 53 Движение частиц в электромагнитном поле 54 Случаи интегрируемости и неинтегрируемости гамильтоновой системы, описывающей движение нескольких вихрей 55 Пограничный слой 56 Картина обтекания шара набегающим потоком газа 57 Вибрация жидкости и форма капли 58 Сфера Пуассона 59 Качение и скольжение 60 V. Геометрические ассоциации в вариационном исчислении Этап доказательства теоремы существования глобально минимальных поверхностей 61 Дискретные группы, порожденные отражениями 62
Теорема Пуассона-Лапласа и принципы Плато 63 Площадь поверхности стремится к нулю, а «предел» поверхности совпадает со всем пространством 64 Полиэдры и матрицы инциденций 65 Орбита действия бесконечной группы 66 Двумерные полиэдры, матрицы инциденций, группы цепей 67 Градиентный спуск 68 Ориентируемость и неориентируемость многообразий 69 2-Адический соленоид 70 Гомотопия и отрыв капли от твердой поверхности 71 Пространственная задача многих тел в небесной механике 72 Элементы топологии многообразий 73, 74 VI. Геометрические ассоциации в алгоритмической и компьютерной геометрии Проблема распознавания образов 75 Теорема о фундаментальных группах четырехмерных многообразий 76 Интеграл Римана 77 Ряды Фурье 78 От хаоса к порядку 79 Неорганизованный хаос и геометрия 80 Гауссовы распределения.1 81 Гауссовы распределения. II 82 Вероятностные случайные процессы 83 Замечательные числа. 1 84 Замечательные числа. II 85 Спайны двух трехмерных гиперболических компактных замкнутых многообразий наименьшей сложности 86 Геометрия и вероятность 87 Статистическая фантазия 88 Компьютерная геометрия в теории чисел 89 VII. Геометрические ассоциации в романе М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита» Склейка полиэдров уменьшает их общую границу (топология) 90 Полиэдры и симплициальные цепи (алгебраическая топология) 91 Взгляд 92 Казнь Иешуа 93 Марк Крысобой 94 Полиэдры и их границы (топология) 95 Симплициальные комплексы (алгебраическая топология) 96 Казнь 97
«Тьма закрыла Ершалаим» 98 Левин Матвей 99 Мастер и Маргарита 100 Маргарита и зодиакальное созвездие Скорпиона 101 Двумерный тор как фактор плоскости по действию группы Z + Z (группы Ли) 102 Евклидова плоскость — простейшая минимальная поверхность (минимальные поверхности) 103 Алгебраические поверхности высокого порядка и теорема о симплициальной аппроксимации (топология и теория функций) 104 Одномерная проблема Плато. Задача Штейнера (вариационное исчисление) . 105 Точки бифуркаций (анализ) 106 Ретракция пространства на его подпространство (топология) 107 Ночной разговор 108 Граничный оператор (алгебраическая топология) 109 Полиэдры. Отрыв капли жидкости от твердой поверхности (геометрия и гидростатика) 110 Общая граница полиэдров может уменьшиться при их склейке (теория полиэдров) 111 Рост кристаллов (кристаллография) 112 Доклад Афрания 113 Преломление света внутри кристалла (геометрическая оптика) 114 Внутри кристалла (геометрическая оптика) 115 Симплициальные, кубические, клеточные цепи (теория гомологий) 116 Геометрическая фантазия 117 VIII. Геометрические ассоциации в общематематических концепциях Звездная диаграмма Герцшпрунга-Рессела 118 Геометрическая фантазия 119 Портрет Елены Кузьменко 120 Математическая бесконечность и ее реализация в геометрии и топологии 121 Антидюрер. Из цикла «Диалог с авторами XVI века» 122 Антибрейгель. Из цикла «Диалог с авторами XVI века» 123 Симплициальные пространства и клеточные пространства. Кристалл и жидкость 124 Музыкальный клуб «Топаз» механико-математического факультета МГУ.... 125 Портрет жены Татьяны 126 Геометрическая фантазия. Библейская легенда о начале страшного суда 127 Апокалипсис 128 Математическая бесконечность 129 Искушение святого Антония 130 Фанатики. Геометрическая фантазия 131
Пуп земли. Геометрическая фантазия 132 Топологическая фантазия на тему работы фотографа Stefan’a Arczynski: «Zdjecie do Plakatu: Pantomima Wrocławska» 133 Созвездие Девы 134 Распятие на Голгофе 135 Слова Юлия Цезаря перед смертью: «И ты, Брут...» 136 Неустойчивое равновесие 137 Атланты 138 Легенда о «Летучем Голландце» 139 IX Тяжелый волчок, плавающий в пространстве 140 Конструирование сложных полиэдров из простых 141 Турбулентность 142 Топологические перестройки поверхностей уровня гладких функций на многообразиях 143 Топологические гомеоморфизмы 144 Аналитические функции и поверхности 145 Алгебраическая поверхность Куммера и ее особые точки 146 Особые точки векторных полей и пограничный слой при обтекании твердого тела в жидкости 147 Краткие сведения об авторе
Научно-популярное издание Фоменко Анатолий Тимофеевич МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ Зав. редакцией И. И. Щехура Редактор Р. А. Бунатпян Художественный редактор Ю. М. Добрянская Технический редактор Н. И. Матюшина Корректор Н. И. Коновалова Оригинал-макет подготовлен с использованием издательской системы Исполнитель Р. А. Бунатпян
Изд. лиц. Ne 040414 от 18.04.97 Подписано в печать 25.09.2001. Формат 60x90 1/8. Бумага офсетн. N° 1. Офсетная печать. Уел. печ. л. 40,0 (в т.ч. 2,0 п.л. цв.вкл.). Уч.-изд. л. 35,28. Тираж 3000 экз. Заказ N° 4602. Изд. № 6570. Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета. 103009, Москва, ул. Б.Никитская, 5/7. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Можайский полиграфический комбинат». 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
Фоменко А.Т. Ф 76 Математика и миф сквозь призму геометрии. - М.: Изд-во Моск, ун-та, 1998. - 320 с. ISBN 5-211-03928-9 Графический материал, предлагаемый читателю, — это попытка «сфотографи¬ ровать изнутри» своеобразный мир современной математики. А. Т. Фоменко, академик РАН, профессор Московского университета, давно известен и как весьма оригинальный художник. В настоящей книге собраны его работы, выполненные в разные годы. Для широкого круга читателей. УДК 51+008 ББК 22.1+71
I