A. M. КОЛЬЧУЖКИН, В. В. УЧАЙКИН
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ПРОХОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
А.М. КОЛЬЧУЖКИН, В. В. УЧАЙКИН
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ПРОХОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1978
УДК 539.12.17
” К о л ь ч у ж к и н А. М„ Уча й к и и В. В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М., Лтом-издат, 1978, 256 с.
В книге рассмотрены уравнения, описывающие распространение частиц в веществе, и часто применяемые методы их решения. В основу изложения положено двойственное описание поля излучения с помощью прямого и сопряженного кинетических уравнений. Значительное внимание уделено изложению метода функций Грина и теории возмущений. Отдельная глава посвящена теории статистических флуктуаций характеристик поля излучения. Развитый в ней подход используется при описании принципов метода Монте-Карло. В последней главе рассмотрены особенности применения метода Монте-Карло к задачам переноса заряженных частиц.
Книга рассчитана па инженеров и научных работников, специализирующихся в области применения ионизирующих излучений для практических целей (дозиметрия и защита от излучений, радиационная физика, дефектоскопия, радиология), а также на студентов старших курсов соответствующих специальностей.
Рис, 34. Табл. 5. Список литературы 133 наименования.
,, 20408—031
К 034(01)—78 31~78
© Атомиздат, 197Д
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкое использование пучков нейтронов, у-квантов, электронов и других частиц для решения научных и прикладных задач требует проведения расчетов полей излучения для источников и поглотителей различных конфигураций и свойств. Кинетические уравнения, описывающие процесс прохождения частиц через вещество, имеют достаточно сложный вид и в большинстве случаев могут быть решены только на ЭВМ. Численные методы теории переноса изложены в известных монографиях (см., например, [9, 28, 64, 75, 99]) и периодической литературе, Однако для изучения и применения этих методов в инженерных расчетах'необходимо владеть основными понятиями теории переноса, уметь выполнять типичные преобразования кинетических уравнений, иметь представление о важнейших подходах к решению этих уравнений. Изложению этих вопросов и посвящена книга.
В основу изложения положено двойственное описание поля излучения с помощью прямого и сопряженного кинетических уравнений (гл- 1, 2). После краткого обсуждения наиболее популярных подходов к решению кинетических уравнений в однородной среде (гл. 3) рассматривается аппарат функций Грина, включая вопросы симметрии функций Грина, преобразование подобия, особенности плотности потока и сопряженной функции, теория возмущений высших порядков (гл. 4).
Прохождение частиц через вещество является случайным процессом, а обычные кинетические уравнения описывают лишь средние характеристики поля излучения. В гл. 5 изложена теория флуктуаций, на основе которой затем даны основные принципы метода Монте-Карло (гл. 6). В последней главе рассмотрены особенности применения этого метода к задачам переноса заряженных частиц.
з
 Наряду с общими вопросами теории переноса, которые в течение ряда лет излагались авторами в лекциях в Томском политехническом институте, в книгу включены некоторые оригинальные результаты, служащие иллюстрацией отдельных положений теории. Эти примеры, безусловно, не отражают всего разнообразия конкретных результатов теории переноса, изложенных во множестве журнальных статей, сборников и монографий. Поэтому в списке литературы основное место занимают монографии, в которых можно найти обширную библиографию по многим специальным вопросам теории переноса.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА
§ 1.1. Источник
Сложный процесс прохождения частицы через вещество в большинстве случаев можно представить в виде последовательности элементарных процессов: рождение частицы (или испускание ее источником), одно или несколько ее взаимодействий со средой, в промежутках между которыми она движется свободно, и гибель частицы в результате одного из взаимодействий (или вылет из рассматриваемой системы без возвращения в нее).
Состояние отдельной частицы в определенный момент будем описывать набором переменных г, Й и Е, представляющих собой радиус-вектор точки, в которой находится частица, направление ее движения и энергию. Совокупность этих переменных будем называть фазовыми координатами частицы и обозначать одной буквой х. Множество всех значений х назовем фазовым пространством, а произведение dx ~ dVdSidE по аналогии с dV = dxdydz — элементарным фазовым объемом. Распределение источников в среде описывается функцией S (х, I), которая равна среднему числу частиц, испускаемых в единицу времени единичным фазовым объемом, и называется дифференциальной по углам и энергии плотностью источников. Интегрируя эту функцию по всем направлениям Я, получаем дифференциальную по энергии плотность источников (энергетический спектр источников), а интегрируя S (х, t) по Е, получаем дифференциальную по углам плотность источников (угловое распределение источников).
Если зависимость S от какой-либо из переменных г, Я, Е, t описывается 6-функцией, источник называют соответственно точечным, мононаправленным, моноэнергепическим или мгновенным. Важную роль в теории играет источник, обладающий всеми этими свойствами (^-источник)'.
S6 (х, t) = 6 (х — х0)6 (t — t0) =
= 6 (г — г0)6 (Й — Я0)6 (Е — Ео)6 (t — t0).
5
В практике расчетов часто встречаются источники, плотность которых не зависит от координат в занятой ими области (однородные источники), направления (изотропные источники) или времени (стационарные источники).
§ 1.2. Сечения
Частица, вылетающая из точки г в направлении Я с энергией Е, на пути dl может испытать рассеяние, поглощение (захват), деление или пройти этот путь' без взаимодействий. Рассеиваясь, частица изменяет энергию и направление движения, при поглощении она исчезает, в процессе деления возникают несколько частиц того же типа. Вероятности этих процессов пропорциональны пути dl: dPe 'Zsdl\ dPc =Hcdl,l dPf = %fdl, а коэффициенты пропорциональности, зависящие только от энергии частицы (в неоднородной среде и от координат), называются макроскопическими сечениями этих процессов. Макроскопические сечения имеют смысл вероятностей соответствующих процессов на единице длины пути частицы, а их сумма, называемая макроскопическим сечением взаимодействия, 2 «Sj 4- Зе+ , + равна вероятности любого взаимодействия на единице длины пути. Очевидно, вероятность того, что путь dl будет пройден без взаимодействия, равна 1 — 3d/.
Обозначим Р (I) вероятность -того, что длина пробега частицы до первого столкновения (длина свободного пробега) превысит I. Тогда вероятность того, что частица пройдет без столкновений путь I -|- dl, будет равна произведению Р (I) на вероятность того, что интервал (I, I + dl) будет пройден без взаимодействий: Р (I + dl) = Р (/)[1 — 3d/]. Разлагая левую часть в ряд, приходим к дифференциальному уравнению dPtdl —— ЗР, Р (0) == 1, решение которого для бесконечной однородной среды имеет вид
Р (I) =ехр (-3/).	(1.1)
Пропорционально этой вероятности убывает и число частиц, прошедших путь / без взаимодействий, причем коэффициент 3 определяет скорость убывания. Поэтому 3 называют еще линейным коэффициентом ослабления.
Из формулы (1.1) легко найти среднюю длину свободного пробега: < I > = 7 IdP (I) = 1/3.
6
Для характеристики распределения частиц после рассеяния вводят дифференциальное по углам и энергии сечение рассеяния 3s (О О', Д->Д'), равное вероятности того, что частица с направлением движения Я и энергией Е на единице длины пути испытает рассеяние в единичный телесный, угол около направления Я' и приобретет энергию из единичного интервала около Е'. Очевидно*, П 3S (Я -> Я', Е -> E'jdQ'dE' = Ss (Д).
В отличие от 33(Я—>Я', Е -> Е') дифференциальное сечение деления Зу(Я->Я', Е -> Е') определяется как среднее число частиц, возникающих в процессе деления на единице длины пути первичной частицы в соответствующих интервалах около Я' и Е'. Поэтому £(' 3, (Я —Я', Д —>-->- E’)dQ'dE' = п (Д)3у (Д), где и. (Д)— среднее число частиц, возникающих при одном делении.
В задачах, где поляризационными (спиновыми) эффектами можно пренебречь, угловая зависимость дифференциального сечения является функцией только угла рассеяния О (cos 0 == ЯЯ'):
3S (Я -> Я', Д -> Д') = 38 (ЯЯ', Д Д') =
— 3S (cos 0, Д-> Д').	(1.2)
Интегрируя (1.2) по Д', получаем дифференциальное по углам сечение рассеяния
Е
J Зв(Я->Я', Д-> ЕУ1Е' ==3,(Я->Я', Д) =
= 5„(ЯЯ', Д),	(1.3)
представляющее собой вероятность того, что частица па единице длины пути испытает рассеяние, в результате которого направление ее движения попадет в единичный телесный угол около Я', а энергия примет любое допустимое значение. Аналогично записывается и дифференциальное по энергии сечение рассеяния:
3,(Д->Д') =f Ss (Я-^-Я', Д->Д')ЙЯ'.	(1.4)
4я
Часто бывает удобно перейти от дифференциального по энергии сечения рассеяния к дифференциальному по^пе-реданной энергии сечению рассеяния 3S (Q; Д), представляю
* Если интегрирование проводится по всей области изменения переменных, соответствующие пределы будем для краткости опускать.
7
щему собой вероятность того, что па единице длины пути частица испытает рассеяние, в результате которого потерянная энергия Е — Е' попадет в единичный интервал около Q. По известным правилам преобразования плотности вероятности получаем
Ss (Q; Е) = 2S (Е -> Е' (Q)) | dEf (Q)/dQ | =
= Ss(E->E--Q).	(1.5)
Если энергия рассеянной частицы и угол рассеяния однозначно связаны друг с другом, дифференциальное по О' и Е' сечение имеет вид произведения 6-функции на одно из сечений (1.3), (1.4). Так, в случае упругого'рассеяния
Se (Й О', Е->Е') =Sa (Е -> Е') (l/2tt)6(cos 0 — ц),
(1.6)
где fi = [(А + 1)/2] VE'IE — [(А - 1)/2] V'EIE' — косинус угла рассеяния частицы, имеющей после рассеяния энергию Е'\ А — отношение массы атома вещества к массе взаимодействующей с ним частицы [64, с. 18].
С дифференциальными сечениями рассеяния связаны некоторые интегральные характеристики, описывающие усредненный результат рассеяния. К их числу относятся:
. средний косинус угла 'рассеяния
<cos 0> = [1/Ss (Е)] J cos 0Se (cos0, E)dO; (1.7) -	Л<гг
средние потери энергии па единице длины пути (тормозная способность вещества)
Р (Е) =/	(Q; E)dQ‘,	(1.8)
. о
средняя логарифмическая потеря энергии
в
£ == [1/Ss (Е)] J In (E/E')Se (E-> E')dEr (1.9)
. и др.
Величина (1.9) находит применение в нейтронных задачах, когда дифференциальное по энергии сечение рассеяния имеет вид [6, с. 124]:
2ДЕ->Е') =
S3(E)
Е(1—а) ’
О
аЕ<Е' <Е
Е>' аЕ
(1.Ю)
8
где а = [(Л — 1 )/(А	I)]2, т. е. все допустимые значений
энергии рассеянной частицы распределены равномерно. Подставляя (1.10) в (1,9) и интегрируя по частям, получаем, что £ не зависит от энергии: £ — 1 -|-(aln a)/(l — а). Это означает, что если от энергии частицы Е перейти к новой переменной
и = In (£*/£), Е* = const,	(1.11)
называемой летаргией, то после каждого столкновения летаргия частицы в среднем будет возрастать на одну и ту же величину (и' — и) = < In^*/#') — In (Е*/Е) > = = < In (Е/Е’) > = £. В качестве постоянной Е* удобно выбрать максимальное значение Е, тогда переменная и будет положительной.
Дифференциальные по летаргии сечения, соответствующие (1.6) и (1.10), имеют вид:
(Я ->- Д', и -> «') = 2а (и -> u'){l/2n)S (cos 0 — ц);
(1.12)
(н->- и') = ЗДД (w) -+JE' (и')) | dE'/du' | =
— [Se (E («))/(! — a)] exp [—{id — «)];	(1.13)
и < и' < и — Ina.
§ 1.3. Характеристики поля излучения
Для описания распределения частицв фазовом пространстве в теории переноса вводят понятие дифференциальной по углам, и энергии плотности часпищ n{r, й, Е, t). Эта величина представляет собой среднее число частиц, находящихся в единичном фазовом объеме около точки х== (г, й, £) в момент t. Другие характеристики поля излучения можно выразить через п (х, /). Рассмотрим, например, элементарную площадку ds с центром в точке г п нормалью н. Очевидно, что за время dt эту площадку пересекут те частицы с направлением движения й и энергией Е, которые находятся в элементарном объеме dV = | vn \dsdt =| йп| vdsdt, где v = ой — скорость частиц, соответствующая энергии Е (рис. 1.1). Число таких частиц равно
п (х, t)dV = | йп [ Ф (г, Й, Е, t)dsdt, (1.14) где функция
Ф (г, Й, Е, f) ~ v/i (г, fi, Е, t) (1.15)
9
Рис. 1.1. К ойределению дифференциальной плотности потока
называется дифференциальной по углам и энергии плотностью потока частиц в момент t (пли просто дифференциальной плотностью потока). Из (1.14) видно, что дифференциальная плотность потока равна числу частиц с энергией из единичного интервала около Е и направлением внутри единичного телесного угла около О, пересекающих в единицу времени единичную площадку с центром в точке г, перпендикулярную й. Таким образом, дифференциальная плотность потока является обобщением широко используемого в физике понятия плотности потока частиц.
Если обе части равенства (1.15) умножить на dx и учесть, что п (х, t) dx есть число частиц в элементарном объеме фазового пространства, a v — скорость этих частиц, то величину Ф (х, t)dx можно интерпретировать как путь, проходимый в единицу времени частицами,
принадлежащими фазовому объему dx, а саму плотность потока Ф (х, I) — как путь,' который проходят частицы, принадлежащие единичному объему фазового пространства, в единицу времени.
Важной количественной характеристикой поля излучения является число частиц, падающих в единицу времени на поверхность шара малого радиуса. Согласно (1.14), внутрь сферы в единицу времени входит
f | Йп | Ф (г, Й, Е, t)cls Йп<0
(1.16)
частиц с параметрами Й, Е. Здесь п — нормаль к поверхности сферы, а интегрирование проводится лишь ио той части поверхности, где йп < 0. Это условие выделяет из потока частиц, пересекающих поверхность сферы, только те, которые входят внутрь шара. Если объем шара ДУ достаточно мал, то, пренебрегая изменением Ф, величину (1.16) можно записать в виде
Ф (г, Й, Е, t) f | Йп | ds = Ф (г, Й, Е, t)Es, йп<0
где Да —площадь поперечного сечения сферы. Интегрируя это выражение по всем направлениям й, найдем число
ю
частиц с энергией, принадлежащей единичному энергетическому интервалу около Е, попадающих внутрь сферы. Оно равно Ф (г, Е, ^)Дя, где Ф (г, Е, £) = j Ф (г, й, Е, i)d£l. Функцию Ф (г, Е, t) называют энергетическим распределением (спектром) частиц в точке г. Аналогично, интегрируя дифференциальную ^плотность потока по всем значениям энергии, приходим "к угловому распределению частиц-.
Ф (г, Й, t) = J Ф (г, Й, Е, t)dE.
Полное число частиц, входящих внутрь малой сферы в единицу времени, отнесенное к поперечному сечению As, называют плотностью потока частиц в точке г и обозначают Ф (г, t). Очевидны соотношения
ф (г, t) =4f Ф (г, Е, t)dE --- У Ф (г, Й, t)dQ = «=ЯФ (г, Й, Е, tylQdE.	(1.17)
С дифференциальной плотностью потока частиц связан ряд других важных характеристик поля излучения. Так, для характеристики плотности потока энергии, переносимой частицами, вводят следующие величины:
дифференциальную плотность потока энергии
I (г, Й, Е, t) == ЕФ (г, Й, Е, С;
энергетический спектр излучения
I (г, Е, t) = J I (г, Й, Е, t)dd;
интенсивность излучения
I (г, t) / (г, Е, t)dE,	(1.18)
физический смысл которых очевиден.' Например, интенсивность излучения есть количество энергии, падающей в единицу времени на поверхность сферы единичного сечения.
Из интерпретации дифференциальной плотности потока как пути частиц, принадлежащих единичному фазовому объему, и вероятностного смысла макроскопического сечения взаимодействия (см. § 1.2) вытекает, что произведение
F (х, t) = S (х)Ф (х, t)	(1.19)
равно среднему числу столкновений, происходящих за единицу времени в единичном фазовом объеме около точки х. Оно называется дифференциальной плотностью столкнове
Ы
ний. Заменяя в (1.19) S (х) величиной Ss (х) или Sc (х), получаем дифференциальную плотность рассеяний Fs (х) или поглощений FB (х) соответственно.
Из тех же соображений следует, что произведение
Ss (О' Й, Е' Е)Ф (г, й', Е', t) (1.20) равно числу рассеяний с изменением направления й' -> й и энергии Е'-+-Е, происходящих в единицу времени в единичном фазовом объеме. Интеграл от него по Й' и Е' (интеграл столкновений')
R (г, Й, Е, t) = f dQ' f dE'Sa (Й' -> Й, Е'->£)Ф(г, Й', Е', t) (1-21) дает число частиц, появляющихся в единичном фазовом объеме около точки х= (г, й, Е) в единицу времени за счет процессов рассеяния с изменением параметров й' —>- й и Е' Е. Учитывая, что R по смыслу близко к дифференциальной плотности источников S, а по размерности совпадает с ней, назовем R дифференциальной плотностью источников рассеянных частиц. Сумму 3 ~ S + R будем называть эффективной дифференциальной’плотностью источников.
Проинтегрировав (1.19) по й и Е, найдем пространственную плотность столкновений, т. е. полное число столкновений, происходящих в единице объема в единицу времени:
F(r,i) =j; F(r,Q,E, t)dQdE.
Умножая дифференциальную плотность потока на тормозную способность р (г, Е) и интегрируя по й и Е, находим объемную плотность энергии, теряемой при столкновениях:
Q (Г, о = Л ₽ (п £)Ф (г, Я. Е, f)dQdE.
В теории переноса нейтронов используется понятие плотность замедления. Эта величина определяется соотношением
Е/а Е	1
q (г, E,t) = I dE' J dE"® (r, E', t)Ss (E'	E“). (1.22)
E aE’
Внутренний интеграл в этой формуле представляет собой плотность' таких столкновений, после которых частицы, имевшие энергию Е', оказываются в энергетическом интер
12
вале (аЕ', Е). Поэтому плотность замедления q (г, Е, f) есть плотность всех столкновений, в которых энергия частицы становится меньше Е. Пределы интегрирования в (1.22) указывают, что при столкновении с изменением энергии Е' ->• Е" минимальное значение Е" равно аЕ', а максимальное значение Е', при котором возможен переход Е' -> Е, равно (1/а).Е.
Делая в (1.22) замену переменных (1.11), получаем
и	и'— In а
q(г, и, t)= du' d«"CD(r, и', t)x и-|-1па и
х2,(а'->«"),	(1.23)
где
q (г, и, f)— q (г, Е (и), /); Ф (г, и, f)— = Ф (г, Е (и), f) | dE (u)/du |
(и'	а") = 2,(£' (а') -> Е («")) | dE (u")/duH |. (1.24)
Подставим (1.13) в (1.23):
q (г, и, t) = du' du" Ф (г, и', /)х «+1па и
1 *— (X
Если масса атомов, на которых происходит замедление, ве-лика (<х « 1), то потеря энергии в одном столкновении мала . и интервал, в котором изменяется переменная и', тоже мал.
Тогда изменением плотности рассеяний можно пренебречь [2Л (и') Ф (г, и', £)«2„!(u) Ф (г, н,Ч)] и вынести ее из-под знака интеграла. Проинтегрировав оставшееся выражение, получим
q (г, и, t) = £2, (и)Ф (г, и, t).	(1.25)
Учитывая (1.24) и то, что dE/du = Е* ехр (—и) = Е, легко вернуться к переменной Е:
q (г, Е, t) =	(£)Ф (г, Е, t).	(1.26)
Эта формула устанавливает связь между дифференциальной плотностью потока и плотностью замедления.
§ 1.4. Функция чувствительности детектора
Регистрация быстрых частиц возможна, если они испытывают в чувствительном объеме детектора одно или несколько столкновений и производят в ием такие изменения (например, возбуждение и ионизацию атомов), которые можно обнаружить электрическими, оптическими или другими методами. Так, рассеяние или поглощение у-квапта в сцинтилляционном кристалле приводит к появлению импульса электрического тока на выходе фотоэлектронного умножителя; поглощение энергии излучения в приборах калориметрического типа приводит к повышению температуры чувствительного объема; ионизация, производимая заряженными частицами в фотоэмульсии, обнаруживается при последующем проявлении и т. д. Ограничимся рассмотрением таких детекторов, показания которых J равны сумме вкладов отдельных столкновений частиц в объеме детектора (аддитивные детекторы). К этому классу принадлежат детекторы, измеряющие поглощенную энергию, дозу, число реакций некоторого типа, происходящих в выделенном объеме за время измерения, и т. п.
Обозначим qc (г, й, Е, i) вклад в показания детектора от поглощения в точке г частицы с энергией Е и направлением движения й, a qs (г, й ->• fi', Е ->• Е', i) — вклад от рассеяния с изменением параметров й Й', Е —>• Е!. Тогда показания детектора, регистрирующего излучение в течение времени Т, можно получить, умножая число столкновений каждого типа иа вклад от одного столкновения и интегрируя по всем переменным. Число столкновений различных типов определяется формулами типа (1.19), (1.20), поэтому
' J = ЛЯ Ф (г, Й, Е, t) {S(1 (г, E)qK (г, Й, Е, I) -|-+ рй' JdE'Sa (г, Й Й', Е -> £') х 'Xqa(r, й->й', Е-+-Е', t)}drdQdEdt. (1.27) Величина
D (г, й, Е, f) « 2С (г, E)qc (г, Й, Е, t) + + рй' f dE'Xs (г, Й -> Й', Е -+ Е') X
Xqs (г, Й->Й', Е-+Е', t)	(1.28)
называется функцией чувствительности детектора. Используя обозначение (1.28), формулу (1.27) можно переписать в виде
J = л D (X, 0® (*;j)dxdt. (1.29) 14
Если ‘учесть, что Ф (х, t)dxdt есть путь, проходимый частицами из элементарного объема dx за время dl, то из формулы (1.29) будет видно, что D (х, t) представляет собой средний вклад в показания детектора от единицы длины пути частицы с фазовыми координатами х в объеме детектора.
Если подынтегральное выражение в формуле (1.29) умножить и разделить на 2 (г, Е) и учесть, что 2 (г, Е)Ф-(г, й, Е, t) есть дифференциальная плотность столкновений, то станет ясным, что величина
Х<7с(г> Я> Е,
Мг, й, Е,	Е’
,dK ’ ’ '	2 (г, Я) 2 (г, Е)
-h f d£l' f dE' 2S (г, Й->Й', Е-у-Е') x
2 (r> £) J J
x<?s(r, Й->Й', E-y-E', t)
(1.30)
есть средний вклад в показания детектора от одного столкновения.
Широкое применение в практике измерения излучений находят детекторы, основанные на определении энергии, потерянной частицами в объеме детектора. В этом случае
qa (г, й, Е, t) — Е; qs (г, й й', Е ->- Е', I) = = £-Е'
и
D (г, Й, Е, t) 2С (г, Е)Е -|- f Ss (г, Е -у Е')(Е — E')dE', т. е. D (г, й, Е, I) представляет собой средние потери энергии па единице длины пути.
Для детектора, измеряющего ионизацию, которую производят заряженные частицы:
D (г, Й, Е, 0 == р (Е)/в,	(1.31)
где Р (Е) =- («/E/c/z)1I0II —- ионизационные потери энергии в чувствительном объеме детектора; е — энергия образования пары ионов.
Сравнивая (1.29) с (1.17) и (1.18), видим, что для детектора, измеряющего плотность потока частиц в точке г0 в момент 10, функция чувствительности равна
 D (г, Й, Е, I) = б (г — г0)б (t — /Q),	(1.32)
а для детектора, измеряющего интенсивность излучения:
D (г, Й, Е, I) =Е6 (г — г0)6	(1.33)
15
Детектор, измеряющий дифференциальную плотность потока, имеет функцию чувствительности
D (г, fl, Е, f) =6 (г—r0)6 (A—SJ0)6 (Е—Е0)д (t~ t0). (1.34) Детектор с такой функцией чувствительности будем называть дельта-детектором.
§ 1.5. Ценность (сопряженная функция)
' Описанный выше метод вычисления показаний детектора, основанный на использовании дифференциальной плотности потока частиц, не является единственным. Существует и другой подход, в основе которого лежит понятие функции, ценности (или сопряженной функции), играющее столь же важную роль, что и Понятие дифференциальной плотности потока [7, с. 198; 62; 64, с.30; 65; 93].
Рассмотрим задачу, когда источник, описываемый функцией S (х, t), испускает частицы с разными энергиями в разных направлениях. Дальнейшая судьба каждой частицы во многом определяется координатами х и временем t ее рождения. В частности, частицы, рожденные вблизи детектора и движущиеся в его направлении, имеют больше шансов быть зарегистрированными, чем те частицы, которые рождаются далеко от детектора и движутся в противоположном направлении. Можно сказать, что частицы первого типа более ценны, а частицы второго типа менее ценны, понимая под ценностью ожидаемый вклад частицы в показания прибора.
Сформулируем теперь точное определение ценности. Пусть в некоторую среду с известными характеристиками помещен детектор с функцией чувствительности D (х, I). Тогда ценностью частицы, вылетающей из тонких в момент t, называется среднее значение показаний детектора, обусловленных всей траекторией этой частицы вплоть до ее захвата или вылета из системы. Функцию ценности будем обозначать Ф+ (х, t). Поскольку за время dt фазовый объем dx источника испускает S (х, t)dxdt частиц, а средний вклад одной частицы в показания детектора равен Ф+ (х, i), суммарный сигнал аддитивного детектора, обусловленный всеми частицами, равен интегралу
J = Л S (х, 0Ф+ (х, t)dxdt.	(1.35)
В отличие от дифференциальной плртности потока, которая измеряется дельт а-детектор ом в поле заданного источника, цейность — это показания заданного детектора в поле дельта-источника.
16	г .
Вместо ценности частицы, испущенной из точки х фазового пространства, в некоторых задачах удобнее использовать ценность частицы, испытавшей столкновение в точке х. Обозначим эту величину F+ (х, I). Средний вклад в показания детектора от частицы, испытавшей столкновение в точке х, можно вычислить следующим образом. В соответствии с (1.19) число столкновений, происходящих в единицу времени в единичном объеме фазового пространства, равно S- (г, Е)Ф (г, Й, Е, t). Из них Sc (г, Е)Ф (г, Й, Е, t) столкновений закончатся поглощением, и вклад от них в показания детектора будет равен 2,. (г, Е)Ф (г, Й, Е, t)qe (г, й, Е);
(г, Й-э-Й', Е-> Е') Ф (г, й, Е, t) столкновений будут рассеянием с изменением параметров Е -> Е' и й —>- Й'. Каждое из них даст вклад в показания детектора, равный щ(г, й-^й', Е Е'). Но любая частица, имеющая после рассеяния энергию Е' и направление й', может испытать в детекторе еще несколько столкновений, вклад от которых в J в соответствии с физическим смыслом сопряженной функции равен Ф+ (г, й', Е', t). Суммируя перечисленные вклады и деля результат на число столкновений 2Ф, получаем
Е+(г, Й, Е,	Й, Е, 0 +
+ ^й' jjtZE'SJr, Й->Й', Е->Е')Ф+(г.	Е', /)},
(1.36)
• где D (г, Й, Е, /) определяется формулой (1.28).
Показания детектора J можно записать через ценность:
J = £f F, (х, /)/•+ (Х) /) dxdt,	(1.37)
где Ех (х, t) — дифференциальная плотность первых столк» новеиий. Функцию
Ь (г, й, Е, Z) . -D (г, Й, Е, I) ф
фJdG'ftfE'S, (г, Й -> Й', Е-> Е')Ф+ (г, Й', Е', /), (1.38)
стоящую в фигурных скобках в формуле (1.36) , по аналогии с функцией S, обсуждавшейся в § 1.3, назовем эффективной функцией чувствительности детектора.
В заключение отметим, что показания неаддитивных детекторов в общем случае не выражаются через плотность потока или сопряжённую функцию. В работе [57] показано, что для расчета показаний таких детекторов необходимы более подробные характеристики поля излучения.
Глава 2.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА
§ 2.1. Кинетическое уравнение
Основная задача теории прохождения частиц через вещество (теории переноса) заключается в вычислении показаний детектора, помещенного в поле излучения, которое создается заданным источником, В соответствии с (1.29) и (1.35) для решения этой задачи необходимо знать дифференциальную плотность потока или сопряженную функцию. В этом параграфе приведен вывод кинетического уравнения, связывающего дифференциальную плотность потока с распределением источников и макроскопическими сечениями взаимодействия частиц с веществом.
Рассмотрим сначала среду без рассеяния, т. е. положим 2S •= 0. Выделим около точки г малый объем ДУ, в котором в момент I находится п (г, Й, Е, /)ДУ частиц с энергией Е и направлением движения Й. За время Af число частиц в объеме ДУ, вообще говоря, изменится: часть из них выйдет за пределы этого объема или, испытав там столкновение, поглотится. Но за это же время внутрь объема войдут частицы, находившиеся ранее за его пределами, а также появятся новые частицы, испущенные источником (если он имеется в объеме). Легко видеть, что для частиц с энергией Е и направлением движения Й, находящихся.в объеме ДУ, справедливо следующее условие баланса:
Число частиц в момент /4-А/	
Число частиц в момент t		Число частиц, вышедших из ДУ за время Д/
Число частиц, поглощенных в ДУ за время Д/	+
			
Число частиц, вошедших в ДУ за время Д/	+	Число частиц, рожденных в ДУ за время Д/	(2.1)
18
Согласно § 1.1, 1.3:
Число частиц, вышедших из	--.AZ [ «пФ (г, Q, Е, t)ds-,	(2.2)
AV за время Л/	Ып>0	
Число частиц, вошедших в AV за время Et	~ОпФ (г, О, Е, t) ds; ftn<0	(2.3)
Число частиц поглощенных в ДУ за время Д/	-2с (Я) Ф (г, О, Д, <) ДУД/;	(2.4)
Число частиц, рожденных в АУ за время Д/	==S (г, О, Е, 0 АУД/.	(2.5)
Подставив эти слагаемые в соотношение (2.1), получим п (г, Й, Е, t ч- = п (г, Й, Е, t)&V —
— <[>ЙпФ (г, Й, Е, Г)сШ (Е)Ф (г, Й, Е, t)kVEt
4- S (г, Й, Е, t)AVEi.
Разделим обе части этого равенства на ДУД/ и, учитывая, что
lim . П(Г,О, Е. 1+Л1)~«(г, <1. Е.о	д
д<-+о	Д/	91
а
Jiin Jflng_(r^g, ,АЛ.Ф_. = div(ЙФ(г, й, Е, /)) = = Й7Ф(г, й, Е, /), найдем
п (г, Й, Е, /) 4- ЙУ.Ф (г, Й, Е, /) = = —Sc (£)Ф (г, Й, Е, f) 4- S (г, Й, Е, /)..
19
Выразив здесь п через Ф с помощью формулы (1.15), получим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных относительно Ф:
о-1 (5/ЭДФ (г, Й, Е, t) + ЙУФ (г, Й, Е, i) =
—2С (В)Ф (г, Й, Е, t) + S (г, Й, Е, /).	(2.6)
Если в среде наряду с поглощением происходит и рассеяние частиц, соотношение (2.1) несколько изменяется. Действительно, убыль числа частиц, имеющих направление движения й и энергию Е, в объеме ДУ обусловлена теперь не только выходом их из этого объема и поглощением в нем, но и рассеянием этих частиц в объеме ДУ с изменением параметров Й -> й', Е-+Е'. Следовательно, из правой части (2.1) следует вычесть величину
Число частиц,, рассеянных в ДУ за время Д/(Я->£Г, Е-*Е')
= 2в(Д)Ф(г, Й, Е, t)hVM.
С другой стороны, наличие рассеяния приведет к увеличений? числа частиц, возникающих в ДУ, за счет процессов рассеяния в этом объеме с изменением параметров й' —й, Е' -> Е. Соответствующее слагаемое в условии баланса, согласно (1.21), имеет вид:
Число частиц, рассеянных в ДУ за время Ы (О' -»О, Е'~*'Е')
= J dQ' J dE' 2, (О'
хф(г, o', в', одуд/.
С учетом этих замечаний из условия баланса получается интегро-дифференциальное кинетической уравнение уравнение Больцмана):
(1/о)(<Ш)Ф (г, Й, Е, i) + ЙУФ (г, Й, Е, t) + + 2 (Е)Ф (г, Й, Е, t) - fdQ'f dE'2s (Q'-+Q,E'^-E)X
ХФ (r, ft', E', t) = S (г, Й, E, ’i),	(2.7)
которое описывает перенос частиц в среде с учетом рассеяния [13, с.211; 28, с.28]. 20
Если частицы распространяются в среде, где возможна реакция деления, в кинетическом уравнении появляется дополнительный член
JdQ' j* dE'Sf (Й'->Й, Е'->Е)Ф (г, Й', Е’, t), соответствующий рождению вторичных частиц.
В стационарных задачах, когда Ф не зависит от времени, уравнение (2.7) упрощается:
ЙУФ (г, Й, Е) + S (Е)Ф (г, й, Е) —
—f dQ' f dE'Zs (й' -> Й, Е' -> Е)Ф (г, Й', Е') = S (г, Й, Е).
(2.8)
§ 2.2. Сопряженное уравнение
Пусть теперь задана функция чувствительности детектора D (х, t) и известны макроскопические сечения взаимодействия. Уравнение, связывающее эти величины с сопряженной функцией, называют сопряженным уравнением [7, с.198; 35; 62; 65]. Вывод сопряженного уравнения проведем сразу для среды с поглощением и рассеянием.
Рассмотрим частицы, вылетающие из точки г в момент t в направлении й с энергией Е. Из точки г в направлении й отложим отрезок, длина которого равна пД/, и каждую случайную траекторию частицы разобьем на две части: часть, лежащую на этом отрезке, и остальную часть траектории. В силу аддитивности детектора вклад каждой траектории в показания детектора равен сумме вкладов ее частей:
q = Eq -I- q\	(2.9)
где Eq —- вклад от отрезка vEi, a q' — вклад от второй части траектории.
В соответствии с определением сопряженной функции среднее значение случайной величины q равно Ф+:
~q = Ф+ (г, Й, Е, i),	(2.10)
а из определения функции чувствительности детектора (§ 1.4) следует, что среднее значение Eq определяется формулой
Eq =D (г, й, Е, f)vEt.	(2.11)
Перейдя к вычислению среднего значения q', отметим, что с вероятностью 2vEt частица испытает столкновение на отрезке vEt и с вероятностью 1 — 2vEt пройдет его без взаимо-
21
 действий. Для частиц, не испытавших столкновения, вторая часть траектории начинается в момент t -|- А/ в точке г
+ vSiEt, где частица имеет энергию Е и направление й. Средний вклад каждой из этих частиц в показания детектора равен Ф+ (г -I- vSiEt, Й, Е, t + А*). Для частиц, поглощенных при столкновениях на отрезке vEt, q' = 0. Если частица испытает на этом отрезке рассеяние с изменением параметров й -> Й', Е -> Е', ее средний вклад в показания детектора будет равен Ф+ (г, й', Е', t). Учитывая, что вероятность рассеяния с’изменением параметров Й->Й', Е -> Е' на отрезке vEt равна ВДй-^й', Е E')vEt, находим
q' = [1 - 2 (E)vEt]®+ (г t/ЙА^, Й, Е, t -|- А/) -|-
+ vEt$dSi'$dE'2s (Й-> Si', Е-+Е')Ф+ (г, Si', Е', t). (2.12)
Поэтому, усредняя равенство (2.9) и учитывая (2.10)—(2.12), в пределе при А^->- 0 получаем уравнение для сопряженной функции:
—(1/н)(<?/<?^)Ф+ (г, Й, Е, Z) - Й¥Ф+ (г, Й, Е, f) -1-
+ 2(Д)Ф+ (г, Й, Е, f) - ,f dSi' .[ dE'2s (Й Й', Е -> Д') х
ХФ+ (г, Й', Е', t) = D (г, Й, Е, t).	(2.13)
В стационарном случае оно упрощается:
—Й¥Ф+ (г, Й, Д) + 2 (Д) Ф+- (г, Й, Д) --
- JdSi' f dE'2s {Si Si', Е Д')Ф+ (г, Й', Д') =
= £>(r, Q, Д).	(2.14)
В отсутствие рассеяния (2.14) принимает вид
Й¥Ф+ (г, Й, Д) 4- 2 (Д)ф+ (г, Й, Д) - D (г, Й, Д). (2.15)
Несмотря на то что уравнения (2.13) и (2.7) сходны по своей структуре, они могут заметно различаться по степени трудности решения в конкретных задачах [39, 91, 98].
§ 2.3.	Граничные условия
Решение кинетических уравнений (2.7), (2.13) является весьма сложной математической задачей даже в простейшем случае бесконечной и однородной среды. Однако бесконечная и однородная ,среда — лишь приближенная модель реального поглотителя, который всегда ограничен и почти 22
всегда неоднороден. Но именно такой случай представляет практический интерес при'решении задач, связанных с применением ядерных излучений в теории реакторов, в физике защиты и дозиметрии, радиационной физике и т. п.
Наличие границ и других неоднородностей значительно усложняет решение кинетических уравнений. В неоднородной среде сечения .взаимодействия 2 и 23 зависят от пространственной переменной и эти уравнения принимают вид:
V-1 (d/dtj® (г, Я, Е, t) + ЯУФ (г, О, Е, t) +
+ 2 (г, £)Ф (г, ft, Е, f) — рЙ' / dE' X
х2а (г, ft'-> Я,£'->£)Ф (г, ft',£') = S (г,Й,£,	(2.16)
—v-1 (5/ЭДФ+ (г, Й, Е, i) — Й¥Ф+ (г, й, Е, f) +
+ 2 (г, £)Ф+ (г, Й, Е, t) - f dQ' f dE’ x
X 2a (r, ft-»-ft', £^£')Ф+ (г, ft', £', f) =D (r, ft, E, t). (2.17)
Часто бывает удобным решать уравнения (2.16), (2.17) не во всем пространстве, а в некоторой его области, границы которой совпадают, например, с естественными границами рассматриваемой системы или ее части. Особенно это удобно, если поглотитель состоит из нескольких однородных частей, отличающихся друг от друга сечениями взаимодействий. Тогда уравнения (2.16), (2.17) можно решать в каждой области отдельно, используя для этого методы решения задачи в однородной среде. Поскольку уравнения переноса интегро-дифференциальные, каждое из найденных решений будет содержать постоянные интегрирования (зависящие от Я и £). Для их определения служат граничные условия [7, с.76; 28, с.34; 75, с.8].
Рассмотрим поток частице направлением й и энергией £ вблизи границы между областями 1 и 2. Выделим на граничной поверхности элементарную площадку As и построим около нее элементарный цилиндр с высотой 1г и образующей, параллельной ft (рис. 2.1). Проинтегрируем уравнение (2.16) по объему этого цилиндра ДР и преобразуем градиентный член по теореме Остроградского — Гаусса:
f Й?Ф (г, Й, Е, t)dr = f ЯпФ (г, ft, Е, t)ds. ди
23
Рис, 2.1, К выводу граничных условий
На боковой поверхности цилиндра Йп 0, и интеграл по замкнутой поверхности сводится к сумме интегралов
Г ЙпхФх (г, й, Е, i)ds + / Йп2Фа (г, й, Е, t)ds, hst	As,
где Asx и As* — первое и второе основания цилиндра; пх и п2 — нормали к этим площадкам; Фх и Ф2 — значения плотности потока на соответствующих основаниях цилиндра. Устремляя теперь h к нулю и учитывая, что в силу ограниченности 3, 2Я и Ф интегралы по объему обращаются в нуль, получаем
йп / [Ф2 (г, й, Е, t) —
- Фх (г, й, Е, t)]ds =
= lira J S (г, Й, Е, f)dr, (2.18) Л-*0 ДИ
где п = п2 ~ — пх — нормаль к границе раздела сред.
Если источники распределены в объеме А У непрерывно, правая часть равенства (2.18) равна нулю. Тогда ввиду произвольности As находим, что
' Йп 1Ф2 (г, Й, E,f) — Фх (г, Й, Е, /)] = 0. (2.19)
Граничное условие (2.19) имеет ясный физический смысл: число частиц с параметрами Й, Е, падающих на любую площадку поверхности раздела с одной стороны, равно числу таких же частиц, выходящих через эту площадку с другой стороны поверхности раздела.
Если на границе раздела двух сред имеется поверхностный источник с поверхностной плотностью o' (г, й, Е, t), т. е. 5 (г, й, Е, f) — 6 (г —rs) а(г, Й, Е, f), то lim (г, Й, Е, t)dr — Asa (г, й, Е, t) и граничное условие примет вид
Йп [Ф2 (г, Й, Е, /) - Фх (г, Й, Е, ЭД = а (г, Й, Е, f) (2.20) (функция Ф на границе терпит разрыв).
Важную роль в расчетах играет внешняя граница области — невогнутая замкнутая поверхность, ограничивающая ту часть пространства, в которой необходимо найти 24
поле излучения. Если все источники и поглотитель находятся внутри этой области и на ее поверхность извне частицы не попадают, т. е. Ф2 (г, ft, Е, t) — 0 при йп < 0, то границу области называют свободной.
Из (2.19) и (2.20) следует, что дифференциальная плотность потока на такой поверхности удовлетворяет условиям:
 Фх (г, ft, Е, f) = 0; Яп < 0,	(2.21)
если поверхностные источники отсутствуют, и
Фх (г, fi, Е, f) =|Яп|-16 (г, Й, Е, t),	(2.22)
если на границе имеется поверхностный источник с плотностью О'.
Аналогичное преобразование сопряженного уравнения (2.17) приводит к граничному условию
Яп ,( [Ф1+ (г, Й, Е, t) — Ф^ (г, ft, Е, i)]ds =
= lim f D (г, ft, Е, t)dr,	(2.23)
h->0 дК
которое на свободной поверхности, ограничивающей систему поглотитель — детектор, принимает вид
Ф1+ (г, ft, Е, t) = 0, ftn> 0.	(2.24)
Условие (2.24) означает, что частицы, испускаемые со свободной границы в направлениях fin > 0, дают нулевой вклад в показания детектора.
§ 2.4. Интегральные уравнения переноса
Интегро-дифференциальные кинетические уравнения (2.16), (2.17) можно преобразовать в интегральные, которые в некоторых случаях более удобны для решения [13, с.217; 28, с.36]. Ограничимся рассмотрением лишь стационарных уравнений
ПУФ (г, ft, Е) + 2 (г, Е)Ф (г, ft, Е) —
— f d£i' f dE'Ss (г, ft' -> ft, E' -> £)Ф (r, ft', E’) = ,
== S (r, ft, £);	(2.25)
—ЯУФ+ (r, ft, E) + 2 (г, Е)Ф+ (r, ft, E) —
— f dQ' f dE'2s (r, ft -+ ft', E -> Е')Ф+ (r, ft', E') =
^D(r, ft, E).	(2.26)
25
В (2.25) введем обозначение
S (г, й, В) «5 (г, Й, Е) + f dQ' J’ dE' x
X Ss (r, ft' -+Й, f'-> Е)Ф (г, S', E'),	(2.27)
заменим г. величиной г' = г — gQ и представим градиентный член в виде SV® (г', Й, Е) ——(d/dg)® (г — gfi, й, Е), В результате этих преобразований получим
— (d/d№ (г - £Й, Й, Е) + 2 (г — gO, Е) X
хФ(г —gfi, Й, Е) = S (г — £Й, Й, Е). (2.28)
Рассмотрим область, занятую неоднородной средой, полагая, что на внешней границе s заданы условия
Ф (г, Й, Е) — / (г, Й, Е); г 6 s; Йп < 0.	(2.29)
Обозначим go (г, Й) расстояние от точки г до внешней границы рассматриваемой области в направлении обратном Й. Поскольку г, Й и Е входят в уравнение (2.28) как параметры, временно опустим их. Обозначив производную по g штрихом, запишем (2.28) в виде
—Ф'(g)-j-2 (g)® (g) = S~(g)	(2.30)
с граничным условием
Ф(^)“Л	(2.31)
Предположим, что правая часть (2.30) известна, и приступим к решению этого неоднородного дифференциального уравнения. Решение соответствующего однородного урав-й
нения есть ехр 2 (g')dg'), поэтому функцию Ф (g) следует искать в виде
®(£W(£)exp{b(g')dg'}.	(2.32)
о
Подставив (2.32) в (2.30) и проинтегрировав по g от произвольного значения до g0, получим
Ъ -	%
, Ф (I) = Ф (So) + j S (£') exp {- J S (g")dg")dg'.
(2.33)
26
Из (2.31) — (2.33) следует выражение для плотности потока
Ф©—/ехр - j 2(£ЭД' + $ 3(g')x
6 Г
хехр _ $2 (£")<' «'•
Возвращаясь к прежним переменным г, Я, Е и полагая g = О, получаем
Ф (r,O,E) ==f (г-£0Si,Q,E) exp [—т (г— £0Й, г, £)]+
+ J ехр [-т (г', г, E)]S (г', Я, ЭД, (2.34) Л
г' = г - gQ; т (г', г, Е) == J 2 (г — g'fl, E)d%. (2.35)
Величину т называют оптическим расстоянием между точками г' и г для частиц с энергией Е. Учитывая, что ехр (—т) описывает ослабление пучка частиц за счет процессов поглощения и рассеяния, нетрудно дать физическую интерпретацию выражению (2.34): дифференциальная плотность потока в точке г равна сумме плотностей потоков -частиц, пришедших непосредственно с внешней границы и из точек, находящихся внутри рассматриваемого объема. Из выражения (2.27) видно, что внутри объема частицы рождаются внутренними источниками, плотность которых дается функцией S, и появляются в результате актов рассеяния, после которых частицы приобретают направление й и энергию Е.
Подставляя (2.27) в (2.34) и учитывая, что при g£> g0 2S = 0 и S = 0, получаем интегральное уравнение
Ф (г, О, Е) = Фо (г, Й, Е) + frig ехр [—т (г', г, В)] х
X f dQ' Jd£'23 (г', Й'	О, Е' В)Ф (г', О', £'), (2.36)
где
Фо (г, й, В) — f (г — g0O, Е) ехр [—т (г — gofi, г, В)]-Ь
-|- f ехр [—т (г', г, E)]S (г', Й, E)d% (2.37)
27
г—плотность потока нерассеянных частиц от внешних и внутренних источников. Если внешних источников нет, первый член в (2.37) равен нулю. Если же нет внутренних источников или они расположены на границе и, согласно (2.22), могут быть заменены граничными условиями, второй член в (2.37) обращается в нуль.
Уравнение (2.36) иногда записывают в другой форме, переходя от интегрирования по лучу г' = г — £й к интегрированию по объему. Из уравнения луча следует, что § = | г — г' | и й = (г — г')/1 г — г' |.
Записывая элемент объема dr' в сферической системе координат с центром в точке г и используя свойства 6-функции, можно убедиться, что для произвольной функции f (г, й, Е) имеет место соотношение
J'7 (г — ?Й, Й, ЕЩ = .[ f (г', й, Е) х
. хб (Й--(г —г')/|г — r'|)dr7|r — г'|а. Применив это преобразование к (2.36), получим интегральное уравнение в виде
Ф (г, Й, Е) Фо (г, Й, Е) -|-
-Ь/dr'/dfl',[фЕ'{ехр [—т(г', г, Е)]/|г — г' |2} х
X 6 (Й — (г — г')/| г — г' |) X
X 2а (г', Й'->Й, Е'-х-Е)Ф(г', й', Е'). (2.38) 6-Функция под знаком интеграла указывает на то, что в отсутствие взаимодействий частицы движутся прямолинейно. В уравнении (2.36) этот факт учитывался тем, что интегрирование велось только по лучу.
Вывод сопряженного интегрального уравнения отличается, от приведенного выше вывода только видом вспомогательной переменной г', которую удобно выбрать в виде г'=г+ £й. Приведем окончательный вид сопряженного интегрального уравнения, эквивалентного уравнению переноса (2.26) с граничным условием (2.24) на свободной поверхности:
Ф+ (г, й, Е) = Ф0 (г, Й, Е) +- £ dg exp [-т (г, г', Е)] X
X рй'| dE'2s (г', Й-э-Й', Е-э-Е')Ф+(г',	Е'), (2.39)
Фо+ (г, Й, Е) =J exp [—т (г, г', E)]D (г', й, E)dg;
г' = г + £й.	(2.40)
28:
Из уравнения (2.36) легко получить интегральные уравнения для других дифференциальных характеристик поля излучения. Так, умножив (2.36) на 3 (г, Е), получим уравнение для дифференциальной плотности столкновений F(r, ft, Е) (1.19):
F(r, Q, E')=F1(r, й, Е) +
+ J dl exp [—т (г', г, Е)] $ d Й' J dE'3,s (г', й'->й,Е'->Е)х о
X [3(г, Е)/3 (г', Е')] F (г', Й', Е'),	(2.41)
где F-i (г, Й, Е) =3 (г, Е)Ф0 (г, fl, Е) — плотность первых столкновений.
Использовав граничное условие f (г, й, Е) = 0, перепишем (2.36), (2.37) в виде
Ф (г, й, Е) =| dl exp [—т (г', г, Е)]{5 (г', й, Е) + + Уйй'рЕ'За (г', Й' -> Й, Е' -> Е)Ф (г', Й', Е')}. (2.42) Выражение в фигурных скобках представляет собой эффективную плотность источников (см. §1.3), поэтому
оо
Ф (г, Й, Е) = J dl exp [—т (г', г, E)]S (г', Й, Е). (2.43) о
Подставляя (2.43) в обе части (2.42) и учитывая, что полученное равенство справедливо при любых значениях г, Й и Е, приходим к уравнению для эффективной плотности источников:
3 (г, Й, Е) ~3 (г, Й, Е) J dQ1 J dE’ J dl exp l-т (г",'г,'Е')] X
X 3S (r, fl' -> Й, E' E)S (r", ft', E'), r" = r—&2'.
Производя аналогичные преобразования сопряженного уравнения (2.39), нетрудно получить уравнение
D (г, flf, Е) = D (г, fl, Е) -|-
+ f dQ' f dE' f dl exp [—т (г, г', E')] x
X 3a (r, ft ft', E E') 5 (r' ft, E'), r' = r-ф
29
для эффективной функции чувствительности детектора D (г, й, Е) (1.38), связанной с сопряженной функцией соотношением
Ф+ (г, Й, Е) =.| dgexp [—т (г, г', £)]D (г', й, Е), которое легко получить-из уравнений (2.39), (2.40).
Интегральное уравнение для ценности частицы, испытавшей столкновение в точке (г, Й, Е), можно получить из формулы (1.36), которая в стационарном случае имеет вид
F+ (г, Й, Е) = [1/2 (г, E)]{D (г, Й, Е) +
+ J dQ' У dE'S, (г, Й -> Й', Е £')Ф+ (г, Й', £')}. (2.44)
Если частица вылетает из точки г в направлении й' и имеет энергию Е', то вероятность того, что опа пройдет путь § без взаимодействия и испытает столкновение на отрезке d%, равна ехр [—т (г, г + |й', £')]2 (г 4- £й', E')di. Ценность частицы, испытавшей это столкновение, ио определению есть F+ (г', й', £')• Поэтому
ЙЛ- (г, Й', £') -
= У d& (г", £') ехр [~т (г, г", £')]/’+ (г", Й', £'), о
г" =.= г -I- £Й'.	(2.45)
Подставляя (2.45) в (2.44), получаем интегральное уравнение для F+ (г, й, Е):
F+ (г, Й, Е) =• D (г, Й, £)/2 (г, Е) +
+ [ 1/2 (г, Е)] J dE' У dQ' У d&s (г, Й -> Й', Е Е') X
X 2 (г", £') ехр [-т (г, г", E')]F+ (г", Й', £'). (2.46)
§ 2.5,. Плоская, сферическая и цилиндрическая геометрии
Наличие симметрии свойств среды и источника может в значительной степени упростить кинетическое уравнение. Покажем это на примере стационарного интегро-дифференциального уравнения, градиентный член которого существенно зависит от выбора системы координат и свойств симметрии задачи.
30
В декартовой системе координат, когда г имеет проекции х, у, z, а О характеризуется полярным углом й и азимутальным углом ср, градиентный член имеет вид
ЙФФ = sin ф cos срЗФ/Зх + sin Ф sincp дФ/ду -|-
+ созй дФ/дг.	(2-47)
Если сечения взаимодействия и плотность источников не зависят от координат х, у, дифференциальная плотность потока тоже не зависит от этих координат. В этом случае (плоская  геометрия) ЙФФ = cos О- дФ/dz и уравнение (2.25) принимает вид
cos О (д/дг)Ф (z, й, Е) -|- 2 (г, Е)Ф (z, й, Е) —
— J dQ' J rfE'2s (z, Й' -> Й, Е' -+ Е)Ф (z, fi', Е') =
= S (2, Й, Е).	(2.48)
Если сечения и плотность источников не зависят и от 2, уравнение (2.48) превращается в интегральное:
2 (Е)Ф (Й,Е) — J dQ' JdE'28 (Й(->Й,£'->£)Ф(Й', £'.)==
= S (Й, Е).	(2.49)
В сферической системе координат вектор г характеризуется длиной г и двумя углами — полярным а и азимутальным р. Градиентный член при этом имеет более сложный вид [7, с.46], который значительно упрощается, если система источник — поглотитель обладает сферической симметрией. В,этом случае (сферическая геометрия) выражение для й V Ф можно вывести непосредственно, если учесть, что дифференциальная плотность потока зависит только от г и cos ф, где ф — угол между векторами й и г. Пусть dФ (г, cos ф) — изменение плотности потока на малом отрезке d%, проведенном из точки г вдоль й. Тогда й V Ф — = cKD/dl. Но
(Ж)Ф (г, cos ф) = (дФ1дг)&г№ +
+ (ЗФ/<Э cos ф)й cos ф/dg.
Из рис. 2.2 видно, что dr/d% =созф, a d созф/d^ = = (d cos ф/йф)<1ф/Д — —[(sin ф)/г]/-|йфХ^ = (зт2ф)/г, поэтому градиентный член принимает вид
й V Ф = созфЗФ/Зг -|- [(8т2ф)/г]ЗФ/3 созф. (2.50)
31
В цилиндрической системе координат вектор г имеет координаты р, Р, z (рис. 2.3). Если система обладает цилиндрической симметрией вдоль оси Oz (цилиндрическая
динатах, то ориентация
Рис. 2.3. Цилиндрическая система координат
геометрия), то Ф зависит от р, г и разности азимутальных углов % = ф —-р, и градиентный член можно записать как
Й7Ф — sm,ftcosx3®/3p — sin ф sin % (1/р)дФ/3% -|-
+ cos й ЗФ/Sz.	(2.51)
Если уравнение переноса решается в декартовых коор-вектора Й относительно координатных осей задается полярным углом й и азимутом ср. Поэтому косинус угла рассеяния, который является аргументом дифференциального сечения >в интеграле столкновений, записывается в виде
cos 'О' = ЙЙ' ==	-|-
=
= sin Ф sin cos (ср — ср') -|~
+ cos О cos O'',	(2.52)
и интегрирование по й' означает интегрирование по переменным О1' и ф'.	
При	использовании	сферических координат"’ориентацию	вектора	й	удобно	задавать относительно единичных
векторов е,., еа, е₽, направленных по радиусу, меридиану и параллели соответственно в точке г. Обозначим ф угол 32
между Й и е,., а % угол между проекцией вектора Й на плоскость, проходящую через еа, ер, и вектором еа (рис. 2.4). Проекции вектора Й в этой системе координат равны: йа —
z
ег
Рис. 2.4. Сферическая система координат
= sin ф cos %; йр = sin ф sin %; йг — cos ф. Поэтому cos О в интеграле столкновений можно записать в виде.
cos 0 — зтфзшф' cos (% — %') -|- cos ф cos ф', (2.53) а само интегрирование необходимо вести по переменным ф' и%'-
§ 2.6.	Равновесный спектр
Остановимся на уравнении (2.49), решение которого есть дифференциальная плотность потока в бесконечной однородной среде от бесконечного равномерно распределенного источника. Интегрируя обе части уравнения (2.49) по направлениям, получаем
S (£)Ф (£) - J. Se (Е' -> £)Ф (E')dE' = S (£). (2.54)
Решение этого уравнения, описывающее- энергетический спектр в той же задаче, называют равновесным спектром (или спектром деградации энергии'} [13, с. 262; 33, с. 49; 99, с. 74].
2 Зак. 1717
33
Другую интерпретацию равновесного спектра получим, если проинтегрируем все члены стационарного кинетического уравнения
Й V Ф (г, Й, Е) + 2 (Д)Ф (г, Й, Е) —
— J dQ' j dE'2s (Й'-> Й, Е' -> Е)Ф (г, ft', Е') = = S (г, Й, Д)	(2.55)
по пространственным координатам г и направлениям й.
Поскольку й V Ф = div ЙФ, интеграл по объему от градиентного члена с помощью теоремы Остроградского — Гаусса можно преобразовать в поверхностный интеграл. Но в однородной среде дифференциальная плотность потока при г —оо убывает быстрее, чем г-2, поэтому первый член уравнения (2.55) после такого преобразования исчезает. Очевидное преобразование остальных слагаемых приводит к интегральному уравнению (2.54), где
'ф (£) ±=jj Ф (г, й, E)drdQ; S (£) = .[[ S (г, й, E)drdQ.
В соответствии с физическим смыслом дифференциальной плотности потока (§ 1.3) Ф (E)dE представляет собой средний путь, который частицы проходят в веществе, пока их энергия остается в интервале (Е, Е dE).
§ 2.7.	Приближение непрерывного замедления
. При каждом столкновении с атомами среды частица теряет энергию скачком, поэтому ее «траектория» в координатах пройденный путь — энергия имеет вид ступенчатой функции (рис. 2.5), гори-
Рис. 2.5. Траектория частицы в координатах  пройденный путь — энергия
зонталыше участки которой соответствуют свободным пробегам между двумя столкновениями. Траектории частиц, вообще говоря, различаются вследствие статистического характера процесса' блужданий. Но если потери энергии в каждом столкновении невелики, эти траектории будут мало отличаться от некоторой средней линии, которая соответствует иепре-
34
рывпому изменению энергии Ё. Такая ситуация имеет место при замедлении нейтронов в среде, состоящей из тяжелых ядер, и при торможении электронов не слишком высокой энергии. Кинетическое уравнение для этих случаев можно существенно упростить [66, с. 61; 85, с. 461.
Пренебрегая для простоты отклонением частиц в процессе рассеяния, представим интеграл столкновений в виде'
R (Е) = J S3 (Е'Е)Ф (E')dE'	(2.56)
Е
(переменные г и й для краткости опущены). Перейдя под знаком интеграла к новой переменной Q = Е' — Е, с учетом (1.5) получим
QO
R (Е) = j S8 (Е + Q Е)Ф(Е -I- Q)dQ =
О
оо
= f (Q; Е + <2)ф (Е + Q)dQ. (2.57) о
Если 3S (Q; Е) быстро убывает с ростом Q, a S3 (Q; Е)Ф (Е) медленно меняется в зависимости от Е, подынтегральную, функцию можно разложить в ряд и удержать только линейные члены. Тогда интеграл столкновений примет вид
Е (Е) = S3 (Е)Ф (Е) -|- (5/5Е)[|3 (Е)Ф (Е)],	(2.58)
где Р (Е) — средние потери энергии на единице длины пути (1.8).
В этом приближении — приближении непрерывного замедления — интеграл столкновений выражается через производную по энергии, после чего уравнение переноса становится дифференциальным уравнением, решение которого получить значительно проще, чем решение интегро-дифференциального уравнения. Аналогично преобразуется интеграл столкновений в сопряженном уравнении:
R+ (Е) = S3 (Е)Ф+ (Е) — ₽ (Е)<ЭФ+ (Е)/<ЭЕ.
§ 2.8.	Приближение малых углов
Рассмотрим уравнение переноса в случае, когда рассеяние частиц происходит преимущественно вперед. Примерами могут служить рассеяние у-квантов высокой энергии и рассеяние электронов. В этих случаях интегральный опера
2*	35
тор рассеяния в кинетическом уравнении можно упростить или даже заменить оператором дифференцирования, что делает уравнение переноса значительно проще [60, 112, 116]. Проведем соответствующие выкладки без учета потерь энергии при рассеянии.
Выпишем интеграл столкновений, опустив для краткости переменные г и Е:
R (Й) = j'Ss (cos0)® (Й')ЙЙ'.
(2.59)
В приближении малых углов (с точностью до членов второго порядка по 0-) й — {sin 0’ cos ср, sin 0 sin ср, cos 0 } л? « {О' cos ср, 0' sin ср, 1 — 02/2}; cos 0 — йй' = = sin О' sin О1' cos (ср — ср') + cos О' cos 0' « 1 — 0,2/2 ---
— О'2/2 + О'О7 cos (ср — ср'); с/й' =sin 0'cZ0'cZcp' « O'chWcp'.
Обозначим О' двумерный вектор с проекциями 0а = — О cos ср, О’у = 0simp. Проекции вектора й однозначно выражаются через проекции 0, поэтому в дальнейшем вместо Ф (й) будем писать Ф (0). В аргументе сечения также перейдем от cos 0 — 1 — 0а/2 к углу: 0 = = |/0а О '2 — 20'0’' cos (ср — ср') = | О’ — 0' |. Тогда (2.59) примет вид
2Л Я
R (О') = I' с/ср' f 0'd0'S„ (10 -- 0'|)Ф (О''), 'о о
Если рассеяние происходит преимущественно вперед и Ф (О') быстро убывает с ростом О', верхний предел в интеграле по О' можно заменить па оо. Получающийся при этом интеграл совпадает по форме с интегралом по плоскости в полярных координатах (полярный радиус О' и азимут ср'). В дальнейшем будем записывать такие пите-2Л	оо	-(-оо
гралы в одной из следующих форм: f dtp' J' 07/0'; j’ c/0.( X 0	0	—-л
4~°°
x f d&'s, J'dO'.
—00
Используем последнюю форму записи и сделаем в интеграле по 0' замену переменных 0 = 0 — 0'; тогда интеграл столкновений.примет вид
R (0) = J Ss (0)ф (0 — 0)^0.
(2.60)
36
Если с изменением угла Ф изменяется медленнее, чем сечение Ss, функцию Ф под знаком интеграла можно разложить в ряд:
Ф (17 — 0) =Ф (О) — Qx (d/dftj Ф (О) — 0„ (<Э/5й;/) Ф (О') +
+ [8? (52/Ж)Ф (О) + 8£ (д2/д№у) Ф (О') +
+ 20Л (дЧд$хд$у) Ф (О)]/2.	(2.61)
Подставим: (2.61) в (2.60) и, записав M = QdQdy, (%=ф—ф'), вычислим этот интеграл. В интеграле, который соответствует первому члену разложения (2.61), функцию Ф (О’) можно вынести из-под знака интеграла, и он примет
вид Ф (О') С d% I* 0d0Ss (0) = Ф (O')Ss, где Ss —- полное 'о 'о
сечение рассеяния. Интегралы, соответствующие второму и третьему слагаемым, обратятся в пуль при интегрировании проекций 0Х. — 0 cos % и 0У -- 0 sin % по азимуту %. По этой же причине обратится в нуль интеграл от последнего члена. Два оставшихся интеграла вычислить просто. Тогда получим
R (О) = Ss [1 -I- «02>/4М1Ф (О’),	(2.62)
где
<03> = (1/S,) f 02Ss (0)d0	(2.63)
— средний квадрат угла рассеяния; — д2/<Ж- -|-Приближение, в котором интеграл столкновений заменяют членом с производной, называют приближением Фоккера— Планка.
Легко видеть, что разложение (2.62) справедливо и для интеграла столкновений сопряженного уравнения
/ Ss (Й~> Й')Ф'(Й')</Й' « 2,ч [1 -|- (<02>/4)\^1Ф-|-(^).
 (2.64)
При переходе к приближению малых углов  меняется вид градиентного члена кинетического уравнения. В декартовой системе координат, разложив sin -О' и cos 17 в (2.47) в ряд, получим
ЙУФ = ®хдФ!дх + ЪудФ1ду + (1 — -02/2)5ФЖ (2.65)
Если вектор с проекциями х, у обозначить р, то градиентный член можно переписать в виде
ЙУФ = <МФ/5р (1 — -&2/2)5Ф/аг.	(2.66),
37
Для сферически-симметричпых задач из (2.50) следует, ' что
ЙУФ - (1 — фа/2)ЭФ/дг — (ф/г)аФ/сИ|).	(2.67)
Для получения приближенного решения в формулах (2.65) — (2.67) иногда пренебрегают величиной й|2/2 (или фа/2) по сравнению с единицей.
§ 2.9.	Уравнение Колмогорова — Чепмена
Прохождение быстрых частиц через вещество является типичным примером случайного процесса. Если в момент t частица находится в точке х фазового пространства, то в момент f > t ее положение в фазовом пространстве будет' случайным, зависящим от характера и числа столкновений, которые частица испытала к- этому времени. Поэтому для решения задач’ переноса излучения можно пользоваться методами теории случайных процессов, в частности одним из важнейших уравнений этой теории — уравнением Колмогорова — Чепмена [5, с.153; 100, с.384].
Выделим около точки х' элемент фазового объема dx' и обозначим Р (х', t'\ х, t)dx' вероятность того, что частица, находившаяся в момент t в точке х, к моменту V окажется в элементе объема dx'. Функцию Р (х', t'; х, /), равную отношению этой вероятности к фазовому объему dx', называют плотностью вероятности перехода частицы, из точки х в точку х' за время — I. Дифференциальная плотность частиц в точке х' в момент i' выражается через Р (xf, i';x, t):
п (xz, /') = fdxfdiP (x', f; x, t)S (x, t).	(2.68)
Для перехода к дифференциальной плотности потока воспользуемся формулой (1.15):-
Ф (х', Г) ==t/n(x', Г) =
— v'$dx$dtP (х', Г; х, /)$(х, /),	' (2.69)
где v' —скорость частицы с фазовыми координатами х'.
Легко видеть, что v'P (х', f; х, 1} есть дифференциальная плотность потока в точке х' в момент f от точечного мгновенного источника с параметрами х, t. Умножив эту величину на D (х', f) и проинтегрировав по фазовому объему детектора и времени, получим средний вклад частицы, вы-38
летающей из точки х в момент t, в показания детектора, т. е. сопряженную функцию (ценность):'
ф+ (х, f) == Jdx' I'difD (x'i f)P (x', t'; x, t)v'. (2.70)
Убедившись в том, что от Р (х', f; х, I) нетрудно перейти к дифференциальной плотности потока и ценности, приступим к выводу уравнения для этой функции. Прежде всего обратим внимание на то, что вероятность взаимодействия частицы на пути dl, равная hdl, полностью определяется фазовыми координатами частицы в данный момент и не зависит от того, каким путем пришла частица в эту точку. То же самое справедливо и для сечения рассеяния 2в(Й->Й', Е—> Е'), определяющего вероятность изменения направления движения и энергии частицы при столкновении. Это приводит к тому, что плотность вероятности перехода Р (х', х, f) не зависит оттого, какой была траектория частицы до момента I. Случайные процессы, обладаю-. щие таким свойством, называют марковскими.
В силу случайного характера процесса распространения частиц через вещество переход частицы из состояния х в состояние х' может происходить различными путями. Обозначим t" произвольный промежуточный момент времени (f<	а х" — возможные состояния частицы в этот
момент. Согласно формуле полной вероятности, вероятность перехода х -> х' можно записать в виде суммы (интеграла) вероятностей перехода по всем возможным путям, т. е. по всем промежуточным состояниям х", в которых могла находиться частица в момент t". Поскольку процесс переноса марковский,- вероятность перехода х —> к” —> х' равна произведению вероятностей переходов хх" и х"->х'. Следовательно,
Р (х', Г; х, I) =>§dx"P (x't'-, х", t”)P (х", t"\ х, I). (2.71)
Это уравнение называется уравнением Колмогорова Чепмена.
Уравнение Колмогорова — Чепмена в форме (2.71) — это общее соотношение, справедливое для любого марковского процесса. Его практически нельзя использовать для определения плотности вероятности перехода Р (х', f; х, f) без дополнительной информации о характере исследуемого процесса. В задачах о прохождении частиц через вещество такой информацией являются данные о сечениях и коэффициентах взаимодействия.
39
Исходя из физического смысла макроскопических сечений, легко получить асимптотическое выражение для плотности вероятности перехода, справедливое для малых интервалов Д£ = f — I:
Р (х', Г; х, 0 = (1 - 2Ы£)6(г' - г — пЙД/)6(Й' --
— й)6 (Е' — Е) -I- (й -> Й', Е -> ЕУ> (г — г').
• .	(2.72)
Первый член этого выражения соответствует частицам, не испытавшим столкновений на пути vEt. В момент I' -=
= t -|- Et они будут находиться в точке г' г • ЙуД/, иметь'прежнее направление движения и прежнюю энергию. Второй член соответствует рассеянным частицам.
Устремляя в уравнении (2.71) t" к f или к I и используя (2.72), получаем два эквивалентных уравнения для функции Р:
(v'y\dldt')P (г', Й', Е', У г, Й, Е, t) +
-|- Й'У'Е (г', Й', Е', f; г, Й, Е, I) +
+ S (Е')Р (г', й', Е', t'\ г, Й, Е, I) —
— .[dQ" f dE" S8 (Й"-> й', Е"-> Е') х
X Р (г', Й", Е", К, г, Й, Е, t) --О;-.	(2.73)
—v-Hd/dijP (г', й', Е', t'\ г, Й, Е, t) —
- ЙУ Р (г', Й', Е', i'\ г, й, Е, /) -|-
+ S (Е)Р (г', й', Е', t'\ г, Й, Е, /)•
—	(Й->Й", Е->Е“)Р (г', й', Е', t'-.г, й", E"tT)- =
= 0.	(2.74)
Начальное условие для переходной вероятности, вытекающее из (2.72), имеет»вид
Р(х', i-, х, О. = б(г' — г)6 (Й' -- й)6 (£'- Е). (2.75)
Уравнения (2.73), (2.74) будем называть прямым и обратным уравнениями Колмогорова соответственно. Подчеркнем, что б прямом уравнении дифференцирование ведется по координатам точки наблюдения и времени наблюдения, а -координаты и время рождения частицы являются параметрами. В обратном уравнении, наоборот, параметрами являются координаты точки наблюдения и время наблюдения, а дифференцирование ведется по координатам точки
40
и времени испускания частицы. Из уравнений Колмогорова легко получить кинетическое уравнение (2.7) и сопряженное уравнение (2.13). Подействуем на все члены урав-
t'
нения (2.73) интегральным оператором v (Б') j dzj dxS (x, t).
—oo t'
Первый член j dt\dx (d/dt'^P (x', £'; x, Z)S. (x, t) с уче-—'OO
том соотношения (d/dt'j j dtP (x', f; x, t)S (x, t) — —oo
r
= ?(x',Z'; x, t')S (x, t') -|- J (d/dt')P (x', f; x, i)S (x, начального условия (2.75) и формулы (2.68) преобразуется к виду (d!dt,')n (х', Z') — S (х', f).
Преобразование остальных членов осуществляется интегрированием по переменным х, t с учетом формулы (2.69). В итоге получается, уравнение (2.7). Аналогично, действуя на все члены обратного уравнения Колмогорова оператором 00
j’ dt' f dx'v(E') D(x', Z'), получаем сопряженное уравнение (2.13).
§ 2.10.	Переходная вероятность для частиц, прошедших путь Z
Частицы, имевшие в начальный момент одни и те же начальные фазовые координаты х и прошедшие затем в веществе одни и тот же путь I, имеют в конце этого пути различные координаты х'. Обозначим Р (х', x|Z)dx' вероятность того, что частица с начальными координатами х, пройдя путь Z, окажется в элементе объема dx'. Аргумент I у переходной плотности Р (х', х | Z) играет такую же роль, как времепшйе аргументы функции Р (х', £'; х, Z), а уравнения Колмогорова для Р (х', х | Z) получаются в виде:
(д/д1)Р (г', Si', Б'; г, Q,E\l) -|- Si'V'.P (г', Si', Б'; г, Si,Б | Z) +
-I-	2 (Б')Б (г', Si', Б'; г, Si, Б|Z) — -fdSi"J'dA"2g (Й"->- Si', Б"-> Б')Б (г', Si", Б"; г, Si,A|Z) =
= 0;	• (2.76)
(д/дГ)Р (г', Si', Б'; г, Si, Б | Z) — SiV/5 (г', Si', Б'; г, Si,Б | Z)+ . + 2 (Е)Р (г', Si', Б'; г, Si, Е\1) —
- [ dSi" f dA"2s (Si Si"; Б E") X
' xP (r', Si', Б'; r, Si", A"|Z) =0;	(2.77)
41
Р (г', Й', В'; г, й,	—
= 6 (г-г')6 (Й - Й')6 (Е - Е').	(2.78)
Из (2.76), (2.77) можно получить уравнения для других величин, характеризующих случайный процесс блуждания » частицы в веществе. Например, интегрируя все члены формулы (2.76) по переменной г7, получаем уравнение для плотности вероятности того, что частица, имевшая энергию Е и направление движения Й, пройдя путь Z, будет иметь энергию Е' и направление й':
(д/дГ)Р (Й', Е'; Й, E|.Z) -|- 2 (E)P'(Q', Е'-, Q, Е\1)~
-Jdfi"j‘dE"2s (Й"^Й', Е"->Е')Е(Й", Е"; й, Е\Г) = - 0.	(2.79)
Градиентный член, при этом исчезает, так’ как Й'У'Е = = div' (Й'Р), а интеграл по объему от дивергенции по теореме Остроградского—Гаусса преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, который обращается в нуль.
В односкоростном приближении, т. е. без учета потерь энергии при рассеянии, когда
2S (Й Й', Е Е') = 6 (Е - Е')2„ (Й -> Й'), уравнение (2.79) упрощается:
(д/дГ)Р (Й'г Й| Z) -|- 2Р (Й', Й 11) —
— J <2й"28 (Й" -> Й')Р (Й", Й | Z) = 0.	(2.80)
Функция Р (й', й | Z) описывает распределение частиц, прошедших путь Z, по направлениям й'.
Если проинтегрировать уравнение (2.79) по О', получим уравнение для плотности вероятности того, что частица, имевшая энергию Е, пройдя путь /, будет иметь энергию Е':
(д/дГ)Р (Е', Е | Z) + 2 (Е')Р (Е', Е | Z) —
• - fdE"2s"(E" -> Е')Р (Е", Е | Z) = 0.	(2.81)
Граничные условия -для уравнений (2.79)—(2.81) просто получить из. (2.78):
-Р(Й', Е', Й, E|Z)|i=0 =6.(й' — Й)6(Е' — Е);
?(й', Й|()|г==0 =6(Й'-Й); Р(Е', E|Z)|?„0=.
= 6 (Е' — Е).
42
Глава 3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА
В ОДНОРОДНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ
§ 3.1. Разложение по системе ортогональных функций
Уравнения переноса, полученные в гл. 2, представляют собой интегро-дифференциальные уравнения, и большая часть методов их решения основана на том, что разделением переменных эти уравнения превращаются в системы дифференциальных или интегральных уравнений, для решения которых затем используют стандартные методы.
Разделение переменных обычно проводится разложением дифференциальной плотности потока или сопряженной функции по какой-либо полной системе ортогональных функций, после чего уравнение переноса превращается в уравнение для коэффициентов этого разложения.
Систему линейно-независимых функций {Ln (х)} называют ортогональной на отрезке [xlt х2], если эти функции удовлетворяют требованию
J Lm (x)Ln (x)dx == 0, п Ф tn.	(3.1)
Xi
Систему {La} называют полной в некотором классе функций, если любую функцию Ф из этого класса можно представить в виде разложения
Ф(х)	(3.2)
т
Коэффициенты с легко найти, если левую и правую части (3.2) умножить на Ln (х) и проинтегрировать по х с учетом (3.1):
J Ln (х) Ф (х) dx
С^—х---------------	(М
х* J (х) dx Х1
43
Формулы (3.1) — (3.3) станут нагляднее, если ввести обозначение
(Ф1, Фа) = Ф1 (*)фа C*W	М
и назвать такой интеграл скалярным произведением функций фх и ср2, определенных на отрезке [х1( х2]. В этих обозначениях условие ортогональности (3.1) принимает вид (Ln, Lm} =0, n =4= m, аналогичный условию ортогональности векторов в векторной алгебре. Отметим, что, не нарушая свойства (3.1), функции Ln можно нормировать х?
таким образом, чтобы (Ln, Ln) —< J L* (x)dx 1. Тогда
Xi
условие ортогональности (3.1), разложение (3.2) и формула (3.3) запишутся в виде
(Ln, Lm) = finm; Ф (%) = 2ctlLn (х); cu = (L„, Ф). (3.5) п
Вторую формулу (3.5) можно рассматривать как аналог разложения вектора по ортам, где функции Ln играют роль ортов, а коэффициенты сп — роль проекций вектора Ф. Третья формула (3.5) совпадает с известной формулой векторного анализа, утверждающей, что проекция вектора на любое направление равна скалярному произведению этого вектора на орт указанного направления.
В качестве «ортов», по которым производится разложение [см. вторую формулу (3.5)], можно использовать и системы комплексных функций. Однако для комплексных функций скалярное произведение определяется несколько иначе:
(Ф1> Фа) = ,Г Ф* (*)фа (x)dx.	(3.6)
Это необходимо, чтобы «квадрат длины вектора» (ср, ср) = =.[ | ср (х) 12dx был положительной, величиной.
Множество ортогональных функций, удовлетворяющих условию (3.1), не обязательно является счетным. Существуют такие системы функций, где п пробегает непрерывный ряд значений. В этом случае в разложении по «ортам» сумма заменяется интегралом:
Ф (х) = Jc (h)L (х; ri)dn	(3.7)
44
(непрерывно изменяющийся индекс обычно рассматривается как дополнительная переменная, от которой зависит «орт» L).
Умножим обе. части равенства (3.7) на L* (х; т) и проинтегрируем по х:
У L* (х; /п)Ф (x)dx =$dn c(ri)\dxL* (х; m)L (х; п). (3.8)
Внутренний интеграл в правой части этого равенства в соответствии с (3.1) равен нулю при всех п, кроме п — т:
У L* (х; m)L (х; ti)dx — О, п #= т. (3.9)
Чтобы правая часть (3.8) не была тождественно равна нулю для произвольной функции Ф (х), необходимо, чтобы выражение (3.9) при п = т обращалось в бесконечность, как 6-функция. Выбирая коэффициент пропорциональности равным единице, получаем условие нормировки
У L* (х; т) L (х; /г) dx = 6 (т — п).	(3.10)
Тогда (3.8) переходит в равенство с(т) — | L* (%; щ) х X Ф (х) dx, т. е. совпадает с третьей формулой (3.5).
В теории переноса используются и более сложные разложения. Наиболее общим является разложение по системе биортогональиых функций с весом w (х). В этом случае используют две системы линейно-независимых функций: {Ln (х)} и {L% (х)}, удовлетворяющих условию
У w (х) Lm (х) Ln (х) dx — 6тп, (3.11) если эти системы счетные, и
У w (х) L+ (х; tri) L (х; ri) dx =6 (т — ri), (3.12)
если индексы т и п могут изменяться непрерывно. Разложение произвольной функции по-прежнему представляется в виде (3,2) или (3.7), а коэффициенты сп определяются формулами
сп = У w (xj Ln (х) Ф (х) dx,	(3.13)
которые получаются умножением (3.2) или (3.7) на да (х) Ln (х) и интегрированием по х с учетом (3.11), (3.12).
Легко видеть, что (3.11)— (3.13) переходят в первую формулу (3.5), (3.10) и в третью формулу (3.5), если да (х) = = 1, а функции L+, образующие сопряженную систему, совпадают с комплексно-сопряженными функциями L*.
45
При решении уравнений переноса чаще всего используют разложения по сферическим функциям, полиномам Эрмита и Лагерра, а также преобразования Фурье, Лапласа, Меллина и Фурье — Бесселя.
§ 3.2. Угловое распределение частиц в приближении Фоккера — Планка
Если потерями энергии при рассеянии можно пренебречь (рдноскоростное приближение), то распределение частиц, прошедших путь I, по Й можно получить, решая уравнение (2.80):
(д/дГ) Р (Й11) -I- 2Р (Й | Z) — У с/й'2в (Й' й) Р (й' 11) = 0;
(3.14)
Л(й|/)|г-о =8 (й — й0),	(3.15)
где Йо — начальное направление движения частицы. Будем считать, что рассеяние происходит преимущественно вперед. Тогда уравнение (3.14) можно решать в’приближении малых углов. В соответствии с результатами, полученными в § 2.8, преобразуем уравнение (3.14) к виду
(д/dl) Р (0|Z)+ 2С Р (О | Z) —(1/4) 2,<0®>П Л(^|/)=0, (3.16)
где 2С — сечение поглощения; О — вектор с проекциями •О cos ср, О' sin ср, 0.
Направим ось 0z по вектору й0. Тогда, поскольку й0 = (0, 0, 1) и й.« (О'ос, Оу, 1 — 0‘2/2), с точностью до членов второго порядка й — й0 = О. Поэтому
Р (О | Z) 1,-0 = 8 (О).	(3.17)
Решение уравнения (3.16) будем искать в виде
P^\l) = exp (~2CZ) f (O|Z).	(3.18)
Уравнение для функции f (O'lZ) получим, подставив (3.18) в (3.16) и (3.17):
(д/dl) Цв\1)- (1/4) 2S <9*>	(О| /) = 0; (3.19)
/ (O|Z) |/_0 =6 (О).	(3.20)
46
Уравнение (3.19) можно решить с помощью преобразования Фурье на плоскости:
f (ft | Z) = [1/ (2л)2] J dq exp (i q ft) / (q | Z); (3.21) f (q | Z) = J dft exp ( — iqft) f (ft1Z).	(3.22)
Здесь «ортами», по которым ведется разложение «вектора» f (тО ] Z), являются экспоненты exp (iqft), для которых условие ортогональности и нормировки имеет вид
[1/ (2 л)2] J exp [i (q — q') dft — б (q — q'). (3.23)
Используя разложение (3.21), легко показать, что
W (ft| Z) = - [1/ (2л)2] f dq'q'z exp (iq'ft) f (q' | Z).
Подставим это выражение в уравнение (3.19), умножим все члены уравнения на ехр ( — iq'O’) и проинтегрируем по ft. В первом члене интегрирование по ft и дифференцирование по Z можно поменять местами. Тогда в соответствии с (3.22) этот член будет равен (d/dl) f (q j I). Второй член после интегрирования по ft с учетом (3.23) примет вид (1/4) 28 <02> f (q | Z) т. e. для отыскания f (q [ l) необходимо решить уравнение
(д/dl) f (q|Z) + (l/4) Ss<02> ^2/(q|Z)=0 (3.24) с начальным условием
f (q I *)M = 1,	(3.25)
которое легко получить из (3.20), если обе части равенства (3.20) умножить иа exp ( — iqft) и проинтегрировать по ft.
Решение уравнения (3.24) с начальным условием (3.25) имеет вид
/ (q | Z) == ехр { — (1/4) S8 <02> Z(/s}.	(3.26)
Подставляя (3.26) в (3.21), получаем
f (ft| I) = 11/ (2л)2] j dq exp (iqft - (1/4) 38 <02> Z72). (3.27)
Интеграл (3.27) будем вычислять в полярных координатах, где qft = </ft cos %, dq — qdqdr£. Используя известное интегральное представление функции Бесселя
Jo (х) = (1/2л) J exp ( ± ix cos %) d%,	(3,28)
47
получаем
f (Ф| /)= (1/2л) | ехр { — (1/4) 2«<02>	(3.29)
Согласно [23, с. 731],
f ехр (— ах2) Jo (|3xj xdx — (1/2 а) ехр ( — 0а/4а). (3.30) ‘о
Поэтому
f (& | /) = (l/nS3 <02> /) ехр ( — О'2/ <()а> 2.,/) (3.31) и
Р (О | о=ехр (- Zc о	(~”^а	1 	(3-32)
Л<ад I
Множитель ехр ( — 20() в этой формуле описывает поглощение частиц на пути I.
Из (3.32) видно, что угловое распределение частиц, прошедших путь /, является гауссовым. Средний квадрат угла многократного рассеяния, характеризующий ширину углового распределения, можно найти, вычисляя интеграл (О'а> = J О'2? (0’1 Z) d®. Переходя к полярным координатам и интегрируя по частям, получаем
<№> = 2в<02>/,	(3.33)
т. е. с увеличением I угловое распределение уширяется. .
Говоря об области применимости формулы (3.32), следует отметить, что замена интеграла столкновений дифференциальным оператором V# возможна, если угловое распределение изменяется медленнее, чем дифференциальное сечение. Это условие выполняется, если I достаточно велико по сравнению со средней длиной пробега между столкновениями. Однако при больших I неприменимо использованное при выводе односкоростное приближение. С ростом  I увеличиваются потери энергии, и пренебрегать зависимостью сечений от энергии нельзя.
Еще одна трудность возникает при применении формулы (3.32) для описания многократного рассеяния заряженных частиц. В этом случае сечение рассеяния пропорционально 1/04 и интеграл (2.63), определяющий значение <02>, логарифмически расходится. Вопрос о форме углового распределения заряженных частиц’ подробнее обсуждается в § 3.14.
48
§ 3.3. Угловое распределение частиц, прошедших путь I
Для нахождения углового распределения частиц обычна применяют методы, основанные на разложении этого распределения по сферическим гармоникам. В задачах с азимутальной симметрией, рассмотрением которых мы н ограничимся, «ортами» являются полиномы Лежандра Ph (cos ft), удовлетворяющие уравнению
1
sin U
sin O' Ph (cos ft)
d rfil
= —/e(/e+l)/\(cosft), /г=0, I, 2, ...
(3.34.)
и образующие полную ортогональную систему на отрезке
О ft л:
f Ph (cos ft) Pn (cos ft) sin ft dft [2/(2/г  I  l)|Shn. (3.35) 'o
Как и в § 3.2, рассмотрим задачу об угловом распределении частиц, прошедших путь Z, пренебрегая потерями энергии при рассеянии, по не используя приближения малых углов:
(д/dl) Р (Я | Z) + SP (Я | /) — J б/Я'Х.., (Я' Я) Р (Я' | /) 0;
(3.36)
Р (Я|/)|/. о -fi (Я О0),
(3.37)
где Я() -- начальное направление движения частицы.
Рассматриваемая задача симметрична по азимуту, поэтому вместо Р (Я | Z) в дальнейшем будем писать Р (cos ft | /), предполагая, что координатная ось Од направлена ио вектору Я(|.
Решение уравнения (.3.30) будем искать в виде
Р (cos ft | Z) — exp (.- St./) / (eosft|Z), (3.38)
выделив множитель exp ( - - 2,,/), описывающий поглощение. Легко убедиться, что функция f (cos ft 11} удовлетворяет уравнению
(d/dl)f (cosft|Z) -) SJ (cos ft | I) - ' /	(Я' -> Я) / (cos ft' | Z) « 0,
f (cos ft | Z) | /_q =6(0 — £l0).
(3.39)
49
В этом уравнении сначала преобразуем интеграл столкновений
R (cos О', Z) = J dq>' J sinfl'cZfl'Se (cos 9) f (cos O' | Z), cos 0 = ftft', о 0
разложив в нем по полиномам Лежандра дифференциальное сечение рассеяния:
00
ss (cos 0) = V ^±1 ShPh (cos 0);	(3.40)
4вм> 4 «Ft
0
= 2л j’ Ss (cos 0) Ph (cos 0) sin OdG. (3.41) о
Подставляя (3.40) в интеграл столкновений и меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем
оо	2л	я
R (cos fl, 7) = 2 [(2&+ 1)/4л] S;J dcp'j sin ft'd ft'Ph (cos 0) x 0	 о	0
Xf (cos fl' 11).
Используя явные выражения для проекций векторов 0 = = (sin O' cos ср, sin fl sin ср, cos fl'), ft' = (sin 0' cos cpz, sin fl' x X sin cp', cos O'), легко получить следующую теорему сложе-.ния тригонометрических функций:
ftft' = cos 0 = cos 0' cos 0' + sin О sin О' cos (ср — ср'). (3.42)
Аналогичная теорема имеет место и для полиномов Лежандра [53, с. 6761:
Pk (cos 0)=Р,, (cos 0) Pk (cos 0') +
+ 2 2' -Р/Г (cos 0)P* (cosfl')cosm(cp—cp'), rn = 1 '	'	/
(3.43)
где Pk — присоединенные полиномы Лежандра. Подставим (3.43) в интеграл столкновений и проинтегрируем по ср'. Легко видеть, что сумма по т не дает вклада в этот ин-
теграл, так как J cos т (ср — ср') dy' = 0. Поэтому
R (cos fl, Z) = j} [(2 k + 1)/4 л] 2hfk (/) Ph (cos fl). (3.44) £=0
50
Здесь
Л
fh (Z) - 2л I' f (cos fl 11) Ph (cos fl) sin fliZfl (3.45) b
— коэффициенты разложения функции f (cos fl | Z) по полиномам Лежандра:
f (cos fl | Z) =S [(2/г1)/4л] Ph (cos fl) fh (I). (3.46) 4=0
Подставим теперь (3.44) в кинетическое уравнение (3.39), умножим все члены уравнения на Рп (cos fl) и проинтегрируем по Й. Интегрирование по направлениям и дифференцирование по Z можно поменять местами, это позволяет записать первый член преобразованного уравнения в виде (d/dl) X Xfn (7). Второй член легко преобразовать к виду (Z). В интегральном члене надо поменять местами суммирование по /г и интегрирование по направлениям, что с учетом условия ортогональности (3.35) приводит к выражению (Z).
Таким образом, система уравнений для определения коэффициентов fn (Z) в разложении / (cos fl | Z) по полиномам Лежандра принимает вид
dfn (l)/dl + Anfn (7) ~0, п = 0, 1, 2,...,	(3.47)
где
Ап 2а — 2П *= 2л f [1 — Рп (cos 0)] Ss (cos 0) sin OdO. о
(3.48)
Начальные условия для функций fn (Z) легко получить, умножая начальное условие (3.39) па Рп (cos fl) и интегрируя по направлениям. Если ось 0z направить по вектору О0, то
fn G) I г-о = 7 •
Решения уравнений (3.47) с такими начальными условиями имеют вид
fn (Z) = ехр ( - АпГ).	(3.49)
Подставив эти решения в (3.46), получим
f (cos fl | Z) =2 [(2А+1)/4л] Pk (cos fl) exp (-Akl). (3.50) 4=0
Для качественного анализа этого результата предположим, что сечение рассеяния сильно вытянуто вперед. Тогда полином Лежандра Р„ в (3.48) можно разложить в ряд:
51
Pn (cos 0) да 1'— п®08/4. Поэтому Лп = /I2 2Л< О2 >/4, где < 02 > —средний квадрат угла рассеяния [см. (2.63)], В этом приближении
f (cos О | Z) =	[(2k + l)/4n]Pft(cos fl) exp [ — (/га/4) x
Х2,(92Я	(3.51)
В тех случаях, когда угловое распределение частиц близко к изотропному, оно с хорошей точностью может быть представлено несколькими первыми членами разложения (3.51). В противоположном случае, когда анизотропия велика, основную роль в разложении играют члены с /г>> 1. Поэтому в формуле (3.51) положим 2 k -Ь 1 да 2 k и заменим сумму по /г интегралом:
f (cos fl|Z) = (1/2л) f Ph (cos fl) exp( — /г2Д, < 0a> Z/4) x о
* X kdk,
Функция f быстро убывает с увеличением fl, и наибольший интерес представляет ее вид в области малых углов. При малых fl Pk (cos А) да J 0 (fefl), поэтому
f (cos А | Z) = (1/2л) J Jo (k&) exp (fe8/4)	< 02 > Z] kdk,
что, естественно, совпадает с (3.29), т. е. угловое распределение является гауссовым:
f (cos fl’ | Z)=-J-— exp (-----——’j.
1 k	<02> I 1 \	2s <0*> Z /
§ 3.4.	Рдг-приближение
Рассмотрим' односкоростное кинетическое уравнение в плоской геометрии с источником, симметричным по азимуту:
cos А 5Ф (z, cosfl)/dz + 2Ф (z, cos fl) — J dft'Ss (ft' ft) x
X Ф (z, cos fl') = S (z, cos fl).	(3.52)
Чтобы решить это уравнение, используем разложение по полиномам Лежандра. Для этого, как и в предыдущем параграфе, сначала преобразуем интеграл столкновений. По
52
аналогии с (3.44) его можно представить в виде
(cos fl, z) = 2 [(2£ + 1)/4л] 2;1Фл (г) Ph (cos fl), (3.53) A==0
л
где Sft ~2л (’ 2S (cos 0) Plt (cos 0)зт0с!0иФй (z)=2n x b
JX
X [Ф (z, cos fl) Ph (cos fl) sin fl dfl—коэффициенты разло-b
женин дифференциального сечения рассеяния 2Я (cos 0) и дифференциальной плотности потока Ф (z, cos fl) по полиномам Лежандра.
Подставим теперь (3.53) в (3.52), умножим все члены получившегося уравнения на Рп (cos fl) и проинтегрируем по £2. Тогда правая часть уравнения будет равна
Sn (z) = J S (z, cos fl) Pn (cos fl) dQ, (3.54)
I
интеграл столкновений с учетом условия ортогональности для полиномов Лежандра (3.35) примет вид 2ПФП (z), а член 2Ф преобразуется к виду 2ФП (z).
Переходя к преобразованию градиентного члена, отметим, что для полиномов Лежандра имеет место следующее рекуррентное соотношение:
cos fl Рп (cos fl) = [(га -|- 1)/ (2га 1)] Лп+1 (cos fl) -|-
+ [га/ (2 га -I- 1)1 Pn_x (cos fl). (3,55).
Поэтому градиентный член преобразуется к виду
[(га + 1)/ (2га -|- 1)] (d/dz) Фп+1 (z) + In/ (2п + 1)]] X
X (d/dz) Фп„.х (z).
Таким образом, для нахождения коэффициентов разложения дифференциальной плотности потока по полиномам Лежандра получаем следующую систему уравнений:
(га + 1) Ф;+1 (z) га ФА_! (z) + (2 га + 1) АПФП (г) =
= (2га + 1) Sn (z), га = 0, 1, 2, ...	(3.56)
Здесь
Ап = 2 — 2П = 20 + 2л [ 2S (cosfl) [1 — Рп (cosfl)] sin fldfl. б
(3.57)
53
Систему этих дифференциальных уравнений можно рассматривать в качестве исходной для определения трансформант плотности .потока Фп (z), вычислив которые, можно восстановить плотность потока по формуле
Ф (2, cos ft) = f [(2п	1)/4л] Фп (z) Рп (cos ft). (3.58)
n = 0,
Сведение интегро-дифференциального кинетического уравнения к системе дифференциальных уравнений значительно облегчает решение задачи и является весьма распространенным приемом в теории переноса различных частиц: нейтронов,! электронов, у-квантов [7, с. 100; 9, с. 76; 28, с. 142; 31, с. 158; 63, с. 129].
Уравнения (3.56) образуют бесконечную систему дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных. Её можно решить только приближенно, ограничившись в разложении (3.58) несколькими первыми членами. Система уравнений в этом случае становится конечной, и для ее решения можно использовать стандартные методы. Приближение, в котором пренебрегают величиной Фм+1, называется Рк-приближением.
Низшим из рассматриваемых является Pi-приближение, в котором система уравнений имеет вид
ф{ 4-Л0Ф0 = S0; Ф6-F 3 ЯХФ1 =3 Si. (3.59)
Заметим, что Ро (cos ft) == 1, поэтому в соответствии с (3.57) Ло = 2)с; Л1 = STP. Величину =2 -2Л < cos 0 > называют транспортным сечением. Для изотропного источника S (z, cos ft) = (1/4л) S (г) и Sn = S (z) 6п0, в чем легко убедиться, если использовать условие ортогональности (3.35) при k = 0. Для такого источника уравнения (3.59) принимают вид
Ф{ (а) н- 2СФО (2) = S (г); Ф6 (а) + 3	(2) = 0.
Продифференцировав второе уравнение по координатам и подставив Ф{ (г) в первое уравнение, получим
-(1/3 2тр) Ф5(г) + 2сФ0(2) =5(г);	(3.60)
Ф1 (г) = - (1/3 2тр) Фй (г).	(3.61)
Уравнение (3.60) для нулевой трансформанты, равной проинтегрированной по углам плотности потока Фо (г) = = 2 л f Ф (г, cos ft) sin ftdft == Ф (г), представляет собой
54 .
одномерное уравнение диффузии с коэффициентом диффузии D = 1/32,гр =1/3(2 — 2а (cos 0». Решив это уравнение и вычислив по формуле (3.61) первую трансформанту, можно восстановить угловое распределение по формуле (3.58), которая в /^-приближении имеет вид
Ф (z, cos тЭ1) = (1/4зт) Фо (z) + (3/4л) Фх (z) cos &.
Число членов, которые необходимо удержать в разложении (3.58), определяется характером решаемой задачи. Если искомое угловое распределение близко к изотропному, часто оказывается достаточным /^приближение. С увеличением N точность метода повышается, но при этом растет объем вычислений. В случае сильной анизотропии потока, которая имеет место, например, для направленного источника и происходящего вперед рассеяния, ^-приближения сходятся медленно.
§ 3.5.	Диффузионное приближение
Приведем примеры решения диффузионного уравнения в бесконечной среде для источников двух типов: плоского изотропного и точечного изотропного [6, с. 112; 66, с. 128; 86, с. 35].
Пусть источник частиц распределен в плоскости z = О с постоянной поверхностной плотностью Сто : S (z) — = ст06 (z). ..Тогда уравнение диффузии
— РФ" (z) + 2СФ (z) = а06 (z)
при z =/= 0 является однородным:
— РФ" (z) + 2СФ (z) = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Фо (z) — A exp (z/L) -|- В exp ( — z/L), где параметр L =sVDI2a называется длиной диффузии. Из условия ограниченности плотности потока частиц при z = ± оо коэффициент при возрастающей экспоненте в последнем уравнении (3.61) следует приравнять нулю:
_ , (A exp (z/L), z< 0;
Ф (2) — \в ехр ( — z/L), z > 0,	(3.62)
В силу очевидной симметрии задачи А = В и (3.62) можно записать в более компактном виде:
Ф (z) = А exp ( —|zj/L).	(3.63)
55
Постоянную А можно найти различными способами.
В частности, в стационарном случае число частиц, испускае-
00
мых источником, равно числу поглощенных частиц: Scx
—>00
х'Ф(г) dz = а0. Подставляя сюда (3.63) и интегрируя, находим А. Окончательно плотность потока от плоского источника в диффузионном приближении равна
Ф(2) =cr0(L/2D)exp (—|z|/L).	(3,64)
Для точечного изотропного источника, помещенного в начало координат и испускающего So частиц в единицу времени, уравнение диффузии имеет вид
- DV8 Ф (г) БСФ (г) =-.= So6 (г).	(3.65)
В силу симметрии задачи Ф (г) Ф (г) и уравнение (3.65) упрощается:
Г С1Г \ III /
В области пространства, свободной от источников (всюду, кроме начала координат), уравнение (3.66) является однородным.	• .
Введем новую функцию % (г) == г Ф (г). Из (3.66) следует, что она подчиняется уравнению — D (dP/dr*) % (г) |- 2С X X %(г) — 0 (г =£ 0), по форме совпадающему с диффузионным уравнением в плоской геометрии (3.60). Поэтому Ф (г) —В х Хехр {—rlL'jlr. Для определения нормировочной постоянной В, как и раньше, воспользуемся тем, что число поглощенных частиц равно числу испущенных: So = J 2СФ (г) dV. Вычисляя интеграл в сферических координатах, получаем В = q0/4nD. Поэтому Ф (г) ~ (S0/4nDr) ехр( — r/L).
В бесконечной однородной среде плотность потока зависит только от расстояния между источником и детектором. Поэтому если источник помещен не в начало, координат, а в точку г0, то
ф (г) = (30/4л П | г — г0|) ехр (--1 г — r01IL).
56
§ 3.6. Преобразование Фурье — Бесселя
Рассмотрим односкоростное кинетическое уравнение с плоским перпендикулярным источником:
cosfld® (2, cos0)/<?2 + 2Ф (z, cos fl)—J	(cos 0) x
X Ф(2, cos б7) = (1 /2л) 6 (1 — cos ft) 8 (z);	(3.67)
cos 0 = ЙЙ' = cos 6' cos fl' + sin fl sin fl' cos (cp — cp'). (3.68) Если рассеяние частиц происходит преимущественно вперед и дифференциальная плотность потока Ф быстро убывает с ростом б1, то решение уравнения (3.67) можно искать в приближении малых углов (§ 2.8). В этом приближении интеграл столкновений приводится к виду
/? (fl, z) =2fdcp'°i fl'dfl'S,' (0) Ф (2, fl'), 0 =
6 о
= /fl2 + fl'2 — 2flfl' cos (cp — cp'),	(3.69)
a cos fl в градиентном члене можно заменить на единицу. Правая часть уравнения (3.67) в приближении малых углов равна (1/2л) 6 (2) 6 (fl)/fl, так как 1 — cos fl « fl2/2, а, в соответствии со свойствами 6-функции, 6 (fl2/2) — (1/fl) 6 (fl). Поэтому уравнение в целом можно записать в виде
ЭФ (z, fl)/dz + ЗФ (2, fl) — pep' f &d fl'Ss (0) Ф (2, fl') =
= (1/2л) [6 (fl)/fl] 6 (z).	(3.70)
Решение уравнения (3.70) будем искать в виде разложения по функциям Бесселя J 0 (pft):
Ф (z, fl) = (1/2л) I Ф (2, р) 7о (pfl) pdp, (3.71) b
которые ортогональны в области 0 оо с весом О:
Г Jo (pfl) Jo (р’Ь) fldfl = (1/р) 6 (р - р'У, (3.72) о
поэтому
Ф (2, р) = 2л ( Ф (2, fl) Jo (pfl) flc/fl. (3.73) ‘о
57
Как и в § 3.3, преобразуем сначала интеграл столкновений, разложив по функциям Бесселя дифференциальное сечение рассеяния:
Ss (0) = (1/2л) Т Ss (р) Ja (рб) pdp', (3.74) О
Se (р) = 2л" Ss (0) Jo (р0) Ш. (3.75) о
Изменив порядок интегрирования, запишем интеграл столкновений:
А? (О', z) = (1/2л) [ pdp2s (р) [dtp' ОШ'Ф (z, О') Jo (р0). О	0	0
Для функции Бесселя, как и для полиномов Лежандра, существует теорема сложения, аналогичная (3.43):
сю
Jo (р0) = Ja (ро) Jo (ро') + 2 2 Jm (рО) Jm (рГ) X .«г=1
X cos т (гр — ср').	(3.76)
Подставим (3.76) в интеграл столкновений и проинтегрируем по ср'. Интеграл от cos т (ср — ср') равен нулю, поэтому
Д (z, О) == (1/2л) " Ss (р') Ф (z, р') Jo (.p'-Q-) p'dp'. о .
Умножая все члены уравнения'переноса на 2лО'</0 (р0‘), интегрируя по О и учитывая, что Jo (0) = 1, получаем уравнение для1 трансформанты Фурье — Бесселя Ф (z, р):
(dldz) Ф (z, р) -|- А (р) Ф (z, р) = 6 (z); А (р) = S -	(р).
(3.77)
В области z > 0 функцию Ф (z, р) можно получить, решая однородное уравнение, а чтобы найти Ф (z, р) | г„0, проинтегрируем все члены (3.77) по z (—8 < z < + 8, где 8 — малая величина): Ф (-[- s, р)—Ф (—8, р)-{-Л (р) X
-}-е
X J Ф (z, р) dz = 1. Если источник направленный и рассея-—8
ние происходит только на малые углы, то в области z < 0 Ф (z, €) = 0. Поэтому Ф ( — 8, р) =0. Переходя далее к пределу 8-> 0, получаем граничное значение для трансформанты Ф (z, р) ; lim Ф (+ 8, р) = 1.
е->0
58
Таким образом, неоднородное уравнение (3.77) эквивалентно однородному (d/dz) Ф (z, р) -|- А (р) Ф (z, р) = 0 с граничным условием Ф (z, p)|z=0 = 1. Его решение имеет вид Ф (z, р) = ехр [ — zA (р)1, поэтому интересующее нас решение уравнения переноса есть
Ф (z, 0) = (172л) exp (—2z) ,[ exp [ — 2S (р) z] Jo (pfl) х о
Xpdp.	(3.78)
Для малых zфункцию ехр [ — zSs (р)] можно разложить в ряд и записать Ф (z, fl) в виде
Ф (z, fl) = 2 Ф„ (z, -0); Фп (z, ’&)- = (zn/2nn\) ехр (—2z) X 71=0
X 2" (р) Jo (pfl) pdp.	(3.79)
о
Легко установить физический смысл отдельных членов найденного разложения. Используя (3.74) и условие ортогональности (3.72), записанное при р' — 0, можно показать, что
ф0 (г, fl) = (1/2л) ехр ( —2z) | 70(pfl) pdp=exp (—2z) х 'о
X 6 (fl)/2nfl;
Ф1 (z, fl) — (1/2л) z ехр ( — 2z) f 2Л (р) (р®) pdp=zx ‘о
X ехр ( —2z) 2S (fl)
и т. д. Ряд (3.79) представляет собой разложение по порядкам рассеяния: Фо описывает нерассеянные частицы, Фх — частицы, испытавшие однократное рассеяние, и т. д.
Анализируя асимптотическое поведение решения (3.78), заметим, что если 2g (0) — быстро’убывающая функция, то функцию Бесселя в (3.75) можно разложить в ряд: /о(р0) « 1—р202/4, тогда 2S (р) « 2g [1-—(р2/4) < 02 > ] и
Ф (z, А)=(1/2л) ехр (—2cz)	ехр [(—р2/4) Ss<02> х
о
XZ] Jo (pfl) pdp.
59
Вычисляя интеграл с помощью (3.30), получаем <Т> (z, 0)=
= [ехр ( - 2cz)/nSs < 02 > z] ехр ( - WSe < О2 > г). Эта формула совпадает с (3.32), т. е. угловое распределение частиц является гауссовым.
§	3.7. Приближение малых углов в случае точечного изотропного источника
В односкоростном приближении дифференциальная плотность потока, создаваемого точечным изотропным источником, зависит только от расстояния г между источником и детектором'и от угла ф между г и Й (§ 2.5), а уравнение переноса имеет вид
.	д ,	... sin2 ф	д /г. /	, ч ,
cos ф— Ф (г, cos ф) --—1------Ф (г, cos ф) - -
1	dr v " г	д cos ф	v 1/1
-|-2Ф (г, cos ф) — j d%' § sinф' t/ф' Ss (cos 0) Ф (r, cos ф')== о о __________________ 6 (г) 6 (1—cos ф) .
4пг2 2л ’
cos 0 = йй' = cos ф cos ф' + sin ф sin ф' cos (% — %').
Переходя к приближению малых углов (§ 2.8), получаем
± ф (Г) ф) _ 1А ф (Г) ф) + 2Ф (г, ф) __
2л оо ф'с/ф'28(0)Ф(6Ф')=Т|.4^; '
J О	4лга [_2лф
0=/ф2-I- ф'2 —2фф' cos (х — X').	(3.81)
Будем искать решение этого уравнения в виде
Ф (г, ф) = (1/4лг2) ехр ( — 2г) f (г, ф).	(3.82)
Подставив (3.82) в (3.81), найдем уравнение для f (г, ф):
Or г	г Зф
— С dx 7 ф' dty' Ss (0)/(г, ф)=б(г) 8Ж (3.83) о о	2зм'’
60
Как и раньше, источник в этом уравнении можно заменить граничным условием f (г, ф)| r„0 = (1/2лф) 6 (Ф)-.
Применим к уравнению (3,83) преобразование Фурье — Бесселя по углу ф. Все члены этого уравнения преобразуются так же, как в §3.6, за исключением третьего слагаемого, которое рассмотрим отдельно. Возникающий здесь интеграл по переменной т|) берется по частям:
2л " ф (З/Зф) f (г, ф) J0 (рф) фс(ф = 2л ф2 /0 (рф) f (г, ф) | — о	о
— 2л {f (г, ф) [2 ф /0 (рф) + Ф® (с(/с(ф) Jo (рФ)1 о
Учитывая, что lim Ja (рф) = 0, a (did ф) Jo (рф)=(р/ф)х Р~>00
X (d/dp) Jo (рф), получаем, что рассматриваемый интеграл равен —2/ (г, р)—р (cwp) f (г, р), где / (г, р)—трансформан-
ОО
та Фурье — Бесселя функции f (г, ф): f (г, р)—2л ( / (г, ф) х й
X (РФ) Ф^Ф- Она удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
(д/дг) f (г, р) + (р/r) (д/др) f (г, р) - S8 (р) f (г, р) = 0 (3.84) с условием на границе
f (Л Р) I г^о = 2л | [6 (ф)/2 лф] Jо (рф) ф# = 1.	(3.85)
’о
Система характеристических уравнений для (3.84) имеет вид dr/1 = dp! (p/r) — df/f Ss (p), откуда трансформанта f (г, p), удовлетворяющая условию (3.85), равна
f (г, p) = exp {(г/р) S4 (p') dp'}.	(3.86)
Подставляя (3.86) в обратное преобразование (3.71) и используя (3.82), получаем угловое распределение частиц в виде интеграла
Ф (г, ф) = (1/8л2/-2) ехр ( —2 г) х
X ,[ /0(рф)ехр {(r/p).f S8 (p')dp'}pdp. .	(3.87)
о	о
Разложением экспоненты под знаком интеграла в ряд можно получить разложение плотности потока по кратностям рассеяния. В частности, Фо (г, ф) = (1/2л) [6 (ф)/ф] X X (1/4л г2) ехр ( — 2г).
61
Асимптотическое поведение Ф (г, ф) при малых ф можно получить так же, как в предыдущем параграфе, разлагая в (3.87) трансформанту сечей и я 2а (р) в ряд. Угловое распределение частиц в этом случае получается гауссовым:
Ф (г, ф)=[3 ехр (—Scr)/4 n2r3Ss < 02 > ] х
X ехр (—i|)a/Ss <02 > г).
Вычисляя средний квадрат угла многократного рассеяния <ф2> = J ф2Ф (г, ф)фйф/УФ (г, ф) фйф, находим, что он пропорционален расстоянию г : <ф2> = Ss < 02>г.
§ 3.8.	Элементарные решения односкоростного уравнения
Рассмотрим одно из самых простых уравнений теории переноса: односкоростное кинетическое уравнение в плоско-параллельной геометрии с изотропным рассеянием. В области, где источники отсутствуют, оно имеет вид
Ф.1
р, (d/dz) Ф (z, р,) + 2Ф (z, р,) —(Ss/2) J Ф (z, р,') dp,' =0,
р, = cos О’.	(3.88)
В случае бесконечной однородной среды удобно перейти к безразмерной переменной
t = 2z.	(3.89)
Разделив обе части (3.88) на 2 и учтя (3.89), найдем
-1-1
р.(Ж)Ф (t, р)-|-Ф (t, ц)-(р/2) j Ф (i, pi') djx'=0, (3.90)
где р — Se/S — вероятность «выживания» частицы при столкновении.
Решение уравнения (3.90) ищем методом разделения переменных:
ф а, и) =7 а) ф (ц).	(3.91)
Подставляя (3.91) в (3.90) и. разделяя переменные обычным способом, получаем
(d/dt) f (f) = - (1/v) f (?)	(3.92)
И	+i
-	(1 — jx/v) ф (p.) = (p/2) f cp (p,') dp,',	(3.93)
62
где v-1 — постоянная разделения. Отмечая решения, полученные при определенном значении этой постоянной, индексом v и полагая (без ограничения общности)
4-1 f<pv(p)dp=l,	(3.94)
. 1
из (3.92), (3.93) находим:
(t) = ехр ( — //v); cpv (р) = (р/2) v/ (v — р). (3.95)
Уравнение для возможных значений v можно найти, про-интегрировав5* второе из равенств (3.95) по р и учтя (3.94):
4-1
(pv/2) f dp/ (v — p) = (pv/2) In [(v + 1)/ (v — 1)] =1. (3.96)
Подробный анализ уравнения (3.96), который здесь опущен, показывает, что существуют два корня (у = ±v0, v0 > 1), симметрично расположенные на действительной оси. Подставляя их во вторую формулу (3.95), найдем два решения уравнения (3.93):
<P±v„ (р) = (р/2) v0Z (v0 =F р).	(3.97)
Подставляя функции
<pv (р) = (pv/2) 1/ (у — р) -|- % (v) 6 (у —• р) (3.98)
в уравнение (3.93), можно убедиться, что эти функции также являются его решениями, если % (v) = 1 — (pv/2) In 1(1 + -|-v)/ (1 — v)].
Итак, наряду с двумя решениями (3.97) уравнение (3.93) имеет множество решений (3.98), которые различаются значениями непрерывно изменяющегося параметра v (—IsgCvs^l).
[Дожно показать [36, с. 88], что полученная таким образом система функций cpv (р) является полной системой функций, ортогональных с весом р. Поэтому ее можно использовать в качестве «ортов» для построения решения уравнения (3.90). Ограничимся доказательством ортогональности:
-Н
J <pV' (и) <Pv (р) pdp = 0, v ф у'.	(3.99)
* Несобственный интеграл от функции (v—-р)-1 следует понимать в смысле главного значения по Коши.
63
Каждая из функций cpV' (р) и cpv (р) удовлетворяет уравнению (3.93) с соответствующим значениемv. С учетом (3.94) имеем
(1 — p/v') cpV' (pi) = р/2	(3.100)
и
(1 — p/v) cpv (ц) = р/2.	(3.101)
Умножая (3.100) на cpv (р), а (3.101) на (pv- (pi), вычитая одно уравнение из другого и интегрируя по pi, получаем +1	ф)
(1/v — 1/v') J cpv- (pi) cpv (pi) pdp — (p/2) [ ,1) cpv (p) dpi — 4-1
— J — 4V (p) dpi] = o,
откуда непосредственно следует (3.99). Условия ортогональности с учетом нормировки имеют вид:
-Н
J <Pv (р) 4V (р) pdp = Nv 6Vv' для дискретных v;
+.i
Ц (р) <Pv' (pt) pdp = Nv 6 (v — v') для непрерывных v,
(3.102) где Nv — нормировочные коэффициенты.
Решения уравнения (3.90) в виде ехр(—i/v) cpv (р) называются элементарными [36, с. 73; 64, с. 99]. Полное решение представляет собой суперпозицию элементарных решений: Ф (/, р) = a+Vo exp ( — //v0) cp-i-vo (р) + Voехр (//v0) х X cp-v0 (р) + ,f A (v)exp (— t/v) cpv (p) dv, которую можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе ортогональных функций cpv (р). Коэффициенты разложения a.j:Vo, A (v) определяются граничными условиями; пример их вычисления будет приведен в следующем параграфе.
§ 3.9. Фундаментальное решение односкоростного уравнения
Решение уравнения (3.90) с правой частью, описывающей плоский направленный источник:
+)
p<3G (/, |л; р0)/д/ + G (/, р; р0) — (р/2) J’ G (/, р'; р0) d р' = = (1/2л) 6 (р — р0)“б (0,	(3.103)
64
называют фундаментальным решением пли функцией Грана. Интегрируя обе части этого уравнения по t в пределах от — е до + в и устремляя е к нулю, получаем
рЛО ( + 0, р,; |ХО) — G ( —0, р,; цх0)] = (1/2л) 6 (р, — р.„),
(3.104)
т. е. фундаментальное решение имеет разрыв в точке t = 0, обусловленный наличием плоского источника.
Будем искать решение уравнения (3.103) в виде разложения по элементарным решениям соответствующего однородного уравнения. Опуская слагаемые, неограниченно возрастающие при 11 \ оо , имеем
G (/, |х; po)-a+vo <p+v„(p.) ехр (—Z/v0)-J- ' i
+ J A (v) cpv (p,) exp (—//v) dv, t > 0; о
G (/', |Г, |ЛО)=— a-v/p-v, (p-)exp ((/v0)— о
— j A (v) cpv (p.) exp (—Z/v) dv, t < 0,
(3.105)
где знак перед коэффициентами разложения выбран из соображений удобства. Устремляя в (3.105) t к нулю и подставляя получающиеся выражения в (3.104), находим уравнение для отыскания коэффициентов разложения:
й-|- Vo tP + vo(lA) -}"й —VoCP— Vo (P')’.h
+1
Г A (у) cpv (p) dv=6(p,~-p,0)/2np,.'	(3.106)
“i
Умножая обе части этого-соотношения на piqv (ц), интегрируя пори используя'условия ортогональности (3.102), получаем коэффициент A (v) = cpv (pi0)/2nAZv. Аналогично определяются и коэффициенты a±v, = (1/2лУ± Vo) х
3 Зак. 1717	.	65
X(P:t-v„Oio); следовательно, фундаментальное решение имеет вид
G (/, р; Цо)=-(Р+л,,19(|Х°)СР~Н°(^ е^Р (- t/v0) +
Р	(_//v) dVt t > 0;
J 2xJVv
°	, . r.n	(3.107)
G (/, |л; [л»)'= -CP~V°9>X° Ф~У'°.. exP-(z/vo) ~~
MIV ~Vo
_ f	d t < 0
J 2nNv H V
— 1	J
Рассмотрим асимптотическое поведение фундаментального решения (3.107) при t-+- оо . Поскольку l/v0 < 1 < < 1/v, асимптотическое поведение определяется первым слагаемым выражения (3.107):
G (t, р; р0) — (1/2л)  [ф-j-vo (м-о) Ф-Н, (pW-j-vJ X /->00
X ехр ( --• t/v0).	(3.108)
Обозначим l/v0 == х, тогда уравнение (3.96) примет вид (р/2х) In [(1	и)/ (1 —-х)] = 1, откуда видно, что х за-
висит лишь от вероятности выживания частицы при столкновении р — Ss/S'. Результаты численного решения этого уравнения приведены в работе [36, с. 81]. При изменении р от 0 до 1 х уменьшается от 1 до 0 (соответственно v0 возрастает от 1 до оо ).
+i
Нормировочный интеграл Л^, ==j (pv0/2)a pdp/ (v0—
—- p)a можно вычислить методом дифференцирования по параметру.	•
Для-этого рассмотрим вспомогательную функцию wv =
= (pv/2) J dp/ (v — p) = (pv/2) In [(v + 1)/ (v — 1)], ко-
торая, согласно (3.96), при v = v0 равна 1. Дифференцируя эту функцию по v и полагая затем v = v0, получаем тождество (p/2) f pdp/ (v0 —р)2 ==v0 (р/ (vo — 1) — 1/vo)- Умножая его на pvo/2, находим искомый коэффициент W-pV() —
— (p-vo/2) (р/ (vo — 1) — l/v§).’ После подстановки этой
66
величины в асимптотическое выражение (3.108) и замены v0 на 1/х можем записать
G (/, р.; ц0)---------——-------------;— ехр (— nt).
4л[р— (1— «2)] (1— хр.0)(1-хр.)	'
Найденная формула показывает, что анизотропия углового распределения на большом расстоянии от источника тем больше, чем больше х, т. е. чем меньше Ss/S — вероятность рассеяния при столкновении. Увеличение вероятности поглощения приводит к увеличению анизотропии. Качественное объяснение этого факта состоит в том, что частицы, движущиеся в точке t «назад» (р, < 0), прошли в основном больший путь, чем частицы, движущиеся «вперед», и имели большую вероятность поглотиться. В отсутствие поглощения х = 0 и поток является изотропным. От направления испускания частиц источником зависит лишь плотность потока, угловое распределение от ц0 не зависит: вследствие большого пройденного пути частицы «забыли», в каком направлении они были испущены.
Пространственная зависимость плотности потока дается функцией ехр (— nt), которая убывает тем быстрее, чем больше вероятность поглощения при столкновении.
Приведенный метод решения кинетического уравнения, предложенный Кейзом, можно обобщить на случай анизотропного рассеяния и других геометрий [18, с. 109; 54]. Однако, обладая большой общностью, этот метод в ряде конкретных задач более громоздок, чем другие методы, разработанные специально для этих задач с учетом их особенностей.
§ 3.10.	Деградация энергии
Самым простым кинетическим уравнением, в котором учитывается изменение энергии частиц при столкновении, является уравнение, описывающее деградацию энергии:
л»
S (Е) Ф (Е) — f 2S (Е' Е) Ф (Er) dE' = S (Е). (3,109) "е
Если дифференциальное сечение рассеяния не зависит от Е [S (Е' -*• Е)= С (Е')]> то дифференцированием всех членов по Е уравнение (3.109) превращается в дифференциальное уравнение для плотности столкновений F (Е):
dF (E)!dE + [С (Е)/2 (Е)] Е (Е) = dS (E)/dE (3.110)
3*
67
с граничным, условием
F (Ео) = S (Ео).
(3.111)
Решение неоднородного уравнения (3.110) будем искать в виде
F (Е) — /ДЕ) ехр Ц [С(Е')/2 (£')1	(3.112)
Подставляя (3.112) в (3.110), находим уравнение для f (Е):
df(E)/dE = IdS (E)/dE] ехр (- j” [С (E/)/S(E')] dE'V I E	J
Интегрируя это равенство с учетом граничного условия (3.111) и подставляя решение в (3.112), получаем
F (Е) = S (Е) -|- ( S (Е') [С (Е')/2 (Е')]х Е
хехр ( j [C(E")/2(E")]dE" ]dE'.	(3.113)
\ 'е	!
Для моноэнергетического ‘ источника [S (Е) = 6 (Е — — Ео)] энергетический спектр частиц имеет вид
=	+_£№Lb expf f ^IdE'
S(E) 2(E)	2(E)S(E0) J S(E')
(3.114)
Первое слагаемое описывает плотность потока нерас-сеяипых частиц, а второе соответствует рассеянным частицам. В случае постоянных сечений, когда 2 и С не зависят от Е, формула еще более упрощается: плотность потока рассеянного излучения запишется в виде
Фв (Е) = (С/22) ехр (С (Ео - Е)/2).
§ 3.11.	Преобразование Лапласа по энергии
Запишем уравнение (3.109) для моноэнергетического источника S (Е) — 6 (Е — Ео) с интегральным членом в форме (2.57) и, пренебрегая для простоты зависимостью сечений
68
S (E) и Ss (Q, E) от E, перейдем от E к новой переменной Д = £о — Е '
А
' 2Ф (А) — f 23 (Q) Ф (А — Q) dQ = 6 (А); Ф (А) = О
= Ф(£)|в=Во-д.	(3.115)
Решение этого уравнения можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии:
Ф (А) = (1/2л1) 7 Ф (р) ехр (рД) dp- (3.116) С—too
Ф (р) = f Ф (Д) ехр ( — рД) dA. (3.117) о
Его можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе биортогональных функций ехр (рД) и ехр (— рД) (§ 3.1).
Подействуем на все члены уравнения (3.115) оператором ОО	1
\d/A ехр (— рД). В соответствии с (3.117) первый член пре-о
образуется к виду 2Ф (р). Во втором члене необходимо изменить порядок интегрирования и в интеграле по А сделать замену переменных Д' = Д — Q. Тогда ои приведется к виду 3 (р) Ф (р),где
ОО
s (Р) = .[	(Q) ехр ( - pQ) dQ (3.118)
о
— трансформанта Лапласа от дифференциального сечения рассеяния.
Правая часть уравнения (3.115) легко преобразуется, после чего получаем 2Ф (р) — 2 (р) Ф (р) = 1, откуда
Ф (р) - 1/ [3 - 2 (р)].	(3.119)
Подставляя (3.119) в (3.116), находим интересующую нас функцию Ф (Д):
О-}- i°°	*
 ф(Д) = _!— С £ХР (М) d	(3.120)
v ' 2ni J 2 — 2(p)	'
C— loo
Если сечение 23 (Q) быстро убывает с ростом Q, экспоненту в (3.118) можно разложить в ряд. Тогда 3 (р) ж & 3S —- рр, где р — средние потери энергии на единице
69
длины пути. Подставим это разложение в (3.120) и сделаем замену переменных/г = —iPp. Тогда (3.120) перейдет в
-1-м -1-1 Дс
Ф(А)=. > f 2лр J Ъс+1/г
—оо — ifjc
Вычисляя интеграл с помощью вычетов и возвращаясь от переменной А к переменной Е, получаем
Ф (Б) = (1/р) ехр [ - (Sc/P) (Бо - £)]• (3.121)
Экспонента в формуле (3.121) есть вероятность того, что частица избежит поглощения на пути, где энергия меняется от Бо до Б. Если сечение поглощения равно нулю, то
Ф (Б) = 1/р.	(3.122)
Формула (3.122) имеет простой физический смысл. По определению Ф (Б) dE есть средний путь, пройденный частицей за время, пока ее энергия меняется от Б + dE до Б. В приближении непрерывного замедления dE/dl — Р, откуда dl/dE — 1/р, что совпадает с (3.122).
§ 3.1-2. Решение кинетического уравнения в приближении непрерывного замедления
Рассмотрим уравнение для распределения частиц, прошедших путь I, по энергии (2.81). В приближении непрерывного замедления [см. (2.58)] оно примет вид .
(d/dl) Р (Е11) + Sc (Б) Р (Б | /) - (d/dE) [р (Б) Р (Б | /)] = = 0; Р (Б | Z) |/-о = 6 (Б —- Бо).
Это уравнение Можно упростить подстановкой
Р (Б|/) = [/ (Б | /)/р (Б)] ехр { -Л’[2С (Б')/₽ (Б')1 dE'), которая приводит к уравнению
[17р (Б)] (d/dl) f (Б | Z) - (д/дЕ) f (Е | Z) '= О с начальным условием f (Б| /) | г=0 = р (Б) 6 (Б — Бо). За-меной переменной t = | йБ7р (Б') преобразуем последнее 'уравнение к виду
df/dl + df/dt = 0; f (/1 /) | z=0 = Р [Б (/)] б [Е (0 - Бо].
(3.123)
70
Используя известное свойство 6-функции 6 [£ (t) — £0] = = 6 (t— t0}/\dE/dt\, где tQ — корень  уравнения Е (t) — = Ео (в данном случае t0 = 0), перепишем начальное условие в виде
f (ф)|г=0 =6 (t).	(3.124)
Легко видеть, что решение уравнения (3.123) зависит только от разности аргументов: f (Z| /) =<р (£ — /), и, согласно (3.124), эта зависимость описывается 6-функцией: ср (£) = 6 (i). Таким образом, f (t\ Г) = 6 (t— I), и, возвращаясь к старым переменным, получаем
е0
Р (Е\Г) = [1/р (В)] ехр { - ( [20 (£')/₽ (£')] dE'} X Ё
Е,
X 6 ([fd£7p (£')] —Z).	(3.125)
Присутствие 6-функции в этой формуле говорит о том, что все частицы, прошедшие путь I, имеют одну и ту же энергию,
Ео
которая связана с I соотношением I —^dE'/fi (В'), т. е. частицы непрерывно замедляются в среде и потери энергии на единице длины пути равны Р (£). Остальные множители обсуждались в §3.11.
Приближение непрерывного замедления часто используют для решения задач переноса заряженных частиц.
§ 3.13J	Приближение возраста
При решении некоторых задач нейтронной физики используют приближенный метод, называемый приближением возраста, который по смыслу близок к приближению непрерывного замедления [6, с. 151; 28, с. 402; 31, с. 233; 63, с. 267; 66, с. 189]. Рассмотрим кинетическое уравнение в плоской геометрии (2.48), предполагая, что частицы в веществе могут поглощаться и испытывать упругое рассеяние. От переменной Е перейдем к летаргии и (§ 1.2) и запишем кинетическое уравнение в виде
cos iS (d/dz) Ф (z, cos &,.«) + S (u) Ф (z, cos &, u) —
— f dQ' f du'%8 (Q' -> £2, и.' -> и) Ф (z, cos O', и1") =
— S (z, COSTS', u)	(3.126)
с дифференциальным сечением (1.12), (1.13).-
♦
71
Угловую часть дифференциального сечения разложим по полиномам Лежандра (§ 3,3):
(1/2л) 6 (cos 0 — ц) = 2 [(2 k + 1)/4л] fh (р) Ph (cos 0); k=0
fk (и) == J dQ (1/2п) 6 (cos 0 — p.) Pft (cos 0) = Ph (p);
подставим это разложение в интеграл столкновений уравнения (3.126) и проинтегрируем по £2' с учетом теоремы сложения для Рк (cos 0) (3.43). Тогда интегральный член кинетического уравнения примет вид
2 I(2fe + 1)/4л] Ph (cos &) У Фй (2, и') 2S (и' -> и) Рк (\P)du', k=0
где (z, и) = f dQPh (cos О') Ф (z, cos 4, и) — коэффициенты разложения дифференциальной плотности потока по полиномам Лежандра.
Уравнения для функции Ф/г (z, w)'можно получить, как и в § 3.4, умножая все члены (3.126) на Рп (cos &) и интегрируя по Й. В Pi-приближении эта система уравнений имеет вид
(д/дг) Фг (г, и) + 2 (й) Фо (г, «)—J 2S («' -> и) Фо (z, и') du' —
= S0(z,u);	(3.127)
(1/3) (d/dz) Фй (z, м) Н- 2 (и) Фт (г, и) — f ц (и, и’) 2S («' ->
и) Ф1 (г, и') du'=S1 (z, w); ц (и, u') = (l/2) {(Л 4-1) X
X ехр [— (и — ц')/2] — (Л — 1) ехр [(« — г/)/2]}. (3.128)
‘ Пределы интегрирования по переменной и' обсуждаются в §1.3:	.
и ф- In а и' и.	(3.129)
Подставим (1.13) в (3.127) и, предполагая, что дифференциальная по летаргии плотность рассеяний 2S («') Фо (z, «') мало меняется в интервале (3.129), разложим ее в ряд, пренебрегая членами.второго порядка:
2S («') Фо (г, и') = 2S (и) Фо (г, и) + (d/du) [2S (и) х X Фо (z, а)] (и' — и).
72
Как и в § 2.7, интеграл столкновений при этом запишется в виде суммы двух членов. Первый из них
S3 (и) Фо (г, и) J {ехр [ — (и —• «')]/ (1 — a)} du' и-h'lna
легко вычисляется и равен Ss (и) Фо (z, и). Интеграл во втором члене
я
' J (и — и') {ехр [ — (и — и')]/ (1 — a)} du' = 1 + zz-|-lna
+ [а/(1 — a)] In а	(3.130)
совпадает со средней логарифмической потерей энергии [см. (1.9)]
д
g = Sr1 (£) | In (Е/Е') Ss (£->£') dE'.
aE
Действительно, производя в последнем интеграле замену переменных и' = 1п (Ей/Е'), и — in (Ео/Е) ‘ и учитывая (1.13), получаем
и—In a	-
£ = | (t/ — u) {exp [ — («' — «)]/ (1 — a)} du' — 1 +
+ [a/ (1 — a)] In a. '	4
Таким образом, интеграл столкновений уравнения (3.127) приводится к виду
Ss (а) Фо (z, и) — I (д/ди) [Ss (а) Фо (Z, «)],
а само уравнение записывается как
(d/dz) Фх (г, и) -|- So (а) Фо (г, и) + £ (д/ди) [Ss («) х
X Фо (г, «)] = So (г, и).	.(3.131)
Аналогичное преобразование можно сделать в интегральном члене уравнения (3.128). Однако для справедливости Pi-приближения необходимо, чтобы выполнялось неравенство Фх (г, и) << Фо (г, и), поэтому в разложении величины 2S («') Фх (Z, и') можно удержать лишь первый член, который равен Ss (и) Фх (z, и). Его можно вынести из-под знака интеграла. Оставшееся выражение
J р, (и, и') [Ss (и! -> u)/Ss («)] du’ (3.132) zz-f-ln a
73
с учетом (1.6.) и (1.13) легко вычисляется и оказывается равным 2/ЗД. Отметим, что интеграл (3.132) представляет собой средний косинус угла рассеяния (1.7):
<cos 0> = 2Г1 (£)J cos 02s (cos 0, Б) dQ. (3.133)
В этом можно убедиться, переходя в (3,133) от интегрирования по направлениям к интегрированию по летаргии.
Таким образом, уравнение (3.128) принимает вид
(1/3) ,(д/дг) Фо (2, w)+2,rp(w) Фх (z, и) Sx (z, н), (3.134)
где 2тр,-= S — Se < cos 0 > -- транспортное сечение (см. § 3.4).
Для изотропного источника S (z, cos -0, и) -- (1/4л) х X S (z, и), поэтому коэффициенты разложения по полиномам Лежандра
So (z,//) — S (z,/./.); Sj (z, и) — 0.	(3.135)
Подставляя (3.135) в (3.131) и. (3.134) и исключая Фх, получаем
— Ш2Фй/дг2 2<.Ф0 -|- £ (д/ди) (28Ф0) - S, (3.136)
где D'= 1/32тр — коэффициент диффузии. Уравнение (3.136) упрощается, если от Фо перейти к плотности замедления (см. § 1.3)
g(z, ц) - £2S (и) Фо (г, и)	(3.137)
и произвести замену переменных:
т=-^ (D/£2S) du; d/du=(D/&a) д/дх; о
(3.138)
S (z, z)=S (z, и (т)| i .=
I du
.	=(£2fi/D)S[z, «« •
Тогда уравнение (3.136) примет вид
(<32/dz2) q (z, r) + ,q (z, x)/L2 (т) + (д/дх) q (z, t) S (z, t),
(3.139)
где L (t) ==	(т)/20 (t) — длина диффузии (см. § 3.5).
74
Переменную т, введенную формулой (3.138), называют возрастом, а (3.139) — уравнением возраста (уравнением Ферми). Уравнение (3.139) можно упростить подстановкой
q (z, т) = f(z, т) ехр {— j’ dx'lL2 (т')},	(3.140)
о
которая приводит к уравнению теплопроводности
(д/дх) f (г, т) — (d2/3z2) f (г, т) = S (z, ’ т) exp { ( dx'/L2 (r')}.
'o
(3.141)
Для плоского моноэнергетического источника, когда S (z, и) = 8 (z) 6 (и), правая часть (3.141) имеет вид 6 (z) 6 (т). Уравнение (3.141) с такой функцией плотности источников эквивалентно однородному уравнению (д/дх) f (г, т) — — (d2/dz2) f (г, т) — 0 с начальным условием f (г, 0) = = 6 (г). Его легко решить с помощью преобразования Лапласа f (г, т)' = (1/2 л!) J .ехр (рт) f (г, р) dp\ f (г, р) = £-—|оо
оо
= ехр ( — рх) f (г, т) dx. Для этого подействуем на все
оо
члены уравнения оператором f dx ехр (— рх) и получим о
следующее уравнение для трансформанты f (z, р) : pf (z, р) — (d2/dz2) f (z, p) = 6 (z). Сравнивая это уравнение с уравнением диффузии в плоской геометрии и используя (3.64), получаем f (z, р) = (1 -/2 ]/р) ехр ( — | z | Ур). Обратное преобразование Лапласа дает (при с =0):
-f-ioo ___
f (г, Т) =(l/4ni) f (l/Ур) ехр { — |г|Ур + рх} dp. —loo
Замена переменных р — i х2 приводит этот интеграл к виду f(z, т) =х (1/2	У ехр { — ]/Т| z\x 4~ гос2} dx.
Использовав формулу
+~ . _
f ехр { — а2х2 ± ₽х} dx — (Уп/а) ехр (02/4 а2), (3.142) — оо
получим	• .
f(z, т) = (l/j/4nT)'exp ( — z2/4t).	(3.143) ’
75
Формулы (3.134), (3.137), (3.140) и (З.МЗ^позволяют записать в явном виде выражения для нулевой и первой трансформант функции Ф (г, cos й, и).
Используя (3.143), можно уточнить физический смысл параметра т. Для простоты предположим, что поглощение отсутствует. Тогда q (z, т) = f (г, т). Вычислим с помощью (3.143) средний квадрат расстояния между местом рождения нейтрона и местом, где он достигает определенной энергии:
[г2д(г, т)4г
<г2)-Л-------:----==2т:.
J q (г, т) dz О
Таким образом, возраст нейтрона характеризует средний квадрат удаления нейтрона от источника.
§3.14. Распределение Мольера
Сечение рассеяния заряженных частиц описывается фор-•мулой Резерфорда. С учетом экранирующего действия электронных оболочек эта формула имеет вид [122]:
Ss (0) = n0[4Z?Z(Z - l)e4/(pv)2] (1/04) 7 (0), (3.144) где Z — атомный номер вещества-поглотителя; п0 — число атомов в единице объема; Zx — заряд налетающей частицы; р и v — ее импульс и скорость. Множитель q (0) описывает экранирование. Он убывает как О'1 при 0	0 и равен едини-
це, если 0 превышает некоторое предельное значение, называемое углом экранирования.
Из формулы (3.144) видно, что сечение быстро убывает с ростом 0, поэтому задачу о многократном рассеянии заряженных частиц можно решать в приближении малых углов. Если при этом толщина поглотителя невелика, то в кинетическом уравнении можно пренебречь потерями энергии.
Односкоростное кинетическое уравнение для плоской геометрии в приближении малых углов имеет вид (3.70). Используем для его решения преобразование Фурье — Бесселя:
Ф (г, &) — (1/2п) f Ф (г, р) Jo(p'O’) pdp', Ф (г, р) == . й
= 2л [ Ф (г, Ф) <70 (рй’) М®.	”	(3.145)
о
76
Вычисления, проведенные в § 3.6, показывают, что
Ф (г, р) = ехр { — zA (р)},	(3.146)
где А (р) = 2 - Ss (р); 2S (р) = 2л J 2., (0) Jo (р0) QdQ. Для заряженных частиц 20 = 0, поэтому Я (р) можно записать в виде
А (р) = 2л ~23 (0) [1 - Д (рО)] QdQ. (3.147) о
Подставим (3.144) в (3.147) и запишем показатель экспоненты формулы (3.146) в виде
zA (р) = 2	[1 - Д (р0)] [q (0)/03J dQ, (3.148)
‘о
где	.
%? = -^-4nn0Z?Z(Z-l)^.	(3.149)
(ро)2
Область интегрирования в формуле (3.148) разобьем на два интервала: (0, %) и (%, оо ), выбрав в качестве % значение 0, которое превышает угол экранирования (см. с. 80). Тогда в интервале % < 0 < оо можно положить q (0) = 1.
В интеграле, соответствующем малым 0 : Д = j [1 — —Jo (р0)1 [<7 (0)/0®1 dQ, функцию Бесселя разложим в ряд: Д (р 0)«1—(р202/4) (р9<1), тогда Д== (р*/4) J [q (0)/ 0] dQ. Интегрируя по частям, получаем Д = (р2/4) [1п % — —| q' (0)1п Od0/], где учтено, что q (0) In О|0=о — 0. a q (%) = 1. о
Как уже отмечалось, q (0)	1 при увеличении 0, по-
этому с ростом 0 <7'(0)->- 0 и интеграл в квадратных скобках не зависит от %, если % достаточно велико. Обозначим этот интеграл In %а + 1/2. Тогда
' Д = (PV4) [In % - In %я - 1/2]. . (3.150) Второй интеграл,-
Д =f[l -~Д (р0)] W03	(3.151)
%
77
после замены переменных х = рО и интегрирования по частям приводится к виду
/а (рЩ) {(2/р2%2) [1 - Jo (PX)J - 2 J [76 (W] dx}.
РХ
Используя известные соотношения для функции Бесселя [53, с. 665] /6 (х) =-- J-l (х); J[ (х) = Jo (х) — (1/х) 7Х (х) - и интегрируя по частям, получаем
J [76 (л)/х2] dx = - (1/2 р%) 7Х (рх) - (1/2) j [70 (x)/x}dx. t>X	РХ
Еще раз проинтегрируем по частям:
оо	00
1П (РхШрх)+J In x7i (х) dx.
РХ	РХ
Таким образом,
Л = (р2/4) {(2/pY) [1 - 70 (рх)] + (1 /рх) Л (РХ) -
—1п (рх)70 (рх) + J In х7х (х) dx}. (3,152)
РХ
Поскольку нижний предел интегрирования в (3.151) мал, все функции в правой части равенства (3,152) можно разложить в ряд, удерживая лишь первые неисчезающие члены:
1 — 7о (х) « х2/4; 7Х (х) « х/2; f In х 7t (х) dx «
X
tv [ 1пх7х (х) dx = — In (1/2) — С, 6
где С — Постоянная Эйлера. Тогда
/а« (pV4) [-Ш (р%) + Id- In 2 — С/. (3.153)
Складывая (3.150) и (3.153) и подставляя эту^сумму в (3.148), находим
zA (р) = [(р%с)2/2] [ - In (рХо) 4* 1/2 + In 2 - С]. (3.154) 78
Обозначив %ср — у, перепишем (3.154) в виде (р) -(у2/4) [Ьй-1п‘(р2/4)1,	(3.155)
где	- In (%с/%0)2 + 1 — 2 С.
Обозначим В# решение трансцендентного уравнения Во—. In Во = Ь$, тогда формула (3.155) примет вид гА (р) — «?/4 — (u2/4Bo) In (u2/4), где и = уУBq. Поэтому
Ф (z, р) = ехр [ — гА (р)] = ехр [ — u2/4 + (w2/4Bfl.) х
Х1п («2/4)1. "	(3.156 ,
Подставляя (3.156) в обратное преобразование Фурье — Бесселя (3.145) и производя в интеграле замену переменных р = и/%с]/Во, легко получить формулу
2л Ф (2, •&) ftd® = f (&, В) tidy (3.157) где
f (д', Bq) = f Jо (flu) exp (— u2/4) exp [(u2/4Bo)X b
Xln (u2/4)] udu;-	(3.158)
й=Ф/Хс]/Во.	(3.159)
Вторую экспоненту под знаком интеграла разложим в ряд:
ехр [(«Wo) In (w2/4)]= J (V«l) КУУВо) In (wB/4)]".
fjess 0
Тогда f (&, Bq) запишется в виде
Bq)=~ 2 (1M)/('l)(^)-	(3.160)
n=0
где
fW (&) = (l/nl) (Jo(№).exp ( — u2/4) [(«2/4) X b
Xln (u2/A)]lludu.	' (3.161)
79
Формулы (3.160), (3.161) называют распределением.Мольера [112, 1221.
Первый член ряда (3.160) можно вычислить аналитически с помощью формулы (3.30):
/=<») (ф) =7 А ехР ( — «а/4) udu = 2 ехр (— О'2), б
т. е. угловое распределение частиц в этом приближении является гауссовым:
Ф (z, Ф) а* [ 1/лх?5о] ехр (— -O'VBoX?)-
В соответствии с формулой (3.149), определяющей %2, полуширина углового распределения увеличивается с увеличением глубины z и атомного номера вещества поглотителя Z. Она уменьшается с увеличением.энергии налетающей частицы.
Второй член ряда (3.160) также можно вычислить аналитически, однако вид его более сложен, Таблицы функций f(°),	приведенные в работе [112], позволяют вы-
числите дифференциальную плотность потока с погрешностью менее 1 %.
Интересной особенностью распределения. (3.160) является то, что оно не зависит от вида функции q(&), описывающей экранирование. Влияние экранирования учитывается параметром %а, который называют углом экранирования. Мольер вычислил этот параметр в рамках модели Томаса — Ферми [122]. По порядку величины этот угол равен отношению длины волны^де Бройля налетающих частиц к размеру атома. •
Распределение Мольера имеет универсальный характер: оно справедливо для любых веществ. Атомный номер и другие характеристики вещества входят только в параметры распределения и %с.
Область применимости формулы (3.160) ограничивается тем, что она выведена без учета потерь энергии при столкновениях. Для поглотителей с Z 10 формула справедлива до глубины порядка 0,1 длины пробега. Для поглотителей с Z 50 ее можно применять до г а; 0,01 длины пробега.
80
§ 3.15.	Распределение Ландау
Найдем распределение по энергии частиц, прошедших путь I. Это распределение описывается уравнением [см. (2.81)]:
Ео
(dldl) Р (£ | /) + s (£) р (ЕI /) - К (£' -> Е) х
~ХР. (E'\.l)dE' =0;' Р (£|/)|/=0 -6 (£-£„). (3.162)
Так же как и в § 3.11, от переменной Е перейдем к переменной А = Ео — Е, обозначив Р (А | /) распределение частиц по потерям энергии на пути I : Р (Д | /) — Р (£'|/)/•= е0--д. Уравнение для функции Р (Д| /) имеет вид
(д/дГ) Р (Д | /) -I- 2 (£0 — Д) Р (А 11) --д
-  2Я (Q; Ео - Д -|- Q) Р (Д - Q | Z) dQ = 0; о
Р (A|Z)|z==0 -6 (Д),
где 2S (Q; Е) - - дифференциальное по переданной энергии Q сечение рассеяния. Для простоты будем считать, что сечения 2 и 2,ч не зависят от энергии частиц. Тогда кинетическое уравнение упрощается:
. д
' (d/dl) Р (А | Z) 4 2Р (Д | Z) 12,ч (Q) Р (Д -- Q | Z) dQ - 0;
Р (Д |/) |; s= о == б (Д).	(3.163)
Решение уравнения (3.163) будем искать с помощью преобразования Лапласа по переменной Д:
с-|- loo
P(A|/)=-._L- С £(p|/)exp(pA)zZp; Р(р|/) =
2Л1 J с — loo
= JP(A|.Z)exp( —pi\)dE: '	(3.164)
о
Уравнение для трансформанты Р (р | Z) получается дейст-оо
вием на все члены уравнения (3.163) оператором f dE х о
X ехр( — рД):
(а/а/) р (Р\Г) + а (р) р (p\i) =о, ' (3.165)
81
где
А (р) = 2-2s (р); 2s(p) = J2 (Q)exp ( - pQ)dQ. (3.166)
.Аналогично находится начальное условие
р'(М~о = 1-	(3.167)
Решение уравнения (3.165) с начальным условием (3.167) имеет вид Р (р | /) = ехр [ — 1А (р)]. Подставив это решение в формулу (3.164), найдем искомое распределение
) ехр {рЛ —/А (р)} dp. (3.168)
Для качественного анализа полученного результата предположим, что дифференциальное сечение рассеяния 2s (Q) быстро убывает с увеличением Q. Тогда в формуле (3.166). экспоненту ехр (— pQ} можно разложить в ряд: ехр ( — pQ) = 1 — pQ + (1/2) p2Q2 — .... что приведет к разложению
' 2 (р) = 2S - р0 + .(1/2) р2у + ...,	(3.169)
где 2S — сечение рассеяния; 0 — потери энергии на единице длины пути (1.8); у = JQZ2S (Q) dQ — средний квадрат потерь, энергии на единице длины пути.
Если в разложении (3.169) удержать только два первых члена, то интегрирование в (3.168) с помощью замены переменных р = ip' приведет к выражению
Р (А ]/) = (1/2п) ехр ( — 2CZ) jexp [ip'(A — 0/)] dp' =
= ехр ( — 2CZ) 6 (А — 0Z),
Первый множитель в этой формуле описывает поглощение частиц на пути /,. а второй говорит о том, что потеря энергии А и путь I, пройденный частицей, однозначно связаны соотношением А’= 0/, соответствующим непрерывному - замедлению.
Если в разложении (3.169) учесть и третий член, равный (1/2) р2у, то формула (3.168) после замены переменных р = ip' примет вид (с = 0):
Р (А | /) = ехр ( - 2С/) (l/2n)Jexp [- (у//2) р'2 + i (А -
— 0Z) p'l dp'.
82
Отсюда, используя соотношение (3.142), получаем
Р (Л I Z) = [ехр ( - ScO/KWl ехр [ — (А —- ₽Z)2/2yZ], ,	(3.170)
т. е. в этом приближении распределение частиц по потерям энергии является гауссовым, и полуширина распределения пропорциональна УI.
Более подробно распределение (3.168) для заряженных частиц исследовал Л. Д. Ландау [56]. В этом случае дифференциальное сечение Sa (Q) при больших Q имеет вид
Ss (Q) = п0 (2nZe4tnx)2) (1/Q2).	(3.171)
Положив сечение поглощения равным нулю, записав полное сечение в виде S = fSa (Q) dQ и использовав формулу (3.166), перепишем А (р) в виде
А (р) = f [1 - ехр ( - pQ)]Sa(Q)4Q. (3.172) о
Область интегрирования в этой формуле разобьем иа два интервала: (0, Qx) и (Qx, оо ), выбрав в качестве Qx такое значение переданной энергии, чтобы в интервале (0, QJ экспоненту ехр (— pQ) можно было разложить в ряд: ехр (—pQ) 1—pQ. В то же время Qx должно быть больше энергии связи электронов в атоме. Тогда в интервале (Qx, оо ) в качестве Sa(Q) можно использовать формулу Резерфорда (3.171), которая описывает потери энергии при столкновениях с атомными электронами, если связью этих электронов, с ядром можно пренебречь. С учетом этих замечаний формула (3.172) примет вид
<?> «
А (р) = p]QZ„ (Q) dQ + of {[1—ехр (-pQ)]/Q2} dQ; (3.173)
a = n02jtZe4/mo2.
r*
Интеграл ₽ (Q < Q-Q =JQSs (Q) dQ, представляющий co-0
бой удельные потери энергии за счет столкновений с малой передачей энергии (Q<Qi), равен P(Q < Qi)=aln (Qi/Q'),
где In Q' = In [72 (1 —o2/c2)/2 mxP} + n2/c2; 7=13,5 Z эВ
— ионизационный потенциал атома [56].
83
Интеграл во втором члене формулы (3.173) после замены переменных pQ = х и двойного интегрирования по частям примет вид
p{(l/pQi) Ц - ехр ( - pQi)] — In (pQx) ехр ( — pQt) +
+ J exp (— x) In xdx}. pQt
Как указывалось выше, Qx мало, поэтому выражение в фигурных скобках можно разложить в ряд. Удержав члены, не обращающиеся в нуль при > 0, получим р [1 —
— In (pQx)—С], где С=— fexp (—х) In xdx—постоянная о
Эйлера. Таким образом, А (р) — ар [1 — С — In (pQ')] и
Р (A | Z) = (1/2л1) .[ ехр {р [A — al[\ — С — In (рф')Ш dp. — loo
Преобразуем показатель экспоненты под знаком интеграла, раскрыв скобки и перегруппировав члены:
р [А — al (1 — С) + al In Q'l pal In p. (3.174)
Далее запишем
In p = In (pallal) — In (pal) — In (al).
Тогда выражение (3.174) примет вид
pal In (pal) + p [A — al In (al/Q') — al (1 — C)1 = = и In U + uK,
где и = pal-, % = {A — al [In + 1 — C]}/al. Следовательно,
P (A 11) = (1/g) cp (X),	(3.175)
4~loO
где g = al-, cp (%) = (l/2ni) f exp (uln и ~|~ uh) du. Ta-• -loo
ким образом, распределение электронов, прошедших, путь I, по потерям энергии выражается через универсальную функцию <р(%).
Уравнение (3.163), решением которого является распределение (3.175), записано в предположении, что изменением сечения взаимодействия с изменением энергии электрона можно пренебречь. Более точный результат получен и обсуждается в работе [84].
84
§ 3.16. Радиальное распределение электронов от точечного мононаправленного источника
Уравнение переноса. Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее распространение частиц от точечного мононаправленного источника, находящегося в начале ко-' ординат и испускающего частицы с энергией Ео в направлении оси 0Z:
й¥Ф (г, Й, Е) + S (Е) Ф (г, О, Е) — f dQ'\dE'Zs (й' ->
Й, Е' —> Е)Ф (г, О', Е') = 6 (г) 6 (Й — й0)>6 (Е — Ео).
(3.176)
При расчете полей электронов часто предполагают, что упругое рассеяние не сопровождается потерями энергии, а неупругое рассеяние учитывается в приближении непрерывного замедления (§ 2.7). В этом случае уравнение переноса принимает вид
Й?Ф (г, Й, Е)-(д/дЕ) [₽ (Е) Ф (г, Й, E)] + Se (Е) X
хФ(г, Й, Е)—(Й'->Й, Е)Ф(г, Й', Е)—6 (г)х
X 5 (Й—Йо) б (Е — Ео),	(3.177)
где Р — потери энергии на единице длины пути (1.8);	—
сечение упругого рассеяния. В приближении непрерывного замедления путь I, пройденный частицей, и ее энергия Е связаны соотношением
В,
Z=pE/₽(E),	(3.178)
поэтому в уравнении (3.177) удобно сделать замену переменных (3.178). После простых вычислений получим
ЙУФ (г, Й, I) + (д/дГ) Ф (г, Й, Z) -I- SG (Z) Ф (г, Й, Z) — — j dQ'Se (й' -> й, I) Ф (г, Й', Z) = 6 (г) 6 (Й — Йй) 6 (Z), (3.179) где Ф (г, Й, Z) = Ф (г, Й, Е (Z)) ₽ (Е (/)).
Рассеяние электронов, дифференциальное сечение которого описывается формулой Резерфорда, происходит преимущественно вперед, поэтому для решения уравнения (3.179) моЖно использовать приближение малых углов (§ 2.8). Вместо радиус-вектора г точки наблюдения будем 'В дальнейшем указывать координату z этой точки-, и попе
85
речное смещение р = {%; у, 0}, Отметим также, что в приближении малых углов проекции вектора £2 выражаются через проекции вектора 0 = (0 cos ср, 0' sin ср, 0): £2Ж = Од., Qj, = 0J/, £2Z = 1. Поэтому £2 — £20 = 0 и кинетическое уравнение принимает вид
{d/dz) Ф (z, р, 0, /) + 0 (д/др) Ф (г, р, 0', I) 4-
+ (д/д/)Ф (г, р,Z)+S (/) Ф (г, р, 0, Se (10—0' |, Z) X X Ф (z, р, 0', l)d& = б (z) б (р) б (0) б (Z). s (3.180)
В приближении малых углов путь I, пройденный частицей, почти не отличается от глубины проникновения z, поэтому решение уравнения (3.180) можно искать в виде
Ф (а, р, 0, I) = Ф (р, 0, z) б (z — I).	(3.181)
Подставив (3.181) в (3.180), получим уравнение для определения функции Ф (р, 0, г):
(dldz) Ф (p,0,z) + 0 (д/др) Ф (p,0,z) + S (z) Ф (р,0, z)—
— J 2е (| 0—0' |, z) Ф (р, 0', z) d0' = б (р) б (0) б (z).
(3.182)
При всех z >~0 уравнение (3.182) является однородным. Точка z == 0 соответствует электронам, испускаемым источником, поэтому
Ф (р, 0, z)|z=0 = б (р) б (0).	(3.183)
Решение уравнения переноса [77]. В приближении малых углов пределами угла многократного рассеяния 0 являются 0 и оо (см. § 2.8) и для решения уравнения (3.182) удобно использовать преобразование Фурье на плоскости по переменным р, 0:
Ф (р, 0, z) =[l/(2jr)4]j’dpjdq ехр [i (рр + q0)] Ф (р, q, z);
(3.184)
ф (Р, Ч, 2) =ppp0 ехр[—i(pp + q0)] ф(р,0,г).
’ (3.185)
Подействуем на уравнение (3.182) оператором j*dp J rf0exp[—i (рр -|- q0)]. После интегрирования по частям второго члена в левой части уравнения (3.182), использования очевидного соотношения а ехр (ар) = (d/dp) ехр (аР), а также изменения порядка интегрирования в интег
S6
ральном члене (3.182) получим для трансформанты Ф (р, q, 2) уравнение
(d/dz) Ф (P,q,z) — р (d/dq) Ф (p,q,z) + A (z,q) Ф (p,q,z) =’
= 0; Ф(р, q, х)|г=0 = 1,	(3.186)
где
A (z, q) =f Se (0, z) [1 —.exp (iqO)l dO. (3.187)
Отметим, что А зависит только от модуля вектора q. Действительно, переходя в интеграле (3.187) в полярную систему координат 0, % и используя соотношения
df) = 0d0d%; qO = qQ cos %; Jo (qQ) = (1/2 n) X
X f exp (i<7©cos %) d%,	(3.188)
о
где Ja — функция Бесселя нулевого порядка, находим
A (z, q) = 2п J'Se (0, z) [1 — Jo (<?0)] Ш = A (z, q). (3.189)
Уравнение (3.186) заменой переменных (z, q)
-> (z,X = q+zp) легко сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка
(d/dz) Ф (р, %, z) + A (z, X — zp) Ф (р, X, z) = 0;
Ф(р, X, а)|г=0 = 1,	(3,190)
решением, которого является
Ф (р, X, г) = ехр [—J'Л (z', X — z'p) dz']. (3.191)
Возвращаясь к переменным z, q, получаем
1
Ф (Р> q> 2) == ехр [ — z j A [az, q -|- (1 —a) zp] da]. (3.192) '°
•Наконец, подставив (3.192) в интеграл (3.184), найдем решение уравнения (3.182):
ф (р, О', г) = [ 1/(2зг)4] fdpf dq ехр [i (рр + qO) — i
— z^ Л [az, q + (1 — a) zp] da]. (3.193)
Отметим, что из формулы (3.193) можно получить распределение типа Ферми [116]. Для этого в интеграле (3.189) необходимо разложить разность 1—Jo(q&) в ряд по сте
87
пеням ?9 и ограничиться первым членом разложения:
1 -Jo (<?0) « (?0)2/4.	(3.194)
Подставив (3.194) в (3.189), (3.193) и проинтегрировав по переменным р и q, получим
ф (р> fl-, z) «---!----- ехр Г_
'	д’» GMo-Л?) Ч Л2Л-Л| J
(3-195)
1,
где Ап (z) = z,l+l [ (1 — а)" 2е (аг) < 02 (аг) > da; <02> — о
средний квадрат угла рассеяния . [см. (2.63)1:
<02 (г)> = 2л Sy1 (г) J 2е (0, z) 0sd0. . о
Одномерные распределения. Интегрированием распределения (3.193) по р с использованием соотношений (3.188), (3.189) и интегрального представления 6-функции €
6 (а) = (1/2л) f ехр (lap) dp	(3.196)
.	—оо	'
можно получить формулу для углового распределения электронов от плоского перпендикулярного источника:
Ф (z, О') = J dp® (р, -0, z) = (1/2л) \ Jo (^) X О
X ехр [—zf A (az, д) da] qdq.	(3.197)
о
При малых z, когда потерями энергии можно пренебречь, Se (Е (z))«Se (£0)=Se, A (z, д)^А (д) и (3.197) пе-
реходит в формулу теории Мольера (§ 3.14):
Ф (г, Ч) = (1/2л) f (gt)') ехр [—zA (<?)] gdg. (3.198) о
88
Интегрирование формулы (3.193) по 'О’ с учетом соотношений (3.188), (3.189), (3.196) дает радиальное распределение электронов от точечного мононаправленного источника:
ф (g, g) = (z2/2n) J d-д-Ф (р, &, z) —
ОО	1
= (1/2ji)J Jo ('ftg)exp{—-z .[Л [az, (1—-«)•&] da}&d&. (3.199) 0	0
В выражении (3.199) £ = p/z— тангенс угла между осью пучка и радиус-вектором, проведенным в точку наблюдения.
Преобразование радиального распределения к виду, удобному для численных расчетов. Формула (3.199) в принципе представляет собой решение поставленной задачи. Однако практические вычисления по ней затруднительны. Преобразуем ее следующим образом, Функция A (z, q) для сечения Бе, описываемого формулой Резерфорда, вычислена в § 3,14, где исследуется угловое распределение электронов от плоского перпендикулярного источника:
zA (z, q) = (1/2) [<7%с (z)]2 {—In [q%a (z)] + 1/2 + '
4-ln2— C}.	(3.200)
Подставив (3.200) в (3.199), получим
Ф (£, z) = (1/2л)“ Jo (^) ехр {-(1/12)~%с'&2 [Ьр-О
-(1/12) In (%?й2)]}	(3,201)
где
%? = 3 J (1 — а)2х? (az) da-, о
Ьр = In %Г+ 1 - 2С — In 3 -
(б7%£) {[(1 — «)2Х? (az) In [(1 — a) (az)] da). о
Далее, вводя параметр Bp, определяемый решением трансцендентного уравнения Вр —Jn Вр — bp,ji переходя к новым переменным £2 = 3£2/ВР%|; ц2 — ВрхЖ^З, преобразуем (3.201) к виду
2лФ (g, z) т = f (t Вр) М, (3.202)
89
где
f (t Bp) = Г Л (I«) exP (~«2/4) X
> X.exp [H4BP)ln(«2/4)] udu,	(3.203)
что совпадает с (3.157), (3.158).
Таким образом, в приближении малых углов радиальное распределение электронов от точечного мононаправленного источника и угловое распределение электронов от плоского перпендикулярного источника выражаются через одну и ту же универсальную функцию f (g, В) [39].
Параметры В®, Вр близки и обычно изменяются в пределах от 5 до 20. При этих условиях, как показано в [112], функцию f (1, Вр) можно разложить в ряд по степейям 1/В и при любых В с погрешностью до 1% ограничиться тремя
первыми членами: / (|, Вр) = /<f” (g) -|- (1/J3P) fll) (|)
-|- (1/Вр)	(t),	(3.204)
где .
fW (f) = (IM!) f Jo (Ги) Г(и2/4) In (и2/4)]'г X о
X exp (—tt2/4) udu.
Таким образом, функция двух переменных f (g, Вр) с точностью,. достаточной для практических вычислений, представляется через функции одной переменной f<0’ (1), Г1’ (Г), Г’(1)-
Асимптотики. Сравнение с результатами, полученными в приближении Фоккера—Планка. В области значений g в разложении (3.204) преобладает первый член: f (g, Вр) & fw (I) = 2 ехр (—ga), т. е. распределение (3.202) близко к нормальному:
Ф (L. г) « (6/х2Вр) ехр (-3g2/%2Bp).	(3.205)
Интегрируя формулу (3.195) по переменным <рр, нетрудно убедиться, что радиальное распределение в приближении Фоккера—Планка также является гауссовым:
Ф (£, z) « (2z2M2) ехр (-g2z2/42).	(3.206)
90
Однако формула (3.205) не переходит в распределение типа распределения Ферми при малых g — p/z, потому что полуширина распределений (3.205) и (3.206) различна. Это различие существенно для всех значений z, при которых справедливо уравнение переноса (3.182). Ниже приведены отношения полуширин распределений (3.205) и
Рис. 3.1. Радиальное распределение электронов (медь, £0= =4 МэВ, z=0,01 /?0):
гистограмма — расчет методом Монте-Карло (8000 историй); 1 — распределение (3.202); 2 — распределение (3.206) [77]
Рис. 3.2. Радиальное распределение электронов (алюминий, Ео= = 6 МэВ, г=0,1 /?0): гистограмма — расчет методом Монте-Карло (8000 историй); 1 — распределение (3.202) в приближении непрерывного замедления; 2 — распределение (3.202) в приближении постоянных сечений
(3.206) (медь;. EQ = 4 МэВ; и — среднее число упругих взаимодействий, испытанных электроном на пути?; — длина полного пробега).
z/l?o, п
Sp г2/ЗАг
0,0006	0,001	0,004	0,01	0,06
21	35	140	350	2100
0,585	0,626	0,726	0,785	0,883
Расчеты, выполненные методом Монте-Карло, показали, что распределение (3.206) непригодно для описания радиального распределения потока электронов, тогда как формула (3.205) правильно описывает это распределение при малых | (рис. 3.1, 3.2) [77].
Для вычисления распределения Ф (g, z) в области больших g удобно воспользоваться асимптотической формулой	,
Ф (g, z) gdg (2&g/Bp) {I4 -4141 + (2/Bp) In (21/5)]}Л .4 (3.207)
91
которая получена в [112£ для углового распределения Ф(й, z). В частности, при 1^3 отличие формулы (3.207) от точного распределения (3.202) не превышает 10%.
В области малых z при вычислении распределения (3.202) можно ограничиться приближением постоянных сечений, т. е. положить 2е (Е (z)) да; 2е(Е0) = 2е. В этом случае формулы для Вр и В существенно упрощаются:
> = ЗВДВР; Вр - In Вр = 5/3 - In 3 — 2С +
+ In (%?/%«)•
Область применимости полученного распределения. Как отмечалось выше, при выводе формулы (3.202) использованы приближение непрерывного замедления и приближение малых углов. Приближение непрерывного замедления применимо для z да 0,4 4- 0,50 7?0, поэтому основное ограничение на область применимости (3.202) накладывает приближение малых углов. В этом приближений путь I, пройденный электроном в веществе, равен глубине проникновения z. Поэтому область применимости радиального распределения4 (3.202) определяется значениями (/ — -г)Ц да <02>2eZ/4< 1.
Сравнение с точными расчетами методом Монте-Карло показывает, что формула (3.202) справедлива для <Z — z>/Z < 0,02 -j- 0,04. Так, для легких веществ эта формула применима при г < 0,24-0,3 Ео. При Z да 30 формула (3.202) справедлива до z < 0,04 4- 0,07 7?0:
В силу ряда приближений, сделанных в работах [112, 122] при вычислении трансформанты A (z, q), радиальное распределение (3.202), как и распределение Мольера, применимо для ?, большего 20 средних длин пробега электронов между упругими взаимодействиями.
§ 3.17. Преобразование Лапласа по координатам
Запишем кинетическое уравнение в 'приближении «прямо—вперед» (т. е. без учета отклонения частиц при рассеянии) для частиц, испускаемых моноэнергетическим источником, который находится в начале координат:
(д/дг) Ф (z, Е) + 2 (£) Ф (г, Е) -
- f 2S (£' Е) Ф (z, Е') dE' = 0;	(3.208)
Ф (z, Е) | г=0 = 6 (Б — Ео). (3.209)
92
Поскольку частицы испускаются в положительном направлении оси Oz, в области z< 0 плотность потока равна нулю и областью изменения z в уравнении (3.208) следует считать полубесконечный интервал (0, оо). Это обстоятельство позволяет применить для решения уравнения (3.208) преобразование Лапласа по координатам:
Ф (z, Е) = (l/2rei)Hf ехр (Az) Ф (А, Е) dK,. (3.210) с—loo
где трансформанта Лапласа Ф (К, Е) выражается через плотность потока следующим образом:
Ф (К, Е) ехр (—Az) Ф (z, Е) dz, (3.211)
Умножим обе части уравнения (3.208) на ехр (—Az) и проинтегрируем по .г от 0 до оо. Преобразовав первый член интегрированием по частям с учетом граничного условия (3.209) и использовав обозначение (3.211), получим °j ехр (—Az) [ЗФ (z, E}ldz\ dz = АФ (А, £) — 6 (Е — Ео). После преобразования Лапласа остальных членов уравнения (3.208) приходим к уравнению для трансформанты плотности потока:
[2 (Е) + А] Ф (А, Е) — J2S (Е' Е) Ф (А, Е') dE' =
= 6 (^ — £„),		(3.212)
которое в отличие от (3.208) не содержит производных и является интегральным ’уравнением типа уравнения деградации энергии (§ 2.6).
Введя обозначение
2К(Е) = 2 (Е) + А,	(3.213)
перепишем уравнение (3.212) в виде
Еа 
2Х (£) Ф (А, Е) — f 2S (Е' -+ Е) Ф (А, Е') dE' =
Ё
— 8(Е — Е0).	(3.214)
Сравнение с (2.Б4) показывает, что при действительных А -уравнение (3.214) по форме совпадаете уравнением деградации энергии для частиц с макроскопическим сечением
93
столкновений 2^ и дифференциальным сечением рассеяния 2S (Е'->-Е). Из (3.213). видно, что по мере уменьшения X Sx, обращается в нуль, а затем становится отрицательной. Отсюда следует [99, с. 89], что решение уравнения (3.214) существует лишь в области-А, > —2 (Е). В этой области можно  воспользоваться результатами, полученными в § 3.10. Если выполняется условие 2S (Е' -> Е) = С (Е'), то в соответствии с (3.114) для трансформанты рассеянной компоненты плотности потока получим
Ф8 (X, Е) = [С (ЕО)/2Х (Е)	(Ео)] X
X ехр { ,f dE'C (Е') /2Х (£')}.	(3.215)
Если 2 и С не зависят от энергии, формула (3.215) упрощается :
Ф8 (X, Е) = [С7(2 + X)2] ехр {С (Ео - Е)/(2 + X)}.
(3.216)
Перейдем к восстановлению энергетического спектра рассеянных частиц:
Ф8 (z, Е) = (1/2л1)С j ехр (fa) [С/(2 + %)2] X
X ехр {С (Ео — Е)/(2 + X)} dX, (3.217)
где, согласно изложенному выше, Re X = с > —2. Введем обозначения: 2 + X = s; С (Ео — Е) = а. Тогда формула (3.217) примет вид
Ф8 (z, Е) = С ехр (—2z) ср (z, a), fp (Z, а) =
2-f-c-hioo
= (l/2ni) f s"2 ехр (sz -|- a/s) ds-, с > 0.	(3.218)
2-pc—loo
Функция <p (z, а), представляющая собой обратное преобразование Лапласа функции s~2 ехр (a/s), равна <р (z, а) = = У zlali (2 У az ), где' ^ — модифицированная функция Бесселя первого порядка. Таким образом [99, с. 95],
Фа (z, Е) = /Cz/(E0 — Е) X
X ехр (-2z) 4 [2/С (Ео — Е) z],	(3.219)
94
В частности, при малых значениях аргумента (х) « х/2, поэтому
Фа (z, Е) = Cz ехр (—Sz).	(3,220)
При больших значениях аргумента /х (х) ~ (глл^-^ехр (х), следовательно,
 Ф3 (z, Е)~ (2 К^)“1[(С2)1/4/(£-0 - £)3/4] X,
X ехр {—Sz + 2 У С (Ео — Е) z}.	(3.221) '
Из (3.219)—(3.221) видно, что с увеличением z отношение рассеянного излучения к нерассеянному возрастает сначала линейно (когда главную роль играет однократное рассеяние), затем более сложным образом [см. (3.221)], причем низкоэнергетическая часть спектра, обусловленная многократным рассеянием, растет быстрее высокоэнергети-ч’еской.
Глава 4
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 4.1.	Операторы и функционалы
Изложение многих вопросов теории переноса существенно упрощается, если использовать терминологию и обозначения функционального анализа, в частности понятия операторов и функционалов.
Оператором называют определенную совокупность действий, которые выполняются над произвольной функцией из некоторого множества 3). Это множество называют областью определения оператора. Множество функций, которые получаются в результате действия оператора на функций, принадлежащие 2), называют областью значений оператора. Это множество обозначим Я. Таким образом, каждой функции f (х) 6.3) данный оператор ставит в соответствие определенную функцию ср (х) g ср (х) = А/(х).
Оператор I, не изменяющий функций / (х), на которые он действует, называют единичным или тождественным оператором'. If (х) = f (х).
В теории переноса обычно приходится иметь дело с линейными операторами. Оператор А называют линейным, если для любых функций 6 3) и любых чисел clf с2 имеет место равенство
A (cjfj + c2f2) = CiAft -I- c2Af2.	(4.1)
Над операторами, как над числами и функциями, можно производить операции сложения и умножения. Суммой операторов Ах и А2 называют такой оператор Ах + А2, , что для всех функций f 6 3): .
• (Ai + А2) f == Aj + A2f. -	(4.2)
Произведением операторов Ах и А2 называют такой оператор А2А1( что для всех f £3) имеет место равенство
лг- a2Aj = А2 (Axf), (	(4.3)
' 96	
Произведение п одинаковых операторов А называют п-й степенью оператора А: АА...А = Ал, A°ss’l. Однако в отличие от произведений чисел и функций произведение операторов в общем случае зависит от порядка сомножителей: АхА2 =/= А2Ах. Если АхА2 = А2Ах, то говорят, что операторы Ах и А2 коммутируют. Легко видеть, что любой оператор коммутирует сам с собой, с любой своей степенью, с' тождественным оператором.
Операции сложения и умножения операторов, определенные с помощью формул (4.2) и (4.3), можно использовать для построения функций- операторов. Функцией оператора F (А)- называют оператор
Е (A) =Fo + EU+ (1/2!) F"А2-|- ....	(4.4)
который получается, если функцию F (х) разложить в ряд Маклорена и степени переменной х заменить степенями оператора А, например:
[I _ А]"1 = 1/(1 — А) =1 + А -|- А2 4- А3 ... (4.5)
Если в результате действий, производимых над функцией f € 30, получается не новая функция, а число, то говорят, что на множестве SO задан функционал J == J [fl. Функционал, обладающий свойством J [cxfx + с2/2] = — CyJ [fxl + c2J [fa], аналогичным свойству оператора (4.1), называют линейным. В функциональном анализе показано, что при соответствующих условиях линей-? ный функционал J можно записать в виде интеграла
Jg = f g (x) f (x) dx,	(4.6)
где g (x) — некоторая фиксированная функция. Фиксируя в выражении (4.6) функцию f (х) и рассматривая значения интеграла на множестве 30+ функций g (х), получаем функционал J'f [g] — j* g (х) f (х) dx, определенный уже на множестве ®+. Приведенные выше интегралы удобно записывать в виде скалярного произведения функций (§ 3.1):
J g (х) f (х) dx = {g, f).	(4.7)
В теории переноса часто используют пары сопряженных операторов. Операторы А с областью определения 30 и А+ с областью определения ®+ называют сопряженными,
4 Зак. 1717	97
если для любой пары функций / (х) g SO и g (х) g S5+ имеет место равенство
J g (х) Af (х) dx = f f (х) A+g (х) dx. (4.8)
Перепишем определение (4.8) с учетом обозначения (4.7):
(g, &f) = tf. A+g).	(4.9)
Обратимся теперь к кинетическому уравнению (2.7). Используя (4.2), представим левую часть этого уравнения
в виде v-1 (d/dt) Ф (г, Й, Е, t) + Й¥Ф (г, Й, Е, f) +
+ 2 (В) Ф (г, Й, Е, t) —
— jdfi'.fd£'2s(fi'->fl, Б'->В)Ф(г, Й', Е', t) = . = [D4 + Lo - Rs] Ф, где операторы	’
. Df = v-'d/dt- Lo = flV + 2 (В); 1
K8 = рЙ'рВ'28 (Й'-> Й, B'->B)J
являются, очевидно, линейными. Поэтому линейным будет и оператор
Lf=Df + L0-X,	(4.11)
называемый нестационарным кинетическим оператором (ррератдромпереноса). В соответствии с физическим смыслом отдельных слагаемых кинетического уравнения интегральный оператор Ks называют оператором рассеяния, Lo — оператором переноса в среде без рассеяния, L = Lo — — Ks—стационарным кинетическим оператором.
С учетом этих обозначений нестационарное кинетическое уравнение можно записать следующим образом
1*Ф :=S. 1	(4.12)
Стационарное уравнение’ будет иметь вид L Ф = S.
Показания детектора, даваемые формулой (1.29), представляют собой функционал от Ф:-
J =fD [Ф] =(D, Ф).	(4.13)
98
Используя определение (4.9), найдем операторы, сопряженные Dit Lo и R3. Для этого сначала рассмотрим функционал
4 [DJ] = (g, Dtf) = pr fdQ^dE Jdtg(r, Q,E,t) tr1 (d/df)X Xf(r, Й, E, f).
Преобразуем внутренний интеграл интегрированием по частям, считая, что f и g принадлежат множеству дифференцируемых по / функций, а /£, обращается в нуль при / —>- -4- сю:
ОО	00 00	00
Цё (df/dt) dt ==fg \ — S f (dg/dt) di = — J f (dg/df) dt.
—CO	—00 — 00	—co
Следовательно, (g-, Dtf) = (f, —v-1 (d/df) g).' Сравнив Это равенство с определением (4.9), придем к выводу, что оператор, сопряженный дифференциальному оператору £)+ _ —v-^d/dt = —6/, отличается от него только знаком. Аналогично можно показать, что (Яу)+ = —№ и Lo — = — fiV+2.
Теперь рассмотрим функционал
(g, М) =№dr [рЯ\dEg (г, й, Е, /)Х X$dSi'$dE'2, (Я'->Я, Е' -+• Е) f (г, Я', £', /)].
Изменив порядок интегрирования по штрихованным и нештрихованным переменным в квадратных скобках, получим К3+ = j’dfi' $dE'2a (й -» Я', Е Д'), т. е. сопряженный оператор рассеяния отличается от оператора К3 порядком аргументов функции 23(Я-*Я', £->£'), которая является ядром оператора рассеяния.
Теперь легко найти оператор, сопряженный оператору переноса:	•	•
- р = D(+ + Lo+ — Ks+ = —v-Wdt -Я V. +
+ 2— рЯр£'23 (Я-> Я', £->£').
Сравнение с (2.13) показывает, что 1/ совпадает с оператором сопряженного уравнения, и это уравнение можно записать в виде Lt+ Ф+ =О. Приведенные здесь результаты поясняют смысл введенных ранее понятий сопряженного уравнения и сопряженной функции (§2.2).
4*	-	99
Формулу (-1.35) для показаний детектора можно записать как J == Js 1Ф+] = (S, Ф+), а равенствоJD, Ф) = (S, Ф+), переписанное |в виде (Ф, £г+Ф'') = (Ф+, L( Ф), станет очевидным, если принять во внимание определение сопряженного оператора (4.9).
Мы не- имеем возможности останавливаться здесь на более тонких математических вопросах. Строгое изложение теории переноса ла основе функционального анализа читатель найдет в работах [14, 104].
§ 4.	2. Обратный оператор и функция Грина
В § 4.1 отмечалось, что каждой функции fjx) из области определения ® некоторого оператора А соответствует определенная функция ср (х), принадлежащая области значений X Если это соответствие взаимно однозначно, т. е. каждой функции ср(х) £ ^соответствует единственная функция f (х) g SD, то оператор А называют обратимым. Совокупность действий, позволяющих найти f (х) по произвольной функции ср (х), называют обратным оператором А-1ср — f. С помощью определения тождественного оператора легко показать, что A A-1 =,A“1A=L.
Действуя на об,е части уравнения (4.12) оператором Lp1, обратным нестационарному оператору переноса, получаем формальное решение в виде
Ф (х, t) = Lf XS (х, I).	(4.14)
Чтобы найти вид оператора Lf1, отметим, что в силу линейности оператора переноса £г справедлив принцип суперпозиции, утверждающий, что поток излучения от нескольких источников равен сумме потоков, создаваемых каждым из источников в отдельности. В связи с этим особый интерес приобретает вычисление дифференциальной плотности потока от точечного мононаправленного моно-энергетического мгновенного источника:
Sa (х, t) = <3 (г — г') 8 (Q — Й') 6 (Д — Е') 8 (t — Г),
(4.15)
Любой другой источник S (х, f) всегда можно представить в виде суперпозиции источников (4.15), распределенных в пространстве:
S (х, t) =ПЗ (х', f) Se (х, t) dx'dt'.	(4.16)
100
Решение уравнения (4.12) с источником (4.15), т. е. дифференциальную плотность потока частиц в точке х фазового пространства в момент t от источника, испускающего в  момент Г из точки х' одну частицу, обозначим G (х,	х', f) и будем называть функцией Грина уравне-
ния (4.12):
LtG (х, t-, х', Г) = 6 (х — х') 6 (£— f).	(4.17)
Поскольку при К. f частиц нет, функция Грина удовлетворяет начальному условию G (х,	х', f) = 0 при t<Zt
и, кроме того, обычным граничным условиям для дифференциальной плотности потока.
Плотность потока от произвольного источника можно выразить через плотцость источников S (х, I) и функцию Грина. Действительно, умножим обе части уравнения (4.17) на S (х', t') и проинтегрируем по х' и f. С учетом (4.16) получим
Lt j dx' J dt'G (x,	x', f) S (x', t’) = S (x, t). (4.18)
Сравнивая (4.18) c (4.12), приходим к равенству
Ф (х, /) = J dx' J dt’G (x, f; x', /') S (x', f),	(4.19)
которое имеет очевидный физический смысл, если учесть определение функции Грина G и плотности источников 8.
Запишем выражение (4.19) в операторном виде:
Ф = GS,	(4,20)
где G — интегральный оператор Грина, ядром которого является функция Грина.
Из (4.14) и (4.20) видно, что оператор Грина G является обратным оператору переноса Lt:
G=Lrx.	(4.21)
Показания детектора J выражаются через оператор Грина следующим соотношением, вытекающим из (4.13) и (4.20):
J = (D, QS).	(4.22)
Аналогичные соображения справедливы и для сопряженного уравнения. Сопряженная функция Грина удовлетворяет уравнению
L+G+ (х, /;	х', Г) = 6 (х — х') 6 (t — Г),	(4.23)
101
при этом
ф+ (х, /) = Я G+ (х, t; х', t] D (х', f) dx'dt', (4.24) а показания детектора выражаются формулой
J = (S, G+D),	(4.25)
где G+ = Lt ~1 —• оператор Грина сопряженного уравнения. Из (4.22) и (4.25) видно, что оператор G+ является сопряженным оператору G.
•Подставляя в равенства (4.22) и (4.25) выражения для дельта-источника и дельта-детектора и приравнивая их, получаем результат, называемый теоремой взаимности [35]:
G(x, t; xr, f) = G+ « f; x, f).	(4.26)
Равенство (4.26) становится очевидным, если учесть, что сопряженная функция Грина равна показаниям дельтадетектора с параметрами х, t в поле дельта-источника с параметрами х', Г. Поскольку дельта-детектор измеряет дифференциальную плотность потока частиц (§ 1.4), значения G и G+ равны, если первая пара аргументов G совпадает со второй парой G+ (координаты детектора) и вторая пара аргументов G совпадает с первой парой G+ (координаты источника).
Метод функций Грина можно использовать и для различных частных типов кинетического уравнения, рассмотренных в гл. 2. При этом остаются в силе общие соотношения (4.17)—(4.26), если под (х, f) понимать соответствующий набор переменных.
В простейших случаях функции Грина можно выписать в явном виде.. Так, в среде без рассеяния дифференциальная плотность потока совпадает с первым членом выражения (2.38), так как второе слагаемое обращается в нуль (Ss =0):
Ф (г, Й, Е) = Фо (г, Й, Е) =
= Ш {ехр (-'г (г", г, £)]/| r-r"|a} S [й-(г-г")/1 r-г" 11X
X 6(Q-Q") б (E—E")S(r", Й", Е") dr"dQ''dE".
102
Подставив сюда плотность распределения дельта-источника Se (х") — 6 (х" — х') =6 (г" — г') 6 (Й" — Й')Х X 6 (Е" — Е') и проинтегрировав по х", получим
Go (г, Й, Е; г', Й', Е') = {ехр [—т (г', г, Е)]/|г —г' |2} х X 6 [Й — (г — г')/ |г — г'| ] 6 (Й — Й') 6 (Е Е').
' (4.27) Эта функция Грина является ядром оператора Go, обратного кинетическому оператору Lo =fiV-|-S.
В стационарном диффузионном уравнении единственной переменной является радиус-вектор точки г, и функция Грина имеет вид
G (г, г')=ехр [—|г — г'|/Е]/4л£> |г — г'|. (4.28) Из (4.26) и (4.28) видно, что G+ (г, г') — G (г, г'), т. е. оператор Грина диффузионного уравнения (как и оператор переноса диффузионного уравнения) является самосопряженным.
. § 4.3. Инвариантность функций Грина относительно сдвигов во времени и пространстве
Если среда, в которой распространяетсй излучение, обладает некоторой симметрией, то функция Грина оказывается инвариантной относительно определенных преобразований аргументов, что позволяет установить ряд полезных соотношений для полей излучения в данной среде [31, с. 267; 36, с. 18].
Согласно § 4.2, функция Грина удовлетворяет уравнению
LtG(x, /;	х', Г) =6 (t — t').& (х — х'). (4.29)
Преобразование переменных (х, /) —>• (х, /) в общем случае изменяет вид функции Грина:
G (х, Z; х', /')-> <5(х,7; х', ?).	(4.30)
Сохранив для новых переменных х, t прежние обозначения х и t, преобразование (4.30) можно рассматривать как результат действия на функцию Грина оператора преобразования О': 0G(х, t\ х', f) = G~(x, t\ х', f). Подействуем этим оператором , на обе части уравнения (4.29): 0 х X LfG (x,t- х' f) =06 (t —f) 6 (x — x'). Пусть правая часть (4.29) инвариантна относительно преобразования "0, т. е.
06 (t — t’) 6 (х — х') = 6 (t — Г) 6 (х -- х'), ! (4.31)
юз
' а оператор преобразования коммутирует с оператором переноса: 0Ц == Ц0'. Если к тому же преобразование 0 не меняет начальных и граничных условий, то 0G (х, i;x',t')=G (x,t;x',t'),T. е. функция Грина оказывается инвариантной относительно данного преобразования.
Простейшим примером такого преобразования является сдвиг во времени:
’/=7+Д/; -Г=7-|-Д(. •	(4.32)
Это изменение временных аргументов на одну и ту же величину эквивалентно изменению начала отсчета времени. Соответствующий оператор преобразования обозначим Результат его действия на некоторую функцию f (t, f) следует понимать как новую функцию 7 (A t') — f J (t, i'), которая получится, если в аргументах функции f произвести замену переменных (4.32), а затем сменить обозначения:
7->- t, ?-И', т. е. (£, t') = f (t + At, f + Д/). (4.33)
Поскольку в правую часть уравнения (4.29) переменные t и V входят в виде разности, преобразование f { не изменяет ее вида и условие (4.3.1) выполняется,
Легко показать, что оператор Lf коммутирует с Тг, если свойства среды (сечения взаимодействия) не меняются со временем. Очевидно, преобразование ft не меняет начального условия для функции Грина. Предположив также, что граничные условия не меняются с течением времени, получим
f/G (х, t\ х', t') = G (х, 1-, х', /'),	(4.34)
т. е. функция Грина инвариантна относительно сдвига во времени. Согласно (4.33), формулу (4.34) можно переписать в виде
G (х, t + Дг?; х', t’ -|- \f) = G (х, /; х', /'). (4.35) Полагая, в частности, № — —t', вместо (4.35) получаем равенство
G(x, /; х', Г) =G(x, t — f; x', 0),	(4.36)
означающее, что в среде с постоянными во времени сечениями взаимодействия функция Грина зависит лишь от интервала времени между моментом испускания части-104
цы t' и моментом ее наблюдения t, но не от каждой из этих переменных в отдельности.
Если сечения взаимодействия не зависят от одной из декартовых координат, например от х, функция Грина оказывается инвариантной относительно сдвига в пространстве вдоль оси Ох:
G (х,	х', ...) =G (х —х', ...; О, ...) (4.37)
(переменные, не меняющиеся в данном преобразовании, опущены). В плоской геометрии, когда сечения’ не зависят от х и у, функция Грина инвариантна и относительно сдвига’по у, так что
G (х,т/, ...; х', у', ..,) = G (х — х', у— у', ...; О, 0, ...).
(4.38)
Используя обозначения р ='{х, у}, р' ={х', у'}, (4.38) можно переписать в виде
G (р, ...; р', ...) = G (р — р', ...; О, ...).	(4.39)
Наконец, в бесконечной однородной, среде, где сечения взаимодействия не зависят от пространственных координат:
G (г, ...;	г', ...) == G (г — г', ...; О, ...).	(4.40)
Подобные результаты можно получить и при рассмотрении других преобразований (поворота в пространстве и т. п.).
§ 4.4. Следствия инвариантности
Согласно (4.22), показания детектора J выражаются через плотность источников S, функцию Грина Си функцию чувствительности детектора D соотношением
J = j'j'j'J D (х, t) G (х, i; х',	t') dxdtdx'df.
(4.41)
Предположим, что в одной из функций D или S переменные х и t разделяются. Пусть, например,
5 (х, 0 - Sx (х) St (/),	(4.42)
т. е. от времени зависит только число частиц, испускаемых в' единицу времени, а их пространственное, угловое и энергетическое распределения неизменны. Подставив
105
(4.36) и (4.42) в (4.41), рассмотрим отдельно интеграл по переменным I и f\
7=ДП(х, /)G(x, t-f-, Xх, O)Sf(f)dtdf.
Перейдя от переменной t к новой переменной т = t — f, получим
I = f dxG (х, т; х', 0) f dfD (x, f + t) Sf (f). . (4.43)
Подставив этот интеграл в (4.41) и введя обозначение
D (х, /)=fD(x, f+ ^Si(f)df =fn (x, f) St (f—f) df, придем к следующему результату:
J = Д’]*D (х, t) G (x, .t\ Xх,. 0) Sx (xx) dxdtdx' =
=	(x, f) G (x, f, Xх, f) Sx (xx) 6 (/') dxdi dx.' di'.
(4.44)
Формула- (4.44) отличается от (4.41) заменой D (х, t) вели-чиной D (х, t) и S (х, t) величиной Sx (х) 6 (t), т. е. показания детектора с функцией чувствительности D в поле излучения источника, описываемого функцией S, равны показаниям детектора с функцией чувствительности D в поле мгновенного источника.
Если переменные хи/ разделяются в функции чувствительности детектора: D (х, /) ~DX (x)Dt (/), то, учитывая в (4.41), что G (х, /; Xх, f).— G (х, 0; Xх, /' — /), легко получить формулу
J =ПЛ (х) ® (0 6 (х>	х'>	5 dxdidx' df,
(4.45) где
S (х, /) =fDf (f — f) S (x, f) df =
= $Dt(f)S(x., t-\-f)df.	(4.46)
В этом случае показания детектора с функцией чувствительности D в поле источника, описываемого функцией плотности S, совпадают с показаниями, мгновенного детектора в поле источника с функцией S, определяемой формулой (4.46). Формулы (4.44) и (4.45) упрощаются, если плотность источников S или функция чувствитель-106
ности детектора Вне зависят от времени. В первом случае, когда S (х, t) — S (х):
J =gD (x)G(x, х') S (х') dxdx',.	(4.47)
где D (x) = f D (x, t) dt, a
G (x, x') = f G (x, t\ x', f) dt= f G^(x, f; x',.f) dt', (4.48) так как в соответствии с (4.35) G (х,	х', f) =
— G (х, t — t'; х', 0) = G (х, 0; х', f — t).
Во втором случае, когда D (х, t) = D (х):
J — )) D (х) G (х, х') S (x')dxdx', (4.49)
где S (х) = J S (х, t)dt.
Уравнение для функции G (х, х') можно получить, если все члены уравнения (4.29)- проинтегрировать по f (—оо < f < оо). В левой части равенства интегрирование по f и дифференцирование по t можно поменять местами. Но J G (х,	х', ?) dt' = j G (х, 0; х', t' — t) dt' =
= $ G (x, 0; x', t) dt не зависит от t, поэтому член с производной по t исчезает:
fiVG (г, ft, Е; г', Й', Е') + 3 (Е) G (г, Й, Е; г', Й', Е') — — J d£i" S.dE"2t (Й" ->Й, Е"-+ E).G (г", Й", Е"; г', Й',Е')= = 6 (г — г') 6 (Й — Й') 6 (Е — Е'),	(4.50)
т. е. G (х, х') представляет собой функцию Грина стационарного уравнения переноса.
Таким образом, задача о вычислении показаний детектора становится стационарной, если хотя бы одна из функций S и D не зависит от времени.
Аналогичные результаты получаются и для сдвигов в пространстве. В частности, в случае бесконечной однородной среды (стационарная задача) имеем при S (г, Й, £) =Sr (r)S' (Й, Е)
J = JJ D (х) G (х, х') S (х') dxdx'; '	(4.51)
. D (г, Й, _Е) = J S,. (г') D (г + г', Й, Е) dr'-,
S' (г, Й, Е) = 6 (г) S' (Й, Е),
107
а при D (г, Я, Е) — Dt (г) D' (Я, Е)
J == 2) (X) G (х, х')^ (х') dxdx'-, (4.52) t I (г, Я, Е) J DT (г') S (г г', Я, Е) dr'-,
D (г,- Я, Е) = 6 (г) D' (Я, Е).
В первом случае распределенный источник превращается в точечный, а точечный детектор—в объемный, во втором — объемный детектор превращается в точечный, а точечный источник — в объемный’. Формулы (4.51), (4.52) упрощаются, если 5 или D не зависят от пространственных переменных. В случае (г, Я, Е) = S (Я, Е)
j = JJJJ 5 (й> Е) g (Я, Е; Я', Е') S (Я', Е') dQdEdQ'dE'.
(4.53)
В случае D (г, Я, Е) — D (Я, Е)
J D (Я, Е) G (Я, Е; Я', E'fS (Я', Е') d&dEdQ'dE', (4.54)
где
D (Я, Е) = f D (г, Я, Е) dr, S (Я, Е) = J S (г, Я, Е) dr-(4.55)
G (Я, Е; Я', Е') = j G (г, Я, Е; г' Я', Е') dr =
= j G (г, Я, Е; г', Я', E')dr'.	(4.56)
Равенство (4.56) легко доказать, если учесть, что в соответствии с (4.40)
G (г, Я, Е; г', Я', Е') = G (г — г', Я, Е; 0, Я', Е') = = G (0, Я, Е; г' — г, Я', Е').
Уравнение для функции G (Я, Е;Я', Е') можно получить, если все члены уравнения (4.50) проинтегрировать попеременной г'. Градиентный член при этом исчезает, так как операторы QV и J dr' можно поменять местами, а интеграл от G по переменной г' в силу (4.56) не зависит от г:
S (Е) G (Я, Е; Я', Е') —f ^Я" j dE"2s (Я"->Я, Е"^Е)х X G (Я", Е"; Я', Е') == 8 (Я — Я') 8 (Е — Е'),	(4.57)
т. е. функция G (Я, Е; Я', Е') представляет собой функцию Грина уравнения для равновесного энергетически-углового распределения.	'
108 ,
Рассмотрим еще задачу, когда S или D не зависят от пространственных переменных х и у : S (г, й, Е) — = S (z, Й, Е) илиЕ (г, Й, Е) ~D (z, Й, Е). В первом случае
J =	Е) G Й, Е- z', Й', Е')Х
X S (/, Й', Е') dzdQdEdz'dQ'dE'. (4.58)
Во втором случае
J = ИЛИ D (z, Й,Е) G (z, Й, Е; z', Й', Е')х XS(z', Й', Е') dzdQdEdz'dQ'dE',	(4.59)
где
D (z, Q, Е) = JE (г, Й, Е) dp = ДЕ (г, Й, Е) dxdy, S (z; Й, Е) == js (г, Й, Е) dp = ffS (г, Й, Е )dxdy, (4.60) . G (z, Й, Е; г', Й', Е') = JJG (г, Й, Е; г', Й', Е') dxdy =
= ИО (г, Й, Е; г', Й', Е') dx'dy' (4.61)
— функция Грина для плоской задачи, удовлетворяющая уравнению
cos •& (d/dz) G (г, Й, Е; г', Й', Е') -|- S (Е) X .
X G (z, Й, Е; z', Й', Е') —^Й'^Е% (Й" Й, Е" -> Е) X
X G (2, й", Е"; г', Й', Е')= 6 (г —г') 6 (Q-О') 6 (Е — Е').
(4.62)
В качестве примера применения полученных выше соотношений рассмотрим поле дискового источника радиуса а, для которого
S (г, Й, Е) = S' (Й, Е) 6 (z) х (х, у),	(4.63)
Где .	.	( 1, если х2 + у2, < а2;
% (х, у) — j о, если х2.,+ у2, > а2. '	(4.64)
Детектор считаем точечным: Е (г, й, Е) = 6 (г — r0) х D' (й, Е). В соответствии с (4.49), (4.52) такая система эквивалентна источнику с функцией плотности
S (г, Й, Е) = 6 (г) S' (Й, Е),	• (4.65)
109
излучение которого регистрируется детектором с функцией чувствительности
б (г, Я, Е)=У 6 (/) % (/, у') 6 (r' + r—г0)Е>' (Й,£) dr'.
Вычислив этот интеграл, найдем
5 (г, Я, Е) =6 (z — z0)D' (Я, Е)%(х — х0, у — у0).
(4.66)
Функция чувствительности (4.66) соответствует дисковому детектору радиуса а, расположенному в плоскости г = z.o с центром в точке (х0, у0).
' Если а = оо (источник плоский), то
D (г, Я, Е) —6 (z — z0) D' (Я, Е).	(4.67)
В этом случае показания точечного детектора зависят только от Zo, обозн чим их /пп (z0). Согласно (4.65) и (4.67)
4л (Zo) = ПЛИ 6 (z - z0) D' (Я,Е) G (г, Я, Е-,Г', Я', Е') х X 6 (г') S' (Я', Е') drdQdEdr'dQ'dE’ =
±= И 6 (z — z0) 6 (г') /т (г, г') drdr', (4.68) где
4 (г, г')=ЦЛР'(Я, Е) G (г, Я, Е; г', Я', Е')Х ' XS' (Я', Е') dQdEdQ'dE'.
— показания точечного детектора с функцией чувствительности D' в поле точечного источника с функцией плотности S'. Если источник и детектор изотропны, зависит только от расстояния от источника до детектора: JT = 4 (| г — г'|)’, и формула (4.68) принимает вид =ЛЛ(Ух2 + ^ + г§)^.
Перейдем к полярным координатам: 4л (z0) =
= 2л f JT (Vp2 + Zoj pdp и сделаем замену переменной о
р2 +	= г2. Тогда 4Л (z0) = 2л J 4 (г) rdr. Продиф-
г»
ференцировав обе части этого равенства по г0, получим простую формулу, связывающую характеристики поля точечного изотропного и плоского изотропного источников:
4 (И = (2лг)~М4л (Zo)WzoI(4.69)
ПО
§ 4.5.	Преобразование отражения и инверсии координат и теорема взаимности
Пусть среда симметрична относительно зеркального отражения координат в плоскости хОу (т. е. относительно замены г величиной —г). Оператор данного преобразования обозначим U2. Запишем уравнение для функции Грина [ЙУ + 2 — Ks] G (х; х') = 6 (х — х') и подействуем на обе части оператором U2. В результате получим
[Йж3/дх +' Qyd/dy — Q^dldz +2 — Ks] UZG (х; х') —
= 6 (х — х').	(4.70)
Очевидно, в общем случае функция Грина нёиивариантна относительно данного преобразования. Однако если подвергнуть подобному преобразованию и векторы й (т. е. заменить Йг на —Йг, й^ на — &'г, то (4.70) примет вид
[ЙУ 2 - KJ ОоД G (х, х') = 6 (х - х'), (4.71) где Оо —оператор указанного преобразования. Таким образом, функция Грина инвариантна относительно зеркального отражения векторов г ий, входящих-в ее аргументы:
UoД G (х, х') ~ G (х, х').	(4.72)
Аналогично в задаче, симметричной относительно преобразования инверсии координат (т. е. относительно замены г величиной-—г), функция Грина неинвариантна относительно этого преобразования:
[—ЙУ + 2 — Ki М (х, х') = S (х — х'), (4.73) так как перед градиентным членом появляется знак минус. Однако если применить преобразование инверсии и к векторам й, й', то инвариантность функции Грина относительно такого преобразования станет очевидной:
ийигС(х, х') = G(x, х').’	(4.74)
В качестве примера такой среды, как и прежде, можно привести бесконечную однородную среду (когда начало координат можно выбрать в любой точке), а также сфери-чески-симметричную среду, например однородный шар. радиусом а.
111
В односкоростном приближении из (4.70) и (4.73) можно получить более интересные результаты [7, с. 204; 36, с. 37]. В случае плоско-параллельной геометрии имеем l-Q^d/dz -I- 2 — J’da"2s («"-> G)] UXG (z, Й"; z', й') =
= 6 (z — z') 6 (Й — О').	’	(4.75)
В .односкоростном приближении К3=/с/й'23 (йй') = = К+, поэтому уравнение (4.75) совпадает с сопряженным уравнением, откуда
Иг G (z, Й; г', Й') =[G+ (z, Й; /, й').	(4.76)
Наконец, применяя к правой части равенства (4.76) теорему взаимности, приходим к полезному соотношению
Uz G\z, Й; 2', Й') =fi(z', Й'; г, й),	(4.77)
утверждающему, что функция Грина не изменит своего значения, если г заменить на —г, азатем поменять местами (в фазовом пространстве) источник и детектор. Аналогично в сферически-симметричной геометрии получим
' U, G (г, Й; г', Й') = G (г', Й'; г, й).	(4.78)
§ 4.6.	Применение преобразований отражения и инверсии координат к решению некоторых односкоростных задач
В некоторых случаях формулы (4.77) и (4.78) позволяют точно решить односкоростные задачи, не решая самих уравнений. Пусть на плоский однородный непоглощающий слой с границами г = а и z = —а с обеих сторон падают частицы от источников с поверхностной плотностью а и угловым распределением, пропорциональным косинусу угла падения («косинусоидальные» источники соответствуют второму члену в разложении углового распределения произвольного источника по полиномам Лежандра, § 3.4). Требуется найти проинтегрированную по й плотность потока частиц в некоторой внутренней точке слоя г0. Обычный метод решения этой задачи состоит в решении уравнения
рдФ/dz 2Ф (z, ц) = J S3 (ЙЙ') Ф (2, ц') dQ' + + (|p|/re)ff6(2-f-a)-f-(|p,|/re).ff6 (z —а);	(4.79)
ц = cos й'; cr == const
112
с .граничными условиями Ф (а, р) == 0, р < 0, и Ф (—а, р) = 0, р > 0, и вычислении показаний детектора по формуле
J (z0) = 2reJ Ф (z0, ц) ф.	(4.80)
Непосредственное решение уравнения типа (4.79) — довольно сложная математическая задача. В то же время формула (4.77) сразу приводит к точному значению функционала (4.80).
Выразим искомый функционал через функцию Грина:
J (z0) = j’ dft j dQ'G (z0, ft; a, ft') (| р'|/л) o'-|-
+ $dQ J dft'G (z0, ft; -a, ft') (| p' | /я) о. p/>o
Подействуем на это выражение оператором Uz. Учитывая (4.77), а также очевидное следствие симметрии задачи J (z0) = J (—z0), получаем
J (z0) — $dQ J dQ'G (a, ft'; z0, ft) (| p' |/rr) a + g'> о
+ fdft j* dtl'G (—a, ft'; z0, ft) (| p' | /л) о. (4.81) g'<0
Формула (4.81) означает, что задача свелась к вычислению показаний детектора с функцией чувствительности
D(z, р) = 2|р|б (z — а) + 2|р|б (z + а),	(4.82)
измеряющего удвоенное число частиц, вылетающих из слоя через обе его границы, от плоского изотропного источника с дифференциальной плотностью S (z, ft) = =*= (ц/4ге) 6 (z >— z0). Соответствующее уравнение имеет вид
рдФ/dz + 2Ф (z, р) = (Qft') Ф (z, р') dft' + + (о74л) 6 (z — z0).
Интегрируя обе Части этого уравнения по ft и учитывая, что f Ss (ftft') dft = S, получаем (3/dz) f рФ (z, p) dft =
= об (z— z0). Интегрируя последнее соотношение no z от —а до 4-a, приходим к следующему результату:
(рФ (а, р) dQ — J рФ (—а,' р) dQ = о. (4.83)
113
В то же время, умножив (4.82) на Ф (г, р) и проинтегрировав полученное выражение с учетом граничных условий, найдем
j (20) = П D (2, Я) Ф (z, Я) dzdQ =
= 2{JpO(a, р.)йЯ - ,[цФ (—а, р.)йЯ}.	(4.84)
Сравнивая (4.83) и (4.84), видим, что-плотность потока в точке z0 в исходной задаче равна удвоенному значению плотности источника о:
У (z0) — J Ф (z0, Я) dQ = 2о,	. (4.85)
и не зависит от 20.
Аналогично можно найти плотность потока в центре непоглощающего шара радиусом а, облучаемого потоком частиц с направлением Яо и плотностью падающего потока So 167, с. 201:
J = f dtfdQG (0, Я; г, Яо) Я0п50,.	(4.86)
йоП>О
где и — внутренняя нормаль к элементу поверхности ds.
Из соображений симметрии J не зависит от Яо, поэтому (4.86) можно представить в виде J = (1/4зт) J dQ $dQ0X X J йэЯ0пО (0, Я; г, Яо) SodQ. Применив преобразо-- £20п>0
вание инверсии координат,' согласно (4.78) получим
J = j йЯ0^8Я0п|О (г, Яо; 0, Я)(50/4л)йЯ. (4.87) £2оп>°
Внутренний интеграл JG (г, Яо; 0, Я) 50^Я/4п равен плотности потока частиц на поверхности шара от точечного источника, помещенного в его центре: S(r, Я) =S06(r) 1/4л. Выражение (4.87) в целом представляет собой число частиц, вылетающих с поверхности шара. Поскольку поглощения нет, число таких частиц равно числу частиц, испускаемых источником [в этом легко убедиться с помощью кинетического уравнения способом, каким было получено равенство (4.83)1:
J = So.	(4.88)
Формула (4.88) справедлива при любом виде дифференциального сечения рассеяния. Это означает, что плотность потока частиц в центре шара не зависит от 2 й равна плотности потока в вакууме, когда 2=0. Для .этого, случая результат (4.88) очевиден.
114	,
§ 4.7.	Преобразование подобия
Выше рассмотрены преобразования системы координат, при которых свойства среды (т. е. сечеиия взаимодействия) оставались неизменными. В этом параграфе рассмотрим преобразование времени и координат с одновременным изменением сечений, относительно которого функция Грина (с точностью до известного постоянного множителя) инвариантна [24, 106, 131].
Запишем уравнение для функции Грина в виде
L4G = [(1/v) d/dt + SJV + М] G (х, /; х', Г) =
= 6 (х — х') 6 (t — Г),	.	(4.89)
где М = S — Ks — оператор, содержащий информацию о свойствах среды. Введем оператор изменения масштаба времени 0(“\ действие которого на функцию времени за,-ключается в следующем: сначала производится замена переменных t = at, затем изменение обозначений t t. Подействуем этим оператором на обе части уравнения (4.89). Учитывая, что б)а) (d/dt) G (х, t; х', t') = (1/а) х
X (d/dt) G (х, at-, х', at') и 9/a)S (if — f) =6 (t — t')/a, получаем
’ [(1/ссу) d/dt + SV + A] G (х, at; х', at') ~
= (1/а) а (х — х') a (t — t').	(4.90)
Введем оператор изменения масштаба координат 0г₽), действий которого состоит в замене переменных г = Рг с последующим изменением- обозначений г г. Применяя этот оператор к уравнению (4.90) с учетом того, что eJ₽)QVG (г, ...; г',"...) ==(1/р) SVG (рг, ...; Рг', ...) и 0$р,а (г — г') — (1/р8) 6 (г — г'),' приходим к уравнению
1(1/ас») d/dt +(1/р) QV 4- M]G (₽г, Я, Е, at; ₽r', Q',E',at') —
= (1/ар8) 6 (х — х') 6(t — Г).	(4.91)
115
Заменим, наконец, сечения S -> S/y, Ss -> Ss/y и,, обозначив функцию Грина в среде с сечениями S/y и 2s/y GW, представим уравнение (4.91) в виде
[(au)-ia/az+₽-19V+T~1)M] GW (pr,9,£',af;pr/,J}',£',af) = = (l/csps) fi (х - x') 6 (t — f).	(4.92)
Теперь легко показать, что, полагая а — р = у = k, можно прийти к уравнению типа (4.89):
L4GW (kr, Й, Е, kt; kr', Q', Е', kt') k3 = = 6 (x — x') 6 (t — t’)	(4.93)
для функции GW (kr, й, E, kt; kr', Й', E', kt') k3. Если граничные условия уравнений (4.89) и (4.93) совпадают, то получается важное соотношение подобия:
G (г, й, Е, t; г', й', Е’, t') —
= k3GM (г, Й, Е, t; г', Й', Е', 7),	(4.94)
в котором сходственные точки связаны соотношением г = kr, 7 = kt.	(4.95)
Следовательно, чтобы вычислить функцию Грина в более плотной среде, необходимо в k раз увеличить расстояние и временной интервал между дельта-источником и дельта-детектором в исходной среде, найти функцию Грина для этих значений и увеличить ее в k3 раз.
Умножая обе части равенства (4.94) на dt, учитывая, что в силу (4.95) dt == dt/k, и интегрируя, находим, согласно (4.48), соотношение подобия для стационарных функций Грина:
. G (г, Й, Е; г', Й',Е') = feaGW (г, Й, Е; ?, Й', Е'). (4.96).
Интегрируя (4.96) по z = const и используя (4.61), получаем, что для плоских функций Грина в сходственных точках имеет место равенство
G (z, Й, Е; г', й', Е’) =	(z,Q, Е; 7, й', Е’). (4.97)
В плоско-параллельной геометрии можно получить более сильное соотношение подобия, связывающее функцию Грина G (z, й, Е; г’, Й', Е’) для среды с переменной плот-, 116
ностью р (z) с функцией Грина О (z, О, Е; z', й', Е') для однородной среды с плотностью р. С учетом того, что сечения взаимодействия пропорциональны плотности: 2 = p2m, Ks = pKsm, 2 = p2m, Ks = pKsm, запишем уравнения для функции Грина:
{costf5/dz4-p(z)[Sm — Ksm]}8(2, й, Е; г', й', Е') = = 6 (z — г') 6 (Й — Й') 6 (Е — Е')	(4.98)
и
{cosfld/dz-}-р[2га — KsJ}G(2, Й, Е; г',Й', Е') =
= 6(2 — г')6(Й— Й')6(Е — Е').	(4.99)
Будем считать р (г) такой, что функция Грина G удовлетворяет тому же условию на бесконечности, что и G:
G (z, й, Е; г', Й', Е') ->• 0, |z — z' | -> оо.
Умножим уравнение (4.98) на р/р (z) и перейдем к новой переменной
z = (1/р) J р (z") dz"; z' = (1/р) J р (г") dz". (4.100) о	о
Тогда с учетом свойства 6-функции 6 (z—^')=6 (z—г') х X р/р (г) оно примет вид
{cos ®д/дг +‘р (2т — Кзтп]} G (z £), Й, Е; z' (г'), Й', Е') = == 6 (2 — z'/) 6 (Й — й') 6 (Е — Е').	(4.101
Сравнивая уравнения (4.99) и- (4.101), находим искомое соотношение
G(z, Й, Е; z', й', Е') =G(z, й, Е; z', й', Е'),	(4.101а)
где сходственные точки удовлетворяют равенствам (4.100).
Из формул (4.40) и (4.61) видно, что в однородной среде функция Грина плоской задачи зависит от z — z': G (z, Й, E; z', Й', Ef) = G (z — z', й, E; 0, й', E'), поэтому G (2, й, E; z', Й', E') зависит от величины z — z' — (1/p) f p (z") dz", пропорциональной массе ве-г' щества (на 1 см2), находящегося между источником и детектором. В связи с этим в плоских задачах часто измеряют толщину слоя в массовых единицах.
117
§ 4.8.	Разложение по столкновениям
Важным методом анализа кинетического уравнения и "получения численных результатов, особенно для малых расстояний от источника, является разложение по столкновениям [99, с. 53]. Это разложение имеет простой физический смысл. Разделим все частицы, приходящие,в точку х в некоторый момент, на группы частиц, испытавших между рождением в источнике и попаданием в точку- х определенное число столкновений п = 0,1, 2, ... Среди этих столкновений, очевидно, не было ни одного поглощения (иначе частица не попала бы в точку х), поэтому рассматриваемое разложение называют еще разложением по порядкам рассеяния,.частицы с п=0—нерассеянными, сп=1 — однократно рассеянными и т. п. Обозначая Фо (х) дифференциальную плотность потока нерассеянных частиц, Ф1 (х) — плотность потока однократно рассеянных частиц и т. д. и объединяя в одну группу частицы,, приходящие в точку х, получаем очевидное равенство
Ф0(х) + Ф1(х) + Ф2(х) + ... =Ф(х).	(4.102)
Разложение (4.102) удобно тем, что его слагаемые свя-заны друг с другом рекуррентным соотношением, позволяющим последовательно вычислять отдельные члены этого разложения и тем самым в, некотором приближении получать значение плотности потока Ф (х). Покажем это на примере стационарной задачи с однородными граничными условиями. Согласно § 2.4, плотность потока нерассеянных частиц выражается через плотность распределения источников соотношением
Фо (г, Й, Е) =fexp [—т (г', г, Е)] 5 (г', й, Е) dg-; г' = о
=.Г—(4.103)
Если теперь умножить левую и правую части равенства (4.103) на дифференциальное сечение рассеяния и проинтегрировать по угловым и-энергетическим переменным, получим плотность распределения частиц, «возникающих» в процессе первого рассеяния:
Sx (г, Й, Е) = H'fdE'S8 (й' й, Е' Е) Фо (г, Й', Е').
(4.104) 118
Плотность потока однократно рассеянных частиц можно определить как характеристику нерассеянного излучения от источника с функцией плотности (4.104):
Фх (г, Я, Е) ==fexp [—т (г', г, Е)]	(г', Я, Е) dt (4.105)
о
Подставив (4.104) в (4.105), получим
Фх (г, Я, Е) =J dgexp [—т(г', г, Е)] $dQ' $ dE' х о
X 2., (Я' -> Я,Е' -> Е) Фо (г', Я', Е').	(4.106)
Приведенные здесь рассуждения справедливы и в общем случае. Взаимодействие п-кратно рассеянных частиц с веществом создает источник частиц (п + 1)-й кратности рассеяния [Еп+1Дг, Я, Е) == f dfi'J dE'Se (Я'-> Я, Е'-> -> Е) Фп (г, Я', Е')], плотность потока нерассеянных ' частиц от которого совпадает с плотностью потока п +1 раз рассеянных частиц от источника с дифференциальной функцией плотности S (х):
Фп+1 (г, Я, Е) = jd? ехр [—т (г', г, Е)] \dil' \dE' X
Х28(Я'->Я, Е'-> Е) Фп (г', Я', Е').	(4.107)
Рекуррентное соотношение (4.107) вместе с разложением (4.102) позволяет в принципе решить задачу об определении поля излучения в среде. Процесс вычисления Ф (х) сводится к следующему. По формуле (4.103) вычисляют плотность потока нерассеянных частиц Фо (х), которую затем подставляют в формулу (4.106) для плотности потока однократно рассеянных частиц. Найдя Фх (х) и подставив ее в правую часть формулы (4.107), при п — 1 находят плотность потока двукратно рассеянных частиц, и так до тех пор, пока слагаемые Фп (х) не станут пренебрежимо малыми. Такой метод расчета называется методом последовательных столкновений. Вследствие трудностей, связанных с интегрированием по Я' и Е' в (4.107), на практике обычно ограничиваются вычислением одного-двух членов этого ряда, хорошо представляющих Ф (х) лишь на малых расстояниях от источника.
Установим связь между полученным разложением и стационарным уравнением-переноса (2.36). Для этого просуммируем обе части равенства (4,107) по п от 0 до оо, при-
119
бавим к обеим частям слагаемое Фо (г, й, £) и учтем равенство (4.102);
Ф (г, Q, Е) =Ф0 (г, Я, Е)+°1 ^ехр [—т (г', г, £)] $dQ' X X да'ЗДЙ'-^Й, Е'^Е)Ф(г’, Й', Е').	(4.108)
Таким образом, разложение по столкновениям можно рассматривать как один из методов решения уравнения переноса.
Разложение по столкновениям можно получить непосредственно из уравнения (4.108) методом последовательных приближений, когда в качестве нулевого приближения выбран свободный член Фо (г, О, Е). Первая поправка Фг вычисляется заменой в интегральном члене Ф на Фо, вторая — заменой Ф на Фг и т. д. Нетрудно видеть, что при этом получится тот же ряд (4.102), называемый в теории интегральных уравнений рядом Неймана. Особенно просто получается этот ряд, если ввести интегральный оператор переноса
K = G0Ks	(4.109)
(операторы Ks и Go описаны в § 4.1, 4.2). Тогда уравнение (4.108) запишется в виде
ф = КФ-|-ф0.	(4.110)
Перенеся первое слагаемое правой части влево и подействовав)затем на обе части оператором [I — К]-1, получим
ф = [1-К]-1ф0.	(4.111)
Поскольку Фо = G0S, оператор К связан с оператором Грина G соотношением
[I—К]-1б0 = 6.	(4.112)
Используя разложение функции оператора К в ряд (4.5), вместо (4.112) и (4.111) соответственно получим
G=Go+Kdo + K2Go+>.'.«	(4.113)
и
' Ф = Фо+КФо+К2Фо+...= J фп5 Фп = К'1Ф0. (4.114) п=о
Легко видеть, что вытекающее из (4.114) соотношение
Ф/И-1 = ККпФо = КФ/1	(4.115)
равносильно соотношению] (4.107) и разложение по столкновениям получается как следствие разложения в ряд оператора в формуле
120	•	’
Легко разложить по столкновениям и сопряженную функцию Ф+ (х), при этом
Ф+ (х) = Фо+ (х) + Ф? (х) Ф£ (х) + ...,	(4.116)
где
Фо+ (г, Й, £) =Jdgexp [—т(г, г', E)]D (г', й, £), о
г' = г + gfi,	(4.117)
и
ф£н (г, й, Е) = f с/Вехр [—т (г, г', £)] _[ d£l' J dE’ х
Х28(й->й', Е-+Е')Ф%(г', Й', £').	(4.118)
Очевиден физический смысл отдельных слагаемых в формуле (4.116): Ф„ (х)—средний вклад в показание детектора (/г + 1)-го столкновения частицы, начинающей движение из точки х фазового пространства (или средний вклад очередного столкновения частицы, испытавшей до этого п рассеяний).
,§ 4.9. Поле вблизи точечного источника
Рассмотрим угловое распределение частиц на малом расстоянии от точечного изотропного источника,- помещенного в однородную среду с изотропным рассеянием. Ограничившись приближением постоянных сечений, перепишем формулу (4.107) в виде
Фп+1 (г, Й) = Jl dgexp (—SB) f dQ'Ss (Й' Q) X
хФп(г--&й, Q');	(4.119)
Ф0 (г, Й) = fexp (—SB)S(r — Вй, O)d|.	(4.120)
о
Совместим начало координат, с источником. Вследствие очевидной симметрии плотность потока будет зависеть лишь от расстояния до источника г и угла ф между радиус-вектором г и вектором: направления й. Плотность источников, стоящую в правой части выражения (4.120), можно привести к виду
S (г, — ВЙ, Й) = (1/4л) 6 (г — ВО) = [6 (г — В)/4лг2] х
X 6 (1—созф)/2л.	(4.121)
121
Подставив (4.121) в (4.120) и проинтегрировав, получим плотность потока нерассеянных частиц
Фо (Л $ = [6(1 — COS ф)/8л2г2] ехр (—Sr).	(4.122)
Множитель (1/2л) 6 (1 — cos'-ф) указывает на то, что в каждой точке пространства нерассеянные частицы летят в стро-
го определенном направлении, совпадающем с направлением радиус-вектора, проведенного в эту точку. Экспонента учитывает убывание
плотности потока этих частиц из-за поглощения и рассеяния.. Множитель 1/4№ описывает геометрическое ослабление плотности потока, которое имеет 'место и в отсутствие взаимодействий (S = 0).
Интегрирование (4.122) по направлениям дает Ф0(г) = (1/4лГа) ехр (—Sr). Сравнивая найденное выражение с результатом,
Рис. 4.1. К расчету поля излучения вблизи точечного источника
полученным в §3.6, видим, что на малых расстояниях от точечного источника диффузионное приближение действительно непригодно.
. Подставляя (4.122),и Ss (й' й) = 28/4л в выражение (4.119) при п =0, получаем плотность потока однократно
рассеянных частиц:
ОО
Фх (г, ф) = (Ss/16n2) f ехр [- S(t + r')I (r')~2^; (4.123) 0
r' =|r- £Q|.
Верхний предел этого несобственного интеграла заменим величиной г, которую после интегрирования устремим к бесконечности. Перейдем к новой переменнойф' (рис. 4.1). Из теоремы синусов следует, что
г' = г sin ф/sin ф';	£ = г sin (ф' — ф)/этф'; =
= г (sin ф/в1паф') Жр'.	(4.124)
122
Подставляя (4.124) в (4,123), получаем
ехр ( —S г cos^) р {	„ .	, ф'\
X-----ДлТ*---- j ехр -Srsii^tg—Up, (4.125)
I ыи и;	v	\	£» / -
ф	‘
где	'
Фо = Ф' О « л — г (sin4f>)/g0-	(4.126)
На малом расстоянии от источника подынтегральную экспоненту можно разложить в ряд, ограничившись двумя членами. Интегрирование этих членов дает ф0—Ф+ + 22г sin ф • In [cos (ф0/2)/соз (ф/2)]. После подстановки сюда выражения (4.126) получаем
Фо — Ф + sinф • In [г3 (1 — cos ф)] — Srsin ф X
X (2 In Н- In 2).
Пренебрегая последним слагаемым, быстрее других стремящимся к нулю при г-> 0, и устремляя затем to к бесконечности, для однократно рассеянных частиц находим
Ф1 (г, ф) = -----—— ехр (—S г cos ф). +
• 1V (4л)агшпф г
1п [г2'(1—созф)]ехр(—2гсоэф). (4.127)
Отметим, что по мере .приближения к источнику первый' член в (4.127) становится преобладающим.
Для расчета двукратно рассеянных часуиц подставим в (4.119) основной член выражения (4.127), положив в нем ехр (—2Д cos ф') « 1. Интегрируя по углу, получаем ф (г, ф) = (S*/64) f ехр (—SB) d£/r'. Используя форму-ft 
лы (4.124) и разлагая экспоненту в ряд, а также пренебрегая членами, не имеющими особенностей (которые при г->0 не стремятся к бесконечности), находим для (Двукратно рассеянных частиц, что Ф2 (г, ф) = — (2?/64) (1 — — Sr cos ф) In [г (1 —>со8ф)1. Поскольку г мало, это выражение можно переписать в эквивалентном виде
фа (г, ф) = —(2f/64) ехр (—Sr cos ф) In [г (1 — соэф)]. .
(4.128)
123
Сравнение (4.122), (4.127) и (4.128) показывает, что при г-+- 0	т. е. на малом расстоянии от источ-
ника разложение по порядкам рассеяния сходится очень быстро. Это обстоятельство часто используется для уточнения результатов, полученных другими приближенными методами [76].
§ 4.10. Особенность сопряженной функции в ,случае точечного детектора
Точечные детекторы составляют важный класс детекторов, широко используемых в теории переноса частиц для описания пространственного распределения поля излучения или связанных с ним характеристик: плотности поглощенной энергии, плотности реакций определенного типа и т. п. Сопряженная функция в случае точечного детектора обладает особенностями, аналогичными особенностям функции плотности потока от точечного источника, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
Пусть в начале координат находится точечный изотропный детектор, функция чувствительности которого
D (г, Й, Е) = D (Е) 6 (г),	(4.129)
где D (Е) — спектральная чувствительность детектора, равная 1, если детектор измеряет полную плотность потока частиц, Е — если измеряется интенсивность излучения, и т. д. Подставляя (4.129) в нулевой член (4.117) разложения сопряженной функции по столкновениям, получаем
Фо+ (г, Й, Е)=Е» (Е) f ехр [—г(г, г +£й, Е)] 6 (г |Й) dt
(4.130)
Представив 6-функцию в правой части этого равенства в виде
6 (г + |Й) = [6 (г - g)/g2] 6 (й + г/г) =
= [б (г — £)/£2] 6 (1 — cos ф)/2л,	(4.131)
где ф. = arccos (—йг/г) — угол между направлением движения частицы й и направлением на детектор —г/г из точки г, проведем интегрирование по переменной
Фо (г, й, Е) = LD (Е)/2лг2] 6 (1 — cos ф) х
X ехр [—т (г, 0, Е)].	.	(4.132)
124
Отметим, что наряду с экспонентой, учитывающей ослабление потока частиц в результате взаимодействия их со средой, й спектральной чувствительностью, Дописывающей взаимодействие частиц с детектором, в формулу (4.132) входят множители г~а и 6 (1 —созф), обусловленные геометрическими факторами. Как и в случае дифференциальной плотности потока (§ 4.9), они определяют главную особенность сопряженной функции (при г->0 иф->0) и порождают более слабые особенности в следующих членах разложения ФУ (г, й, Б) и ФУ (г, й, £).
Ограничимся рассмотрением только члена ФУ (г, й, £). Положив в формуле (4.118) п = 0 и подставив в нее (4.132) с учетом (4.131), получим
ФУ (г, Й, Д) dgexp [—т (г, г', £)] j1 dQ' J dE' X
Х2,(г', Й->Й', Е ->Е') [D (£')/г'а] 6 (Q' + г'/r') X
X ехр [—т(г', 0, £')].	(4.133)
Считая, как обычно, что дифференциальное сечение азимутально-симметрично, и введя обозначение ф' —
= arccos (—Йг7г'), выполним в (4.133) интегрирование по й':
ФУ (г, Й, £) = У бДехр [——т (г, г', £)] J dE' х о
X 2S (г', созф',£-^Е') [Р (£')/№] ехр [—т[(г',0,Б')1. (4.134)
Из теоремы синусов (4.124) следует, что
dtjr'* = dty4r sin ф.	1 (4.135)
Последнее соотношение и определяет главную особенность ФУ (г, й, Е). Действительно, подставляя (4.135) в (4.134), получаем	'
Фо в '
ФУ (г, й, Е) = (1/г sin ф) f dty'\dE'2s (г/, созф', Е -э-Е') X Ф о
X D (£') ехр [—т (г, г', Е) — т (г', 0, £')],	(4.136)
откуда следует, что ФУ (г, й, Е) имеет особенность, типа [г sin ф]-1 при г sin ф 0, аналогичную особенности дифференциальной плотности потока однократно рассеянных частиц от точечного изотропного источника [47, 91].
125
Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (4.136). Пусть детектор находится в однородной среде на достаточно большом расстоянии от источника и от внешней границы. Вводя цилиндрические координаты z = г cos ф; р = г sin ф и учитывая, что при указанных выше условиях т (г, г', Е) + т (г', О, Е') = 3 (Е) z — 2 (Е) р ctgф' + + 2 (Е') р cosec ф', ф « p/z и ф0 — л, перепишем формулу (4.136) в виде
Ф}’ (г, Q, , Е) — р-1 ехр [—2 (Е) z] J йф' J dE' х p/z ч о
X 2в (созф',Е Е') D (Е') = (2лр)-1ехр [-2 (Е) z] х
X D (Е) BD (p/z, л, Е),	(4.137)
где
р Е
BD(a, ₽, Е) = [2л/Е> (Е)] J </ф' fdE' X а О
X 2S (соэф', Е-> E'j D (Е')	(4.138)
— коэффициент, определяемый только дифференциальным сечением рассеяния и спектральной чувствительностью детектора.
Если детектор расположен на плоской границе раздела двух сред, перпендикулярной О, причем в области, где находится источник, сечения равны 2<1) (Е) и 2£х) (cos ф, Е->Е'), а в другой области — 2<2> (Е) и 2S<2) (cos ф, Е ~>Е'), то формула (4.136) принимает вид
ФГ (г, Q, Е) = (2лр)~х ехр [— 2W (Е) z] D (Е) X
X [sy> л/2, Е) + ВЬ2\.(л/2, л, Е)].	(4.139)
На границе с вакуумом ВЬ2) = 0 и
Ф]- (г, О, Е) = (2лр)-1ехр [—2 (Е) z] D (Е) х
X BD (p/z, л/2, Е).	(4.140)
Формулы (4.137) и (4.140) можно объединить, обозначив Фт угол равный л, если детектор находится в однородной среде, и л/2, если он находится на границе с вакуумом; Тогда
pt (г, Q, Е) = (2лр)-1ехр [-2 (Е) z] D (Е) х
,	- ХЗд(р7г, фт, Е).	(4.141)
126
Если в рассматриваемой области изменения переменной р функция ED (p/z, фщ, Е) меняется незначительно, ее можно заменить предельным значением при р/2 = 0: Of (r,Q,E) w (2лр)-1ехр [—2(Е')2]£)(Е')5о(0,фт,Е'). (4.142) Параметр ED (0, фт, Е), имеющий размерность см-1, характеризует скорость убывания потока рассеянного излучения в радиальном направлении в - непосредственной близости от первичного луча.
Коэффициенты SE для различных веществ и детектора, измеряющего интенсивность у-излучения, приведены
Таблица 4.1
Коэффициент В£ (0, л/2, Е)/р, смЗ/г
В, МэВ	Комптоновский рассеиватель с2/А=1/2	С	AI	Fe	Sn	РЬ
0,01	0,175	0,513	1,16	2,41	4,46	7,52
0,02	0,172	0,356	0,753	1,47	2,87	5,01
0,03	0,169	0,289	0,566	1,13	2,16	3,76
0,04	0,166	0,265	0,473	0,906	1,70	2,77
0,05	0,164	0,241	0,409	0,763	1,41	2,49
0,06	0,162	0,224 '	0,366	0,664	1,23	2,09’
0,08	0,157	0,207	0,313	0,536	0,960	1,60
0,10	0,153	0,192	0,280	0,456	0,790	1,37
0,20	0,137	0,156	0,198	0,285	0,449	0,738
0,30	0,125	0,137	0,164	0,221	0,331	0,521
0,40	0,116	0,125	0,145 -	',187	0,265	0,407
0,50	0,109	0,117 -	0,131	0,164	0,228	0,332
0,60	0,102	0,110	0,120	0,147	0,199	0,292
0,80	0,0928	0,0973	0,106	0,125	0,162	0,231
1,00	0,0855	0,0894	0,0957	0,111	0,140 .	0,191
2,00	0,0645	0,0679	0,069g	0,0760	0,0893	0,115
3,00	0,0500	0,0558	0,0570	0,0613	0,0695	0,0871
4,00	0,0472	0,0491	0,0493	0,0529	0,0584	0,0715
5,00	0,0425	9,0443	0,0442	0,0470	0,0516	0,0600
6,00	0,0389	0,0408	0,0405	0,0426	0,0462	0,0548
8Щ0	0,0339	0,0357	0,0353	0,0367	0,0389	0,0453'
10,00	0,0304	• 0,0322-	0,0313	0,0326	0,0345	0,0384
12,00	0,0216	0,0226	0,0222	0,0226	0,0230	' 0,0250
30,00	0,0177	0,0186	0,0183	0,0182	0,0183	0,0198
40,00 •	0,0153	0,0162	0,0156	0,0155	0,0156	0,0164
50,00	0,0128	0,0142	0,0139	0,0139	0,0138	0,0146
60,00	0,0125	0,0130	0,0128	0,0126	0,0125	0,0131
80,00	0,0109	. 0,0113	0,0111	0,0109	0,0106	0,0109
100,00	0,00971	0,0102	0,00997	0,00966	0,00039	0,00967
127
в табл. 4.1. Они вычислены с учетом когерентного рассеяния и поправки к некогерентному рассеянию, обусловленной влиянием связи электронов с атомным'ядром [25, с. 77]. Для расчета когерентного рассеяния использовали значения атомных форм-факторов, приведенные в [117]. Сравнение полученных коэффициентов S с результатами, найденными без учета этих эффектов (с использованием только сечения Клейна—Нишины—Тамма) показывает, что влияние когерентного рассеяния на поле излучения вблизи первичного луча существенно даже в веществах с небольшим атомным номером.
§ 4.11. Особенности распространения коллимированных пучков частиц
Рассмотренные выше особенности сопряженной функции можно использовать для приближенного описания поля рассеянного излучения коллимированных источников в окрестности первичного пучка [38, 47].
Пусть коллимированный пучок частиц падает на плоский слой поглотителя перпендикулярно его поверхности 2 = 0. Тогда показания точечного детектора можно представить в виде
J = Ист (х, у) Ф+ (х, у, 0, Qo, Ео) dxdy =
= И о- (х, у) (х, у, О, Йо, До) dxdy +
+ И0, (*, У) (х> У, °, Яо» Ео) dxdy + .... ’	(4.143)
где
ст(х, у) = Ф0%(х, у);	(4.144)
Фо —: плотность потока излучения, падающего на поглотитель; % (х, у) — характеристическая функция, равная 1, если точка с координатами (х, у) приходится на окно коллиматора, и 0 — в противном случае. Так, для цилиндрического коллиматора радиусом а~
, х ( 1, х2 + у2 < сга;
% (*. У) = (о, х2 4- у2>сг2;
а для щелевого коллиматора полушириной а
, . .	(1, | х | < а\
*	= (О, |х| >а.
128	'
(4.145)
(4.146)
При малом значении а в разложении (4.143) главную роль играют первый, и второй члены, содержащие основные особенности сопряженной функции, поэтому высшими членами разложения можно пренебречь.
Обозначим £, г], z координаты точки наблюдения, тогда
ФЙ- (х, у, О, Qo, Во) = ехр [—3 (Во) z] D (Во) 6 (р)/2лр;
(4.147) •
ФГ (х, у, О, О0, Во) ж ехр [-3 (B0)z]D (B0)So (В0)/2лр; 1 р = У(х - ф + (У - л)2;. Во (Во) sD (0, фт, Во). J (4.148)
Подставляя (4.147), (4.148) в (4.143), при малых а получаем
J = Jo 1% (£, 11) + Sd (Во) ff % (х, у) dxdy/2np], (4.149)
, где Jo — Фоехр [—3 (Во) z] D (Ео') — вклад нерассеян-нбго излучения. Очевидно, первое слагаемое, описывающее нерассеянное излучение,' имеет разрывный характер, а второе соответствует непрерывному распределению рассеянного излучения. Интересно отметить, что соотношение между рассеянной и нерассеянной компонентами при малых а не зависит от г, а определяется лишь коэффициентом Sp (Во) и формой коллиматора. Интеграл
Ф (£, Л) = И % (*> У) dxdy/V(х — £)а + (у — л)2 (4.150)
совпадает по форме с электростатическим потенциалом в плоскости, на которой распределен заряд с поверхностной плотностью % (х, у).
Подставим (4.145) в (4.150) и перейдем к новым переменным г, г' и О по формулам х = г'cos О; у = г' sin О’; г = V£a + л2- Тогда для цилиндрического коллиматора радиусом а
ф (г). = J Г г'dr'dO’/Vra+r'a—2/т' cos О'. 0 0
Интегрирование по г' дает	/
ср (г) = 2 J [у га + а2, — 2ra cos 0' — г +
+ Г COS 0111 —-------Г(1-созО) ------d®"
‘ 5 Зак. 1717	I29
Вводя переменную = (л — $)/2 и интегрируя по частям член, содержащий логарифм, получаем
<р (г) = 2 [(« + г) Е (k) -j- (а — г) К (k)]-, k = $VraJ(r + а),
(4.161) где
К (k) =7ж/У1 — k2 sin2/!';
0
Я / 2 ___________
Е (fc) = j Vl — k2 sin2 fl W	(4.162)
о
полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.
На оси цилиндрического коллиматора при k = О Е (0) = К (0) — л/2 и функция  (4.151) принимает’ максимальное значение <р (0) = 2па, т. е. J (0) = = Jo [1 Ed (Ев) а]. Следовательно, фактор накопления на оси тонкого пучка при z^> а не зависит от глубины z:
В =J (O)/Jo = 1 + Ed (£о) а .	(4.153)
и стремится К 1 при SD (Ео) а-\ 0. Это означает, что даже на большой глубине при
(4.164) доля рассеянного излучения в области прохождения тонкого пучка пренебрежимо мала. Если же условие '(4.154) не выполняется, фактор накопления быстро возрастает с глубиной (при достаточно больших а он приближается к фактору накопления в условиях плоско-параллельной геометрии) [80, с. 152].
Подставляя (4.146) в (4.150), легко убедиться, что интеграл (4.150) для . щелевого коллиматора бесконечен. Это связано с тем, что формула (4.148) правильно описывает поведение потока излучения только при малых р. При большие р поток убывает'быстрее, чем 1/р. Этот факт Можно учесть, умножив '(4.148) на ехр (—p/R), где 7? — константа, численное значение которой можно найти только при точном расчете. Такой множитель не меняет вида функции Ф+ при малых р и уточняет ее поведение в области больших р. В этом приближении
Ф (х) = 2 ^dx'Jdy' (1/р) ехр (—p/R),
—а 0
р = У(х' — х)2 + у'2.
130
Переходя от интегрирования по у' к интегрированию по р, получаем
ср(х) = 2 dx’ § dp ехр (—р/К) / ]/р2 — (К — х)а . — а	|х'—х|
Интеграл по переменной р с помощью замены переменных р' = р — \х’ — х| сводится к табличному:
00
§ ехр(—рх} dx/Ух (х-|- а)—ехр (ар/2) Ко (ар/2), а>0, р>0, о .	.
где Ко — модифицированная функция Ганкеля [23, с, 330]. Заменяя функцию Ко ее асимптотическим выражением Ко (х) & —In (хС/2) (х < 1, С — постоянная Эйлера) и интегрируя по х, получаем-
гр (х) =2 {2а + (х — a) In [С | х — а | /2—
— (х 4- а) In [С (х 4- а)/27?].
§ 4.12. Теория малых возмущений
Расчет поля излучения в неоднородной среде обычно более труден, чем в однородной. Однако, если среда мало отличается от однородной (точнее, возмущение поля излучения, вносимое неоднородностью, мало), для решения этой задачи можно использовать теорию возмущений. Первое приближение теории возмущений (теория малых возмущений [7, с. 215; 13, с. 496; 65; 93]) позволяет найти поле излучения в неоднородной среде по известным для однородной среды дифференциальной плотности потока и сопряженной функции.
Пусть требуется найти показания детектора, определяемые функционалом
К = (Ф', D) = (Ф+', S)	(4.155)
от решения уравнений переноса для неоднородной среды
L/Ф' = S; £+'Ф+' = £>,	(4.156)
если решения соответствующих уравнений для однородной среды
ЬФ = S; 1>Ф+ — D	(4.157)
5*	131
известны. Запишем сечения для возмущенной среды 2' и 2S' в виде:
2' (г, £) = 2 (£) + AS (г, £);
2S'(г, Й->Й', Е^-Е') = Ss (Й-> й'; Е Е'^ +
•+ASs(r, Й->Й', Е-+Е'),	' (4.158)
где 2 и 2S —сечения для невозмущенной среды, a AS и ASs — возмущения сечений. Подставляя (4.158) в возмущенный , оператор L' =QV +	(г, Е) — )с/й' $clE' X
xSs'(r,j й'->й,	представим его в виде
V = L + AL, .	(4.159)
где L — невозмущенный оператор переноса, a AL — оператор возмущения-.
AL = AS (г, Е) — {dQ'p/£'ASs (г, й' й, Е'-+Е).
(4.160)
Представим искомый функционал J' как сумму невозмущенного значения J и возмущения :
У'=Л-ЛД	(4.161)
где величина J связана с известными решениями невозмущенных уравнений:
У = (Ф, £)) = (Ф+, S).	(4.162)
Для вычисления J' достаточно найти ДУ. Для этого подставим (4.159) в первое из уравнений (4.156) и умножим его (скалярно) на Ф+, а второе из уравнений (4.157) умножим наФ':
(Ф+, S) = (Ф+, АЬФ') + (Ф+ ЬФ'); (Ф', Ь) «
= (Ф', 1+Ф+).	(4.163)
Согласно (4.155) и (4.162), полученные выражения равны невозмущенному и возмущенному значениям функционала соответственно. Вычитая из второго первое и учитывая свойство сопряженных операторов (4.8), приходим к формуле
ДУ=—(ф+, ДЬФ'),	(4.164)
которая является точным выражением разности показаний детектора в двух сравниваемых задачах; она включает в себя сведения о возмущении свойств среды, возмущенной плотности потока и невозмущенной сопряженной функции. 132
Еслг-г подставить ~L — L'—AL в первое уравнение (4.157) и умножить его скал ярко на Ф+', а второе уравнение (4.156) умножить на Ф, после аналогичных преобразований получим '
AJ = — (Ф+', ДЬФ).	(4.165)
Наконец, используя свойство, сопряженных операторов, получим еще две формы записи АЛ
AJ = — (Ф', АЬ+Ф+) и AJ = —- (Ф, Д1+Ф+'). (4.166)
Поскольку каждая из них включает в себя решение возмущенной задачи (которое неизвестно), ни одну из этих формул нельзя использовать для точного определения АЛ
Допустим теперь, что возмущения плотности потока
АФ = Ф' — Ф	(4.167)
и сопряженной функции
Дф+ = ф+' — ф+,	(4.168)
обусловленные возмущениями сечений, достаточно малы. Находя из (4.167), (4.168) Ф' и Ф+\ подставляя их в формулы (4.164) — (4.166) и пренебрегая слагаемыми, содержащими АЬАФ, А1+ДФ+ и т. д,, получаем, что четыре формулы для разности функционалов переходят в две формулы теории малых возмущений’.
= — (Ф+, AL Ф); AJ = — (Ф, А1+Ф+). (4.169)
Формулы (4.169) содержат только, решения невозмущенных уравнений (4.157) и могут быть использованы для приближенного вычисления возмущения показаний детектора АЛ Используя (4.162) и (4.169), формулу (4.161) можно переписать в виде J' = (Ф+, S — АЬФ)' = (Ф, D — АЬФ+), из которого следует, что рассматриваемая неоднородность эквивалентна появлению в однородной среде дополнительного источника с функцией плотности
AS = — AL Ф	(4.170)
или дополнительного детектора с функцией чувствительности
AD = — А1+Ф+. ,	(4.171)
133
Для краткости будем называть эти источник и детектор эквивалентными.	. ,
Выясним физический смысл эквивалентного источника.
Для этого умножим его плотность
AS (г, Й, Е) = - А2 (г, Д) Ф (г, Й, В) + 4-Jdfi'WASs (г, Й'Й, Е' -> В) Ф (г, Й', Д') (4.172) на элементарный объем AV, имеющий вид цилиндра с основанием As, высотой АЛ и осью параллельной й. Тогда в соответствии с определением дифференциальной плотности потока (§ 1.3) величина А2ФА7 =2' (г, Д) АЛ Ф (г, Й,.Д) As — — 2 (г, Д) АЛ Ф (г, й, Д) As равна изменению числа частиц, испытавших столкновение на пути АЛ в объеме АК Эта же величина, взятая с обратным знаком: —А2ФАУ = [1 — 2' (г, Д) Ш Ф (г, Й, Д) As — [1 — —2 (г, В) АЛ] Ф (г, Й, В) As, равна изменению числа частиц, прошедших путь АЛ без столкновений. Интегральный член определяет разницу в числе частиц, рождающихся в объеме AV в результате столкновений. Таким образом, ASAV описывает обусловленный изменением сечения взаимодействия избыток частиц с энергией В и направлением движения й, вылетающих из объема АТ. Поскольку средний вклад каждой такой частицы в показания детектора равен Ф+ (г, Й, В), соответствующее изменение его показаний'запишется в виде интеграла
AJ = Ш ф+ (г,-Й, В) AS (г, Й, В) drdQdE =
= jИФ+ (г, Й, В) [ - А2 (г, В) Ф (г, й, В) +
+SdQ'$dE'А2s (г, fi' -> Й, Д' Д )Ф (г, Й', Д')] dtd&dE,
(4.173)
представляющего собой развернутую запись выражения (4.169). Видно, что в первом приближении возмущения показаний детектора, обусловленные изменением сечений в различных-областях среды, аддитивны. В общем случае, _ как. показывает формула (4.164), изменение сечений в некоторой области возмущает поток во всем пространстве и, если этим возмущением не пренебрегать, закон простого сложения возмущений не имеет места.
134
В частных случаях формулу (4.173) можно упростить. Так, в плоско-параллельной геометрии из пространственных перем'еиных остается только одна, и формула (4.173) имеет вид
AJ = Щф+ (z, Q, Е) [-Д2 (г, Е) Ф (z, Q, Я) +
+ JdE'^Zs (z, £3' -> Q, Е' -> Я) X
ХФ (z, О', E')]dzd£3dE.	(4.174)
»
§ 4.13.	Возмущение поля излучения неоднородностью в плоском слое
Рассмотрим плоский слой вещества толщиной Н, на левой границе которого (z = 0) находится плоский источник с функцией плотности
S (г, О, Е) = 6 (z) о (£3, Е), а на правой (г = Я) — точечный детектор с функцией чувствительности
D (г, й, Е) = 6 (х — х0) 6 (г/ — г/0) 6 (z — Я) D' (Q, Я).
Если слой однороден, то дифференциальная, плотность потока и, следовательно, показания точечного детектора не зависят от его координат х0 и уа, а зависят лишь от толщины слоя: J = J (Д').
Предполагая зависимость J (Д) известной для слоя с постоянной плотностью р, рассмотрим слой того же вещества с переменной плотностью р' (г). В этом случае показания детектора будут зависеть от всех пространственных переменных: J' = J' (х0, yQ, ЕГ). Выбирая в качестве невозмущенной среды' соответствующий однородный слой, будем называть величину Др (г) = р' (г) — р возмущением плотности среды, величину Д7 (х0, г/0, Я) = J' (xD, t/0, Я) — — J (Я) — возмущением поля излучения, а интеграл
 Д7 (Я)	(*о> Уо, Я) dxodyo (4.175)
— суммарным возмущением поля излучения в плоскости z=H. Видно, что в данном случае
Д'2 (г, Я) = [Др (г)/р] 2 (Я); . ,
Д28 (г, й-э-й',Я->Я') = [Др (r)/p] 2S (Й->Й', Я^Я'),
(4.176)
где 2 (Я) и 2S (Й->Й', Я-> Я') — сечения взаимодействия для однородного слоя.
135
Выразим невозмущенную сопряженную функцию через функцию Грина и подставим ее вместе с (4,176) в формулу из теории малых возмущений (4. 173):
AJ (х0, у0, Н) [dQ'$dE'G+ (г, Я, Е; х0, у0> Н, Я', Е') х X Е'(Я', Е')] [Др (г) /р] [ — S (Е) ф (г,.Я, Е) +
.+ $dQ'$dE'Zs (Я' Я, Е' Е) X 
X Ф (г, fl', E!)]drdQdE.	(4.177)
Используя, далее, теорему взаимности (§ 4.2) и симметрию плоского однородного слоя (§ 4.3), находим, что
G+ (г, Я, Е; х0, у0, Н, Я', Е') =
= G+ (х - х0, у - у0> Z, Я, Е; О, О, Н, Я', Е').	(4.178)
Подставляя (4.178) в (4.177) и интегрируя в соответствии ' с (4.175) по координатам х0 и у0 детектора, получаем
Д/ (Я) = ЩФ+ (z, Я, Е) [(1/р)Лдр (Г) dxdy] [-3 (Е) х
' хФ(2, Я, E)-Hdfi'.fdE'Ss (Я'->Я, Е'-»Е)Х
хФ(г, Я','Е')ШЯ4Е,	(4.179)
где	/
' Ф+ (z, Q,E) =
=JWG+ &	2, Я, Е; О, О, Н, Я', Е') d&lx\\х
X D'(Q', Е') dzdQ'dE'.	(4.180)
Внутренний интеграл в последнем выражении равен сопряженной функции Грина'в плоской задаче; следовательно, выражение (4480) представляет собой сопряженную функцию для плоского детектора с функцией чувствительности
D (г, Я, Е) = б (г — Я) D' (Я, Е),
Сравнивая (4.179) с (4.174) и учитывая (4.176), видим, - что задача о вычислении суммарного возмущения свелась к расчету возмущения показаний детектора в плоскопараллельной геометрии, обусловленного возмущением плотности
Др .Xz)	И ДР (г) dxdy-	(4.181)
136	'
Как и']в‘|§ 4.7, можно показать, что .изменение плотности Ар (г) в ‘плоско-параллельной задаче эквивалентно изменению толщины однородного слоя на'
н
АЯ =* (1/р) f Ар (г) dz.	(4.182)
о
Следовательно, формулу (4.179) можно представить в виде
А/ (Я) = J (Н + АЯ) — J (Я).	(4.183)
Подставляя в левую часть этого выражения формулу (4.175), а в правую — (4.181), (4.182) и разлагая J (Я-ф-ДЯ) в ряд по АЯ, получаем равенство
И А/ (х0> Уъ, Н) dxodyo = (l/p)№p (г) dr dJ (Я) IdH, (4.184) показывающее, что в первом приближении теории возмущений суммарное возмущение поля излучения выражается через производную от показаний детектора по толщине однородного слоя [41]. Аналогичный результат получается й для суммарного возмущения отраженного излучения.
Отметим интересную особенность формулы (4.184). Когда детектор измеряет прошедшее через слой излучение, зависимость J (Я) часто имеет вид кривой с максимумом. Из (4.184) видно, что при толщине слоя,, соответствующей максимуму J (Я), суммарное возмущение равно нулю, т. е. AJ (х0, у0, Н) — знакопеременная функция.
§ 4.14. Изображение дефектов малых размеров
Одним из технических применений рентгеновского и у-излучений является радиационная дефектоскопия — просвечивание материалов и изделий в целях обнаружения различного рода дефектов (неоднородностей, пустот, включений и др.). Появление дефекта (например, полости или включения малого объема А У) приводит к изменению поля излучения, пространственное распределение которого («изображение дефекта») несёт информацию о размерах дефекта, его форме и положении. Поскольку минимальные размеры выявляемых дефектов, как правило, очень малы (по сравнению со средней’ длиной свободного пробега квантов), для анализа изображения дефекта удобно воспользоваться теорией малых возмущений [43, 48].
137
Представим плотность потока излучения в виде суммы нерассеянной и рассеянной компонент:
Ф = Фо + Ф8,	(4.185)
а оператор возмущения (4.160) в виде
AL = АЗ — AKS,	(4.186)
где ДК-s = j’dfl'jcLE'ASs (г, Я'->-Я, Е' Е). Подставим (4.185), (4.186) в формулу для эквивалентного источника (4.Д70) : AS = — Д2Ф0 — АЗФЯ + ДК8Ф0 + ДК8Ф8. Нетрудно видеть, что первое слагаемое в этой сумме описывает, направленную компоненту эквивалентного источника, а все остальные — компоненты с непрерывным угловым распределением: AS = AS0 + AS'; AS0 = = — АЗФ0; AS' = — Д2Фв+ АК8Ф0 + ДКвФ8.
Относительный вклад компонент AS0 и AS', в изображение дефекта зависит от расстояния между дефектом и точкой наблюдения. Если это расстояние невелико, основным будет вклад компоненты AS', так как поле точечного источника с непрерывным угловым распределением на малом расстоянии Е ведет себя как Е~2- На большом расстоянии основным будет вклад направленной компоненты AS0, поле которой в данном 'направлении убывает медленнее, чем поле остальных компонент.
Ограничившись рассмотрением последнего. случая,, запишем выражение для эквивалентного источника в следующем виде:
AS (г, Я, Е) & AS0 (г, Я, Е) =-•
= — АЗ (Ео) ехр [ — 5 (Ео) z] 6 (Я - Яо) 6 (Е - Ео)% (г),
(4.187)
где Ео — энергия первичных частиц; % (г) — характеристическая функция дефекта, равная 1 в его объеме, и 0 вне объема дефекта (первичный'поток предполагается* мононаправ-ленным и моноэнергетическим). Подставим (4.187) в (4.173) и, пренебрегая изменением функций ехр (—5 (Ео) г) и Ф+(г, Я, Е) при изменении z в объеме дефекта, получим
AJ = tfh(x, у) Ф+ (х, у, za, Яо, Ео) х Х[ — AS (Eq) ехр (—2 (Ео) z0)] dxdy,
138
где h (х, у) = j % (х,у, z)dz-~ длина дефекта вдоль прямой, параллельной оси Ог и пересекающей плоскость z — =0 в точке с координатами (х, у); z0 — глубина залегания дефекта. Следуя § 4.11, находим, что
А/ (^, П, *) = - AS (Ео) ехр [-S (Яо) z] D (Яо) [h +
+ (1/2 л)Зл (Яо) <рЛ (g, <
где
<Pft (S, Л) = И h (х, у) dxdyfV(x- ^ + (у-< (4.188)
Из полученной формулы видно, что изображение дефекта состоит из двух частей. Первая часть, пропорциональная h (£, т])> точно воспроизводит проекцию дефекта .на плоскость изображения, вторая, связанная с h (|, ц) более сложным соотношением (4.188), описывает нечеткую («размытую») компоненту изображения, обусловленную рассеянным излучением. Отношение 'этих компонент определяется коэффициентом So (Яо) и размерами дефекта. В частности, в центре изображения цилиндрического дефекта высотой h = const и радиусом а _
А/ (0, 0, z) = — (Яо) ехр [—2(Я0) z] D (Яо) U +
4-Вд(Я0)а].	(4.189)
Здесь четкая компонента пропорциональна высоте дефекта, а размытая — площади его боковой поверхности. С уменьшением поперечных размеров дефекта вклад рассеянного излучения в его изображение уменьшается, и при а<^
В51 (Яо) (см. табл. 4.1) формула (4.189) переходит в обычно используемое в дефектоскопии выражение
AJ = — h AS (Яо) ехр [ -- S (Яо) г] D (Яо). (4.190)
§ 4.15. Прохождениеу-излучения через двухслойный барьер
В работе с рентгеновским и у-изл.учениями часто-используют различного рода фильтры и экраны — тонкие слои вещества, изменяющие поток излучения, который падает на основной поглотитель или проходит через него (это делают, например, для улучшения выявляемое™ дефектов в радиационной дефектоскопии).
Рассмотрим прохождение через плоский неоднородный барьер толщиной Н ^-излучения от плоского источника с
139
функцией плотности S (г, Й,4Е) =6 (г) S' (Й, Е). Кинетическое уравнение для этой задачи имеет вид
cos ф ЭФ(г^й’^ + s (2> £) ф (2, й, Е) -
- №fi',fdE'S8 (г, Й'->Й, Е'->Е) Ф (2, О', Е') =
= 6(2)5'(Й,Е),0<г<Я.	(4.191)
В случае комптоновского рассеяния
2а (2, Й' -> Й, Е' -> Е) = n(2) <т8 (Й' -> Й, Е' -> Е), (4.192) где п (г) — электронная плотность барьера, a os — дифференциальное сечение рассеяния на одном электроне; не зависящее от атомного номера поглотителя. Подставим (4.192) в (4.191) и разделим обе части уравнения на п (г): cos fl [<ЭФ (2, Й, Е)/п (2) dz] + ст (2, Е) Ф (2, Й, Е) —
— У d£i' j dE'as (Й' -> Й, Е' -> Е) Ф (г, Й', Е') =
= [6 (2)/n(2)] S' (Й, Е),	(4.193)
где о (2, Е) ~ 2 (г, Е)/п (г). Сделаем в уравнении (4.193) замену переменных, аналогичную (4.100):
t = У п (2') dz',	(4.194)
о
т. е. будем характеризовать расстояние от источника до точки наблюдения числом электронов, приходящихся на 1 см2. Учитывая, что [i/n(z)]d/dz = dldt\ 6 [2(7)] In (г) = = 6 (/), и сохраняя прежнее обозначение дифференциальной плотности потока Ф [z (t), Й, Е]^Ф (/, Й, Е), получаем
cos fl [5Ф (/, Й, E)/dt] + ст (/, Е) Ф (/, Й, Е) —
— У сШ' ydE4 (Й' -> Й, Е' -> Е) Ф (/, й', Е') =
= 6 (Z) 8' (Й, Е),	(4.195)
где
н
ст (t, Е) = о [2 (i), Е], 0 < t < 7; Т = f п (z) dz. (4.196) b
Рассмотрим теперь однородный слой с соответствующими характеристиками 20 (Е), п, <з0 (Е) и Но, причем толщину Но выберем так, чтобы в результате преобразования (4.194)
140
получилось то же значение «приведенной» толщины (4.196): и.	н
f nodz — j п (z) dz, т. е.
о	о
я	.
Но = по1 [ п (z) dz.	(4.197)
'°
Кинетическое уравнение для этой задачи приводится к виду
cos & [3 Фо (t, ft, E)/dt] + о0(Е)Ф0 (t, Q,E) — — j dQ'jdE'v, (ft' -> ft, E' -> E) Фо (t, Q',.JS') =  = 8(f)S'(0,^0<<<7’	(4.198)
с теми же граничными условиями, что и (4.195). Сравнивая -(4.195) и (4.198), видим, что эти уравнения отличаются только коэффициентом o'. Это удобно для использования теории возмущений, так как оператор возмущения
AL = — [or (t, Е) — or0 (Е)] = — Дог (£, Е)
не содержит теперь интегрального члена, существенно усложняющего расчеты. Таким образом, в приближении малых возмущений получим [42]:
т
J = Jo - Ш Ф£ (t, ft, Е) Дог (£, Е) Фо (£, ft, Е) dtdddE. о
(4.199)
Аналогичный результат имеет место и в случае переноса электронов [51].
В качестве примера применения формулы (4-. 199) рассмотрим двухслойный барьер толщиной Н, первый слой которого . имеет малую толщину hi, а второй — т.олщнну й2 = Н — h±. Нево.зму-щенной средой будем считать однородный барьер, состоящий из вещества второго слоя. Обозначим ty, щ характеристики первого слоя,  а п2, ег2 — второго, тогда
Т = nihi + n2ft2; Но ==' (nfln^hi + /i2;	(4.200)
.	(4.201)
(	0, ... t>nihi.
Подставляя (4.201) в (4.199), получаем
J (Н) = Jo (Но) — j dBAa (Е) J	(t, й, £)Ф0 (i, й, Е)
°	(4.202)
141
Пренебрегая изменением произведения (t, Я, Е) Фо (t, Я, Е) в тонком слое, представим внутренний интеграл (4.202) в виде
У*/1'ф+ (/, Я, Е)Ф0 (t, Я, E)dt ~ «ЛФ? (0, Я, Е)Ф0 (0, Я, E).
°	(4.203)
В случае моионапр.авленного и моноэнергетического источника [S' (Я, Е) — 3 (Я —Я0)6 (Е Eg)]
Фо (О, Я, Е) = (l/cos -0>0)6 (Я - Яо)6 (Е — Ео),
а Ф+ (О, Я„, Ео) = Jo	(4.204)
Подставим (4.203), (4.204) в (4.202):
J = [l—WWW- (4,205) [ cos -О’о J
Разделив обе части равенства (4.205) на вклад нерассеянного излучения в показания детектора [D (Я0,Е0)/соз Фо] ехр {— [S1(E0)/i1-|-+ 2 2 (Ео) й2]/соз 'О’о}, получим формулу
В (Л) = Во [(Jhln^ht + М,	(4.206)
выражающую фактор накопления В (Л) за двухслойным барьером толщиной Л = hi + через фактор накопления Во [(niln2)hi + ft2] за однородным барьером из вещества второго слоя толщиной
Рис. 4.2. Зависимость дозо-вого фактора накопления за двухслойными барьерами РЬ—Н2О (О) и Н2О— —РЬ (•) толщиной две длины свободного пробега от энергии излучения.
Точки — расчет методом Монте-Карло, кривые — расчет по формуле (4.206)
Рис. 4.3. Зависимость дозо-врго фактора накопления за Двухслойными барьерами РЬ—Н2О (О) и Н2О — РЬ (•) от толщины барьера;
21Й! « 22А2, Ео=1 МэВ.
Точки —расчет методом Монте-Карло, кривые — расчет по формуле (4.206)
142
+ ha. Сравнение дозовых факторов накопления BD для двухслойного барьера из воды и свинца, вычисленных по формуле (4.206), с результатами расчетов методом Монте-Карло [11/ с. 122] приведено на рис. 4.2, 4.3. Ряд полуэмпирических формул для факторов накопления в неоднородных средах приводится в работах [10, с.185; 31, с. 330; 37, С.104]..
Аналогично можно рассмотреть обратный порядок слоев, а также отражение излучения от двухслойного барьера [42, 45].
§ 4.16. Теория возмущений высших порядков
Описанная выше теория малых возмущений применима лишь в тех случаях, когда изменение плотности потока (или сопряженной функции), вызванное возмущением свойств среды, относительно мало. В этих условиях величина Д/ также является малой и замена возмущенных функций в правых частях равенств (4.164) — (4.166) невозмущенными означает отбрасывание членов высшего порядка:
Д/ - — (Ф+, ДЕФ') = — (Ф+, ДЬФ) — (Ф+, ДЬДФ)
« —(Ф+, ДЕФ).
Однако в ряде случаев исследуемое возмущение не достаточно мало для того, чтобы можно было ограничиться теорией малых возмущений. Для решения таких задач, а также для анализа точности пределов применимости формул теории малых возмущений развита теория возмущений высших порядков, позволяющая последовательно вычислять поправки все более высоких порядков до тех пор, пока точность результата не станет удовлетворительной [94, 105].
Теорию возмущений высших порядков удобно изложить, с использованием операторов Грийа. Рассмотрим уравнения  переноса- ЕФ — S; 1/Ф' = S с одинаковыми источниками и граничными условиями. Соответствующие операторы.. Грина обозначим G и G':
Ф =GS; Ф' = G'S.	(4.207)
Поскольку операторы Грина обратны соответствующим операторам переноса, для них имеет место соотношение
L' G' = LG = I,	(4.208)
где I — тождественный оператор. Представим возмущенный оператор 1/ в виде суммы невезмущенного оператора L и оператора возмущения ДЕ (который не обязательно мал):
143
LG' = LG — ALG', и подействуем на это равенство оператором (з. В силу (4.208) получим уравнение
G' = G — GAL6',	(4.209)
связывающее возмущенный оператор Грина G' с невозмущенным оператором G и оператором возмущения AL. Поменяв, местами возмущенные и невозмущенные операторы G->G', G'->G, AL-»- — AL, получим другую (эквивалентную) форму уравнения (4.209):
G'=G — G'ALG. •	(4.210)
Умножая каждое из уравнений (4.209), (4.210) на плотность источников (справа) и учитывая (4.207), получаем аналогичные уравнения для плотности потока:
Ф'=Ф —GAL®'	(4.211)
и
Ф'=Ф —G'AL®,	(4.212)
называемые уравнениями теории возмущений. Каждое из уравнений (4.209) — (4.212) может стать отправной точкой для построения теории возмущений.
Рассмотрим для определенности уравнение (4.209), переписав его в виде [I + GAL1G' =‘G. Подействуем на обе части этого равенства оператором [I + GAL]-1:
G' = [I _|_ GAL]-1 G.	(4.213)
Согласно (4.5),
[I4-GAL]-1 = f (-GAL)".	(4.214)
я = 0
Подсуавив (4.214) в (4.213), получим выражение возмущенного оператора Грина через невозмущенный оператор и оператор возмущения в виде бесконечного ряда теории возмущений'	,
G'= 2 [-GACPG.	(4.215)
n = 0
Члены этого р^яда содержат различные степени оператора возмущения AL.
144 ’	.
Результат (4.125) удобно представить в виде рекуррентного соотношения. Для этого введем обозначения '
n	
GW = 2 ”[ - GAL]« G	(4.216)
л=о	'
Gat = GW — GW"1’, N = 1, 2, 3, ...  (4.217)
Частичную сумму (4.216) ряда теории возмущений называют N-м приближением теории возмущений, а разность (4.217) таких сумм — поправкой N-го порядка. Из сравнения этих формул вытекает рекуррентное соотношение для поправок:
Gah-i = .l-GAL]"+1 G= —GALGw.
(4.218) Применяя этот оператор к источнику с функцией плотности S и используя обозначение
Фл = GnS,	(4.219)
получаем аналогичные соотношения для поправок к плотности потока:
<Dw+i = — (ЗДЬФлг; Фх = — GAUD. (4.220)
Очевидно, что
, Ф-|-i>Dw = Ф'.	(4.221)
Умножив скалярно (4.219) на функцию чувствительности детектора, найдем поправку к показаниям детектора:
JN .= (D, Фдг); &J. =	(4.222)
м= I 
Легко видеть, что выведенные выше формулы теории малых возмущений .являются поправкой первого порядка теории возмущений. Действительно, из формул (4.220) и (4.222) следует, что = — (D, GAtXD), откуда, используя свойства сопряженных операторов, получаем
Л - — (G+D, AUD) = — (Ф+, Д£ф).
145
В качестве примера применения теорий возмущений высших порядков рассмотрим разложение по столкновениям. Согласно § 4.1, стационарный кинетический оператор L имеет вид L = Lo — Ks, где Lo — QV + S, a Ks— интегральный оператор. Решение уравнения
Ь0Ф0 - 5	(4.223)
представляет собой плотность потока нерассеянного излучения от источника с функцией плотности S:
Фо (г, Й, £) = G0S = J ехр [—т(г', г, E)]S (г', Й, Е)
г' = г — £Й.
Будем искать решение уравнения ЬФ — Sc помощью теории возмущений, выбрав в качестве невозмущенного уравнение (4.223), Оператор возмущения при этом равен AL = — Ks, а формулы (4.220), (4.221) принимают вид:
Ф — 2Ж — Go'S; = (30К.5Ф;у.	(4.224)
w=o
Сравнив (4.224) с (4.114) и (4.115), мы убедимся в том,, что пришли к разложению плотности потока по столкновениям.
§ 4.17. Обобщенная теория возмущений
Теорию возмущений можно обобщить, если наряду с решением одной невозмущенной задачи Т0Ф0 = S использовать решения других, близких к ней задач ЬгФ2 = S, i = 1, 2, 3, ...
Обозначим соответствующую последовательность обратных операторов G^Lf1. Каждый из операторов L, можно в принципе выбрать в качестве основного оператора теории возмущений. При этом вместо уравнения (4.210) получим систему следующих уравнений:
G' = Go — G'AL0G0;	(4.225)
G' = Gx - б'АЬД; ,	(4.226)
G' = G2 — G' AL2G2;	(4.227)
146
Подставляя в. последний член (4.225) вместо G' правую часть (4.226), а затем в последний член полученного уравнения правую часть (4.227) и т. д., получаем обобщенный ряд теорий возмущений
G' - Go + 2 П (-GfeALft_1)G0. .	(4.228)
n=Ife=l
При Lft = L (6 =0,1,2, ...) П (-GftAL^i) = (—GAL)", k~ 1
и мы получаем обычный ряд теории возмущений (4.215). Если же все операторы Lft =1/, кроме Lo = L, из (4.228) вытекает соотношение (4.210).
Первое приближение обобщенной теории возмущений имеет вид .
GW = Go — G^LoGo,	(4.229)
где оператор Gx в некотором смысле (определяемом конкретной постановкой задачи) «ближе» к оператору G', чем G0 = Lq *. Умножая (4.229) справа на S, получаем соответствующее возмущение плотности потока
АФ == Фх = — GjALoOo '	(4.230)
в первом (обобщенном) приближении. Эта формула использовалась в работе [40] при вычислении переходного эффекта в электронно-фотонных каскадах.
§ 4.18. Разложение по пересечениям
При решении задач переноса для поглотителей, состоящих из нескольких зон, могут быть полезными методы, основанные на разложении плотности потока по числу пересечений границы рассматриваемой области.
Рассмотрим поглотитель, состоящий из областей и 72, различных по составу, страницей раздела s (рис. 4.4). Обозначим St и S2 функции плотности источников в этих областях, aQt (х, х') — функцию Грина уравнения переноса в области i (i—1, 2) с поглощающей границей s. Плотность потока излучения в области i можно представить в виде разложения. по числу пересечений границы з;
Фг (х) = 2 <^'г) (х),	‘	(4.231)
,	.	п = 0
147
Ф}1’ можно выразить
Рис. 4.4. к разложению потока по пересечениям
где Фр1' — плотность потока частиц, пересекавших гра-  ницу п раз. Очевидно, что нулевые члены этих разложений определяются только внутренними источниками:
ф{°» (X) = JG; (х, х') Si (х') dx'. ' (4.232)
Учитывая условия непрерывности (2.19) на границе s, Фр1’ на этой поверхности:
(г, Й, Е) = = № $dQ'$dE' Gi(r, Й, Е-, й', Е')% (Q'nft) X , X Й'пь Ф£”(г', Й', Е'),
• (4.233)
. .	( 1, х > 0;
х(*)=4о, х<о;
где n/t — внешняя нормаль к границе области k =£ i. Ана
логичные соотношения имеют место и для частиц, пересекавших границу s п раз:
 ФН (г, Й, Е)	(г, й, Е; г', Й',Е') х
S
X ^(Й'п^Й'ПдФа."-1’(г', Й', Е').
(4.234) Поверхностный интеграл в (4.234) можно преобразовать в объемный. Тогда
Фр° (х) = j dx'Gt (х, х') Пй (х') Фр1"1’ (х'), (4.235) где ПЛ (х) == Пй (г, Й) = б (г — гв) Йпй % (finft).
Подставив (4.232), (4.235) в (4.231) и просуммировав по ft, запишем
Ф, (х) == Jdx'Gi (x,.x')[Si(x') + SlK (х')1,	(4.236)
где	' j
Sift (г, Й, Е) == Па (г, Й) Фа (г, Й, £) -
= 6 (г -- г5) Фа (г, Й, Е) ЙПа%(ЙПа) (4.237) — поверхностные псевдо источники [55].
148
Перепишем (4.236) в операторной форме:
Фг = 6г[5г + ПЙФ&].	(4.238)
Используя систему уравнений (4.238), легко получить независимые уравнения для Фг:
' Фг = Gi{ [5г + nftGftSh] + ПДДФ;}. (4.239)
Решения этих уравнений запишем в виде ряда Неймана:
ОО
Ф* = 2 (СДТ ДПг)"6г (5г + n7lGftS/t).
, zi = 0
Учитывая, что функции Грина отличны от нуля только р области I, вследствие чего GtSh = 0, последнюю формулу можно переписать в виде
со
Ф| == 2 (ОДАНОЙ (I -|- nbGft) (Si + Sft). (4.240) n = 0
Суммируя операторный ряд с помощью (4.5), получаем
®i = р-Ащед ]“1Gi (1 4-n,Qk) (Si + Sh). (4,241)
Сравнивая (4.241) со стандартной формулой
Ф = GS (S = Sx + Sa), . (4.242) видим, что	.	'
G Jtf-- едад-Д (!"+ ПД), г € Vi!
1 [! - (ЗаПДПа]-1 G2 (f + П&), г £ У2.	(4.243)
Формула (4.243) связывает оператор Грина G для среды, состоящей из нескольких областей, с операторами Грина для отдельных зон.
Учитывая свойства обратного оператора АА""1 — =Л-1А = I, перепишем (4.241) в виде
(f- Gi ПДП|) Фг = ®i(0> + &гПь Ф10).	(4.244)
В качестве примера рассмотрим бесконечный поглотитель, разделенный плоской границей г — 0 на две однородные области Vj (г < 0) и V2 (г > 0) с различными свойствами. Если считать задачу плоской и исследовать поле только на границе, решение можно записать через известную в большинстве случаев характеристику — дифференциальное альбедо для полубесконечной среды. Действи-
149 ‘
Рис. 4.5. Влияние границы на энергетическое распределение квантов, прошедших слой алюминия толщиной Soz=4:
----- — распределение в бесконечной среде;-------распределение иа гра-
нице среда — вакуум в приближении /0_=/ + ;---- —распределение на гра-
нице среда — вакуум, найденное по формуле (4,249) [27]
тельно, используя определение дифференциального токового альбедо [2, 3], нетрудно показать, что
Сгп^=То7Г ЙПЬ ] аа л |
(4.245)
где Aj—интегральный оператор альбедо. Подставив (4.245) в (4.244) и обозначив / (х) = =|йп|Ф (х) дифференциальную плотность тока частиц, получим
(1-А;	=
(4.246)
откуда следует, что /j(i=I, 2) удовлетворяют системе интегральных уравнений:
/i=40) + A]/ft.'	(4.247)
Запишем формулы (4.246), (4.247) для случая, когда оба полупространства заполнены средой 1:
(Г-А?)/± = 4°>+А14°>,	(4.248)
/±==/10) + А1/т>	(4.249)
где /+ и /-—плотности прямого и обратного тока частиц в бесконечной однородной среде. Учитывая, что /£0) = 7<|?), из (4,246) — (4.249) можно получить формулы для разностей Д/+ — h — j+, &j- =}% — j~, характеризующих переходный эффект в прямом и обратном токе:
(f~ At Аг) Д7+ = АхД/L0 )-f- Ai (Аз—Ai) 7+;
Д7_=Д/1О)4-АаД/++(А2—Ai)/+>
Если в правом полупространстве источников нет, то 7^0) = /L?1 = О н мы получаем (I — AxAs)A7+ = Aj (А2 — К)1+- 'Считая альбедо первого и второго слоев малым, разложим оператор [1 — A-pAJ-1 в ряд и пренебрежем в получающихся формулах членами высшего порядка:
Д/+ ® Ai (Аа - Ai)/+ = Ai Д/_, Д/_ « (А2 - Ai)7+. (4.250)
Из (4.250) видно, что’ возмущение плотности обратного тока больше, чем возмущение прямого. В зависимости от относительной величины альбедо первой и второй среды знак переходного эффекта может быть разным: если альбедо второго слоя больше, плотности
150
прямого й обратного токов на границе возрастают по сравнению с однородной первой средой, и наоборот. В связи с этим можно отметить, что эффект на границе среда — вакуум, вообще говоря, отличается от эффекта на границе среда — воздух. ‘Эти эффекты могут различаться даже по знаку.
Легко видеть, что /р” не зависит от того, какая среда находится в правом полупространстве, поэтому формулы (4.248), (4.249) можно рассматривать как соотношения, связывающие
Рис. 4.6. Влияние границ на угловое распределение квантов (20г=4): -------- распределение в бесконечной среде; --— распределение па грани-
це среда — вакуум, найденное с помощью формулы (4,249) [27]	>
характеристики поля излу-
чения в однородной бесконечной среде и поля на границе среда — вакуум [27].
На рис. 4.5 приведен пример, иллюстрирующий формулу (4.248) для плотности тока у-квантов плоского перпендикулярного источника с Ео = 1 МэВ в алюминии. Из рисунка видно, что граничный эффект наиболее существен в низкоэнергетической части спектра, где поправка, обусловленная членом А1/+ в формуле (4.249), можег быть значительной.
На рис, 4.6 приведено угловое распределение квантов, полученное с помощью формулы (4.249). Видно, что разность угловых распределений в бесконечной среде и на границе слабо зависит от 0 при 0 > л/2. Это связано с тем, что влияние границы в первую очередь сказывается на низ'коэнергетической части спектра, угловое распределение которой близко к изотропному.
В заключение отметим, что разложение по пересечениям лежит в основе ряда численных методов теории переноса в ограниченных и неоднородных средах [55; 75, с. 138]. Разложение оператора Грина (4.243) использовалось в работе [81] для построения ряда теории возмущений.
Глава 5
ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ
§ 5.1. Источник
Теория переноса, изложенная в гл. 2 — 4, позволяет найти лишь средние значения показаний детектора.. В то же время в задачах экспериментальной ядерной физики, физики космического излучения, микродозиметрии, физики реакторов необходимы данные о вероятностных характеристиках поля излучения—флуктуациях, корреляциях и др,- [19, 34, 83, 92, 103]. Для вычисления вероятностных характеристик поля излучения необходим вероятностный подход [50, 110, 123], требующий в общем случае более подробных сведений об источнике, чем используемая в обычной теории переноса плотность источников S (х, Z).
Обозначим рп (t', t") вероятность того, что в рассматри- * ваемом интервале времени т = Г — t’ источник испустит п частиц, a fn (хх, х2, Z2; ... xn, tn) dxx dZx ... dxn dtn — вероятность того, что прягусловии вылета п частиц частица 1. появится в фазовом объеме dxx в интервале времени dtlt частица 2—в объеме dx2 в интервале dt2 и т. д. (нумерация частиц произвольна). Введенные вероятности удовлетворяют следующим условиям нормировки:
ОО
S Pn=h И -.-Ж (Xi, Zx; ... Xn, Zn) dxx dlt ... dxndtn = 1. n=o
(5.1)
Отметим, что интеграл от fn (xxZx; ...хп, tn) по всем парам переменных, кроме xh, tk, есть плотность распределения фазовой координаты и времени рождения k-й частицы. В силу произвольной нумерации частиц эта плотность не зависит от k. Введем для нее обозначение fn (х, Z).. Аналогично интегралы от fn (хх, ip, ... xn)Zn) по' п — 2, п — 3, ... парам переменных не зависят от того, по каким именно переменным проведено интегрирование. Будем обозначать эти частные
152
плотности распределения fn (х', t'; х", Г), fn (х', t'; х", Г; к'", ?"), ... соответственно.
С помощью вероятностей рп и функций fn (х, t), fn (х', #; х", Г), ...нетрудно записать выражения для раз-х личных вероятностных характеристик, источника. В частности, среднее число частиц, испускаемых единичным фазовым объемом около точки х в единичном интервале времени около / (дифференциальная.плотность источников), равно
’ <5 (х, /) =2itipnfn (х, /).	-	(5.2)
л=0
Если каждая частица испускается независимо- от других (источникнезависимых час’гиц), то fn (xt, ... xn, tn) = — f (xi, ii)  f (xn, М» где f (x, t) -r~ плотность распределения одной частицы: f(x, t) dxdt — 1. В этом случае
fn (x, /) = f (x, /); fn (x',	x", /") = f (x', f) f (xn,.t")
 (5.3)
и т. д., а формула (5.2) принимает вид
S (x, /) = rif (x, /),	(5.4)
oo
где п =^прп — среднее число частиц, испускаемых .источав 1
ником за время т; рп — распределение Пуассона.
§ 5.2. Детектор
Столкновения частиц в чувствительном объеме детектора приводят к появлению сигнала, величина q которого, определяемая характером столкновений и некоторыми другими процессами, происходящими в детекторе и его электронных схемах, обычно является случайной.
ОбозначимpD (q| г, й, Е, /) dq вероятность того, что столкновение частицы, имеющей параметры .й, Е, с атомом в точке г в момент / даст вклад в сигнал, величина которого лежит в интервале (д; q -j- dq).
В соответствии с формулой полной вероятности функцию pD можно представить в виде 
pD(q |r, Q,E, t) = [Sc (K)/S(K)] рс (g| г, Q, E, t) +
+ [2S (£)/2 (£)] ps (q\ г,' й, E, t),	(5.5)
153
где So/S и 3e/S--вероятности поглощения и рассеяния, а ра и ps —. распределения по вкладам при условии, что в точке г произошло поглощение или рассеяние соответственно.
Для функции ps (q |r, С2, Е, f) также можно записать формулу полной вероятности, рассматривая в качестве системы несовместимых событий переходы из состояния с фазовыми координатами й, Е в различные конечные состояния, которые теперь характеризуются непрерывно изменяющимися параметрами й', Е':
‘ ps (q\r, Й, Е, t) = $dQ'$dE' [Ss (Й -> Й', Е -> £')/Ss(£)] х
X ps (q\r, Й->Й', Е-+Е’, f),	(5.6)
где Ss (fl -> fl', E -> £') dQ'dE4Es (£) — вероятность pac-. сеяния в интервал dQ'dE'-, ps (</| r, Q -> Й', E E1, t) — распределение по вкладам при условии, что в точке г, произошло рассеяние с изменением параметров ft-^- ft', Е-+ -*-Е'.
Таким образом,
pD fair, ft, Е, t) = [1/S (£)] {Зс (£) pc (q\r, ft, E, /) + H-frift'JWSs (Й^Й', E^E')ps (</|r, ft->ft', E-+E', £)}.
	(5-7)
Вычислим моменты этого распределения:
ql (г, ft, Е, t) = №pD (<7|r, ft, E, t) dq =
= 2-1 (E) D«'(r, ft, E, f),	(5.8)
где
D~“ (r, ft, E, /) = Sc (£) (r, ft, E, 0+	(Я)	(г, ft, E, /);
Япс (r, ft, E, f) = pa (q |r, ft, E, 0 dq-, (5.9)
(r, ft, E, f) = j dtl' J dE’ [Ss (ft ft', E ->- £')/Ss(£)] x xj(r,fi->ft',£~>£', ^);
(r, ft ft', E E', t) =	'
=^рв^\г, ft-^ft', E-^E', t)dq.
В частности, средний вклад от одного столкновения равен
qD (г, ft, Е-, t) ==D(r, ft, Е, t)/E (£),	(5.10)
154
где D — средний вклад единицы пути траектории частицы с фазовыми координатами г, Ji, Е в чувствительном объёме детектора (§ 1.4). Для детектора, измеряющего полное число столкновений,
р, (#, Й, Е, /) = р0 (7 |г, й, Е, f) = 6 (7-1), (5.11) поэтому	___
ро (р| г, й, В, Z) =-6 (7 — 1); 70 = 1.	(5.12)
Для детектора поглощенной энергии
рс (7|г, й, Е, f) = 8 (7 — В); ps (7|г, й й', Е -> Е', f) —
= 6(7 —В + В'),	(5.13)
поэтому
ро(7|г, Й, Е, 0 = [20 (В)/2 (В)] 6 (7 -В) +
+ [2S (В)/2 (В)] Ss (В -> В — 7)/2s (В).	(5.14)
Следовательно,
Й (г, Й, В, t) = [20 (В)/2 (В)] В" + [2в (В)/2 (В)]	(В),
(5.15) где
-^(£)==_L.fQ«Ss(Q,£)dQ	(5.16)
-S {£) d
— п-й момент распределения по потерям энергии при рассеянии.
§ 5.3. Вероятностные уравнения
Обозначим Р (Q) dQ вероятность того, что в момент наблюдения показания детектора принадлежат интервалу (Q, Q + dQ), а Рп (Q|хх, £х; ... xn, tn) dQ — вероятность этого события при условии, что источник.испустил п частиц с фазовыми координатами хх,..., хп в моменты fx,,.., tn соответственно. Умножая это условное распределение на вероятность pn/n(xi,  *пЛп) d^dt^.. dx.ndtn, суммируя по л и интегрируя по другим переменным, получаем р (Q) =nij p^dx-^dk... $dxn$dtnfn (хх, fx; ... х„, tn) X
X Рп (Q|xx, 4; ••• хп, tn).	(5.17)
155
Поскольку сигнал Q аддитивного детектора -равен сумме сигналов отдельных частиц, взаимодействующих со средой независимо друг от друга: Q = 2 <7ь т0 распределение Рп (<21*1. А. •••> х»> in) = pn (Q) суммы случайных слагаемых дается сверткой распределений этих слагаемых
Рп (Q) =	• •• Ж-1Р (<71Ьч, А) ••• Р (<7n-il Xn-1, А-i) X
п—1	1
х Р (Q - 2 qi lxn- А)- - ,	(5.18)
Здесь Р (q\x, t) dq — вероятность того, что частица, вылетевшая из точки х в момент t, внесет в показания детектора вклад, принадлежащий интервалу (q, q + dq). Используя свойства 6-функции, формулу (5.18) можно переписать в виде
Pn (Q) =М 8 (Q- 2^0 П/ ti) dqt. (5.19) fl
Подставив (5.19) в (5.17), получим
Р (Q) =2 M-J 8 (Q— 2 qt) fn (xi, A; ••• xn>. A) x »=i
X П P (</г|хг, ti) dqidXidti.	(5.20)
,	i= 1
Уравнения для распределений P (^ x, t) можно вывести по аналогии с уравнениями Колмогорова—Чепмена (§2.9, 2.10).
. Пусть частица с энергией Е -вылетает из точки г в направлении й. Вероятность того, что за время At она не испытает столкновения, равна 1 — 3 (Е) v (Е) А/, а вероятность столкновения равна S (Е) v (В) At.' По формуле полной вероятности
Р (q |г, О, В, f) = (1 — SvAt) Р (</1— ) + ZvAt Р (g | + ), (5.21) где Р (</|+ ) —4распределение по вкладам при условии, что за время At произошло столкновение, а Р (q\— )—то же, если столкновения не произошло.
Если частица не испытала столкновения, пройденный отрезок пути не внесет вклада в показания детектора и сиг-156
нал q будет обусловлен оставшейся частью траектории частицы, которая в точке г 4- QvM в момент t 4- М имеет прежнюю энергию Е и направление движения й. Поэтому
Р (q| — ) = Р (q\ г + ЙиА/, Й, Е, t 4- АО-
Результатом столкновения может быть поглощение или рассеяние частицы. Поэтому по формуле полной вероятности
р (<71+ ) = [2с (B)/S (£)] р (q\c) -1-
+ [23 (£)/2 (В)] Р (qjs), где Sc/S и Ss/S — вероятности поглощения и рассеяния, а Р (q\c) и Р (q\s) — соответствующие условные распределения.	‘
Легко видеть, что Р (фс) = рс (q\ г, Й, Е, t), где рс (q\r, й, Е, t) — функция, характеризующая сигналы детектора при поглощении частицы (§ 5.2). Функцию Р (q|з), в свою очередь, можно записать в виде интеграла по всем возможным состояниям частицы после столкновения:
Р (q |s) = $dQ'$dE' [23 (Й й', Е B')/2S (£)] X X Р (q) г, Й^ Й', Е~+ Е', t).
В случае рассеяния с изменением параметров й-> Й', Е—>~Е' вклад q будет суммой двух случайных величин: вклада от самого акта рассеяния и вклада от оставшейся части траектории частицы, которая после рассеяния движется в направлении Й' с энергией Е'. Поэтому
Р (д| г, Й-^Й', £->£', t) = $ps (q’\r, Й-> Й', Е-+Е', Z) х X Р (q —- g'Jr, Й', Е', t) dq'.
Последовательная подстановка полученных выше-выра-жений в (5.21) приводит к уравнению для функции Р (<?]х, f)\
Р (qJr, Й, Е, f) = [1 — 3 (Б) v М] P(q\r + ЙпА/, Й,Е,* + + A^)4-SC (Е) vMpe (q\r, й, Е, t) + пАфЙ' ME' х X 38(й -> й', Е-+Е') '$pa (q' |г, й -> й', Е Е', t) х
X Р (q — q' |г, й', Е', t )dq'.
Используя разложение
Р (<?| г 4- йп М, Й, Е, 14- А/) = Р (Q|t, Й, E,f) + + AZ (d/dt) Р (q\r, Й, Е, t) + vA/Й VP (?|г, Й, P, t)
157
и пренебрегая членами второго порядка, получаем интегро-дифференциальное уравнение
—(1/о) (d/dt) Р <7 |г, й, Е, t) — Q^P (q\r, Й, Е, /) + .
+ S (Е) Р (?|г, Й, Е, t) — $d£i'$ dE' х
X Ss (Й й', Е -+ Е') j ps (д'\ г, Й й', Е Е’) х хР(р-0|г, Й',Е',/);0'=2С(£) pc(q{r,Q,E, /). (5.22)
В неоднородной среде вероятностное уравнение (5.22) сохраняет свой вид, только сечения взаимодействия S, Ss и So зависят от пространственных координат.
На внешней границе поглотителя значение функции Р (q\r, й, Е, t) можно найти из ее физического смысла:
Р (7|г, Й, Е, /) = 6 (0; г е о; Йп > 0,	(5.23)
где о —"поверхность системы; и — внешняя нормаль к ней. Формула (5.23) говорит о том, что частицы, вылетающие из системы, вносят нулевой вклад в показания детектора.
Если среда и детектор являются стационарными (т. е. S, S8, Pc, ps не зависят от времени), то
Р (р|х, /) = Р(р|х).	(5.24)
Подставляя (5.24) в (5.20) и (5.22), приходим к формулировке стационарной задачи:
р (Q) = 2 РпИ б (Q - 2?г) fn (xi,.... х7г) х П=)	.	Z=1
2/г
X ПР (7г|хг) dqt dxif	(5.25)
/=> i
где fn (хх, х„) = )] fn (xlt ... xn, tn) d^.-dtn, а п.
Р (0х) удовлетворяет стационарному вероятностному уравнению:
— ЙУ Р (р| г, Й, Е) + S (Е) Р (р|г, Й, Е) —
— Jt/Й' j dE' Ss (Й -> Й', Е Е’) х
X )р3(0|г,й-> й',	Е') P(q — q'\r, й', E')dqr —
= Sc (Е) рс (р|г, Й, Е).	(5.26)
К стационарному виду приводится задача -и в том случае, если не изменяются во времени среда и источник:
fn (Xl, ХП) tn) fn (х1> •••, хп), (5.27)
158
а время измерения т, в течение которого ps и рс постоянны, много больше характерного времени жизни частицы. Подставляя (5.27) в (5.20), приходим к формуле (5.25), где
Р (<?| г, й, Е) =+f Р (q\ г, Й, Е, t) dt. (5.28)
—00
Интегрируя (5.22) по времени и учитывая, что
Р (^|г, Й, Е, оо) == Р (?|г, й, Е,— оо) = 6 (7), а
У р3 (д' Jr, Й -> й', Е Е', t) Р (д — q'\г, Й', Е', t) dt ж —00
« ps (7'| г, й', Е-+Е') J Р (q — q'\ г, й', Е', t) dt, —оо
находим, что функция (5.28) удовлетворяет стационарному уравнению (5.26).
§ 5.4, Моменты распределения P(Q)
Используя выражение (5.20), можно найти формулы для вычисления моментов распределения Р (Q). Ограничимся отысканием двух первых моментов:
Q = У QP (Q) dQ-, Q2 = (Q)t dQ. (5.29)
Умножим (5.20) на QdQ и проинтегрируем по Q с учетом свойств 6-функции:
Q — 'Spn У—У 2 4jfn (xl> ••• x,v ^п) X
„=1 ^г/=1
п хПР(7{|хь dqidxidtt.
i==1		(5,30)
Легко видеть, что
f J S 9; П Р (ср | хг, tj) dqt= 2 У qP (7] X;, #у) dq =
ч v г /5=1 J«=l	8= 1
П	.
= iqMI, . .	(5.31)
Js=s 1
159
где q (х, t) = \qP (</|x, f) dq — средний вклад в показания детектора частицы, вылетающей из точки х в момент t. Подставив (5.31) в (5.30), получим
Q = 1Рп f-f fn (xi, к, xn, in) 13 (xj, tj)\ n=i	, = i
что, согласно § 5.1, можно записать в виде
__	ОО |	_
Q =	(х, t) ~q (X, t) dx dt =
л= 1
= Я S (x, f) q(x, t) dxdt.	(5.32)'
Из физического смысла функции q (х, t) и формул (5.32), (1.35) видно, что
q (х, t) == Ф+(х, /).	(5.33)
Умножая (5.22) на qdq, интегрируя по q от 0 до оо и учи-, тывая, что
оо а	.
$qdq)dq'p8 (q'[r, й й', Е -> Е', t) Р (q — q’\ г, й', Е', i) = оо
= qs (г, Й -> Й', Е -> Е', f) +~q (г, й', Е', t), получаем сопряженное уравнение
Lfq = D	(5.34)
с обычными граничными условиями.
Для отыскания второго момента умножим (5.20) на QMQ-и проинтегрируем по Q:
Q2 =11Рп	[2 qj]2 fn (xlt ff, ... xn, tn) x
n=I Y
п P (g{| Xit ti) dqidXidti.	' (5.35)
Представляя квадрат суммы в виде
 п	п	п п
J-1	/=1	j^k
160
и преобразуя первое слагаемое описанным выше способом, получаем
,Q2 = Qi + Qft,	(5.36)
где	'
QI = JJ S (x, t) q'1 (x, t) dxdt', q2 (x, t) =
= J q2 P (q\ x, /) dq-, '	(5.37)
о
QFl — S Pn [iSPiPh] fn (xl, xn, tn) x n=1
X Пр (grj xt, tt) dqtdXi dtt.	(5.38)
2=1
Во втором слагаемом
f---f XS <7Ж Й? (gf|xf, k) dqt =
—j+k	i=i
= 2S f q P (q\ ti)dq[qP (q |xft, tk) dq = l-f’k
= 2i2iq (Xj, tj) q (xft, th).	(5.39)
/'//г
Подставляя (5.39) в (5.38) и пользуясь обозначениями, принятыми в § 5.1, получаем
Qn —	fn (х1> tp xn> tn) (X/> tf) x
/+ft
X q (xh, th) dx-idt-i... dxh dtk =
= ПЛ S<2> (x', f; x", i") q (x', f) q(x", t") dz'di'd^dt", (5.40)
где	'	-
S<2> (x', t'-, x", t") dx'dt' dx"dt" =
= 2 n (и — 1) Pnfn (x\ t'\ x"> t") dx'dt' dx"dt" n = 2
(5.41)
6 Зак. 1717	161
— среднее число пар частиц, таких, что одна из них испускается источником в элементе фазового объема du' и интервале времени dt', а другая—в элементе dx" и интервале dt" [61, с. 103]. Функцию S(2) называют плотностью произведения вероятностей [83, с. 446] или плотностью второго факториального момента [57]. Таким образом, согласно (5.36), (5.37) и (5.40), второй момент показаний детектора имеет вид
Q3 = [[ S (х, f) q2 (х, if) dxdt +
+ ПИ S<2) (*', t'- х", Г)? « t') q (x", i") dx'dt'dx"dt''.
4	(5-42)
Для вывода уравнения, описывающего второй условный момент q2 (х, f), умножим (5.22) на q2dq и проинтегрируем no q. Учитывая, что
’ Jq2dq$dq' ps (q']r, Й->Й',	t) Р (q—q'\r, Й', E', t) =
=~Д(г,Й ->• Й',£ -> E',f)+2qs (г,Й Q',E E', t).X
X~q (г, Й', E', t) + ?2.(r, Й', E', t),
получаем 
L<+	= D<2),	(5.43)
- где
7Ж (г, Й, E, t)=D2 (г, Й, E, t) + 2 D+ 7 (г, Й, E, t), (5.44)
a Ds+ — интегральный оператор, 'определяемый соотношением
D+ 7 (г, Й, Е, f) = fdft' f dE' Ss (Й ->• Й', Е Е') X
X qs (г, Й Й', Е Е', t) q (г,- й', Е', t).	(5.45)
Аналогично выводятся выражения для высших моментов распределения Р (Q) и уравнения для высших условных моментов qk (х, f) ' k = 3,4,... [50].
Тождество (5.33) позволяет переписать формулу (5.32) в виде
Q = (S, Ф+)	’’	(5.46)
162
и преобразовать выражение (5.42). Согласно (5.43), q* = = G+D<2\ поэтому •
Q? = (5, G+, D&) = (GS, DW) (Ф, £<2>). (5.47) Подставив (5.44) в (5.47), получим второй момент (5.36) в виде
Q2 = (Ф, О”2) + 2 (Ф+, Ds Ф) +	Ф+],	(5.48)
где LS<2>, Ф+] = ИП5<3> (х', Г; х", Г) Ф+(х', f) х X Ф+(х", t") dx' di’ dxlfdi"— билинейный .функционал от сопряженной функции. Формулы (5.46) — (5.48 выражают важнейшую вероятностную характеристику показаний детектора — дисперсию — через дифференциальную плотность потока Ф и сопряженную функцию Ф+:
аЛ = (Ф, О2) + 2 (Ф+, D3 Ф); + [S<2>, Ф+] — (S, Ф+)2.
(5.49)
Для рассмотренного в § 5.1 источника независимых частиц имеет место равенство (5.3), подставляя которое в (5.41), можно получить
S<2> (х', Г; х", Г) = (п2 —n)f (х', f) f (х", Г).	(5.50)
Для пуассоновского распределения
/г2 — п == /г2,	1	(5.51)
и, подставляя (5.51) в (5.50) с учетом (5.4),  получаем S<2> (xz, f; х", /") = S (х', f) S (х", Г), т. е. плотность произведения вероятностей для, источника независимых частиц равна произведению значений плотности источника при соответствующих аргументах. Отсюда, в частности, следует, что [S<2>, Ф+] — (S, Ф+)2, и формула -(5.49) для дисперсии показаний детектора упрощается;
_	= (Ф, D5) + 2 (Ф+, Ds Ф).	(5.52)
Если в чувствительном объеме AV детектора Ss = 0_или детектор реагирует только на процессы поглощения (qs = = 0), то формула (5.52) имеет вид
= (ад, Ф).	'	(5.53)
6*
163
В этом случае для вычисления флуктуаций показаний детектора надо'знать только дифференциальную плотность потока. Если при этом каждый акт поглощения вызывает единичный сигнал, то ф (г, й, Е, 0 = % (г), где % (г) — характеристическая функция детектора, равная 1 в объеме детектора и 0 вне его, а дисперсия
о£ = (% 2С> Ф) = J dr Ж (Е) Ф (г, О, Е, t) dQdEdt (5.54) равна числу актов поглощения в объеме детектор а. Этот результат легко понять, учитывая, что каждая испущенная источником частица может поглотиться либо в объеме детектора, либо вне его объема. Поскольку источник имеет пуассоновское распределение, а случайная выборка из этого распределения также приводит к распределению Пуассона, дисперсия числа актов поглощения равна их среднему значению, что и показывает формула (5.54).
§ 5.5. Флуктуации числа столкновений в однородной среде
Рассмотрим в качестве примера применения вероятностных уравнений расчет флуктуаций числа столкновений в бесконечной однородной среде (или числа вторичных частиц, если в каждом столкновении рождается одна вторичная частица). В этом случае вклад в показания детектора от каждого столкновения равен единице: ps(q | г, й, Е) — рс (д|г, й, Е) = 6 (р — 1), а распределение Р (7| г, й, Е) в силу однородности и изотропности среды не зависит от координаты г и направления й: Р (^|г, й, Е) — = Р (<?| Е). Уравнение (5.26) тогда примет вид
S (Е)Р (q\E) — JSs (Е Е') Р (д — 1 |Е') dE' =
= Sc (Е) 6 (7 — 1).	(5.55).
Поскольку случайная величина д, представляющая собой число столкновений, может принимать лишь целочисленные значения, плотность ее распределения записывается как	1
Р (7|Е) = ЕАг (Е) 6 (7 - п),	(5.56)
п= 1
где Рп (Е) — вероятность того, что частица с энергией Е испытывает в однородной бесконечной среде п столкновений (включая и поглощение).
164
Подставляя (5,56) в (5.55) и интегрируя все члены уравнения по q в интервале (а — е, /г + е), где 0 < е < 1, получаем уравнение для вероятности Рп: •
S (Е) Рп (Е) - J 2S (Е Е') Pn-r (Е') dE' = 2Й (Е) 6Л1.
(5.57)
Уравнение (5.57) можно вывести и непосредственно, используя формулу полной вероятности. В бесконечной однородной среде каждая частица рано или поздно испытывает столкновение, т. е. Ро (Е) = 0. В этом столкновении она может поглотиться или рассеяться, и вероятности этих событий равны 2с/2 и 2s/2 соответственно. В первом случае число столкновений будет равно единице. Во втором случае частица изменит свою энергию (Е -+ Е'), после чего может испытать любое число k > 0 столкновений с вероятностью Ph (Е'). Поэтому
Рп (Е) = [20 (Е)/2 (Е)1 6П1 •+ [2S (Е) /2 (Е)-] X
X j [2S (Е -> E')/2S'(E)] Рп_! (Е') dE','	(5.58)
что совпадает с (5.57).
Уравнения для первого и второго моментов
п (-Е) == ЪпРп (Е)-	(Е) = 2 н2 Рп (Е) (5.59)
л=1	п=1
можно йолучить, умножая (5.57) на н (или /г2) й суммируя по пл
2 (Е) п (Е) — J2S (Е -> Е') п (Е’) dE' = 2 (Е); (5.60)
2 (Е) 7? (Е) — J 2S (Е -> Е')	(Е') dE' =
= •2 (Е) + 2 j2s (Е->Е') ц(Е'),^Е'.	,’(5.61)
С помощью (5.60) правую часть уравнения (5.61) можно упростить:
2 (Е)'ТГ2 (Е) — J 2S (E^-E'X(E')dE' = '
= 2 (Е)[2и (Е)—1].	(5.62).
Оператор, стоящий в левой части уравнений (5.60), (5.62), является сопряженным оператору переноса в уравнении деградации энергии (§ 2.6). Поэтому решения уравнений
165
(5.60), (5.62) выражаются через сопряженные функции Грина следующим образом:
п (Е) = G+S(E) = f G+ (Е, Е') S (Е') dE' (5.63) и
7? (£) = G+S (Е) [2 п (Е) - 1] ==/ G+ (£, Е') S (£') х
X [2/Г(Е') — 1] dE'.	(5.64),
Используя теорему взаимности (§ 4.2): G+ (Е, Е') = = G (Е', Е), вместо (5.63), (5.64) получаем
п (Е) = J’S (£') G (Е', Е) dE'- (5.65) 7? (Е) =2 fra (Е') 2 (£') G (Е’, Е) dE' — п (Е). (5.66)
Функция Грина G (Е', Е) в данном случае является равновесным спектром (спектром деградации энергии) от моио-энергетического источника частиц с энергией Е.
В приближении постоянных'сечений вероятности Рп не зависят от энергии, и из уравнения (5.58) сразу следует рекуррентное соотношение: Рп — рРп-! + (1 —р) 6ni, где р — 26/2—вероятность «выживания» при столкновении. Этому соотношению удовлетворяют вероятности
=р«-1 (1-р).	(5.67)
Действительно, в рассматриваемом приближении элементарные процессы взаимодействия статистически независимы и вероятность того, что частица испытает п — 1 рассеяние, а затем поглотится, равна произведению соответствующих вероятностей: рп — рп-‘(1 —р). Моменты этого распределения легко найти как из уравнений (5.60), (5.62), так и непосредственно из '(5.67):
п = 1/ (1 - р); 7F = (1+ р)/ (1 - р)2..	(5.68)
Отсюда
= р/(1 — р)2, оп/п = Vp.
Отметим, что для заряженных частиц задача о флуктуации числа столкновений представляет интерес в связи с тем, что величина этих флуктуаций определяет разрешающую способность детекторов ионизации [89, с. 157].
166
MdEDIQ, Е) Ф (г, Я, Е).	' (5.72)
§ 5.6. Флуктуации показаний детектора малых размеров
Применим формулы (5.46) и (5.49) к анализу статистических флуктуаций показаний малого детектора. В стационарном случае
Q = У S (х) Ф+(х) dx = У D (х) Ф (х) dx\ (5.69)
= /Ф (х) dx + 2f Ф+ (х) Ds Ф (х) dx +
+	S(2)(x', х") Ф+ (х') Ф+(х") dx' dx" — Q2. . (5.70)
Зная эти величины, можно найти относительные флуктуации показаний детектора
= Oq/Q.	(5.71)
Пусть в чувствительном объеме Д V детектора функции ps и ра не зависят от координат. Поскольку D(r, Й, В) обращается в нуль вне этого объема, формулу (5.69) перепишем в виде
Q = f dr. ду
Разложим плотность потока в ряд около некоторой точки г0, принадлежащей объему Д17:
Ф (г, О, В) = Ф(г0, О, £) + (г-г0)	(г0, О, £)+...
и подставим разложение в (5.72):
Q = А/Я D(Q, E) Ф(г0, О, Е) dtldE +. '
+ I(r — r0) drfto(Q, £)V Ф(г0, Я, Е) dSidE + ...
д1? '	(5.73),
Отброшенные члены имеют порядок произведения объема на квадрат линейных размеров детектора. Выберем точку г0 так, Чтобы выполнялось равенство f (г — r0) dr = 0.
ди
В частности, для сферического' детектора точка г0 должна совпадать с центром сферы. Тогда (5.73) примет вид
. Q = ДУЯЯ (Й,-Е)Ф(г0, Й,£).	-(5.74)
Анализируя выражение для дисперсии (5.70), видим, что в этом-приближении
о$ = ДР Я (Й, £) ф (г0> Й, Е) dQdE +
+ 2 ДУ JJ0+ (Й, Е) Ds Ф (г0, Й, Е) dQ dE, (5.75)
167
где
Ф+ (Q, Е) = (l/AV) Ф+<г> fi> dr ' <5-76)
— усредненная по объему AV ценность. Действительно, ценность внутри детектора малых размеров в первом приближении имеет вид
Ф+ (г, S2,E) = I (г, Я) D (Я, Е), .	 (5.77)
где I (г, Я) — расстояние от точки г до границы детектора в направлении Й. Подставляя (5.77) в (5.76), получаем
 Ф+ (Й, Е) = D (Я, Е) I (Я), I (Й) = (1/АУ).[ I (г, Й) dr,
A.V
т. е. второе слагаемое в (5.75) имеет порядок произведения объема на линейные размеры детектора, а третье (отброшенное) слагаемое пропорционально квадрату объема детектора, если детектор не пересекается с источником. В частности, для сферического детектора радиусом al (Я)== = (3/4) а и формула* (5.75) принимает вид
	= А У Я D*	£) ф (г<н й> dQdE +
+ (3/2) А V а Я D (Я, Е) Ds Ф (г0, Я, Е) <ШЕ. (5.78)
Подставляя (5.74) и (5.78) в (5.71) и учитывая, что второе слагаемое в (5.78) мало по сравнению с первым, получаем
1	£) Ф (Я,
Q~~ д/дй Я D(Q> 5)ф (й> £) dQ ctE х
, За Я D'<n- е) Р8Ф (Я, Е) dQ dE ]
Х | Т Дз_(Я, Е)Ф (Q, E)dQdE ) ’
(5.79)
где г0 в аргументе дифференциальной плотности потока для краткости опущено.
- Сравнивая (5.75) с (5.52), убеждаемся, что флуктуации показаний детектора малых размеров в случае произвольного источника такие же, как в случае источника независимых частиц. При этом первый сомножитель в (5.79) описывает флуктуации, обусловленные однократным взаимодействием частиц с детектором, а поправка в фигурных
168
скобках учитывает двойные последовательные столкновения частиц с детектором. При а 0 формула (5.79) в случае изотропного детектора переходит в формулу, полученную в работе [46] из более простых физических соображений.
Для детектора, измеряющего число столкновений в объеме ДУ, согласно (5.8), (5.11) и (5.12),D (Q,E) =D?(Q,E)=* = 2 (£), <7з (Й->Й\ E E') =1 и формула (5.79) принимает вид
1	[ За Г Z(E)R(E)dE ]
.- -  	1	н	—LI——. I (5.80) ]/AVjS(£)O(£)dE.4 J S (Е) Ф (Е) с/Е J
где R (Д) = j Ss (Д' ->• Е) Ф (Д') dE' — энергетический спектр источников рассеянных частиц (см. § 1.3). Первый сомножитель в (5.80) соответствует флуктуациям пуассоновского распределения со средним значением Q — = ДУ j 2 (Д) Ф (Е) dE.
Для детектора, измеряющего поглощенную в. объеме ДУ энергию:
D (й, Е) = [2С (Д) + kW (Е) 2S (£)] Е-
D2 (й, Д) = [2С (Д) +'k& (Д) 2S (Д)] Е\ (5.81)
где
/г» (£)==	Ss dE', 1=1, 2,	(5.82)
J \ Е J Ss (Е)
— моменты распределения доли энергии, потерянной частицей при одном рассеянии в детекторе. При этом qs.(£l -> й', Е Е') = Е — Е' и
ЯП (Й, Д) Ds Ф (Й, Д) dQdE=$ [JSs (Д'->Д) (Д'—Д) X
XD (Д) dEl Ф (Д') dE'. 	(5.83)
Подставляя (5.81) — (5.83) в (5.79), получаем относительные флуктуации показаний рассматриваемого детектора. Для у-квантов сечение 2S (Д -> Д') дается формулой Клейна — Нишины — Тамма, коэффициенты (5.82) не зависят
169
от атомного номера вещества и вычисляются аналитически:
й(1) (£) = Л+ /(а2 —2а—3) In (1 + 2а) । 2а 94-51 «+93«2-1-51 мз 10м4 .
3 (1 + 2а)Ч	) '
лг2 <
kW (Е) = —- (а2—2а—4) In (1 + 2а) + ' айа^
12+90 а+247 «2+283 а3+92 а4—34 а6^
—|— &CL
~ 3(1+2а)4
где г0 — классический радиус электрона; а—Е/тс*; тс2 — энергия покоя электрона; ое — полное сечение комптоновского рассеяния на одном электроне.
Результаты вычислений (£) й k№(E) представлены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Коэффициенты АС1) (£) и (£) для комптоновского рассеяния у-квантов
Е, МэВ	Й(1)	fe(2)	Е, МэВ	fed)	fed)	Я, МэВ	fed)	fed)
0,04	0,0669	0,00630	0,40	0,310	0,132	4,0	0,607	0,450
0,05	0,0807	0,00919	0,50	0,341	0,159	5,0	0,628	0,477
0,06	0,0936	0,0124	0,60	0,368	0,183	6,0	0,644	0,498
0,08	0,117	0,0194	0,80	0,409	0,223	8,0	0,667	0,529
0,10	0,138	0,0269	1.0	0,440	0,255	10,0	0,684	0,550
0,15	0,182	0,0465	1,5	0,495	0,314	 15,0	0,710	0,587
0,20	0,216	0,0658	2,0	0,531	0,356	20,0	0,727	0,609
0,30	0,270	0,101	3,0	0,577	0,413	' 30,0	0,747	0,638
§ 5.7. Приближение непрерывного > ? взаимодействия с детектором
'Поскольку вероятностные уравнения имеют много общего с обычными кинетическими уравнениями, ряд приближенных методов, дписанных в гл. 3 и 4, можно распространить и на вероятностные уравнения. В качестве примера рассмотрим приближение непрерывного взаимодействия с детектором.
170
Как отмечалось выше, основным процессом взаимодействия заряженных частиц является рассеяние с малыми потерями энергии и малыми отклонениями от первоначального направления движения. Вклад в показания детектора от каждого такого столкновения мал, а количество столкновений на .траектории велико. Поэтому сигнал детектора можно рассматривать как резудьтат непрерывного взаимодействия частицы с чувствительным объемом детектора.
Вероятностное уравнение; соответствующее этому приближению, можно получить из уравнения (5.22):
—V-1' (d/dt) Р (7|г, Й, Е, 0 — й V Р (7|г, Й, Е, t) +
+ 2 (£) Р (<7|г, й, Е, t) f dQ' . J dE' 2S (Й-> ->й', Е -> Е')$рв (/|г, Й->Й', Е-+Е') Р (?-/[г,
Й', Е', t) dq' = 2С (Е) рс (t7|r, Й, Е, t).	(5.84)
Для'этого функцию Р (q— /]г, й, Е, t) в уравнении (5.84) разложим в ряд:
Р (q — q’\r, й', Е', I) = Р (<7|г, Й', Е', t)
— q' (d/dq) Р (q\r, Й', Е', Q.
Используя условие нормировки j ps (/(г, Й -> Й', Е -> -> Е', t) dq' = 1 и определения (5.9), интегральный член уравнения (5.84) легко преобразовать к виду
^й' $dE' 2S (й -ч- й', Е -> £') [Р (qlr, й', t) —
—	(г, Й -> й', Е -> Е', t) (d/dq) Р (q |г, ft', Е', /)].
Чтобы рассматриваемое приближение было справедливым, второе слагаемое в последнем выражении должно быть мало. Поэтому его можно вычислить приближенно. Считая, что изменения энергии и направления движения при рассеянии невелики, положим (d/dq) Р (^|г, Й', Е', t) та ^(d/dq)P(ff\ г, й Е, t) и вынесем эту величину из-под знака интеграла. Тогда, учитывая (5.9), получаем интегральный член в виде:
^й' )dE' Se(Q-+Q',E-+.E')P(q\r,Q',E', f) —
- 2e (£) ^ (г, й, Е, t) (d/dq) Р (q |г, й, Е, i).
Если пренебречь вкладом от поглощения, то рс (q |г, Й, Е, t) =б (q) и 2„ (E)^s (г, й, Е, i) =D (г, й, E,t),
171
где D — функция чувствительности детектора, поэтому вероятностное уравнение (5.84) в приближении непрерывного взаимодействия с детектором имеет вид
— и-1 (d/dt) Р (<?|г, Й, Е, t)-QVP (q Jr, О, Е,. f) -|-+ D (г, О, Е, t) (d/dq) Р <^[r, Й, Е, i) + 2 (Е) Р (?|г, Й, Е, t)— - Wi'$dE''Za (й -> Й', Е -*• Е’) Р (q\r, Й', Е', t) = =^c(E)8(q).	(5.85)
В стационарном случае это уравнение упрощается:
—Й V Р (7|г, Й, Е) + D (г, Й, Е) (д/dq) Р (?|г, Й, Е) +
+ 2 (E)P(q\r,Q,E) — )dQ")dE' 2S ,(Й -э-й', Е Е') X X Р (<?|г, Й', Е') = 20 (Е)6 (7).	(5.86)
При q > 0 уравнение (5.86) однородно, а граничное значение Е(0|г, Й, Е) можно получить, интегрируя все его. члены по <7 в области (s, оо) и устремляя 8 к нулю. Учитывая
ОО
условие нормировки J Р (^fr, Й, Е) dq — 1, легко получить О
Р (+ 0| г, Й, Е) = 2С (Е)/£> (г, Й, Е). 	(5.87)
Из уравнения (5.86) вытекают следующие уравнения для моментов:
—Й. V	(г, Й, Е) + 2 (Е)^г (г, Й, Е) —
- ^Й'^Е'23 (Й -> Й', Е Е')	(г- «'> Е') ==
= nD (г, Й, Е) 7"-1Г (г, Й, Е).	(5.88)
Отсюда легко получить рекуррентное соотношение
=/г! G+ (DQ+)'>-i D, (5.89)
где Q+ — сопряженный оператор Грина. Использовав (5.89) ц теорему взаимности для функций Грина (4.26), запишем выражения для первых двух моментов:
7 (х) = У G (х', х) D (х') dx'-, ф (х) =
= 2 fG (x', x) (х') D (х') dx'.	(5.90)
72
Уравнения. (5.85) — (5.88) можно использовать, например, при расчете сигнала черепковского детектора, так как излучение Вавилова—Черенкова испускается частицей на всей траектории (если энергия частицы выше пороговой) и практически не влияет на ее движение.
§ 5.8. Распределение частиц по длине пробега
Обозначим I путь, который проходит частица, пока ее энергия остается выше некоторого порогового значения Et. В этой задаче D (г, О, Е) =1, так как вклад в I от каждого элемента траектории равен длине этого элемента. В однородной бесконечной среде распределение по I не зависит от координат точки, где родилась частица, и начального направления движения, поэтому вместо (5.86), (5.87) имеем
(д/дГ) Р (1[Е) + 3 (Е~)Р (1\Е) -
Е
— f 2S (Е -+ Е") Р (Ж) dE' = 0	(5.91)
Et
Et	'
и Р (0|Б) = S* (Б)	23 (E^E')dE' + 2С(Б), так
о
как рассеяние с переходом частицы в интервал Е < < Et в этой .задаче эквивалентно поглощению.
 С помощью замены переменных Е — Е' — Q интегральный. член - уравнения (5.91) приводится к виду £— Е^	,	_ .
^23 (Б -> Е — Q) Р (1\Е — Q) dQ. Для простоты будем предполагать, что полное сечение 3 не зависит от энергии, а 23 (Б Б — Q) зависит только от переданной энергии Q: 23. (Б -> Б •— Q) = 23 (Q). В этом приближении, которое справедливо при Б близких к Бо, уравнение (5.91) примет вид
(d/dl) Р^ (Z|A) + 2Р (Z|A) -
-f 23 (Q) P (Z|A — Q) dQ = 0.	(5.92)
Здесь A = Б — Et, т. e. пороговая энергия Et принята за начало отсчета энергии...
173
Граничное условие удобно преобразовать с уче-Е
том того, что Sc (Е) — S —J (Е Е') dE' —
А. .
=2-^s(Q)dQ.
о
Поэтому д
Р(0| Д) =3-У S,(Q)dQ.	(5.93)
1 0
Решение уравнения (5.92) можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии (§3.11, 3,15):.
Р (/|Д) ==(1/2 га) f ехр (рД) [Л (р)/р] ехр [— 1А (р)] dp; <7—loo	*’
' А (р) = S - Ss (р).	(5:94)
Интеграл (5.94) можно вычислить приближенно, исполь-
зуя разложение (3.169). В этом приближении
Р (/|Д) = (1/2 ли) j ехр [у/р2/2 + р (Д — PZ)] (Р — ур/2) dp. с—1оо • х
С-Моо
Интеграл Л == J ехр [у/р2/2 + р (Д — р/)] dp вычис-1 c-~ioo
лялся в § 3.15. Он равен i У2 л/yl ехр [— (Д — р/)2/2 -у/].
Второй интеграл /2 — f ехр [у/р2/2 + р (Д — p/)J pdp вы-С — loo
числяется дифференцированием по параметру:
 /2 = dl-Jdk — •— i V2 л/(-у/)8 (Д — р/) ехр [— (Д — Р072 у1].
Таким образом,
Р (/|Д) = (1/2 rti) [рл - (?/2) /2] =
= [1/21/2 пу/] (Р + Д/Z) ехр J—(Д — р/)2/2 у/].
174
Легко видеть, что при I -> 0 и I -> оо показатель экспоненты стремится к — оо и Р (/(А) быстро убывает. Эта функ- ' ция заметно отлична от нуля только в области Z ~ 7 = = А/р, где
Р VIА) ъ (0/У2луТ) ехр [—(А — РО2/2?Л, (5.95)
т. е распределение I является нормальным с параметрами
7 = Д/р; о? = у7/ра « уА/р3	(5.96)
' и относительными флуктуациями
6£ = ст/Z = Vy/pA.'	(5.97)
Из этих формул видно, что флуктуации пробега определяются значением у (у характеризует флуктуации потерь энергии в индивидуальных столкновениях). С уменьшением у распределение (5.95) сужается, стремясь к 6-функции 6 (I — А/P), которая соответствует непрерывным потерям энергии.
Отметим,, что при фиксированной начальной энергии средний путь 7 и дисперсия пропорциональны ширине интервала А, в котором рассматривается замедление. Поэтому относительная флуктуация 6г с ростом А убывает и наименьшей будет флуктуация полной длины пробега частицы.
Формулы (5.96) получены в приближении постоянных сечений, поэтому их нельзя использовать для расчета среднего значения и дисперсии полной длины пробега 7? частицы, которая теряет при замедлении в веществе всю свою энергию. Чтобы вычислить R и аД, вернемся к уравнению (5.91) н преобразуем его в уравнения для двух первых моментов:
£
2R(E) — $Ss(E->E') R(E')dE'=l;
о
,	Е
2ЁЦЕ)~^а(Е^Е’)ЕЦЕ')аЕ'=2К(Е),	(5.98)
о
которые являются частным случаем уравнений (5.88). Решение этих уравнений получим с помощью метода возмущений (§4.12).
175
Перейдем под, интегралами к переменной Q — Е — Е'^ Если 2S (Е -> Е — Q) быстро убывает с ростом Q, то, разлагая R и R2 в ряды по степеням Q и пренебрегая для простоты поглощением, получаем
d^(E). у(Е) d?R(E)
-------г
(5.99)
В нулевом приближении в этих уравнениях можно пренебречь производными второго и высших порядков:
Р (E)clR0 (E)ldE = 1; Р (E)dE5 (E)idE = 2Ё0 (Е).	(5.100)
Соответствующая функция Грина в£(Е, Е') удовлетворяет простому уравнению Р (E)dGf (Б, E')ldE — 6 (Е — Е') и легко может быть найдена:
Со+ (Е, Е') = Со (£', Е) = l/p (Е').	(5.101)
С помощью этой функции Грина найдем решения уравнений (5.100):
Е	___ ГЕ
Eo(E)=J rfE'/P(E');	]>'/₽(£')
о
2
= ^(Е). (5.102)
Lo
Однако данное приближение, очевидно, недостаточно для решения задачи о флуктуациях, так как оД — R2 —	= 0, что соответст-
вует непрерывному замедлению частицы, когда ее энергия и путь однозначно связаны.
Удержим теперь вторые производные в уравнениях (5.99), рассматривая эти члены как возмущение. В первом приближении
Е
Ё (Е) = /?0 (Е) + f G+ (Е, Е') -у Ёо (Е') dE'. J	2 dE'2
0
Учитывая, что (dldE)R0 (Е) — 1/р (Е), и пренебрегая зависимостью у'от энергии, получаем
R (Е) = /~0 (Е) + у/4Ра (Е),	(5.103)
т. е. средняя длина пробега, вычисленная с учетом флуктуаций потерь энергии, больше длины пробега в модели непрерывного замедления.
Л В уравнении для R2 возмущенным является не только оператор L+, но и правая часть, которая с учетом (5.103) увеличивается на ?/2|32. В этом- случае R- = R- -ф дД^ где
£		—	Е
(Е)== Г G+ (Е, Е')	dE'+ f Gt (Е, Е')
• . J	ас А	J
о	-	-О'
?dE'
2Ра (Е')
176
Используя (5.101) и (5.102), приведем эту формулу к виду
Л	Е	Ef
7	2 J ps(E') v J ps(E') dE' J p (£")
0	0	0
Проинтегрируем второе слагаемое по частям: .
Е '	Е'	Е	Е
Г dE'	d$(E')	Г	dE"____________у	Г	dE'	у	Г	dE'
VJ рз(Е')	dE'	J	₽(£")	“	20» (23)	J	Р(£')+	2	J	Р2 .(£')’
 О	О	0	0
Подставляя найденные выражения для первых моментов в формулу для дисперсии	— 7?а и пренебрегая слагаемым,' содержа-
щим отношение у/ра во второй степени, окончательно получаем
Е
аД = у J dS'/P3 (£'')•	(6.104)’
о
Выражение (5.104) можно вывести и из (5.96), если Область (0, Е) разбить на малые интервалы Д и предположить, что пробеги в каждом. из них статистически независимы. Тогда дисперсию полной длины пробега можно получить суммированием дисперсий (5.96) по всем интервалам. В пределе при Д -+ 0 сумма перейдет в интеграл (5.104) [89, с.102].
Глава 6
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
§ 6.1. Случайные числа
Как отмечалось в гл. 5, прохождение частиц через вещество является случайным процессом. Каждый элемент траектории частицы — длина свободного пробега, угол рассеяния, энергия после ^рассеяния и т. п. — характеризуется случайной величиной, • имеющей известное распределение. Используя существующие алгоритмы получения на ЭВМ случайных чисел с произвольным рас- пределением, можно получать случайные значения элемен-' тов’траектории и тем самым — случайные реализации траекторий в веществе, эквивалентные (в статистическом смысле) траекториям реальных частиц. В силу этой эквивалентности рассматриваемый процесс можно считать моделированием случайного явления.
Совокупность траекторий, полученных в процессе моделирования, можно использовать для приближенного вычисления (оценки) необходимых характеристик поля излучения. Такой метод решения задач теории переноса называют методом статистических испытаний или методом Монте-Карло.
Простейшими по свойствам являются равномерно распределенные случайные числа £, плотность распределения которых pi (х) на отрезке [0, 1] числовой оси постоянна:
' pi (х) = /	Р {§<%} =х,	[0, 1]. (6.1)
10, х е [0, 11;
Существует несколько способов получения таких чисел [21; 30, с. 38; 69; с. 222; 72, с. 3; 87, с. 10]. Один из них основан на использовании теоремы, утверждающей, что дробная часть чисел вида «0, где 9 — любое иррациональное число, ал =1,2, 3, ..., представляет собой последовательность чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1). Так как эти числа получаются с помощью рекуррент
178
ных соотношений и не являются случайными в строгом смысле слова, их называют псевдослучайными. Практика вычислений и специальные тесты показывают; что они так же хорошо «работают», как настоящие случайные числа. Программы для получения таких чисел есть на любой современной ЭВМ.
Для решения задач методом Монте-Карло необходимы случайные числа с более сложными распределениями. Ни-
Рис. 6.1. Преобразование случайных чисел методом функции распределения
же показано, что их можно получить преобразованием равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел g.
Рассмотрим произвольную монотонно возрастающую функцию F (х), удовлетворяющую условиям F (а) — О, F (b) = 1 (рис. 6.1). С помощью соответствующей программы будем получать последовательность равномерно распреде-. ленных в интервале (0,1) случайных чисел £ и для каждого из них находить значение т]==К-1 (£). На графике это соответствует случайному выбору точки £ на оси Оу и нахождению с помощью кривой К (х) случайной точки г] на оси Ох. Полученные таким образом числа т] будут, очевидно, случайными. Найдем плотность распределения этих чисел. Для этого выделим на оси Оу малый интервал Ау и построим на оси Ох соответствующий ему интервал Ах. Очевидно, что Ах = lS.ylF' (х).
' В сериях из N испытаний в интервал Ау в среднем будет попадать JVAy случайных чисел £. Им соответствует такое
179
же количество чисел г) в интервале Дх, т. е. вероятность попадания числа ц в интервал Дх равна Дг/: Р {л € Дх} =* = Ду. Поэтому плотность распределения случайных чисел т] на оси Ох равна
pn(x)—-lim .	Ь==К'(х).
Дх->0 Лх
Проинтегрировав левую и правую части этого равенства в интервале (а, х), получим, что для нахождения случайных чисел с плотностью (х) в качестве F необходимо ис- ' пользовать функцию распределения
F (х) = f Pn (х) dx.	(6.2)
a	J
Как пример .приведем алгоритм для получения случайных чисел с экспоненциальным распределением в интервале (О, оо):
рч(х) = ехр (—х).	(6.3)
Подставив . (6.3) в (6.2), получим F (х) =1—ехр (—х), откуда К-1 (у) == — In (1 — у), т. е. экспоненциальное распределение будут иметь числа
г) = — In (1 — £).	(6.4)
Приведем также алгоритм получения случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (а, Ь):
т] = а + £ (Ь — а).	(6.5)
Этот метод преобразования случайных чисел называют методом функции распределения. Его основной недостаток состоит в том, что далеко не всегда удается вычислить в элементарных функциях интеграл (6.2) и найти обратную функцию К-1.
Рассмотрим еще один метод преобразования равномерно распределенных случайных чисел, который называют методом отказов или методом Неймана.
Объединим случайные числа равномерно распределенной последовательности парами (£, £') и будем использо?. вать их для получения, случайных чисел
я* = « + Пу	(6.6)
где a, I, h — константы; I > 0, h > 0. Пары чисел f)y можно рассматривать как координаты случайных точек равномерно распределенных в прямоугольнике с основанием
180	'
Рис. 6.2. Преобразование случай-ных чисел методом Неймана
I = b — an высотой h (рис. 6.2). Впишем в прямоугольник положительную функцию w (х) и выделим из последовательности случайных точек S5 те точки, которые оказались под кривой w (х). Их абсциссы образуют случайную последовательность чисел т] с распределением, вообще говоря, отличным от равномерного. Найдем плотность этого распределения. 
Случайные точки 5s распределены в прямоугольнике равномерно, поэтому среднее число чисел ц, полученных в серии из N испытаний, равно' ,
•^=(A/7s)S[0,	(6;7)
где s = lh —площадь прямоугольника; sw = ь
= J го (х) dx — площадь а
под кривой w'(x). Среднее число чисел г), попадающих в интервал Ах, определяется площадью заштрихованной области (см. рис. 6.2): JV{r] £Дх} =
— (N/s) w (х) Дх. Поэтому вероятность попадания числа г] в интервал Дх равна Р {т) 6 Дх} = N {т) 6 Дх}/^ = = [го (х)/8ш] Дх, а плотность вероятности
ь
(х) = w (x)/J to (х) dx, а<х < b. а
(6-8)
Таким образом, для получения случайных чисел с плотностью рт] (х) в качестве функции го (х) следует использовать саму плотность рл (х) или функцию, отличающуюся от нее на постоянный множитель.
Из рис. 6.2 видно, что число отброшенных случайных точек Сбудет минимальным, если высоту прямоугольника h выбрать равной максимальному значению функции го (х). Отношение среднего числа полученных, значений т] к среднему числу использованных случайных точек .9° называют эффективностью метода. Из (6.7) видно, что эффективность метода Неймана равна sw/s.
Эффективность метода Неймана в ряде случаев можно повысить, комбинируя его с методом функции распределения. Из рис. 6.2 следует также, что число отбро
181
шенных случайных точек уменьшается, если их абсциссы выбирать не из равномерного распределения, а из распределения близкого по форме к w (х). Тогда случайные точки будут чаще появляться в той части прямоугольника, где вероятность отказа меньше.
Пусть абсциссы точек получены из распределения р (х) методом функции распределения, а ординаты, как и раньше, из равномерного распределения. Абсциссы случайных точек, оказавшихся под кривой w (х), будем принимать в качестве случайных значений ц. Найдем их плотность распределения рп (х).
Из N случайных точек SP координату х в интервале Ах будут иметь N {х £ Дх} = Np(x) Ах точек. Из них Np(x) Axw(x)/h точек окажутся под кривой да(х). Поэтому полное число случайных чисел т| в серии из N испытаний .
f ь .	>
= (N/h.) J р (х) w (х) dx,	(6.9)
а
а плотность их распределения
ь
Рп (х) — Р (*) ® (х)6р (*) w (х) dx. (6.10) ‘	а
Таким, образом, если плотность распределения можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых нормирована на единицу, этот сомножитель можно использовать для выборки случайных чисел методом функции распределения, а второй сомножитель—в схеме отказов. Эффективность такого метода получения случайных чисел ь
равна N^/N — (l//i)Jp (х) w (х) dx. Для увеличения эффек-а
тивности алгоритма, как и в методе Неймана, следует выбирать h равным максимальному значению функции w (х): h = max w (х) = max [pfl (x)/p (x)].
Легко видеть, что при р (х) =рТ] (х) эффективность метода становится равной единице, а сам он превращается в метод функции распределения. В другом предельном случае, когда р (х) =J/(& — а) (равномерное распределение), рассматриваемый метод совпадает с методом Неймана.
Ряд специальных методов моделирования неравномерных распределений рассмотрен в работах [21,с. 97; 30, с. 62; 72, с. 3; 87, с. 70].
182
§ 6.2. Моделирование траекторий частиц в однородной среде
Источник. Моделирование траектории начинается с розыгрыша ее начала, т. е, с определения координат точки рождения частицы г0, направления ее движения й0 и энергии Ео. Считая, что источник нормирован на единицу: fdr^dQ^dES (г, О, Е) ~ 1, запишем вероятность появления г о в элементе объема dr.
Р {г0 е dr} = dr^S (г, й, E)dQdE = S (г) dr, (6.11)
а также условные вероятности попадания й0 ed£l и Ео в dE‘, fS(r, Я, £) dE
Р {Йо 6 dQ | r0=r) = dQ -I- ---- --=
J JS(r, Я, E)d(ldE
= -^~^-dQ;	(6.12)
S (г)
Р{Е0 е dE |r0=r, Q0—Q}=dE-~ S Q’^ =
/S(r, Я, Е) dE
S(-T’Q’J) dE.	(6.13)
S (г, Я)	v '
Перемножив (6.11) — (6.13), получим
Р {го € dr} Р {й0 6 dQ |г0 = г) Р {£„ € <^|г0 = г, й0 = = й} = S-(r, й, Е} drdQdE,
т. е., выбрав последовательно г0, Йо и Ео из распределений
Рг, (г) = S (г); Р&о (й|г0) =.S (г0, й)/5 (г0); .
РЕ, «0) — S (Го, Йо', Е) /S (г0, й0),	(6.14)
найдем совокупность случайных величин (г0, Йо, Ео) с распределением S (г, Й, Е). Если переменные в функции плотности источника разделяются:
S (г, й, Е) = ST (г) Sft (й) SE (Е),	(6.15)
то соответствующие случайные величины моделируются независимо друг от друга. Действительно, подставляя (6.15) в (6.14), получаем
Рга (г) = Sr (г); pfto (Й) = Sjj (Й); рЕо (Е) = SE (£). (6.16)
183
Отметим, что координаты и направление движения частицы также представляют собой совокупности случайных величин: г — (х, у, г}, Й = { cos й, ср}, и для моделирования распределений рГо (г) и р&0(й) можно использовать соотношения, аналогичные (6.14):
рХо (х) S (х); реа (у) = S (х0, y)/S (х0);
pZa (z) = S (х0, у0, z}IS (х0, уоу,	(6.17)
S (х) = JJS (х, у, z) dydz; S (х, у) = J’S (х, у, z) dz и т. п.
Пусть, например, изотропный источник частиц с энергией Ео = const равномерно распределен в кубе с ребром а и центром в начале координат. Тогда в функции плотности источника переменные разделяются:
S (г, Й, £) drdQdE = (dr/a3) (dG/4n) 6 (Е — Ео) dE, (6.18) причем в декартовой системе разделяются и пространственные переменные S (г) dr — (dx/a) (dy/a) (dz/d); — a/2<x< < a/2; — a/2 < у < a/2; — a/2 < z < a/2. Согласно (6.5), розыграш координат из этого распределения можно производить по формулам
х0 = al —• а/2; у0 = al — a/2; z0 == al — a/2, (6.19) где все В — независимые равномерно распределенные слу* чайные числа.
Для розыгрыша направления заметим, что
Р {й0 £ d£i} = йй/4л — (1/2) dcos й' • (1/2 л) dtp, т. е.
cos й'о и <р0 распределены независимо и равномерно в интервалах (—1, -|-1) и (0, 2 л) соответственно. Поэтому для их розыгрыша можно использовать формулу (6.5):
cos Й'О = 2| — 1; ф0 = 2 л£.	(6.20)
Энергия в данном случае не является случайной величиной (она равна фиксированному значению До) и поэтому не разыгрывается.
Если источник равномерно распределен в шаре радиусом а, то декартовы переменные в функции S (г) уже не разделяются. В этом случае удобно перейти к сферическим координатам (г, а, Р), в которых
S (г) dr=	J™? Л .	(6.21)
(4/3) яаз (fl 2	\2л
184
Функция распределения для радиуса имеет вид. Р {го<0 = J3 r'^dr'la* — (г/а)я, и метод функции распределения дает для выборки гй алгоритм
г0 = a	(6.22)
Координатные углы а0 и |30 находят по формулам аналогичным (6.20).
Длина свободного пробега. Согласно (1.1), рас-, пределение длины свободного пробега 1г частицы с энергией Ео в однородной среде имеет вид рп (Z)= = S (Ео) ехр [— 3 (Ео) Z], откуда Р {Z :L < 1} = 1 — -г- ехр [— 5 (Ео) I]. Находя обратную функцию, получаем алгоритм для розыгрыша Zx:
= - З-1 (Ео) In (1 - g).	(6.23)
Учитывая статистическую эквивалентность случайных величин £ и (1 — |), перепишем (6.23) в более простом виде:
h = -(М)/3(£0).	(6.24)
Зная координаты точки рождения частицы, направление ее движения и длину свободного пробега, легко найти точку первого взаимодействия частицы со средой
Г1 = Го +	(6.25)
или в' проекциях:
*1 = х0 -Hi sin Фо cos ф0; ух = у о + Zx sin f)'o sin ср0;
гх = z0 Н~ Zx cos Й’о.	, (6.26)
Тип взаимодействия. Поскольку в процессе свободного движения частицы направление движения Йо и энергия Ео не меняются, состояние частицы в момент первого столкновения характеризуется параметрами гх = г0 Qi = .= Йо, Ех = Ео. При столкновении с вероятностью ps = = 2S (EJ/2 (Ег) частица испытывает рассеяние («выживает»), а с вероятностью рс = Зс (Et)/^ (Е^) происходит, поглощение (частийд «гибнет»). Согласно (6.1),
Р а < Ss (Bx)/S (Ех)} = 5S (Ех)/3 (£х),	.(6.27)
185
поэтому для розыгрыша типа взаимодействия достаточно взять случайное число Е; и сравнить его с вероятностью рассеяния (вероятностью выживания):
если £ < Ss (£i)> т0 произошло рассеяние; ) если i > Ss (EJ/2 (£1), то произошло поглощение, /
(6.28)
В случае поглощения траектория обрывается и начинается моделирование следующей траектории. В случае рассеяния переходят к розыгрышу . направления й энергии частицы после рассеяния.
Рассеяние.- В процессе рассеяния частица случайным образом меняет направление движения йх-э-йа и энергию	в соответствии с дифференциальным сечением
рассеяния:
Р {Й2 Е dQ, Ег £ dE} = 2г1 (£? X
X2S (4ij-> Й,	dQdE.	(6.29)"
Согласно изложенному на с. 183—484, розыгрыш из этого распределения можно осуществить, выбирая сначала направление Й2 из распределения
Рй2 (Й) = 2Г1 (£х) j Ss (Рх Й, Е. -> Е) dE =
. , =2Г1.(В1)28(Й1->Й, EJ, (6.30)
а затем энергию. В2 из распределения
pEs (Е|йа) = Ss (Йа -> Й2, Ег -4- Е)/28 (Йг -> Й2, EJ.
(6.31)
При выборке й2 следует учесть, что сечение 2S (йх -> й, Б0 зависит от cos 0 = й*й и симметрично по азимуту. Поэтому сначала следует разыграть углы рассеяния -0J и а потом перейти к углам Фа, <р2, определяющим направление частицы после рассеяния, по известным формулам сферической тригонометрии:
cos d2 =. cos cos 0Х + sin sin 6г cos
Фг = <Pi + &<P15
sin Atpx == sin sin %i/sin й'2;
cos Дфх = (cos 0t — cosO1! cos O2)/sin Фх sin 02. (6.32)'
Если энергия рассеянной частицы однозначно связана с углом рассеяния (как это имеет место в упругих соударениях), величину Е2 не разыгрывают, а находят по известным энергии Е± И углу рассеяния 0х-
186
Иногда, удобнее разыграть сначала энергию, а затем разыграть (или вычислить) угол рассеяния. Так поступают при моделировании комптоновского рассеяния у-квантов [99, с. 215).
'Продолжение- траектории. Разыгрывая длину пробега частицы после первого столкновения
12 = - In g/S (Б2),	(6.33)
находим точку
,	г2 == гх + /2Й2	(6.34)
второго столкновения- и т. д. Таким образом, формулы (6.28)—(6.34) позволяют разыграть точку х2 в фазовом пространстве по известной точке хх в соответствии с известными вероятностями элементарных процессов. Заменяя в этих формулах индекс 1 индексом k, а индекс 2 — индексом k + 1, получаем алгоритм моделирования произвольнбго перехода хй хй+1, последовательное использование которого позволяет продолжать моделирование траектории до’ тех пор, пока она не выйдет за пределы поглотителя или не испытает поглощения. '
§ 6.3. Траектории частиц в неоднородной среде
Простейшим примером неоднородности среды в. задачах переноса является граница с вакуумом. Построение случайных траекторий в таких задачах заканчивается не только при поглощении частицы, но и в том случае, если очередная длина пробега окажется больше, чем расстояние от точки, где произошло последнее столкновение, до границы (в направлении движения).
Рассмотрим произвольную неоднородную среду. При выводе формулы (6.33) для розыгрыша длины пробега использовалось выражение ехр (— SsZ), описывающее ослабление нерассеянного излучения на расстоянии а воднородной среде. Аналогично можно получить соответствующую формулу для неоднородной среды, исходя из более общего выражения ехр [—т (г\ г, £)], где г' = r+sSl; т.(г, г', Б) = J 2 (г + s'£2, Е) ds' — оптическое расстоя-о
ние вдоль направления движения частицы. Из этой фор-
187
мулы следует, что вероятность иметь длину пробега в интервале ds равна
Р {s < I < s + ds} — S (г + sQ, Е) X
X ехр [— т (г,г + sfl, Е)] ds.	(6.35)
Алгоритм выборки из распределения (6.35) можно получить с помощью метода функции распределения, который приводит к следующей формуле для длины пробега Z:
i
— In g = С S (г Ч- 8'Й, Е) ds' = т (г, г -|- IQ, Е). (6.36) ь
Если поглотитель состоит из нескольких областей, в каждой из которых он однороден, то функция S (г, Е) кусочно-постоянна и интеграл в (6.36) превращается в сумму
т (г, г + IQ, Е) = 2	(Е) ч- (Е). . (6.37)
Здесь Z<A> — отрезки, на которые границы различных областей рассекают луч, проведенный из последней точки столкновения в направлении движения частицы; 2W — соответствующие этим областям коэффициенты ослабления; т — число границ, которые частица пересекла на пути между двумя столкновениями (оно определяется как максимальное значение индекса k, для которого SZWEW (Е) < k
<С — In Q); Z' — длина пробега частицы в области с номером (т -|- I), где произошло взаимодействие. Таким образом, формула .для розыгрыша длины пробега имеет вид
I = 2 iw — [1/SW-D (£)] [ 2 Z<*)S<*> (E) -I-/г=1	/г=1
+ in a	(6.38)
При определении длины пробега находят и номер области т + 1, в которой произошло столкновение. Сечения взаимодействия в каждой области предполагаются известными, поэтому розыгрыш типа взаимодействия, направления движения и энергии частицы после столкновения проводят методами, описанными в § 6.2.
Существует еще один метод построения траекторий в неоднородной среде [71, 113]. Запишем кинетическое уравнение в виде Й V ® (г, О, Е) + 2 (г, £)Ф (г, Й, Е) — Rs Ф (г, й, Е) = S (г, й, Е) 188
и в левой части проделаем следующее преобразование:
2 (г, Е) = 2 (Е) — [2 (Е) — 2 (г, 5)] = 2 (Е) — [2 (Е) -— 2 (г, Е)] Jdfi'JdE'fi (Q'— Й)6 (Е'— Е), где 2 (5) — положительная функция, удовлетворяющая условию
2 (Е) > 2 (г, Е).	(6.39)
Величину
•2е (г, й' -+ й, Е' -> Е) = [2 (Е) — 2(r , Е)] X Хб'(й' — й)6 (Е1 — Е)
можно рассматривать как дифференциальное сеуе.тие «6-рассеяяия» и переписать исходное кинетическое уравнение в виде
й V Ф (г, й, Е) + 2 (Е)Ф (г, й, Е) — (Ks +.К6)Ф (г, й, Е) =
= 5 (г, й, Е),	.	(6.40)
где Кв — интегральный оператор  6-рассеяния, ядром которого является функция 2е.
Уравнение (6.40) описывает перенос частиц в среде с линейным коэффициентом ослабления 2 (Б), не зависящим от координат, поэтому для розыгрыша длины пробега теперь можно- использовать обычную формулу (6.24), Однако при каждом столкновении кроме обычного процесса рассеяния, описываемого оператором Ks, оказывается возможным и 6-рассеяние, которому соответствует оператор Кв. .В уравнении (6.40) сечение 2 (Е) запишем в виде суммы сечений реальных взаимодействий и 6-рассеяння: 2 (Е) = 2 (г, Е) + 4- [2 (Е) — 2 (г, Е)] и преобразуем эту формулу к виду 2 (г, Е)/2 (Е) + [2 (Е) — 2 (г, Е)]/2 (Е) = 1, который определяет относительные вероятности таких процессов. Тогда последовательность вычислений при построении случайных траекторий будет следующей.
1.	Разыгрываем длину пробега Z в однородной среде с коэффициентом ослабления 2 (Е).
2.	Вычисляем координаты точки столкновения г1=г-|ч!й.
3.	По координатам гх определяем, в какой области произошло взаимодействие.
4.	Вычисляем для этой области вероятность 6-рассеяния р6 = [2 (Е) - 2 (г, Е)]/2 (Е).
5.	Определяем тип взаимодействия: если | < р6, то произошло 6-рассеяние, в противном случае — одно из обычных взаимодействий.
6-Рассеяние не изменяет энергии и направления движения частицы, а вычисления для обычных взаимодействий описаны выше.  В качестве функции 2 (Е) удобно выбрать 2макс(Е) — максимальный из коэффициентов ослабления в неоднородном поглотителе. В этом случае условие (6.39) выполняется автоматически. Использовать функции 2 (Е) > 2макс (Е), очевидно, нецелесообразно, так как это приведет к уменьшению длины пробега и увеличению числа столкновений в истории.
189
§ 6.4. Аналоговое вычисление характеристик поля излучения по случайным траекториям
Если при моделировании случайных траекторий использовались те же вероятностные законы, которые определяют прохождение реальных частиц через вещество, то построенные траектории статистически эквивалентны реальным и по ним можно оценивать характеристики поля излучения.
Например, в процессе моделирования легко определить, какое количество энергии теряет частица в любой области пространства, число столкновений или длину пути в этой области, а также число пересечений границы области. Эти величины, конечно, случайны. Среднее арифметическое, вычисленное по N траекториям, дает приближенное значение (оценку) математического ожидания соответствующей . величины.
Приближенное значение локальных характеристик поля излучения также можно найти, исходя из их физиче- ского смысла. Например, отношение среднего числа столкновений или средней энергии, теряемой частицами в малой области, к объему этой области дает оценку плотности столновений или плотности переданной энергии.
Некоторые характеристики поля излучения могут иметь несколько эквивалентных определений. Так, дифференциальная' плотность потока частиц выражается через плотность столкновений, через число пересечений единичной площадки и через путь частиц в единичном объеме фа-, зового пространства (§ 1.3). Любое из этих определений можно использовать для оценки плотности потока.
В соответствии с формулой (1.19) оценку плотности потока по столкновениям можно получить, подсчитав среднее число столкновений в малом объеме фазового пространства Ах = АУАйАЕ и просуммировав вклады этих столкновений:
Ф (х) « (1/Ах) (UN) 2<7ф(Х/),	(6.41)
где N — число построенных траекторий; суммирование производится по всем столкновениям, данного набора траекторий; Xj — фазовые координаты точек столкновений;
<7ф(х0 — вклад в плотность потока от одного столкновения:
1/2 (хг), если х£ g Ах;
О в противном случае. (6.42)
<7®(хг) =
190
Рассмотрим теперь' малую площадку As с центром в точке г и нормалью п. Согласно § 1.3, приближенное значение . плотности потока можно получить, подсчитав число пересечений этой площадки:
Ф (г, Й, Е) & (1/АзДйАБ) (1/ЛГ) Ж (хг),	(6.43)
где
7® (хг) =
1
t7z—- , если отрезок гг — гг_х пересекает
. площадку As, а Йг £ АЙ, Бг 6 АБ;
0. в противном случае.	(6.44)
Формулы (6.43), (6.44) дают оценку плотности потока по пересечениям. Наконец, в соответствии с § 1.3
Ф (х) « (1/Дх) (1/^ Ж(х;),	(6.45)
i
где <7®(хг)—та 'часть длины отрезка гг — гг_ъ которая лежит в объеме АУ при условии, что Й2- 6 АЙ, Et 6 £ АБ. Формула (6.45) определяет оценку плотности потока по длине пробега [88, с. 85].
Легко видеть, что формулы (6.41)—(6.45) дают среднее значение плотности потока в области АУАйАБ или АзАЙАБ. Чтобы это значение меньше отличалось от вычисляемого значения Ф (г, й, Б), размеры области’должны' быть достаточно малы. Однако при этом уменьшается вероятность попадания частицы в данную область, что увеличивает статистическую погрешность оценки (§ 6.7).
В § 1.4 было показано, что сигнал аддитивного детектора, имеющего функцию чувствительности D (х), можно записать в виде линейного функционала от Ф (х):
J =J D (х)Ф (x)rfx.	(6.46)
Чтобы получить алгоритм вычисления такой характеристики поля излучения, разобьем все фазовое пространство на элементарные объемы Аха, запишем формулу (6.41) для каждого из этих объемов: Ф (ха)= (1/Аха) (W) X X (хг), умножим обе части этого равенства на i .
D (ха) Аха и просуммируем по а. Тогда, учитывая, что' в- пределе Аха -> 0 ЗБ(ха)Ф (ха) Аха -+ j £)(х)Ф(х) dx, <	а
получаем <	
J ^Jn ZqD (Xi),	(6.47)
191
где
qD (Xi) = [1/2 (Xi)] D (хг),	(6.48)
т. e. оценку показаний аддитивного детектора можно найти, усредняя по траекториям сумму отдельных столкновений. Формула. (6.48) определяет значение вклада. Легко показать, что эта формула согласуется с физическим смыслом функции чувствительности. Для этого перепишем (6.46) в виде
J = j qD (х) F (х) dx,	(6.49)
где F (х) = 3 (х) Ф (х) — плотность столкновений (1.19), a ~qD (х) = [1/3 (х)] D (х) — средний вклад столкновения (1.30).
Расчеты, в которых моделирование траекторий ведется с использованием реальных вероятностей перехода, а характеристики радиационного поля вычисляются в соответствии с их физическим смыслом, называют аналоговыми.
§ 6.5. Неаналоговые методы вычисления показаний детектора
При аналоговом моделировании показаний детектора J вклад каждого столкновения является случайной величиной:
, . _	(х),	если частица поглотилась;
qo (х) —	(Й-э-Й', Е-у-Е'), если частица испытала рас-
сеяние (Й->Й', £->£').
В то же время в формулы
J .== $ D (х) Ф (х) dx; J = У qD (х) F (х) dx (6,50)
и в кинетические уравнения для плотности потока Ф и плотности столкновений F (гл. 2) входит лишь среднее значение этого вклада. Поэтому если вместо qD (х) вычислять на тех же траекториях величину (х), такую, что ее значение, усредненное по возможным исходам столкновения: [30 (Д)/3 (E)]qcJr, Й, Е) + [1/3 (E)]$dQ,$dE,'Ss (Й -> Q', Е Е') qs (й -> Й', Е -> Е'), является тем же, что и прежде, то J при этом не изменится. Во многих случаях удобно положить <7~ (г, й, Е) = qs (г, Й -> й', Е -> £')= = qD (г, й, Е), т. е. вклад каждого столкновения считать
192
равным среднему значению (аналитическое усреднение вкладов).
Пусть, например, требуется найти вероятность поглощения частицы'в некотором объеме ДУ. В аналоговом методе для этого необходимо построить N траекторий и взять отношение числа «поглощенных» в объеме траекторий к общему числу построенных. Другими словами, при таком моделировании qs = 0, a qa,= 1 и qo = 2С/3. Полагая, что в каждом столкновении qD = Sc/S, получаем более эффективный способ оценки числа поглощений. Увеличение эффективности обусловлено тем, что вклад в вычисляемую величину будут теперь давать все столкновения, происшедшие в объеме ДУ, а не только поглощения, как это было в аналоговой оценке.
В большинстве задач теории переноса вычисление вклада нерассеянных частиц не представляет трудностей и основное внимание уделяется рассеянному излучению. Записав интегральное уравнение переноса в операторном виде (4.110):
Ф=ФО + КФ,	(6.51)
увидим, что плотность потока рассеянных частиц Ф8 связана с плотностью потока всех частиц Ф соотношением Ф8 — КФ, а ее вклад в функционал имеет вид Js = (Д,КФ). Перейдя к сопряженному оператору, перепишем эту формулу в виде
Js = (Ф, K+D) = (F, hs),	(6.52)
где- F — плотность столкновений, а
hs (х) = [1/S (х)1 K+D (х)	(6.53)
— среднее значение вклада следующего столкновения, если рассматриваемое столкновение произошло в точке х=(г, й, Е). Сравнив (6.52) с (6.50), увидим, что Js можно вычислить, моделируя случайные траектории и считая вклад каждого столкновения равным hs (х). По аналогии-с изложенным выше этот способ можно рассматривать как усреднение вкладов не только по исходам столкновения в точке х, но и по всем возможным точкам следующего столкновения.
Формулы (6.52), (6.53) применяют для оценки локальных характеристик [32; 72, с. 92]. В этом случае
7 Зак. 1717
193
D (г, й, Е) = D' (Q, Е) 6 (г — г0) и л Ss7r,	Е -> Е'
< д(г^-----------
ехр [ — г (г, г0, E')]D' (Qp> Е')
Х	| г—г0 |а
Qd= r°"j—. I Гр—Г |
(6.54)
В отличие от рассмотренных выше способов оценки локальных характеристик последний метод обладает некоторыми преимуществами: вклад в искомую величину дает каждое столкновение, а математическое ожидание вклада траектории в точности совпадает с искомой величиной. Недостатком этого метода является сравнительно медленное уменьшение статистической погрешности с увеличением Я, обусловленное бесконечным значением дисперсии.
Выражая, согласно § 4.8, Фо и К через операторы Go и Ks и подставляя их в формулы (6.50), (6.51), получаем
J=(D, 60S)'+(D, GOKS(D).
Воспользовавшись определением сопряженных операторов, преобразуем это выражение:
J = (Go+ D, S + К8Ф) = (/г, S),	(6.55)
где S. (г, Й, Е) = S (г, О, Е) + рй'^Е'Е., (г, О' О, Е' -> Е) Ф (г, й', Е') — эффективная плотность источников (§ 1.3), а
h (г, й, Е) = Фо+ (г, й, Е) =
= [ ехр [— т (г, г', Е)] D (г', й, Е) dt г'= г -|- £й (6.56) о
— вклад частицы, вылетающей из точки г в направлении й с энергией Е, .усредненный по следующему столкновению в детекторе. На этом результате основан еще один способ оценки функционала J: сразу после рождения частицы в источнике и после каждого рассеяния вычисляют средний вклад h (х) и эти вклады суммируют. В частности, при оценке полной плотности потока в плоско-параллельной геометрии за барьером, толщиной Н вклад частицы. h (z, Й, Е) после рассеяния на глубине z равен (l/|cos 'ftj) X X ехр {— 2 (Е) (Я — z)/cos &}, если угол ф между осью 0z и направлением движения частицы меньше прямого,\ и равен нулю в противном случае.
194
§ 6.6, Неаналоговое моделирование
• Выше было показано, что среднее значение показаний аддитивного детектора представляется в виде функционала от решения некоторого интегрального уравнения. В то же время его можно вычислить статистическим моделированием траекторий частиц, поэтому метод Монте-Карло можно рассматривать как численный метод решения интегральных уравнений [30, с. 258; 58; 72, с. 55; 87, с. 161; 88, с. 71]. Остановимся на этом подробнее.
Рассмотрим случайный процесс блуждания частиц в некотором фазовом пространстве, точки которого обозначим х. Пусть рх (х) — плотность распределения первых столкновений частицы; р0 (х) — вероятность поглощения частицы при столкновении в точке х; р (х -> х') dx' — вероятность рассеяния частицы в точке х с последующим столкновением в элементе dx' фазового пространства. Интеграл
ps (х) = jp (х х') dx'	(6.57)
представляет-собой вероятность того, что после столкновения в точке х частица испытает еще хотя бы одно столкновение. В случае бесконечной среды эта величина есть вероятность выживания частицы при столкновении в точке х. Легко видеть, что
Ро (X) + Ps (х) == 1.	(6.58)
Из этих определений следует, что с вероятностью рх (хх) dxxp0 (хх) первое столкновение частицы произойдет в элементе dx1 и это столкновение будет поглощением, т. е. на траектории будет только одно столкновение. Аналогично рх (хх) dxtp (хх —>-х2) dx^pa (х2) есть вероятность того, что на траектории будет два столкновения — рассеяние в элементе объема dx1 и поглощение в элементе dx2. Таким же образом находится’вероятность испытать любое число столкновений п:
p1{x1)dx1p (Xi-^x^dx^p (х2->-х3)^Хз ...
...p(xn_1->xn)dxnp0(Xn). '	(6.59)
Вклад траектории в показания детектора определяется последовательностью точек столкновения:
хх, х2, ..., хп	(6.60)
(хп — фазовые координаты точек столкновения, в которых произошло .поглощение частиц'ы).
7* .
195
Будем говорить, что на множестве траекторий задан некоторый функционал, если каждой траектории (6.60) ставится в соответствие определенное число Q:
Q =ФП (Хх, х2, ..., хп),	(6.61)
где {Фп} — заданная совокупность функций. Величина Q является случайной, так как случайны число столкновений в траектории и фазовые координаты точек столкновения. Учитывая (6.59), (6.61), математической ожидание функционала Q можно записать в виде
Q = 2jdxJ г/х2,.. J dxnp1 (хх) р (хх -> х2) X /1= 1
Хр (х2-> х3)... р (хп_х—>-хп) р0 (хп) Фп (хх,х2, ..., хп). (6.62)
Каждый член суммы (6.62) содержит множитель рг (хх) под знаком интеграла по переменной хх. Вынесем этот общий множитель и перепишем (6.62) следующим образом:
Q = \dx-iPi (хх) Q (хх),	- (6.63)
где
Q(xi) = р0 (хх)Ф1 (xi) + Spx2fdx3... п=2
... f dxnp (хх —э-х2) р (х2~>х3) ... р (хп_х —>• xn) X
Хро (хп) Фп (Х1, х2, .... хп).	(6.64)
Эта величина есть, очевидно, среднее значение функционала Q на траекториях с фиксированным значением координаты первого столкновения. Поскольку функция-рх (х) предполагается известной, для вычисления Q по формуле (6.63) необходимо знать условное среднее"Q (х).
Сумму в формуле (6.64) можно преобразовать аналогично, вынося за скобки общий множитель р (хх -> х2) и записав эту сумму в., виде
fdx2p (хх-ч-х2) Q (хх> х2),	(6.65)'
где . -	_
Q (хх, ха) = р0 (х2) Ф2 (хх, ха) +
-г 2j'dx3Jdx4 ... \dxnp (х2 —х8) X п—3
Хр (х3—> Х4) ... р (хп_х —Хп) Цо (Хп) Фп (Xj, Х2, ..., Хп)
196
— среднее значение функционала Q на траекториях с фиксированными значениями координат двух первых столкновений.
Подставив (6.65) в (6.64), получим формулу
Q Сч) = Ро (хх) Ф1 (хх) + (хх -»• х2) Q (хх, х2), (6.66) которая выражает величину Q (хх), необходимую для вычисления математического ожидания Q, через условное среднее Q (xj/x^ Аналогично величину Q (хх, х2) можно выразить черед. Q (хх, х2, х3) и т. д. Эти вычисления приводят к рекуррентному соотношению
 Q (хх, х2, .... хп) =р0 (хп) Ф„ (хх, ха, .... х„) -|-
h pxn;xp (xn->-x,l+1) Q(хх,х2,-...,хп+х),	(6.67)
которое вместе с формулой (6.63) позволяет записать математическое ожидание Q в виде бесконечного ряда, эквивалентного (6.62). Однако при определенных ограничениях, налагаемых на функции' Ф, условное среднее Q (хх, х2, ..., х„+1) для некоторого п выражается через Q (хХ| х2, ..., хА), где k п [58], и рекуррентное соотношение (6.67) превращается в замкнутую систему уравнений для Q (хх, х2, ..., xft), k п. В этом случае вычисление Q сводится к решению системы уравнений и вычислению интеграла (6.63).
В качестве примера рассмотрим функционалы рекуррентного типа, для которых
Фп (хх, ха, ..., xn) = w (хх) фп (хх, х2, .... хп); (6.68) фп (хХ) х2, ..., хп) = фХ (хх) + w (хх, х2) X
X Фп-Х (х2, х3, .... Хп),	(6.69)
где w (х), w (х, х'), фх (х) — неотрицательные функции. Используя (6.68), (6.69), легко показать, что
ф2 (хХк х2) = фх (хх) + w (хХ) х2) фх(х2);
Ф3 (хх, х2, х3) = фх (хх) -I- w (хх, х2) фх (х2) -ф + w (хх, х2) w (х2, х3) фх (х3); , п	£—1
Фп (хх, х2, ..., хп)=2фх(хг) Пау (хь х/+х).
г=1	/=1
(6.70)
)
197
Из формул (6.68)—(6.70) следует, что такой функционал, вычисляемый на случайных траекториях, есть сумма вкладов <рх (хг) отдельных столкновений, каждый из которых умножается на величину
гтг1
Wi (хх, х2, .... хг) = w (хх)П w (x}, X/+1), называемую статистическим весом. Эту формулу удобно переписать в виде рекуррентного соотношения
(Xi) = ам (Хд.); Wi (хх, х2, .... хг) =
, = Hxw. хг) (х1( х2, ..., хг_х). ' (6.71)
Чтобы вывести уравнение для условных моментов, перепишем (6.68), (6.69) в виде
Фп (х.г, х2, ..., xn) = w (xj) {<рг (хх) + I® (xi, х2)/ю (х2)] х
X Фп-1 (х2, хз> •••> хп)]>	(6.72)
зафиксируем значения х1( х2 и усредним это равенство по остальным переменным. Учитывая, что при таком усреднении величины w (хх), ср! (хх) и да (хх, х2) уже не случайны, получим
Q (xi, х2) = да (хх) (<рх (хх) [да (хх, x2)/w (х2)] X
XQ(x2)).	(6.73)
Подставляя (6.73) в (6.66) и учитывая (6.57), (6.58), получаем линейное интегральное уравнение  
7(х) = <Р1 (х) + У dx'p (х х') (х- х') 7 (х')> (6-74) где
(х) =Q (х)/да(х).	(6.75)
Таким образом, вычисляя на случайных траекториях среднее значение функционала (6.68), (6.69), мы тем самым находим интеграл (6.63):
Q = У dxpx (х) да (xj~q (х),	(6.76)
где <? (х) — решение интегрального уравнения (6.74).
Сравним формулу (6.76) с формулой (1.37) для показаний детектора. В стационарном случае она имеет вид
J = У Fx (х) F+(х) dx‘,	(6.77)
198
где Т7! (х) — плотность первых столкновений, a F+ (х) — ценность частицы, испытавшей столкновение в точке х. Уравнение (6.74) сравним с уравнением (2.46) для ценности К+(х), которое запишем в виде
F+ (х) = 9d(x) + J dx'K (х х') F+ (х').	(6.78)
Из сравнения видно, что Q == J, если выполняются условия:
Pi (х) w (х) = Кх (х),	(6.79)
cpi (х) = 7д(х)	(6.80)
и
р (х ->- х') w (х, х') = К (х ->х').	(6.81)
Проведенный анализ показывает, что для вычисления показаний аддйтивного детектора в неразмножающей среде можно строить траектории с использованием вероятностей pi (х.) и р(х->-х'), отличных от F-l (х) и 7<(х->х'), описывающих реальный процесс переноса. При этом вклад каждого столкновения умножается на «весовой» множитель (6.71), где w (х) и w (х, х'), согласно (6.79), (6.81), определяются соотношениями
® (к) = Fi (*УР1 (х); w (х, х') =
=/< (х-> х')/р (х-> х').	(6.82)
Формулы (6.82) называют условиями несмещенности, а описанный метод — неаналоговым моделированием. Аналогичные результаты получаются и для среды с размножением [96].
Таким образом, для решения одной и той же задачи можно выбирать различные вероятности рх (х) и р (х -> х'), ограничиваясь лишь следующим естественным условием: будучи определены в том же фазовом пространстве, где заданы функции Кх (х) и /{ (х-> х'), они не должны обращаться в нуль там, где не равны нулю заданные функции [только в этом случае выражения (6.82) имеют смысл]. Различные способы неаналогового моделирования, называемые модификациями метода Монте-Карло, дают оценки с одним и тем же математическим ожиданием, но различными дисперсиями. Одной из задач теории метода Монте-Карло является разработка определенных рекомендаций по применению этих методов к решению конкретных задач.
'199
§ 6.7. Дисперсия оценок
Приближенное значение какой-либо характеристики поля излучения, вычисляемое как выборочное среднее
функционала (6.61):	= (l/^) Qi = (хХ1 ..., xni),
где N — число построенных траекторий, является случайной величиной. Проводя повторные вычисления этой величины с тем же числом траекторий W, получим различные значения Jn, так как фазовые координаты точек столкновения в каждой серии траекторий различны. Разность между искомым средним значением J и выборочным средним JN представляет собой статистическую погрешность расчета.
Если дисперсия вклада отдельной траектории DQ = = Q3 ~~ Q2 конечна, то для N независимых траекторий
DJn = (1/M)DQ,	(6.83)
а относительная статистическая погрешность определяется как
. 8Jn = yDJ^/JN = <5q/J/m, .	,(6.84)
где <5q = ]/DQ/Q — характеристика одной траектории, не зависящая от М. Из формулы (6.84) видно, что с увеличением числа построенных траекторий относительная статистическая погрешность убывает как l/j/M. Погрешность результата расчета можно определить по тем же траекториям,. что и среднее значение, воспользовавшись оценкой дисперсии
N
DQ « [1/(Л7 - 1)] 3 (Qf - Q)a (6.85)
и подставив затем (6.85) в (6.84). Метод вычисления статистической погрешности в случае бесконечной дисперсии (локальная оценка) описан в работе [97].
Распределение вклада траектории и его моменты, определяющие статистическую погрешность оценки, можно исследовать методами, изложенными в гл. 5. Как и в §6.6, будем предполагать, что точка первого столкновения случайна с плотностью вероятности (х), а вероятность 200	.	.
перехода х -> х' описывается функцией р (х->х'). Тогда вероятность поглощения
Ро (х) = 1 — /р (х -*• х') dx'. (6.86)
Распределение траекторий по значению вычисляемого на них функционала (6.61) обозначим Р (Q). Формула полной вероятности для Р (Q) имеет вид
P(Q) =J^(Q|x1).p1(x1)dx1>	(6.87)
где Р (Q | хх) — распределение по Q для траекторий с фиксированным значением координаты первого столкновения. Вид уравнения для функции Р (Q х| х) зависит от типа функционала, вычисляемого на траекториях. Будем считать, что он является функционалом рекуррентного типа (6.68), (6.69).
На траекториях с фиксированным хх величина Q = = w (хх) срп (хх, х2, ..., хп) является случайной, потому что случайно значение q — срп (хх, х2, ..., хп). Плотности распределения случайных величин ср и шер связаны соотношением
’ (Q । хх)=......} Ру (-4т 4 •	<6-88)
W (хх) \ W (хх) /
'Обозначим для краткости
q = Q/ay (хх)'	(6.89)
и запишем для распределения Рф (<?|хх) формулу полной вероятности, учитывая, что с вероятностью р0 (Хх) тРа" ектория в точке хх обрывается, а с вероятностью р(хх->х2).продолжается до точки х2. Согласно(6.69), в первом случае q — срх (хх), во втором случае срп (хх, х2, ..., хп) = = q, если а> (хх, х2) срп_х (х2, х3, ..., хп) =<7 —<рх(хх). Поэтому
Рф(^|хх) = 6[<7 — срх(хх)]ро(хх) +
4-	J dx2 Pw (Х1, Ха) Ф (q— срх (хх) | х2) р (хх->х2).
По аналогии с (6.88)
Pw (Xi, х„) Ф (d Фх (хх) | х2) =
1 о I 7—Ф1(*1) I v 'l
• --—---------- -Г ф -------— Л2 I
«j(xx,x2)	\ ш(хх, х2) I )
20Г
и для Pep (д|х) получается интегральное уравнение 158, 95]
ЛР (<71 хх) = ро (хх) 6 [ q — fPi ^х) ]
+ fdxa	|х\.	(6.90)
J w(xX, Х2)	\ t»(xx, Х2) I /
Моменты случайной величины Q можно найти, подставляя (6.88) в (6.87), умножая результат на Q" и интегрируя по Q:
Q'1 = f Pl (х) Wn (х)	(х) dx,	(6.91)
где"т" (х) — моменты распределения Рч (q\x). Последние, в свою очередь, можно получить, умножив все члены уравнения (6.90) на q11 и проинтегрировав по q. В частности для первого и второго условных моментов имеем
q (х) •= срх (х) -|- J dx'p (х-> х') w (х, х') q (х'); (6.92) (х) = <Pi (х) l5q (х) — срх (х)] + j*р (х-> х') X
X w2, (х, х') q2 (х') dx'.	(6.93)
Формула (6.91) при л=1 и уравнение (6.92), естественно, совпадают с (6.76), (6.74)._При выполнении условий нет смещенности оценки (6.82) q (х) — F+ (х); ~Q = J, а выражения для второго момента имеют вид [30, с. 271; 32]:
Q2 = J Pi (х) [Fx (х)/рх (х)] 7 (х) dx; (6.94) 72 (х) = <£о(х) [2F+ (х) — "qu (х)] ~|-
-J-J (х-> х') [Д’ (х ->-'х')/р (х -> х')] (х') dx'. (6.95)
Выбирая разные вероятности рх (х) и р (х х'), можно добиться значительного уменьшения дисперсии оценки
У Pi (х) [Fx (х)/рх (х)] <7а (х) dx — Р. (6.96)
Покажем, что подходящим выбором рх (х) и р (х -> х') дисперсию оценки можно уменьшить в принципе до нуля [30, с. 293;-72, с, 64]. Выберем переходную вероятность в виде
р(х->х') =
К(х->х')Д+(х') (х -+ х') F+ (х') dx'
(6.97)
202
Подставляя (6.97) в' (6.95) и учитывая (6.82), (6.92), получаем
V (х) = Ял (х) F+ (х) -|- [F+ (х) —	(х)]	(х) +
+ J К (х -> х') [ф (x')/F* (х')] dx'].	(6.98)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что решением ’Этого уравнения является квадрат среднего:
<72 (х) = q~2 (х) = Е+а (х).	(6.99)
Выбрав плотность первых столкновений в виде
„ ЛА- Л(ХИ+(Х) _F1(x)F+(x)
₽1<>~ P1WF+(X)A--------------------- (6’100)
и подставив (6.99), (6.100) в (6.96), получим oq — 0. Конечно, на практике реализовать такую схему невозможно, так как для этого нужно знать сопряженную функцию (ценность) Е+ (х). Однако даже приближенные сведения об этой функции, используемые в формулах (6.97), (6.100), могут в значительной степени уменьшить дисперсию [67].
§ 6.8. Модификация метода Монте-Карло
Рассмотрим некоторые’ модификации метода Монте-. Карло, часто применяемые в задачах теории переноса [72!, с. 82; 87, с. 231; 88, с. 102; 99, с. 220].
Пусть в точке г0 находится единичный источник частиц с энергией Ео, испускаемых в направлении Йо. Запишем в явном виде плотность первых столкновений
Л (г, Й, E) = S(r, Д)ехр{ДД^,.В°)} х
x6/q—^Мб(й-й0)6(£-Ео)	(6.101)
Л	|г—г0 I /
и плотность вероятности перехода
,,	3s(r, О -> Й', Е -> Е')
К(Х->Х') = — —Ь—;--------’-X
.	S (г, Е)
х ,е1р../—g')} 2 (г', Е') 6 (й’--т> ~~м •	(6.102)
|г-г' р	4	’	|r'-r| J .
203
Разделив и умножив плотность вероятности перехода на Ss (г, Е), получим
К (х -> х') =	(г, £)/2 (г, £)] /<0 (х -> х'),
где Ко (х -> х') в отличие от К (х х') нормировано на 1: J Ко (х -> х') dx' =1. Это означает, что если выбрать для неаналогового моделирования плотности вероятностей Pi (х) = Z7! (х), р, (к х') = Ко (X ->- х'), то вероятность поглощения ра (х) == 1 — j Ко (х х') dx' будет равна нулю и траектории будут продолжаться до тех пор, пока не выйдут за пределы поглотителя или пока функция ценности не станет равна нулю. При этом возрастет вероятность попадания частицы в детектор и соответственно уменьшится дисперсия. Согласно (6.71), (6.82), статистический вес
ГЛ(Х1, х2,..„
Y X Ss (Xi) Ss (x2)
A i. ) = •--------------------
S (Xj) S (x2)
Ss (x/t_j)
S(xft-i)
равен вероятности того, что частица не поглотится ни в одном из k предыдущих столкновений, В то время как в аналоговом методе это событие разыгрывалось, здесь его вероятность вычисляется аналитически, поэтому рассматриваемую модификацию называют аналитическим усреднением. поглощения. Розыгрыш остальных элементов траектории (длины пробега, направления и энергии после .рассеяния) производится так же, как в аналоговом моделировании.
Заменим теперь в (6.101), (6.102) S величиной. 2 и соответственно т величиной т, оставив неизменным дифференциальное сечение Полученные таким образом выражения будем использовать как новые плотности для неаналогового моделирования. Тогда весовые множители будут равны
аа(х)=-^^-ехр[—Дт(х0, x)];w (х, х') =
2(х)
= S(x)S(x') ‘ S (x)S(xz)
ехр[—Дт(х, х')]д Дт=т;—т,
 204
а статистический вес определится формулой (*1. •••>	= ехр [— Дт (х0, .... xft)] х
х 2 (xft)/2 (xft);
k
Дт(х0, .... xft) = 2Дт(хг_1, Xi). г=1
В этом случае выражение для оценки плотности потока по столкновениям в Дх
п
<2=2 WbfK, .... x,t)/2 (xft) =
Л=~ 1
n
= 2 exp [— Дт (x0, .... xfe)]/S(xft) (6.103)
A=1
будет отличаться от обычного выражения для оценки в среде с сечением 2 (х) только множителем
Wh = ехр [— Дт (х0, .... xfe)]. (6.104)
Полагая в формулах (6.103), (6.104) 2 — 2S, получаем новую модификацию аналитического усреднения, где ро-" зыгрыш длины пробега производится с использованием только сечения рассеяния, а вероятность поглощения учи-'тывается введением экспоненциальных весов Wk —
= ехр [—тс (х0, .... хй)].
В задачах, где интерес представляет, поле излучения на больших расстояниях от источника, применяют экспоненциальное преобразование. Пусть, например, детектор • удален на большое расстояние от источника вдоль оси 0z. Выберем сечение 2 зависящим от угла ft между осью 0z и направлением движения частицы так, чтобы при й'=0 оно было наименьшим, а при ft = л — наибольшим. В этом случае траектории с большей вероятностью будут достигать больших глубин и вносить вклад в показания-детектора. В частности, если 2 =2 — с cos й, где 0 < с <, < 3Мии—постоянная величина, то Д2 =ccos-&; Дт =
А	.
— а 2 It cos fh = с (zk го) и статистический вес оп-t=i	.
ределяется лишь координатой z частицы в данный момент
205.
независимо от ее предыстории. Если начало координат совпадает с центром источника, г0 — 0, то
Wk (х1( х2, .... х) = ехр (— cz). (6.105)
Если детектор измеряет поле излучения на фиксированной глубине г, статистические веса (6.105) можно ввести уже после проведения расчетов, умножив результаты на ехр (— cz).
Другим способом повышения, точности оценки плотности потока частиц, движущихся в некотором направлении, является модификация дифференциального сечения рассеяния. Заменяя в (6.102) Ss величиной S8, удовлетворяющей условию
JJX (г, Й-> Й', £->£') dtl'dE' = .
2S (г, Й й', Е Д') dQ’dE',
и используя новое сечение для розыгрыша направления движения и энергии частицы после столкновения, можно добиться существенного увеличения вероятности попадания частицы в детектор. Статистический вес при этом
/г-1
Fft(xx, ха,..„ xh)= П 7=1
28(п, Q; -» йщ, ->- £/-ц)
23 (гг,	->• O;+i, Et -+• Ef+i)-
В частности, при вычислении обратного рассеяния от плоского слоя переход к изотропному закону рассеяния с использованием соответствующих весов уменьшает статистическую погрешность.
Общая идея перечисленных выше методов заключается в таком изменении процедуры моделирования, которое приводит к увеличению числа наиболее «ценных» траекторий, дающих наибольший вклад в вычисляемую величину. Для этого в процессе моделирования необходимо использовать различную информацию об относительной ценности траекторий. Например, в ряде случаев можно значительно уменьшить дисперсию,' подставляя в формулы (6.97), (6.100) в качестве F+ асимптотические решения сопряженных уравнений. Подобные модификации метода Монте-Карло называют моделированием по ценности.
Наличие статистических флуктуаций в результатах, полученных методом Монте-Карло, заставляет обратить особое внимание на те задачи, в. которых требуется вычис-206
лить разность величин, характеризующих распределение частиц в двух близких по размерам и свойствам поглотителях. Это может быть изменение'поля излучения, вызванное заменой части вещества поглотителя близким по составу веществом, поправка к результатам вычислений вследствие уточнения сечений взаимодействия и т. п. Во многих случаях независимое решение обеих задач и последующее вычитание — J — J может оказаться неприемлемым, если статистические флуктуации величин 7 и J соизмеримы с искомой величиной AJ. Для решения таких задач развит метод зависимых испытаний.
Рассмотрим разность случайных величин и т]2. Согласно элементарным правилам теории вероятностей, среднее значение этой разности равно — т]2
а дисперсия D (т]а —	= Dt]i + Dt]2 — 2R (т]х, т]2), где
R — корреляционный момент случайных величин и т]2. Для независимых величин R = 0 и D (т]2 — %) = Отц +
Dr]2. В случае положительной корреляции между ними R>0 и дисперсия уменьшается.
Пусть распространение частиц в одной из рассматриваемых сред описывается уравнением
F+ (х) = qD (х)	J К (х—*-х') F+ (х') dx',
а .в другой — уравнением
F+ (х) = qD (х) + f 7<(х	х')	(х') dx'.
Для решения первого из уравнений можно использовать, например, аналоговый метод, моделируя траектории частиц с вероятностями Fx (х) и Д ( х -> х') и вычисляя вклад траектории Q, средняя величина которого равна J. Для вычисления 7 в методе зависимых испытаний используются те же самые траектории. Рассматривая их как смещенные траектории по отношению ко второй среде, запишем выражение для вклада этих, траекторий в величину J:
. Fj. (Xj)	д (Xfc -> Xft+i)
(6.106)
207
В случае точечного источника [S (г, Q, Е) = 6 (г — г0) х X S' (Q, £)]
ехр [-Ат (г0, гх, А,)];	(6.107)
' ^1(Х1)	2(Г1, £1)
К (хь->Хк+1) __
/< (Xfe + Xfc+i)
 __s (гь+1> gft+i)^s (гь, Ok -> Qft+1, Eh -» £ft+i) s (rii, £r) _
2 (гк-i-i, £/i+i) Ss (fft, Oft -> Oft+i, Eh. £ft+i) S (fft, Eh.)
X exp[— Ат(гЛ, rft+1, £ft+I)].
Вычисляя разность вкладов для.каждой траектории, по-
лучаем AJ —q — q- q — q =2 (Wh — 1) qD (x.h).
te=. 1
Рассмотрим случай, когда среды различаются лишь в некотором объеме AV. Пусть i-e рассеяние частицы произошло вне этого объема:
2 (хг) ='2 (хг), Ss (гг, Йг-*-Йг+1, £г->-£г+1) ==
= Sg (fj, SJj —> й/+1, Еi —> Еj+i).
При определении координат следующего столкновения может-оказаться, что: а) (i -|- 1)-е столкновение также произошло вне объема А 7 и частица не пересекла объем, тогда 17г+1 = Wf, б) (i + 1)-е столкновение произошло вне объема--АV, но между i-ми (i + 1)-м столкновениями частица пересекла объем, тогда 17г+1 = ехр [— Ат (гг, г<+1, £i+1)] в) (i + 1)-е столкновение произошло в объеме А И, тогда
W'z+i -IS (xi+i)/2 (xi+1)J ехр [— Ат (гг, г<д1, £г+1)] Wt.
Аналогично можно проанализировать и другой возможный вариант: когда i-e столкновение произошло в объеме AV. Из проведенного анализа, в частности, следует, что если частица ни разу не пересекла объем, Wk = 1 и вклад ее в вычисляемую разность А</ = q — q — 0, даже если частица попала в наблюдаемую область («детектор»). С уменьшением объема вероятность пересечения его частицей уменьшается, ббльшая часть попадающих Н детектор частиц дает нулевой вклад и эффективность метода зависимых испытаний падает.
208
§ 6.9. Расчет поля излучения коллимированного источника у-квантов методом Монте-Карло
Непосредственный расчет поля излучения узкоколлимирован-ного источника у-квантов методом Монте-Карло затруднен тем, что плотность потока от точечного мононаправленного источника вблизи оси луча имеет гиперболическую Особенность (§4.10). Поэтому вместо Ф+ (г, О, Е) удобнее вычислять не имеющую особенностей функцию 2прФ+ (г, Q,'E), для которой, согласно (4.142),
lim 2прФ+ (г, ft, £) = ехр [—2 (E)z]D (E)SD (0, фт, £).
₽->о
В работе [15] полученные методом Монте-Карло функции 2прФ+ (г, ft, Е) использованы для расчета плотности потока излучения от дискового мононаправленного источника малого радиуса и точечного изотропного источника с малым углом коллимации. Расчеты по формуле (4.143) показали, что в области прямой видимости отношение полной плотности потока излучения к плотности потока рассеянного излучения примерно постоянно и близко к своему значению на оси пучка:
Ф (р> г)/Ф8 (р, z) « Ф (0, з)/Фв (0, z) = а (г).	(6.108)
Численные данные о зависимости а (г) приведены в табл. 6.1. Этй .данные показывают, что с увеличением размеров коллиматора вклад рассеянной компоненты растет. Он становится существенным, когда . радиус области прямой видимости а больше 1/Вд, т. е. эта величина является характерным масштабом для размеров коллиматоров.
Таблица 6.1
Зависимость коэффициента а от глубины z и радиуса дискового источника а (А1, Е = 0, 661 МэВ)
2, СМ	а, см					
	0,25	0,5	1	2	. 4	6
5	10	5,3	3,2	2,0	1,6	1,4
10	9,8	5,1	2,8	1,8 .	, 1,4	1,2
20	9,5	4,7 '	• 2,4	1,6 .	1,3	1,1
30	9,3	4,5	2,3	1,5	1,2	1,08
-40 г	9,0	4,4	2,4	1,5	1,2	1,07
Если а < 1/Вд, то а практически не зависит от г и хорошо согласуется с формулой '
а=14-1/аВд,	(6.109)
вытекающей из (4.143). Тем самым подтверждается сделанный в §4.11 вывод о том, что в узком пучке, излучения рассеянная компонента потока не растет с глубиной. Это приводит к тому, что пучок, распространяясь в веществе, «не расплывается» за счет рассеяния
209
Рис. 6.3. Радиальное распреде-
ление интенсивности у-излуче-ння за слоем свинца толщиной 20Д=4 (£о=1 МэВ) с учетом (1) и без учета (2) когерентного рассеяния [81]
и сохраняет свою форму, определяемую формой коллиматора.
Разлагая в (4.143) функцию Ф+ в ряд в окрестности начала координат, которое находится в центре источника, легко показать, что при больших р (р » 1/Зд) радиальное распределение для узкого пучка совпадает с радиальным распределением для точечного мононаправленного источника. Большое количество данных, относящихся к этой области изменения р, приведено в работе [80].
Известно, что в веществах с большим Z наряду с комптоновским рассеянием важную роль
играет когерентное рассеяние у- из лучен и я. Днфферен циальиое сечение этого процесса имеет вид 2 (0, Е) = п (rf/2) (1 -|- COS0) X Xfa(0, Е), где / (0, Е) — атомный форм-фактор [25; 90, с. 146; 117]. Влияние этого процесса на ра-
диальное распределение исследовалось в работах [38, 81]. Для - моделирования когерентного рассеяния в [81] применялась комбинация метода Неймана и метода функции распределения (§6.1). . При этом множитель 1 + cos20 учитывали методом исключения. Пример, иллюстрирующий большое значение вклада когерентного рассеяния при малых р, приведен ца рис. 6.3.
§ 6.10. Расчет возмущения поля излучения локальной неоднородностью
Если объем'ДУ области возмущения мал, для разработки алгоритма метода Монте-Карло можно использовать теорию возмущений [44, 70]. В качестве примера такого использования рассмотрим расчет возмущения поля излучения локальной неоднородностью в плоском слое (§4.13, 4.14). Согласно (4.169),
. Д/= f Е (г) dr,	(6.110)
дУ
где
F (г) = —JdQjdEO (z, й, Е) Д1?Ф+ (г, Й, Е) (6.111) — возмущение показаний детектора, обусловленное появлением в точке г неоднородности (описываемой оператором ДЬ+) единичного объема. Представим (6.111) в виде
F (г) = Jdfi JdEAD (г, Й, Е)Ф(г, й, Е), (6.112)
210
где ДО = —• ДЬ+ Ф+ — функция чувствительности эквивалентного детектора (§4.12). Выписывая сопряженный оператор в явном виде, видим, что
ДО = ДО 4) + ДОФ,	(6.ЦЗ)
где
ДОФ = _ дз (£) ф+ (r>	Е)- 
=\dQ'ldE'^s (й->й',.£->£') Ф+ (г, й', О'). (6.114) Отметим, что в задачах переноса у-излучения нормированное сечение рассеяния не зависит от атомного номера вё-щества поглотителя, поэтому ’ Д28 (Й -> й', Е -> В') = = [Д28 (Е)/28 (О)] 2/(й	й', Е -> £') и второе слагае-
мое можно переписать в виде
ДОФ =Д2, (Е) [dQ' f dE'	ф+ (г, Д', Е').
J J	2з (£)	'
(6.115)
Подставляя (6.113) в (6.112), получаем
F (г) = ОФ (г) + ВФ (г),	(6.116)
где ОФ = ИДОФФ^Ш£; ОФ=ДДОФФ^Й//£, (6.117)
Из § 6.4 следует, что для вычисления показаний точечного детектора с функцией чувствительности О (Й, Е) в плоско-параллельной геометрии необходимо при каждом i-м пересечении частицей плоскости z — const, где находится детектор, вычислять величину О (й{, £г)/|йгп| и суммировать эти вклады по всем пересечениям:
SD (йг, В{)/|йгп| = f dQ f dE D (Й, E) Ф (z, Й, B). (6.118)
Однако функция чувствительности эквивалентного детектора в общем виде неизвестна, и рассматриваемый алгоритм необходимо модифицировать..
Рассмотрим вместо D (й, Е) случайную величину т], распределение которой р (т] | й, Е) зависит от й и Е частицы в момент пересечения. Можно показать, что если при каждом i-м пересечении производить выборку случайной величины rit из распределения р (р | йг, Et) и суммировать по пересечениям величину т]г/|йгп|,
2ф/|Йгп| с1Й J (^, £)Ф (г, й, £).	(6.119)
211
где-и (й, Е) = J'tjP (П I Я) — среднее значение п при фиксированных й и£. Обозначим £г,я,е случайный вклад траектории с фиксированным началом (г, О, Е) в показания детектора (6.110). По определению сопряженной функции 1г,я,е = Ф+ (г, Е) и, следовательно,
- AS (£)Ъ,я,д= - AS (Е) ®+ (г, Я, Е) = А/Ж (6.120)
Полагая в (6.119) т]г = AS (Et) £r,ct,Bf и учитывая (6.120), получаем
--Д2(5г)^)П.£/ |йгп|
f С ДОФ ®dQdE==F<M (Г). (6.121)
Таким образом, если при каждом i-м пересечении плоскости, где находится неоднородность, основной траекторией строить дополнительную траекторию с началом (г, йг, Et), а вклады дополнительных траекторий умножать на AS (Et)/[\ йгп| и суммировать, то получим оценку первого слагаемого искомой величины (6.117).	' ’ '&I
Для получения оценки второго слагаемого заметим, что если начальное направление Й' и начальную энергию Е' траектории не фиксировать, а разыгрывать из распределения	. _	...
р (й', Е')^= Ss (й->й', E-^E')/2S (£),	(6.122)'
то среднее значение вклада £г,я',е' таких траекторий равно
U'.E' = f dS3' f dE'	ф-1- (г, Й', E')
J J	"S (^)
и, следовательно,
l-ASs(£)gr>0SB,]=
=АБ,(£) рй'	Ф+(Г) jy, Е,у
_	(6.123)
Из (6.119) и (6.123) вытекает, что если при каждом i-м пересечении плоскости z = const основной траекторией строить дополнительную траекторию с началом (г, й', Е'), где й' и Е' выбирают из нормированного сечения рассея
212
ния (6.122) (моделируют «вынужденное рассеяние» [70]), а вклад траектории умножать на ASs (Ef)/| Яг п | и суммировать по всем пересечениям, то получим оценку второго слагаемого величины возмущения показаний детектора (6.117):
(Ei) е
—ГД—Г	п/ Ei
. йгп	‘
= ДдП<а)фс«МВ = Р(3)(г). (6.124)
0	10	20 0,граЭ
Рис. 6.4. Компоненты МЧ и |Д(2)(р) | возмущения интенсивности у-излучения точечным дефектом, находящимся на передней границе слоя железа толщиной So#=0,5 (1, 2) и S07/=l (3,4), tg0=p//7 [81]
Для вычисления суммарного возмущения А 7 при каждом пересечении плоскости z — const строят обе дополнительные траектории и результаты суммируют. Основные траектории при этом можно использовать для оценки невозмущенных показаний детектора.
Этот алгоритм был использован' для расчета возмущения интенсивности у-излучеиия, рассеянного точечным дефектом в плоском однородном слое [41, 81]. В данном случае функция Д (г) зависит еще и от координат детектора Гх, причем в случае азимутально-симметричного плоского источника эта зависимость опре-деляется переменными , г, zx и р = У(Х —	+ {у — У1У-
В дальнейшем для краткости переменные г и «х в аргументах будем опускать и писать Д = Д(р).
В случае плоского перпендикулярного источника слагаемое Р(1)(р), как показано в § 4.10, при р -> 0 ведет себя как 1/р, поэтому удобнее вычислять величину 2лр?(1>(р). Второе слагаемое
имеющее вид распределения интенсивности точечного источника с непрерывным угловым распределением, с уменьшением расстояния R между детектором и точкой наблюдения ведет себя .как Значит, если дефект расположен на передней границе слоя, а ин-< тенсивность измеряется на противоположной границе, влияние второго слагаемого с увеличением толщины слоя Н (при фиксированном р) уменьшается. Сравнение этих слагаемых для слоев железа разной толщины и источника с £0 = 1 МэВ приведено иа рис. 6.4. Неоднородностью является полость, поэтому AS = —S и слагаемое Д(1) (кривые ] и 3) положительно, а РС2)(кривые 2 и 4) отрицательно. Из рисунка видно, что с увеличением радиуса р отрицательная
213 .
Рис. 6.5. Изображение точечного дефекта, находящегося на глубине 2=0 (/), 1 (2) и 1,5 см (5), tgO-p/Я [81]
компонента по абсолютному значению превосходит положительную и суммарное возмущение становится отрицательным (вывод о знакопеременном характере возмущения сделан в §4.13). С увеличением глубины залегания дефекта z роль второй компоненты в области малых р возрастает. Результаты расчетов для разной глубины залегания дефекта в слое железа толщиной Н — 2,14 см, облучаемом у-квантамн с энергией Е — 0,661 МэВ, приведены на рис. 6.5,
Глава 7
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
В ЗАДАЧАХ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОНОВ
§ 7.1. Особенности моделирования траекторий ’ заряженных частиц
По сравнению с распространением у-квантов и нейтронов распространение заряженных частиц в веществе имеет ряд характерных особенностей, которые в большинстве случаев не позволяют непосредственно моделировать их траектории с помощью' метода Монте-Карло. Заряженные частицы, не поглощаясь, движутся в веществе и теряют энергию в упругих и неупругих столкновениях до тех пор, пока их скорость не снизится до тепловой, когда частицу можно считать остановившейся. Определяющую роль в торможении заряженных частиц играет кулонов.-ское взаимодействие с атомами, поэтому длина пробега меж:-ду столкновениями мала, а сами столкновения сопровождаются в основном небольшой потерей энергии. Вследствие этого частица испытывает на своем пути такое большое число столкновений, что их прямое моделирование находится за пределами возможностей современных вычислительных машин (исключением являются задачи, где толщина поглотителя очень мала [8]).
Указанные трудности обычно обходят, используя методы группировки столкновений [1, 4, 111]. При этом путь частицы в веществе разбивают на отрезки длины I. Если плотность вероятности перехода Р (х х' | Г) на пути I известна, то ее можно использовать для розыгрыша координат х', которые будет иметь частица в конце отрезка пути. Эти координаты, в свою очередь, можно использовать в качестве начальных для розыгрыша координат в конце следующего отрезка и т. д. Моделирование продолжают до тех пор, пока энергия частицы остается выше порогового значения Et, за которым частицу можно считать остановившейся. Полученную таким образом последова-вельность фазовых координат х0, хх, х2, .... хп будем назы-тать вложенной траекторией [79]. В отличие от реальных
215
траекторий, где узлами являются точки столкновений, переход из одного узла вложенной траектории в другой есть результат многократного рассеяния.
Для расчетов используют две модели с группировкой столкновений: модель. отрезков и модель катастрофических столкновений [1, 4, 111].
В модели отрезков путь I между двумя узлами вложенной траектории детерминирован. Обычно его выбирают так, чтобы средняя потеря энергии на этом пути была мала и изменением сечений взаимодействия можно было пренебречь. Тогда в качестве Р (х-х'| Z) можно использовать сравнительно простые распределения, полученные в односкоростном приближении.
В модели катастрофических столкновений все столкновения делят на две группы: близкие (катастрофические), т. е. сопровождающиеся значительным изменением энергии или направления движения частицы, и далекие (некатастрофические), в которых потеря энергии и угол рассеяния малы.
Длина пробега между двумя катастрофическими столкновениями случайна, и ее можно разыгрывать обычным образом, так как сечение таких столкновений легко вычислить. Дифференциальные сечения рассеяния на большие углы и 'с большой передачей энергии известны, и их можно использовать для моделирования соответствующего изменения фазовых координат. Изменение фазовых координат на пути между двумя катастрофическими столкновениями также можно моделировать. Для этого необходимо знать плотность вероятности перехода Р (х х' | Z) за счет некатастрофических столкновений.
Когда катастрофические столкновения сопровождаются появлением 6-электронов, выбиваемых из атома, энергию и направление движения этих электронов легко определить, используя законы сохранения энергии и импульса. Траектории вторичных, электронов также можно строить путем статистического моделирования. Тем самым использование модели катастрофических столкновений позволяет рассчитывать поля вторичных электронов, возникающих в веществе -при облучении заряженными частицами. Это обстоятельство является важнейшим достоинством модели катастрофических столкновений.
Достоинства модели отрезков — простота алгоритма и большое быстродействие . соответствующих программ.
216
Естественным синтезом двух описанных моделей является модель группировки малых передач энергии [78]. В этой схеме столкновения с большой передачей энергии моделируются так же,--как в модели катастрофических столкновений, а столкновения с малой передачей энергии группируются. Длина пробега между катастрофическими столкновениями разыгрывается, и, если .она оказывается слишком большой, ее разбивают на меньшие части, как в модели отрезков. Ниже обсуждаются детали алгоритма, основанного на модели группировки малых передач энергии, и приводятся некоторые результаты вычислений.*
В модели группировки малых передач энергии катастрофическими считаются столкновения электронов, сопровождающиеся рождением вторичных частиц (у-квантов или 6-электронов) с энергией,. превышающей некоторое пороговое значение Qt. Параметр Qf, разделяющий далекие и близкие столкновения, в большинстве случаев можно выбрать равным граничной энергии Et, до которой ведут расчет электронных траекторий в веществе. При этом в схеме автоматически возможно рождение только тех вторичных электронов, траектории которых необходимо прослеживать.
Значение Et зависит от характера задачи. Расчеты показали, что при вычислении коэффициентов прохождения-и отражения, плотности потока и дозы, угловых и радиальных распределений электронов Et можно выбрать так, чтобы длина остаточного пробега электронов Rt составляла 1—2% -полной длины пробега R [77]. Дальнейшее уменьшение Et практически не изменяет перечисленные функционалы, но существенно увеличивает время вычислений.
§ 7.2. Уравнения для плотности вероятности перехода
Наиболее сложной частью программы для построения электронных траекторий является процедура моделирования многократного рассеяния на отрезке пути. Обозначим Р (г, й, Е\1) плотность вероятности перехода из точки г == О, й = й0, Е = Ео в точку (г, й, Е) фазового пространства за счет столкновений с малыми передачами энергии на пути I. Уравнение для этой переходной плотности
* При изложении использованы материалы диссертационной работы А. В. Пляшешникова [77].
217
выводится так же, как обычное уравнение переноса (§ 2.10), и имеет вид
Et
(d/dl) Р (г, Й, Е | Z) + OVP (г, й, Е | Z) + [ [2г (Q; Е) + о
Et
+ 2Ь (Q; Е)1 Р (г, Й, Е | Z) dQ - f [2f (Q; E + Q) + о
+S&(Q; £+Q)] P(r, Й, E + QJZ) <ZQ + J Se (Й'^-Й, E)x 4rt
XtP (г, й, Е\Г) -P (г, Й' E I l)]dQ' =0;	’(7.1)
P (г, Й, E | Z)|г==0 = 6 (r) 6 (Й - fl0) 6 (E ~ Eo), (7.2) где 2г (Q; E), Sb(Q; E) — дифференциальные по переданной энергии Q сечения ионизационных и радиационных взаимодействий; Se (й' -> й; Е) — дифференциальное по направлениям сечение упругого рассеяния на атомах.
В уравнении (7.1) мы пренебрегли потерями энергии при упругом рассеянии и изменением направления движения в неупругих столкновениях с малой передачей энергии. Изменение направления движения за счет далеких столкновений с электронами атома можно учесть введением поправок 6lf 63 в формулу для сечения упругого рассеяния Se . (см. Приложение).
Отметим также, что уравнение (7.1) справедливо для случая однородной бесконечной среды. Неоднородности поглотителя учитываются в схемах группировки столкновений уменьшением отрезков вложенной траектории вблизи границ, раздела.
Для решения уравнения (7.1) будем использовать метод, близкий по смыслу к методу разделения переменных и заключающийся в том, что функцию Р (г, й, Е\ Z) представляют в виде произведения функций, каждая из которых отражает одну из существенных особенностей процесса переноса.
Сначала запишем решение уравнения (7.1) в виде
Р (г, й, Е | Z) = Р (Е | Z) Р (г, Й, Е11)1 Р (Е | Z),	(7.3)
где
Р (Е | Z) = J dr $ dtlP (г, Й, Е | Z)	. (7.4)
— плотность вероятности перехода из состояния с энергией Ео в состояние с энергией Е на пути Z (§ 2.10). Уравнение и начальное условие для Р (Е | Z) можно получить, ин
218
тегрируя. (7.1) и (7.2) по переменным г, й:
Et
(д/dl) Р(Е\1) + [ dQ [2г (Q; Е) + S& (Q; Е)] X
б
X Р (E\l) - j- dQlZt (Q; Е + Q) + 26 (Q; Е + Q)] Х_ 'о
X Р (Е + Q|Z) =0;	(7.5)
Р (E]Z)|/=0=6 (Е —Ео).	(7.6)
Решение этого уравнения получено и обсуждается в § 7.3.
Функция Р (Е | Z) описывает флуктуации потерь энергии на пути/, поэтому, чтобы получить приближенное выражение для функции Р (г, Й, Е | Z), второй сомножитель в формуле (7.3) можно вычислить без учета флуктуаций, т. е. в приближении непрерывного замедления. В этом приближении члены кинетического уравнения, соответствующие неупругому рассеянию, заменяются величиной — (5/5Е) [р< (Е) Р (г, й, E|Z)], где
Р< (Е) = f Q [Sг (Q; Е) + Sb (Q; Е)] dQ (7.7) 'о
— средние потери энергии на единице длины пути в далеких (Q<Et) столкновениях.
Уравнения (7.1) и (7.5) в этом приближении имеют вид: (Э/dZ) Р (г, Й, Е | Z) + Й VP (г, Й, Е | Z) — .
— (d/ЭЕ) [₽<(Е) Р (г, й, Е) l)\ -h f ЙЙ% (Й' Й; Е) X X IP (г, Й, Е | Z) — Р(г,' Й', E|Z)1 =0; (7.8) Р (г, Й, ЕIZ) |/=0 = в (О 6 (Й - Йо) д (Е — Ео); (7.9) (д/д1)"Р (E\l)- (5/5Е) (р<(Е) Р (Е| Z)] = 0; (7.10)
P(E|Z)|/=o =6(Е-Е0).	(7.11)
Подставляя выражения / Е, \
P(E|Z)=—— 6 Z— Г I ;	(7.12)
1 1 '₽<(£) 1 J Р<(£)Г
?<r-a'£i4=^eM’idfe)P(r'a|ft' <7ЛЗ>
219
в уравнения (7.8) и (7.10) соответственно, легко убедиться, что функции Р являются решениями этих уравнений. Наличие 6-функции в формулах (7.12), (7.13) говорит о том, что длина пути и энергия электрона однозначно связаны соотношением
Множитель Р (г, Й | /) удовлетворяет - уравнению
. (8/8/) Р (г, Й 11) + QVP (г, Й 11) + f 8Й'2е (Й'	Й; /) х
X [Р (г, Й|/) — Р (г, Й'|/)] =0,	(7.15)
причем
Р (г, й|/)|г=о =6 (г)б(й-Йо).	(7.16)
В уравнении (7.15) 2е(й'->-й; /) = Se (Й'-> Й; £(/)), где зависимость Е (/) определяется соотношением (7.14).
Уравнение (7.15) для Р (г, Й ] Г) точно не решается. Для приближенного решения можно использовать методику, аналогичную описанной выше. Сначала представим это решение в виде
Р (г, Й|/) = Р (Й|/) Р (г, й|/)/Р(й|/), (7.17) где
Р (Й|/). = | drP (Г, Й|0	(7.18)
— распределение по направлениям * электронов, прошедших путь I. Уравнение для функции Р (й |/) можно получить, как и раньше, интегрируя все члены уравнения (7.15) по пространственным координатам г:
(8/8Z) Р (й|/) + f 8Й% (й' й; Z) [Р (й|/) —
— Р(й'|/)]=0.	(7.19)
Начальное условие для Р (й 11) имеет вид
Р(й|/)|/=0 =6 (Й — й0).	(7.20)
Решение уравнения (7.19) называют распределением Гоуд-смита—Саундерсона (см. § 7.4).
Функция Р (Й11) учитывает изменение направления движения частицы за счет многократного рассеяния. Поэтому решение уравнения (7.15) можно получить по формуле
220
(7.17), вычисляя второй сомножитель в приближении малых углов. Но прежде чем выписать соответствующие уравнения, проведем в данном сомножителе еще одно разделение переменных. Для этого запишем числитель' в виде
Р (г, Й IZ) = Р (2, Й IZ) Р (г, й I Г)1Р (г, Й IZ), (7.21) где
Р (z, й | Z) = f dx f dyP (г, S2JZ). (7.22)
Тогда формула (7.17) примет вид
Р (г, й | Z) ±= Р (й | Z) [Р (г, Й | Z)/P (й | Z)] х
ХР(г, йР)/Р(г, Йр).	(7.23)
•Уравнение для отыскания функции Р (z, й]2) можно получить, интегрируя все члены уравнения (7.15) по переменным х, у и учитывая, что, Р (г, й | Z) 0, если | х |
оо или | у\ оо:
(5/5Z) Р (2, Й | Z) + cos 0’ (S/Sz) Р (г, й | Z) + рй' х х2й(Й'^Й; Z) [Р (2, . йр) — Р (2, й' | Z)] = 0. (7.24) Начальное условие для функции Р (2, й 11) вытекает из (7.16), (7.22):
Р (2, й | Z) |/=0 = 6 (2) 6 (й - й0).	(7.25)
Для вычисления второго сомножителя в формуле (7.23) запишем уравнения (7.19) и (7.24) в приближении малых углов, Как отмечалось в § 2.8, в этом приближении проекции вектора й выражаются через проекции вектора О, и поэтому вместо Р (й | Z) и Р (2, й | Z) можно писать Р (О j Z) и Р (г, Фр). Используя приближение Фоккера—Планка (§2.8), преобразуем уравнение (7.19) к виду
(a/az) Р (Ф Р) — (1/4) 2е < 02 > W (Ф IZ) = 0, (7.26)
Р(фр)|г=0=6(ф).	(7.27)
Решение этого уравнения получено в § 3.2.
Переходя к приближению малых углов в уравнении (7.24), заменим функцию cos Ф в градиентном члене функцией 1 — Фа/2, а интеграл столкновений запишем в при
221
ближении Фоккера—Планка:
(d/dl) P(z, fl|Z) + (1 — fl72) (d/dz) Р (z, fl | Z) —
- (1/4) Se < 02 > V $Р (z, fl | Z) = 0,	(7.28)
Р (2) О |/)|г==0 =6 (z)6 (fl).	(7.29)
Решение уравнения (7.28) приведено в § 7.5.
Для вычисления последнего сомножителя в формуле (7.23) запишем уравнения (7.15) и (7.24) в приближении малых углов, полагая при этом cos fl' = 1, т. е. опуская члены второго порядка. Переход к приближению малых углов в уравнении (7.15) производится так же, как в § 2.8, и дает
(d/dl) Р (р, 2, fl| I) -|- (d/dz) Р (р, z, fl|Z) +
-I- fl' (д/dp) Р (р, 2, fl| I) — (1/4) Se < 0а > X
XV&-P (р. 2, flj I) =0,	(7.30)
Р (р, 2, fl I /)|/=о=б (р) 6 (2) 6 (fl).	(7.31)
Сделав в уравнении (7.30) подстановку
Р (р, 2, fl| I) = 6 (2 — I) Р (р, fl| Z),	(7.32)
придем к уравнению
(d/dl) Р (р, fl| I) + fl- (d/dp) Р (р, fl| I) - (1/4) SeX
Х< О2 > V&.P (р, А| I) =0,	(7.33)
Р(р, fl| Z)|J=0 = 6(p)6(fl).	(7.34)
Решение уравнения (7.33) приведено в § 7.5.
Уравнение (7.28) в аналогичном приближении имеет вид
(d/dl) Р (z, fl-| I) + (d/dz) Р (z, fl| I) —
— (1/4) < 0* > P (z,.fl| I) =0,
P(z, fl-| Z)|/=o = 6(2)6(fl-).
Подстановкой P (z, flj Z) = 6 (z — I) P (fl| l). оно сводится к уравнению (7.26).
Таким образом, плотность вероятности перехода Р (г, Q, .E|Z) можно записать в виде произведения четырех сомножителей:
Р (г, Я, E\l) = Р (E\l) Р (Q|Z) Р (2|fl, Z) Р.(р, fl, I).	(7.35)
222
Первый из них, Р (Е\Г), описывает флуктуацию потерь энергии электронов на пути I. Второй, Р (fl|Z), — угловое распределение электронов при многократном рассеянии. Третий,
Р (z|<>, Z) = Р (z, -й| 1)/Р (0| /),	(7.36)
описывает флуктуации координаты z при заданном I. Четвертый,
Р (р| O’, Z) = Р (р, l)/P (fl| Z),	(7.37)
— распределение поперечных смещений - р.
§ 7.3. Флуктуации потерь энергии в далеких столкновениях
При расчетах переноса электронов в модели отрезков потери энергии в ионизационных и радиационных столкновениях разыгрываются из распределений Ландау [56] и Бете—Гайтлера [85, с. 78] соответственно. При выводе этих распределений учитывались столкновения со всеми возможными передачами энергии. Выделение и непосредственное моделирование взаимодействий с большими передачами энергии, которое производится в модели катастрофических столкновений, делает эти распределения несправедливыми. Поэтому в модели катастрофических столкновений потери энергии электронов на отрезках вложенной траектории обычно учитываются в приближении, непрерывного замедления. В рассматриваемой схеме флуктуации потерь энергии в далеких столкновениях учитываются более точным решением уравнения (7.5):
7
(д/д!) Р(Е\1)+ dQ[2z (Q; £)-|-2ь (Q; £)] P(£|Z) -°
- J dQ [2г (Q; E -I- Q) + 2& (Q; E -[- Q)] x
XP(E+Q\1)=Q-
P (£|Z)|z=0 =6 (E Eo).
Решение уравнения переноса. Сечения 2f, 26 в уравнении (7.38) слабо зависят от энергии налетающей частицы [см. Приложение, формулы (П.З) и (П.7)], и при малых Z, когда вероятность потерь энергии А = Ео — Е, сравнимых с полной энергией Ео, незначительна, эти сечения можно
223
заменить их значениями в точке Е — Ео. В результате получим
Et
(д/дГ) Р (£|Д) + ,f dQ [2г (Q) -I- Sd (Q)] [P (AJZ) -
- P (Д - Q|Z)] = 0;
P (A|Z)| z=1o== S (Д).
(7.39)
В приближении постоянных сечений, в котором выведена формула (7.39), потери энергии в ионизационных и радиационных взаимодействиях статистически независимы. Поэтому распределение Р (Д|/), согласно формуле для распределения суммы независимых случайных величин, можно представить в виде
Р (A|Z) = f Pt (Д - Q|Z) Рь (QJZ) <	(7.40)
о
где функции Pi, Ръ удовлетворяют уравнениям:
(д/дГ) Pi (Д|/) -|- J dQSi (Q) [Pi (Д|/) -
-Pi (Д-QI I)] = 0;	(7,41)
Pi (Д|О1/=о = б (Д);
(д/dl) Рь (Д|7) + f d(&b (Q) [Рь (Д|0-
— Р°(Д—Q|Z)J = 0;	(7Л2)
Рь(Д|/)|/=0 == б (Д),
и описывают распределения потерь энергии в ионизационных и радиационных взаимодействиях соответственно.
Для электронов с энергией Е 1 МэВ потери энергии в далеких радиационных взаимодействиях незначительны по сравнению, с полными потерями на тормозное излучение (табл. 7.1), поэтому их можно учитывать в приближении непрерывного замедления, т. е. использовать распределение
Рь (A|Z) = 6 (Д - ₽<?>/),	(7.43)
 где = f QSb- (Q) dQ — средние потери энергии на еди-о
нице длины пути в далеких радиационных взаимодействиях.
224	’
Таблица 7.1
Потери энергии в далеких взаимодействиях при ;______________JR(Ej)^Q,Q\n(E) ______________
В, МэВ •			р«/	
	А1	РЬ	А1	|	РЬ
J	0,11	0,11	0,82	0,78
2	0,08	0,07 "	0,85	0,79
4	0,06	0,04	0,86	0,78
10	Q.03	0,02	0,84	0,78
Для ионизационных взаимодействий большая часть энергии теряется именно За счет далеких столкновений (см. табл. 7.1) и флуктуации в этих Потерях существенны. Поэтому решение уравнения (7.41) необходимо.произвести более последовательно.
Уравнение (7.41) по форме совпадает с основным уравнением, приведенным в работе [12], в которой обсуждаются флуктуации потерь энергии тяжелых заряженных частиц. Поэтому для решения этого уравнения удобно использовать преобразование Лапласа по переменной Д, которое приводит к формуле (3.168) с
Л(р)=.[ Si(Q)[l-exp(-pQ)]dQ. о
Преобразование полученного распределения к виду, удобному для моделирования. Трудность моделирования распределения Pt (Д|1) состоит в том, что оно зависят от сравнительно большого числа параметров: энергии Еа, длины пути I и атомного номера Z. Поэтому выборка величины Д даже при заданном Z требует хранения в оперативной памяти ЭВМ трехмерных таблиц. Число переменных можно .сократить, Для этого перепишем трансформанту Л (р) в виде
Et
(Q) £1 — pQ — ехр (-pQ)l dQ + р₽<4\ (7.44) О
Et
где [У< = f QS г (Q) dQ — средние потери энергии на еди-о
нице длины пути в далеких ионизационных взаимодействиях.
8 Зак. 1717	.	225
• По аналогии с [12] можно показать, что при £г>>е, где е — энергия связи атомного электрона, область 0 < Q< < е дает малый вклад в значение интеграла (7.44). Поэтому в качестве (Q) в этом интеграле можно использовать формулу (П.4) Приложения, которая справедлива для рассеяния на свободных электронах., Это дает
А (р) = at(I — pQ — ехр (— р<2)] dQ + р$>. (7.45) о
Отметим, что для веществ с большим Z указанное условие не выполняется и необходимо учитывать флуктуации потерь энергии, обусловленные резонансным взаимодействием .с электронами внутренних оболочек атомов.
Подставляя (7.45) в (3.168) и переходя к новым переменным р — сцИЕр, \ = (Д — /0<)/Ер, t — pEt, получаем окончательное выражение для распределения РЛДП) [77, 78]:
Pt (Д | 0 dk = f (р, %)d%,	(7.46)
где	.
/ (р, %) = (1/2л1) J ехр [V —рф (/)] dt', Joo
i '
•<р (£) = t f [1 — t' —- exp (— i')] t'~2di'. b
В отличие от исходного распределения (7.46) характеризуется двумя независимыми переменными р и X. Это позволяет существенно сократить объем таблиц, необходимых' •для выборки потерь. Д.
При больших р, когда в интеграле f (р, %) существенны малые значения t, ф (t) & — Р/2 и распределение Pt (Д | Z) стремится к нормальному:
Pt (Д[/) с/Д « (2лр)-‘/« ехр (— %а/2р) <Д.	(7.47)
При малых р, когда в интеграле f (р, %) существенны большие t, ф (Z) & t (1 — С — In t) и распределение (7.46) переходит в распределение Ландау (3.175).
Графики интегрального распределения, которые используют при моделировании Д, приведены на рис. 7,1, 7.2.
226
Рис. 7.1. Распределение Д(р,, X):
/ — расчет по формуле (7.47) (/г=0); 2 —ц=4 (А=‘/2); 3—’и.= 1 (/г=1); 4 — ц-=0,4 (Л=3/2); 5 — ц-0,2 (А=2); 6 — р.—0,1 (й='/2) [77]
Рис. 7.2. Распределение Д(р,, X):
/ — расчет по формуле (3.178) (/г-0); 2 — р.=0,01 (/г=1); 3—Ц.-0.02 (/г-2); 4— ц=0,04 (А=8); 5—|Х=0,07 (/г=4); 3 — 11=0,10 (Л-5) [77]
Зависимость сечения 2 г от энергии налетающих электронов, которая не учитывалась при выводе распределения Де (А | Z), можно учесть приближенно. Для этого параметры р, и %, входящие в (7.46), необходимо подсчитывать по формулам	'
а	/ .
Р=(Ж) о
K = (llEt) {A-J ₽<?(£(/')) Д'}, о
227
8*
где зависимость Ё (?) определяется соотношением (7.14). Включение в расчетную схему флуктуаций потерь энергии в далеких столкновениях позволяет увеличить длину отрезков вложенной траектории и тем самым ускорить счет. В частности, для легких веществ учет этих флуктуаций сокращает время вычислений в 2—3 разщ
§ 7.4. Угловое распределение
Обсудим формулы для функции Р (й | Z), которая описывает угловое распределение электронов на отрезках вложенной траектории и удовлетворяет уравнению (7.19).
Угловое распределение заряженных частиц исследовалось в работах [112, 121, 122, 126] и др. Наиболее точным является распределение Гоудсмита—-Саундерсоиа, полученное с помощью разложения функции Р (й j Z) по полиномам Лежандра (§ 3.3):
Р (й | /)= У Ph (cos 6) ехр Г-t А,г (/) dl 4 ЗХ	.1	"
; (7.48)
+1 .
Ад (/) = 2л. j [1 — Ph (cos 9)] 2е (cos 9) d cos 9. (7.49) — 1 '
Трудность моделирования распределения (7.48) обусловлена тем, что оно зависит от нескольких параметров: атомного номера Z, длины пути./ и начальной энергии £0. Поэтому даже^ при заданном Z выборка угла 6' требует хранения в оперативной памяти ЭВМ трехмерных таблиц. Сокращение объема этих таблиц достигается следующим образом? Распределение (7.48) рассчитывают только для одного значения Д/, которое определяется энергией электрона в начале пути: Д/ = ДГ(Е) и выбирается Так, чтобы на этом пути были справедливы распределения теории многократного рассеяния. В тех случаях, когда длина пробега электрона I между двумя катастрофическими столкновениями больше, чем Д/, длину отрезка вложенной траектории полагают равной Д/ и все фазовые координаты очередного узла траектории разыгрывают на пути Д/. В противном случае отрезок вложенной траектории'полагают равным I, а косинус угла многократного рассеяния на пути I находят интерполяцией:
1 — cos ф = (1 — cos й') 1/Ё1,	(7.50)
228'
-где угол 6'' разыгран на отрезке А/. Формула (7.60).при малых I обеспечивает правильную зависимость среднего косинуса угла многократного рассеяния
•4“ 1
<cos О- > = 2зт | cos fl Р (cos О] Z) d cos &,	(7.51)
который характеризует полуширину распределения (7.48), от пройденного пути. Чтобы показать это, вычислим зависимость среднего косинуса от I для распределения Гоуд-смита—Саундерсона, подставив (7.48) в (7.51):
i
<cos О’ > = ехр [— С Ах (I1) dl']; '	(7.52)
b
где
+1
(Z) = 2л J (1 — cos 0) Se (cos 9, Z) d cos 9.	(7.53)
При малых l в формуле (7.52) можно пренебречь зависимостью функции 41 от энергии, а экспоненту разложить в степенной ряд и ограничиться двумя первыми членами. Тогда получим
<1—cos «>•=. 4XZ.	(7.54)
Из этой формулы видно, что <1 — cos й1' > aMjAZ* поэтому усреднение (7.50) приводит к зависимости (7.54).
Полуширина углового распределения Р (£2[AZ) зависит от £ и AZ. Удобно выбрать зависимость AZ (£) такой, чтобы полуширина распределения слабо зависела от энергии. В этом случае при табулировании распределения (7.48) число точек по энергии можно существенно уменьшить. В работе [111] показано, что Для этого длина отрезка. AZ должна составлять постоянную долю остаточной длины пробега электрона.
§ 7.5. Пространственное распределение
Распределение продольных смещений. В известных схемах группировки столкновений продольное' смещение электронов г, как правило, принимается равным пробегу. Z. В данной расчетной схеме распределение продольных смещений описывается формулой (7.36), которую с учетом (3.32) можно записать в виде
Р (z| О', Z) = л2е<92> Z ехр
2е <0>21
Р (Z, О' | Z),
(7.55)
229
где функция Р (z, I) удовлетворяет уравнению (7.28):
(d/dl) Р (z, 0) Z) + (1 - W2) (д/дг) Р (z, 'О-] /) - ]
— (1/4) Sc <0S> vS Р (z, О'| Z) =0;	(7.56)
Р (z, &! Z)h=o =S (z) 6 (0).	J
Д'ля решения уравнения (7.56) сделаем в нем замену переменных: от -в'ас, тЭ-у перейдем к % = 0'2/2, <р = = arctg -б'у/'б’д. и учтем, что функция Р симметрична по азимуту, т. е. Р (z,® | Z) = Р (г,	Z). Это приведет к урав-
нению
(d/dl) Р (z, %IZ) + (1 - %) (д/dz) Р (z, %|Z) -- (1/2) 2е<бЬ (d/dfi % (д/д%) Р (z, %|Z) = 0;
Р(г, x|Z)|z==0 = (1/2л)6(г)6(%).
(7.Б7)
В приближении малых углов пределами изменения переменной % можно считать интервал (0, оо) и для решения уравнения (7.57) использовать преобразование Лапласа по переменным %, г:
• Ci loo са -р loo
Р (Z, -хЮ = — (2lt)-2 J dp f dq х cL — foo ca— foo ’
Хехр [(/X — pz] P (p, q\l)\	(7.58)
-|-oo	OO	3
p (p>	= f dz f d% exp [pz — q%} P (z, x|Z). (7.59)
CX5	0
Подействуем на уравнение (7.57) оператором
-j-oo	оо
f dz J dxexp [pz — q%].
—OO	0
После интегрирования по частям второго и третьего членов и использования очевидного соотношения
а ехр (ab) = (d/db) ехр (ab)	(7.60)
получим для трансформанты Р (р, q\l) уравнение ' (d/dl) Р (р, q\l) + [(1/2) 2е < 02><7S - р] X X(d/dq)P(pq\l) + [(1/2) 2е <0*> q - р] Р (p,q\l)= 0;
Р (Р> <7|О1/-=о = 1/&я-
(7-61)
230
Решение уравнения (7.61) можно найти методом характеристик:
Р(р,<?\1)
юехр(р/) л2в<6а> sh (а/)
2<х cth (al) Se<02>
а = (2е<02>_|.у/2,
(7.62)
Подставив (7.62) в (7.58), выполнив интегрирование по q и перейдя к новым переменным v = 02/(2а <03>Z); у — 2(1— z)/(Se<02> Z2); и — Se<02 > Z2p/2, получим решение уравнения (7.56) [77; 78]:
Р (z, 0| I) dz 0'd •& — — (1/2л.) f (v, у) dvdy, (7.63) c-j-ioo
f (v, y) = (l/2ni) f ~\/u cosech (Vu) exp [yu — C—ioo
— V Vu cth (V«)] du.	(7.64)
Отметим, что" формулы, близкие к (7.63), (7.64), другими способами вычислены в работах [127, 133].
Подставляя (7.63) в (7.55), получаем для искомого распределения Р (г|0, I) выражение
Р (z |0, Z) dz = ехр (v) f (,v, у) dy. * (7.65)
Графики интегрального распределения,' которые необходимы для моделирования z, приведены на рис. 7.3.
Распределение поперечных смещений. Как показано в §7.2, распределение поперечных смещений Р (р |0, I) можно вычислить по формуле (7.37):
Р (р |0, Z) = л2е <02> I ехр ['02/(Se<02>/)] X
х Р (р, 0| Z),	•	(7.66)
где функция Р (р, 0| I) удовлетворяет уравнению. (7.33): (д/дГ) Р (р, 01 Z) + 0 (д/др) Р (р, 01 Z) —
- (1/4) Se <02> Р(р, о| 0=0;	(7.67)
Р (р, 0| Z//z=0 =6 (р) 6 (0).
Для решения уравнения (7.67) можно использовать преобразования Фурье на плоскости по переменным р, 0:
Р (р, 0] Z) = (2л)-4 ехр [(i (рр + q0)] X 1
X Р (р, q|Z) cZpdq;	f (7.68)
р (р> чЮ = И ехР [— i (рр+ч Жт3 (р, ою dpd®. J
231
Подействуем на уравнение (7.67) оператором J’c/p у х X ехр [— i (рр + q'O')]. После интегрирования по частям второго и третьего членов (7,67) и использования соотношения (7.60) получим для трансформанты Р (р, q|Z) уравнение
(д!дГ) Р (р, - qjZ) - р (Э/aq) Р (р, qJZ) -|-н-(1/4) Зв<е3>^Р (р, q|Z)=O;	(7.69)
' Р(Р, q|0|/=o =1,
которое заменой переменных (Z, q) (Z, X q |- Zp) легко сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка:
(didi) Р (р, x|Z) (1/4) s0 <е2> (% - /р)2 р (р, Ьф) = = 0;-Р (р, %|Z)!/=o = 1.
Решением последнего является функция
Р (р, Ц£) = ехр [- j dl' (1/4) 2е<92> (X - Z'p)2]. (7.70)
Возвращаясь в (7.70) к переменным I, q, получаем решение уравнения (7.69):
Р (р, q|/)=exp [- (1/4) 2^’ <62> (q4 qpZa + p2/8/3)L (7.71)
232
Подставив (7.71) в (7.68) и выполнив интегрирование по р, q, найдем решение уравнения (7.67):
Р(р, W)
л2 2е<0а>4*
. х ехр
4 Ад.з з^Р I зра\1
2S <0а> I к I "Г /а /]
(7.72)
Формулу (7.72) впервые получил Ферми (цит. в [85, с. 92]). Близкие к ней выражения приведены в работе [116], Наконец, подставив (7.72) в (7.66), получим для распре-
деления «поперечных смещений формулу
Р(р | О, 1) =------ехр Г------—.(р—•—У] . (7.73)
1	' л2е <0а> /з 1 2е <02> 1з 2 / J '	'
Уточнение формул для распределения Р (^|'О', /), Р (р I'fl', I). Используя (7.65), (7.73), легко найти моменты
<г> = j dz^dftzP (г,	/) = I [1 — (1/4) 2С<02>Л; (7.74)
<р2> =ррр^р2Р (р,	/) =
= (1/3) Se<02) Is,	(7.75)
которые являются главными параметрами пространствен-.
кого распределения электронов на отрезке. Более точные значения <z>, <р2> получил Лыоис [121]. на основе решения уравнения (7.15):
<Ра
(7.77)
где Дх, Ag определяются выражением (7.49).
С помощью выражений (7.76), (7.77) можно показать,  что область применимости формул для Р (z I01, /), Р (р [О, Z), полученных в этом параграфе,' определяется произведем нием Ss <02>/. Продемонстрируем это на примере распре-
233
Деления (7.65). При малых I в выражении (7.76) можно пре* небречь зависимостью функции от энергии, т. е. положить Лх (£) « А, (Ео) == А « (1/2) 2Й (02>. Тогда
(z>=(lMi) [1 —ехр (—А /)]=
, Г. 28<ем	, 1
Z [	2-21 . Ф 2а-3!	‘
Как видно, при 20(92>Z->-O последнее выражение переходит в (7,74). Таким образом, область применимости распределения Р (г | О’, /) определяется значениями
Использование в (7.65), (7.73) точных выражений для моментов (z), <р2> позволяет, расширить область применимости этих распределений. Выборку случайных величин из модифицированных распределений можно осуществить, определяя случайные значения z, р2 с помощью распределений (7.65), (7.73) и умножая их на отношения точных, моментов (7.76), (7.77) к приближенным (7.74), (7.75) соответственно.
В работе [77] показано, что более точный учет искривления отрезков вложенной траектории за счет многократного рассеяния позволяет увеличить длину отрезков и тем самым ускорить счет. В частности, для тяжелых веществ скорость вычислений увеличивается в 3—5 раз.
§ 7.6. Моделирование случайных элементов траектории
Моделирование длины пробега. Распределение длины пробега I между катастрофическими столкновениями имеет вид
Р (/) = 2> (Z) ехр (- f 2> (Г) dl'\ (7.78) о
где
2>(0 =Т 2e(Q; Z)dQ-H 2Ь (Q; Z) dQ Ч	ft
— полное сечение катастрофических столкновений; 2> (Z) = = 2> (Е (/)); зависимость Е (Z) определяется соотношением ft
Z = J dE'/^< (Е') и представляет собой среднюю энергию
234
электронов, прошедших путь I и не испытавших ни одного катастрофического столкновения; Ео — энергия электрона в начале отрезка.
Из (7,78) следует, что по формуле Дт — — In где £ — случайное число, равномерно распределенное на интервале (О, 1), можно разыграть оптическую длину пробега электрона
Дт - У (/') dl‘ = f [2> (Б')/р< (£')] dE', (7.79) О	Е
Соотношение (7.79) позволяет по известному значению Дт найти I и среднюю энергию Е. Для этого необходимо
Е
иметь таблицы функций т (Е) = / [2> (£')/₽< (Д')] dE';
Е	°
Ес (Д) =/ [1/₽< (E')]dE'. Действительно, интерполяцией зависимостей , т (Д), Д (т) с использованием формулы т (Д) =т (До) — Дт можно определить энергию Д. Далее, интерполяцией зависимости (Д) по формуле I — = Ес (До) — Е< (Д) можно найти I.
В рассматриваемой расчетной схеме длина отрезков вложенной траектории не должна превышать предельного значения Д/, определяемого границами применимости распределений теории многократного рассеяния. Поэтому, если I > Д/, длину очередного отрезка вложенной траектории полагают равной Д/. В противном случае длину отрезка полагают равной I и следующий шаг по траектории делают от этой точки.
Легко показать, что такой способ выбора длины отрезка эквивалентен разбиению длины пробега I на меньшие части длиной Д/. В то же время этот способ позволяет использовать для розыгрыша I формулу (7.78), которая основана на приближении непрерывного замедления и для больших пробегов I вследствие возрастания роли флуктуаций потери энергии неприменима.
Численный анализ показал, что предельное значение длины отрезков изменяется от 0,25—0,35. длины остаточного пробега для самых легких веществ до 0,06—0,08 длины остаточного пробега для самых тяжелых веществ. При малых Z основное ограничение на длину отрезков накладывают приближение постоянйых сечений, которое было использовано при выводе формул для распределения потерь энергии, и приближение непрерывного замедления, которое
 235
использовалось при отыскании углового и пространственного распределений. В области больших Z длина отрезков ограничивается приближением Фоккера—Планка, в котором рассчитывалось пространственное распределение.
Моделирование многократного рассеяния. После определения длины отрезка разыгрывают фазовые координаты очередного узла вложенной траектории.
Косинус угла многократного рассеяния на.отрезке Л/ разыгрывают из распределения (7.48) методом функций распределения (численно). Азимутальный угол вектора Я распределен равномерно.
Продольное смещение электронов разыгрывают методом функций распределения (численно) из (7.65) с поправкой на точный момент (7.76). Распределение поперечных смещений (7.73) является нормальным.
- Потери энергии электрона на пути-1 определяются как сумма потерь на ионизацию и тормозное излучение. Ионизационные потери разыгрывают методом 'функций распределения (численно) из (7.46). Потери на излучение в соответствии с (7.43) подсчитывают по формуле Д =	(/).
Моделирование катастрофических столкновений. Розыгрыш энергии Q, переданной вторичному электрону или у-кванту при катастрофическом столкновении, можно осуществить методом отказов из формул Меллера и Бете— Гайтлера с поправками, которые даны в Приложении [формулы (П.З) и (П.7) соответственно]. Алгоритмы выборок приведены на рис. 7.4 и 7.5.
Изменением направления движения электронов при тормозном катастрофическом столкновении обычно пренебрегают. Косинусы полярных углов рассеяния первичной и вторичной частиц при электрои-электрош-юм столкновении подсчитывают по формулам
COS
Г.(!-«>) (84~2) ‘V2.	„ _
(Г— w) 84-2	2
•ю(е-|-2) 11/2
we—[- 2
где w = Q/£; 8 = Е1ш?\ Е — энергия налетающей частицы. Азимутальные углы рассеяния срх, <р2 распределены равномерно и связаны соотношением ср2 — ср3 — л, так как направления движения первичного и вторичного электронов Я2 ,'лежат в одной плоскости. -
• Образование вторичных частиц в катастрофических столкновениях приводит к ветвлению траекторий. Расчет и обработку таких траекторий.удобно проводить лексико-.
236
графическим методом [69, с. ЮЗ]. В этом случае после каждого катастрофического столкновения координаты частицы с большей энергией запоминаются, а траектория частицы с меньшей энергией прослеживается. Как только энергия этой частицы становится меньше порогового значения Eit данная ветвь траектории обрывается и начинается по-
Рис. 7.4. Розыгрыш энергии вторичного электрона
I
строение одной из запомненных ранее ветвей. Моделирование траектории считается законченным, если построены и обработаны все ее ветви.
В заключение отметим, что при моделировании траектории электронов в неоднородной среде удобно фиксировать фазовые координаты х' точки пересечения границы раздела двух сред и следующий шаг по траектории делать от точки х'. В схемах группировки столкновёний х' определяют интерполяцией по. двум соседним узлам вложенной
z 237
траектории, которые расположены по разные стороны от границы и построены в однородной среде. Для этого можно использовать формулы, аналогичные (7.50):
cos У = 1 - (1 - cos й) Z7Z; z'lr' = 1 — (1 — z/r) I'll-,
Е' = Е0 — (Ео — Е) l'H\ z' = z -|-
+ (I - 2) (I' И)\	(7.80)
Рис. 7.5. Розыгрыш энергии у-кваита
При мал'ых I формулы (7.80) обеспечивают правильную зависимость основных моментов распределения Р (г, й, Е\1) от длины пройденного пути. Доказать это утверждение можно так же, как для формулы (7.54).
§ 7.7. Некоторые результаты расчетов [77]
. Использование более точных распределений теории многократного рассеяния и увеличение скорости вычислений позволяют проводить расчеты полей электронов в неоднородных поглотителях и в трехмерной геометрии.
На рис. 7.6 показаны распределения поглощенной энергии Z?(z) в различных веществах. Видно, что на границе раздела функция D (?) терпит разрыв, обусловленный различием тормозных способ-.
238,
Рис. 7.6. Распределение поглощенной энергии по глубине (£о=4 МэВ) [77]
Рис. 7.7. Радиальное распределение поглощенной энергии:
1— 2=0,1 R (п-0); 2 —z-0,3 R (п=— 1); 3 — 2=0,5 Й (л = —2). Гистограмма — расчет по описанной программе (8000 историй); точки —расчет [73]. Плексиглас, £о—1 МэВ
постей вещества. Увеличение рассеяния в поглотителе, изготовленном из вещества с большим атомным номером, приводит к возрастанию поглощенной энергии в поглотителе из вещества с малым г.
Рис. 7.8. Зависимость среднеквадратичного радиуса распределения поглощенной энергии электронов от глубины:
гистограмма — расчет по описанной программе (2000 историй); кривая — расчет [119]. Вода, £0“1О МэВ
На рис. 7.7 — 7.11 приведены данные о радиальном распределении поля электронов от точечного мопопаправлеппого источника. Ранее такие характеристики рассчитывали только в приближении непрерывного замедления [73, 119]. Сравнение показывает, что это
Рис. 7.9. Зависимость среднеквадратичного радиуса распределения поглощенной энергии электронов, отраженных от слоя меди, от глубины [77]
Рис. 7.10. Зависимость среднеквадратичного радиуса распределения поглощенной энергии электронов, прошедших слой алюминия, от глубины [77]
приближение справедливо для глубин, меньших половины полной длины пробега электронов. Расхождение радиальных распределений в.области больших р (рис. 7.7) связано с медленной сходимостью метода моментов, который использовали в работе [73].
240
Рост поперечных размеров пучка при малых z (рис. 7.8, 7.10) обусловлен рассеянием электронов в поглотителе; дальнейшее уменьшение связано с тем, что вследствие слабой флуктуации длины пробега на глубину z « Яо попадают в основном частицы, которые про-
шли в веществе путь, близкий к прямолинейному.
Положение максимума на кривых <p2>I/f2 определяется характером рассеяния электронов в поглотителе, С уменьшением атомного номера вещества поглотителя и с ростом начальной энергии пучка, т. е. с . уменьшением рассеяния, максимум на кривых смещается в сторону больших z. Наибольшее поперечное «размы-
Рнс. 7.11. Зависимость среднеквад-
тие» пучка электронов в барьерной геометрии составляет около 0,3 Я-
Среднеквадратичные радиусы распределения поглощенной энергии электронов, отраженных от плоских барьеров, мо-нотонпо возрастают с увеличением толщины барьера z и при z ss 0,3 Я выходят на насыщение, соответствующее отражению от полубескоиечного поглотителд. Полуширина радиальною распределения электронов, отраженных от полубескоиечного поглотителя, составляет 0,3 Я и увеличивается с уменьшением рассеяния.
В неоднородных поглотителях радиальное распределение резко
ратичного радиуса распределения поглощенной энергии электронов от глубины, £'о-4 МэВ |[77.]
су,жается при переходе из легкого вещества в тяжелое, так как длина пробега в тяжелом веществе значительно меньше (см. рис. 7.11).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Коэффициенты взаимодействия электронов с веществом
Дадим краткое описание формул для коэффициентов взаимодействия электронов с веществом, которые использовались в расчетах по модели группировки малых передач энергии. ,
Формулы для дифференциального по направлениям сечения упругого рассеяния на атомах приведены в обзоре [132]:
Se (cos 0; Е)
М (Z, Е, cos 0) (1 —cos 0-|-2т))3’
(П.1)
где ne№nZ2r3S2(i_p2)/p4;
( (l — ^t) (s+2) V/21 /Г _/в+2У/2'' \ (1—tt;t) s-f-2 / J . _\&+4/ .. (Z+l) [In (14-1/iq) —1/(1-Г))]
241
и
Z+1 f	5—In [0,16Z~~2^3 (1+3.33Z/137P)] -I
62= 2	(Z_|_i) in [X§ (1,13-|-3,76Z2)/(137P)a] J
—поправки на изменение направления движения в далеких ионизационных столкновениях;
.Т) = -т{1+	- Р2)1п Хо + 0,231.+ 1,448р“]}
— параметр экранирования; М. —„релятивистский множитель Мот-та;-х.о == 6>8-10-6Z2/3(l - ра)/р2;	|32 = в (в + 2)/(е + I)2; в =
= E/mc2; Wt = Ef/E; Е — энергия налетающего электрона; 0 — угол рассеяния; Z — атомный номер; Et — граничная энергия, до которой, рассчитывают электронную траекторию; п—число атомов в единице объема вещества среды; r0, тс2—классический радиус и энергия покоя электрона. Данные для вычисления множителя .Мотта приведены в работе [114].
При Et — Е/2, когда все ионизационные столкновения включаются в далекие, и малых значениях 0, когда М (Z, Е, cos 0) = = 1 и cos 0 sfe 1 — 02/2, формула (П.1) принимает вид
Se (cos 0; Е) = 4ае/(02 + 4т])3.	(П.2),
Для определения энергии О> переданной вторичному электрону при катастрофическом столкновении, была использована формула Меллера
, 2.ю. £1=ЛГ1_ 2е+-1 w	/П 31
’ Q2 L	(в+1)2 1— ау+ (1—te>)2 1 (в+1)2 ]’ (
где at — 2n;nZr§mc2/P2; ® = Q/Е. В области w « 1 множитель в квадратных скобках (П.З) близок к единице и сечение 21 принимает вид
Zi (Q; Е) == ог/<э2.	(П.4)
Интегрированием выражения (П.З) по переменной Q в пределах от Et до Е/2 можно получить полное сечение катастрофических ионизационных столкновений:
+0 (рл=^1 Г	__gg+l_ н1-^. 
> Е [ait(l—t^)	(e+l)2 ti>t
(П.5)
Ионизационные потери энергии на единице длины пути в далеких столкновениях вычисляются по формуле
^ (£) = ₽('’(Е)-^(Е),
242
где
Е/2
pW(E)= j dQQSj (Q; Е) = а; 2— Et
In 2wt +

8a
(1+в)а
\	'	ea  / 1 V
p(‘) (£)—полные потери на ионизацию.
Таблицы полных потерь |}^\ вычисленные Бергером, приведены в работе [52]. Обработка данных методом наименьших квадра-
тов позволила получить простую формулу для этой величины:
₽(/) (Е) = at[a (а)In Z + b (а)], (П.6) где а = In в2 (в + 2); графики функций а (а), Ь (а) приведены на рис. П. 1.
Для твердых и жидких ’веществ . при Z 6 результаты вычислений по формуле (П.6) отличаются от данных Бергера не более чем на 1%. В остальных случаях формула (П.6) дает погрешность 2 — 5%..
В качестве дифференциального по. переданной энергии сечения радиационных столкновений была использована формула из обзора
а, 5
20
10 -
0-
-8-4.0
4 8 12 сС
Рис. П.1, и
Функции а (а) &(а)
. Sb (Q; Е) = («b/Q)F (2, в, Е),	(П.7)
где аь — 4nZ (Z + 1)г§ Ль (2, в)/137; k = Qlmc2', графики функции Ль (2, 8) приведены на рис. П.2.
f 20 10	>4 	1	—	’„J	L_^:
244
графики функции с (у), А (у), fa (у) представлены па рис. П. 3,П. 4. Для энергии Е < 2 МэВ
Полное сечение катастрофического столкновения и потери энергии иа единице длины пути в далеких столкновениях для радиационных взаимодействий подсчитывали численным интегрированием (П.7) по формулам
3^(£) = йь j F (Z, е,7г)
<	k
kt
(£) = аь тс* С F (Z, е, /г) dk,
где
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Аккерман А. Ф„ Никитушев to. М., Ботвин В. А. Решение методом Монте-Карло задач переноса быстрых электронов в веществе. Алма-Ата, «Наука», 1972.
2.	Альбедо гамма-излучения. М„ Атомпздат, 1968. Авт.: Б.- П. Булатов и др.
3.	Альбедо нейтронов. М„ Атомпздат, 1973. Авт.: Т. А. Гермогспо-ва и др,.
4.	Баранов В. Ф. Дозиметрия электронного излучения. М., Атом-издат, 1974.
5.	Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. Пер. с апгл. М., «Наука», 1969-
6.	Бекурц К., Виртц К. Нейтронная физика, Пер. с апгл. Под ред. Л, А. Микаэляна и В. И. Лебедева. М., Атомпздат, 1968.
7.	Белл Д., Глесстон'С. Теория ядерных реакторов. Пер. с апгл. М„ Атомпздат; 1974.
8.	Беляев А. А., Крупман А. И. Расчет угловдго распределения мо-ноэиергетических электронов, рассеянных в веществе, — «Атомная энергия», 1968, т. 25,,вып. 3, с. 222, 223.
9.	Бергельсон Б. Р., Суворов А. П., Торлин Б. 3. Мпогогрупповые методы расчета защиты от нейтронов. М., Атомпздат, 1970.
10.	Биологическая защита трапспортпых реакторных установок. Изд. 2-е. Под ред. Д. Л. Бродера. М„ Атомпздат, 1969. Авт.: Д. Л. Бродер и др.
11.	Биологическая защита ядерных реакторов. 'Справочник, Пер. с англ. Под ред. 10, А. Егорова. М„ Атомпздат, .1965.
12.	Вавилов П. В. Ионизационные, потери тяжелых частиц больших энергий. — «Журн. эксперим. и' теор.1 физ.», 19’57, т. 32, № 4, с. 920—923.
13.	Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
14.	Владимиров В. С. Математические задачи одпоскоростной теории переноса частиц. — «Труды мат. ин-та им, В. А. Стеклова», 1961, т. LXI.
15.	Волков В. Г., Кольчужкин А. Й., Лаппа А. В. Исследование радиационных полей коллимированных источников гамма-излучения.—.В кн.: Всесоюз. науч. коиф. по защите от ионизирующих излучений яДериотехнических установок. Тезисы докладов. М., МИФИ, 1974, с. 42.
16.	Воробьев А. А., Кононов Б. А. Прохождение электронов через вещество. Томск, Изд-во ТГУ, 1966.
246
17,	Воробьев С. А. Прохождение бета-чйсТиЦ через кристаллы, М., Атомиздат, 1975.
18.	Вычислительные методы и теории переноса. Сб. статей. Под ред. Г.> И. Марчука. М„ Атомиздат, 1969.
19.	Вычислительные методы в физике реакторов. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1972.
20.	Гайтлер В. Квантовая теория излучения. Пер. с англ. М., Из.д-во иностр, лит., 1'956.
21.	Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М., «Наука», 1965.
22.	Гольдштейн Г. Основы защиты реакторов. Пер. с англ. Под ред. Н. И. Лалетина. М„ Атомиздат, 1961.
23.	Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е. М., Физматгиз, 1962.
24.	Губерман Ш. А. Использование принципов подобия при решении задач о переносе частиц. — «Атомная энергия», 1961, т. 10, вып. 4, с. 369.
25.	Дейвиссон Ш. Взаимодействие у-излучения с веществом. — В кн.: Альфа-, бета- и гамма-спектроскопия. Пер, с англ. Под ред. К. Зигбана. Вып. 1. М„ Атомиздат, 1'969, с. 58—97.
26.	Диткии В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Изд. 2-е, доп. М., «Наука», 1974,
27.	Дурииов С. И., Учайкин В. В., Кольчужкин А. М. К расчету граничного эффекта в задачах переноса частиц. — «Атомная энергия», 1972, т. 32, вып. 6, с. 497—499.
28.	Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов, Пер. с англ. Под ред. Г. И. Марчука. М„ Атомиздат, I960.
29,	Евдокимов О. Б. Некоторые общие вопросы переноса быстрых электронов. VII. Многошаговый метод с обобщенным временем.— «Изв. вузов. Сер. физ.», 1974, № 8, с. 110.
30.	Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. Изд. 2-е, доп. М., «Наука», 1975,
31.	Защита От ионизирующих излучений. Т. 1. М., Атомиздат) 1969. Авт.: И. Г. Гусев и др.
32.	Золотухин В. Г., Ермаков С. М. Применение метода Монте-Карло для расчета защиты от ядерных излучений. — В кн.: Вопросы физики защиты реакторов, Сб. статей. Под ред. Д. Л. Бродера. Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963, с. 171—182.
33.	Иваненко И. П. Электромагнитные каскадные процессы. М., Изд-во МГУ, 1972.
34.	Иванов В. И. КУРС дозиметрии. Изд. 2-е. М„ Атомиздат, 1970.
35.	Кадомцев Б. Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии.—«Докл. АН СССР», 1957, т. 113, № 3, с, 541.
36.	Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. Пер. с англ. М., «Мир», 1972. '	•
37.	Кимель Л. Р., Машкович В. П. Защита от ионизирующих излучений. Справочник. Изд. 2-е. М., Атомиздат, 1972.
38.	Кольчужкин А. М., Ксенофонтов А. И., Панченко А. М. Влияние когерентного рассеяния гамма-излучения на пространственное распределение'интенсивности точечного мононаправленного источника.— «Атомная энергия», 1974, т; 36, вып. 4, с. 303, 304.
247
39.	Кольчужкин А. М., Пляшешпииов А, В. Радиальное распределение-потока электронов от точечного мононаправленного источника. «Атомная энергия», 1975, т. 38, вып. 5, с. 327,
40.	Кольчужкин А. М., Рыжов В. В., Учайкин В. В. Метод возмущений в теории переходного эффекта. — «Изв. АН СССР. Сер. физ.», 1970, т. 34, № 9, с. 2019—2023.
41.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. К расчету возмущения поля излучения локальной неоднородностью. — «Изв. вузов. Сер. физ.», 1968, № 3, с. 129—131. *'
42.	Кольчужкин А. М„ Учайкин В. В. К расчету прохождения у-из-лучеиия через неоднородный барьер. — «Атомная энергия», 1968, т. 25, вып. 5, с. 442—444.
43.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. К расчету возмущения интенсивности у-нзлучения дефектом малых размеров. — «Изв. вузов. Сер, физ.», 1968, № 11, с. 129, 130.
44.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. Расчет возмущения интенсивности у-излучеиня полостью малых размеров методом Мойте-. Карло. — «Изв, вузов. Сер. физ.», 1968, № И, с. 130—133.
45.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. Расчет методом возмущений отражения у-излучепия от двухслойных барьеров.— «Изв. вузов. Сер. физ.», 1968, № 12, с. 127—129.
46.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. К расчету выявляемое™ дефектов в сцинтилляционной гамма-дефектоскопии. — «Дефектоскопия», 1969, № 1, с. 86—94.
47.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. Об особенности сопряженной функции в случае -точечного детектора у-излучения.— «Изв. вузов. Сер. физ.», 1971, № 1, с. 106—ЛЮ.
48.	Кольчужкин А. М., Учайкии В. В. Расчет изображения дефектов в гамма-дефектоскопии. — «Изв. вузов. Сер, физ.», 1971, № 1, . с. 111г—<114.
49.	Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. К расчету методом Монте-Карло поля гамма-излучения в статистически неоднородной среде.— «Изв. вузов. Сер. физ.», 1971, № 3, с. 65—68.
50.	Кольчужкип А. М., Учайкин В. В. О-статистических флуктуациях показаний детектора в поле излучения. — «Изв. вузов. Сер. физ.», 1975, № 10, с. 90—96.,
51.	Кольчужкин А. М., Шевцова И. Н., Дергобузов К. А. Применение метода возмущений для расчета потока электронов за двухслойным барьером. — «Изв. вузов. Сер. физ.», 1968, № 8, с. 49,
52.	Комар А. П., Круглов С. П., Лопатин И. В. Измерение полной энергии пучков тормозного излучения от электронных ускорителей. Л., «Наука», 1972.
53.	Корн F., Кори Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров; Пер. >с англ. М., «Наука», 1968.
54.	Лалетин Н. И. Элементарные решения односкоростного уравнения переноса нейтронов. — В кн.: Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реактора. Под ред. Я. В. Шевелева. М., Атомиздат, 1974, с. 155—186.
55.	Лалетин Н. И. Метод поверхностных псевдоисточников для решения уравнения переноса нейтронов (Gw-приближения).—В кн.: Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов. Под ред. Я. В. Шевелева. М., Атомиздат, 1974, с. 187—215.
56.	Ландау Л. Д. О потерях энергии быстрыми частицами на ионизацию, Собр. трудов. Т, 1. М., «Наука», 1969, с. 482.
248
57,	Лаппа А. В. Представление и оценка методом Монте-Карло математического ожидания неаддитивных функционалов одного класса от общего ветвящегося процесса. ВИНИТИ, деп. рук. № 3696-75. Аннотация.'—«Изв. вузов. Сер. физ.», 1976, № 4, с. 154.
58.	Лаппа А- В., Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. Интегральные уравнения для вероятностных характеристик функционалов, заданных на траекториях марковской цепи. — В кн.: Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Под ред. Г. И. Марчука. Новосибирск, Изд. ВЦ СО АН СССР, 1974, с. 114—121.
59.	Лаппа А. В., Учайкин В. В., Кольчужкин А. М. Метод рандомизации сечений в задачах переноса излучений в неоднородных средах.— В кн.: Статистическое моделирование в математической физике. Под ред. Г. И. Марчука. Новосибирск, Изд. ВЦ СО АН СССР, 1976, с. 17.
60.	Лейпупский О. И., Новожилов Б. В., Сахаров В. Н. Распространение гамма-квантов в веществе. М., Физматгиз, 1960.
61.	Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. Пер. с англ. М., «Мир», 1974.	,
62.	Лыоинс Дж. Ценность. Сопряженная функция.' Пер. с апгл. М., Атомиздат, 1972.
63.	Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1961.
64.	Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов.’ М., Атомиздат, 1971.
65.	Марчук Г. И., Орлов В. В. К теории сопряженных функций. — В кн.: Нейтронная физика. Сб. статей. Под ред. П. А. Крупчиц-кого. М., Атомиздат, 1961.
66.	Мегреблиан Р„ Холмс Д. Теория реакторов. Пер. с англ. Под ред. П. А. Гаврилова. М., Госатомиздат, 1962.
67.	Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Под ред. Г. И. Марчука. Новосибирск, «Наука», 1976. Авт.: Г. И. Марчук и др.'
68.	Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. Под ред. Г. И. Марчука. М., Атомиздат, 1967,
69.	Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Под ред.
10.	А. Шрейдера. М., Физматгиз, 1961. Авт.: Н. П. Буслепко и др.
70.	Михайлов Г. А. О расчетах возмущений ядерных реакторов методом Монте-Карло. — «Жури, вычислит, мат. и мат. физики»-, 1966, т. 6, № 2, с. 380—384.
71.	Михайлов Г. А. Метод моделирования длины свободного пробега частиц. — «Атомная энергия», 1970, т. 28, вып. 2, с. 175. ‘ '
72.	Михайлов Г. А. 'Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск, «Наука», 1974.
73.	Наркевич Б. Я., Ендовицкий В. С., Константинов И. Е. Расчет дозиого поля - тонкого луча электронов.—«Атомная энергия», 1969, т. 26, вып. 5, с. 473, 474.
74.	Нелипа Н. Ф. Введение в теорию многократного рассеяния частиц. М., Атомиздат, 1960.
75.	Перенос быстрых нейтронов в плоских защитах. М., Атомиздат, 1971. Авт.: Т. А. Гермогенова и др.
76.	Петров Э. В., Усачев Л. Н. Пространственное и угловое распре-. деление нейтронов от точечного источника с учетом анизотропии
249
' рассеяния. —В кн.: Теория и методы расчета ядерных реакторов. Сб. статей. Под ред. Г. И. Марчука. М., Госатомпздат, 1962..
77.	Пляшешников А. В. Модель группировки малых передач энергии в расчетах полей электронов методом Монте-Карло. Автореф. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Томск, 1974. (Томский политехи, ии-т им; С. М. Кирова.)
78.	Пляшешников А. В., Кольчужкин А. М. Модель группировки малых передач энергии в расчетах полей электронов методом Монте-Карло.— «Атомная энергия», 1975, т. 39, вып. 1, с. 53.
79.	Пляшешников А. В., Лаппа А. В., Кольчужкин А. М. Моделиро-
* вание процесса переноса электронов с использованием вложенных марковских цепей. — В кп.: Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Под ред. Г. И. Марчука. Новосибирск, Изд. ВЦ СО АН СССР, 1974, с. 283—288.
80.	Поле излучения точечного моионаправлеипого источника гамма-квантов. М., Атомиздат, 1974. Авт.: В. Г. Золотухин и др.
81.	Потапов В. Н. Исследование полей рассеянного излучения в задачах радиационной дефектоскопии. Автореф. па соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Томск, 1975. (Томский политехи, ин-т им, С. М. Кирова.)
82.	Прохождение излучений через неоднородности в защите. Под ред. О. И. Лейпунского, В. П. Машковича, М., Атомиздат, 1968. Авт.: В. Г. Золотухин и др.
83.	Рамакришнан А. Элементарные частицы и космические лучи. Пер, с англ. М,, «Мир», 1965,
84.	Ремизович В. С. Флуктуации энергетических потерь быстрых электронов в веществе. — В кп.: Вопросы микродозиметрии. Под ред. В. И. Иванова. Вып. 2. М., Атомиздат, 1974, с. 85—88.
85.	Росси Б. Частицы больших энергий. Пер. с англ. М., ГИТТЛ, 1955.
86.	Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1972.
87.	Соболь И,- М. Численные методы Моите-Карло. М., «Наука», 1973.
88.	Спанье Дж., Гелбард Э. Метод Моите-Карло и задачи переноса нейтронов. Пер. с.аигл. М., Атомиздат, 1972.
89.	Стародубцев С. В., Романов А. М. Прохождение заряженных ча- ’ стиц через вещество. Ташкент, Изд-во АН УзССР, 1962,
90.	Стародубцев С. В., Романов А. М; Взаимодействие гамма-излучения с веществом. Ташкент, «Наука», 1964.
91.	Суворов А. П., Брешенкова Е. Б., Орлов В. В. Пространственное распределение нейтронов в бесконечной однородной среде сточенным мононаправлеииым источником. — В кн.: Вопросы физики защиты реакторов. Под ред. Д. Л. Бродера и др. М., Госатомпздат, 1963, с. 30—52.
92.	Уриг Р., Статистические методы в физике ядерных реакторов. Пер. с англ. М„ Атомиздат, 1974.
93.	Усачев Л. Н. Уравнение для ценности нейтронов, кинетика реакторов и -теория возмущений. — В кн.: Реакторостроение и теория реакторов. М., Изд-во АН СССР, 1955, с. 251.
94.	Учайкин В. В. К расчету возмущений высших порядков в теории переноса у-нзлучения,—«Изв. вузов. Сер. физ.», 1968, № 10, с. 88.
95.	Учайкин В. В. Уравнение Чепмена,— Колмогорова в теории метода Монте-Карло. — В.ки.: Методы Моите-Карло в вычислитель-
' 250
пой математике и математической физике, Под ред, Г. И. Марчука, Новосибирск,‘ Изд, ВЦ СО АН СССР, 1974, с, 105—ИЗ, 96. Учайкин В. В. О моделировании переноса частиц с размножением ’методом Монте-Карло, — «Жури, вычислит, мат. и мат. физ.», 1976, т. 16, Яэ 3, с. 758,
97^ Учайкин В. В., Лаппа Л. В. Применение вероятностных уравнений к анализу монте-карловских оценок с бесконечной дисперсией. — В кн,: Статистическое моделирование в математической физике. Под ред. Г. И. Марчука. Новосибирск, Изд. ВЦ СО СССР, 1976, с. 65.
98.	Учайкин В. В., Потапов В. Н. Многократное когерентное рассеяние у-излучения. — «Изв. вузов, Сер. физ.», 1973, № 5, с. 129.,
99.	Фано У., Спенсер Л., Бергер М. Перенос гамма-излучения. Пер. с англ. Под ред. Г. И. Марчука. М„ Госатомиздат, 1963.
100.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т, 2. Пер. с англ, М., «Мир», 1967.
101,	Франк-Каменецкий А. Д. О решении кинетического уравнения • методом Монте-Карло. — «Жури, вычислит, мат. и мат, физ,», 1963, т. 3, № 4, с. 766—769,
102.	Хисамутдинов А. И. Об эффективности метода математических ожиданий для задач одного класса. — «Жури. вычислит, мат. и мат. физ.», 4967, т. 7, № 4, с. 946—953.
103.	Хуг О., Келлерер А. Стохастическая радиобирлогия. Пер. с нем, Под ред. В, И. Корогодина, М., Атомиздат, 1969.
104.	Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. М., Атомиздат, 1973.
105.	Шихов С. Б., Шишков Л. К. Теория возмущений высших порядков для решения некоторых задач расчета реакторов. — В кн.: Теория и физика реакторов. Сб. статей. Под ред. Л. Н. Юровой. М., Атомиздат, 1967, с. 3—29.
106.	Шихов С. Б., Шмелев А. Н. Учет влияния произвольного изменения размеров па критическую массу быстрого реактора с по-
, мощью теории возмущений. — В кн.: Физика ядерных реакторов. Вып. 1. Под ред. Л. И..Юровой. М., Атомиздат, 1968, с. 67—85.
107.	Ядерные взаимодействия в защите космических кораблей. Под ред. Н. А. Перфилова, Е. Е. Ковалева. М., Атомиздат, 1968. Авт.; О. Д. Брилль и др.
108.	Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. -Изд. 2-е. Пер, с нем. М., «Наука», 1968.
109.	Aiginger Н., Gonauser Е, Messung der beim Beschufi von dicken Targets rait 0,5; 1; und 2 MeV Elektronen entschenden lonisa-tionsverteilungen. — «Atomkernenergie», 1968, N 1, 13-8, S. 33., 110. Bell G. I. On the Stochastic Theory of Neutron Transport. — «Nucl. Sei, Engng», 1965, v. 21, p. 390—401.
111.	Berger M. Monte-Carlo Calculation of,the Penetration and Diffusion of Fast Charged Particles. — In: Methods.of Computational Physics. V. 1. N. Y., Academic Press, 1963, p. 135—217.
112.	Bethe H. A. Moliere’s Theory of Multiple Scattering. — «Phys. Rev.», 1953, v. 89, p. 1256.
113.	Coleman W. A. Mathematical Verification of a Certain Monte-Carlo Sampling Technique to- Radiation Transport Problems. — «Nucl. Sci? Engng», 1968, v. 32, N 1, p. 76—81.
251
114; Dogget J. A., Spencer L. V. Elastic Scattering of Electrons and Positrons by Point Nuclei. — «Phys. Rev,», 195’6, v. 103, N 6, p. 1597.
115.	Ebert P. J., Lauzon A. F„ Lent E. M. Transmission and Back-, scattering of 4.0 to 12,0 MeV Electrons. — «Phys. Rev.», 1969, v. 183, p. 422.
116.	Euges L. Multiple Scattering with Energy Loss. — «Phys. Rev.», 1948, v. 74, N 10, p. 1534.
117.	HFS Atomic Scattering Factors. — «Acta crystallogr.», 1964, v. 17, p. 1040, Auth.: H. P. Hanson e. a.
118.	Kalos M. H. On the Estimation of Flux at a Point by Monte-Carlo. — «Nucl. Sci. Engng», 1963, v. 16, p. 111.
119,	Kessaris N. Penetration of High-Energy Electron Beams in Water. — «Phys. Rev.», 1966, v. 145, N 1, p. 164.
120.	Kosh H. W., Motz J. W. Bremsstrahlung Cross-Section Formulas and Related Data. — «Rev. Mod. Phys.», 1959, v. 31, p. 920.
121.	Lewis H. W. Multiple Scattering in an Infinite Medium. — «Phys. -Rev.», 1950, v. 78, p. 526.
122.	Moliere G. Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen II. Mehrfach- und. Vielfachstreuung.— «Z. Naturforsch.», 1948, Bd 3a, S. 78—97; Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I. Einzelstreuung am abgeschirmten Coulomb-Feld. — «Z. Naturforsch.», 1947, Bd 2a, S. 133—145.
123.	Pal L. Statistical Fluctuation of Neutron Multiplication. — In: Proc, of the 2nd United Nations Intern. Conf, on the Peaceful Uses of Atomic Energy. V. 16. N. Y., United Nations, 1959, p. 687.
124.	Perkins J. F. Monte-Carlo Calculation of Transport of Fast Electrons. — «Phys. Rev.», 1962, v. 126, p. 1781.
125.	Rester D. H., Derrickson J. H. Electron Transmission Measurements for Al,’Sn and Au Targets at Electron Bombarding Energies of 1.0 and 2.5 MeV. — «J. AppL Phys.», 1971, v. 42, N 2, p. 714.
126.	Spencer L. V. Theory of Electron Penetration. — «Phys, Rev.», 1955, v. 98, N 6, p. 1597.	«
127.	Spencer L. V., Coyne J. Theory of the Deep Penetration of Electrons and Charged Particles. — «Phys. Rev.», 1962, v. 128, N 5, p. 2230. -	. '
128.	Sugiyama H. Monte-Carlo Calculation of Electron Backscattering for .Lead and Copper with Energies from 3 to 15 MeV. — «Bull. Electrotechn. Lab.», 1970, v. 34, p. 301.
129.	Tabata T., Ito R. An Algorithm for the Energie Deposition by Fast Electrons. — «Nucl. Sci. Engng», 1974, v. 53, p. 226—239.
130.	Tabata T., Ito R., Okabe S. An Empirical Equation for,the Back-> scattering Coefficient of Electrons. — «Nucl. Instrum, and Me-' thods», 1971, v. 94, p. 509.
 131. Zerby C. D. Dencity Transformations for Time Dependent Radiation. Transport Problems. — «Nucl. Sci. Engng», 1967, v. 29, p. 151.
132.	Zerby C. D., Keiler F. L. Electron Transport Theory, Calculations and. Experiments. — «Nucl. Sci. Engng»,'1967, v. 27, p. 190.
133.	Yang C. N. Actual Path Length of Electrons in Foils. — «Phys. Rev.», 1951, v. 84, p. 599.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................. 3
Глава 1.'Основные понятия теории переноса.................... Б
§ 1.1.	Источник..........• .................................. Б
§ 1.2.	Сечения .....	............................... 6
§ 1.3.	Характеристики поля излучения '....................... 9
§ 1.4.	Функция чувствительности детектора..................  14
§ 1.Б.	Ценность (сопряженная функция) . . ...................16
Глава 2. Основные уравнения теории переноса..................18
§2.1.	Кинетическое уравнение............................... 18
§ 2.2.	Сопряженное уравнение........................  .	21
§ 2.3.	Граничные условия.............................22
§ 2.4.	Интегральные уравнения переноса......... 25
§ 2.5.	Плоская, сферическая и цилиндрическая	геометрии	.	30
§ 2.6.	Равновесный спектр . . ...............................33
§2.7.	Приближение непрерывного замедления...........34
§ 2.8.	Приближение малых углов.............................. 35
§ 2.9.	Уравнение Колмогорова — Чепмена.............. 38
§ 2.10.	Переходная вероятность для частиц, прошедших	путь	I.	41
Глава 3. Методы решения уравнений переноса в однородной бесконечнойсреде............................... 43
§3.1.	Разложение по системе ортогональных функций.. . 43
§ 3.2.	Угловое распределение частиц в приближении Фоккера-Планка ......	...................... 46
§ 3.3.	Угловое распределение частиц, прошедших путь I . 49
§ 3.4.	Рдгприближение...............................  '	Б2
§ 3.5.	Диффузионное приближение .....................  ББ
§ 3.6.	Преобразование Фурье—Бесселя....................57
§ 3.7.	Приближение малых углов в случае точечного изотропного источника.......................................  60
§ 3.8.	Элементарные решения односкоростного уравнения 62
§ 3.9.	Фундаментальное решение односкоростиого уравне--ния .................................................  64
§ 3.10.	Деградация эцергин.............................67
§ 3.11.	Преобразование Лапласа по энергии ... .... 68
§ 3.12.	Решение кинетического уравнения в приближении непрерывного замедления................................70
253
§ 3.13.	Приближение возраста............................71
§ 3.14.	Распределение Мольера...........................76
§ 3.15.	Распределение Ландау............................81
• §3.16.	Радиальное распределение электронов от точечного
мононаправленного источника . . . ..............85
§ 3.17.	 Преобразование Лапласа по координатам.........92
Глава 4. Метод функций Грина и теория возмущений 96
§ 4.1.	Операторы и функционалы . .........................96
§ 4.2.	Обратный оператор и функция Грина...........•. . 100
§ 4.3.	Инвариантность функций Грина относительно сдвигов во времени и пространстве........................103
§ 4.4.	Следствия инвариантности..........................105
§ 4.5.	Преобразование отражения . и инверсии , координат и теорема взаимности ................................111
§ 4.6.	Применение преобразований отражения и инверсии координат к решению некоторых односкоростных задач .............................................  112
§ 4.7.	Преобразование подобия ..... '....................115
§ 4.8.	Разложение по столкновениям.......................118
§ 4.9.	Поле вблизи точечного источника . . ’.............121
§ 4..10	. Особенность сопряженной функции в случае точечного детектора........................................ . 124
§4.11.	Особенности распространения коллимированных пучков частиц ....... ...............................128
§ 4.12.	.	Теория .малых возмущений ....................  131
§ 4.13.	' Возмущение поля, излучения неоднородностью в плоском слое.........................................135
§ 4.14.	Изображение дефектов малых-размеров	...	...	137
§ 4.15.	Прохождение у-излучения через двухслойный	барьер	139
§ 4.16.	Теория возмущений высших порядков..........143
§ 4.17.	Обобщенная теория возмущений...............146
§ 4.18.	Разложение по пересечениям .... .................147
Глава 5. Теория флуктуаций........................... 152
§5.1.	Источник......................................  152
§ 5.2.	Детектор.........'..........................  ".	153
§ 5.3.	Вероятностные уравнения....... ........ 155
§ 5.4.	Моменты, распределения Р (Q)..................  159
§ 5.5.	Флуктуации числа столкновений в однородной среде 164
§ 5.6.	Флуктуации показаний детектора малых размеров 167
§ 5.7.	Приближение непрерывного взаимодействия с детектором ......... .................................. 170
§ 5.8.	Распределение частиц по длине пробега...........173
Глава 6. Метод Монте-Карло.............................178
§ 6.1.	Случайные числа . .'.......................... 178
§ 6.2.	Моделирование траекторий частиц в однородной среде.............................................   183
§ 6.3.	Траектории частиц в'неоднородной среде . . .187
§ 6.4.	Аналоговое вычисление характеристик поля излучения по Случайным траекториям.............................190
§ 6.5.	Неаналоговые методы вычисления показаний детек-тйра ...... •......................................  192
254
§ 6.6.	Неаналоговое моделирование .....................195
§ 6.7.	Дисперсия оценок .............................  200
§ 6.8.	Модификация метода Монте-Карло..................203
§ 6,9.	Расчет поля излучения, коллимированного источника у-квантов методом Монте-Карло.............'............209
§ 6.10.	Расчет возмущения поля излучения локальной неоднородностью ...........................................210
Глава 7. Особенности применения метода Монте-Карло в задачах переноса электронов ........................ 215
§7.1.	Особенности моделирования траекторий заряженных частиц..........................................  215
§ 7.2.	Уравнения для плотности вероятности перехода . 217
§ 7.3.	Флуктуации потерь энергии в далеких столкновениях 223
§ 7.4.	Угловое распределение...........................228
§ 7.5.	Пространственное распределение................  229
§ 7.6.	Моделирование случайных элементов траектории . 234
§ 7.7.	Некоторые результаты расчетов...................238
Приложение. Коэффициенты взаимодействия электронов с веществом.......	  241
Список литературы......................................246
ИБ № 303
Анатолий Михайлович Кольчужкин Владимир Васильевич Учайкин
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОХОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО
Редактор Е. В. Сатарова Художественный редактор А. Т, Кирьянов Переплет художника О. В. Камаева Технический редактор Н. А. Власова Корректор М. В. Косарева
Сдано в набор 16/IV. 1977 г. Подп. к печати 18. XI. 1977 г.
Т-20902.	, Формат 84Х108’/аг. Бумага тип, № 2,
Усл. печ. л. 13,44.	"	Уч.-изд. л. 13,64,
Тираж 2860 эка.	Зак,'над. 74124
Зак, тип. 1717	1 Цепа 2 р. 30 к.
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, Б
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли
Москва, И-41, Б. Переяславская ул., 40