/
Author: Нгуен Ван Хьеу
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика элементарные частицы теория групп
Year: 1967
Text
симметрии
элементу
частиц
НГУЕН ВАН ХЬЕУ
Лекции
по теории
унитарной
симметрии
элементарных
частиц
АТОМИЗДАТ
МОСКВА 1967
УДК 539.12.01
Книга представляет собой курс лекций, про-
прочитанных автором в Объединенном институте
ядерных исследований (г. Дубна). В ней приве-
приведено систематизированное изложение теории изо-
изотопической инвариантности, унитарной симметрии
и симметрии SU F) элементарных частиц и их
взаимодействий: сильных, слабых и электромагнит-
электромагнитных. Дается также обзор составных моделей эле-
элементарных частиц, и предсказания теории сравни-
сравниваются с опытом. Обсуждены возможности даль-
дальнейшей экспериментальной проверки следствий тео-
теории.
Книга рассчитана на физиков-эксперимента-
физиков-экспериментаторов и теоретиков, аспирантов и студентов
старших курсов, специализирующихся в теории
элементарных частиц.
Нгуен Пан Хьеу
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ УНИТАРНОЙ СИММЕТРИИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Редактор 3. Г. Толстикова
Художественный редактор А; С. Александром
Технический редактор Н. А. Власова
Корректор Л. А. Ушкарева
Сдано в набор 13.11. 1967 г. Подписано в печать 24.V. 1967 г. Бумага 84Х108/3*
типографская № 1 Усл. печ. л. 18,06 Уч. изд. л. 17,11 Тираж 4000 экз.
Заказ изд. 1727
Атомиздат, Москва, К-31, ул. Жданова, 5/7
Зак. тип. 809 Цена 1 р. 26 коп.
Экспериментальная типография ВНИИПП
Комитета по печати при Созете Министров СССР
Москва И-51, Цветной бульвар, 30.
2>3-7
18-6Т
Предисловие
Теория симметрии элементарных частиц, получившая
бурное развитие в последнее время, представляет собой
важное направление исследований физики высоких энер-
энергий. Начало этой теории было положено еще в тридца-
тридцатых годах XX века при изучении структуры легких ядер
и ядерных сил между нуклонами. На опыте было обна-
обнаружено, что энергии связи так называемых зеркальных
ядер Н3 и Не3, С13 и N13 и т. д. одинаковы (после исклю-
исключения кулоновских сил). Это явление и много других дан-
данных о состояниях зеркальных ядер привели к гипотезе
о зарядовой симметрии, согласно которой ядерные силы
между двумя протонами и между двумя нейтронами оди-
одинаковы.
Для объяснения экспериментальных данных по нук-
лон-нуклонному рассеянию быда выдвинута гипотеза
о зарядовой независимости, утверждающая, что одинако-
одинаковы не только ядерные силы между двумя протонами и
двумя нейтронами, но и между протоном и нейтроном.
Согласно этой гипотезе протон и нейтрон ведут себя во
всех процессах как два различных состояния одной и той
же частицы — нуклона, и заряд нуклона играет такую
же роль, что и его спин при отсутствии LS-связи.
Чтобы различить эти состояния нуклона, было введе-
введено понятие изотопического спина, по аналогии со спином,
и зарядовую независимость ядерных сил рассматривают
как следствие сохранения изотопического спина в ядер-
ядерных взаимодействиях. Для описания сохранения изотопи-
изотопического спина, по аналогии с сохранением момента в
квантовой механике, был применен аппарат теории
групп.
3
В связи с тем что число обнаруженных элементарных
частиц и резонансов, т. е. число известных изотопических
мультиплетов возрастает, возникла необходимость об-
обобщить теорию изотопической инвариантности. В послед-
последнее время делаются различные попытки построить теории
высшей симметрии. Важным достижением в этих иссле-
исследованиях является открытие унитарной симметрии
S?/C), сделанное Гелл-Манном и Нееманом. Многие
предсказания этой симметрии были подтверждены опы-
опытом. В настоящее время широко обсуждаются возмож-
возможности обобщений унитарной симметрии: симметрии
Sf/F), 5LF), t/F, 6), алгебры токов и т. д.
Благодаря применению теории групп к изучению эле-
элементарных частиц теория симметрии быстро развивалась.
Она достигла заметных успехов. Всем физикам, работаю-
работающим в области физики высоких энергий, нельзя не позна-
познакомиться с этими достижениями. Однако в литературе
до сих пор отсутствовали монографий, посвященные си-
систематизированному изложению результатов исследова-
исследований в этой важной области теории элементарных частиц.
Настоящая книга известного вьетнамского ученого Нгуен
Ван Хьеу, который сам внес большой вклад в развитие
теории симметрии, заполняет этот пробел.
Основная часть книги посвящена изучению классифи-
классификации элементарных частиц в симметриях SUB), 5f/C),
SUF), а также следствий этих симметрии в процессах
сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий.
Первая глава носит вводный характер, в ней автор
изложил основные понятия теории групп и теории пред-
представлений групп. Книга написана на высоком теоретиче-
теоретическом уровне. Она, несомненно, будет полезна всем начи-
начинающим физикам-теоретикам, экспериментаторам, а так-
также всем, кто желает познакомиться с теорией симметрии
элементарных частиц.
Академик Я. Я. БОГОЛЮБОВ
От автора
Настоящая книга представляет собой курс лекций,
прочитанных мною в Объединенном институте ядерных
исследований. Цель этих лекций — дать систематизиро-
систематизированное изложение теории унитарной симметрии элемен-
элементарных частиц и помочь физикам-экспериментаторам и
начинающим физикам-теоретикам овладеть техникой
этой теории.
В гл. 1 изложены основные понятия теории групп и
теории представлений групп Ли, и в частности представ-
представлений группы SU(n). Результаты по изучению представ-
представлений группы SU(n) используются во всех последующих
главах.
Унитарная симметрия является обобщением теории
изотопической инвариантности. Поэтому для понимания
унитарной симметрии необходимо также кратко изложить
теорию изотопической инвариантности сильных взаимо-
взаимодействий, а также изотопические свойства электромаг-
электромагнитных и слабых взаимодействий. Это рассмотрено
в гл. 2.
При изучении теории изотопической инвариантности
часто применяют известный аппарат теории сложения
моментов в квантовой механике с использованием таблиц
коэффициентов Клебша — Гордана. Для изучения выс-
высших симметрии SUC) и SUF) этот метод неудобен, по-
поскольку в этих случаях каждое состояние характеризует-
характеризуется многими квантовыми числами, а таблицы коэффициен-
коэффициентов Клебша — Гордана весьма сложны. Существует,
однако, более простой метод, называемый тензорным ме-
методом, при помощи которого можно получить все соотно-
соотношения между амплитудами процессов, не прибегая к ис-
использованию коэффициентов Клебша — Гордана. Этот
5
метод мы будем применять систематически при изучении
симметрии SUB)9 SUC) и SUF).
Теория унитарной симметрии и ее применение к изу-
изучению сильных, электромагнитных и слабых взаимодей-
взаимодействий изложены в гл. 3—5. По мере возможности пред-
предсказания теории унитарной симметрии сравниваются с
опытом. Часть гл. 3 посвящена изучению составных мо-
моделей элементарных частиц. В настоящее время предло-
предложено много различных составных моделей с унитарной
симметрией. Они могут быть разделены на три класса:
модель кварков с дробными зарядами, модели с четырь-
четырьмя фундаментальными частицами, образующими триплет
и синглет, и модели с несколькими триплетами. В моде-
моделях двух последних классов нет необходимости вводить
дробные заряды. Все эти модели кратко рассматривают-
рассматриваются в гл. 3.
Гл. 6 (последняя) посвящена изучению возможностей
классификации известных барионов и мезонов в рамках
симметрии 5(/F), а также изучению электромагнитных
свойств барионов и мезонов в этой симметрии. В част-
частности, дается вывод отношения магнитных моментов про-
протона и нейтрона. Кратко рассмотрена также связь между
симметрией SUF) и моделями составных частиц. Отме-
Отметим, что в рамках модели кварков и подобных моделях
без дробных зарядов можно получить многие массовые
соотношения, хорошо согласующиеся с опытом. Читате-
Читатели, интересующиеся массовыми формулами в модели
кварков, могут найти полное изложение этой проблемы в
лекциях Н. Н. Боголюбова *. В настоящее время обнару-
обнаружены многие мезонные резонансы 2+, 1+ и 0+. Возможно-
Возможности классификации этих резонансов в симметрии SUF)
также рассматриваются подробно.
В конце книги приводятся таблицы мезонных и бари-
онных резонансов с указанием всех их характеристик.
В заключение мне хочется выразить глубокую благо-
благодарность Н. Н. Боголюбову за его постоянное внимание
и весьма ценные советы, а также Р. М. Лебедеву,
М. А. Маркову, М. Г. Мещерякову, Я. А. Смородинскому
и А. Н. Тавхелидзе за интерес к работе и поддержку.
Я благодарен О. Г. Бокову, Л. Енковски, В. В. Кухтину и
Нгуен Тьен Нгуен за помощь в работе над рукописью.
* Н. Н. Боголюбов. Физика высоких энергий и теория эле-
элементарных частиц. Киев., «Наукова думка», 1966.
6
Глава первая
Группы п представления групп
§ 1. Основные понятия из теории
групп
1.1. Определение группы
Группой называется всякое множество G элементов, в
котором определена групповая операция (называемая
также групповым действием, или групповым умножени-
умножением), ставящая в соответствие каждой паре элементов а
и b из множества G некоторый элемент (ab) из G. Эта
групповая операция должна удовлетворять следующим
аксиомам.
1. Ассоциативность^ Для любых трех элементов а, Ь
и с из множества G имеет место соотношение
(ab) с = a (be).
2. Существование левой единицы. В множестве С
имеется такой элемент е, что еа = а для любого элемен-
элемента а из множества G.
3. Существование левого обратного. Для любого эле-
элемента а из множества G существует такой элемент ат1,
что
сГха — с.
Можно показать [1, гл. 1; 2, гл. 1], что левая единица
является также правой единицей (ае = а), а левый об-
обратный элемент — одновременно и правым обратным
(аа~1 = е).
Если множество G конечно, т. е. содержит конечное
число элементов, то группа G называется конечной, а чис-
число элементов группы — ее порядком. В противном случае
группа G называется бесконечной.
Если для любых элементов а и b из группы G выпол-
выполняется равенство ab = ba, то группа называется комму-
7
тативной, или абелевой. Б этом случае вместо произведе-
произведения ab пишется сумма а + Ь, тогда групповая операция
называется сложением и обратный элемент а~1 обозна-
обозначается а, а единичный элемент — 0.
Примеры
1. Совокупность всех перестановок п целых чисел 1,
2 ... п образует группу. Пусть g\ и gi — некоторые переста-
перестановки. Произведение g\g2 есть перестановка, которая по-
получается в результате последовательного применения сна-
сначала перестановки g2i а затем перестановки gv Эта груп-
группа конечна и называется группой перестановок или
симметрической группой. Ее порядок равен п\
2. Совокупность всех действительных чисел образует
коммутативную группу, причем групповой операцией слу-
служит обычное сложение чисел. Мы говорим при этом, что
действительные числа образуют группу относительно сло-
сложения. Аналогично векторы в n-мерном пространстве
образуют коммутативную группу относительно векторно-
векторного сложения. Совокупность всех трансляций в ^-мерном
векторном пространстве
хл ~> х* = хл + а* A)
также образует коммутативную группу, причем произве-
произведением двух трансляций на векторы ах и Ьл является
трансляция на вектор ал + Ъ*.
3. Совокупность всех ортогональных вещественных
матриц п X я, т. е. матриц О с вещественными элемента-
элементами ОаэA^а, Р<^я), удовлетворяющими условиям
OocpOpv ~ OfizOpy = 6aY, j
или в матричном виде
ООТ = 1; ОТО^1, B')
где / — единичная матрица, образует группу относитель-
относительно умножения матриц. Действительно, пусть О\ и О2 —
ортогональные матрицы. Тогда произведение О\О2 и об-
обратные матрицы Ojx , О~* также ортогональны. Такая
группа называется ортогональной группой О(п).
Рассмотрим теперь связь между группой О (п) и груп-
группой вращений в некотором вещественном ^-мерном евкли-
довом пространстве Е. Пусть х и у — два вектора в про-
пространстве Е с компонентами хл и у а , а = 1, 2, ..., п. Их
скалярное произведение определяется соотношением
(ху) = хауа, C)
а длина вектора х по определению равна
|| х|| =УЩ = У^?. D)
Вращением в пространстве Е называется любое линейное
преобразование векторов этого пространства
X* -* Х'а. = Оа/3% E)
которое сохраняет длины векторов и, следовательно, ска-
скалярные произведения любых двух векторов. Эти враще-
вращения образуют группу, причем произведение g\g2 двух
вращений gi и g2 есть вращение, которое получается в ре-
результате последовательного действия вращений g2 и g{.
Можно показать [3], что матричные элементы Оа/з вра-
вращения E) удовлетворяют условию B) или B'), т. е.
представляют собой матричные элементы ортогональных
матриц. Если О{ и О2 — матрицы вращений g{ и g2y то
матрицей вращения gxg2 является произведение О\О2. Та-
Таким образом, группа вращений в вещественном я-мерном
пространстве отождествляется с ортогональной группой
О (я).
4. Совокупность унитарных матриц п X п, т. е. матриц
с комплексными элементами U9$, 1 ^ (а, р) ^ я, удов-
удовлетворяющих условиям
или в матричном виде
UUl=I; U-]U = I, F')
образует группу относительно умножения матриц. Если
матрицы U\ и U2 унитарны, то обратные Ujl , U^x и
произведение U\U2 также унитарны. Эта группа назы-
называется унитарной группой U(n).
Рассмотрим теперь связь между группой U(n) и груп-
группой линейных преобразований в комплексном /г-мерном
векторном пространстве Е, в котором скалярное произ-
9
ведение двух векторов х и у с компонентами Ха. и у.%,
1 ^ а ^ п, определяется следующим образом:
(ху) = *ау* = (ух)*, G)
а норма вектора х равна
1х В =УЩ = У\?\*. (8)
Линейные преобразования в данном комплексном про-
пространстве
ха -*• х'л = иар.х$, (9)
сохраняющие норму B) и, следовательно, скалярное про-
произведение G), выражаются унитарными матрицами [3].
Они образуют группу унитарных преобразований, или
унитарную группу U(n).
5. Совокупность всех невырожденных линейных пре-
преобразований (с ненулевыми определителями) в комплекс-
комплексном м-мерном векторном пространстве
*а -> АГа = Ла^р, A0)
т. е. совокупность всех несобственных матриц пХ п, для
которых существуют обратные, образует группу, назы-
называемую однородной линейной группой GL{n).
6. Унимодулярные линейные преобразования в ком-
комплексном м-мерном векторном пространстве, т. е. преоб-
преобразования вида A0) с определителем, равным 1, или, что
то же самое, матрицы А с единичным определителем
deti4 = lf A1)
образуют группу, так как
) ^ (det A).
Она называется унимодулярной группой SL(n).
7. Унитарные унимодулярные преобразования в ком-
комплексном м-мерном векторном пространстве, или, что то
же самое, унитарные унимодулярные матрицы п X п
U+U = UU+ = I; det(/=l, A2)
образуют так называемую унитарную унимодулярную
группу SU(n).
19
= — 1; а==р= 1, 2, 3, A4)
0;
8. В вещественном четырехмерном пространстве Мин-
ковского со скалярным произведением
где
и нормой ||х||, определяемой соотношением
|| X ;! 2 = (XX) = ?врХа*р, A5)
линейные преобразования
*а -> *а = А,а|3*р, A6)
сохраняющие норму A5) и, следовательно, скалярное
произведение A3), образуют группу. Эта группа назы-
называется однородной группой Лоренца. Если обозначить К
матрицу преобразования A6), a G — матрицу с элемен-
элементами A4), то из условия сохранения скалярного произ-
произведения A3) следует, что X удовлетворяет соотношению
Рассмотрим более общие преобразования простран-
пространства Минковского:
хл = х'л = ал + %*№. A8)
Каждое такое преобразование, обозначаемое {а, X}, есть
комбинация однородного преобразования Лоренца A6)
и трансляции A). Эти преобразования образуют так на-
называемую неоднородную группу Лоренца, или группу
Пуанкаре. Можно показать, что групповая операция для
этой группы дается правилом
fa X} { %} [ + М ХЛ), A9)
а обратный преобразованию {а, X} элемент равен
{аДГ1-!-*-1*, *""!|. B0)
1.2. Подгруппы
Множество Н элементов некоторой группы G назы-
называется ее подгруппой, если оно является группой в силу
того же группового умножения, которое действует в груп-
U
no. G. Очевидно, что множество Я представляет собой
подгруппу группы G в том и только в том случае, когда
наряду с любыми двумя элементами а и b оно содержит
также произведение ab и обратный элемент от1 (или
b~l). Символически мы пишем: db е Я, сгх е Я, b~x e Я,
если а<=Я, ЬееЯ или ННееН, #-* = #.
Примеры
1. Сама группа G и ее специальная подгруппа, состоя-
состоящая из одного единичного элемента ?, являются триви-
тривиальными подгруппами группы G.
2. Группа целых чисел представляет собой подгруппу
группы действительных чисел.
3. Группа вращений вокруг некоторой оси является
подгруппой группы вращений в трехмерном простран-
пространстве.
4. Рассмотрим ортогональные (лли унитарные) преоб-
преобразования в вещественном (комплексном) л-мерном век-
векторном пространстве со скалярным произведением C)
[или G) соответственно], оставляющие неизменными пос-
последние п — т компонент любого вектора, т. е. ортого-
ортогональные (унитарные) матрицы вида
( |00...(
10
[CL.
00...О 1
о о
61
1
или
0
0
и,
• •
0
0
00.
0
•
6..
1
..0 \
.0
Si
1 I
элементы О^ (Ua$ ) которых равны единице, если <х =
= Р > т, и равны нулю, если а=^ри один из индексов
больше т. Эти преобразования образуют группу О(т)
[или U(m)] ортогональных (унитарных) преобразований
в m-мерном пространстве, порожденном 'первыми т ба-
базисными векторами. Группа О(т) [или U(m)] является
подгруппой группы О(п) [U(n)]. Аналогично группа вра-
12
щении в евклидовом трехмерном пространстве есть ПОД-
группа однородной группы Лоренца.
1.3. Прямое произведение
Пусть заданы две группы G\ и G2. Рассмотрим мно-
множество G, образованное парами {хх, х2}, где xjeGi и
х2 е G2, и введем в множестве G групповую операцию,
определяемую следующим образом: если {xXt х2) ^ G и
{У\ У2} e G, то полагаем {а:,, х2} {уи Ы = {*i Уи х2 у2}.
Очевидно, что {хи х2) {yiy у?} е G. Множество G с этой
групповой операцией удовлетворяет всем аксиомам опре-
определения групп, причем единичным элементом группы G
служит пара {еи е2}, где ех и е2 — единичные элементы
групп G\ и G2 соответственно, а элементом в группе G,
обратным {хи х2}, является пара {л;-,1, х-$. Эта группа
G называется прямым произведением групп Gx и G2 и обоз-
обозначается Gi ® G2.
Рассмотрим теперь две подгруппы группы G, образо-
образованные элементами вида {хи е2} и {еи х2), где Х\ пробега-
пробегает элементы всей группы Gb а х2 — »всей группы G2. Эти
подгруппы могут быть отождествлены с группами Gx и
G2 соответственно. По определению произведения в груп-
группе G мы имеем
{хи е2}{еи х2} = {хь х2} = {еи х2}{хи е2}.
Это означает, что элементы группы Gb рассматриваемые
как элементы группы G, коммутируют с элементами груп-
группы G2, которые рассматриваются также как элементы
группы G.
Примеры
1. Пусть Ei и Е2 — п\- и л2-мерные векторные прост*
ранства. Рассмотрим теперь (п\ + п2) -мерное векторное
пространство Е, каждый вектор х которого может быть
представлен однозначно в виде суммы хх + х2, где х» при-
принадлежит Е^ Это пространство Е называется прямой
суммой пространств Е\ и Е2, а Е\ и Е2 — подпространст-
подпространствами пространства Е. Рассмотрим в пространстве Е ли-
линейные преобразования Л, оставляющие инвариантны-
инвариантными подпространства Е\ и ?2, т. е. такие линейные преоб-
преобразования, которые переводят каждый вектор \\ (или х2)
пространства Ех (или Е2) в вектор \{ (или х'2 ) этого же
13
пространства. Каждое такое преобразование/Представля-
преобразование/Представляет собой пару независимых преобразований А{ и Л2 в
пространствах Е{ и Е2 соотвественно. Тогда напишем
А = {Аи А2). Порядок осуществления преобразований А\
и А2 несуществен. Если А = {Аи А2)/В = {Бь В2}, то
АВ = {i4iBi, Л2, 52}. Если преобразования в пространст-
пространствах Е\ и ?2 образуют группы G{ и62 соответственно, то
множество всех рассматриваемы^'преобразований в Е
является группой G\ ®G2. Элементы вида {Аи 1} (или
{/, А2}) служат преобразованиями в пространстве Е\
(или Е2). Поэтому группы G\ и G2 могут быть отождест-
отождествлены с подгруппами группы G, образованными элемен-
элементами вида {Аи 1} 'И {/, А2) соответственно.
Если Gj и G2 — унитарные унимодулярные группы
SU(tii) и SU(n2) соответственно, то группы G =
= SU(n{) ® SU(n2) также являются унитарными унимо-
дулярными преобразованиями в пространстве Е. Это оз-
означает, ч^о группа SU(tii) ®SU(n2) есть подгруппа
группы SU(rii + n2).
2. Пусть задано (пх X п2) -мерное векторное простран-
пространство, каждый вектор х которого имеет пх X п2 компонент
Xocjcc,, нумерующихся парами индексов ai и аг, 1 ^ ai<!
<пи 1^ а2<п2. Линейное преобразование в этом про-
пространстве имеет вид
Унитарные преобразования имеют матричные элемееты
^oLtatt pip, , удовлетворяющие условию
^aia,, Ptp, ^YiY«, PiP« = ^PiPt, aia, ^^P,, TiT»^ uxivAtV» • B2)
Эти унитарные преобразования образуют группу U(ti\ X
X п2). Рассмотрим теперь линейные преобразования спе-
специального вида с матричными элементами
«/«л. M. = ^iM2i.. B3)
Где W) и №> —унитарные матрицы /ti X Ярго и п2х«2-го
порядка соответственно, или символически
U = U{l)®U{2). B3;)
Произведением двух преобразований U = 1К1)® (У<2) и
V =5 уо> ® V<2) есть преобразование с матрицей
B))a,P, B4)
14
или символически
UV= (U{[) ® (Ah (V(I) ® VB)) = (UO)V{1)) ® ((УB)И2)). B4')
Эти соотношения показывают, что группа преобразова-
преобразований вида B3) [или B3')] является прямым произведени-
произведением t/(/ii)® f)(n2) гру*ш t/(/ii) и ?/(л2), образованных
унитарными преобразованиями LW и [/<2>. Так как преоб-
преобразования вида B3) [вди B3')] есть частные слу-
случаи унитарных преобразований в (п\ X п2) -мерном про-
пространстве, удовлетворяющих Условию B2), то прямое про-
произведение И(п\) ® ?/(я2) можно рассматривать как под-
подгруппу группы U(niXn2). Элементы групп U(ti\) и
?/(/г2) отождествляются с элементами вида IW® / и
/® J7<2) группы U(ri\) ® U(n2), коммутирующими друг с
другом.
3. Одним (из основных законов физики является прин-
принцип релятивистской инвариантности, согласно которому
любая физическая теория должна быть инвариантной
относительно преобразований группы Лоренца L с матри-
матрицами Л, удовлетворяющими условию A7). С другой сторо-
стороны, для теоретического описания свойств симметрии эле-
элементарных частиц предполагают, что кроме пространст-
пространственно-временных динамических величин, связанных с
пространством — временем (энергия — импульс, спин,
момент импульса и т. д.), состояния систем элементарных
частиц характеризуются также и другими квантовыми.
числами и величинами, связанными с внутренними свой-
свойствами частиц (изотопический спин, гиперзаряд и т. д.),
причем сохранение этих величин связано с инвариантно-
инвариантностью теории относительно некоторой группы внутренней
симметрии S. Таким обраоом, на векторы состояния си-
систем элементарных частиц действуют две группы преоб-
преобразований: группа Лоренца L и группа внутренней сим-
симметрии S. Если преобразования этих групп коммутируют,
то они вместе образуют группу L® S.
1.4. Инвариантные подгруппы и фактор-группы
Пусть заданы некоторая группа G и ее подгруппа Н.
Рассмотрим множество элементов вида ха, где х — лю-
любой фиксированный элемент группы G, а а пробегает зна-
значения всей подгруппы Н. Это множество обозначим хН
Я назовем левым смежным классом элемента х по под-
15
группе Я. Если х и у— различные элем/нты группь! G,
то левые смежные классы хН и уН либа не имеют общих
элементов, либо полностью совпадаю^. Аналогично оп-
определяется правый смежный класс/Ял\ Так как еН =
= Не = Я, то сама подгруппа Я/есть смежный класс.
Правые и левые сйежные классы/вообще говоря, разли-
различаются. Они совладают для любого элемента хёЯ, если
подгруппа Я удовлетворяет/ условию хН = Нх или
хЯх = Я для любого х е (К Элемент хах~х назовем со-
сопряженным к а элементом/Итак, для совпадения левых
и правых смежных классов по подгруппе Я, необходимо и
достаточно, чтобы для любого а^Н и xgG сопряжен-
сопряженный к а элемент хах также являлся некоторым элемен-
элементом шодгруппы Я. Такая подгруппа называется инвари-
инвариантной подгруппой или нормальным делителем. В ком-
коммутативной группе каждая подгруппа — инвариантная.
Рассмотрим теперь множество с элементами в виде
смежных классов группы G по инвариантной подгруп-
подгруппе Я. Если А = аН и В = ЪН — два смежных класса, то
их произведением АВ назовем смежный класс аН*ЬН =
= abH, a обратным А—смежный класс А = (аН)~1 =
= аНЯ. Это означает, что смежные классы группы G по
инвариантной подгруппе Я образуют группу, называе-
называемую фактор-группой G/H группы G по инвариантной под-
подгруппе Я. Сама инвариантная подгруппа Я, как смеж-
смежный класс, представляет собой единичный элемент этой
фактор-группы.
Пример
В примере 8 п. J.1 была рассмотрена неоднородная
группа Лоренца, элементами которой служат преобразо-
преобразования
Обозначим эти преобразования {а, Я}. Трансляционные
преобразования
образуют подгруппу неоднородной группы Лоренца и
обозначаются {а, /}. Пусть {&, 1} — любой элемент не-
неоднородной группы Лоренца, Рассмотрим сопряжений
элемент {&, ^{я, /}{&, Я}. Согласно формулам A9) и
B0), имеем
\ Я} {а, 1} {\х}~1 = [Ь + Яа, Я] {- Я^ Я~*} =
МГ'б, ЯЯ~1} = {Яа, /}.
Итак, преобразование^, Я} {а, /}{&, Я}, сопряженное к
трансляции {а, /}, является также трансляцией, и в этом
случае трансляционная подгруппа — инвариантная.
1.5. Гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм
Пусть заданы две группы G\ и G2. Если существует
соответствие между элементами групп G\ и G2, то мы го-
говорим, что существует отображение одной группы в дру-
другую. Если, например, в соответствии с каждым элемен-
элементом Х\ е Gx существует единственный элемент х2 е G2,
который мы обозначим f(x\), #2 = f(#i), то существует
однозначное отображение f группы д{ в группу G2. Это
одноз-начное отображение f назовем гомоморфным ото-
отображением, или гомоморфизмом группы G\ в группу G2,
если оно сохраняет групповую операцию, т. е. удовлет-
удовлетворяет условию
Группы Gx и G2 называются гомоморфными.
Взаимно однозначное гомоморфное отображение од-
одной группы в другую называется изоморфным отображе-
отображением или изоморфизмом, а эти группы — изоморфными.
При изучении групп нас интересуют только групповые
свойства их элементов. Поэтому все изоморфные группы
можно считать одинаковыми. Изоморфизм группы G в
себя называется автоморфизмом. Одним из возможных
автоморфизмов является отображение вида
где а — некоторый элемент из группы G. Автоморфизмы
такого типа называются внутренними.
Рассмотрим гомоморфизм группы G\ в группу G2
Совокупность всех элементов f(*i), X\ e G\ называет-
называется образом группы Gx при гомоморфизме /. Этот образ
17
представляет собой, вообще говоря, некоторую подгруп-
подгруппу G g группы G2, причем единичным элементом всей под-
подгруппы G2', т. е. единичным элементове2 группы G2, яв-
является образ единичного элемента ^/группы G\
/
Пусть К множество всех эле^нтов у{ группы Gb пре-
превращающихся в единичный элемент е% группы G2 при го-
гомоморфизме / /
Это множество называется ядром гомоморфизма. Не-
Нетрудно проверить, что К— подгруппа группы G{. Более
того, это — инвариантная подгруппа. Действительно,
пусть \}\ е/С и Х\ — любой элемент из группы G\. Тогда
Это означает, что Х\У\Х~[хе^К, т.е. К — инвариантная под-
подгруппа.
Пример
В п. 1.1 мы рассмотрели однородную группу Лорен-
Лоренца А, элементами которой являются преобразования в
вещественном четырехмерном пространстве Минковского,
оставляющие инвариантной квадратичную форму A3).
Сопоставим каждому четырехмерному вектору ха мат-
матрицу 2X2*
X = ХаТа, B5)
где
/0 1\ /О -А /1 0\
Tl = (i o); x*-(t' 0} Ho-i)"
B6)
Нетрудно проверить, что х+ = х, если лга —- веществен-
вещественный вектор. Из соотношения
следует, что компоненты вектора ха выражаются через
матрицу х следующим образом:
^i)? B7)
18
а квадрат доктора х*
- А'о — х\ — х\ — а'з = det x. B8)
Рассмотрим преобразование матрицы х
*->?' =AxBt B9)
где Л и В — матрицьН2 X 2, и найдем условия, которым
должны удовлетворять матрицы А и В для того, чтобы
преобразование B9) было преобразованием Лоренца.
Мы будем рассматривать вещественные преобразоаания,
для которых компоненты х'л вещественны, если хл веще-
вещественны, т. е. а:+ = х\ если х+ = х. С другой стороны,
Сравнивая полученное выражение с формулой B9), име-
имеем В = ±Л+. Итак, вещественные линейные преобразо-
преобразования вектора ха , т. е. матрицы х, имеют вид
х-+х' = ±АхА+. C0)
Для преобразований Лоренца х'2 == х2, т.е. detx7 =
= detx. С другой стороны,
det ? = + det (Л^Л+) = + det A det jc det Л+=
Отсюда следует, что преобразование C0) будет вещест-
вещественным преобразованием Лоренца только при условии,
что из знаков плюс и минус выбирается первый:
Z-*x' = AiA+, C0')
а матрица А удовлетворяет условию
Поскольку в преобразование C0) входят одновременно
А и Л+э то всегда можно выбрать фазу матрицы А так,
чтобы
det Л = 1. C1)
Можно показать, что любое (вещественное) преобра-
преобразование Лоренца вектора хл приводит к преобразованию
C07) матрицы х. Иначе говоря, существует соответствие
между однородными преобразованиями Лоренца и унимо-
19
дулярными матрицами 2x2, причем две матрицы ±А
относятся к одному и тому же преобразованию Лоренца.
Покажем, что это соответствие является гомоморфизмом,
т. е. если матрицам А\ и А2 соответствуют преобразова-
преобразования Лоренца К\ и Х2, то матрице ЛИ/—преобразование
Лоренца АДг. Действительно, пусть /
х = Я2#,* х =
Тогда
х' = A2xAf;
х" = AiX'Af - AiA2xAiAt = (AlA2)x{AiA2)+9
что и требовалось доказать. Таким образом, существует
гомоморфизм группы SLB) в однородную группу Ло-
Лоренца, причем ядро гомоморфизма состоит из матриц
+/ и —/. Очевидно, что это ядро представляет собой
дискретную инвариантную подгруппу группы 5LB), так
как для любой матрицы A^SLB)
A(±I)A~l=±I.
Гомоморфные непрерывные группы называются локаль-
локально изоморфными, если ядро гомоморфизма является дис-
дискретной подгруппой. Итак, группа Лоренца и группа
SLB) локально изоморфны.
Трехмерные вращения представляют собой специаль-
специальные преобразования Лоренца, оставляющие неизменны-
неизменными временные компоненты любых векторов: х'о = Xq. Они
образуют группу вращений — подгруппу группы Лорен-
Лоренца. Покажем прежде всего, что если унимодулярная мат-
матрица А в формуле C0') унитарна, то соответствующее
ей преобразование Лоренца является вращением. Дейст-
Действительно, согласно формулам B6), B7) и C0'), имеем
Если, матрица А унитарна, (А^А = 1), то х'о = — X
xSp A;=X(h т. е. соответствующее преобразование
является вращением.Обратно, унимодулярная матрица
20
л, соответствующая вращению, унитарна. Отметим,
что любое вращение в трехмерном пространстве может
быть представлено в виде произведения трех специаль-
специальных вращений: наХугол ф2 @ <ч<р2^ 2jt) вокруг оси Ог
на угол 0 @<9^ "Щ вокруг Ох и на угол <pi @< ф1 <
^ 2jt) вокруг Oz. Углы фЬ 0 и ф2 называются углами
Эйлера; они полностью характеризуют данное вращение.
Рассмотрим прежде всего вращение на угол ф вокруг
оси Oz:
Х\ = Х\ cos ф -f X2 sin ф;
х'2 = — х\ sin ф + *2 cos
Проверим, что это вращение соответствует матрице
C2)
л1ф
О
C3)
О е
Действительно, согласно соотношению C0'),
!Ф
X
elv(Xl-ix2))
Отсюда мы получим формулу C2). Аналогично враще-
вращение на угол 0 вокруг оси Ох:
Х\ = Х\\
х'2 = Х2 cos 6 + X3 sin 6;
х'з = — X2 sin 6 + #з cos 0;
C4)
21
соответствует матрице
О
cos
9 9 1
C5)
i sin — со?
2 2
так как из уравнении
О . . 0
. . . cos— 1 sin—
Х\—1Х2\ | 2 2
e e l
i sin — cos —
2 2
e . . e
cos— —ism —
9 9
xo-x3 /I ufaJL
2
I — x2sin6 Xi— i (x2cos 6 +#ssin8) \
+ i (x2 cos 9 +л-3 sin 0), x0 — (хъ cos8 — x2sin 0) /
вытекают соотношения C4). Мы показали, что произве-
произведение вращений соответствует произведению матриц,
характеризующих вращения, входящие в данное произ-
произведение. Итак, для произвольного вращения с углами
Эйлера ф!, 0 и ф2 соответствующая ему матрица 2X2
равна
где Лф и Ле даются в соотношениях C3) и C5). Так как
эти матрицы унитарны, то матрица А^^} , представ-
представляющая собой произведение трех унитарных матриц, так-
также унитарна, что и требовалось доказать.
Таким образом, существует соответствие между вра-
вращениями в трехмерном пространстве и унимодулярными
унитарными матрицами 2x2, причем каждому враще-
вращению соответствуют две матрицы ±Л. Иначе говоря, су-
существует гомоморфизм унитарной унимодулярной груп-
группы SUB) в группу вращений в трехмерном пространстве
0C), причем ядро гомоморфизма состоит из матриц +/
и —/.
22
§ 2. Группы Ли и алгебры Ли
2.1. Топологические группы. Компактные
и некомпактные группы
В настоящем параграфе введем понятия, которые нам
понадобятся в дальнейшем. Определим прежде всего
топологические пространства. Топологическим простран-
пространством называется любое множество Е элементов, в кото-
котором выделена система подмножеств, называемых окре-
окрестностями и удовлетворяющих следующим аксиомам:
1. Каждая точка х пространства Е «принадлежит не-
некоторой окрестности U(x) этой точки.
2. Всякое подмножество, содержащее окрестность
U(x) точки, является также окрестностью этой точки.
3. Пересечение * конечного числа окрестностей точ-
точки х есть также окрестность этой точки.
4. Окрестность U(x) точки х есть также окрестность
достаточно близких к х точек у, лежащих в некоторой
окрестности V(x) точки х.
Примером 'топологического пространства является
м-мерное векторное пространство. В качестве окрестно-
окрестности точки х можно выбрать множество точек шара с не-
некоторым радиусом R и центром х, т.е. множество точек у,
удовлетворяющих условию ||х — у|| ^ R.
Топологическое пространство называется компакт-
компактным, если каждая -последовательность его точек содер-
содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой
точке этого пространства, т. е. каждое бесконечное мно-
множество его точек обладает предельной точкой.
Множество М в некотором топологическом простран-
пространстве Е называется компактным в ? (в себе), если каж-
каждая последовательность точек этого множества содержит
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке
пространства Е (множества М). Проиллюстрируем это
определение на простых примерах. Действительная чис-
числовая прямая некомпактна, так как существует бесконеч-
бесконечная последовательность точек, например х\ = 1, х2 = 2,...,
Хп = я, которая не содержит ни одной сходящейся под-
подпоследовательности. Наоборот, каждый ограниченный
* Объединением множеств А и В служит множество С, каждый
элемент которого принадлежит по крайней мере одному из множеств
А и В, а пересечением А и В является множество, состоящее из
обцнх элементов множеств А к В.
23
интервал а <х< b на этой прямой компактен. Действи-
Действительно, пусть *ь #2,... — бесконечное множество точек
на этом интервале. Разделим этот интервал на две части:
а<х<сис<х< 6. Тогда по крайней мере один из них
содержит бесконечное число точек данного множества.
Этот интервал снова разделим на две части и продолжим
этот процесс. Таким образом,существует такая точка *о,
что любой интервал, содержащий эту точку, содер-
содержит бесконечное число точек данного множества.
Это означает, что х0 есть предельная точка бесконеч-
бесконечного множества точек хи х2,..., что и требовалось
доказать.
Аналогично можно показать, что в /г-мерном евклидо-
евклидовом пространстве любое замкнутое ограниченное мно-
множество, т. е. замкнутое множество точек, абсолютные
значения координат ха которых не превосходят некото-
некоторого числа \ха\ ^ М, компактно. Например, сферы и
замкнутые шары с конечными радиусами являются
компактными множествами в трехмерном евклидовом
пространстве, а гиперболоиды — некомпактные множе-
множества.
Перейдем теперь к определению топологической груп-
группы. Пусть задано множество G, удовлетворяющее всем
групповым аксиомам (см. п. 1.1). Если это множество G
является одновременно топологическим пространством,
причем групповая структура группы согласуется с топо-
топологической структурой пространства G, то G называется
топологической или непрерывной группой. Более точно,
множество G называется топологической или непрерыв-
непрерывной группой, если
1) G — группа;
2) G — топологическое пространство;
3) групповая и топологическая структуры группы G
согласуются, а именно: если х и у— элементы G, то для
любой окрестности W произведения ху существуют такие
окрестности X и Y элементов х и у соответственно, что из
х^Х и y&Y вытекает xy^W, и для любой окрестности Z
элемента лг1 существует такая окрестность X элемента х,
что из х&Х вытекает x~l^Z. Короче говоря, произведе-
произведение ху есть непрерывная функция х и у, а лг1 — непре-
непрерывная функция х.
Если топологическая группа, рассматриваемая как
топологическое пространство, является компактным про-
34
бтранством, t6 она называется компактной группой.
В противном случае G есть некомпактная группа.
Рассмотрим некоторые примеры. Действительная
числовая прямая представляет собой коммутативную не-
некомпактную группу. Группа поворотов вокруг фиксиро-
фиксированной оси компактна, так как каждый поворот харак-
характеризуется углом ср, значение которого лежит в интерва-
интервале 0 ^ ф ^ 2я, т. е. в компактном множестве. Группа
вращений в трехмерном евклидовом пространстве ком-
компактна, так как каждое вращение характеризуется тремя
вещественными числами, например углами Эйлера <рь
0, ф2, а эти углы можно рассматривать как координаты
точек в ограниченном множестве трехмерного простран-
пространства, т. е. в компактном множестве. Наоборот, группа Ло-
Лоренца некомпактна. Действительно, рассмотрим, напри-
например, гиперболоид х2 = х2— х\ —х\— *| = 1. В преоб-
преобразовании Лоренца каждая точка этого гиперболоида
переходит в его другую точку, причем для любой пары
точек одной полы существует преобразование Лоренца,
переводящее одну точку в другую. Выберем на некото-
некоторой поле последовательность точек Х\, *2>».> уходя-
уходящую в бесконечность. Обозначим %п преобразование
Лоренца, переводящее вершину х0 данной полы в точку
$Пу п = 1, 2, 3... Мы имеем бесконечную последователь-
последовательность преобразований Лоренца. Так как последователь-
последовательность точек хп не содержит сходящейся подпоследова-
подпоследовательности, то из последовательности преобразований
Лоренца Кп нельзя выделить сходящую подпоследова-
подпоследовательность.
В заключение укажем еще на одну особенность ком-
компактных групп по сравнению с некомпактными группа-
группами. Пусть задана некоторая ограниченная функция на
группе f(g), g^G и существует интеграл этой функции
по,всей группе
Если для всех go^G выполняется равенство
C6)
то мы говорим, что на группе G установлено инвариант-
инвариантное интегрирование, В качестве простого примера рас-
25
смотрим группу поворотов вокруг фиксированной оси.
Каждый элемент группы характеризуется вещественным
числом ф — углом поворота, причем углы ф и ф + 2я со-
соответствуют одному и тому же повороту. Каждая функ-
функция на группе будет тогда периодической функцией ф
с периодом 2я. Если g0 и g — повороты на углыф0Иф со-
соответственно, то gog является вращением на угол ф0 + ф.
В данном случае равенство C6) означает, что
2л 2я
Так как /(ф)—ограниченная периодическая функция с
периодом 2я, то это равенство выполняется автоматиче-
автоматически. Итак, для данного случая инвариантным интегри-
интегрированием является обычное интегрирование по углу по-
поворота ф от 0 до 2jt. Можно показать, что для группы
трехмерных вращений инвариантный интеграл по группе
определяется формулой
2Я 2я Я
j / (g) dg = j </ф1 f d<p2 J / (<pu 0, ф2) sin 6dG,
0 0 0
где фЬ 0, ф2—углы Эйлера [4, 5].
Возвращаемся теперь к общей формуле C6). Если
группа G компактна, то этот инвариантный интеграл су-
существует для любой ограниченной функции на группе
[1, гл. 5] в отличие от некомпактных групп, для которых та-
такого инвариантного интеграла ограниченной функции на
группе не существует. Ниже мы покажем, что из суще-
существования инвариантного интегрирования на группе вы-
вытекает унитарность представлений компактных групп.
2.2. Группы Ли
Выше мы рассмотрели различные примеры непрерыв-
непрерывных (или топологических) групп. Все они —группы Ли.
Непрерывная группа G называется группой Ли, если
каждый ее элемент может быть задан при помощи конеч-
конечного числа параметров. В дальнейшем^будем рассмат-
рассматривать только вещественные параметры. Минимальное
число независимых параметров, необходимых для харак-
характеристики элементов группы Ли G, называется поряд-
порядком, или размерностью, группы G. Ли при изучении этих
26
групп задает их элементы в виде преобразований в ко-
конечномерном пространстве. Адо показал, что для любой
группы Ли существует изоморфная ей группа преобразо-
преобразований в некотором векторном пространстве [6]. Поэтому
ради простоты в дальнейшем группы Ли будем рассмат-
рассматривать как группы преобразований в векторных про-
пространствах. Иначе говоря, будем предполагать, что каж-
каждый элемент группы Ли представляет собой оператор,
действующий в некотором векторном пространстве. Эгот
оператор зависит от вещественных параметров ?ь ^ •••,
1т и обозначается
g = T(tu ..., Sm). C7)
Параметры, входящие в минимальное число независимых
необходимых параметров, называются существенными.
Мы всегда будем предполагать, что параметры группы
Ли существенны. Если это так, то различным значениям
параметров в областях изменения этих параметров соот-
соответствуют различные элементы группы и число т в опе-
операторе C7) равно размерности группы. Мы будем выби-
выбирать параметры так, чтобы нулевым значениям всех па-
параметров соответствовал единичный элемент группы
е = Г@, 0, ..., 0). C8)
Если в пространстве,-в котором действуют операторы
7(?ь ёг»—,?ш) группы G, введем некоторый базис, то
каждый оператор Г(?ь...,?т) будет выражаться некото-
некоторой матрицей. Если все матричные элементы Гар (|ь...,
km) этих операторов дифференцируемы по параметрам
5г, то мы говорим, что операторы Г(?ь ..., gm) дифферен-
дифференцируемы. Предполагаем, что все операторы Г(?ь ...,5т)
рассматриваемой группы Ли G дифференцируемы. Во
многих случаях это требование выполняется автоматиче-
автоматически. Например, так называемые локально связанные ком-
компактные группы Ли всегда дифференцируемы (см. кни-
книгу [1], гл 7).
Рассмотрим теперь частные производные— 1[ '"
операторов Г(?ь •••> 1т) группы Ли С по параметрам 5<,
взятые в точке gi = 5о = ••• = ?т = 0, т.е. при единичном
элементе, и положим
27
Эти операторы называются инфинитезимальными опера-
операторами или генераторами группы Ли G. Группа Ли раз-
размерности т обладает т генераторами.
Для примера рассмотрим группу трехмерных враще-
вращений. Каждый элемент этой группы представляется в виде
ортогональной матрицы 3 X 3, зависящей от трех пара-
параметров. Вместо углов Эйлера мы выбираем эти парамет-
параметры следующим образом. Каждому вращению сопоставим
вектор, направленный по положительному направлению
оси поворота и равный углу поворота по абсолютной ве-
величине. Такой вектор полностью характеризует данное
вращение. Проекции ?ь 52 и ?з этого вектора на оси коор-
координат будем выбирать в качестве существенных пара-
параметров вращений. Итак, каждое вращение представляет-
представляется матрицей 3X3 Г(?ь |2, ?3). Найдем теперь генерато-
генераторы Х{ группы трехмерных вращений. Имеем
х = 1 ar(glt О, 0)
причем ТЦи 0, 0)—матрица вращения на угол & во-
вокруг оси Ох, которая, согласно соотношениям C4), равна
/10 0
7(?bOfO)=fo cosSx sin^
\0 — sin 5Х cos?i>
Отсюда «получаем
0 0\
0
-1 0)
Аналогично Г@, g2, 0) и Г@, 0, g3) являются вращениями
вокруг осей Оу и 0z соответственно на углы g2 и ?з, и мы
имеем
{0 0 —1\ /0 1 0\
0 0 h X, = -|j_i 0 0 D0')
Ч1 0 0/ \ 0 0 0/
Нетрудно поверить, что генераторы Хг группы вращений
удовлетворяют следующим коммутационным соотноше-
соотношениям:
[Х8, X1] = iXa, D1)
28
lXltX,} = ielJkXk, D1')
где Sijk — полностью антисимметричный тензор третьего
ранга. Величину [Хи Xj\ называем коммутатором опера-
операторов Xi и Xj.
Так как группа трехмерных вращений и группа SUB)
локально изоморфны, а между генераторами локально
изоморфных групп существует взаимно однозначное со-
соответствие, то для установления коммутационных соот-
соотношений генераторов группы вращений можно рассмат-
рассматривать вместо этой группы группу Sf/B). Для определе-
определения генераторов любой группы SU(n) достаточно рас-
рассмотреть элементы этой группы с бесконечно малыми
значениями параметров. Так как нулевым значениям
параметров соответствует единичная матрица /, то в пер-
первом порядке по малым параметрам & имеем
Т(си ..., и = / + ЗД> D2)
где
Из условий унитарности матриц Г(?ь...,
ЦЬ, • •., ЫТ(Ъ, ..., ?т)+= Г FЬ • •., SJ
следует, что для любой унитарной группы
Отсюда получаем
X? = Xi9 D3)
т.е. генераторы Х{ унитарной группы U(n)—эрмитовы
матрицы. В первом порядке по g* определитель матрицы
^EЬ..., lm) вида D2) равен
detrFlf ...Jw) = l + i?/SpX/.
Если матрица Г(^ь...,5?Л) унимодулярна, то
=0. D.4)
Итак, генераторы унимодулярной группы имеют шпуры,
равные нулю, а генераторы группы SU(n) являются эр-
эрмитовыми матрицами с нулевыми шпурами. Для группы
SUB) эти генераторы представляют собой эрмитовы
29
матрицы 2 X 2 с нулевыми шпурами. Существуют три
независимые матрицы, удовлетворяющие этим условиям:
о]'" *"li o); аз=1о -ij-
Их обычно называют матрицами Паули.
Итак, группа SUB) зависит от трех параметров. Не-
Нетрудно проверить, что генераторы о\, 02 и аз группы
SUB), деленные на 2, удовлетворяют таким же комму-
коммутационным соотношениям, что и генераторы группы вра-
вращений:
Здесь показано, что для группы вращений, или груп-
группы S?/B), коммутаторы двух генераторов являются ли-
линейными комбинациями всех генераторов группы. Такое
свойство имеется и для любой группы Ли. Пусть G —
группа Ли с размерностью m, a Xi (i = 1, 2, ...,т) —ее
генераторы. Тогда коммутаторы [Xi, Xj] любых двух ге-
генераторов представляют собой линейные комбинации
всех генераторов
Г V VI Г*^ V /ЛК\
[у\^, -Ay] = Ltjj/\kj \*'-'/
где Скц —постоянные, называемые структурными кон-
константами. Из выражения D5) следует, что С^ антисим-
антисимметричны относительно двух нижних индексов
С!} = -СЪ, D6)
а из тождества Якоби
lXi9 [X/, Xk}] + [Xh [Xki X,]] + [Xk> [Xt9 Xj]] = 0 D7)
получаем соотношение
Gttftk + C?iCii + CStfu = 0. D8)
Структурные константы каждой группы Ли однознач-
однозначно определяются структурой данной группы. Обратно,
они также полностью характеризуют данную группу с
точностью до локального изоморфизма, а именно для
каждой системы постоянных Скц , удовлетворяющих ус-
условиям D6) и D8), существует группа Ли G, структур-
йыми константами которой служат данные постоянные
Скц. . Любая группа G со структурными константами Скц
локально изоморфна группе G. (Подробности см. в кни-
книги [1], гл 10; [2], гл. 3.)
2.3. Алгебры Ли
Рассмотрим теперь связь между группами Ли и так
называемыми алгебрами Ли. Пусть задано множество L,
обладающее следующими свойствами:
1. Если X и У — элементы L, то сумма X + Y и про-
произведение КХ с любым вещественным (комплексным)
числом X также принадлежат L. Отсюда следует, что
если Хи...,Хт — элементы L, то любая линейная комби-
нация ZkiXi с вещественными (комплексными) коэффи-
коэффициентами %1 также есть элемент L.
2. Существует некоторая операция, которая сопостав-
сопоставляет каждой паре элементов X и Y множества L опреде-
определенный элемент того же множества, обозначаемый че-
через XY и называемый произведением элементов X и Y.
3. Произведение элементов и произведение элементов
на числа К удовлетворяют условиям
Такое множество L называется алгеброй над полем ве-
вещественных (или комплексных) чисел. Если кроме ак-
аксиом 1—3 произведения алгебры L удовлетворяют также
соотношениям
XY + YX = 0; D9)
X (YZ) + Y (ZX) + Z (XY) = 0, E0)
то они называются алгеброй Ли.
Мы будем рассматривать лишь конечномерные алгеб-
алгебры Ли. Для каждой конечномерной алгебры Ли суще-
существует такая система линейно независимых элементов
Xiy i = 1,2,..., m, что каждый ее элемент является линей-
линейной комбинацией элементов Хи i = 1,2,..., m. Система Хх
называется базисом этой алгебры, am — ее размерно-
размерностью. Из аксиом 1—3 следует, что произведение любых
31
двух базисных элементов А^ и Xj имеет вид
Х,Х/ = С//**, E1)
причем для алгебры Ли структурные константы Ск
удовлетворяют условиям D6) и D8), вытекающим из
соотношений D9) и E0). Алгебра Ли называется ком-
коммутативной, если XY = О для любой пары X и У.
Примером алгебры Ли служит алгебра, базис кото-
которой состоит из трех матриц Паули (Ть 02 и а3, причем
произведение двух элементов Oi и Gj алгебры Ли опре-
определяется как коммутатор матриц а и оу.
Вообще говоря, генераторы группы Ли образуют алгеб-
алгебру Ли, в которой произведением элементов алгебры яв-
является коммутатор генераторов. В дальнейшем в качест-
качестве произведения XY элементов алгебры Ли будем поль-
пользоваться обозначением коммутатора [X, У]. Алгебра Ли
(генераторов) группы Ли полностью определяется этой
группой. Обр-атно, алгебра Ли группы Ли определяет эту
группу однозначно с точностью до локального изомор-
изоморфизма.
Аналогами подгруппы и инвариантной подгруппы в
алгебре служат подалгебра и идеал. Если в алгебре Ли L
существует множество V элементов, которое само яв-
является алгеброй Ли, то это множество называется под-
подалгеброй U алгебры Ли L. Оно имеет следующее свой-
свойство: для любой пары элементов XgL'h У е V произ-
произведение [X, У] принадлежит U: [X, У] е U. Символически
мы пишем
Если Лг — такая подалгебра алгебры Ли L, что для лю-
любых XeJVh У е L произведение [X, У] «= ;V," или симво-
символически
[N9L] eN,
то N называется идеалом алгебры Ли L.
Существует тесная связь между подгруппой группы
Ли и подалгеброй алгебры Ли, а также между инвари-
инвариантной подгруппой и идеалом. Если G — группа Ли и
L — алгебра Ли, то алгебра U подгруппы G' является
подалгеброй алгебры Ли L, а алгебра Ли инвариантной
32
подгруппы Н служит идеалом алгебры Ли L (Подробно-
(Подробности см. в книгах [1], гл. 10; [2], гл. 3)
Напомним, что группа называется простой, если она
не имеет инвариантной подгруппы, отличной от самой
группы, за исключением дискретных инвариантных под-
подгрупп, и называется полупростой, если она не имеет ком-
коммутативной (недискретной) инвариантной подгруппы.
Алгебра Ли называется простой, если она не имеет идеа-
идеала, отличного от самой алгебры, и называется полупро-
полупростой, если она не имеет коммутативного идеала. Алгеб-
Алгебра Ли простой группы Ли проста, и алгебра полупростой
группы Ли полупроста.
Пусть задана некоторая группа Ли G конечной раз-
размерности т, генераторы которой образуют алгебру Ли L
той же размерности. Если в алгебре L существуют ком-
коммутирующие элементы, то эти элементы образуют комму-
коммутативную подалгебру алгебры Ли L.
При изучении алгебр Ли обычно выделяют некоторую
коммутативную подалгебру, называемую подалгеброй
Картана. Элементы подалгебры Картана К алгебры Ли L
обозначим Н{. Тогда
[//|,Я/] = 0, /,/=1,2,...,/.
Размерность / подалгебры Картана алгебры Ли L назы-
называется рангом алгебры Ли L, или рангом группы G, ал-
алгеброй Ли которой является алгебра Ли L.
§ 3. Представления групп Ли
3.1. Определение представлений групп Ли
Пусть Е — некоторое векторное пространство, элемен-
элементы которого обозначим х и назовем векторами в данном
пространстве. Если введем некоторый базис, состоящий
из линейно независимых векторов еь в2, ..., еп, то любой
вектор х можно представить в виде
X = #а^а»
Вектор х полностью определяется своими компонента-
компонентами ха. Рассмотрим линейное преобразование R про-
пространства Е. При этом преобразовании вектор х превра-
превращается в х':
х->х' = Rx.
2 Заказ 809 Зо
Компоненты х^ вектора х' выражаются линейно через
компоненты Xj. вектора х':
где Ra$ — матрица преобразования R. Преобразование R
также называем линейным оператором в пространстве Е.
Будем говорить, что задано представление R
8->R{8) E2)
(абстрактной) группы G в пространстве Е, если каждому
элементу g e G сопоставляется несобственное преобра-
преобразование R(g) пространства Е так, что произведению эле-
элементов группы G соответствует произведение преобразо-
преобразований, т. е.
R(gi)R(g2) = R(gig2), E3)
Или в матричном виде
R(giUR{g2hv = R{gig2U. E3')
Отсюда следует, что единичному элементу е соответствует
единичный оператор / (тождественное преобразование,)
*(е) = Л E4)
поскольку
R(e)R(g) = R(eg) = R(g),
а обратному элементу g~l — обратное преобразование
ЖвГ1-ЖГ1). E5)
Так как
Иначе говоря, если существует гомоморфизм группы G
в группу R преобразований пространства Е> то R назы-
называется представлением группы G. Если группа G изо-
изоморфна группе /?, то представление R называетсяточным.
Простая группа обладает лишь точными представления-
представлениями, так как ядро гомоморфизма состоит только из еди-
единичного элемента. Если задано представление R груп-
группы G в пространстве Е, то мы говорим также, что про-
пространство Е преобразуется по представлению R
группы G.
Примеры
1. Рассмотрим группу трансляций в трехмерном про-
пространстве. Каждая трансляция характеризуется векто-
вектором переноса г. Пусть Е — некоторое комплексное про-
34
странство и каждой трансляции на вектор г сопоставим
оператор умножения векторов из Е на комплексное чис-
число е|кг , где к — некоторый фиксированный трехмерный
вектор. Тогда произведению трансляций Т\ и г2, т. е.
трансляции rj + r2, соответствует оператор умножения на
ik^+r.j^^kr^ikr^^kr.^ r e произведение опера-
операторов, соответствующих трансляциям Т\ и Гг. Мы по-
получаем, таким образом, представление группы транс-
трансляций.
2. Если элементы группы G есть преобразования в не-
некотором пространстве, то соответствие
также дает некоторое представление группы G. Это пред-
представление группы G совпадает с группой G (существуют,
конечно, и другие представления, не совпадающие с G).
3. Если всякому элементу группы G сопоставим еди-
единичный оператор в пространстве Е
то получим единичное представление группы G.
Отметим, что в одном и том же пространстве Е могут
быть различные представления одной и той же группы.
Среди них имеются представления, которые различаются
несущественно и могут быть отождествлены. Это — экви-
эквивалентные представления, определяющиеся следующим
образом. Пусть задано некоторое представление R груп-
группы G в пространстве ?, при котором каждому элементу g
соответствует оператор R(g). Рассмотрим теперь новые
операторы
R'(g) = A~lR(tftA9 E6)
где А — некоторый оператор в пространстве Е. Мы имеем
R9 (ft) R' (ft) = A~lR Ы AA~XR (g2) A =
= A'1 R Ы R (ft) A - A~lR (gig2) A = R' (glgz),
т. е. соответствие
g^R'te)
дает новое представление Rf группы G в пространстве Е.
Представления R и R', связанные соотношением E6),
называются эквивалентными. В дальнейшем эквивалент-
эквивалентные представления различать не будем.
2 35
3.2. Унитарные представления
Пусть Е— гильбертово пространство, т. е. каждой па-
паре векторов х и у пространства Е сопоставляется ком-
комплексное число, называемое скалярным произведением
(ху) и удовлетворяющее условиям
(ху) = (ух)*, ((Xl + х2) у) - (х1У) + (х2у) E7)
и
(хХу) = (Х*ху) = Х(ху) E8)
для любого комплексного числа Я. Преобразование R в
этом пространстве называется унитарным, если оно не
меняет скалярного произведения любой пары векторов,
т. е. если для любой пары векторов х и у выполняется ус-
условие
(RxRy) = (ху). E9)
Это определение унитарных преобразований в случае ко-
конечномерного пространства совпадает с определением,
данным в п.-1.1.
Рассмотрим теперь унитарные представления группы.
Пусть гильбертово пространство Е преобразуется по
представлению R группы G. Если все операторы R(g)
этого представления унитарны, то оно называется уни-
унитарным представлением. Покажем, что для любой ком-
компактной группы каждое ее представление эквивалентно
некоторому унитарному представлению. Доказательство
этого утверждения основывается на том, что для ком-
компактной группы можно ввести инвариантное интегриро-
интегрирование.
Покажем прежде всего, что если операторы R(g) не-
неунитарны относительно заданного скалярного произведе-
произведения (ху), то можно ввести такое новое скалярное произ-
произведение (ху)', что относительно него все операторы R(g)
унитарны, т. е.
F0)
Отметим, что для любой пары векторов х и у величина
является некоторой ограниченной функцией на группе G
и для компактной группы G существует инвариантный
36
интеграл [см. формулу C6)]
i
\ \
G Ь G
где g — любой элемент группы G. Положим
(xy)'=f(/?(ft)x/?(A)y)?to. F1)
G
Нетрудно проверить, что произведение (ху)' удовлетво-
удовлетворяет соотношениям E7) и E8), т. е. удовлетворяет усло-
условиям для скалярного произведения. По отношению к это-
этому скалярному произведению все операторы R(g) уни-
унитарны, так как, согласно соотношениям C6) и F1),
= f {R (hg) xR (hg) у) dh = f (R (ft) xR (ft) y) dh - (xy)\
G G
т. е. условие унитарности F0) выполняется. Пусть те-
теперь еа — некоторый базис, ортонормированный относи-
относительно старого скалярного произведения
(еаер) = fiap,
a e^ — базис, ортонормированный относительно нового
скалярного произведения
Обозначим А оператор, переводящий еа в ej :
Если
. х = лгаеа, у = г/аеа,
то
и, следовательно,
(АхАу)' = ХаУ'а. = (ху), F2)
или
(ху)/ = (Л~1хЛ-1у). F2')
Положим теперь
R'(g)==A-lR(g)A,
37
Из соотношений F2'), F0) и F2) следует, что
(#' to) **' to)y) = И л (г) ЛхЛ/? fe) лУ) =
- (Я @ Лх# (в) Лу) = (АхАуУ = (ху),
т. е. все операторы #'(#) унитарны относительно старого
скалярного произведения. Таким образом, каждое пред-
представление компактной группы эквивалентно унитарному
представлению. Поэтому в дальнейшем для компактной
группы Ли мы можем ограничиться лишь унитарными
представлениями.
3.3. Неприводимые представления
Пусть задано некоторое представление R группы G в
пространстве Е и пусть Ех — некоторое подпространство
пространства Е, т. е. некоторое множество элементов
из Е> которое самое является пространством. В преобра-
преобразовании R(g) вектор х из пространства Ех превращается
в вектор R(g)xy который принадлежит ?, но может и не
принадлежать Ех. Если векторы R(g)x принадлежат Ех
при любых х из Е\ и любых преобразованиях R(g)> т. е.
если во всех преобразованиях R(g) векторы из Ех пре-
превращаются в векторы этого же подпространства, то го-
говорим, что Ех является инвариантным подпространством
представления R. Представление R в пространстве Е на-
называется приводимым, если существует нетривиальное
подпространство Еи инвариантное относительно данного
представления. Если такого нетривиального инвариантно-
инвариантного подпространства не существует, то представление на-
называется неприводимым.
Пусть R — некоторое приводимое представление груп-
пы-? в пространстве Е> Ех — некоторое инвариантное
подпространство представления /?, а Е2 — ортогональное
дополнение * к Ех. Покажем, что если представление R
унитарно, то J?2 — также инвариантное подпространство.
Действительно, пусть Xi е Ей *2 е ^2- Так как Ех являет-
является инвариантным подпространством, то R(g)-]xx=:
— ^(^~])xi также принадлежит ?ь и мы имеем
(/?fe)"lx1xa) = 0.
* Согласно определению ортогонального дополнения Е2 к под-
подпространству Ей каждый вектор х из Е может быть представлен
однозначно в виде x=Xi+x2, где х*еЕ* и хь х2 ортогональны, т. е.
(xi х2) = 0.
35
Так как представление R унитарно, то
(R (g)'1 хЛ) = (R (g) R (gr'xiR (g) x2) -
Итак, если х2^Е2у то R(g)x2 ортогонален любому век-
вектору Xi e Ei для любого k(g), т. с. R(g)x2 е?о Для лю-
любого R(g). Тем самым доказано, что ?2 является инва-
инвариантным подпространством. В данном случае про-
пространство Е расщепляется на два ортогональных
инвариантных подпространства: Е{ и Е2. Если представ-
представления /?i и R2, индуцируемые представлением R в под-
подпространствах Ei и Е2 соответственно, приводимы, то они
снова расщепляются, и в результате R расщепляется на
неприводимые представления в ортогональных подпро-
подпространствах. Приводимое представление, расщепляемое на
неприводимые, называется вполне приводимым. Не вся-
всякое приводимое представление вполне приводимо, но при-
приводимое унитарное представление вполне приводимо.
Для компактной группы Ли каждое представление
эквивалентно унитарному, т. е. вполне приводимому пред-
представлению. Можно показать также, что конечномерные
приводимые представления любой полупростой группы
Ли вполне приводимы [6, гл. 3]. Для этих случаев доста-
достаточно изучить неприводимые представления.
Покажем теперь, что неприводимые унитарные пред-
представления компактной группы G конечномерны. Пусть
е — единичный вектор в пространстве Е, преобразующем-
преобразующемся по унитарному неприводимому представлению R груп-
группы G. Тогда в силу унитарности преобразований R(g)
II R (g) e II = УЩЩЩё^- УЩ =11 е||=1.
Таким образом, отображение
является отображением группы G в единичную сферу
пространства Е. Так как группа компактна, то множество
векторов R(g)e также компактно. В функциональном
анализе показано, что любое компактное множество на
единичной сфере гильбертова пространства содержится в
конечномерном пространстве. С другой стороны, из не-
неприводимости представления R следует, что Е совпадает
с пространством, порожденным множеством векторов
R(g)et т. е. совпадает с множеством всех линейных ком-
39
бинаций линейно независимых векторов среди векТо-
ров R(g)e, причем число этих линейно независимых век-
векторов конечно. Таким образом, пространство Е конеч-
конечномерно.
Мы говорили, что пространство, преобразующееся по
неприводимому представлению /?, порождается множест-
множеством векторов R(g)e для всех R(g) и некоторого векто-
вектора е. Остановимся теперь более подробно на этом свой-
свойстве неприводимых представлений. Пусть задано пред-
представление R группы G в пространстве ?, и Е{ — инвари-
инвариантное подпространство, преобразующееся по неприво-
неприводимому представлению R\ и индуцируемое представле-
представлением /?. Если мы знаем некоторый вектор х подпростран-
подпространства Ri, то мы можем построить это подпространство
следующим образом. Сначала действуем на х всеми опе-
операторами R(g) из представления /?. Мы получим тогда
множество векторов R(g)x. Затем образуем все возмож-
возможные линейные комбинации векторов из этого множества.
Мы получим таким путем подпространство, инвариантное
относительно представления./?, причем оно не может рас-
распадаться на два ортогональных инвариантных подпро-
подпространства, так как порождается множеством векторов
/?(g)x, каждый из которых получается из вектора х при
помощи некоторого преобразования R(g).
Неприводимые представления обладают рядом специ-
специфических свойств, одно из которых заключается в сле-
следующей лемме Шура: если представление R группы G
в пространстве Е неприводимо, то любой оператор А в
пространстве Е, коммутирующий со всеми операторами
R(g)f кратен единичному оператору. Иначе говоря, из
условия
[Я(М1 = о F3)
для всех R(g) следует, что
А = XL F4)
Докажем эту лемму. Как и любой оператор в комплекс-
комплексном пространстве Е, оператор А имеет по крайней мере
один собственный вектор х, соответствующий собственно-
собственному значению Я [3]:
Ах = Хх. F5)
Пусть Е\ — подпространство, состоящее из таких собст-
собственных векторов х. Тогда для любого xg?i и любого
40
R(g) имеем AR(g)x = R(g)Ax = R(g)kx = XR(g)x, т. е.
/?(g)x также принадлежит ?"i. Итак, ?i является инва-
инвариантным подпространством. В силу неприводимости
представления R подпространство Е\ совпадает с про-
пространством Е. Поэтому равенство F5) выполняется для
любого вектора х из пространства Е, т. е. оператор А
имеет вид выражения F4), что и требовалось доказать.
3.4. Инфинитезимальные операторы.
Сопряженные и контраградиентные представления.
Произведение представлений
Рассмотрим представление R группы Ли G в прост-
пространстве Е. Операторы R(g) зависят от существенных па-
параметров |ь ..., 5т, характеризующих элементы g груп-
группы G, и обозначаются /?(|ь ...» 5т). Из соотношений C8)
и E4) следует, что нулевым значениям параметров 5* со-
соответствует единичный оператор в пространстве Е
Я@,0,...,(>) = /,
а при бесконечно малых значениях параметров 5г
jR ($i,..., ?m) = / -j" iS/ —; lf' * *' m ¦ F6)
Операторы
Y - l
i
,-,=...=.„=.
„
называются инфинитезимальными операторами представ-
представления R. Из гомоморфизма групп G и R преобразований
R(g) следует, что инфинитезимальные операторы Yj
удовлетворяют таким же коммутационным соотношени-
соотношениям D5), что и генераторы группы Ли G:
[У^Г/^фг F8)
В частности, инфинитезимальные операторы Ki(i = h
..., /), соответствующие генераторам Hi подгруппы Кар-
тана (см. п. 2.3), коммутируют
[*/,*/] = 0; /,/-1,2,...,/. F9)
В п. 3.3 мы указали метод, при помощи которого мож-
можно найти инвариантное подпространство Е\, преобразую-
преобразующееся по неприводимому представлению, исходя из неко-
некоторого заданного вектора этого подпространства. Так
41
как каждое конечное преобразование эквивалентно бес-
бесконечной последовательности бесконечно малых преоб-
преобразований вида F6), которые полностью определяются
инфинитезимальными операторами Уг-, то подпростран-
подпространство Е\ можно построить, пользуясь только инфинитези-
инфинитезимальными операторами, т. е. применяя следующий прием.
Пусть х — некоторый заданный вектор в подпростран-
подпространстве Ей преобразующемся по неприводимому представ-
представлению группы G. Действуем на этот вектор х всеми ин-
инфинитезимальными операторами Уг-, затем на получен-
полученные векторы снова действуем всеми операторами Уг-
и продолжаем этот процесс до тех пор, пока все новые,
векторы будут выражены линейно через полученные
раньше векторы. Из этого максимального инвариантного
множества выделим систему линейно независимых век-
векторов, через которые выражаются линейно все остальные
векторы. Полученная система является базисом подпро-
подпространства Е\.
В п. 3.3 мы доказали лемму Шура, утверждающую,
что в пространстве Еу преобразующемся по неприводи-
неприводимому представлению R группы G, любой оператор Л, ком-
коммутирующий со всеми преобразованиями- R{g), кратен
единице. Нетрудно показать, что если оператор А комму-
коммутирует со всеми инфинитезимальными операторами У*
данного представления, то он коммутирует со всеми пре-
преобразованиями R(g). Итак, лемму Шура можно сформу-
сформулировать следующим образом: в пространстве ?, преоб-
преобразующемся по неприводимому представлению группы
Ли G, любой оператор, коммутирующий со всеми инфи-
инфинитезимальными операторами данного представления,
кратен^единице.
Рассмотрим теперь различные представления, связан-
связанные с данным представлением R и имеющие такую же
размерность, что и /?, но не эквивалентные представле-
представлению R. Если соответствие E2)
g-+R(g)
является некоторым представлением группы G, то соот-
соответствие
g-+R(g)*> G0)
где /?(g)* — матрица, комплексно сопряженная к R(g),
служит также представлением группы G, как это нетруд-
нетрудно проверить. Это представление называется
42
ник к Я представлением и обозначается /?*. Покажем
теперь, что наряду с отображениями E2) и G0) соответ-
соответствие
(l)T[l]T G1)
является также представлением группы G. Действитель-
Действительно, положим
)T- G2)
Мы получим
= R (&ет1)т
что и требовалось доказать. Это представление называет-
называется контраградиентным к R представлением /?.
Отметим, что для унитарных представлений контра-
градиентное к R представление R совпадает с сопряжен-
сопряженным к R представлением /?*. Действительно, так как все
операторы R(g) унитарны
то
Введение контраградиентных представлений позволяет
образовать инварианты групп. Пусть х — вектор с ком-
компонентами jc« , преобразующийся по представлению R
группы G, а у — вектор с компонентами ул , преобразую-
преобразующийся по представлению /?, причем R может быть неуни-
неунитарным. Мы имеем
К = R (gUxfi, У'а ---- R (g)efj/p
К
Отсюда получаем
У'аК = У^ (б~])Эа R (g)«vXf = У^ (e)frXV = Iffy,
т. е. сумма ул va инвариантна.
Если бесконечно малым значениям параметров соот-
соответствует преобразование F6) для представления /?, то
для представления R имеем
fG3)
43
С другой стороны, если обозначить Yj инфинйтезималь-
иые операторы представления /?, то
Rfo,...,tm)=I+KjY,. G4)
Сравнивая представления G3) и G4), получаем
Y,= -Yf. G5)
Рассмотрим, наконец, произведение двух представле-
представлений. Произведения нескольких представлений определя-
определяются аналогично. Пусть R\ и R2— два представления
группы G в пространствах Ех и Е2 с размерностями пх
и п2 соответственно, а еа и fp — базисы в этих простран-
пространствах. Рассмотрим пространство Е с размерностью tiiXn2,
базис которого образуется из произведений еа ® Ц . Каж-
Каждый вектор х в этом пространстве Е определяется фор-
формулой
х = еа ® f рхар = еархар. G6)
Далее, пусть векторы еа и fp преобразуются следую-
следующим образом в преобразованиях /?i(?) и R2(g) прост-
пространств 2^ и Е2 соответственно:
Я i {g) ea = е; = /?х (g)^eP, а = 1, 2,..., ль- J
^i(fif)'« = '« =^2Cg)pafpfob = lf 2 /ia. (
Тогда компоненты хл и у& векторов х и у в пространст-
пространствах Е\ и Е2 соответственно преобразуются следующим
образом:
< = Ki(g)a&> а = 1, 2,..., пг; 1
У* = КЛё)^ а = 1>2|...,м2. (
Действительно, мы получаем
х' = #! (g) х = /?! fe) хаеа - *ае; = хв/?! (g)paep,
У' = #2 (?) У = #2 (?) yafa = УаГл - yaR2 (fif)pefp.
Сравнивая эти выражения с определениями
х' = xfa, у' = jfpffp,
получаем соотношения G8). Покажем теперь, что если
соотношения G7) определяют представления R\ и R2 в
пространствах Ех и ?2, то они также определяют некото-
44
рое представление R в пространстве Е. Действительно,
в преобразованиях G7) вектор еар~еа® fp превра-
превращается! в вектор еа'р, который обозначим R(g)ta$'
к (й) еар - е;р - еа 0 f(;, RL (Й)?Л 0 R, (g^f 8,
или
^(g)eaP-/?i(g)va/?2fe)Spev5- G9)
Отсюда следует, что компоненты Jtap вектора х из про-
пространства Е преобразуются следующим образом:
5 = ^1 (?)а7^2 (ё\ЬХуЬ • (80)
Итак, матричные элементы преобразования i?(g) связа-
связаны с матричными элементами преобразований R\{g) и
/?2(g) соотношением
/?Ife)e^2fe)(». (81)
Пусть g и h — любые элементы из группы G. Из соотно-
соотношения (81) следует, что
Итак, соответствие
8 ~>R (?){*№*)
является представлением группы G. Оно называется про-
произведением представлений R\ и /?2-
Соотношение (81) позволяет установить связь между
инфинитезимальными операторами Yk представления R
и инфинитезимальными операторами ^A)и У^2) представ-
представлений /?! и R2. Для бесконечно малых значений пара-
параметров
и, следовательно,
[/? Eb • • •, 5m)](aP)(v8) «
(82)
или в матричном виде
[A>i2) n1)®/B)]. (82')
45
Сравнивая с определением
R{li и
получаем
(83)
Здесь /@ — единичный оператор в пространстве Ей и опе-
операторы Y\\] действуют только на первый индекс, а У^* —
на второй. Отметим, что произведение неприводимых
представлений, вообще говоря, приводимо и может быть
разложено на неприводимые представления, если оно
вполне приводимо. Эти разложения будут рассмотрены в
дальнейшем в конкретных случаях.
Для простоты при определении произведения пред-
представлений предполагается, что базисные векторы имеют
вид произведений еа® Ц. В действительности нет необхо-
необходимости в этой специализации пространства Е. Вообще
говоря, для определения произведения представлений до-
достаточно ввести непосредственно базис еар,. преобразую-
преобразующийся по формуле G9).
§ 4. Группа SU(n) и ее представления
4.1. Генераторы группы SU(n)
и ее основные представления
В качестве примера применения общей теории, изло-
изложенной в предыдущих параграфах, мы рассмотрим груп-
группу SU(n). Докажем ряд общих утверждений для уни-
унитарных унимодулярных групп, которыми будем пользо-
пользоваться при изучении симметрии SUB), SUC) и S(/F).
Посмотрим прежде всего, от скольких вещественных
параметров зависят элементы группы SU(n). Напомним,
что из условия
для матрицы ?/Eь ..., ?т), бесконечно близкой к еди-
единице:
следует, что шпуры генераторов Хъ равны нулю:
SpX* = 0, (84)
а из условия унитарности
46
следует, что матрицы Хи эрмитовы:
Xt = Xk (85)
[см. формулы D3) и D4)]. Каждая комплексная матри-
матрица п у\ п имеет п2 комплексных матричных элементов,
т. е. зависит от 2п2 вещественных параметров. Условие
эрмитовости (85) эквивэлентно п2 уравнениям и умень-
уменьшает число независимых матриц до я2. Так как шпур
эрмитовой матрицы действителен, то условие (84) дает
одно новое уравнение и число независимых матриц, удов-
удовлетворяющих условиям (84) и (85), равно п2— 1. Итак,
размерность т группы SU(n) равна
т = п2— 1. (86)
Для а = 2, 3, 6 т = 3, 8, 35 соответственно.
Рассмотрим теперь некоторые основные неприводи-
неприводимые представления группы SU(n). Представлением с
наименьшей размерностью является одномерное пред-
представление, в котором всем элементам g = U соответст-
соответствует умножение на 1:
и, следовательно, все инфинитезимальные операторы рав-
равны нулю:
П = 0. (87)
Нетрудно показать, что одним из неприводимых пред-
представлений с наименьшей размерностью, отличной от 1,
является представление
В данном случае сама группа SU(n) рассматривается
как ее представление. Это представление называется
фундаментальным. Его инфинитезимальные операторы
совпадают с генераторами группы
Другим неприводимым представлением с наименьшей
размерностью, отличной от единицы, служит контрагра-
диентное к фундаментальному представление, совпадаю-
совпадающее с сопряженным, инфинитезимальные операторы кото-
которого равны _
Yh = Xk = -XTh. (89)
Условимся теперь об обозначениях. Базисные векторы
в пространстве Еи преобразующемся по фундаменталь-
47
ному представлению, обозначим еа ; а = 1, 2, ..., п. Пред-
Предположим, что эти базисные векторы удовлетворяют ус-
условию
т. е. ортонормированы. В преобразовании U вектор еа
превращается в некоторый вектор е'а
е = (Уе = f/pac . (90)
Пусть Чг — вектор в Е\ с компонентами Та
yY = W(xe*. (91)
Тогда в преобразовании U он превращается в вектор XF'
с компонентами Wa
ur' /7 ш (О9\
В дальнейшем векторы в пространстве Еи преобразую-
преобразующемся по фундаментальному представлению, будем на-
называть ковариантными спинорами первого ранга. Итак,
компоненты ковариантных спиноров первого ранга преоб-
преобразуются по закону (92).
Аналогично в пространстве Е~\, преобразующемся но
представлению, контраградиентному к фундаментально-
фундаментальному представлению, выберем некоторый базис еа . Преоб-
Преобразование векторов еа имеет вид
е^ = U*ex = Upaep. (93)
Если Т — некоторый вектор из пространства Етс ком-
компонентами Ч/Ос
V - ТЧ, (94)
то по аналогии с формулой (92) мы имеем
ty'a = U* XY^ = W^U^~ (95)
Векторы в пространстве Ег называются контравариаит-
ными спинорами первого ранга. Итак, компоненты кон-
травариантных спиноров первого ранга преобразуются
по закону (95).
В заключение отметим, что если Та — компоненты
ковариантного спинора, то комплексно сопряженные ве-
величины (lFa)* преобразуются как компоненты контрава-
риантного спинора, который обозначим Ч?+. Таким об-
образом,
4?
4.2. Спиноры высших рангов
Перейдем теперь к изучению пространств, преобра-
преобразующихся по представлениям, являющимся произведе-
произведениями фундаментальных представлений и контрагради-
ентным к фундаментальному представлению. Рассмот-
Рассмотрим прежде всего пространство Ер, преобразующееся но
представлению U<8>U® ...®{/, которое можно предста-
представить в виде произведения р фундаментальных представ-
представлений U. Базисные векторы eai--ap в этом пространстве
преобразуются следующим образом:
е'"-"аР = f/V'-"^^Mlf/Pl,t.. MPpa/'-?p (96)
по аналогии с законом G9) для произведения двух пред-
представлений.
Предположим, что векторы eai---ap ортонормиро-
ваны:
Произвольный вектор Ч^ в пространстве Ер определяет-
определяется формулой
V = Tei...apee|-ep. (97)
Компоненты ^Fa,...or преобразуются по закону
; ..b, (98)
как это нетрудно проверить. Векторы в пространстве Ер
с компонентами вида Фа^.-а^ называются ковариант-
ными спинорами /7-го ранга. Итак, компоненты ковари-
антных спиноров /7-го ранга преобразуются как произве-
произведения р компонент ковариаптных спиноров первого
ранга.
Аналогично ортопормированиые базисные векторы
е«1-..<хр
(eai...v е^...Рр) -- 8aint.. .Sapftp
в пространстве Ер', преобразующемся по представлению
U*® [/*®...®?/*, являющемуся произведением р контра-
градиентных к фундаментальному представлений 17*,
преобразуются следующим образом:
^..v- ?/?*.,...., -v;z,v;,a,.. .i/v,uv (99)
49
а компоненты lFei<1"^ вектора lF"
^-^"V,..^ ЦФО)
преобразуются по закону
/4-
= 4ri~?pU?iai...Ufpap. A01)
Эти векторы называются контравариантными спинора-
спинорами р-го ранга. Итак, соотношение A01) является зако-
законом преобразования компонент контравариантных спи-
спиноров р-го ранга.
Нетрудно увидеть, что если Va,...^ —компоненты
ковариантного спинора ранга р, то (lFai...a )* — ком-
компоненты контравариантного спинора такого же ранга
В пространстве Ev^y преобразующемся по представ-
представлению
р раз q раз
введем ортонормированный базис е'^
Тогда
Компоненты вектора
преобразуются по закону
Эти векторы называются смешанными спинорами, кова-
риантными р раз и контравариантными ^ раз. Так как
каждый спинор полностью определяется своими компот
50
центами, то в дальнейшем для характеристики спиноров,
т. t. векторов в пространствах типа Ep^t будем пользо-
пользоваться их компонентами ЧГl J7 . Отметим, что если
mPi.. Ptf
та а' — компоненты спинора, р раз ковариантного и
г/ |кп контраварпаптиого, то^Та а'] - компоненты не-
некоторого спинора, q раз ковариантного и р раз контра-
вариантного, который обозначаем W+. Мы имеем, таким
образом,
В заключение рассмотрим три специальных спинора
высших рангов: спинор второго ранга в пространстве Е г
с компонентами
Т? = 6? A05)
и спиноры п-го ранга в пространстве Еп или Ещ с компо-
компонентами
.; A06)
"T"~/i
A07)
(X ...ОС
(X ...ОС
где б х л = 8аг-а/4 = ^» если два (или больше) индекса
аг- и aj совпадают, равно 1, если (ось аг,..., ап) —четная
перестановка A, 2, ...,п), и равно —1, если (аь
аг,..., ап) — нечетная перестановка. Этот спинор назы-
называем полностью антисимметричным тензором п-го ранга.
Для спинора A05) в силу условия ?/[/+ = 1 имеем закон
преобразования
а для спиноров A06) и A07) в силу условия det U = 1
Таким образом, компоненты спиноров A05) — A07) не
меняются при всех преобразованиях группы SU(n). Ина-
51
че говоря, эти спиноры являются инвариантами группы
SU(n). Если обозначим е«, еа1---ая и eai...an базисы в
пространствах Е\Т, Еп и ?т соответственно, то векторы в
этих пространствах с компонентами A05)—A07) имеют
вид
6 = е« = е{+...+ е?; A05')
8р==е12з...я_е21з...я + е231..л_в>в A06')
Эти векторы служат базисами одномерных пространств,
инвариантных относительно группы SU(n), т. е. являют-
являются базисами пространств, преобразующихся по ее одно-
одномерным представлениям.
4.3. Неприводимые представления
Рассмотренные в п. 4.2 произведения фундаменталь-
фундаментальных и контраградиентных им представлений приводимы.
Так как эти представления являются произведениями
унитарных представлений, то они унитарны и, следова-
следовательно, вполне приводимы (см. п. 3.3). Теперь займемся
разложением этих представлений на неприводимые.
Начнем с простого примера представления U® V в
пространстве Е2 с базисом eaia* . Векторы в этом прост-
пространстве — ковариантные спиноры второго ранга. Из про-
произвольного спинора Тв1а, образуем симметричный и
антисимметричный спиноры с компонентами
Y/^a } = — D/'aia2 + Ya.a,); (Ю8)
грч. = _L (гра a хра а). A09)
В соответствии с этим пространство Е2 разлагается на
два подпространства Е\ и ?«, базисы которых образуют-
образуются из п(п+1)/2 векторов
e{aia2}=J W ' " У1 "х ' "" A08')
52
и п(пг— 1) /2 векторов
соответственно. Любой вектор в пространстве ?| имеет
вид
Если обозначить Y* a компоненты вектора Ws в исход-
исходном базисе eaia*, то
ЩК^*: (Ill)
Сравнивая выражения (ПО) и A11), получаем
-7=- Фа2а1, а, < a2.
Нетрудно проверить, что 4;a2ai = ^a^. Таким образом,
векторы в пространстве Е\ —симметричные спиноры.
Аналогично векторы в пространстве Е% — антисиммет-
антисимметричные спиноры. Так как любой вектор вида A08') ор-
ортогонален любому вектору вида A09/), то подпростран-
подпространства Е\ и Е* ортогональны. Они являются инвариант-
инвариантными подпространствами. Действительно, нетрудно
проверить, что в любом преобразовании U®U симмет-
симметричный спинор второго ранга превращается в симмет-
симметричный спинор второго ранга, т. е. вектор из подпрост-
подпространства Е\ превращается в вектор из этого подпро-
подпространства, и аналогично антисимметричный спинор
превращается в антисимметричный спинор, т. е. подпро-
подпространство Е\ превращается в себя. Покажем, что они
преобразуются по неприводимым представлениям. Выбе-
Выберем любые два базисных вектора, например вида выра-
выражения A08'). С помощью конкретных выражений (83)
53
матриц Yk — инфинитезимальных операторов данного
представления — мы можем показать, что существует
такая последовательность инфинитезимальных операто-
операторов У*„ Ykt,..., Уа/;,,..., что в результате действия этих
операторов на один из выбранных векторов можно по-
получить вектор, пропорциональный второму. Тем самым
неприводимость представлений в Es2 и Е% доказана (ср.
с методом построения неприводимых представлений, из-
изложенным в п. 3.4).
Таким образом, любой ковариантный спинор второго
ранга разлагается на симметричный и антисимметрич-
антисимметричный ковариантиые спиноры
^^[c^+^W,], (П2)
образующие неприводимые представления.
Рассмотрим теперь представление U&U* в простран-
пространстве ?irc базисом е? . Векторы в этом пространстве яв-
являются спинорами второго ранга с компонентами Ч^ .
Покажем прежде всего, что сумма ?"? инвариантна от-
относительно всех преобразований U®U*. Действительно,
согласно формуле A04), имеем
что и требовалось доказать. Отсюда следует, в частно-
частности, что если спинор гР| имеет шпур, равный нулю, то
это свойство инвариантно относительно всех преобразо-
преобразований U® U*. Рассмотрим теперь произвольный спинор
vpp* и разложим его на две части, первая из которых
имеет нулевой шпур, а вторая пропорциональна б?.'
*L в?
п
В п. 4.2 мы показали, что спинор б? является инвариан-
инвариантом. Таким образом, спиноры с нулевым шпуром
?? б^? и спиноры —6аЧГ?, кратные спинору б ?, обра-
п п
зуют инвариантные подпространства в ?Гь Эти поднро-
54
странства ортогональны, так как скалярное произведе-
произведение б? на произвольный спинор Ф? равно шпуру этого
спинора
При помощи указанного выше метода можно показать,
что спиноры «с нулевым шпуром образуют неприводимые
представления. Таким образом, формула A13) представ-
представляет собой разложение произвольного спинора Ч^ на не-
неприводимые. Первый спинор в этой формуле имеет
п2— 1 компонент, а второй является инвариантом.
Отметим, что инвариантность суммы V* — частный
ft ...p
случай следующего общего факта. Если W l ач< —
г'" р
смешанный спинор (р + q)-ro ранга, р раз ковариант-
ный и q раз контравариантный, то сумма **? 2 J7 яв-
ляется смешанную спинором (р + q — 2)-го ранга,
р— 1 раз ковариантным и q— 1 раз контравариантным.
Доказательство этого важного утверждения не отличает-
отличается от доказательства инвариантности суммы Ч^.
Рассмотрим теперь спиноры высших рангов. Из лю-
любого ковариантного спинора, например /7-го ранга, мож-
можно образовать полностью симметричный спинор Ч^...^},
который неприводим. Аналогично, если р ^ п, можно
образовать также полностью антисимметричный спинор
^['i—«pi» который также неприводим. Так как для пол-
полностью антисимметричного спинора все индексы должны
быть разными, то не существует полностью антисиммет-
антисимметричного спинора ранга р > п. Симметричный спинор
р-го ранга имеет — п(п + \)...(п + р— 1) независимых
компонент, а антисимметричный спинор />го ранга име-
имеет—п(п—1)...(п — р+ 1) компонент. Кроме спиноров
pi
^{а,...» } и Ч^а^.а ^ существуют также и другие спи-
спиноры, симметризованные по некоторым парам индексов
и затем антисимметризованные по другим парам. Эти
спиноры характеризуются так называемыми схемами
Юнга, содержащими клетки, причем антисимметричным
индексам соответствуют клетки, расположенные в одном
столбце, а симметризованным индексам — в одной стро-
55
ке. Так, любой ковариантный спинор третьего ранга
Ч'ару может быть представлен в виде суммы следующих
четырех неприводимых спиноров: полностью симметрич-
симметричного спинора
У W + Ъ
полностью антисимметричного спинора
спинора, симметризованного по а и р и затем антисим-
метризованного по р и у»
ОР + ^V Y vvep) (l 16)
и спинора, симметризованного по р и у и затем антисим-
метризованного по а и р,
Действительно, нетрудно видеть, что
Отметим, что спиноры A16) и A17) удовлетворяют тож-
тождеству вида
+ xF№]pi = O. A19)
Неприводимые спиноры A14) —A17) характеризуются
следующими схемами Юнга:
a
р
Числа их компонент равны — п(п-\- 1) (п + 2), -j-
о! о.
Аналогично любой ковариантный спинор /?-го ранга
разлагается на сумму неприводимых спиноров, симмет-
ризованных и антисимметризованных по определенным
схемам Юнга.
Мы рассмотрели коварийнтнЫе спиноры. При поМоЩИ
полностью антисимметричного спинора /1-го ранга eai...art
для...любых контраградиентных и смешанных спиноров
можно ввести эквивалентные им ковариантные спиноры.
Например, контравариантный спинор Ч/а эквивалентен
полностью антисимметричному ковариантному спинору
пятого ранга:
так как произведения е^уь^Л^ образуют спинор седь-
седьмого ранга, шесть раз ковариантный и один раз контра-
контравариантный, а суммирование по v превращает его в ко-
ковариантный спинор пятого ранга. Аналогичным методом
можно опустить все верхние индексы любого спинора и
превратить его в ковариантный спинор. Для характери-
характеристики последнего можно пользоваться схемой Юнга.
Итак, все «спиноры характеризуются полностью схемами
Юнга.
Как было указано, не существует полностью анти-
антисимметричного спинора ранга р > п. Это означает, что
каждый столбец в схеме Юнга содержит не больше
п клеток. Более того, полностью антисимметричный спи-
спинор л-го ранга является инвариантом, так что их можно
не рассматривать. Итак, каждый столбец фактически
содержит не больше п — 1 клеток, т. е. схема Юнга со-
содержит не больше п — 1 строк, каждая из которых мо-
может содержать любое число клеток. Числа клеток в этих
строках Ль А,2,..., Лп-1 полностью определяют соответст-
соответствующее неприводимое представление. Иначе говоря,
каждое неприводимое представление характеризуется
п—1 целыми числами Ль Я,2, •••> Лп-ь являющимися чис-
числами клеток в п — 1 строках в соответствующей схеме
Юнга. Во многих случаях эквивалентные спиноры, на-
например типа Ч/а и Ч^а^], физически неэквивалентны.
Тогда необходимо рассмотреть отдельно верхние и ниж-
нижние индексы и для характеристики спиноров нужно вве-
ввести две схемы Юнга: одну для верхних индексов, а дру-
другую для нижних. Чтобы образовать неприводимые
представления, необходимо также вычесть шпуры по
всем парам индексов, содержащим один верхний и один
нижний индексы.
В заключение отметим, что группа SU(n) компактна.
Следовательно, все ее представления можно считать уни-
57
тарными. Они вполне приводимы и распадаются на не-
неприводимые представления, а последние конечномерны.
При помощи изложенного выше метода иы исчерпываем
все возможные неприводимые представления группы
SU(n).
Литература
1. II о н т р и г 11 и Л. С. Непрерывные группы. М., Гостехиздат, 1954.
2. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли. М., Гостехиздат, 1950.
3. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики. Т. III, ч. 2, гл. 2.
М., Гостехиздат, 1957.
4. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представ-
Представления группы вращений и группы Лоренца, гл. 1. М., Физмат-
гиз, 1958.
5. Н а й м а р к М. А. Линейные представления группы Лоренца,
гл. 1. М., Физматгиз, 1956.
6. Д ж е к о б с о н Н. Алгебра Ли. М., «Мир», 1964.
лава вторая
Группа SU C) и изотопическая
инвариантность
§ 1. Неприводимые представления
группы SU B)
1.1. Группа вращений и состояния
с определенными моментами
В квантовой механике предполагается, что при вра-
вращениях пространства волновые функции состояний физи-
физических систем преобразуются по неприводимым пред-
представлениям группы вращений. Обозначим /г- инфинитези-
итальные операторы, соответствующие генераторам Х\
группы вращений, определяемым формулами D0) и
D0') в гл. 1. Из инвариантности волнового уравнения
относительно группы вращений следует, что гамильтони-
гамильтониан Н коммутирует со всеми инфинитезимальными опе-
операторами /*:
Следовательно, инфинитезимальные операторы выража-
выражают сохраняющиеся физические величины. Они называют-
называются операторами углового момента.
Операторы углового момента удовлетворяют комму-
коммутационным соотношениям
[см. гл. 1, формулу DГ)]. Из этих соотношений следует,
что полный момент
j« = л + Л + /5
коммутирует со всеми /*:
Согласно лемме Шура (см. гл. 1, п. 3.4), для каждого
неприводимого представления оператор J2 кратен едини-
единице, т. е. имеет определенное собственное значение. Иначе
59
говоря, состояния с определенными угловыми момента-
моментами описываются неприводимыми представлениями груп-
группы вращений. Так как группа вращений и группа SUB)
локально изоморфны (см. гл. 1, п. 1.5), то группу враще-
вращений в дальнейшем будем отождествлять с группой
S?/B)
()
Рассмотрим теперь некоторые общие свойства непри-
неприводимых представлений группы SUB). Индексы спино-
спиноров обозначим а, Ь, .... Так как каждый индекс может
принимать только два значения a, b = 1, 2, то единствен-
единственными антисимметричными спинорами являются антисим-
антисимметричные спиноры второго ранга гаЬ и еаь. Для удобст-
удобства мы выберем эти спиноры так, чтобы гаЬ = —гаъ- На-
Например, можно положить
e12 = -e21 = e2* = -ei2==l. A)
Нетрудно проверить следующее соотношение:
ЕаЬеЬс = есЬгЬа = 6ас. B)
Спиноры гаЪ и гаъ позволяют поднимать или опускать
индексы спиноров. Например,
Wa =eabWb; Wa = eabVb, C)
т. е. контравариантный спинор ?* эквивалентен ковари-
антному спинору Ч'а. Аналогично спиноры Шаь и ^Fg свя-
связаны соотношениями
Твб = евсТ5; Vab = eacVcb. D)
Если YJ имеет нулевой шпур, то Ч^ь симметричен.
Действительно, если Ч^ = 0, то, согласно B),
в**ЧаЬ = #>BaeVi = - e^sjn = ~ tiPl = -ЧСс = О,
а равенство нулю произведения гаЬЛУиь означает, что
Ч'аь = Чгьа. Обратно, если Чгаь = Ч'ба, то
Ч'а = *"Vea = О,
т. е. ^1 имеет нулевой шпур. Итак, неприводимый сим-
симметричный спинор ^{аъ} полностью эквивалентен
щанному спинору Ч^^ с нулевым шпуром.
60
Рассмотрим теперь любой неприводимый смешанный
спинор Ч|в'7д г, Для которого шпуры по всем парам ин-
индексов at и bj равны нулю:
( )
Опуская все верхние индексы с помощью еиь, получаем
ковариантный спинор ранга р -I- <?:
.„.{&! ...6 >
причем из симметричности спинора т;в|...в*{ по верх-
ним индексам и по нижним индексам следует симметрич-
симметричность спинора F) по всем индексам аи ..., Яр и по всем
индексам сь ..., cq. Покажем теперь, что спинор F) сим-
симметричен также относительно перестановки любой пары
индексов пг и Cj. Действительно, умножая его на e°J а* и
суммируя по Cj и аи получим, согласно формулам B)
и E),
Таким образом, если все шпуры E) равны нулю, то кова-
ковариантный спинор F) симметричен по отношению ко всем
перестановкам всех индексов:
Спинор ^д*'"/! также можно выразить через ^{V-epV.<? {
^^ = B^..Bb^[ai...apev..eq). (8)
Следовательно все неприводимые представления группы
SUB) могут быть рассмотрены как ковариантные сим-
симметричные спиноры Ч^...^}
Как было показано в п. 4.3 гл. 1, симметричные ко-
ковариантные спиноры можно получить симметризацией
произвольных спиноров с компонентами 4яд^.д , являю-
являющихся векторами в пространстве ?г, преобразующем-
61
ся по представлению U ®(/®...®(/. Так как любой век-
г раз
р
тор в Ег определяется формулой
где ев1—вг —ортонормированный базис в Ег, то сим-
симметричные спиноры являются векторами в подпростран-
подпространстве Е* с базисом
где 2 обозначает суммирование по всем перестанов-
перестановят!...^)
кам индексов аь ..., аг.
Рассмотрим теперь матричные элементы инфините-
зимальных операторов /г-. В исходном базисе tai-ar
имеем
8e ь {--8arbr (Ю)
где а/2 — инфинитезимальные операторы фундаменталь-
фундаментального представления, т. е. генераторы группы SUB) [см.
гл. 1, формулы (82) и (83)]. Так как а* не коммутируют,
то только один из них имеет диагональный вид. В каче-
качестве диагонального оператора выбираем оз'
Тогда оператор /з диагоналей. Допустим, что ф-индексов
среди а\, ..., аг равны 1, а г — q остальных равны 2. Тогда
из формул A0) и A1) получаем
В частности,
где ^ — число индексов, равных 1. Так как при данном г
векторы е^в|'"в^ полностью характеризуются числом
62
индексов, равных 1 (или 2), то соотношение A2) пока-
показывает, что каждому собственному значению /з соответ-
соответствует единственный вектор в Е* .В пространстве Ef
оператор /3 имеет г + 1 собственных значений
Итак, размерностью ?* будет г + 1. Положим, / = г/2.
Число у называется полным моментом состояния, харак-
характеризуемого данным неприводимым представлением.
Для данного / оператор У3 имеет 2/ + 1 собственных зна-
значений
— У, —/+ 1,..., У—1, /.
При помощи формул A0) и A1) можно показать, что
для любого е^1 "а^
j2e!v-«,i =/(/+l)e{V-erJ. A3)
1.2. Некоторые спиноры низших рангов
В качестве примеров рассмотрим некоторые спиноры
низших рангов, характеризующие состояния с момента-
моментами /= 72, 1, %> 2.
1) У = 7г- Состояние с / = 7г описывается спинором
Ч'а или эквивалентным ему спинором y?at a = 1,2. Рас-
Рассмотрим сначала ковариантный спинор 4V Базис в
пространстве Еи преобразующемся по данному пред-
представлению, состоит из векторов е1 и е2. Каждый спинор
представим в виде столбца с двумя элементами:
*-(::)•
Тогда e» = (J),e«=(°). A4)
Согласно формулам A0) и A1),
7зе» = |е»; 7,е» = --!-««. A5)
Если вместо Ч?и пользоваться Ч?а
Х?а = гаЬХуь>
то для е1 (Vi = 1, ^2 = 0) имеем Ч" = 0, W2 = 1,
а для е2 (Wi = 0, ЧЪ = 1) имеем ЧГ1 = —1, Y2 = 0.
63
Иначе говоря, между базисом еа в пространстве Е{ и
базисом fa в пространстве Ej имеет место соответствие
el<—^f2, еа<—*~fb A6)
так как fx содержит компоненты Чп = 1, Ч^ = 0, а i2—
компоненты Чп == 1, Чг2 = 1. Отметим, что инфинитезн-
мальные* операторы /* контравариантного представле-
представления Ч/а связаны с инфинитезимальными операторами а,/2
фундаментального представления Wn соотношением
(см. гл. 1, формулу G5)). Поэтому
что находится в согласии с соотношением A6).
2) / = 1. Состояния с / = 1 можно описывать при
помощи симметричного ковариантного спинора второго
ранга х?{аЬ}. Пусть еаЬ— базис в пространстве Е2у преоб-
преобразующемся по представлению U ® U. Тогда симметрич-
симметричными спинорами являются векторы в подпространстве Es2
с базисом
= * . е =yf (e12 + еЛ)> е
Согласно общей формуле A0), имеем
\ 2 ja'a \ 2 jb'b
и, в частности,
Л22)
-e'22}. B0)
Поэтому положим,
е+ = е{1|}, eo = e{l2};e_=--e{22). B1)
С другой стороны, состояния с / = 1 также можно
описывать с помощью контравариантного симметрично-
симметричного спинора 4?nb или смешанного спинора Ч^ с нулевым
шпуром. Так как в дальнейшем мы иногда будем поль-
пользоваться смешанным спинором Ч^ , то рассмотрим этот
спинор подробно. Любой спинор Ф? разлагается на два
64
ортогональных спинора, один из которых имеет нулевой
шпур, а другой кратен 6* :
Соответственно пространство Е{у с базисом f? , преоб-
преобразующееся по представлению U® /У*, разлагается на
два ортогональных подпространства. Спиноры, кратные
б?, принадлежат одномерному подпространству с ба-
базисом
&=-^6^ = ^(f!+f22). B2)
Второе подпространство, все векторы которого ортого-
ортогональны б, имеет базис
Из формулы для инфинитезимальных операторов про-
произведений двух представлений [см. гл. 1, формулы (82) и
(83)] и формулы для инфинитезимальных операторов
контравариантного представления A7) видно, что h
действуют на fg следующим образом:
f?' [ ai \ f? (ОЪ\
1Ь о b \ °'
'а'а \ & / b''b
В частности,
JJl = tkh ("^-) = 0; /8f? = - f?. B4)
Поэтому положим,
Если представить эти спиноры в виде матрицы
то получим
3 Заказ 809
Очевидно, для всех полученных спиноров шнуры равны
пулю: Чгаа = 0. '
Как известно, спиноры Чг<а/;>. и lJr" сья.^шы соотно-
соотношениями D). Например, спинору ei ~e*iljl Dгц = 1 и
остальные Ч^б = 0) соответствует смешанный спинор с
компонентами х?2 = 1, х?аь = 0 для а Ф 2 или Ъ ф 1,
т. е. спинор f'2 . Аналогично спинору ev) = e{12/ (llri2 =
= ll/2i = I/O 2, остальные х?аъ = 0) соответствует смешан-
смешанный спинор с компонентами Чг!= —-1/1^2, ЧГ|= 1/V 2,4^ =
= 0 для b Ф а, т. е. спинор —f0, а спинору е_ соответ-
соответствует спинор — f... Таким образом, имеет место соот-
соответствие
е+ <- - > f+; е0 <- -> - f а; е_< - —f_, B7)
и соотношения B0) и B4) согласуются. Отметим, что
для получения неприводимых представлений с базиса-
базисами B1) и B5) можно также применить метод, указан-
указанный в п. 3.4 гл. 1. Так, мы заранее знаем, что е11 —един-
—единственный ковариантный спинор второго ранга с /з = +1.
Он должен принадлежать некоторому неприводимому
представлению. Действуя на этот спинор инфикитези-
мальными операторами /г- несколько раз, можно полу-
получить все остальные спиноры в данном неприводимом
представлении. Действительно, положим,
1 1
+ 2 V 1 "Г 2h 2 V l " 2/
и соответственно
;a_ = |(al-ia,)"(^).
Согласно выражению A9),
J^ll = e12 + e21. J_ (e21 + e12) = 2e«2f
т. е. получаем все спиноры B1). Аналогично единствен-
единственным смешанным спинором с /3= +1 является f^, и, со-
согласно формуле B3),
т. е. получаем все спиноры B5).
3) / = 3/2. Состояние с / = 3/2 можно характеризо-
характеризовать с помощью ковариантного симметричного спинора
66
третьего ранга ^{abc} или смешанного спинора 4я|efrj с
нулевыми шпурами. В первом случае состояния с за-
заданным собственным значением /з определяются следую-
следующим образом:
I-'/. — е — е
-i-7
е+1/§ = е
ll2!__J^_(eH2
е121
+ е2");
_-е! 122} = —U (е122 + e2ia + е221);
уз
л|222] 222
и во втором случае
IJ.
ч-3/2 =
г ^ = !.__(f12 I f21 fnv
f 1 /f21 , .12 .224.
f f22
i—»/i — rl •
B8)
B9)
Компоненты спиноров в соотношениях B8) и B9)
получаются непосредственно из этих формул. Нетрудно
увидеть, что компоненты xYcab спиноров в выражени-
выражениях B9) удовлетворяют условиям
Via - 0.
Отметим, что все спиноры в выражениях B8) и B9)
Могут быть получены из еу2 или Ь/ш путем действия на
&ти спиноры оператором / несколько раз.
Например,
Т f П f21 _L f12 f11-
J—l2 = Г2 + 12 — 11 >
r22
f2! f12\
—f?1 —
f22
f22
f22
f22
f
67
4) / = 2. Если пользоваться ковариантным симмет-
симметричным спинором четвертого ранга ~Ф{аШ}, то состояния
с определенными /3 описываются спинорами:
_pUп 1} _ пи.
_ Jl) _ 1' /л
1121 + е1211
+ е1121 + е
е2111);
eft = e
{l 122}
е1221 -| е2Ш + е2211);
—
} C0)
е__ == е'1222' -- — (е1222 л- е2122 4- е2212 -f e2221)*
а если пользоваться смешанным спинором с нулевыми
шпурами
то состояния с определенными /3 характеризуются спи-
спинорами:
¦++ — С22»
f __ ^ /Р1 1 Р12 Р21 Р12 Р21 1
0"~~yg\ И 12 С12 С21 С21 '
22\
f _ J_ /p22
!- ~ 2 \
12
р22 р12 Р21\
2| П П
f — е22
C1)
Если действовать /- на е\+ и f++ несколько раз, то мож-
вп получить все спиноры в выражениях C0) и C1).
1.3. Векторы, тензоры и спин-тензоры
В гл. 1 мы изучили связь между группой вращений
и группой SUB). Там показано, что если представим
любой трехмерный вектор Х\ в виде матрицы 2X2
Х = хр19 Spx^=0,
то вращению трехмерного пространства с ютветствует
следующее преобразование матрицы х:
или
ХаЬ -+ ХаЬ — Uaa'Xa'b'UЬ'Ь = U aa'Ubb'Xa'b'
(см. гл. 1, п. 1.5). Это означает, что по отношению к
группе SUB) Xab преобразуется как смешанный спинор:
Ь Yb l* • C2)
Обратно, если представим смешанный спинор с нулевым
шпуром \Р? в виде
Vba = -L-(<,,)%, C3)
гДе (^г)д = (<Ji)ab — матричные элементы матриц Паули,
то при вращениях величины Уг- преобразуются как ком-
компоненты трехмерного вектора. Вектор \'\ получается из
^д при помощи формулы
^ у Sp фа,). C4)
Таким образом, спиноры второго ранга группы SUB)
эквивалентны трехмерным векторам, причем эта связь
дается формулами C3) и C4). Численный коэффици-
коэффициент 1/1^2 появляется из условия нормировки
1/^ = (V+)StS = Sp 0F+Y).
Из соотношений C3) и C4) можно найти связь
между так называемым каноническим базисом B5)
f+, f0, f_ и декартовым базисом f*, iy и f2 в трехмерном
пространстве. Для f+, например
v< = YT ^ = W (a'Ji; Vx== W: Vy = W; Vz =0;
В результате получим
f + = ±±$г-; C5)
f — **""" ^^ • f — f
I- — ,- , 1q — i2-
69
Рассмотрим теперь спинор четвертого ранга Ч^ с ну-
нулевыми шпурами Ч^ = Ч?$ = 0. Этот спинор может
быть представлен в виде -
где Tij — тензор в трехмерном пространстве. Для непри-
неприводимого спинора ЧЧ"*! с нулевыми шпурами имеем
представление
+ Ш»(о,)>с\Т1„ C6)
где ;V — коэффициент нормировки. Так как
то равенство нулю шпура Ч*|а ! означает, что Tij имеет
нулевой шпур
Та = 0:
Представим Tij в виде суммы симметричного и анти-
антисимметричного тензоров:
Так как Гц,-/] равен нулю автоматически, то
Т{и) = 0. C7)
Нетрудно видеть, что Г[//] не дает вклада в выраже-
выражение C6). Из условия нормировки
следует, что N = 8. Итак,
и, обратно,
70
. fab]
Таким образом, спиноры щса} с нулевыми шпурами
эквивалентны трехмерным симметричным тензорам вто-
второго ранга с нулевым шпуром Т{ц}. Аналогично непри-
неприводимые спиноры Ч^""^| ранга 2р с нулевыми шпу-
шпурами E) эквивалентны трехмерным симметричным тен-
тензорам ранга р Т}х .. з с нулевыми шпурами
'Л f,.../..././/)Г <>, D0)
Рассмотрим, наконец, неприводимые спиноры нечетного
ранга, например х?С[аЬ] с Wlab^ — 0. Положим,
YJcW D1)
Тогда
D2)
Величины (Ri)b преобразуются как компоненты трех-
трехмерного век гора относительно индекса / и как компо-
компоненты спинора относительно индекса Ь. Аналогично все
неприводимые спиноры- нечетного ранга ^i^V. aPl> экви-
эквивалентны так называемым спин-тензорам:
D3)
Д }
По отношению к индексам /,,..., iP (R{tt...ip) )ь является
трехмерным симметричным тензором с нулевыми
шпурами:
Кроме того, из условия E) следует соотношение
K)w(^{/,.../Jk...//l.b = 0 D5)
для любого 1^*^/7.
71
1.4. Разложение произведения неприводимых
представлений на неприводимые представления.
Коэффициенты Клебша — Гордана
В п. 1.1. мы изучили неприводимые представления
группы SUB). Произведение двух неприводимых пред-
представлений, вообще говоря, является приводимым пред-
представлением. Займемся теперь разложением этих произ-
произведений на неприводимые представления. Пусть даны
два неприводимых представления, которые мы выберем
в виде ковариантных симметричных спиноров У^а^.м }
и Ч^ 6 }. Они описывают состояния с моментами
/i = р/2 и /2 = q/2. Рассмотрим произведения
Они преобразуются по представлению, являющемуся
произведением неприводимых представлений, по кото-
которым трансформируются Чг{в1...вр} и Ч^...^}. Спи-
Спинор Ф{в1...вр} {Ьх...ь} симметричен по всем индек-
индексам аи ..., ар и по всем индексам Ьи ..., bq. Разделим его
на две части, первая из которых симметрична относи-
относительно перестановки индексов а\ и Ьи а вторая антисим-
антисимметрична относительно этой перестановки. Тогда первая
часть полностью симметрична по индексам #ь ...,#р,
&ь •••> bq. Так как антисимметричный спинор эквивален-
эквивалентен скаляру, то во второй части антисимметричные ин-
индексы п\ и Ь\ можно не рассматривать. Иначе говоря,
вторая часть есть спинор ранга р + д— 2 Ф{пг..мр} {Ьш...ь },
симметричный по индексам «2, ..., ар и по всем индексам
&2> •••> bq. Этот спинор, в свою очередь, может быть пред-
представлен в виде суммы полностью симметричного спино-
спинора ранга p + q — 2 и спинора вида Ф^..мр) {Ь3...ьд}
Продолжая этот процесс, мы получаем наконец разло-
разложение произведения D6) в сумму симметричных спино-
спиноров следующих рангов: р + д, р + q — 2, p + q — 4,...,
р + д — 2д (если p^q) или р + q — 2р (если q^ p).
Таким образом, произведение двух представлений, ха-
характеризующих состояния с моментами j\ и /г, разла-
разлагается на неприводимые представления, соответствующие
моментам ]\ + /2, /i + /2— 1, |/i —/2I. Это — известное
правило сложения моментов в квантовой механике.
72
Обозначим е^ базисный вектор с /3 = т в простран-
пространстве, преобразующемся по представлению с J2 =
= /(/'+ 0> и аналогично для е^ и efc . Тогда произ-
произведение е^ е^ может быть представлено в виде ли-
линейной комбинации спиноров е'т , причем из формулы
для инфинитезимальных операторов произведения двух
представлений [см. гл. 1, формулу (83)] следует, что
т = гп\ + т2. Итак,
Так как спиноры ejj, е?« и е^ ортонормированы, то
мы имеем также обратную формулу
CiiXi^t, D8)
Коэффициенты Clmm . w называются коэффициентами
сложения моментов или коэффициентами Клебша —
Гордана. Их свойства изучены подробно в рабо-
работах [1—4].
§ 2. Изотопическая инвариантность
сильных взаимодействий
2.1. Изотопические мультиплеты
Экспериментальные исследования ядерных сил при-
привели к гипотезе о зарядовой независимости ядерного
взаимодействия между протонами и нейтронами, обоб-
обобщением которой является гипотеза об изотопической
инвариантности сильных взаимодействий барионов и
мезонов. В теории изотопической инвариантности пред-
предполагается, что мезоны и барионы образуют изотопиче-
изотопические мультиплеты, описываемые неприводимыми пред-
представлениями группы SUB), рассматриваемой как
группа вращений б некотором (нереальном) трехмерном
изотопическом пространстве. Инфинитезимальные опе-
операторы Ти i= 1, 2, 3, этих представлений, удовлетво-
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Г,-, Tj] = щкТк%
73
называем операторами изотопического спина. Для каж-
каждого неприводимого представления, т. е. для каждого
изотопического мультипле^та, оператор Т2 = Т\ + Т\ +
+ Т\ кратен единице
где / — единичный оператор. Величина Т называется
изотопическим спином данного мультиплета.
Частицы в одном изотопическом мультиплете имеют
разные заряды и рассматриваются как различные со-
состояния одной и той же частицы, соответствующие раз-
различным собственным значением оператора 7V Предпо-
Предполагается далее, что 7\- коммутируют с операторами уг-
углового момента /г-, а также с операторами, выражающи-
выражающими другие сохраняющиеся величины, характеризующие
сильно взаимодействующие частицы, например барион-
ное число В, странность S и т. д. Тогда все частицы в
одном изотопическом мультиплете имеют один и тот же
спин /, одно и то же бариониое число В, одну и ту же
странность S и т. д., как это следует из леммы Шура
(см. гл. 1, п. 3.3 и 3.4). Заряд каждой компоненты изо-
изотопического мультиплета связан с оператором Гз и дру-
другими квантовыми числами формулой Гелл-Манна —
Нишиджимы
где У—гиперзаряд.
Рассмотрим некоторые изотопические мильтиплеты.
Нуклоны (протон и нейтрон) образуют изотопический
дублет (Т = 1/2). Волновые функции нуклонов отождест-
отождествим с* ковариантным изотопическим спинором и обозна-
обозначим Na- Тогда
где р и п — полные волновые функции протона и ней-
нейтрона, a W — пространственная волновая функция. В
дальнейшем удобно вместо выражения D9) пользовать-
пользоваться записью
74
Поскольку волновая функция нуклона рассматривается
как ковариантный изотопический спинор jVa, то сопря-
сопряженная (дираксвски) волновая функция является кон-
травариантным изотопическим спинором и обозначается
Na. Тогда
р - A 0) 0 Ч7; п - @ 1) 0 ?
или сокращено по аналогии с формулой E0)
N = (pn). E2)
Для дублета каскадных гиперонов, например, мы име-
имеем аналогичные выражения. Что касается других гипе-
гиперонов, то Л — гиперон представляет собой изотопический
скаляр (Г = 0), т. е. его волновая функция не меняется
при изотопических вращениях, а 2-гипероны образуют
изотопический триплет (Г=1). Если рассматривать
волновую функцию этого триплета как ковариантный
симметричный спинор второго ранга, то
B+)и = 1 ® V, B+I2 = B+J1 = B+J2 = 0;
B% = B0)п = -±- ® V, B<0и = B°J2 = 0;
B")и = 1 ® Y, B"I2 = B~J1 = B-)ц =0,
E3)
где W—пространственная волновая функция. В даль-
дальнейшем по аналогии с формулой E0) вместо соотноше-
соотношений E3) мы пользуемся сокращенной записью
Если же пользоваться смешанным изотопическим спино-
спинором второго ранга для описания триплета 2-гиперонов,
тогда
B~*~)? = 1 ® Y B"^)! = B^J = B^J = 0*
V Л у2* » V /2 -1^2" ' ^ ^2 ^ ' V /
B-J = 1 ® Т. B-)! = B-J2 = B-)? = 0,
или сокращенно
75
®Т, B), = 0;
Для удобства Мы введем по аналогии с выражением E0)
также матрицу
*-
Как было показано в п. 1.3, для описания триплета мож-
можно пользоваться также трехмерным вектором, связан-
связанным со смешанным спинором второго ранга соотноше-
соотношениями C3) и C4). Тогда вместо соотношений E5) на-
напишем
E7)
или сокращенно
Отметим, что эти формулы представляют собой сокра-
сокращенную запись соотношений E7) и не совпадают с фор-
формулами C5) и C5^, связывающими различные базисы.
Из данных формул для волновой функции триплета 2-ги-
перонов можно получить аналогичные формулы для со-
сопряженной волновой функции, заменяя верхние индексы
на нижние и обратно. Например, по аналогии с матрицей
E6)
E9)
Приведем еще формулы для барионных резонансов с
Т = 3/2. Если рассматривать волновую функцию этого
мультиплета как ковариантный симметричный изотопи-
изотопический спинор третьего ранга, то в сокращенном виде по-
76
лучим
(А)ш = А¦'"*; (Д)ш =, Щт = (Д) 1Ц = ^L Д+;
(ЛIИ - (А)а„ • (Л)И1 -= у|чА°; (ЛLМ --= л "•
F0)
Для мезонных мультиплетов формулы в точности такие
же. Например, для /С-мезонов
<=(К1)) F1)
и для я-мезонов
«=\YZ |.«-| Vi _ I- F2)
Представить волновую функцию я-мезонов в виде
смешанного спинора я? особенно удобно при изучении
зарядового сопряжения С. В преобразовании зарядового
сопряжения С
тс+ -> тГ, тГ -> тс4*, тс° -* ^°,
т. е.
Tt2 "—* ТС 1, ТС| -•> ТС2, ТС 1 —> ТС j, Tt2 ~~> Т^2 •
Эти преобразования можно записать в единой формуле
щ ->- Ка или СщС = тса. F3)
Волновые функции частиц в изотопических мульти-
плетах меняются при преобразованиях изотопической
группы. Рассмотрим специальное важное преобразова-
преобразование, соответствующее матрице
-1 0;
При этом преобразовании спинор E0) для нуклона пе-
переходит в
Р\ ( п
\п] \—р)
т. е.
р->п9 п-+—р9 F4)
77
а матрица E6) для S-гиперонов переходит в
т. е.
1 @4')
Для других мультиплетов имеются аналогичные перс-
ходы:
-> A , A -> — A , A -* A , A "*¦ — A,
F41
и т. д. Изотопическая инвариантность требует, чтобы
матричные элементы процессов рассеяния и распада бы-
были инвариантными относительно всех преобразований
изотопической группы, и в частности относительно пре-
преобразований вида F4), F4'), F4"). Инвариантность от-
относительно этих частных преобразований называется за-
зарядовой симметрией. Рассматриваемое специальное пре-
преобразование группы Si/B) соответствует некоторому
вращению в трехмерном изотопическом пространстве. Из
соотношений E8) и F4') следует, что в данном преоб-
преобразовании
Итак, рассматриваемое преобразование зарядовой сим-
симметрии соответствует повороту на угол я вокруг второй
оси в изотопическом пространстве.
При изучении процессов взаимодействия мезонов и
барионов во многих случаях удобно классифицировать
состояния систем частиц по полным изотопическим спи-
спинам этих состояний. Изотопические волновые функции
состояний систем частиц с определенными изотопичес-
изотопическими спинами обычно имеют определенные свойства сим-
симметрии по отношению к перестановке двух одинаковых
частиц, причем одинаковыми частицами считаются раз-
различные частицы в одном изотопическом мультиплете.
78
К таким частицам применяется обобщенный принцип
Паули, согласно которомуоюлные волновые функции си-
систем не меняются при перестановке двух одинаковых бо-
бозонов, но они меняют знак прк перестановке двух одина-
одинаковых фермионов.
2.2. Изотопическая инвариантность
лагранжиана взаимодействия
Выше предполагалось, что волновые функции мезонов
и барионов преобразуются по неприводимым представ-
представлениям изотопической группы SUB). Изотопическая ин-
инвариантность требует, чтобы лагранжиан сильных взаи-
взаимодействий был инвариантным относительно всех преоб-
преобразований изотопической группы. Это приводит к ряду
ограничений на константы связи сильно взаимодействую-
взаимодействующих частиц.
Рассмотрим некоторые примеры. Трехлинейный ла-
лагранжиан взаимодействия я-мезона с нуклонами пред-
представляет собой линейную комбинацию произведений
вида
Как известно, для того чтобы образовать инварианты из
этих произведений, необходимо суммировать по каждой
паре верхних и нижних индексов. Так как 7г? = 0, то
единственным инвариантом является
Итак, лагранжиан лЛ'-взаимодействия имеет вид
1 1 '2g*NNN°yJ1bltb F5)
причем для удобства в формулу F5) был введен коэф-
коэффициент У 2. Выразим Па через трехмерный вектор я*:
4 = ^(ф,- F6)
[см. формулы C3) и C4)], тогда,
y&N*i. F7)
79
Подставляя в формулу F5) спиноры E0) и E2) и мат-
матрицу F2), получаем
iz+ + V2 пуьртГ +
увР — Щъп) т:0] . F8 )
Аналогично для взаимодействий x\NNy K^N и KAN лаг-
лагранжианы имеют вид
= i ?<№~йау^ац = igyiNNNybN^ F9)
= i V2gKwKb?>abybNa + э. с. -
= igK*NK2itrt*N + 3.c; G0)
Lkan = i gKanK"Ay5Na + э. с. --=
+ 9. С G1)
Рассмотрим теперь /(ЛН-взаимодействия. Лагранжи-
Лагранжиан имеет вид линейной комбинации произведений типа
Для того чтобы образовать инварианты из этих произ-
произведений, необходимо умножить их на еаЬ и затем про-
просуммировать по а и Ь. Таким образом,
Lkae = gKAEAy5BQK'beab + э. с. G2)
Так как элементы матрицы т2 равны ieab, то можно пере-
переписать формулу G2) следующим образом:
= i gKAEK\Ay5E + э. с. G3)
Аналогично для взаимодействия /B3
Lk*e = V2gn&ab4?aKfibc + э. с. =
= i «ГкявКЧ^ЛУвЗ + э. с G4)
Если вместо волновой функции /(-мезонов ввести вол-
волновую функцию /(-мезонов, то формулы G2) — G4) мож-
можно переписать в виде
L~ = i g~ ^KaAy5Ba + э. с. =
КАЕ SKAE Г5 а '
G3)
i ]/2^ч /C?Y,Se ¦)- э.с =
G4)
Для взаимодействий типа nSH и r}SS имеются выраже-
выражения, аналогичные соотношениям F5) ц F7) — F9). Что
касается взаимодействий т]ЛЛ, яЛ2, ч\2% и я22, то не-
нетрудно проверить, что следующие лагранжианы являют-
являются единственными, выполняющими изотопическую инва-
инвариантность:
5л I G5)
ялв == i 5яла42аУбЛ "I э- с- =
= 1?ял^Д-У5А + э. с; G6)
- i gv&tyiPh = i gr^iy^ri; G7)
S^YsSy^, G8)
причем для получения второго равенства в соотношении
G8) достаточно воспользоваться формулой
и соотношениями типа F6) для 2? и тс?. Отметим,
что из спиноров 2?, 25 и rcf можно образовать два ин-
инварианта: _
\id\\b с ^Ь
227Ta И
Однако они отличаются только знаком. Действительно,
так как
т/т« + т«т/ = 6у! SprA = 0;
(Г/)с (Т(I (Ъ% + (Ъ)с (Т/)б (T*)S = SP [(Т/Т, + Т,Ту) tj = 0.
81
2.3. Изотопическая инвариантность и распады резонансов
Из инвариантности лагранл^йана следует инвариант-
инвариантность матричных элементов ;фоцессов распада, рассея-
рассеяния и рождения частиц в си/ьных взаимодействиях и вы-
вытекает ряд соотношений Между амплитудами процессов
распада, рассеяния и рождения частиц в одном изотопи-
изотопическом мультиплете. рассмотрим некоторые следствия,
вытекающие из изрТопической инвариантности для про-
процессов распада частиц с наименьшими изотопическими
спинами. Так как нас интересуют только соотношения
между амплитудами различных процессов с участием
частиц из одного и того же изотопического мультиплета,
а не сами амплитуды, то можно ограничиться изучением
изотопической структуры амплитуд процессов. Итак,
в дальнейшем спиновую структуру матричных элемен-
элементов процессов распада и рассеяния явно выписывать не
будем.
Рассмотрим сначала распад мезонов с Т = О, напри-
например распад /°-мезона на два я-мезона. Рождающиеся
я-мезоны имеют разные импульсы, их обозначают n(q\)
и я(^2)« Если изотопическая инвариантность выполняет-
выполняется, то матричный элемент рассматриваемого распада
имеет вид
= gf4 Ы Z Ы = gf° R+ Ы к' Ы +
+ 5 ]. G9)
Отсюда следует, что вероятность распада на я+ с имнуль-
имнульсом q\ и я~ с импульсом q2 равна вероятности распада на
я+ с импульсом q2 и п" с импульсом qu а также равна
вероятности распада на два я°-мезона, один из которых
имеет импульс qu а другой — импульс q2. Итак, вероят-
вероятность распада на я+ и я~ в сумме в два раза больше ве-
ве0
роятности распада на два я0:
2п°)
(
Отметим, что матричный элемент G9) инвариантен
относительно преобразования зарядового сопряжения С
только в том случае, если /°-мезон имеет С-четность, рав-
равную +1. Действительно, в этом случае
82
t. e. матричный элемент G9) не меняется при С-преоб-
разовании. Нетрудно Проверить также, что матричный
элемент G9) удовлетворяет требованию статистики Бо-
зе. Действительно, /°-мезоьКдмеет спин и четность 2+, по-
поэтому система двух я-мезонов в распаде /°->2я находит-
находится в D-состоянии и ее пространственная волновая функ-
функция симметрична относительно перестановки двух я-ме-
зонов. В силу статистики Бозе изотопическая волновая
функция и, следовательно, матричный элемент распада
/°->2я должны быть симметричными относительно этой
перестановки. Матричный элемент G9) действительно
удовлетворяет этому условию.
Рассмотрим теперь распад ср-мезона с нулевым изо-
изотопическим спином, спином и четностью, равными 1~, и
С-четностью, равной —1, на два я-мезона. Если этот рас-
распад происходил бы, то его матричный элемент имел бы
такой же вид, что и матричный элемент G9). Однако
поскольку при зарядовом сопряжении ф->—ф, то такой
матричный элемент, должен бы изменить знак при С-пре-
образовании, т. е. нарушить С-инвариантность. Таким
образом, изотопическая инвариантность и С-инвариант-
С-инвариантность запрещают распад ф->2я. Этот распад также за-
запрещается требованием статистики Бозе. Действительно,
поскольку система двух я-мезонов в этом распаде нахо-
находилась бы в Р-состоянии, то ее пространственная волно-
волновая функция антисимметрична относительно перестанов-
перестановки двух я-мезонов. Тогда матричный элемент этого рас-
распада должен быть антисимметричным, а на деле матрич-
матричный элемент вида G9) симметричен.
При изучении распада /°-мезона на пару КК удобно
рассматривать волновую функцию /(-мезона как контра-
вариантный спинор Ка. Для сопряженной функции мы
имеем тогда спинор Ка. Так как /°-мезон имеет С-чет-
ность, равную +1, то матричный элемент распада этого
мезона на пару КК, удовлетворяющий изотопической ин-
инвариантности и С-инвариантности, имеет вид
Так как
83
й, следовательно,
то из формулы (81) следует выражение
Ы К - (</,) + ^° (?Д0 Ы| • (82)
Итак, вероятность распада /°-мезона на пару К+К~ рав-
равна вероятности распада на пару К°К°:
К°К°)
если пренебречь разностью масс К±- и /С°-мезонов. Ана-
Аналогично для распада ф-мезона на пару КК
(84)
так как ф-мезон имеет С-четность, равную —1. Отсюда
получаем также
У(Ф.ЛГ+#Г) (85)
Рассмотрим теперь распад /С*-мезона с Г = 1/2 на я- и
/(-мезоны. Мы имеем матричный элемент
(86)
Поэтому вероятности распада связаны соотношениями
W (К*+ -*¦ К°к+) = W (К*~ •* /С°тс~) =
= 2W (К'+ -*¦ /С+к°) = 2W (К'° -* К0*0). (87)
84
В частности, ширины резонаисов /С*" и К*~~ равны меж-
между собой, как и должно быть.
Как и в случае распада ф-мезона на два я-мезона, С-
инвариантность или требования статистики Бозе, приво-
приводит к ряду запретов для процессов распада мезонов с
7 = 1 и У = 0. Волновые функции Yg этих мезонов по
аналогии с формулой F3) при С-преобразовании преоб-
преобразуются следующим образом:
причем знак плюс или минус выбирается одинаково для
всех частиц в одном мультиплете. В частности, для Л°-
мезона (со спином и четностью 2+) и р-мезона
С (Л2) аьС~1 = (Л2)*, СраьС-1 =-рьа. (88)
В п. 2.2 мы получили тождество
ifefat + SgS^TcS = 0.
Аналогично
РаЩ Ы Ъ Ы + Р$?с Ы *а Ы = 0.
При помощи этого тождества нетрудно увидеть, что мат-
матричный элемент распада р-мезона на два я-мезона
М р-яя =
= ^= р
+ у- Р° [^+ Ы «"" Ы ™ ^+ Ы «"
+ ^= р- \1Г (дг) *Р (q2) - и"" (q2) Ifi (q,)] (89)
инвариантен относительно преобразования зарядового
сопряжения С. Итак, мы имеем следующие отношения
между вероятностями распада:
W (р+ -> *V) = W (р- - ^°) = W (р°» U+7T-); |
+ р+ (9) ^о (^ _ ^+ Ы Го
Отметим, что матричный элемент (89) антисимметричен
относительно перестановки двух я-мезонов и, следова-
следовательно, удовлетворяет требованию статистики Бозе, так
как система двух я-мезонов находится <в Р-состоянии.
85
Если Л2мез0н распадался бы на два я-мезона, То
матричный элемент этого распада имел бы такой же вид,
что и матричный элемент (89) (с заменой р на Л2). Од-
Однако такой матричный элемент не удовлетворял бы ни
С-инвариантности, ни требованию статистики Бозе, как
это можно легко проверить. Это означает, что распад
Л2-^2я запрещен. Для распада Л2-мезона на пару КК
имеем матричный элемент
f (qSK? (ft) + K+ Ш~К° (Яг)} +
+ g^2 [IT (qi)!° Ы + К~ Ш1° Ы] +
+ Л- Al [К+ (Яг) IT Ы - К° (ЯуУК° (ft) 4
+ R+ (q,) K~ (<7x) - К° Ш1<0 Ы]. (91)
Отсюда вытекают соотношения
W (At -* /C+^°) = W{A7-* K~~K°) =
= 2W (А°2 -* К+К~) = 2W (Л2° -» /С°^°). (92)
Отметим, что на опыте наблюдаются не К0- и /С°-мезоны,
а К? и /Сг-мезоны. Подставляя в формулы (81), (84) и
(91) выражения
O O O 0
получаем
к0 to)!0 to) -J0 to) к0 ы = /с?
Это означает, что в распадах f- и i42- мезонов всегда на-
наблюдаются пары /Ci^C? и КгК\, а в распаде ф-мезо-
на
86
i
на — только пары /С1/С2.
Рассмотрим теперь распады барионных резонансов.
Для распада 3*-гиперона с Т = 1/2 на S-гиперон и я-ме-
зон имеем такие же соотношения, что и для распада К*-
мезона на К- и я-мезоны [см. выражение (85) и (86)], а
именно
W (S*0 -* S"тс) = W C'~ - S V) =
- 2Г (S*0 -> S V) = 2Г C'" -> S-т:0), (93)
а для распада У*-гиперона на я-мезон и >]-гиперон из
матричного элемента
+ * п°B-К'--2-|Кч) (94)
получаем соотношения
W(у'+ -" 2V) - W (Y'+ •* 2+7i°) = W(Y*° -> 2+Tt-) =
= W (У*0 -> S-w+) = W (Г*~ - 2%") = W (K*" -* S-u0).
(95)
Рассмотрим, наконец, распад резонанса А с Т — 3/2
на л-мезон и нуклон: __ _
^ (96)
Пользуясь выражениями для N" и А{аЬс} и выражением
типа E4) для п{6с', получаем
А_ (у 2 п°п + я~р) А0 + gn-n&T, (97)
(д I-+ _^ п+р) = Ш (А+ -> пп+) = ^-
_3_
2
(98)
67
В заключение сделаем еще одно замечание, касаю-
касающееся полной вероятности распада частиц из каждого
мультиплета. Рассмотрим, например, частицы из муль-
типлета Д с Г = 3/2. Д++ распадается только по одному
каналу, а Д+ по двум:
Вероятности этих распадов не равны, но их полные ве-
вероятности равны между собой:
W(Д++-* р + тс+) = W (Д"ь->р + те0) + W(&h -* п + 4+),
как это нетрудно проверить. Это приводит к тому, что
ширины всех резонансов в мультиплете Д одинаковы. Та-
Такая же ситуация наблюдается для всех других изотопи-
изотопических мультиплетов.
2.4. Изотопическая инвариантность амплитуд рассеяния
Развитую выше спинорную технику применим теперь
к изучению следствий изотопической инвариантности
в процессах рассеяния и рождения частиц. Рассмотрим
прежде 'всего амплитуду упругого рассеяния я-мезона
на нуклоне. Она является инвариантной комбинацией
произведений вида
Из этих произведений можно образовать три инвариан-
инварианта, а именно:
Выражения, содержащие еаЬ, сводятся к этим инвариан-
инвариантам, так как &аЬп°ьгса — —тй. Однако в силу тождества
™
88
fojibko два из них независимы. Таким образом, амплиту-
амплитуда рассеяния л-мезоиа на нуклонеошеет вид
MnN^N =- A&l Ш *а Ы № (ft) Nc (ft) +
+ Aju* (ft) [nba (q2) 4 Dl) - 4 Ы Ч (q2)] Nc (ft). (99)
Если вместо спинора nab пользоваться трехмерным 'векто-
'вектором Я/, ТО
^
+ ВД 4] ^ (pi). A00)
Мы показали, что из произведений волновых функ-
функций частиц можно образовать три инварианта, но только
два из них независимы. Для того чтобы знать, сколько
независимых инвариантов можно образовать из произ-
произведений волновых функций, можно рассуждать следую-
следующим образом. Так как я-мезон имеет Т = 1, а нуклон
имеет Т = 1/2, то из правила сложения момента следует,
что начальное и конечное состояния могут иметь изото-
изотопические спины Т = 1/2 и Т = 3/2 соответственно. Сле-
Следовательно, существуют две независимые изотопические
амплитуды, описывающие рассеяние в состояниях с оп-
определенными изотопическими спинами Т = 1/2 и Т = 3/2.
Из общей изотопической структуры (99) можно по-
получить выражения амплитуд конкретных процессов. Рас-
Рассмотрим, например, процесс
Так как для протона N\ = 1 и Л^ = 0, для я+-мезона
Tcf = 1 и щ = 1, а остальные компоненты равны нулю, то
из формулы (99) получаем
М (ъ+р -> к+р) = Аг — А%. A01)
Аналогично
м {тГр -> vTp) = ах + Л; A02)
М (тГр -+ ти°/1) - - УЛ2. A03)
Амплитуды других процессов получаются из амплитуд
A01) и A03) при помощи зарядовой симметрии. Исклю-
Исключая неизвестные произвольные функции Ах и A2i получа-
89
ьи соотношение между амплитудами трех рассматривае-
рассматриваемых процессов
М (тг+/; -> т:» — М (тГр -* тГр) *= /2М (яГр -> п°п).
A04)
Отсюда следует, .что сечения этих процессов должны
удовлетворять неравенствам треугольника типа
A05)
В области больших энергий и малых углов сечение пере-
перезарядки о(л~р-+к°п) очень мало по сравнению с упру-
упругими сечениями. Тогда предположив, что А% = 0, полу-
получим приблизительное равенство сечений упругого рассея-
рассеяния я+- и я~-мезонов на протоне.
Для того чтобы получить соотношения между ампли-
амплитудами или сечениями процессов типа
достаточно в конечных состояниях процессов в соотно-
соотношении A01) заменить
В качестве второго примера рассмотрим рассеяние
/(-мезона на нуклоне. Из произведений волновых функ-
функций этих частиц можно образовать три инварианта:
К" Ы Кь (Я!) F (p2) Nd (Pl) вмгас.
Однако из соотношения
г гас = — оА + Ьсоа
следует, что только два из них независимы. Итак,
М KN^KN = АхКа Ы К а Ы F (p2) Nb (Pl) +
+ А% К* Ш Кь (Я,) Nb (ft) Na (ft). A06)
90
Нетрудно доказать следующее тождество:
Отсюда следует, что второй член в правой части форму-
формулы A06) можно переписать в виде
Y А [К Х п ф
Итак, мы имеем
A07)
где Bj и В2 просто связаны с А\ и Л2. Из общей структу-
структуры A06) получаем следующие выражения для амплитуд
конкретных процессов:
М (К+Р -> /С+р) =Аг + А%; A08)
= i4a. A10)
Таким образом, амплитуды рассматриваемых процессов
удовлетворяют соотношению
м{Kvp->к+р) = Л4(/(V-+ к°р) + л*(л:°р->/c+/z). (in)
При больших энергиях и малых углах сечение о(К0р-+
-> /C+az) очень мало. Тогда из полученных соотношений
следует равенство сечений рассеяния /С+- и /С°-мезонов на
протоне. Если в соотношениях A08) — (НО) заменим
Л+-*/?, /С°~^/г, то получим соотношения для амплитуд
рассеяния нуклона на нуклоне.
Мы применили спинорную технику к изучению соотно-
соотношений между амплитудами рассеяния как следствие изо-
изотопической инвариантности. При анализе эксперимен-
экспериментальных данных во многих случаях необходимо
построить амплитуды рассеяния в состояниях с опреде-
определенными изотопическими спинами. Для этой цели можно
применить также спинорную технику. Рассмотрим, на-
например, рассеяние л-мезона на нуклоне. Начальное и
Крнечное состояния могут иметь Т = 1/2 или Т == 3/2. Для
91
того чтобы образовать волновые функции состояний с
Т = 1/2 из произведений n%Nc и пьа№, достаточно сум-
суммировать эти произведения по а и с. Таким образом, если
начальное и конечное состояния имеют Т = 1/2, то вол-
волновые функции этих состояний равны щ,Ыа и nbaNa со-
соответственно. Поэтому матричный элемент рассеяния
в состоянии с Т = 1/2 имеет вид
лО-ялг = ANanbanCbNc. (99')
Так как
b с b с | ее Ь d
ПЩ = ЪЩ + OJTrfK =
1 ("be b—c\ , 1 Rc~b d
— \ЪаЩ — ЪаЩ) i — OTLTt
2 Z
то выражение для mI/n^in можно переписать в виде
Л*^.^ = -j А (ятг) (Л/Л/) + -1 ЛЛ/(™ - яя) JV.
Сравнивая с формулой (99), мы видим, что в данном
случае
44 ^
и вместо соотношений A01) ц A03) имеем
Л«1/я (те+р -> 1с+р) = 0; A01')
М1/2(я->->я~р) = Л; A02')
УИ1^ (я~р->я°м) = — ^-1= А A03')
Таким образом, если рассеяние я-мезона на нуклоне идет
только через состояние с Т = 1/2, то мы имеем соотно-
соотношения
М (я+р -» п+р) = 0, М (я~р -> я~р) = — /2УИ (я> ~> тс°п).
A04')
Рассмотрим теперь случай, когда рассеяние я-мезона
на нуклоне идет только_ через состояние с Т = 3/2. Из
произведеий nabNc и пьа№ образуем прежде всего волно-
волновые функции состояний сГ = 3/2. Для этого необходимо
симметризовать эти произведения по Ь и с, т. е. образо-
образовать суммы
а затем симметричным образом вычесть шпуры. В ре-
результате получим неприводимые спиноры
4 + nacNb - ±(bacd
о
которые описызают состояния с Т = 3/2. Амплитуда рас-
рассеяния в состоянии с Т = 3/2 пропорциональна произве-
произведению этих волновых функций и имеет вид
'J = A pF + nCaNb- -i-F5$V* + bffiNd)\ X
Г id
X nlNc + n*Nh (bcn>bNd + 6&л
L з
Л f ___
Сравнивая с формулой (99), получим
1 2
1 ~~ 2~ 2 "" Т
Амплитуды конкретных процессов равны
з. 4
УИ/2(я р~»я /?) = — А;
о
м'и (л~р-+я°п) = — 4:2
^Ч)] =
(99")
A01")
A02")
A03")
«3
Таким образом, если амплитуда рассеяния я-мезона на
нуклоне в состоянии с Т = 3/2 дает главный вклад, а ам-
амплитуда рассеяния в состоянии с Т = 1/2 очень мала, то
хМы имеем следующие соотношения между амплитудами
конкретных процессов:
М {п*р -> л4/?) = ЪМ (тГр —> д-р) = y=zM (п~~р ~> л°м).
A04")
93
В частности, в области энергии, где резонанс с Т = 3/2 и
/ = 3/2 дает существенный вклад, имеем приближенные
равенства
а (ти"ь/? -»т:+р) ж 9а (тГр -> те"» ^ -f- а (ттГр -> тс°я), A05")
что было подтверждено опытом.
Мы изучили подробно несколько примеров. Изложен-
Изложенный метод можно применить к любым процессам распа-
распада, рассеяния и рождения частиц в сильных взаимодей-
взаимодействиях.
2.5. (/-четность
При зарядовом сопряжении истинно нейтральные ча-
частицы переходят в себя, а их волновые функции либо не
меняются, либо меняют знак. В первом случае годорят,
что частица имеет С-четность +1, а во втором случае
С-четность частицы равна —1. Так как заряженные ча-
частицы переходят в свои античастицы, то для этих частиц
нельзя ввести понятие С-четности. Для частиц, которые
вместе с античастицами входят в один и тот же изотопи-
изотопический мультиплет, можно обобщить это понятие, а имен-
именно ввести так называемую G-четность.
Рассмотрим, например, я-мезон. В С-преобразовании
имеем
В п. 2.1 мы рассмотрели специальное изотопическое пре-
преобразование— зарядовую симметрию, в котором я+->
-*-—я~, я~->—я+, я°->—я0. Комбинируя С-преобразо-
вание и зарядовую симметрию, получаем G-преобразова-
ние, в котором я+ -> —я+, пг -> —я~, я0 -* —я0. Итак, все
я-мезоны являются собственными состояниями G-преоб-
разования. Соответствующее собственное значение равно
— 1 и называется G-четностью мезона. Аналогично р-ме-
зон имеет G-четность +1, а G-четности со- и ср-мезонов
равны —1. С-инвариантность и изотопическая инвариант-
инвариантность приводят к новому закону сохранения — сохране-
сохранение G-четности, который очень часто применяется при
"тучении правил отбора в процессах сильных взаимодей-
взаимодействий. Так, сохранение G-четности запрещает распады
р-мезонов на три я-мезона, а также (о- и ф-мезонов на
два я-мезона. В заключение отметим, что определенными
G-четностями обладают не только мезоны, но и систему
частиц, содержащие одновременно частицы из некоторо-
некоторого мультиплста и их античастицы, например системы нук-
нуклон аитннуклон. Для процессов взаимодействия таких
систем сохранение G-четности дает ряд правил отбора.
Однако на этом подробно останавливаться мы не будем.
§ Л. Изотопические свойства
х взаимодействий
3.1. Электромагнитный ток
Лагранжиан электромагнитных взаимодействий для
всех полей равен
Le = 1 eA^J jj,,
где /^ — электромагнитный ток этих полей. Для нуклона
где ?р — полевой оператор протона. Если ввести опера-
оператор нуклонного поля
ТО
Это соотношение означает, что электромагнитный ток для
нуклона состоит из двух частей: первая часть инвариант-
инвариантна относительно изотопической группы, а вторая часть
является третьей компонентой некоторого изотопического
вектора [так как NaN^— спинор второго ранга и, со-
согласно формуле C4), Na (ti)aNb является трехмерным
вектором]. Этим свойством обладают также и другие ба-
рионы и мезоны. Таким образом, электромагнитный ток
для сильно взаимодействующих частиц имеет вид
где «/? —изотопический скаляр, а /^ —третья компо-
компонента некоторого изотопического вектора. Изоскалярный
ток имеет G-четность —1, а G-четность изовекторного то-
тока равна +1, как это нетрудно проверить. Действитель-
95
но, для изоскалярного тока (^-преобразование совпадает
с С-преобразованием, так как он является изотопическим
скаляром, а С-четность векторного тока равна —1. Что
касается изовекторного тока, то в зарядовой симметрии
он меняет знак, так как зарядовая симметрия является
вращением на угол л вокруг второй оси в изотопическом
трехмерном пространстве.
3.2. Формфакторы и амплитуды электромагнитных
процессов
Рассмотрим теперь электромагнитные процессы силь-
сильно взаимодействующих частиц, матричные элементы ко-
которых пропорциональны матричным элементам электро-
электромагнитного тока
где \А > и |В>—состояния систем сильно взаимодей-
взаимодействующих частиц. К таким процессам относятся рассея-
рассеяние электронов на нуклоне, фоторождение, электророж-
электророждение, а также радиационный распад мезонов и барионов
с испусканием одного фотона. Так как сильные взаимо-
взаимодействия изотопически инвариантны, то матричные эле-
элементы тока J» обладают такими же трансформационны-
трансформационными свойствами, что и сам ток. Это означает, что каждый
матричный элемент тока ^ есть сумма двух членов, пер-
первый из которых (матричный элемент J^) не меняется при
изотопических преобразованиях, а.второй (матричный
элемент /* ) является третьей компонентой некоторого
изотопического вектора. Эти трансформационные свой-
свойства приводят к ряду следствий.
В качестве примера рассмотрим матричные элементы
тока 1%. между состояниями барионов, например нукло-
нуклонов. Поскольку нас интересуют только изотопические со-
соотношения, то можно не рассматривать спиновую струк-
структуру. Тогда
<N\J°\N) =F°7JN; A14)
J . A15)
Следовательно, формфакторы (электрические и магнит-
магнитные) протона и нейтрона выражаются через два незави-
96
симых форхмфактора — изоскалярныи и изовекторныи:
т \ (Р | Р); (Пб)
Г" ^ { (/°--7л). A17)
В данном случае изотопическая инвариантность не дает
никаких новых следствий. Однако дело обстоит совсем
иначе при изучении формфакторов частиц с высшими
изотопическими спинами. Действительно, для матричных
элементов /}} и Jlмежду состояниями 2-гиперопа
<1|УМ^>-/Л^(т,)^. A19)
Формфакторы частиц 2+, 1° и X" выражаются через F0
н ^vi следующим образом:
f"b- -|-(P4 /•'); A20)
/10--уР; A21)
^-^-J-tfo./ri) A22)
(знаки формфакторов были выбраны так, чтобы электри-
электрические формфакторы частиц с зарядом ± 1 при нулевом
значении передачи импульса были равны ± 1 соответст-
соответственно). Отсюда получаем соотношение между формфак-
торами 2-гипероиов
F*t- — F*- = 2Fl\ A23)
В частности, магнитные моменты 2-гипсронов связаны
соотношением вида A23)
14 I- — Hv-=-2bile. A23)
Аналогичный метод также можно применить к изуче-
изучению амплитуд фоторождепия. Для процессов фоторожде-
фоторождения я-мезона на нуклоне мы имеем
<nN\J°\N>=A0NanbaNlf; A24)
<rA\P\Ny=Al*ba{x$NeNe +
+ A2Na U (T8)g - - (Тз)аЯ) Ne. A 25)
4 °»аказ 809 97
Отметим, что из произведения NancbNd можно образовать
также третью комбинацию с требуемыми трансформаци-
трансформационными свойствами, а именно
Однако этот член выражается через два независимых чле-
члена в формуле A25). Аналогичная ситуация имела ме-
место при изучении рассеяния я-мезона на нуклоне. Таким
образом, амплитуда фоторождения я-мезона на нуклоне
имеет следующую изотопическую структуру:
М (yN ~>тгЛ/) ~ w-JV [Aoxt + А\ {т,т8} + А'2 [т,-т3]] N. A26)
Из данной общей структуры можно получить выражения
для амплитуд конкретных процессов:
M(yp->nOf
M (ур —>
М (уп -» ъ°п)
М(уп->
>)~-±=A0 + V2Ai;
ъ+п)~А0 + 2А2;
~ — у= К + У 2i4lf-
я~*р) — Ао — 2А2.
Отсюда получаем соотношение
М (ур —> я+я) + М (уп
+ Л
—» д р) = у2 (УИ (yp —> 7i
A27)
A28)
A29)
A30)
°Р) +
A31)
Рассмотрим, наконец, радиационный распад бариона
с Г = 3/2 на барион сГ= 1/2, например
Амплитуда имеет вид
M^Nv=gI^aAabc(x3)^rdy A32)
где Na и АаЬс — волновые функции, данные в п. 1.1. Для
конкретных процессов
M(A+->pY) = -?-g; )
V A33)
Af(Ao_>nY) = _^.gr. j
93
Итак,
Это соотношение также можно получить из зарядовой
симметрии, учитывая то, что только изовекторный ток
дает вклад.
3.3. Нарушение изотопической инвариантности
электромагнитным взаимодействием
Электромагнитный ток не инвариантен относительно
изотопических преобразований, поэтому радиационные
поправки должны привести к нарушению изотопической
инвариантности сильных взаимодействий. Рассмотрим,
например, вклад от радиационных поправок второго по-
порядка к амплитудам процессов сильных взаимодействий.
Соответствующие матричные элементы содержат произ-
произведение двух электромагнитных токов
Если Л преобразуется как изотопический вектор, то из
правила сложения момента (см. п. 1.4) следует, что эти
матричные элементы состоят из трех частей, одна из ко-
которых есть инвариант, а другие преобразуются как ком-
компоненты с Г3 == 0 изотопического вектора (Т = 1) и изо-
изотопического симметричного тензора второго ранга с нуле-
нулевым шпуром (Г = 2). В частности, электромагнитное
взаимодействие приводит к расщеплению масс частиц в
одном изотопическом мультиплете, и из указанных транс-
трансформационных свойств радиационных поправок можно
получить соотношения между разностями масс частиц в
каждом мультиплете.
Рассмотрим более подробно электромагнитное рас-
расщепление масс частиц. Предположим, что при отсутствии
электромагнитного взаимодействия (а также слабых вза-
взаимодействий) массы всех частиц в одном изотопическом
мультиплете совпадают. При включении электромагнит-
электромагнитного взаимодействия происходит перенормировка массы.
Из изотопических свойств электромагнитного тока сле-
следует, что добавка к массовому члену в лагранжиане, воз-
возникающая в результате перенормировки масс, состоит из
трех частей с различными трансформационными свойст-
4* 99
вами. Первая часть является инвариантом и включается
в первоначальную масс>, одинаковую для всех частиц в
каждом мультиплете, а другие преобразуются как ком-
компоненты с Т$ = 0 изотопических вектора и тензора. Итак,
во втором порядке по электромагнитному взаимодейст-
взаимодействию массы всех частиц в каждом изотопическом мульти-
мультиплете выражаются через три неизвестные константы. По-
Поэтому для мультиплетов с Г^ 3/2 существуют соотноше-
соотношения между массами их компонент.
В качестье примера рассмотрим барионный изотопи-
изотопический мультиплет с 7 = 3/2.
Массовый член в лагранжиане имеет вид
Отсюда, например, мы получаем для масс барионных ре-
зонансов Д выражения:
Mvi •-- Мо f fl! +д2; A35)
Мь+ - Мо + -- ах д2; A36)
М до - Мо — -]га,- -;~ а2; A37)
о о
МЛ--=ЛГО —а,+«з. A38)
Следовательно, разности масс этих частиц связаны соот-
соотношением
мл\ + - Л1 Л_ - 3(Мл+ -Л/Дй). A39)
§ 4. Изотопические свойства слабых
взаилодейстьнй
4.1. Сохранение векторного тока
и изотопические свойства тока AS = О
В универсальной (V — А)-теории слабых взаимодей-
взаимодействий часть лагранжиана, соответствующая сохраняю-
сохраняющим странность процессам слабых взаимодействий ба-
рионов и мезоцов с лептонами, имеет вид
G л ,
4s=o у iUn + э-
100
где /^ — лептонный ток; /^ —сумма векторного и акси-
аксиального токов сильно взаимодействующих частиц </^ и
jfi, причем ^ и изовекторная часть «/^ электромагнит-
электромагнитного тока A13) являются различными компонентами од-
одного и того же изотопического вектора
Vl = <ytfe(ii)l A40)
а именно
Jl = (УЛ (Т8J; Уд = <У*)Ьа (T+)S, |
WjJ =\Уц1а\Т-)ь> г± = .
Так как изовекторный (и изоскалярный) электромагнит-
электромагнитный ток сохраняется, то векторный ток слабых взаимо-
взаимодействий с AS = 0 также сохраняется:
дх[х.
=0.
Константа векторного тока слабых взаимодействий
сильно взаимодействующих частиц с AS = 0 не подвер-
подвергается перенормировке в результате сильных взаимодей-
взаимодействий. Тем самым объясняется равенство перенормиро-
перенормированных (т. е. наблюдаемых) векторных констант р-рас-
пада нейтрона и распада ji-мезона в предположении
универсальности неперенормированных констант слабых
взаимодействий. Иначе говоря, векторная константа
р-распада нейтрона равна универсальной неперенормиро-
ванной константе G.
Гипотеза о сохранении векторного тока!/^ приводит
к весьма важным и интересным следствиям. Например,
из сохранения векторного тока V\i следует, что матрич-
матричный элемент этого тока для C-распада нейтрона имеет
такой же вид, что и матричный элемент электромагнит-
электромагнитного тока i/Ja между состояниями протонов или нейтро-
нейтронов. Он зависит от формфакторов F\, i= I, 2, причем
формфактор f\ соответствует электрическим формфак-
торам F\'.n, а формфактор F\ , аналогичный магнитньш
формфакторам Z7?'", называется формфактором слабого
магнетизма. Так как F\ равны соответствующим изовек-
торным электромагнитным формфакторам, а последние
связаны с формфакторами протона и нейтрона соотноше-
foi
ниями A16) и (fl7), то
F^F?-F?. A42)
Рассмотрим .теперь матричные элементы токов J^, ,
Кд между состояниями я-мезонов:
/ I Т® I \ 7-/*^ ^ ^* /1 А^Ч
/ 1 I/' I \ А/^ ^ /V \^ ^ /1 ЛЛЛ
Отсюда следует, что матричный элемент электромагнит-
электромагнитного тока для я-мезона равен
\ ТС \ J и I Я ) = [П Ла -\- П Пь (^з)алс ==z
2
— 2 |Я Я ( ¦+- j-j-ЯЯ •+- Л 7U ^ —- )\, ( )
а матричный элемент тока У1», для р-распада я-мезона
равен
Если л°-мезон — истинно нейтральная частица, то из
формулы A45) следует, что Я0 = 0. Таким образом,
формфактор р-распада я-мезона связан с их электромаг-
электромагнитными формфакторами Не:
ЯР = 1/Я*. A47)
Так как константа р-распада я-мезона равна произве-
произведению универсальной константы G на формфактор Я
при нулевой передаче, а при нулевой передаче Не = 1, то
константа р-распада я-мезона равна V 2G. Этот резуль-
результат был получен впервые Герштейном и Зельдовичем и
затем Файнманом и Гелл-Манном. Отсюда следует, что
вероятность р-распада я-мезона равна
И7(л" -*n°e-v)^
ЗОя*
это подтверждается опытом.
Мы изучили некоторые следствия, вытекающие из изо-
изотопических свойств векторного тока Vy,. Что касается
аксиального тока /? , то в настоящее время предполага-
предполагают, что он также является .компонентой некоторого изо-
102
топического вектора. Итак, для полного тока слабых вза-
взаимодействий с AS = О
U- (Л0*(т+)*; 4=(/ц)«(т-J. A48)
Эта гипотеза, более сильная, чем гипотеза о сохранении
векторного тока, может быть проверена в экспериментах
с нейтрино. Так, из нее вытекает ряд соотношений между
сечениями процессов рождения я-мезона при столкнове-
столкновении нейтрино и антинейтрино с нуклонами. Матричные
элементы этих процессов имеют вид
М (vA/ -> ГяЛ/) = -?= щ^ A + y5) и < дЛ/1 /ц | N
A49)
где
(nNlJ^N } ^ (nN {(J^falN ) (х+)аь;
<пЫ\4\Ы> = <пЫ\(^)ьа\Ы>(%-)аь.
Ия изотопической инвариантности сильных взаимодейст-
взаимодействий следует, что
(т$ < nN | {JX \N > = ^^(Т/)^Х +
+ Bjl0 [л*(т,Nс- (т,#3] Л^с. A50)
но аналогии с формулами (99) и A25). Отсюда получаем
для конкретных процессов:
->Гп+р) = -^ «YnO +Ye)«Hn-B|»); • О51)
(vrt -> Гп+п) = -?= ыуц A + Y»)« Иц + В»У- A52)
(vn - Гя° Р) = у= «Уй A + Ye)«(- /гВц); A53)
/+я"л) = ~ vytl A + Ys) v (А„ - Рд>; A5Г)
/+я» = ?-V4v(l+ y6)^ Ии + Вд); A52')
/ V/i) = у^- ^Yti A + Ye) у (~ ^26^) • 0 53')
103
Отметим, что Матричные элементы лсптошюго тока для
процессов с нейтрино и антинейтрино
вообще различаются. Они равны друг другу при нулевом
значении передачи импульса лептонов. Таким образом,
мы имеем следующие соотношения для дифференциаль-
дифференциальных сечений при нулевой передаче импульса лептоноя:
a(vp->/~rivp) \kv\\ке = о {т —> I {~n"n |kvц к/; A54)
а {уп -> Гп+п) |kv и к, = а (vp -> / ьл~р) |kv „ к/; A54;)
а (v/г -> I -п°р) |kv и к/ - о^р -> /"'"я0^ |к j к/. A54")
Из выражений A51) — A53) получаем неравенства
треугольника для соответствующих процессов при любых
значениях передачи:
Vo (vp -> Гл+р)—Vo (m -> /~яч п) | < I7 2ст (v/i
(>р->/+я~/?) -(- Уо{т->Гл1п) A55)
и т. д. Аналогичные соотношения имеют место также и
для соответствующих процессов с антинейтрино
w
(ш -> 1+тГп) — Vo^p -> 1+п~~р)
У 2а (~р -* /+я°/г) < г а (wi -> /+я
(^р->/!я~р). A55")
Нетрудно увидеть, что такие же соотношения, что и соот-
соотношения A54) —A55), можно получить и для процессов
парного рождения /(-мезона и 2-гиперона при столкнове-
столкновении нейтрино или антинейтрино с нуклонами. Для полу-
получения этих соотношений достаточно в конечных состоя-
состояниях рассмотренных процессов произвести замены
р->/(+, п -^ К°> л±0 -> 2±0. Например, вместо соотноше-
соотношения A54) теперь имеем
a(vp~>r/(+2+)|kvlIk/= a(^-^^°S"-)|kv|k/ A56)
104
ц т. д. Для процессов рождения /(-мезона и Л-гиперона
справедливо соотношение
о^п-^ГАК1-) |мк/ = oj?p-+ 1+AK°) |Мк/. A57)
Вместо сложных неравенств типа A55) можно полу-
получить простые соотношения, если рассмотреть рождение
я-мезона и нуклона в резонансном состоянии с Г = 3/2.
В данном случае все матричные элементы выражаем че-
через одну неизвестную амплитуду (спиновая структура не
рассматривается)
(xfb < Д | (JX | N > = А^шЫйгса (т$. A58)
Для конкретных процессов
< А'+1 J* \р > = - < А~ IЛ1 I п > = Л: A59)
<Аь|/11|/г>=-<А°|У;|р> = ^/1и A60)
и, следовательно,
a (vp -> Г Д++) = За {т -> ГА+); A61)
o(^i-> rhA") - Зо(ур-> /+Д°). A6Г)
Так как во всех рассмотренных процессах изотопический
спин конечного состояния получается сложением изото-
изотопического спина начального состояния с единицей (по
правилам сложения моментов), то говорим, что эти про-
процессы удовлетворяют правилу AT = 1.
В заключение отметим, что векторный и аксиальный
токи обладают определенными G-четностями. Так, для
векторного тока нуклона
Здесь Т2 обозначает зарядовую симметрию, в которой
N -> —/t2iV. Аналогично
4.2. Изотопические свойства тока с AS = ± 1
Для процессов слабых взаимодействий сильно взаимо-
взаимодействующих частиц с лептонами, в которых странность
меняется, предполагают, что соответствующая часть лаг-
1Q5
ранжиана имеет вид
L&s t о —
В этом лагранжиане S^ —ток сильно взаимодействую-
взаимодействующих частиц, преобразующийся при изотопических пре-
преобразованиях как компонента изотопического спинора и
меняющий странность системы частиц на величину, рав-
равную единице по абсолютному значению. Здесь ток 5ц оп-
определяется с точностью до мультипликативной константы.
Предположим, что в рассматриваемых процессах третья
компонента изотопического спина системы сильно вза-
взаимодействующих частиц, а также ее полный изотопиче-
изотопический спин меняются на величину, равную 1/2 по абсолют-
абсолютному значению. Поскольку, по нашему определению, леп-
тонный ток переводит нейтрино в отрицательный лептон,
т. е. уменьшает заряд лептонов на единицу, то ток S
должен увеличить заряд систем сильно взаимодействую-
взаимодействующих частиц на единицу, т. е. AQ = 1. Из формулы Гелл-
Манна — Нишиджимы следует, что условия |AS| = 1,
| ЛУз | = 1/2 и AQ — 1 влекут за собой AS = 1
и АГ3=1/2. Мы имеем, таким образом, правило AQ = AS.
Условие ДГ3 = 1/2 означает, что третья компонента
изотопического спина системы сильно взаимодействую-
взаимодействующих частиц увеличивается на +1/2, т. е. S^ преобразует-
преобразуется как оператор рождения частицы с Т = 1/2 и Г3 = 1/2
или оператор уничтожения частицы с Т = 1/2 и Г3 = —1/2.
Отсюда следует, что матричные элементы вида
для любых состояний систем сильно взаимодействующих
частиц |Л> и \В> преобразуются как изотопический
спинор с Т = 1/2 и Г3 = —1/2. Это трансформационное
свойство матричных элементов тока Бц приводит к ряду
соотношений между вероятностями распада, а также
между сечениями рождения странных частиц в опытах
с* нейтрино.
Рассмотрим лептонные распады /(-мезонов. Так как
матричный элемент S+ преобразуется как компонента
спинора с Т = 1/2 и Тъ = 1/2, то
A62)
1QQ
Отсюда получаем для конкретных процессов
М (К1 -* v/4 т:0) = 1L- 'иУ1Х A-1- Yr,) V < Д° ! Si | *+ >
A63)
A64)
т. е.
Л* (ЛГЬ -> vZ+я0) = -Ц М (/С0 -> vZ+я"). A65)
Так как распад /C°->v + /+ + лг запрещен в силу пра-
правила AS = AQ, то для распадов /CJ- и К% -мезонов ампли-
амплитуды равны
М {К°\, 2 -> >/+л~) = -^ УИ(/С° ^-> v/+n~). A66)
Итак, вероятности лептонных распадов /(+- и /С? 2-мезо-
нов связаны соотношением
W (К+ -> v/V) = 47 (/С?,2 -> vZ+я-). A67)
Аналогично
W(К" ->7Гя°) = W(K°\,2->Тгя+). A68)
Эти соотношения вместе с СР-инвариантностью дают
W (/С+ -> vZ+л0) = W {1С ->ТГя°) -
J ^(/С?
^(С?>2,дч). A69)
Соотношение типа A65) также имеет место для леп-
лептонных распадов Е-гипероцов 2 ->• 2 + /~ + v. В этих
процессах ток Sjb> дает вклад. Следовательно, мы долж-
должны рассмотреть матричный элемент этого тока
A70)
107
Отсюда получаем
<!• ISjJS0)^; A71)
<S0|SJ1|S-> = ^=C|lf A72)
т. е.
/ИB°- I 72')-= |/2Л1C"->/ >2°). A73)
Применим теперь предложенную гипотезу об изотопи-
изотопических свойствах токов SJX и 5J" к изучению процессов
рождения гиперонов при столкновении антинейтрино с
нуклоном. В данном случае AS = —1 и амплитуды рас-
рассматриваемых процессов содержат матричный элемент
тока S? между состояниями нуклона и гиперона. На-
Например,
(Z\St\Ny=Av3l\Na. A74)
Для конкретных процессов мы имеем
М Gр->/+20) = ^=^A + Y^y-A- A75)
М Gп -> /+2~) - ^= ^у (I + Ye) ^V • A76)
Итак,
а Gр -> /+2°) = -1- (ш -> Г12'). A77)
Аналогичное соотношение также имеется для сечения
рождения барионных резонансов с Y = 1 и Т — 1:
- -i-a0Tn->/V*-). A77')
Отметим, чго во всех рассмотренных процессах изотопи-
изотопические спины конечного и начального состояний различа-
различаются на 1/2. Выражая это свойство рассматриваемых
процессов, мы говорим, что они удовлетворяют правилу
ДГ = 1/2.
4.3. Изотопические свойства
нелеПтонных слабых взаимодействий с А5 ф О
По аналогии с правилами ДГ = 1 и AT = 1/2 для леп-
тоиных процессов слабых взаимодействий с AS = 0 и
|Д5| = 1 в нелептонных процессах имеет место также
108
црашмо \1 = \U% (ui.iciciio koiopoM^ части ла» рапжпа-
па слабых взаимодействий, сопряженные друг другу
в силу эрмптовости лагранжиана) и соответствующие
HiMt'fllOllllbhl Пр()Ц'.МЧ\Ь\!, ПрсоГфЛ \\ }() \ СЯ КНК КО \11ЮИ0И1 Ы
Изотопических сплпорон с /' 1/2 и 7'3 — «-1 /1?: 7'3 " 1/^
длч процессов с AS—1 и 7'3- — \1%2 ч !Я процессов с \S-=
= —1 Из этого предположения вытекают различные со-
соотношения между амплитудами пелептонных распадов
странных частиц
В процессе распада /(-меюия
Л' - 2 -
коночные состояния могут иметь только 7-0 пли Т = 1
в силу правила \7' =- 1/2. Однако два гг-мезопа находятся
в S-состояпип и пространственная функция симметрична.
Следовательно, изотопическая волновая функция систе-
системы двух я-мезонов также симметрична,-как это след\ег
из обобщенного принципа Паули.
Нетрудно видеть, что
С другой стороны, в п. 2.2 и 2.3 было получено тождество
*ь Wi) «2 (Яг) Ыа = - *ь (?2) 4 Ш (\)а.
Эти соотношения означают, что изотопическая волновая
функция состояния с Т = 0 симметрична, а состояния с
Т = 1 — антисимметрична. Таким образом, в распаде
/(->2:i конечные состояния должны иметь 7 = 0 и, сле-
следовательно, распад /С*"-»- я+я° запрещен Так как в распа-
распаде /(-мезона AS = —1, то ДГ3 = 1/2 и матричный элемент
этого распада преобразуется как изотопический спинор
с Т= 1/2 и Г3 = —1/2:
Bn\L\K > = Anab(qi)nba(qJ К2 =
= А [я0 {qx) л° (а2) + я+ (qx) 1С (q2) + я+ Ofc) я~ (9l)] /C°.
A78)
Аналогичное выражение имеется также для распада
/(-мезона. Таким образом, в силу правила AT = 1/2 дол-
должны выполняться соотношения
ЩК^-ьл+п") _0. g
->n+n-)
109
+2n°) i
--—. A80)
Рассмотрим теперь распады гиперонов. Для этих про-
процессов AS = 1, их матричные элементы преобразуются
как спиноры с Т = 1/2 и Г3 = 1/2. Например, матричные
элементы распадов Л-, 2- и й~-гиперонов имеют вид
< nN | L | Л > = An2aNaA = Л (лГр— -±= я°л) Л; A81)
; A81')
< лЗ | L \9Г > = Сп2аЁаОГ = С /л-S0 - -L л0!") 9".
A8J")
Итак, имеют место соотношения:
М (Л -> рл~) = — ]/2М (Л -> лл°); A82)
МB"->Лл~) =/2ЛГC° ->Ля°); A82')
М (Q"" -> Н°л") = — 1/2/И B~ -> 8""я°), A82")
т. е. вероятности распадов на я~-мезон вдвое больше ве-
вероятностей распадов на л°-мезон, а все корреляционные
эффекты одинаковы для всех распадов каждой частицы.
Аналогично матричный элемент распада 2-гиперона
равен
< лЛ/1L! 2 > = Ajf^Hi + AjU'nfel A83)
т. е. зависит от произвольных констант Ах и А2, так как
в силу тождества
26Л2
(аналогичное тождество получено в п. 2.4 при изучении
рассеяния л-мезона на нуклоне) третья возможная струк-
структура Na2baTil линейно выражается через две другие. Для
конкретных процессов
уИC+-*рЯ°)=-^=Л8; A84)
М B+ -> /m+) = At + А.г; A85)
ЛЦ2Г-* пп~) = Аи A86)
ПО
Итак, между амплитудами распадов Z-гиперона имеет
место соотношение
М A ь -> пп4') - М BГ - > птГ) = V2M B+ -> ря0). A87)
В заключение сделаем некоторые замечания по пово-
поводу правила AT = 1/2 в нелептонных распадах мезонов и
гиперонов. Если лагранжиан слабых взаимодействий
имеет вид произведения заряженных токов
L = yf ^ + /|А+ 5й) (/* + /д + S|i)''
то часть лагранжиана, отвечающая за нелептонные рас-
распады барионов и мезонов, равна
Для того чтобы объяснить правило AT = 1/2, необхо-
необходимо добавить к U произведение нейтральных токов.
Действительно, если /д и S, — токи V — Л, образован-
образованные, например, из волновых функций р, пи \, то
^0 + Y^YU + Y)P + * с
Применив преобразование Фирца, можно перепи-
переписать U в виде
V = у-- РУд A + Ye) P^Yii (I + Ys)n + э. с.
Если к Z/ добавить еще член, пропорциональный произ-
произведению нейтральных токов:
L/7 /iY
то
?/ + ?" =?т {^д A + Y^р ь
-I э.с. A88)
Поскольку сумма в фигурных скобках в правой части со-
соотношения A88) является изотопическим скаляром, то
сумма U + L" преобразуется при изотопических преоб-
преобразованиях как волновая функция нейтрона, т. е. как изо-
изотопический спинор. Очевидно, что в рамках теории без
ill
нейтральных токов мы не можем объяснить правило
ЛГ = 1/2, если не предположить какие-нибудь специаль-
специальные динамические модели.
Литература
Вигнер Е. Теория групп, гл. XVII. М., Изд-во иностр лит, 1961.
Гельфаид И. М., Мин л ос Р. А, Шапиро 3. Я. Представ-
Представления группы вращений и группы Лоренца, гл. 2 М , Физматгиз,
1958
Л га б а р с к и и Г. Л Теория групп и ее применение в физике, п XI
М, Гостехиздат, 1957.
На и марк М Л Линейные представления группы Лоренца, гл П.
М., Физматгиз, 1958.
Дополнительная литература
Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий
Бете Г., Гофман Ф. Мезоны и поля. Том II, гл XXVII. М,
Изд-во иностр лит., 1957.
Марков М Л. Гипероны и /(-мезоны, Ч. II. М, Физматгиз, 1953
Маршак Р., С у д ерша н Э. Введение в физику элементарных
частиц, гл. V. М., Изд-во иностр. лит , 1962.
Изотопические свойства электромагнитных
и слабых взаимодействий
G е 11-М а п п М., R о s е п f e I d A. H. Ann. Rev. Nucl Sci.,, 7, 407
A957).
Герштейн С. С, Зельдович Я. Б. «Ж. эксперим, и теор.
физ», 29, G98 A955).
Lee Т. D, Yang С N. Phys. Rev., 119, 1414 A960).
Маршак Р, Судершан Э Введение в физику элементарных
частиц, гл V. М, Изд-во иностр. лит,, 1962.
Ыгуен Ван Хьеу «Ж. эксперим. и теор. физ.», 45, 202 A963).
Окунь Л Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц, § 7,
6, 9, 14, М, Физматгиз, 1963.
Feynman R , Gel 1-М а п п М Plivs. Rev , 109, 193 A958)
Шехгер В М «Ж. эксперим и теор. физ.», 41, 1953 A961).
Глава третья
Группа SU C) и классификация
элементарных частиц в унитарной
симметрии
Введение
В теории изотопической инвариантности элементар-
элементарные частицы образуют изотопические мультиплеты, опи-
описывающиеся неприводимыми представлениями изотопи-
изотопической группы SUB). Векторы состояния частиц в
некотором изотопическом мультиплете являются собст-
собственными векторами одного из трех инфинитезимальных
операторов данного представления. В качестве такого
оператора мы выбрали Г3. Итак, частицы с разными за-
зарядами в данном мультиплете характеризуются соответ-
соответствующими собственными значениями одного из инфини-
инфинитезимальных операторов. Иначе говоря, одно из кванто-
квантовых чисел, характеризующих элементарные частицы,—
заряд — связано с одним из генераторов группы симмет-
симметрии. Как известно, в число квантовых чисел, определяю-
определяющих данную частицу или систему частиц, кроме заряда
входят также гиперзаряд, барионное число и другие вели-
величины. Естественным обобщением изотопической инвари-
инвариантности является теория симметрии, в которой каждый
мультиплет может содержать частицы с разными заряда-
зарядами, изотопическими спинами и гиперзарядами. Такая
группа симметрии должна иметь некоторый генератор,
связанный с гиперзарядом. Так как эта величина для
каждой частицы имеет вполне определенное значение, то
соответствующий оператор Y, диагональный с Г3, должен
коммутировать с Г3. Таким образом, естественным об-
обобщением изотопической симметрии является симметрия
некоторой группы, имеющей два коммутирующих генера-
генератора, один из которых можег быть отождествлен с Г3,
а другой — связан с гиперзарядом. С другой стороны, но-
113
вая группа симметрии должна содержать изотопическую
группу SUB) как подгруппу, если каждый изотопический
мультиплет полностью лежит в некотором мультиплете
новой симметрии. Таким образом, группа высшей сим-
симметрии, обобщающей изотопическую инвариантность,
удовлетворяет двум условиям: 1) она является группой
второго ранга и 2) содержит подгруппу SUB).
Одной из таких групп оказывается группа унитарной
симметрии S?/C), многие предсказания которой были
подтверждены экспериментом. В этой главе мы изучим
общие свойства группы SUC) и ее представления. По-
Полученные результаты затем будут применяться при изу-
изучении классификации элементарных частиц. В последую-
последующих главах рассмотрим экспериментальные следствия
унитарной симметрии в процессах сильных, электромаг-
электромагнитных и слабых взаимодействий.
§ 1. Группа SU(S) и ее представления
1.1. Генераторы группы SU C)
Как было показано в гл. 1, п. 4.1, генераторами груп-
группы SU(n) являются п2 — 1 эрмитовых матриц п X п с ну-
нулевыми шпурами. Для группы SUC) такие генераторы
могут быть выбраны следующим образом:
Они удовлетворяют следующим коммутационным соотно-
соотношениям:
IK Xj]--=2ifiJkXk. B)
Структурные константы /гд полностью антисимметричны
по отношению к перестановкам индексов. Значения неза-
114
висимЫх отличных от нуля констант fijk равны
/123 — 1 у /147 " /246 " /257 " М45 " / 516 == /Зв7 = ~ >
/458 = /678 ~ ~Г~ •
Коммутационные соотношения B) полностью определя
ют структуру группы. В дальнейшем нам понадобятся
также следующие соотношения для матриц Х<:
где константы йгд полностью симметричны относительно
перестановок индексов. Среди них независимыми ненуле-
ненулевыми оказываются
^118 = ^228 = ^338 = — ^888 == Т/\Г » ^448 = ^338 = ^668 "^
1
Выбор генераторов в виде матриц A) удобен тем, что
эти матрицы аналогичны матрицам сг< для группы SUB)t
и при изучении различных подгрупп 5GB) группы 5GC)
сразу видно, к каким подгруппам относятся каждые мат-
матрицы. В данном выборе Х3 и А* коммутируют и связаны с
квантовыми числами частиц: зарядом и гиперзарядом. Не-
Нетрудно увидеть, что А,ь ta и А* образуют алгебру Ли груп-
группы 5GB). В дальнейшем эти генераторы будут отождест-
отождествлены с генераторами изотопической группы. Тогда Хз
связан с зарядом, а второй диагональный оператор Хь —
z гиперзарядом. При изучении изотопической инвариант-
инвариантности иногда удобно вместо о\ и О2 пользоваться а±. По
аналогии с этим положим,
E)
115
/О 0 0\
--, h 0 0), Щ- -¦=-¦ -\ {К -V
\0 0 0/ \
/0 0 0\
«_ - -L (Х4— i Я5) = I 0 0 0 |, f | -= — (>., + i
\1 0 0/
Мы имеем тогда коммутационные соотношения
[Ль fit] = 0, 1Л,., /±] =г ± «!/+,
[Л,, ы±] = ± аЧи±, [hi, v±) = +а^±; /=1,2, (П)
где
a/^(J];a?=| _;.„ |; a? = | _I |. G)
Представим значения +<х', ±а", ±а° двумерными
векторами с компонентами ±oti, +а" и ±а" иа
оси 0л: и компонентами + а{, +аг и ± аг на оси Оу со-
соответственно. Мы получаем так называемую корневую
диаграмму группы SUC), а векторы с данными компо-
компонентами называем корнями (рис. 1).
При изучении изотопической инвариантности видно,
что среди изотопических преобразований зарядовая сим-
116
Метрия, соответс1вующая специальному преобразованию
с матрицей
-1 о/
играет особую роль. Аналогом этого преобразования в
группе SU(H) является преобразование с матрицей
Риг. 1.
Кроме e,t можно ввести два
других преобразования подоб-
подобного типа,а именно
О О Г
О 1 О
V— 1 0 Оу
/1 0 0\
ev= 0 0 1
\0 - 1 Оу
В этих преобразованиях генераторы t±, u± и и± груп-
группы SUC) трансформируются следующим образом:
"""' - "" -""' = и±; (8)
= t*> (9)
-v+, A0)
A1)
A2)
A3)
Группа S?/C) полностью характеризуется своими гене-
генераторами*. Соотношения (8) — A3) показывают, что эта
группа полностью определяется заданием генераторов t±
и h\ подгруппы SUB) и дискретных преобразований, со-
117
а для операторов /zi и Ii2:
t = h2;
ответствующих матрицам еи и ev. Смысл этих дискретный
преобразований будет выяснен подробно в п. 1.5. При
этом будем пользоваться коммутационными соотноше-
соотношениями между hi и Ely EU и ev:
\hh в,] = - 2а{ е, (aihk);
(Л/, ви] =—2а?ви(а1Нк);
A4)
или в векторном виде
[h, в,] = —
[h, eB] = -
[h, e,] = -
1.2. Неприводимые представления группы SU(S)
A4')
Теория представлений группы SU(n) была изложена
в гл. 1, § 4. Применим теперь эти результаты к груп-
группе SUC). Спинорные индексы обозначим a, p и т. д. Так
как каждый индекс принимает три значения, то не суще-
существует полностью антисимметричного спинора ранга боль-
больше 3, а полностью антисимметричные спиноры третьего
ранга е*ру и ея^ являются инвариантами. Будем выби-
выбирать эти спиноры так, чтобы гт = е123 = 1. При помощи
этих спиноров можно превращать каждую пару антисим-
антисимметричных верхних индексов в нижний индекс и на-
наоборот:
1М * A5)
Это означает, что все неприводимые представления груп-
группы SUC) можно рассматривать как спиноры, симмет-
симметричные по всем верхним индексам и по всем нижним
индексам и имеющие нулевые шпуры. Неприводимое
представление, соответствующее спинору с р верхними
и q нижними симметричными индексами, обозначим
D(qy p). Так, D(q, 0) соответствует ковариантному спи-
спинору ранга q, а Z)@, p)—контравариантному спинору
ранга /?.
Подсчитаем число независимых компонент ковариант-
ного спинора ранга q. Если каждый индекс принимал бы
только два значения, то число независимых компонент
этого спинора было бы равно <7+1, как это имеет место
118
для группы SUB) (см. гл. 2, § 1). В действительности
каждый индекс принимает три значения. Рассмотрим те-
теперь только те компоненты, для которых q' индексов при-
принимают значения 1 и 2, a q — q' остальных индексов —
значение 3. Число таких компонент равно qr + 1. Так
как qr меняется от нуля до ^, то число всех компонент
симметричного ковариантного спинора ранга q равно
q '
Аналогично число независимых компонент симметрич-
симметричного контравариантного спинора ранга р равно
N@>P) .
Рассмотрим теперь смешанный спинор ранга р + q, q раз
ковариантный и р раз контравариантный,^1" 'V Число
*• • ' q
компонент такого спинора было бы равно
если все шпуры
были бы произвольными. Так как число таких шпуров
равно числу компонент смешанного спинора ранга р +
+ q — 2, q — 1 раз ковариантного и р — 1 раз контрава-
контравариантного, т. е. равно
N (q— 1, 0)Л/ @, р — 1) = —<7(?+1)р(Р+ 1)»
4
то для неприводимого спинора ранга р + q, все шпуры
которого равны нулю, получим
±q(q+l)p{p+l)
условий. Итак, число независимых компонент неприводи-
неприводимого смешанного спинора, q раз ковариантного и р раз
контравариантного, равно
Например,
tf(lf 0) = 3, Л'(О, 1) = 3, Л'A, 1) = 8, Л'C, 0)- 10,
А' @, 3) = Тб, N B, 2) = 27.
Инфинитезимальные операторы представления, соот-
соответствующие генераторам t±, u±, v± и hi, обозначим Т±у
U±y V± и Hi соответственно, а инфинитезимальные опера-
операторы, соответствующие генераторам л*—Лг. Для кова-
риантного спинора первого ранга
(Л|)«р - (Х,)*р,
а для контравариантного спинора первого ранга
Пользуясь формулами для ипфинитезимальных операто-
операторов произведений представлений, данными в гл. 1 [см.
формулы (82) и (83)], можно получить выражения ин-
финитезимальных операторов для любого представления.
Если в пространстве Eqp, преобразующемся по представ-
представлению
(У® ...
q раз р раз
выберем ортонормированный базис е?!""р°Ч то действие
Pl • • • Vр
Лг на эти векторы выражается формулой
* 13 «... и ._
^•••Рр
Так как генераторы h\ диагональны, то соответствующие
инфинитезимальные операторы Н\ также диагональны.
Обозначим числа ковариантных индексов, равных 1, 2 и 3,
</A), qB) и ^C) соответственно, а числа контравариант-
ных индексов — р A), р B) и р C). Тогда из формулы A6)
и конкретного вида матриц Xi [см. формулу E)] нетрудно
увидеть, что базисный вектор с данными числами индек-
120
Сов, равных 1, 2 и 3, соответствует следующим собствен-
собственным значениям операторов #г:
Z
A7)
[q B) ~/)BI~~
-yji9C)-pC)i}e?a;-;;;;. (is)
Аналогичные соотношения также имеют место для кано-
канонического базиса неприводимых представлений.
Собственные значения операторов Hi будем рассмат-
рассматривать как компоненты двумерных векторов, которые на-
называем весами. Изображая эти векторы на графиках, мы
получаем так называемые весовые диаграммы. Тогда
базисные векторы с некоторым весом выражаются одной
точкой на весовой диаграмме. Во многих случаях исполь-
использование весовой диаграммы оказывается весьма удоб-
удобным.
Произведение двух неприводимых представлений, во-
вообще говоря, приводимо и разлагается на неприводимые
представления. Рассмотрим некоторые примеры. Как из-
известно, любой произвольный смешанный спинор вида a|?
преобразующийся по представлению 3x3, разлагается
на сумму инвариантного спинора, пропорционального 6а
и неприводимого спинора с нулевым шпуром [см. гл. 1,
§4, формулу (ИЗ)]:
4^ Щ
Таким образом, __
303= 108,
или
D(l,0)®D@, l) = D(O,OHD(l, 1).
Если для получения неприводимых спиноров из про-
произвольного смешанного спинора второго ранга следует
вычесть шпур, то для получения неприводимых спиноров
из произвольного ковариантного или конто ^вариантного
121
спинора необходимо симметризовать или антисиммстри-
зовать индексы:
%9 = Уш + №«p] = y ^яр + ^ + Т ^ар"" ^ *
Антисимметричный ковариантный спинор второго ранга
эквивалентен контравариантному спинору первого ранга
[см. соотношения A5)], поэтому можно получить закон
умножения представлений
3® 3 = 603",
или
DA,O)®DA,O) = DB,OHD(O, 1).
Аналогично
3®3 =603,
или
D@, 1) ® D@,l) - D@, 2HD(l, 0).
Приведем еще несколько формул, которые можно полу-
получить таким же методом:
6® 3 = 8010;
, 0);
D@,2)®D@, 1) = DA,1HD(O, 3);
6®6= 108027;
DB,O)®D(O,2) = D(O,OHDA,1HDB,2);
8<g>8 = 10808010010027;
1)®DA,1) = D(O,OHDA,1HDA,1HDC,OH
0D(O,3HDB,2);
10 ®.T0= 108027064;
, 0)® D@, 3) = D@, OHDA, 1HDB, 2HDC, 3).
1.3. Некоторые спиноры низших рангов
Изучим теперь подробно некоторые простейшие непри-
неприводимые представления, часть из которых будет исполь-
использована в дальнейшем. Трехмерное комплексное простран-
пространство Е{ с базисом еа, а = 1, 2, 3, преобразуется по фунда-
122
ментальному представлению D(l, 0). Векторы в этом
пространстве являются ковариантными спинорами перво-
первого ранга с компонентами г|?а . Каждый базисный вектор
соответствует некоторому весу. Представим эти векторы
на весовой диаграмме (рис. 2).
¦*¦
Рис. 2.
Из этой диаграммы сразу видно, что
_1_
Т
A9)
Аналогично для контраградиентного к фундаменталь-
фундаментальному представлению — контравариантного спинора пер-
первого ранга — мы имеем весовую диаграмму на рис. 3.
Соответствующие уравнения имеют вид
1 \ /1
Н
е, =
е2;
B0)
123
Рассмотрим теперь представление DB, 0). Кониче-
Конический базис этого представления получается из базиса е*$
представления G® U путем симметризации индексов
Итак, в исходном базисе е0^ шесть базисных векто-
векторов е{аC* представления DB, 0) имеют следующие иену-
ез
Гз
7
Z
Рмс. 3.
левые компоненты:
f3==e{22}.
у2
B1
¦ 23 — X 32 —
Р1з общих формул A7) и A8) сразу видно, каким соб-
собственным значениям операторов Ht соответствуют эти
векторы. Таким образом, получаем весовую диаграмму,
изображенную на рис. 4.
124
Чтобы получить соответствующие результаты для
представления ?)@, 2), достаточно заменить нижние ин-
индексы на верхние и обратно и поменять знаки весов всех
базисных векторов.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться представ-
представлением D(l, 1), по которому преобразуется смешанный
спинор второго ранга ч|>з с нулевым шпуром tfa = 0. Как
известно, произвольный смешанный спинор второго ран-
-7
\ГЗ
Рис 4
га фр разлагается на сумму спинора с нулевым шпуром
и инвариантного спинора, пропорционального .Щ:
I
Соотпот^гпенпо пространство Е\~ с базисом e°J , преобра-
преобразующееся но представлению U?> U\ разлагается на два
ортогоналы'ых полпространства. Инвариантный спи-
спинор оз принадлежит одномерному подпространству с
базисом
В исходном базисе этот вектор имеет следующие ненуле-
ненулевые компоненты:
i ^ 12 • 3 * /оо\
125
Базисные векторы во втором подпространстве, преоб-
преобразующемся по представлению D(l, 1), ортогональны
вектору B2). Очевидно, что базисные векторы ер с а=И=Р
удовлетворяют этому условию. Число этих векторов рав-
равно шести. Два остальных имеют вид линейных комбина-
комбинаций векторов el, el и ез.Эти комбинации должны быть
выбраны так, чтобы они были ортогональными векто-
вектору B2), нормированными и ортогональными друг другу.
Этим условиям удовлетворяют следующие комбинации:
Таким образом, базисы в пространстве D(l, 1) можно
выбрать в виде
1 1 / 1 2\ 21233 1/1 2 л 3\
*2, т^ \ei ~ е2Л еь сз, ©з, Ci, е2, —/~ v^i + ^2 — 2е3).
В исходном базисе эти векторы имеют следующие нену-
ненулевые компоненты:
B3)
f' --^ (eS + ^ -
На основе формул A7) и A8) нетрудно найти веса этих
векторов. В результате получим весовую диаграмму,
изображенную на рис. -5.
126
Рис. 5.
Рис. 6.
Рассмотрим теперь представление DC, 0), базис кото-
которого состоит из векторов
e(aCY} =
2
P(«PY)
127
В исходном базисе эти векторы имеют следующие нену-
ненулевые компоненты:
f2 .-т е'
f 3 =
'2"':
f6 -
~ >
312
Г/Т
1 3
B4)
Г -
f9 =
Весовая диаграмма данного представления изображена
на рис. 6.
Чтобы получить соответствующие результаты для
представления /)@, 3), достаточно заменить верхние ин-
индексы на нижние и обратно и поменять знаки весов всех
базисных векторов на обратные.
Рассмотрим, наконец, представление ?>B, 2), базис
которого состоит из следующих 27 векторов:
е
128
22
е
23 13 , 32 31 , 32 31 , 23 134
e23 — en + егз —ei3 + езг — ©31 + ез2 —C3i/
«8 1 Г/А22 . 22 , A12
о / 23 , 23 , 32 , 32\]
— 2(ei3 + e3i +e13 +e13)J,
B5)
-7= (el3 + ei3 —е2з
у 6
f16 = ^ (e^ + e?!5 - el? + e» + e?| - e?!)f
г18 1 [7 21 , 12 , о И i 21 , 12
I = ¦ ¦ ___ |\С23 "Т ©23 "Т ^©13 + ©32 "Т ©32
|Л30
5 ?аказ 809 12Э
-3(e5!
е
f21 = ^ [(ef? + e?S + 2е\\ + eg? -|- е?! + 2е?1) -
f
26
f
f24 =
25 = e
l {
V2[
27 = t
Л22
е^з,
t 33
^21
k33
Эти векторы изображены на весовой диаграмме рис. 7.
Отметим, что для построения рассмотренных непри-
неприводимых представлений можно применить метод, изло-
изложенный в гл. 1 (см. п. 3.4). Рассмотрим, например,
представление D A, 1). Очевидно, что базисный вектор
е^ в пространстве Ей принадлежит этому представле-
представлению. Инфинитезимальные операторы Лг- данного пред-
представления могут перевести этот вектор в остальные
векторы B3) или в их линейные комбинации. Действи-
Действительно,
Т_е12 = - е! + е^; 7_ (е! - е!) - 2е?;
Получены все векторы ер, а Ф E.. Для векторов с а
= р имеются две комбинации:
— el, e|—el.
130
(Ю)
B5)
Рис. 7.
Из них можно образовать две другие ортогональные
комбинации, а именно
е1, -el- ± (е| -el) = -L(e{ +e|-2e|).
Таким образом, получены все базисные векторы B3).
5* 131
1.4. Подгруппы $UB)
Группа SUC) содержит три различные подгруппы
S?/B). Каждая из них оставляет инвариантным один из
трех базисных векторов трехмерного пространства, в ко-
котором действуют все преобразования группы SUC).
Нетрудно увидеть, что генераторами одной из таких
подгрупп являются t± и /3- Эту подгруппу называем
Г-подгруппой. Другими подгруппами SUB) будут под-
подгруппы с генераторами
иъ и3 - -~ (Ьз + VU8) B6)
\ B7)
Назовем их U- и У-подгруппами соответственно.
Каждое неприводимое представление группы SUC) со-
содержит различные неприводимые представления одной
из этих подгрупп, причем неприводимые представления
одной подгруппы не совпадают с неприводимыми пред-
представлениями других подгрупп.
Генератор А2 = — Я8 коммутирует со всеми ге-
генераторами Г-подгруппы. Следовательно, в каждом не-
неприводимом представлении Г-подгруппы инфинитези-
мальный оператор #2 =— ^8 кратен единице. Иначе го-
говоря, все состояния одного Г-мультиплета соответствуют
одному и тому же собственному значению оператора #2
или оператора
Аналогично оператор
^±^, B9)
коммутирует с генераторами ?/-подгруппы, а оператор
+НН iAЛ
571
C0)
коммутирует с генераторами У-подгруппы. Для каждого
неприводимого представления (/-подгруппы (или У-под-
132
группы) Yu (или Yv) имеет вполне определенное значе-
значение.
Рассмотрим расщепление некоторых неприводимых
представлений группы SUC) на неприводимые пред-
представления ее подгрупп SUB). Начнем с фундаменталь-
фундаментальных представлений с базисами е1, е2 и е3. Так как t± и
t$ действуют только на е1 и е2:
^е1 = е2; /+е2 - е1; tz& = -i-e1;
^е2 = - у *2> t±* = /Зе3 = О,
ТО е1 и е2 образуют неприводимое представление Г-под-
группы. Это — фундаментальное представление группы
SUB). Вектор е3 является базисом одномерного пред-
представления. Иначе говоря, представление D(lfi) расщеп-
расщепляется на Т-спинор (с Г-спином 1/2) с базисами е1 и
в2 и Г-скаляр е3 (с Г-спином 0). Аналогично оно рас-
расщепляется на ^/-спинор (с ?/-спином 1/2) с базисами е1
и е3 и fZ-скаляр е2 (с fZ-спином О) или на У-спинор (с
V-спином 1/2) с базисами е2 и е3 и У-скаляр е1 (с У-спи-
ном 0). Нетрудно видеть, что
C1
Для представления D@, 1) мы имеем такое же расщеп-
расщепление. В данном случае знаки в правых частях C1) сле-
следует заменить на обратные.
При изучении расщеплений высших представлений
весьма удобно пользоваться следующим методом. Вы-
Выберем какой-нибудь базисный вектор, который принад-
принадлежит определенному неприводимому представлению
некоторой подгруппы. Так как инфинитезимальные опе-
операторы этой подгруппы переводят этот вектор в осталь-
остальные базисные векторы данного представления или их
комбинации, то для получения базиса этого представле-
представления достаточно подействовать на выбранный вектор все-
всеми инфинитезимальными операторами рассматриваемой
133
,2
,3 __
,3 _.
3
-1-е-
3
JLe2
3
,2
9
,3
»
,3
у/ез
_ 2
~~ T
2
_ 2
"~ 3
e3;
e2
el
подгруппы. Проиллюстрируем этот метод на примере
представления /7A,1). Рассмотрим вектор t\, соот-
соответствующий значениям Г3 = 1 и У = 0. Если этот век-
вектор не принадлежит определенному неприводимому
представлению, то он имеет вид суммы двух или несколь-
нескольких векторов, принадлежащих различным неприводимым
представлениям. Все последние векторы должны быть
собственными векторами операторов Тъ и У* с одними и
теми же собственными значениями в силу условий
Т$е1 = е\ и Yfe\ = 0. Однако е2 является единственным
вектором со значениями Т3 = 1 и У = 0. Следовательно,
он должен принадлежать определенному неприводимому
представлению. Действуем теперь на этот вектор опе-
операторами Т± и Г3. Мы получаем тогда базис представ-
представления с Т = 1 и У = 0
Аналогично из e3 получаем Г-спинор с Т = 1/2 и
У = 1
el e§f C2')
а из е? — другой Г-спинор
Т = —, Y* = — 1: ei, e?. C2")
Последний вектор в выражении B3)
7 = 0, Y* = 0: -ir- (el + el — 2е?). C2W)
1^6"
Аналогично представление /7A,1) расщепляется на U-
или 1/-мультиплеты следующим образом:
C3)
и
и
и
и
= 1>
_ 1
~" 2
_ 1
= о,
-, Y"
г« =
= (
=
=
0:
1:
—
el
1:
I
el
el,
(el-e|),el,
el
2
(ci -Ь е3 — 2ег);
134
= 1, К* = 0:
-L
V О, Г-'- 0:
е|,
е2, е3,
1: el el
- 4),
—2ej).
<34)
Рассмотрим теперь представление DC, 0). Имеются
Следующие 7-, U- и У-мультиплеты:
Г = 1, Г' - 0:
Г--0, Г'= -2:
C5)
t/ = 0, У = - 2: ex222);
C6)
_3_
2 '
e{
{222>,
V = 0, Yv = --2: e^111^.
e{333>,
C7)
133
Аналогично представление Z>B, 2) с базисом B5)
расщепляется на следующие изотопические мультиплеты:
= 2, К = 0:
= \, Y = 0:
= 0, 7 = 0:
7 = 1, Y = -2:
fe,
f9;
i10,
P,
f18,
f20,
f22,
f25,
f2, 1
f7 f
fu.
i15,
f»;
f21;
f23>
f20
1 i
f3 «4 fS.
> ' > • >
fi2 fia-
fl6 fl7-
1 i ¦ Э
pi.
C8)
Если в правых частях соотношений B5) сделать замену
индексов 2-*—»-3, то выражения C8) дают расщепление
на ?/-мультиплеты, а если сделать замену индексов 1 ->2,
2->3 и 3->1, то выражения C8) определяют расщеп-
расщепление на У-муйьтиплеты.
1.5. Дискретные преобразования
В п. 1.1 показано, что задание Г-подгруппы и дис-
дискретных преобразований, соответствующих матрицам еи
и ег, эквивалентно заданию всей группы SUC). Анало-
Аналогично группа SUC) полностью определяется заданием
^/-подгруппы и дискретных преобразований ги ev или
заданием V'-подгруппы и дискретных преобразований е*,
ги. Чтобы выяснить смысл этих дискретных преобразо-
преобразований, воспользуемся соотношениями A4), или в век-
векторном виде— A4'). Пусть7Еи Еи и Ev—преобразования
в пространствах неприводимых представлений, соответ-
соответствующие преобразованиям е*, ги и ги группы Sf/C). Мы
имеем тогда следующие коммутационные соотношения
между операторами Еи Еи и Ev и инфинитезимальными
136
операторами
C9)
или в векторном виде
[Н, ?,] = —2а'?,(а'Н);
[Н, ?и]=-2а«?ц(а«Н); C9')
Рассмотрим теперь результат действия преобразова-
преобразований Е^ Еи и Ev на собственные векторы | hi > операто-
операторов Hi. Здесь hi — собственные значения Я*. Мы имеем
Hi | А, > = ^ \ ht > , D0)
или
ЩА,> = h|Ai>. D00
Тогда из формул C9') получаем, например,
п nt I hi } = tLt п I hi у — ZwEt ((
D1)
Таким образом, если/ Л* > —собственный вектор опе-
оператора Н, соответствующий собственному значению h,
то Et I hi > есть также собственный вектор этого опе-
оператора с собственным значением h — 2a'(a'h). Так как
а** = 1, то (a'h) равьо проекции вектора h на а*. Сле-
Следовательно, ьекторы h и h — 2a'(a'h) имеют одну и ту
же проекцию на ось, перпендикулярную а*, а их проек-
проекции на а1 имеют противоположные знаки. Они перехо-
переходят друг в друга при отражении относительно прямой Дь
перпендикулярной а*. Заключаем, таким образом, что
если изобразить векторы состояния / Ы > посредством
весовых векторов h, то преобразование Et является от-
отражением относительно прямой А*, перпендикулярной
аК Аналогично имеем соотношения
H?JA/>=lh-2a«(a«h)MJA/>; D1')
Н ?р 1 А, > = [h - 2a" К h)] Я, | А, > , D1я)
137
означающие, что Еи и Ev есть отражения относительно
прямых Аи и Дс, перпендикулярных а" и av соответ-
соответственно (рис. 8).
Три приведенные подгруппы SUB) можно рассмат-
рассматривать как группы вращений в трехмерных простран-
пространствах Г-, ?/- и V-спинов. В гл. 2 п. 2.1 мы показали, что
Et является вращением на угол я вокруг второй оси в
трехмерном пространстве Г-спииа. Это преобразование
называем Г-зарядовой симметрией. Аналогично Егь и
Рис. 8.
Еь — вращениями на угол вокруг вторых осей в трех-
трехмерных пространствах U- и V-спинов соответственно. Их
называем U- и V-зарядовыми симметриями.
Кроме трех рассмотренных зарядовых симметрии
существует еще одно дискретное преобразование: отра-
отражение относительно начала координат на весовой диаг-
диаграмме. Это отражение называем ^-преобразованием.
В /^-преобразовании весы всех векторов состояний меня-
меняют знак (h->—h) и каждое представление переходит в
свое контраграДиентное:
RD(p,q)=D(q9p);
D2)
138
Если р Ф q, то представление D(q, p) переходит при
/^-преобразовании в представление D(p, q) и только
представления типа D(q, q) переходят в себя. Очевидно,
что /^-преобразование не является элементом группы
SUC)f в то время как зарядовые симметрии входят в
группу SUC).
§ 2. Классификация элементарных частиц
и резонансов в унитарной симметрии
2. 1. Унитарные мультиплеты
Применим полученные результаты к изучению клас-
классификации элементарных частиц и резонансов. Мы по-
постулируем, что элементарные частицы и резонансы об-
образуют унитарные мультиплеты, описываемые неприво-
неприводимыми представлениями группы SUC). Далее предпо-
предполагаем, что генераторы группы SUC) коммутируют с
генераторами однородной группы Лоренца, а также с
отражениями пространства — времени. Тогда в силу
леммы Шура (см. гл. 1, п. 3.4) все частицы в одном уни-
унитарном мультиплете имеют одинаковые спины и четно-
четности. Группа SUC) содержит три подгруппы SUB). Од-
Одну из этих подгрупп, а именно Г-подгруппу, рассмотрим
как изотопическую. В п. 1.4 было изучено расщепление
некоторых унитарных мультиплетов на мультиплеты
подгруппы 5(УB). В частности, формулы C2) — C2")
и C5) показывают, какие изотопические мультиплеты
содержатся в унитарном октуплете (т. е. в представле-
представлении D(l, 1) и в унитарном Аекуплете (т. е. в представле-
представлении ?>C, 0)).
Рассмотрим сначала унитарный октуплет. Он состо-
состоит из изотопического триплета с Yf = 0, двух изотопиче-
изотопических дублетов с Y1 = ± 1 и изотопического синглета с
Yt = 0. С другой стороны, существуют восемь псевдо-
псевдоскалярных мезонов и восемь барионов со спином и чет-
четностью— , образующих такие же изотопические муль-
мультиплеты:
Г= 1, У-0: я*, п° и 2±, 2°;
Yf K=l: /С+, К0 ир, п;
139
Т = 0, Г= 0: Tj и Л.
Следовательно, естест енно предположить, следуя Гелл-
Манну и Нееману, что эти мезоны и барионы образуют
унитарные октуплеты. Для них Yl = У. Однако это еще
не означает, что инфинитезимальный оператор Y1 может
быть отождествлен с оператором гиперзаряда У для лю-
любого мультиплета. Действительно, для некоторого непри-
неприводимого представления, например фундаментального
представления, У* и Y в принципе могут быть связаны
следующим образом:
где / — единичный оператор, гаи b—константы. Мы
требуем, чтобы частицы и античастицы преобразовыва-
преобразовывались по неприводимым представлениям, контраградиент-
ным друг к другу. Тогда для представления, контрагра-
диентного к фундаментальному,
где / — единичный оператор для рассматриваемого пред-
представления.
Пусть теперь Y\ и Y2 — операторы гиперзаряда для
двух представлений. Тогда для представления, являюще-
являющегося произведением этих представлений, оператор гипер-
гиперзаряда имеет вид
Y = Y1®I2 + I1®Y2.
Иначе говоря, операторы гиперзаряда для произведений
представлений определяются так же, как инфинитези-
мальные операторы произведений представлений [см.
гл. 1, формулу (83)]. В частности, для представления
Y - (cyf + Ы) ® / 4- / ® (ayf — Ы) =
- а {у1 &7+
Аналогично можно показать, что для представлений
D(pt q) с q = p оператор гиперзаряда У пропорционален
инфинитезимальному оператору Yl\
140
Это соотношение в действительности имеет место для
унитарного октуйцета, если а=\. Таким образом, если
мы требуем, чтобь* восемь псевдоскалярных мезонов и
восемь барионов образовывали унитарные мульти-
плеты, то для фундаментального представления и кон-
траградиентного к нему представления гиперзаряд У
связан со вторым диагональным генератором соотноше-
соотношениями
Y = tf + Ы D3)
и
У = J — 6/ D3')
соответственно.
Чтобы определить константу 6, необходимо рассмот-
рассмотреть представления D(q, p) с q Ф р. Тогда имеем
y = K' + ft(<jf-p)/. D4)
В частности, для унитарного декуплета q = 3, р = О
Унитарный декуплет содержит следующие изотопиче-
изотопические мультиплеты [см. формулу C5)]: Т — 3/2 и У' =* 1;
7'= 1 и У< = 0; 7' = 1/2 и У = — 1; Г-0 и У* = — 2.
С другой стороны, существуют барионные резонансы со
3+
спином и четностью — , которые могут быть отождест-
отождествлены с тремя изотопическими мультиплетами с Т = 3/2,
1 и 1/2 из декуплета. Это Д-резонанс с Т = 3/2 и У = 1;
У*-резонанс с Г = 1 и У = 0; В*-резонанс с Т = 1/2 и
1' = —1. Если они образуют унитарный декуплет, то для
этого мультиплета мы имеем также У =•• Y*. Отсюда сле-
следует, что b = 0.
Таким образом, классификация известных псевдоска-
. \+
ляриых мезонов или барионов — в унитарной симмет-
рии требует, чтобы гиперзаряд У был связан с инфини-
тезимальным оператором У* соотношением D4), где
b—произвольная константа. Если барионные резонансы
3~*~
— образуют унитарный декуплет, то b = 0, и для лю-
любых представлений иифинитезимальный оператор Y1
является оператором гиперзаряда.
141
Выше мы говорили, что три известньрс барионных ре-
резонанса -|Л А с Т - 3/2 и У = 1; У* с Т = 1 и У = 0;
Е* с Г = 1/2 и У = —1 —можно считать компонентами
некоторого унитарного декуплета. Этот декуплет должен
3+
содержать также некоторый барион — с изо'юпиче-
ским спином Т = 0 и гиперзарядом У = Y1 = —2. Это
недавно обнаруженный й~-гиперон. В дальнейшем мы
покажем также, что масса ^--гиперона прекрасно согла-
согласуется с предсказанием теории нарушенной унитарной
симметрии. Таким образом, открытие й~-гиперона пол-
полиостью подтверждает правильность теории унитарной
симметрии. Отметим, что для дальнейшего уточнения
этого вывода необходимо определить спин и четность
й~-гиперона.
Рассмотрим теперь произвольный мультиплет. Из
формул A8) и B7) следует, что базисный вектор
©а1'"^ описывает состояние с гиперзарядом, равным
• 1 ••• гр
D5)
где qA), q{2) и?C)—числа ковариактных индексов,
равных 1, 2 и 3 соответствено, а рA), /?B), рC) —числа
контравариантных индексов. Для каждого мультиплета
суммы q(l) + qB) + qC) = q и р{\) + pB) + pC) -
— p полностью определены. Пусть #A) увеличивается на
единицу. Тогда ^C) уменьшается на единицу, а гипер-
гиперзаряд увеличивается на единицу, как это следует из
формулы D5). Поэтому в каждом унитарном мультипле-
те У принимает максимальное значение, если q(l) +
+ qB) = q% q{3) = 0, pC) - /7, p{\) + pB) = 0. Это
максимальное значение равно
142
Аналогично минимальное значение УШ1И равно
к\= — /-?- 4- ЛЛ
\
Итак, в каждом мультрцтлете гиперзаряд принимает
значения
Перепишем КМакс в виде
Очевидно, что гиперзаряд принимает целочисленные зна-
значения, когда р — q — З/z, где п — целые числа. Все ча-
частицы в мультиплетах с р — q Ф Ъп имеют дробные ги-
гиперзаряды и, следовательно, дробные заряды. В частно-
частности, частицы в унитарном триплете, осуществляющем
фундаментальное представление, имеют гиперзаряды
1/3, 1/3, —2/3 и заряды 2/3, —1/3, —1/3 соответственно.
В заключение отметим, что для описания октуплета
иногда удобно вместо спинора г|?р с г|)? =0 ввести вось-
восьмимерный вектор:
^,. D6)
Тогда из формулы C) получаем обратное соотношение:
Oi = УТ $iK)*= Тт Sp (^';- D7)
2. Мультиплеты подгрупп SU B)
и дискретные преобразования
Каждый унитарный мультиплет содержит различные
мультиплеты подгрупп SUB). Расщепление унитарных
октуплета и декунлета на изотопические мультиплеты,
т. е. мультиплеты Т-подгруппы, было дано в § 1.
Октуплет барионов — , например, содержит сле-
следующие изотопические мультиплеты [см. формулы C2)
143
и C2)"]:
D8)
а декуплет содержит следующие изотопические мульти-
плеты [см. формулу 61 C5)]:
• }D9)
2 ' *
1 = 0, Y = - 2: Q~ -
Отметим, что необходимо ввести знак минус перед В~,
так как в теории изотопической инвариантности мы ус-
условились рассматривать Н° и 2~как компоненты кова-
риантного спинора
а в формулах D8) состояния с Т = 1/2 и У = —1 явля-
являются компонентами контравариаитного спинора
т. е.
Из формул D8) и D9) можно получить компоненты
спинора, описывающего какую-нибудь частицу. Так,
для 2° мы имеем ур\ = 1/V 2, ^2 = — 1/1^2, все осталь-
остальные компоненты равны нулю, а единственной ненулевой
компонентой спинора, описывающего протон, является
}44
ф^ = 1. Иногда удобно представить октуплет барионов в
виде матрицы.
2° , А ^4-
п
-a- s° 2
V
E0)
по аналогии с представлением изотопических триплетов
в виде матриц 2X2. Для октуплета псевдоскалярных
мезонов мы имеем такую же матрицу
Р =
V 2 ^ / 6
-/С #
У
E1)
Так как мультиплеты частиц и античастиц описываются
контраградиентными друг к другу представлениями, то
для антибарионов мы имеем матрицу
1
-*- + -4= е- -в-
/2^/6
2 =гА—^=r wo
/2 ^/6
E2)
Рассмотрим теперь расщепление унитарного октупле-
октуплета и декуплета на мультиплеты U- и У-спинов. Октуплет
расщепляется согласно формулам C3) и C4). Для иден-
идентификации базисных векторов мультиплетов U- и V-
спинов в этих формулах необходимо выразить комбина-
комбинации
и
-^(eS-eg), (ei + ^-2ei)
у 2 /6
через базисные векторы C2) — C2") изотопических
мультиплетов, т. е. через физические векторы состояния
частиц Мы имеем для октуплета бариоиов — , напри-
например
мер,
E3)
/ft о ^"^ о
Из соотношений C3), C4), D8) и E3) получаем связь
между мультиплетами Г-, U- и V-спинов, содержащими-
содержащимися в октуплете барионов —-:
2
= , ' - . Р, — Z ^— . —й .
= -1- Yu = — 1 • л У"
E4)
V----1, Y* - 0: /i, - ~ v» -|- jlA a, S°,
= -'- , У» == 1 :
= О, У» - 0: —
S"
^- У0 — — Л.
2 2
E5)
146
1+
Расщепления октуплста барионов 2 на мультиплеть!
Г-, U- и У-спшюв можно изобразить графически при по-
помощи весовых диаграмм (рис. 9).
Zf Z'
f Au
¦?
PU3
>nV7
Рис. 9.
Аналогично для октуплета псевдоскалярных мезонов
мы имеем весовые диаграммы, изображенные на рис. 10,
Ж'
К'
yt
хГ
•я' к*
т3 к- Йп1
К'
ih
Рис. 10.
а расщепления декуплета даются диаграммами на
рис. 11.
А' А0
A* A" Q- zc
ri у- ts
у* Aft Q' 3*
X X X X
V
Рис. 11.
х х
В каждой весовой диаграмме частицы, лежащие на
одной и той же горизонтальной прямой, принадлежат од-
одному и тому же мультиплету соответствующей подгруп-
подгруппы 51/B).
Рассмотрим, наконец, дискретные преобразования
Ей Еи, Ev. Мы показали, что в Г-зарядовой симметрии
147
Et векторы состояния частиц преобразуются следующим
образом:
р->п, л-* — р, s1 >-2Л1°- -1°;
В»-». —S-, S~~-S°, Л->Л;
K+ -* К0, /С0 - - К'', и*—- тс*, Я° - - п«;
К°-+-К~, К
f
E6)
-> А~, А" -> — А++, А+ -» — А0, А°
г*+.о_>_г*+,о) а*о^а*- а*--*-з*о, q
Аналогично при ^/-зарядовой симметрии
' I 2 " ' 2 ''У ' \2
E7)
а при V-зарядовой симметрии
148
E8)
Q--+-/T
Мы показали, что эти преобразования являются отраже-
отражениями относительно прямых, перпендикулярных корням
а', а", av. Ha весовых диаграммах они соответствуют
отражениям относительно осей ординат У, Yu и Yv со-
соответственно.
Что касается ^-преобразования, то оно переводит
представление D C,0), например, в представление D @, 3),
т. е. переводит унитарный декуплет барионных peso-
pesoнансов — в некоторый сопряженный декуплет, содер-
содержащий такие же изотопические мультиплеты, что и
обычный декуплет, но с обратными гиперзарядами. Та-
Такого мультиплета до сих пор еще не было обнаружено.
Так как /^-преобразование превращает верхние индексы
в нижние и обратно, то октуплеты барионов — и псев-
доскалярных мезонов преобразуются следующим обра-
образом:
'1 = л?# RPIR-1 = г)М |t|g | = \4
RBIR'1 = л?#, RPIR-1 = г)М, |t|g | = \4\ = 1. E9)
Отметим, что мезонные мультиплеты, описываемые пред-
представлениями D(q, p) с q = /7, переходят в себя при заря-
зарядовом сопряжении. Так, для октуплета псевдоскалярных
мезонов имеем
т&<—>те", тс°<—>тс°; )
, ~ F0)
/С+^—^/Г, /(°^~>/@, л—*ть J
т. е.
149
& Для октуплета векторных мезонов или мезонов 2+
CVlC~x~—Vl\ CTtC1 =Tl F0')
Аналогичные законы преобразования изотопических
мультиплетов были рассмотрены в гл. 2 [формула (88)].
Барионный октуплет, например, преобразуется следую-
следующим образом:
cBic1 = 2^ F0")
т е. переходит в мультиплет античастиц. Соотношения
E9) — F0') показывают, что для мезонных мультипле-
мультиплетов последовательное осуществление R- и С-преобразо-
ваний переводит каждую частицу в себя. Это комбини-
комбинированное преобразование обозначим G' ^ RC. Тогда
1 = 4Pl\ G'VIG'-1 = nvVb I
1л2'1 = 1лП=1. I
Величину ц°' называем б'-четностью частиц. Она явля-
является обобщением понятия G-четности в теории изотопи-
изотопической инвариантности. Сохранение Отчетности дает
новое правило отбора в процессах взаимодействий ча-
частиц. Например, для векторного мезона, являющегося
унитарным синглетом, Отчетность совпадает с С-четно-
стью, т. е. равна —1, поскольку волновая функция этого
мезона не меняет знака при ^-отражении. Этот мезон не
может распадаться на два псевдоскалярных мезона
(или два векторных мезона) из одного и того же октуп-
октуплета, так как Отчетность системы двух частиц из одного
мезонного октуплета равна +1.
2.3. Массовая формула и смешивание
Если унитарная симметрия выполняется точно, то
частицы в каждом унитарном мультиплете должны
иметь одну и ту же массу. Следовательно, наличие раз-
разницы масс частиц в унитарных мультиплетах означает,
что унитарная симметрия нарушается в сильных взаимо-
взаимодействиях. Изучение унитарной симметрии имеет смысл
при условии, что нарушающее симметрию взаимодей-
взаимодействие достаточно слабо по сравнению с основным
взаимодействием, в котором симметрия выполняется
150
точно. Итак, мы предполагаем лагранжиан сильных
взаимодействий состоящим из двух частей, первая из
которых инвариантна относительно группы S?/C), a
пторая, неинвариантная относительно группы SUC)y да-
дает малые вклады во все матричные элементы диаграмм
сильных взаимодействий. К этой второй части применя-
применяем теорию возмущений и ограничиваемся первым при-
приближением. Очевидно, что только в этом случае унитар-
унитарная симметрия может давать реальные следствия.
Посмотрим теперь, каким условиям должна удовлет-
удовлетворить часть лагранжиана, нарушающая унитарную
симметрию. Так как гиперзаряд сохраняется, то эта
часть должна быть инвариантной относительно кали-
калибровочных преобразований волновых функций
т. е. должна быть собственной функцией оператора ги-
гиперзаряда У, соответствующей собственному значению,
равному нулю. Далее изотопическая инвариантность
требует, чтобы эта часть лагранжиана была изотопиче-
изотопическим инвариантом. Минимальным неприводимым пред-
представлением группы SUC)y содержащим изотопический
синглет с нулевым гиперзарядом, является октуплет.
Итак, если мы предположим, что нарушающая симмет-
симметрию часть лагранжиана преобразуется по некоторому
возможному представлению с минимальным числом ком-
компонент, то она должна быть компонентой с Г = 0 и
У = 0 некоторого октуплета. В п. 2.1 было показано,
что для описания октуплета вместо спинора Ч^ можно
пользоваться восьмимериым вектором О*
о, = -4= П (хJ
4= П (х,J =
Из формул C2) — C2") следует, что компонента с
Т -= 0 и У —0 октуплета соответствует восьмимерному
пектору
О,-0; /<7; О8=1.
Если же теперь восемь компонент октуплета представим
в виде матрицы типа E0) — E2), то компонента с Т =
= 0, У = 0 дается формулой
151
Нарушение симметрии приводит к расщеплению
масс частиц в унитарных мультиплетах. Следовательно,
массовый член в лагранжиане содержит часть, неинва-
неинвариантную относительно группы SUC). В первом поряд-
порядке по нарушающему симметрию взаимодействию эта
часть является компонентой с Т = О и У - 0 некоторого
октуплета. Например, массовый член в лагранжиане ба-
рионного поля имеет общий вид
LM = M0BlBl + агЦ$ (X8)l + аДв1 (Х8I F2)
Первый член в правой части формулы F2) является
инвариантом, а два последних — компонентами октупле-
тов. Неинвариантная часть лагранжиана состоит из двух
независимых членов, так как произведение двух пред-
представлений -0A, 1) содержит два представления D(l, 1).
Из формулы F2) можно выразить массы частиц через
три константы МОу а,\ и а2 и, следовательно, получить со-
соотношения между массами частиц. Однако для этой це-
цели более удобно пользоваться другим выражением, эк-
эквивалентным F2), а именно
LM = аЩв1 + bBlBl + cB]Bl F2')
Константы a, b и с в этой формуле выражаются линей-
линейно через Мо, а\ и а2. Пользуясь матрицей E0) для В и
транспонированной матрицей для В, получаем из фор-
формулы F2') следующие выражения для масс частиц:
MN = а + с;
Af а = а + Ь;
Ms — a;
и
Отсюда следует, что массы барионов должны удовлет-
удовлетворять соотношению, полученному Гелл-Манном:
SMA+Mz = 2(MN+ME), F3)
которое хорошо согласуется i: опытом D535 и
4518 Мае).
Аналогично массовый член в лагранжиане декуплета
барионов имеет вид __ __
LM - aD^D^y + bl?a*Dw. F4)
152
Массы частиц выражаются через а и b следующим обра-
образом:
Мд = а;
MY* = а + — Ь;
о
Мз; --- а + 4 6;
о
Отсюда получаем правило интервалов
MY* — Мд = Afy* -- МЕ* - MQ- — Ms^. F5)
Первое равенство хорошо согласуется с эксперимен-
экспериментальными данными A47 и 145 Мэв), а из второго мож-
можно предсказать массу ^--гиперона, равную 1676 Мэв,
что было подтверждено опытом (М^!перим ¦= 1675 Мэв).
Массовые соотношения для мезонов также можно по-
получить аналогично. Поскольку лагранжианы мезонных
полей содержат квадрат масс, то в данном случае мы
имеем соотношения между квадратами масс. Так для ок-
туплета псевдоскалярных мезонов массовый член в лаг-
лагранжиане имеет вид
Lm = mlPlPl + aJ>lP* (I8)l + afiPi (h)l
или
Lm = dPlPi + bPlPl + cPlPl
Требование С-инвариантности приводит к некоторым ог-
ограничениям в выборе произвольных констант Ъ и с.
Действительно, при зарядовом сопряжении
и Lm превращается в
CLmC~x - аР?М + bPlPl + cPlPl
С другой стороны, /„.j, должен быть инвариантным отно-
относительно С-прсобрачования
Г] Г ] _ /
Отсюда
b= с,
153
и, следовательно,
Lm = аР$Р* + b (PlPl + P*Pl). F6)
Квадраты масс частиц равны
т\ = а + Ь;
ml = a;
ml--а | i ft.
Отсюда следует, что массы псевдоскалярных мезонов
связаны соотношением
\т\ = 3m* + m?, F7)
согласующимся с опытом с точностью 5% (976 МэвJ и
(923 МэвJ.
Если для трех рассмотренных унитарных мультипле-
тов массовые формулы хорошо согласуются с опытом,
то для векторных мезонов и мезонов 1+ и 2+ ситуация
совсем иная. Допустим, что известные векторные мезо-
мезоны р и К+ являются компонентами октуплета. Этот ок-
туплет должен содержать некоторый изотопический син-
глет с У = 0, обозначаемый <р°, масса которого опреде-
определяется через т2 и /nj^, формулой
m*0= -L [4тк. — т1] = (931 МэвJ.
з
Вместо этого мезона на опыте наблюдались два подоб-
подобных мезона со и <р с массами тш = 783 Мэв и тф ==
= 1020 Мэв. Очевидно, что никакой из этих мезонов
нельзя отождествлять с ф°. Сакураи отметил, что этот
факт можно объяснить следующим образом. Наряду с
октуплетом векторных мезонов р, /С*, К* и ф° существует
некоторый векторный мезон со0, являющийся унитарным
синглетом. Если унитарная симметрия выполняется точ-
точно, то матричный элемент S-матрицы между состояния-
состояниями со0 и ф° должен быть равным нулю. Поскольку в дей-
действительности унитарная симметрия нарушается, то
этот матричный элемент отличается от нуля. Иначе го-
говоря, в результате нарушения унитарной симметрии
возможен переход <р° «-—>ю°в сильных взаимодействиях.
Диаграмма этого перехода имеет такой же вид, что и
154
диаграмма собственной энергии мезоноз, определяющая
оператор квадрата масс 3R2 мезонов. Это означает,
что недиагональный матричный элемент < со°|ЗК2|ф° >
оператора 3R2 отличается от нуля. Следовательно, со-
состояния со0- и ф°-мезонов не являются собственными со-
состояниями оператора SR2 и не могут быть физически-
физическими. Физическими должны быть состояния, обозначенные
Ф и со, для которых недиагональные матричные элемен-
элементы оператора 9R2 равны нулю:
<ф|ЗК2|со> = <со|3)г2|ф>=0. F8)
Волновые функции состояний ф и со представляют собой
ортонормированные линейные комбинации волновых
функций состояний ф° и со0
ф = ф° cos 8 -f со0 sin 0;
F9)
со = — ф° sin 0 + со0 cos 0.
Обратно, фс и со0 выражаются через ф и со следующим
образом:
Ф° = фа» 6 — со sin б;
СО0 = ф5Шб + СО COS 0.
Угол 0 называется углом фсо-смешиваиия.
По определению оператора квадрата масс 3R2, квад-
квадраты масс ф°- и со°-мезонов, а также ф- и со-мезонов равны
= <co°|gR2|co°> G1)
m*= <ср|9»2|ф>, m^ = <co|3R2|co> G2)
соответственно. Подставив выражения G0) в G1), полу-
получим
/Лфо = (cos 0 <ф | — sin 0 < со |) 9R2 (cos 01 ср > — sin 01 со» =
= cos2 6 < ф | ЯК21 ф > + sin2 0 < со 13R21 со > —
— sin 0 cos 6 < ф 13R21 се > — sin б cos 0 < со 13R21 ф > .
Из этого соотношения и соотношений F8) и G2) выте-
вытекает формула
/ПфО = cos2 0/Пф{+ sin2 Ы1. G3)
155
Таким образом, вместо соотношения между квадратами
масс четырех частиц из октуплета мы имеем формулу
для квадратов масс частиц, образующих нонуплет:
cos2 8/Пф + sin2 Qml = — [4m2K* — ml]. G4)
«з
Зная значения масс частиц, мы можем определить экспе-
экспериментально значение угла смешивания 0. В следующей
главе будет показано, что угол 9 можно также опреде-
определить при помощи других опытов. Одновременное опре-
определение значения угла срсо-смешивания позволяет под-
подтвердить правильность теории.
В гл. 4 изучим симметрию SU F). Мы покажем, что
в этой симметрии значение угла Э полностью определяет-
определяется, а именно
cose
-у/т- si"e = l/i- <75>
В данном случае соотношение G4) имеет вид
4т%* = ml + 2ml + ml. G6)
Нетрудно проверить, что это формула прекрасно со-
согласуется с опытом.
Для мезонов 2+ имеет место такая же ситуация. Из
опыта известно существование следующих мезонов 2+:
Л2-мезоны сГ=1,У = 0исо схемами распада
/°-мезон с Т = О, У = О
Г-мезонсГ =0, У = 0
f' -* 2ти,
/С**-мезон с Т = 1/2, У= +1
/C**->/Cw, /Cp, /(со, Я*ти.
По аналогии с нонуплетом векторных мезонов эти мезо-
мезоны обозначим р', со7, ф' и К! соответственно. Массы трех
первых мезонов равны
тр, = 1310 Мэву т<*' = 1250 Мэв, т^ = 1520 Мэв.
Что касается /С'-мезона, та имеются разные данные. В не-
некоторых работах дается значение т^ = 1410 Мэв, а в
156
других — значение m/<'== 1430 Мэв. Нетрудно проверить,
что первое значение тц> и указанные значения т9>, тШ'
и тф' хорошо согласуются с формулой вида G6)
\т\. = Шр' +2ml> + ml>.
Если взять значение тк, = 1430 Мэв, то из формулы ви-
вида G4)
ф' со' — 3 L A'' P'J .
где 9' — угол ф'со'-смешивания, следует, что
cos2 6' =0,79.
В последнее время были обнаружены различные мно-
гомезонные резонансы, среди которых можно выделить
некоторый нонуплет 1+. В этот нонуплет входят следую-
следующие резонансы:
?-мезон с Г = 0, У = 0 и с массой т = 1420 Мэв
Я-мезон с Г = 0, У = 0 и с массой т = 975 Мэв
Н -> Зтг;
В-мезон сГ=1, У = 0ис массой т = 1220 Мэв
В —»со + п;
/Сяя-резонанс с Т = l/2, Y = 1 и массой m = 1175 Мэв,
который мы называем /С*'-мезоном. Для этого нонуплета
массовая формула вида G6)
4ml:*' =пгв + 2/ля + т\
также хорошо согласуется с опытом. Для дальнейшей про-
проверки существования этого нонуплета необходимо опре-
определить точно их спины и четности, а также G-четности
трех первых резонансов. Все эти девять мезонов должны
иметь одинаковые спины и четности. Поскольку В-мезон
имеет G-четность +1, то Е- и Я-мезоны должны иметь
G-четность (или С-четность) —1, как это следует из фор-
мулы вида F0):
СА1С~Х = At
t
В настоящее время имеются также некоторые указа-
указания на существование высших мезонных мультиплетов.
157
Например, два резонанса К+К+ с массами 1055 и
1280 Мэв могут принадлежать только 27-плетам или выс-
высшим мультиплетам, а трехмезонный резонанс Кптс сГ =
= 3/2, У=1 и /п= 1270 Мэв может принадлежать де-
куплету, 27-плету или какому-нибудь мультиплету с боль-
чим числом компонент. Здесь могут происходить также
различные процессы смешивания между состояниями из
нескольких различных унитарных мультиплетов. В гл. 6
будет показано, что в рамках симметрии SU F) схемы
смешивания полностью определяются.
Рассмотрим теперь возможности классификации но-
новых барионных резонансов в унитарной симметрии. Экс-
Экспериментом было установлено существование четырех
резонансов 3/2~
т =
т =
т =
т =
= 0,
1
2"
1
2 '
1.У
у =
у
Y =-
0 :
1 :
-1 :
0 :
М
М
м
м
= 1520
= 1512
= 1820
= 1660
Мэв;
Мэв;
Мэв;
Мэв.
Эти резонансы нельзя включить в один унитарный ок-
туплет, частицы из которого обозначим
(JLT} (±-\ (ЛГ) (±Г)
так как их массы не удовлетворяют формуле вида F3)
Если три из указанных резонансов принадлежат этому
октуплету, то из массовой формулы можно определить
массу четвертого. Мы имеем следующие случаи:
1) М / з-ч - 1512 Мэв; М / 3-ч =1520 Мэв; М / 3-\ =*
= 1660 Мэв. Тогда М / з-\ = 1598 Мэв-
2) М / 3-\ =1512 Мэв;М /3-\ = 1660 to;Af /3-\ =
158
c= 1820 Мэв. Тогда М , 3-л = 1668
3) М. /3-\ = 1512 Мэв;М /3-у=1520 Мэв;М /з-Л^
N \-г) л vt) е [
= 1820 Мэв. Тогда М , ,_ч =2104 Мэв.
4) УИ /ч_ч= 1520 /И5в;М ,,„4
л D-) s D-)
= 1820 Мм. Тогда М / 3-\ = 1290 Мэв.
Возможен также случай, когда наряду с рассматри-
3""
васмым октуплетом барионных резонансов— существует
также некоторый унитарный синглет yo/iLj и между
состояниями Л( —) и Y°(—) происходит'смешивание.
В таком случае три резонанса с Т = 1 и Т = — принад-
принадлежат октуплету и отождествляются с у (—)» Лм_) и
S/jL), а резонанс Г=У=0,М= 1520 Мэв является супер-
суперпозицией состояния с массой М / 3_\ = 1668 Мэв и син-
глетного состояния yo/iLjt Масса другого суперпози-
суперпозиционного состояния, ортогонального к состоянию резо-
резонанса сГ = К = 0иМ= 1220 Мэв, определяется тогда
значением угла смешивания.
Наряду с барионными резонансами — существуют
барионные резонансы А_ которые могут быть рассмотре-
рассмотрены как частицы AM-Vj, -Mlf/ и ^("Т/ из нек0Т0Р0Г0
октуплета, а также барионные резонансы, которые мы
/ 7+\ / 7+\
можем отождествлять с частицами Д _ и У* {—-) из
159
некоторого дскуплета 1— . Их массы равны:
М / 5+\ = 1668 Мэв; М / 5+ч = 1815 Мэв;
N [) А {)
N
5+n = 1933 Мэв; М / нл = 1924 Мэв;
j Д \Т)
М /7+\ =2065 Мэв.
Из массовых формул для октуплета и декуплета следует,
что остальные частицы имеют следующие массы:
М 15+\ = 1797 Мэв (для октуплета)
уИ / 7+\ = 2206 Мэв, М /7+\= 2347 Мэв (для де-
stl—) Mir)
куплета).
Что касается Лг)-резонанса со спином и четностью
J_, Т — 0, У = 0 и массой порядка 1680 Мэв, то он мо-
может быть синглетом или компонентой октуплета, нону-
плета и т. п. Дальнейшие поиски других барионных резо-
нансов — будут давать ответ на вопрос, какому унитар-
унитарному мультиплету может принадлежать Лт]-резонанс.
В заключение мы приведем общую массовую форму-
формулу Окубо, справедливую для всех унитарных мультипле-
тов:
[К2 1
Т (Т 4 1) (для барконов) G7)
4 J
и
та = /и* + аК + рIV G + 1) — —1 (для мезонов). G8)
Если данный мезонный мультиплет превращается в
себя при зарядовом сопряжении, то для этого мультииле-
та а = 0.
160
§ 3. Модель кварков с дробными зарядами
и модели унитарной симметрии
без дробных зарядов
3.1. Модель с фи плотом фундаментальных частиц
До настоящего времени было сделано много попыток
построить модели элементарных частиц, в которых мезо-
мезоны и многие из бариоиов являются составными система-
системами, образованными из более фундаментальных частиц.
Например, Ферми и Янг выдвинули идею, что я-мезоны
могут быть рассмотрены как составные системы пар нук-
нуклон— антинуклон. Саката, Марков, Окунь и другие уче-
ученые развили схему Ферми — Янга и построили модель,
в которой из трех фундаментальных частиц р, п, Л обра-
образуются все мезоны и остальные барионы. Если имеет ме-
место полное вырождение между тремя фундаментальными
частицами р, п, Л, то модель Сакаты — Маркова — Оку-
Окуня также обладает симметрией группы SU C), непосред-
непосредственным следствием которой является существование
псевдоскалярных и векторных синглетов и октуплетов,
как это отметили Салам, Икеда и другие ученые. Разни-
Разница между этой моделью и так называемым восьмимер-
восьмимерным путем Гелл-Манна и Неемана заключается в том,
что в первой модели барионы р, пу А образуют триплет,
а во второй эти барионы вместе с пятью остальными из-
известными барионами 2+, 2°, 2~, Н°, Е~ образуют ок-
туплет.
Перейдем теперь к построению модели составных ча-
частиц, предложенной Гелл-Манном и Цвейгом, в которой
имеет место восьмимерная унитарная симметрия Гелл-
Манна и Неемана. Отметим прежде всего, что фунда-
фундаментальные частицы должны образовывать мультиплет,
преобразующийся по фундаментальному представлению,
т. е. образуют триплет. Дело в том, что всякое неприво-
неприводимое представление группы SU C) может быть получе-
получено следующим методом: вначале можно образовать про-
произведение q фундаментальных представлений и р пред-
представлений, контраградиентных к фундаментальному, и
затем разложить это произведение на неприводимые.
Таким путем мы можем получить, в частности, представ-
представление D (q, р). С другой стороны, если фундаментальные
частицы образуют фундаментальный мультиплет, т. е.
Заказ 809 161
преобразуются по фундаментальному представлению, то
волновая функция системы q фундаментальных частиц
и р их античастиц преобразуется по представлению, со-
содержащемуся в произведении q фундаментальных и /;
коитраградиеитных к фундаментальному представлений.
Отсюда следует, что в таком случае всякое неприводимое
представление можно реализовать в виде волновой
функции систем фундаментальных частиц и их антича-
античастиц. Эти фундаментальные частицы будем называть
кварками и обозначим их tPi tn, tx по аналогии с р, я, Л
в модели Сакаты — Маркова — Окуня. Как было пока-
показано в п. 2.1, они имеют заряды 2/3, —7з, —7з и гиперза-
гиперзаряды 7з, 7з, —2/з соответственно. Предположим, что их
спин равен 7г-
Рассмотрим теперь состояния систем кварк—анти-
кварк—антикварк. Волновые функции этих систем образуют пред-
представление D A, 0) ® D @, 1), которое разлагается на не-
неприводимые представления D @, 0) и D A, 1). Следова-
Следовательно, сицглеты и октуплеты псевдоскалярных и вектор-
векторных мезонов можно считать составными системами пар
кварк — антикварк. Отметим, что возможность отожде-
отождествления псевдоскалярных и векторных мезонов не един-
единственная, а только простейшая. Пользуясь формулами
типа D8) для псевдоскалярных мезонов, например, не-
нетрудно получить следующие соответствия:
- Ш, тГ
f tntn -
G9)
Очевидно, что октуплет барионов нельзя рассматри-
рассматривать как системы кварк — антикварк. Для того чтобы
найти составные системы, которые могут быть отождеств-
отождествлены с этими барионами, рассмотрим прежде всего де-
куплет барионных резонаисов с волновыми функциями,
преобразующимися по представлению D C, 0). Отметим,
что простейшим методом построения представления
162
D C, 0) является симметризация произведения трех фун-
фундаментальных представлений. Следовательно, простей-
простейшими составными системами, которые могут быть отож-
отождествлены с барионными резонансами из декуплета, яв-
являются системы трех кварков, причем унитарные волно-
волновые функции этих систем полностью симметричны
относительно перестановок кварков. Поскольку барион-
ные резонансы несут барионное число, равное единице,
то барионное число кварка равно 7з- Теперь мы можем
однозначно ответить на вопрос, какими системами могут
быть барионы из октуплета. Они должны быть система-
системами трех кварков, так как их барионное число равно еди-
единице. Как известно, из произведения трех фундаменталь-
фундаментальных представлений можно образовать неприводимое
представление путем симметризации, например по пер-
первому и второму индексам, и затем антисимметризации
по второму и третьему индексам. Мы получаем тогда
спинор ^{a[p}Y] эквивалентный спинору г|)? с нулевым
шпуром.
Таким образом, можно получить октуплет из произ-
произведения трех фундаментальных представлений путем сим-
симметризации по одной паре индексов и антисимметриза-
антисимметризации по другой. Иначе говоря, барионы из октуплета так-
также являются системами трех кварков, причем унитарные
волновые функции этих систем симметричны относитель-
относительно перестановок одной пары кварков и антисимметрич-
антисимметричны по другой паре.
Если кварки существуют, то их массы не могут быть
меньше 7з массы нуклона, поскольку в таком случае
нуклоны были бы нестабильны и распадались бы на три
кварка. Кварки могут рождаться вместе с их античасти-
античастицами в процессах столкновения мезонов и барионов с про-
протоном при достаточно большой энергии, а также в анни-
аннигиляции пар протон — антипротон. До сих пор они еще не
обнаружены. Этот факт можно объяснить, если предпо-
ло.жить, что массы кварков велики, а относительно малые
значения масс барионов и мезонов обусловлены тем, что
энергия связи этих систем большая. Однако остается не-
непонятным, почему до сих пор не обнаружены другие со-
составные системы с дробными зарядами, например систе-
системы двух кварков, двух кварков и антикварка и т. д.,
массы которых также могут быть порядка масс барионов
и мезонов.
6* 163
3.2. Модели с четырьмя фундаментальными
частицами
Попытаемся теперь построить модели унитарной сим-
симметрии без дробных зарядов. Для этого напомним преж-
прежде всего физические требования, из которых вытекает
существование частиц с дробными зарядами и гиперза-
гиперзарядами. В п. 2.1 мы показали, что отождествление вось-
микомпонентных семейств барионов (N, 2, Л, S) и мезо-
мезонов (/С, /С, я, ц) с унитарными октуплетами приводит
к следующему соотношению между оператором гиперза-
гиперзаряда для фундаментального представления и генерато-
генератором у1 группы SU C):
а для контраградиентного к нему представления
где Ь — произвольная константа. Ее можно выбрать так,
чтобы заряды и гиперзаряды фундаментальных частиц
были целыми. Это означает, в частности, что октуп-
лет мезонов можно рассматривать как системы кварка
и антикварка с целыми зарядами. Если же еще потребо-
потребовать, чтобы известные барионные резонансы были си-
системами трех кварков, то константа Ь обязательно ста-
станет равной нулю, что призедет к дробным значениям за-
зарядов кварков. Таким образом, для построения модели
без дробных зарядов достаточно освободиться от послед-
последнего требования.
Нетрудно видеть, что заряды кварков равны ± 1 или
О только в двух случаях, когда Ь = 2/з и Ь = —4/з> так как
164
для кварков
3 2
В обоих случаях октуплеты и синглеты мезонов могут
быть рассмотрены как системы» кварк — антикварк. По-
Поскольку из этих кварков нельзя построить барионы и
барионные резонансы, то в качестве фундаментальной
частицы необходимо ввести наряду с этим триплетом
кварков по крайней мере еще один кварк, который обо-
обозначим 5 и будем считать его унитарным синглетом. Мы
имеем, таким образом, составную модель с четырьмя
фундаментальными частицами со спином !/2, три из ко-
которых образуют унитарный триплет tPi tn, t\, а четвер-
четвертый 5 унитарный синглет. Предположим, что заряд и ги-
гиперзаряд синглетного кварка s равны нулю. Тогда изве-
известные барионы (N, 2, Л, S) можно рассматривать как
системы триплетного кварка, триплетного антикварка и
синглетного кварка, т. е. состоящие из октуплетного ме-
мезона и синглетного кварка. Барионное число кварков
тогда равно единице.
Как было показано, кварки имеют заряды ± 1 и 0, ес-
если Ь = 2/3 или Ь = —4/3. Если сохранить данное выше
определение гиперзаряда
то в первом случае кварки tP, /n, ^л будут иметь гипер-
гиперзаряд 1, 1, 0, а во втором случае — гиперзаряды—1, —1,
—2 соответственно. Если же мы хотим, чтобы гиперза-
гиперзаряды кварков по абсолютному значению не превышали
единицы, то во втором случае необходимо ввести новое
квантовое число z, равное, например, —1 для триплетных
кварков. Положим далее
у = — г+г? + Ы.
Тогда триплетные кварки имеют гиперзаряды 0, 0, —1,
а заряд Q равен
165
Эта формула применима также и к синглетному кварку s,
если для этой частицы 2 = 0. Таким образом, в первом
случае кварки имеют следующие заряды, гиперзаряды и
изотопические спины:
и
tn
tK
S
Q
1
0
0
0
Y
1
1
0
0
т3
1
2
_ 1
2
0
0
т
1
2
1
2
0
0
связанные друг с другом формулой
(80)
Во втором случае наряду с известными квантовыми чис-
числами существует еще одно новое квантовое число z, свя-
связанное с остальными формулой
Q = T3 + -^-?, (81)
и значения этих квантовых чисел для кварков равны
tp
tn
п
tA
S
Q
0
__t
— l
0
Y
0
0
— 1
0
z
— 1
__1
— 1
0
T3
J_
2
1
2
0
0
T
1
2
1
2
0
0
Новое квантовое число z называем суперзарядом. По-
Поскольку Q, Г3 и У сохраняются, то суперзаряд z тоже со-
сохраняется. Отметим, что в первом случае можно также
ввести новое квантовое число z, отличающее синглетный
кварк от триплетных. Если унитарная симметрия выпол-
выполняется строго, то это новое квантовое число также сохра-
сохраняется, так как тогда переход /л<~> 5 запрещен. С другой
стороны, можно предполагать, что переход t\ «--> s яв-
166
ляется причиной нарушения унитарной симметрии в лю-
любых процессах сильных взаимодействий. В данном случае
существует тесная связь между несохранением нового
квантового числа z и нарушением унитарной симметрии.
Перейдем теперь к изучению структуры мезонов.
В обеих рассматриваемых моделях девять известных
псевдоскалярных мезонов, например, могут быть отож-
отождествлены с состояниями систем кварк — антикварк та-
таким же образом, что и в модели с триплетом кварков
с дробными зарядами [см. формулы G9)]. Другими со-
состояниями систем кварк — антикварк являются {tPs),
(Us), (/л5), {stp), {sin), {st\), (ss). Если их спины и
четности равны О~, то мы имеем еще семь псевдоскаляр-
псевдоскалярных мезонов: два унитарных триплета и один унитарный
синглет. Введем следующие обозначения:
е -> (s s), a -> (stp), т -> (stn), б -> (stA),
o->{7ps), т->(Г„5), 6-^ (/Is).
В первой модели их квантовые числа равны
(82)
е
о
X
б
Q
0
1
0
0
Y
0
1
1 ¦
0
0
1
2
1
2
0
т
0
1
2
1
2
0
а во второй
е
о
т
б
Q
0
0
1
-1 -
Y
0
0
0
- 1
z
0
j
j
— 1
п
0
1
2
1
2
0
т
0
1
2
1
2
0
167
Аналогично кроме девяти известных векторных мезо-
мезонов мы имеем векторные мезоны е*, а*, т* и б* с такими
же квантовыми числами, что и псевдоскалярные мезоны
е, а, т, б. В первой модели квантовые числа а* и т* рав-
равны соответствующим квантовым числам /(*+ и /С*0. Они
могут быть отождествлены с х-мезонами (/Ся-резонанс
с М = 725 Мэв), если последние имеют спин и четность
1~. Во второй же модели триплетные мезоны а, т, б, а*,
т*, 6* имеют отличные от нуля суперзаряды. Они не мо-
могут распадаться на известные мезоны по сильным взаи-
взаимодействиям, даже если их массы достаточно велики.
Поэтому некоторые из них могут распадаться только по
слабым взаимодействиям, если в последних суперзаряд
не сохраняется, и время их жизни имеет порядок времени
жизни /С- и я-мезонов.
Состояния систем кварков и антикварков, которые
могут быть отождествлены с известными барионами и
барионными резонансами, также можно построить ана-
аналогично. На этом мы не будем останавливаться. Отметим
только важный факт, что во второй модели существуют
барионы с отличными от нуля суперзарядами. Некоторые
из этих барионов либо стабильны, либо распадаются
только по слабым взаимодействиям.
В рассматриваемых моделях с четырьмя кварками
полное вырождение по трем кваркам /р, tn, t\ приводит
к унитарной симметрии сильных взаимодействий. Если
же наблюдается полное вырождение по всем четырем
кваркам, то имеет место более высокая симметрия —
симметрия 5/7D) Таряннэ и Теплица, Маки, Хара,
Владимирского и других.
3.3. Модели с несколькими триплетами кварков
Трудность с дробными зарядами и барионными чис-
числами можно также преодолеть, если предположить, что
элементарные частицы образуются из нескольких трипле-
триплетов фундаментальных частиц. Одна из моделей такого
типа была предложена Швингером. В этой модели суще-
существуют два фундаментальных триплета: фермионный
триплет г|)а с зарядами—1, 0. О и барионным числом 1 и
бозонный триплет фа с зарядами—1, 0, 0 и барионным
числом 2. Известные барионы тогда могут быть отож-
отождествлены с состояниями систем \|?|}фа» а известные мезо-
108
№i — с состояниями систем фРфа или i|?p\|?a. Очевидно, что
В данном случае наряду с октуплетами барионов-L. ,
псевдоскалярных и векторных мезонов должны сущест-
существовать соответствующие синглеты. В частности, должен
существовать девятый барион с /р = JL; Г = О, У = О,
Q = 0. В модели Швингера имеется также некоторое но-
новое сохраняющееся квантовое число, отличающее фунда-
фундаментальные фермион г|)а и бозон фа и связанное с осталь-
остальными квантовыми числами формулой типа (81). Наряду
с известными частицами, для которых это новое кванто-
вбе число равно нулю, существуют мультиплеты, для ко-
которых последнее не равно нулю. Некоторые частицы в
этих мультиплетах стабильны, по крайней мере, относи-
относительно сильного и электромагнитного взаимодействий.
Другими моделями без дробных зарядов являются мо-
модели с тремя фундаментальными триплетами со спином
х/2- Подобие схемы предложены Боголюбовым и др. и Нам-
бу. Обезначим фундаментальные частицы q*> га и sa ; а =
= 1,2,3. Предположим, что их изотопические спины Г,
заряды Q, гиШерзаряды Y и барионные числа В равны
Яг
Я»
Г\
Н
Гг
Si
S2
s3
Q
1
0
0
1
0
0
0
— 1
-1
Y
1
1
0
0
0
— 1
0
0
1
в
1
1
1
1
1
1
J
-1
J
1
T
1
2
0
1
T
1
~~~2~
0
1
2
1
~ 2
0
T
1
2
1
2
0
1
~2~
1
2
0
1
2
1
2
0
169
Введем еще одно квантовое число г, равное 0 для qa , + 1
для га и —1 для sa . Тогда получим формулу (81). В этой
модели мезоны отождествляются с системами qa q$,
ra ra и sa sa по аналогии с моделью с одним триплетом
[см. формулы G9)], а барионы — и барионные резонан-
3+
сы с системами трех фундаментальных частиц
(Ча гр Sy). При этом унитарные части волновых функций
этих систем обладают такими же свойствами симметрии
относительно перестановок фундаментальных частиц, что
и в модели с триплетом кварков с дробными зарядами и
барионным числом (см. п. 3.1). Иначе говоря, волновая
функция декуплета симметрична относительно переста-
перестановок индексов q<x, гр , sy , а волновая функция октупле-
та получается путем симметризации по одной паре индек-
индексов и затем антисимметризации по другой. Обозначим
Qo, Yo матрицы заряда и гиперзаряда кварков в модели
с одним триплетом, а Qq, Yq, Qr, Yr, Qs, Ys матрицы заря-
заряда и гиперзаряда фундаментальных частиц в рассматри-
рассматриваемой модели. Мы имеем соотношения
Поэтому
Отсюда следует, что системы (qa Гц sv) имеют такие же
заряды и гиперзаряды, что и соответствующие системы
кварков с дробными зарядами и барионным числом в мо-
модели с одним триплетом. Нетрудно увидеть, что барион-
барионные числа и изотопические спины соответствующих си-
систем двух моделей также равны. Так, в модели с одним
триплетом мы имеем следующее отождествление
170
Y f .-= —L_
/ з p '
и т. Д., а в модели с тремя триплетами
Л'1 -^ fay-isO; ^" -
tptp)
и т. д.
В рассматриваемой схеме с тремя фундаментальными
триплетами полное вырождение по частицам в каждом
триплете приводит к унитарной симметрии или, точнее,
к симметрии SU C) ® SU C) ® SU C), а полное вы-
вырождение по всем девяти частицам соответствует симмет-
симметрии SU (9). Последней, по-видимому, не существует или
она нарушается весьма сильно, так как в противном слу-
случае существовали бы частицы с ненулевыми суперзаря-
суперзарядами z с массами порядка масс барионов и мезонов, при-
причем частицы сг^О должны были бы рождаться в паре
при столкновении нуклонов и мезонов достаточно высо-
высоких энергий.
Рассмотрим, наконец, модель с двумя триплетами qa
и га со спином 72, предложенную Бакри, Нуитом и Ван
Ховом. В этой модели существует также новое сохраняю-
сохраняющееся квантовое число z. Квантовые числа фундамен-
фундаментальных частиц равны
\Q Y z В Т3 Т
2
<7з
П
г2
1
О
О
1
О
1
1
3
1
3
_ 2
3
__ 1
3
1
Т
2
3
2
3
2
3
2
Т
4
3
4
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
О
1
2
1
~~ 2
О
2
1
2
О
1
2
1
2
О
171
Нетрудно проверить, что в этой схеме мезоны могут
быть отождествлены с состояниями систем qa q$ или
га гр , а барионы и барионные резонансы — систем
ra q$ qv , Ha основе этой модели Бакри, Нуит и Ван Хов
предложили симплектическую симметрию Sp F), более
широкую, чем унитарная симметрия.
Литература
Группа SU C) и ее представления
Берестецкий В. Б. «Успехи физ. наук», 85, 393 A965).
В е h г е п d s R. E., D г е i 11 e i n J. et al. Rev. Mod. Phys., 34, 1
A962).
Dc Swart J. J. Rev. Mod. Phys., 35, 916 A963).
Ike da M., Ogawa S., Ohnuki Y. Prog. Theor. Phys., 22, 715
A959).
Огиевецкий В. И. Международная зимняя школа теоретиче-
теоретической физики при Объединенном институте ядерных исследова-
исследований. Дубна, 1964.
С м ор о д ин ски й Я. А. «Успехи физ. наук», 84, 3 A964).
Классификация элементарных частиц и резонансов
по неприводимым представлениям группы SU C)
Gel 1-М a nn M. Phys. Rev., 125, 1067 A962).
Glashow S. L., Sakurai J. J. Nuovo cimento, 26, 622 A962).
M e s h k о v S., L e v i n s о n C. A., L i p k i n H. J. Phys. Rev. Lett.,
10, 361 A963).
Neeman Y. Nucl. Phys., 26, 222 A961).
Массовая формула и смешивание
G ell-Mann M. Phys. Rev., 125, 1607 A962).
Боголюбов Н. Н. и др. Препринт ОИЯИ, Р. 2141, 1965.
Владимирский В. В. В кн. XII Международная конференция
по физике высоких энергий. Т. 1. М., Атомиздат, 1966, стр. 791.
Васгу Н., Nuyts J., Van Hove L. Phys. Lett., 9, 279 A964)
Gell-Mann M., Phys. Lett., 8, 214 A964).
Zweig G. Preprint CERN, 8182/TH.401, 8419/TH.412, 1964.
Maki Z. Progr. Theor. Phys., 31, 331 A964).
Nambu Y. Preprint EFINS-65-6, 1965.
Oku bo S. Progr. Theor. Phys., 27, 949 A962).
Sakurai J. J. Phys. Rev. Lett., 9, 472 A962).
Schwinger J. Phys. Rev., 135, B816 A964).
Tarjanne P., Teplitz V. L. Phys. Rev. Lett, 11, 447 A963).
Нага Y. Phys. Rev., 134, B701 .A964).
Глава четвертая
Унитарная симметрия и силышб
взаимодействия
§ 1. Трехлинейные лагранжианы
и трехчастичные вершины
1.1. Трехлинейные лагранжианы взаимодействия
В теории изотопической инвариантности существуют
соотношения между константами связи для частиц в од-
одних и тех же изотопических мультиплетах. Например,
все константы связи я-мезонов с нуклонами выражают-
выражаются через одну произвольную константу, и лагранжиан
взаимодействия я-мезонов с нуклонами имеет вид [см.
гл. 2, формулы F5) и F7)]
= 1 V 2
Аналогично в унитарной симметрии константы связи для
всех частиц в одних и тех же унитарных мультиплетах
связаны друг с другом. В качестве примера рассмотрим
трехлинейное взаимодействие октуплета псевдоскаляр-
псевдоскалярных мезонов с октуплетом барионов _L. Этот лагран-
лагранжиан является инвариантной линейной комбинацией про-
произведений типа
где В — волновая функция барионов, В — сопряженная
к В волновая функция, а Р—волновая функция псевдо-
псевдоскалярных мезонов. Как известно, для образования ин-
инвариантов из этих произведений необходимо провести
суммирование по всем парам верхних и нижних индек-
индексов. Нетрудно увидеть, что существуют два различных
способа суммирования, в результате которых получаем
два независимых инварианта
173
Таким образом, в унитарной симметрии трехлинейный
лагранжиан взаимодействия октуплета псевдоскал я р-
* 1+
ных мезонов с октуплетом барионов — зависит от двух
произвольных констант:
г i F ГЪ* п^ Ъ°> n^tl nV i
LpBB •= r— g I tfflY5flY — BVY5",4 I Pa +
/2
Как известно, для описания октуплетов псевдоска-
. 1+
лярных мезонов и барионов — можно пользоваться
восьмимерными векторами В{ и Piy t= I, 2,...,8 вместо
спиноров В<* и Р* [см. гл. 3, формулы D6) и D7)]
^ = =
Преобразуем трехлинейный лагранжиан взаимодействия
следующим образом:
Lpbb = - -j- /%5S/P* SP №i, *-/] *-*) +
f ь SP (№/ Д/1 Я*
Так как
[Я,,, Яу] = 2i ///4X4, {*„ Я,-} = 2rf//4X4 + -i- 8Ф
ТО
itk.
Отсюда получаем
Lpbb = Л Д Тв^Л + I e%iAy5BjPk. B)
Напомним, что из двух трехмерных векторов группы
StyB) можно образовать один вектор путем векторного
умножения:
В случае восьмимерных векторов группы SUC) имеем
иное положение: из двух восьмимерных векторов А\ и Bj
174
можно образовать два восьмимерных вектора двумя спо-
способами, в которых используются коэффициенты fijk или
[AB]f = /УИА. fABbP == 4/ИА-
В соответствии с названиями коэффициентов векторного
умножения первый тип связи в формуле B) называется
тигром F, а второй—типом D.
теории изотопической инвариантности трехлиней-
трехлинейный лагранжиан взаимодействия псевдоскалярных ме-
зопфв с барионами — содержит 12 независимых членов
и, Следовательно, 12 произвольных констант (см. гл. 2,
п ]j2). В унитарной симметрии эти константы выражают-
выражаются через две независимые константы gF и gD в формуле
A) или B). Чтобы найти эти выражения, достаточно
подставить в формулу A) матрицы Bg , В? и Рра, дан-
данные в гл. 3 п. 2.2:
Bl = - -А-Л, В% = Ъ\ + -pL- A81 В\ = Na,
3 = у=- Т|, Рб = Щ + -у=г ЦОЬ, Ра = Ка,
Получим
2 V 3
ф (gD - §Р)Ш
175
/3
2/3
fC)
Сравнивая это выражение с определениями констант в
теории изотопической инвариантности (см. гл. 2, п. 2.2),
получим выражения последних констант через gF и
8*NN = Y
B = \ (gD
gr,NN = + —^ (SgF-gD); ^lSB=-
/з
y(gD -я*); ёюв = y(gD +
D)
Аналогично для трехлинейного взаимодействия октуп-
лета и синглета векторных мезонов с октуплетом барио-
1+
нов —
Lvbb = -±=
E)
где (Vji)P и й>2 —волновые функции октуплета и синг-
синглета векторных мезонов. Отсюда получаем, учитывая
спешивание состояний ф°- и со°-мезонов:
ft»™ = \ if + /F); ^pss = -j- (/D - f)\
g«,NN = -f cos 0/s _ _±= sin 6 C/" - /D);
= -jL cos Of5 + y^-sin 6 C/F + /D);
-^ sin G/s + ^1=- cos 0 C/F - /D)
pss = — f; gpsA = —Tf f >
= -^ cos 6/s - l/-j- sin 6/D;
sin 6/s + |/ A cos
-1= sin 6/ + |/
= -^ cos 9/s + |/-|- sin e/D;
= y- sin 9/s - j/ -|- cos
Рассмотрим, наконец, следствия /^-инвариантности
лагранжиана взаимодействия. Так как векторные мезо-
мезоны из октуплета могут распадаться на два псевдоскаляр-
псевдоскалярных мезона, то их G'-четность равна +1. Следователь-
Следовательно, при /^-отражении их волновые функции преобразу-
преобразуются:
С другой стороны, при /?-отражении билинейные комби-
комбинации волновых функций в лагранжиане E) преобразу-
177
ются следующим образом:
R (Цу^ ±
Отсюда следует, что лагранжиан E) /?-инвариа/нтен
только при fD = 0. Аналогично в зависимости от GJ-чет-
ности псевдоскалярных мезонов одна из констант gF
и gD в формуле A) равна нулю, если этот лагранжиан
инвариантен относительно /^-преобразования. Опь/т по-
показывает, что обе эти константы отличны от нуля! при-
причем gD/gF ~ %. Это означает, по-видимому, что в дейст-
действительности /^-инвариантность не имеет места. Другим
аргументом в пользу этого заключения является то, что
/?-инвариантность требует, например, существования со-
сопряженного декуплета DC, 0), так как один из этих
мультиплетов переходит в другой при /^-преобразовании,
а такого сопряженного декуплета до сих пор еще не бы-
было обнаружено.
1.2. Соотношения между константами распада
резонансов
Применим теперь развитый в п. 1.1 метод к изучению
соотношений между константами распадов мезонных и
барионных резонансов. Рассмотрим сначала распады
векторного мезона со0, являющегося унитарным сингле-
том, на два псевдоскалярных мезона из октуплета. Мат-
Матричный элемент, инвариантный относительно группы
SUC), имеет следующую унитарную структуру:
М^РР = fco° {р)Т1 Ы Pi (q2) = fco° {р) Sp [P (ft) P (q2)], G)
где qx и q2 — импульсы псевдоскалярных мезонов.
При зарядовом сопряжении С этот матричный эле-
элемент меняет знак, так как
Ссо^ - - со0, СР1С~Л - 1*
(см. гл. 3, п. 2.2). Следовательно, требование инвариант-
инвариантности S-матрицы относительно зарядового сопряжения,
т е. сохранение С-четности, запрещает распад векторно-
векторного синглета оз0 на два псевдоскалярных мезона. Такой же
запрет дает требование статистики Бозе: полная волно-
волновая функция одинаковых бозонов симметрична относи-
относительно перестановок этих частиц. Так как два псевдоска-
псевдоскалярных мезона, рождающихся в распаде векторного ме-
178
аша, находятся в Р-состоянии и пространственная часть
нх волновой функции антисимметрична относительно
перестановки псевдоскалярных мезонов, то унитарная
часпь волновой функции должна быть также антисиммет-
антисимметричной. С другой стороны, унитарная часть [см. форму-
формулу (t)] матричного элемента распада со°->Р + Р сим-
симметрична относительно перестановки псевдоскалярных
мезойов (Sp[P(q\)P(q2)] = Sp(P(q2)P(q\)]) в противоре-
противоречии с выводом о том, что унитарная часть волновой функ-
функции антисимметрична. Таким образом, требование стати-
статистики Бозе также запрещает распады синглета на два
псевдоскалярных мезона
Мао_+Рр = 0. (8)
Аналогично из С-инвариантности или из требования ста-
статистики Бозе следует, что в распаде октуплета векторных
мезонов на два псевдоскалярных мезона из октуплета
дает вклад только связь типа Ft а константа связи ти-
типа D равна нулю, т. е.
Му^РР = gVl (р) [Pi М Ц (q2) - Pi Ы Ц Ы] -
= ?Sp {V (р) [Р {q1)'P{q2) - Р (q2) Р ЫJ} ¦ (9)
Учитывая смешивание между ср°- и со°-мезонами, получа-
получаем отсюда константы связи для конкретных распадов
^-8>
A0)
где 0 — угол фсо-смешивания. Таким образом, в унитар-
унитарной симметрии константы взаимодействия для распадов
векторных мезонов на пары псевдоскалярных мезонов
связаны соотношениями
>A1)
Соотношения между константами процессов в соотноше-
соотношениях A0) и константами других наблюдаемых распадов
можно получить из изотопической инвариантности. Если
бы массы всех частиц в одном унитарном мультиплете
были одинаковы, то из соотношений A1) можно было бы
179
Сразу получить соотношения между вероятностями соот-
соответствующих распадов. Однако из-за нарушения симмет-
симметрии массы частиц в каждом мультиплете не равны друг
другу, и необходимо учесть разницу кинематических фак-
факторов в выражениях вероятностей. Дальше мы получим
соотношения между вероятностями в предположении, что
для констант связи имеют место соотношения, вытекаю-
вытекающие из унитарной симметрии.
В отличие от истинно нейтральных векторных мезонов
истинно нейтральные мезоны 2+ имеют С-четиость +1.
Поэтому С-инвариантность не запрещает распадов мезо-
мезона 2+, который является унитарным синглетом и обозна-
обозначается со/0, на два псевдоскалярных мезона из октупле-
та. Эти распады также не запрещены требованием стати-
статистики Бозе, поскольку рождающиеся псевдоскалярные
мезоны находятся в D-состоянии, и пространственная
часть волновой функции двух псевдоскалярных мезоцов
симметрична. Матричный элемент рассматриваемых рас-
распадов имеет следующую унитарную структуру:
A2)
Что касается распадов октуплета мезона 2+ на пары
псевдоскалярных мезонов из октуплета, то из С-инвари-
антности или из требования статистики Бозе следует, что
только связь типа D дает вклад
=щ (р) [pi м_р? ы+pi
A3)
Как и в гл. 3, частицы из октуплета мезонов 2+ обо-
обозначим р', /С7, /С7 и ф/0, а смешанные состояния ср/0 и
со/0 — ср' и а/. Учитывая смешивание между <р'° и со'0, из
соотношений A2) и A3) получим выражения для кон-
констант связи конкретных распадов через g и /:
>*+rt У Т^;
^'-^.Н-*- = |/ -§- / cos в' — в sin в';
180
к- = 7? f sin 9' + 8 cos 6'»'
A4)
8v -»v, = - l/ 4" / COS °' ~ 8 sin °';
gcosQ';
где 0" — угол смешивания между ср/0- и о)/0-мезонами. Та-
Таким образом, имеются следующие соотношения между
константами распадов мезонов 2+ на два псевдоскаляр-
псевдоскалярных мезона:
A5)
= Sr»'-
A6)
A8)
ке считая изотопических соотношений. В частном случае,
когда cos Э7 = К2/3, имеются еще два простых соотно-
соотношения:
!
1
2/2"
П"~ °Ф'-*ТТ|
A9)
B0)
181
Из выражений A5) — B0) можно получить соотношения
между вероятностями распада, учитывая разницу фазо-
фазовых объемов различных распадов.
Мезоны 2+ могут распадаться на псевдоскалярный и
векторный мезоны. Из С-инвариантности и инвариантно-
инвариантности относительно группы SUC) следует, что матричные
элементы этих распадов:
= 0;
B2)
B3)
B4)
В данном случае константы взаимодействия для всех
распадов выражаются через одну произвольную кон-
константу:
>р)
cos
= 0;
= о,-
cd = у -|-si
= 0.
B5)
Таким образом, получим следующие соотношения между
константами распадов мезонов 2+ на векторный и псев-
псевдоскалярный мезоны:
COS 6',
B6)
не считая изотопических соотношений. Отметим, что ра-
равенство нулю ряда констант в формуле B5) является
следствием сохранения G-четности.
182
Рассмотрим теперь распады декуплета барионных ре-
3+ „ * 1+
зонансов — на октуплет барионов — и октуплет псев-
псевдоскалярных мезонов. Матричные элементы этих распа-
распадов имеют следующую унитарную структуру:
Md-+bp = gB?dPlDaloe, a. B7)
Для констант связи конкретных процессов с точностью
до знака
-=g; ¦>
->лд i-
i
-y-f g>
у ь
1
1
B8)
Аналогичные выражения также имеются для констант
распадов декуплета барионных резонансов — на октуп-
лет барионов — и октуплет псевдоскалярных мезонов.
_•
Из этих выражений сразу вытекают соотношения между
константами процессов распада. Так, между константа-
ми наблюдаемых распадов барионных резонансов —
имеют место соотношения
__!__.
/2
/6
/3
B9)
Остальные соотношения между константами наблюдае-
наблюдаемых распадов являются следствиями изотопической ин-
инвариантности.
В предыдущей главе мы обсудили возможность суще-
существования октуплетов барионных резонансов. Частицы в
этих октуплетах обозначим N', Л', S7 и 2'. Матричный
элемент распада каждого из этих октуплетов на отктуп-
183
1+
лет барионов — и октуплет псевдоскалярных мезонов
содержит две произвольные константы:
Мв^вр = gjtfBlB? + йЗДв?. C0)
Подставив в формулу C0) матрицы Рр , Вр и Вра, дан-
данные в гл. 3 (п. 2.2), получим соотношения между кон-
константами конкретных процессов:
C2)
*s'-->ajc-= *,'-*, v C4)
Наконец, для констант распадов унитарного синглета
У0 получим соотношения
8уо^+л- = ^уо->Р/с- == вк^Аг,. C5)
Аналогичные соотношения также имеют место для рас-
распадов Лтг|-резонанса, если последний — унитарный син-
глет.
1.3. Соотношения между вероятностями
Чтобы получить соотношения между вероятностями
распадов, недостаточно знать соотношения между кон-
константами, поскольку кинематические факторы в выраже-
выражениях вероятностей зависят от масс частиц, а частицы в
каждом унитарном мультиплете в действительности име-
имеют разные массы. Иначе говоря, для каждого типа рас-
распада необходимо иметь выражение вероятности через
константу связи и массы распадающейся и рождающейся
частиц.
Рассмотрим матричные элементы М и вероятности W
типов распада, (см. п. 4.2).
Распад 1--">()- + 0-
М = gi (</i - qt)v Ф (<7i) Ф (qt) V» (р),
где ф(#г) и q% — волновые функции и импульсы псевдо-
псевдоскалярных мезонов; VV (р) ир — волновая функция и
импульс векторного мезона;
184
где М — масса векторного мезона; пц — массы псевдо-
псевдоскалярных мезонов; к — трехмерный импульс рождаю-
рождающихся частиц в системе центра масс
lkl i/l24
Распад 2+->0~ + 0-
М =-gt (ft - 9a)ii (ft — ft)v Ф (ft) Ф (<7a) ^V (P),
где r,,v (p) — волновая функция мезона 2+ с импуль-
импульсом р;
W---- -i-iM2 |k|5, C7)
I5ji M* ' V ;
где Af — масса мезона 2+, к — трехмерный импульс рож-
рождающихся частиц в системе центра масс.
Распад 2+-И- + 0-
М = gfaop (Яг - Я2)*РУо Ш Ф Ы Трт (р) (q1 — q2)x,
где Трх{р), Vo (qi) и (p(q2)— волновые функции мезонов
2+, 1" и 0" с импульсами р, q{ и с/2 соответственно;
1Р|ЛГ|к|в
где Af, ni\ и т2 — массы мезонов 2+, 1~ и 0" соответствен-
соответственно; к — трехмерный импульс рождающихся частиц в си-
системе центра масс.
Распад — -> — + 0"^
2 2
где Wp, (pi), ^(рг) и ф(^) —волновые функции барионов
—, — и мезона 0~ с импульсами рь Р2 и ^ соответст-
соответственно;
w _ ^J2
24*
1"
З Г'
где Мь Л^2 и т — массы барионов —,— и мезона 0~
соответственно; к —трехмерный импульс рождающихся
185
частиц в системе центра масс.
з— 1 (-
Распад >¦ \- О
2 2
(ft)
2-1 я
Л1
D0)
Здесь использованы такие же обозначения, как и в
предыдущем случае.
Распад
\- 0
8л
х + М2J
М?
D1)
Распад — ->
= ft"
\gi\2
- М2J - /и*
D2)
40л
Распад >—
2 2
= eiU (Pa) "nva (Pi) ф (q) q^
D3)
140я
Al?
На основе формул для вероятностей C6) — D3)
можно получить соотношения между вероятностями
распадов, рассмотренных в предыдущем разделе, в пред-
предположении о том, что для констант связи имеют место
соотношения, являющиеся следствиями унитарной сим-
симметрии. Отметим, что в случае, когда для одной частицы
существуют разные изотопические каналы распада,
необходимо сложить вероятности всех соответствующих
распадов. Например,
W (К* -> Щ == W (Г+ -> 2+7г°) + W (Г + -> 2°тг+) -
= w {Y*0 -» 2+1С-) + W (Г° -> 2°7г°) + W (У*0 -> 2-я i).
186
Отношение
вероятностей
1Р(Р-ЯТ|)
W (р -» 2л)
№(/(*->/(я)
1Г(р-> 2зх)
W(q>-*KK)
W(p-*2n)
Теоретическое
значение
0
0,28
0,022
Г а б л и ц а 1
Эксперименталь-
Экспериментальное значение
0,47 ±0,03
0,023 ±0,00*
Таблица 2
Отношение вероятностей
W (pf -*- ЯТ|)
W(p' ~*КК)
W(K' -*Кг\)
W(K'-+Kn)
W(p'-»KK)
W (ф' -> 2л) + 1,9W (©' -> 2я)
W (ф' -¦ 2т}) + 1,2W(со' -> 2т})
W(ф' -¦ 2я) + 1 ,W (©' -¦ 2я)
Г(ф- ^ кй+5.4*(»'-кЙ+6,2Г(р'-КК)
Теорети-
Теоретическое
значение
1,83
0,25
7,5
17
2,7
Экспери-
Экспериментальное
значение
0,83±0,5
<1
6±5
Таблица 3
Отношение вероятностей
W (К' - К*п)
Ик> z S
W(K' -^ со/0
W(<p' ->К*К)
W(p'-»pn)
Теоретическое
значение
0,37
0,115
0,035
0,0037
Экспериментальное
значение
0,63±0,3
0,20±0,09
0,10±0,07
187
Таблица 4
Отношение вероятностей
W (К* -> 2я)
№(А-* Мя)
ЩК*~*Ля)
W{b-*Nn)
W(E*-+En)
Теоретическое
значение
0,043
0,355
0,08
Экспериментальное
значение
0,02±0,01
0,40±0,05
0,06±0,02
Таблица 5
Отношение вероятностей
W B' -*
W (Л' —>
W B'-*
ТИТ /*Д ' _^
тег /v' __^,
W(N' -+
W(N'-+
W(A' ->
W (Л' ->
Ля)
Лт|)
Ля)
5 я)
NK)
А/т])'
МГ)
Гя)
Теоретическое
значение
1,5
0,0023
1,32
0,106
182
0,5
Экспериментальное
значение
—
0,78±0,07
0,080±0,007
0,55±0,07
Таблица 6
Отношение вероятностей
W B' -> Ля)
\^(Л' -*2я)
lT(S'->Sn)
w B' -n7q
Теоретическое
значение
3,7
2,4
Экспериментальное
значение
0,30±0,04
188
Таблица 7
Отношение вероятностей
r(s( 2 )-*Л„)
«7(Л(-т1)-211)
гB(-т-)-Лп)
r(AD-)->Ati)
"И-тгЬ4я)
Теорети-
Теоретическое
значение
1,45-Ю-3
1,52
0,04
Отнсшенне вероятностей
»(¦ D-)-*0
r(a(-?-)-s*)
*(*(-?-)-*"«)
*(аНг)-А*)
Теорети-
Теоретическое
значение
0,76
0,11
4,63
Полученные соотношения между вероятностями для че-
четырех первых типов распада даны в табл. 1—4. В табл. 5
За-
Заданы соотношения между вероятностями распадов —
-> h 0~ в случае, когда октуплет барионов —
2, Z
стоит из частиц с массами
М / ,_ч = 1512 Мэву М i ,_v = 1660 Мэв,
со-
->. = 1668 Мэв, М /3-\ = 1820 АЫ, а барионный
sl~J
резонанс сГ = 0, У = 0и массой 1520 Мэв является синг-
летом, который обозначим У0 ( — ). В табл. 6 даны соот-
Q- 1 +
ношения между вероятностями распадов ——> J [. о-
другом случае, когда октуплет образуют частицы с мас-
массами
189
Таблица 8
Отношение вероятностей
г
W
W
W
W
W
и
W
и
W
И-
И-
{у{
н
М-
А -
v \
f /
У ( ~
п у ~* ^\Д I
7 1 \
2 )-*N^)
7+\ \
2 j->W«j
Т") - STl)
7+ \ \
2 / /
4- \ \
Теорети-
Теоретическое
значение
6,87.10—3
0,52
0,20
П П9
П 98
3,54-10
Отношение вероятностей
W
ш
W
W
W
W
W
W
W
W
(,(
1 (
А 1 '
V V
Vs V
/ /
V \
И-
/ (
("(
(д(
и
~г
7+
2
Jr
7+
2
(-2
J±
)-*•)
)-*Sri)
\ \
1 —> Л/д 1
\ \
) ^ **)
-)- S?)
-) . Nn)
Теорети-
Теоретическое
значение
0,17
0,02
0,11
0 21
1 54
Таблица 9
Отношение веро ятностей
Br(y(-f.)^A4)
Теорети-
Теоретическое
значение
11,2
Отношение вероятностей
r(y(-f)-a)
.(,№)-. л,)
Теорети-
Теоретическое
значение
19,9
ISO
M , з_ч - 1512 Мэв, М / 3-\ - 1660 Мэё;
Д l"j Sl-j
Л/ / з_ = - 1520 Мэв, М / 3. х --- 1598
1) lj
В табл. 7 и 8 приведены соотношения между вероятно-
вероятного 7 Ь
стямн распадов оариоиов —-и - - соответственно, а в
табл. 9 между вероятностями распадов Ац -резонанса
в том случае, когда этот резонанс является синглетом
1.4. Следствия сохранения U- и К-спинов
Группа унитарной симметрии содержит три подгруп-
подгруппы SU B), которые мы назвали группами Г-, U- и У-спи-
нов (см .гл. 3, п. 1.4). Требование сохранения Г-спина,
т. е. инвариантность относительно Г-подгруппы, приводит
к ряду изотопических соотношений между амплитудами
процессов распада, рассеяния и рождения частиц. Ана-
Аналогично сохранение U- или У-спинов должно привести к
новым соотношениям, не совпадающим со следствиями
изотопической инвариантности. Разумеется, все соотно-
соотношения, являющиеся следствиями сохранения Г-, U- или
У-спинов, должны быть получены при помощи развитого
выше метода. Однако при изучении конкретных процес-
процессов иногда достаточно рассмотреть следствия сохранения
U- или У-спина. В таком случае удобно рассмотреть вол-
волновые функции частиц как спиноры V- или У-подгруппы
и применить технику группы SU B). Тогда имеем сле-
следующие (/-дублеты:
с U = 1/2 и fZ-триплет
191
с U = I; по аналогии с 'Г-дублетами
с Г = 1/2 и Г-трпплетом
с Г= 1. Из сохранения Г-спина (вернее из Г-зарядовой
симметрии) вытекает следующее соотношение между
константами связи для распадов /('-мезона на К- и я-ме-
зоны:
Аналогично в силу сохранения (/-спина (вернее из (/-за-
(/-зарядовой симметрии)
Получаем, таким образом, одно из соотношений A5).
В гл. 3 (см. п. 1.1) мы показали, что задание изотопи-
изотопической подгруппы и двух дискретных преобразовании —
U- и V-зарядовых симметрии — полностью эквивалентно
заданию группы SU C) в целом. Это означает, что для
изучения следствий унитарной симметрии достаточно ис-
исходить из изотопических соотношений и ко всем соотно-
соотношениям применить U- и V-симметрии. Этот метод, вооб-
вообще говоря, весьма громоздок, так как U- и У-зарядовые
симметрии обычно превращают физические (наблюдае-
(наблюдаемые) процессы в нефизические (ненаблюдаемые), в ко-
которых либо все начальные частицы являются странными
частицами (для рассеяния), либо масса распадающейся
частицы меньше суммы масс рождающихся частиц (для
распада). Однако для изучения некоторых конкретных
процессов этот метод может оказаться весьма удобным.
Например, известно изотопическое соотношение
При (/-зарядовой симметрии (с точностью до знака вол-
волновой функции)
192
И это соотношение превращается ё
Таким образом, получаем одно из соотношений в A5).
§ 2. Амплитуды процессов рассеяния
и рождения частиц
2.1. Унитарная структура амплитуд
процессов рассеяния и рождения частиц
в сильных взаимодействиях
Мы показали, что в теории унитарной симметрии кон-
константы связи для распадов частиц в каждом унитарном
мультиплете связаны некоторыми соотношениями. Ана-
Аналогично из требования инвариантности S-матрицы отно-
относительно преобразований группы унитарной симметрии
SU(S) вытекают различные соотношения между ампли-
амплитудами процессов рассеяния и рождения частиц в силь-
сильных взаимодействиях. Рассмотрим следствия унитарной
симметрии в некоторых таких процессах.
Исследуем прежде всего процессы типа
Р + В-+Р' + В', (I)
где Р и Р' — унитарные октуплеты псевдоскалярных ме-
мезонов, а В и В' — унитарные октуплеты барионов —.
Обозначим q n q' 4-импульсы начального и конечного ме-
мезонов, р и р'— 4-импульсы начального и конечного ба-
барионов, и(р) и и{р')—пространственные части волно-
волновых функций барионов (или пространственные волно-
волновые функции барионов), Р/з, Рр\ В>1 и Bf — унитарные
части волновых функций (или унитарные волновые функ-
функции) мезонов и барионов соответственно. Как известно,
матричный элемент процесса (I) содержит две независи-
независимые спиновые структуры:
1\ = Ъ (р') и (р); Г2 = Ъ (/>') iQ и (р), D4)
где Q = —(q + q'). Что касается унитарной структуры,
то в матричный элемент процесса (I) должны входить
7 Заказ 809 193
Инвариантные относительно группы St/C) линейные ком-
комбинации произведений
Для образования инвариантов из таких произведений
необходимо провести суммирование по всем парам ниж-
нижних и верхних индексов. Если унитарные волновые функ-
функции октуплета представить в виде матриц 3 X 3, то сум-
суммирование по паре индексов из различных матриц озна-
означает умножение этих матриц:
A^BJ = (АВI
а суммирование по паре индексов из одной матрицы да-
дает шпур матрицы
Из произведений четырех волновых функций четырех
рассматриваемых октуплетов можно образовать девять
следующих инвариантов:
Sp (B'B) Sp (PTP); Sp (Я'Р') Sp (ЯР);
Sj)(B'P)Sp(BP'); Sp(S'ZJP'P);
Sp(B'5PP'); Sp(BB'P'P), Sp(BB'PP'); (
SpE'P'BP); Sp(B'PBP').
Может случиться, что не все эти инварианты независимы.
Для того чтобы определить число независимых инвари-
инвариантов, посмотрим, какие неприводимые представления со-
содержатся © произведении волновых функций частиц в на-
начальном или конечном состоянии. Из произведений
Вр Р$ можно образовать следующие неприводимые
представления:
1) инвариант В% Р| —суммированием по всем парам
верхнего и нижнего индексов;
2) два октуплета — суммированием по каждой воз-
возможной паре индексов и вычитанием шпура
3
3) декуплет ?>aPv = еаар0[р^ — симметризацией по
нижним индексам и антисимметризацией по верхним
194
индексам
и вычитанием шпура
4) сопряженный декуплет — симметризацией по верх-
верхним индексам, асимметризацией по нижним индексам и
вычитанием шпура;
5) 27-плет Hi**) —симметризацией по верхним и
нижним индексам
и вычитанием шпура
В качестве двух независимых октуплетов удобно выбрать
симметричнукги антисимметричную комбинации
(Цлу ~p Dylfi —-*
Симметричный октуплет обозначим 8S, а антисимметрич-
антисимметричный 8a. Таким образом, волновая функция системы в на-
начальном состоянии является суперпозицией следующих
неприводимых представлений: 1, 8S, 8a, 10, 10, 27 (см. так-
также гл. 3, п. 1.2). Волновая функция системы в конечном
состоянии имеет аналогичный вид. Из инвариантности
относительно группы SUC) следует, что матричные
элементы процессов равны нулю, если начальные и
конечные состояния принадлежат различным неприводи-
неприводимым представлениям группы S?/C). Это означает, что
отличны от нуля только матричные элементы восьми сле-
следующих переходов:
— 1, os—>os, oa—>oa, os—>ofl,
8*^ 8S, 10-10, 10->T6, 27->27.
Таким образом, существуют восемь независимых унитар-
унитарных амплитуд, инвариантных относительно группы St/C),
через которые выражаются амплитуды всех процессов
типа (I). Отсюда следует, что среди девяти идаариант*
Г 195
ных унитарных амплитуд D5) только восемь независимы
и удовлетворяют некоторому тождеству. Это тождество
всегда можно выбрать так, чтобы оно было полностью
симметричным по отношению к перестановкам всех ок-
туплетов. Тогда оно содержит явно комбинации структур
D5), симметричные относительно перестановок всех ок-
туплетов. Существуют две такие независимые комбина-
комбинации: сумма трех первых среди амплитуд D5) и сумма
шести последних. Искомое тождество можно записать
в виде
a [Sp (В'В) Sp (Р'Р) + Sp (B'F) Sp (BP)+Sp (В'Р) Sp (BP')J =
= b [Sp (B'BP'P) + Sp (B'BPP') + Sp (BB'P'P) +
+ Sp (BB'PP') + Sp (B'P'BP) + Sp (B'PBP')], D6)
где а и b — некоторые константы, причем без конкретно-
конкретного рассмотрения нельзя исключить случай, когда одна_из
них равна нулю. Представим матрицы Вр, Яр*» ^Р» Щ*
в виде
Б1 (ЮЪв ^а
pi = = {\&ph Tf = = ^
(см. гл. 3, п. 2.1). Из соотношения D6) получим
[aSp (Я^у) Sp (ЛАЛ,) + Sp (ЯД4) Sp (Я,/,) + Sp (ЛД
= 6 [Sp (Я.ДДЛ) + Sp (ЯЛ-ЯД,) + Sp (ЯДД^) +
+ Sp (ЬДДД4) + Sp (ЯД^-ЯЛ + Sp (ЯМА*)] • D7)
Чтобы определить а и Ь, рассмотрим частный случай, по-
положив f = / = -fe = / = 3. Тогда выражения в скобках
в обеих частях соотношения D6) равны 12, и следова-
следовательно 12а = 126, а = Ь.
Таким образом, между девятью амплитудами D5) су-
существует тождество
Sp (В'В) Sp (F'P) + Sp (S'F) Sp (BP) + Sp (jfP) Sp (BF) =
5- Sp (B'BP'P) + Sp (B'BP'P') + Sp (BB'P'P) +
+ Sp (J5STP') + Sp (BT'BP) + Sp (B'P0P'\ D8)
J96
и в качестве независимых инвариантных унитарных ам-
амплитуд можно выбрать следующие:
Т1 = Sp {В'В) Sp (Р'Р), Г2 = Sp {B'P') Sp (BP),
T* = Sp(B'P)Sp(BP');
Т* = Sp (В'ВР'Р), Ть = Sp (B'BPP'),
Т6 = Sp(BB'P'P); Г7 = Sp (BB'PP%
Т8 = Sp (Ё'Р'ВР) -Sp (В'РВР').
D9)
Отметим, что при изучении соотношений между амплиту-
амплитудами процессов в принципе можно не заботиться о том,
сколько амплитуд независимы, и работать с лишними ам-
амплитудами. Дело в том, что коэффициенты этих амплитуд
всегда можно выразить линейно через остальные, и ам-
амплитуды процессов содержат явно некоторые комбина-
комбинации всех этих коэффициентов, так как' число эффектив-
эффективных независимых коэффициентов равно числу независи-
независимых амплитуд.
Напишем общее выражение матричного элемента
процесса (I), который содержит спиновые независимые
амплитуды D4) и унитарные независимые амплитуды
D9), т.е.
8 2
^1 = 2 2^7^E,0. E0)
где F[ (s, t) — 16 функций инвариантных переменных
s=:-(p+q)\ t = -{p-p'?.
Рассмотрим частный случай, когда процесс (I) упру-
упругий в том смысле, что В и В' — один и тот же барионный
октуплет, а Р и Р' — один и тот же октуплет псевдоска-
псевдоскалярных мезонов: Br = S, Р = Р'. В этом случае процесс
рассеяния
Р + В-+Р + В
переходит в себя при отражении времени Г, и из инвари-
инвариантности относительно Г-преобразования вытекают не-
некоторые ограничения на произвольные функции
F{ (s, t). Отметим, что при Г-преобразовании начальные
частицы превращаются в конечные и обратно. Поэтому
197
унитарные волновые функции преобразуются следую-
следующим образом при Г-преобразованпи:
Найдем соотгетствующие преобразования независимых
инвариантных амплитуд вида D9) с Вг = Б, Р' = Р. На-
Например,
Sp (BPBP) -*Sp(BPBP).
Отсюда следует, что при Г-преобразовании амплитуда Г8
меняет знак. Аналогично можно показать, что все пер-
первые семь среди амплитуд D9) инвариантны относитель-
относительно отражения времени. Итак, при Г-преобразовании
Ti _> Ti \
Для того чтобы найти преобразования спиновых ин-
инвариантных амплитуд D1), отметим прежде всего, что
при Г-преобразавании конечная частица с импульсом р'
и поляризацией г' превращается в начальную частицу
с импульсом —р' и поляризацией —г' и обратно. Мож-
1+
но показать, что волновая функция бариона — с им-
импульсом —р' и поляризацией —г' выражается антили-
нейно через волновую функцию этой же частицы с им-
импульсом р' и поляризацией гг следующим образом:
u-r.{-p')=yAUHr.(p')T9 E2)
где U — унитарная матрица, удовлетворяющая соотно-
соотношениям
Аналогично *
IL,(-p) = «r(p)rirV E3)
* Докажем соотношения E2) и E3). Сделаем соответствующие
преобразования уравнения Дирака
(i р + т) и (р) = (i [p4v4 + PYl + nt)u(f) = O,
198
Итак, спиновые амплитуды D4) преобразуются при
Г-отражении следующим образом:
и (р') и(р) -* и {p)TU"Xy^^Uu (р')т = и (р') и (р)
и (р') \Qu (р) -» и (p)TU~ly^i (Y4Q4- YQ) yJJu (p')T -
- и (р)т\Цт'и (р')т = п(р') i Qti (p), E4)
т. ?.
Так как матричный элемент E0) инвариантен относи-
относительно Г-преобразования, то из трансформационных
свойств E4) и E1) независимых спиновых и унитарных
амплитуд Tj и Т1 следует, что две функции Fl(s, t) рав-
равны нулю. Таким образом, для упругих процессов только
Так как
U (ip + m)Tu(pf = (i p + m) Uи (pf = 0,
74 (ip
"ТО
Это соотношение можно также переписать в видг
Далее, пусть
где
Y4 (i p + m) Uii(p)r = (i [p474 - P If] + m) у^и(р)т = 0.
2i
оператор проекции спина на оси г. Тогда поскольку
ТО
Следовательно,
199
семь инвариантных унитарных амплитуд Р — Г7 дают
вклад
F!8(s,t) = Q. E5)
Общее выражение матричного элемента процесса
Si + В2 -> В[ + В'г, (И)
где В; и В) — октуплеты барионов, которые можно полу-
получить аналогичным методом. Обозначим (°i)p, (В2)р,
(В\% и (Вг)р унитарные волновые функции. Тогда но
аналогии с выражениями D9) имеем следующие незави-
независимые унитарные амплитуды:
71 = Sp (ВА) Sp (В2В2); 7? = Sp(В[В'2) Sp(В
Т* = Sp(Б;В2) Sp(BjBi); Г* = Sp(В'гВ&Въ);
Тъ = Sp (Б^ВД), Т" = Sp (B^lB^); \ E6)
Г' = Sp^BlB^), 71»
— Sp (B^j
Если барионы в процессе (II) имеют спин и четность —.
то существуют восемь спиновых независимых амплитуд:
1\ = п [pit) и (р2) Ъ(р[)и (pi);
Г2 =""(р
Г3 = й
Г4 = п
Г5 = «
„ = и (рг
Г7 = « (
где Pi =-y( Pi + pi),
мент процесса (II)
Ми =
iP!«(p2)«(pi) iPtu(pi);
)u(p2)u(pi)iP2w(p1);
;)iP1«(p2)"«(pi)u(p1);
"(P2)«(pDy5«(Pi)'
(p2r«(pi)ip2Y5«(Pi).'
(p2)«(pi)iP2Y6"(Pi);
"(p2)Ys«(Pi)-
E7)
= — (Рг + Рг)- Матричный эле-
. 0,
E8)
200
где F[ (s, t) — функции от инвариантных переменных
В частном случае, когда В\ = В\ и В2 = В2у т. е.
в случае упругого рассеяния, инвариантность относитель-
нр отражения времени дает некоторые ограничения на
F[ (s, t). Как было показано, при Г-преобразовании
Т1 _» Т1 \
1 l % W = 1, 2, ..., 7 E9)
Поскольку
то спиновые амплитуды преобразуются следующим об-
образом при Г-преобразовании:
Гу->-Гу; /==7, 8. |
Матричный элемент E8) должен быть инвариантным
относительно преобразований E9) и F0). Отсюда
Fji(s, 0-0, F1)
если / = 7, 8; I = 1, 2,..., 7 и / = 1,..., 6; i = 8. Таким об-
образом, матричный элемент упругого рассеяния октупле-
тов барионов —
'т<>;: (*• ^ + 2 V'T*F'*(s> 0> F2)
/=7,8
причем в унитарных амплитудах Тг мы положим В\ =
= Ви 5g = ^2- Если же барионы в начальном и конеч-
конечном состояниях являются одинаковыми частицами, то
матричный элемент должен быть симметричным относи-
относительно перестановки
Вх<—>В2, В{<—>В2, Pi«—>Рг, Р[<—>Р2.
Отсюда получаем
FHs, t) = FU*, 0- F3)
Кроме того, из требования статистики Ферми вытекают
некоторые свойства симметрии F\ (s, /) относительно
?01
замены t на и:
Однако на этом останавливаться не будем.
Рассмотрим теперь процессы аннигиляции пар бари-
он — антибарион:
В + В-+Р + Р', (III)
~ 1+
где В и В — октуплеты барионов — и их античастиц, а
Р и Рг — октуплеты псевдоскалярных мезонов. Обозна-
Обозначим р и // 4-импульсы бариона и антибариона, a q и qr —
4-импульсы мезонов Р и Р'. Как и в. случае процесса (I),
существуют две независимые спиновые амплитуды
l\ = v(p')u(p); l\ = v(p')\Qu(p), F4)
где Q = — (q — q')y и восемь независимых унитарных
амплитуд, которые можно выбрать следующим образом:
Т2 - Sp (ВР) Sp (BF) — Sp (BP') Sp (ВР);
Т3 = Sp (ВР) Sp (SP7) + Sp (fliP') Sp (BP);
Г4 = Sp [ВЪ (PPr — ~Р'Р)]; Т5 = Sp [ВВ (РР' +7>ГР)];
Г = Sp [ВВ (РР' — Р'Р); V ----- Sp [ВВ (РР' -f- Р'Р)];
Г« - Sp [ВИР' — B
F5)
Матричный элемент процесса (III) имеет вид
причем в качестве инвариантных переменных удобно вы*
брать следующие:
Требование инвариантности S-матрицы относительно за-
зарядового сопряжения приводит к некоторым ограниче-
ограничениям на F^s, v). Действительно, при С-преобразоваиии
барион с импульсом р превращается в антибарион с тем
же импульсом, и обратно, а мезон с унитарной волновой
функцией Рр превращается в мезон с волновой функци-
функцией ЯР и т. д.
Поэтому унитарные аплитуды F5) преобразуются сле-
следующим образом:
Tl-*P; i = l, 3, 5, 7, 8
F7)
— Т1; 1 = 2, 4, 6. '
Что касается спиновых амплитуд F7), то С-преобра-
зование приводит к замене р<—>р/ и изменению знака
каждой амплитуды, так как барион подчиняется стати-
статистике Ферми. Итак,
v {р') и(р)-> — v(p) и {р'); Ъ (р') iQu (р) -> — v(p) iQu{pf).
Пользуясь соотношениями
и (р') - C^W~)T; v(p) ^[С~хи (р)}\
где С — матрица зарядового сопряжения
видим, что при зарядовом сопряжении спиновые ампли-
амплитуды F4) преобразуются следующим образом:
Г1->Гь Г2 + -Г2. F8)
Отметим, что при этом переменная 5 не меняется, но пе-
переменная v меняет знак
F{(s, v)^F{(s, -v). F9)
Из формул F7) —F9) следует, что матричный элемент
F6) может быть инвариантным относительно С-преоб-
разования только в том случае, когда функции F^ (s, v)
203
удовлетворяют следующим условиям:
Hi*, v) ДЛЯ . о • о /«
I/ = 2; t = 2, 4, 6;
/ = 2; /=1,3,5,7,8,
с// ч |/ = 2; t= 1,3,5,
-F't(s, v) для i'. ' ' ' '
\j -•- 1; t r=2, 4,6.
G0)
Если мезоны P н P' — образуют один и тот же октуп-
лет псевдоскалярных мезонов, то в силу статистики Бозе
матричный элемент F6) инвариантен относительно пере-
перестановки двух мезонов, т. е. относительно замены q<—>q
Pt<—>Р1Л- Так как при этом преобразовании
Г->(— 1)'+1Г; G1)
IW(-l)i+'r/ G2)
и v->~—v, то функции F\{s, v) должны удовлетворять
условию
F{(Sf _v) = (_i)'+/f{(Sf v)# G3)
Сравнивая с соотношениями G0), получим
F;8(s(v) = 0. G4)
Таким образем, по аналогии с упругим рассеянием ме-
мезона на барионе матричный элемент аннигиляции пары
барион — антибарион на пару псевдоскалярных мезо-
мезонов из одного и того же октуплета зависит от семи уни-
унитарных амплитуд.
Рассмотрим, наконец, рождение декуплета барион-
з+
пых резокансов — при столкновении октуплета псевдо-
псевдоскалярных мезонов с октуплетом барионов —:
Р+ В->Р' +D. (IV)
В данном случае из унитарных волновых функций ча-
частиц можно образовать шесть инвариантных амплитуд:
T6 r7fa
1 ^^[y&
G5)
204
Среди этих унитарных амплитуд только четыре незави-
независимые. Однако на этом останавливаться не будем, по-
поскольку в принципе можно работать с лишними ампли-
амплитудами, как это было отмечено выше при изучении
мезон-барионного рассеяния. Матричный элемент про-
процесса (IV)
'Tl/7*(Sf °' Gб)
где унитарные амплитуды Т{ даны в формулах G5), а
спиновые амплитуды Tj выражаются через пространст-
1+
венные волновые функции бариона — и и(р) и барион-
z
ного резонанса ^д(р') следующим образом:
«0* <77>
u(p).
Здесь q и q' — 4-импульсы мезонов Р и Pf.
В заключение отметим, что аналогичным методом
также можно получить матричные элементы процессов
рождения векторных мезонов и барионных резонансов:
P + B-+V + B; (V)
SI Q ^1/1 Г}* /\/Т\
+ B->V + L>, (VI)
В +B-+V + P; (VII)
P + B-+V+D. (VIII)
2.2. Соотношения между амплитудами процессов
Из общих выражений матричных элементов рассмот-
рассмотренных процессов рассеяния, аннигиляции и рождения
частиц можно получить соотношения между сечениями
конкретных процессов. Перейдем теперь к выводу этих
соотношений.
Рассмотрим прежде всего процессы мезон-барионно-
го рассеяния. Для изучения соотношений между их сече-
205
ниями достаточно рассмотреть унитарную структуру.
Матричный элемент
G8)
где А{ — функции от пространственно-временных пере-
переменных (импульсов, поляризаций и т. д.). Амплитуды
каждого конкретного процесса выражаются этими семью
независимыми произвольными функциями А{. Так, для
процесса
п++ р->п+ + р
только две унитарные амплитуды отличны от нуля
так как в данном случае только следующие матричные
элементы матриц В, В, Р и Р отличны от нуля
-В? = В\ = Р\ = Я] = 1 •
Таким образом,
Л1(гс+р->тг+р) =АХ + А7.
Аналогичные выражения также можно получить для
амплитуд остальных процессов. Коэффициенты при про-
произвольных функциях А\ —А7 даны в табл. 10. Для удоб-
удобства вместо —К" и —S" в матрицах барионов и мезонов
пишем К~ и S".
Из значений коэффициентов при А , данных в табл. 10,
получим следующие соотношения между амплитудами
рассматриваемых процессов:
М (п+р -> тс+р) - М {vTp -> тГр) = 1/2М (ти"р -> п»п); G9)
М {К+р -> К+р) - М (К°Р -+ К°р) = М (К°р -+ К+п); (80)
М (К°р -> К'р) - М(КГр -> КГр) -
= —М(К~р-*К?п): (81)
М (п+р -> а:+2+) - м (тс-р -> /(+21 = /2М (ти-р ->/@20);
(82)
; (83)
206
М {к°р -> тг+Л) = V2M (К"р -* *°Л); (84)
М (КГр -* тг~2+) + М (К~р -> *+2Г) = 2М (/("р -> *»2°);
(85)
М {К»р -* /С*3°) + М (К~р -* /C°S°) = М (/С~р -> /C+S-);
(86)
М (К+Р -> /(+Р) — М (п+р -+ т&р) = М (п+р -> 7(+2+); (87)
М (К~р -> /Гр) - М {п~р -> я~р) = М (К~р -». и~2+),- (88)
УИ (/Гр -^ ^+2") = М {К~р -* К°3о); (89)
М (тГр -> /С+2"~) - М (К«р -> /C+S»); (90)
У 6М (тГр -> /С»Л) — V2M (тГр -> /С°2°) =
= 2 [М (/Гр -> *+2Г) - М (/Гр -¦ К°п)]; (91)
1/6Л1 (^°р -* п+А) — V2M (к°р -* те+2°) =
== 2 [М (тс-р -> /ГЦ - Af (^°p -> А:+п)]; (92)
/ЗМ (/Гр -». 71°Л) + /2М (тс~р -* Tfin) =
= М G(-р -ч. тсО2°) - М (/Гр -* К°п); (93)
УИ (/С~р -» чЛ) - -т= М (/Гр -* t|S«) =
уз
- М (/(-р -> /(OS») + -~ М {К°Р -> "+Л). (94)
/6
Среди соотношений G9) — (94) восемь первых можно
получить из изотопической инвариантности, а остальные
являются новыми следствиями унитарной симметрии.
Если S-матрица инвариантна относительно /?-преобразо-
ваний, то получим еще некоторые соотношения. Однако
не будем предполагать /?-инвариантности, поскольку
/^-преобразование не принадлежит группе SUC), и в дей-
действительности /^-инвариантность не имеет места, как это
было отмечено.
По аналогии с полученными соотношениями между
амплитудами мезон-барионного рассеяния для процессов
207
Таблица 10
Процесс
3I~*~ -f- p —> 31 ~\- Р
я"~ + р -» я"~Ч- р
я -(- р —» w -f- n
п~ + р -* г\ + п
К- + Р-, К~ + р
Ко _|_ р+ко + р
V + P-.V+P
К-+р-*К0 + п
я+ + р ^. д+ + 2+
я-+р_К++2-
я + Р -»• К0 + 2»
л +р-+К° + Л
к-+р4п++х-
Л° + р-я +20
Ко+р^п +Л
1Г +р_*яо + 2о
К + р -»ti + 2°
К~ + р -* п° + Л
г.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7-s
1
1
1
1
Т*
1
1
1
1
У~2
1
У Т
1
г»
1
1
1
1
1
У 6
~2~
1
2 УТ
1
2 т/У
1
1
ут
1
y~w
1
2
У 6
1
1
У~2
1
у~т
1
2
У
1
/з
208
Процесс
/(о + р _> по + 2
К0 + Р - Я4" + 2°
К + р —> /С ~Ь 2
1
1
1
г*
1
1
Продолжен]
т*
1
~~ 3
-VI
т*
1
6
1
1
VT
ie табл. 10
т*
2
3
1
~" 3
барион-барионного рассеяния и антибарион-барионного
рассеяния имеем соотношения:
М (S"> -^ 2+2") = М (В~р -> лЕо); (95)
(96)
(97)
; (98)
- Af (S
a« CS"p -> ITp) = м (S-p -> s-
^ (pp -* 2Г2Г) =
и т. д.
Рассмотрим теперь аннигиляцию пары барион — ан-
тибарион в покое на два псевдоскалярных мезона. В дан-
данном случаер4 = pi, Р = р' = 0, т. е. р = р\ v =—(р—р') X
X (q—q') = 0. Так как нечетные функции v должны обра-
обращаться в нуль при v = 0, то только четные функции
Fl (s, v) в матричном элементе F6) могут давать вклад.
Более того, для бариона и антибариона в покое волно-
волновые функции и(р) и v(p) имеют вид
v=-C~u
T=< °
где ф — двумерный спинор, и vu = 0, т. е. первая спино-
спиновая амплитуда равна нулю. Таким образом, матричные
элементы аннигиляции пар барион — антибарион в покое
на пары псевдоскалярных мезонов зависят только от трех
четных функций /^(s, 0), а именно: Т\ (s, 0), /^(s, 0) и
F\{s, 0). Соответствующие коэффициенты даны в
табл. 11.
Процесс
р + р-* П+4 Л~
р -| Р - К° |- Я°
Л + р -> К+ Н- л°
л + р^/с-ь + л
Е+ + Р-.К++Я-
а° + р - к+ + к°
0
1
0
0
1
1
1
0
1
т*
-I
— 1
0
1
1
0
0
0
0
Та*
V
) л и ц а 11
т*
0
1
1
1
2 /~3~
1
~2~
1
0
/1
0
Отметим, что в табл. 11 не были включены процессы
ти+ +
+ р -* К [" 'г /(Н ,
которые запрещены либо сохранением С- и Р-четностей,
либо сохранением G- и Р-четностей и требованием ста-
статистики Бозе. Не рассматриваются также процессы, ам-
амплитуды которых определяются амплитудами процессов
при помощи изотопических соотношений.
Из значений коэффициентов, данных в табл. 11, полу-
получаем следующие соотношения между амплитудами рас-
21Q
сматриваемых
М {рр
MQ
М(рр->К*К )
процессов:
: М (РР > 7Г
2
b7t-) = MQl
> = Af (S»p -> /С
'V")-|-M(^+/
-+ Л'°Л'°) +Л*(/
--Л'-п);
'ip-+K+r
М (рр —>
A00)
(Ю1)
); A02)
1); (юз)
A04)
и т. д.
Как было показано, амплитуды процессов рождения
барионных резонансов— при столкновении псевдоска-
псевдоскалярных мезонов с протоном выражаются через четыре из
шести произвольных функций At пространственно-времен-
пространственно-временных переменных. Однако можно рассмотреть все шесть
функций Ai и пользоваться матричным элементом
A05)
где Т1 определяются из формул G5). Коэффициенты при
Аг для каждого процесса даны в табл. 12.
Отсюда получаем соотношения:
L- М (тГр -> тг+А~)
уз
= М (К~р -> n~Y*+) = М (К~р -> /(+S*-); A06)
\М (К+Р -> /(°А++) Г + 3 \М (ти+р -, /С+У*+)|2 =
++ A07)
Аналогичный метод можно также применить к изу-
изучению амплитуд процессов рождения векторных мезонов
211
Таблица 12
Процесс
JX~*~ -j- р —> 7V 4". А '
Я~* + Р -* Л+ + А~
л+ 4- Р -* у\ -f A++
7-1
1
Уз
— 1
2
Уб
1
Уз"
1
1
1
2/3
1
— 1
1
""Уз
1
2 УЗ
1
~~ 2
1
Уз"
— 1
1
Уб
1
3/2
1
1
ye-
1
1
1
""Уз
1
2/3
т*
2
Уб
1
Уз
i
1
Уз
1
2 УЗ
1
3
Ть
1
УЗ
1
"Уз
1
Уб
1
ЗУ2
1
V2
1
Уб
1
Уз
— 1
1
Уз"
"б"
т*
1
Уз
1
Уз
1
У2
1
Уб
1
Уз
1
Уз
1
"~ 3
212
Продолжение табл. 12
Процесс
+ ,*0
я- ¦!- р - К0 -1 V"
i/ | 0 | у/*-}-
*\ i " Р —^ "Ь ~ 1 *
1
Кб
1
Уз"
1
п
1
Уб
1
1
У2
1
1
Ico
1
1
Уб
1
ЗУ2
1
Уз
1
7-4
1
ye-
V2
3
1
Уз
1
/з
г»
1
Уб"
1
1
3 У2
т*
1
Уб
V2
3
при столкновении псевдоскалярных мезонов с протоном.
В частности,
м {к
Л1
= м (п+Р
= А! (тс
к*
М (те"/?
/3
= м (/(~р -> р~г*+) = м (к~р
A08)
); A09)
(ПО)
Наконец, приведем соотношение между амплитудами
процессов рождения ЛГ-мезона, представляющего собой
унитарный синглет:
М (те
¦Хп) = ~
Y%
з
М(К~р-+ХА).
A11)
213
2.3 Сохранение V- и К-спинов
Как л и случае трехчастичных вершин, многие из по-
полученных соотношений между амплитудами рассеяния
являются следствием сохранения U- или V-спина либо U-
или У-зарядовой симметрии (U- и 1/-подгруппы были рас-
рассмотрены в гл. 3, п. 1.4). Поэтому они могут быть выве-
выведены без изучения общей структуры матричных элемен-
элементов применением либо техники группы S(/B), либо
дискретных преобразований ?/- или К-зарядовой сим-
симметрии.
Действительно, применим к процессам /С~р-^я+2~ и
я~р->/(+2~ сначала преобразование V-зарядовой сим-
симметрии, затем преобразование ^/-зарядовой симметрии и
отражение времени. Так как при V-зарядовой симметрии
с точностью до знака волновых функций
/Г <-->*- тс+<—>/(+, р«—*2+. s-«—>2Г
(см. гл. 3, п. 2.2), то эти процессы переходят в процессы
соответственно. Далее, при fZ-зарядовой симметрии с точ-
точностью до знака волновых функций
(см. гл. 3, п. 2.2), и последние процессы переходят в
соответственно. В силу Т-инвариантности амплитуды
этих процессов равны амплитудам их обратных про-
процессов
/Г + р-»/С°+ So и Л° + р-^/(+ + 2о.
Таким образом, из инвариантностей относительно пре-
преобразований V- и fZ-зарядовой симметрии и отражзния
времени вытекают соотношения (89) и (90):
М (КГр -> я+2~) = М (КГр -> К°Е°);
М (?Ср -+ К+2Г) = М (К°р » /C+S°).
Отметим, что соответствующих соотношений для ампли-
амплитуд рождения векторных мезонов не существует, так как
в этом случае нельзя пользоваться Г-инвариантностыо.
214
Применим теперь к процессам
преобразование ^/-зарядовой симметрии. Поскольку при
этом преобразовании Е~<—>р, 2+<—>В°9 2-<—>п>
то эти процессы превращаются в процессы
р -f 3~ -* S° + п, п + S~~ -> n -f ST, S~ + S~ -> я + /7.
Таким образом, iZ-зарядовая симметрия дает соотно-
соотношение
М (В~р - 2+2~) - Л1 (S-p -, пЕ°);
U- и Г-зарядовые симметрии приводят к соотношению
а (/-и Г-зарядовые симметрии вместе с Г-инвариантно-
стью дают соотношение
м (рр - 2Г2-) = м (?р -> s°s°).
Получаем снова соотношения (95), (96) и (99).
Покажем теперь, что соотношения (87) и (88) явля-
являются следствиями сохранения У-спина. Если рассматри-
рассматривать частицы как компоненты V-мультиплетов, то полу-
получим следующие V-дублеты:
К v \ I п
но аналогии с Г-дублетами
Из сохранения Г-спина мы получили соотношение
М (К+р - > /С+р) - М (К°р - - /С°р) + М (К°р - > К* и)
(см. гл. 2, п. 4.2). Аналогично из сохранения V-снина
вытекают соотношения
М (К+р -> /С+р) = Af (л+р -* л+р) + М (л+р -> /С+2+);
М (я"/> -> я~р) = М (К~р -¦ /(~р) - М (К> -+ я~2+) -
Таким образом, снова получены соотношения (87) и (88),
а также соотношения между амплитудами рождения
векторных мезонов A08) и A09).
Если теперь рассматривать рассеяние частиц в V-
дублете
р
-2+
то по аналогии с изотопическим соотношением
М(рр->рр) = М(пр~>пр) + М(пр~>рп)
найдем
м (рр -+рр) = м B+р -> г4» + м cs+p -> pS+),
а если рассматривать рассеяние частиц в К-дублетах
получим
Таким образом, соотношения (97) и (98) также являют-
являются следствием сохранения У-спина.
Рассмотрим теперь рождение барионных резонансов
3+
— . Барионные резонансы Д", У*~, S*" и й"-гиперон
образуют V-мультиплет с У-спинома равным 3/г. Напом-
Напомним, что имеются следующие V-дублеты:
п~
К'
Следовательно, сохранение V-спина приводит к соотно-
соотношениям между амплитудами процессов
л~ + р->л+ + А", п- + р->К+ + У",
КГ + р-* я+ + Y*-, K~ + p-*K+ + S*-
по аналогии с следствиями сохранения Г-спина в про-
процессах:
К+ + S»
/(о_
216
Здесь имеется соответствие
/Г
к" I ук-
Соотношения A06)
-4=- М (я~р -> л
в действительности являются следствиями сохранения
V-спина. Аналогично при сохранении V-спина
= м (я-р -* /с*+к*-) = м (к~р -> /с*+а*-).
2.4. Сравнение некоторых соотношений
между сечениями с экспериментом
Из полученных в п. 2.2 соотношений между амплиту-
амплитудами вытекает ряд равенств и неравенств треугольника
между сечениями, а также между поляризациями в раз-
различных процессах. Так, например, имеют место равен-
равенства между сечениями
а {КГр -* л+2Г) = а (КГр -> Л'°2°); A12)
а (л"/? -* К+2") = а (Я°р -^ /(+2°), A13)
а также между поляризациями в соответствующих про-
процессах. Из соотношений (87) и (88) получаем неравен-
неравенства треугольника
а (я+р -> л+р)-1/а (К+р -> /С+р)| <Ка (я+р - /(+2+);
A14)
217
/g (зГр -> n~p)~ Vo {K~p -> К~р)\
A15)
Что касается сечений рождения барионных резонансов,
то
~- а(п~р -->я+Д") ¦= а (КГр->я+У'*""") =-
- а (я "р -> К ' К'") = а (/С"/; -> /(н S*~); A16)
а (Я"/) -> /С°А4"+) + За (я+р -> K+Y*+) =
- а (я+р -> л°А+) + Зо (я+р -> TJА"). A17)
Если симметрия выполняется строго и массы частиц
в каждом унитарном мультиплете разны, то можно сразу
сравнить с опытом полученные соотношения между диф-
дифференциальными сечениями при одинаковых значениях
s и t или соотношения между полными сечениями при
одинаковых значениях s. Однако поскольку массы ча-
частиц в каждом унитарном мультиплете в действительно-
действительности не равны между собой, то существуют значения 5,
лежащие <в физической области одного процесса (около
порога) и нефизической области другого. Во избежание
этой трудности в качестве переменной, при одинаковых
значениях которой сравниваются сечения, можно вы-
выбрать разность Q = Е — 2/п, где Е — полная энергия в
системе центра масс, а 2т— сумма масс рождающихся
частиц. Отметим, что при малых энергиях кинематиче-
кинематические множители в сечениях различных процессов различ-
различны, поэтому из соотношений между амплитудами полу-
получаются соотношения не между сечениями, а между от-
отношениями сечений к значениям этих множителей.
Иначе говоря, полученные соотношения следует срав-
сравнить не с экспериментальными, а с некоторыми «исправ-
«исправленными» значениями сечений.
Рассмотрим прежде всего соотношения A12) и A13).
При малых энергиях процессы в левых частях проходят
через резонанс (барионный резонанс У* дает вклад), а
сечения процессов в правых частях очень малы. Здесь
нарушение симметрии существеннр. Если бы симметрия
выполнялась строго, то бариоиный резонанс У* мог бы
давать вклад во все процессы, и сечения процессов в пра-
218
вых частях соотношений A12) и A13) также проходили
бы через резонанс.
На рис. 12, а приведены данные, относящиеся к не-
неравенству A15). В рассматриваемой области энергии
это неравенство выполняется. При больших энергиях
(Q ^ 1 Гэв) сечение процесса /("/?-> я~2+ весьма мало.
Если пренебречь этим сечением, то
а (К~р -» КГр) ж а (тГр -» тГр).
Соответствующие экспериментальные данные представ-
представлены на рис. 12, б. Поскольку сечение а(я+р-^/(+2+)
фактически достаточно мало при всех Q, то получим при-
приближенное равенство
а (К+р -+ К+р) « а (я+р -+ я+р),
которое не выполняется при малых энергиях, где барион-
ный резонанс А++ дает вклад в сечение а(я+р->я+р).
Значения сечений соответствующих процессов даны на
рис. 13, а и б. Отметим, что если бы симметрия выполня-
выполнялась строго и массы частиц в одном мультиплете были
равны, то резонанс Д++ давал бы вклад в сечение
(+/С)
)
Из соотношений (87) и (88) между амплитудами
можно получить при помощи оптической теоремы также
следующие соотношения между полными сечениями упру-
упругих процессов и дифференциальными течениями неупру-
неупругих процессов при нулевом значении передачи импульса
К, (л+/>) - аш {К+Р) | < |/ 16я -2L. (к+р
A18)
\<*ш (О) - ом (К~р)\ < ]/ 16д -J- AСр - ""Е+
A19)
Здесь уместно выписать также изотопическое соотно-
соотношение
-^- (д-р
. A20)
219
Согласно имеющимся данным при больших энергиях
°ш i*+P) — °ш (Я+Р)~D,0 ± 0,5) мбарн;
<*ш (п"р) — °ш (К~Р)~F.0 ± 0,5) мбарн;
*ш(п~~Р) - °ш(п+Р) ж B.0 ± 0,6)
а сечения неупругих, процессов при нулевой передаче
импульса пока неизвестны.
SF
8,0
7,0
S.O
5,0
+,0
3,0
2,0
1,0
i i i
-
1 (
- i т
{
И
' 1 1
¦ \
-
¦ r i i—¦ l r-
h
t
1 1
} ;
-
-
-
Г
0,2 0,3 М 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 14.
0,Гэв
Рассмотрим теперь соотношения между сечениями
рождения барионных резонансов A16) и A17). На
рис. 14 приведены данные, относящиеся к равенст-
равенствам A16).
В области энергии, где измерены соответствующие
сечения, — а (тСр -* л+Д~Уи а {К~~р -* л+К*~) при-
3
близительно равны друг другу, но сильно отличаются от
а (лГр -> К~*"У*~) и а (/С~р -* /С+2*""). Может быть, это
обусловлено существованием некоторых резонансных
состояний систем л+Д~ и л+К*~~. Если массы я- и /С-
мезонов были бы равны и массы А"", У*"" и 5*~~ также
равны, то эти резонансу могли бы давать вклад также в
222
Процессы с рождением /С!Т* и KB* соответс?венно.
Что касается соотношения A17), то -в рамках ошибок
эксперимента оно выполняется (рис. 15).
На основе полученных результатов мы можем заклю-
заключить, что в области энергии, где сечения процессов про-
проходят резонансы, соотношения между сечениями, полу-
«ченные в унитарной симметрии, не согласуются с экспе-
экспериментальными данными. Здесь нарушение симметрии
10
— Зб(х+р-~- У*"К*)
играет важную роль. Поэтому следствия унитарной сим-
симметрии следует проверить при достаточно большой энер-
энергии, где резонансные состояния дают несущественные
вклады. К сожалению, в настоящее время сечения не-
неупругих процессов при больших энергиях еще не были
измерены с достаточной точностью. Для дальнейшей про-
проверки унитарной симметрии этот пробел должен быть
заполнен. Отметим, что необходимо измерить не только
полные сечения неупругих процессов, но и дифференци-
дифференциальные сечения этих процессов при нулевом угле выле-
вылета. Если соотношения, полученные в унитарной симмет-
симметрии, не выполняются даже при больших энергиях, то
экспериментальные данные позволят судить о том, до ка-
какой степени нарушается симметрия.
223
Литература
Лагранжиан взаимодействия и трехчастичные вершины
Белов В. П., Шехтер В. М. «Ядерная физика», 2, 757 A965).
Боков О. Г. Препринт ОИЯИ, Р—2444, 1965.
Dullemond С. et al. Phys. Rev. Lett., 10, 423 A963).
Gell-Mann M. The Eight Fold Way, CTSL—20, 1961.
Glashow S. L, Rosenfeld A. H. Phys. Rev. Lett., 10, 192
A963).
Glashow S. LM Socolov R. H. Phys. Rev. Lett., 15, 329 A965).
Иоффе Б. Л., Кобза рев И. Ю., Померанчук И. Я. «Ж.
эксперим. и теор. физ.», 48, 375 A965).
Маринов М. С. «Ядерная физика», 2, 321 A965).
Нгуен Ван Хьеу, ТихонинФ. Ф. Препринт ОИЯИ, Р—2568,
1966.
Oku bo S. Progr. Theor. Phys., 28, 24 A962).
Oku bo S. Phys. Lett, 5, 165 A963).
Sakurai J. J. Phys. Lett., 10, 132 A964).
Tanaka K. Phys. Rev., 133, B1509 A964).
Фам Куй Ты. «Ядерная физика», 3, 347 A966).
Енковски Л., Кухтин В. В., Нгуен Тхи Хонг. «Ядерная фи-
физика», 5, 891 A967).
Мезон-барионное рассеяние и рождение резонансов
Freu nd P. G. О. et al. Nuovo cimento, 25, 307 A962).
Harari H., Lipkin H. J. Phys. Rev. Lett., 13, 208 A964).
Levin son С A. et al. Phys. Lett., 1, 44 A962).
Lo gunov A. A. Nguyen van Hieu, Hsien Ting chang, Nuovo ci-
cimento, 33, 1312 A964).
Meshkov S. et al. Phys. Rev. Lett., 10, 361 A963).
Meshkov S., Snow G. A., Y о d h G. B. Phys. Rev. Lett., 12, 87
A964).
Шехтер В. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 43, 205 A962).
Глава пятая
Электромагнитные и слабые
взаимодействия в унитарной
симметрии
§ 1. Электромагнитные взаимодействия
1.1. Электромагнитный ток в унитарной симметрии
Как известно, в теории изотопической инвариантности
предполагается, что электромагнитный ток сильно взаи-
взаимодействующих частиц
где J° —инвариант изотопической группы; /^ — третья
компонента некоторого изотопического вектора V^, i = 1,
2,3,
4 = У1 = <У»)"ь{тзI B)
Так как эти токи не меняют гиперзаряд систем частиц, то
они инвариантны относительно калибровочных преобра-
преобразований волновых функций
где У— оператор гиперзаряда. Иначе говоря, это собст-
собственные функции оператора У с нулевыми собственными
значениями. Если же существуют еще другие сохраняю-
сохраняющиеся квантовые числа, например суперзаряд Z (см. гл. 3,
п. 3.2 и 3.3), то для токов /° и /J эти квантовые числа
также равны нулю. Поскольку октуплет представляет со-
собой унитарный мультиплет с наименьшим числом компо-
компонент, содержащий изотопический скаляр и изотопический
вектор с нулевым гиперзарядом (а также суперзарядом
и пр.), то естественным обобщением изотопических
свойств электромагнитного тока является предположение
о том, что токи /^ и /* принадлежат одному и тому же
унитарному октуплету (Уц)$ . Для описания октуплета
8 заказ 809 225
вместо спинора (^ц)з можно пользоваться восьмимер-
восьмимерной величиной
vi-v^ht C)
[см. гл. 3, формулы D6), и D7)]. Тогда V? есть компонен-
компонента этого октуплета с Г = У = 0, а ^ -компонентой с
Y = О, Т = 1, Гз = 0 [ср. с формулами A), C2) и C2")
ri гл. 3]. Поэтому наше предположение приводит к тому,
что электромагнитный ток /^ представляет собой линей-
линейную комбинацию компонент V^ и V^ октуплета V ^
(t= 1,2...8):
J^aJl + bJl
где а и b — некоторые константы, общие для всех частиц.
Чтобы определить константы аи Ь, рассмотри^ ток Je
для свободных кварков. Так как кварки /р, tn, t\ имеют
заряды —, , , то ток /• равен
где г|?а — волновые функции кварков. С другой стороны,
спинор (Уц)? для свободных кварков равен
Поэтому для свободных кварков
где Xе — диагональная матрица с диагональными эле-
2 11
ментами—, ,- .Нетрудно проверить соотноше-
3 3 3
ние
Отсюда получаем а = — и b = ¦ . Поскольку эти
константы общие для всех частиц, электромагнитный ток
в унитарной симметрии
D)
В гл. 3 (п. 4 и 2) было рассмотрено разложение уни-
унитарных мультиплетов в мультиплеты подгрупп Г-спина,
226
U-спииа и К-спина. В частности, было показано, что
К-синглетами служат комбинации
_ 1 1 \
а ортогональные к ним комбинации
VO 1/Q1 ттО Л/ *^yi nO l/^^rnO
являются компонентами с Кз = 0 К-триплетов. Таким же
образом можно показать, что электромагнитный ток [см.
формулу D)]
Lv8
представляет собой синглет подгруппы V-спина.
Формулу D) можно переписать в более удобном для
применений виде:
^ У (VV)! - ^-(^ - у (VV)'•
Поскольку (V^ удовлетворяет условию (Уц)% = 0, то
— (VjiJ2 —(V\i)l можно заменить на (У[})\ . Следо-
Следовательно,
Jl = (V»)\. E)
1.2. Электромагнитные вершины
Предположение, • что электромагнитный ток является
компонентой унитарного октуплета, приводит к ряду экс-
экспериментально проверяемых следствий. Рассмотрим не-
некоторые из них. Так, найдем в общем виде матричный
элемент октуплетного тока AЛ,)? между состояниями
октуплета барионов JL. :
1\ РУ > = {« iPi) YH« (Pi)
ф- и (Pl) f2 (fe2)} (ВД -
\^(p2)y[itU(P\)f?(k2) +U{p2)—^f- tt(/7j)/f (fe2)J X
F)
где Af — масса барионов, a k = р{— р2.
8* 227
Подставив в выражение матричного элемента {V ^)\
матрицы В$ и ?? , данные в гл. 3 (см. п. 2.2), получим
<Р2 \Jl\pi> = {«(рг) V (Pi) /'" (*2) -Ь
4 B(ft)^r«(Pi)/« (**)} Е^ЬЕ
Н- {«Ы Т»« (/'0 f i' (?2) +«(Рг) -^jp «(Л)} [4- РР -
'L т, !.. i", , J_ V"V 4 ¦ -L V0V0 . L _L V~V- —
\ -L a-s- + -i- B* + Х20)]. G)
Таким образом, формфакторы барионов и формфакторы
электромагнитного ЕХ-перехода выражаются через форм-
факторы типа F и D следующим образом:
П (k2) = f№) + ~ f? (k\ fi (k*) = - I- f?(k2);
о о
ft>2) = /f(k2) _L fi(k\ ft' tf) - —L /f (*2);
о о
= - j- f?(k2);
(8)
Отсюда следует, в частности, что магнитные моменты ба-
барионов связаны соотношениями
Цр = 1^-ь (9)
M-S- = ^s-; A0)
jirt = — 2|iSo = fxso = 2fXx, A1)
не считая изотопического соотношения между магнитны-
магнитными моментами 2-гиперонов. В силу сохранения ааряда
все электрические формфакторы заряженных частиц рав-
равны единице при k2 = 0, а формфакторы нейтральных ча-
частиц обращаются в нуль при k2 == 0. Отсюда следует, что
228
ft @) = 0. Так как формфакторы ХЬперехода пропорцио-
пропорциональны ff (й2), то
/f@)-0, A2)
т. е. в распаде
vo-,A-f у
только один формфактор f^x (^2) Дзет вклад согласно
требованиям сохранения электромагнитного тока. Что ка-
касается константы f^x @), то из формул (8)
ff(O) = ~^fiin. 03)
Отметим, что /^-инвариантность требует, чтобы ff (k2) =
= 0 и, следовательно, jin = 0, что, очевидно, противоре-
противоречит опыту.
Рассмотрим теперь соотношения между формфакто-
рами псевдоскалярных мезонов. Матричный элемент то-
тока (Vii)p между состояниями мезонов с импульсами р\
и р2 имеет вид
<Р2 \<$
+fD (
Покажем теперь, что'в силу С-инвариантности формфак-
формфактор типа D равен нулю. Действительно, электромагнит-
электромагнитный ток меняет знак при зарядовом сопряжении С,
а (Кд)р преобразуется следующим образом:
С другой стороны, при С-преобразовании
следовательно,
{РауР1 ± ПР*у) - ± (P'yPl ± PlP'y) . A6)
Сравнивая A5) и A6), получим
fD(k2) = 0. A7)
Отсюда следует, что формфакторы всех нейтральных ме-
мезонов равны нулю, а формфакторы заряженных мезонов
229
равны по величине. В частности,
//<0 (/е2) = 0; A8)
{**(&) =f*+(k2)u A9)
Перейдем теперь к изучению электромагнитных рас-
распадов элементарных частиц и резонансов. Унитарная
часть матричного элемента электромагнитного тока меж-
между состоянием синглета или октуплета векторных мезо-
мезонов и состоянием октуплета псевдоскалярных мезонов
равна
B0)
<Р |
| V> =
При зарядовом сопряжении
B1)
а ток /• меняет знак. Отсюда следует, что в силу С-инва-
риантности константа gF в формуле B1) равна нулю.
Учитывая фсо-смешивание, из формул B0) и B1) полу-
получим выражения констант конкретных распадов через gs
H?D:
i i
g +n -f,o ~~1Г g » g i/± 걄 = T g »
S *0
К ->/C°Y
TD.
1
% a = - a
= -~r= cos 0 ^-zzr sin 0,
/3 ]/2
= w sine+ -^r cos 0;
¦D.
B2)
= — — sin 9 + -7=- COs9-
з К6
Таким образом, в унитарной симметрии существуют сле-
следующие соотношения между константами радиационных
230
распадов векторных мезонов на псевдоскалярное МёзонЫ:
? ±.о^я±,о: &к*±^к± '8к*о->Коу:§ро_>^ =1:1: —2: ]/3; B3)
I2-Mtf !2-=3fl? \2 + \8 12^ B4}
Рассмотрим радиационные распады мезонов 2 +
па псевдоскалярные мезоны. Из С-инвариантности сле-
следует
<Р|/?|а>'°> = 0; B5)
<Р | J^ \T>=fF (Р1УП - Р]Т[У); B6)
и, следовательно, константы радиационных распадов всех
нейтральных частиц равны нулю, а константы распа-
распадов Kf± и pf± равны по абсолютной величине:
?*'±^±Г = 1ГР'±_А B7)
Отметим, что одно из равенств B8), а именно последнее
(ёК'*->к°у = 0), является новым следствием унитарной
симметрии, а остальные могут быть получены из С-инва-
С-инвариантности.
Аналогичные соотношения также имеются для кон-
констант радиационных распадов частиц из мезонного нону-
плета 1+. Если этот нонуплет имеет С-четность—1, то
мы имеем соотношения вида B3) и B4), а если С-чет-
С-четность нонуплета 1+ равна +1, то имеют место соотноше-
соотношения вида B7) и B8).
Поскольку iV-мезон — унитарный синглет, то матрич-
матричный элемент тока /? — компоненты октуплета — между
состояниями Х- и (о°-мезона равен нулю:
<coo|j^|X>-0, B9)
а матричный элемент между состояниями А"-мезона и
откуплета векторных мезонов зависит от
<V\Jb\X> = fV\X. C0)
Учитывая <ро)-смешивание, получаем
gx+pov = тгfy 8x>w = Yfsin ef;
231
Следовательно,
1 •
^X-^p»Y ' &X-HOY * ^Ф->Л'т "" i/ 3 ' 1 3"
где 0 — угол фсо-смешивания.
Многие из написанных соотношений можно получить
весьма просто, если применить технику подгруппы
SUB) V-спина и пользоваться тем, что электромагнит-
электромагнитный ток является У-синглетом. Например, матричный
элемент электромагнитного тока между состояниями
К-дублетов
* ) *+
должен быть инвариантом У-подгруппы и равен
Отсюда получим одно из соотношений B3)
Аналогично найдем соотношение B7).
Метод У-спина оказывается весьма удобным при изу-
изучении ряда электромагнитных процессов. Поскольку ком-
комбинация я0 — V Зг) является компонентой У-триплета,
а ток — V-синглетом, то матричный элемент произведе-
произведения двух токов между вакуумом и состоянием л° — V Зт^
равен нулю:
Отсюда получим
W I (х) Л (у) | *<>> = Vr3 <01 JI (х) у; (у) | Л>. C3)
С другой стороны, матричные элементы радиационных
распадов я0->у + Y» Л^У + У пропорциональны мат-
матричным элементам произведения токов между вакуумом
и состояниями этих частиц. Поэтому из равенства C3)
получаем соотношение между константами рассматри-
рассматриваемых распадов
8n^n=V4^y C4)
232
Рассмотрим теперь матричные элементы виртуальных
переходов между фотоном и нейтральными векторными
мезонами р°, со, ф. Матричные элементы равны
-О C5)
<O\Jl\V> = fV\ C6)
по аналогии с соотношениями B9) и C0). Отсюда
а .<? -а = 1 • sine • cosе
: • 1^з '
где 0 — угол фоо-смешивания.
Рассмотрим, наконец, электромагнитные распады де-
куплета барионных резонансов. Унитарная часть матрич-
матричного элемента имеет вид
\и I «/jj, I L)/ — /8 JD^U^yi. (^8)
Константы конкретных процессов с точностью до знака
равны:
- L_f.
C9>
Найдем соотношения:
D0)
ff ._ _ =g._ _ =0, D1)
Y ->L Y S -*S Y
среди которых только одно соотношение
получается из изотопической инвариантности. Отметим,
что все соотношения D0) и D1) можно получить просто
233
из сохранения У-спина. Действительно, существуют сле-
следующие К-мультиплеты:
А+
а комбинация
УЪ1Р -|- X
является V-синглетом, как и ток /* Тогда из инвариант-
инвариантности относительно подгруппы К-спина сразу вытекают
соотношения
С другой стороны, из сохранения Г-спина получим
Нетрудно видеть, что все эти соотношения полностью
эквивалентны соотношениям D0) и D1).
1.3. Соотношения между вероятностями распадов
На основе полученных выше соотношений между кон-
константами радиационных распадов можно получить соот-
соотношения между вероятностями соответствующих процес-
процессов. Рассмотрим радиационные распады векторных мезо-
мезонов. Матричные элементы конкретных процессов имеют
вид. __ _
М (V -+ Ру) = egw (q) eapv5 аЛдоуЬ, D2)
где k и q — импульсы фотона и псевдоскалярного мезона,
?<* и ?g — волновые функции фотона и векторного мезо-
мезона, а константы gi различных процессов связаны между
собой соотнощениями B3) и B4). Обозначим М ц щ
234
Массы векторного и псевдоскалярного мезонов. Вероят-
Вероятность
D3)
м
Соотношения между вероятностями даны в табл. 13.
Таблица 13
Отношение вероятностей
W(Km± ->Лг±т)
W (К*°-> К°у)
U7(p±'°-*jt±'°7)
У(Р°-ЛТ)
У(р±'0->я±Л)
W (со -» п°у) + 0,44W (ф -> л°7)
^(со-> tiy) + 0,12\Г (ф-> T]Y)
Теоретическое
значение
0,58
2,32
0,36
21
Матричные элементы радиационных распадов мезо-
мезонов 2+ на псевдоскалярные мезоны имеют вид
М (Т -+ Ру) - eg& (q) глт"елрф^аТь^ D4)
где рр и Тьв—импульс и волновая функция мезона 2+.
Найдем отношение вероятностей
Отметим, что
№ (/('о __+ ць^ = о. D6)
Рассмотрим теперь радиационные распады мезонов 1+
на псевдоскалярные мезоны и фотон. Матричный элемент
каждого процесса имеет вид
М (А -+ Ру) = egl7p {q)\ (k) [q^ (p) k, - А»(р) (qk)]t D7)
а вероятность
D8)
96 л
M
235
Ьде Мит — массы мезонов 1+ и 0~ соответственно. Меж-
Между константами gi имеют место соотношения B3) и .B4)
или B7) и B8) в зависимости от С-четности мезонов 1+.
Для рассмотренного в предыдущей главе нонуплета ме-
мезонов 1+ с С-четностью —1 из соотношений B3), B4)
и D8) получим соотношения между вероятностями, при-
приведенные в табл. 14.
Таблица 14
Отношение вероятностей
W{K~±_K±y)
W(K*'0-* К°У)
Теоретическое
значение
0,51
2,03
1,58
Аналогично равенство C2) приводит к соотношениям
между вероятностями распадов
Тогда
Ху) =
\ тх J ° \ тх
Из равенства C4) получим
3.cos'e/<-'"l48
' 3 mm
3 \ ) '
E0)
Соотношения C7) можно проверить изучением элек-
электромагнитных распадов нейтральных векторных мезонов
0)
>ег + е ;
Ф - > ел~ + е ; \i+ +
236
Матричные элементы процессов такого типа имеют вид
E1)
где 1ц , u(k\), v(k2)— волновые функции векторных мезо-
мезонов и лептонов соответственно; М — масса мезоной,
a gV-w — константы виртуальных переходов Между ео^
стояниями фотона и векторных мезонов. Вероятность
равна
где mj — масса лептонов. Из соотношений E2) и C7)
получим
W (()° -> е+ё~, \i+\i~): W (<о -> е+е~, ц+ц~): IF (<р -> в+в",
ц+fi") = 1: -sin26: - cos2e » 1: —: 1. E3)
8 2 8
При изучении формфакторов барионов мы показали,
что матричный элемент распада
2° -> X + у
полностью определяется магнитным моментом нейтрона
E4)
где М — средняя масса барионов. Таким образом, веро-
вероятность этого распада равна
WBXy), V;(o *
Рассмотрим, наконец, распады барионных резонан-
сов — . Матричные элементы этих процессов имеют вид
(D -> By) = eu(q) J ( ^
} ^ E6)
где w(^) и ^ц (р)—волновые функции барионов и бари-
барионных резонансов с импульсами q и р соответственно,
237
tn и М — их массы, а константы gi и U для конкретных
процессов связаны между собой [см. формулу D0)] Ве-
Вероятность равна
/1
х 1 —
Л*2
Очевидно, что отношения кинематических факторов при
|#г|2, |/г|2 и Reft gi различны для различных процессов.
Поэтому из соотношений между константами нельзя по-
получить простые соотношения между вероятностями. Та-
Таким образом, в данном случае для проверки предсказа-
предсказаний унитарной симметрии необходимо прежде всего
изучить поляризационные эффекты и определить незави-
независимые константы в каждом процессе (с точностью до фа-
фазы), а затем сравнить с равенствами D0). Отметим так-
также, что в силу соотношений D1) вероятность распадов
должна обращаться в нуль.
1.4. Проверка унитарной симметрии
в опытах с встречными пучками
Создание ускорителей с встречными пучками элек-
электронов и позитронов открывает новые возможности экс-
экспериментальной проверки предсказаний унитарной сим-
симметрии относительно электромагнитных формфакторов
мезонов, а также формфакторов в вершинах различных
электромагнитных переходов между состояниями ме-
мезонов.
Рассмотрим сначала рождение пар псевдоскалярных
мезонов при столкновении электрона и позитрона высо-
высоких энергий. Поскольку формфактор /С°-мезона равен
нулю, то процесс
238
не происходит. Далее, равенство формфакторов я- и К-
мезонов приводит к тому, что отношение сечений про-
процессов
равно отношению кинетических коэффициентов в выра-
выражении сечения. Матричный элемент имеет вид:
v (- k2) у»и (kx) ф (Pl) Ф (р2) (Pl - Л) й ^, E8)
где a(?i) и и(—k2) — волновые функции электрона и по-
позитрона с импульсами kx и k2y q>(Pi) — волновые функции
мезонов с импульсами ри k\ + k2 = р\ + р2, a f(k2) —
формфактор данного мезона. Полное сечение равно
а (Е) = 11 f (- Р) |« (l - -^-)'/l -ij , E9)
где Е = К—&2 — полная энергия в системе центра
масс, т — масса мезонов. Отсюда получим
' (б0)
Аналогично матричный элемент процесса рождения
псевдоскалярного мезона и векторного мезона, например
е+ + е~ -> р+ + те",
имеет вид
М = eg- (Л2) и (— /е2Oц w (*i) Ф (р2) ?v (/Л) eMvaP (pi +
+ Рг)а (Pi — Л)Р, F1)
где | (pi) и ф(Р2)—волновые функции векторного и
псевдоскалярного мезонов с импульсами рх и р2. Их мас-
массы обозначим тх и т2 соответственно. Полное сечение
Из этой формулы и соотношений вида B3), B4) и C2)
одежду формфакторами сразу вытекают соотношения
между сечениями процессов:
е+ +
е+ +
е+ +
е+ +
е+ +
е+ +
Рассмотрим
е-->р+ + тГ;
в-_>ро + Т1).
е~ -» Ф + Л."
в~->Ф + х;
процессы
е+Н
е+Н
е+-\
е+-\
\-е~
\-е~
\-e~~
Ve~
\-е"
Ye"
-р»
/(°;
Из соотношения вида C4) и выражения для сечения сле-
следует, что отношение сечений равно
"+4Y. И
1.5. Соотношения между амплитудами фоторождения
Спинорную технику, развитую в гл. 4, можно приме-
применить также к изучению процессов фоторождения. Одна-
Однако многие соотношения между амплитудами различных
процессов можно получить методом V-спина. Поскольку
электромагнитный ток является У-синглетом, то можно
сказать, что в электромагнитном взаимодействии V-спин
сохраняется. С другой стороны, имеем следующие V-
мультиплеты (см. гл. 3, п. 2.2):
Отсюда получаем, как следствие сохранения У-спина,
соотношение
249
или
F4)
Аналогично для амплитуд фоторождения частиц из
У-мультиплетов
(см. гл. 3, п. 2.2) найдем соотношения
М (ур-> А°тг+) = - У2 М (ур-+ У°/(+); F5)
М (ур~> Д°р+) = - V*M (Yp-> К0**4) . F6)
Можно получить также ряд других более сложных соот-
соотношений. Однако на этом останавливаться не будем.
1.6. Электромагнитное расщепление масс частиц
в изотопических мультиплетах
Как было отмечено в гл. 2 (п. 3.3), перенормировка
массы в результате электромагнитного взаимодействия
приводит к расщеплению масс частиц в каждом изото-
изотопическом мультиплете, и в массовом члене лагранжиана
возникает добавка, неинвариантная по отношению к изо-
изотопической группе (и, следовательно, по отношению к
группе унитарной симметрии). Эта добавка преобразует-
преобразуется как произведение электромагнитного тока на себя
относительно изотопической группы, а также относитель-
относительно группы унитарной симметрии. Так как ток преобра-
преобразуется как компонента октуплета, то произведение тока
на себя должно содержаться в произведении двух окту-
плетов _
8 х 8 = 1 + 8 -!- 8 + 10 + 10 + 27.
Поэтому оно может содержать части, преобразующиеся
по представлениям 1, 8, 10, 10 и 27 группы SUC). На-
Напомним, что электромагнитный ток является V-сингле-
том с Т = 0, Q = 0, а декуплет и сопряженный декуплет
содержат только ]/-синглеты с У= 1, Q = +2иУ = —1,
Q = —2 соответственно (см. гл. 3, п. 2.2). Поэтому про-
произведение тока на себя не может содержать частей, при-
241
надлежащих декуплету и сопряженному декуплет<у. Та-
Таким образом, мы заключаем, что, наряду с инвариант-
инвариантным членом, добавка к массовой части лагранжиана за
счет электромагнитного взаимодействия содержит еще
два члена, являющихся компонентами с нулевыми V-спи-
ном, гиперзарядом и зарядом октуплета и 27-плета.
Рассмотрим электромагнитную добавку к массовой
части лагранжиана барионов. Октуплетный член имеет
вид*
^ з а а
- bBlffi + сВ\В[ - А±? В1В\. F7)
Так как последний член в правой части соотношения F7)
является инвариантом, то его можно включить в синг-
летный член. Следовательно, в качестве вклада типа
октуплета можно взять два первых члена в правой ча-
части соотношения F7). Аналогично вклад типа 27-плета
имеет вид линейной комбинации произведения
В\В\
и двух рассмотренных (октуплетного и синглетного) чле-
членов. Таким образом, электромагнитная добавка к мас-
массам барионов имеет вид
ЬМ = а±В1Ва + а2 В\0\ + а3В\В1 + aJB\B\. F8)
Значения дМ для каждой частицы и значение параметра
2Х-смешивания выражаются через а* следующим об-
образом:
Шр = fli + Яг; Шп = аг;
6Afa+ = аг + а2; 6М_ = ах + сь6\
1 1 1
1 2 2 2 3 2 4>
вМА = в1 + 1в, + |^ + |с14; F9)
6Л1-0 = аг; 6уИ3_ =. аг + а.6\
F=
* Напомним, что компонентой cV=Y=Q = 0 октуплета являет-
является комбинация —^~ BФ J — ф| — ф|) •
242
Отсюда получаем соотношение Между разностями масс
частиц в изотопических мультиплетах
s_ - Mz,, G0)
- Мп - Мр
которое хорошо согласуется с опытом:
М__ — Мгл ¦-= E,5 ± 1) Мэв;
Ма- Мр----\- 1,3 Мэв;
М,_ - М,+ = (+ 7,7 ± 0,3) Мэв.
Что касается параметра 2>.-смешивания, то
\р - М„) + (М5 AI-.) + (ЛЬ. - ^+^^")).
G1)
Аналогично найдем добавку к массам частиц из де-
куплета
ЬМ = aiD{aPv}DHv} + a2D{la?}D{la
Для конкретных частиц имеем:
6Af ++ = a± + a2 + a3; 6М + = ax
G2)
a3;
= ох + у й2; 6Мs,, = ох
6М »_ = ах; 6MS- = Ox.
G3)
Очевидно, что изотопическое соотношение (см. гл. 2,
п. 3.3)
М М
выполняется. Кроме того,
М _l — Млп
— УИ *0,
G4)
243
Ё заключение отметим, что соотношение G6) для
мезонов является тождеством в силу С-инвариантности,
а формула, аналогичная равенству G1), дает параметр
.ттт]-смешивания:
бя, = -±j [2 (m?+ - т%) + (ml - т2я+)] • G5)
§ 2. Слабые взаимодействия
2.1. Токи слабых взаимодействий
в унитарной симметрии
В гл. 2 были изучены изотопические свойства тока
слабых взаимодействий барионов и мезонов с AS = О
Г - Jv о- 1А
и тока слабых взаимодействий барионов и мезонов с
AS = AQ = 1
Мы предположили, что /?—компоненты изотопических
триплетов (Г3 = —1, Т = 1) с У = 0, a S? A — компонен-
компоненты изотопических дублетов
С другой стороны, известно, что октуплет является уни-
унитарным мультиплетом с наименьшим числом компонент,
который содержит изотопический триплет с Y = 0 и изо-
изотопические дублеты с Y= ±1. Поэтому естественным
обобщением рассмотренных изотопических свойств токов
слабых взаимодействий барионов и мезонов служит
предположение о том, что токи /? и S? , а также JA и
S* вместе с сопряженными к ним токами принадлежат
одним и тем же октуплетам (VV)? и (Лц)? 'соответст-
'соответственно:
244
где <xv,a и Ру,а — четыре произвольные константы. По-
Поскольку ток слабых взаимодействий Jv и изовекторный
электромагнитный ток /? — разные компоненты одного и
того же изотопического триплета, а изовекторный и изо-
скалярный токи /^ и /J принадлежат одному и тому же
унитарному октуплету, то полный электромагнитный
ток /?—компонента рассматриваемого векторного окту-
плета (V»)*
[см. формулу E)].
В универсальной V — А теории слабых взаимодейст-
взаимодействий Гелл-Манна и Фейнмана лагранжиан слабых взаи-
взаимодействий имеет вид
где /^—лептонный ток, причем /? равен (а не пропор-
пропорционален) нормированной компоненте с Г3 = —1 изото-
изотопического триплета, нормированной компонентой с Г3 =
= 0 которого является изовекторный электромагнитный
ток. Иначе говоря, константа ссу равна единице. Это
предположение вместе с предположением о сохранении
векторного тока позволяет объяснить приблизительное
равенство константы распада ^-мезона и векторной кон-
константы р-распада нейтрона. С другой стороны, опыт по-
показывает, что константы ру, а отличаются от единицы,
как мы увидим ниже. Таким образом, эксперименталь-
экспериментальные данные согласуются с предположением об универ-
универсальности токов }1 и Jv y но не согласуются с предполо-
предположением об универсальности всех токов /?, /? S?. Что
касается аксиального тока /?, то перенормировка за
счет сильных взаимодействий может менять эффектив-
эффективную константу связи этого тока.
Отметим, что экспериментальные данные также не
противоречат предположению о том, что константа av
в формуле G6) меньше единицы на несколько процен-
процентов. Следуя Кабиббо, предположим, что av, аи Pv, а свя-
связаны соотношением
245
Положим
$A,V
av A v, a k
Тогда
- cos тл (Л^; (У?)+ - cos т„
G7)
Если {V\>)\ и {Уу)\ —нормированные векторы в восьми-
восьмимерном пространстве, которые ортогональны друг другу,
то векторный и аксиальный токи сильно взаимодейству-
взаимодействующих частиц
также нормированные векторы. В данном случае универ-
универсальность слабых взаимодействий понимается в том
смысле, что лептонные токи и токи сильно взаимодейст-
взаимодействующих частиц нормированны.
Отметим, что (Vv)\ и (V{>I3 образуют У-дублет, и
при вращении на угол а вокруг третьей оси в трехмер-
трехмерном пространстве V-спина компонента {Vii){2 превра-
превращается в комбинацию
Таким образом, векторный и аксиальный токи слабых
взаимодействий получаются из нормированных токов
(V»)l2 и (АцУ2 вращениями на углы 2xv и 2та соответст-
соответственно вокруг третьей оси в трехмерном пространстве V-
спина. Мы покажем ниже, что эксперимент дает весьма
близкие значения углов ту и та- Это означает, что пол-
полный ток слабых взаимодействий сильно взаимодействую-
взаимодействующих частиц получается из одной нормированной компо-
компоненты октуплета (/,*)?
246
вращением на угол 2т вокруг третьей оси в пространстве
1/-спина. Таким образом,
Lw = -у^ % + cos т (Jrfl + sin т (J^] х
X [? + cos xiJ^l + sinT(/JA)]] + . G8)
Оценим теперь углы %v и та на основе имеющихся
экспериментальных данных. Рассмотрим распады
и
п~ —> \i~~ + v.
Их матричные элементы равны:
М (К" —> fx~v) = —7=w (^1) Тд A + Ye)v *
' 2_ 1 G9)
Л1(те ->|i v) = у=г и (ftOYn 0 + Ye) о (*а)^йГл
где Р, Ai и А2 — импульсы псевдоскалярных мезонов |ы-
мезона и антинейтрино соответственно, а ^ и ^ — не-
некоторые константы, определяющиеся следующим об-
образом:
(80)
поскольку в данном случае, как легко показать, только
аксиальный ток дает вклад. С другой стороны,
<01 S^/T> = sin тл<0 KAOs
А\ ,'. (81)
а из унитарной симметрии следует равенство
Подставляя выражения (81) в формулы (80) и пользу-
пользуюсь равенством (82), получаем
(83)
?47
При помощи матричных элементов G9) можно пока-
показать, что отношение вероятностей рассматриваемых рас-
распадов равно
* \2тк
mh
1 —
(84)
Пользуясь экспериментальными значениями вероятно-
вероятностей распадов /(-> \i + v и я ~> р, -!- v, найдем
тл - 0,266 ± 0,005. (85)
Изучение распадов
тс
позволяет оценить величину угла xv- Матричные эле-
элементы этих распадов имеют вид
М (К~ -> *°e~v) = r$=u (к,) у» A f y8) v {кг) X
у-
(86)
где р и q — импульсы псевдоскалярных мезонов в на-
начальных и конечных состояниях соответственно; k =
•== k\ + k2 = р — q, fic(k2) и fie (k2) — некоторые форм-
факторы, определяемые соотношениями
(87)
24?
Можно показать, что в данном случае только векторный
ток дает вклад.
Чтобы найти соотношение между fK и f*, рассмотрим
прежде всего матричный элемент тока (VV)? между со-
состояниями псевдоскалярных мезонов. Поскольку при С-
преобразовании (V^ переходят в —(V^l, то связь
должна быть связью типа F:
<Р | (УЛ | Р> = f (/г2) (р + ?V (ВД[ - ВД). (88)
Для рассматриваемых переходов
<^|(^J|^> = 1/2/(/г2)(р-
Отсюда получим
(89)
Если пренебречь зависимостью формфакторов от А2, то
для отношения вероятностей
= — tg2 т„ I I . (91)
W (л — -> л^б—v} 4 192 V fft -4- "~~* ^тго #
Сравнивая с опытом, найдем значение угла ху'
rv^ 0,241 ±0,008, (92)
которое приблизительно равно ха- Этот общий угол в
дальнейшем обозначим т.
В заключение сделаем два замечания. Во-первых,
предположение о том, что /? и S?, а также /jj и SjJ при-
принадлежат одним и тем же октуплетам, является непо-
непосредственным следствием модели кварков. Действитель-
Действительно, кварки tPt tn и t\ обозначим г|г<ь \|э2 и г|?3. Тогда
Отсюда и следует k'aiuf утверждение. Во-вторых, из ре-
релятивистской инвариантности вытекает, что матричный
24
эле>лент распада л~ -> я0 + е~ + v имеет следующий
вид:
М (К- -> тЛгГ) = -^ « (Ь) Yl* A + Ye) * (*i) X
где fx(k2) и ёк{к2)—произвольные формфакторы.
В случае, когда унитарная симметрия выполняется стро-
строго, начальный и конечный мезоны являются различными
компонентами одного и того же унитарного мультиплета,
и вследствие Г-инвариантности или сохранения вектор-
векторного тока второй формфактор обращается в нуль:
ёк{к2) = 0. Получим тогда первый из матричных
элементов (86). Поэтому экспериментальное определе-
определение ёк{№) позволяет судить о степени нарушения уни-
унитарной симметрии.
2.2. Лептонные распады барионов
Предложенные свойства симметрии тока слабых вза-
взаимодействий можно проверить изучением лептонных рас-
распадов барионов
B1-*B. + /±±v,
где В{ и В2 — барионы из октуплета, /± — заряженные
лептоны. Обозначим kx и кч импульсы лептона и анти-
лептона. Матричные элементы процессов с испусканием
пар /~v равны
М (В± «> Вг1 ~) = у^ cos та 'A) Y,, A +
+ y5)v(k2)<B2\(Jli)l2\B1>. (93)
при AS = 0, и
М (В± -+ В%г7) = -±= sin та
з|В1>, (94)
если AS = 1, а матричные элементы процессов с испус-
испусканием пар /+v равны
М (Вх -> 52/+v) = ^ cos то (кг) у, A + Te) v (k2) x
Вх>. (95)
250
при AS = 0, и
М {В, -у fi/'v) - -fL. sin хи (АО Yi*O + Ys)»(*«) X
(^д)! | Вх>, (96)
если AS = —1. Поэтому изучение лептонных распадов
барионов сводится к изучению матричных элементов
<В | (JJI \В> = <В\ <у$ \В> + <В\ (Д$ | В>. (97)
Из соображений релятивистской инвариантности, Г-ин-
вариантности и инвариантности относительно группы
SU C) следует, что эти матричные элементы имеют вид
4- и (р2) %- и (ро /f (**)} (ЩВ1 -
+ {«(Рг) У»и (Pi) f? {&) + и (ft) -^- и М f? (*2)} X
х (В*В1 + BJB* - -± ЩВ^; (98)
<В | (AJI | В> = ^ы
+ -^ « Ы Y8« (Л) §2
+ { и (p.) YmY5« (Pi) «? (A1) + -^ « Ы Yo" (Pi) fif (*2)) X
X (ВД + B?fl? - -?- SgiSlfi?), (99)
где Af — масса барионов, а р\ и рг — импульсы барионов
в начальном и конечном состояниях соответственно. От-
Отметим, что если требуется только релятивистская инва-
инвариантность, то матричные элементы токов (V^ и (Л,^
должны содержать также спиновые структуры
^7- й (ft) и (ft) и п (ft) -^-i- Y5« (рО
соответственно. Однако в случае, когда начальный и
конечный барионы принадлежат одному и тому же окту-
251
плету, а унитарная симметрия выполняется точно, суще-
существование таких членов приводит к нарушению Г-инва-
риантности. Отсутствие спиновой амплитуды
ik _
~и(р2)и(рх)
в матричном элементе векторного тока — также следст-
следствие сохранения векторного тока.
Произвольные формфакторы векторного тока
можно определить на основе экспериментальных данных
по электромагнитным формфакторам нуклонов. Дейст-
Действительно, поскольку электромагнитный ток /^ является
компонентой (V{J)\ , то формфакторы нуклонов выра-
выражаются через формфакторы в соотношении (98):
П W - ff (k2) + 4- f? (k2); fl №) = - 4 ff (k2)
о о
[см. формулы (8)], и обратно, произвольные формфакто-
формфакторы f*tD (k2) и f%*° (k2) полностью определяются элек-
электромагнитными формфакторами протона и нейтрона
Что касается формфакторов gf>D (k2) и gf'D (k2)y то в
принципе они могут быть определены при помощи изме-
измерения вероятностей четырех процессов лептонного рас-
распада барионов. Тогда вероятности остальных распадов
и поляризационные эффекты во всех процессах опреде-
определяются полностью.
Рассмотрим конкретные физические процессы лептон-
ных распадов:
п-»р + е~ + v; (I)
1Г-*К + е- + 7; (II)
2+-*?cfe+ + v; (III)
А-»р + е- + 7; р + уГ + 7; (IV)
S~->n + e~+ v; п 4 \х" + ^ (V)
252
So _> 2+ + е- + vj 2+ + и" + v~; (VI)
S~->ZM-e~ -f ^ S°-|-|i~ + v; (VII)
В~-»А, + <Г-|-^ Л |- ц'-|-~. (VIII)
Матричные элементы этих процессов имеют вид:
MJ (В, ~> B,/±v (v7) == -^ ы (*!) YitO + Y.) v (k2) и (ft)
X
^-Y^ (**)]" (p.), A01)
/= I, II,.... VIII, причем из формул (93)—(95) —(98),
(99) получим выражения формфакторов fJt(k2) и gf(k2):
f] = cos т (/f + f % g) = cos т (grf + gf);
fj" = ]/| COST^ 8?1 = ]/|cos<; A02)
~ -^ sin t C/f + ff), g>v « - -^ sin т
f^= - sinx(ff-ff), ^ =
fvi = sin т (ff + ff), gyi
^ -^sint^f + gf),
До сих пор еще не проведено последовательное изу-
изучение следствий унитарной симметрии в процессах леп-
тонных распадов барионов. В качестве грубого прибли-
приближения пренебрежем вкладами формфакторов \J2{k2) и
253
g{{k2), а также зависимостью формфакторов f \ (к2) и
gJ{ (k2) ОТ k2. ПОЛОЖИМ
Что касается вероятности распада и величин, характе-
характеризующих поляризационные эффекты, воспользуемся
известными выражениями из теории р-распада нейтрона.
Все эти величины зависят только от fJ и gJ. Константы
выражаются через ff @) и gD{ @) соотношениями A02),
а в силу сохранения заряда /^@) = 1, ff(O) = 0. Это
означает, что константы fJ для всех процессов полностью
определены. Произвольными тогда являются константы
gF = gF\ @) и gD = gf @), которые могут быть опреде-
определены из значений вероятностей двух процессов. В каче-
качестве одного из таких процессов выберем р-распад ней-
нейтрона. Из экспериментальных данных получим
gD + gF= 1,15 + 0,04, A03)
причем это значение суммы gD+gF слабо зависит от уг-
угла т, поскольку значение т весьма мало, а вероятность
р-распада нейтрона пропорциональна cos2t » 1 — т2. По-
Поскольку вероятности распадов (II) и (III) пропорцио-
пропорциональны (gDJ, то величину этой константы можно было
бы определить из значений вероятностей этих распадов.
Однако до сих пор последние еще не были измерены с
достаточной точностью. Поэтому воспользуемся другими
данными. Отметим, что вероятности распадов (IV) —
(VIII) пропорциональны sin2в « т2 и сильно зависят от т.
Поэтому для определения gF и gD желательно исключить
зависимость от т, рассматривая отношение двух распа-
распадов с изменением странности. Так, например, сравнивая
отношение вероятностей распадов (IV) и (V) с опытом,
получим уравнение
2 -г 2 v g 1 g / 1,5 _ 8,1 ± 1,0 (Ю4)
l+3teF-gDJ 5,8 "~ 13 ±2
Система уравнений A03) и A04) имеет д ва решения:
1) gF = 0,39 ± 0,05; gD = 0,76 ± 0,05;
2) gF =, 0,92 ± 0,05; gD = 0,23 ± 0,05.
254
Чтобы выбрать одно из них, вычислим вероятность
пада IV в каждом из этих случаев по формуле
A + ±Cg' -|- g°)P] ¦ 3,8 ¦ Ю
где W(Л) — полная вероятность распада Л-гиперона.
Сравнивая с экспериментальным значением
-8,1 ± 1,0,
Г (Л)
видим, что первое решение хорошо согласуется с опытом
при т = 0,26 ± 0,02, а второе — при т = 0,195 ± 0,015.
Следовательно, надо выбрать первое решение. Из этих
значений констант gF и gD можно получить вероятности
других распадов. В частности:
-4
= @.65 ± 0,08) -Ю
что находится в согласии с экспериментальным значени-
значением @,75 ± 0,28) • 10~4. Отметим, что в данном случае
второе решение дает значение @,06 ± 0,03) • 10~4.
Изучение корреляционных и поляризационных эффек-
эффектов также позволяет определить константы gF и gD и
проверить предсказания унитарной симметрии. Рассмот-
Рассмотрим, например, распад поляризованного бариона. Для
углового распределения электрона пользуемся формулой
WjW^l+fyjCOsQ, A05)
где ре — скорость электрона в единицах скорости света,
6 — угол между направлением вылета электрона и век-
вектором поляризации начального бариона, а константа
На опыте можно определить р/ и, следовательно, а/. На-
Например, для процесса IV эксперимент дает значение
С другой стороны,
255
Таким образом, уравнение
8F + -t8° = -0,7±0,3
вместе с уравнением A03) также позволяет определить
gF и gD. Если эти константы уже известны, то параметр
асимметрии в угловом распределении электрона при рас-
распаде поляризованного бариона, поляризация бариона
отдачи, параметр электронно-нейтринной корреляции
и т. д. для всех процессов полностью определяются, и
сравнение теоретических предсказаний с опытом позво-
позволяет проверить предположенные свойства симметрии
токов слабых взаимодействий. Поскольку в настоящее
время еще не имеется достаточно точных соответствую-
соответствующих экспериментальных данных, то на этом останавли-
останавливаться не будем.
2.3. Рождение мезонов и барионов
при столкновении нейтрино и антинейтрино с нуклоном
Перейдем теперь к изучению возможностей экспери-
экспериментальной проверки свойств симметрии слабых токов в
нейтринных опытах. Рассмотрим рождение барионных
резонансов при столкновении антинейтрино с нуклоном.
В гл. 2 были получены изотопические соотношения ме-
между сечениями различных процессов. Если ток слабых
взаимодействий сильно взаимодействующих частиц обла-
обладает предположенными свойствами симметрии относи-
относительно группы Sf/C), то между амплитудами процессов
с рождением Д° и У*0 на протоне также имеется соот-
соотношение, которое не является изотопическим, поскольку
до и у*о Входят в различные изотопические мультиплеты.
Матричные элементы этих процессов пропорциональны
матричным элементам тока слабых взаимодействий меж-
между состояниями протона и соответствующего барионного
резонанса
•* A06)
М (~р -»/+У*°) ~ sin т < Г*° | (Уц) 11Р >.
Поэтому для получения соотношения между амплитуда-
амплитудами этих процессов необходимо изучить матричный эле-
2,56
мент тока (/^)? между состояниями октуплета барио-
нов и декуплета барионных резонансов:
< D | (УйK1В > = Dav5A/?eSai3^ . A07)
Здесь Лд — некоторая функция от пространственно-вре-
пространственно-временных переменных, представляющая собой билиней-
билинейную комбинацию волновых функций начального бариона
-у- и конечного бариона — и трансформирующаяся как
4-вектор при преобразованиях Лоренца. Для матричных
элементов A06)
^V^; (Ю8)
у
Отсюда
м Gр -> /+r*o) = —L= tg тм Gр -> /+д°). A1 о)
Таким образом, все поляризационные эффекты в обоих
процессах должны быть одинаковыми, а их дифферен-
дифференциальные и полные сечения связаны соотношениями
а (~р -> /+Г*°) = — tg2 та (^р «> /+А°). A11)
Отметим, что токи (/1Х)^ и — (J^j образуют V-дублет, а
рассматриваемые процессы являются процессами рожде-
рождения частиц из У-триплета
До
на протоне — частице из У-дублета
Тогда из сохранения У-спина сразу получаем соотноше-
соотношение
9 Заказ 809 257
Иначе говоря, соотношение (ПО) является следствием
сохранения V-спина.
Рассмотрим теперь матричный элемент тока (J{>.)*
между состояниями октуплета бариоиов. Так как
+ ЩВ% 4 6*
+ (ВД + ЩВ% - 4- 6,*ВД) Cl A12)
о
< 2° Ш >1Р > = - у1-- (с? - О; A14)
<Я |(/й)?|р> = - у=г(ЗС? + ф, A15)
то
A16)
Это соотношение также можно получить как следствие
сохранения У-сггина. Действительно, получим У-дублеты
и V-триплет
go
Из сохранения 1/-спина найдем
т. е. получим снова соотношение A16).
Аналогично для процессов рождения частиц У-дуб-
летов
258
от нейтрино и частиц К-дублетов
от антинейтрино имеем
M (vp -* ГК+р) = — М (vp -> Г
cos т
I (p р)
sin т cos т
+ — -
cos т
sin t cos т
+ — M (vp -> ГЬ7г+). A18)
sinT
Эти соотношения можно получить таким же методом, что
и соотношения между амплитудами мезон-барионного
рассеяния
М (К+р -* К+р) = М (тг+р -> п+р) + М (тг+р -> Кл^);
М (К~р -> КГр) = М (п~р -> тт""р) + М (КГр -> т^+) •
Для процессов рождения псевдоскалярного мезона и
барионного резонанса сохранение У-спина приводит к ря-
ряду соотношений между амплитудами
1
м (w -> /^тс+А-") - -i— м (vp -> ;+/c+r "¦) =
COST
мGр->/+/(+а*"), A19)
¦/ 3 cost cost
J м
(р )
sinT sinT
а также к следующему соотношению между сечениями
_L_ а (vp -+ Г/СОД++) + з а (vp - Г/С+КФ+) =
Sin2T COS2!
= —— а (vp -* ГтеоД++) + — - а (vp -> Гт|Д++). A20)
cos2 т соъ2 т
Для соответствующих процессов рождения векторных
мезонов
7м<?Р-+ГК*+р) =~тЩ^ - ГР+р) +
(p2); A21)
COST
9* 259
—м Gр -». i+k'~p) == — - м (Г/j - 5
sint cost
sinx
A22)
^J— м GР > /рд) =
Vх 3 cos т cos т
= _L_ Af Gp -v /+p+F*-) = -i- М Gр -> /+/('+S*-). A23)
sin т sin т
2.4. Нелептонные распады гиперонов и мезонов
В нелептонных распадах гиперонов и мезонов гипер-
гиперзаряд и изотопический спин не сохраняются. В гл. 2 рас-
рассматривались следствия предположения, о том, что части
лагранжиана, отвечающие за эти распады, являются ком-
компонентами изотопических спиноров. Поскольку в этих
процессах гиперзаряд меняется на единицу по абсолют-
абсолютной величине, то соответствующие части лагранжиана
преобразуются как волновые функции частиц с Y = ± 1
при калибровочных преобразованиях волновых функций
всех частиц
где У — оператор г^перзаряда
Так как заряд сохраняется, то изменения изотопического
спина и гиперзаряда удовлетворяют условию
AQ = ДТ3 + ^ = О,
вытекающему из формулы Гелл-Манна — Нишиджимы.
Таким образом, для процессов с AY = AS = +1 соответ-
соответствующая часть лагранжиана является компонентой с
Г3 = + -— изотопического спинора с У = —1, а для про-
процессов А У == AS = —1 — компонентой с Г3 = изо-
изотопического спинора с У = +1 (подробно см. гл. 2, § 4).
Перейдем теперь к изучению этих процессов в уни-
унитарной симметрии. Поскольку октуплет является унитар-
260
иым мультиплетом с наименьшим числом компонент, ко-
который содержит изотопические спиноры с У= ±1, то
можно предположить, что части лагранжиана, отвечаю-
отвечающие за нелептонные распады гиперонов и мезонов, при-
принадлежат октуплету. Рассмотрим следствия этого пред-
предположения в процессах нелептонного распада гиперонов.
Так как в этих процессах AS = AY = 1, то соответствую-
соответствующая часть лагранжиана является компонентой с Г3 =
= Ч , У = —1, т. е. компонентой W ^некоторого окту-
плета Ч^ . Введем матрицу
/О 0 0
я+ = | о 0
\0 О О
которая является матрицей V-спина, соответствующей
матрице т+ изотопического спина. Тогда
Нетрудно показать, что матричные элементы процес-
процессов нелептонного распада барионов имеют следующую
унитарную структуру:
M(B-+BP) = %AiTh A24)
где
тх = sP фВ) sP (pxt), т2 = sP (В?) sP
г8 - sP (Щ+) sP (ВР), тх = sP (B^Pxt);
Г5 - Sp (ВБЯ+Р); Гв = (BBPkt);
Т7 = Sp(BBX+P); Ts = Sp(BPBkt-B7>BX$). A25)
Как и в случае мезон-барионного рассеяния, здесь мы
воспользовались тождеством между девятью возможны-
возможными амплитудами. Для конкретных процессов имеем:
s; A26)
у 6 у о у 6
ил4 + =лв
2уЗ У^
261
->/m«) = --±=AA + ~=Аа; A28)
M B+ -> nn+) = Л + Л8; A29)
М B" -> пл~) = Л3 + Л; A30)
= 71гл4 + 71тл6-_1гл; 031)
л*(а-->ля-) = --|/ 44-1/ 44 + -4= л*- A32)
Из этих выражений для матричных элементов процессов
через произвольные функции А{ следует, что в данном
случае унитарная симметрия не дает новых соотношений
по сравнению с правилом AT = —.
Рассмотрим теперь нелептонные распады мезонов
в слабых взаимодействиях
р -+ р> + р\
где Р, Рг и Р" — мезоны из псевдоскалярного октуплета.
Как и в случае нелептонных распадов барионов, здесь
существуют восемь независимых унитарных амплитуд.
Поскольку мезоны Рг и Р" рождаются в S-состоянии, то
согласно требованиям статистики Бозе, унитарные волно-
волновые функции этих мезонов должны входить симметрично
в матричный элемент. Отсюда следует, что матричный
элемент имеет вид:
М (Р -> Р'Р") = А1 Sp (P'P") Sp (PKW) + Л2 X
X {Sp (P'P) Sp(P"^) + Sp {P"P) Sp (P'XW)} + A33)
+ Л3 Sp [(P'P" + PT') PKW\ + Л4 Sp [(P'P" + Р'Р') XWP],
где Xw — некоторая комбинация восьми матриц Xi, при-
причем для распадов с ЛУ = A S = 1
а для распадов с ЛУ = AS = —1
X __ Яу — ,^-т (Хб — i
202
Напомним, что ДЛй описания октуплета Можно Поль*
зоваться либо спинорами второго ранга Ч^ с Ч^ = О,
либо восьмимерными величинами Yi
1> ч$ (hi; ^
При зарядовом сопряжении унитарные волновые функ-
функции мезонпых мультиплетов преобразуются следующим
образом:
< Чс = ±1. A34)
г\с называется зарядовой четностью данного унитарного
октуплета. Так как
= (*/J. /-1,3,4,6,8;
= _(Х/а, / = 2,5,7,
то восьмимерные компоненты Yi преобразуются следую-
следующим образом:
^•->*1с^-, /=1,3,4, 6,8;
*/-* — Пс^, / = 2,5,7. A35)
Очевидно, что матричный элемент A33) есть компо-
компонента некоторого октуплета
L% = Аг Sp (Р'Г) Pi + А2 [Sp (P'P) Pi* + Sp (P"P) Рз1 +
+ Л4 Ы (P'fPl* + Pv^5a) 83 Sp IP (Р'РЧ P'P')]]. A36)
Поскольку для псевдоскалярного октуплета т^с = +1, то
при зарядовом сопряжении амплитуды при Л3 и Л4 пере-
переходят друг в друга:
(??%* + ЦуРуЬ) Р1 - -L Ы Sp [(P'P" + Р"Р') Р\ <—>
- —
3
а другие амплитуды переходят в себя. Поэтому L* обла-
обладает определенной зарядовой четностью только в том
263
случае, если константы удовлетворяют некоторым усло-
условиям. Нетрудно показать, что
если Л3 = Л4, и
/а ° rft
Lp-> — La,
если Л! = Л2 = О, Л3 = —Л4. Таким образом, для матрич-
матричного элемента рассматриваемого распада получим
М {Р -> Р'Р") - Аг SP (PT;/) Sp (Pkw) +
+ Л2 {Sp (P'P) Sp (P^) + Sp (P"P) Sp (Р'ЯГ)} +
+ А3 Sp [(P'P" + Р'^) (PXW + \WP)] A38)
или
>P'P") = ASp[{P'P"+P"P'){PXw — )wP)}. A39)
Применим теперь эти выражения к распаду
Напомним, что
Поэтому
где
т. е. К®—седьмая компонента октуплета Pg. Иначе гово-
говоря, унитарная волновая функция К°х -мезона (К0^
имеет только две ненулевые компоненты
(^J = —,
и пропорциональна матрице
26!
Аналогично унитарная волновая функция я°-мезона
(д°)" имеет ненулевые компоненты
и пропорциональна матрице
Поэтому для распада /С^ -> 2я матричные элементы
A38) и A39) равны
М (/С? -> 2д°) = Лх
+ А2 {Sp (яо/С?) Sp (д°?Л) + Sp (д°/(?) x
X Sp {nkw)} + A3 Sp [(додо + яод°) (/Ci^ + Л?)] A40)
или
M (K°i -> 2до) = Л Sp [(д°я о + до^Ь) (д-^ _ xv/C?)]. A41)
Предположим, что СР-четность сохраняется. Поскольку
в распаде /(?-^2д° Р-четность меняется, то С-четность
также меняется. Это означает, что матричный элемент
A40) или A41) должен менять знак при зарядовом со-
сопряжении. Поскольку при С-преобразовании
то матричный элемент A40) поменяет знак только при
условии,если
а матричный элемент A41) поменяет знак при
С другой стороны, для распада К^->2л° kw должна
быть некоторой комбинацией fa и %т, так как матричный
элемент этого распада является суммой матричных эле-
элементов переходов сАУ=+1иАУ= —1. Отсюда следу-
следует, что в матричном элементе A40) матрица Xw пропор-
пропорциональна fa, а в выражении A41) матрицу kw пропор-
265
циональна Х7. Подставляя в формулу A40) или A41) яв-
явные выражения матриц (я°)?, (/(°) * и (iw)?, нетруд-
нетрудно проверить, что они тождественно равны нулю. Таким
образом, унитарная симметрия и СР-инвариантность при-
приводят к тому, что распад К\ -> 2п° запрещен.
Отметим, что если лагранжиан слабых взаимодейст-
взаимодействий имеет вид произведения заряженных токов [см. фор-
МУЛУ G8)], то часть лагранжиана, отвечающая за нелеп-
тонные процессы, содержит различные неприводимые
представления в произведении 8X8. Поэтому если лаг-
лагранжиан нелептонных слабых взаимодействий действи-
действительно принадлежит октуплету, то это свойство, а также
правило AT = V2 либо означает, что лагранжиан слабых
взаимодействий не имеет вид G8), либо является следст-
следствием какой-то динамики.
Литература
Электромагнитные взаимодействия
Badier S., Bouchiat С. Phys. Lett., 15, 961 A965).
Боков О. Г., Нгуен Ван Хьеу, Средниав а. «Ядерная физи-
физика», 4, 850 A966).
Glashow S. L. Phys. Rev. Lett., 11, 48 A963).
Дао Вонг Дык, Нгуен Ван Хьесу. «Ядерная физика», 2, 529
A965).
С a b i b b 0 N., G a 110 R. Nuovo cimento, 21, 872 A961).
ColemanS., Glashow S. L. Phys. Rev. Lett., 6, 423 A961).
Lipkin H. J. et al. Phys. Lett., 7, 81 A963).
Macfarlane A. J., Sudarshan E. C. G. Nuovo cimento, 31,
1176 A964).
Oakes R. J. Phys. Rev., 132, 2349 A963).
Okubo S., Sakita B. Phys. Rev. Lett., 11, 50 A963).
Okubo S. Phys. Lett., 4, 14 A963).
Rosen S. P. Phys. Rev. Lett., 11, 100 A963).
Chan С. Н. Phys. Lett., 8, 211 A964).
Слабые взаимодействия
Block M. Phys. Rev. Lett., 12, 262 A964).
Brene N. et al. Phys. Lett, 11, 344 A964).
Gel 1-Mann M. Phys. Rev. Lett., 12, 155 A964).
Cabibbo N. Phys. Rev. Lett., 10, 351 A963).
Cabibbo N.. Phys. Rev. Lett., 12, 62 A964).
Нгуен Ван Хьеу. В кн. XII Международная конференция по
физике высоких энергий. Т. 1. М., Атомиздат, 1964, стр. 181.
Окунь Л. Б. Слабое взаимодействие и унитарная симметрия,
Изд. ВИНИТИ АН СССР, 1965.
Dalitz R. H. Preprint, Oxford, 1964.
Sugawara H. Progr. Theor. Phys., 31, 213 A964).
Чу вило И. В. Препринт ОИЯИ, Р—1829, 1964.
Глава шестая
Спиновая и унитарная симметрии
SU (в)
§ 1. Группа SU F) и ее неприводимые
представления
1.1. Группа StfF) и подгруппы SU(Z) X SUB) и
SU D) ® Stf B)
В квантовой механике спиновые волновые функции
частиц со спином являются спинорами спиновой группы
SUB). Если же необходимо, чтобы выполнялась еще
унитарная симметрия, то волновые функции барионов и
мезонов должны быть также спинорами группы унитар-
унитарной симметрии 5f/C). В таком случае эти волновые
функции должны носить индексы обеих групп: спиновые
и унитарные индексы. Например, частицы в унитарном
триплете со спином (кварки) описываются волновыми
функциями t|)(a,a), где а = 1,2 — спиновый индекс, а a =
= 1, 2, 3 — унитарный индекс. Преобразования спиновой
группы SUB) затрагивают индекс а, но оставляют инва-
инвариантным индекс а:
Преобразования же группы унитарной симметрии
SUC) не затрагивают индекса а:
). B)
Преобразования A) и B) коммутируют друг с другом, и
последовательное действие этих двух преобразований
приводит к новому унитарному унимодулярному преоб-
преобразованию волновых функций:
267
Новые преобразования образуют группу SUC) ® SU{2)
(см. гл. 1, п. 1.3). По сравнению с группами SUC) и
SUB) группа SUC) ® SUB) не содержит ничего но-
нового. Она означает только, что группы SUC) и SU{2)
рассматриваются одновременно.
Рассмотрим теперь самые общие унитарные унимоду-
унимодулярные преобразования волновых функций $(а,а) , по от-
отношению к которым шесть пар индексов (аа ) ведут себя
как шесть единых индексов Л:
V
Эти преобразования образуют группу SUF). Преобразо-
Преобразования A) — C) являются частными случаями преобразо-
преобразований D). Действительно, частные преобразования с
матрицами
соответствуют преобразованиям A) из группы Si/B),
частные преобразования вида B) из группы SUC) —
матрицам
а преобразования вида C) из группы SUC) ® SUB) —
матрицам
//F)
Это означает, что группы SUB), SUC) и SUC) о
® SUB) являются подгруппами группы SUF). С дру-
другой стороны, не всякое преобразование вида D) эквива-
эквивалентно последовательному действию двух преобразова-
преобразований A) и B), т.е. эквивалентно некоторому преобразо-
преобразованию C). Поэтому подгруппа SUC) ® SUB) отлича-
отличается от группы SUF).
Бели вместо группы унитарной симметрии SUC) рас-
рассмотрим только изотопическую группу SUB), то вместо
группы SUC) ® SUB) получим группу SUB) ® SUB),
и самые общие унитарные унимодулярные преобразова-
преобразования волновых функций %яа') при а = 1,2 о! = 1,2 обра-
образуют группу SUD). Подобная группа была предложена
Вигнером при изучении классификации состояний ядер
по спину и изотопическому спину. Очевидно, что группа
268
BVD) явлйется подгрупйой группы 5t/F). Поскольку ё
качестве изотопической группы выбрана группа преобра-
преобразований, которые не затрагивают индекса а = 3, то в
преобразованиях группы SUD) волновые функции <Ь(а3)
не меняются. Эти волновые функции зависят от спиново-
спинового индекса а = 1,2 и преобразуются по спиновой группе
SUB). Это — спиновая группа «странных квар'ков t\ ».
Преобразования из группы SUD) имеют вид:
Ч>(аЗ) —
а преобразования из спиновой группы странных кварков
SUB)
Одновременные осуществления преобразований E) и F)
приводят к новым унитарным унимодулярным преобра-
преобразованиям Ц(а*) , образующим группу SU{4) ® SUB).
Эта группа также является подгруппой группы «Si/F).
Если пренебречь электромагнитным взаимодействи-
взаимодействием (а также слабыми взаимодействиями), то изотопиче-
изотопическая инвариантность выполняется строго. С другой сто-
стороны, унитарная симметрия нарушается даже в сильных
взаимодействиях. Поэтому разумно рассмотреть случай,
когда симметрия SUF) нарушается, а симметрия SU(A)
выполняется. В данном случае волновые функции частиц
следует рассматривать не как представления группы
Sf/C)® SUB), поскольку симметрия группы SUC) не
выполняется, а как представления группы SUD) ®
® SUB). Симметрия SUD) в действительности также
нарушается. Поэтому после редукции группы SUF) к
группе SUD) ® SUB) необходимо еще редуцировать
группу SUD) к группе SUB) ® SUB). Таким образом,
существуют две цепи редукций группы Sf/F). В первой
цепи
SU F) => SU C) ® SU BH =э SU {2)т 0 U A)у ® 5G B)а, G)
где SUB)t — изотопическая группа, SUB)a —спино-
—спиновая группа, а 1/A) г — группа калибровочных преобразо-
преобразований странных кварков
> 6 8<ф(С3), (8)
269
которая разделяет унитарные индексы of = 1,2 с индек-
индексом а = 3. Во второй же цепи
SU F) => SU D) ® SU B)а (з) =>
® SI/ B)а C) => St/ B)Г
B)г ® 5(УB)а (а ->
® SU B)а ,
где SUB)T — изотопическая группа, SUB)a(-x') —спи-
—спиновая группа нестранных кварков
F')
a 5f/B)a<3) —спиновая группа странных кварков, со-
состоящая из преобразований вида F). Заранее нельзя
сказать, какая из цепей редукций — G) или (9) — осу-
осуществляется в природе. На этот вопрос может ответить
только опыт. Ниже мы увидим, что экспериментальные
данные согласуются с предположением о том, что осуще-
осуществляется цепь редукций (9).
1.2. Генераторы
Группа SUF) унитарных унимодулярных матриц
6x6 имеет б2—1 =35 генераторов — 35 независимых эр-
эрмитовых матриц 6 X 6 с нулевыми шпурами. Покажем,
что эти генераторы можно выразить через генераторы
Яг, i= 1, 2,..., 8 группы унитарной симметрии SUC) и
генераторы аи i = 1, 2, 3 спиновой группы SUB). Шести-
Шестимерные волновые функции ^(fla) представим в виде
столбца
¦A2)
¦A3)
¦B1)
¦B2)
¦B3)
Бесконечно малые преобразования из спиновой группы
ab
)«Л
270
представляются матрицами
1
1
1
1
+ ¦
— i
+ i
-i
I -1
_1
Таким образом, генераторы спиновой группы SUB)y рас-
рассматриваемой как подгруппа группы S/7F),— это мат-
матрицы
/ 0 | /<з> х / 0 | — I ^<3>N //<3> | 0
где /<3) — единичная матрица 3X3. Эти матрицы в даль-
дальнейшем обозначим
), /=1,2,3. A0)
Аналогично бесконечно малые преобразования из под-
подгруппы унитарной симметрии SUC)
> Sail + 1 2 Ту (Лу) ар i|5(a
L /=1 J
представляются матрицами
ь! Ч о | я J
Это означает, что генераторы подгруппы SUC) группы
SUF) можно переписать в виде матриц
()
где %i — генераторы группы S(/C). Эти матрицы обо-
обозначим
/<2>®Яу, у = 1,2,...,8, A1)
где /B) — единичная матрица для спиновой подгруппы
S(/B). Очевидно, что 11 матриц [см. выражение A0) и
A1)] являются в то же время генераторами группы
S(/F). 24 остальных генератора можно выбрать следую-
следующим образом. В каждом из генераторов в формуле A0)
подгруппы S(/B) заменим единичную матрицу /<3) на ге-
генераторы Xj группы S(/C). Тогда получим 24 матрицы
0 ! X, \ /0 J—1ЯД / Xf ] 0
= 1,2,3; /= 1,2 8.
о
которые мы обозначим
Нетрудно проверить, что матрицы в формуле A2) неза-
независимы, эрмитовы и имеют шпуры, равные нулю. Они
называются тензорными произведениями генераторов а
и Aj.
Посмотрим теперь, какие генераторы группы S(/F)
совпадают с генераторами подгруппы SUC) ®S(/B).
Поскольку бесконечно малые преобразования из подгруп-
подгруппы SUC) ® SUB) имеют вид
з а^
J L /=1 J
1=1
3 8
f 3 8
L 1=1 /=1 J
то генераторами этой подгруппы являются а ® /C) я
/<2> ® Xj. Иначе говоря, совокупность всех генераторов
групп SUB) и 5GC) образует систему генераторов груп-
группы SUC) ® 5/7B), а переход от 517C) ® 5GB) к
5GF) эквивалентен введению новых генераторов, обра^
зующихся из тензорных произведений генераторов групп
5GC) и SGB). Отметим, что все генераторы группы
Si/F) коммутируют с отражением пространства. Отсю-
Отсюда следует, что все частицы в каждом мультиплете груц-
пы SGF) имеют одну и ту же четность.
27?
1.3. Некоторые неприводимые представления
группы SU F)
В гл. 1 были описаны iBce неприводимые представле-
представления группы SU(n). Полученные результаты непосредст-
непосредственно применимы к группе SUF). Поэтому не будем ос-
останавливаться на описании всех неприводимых представ-
представлений группы SUF)y а ограничимся рассмотрением
некоторых неприводимых представлений, которыми бу-
будем пользоваться при изучении классификации известных
элементарных частиц и резонансов.
Напомним, что только частицы в унитарных мульти-
плетах ?)(/?, q) с р— q = Зя, где п — целое число, имеют
целые заряды и гиперзаряды (и нулевой суперзаряд Z,
если последний существует). С другой стороны, спинор
группы 5f/F), p раз ковариантный и q раз контравари-
антный, является также спинором группы SUC), p раз
ковариантным и q раз контравариантным. Поэтому для
изучения классификации известных элементарных частиц
и резонансов, которые имеют целые заряды и гиперзаря-
гиперзаряды (и нулевой суперзаряд Z), достаточно рассмотреть
неприводимые представления группы 5f/F), для кото-
которых разность числа верхних индексов и числа нижних ин-
индексов равна Зпу где п — целое число. Простейшими из
таких неприводимых представлений являются следую-
следующие:
1) Неприводимое'представление, описываемое спино-
спинором второго ранга Ф^ с Ф^ = 0 и имеющее б2— 1 =35
независимых компонент.
2) Неприводимое представление, описываемое полно-
полностью антисимметричным ковариантным спинором третьего
ранга
6*( + *)'
2, • о
— 56 компонентами.
3) Неприводимое представление, описываемое полно-
полностью антисимметричным ковариантным спинором треть-
третьего ранга Мавс] с 6 F ~~21} (g "" 2) = 20 компонентами.
4) Неприводимое представление, описываемое кова-
ковариантным спинором третьего ранга ^{А[в;сь симмет-
ризованным по первой паре индексов и затем антисим-
273
метризованным по второй. Этот спинор антисимметричен
относительно перестановки двух последних индексов и
удовлетворяет условию
= О A3)
[см. гл. 1, формулу A19)]. Чтобы найти размерность это-
этого представления, отметим прежде всего, что спинор
третьего ранга, симметризованный по одной паре индек-
индексов, имеет • 6 = 126 независимых компонент. Сим-
метризуя этот спинор по другой паре, получим полностью
симметричный спинор третьего ранга с 56 компонентами.
Остальные 70 компонент образуют спинор, антисиммет-
антисимметричный по второй паре индексов. Таким образом, рас-
рассматриваемый спинор г|?{Л[?}с] имеет 70 независимых
компонент.
1.4. Разложение неприводимых представлений группы
SU(G) на неприводимые представления подгруппы
SU C) X SU B)
Каждое неприводимое представление группы SUF)
является также представлением (вообще говоря, приво-
приводимым) подгруппы SUC) ® SUB). Для применения
группы SUF) к изучению классификации элементарных
частиц и резонансов необходимо знать неприводимые
представления подгрупп SUC) ® SUB). Рассмотрим
прежде всего представление C5) группы SUF). Спинор
ф? == ф|*«) можно рассмотреть как представление спи-
спиновой группы SUB). Поскольку условие
„
= 0
пе означает, что шпур Ф[%$ должен обращаться в нуль
при любых а и р, то Ф^ является приводимым пред-
представлением группы SUB). Разложим его на два непри-
неприводимых представления спиновой группы Sf/B).
A4)
Первый член в формуле A4) обозначим Х^ . Очевидно,
374
ь условие
y(ax) n
Л (ах) — U
выполняется без того, чтобы A"jg*j обращался в нуль.
Иначе говоря, X^J является приводимым представле-
представлением группы SUC) и разлагается на неприводимые пред-
представления этой группы
у (ах) Г у(ая) 1 ftotv(«V)l i I
L з J з
Первый член в соотношении A5) обозначим V%\] • Та-
Таким образом,
Это означает, что V**^ принадлежит одновременно не-
неприводимым представлениям группы SUB) и неприво-
неприводимым представлениям группы SUC). Этот спинор опи-
описывает октуплет мезонов со спином 1. Что касается второ-
второго члена в соотношении A5), то он описывает унитарный
синглет со спином 1. Рассмотрим второй член в форму-
формуле A4). Очевидно, что он описывает частицы со спи-
спином 0. Поскольку
Ф(са) л
(ra) = U,
то Ф^ описывает унитарный октуплет. Таким образом,
можно сделать вывод, что 35-плет группы SUF) содер-
содержат октуплет со спином 1, синглет со спином 1 и октуп-
октуплет со спином 0. Запишем символически
(8.1)зх2. A7)
В скобках в правой части соотношения A7) первые циф-
цифры указывают размерности соответствующих унитарных
мультиплетов, а вторые цифры равны числам спиновых
состояний B5 + 1, где s — спин частиц). Положим
Тогда из формул A4) и A5) следует
а%]® ^ ^ A8)
где V[g*j удовлетворяет условию A6), а V% и Яр усло-
условиям
18* 275
PZ=0. B0)
Таким образом, получим выражение волновой функ-
функции 35-плета группы SUF) через физические волновые
функции, являющиеся неприводимыми представлениями
подгруппы SUC) ® SUB). Коэффициенты ]/ и ]/"~2
в формуле A8) были выбраны в соответствии с услови-
условием нормировки
ФаФв = Щ№У%1 + У№ + Р*Р1 B1)
Как известно, для описания частицы со спином 1 можно
пользоваться также трехмерным вектором. Это означает,
что вместо V[^l и Vab можно ввести трехмерные векторы
<У,I = -^ (otiVfal; Vt = ^ (аД*
Тогда
= Л= (aft <y,)l VI -
следовательно,
B2)
Условие нормировки имеет следующий .вид:
ФлФЙ = (И,)? W + V^ + (^2^. B3)
Рассмотрим теперь разложение 56-плета группы
SUF) на неприводимые представления подгруппы
SUC) ® 5^7B). Этот мультиплет описывается спинором
^{авс} i симметричным относительно перестановок ин-
индексов Л, В, С, т. е. перестановок лар (аа), (Ьр) и (су)
Среди компонент этого мультиплета существуют компо-
компоненты, симметричные относительно перестановок всех
спиновых индексов а, &, с, и описывают частицы со спи-
спином 3/2. Они симметричны также и по отношению к пере-
перестановкам унитарных индексов а, р, у и описывают деку-
плет. Отметим, что не существует полностью антисиммет-
антисимметричного спинора третьего ранга группы SUB), так как
индексы а, 6, с могут принимать только два значения.
Поэтому остальные компоненты 56-плета должны быть
276
симметризованпыми по одной паре спиновых индексов й
по соответствующей паре унитарных индексов и затем
антисимметризованными по другой ларе спиновых ин-
индексов и по соответствующей паре унитарных индексов.
Поскольку антисимметричный спинор второго ранга
группы SUB) является инвариантом, то спинор третьего
ранга группы SUB), антисимметричный по двум индек-
индексам, эквивалентен спинору первого ранга, т.е. описывает
частицу со спином 1/2. Что касается унитарных волновых
функций, то они описывают октуплет (см. гл. 3, п. 3.1).
Таким образом, 56-плет группы SUF) содержит де-
куплет со спином 3/2 и октуплет со спином 1/2
(8.2Kх2. B4)
Молено -показать, что спинор ^{Авсу выражается через
волновые функции декуплета и октуплета следующим об-
образом:
AqW + {еВ1е(р +
ь}. B5)
Здесь Da$y иВра - унитарные волновые функции деку-
декуплета и октуплета, а уаьс и фа—спиновые -волновые
функции со спинами 3/2 и 1/2 соответственно. Если вме-
вместо симметричного спинора третьего ранга фаьс пользо-
пользоваться спин-тензором (ф/)а, то
D (a) to) + [BB%
B6)
1.5. Разложение неприводимых представлений группы
SUF) на неприводимые представления подгруппы
SUD) X S(/B)
Каждое неприводимое представление группы SUF)
содержит различные неприводимые представления под-
подгруппы SUD) ® SUB). Так, спинор третьего ранга
Ч{Авс} = Ь(аа)т(с»} содержит следующие мультиплеты
подгруппы SUD) ®SUB):
а') F3) {сЗ)I ^{ }
277
где индексы а', р', у' принимают значения 1, й.
1*{(ая')(М')(ог)} является симметричным спинором треть-
третьего ранга группы SUD) и инвариантом спиновой
группы странных кварков SUB). Он имеет
4 D -j- 1) D 1 2)
' = 20 независимых компонент и обозна-
2- 3
чается B0.1). ${ (ах')№'№)} является симметричным
спинором второго ранга группы 5^D) и спинором пер-
первого ранга группы SUB). Поскольку симметричный спи-
4 D 4- 1)
нор второго ранга группы SUD) содержит = 10
компонент, а спинор первого ранга группы SUB)—2 ком-
компоненты, то неприводимое представление ^{{aoLr){b^){c3^
имеет 10 X 2 = 20 независимых компонент и обозначает-
обозначается A0.2). Аналогично ^{(aOLl(b3)ic3)} содержит 4Х
X 3 = 12 компонент и обозначается D.3), а Ф{(аз) (&з> (сз)}
имеет 4 компоненты и обозначается A.4). Таким обра-
образом, разложение по мультиплетам подгруппы SUD) ®
® SUB) имеет вид
E6) = B0.1Lх2 + (Ю.2LХ2 + D.3LХ2 + A.4LХ2 . B7)
Нетрудно проверить, что мультиплеты группы SUD) ®
® SUB)в правой части B7) содержат следующие изо-
изотопические мультиплеты:
Jх2; B8)
A0.2Lх2 = C.4JХ2 + C.2JХ2 + A.2Jх2; B9)
D.3LХ2 = B.4JХ2 + B.2JХ2; C0)
A.4LХ2 = A.4JХ2. C1)
В скобках в правых частях соотношений B8) — C1) пер-
первые цифры указывают числа компонент изотопических
мультиплетов BТ + 1), а вторые цифры — числа спино-
спиновых состояний Bs + 1).
Рассмотрим теперь 35-илет с волновой функцией ф?,
удовлетворяющей условию (DjJ = 0. Мы имеем следую-
следующие представления подгруппы SUD) ®SUB):
278
ФBр') —приводимое представление группы 5f/D), ко-
которое можно разложить на неприводимые:
-L ы 6?:ф$:> . C2)
Аналогично Ф[$\ —приводимое представление спино-
спиновой группы странных кварков, разлагаемое следующим
образом:
(&3) = ФF3) — ОьФ(сЗ) + —
Отметим, что в силу условия
последние члены в правых частях C2) и C3) не незави-
независимы. Они принадлежат одному и тому же неприводимо-
неприводимому представлению подгруппы SUD) ® Sf/B), а именно
синглету. Первый член в правой части соотношения C2)
есть синглет группы SUB) и спинор второго ранга
группы SLH4). Число их компонент равно 42—1 = 15.
Первый член в правой части соотношения C3)—синг-
C3)—синглет группы SUD) и спинор второго ранга группы SU{2)
с 22 — 1=3 компонентами. Ф{2?)) и Ф{?з)'} являются
спинорами первого ранга группы SU(A) и спинорами
первого ранга группы SUB). Таким образом, разложе-
разложение
C5) = A5.1Lх2 + D.2Lх2 + D-2Lх2 +
4-П 3) 4- П П C4)
Мультиплеты SUD) ® SUB) в правой части C4) содер-
содержат следующие изотопические мультиплеты:
A5.1LХ2 = C.3JХ2 + A.3JХ2 + C.1JХ2; C5)
B.1JХ2; C6)
B.1JХ2: C7)
A.3LХ2 = A.3JХ2; C8)
JХ2. C9)
279
1.6. Классификация барионов и мезонов
в симметрии SU(Q)
В теории унитарной симметрии волновые функции
барионов и мезонов представляют собой неприводимые
спиноры группы SUC) ® SUB).
Предположим теперь, что барионы и мезоны образу-
образуют мультиплеты группы SUF). Тогда октуплет барио-
1+ , 3+
нов — и декуплет барионыых резонансов — можно
включить в 56-плет группы SUF). Аналогично псевдо-
псевдоскалярные и 'векторные мезоны могут быть рассмотрены
как компоненты 35-плета группы S?/F), содержащего ок-
октуплет векторных мезонов (р, /С*, /С*, ф°), синглетный
векторный мезон (со0) и октуплет псевдоскалярных мезо-
мезонов (я, /С, /(, г]). Получим, таким образом, следующие
схемы расщепления 56-плета и 35-плета группы Sf/F) на
мультиплеты группы SUC) ®SI/B):
E6) V
4 (
) "
C5)
я, К, К, г] (sP = (Г)
)
К К (sP
Рассмотрим теперь расщепление мультиплетов груп-
группы Si/F) на мультиплеты группы Si/D) ® Si/B). Для
56-плета согласно формулам B7) —C1) получим сле-
следующую схему:
* А, N (У = 1)
^2Д (К 0)
41 Q (У = — 2)
Для изучения расщепления 35-плета воспользуемся
формулами C5) —C9). В формуле C5) мы имеем век-
векторный мезон с изотопическим спином Т = 1, псевдоск^*
28Q
Лярный мезон с Т = 1 и векторный мезон с Т = 0. Пер-
Первые два триплета отождествляются с р- и я-мезонами
соответственно, а последний мезон обозначим со. В фор-
формуле C8) есть также векторный мезон с Т = 0. Его обо-
обозначим ф. Получим тогда схему
/ р, со, я (Y = 0)
// Л'*, К (Г- 1)
"^г—* А", А (} = 1)
\
Векторные мезоны с У = Г = 0 условно обозначим со
и ф и покажем, что они действительно отождествляются
с известными со- и ф-мезонами. Для этого рассмотрим
связь между этими состояниями и состояниями со0 и ф°
в схеме расщепления 35-плета на унитарные мультипле-
ты. Как известно, со0 и ф° являются спинорами второго
ранга группы SUC) с ненулевыми компонентами:
[см. гл. 3, формулы B2) и B3)]. Если представить эти
мезоны в виде матриц 3X3, то получим диагональную
матрицу
VT
ут
У б ^ ^ У з
D0)
Что касается ф- и ©-мезонов, то [см. формулы C2) и C3)]
волновая функция ф-мсзона отлична от нуля только в том
случае, если унитарные индексы аир равны 3, а волно-
волновая функция со-мезона отлична от нуля, при условии, если
унитарные индексы а, р равны 1, 2, причем г|э/ = г|э|, по-
поскольку (о-мезои имеет Т = 0. Таким образом, унитар-
281
ё волновые функции гр- и со-мезонов имеют следующие
ненулевые компоненты:
<jp:i|>3 = 1;
Если представить эти мезоны в виде матрицы, то
со
D.)
(
Сравнивая матрицы D0) и D1), получим
D2)
Из соотношений D2) и определения угла фсо-смешива-
ния *
Ф = — cos 9ф° -f sin Go0; со = sin 9ф° + cos всо°
получим
Это значение 9 прекрасно согласуется со значением, по-
полученным в гл. 3 на основе экспериментальных данных
по массам частиц. Следовательно, со- и ф-мезоны в схе-
схеме расщепления на мультиплеты SU(A) ® SUB) —наб-
—наблюдаемые частицы. Это показывает, по-видимому, что
среди цепей редукций G) и (9) в природе осуществляет-
осуществляется последняя.
§ 2. Некоторые следствия симметрии SU F)
2.1. Электромагнитные свойства барионов
В унитарной симметрии электромагнитный ток явля-
является компонентой октуплета. С другой стороны, по отно-
отношению к вращениям, т.е. к спиновой группе 5f/B), за-
* Эти соотношения отличаются от соотношений F9) в гл. 3
знаком волновой функции ф°, что не существенно, так как волновые
функции частиц всегда определяются с точностью до фазы.
282
ряд представляет собой инвариант (скаляр), а магнит-
магнитный момент — вектор (с тремя компонентами). Это
означает, что заряд и магнитный момент образуют муль-
типлеты (8.1) и (8.3) соответственно группы SUC) ®
® SUB). Предположим теперь, что эти мультиплеты
принадлежат 35-плету группы SUF)—мультиплету
группы SU(Q) с наименьшим числом компонент, содер-
содержащему октуплеты со спинами 0 и 1. Тогда матричные
элементы операторов заряда Q и магнитного момента М{
между состояниями барионов из 56-плета получаются
из билинейных комбинаций
- 4" ^{CDE]bcoEh D3)
о
преобразующихся как компоненты 35-плета группы
SUF) при помощи соответствующих проекционных опе-
операций.
Как известно, волновая функция 35-плета выражает-
выражается через волновые функции унитарных мультиплетов сле-
следующим образом:
ф$ = ^ mi (V,)? + у- б? («+yY6tPl
Если вместо спиноров второго ранга группы SUC) (Vi )?
и Pq пользоваться восьмимерными величинами
j = 1, 2, 3, ...,8 для описания октуплета, то
\ (of (KW + в (»)^ +
причем в этой формуле по i производится суммирование
от 1 до 3, а по / — от 1 до 8. Обозначим П^ и Иц проек-
проекционные операторы на состояния (8.1) и (8.3) соответст-
соответственно;
25 РУ; D5)
У/./- D6)
283
Нетрудно проверить, что
%±ьХ$; D7)
(a,)*(^. D8)
Для того чтобы получить матричные элементы опера-
операторов заряда и магнитного момента между состояниями
барионов из 56-плета, необходимо проектировать ток
D3) на состояния (8.1)зх2 и (8.3) зх2. Отметим, что по
отношению к группе унитарной симметрии электромаг-
электромагнитный ток является компонентой октуплета, соответ-
соответствующей матрице
Поэтому мы должны пользоваться проекционными опе-
операторами
) б2(Л«)г;
Таким образом, предположение о том, что заряд и
магнитный момент принадлежат 35-плету группы 5f/F)
приводит к тому, что матричные элементы операторов
заряда Q и магнитного момента Mi между состояниями
барионов из 56-плета имеют вид
G6a6(^JJ^; D9)
< 56| Mt 156 > = и (а,)* (Я«J J$], E0)
где J$ff выражается через волновые функции барионов
соотношением D3), а q и \х — произвольные константы.
Подставим теперь в соотношение D3) выражение B5)
волновой функции Ъ{Лвс} . Из формул D9) и E0) по-
получим
<561Q156> =
+ Y^4(fiv^-S^v)OT); E1)
284
<561 M, 156 > -
+вд)+4
фV {odfabcdBtf** (H0?vb) • E2)
Формула E1) показывает, что для заряда октуплета
имеется связь типа F, в согласии с условием нормировки
заряда. Если положим q = 3, то из этой формулы полу-
получим для всех частиц нужные заряды: р имеет заряд +1
Л++ — заряд +2, заряды нейтральных частиц равны ну-
нулю и т.д. Рассмотрим теперь формулу E2). Напомним,
что в унитарной симметрии магнитные моменты барио-
нов выражаются через две произвольные константы \iF
и \iD. Из формулы E2) видно, что в симметрии SUF)
эти константы не независимы. Их отношение равно
-?- = —. E3)
Поскольку магнитные моменты нуклонов выражаются
через \iF и jutD следующим образом:
Ир = М^ + -у PDl Нт* = — у И°
(см. гл. 5, п. 1.1), то
что хорошо согласуется с опытом.
Кроме соотношения E3) формула E2) дает еще дру-
другие следствия. Она показывает, что магнитные моменты
частиц в декуплете барионных резонансов, магнитные
моменты частиц в октуплете барионов и константы ди-
польных магнитных переходов между состояниями деку-
плета и октуплета выражаются через одну произвольную
константу. В частности, магнитный момент ^--гиперона
равен \1Р (в единицах отрицательного заряда), где [хр —
магнитный момент протона, а матричный элемент диполь-
285
ного магнитного перехода между состояниями протона и
резонанса А+ равен
• _ | ал | л~т\ 1 / *• , с аи / \о /г л\
^{М^к > = 1/ — [ХрФ 8 iPUaVbcd, E4)
где фа и фьс^ — спиновые волновые функции протона и
резонанса.
2.2. Электромагнитные распады мезонных резонансов
В предыдущей главе было отмечено, что матричные
элементы электромагнитных распадов барионных резо-
резонансов зависят от двух констант. В симметрии SUF)
одна из этих констант выражается через магнитный мо-
момент протона. Что касается второй константы, то она
неизвестна. Поэтому мы не можем сделать никаких за-
заключений относительно вероятностей радиационных рас-
распадов барионных резонансов.
Рассмотрим теперь радиационные распады векторных
мезонов на псевдоскалярные мезоны. Матричные элемен-
элементы этих процессов пропорциональны матричным элемен-
элементам дипольных магнитных переходов между состояния-
состояниями векторных и псевдоскалярных мезонов. В симметрии
SUF) векторные и псевдоскалярные мезоны принадле-
принадлежат 35-плету с волновой функцией Ф^, удовлетворяющей
условию Ф^ = 0. Поэтому матричные элементы рассмат-
рассматриваемых дипольных магнитных переходов получаются
из билинейных комбинаций
E5)
проектированием на состояние (8.3). Если пользоваться
симметричными комбинациями, то
<35 | М, 135 > = fi (а,J (Л*M [ФсФв + ]
= I* (у-е,м [W {Vk)l -
v
tiVt + [Ру <УЯ + П{V&} (Х'Щ, E6)
а если пользоваться антисимметричными комбинациями,
286
то , _ _,
<351 М, 135> - |« (о,)* (л')а [Фс1'й - ФвФс]
- Щ «] (Н\. E7)
Поскольку матричный элемент E7) не меняет знак лри
зарядовом сопряжении, то из С-инвариантности следует,
что только матричный элемент E6) дает вклад. В част-
частности, матричные элементы всех радиационных распадов
векторных мезонов на псевдоскалярные зависят от одной
константы, через которую выражаются также магнитные
моменты векторных мезонов. Напомним, что в унитарной
симметрии матричные элементы рассматриваемых элек-
электромагнитных распадов зависят от двух констант: gs и
gD (см. гл. 5, п. 1.2). Из выражения E6) следует, что в
симметрии 5GF) эти константы пропорциональны
С другой стороны, угол срсс-смешивания полностью опре-
определяется:
Поэтому для распадов <р- и со-мезонов вместо соотноше-
соотношений
g = ?— cos б о- "—: sin 9,
y-cosG
/6
D S
*rffl_>TV = — -S— Sin б -| S__ cos 0
[см. гл. 5, соотношение A6)] получим
-gD;
E8)
287
Отсюда следует, что распаД
Ф -> тс° + у
запрещен, а отношения вероятностей других распадов
ф- и со-мезонов к вероятности распада
полностью определены. Значения этих отношений, а так*
же других отношений, данных в табл. 10, приведены
в табл. 15.
Таблица 15
Отношение вероятностей
Г(р±-0-*я±-°7)
W(K*o-*K°y)
Г(р±-0-я±-°7)
У(р«-ПТ)
У(р±-°-я±Л)
W (w -* пу)
W (со -» T)v)
Г(р±'0-»я±-°у)
IF (ф -> яоу)
ttr(p±.o-^n+-ov)
«Г(Ф-*ЛТ)
^(р±-0->п±-°7)
Теоретические
значения
0,58
2,32
0,36
9,9
0,052
0
2,53
2.3. Мезон-барионное и барион-барионное рассеяния
Применим теперь симметрию SUF) к изучению ме-
зон-барионного и барион-барионного рассеяния. От-
Отметим прежде всего, что инвариантность матричного эле-
элемента по отношению к группе SUF) влечет за собой ин-
инвариантность относительно спиновой группы Sf/B), т. е.
приводит к сохранению полного спина системы частиц
288
в процессе рассеяния. Однако в действительности полный
спин системы сохраняется только при условии, если ор-
орбитальный момент / равен нулю. В состояниях / Ф О
всегда имеется LS-связь, и сохраняющейся величиной
является только полный момент J2 = (L + SJ. Поэтому
симметрию SUF) можно применять только к амплиту-
амплитудам рассеяния в S-состоянии.
Рассмотрим рассеяние мезона из 35-плета на барионе
из 56-плета в S-состоянии. Матричной элемент, инвари-
инвариантный относительно группы S?/F), имеет вид
М C5 + 56 -> 35 + 56) = i
+ А (ФФ
E9)
В матричном элементе E9) содержатся: матричный эле-
элемент рассеяния октуплета псевдоскалярных мезонов на
октуплете барионов, матричный элемент процессов рож-
рождения векторных мезонов и барионных резонансов при
столкновении псевдоскалярного мезона с барионом и
т. д. Пользуясь выражениями A8) и B5) волно»вых функ-
функций Ф^ и Ч?{АвС} через волновые функции мультиплетов
SUC) 0 SL/B), можно получить выражение для матрич-
матричного элемента мезон-барионного рассеяния в S-состоя-
S-состоянии. Отметим, что в унитарной симметрии существует
семь независимых амплитуд, а в симметрии SUF) —
только четыре. Из выражения E9) можно получить сле-
следующее соотношение между амплитудами упругого рас-
рассеяния я- и /(-мезонов на протоне в S-состоянии:
[Afs (я+р -> п+Р) — Ms (пГр -> я»] =
- y [Ms (К*~Р ~> К+р) - Ms ^ р ~* К~Р)] =
== [Ms (К°р -> К°р) - Ms (Кр° -> К°р)]. F0)
Аналогично матричный элемент рассеяния 56-плета
на 56-плете в S-состояиии имеет вид
М E6 + 56 - 56 + 56) = Ах \WlABC} A) W{abc) A) X
X^f?™} {2)V{EFG}B)-WlABC)(iy?{ABC} B)X
10 Заказ 809 289
X 4'f?TOi B)T{ero} A)] + A2 IT^BC>A) W[abd) (l)X
X ?{D?H B) ?{c^} B) - ?<лвс> A) W{Abd} B) X
"<D?f> F1)
Здесь цифры 1 и 2 были введены для того, чтобы разли-
различить тождественные частицы. Требование принципа Пау-
Паули учитывается при получении матричного элемента F1).
Подставляя© соотношение F1) выражение B5) для вол-
волновой функции ^{авс} » можно получить матричный эле-
элемент нуклон-нуклонного рассеяния в S-состоянии и по-
показать, что 'в симметрии SUF) амплитуды рассеяния
нейтрона на протоне в состояниях lS0 и ZSX совпадают
MiSq (пр -> пр) = Мз5х (пр -+ пр). F2)
Результаты фазового анализа нуклон-нуклонного рассея-
рассеяния показывают, что ib области энергий от 100 до
400 Мэв соотношение F2) хорошо согласуется с опытом.
В заключение отметим, что поскольку симметрия
SU(&) требует сохранения полного спина, то область ее
применимости весьма ограничена. Так, она неприменима
к зучению распадов барионных резонансов, распадов
векторных мезонов и т. д. Для изучения этих распадов
необходимо построить теорию, которая позволит учесть
LS-связь.
§ 3. Возможные интерпретации
симметрии SU F)
3.1. Симметрия SU F) как.динамическая симметрия
Об-судим теперь вопросы, которые должны быть ре-
решены, если предложенная симметрия SUF) является не-
некоторой динамической симметрией. Во-первых, теория
симметрии SUF)—нековариантная теория. Дело в том,
что три спиновых оператора: Oij = е^ь, сг^, i, /, k = 1, 2,3,
входящие в число генераторов группы Sf/F), состав-
составляют лишь три компоненты антисимметричного тензо-
тензора второго ранга в пространстве Минковского jx, v = 1,2,
3, 4. При преобразовании Лоренца каждая компонента
оц может превращаться в линейную комбинацию всех
компонент anv . Поэтому теория ксгаариантна только при
290
условии, если группа симметрии содержит наряду с вц
все компоненты а^ . Во-вторых, в процессах распада,
рассеяния и рождения частиц LS-связь оказывается весь-
весьма существенной. Поэтому необходимо построить теорию
релятивизированной симметрии SUF) так, 4тобы она
позволяла учитывать эту связь. В-третьих, наличие раз-
разницы масс частиц в каждом мультиплете группы Si/F)
показывает, что симметрия SUF) нарушается. Теория
релятивизированной нарушенной симметрии SUF)
должна также объяснять расщепление масс частиц
в каждом мультиплете.
3.2. Симметрия SU (в) и модель кваркой
Одним из важных результатов симметрии SUF) яв-
является предсказание отношения магнитных моментов
протона и нейтрона. Этот результат также можно полу-
получить в рамках модели кварков. Предположим, что ба-
рионы и барионные резонансы из 56-плета образуются
из трех кварков, находящихся в S-состоянии, причем
полные волновые функции этих систем трех кварков сим-
симметричны относительно их перестановок. Поскольку уни-
унитарные волновые функции частиц из декуплета симмет-
симметричны по унитарным индексам, то они также симметрич-
симметричны по спиновым индексам, и эти частицы имеют спин 3/2.
Аналогично частицы из октуплета являются состояниями
с полным спином 1/2. Пусть кварки имеют заряды 2/3,
—1/3, —1/3. Из унитарной симметрии следует, что их маг-
магнитные моменты равны 2/Зр,, —1/Зр,, —1/Зр,, где \i — про-
произвольная константа. Если кварки имеют только дира-
ковские магнитные моменты, то \х = —, где М — масса
кварка. Рассмотрим Й~-гиперон. Он образуется из трех
Х-кварков с магнитным моментом — 1/3. Тогда состояние
Q~-гиперона с проекцией спина +3/2 отождествляется с
системой, в которой все Л-кварки имеют проекцию спина
+ 1/2 и, следовательно, их магнитные моменты складыва-
складываются. Таким образом, магнитный момент ?2~-гиперона по
абсолютной величине равен \х и имеет такой же знак, что
и его заряд. Аналогично можно вычислить магнитные
моменты протона, нейтрона и других частиц, а также
константы дипольных магнитных переходов между со-
состояниями барионов и барионных резонансов, между со-
10* 291
пеебдоскалярных й векторных Мезоноб Й i. Д.
Для протона и нейтрона получим \хр = \х, \хп = — 2/3 ^ и,
следовательно, и-р/^п = —3/2. Вообще говоря, все пред-
предсказания симметрии SUF) можно рассмотреть как след-
следствия составной модели элементарных частиц, в которой
барионы и барионные резонансы образуются из трех
кварков, находящихся в S-состоянии, а псевдоскалярные
и векторные мезоны образуются из кварка и антикварка
в S-состоянии.
Отметим, что в рассматриваемой модели можно вы-
вычислить не только отношение магнитных моментов про-
протона и нейтрона, но и их абсолютные значения. Напри-
Например, магнитный момент протона равен \х. Если кварки
имеют только дираковский магнитный момент, то \i= ——
Поскольку масса кварка М, по-видимому, большая (го-,
раздо больше 1/3 MN, где MN — масса нуклона), то маг-
магнитный момент протона должен быть существенно меньше
экспериментального значения 2,79 e/2MN. Таким образом,
для получения значения магнитного момента протона,
необходимо предположить, что магнитные моменты квар-
кварков существенно больше их дираковских магнитных мо-
моментов. Н. Н. Боголюбов, Б. В. Струминский и А. Н. Тав-
хелидзе рассмотрели вопрос о магнитном моменте квар-
кварков и показали, что кварки в связанных состояниях име-
имеют эффективные магнитные моменты, существенно пре-
превосходящие значения их магнитных моментов в свобод-
свободном состоянии. В частности, магнитный момент протона
может быть равным 2,79 ej2MN даже если свободные
2 е 1 е
кварки имеют магнитные моменты , *- и
1 е
соответственно.
3 2М
Как было отмечено, чтобы объяснить предсказания
симметрии St/F) в рамках модели кварков, необходимо
предположить, что волновые функции барионов и барион-
ных резонансов как систем трех кварков симметричны от-
относительно перестановок кварков. С другой стороны,
кварки имеют спин 1/2, т. е. являются фермионами. Та-
Таким образом, если кварки существуют, то они не подчи-
подчиняются обычной статистике Ферми — Дирака (по край-
крайней мере, когда они находятся в связанном состоянии).
В гл. 3 было показано, что можно построить модели уни-
292
тарной симметрии без дробных зарядов и без дробных
барионных чисел. В одной из таких моделей все частицы
образуются из трех фундаментальных триплетов.
В рамках этой модели можно также получить все
предсказания симметрии SUF). Поскольку барионы и
барионные резонансы образуются из трех кварков в
трех различных триплетах, то здесь уже не существует
вопроса о статистике кварков. Однако в данном случае,
кроме известных квантовых чисел, существует еще одно
квантовое число — суперзаряд Z, которое может не со-
сохраняться только в слабых взаимодействиях. Известные
барионы, мезоны и резонансы имеют нулевой суперза-
суперзаряд. В принципе должны существовать также частицы с
ненулевыми суперзарядами. Если рассматривать сово-
совокупность всех барионов с Z = 1, то по крайней мере один
из них должен быть стабильным по отношению к силь-
сильным и электромагнитным взаимодействиям. Если супер-
суперзаряд не сохраняется в слабых взаимодействиях, то мас-
масса этого бариона должна быть больше массы протона,
так как в противном случае протон распадался бы на
барион и пару лептонов или на барион и фотон. Анало-
Аналогично среди мезонов с Z = 1 должен существовать по
крайней мере один мезон, который может распадаться
только по слабым взаимодействиям. Такие барионы и
мезоны должны были бы рождаться (попарно, конечно)
при столкновении элементарных частиц высокой энергии,
если их массы не слишком велики.
§ 4. Классификация новик мезонных
резонансов по высшим представлениям
группы SU F)
4.1. Мезонные резонансы
В последнее время экспериментом были обнаружены
некоторые мезонные резонансы со спином и четностью 2+
(см. гл. 3, п. 2.3). Рассмотрим возможность классифика-
классификации этих мезонных резонансов по неприводимым пред-
представлениям группы SUF). Как известно, по отношению
к спиновой группе SUB) волновые функции частиц со
спином 2 являются спинорами четвертого ранга. По-
Поскольку спиноры ранга меньше четырех группы SUF) не
могут содержать спиноры четвертого ранга спиновой под-
подгруппы SUB), то в симметрии S(/F) мезонные резонан-
11 Заказ 809 293
сы со спином 2 описываются только спинорами четвер-
четвертого ранга или высших рангов группы SUF). В рамкад
модели кварков это означает, что частицы со спином 2
следует рассматривать только как системы, содержащие
не меньше четырех фундаментальных фермионов со
спином 1/2 (кварков и антикварков).
Отметим, что между симметрией SUF) и моделью
кварков существует следующее соответствие: мезонный
35-плет, описываемый спинором с одним верхним и одним
нижним индексами Ф?, характеризует состояния систем
из одного кварка и одного антикварка, а барионный
56-плет, описываемый спинором с тремя нижними индек-
индексами, характеризует состояния систем из трех кварков.
Грубо говоря, каждый нижний индекс соответствует одно-
одному кварку, а верхний — антикварку. Если сохранить это
соответствие и для других мультиплетов, то в симметрии
SU(Q) мезоны всегда описываются спинорами с равными
числами верхних и нижних индексов, так как они могут
быть рассмотрены как состояния систем, состоящих из
равных чисел кварков и антикварков. Таким образом, для
классификации мезонных резонансов со спином 2 в сим-
симметрии ,Sf/F) необходимо рассмотреть спиноры четвер-
четвертого ранга, 2 раза ковариантные и 2 раза контравариант-
ные, или спиноры ранга 2р> р > 2, р раз ковариантные и
р раз контравариантные. Существуют следующие непри-
неприводимые спиноры четвертого ранга, 2 раза ковариантные
и 2 раза контравариантные:
причем шпуры этих спиноров равны нулю:
= О
Спиноры ф[сЕ] и Ф{^} совпадают со своими контр-
контрградиентными, а Ф[со] контрградиентно ®\cd} • ^ ДРУ"
гой стороны, частицы и античастицы принадлежат контр-
контрградиентным друг другу представлениям, а существова-
существование частиц влечет за 'собой существование античастиц.
Поэтому Ф|?Э и Ф(со] должны быть рассмотрены од-
одновременно.
294
Подсчитаем теперь число независимых компонент рас-
рассматриваемых спиноров четвертого ранга. Отметим, что
существует —Ц—- = 21 различная симметричная пара
индексов {АВ},— = 15 различных антисимметрич-
антисимметричных пар индексов [А В]. Поэтому если бы шпуры спиноров
(Ь[АВ] гтЛлв) <ъ[АВ] m {лв* были произвольными,
то они имели бы 15 X 15 = 225, 21X21 = 441 и 15 X
X 21 = 315 независимых компонент соответственно. Рас-
Рассмотрим теперь их шпуры по одной паре индексов: Ф[ло]>
<А *ЙЯи фЙЗ-
Первые шпуры являются спинорами с одним верх-
верхним и одним нижним индексами. Они имеют б2 = 36 не-
независимых компонент, и условия
= О
эквивалентны 36 уравнениям. Следовательно, спиноры
®\cd] и ®{cd\ с нулевыми шпурами имеют 225—36 =
= 189 и 441—36 = 405 независимых компонент соответ-
соответственно. Что касается шпуров Ф^д} и Ф[>ад> то они
}
имеют 35 независимых компонент, так как равенство
выполняется автоматически. Следовательно, спиноры
®{cd\ и ®[cd] с нулевыми шпурами имеют 315—35 =
= 280 независимых компонент. Таким образом, в рамках
теории симметрии Sf/F) мезонные резонансы 2+ могут
принадлежать только 189-, 405, B80#+ 280)-плету или
мультиплетам с большим числом ко*мпонент. Рассмот-
Рассмотрим подробно 189-плет и 405-плет.
4.2. Разложения 189- и 405-плетов
на неприводимые представления подгрупп
SU(S) ® SU B) и Sl/D) ®SU B)
Можно показать, что 189-плет и 405-плет группы
SUF) содержат следующие унитарные мультиплеты —
неприводимые представления подгруппы SUC)
189 = A.5) + (8.5) + 2 (8.3) + A0.3) + A6.3) +
+ A.1) +(8.1) +B7.1); F3)
295
405 - A.5) + (8.5) + B7.5) + 2(8.3) + A0.3) +
+ (Гб.З) + B7.3) + A Л) + (8.1) + B7.1). F4)
Обозначим S, О/з, Da^Vf Dapv и я|^| унитарные вол-
волновые функции унитарных синглета, октета, декуплета,
сопряженного декуплета и 27-плета соответственно.
В каждом из мультиплетов 189 и 405 содержатся два ок-
октета со спином 1. Эти октеты обозначим О^а и О^а. Со-
Состояния частиц со спином 1 будем характеризовать спи-
спинором второго ранга
Фь.а, 6=1,2
с нулевым шпуром ф? = 0, а состояния частиц со спи-
спином 2 — спинором четвертого ранга
lab)
{d} ,a,b,c, d=l,2f
симметричного по каждой паре верхних и нижних индек-
индексов и имеющего нулевой шпур.
Можно показать, что спиноры
и ogg. где Л'= (а, а), а = 1, 2> а =1, 2, 3
группы SUF) , антисимметричные или симметричные по
каждой паре индексов и имеющие нулевые шпуры
которые описывают 189-плет и 405-плет, разлагаются на
волновые функции, описывающие неприводимые пред-
представления подгруппы SUC)® SUB) следующим об-
образом:
+ =r
4y 3
-
296
-A- [ОЫ
¦—яК-
2 Ш
46^6?) - 0?6§ F26* + 46$) + 0&? F^6? + 46^62)] +
].- F5)
^-D
_ х
X [7 @#вЙ* + О?6|6*65 4-
byObOcOd) ~ 7 ^0Y050A + OvO5O5OcjJ . F6)
297
С другой стороны, если рассмотреть разложение 189- и
405-плета группы SUF) на неприводимые представления
подгруппы S/7D) ®SUB), то имеем
189 = A.1) + F.1) + FЛ) + A5.1) + B0'.1) +
+ D.2) + DГ.2) + B0.2) + B0.2) + A5.3); F7)
405 = A.1) + A5.1) + (84.1) + D.2) + D.2) + C6.2) +
+ C6.2) + A.3) + A0.3) +ТГ0.3) + A5.3) + D.4) +
+ D.4)+ A.5). F8)
В скобках первое и вторые цифры равны размерностям
соответствующих неприводимых представлений групп
SUD) и SUB)r причем последняя является так назы-
называемой «спиновой группой странных кварков». Обозна-
Обозначим А/ пару индексов (af a), a А" — пару (а, 3), где я,
а = 1, 2 — спиновый и изоспиновый индексы. Тогда
Ф[А'В'Л .ГЛ'В'З , 1 /&А'В' сВ'.Л'
4
— бо'фсФ );
ФГА'В*] 1
1 .Л' В" , 1
— г|5С'Фо" + —
3
Ъ\*Т] ~ 3 vA°B'
298
F9)
{а'В'\ Ла'В'
{CD'} = 4>{C'D'
где
^{} ¦fc'D'} ty[C'D'
— спиноры группы SC/D), описывающие мультиплеты
размерности 84, 36, 20, 20, 15, 10, 6 и 4 соответственно, а
«Pfc"i>"!' <?$ В К у>%1, ?В — спиноры спиновой группы
странных кварков SUB), описывающие неприводи-
неприводимые представления размерности 5, 4, 3 и 2 соответст-
соответственно.
4.3. Спиновые и изотопические мультиплеты
в неприводимых представлениях подгруппы
SUD) ®SUB)
Для изучения классификации частиц по рассматри-
рассматриваемым мультиплетам группы SUF) и подгруппы
SUD) ® SUB) необходимо знать, ка.кие спиновые и
299
изотопические Мультиплеты содержатся в этих МуАьМ-
плетах. Иначе говоря, необходимо изучить разложение
записанных нами выше неприводимых представлений
группы SUD) ® SUB) на мультиплеты группы S.UB) ®
® SUB). Для неприводимых представлений группы
SUD) ® SUB), содержащихся в 189-плете группы
SUF), получим следующие разложения:
B0.2) = B.1) + D.1),+ B.3) + B.3) + D.3) + B.5)
B0.1) = A.1)+ E.1)+ C.3)+ A.5)
A5.3) = A.1) + C.1) + A.3) + C.3) + A.5) + C.5) + C.3)
A5.1) = C.1)|+A.3)+ C.3)
D.2) = B.1I+B.3)
F.1) = C.1)+ A.3)
Аналогично для мультиплета 405
(84.1) = A.1) + E.1) + C.3) + C.3) + E.3) +
+ A.5)+ C.5)+ E.5)
A5.1) = C.1)+ A,3)+ C.3)
C6.2) = B.1) + D.1) + B.3) + B.3) + D.3) +
+ D.3)+ B.5)+ D.5)
D.2) = B.1) + B.3)
A0.3) = C.1)+ A.3)+ C.3)+C.5)
D.4) = B.3) + B.5)
A.5) = A.5)
A.3) = A.3)
В разложениях первая цифра (в скобках) обознача-
обозначает размерность изотопических мультиплетов, вторая —
размерность спиновых мультиплетов.
Волновые функции разложений имеют вид
B0.2): ^с-о']ФВ" = -^ ф^-Ч + "V4
300
B0.1):
-1- е"
-i- S?! Ш -
j - 2636*);
A5.1): v? = ад + -^«8x3 + y
D.2): TcV =
F.1): Г'*'1 = -jf Л
A.1): 6^: = 6-6?;
(84. i): *?;;} = ед:,6> + i {
62/,
p} да
G1)
G2)
G3)
G4)
G5)
G6)
G7)
301
+ sfia? (rftf - Л] +
X Dб?б5 - 5626*) + 6^6? D6*6? - 5828?)]; G8)
уг Й j да +
D5?6§ - 5^38^) + 858* D$838$ - 55?в?)]; G9)
D.2) ?D-<pS" = $53xj + -^ $& (80)
A0.3):ТУ4^ = 6^Х{2| + f ?
D.4) :¦!,#'>-^2} + ^- [«Й + в8й- (82)
(82)
(83)
«. (84)
302
где ЦуЦ, ky и т. д.— спиноры группы SUB)Ty описы-
описывающие мультиплеты размерности 5, 3 и т. д., а %\ы\ ,
X* и т. д.— спиноры группы SUB)G . При определении
вида разложений исходят из обычных требований сим-
симметрии, ортонормировки и равенства нулю шпура. Значе-
Значение гиперзаряда определяется числом верхних и нижних
индексов «3».
С помощью полученных разложений в следующем раз-
разделе будут получены параметры смешивания частиц из
разных унитарных мультиплетов с одинаковыми спинами.
4.4. Параметры смешивания
Как было указано во введении, физически наблюдае-
наблюдаемые частицы принадлежат мультиплетам не SUC) ®
® SUB)9 a SUD) ®S?/B). Это приводит к тому, что
если данное неприводимое представление группы SUF)
содержит различные мультиплеты с одним и тем же спи-
спином, то физические частицы являются определенными
линейными суперпозициями. состояний с одинаковыми
квантовыми числами из различных унитарных мульти-
мультиплетов. Для определения углов смешивания применяет-
применяется следующий метод. На основе разложений спиноров
Ф[сй\ и Ф\Ср} группы SUF) на неприводимые пред-
представления группы St/D)® SUB) [см. формулы F9),
G0)] и разложений последних на изотопические мульти-
мультиплеты с определенными спинами [формулы G1) — (84)]
можно найти проекционные операторы на каждое физи-
физическое состояние. Действуя этими проекционными опера-
операторами на выражения Ф[со] и ф\сп\ через волновые
функции унитарных мультиплетов [формулы F5), F6)],
мы сразу получим конкретные линейные комбинации
волновых функций состояний из унитарных мультипле-
мультиплетов, описывающие физические частицы.
Продемонстрируем это на примере изотопического
мультиплета со спином 1 и гиперзарядом 0, содержаще-
содержащегося в представлении B0.1) группы SUD) ® SUB) и
в 189-плете группы SUF). Волновую функцию этой ча-
частицы обозначим Г>, где / — 1, 2, 3 —индекс вектора
в трехмерном пространстве, а / = 1, 2, 3 — индекс изото-
303
Пйческого вектора. Соответствующий проекционный опе-
оператор обозначим (Гф [л'2']-Он должен удовлетворять ус-
условию
<т%шя-№ (85)
С помощью формулы G2) можно показать, что
(86)
Действуя теперь этим проекционным оператором на
выражение F5) спинора Ф[щ, получим
т1 = (nO[S:SWf5:i = [yziO'MZ +
^ ± ^ )l] Vif (87)
где
пространственная болновая функция со спином 1 (нор-
(нормированный трехмерный вектор). Обозначим я, а и а
нормированные волновые функции частиц в правой ча-
части соотношения (87). Тогда из этой формулы
-о,+~О;)у{. (88)
Последнее соотношение показывает, что рассмотренный
изотопический триплет со спином 1 и гиперзарядом 0 яв-
является суперпозицией трех изотопических триплетов с
такими же спинами и гиперзарядами, принадлежащими
трем унитарным мультиплетам (8.3), A0.3) и A0.3).
Применяя этот метод, можно получить параметры сме-
смешивания для всех изотопических мультиплетов.
Введем следующие обозначения для состояний с оп-
определенным изотопическим спином и гиперзарядом в
каждом унитарном мультиплете со спином s:
304
(l,2s+U
(8,2s+1)
(Ю.2.+ 1)
(T6,2s+1)
B7,2s+l)
о
II
о"
II
g(s)
Ms)
a(s)
II
О
II
n(s)
aW
a(s)
6(s)
II
II
c(s)
II
II
K(s)
l(s)
II
II
6(s)
e(s)
II
I
II
K(s)
w
m
1)
1
8
Ms)
l(s)
о
II
CN
ii
t(.)
II
II
f(s)
о
II
1
II
¦г
7
II
t(s)
/T.)
Для случая октетов (У и О" со спином 1 пользуются
обозначениями t]/(s), я7E)... и r)"(s), ^'(s)... соответст-
соответственно. Как уже отмечалось, многие из этих состояний не
физические. Физические сдстояния с изотопическим спи-
1 3
ном Т = 0, —, 1,—, 2, с гиперзарядом У и спином s
обозначим 5(У, s), Я(У, 5), Г(У, s), Q(y, s), f(y, s) со-
соответственно. Чтобы отличать различные изотопические
мультиплеты с одинаковыми квантовыми числами, поль-
пользуются индексами 1, 2, 3.... Например, в 189-плете содер-
содержатся три дублета с У = ±1, 5 = 1. Эти частицы
обозначим Z)i(± 1,1), ?>2(±U) и D3(±l,l). Формулы
смешивания следующие:
189-плет
s = 2
Sa @,2) = -±= [- g B)
B)J;
(89)
A,2) =/С B); D(-l,2) = /CB); Г @,2) = я B). (90)
s= 1
Sx(Ofl) = T|'(l); S2@,l)-r!"(l); (91)
305
= ^-[-21A) + 2K' A) + K" AI;
О
,\) = ±=[о(\)-вA) + 2к(\)\
,1) = -^ [a(l)_a(l)-n"(l)J;
(92)
(93)
Q(i,l) =
S(-2,l)
= 6A); Qi
= tA);Si
s =
(-
(+
0
1,
2
0 = 8A);
,l)-t(l).
(94)
(95)
F @,0) = с @); Q (-b 1,0) = e @); Q (- 1,0) -"e @); (96)
7j @,0) = -^=- [/2"* @) - VF6 @)] ;
7,@,0) = -^'
(97)
x @,0) = -±= [3 КЗ о @) + 2 /2 л @) - 5# @)];
Sa @,0) = -1= [V'Za @) + 4 К2"Л @) + 5g @) j ;
S,@,0) = -^=r
106
(98)
(99)
T B,0) = f @); Т (-2,0) = f @). A00)
Напишем обратные соотношения, которые будут ис-
использованы при изучении массовых соотношений:
gB) = ^L [- V2 S,@,2) + S3@,2)];
r, B) =
@,2) +
s= 1
@,2)].
(89')
(92')
8 = О
л @) = -L- [VT7Y@,0L- ]/ЗГ2 @,0I; )
\ъ
b @) = -J=, t/ЗГГ! @,0) - J/2~7\2(O,O)];
A,0)-0,A,0I;
(93')
11"
(97')
(98')
307
8 @) = jj= iV^ @,0) - J/5S2 @,0) - V2S, @,0)];
r\ @) = ^L- \V2 Sx @,0) + 2 /2S2 @,0) -
-V5"S3@,0)],-
a @) = ^1=- [3Si @,0) + S2 @,0) + КТО S3 @,0)].
405-плет
s = 2
T B,2) = / B); T (-2,2) = 7B); F @,2)]= с B); A01)
A02)
A03)
A,2) = -^ [K2~A- B) + V3d B)];
D2 A,2) = -Л-
Sx@,2) = -^
B) - V2d B)];
A04)
S2 @,2) = -jl=- [/5 ^ B) + 4B) — 3a B)];
S3 @,2) = -J=- [VTgr B)
s= 1
4t, B) + 3a B)].
A05)
TB,l) = f(l); T(-2,l) = f(l); f @,1) = сA); A06)
S(-2,1) = tA); SB,l) = x(l); A07)
A08)
S, @,1) = -±= lV3if(l) + V2a A)];
S2 @,1) = -^ [К2-Л" A) - /Ъа A)];
A,1) =
31/10^A)
A09)
@,1) =-^y-[4/2-д" A)
@,1) = -^ [-я" A)
(ПО)
A)"
=e(l);Q2(-l,l)=7(l). (Ill)
s = 0
TB,0)=f@); r(-2,0) = f@); F@,0) = с@); A12)
) = g(O),Q(-l,O) = e(O); A13)
309
Л(Р.О)—^
Sa @,0) = -^ [V&g @) + 4т, @) + За @I;
5, @,0) = jL- i-Vbg @) - VTi\ @) + ЗУТо @I;
A14)
А>0,0) = ~[-
@)J;
(И5)
^г 26@)].
Наконец, обратные соотношения для 405-плета
A16)
я B) =*yf[2Tx @,2) -Г, @,2I; ]
6 B) = -^= [-Тх @,2) + 2Г2 @,2I;
К B) = гр- [VTDj A,2) + V^3"D2 A,2)J;
d B) = rj~ lV3Dt A,2) - V2D2 A,2I;
l@,2) + l/2"S2@,2) + ^
A03')
A04»)
П B)
о B)
= I
@,2) + S2 @,2) + 2/2 S3@,2)J;
-J= [S, @,2) - V6SZ @,2) + /3 S3 @,2I •
A0$')
ri'0)=S3@,l);
-L,
@,1I;
aA) --±= [V*SX@,1)-/3S2@,1I;
A0&')
310
2J/l5D3(l,l)
A) = -L[21/10^A,1)+ 51/2 D,A,1)-
la
l/T0D3(l,l)-5J/2D4(l,l)J;
UOM + Tb @,1)];
n" A) = -з-1^ [41^"Г2 @,1) - T3 @,1)
_4 @,1I;
о A) - -j [-/б 7\ @,1) + 2Г2 @,1) +
2/2Г3@,1) + 1/б~Г4@,1) + 21/3"Г5 @,1I;
^A) = ^-11/6"^ @,1) + 2Г2@,1) +
О
4 @,1)-21/3"Г6 @,1I;
VQT, @,1)].
g @) = ^1=- [-31/7^5! @,0) - 1/IO5S2 @,0) +
3 @,0I;
Л @) = — [-12SX @,0) + 21/15S2 @,0) -
10
-1/2T53 @,0)];
a @) = IF[Sl @>0)~ ^155г @>0) ~ 2^21S» (°.°I-
A11')
311
tf@) = 4- VV^D! A,0)- D2 A,0I; )
5 A15')
я @) = -JL [~27\ @,0) + Г, @,0)];
ft @) - ~ [7\ @,0) + 272 @,0)].
Пользуясь этими формулами смешивания и массовой
формулой Гелл-Манна — Окубо, нетрудно получить со-
соотношения между массами физических состояний, т. е.
массами частиц.
4.5. С-четность
Определим теперь С-четность некоторых унитарных и
изотопических мультиплетов, содержащих одновременно
частицы и античастицы. Напомним, что если унитарные
волновые функции частиц из октета и 27-плета преобра-
преобразуются согласно
ГТ^Г*—' лл/У? Г* ?71а"//~»—* ллТ-jX > Inn. i_ \\ /1 1 7\
то эти мультиплеты имеют С-четность tj. Для изотопиче-
изотопических мультиплетов имеются аналогичные определения.
Понятие С-четности можно также ввести для мультипле-
мультиплетов группы 5?/F), содержащих одновременно частицы
и античастицы, например 35-плет, 189-плет, 405-плет
и т. д.
Рассмотрим сначала 35-плет, описываемый спино-
спинором Ф^ группы 5GF) с нулевым шпуром. Этот мульти-
плет содержит октет со спином 0, октет и синглет со
спином 1
Фд = (plV$ Н—т=- Ф?б^5 + -гг=- б?О^, A18)
УЗ У2
где V? и 5 — унитарные волновые функции векторных
мезонов, а О?—унитарная волновая функция псевдо-
псевдоскалярных мезонов. Чтобы определить С-преобразова-
ние для мультиплетов группы 5GF), следует отметить,
что С-преобразование опускает верхние унитарные ин-
индексы и поднимает нижние, но не затрагивает спиновых
индексов. С другой стороны, для спиноров группы 5?/F)
312
унитарные и спиновые индексы образуют единые двой-
двойные индексы, так что опускание (поднимание) унитар-
унитарных индексов всегда влечет за собой опускание (подни-
(поднимание) спиновых индексов. Например, С-преобразование
связывает Ф* и Ф^. Так как спиновые индексы при этом
преобразовании не затрагиваются, то в одном из спино-
спиноров Ф? и Ф^ следует поднять и опустить соответствую-
соответствующие спиновые индексы. Это можно сделать при помощи
антисимметричных спиноров второго ранга гаь и гаЬ.
Таким образом,
Подставив в соотношение A19) выражение Ф^ через
волновые функции SUC) ® SUB), получим
l g CSC'1 = - r)S; A20)
A21)
Таким образом, С-четности векторных и псевдоска-
псевдоскалярных мезонов в 35-плете имеют обратные знаки.
В частности, если х\ = 1, то псевдоскалярные мезоны
имеют С-четность +1, а векторные мезоны С-четность
—1, что подтверждается экспериментом.
Рассмотрим теперь 189- и 405-плеты группы 5GF).
По аналогии с соотношением A19) получим
1 a'a b'b
& 6
Предположим для определенности, что т) = 1. Подстав-
Подставляя в соотношение A22) выражение F5), получим С-
четности всех унитарных мультиплетов, содержащихся в
189-плете группы SUF):
s = 2 : COlC1 = Ol\ CSC1 = S.
s = 1 : СО'(?С~1 = 0?; CO^C1 = — 0?;
s = 0 :
A24)
C5C-1 -S.
12 Зак. 80Э 313
Аналогично из формул A23) и F6) получим для 405-
плета:
S = Z .
CSC'1 =S.
с 1 •
S = 1 .
s = 0 :
CSC =
A25)
Отметим, что в обоих мультиплетах 5GF) два октета
со спином 1 имеют разные С-четности.
С-четности физических изотопических мультиплетов,
являющихся суперпозициями состояний из разных уни-
унитарных мультиплетов, можно определить двумя способа-
способами: либо пользоваться непосредственно соотношениями
смешивания F9) — A16) и законами преобразования
A24), A25) для унитарных мультиплетов/либо подста-
подставить в соотношения A12), A23) разложения спиноров
ЦсЕ] и <Dgg по цепи SUF) =э SUD) ® SUB) =>
id SUB) ® SUB). В результате получим С-четности для
изотопических мультиплетов из 189-плета, содержащих
одновременно частицы и античастицы
С = + 1:5х@,2), S2@,2), 7\@,0), 7,@,0), 7,@,1), 7,@,1^
5х@,0), S2@,0), 53@,0), Sx@,l), 7@,2), F@,0);
С = -1:73@,1), 74@,1), S2@,l).
Аналогично для 405-плета
С = + 1 :7х@,2), 7,@,2), ^@,2), S, @,2), 53@,2), 53@,1)
71@,1), 7,@,1) Sx @,0), 52@,0), S3@,0),
7х(Р,0), 7,@,0), f@,0), f@,2);
С = — 1 :Sx@,l), S,@,l), 7,@,1), 7,@,1), 74@,1).
314
4.6. Соотношения между константами распада
При классификации мезонов по рассмотренным муль-
типлетам 189 и 405 необходимо проверить, выполняются
ли массовые соотношения. Изучение соотношений между
вероятностями распадов резонансов также может дать
дополнительную информацию.
Рассмотрим сначала распад мезонов 0+ и 2+ на два
псевдоскалярных мезона. Преследуя цель идентифика-
идентификации известных мезонов 2+ с частицами из рассматривае-
рассматриваемых мультиплетов 189 и 405, предположим, что констан-
константа г| в формулах A22) и A23) равна +1. Тогда уни-
унитарные мультиплеты со спином и четностью 0+ и 2~*~
Таблица 16
Мезоны 2~t~ в представлении 189
г
г
D-
D'
Si
S2
2
N
f(
h(
ь(
@
@
@
<«
Распад
0,2)-
0,2)-
1.2) н
1,2)-
.2)-
.2)-
,2)»
к+к-
у-
3
3
>
Константа
V
2
1
3 g
2
з g
т
1
/2"
3 g
ёъ
1
1
1
5 У"
1
5 V
"г"
3
/
Г'
¦Si
2
3 ^4
Т
з ^4
315
Таблица 17
Мезоны 0+ в представлении 189
Распад
S^O, 0)-»я+я-
S2@, 0)-+ л+я~
D+ I 0 К+ •
d;?" (i,o)-* я+я°
т4" /П П\ «+-«,
* 2 (^» ") -» Л~Т|
Q++(l, 0)-» /С+ д+
f+^O, 0)-» д+я+
1 /
1/60 1
У* 60 \иа
У 6 \
V 5 \
У 5
/т
Константа
3
2 V 10 ^3
( 2
1
?з
.».
5 /ТО
1
/Го"
2 /IS
/Гб"
3
1
- ь)
ь)
\
ga)
\
имеют С-четность +1. Матричные элементы распадов
этих мезонов на два псевдоскалярных мезона имеют сле-
следующую унитарную структуру:
0+ _> (Г + 0~
М @ -> 8 + 8) = glS (q) PI (Pl) Pi (ft). A26)
M (8 -+ 8 + 8) - g2Tl (q) [Pl (pOPy Ы + Ц (Pi) Pl (ft)] •
A27)
M B7 -+ 8 + 8) * g9H$\ (q) P%(Pi) PfjiPz) • A28)
316
Таблица 18
Мезоны 2
Распад
St@, 2)->л+я
S2@, 2)-»я+л
S3@, 2)-»п+я
? + A, 2)-» Л^я0
D^ A, 2)-*К+я°
7^@, 2)-> л+т]
Г+@,2)- п+л
<?++A,2)-*/С+я+
F++@,2)-> п+я+
Г++B;2)-/(+/(+
в представлении 405
Константа
у10 (>•> g* >- Л+2^30 Яб)
VT5'[Vugi+ У2 е* 2/зо гв)
f3o(f5g4+2/2g5+2/3O ft)
1 / 1 \
/'5 Г+ 2 1/5 gV
/Т (l/ 2ft 1Л30гв)
/t12V з g5 /зо Ч
/5\J/ з ^5+ /зо §«)
1
/2~ge
2+ > О" + О"
2+ -> О" + О" М @ - 8 + 8) =
• A29)
М (8 ^ 8 + 8) =
(Pi) ^ (Pi) +
A30)
Л!B7-8+ 8) =ёъН{${Я)Р1{Р1)Ц{Рг). A31)
Здесь я|^}(^), T${q) и S(</) означают распадающиеся
27-плет, октет и синглет соответственно с импульсом q,
а Рр (pi) и Р« (р2) — октеты псевдоскалярных мезонов с
импульсами р\ и р2. Исходя из этих матричных элемен-
элементов и используя формулы смешивания, можно получить
317
Таблица 19
Мезоны 0~*~ в представлении 405
Распад
Константа
То
^Га" |/ 5"*+1к 5
2 /15
As A,0) -+ К+
Tf @,0) -»я
/г
7=
1/15
выражения для констант конкретных наблюдаемых рас-
распадов gu g2, gz и т. д. Результаты приведены в
табл. 16—19.
Из данных выражений для констант распадов выте-
вытекают различные соотношения между константами. Учи-
Учитывая кинематические факторы (фазовый объем), мож-
можно найти также соотношения между вероятностями
распадов, если известны значения масс соответствующих
частиц. Ввиду отсутствия экспериментальных данных в
настоящее время это возможно только для нонета 2+ в
189-плете (подробно см. гл. 4).
Аналогично для распадов мезонов 2+ на октет псев-
псевдоскалярных мезонов и нонет векторных мезонов имеем
318
матричные элементы
М @ -» 8 + 8) - О;
Л1 B7->8-f-8) = 0.
Выражения констант конкретных распадов даны п
табл. 20 и 21.
Таблица 20
Мезоны 2^" в представлении 189
Распад
7+@,2)-»р+л°
7+@,2)-» р+у)
7+@,2) -*(ря+
Константа
l/*2~ f
0
0
0
1
1
1
Распад
^l(u>2)-*A 'A
5г@,2)^ р+л~"
S^O^)-» сот]
S, @,2) -.сот]
Константа
0
0
0
0
1
Таблица 21
Распад
Г^@,2)-»р-Ьп
7+ @,2)-^ (ол+
Т+@,2)-»фл+
Мезоны 2""" в представлении 405
Константа
2|/ "б'
0
0
0
Распад
Константа
/I'
V ю f
— 1/ —
319
Продолжение табл.21
Распад
Константа
Распад
Константа
VI
7\j @,2)->0)Д+
0
0
0
car]
Df {1,2)-* К*+п°
Df A,2)-* К+в>
Л
52@,2)->(от)
53 @,2)-*
0
0
1 f
/10 '
0
0
ys
s '
/
S3@,2)
1'
Таблица 2?
Мезоны 1"^" в представлении 189
Распад
Si(O,l)->*Y
Si@,l)->n°Y
S2@,l)-»r]Y
Df(lt\)-+K+y
Константа
0
0
1
1 / 2 \
320
Продолжение табл. 22
Распад
Константа
A.1)-/Су
AT°Y
1 я
Уб"
1 2
о
о
/з 3^ з V
Таблица 23
Мезоны 1+ в представлении 405
Распад
Se(O,l)-n»r
3
D,<1.I)-*T
Константа
1
У5" *2
2
/зб;'2
0
1
2 .
з /То 2
0
1 / 4 \
3 /5 \ l 3 /
5f 2^°Al+43t
/30 \ ll ?3 /
1 / 2 2 /Тб ( ^
1 / 8 /TO ( \
3V5 V 3 'h /3 N
8
3 /30 h
W
7?
322
Продолжение табл. 23
Распад
''Р I ' /Л |\ ТГ"Т~А*
Т\ @,1) >л4
7^"@,1) - л+у
7-^@.1)-я Y
7-?@,1)->я0Т
Г^@,1)-*т1у
9 |<
1 (
1
1 /
3/5\
з/г
1 (
/зо \
1
з/
з/
Константа
/ 5 л,
3/2"
1 L А3 '
0
4/2"
3 й +
з Лг4
0
0
5\ V'3!h~
5" \ /3 Лг
ю V /з
0
/"io , \
/з" i3/
К 2Аз/
^ /г»'"/
21*
323
Рассмотрим радиационные распады мезонов 1+ на
псевдоскалярные мезоны. В зависимости от С-четности
частиц матричные элементы этих процессов равны
М (8' -> 8 + У) = К [о\Р\ — О\Р\)\
\Ч • WVR1 2 ^v7^?i\
М (8" _> 8 + 7) = Л2 (Oj/>T + OTPi
Dla{*Pls
М (ТО -> 8 + 8) - - h3Dla{*Plslay;
A33)
Выражения для констант приведены в табл. 22 и 23.
4.7. Заключение
Используя имеющиеся в настоящее время данные по
б.озонным резонансам, рассмотрим возможность класси-
классификации этих резонансов по представлениям 189 и 405
группы SUF). Критерием справедливости идентифика-
идентификации при этом будет выполнение массовых соотношений,
которые можно также использовать для предсказания
масс еще не обнаруженных частиц.
Из-за недостатка экспериментальных данных из мас-
массовых соотношений можно проверить только формулу
4тяA,2) = /яг @,2) + tnsl {o,2) + 2m,s2(o,2) A34)
для нонета мезонов 2+ в 189-плете. Массы известных
мезонов 2+ А2 A310), /(** A410), /° A250) и f A520)
или в наших обозначениях Т @,2), D A,2), Si @,2) и
^2 @,2) удовлетворяют этой формуле в пределах экспе-
экспериментальных ошибок. Поскольку имеется эксперимен-
экспериментальная работа, где приведено несколько иное значение
массы резонанса /С** A430 Мэв), которое не согласует-
согласуется с формулой A34), то желательно уточнение этой ве-
величины. В 405-плете, кроме нонета, имеется еще 27-плет
со спином 2+, для заполнения которого пока не хватает
экспериментальных данных. Если у обнаруженного не-
недавно резонанса М{ A280) в системе К+К+ спин и чет-
четность равны 2+, то его можно поместить только в пред-
представление 405.
Рассмотрим изотопические мультиплеты со спином и
четностью 1+, входящие в 189- и 405-плеты, и возмож-
возможность отождествления их с известными резонансами.
324
D (±1,1). Имеются не вполне достоверные данные о
существовании четырех резонансов с Tz = V2 и массами
1360, 1320, 1215 и 1175 Мэв. Если у этих частиц Т = 1/2
и sp = 1+, то три из них могут быть сопоставлены части-
частицам D (±1,1) в 189-плете или же все четыре — в 405-
плете.
Q (±1,1). Возможным кандидатом является резонанс
в системе Кпп с массой 1270 Мэв, если подтвердится, что
спин и четность этого резонанса равны 1+. Возможно
также, что Q (±1,1) можно отождествить с каким-либо
из четырех резонансов, перечисленных в предыдущем
абзаце, если у этого резонанса Т = 3/2. Отметим, что в
405-плете «содержится два изоквартета Q (±1,1) (в 189-
плете — один).
Т @,1). Достоверно установлено существование резо-
резонанса В A215) (С =—1); имеются данные о резонансе
Ах A072) с С-четностью (С = +1), но некоторые авторы
приводят соображения против существования этого резо-
резонанса. В данном случае нам недостает двух резонансов
для 189-плета и трех — для 405-шгета (если существова-
существование ~А\ считается достоверным). Напомним, что изотри-
плеты имеют определенные С-четности, например, в
189-плете для Т{ @,1) и Т2 @,1), С = +1, а для Тг @,1)
иГ4@,1) С = -1.
«S @,1). Хорошо известны резонансы D A286) с С-чет-
С-четностью (С = +1) и ?"A420) с С-четностью (С = —1)
со спином и четностью 1+ и Т = Y = 0; помимо этого
имеются экспериментальные данные о резонансе Я (975),
у которого предполагаются такие же квантовые числа.
Этим частицам можно сопоставить два изосинглета
S @,1) (различающиеся С-четностью) в 189-плете или
три изосинглета S @,1) (у двух С = —1, у одного С =
= +1) в 405-плете.
F @,1). В 405-плете содержится изоквинтет с нуле-
нулевым гиперзарядом. Достоверных данных о существова-
существовании мезонного резонанса 1+ с Т = 2, У = 0 еще нет, од-
однако возможно отождествление его с одним из резонан-
резонансов X" (962), R~ A675) или Зя A000), у которых
предполагаются квантовые числа Т = 2, Y = 0.
S (±2,1) и Т (±2,1). Изосинглет с Y = 2 содержится
как в 405-плете, так и в 189-плете, изотриплет с Y = 2 —
только в 405-плете. Экспериментальными данными по
этим частицам мы еще не располагаем.
325
Что касается Мезонов 0+, то здесь число частиц СО
спином и четностью 0+ в 189- и 405-плете одинаково, но
массовые формулы разные. Приведем некоторые данные
о возможных кандидатах в нашу схему.
S@,0): a C90), е° G20). Рассматриваемые нами
представления группы 5GF) содержат три частицы
S @,0), однако отождествить их с наблюдаемыми резо-
нансами трудно, так как данные о двух мезонах а и е°
недостоверны.
D(±l,0). Имеются экспериментальные данные всего
лишь об одном резонансе % G25) с Г= — и со спином
и четностью 0+. Представления же 189 и 405 содержат
по две частицы D (+1,0).
Т @,0). Пока известен лишь один изотриплет
пц A040) со спином и четностью 0+ и У = 0, в то время
как оба представления содержат по две частицы Т @,0).
Т B,0). Обнаруженный резонанс М2 A055) со спином
и четностью 0+, Т = 1, У = 2 может быть отождествлен
с частицей Т B,0). Как было сказано, наряду с резонан-
резонансом М2 A055) существует также резонанс Мх A280) с
Т = 1, У = 2. Если М2 A055) имеет спин 0, а
Mi A280) — спин 2, то они могут принадлежать 405-пле-
ту. Если же оба резонанса имеют спин 0, то для класси-
классификации этих резонансов невозможно ограничиться од-
одним представлением 405 или 189.
Итак, для классификации мезонов 0+ пока имеется
мало экспериментальных данных, особенно для резонан-
резонансов с высшими квантовыми числами Г> 1, У> 1. По-
Поэтому необходимы дальнейшие поиски резонансов 0+, в
частности в системе двух псевдоскалярных мезонов
я+я+, /С+я+. В настоящее время имеются указания на
существование яя-резонанса с Т = 2 и массой 1540 Мэв>
а также /Ся-резонанса с Т == 3/2 и массой 780 Мэв. Од-
Однако эти данные еще не очень достоверны, и необходимо
провести дальнейшие поиски подобных резонансов.
В частности, эти резонансы могут быть обнаружены в
реакциях типа
я~*~ -f р -> я' + я'" + п;
"" + Р -> К0 + лГ +
и т.д.
326
Прежде чем рассматривать классификацию мезонов
1+ и 0+ по представлениям 189 и 405 группы SUF)t не-
необходимо выделить те мезоны, которые образуют 35-плет
с четностью Р = +1, содержащий октет 0+ и нонет 1+.
Мы знаем, что если выбрать в качестве мезонов 1+ из
нонета резэнансы В A220) сГ=1, Y = 0, Клп A175) с
Т = у, Е A420) и Н (975) сГ=У = 0, то массовая
формула для нонета хорошо выполняется в пределах
экспериментальных ошибок. Таким образом, весьма ве-
вероятно, что эти резонансы образуют 35-плет и не могут
быть включены в схему классификации по 189- или 405-
плетам.
В гл. 3 и 4 обсуждались возможности существования
, 3~ 5+ 7+
унитарных мультиплетов барионных резонансов .
Развитую здесь технику можно также применить к изу-
изучению классификации этих резонансов по высшим муль-
тштлетам группы SUF).
Литература
Группа SU F) и классификация элементарных частиц
Дао Вонг Дык, Фам Куй Ты. «Ядерная физика», 2, 748 A965).
Giirsey R, R a d i с a t i L. A. Phys. Rev. Lett., 13, 173 A964).
Енковс ки Л., Кухтин В. В. Нгуен Ван Хьеу. «Ядерная
физика», 5, 215.
Giirsey F., Pa is A., R a d i с a t i L. A. Phys. Rev. Lett., 13, 299
{1964).
Kadishevsky V. G. et al., Fortschr. Phys., 13. 599 A965).
Pa is A. Phys. Rev. Lett., 13, 175 -A964).
Robaschik D., Uhimann A. Preprint JINR E—2557, 1966.
S a kit a B. Phys. Rev., 136, B1756 A964).
Электромагнитные свойства барионов и мезонов
Мезон-барионное и барион-барионное рассеяния
Anisovish V. V. et al. Phys. Lett., 16, 194 A965).
BegM. A, LeeB.W., PaisA. Phys. Rev. Lett, 13, 514 A964).
Биленький С. М. и др. «Ядерная физика», 2, 762 A965).
Johnson L. J., Treiman S. В. Phys. Rev. Lett., 14, 189 A965).
327
Захаров В. И., Т ю т и н И. В. «Ядерная физика», 2, 918 A965).
S a kit а В. Phys. Rev. Lett., 13, 643 A964).
Soloviev L. D. Phys. Lett., 16, 345 A965).
Модель кварков и симметрия SU F)
Боголюбов Н. Н. Физика высоких энергий и теория элементар-
элементарных частиц. Киев, Изд-во «Наукова думка», 1966.
Боголюбов Н. Н., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. Н.
Препринт ОИЯИ, Д—1968 A965).
Струминский Б. В. Препринт ОИЯИ, Р—1939 A965).
Приложение
В этом приложении приведены характеристики новых мезонных
и барионных резонансов. В таблицы не включены данные, относя-
1+
щиеся к барионам ~ и к октету псевдоскалярных мезонов, а также
данные по нонету векторных мезонов и по декуплету барионных ре-
3+
зонансов —. Хорошо установленные квантовые числа отмечены зна-
знаком. Приведен также список оригинальных экспериментальных работ.
Этот список ни в коем случае нельзя считать полным. Другие табли-
таблицы резонансов читатели могут найти также в следующих работах:
Rose nf eld H. A. et al., Rev. Mod. Phys., 37, 633 A965).
Шехтер В. Резонансные состояния элементарных частиц, ВИНИТИ
АН СССР, 1965.
Gerson Goldhaber, Proc. Coral Gable Conf., 1965.
Sulamith Goldhaber, Preprint UCRL 16295 A965).
Tripp D. Preprint CERN 65—7 A965).
Jamios N. P. Preprint, Brookhaven A966).
Мезойные резонансы
Обозначение
а
«е0 (или So)
*
Т]яA040)
М2
т, Мэв
390±10
720
725
1040
1020
1055
Г, Мэв
80
50
60
0
0++
0+
0+
@++)
Т
0
0
1/2
1
1
1
Каналы
распада
2я°>
Кл
-*я"*я"""
К+К+
Относительная
вероятность
распада, %
-100
Реакции
ру —» ря я
я""р -» я+я""п
л'^d -> рр нейтралы
КГр -> К°л°Р
__ д_ о
я р -» ря • я я
Литература
[1-41
[5], [6] [7J,
[11-131
[14], [15]
[16], [17].
[18]
[19]
Ci.
-!¦
о *
1
y
n
T
f
r
к
л.
+1
I ^
Ip,
+"
l+"
e
+1
t
1 о
oi ><
V t
¦I 'a
t T T
1°-1* I*
в. к в
l +
T t i
+1
^ ^ ^
V
t t
о
-H
i
о
+1
+1
s
о
о
+ +"•
о
о
t
(или 1)
1/2,
3/2
]
It
Ю
+i
CO
+1
O4
+1
8
+1
S
00
+1
в
s
331
Продолжен ие
Обозначение
В
R»
ЯГ
/СA270)
х-
ЗяA000)
/°
т, Мэв
1220
1670±30
1675±15
1270±20
962±5
1000 ±20
1250±20
Г, Мэв
125±17
180±40
66±10
60±20
15±2
118±16
SPG
2++
Т
1
1
(или 0)
1
(или 2)
3/2
1
или 2
0
Каналы
распада
СОЛ
ял
КК
я+я~
я"~-ней-
тральные
я~*~я~~"я~"-
нейтральные
К*я
Кр
П°я°л-
2я
2я+2я-
КК
Относительная
вероятность
распада, %
«100
<30
<ю
-75
-25
-100
<4
<4
Реакции
Я* р -> fiip
ri^d -» рря"^"я""
я~"р -¦ ля~^я""
я""р -»• р/?"~
рр ^^/С^+я^я-я0
/С+^-*К+я-я+рл
л~"р -> рХ""
л-р-^/ол
Литература
[41-461.
171]
[47], [9]
[48]
[49]
[50]
[5Ц
[52—571.
1721, [73]
Л'*
1520
1410
(или
1430+20)
1310+9
(или
1290±10)
1280±20
1540±30
1620±20
1910
-780
85
100+20
70±10
110±40
156+80
80+40
90±40
2++
2+
2+"
2+
(и пи
0+)
0
1/2
1
1
2
3
КК* (890)
Кл
/C+iC+A
N
Кл G80)
К+К+
ял A540) 1540+30 156+80 2 я+я+, рр-»4я
-100
<50
<50
-100
<3,5
<3
C±2)
тС~р
-нейтра-
-нейтралы
[58], [59)
[60],
[
[62]
[34]
[36
[57
[64;
[40
35]
46
63
65
66],
[67]
[19]
[69]
[70]
[70]
[79]
В работах [10], [39] и [40] поиски резонанса не привели к положительным результатам.
со
Бариоиные резонансы
Обозначение
N\, A480)
/2
N*. И675\
i\ ij^ \l\JIO)
МГ/аA512)
N+A950)
AT» A688)
M, Мэв
1497
1512
1425±14
1675
1518±10
1950
1688
Г, Мэв
260
58
120
100
J+_
2
*—*
1 +
2
3~
2
3~
2
0 '
2
r
2
1
2
1
2
1
2
i
i
Каналы
распада
#яя
хк
яяЛ^
y\N
ХК
Относит,
вероятность
распада, %
-75
^85
<2
Реакции
я~"р -» я+я""ря~"
К~"р •-> я+л/С~
я°р/С
я-р -> К°Хл+я~
/С+Хя~я°
я р —> Tjn
я—р -+ я—р
_i-
я р ~^ пя я •
я°р
я""р -> /С°Хя~*~я~"
1\ /vJl Jt
я^р -» я—р
я+п(р)-^(р)^*
ур-^я°р
я+л
Литература
[74-78]
[79-81]
[82-841
[79—81J;
[82-861
8
n
t
о.
t t
is
СО CM I CO <N
¦' « t *• t
+ «n ]
+ -i tic
Ю
3
CN
8
CN
1
Пр одо л же н и е
Обозначение
,-,„660,
У0A405)
Го A670)
У^A520)
М, Мэв
1692
1648±12
1660
1405
1411±1
-1670
1520
Г, Мэв
230
~200
-200
35±1
37±1
-20
16±2
1"
2
1
2
5-
2
Г
2
~2~
~2~
3
2
3
2
3
2
0
0
0
Каналы
распада
nN
Л 2121
Хт]
KN
Хлл
Относит, ве-
вероятность
распада, %
-100
55±7
29±4
16±2
Реакции
я—р -> я—р
рр -+ 2+я-1°
/С р "*¦ Я»я я я
я р —¦ Х/Ся *"я~""неит-
ральные
?:!?-
Литература
[93], [94]
[11Ц, [84]
[89]
[95], [96]
[971, [98]
[115], [120]
[991—1102]
A815)
Y'o B299)
У, A750)
У; A660)
У, A762)
1815±5
2299±б
2245
1750
1660±10
1762±17
50
35±12
44±5
75±7
60
2
3"
2
5~
2
0
и~
0
1
1
1
км
1л
Клл]
К+птГ,
Г0A520)л
Кл
Хзхя
KN
Кл
^ A385)я
* A520) л
75
^^ 1
-30
-30
-20
-60
-16
<3
-10
-10
К р-* К
/с+к
К~~Р
/С"р -
(р) тГ
К~п -> К~~л~~р
[100], [103J
[98], [Ю41
[102]
[103—1081
[100],
Продолжение
( Обозначение
У1 B065)
У\ A950)
3*A820)
Е*A933)
Е*A705)
М, Мэв
2022±20
2065
2097±6
1942±9
1816±3
1933±16
1705
1580
Г, Мэв
120
-160
34±11
43±18
16±4
140±35
7+
2
3"
2
it
2
т
1
1
1
2
1
2
1
2
5
2
Каналы
распада
KN
(ВДо
(W'±
3*я
Зяя
0
3~я+
^яя
Относит,
вероятность
распада, %
-25
-65
-5
Реакции
л р -» ^ гя я я
pp ^ 2+я-я°Х°
рр -¦ XF*
/(-р + 3-я+я°У@
0 -1-
рр —> ря ""я^ля""
Литература
[110]
[104]
[981
[98]
[112], [ИЗ]
[112]
[114]
[1171
Литература
1. S a mi os N. P. et al. Phys. Rev. Lett., 9, 139 A962).
2. Kirz J. et al. Phys. Rev., 130, 2481 A963).
3. Del Fabbro R. et. al. Phys. Rev. Lett., 12, 674 A964).
4. Brown L. M., Faier H. Proc. Coral Gable Conf., 1965. 219.
5. К i к u g a w a M. et al. Nuovo cimento, 40, 647 A965).
6. F el dm an M. et al. Phys. Rev. Lett., 14, 869 A966).
7. DurandL, ChinY. Phys. Rev. Lett., 14, 329 A965).
8. Hagopian V. et al. Phys. Rev. Lett., 14, 1077 A965).
9. For i no A. et al. Phys. Lett., 19, 65 A965).
10. Cohn H. et al. Phys. Rev. Lett., 15, 906 A965).
11. Alexander G. et al. Phys. Rev. Lett., 8, 447 A962).
12. Wojcicki S. G. et al. Phys. Lett., 5, 283 A962).
13. Connoly P. L. et al. Proc. Sienna Conf., 1963.
14. Alitti J. et al. Phys. Lett., 15, 69 A965).
15. Proc. Oxford Conference, 1965.
16. Alexander G. et al. Phys. Rev. Lett., 9, 460 A962).
17. В a 11 а у С. et al. Phys. Rev., 142, 932 A966)..
18. Erwin A. R. et al. Phys. Rev. Lett., 9, 34 A962).
19. Ferro-Luzzi M. Phys. Lett., 17, 155 A965).
20. ABBBHLM Collab. Phys. Lett., 11, 167 A964).
21. Miller D. H. et al. Phys. Rev. Lett., 14, 1074 A965).
22. D'Andlau С Phys. Lett., 17, 347 A965).
23. Arm enter os R. et al. Preprint CERN A965).
24. Hess R. J. et al. Preprint UCRL—11443.
25. Wangler T. P. et al. Phys. Lett., 9, 71 A964).
26. Miller D. H., Kovacs A. Z. et al. Phys. Lett., 15, 74 A965).
27. Arm enter os R. et al. Phys. Lett., 9, 207 A964).
28. Armenteros R. et al. Proc. Dubna Conf., 1964.
29. Almeida S. P. et al. Phys. Lett., 16, 184 A965).
30. В e 11 i n i G. et al. Nuovo cimento, 29, 896 A963).
31. Huson F. R. et al. Bull. Am. Phys. Soc, 8, 325 A963).
32. Aderholz M. et al. Phys. Lett., 10, 226 A964).
33. Alia rd J. F. et al. Phys. Lett., 12, 143 A964).
34. Chung S. U. et al. Phys. Rev. Lett., 12, 621 A964).
35. Deut schmann M. et al. В кн. XII Международная конфе-
конференция по физике высоких энергий. М., Атомиздат, 1964.
36. Deut schmann AL et al. Phys. Lett., 12, 356 A964).
37. Goldhaber G. et al. Phys. Rev. Lett., 12, 336 A964).
38. Lander R. L. et al. Phys. Rev. Lett., 13, 346a A964).
39. For i no A. et al. Phys. Lett., 19, 68 A965).
40. Barnes V. et al. Phys. Rev. Lett, 16, 41 A965).
41. Abolins M. et al. Phys. Rev. Lett., 11, 381 A963).
42. Bonder L. et al. Phys. Lett., 5, 209 A963).
43. Chung S. U. et al* Proc. Siena Conf., 1963.
44. Aderholz.M. et al. Phys. Lett., 10, 240 A964).
45. Goldhaber G. et al. Phys. Rev. Lett., 15, 118 A965).
46. Hess R. I. et al. В кн. XII Международная конференция по
физике высоких энергий., М., Атомиздат, 1964.
47. Goldhaber G. et al. Phys. Lett., 17, 354 A965).
48. Sequinot J. et al. Phys. Lett, 19, 712 A965).
49. Bock R. et al. Phys. Lett., 12, 65 A964).
22* 339
50. Kienzle W. et. al. Phys. Lett., 19, 438 A965).
51. Trebukhovsky Yu. V. et al. Phys. Lett., 6, 190 A963)
52. Selove W. et al. Phys. Rev. Lett., 9, 272 A962).
53. Bond а г L. et al. Phys. Lett., 5, 153 A963).
54. Guiragossian Z. G. T. Phys. Rev. Lett., 11, 85 A963).
55. Ve i 11 e t J. J. et al. Phys. Rev. Lett., 10, 29 A963).
56. Lee J. J. et al. Phys. Rev. Lett., 12, 342 A964).
57. Chung S. U. et al. Phys. Rev. Lett, 15, 325 A965)
58. Barnes V. et al., Phys. Rev. Lett., 15f 322 A965).
59. London G. W. et al. Bull. Amer. Phys. Soc, 10, 517 A965).
60. Haque N. et al. Phys. Lett., 14, 338 A965).
61. Hardy L. M. et al. Phys. Rev. Lett., 14, 401 A965).
62. Focardi L. et al. Phys. Lett., 16, 351 A965).
63. Aderholz M. et al. Phys. Lett., 10, 248 A964).
64. Goldhaber G. et al. В кн. XII Международная конференция
по физике высоких энергий. М., Атомиздат, 1964.
65. Chung S. U. et al. Phys. Rev. Lett., 15, 325 A965).
66. Deutschmann M. et al. Phys. Lett., 20, 93 A966).
67. Lef ebres F. et al. Phys. Lett. 19, 434 A965).
68. Kalbfleisch G. R. et al. Phys. Rev. Lett., 12, 527 A964);
Goldberg M. et al. Phys. Rev. Lett, 12, 546 A964); Gold-
Goldberg M. et al. Phys. Rev. Lett., 13, 249 A964).
69. Accensi A. et al. Phys. Lett, 20, 557 A966).
70. Deutschmann M. et al. Phys. Lett, 18, 351 A965).
71. С a rmony D. D. et al. Phys. Rev. Lett, 12, 254 A964).
72. Bruyant F. et al. Phys. Lett, 10, 232 A964).
73. Sodickson L. et al. Phys. Rev. Lett, 12, 485 A964).
74. Cocconi G. et al. Phys. Lett, 8, 134 A964).
75. Bereyre P. et al. Phys. Lett, 8, 137 A964).
76. Roper L. D. Phys. Rev. Lett, 12, 340 A964).
77. Auvil P. et al. Phys. Lett. 12, 76 A964).
78. Ad elm an S. L. Phys. Rev. Lett, 14, 1043 A965).
79. Wangler T. P. et al. Phys. Rev., 137, B414 A965).
80. Hoff G. T. Phys. Rev., 139, B671 A965).
81. Hoff G. 1.. Hof f R. B. Preprint, Chicago, COO—264—300.
82. Peierls R. F. Phys. Rev., 118, 325 A960).
83. В el let t in i G. et al. Nuovo cimento, 29, 1195 A963).
84. Devlin T. J. et al. Phys. Rev. Lett, 14, 1031 A965).
85. Kraemer R. et al. Phys. Rev., 136, B496 A964).
86. Helland J. A. et al. Phys. Rev. Lett, 10, 27 A963).
87. Did dens A. N. et al. Phys. Rev. Lett, 10. 262 A963).
88. Schwartz J. et al. Bull. Amer. Phys. Soc, 9, 420 A964).
89. Helland J. et al. Phys. Rev., 134, B1079 A964).
90. Alvarez R. et al. Phys. Rev. Lett, 12, 710 A964).
91. Ci tr on A. et al. Phys. Rev. Lett, 13, 205 A964).
92. Wahlig M. A. et al. Phys. Rev. Lett, 13, 103 A964).
93. Devlin T. J. et al. Phys. Rev., 125, 690 A962).
94. Carruthers P. Phys. Rev. Lett., 4, 303 A960).
95. Alston M H. et al. Phys. Rev. Lett, 6, 698 A962).
96. Alexander G. et al. Phys. Rev. Lett, 8, 447 A962).
97. Engler A. et al. Phys. Rev. Lett, 15, 224 A965).
98. Bock R. K. et al. Phys. Lett, 17, 166 A965).
99. Ferro-Luzzi M. et al. Phys/ Rev. Lett, 8, 28 A962).
100. В a r b a r о - G a 1 ti e r i A, et al. Phys. Lett., 6, 296 A963).
340
101. Watson M. В. et al. Phys. Rev., 131, 2248 A963).
102. AlmeidaS, Lynch G. Phys. Lett., 9, 204 A964).
103. Chamberlain O. et al. Phys. Rev., 125, 1696 A962).
104. Blanpied W. A. et al. Phys. Rev. Lett., 14, 741 A965).
105. Alvarez L. M. et al. Phys. Rev. Lett., 10, 184 A963).
106. Eberhard P. et al. Phys. Rev. Lett., 14, 466 A965).
107. Taher-Zadeh M. et al. Phys. Rev. Lett, 11, 470 A963).
108. Leveque A. et al. Phys. Lett., 18, 69 A965).
109. Bell R. B. et al. Phys. Rev. Lett., 16, 203 A966).
110. Wo hi С G. et al. Bull. Amer. Phys. Soc, 10, 529 A965).
111. Donnachie A. et al. Phys. Lett., 19, 146 A965).
112. В a die r J. et al. Phys. Lett., 16, 171 A965).
113. Smith G. A. et al. Phys. Rev. Lett., 13, 61 A964).
114. Smith G. A., Lindsey J. S. Preprint, UGRL—16162.
115. Be r ley D. et al. Phys. Rev. Lett., 15, 641 A965).
116. Schumann T. G. Phys. Rev. Lett., 15, 531 A965).
117. Alexander G. et al. Phys. Rev. Lett., 15, 207 A965).
118. Holla day W. G. Phys. Rev., 139, B1348 A965).
119. Wohl С G. Preprint, UCRL—16288.
120. Ван Ю н - Ч а н и др. В кн. XII Международная конференция
по физике высоких энергий. М., Атомиздат, 1966.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
От автора 5
Глава первая. Группы и представления групп .... 7
§ 1. Основные понятия из теории групп ' 1
1.1. Определение групп 7
1.2. Подгруппы 11
1.3. Прямое произведение ........ 13
1.4. Инвариантные подгруппы и фактор-группы . .15
1.5. Гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм . .17
§ 2. Группы Ли и алгебры Ли 23
2.1. Топологические группы. Компактные и некомпакт-
некомпактные группы 23
2.2. Группы Ли . „ 26
2.3. Алгебры Ли 31
§ 3. Представления групп Ли 33
3.1. Определение представлений групп Ли .... 33
3.2. Унитарные представления 36
3.3. Неприводимые представления 38
3.4. Инфинитезимальные операторы. Сопряженные и конт-
раградиентные представления. Произведение представ-
представлений 41
§ 4. Группа SU(n) и ее представления 46
4.1. Генераторы группы SU(n) и ее основные представ-
представления 46
4.2. Спиноры высших рангов 49
4.3. Неприводимые представления 52
Литература , . .58
Глава вторая. Группа SU B) и изотопическая инвариантность 59
§ 1. Неприводимые представления группы SUB) ... 59
1.1. Группы вращений и состояния с определенными мо-
моментами 59
1.2. Некоторые спиноры низших рангов 63
1.3. Векторы, тензоры и спин-тензоры 68
1.4. Разложение произведения неприводимых представ-
представлений на неприводимые представления. Коэффициенты
Клебша—Гордана 72
§ 2. Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий 73
2.1. Изотопические мультиплегы 73
2.2. Изотопическая инвариантность лагранжиана взаи-
взаимодействий ..... 79
342
2.3. Изотопическая инвариантность и распады резонансов 82
2.4. Изотопическая инвариантность амплитуд рассеяния 88
2.5. С-четность 94
§ 3. Изотопические свойства электромагнитных взаимодейст-
взаимодействий 95
3.1. Электромагнитный ток 95
3.2. Формфакторы и амплитуды электромагнитных про-
процессов 96
3.3. Нарушение изотопической инвариантности электро-
электромагнитным взаимодействием 99
§ 4. Изотопические свойства слабых взаимодействий . .100
4.1. Сохранение векторного тока и изотопические свойст-
свойства тока с AS = 0 . 100
4.2. Изотопические свойства тока с AS = ± 1 . . .105
4.3. Изотопические свойства нелептонных слабых взаи-
взаимодействий с AS=?0 108
Литература 112
Глава-третья. Группа 5 ?/C) и классификация элементарных
частиц в унитарной симметрии . . . .113
Введение 113
§ 1. Группа SUC) и ее представления 114
1.1. Генераторы группы SU C) 114
1.2. Неприводимые представления группы SUC) . .118
1.3. Некоторые спиноры низших рангов 122
1.4. Подгруппы SUB) 132
1.5. Дискретные преобразования 136
§ 2. Классификация элементарных частиц и резонансов в уни-
унитарной симметрии 139
2.1. Унитарные мультиплеты .139
2.2. Мультиплеты подгрупп SUB) и дискретные преоб-
преобразования 143
2.3. Массовая формула и смешивание 150
§ 3. Модель кварков с дробными зарядами и модели унитар-
унитарной симметрии без дробных зарядов 161
3.1. Модель с триплетом фундаментальных частиц . .161
3.2. Модели с четырьмя фундаментальными частицами 164
3.3. Модели с несколькими триплетами кварков . .168
Литература 172
Глава четвертая. Унитарная симметрия и сильные взаимодей-
взаимодействия 173
§ 1. Трехлинейные лагранжианы и трехчастичные вершины 173
1.1. Трехлинейные лагранжианы взаимодействия
1.2. Соотношения между константами распадов резонан-
резонансов 178
1.3. Соотношения между вероятностями . . . .184
1.4. Следствия сохранения V- и К-спинов .... 191
§ 2. Амплитуды процессов рассеяния и рождения частиц . 193
2.1. Унитарная структура амплитуд процессов рассеяния
и рождения частиц в сильных взаимодействиях . . .193
2.2. Соотношения между амплитудами процессов . . 205
2.3. Сохранение V- и К-спинов 214
2.4. Сравнение некоторых соотношений между сечениями
с экспериментом 217
Литератора , 224
343
Глава пятая. Электромагнитные й слабые взаимодействия в
унитарной симметрии 225
§ 1. Электромагнитные взаимодействия , 225
1.1. Электромагнитный ток в унитарной симметрии . 225
1.2. Электромагнитные вершины 227
1.3. Соотношения между вероятностями распадов . . 234
1.4. Проверка унитарной симметрии в опытах с встречными
пучками 238
1.5. Соотношения между амплитудами фоторождения . 240
1.6. Электромагнитное расщепление масс частиц в изо-
изотопических мультиплетах 241
§ 2. Слабые взаимодействия 244
2.1. Токи слабых взаимодействий в унитарной симметрии 244
2.2. Лептонные распады барионов . . . ... . 250
2.3. Рождение мезонов и барионов при столкновении
нейтрино и антинейтрино с нуклоном 256
2.4. Нелептонные распады гиперонов и мезонов . . . 260
Литература 266
Глава шестая. Спиновая и унитарная симметрии SU F) . . 267
§ 1. Группа SUF) и ее неприводимые представления . . 267
1.1. Группа 5С/F) и подгруппы SUC) XSUB) и
SUD) SUB) ............ 267
1.2. Генераторы 270
1.3. Некоторые неприводимые представления группы
5С/F) . 273
1.4. Разложение неприводимых представлений группы
5 ?/F) иа неприводимые представления подгруппы
SU(Z) XSUB) . . . . 274
1.5. Разложение неприводимых представлений группы
5 ?/F) на неприводимые представления подгруппы
5/7D) X 5/7B) . 277
1.6. Классификация барионов и мезонов в симметрии
5/7F) 280
§ 2. Некоторые следствия симметрии SUF) . . . 282
2.1. Электромагнитные свойства барионов
2.2. Электромагнитные распады мезонных резонансов
2.3. Мезон-барионное и барион-барионное рассеяния
§ 3. Возможные интерпретации симметрии 5С/F)
3.1. Симметрия SUF) как динамическая симметрия
282
286
288
290
290
291
3.2. Симметрия 5С/F) и модель кварков
§ 4. Классификация новых мезонных резонансов по высшим
представлениям группы 5U F) 293
4.1. Мезонные резонансы 293
4.2. Разложение 189- и 405-плетов на неприводимые
представления подгрупп SUC) ® SUB) и SUD) ®
® SUB) 295
4.3. Спиновые и изотопические мультиплеты в неприво-
неприводимых представлениях подгруппы SU(A) ®5С/B) . . 299
4.4. Параметры смешивания 303
4.5. С-четность 312
4.6. Соотношения между константами распада . . .315
4.7. Заключение • 324
Литература 327