С. ГАЗИОРОВИЧ
ФИЗИКА
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ
Перевод с английского
под редакцией
А. Д. СУХАНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 6 9

530.1
Γ 13
УДК 539.12
ELEMENTARY
PARTICLE
PHYSICS
Stephen Gasiorowicz
Professor of Physics
University of Minnesota
John Wltey & Sons. Inc.,
New York — London Sydney
Физика элементарных частиц. Газиорович С, Изд.
«Наука», Главная редакция физико-математической ли-
тературы, 1969 г.
Предлагаемая книга С. Газиоровича является первой книгой
по физике элементарных частиц, написанной целиком с новых тео-
ретических позиций на основе теории SU(3) -симметрии.
Книга состоит из четырех частей. В первой части даются
основные понятия теории поля без излишних математических
деталей. Во второй части обсуждаются избранные вопросы кван-
товой электродинамики, причем автор не претендует на полноту
изложения. Центральное место в кннге занимает третья часть,
посвященная изложению многочисленных аспектов физики силь-
ных взаимодействий. Четвертая часть книги содержит последо-
вательное изложение современной теории слабых взаимодей-
ствий. В книгу включены два дополнения: лекция Ван Хова о
теорнн рассеяния при сверхвысоких энергиях н обзорный доклад
Кабиббо о состоянии проблемы слабых взаимодействий. Табл. 17,
рис. 125, библ. 877 назв.
2-3-7
83-68

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 9
Предисловие автора 11
Обозначения 15
Часть I
Введение в квантовую теорию поля 17
Введение . . 17
Глава 1. Скалярное поле . . 20
Решения уравнения Клейна — Гордона типа плоских волн Каноническое
квантование. Лоренцева инвариантность. Операторы энергии-импульса.
Перестановочные соотношения при разных временах. Операторы рожде-
ния н уничтожения. Спин скалярной частицы. Оператор заряда. Гра-
диентная инвариантность первого рода н обшее выражение для оператора
заряда. Оператор четности. Операторы обращения времени и антиунитар-
ные операторы.
Глава 2. Дираково поле 47
Уравнение Дирака и решения типа плоских волн. Операторы энергии и
проекции спина. Лоренцевы преобразования поля ψ (x). Квантование с ан-
тнперестановочными соотношениями. Принцип Паули. Оператор заряда
и зарядовое сопряжение. Синн кванта днракова поля. Четность и пра-
вила суперотбора. Обращение времени.
Глава 3. Векторные мезоны и фотоны 69
Уравнения поля. Квантование векторного поля. Доказательство того, что
спнн векторной частицы равен 1. Уравнения электромагнитного поля.
Связь градиентной инвариантности с существованием только двух со-
стояний поляризации. Квантование и дополнительное условие. Индефи-
нитная метрика для скалярных и продольных фотонов.
Глава 4. Лоренцева инвариантность и спин 84
Перестановочные соотношения для десяти операторов неоднородной груп-
пы Лоренца. Малая группа. Оператор спнна. Случай нулевой массы.
Трансформационные свойства одночастичных векторов состояния (кано-
ническое представление). Спинорный базис и операторы рождения и уни-
чтожения свободного поля. Спиральный базнс н его связь с другими ба-
зисами. Двухчастичные состояния в спиральном представлении в системе
центра масс. Соотношение между собственными состояниями спирально-
стн и полного момента. Нормировка двухчастичных состояний. Редукция
матрицы рассеяния в спиральном представлении Приложение: конечно-
мерные представления однородной группы Лоренца,
I»

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Взаимодействие полей 107
Условия, которым должны удовлетворять лагранжианы. Градиентная ин-
вариантность второго рода и «минимальное» электромагнитное взаимо-
действие. Неоднозначность предложенного рецепта.
Глава 6. Матрица рассеяния .115
Определение матрицы рассеяния. Гейзенберговы in- и out-векторы со-
стояния как два базиса в векторном пространстве физических состояний.
Асимптотические in- и out-поля. Асимптотическое условие ЛШЦ. Сла-
бая и сильная сходимость. Редукция S-матрицы.
Глава 7. Редукционные формулы \2\
Выражение элементов матрицы рассеяния через Г-произведения или за-
паздывающие коммутаторы операторов поля. Инвариантность S-матрнцы
относительно обращения времени. Разложение на неприводимые части.
Выражение редукционных формул через неперенормнрованные поля.
Глава 8. Теория возмущений 136
Соотношение между перенормнрованными операторами поля и оператора-
ми свободных полей. Оператор U. Теорема Гелл-Мана — Лоу. Выражение
Г-произведения неперенормнрованных полей через операторы свободного
поля. Функциональный метод расчета вакуумных средних Г-произ-
веденнй свободных операторов поля. Иллюстрации графического пред-
ставления.
Глава 9. Правила Фейимаиа 159
Правила Фейимаиа для взаимодействия частиц спина 1/2 с фотонами
Правила в х-пространстве. Правила в импульсном пространстве. Теорема
Фаррн. Взаимодействие бозонов спина нуль с фотонами. Правила вы-
числения вероятностей перехода и сечений. Доказательство релятивист-
ской ннвариантностн сечения.
Часть II
Избранные вопросы квантовой электродинамики 171
Введение . . ..... 171
Глава 10. Комптон-эффект и родственные ему процессы 173
Матричный элемент для эффекта Комптона. Градиентная инвариант-
ность. Вычисление квадрата матричного элемента с использованием шпу-
ров. Суммирование по поляризациям. Инвариантное выражение для фор-
мулы Клейна — Нишины. Пик в угловом распределении для рассеяния
назад. Рассеяние поляризованных фотонов поляризованными электро-
нами. Рассеяние фотонов бозонами спнна нуль на пороге. Рождение пар
на лету. Перенос спиральностн позитрона.
Глава 11. Рассеяние электронов и позитронов 191
Амплитуда Мёллера. Нерелятивистский предел. Подавление рассеяния с
переворачиванием спина. Правила Фейимаиа для рассеяния во внешнем
поле. Сечение кулоновского рассеяния. Рассеяние более высоких поряд-
ков в кулоновском поле и справедливость формулы Резерфорда для се-
чения рассеяния.

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава 12. Тормозное излучение и родственные ему процессы . . -201
Сеченне тормозного излучения в пределе мягких фотонов. Излучение фо-
тона классическим током. Инфракрасная расходимость в сечении тормоз-
ного излучения. Метод Вейцзекера — Вильямса. Вычисление длины излуче-
ния. Рождение пар фотонами в кулоновском поле. Поляризация жесткого
тормозного излучения поляризованными электронами.
Глава IS. Высшие порядки теории возмущений 213
Необходимость перенормировки. Перенормировка массы с помощью
асимптотического условия. Общая формула для разности масс. Радиаци-
онные поправки к кулоновскому рассеянию. Радиационные поправки к
внешним линиям. Радиационные поправки к вершине. Вычитание бесконеч-
ности из вершины. Тождество Уорда. Поляризация вакуума и перенорми-
ровка заряда. Аномальный магнитный момент электрона. Сокращение ин-
фракрасных расходнмостен.
Часть Ш
Сильные взаимодействия ....·..·■ 234
Введение . 234
Глава 14. Барионы 237
Нуклон. Л°-гнперон. Определение спина Л°-гиперона по характеристикам
его распада. Гиперядра. Σ-гипероны. Четность в системе Σ — Л°. Ξ-ги-
перон.
Глава 15. Псевдоскалярные мезоиы . 252
Определение спина пиона. Двухфотонный распад л°-мезона. Четность пио-
на и захват медленных Я~~-мезонов протонами. /С-мезоны. График Далн-
ца. Спин ^Г-мезона. Гиперфрагменты и четность ^С-мезона. т]°-мезон.
Глава 16. Зарядовая независимость и странность 269
Зарядовая независимость ядерных сил. Изоспнн. Сложение изоспинов.
Изоспин античастиц. Изоспнн пиона. Проверка закона сохранения изо-
спина. Новые частицы и введение странности. Выводы из систематики
Гелл-Мана — Нншиджнмы. G-четность.
Глава 17. Унитарная симметрия 2 !4
Обзор теории St/(2). Перестановочные соотношения в теории SU(3).
Графическое представление операторов сдвига. Представления SU(3) в
графической форме. Обозначение состояний. Унитарный спин. Редукция
произведения двух представлений. Неприводимые тензоры.
Глава 18. Восьмеричный путь 304
Классификация мезонов и барионов в октетном представлении. Кваркн.
Два типа взаимодействия Юкавы, F и D. Матричное представление ок-
тетов. Токн в теории SU(3) -симметрии. Метод расчета отношений сече-
ний. Массовая формула Гелл-Мана — Окубо.

β
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 19. Бариониые резонансы .318
Получение резонансов. Резонанс 7V3/2 (1238), его изоспнн н спнн. Не-
которые другие резоиансы с У=1. Резонанс Υ{ (1385). Определение его
спина. Резонанс У0 (1405). Угловое распределение К~р-рассеяния при
резонансе. Другие резонансы с Υ = 0. Резонансы с У = —1. Й~-гнперон и
теория St/(3). Декаплет н предсказанные ширины резонансов. Высшие
представления.
Глава 20. Бозонные резонансы ... . . . 342
р-мезон н его квантовые числа. Асимметрия вперед-назад в угловом рас-
пределении. Проявление нзоспина в периферическом рождении, ω-мезон.
Определение спина н честности из графика Далица. Распад ω -> 2π с на-
рушением сохранения нзоспина. φ-мезон. Смешивание ω — φ. К*-мезон.
Нонетное представление н предсказание угла смешивания ω — φ. Девя-
тый псевдоскалярный мезон. Нонет 2+-мезонов. Другие ргзонансы: Л]-пик,
ε-мезон и 5-мезон.
Глава 21. Свойства элементов S-матрицы. I. Унитарность 365
Унитарность S-матрицы. Оптическая теорема. Обобщенная унитарность и
перекрестные процессы. Одночастичные вклады.
Глава 22. Свойства элементов S-матрицы. II. Аналитичность .... 378
Амплитуда рассеяния вперед фотонов на протонах. Дисперсионное соот-
ношение. Необходимость вычитаний. Аналитичность фейнманова графа
для вершины. Аномальные пороги н слабосвязанные системы. Представ-
ление Мандельстама.
Глава 23. Пион-нуклонное рассеяние и дисперсионные соотношения для
рассеяния вперед 394
Общее выражение для амплитуды. Разложение по нзоспннам. Полюсные
члены. Перекрестная симметрия. Разложение по парциальным волнам.
Дисперсионные соотношения для рассеяния вперед. Сравнение с экспе-
риментом. Пороговая теорема. Вещественная часть амплитуды рассеяния
при высоких энергиях.
Глава 24. Свойства амплитуд парциальных волн 418
Аналитические свойства амплитуд парциальных волн, следующие из пред-
ставления Мандельстама. Поведение на пороге. Приближение эффектив-
ного радиуса. Резонансы. Решение с заданным левым разрезом. Связан-
ные состояния. Неоднозначность Кастилехо — Далнца—Дайсона (КДД)-
Неупругнй yV/D-метод. Многоканальная унитарность н поведение на по-
роге. Двухканальная модель в приближении нулевого радиуса
Глава 25. Динамическая природа резонансов .... 445
Левый разрез как потенциал. Статический предел пион-нуклонного рас-
сеяния и резонанс с T=J=3l2. Перекрестная матрица в статическом пре-
деле. Взаимный бутстрап. Результаты вычислений с парциальными вол-
нами для пион-нуклонного рассеяния. Перекрестная матрица октет-октет-
ного рассеяния. Октет-декаплетный взаимный бутстрап н отношение D/F.
Рассмотрение декаплета как частицы спина 3/j.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 26. Формфакторы .
Общее выражение для матричного элемента тока. Значение F1(0) н
А2(0). Данные по формфакторам. Дисперсионный подход к формфакто-
рам. Доминирующая роль векторного мезона. Свойства электрического
тока в теории SU(3). Электромагнитная массовая формула. Магнитные
моменты Λ0- и Σ+-гиперонов. Набросок расчета нзовекторного магнит-
ного момента.
Глава 27. Механизм одночастичного обмена 488
Модель обмена пноном. Матрица плотности периферически рожденного
р-мезона. Спиральное разложение амплитуд. Поправки на поглощение.
Сравнение с экспериментом.
Глава 28. Упругое рассеяние при высоких энергиях 506
Модель черной сферы. Теорема Померанчука — Окуня. Доминирующая
роль обмена с вакуумными квантовыми числами. Представление при-
цельного параметра н упругое рассеяние с малыми передачами импульса.
Отступление к полюсам Редже. Полюсы Редже в нерелятивистском по-
тенциальном рассеянии. Дифракционное сужение. Модель Ван Хова для
дифракционного рассеяния. Рассеяние на большие углы и предположение
By —Янга.
Часть IV
Слабые взаимодействия 530
Введение . 530
Глава 29. «Классическая теория» бета-распада 534
Теория Ферми. Спектр нерелятнвистского электрона. Члены Фпрца н
электрон-нейтринная корреляция. Универсальность и каналы распада
пиона.
Г шва 30. Четность, зарядовое сопряжение, обращение времени и экспери-
ментальная проверка их сохранения 543
Подтверждение сохранения четности в сильных взаимодействиях. Ра-
бота Ли и Янга. Теорема РСТ. Равенство масс и времен жизни частиц
и античастиц. Проверка сохранения Р, С и Τ с учетом и без учета вза-
имодействия в конечном состояннн.
Глава 31. Форма взаимодействия при β-распаде . 556
Эксперимент с Со60. Предположение о двухкомпонентности нейтрино.
Данные о спиральности электрона. Измерение спиральное™ нейтрино.
Сохранение лептонов и распад мюона. Значения констант Cv и СА. Про-
межуточный векторный бозон. Два типа нейтрино.
Глава 32. Слабые взаимодействия странных частиц. I. Правила отбора,
симметрии и распадные свойства нейтральных К-мезонов - . 576
Токи для распадов странных частиц. Правило |AS| = 1. Правило &S=&Q.
Правило ΔΓ='/2. Шпурноны. Опыты с распадом Л°-гиперона н тройки
Σ-гиперонов. Два значения времени жизни для нейтральных /f-мезонов.
Ks и /Сь-мезоны. Определение разности их масс. Нарушение СР-ин-
вариантности. Трансформационные свойства тока с Т=11г, изменяющего
странность.
7
467

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 33. Слабые взаимодействия странных частиц. II. Анализ нелептон-
ных и лептонных распадов 594
Нелептонный распад Л°-гнперона. Параметры асимметрии. Роль SU(3)-
симметрии в нелептонных слабых взаимодействиях. Подавление бета-
распада Л°-гиперона. Лептонные распады /(-мезонов.
Глава 34. Сохраняющиеся и частично сохраняющиеся токи 610
Слабый ток как изотопический ток. Сохраняющийся векторный ток. Бе-
та-распад пиона. Слабый магнетизм. Фнзнка нейтрино высоких энергий.
Частично сохраняющийся псевдовекторный ток. Соотношение Гольдберге-
ра — Треймана. Гипотеза Кабиббо. Определение угла Кабиббо. Предска-
зание лептонных распадов гиперонов. Связь между «слабым» н «силь-
ным» отношениями D/F. Перестановочные соотношения токов и величина
отношения Ca/Cv
Дополнение I. Л. Ван Хов. Рассеяние сильно взаимодействующих частиц
при сверхвысоких энергиях . . 634
Дополнение II. Н. Кабиббо. Слабые взаимодействия . > 693
Литература
718

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Излишне говорить, насколько бурными темпами развивается
сейчас физика элементарных частиц. Каждый год приносит нам
в изобилии новые экспериментальные данные и теоретические
идеи разного масштаба. Поэтому ни одна книга по этим во-
просам не может претендовать на исчерпывающее изложение
проблемы. Вместе с тем следует отметить, что в 1960—1964 гг.
в развитии физики элементарных частиц произошел качествен-
ный скачок. До этого времени эта отрасль физики носила в ос-
новном феноменологический характер и сводилась лишь к опи-
санию свойств обнаруженных частиц, простейших моделей их
взаимодействия (модель Чу — Лоу в пионной физике) и первых
попыток классификации частиц (систематика Гелл-Мана —
Нишиджимы).
В настоящее время после открытия большого числа резонан-
сов и успехов теории 5С/(3)-симметрии эта область физики окон-
чательно отпочковалась от ядерной физики и приобрела соб-
ственную теоретическую основу. Предлагаемая в переводе на
русский язык книга известного американского физика-теоретика
С. Газиоровича является первой книгой по физике элементар-
ных частиц, написанной после указанного поворота в ее разви-
тии целиком с новых позиций. В этом ее коренное преимуще-
ство в сравнении с другими книгами подобного рода, выпущен-
ными до сих пор.
Важной особенностью книги Газиоровича является то, что
автор, будучи теоретиком, хорошо разбирается в эксперимен-
тальных данных и умело пользуется ими при обсуждении тео-
ретических результатов. Для удобства читателей в конце почти
каждой главы предлагается несколько задач, позволяющих им
попробовать силы в их решении и проверить, насколько они
овладели прочитанным *).
Автору удалось весьма успешно сочетать компактность и
современный стиль изложения с простотой и доступностью
изложенного материала. О его успехе говорит тот факт, что
*) Весьма полезной для этой цели может быть также книга Камала «За-
дачи по физике элементарных частиц», «Наука», 1968,

10
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
данная книга оказалась весьма устойчивой по отношению к но-
вым результатам и идеям. Во всяком случае, хотя со времени ее
написания прошло более трех лет, мы сочли возможным при
переводе ограничиться лишь небольшим числом изменений и
дополнений. (В качестве одного из последних обзоров совре-
менного состояния физики элементарных частиц, можно реко-
мендовать обзор А. Салама, 1968 г. (см. перевод в УФН, т. 99,
вып. 4, 572 (1969))).
Все экспериментальные данные приведены по состоянию на
январь 1969 г. Расширено число ссылок на работы советских
авторов и книги, переведенные на русский язык. Для удобства
пользования даны таблицы барионных и бозонных резонансов.
Наконец, мы сочли возможным в качестве дополнения к третьей
части, посвященной сильным взаимодействиям, перевести лек-
цию Л. Ван Хова, а в качестве дополнения к четвертой части
(слабые взаимодействия) дать обзорный доклад Н. Кабиббо
(1966 г.). В последнем дан весьма четкий обзор эксперимен-
тальной и теоретической ситуации, которая с тех пор измени-
лась незначительно.
Особенно полезным на наш взгляд является перевод лекции
Ван Хова, которая служит естественным дополнением и разви-
тием гл. 28, где многие вопросы сказаны скороговоркой или
вообще не затронуты. Рассеяние при сверхвысоких энергиях —
это, пожалуй, единственная область физики элементарных ча-
стиц, которая весьма успешно развивалась в последние годы.
В указанной лекции дан прекрасный обзор экспериментального
материала и подробно излагаются современные модели рас-
сеяния при высоких энергиях: модель полюсов Редже, дифрак-
ционная модель и модель кварков. Тем самым ликвидируется
пробел в основном изложении, на который указывает сам автор
книги. Особое внимание уделяется обсуждению гипотезы адди-
тивности в модели кварков и взаимосвязи между предсказа-
ниями различных моделей. По своему построению лекция Ван
Хова может изучаться и отдельно от основного текста теми, кто
интересуется именно физикой сверхвысоких энергий.
Перевод книги был выполнен А. В. Астаховым (гл. 1—9,
14—18, 21—24), О. И. Завьяловым (гл. 19, 20), В. П. Павловым
(гл. 29—34, дополнение II), А. А. Славновым (гл. 25—28, до-
полнение I) и Д. А. Славновым (гл. 10—13). Дружная работа
переводчиков на сколько это было возможно способствовала ско-
рейшему выходу книги в свет. Можно надеяться, что перевод
книги С. Газиоровича еще более усилит интерес широкой науч-
ной общественности к проблемам физики элементарных частиц.
Март 1969 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В течение последних двух десятилетий наши знания в обла-
сти физики элементарных частиц выросли необычайно, и ско-
рость усвоения новых данных имеет тенденцию к нарастанию.
Однако до сих пор все еще нет теории, которая бы количе-
ственно описала исключительное многообразие явлений, откры-
тых в лаборатории. Поэтому физики-теоретики, занимающиеся
этими проблемами, не имеют права игнорировать ни одно из
направлений, которое привело хотя бы к частичному успеху в
объяснении некоторых из этих явлений. Данная книга была на-
писана с целью представить довольно сжатый обзор теоретиче-
ских идей, оказавшихся в этом смысле полезными. Эти идеи
были высказаны и развиты в рамках определенных фундамен-
тальных предположений:
а) в физике элементарных частиц применима квантовая
теория;
б) описание всех явлений должно быть совместимо с поло-
жениями специальной теории относительности;
в) явления ограничиваются требованиями некоторых «вну-
тренних симметрии».
Слияние первых двух из этих принципов в квантовой теории
поля привело к ряду эффективных достижений. Квантовая
теория поля предсказала большой класс явлений, как-то: связь
спина со статистикой, существование античастиц, неизбежность
множественного рождения частиц в столкновениях при высоких
энергиях, чего нельзя было ожидать ни из классической теории
поля, ни из нерелятивистской квантовой механики. Кроме того,
в одном классе явлений, в котором удалось преодолеть техниче-
ские трудности, препятствующие количественным предсказаниям
(квантовая электродинамика), теория находится в блестящем
согласии с экспериментом. Квантовая теория поля служит
также той основой, в рамках которой формулируются различные
«внутренние симметрии», хотя она для этого и необязательна.
Поэтому я поместил перед основной частью книги введение в
теорию поля. Подтверждение же моей собственной точки зрения
можно найти в нескольких приложениях теории в последующих

12
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
главах. Особенно это касается дисперсионных соотношений для
пион-нуклонного рассеяния в случае рассеяния вперед и пра-
вила сумм для псевдовекторной константы связи в β-распаде
ядер.
Несмотря на достижения, продемонстрировавшие плодотвор-
ность теории поля, в настоящее время она не может претендо-
вать ни на что более, кроме как на роль правдоподобного остова
будущей теории. Трудности, связанные с выполнением расчетов,
когда константа связи велика, в значительной мере ограничили
полезность теории поля в большинстве вопросов физики элемен-
тарных частиц. Всякий раз, когда имели дело с сильными взаи-
модействиями, теорию приходилось заменять более или менее
приспособленной к делу феноменологией. Форма матричных
элементов в этих случаях ограничивалась требованиями лорен-
цевой инвариантности, унитарности S-матрицы и определенными
формами функциональной зависимости от энергии (или угла),
вытекающими из аналитических свойств. Последние либо были
«навеяны» теорией поля, либо были просто постулированы (но
никогда ей не противоречили). Этот подход оказался весьма
продуктивным, поскольку, раз уж эти ограничения были нало-
жены, можно было описать множество явлений, введя всего
лишь несколько параметров, которые должны быть согласованы
с данными эксперимента. К числу наиболее значительных успе-
хов этого направления относятся качественное предсказание
квантовых чисел нескольких резонансов, довольно подробное
исследование пион-нуклонного рассеяния при низких энергиях
и выяснение главных особенностей электрон-нуклонного рассея-
ния, а также формфакторов в распадах странных частиц.
Роль требований симметрии при описании явлений в физике
элементарных частиц получила сейчас полное признание, и эта
тема обсуждается здесь с различных сторон. При обсуждении
лоренцевой инвариантности вводится «спиральное» представле-
ние одночастичных состояний. Этот прием неоднократно ока-
зывается полезным при обсуждении «угловых» соотношений в
реакциях частиц, подобных распаду нестабильных частиц не-
известного спина. Ограничения на наблюдаемые, накладывае-
мые требованиями инвариантности относительно пространствен-
ной инверсии и обращения времени, а также зарядового сопря-
жения, обсуждаются в связи со слабыми взаимодействиями,
включая распад нейтральных /(-мезонов. Внутренние симметрии,
которые мы обсуждаем, — это хорошо установленная зарядовая
независимость сильных взаимодействий и Si/(3)-симметрия,
причем изложение строится так, что какие-либо предваритель-
ные знания по теории групп необязательны.
Главные из тех вопросов, которые мы исключили (в преде-
лах проблем, очерченных в начале предисловия), — это более

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
13
подробное изложение применения теории полюсов Редже в фи-
зике высоких энергий и всякое упоминание о попытках скомби-
нировать внутренние симметрии с лоренцевой инвариантностью
(S£/(6), £7(12),.. .-симметрии). Исключение первого круга во-
просов смягчается наличием ряда блестящих и подробных моно-
графий; второй круг вопросов был исключен, поскольку его не
удалось втиснуть в обычные рамки релятивистской квантовой
теории. Указывают ли высшие симметрии направление развития
«будущей теории» — это все еще открытый вопрос. Принятое
мной решение отражает в какой-то мере мое мнение на этот
счет.
Материал, изложенный в этой книге, составляет основу од-
ногодичного курса физики элементарных частиц. Не все темы,
конечно, могут быть усвоены за год, но объем материала позво-
ляет разнообразить планы изложения. Очевидно, что студенты,
желающие получить пользу от этой книги, должны обладать
солидной подготовкой по квантовой· механике. В частности, для
быстрого усвоения материала первой части необходимо знаком-
ство с представлением Гейзенберга и с понятием о представле-
нии состоянии как векторов гильбертова пространства.
В заключение я хотел бы выразить как свое огорчение, так
и свою радость. Причиной первого является то, что круг рас-
смотренных вопросов и темп развития предмета в целом сде-
лали невозможным создание адекватной библиографии. Ко-
нечно, можно было бы дать список всех работ по рассмотренным
проблемам, например, до августа 1965 г. Однако такой сборный
том был бы совершенно бесполезен. Написание же критически
отобранной библиографии заняло бы еще не меньше года. По-
этому я предпочел ссылаться в основном на те статьи, по кото-
рым я сам изучал соответствующие проблемы. Такие статьи не-
избежно сконцентрированы в тех американских журналах, на
которые я подписан. Следствием этого явилось нередко неоди-
наковое признание роли авторов различных идей как фундамен-
тального, так и технического характера. Дополнительная лите-
ратура в конце книги приведена для смягчения этого обстоя-
тельства, но, несомненно, я должен принести свои извинения
ряду моих коллег, особенно из Советского Союза и Японии,
работам которых не было дано соответствующее признание.
Моя радость связана с возможностью выразить признатель-
ность всем тем, кто внес свой вклад в замысел и окончательную
форму этой книги. Я глубоко благодарен профессорам Д. Енни
и М. Хамермешу за поддержку, обеспечившую написание этой
книги. Особенно я благодарен профессору В. Тейзу, который
тщательно прочел большую часть рукописи и сделал бесчис-
ленные предложения по ее улучшению. Профессор Дж. Джек-
сон прочел первую часть рукописи, и я благодарен ему за

14
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
множество очень полезных замечаний. Специальные вопросы из-
ложены лучше, чем это могло бы быть, благодаря многочислен-
ным обсуждениям с профессорами Д. Геффеном, Д. Енни,
X. Суура и Р. Хаагом и докторами Дж. Мейером, Л. Симмон-
зом, Дж. Уретски и К. Вейлем. Я получил множество стимули-
рующих указаний во время своих периодических визитов в Ар-
гоннскую Национальную лабораторию, и я благодарен профес-
сору Р. Саксу, обеспечившему мне эту возможность. Наконец,
я выражаю свою глубочайшую благодарность моей жене, чья
постоянная поддержка служила мне стимулом в течение всей
работы над книгой.
Миннеаполис, Минесота
Март 1966 г.
С. Газиорович

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Обозначения в основном определены в тексте. Некоторые
символы были пропущены или недостаточно разъяснены. Крат-
кие замечания, следующие ниже, призваны устранить этот не-
достаток.
Всякий раз, когда применяются ковариантные обозначения,
будет использоваться метрика, определяемая таким образом:
£оо = 1, gii = £22 = £зз = — 1, gnv = 0, μ φ ν.
По определению
xPzs(x°, x) = (t, Χ)
и
Χμ == §μνΧ = (.'> Χ)·
Будем также пользоваться обозначением
д_
д = --— = е dv
Символ Π обозначает <5μ<?μ. Символ Кх будет использоваться
для обозначения (□ + μ2). Вообще, скалярное произведение
Ωμ&μ = a0b° — а · Ь
будет обозначаться как а · Ь. В частности, скалярное произведе-
ние рх, которое появляется в четырехмерном преобразовании
Фурье, означает
рх = ρβΧο — р.х,
поскольку 4-вектор энергии-импульса
ρμ= (рО, р).
Символ ди появляется в комбинации
ад~иЬ = а(д»Ь) — (дпа)Ь.
Для обозначения эрмитова сопряжения операторов исполь-
зуется значок +, а для обозначения комплексного сопряжения
обычных функций — значок *.

16 ОБОЗНАЧЕНИЯ
Интегралы по четырехмерным объемам в пространстве-вре-
мени или в импульсном пространстве обозначаются I ах и J dp,
за исключением тех случаев, когда (чтобы не запутаться) при-
ходится использовать I d4x и d*p. Трехмерные интегралы
всегда обозначаются j d3x и d3p.
В целях экономии места иногда мы будем пользоваться обо-
значением
. da da
a==~dT = dF'
Векторы состояния будем обозначать Ψ или Ф.
Наконец, будем пользоваться естественными единицами, в
которых
й = с= 1.
Символ Bijh (i, j, k = 1, 2, 3) обозначает полностью антисим-
метричный тензор
1=1, когда ijk образует четную перестановку 1, 2, 3,
= — 1, когда ijk образует нечетную перестановку 1, 2, 3,
=0 в остальных случаях.
Символ барУб (α, β, γ, δ = 0, 1,2, 3) обозначает четырехмер-
ное обобщение тензора е^ с ε0Ι2 3 = 1.
Замечание. Понятие лептоны не было определено в тексте.
Им мы обозначаем электроны (масса 0,511 Мэв, спин 1/2),
мюоны (масса ~ 105 Мэв, спин 1/2) и нейтрино различных ти-
пов.

ЧАСТЬ I
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее привлекательная область исследований в физике
всегда была связана со структурой материи и выяснением за-
конов взаимодействия составляющих ее атомных частиц. Кван-
товая теория позволила установить, что большинство свойств
материи могут быть объяснены электрическими силами, дей-
ствующими между заряженными частицами. Поскольку эти
силы известны, можно добиться хорошего количественного опи-
сания большинства свойств материи.
В ядерной области, характеризуемой размерами порядка
Ю-13 см (в противоположность атомным размерам порядка
10~8 см), подобного количественного описания не существует.
Последние три десятилетия велись очень активные эксперимен-
тальные поиски ключей к тому, что, как все надеялись, должно
было оказаться фундаментально простым законом взаимодей-
ствия ядерных частиц. По мере того как форма «ядерного по-
тенциала» все более прояснялась в ходе экспериментов, вы-
полняемых при все возрастающих энергиях, становилось оче-
видным, что простая структура потенциала взаимодействия
является неустойчивой, ибо некоторая часть возможной энергии
нередко выделялась в форме квантов — фотонов или мезонов
того или иного сорта. Кроме того, частица мишени часто оказы-
валась в ином состоянии, которое нечетко называлось «новой»
элементарной частицей Весьма удивительным было то, что эти
новые необычные эффекты нашли уже готовые рамки для своего
описания в квантовой теории поля. Эта теория выросла из при-
менения правил квантования Гейзенберга к электромагнитному
полю. Это поле в отсутствие материи легко может быть пред-
ставлено в виде суперпозиции независимых простых гармониче-
ских осцилляторов, а каноническая процедура квантования со-
стоит в замене этих осцилляторов их квантовыми аналогами.
Состояние электромагнитного поля можно описывать, фиксируя
занятые осцилляторные состояния. Оказывается, что взаимодей-
ствие с материей может изменять числа заполнения, что, в
конце концов, приводит к исчезновению или появлению фото-
нов. Распространение этих идей на другие поля обеспечило те
теоретические рамки, в которые пока удается втискивать все но-
вые экспериментальные данные.

18
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч 1
Квантовая теория поля, ограниченная требованиями инва-
риантности относительно преобразований Лоренца, накладывае-
мыми на наблюдаемые, в действительности сформулирована
весьма жестко. Поэтому, если квантованные поля существуют,
то они должны обладать некоторыми весьма специальными
свойствами: например, каждой частице должна соответствовать
античастица; частицы полуцелого спина должны подчиняться
принципу Паули и т. д. Эти следствия теории поля находятся
в согласии с Данными эксперимента. Раз уж уравнения поля
предполагаются справедливыми, можно выписать формальное
решение этих уравнений по теории возмущений. В случае взаи-
модействия электромагнитного поля с электронами теория воз-
мущений приводит к согласию с экспериментом. Следовательно,
вполне возможно, что квантовая теория поля образует должные
рамки для всей физики элементарных частиц, и поэтому мы рас-
сматриваем ее в качестве необходимой составной части изучения
физики элементарных частиц.
Первая часть этой книги посвящена введению в квантовую
теорию поля.
Наши цели в этой области весьма ограничены. Обсуждение
будет формальным и завершится получением правил Фейнмана
для решений уравнений движения по теории возмущений, ис-
ходя из заданного лагранжиана. Кажется весьма маловероят-
ным, что ряды теории возмущений сходятся даже в случае кван-
товой электродинамики, где параметр разложения весьма мал.
Однако ряды Фейнмана обеспечивают формальное решение
уравнений движения и, как известно, служат богатым источни-
ком выводов о свойствах истинного решения, будь то симметрия
относительно изменения переменных (перекрестная симметрия)
или аналитические свойства матричных элементов. Не весь этот
материал помещен в первой части книги: вопросы, связанные
с аналитичностью, мы отложим до третьей части. Мы рассма-
триваем здесь только те аспекты теории поля, которые имеют
непосредственное отношение к избранным нами проблемам фи-
зики элементарных частиц. Выкладки, если они не содействуют
прояснению физического смысла, будут сокращаться или вообще
опускаться (исключая гл. 8). Мы опустим также ряд вопросов,
которые, вероятно, слишком специфичны, чтобы их обсуждать
в таком вводном трактате. Наиболее значительные из них — это
весьма физическое обсуждение теории рассеяния, принадлежа-
щее Хаагу, и потенциально важное уравнение Бете — Солпи-
тера. Мы также ничего не сообщаем об исследованиях по тео-
рии возмущений Швингера и Томонага.
Изложение мы начинаем с обсуждения квантования класси-
ческих полей без взаимодействия. Мы рассмотрим поля с раз-
личными трансформационными свойствами, причем кванты этих

ВВЕДЕНИЕ
19
полей обладают спином 0, 1/2 и 1. Хотя эти вопросы рассматри-
ваются должным образом в каждой книге по теории поля, не-
обходимость изложения этого материала вызвана тем, что он
создает необходимые рамки для дальнейшего обсуждения взаи-
модействующих полей. Свободные (т. е. невзаимодействующие)
поля играют столь важную роль, поскольку большинство сил,
встречающихся в природе, обладает малым радиусом действия.
Тем самым частицы, участвующие во взаимодействии, вступают
в него только при достаточно тесном сближении. Когда же они
разлетаются друг от друга на значительное расстояние, они дви-
жутся как свободные. Иначе говоря, амплитуда рассеяния —
это амплитуды перехода между падающими (in) и уходящими
(out) конфигурациями свободных частиц, и именно эти конфи-
гурации мы учимся описывать в первых нескольких главах. Об-
щее описание одночастичных состояний, следующее из лорен-
цевой инвариантности, обсуждается в гл. 4.
Взаимодействующие поля, вообще говоря, описываются не-
линейными уравнениями движения. Критерии того, что полезно
учитывать при выборе формы таких уравнений движения, соста-
вляют содержание гл. 5. Даже если нам даны решения уравне-
ний движения, все еще остается неясным, что же с ними следует
делать. Проблема выражения амплитуд перехода через опера-
торы поля обсуждается в гл. 6 и 7. Гл. 8 содержит изложение
техники получения решений уравнений движения, когда кон-
станта взаимодействия мала. Эта техника сводится к правилам
Фейнмана, описанным в гл. 9. Проблема пользования прави-
лами Фейнмана, когда они приводят к расходящимся интегра-
лам, отложена нами до гл. 13 из второй части.
Полезный материал по обширным вопросам квантовой тео-
рии поля можно найти в книгах [1—12].

Глава 1
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
Квантовая теория поля появилась на свет в результате при-
менения разновидности правил квантования Гейзенберга к клас-
сическому электромагнитному полю *). В этом случае возникают
специфические усложнения, обусловленные отчасти тем, что
электромагнитное поле имеет несколько компонент, а отчасти
тем, что электромагнитные волны распространяются со ско-
ростью света. Основные идеи квантования полей проще всего
уяснить на примере скалярного поля, которое однокомпонентно
и в дальнейшем будет обозначаться через «>(*). Предполагается,
что поле <р(х) имеет представление Фурье
φ(Χ)=="(2^^^~^(<7)' (1Л)
Допустим, что это иоле должно описывать движение волнового
пакета, для которого частота и волновой вектор связаны соот-
ношением
q° = V(qkf + μ2 = VtfW ^ ω,. (1.2)
Тогда, с учетом предложенного де Бройлем соответствия между
волновыми и корпускулярными свойствами, (1.2) должно быть
одновременно соотношением между энергией и импульсом ча-
стицы массы μ, а фурье-образ поля φ(#) должен иметь вид
φ((1)=Η<Ι^-μ2)%(ν)=Η<!2-μ2)Χ(<Ι). (1-3)
Тем самым поле <р(х) должно удовлетворять уравнению Клей-
на — Гордона
(δμδ» + μ2)φ(Χ)~(Π + μ2)ψ(*) = 0. (1.4)
*) Историческое развитие теории поля можно проследить по сборнику
статей [1].

ГЛ. IJ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 21
Для наших целей будет достаточно рассмотреть решения
этого уравнения, имеющие вид плоских волн. Будем пользо-
ваться обозначением
М*) = -^-'--. (1.5)
где
qx = q»xll = q°x0-q-x, ^ = (ω„ q). (1.6)
Решения типа плоских волн мы всегда будем понимать как
предельный случай соответствующих решений типа волновых
пакетов, так что в дальнейшем будет дозволено интегрирование
по частям по пространственным переменным. Функции (1.5)
удовлетворяют следующему условию нормировки:
= i j" аЧГч, (*Й\ (х) == 2ω?δ (q - q'). (1.7)
Также
J" tPxf, {x)$fq (x) = \ d*xfq, (x) dfq (x) = 0. (1.8)
Будем называть функции fg(x) положительно частотными,
а функции /* (х) — отрицательно частотными решениями уравне-
ния Клейна — Гордона.
В противоположность функциям, удовлетворяющим уравне-
нию Шредингера, \q>{x) |2 нельзя рассматривать в качестве плот-
ности вероятности, поскольку, вообще говоря, интеграл от
| φ (.ν) |2 по всему пространству зависит от времени. Подходящее
выражение для плотности вероятности можно найти, если заме-
тить, что 4-вектор тока
Ρ (х) = /φ* (*) -щ- φ (х) = щ' (х) δ»φ (х) (1.9)
удовлетворяет условию
д^ (X) = /3μ (φ* (*) д*р (х) - &φ* (х) ψ (*)) =
= г(Ф*(*)Пф(х)-Пф*(л)ф(х)) = о. (1.Ю)
Отсюда с учетом того, что j11 (х) = {р (х), j{x)), получаем инте-
грированием по частям
J d3xd°p (x) = - J d3x V · J (x) = 0,
так что
J d3xp (x) = const.

22
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
ГЧ. Г
Займемся теперь квантованием скалярного поля. Термином
«квантование» обозначают просто ту процедуру, согласно ко-
торой осуществляется переход от классической системы частиц
к соответствующей квантовой системе. Классическим канониче-
ским переменным сопоставляют соответствующие операторы,
удовлетворяющие хорошо определенным «каноническим» пере-
становочным соотношениям
LMO. ft (01 = —*<>«·
В обычной квантовой механике эти операторы действуют в век-
торном пространстве (в гильбертовом пространстве квадратично
интегрируемых функций), и предполагается, что они подчи-
няются уравнениям движения, которые с формальной точки зре-
ния выглядят в точности так же, как и классические уравнения
движения. Чтобы сформулировать квантовую теорию, которая
соответствует (в указанном выше смысле) классическому ска-
лярному полю, необходимо определить: 1) тот импульс, кото-
рый будет канонически сопряжен «переменной» φ (ж, г), и 2) то
обобщение гейзенбергозых перестановочных соотношений, кото-
рое применимо к такой системе. Мы будем следовать процедуре
классической механики, в которой начинают с нахождения ла-
гранжиана, приводящего к уравнениям движения (1.4), а затем
из последнего получают канонический импульс и гамильтониан.
Приведенные ниже уравнения демонстрируют параллелизм в
описании системы N свободных частиц и скалярного поля. Ла-
гранжиан системы частиц
3N
L(f) = ~m^{qt(t)f
г=
включает суммирование по индексам, отвечающим различным
степеням свободы. Если вспомнить, что в φ (ж, t) переменная л:
играет роль непрерывно меняющегося индекса (в более явных
обозначениях следовало писать φ*(0)> το нетрудно понять, что
лагранжиан для полевой системы должен быть интегралом от
плотности лагранжиана
L(<) = J йНЗ{х, г). (1.11)
Уравнения движения для механической системы получаются из
уравнений
d ( dL \ dL i-x η»η
^[тшг-^тщ o-i.-...ало,
следующих из принципа наименьшего действия. Соответствую-
щие уравнения для поля имеют вид
а|1а^(ф(4Ам) ^ djg> (1 12)

гл. п
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
28
Канонический импульс системы частиц
а соответствующая величина для поля
п{х)= д(д\(х))=-Щ*)' (1ЛЗ)
Наконец, гамильтониан для системы частиц имеет вид
а гамильтониан для поля
Я= \ d3x&?(x), (1.14)
где
&$(х) = п{х)д\(х)-^(х). (1.15)
Перестановочные соотношения Гейзенберга
[Pt (*), <?,· (01 = - «I/. [Pi (0, Ρ/ (01 = to W, яi (01 = о
имеют своим полевым аналогом формулу
И*, о, ф(0. 01 = -й(*-»). (1-16)
а все другие пары операторов коммутируют. Если нужно про-
квантовать несколько классических полей, например φ* (л;) и
(р(х), то плотность лагранжиана будет зависеть как от ср*(х) и
дщ*(х), так и от φ (л:) и σμφ(*). Кроме того, будет справедливо
уравнение
0μ. д^ _. д^
д (<3μφ* (ж)) αφ* (х) "
Поле φ*(Χ) будет иметь свой канонически сопряженный им-
пульс
Плотность гамильтониана примет вид
£&(Χ)=η(Χ)&ψ(Χ) +n*{x)ff>q>*(x) —£?,
и предполагается, что справедливо еще одно перестановочное
соотношение
[л*(х, t), φ*(#, 0]=·—Й(* —»).
Все коммутаторы операторов со звездочкой и без звездочки при
равных временах равны нулю, поскольку они рассматриваются
как независимые поля.

24
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
Необходимо отметить, что приведенные выше перестановоч-
ные соотношения определены только при равных временах.
Если уж они заданы, то перестановочные соотношения для раз-
личных времен определяются развитием полевой системы во
времени, т. е. решениями уравнений движения. Кроме того, сле-
дует отметить, что, скажем, в формуле (1.16) времена считались
равными, но в остальном произвольными. Этим самым здесь
подразумевалось утверждение, которое мы обсудим позднее:
зависимость источника поля от времени не приводит к физиче-
ским следствиям.
Одним из требований, которое следует наложить на теорию,
используемую для описания поведения элементарных частиц
при высоких энергиях, должна быть ее совместность со специ-
альной теорией относительности, β классической электродина-
мике это требование удовлетворяется благодаря ковариантности
соответствующих уравнений относительно преобразований Ло-
ренца. Если пространственно-временные координаты изменяются
по закону
Χ,μ = Λ^ν, (1.17)
где
iWW = £p(J (I.18)
(так что Χμ.ν'μ = Χμλ'μ), то существует закон преобразования пе-
ременных поля такой, что преобразованные поля Ρ'μν{κ') удо-
влетворяют в новой системе координат тем же уравнениям.
Тогда квантованная теория также будет лоренц-инвариантной,
если (как это действительно имеет место) соответствующие пе-
рестановочные соотношения будут ковариантны. В действитель-
ности в квантовой теории лоренц-инвариантность можно обсу-
ждать независимо от специальной формы уравнений движения.
Рассмотрим фиксированную систему координат и предста-
вим себе некий прибор, который служит для приготовления фи-
зического состояния Ψα. Рассмотрим теперь другой аналогич-
ный прибор, связанный с первым преобразованием Лоренца, ко-
торый приготовляет физическое состояние ΨΑ>. Прибором А
может, например, быть черный ящик, из отверстия которого вы-
летают электроны; прибором А' может быть такой же источник
электронов, повернутый, скажем, на 90° вокруг некоторой оси
и движущийся с некоторой фиксированной скоростью относи-
тельно первого прибора. Рассмотрим, кроме того, измеритель-
ный прибор М, который следует использовать для измерений в
состоянии ΨΛ, и другой измерительный прибор .М', отличаю-
щийся от Μ только тем, что он сдвинут относительно Μ тем же
преобразованием Лоренца, которое связывает приборы А' и А.
Утверждение о релятивистской инвариантности гласит: изме-

ГЛ. 1]
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
25
рения, произведенные с помощью прибора Μ в состоянии ΨΛ,
приводят к тем же результатам, что и измерения, сделанные
с помощью прибора М' в состоянии Ψ а·.
Чтобы получить формальные следствия этого утверждения,
вспомним, что при измерении в квантовой механике мы, вообще
говоря, определяем вероятность того, что некая физическая си-
стема находится в некотором состоянии Ф. Например, можно
выяснить вероятность того, что испущенные электроны имеют
импульс р. Вероятность этого события будет равна | (Ф^, ΨΛ) |2,
где Фр описывает состояние, в котором электрон обладает как
раз таким значением импульса. Для преобразованных источ-
ника электронов и измерительного прибора соответствующая ве-
роятность имеет вид | (Фр; Ψ^Ο Ι2· где Фр< — это состояние, в ко-
тором электрон обладает импульсом р', связанным с ρ тем же
преобразованием Лоренца, каким связаны приборы А и А'. По-
скольку векторное пространство состояний содержит все физи-
ческие состояния, то состояния Ψλ и Ψ а' должны быть связаны
посредством некоторого преобразования V{A), которое зависит
от преобразования Лоренца Λ. Поскольку измерительные при-
боры Μ и М' связаны посредством того же преобразования Ло-
ренца, то должно одновременно иметь место
Ψ А' = U (Α) Ψ А
и
ФР-=и{А)Фр.
Требование инвариантности означает, что
\(ФР-, хУа-)Г = \(Фр, Ча)\2. (1.19)
Отсюда можно установить, что U(A) должен быть унитарным
оператором *).
Возьмем теперь скалярное поле. Рассмотрим измерение сред-
него значения поля ц>{х). В состоянии ΨΛ — это величина
(Ψλ. ψ(*)Ψλ), а в состоянии Ψ^- — это будет среднее значение
поля в преобразованной точке, т. е. (4V. ψ(#') Ψ^')· Тем самым
имеем
(ΨΑ, φ(*)ΨΑ) = (^(Λ)ΨΑ> ψ(Χ')υ(Α)ΨΑ). (1.20)
Следовательно, скалярное поле в лоренц-инвариантной теории
должно преобразовываться согласно формуле
φ(Χ')=^(Λ)φ(.γ)6/-'(Λ), (1.21)
где х? = Ах. В случае, обсуждаемом в этой главе, уравнения
для оператора поля до и после преобразования, очевидно, одни
*) В действительности U(.\) может быть также и антиункгарным опе-
ратором. Об определении антнунитариого оператора и его применении см.
стр. 43

26
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
ГЧ. I
и те же *); аналогичное утверждение для перестановочных со-
отношений мы докажем немного позже.
Можно дополнить однородные преобразования Лоренца
сдвигами в пространстве и времени. Разумно предположить, что,
по крайней мере локально (в лаборатории или в галактике),
пространство однородно, так что каких-либо «источников» в
пространстве или времени нет. Однородные преобразования Ло-
ренца и пространственно-временные сдвиги вместе образуют
неоднородные преобразования Лоренца, которые называются
также преобразованиями Пуанкаре
Χ'μ = Λν+αμ. (1.22)
Для пространственно-временных сдвигов аналогом (1.21) яв-
ляется соотношение
φ{Χ + α) = υ(α)φ(Χ)υ-*{α). (1.23)
В этой и последующей главах мы опять будем иметь дело с уни-
тарными операторами U(A) и 17(a).
Обратимся теперь к явному квантованию пары скалярных
полей (р(х) и ф*(х). Нетрудно проверить, что уравнение (1.4) и
аналогичное уравнение для ф*(х) можно получить из плотности
лагранжиана
-2" (х) = дмФ (х) дV (х) ~ μ2Φ U) Φ* (*). (1 -24)
Канонические импульсы, сопряженные ср(х) и qp*(x), суть
л (х) = δ0ψ' (х) = <3<У (х),
л' (х) = δ°φ (х) = <30φ (х)
соответственно. Плотность гамильтониана
Ж (х) = л (х) <3°ф (х) + я' (х) <?У (х) -JS*(x) =
= π (х) л* (х) + л* (х) л (х) — 3μφ (х) θμφ* (х) + μ2φ (х) φ* (х) =
= π (х) л{х) + νφ (х) · Vqf (х) + μ2φ (х) φ* (х). (1.26)
Как и в обычной квантовой механике, существует некоторая не-
определенность в расположении операторов в квантовом вы-
ражении для классической величины. В дальнейшем в некоторых
членах в Ш(х~) мы переставим операторы.
*) Это следует из инвариантности □ = o^o,,i относительно преобразова-
ний Лоренца.

ГЛ 1]
СКАЛЯРНОЕ ПОЛВ
27
Воспользовавшись перестановочными соотношениями, можно
получить
[Я, φ (*)] = J dV Щ (х'), φ (х)] = - i J" d?x V (*') δ (лг - Jf) =
/ /
--in'(x)=-id«Vp(x). (1.27)
Аналогично
[Я, π (*)] = - id°n (x) = - I (V2 - μ2) φ* (x),
[Я, <р*(х)]=-ИУ(*),
[Я, π* (х)] = - idV (x) = - t (V2 - μ2) φ (x).
Это просто гейзенберговы уравнения движения для операторов
поля. Используя их, можно получить
[Я, F(x)] = -0>F{x), (1.28)
где F(q>(x),...) — произвольный полином по операторам поля.
Можно также сконструировать оператор
Рк = J d3x (π {х) дкц> (х) + η {х) д\* {х)), (1.29)
который обладает следующим перестановочным соотношением
с Я:
[Я, Р*] = 0. (1.30)
Этот результат можно получить с помощью канонических пере-
становочных соотношений. Мы опускаем подробности, поскольку
более простое доказательство появится тогда, когда и оператор
энергии Я и оператор импульса Ρ будут выражены через опе-
ратор, представляющий плотность числа частиц. Если показать,
что Ρ — константа движения, то
[Ρ, φ (*)] = - J сРх' [п (*') Ψφ (*'), φ (jc)] = iV<p (x) (1.31)
/_
*0-*0
и т. д. Если записать
Я = Р°, (1.32)
то соотношения (1.28), (1.30) и (1.31) сводятся к формулам
[ρμ,Ρν] = 0 (1.33)
и
[Ρμ, F (x)] = -idllF(x). (1.34)
Перестановочные соотношения (1.33) и (1.34) можно ис-
пользовать для получения явного представления оператора

28
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
(4.1
U(а), который порождает пространственно-временные сдвиги
(1.23) в операторах поля. Если положить
£/(а)=е*п, (1.35)
то для инфинитезимального сдвига αμ соотношение (1.23) при-
нимает вид
φ(х) + βμ^ψΜ ~ φ(■*) + l" fa. ψ(Χ))
или
ωμ[^μ, ψ(Χ)] = »'[η. φ(*)Ι.
так что можно произвести отождествление η = αμΡμ и записать
унитарный оператор U(a) для произвольных сдвигов в виде
£/(fl) = e'V*. (1.36)
Гамильтониан порождает сдвиги по времени, а оператор Р, ко-
торый, как мы увидим, играет роль оператора, представляю-
щего импульс поля, порождает пространственные сдвиги.
Обратимся теперь к решению квантовомеханической задачи,
определяемой как уравнением движения, так и перестановоч-
ными соотношениями. Оно достигается путем диагонализации
гамильтониана, подобно тому как это делается в знакомой за-
даче о гармоническом осцилляторе. Как и в этом простом слу-
чае, важнейшим шагом оказывается нахождение удобного ба-
зиса для еще неупоминавшихся векторов состояния. Сначала
разложим операторы поля cp(je) и q*(x) по полному набору ре-
шений уравнения Клейна — Гордона. В эти разложения будут
входить положительно и отрицательно частотные части, ассо-
циируемые соответственно с f (х) и Гя{х)· Запишем
* м = f It fo Μ Α Μ+f'< <x) B+ tol
г J (Ь37>
Ф*(*Н J i^\h(x)B(q) + fUx)A+(q)l
где fg(x) определена в (1.5). Для обращения этих разложений
можно воспользоваться условиями ортонормируемости (1.7) и
(1.8). Получаем
A (д) = I j (РхГ„ (xfd\ (х), В (д) - / f ω%/; (xfd\* (х),
с <- + V <--> О·38)
А+ (д) = i J rftop' (x) d°fq (х), В+ (д) = i J rf»*q> (x) d°fg (x).

ГЛ. I] СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 29
Нетрудно получить перестановочные соотношения для операто-
ров A (q) и В*\д). Например *),
[A (q), A+ (?')] =\d3xj d?y [Гд (x)Ъ\ (x), fq, (yfd\* Щ =
= J" dH \ d*y {- /; (x) fq, (у) [ф (x), ер* (у)] -
-rqWfq.(y)l<vM, Φ*υ/)]] + -.·
Выбрав Xq = yo и использовав одновременные перестановочные
соотношения, получим
[A (q), Л+ (q')] = £ J" (Ρ* (/; (х) fq, (x) - f? (x) fq, {x)) = 2ω? δ (q - tf')·
(1.39)
Аналогично получаем, что
[β (q), B+ (q')] = 2ω9 б (q - q'), (1.40)
а все остальные пары операторов коммутируют.
Сделаем небольшое отступление и рассчитаем коммутатор
между полями при произвольных временах. Как подчеркивалось
ранее, такие коммутаторы могут быть рассчитаны, если мы
знаем решения уравнений движения. В случае свободного поля
мы как раз находимся в столь счастливом положении. Имеем
[φ (х), Φ* (У)] = {"ξ" { ~^ [fq Μ f'q, (У) [A (q), A+ (q>)\ +
+rq 00 и- ДО [β+ (9). β fooi) = J ^ ff, (*) re (y) - f, (y) rq щ=
= ! JLJL\p-iq (x-y) — piqix-yn
(2я)3 J 2ω9 l* e J·
Это выражение можно переписать в виде **)
[ф (*). Ф* (У)] = ~^3 I dqe~'4 <*-*> б (<?2 - μ*) (θ (q) - θ (- q)).
С учетом обозначения
Δ(Χ;μ)=--^5-{^β-'«*δ(98-μ2)β(9) (1.41)
получаем
[ф(*), Ф'(у)] = *А(*-у; μ). (1.42)
*) Для краткости мы пользуемся обозначением F(x) = d°F(x).
**) Мы пользуемся стандартными определениями
6(х)=1, х0>0, θ(*)=0, *о<0 и е(х) = 6(x) — Θ(—х) =x0/I*ol·

30
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[4.1
Сингулярная функция А(х; μ) обладает следующими свой-
ствами, которые легко устанавливаются из представления
(1.41).
1) Она удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона
(□ + μ2)Δ(Χ; μ)=0 (Ι.43)
с сингулярными начальными условиями
Δ (х, 0; μ) = 0, д° Δ (х, х°; μ)Χο=0 = - б (лс). (1.44)
2) Она — нечетная функция х:
Д(—х)=—Д(лг). (1.45)
3) Она — очевидно лоренц-инвариантная функция. Множи-
тель e(q), который позволяет отличать положительно и отрица-
тельно частотные части, обычно не должен считаться инвариант-
ным. Однако он умножается на множитель 6(q2— μ2), который
обращается в нуль вне области, где компонента q° времени-
подобна и где имеет смысл различие между положительными и
отрицательными частотами. Вследствие этой инвариантности
для пространственноподобных х
Δ(— х)= А(х).
Это равенство следует из лоренц-инвариантности и того
факта, что пространственноподобный вектор х можно враще-
нием превратить в —х. Тем самым, чтобы удовлетворить (1.45),
должно иметь место
Δ(*) = 0, х2<0. (1.46)
Итак, коммутатор [<р(х), ψ*0/)] в пространственноподобных точ-
ках обращается в нуль. У нас еще будет повод поговорить об
этом важном результате.
Обратимся теперь к диагонализации Н. Посредством не-
скольких алгебраических манипуляций Η можно выразить че-
рез операторы A (q) B+{q)
Н = / !^ωΗ+ (1) Α (ς) + <*gB (q) β+ (<?)]. (1-47)
Отсюда с помощью перестановочных соотношений (1.39) и
(1.40) можно найти
[A(q),H] = <oqA(q) (1.48)
[А+(q), H}= - <ояА+(q). (1.49)

'■"· " СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 31
Аналогично
[B(q), H] = <J>gB(q) (1.50)
и
[B+(q), Η]=-ω„Β+(α). (1.61)
Если состояние ΨΕ — это собственное состояние Я с энер-
гией Е, то
НА (q) ΨΕ = A (q) ΗΨΕ + [Η, Α (q)] Ψ£ = (Ε - ω,) A (q) ΨΕ. (1.52)
Аналогично
#Λ+(<7)Ψ£ = (£ + ω9Μ+(<7)Ψ£ (1.53)
и точно так же для состояний B(q)xVE и B+(q)WE. Таким обра-
зом, состояние Л(<7)Ч^Евновь оказывается собственным состоя-
нием Я, но с энергией, уменьшенной на величину aq. Состояние
A+(q)WE также будет собственным состоянием Я, но с энергией,
возросшей на ω9. Аналогичные утверждения справедливы и для
состояний B(q)WB и B+(q)WE. Операторы A (q) и B(q) можно
назвать операторами уничтожения, поскольку они уменьшают
энергию системы, а операторы A+(q) и B+(q)—операторами
рождения, поскольку они увеличивают энергию системы. Га-
мильтониан— положительно определенный оператор, так что
должно существовать состояние с наинизшей энергией. Добав-
ляя к Я константу, можно при необходимости сдвинуть начало
отсчета энергии так, чтобы наинизшее значение энергии оказа-
лось равным нулю. Предположим теперь, что существует един-
ственное состояние с нулевой энергией, обозначаемое Ψο, кото-
рое называется вакуумным состоянием. Оно должно удовлетво-
рять условиям
#Ψ0 = 0 (1.54)
и
Α{ς)ΧΡ0=Β(ς)Ψ0 = 0 для всех q. (1.55)
Нормируем его так, чтобы
(Ψο, Ψο)=1· (1.56)
Вакуумное среднее от Я, как следует из (1.55), бесконечно. Тем
самым, чтобы сдвинуть начало отсчета энергии, следует доба-
вить бесконечную константу или, наоборот, воспользоваться
свободой распоряжаться порядком операторов в Я. Если опре-
делить Я в виде
Н = / St КЛ+ (?) А (?) + <»яВ+ (?) В Ш· d·57)

32
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
N I
то никаких трудностей не возникает. Тот факт, что соответ-
ствующая аддитивная константа бесконечна, — это первое про-
явление трудностей, с которыми мы встретимся позднее в го-
раздо менее безобидной форме. Матричные элементы произве-
дений операторов, взятых в одной и той же точке, часто при-
водят к бесконечностям, и только иногда нам удастся от них
отделаться. Чтобы быть уверенным в том, что этих наиболее
тривиальных бесконечностей не возникает, мы будем всегда за-
писывать величины, выраженные через свободные операторы
поля (подобные Я), в виде нормальных произведений. Это озна-
чает, что они должны быть разложены по свободным операто-
рам рождения и уничтожения, а затем переупорядочены так,
чтобы все операторы уничтожения оказались справа от всех
операторов рождения. Это предписание мы будем отмечать
двойным двоеточием. Иначе говоря, оператор Я вида (1.57) в
лг-пространстве запишется так:
Я = : J d3x [η (x) η (x) + Vq> (x) · ?φ' {x) + μ2φ (x) φ* (x)]:. (1.58)
Рассмотрим теперь состояния
44Α = Α+(ς)Ψ0 (1-59)
и
Ψ9βΞβ+(<7)Ψο. (1.60)
В обоих случаях можно установить, что эти состояния имеют
энергию со7:
ΗΨ„Α - НА+ (q) Ψ0 = [Я, А+ (</)] Ψο = щА+ (q) Ψ0 = ω,Ψ,Λ. (^61)
Свойства ортонормируемости этих состояний таковы:
Г "Α' Ψ0 = (Ψ°· ^^')'4+^Ψο) = (Ψο' И foO. Λ*(ς))Ψ0) =
= 2ω, δ (<?-<?')· (1.62)
Аналогично
СЧ· ψ,Β)-2%6{"-"') с·63·
Обобщение состояний (1.59) и (1.60) записывается так:
\ <* * *»" 7ШЖ Л+ Ы · · ■ А+ ωβ+ (*■) · · · в+ 1*-)ψτ
(1.65)

ГЛ. 1]
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
33
Энергия этого состояния может быть вычислена следующим
образом:
НА+ ЫЛ+(<?2).·. β+(*„)% =
= ([Я, Л+Ы] + Л+Ы#)Л+(<72)... B+(kn)W0 =
= %л+ (<?,) · · · β+ {К) ψο + л+ (<?,) ял+ (^ ...в* {К) ψ0 -
= ω, А+ (<?,) ... β+ (*„) Ψ0 + Л+ (?,) A+ (q2) Я ... β+ (*„) Ψ0 +
-Κ + ωΟ/+(^)-β+(*-)ψο+Λ+(ν.)^+(^^-··β+(*-)ψο--
··· =Κ+ω,2+ ··· +<ч)л+м··· β+(^)ψο· (L66)
Итак, эта энергия является суммой энергий, порождаемых
различными операторами. Это наводит на мысль интерпретиро-
вать Л+ и Вл как операторы рождения частиц с определенной
энергией. Чтобы проверить справедливость этой интерпретации,
рассмотрим оператор
^A(q) = ^-A+(q)A(q), (1.67)
который входит в операторы Η и Р. С помощью перестановоч-
ных соотношений можно показать, что
•^>ψ, *,... = [δ (*-<7.)+ ··· +«(*-**)]*«.....»,...·
(1.68)
Тем самым состояния Ψ . — это собственные состояния
qu .... Я\ —
оператора e/V A{q). Более того, оператор
NA(Q)=\&qJirA{q) (1.69)
Ω
имеет собственное значение ν, где ν — число векторов из сово-
купности qu «72,.. . , «7m, которые находятся в объеме Ω импульс-
ного пространства. Оператор JVА можно интерпретировать как
оператор плотности числа частиц, рожденных оператором A+(q).
Аналогично
<^B(q)-^B+(q)B(q) (1.70)
— это оператор плотности числа частиц, рожденных оператором
B+(q). Гамильтониан теперь можно переписать в виде
Я = j dPq[<uqoArA(.q) + <uqerB(q)l (1.71)
Тем самым энергия, заключенная в элементе объема d3q им-
пульсного пространства, равна значению <ад, умноженному на
S С. Газиировыч

34 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ч. !
число частиц типа Л и β в том же объеме импульсного про-
странства. Простые преобразования позволяют записать опера-
тор Р, определенный в (1.29), в виде
P = jcPq \qJTA (q) + qJTB (q)]. (1.72)
Если мы принимаем интерпретацию в терминах частиц, то это
выражение показывает, что Ρ может быть отождествлен с опе-
ратором импульса. Он обладает должными свойствами аддитив-
ности. Если применить операторы Η η Ρ к одночастичному со-
стоянию типа А или В, то получатся собственные значения ω,?
и q соответственно:
откуда можно заключить, что обе частицы типа А и В имеют
массу μ.
Чтобы установить спин частиц, являющихся квантами ска-
лярного поля, обсудим соотношение (1.21), которое описывает
трансформационные свойства скалярного поля относительно
преобразований Лоренца. Среди этих преобразований есть вра-
щения, так что, выяснив, как такое поле преобразуется при вра-
щениях, мы получим требуемый ответ. Достаточно рассмотреть
инфинитезимальное преобразование Лоренца
ΛΓμ->*'μ = Λ^ν = (^ + а»)х\ (1.73)
В дальнейшем мы будем удерживать только члены, линейные
по ctv. Условием того, что Λμ — преобразование Лоренца, яв-
ляется соотношение
£μν* * =£μν* Χ =^AV^
т. е.
£μνΛΧ = £αβ· Π.74)
Для инфинитезимальных преобразований это означает, что
т. е.
Если записать, что U(A)= е"1, где η — эрмитов оператор, кото-
рый для тождественного преобразования обращается в нуль, то
Для инфинитезимального преобразования получим
«iW + i'h. ф(*)]+ ... =φ(Χμ + α»Χν).

гл. η
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
35
Разлагая правую часть по а, получаем
i[η, ΦШ ^ Ψ(х) + <*ν<?μΦ(х)-фй* <*ν<3μΦ(х) ~
« у α»ν (Χν3μ - Λ;μ<3ν) φ(κ), (1.76)
где в последнем переходе мы воспользовались антисимме-
трией αμν. Далее, если записать
η = |α^ΑΓμν, (1.77)
то получим
[Μμν, φ(х)] = - у (*μ<3ν - хчдл) φ (х) = Ζ,μνφ (х). (1.78)
Заметим, что для μ, ν = 1, 2, 3 величины L2S, L3i, i-12 являются
просто дифференциальными операторами, представляющими со-
бой операторы орбитального момента. Рассмотрим теперь спе-
циальное преобразование — поворот вокруг оси z на величину
δθ. Это преобразование имеет вид
х[ = Ху — 6Θλ:2, x'2 = x2 + 6Qxv (1-79)
Х3 ~ Х5' Х0 = Х0'
так что а' = — а^= — δθ, а все другие а£ равны нулю. Тем самым
в этом специальном случае
[η, φ(Χ)] = 6θ[ΜΙ2, q>(x)] = 6QL3(p{x).
Рассмотрим теперь волновую функцию одного мезона в состоя-
нии Ψ. Она определяется матричным элементом
(Ψο, Φ Μ Ψ).
Если теперь состояние ψ повернуть вокруг оси z на угол 6Θ, то
новая волновая функция будет иметь вид
(Ψο, Φ (х) υΨ) = (Ψ0, U[/"'φ (x) £/Ψ) = (Ψ0, е-'\ (х) eir]W) =
= (Ψο. (Φ (Χ) ~ i Κ Φ ix)]) Ψ) = (1 - i{>QL3) (ΨΛ φ (x) Ψ).
Если мезон находится в покое, то
ΡΨ = 0.
Следовательно, с помощью (1.23) и (1.36) получаем
(%. Φ (х) Ψ) = (Ψο, eVq, (0) e~ ' V>) = (ψ0) φ (0) e-"VV),
так что матричный элемент (ψ0, ψ(Χ)ψ) не зависит от х. Следо-
вательно,
Μψο, φ(Χ)Ψ)==θ. (1.80)
3*

36
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. t
Иначе говоря, волновая функция покоящегося мезона при вра-
щении не меняется, откуда сразу следует, что момент одноме-
зонного состояния в системе покоя, т. е. спин мезона, равен
нулю.
Частицы А и В имеют одинаковую массу и обе не имеют
спина. Более того, они связаны друг с другом тем, что опера-
торы A(q) и B*(q) оказываются объединенными в одном и том
же операторе поля. Тем самым можно ожидать, что между
двумя типами квантов поля существует некоторая взаимосвязь.
Чтобы ее прояснить, рассмотрим ток
f(x) = iV(xfd\(*):, (1.81)
который, как известно, удовлетворяет закону сохранения
0μ/μΜ = Ο. (1.82)
Нулевая компонента оператора у0 (я) является той плотностью,
которую можно использовать для построения не зависящего от
времени оператора
Q = J" d3xj°(х) = i J" d3x :φ* (xfd\ (x):. (1.83)
С помощью алгебраических преобразований можно получить
Q = \d*q{jrA{q)-jrB(q)). (I.84)
Отсюда следует, что
[Q, Я]-0. (1.85)
Последнее соотношение не является сколько-нибудь удивитель-i
ным, поскольку заряд сохраняется (см. (1.10)) и, кроме того,
ΟΨ0 = 0. (1.86)
В общем случае
№, я№ * km = (n-m)Vq Qn. *, v (1.87)
Назовем Q оператором заряда. Нетрудно видеть, что различие
между квантами типа А и типа В сводится к тому, что их за-
ряды оказываются противоположными. Поскольку они входят
в разложение одного и того же оператора поля, то по отноше-
нию друг к другу их принято называть античастицами. Антича-
стицы обладают той же массой и спином, что и соответствующие
им частицы, но отличаются знаком заряда. Следует отметить,
что оператор Q не обязательно соответствует электрическому
заряду; он в равной мере может соответствовать и какому-либо
другому аддитивному квантовому числу, например гиперзаряду,'

гл. π
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
37
который для электрически нейтральных частиц К0 и К0 прини-
мает значения ± 1. Для эрмитова поля
ф(х) = Ф*(*), (1.88)
так что A (q) == В (q) и тем самым Q = 0.
Если существует оператор С, обладающий свойствами
CA(q)C~1^B(q). CB{q)C~l = A(q), CC+=C+C=1, (1.89)
т. е.
Сф(х)С"'=ф*(х), (1.90)
то отсюда следует, что
CQC~l=-Q. (1.91)
Поэтому оператор С называют оператором зарядового сопря-
жения. В теории свободного поля соответствующий оператор мо-
жет быть построен явно.
В качестве упражнения предоставляем читателям проверить,
что оператор
С = ехр [га J -g- (B+ (q) - А+ (q))(B (q) - A (q))] (1.92)
как раз обладает требуемыми свойствами. Очевидно, что в тео-
рии свободного поля как уравнения движения, так и перестано-
вочные соотношения инвариантны относительно преобразования
φ(,ν) *->ф*(х), так что теория в целом инвариантна относительно
зарядового сопряжения.
Подозреваю, что у читателей уже возник ряд вопросов. Пер-
вый из них: почему мы предпочитаем иметь дело с полями φ(Χ)
и φ*(х) как целое, тогда как все интересующие нас величины
столь просто выражаются через операторы A (q),..., B+(q)?
Важность довольно специальных комбинаций фурье-образов
этих операторов — полей связана со свойством коммутатора по-
лей. Именно
Ых), Ф*(*/)] = 0, {х-у?<0. (1.93)
Подобным свойством операторы типа
не обладают. Это свойство, названное «локальной коммутатив-
ностью» или «микропричинностью», в случае свободных частиц
следует из уравнений движения. Однако его значение выходит
за рамки той специальной теории, которую мы сейчас обсуж-
даем. Допустим, что требование причинности сводится к тому,
что ни один сигнал не может распространяться со скоростью,

38
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
W-I
большей скорости света (Хааг назвал это условие «эйнштейно-
вой причинностью»). Тогда следует потребовать, чтобы любые
две наблюдаемые, описываемые операторами M(R) и N(R')
(R и R' — это области в пространстве-времени, в которых про-
изводятся локальные измерения), были бы независимы друг от
друга, когда области R и R' друг относительно друга простран-
ственноподобны. Это означает, что операторы M(R) и N(R')
должны коммутировать, когда области R и R' пространственно-
подобны друг относительно друга. Локальные поля, разумеется,
являются математической идеализацией. Однако для полей, ус-
редненных с каким-либо весом по малой пространственной об-
ласти
<P(f)= J <*лар(*)/(*),
R
если эти поля измеримы, следует потребовать, чтобы *)
[ф(/|), Ψ (/2)] = 0, /?,~/?s.
В дальнейшем мы увидим, что в большинстве случаев поля не-
измеримы, но билинейные комбинации типа тока должны быть
измеримы. Оказалось, что удовлетворить условию причинности
для билинейных комбинаций типа тока, не требуя локальной
коммутативности (или, как мы увидим в гл. 2, локальной анти-
коммутативности) для самих полей, очень трудно. Следова-
тельно, именно причинность придает полям особую важность.
Кроме того, в дальнейшем, рассматривая взаимодействие полей,
мы увидим, что без использования локальных полей трудно
сконструировать лоренц-инвариантный лагранжиан взаимодей-
ствия.
Вот другие вопросы, которые приходят на ум:
а) при каких обстоятельствах можно ожидать, что заряд Q
в теории будет сохраняться, и
б) как зависит форма оператора Q от уравнений движения?
Чтобы ответить на эти вопросы, сформулируем сперва свойства
заряда таким образом, чтобы они по возможности не зависели
от конкретной динамики. Необходимо потребовать, чтобы
№ = 0. (1.94)
Условие сохранения заряда имеет вид
[Q, Я] = 0. (1.95)
В случае свободного поля мы установили, что операторы Α (ς)
и В+(д) понижают заряд на единицу (B+(q) увеличивает нз
*) Обозначение Rj ~ /?2 означает, что эти две области пространственно-
подобны друг относительно друга, т. е. интервалы, связывающие любую точ-
ку из /?i с любой точкой из Ri, пространственноподобны.

ГЛ I]
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
39
единицу заряд противоположного знака),, так что φ(.ν)—это
оператор, уменьшающий заряд. Аналогично φ* Μ — оператор,
увеличивающий заряд. Если предположить, что и взаимодей-
ствующие поля будут играть такую же роль, то вообще можно
записать
[Q. φ Ml = - φ Μ, IQ, φ* (*)] = φ* (*)- (1 ·96)
Если это так, то унитарное преобразование eiaQ воздействует на
поле (р(х) согласно
е««ер (X) e-W = φ (х) + ia [Q, φ (х)} + 1 (ш)2 [Q, [Q, φ (*)] ]+...=
»φ(*)[1-/α+β—iff+...]-β-'°φ(Χ). (1.97)
Аналогично
e'"aV {x)e~laQ = e'VW- 0·98)
Сохранение заряда подразумевает, что
etaQHe-l0Q = /у (1^9)
Тем самым // и, следовательно, лагранжиан должны быть ин-
вариантны относительно замены
ф(л;)-*е-/а(р(л;), ф*(х)-*е"У(*)· (1.100)
Это преобразование называется градиентным преобразованием
первого рода. Напрашивается вывод: заряд может сохраняться
только в теории, градиентно инвариантной в указанном выше
смысле.
Убедимся теперь в том, что градиентная инвариантность
лагранжиана или, с более обшей точки зрения, уравнений дви-
жения означает, что существует сохраняющийся заряд, и под-
сказывает нам форму оператора заряда. Путь, которому мы бу-
дем следовать, состоит в рассмотрении выводов из условия гра-
диентной инвариантности, следующих для действия
и
I = J dxJS> (φ (х), θμψ (х)). (1.101)
и
Уравнения движения выводятся из предположения, согласно ко-
торому действие стационарно относительно вариаций поля, об-
ращающихся в нуль при t{ и t2. Мы не будем рассматривать
все подобные вариации, а только рассмотрим инфинитезималь-
ный аналог (1.100), т. е.
q>(x)~»q>(x) + by(x) = <p(x)--ia,((>(x),

40 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ 'ч- I
Тогда получим *)
и
(здесь мы воспользовались тем, что (3μ(δφ) = δ((3μφ)). Однако
из уравнения движения
д (<9μφ) «3φ
следует, что
Отсюда
*+^™-*ЖЧ
J L<9(^)T 0(d»\p)*J
Инвариантность действия означает, что δ/ = 0, так что
Пространственная часть дивергенции обращается в нуль, если,
как обычно, предполагается, что при |д:|->оо поле обращается
в нуль. Тогда мы приходим к выражению
и
Воспользовавшись обычной формулой
д (<Э°<р) л кх>'
мы убеждаемся в том, что вследствие градиентной инвариант-
ности оператор
Q=-i j (Рх(л(х)(р(х)-л(х)у{х)) (1.104)
удовлетворяет закону сохранения
^0 = 0. (1.105)
Отсюда
[Q, Щ = 0.
*) Значок э. с. означает эрмитово сопряженное выражение

ГЛ. 1]
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
41
С учетом канонических перестановочных соотношений опера-
тор Q будет также удовлетворять и соотношениям (1.96). Чтобы
вакуумное состояние наверняка имело нулевой заряд, доста-
точно определить оператор Q в соответствующей нормальной
форме. Из общих соображений следует, что в случае эрмитовых
полей оператор Q тождественно равен нулю.
Нам придется продлить эту и без того уже длинную главу,
посвятив ее конец обсуждению свойств полей при простран-
ственных и временных инверсиях. Сначала мы рассмотрим про-
странственную инверсию. Как и при обсуждении преобразова-
ний Лоренца, будем иметь дело с Двумя состояниями: одно из
них — физическое состояние, представленное вектором Ψ, дру-
гое— состояние после инверсии, т. е. состояние, приготовленное
с помощью приборов, являющихся зеркальным отображением
приборов, приготовивших состояние Ψ. Обозначим состояние
после инверсии через Ψ'. Если теория инвариантна относительно
пространственных инверсий или, на общепринятом языке, если
в ней сохраняется четность, то состояния ψ и Ψ' связаны уни-
тарным преобразованием Us, которое не зависит от состояний
ΨηΨ':
Ψ'=£ΛΨ. (1.106)
Преобразование Us должно быть таким, что средние наблю-
даемых, скажем, в состоянии Ψ были бы равны средним на-
блюдаемых после пространственной инверсии в состоянии Ψ'.
Иначе говоря, Us должно быть таким, чтобы
(ψ, />ψ) = - (ψ', />ψ')= - (ψ, U7iPUsx¥), (1.107)
(ψ, >Ψ) = (Ψ'? /ψ') = (ψ> Uj'JUsV), (1.108)
(Ψ, ρψ) = (Ψ', QW') = (Ψ, U^QV.V). (1.109)
В рассматриваемой теории этого можно достичь, определив Us
следующим образом *):
и7[А(д)и8^цЛ(-д), U7'B{q)Us = ^B(-q),
U7lA+(q)Us = r{A+(-q), U7lB+(q) Us = цВ+(- <?),
где ηη* = 1, так что η, η* — фазовые множители. Поскольку
все наблюдаемые определяются в виде билинейных комбинаций
ц>(х) и φ*(а:), то соответствующая фаза не может быть фикси-
рована. Если же само поле должно быть наблюдаемой величи-
ной, — а для этого оно должно быть эрмитовым, — то соответ-
ствующая фаза будет обладать свойством
η2=1, (1-111)
*) Следует помнить, что в операторах Л(—q) подразумевается измене-
ние знака только у трехмерного импульса q.

42
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. I
поскольку две последовательные инверсии наблюдаемую вели-
чину изменить не должны. Заметим, что мы выбрали фазы
операторов А я В связанными определенным образом. Это было
сделано для того, чтобы поля обладали хорошо определенными
трансформационными свойствами
V7\(x, {)и„=щ(-х, /),
С/Г V {X, О Us = η Φ* (- Χ, t).
В теории свободного поля фазу η, очевидно, можно выбрать
любой. В случае взаимодействующих полей определяющие
уравнения (1.110) приведут к надлежащим трансформационным
свойствам операторов Р, J и Q, поскольку эти величины зависят
только от части лагранжиана (<3μφ) (^μφ*). а эта ситуация оста-
нется неизменной и при обсуждении взаимодействующих полей
(гл. 5). Иногда удается (а иногда — нет) так выбрать фазы η,
чтобы
U7xHUs = H. (1.113)
Если это невозможно, то говорят, что четность не сохраняется.
Состояния ψ и Ψ' при этом все еще будут связаны унитарным
преобразованием (поскольку они оба являются векторами в од-
ном и том же пространстве всех физических состояний), но те-
перь это преобразование будет зависеть от t. Если же четность
сохраняется, то произвольный выбор фазовых множителей для
различных полей, вообще говоря, не будет согласован. Тогда
можно сказать, что четность данного поля относительно частного
выбора четностеи других полей фиксирована. В частности,!
всегда можно сделать так, чтобы η = ±1 *). Если η = +1, то
мы будем называть поле (и соответствующую частицу) скаляр-
ным, а если η = — 1, то мы будем называть его псевдоскаляр-
ным. Мы вернемся к обсуждению проблемы четности в гл. 2,
когда возникнет вопрос о правилах суперотбора.
В заключение мы рассмотрим операцию обращения времени.
Обращение времени — это операция симметрии, в точности по-
добная пространственной инверсии. Как указывалось раньше,
инвариантность относительно нее будет обеспечена, если для
любой пары состояний ψ и Φ и Ψ' и Ф' (причем последние яв-
ляются аналогами состояний Φ и Ψ с обращенным временем,
т. е. в них скорости и проекции спина имеют другой знак)
|(Ψ'. Φ')|2=|(Ψ, Φ) I2.
*) См. обшее обсуждение вопроса о фазах в статье [2] При определен-,
ных условиях, которые не имеют места в реальном мире, может появиться
необходимость ввести для бесспиновых мезонов мнимые четности.

ГЛ. 11
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
43
Вигнер показал, что отсюда следует
Ψ' = c/ψ, Ф' = с/ф,
где U — унитарный (как для пространственных инверсий, так и
для преобразований Лоренца) или антиунитарный оператор.
Антиунитарный оператор имеет вид
U=VK, (1.114)
где V — унитарный оператор, г К — оператор комплексного со-
пряжения. Он обладает свойствами
К+ = К, (1.115)
К2=1, (1.116)
/((αΨ,+βΨ2) = αΧΨ,+ρ4Ψ2, (1.117)
(ΚΨ1,№) = (Ψ2. Ψ.)· (1.П8)
В силу уравнения движения
-^0- = /[Я, φ(*,/)] (1.Ц9)
в рассматриваемом нами случае преобразование обращения вре-
мени будет антиунитарным. Чтобы убедиться в этом, предполо-
жим, что Τ — унитарное преобразование. Выбирая
или
получим
т. е.
Τφ{Χ, t)T-l = <t(x, -/)
Τψ(Χ, t)T-l = <t'(x, -t),
Τ^ψ^Τ-^1[ΤΗΤ-\ φ(Χ, -*)],
φ (x, -t) = l[-THT~\ ψ (Χ, -/)]
d(-t)
в одном случае и
-jj^yφ*(X, -t) = i\- THT-\ φ'{Χ, -1)\
в другом. В любом случае можно показать, что (1.119) может
быть инвариантным, только если
тнт-1 = — я.
Это условие, однако, невыполнимо, поскольку обращение вре-
мени не может изменить спектр Н, а последний содержит только
положительные энергии. Если же в качестве Τ выбрать анти-

44
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. I
унитарное преобразование, то оператор К в (1.119) изменит i
на —г, так что трудностей не возникнет. С учетом Τ =· VK и
Vfp(x,t)V-l = tf*(x.—t)
приходим к соотношению
Τψ(Χ, t)T~l = φ(Χ, — t). (1.120)
Рассмотрим обращение времени матричного элемента
(Ψ, Ф(*1. <i)...«p(*„. *В)Ф)·
Оно дает
7-Ψ, 7φ [Л „ *,) ... ф(лг„, ΜΦ) = (ΚνΨ, KVq> (Х„ *,) ... φ (Хп, tn) Ф) =
= (ftνΨ, /Op* (Jfi, - Μ ... Φ* (Χη, - tn) УФ) =
= fo*(-*i. -i,) ... Φ*(-*„, -<») УФ. ^Ψ) =
= (УФ, φ(*β, -*„)... φΟ*,, -*,) νΨ). (1.121)
Заметим, что состояния УФ и νψ — аналоги состояний Φ и Ψ
с обратным во времени движением, поскольку унитарный опе-
ратор V изменяет t на —i и, как нетрудно показать, меняет знак
у оператора импульса.
Использования оператора К можно избежать при условии,
что в определение антиунитарного оператора входит обраще-
ние порядка операторов поля в произведении, а также и обра-
щение состояний.
Гейзенберговы уравнения движения опять останутся неиз-
менными, но не за счет замены i на —/, а за счет обращения по-
рядка множителей в коммутаторе. Если теперь положить .
Гф(*. О^-1 = ηφ*(*. —t) (1.122)
и применить указанное правило к (Ψ, φ(*Ι, ^i) ...ф(*т ^п)Ф).
то получим
(7Ψ, Τψ(Χ1, i,)... ψ(Χα, г„)Ф) =
- η" (ГФ, ф* (хп, - tn) ... φ* (xu - tx) ΤΨ), (1.123)
где ГФ и ΤΨ представляют собой состояния с обратным во вре-
мени движением. Этот результат внешне отличается от резуль-
тата, полученного в (1.121). Однако оказывается, что для
матричных элементов эрмитовых операторов эти результаты со-
впадают. Этот факт очевиден, если ф(дс, t) — эрмитово поле,
и имеет место также для матричного элемента типа
(®>/V(*0Ai(*2) ··· Ψ), в чем без труда могут убедиться сами чи-
татели. В остальной части книги мы будем пользоваться вторым

ГЛ. I)
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
45
определением антиунитарного оператора. Между прочим, закон
преобразования (1.122), в котором η — фазовый множитель,
означает, что для операторов рождения и уничтожения
TA(q) Г"' = тИ+ (-<?), ТВ(д)Т-1 = ц'В+{-д). 0-124)
Фазовые множители для квантов двух типов оказываются свя-
занными, поскольку мы потребовали, чтобы сами поля преобра-
зовывались с определенным фазовым множителем. Нетрудно
видеть, что свободный гамильтониан явно инвариантен относи-
тельно обращения времени.
ЗАДАЧИ*)
1. Рассмотрите гамильтониан нейтрального скалярного поля, взаимодей-
ствующего со статическим источником,
Я = j j dsx (π* (x) + (V<p (x) )2 + μ V (*)) + 8 j d3x(f (x) ρ (| Χ |).
Найдите собственные состояния этого оператора.
2. Предполагается, что существуют два статических источника, так что
ρ (|*|) в гамильтониане предыдущей задачи заменяется на ρ (| X — Х\ \ ) +
+ P(l*-*sl)·
Рассчитайте наинизшее собственное значение энергии. Докажите, что соб-
ственные значения энергии могут зависеть только от |-*i — ·*2 I-
3. Оператор Λ1μν удовлетворяет перестановочным соотношениям
[Μμν, φ (х)\ = i (Χμβν - Λ\,«3μ) φ (x).
Выразите Λ1μν через операторы поля <f(x) и п(х) (указание: см. за-
дачу 4).
4. Канонический тензор энергии — импульса, соответствующий плотности
лагранжиана JSP, определяется равенством
7^v = д» ( ^=^ \ — σμν Φ
\d(dv<p(x))) g -5r-
Покажите, что операторы Pv- и Mv-V можно выразить через Tw форму-
лами:
P»-j tPxl*0,
Μμν= |<*8*(*μ*ΛΙθ-*ν7'μ0).
*) Задачи, помещенные в конце каждой главы, выбирались в большинстве
случаев из тех соображений, чтобы дополнить основной текст материалами,
которые в него не были включены из-за недостатка места. В конце книги при-
ведены также ссылки на литературные источники, в которых можно без труда
найти ответы на некоторые задачи. Этот набор задач не включает в себя мно-
гие выводы, которые было предложено выполнить в тексте самим читателям.

46
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. Г
5. Рассматривается гамильтониан
Я = ^ J d3x(n* (х) + (Vq> (*) )2 + μ2φ2 (*) + U ( | X |) φ2 (ж)),
где i/([JCI) быстро убывает при |де|-»оо.
Как следовало бы модифицировать процедуру квантования, описанную в
этой главе, чтобы работать с таким гамильтонианом? Какие особые проблемы,
возникают, когда U(\x |)^0?
6. Покажите, что матричный элемент оператора тока
ik (*, 0 - - «<Р* (*. О К«Р (■*. t)
обладает надлежащими трансформационными свойствами относительно опера-
ции обращения времени, независимо от того, используется ли в антиунитар-
ном операторе оператор К или обращение порядка операторов поля.

Глава 2
ДИРАКОВО ПОЛЕ
При обсуждении скалярного поля было показано, что плот-
ность j°(x), пространственный интеграл от которой мы интер-
претировали как заряд, была неположительно определенной.
В первые годы развития релятивистской квантовой механики это
обстоятельство воспринималось как трудность, поскольку все
результаты осознавались в терминах одночастичных теорий,
т. е. релятивистских обобщений уравнения Шредингера с соот-
ветствующей вероятностной интерпретацией*). Дирак заметил,
что плотность неопределенного знака возникает вследствие при-
сутствия в уравнении движения производной по времени выше
первой, и принялся искать уравнение, которое содержало бы
только первые производные по времени, но при этом все еще
сохраняло свою форму при лоренцевых преобразованиях. Он
нашел замечательное уравнение, носящее его имя. Это уравне-
ние, как вскоре выяснилось, лучше всего пригодно для описания
частиц спина 1/2. В этой главе мы начнем с краткого обсужде-
ния уравнения Дирака, как уравнения классического поля, а
затем перейдем к квантованию этого поля.
Уравнение Дирака — это уравнение для четырехкомпонент-
ной величины ψα(*). называемой спинором. Его трансформа-
ционные свойства отличны от свойств 4-вектора, и мы их об-
судим в этой главе позднее. Уравнение Дирака имеет вид
- / (Ασ^Γ Ψσ Μ + М (8)ρσ Ψσ <x) = i^% M- (2·!)
Здесь α* и β — 4Х4-матрицы, которые должны удовлетворять
условиям
α*α' + ага* г {а*, аг} = 26kl,
{«*, β} = 0, β2 = 1. (2.2)
*) Одиочвстичнан теория обсуждается более подробно в [1].

№ ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ч. I
В этом случае будет также справедливо уравнение Клейна —
Гордона
~ -В*-% {х)={м2 - -w)ψρ {х)- (2·3)
которое гарантирует нам релятивистское соотношение между
энергией и импульсом. Всякий раз, когда не будет опасности за-
путаться, спинорные индексы будем опускать. Так ·ψ(Λ;) будет
всегда обозначать столбец справа от 4 X 4-матриц, а ψ+(*) —
строку слева от этих матриц.
Необходимость в специфическом представлении для матриц
ak и β в действительности никогда не появляется; тем не менее
при выборе канонической формы некоторые расчеты становятся
более прозрачными. Положим
«Ч'Й'Я' P"H~R-)· (2·4)
где подматрицы—это обычные матрицы Паули и единичная
2 X 2-матрица:
*Ч? 0)· *2=С° "о)· σ4α -i)· 4i ?)· <2·5>
С помощью матриц
pl = (i о)· P2 = G о)· Рз==(о -?)■ (2·6)
которые в точности напоминают матрицы Паули, но действуют
на другой набор индексов (с двумя компонентами), матрицы ак
и β можно представить как прямые произведения σ- и р-матриц.'
Иначе говоря, формулы (2.4) эквивалентны записям
α=ρ,®σ = ρ1σ (2.7)
и
β = р3 ® 1 ^ Рз. (2.8)
Когда мы будем пользоваться этой формулой, четырехкомпо-
нентный спинор ψ можно будет рассматривать как пару двух
компонентных спиноров
Действие матриц σ сводится к перестановке а\ и а2 (и by, b2)
между собой, тогда как матрицы ρ переставляют между собой
верхнюю и нижнюю пары целиком.

ГЛ. 2]
ДИРАКОВО ПОЛЕ
49
Если ввести матрицы
yh = βα", у0 = β, (2.9)
то уравнение (2.1) можно переписать в более симметричной
форме
(«γ^μ — М)у(х) = 0. (2.10)
Нетрудно убедиться в том, что условия (2.2) заменятся на анти-
перестановочное соотношение
{γμ, Υν} = 2£μν. (2.Ц)
Как это антиперестановочное соотношение, так и свойства эр-
митовости
γ°+ = γ°; \k+ = ~ yk (2.12)
могут быть установлены, исходя из используемого специального
представления. Уравнение для эрмитово сопряженного поля
ψ+(Χ) (записываемого в виде строки) выглядит несколько слож-
ным. Однако поскольку
■усуи-уО = ^ (2.13)
то спинор
ψ (х) = ψ+ (х) у° (2.14)
удовлетворяет простому уравнению
1д^(х)уи + М$(х) = 0. (2.15)
Формулами (2.10) и (2.15) можно воспользоваться, чтобы пока-
зать, что ток, определенный равенством
/μΜ = $ΜνμΨ(4 (2.16)
сохраняется:
<Ш*) = ди$ (х) /ψ (х) + ψ (х) γμ<?μψ (*) =
= Шφ (х) ψ (х) - Шф (х) ψ (х) = 0. (2.17)
Плотность тока j°(x) имеет вид
/° (х) = ф) у\ (х) = ψ+ (.ν) ψ (*) = Σ Ι Ψρ (*) I2. (2.18)
P
Это выражение положительно определенно, и в силу закона со-
хранения пространственный интеграл от j°(x) не зависит от
Бремени. В этом смысле величина ψ (л;) напоминает шрединге-
рову волновую функцию, а уравнение Дирака может рассма-
триваться как одночастичное уравнение. Однако в этом случае
коэффициент при —ix° в разложении
ψ(Χ)= j dp<p(p)e~lPx
4 С. Газиироиич

50
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
(Ч.|
играет роль энергии, и нет никаких причин для исключения от-
рицательных энергий. Трудности в уравнении Дирака, рассма-
триваемом как одночастичное уравнение, были разрешены
только за счет квантования поля.
Исследуем решения уравнения Дирака типа плоских волн.
Будем рассматривать положительно и отрицательно частотные
части отдельно и потому запишем
Ψ Μ = TtW («(Ρ) е~'РХ + v (Ρ)e"*)- (2-19)
(2n)
Поскольку ψ (а;) также удовлетворяет уравнению Клейна —
Гордона
(Π +Μ2)ψ(*) = 0.
необходимо положить
Р2 _ м2 = 0, (2.20)
так что
р° = + 1V + Μ2 ^ £р. (2.21)
Назовем, как принято, чл^н с е~'Ерх° положительно частотным
решением. Из уравнения Дирака следует, что
[iy* (- *ρμ) - Μ] и (ρ) e-l°* + [/νμ (*'Ρμ) - /W] о (р) eipx = 0
(ΥμΡμ-Μ)«(ρ) = 0, (2.22)
(γμρμ + Ai )»(/?) = 0,
поскольку положительно и отрицательно частотные решения Не-
зависимы Полезно ввести обозначение
νμΡμ = ΥμΡμ = V°P° — ν·Ρ**Ρ· i2.23)
Величины с «крышкой» удовлетворяют условию
{d, δ) = а„К {γμ, yv) = 2«μ6μ s 2α · ft. (2.24)
Уравнение Дирака для плоских волн тем самым можно записать
в виде
(р-М)и(р) = 0,
(ρ + Μ)ν(ρ) = 0. {Ζ·^>
Нетрудно проверить, что
й{р)(р~М) = 0,
Щр)(Р+Щ = 0. (2'26)
или

ГЛ 51 ДИРАКОВО ПОЛЕ 51
Когда р — 0, Ро = Л1, эти уравнения принимают вид
(Y°-l)Mu(0) = 0,
о, ,,„../пч_п (2-27)
(γ°+1)Μυ(0) = 0.
Следовательно, существуют два положительно и два отрица-
тельно частотных решения, которые мы выберем в виде
"(0(0) = | 0 |. и«(0) = ( 0 |, о'«(0) = | , |. о»(0):
о
Поскольку
(р + М)(р-М) = р2-М2 = 0, (2.29)
то решение для произвольного ρ (все еще удовлетворяющего
(2.20)) можно записать в виде
и"(р) = С(М + р)и"(0),
v<r4p) = C'(M-p)vV{0). ( '
Здесь г = 1, 2; С и С — константы нормировки. Определим их
требованиями
йР (Р) «(s) (р) = «(г) (0) u<s> (0) = δ„ (2.31)
и
о« (р) и(5) (р) = й(г) (0) ν& (0) = - δ„. (2.32)
Таким образом,
ц<"(р)и&(р) = \С Ρ«<г>(0)(М + р)(М + р)«<*>(0) =
= 2М | С Ρ й« (0) (Ai + ρ) «(s) (0) =
= 2МI С Ρ uW (0) (Ai + v°Po + «·/$) и« (0) =
= 2Ai I С Ρ (Ai + Яр) «(r) (0) uw (0) = 2Ai | С Ρ (Λ1 + £p) δ„.
Отсюда
C^ . ' =^ (2.33)
V 2M (Μ + £ρ) '
Аналогично найдем, что
~ }/~2М(М + Ер)
C'=--7=L=. (2.34)

52 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ч. 1
Заметим, что поскольку й(р) и и(р) удовлетворяют уравнению
Дирака, то
йМ(р){(-β + Μ), ψ} «<s>(ρ) = О,
так что
2Мй<г) (р) tlu{s) (ρ) - 2pW> (ρ) «<*» (ρ) = 0.
Положив μ = 0, получим
H<'>»^>(P) = -|4S. (2.35)
Чтобы вывести соотношения полноты решений, рассмотрим
положительно и отрицательно частотные решения по отдель-
ности. Воспользуемся уже полученными явными выражениями
- 2М (М + ЕР) ( Σ V + М> »" <°> flW <°> <* + АО } =
'αβ
1
2М{М + Ер) Υ""1 ' "■ ' 2 ν ' '"'"'" ^r ' ^pJJap
= ~(β + Μ)α^. (2.36)
Аналогично, если определить оператор Л_ равенством
(Л_)О0=-2^,(Р)^,(Р), (2.37)
то получим
(Λ.)σβ=2^(Λ1~ρ)αβ. (2.38)
Соотношение потноты имеет вид
Л+ + Л_ = Σ («(г) (р) «(г) (р) - и(г) (Р) № (р)) = 1. (2.39)
г
Сами матрицы Л+ и Л_ обладают свойствами проекционных
операторов, ибо
Л| = Л±, Л+Л_ = Л_Л+ = 0. (2.40)
Операторы Л± проектируют положительно и отрицательно ча-'
стотные решения соответственно. Однако, поскольку существует

ГЛ 2]
ДИРАКОВО ПОЛЕ
63
четыре решения, должен существовать еще другой оператор, ко-
торый выделяет решения с г = 1, 2. Этот проекционный опера-
тор должен быть таким, чтобы
n(rin(s, = 6„n(r) (2.41)
и
[Π(Λ), Λ±] = 0. (2.42)
Эти два решения должны быть как-то связаны с двумя возмож-
ными направлениями поляризации частицы спина 1/2. Поэтому
следует ожидать, что оператор Π будет каким-то обобщением
нерелятнвистского оператора
\+η·ο
г η 2 *
который проектирует состояние, поляризованное в направлении
п, для двухкомпонентного спинора. Предоставляем читателям
возможность самим проверить, что условиям (2.41) и (2.42) удо-
влетворяет следующее обобщение: определим 4-вектор г№, ко-
торый обладает свойствами
п^п» = - 1 (2.43)
ημΡμ = 0. (2.44)
Иначе говоря, это — единичный пространственноподобный век-
тор. В системе покоя частицы с 4-импульсом ρ у него нет не-
нулевых компонент. Операторы
Π„±=1(1±ν5Λ), (2.45)
где*)
Уь = Vs = «VyVy3 = Pi» (2-46)
отвечают нашим требованиям. При каноническом выборе пред-
ставления матриц они сводятся к нерелятивистской форме Р„
*) Если определить антисимметричный тензор четвертого ранга εμνρσ со
свойствами 6μνρσ = ±Ι в случае, когда индексы μ, ν, ρ, σ образуют четную
(нечетную) перестановку чисел 0, 1, 2. 3, и εμνρσ=0 в противном случае, то
с
можно записать, что \ь =тг βμνρσΥ^^Υ0·

54
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
Можно рассмотреть явную форму решения уравнения Ди-
рака в каноническом представлении. Имеем
и<"(ρ) = . Р «м (0) = ТРз Р Рг - «w(0) =
кн' V2M(M + EP) ' VW(M + EP)
Y2M(M + EP) [ σ.ρ M-Epj{ 0
«c>(0) \
■-' «"(0)l· (2'47)
ЛЕр + М I
\ Е„
Ер + М
При малых импульсах верхние две компоненты намного больше
нижних. При расчете матричных элементов от матриц ρ и σ при
низких энергиях вклады диагональных матриц, т. е. р3 и 1, бу-
дут, очевидно, много больше вкладов недиагональных матриц
pi и р2.
Иногда более удобно выбрать иное представление матриц
Дирака. Если, например, положить
Y°=Pi, α = ρ3σ, (2.48)
то
р - Μ = \°Ер + αγ° · ρ - Μ = - Μ + φ2σ · ρ + PiEp,
а уравнение Дирака принимает вид
~М °·Ρ + Ε,)ψ_0
,Ερ~α·ρ —Μ
В этом представлении
Vs = Рз,
(2.49)
(2.50f
т. е. матрица \5 диагональна. Кроме того, при больших энер-
гиях, когда массой Μ можно пренебречь, это уравнение рас-
падается на две пары двухкомпонентных уравнений. Если
а'
ψ(ρ) = Ι , 1, то они примут вид
(Ер — а-р)а ~0; (Ер + о-р)Ь « 0. (2.51)
Первое из них описывает безмассовую частицу со спином, на-
правленным по импульсу, а второе — безмассовую частицу со
спином, направленным против импульса.
Обсудим теперь релятивистские трансформационные свойства
диракова поля после квантования. Многие из этих свойств
можно изучить, исследуя неквантованное уравнение, которому
будут удовлетворять матричные элементы квантованного поля
ψ (ж). В неквантованной теории обычный путь обеспечения ко-

ГЛ. 2]
ДИРАКОВО ПОЛЕ
55
вариантности относительно преобразований Лоренца состоит в
требовании сохранения неизменной формы уравнения По отно-
шению к преобразованию
μ /μ д μ ν
не следует ожидать, что инвариантность сведется к условию
ψ'(*')= ΨΜ
(как в случае уравнения Клейна — Гордона для скалярного
поля), поскольку общее преобразование Лоренца содержит вра-
щения, а ψ (я), по предположению, описывает поле со спином.
Поэтому можно допустить перегруппировку компонент и запи-
сать
ψ'(*')=5(Λ)ψ(Χ). (2.52)
Уравнение будет инвариантным при условии, что существует та-
кая матрица S(A), что
(*'γμ<3μ-Μ)ψ'(Λ:') = 0.
Это в свою очередь эквивалентно уравнению
0/Λμ(5ν - Μ) S (Λ) ψ (λ;) = 0.
Если это уравнение умножить слева на S~4A), то получим
(iS'VSAldy, - М)ъ(х) = 0.
Иначе говоря, уравнение будет инвариантным при условии, что
будет найдена матрица S(A), удовлетворяющая соотношению
5~'(Λ)νμ5(Λ)Λμ = νν. (2.53)
Для нахождения S(A) прибегнем к трюку с рассмотрением ин-
финитезимального преобразования Лоренца (см. (1.73), (1.75)).
Пусть
5(Λ)=1-|-αμννμν. (2.54)
Тогда (2.53) после небольших преобразований сводится к усло-
вию
[ Σμ\ Υρ1 = - i (g**Yv - £νβΥμ)- (2-55)
Решение, очевидно, имеет вид
Σαν=-1Γ[Υμ. ΨΙ (2-56)
Между прочим,
5+(A) = yV(A)v°. (2.57)

56
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14 I
Когда Λ не бесконечно мало, матрица S(A) имеет вид
S(A) = e-ma^\ (2.58)
Для трехмерного вращения
<zi0 = 0, ац = ak,
и поскольку
Σ4 1
— γ eilkakt
получим
5(A) = e-iff-H/2, (2.59)
чем и устанавливается связь между ац и параметрами, харак-
теризующими вращение.
Для чистого преобразования Лоренца
а(/ = 0 (i,/=1,2, 3), at0=bt
имеем
S(A) = e2 =1 + 2-&·α+2Γ(-τ)+3!Ιτ)^-+ ··· =
= ch-|+ft.osh-|. (2.60)
Можно установить связь между 6 и скоростью υ, характеризую-
щей чистое преобразование Лоренца, рассмотрев соотношение
(2.53) в частном случае. Предоставляем читателям убедиться
самим в том, что
chb = —F=L=-, й = -. (2.61)
Важным побочным результатом является возможность ёкз
труда установить трансформационные свойства билинейных ком-
бинаций полей. В частности,
ψ(х') γ»ψ'(О = ψ (х) S~l (Λ) Yi*S (Λ) $ (x) = Λ£ψ (ж)γαψ (jc). (2.62)
Иначе говоря, по отношению к преобразованиям Лоренца вели-
чина ψ(Χ)γμψ(Χ) преобразуется согласно
т. е. как контравариантный 4-вектор. Знание трансформацион-
ных свойств билинейных комбинаций пригодится в дальнейшем
при рассмотрении взаимодействующих полей.
Можно также показать, что уравнение Дирака инвариантно
по отношению к пространственной инверсии. Запишем, что
!]/(*')= τΗψ(Χ), (2.63)

ГЛ. Л ЦИРАКОВО ПОЛЕ 57
где η — фазовый множитель, г А — некая матрица, которую
следует выбрать так, чтобы форма уравнения не изменилась.
Имеем х' = (х<'1 —д^ так чт0
{iy% - Μ) ψ' ОО = Ьу°д0 - i\ ■ V - Μ) цА$ {х) =
= (iy°d0 + i\ · V - Μ) η Αψ (x) = 0.
Если выбрать матрицу А так, чтобы
А~\°А = у°, А~\А = — γ,
то вновь получится уравнение Дирака. Искомое решение А = \°,
так что
ψ'(Χ') = ηγθψ(Λ:) (2.64)
и
Φ'(*')=η*Φ(*)Υ°. (2.65)
Чтобы осуществить квантование, следует действовать путем,
несколько отличающимся от способа действий в гл. 1. Как и в
той главе, величины ψ (ж) и ·φ (х) разложим по решениям урав-
нения Дирака Запишем
* м - -^w ΣI -55т fa<r) ("> "(r) o>> *""*+*"+("> v'r) ω eH.
r
(2.66)
и непосредственно обратимся к гамильтониану. Уравнение Ди-
рака можно получить из плотности лагранжиана
^(*) = ψ(*)(ΙΥ^μ-Μ)ψ(*). (2·67)
которая приводит к
"(*>~а(аЧ)(«)) д»Н*)Уо
и к*)
π (λ:) =» 0,
так что
<Й? (х) = *ψ (λ;) γ0^°ψ Μ - Ψ (*) («V^o + i\ · V - Μ) ψ (ж) =
= — nf>U)v· νψ(*) + Λ*Φ(*)ψ(*) (2.68)
И
Я = J (Рх$+ (x) (— ia · V + βΜ) ψ (λ;). (2.69)
*) Поскольку при квантовании мы не будем следовать канонической про-
цедуре, то обращение π (х) в нуль не породит никаких проблем.

58
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. t
Через операторы а(г)(р), ..., &(г,+ (р) гамильтониан запишется
в виде
н - ш J tjm J -щЦм Σ \ ^ «*<s,+(яо «<" ω *' ("'-р) **
Р г, s
XuHs)(p)(a-p + ^M)ulr)(p)]+
+ [b{s) {p') a(r) (p) e~l (p+p'' Vм (ρ) (α·Ρ + ΡΛΙ) «<" (ρ)] +
+ [a+(s) (ρ) &(r)+ (ρ) β'№+Λ Vs)+ (ρ') (- « · ρ + βΜ) /' (Ρ)] +
+ [&(s,+ (ρ') bir)+ (ρ) β"' (ρ'-ρ)Vs)+ (ρ') (- α ■ ρ + ρΜ) «(Λ> (Ρ)11·
С помощью уравнения Дирака, записанного в виде
(а.р + РМ)и">(ρ) = £„ы("(Ρ), (2 70)
(— а ■ ρ + βΜ) и(г) (р) = — EpOlr) (Ρ)·
и соотношений
Ер
«<*>+ (р) и<" (р) = 0w+ (ρ) 0(г> (ρ) - δ„ 7Γ · (2.71)
ы'5)+(р)уг(р) = 0,
по!учим следующее выражение:
н - Σ J т§5г ^(г)+ ω «,г) ω - £p6(r) (p) ft(r)+ (/,)] · (2·72)
Этот гамильтониан имеет большое сходство с гамильтонианом,
полученным для скалярного поля (см. (1.47)). Однако суще-
ствует и глубокое различие. Энергия здесь неположительно
определенна, что более напоминает ситуацию с плотностью тока
в скалярном случае. Поэтому отрицательные энергии здесь «е
запрещены, и спектр энергии не имеет нижней границы. Если в
данном случае наложить на операторы перестановочные соот-
ношения типа (1.39), то никакого улучшения ситуации не про-
изойдет: в лучшем случае можно будет добавить к энергии
бесконечную константу. Решение возникших трудностей следует
искать в том, чтобы перестановка операторов Ыг>(р) и 6М+(р)
приводила также к изменению знака их произведения, т. е.
чтобы эти операторы удовлетворяли антиперестановочным соот-
ношениям. Если это проделать, то гамильтониан принимает вид
(исключая возможную аддитивную бесконечную константу, ко-
торую мы просто отбросим)
Η " Σ S T$M i V+ (Я) «<" (Ρ) + ЕрЬ^ (ρ) *<" (ρ)]. (2.73)

ГЛ. 2]
ДИРАКОВО ПОЛЕ
59
Теперь это выражение в точности напоминает гамильтониан
скалярного поля, за исключением того, что фазовый объем за-
меняется на Ер/М, что просто соответствует изменению норми-
ровки. Таким образом, оператор плотности числа частиц должен
иметь вид
•rtw=""4X (ρ)· <2·74>
Выпишем следующие антиперестановочные соотношения:
На (*), % (У)}х^ш = Ы Μ. Ψβ+ (У)}*-* = 0. (2>75)
{ψα (*), ψβ" (|/)}^_ν. = δσβδ (* - у),
и изучим их следствия. С помощью свойств ортонормируемости
решений уравнения Дирака формулы (2.66) можно обратить.
Тогда получим
«(г) (р) = —Ц^ J (Рхе">ЧР> (ρ) γ°ψ (*),
(2Я) (2.76)
Ь<Г) Μ * —Тд J d8**""^ W V0y(r> (p)
и т. д. Исходя из этих формул, можно показать, что антипере-
становочные соотношения для операторов в импульсном про-
странстве имеют вид
Wr>(p), a(s,(p')} = (&%), &<*>(//)} =
= U(r,(p), "(V)} = {«(r)(p), ^+(p')} = ... =0, (2.77)
{«"(ρ), α«+ (p')} - {&"> (p), 6(s,+ (pO) - ^ δ (ρ - ρ')·
С учетом этих соотношений получим
[«"Ир), Я]=2 | -/^-[aM(P)^«(s)+(p')a(s,(p')-
S
- £p<a<s>+ (pO aw (ρ') ow (р)] = J] Μ J*rf3p' [a<'>(p) a<s>+ (ρ') eW (p')+
+ a&+ (ρ') ο" (p) aw (p')l = £P«(r) (P). (2.78)
Аналогично
[<*(r)+(p), Я]--£рвИ+(р) (2.79)
и
Wr) (Ρ). Я] = £pftW (p), [ftw+ (p)> я] = _ £p&w+ {p)m (2.80)

60
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
Следуя ходу рассуждений в гл. 1, интерпретируем а(г)+(р) и
bir)+(р) как операторы рождения, а а(г)(р) и Ь{г)(р)~ как опе-
раторы уничтожения. Если, как и прежде, определить ваку-
умное состояние Ψο для этой системы, то
α(Γ){ρ)Ψ0 = &Γ)(ρ)Ψ0 = 0 для всех риг = 1, 2. (2.81)
Можно сконструировать одночастичные состояния
Ψρ(Λ) = α<'>+(ρ)Ψ0 (2.82)
и, по аналогии со скалярным случаем, многочастичные состоя-
ния. Произвольное состояние системы представляет собой су-
перпозицию вакуума, одно-, двух-, ... и т. д.-частичных состоя-
ний. Если ограничиться для простоты частицами типа с, то
можно записать
Ψ = °°Ψο + Σ J XlM · · · ΥΤΤμ Cn {pu ■- Pn) ΨρΓ rr -■ Pn- ν
r ... r 1' «'
(2.83)
где
ψ*. r, Pr v ..... P„. rn = «(r')+ Μ · · · «Ы+ (Pn) Ψο- (2-84)
Поскольку
{a(r')+ (Pi), aW+(/7y)}-0,
то имеет место
ΨΡ]...Ρ/...Ρ/...Ρ„ = -ΨΡ1...Ρ/...Ρ1....ν (2-85)
Рассматриваемый вектор состояния при перестановке любых
двух частиц меняет знак. Поэтому функции С„ (Pi(rt),...
...,рп{Гп)) в (2.83), являющиеся амплитудами вероятности
нахождения η квантов с определенными импульсами и проек-
циями спина в состоянии Ψ, представляют собой антисимметрич-
ные функции своих аргументов. Это означает, что кванты типа с
и Ь подчиняются принципу Паули. В случае скалярных мезонов
мы не встречались с этим обстоятельством. Принцип Паулй,
очевидно, связан с необходимостью использовать антипереста-
новочные соотношения для квантования диракова поля. В слу-
чае скалярного поля в использовании антиперестановочных со-
отношений не было необходимости. Фактически, если бы мы
наложили тогда антиперестановочные соотношения, то получили
бы, что коммутатор полей вне конуса не обращается в нуль.
Иначе говоря, такие «неверные» правила квантования привели
бы к нарушению естественного физического требования причин-
ности. Эти особенности теории свободного поля являются част-
ными случаями общей теоремы о связи спина со статистикой.
Из совершенно общих соображений можно показать, что в

ГЛ. 2]
ДИРАКОВО ПОЛЕ
61
локальной теории поля, если можно выбирать между квантова-
нием с перестановочными или антиперестановочными соотноше-
ниями, поля, кванты которых имеют полуцелый спин, в после-
довательной схеме необходимо квантовать с антиперестановоч-
ными соотношениями (тем самым они должны подчиняться
статистике Ферми). Эти предсказания локальной теории поля
находятся в прекрасном согласии с экспериментом *).
Используя перестановочные соотношения для операторов
рождения и уничтожения, можно рассчитать антикоммутатор
полей ψ для неравных времен. Имеем
Χ [{α<Γ> (ρ),' a(S)+ (p')} u<'> (ρ) й<*> (р') e-'p*w</ +
+ {&'"+ (ρ), b^ {ρ')} ν^ (ρ) ν™ (ρ') енк-'rv] =
= (Λ/ + /νμ<5μ) -j— j Щ- (β-'ρ<*-«β - £>"><*-»>) =
= I(Af + Ι'νμ5μ) A(x-y; Μ) = - iS{x -у; М). (2.86)
Таким образом, антикоммутатор полей ψ вне светового конуса
обращается в нуль. Вскоре мы осознаем важность этого факта.
В данный момент мы исследуем оператор заряда, чтобы выяс-
нить связь между квантами типа а и Ь. С помощью плотности
заряда, полученной в (2.18), определим
Q = J Фхр (х) = j* rf3jcip (λ;) γ°ψ (*)· (2.87)
Выражая все величины через операторы а(П (р), .... Ь(п+ (р),
без труда получим
Q = 5 | -§^л №п+ Μ с'° Μ ~ 6")+ {р) b(n W· (2·88)
г
так что мы опять приходим к интерпретации квантов типа Ъ
как античастиц квантов типа а. Поскольку
[«"> (р). Q] = Σ | тг^- [я(Г) (р), «<*>+ (pO «(S) (Р')1 = «(Г) (р).
то очевидно, что если
то и
<2α<" (ρ) Ψ = Wr) (ρ) Q - α<" (ρ)] Ψ == (9 - 1) α<Γ> (ρ) Ψ,
так что α — это оператор, уменьшающий заряд.
*) Полный обзор истории открытия теоремы о связи спина со статисти-
кой можно найти в статье Р. И о с τ а [2]; см. также [3].

62 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ц ,
Можно опять сконструировать оператор зарядового сопря.
жения С, обладающий свойством
Са{»(р) С'1 = Ь(г) (р), Са(г)+ (р) С"' = b(r)+ {р). (2.89)
Отсюда мы видим, что оператор Cty(x)C~l должен быть свя-
зан с ψ(*)· Действительно, если записать
С%(х)С~' = %(х)6т, С$а(х) С-1 = - Сёз%(х), (2.90)
где С —матрица 4 X 4, то G должна обладать свойством
u^(p) = vin(P)e, v^(P) = a<r)(p)e. (2.91)
Предоставляем читателям самим показать, что отсюда следуют
такие свойства С:
ет=-6 (2.92)
и
е-уе=-(у1Т. (2.93)
Вплоть до этого момента мы подразумевали, что дираково
поле описывает частицы спина 1/2, причем индекс г отмечал со-
стояние поляризации. Подтверждение этому можно получить,
изучая трансформационные свойства диракова поля относи-
тельно однородных преобразований Лоренца. Трансформацион-
ные свойства относительно пространственно-временных сдвигов
никакой проблемы не составляют. Как и в скалярном случае
(см. (1.23)), мы имеем по определению оператор 0(a).
ψ (х + а) = U (α) ψ (х) U~l (а), (2.94)
и перестановочное соотношение /
[Р»\ ψ (х)] = - id»q (x), (2.95)
где Р» = (Н, Р) и
Ρ = - f d4n (х) Щ (х) = 4- Г сРху (х) γ°νψ (х), (2.96)
так что
i/(«) = e/p%. (2.97)
Что касается однородных преобразований Лоренца, то соответ-
ствующий закон должен быть сложнее закона преобразования
скалярного поля (1.21), поскольку в данном случае частица
имеет спин. Один из способов вывода закона преобразования-"
рассмотрение среднего значения поля ty(x) в некотором состоя:
нии Ψ. Это среднее является с-числом, и можно ожидать, что

ГЛ. 21 ДИРАКОВО ПОЛЕ 63
оно преобразуется подобно неквантованному диракову полю,
т. е. согласно (2.52). Иначе говоря, потребуем, чтобы
(Ψ', ψ(ΛΧ)Ψ')= 5(Λ)(Ψ, ψ(*)Ψ), (2.98)
где Ψ' — состояние, подвергнутое преобразованию Лоренца,
ψ'= U (Α) Ψ.
Отсюда можно получить обобщение формулы (1.21), именно
U-1 (Λ) ψ (Ах) U (Л) = S (Л) ψ (х),
т. е.
U (Л) ψ (ж) U~x (Л) = S-1 (Л) ψ (Л*). (2.99)
Рассмотрим теперь инфинитезимальное преобразование, харак-
теризуемое шестью параметрами αμν(αμν= — ανμ). Как и в ска-
лярном случае, имеем
ο/(Λ)=1+|α^Μμν.
Таким образом,
ψ (х) + у αμν \Μμν, ψ (*)] = (1 + γ αμν"Σμν) ψ (*μ + αμ^') =
- (1 + ± α^Σμν) [ψ (ж) + α^ψ (Χ)] =.
= ( 1 + у «^μν) [ψ (*) + 4 «μν (4 *ν<?μ - Τ *μ<?ν) ψ (*) ] .
Это приводит к соотношению
[Λ1μν, ψ (*)] = [Σμν + у (-xuav + xvdj\ ψ (ж). (2.100)
Если теперь рассмотреть вращение, например, вокруг оси г,
то получим
[Мц, ΨΜ] = (Σ12 + Ζ,3)ψ(*).
Используя (2.56), нетрудно проверить, что величины Σ12=3-!-σ4>
ν 1 ν 1
h^-^fy и •''гз—y^i удовлетворяют перестановочным соотно-
шениям
и что
Σ(τσ«·)2=τ=4(4+1)·
(

64 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ 14. (
Если теперь исследовать, что произойдет с волновой функцией
покоящейся спинорной частицы (Ψο, ψ(Χ)Ψρ=ο), когда система
вращается, то, так же как и в скалярном случае, найдем
(Ψ0, ψ (х) Uz (δθ) Ψρ_0) ~ (1 - у Ι δθσ3 - i 6BL3) (Ψ0> ψ (x) ΨΡ=ο) ~
«(1-^·/*θσ3)(Ψο, ψ(Χ)Ψρ_ο)«β-^«'.'»(Ψο, ψ(*)Ψ„-ο),
т. е. член L3 в это выражение вклада не дает, и остающаяся
матрица преобразования характеризует частицу спина 1/2.
Преобразование пространственной инверсии будет иметь вид
Uty(x, t)U7l=4lA$(-x, t). (2.101)
Как видно из (2.64), требование инвариантности уравнения Ди-
рака приводит к
A =v°- (2.102)
Вероятно, не будет неожиданным тот факт, что четность си-
стемы частица — античастица противоположна четности двухча-
стичной системы, находящейся в том же состоянии. Чтобы в этом
убедиться, рассмотрим оператор $(х)ф(у), где *
tf(y) = Cq(y)C-] = $(y)e. (2.103)
Этот оператор обладает тем свойством, что когда он действует
на вакуумное состояние, то порождает пару частица — антича-
стица. При пространственной инверсии он преобразуется сле-
дующим образом (мы пользуемся обозначением х1 = (—х, t)):
Us^a (Χ) Ψρ (У) ) U71 = Λαρψρ (х) ψσ (у) А^6Ч =
= η(γ°ψ(/))(- η*ψΟ/)<?°/)= - (ηγΟφ(*0)(η·γν(*)). (2Л04)
Например, электрон-позитронная система в S-состоянии обла-
дает отрицательной четностью, и этот факт имеет проверяемые
на опыте следствия, поскольку это касается свойств фотонного
состояния, возникающего в результате аннигиляции *).
Фазовый множитель η характеризует внутреннюю четность
частицы, порождаемой оператором ф(х). Если бы данное поле
было измеримо то нужно было бы потребовать, чтобы η2 = 1.
·) Корреляция поляризаций двух фотонов, образующихся при распаде
позитрония из основного So-состояния, была измерена By и Шэкноу [4]. Они
обнаружили, что эта корреляция характерна для распада из начального со-
стояния с / = 0 и отрицательной четностью. Этот последний вопрос будет об-
суждаться в гл. 14 в связи с распадом π-мезоиа.

ГЛ. 21
ДИРАКОВО ПОЛЕ
65
Очевидно, что само поле ψ(Χ) неэрмитово, но существуют эрми-
товы комбинации
4>i(*) = yf(*(*)+*+(*)).
(2.105)
Ψ2 (*) = yf (Ψ+ (*) - Ψ (x) )·
Являются ли они в каком-то смысле измеримыми? Вик, Вайт-
ман и Вигнер [5] показали, что в квантовой теории поля в про-
тивоположность квантовой механике в действительности мы
имеем дело не с одним векторным пространством Ш (гильбер-
товым пространством), а с многими пространствами, которые
не зависят друг от друга в том смысле, что вектор состояния
2^f£). где Ψ(() — вектор, принадлежащий е%?(,), неотличим от
вектора состояния e'"lW(l)+ ... +е'апХ¥(п), где а,- — произволь-
ные фазы.
Рассмотрим, например, состояние, являющееся суперпози-
цией вакуумного и однофермионного состояний:
Ψ = α0Ψ0 + J dxf (x) φ (*) Ψ0. (2.106)
При повороте на угол 2π вокруг некоторой оси, используя
(2.99), получаем
£ΛπΨ (*) U» = ~ Ψ Μ· (2·107)
Поэтому состояние Ψ и состояние
ψ' = οΨ„ - J dxf (х) ψ (х) Ψ0 (2.108)
физически неразличимы, поскольку ни одна наблюдаемая не
может зависеть от того, повернута система на угол 2π или нет.
Это в свою очередь означает, что относительная фаза состояния
без фермионов (или, в более общем случае, с четным числом
фермионов) и состояния с одним фермионом (или с нечетным
числом фермионов) неизмерима. Следовательно, матричный эле-
мент любого оператора, изменяющего «число фермионов» на не-
четное целое число, т. е. связывающего векторы состояния с чет-
ным и нечетным числом фермионов, будет иметь неопределен-
ную фазу ±1.
Этот пример показывает, что принцип суперпозиции должен
быть справедлив только в каждом из совокупности подпро-
странств. Состояния же, построенные из состояний, принадле-
жащих различным подпространствам, подчиняющимся правилам
суперотбора, не могут быть физически реализуемыми. Если
ввести оператор Ν, собственные значения которого равны ±1
5 С. Газиорович

ее
Введение 6 квантовую теорию Поли
14. |
в соответствии с тем, действует он на состояние с четным или
нечетным числом фермионов, то
[θ, Λ] = О
для всех наблюдаемых Θ. В квантовой механике всякий опе-
ратор, который коммутирует с полным набором наблюдаемых,
должен быть (с точностью до численного множителя) единич-
ным. В квантовой теории поля это утверждение места не имеет.
В ней могут существовать операторы подобного типа, отличные
от единичного.
Нетрудно, вообще говоря, убедиться в том, что все наблю-
даемые коммутируют с оператором заряда, который тем самым
играет роль, аналогичную оператору N. Вся совокупность опы-
тов показывает, что физически реализуемые состояния можно
классифицировать по их заряду и что не существует никаких
состояний, которые являются суперпозицией состояний с заря-
дом <7i и зарядом q2. Тем самым установлен экспериментальный
факт: состояния с фиксированным зарядом принадлежат раз-
личным подпространствам, и, следовательно, операторы, кото-
рые изменяют заряд, например оператор ψ(*), неизмеримы.
Эквивалентный путь рассуждений основан на том, что все на-
блюдаемые должны быть инвариантны относительно градиент-
ных преобразований. Аналогично из опыта следует, что барион-
ное число и, весьма вероятно, два типа лептонных чисел могут
быть использованы для классификации независимых подпро-
странств в пространстве всех физических состояний.
Отсюда следует то обстоятельство, что четность частицы, ко-
торая имеет или заряд, или барионное число, или полуцелый
спин, произвольна. Однако все же имеет смысл приписать ус-
ловно четность, скажем, протону и нейтрону и определять чет-
ность тс+-мезона относительно такого выбора, изучая реакцию
р-*->я+ + и, которая имеет место в одном и том же подпростран-
стве с зарядом +1.
Тот факт, что поле ψ (л;) неизмеримо, можно также вывести
и из перестановочных соотношений. Вычисление, которое мы
предоставляем провести читателям, показывает, что [ψ(*)>
\р(у)]— оператор, матричные элементы которого (например, ва-
куумное среднее) не обращаются в нуль вне светового конуса,
что находится в явном противоречии с причинностью. Это про-
тиворечие является только кажущимся. Для любой величины,
которая, как мы ожидаем, должна быть измеримой, например
для тока, имеем
Ι/μ(*). /ν(#)Η(Υμ)αβ(Υν)ρο[ψαΜψβΜ· *Ρ Μ Ψσ (#)] =
~ (Υμ)αβ (Υν)ρσ [ψα Μ Ψο (У) {% Uj), % (*)} -
-%(y)%W№oUj), *,(«)}]. (2.Ю9)

ГЛ. 2] ДИРАКОВО ПОЛЕ 67
Мы уже показали, что {ψ(*), ψ (у)} обращается в нуль вне све-
тового конуса, так что условие причинности удовлетворяется.
В заключение этой главы обсудим трансформационные свой-
ства диракова поля относительно обращения времени. Это пре-
образование опять следует выбрать антиунитарным, чтобы
обеспечить положительность энергии, так что для самого поля
потребуем
Т%(х, /)Γ-'=ηψβ(^ -t)Bfp. (2.110)
Матрица В включена в эту формулу, чтобы учесть изменение
направления спина, которое является составной частью обра-
щения времени. Выберем матрицу В так, чтобы
ββ+ = 1, (2.111)
и определим ее, исходя из сохранения формы уравнения Ди-
рака. Получим
(iYX - Μ) Γψ (х, t) Г"1 = 0 = (/v° -§f - i\ · V - Μ) Ψ (х, - /) β =
= (- 'V^pTf-'Y V - Μ)φ(*. -t)B-
= -[* d{it) ф(ж, -/)βγ0Γβ"'+/νψ(ΛΤ, -*)βγΓβ-' +
+ M$(x, -/)] β = - [/а^ф (х') νμ + Μ Ψ (*')j β = 0 (2.112)
при условии, что
By0TB~l = γ°, βγΤβ~' = - Υ. (2.113)
Это означает, что
βνμ*β-' = γμ. (2.114)
В качестве упражнения предоставляем читателям проверить, что
ВС~1 = у0у6. (2.П5)
ЗАДАЧИ
1. Выпишите трансформационные свойства относительно операций Я, С и
Г (обращение времени) билинейных операторных комбинаций
а) [ψ (*), γ5ψ (*)1 = Ψ Μ ΥδΨ (х) ~ Υδψ (*) Ψ Μ;
б) [ψ(Χ),γα1Κ*)];
в) [ψΜ,σαβψ(*)];
г) [Ψ (х). «γαΥ5·φ Ml
2. Уравнение для частицы спина '/г во внешнем электромагнитном поле
имеет вид
[«γμ (θμ - /ед;тш (*у - мj ψ (х) - a
б*

68
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч.|
Решите его в случае постоянного однородного магнитного поля когда
^внеш ^ _ (q^ _ _ [/· х Щ I. Как бы вы проквантовали дпраково поле в при-
сутствии такого внешнего магнитного поля? Выпишите, по мере возможности,
антикоммутатор между ty(x) и ψ(#) для неравных времен в присутствии та-
кого постоянного поля?
3. Рассмотрите явное решение (2.47). Поскольку спинор с произвольным
импульсом ρ можно получить из спинора с ρ =0 с помощью преобразования
Лоренца, то это решение можно записать в виде
exp(-iai0Hl0)u{0)
с Σ'°, определенной в (2.56). Найдите α1θ.
4. Выразите решение уравнения Дирака через собственные функции пол-
ного момента. Используйте собственные функции операторов Я и ]г, чтобы
разделить переменные в уравнении для дираковоп частицы в кулоновском
поле. Это уравнение приведено в задаче 2.
5. Покажите, что при обращении времени и(р)-> й( —р) В и ν(ρ)->
->υ(—ρ)Β. Используйте этот факт, чтобы показать, что относительно опера-
ции РТ одновременно
й (Р0 Υα1Υα2 · · · Υα„" (Ρ) -> й (Ρ) Υαη · · · Υα^α," (Ρθ·
6. Покажите, что Sp (γμνν) = %μν, и, используя {γμ, νν} = 2#μν, дока-
жите, что Sp(v 'ν 2 ... γ 2η+1) = 0,
/

Глава 3
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
Помимо частиц спина 0 и 1/2 в физике элементарных частиц,
фундаментальную роль играют частицы спина 1. В этой главе
мы кратко обсудим векторное и электромагнитное поля. Элек-
тромагнитное поле, кванты которого имеют массу нуль, описы-
вается векторным потенциалом. Хотя такое описание и приво-
дит к некоторым формальным трудностям, оно з то же время
соответствует простейшим уравнениям движения для случая
взаимодействия фотонов с материей. Поэтому с точки зрения
того примитивного использования теории поля, которому мы
здесь следуем, оно предпочтительнее.
Начнем рассмотрение с поля, которое при преобразованиях
Лоренца преобразуется как 4-вектор. Квантованное векторное
поле должно преобразовываться согласно
U (Α) φμ (х) U~] (Λ) = (А~Х φν (Ах). (3.1)
Читатели могут сами убедиться в том, что в формулу (3.1) вхо-
дит именно (Λ_Ι)μ> рассмотрев специальный случай вращения
или воспользовавшись тем, что среднее значение поля преобра-
зуется согласно
(Ψ', φμ (Ах) Ψ') = Λ? (Ψ, φν (х) Ψ). (3.2)
Также потребуем, чтобы векторное поле удовлетворяло урав-
нению Клейна — Гордона
(О+т2)<р(х) = 0. (3.3)
Это, как следует из опыта, означает, что квант поля φμ(Χ) бу-
дет иметь массу т. Кроме того, необходимо дополнительное
условие. Ведь мы собираемся описывать поле, кванты которого
имеют спин 1, т. е. три независимых состояния поляризации (два
состояния в случае т = 0), а поле φμ(*) имеет четыре компо-
ненты. Естественно наложить простейшее инвариантное усло-
вие, именно
<?μΦμ(*) = 0. (3.4)

70
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. I
Конечно, нужно будет убедиться в том, что это условие обес-
печивает нам то, ради чего оно налагается.
Чтобы иметь возможность перейти к квантованию, следует
выписать лагранжиан, который приводит к уравнению (3.3) и
по возможности также учитывает дополнительное условие. Ока-
зывается, что учет дополнительного условия легче всего произ-
вести, введя вспомогательные поля (в данном случае f^v и f^v+)
и затем записав лагранжиан так, чтобы он включал только про-
изводные первого порядка. Нетрудно убедиться в том, что плот-
ность лагранжиана
Я- - |Γ+(<5μφν-^φμ)-γΓΚφν+-«5νΦ:) +
J_fμv+ί , „„2 μ+
2
приводит к уравнениям
+ !r-%v + mW+ (3.5)
д д-3' д^ гзт
а з(даг+) ~д(г+)' { '
которые в свою очередь приводят к
fμv = <?μΦν ~ <?νΦμ· (3·7)
Также
Λ dJ3* djg>
(3-8)
приводит к
<5μΓ + «ν = 0. (3.9)
Другие два уравнения имеют вид
/μ+ν=4φν+-<νΡμ+ (3·10>
<νμν+ + «ν+ = ο. (3.ii/
Если уравнение (3.9) продифференцировать по xv, то получим
<У>гГ=-т2<5гЧ)У = 0. (3.12)
Последнее равенство следует из антисимметрии поля fu по
двум его индексам.
С помощью дополнительного условия (3.12) уравнение дви-
жения (3.9) можно представить в виде
<5μΓ + тУ = <5μ (<9V - <?V) + т V =
= - dv (<5μφ^) + (D + т2) φν = (Π + rn2) φν = 0.
Тем самым, уравнение Клейна — Гордона удовлетворяется. Те-
перь можно воспользоваться (3.9), чтобы исключить одну из

ГЛ.31
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
71
четырех компонент векторного поля. Будем исключать компо-
ненту <р°(х). Необходимые выражения имеют вид
Ф°М = - ir 0μΓW. φ0+ W = - ^г <νμ0+ (*). (3.13)
Рассмотрим теперь импульс, канонически сопряженный ψ^(Χ).
Имеем
*μ W = тгтс^ш = - /°μ+ W = Г0+ М. (3.14)
Соответственно
Тем же способом можно показать, что
πμ+(*) = /μ0(*) (3.15)
или соответственно
Отсюда следует, что операторы л° и л0+ тождественно равны
нулю. Однако, поскольку φ° и φ0+ также исключаются из рас-
смотрения, то при квантовании не возникает проблемы отсут-
ствия соответствующей переменной.
Плотность гамильтониана имеет вид
§€ {х) = Σ (як{х) д<Я>к (х) + "ft+ (x) do<Vk+ (x) )-&. (3.16)
ft
В это выражение мы включили только «динамические перемен-
ные» q>h(x) и nh(x). Разумеется, плотность лагранжиана 3? дол-
жна быть также выражена через те же переменные. Если это
сделать, то получим
&! (лг) = лк {х) Л*+ (х) + (V Χ φ (х)) ■ (V Χ <р+ (х)) + m *φ* {x) <pft+ (x) +
+ -^φ.Λ{Χ)){ν.η+{Χ)) + -^4.[π{Χ){\.π+(Χ)) +
+ л+(х){\.я(х))]. (3.17)
При получении выражения (3.17) мы воспользовались соотно-
шениями
φ°Μ=-^μπΠ-(*),
(3.18)
Если выражение (3.17) подставить в
Н= [ dsx&6(x), (3.19)

72
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
то последний член из $в{х) вклада в (3.19) не дает, поскольку
он имеет вид дивергенции от вектора, который скорее всего об-
ращается в нуль на бесконечности.
Канонические перестановочные соотношения в данном случае
являются непосредственным обобщением соотношений для ска-
лярного поля. Они имеют вид
[п' (х), ψ3 (У)]ха=ус = - И>„6 (X ~ У),
[π'+ (Χ), φ'+ (у)]Хв=уо = - ibtfi (Χ - У), (ЗЩ
а все остальные одновременные коммутаторы, содержащие
Ф'(х), <р,ч(х), лЦх) и яи(х), обращаются в нуль. Дальнейшее
рассмотрение можно было бы продолжать, не привлекая ком-
поненты <р°(х) и ф0+(х), поскольку они никакой роли в дина-
мике не играют. Если же желательно рассматривать векторное
поле в «явно ковариантной форме», то удобно выписать выра-
жения, содержащие все четыре компоненты поля, рассматривае-
мые формально на одних и тех же правах. Поэтому полезно
выписать перестановочные соотношения, включающие нулевые
компоненты поля. Имеем
Также
г/о m2 l β ν" Υ ™'>хо=Уо т2
(3.21)
[φ°Μ, φ'(*/)]_„= 0. (3.22)
JXo=i/o
С помощью этих формул можно получить перестановочные
соотношения, содержащие производные от поля по времени.
Иначе говоря,
0У + (*), φ* (у)]Хс=ш = [π' (х) + <5'φ°+ (х), φ* (у)]Хс=ш =
= - «W> (х - у) - i -^ δ (х - у) = i (glk + ^-) δ (x - y),
[dV+ (x), φ' {У)]*-» = - [<W+ Μ· Φ' Ш^у. = °·
= ^τ-ττ-h 1π'+ Μ. <pft+ МЦ.„. = -~^U(x-y).
т2 дх" ду1 " у" т2
Предоставляем самим читателям проверить, что все эти пере-
становочные соотношения совместимы с формулой
[φμ+ (Χ), φΥ (</)] - ~ / (fiT + ^г д^) Δ (х - у; т). (3.23)

ГЛ. 3]
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
73
Разложим теперь операторы поля по решениям уравнения
Клейна— Гордона. Если записать
(2π) " ^ J 2v>g
(3.24)
φ*+ {x) - id^ Σ i if;ek (<?-λ> Γβ ^λ) e~l9X+A+ ^λ) β"*1·
то можно, при должном выборе с-числовых функций ek(q, λ),
устроить дело так, чтобы операторы A(q, λ), ..., В+(q, λ) удо-
влетворяли простым перестановочным соотношениям
[A (q, λ), Α+ (/, λΟ] = [β (q, λ), β+ (<?', λΟ] = 2ωΑ*'δ fa - tf').
(3.25)
A{q, λ), Λ(</, λΟ] = [Λ(<7, λ), B{q, λ')] = Μ(<7, λ), B+(q', λ')] = 0.
Функции ek(q, λ) следует выбрать такими:
чтобы соотношение (3.23) при μ, ν=1, 2, 3 было выполнено.
Соответствующее выражение имеет вид
ek{q, l) = 6kK + aqkq\
В силу условия (3.26) имеем
так что
ек {η, λ) = δ» + ,q ч. , . (3.27)
Если выбрать направление импульса вдоль оси z, так что
Я = (0, 0, q), то
ek(q, l) = fifcl. *>*(</, 2) = δ,2, £*(<?, 3) = 0, /г = 1, 2;
92 · ω9 (3.28)
е3^, 3)=1+ , \ »- = —■
Если мы отождествим операторы A(q, λ),... с операторами
уничтожения и рождения квантов спина 1 с импульсом q и
с направлением поляризации λ, то нетрудно видеть, что вектор
V ек (q, λ) el (q, λ) = 6U + -^ , (3.26)

74
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. 1
продольной поляризации eh(q, 3) нормирован не так, как век-
торы поперечной поляризации. Если теперь определить
■р"W--^ Σ f-f*-^. Я>1Л(<7. *)*-**+*+fo. λ)«η
(2π) jJTl J 2ω9
(3.29)
то для того, чтобы удовлетворить условию (3.4), следует ввести
e°fa. *) = -£. (3.30)
Нетрудно проверить, что теперь имеет место соотношение
2 £*(</, Ь)еЦд,К)=-(&*-££-). (3.31)
Нет никакой необходимости производить построение в простран-
стве состояний или диагонализацию гамильтониана. Соответ-
ствующие результаты полностью аналогичны результатам, по-
лученным для скалярного поля, с той лишь разницей, что теперь
кванты характеризуются дополнительным индексом, а именно
направлением поляризации.
В заключение убедимся в том, что векторные мезоны дей-
ствительно обладают спином 1. Наше изложение будет следо-
вать тому же приему, каким мы показали, что квант диракова
поля имеет спин 1/2. Рассмотрим инфинитезимальное преобра-
зование Лоренца Λν =» 6v + ctv и изучим следствия условия
(3.1). Имеем
φρ(ΛΧ)=(7(Λ)φμ(Α:)[;~Ι(Λ)Λμ.
Тогда при
£/(Λ)-1+|α^Λ1μν
после ряда простейших алгебраических преобразований при-
ходим к равенству
Ημν, φσ (Χ)] = / (Χμ<3ν - Χν<5μ) Φα (*!) + » <£μσΦν Μ ~ £νσΦμ Μ )■ (3·32)
Если ограничиться вращениями, т. е. положить μ, ν=1, 2, 3,
то получим
[ЛГ,,, ΦσΜ] = - /(x'dj -х'д,)φα(Χ) + i{guni(x) - gjc%(x) )· (3.33)
Если записать это соотношение в виде
[MtJ, φσ(х)] = e^lLnffy (x) + (Sk)ap φρ (x)), ,(3.30

m.3]
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
76
то из него следует, что
Li= -i(x2d3-x3d2),
L2=-i{x*dx-xld3)t (3.35)
^з— "*· i(x1d2^x2dl)
и
(•Jl)pa = — l (δρ2δσ3 — 0ρ30σ2)>
(S2)po = - i (Mai - Мез), (3.36)
(·$3)ρσ= - '(°ρ1δσ2-δΡ2°σ1)·
Кратко это можно записать так:
(SfcW = - 'iekpa (ft, ρ, σ = 1, 2, 3). (3.37)
Нетрудно проверить, что операторы Sh удовлетворяют переста-
новочным соотношениям, характерным для компонент момента
[Sk, Sl] = ieklmSm (3.38)
и, кроме того,
{S\b = (S*)« (Sk)cb = (- iekac) (iekbc) = 2δβ6, (3.39)
откуда следует, что спин векторного мезона равен 1.
Из того, каким образом в различные формулы (например,
в (3.12)) входит масса векторного мезона, ясно, что в данном
случае — в противоположность случаю поля спина 1/2 — невоз-
можно рассматривать безмассовое векторное мезонное поле,
например электромагнитное, непосредственно в качестве пре-
дельного случая нейтральной векторной мезонной теории. В дей-
ствительности (и мы докажем это в общем случае в гл. 4) без-
массовые поля существенно отличаются от массивных. В данном
случае различие состоит в том, что фотоны имеют на одно со-
стояние поляризации меньше — два вместо трех,- как того
следовало ожидать, исходя из значения спина. Этот факт при-
водит к некоторым формальным усложнениям при попытке опи-
сать фотон посредством 4-вектора А^(х). Конечно, можно рас-
сматривать фотонное поле, непосредственно квантуя векторы
Е{х) и В(х), но, как будет показано в гл. 5, уравнения движе-
ния для электромагнитного поля, взаимодействующего с заря-
женным полем, выглядят проще, когда они записаны через
векторный потенциал. Поэтому мы разберем эти формальные
трудности прямо здесь и будем работать с векторным потен-
циалом.
В случае массивного векторного поля условие (3.4) есте-
ственным образом исключает одну из четырех компонент. В без-
массовом случае динамически независимы только две компо-
ненты, так что нужно исключить еще одну. Поэтому должно

76
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
(Ч. 1
существовать дополнительное ограничение, помимо требования
обращения в нуль дивергенции поля. Каким образом действует
это ограничение, очевидно уже из классической теории. Поэтому
полезно для прояснения этого вопроса обратиться к классиче-
ским уравнениям движения. Уравнения Максвелла можно полу-
чить из плотности лагранжиана
<?=τ V™ - τ pilv («VU - <?A). (3.40)
причем они имеют вид
Fllv(x) = dllAv(x)-dvAli(x),
<5νμν(*) = 0.
Физический смысл имеют только величины Ρμν(Χ), так что со-
держание теории совершенно не изменится, если применить
к ней «градиентное преобразование второго рода»
А» (х) -* Λμ (х) - Αμ (х) - дм (*). (3.42)
В классической теории на векторный потенциал можно нало-
жить условие Лоренца
<5Μμ (х) = 0. (3.43)
Поскольку величины А^(х) и Αμ(κ)—<5μ%(Χ) физически нераз-
личимы, векторный потенциал все еще не фиксирован, поскольку
калибровочная функция %(х) ограничена только тем условием,
что она удовлетворяет волновому уравнению
□ х(*) = 0. (3.44)
Исследуем теперь вопрос, каким образом условие обращения
в нуль дивергенции поля и остающаяся свобода в выборе ка/
либровки позволяют исключить две из четырех компонент век-
торного потенциала. Выражение
з .
\ м=~ш Σ И?е*{к-λ) [а {k' λ> e~ikx+κ· с-] (3-45)
(Ζπ> λ_ο ΖΚ
автоматически удовлетворяет уравнению движеьия (ω& = |Аг[з=
= k), которое в точности совпадает с уравнением Клейна —
Гордона с нулевой массой (для этого необходимо скомбиниро-
вать два уравнения (3.41) с условием (3.43)). Здесь е^{к, λ) —
векторы поляризации, a a{k, λ)—амплитуды, которые мы, в
конце концов, проквантуем. Из условия Лоренса следует, что
k\{.k, λ) = 0.
(3.46)

ГЛ. 31
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
7?
В теории с массой можно было выбрать векторы eu(k, λ) так,
чтобы
k\(k, λ) = 0, λ=1, 2, 3. (3.47)
Поэтому амплитуды a(k, λ) (λ — 1, 2, 3) были в том случае не-
зависимы. Здесь же из-за m = 0 подобное невозможно. Наибо-
лее общее выражение для e^(k, λ) имеет вид
βμ (k, λ) = αδμ + bkjt
и условие (3.47) означало бы, что
k\(k, λ) = α£λ = 0
с k2 = 0. Это в свою очередь означало бы, что а = 0, что при-
водит к бессмысленному результату, в силу которого векторный
потенциал (3.45) всегда представляет собой градиент некоторой
скалярной функции. Однако можно положить
Λμβμ(Λ, λ) = 0, λ =1,2, (3.48)
так что на амплитуды a(k, 1) и a(k, 2) не будет наложено ни-
каких условий. Мы проделаем эту процедуру, выбрав векторы
поляризации следующим образом:
для λ = 1,2 векторы поляризации выберем поперечными, без
нулевых компонент
klet (k, λ) = 0, е0 (k, λ) = 0, λ = 1, 2, (3.49)
выберем также
е'(к,3) = к11к, е0(Л, 3) = 0,
£'•(6,0) = 0, ео(*,0)=1.
Тогда
k%(k, 3) = - /г
(3.50)
k\t(k, 0) = k,
так что условие Лоренца (3.46) означает, что
a{k, 3)-а(/г, 0) = 0. (3.51)
Тем самым при заданной продольной компоненте a(k, 3) «ска-
лярная» компонента a(k, 0) также определена. Рассмотрим, да-
лее, калибровочную функцию, которая также является решением
волнового уравнения (3.44). Ее можно представить в виде
%(х) = "^рг j ~~ К (*) *-'** + X (*) е'П (3.52)

78
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[4.1
Тогда преобразованный векторный потенциал имеет вид
= ~^т JlrfiS^. λ)Ω(^· Л) + ^д(Л)|е-<ЬЕ + к.с.1.(3.53)
Соотношение между новыми и старыми амплитудами таково:
Σ βμ (Λ, λ) [α' (k, λ)-a (k, λ)] = ikyu (k). (3.54)
Это уравнение можно удовлетворить, если выбрать
a' (k, λ) = a (k, λ), λ = 1, 2, (3.55)
a' (k, 3) = a {k, 3) + ik% (k) (3.56)
и
a' (k, 0) = α (/?, 0) + ik% (k). (3.57)
Поэтому становится очевидным, что свобода в выборе %{k) по-
зволяет исключить и a'(k, 3), и а'(&, 0) (которые равны друг
другу). Окончательно мы видим, что и градиентную инвариант-
ность, и условие Лоренца необходимо наложить совместно,
чтобы теория была непротиворечивой в том смысле, что в ней
были бы допустимы только две независимые амплитуды. Пере-
нос этих ограничений в квантовую теорию оказался довольно
нетривиальной задачей.
Первым препятствием, возникающим при попытке такого пе-
реноса, является то, что для плотности лагранжиана (3.40) ка-
нонический импульс имеет вид
так что п°(х) тождественно обращается в нуль. Иначе говоря,
к нулевой компоненте нельзя применять процедуру канониче-
ского квантования. Эта ситуация не похожа на ситуацию в тео-
рии векторного поля с массой, в которой условие Лоренца было
операторным условием, учтенным в лагранжиане, а компонента
φ°(*) могла быть исключена непосредственно. Ферми предложил
более подходящий лагранжиан с плотностью
J? - - \ (δμΑν (х)) (<5μΛν (х)). (3.59)
Он отличается от лагранжиана (3.40) членом с (dtlA>i(x))2.
Уравнение движения, которое следует из (3.59). имеет вид
□ Λμ(Χ)-0, (3.60)

ГЛ. 3]
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
79
и оно является правильным, если только его каким-то образом
дополнить условием
<5Μμ(*) = 0. ' (3.61)
Тогда канонический импульс
πμ(Χ)= -(9Μμ(*). (3.62)
Перестановочные соотношения можно теперь записать так:
[πμ (*), Лv {у)\ щ=уо = ig»v6 (х - у), (3.63)
а все остальные пары операторов коммутируют. Исходя из этого,
стандартным образом можно получить перестановочные соотно-
шения при неравных временах. Они имеют вид
[A»(x), Av(y)] = i^vD(x-y), (3.64)
где
D(x~y) = A(x-y,0)=- j^w\dk&{k2)B(k0)e-'^"-y\ (3.65)
Теперь ясно, что дополнительное условие в форме (3.61) нало-
жить нельзя: из перестановочных соотношений следует, что
\д^(х), Av(y)] = idvD(x-y), (3.66)
а правая часть равенства в нуль не обращается. Следует по-
думать о другом способе наложения дополнительного условия,
например, путем ограничения класса допустимых векторов со-
стояния теми векторами, для которых имеет место
<3μΛμ(*)Ψ = 0. (3.67)
Однако это условие также несовместимо с перестановочными
соотношениями, ибо
(Ψ, [дХ (х), Αν (у)] Ψ) = idvD (х - у) (Ψ, Ψ) φ 0.
Лишь условие
(αμΛμ(Χ))<+)Ψ = 0 (3.68)
не обладает этим недостатком. Здесь значок « + » означает по-
ложительно частотную, т. е. ответственную за уничтожение часть
оператора. Смысл этого условия таков. Работая с четырехком-
понентным векторным потенциалом и квантуя согласно (3.64),
мы допускаем существование частиц четырех различных сортов.
Поэтому нам следует как-то нейтрализовать, насколько это ка-
сается каких-либо физических следствий, влияние двух из них.
Условие Лоренца из классической теории подсказало нам усло-
вие (3.68), которое гласит, что «нефизические» продольное и

80
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
скалярные частицы во всякое допустимое состояние должны
входить лишь в определенной комбинации. В связи с этим до-
полнительным условием следует сделать два замечания. Первое
замечание касается того, что средние значения δμΑ^(Χ) во всех
допустимых состояниях обращаются в нуль. Уравнение (3.68)
означает, что
(ψ, (δμА» (х) f' Ψ) = ((δμΑ* (х)f' Ψ, ψ) = 0,
так что
(Ψ, δμΑμ {х) Ψ) = (Ψ, (д^ (х) Ρ + (δμΑμ (х))(+) Ψ) = 0. (3.69)
Второе замечание предвосхищает будущий вопрос. Когда будут
обсуждаться взаимодействующие поля, мы убедимся в том, что
разделение оператора поля на положительно и отрицательно
частотные части, т. е. части, ответственные за рождение и уни-
чтожение, теряет всякий смысл. Что произойдет тогда с усло-
вием (3.68)? Мы покажем, что взаимодействующее фотонное
поле удовлетворяет уравнению
Π Αμ(Χ) = β]μ(Χ) (3.70)
с сохраняющимся током
dJ4x) = 0. (3.71)
Отсюда
Π(δμΑμ(Χ)) = 0, (3.72)
так что δμΑν-(Χ) все еще удовлетворяет уравнению свободного
поля, и разделение δμΑ^(κ) на соответствующие части имеет
смысл.
Плотность гамильтониана такова:
т (х) = л» (х) δ0Αμ (х) - =S* =
= \ tftΑμ) {δ1Αμ) - Ι (δ0Λμ) (δ°Αμ). (3.73)
Если воспользоваться (3.45) и заметить, что векторы ev,(k, λ),
определенные формулами (3.48) — (3.50), удовлетворяют соот-
ношению
У>е»{к,%)е (k,K') = gn„ (3.74)
то после некоторых вычислений получим
Η = - Σ 8κκ· I "Иг ka+ (k, λ) a (k, λ'). (3.75)
Μ

ГЛ-31
ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ
81
Здесь мы воспользовались нормальным порядком для операто-
ров. Из (3.64) можно также получить перестановочные соотно-
шения
[a (k, λ), α+ (£', λ')] = - 2kgMfi (k - k'). (3.76)
Оказывается, что энергия неположительно определенна. Рас-
смотрим, однако, среднее значение энергии
(Ψ, H^) = \~k{^Aa+{k, \)a(k, l) + a+(k,2)a(k,2) +
+ а+ (k, 3) a (k, 3) - a+ (k, 0) a (k, 0)) Ψ). (3.77)
Поскольку состояния Ψ включают только те состояния, для
которых
a(k, 3)Ψ = a(k, 0)Ψ, (3.78)
то получим
2
н=Σ j жka+ & λ>α <*· λ>· (3-79)
λ=1
Итак, энергия зависит только от вкладов поперечных фотонов,
и это утверждение справедливо для" всех наблюдаемых.
Ради полноты следует подчеркнуть, что теория, сформулиро-
ванная выше, имеет один изъян. Рассмотрим состояние, содер-
жащее один скалярный фотон,
%=\^-С0(к)а+(к,0)ЧГ0. (3.80)
Можно рассчитать норму этого состояния
(Ψ., Ψ,Η J" ^ J"4f-C;(£')C0(£)0Fo. α(*'. 0)a+(k, 0)Ψ0) =
= J 15Γ I W~ W> Co (*) (ψο· [α (*'· 0). «+ (*· °)1 ψο) =
= - j~ \C0(k)p. (3.81)
Результат оказывается отрицательным! Если бы времениподоб-
ные и продольные фотоны играли бы какую-то роль в определе-
нии наблюдаемых величин, это обстоятельство представляло бы
очень серьезную трудность, поскольку норма в векторном про-
странстве связана с вероятностной интерпретацией квантовой
теории и должна быть положительной или нулем. В данном
случае указанный изъян носит чисто формальный характер.
Чтобы его обойти, Гупта и Блейлер [1, 2] модернизировалп
§ С. Газиорович

82
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. i
векторное пространство, изменив определение скалярного про-
изведения, которое, вместо
(Φ, Ψ)
определяется у них так:
(ηΦ, Ψ), (3.82)
где η — так называемый оператор метрики. Поскольку норма
должна быть вещественной, потребуем, чтобы
(ηΦ, Φ) = (ηΦ, Φ)* = (Φ, η+Φ) = (η+Φ, Φ). (3.83)
Отсюда следует, что
η = η+. (3.84)
Также удобно выбрать
ηη+ = η2 = 1. (3.85)
Среднее значение оператора будет теперь определяться форму-
лой
/? = (ηφ, Ρφ) = (φ, η^φ). (3.86)
Очевидно, что для эрмитовых F величина F не будет более ве-
щественной, ибо
/* = (Φ, 5*ηΦ) = (Φ, /=т]Ф)=£(Ф, η^Φ). (3.87)
Поскольку мы бы хотели, чтобы состояния типа (3.80) для
λ = 1, 2, 3 эффективно ни на чем не сказывались, следует по-
ложить
[η, a(k, λ)] = 0, λ = 1, 2, 3. (3.88)
Трудность же с временпподобными фотонами будет разрешена,
если положить
{η, a[k, 0)} - 0, (3.89)
чего можно добиться, выбрав
η = (-1Γ, (3.90)
где п0 — число времениподобных скалярных фотонов в данном
состоянии.
Чтобы совершенно последовательно ввести индефинитную
метрику, в действительности необходимо вернуться к началу
изложения процедуры квантования электромагнитного поля и
изменить несколько формул. Например, поскольку А0{х) дол-
жен иметь вещественное среднее значение, то, следовательно,
(Ψ. ηΑ,Ψ)· = (Ψ, Λο+ηΨ)= - (Ψ, τΗο+Ψ),
т. е.
Aq(x)= - А0(х\

ГЛ. 8] ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ И ФОТОНЫ 83
что влияет на определение нулевой компоненты Ёектора поля-
ризации. Поскольку здесь нас будут интересовать лишь прак-
тические расчеты, то по поводу таких проблем мы можем не
беспокоиться. Мы уже видели, что фотонное поле можно рас-
сматривать тем же способом, что и векторное мезонное поле.
При обсуждении последовательной теории поля эта проблема
становится весьма существенной. При ее рассмотрении тре-
буется большая осторожность. Поэтому многие теоретики, имев-
шие дело с такими вопросами, предпочитали не расширять
физическое гильбертово пространство, а работать в так назы-
ваемой кулоновской калибровке. Однако обсуждение этих во-
просов выходит за рамки этого вводного трактата.
ЗАДАЧИ
1. Исследуйте свойства векторных мезонов относительно операций Ρ и Т.
1. Уравнение движения векторного мезона во внешнем электромагнитном
поле получается заменой в лагранжиане д μφνΗ8 (3μ—ieA u) φν и 5μφ на
(дм -Н'еДц) φν+. Рассмотрите движение векторного мезона в слабом постоян-
ном магнитном поле.
6*

Глава 4
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
В предыдущих трех главах мы обсудили довольно подробно
квантовую теорию свободных полей, кванты которых имеют
спин 0, 1/2 и 1. Внимание, которое мы уделили рассмотрению
нолей, мотивировалось тем, что квантовая теория поля является,
вероятно, наиболее правильным путем слияния квантовой тео-
рии со специальной теорией относительности. Кроме того, взаи-
модействия частиц с наименьшими значениями спина могут
играть особую роль в проблеме структуры элементарных частиц.
В ходе обсуждения мы установили, что векторы состояния, опи-
сывающие отдельные частицы, могли быть сконструированы
путем действия ответственных за рождение частей соответ-
ствующих операторов поля на вакуумное состояние. Важно вы-
яснить, насколько необходимы соответствующие поля для опи-
сания состояния с заданной массой и спином. Учитывая недавнее
открытие множества частиц, в числе которых некоторые обла-
дают более высоким спином, было бы весьма прискорбно, если
бы нам не удалось избежать введения нового поля для каждой
новой частицы. Ответ на этот вопрос следующий:
а) недавние открытия в теории поля показали, что интуи\
тивная идея, в силу которой все частицы могут быть «состав-
лены» из нескольких «фундаментальных» сущностей, может
быть сформулирована вполне удовлетворительно, так что не-
обязательно каждой частице сопоставлять взаимодействующее
поле [1—3];
б) векторы состояния, описывающие одночастичные состоя-
ния, могут рассматриваться независимо от введения соответ-
ствующих свободных полей; наоборот, свободные поля можно
сконструировать, если установлены трансформационные свой-
ства одночастичных векторов состояния *).
*) Почти все материалы, содержащиеся в этой главе, входили явно или
неявно еше в пионерскую работу [4] (см. также [5, 6]). Во всех этих работах
обсуждаются несколько весьма тонких моментов, о которых мы здесь умол-
чали. К их числу относится различие между группой преобразований Ло-

ГЛ. 4j
ЛОРЕНИЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
85
В гл. 1—3 мы нашли, что характеристики частиц, описывае-
мых полем, определялись трансформационными свойствами
поля (и, следовательно, векторов состояния) относительно одно-
родных преобразований Лоренца и сдвигов пространства — вре-
мени, т. е. относительно неоднородных преобразований Лоренца.
Поэтому наша более общая дискуссия будет основываться глав-
ным образом на свойствах операторов Ρμ и MUv, которые по-
рождают эти преобразования в векторном пространстве, натя-
нутом на все физические состояния.
Неоднородные преобразования Лоренца имеют вид
/μ = Λν + αμ, (4.1)
соответствующий некоему однородному преобразованию, имев-
шему место вслед за сдвигом. Матрица Л^, должна удовлетво-
рять условию
£μΧΛβν=£αβ· Μ.2)
Два последовательных преобразования приводят к
= (лМ)/+(АУ+4 (4.3)
Нетрудно видеть, что это преобразование является преобразо-
ванием Лоренца, так что формулой (4.3) можно воспользо-
ваться для построения преобразования, обратного (4.1). Тем
самым преобразования Лоренца образуют группу, названную
группой Пуанкаре или группой неоднородных преобразований
Лоренца.
Из формулы (4.2) следует, что матрица Λν имеет детерми-
нант ±1. Поскольку детерминант тождественного преобразова-
ния равен +1, а мы хотим использовать инфинитезимальные
преобразования, то ограничимся ниже преобразованиями, для
которых det Λ = + 1. Это не будет сколько-нибудь серьезным
ограничением, поскольку остальные преобразования могут быть
получены пространственной инверсией. Из (4.2) также следует,
что
(λ£)2=1 + Σ(λ?)2,
ренца н «покрывающей группой» 2х2-комплексных матриц, которое было по-
дробно исследовано Подробное изложение всех этих вопросов заняло бы не-
позволительно много места, но не прибаьило бы ничего к выяснению основ-
ных физических следствий лоренцевой инвариантности, обсуждаемых в этой
главе.

86
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
(Ч. I
так что Λο^Ι или Ло^—1. Только первую совокупность пре-
образований можно использовать в качестве инфинитезималь-
ных. Вторую совокупность можно получить из первой с по-
мощью обращения времени. Следовательно, мы будем иметь
.дело с совокупностью собственных (det Λ = +1), ортохронных
<Λ?>1) преобра зований Лоренца.
Как уже отмечалось в гл 1, сущность лоренцевой инварианг-
мости сводится к тому, что в пространстве векторов состояния
•существует унитарное преобразование, свя?анное с каждым пре-
образованием типа (4.1). Это преобразование, обозначенное
U(a, А), действуя на некоторый вектор состояния, netеводит его
в преобразованный вектор состояния. Из определения (4.1) сле-
дует, что
t/(«, Λ)= U(a, l)t/(0, A) = U(a)U(A). (4.4)
Из формулы (4.3) следует такой закон умножения
U(a'. A') U{a, A) = U(a' + А'а, Λ'Λ). (4.5)
Если записать (как в гл. 1)
U (а) = е1Р*а» (4.6)
и
£/(Λ) = 6ΧΡ({αμνΜμν) (4.7)
с αμν = —ανμ, то можно воспользоваться законом умножения,
чтобы получить перестановочные соотношения между десятью
генераторами Р»- и Μ·*ν. Например, когда Λ = Λ' = 1, то (4.5)
сводится к
U{a')U(a)= U (а + а'), (4.8)
откуда немедленно следует, что
[Ρμ, ρν] = о (4.9)
Если подставить (4.4) в (4.5), то получим
U(a') U(A') U (a) U (Λ) = V{a')U(A'a)V(A')U(A),
откуда можно вывести, что
U(A') U(a) U-1 (А') = U(А'а). (4.10;
•Это означает, что
U (Λ) ехр (г/>%) £Г' (Λ) = ехр («ΡμΛ^ν),
т. е.
t/(A)Put/"'(A)-(A-I);pv. (4.11)
"Отсюда можно сделать вывод, что оператор Ρμ преобразуется
как 4-вектор. Если воспользоваться (4.7) с инфиннтезималь-

ГЛ 4]
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
87
ными а , то получатся перестановочные соотношения между
Μμν и Р° Небольшие выкладки приводят к результату
[М*\ Рс] - - i(P»g™~ Pvg»°). (4.12)
Если ввести величины Jt и Ки Определенные равенствами
Ji = ~ у eimnMmn, К, = Μ а, (4.13)
то эти перестановочные соотношения примут вид
[/,. Pk\ = ieMPl, [/„ Pol = О,
[Kt, Pk] = iPoga, [KM = - iPt-
(4.14)
Чтобы найти перестановочные соотношения между компонен-
тами M^v, необходимо воспользоваться тем, что
U(A)U~l(A) = 1 = t/(AA-')= U(A)U(A~l), (4.15)
так что
1/(Λ-·)= £/-'(Λ). (4.16)
Если в (4.5) положить а — а' = 0, то с помощью (4.16) полу-
чим
U(A)U{A')Ul(A)=V(AA'Al). (4.17)
Переписав эту формулу для инфинитезимальных преобразова-
ний, после небольших выкладок приходим к следующим пере-
становочным соотношениям:
[ЛГ, ЛГ1 = / (AfV" + MV - ΜνΥ" - Μμ ΥΡ). (4.18)
Это означает, что между U и Кг имеют место такие соотно-
шения:
[Л™ Kn] = iemnkKk, (4.19)
[Кт, Kn] = — iemnkJk.
Операторы /m, так же как ¥%. ^у(/,„±г/Ст), подчиняются пере-
становочным соотношениям, характерным для операторов мо-
мента.
Поскольку нас больше всего интересует неоднородная
группа Лоренца, то мы не будем отвлекаться на обсуждение
конечномерных представлений однородной группы. Этот мате-
риал содержится в кратком дополнении к этой главе.
Можно убедиться в том, что оператор
о#2=Р„Рц (4.20)

88
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
коммутирует со всеми генераторами этой группы. Этот факт
следует из (4.9) и из соотношений (4.12):
[ΡμΡμ, М^^Р^Р», Μμσ] + [Ρμ, Μρσ]ρμ =
= »·ρμ (ρ Υσ - iVp)+i {ρ V" - pnew) ρ»=ο.
По аналогии с обычной процедурой в теории моментов непри-
водимые представления рассматриваемой группы можно клас-
сифицировать по значениям этого инвариантного оператора.
Поскольку Ρμ отождествляется с 4-вектором энергии — импуль-
са, то очевидно, что этот инвариант представляет собой квадрат
массы описываемого состояния.
Из опыта мы знаем, что одночастичные состояния характе-
ризуются также спином, т. е. значением проекции момента ча-
стицы на произвольную ось, когда частица находится в покое.
Чтобы найти инвариантный оператор, который описывает спин,
необходимо перейти к покоящейся системе координат. В дей-
ствительности для большей общности мы будем иметь дело
с подпространством состояний с заданной массой т, которое
О
характеризуется фиксированным собственным значением р^ опе-
ратора Ρμ. Иначе говоря, для вектора состояния имеем
Ρμφ^ = ρμ (Т> . (4.21)
Преобразования, относящиеся к той совокупности преобра-
зований, которая не меняет собственных значений оператора Ρμ,
называют преобразованиями из «малой группы». Они ограни-
чены условием
Д1Х° ν = °μ, (4.22)
Для инфинитезимальных преобразований
Λμ = δμ + α£.
Это означает, что
α{ρν = 0. (4.23)
о
Общее выражение для антисимметричного тензора αμν, удовле-
творяющего условию (4.23), имеет вид
αμν = εμνΡσΡρπσ, (4-24)
где ησ — произвольный 4-векто.р, а εμνρσ — полностью антисим-
метричный тензор, имеющий значения:
+ 1, если μ, ν, ρ, σ образуют четную перестановку 0, 1, 2, 3;
— 1, если μ, ν, ρ, σ образуют нечетную перестановку 0, 1, 2, 3;
0 в остальных случая^.

ГЛ.4]
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
89
Унитарное преобразование U(K), соответствующее преобра-
зованиям Лоренца из малой группы, в инфинитезимальной
форме записывается так:
U (Λ) ~ 1 +{а»Ж" =1 + | εμνρσρΡ«σΛΙμν.
Его можно переписать в виде
U (Λ) « 1 - in°Wa,
где оператор Ψσ определяется формулой
^=-{едаАГРр. (4.25)
Не следует смущаться тем, что в формуле (4.25) мы заменили
о о
рр на оператор Ро, поскольку преобразование U(\), соответ-
ствующее преобразованиям Лоренца из малой группы, действует
только на состояния, удовлетворяющие (4.21). Нетрудно уста-
новить следующее свойство:
WaP° = 0. (4.26)
Итак, для покоящейся системы, в которой собственное значе-
ние оператора Ρ равно нулю, оператор Wo, действуя на покоя-
щееся состояние, также должен давать нуль. Из (4.12), ко
всему прочему, следует, что
[^σ,Ρμ] = 0. (4.27)
Из определения (4.25) следует, что Wa — 4-вектор. Поэтому он
должен подчиняться таким же перестановочным соотношениям
с компонентами Ми*, что и Ρσ, так что
[Μμν, WJ^-aWrfn-W^). (4.28)
Этими соотношениями можно воспользоваться, чтобы доказать,
что
[WK, Wa] = i4ca^P^. (4-29)
Наконец, WaWa — это скаляр. Поэтому этот оператор комму-
тирует со всеми компонентами М&ч, а в силу (4.27) и со всеми
компонентами Ρμ. Следовательно, он является инвариантным
оператором и подобно оМ2 может быть использован для клас-
сификации неприводимых представлений. Собственные значе-
ния WaW° можно найти, перейдя в покоящуюся систему коор-
динат. Если исходным является состояние с импульсом ρμ,
представленное вектором состояния Фр, то вектор состояния
той же системы в покое можно получить, подействовав на Фр
унитарным преобразованием t/(L_1(p)). Здесь L(p)—преоб-
разование Лоренца, которое переводит 4-вектор (т, 0, 0, 0) в ρμ,

90
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. 1
a L-1 (р) — обратное ему преобразование. Поскольку Wa W° —
инвариантный оператор, то мы выберем для расчета его соб-
ственных значений покоящуюся систему координат т. е. вычис-
лим №σ №σΦποκοΑ- Тогда
^а^Фпокой = WaW°U (ΖΓ1 (ρ)) Φρ=υ (Ζ.-1 (ρ)) ψ'0ψ'°Φρ, (4.30)
где
W'o = U(L(p))WaU-l(L(p)). (4.31)
Поскольку Ψσ — 4-вектор, то его трансформационные свойства
аналогичны свойствам Ρσ. Поэтому можно воспользоваться
(4.11) и получить
Wa = (L-l{p)f0Wp. (4.32)
Матрица L(p) имеет вид
Ер_\ _р[_
т ! т
(L(P)% = \ ) |> (4-33)
1l i fi/ _ ρ'ρ
m J ' m(Ep + m)
а обратная ей матрица получается изменением знака простран-
ственных компонент. Тем самым
Wo = ± (EPW0-p-W) = 0, (4.34)
W=- — W0p+W + -
m Ep + m
= Wr__|_ _^£_=1у_ ^£_. (4.35)
Ε ρ Ep + m Ep+m x
Далее, исходя из перестановочных соотношений (4.29) для W&
можно рассчитать перестановочные соотношения операторов
Si = ±Wl. (4.36)
Поскольку мы хотим рассчитать ψ'αΨα'Φρ, то, используя
после некоторых вычислений, в конце концов, найдем
[St,S,] = ieUkSh. (4.38)
Это — типичные перестановочные соотношения для операторов
момента, а, как известно, собственные значения оператора S

ГЛ. 4]
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
9Я
должны иметь вид s(s + 1), где s = 0, 1/2, 1,3/2, ... Тем самым*
уравнение (4.30) сводится к
ГЖФпокой = m2s (s + 1) U (ΖΓ1 (ρ)) Φρ = m2s (s + 1) Фпокой. (4.39)
Таким образом, неприводимые представления группы Пуанкаре
характеризуются двумя инвариантами — массой и спином.
Мы примем без доказательства утверждение, что ΡμΡ11 и
WaW° — это единственные независимые инварианты, которые
можно сконструировать. Неприводимые представления, помечен-
ные только [m; s], будут ассоциироваться с одночастичными со-
стояниями. Различные состояния внутри неприводимого пред-
ставления будут различаться значениями импульса и одной из
проекций спина (обычно проекции на ось г). Составные си-
стемы в силу более сильного вырождения обладают дополни-
тельными характеристиками. Например, двухчастичная система
имеет полный импульс, массу и полный момент в покоящейся
системе координат. Однако существует много возможных на-
правлений вектора относительного импульса, или, по-другому,
существует много возможных значений орбитального момента,
который вместе со значениями спинов отдельных частиц обра-
зует полный момент в покоящейся системе координат.
Проведенное выше обсуждение неприменимо, когда масса
системы равна нулю, поскольку в этом случае не существует
покоящейся системы координат. Если вновь рассмотреть произ-
вольную систему Фр, то можно простым поворотом получить
стандартное состояние Фя, характеризуемое 4-импульсом
(рЛ0,р)*).
Из уравнения (4.26) следует, что
ρ(ΨΑ-Ψο)Φρ = 0, (4.40)
и после небольших алгебраических преобразований можно
прийти к перестановочным соотношениям
[Wh W2]OR = 0,
[W3, Ψλ]Φκ = ΙρΨ2Φκ, (4.41)
[W3, №2]ΦΛ=-φ^,ΦΛ.
Примем без доказательства, что эти соотношения представ-
ляют собой перестановочные соотношения генераторов трансля-
ций (№,, W2) и вращений (W3) в некоторой плоскости. Хотя
в эгом и нет какого-либо особого смысла, но отсюда следует,
2 2
что величина W\ + W2 может принимать любое значение. Это
в свою очередь означает, что инвариант WaWa не квантован.
*) Поскольку в безмассовом случае р2 = рд, то к форме (р, 0, 0, р)
можно прийти путем преобразований одних компонент р.

92
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч I
Поскольку не существует никаких физических состояний, соот-
ветствующих «непрерывному спину», то мы ограничимся тем,
что в качестве физических безмассовых состояний Фя выберем
состояния, в которых
\ν{Φη=Ψ2Φκ = 0. (4.42)
Тогда можно записать, что
Н^Ф/г ~ Р»Ф*, (4.43)
и, поскольку Ρμ и Wu преобразуются при преобразованиях Ло-
ренца одинаково, для всех безмассовых состояний получим опе-
раторное уравнение
№μ = -λΡμ. (4.44)
Величина λ является инвариантом. Можно записать
V Ι εμνρσΜΤΡν
λ= -
Ρμ"μ 2 Ρμημ
где πμ — произвольный 4-вектор. Если выбрать его в виде
(1,0,0,0), то получим
, _ М12Р3+ ... _ J Ρ
\Р\
(4.45)
Таким образом, λ — это проекция полного момента J на направ-
ление движения; она называется спиральностью *).
Итак, состояние с нулевой массой описывается одной ком-
понентой, тогда как для полного описания состояния с ненуле-
вой массой и спином s необходима (2s + 1) компонента. Если
в число рассматриваемых преобразований включить простран-
ственные инверсии, так что detA мог бы также быть отрица-
тельным, то мы получили бы двойной набор состояний. По-
скольку относительно инверсий вектор / четен, а вектор ρ не-
четен, то спиральность является псевдоскаляром, т. е. при
инверсии меняет знак. Например, когда фотон взаимодействует
с заряженной материей, то могут быть рождены фотоны как
с положительной, так и с отрицательной спиральностью.
Состояния частиц с ненулевой массой также можно класси-
фицировать, фиксируя спиральность вместо проекции момента
на некоторую произвольным образом заданную «ось г». В таких
состояниях преобразования Лоренца перемешивают состояния
с различной спиральностью. Иначе говоря, преобразование Ло-
*) Вращение на 2π вокруг направления движения в состояния с нулевой
массой и спиральностью λ сводится к умножению вектора состояния на е ш ·
Этот множитель равен +1(—I) для одно-(дву-)значных представлений соот-
ветственно, так что λ принимает целые (полуцелые) значения. Абсолютную
величину спиральности часто называют спином безмассовой частицы.

ГЛ 4]
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
93
ренца, изменяющее скорость, может обратить направление дви-
жения частицы; при этом изменится и знак ее спиральности.
Однако при вращениях спиральность не меняется, и это иногда
приводит к тому, что описание состояний с помощью спираль-
ности оказывается очень удобным. Мы будем иметь возмож-
ность несколько раз воспользоваться этим описанием, которое
обсуждается ниже в этой главе.
Для полноты обсудим кратко трансформационные свойства
векторов состояния, описывающих частицы с ненулевой массой.
Чтобы разместить много индексов, будем пользоваться обозна-
чениями Дирака. Состояние с массой т, спином s, импульсом ρ
и проекцией момента на ось z, равной σ, будет описываться век-
тором \[т, s], ρ, а). С учетом определения S,- (см. (4.36)) имеем
S3\[m, s], ρ, a)p=0 = a\[m, s], ρ, σ)ρ_0. (4.46)
Кроме того, используя обычное условие для фаз, получим
(S, ± iS2) \[т, s], 0, σ) = [(s + a){s ± σ+ 1)],/2| [т, s], 0, σ). (4.47)
Состояние с импульсом ρ, как мы обсуждали ранее, задается
вектором U (L (р)) \ [т. s], 0, σ).
Состояния \[т, s], ρ, σ) нормированы условием
([т, s], pf, σ'ΙΚ s], ρ, σ) = 2ρφ{ρ- ρ')^. (4.48)
Трансформационные свойства такого вектора состояния относи-
тельно сдвигов находятся без труда. Имеем
U(a)\[m, s], p, a) = elp^\[m, s], ρ, σ), (4.49)
где
p0 = (m2 + p2)"'2.
Установление трансформационных свойств относительно преоб-
разований однородной группы U (А) несколько более сложно.
Именно,
U(A)\[m, s], p, a) = U(A)U(L(p))\[m, s], 0, σ) =
= U(AL(p))\[tn, s], 0, σ) =
= U(L(Ap))U(L-l(Ap)AL(p))\[m, s], 0, a).
Сущность преобразования L-i(Ap)AL(p) установить нетрудно:
будучи примененным к 4-вектору (т, 0,0,0), оно последова-
тельно переводит его в р, Ар и затем опять в (т, 0,0, 0). Иначе
говоря, это вращение. Его принято называть вигнеровым вра-
щением и обозначать через R(Ap, p). Далее, состояние с мо-
ментом s (в системе покоя) обладает хорошо определенными

94
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
трансформационными свойствами относительно вращений.
Именно,
U(R(Ap. p))\[m, s], 0, σ)=Σθ{α%№(Αρ, р))\[т, s], 0, а'\
σ'
\K\i\p, ρ)) \ут, ь\, и, о
(4.50)
Тем самым
U(A)\[m, s], ρ, a)-%D(o%(R(Ap, p))\[m, s], Ар, σ'>. (4.51)
σ'
Вид матриц D{oo{R) обсуждается во многих книгах по теории
моментов. Если Л«) обозначают матрицы моментов размерности
(2s + 1) X (2s + 1) и если вращение R совершается на угол θ
вокруг некого направления я, то
D& (R) = ехр (- ;e«/s)) |σ,σ. (4.52)
Если вращение описывается углами Эйлера (α, β, γ), то
R = ехр (- iaJf) ехр [ - Щр) ехр (- iyjf)
и
£>& (/?) = ехр (- та' - iya) d% (β),
где
4&№) = exp(-iMs))L· (4.53)
В общем случае вращение R(Ap, p) описывается довольно
сложно. Если, однако, Λ — чистое преобразование Лоренца, ко-
торое переводит ρ в р' согласно
Р'-Р + и-{£1Г ^+w°) · (4·54)
P'o=Vu(P0 + P-u)>
то Λ имеет вид
/ Уи \ -и'\а \
(4.55)
Уи |
I
"/Yu | δ/ -
-«v.
„2 (V.
1)
В этом случае вигнерово вращение вычисляется без труда. Как
можно было ожидать, мы получим, что Ri = Ro = 0, Ro'= I и
после некоторых вычислений
ч' * и2 ' Ер + т "^
~ Υ^ PW ~ (V» ~ 0 {Ер + ЩЕ, + т) ■ (4'56)

ГЛ. 4)
ЛОРЕНЦЁВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
Й5
Отсюда следует, что
*1Р,-^Г Я-Уи*»*. (4-57)
Иначе говоря, если энергия является ультра релятивистской как
до, так и после этого преобразования, т. е. если£р, Ер> ^> т, то
Тем самым R — это как раз то вращение, которое испытывает
вектор скорости частицы. Если выбрать импульс ρ направлен-
ным вдоль оси z, импульс р'— образующим угол θ с осью z
- mns)
в плоскости xz, то это вращение представляется как е * и
0&(Λ)««#σ(θ). (4.59)
В нерелятивистском пределе все скорости малы и Ra «* бц.
Иначе говоря, тогда никакого вращения нет и
Этими замечаниями мы завершаем обсуждение канонического
базиса векторов состояния.
Для построения операторов поля для невзаимодействующих
частиц с произвольным спином необходимы другие базисы для
векторов состояния. Если записать канонический вектор состоя-
ния в форме действия оператора рождения на вакуум
I [m, s], р, а) = At (m, s; ρ)) 0), (4.60)
το
U(A)At(m, s; ρ) U~l(A) = Σ At-(m, s; Ap) D$a{R{Ap, p)).
(4.61)
Иначе говоря, операторы рождения преобразуются так, что они
оказываются зависящими не только от Λ, но также и от им-
пульса рождающейся частицы. Это, конечно, совершенно не по-
хоже на трансформационные свойства, подразумеваемые для
локальных полей, например, в (2.99). Если, однако, рассмот-
реть базис Фр,л, определенный [7, 8] согласно
ФР, а = Σ I [m, s], ρ, σ) DisA (ΖΓ1 (ρ)), (4.62)
о

96 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ч. \
где D(va (L~l (ρ)) есть (2s+l)X(2s+ 1)-мерное матричное пред-
ставление*) однородного преобразования Лоренца L_1(p) (см.
приложение), то эти состояния будут преобразовываться сле-
дующим образом:
U (Λ) фр. А = Σ I [m, s]. Ар, о') D$a (/Г1 (Ар)) D& (Λ) -
σ'α
= Σ Фар. оЛЙ (Λ), (4.63)
α
поскольку
D(s)(L-1(Ap)AL(p))/)(s)(Z.-,(p))= D(S,U"' (Ap))D(s)(A). (4.64)
Для состояний в этом представлении (оно называется спинор-
ным) операторы рождения преобразуются более просто:
U (A) at (ρ) U'1 (Α) = Σ at (Ар) D& (Λ). (4.65)
α
Можно сконструировать другой спинорный базис. Воспользуемся
тем, что для вращения
Deo (R) = (£W (/?))"' = Da'o (/?"'). (4-66)
так что
D& (R (Ар, р)) = D$ (L-1 (ρ) Λ"'L (Ар)).
Поэтому, если определить
Фр, а = 23 D% (L (ρ)) I [m, s], ρ, σ), (4.67)
то можно установить, что это состояние преобразуется согласно
υ(Α)Φρ^ = Σθ^(Α-1)ΦΑρε. (4.68)
в
Тогда очевидно, что операторы рождения для такого состояния
преобразуются согласно
U (А) Ь\ (p)U~x (А) = Σ DW (Λ") &t {Apy (4.69)
в
С помощью операторов аА (р) и йд (р) можно сконструировать
локальные операторы поля, обладающие простыми трансформа-
ционными свойствами. Мы не будем вдаваться в детали, а ото-
шлем читателей к работам Джуза и Вейнберга, в которых эти
вопросы обсуждаются подробно.
*) D%A (Λ), выписанное выше, обозначает представление £)<"■0), опреде-
ленное в приложении. Из его формы, выписанной в (П. 4.6) следует, что

ГЛ. 4) ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН 9?
Обратимся теперь к так называемому спиральному базису *).
В нем состояния частицы классифицируются по значениям им-
пульса и λ — проекции момента на направление движения. Та-
кое описание состояний часто оказывается удобным, а для без-
массовых частиц оно существенно. Поскольку мы лишь изредка
встречаемся с безмассовыми частицами, то сконструируем та-
кие состояния для частиц с массой.
Начнем с покоящейся частицы. Проекция ее спина на ось г
равна λ, так что частица описывается вектором состояния
\[т, s], О, λ). Если теперь заставить эту частицу двигаться вдоль
оси z с импульсом \р\, то мы придем к спиральному состоянию.
Математически это описывается так:
Ψ;>λ=№(ρ))ΙΗ, s], 0, λ). (4.70)
В этой главе мы сохраним для спиральных состояний обозначе-
ние Ч*°я. Если теперь состояние Ψ°λповорачивается так, что им-
пульс равняется р, то спиральность его не меняется — она есть
псевдоскаляр. Тем самым, если Rp обозначает вращение, ко-
О
торое совмещает ось г(р) с р, то **)
Можно воспользоваться этим выражением, чтобы получить со-
отношение между спиральным и каноническим базисами. Имеем
¥р.Г^(У|К4А λ). (4.72)
Правую часть равенства можно определить из (4.51) в виде
U(Rp;)\[m, s], ρ, λ) = S|[m, s], ρ, σ) D^(L~l (ρ) Rp;Up)),
так что
Ψρ,λ=ΣΙΚ s], p, a)D^{R), (4.73)
σ
где
R^L-l{p)R*L(p). (4.74)
*) Полезность спирального представления в теории рассеяния с уча-
стием как массивных, так и безмассовых частиц впервые была подчеркнута
в чрезвычайно поучительной работе [9].
**) Вращение Rpp задается в виде R (φ, θ, - ф)=г'АГ;е''е",,/,|
где ρ направлен вдоль оси, характеризуемой углами (θ, φ) относительно оси
о
z, вдоль которой направлен р.
7 С. Газиорович

98 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ (Ч. 1
Этим выражением можно воспользоваться для установления
трансформационных свойств спиральных состояний относительно
преобразований Лоренца. Получим
^(Λ)ΨΑλ=|(/(Λ)|Κ s], ρ, c)D«\(L-l(p)Rp;L(°p)) =
- ΣΙΚ s], Ap, *)D*l(L-l(Ap)ARPtLU)) =
or '
= Σ I \m, s], Ap, τ) D% (ZT1 (Ap) RAp_ -pL (ρ)) Χ
- 2 ΨΛρ, Л1 iL~' iPW£. ^РрШ)· (4-75)
М-
Если теперь использовать соотношение
Rpi;L(p) = L(p)Rpp>, (4.76)
из которого следует, что «ускорение» в заданном направлении,
следующее за вращением, может быть заменено вращением и
последующим ускорением вплоть до конечного значения им-
пульса, или, что то же самое,
то получим
£/(Λ)ΨΑλ=ΣΨΛρ.,Χ1^>. <4·77)
где*)
а /?(Лр, р) — вигнерово вращение.
Эти соотношения представляют интерес при обсуждении ре-
лятивистских обобщений известной процедуры сложения момен-
тов. Произведение двух состояний, допустим ФР,л, ® Фр2лг, пре-
образуется как приводимое представление группы Пуанкаре.
Это произведение можно разложить в сумму неприводимых,
представлений, характеризуемых значениями массы М, где
Ai2-(pi+pz)2,
и полного момента J, образованного путем сложения спинов и
орбитального момента, который при разложении такого произ-
ведения играет роль Параметра вырождения. Указанную проце-
*) Преобразование Ядр,ρ представляется в виде /?(φ', θ', —φ'), гае
вектор Лр направлен вдоль оси с углами (θ', φ').

ГЛ. 4}
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
99
дуру можно найти в уже цитированной в этой главе работе
Джуза [7], а также в работе Макферлейна [10], в которой она
изложена более подробно. Поскольку мы действуем в системе
центра масс, то это разложение рассматривать здесь не нужно.
Двухчастичные состояния, описывающие частицы с опреде-
ленными импульсами и спиральностями р\, Xi и р2, λ2 соответ-
ственно, обозначаются следующим образом:
I Р., К ft, λ2> = ΨΡ1. λ, ® ΨΡ2, *.. (4.78)
Если определить
P = Pi + p2, k = -j(p,-pj (4.79)
и работать в системе центра масс, в которой Ρ = (W, 0,0, 0), то
приведенное двухчастичное состояние будет обозначаться через
\W, Р\\ λ\, λ2), где р\ — импульс одной из частиц в системе
центра масс. При построении двухчастичного состояния возни-
кает небольшая проблема, связанная с выбором фаз. Начнем со
стандартного состояния для одной из частиц Ψρ' λ, в котором
о
частица имеет импульс р= (0,0, рх). Состояние частицы, дви-
жущейся в отрицательном направлении оси г, имеет вид
Ψ®. ^ Μ-Ι^-ν^ψΡ^. (4.80)
Соответствующий выбор сделан так, что в пределе |pij —»0
получим *)
= (-1Γ"λ^!!1λ2(π) = δλ1λ, (4.81)
Состояние \W,pi,K\%2) получится теперь вращением состояния
о
\W, p, %i λ2) при помощи преобразования /?(φ, θ, — φ), где
(θ, φ)— сферические углы вектора р\.
Весьма полезно уметь конструировать состояния с опреде-
ленным моментом из состояний, содержащих частицы с опре-
деленной спиральностью. Если обозначить собственное состоя-
ние оператора момента через \W; J, M; Kfa), то при вращениях
оно должно преобразовываться согласно
U(R(a$y))\W; J, Μ; λ,λ2> - Σ I W; J, Μ'; hh) D$M {R (αβγ)).
(4.82)
*) Строго говоря, при принятом условии нормировки рассматриваемое
скалярное произведение в этом переделе не определено. Однако если жела-
тельно сохранить в этом случае надлежащие фазы, то следует нормировать
одночастичные состояния в ящике с периодическими граничными условиями.
7·

ЮО ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ч. I
Если теперь записать
| W\ J, Μ; λ,λ2> =
. - j da J" sin β dp J" dyD%e (R (αβγ)) U (R (αβγ)) IW; ρ, λ,λ2> (4.83)
или схематически
I /, Μ) - J" dRD(Z- (R) U (R) ΙΑ λ) (4.84)
(где dR обозначает интегрирование по области изменения пара-
метров, определяющих вращение), то
U (R')\ J Μ) = J dRD%> (R) U (R'R)\ ρ, λ) =
-Σ J dRD^(Rf~l)D^(R'R)U(RrR)\ ρ, λ> -
Μ"
= Σ J rf С/?'/?) offiu- Г/?'/г) и (r'r) i Я λ> я&„ 0?')=
Λ1"
Λ("
Отсюда следует, что состояние (4.84) действительно сконструи-
ровано правильно. Поскольку
#(αβγ) = Α(αβΟ)<?-'ν/.,
то имеем
D%r (R (αβγ)) = e/M'vZ)^' (R (αβΟ)),
i/ (Я (αβγ)) Ι Α λ) = e-W-MU (R (αβΟ)) | Α λ>.
Кроме того,
J"</Vi?'<Af'-*.+*2>Y~6,vr.iW„
так что можно написать
| W; J, M; Л,Яа> =
= JV, J da J" sin β 4βΖ)#и-к (R (αβΟ)) i/ (R (αβΟ) )l И7, Α λ,λ2>. (4-85)
Замечая, что
1^, Α! λ,λ2> = Σ/(#(φ, θ, -φ))|№, Α Μ*>-
«t/tf(q>, θ, 0))|И7, ρ; λ^), (4-86)

ГЛ. 4] ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН |01
окончательно находим
| W; J, М; AiA2> =
2π
= N j J αφ j" dQ sin BD^k-u (Я (φ. θ, 0))| W, />,; λ,λ2>, (4.87)
о о
где переменные интегрирования заменены с (α, β) на (Θ, <р)*).
Чтобы определить константу Nj, следует обсудить вопрос
о нормировке состояний, входящих в (4.87). Если одночастич-
ные состояния нормированы согласно
(ψΡ„ ν ψΡ1.0 = 2Ρ.οδ (Ρ, - #4) \ν (4-88)
то нормировка двухчастичных состояний может быть представ-
лена в виде
=(2ρ10)(2ρ2ο)δ(ρ, - ρ;)δ(^2 - />2) v.V;=
= 4ρ10ρ20δ(Ρ-Ρ')δ(^- ^)\Л;\Л =
= iPi^2lo(p_p')0(ft_^)0(^_^)6 ,δ
Воспользуемся формулой
e(ft-ftO-e(Po-pQ^
и перепишем это выражение в виде
<Р', ft', λ[λ'2\Ρ, k, λ,λ2) =
^4^^δ(4)(ρμ_ρ;1)δ(,_,0νΛ^ (489)
где Ι Ρ, ft, λ^) обозначает то же двухчастичное состояние, но
с другим набором индексов.
*) Такая область интегрирования верна как для целого, так и для полу··
целого спина. Нам не хотелось бы вдаваться во все тонкости теории враще-
ний, но для читателей, которые этим заинтересуются, мы укажем, что для
двузначных представлений (полуцелый /) следует интегрировать по области
изменения параметров «покрывающей группы», которая вдвое больше. 3τσ
4π
означает, что следует положить 0^γ5ξ[4.π. Тогда интеграл J d\'e~ —
о
как раз приводит к δ^,, что и требовалось.

102
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. I
В системе центра масс k = ри так что
Λ) = Рю + Pzo = W,
-^2- = (1±- -\- IL-) = _£i^o_ = j№_ т
dp\ \ pw р2о 1 Р10Р20 PioP20
Если ввести векторы состояния \W, pu к\%&), определенные ра-
венством
I W, Α, λ,λ2> = (^)'/2|Ρ, Ρ, λ,λ2)ρ=0> (4.90)
то они будут нормированы после выделения δ(4)(Ρμ — Ρμ) согласно
(w, р[, λ;λ2| w, р\, λ,λ2> - ьф\ - л) v.V;· (4-91)
Отсюда следует, что
| W, ρ, λ,λ2> = Σ #//)$*,_»,(/? (φ, 6. 0))|| W; J, M; λ,λ2>. (4.92)
JM
Если потребовать, чтобы состояния с определенным значением
момента | W; J, Μ; Λ(λ2) удовлетворяли условию
(W; Г, М'\ K\l'2\W; J, Μ; W = о^^Д^, (4.93^
то, воспользовавшись
о-, 1
j* rfcp | d (cos θ) D%. {R (φ, θ, 0)) Μ& (β (φ, θ, 0)) = ^~ в,Лш-,
0 -1
(4.94)
можно показать, что
*-(*£Τ· <«w
Формализм, развитый выше, оказывается очень полезным при
разложении матрицы рассеяния S, которое будет обсуждаться
подробно в последующих главах. Оператор 5 обладает тем
свойством, что он коммутирует с операторами Ρμ. Если ввести
Р = 5—1,
то «подматрица» Я(Р^) определяется равенством
(Р[Ц, РЭДЯ1РЛ- ρ2λ2> =
= ь{Р'»-РЖК' jWWIaV РА> (4-96)
В системе центра масс получаем
(Р[Ц, PK\R(P»)\Ptv P2h) =

ГЛ. 4)
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
ЮЗ
где использованы состояния, определенные в (4.90). Теперь
можно написать
(W, р\, K\K'2\R{W)\W, ρν λ,λ2> =
= Σ Σ #ΛΧ?ν-*'(*(φ'.θ'- °))°м * -κ (Жф. θ· ο)) Χ
JM J'M' "12 " 1
Χ (W; /', Μ'\ K[K'2\R(W)\ W; J, Μ; λ,λ2>.
С учетом инвариантности матрицы R относительно вращений
отсюда следует, что
(W; Г, М'\ λ[Κ'2 \R(W)\ W; J, M; λ1λ2)=δ///δΜΜ,7?/(λ^; λ,λ2). (4.98 )
Итак, мы получаем
(W, р[, W2\R{W)\W,Pl, λ,λ2> =
- Σ Λ^<;-,/(/? (φ', θ', 0))<|λ_λ (*(φ. θ, 0))^(λ;λ2; λ,λ2).
JM 12 12
Если в качестве оси г выбрать направление ри то
ЯмЧ-хЛЖО. 0, 0)) = δΛ,,λ,_λ2
и
{W, #, K[y2\R{W)\W, ρν λ,λ2>-
- Σ ^D\\ к-к (*?)*' ft^ я^· (4·99)
Мы предвосхищаем результаты гл. 9, где будет показано,
что дифференциальное сечение процесса (1) + (2)->·(Γ) + {2)
определяется формулой
Σ[Ι + τ)D^rs-*;->ς(*((ρ'·θ'· 0))7Γ&(λ&· λ>λ*)
2 . (4.100)
Не все величины /?ДЯ^2; λ,λ2) независимы. Уделив некоторое
внимание проблеме выбора фаз, можно без труда показать,
что условие сохранения четности приводит к равенству
Rj(-K -К> -К -λ2) = η(-1)51 + 52"5'"52^(λ^; λ,λ2), (4.101)
где s,, ..., s2 —спины участвующих в реакции частиц, а η —
произведение их внутренних четностей. Аналогично инвариант-
ность по отношению к обращению времени означает, что
R; (λ[λ2; λ,λ2) = Rj (λ,λ2; Ц)§. (4.102)

104 ВВЕДЕНИЕ 6 КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [4. t
Тем самым, например, для пион-нуклонного рассеяния, когда
пион имеет спин 0, а нуклон — спин 1/2, существуют только
две независимые функции R/. Rj f·^-, -A = Rji — -j, ~ ^j и
Μτ· ~ 2~) = Μ_^"' 2")·
Удобную параметризацию можно получить из условия уни-
тарности S-матрицы:
S+S = l (4.103)
или
R+ + R = - R+R.
Последнее равенство означает, что
<ρ,λ,, ра|*СЛрХ PiKY+irtK.лЭД*(ЛЛрЛ, /Α>-
--Σ/#/#^;'+/>?~^,-^)Χ
λ1λ2
x</W. «IWI/W- ρ&?(ρ?κ. ρΖΚ\Κ(ρ*)\ρΑ. />Λ>·
Интегрирование по d3p"j2p"0 и d3p'^j2p"0 в системе центра масс
■можно провести без труда. С помощью разложения (4.99) мож-
но показать, что если справедливы формулы, следующие вслед
за (4.103) (только двухчастичная унитарность*)), то
Rj\^l^2', ^Лг) + Rj \k\K2\ λ\λ^ =
-= - 23 Я) (ЛГЯ£ lX)Rj{tfll·, λ,λ2). (4.104)
Последнее соотношение упрощается, если матрицу Rj диаго-
нализовать. Для каждого собственного значения г^ имеем
r« + r«+=-|r«|2,
так что
Γα = βΜβ?-Ι, (4.105)
где величины О/ вещественны. Например, для пион-нуклонного
рассеяния собственные значения матрицы Rj таковы:
р(] Μ рМ Ч „2И' 1 (4· 6)
*) Мы опять предвосхищаем здесь содержание гл. 21. В общем случае
из R+R+=—R+R следует Rab-+ Rba = — У| Rub^ncr гДе в качестве η мы
и
выбираем только двухчастичные состояния.

ГЛ.4]
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ И СПИН
105 ·
Предоставляем читателям самим удостовериться в том, что эти
выражения приводят к той же формуле для амплитуды пион-
нуклонного рассеяния, что и обычная процедура (см. гл. 23,
формула (23.28)).
В действительности спиральный формализм будет использО'
ваться нами главным образом при обсуждении распадов час-
тиц. Если состояние с моментом / и проекцией момента Μ на
ось г распадается на две частицы в системе центра масс и если
эти частицы описываются в спиральном базисе, то угловое рас-
пределение оказывается особенно простым. Оно определяется
квадратом модуля матричного элемента
(Фр. К. -р. ъ, 5Ψ/μ) = &ΛΚ λ2) N,D%\-U (R (Φ. Θ. 0)). (4.107)
Приложение
Длинное примечание о конечномерных представлениях одно-
родной группы Лоренца.
Оператор, представляющий преобразование из однородной
группы Лоренца в гильбертовом пространстве физических со-
стояний, имеет вид
£/(Λ) = εΧΡ({αμνΜμν). (Π.4.1)
Через операторы J и К, определенные в (4.13), его можно за-'
писать так:
U(A) = exp(-ia-J+ib-K). (П.4.2)
Если ввести операторы % + и &_ согласно
J = ¥+ + ¥_, К=~ &+ + &_, (П.4.3)
то нетрудно убедиться, что операторы ¥± удовлетворяют пере-
становочным соотношениям для моментов
Р±а. **bH*W*±e (П.4.4)
[*+„. *-ь]-0. (П.4.5)
Таким образом формально преобразование U(A) выглядит как
произведение двух вращений. Поэтому матричные представле-
ния U (А) можно записать в виде
ехр \/+ ■ (Ь - ia)} ехр [ - ¥_ · (Ь + 1а)\, (П.4.6)
где $± представляются как (2s± + I) X (2s+ + 1)-мерные мат-
рицы моментов. Эти представления будут унитарными, только
если b = 0, т. е. если данное преобразование — вращение. Иначе
говоря, неприводимое представление имеет два индекса (s+, s_),
и мы обозначим его через D^s+' s~^ (А). По отношению к ОДНИМ

106
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[4.1
только вращениям это представление не будет неприводимым.
Оно имеет вид произведения (2s+ + 1)-мерного представления
на (2s_ + 1)-мерное представление. Его можно разложить в сум-
му представлений, характеризуемых моментами (s+ + s_),
(s++ s_ — 1), ..., \s+—s_|. Однако представления D's'0)(Λ) и
D{'S(A) оказываются неприводимыми также и относительно
вращений, и именно их мы использовали в спинорном представ-
лении (4.62).
При пространственных инверсиях оператор / знак не меняет,
а оператор К меняет знак, так что
Us?±U7l = P*. (П.4.7)
Это означает, что при инверсии матричное представление ме-
няется с £)(s+· *-) на /)(*-' s+\ Для построения волновых
функций, которые преобразуются как матрицы Z)(S+,S-)(A),тре-
бование симметрии относительно пространственных инверсий оз-
начает, что волновые функции следует конструировать так: либо
они должны преобразовываться как Z)(s"s) (Λ), либо нужно уд-
воить число компонент с тем, чтобы в простейшем случае они
преобразовывались как D<s'0) ® D(0" s.
ЗАДАЧИ
1. Используйте
., т _ V (- 1)М(/ +m)\{J-m)\ (J + m')l(J~m')\]U2
am'mW ZJ, s\(J-s~m')l(J + m~s)l(m'~m + s)\
g \2J+m—m'—2s / g \rn'-m+2s
I Q \U+m-m'-2s , q x
x(cos-) 1-Sln2-J
и покажите, что
^m(e)-(-i)'+m'«&.-«("-e>·
2. Вычислите d]%m (Θ) и dxm,m (Θ) с помощью формулы
и представлений
/0 -I С
^VO | 0
для /='/2 и /=1 соответственно.
3. Вычислите £>'/г (/-~'(р)) и Ol/2(L(p))* с помощью представлений одно-
родной группы Лоренца, определенных в приложении к гл. 4. Как они свя-
заны со спинорами и (р), ... ?
4. Разработайте параметризацию матрицы /? (аналогичную (4.106)) для
Комптоновского рассеяния е+у-^е+у.
'-?(?".')■ /'=^|i °-'

Глава 5
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЙ
В релятивистской квантовой механике, так же как и в клас-
сической теории поля, концепция «действия на расстоянии» за-
меняется более простой концепцией локального взаимодействия.
Поэтому мы не будем пытаться конструировать релятивистские
потенциалы и подставлять их в уравнения свободных частиц.
Вместо этого мы модифицируем лагранжиан, введя в него чле-
ны, нелинейные по операторам поля. Очень полезной иллюстра-
цией этой процедуры может служить квантовая электродина-
мика. Справедливость классической электромагнитной теории
подсказывает нам, что квантовые уравнения должны иметь тот
же вид, что и классические. Это утверждение согласуется
с принципом соответствия. Поэтому желательно искать уравне-
ния движения для операторов поля в виде
DAll(x) = -ejll{x), (5.1)
где неоднородный член представляет собой ток, играющий роль
источника данного поля. Этот ток сохраняется, и если мы иссле-
дуем взаимодействие электромагнитного поля только с электро-
нами, то его естественно выбрать в виде *)
/μ(*Η :ψ(*)γμψ(*):· (5·2)
К сожалению, не существует никаких соображений соответ-
ствия, которые подсказали бы нам способ построения уравне-
ния для поля ψ (л:)· Если, однако, предположить, что уравнения
поля получаются из некоего лагранжиана, то выписанного урав-
нения для электромагнитного поля оказывается достаточно для
·) Поскольку нормальное произведение для гейзенберговых операторов не
имеет смысла, тс в (5.1) вместо (5.2) следует писать /μ (х) = у № (х),γμψΜΙ-
Выражение же (5.2) справедливо только в представлении взаимодействия
(см., например, [1]). (Прим. перев.)

108
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[4.1
восстановления формы этого лагранжиана. Он должен иметь
вид
Я = & (А11) + & (ψ, ψ) + еАμ (х) /μ (х), (5.3)
где
^(Л*)= - i-(<W*))(<5*M>)) (5-4)
S' (ψ, ψ) = ψ (х) (гуЧ - Μ) ψ (x). (5.5)
Тогда уравнение для поля ty(x) будет иметь вид
(i'Y4 - Μ) ψ (х) + <?νΜμ (х) Ψ Μ = 0. (5.6)
Следует отметить, что в данном случае лагранжиан содер-
жит произведение более двух операторов поля в одной про-
странственно-временной точке. Поскольку эти операторы очень
сингулярны, — мы все еще предполагаем для них нечто подоб-
ное каноническим перестановочным соотношениям, — то следует
ожидать появления трудностей математического характера. Дей-
ствительно, мы сталкиваемся с трудностями, которые будут
проявляться в форме бесконечных интегралов, и только обра-
щение к физической интерпретации таких плохо определенных
величин позволит нам придать смысл всей теории (см. гл. 13).
Другой важной проблемой является то, что для взаимодей-
ствующих полей взаимосвязь между полями и частицами ослаб-
лена. Может случиться, что при заданном взаимодействии,
включающем только поля спина 1/2 и спина 0, в действитель-
ности рождаются стабильные частицы спина 3/2, причем массы
всех частиц спина 1/2 оказываются намного больше массы ча-
стицы спина 3/2. Эта возможность относится к числу положи-
тельных особенностей теории поля. Было бы весьма огорчи-
тельно, если бы для описания каждой частицы требовалось
новое поле. Поскольку в настоящий момент мы не знаем, как
решить уравнения поля, исключая теорию возмущений (когда_
обязательно предполагают, что взаимодействие не меняет спект-
ра масс невзаимодействующей системы), то такая возможность
здесь исследоваться не будет.
Если стоять на точке зрения, что свойства частиц опреде-
ляются уравнением движения для некоторого фундаментального
поля (или полей), то, очевидно, найти как эти фундаменталь-
ные поля, так и плотность лагранжиана для этих фундаменталь-
ных полей было бы весьма существенно. В данный момент у нас
нет никаких подходящих идей о природе фундаментальных по-
лей. Единственное утверждение, которое мы можем сделать, со-
стоит в том, что по крайней мере одно из фундаментальных по-
лей должно иметь полуцелый спин, поскольку среди реальных
частиц есть частицы спина 1/2. Кроме того, по крайней мере
одно из этих полей должно быть заряженным и по крайней

ГЛ. 5]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЙ
109
мере одно поле должно обладать барионным числом. Однако
убеждение, что заряд и барионное число, переносимые фунда-
ментальными полями, не могут быть дробными, ни на чем не
основано. Если, например, фундаментальное поле переносило бы
заряд 1/3, то все заряженные частицы оказались бы «связан-
ными состояниями» трех фундаментальных полей. Обсуждать
этот вопрос подробно здесь не место, однако у нас есть некото-
рые указания относительно построения различных лагранжиа-
нов. Полезно их обсудить, поскольку, помимо простого интереса
к поискам фундаментального лагранжиана, часто приходится
составлять уравнения движения для полей, представляющих из-
вестные реальные частицы, чтобы изучить теоретические выводы
из различных физических предположений. Кроме того, в при-
роде существуют некоторые относительно слабые взаимодей-
ствия, чье воздействие на реальные частицы может быть опи-
сано феноменологически с помощью лагранжиана, образован-
ного из полей, находящихся в одно-однозначном соответствии
с частицами. Примером тому может служить лагранжиан (5.3),
описывающий взаимодействие фотонов с электронами или мюо-
на-ми.
Во всех моделях, описываемых лагранжианами, мы будем
исходить из формальной инвариантности уравнений движения
относительно преобразований Лоренца. Иначе говоря, по отно-
шению к преобразованиям Лоренца плотность лагранжиана
должна бать эрмитовой скалярной величиной*). Потребуем,
чтобы
U (Λ) Я (φ (х), А» (*), · ·.) U'1 (А) = J2> (φ (Λ*), {А~% Av {Ax), ...).
(5.7)
Если описываемая физическая система должна быть инва-
риантной относительно отражений, т. е. если четность сохра-
няется, то этим свойством должен обладать и лагранжиан**).
Если система должна быть инвариантна относительно зарядо-
вого сопряжения, т. е. относительно замены каждой частицы ее
античастицей, то это также следует отразить в лагранжиане.
Одним из самых глубоких следствий одной только лоренцевой
*) Тогда и гамильтониан будет эрмитов. (В действительности довольно
часто даже в перенормируемых теориях из-за наличия производных в J?
для обеспечения эрмитовости гамильтониана приходится вводить в лагран-
жиан неэрмитовы добавки (см., например, [2]). (Прим. перев.)
**) Иногда труднее сконструировать лагранжиан, который нарушал бы
какую-нибудь симметрию. Например, взаимодействие для процесса π° -> 3γ,
нарушающее С- (или Р-) симметрию, имеет вид

по
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14.1
инвариантности является то, что если система инвариантна
относительно пространственных инверсий и зарядового сопряже-
ния, то она автоматически инвариантна и относительно обраще-
ния времени. Вообще, всякая система, описываемая лоренц-ин-
вариантным лагранжианом, инвариантна относительно произве-
дения трех операций РСТ. Эта теорема подробно обсуждается
в гл. 30.
Чтобы добиться сохранения некоторых аддитивных кванто-
вых чисел, — таких как заряд, барионное число и тому подоб-
ные, — можно воспользоваться связью между существованием
сохраняющегося «заряда» и формой градиентного преобразо-
вания. Как показано в гл. 1, лагранжиан, составленный из не-
эрмитовых полей и инвариантный относительно преобразования
х(*)-*е-,ах(*), (5.8)
x+W-*«YW (5.9)
(здесь %(х) обозначает некое поле общего вида), будет объеди-
нять закон сохранения заряда Q, переносимого полем %(х),
с перестановочными соотношениями
[Q, х(х)] = х(х)- (5.Ю)
Тем самым, если мы рассматриваем теорию, включающую нук-
лоны и мезоны, то сохранение барионного числа означает, что
имеет место инвариантность относительно замены
ψΜ->ψ(Χ)«-Φ, $(х)-+${х)е®, (5.11)
а из закона сохранения заряда следует инвариантность относи-
тельно замены
Фзар (*)-»· Фзар (*)e~W. 'ФзарМ-^зарМе"1, (5-12)
Фзар (*) -* Фзар Μ β~'β. Ф*зар Μ ~+ Ф^ар Μ Λ
Это означает, что операторы ψ (х) и ψ(Χ) в билинейной комби-
нации должны обязательно появляться вместе, а оператор
<Рзар(-*0 должен умножаться либо на φ* {х), либо на
Фзар(х)фнеЙтр(*).
Взаимодействие заряженных полей с электромагнитным по-
лем носит особенно простой характер. Если обратиться к фор-
муле (5.3), то лагранжиан можно записать в виде
-2" = =2* (Αμ) + ф [/γ" (0μ - ie\ (x)) - Μ] ψ (*). (5.13)
Аналогично лагранжиан, описывающий взаимодействие заря-
женного бозонного поля (для простоты, со спином 0), с учетом
/μΜ = «Ρ*(*)0μΦ(*) (5-14)

ГЛ.5]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЙ
111
будет иметь вид
&~&(Λμ) + (βμ - ieA^(х))φ(*)(^μ + ieЛ*{x))φ' (x)-tnV (*)Φ'*),
(5.15)
что отличается от
J2> = .S7 (Л11) + J3T (φ) + β А» (х) ]μ (х)
только членами, квадратичными по Лμ. В обоих случаях лаг-
ранжиан с учетом взаимодействия получается из свободного
лагранжиана путем изменения членов, содержащих градиент
поля, только что указанным специальным образом. Сейчас мы
покажем, что форма этого изменения тесно связана с градиент-
ной инвариантностью второго рода, обсуждавшейся в гл. 3, где
подчеркивалось, что векторный потенциал определен с точ-
ностью до градиента некоей скалярной функции.
Предположим, что мы требуем, чтобы лагранжиан был инва-
риантен относительно калибровочных преобразований, завися-
щих от х, например относительно
<р(х)-><р(х)е-'аю, (р*(х)-хр*(л:)ега<*>. '5.16)
Очевидно, что свободный лагранжиан этим свойством не обла-
дает, поскольку, например, выражение
dnqpdV (x)
переходит в
((5μ — id „a (x)) φ (х) (ди + idua (х)) φ* (х).
Если, однако, градиентные члены имели бы вид
(δμ - leA^ (x)) φ (*) (du + ie Л* (х)) φ* (x),
то требование (5.16) могло быть выполнено при условии, что
одновременно векторный потенциал Лц изменяется согласно
ejV*)-*eAi(*)-^a(*)· (5.17)
Последняя замена, как известно, не влияет на величину ком-
понент электрического и магнитного полей.
Взаимодействие с электромагнитным полем можно учесть,
если в первоначальном лагранжиане произвести замены
дЛ ~* (дц ~ ieAJ % и 3μΧ+ -* (<3μ + ieAJ yf.
Оно называется минимальным электромагнитным взаимодей-
ствием. Такой рецепт, к сожалению, не является единственным,
поскольку свободный лагранжиан определен с точностью до ди-
вергенции некоего 4-вектора. Уравнения движения не меняются,

112 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ (Ч. \
если J? заменить на J?+ δμΜν. Чтобы проиллюстрировать эту
неоднозначность, рассмотрим свободный лагранжиан для дира-
кова поля, к которому прибавлен член JB" вида
•3" = Υ<3μ (-φσμν3νψ - ο\·φσ^νψ) = γ (ο^ψσ^ψ - <?νψσ»*ν3μψ) (5.18)
(здесь мы воспользовались антисимметрией σ^ν). Взаимодей-
ствие, которое добавляется к минимальному, имеет вид
2γ (<3μ + ieAy) ψσ^ν (<5V - ieAv) ψ - 2уд,$а^дху =
= 2iey (/1μψσ^ν5νψ - Λν0μφσ»»νψ) =
= av (2iey Λμψσμνψ) + 2ieyF^o^. (5.19)
Первый член в (5.19) на уравнениях движения не сказывается,
но второй член приводит к взаимодействию, которое появилось
бы, если бы частица спина 1/2 имела дополнительный магнит-
ный момент, помимо нормального магнитного момента дирако-
вой частицы. Включение таких дополнительных членов в элек-
тродинамику частиц спина 1/2 не является необходимым. Однако
их нельзя исключить, исходя из логических соображений, так
что нужно соблюдать осторожность и не придавать слишком
большого значения одному известному случаю успешного при-
менения минимального электромагнитного взаимодействия.
В заключение этой главы приведем несколько примеров того,
как можно выписывать лагранжианы взаимодействия, следуя
изложенным выше указаниям. Рассмотрим сначала взаимодей-
ствие нейтрального псевдоскалярного мезона с нуклоном. Ис-
пользуя аналогию с электромагнетизмом или данные экспери-
ментов (например, тот факт, что мезоны могут рождаться по-
одиночке), это взаимодействие следует выбрать линейным по
мезонному полю q>(x). Поскольку предполагается, что мезон —
псевдоскалярная частица и четность сохраняется (опять в со-
ответствии с экспериментом), то мезонное поле следует домно-
жить на билинейную комбинацию ψ(Χ) и ^>{х) (имея в виду
сохранение бариоиного числа), которая должна преобразовы-
ваться как псевдоскаляр. В результате мы приходим к двум
возможностям:
-2"i = »'£ψ Μ Υ5ψ (x) Ψ (*).
^ = 1ψ(*)γμγ5ψ(*ΚΦ(Χ).
Здесь множитель i добавлен для обеспечения эрмитовости J3*,
что необходимо для эрмитовости гамильтониана*). Эти два
взаимодействия приводят к различным предсказаниям. Более
того, даже формализм теории оказывается различным, поскольку
*) См. примечнне на стр. 109. (Прим. ред.)

ГЛ. 5)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЕЙ
113
определение канонического импульса в первом случае будет
таким же, как и для свободного мезонного поля, тогда как для
второго случая канонический импульс будет равен производной
по времени от мезонного поля плюс член, зависящий от взаимо-
действия.
Другим примером может служить взаимодействие вектор-
ного мезона с нуклоном. Это взаимодействие может быть либо
типа взаимодействия с током
либо типа взаимодействия с магнитным моментом
У${Х) σ^ψ (Χ) (<?μ<Ρν (*) — <3ν(ρμ {Χ) ) .
Еще один пример относится к существованию внутренних сим-
метрии. В дальнейшем мы убедимся, что в некотором хорошем
приближении существует внутренняя симметрия, сходная с ин-
вариантностью относительно вращений, согласно которой три
псевдоскалярных мезона преобразуются как изовектор (изос-
пин 1), а нуклоны преобразуются как двухкомпонентный изо-
спинор (изоспин 1/2). Пион-нуклонное взаимодействие, инва-
риантное относительно такой группы и линейное по пионному
полю, должно иметь вид
3 2
«'£ Σ 2 §а(х)Ы)авУ5$в(х)уЛх)'
,- = 1 Α. β = Ι
где τ,· — матрицы 2X2 того же вида, что и матрицы Паули.
Этими указаниями мы вновь воспользуемся, когда будем
конструировать феноменологические лагранжианы для сильных
взаимодействий, инвариантные относительно внутренней сим-
метрии, названной SU(S) -симметрией (гл. 18), а также когда
будем строить лагранжианы слабых взаимодействий.
Вследствие нашей неспособности решить уравнения поля в
случае сильной связи соответствующие лагранжианы не играли
сколько-нибудь существенной роли в последних достижениях
физики элементарных частиц. Они использовались главным об-
разом для учета свойств симметрии или как метод компактного
описания процессов распада, например
-2Ι = -£ %> (*) YaY5^v (*) <Vp (a)
для распада n^-e + v, или как метод подсчета числа произ-
водных, необходимых для описания определенных процессов.
Например, распад
η° -» л+ + п~ + п°,
асимметричный по irhnr, должен описываться лагранжианом
8 С. Газиорович

114
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. Г
с комплексной константой связи g и двумя множителями с про-
изводными, поскольку эрмитова комбинация без производных
/η0π°π+π_
обязательно симметрична по η+π~ *).
ЗАДАЧИ
1. Выпишите два лагранжиана взаимодействия векторного мезона с полем
спина '/г-
2. Рассмотрите наиболее общее взаимодействие (без производных) заря-
женных и нейтрального мезонов с нейтронами и протонами
•5"l = g\PP<i>o + ig2P\sP<po + g3AWq>0 + ig4NybNif0 +
+ £5^νΦ + 8sMP<P + ig6P\sNq> + ig'6Ns5P(S>'.
Покажите, что требование инвариантности этого взаимодействия относительно
СР (но не по отдельности относительно С и Я) совместно с требованием ин-
вариантности относительно вращений в изотопическом пространстве, т. е. от-
носительно
(лг)~>(1"ит'в)(лг)· φ"*"φ~2αхф'
-((? i)· С "0)· (i -'))■
приводит к тому, что данное взаимодействие фактически оказывается инва-
риантным относительно С и Я по отдельности.
3. Рассмотрите лагранжиан^5 (ф<(х)). Покажите, что ток, соответствую-
щий произвольному локальному градиентному преобразованию
ψ,(*)->*<(*)+л(*)*Мф|(*). Ых). ■-■).
можно определить так, что его дивергенция будет равна dJS^/SA.
4. Рассмотрите лагранжиан
J3" Μ = Ψ (*) [«V4i + go (σ (х) + Ιγ5τ · φ (х))] ψ (х) +
+ j (5μ«Ρ (x)) (<?μΦ (*)) + γ (V (Χ)) (д»а (х)) -1 μ2, (<ρ2 (*) + σ2 (*)) -
Постройте ток, соответствующий градиентному преобразованию
ψ (*)->[! +«т.то(1 +γ5)1 ф(дс),
φ (λ:) -> φ (х) - 2wc (x) - 2w X φ (x),
σ (λ:) -> σ (λ:) + 2κ> · φ (λ:).
Чему равна дивергенция этого тока?
*) Этот же вопрос возник н ходе последних исследований возможности
нарушений С- и Г-инвариантности в некоторых процессах.

Глава 6
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
В предыдущей главе были изложены основополагающие ука-
зания к построению лагранжианов взаимодействия. Любой лаг-
ранжиан, в конце концов, приводит к набору уравнений движе-
ния, которые, скажем, для случая взаимодействия мезонов с ну-
клонами имеют вид
(□' + μ2) φ (х) = /(*),
(-iY^ + Ai) ψ (*)-/(*). (6-1)
где /(х), f (х) и f(x) —полиномы по операторам поля. Они
должны быть дополнены перестановочными соотношениями, ко-
торые могут быть каноническими
[л (х), Ч>(у)]Хо=Уо = Я(х-у),
{ψ(*),Ψ+(0)>^Λ=Λ(·*-3», (6"2)
но которые во всяком случае должны удовлетворять условию
микропричинности
[φ to, φ(#)] = 0,
{ψ to. Φ (У)}-0 при (x~yf<0. №· '
Решение этих уравнений движения в лучшем случае может быть
получено в виде рядов теории возмущений. Однако даже этот
метод имеет свои математические трудности, которые появ-
ляются вследствие отсутствия надлежащего определения произ-
ведений операторов, входящих в источники полей j(x) и f{x)·
Помимо этих проблем, возникает существенный вопрос: как
можно было бы воспользоваться решениями этих уравнений для
получения физических предсказаний?
Хотя в принципе все эрмитовы операторы измеримы — с уче-
том ограничений, возникающих из правил суперотбора, — прак-
тически все измерения в физике элементарных частиц сводятся
к экспериментам по рассеянию. Поэтому то, что нас, в конце
8*

116
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14.1
концов, интересует, — это расчет результата процесса столкно-
вения, в котором конечное число частиц сталкивается в конеч<
ной пространственно-временной области, а затем разлетается
из нее с различными импульсами, энергиями и проекциями
спина. Такой процесс часто сопровождается исчезновением не-
которых первоначальных и рождением некоторых новых частиц.
Ограничения, связанные с интенсивностью пучков, приводят к
тому, что на сегодняшний день в экспериментах по рассеянию
следует учитывать только двухчастичные начальные состояния.
Однако в действительности мы должны инересоваться более
общей проблемой рассеяния.
Интересующая нас величина — элемент матрицы рассеяния
Spa — это амплитуда вероятности того, что определенная на-
чальная конфигурация частиц, скажем, в состоянии а превра-
щается в другую конфигурацию частиц в состоянии β. Совокуп-
ность всех матричных элементов 5βα образует S-матрицу. Опи-
сание начальных и конечных конфигураций облегчается тем, что
взаимодействия в большинстве своем являются короткодей-
ствующими. Поэтому как до, так и после столкновения в кон-
фигурацию входят свободные частицы. Это утверждение отно-
сится даже к процессам типа, допустим,
ρ + ρ -* л+ + d,
при условии, что дейтрон рассматривается в данном случае как
частица, а не как связанное состояние протона и нейтрона. Тем
самым элемент матрицы рассеяния в согласии с общими пра-
вилами квантовой механики имеет вид
ν=(ψβ('- + °°). ψ«('-* - °°))· (6·4)
Поскольку мы работаем в представлении Гейзенберга, в кото-
ром векторы состояния от времени не зависят, обозначения в
формуле (6.4) требуют некоторого разъяснения. Дело в том, что
вектор состояния Ψ для заданной физической системы содер-
жит всю допустимую информацию о системе — он описывает,
так сказать, всю историю системы. Состояние системы можно
недвусмысленно фиксировать путем измерения полного набора
коммутирующих наблюдаемых для этого состояния. Такое фик-
сирование состояния можно произвести в любой момент вре-
мени. Поэтому состояния можно различать по результатам со-
ответствующего «эксперимента» в заданный момент времени /,
и тогда состояние, т. е. его прошлое и будущее, будет опреде-
лено полностью. Поскольку из физических соображений ясно,
что при t —»· ± оо всякое состояние содержит невзаимодействую-
щие частицы, то построить векторы состояния Ψα(/-*— оо) и
Ψβ(£-> + οο) особенно просто. Иначе говоря, вектор состояния
Ψα(£-»οο), который мы с этого момента назовем ΨΟ", обра-

ГЛ. 6]
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
117
зуется путем действия операторов рождения свободных частиц
на вакуумное состояние. Предполагается, что набор in-состоя-
ний
Ψ
*<"*· ,6.5)
< (ρ,) ΟΛ
является полным набором даже для взаимодействующих ча-
стиц. Операторы afn — это операторы свободного поля, удов-
летворяющие перестановочным соотношениям теории свобод-
ного поля
КМ· <(ра\=2*ЛР1-Ра и т·д·
для бозонов и
(«Й (Р.> <)+(^)}=^М(Л-Р2) и т. д.
для фермионов. Индекс «in» у операторов должен напоминать
нам о том, что мы конструируем полный набор состояний, опи-
сываемых их конфигурацией в удаленном прошлом. Следует от-
метить, что у вакуумного состояния Ψο не существует никакого
индекса «in». Это связано с тем, что вакуум — стационарное
состояние, и измерения в нем будут приводить к одному и тому
же результату в любой момент времени — вакуум всегда ос-
тается вакуумом. То же самое справедливо и для одночастич-
ных состояний Ψρ,: состояние, отвечающее одной частице с за-
данным импульсом и проекцией спина, не может измениться,
поскольку в нем нет ничего, что могло бы провзаимодействовать
с частицей и изменить ее движение. Однако это уже не будет
справедливо для двухчастичных состояний: две частицы могут
столкнуться так, что изменится направление их движения или
часть их кинетической энергии израсходуется на рождение но-
вых частиц.
Полный набор состояний Ψρ" (индекс «out» заменяет
(/ —*■ + оо)) также может быть построен с помощью операторов
свободных частиц. Он имеет вид
«£.(/>.) ψο (6.б)

118
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
где опять операторы свободных частиц удовлетворяют переста-
новочным соотношениям
или
[%М' ао+«Л/>2)] = 2(йР1б(л-р2)и т- д·
HL· (/>,). <? (р2)} = 4г Μ (Pi - ρ*)·
Поскольку каждый набор состояний ψ°«< и Ψ'η является пол-
ным, то эти состояния должны быть связаны унитарным преоб-
разованием *)
Ψ^ = Σ5β„ΨΓ· (6.7)
β
Поэтому
№, ψα")=5βα. (6.8)
Оператор S, матричные элементы которого равны Spa, можно
определить так: /
a0Ut(p) = S+aln{p)S,
4. 4-4- (б·9)
<C<(p) = sW„(p)s.
Из формул (6.9) следует, что
К- Ρ* *Й О =(ψ0· ОоиЛРп) .- «W (Ρ1)Ψ£ О-
= (Ψο, S+a[n(pn)SS+ ... amipJsKi 0 =
-W ρ„.5Ψ? J. (6.Ю)
Здесь мы воспользовались унитарностью S-матрицы
S+S = SS+=1 (6.11)
и тем фактом, что
5Ψ0 = 5+Ψ0 = Ψ0. (6.12)
При беглом чтении материала, изложенного на последние
нескольких страницах, всегда возникает вопрос: каким образом
можно хоть что-нибудь узнать о динамике взаимодействующих
частиц, оперируя только свободными полями? Ответ на этот
вопрос гласит: in- и out-состояния являются лишь удобным
*) В теории поля в отличие от квантовой механики такое утверждение
справедливо только для унитарно эквивалентных наборов состояний. В прин-
ципе возможны полные наборы векторов, которые являются реализациями
разных неэквивалентных представлений канонических перестановочных соот-
ношений и которые поэтому нгльзя связать унитарным преобразованием.
{Прим. перев.)

ГЛ. 6]
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
ПЭ
способом описания, специально приспособленным к начальным
и конечным условиям постановки эксперимента по рассеянию,
in- и out-поля напоминают асимптоты к траектории в класси-
ческой задаче рассеяния: чтобы установить, какое начальное
«асимптотическое» состояние приводит к данному конечному
«асимптотическому» состоянию, необходимо знать потенциал и
решить уравнение движения. Здесь также указанный способ
описания должен быть подогнан к соответствующей динамиче-
ской теории.
Чтобы выразить элементы матрицы рассеяния через опера-
торы поля (для которых имеются уравнения движения), необ-
ходимо выяснить связь между in- и out-полями q>in(x),
ipin{x) построенными так же, как и в гл. 1—3, с помощью
операторов рождения и уничтожения, — и полями φ (х), ψ (х),...
Наше обсуждение определения матрицы рассеяния в значитель-
ной мере основано на том, что при больших временах физиче-
ская система ведет себя как система свободных частиц. Такие
асимптотические свойства в какой-то степени должны отра-
жаться в свойствах самих операторов поля. Обсудим эту про-
блему сначала формально. Если рассмотреть уравнение
(□ +μ2)φ(*) =/(*). (6.13)
то, как нетрудно проверить, его формальное решение можно
представить в виде
ф)=~ f dV [Δ (х - Χ', μ) -^ φ (*') + -~- Δ (х - х', μ) φ (х')1 -
х0=т
- | dx'ts. (х ~ х\ μ) / (*')· (6.14)
τ
Первый член удовлетворяет однородному уравнению. Он пред-
ставляет собой решение при отсутствии источника j(x), удовле-
творяющее определенным начальным условиям в момент Т.
Второй член учитывает влияние взаимодействия поля с источ-
ником j(x). Если устремить Т —►■— оо и определить
i — Δ(Χ, μ), Χο>0
A,rf (Χ, μ) = ( 0 ( Χβ < 0^ - θ (x0) Δ {Χ, μ), (6.15)
το (6.14) можно записать в виде*)
φ (г) = Φ.» Μ + J ЛхЧ^а (х - х', μ)} (*'), (6.16)
*) in- и ои/-операторы впервые были введены в работах [1, 2].

120
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
где ц>гп{х) удовлетворяет уравнению свободного поля. Мы не
будем доказывать, что операторы q>in(x) удовлетворяют пере-
становочным соотношениям свободных полей [3], поскольку до-
казательство потребовало бы привлечения аргументации, да-
леко выходящей за рамки принятого здесь уровня. Поэтому
примем на веру, что
[Ч4п(х), 4>ы(у)] = Щх — У, μ). (6.17)
Если в формуле (6.14) устремить Т—*■ + оо и определить
( 0, х0>0
Δ^(*,μ) = |Δ^μ)) ^<0^θ(-*0)Δ(*,μ), (6.18)
то аналогично можно получить
Φ Μ = 4W (x) + J" dx'b,adv {x - x', μ) / (х'). (6.19)
Таким образом, видно, что в каком-то смысле операторы поля
в отдаленном прошлом и отдаленном будущем стремятся к опе-
раторам свободного поля при условии, что мы сконцентрируем
свое внимание на поведении функций ArPt(x — х'), &adv(x — х*)
и ни о чем другом заботиться не будем. В действительности по-
добная процедура не имеет.никаких оправданий. Прежде всего,
как подчеркивалось в гл. 1, сами поля — не что иное, как идеа-
лизация, и только средние от них с некоторой весовой функцией
по некоторой пространственно-временной области могут иметь
какой-либо смысл. Тем самым утверждение об асимптотическом
поведении должно относиться к | φ (х) g (х) dx и | φ(·„ (л:) g (x) dx
к R
или, что более удобно, к величинам
■е- ">·
A(q, f) = ij Af,W^<pU),
Л1п (д. f) = l \ d4f'q (х) -^ ф|„ (х),
(6.20)
Здесь fq(x) —решения типа волновых пакетов уравнения Клей-
на — Гордона с положительными частотами. Операторы Л,„ —
это операторы уничтожения свободных полей, а операторы
Л (<7, ') — аналогично определенные величины для взаимодей-
ствующих полей. Соответствующие уравнения для спинорных
полей имеют вид
Ψ Μ = Ьп (X) ~ \ dx'Sret (X - Х\ М) f (Х0,
' , (6.21)
ψ (*) = %ut (х) ~ J dx'Sa(lv {x - х', Μ) f (х'),

ГЛ. β]
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
121
а утверждение об асимптотическом поведении будет относиться к
а (р, /) = J" сРхйр (х) γ0ψ (*).
Щп (Р, *) = / d3xup {x) γ0ψ»η Μ,
(6.22)
где ир(х)—положительно частотные решения уравнения Ди-
рака типа волновых пакетов.
Кроме того, следует уточнить характер «перехода к пре-
делу при i->±oo». Когда идет речь об операторах в беско-
нечномерном векторном пространстве, то утверждение типа
«оператор 0\ стремится к оператору 02 в некотором пределе»
можно сформулировать двумя разными способами, которые бу-
дут иметь совершенно различные последствия*). Можно на-
ложить условие сильной сходимости: это означало бы, что в со-
ответствующем пределе стремится к нулю разность «длин» век-
торов состояния О) ψ и 02ψ (для всех Ψ). Иными словами, для
φ = Ο1Ψ—02Ψ
в соответствующем пределе имеем
(Ф, Ф)-»0.
С другой стороны, можно наложить условие слабой сходимости.
Это означало бы, что в пределе мы просто требуем, чтобы
(Ψ',(0, — Ο2)Ψ)-*0 (6.23)
для любой пары векторов ψ и Ψ'. Из слабой сходимости не обя-
зательно следует, что (Φ, Ф)—>0. В конечномерных векторных
пространствах не существует какого-либо различия между
двумя типами сходимости. По этой причине эти понятия, ве-
роятно, малоизвестны.
Как впервые было отмечено Леманом, Шиманчиком' и Цим-
мерманом [4]**), правильная формулировка асимптотических
свойств полей сводится к требованию слабой сходимости
lim (Φ, Α (ρ, /)Ψ)-(Φ, Aout(p)W),
i->±oo in
lim (Φ, Α+ (p, t) Ψ) = (Φ, AL (ρ) Ψ),
<->±°° ^ (6.24)
lim (Φ, α(ρ, /)ΨΗ(Φ, aout(p)V),
i->±o° in
*) Существование двух типов «сходимости» в теории поля было впер-
вые отмечено Р. Хаагом (неопубликованные лекции, Копенгаген, 1953 г.).
**) В дальнейшем при ссылках эту работу будем обозначать ЛШЦ.

122
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
(Ч. t
где Φ и ψ обозначают любую пару нормируемых состояний
в векторном пространстве физических состояний. Само собой
разумеется, что мы будем пользоваться состояниями типа пло-
ских волн, считая про себя, что они представляют собой очень
протяженные волновые пакеты.
Одним из следствий слабой сходимости является то, что пе-
рестановочные соотношения для взаимодействующих полей не
удается вывести из перестановочных соотношений свободных
полей, поскольку
Iim (Φ, [А(р, t), А+(р, /)]Ψ)*=(Φ. [Ain(p), Atn(p)]4
Если бы сходимость здесь была сильной, то перестановочные
соотношения были бы одинаковыми. Тот факт, что они неоди-
наковы, означает, иными словами, что не существует унитар-
ного преобразования типа
А(р, t)=U+(t)Ain(p)U(t).
Чтобы проиллюстрировать роль асимптотического условия
(в постулированной здесь форме *)), которую оно играет в деле
установления связи матричных элементов S-матрицы с опера-
торами поля, рассмотрим амплитуду рассеяния из начального
двухчастичного состояния в произвольное конечное состояние а.
Запишем
Sa;„-W. Ψρ") = (Ψ^, ΑΤη(ρ)Ψ<,)~ Iim W, A+(P, *)Ψ,)=-
= Jim (ψ°α"', i J" tPxqT{х)&Цх)Чг\ (6.25)
Далее напишем, что
J" d4[ ]- J* d4\ ]-jdx±[ }. (6.26)
Нетрудно понять, что
Iim (Ψ°αα\ i f #V(/4W^= Hm {ΨΤ\Α+(Ρ, /)Ψ,)-
-№. /£*(/>)%)=-№* Ч^Д (6.27)
*) Это асимптотическое условие в действительности может быть строго
доказано, исходя из общих свойств теории поля [5].

ГЛ. 6] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 123
В последнем преобразовании мы учли, что Ψ/= Ψβ = Ψ°" .
Тем самым можно записать
= - / J" dx \(Ψ°α"\ φ* (JC) Ψ,) j^ fp (Χ) ~ (Ψ°α"\ -ц Ψ (Χ) Ψ,) П (Χ) 1 ·
В этом месте мы воспользуемся тем, что fP(x) —решение урав-
нения Клейна — Гордона, так что
Также мы допустим интегрирование по частям, поскольку
fp(x)—решение типа волного пакета, которое лишь в самом
конце будет заменяться на е~*Рх/(2η)ψ. Тем самым получим
iS - 1)α;Ρ9 = < J" dxW", f(x)4,)fP(x), (6.28)
где
(□+μ8) φ· (*) = /-(*). (6.29)
Иначе говоря, если бы мы знали решение уравнения движения,
то мы могли бы рассчитать элементы матрицы рассеяния. При-
ведем соответствующую формулу для спинорных полей. Если
записать
(ψΤ, ψ£) = №. «£(ρ)ψΛ
где
а&(Р)= j <Рх$(х№и0{х),
а ир(х)—решение уравнения Дирака типа волнового пакета,
которое в самом конце мы заменим на и(р)е-{Рх/(2л)31', то
(S - 1 )а. pq = i \ dx (W°aut, f (x) Ψ,) up (x). (6.30)
Здесь
f(x) = *'<3μψ (x) \» + Μψ (Χ)=ψ (x) &x. (6.31)
Другие более полезные выражения, связывающие элементы
S-матрицы с матричными элементами произведений операторов
поля, получены в гл. 7.

Глава 7
РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
В этой главе мы обсудим более подробно следствия асимпто-
тического условия, сформулированного Леманом, Шиманчиком
и Циммерманом (ЛШЦ). Мы продолжим процедуру, привед-
шую к формулам (6.28) и (6.30), и получим редукционные фор-
мулы, выражающие элементы S-матрицы через определенные
полевые величины. Особенно подробно мы рассмотрим случай
мезон-нуклонного рассеяния и получим несколько эквивалент-
ных выражений для редукционной формулы. Эти выражения бу-
дут использованы позднее при обсуждении унитарности S-ма-
трицы.
Рассмотрим амплитуду рассеяния пиона (импульс q, заря-
довое состояние а) на нуклоне (импульс р, проекция спина s,
зарядовое состояние Л), в результате которого получается пион
(импульс q', зарядовое состояние β) и нуклон (импульс р',
проекция спина s', зарядовое состояние В). Распространение по-
лученных результатов на случай бозонов с более сложной спи-
новой структурой очевидно. Начнем рассмотрение с выражения,
полученного в гл. 6 (формула (6.28)), для матричного элемента
R = S— 1. (7.1)
Оно имеет вид *)
<рУ | R | pq) = i j dx (Ψ-',, φα (x) Ψρ) Kjq (x) (7.2)
или, по-другому **),
(p'q' \R\pq) = i\dx(Ψ^„ ψ,(ν)Ψ,) %xuf (x). (7.3)
Следующим шагом можно было бы «свернуть» один из остав-
шихся операторов поля, и здесь существуют несколько возмож-
*) В качестве φα мы рассматриваем эрмитовы поля (а= 1,2,3).
**) Вновь напомним, что 0ψ = (- Λμ3μ+Μ) ψ и -ф^ =■ Щ + <0μ'φγμ.

ГЛ. 7]
РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
125
ностей. Мы будем пользоваться одним из следующих выраже-
ний:
<рУ \R\pq) = ijdx (Ч7;, φα(х) < (ρ)Ψ„) Kjq(x) = (7.4a)
= / J" dx(Wp„ A;ut(q%a(x) Ψρ) KJg(x) = (7.46)
-' J αΧ(ψ^ ^(ρ')φα ωψΡ)^Λ^= (7·4β)
= ' J Λ (Ψ™',, ψ, Μ Л<"+ (9) Ψ0) Э>« (Χ) = (7.4г)
- f J dx (Ψρ„ ^ (/) фл (jc) Ψ,) ®xups) (х) = (7.4д)
- i J d* (Ψ,,, «оиг (ρ0 ψ, (Χ) Ψβ) ^<?> W- (7-4e)
В каждом случае можно заменить in- и out-операторы преде-
лами
0'" = Iim 0(t), 0°"'= lim 0(t). (7.5)
Последнее позволительно делать, только если рассматриваются
матричные элементы этих операторов, связывающие нормируе-
мые состояния. К числу таких состояний относятся состояния
и
φ'=/^(*Κλρ0(*)Ψρ.
Поскольку предполагается, что операторы поля (они надлежа-
щим образом сглажены с функциями типа волновых пакетов)
дают при действии на произвольное состояние векторного про-
странства физические (нормируемые) состояния, то здесь мо-
жет быть использовано асимптотическое условие ЛШЦ.
Сначала преобразуем формулу (7.46). Имеем
ft-. Α°"'(ς')φα(Χ)Ψρ)~^(Ψρ„ A^q', ΟΦα(*)Ψ„) =
- fUmJ J d?yrg. (y)Tm (Ψρ„ φβ (у) φα (х) Ψρ). (7.6)
Мы не можем применить здесь тождество
j d*y\ ]- \ d*y[ ] + jdyJL[ ],
поскольку первый член в его правой части нельзя привести
К виду, удобному для вычислений. На этом этапе возможны две

126 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ [Ч. I
безобидные модификации формулы (7:6), из которых одна при-
водит к выражению типа так называемых У?-произведений,
а другая — к выражению типа так называемых Г-произведений.
Рассмотрим сначала вторую модификацию. Перепишем
lim φβ {у) φα (х) = lim [θ (у0 - х0) φβ (у) φα (λ:) +
+ θ(Λ:ο-#ο)φα(*)φβ(#)]= I'm T{q>Jy)<pa(x)). (7.7)
Выражение здесь не меняется за счет ступенчатой функции.
Вообще Τ-произведение операторов определяется рецептурно:
операторы записываются в порядке следования значений вре-
мени, причем операторы, отвечающие более позднему моменту
времени, оказываются левее. Для фермионных операторов,
чтобы получить надлежащее хронологическое упорядочение, не-
обходимо сделать несколько перестановок операторов. Рецепт
состоит в том, что необходимо сосчитать число таких переста-
новок и ввести дополнительно знак минус, ессли это число не-
четное. Следует отметить, что при этом не нужно брать в расчет
некоммутативность операторов, за исключением знаков «±»
для фермионов. Имеем формулы
Г (Л, (*,)... Ап (*„)) =
= ± \ (*,,) ...Ain (xin), ttl > th > ... > ttn (7.8)
и в частном случае фермионных операторов
Г (ψ (х) ψ (у)) = θ (хо - у0) ψ (х) $(у)-в (у0 - х0) ψ (у) ψ (*), (7.9)
что отличается от (7.7) знаком. Тогда
(Ψ,, <(<?')Φα Μ %) =
=Л!Й.1 / *** ыХ (ψΡ- т fo to) % (х)) ψ„)+
+ i\dy dyt fa Wl (Ψρ„ Τ (φβ (у) φα (Χ)) Ψρ)].
Первый член справа можно опять привести к виду
(ψρ<> Φα(*Μ?ν)Ψρ).
Поскольку состояние Ψρ не содержит ничего, кроме одного ну-
клона, то

ГЛ. 7) РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [27
и тем самым этот член из формулы выпадает. Нам остается
рассмотреть член
i \ ^У, [£ &>К (ΨΡ'. Τ (Φβ (У) Φα Μ) ΨΡ)] =
= * J d^ (У) * „ (ΨΡ, Τ (φβ (у) φα (jc)) Ψ„> (7.10)
При получении последнего равенства мы использовали тот
факт, что ГдЛу) — решение уравнения Клейна — Гордона с над-
лежащим поведением при больших \у\, так что интегриро-
вание по частям было оправдано. В результате получим
(p'q' \R\pq) = P J" dx J" ауГдГ (y) Ky (Ψρ„ Τ(φβ(у)φα (*)) Ψρ) Kjq (x).
(7.11)
Еще одна безобидная модификация, которая приводит к дру-
гому, но эквивалентному выражению для амплитуды рассеяния,
получится, если сначала заменить (Ψρ„ A^ut (q') φα (л:) Ψρ) на
(ψ,, [A£ut(q')t Φα(*)]ψρ)· Они эквивалентны, поскольку
Λβ°%')ΨΡ = 0. (7.12)
Следовательно, можно записать
(^,<(<7') Φα (*)%) =
= lim i j а*уГд,(у)ХлУр„ fV(3(i/), Φαω]Ψρ) =
- lirn i\d^rq.(y)Xx^p„ B{y^x,)[%{y), ψα(Χ)\Ψρ). (7.13)
Здесь вновь мы безнаказанно вставили ступенчатую функцию,
поскольку в интересующей нас области, когда у0—*оо, она
всегда равна 1. Если записать это выражение в виде вклада
при уо = — оо и интеграла по dy0, то мы найдем, что вклад при
Ι/ο = — оо обращается в нуль в силу наличия ступенчатой функ-
ции. В результате у нас останется выражение
i J dy ду, [/;, (У)ТШ (Ψρ„ θ (% - x0) [<ρβ (у), φ„ (Χ)] Ψρ)] =
- i J dyrq, (у) Ку (Ψ„. θ (yti - xQ) [φρ (у), φα (х)] Ψρ),

128
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. X
которое приводит к формуле
(p'q'\R\pq) = P j dx j dyfy(y)X
X^CV ЦУ0~Ч)[\(У)· Фа(*ТОЪ,М- (7-14)
Эта формула содержит ^-произведение, т. е. запаздывающий
коммутатор. Общее определение ^-произведения для бозонных
операторов таково:
Я (Λ, (*,)... Ап{хп)) = Г Σ В(х,-хл)В(х2-ха)...
Р (2, .... и)
... θ(*„_,-*п)[[[...[Л,(*,), А2(х2)\, А3{х3)]. ..], Ап(хп)], (7.15)
где сумма берется по всем перестановкам координат х2, лг3,...
. .., хп. Как в R-, так и в Г-произведении появляются ступен-
чатые функции, так что возникает вопрос, насколько это может
быть совместимо с релятивистской инвариантностью. Вообще
функция
-tt
зависит от выбора «поверхности» t = 0, и этот выбор может
быть изменен посредством преобразования Лоренца. Таким
образом, ступенчатая функция является явно нековариант-
ной величиной. Однако в ^-произведении ступенчатая функ-
ция умножается на коммутатор полей, так что получается
Θ(γ/0 — Хо)[(ра(у), фа(*)]- Поскольку этот коммутатор вне све-
тового конуса обращается в нуль
1фр(#)> Φα(*)1 = 0, {x-yf<0,
то единственная роль, которую играет ступенчатая функция,
сводится к установлению различия между внутренней частью
будущего и прошлого конусов. Но это различие лоренц-инва-
риантно. В Г-произведении мы имеем
Т (φβ (У) Φα (*) ) = θ (Уо ~ *о) Φβ (У) Φα (*) + θ (*о ~ У θ) Φα (*) Фр (У) =
= θ (г/о ~ х0) Фр (У) Φα (*) + [ 1 - 6 (Уо - *о)1 Φα (*) Фр (У) =
= θ (Уо - Хо) [φβ (У), Φα(*)] + Φα(*)φβ(#) (7·16)
и
Τ(Ψ(*)ψ(#)) = Θ(Χ0-0ο)ΨΜΦ(0) - θ(^ο~^ο)Ψ(&)ΨΜ =
= [ 1 - θ {уо - Χο)] Ψ (■*) Φ (0) - θ (ifo - *ο) Ψ (У) Ψ (■*) =-

ГЛ. 7]
РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
129
так что здесь ступенчатая функция также умножается на ве-
личину, которая вне светового конуса обращается в нуль.
Теперь мы выпишем соотношения, аналогичные (7.11) и
(7.14), Для выражений (а), (д) и (е) из (7.4), поскольку они
оказываются полезными в дальнейшей работе. Эти соотношения
таковы:
(p'q'\R\pq) =
= е\\ dx dy (Ψ-',, Τ (φβ (Χ) ψ, (у)) Ψ0) £ Д"? Μ f, Μ =
= ? j ] dx dy (Ψ°;'„ В (X-у) [φα (Χ), Ψ, (У)} Ψ0) ^/Χβ) fo) f fl (*),
(7.18)
<pVI/?Ip<7> =
= ,* J J rfjc dyf;, (у) Ky (Ψρ, Γ (φβ (i/) ψ, (x)) Ψβ) \uf (Χ) =
= /2 J J d* d^ (i/) * „ (ΨΡ<. 6 (0 - *) [φρ (»). Фл W]ψJ 4,"?) W.
(7.19)
(p'q'\R\pq) =
= fjdx dyap (y) ®v (Ψ9„ Τ {% (у) $A (х)) Ψ9) JiUw (*) =
= f J J d* dj«#> to) ·®, (Ψ,„ θ (i/ - *) {ψΒ (г/), фл (х)} Ψβ) ^ω (х).
(7.20)
При реальном вычислении матричных элементов решения клас-
сических уравнений для свободных частиц типа волновых паке-
тов обычно заменяются на решения типа плоских волн.
Аналогичным образом можно получить разные формулы для
более сложных элементов матрицы S. Можно также продол-
жить «свертывание» частиц до тех пор, пока все координаты
частиц будут выражены через поля, а состояния превратятся
в вакуумные состояния. Чтобы проиллюстрировать это утвер-
ждение, получим общее выражение для элемента S-матрицы
через вакуумное среднее Г-произведения операторов поля. Для
упрощения записи ограничимся теорией одного скалярного поля,
поскольку распространение полученных формул на другие слу-
чаи очевидно.
Рассмотрим матричный элемент
(q[q'2 ... Ц>Г \qxq,... q%) - Ш^ fa . -. ?Г I < № | fc · ■ ■ C) =
- {q\ ... Я'Г\ <"'K · · · О -
- \ах^У>---чГ\<Ы\ъ---<)
9 С. Газиороиич

130
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
(Ч. 1
(из-за обилия индексов мы пользуемся для векторов состояния
обозначениями Дирака). Если все импульсы в конечном состоя-
нии отличаются от импульсов в начальном состоянии, то первый
член здесь обращается в нуль. Если бы это было ке так, то
этот член дал бы вклад (если, скажем, qx — q\)
Он описывает ситуацию, в которой реальное взаимодействие за-
трагивает т — 1 падающих и / — 1 уходящих частиц, а одна
из частиц не взаимодействует с остальной частью системы. Мы
предполагаем, что все импульсы частиц в конечном состоянии
отличны от соответствующих импульсов в начальном состоянии,
так что такой особой ситуации не возникает. Тогда из оставше-
гося второго члена получаем
ijdx.fa ... *ΓΙφ(*,)Κ... 4?) **/„(*,> (7-21)
Как и при выводе формулы (7.11), мы перейдем к следующему
этапу, записав
= lim (,;... <?Г' Ι φ (*0 «£ ЫI % ■ · · С) =
- пт fa... ^Г^ОК^КЫ)!^··· С) =
«i J" d\(q[...qrt\T((f(XMx2))\%---^)^f<,Xx2)-
*20=+°°
(7.22)
Здесь мы вновь использовали несовпадение импульсов в началь-
ном и конечном состояниях, чтобы показать, что вклад при
лг20=+оо обращается в нуль, так что остается только инте-
грал по х2 по всему пространству-времени. После обычного ин-
тегрирования по частям получаем
e\dxxdx^q\... яГ'\Т(у(х>)у(х2))\дг... С)Х

гл. π
РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
131
Эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока координаты
всех частиц не перейдут на поля. Окончательное выражение
таково:
(q\ ... д'Г' | <7, - · · С) = ll+m jdy,... dyt dxx... dxj\ fo) ...
• · · f ;&)*„, · · · V(i/„ ...,</,;*„..., хт) X
><V--**mW ■■·'««(*»)■ i7-24)
Здесь мы использовали стандартное обозначение
τ (i/ь · · -, хт) = (Ψο, Τ (φ Μ ... φ (xm)) Ψ0). (7.25)
Между прочим, при обращении времени
х(у„ .... *„,)'-(Ψ„, Г(Ф(й)...ФЫ)?0)' =
= (ψο. ПФЮ-ФМ)^ 7·26)
где у' = (—Уо, У)· Если использовать функции
f"W= (2π)3'2 '
то с помощью зэмены переменных можно доказать, что *)
(rf...#">,...?£)'-(-?,... -tf-|-tf... - ^Г"). (7.27)
Из инвариантности относительно обращения времени, вообще
говоря, следует, что
•^αβ = ^-β. -α« (7.28)
где —β — это состояние β, но с «обратным во времени движе-
нием», причем если у частиц есть спин, то меняют знак не
только импульсы, но и направления спинов. Доказательство
этого утверждения мы предоставляем читателям. Соотношение
(7.28) приводит к принципу детального равновесия, который
всегда относится к квадратам матричных элементов, просумми-
рованным по спинам.
Всякий раз, когда имеется падающий фермион, комбинация
Ыхк)КХк!„к1хк) (7.29а)
с полем, входящим под знак /"-произведения, заменяется на
Φ(**№^Λ(**). (7-296)
*) Здесь —qt обозначает 4-вектор (Vie. —V<)·
9·

132
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
ГЧ. Т
а для уходящего фермиона комбинация
П п
заменяется на _>
η rl
где операторы входят под знак Г-произведения.
Выражения типа (7.24) можно наглядно представить в виде
«заштрихованного блока», в который т должным образом по-
меченных линий входят и из которого I линий выходят (рис. 1).
Рис. 1. Граф, пред- Рис. 2. Графы, опущенные в выражении
ставляющий амплиту- (7.24).
дУ(в;...?;-'|9|...^>
Возможные процессы, представленные на рис. 2, следует опу-
стить.
Рис. 3. Иллюстрация к разложению матричного эле-
мента на «неприводимые» части.
Вообще говоря, выражение (7.24) приводимо в том смысле,
что оно еще содержит произведения «элементов подматрицы»,
отвечающей тому случаю, когда подсовокупность падающих ча-
стиц рассеивается на подсовокупности уходящих частиц совер-
шенно независимо от всей остальной системы. Иначе говоря,
среди членов, входящих в формулу (7.24), будут такие члены,
которые описывают два или более независимых процесса, как
это показано на рис. 3. По терминологии, заимствованной из
статистической механики, формула, которую мы рассматриваем,

ГЛ. 7]
РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
133
содержит как «связные», так и «несвязные» члены. В расчетах
нас будут интересовать только связные члены. Поэтому нас
более интересуют функции ψ(Χ\.. . хп), которые связаны с функ-
циями x{xi... хп) следующим образом:
φ(*]*2) = τ(Λ:1*2).
*<w,>^(Wi), <"·»
φ (xi ... х4) = τ (х, ... х4) - τ (х,а:3) τ (х2х^) -
- τ (xix2) τ {х3хд — τ (лг^) τ (х2х3)
или, вообще говоря,
т(лг! ... *„) = <p(*i ... Α:„) + Εφ(^1 ... Jfife) ... q>(xir ... *!„)· (7.31)
Здесь сумма по А обозначает сумму по всевозможным разбие-
ниям индексов (1, .... п) на различные классы («Ι . .. is) ...
... (tr... in).
„Одночастично"
1 неприводимая
Рис. 4. Пример «одночастично» неприводимой части в S33.
Фактически, даже эти «неприводимые» функции — это не
совсем те величины, которые нас интересуют при расчете мат-
ричных элементов для многочастичного рассеяния. Дело в том,
что они содержат члены, в которых два (или более) матричных
элемента связаны одной линией, отвечающей реальной частице,
что соответствует двум независимым актам рассеяния, причем
одна из уходящих частиц в процессе 1 затем играет роль па-
дающей частицы в процессе 2. Эта ситуация показана на рис. 4.
Только «одночастично» неприводимая часть описывает специ-
фичную трехчастичную часть элемента 5-матрицы. Такое раз-
деление необходимо и при написании уравнения Шредингера
для трехчастичного рассеяния, так что оно не является харак-
терным только для теории поля. Ниже мы будем работать
только с двухчастичными начальными состояниями, так что эти
проблемы нас не будут касаться.
Полученные редукционные формулы выражают элементы
S-матрицы через операторы ц>(х) и я|>(л:), масштаб которых
фиксирован асимптотическими условиями ЛШЦ .(6.24). Если

134
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
конкретизировать стационарные состояния, т. е. вакуумное и
одночастичное состояния, то асимптотическое условие ЛШЦ
означает, что поскольку.
φ (jc) = ехр (?ΡμΧμ) φ (0) exp (- iP^), (7.32)
то отсюда следует, что
(Ψο, Φ (*)%) = β"'** (Ψο, Φ(0)Ψ,)-
= е-1"' (Ψ, φ'« (0) Ψ,) = -^ е«*. (7.33)
С другой стороны, асимптотические условия являются условиями
слабой сходимости, и операторы поля, вообще говоря, не удо-
влетворяют каноническим перестановочным соотношениям, ко-
торым удовлетворяют in- и out-поля. Можно еще записать [1]
(7.34)
[Φα Μ. Φβ Ш^у, = - -^ δαβδ [X - У),
где Ζ2 и Ζ3 — некоторые константы, которые будут рассчитаны
позже.
Чтобы сохранить простое выражение для гамильтониана и
стандартную форму гейзенберговых уравнений движения, иногда
удобнее работать с операторами поля, которые удовлетворяют
каноническим перестановочным соотношениям и поэтому отли-
чаются от написанных выше операторов некоторыми постоян-
ными множителями. Если выбрать эти операторы в виде
Ψ(*) = Ζ2/2ΨΜ, ψ{Χ) = Ζψφ(Χ), (7.35)
то они будут удовлетворять каноническим перестановочным со-
отношениям, но асимптотические условия теперь примут вид
lim (Φ, i \d?x<Q(x)d%(x)4\ = zf (Φ, ΑΙηΨ) (7.36)
и аналогично для других полей. Иначе говоря, редукционные
формулы для S-матрицы, выраженной через операторы ty(x),
<p(jt),..., называемые неперенормированными операторами, от-
личаются от полученных выше формул постоянными коэффи-
циентами. Поскольку имеет место соответствие
φ,„ Μ ч->- φ (х) -*-* -4/2Ф (х) (7.37)
и т. д., то выражения для элементов S-матрицы не изменятся,
за исключением того, что эти выражения -должны быть домно-
жены на множитель Ζ-г /2 для каждого фермиона в начальном

ГЛ.7)
РЕДУКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
135
или конечном состоянии и на множитель Ζ~"2 для каждого
бозона в начальном или конечном состоянии. Например, (7.24)
имеет вид
= Лт (zr'f* J ... J <**,... */,; (у,)... /ς,...
. · · (Ψο, 7" (Φ (i/>) · · · Ψ («J) Ψο) ** · · - /, (xa). (7.38)
V 1 m
Множители Ζ^ /2, ... могут быть в принципе вычислены из
перестановочных соотношений (7.34). Однако оказывается, что
по крайней мере в теории возмущений эти множители вклада
не дают, так что проблема их вычисления никогда не возникает.

Глава 8
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущей главе было показано, как можно выразить
элементы матрицы рассеяния через вакуумные средние Т-про-
изведений операторов поля. Решение уравнений движения пред-
ставляет, конечно, трудную проблему. Кроме теории возмуще-
ний, не существует ни одного метода, который можно было бы
использовать для решения этих уравнений. В теории возмуще-
ний гамильтониан принято разделять на две части:
Η = Н0 + Ητ, (8.1)
где Н0 — гамильтониан, для которого известно, как решить
уравнения движения, а Ητ — гамильтониан возмущающего взаи-
модействия. Поскольку единственная решаемая теория поля —
это теория свободных полей, то в качестве Н0 мы возьмем сумму
всех гамильтонианов свободных частиц с физическими массами.
Это утверждение весьма существенно: величины μ, Μ и т. д.,
которые в свободных лагранжианах играли роль масс свобод-
ных частиц, ввиду возможности самодействия не будут более
равны массам тех же частиц, когда имеет место взаимодействие.
Таким образом, если мы будем выражать Н0 через массы фи-
зических частиц, то в Нг следует включить компенсирующие
члены так, чтобы полный гамильтониан Η не изменился. На-
пример, если
Н = I / d*x \π2 W + (V(P (*> ? + ^o (Φ2 (*)] + #i.
то в качестве Н0 можно выбрать
Н0 = I j йЧ ["* Μ + (V(P <*> )2 + ^кспФ2 Μ]
и тогда

ГЛ. 8]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
137
В этом случае говорят, что Нг содержит контрчлен перенорми-
ровки массы*). Проблема теперь сводится к нахождению вы-
ражений для т-функций по известному Нг. В формальном изло-
жении из соображений простоты мы рассмотрим теорию одного
скалярного поля А(х). Обозначим решение уравнений свобод-
ного поля с каноническими перестановочными соотношениями
π физической массой μ3κ0π через Л<°>(лг),
Формальные решения гейзенберговых уравнений движения
имеют вид (Я = Н{А})
А (х) = eimA (X, 0)e~iHt (8.2)
и (Я0=Я0{Л<°>})
Л<°> (л:) = е"ЬМ«> {х, 0) е-1"·*. (8.3)
Хотелось бы выбрать «начальные» условия, накладываемые на
свободное поле так, чтобы оно совпадало с взаимодействующим
полем при t = 0. Однако это можно сделать, только если мы
будем работать с «неперенормированным» полем S(x) **),
когда действительно можно считать (Л = Z?, А)
А(х, 0)= Л<°)(лг, 0),
а ~ а <8-4>
-§rA(x,0) = jrA^(x,0).
В этом случае неперенормированное поле в произвольный мо-
мент времени можно выразить через оператор свободного поля
в тот же момент времени:
А(х) = eimA (х, 0)e~lHt = elmA®> (x, 0)e~iHt =
т. е.
А (х) = ехр (гЯ {Z~U2A} t) exp (- Ш0 U(0)} t) Л(0> (jc) x
X ехр (Ш0 {Л(0)} t)exp (- Ш [z~mA} t). (8.5)
Здесь мы тщательно отметили зависимость Я и Я0 от соответ-
ствующих операторов. В случае свободного поля Но не зависит
от времени, и можно положить
Но {Л<°> (*)} = Я о {Л<°> (X, 0)}. (8.6)
Я также не зависит от времени, так что
H{Z-,I2A(X)) = H[Z-II2A(X, 0)} =
= Я0 {Л(0) {х, 0)} + Я, {Z~U2A{0) (х, 0)}. (8.7)
*) В этой главе мы будем пренебрегать этой частью #i и рассмотрим
ее роль только в гл. 13.
**) См. замечания в гл. 7, стр. 134.

138
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
Последний переход может вызвать некоторое замешательство,
поскольку обычная форма для Я0{/4<°>} такова:
Я0 = 1 J" d?x [(π<°> (х) f + φΑ<® (х) f + μ2κοπ (Л<°> (jc) )2],
и с учетом того, что Я имеет вид
Н = Τ I dH К Μ + ^Л <*> >2 + ^кспЛ2 М] + Я1 И>.
преобразование в (8.7) кажется неправильным. Дело в том,
что если желательно сохранить форму уравнений движения
■^■А(х) = ЦН, А(х)],
несмотря на наличие перенормированных перестановочных со-
отношений (7.34), то Я необходимо выбрать в виде
Η {А} = 1Ζ J" rf>* [л2 (х) + (VM (х) Τ + μ^πΛ2 Μ] + И, {А},
так что
Я {Z~mA} - Я, {Z-1/21} =±$сРх [й2(х) + (V/(х) ψ + μ2ΚΟΙ/2(*)].
Если переписать это в виде
Я = -g- J" #х[й2(jc) + (Vi4(x))2 + μ!κοπЛ2(х)] + Я, (Ζ-Ι/2Λ~),
то нетрудно понять, что, требуя, чтобы гейзенберговы уравнения
имели тот же вид, что и для свободных полей, мы вынуждены
записывать свободный гамильтониан через неперенормирован-
ные поля. Отсюда следует, что было бы лучше записать полный
гамильтониан (тем самым и лагранжиан) через неперенормиро-
ванные операторы поля Я(х), ф.(х),. ■ . В гл. 13 мы покажем,
что константы связи, которые входят в лагранжиан, не являются
непосредственно измеримыми, так что замена Hj{Z~lPS) на
Нг{Ж), в результате чего
Я = Н0{Л] + Н^А],
сводится просто к переопределению нескольких параметров, ко-
торые, во всяком случае, не входят в выражения для элементов
матрицы рассеяния.
Определим теперь
U(t, 0)= exp(t7/0{,4<°)(x, 0)}t)exp(—iH{Z-lPA(x, 0)}f). (8.8)

ГЛ. 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 139
Дифференцирование этого выражения по t, если обращать вни-
мание на порядок следования операторов, приводит к
~~ = 1еш*Н&-*т - ie™4He-im =
= - iel"*(H - Но) e-iH*eiH*e-iHt =
= - ieim (Я0{Л(0)} + Η г {г~шАт} - Но Μ(0)})<Γ,Η^ (t). (8.9)
Введем обозначение
exp (tf/o {Л(№} t) Я, {Z-II2A'0) (х, 0)} exp (- Ш0 {АЮ)} t) =
= Я, {Ζ_Ι/Μ(0) (х, t)) = Я, (t). (8. Ю)
Как отмечено выше, можно заменить H\{Z~i!2A{0) (x, t)) на
HiiA^ix, t)), что просто приведет к изменению значения не-
наблюдаемого параметра. Будем решать уравнение (8.9)
для матрицы U(t, 0), удовлетворяющей условию
1/(0, 0)=1. (8.11)
Прежде всего, перепишем это уравнение вместе с начальным
условием в виде интегрального уравнения
U (i, 0) = 1 - i J dt'Hi (O t/ (/', 0). (8.12)
о
Решение этого уравнения методом итераций имеет вид
t i r
I/ (f, 0) = 1 - / j dt'Hi (f) I 1 -1 j dfT/, (Г) i/ (t", 0) | =
= 1 - / J Л'Я,(О + (- г)2J df \ dt"H\ {f) Я1 {t") U (Г. 0) =
0 0 0
t t r
-1 -1J <#'я, (О + (- О2 J df J dfT/, (О я, (<") +
о oo
i /' t"
+ (- if j df | df" J df'"Я, (О Я, (Г) Я, (f'") + ... (8.13)
Важно отметить, что поскольку операторы Ях(/) при разных
временах не коммутируют (поскольку не коммутируют сво-
бодные поля А<°>(х, t)), то порядок множителей в подинтег-
ральном выражении существен. Можно, однако, упростить это

140
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. t
выражение, введя ^-произведение. С его помощью (8.13) можно
переписать в виде
U(t, 0) = ^{-1)^ dtY jdt2... J" Λη7-(Я, (/,)... Я, (<„))· (8.14)
rt-0 0 0 0
Поскольку, однако, произведение T(HI(ti)Hi(t2) ■. . Hi(tn)) сим-
метрично по переменным t\, t2,...,tn, области интегрирования
по ii во всех интегралах можно распространить вплоть до t,
а повторения учесть, разделив все на п\ Например,
t t
±- J dtx \ dt2T (Я,(*,) Я,(*2)) =
о о
< <, t t
= ~к5 dti! dkHi ΜHl Μ + ¥Γ i Λ· i ^2i/l (i2) я'(il) =
оо о и
it, it,
= ±- J df, J Л2Я, (f,) Я, (f2) + ^- { <tt2 J" Л.Я, (<2) //, (f,) =
0 0 0 0
t и
= Jdtijdt2H1(tl)Hl(t2)
о о
и т. д. Таким образом, получаем
t t
U(t, °) = S±^f-J^i ... j dtJ(HAti)... Я, (*„)) =
n=o
Τ exp
-//я,(/о
df
Оператор {/ (/, 0) унитарен, поскольку
t/ (i, 0) i/+ (i, 0) = emae-mtewte-w4 = j_
(8.15)
(8.16)
Если записать Τ I exp
в виде
lim exp J - г f Я, (f) dt'\ exp ( - г f Я, (f) dt'\ ...
Δ+° \ Λ J V f-2A /
/ <η+1)Δ \ / Δ \
...exp (-г J #,(*')<«') ...expl-ij Я,(0<И']'

ГЛ. 81 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 141
то нетрудно видеть, что обратный ему оператор имеет вид
lim
i exp It |я,(Г)Л')ехр li j Hi(t')dt'\ ...
t (η + »Δ \ ft \
... exp Ii J Я,(П df I ... exp \i J //,(f) d/'J.
Если ввести Т'~ символ антихронологического произведения,
то можно записать
t
U+ (i, 0) = Г exp
i j Я, {t') at'
(8.17)
(8.18)
Величина U (t, tr), определенная равенством
U(t, t')^U(t, 0)U+(t', 0),
преобразуется в
U (t, П = т1 exp -i\ Hi (t") dt" J Г I exp i j ^Г'Я, (Г) I =
= Τ I exp - i J dt"Hi (t") I. (8.19)
Рассмотрим теперь вакуумное среднее произведения операто-
ров (Ψ0, A(xt) ... Α(Χη)Ψ0). В дальнейшем мы опустим про-
странственные координаты и запишем
(Ψο, Л (<,)... М*п)Чо) =
= (Ψο, U+ (/,, 0) Л<°> (i,) t/ (<ь 0) i/+ (<s> 0) Л<°> (i2) {/ (f2> 0) t/+(f3, 0) ...
. · · л<°>(/„) i/ (i„, ο) ψ0) = (ψ0> t/+ (*,, о) л<°> (<,) с/ (/„ t2) л<°> (is) x
X i/ (<2t У ... Л<°> (<„) i/ (*„, 0) Ψ0). (8.20)
Поскольку мы имеем дело с операторами свободного поля, то
было бы полезно выразить физическое вакуумное состояние Ψ0,
которое является состоянием с наименьшей энергией гамильто-
ниана Н, через векторы состояния, характерные для теории
свободного поля. В частности, было бы полезно представить Ψ0
в виде некоего оператора, действующего на Ф0 — вакуумное со-
стояние свободных частиц, для которого
Л?(х)ф0 = 0, (8.21)
где Л+(х) — часть оператора Л(°)(лг), ответственная за уничто-
жение.

142
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. I
Чтобы получить требуемое соотношение, рассмотрим вели-
чину
lim (Φ,, е1тФ2),
в которой <Ei и Фг — какие-либо два нормируемых вектора со-
стояния, построенных с помощью операторов свободного поля.
Это соотношение можно переписать, используя условие полноты
векторов состояния ψ„, являющихся собственными векторами
оператора Н,
lim (Ф„ ешФа)= Нт 2 (Φ., Ψ„) *'*«'(ΨΒ> Φ2) =
= lim Γ(Φ„ Ψο)(Ψ0, Φ2)+ Σ β'£-'(Φ1, Ψ„)(Ψ„, Φ2)1· (8-22)
Если теперь предположить, что в теории нет никаких безмас-
совых частиц, так что наименьшее знгчениё энергии во втором
члене равно μ3κοπ, то при \t\ —>· со осцилляции в экспоненциаль-
ном множителе становятся столь быстрыми, что второй член в
(8.22) по сравнению с первым оказывается исчезающе малым.
Нам неизвестно, при каких условиях справедливо такое обоб-
щение леммы Римана — Лебега. Поэтому мы будем предпола-
гать, что рассматриваемая теория в должной мере свободна от
патологических особенностей, так что вторым членом в (8.22)
действительно можно пренебречь. Иначе говоря, получим
lim (Ф„ ^ШФ2) = (ФЬ Ψ0)(Ψ0, Φ2) (8-23)
для любого вектора состояния Ф1 теории свободного поля, так
что можно написать слабый предел
lim β''//'Φ2 = (Ψο, Φ2)Ψ0
ψ» = 7ψΙφΓ lim е'Шф- (8·24)
или, по-другому,
В частности *),
Ψ0= lim — = lim -, -■„, " =
t+-m (Ψ0,Φ0) Ι-^-ο.(Ψ0,β-'Η·'Φ0)
_ iim t/+(f,0)O, ,R 25
Аналогично получим
*) Впервые эта формула была получена в работе [1]. Данный здесь вы-
вод был подсказан мне Р. Хаагом.

ГЛ. 8]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
143
Окончательно имеем
(ψ0) λ(*,)... л(д?0) =
|im (Ф0, U (Г, f,) Л"» (<,) t/ (f„ /,) Л<°> (/,) ... U (f„, Г) Ф0) i82_v
г"+« (фо- i/ (Τ". 0) Ψ0) (Ψο. U+ (Τ\ 0) Φ„) · \ ■ Ι
J-'->_oo
Знаменатель здесь можно преобразовать следующим образом.
Заметим, что
lim (Ψ U+{T\, 0)Ф0) = lim (Ψ0| е1«т'е~^т'Ф0)
Γ'_>_οο
7"-»-°°
lim (Φο, £/(Γ, 0)Ψ0)= lim (Φ0, β'Η·Γβ-'ΗΓΨ0).
С помощью (8.24) эти выражения можно переписать так:
lim (Фо, U(T, 0)Ψ0)(Ψ0, U+(T', 0)Ф0) =
Г->-°о
= lim (Фо. е'"·^-'"^)^, β,ΗΓβ-'Ηο7*Φο)=·
Г'-»-оо
- lim Σ(Φο, ε?'Η»Γβ-'ΗΓΨ„)(Ψ„, £><'иг'е-ш„г'фо)==
Г->+оо η
Г-»-оо
= lim (Фо,и(Т,0)и+(Т',0)Ф0)= lim (Ф0, [/(7,Г)Ф0). (8.28)
Теперь можно написать
(Ψ0, Г(Л(*,)Л(х2)... 1(*„))Ψ0) =
= lim
Г "со (Ф0, 1/(Г,Г*)Фо)
Г"-*-оо
/ /
Фс, Г ехр
\ \
(■
Г Ι
- * J" Я i (0 Л
У" —
\, Τ Ι ехр
— I
г
\ \
Л<°>(х,) ... »<0,(*п))<М
/ /
f я, (0 л
Μ
. (8.29)
Если в теории есть частицы спина 1/2, то нужно будет рассмат-
ривать величины типа
н (Ф-г(-)Ф.)
«"» (фо. 1/(Г,Г")Фо) '
Г
Г"-*-°о
(8.30)

144
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. Г
где (...) обозначает ехр
г
-i J Я, (t) dt
τ»
A*» (*,) ... ψ<°> (У1)
■ψ(0) (Уи) ^>φ) (z\) ■ ■ ■ "Ψ(0) (zk>- Следует отметить, что число опе-
раторов ψ(0) и ψ<°> обычно бывает одинаково, поскольку все из-
вестные частицы спина 1/2 являются носителями какой-либо
характеристики, представленной сохраняющимся квантовым чис-
лом (заряд, барионное число, гиперзаряд и т. д.). Для всех из-
вестных частиц спина 1/2 античастицы отличны от частиц*). Тем
самым выражения для элементов матрицы рассеяния инва-
риантны относительно замены
ψ—>·β-/αψ, φ->· е"Ч]>.
Нашей следующей задачей является разработка техники вы-
числения выражений типа (8.30). Предположим, что гамильто-
ниан взаимодействия записан как в простейшей модели Юкавы
Я,(0=- j d3xj^A^(x),
(8.31)
где ток }<-0){х) не содержит операторов А(°)(х). В действитель-
ности #i(0 будет также содержать контрчлены перенормировки
массы, но они в данный момент не рассматриваются. Интере-
сующая нас величина имеет вид
Фо> Τ ехр
X
■/ \d№x{t)
— оо
х л<°> (*,)... л<0) ω /> ш ·. ■ ^ ы) φ J =-
= Vbi>l Γ ... fdu,... </«„(Φο. 7" («Я?, (к,)... #?, («J Χ
Χ Л(0) (*,) · · · ^ Μ Ψ<0) Μ · · · Ψ(0) (Ζ*)) Φο), (8.32)
^?1(г/) = -/(0)(»)Л(0)(«). (8.33)'
Поскольку /0)(л:) не содержит операторов А(0)(х), а последние
являются операторами свободного поля, то
\f (и), Л<0)(*)] = 0. (8.34)
где
*) В принципе могли бы существовать нейтральные частицы спина V2,
которые совпадали бы со своими античастицами, но такие «нейтрино Майо-
рана», кажется, не существуют.

ГЛ. 8]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
145
Поэтому выражение (8.32) можно записать так:
Χ (Φ0, Τ (Л<°> Μ · · · Л<™ (и„) Л<°> („) ... Л<0) (хт)) Ф0) X
Х(фс, Τ(f* Ы ■ · · Л«п)*П Ы · · · ФП ЫФ<0)(г,) · · · гГ'Ы)ф0).
(8.35)
Чтобы рассчитать первый множитель, введем функционал
& (/)=(ф0, Τ (ехр [— г J dxJ (х) Л(0) (*)] ) Ф0). (8.36)
Вакуумные средние ^-произведений можно получить функцио-
нальным дифференцированием по J(x). Именно,
(Фо, Γ^ω.../'ω)Φο) = (^
(8.37)
Если мы сможем вычислить значение функционала &^"(/), то
все Г-произведения мы найдем без труда. Вычисление этого
функционала действительно возможно, поскольку поле Л<°>(х)—
свободное поле, о котором многое известно. Процедура вычис-
ления состоит в разложении этого поля на положительно и от-
рицательно частотные компоненты*) А{+(х) и A*l. (х) и в ис-
пользовании того факта, что для вакуумного состояния
Л?(л:)Ф0 = 0.
Рассмотрим функционал
<Г(7; 0= Фо, Τ ехр
■/ J dx0j d3xJ(x)A«»{x)
(8.38)
|Фо · (8.39)
Определим, далее, величину W(t) с помощью соотношения
Τ ехр
■i j dxJ (x) Л(0) (х)
— оо
= Τ Ι ехр
— I j dxJ (x) Л10) {х)
W(t). (8.40)
*) Условно член, содержащий оператор уничтожения и множитель типа
плоской волны е_<*х, называют положительно частотным членом.
10 С, Гезиорови*

146 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
Дифференцирование его по t приводит к уравнению
W(t) =
[Ч. I
)
— i f d3xj (х) Л<0) (х) 74 ехр — if dxJ (х) л!? (х)
Xo=t \ |_ -оо
= —i [ (fxJ (х) А!? (х) Τ I ехр — г | d*/ (*) л!? (*)
JC0=i
W(t) +
+ Т ехр
— г f dxJ(x)Ai-)(x)
dW
at
Теперь, вспомнив, что два оператора рождения свободного поля
коммутируют, получим, что для любых времен
[Л»(х), Л? (01-0.
Вследствие этого можно опустить символ Г-произведения и
после некоторой перегруппировки членов написать
( * )
. dW
dt
■■ ехр i f dxJ (x) A® (x)} f d3yj (у) Л? (y) X
X exp
■i J dxl (x) A™ (x)
— oo
t
W(f) =
= | dV(i/) Л^ДО-Н Jd*/WU!?(x), A™(y)]
ya=t
W(f). (8.41)
Начальное условие для оператора W{t) таково:
W(— oo)=l. (8.42)
Поэтому решение дифференциального уравнения (8.41) имеет вид
W (t) = ехр
-i fdyI(y)A®!(y)
X
X ехр fdy f dxJ (у) J (х) [Л!? (х). Л? (г/)] (8.43)
I —оо _оо J
и
W (оо) = ехр [- i J rfy/ (г/) А® (у)] Х
X ехр { f f dy dxQ (y0 - Xo) J (y) J (x) [л? (*), Л<? (у)]}. (8.44)

8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 147
Отсюда, используя (8.38), получим
& (J) = (Фо, ехр [ - i J dyl (у) А® (у)] ехр [ -i | dr/7 (у) Л<? (у)] Ф0) X
X ехр { J J d* dy/ (*) / (t/) θ (i/o - *ο) И?? (ж), Л? (у)]} =
= ехр { - J { rfy Ле/ (i/) / (*) θ (i/o - *o)} [Λ!? (i/), Л(°> (*)]. (8.45)
Дальнейшее продвижение связано с расчетом оставшегося
коммутатора. Имеем
[А*Цу), A^ix^-^j^e-^yj^e^lAik,), Л+(*2)] =
= __L· Г^!*_е-«(х-й
(2π)3 J 2ω*
Далее,
θ (г/о - аго) [л^ (^), /.!?(*)] =
= _i_ Г ^λ ρ»-λ Ο/ρ-*,) ' f^.e-''fi,ft(i'o-JCo)e<ft(y-*) =
(2m·) J λ - /ε (2π)3 J 2oft
oo
= 7*W /х^-/^ехР{-г'(^-Я)^о-^о)}ехРР(у-лг)}=
— oo
= (2^{^еХР(-г>^-*>>2^ mp-i.-fe·
Эта величина умножается на функцию, симметричную по л;
и г/, именно на J (у) J (х). Поэтому экспоненту в (8.45) можно
записать в симметризованном виде
— J dx J dyJ{x)J(y)-^-jdpexp(—ip(y-x))^X
Xf ' + i ) =
\ ωρ + p0 - ie ap + p0 — te )
^\\dx dyl (x) J [у) -r^; f dpe-'" to-*» -2 V^
"эксп
p-ip (v-x)
эксп + te
5~ Τ j j d* ^ W JMAF{y- X> ^ксл)· (8·46)
10·

148
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
Здесь мы определим так называемую причинную функцию рас-
пространения Фейнмана *)
i 2 \ 2i Г е-«'Р (</-*>
AF {х - у; цэксп) = -jn-y dp —2 2 — · (8·47)
Вообще говоря, зависимость от V?Kcn мы будем опускать. Тем
самым
& (J) = exp { - \ J j dy dxJ (y) AF (y-x)J (x)}. (8.48)
Очевидно, что вакуумное среднее от произведения нечетного
числа операторов А{)(х) обращается в нуль. Первые два не-
тривиальные вакуумные средние таковы:
(Ф0, Τ (Л<0) (*,) Аф) (х2)) Ф0) = 1 Δ^ {хх - х2) = 1 Д^ (дг2 - х,) (8.49)
и
(Ф0, Τ (Л<°> (Xl) Л(0) (х2) Л<°> (*3) Л<°> (х4)) Ф0) =
= -^AF (xi - х2) AF (x3 - х4) + -j AF (xi - х3) AF(x2 - x4) +
+ jAF (*! - хА) AF (x2 - x3). (8.50)
Для разложения выражения
(Ф0, Г(Л<0Чх,)Лет(х2)...Л(0>(х„))Ф0)
по γ AF (xt ~ Xj) можно дать некий графический «рецепт». Ка-
ждую переменную Х\, х2 хп помечаем точкой. Затем связы-
ваем эти точки в пары (xlt xit), (x2, xt,) и т. д. (напоминаем,
что η должно быть четным). Для такой конфигурации выпи-
сываем произведение
γ AF (Xi - Xi,) J AF (X2 - Xl2) 2" Af (X3 - Xl3 ) .
Тогда (Фо, Т (Л(0) (х,)... Л(0) (хп)) Ф0) задается в виде суммы та-
ких членов, соответствующих всевозможным конфигурациям, т. е.
всевозможным спариваниям. Следует отметить, что спаривание
(Xi, Xj) не должно считаться отличающимся от (Xj, xt). Предо-
ставляем читателям самим убедиться в том, что эта процедура мо-
жет быть распространена на фотоны и векторные мезоны при усло-
вии, что -^AF(Xi — Xj) заменяется на (Ф0, Τ {А{® (х{) Л(1,0)(ху))ф0).
*) Принятое здесь определение причинных функций совпадает с опреде-
лением их в книге Швебера [2]. Заметим, что в книге Бьоркена и Дрелла [3]
принято другое определение.

ГЛ. 81
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
149
Теперь мы должны получить выражение для
(φ0, Τ (/<°> (щ) ... /°' (ип) ψ» (У1) ... ψ<0) Ы Ψ(0) fo) · · · Г (zk)) Фо)·
(8.51)
Выберем f0)(u) в виде
/(Ο,(") = ^0)(Μ)Γαβ4ο>(«), (8.52)
где Γαβ — некая 4 X 4-матрица, которая будет определена в
дальнейшем. Ток мы определяем в нормальной форме, так что
(Фо, /(%)Ф0) = 0.
Опять сконструируем производящий функционал, который
связывает поле с классическим источником. В данном случае
нужно написать
<Τ(η,η) =
= (Фо, Τ ехр { - / J dx [η (Χ) ψ<0) (x) + ψ<0) (x) η (ж)] } Φ0) . (8.53)
Поля ψ<°) и ψ(°), разумеется, антикоммутируют, так что порядок
их расположения в Г-произведении определяет знак ^-произве-
дения. Например,
(Фо, Τ (V°> (х) Ψ(0) (у)) Фо) = - (Фо, 7" (ψ<0) (i/) ψ(0) (ж)) Фо)· (8.54)
Последним свойством можно будет воспользоваться в методе
функциональных производных, только если источникам η и η
также приписать антиперестановочные свойства*). Поэтому
потребуем, чтобы
{П(х), Ц{у)} = {ц(х), η(0)} = {η(*), η Ш = {η Μ, η (if)} = 0,
так что
δη (х) δη ({/) δη (</) δη (х) ' δη (x) δη ({/) δη (</) δη (x) ' ' ' ' K°-D0)
Интересующее нас ^-произведение (8.51) можно теперь за-
писать в виде
(Фо, Τ (ψ'°> (И1) ψ(0> («,)..- ψ<0) (ип) ψ(0) (ип) ψ(0) Ы ... ψ(0) (Ζ4)) Фо) =
(8.56)
. δ δ δ . δ ^ . _,
~1 δη(Ζ*) · · · 1 δη ({/,) · · · 1 δη («,) ' δη («,) ^ ™ ^
η=η=0
*) В силу своих антиперестановочных свойств η и η не могут быть на-
стоящими классическими источниками. Они не могут быть ими потому, что
сами должны преобразовываться как спиноры, чтобы произведения ηψ и ψη
оставались скалярами. В действительности этот факт не составляет проб-
лемы, поскольку η и η нужны нам только для вспомогательных расчетных
целей.

160
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
В действительности это выражение не полно, ибо мы еще не
учли нормальную форму тока, что будет сделано на последую-
щем этапе. Этот функционал мы вычислим, разлагая вновь опе-
раторы свободного поля на части, ответственные за рождение
и уничтожение,
ψ(0) (X) = ψ? (Χ) + φ!? (Χ), ψ(0' (Χ) = φ» (Χ) + φ? (Χ)
и записывая функционал в такой форме, в которой вакуумное
среднее примет особенно простой вид. Определим оператор
G (t) в виде
Τ (exp J - i J" dx (η (x) ψ(0) (x) + φ(0) (x) η (x)) Π =
= Τ I exp { - i J rfjc (η (ж) ψ(® (*) + ψ- (x) η (x)) 1 J О (t). (8.57)
Преобразования, полностью аналогичные тем, что привели нас
к формуле (8.41), дают
dG(t)
dt
t
-°° yet
t
■i J dx J dVi (y) {ψ? (i/), φ<? (*)} η (*)
Это уравнение интегрируется без труда. Имеем
G(t). (8.58)
G (0 = exp J -i J rfy (η (у) ψ? (у) + φ? (у) Ц(У))\Х
X exp I - J d« f ауц (y) {ψ? (у), Ψ? (*)) η (*) } X
\ — oo —oo '
X exp { J d* J ° аУЧ {у) {ф(-> (у). Φ? (*)] 'I W }.
—oo — oo

ГЛ. 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 151
где в последнем члене мы переменили немые переменные х
и у. Следовательно,
= (Фо. Τ (exp {_ i j dx (η (x) ψ? {x) + ψ<? (*) η (x)) } ) G (oo) Φ0) =
= exp { J d* J di/η (y) [Θ (*„ - </0) {ψ(- (i/), Φ? (*)} -
- θ (jfo - *o) (Ψ? (у), ψ(°> (*)} ] η (*) }. (8.59)
Теперь можно вычислить члены в экспоненте. Прежде всего,
X е-'Р^нМ (Pl) βΙΛ*«Μ (ρ2) {α<*> (р,), а<г>+ (р2)} =
-wi^'^l?· (8·60)
Здесь через Μ обозначаем экспериментальную массу. Анало-
гично
№(у), ψ? (Л)} = _-^г Jds^ipto-x)^.. (8.61)
В силу этого член в квадратной скобке в (8.59) примет вид
- е (и. - *) рйр- J |£ е-'" <*-*> (м + р) -
- θ (хо - у0) J" ^г е'» <У~Х) (М - β) =
= W J ^ 2£р (Г-р7- IB) <M + **&' -*-Р> +
" wi^-'^-^^e. (8-62)
в чем можно убедиться, учтя представление для ступенчатой
функции
оо
1 f „/λ (l/o-Xa)
otob-xo)--^ J^Vt^·
—oo

!52
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
;ч. 1
Если теперь ввести величину
SP(x)^-(i^dlk + M)SP(x), (8.63)
то получим
& (η, η) = exp { i- J J rfy rfjcrj (r/) Sf (r/ - x) η (*)}. (8.64)
При выполнении функционального дифференцирования, как
и в формуле (8.56), необходимо следить за расположением
множителей η и η. Тем самым, чтобы получить выражение
(ф0, Τ (ψ№) (у) ψ'0' (х)) Фо). необходимо потребовать
6
6
= i
βη(*) ^ Щу){\\ I dudv^u)SAu-v)^v)) =
ыцу)
(± j аиц(и)SF(u-x)) = -±SF(V~x)- (8-65)
Четырехточечное вакуумное среднее можно записать аналогич-
ным образом:
(Фо, Τ (ψ<« (*,) ψ(0) (х2) ψ(ω (х3) ψ<0) (х4)) Фо) =
= -^SF (xi - хл) SF (х2 -x3)-j SF (xi - x3) SF (x2 - хА). (8.66)
В общем случае процедуру можно опять представить графиче-
ски. Обозначим точки, ассоциируемые с полями ψ(0), как У\, у-г,
уз, ■ ■ ., а точки, ассоциируемые с полями ψ<°>, как zu z2, z3t...
Число таких точек должно быть одинаково, в противном случае
вакуумное среднее равнялось бы нулю. Соединим теперь каж-
дую точку типа ф(°> с точкой типа ψ<°>. Линии, соединяющие
точки, должны быть направлены, причем стрелка должна быть
ориентирована от точки типа ψ(°> к точке типа ψ^0'. Каждой ли-
нии, связывающей (Zj—>«/_,), мы сопоставим множитель
-jSpiyj-Zt).
Рассматриваемая конфигурация будет иметь знак «±», в зави-
симости от того, нужно ли при переходе от выражения
(Фо, Γ(ψ<0,(^Ψ(0)(^...ψ(0,(Ζ1)...)Φο)
к выражению
(Фо, Τ (ψ<™ (У1) $*» (г,,) ψ<°> Ы ф<°> (2|1)...) Фо)

ГЛ. 8]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
153
произвести четное или нечетное число перестановок операторов.
После этого все произведения, ассоциируемые со всеми такими
Уг У г Уз
(-)
У/ Уг Уз
(+)
У> Уг Уз
z, гг 2j
1-)
Рис. 5. Некоторые графы и ассоциируемые с ними знаки
для шеститочечной фермионной функции.
графами, складываются. На рис. 5 эта процедура продемон-
стрирована на примере
(Фо, Τ (V0) Ы Ψ(°> Ы Ψ(0) (i/3) Ψ(0> fe.) Ψ(0) (г2) ψ<°> (z3)) Фо>
Нетрудно видеть, что это выражение можно также переписать
в виде детерминанта, который автоматически учитывает
знаки *):
(Фо, Τ (ф« (у,) ... ψ(0) Ы ψ(0> (Ζ|) ... ф™ (г„)) Ф0) =
--9-5^(^,-2,)
--KSF{yi-zJ --5-Sf (^ - гз)..,
-ySffe-Zi) --^^(г/г-^г) --g-Sf (y2 - z3) ■
(8.67)
Учет влияния нормальной формы тока сводится к исключению
линий, выходящих из некоей точки щ и входящей в ту же са-
мую точку.
В выражении
(Ф0, Τ (Г (ид .. · /<0) (ип) ψ(0> Ы ... ψ<0) (г,)...) Ф0)
точки «1, и2,... ,ип служат одновременно и конечными (по-
скольку здесь есть ψ<°)(«/4)) и начальными точками линий (по-
скольку здесь есть ψ(°)(«4)), так что эти точки играют роль
*) Как показывает рассмотрение диагонального члена, полный знак ра-
_η_ η i_
вен (—1) .когда η четное, и (—I)2 2 , когда η — нечетное.

1Б4
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
узлов, в которые входят и выходят направленные фермионные
линии. На рис. 6 показан граф для (Ф0, 7Χ/<°>(«)ψ<ο>(#)φ<ο>(;Ζ))φ0).
Теперь, когда получены правила вычисления двух компонент
выражения (8.35), нетрудно видегь, каким образом их можно
объединить. Графический способ состоит в сопоставлении точек
на графе с координатами и\, и2,...,ип, i/i,·-·, zu...,zt{ ив
проведении всевозможных связывающих линий между ними. Ка-
ждому такому графу соответствует математическое
выражение, состоящее из произведения ассоциируе-
(+) )а мы* с ним γ SF- и 2 А^-функций. По координатам
щ, ..., ип следует произвести интегрирование. Они
тем самым являются немыми переменными, так
что все графы, отличающиеся только перестанов-
Рис. 6. Граф, кой координаты ии .. -, ип, эквивалентны. Всего
иллюстрирую- Таких перестановок будет п\, так что можно рос-
ший роль сматривать только разные графы и опустить в (8.35)
у (") как множитель 1/л!. Множители Γ„β, входящие в опре-
«узла». ' ар' 1
деление токов, должны быть поставлены в узловых
точках «j между Sp-функцией, описывающей выходящую линию,
и 5р-функцией, описывающей линию, входящую в щ.
Чтобы перейти к элементу матрицы рассеяния, мы должны
еще подействовать на (8.35) соответствующими дифференциаль-
ными операторами Клейна — Гордона и (или) Дирака, которые
действуют на координаты {xt}, {у{} и {гг}. Их действие сводится
к удалению некоторых SF- и D^-функций с заменой последних
на б-функции, поскольку, как явствует из (8.47) и (8.63),
KAf (х -1) = (□ х + μ2) ~~ \ dp -f^^ = - 2/6 (х -1) (8.68)
и
(- *νμ<5μ + М) SF (у - η) = - (Π + Μ2) Δ, (у - η) = 2»δ (у ~ η),
<-
SF (| - г) (Μ + iyd) = 2гб ft - г). (8.69)
После такого «отсечения внешних линий», как иногда называют
этот процесс, полученное выражение следует еще умножить на
волновые функции падающих и уходящих частиц и выполнить
заключительное интегрирование, как показано, например, в
(7.11). В качестве иллюстрации рассмотрим матричный элемент
мезон-нуклонного рассеяния в четвертом порядке по константе
связи:
Г г jq'xigip'yt -> ->-
J ... J dx2 dy2 dxx dyx —щ-3— К*®» х
x (Ψ0, τ (ψ (у2) ΦΡ (х2) Φ Q/i) φ„ (*i)) Ψο) Kx&y> · (2π)3 · (8·7°)

ГЛ. 8] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 165
который возникает в теории с гамильтонианом взаимодействия
Hi = ig: /ψ(*)γ6ταψ(*)φα(*)<*3*:· (8·71)
Графы, соответствующие ^-произведению
■ ■ ■ €1Ы ψ(0) (*«) чР Ы < Ы *(0) (Уд) фо).
показаны на рис. 7. Подробности расчета приведены ниже для
графа, отмеченного индексом (6 — 1). Его вклад таков:
{igf J ... j dux ... dut (- -~) SF(i/2 - "4) Ys^c» X
X (~ I") Sf *"4 ~ "3^Υ&τα3 (~ i) Sf *"3 ~ "^ %т<й X
X ( - γ) S/, («2 - «1) γ5τα, (- γ j SF (u, - #,) δα,α4 X
X (у)Мы4-"1)бваз(у)М*2-"з)баа2(^)АИ«2-*1)· (8-72)
Действие операторов Дирака и Клейна — Гордона исключа-
ет линии, ведущие к точкам, по координатам которых нет
интегрирования (отсюда название «отсечение»). Отсечение
сводится к заменам ^-^F{x — ξ) на iKxi-^Afix — ξ) I = б(д: — ξ);
—^SfUj-ц) на - 2-/3νΜΓ/-η) = δ(«/-η) и - -L SF (ξ - z) на
f ( - γ SF (ξ — z)\ ^г = δ (ξ — z). В результате получим
fe)4 Υ5τα, ( ~ Υ Si*(to ~ *s)) Ys^p ( - \ SF (x2 - X,)) X
X Ys-fa ( - \ Sp (x, - i/,)) γ5τθ1 (1 Δ/, (y2 - у,)).
Отметим, что по повторяющимся индексам производится сум-
мирование (в данном случае это — индекс у τα,). Это выраже-
ние следует теперь домножить на волновые функции и произ-
вести заключительное интегрирование, приводящее
■j2^jr(ig)4 J .·■ \ dx2dy2dxidy1eli'x'eiP'y'e-i^e-ipy>x
X й (ρ') ν5τα1 ( - γ SHto ~ *2)) γ5τρ ( - 1 SF(x2 - *i)) Υ5τα Χ
x(-±SF{xi-Уд) Υ5τα," I?)i Ьр(to - i/i)· ' ,(8.73)^

156
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
В следующей главе мы приведем правила Фейнмана для рас-
чета элементов матрицы рассеяния. Не все этапы, приводящие
(S-1)
>--<
(в-/)
о
Ш'8)
: φ
(6-1)
(б-з)
V-4)
) (
(ж-/)
о
о
I
х'о
I
{Sii!~S)
(ж-3)
Φ
(и~П
iu-2)
(г-П
(е-В)
О
I
I
(и-3)
(и-«) {и-5)
Рис. 7. Графы четвертого порядка для пион-нуклоииого рассеяния.
к ним, будут описаны подробно. Поэтому мы хотели бы просто
упомянуть о некоторых предписаниях со ссылкой на графы
рис. 7.

ГЛ. 8]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
187
1. Графы типа (и) в действительности не появляются, если
учесть то обстоятельство, что в теории возмущений выражение
для S-матрицы делится на (Фо, U(сю, —оо)ф0). Если этот зна-
менатель разложить в ряд, то такие графы будут сокращаться
с произведениями членов низшего порядка из числителя (напри-
мер (и — 4, 5)) на члены из знаменателя. Это означает, что
вакуумные флуктуации не дают вклада в рассеяние.
2. Графы типа (ж) описывают мезон и нуклон, движущиеся
независимо, и они в действительности не дают вклада в выра-
жение S — 1 = R. Вообще говоря, представляют интерес только
связные графы.
3. В некоторых теориях не все графы дают вклад. В рассма-
триваемом примере, как можно показать, вклад графа (е—1)
обращается в нуль в силу симметрии. Причиной тому является
сохранение четности. Замкнутая петля, с входящими в нее тремя
мезонными линиями, приводила бы, если бы она не обращалась
в нуль, к переходу из одномезонного в двухмезонное состояние.
Далее, один мезон имеет момент и четность 0~. Двухмезонное
состояние с орбитальным моментом / имеет четность (—1)', и
с учетом сохранения момента нетрудно видеть, что четности этих
состояний не согласуются. Эти графы могут обращаться в нуль,
также если имеют место внутренние симметрии.
В заключение приведем без доказательства следующее
утверждение. В тех случаях, когда лагранжиан взаимодействия
содержит производные операторов поля (как в случае взаимо-
действия векторных мезонов и мезонов спина 0), канонический
импульс, помимо производной от поля по времени, включает
члены, зависящие от взаимодействия. Это обстоятельство при-
водит к появлению в гамильтониане взаимодействия некоторых
нековариантных членов и к некоторым усложнениям техниче-
ского характера в теории возмущений. Этих усложнений удается
избежать, если для U{t, V) записать следующее выражение*):
U (t, П = Т (exp \i J dxJS'j (x)\). (8.74)
*) В действительности, при наличии производных формулы (8.19) и
(8.74) отличаются друг от друга не только заменой &£\ (х) на JS'i ух).
В формуле (8.19) должен стоять символ дайсонова Гп-произведения, опреде-
ленного выше прямым хронологическим упорядочением. В формуле же (8.74)
должен стоять символ викова 7"№-произведения, определенного правилами
разложения по теореме Вика (см. [4]). Как показано в работах [5], эти два
типа 7-произведений при наличии производных от полей не совпадают. Фор-
мула (8.74) с Τw -произведением действительно явно ковариантна. Однако у
формулу (8.19) с Тп-проиэведением есть то преимущество, что она явно уни-
тарна. Для формулы (8.74) последнее, вообще говоря, несправедливо. (Прим.
ntpte.)

158
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч.
Следует также помнить, что полученное выше выражение для
элемента матрицы R нужно домножить на 1г " для каждой
внешней мезонной линии и на Ζ^ ' для каждой внешней фер-
мионной линии. Эти величины будут играть присущую им роль
в сокращающихся частях графов (а), (б), (<?), если их рассма-
тривать вместе с вкладами контрчленов перенормировки массы,
чего мы здесь не делали. Мы отложим рассмотрение этой про-
блемы до гл. 13.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что
Τ (exp -I J ds(X(s) + Y(s).
можно переписать в виде
где
W
Τ | ехр | - / | dsX (s) \ Ι Τ exp I - i J W (s) ds \ ,
(s) = Г exp I i j ds'X (S') \ \y (s) Τ exp I - i f ds'X (s')
2. Используя метод функционалов, вычислите матричный элемент испу-
скания η фотонов классическим током /μ (ж). Покажите, что полная вероят-
ность испускания η фотонов подчиняется распределению Пуассона
e-NNn
оо
где N — среднее число фотонов N = 2 пРп. Получите выражение N через
/μ (Ж).
Указание. Вычислите
ΚΛ...ν6ΧΡ{-Ι'//μ(ΧΜμ(Χ)^}Ψο)
с классическим током, для которого |/μ(*). I v(y)]=0-

Глава 9
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
Содержание гл. 8 показывает, что с каждым членом разло-
жения элемента S-матрицы в ряд теории возмущений можно
ассоциировать некий граф. Исторически развитие шло в обрат-
ном порядке. Фейнман открыл графическое представление рядов
теории возмущений прежде, чем стала ясна его связь с теорией
поля. Графический метод сыграл важную роль не только в тео-
рии поля, но и в физике многих тел и в теории структуры ядра,
поскольку графы служат не только простым способом запоми-
нания всех рассчитываемых членов, по с ними также ассоции-
руется определенная физическая картина процесса. Такие на-
глядные представления иногда полезны как указания возмож-
ных важных вкладов в некоторой области энергии.
Ниже выписаны правила Фейнмана для нескольких наиболее
известных теорий. Их вывод непосредственно основан на мате-
риале гл. 8; все, что следует добавить, — это малозначительные
детали, которые мы оставляем читателям для проверки. Также
будут выписаны правила Фейнмана для взаимодействия заря-
женной частицы с внешним полем, поскольку они представляют
интерес для проблем взаимодействия электронов или излучения
с веществом. Кроме того, будет получен ряд результатов, ха-
рактерных для квантовой электродинамики, в которой имеют
дело с законом сохранения заряда и зарядовым сопряжением.
Тем самым будет заложен фундамент для последующих глав,
посвященных квантовой электродинамике. Правила, изложен-
ные в этой главе, относятся к элементам матрицы рассеяния,
а не к τ-функциям.
Взаимодействие частиц спина !/2 с фотонами
Лагранжиан взаимодействия частицы спина 1/2 с зарядом
(—е) имеет вид
^i-e^Wv^W^W^-^i. (9.1)
Чтобы получить член η-го порядка матрицы рассеяния, начер-
тим всевозможные связные графы, соединяющие вместе η

160
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
точек Х\, х2, Хз,...,Хп- Каждая точка имеет входящую и выхо-
дящую фермионную линию и входящую фотонную линию.
Каждому графу мы соотносим математическое выражение, опре-
деляемое следующими правилами:
1. Внутренней фотонной линии, соединяющей точку хг (по-
меченную индексом поляризации μ8·) и точку Xj (с индексом μ3),
сопоставляется
(Ф0) Τ (^ (xt) Λμ. (*,)) Фо) = - 1 ^Д (х, - xt, 0) =
2. Внутренней фермионной линии, направленной от точки ка
к точке Хь, сопоставляется
2^р \ХЬ ~ ха)-
3. Вершине в точке хг с индексом μ;, в которой встречаются
две фермионных и одна бозонная линии, сопоставляется
&γμ'.
4. Внешней фотонной линии, соединенной с точкой я,(μ,),
сопоставляется
если эта линия описывает фотон, приносящий импульс k с по-
ляризацией λ, или
<[*'"'/(2пП
если внешняя линия описывает фотон с поляризацией λ, унося-
щий импульс к.
5. Входящему в точку х{ электрону с проекцией спина s,
приносящему импульс р, сопоставляется
u<s)(p)e~ipx'/(2nf12.
Если электрон с проекцией спина s выходит из точки х{ с им-
пульсом р, то ему сопоставляется
ы(в,(р)е""'/(2п)3/2.
6. Входящему в точку хг позитрону с проекцией спина а',
приносящему импульс р, сопоставляется
г>,5Чр)е'рх<7(2я.)3/2.

ГЛ. 91
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
161
Если тот же позитрон выходит с импульсом р, то ему сопоста-
вляется
vls)(p)eipxil(2nf2.
В графах входящая позитронная линия имела бы направление,
противоположное направлению входящей электронной линии,
для которой, по условию, направление импульса и направление
движения заряда совпадают. Это не должно приводить к какой-
либо путанице, когда импульсы, в конце концов, сбаланси-
руются.
Полученное таким образом выражение следует проинтегри-
ровать по всем координатам Х\, Хз,..., хп, которыми помечены
точки графа. Если вычерчиваются только раз-
ные графы (т. е. отличающиеся не только
простым переобозначением точек), то резуль-
тат следует умножить на in.
Если, помимо взаимодействия с кванто-
ванным полем излучения, существует взаимо-
действие с внешним полем, то лагранжиан
взаимодействия будет содержать дополни-
тельный член
^1 = е:<Н*)\1Ч(*)--ЛГшМ
(Хг,рг)
/(хп/и,)
(9.2)
Рис. 8. Граф, пред-
ставляющий собой
радиационную по-
правку к кулонов-
скому рассеянию.
Это означает, что могут быть вершины, в ко
торых фотон будет ни «свободным», ни «вир-
туальным». Такой вершине будет сопостав
ляться е?А£*ш(х).
Чтобы проиллюстрировать использование правил Фейнмана,
рассмотрим матричный элемент, ассоциируемый с графом, пред-
ставленным на рис. 8. Правила Фейнмана приводят к выраже-
нию
Р J J J dxidx*d*3"(P')~~^2 е^3(-\sr{*i-*»)) Χ
X (<УМ2ГШ Ы) ( - Т SF (x2 - *,)) e^u (p) £^L x
x(-4*WM*.-*3))· (9.3)
В действительности единственная проблема, которая возни-
кает при описании взаимодействия с внешним полем, состоит
в том, что иногда приходится использовать правила Фейнмана
в конфигурационном пространстве. Если же внешнего поля нет,
то гораздо проще работать в импульсном пространстве. Чтобы
11 С. Гмзнорович

162
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
переформулировать эти правила, мы используем представле-
ния *)
TA/7(x-i/) = 7^FJ dq qi_^+iB, (9.4)
1 i Г e-ik(x-y)
-T^-^-wi dpe~iP{Х~У) /Л?+ь ^
и проинтегрируем по пространственным переменным. Для иллю-
страции этой процедуры рассмотрим опять граф, показанный
на рис. 8, с той разницей, что внешняя линия теперь предста-
вляет фотон с импульсом k и поляризацией Я. Это означает, что
выражение (9.3) в конфигурационном пространстве изменяется
Us лБНеШ / \ - U? λ —ikXvf/e\ \liv
так, что е\ А^, (х) заменяется на е\%е /(2л.) согласно
сформулированным правилам Если теперь в это выражение
подставить (9.5) и (9.6), то получим
ν μ, λ e~lkx ( i С. e-iP.<n-**\ „(p)
; Γ p-ik' {X3~x,)
*-^~b{p' - Pl-k')b(Pl~k- p2)b{p2- p + k'). (9.7)
Таким образом, переход в импульсное пространство осуще-
ствляется путем приписания импульса каждой линии на рис. 8.
При каждой вершине появляется δ-функция, представляющая
закон сохранения 4-импульса. Следует отметить, что, хотя фо-
тонной линии и несвойственно иметь какое-либо направление,
но раз уж ей приписан импульс, то она приобретает направле-
ние этого импульса, поскольку он из одной вершины выходит,
а в другую входит. Рис. 9 представляет собой вариант рис. 8
с другими обозначениями.
Кроме того, каждой внешней линии сопоставляется множи-
тель (2jx)-s/2, каждой вершине — множитель (2π)4 (связанный
с 6-функцией, обеспечивающей закон сохранения импульса), и
*) Здесь μ2 обозначает квадрат физической массы.

ГЛ. 9]
ПРАВИЛА ФЕИНМАНА
163
каждой внутренней линии — множитель (2л)-4. Так же в каж-
дом порядке теории возмущений появляется множитель i, каж-
дой вершине сопоставляется множитель е, а каждой внутренней
линии — множитель i. Обобщим теперь этот частный пример и
вновь сформулируем правила Фейнмана.
Чтобы вычислить вклад п-го порядка, необходимо начертить
все различные графы, связывающие η точек. В каждой точке
должны сходиться одна входящая фермионная, одна выходящая
фермионная и одна фотонная линии. Следует чертить только
связные графы. Вклад каждого графа подсчитываете» следую-
щим образом:
1. Каждой внутренней фотонной линии с импульсом k сопо-
ставляется —gv.J{k2 + ie). Здесь μ и ν — индексы на γ-матри-
цах в вершинах, связанных этой внутренней
фотонной линией.
2. Каждой вершине сопоставляется мно-
житель еу^ и 6-функция, выражающая закон
сохранения импульса в данной вершине.
3. Каждой внутренней фермионной линии
сопоставляется множитель
1 = р + М
β-M + ie p2-M2 + ie '
Рис. 9. Поправка к
причем направление импульса совпадает с на- вершине в импуль-
правлением потока заряда, т. е. с направле- сиом пространстве,
нием стрелки.
4. По всем внутренним импульсам производится интегриро-
вание. Это приводит к 6-функции, отражающей закон сохране-
ния 4-импульса для внешних импульсов, и обычно после этого
еще остаются некоторые интегрирования, как в (9.7).
5. Каждой внешней линии сопоставляется: и(р)—для вхо-
дящей электронной линии, v(p)—для входящей позитронной
линии (в данном случае входящая линия будет иметь стрелку,
направленную от графа, и импульс, который направлен против
стрелки), й(р')—для выходящей электронной линии, v(p') —
для выходящей позитронной линии, βμ — для внешнего фотона
с поляризацией λ, входящего в вершину, в которой стоит γμ.
6. Каждый член следует умножить на (i)"+e'+ l, где ej —
число внутренних фермионных, а 6,· — число внутренних фотон-
ных линий. Кроме того, каждый член следует умножить на
{2nf(n~ei~bi)(2n)~V2(ee+be\ где ее—число внешних фермионных,
а Ье — число внешних фотонных линий.
7. Следуя обсуждению на стр. 152, вклад от каждого графа
следует умножить на ±1, где знак связан с перестановкой фер-
мионов в конечном состоянии. Необходимо подчеркнуть, что
11*

164
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
для пар частица — античастица необходима эффективная сим-
метризация. Впрочем, это верно и не только для таких пар, как
того можно было ожидать из принципа Паули, знакомого по не-
релятивистской квантовой механике. Такая ситуация является
следствием теории поля, в которой рождение электрона и уни-
чтожение позитрона рассматриваются на равных основаниях,
а это в свою очередь требует для совместности, чтобы элек-
тронные и позитронные операторы антикоммутировали. В «ды-
рочной теории» Дирака для античастиц, в которой позитроны
трактовались как дырки в море электронов отрицательной энер-
гии (это было связано с необходимостью воспрепятствовать
переходам электронов в состояния с отрицательной энергией),
этот обобщенный принцип Паули становится похожим на обыч-
ный нерелятивистский принцип запрета. Однако, поскольку мы
не рассматриваем вопрос с этой точки зрения, то предпочитаем
основываться на антикоммутативности.
8. Существует дополнительный множитель (—l)L, где L —
число замкнутых фермионных петель в графе. Своим появле-
нием он обязан тому, что замкнутые петли соответствуют чле-
нам, содержащим (Ф0> Τ (у» (*,) /° (х2) ... Д°> (*„)) Ф0). Перегруп-
пировка операторов ψ° и ψ<0\ приводящая к порядку
Ψ<0>(хд'Ф<0)(xj) (а именно такой порядок приводит к —-^Spixi—xM,
всегда связана с нечетным числом перестановок.
9. Замкнутые петли с нечетным числом входящих в них фо-
тонов дают нулевой вклад. Этот факт следует из инвариантно-
сти рассматриваемого взаимодействия относительно зарядового
сопряжения. При зарядовом сопряжении Ф0 не меняется, в то
время как j&(x) меняет знак. Поэтому
(Φο, Τ О; (*,) /v (xs)...) Φο) = (-1)" (Φο, Τ (7μ (*,), /ν (х2)...) Φ0). (9.8)
Это — известная теорема Фарри.
Сформулированные правила все еще не учитывают влияние
перенормировки массы — включение контрчлена бтфф в лагран-
жиан взаимодействия — или влияние умножения матричного
элемента на пока неопределенные константы Ζ^^Ζ^^2. Эти
правила также нуждаются в модификации в тех случаях, когда
некоторые из интегралов оказываются бесконечными. Обсужде-
ние этих вопросов мы отложим до гл. 13.
В качестве последнего замечания хотелось бы подчеркнуть,
что в силу калибровочной инвариантности фотонную функцию
распространения —g)xj(k2 + /ε) можно заменить на
-L , W '
^μν Λ ρ J k2 + iff

ГЛ. 91
ПРАВИЛА ФЕПНМАНА
165
с постоянным множителем λ, что никак не отразится на наблю-
даемых величинах. Это замечание иногда оказывается полез-
ным при расчетах.
Взаимодействие бозонов спина нуль с фотонами
Лагранжиан взаимодействия заряженного мезонного поля
с электромагнитным полем получается из
&(х) = «Г (<5μφ (*)) (с\,ф* W) - μ2φ Μ φ* W
заменами
<5μΦ (*) -" (дц - 1е\ (*)) φ (ж),
о\,Ф* Μ -*· O^v + i'e^v Μ) Φ* Μ.
так что
^, = - leA» (x) (Φ (xKΦ* (x)) + eM„ (*) Λμ (x) φ (*) φ* (*).
Правила Фейнмана формулируются так:
1. Каждой внутренней фотонной линии опять сопоставляется
- £μνΡ2 + «О-
2. Каждой вершине, в которой взаимодействует один фотон,
сопоставляется e(q^ + q^), где q{ — импульс мезона, входящего
£р±
а) б)
Рис. 10. Несколько графов для фотон-мезонных взаимодействий
(прямые линии соответствуют мезонам).
в вершину, a q2 — импульс мезона, выходящего из нее. Следует
заметить, что линии заряженных мезонов, как и фермионные
линии, имеют направление.
3. Наличие в лагранжиане члена еЫ^А^щ* означает, что
есть вершины, в которые входят две фотонные линии. Будучи
выраженным через части, ответственные за рождение и уничто-
жение, этот член имеет вид
еУЧА^ + А^А^ + А^щ.
Тем самым, когда один фотон входит, а другой выходит из вер-
шины, вклад ее равен 2e2g^v. Такой же вклад появится и тогда,
когда оба фотона входят в вершину (или выходят из нее), при
условии, что для процесса на рис. 10, а мы начертим один, а не

166
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
два графа. Если существуют замкнутые петли типа петли на
рис. 10, б, то, чтобы избежать повторения, связанного с множи-
телем 2е2 в двухфотонной вершине, следует ввести множи-
тель 1/2.
4. Каждой внешней фотонной линии, которая присоединена
к вершине с индексом μ, следует сопоставить е^ если поляри-
зация фотона равна λ.
5. Множители 2π остаются прежними. Для каждой степени
J2?\ необходимо вставить множитель i и (t)e<+ г> но это озна-
чает, что нужно быть внимательным, когда приходится работать
в данном порядке по е, а не в данном порядке по £?\. Не нужно
вводить множитель (—1)L, ассоциируемый с замкнутыми пет-
лями, поскольку здесь мы имеем дело с бозонами. Однако тео-
рема Фарри, гласящая, что замкнутые петли с нечетным числом
фотонных вершин не дают вклада в матричный элемент, все
еще справедлива.
6. Функция распространения мезона с импульсом q имеет
вид
1
<72-μ2 + /β '
Мы можем сформулировать правила Фейнмана и для других
теорий. Однако мы не будем делать этого, поскольку главное
применение, которое найдет здесь теория возмущений, — это
расчет элементов матрицы рассеяния в квантовой электродина-
мике. Это не значит, что усилия, затраченные на вывод правил
Фейнмана и получение рядов теории возмущений, были потерей
времени. Ряды теории возмущений — это формальное решение
уравнений движения, и почленное изучение этих рядов позво-
ляет постичь многое в структуре общего члена ряда. Примером
последнего может служить изучение аналитических свойств
матричных элементов, вопрос о которых мы кратко обсудим
в гл. 22.
Остается установить связь между элементами матрицы рас-
сеяния, которые мы вычисляли, и экспериментально измери-
мыми вероятностями переходов или сечениями. Предметом вы-
числений является матричный элемент оператора R, определяе-
мого формулой
S—1=/?. (9.9)
Если обозначить начальное состояние через i, а конечное со-
стояние через /, то из общих соображений получим, что
Rft - - (2π)4 to (Pf - P{) Tfl, (9.10)
где Pf и Pi — 4-векторы полной энергии — импульса для конеч-
ного и начального состояний. Формула (9.10), в частности, еле-

ГЛ. 9]
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
167
дует из правил Фейнмана, но в действительности является со-
вершенно общей. Например, если подставить решение типа
плоских волн в правую часть редукционной формулы (6.28),
то получим
-ПЪтРа-р-Я)^^*'* , (9.11)
где мы использовали, что
j(x) = etp*j{0)e-iP*.
Между прочим, если рассматривается взаимодействие с внеш-
ним полем, то никакой инвариантности по отношению к про-
странственным сдвигам нет, так что импульс не сохраняется*).
В случае не зависящего от времени внешнего поля получим
Я,,-β (£,-£,) У/I- (9.12)
Для вычисления вероятности перехода нужно образовать квад-
рат модуля Rfi. Здесь возникает очевидная, но фактически лож-
ная проблема в связи с тем, что [6(Р/—Ρ»)]2 превращается в
6(Р/— Р()6(0), что не имеет смысла. Эта трудность связана
с используемой идеализацией. В представлении плоских волн
мы имеем дело с бесконечно длинными волновыми пакетами и
с пучками, которые однородны во всем пространстве, причем
плотность частиц в случае бозонов определяется формулой
(Ψ„ /φ·(*Λ(*)Ψ,)--|^Γ. (9ЛЗ>
Нормировка такова, что в случае фермионов плотность частиц
равна Ер/(2п)3М в единице объема. Если поместить систему
в ящик объема V и одновременно считать продолжительность
взаимодействия конечной (продолжительность взаимодействия
равна 27\ где Τ cV3, чтобы избежать рассмотрения отражений
на границе), то множитель (2π)4δ(Ρ^— Pi) в (9.11), например,
следовало бы заменить на
г
J iPx J dxoe'Cr'd* - V6PfPl j sin Ι Τ (Ε, - Et) |.
V -T
*) Внешнее поле всегда используется в качестве приближения для очень
тяжелого источника, для которого можно пренебречь отдачей. В действитель-
ности импульс сохраняется, но предполагается, что такой источник может
поглотить импульс, не изменив своего состояния.

168
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
[Ч. I
Квадрат этой величины равен
sin Τ (Ef — Ei)
4V*6PfPl
Ef-Et
Если теперь поинтересоваться вероятностью перехода в единице
объема, то нужно разделить Rp на IT (что дает вероятность
перехода) и на V. Тем самым указанная вероятность равна
sin2 Τ (Ef - Ei)
Γρ = 21 Τ μ f УЬр^ T{Ef_El)i ·
Если теперь устремить V и Т к бесконечности и использовать
предел
V6p.Pf^ (2π)3δ (Pf-Pt)
и
Iim if— = ^π0 Μ»
то для вероятности перехода в единице объема получим выра-
жение
Tfl = (2nYb(Pf-Pl)\Tflf. (9.14)
Читатели сами могут убедиться в том, что в случае взаимодей-
ствия с внешним полем никакой трудности с бесконечным объе-
мом не возникает (существует, так сказать, только один источ-
ник) и вероятность перехода оказывается равной
δ (Ef - Ei)
Всякий раз, когда мы имеем двухчастичное начальное состояние
или одну частицу в начальном состоянии в случае наличия
внешнего поля, то очень полезной величиной оказывается сече-
ние реакции. Оно представляет собой эффективную площадку,
бомбардируемую падающими частицами. Эта площадка опреде-
ляется так, что приходится нормировать плотности частиц, по-
мещая в единице объема одну частицу*). Если это сделать, то
сечение реакции равно просто вероятности перехода, разделен-
ной на поток падающих частиц, который теперь равен скорости
*) При расчете постоянных распада также приходится иметь дело с плот-
ностями частиц, нормированных так, что в единице объема содержится одна
частица. Поэтому
,,-,»^-,Лг„г£П-5^

ГЛ.91
ПРАВИЛА ФЕИНМАНА
169
падающей частицы относительно частицы мишени или внешнего
источника. Таким образом,
ГР,_ Е>Л I Т.. 12 1
(9.16)
где
Vft
Р =
(2π)4 δ {Pf -
P^'pf
2ω
■ (2π)3
Ε
-Pi)\Tfi\*
Ι *.2 Ι
1
Π рГ '
i
для бозонов,
Чтобы найти сечение рассеяния для конечных частиц /,
имеющих импульс в интервале dzqj около значения ?j. следует
ομ умножить на
IIw- (9Л7)
/
Дополнительный множитель (2π)~3 входит за счет фазового
пространства, когда объем единичен.
Хотелось бы думать, что сечение реакции, представляющее
собой площадку, перпендикулярную падающему пучку, реляти-
вистски инвариантно. Заметим, что Tfi — инвариант, и для ко-
нечных частиц интеграл
также инвариантен. Кроме того, величина
p<V2>l*l2l~co,co2|^--g-|,
равная в системе центра масс
может быть записана через величину F, введенную Мёллером,
Р-ЦЧГ^Т-ЧЫГ- (9-18)
Очевидно, что в системе центра масс
F - [(" Я\ ~ ω,ω2)2 - μ^]"2 = | qx | (ω, + ω2),
что и позволяет получить ожидаемый результат.

170
ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ
14. I
На этом мы заканчиваем введение в теорию поля. В даль-
нейшем мы используем многое из того, что было изложено в
этих девяти главах. В частности, часто будут использоваться
правила Фейнмана. В теорию поля, конечно, входит еще много
других вопросов, и только в специальных монографиях можно
надеяться отдать должное предмету в целом. Некоторые из по-
следних практических приложений используются нами в соот-
ветствующих местах. Краткое обсуждение перенормировки со-
держится в гл. 13, где изучаются радиационные поправки
к кулоновскому рассеянию. Однако многое остается недоска-
занным.

Часть II
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ
КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ВВЕДЕНИЕ
Квантовая электродинамика описывает взаимодействие ме-
жду электронами и фотонами. Как известно, за большинство
наблюдаемых материальных явлений ответственны электриче-
ские силы, поэтому чрезвычайно важно иметь о них четкое
представление. Кроме того, первоначально «физика высоких
энергий» имела дело с электронами и излучением, так что
именно здесь накопилось наибольшее количество как принци-
пиальных идей, так и технических приемов. И те, и другие мо-
гут оказаться весьма полезными и в значительно менее изучен-
ной области сильных взаимодействий.
Поскольку по квантовой электродинамике уже существует
несколько превосходных и подробных книг, мы не будем стре-
миться к исчерпывающему обсуждению данной темы. Во вся-
ком случае это не является нашей целью. В связи с этим наи-
большее внимание мы уделим тем вопросам, которые обычно
не освещаются в деталях. В гл. 10 мы обсудим комптон-
эффект и родственные ему процессы. В этой главе мы позна-
комим читателя с некоторыми из обычно применяемых вычис-
лительных приемов, однако формулу Клейна — Нишины вы-
водить не будем. Вместо этого как в данной главе, так и в
гл. 11, посвященной рассеянию электронов, много места будет
уделено поляризационным явлениям. Эти явления представ-
ляют интерес в связи с новыми экспериментами в области сла-
бых взаимодействий. В гл. 12 обсуждается тормозное излуче-
ние в пределе мягких фотонов и в аппроксимации Вейцзекера —
Вильямса.
Радиационные поправки высших порядков рассмотрены
только для одного процесса — кулоновского рассеяния. Таким
образом, общей формулировки теории перенормировок не
дается. Тем не менее мы надеемся, что используемые в ней
концепции можно будет уяснить благодаря специально-
му примеру, разобранному в гл. 13. Наш подход сознатель-
но старомоден — в нем не используется дисперсионная тех-
ника.

172 избранные вопросы квантовой электродинамики щ и
Наша цель, кроме всего прочего, — показать, что фейн-
мановы правила, если их интерпретировать надлежащим обра-
зом, позволяют избавиться как от инфракрасных, так и от уль-
трафиолетовых расходимостей.
Читателей, желающих более подробно разобраться в затра-
гиваемых вопросах, мы отсылаем к статье Челлена [I], моногра-
фиям Гайтлера [2], Яуха и Рорлиха [3], Ахиезера и Берестец-
кого [4], а по перенормировочной программе — к новой книге
Бьоркена и Дрелла [5]*).
*) См. также [6—8]. (Прим. перев.)

Глава 10
КОМПТОН-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ
Комптон-эффектом называется процесс, в котором фотон
рассеивается свободным электроном. Чтобы рассчитать сечение
рассеяния для этого процесса, воспользуемся правилами Фейн-
мана, сформулированными в гл. 9. В низшем порядке следует
JY5, Y^J"-'
4^цЛ fa" ^°
Рис. 11. Графы низшего порядка для комп-
тоновского рассеяния.
учесть вклады двух графов (рис. 11), причем их следует скла-
дывать когерентно.
Матричный элемент для этого процесса дается формулой
R = 6(p' + q'-p-q)&,·
где
= £-ц(рл|У т + Р + 4 ё + 6 т + Р-У ёЛи(р) (Ю1)
(2л)2 "^Ч (p + ?)2-m2 e + e (р-</)2-т2 J КР)' К '
Это выражение можно несколько упростить, если учесть анти-
перестановочные свойства матриц \, тот факт, что и(р) и й(р')
подчиняются уравнению Дирака, а также условия
р2 = рА = тя,
д* = д'2=,0, (10.2)
q . ек = q' · ev = 0.

174 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВвЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
После упрощений матричный элемент приобретает вид
^--^й{р')оМи(р). (Ю.З)
Члены, соответствующие двум графам, выписаны отдельно, так
как мы хотим показать, что каждый из этих членов, взятый по
отдельности, градиентно не инвариантен. Градиентно инва-
риантна лишь сумма этих членов. Градиентное преобразование
К (х) - Λμ (х) - <3μΛ (х), □ Λ (*Н 0
приводит к замене
ё^ё + λς, ε'-+ε'Λλη\ (10.4)
где λ — константа. Условия Лоренца
е . q = е'. q' = 0
остаются неизменными, поскольку q2 = q'2 = 0. В результате
замены (10.4) первое слагаемое в формуле (10.3) превратится в
а второе — в
-«*+»*> (#+*-#>)·
В результате в выражении (10.3) появится слагаемое
Члены с λ2 выпадают сразу, поскольку
й (Р') W -®и(р) = й (р') 09 - Я а (р) = 0.
Чтобы показать, что линейные по λ члены также обращаются
в нуль, воспользуемся соотношениями
и (р') q'qeu (ρ) = й (ρ') (β + q ~ p') qeu (ρ) =
= й (ρ') (ρ — m) qeu (р) = й (р') [qe (ρ —m) — 2e · pq+ 2ρ· qe] и (р) =
= u(p')[2p-qe-2e.pq]u(p)
й (ρ') fl^u (ρ) = й (ρ') (2ρ · e'q' - 2ρ . q'e') и (р).
Чтобы вычислить сечение, мы должны сначала возвести
матричный элемент в квадрат. Это можно было бы сделать
прямо, используя явные выражения для матриц Дирака и для
спиноров, соответствующих плоским волнам. Однако можно из-

ГЛ. 10] КОМПТОН-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 175
бежать большого количества утомительных выкладок, восполь-
зовавшись несколькими вычислительными приемами, которые
мы сейчас обсудим. Рассмотрим матричный элемент
«„=«<" (р'Мы<*>(р), (10.5)
где А — 4 X 4-матрица, содержащая произведения γ-матриц.
Пусть в общем случае А имеет вид
η
А = Σ CA&i ... а{. (10.6)
(-0
Так как
«'„ = (и*(Г) (р') \°Аи^ (р))' = и^ (р)* Л"У",Л (р0.
то
I а„ |2 = «(Г) (ρ') Ai<*> (ρ) ы<5) (ρ) vM+v°"(n (Ρ')·
Далее,
γΜ+γ0 = γ°Σ<Λ2Μ+-, ... diY- Σ^ο,α«-1 ... а, = Л, (10.7)
г-о г
где
α = να«α· (10.8)
Тем самым
I Яг, I2 = й(Г) (р0 ^"(S) (Ρ) "(i) (Ρ) ^(η (Ρθ· (Ю.9)
Если по начальным спиновым состояниям электрона проводится
усреднение, а (или) по конечным — суммирование (что соответ-
ствует эксперименту, в котором не интересуются информацией
о спиновом состоянии электрона), то можно воспользоваться
соотношениями
S«w(p)fimi/»)—^
S
и (или)
2«(О</0а'',(р')-д£г.
Таким образом, если мы не интересуемся поляризацией элек-
трона, то квадрат модуля матричного элемента должен быть
просуммирован по конечным и усреднен по начальным спино-
вым состояниям. В результате получим

176 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. ц
Вычисление шпуров от произведений матриц Дирака легко осу-
ществляется с помощью следующих соотношений:
tSPi = i,
-4-δρ(γμ1 ... γμ„) = 0 («нечетное), (10.11)
-ξ Sp (dB) = a · b,
-г Sp {abed) = a · be · d — a · cb · d + a · db ■ c.
Даже в том случае, когда мы интересуемся спиновыми состоя-
ниями, расчет все еще можно свести к вычислению шпуров.
Для этого надо воспользоваться спиновым проекционным опера-
тором
который уже фигурировал на стр. 53.
Если информация ни о начальной, ни о конечной поляриза-
циях фотона нас не интересует, то по состояниям поляризации
следует произвести либо усреднение, либо суммирование. Это
можно проделать явным образом. Рассмотрим систему коорди-
нат, в которой фотон имеет импульс (q, 0, 0, q). Вектор попе-
речной поляризации будет иметь вид е = (0, cos φ, sin φ, 0), так
что
{β·Μ} = {Μ i cos φ) + (Μ2 sin φ) = 0.
С другой стороны,
{е · Me · JV) = ((Mi cos φ + M2 sin φ) (JV, cos φ + N2 sin φ)) =
- MiNi (cos2 φ) + M2N2 (sin2 φ) + ~ (MYN2 + MjiVi) (sin 2φ> =
- j {M\Nt + M2N2) = ~{M-N-M-qN-q). (10.12)
Тот же самый результат можно получить, если для векторов
поляризации воспользоваться ковариантным соотношением
С помощью этого соотношения получаем
\%е*М»е№= - ±ΜμΝ». (Ю.13)

ГЛ. 10) КОМПТОН-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 177
Однако в силу градиентной инвариантности
q»M„, - q»N„, = 0, (10.14)
в чем находит отражение тот факт, что в системе координат,
в которой q* = (q, 0, 0, q), имеет место М3= — М0 и N3= — N0-
Поэтому (10.13) приводит к тому же результату, что и (10.12).
Чтобы получить сечение комптоновского рассеяния, заметим,
что из формулы (10.3) следует, что матрица перехода Tfl,
связанная с Rfi соотношением —Rfi = (2π)4 iTfl, равна
е2
Отсюда сечение (см. (9. 16))
(2πΓδ(ρ' + 9'-ρ-9)2Ι^Ρ rfV ^Υ „„.„
dc = 9П f /η, 7Ti— -Ы7· (10.15)
В системе центра масс относительная скорость
1*4=1+-^ =
w
Ρ Ρ
где W — энергия системы. Интегрирование по пространственным
компонентам импульса фотона выполняется тривиально, так что
Замечая, что в системе центра масс*) p = q=iq'~p'J получаем
da _ (2п)">т« Г /rfp- у 2
Σ'^'!2=~i Ш*-Ш^?\°М(Р + т)оМ{р' + m)] =
4W2 ^J I ' ftl 4jt2 4W2 4m2 2
2-^^Sp[oM{p + m)b%{p' + m)]. (10.16)
Шпур считается непосредственно. Мы не обязаны вычислять его
в какой-либо частной системе координат. В общем случае он
оказывается функцией различных скалярных переменных,
как-то ρ · ρ', ρ · q, e-ρ', e'-q,... Кинематический множитель
также можно выразить через инварианты. Введем для этой
цели переменные
S=(p + qY ={p' + q'f,
t=(q-q'Y = {p>-pf, (10.17)
U = {p-q'T=(p'-q?,
*) Здесь ρ => Ι ρ Ι и т. д.
12 С. Газнорович

178 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Π
Они не являются независимыми, поскольку
s + t + u = 2m2. (10.18)
В системе центра масс
и
—t = (q — <7')2= 2<72(1 — cos θ),
где θ — угол рассеяния в системе центра масс.
Сечение рассеяния, как уже указывалось, является инвариан-
том. Далее, можно написать
dQ, = 2nd (cos θ) = —ξ- dt = -. n,,, .
v q2 (s — m'VIAs
Отсюда
Ж= (s-Z2)2 {e2in)2 -jSpWiP + ^^W'+m)]-
= ^(-^)2-^^-^Р[^(р + т)^(р' + т)]. (10.19)
Вычисление шпура (после усреднения по поляризациям) при-
водит к
+ 4т2Ы^7-7^)2. (Ю.20)
2
пол
так что дифференциальное сечение рассеяния для неполяризо-
ванных электронов и фотонов определяется формулой [1]
da 2πα2 [(s + tn2 2m2
~W~~ (s - m2)'
LU-m2 s + t-tn2) ^ s-m2 ^ s + t-m2\' \Ш-А1>
где α = е2/4п~ 1/137 — константа тонкой структуры. Полное
сечение получается интегрированием do/at no t по области,
соответствующей — l^cosO^l, т. е.
о
<W,(s)- J Λ-f-. (10-22)
<s-ms)2/s
Для высоких энергий
<W(*)~^rlog^r. (Ю.23)
По порядку величины полное сечение равно

ГЛ 10] КОМПТОН-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 179
При получении этого числа мы воспользовались значением
массы пиона тп = 140 Мэв, что дает тл/те « 2/а и й/гая с я*
«1,4- 10"13 см.
Угловое распределение фотонов в системе центра масс мо-
жет быть получено из формулы (10.21). При этом полезно
иметь в виду, что доминирующий вклад в угловое распределе-
ние вносят знаменатели матричных элементов. Первому графу
соответствует член
(р + q)2 — т? s — т? ' \ · J
который зависит только от энергии. Для второго графа мы
имеем
{p-q'Y-m* = ~~ 2Eq + 2q-q' = ~ ~Щ 1 +(<?/£)cos6 " О0·25)
Этот член зависит и от угла рассеяния. При высоких энергиях,
когда скорость электрона qjE близка к единице, наблюдается
значительный пик для рассеяния назад. Это характерно для
потенциалов обменного взаимодействия. Процесс, описываемый
вторым графом, как раз принадлежит к обменному типу. Этот
пик очень узок: при θ = π — 6
I 1 1 _ ЧЕ2
1 + ν cos θ — 1 - ν cos δ ~ , , 1 ., га2 + Ε*δ2 '
1 - ν + -g- δ2
так что для δ «* т/Е его высота по сравнению с максимальной
уменьшается вдвое. Легко проверить, что добрую половину
вклада в сечение рассеяния в действительности вносит рассея-
ние назад внутри угла порядка (т/Е)2.
Выделение из амплитуды вкладов, соответствующих отдель-
ным графам, не однозначно, поскольку оно зависит от выбора
калибровки. Тем не менее о вкладах отдельных графов все же
можно высказать некоторые общие утверждения. Первый из
графов характеризуется промежуточным состоянием с полным
моментом / = 1/2. Его вклад в угловое распределение не дол-
жен играть значительной роли. В то же время второй граф от-
носится к потенциальному типу и отвечает рассеянию, соответ-
ствующему всем парциальным волнам *).
Структура графов также может дать некоторые сведения
качественного порядка о рассеянии фотонов, имеющих круго-
вую поляризацию,, на поляризованных электронах. Рассмотрим,
например, правополяризованные фотоны. Их спин направлен
*) В этом порядке теории почмущеиий изменение в калибровке приво-
дит к перемешиванию вкладов от обоих графов, соответствующих лишь
12*

180 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч Ц
в сторону, противоположную импульсу, т. е. они имеют отрица-
тельную спиральность. Пусть они сталкиваются с электронами,
так же имеющими отрицательную спиральность. Принимая на-
правление импульса фотона в системе центра масс за ось кван-
тования, получим, что в начальном состоянии Jz = — 1/2. По-
этому рассеяние с J > 1/2 разрешено, и оба графа вносят вклад
в амплитуду рассеяния. Если электроны имеют положительную
спиральность, то Jz = — 3/2, так что / > 3/2. Поэтому вклад
будет давать только второй граф. Благодаря этому можно оце-
нить круговую поляризацию фотонов, рассеивая их на поляри-
зованных электронах. В железе с помощью сильного магнитного
поля можно реально поляризовать около 7% электронов. Чтобы
получить зависимость сечения рассеяния от поляризации, сле-
дует детально рассмотреть выражение для амплитуды компто-
новского рассеяния*).
Проделаем это в лабораторной системе координат.
Используя явные выражения для спиноров и матриц Дирака,
полученные в гл. 2, можем написать
4π2 V2m{m+E') \V2 m*-s V^
+ /p2a.eOT + P3OT + :P5Mg,-P^/p2ff.g-}l±PL.
Это выражение можно преобразовать:
π V2m(m+Er) Lm2-s
~ rJ-u W(m + E')a -eG-e' + a-jya-ea· q'a . e'}], (10.26)
где
s = (m + qf - q2 = m2 + 2mq,
и = (m - q'f - q'* = m2- 2mq'.
Заметим, что вблизи порога М переходит в томсоновскую
амплитуду рассеяния
& = ~£Ь (σ ' β'σ · е + а . еа · е') = — е' ■ е. (l6".28)
Выражение для <£? представляет собой матрицу 2X2. Это озна-
чает, что для получения сечения рассеяния надо вычислить
\°$®%-$ = %^%ti^%T (Ю.29)
*) Весьма подробный расчет можно найти в статье [2].

ГЛ. 10] ΚΟΜΠΤΟΗ-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 181
Если электрон поляризован в направлении оси г, то
В общем случае, когда электрон имеет поляризацию Ρ в на-
правлении п,
%i%t = 2 · (10.30)
Если поляризация электрона в конечном состоянии не фикси-
руется, то в сечение рассеяния будет входить выражение
Sx?*-^^*^- Sp(^!±§^?+). (10.31)
f
При неполяризованной мишени сечение рассеяния пропорцио-
нально
^■SpMM+. (10.32)
Мы видим, что при поляризованной мишени сечение рассеяния
должно иметь вид*)
■S—S-+*-Sl· <10·33)
Если требуется исследовать корреляцию между поляриза-
циями электрона и фотона, то удобно выразить матричный эле-
мент ffi через оператор спина фотона S. Оператор S для фото-
нов играет ту же роль, что и оператор σ для электронов. Этот
оператор обладает следующими свойствами:
1. Он может быть представлен в виде матрицы 3 X 3. В точ-
ности так же как σ ставится между %t и %t, оператор S ста-
вится между фотонными «спиновыми векторами» е (отвечает
начальному состоянию) и е' (отвечает конечному состоянию).
2. Оператор S удовлетворяет соотношениям
SxS = iS, (10.34)
характерным для моментов, т. е.
et,k{St)ab(S,)bc = i(Sk)ac. (10.35)
3. Поскольку спин фотона равен 1, то
{S2)ae = (St)ab(Sl)bc = 26ac. (10.36)
*) В действительности, если никакая другая поляризация одновременно
не фиксируется, то в низшем порядке теории возмущений зависимость от Ρ
отсутствует (см. стр. 188).

]82 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
Легко проверить, что этим требованиям удовлетворяет матрица
вида
(S,-U=-"W (10.37)
Теперь мы можем вычислить некоторые матричные элементы,
содержащие степени S. Например,
(е'\ а ■ SI е) = e'mat (5г)тп еп = - Ш -е'хе. (10.38)
Аналогично
— —е'е.а.Ъ.е. е, .=е'е.а.ЬЛЬ.Ь ,.— б..б ,) =
т k i I tmnInk m ri /rirmi ik ml)
= e' -eab-e' be a. (10.39)
Используя полученные соотношения, выразим зависимость
амплитуды комптоновского рассеяния от е и е' через зависи-
мость от S. При этом подразумевается, что оператор S должен
быть заключен между векторами начального и конечного спи-
новых состояний. Чтобы множители (а · е) и (σ · е') оказались
стоящими рядом, воспользуемся равенствами
σ ■ qa · е = — σ · еа ■ q,
а · q'a ■ e' = — a ■ e'a ■ q',
которые следуют из
σ ■ qa ■ e = q · e + ia ■ q x e,
e · q = e' · q' = 0.
Далее, учтем, что
σ · еа · е' = е ■ е' — ia · е' х е = {е'\ 1 \ е) + (е' \ а · S \ е) =
= (e'\l+°-S\e) (10.40)
и
a.e'a-e = {e'\l-a.S\e). (10.41)
В результате в лабораторной системе координат <й? приобре-
тет вид
M^-^-r==^==f^—[q(m + E%l-a.S)+a-p'(a.S-l)o.q]-
η У 2т(т+Н) [га2—s
—J=U W(m + Е'){1 +а . S)-а . р> (σ ■ S+ 1)о · q']\. (10.42)
При этом подразумевается, что требуется вычислить матрич-
ный элемент
(?', щ\&\е, xj.

Г Л Ю] КОМПТОН-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 183
Если же в начальном состоянии фотоны имеют круговую поля-
ризацию, например, с положительной спиральностью, то |е)
нужно заменить на
I + g-S
2
■\e)—£\e-iexq)~±\e + lqxe).
(10.43)
Следует, пожалуй, отметить, что направление этого вектора
совпадает с направлением электрического вектора в электро-
магнитной волне с левой круговой поляризацией*). Легко по-
казать, что
1+ 5■ q \2. , _ 1 + S-q
(Щ±Г\4-
■\е).
(10.44)
Если мы имеем дело с поляризованными по кругу фотонами и
поляризованными электронами мишени, то сечение рассеяния
будет пропорционально
1 + Ρσ ■ η Ι ± Sq
e'.f
-ΙΣΣ
('■
xf
>/,%t). (10.45)
Суммирование по конечным электронным состояниям приводит
к шпуру по электронным спиновым переменным, а сумма по
поляризациям е' вычисляется так же, как и в формуле (10.12).
Чтобы получить корреляцию между поляризацией фотона и
электрона, требуется произвести простые, но весьма длинные
алгебраические выкладки. Проделывать их мы здесь не будем,
поскольку совершенно аналогичный расчет производится нами
при рассмотрении аннигиляции электрона и позитрона. Приве-
дем лишь окончательный результат.
Если фотоны имеют круговую поляризацию, а электроны
мишени поляризованы в направлении импульса падающего фо-
тона, то сечение комптон-эффекта
da
Здесь
d&
dQ ~*~r dQ
(10.46)
da.
-τ(-£-),(4)[1+»'β + 1:=!1«1-β·β>] (Ι0·47)
— не зависящая от поляризации часть сечения комптоновского
рассеяния (формула Клейна — Нишины). Ее можно получить
из формулы (10.21), выразив фигурирующие в ней величины s,
·) Обсуждение вопросов, связанных с поляризацией, можно найти в
книге [3].

184
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
[Ч. !1
t и и через соответствующие переменные в лабораторной си-
стеме координат. В формуле (10.47) q — импульс падающего
-/
. J_ . - -.
1
de,ldeB
dSijc/Ω
hJmceO
0
cos θ
Рис. 12. Зависящая от поляризации часть (da\)
дифференциального сечения комптоновского рас-
сеяния для электронов, поляризованных вдоль
вектора круговой поляризации падающих фотонов.
Сеченне дано как функция cos θ, где θ —угол рассеяния.
Кривые нормированы на ие зависящую от поляризации
часть (dOo) сечення и приведены для нескольких значе-
ний энергии [3].
фотона, Θ — угол рассеяния в лабораторной системе координат,
q'— импульс испускаемого фотона. Далее, в (10.46)
(10.48)
da.
dQ
4Ш*(-£)^созе„-созв).
а Р' равно произведению поляризаций фотона и электрона. Если
мы проинтегрируем по углам, то часть полного сечения, завися:
щая от поляризации, будет равна
°'°<2">(-Шт "ОХ*" --^Ч1 + Ч)]- с0·"9»
daJdQ.
На рис. 12 показана зависимость отношения . '. Ω от угла
для ряда значения энергии. Рис. 13 показывает зависимость
полного сечения от поляризации. Эта зависимость приводит
к тому, что прохождение γ-лучей через намагниченное железо
при различном направлении намагничивания будет происходить

гл. ю]
КОМПТОН-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ
185
по-разному. Это предсказание теории было проверено Гунстом,
Пейджем [4] и другими *).
Поучительно рассмотреть рассеяние фотона на мезоне, имею-
щем спин нуль. В этом случае существуют три феинмановых
0.04
0.02
О
-0.02]-
-006
f—NJ
б,/в0 \
-
2,62МзВ
-
-
-^S»
U.U „
El
0Αδο
0,2
0
-0.2
-0.4
-0,6
o.t
W
hg/mc·
8
Рис. 13. Зависящая от поляризации часть (σ^
полного сечения комптоновского рассеяния в еди-
ницах 2л(а/т)г.
Поляризация электронов и фотонов такая же, как иа
рис. 12.
графа (рис. 14), которые следует учитывать. Дополнительный
третий граф соответствует вкладу члена лагранжиана взаимо-
Рис. 14. Фейнмановы графы для комптоновского рассея-
ния на мезоне со спином 0.
действия вида β2/1μ(Α:)^Μ·(Λ:)φ*φ. Матричный элемент порядка е2
для этого процесса будет равен
+ е> ■ (2р - V) (ρ_^)2_μ2 β · (2/7' - k)] 2ie*
(2пУ
e · e
(10.50)
Сразу же бросается в глаза, что энергетические знаменатели
здесь те же самые, что и в случае электрон-фотонного рассея-
*) Очень хорошее обсуждение этого и последующих экспериментов мож-
но найти в прекрасной обзорной статье [5]. Более современный обзор с экс-
периментальным уклоном можно найти в статье [6].

186 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. 11
ния. Поэтому при высоких энергиях в системе центра масс
также будет пик для рассеяния назад. Далее, мы замечаем, что
около порога вклад первых двух слагаемых стремится к нулю.
Остается только последний член, который является не чем иным,
как томсоновской амплитудой рассеяния. Член, который дает
вклад в амплитуду рассеяния вблизи порога, появляется в ла-
гранжиане взаимодействия как следствие условия градиентной
инвариантности. Его наличие приводит к тому, что около по-
рога сечения рассеяния фотонов на электронах и на мезонах
совпадают. То, что пороговое сечение не должно зависеть от
*',λ' й'Л'
Рнс. 15. Фейнмановы графы для аннигиляцив
пары.
спина, можно было ожидать заранее. Действительно, при рас-
сеянии фотонов очень большой длины волны покоящимися за-
ряженными частицами такие детали, как наличие или отсутствие
у частицы спина (магнитного момента), не должны играть су-
щественной роли. Как и при классическом описании, рассеяние
должно определяться только зарядом и массой. В качестве
упражнения мы предлагаем читателям рассчитать сечение комп-
тоновского рассеяния на мезонах вблизи порога и сравнить его
с соответствующим сечением рассеяния на электронах.
Далее мы рассмотрим процессы, которые, в каком-то смысле,
родственны комптоновскому рассеянию, а именно, аннигиляции)
пары на лету и обратный процесс — рождение пары двумя фо-
тонами. Родство этих процессов с комптоновским рассеянием
ясно видно из фейнмановых графов (рис. 15). Графы для этих
процессов имеют в точности тот же вид, что и для комптон-
эффекта, за исключением того, что одна электронная и одна
фотонная линии поменены местами. Говорят, что амплитуды
этих процессов связаны перекрестной симметрией. Концепция
перекрестной симметрии будет играть важную роль, когда мы
приступим к обсуждению сильных взаимодействий. Матричный
элемент для процесса аннигиляции дается формулой
„ г'е2 _. .(Л, m+fii — k „ , „ m + й, — К Л,\ . N
^=-Wy(/?2)le (ρ, - ff - m>e,+ 6 GWF^? 6 I " (Pl)-
(10.51)

ГЛ. Ю] ΚΟΜΠΤΟΗ-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 187
Вычислить сечение можно стандартным способом, поэтому мы
приведем лишь окончательный результат:
σ^ = π(-£Τ(γ+.)(ν2-0 Χ
x[(Y + 4 + ^)ln(Y+/7^T)-ifcL(Y + 3)], (10.52)
где \т — энергия позитрона в лабораторной системе коорди-
нат. Отметим, что
где
s=(pi +P2)2.
Рассматривая процесс аннигиляции, заметим следующее:
1. Поскольку в конечном состоянии имеются две одинако-
вые частицы, то в системе центра масс угловое распределение
должно быть симметрично относительно угла в 90°.
2. В формуле (10.51) знаменатели слагаемых равны —2pt-k
и —2pi · k' соответственно, что в системе центра масс приводит
к значениям
—2Ek{l ±vk)=— 2£2(1 ± ν cos θ). (10.53)
Тем самым при высоких энергиях будут наблюдаться пики как
для рассеяния вперед, так и для рассеяния назад.
3. Процесс аннигиляции чувствителен к поляризации пози-
трона, поэтому он может быть использован для ее определения.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим матричный элемент S%
в лабораторной системе координат, в которой электрон по-
коится. В этом случае знаменатели в формуле (10.51) равны
~2mk и —2tnk' соответственно, так что получаем
® = Om б (р*> [τ(~ /р2<т' е') (т + тРз ~ Р^+Φ2σ · *) (- Φ2σ · е) +
+ -у (-Φ2σ · е) (ш + тр3 - p3k' + φ2σ ·*')(- ipjr ■ е')] " (Pi)·
(10.54)
Явный вид позитронного спинора дается формулой
, . _ га —ρ /0\ т — р I%\ _
Р) ~ У 2т (т + Е)\х)~ V 2т (га + Е) Р' I 0 / ~
= "-P«Po + 'P^-P_Pl, (Ю.55)
так что
_m-^g|Wpjo^_ =_о^-ф!га-р,Е2 Q

188 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
Подставляя (10.56) в (10.54) и производя ряд алгебраических
выкладок, получаем
2mn V2m(m + E2)
Х[2е · е'<з . р2 + i(£2 + т)(а · е'<з · ft X е + σ · е<з · ft' X 0')]· (10.57)
В пределе высоких энергий (|£2|^>т) это выражение упро-
щается
Я = ~ *L· К "to" (2е 'е'* " А + 'σ · в'* · Ь Χ β + »σ · еа · ft' X е').
(10.58)
Если позитрон имеет продольную поляризацию, то квадрат
матричного элемента равен
^|^Р = j-Sp(^?+ 1 + ^-ft jg). (10.59)
Оказывается, что это выражение не зависит от Я. Это легко
понять, если учесть, что поляризация является псевдоскаляром
(она появляется с G-pi), и в выражении для сечения она дол-
жна умножаться на какую-то другую псевдоскалярную вели-
чину. В том случае, когда поляризация фотонов отсутствует,
единственными псевдоскалярами, которые можно сконструиро-
вать, являются величины типа ft X ft' · е. Все они меняют знак
при отражении времени и поэтому неприемлемы*). Если пред-
положить, что между поляризацией позитрона и поляризацией
одного из фотонов существует корреляция, то один из векторов
поляризации, скажем е, следует заменить на
■±■(1 + PyS · ft)e = 1 (е + iP4k X е). (10.60)
После такой замены амплитуду Μ можно будет записать в
виде
где А и В — комплексные величины, причем их мнимые части
пропорциональны Ργ. В результате
1 а ? = ЫЫ2-& · Τ SP W ' σ - /B'H1 + Ρ" · h) Χ {Λ ■ σ + IB) =
+ iPA' · ρ2Χ A + iBPA' · p2 - iB'PA · p2).
*) Такое утверждение справедливо только в случае борновского прибли-
жения. Детальное обсуждение этого факта содержится в гл. 30.

ГЛ. 10] ΚΟΜΠΤΟΗ-ЭФФЕКТ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ |gg
Несколько страниц алгебраических выкладок приводят к вы-
воду, что часть | &i |2, зависящая от РуР, имеет вид
2РУР [1/2 ~2г+ 1/2г2-z3 + 7«A -k{4 + 2z-4z2 + 4z3) +
+ 1/4p2-k'(-l+z-z*-z*)\,
где z = k-k'. Тогда для высоких энергий имеем
p2 + m = k + k', p2 = k + k',
так что если k »* р2, т. е. поляризованный фотон уносит почти
всю энергию, то из
pl = k2 + k'2 + 2kk'z
следует, что z s» — k'/2k мало. Таким образом, сечение про-
цесса будет наибольшим в том случае, когда фотон с высокой
энергией имеет ту же спиральность, что и позитрон, и движется
вперед.
Этот эффект имеет практическое значение, так как он позво-
ляет перейти от позитронной спиральности к фотонной. Послед-
няя, как уже указывалось, может быть измерена с помощью
комптон-эффекта. Этот метод может быть использован для из-
учения спиральности позитронов, что и было сделано с пози-
тронами, испускаемыми Ga66. Этот эксперимент интересен
с точки зрения изучения β-распада [7].
4. При низких энергиях к образованию двух γ-квантов при-
водит по преимуществу взаимодействие электронов и позитро-
нов, находящихся в S-состоянии. Такое положение является
общим для случая энергий, близких к нулю, если только нет
каких-либо запрещающих правил отбора. Так же как компто-
новская амплитуда вблизи порога, матричный элемент для ан-
нигиляции в S-состоянии не зависит от энергии. Данный про-
цесс экзотермичен, вблизи порога статистический вес по им-
пульсам фотона оказывается постоянным
Таким образом, сечение процесса растет как l/v, что харак-
терно для экзотермичных реакций. Скорость реакции, т. е. число
пар, аннигилирующих за секунду, остается конечной. Сообра-
жения размерности позволяют предположить, что
r = const(-^-)2p,
где ρ — плотность числа электронов, сталкивающихся с мед-
ленными позитронами. Константа оказывается равной я.

190 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. И
Аннигиляция на лету не является доминирующим процессом
при поглощении позитронов веществом. Приблизительно в 80%
случаев позитроны останавливаются, образуя позитроний — не-
стабильное связанное состояние электрона и позитрона. Пози-
троний может распасться на два или три фотона. Описание
свойств позитрония составляет весьма интересную область кван-
товой электродинамики, однако недостаток места не позволяет
нам сделать экскурс в эту область [8].
Заканчивая эту главу, приведем формулу для полного сече-
ния процесса, в котором при фотон-фотонном столкновении
рождается пара. Эта формула нам пригодится, когда мы будем
обсуждать вопрос о рождении пары в кулоновском поле ядер.
Указанный процесс играет очень важную роль в поглощении
веществом излучения высокой энергии. В системе центра масс
сечение процесса легко получается из формулы (10.52) с по-
мощью принципа детального равновесия и оказывается равным
«=1(^)2(1-β2)[(3-β4)1η]^--2β(2-β2)], (10.61)
где β=Ι1 Η » а <?~энеРгия фотона.
ЗАДАЧИ
1. Пусть электрон имеет аномальный магнитный момент, так что лагран-
жиан взаимодействия с электромагнитным полем содержит добавочный член
Вычислите матричный элемент для комптоновского рассеяния в нерелятивист-
ском пределе. Сможете ли вы дать интерпретацию членам, линейным и ква-
дратичным по ν?
2. Сравните матричные элементы для комптон-эффекта в случае частиц со
спином 0 н со спином '/г.
3. Какие величины будут параметрами для /^-матрицы в случае компто-
новского рассеяния (с точностью до е2)? Они определяются с помощью раз-
иожения, приведенного в задаче 4 гл. 4.

Глава 11
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
Электроны и позитроны рассеиваются в веществе. Рассеяние
может происходить как на электронах, так и на ядрах веще-
ства, играющих роль мишеней. (Ядра можно трактовать как
фиксированные источники кулоновского поля.) Данная глава
посвящена рассмотрению обоих этих процессов.
\Р/ /Рг Рг
J PrPt \
'Pi Рг" Pi
Рис. 16. Фейнмановы графы для электрон-элек-
тронного рассеяния.
Рассмотрим сначала электрон-электронное рассеяние, изу-
ченное впервые Мёллером [1]. Фейнмановы графы для этого про-
цесса приведены на рис. 16. Соответствующий матричный эле-
мент равен
д__ /α) Νρ0νμ»(Ρ|)]["(Ρ2)νμ"(Ρ2)1
п I (pi-/>i)2+<'e
[ο(ρ2')νμΜ(ρ,)][/ψΟνμΜ(ρ2)]
(Pi-P2)2 + ''e
Обратим внимание на то, что слагаемые в формуле (11.1) имеют
разные знаки. Этот факт является следствием принципа нераз-
личимости частиц, который в данном случае требует, чтобы
амплитуда была антисимметрична относительно преобразования
р\+-* р[ и соответствующей замены спиновых переменных.
Если бы мы рассматривали электрон-протонное рассеяние, то
("Л-)

192 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Π
вклад дал бы только первый граф*). Сечение рассеяния может
быть легко рассчитано, однако мы опять ограничимся тем, что
приведем окончательный результат. В системе центра масс он
выглядит так:
rfa / α \2 1 1 Г(2Ег-1)2 2£4-£2-1/4 (Е2-!)2)
dQ \т) Ег (£2-1)М sin4 θ sin2 θ + 4 ')'
(11.2)
Здесь Ε — энергия одного из электронов в системе центра масс,
а θ — угол рассеяния; за единицу измерения энергии принята
масса покоя электрона т.
Как и в ранее рассмотренных случаях, амплитуда рассея-
ния в первую очередь определяется знаменателями. В системе
центра масс, где
р, = (£, р), р2 = (Е, - р),
р\ = {Е,р'), р'2 = {Е, -р').
знаменатели равны
1 I
(Р1-Р\У (P-Pf 2p2(I-cose) 4p2sin*4·
(П.З)
для первого графа и
1 ^ 1 ^ 1 _ 1 /1]4ч
(Р.-Р2)2 (Р + /)2 2p2(l+cose) 4p»cos»4
для второго. Таким образом, имеют место оба пика: как для
рассеяния вперед, так и для рассеяния назад. Поскольку мы
имеем дело с тождественными частицами, существует симме-
трия.
В нерелятивистском пределе (κ(ρ')γμ"(Ρ)~*δμο и т. п.) ам-
плитуда переходит в
Ах / I I \ (П5)
da
dQ
(П.6)
Если мы попытаемся вычислять полное сечение, интегрируя
(11.6) по углам, то придем к противоречию, поскольку за счет
*) Кроме того, протонная вершина имеет более сложную структуру, чем
просто eyV (см. гл. 26}.

ГЛ. И]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
193
знаменателей интеграл оказывается расходящимся. Эта труд-
ность возникает из-за отсутствия массы у фотонов. Вследствие
этого электрические силы имеют бесконечный радиус действия
(в нерелятивистском пределе спадают как 1/г2) и как бы да-
леко частицы ни были разведены, они рассеиваются друг на
друге. Эту трудность обойти нелегко. Вся теория рассеяния,
так же как асимптотические свойства операторов поля, может
быть сформулирована только в том случае, когда силы имеют
конечный радиус действия или, иначе, когда все частицы имеют
массу, пусть сколь угодно малую, но конечную. В действитель-
ности в эксперименте никогда не имеют дела с двумя изолиро-
ванными зарядами, всегда присутствуют другие заряды, кото-
рые приводят к экранировке кулоновского поля на больших
расстояниях. В дальнейшем у нас еще будет возможность об-
судить трудности, возникающие из-за отсутствия массы у фо-
тонов.
В последнее время интерес к электрон-электронному рассея-
нию был связан с измерением продольной поляризации элек-
тронов, испускаемых при β-распаде. Детальные вычисления
Бинкера и соавторов [2, 3]*) показали, что сечения электрон-
электронного и позитрон-электронного рассеяния зависят от
продольной поляризации падающего пучка только в том случае,
когда электроны мишени также поляризованы. Кратко, для
е~ — е~-рассеяния в том случае, когда в начальном состоянии
электроны поляризованы в одном направлении, сечение будет
меньше, чем в случае, когда их спины антипараллельны. Этот
эффект выражен наиболее явно, когда рассеяние происходит
на 90° в системе центра инерции. Причиной этому является
принцип неразличимости частиц: когда спины электронов па-
раллельны, пространственные части волновых функций должны
быть антисимметричными. Поэтому при 90° амплитуда рассея-
ния должна обращаться в нуль. Бинкер нашел, что при 90°
(JSL)
и»
WQ/
аитнпар
Если бы преобладающими были случаи, в которых спин пере-
ворачивается, то подобный эффект не наблюдался бы. Можно
легко убедиться в том, что в действительности как при низких,
так и при высоких энергиях число случаев переворота спина
мало. Рассмотрим величину U(p')\tlu(p), которая определяет
*) Обзор с экспериментальным уклоном приведен в работе [4].
13 С. Газнорович

194 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [ч. ц
поведение электрона при его взаимодействии с фотоном (ре-
альным или виртуальным). Ясно, что
т — φ2σ - р + р3Д'
\г2т (т + Е')
I
й(р')уи{р)
2т У Ε
ф2<7 ■
т - /ρ2σ · ρ + р3£
/2m (m + £)
±^-(/?-/σΧρ) + —
У Ε' +
(p' + ivXff) (11.8)
- / /\ л / \ -щ/~ (т + Ε) (т + £') . I
p'-p + ia- p1 x μ
4m2 Π 2m }A(m +E)(m + E')
Как уже отмечалось, для малых импульсов
(11.9)
β(/>0Υμ«(ρ)«δ,
'μ0·
В этом случае зависимости от спинов нет. Для высоких энер-
гий удобно использовать представление (2.48) для матриц Ди-
рака. При таком выборе представления в пределе, когда.можно
пренебречь массой, спинор и(р)
/^\jf^fr распадается на компоненты, со-
ответствующие положительной и
отрицательной спиральности. В
этом представлении
й (//) \и (р) = и (ρ') ρ3σ« (ρ), t
й(р')^и(р) = и*(р')и{р),
>+9
"А?
Рис. 17. Графы для е~ — е+-рас-
'(11.10)
сеяния.
так что между состояниями с по-
ложительной и отрицательной
спиральностью никакой связи нет. В результате электроны, ко-
торые имели продольную поляризацию и спины которых были
параллельны друг другу до столкновения, останутся таковыми
и после столкновения.
Фейнмановы графы для позитрон-электронного рассеяния
[5] (рис. 17) показывают, что существует член, соответствующий
обмену фотоном, как и в случае е~ — е~-рассеяния, и член (со
знаком минус), соответствующий аннигиляции. Матричный эле-
мент равен
[й (рГ) νμΜ (ρ)] [υ (q) γμκ (<?')] [й (ρ') ν% (?')] [ν (<?') γμκ (ρ)] "1
_ ,α Γ
m [
(ρ'-ρ)2 + /ε
(Ρ + <7)2 + «β
(П.П)
Первый член приводит к большому пику в амплитуде для рас-
сеяния вперед и к расходимости полного сечения рассеяния.
Промежуточное состояние в аннигиляционном члене является
однофотонным, поэтому этот член дает вклад только в ампли-
туду рассеяния с / = 1. Зависимость сечения от поляризации з

ГЛ. И]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
195
случае рассеяния продольно поляризованных позитронов поля-
ризованной мишенью также была рассчитана; соответствующие
результаты можно найти в статьях, упомянутых на стр. 193.
Следующим эффектом, который представляет интерес, яв-
ляется рассеяние электронов (или позитронов) внешним полем.
При наличии внешнего поля Л^неш (д;) к гамильтониану взаимо-
действия Ш\ (9.1) нужно добавить
Ж™шУ)=-е |А/|10)(х)^внеш(х). (11.12)
Внешнее поле может быть выражено через плотность источни-
ков. Имеем
А™еш(х) = 6»<®(х), (11.13)
где
т. е.
Здесь Zp(jr) — плотность заряда ядра*), так что
$р{х)(Рх=1. (11.15)
Для фиксированного источника импульс уже не будет сохра-
няться; источник может поглощать или сообщать импульс без
изменения своего состояния. Поэтому в данном случае б-функ-
ция, соответствующая сохранению импульса, не появляется.
Для небольших Ζ величина Ζα, которая играет роль пара-
метра разложения, все еще мала. Поэтому S$Tew (t) можно
трактовать как возмущение, за исключением тех случаев, когда
существенно, что электрон может находиться в связанном со-
стоянии в кулоновском поле, как это имеет место в фотоэффекте.
Однако в процессах при высоких энергиях вполне допустимо
использовать теорию возмущений и заменить кулоновское поле
эффективным «виртуальным фотоном». Рассмотрим, например,
однократное рассеяние электрона во внешнем поле (рис. 18).
В низшем порядке по Ζ имеем
((Ту, (5 - 1) Фр) = 1е \ dx (Фр,, ψ° (х) γμψ° (х) Фр) Л°неш (*)'=
= 2nie6(Ep-Ep)u(p')y»u(p) j -^e^-^A^W- (П.16)
*) Знаки выбраны так, что ядро и электрон имеют заряды противопо-
ложного знака, причем заряд электрона равен —е.
13·

196 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
Для внешнего поля, определяемого формулой (11.14), фигури-
рующий в (11.16) интеграл
(2π)
где
— f dtxe'W^ frfV Ρ{Χ1 -^ v(p-p'] (11 17)
nf]axe 4π J " "^ J jc — jc'| (2π)3 {p-p')2' (llu>
v (k) = J" Фхе-1к*р (л:), (11.18)
является формфактором, который характеризует распределение
электрического заряда в ядре. Нормировочное условие (11.15)
, предполагает, что
^ о(0)=1. (11.19)
\-4^-v/-> >
Для точечного источника v(k)= 1 при всех значе-
ниях ft. Подставляя (11.17) в (11.16), получаем
для матричного элемента
Рис 18 (ф"'· (5 ~ !) Фр) = 2nieb (£" ~ Е^ Х
гФДГТля Χ^Ρ')^Ρ)^^ψΞρψ- (11-20)
кулоновско-
го рассеяния Если последовать правилам Фейнмана, сформули-
рованным для электрона в отсутствие внешнего
поля, то для соответствующей части матричного элемента полу-
чим выражение
2nie6 (p' — p — k)U {p') \m (p).
Здесь k — 4-импульс, переданный электрону. Сравнивая это вы-
ражение с выражением (11.20), можно установить следующее
правило вычисления 5 — 1 при наличии внешнего поля: а) элек-
трон трактуется обычным образом; б) четырехмерная о-функ-
ция, стоящая в вершине, заменяется δ-функцией, соответствую-
щей сохранению энергии; в) обычный вершинный множитель
βγμ умножается на величину
. Ze υ (ft)
ν-0 (2π)3 ft2 '
Количество переходов в единицу времени равно
г=6(\"£р)1^сР,
где
S-1=6(E'-E)£lc.
Здесь
(11.21)
*с-й<рОуМр>£-$^г-

ГЛ. II]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
197
Сечение процесса дается формулой
da = у р„_ "' 1 Мс Ρ —
так что
2π |a"cl Ер,/(2п)3т (plEp) Ep,jm '
~ = (2л)2 -£ J p'2dp'\ &tc p 6(Ερ£/ρ'} = (2π)2 m2| «Яс f. (11.22)
Если требуется усреднить по начальным и просуммировать по
конечным спиновым состояниям электрона, то
-Ш\п^-!-^^1(Р' + т),М + ,пЫ.
Это приводит к
da I Zam
dQ „ , . 2 θ
1 2р2 sin2 -
•\'\vUf-p)t(l+-&co*±).
(11.23)
Для точечного источника \v(p— ρ') |2 следует заменить на еди-
ницу. Выражение (11.23) отличается от классической формулы
Резерфорда на слагаемое (p2/m2)cos2-|-, которое исчезает в
пределе р-*0. Этот член возникает за счет взаимодействия маг-
нитного момента электрона с магнитным полем, имеющимся в
системе координат, в которой электрон покоится.
Поскольку электрон имеет спин 1/2, то для каждого зна-
чения / рассеяние может происходить в состояния с орбиталь-
ным моментом / = / ± 1/2. В общем случае такая ситуация при-
водила бы к поляризации рассеянных электронов. Оказывается,
однако, что в низшем порядке по Ζσ. поляризация отсутствует.
Вычисления в следующих порядках показывают, что электрон
после столкновения поляризован, причем поляризация имеет
порядок Ζα. Причину отсутствия поляризации легко понять.
Действительно, соответствующая часть матричного элемента
для кулоновского рассеяния
й (р') у°и (р) = Ц^- -г- -^5- (cos θ - ta · η sin θ), (11.24)
где
я =
Ipxp'l
Иначе говоря, зависящая и не зависящая от спина части ампли-
туды рассеяния имеют разность фаз 90°. Поэтому они не мо-
гут интерферировать в квадрате модуля матричного элемента.

1Э8 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
Поляризация же как раз является интерференционным членом,
пропорциональным σ· п.
Следующий член в разложении по Ζα, соответствующий
графу, изображенному на рис. 19, дается формулой
Χ
1 -, ,. η β + т
и(р')еу° -г-*- -
— IP. * f ' ■ π1 — I
(p'-qY-m
q2 — m2 + le
ey°u(p). (11.25)
Если требуется рассчитать рассеяние позитрона в кулоновском
поле, то й(р') и и(р) следует заменить соответственно на v(p')
и v(p). Чтобы вычислить интеграл в фор-
^Р' муле (11.25), нужно уметь вычислять инте-
pi_Q гралы типа
[&а (Ь-91
(11.26)
Рис. 19. Двойное
рассеяние в куло-
новском поле.
Основные вклады в этот интеграл дают обла-
сти q *» ρ и q «* ρ'. Подынтегральное выраже-
ние резко возрастает в этих областях благо-
даря тому, что в них два из трех знаменателей
становятся малыми: один из кулоновских зна-
менателей и знаменатель электронной функ-
ции распространения стремятся к нулю. Эти
две области соответствуют следующей ситуации. Один из актов
рассеяния ответствен почти за всю передачу импульса, причем
электрон как до, так и после этого находится почти на массовой
оболочке. Он индуцирует второй акт рассеяния, в котором пе-
редачи импульса практически не происходит. Как мы знаем,
такому процессу, скажем за счет знаменателя в выражении
(11.23), должен соответствовать очень большой матричный эле-
мент. В действительности данный интеграл расходится, и чтобы
обойти эту трудность, следует прибегнуть к искусственному
приему. Припишем фотону малую массу μ. Тогда соответствую-
щие внешнему полю знаменатели в формуле (11.21), а следо-
вательно, и в формуле (11.25), следует заменить на \/(k2 + μ^)
и т. п. После этой замены интеграл становится сходящимся.
Детали такого расчета можно найти в статье Далица [6], кото-
рый нашел, что при массе фотона, достаточно близкой к нулю,
матричный элемент может быть записан в виде некоторого ко-
нечного матричного элемента, умноженного на зависящий от μ
множитель
ZaEp 2Psin|
1 — 2г —t— In τ
(11.27)

ГЛ И]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ
199
Этот множитель в данном порядке играет роль фазового мно-
жителя и поэтому не дает вклада в сечение кулоновского рас-
сеяния. Предположение Далица о том, что член, расходящийся
при стремлении массы фотона к нулю, имеет в действительности
вид
θ
/ 'zp sin
expl —21— In
Za, |2"sin2-
υ
(11.28)
получило обоснование в работе Енни и соавторов [7]*).
Если отбросить фазовый множитель, то для электронов
(позитронов) расчет Далица приводит к
I Г Е+т , Е-т
4р2 sin2 -f-
Г Е+т , Е — т , „ . ~ - m 1 ■
4n*m 0 + cos θ -/σ ■« sin θ) (Χ +/К), (11.29)
θ
2
Ζα
где
Υ =
4ρ2
4ρ2
π3
cos2
π2
cos2
θ
2
θ
2
(cosec
In (sin
θ
2
■τ)
')■
4p'i cos2 —
(11.30)
Рассеянный электрон будет поляризован в направлении п.
Чтобы убедиться в этом, выберем направление η в качестве оси
квантования; переходы, обусловленные амплитудой вида
Мс= А + ia-nB, (11.31)
можно разбить на четыре группы: переходы «верх — верх» —
им соответствует А + iB, переходы «верх — низ» — им соответ-
ствует 0, переходы «низ — верх» — им соответствует 0, и,
*) Амплитуда кулоновского рассеяния, умноженная на eihr/r, в нереля-
тивистской теории рассеяния равна
Zam sin. I . Zarn , _ . , θ
2p2 sin2 —
££«σ,
expl—i \n2prsin2— j.
Последний член возникает за счет бесконечности области взаимодействия
Если это решение сравнить с решением в виде плоских волн, то при некото-
ром радиусе /"=р/Р-2 оно эквивалентно решению при наличии малой массы
у фотона.

200 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
наконец, переходы «низ — низ» — им соответствует А — iB. От-
сюда в конечном состоянии электрон будет иметь поляризацию
da*-da* = \A + iB\*-\A-iB\2 = 2 Im АВ* .
do* + dc* \A + iB\* + \A-lB\* |Л|5 + ]В|2' ' '
В этом выражении стрелки означают «верх» и «низ» по отно-
шению к направлению п. Впервые поляризация была вычислена
Моттом [8]*).
Этими замечаниями мы заканчиваем наше обсуждение проб-
лемы рассеяния электронов и позитронов. Рассеяние электронов
ядрами используется для изучения распределения заряда в ядре
и все больше становится чрезвычайно полезным орудием изуче-
ния структуры ядерных уровней. Однако эти вопросы выходят
за рамки данной книги.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите взаимодействие векторного мезона с внешним электромаг-
нитным полем Пусть лагранжиан взаимодействия
J? = j Г+ (0μφν - dv%) +1 Г (<ур+ ~ ^νΦμ+) ~ γ йГ +
+ т2,?^ - -f Г+ {ΑμΨν - Av%) + -| Γ (Λμψ+ ~ ΛνΦ+) +
+ ψ («Ρ?Φν - Φν+Φμ) ^μν + "Цг^ - 4>tU^\
Исследуйте нерелятивистский предел, выразите результат через оператор век-
тора спина 5, сконструированного по аналогии с соответствующим оператором
для фотона, рассмотренным в гл. 10. Дайте интерпретацию различным членам.
Каков магнитный момент векторного мезона, описываемого приведенным выше
лагранжианом взаимодействия? Каков его квадрупольный момент?
2. Пусть электрон имеет аномальный магнитный момент, так что его ла-
гранжиан взаимодействия с электромагнитным полем имеет добавочный член
lieJ .τ„,μν.
ψσμνψ^μν.
Вычислите поправку первого порядка по γ к сечению электрон-электрониого
рассеяния.
*) Блестящее обсуждение этого вопроса можно найти также в работе 19].

Глава 12
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ
Наиболее важным механизмом замедления электронов вы-
соких энергий служит тормозное излучение — процесс, сопро-
вождающий любое изменение состояния движения заряженной
частицы. Процессом, за счет
которого в основном происхо-
дит поглощение веществом из-
лучения высокой энергии, яв-
ляется рождение пар в при-
сутствии внешнего поля. В
этой главе мы будем иметь
дело с обоими этими процес-
сами.
Сначала мы рассмотрим
тормозное излучение. Графы
Фейнмана для этого процесса приведены на рис. 20, а соответ-
ствующий матричный элемент дается формулой
'и(р') Υ0—— е + е-— \° \и(р).
L p — R — tn p+R—m )
\Ili
Рис. 20. Фейнмановы графы для тор-
мозного излучения.
(12.1)
(2я)'к |Δ|2 " " '{' p-R-m p + R-m
Здесь
A = p-k-p' (12.2)
— импульс, переданный ядру. Используя свойства \-матриц,
это выражение можно переписать в виде
2p'-k Чр-k
Этот матричный элемент нужно возвести в квадрат, а различ-
ные суммы по спинам и поляризациям могут быть вычислены
без труда. Результаты, относящиеся к этому так называемому
сечению Бете—Гайтлера, можно найти в ряде монографий [1]*).
Ze* v (А) С Q(je1£__e1p\
У {ρ). (
12.3)
*) Этот вопрос подробно рассмотрен в книге Гчйтлера (см. ссылку на.
стр. 172).

202 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
Мы не будем воспроизводить здесь всех выкладок, однако не-
которые предельные случаи этого процесса мы обсудим. Рас-
смотрим, в частности, предельный случай мягких фотонов, т. е.
матричный элемент для излучения фотонов с энергией, малой
по сравнению со всеми другими энергиями в данном процессе,
включая и |Δ|. Ясно, что в таком пределе первые два члена
в выражении (12.3) будут доминирующими. Сравнение этого
предела с матричным элементом для кулоновского рассеяния
показывает, что матричный элемент для тормозного излучения
можно записать в виде
В (2π)3/2 \ k-p' k-p J C '
Из этого выражения исключены все δ-функции. Сечение про-
цесса легко вычисляется и равно
*{E„ + k-Ep) (2n)*m dY d°k _
ασΒ~ 2π |и^' Ερν Ep,\m 2k ~
e> le-p' e-pVd°k( δ(Ερ,~Ερ) (2η)* m
~ (2π)3 \k-ff k-pl 2k \ 2π ' cl Epv
d3p'
Ep,jm
Запишем его в виде
*» ~ т w ("xf - τ$kdkd^ d°c <"· ")■ <12-6>
Множитель, стоящий перед сечением кулоновского рассеяния
/ v'-e -o-e \2
--) , (12.7)
a dQ,k dk I v'-e v-e \2
π 4π k
содержит всю информацию об излучении мягких фотонов.
Можно отметить несколько характерных особенностей.
1. Спектр энергии зависит от l/k; в сечении процесса появ-
ляется расходимость на «инфракрасном» конце спектра. Этот
эффект обусловлен нулевой массой фотона.
2. В угловом распределении излучения наблюдаются два
высоких пика в направлениях скоростей начального и конечного
электронов. Это — чисто классический эффект, который является
доминирующим в том случае, когда испущенное излучение не
влияет на движение электрона. Сейчас мы покажем, что выра-
жение (12.7) совпадает с тем, которое получается при излучении
классическим током.

ГЛ. 12] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 203
Матричный элемент, соответствующий испусканию фотонов
классическим током /μ(*), имеет вид
(ф0, Τ {exp ( - i J" dxJ» (x) A^ (x)) \ Фи)
-(Φ*,...*„, Г{ехр(-г| £/*У**(*)(Л|?(х))_)}фо). (I2.b,
Здесь мы использовали формулы (8.40) и (8.44). Для одиноч-
ного фотона получаем
- i Г ах^(х)(фк, «»(Х))_ Фо) = —1-ш \ dxQd3xe · J(x)ela"-tk'x.
J (2π)' J
(12.9)
В случае классического тока вида
, — ею δ (х — vxX х0 < 0,
интеграл берется элементарно и получается
(2π)3'2 * U-f* 1-»■*/" U '
Если предположить, что фотон имеет малую массу μ, то это
приведет к изменению вида формулы (12.6). Именно, в знаме-
нателе электронной функции распространения будет № = μ2
вместо к? = 0; кроме того, в статистическом весе в импульсном
пространстве 2k заменится на 2ω. В результате получим
а~ 1 е1 ( 2е-р' 2е ■ ρ \2 k2 dk .„ , ,10 10\
Множитель, соответствующий излучению мягких фотонов, мо-
жет быть переписан в виде
η 4π ω
где
2£·ρ' + μ2 2p-*-us·

204 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [ч. II
Если просуммировать по состояниям поляризации фотона, то,
используя *)
для этого множителя получим выражение
α dQR k2dk 4от2-μ2 4m2-μ2
~"я~Ш ω~ (2ρ'-λ: + μ2)2 + (2ρ-Η-μ.ψ^~
_μ -βρ·ρ' + 2μ2 ] (12 ...
+ (2ρ'·* + μ2)(2ρ-Α:-μ2) Γ Ι"'1*!
Вычислим сечение кулоновского рассеяния, сопровождающе-
гося излучением фотона с энергией меньшей, чем Д£. Чтобы
произвести это вычисление, надо взягь интегралы по угловым
переменным и по энергии фотона в пределах от ω = μ до ΔΕ.
Из формулы (12.7) видно, что при μ = 0 последний "интеграл
будет расходиться логарифмически. Мы будем интересоваться
главным (при μ —* 0) членом сечения рассеяния.
Для первых двух членов получается интеграл типа
АЕ
μ
1Л£1 I
-i
ΔΕ
= 4m2— Учу2 —μ2 dv> =-.
π J r (2£'ω + μ2)2-4£2ρ'2
Главный вклад от первых двух членов в (12.4) превращается в
- — In — . (12.15)
π μ
Чтобы взять интеграл по углам в последнем члене, преобразуем
сначала знаменатели, воспользовавшись искусственным прие-
мом, предложенным Фейнманом. Он состоит в использовании,
тождества
1
—-Г
аЪ J
dX; —TTj ГТ5-. (12.16)
[ax+6(1 — x)]2 '
о
*) Для векторных мезонов формула (12.13) является аналогом формулы
2euev =— £μνΛΠ5' ковариантной суммы по поляризациям фотона. Из (12.13)
λ
видно, что «продольная» часть £μ£ν/μ2 обращается в нуль при μ2-»0. Отме-
тим, что только в этом предельном случае удовлетворяется условие £μ/" = О·

ГЛ. 12] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 205
Применяя формулу (12.16), получим
Δ£
(8ρ.ρ'-2μ2)-^-/ νΛ^-μ5,^|4τΧ
μ
i
X^dx[2k.{p'x-]-p{\-x))-\i2(\-2x)r'~
о
ΔΒ
~8ρ·ρ'-^-| Ι^ω2 -μ4ωΧ
μ
1
Χ j Ле [(2£Λω - μ2 (.1 - 2*))2 - ΑΗψΧ\~\ (12.17)
ο
Здесь
Ех = хЕ' + (\-х)Е,
Pl = [p'x + p{l-x)f. Κ ' '
Производя вначале интегрирование по ω, для главного вклада
получаем выражение
^■"'^-Аж^У ε' ■ (12·,9)
-X fx ^xl
В том случае, когда изменение импульса q = ρ' — ρ велико,
так что —ς2 3> т2, вклад от (12.19) будет гораздо больше, чем
от (12.15). Выражение в (12.19) расходится при μ-*0. В гл. 13
мы увидим, что такой результат не является бессмысленным.
Эта расходимость в сечении кулоновского рассеяния с потерей
энергии, меньшей Δ£, компенсируется такой же расходимостью
в радиационных поправках к чисто упругому кулоновскому рас-
сеянию. Анализ показывает, что причина появления расходи-
мости связана не с физикой, а с использованием теории возму-
щений.
Обратимся теперь к расчету тормозного излучения для элек-
тронов высокой энергии. Метод, который мы будем использо-
вать, основывается на установленном Ферми [2] *) факте, за-
ключающемся в том, что поле движущегося заряда весьма
сходно с излучением, которое можно трактовать как поток фо-
тонов, распределенных с некоторой плотностью π(ω) по спектру
частот. Если тормозное излучение рассматривать в системе,
*) Дальнейшее развитие метод получил в работах Вейцзекера [3] и
Вильямса [4]. Подробно этот вопрос обсуждается у Джексона (см. ссылку на
стр. 183).

206 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
в которой электрон покоится, то в этой системе ядро, являю-
щееся источником кулоновского поля, будет двигаться с боль-
шой скоростью и кулоновское поле будет «выглядеть» как пакет
фотонов. Эти фотоны испытывают комптоновское рассеяние на
электронах, и рассеянные фотоны являются не чем иным, как
фотонами, излученными электроном.
Связь рассматриваемого процесса с комптоновским рассея-
нием очевидна из рис. 20. Фактически если £ftB — амплитуда
тормозного излучения, то \Δ\2ΜΒ является амплитудой компто-
новского рассеяния с точностью до некоторых множителей. При
этом, однако, надо иметь в виду, что в этом комптоновском
рассеянии один из фотонов лежит вне массовой оболочки и не
является поперечно поляризованным. Так называемая аппро-
ксимация Вейцзекера — Вильямса заключается в том, что игно-
рируют эти два отличия от комптоиавского рассеяния на сво-
бодном электроне и для описания электрон-фотонного взаимо-
действия используют формулу Клейна — Нишины. Любопытно,
что метод Вейцзекера — Вильямса воскрес в теории сильных
взаимодействий под названием «приближение одночастичного
обмена». Там установить условия законности этой аппроксима-
ции гораздо труднее.
Отсутствие места не позволяет нам привести доказательство
того факта, что кулоновское поле ядра с зарядом Ζ, движуще-
гося со скоростью ν « 1, можно рассматривать как совокуп-
ность фотонов разной частоты, причем число фотонов на еди-
ничный интервал частот равно *)
, ч , 222а 183
η(ω)αω~ —-Ιη-^-^ω, (12.20)
где постоянный логарифмический множитель соответствует эк-
ранированному кулоновскому полю. Теперь мы используем этот
результат для вычисления сечения тормозного излучения, рас-
сматривая его в системе координат, в которой электрон по-
коится. Формула Клейна — Нишины (10.47) для комптоновского
рассеяния в системе покоя электрона имеет вид
<Μω", a>-) = -^-(4TK- + 4--sin26-)dQ·, (12.21)
где ω* — энергия входящего фотона, ω*' — энергия выходящего
фотона, а угол рассеяния Θ* связан с этими величинами в силу
сохранения энергии — импульса формулой
l-cos©*=-^-—. (12.22)
ω* ω*
*) Дж. Джексон (см. ссылку на стр, 183), В. Гайтлер (см. ссылку на
стр. 172).

ГЛ. 12] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 207
Интегрирование по углам может быть заменено интегрирова-
нием по ω*', поскольку
i/Q* = 2nd(cos6*) = 2nm-^r. (12.23)
ω*'
В результате для сечения тормозного излучения получаем
daB= i/fi>*tt(«>*) ασ{ω*', ω*)2π?η ~г =
ω
2Ζ2α3 . 183 Γ da* m
1 '"° Γ rfco* '" ν
m 21'3 J ω' ω*2 Χ
xJ^'K+^-i+fi-f^-^)2
J L ω ω V со со /
(12.24)
Оставшиеся интегралы взять нетрудно; пределы интегрирова-
ния определяются законом сохранения энергии и импульса. Вы-
разим переменные интегрирования через переменные в лабора-
торной системе координат. Обычное лоренцевское преобразова-
ние в данном случае дает
ω' sin θ = ω*' sin β*,
f ' г» '\ П2-25>
ω' cos θ = γ (ω* cos θ — υα>* )■
Отсюда следует, что для ν =з 1
Следовало бы отметить, что в лабораторной системе координат
энергия начального электрона равна Ε = ут, а энергия конеч-
ного электрона
Ε' = Ε — ω',
где о/ — энергия испущенного фотона. Можно также отметить,
что здесь Θ — угол, который образует импульс фотона с на-
правлением импульса падающего электрона.
Следующие соотношения получаются элементарно:
ω*' _ . _ со' _ , _ _о/_ _ Ε'
ω* ту ЕЕ'
da?' = - -^ Ad', (12.26)
ω' = у «£- ω* (1 - cos©*) = JL ω* (1 - cos Θ').

208 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
Последнее из этих соотношений показывает, что область интег-
рирования по ω* простирается от оо до а>'т/2Е'. Окончательно
имеем
ω'/η/2£'
x"[4-+4-'+('+-S-#rl·
что после небольших алгебраических преобразований приво-
дится к
^=^^[.-|·1+(τ)Ιν· ^
Это выражение находится в хорошем согласии с точными вы-
числениями. Полученное сечение процесса можно использовать
для расчета потерь энергии на пути dx. Эта величина имеет вид
ма
dE = — ρ dx
doB
da'
о
мак*.
(12.28)
Здесь ρ — число ядер в единице объема. Результат показывает,
что
т. е. энергия убывает экспоненциально. Далее, имеем
Е(х) = Е(0)е-х1\ (12.30)
где
, / 422а3 . 183 \-1 ... оЛ
/й=(р~^~1п1т«) (12,31)
— радиационная длина, т. е. расстояние, на котором электрон
теряет примерно 3/4 своей энергии. Приведем несколько ха-
рактерных значений этой величины: для воздуха — 330 м, алю-
миния — 9,7 см, свинца — 0,52 см.
Другим важным процессом, который идет во внешнем поле,
является «материализация» фотона. В нашем подходе электри-
ческое поле ядер рассматривается как совокупность фотонов-

ГЛ. 12] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 209
Поэтому основной реакции данного процесса можно придать
вид
γ + γ —* е+ + ег.
При обсуждении этого процесса мы опять воспользуемся мето-
дом Вейцзекера — Вильямса.
Пусть в лабораторной системе координат энергия фотона
равна cot. Тогда в системе координат, в которой ядро движется
навстречу фотону со скоростью о «* 1, падающий фотон имеет
частоту ω* « ω^/2γ. Если сечение рождения пары фотонов,
имеющих чистоты ω и ω* и движущихся параллельно навстречу
друг другу, обозначить через σ(ω, ω*), то величина, которой мы
интересуемся, будет иметь вид
Г 2Ζ2α . 183 , »ч , ,,- ооч
Опары = 1η^Ι7τσ(ω, ω)do. (12.32)
J πω ΖΙΛ
Полное сечение процесса
γ + γ -»· е+ + е~
может быть функцией лишь инвариантной переменной
s = (fe| + k2Y, где k\ и k2 — импульсы двух фотонов в начальном
состоянии. В данном случае
s = (ω + ω*)2 - (ω - ω*)2 = 4ωω\
так что
σ(ω, ω*) = σ(ωω*).
Поэтому можно написать
2Ζ2α , 183 Г , „do 2Ζ2α. 183 Γ , . ds /1ПОо\
Опары = -^- In ^щ- J σ(ωω)—= —In^-J σ(β) —. (12.33)
Интеграл можно взять, используя для сечения формулу (10.61).
Заметим, что
β2=1-^-,
ds 2β df> π
так что — = -гНгг ■ Пределы интегрирования определяются
условием 0 < β <! 1 (β — скорость электрона или позитрона).
Окончательно получаем
-^>w- <12·34>
14 С. Газиороьич

210 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
Это близко к точному результату Бете и Гайтлера
„Б. Г. ^ j^fal / 28^ 183 _ _2_\ п
Так же как и в случае тормозного излучения, можно ввести
понятие длины свободного пробега по отношению к рождению
пары — процесса, являющегося основным механизмом погло-
щения фотонов высокой энергии. Сравнение сечений этого про-
цесса и тормозного излучения показывает, что
, /28 Ζ2α3ρ . 183 \~1 9 , ,.„ _„ч
/пары = (—^^ln-^J = yi*. (12.36)
В заключение этой главы сделаем несколько замечаний ка-
чественного порядка. Одно из них касается поляризации фото-
нов, испускаемых продольно поляризованными электронами вы-
сокой энергии. Этот эффект очень просто может быть изучен
в пределе «жестких фотонов», когда фотону передается большая
часть энергии. Множители, возникающие в формуле (12.1), за-
писанной через передачу импульса
Δ=(0, p — k — p').
пропорциональны
"(POvo-^t/M V-eu{p) (12.37)
и
uWv-el^^v0"(P)- О2·38)
Для малых передач импульса, когда Ε, £'3>|Δ|, имеем
{т + р-А)у0и(р)~2Рои(р) (12.39)
и
й{р')ч»{р'+к + т)~2р'ъй{р')· (12.40)
Таким образом, для обоих членов зависимость матричного
элемента от спинов определяется величиной
й(р')\ · еи{р).
Если падающий электрон продольно поляризован, то спинор
и{р) можно заменить на '/г0 + σ · р)и(р) и при Ε > £" > m
матричный элемент становится равным
_^^ρθγ.β1+Ρ«(ρ)). (12.41)

Г Л 12] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И РОДСТВЕННЫЕ ЕМУ ПРОЦЕССЫ 211
С помощью (11.8) можно записать множитель в скобках в виде
«(Р')\ · е^Ц^и(р) « -^ [")/-§-(/>-ia х ρ). е +
+ Yl?(P + iGXP')-e]1±f-E. (12.42)
Когда передача импульса мала, с хорошей точностью
ρ ~ k + ρ',
так что
Отсюда
p~k + jrp'. (12.43)
р-е ~^-р'-е.
Ряд алгебраических выкладок приводит к
Ц^- (σ + ~pi + ia х ρ'). (e - ^ Χ e). (12.44)
Замечая теперь, что
(е\1-Ц^ = \(е-Шхе)
(см. (10.43)), видим, что фотон имеет такую же спиральность,
как и падающий электрон.
Подробные вычисления показывают, что это явление «пере-
дачи спиральности» имеет место также и при рождении пары.
Когда электрон-позитрон-
ная пара рождается про- ^р у Ρ ~Р\ Р/
дольно поляризованным фо-
тоном, спиральность пере-
дается наиболее быстрому
члену этой пары. Качествен-
но В этом МОЖНО убедиться Рис 21 фейнмановы графы для рожде-
следующим образом. В про- ния пары.
ЦеССв Линии иа этом рисунке отмечены значениями
, + , _ импульсов в системе центра инерции.
энергетические знаменатели, соответствующие двум графам,
изображенным на рис. 21, равны (ρ ± ft)2 + tn2. Это благо-
приятствует тому, чтобы в системе центра масс электрон или
позитрон вылетали бы в направлении падающего фотона. В си-
стеме координат, в которой один из фотонов имеет энергию го-
раздо большую, чем второй, наблюдается тенденция к тому,
чтобы один член пары уносил бы всю энергию, а другой оста-
вался бы почти неподвижным. Те же самы? аргументы, которые
14·

212 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
были использованы, чтобы показать, что в случае «жесткого»
тормозного излучения спиральность передается от электрона
к фотону, убеждают нас здесь в том, что спиральность пере-
дается от фотона к наиболее быстро движущейся заряженной
частице. Качественные оценки этого процесса были сделаны
Дайсоном и Маквоем [5].
В заключение заметим, что подтверждение теоретических
предсказаний экспериментами с быстрыми электронами, вообще
говоря, не дает надежного критерия правильности квантовой
электродинамики в области высоких энергий. В большинстве
случаев, примером чего может служить наше рассмотрение при-
ближения Вейцзекера — Вильямса, удается лишь установить
законность электродинамики при низких энергиях в системе
центра масс. Чтобы убедиться в справедливости квантовой элек-
тродинамики при высоких энергиях, необходимо провести экспе-
рименты, которые описали бы поведение электрона вдали от
массовой оболочки или при высоких энергиях в системе центра
масс [6].
ЗАДАЧИ
1. Рассчитайте тормозное излучение мягкого фотона частицей спина 0.
Сравните полученные результаты с результатами для частицы со спином '/г-
2. Известно, что частица распадается на два л°-мезона, которые в свою
очередь распадаются по схеме
я° -> 2γ.
Как велика должна быть пузырьковая камера,- наполненная жидким во-
дородом, чтобы можно было изучить этот процесс? (Плотность жидкого водо-
рода 0,07 г/см3.) Какой величины должна быть камера, наполненная фреоном
(CF3Br), плотность которого приблизительно равна 1,5 г/см3, чтобы добиться
той же цели?

Глава 13
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
Методы, развитые в последних трех главах, вполне доста-
точны для предсказаний результатов экспериментов по кван-
товой электродинамике с точностью не хуже 10%. То, что мы
обращаемся к обсуждению радиационных поправок, вызвано
скорее не потребностью повысить точность расчетов, приведен-
ных в данной книге, а желанием разобраться в некоторых труд-
ностях, которые возникают в связи с использованием правил
Фейнмана. Когда мы производим расчеты, не ограничиваясь
низшим порядком, возникают две проблемы, априори независи-
мые друг от друга. Первая заключается в необходимости выяс-
нить смысл параметров т и е, фигурирующих в лагранжиане.
В низшем порядке теории возмущений мы приняли, что они
играют роль массы и заряда электрона. Это подтверждалось
расчетами и могло быть хорошо обосновано. Например, хотя мы
и не производили подобного вычисления, почти очевидно, что
среднее значение гамильтониана в одноэлектронном состоянии
равно Ер — (р2 + т2)1/г. Аналогично в низшем порядке сечение
комптоновского рассеяния в пределе нулевой частоты переходит
в классическое томсоновское сечение, в котором е имеет ука-
занный выше смысл.
При рассмотрении поправок более высокого порядка утвер-
ждение, что т и е имеют такой же смысл, перестает быть спра-
ведливым. В этом случае физическую массу электрона скорее
следует рассчитывать с необходимой точностью в высшем по-
рядке, используя, например
р-0
Аналогично физический заряд электрона следовало бы вычис-
лять, определив его как величину, которая появляется в экспе-
рименте определенного вида. Например, заряд можно опре-
делить как параметр, который фигурирует в сечении компто-
новского рассеяния вблизи порога. Таким образом, какой бы

214 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч II
порядок теории возмущений мы ни учитывали, результат дол-
жен быть всегда *)
8π ' -2 ^
3
| еэксп ]
\ 4ятЭКСп /
Если все это проделать, то в принципе можно найти соотноше-
ния вида
θ = £ (eaKcti), tTl — ttl 1"зксп> "2эксш
и с их помощью исключить параметры е и т, выразив их через
экспериментальные значения заряда и массы. Такое исключе-
ь ние параметров с помощью введения на-
блюдаемых величин называется перенор-
мировкой и является составной частью
всякого расчета, который сравнивается
Ρ Р~" Ρ с экспериментом.
Вторая проблема возникает в связи
f™c'„2«» Гр„а* для соб~ с появлением расходящихся интегралов
ственнои энергии во вто- v r
ром порядке теории воз- в том случае, когда для расчетов в выс-
мущений ших порядках теории возмущений пра-
вила Фейнмана применяются слишком
буквально. Например, так называемая собственно энергетиче-
ская поправка к фермионной линии, изображенная на рис. 22,
приводит к выражению, которое пропорционально следующему
интегралу:
J
С помощью соотношения
γμαγμ = — 2й
он приводится к виду
dk - 2/5 + 2k + Am
\
k2 + is (p - kY - от2
(13.2)
Подсчет степеней k в числителе и знаменателе показывает, что
для больших k интеграл ведет себя как
*) Заряд можно было бы также определить, потребовав, чтобы сечеиие
рассеяния электрона внешним кулоновским полем при р->0 равнялось
da/dQ = I Zam/2p2 sin2 -^- J . Это определение приводит к тому же резуль-
Taiy.

ГЛ. 13]
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
215
Это означает, что если в этом интеграле ввести обрезание*), то
старший член будет пропорционален параметру обрезания.
В связи с этим говорят, что этот интеграл расходится линейно.
Возникновение такой ситуации показывает, что правила Фейн-
мана, сформулированные в гл. 8 и 9, являются несовершенными,
поскольку они ничего не говорят нам о том, что делать с та-
кими интегралами. Совершенно удивительным образом, однако,
оказывается, что если сначала перенормировать заряд и массу
электрона, то во всех наблюдаемых величинах расходящиеся
интегралы вообще не появляются**). Мы продемонстрируем
это на примере простого, но нетривиального вычисления радиа-
ционных поправок к рассеянию электрона во внешнем поле.
При этом мы все-таки будем совершать насилие над обычной
математической процедурой: именно, бесконечные интегралы
мы будем складывать, вычитать, делить, как если бы они были
конечными. Тем не менее фактом является то, что после вы-
полнения этих манипуляций результаты оказываются конечными
и с замечательной точностью согласуются с экспериментом. Это
говорит о том, что за нашим неуклюжим методом извлечения
конечного ответа из выражений, которые выглядят бесконеч-
ными, кроется какая-то истина. По-видимому, трудность заклю-
чается в том, что в лагранжевом подходе приходится иметь дело
с плохо определенными произведениями нескольких операторов,
относящихся к одной и той же пространственно-временной
точке***). Как уже отмечалось в гл. 1, в своей простейшей
форме это приводит к бесконечности энергии основного состоя-
ния для свободного гамильтониана. Возникают ли бесконечности
как результат разложения в ряд по е (матричные элементы мо-
гут оказаться неаналитическими функциями е в окрестности
е = 0) или они являются фундаментальным изъяном в осталь-
ном благополучной теории? Ответа на эти вопросы, который
всех бы удовлетворил, пока не существует. Установлено только,
*) Коварнантная процедура обрезания, которая, вообще говоря, являет-
ся некоторым насилием над теорией при высоких энергиях, заключается в за-
1 1 -Л*
мене функции распространения типа 2 _—2 на 2 _—г ' г _ д» » гДе
Л2^> т2. При применении этого обрезания в графах, содержащих замкну-
тые электронные петли, следует соблюдать некоторую осторожность (см. [1],
особенно пп. 5 и 7).
**) Как мы видели в предыдущей главе, расходящиеся интегралы могут
возникнуть также за счет нулевой массы фотона. Такие расходимости назы-
ваются инфракрасными в противоположность расходимостям, обусловленным
большими импульсами, которые называются ультрафиолетовыми. Мы увидим,
что инфракрасные расходимости также исчезают из окончательных резуль-
татов.
***) Последовательная формулировка процедуры перенормировки, осно-
ванная на переопределении произведения обобщенных функций, дана в рабо-
тах [2, 3]. (Прим. перее,)

216 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. ц
что, для того чтобы теория стала конечной, в матричных элемен-
тах должны появиться в каком-то смысле нерегулярные функ-
ции, для которых, например, запрещено изменение порядков
интегрирования [4, 5].
Начнем рассмотрение радиационных поправок для рассея-
ния электрона внешним полем с обсуждения вопроса о пере-
нормировке массы. Можно исследовать следствия требования,
в силу которого для одноэлектронного состояния должно выпол-
няться условие
(Ψρ,, 7/Ψρ) = Ερ(Ψρ,, Ψρ). (13.3)
Однако проще обратиться к асимптотическому условию (6.24),
которое для специального случая, когда ψ0—вакуумное, а
ΨΡ' — одноэлектронное состояние, выглядит так:
(Ψο, α1η{ρ)Ψρ,)= lim \ d3xup(x)y°C¥o, Ψ(*)ΨΡ'). (13.4)
В предельном случае решения типа плоских волн (а не волно-
вых пакетов) правая часть (13.4) приобретает вид
lim (2π)"3/2 Γ d3xu{p)e'Pxy°{xY0, ψ(0)Ψ»β-*ρ'* =
-^. —со ν
= lim {(2π)3/2«(/>)γ0(Ψ0,Ψ(0)ΨΡ')δ(ρ-ρ')}.
f-> — CO
Величина, стоящая в фигурных скобках, не зависит от времени,
и поэтому имеем
δ(ρ-ρ')"(ρ)Υ°(Ψο, ψ(Ο)ΨΡ0 = (2π)-3/2(Ψο, α1η(ρ)Ψρ,).
С другой стороны, правая часть этого соотношения равна
1 е±Ыр-П
(2π)3/2 т
Отсюда
«(ρ)Υ°(Ψο.ψ(0)Ψρ)-^ Ε"
(2π)3/2 т
что предполагает
(Ψο, ψ(0)Ψρ) = (2πΓ3/2«(ρ),
или эквивалентно
4-3/2
(Ψ0, Ψ (х) ΨΡ) = (2π)"3/2 и {ρ) е-*" - (Ψ0, %„ (х) Ψ„). (13.5)
Это означает, что
(Ψθ, / (Χ) ΨΡ) = - (^Ч - "Wen) (Ψθ, Ψ (Χ) Ψρ) =
= - (iV4 - >"эксп) (Ψθ, ψ<„ U) Ψρ) = 0. (13.6)

ГЛ. 13)
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
217
Последнее соотношение является условием, накладываемым на
член взаимодействия в лагранжиане, который, как указывалось
в гл. 8, содержит контрчлен перенормировки массы. Его можно
использовать для определения разности между тЭКСп и пара-
метром т, фигурирующим в лагранжиане.
Используя редукционную формулу, можно записать
С*'о. Η*ΓΙ;ρ) = (Ψ0, Κ*)α+(ρ)Ψ0) =
= lim \ сРу (Ψ0, Τ (f (*) ψ {у)) Ψ0) у0ир {у) =
"=~\dyWo [(Ψ°· T {f {X) * {У)) Ψθ) Υ°"· ( /)] =
= i J dy (Ψ0, Τ (/ (x) ψ (у)) Ψ0) ®иир (у).
Правая часть содержит два слагаемых. В одном из них вос-
пользуемся соотношением
Ψ (У) ®υ = 1~^§ (У) Υμ + «экспФ (У) = I (У)> (13.7)
а в другом возьмем производную по времени от ступенчатой
функции, появляющейся за счет Г-произведения. В результате
получим
0 = t |^(Ψ0, Π/(*)^))Ψ0)ηρ(#) =
= - J" dy(W0,[-6{x0—y0)f {x)^{y)-b(y0-x0)^>{y)f(x)]xir0)y0up(y)^
= ijdy(W0, T(f(x)f(y))W0)up(y) +
+ J" &y (Ψ0, {/ {x), ψ (y)}Xt=m Ψ0) уо«р (#). (13.8)
Поскольку лагранжиан записан в терминах неперенормирован-
ных операторов, воспользуемся теперь уравнениями движения
для этих операторов *):
(«Υμ<3μ - тЭКсп) Ψ (*) = ~ f U) -
=■ - £?,γΜ μ(Χ) ψ (х) - (тэксп - m) ψ (x). (13.9)
Уравнение движения совместно с одновременным антипереста-
новочным соотношением
{Ψ (*). Φ (у)}^ V° = δ (* - У) (13.10)
*) Через в\ мы обозначим константу связи, которая фигурирует в ла-
гранжиане. За наблюдаемым электрическим зарядом мы сохраняем обозна-
чение е.

2)8 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ (Ч. ц
приводит к такому значению одновременного антикоммутатора
в (13.8), которое дает *)
Ζ31 (тЭКсп — т) ир (х) = Z2lbmup (х) =
= -i\dy (Ψ0, Г {f Ос) f {у))Ψ0) ир{у). (13.11)
Член, содержащий (Ψ0> /1μ(^)Ψ0), обращается в нуль.
Следующей нашей задачей является вычисление Ζ4 Ьщ
в теории возмущений. Чтобы вычислить
(Ψο, T{f(x)f(y))V0)~
~ z? Ζ (Φο, τ (γ-Μ? Μ Ψ(0) Μ Λ? (у) Φ%) yv) Φο) -
= Z^e2^- ±y»SF(x ~ у)у„)(- j DP(y -x)), (13.12)
используем процедуру гл. 8. В результате в данном порядке
по е\ получим
(2пГ*12Ьти(р)е~1рх =
ie\\dyt (-|SF{x - у)) νμ (-~ DF {у - х)) (2пТ312и{р)е
«е? ' Г , 1 1 ■
(2π)3/2 (2π)4 J fi + k- тшсп νμ k2 + ie
т. е.
.2
6m«(p)= - -\- f dkt ^ + R + m^_ J_. (13.13)
(2π)4 J (p + /02-»4cn-Herμ fe2-We
Аналогично можно получить
д(Р0ат---^гб(р0 [ ^„^Т,**?*",.. ΥμτΛ- Π3.14)
(2π)4 J (ff + kY - m%Kal + ie "k' + tz
Подсчет степеней импульса под интегралом показывает, что
в теории возмущений Ьт выражается через расходящийся ин-
теграл. Является ли это общей чертой теории, пока не ясно.
Наш интерес к величине hm обусловлен тем, что она фигу-
рирует в правилах Фейнмана. При выводе и формулировке этих
правил в гл. 8 и 9 игнорировался тот факт, что взаимодействие
имеет вид
Я, = - J d3x (|μ (х) Αμ (х) + 6m$ {х) φ (*)).
*) Это выражение впервые было получено Челленом [6].

гл. 131
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
219
Добавочный член, как мы помним, был необходим, чтобы вы-
разить свободный гамильтониан J5?0 через физическую массу
/Иэксп· Следствием этого оказалось, что электронная функция
распространения, решение свободного уравнения и(р) и т. п.
оказались функциями тЭКСп- Наличие добавочного члена в &ё\
предполагает, что следует нарисовать дополнительные графы.
Соответствующие правила могут быть получены путем, вполне
аналогичным использованному в гл. 8. Результат получается
А
/ N
Рис. 23. Графы для контрчленов, дающих перенормировку
массы в четвертом порядке теории возмущений.
следующий: где бы ни стояла фермионная линия, соответствую-
щая ей функция распространения должна быть заменена на
-6т ' +..., (13.15)
Ь-т р-тшсп + Ьт р-тшсп Р~-т3
где в правой части удерживаются члены до необходимого по-
рядка. Главный член в Ьт имеет порядок е\. В качестве при-
мера укажем, что в добавление к графам, фигурирующим на
рис. 7, следовало бы ввести графы порядка ё\, изображенные
на рис. 23. В дальнейшем мы увидим, что за счет равенств
(13.13) и (13.14) вклад этих графов будет компенсировать часть
вклада графов типа, изображенного на рис. 22.
Как отмечалось в гл. 7 и 8 (см., например, формулу (7.38)),
матричные элементы высших порядков включают в себя такие
величины, как Zi и Z3 *). Поскольку мы пока имеем дело с элек-
троном, займемся вначале изучением величины Z2. Это можно
было бы сделать с помощью перестановочных соотношений
*) 1г определяется формулой Λμ (*) = Ζ3 ш\{х), являющейся анало-
гом ψ(*)=-Ζ2~"2φ(Χ)

220 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
(7.34) или более непосредственно с помощью равенства
(Ψο, Ψ(0)Ψ„) = Ζ2'2(Ψ0, ψ(0)Ψ„) =^~ЗГ2"(Р)- (13.16)
Поступим так же, как и при определении Ьт, и после неко-
торых вычислений, используя редукционную технику, получим
г£"У = Hm (Ψ0, ψ(0)α+(ρ, /)Ψ0)-
(2Я)·"- i-»-oo
= /Ζ,"1/2 J dx (Ψ0, Γ (ψ (0) $ (*)) Ψ0) S,Ир (х). (13.17)
Отсюда с точностью до е\ имеем
Ζφ (ρ) = i\dx (Ψ0, Γ (ψ (0) φ (ж)) Ψ0) Зхе-1"х и (ρ) =
= / J rfx ΚΦο, Τ (ψ(0) (0) Φ(0) (Χ)) Φο) +
+ Ii|ii J J du, d„2(φ0, τ №0) («,) γ4(0) («,) лГ («,) x
X ФИ ("2) YV0) ("*) >C (»2) V0) (0) ^(0) (x)) Φο] ®xe-lpx и (ρ) =
= i$dx{-±.SP{-x)-e*^duldu2[-±-SF(- «,)]γλΧ
Χ [- у Sf("i - ы2)] γρ[- γ Sf (u2 -л;)] [- -j gKpDpitii - ы2)] | X
X h^-'^u(p).
В это выражение еще не включены члены, соответствующие пе-
ренормировке массы, поскольку их легче ввести в конце. С по-
мощью соотношений (9.5) и (9.6) окончательно получаем
Z2u (р)= —: V- &т-7 Ь
L Ρ ~ ^эксп Ρ — ^эксп Ρ — ОТэксп
, ie\ 1 Г dk p + k + тэксп 1 "I
-) γΛ γλ Χ.
(2π)4 p-m3-iCnJ k2 + ie, (p + fe)2-m|Kcn+ie Р~тэксп\
X(-/) + m9KCn)"(p)· (13.18)
Если учесть выражение (13.13), то на первый взгляд кажется,
что член с Ьт компенсирует данный интеграл. Однако это не-
верно. Более тщательный анализ расходящегося интеграла
*{P)=-I^i lFTrJ\P + k?-mlКсп-Ие Υλ (Ι3·
19)

ГЛ. 13] ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ 221
показывает, что он имеет вид [7]
Σ (ρ) = А + {β - тэксп) В + (р- тэксп) С (р) (р - тэксп). (13.20)
Здесь А — линейно расходящийся интеграл, В — логарифмиче-
ски расходящийся интеграл, а С{р)—конечная величина. Таким
образом, формула (13.13) приводит к тождеству
Ьт = А, (13.21)
а формула (13.18) приобретает вид
-1 , 1 1
Z9u(p) = \- ' Ь-— 6m-
*-2 4Ji \р- тшсп ρ -тэксп
Ρ ^эксп
1 г, . /л ч „ , 1 1
- т И + 03-тэксп)В + ...]-т—J-—}(-р + тэксп)гг(р).
Ρ — тЭксп Ρ '"эксп )
Последний член в этом соотношении обращается в нуль, и
Ьт — А = 0. В результате остается
Z2u(p) = {[l-(BJz^;)]C--p + m3KCIi)}u{p).
ч <_
Множитель (тэксп — р) ведет свое происхождение от SFX в фор-
муле (13.17), и поэтому он определенно действует налево. Та-
ким образом, имеем
Ζ2=1+β. (13.22)
Следует, пожалуй, отметить, что при нашем подходе, основан-
ном на редукционной формуле, мы избежали неоднозначности
в определении В, которая являлась бичом более ранних иссле-
дований *).
Теперь мы вполне подготовлены к рассмотрению задачи, ил-
люстрирующей эти общие рассуждения. Она состоит в вычис-
лении радиационных поправок к рассеянию электрона внешним
полем. На рис. 24 изображены графы (включая граф низшего
порядка), которые следует учесть при расчете.
Правила Фейнмана приводят к следующим членам. Граф а):
Чше.й (р0 ψη (ρ)[-gL6μ0 (ρ *ρ,)2 ]. (13.23)
Множитель, стоящий в квадратных скобках, будет фигуриро-
вать во всех графах. Мы обозначим его через
^ = W^7p^pT· <13-24>
так что вклад от графа а) запишется в виде
2меуй (ρ') νμ« (ρ) Αμ. (13.25)
*) См. [7], стр. 185—186.

222 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
Вклады от графов б{) и б2) выпишем вместе:
- 2з1Ш (р') Ьт -г-,— β,νμ« (ρ) + '
Р ~ тэксп
1
(2πΡ *W \§etf p^^^-e^p^—e^uip) д>
- - 2ше,й (ρ') [bm + -^ J ^ Υλ ^ΠΓ^ΞΓ Ч Χ
Υμ«(ρΜμ. (13.26)
Совершенно аналогично вклады от графов в]) и е2) имеют вид
1 Г ie\ Г dk . 1 1 , -
-2меМр1^р—7^{Ьт +Ш J ^ Υ^^^τρ^; Υ* J " (ρ) Λ,
(13.27)
Вклад от графа г) имеет вид
( i<Z С dk . I 1 \
- 2те}й(р') ^ J ^ Υλ р-ъ-т^ ^ Τ^Ε^ Чи<Р)\>
(13.28)
а от графа д)
2зш?,ы (ρ') ν4" (Ρ) (pJp)1 Χ
(Отметим появление дополнительного знака минус, обусловлен-
ного наличием замкнутой петли.) Окончательно, поскольку
имеются две внешние линии, сумма всех вкладов должна быть
умножена на Z^1.
Просуммируем сначала вклады от первых пяти графов (и
умножим на Zi). Используя (13.20) —(13.22), эту сумму за-
пишем в виде
2л/е1г2-' А»й (ρ') {γμ ~\Ьт-А~ (р' - т9ксп) В -
- (р' - т9КСП) С (р0 (/>' - т9ксп)] ргг^, νμ ~
-Υμ7Γ-~—[бт-Л-Б(р-отэКсп)-
- 09 - т9ксп) С (р) 09 - т9КСП)]}«(р) -
= 2π/61Ζ2-,(1+2θ)δ(Ρ°νμ"(ρΜμ'
Но в рассматриваемом порядке чт
i + 2B~(i + Bf-A (1

ГЛ. 13]
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
223
так что сумма вкладов от графов а) — в2) равна
2mexZ2u (ρ') \μα (ρ) Лц.
(13.31)
Следующий шаг заключается в анализе вклада от графа г).
Придадим (13.28) несколько более удобный вид и, предвидя
Рис. 24. Графы для радиационных поправок к рассеянию
электрона во внешнем поле.
появление инфракрасной расходимости, припишем фотону ма-
лую массу. Это даст
. „-if «e? \ f dk p'-й + шэк,
2fi
μ Ρ — k + /Пэксп
X
Χνμ Ρ;-2ΡΓ^(ρΜμ· (Ι3"32)
Используя антиперестановочные свойства матриц Дирака, за-
пишем
(р - k + т9ксп) γλ« (ρ) = (γλ£ + 2ρλ - 2k%) и (р),
й (ρ') γ* 09' - Й + т9КСП) = Й (ρ') (£γλ + 2ρ'λ - 2/Λ).
Небольшие вычисления показывают, что тогда вклад от графа г)
приобретает вид
-Ые&х У^) J ^L_u{p'){-2ktn ~ 4mk» + 4(ρ'μ + p»)k +
+ Af{p.p>-p'.k-p-k)]u{p)
1 ! 1
k2-2p'-k fe!-2p-fe^

224 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Jt
Далее скомбинируем знаменатели, используя представление,
введенное Фейнманом:
1
±=\ах[ах + Ь{1-х)Г2,
о
1
—^ = j 2х ах [ах + Ь (1 - х)\
(13.33)
В результате
k2-\>? k*-2p-k k2-2ff-k J "Λ 62-μ2 {k2-2k-[px + p'(\-x)\¥
о
1 1
= J2ydy^dxw
1
1
^-νρΧ)2~νΥΧ-μ2{\-ν)]3>
О О
k*-2k-[px + ρ' (1 - х)] у-μ1 (1 - y)f
1 1
Λ 1
2ydy I ax
о о
где
px = px + p'(l -x).
Хотя интеграл логарифмически расходится, он допускает сме-
щение начала интегрирования. Если мы введем переменную
q^k- ypx,
то получим
. . 2 . 1 I
- fcifeiZ*-1 УУ [ 2ydy J ах \ dq [φ - у*р% - μ2·(1 - У)]~3 X
о о
X й {ρ') { - 2qy»q - 2урхуЦ - 2qy^x - 2y2pxy^x ~
- 4тэксп^ - 4тэкспур» + 4 (ρ + ρ')μ (<7 + Урх) +
+ 4γμ(ρ · ρ' - ρ' · q - у ρ1 · ρΧ~ ρ · q - УР · Ρ*)} " (ρ) Λμ. (13.34)
Знаменатель теперь является функцией q2. Тем самым в силу
симметрии члены, линейные по q, вклада в интеграл не дают.
Члены, числитель которых квадратичен по q, можно упростить
с помощью тождества
J ^ Αγ = Τ β* J dq j^r · (13.35)
Учитывая, что числитель стоит между спинорами, которые удо-
влетворяют уравнению Дирака, можно произвести дальнейшие

ГЛ. 13] ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ 225
упрощения. После этого выражение (13.34) приобретает вид
- 2nielZ2~i (-jgr) J 2ydy J" dx \ dqu (ρ') Χ
о о
Χ (Λνμ + £>Ρμ + hp,v) и (ρ) Αμ, (13.36)
где
f, = <?2 + 4p · p' [ 1 - г/ + y2x (1 - x)] + 2m2Kcy (1 - 2x + 2x2) - 4/n^,
f2 = 4tn9KCBy{l ~x-xy),
f3 = 4m9KCBy {x-y + xy).
Поскольку знаменатель содержит выражение
Р\ = <«* Iх* + 0 - *)2] + 2/> ■ />'* (1 - х),
которое симметрично относительно замены х на (1—.ν), можно
симметризовать f2 и /3 так, что окончательно
I 1
- 2π/β,Ζ2-' (~-) J 2г/Л/ J* dx J dq [q2 - ^ - μ2 (1 - у)]"3 X
о о
Xu(p')\y»fl + 2m3KCny(l-y)(p» + p'll)}u(p)Ali. (13.37)
В качестве последнего шага используем соотношение
(// + pf й {р')и(р) = й {р') (2тэкспу* - m^Qv) и (ρ), (13.38)
доказательство которого мы предосгавляем читателям. С его
помощью, введя обозначение
Q = P'-P, (13.39)
получаем
- 2π/β,Ζ2-' [-^~j J 2ydy J dx J" dq X
о о
X [q2 - i/2m2Kcn + i/2*(l - x) Q2 - μ2(1 - у)}'3 Х
Χ " [Ρ') {γμ [f, + 4т2экспг/ (1 - у)\ - 2тэкспг/ (1 - у) ia**Qv} и (ρ) Λμ.
(13.40)
Запишем выражение (13.40) в виде
2nie,Z2l й(р )\F,{Qr)^ + io^Q^F2{Q2)\u{p) V (13.41)
До сих пор мы не учитывали того, что благодаря наличию q2
в/i данный интеграл расходится логарифмически. Если записать
Fx (Q2) = Л (0) + (Pl (Q2) - f, (0)), (13.42)
15 С. Газиорович

226 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. И
то Ft (0) будет содержать расходимость, а разность /MQ2) — /^(О)
окажется конечной. Это следует из того, что
Λ2
| dq W - ΛΤ2 - J *, -pl^ = 2 J rfzj т^г (13.43)
Λο
и *)
fd?(?8-A2 + fe)-3=-^. (13.44)
Вообще говоря, нет особых причин выделять значение F\
в точке Q2 = 0, а не в какой-нибудь другой, поскольку разность
F\(Q2)—Fi(K) также будет конечной. Для фотонной вершины,
однако, точка Q2 = 0 имеет особый смысл, поскольку она соот-
ветствует вершине, в которой поглощается реальный фотон.
В мезонной теории соответствующее вычитание обычно делается
в точке Q2 = μ2, где μ2 — квадрат массы мезона. Произведя вы-
читание, можно скомбинировать (13.41) с выражением (13.31),
представляющим собой вклад от первых пяти графов. Сумма
этих членов равна
2гае, [za + ZslFi (0)] й (ρ) γμΜ (ρ)Αμ +
+ 2rae1Z2-1i7 (ρ) {[?, (Q2) - ?, (0)] γμ + i<?vQvF2 (Q2)} и (ρ) Λμ.
Теперь можно доказать, что
Z2 + F,(0)=1, (13.45)
так что в том порядке, в котором мы работаем, вклад от всех
графов, кроме последнего, равен
Ые,й (р) {у» [1 + Р, (Q2) - Λ (0)] + io^QvF2(Q2)} и (ρ) Αμ. (13.46)
Чтобы доказать это, заметим, что из (13.19) и (13.20) следует
"(ρ)^"(ρ)-ββ(ρ)νμ"(ρ) =
ie\ Г dk λ д 1
~ (2π)^ J Ь2 — 'Ε ^ rln.. Й4- £_ m Υλ
(2η)4 J /г2-(6 γ <3ρμ р + й-тэксп
~ (2π)4 J "F" V > + fi - гаЭКсп Y p + fi-
^эксп
*) См. [7], стр. 454 и далее.

ГЛ. 13]
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
227
Сравнение с формулой (13.32), взятой при р'= р, т. е. при
Q = О, показывает, что *)
Ви(р)Ги (р) = - /?, (0) и(р) у»и (р)
или
F, (0) + β = F, (0) + Ζ2 — 1 = 0. (13.47)
Этот результат мы прокомментируем позже. Прежде нужно еще
обсудить вклад от графа д), даваемый формулой (13.29). Этот
вклад, умноженный на Z4 , равен
2nie\Z2lu {p) yr'u {p) -^ Пц (Q) ^μ,
где введено обозначение
nli(Q) = 7^7(*^SP(Yo—J У»^ГГ7Г )· (13·48)
(2π)4 *· V η - тэксп q + Q - '"эксп /
Если это выражение добавить к вкладу (формула (13.46)) от
всех остальных графов, то окончательный результат в том по-
рядке, который мы рассматриваем, будет таков:
2ше, {[1 + F, (Q2) - /?, (0)] й (//) ψη (ρ) +
+ /Α(ρ2)«(ρ')σσ^λ«(ρ)) (б^ + ^гПЗД) Λμ. (13.49)
Таким образом, вклад от графа д) сводится к замене внешнего
потенциала А0 на
(δ£ + -^Π£(0)),ν (13.50)
Интеграл Ila(Q) должен иметь вид
1Щ (Q) = б^П, (Q2) + QaQ»U2 (Q2),
а поскольку
q4 = °. (13·51)
вклад дает только член П,. Между прочим, из формулы (13.51)
ясно, что П, (Q2) имеет вид
n,(Q2)=j(6« + ^)n!i(Q). (13.52)
*) Этот результат, известный как тождество Уорда, справедлив во всех
порядках теории возмущений. Данное тождество устанавливает, что на опи-
сании взаимодействия с фотоном нулевой частоты структура заряженной ча-
стицы не сказывается [8].
16*

228 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. II
Поэтому учет влияния данного графа сводится к замене
внешнего потенциала на
(l+^IMQ2)) ^ = (1 + ^П^))-|^б,0-^^. (13.53)
Интеграл П^ настолько сильно расходится, что из его явного
вида нельзя сделать много выводов. Если учесть, что он фигу-
рирует в поправке к фотонной функции распространения с им-
пульсом Q (рис. 25). то по аналогии с обсуждением радиацион-
ных поправок к электронной функции распространения резонно
считать, что П] (0) представляет собой член, перенормирующий
массу фотона. Это подтверждается детальным рассмотрением
среднего значения гамильтониа-
на в однофотонном состоянии.
За недостатком места мы воздер-
жимся от дальнейшего обсужде-
ния этого вопроса, а только ука-
жем, что
Рис. 25. Радиационная поправка η /q\ _ η (13 54^
к фотонной функции распростра- 1^\ν) и> \1 · )
нения' поскольку в лагранжиане нет па-
раметра, который соответствовал
бы фотонной массе в низшем порядке, а мы хотим, чтобы «пере-
нормированная» масса фотона оставалась равной нулю*).
Этот результат можно использовать, чтобы переписать фор-
мулу (13.53) в виде
/ Внешний \ /, , П,(О2)-П,(0)\ Ze,
\-(\ , n,(Q»)-II,(0)\
)~\ + Q2 ) (2п)
\ потенциал,/ \ Q2 Ι (2π)3 (ρ — ρ')3 '
Интеграл (Π, (Q2) —П,(0)) все еще логарифмически расходится.
Однако если мы запишем
n1(Q2)=n,(0)+Q2ni(0)+(Q2)2/(Q2),
то с точностью до порядка е\ эффективный потенциал будет
равен
(l+ni(0) + Q2/(Q2))
Ze,
(2π)3(ρ-ρΤ
(1 + пНо))(1 + Q2/(Q2))-(2lt)3g1_py . 03.55)
*) Более тщательное определение того, что следует подразумевать под
произведением двух операторов поля в градиентно инвариантной теории, было
дано Джонсоном [9]. Оно позволило сделать вывод, что в теории может фи-
гурировать только fli(Q2) —П1 (0).

ГЛ. 13]
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
229
Интеграл /(Q2) конечен, но поскольку нашей целью здесь яв-
ляется не расчет, а обсуждение проблемы перенормировки, то
уделять внимание его вычислению мы не будем.
Подробные расчеты, которые за недостатком места мы здесь
опускаем, показывают, что если применить правила Фейнмана
к графу, изображенному на рис. 25 (не забывая при этом мно-
житель ΖΓ1, обусловленный двумя фотонными внешними ли-
ниями), и потребовать, чтобы при Q2 —*0 сумма вкладов от
этого графа и фотонной функции распространения вела себя
как 1/Q2, то
l+ni(0) = Z3. (13.56)
Далее, если написать
е2(1+П((0)) = г2е2 = е2 (13.57)
и принять —е за экспериментальный заряд электрона, то в том
порядке, в каком мы производим вычисления, за счет перенор-
мировки массы и заряда все расходящиеся константы исчезнут.
Член 1 + Q2I(Q2) несколько изменяет вид кулоновского потен-
циала для больших Q2, т. е. для малых расстояний. Это изме^
нение проявляется в лэмбовском сдвиге уровней *) и в очень
точных экспериментах по протон-протонному рассеянию [10].
Экспериментальный заряд е связан с параметром еи фигури-
рующим в лагранжиане, с помощью множителя, который зави-
сит только от взаимодействия фотона с веществом. Величина Z3
всегда одна и та же, вне зависимости от того, имеем ли мы
дело с кулоновским рассеянием электронов или протонов. Если
бы соотношение (13.45) было неверно, то все-таки можно было
бы избавиться от расходимостей, определив
еЭксп = е (Z2 + F, (0)).
В этом случае перенормировка зависела бы от сорта изучаемых
частиц, так как Z2 и /*Ι (0) зависят от их структуры. Тогда не-
возможно было бы объяснить равенство численных значений
зарядов электрона и протона. При наличии градиентной инва-
риантности, т. е. сохранения тока, это равенство достигается за
счет требования универсальности (с одним и тем же в\) связи
электромагнитного поля со всеми заряженными частицами.
В этом случае физические заряды будут также одинаковыми.
Рассмотрим еще раз выражение, характеризующее эту
связь,
2гае {[1 + Ft (Q2) - F, (0)] й (р') Υμ" (ρ) +
+ 1Р^й(р)ЯУ"и(рт + Я2ПЯ^ЛГш· (13.58)
·) Си. ссылку на стр. 172.

230 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
При Q2—>0 в нерелятивистском приближении для этого выра-
жения получаем следующее значение:
~2ji^-f— (l+2m3KcnF9(0))aXQ· Лэксп + (сопр. члены). (13.59)
Иначе говоря, эффекты радиационных поправок сводятся
к умножению магнитного момента электрона на множитель
(1 + 2тэксп?2(0)). Оказывается, что F2{0) легко подсчитать. Из
(13.40), используя (13.44), имеем
1 1
~ 16п2тЭКсп 2даэксп 2π * '
Таким образом, в этом порядке теории возмущений возникает
аномальный магнитный момент величиной в α/2π магнетона
Бора. Были подсчитаны и более высокие поправки к магнит-
ному моменту. В результате этих вычислений получено *)
α „ „„„ α
Λμ = ° _ 0,328 ~ = 0,0011596,
^ 2π π2 '
в то время как эксперимент дает [13]
Δμ = 0,0011609 ± 0,0000024.
В заключение этой длинной главы приведем еще один рас-
чет. При написании выражения (13.32) мы предупреждали, что
за счет нулевой массы фотона в нем должна возникнуть инфра-
красная расходимость. Мы предполагали, что она проявляется
в появлении сингулярной зависимости вычисляемых выражений
от массы фотона μ. Чтобы выделить эту зависимость от μ, рас-
смотрим еще раз интеграл, который выписан сразу же после
формулы (13.32). Инфракрасная расходимость обусловливается
областью, где k я* 0. Поэтому доминирующий вклад даст член,
в котором числитель не зависит от k. Таким образом, интере-
сующий нас член имеет вид
~ 2nie Wv Ар' р'й ^ γμ" ^ J ]ИмР
1
*2 k2-2p'-k k2~2p-k
1 1
= -2nie[^р-р'й wνμ«м) J 2уdAdx PYW(\-y)· (13·61)
*) Первоначальные вычисления Карплюса и Кролла [II] содержат чис-
ленную ошибку, поэтому мы приводим результат Соммерфильда [12].

ГЛ. 13)
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
231
После небольших преобразований его можно привести к виду
-2тей (р')^и{р)\ — ρ ■ ρ' Γ dx \ In Ц- . (13.62)
\2π J Рх μ J
Если сравнить это выражение с матричным элементом для
кулоновского рассеяния, то увидим, что, насколько это касается
зависимости от μ, в сечении появляется поправка в виде мно-
жителя
dc fdar\f а Г 1 ρ; \
;Η^Η1-7'·'4λ3-,";γ)· (1М8>
Это выражение все еще расходится. Однако если учесть, что,
вообще говоря, электрон в конечном состоянии имеет энергию
Ε ± АЕ, где АЕ обусловливается экспериментальными ошиб-
ками, то у нас нет способа отличить чистое кулоновское рассея-
ние от рассеяния, сопровождающегося тормозным излучением
фотона с энергией, меньшей АЕ. В результате наблюдаемое се-
чение дается формулой
\dQ)m6 \dil)\ * $ Pi μ / dQ. v '
(13.64)
В гл. 12 было получено, что сечение тормозного излучения мяг-
ких фотонов может быть записано в виде сечения кулоновского
рассеяния, умноженного на множитель
1
-р.р' f
1 ρ^(Δ£)·
dx —ττ\η —-5-5-
2
ρ- fxV.-
приведенный в формуле (12.19). Таким образом,
« -^L-Lp.fi^i*). (13.65)
иа)тб da \ η н н J Рх (Д£) /
Если теперь учесть, что Ε = Ε', так что Ех = Е, и взять инте-
грал по х, то для
-Q2 = (Р'-Р)2»<с„.
получим

232 ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ [Ч. Ц
Таким образом, в том случае, когда в теории ставятся разум-
ные вопросы, инфракрасные расходимости не возникают. Ока-
зывается, хотя мы этого и не показали, что приведенная выше
поправка при высоких энергиях является наиболее существен-
ной, а если принять во внимание эффекты, обусловленные не-
сколькими фотонами (может быть испущено любое число фото-
нов, кроме того, произвольное число фотонов в любых возмож-
ных комбинациях может быть испущено свободным входящим
электроном и снова поглощено свободным выходящим электро-
ном), то формула приобретает вид [14] *)
/ da \ dcr Г α - Q2 / £ \2 1
«—£ехр In——In —
Целью этой главы было показать, что при подходящей ин-
терпретации параметров, фигурирующих в теории, правила
Фейнмана дают однозначные ответы на вопросы, представляю-
щие физический интерес. Здесь следует указать, что практи-
чески вычисления в высших порядках теории возмущений иногда
бывает более удобно производить, используя дисперсионную
технику, которая обсуждается в гл. 26. Следует, конечно, упо-
мянуть, что все то, что мы проделали в этой главе во втором
порядке по е2, может быть, как впервые показал Дайсон [15],
распространено без особых принципиальных трудностей на про-
извольный порядок по е2.
ЗАДАЧИ
1. Докажите по индукции, что
1 1
1
i 1 м Г н„ Г j fi (α, + аа + ... + α„ - I)
= (я— 1)! da] ... dan ;—— —; дг—·
v J J (cnai+ ... +а„апуг
сца2 ... an
о
2. Вычислите интеграл
lim d4k
e-»0 J
I
(ks - Λ2 - /ε)3'
Указание. Используя формулу Коши, выполнить вначале интегрирование
по k0.
3. Покажите, что за счет градиентной инвариантности матричный элемент
для фотон-фотонного рассеяния исчезает в том случае, когда либо для одного
«з падающих, либо для одного из выходящих фотонов 4-им пульс стремится
к нулю.
*) В этой статье содержится очень подробное обсуждение литературы по
инфракрасным расходимостям.

ГЛ. 13] ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 233
4. Феннман ввел релятивистски инвариантное обрезание, при котором
функция распространения
1
р2 — т2 + /ε
заменяется на
1 1 Л*
р2-т2 + ie ρ2 - Л2 + /ε (ρ2 - m2 + ie) (ρ2 - Λ2 + /ε)'
Для сходящихся интегралов предел Л2 ->■ оо существует. Покажите, что для
электрона 6т при больших Л2 растет как 1η Λ2, и найдите коэффициент при
этом логарифме.
5. Для больших Л найдите главный член в перенормировке массы ча-
стицы со спином 0. Чтобы упростить вычисления, используйте градиентную
инвариантность, которая позволяет заменить фотонную функцию распростра-
нения gyylk2 на
i / VM
6. Вычислите главный член в Ζ2, используя для фотонной функции рас-
пространения обший вид, приведенный в задаче 5. Зависит ли Z2 от калиб-
ровки? Объясните отсутствие для Z2 градиентной инвариантности.

Часть III
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Применение квантовой теории поля к описанию взаимодей-
ствия электромагнитного поля с электронами с практической
точки зрения оказалось чрезвычайно плодотворным. До сего
времени не найдено никаких расхождений теории с эксперимен-
том. Достигнутая точность совпадения результатов — благодаря
замечательным успехам экспериментальной техники — непре-
взойденная в физике. Подобной удивительной согласованности
удается добиться только потому, что расчеты в электродина-
мике можно выполнить без подробного знания структуры нукло-
нов, являющихся источником кулонсвского поля. Рано или
поздно и в электродинамических экспериментах должна ска-
заться структура нуклонов, например, при высоких энергиях,
больших углах и в электрон-протонном рассеянии. Еще раньше^
чем эта структура стала предметом изучения, силы, связываю-
щие нуклоны, и механизм, ответственный за эти силы, неиз-
бежно должны были привлечь внимание физиков, как только
появилась на свет первая экспериментальная информация о яд-
рах. Эта информация, будучи в начале тридцатых годов очень
примитивной, явно указывала на то, что ядерные силы обладают
коротким радиусом действия (,<; 10~13 см) и являются очень
сильными, поскольку типичные энергии связи в ядре измеряются
в Мэв, а энергия связи в атомах измеряются в электрон-вольтах.
В 1935 г. Юкава смело предсказал существование тяжелых
квантов. Если бы эти кванты играли ту же роль в ядерных си-
лах, какую фотоны играют в электромагнитных, то они привели
бы к существованию в ядре короткодействующих сил. Обобще-
ние уравнения, описывающего кулоновское поле, создаваемое
точечным источником
у2ф(г)=-еб(г),
имеет вид
(V2-V)<p(r)=-g6(r).
Решение его —так называемый потенциал Юкавы

ВВЕДЕНИЕ
235
с радиусом l/μ. Исходя из оценок радиуса ядерных сил, Юкава
предсказал, что новые частицы должны иметь массу от 200 до
300 масс электрона. Порядок величины отношения энергий связи
в ядре к энергиям связи в атоме приводит к выводу, что глу-
бина потенциала или — эквивалентно — константа связи g2/4x
значительно больше постоянной тонкой структуры. Фактически,
как мы увидим, £2/4π «* 15.
Идея Юкавы легла в основу теоретико-полевого объясне-
ния ядерных сил. Однако с самого начала стало ясно, что на
этом пути встречаются две трудности: а) у этих сил не суще-
ствует классического предела, так что ничто не подсказывает
нам форму взаимодействия, и б) данное взаимодействие, в от-
личие ог электромагнитного, столь сильное, что расчеты по тео-
рии возмущений не заслуживают никакого доверия даже в ка-
честве грубого указания правильности частного выбора формы
взаимодействия. Вторая трудность была и все еще остается
наиболее серьезной, поскольку она сделала невозможным тео-
ретическое исследование методом проб и ошибок. Правда, эта
трудность привела к одному полезному явлению на теоретиче-
ском фронте — к чрезвычайно тесному, к обоюдной выгоде,
сотрудничеству между теоретиками и экспериментаторами в по-
исках наиболее изощренных как теоретических, так и экспери-
ментальных методов.
Теоретические трудности, разнообразие экспериментов и воз-
растающее богатство структуры сильно взаимодействующих
частиц вызвали необходимость в рассмотрении этих проблем
методами, которые совершенно отличны от методов, использо-
ванных в квантовой электродинамике. Наше рассмотрение бу-
дет развиваться в нескольких направлениях. Прежде всего не-
обходимо будет ввести такие квантовые числа, как спин, чет-
ность и «внутренние квантовые числа» многих частиц и все
возрастающего числа резонансов. Мы должны будем открыть
какие-то связи между всеми этими состояниями, т. е. исследо-
вать внутренние симметрии и (или) динамический механизм,
который может быть ответствен за наблюдаемую структуру. На-
конец, необходимо понять, каким образом многие известные
явления можно объяснить полуколичественно, без знания истин-
ной теории сильных взаимодействий.
Мы начнем изложение с исследования большинства стабиль-
ных частиц, барионов и псевдоскалярных мезонов. Вся сово-
купность экспериментальных данных приводит к заключению,
что не существует сколько-нибудь фундаментального различия
между этими стабильными частицами и в высшей степени не-
стабильными образованиями, обсуждаемыми позднее. Принятое
здесь разделение сделано только потому, что о стабильных ча-
стицах больше известно. Сходство среди барионов и среди

236
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IIJ
псевдоскалярных мезонов приводит к обсуждению «внутренней
симметрии». Мы обсудим хорошо установленную зарядовую не-
зависимость сильных взаимодействий, новую концепцию «стран-
ности» и новую «унитарную симметрию», которая обобщает
низшие симметрии и уже доказала свою достаточную предска-
зательную силу, так что заслуживает нашего внимания.
Будучи таким образом подготовленными, мы сможем с боль-
шей пользой обсуждать новые резонансы, именно возбужден-
ные барионные состояния в гл. 19 и бозонные резонансы в
гл. 20. Далее мы обратимся к некоторым важным свойствам
элементов матрицы рассеяния: в последующих главах (21 и 22)
мы обсудим следствия унитарности матрицы рассеяния и ана-
литические свойства некоторых ее элементов. Наиболее успеш-
ным применением этих свойств являются дисперсионные соот-
ношения для пион-нуклонного рассеяния вперед, которые обсу-
ждаются в гл. 23. В последующих пяти главах мы имеем дело
с гораздо более спорными вещами. Они должны дать предста-
вление о текущем состоянии прикладного искусства в физике
элементарных частиц, и они демонстрируют, какое понимание
существа дела было достигнуто с помощью весьма нестрогих
теоретических приемов. К числу таких приемов относятся дис-
персионные соотношения для парциальных амплитуд, которые
следуют из предполагаемых свойств аналитичности. С их по-
мощью обсуждаются некоторые резонансные явления и формулы
для эффективного радиуса, а соответствующая техника приме-
няется к предсказанию резонансов. Работа Чу и Лоу распро-
страняется на случай SU(3) -симметрии, но при этом достигнуто
только качественное совпадение результатов. В главах, посвя-
щенных формфакторам и модели одночастичного обмена, обсу-
ждается идея, в силу которой одночастичные состояния могут
при определенных обстоятельствах играть доминирующую роль.
Наконец, в гл. 28 рассмотрено современное состояние теории
упругого дифракционного рассеяния при высоких энергиях*).
*) По вопросам, рассмотренным в части III можно рекомендовать лите-
ратуру на русском языке [1—о]. (Прим. перее.)

Глава 14
БАРИОНЫ
Решающим фактором в понимании структуры реакций ме-
жду сильно взаимодействующими частицами (иногда называе-
мыми адронами*)) явилось разделение этих частиц на классы,
характеризуемые определенным барионным числом. Частицы,
которые будут обсуждаться в этой главе, образуют специальный
класс частиц с барионным числом +1.
Все частицы с барионным числом +1 обладают следую-
щими свойствами:
а) их взаимодействия — сильные,
б) они имеют полуцелый спин и
в) они тем или иным способом связаны цепочкой взаимо-
действий с протоном, легчайшей частицей с барионным числом
+ 1. Предположим, что барионное число является аддитивным
квантовым числом**): дейтрон имеет .VB = 2. Поскольку ба-
рионное число приписывается адронам в силу закона сохране-
ния этого квантового числа, теоретико-полевое описание силь-
ных взаимодействий должно отвечать теории, инвариантной от-
носительно градиентных преобразований первого рода. Согласно
хорошо установленному следствию теории поля, для каждого
бариона должен существовать антибарион с NB = — 1. Анти-
частицы, соответствующие всем обсуждаемым в этой главе ча-
стицам, были открыты экспериментально. Кроме того, при анни-
гиляции бариона и антибариона всегда возникает состояние
с барионным числом 0.
Квантовое число NB наряду с электрическим зарядом обла-
дает свойством сохраняться не только в сильных взаимодей-
ствиях. Оказывается, что барионное число сохраняется всегда.
Факты, подтверждающие это утверждение, таковы:
1. Не наблюдалось ни одного случая, когда бы один из бо-
лее тяжелых барионов п, Л°, Σ+, Σ°, Σ", Ξ°, Ξ~ или возбужденное
*) Название было предложено Л. Б. Окунем. (Прим. перев.).
**) Если бы барионное число сохранялось только по модулю некото-
рого целого числа Ν, то тяжелые ядра были бы нестабильны, см. [1].

238
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
in in
барионное состояние не превращалось бы, в конце концов, в
протон или связанный нейтрон.
2. Протоны стабильны. Если бы протоны распадались ни
более легкие частицы, например
ρ — е+ + л0,
то распад протона породил бы заряженную частицу, движение
которой сопровождалось бы излучением. Случайный распад про-
тона в ядре, входящем, например, в вещество большого водо-
родного сцинтилляционного счетчика, был бы легко обнаружен.
Отсутствие таких распадов приводит к низшей границе времени
жизни протона в 1027 лет *).
Наиболее известные барионы — это протон и нейтрон. Эти
частицы имеют соответственно заряды 1 и 0, оба обладают
спином 1/2, а их массы таковы:
Мр = 938,256 ± 0,005 Мэв, Мп = 939,550 ± 0,005 Мэв.
Нейтрон и протон притягиваются друг к другу. Они образуют
при этом связанное состояние — дейтрон. У них есть магнитные
моменты. Однако их величины отличаются от тех, которые сле-
довало бы ожидать на основе уравнения Дирака и которые
должны быть равны соответственно 1 и 0 ядерных магнетонов.
!№ежду тем они таковы **):
μπο·™ = 1 + μρ = 2,792763 ± 0,000030,
К°ш = К = - 1,913148 ± 0,000066.
Существует убеждение, и вычисления его поддерживают, если
вообще не подтверждают, что аномальные магнитные моменты
μρ и μ„ обусловлены электромагнитными взаимодействиями
сильно взаимодействующих частиц, которые, говоря языком,
ассоциируемым с графами Фейнмана, образуют «облако», окру-
жающее голый нуклон ***).
Протон стабилен, а свободный нейтрон распадается согласно
реакции
η —»■ ρ + er + ve
со средним временем жизни
τ = (0,932 ± 0,014) X 103 сек.
*) Эти вопросы более подробно обсуждаются в статье [I], цитированной
выше (б гл. 14 и 15 все числовые данные приведены в соответствие с новей-
шими данными из статьи [2]). (Прим. перев.)
**) Мы сохраняем обозначения μ? и μη для аномальных магнитных мо-
ментов
***) См. гл. 26, где этот вопрос обсуждается более подробно.

ГЛ. 141
БАРИОНЫ
239
Это среднее время жизни велико, в частности, потому, что фа-
зовый объем, отвечающий трехчастичному распаду, ввиду ма-
лой разности масс протона и нейтрона ограничен. Действитель
ная сила взаимодействия, ответственного за этот распад, такая
же, как ν в большинстве других распадов, включающих ней-
трино. Поскольку взаимодействия нуклонов с другими части-
цами мы будем анализировать в дальнейшем подробно, то в
данный момент мы ничего более здесь не сообщим.
Группа частиц, которые вместе с двумя нуклонами обра-
зуют совокупность из восьми барионов, является относительно
новой в физике. Все они нестабильны. Времена их жизни имеют
порядок Ю-10 сек или менее того, так что при установлении их
свойств приходится проявлять необычайную изобретательность.
Остаток этой главы будет посвящен описанию этих частиц и
некоторых их свойств. Многое из того, что известно об этих ше-
сти частицах (иногда называемых гиперонами) не может быть
определено на данной стадии изложения. Тем не менее, чтобы
по возможности сделать изложение более полным, мы исполь-
зуем ряд результатов, которые в действительности будут обсу-
ждаться позднее.
Л°-гиперон
Л°-гиперон был первой из новых «странных» частиц, которая
была изучена подробно. Первоначально ее отождествили с ха-
рактерными V-подобными треками в камерах Вильсона. Эги
треки возникали вследствие распада
Л0-*· р + п~.
Масса Л°-гиперона
Мло = 1115,60 ±0,08 Мэв,
а его время жизни
τΛ0 = (2,51 ±0,03)Х Ю-10 сек.
Главные типы его распада с указанием вероятности распада в
процентах таковы:
Л°->р + я- 65,3 + 1,2
Л°->я + я° 34,7+1,2
A°^p + e~ + v (0,85 + 0,08) X 10-3
Λ°->ρ + μ~ + ν (1,35+ 0,60) X 10~\
Бета-распад происходит примерно в 15 раз медленнее, чем этого
можно было ожидать, если предположить, что матричные эле-
менты такого распада в данном случае те же, что и для бета-
распада нейтрона.

240
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
Распады Л°-гиперона мы обсудим позднее. Сейчас мы изло-
жим экспериментальные факты, из которых следует, что спин
А°-гиперона равен 1/2. Метод определения спина, который мы
будем применять, основан на свойствах распада Л°-гиперона
[3]*). Рассмотрим распад покоящегося Л°-гиперона
Л0-* ρ + яг.
Сам Л°-гиперон рождается в какой-то реакции, скажем, в
реакции
π" + ρ -> Л° + К0.
так что можно ввести плоскость, заданную импульсами пиона
и А°-гиперона. Проведем нормаль к этой плоскости и исполь-
зуем ее в качестве оси квантования момента Л°-гиперона. Если
спин Л°-гиперона равен /, то его вектор состояния, вообще го-
воря, будет иметь вид
"ψα = Σ^ΨΛΜ. (14.1)
Μ
Здесь индекс α отмечает 2/ + 1 линейно независимый вектор
чистого состояния. Если спин Л°-гиперона направлен по выбран-
ной оси квантования **), то можно ограничиться случаем, когда
коэффициенты См пропорциональны δαΜ. Будем продолжать
вывод для более общего случая. Конечное состояние будем опи-
сывать в спиральном представлении [4], кратко обсуждавшемся
в гл. 4.
Пусть ρ — импульс протона в системе покоя Л°-гиперона.
Мы учтем результат следующей главы, в которой установлено,
что спин пиона равен 0. Поэтому конечное состояние, помечен-
ное значением спиральности протона λ = ± 1/2, запишется как
Фр, λ:-ρ, о- Амплитуда распада имеет вид
(Фр, λ: _ρ, ο, 5Ψ„) = 2 SkCI if^- ДЖ (RP). (14.2)
м
Квадрат модуля ее равен
У£- J СамС%. | 5λ |2 DMl (Rp) D%. (RP). (14.3)
MM'
*) Вывод о том, что спин Л°-гиперона равен У2, был получен раньше.
Однако он зависел от того, что спин Я-мезона считали равным 0, а этот факт
нелегко установить, если неизвестен спин Л°-гиперона.
**) При нашем выборе оси квантования это утверждение будет верно
почти всегда, поскольку, например,ненулевое среднее значение №&·Ρη) яв-
ляется нечетным относительно преобразования четности и тем самым должно
быть равно нулю в силу закона сохранения четности в сильных взаимодей-
ствиях.

ГЛ. 14] БАРИОНЫ 241
Если θ, φ — сферические углы, которые импульс ρ образует
с осью квантования, то
D%\{RP)^e-imdL(Q). (14.4)
Угловое распределение имеет вид
α
=-k- Σ Σ Σ см*' is* &(A,'_M 4'^ (θ>d'^ w=w% (θ· φ)· <14·5)
α Μ Μ'
Величина
P,,, = 5« (14.6)
α
называется матрицей плотности пучка Л°-гиперонов при усло-
вии, что коэффициенты Сам нормированы так, что Spp=l. Ме-
жду прочим, S-), — это численные коэффициенты, зависящие от
динамики распада. Нас интересует зависимость углового рас-
пределения лишь от угла Θ, так что рассмотрим только вели-
чину *)
2л
VM—L· Ι *ρΣ w^· φ> = 1^ΣΣρ.™Ι-Ш^(е))2· (14.7)
О λ λ Μ
Диагональные матричные элементы ρ представляют собой ве-
роятности нахождения Л°-гиперона в состоянии с Jz = Μ. Бу-
дем пользоваться обозначением
9мм = Р{М).
Если Р(М) не зависит от М, то пучок будем называть непо-
ляризованным. Если же Р(М) зависит от М, но Р(М)=Р{—М),
то говорят, что пучок вытянут в линию. В противном случае пу-
чок поляризован с поляризацией ^МР{М).
м
Нас будут интересовать величины вида
I
f d (cos θ) cos 6W (θ)
<cos θ> = ^Ц (14.8)
f d (cos Θ) W (Θ)
-I
*) При сделанном выборе оси квантования никакой зависимости от угла
φ фактически не существует, ибо если Рмм'^^ММ'· то см~бМа·
J6 С. Газиоровлч

242
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
или более общего вида
1
Г d (cos θ) PL (cos θ) W (θ)
<P£(cos θ)) = ■=! j . (14.9)
f d (cos Θ) Г (Θ)
-1
Воспользуемся формулами *)
(ω (θ))2 =
V(_i)M-»-c(/> /, /; Μ, -Λ1, 0)C(/, /, /; λ, -λ, 0) Ρ, (cos θ)
(14.10)
С {J, J, 0; Μ, -Μ, 0) = (-1)Μ-' '
1
V2J + 1 '
чтобы получить после некоторых выкладок соотношение
Μ λ
-1
ХС(/, /, L;M, -M,0)C{J,J,L;K -λ, 0)/V P(M) JJ| 5λ η
\м λ /
(14.11)
Используем то, что
2 Р(М)=1. (14.12)
М=-1
Кроме того, будем работать с нормируемыми коэффициентами
S, определенными согласно 5λ = 5^/(2 I $х Ι2Υ'2> так чт0
Σ|5λ|2=1, (14.13)
λ
и введем параметр α с помощью равенства
а = |51/2|2Ч5_1/2р. (14.14)
Тот факт, что
o<p(in«i
и
|а|^1,
*) Для коэффициентов Вигнера (Клебша — Гордана) мы пользуемся обо-
значениями из книги [5].

ГЛ. 141
БАРИОНЫ
243
приводит к определенным следствиям для величины (PL (cos θ)).
Чтобы установить их, необходимо выразить величины, содер-
жащие Р(М) и а, через (P£(cos0)). Для этого мы сначала
определим «пробные функции» [3, 6]
т+ =_L_ V I I V»-Ig (Q j i 1 ч С (}· J· L- Μ· - Μ· °> (PL <C°S 6)>
'™~2/+l -J V U V^L-l-i; С (/, /, L; 1/2, - 1/2, 0)
£ четн
(14.15)
и
Τ- __£_ V f 1 У-"» Г"Г ! П С {I· J' Ц М' - Μ· 0) (PL (C°S 6))
1JM-2J+1 *4 \ *> 1^-l-lJ C(/, /, L; 1,2, -1/2,0)
нечетн
(14.16)
С помощью (14.11) получим
тГм = 2 Σ S2(-i)M-|/2(-DM'-I/2P(M')|sj2x
£четн Μ' λ
Χ С (/, J, L; Μ', -ΛΓ, 0) С (J, J, L; M, -M, 0) с^'/.'ц 1/2,' - 1/2,°0)'
Чтобы осуществить суммирование по λ, можно воспользоваться
равенством
С(/, /, L; -М, М, 0) = (~lf-LC(J, J, L; ΛΓ, -Μ, 0). (14.17)
В результате (для четного L и нечетного /) получим
1/2
Σ/ η-1/2-λ ,<τ ,2 С (/, /, L; λ, - λ, 0) _ Vice i
(~l) |6λΙ C(J,J,L\ 1/2,-1/2,0) _ 2^ωλΙ- ''
λ=-1/2 λ
так что
7-Μ1-2Σ Σ (-1)М+А,'+,Р(Л10С(/, /, L; Μ, -Μ, 0) Χ
Μ' £четн
Χ С {J, J, L; Μ', -Μ', 0)=2 ^1 [1 + (-1^] (- 1)Μ+Μ'+Ι Χ
Μ' L
XP(/W')C(/, /, L; Μ, -Μ, 0)С(/, /, L; ΛΓ, -Μ', 0).
Последнее выражение с помощью (14.17) можно представить
в виде
tf* =2 2Р(ЛП(-1)М+М'+1 {С(/, /, L; Л1, -М, 0) X
ХС(/, /, L; ΛΓ, -Μ', 0) + (-l)wC(/, /, L; Af, -Μ, 0) Χ
XC(/, /, L; -Μ', Μ', 0)}.
16*

244 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. Щ
Теперь мы используем равенство
ЦС(/, /, L; Μ, -Λ1, 0)С(/, /, L; μ, -μ, 0) = δμΜ (14.18)
и получим
Т7М = Р(М) + Р(-М). (14.19)
Аналогично можно показать, что
Т7м=-а(Р(М)-Р(-М)). (14.20)
С учетом формул (14.12) —(14.14) отсюда следует, что
|Гш|<|7^1<1. (14.21)
Эти соотношения можно использовать для получения информа-
ции о величине /. В частном случае распада Л°-гиперона
экспериментально установлено, что
W{B)~l + AcosQ. (14.22)
Это означает, что
(PL{cosQ)) = 0 для L>2. (14.23)
Условие
\T7i\^Tti (14.24)
теперь, как в этом можно убедиться после ряда непосредствен-
ных вычислений, означает, что
<cos0><-^-. (14.25)
Сравнение с экспериментальным результатом [7]
(cos θ) ~ 0,19 (14.26)
убеждает нас в том, что спин Л°-гиперона равен 1/2.
Следует подчеркнуть, что уже само существование ненуле-
вого среднего значения cos θ является подтверждением несо-
хранения четности в этом распаде. Если бы четность сохраня-
лась, то формула, приведенная в (4.101), привела бы к равен-
ству (η — четность пиона)
5-Ι/2 = η(-1)/-,/25Ι/2)
т. е. к
\Sm\ =15_i/21 ·
cos θ нечетен относительно отражений, и если бы четность со-
хранялась, то его среднее значение равнялось бы нулю.

ГЛ. 14]
БАРИОНЫ
245
То обстоятельство, что в распаде Л°-гиперона четность не
сохраняется, означает, что, изучая конечное состояние в ре-
акции
Л° -»· ρ + π~,
мы не можем ничего сказать относительно четности Л°-гипе-
рона. С другой стороны, как мы вскоре увидим, в реакциях
с участием Л°-гиперона, в которых четность сохраняется, всегда
присутствует какая-нибудь другая частица, кроме нуклона и
пиона.
Как станет ясно из гл. 16, четность Л°-гиперона или дру-
гой новой частицы (скажем, /С°-мезона) должна быть опреде-
лена условно. Примем, по определению, что четность ^-гипе-
рона совпадает с четностью нейтрона и протона.
Еще одно замечание, которое мы сделаем относительно
Л°-гиперона, состоит в том, что, как и ожидалось, он сильно
взаимодействует с протонами и нейтронами. Априори не было
известно, что данное взаимодействие отвечает притяжению. По-
следнее было установлено благодаря открытию гиперядер.
Это - ядра, в которых находится Л°-гиперон. Время жизни ги-
перядер порядка времени жизни Л°-гиперона, т. е. О (Ю-10 сек).
Было изучено большое число гиперядер. В помещенной здесь
таблице мы приводим несколько таких ядер, указывая энергию
связи Л°-гиперона.
Таблица 1
Энергии связи гиперядер
Гиперядра
Энергия связи,
Мэв
ΑΖΑ в таб
тронами и одн
А№ н1 АНе< .Не5
Л Л Л Л
0,21 2,11 2,40 3,10
±0,20 ±0,10 ±0,11 ±0,07
лице обозначает гиперядро с
им Л°-гипероном.
. Li« . Be»
Л Л
6,37 6,38
±0,23 ±0,50
зарядом Z, А -
лв'2 лс'3
9,75 10,5
±0,42 ±0,5
-Z— 1 ней-
Следует отметить, что с возрастанием А энергия связи воз-
растает почти монотонно. Это связано с отсутствием влияния
принципа Паули, так что состояния Л°-гиперона с этой точки
зрения не ограничиваются. Вообще говоря, Л°-гиперон движется
в 5-состоянии вокруг ядерного остова, и сила притяжения, в
первом приближении, пропорциональна числу нуклонов, обра-
зующих этот остов.

246
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
Недостаток места не позволяет нам обсудить этот интерес-
ный вопрос более подробно*). Однако нам еще представится
случай воспользоваться данными по гиперядрам, и именно по-
этому мы затронули здесь этот вопрос.
Сигма-гипероны
Существуют три частицы Σ+, Σ° и Σ-, которые вместе на-
зывают сигма-гиперонами. Их массы таковы:
Μν+ = 1189,40 ±0,19 Мэв, М^0= 1192,46 ± 0,12 Мэв,
Μ - = 1197,32 ±0,11 Мэв.
Σ
Типы распадов заряженных сигма-гиперонов с отношениями ве-
роятностей распадов приведены в табл. 2. Времена жизни этих
частиц таковы:
τΣ+ = (0, 810 ± 0,013) · 10"10 сек,
τνο<1,0· 10-14 сек,
τν_ =(1,64 ±0,06)· 10~10 сек.
Спин заряженных Σ-гиперонов можно определить так же,
как и спин Л°-гиперона. Спин Σ+-ΓΗπεροΗ3 был установлен при
изучении его распада после рождения в реакции
К- + ρ -* Σ+ + η-.
Измерения [10] определенно подтверждают предположение
о том, что спин Σ+-ΓΗπεροΗ3 равен 1/2. В гл. 16 мы покажем,
что отсюда следует, что и другие сигма-гипероны также имеют
спин 1/2.
Значения времен жизни Σ—гиперонов указывают на то, что
эти частицы распадаются благодаря тем же слабым взаимо-
действиям, что и Л°-гиперон. Σ°-ΓΗπεροΗ, существование кото-
рого было предсказано прежде, чем он был найден, распадается
согласно
Σ0 -* Л° + у.
Время жизни для такого процесса очень мало, порядка Ю-19 —
10 2| сек. Если Σ°-ΓΗπεροΗ поляризован, то изучение корреляции
между поляризациями Σ0- и Л°-гиперонов и фотона могло бы
дать информацию об относительной четности системы Σ0 — Л0·
Поскольку фотон в системе покоя Σ°-ΓΗπερθΗ3 имеет энергию
*) См. [8], где дан обзор результатов н можно найти ссылки на литера-
туру.

ГЛ. 14]
БАРИОНЫ
247
Таблица 2
Распады заряженных сигма-гипероиов *)
Частица
V +
Σ+
Σ+
Σ+
ν+
ν+
Σ+
ν-
ν~"
s—
ν-
£~
Типы распада
р + П°
п + п
η + π+ + ν
* 0 +
Л + е + ν
Р + У
и + μ + ν
η + е + ν
и + π
п + п~ + ν
η + μ~ + ν
п + е~ + ν
Л° + е" + ν
*) В этой таблице использованы данны
взяты все привод
имые в книге данные.
Вероятность распада.
%
52,8 + 1,5
47,2 + 1,5
(0,9 + 0,3) · 10~"
(2,11 ±0,45) · 10~5
(1,9±0,5)· Ю-3
< 0,36 · Ю-4
< 0,19- 10~"
100
<1·10"3
(0,48+0,06) ■ 10~3
(1,08+0,05)· 10~3
(0,60+0,06) -\0Г4
е статьи [9], из которой
75 Мэв, а на фотонах с такой энергией очень трудно проводить
поляризационные измерения, то соответствующая информация
была получена [11—14] путем изучения процесса внутренней
конверсии
Σ0 -> Л° + е+ + е~.
То обстоятельство, что при изучении этого процесса удается
выявить разницу между отрицательной и положительной чет-
ностями Е°-гиперона, оказывается возможным благодаря сле-
дующему.
1. Допустим, что «масса» электрон-позитронной пары, обо-
значаемая s'i\ где
s = (Р+ + Р_)2 = (Е+ + Ε J - {р+ + р_)\
мала, т. е. изменяется в пределах от порогового значения 2тс
до, вероятно, 5те. Тогда матричный элемент электромагнитного
тока (ΨΛ„, /μΨΣο)> который определяет распад, вычисляется для
передачи импульса, не слишком отличающейся от своего значе-
ния в случае испускания фотона, когда
s = 0.

248
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч III
Иначе говоря, при малых значениях s этот процесс дает не
больше информации, чем распад с излучением фотона. Един-
ственное отличие связано с тем, что плоскость, образованную
импульсами электрона и позитрона, которая по-разному корре-
лирована с поляризациями Σ0- и Л°-гиперонов при различной
четности Е°-гиперона, изучать
£.5
ко
0,5
Рис. 26.
■ | Ι Ι
: τ
\
1 1 1
1 1 1 1 1
Т^ τ
1 1 1 1 1
_--
;
ГТ—:
о,г Q4
0,6
Οβ Ιβ
х
Отношение числа событий
к функции
eW.i,.-d»(,-a)-(,+g).
4m:
Хо —
{M^-Mtf
в зависимости от х — квадрата инва-
риантной массы электрон-позитрон-
ной пары.
Показаны теоретические предсказания для
положительной (прямая 2) и отрицательной
(прямая 1) четности [15].
легче, чем поляризацию фо-
тона.
2. Однако если «масса» s
велика, то ситуация меняется.
Рассмотрим максимальное зна-
чение s, полученное, когда
2°-гиперон превращается в
Л°-гиперон, находясь в покое.
В этом пределе разность энер-
гий между Σ0- и Л°-гиперонами
передается лептонам, причем
члены пары будут иметь рав-
ные и противоположно напра-
вленные импульсы. Также
q = Ρ ς - рк = (Μς-Μλ, 0).
Поскольку ток сохраняется,
т. е.
<7μ/μ = °=
то в этом случае имеем
так что к переходу приводят
только пространственные ком-
поненты тока. Однако если
q — 0, то единственной величи-
ной, которую можно образовать так, чтобы она при вращениях
преобразовывалась как вектор, является х*Ав%ъ· Это — псевдо-
вектор, который приводит к переходам с сохранением четности
только в том случае, если состояния имеют противоположные
четности. Тем самым, исходя из изучения этой чрезвычайной
ситуации, следует ожидать, что в случае положительной относи-
тельной четности системы Σ0 — Λ0 должно рождаться несколько
электрон-позитронных пар с большой «массой». Это предполо-
жение подтверждается подробными расчетами, но у нас нет
места, чтобы их привести. Экспериментальное доказательство
подавления электрон-позитронных пар с большой «массой» было
получено недавно [15]. Выяснилось, что Σ°-ΓΗπεροΗ имеет поло-
жительную четность (рис. 26). Позднее мы приведем косвенные

ГЛ Μ]
БАРИОНЫ
249
аргументы в пользу аналогичного вывода для заряженных Σ-ги-
перонов.
Оказывается, что Σ-гипероны не образуют гиперфрагментов.
Причиной тому служит то факт, что реакция
и подобные ей не относятся к слабым (с временем жизни
1Сг10 сек) взаимодействиям, так что в ядрах Σ-гиперон суще-
ствовать не может. Исключением могло бы быть связанное со-
стояние Σ~ — η, которое ни во что уже распасться не может.
Сейчас нет никаких экспериментальных данных в пользу того,
чго такое связанное состояние существует.
Каскадные гипероны
Существуют две частицы, обозначаемые символами 3" и Ξ0,
которые называют каскадными гиперонами, поскольку главные
типы распада для них имеют вид
3--*Λ° + π~
I—-> ρ + π~
и
Ξ°->Λ° + π°
'—->р + π-.
Массы их таковы
Μ - = 1321,25 ±0,18 Мэв
η
Ms» = 1314,7 ± 0,7 Мэв,
а времена жизни
τβ- = (1,66 ±0,05)· ΙΟ-10 сек
и
τ30= (3,03 ±0,18)· Ю-10 сек.
Для Е°-гиперона до сих пор наблюдался только один тип рас-
пада
Ξ0 -» Л° + π°.
Для заряженного Е~-гиперона доминирующим является распад
Ξ--»Λ° + яг.
Кроме того, наблюдался еще один тип распада
Е- -»· Л° + е~ + v.

250
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. П|
вероятность которого равна (2,5 ± 1,8) · 10-3%. Эти распады
были изучены основательно и будут обсуждаться в гл. 33.
Хотя спин Е"-гиперона не был определен однозначно, суще-
ствуют данные в пользу того, что он не равен 3/2. Когда этот
результат будет объединен с теоретическими предпосылками,
подробно излагаемыми в последующих главах, то мы придем
к выводу о том, что Ξ-гипероны принадлежат к тому же типу,
что и другие барионы, перечисленные в этой главе, т. е. что они
имеют спин 1/2. Утверждение, говорящее против наличия
у ^"-гиперона спина 3/2, сводится к следующему.
Если вычислить соответствующие коэффициенты Вигнера,
то мы найдем (см. (14.19) и (14.20))
Ρ (4) + Р ( —I) = Tip. -3/2 = γ (1 - 5 <P2 (cos θ)»
и
α И!) - Ρ (-1)) = Κβ, -3/2 = \ (9 <Ρ, (cos θ)> - \ <Ρ3 (cos fr)>).
Поскольку величина α известна из анализа распада Е~-гиперона
(см. гл. 33)
αΞ_ = —0,410 ±0,046,
то, используя ее, можно сконструировать комбинацию
Экспериментальные данные показывают, что
р(--|)= -0,33 ± 0,-20,
и это нарушает условие
Р(М)>0
почти на два стандартных отклонения. Обработка большего
числа данных приведет, вероятно, к уточнению этого результата.
ТаблицаЗ ^ настоящее время нет ни-
каких данных ни за, ни про-
тив того, что четность Ξ-гипе-
ронов та же, что и четность
Л°-гиперона. Такие данные
можно было бы получить, изу-
чая реакцию
Ξ- + ρ -* 2Л°
с медленными Е"-гиперонами.
В гл. 15 мы докажем, что та-
кая реакция захвата скорее всего будет иметь место из атомного
S-состояния. Это будет либо 'So-, либо ^-состояние. Конечное
Состояние
захвата
'So
3s,
Четность
Ξ-гипе-
+
—
+
—"
Конечное
состояние
двух
Л°*гиперонов
'So
3Ро
нет
»Р,

ГЛ. 14]
БАРИОНЫ
251
состояние с двумя Л°-гиперонами должно быть в силу принципа
Паули антисимметрично, а это означает для значений / = О или
/= 1, что оно будет либо lS0, либо 3Я1,0-состоянием. Как это
отразится на проблеме четности Е~-гиперона, видно из табл. 3.
Каждое из конечных состояний приводит к различной корре-
ляции поляризаций двух Л°-гиперонов [16]. В настоящий мо-
мент все убеждены в том, что четность Е'-гиперона положи-
тельна и что Ξ-гипероны вместе с нуклонами, Л°-гипероном и
Σ-гиперонами образуют супермультиплет состояний, в котором
компоненты ничем существенным друг от друга не отличаются.
ЗАДАЧИ
1. Выпишите эффективный лагранжиан, описывающий распад Л°-»-р+яг.
Оцените силу взаимодействия по измеренному значению постоянной распада.
2. Допустим, что матричный элемент для бета-распада 2-гиперона — кон-
станта той же величины, что и матричный элемент для бета-распада нейтрона,
так что отношение вероятностей распадов
Г (Σ- -* η + е~ + ν)/Γ (η -> ρ + е~ + ν)
и
Γ (Σ~ -► η + μ~ + ν)/Γ (η -> ρ + е~ + ν)
определяется только отношением фазовых объемов. Оцените постоянные рас-
падов Σ-гиперонов и сравните их с экспериментом. Используйте значение ηΙμ=·
= 105,66 Мэв.
3. Используйте спиральный формализм для обсуждения распада Σ°-»·Λ0+
+γ, предполагая, что в этом процессе четность сохраняется.

Глава 15
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
Открытие пиона в 1947 г. и одновременный ввод в действие
нескольких ускорителей высоких энергий явились началом но-
вой эры в физике элементарных частиц. Это открытие под-
твердило гипотезу Юкавы о том, что короткодействующие ядер-
ные силы должны переноситься тяжелыми квантами с нулевым
барионным числом. Более того, теория Юкавы послужила бо-
гатым источником качественных предсказаний, которые сыграли
роль путеводной нити во многих экспериментальных исследо-
ваниях, предпринятых с новыми частицами. За пионами после-
довали /(-мезоны — они появились совершенно неожиданно — и
другие бозоны, более или менее стабильные. В этой главе мы
обсудим восемь мезонов, которые имеют спин нуль и отрица-
тельную четность (если, по определению, четность протона, ней-
трона и Л°-гиперона положительна).
Пионы
Пионы — легчайшие из всех сильно взаимодействующих ча-
стиц. Известно, что они имеют целый спин и нулевое барионное
число, как это можно видеть из реакции
ρ + ρ -> d + π+.
Из нее также следует, что пионы, как и фотоны, могут при взаи-
модействии элементарных частиц рождаться и исчезать пооди-
ночке. Существуют три частицы, к которым относится это наи-
менование: π+-, π-- и п°-мезоны. Массы их таковы:
m ± = 139,578 ± 0,013 Мэв, тл° = 134,975 ± 0,014 Мэб.
η
Как заряженные, так и нейтральные пионы нестабильны. Пер-
вые распадаются главным образом согласно реакции
π* —> μ± + ν
со временем жизни
тя± = (2,604 ± 0,007) · Ю~8 сек.

ГЛ- '51 ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ 253
Другие гораздо более редкие типы распада и их вероятности
приведены ниже:
Типы распада Г/Гполи
л*->(?* +ν (1,24 ± 0,03) - 10~4
π±->μ±+ν + ν (1,24 + 0,25). Ю-4
π*->π° + β* + ν (1,02 ± 0,07)- Ю-8.
Нейтральный пион распадается согласно реакции
π°-»2γ
со временем жизни
τπ» = (0,89 ±0,18)· 10~16 сек.
Имеет место также внутренняя конверсия и реакции
л°-^\ + е+ + е-, п°->2е+ + 2е-
наблюдаются соответственно с вероятностью 1 : 83 и 1 : 29000
от основной.
Спин заряженного пиона был определен путем сравнения се-
чений реакций захвата
л+ + d -* ρ'+ ρ
и рождения пиона
ρ + ρ -> π+ + d
при одной и той же энергии в системе центра масс. Вероятность
захвата определяется формулой
f
Здесь pi — импульс протона, W = 2 (/?? + М2) — энергия в си-
стеме центра масс, Mfi -— матричный элемент процесса, причем
суммирование производится по конечным, а усреднение — по
начальным состояниям. Штрих над знаком суммы служит для
напоминания о том, что поскольку два протона в конечном со-
стоянии — тождественные частицы, то интегрирование по углам
проводится по полусфере. Можно вернуться к интегрированию
по всем углам, но тогда результат следует разделить на 2. Если
пион имеет спин /, то получим

254
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Щ
поскольку дейтрон имеет момент, равный 1. Разделив на отно-
сительную скорость
Oom-On + Od- ωπ+ £d- ωη£((,
мы получим для сечения захвата
1
О'захв —
irSw^· от»
6(2/+1) ^и\"лГЧ 4лря
U
Аналогично сечение рождения имеет вид
Η
/1\2
где множитель lyj возникает вследствие усреднения по началь-
ному состоянию. Квадрат матричного элемента, просуммиро-
ванный по начальным и конечным состояниям, когда оба про-
цесса рассматриваются при одной и той же энергии W, должен
быть в обоих случаях одинаков. Это утверждение известно как
принцип детального равновесия. Оно следует из инвариантности
взаимодействия относительно обращения времени*). Таким об-
разом,
Озахв _ 2 lpf\2
0Рожд 3(27+1) \ря1 ' у10-°>
что совершенно не зависит от деталей взаимодействия.
Захват я+-мезонов в дейтерии изучался при энергии пиона
24 Мэв в лабораторной системе координат [1, 2]. Полученное се-
чение можно представить в виде
(Jg.) =9 (0,22 + cos2 θ) · 1 (Г28 см2
И
озахв = (3,1 ±0,3).1(Г2 см2.
Реакция рождения была изучена [3] на протонах с энергией
341 Мэв в лабораторной системе, что соответствует в системе
центра масс почти той же энергии, которая была использована
при изучении захвата. Эти данные можно скомбинировать
с (15.5), так что для сечения захвата предсказываются выра-
жения
("SLxb^ гТТТ^11 ±4) (0,11 + 0,06 + cos2 θ) · 10~28 см2
и
азахв==27+Т(3,0 ±1,0) ■ Ю-87 см2.
·) См. формулу (7.28), из Ко .
Г°Р°И следует этот результат.

ГЛ. 15]
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
255
из которых следует, что спин л+-мезона должен быть равен
нулю. То же самое справедливо и для лг-мезона, поскольку, оче-
видно, он является античастицей л+-мезона
Спин л,°-мезона нельзя определить столь простым образом.
Его время жизни слишком мало, чтобы он мог служить полез-
ным снарядом в экспериментах по захвату. Тип распада
показывает, что л.°-мезон не может иметь спин, равный 1. Чтобы
убедиться в этом наипростейшим путем, заметим, что ампли-
туда реакции должна быть линейна по et—вектору поляриза-
ции одного из фотонов, линейна по е2 — вектору поляризации
второго фотона и, кроме того, она может зависеть от вектора
k — относительного импульса двух фотонов в системе центра
масс. Эта амплитуда должна быть симметрична относительно
перестановки двух одинаковых фотонов в конечном состоянии,
т. е. относительно замен
е,-е->-е2, ft-e->- — k. (15.6)
Если заметить, что из условия градиентной инвариантности сле-
дует, что
el-k = e2-k = 0, (15.7)
то сразу станет ясно, что нельзя сконструировать вектор, удо-
влетворяющий всем этим условиям. Поскольку амплитуда рас-
пада покоящейся векторной частицы должна иметь вид η · Μ,
где η — вектор поляризации распадающейся частицы, то отсут-
ствие допустимых векторов Μ означает, что такая векторная
частица не может распасться на два фотона. В действительно-
сти существует огромное множество фактов, позволяющих объе-
динить два заряженных пиона и один нейтральный пион в муль-
типлет, имеющий одинаковый спин и четность, так что нет ни-
какой необходимости для подтверждения этого изучать такие
редкие типы распада. Однако для получения информации
о четности л°-мезона, если считать, что его спин равен 0, сле-
дует изучить реакцию
πη ->■ 2е+ + 2е~.
В случае, если спин л°-мезона равен 0, существуют два возмож-
ных выражения для амплитуды:
в\ ■ е2 (положительная четность),
k · в\ X е2 (отрицательная четность).
В первом случае векторы поляризации двух фотонов стремятся
быть параллельными. Во втором случае они будут перпендику-
лярными. Эти корреляции можно перенести на ситуацию, в ко-

256
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ш
торой оба фотона.испытывают внутреннюю конверсию. При этом
окажутся скоррелированными плоскости электрон-позитронных
пар. Как было показано Кроллем и Вада [4], распределение
углов φ между двумя плоскостями, образованными этими па-
рами,
W(q>)= 1 ±0,48 cos 2φ, (15.8)
где знак зависит от знака четности. Экспериментальное иссле-
дование [5] шестидесяти четырех случаев подходящего харак-
тера дает выражение
ψ{ψ) = 1 —(0,75 ± 0,42) cos 2φ,
из которого следует, что л°-мезон — псевдоскаляр.
Четность заряженных пионов можно установить по наблю-
дению реакции в системе покоя
лг + d-+2n.
Если предположить, что гг-мезон захватывается из атомного
S-состояния, то орбитальный момент и четность будут равны 1*
в зависимости от того, будут ли спин и четность лг-мезона
равны 0*. Конечное состояние двух нейтронов не может быть
произвольным. Оно должно быть в силу принципа Паули одним
из антисимметричных состояний lS0, ъРг,1,о, '^г,-· · Единствен-
ное допустимое состояние с моментом 1 — это 3Pi-состояние,
четность которого отрицательна. Тем самым заряженный пион
оказывается псевдоскаляром при условии, что данная реакция
имеет место, и захват действительно идет из 5-состояния.
Подтверждение того, что такая реакция идет, было получено
Пановским и его коллегами [6], которые установили, что ре-
акции
лг + d —► 2л, π" + d —» 2п + у
происходят с отношением вероятностей 2:1. Хотя довольно
большая роль распада электромагнитного типа оказалась не-
ожиданной (согласно обычным предположениям она была бы
равна от 1 до 5%), что говорит об некоем подавлении реакции
захвата лг + d —»2п, этот процесс имеет место. Остается пока-
зать, что захват я"-мезона происходит из S-состояния.
Прежде всего, отметим, что захват не имеет места на лету.
Вероятность захвата
Г = σ(π~ + d~>2n)vnN. (15.9)
Для жидкого дейтерия плотность N = 4 · 1022 см~3. Сечение за-
хвата
σ(π-.+ d -> 2/i) =σ(π+ + d -^ 2p) « 3 · 10~27 см2

ГЛ 151
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
25?
при типичном значении энергии 24 Мэв, когда ν <=> γ с. Тем
самым
Г~ 1,8· 106 сект1.
С другой стороны, как было показано Вайтманом [7] лг-мезон
снижает свою скорость до υ *= 0,05с за малое время 4,8 · 10~ш сек,
теряя энергию на процесс ионизации. Захват пиона на атомную
орбиту является подавляюще более вероятным процессом, чем
его захват на лету. Это справедливо и для других элементарных
частиц.
Согласно расчетам Вайтмана, пиону необходимо 3,7· 10~12 сек,
чтобы быть захваченным на атомную орбиту с большим η (глав-
ное квантовое число) *), Возвращение после возбуждения про-
цессом Оже на орбиту с /i«7 занимает около 0,8· 10~12 сек.
В этом интервале значений η становится важным механизм,
впервые предложенный Дэем, Зухером и Сноу [8, 9] (DSS).
Вместо того чтобы перейти на более низкий уровень η за счет
каскадного излучения, пионный «атом», будучи маленьким (ра-
диус я» n/mRa) и нейтральным, будет дрейфовать со скоростью
порядка 106 см/сек и за очень короткое время проникнет через
электронное облако атома дейтерия. Очень сильные локальные
поля приводят к смешиванию п2 вырожденных уровней, соот-
ветствующих данному п. Поскольку захват из 5-состояния
всегда предпочтительнее захвата из состояний с более высокими
значениями /, то эффект DSS приводит к увеличению вероят-
ности захвата из 5-состояния по сравнению с тем, что было бы,
если бы пион был захвачен после перехода за счет излучения
в 2Р- или 15-атомное состояние. Подробные расчеты можно
найти в работе Леона и Бете [10]. Экспериментальные данные
относительно ускоренных захватов пионов были получены Филд-
сом и его коллегами [11], изучавшими захват лг-мезонов в во-
дороде. Они наблюдали около 80 000 пионов, часть которых рас-
палась на μ~-Μθ30ΗΗ и нейтрино. Скорость пиона в момент рас-
пада может быть определена из кинематических данных. Было
установлено, что только два пиона распадаются со скоростью
ν < 0,01с. Поскольку изучались только те случаи, когда трек
μ~-Με30Η3 был расположен в обратной полусфере относительно
направления импульса пиона, то среднее время, необходимое
для того, чтобы лг-мезон, движущийся со скоростью v/c — 0,01,
был захвачен ядром, приблизительно равно
τ = 2· (~^· 2,5 · 10~а сек= l,2tlQj-ΙΟ'112 сек.
*) Эта цифра отвечает захвату со скоростью f/c=0,05. Время захвата
со скоростью у/с=0,01 составляет, согласно оценкам Вайтмана, 1,2-10"'2 сек.
17 С. Галшуоьнч

258
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. щ
Если бы механизм смешивания, связанный с эффектом Штарка,
не имел бы места, то пион должен был бы каскадно спуститься
с орбиты с η « 7, на что ушло бы около 16 · 10~12 сек. Этот экс-
перимент служит косвенным доказательством существования эф-
фекта DSS, который обеспечивает захват пиона с S-орбиты,
подтверждая тем самым, что лг-мезон — псевдоскаляр. Следует
отметить, что механизм DSS действует не только для пионов.
Поэтому можно ожидать, что все долгоживущие (~10~ш сек)
отрицательно заряженные сильно взаимодействующие частицы
должны в водороде захватываться из S-состояний *).
За последние десять лет мы очень много узнали о пионах;
большая часть последующих глав будет посвящена взаимодей-
ствиям пионов с пионами и нуклонами.
/(-мезоны
Были открыты /(-мезоны с зарядами +1, 0 и —1. В действи-
тельности существуют два нейтральных /(-мезона, К0 и К0, так
что фактически есть четыре частицы: К+, К0 и их античастицы.
В следующей главе мы увидим, что /(-мезоны характеризуются
новым квантовым числом — гиперзарядом. Именно поэтому К0
и /("-мезоны суть разные частицы. Заметим, что, поскольку опе-
ратор згЯ-мезона является самосопряженным, эта частица не
имеет ни гиперзаряда, ни электрического заряда.
Массы /(-мезонов таковы:
тк+ = 493,82 ± 0,11 Мэв, т^ = 497,76 ± 0,16 Мэв.
Заряженные /(-мезоны распадаются за счет слабых взаимо-
действий, т. е. со временем жизни
хк± = (1,235 ± 0,004) · 10~8 сек.
Ниже приведены различные частные типа распада с указанием
вероятностей их в процентах.
Вероятность распада, %
63,65 ± 0,29
21,03 ± 0,30
5,57 ± 0,04
1,70 + 0,05
3,18 ± 0,14
4,86 ± 0,07
Типы распада
К*
к*
к*
к*
/с*
к*
-*μ± + ν
—>π + л
—>π + л
—>π + л
о , ±
->π +μ
о , ±
~*-п +е
'+п
_1 0
+ π
+ ν
+ V
*) По поводу экгперименталышх данных о существовании такого эф-
фекта для захвата /( -мезонов в водороде см. [12].

ГЛ. 151
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
259
K±-+n*+n* + e± + v (3,4 ± 0,3) · 1(Г5
Λ'±-^π± + π±+β:ρ+ν <7-10-7
Κ*-*>π* + π° + γ (2,2 ± 0,7) · 10"4
К±~*е± + х (1,24 + 0,40)· Ю-5
К* -* π* + е+ + е~ < 1,1 ■ Ю-6
К±-^п± + п+ +п~+у (10 ±4)-Ю-5
Нейтральные /(-мезоны также распадаются. Однако оказа-
лось, что их распад не подчиняется обычному экспоненциаль-
ному закону*): /С°-мезон распадается подобно смеси двух ча-
стиц. Короткоживущая частица, обозначаемая Ks, имеет время
жизни
Тд.5 = (0,862 ± 0,006) · КГ10 сек,
и главные типы распада
Κ5->π++π~ 68,4+1,1%
Ks-+2tf 31,6+1,1%
Долгоживущая частица, обозначаемая Kl, имеет время жизни
%Kl = (5,38 + 0,20) · Ю-8 сек.
Ее главные типы распада вместе с их вероятностями
fo-*3rf> 21,5 ±0,7%
KL-^n+n-7r°
Kl -*■ Ι^μ+ν
KL -*· Jt±e:Fv
Kl~*η+π~
12,7 + 0,3%
28,1 ±0,8%
37,7 ±0,9%
0,157 ±0,004%
В силу наличия многочисленных типов распада /(-мезоны слу-
жат источником разносторонней информации о взаимодействиях,
ответственных за эти распады, т. е. о слабых взаимодействиях,
/(-мезоны, подобно пионам, сильно взаимодействуют с барио-
нами. Однако из-за большой массы их роль как переносчиков
взаимодействия часто менее значительна, чем роль пионов.
К сожалению, спин /(-мезона невозможно определить, рас-
сматривая реакцию
К~ + р-*-п~ + ρ
и обратную ей, поскольку эта реакция не имеет места. Она за-
прещена правилом отбора, которое будет обсуждаться в гл. 16.
*) Это явление подробно обсуждается в гл. 32.
17*

260
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IU
Реакциям, которые могут иметь место, например
и
К~ + η->π~ + Λ ,
соответствуют такие обратные реакции, которые нельзя наблю-
дать в лаборатории из-за краткости времени жизни частиц, об-
разующих это состояние. Спин /(-мезона может быть, однако,
определен по характеристикам его распада. Для определения
четности, как мы увидим, этим методом воспользоваться нельзя.
Распад вида
К0 -> 2π°
приводит к конечному состоянию, содержащему два одинаковых
бозона. Конечное состояние, симметричное относительно замены
двух частиц, должно обладать следующими значениями кван-
товых чисел спина и четности: 0+, 2+, 4+,..., поскольку орби-
тальный момент должен быть четным, а оба пиона — псевдоска-
ляры. Соответствующий распад заряженного /(-мезона
Α ~>π + л
цопускает любое значение спина, но в силу того, что спин пиона
равен нулю, четность равна (—1)J.
Гораздо более подробную информацию можно получить,
изучая распад на три пиона, т. е.
А —>л +π +π .
Постоянная распада определяется формулой
г= f Г ff?1 ft* ffta(gi + g» + ga)x
J J J 2ω„ 2ωφ 2a>qt
ΧδΚ + ^ + ^-^Γ^Ρ- (»5.I0)
Здесь (ω4 , дЛ — энергии и импульсы трех пионов в системе
покоя распадающегося /(-мезона, \М\2 — среднее по спиновым
состояниям от квадрата модуля матричного элемента распада.
Последнее имеет вид суммы по угловым множителям типа Ци,
9ij. 92h и т. д., умноженным на инвариантные функции. Эти ин-
вариантные функции могут зависеть только от скаляров типа
ω . Скаляры типа q\ · Цч в действительности не независимы,по-
i
скольку
я\ — <й — я% J ,

ГЛ. 15]
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
261
Поскольку энергии трех пионов в сумме дают массу /С-мезона,
то можно записать
\М f = F((uQl, (uQa),
где ω9, и со9г — энергии любых двух из трех π-мезонов. Тогда
Г=-д Г ... Г Ql d(oqiq2 d<aqi rfQ, d&2 -^-X
Χ δ (<?, + <?2 + ga)6(ωφ + ω^ + v>qt-mK)F(ω^, coj =
= 8" J 9, daQi J q2 daqF (ω^, ω J j dQ, J iffi2 X
6 (%. + % + V (gi + lit+ m*- тк)
X
так что
d2T _q^
^-F{(oqi, «BjJdQ, JdQ2X
X , .
1
= n2qlq2F(mqi> ω J J d(cos6)X
-I
^ 6 (ω<?| + ω?2 + \re>qi + υξ2 -m2n + 2qxq2 cos 6 - mK)
V «ft + oft - m* + 29l?2 cos θ
где угол θ определяется формулой
Q\-Q2 = R&i cos θ.
Заменяя переменные, получим
Χ δ (j 'wqi + a\t-m% + 2qxq2cos% + ω^ + ω^ - mK) = π2/=-(ω^, coj,
(15.11)
где ωβΙ и о9г принадлежат кинематически дозволенным областям.
Далиц обратил внимание на то, что график, показывающий
число случаев распада подобно графику на рис. 27, дает ин-
формацию о квадрате матричных элементов (по плотности то-
чек) [14, 15].

262
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч- III
Граница графика Далица определяется ограничением
|cos θ|<1 1, из которого следует, что
-К
(\9 9 2 2
тк — со. — ω. г — ω„ — ω„ + mt,
ft *?1 <?i/ <?l <?2 " ^ 1
2<7i<7j
(15.12)
В физике высоких энергий и в ядерной физике полезность гра-
фика Далица необычайна.
ЧГ%,
Рис. 27. Типичный график Далица.
Плотность точек пропорциональна квадрату матричного эле-
мента. Проекция этой плотности на две оси приводит к рас-
пределению масс двух оставшихся частиц.
В частном случае, который мы рассматриваем, когда все три
частицы в конечном состоянии имеют одинаковую массу, наи-
более удобно разместить все точки такого графика внутри рав-
нобедренного треугольника. При этом кинетические энергии
пионов (Ti — u>q — тЛ откладываются вдоль внутренних норма-
лей к сторонам этого треугольника, как это показано на рис. 28-
Нетрудно показать, что для любой точки внутри такого тре-
угольника имеет место равенство
Т\ + Т3 + ^3 = const,
а ограничение
|cos6|<l
выделяет точки, попадающие в область, ограниченную кривой,
проведенной внутри треугольника. Для пионов низких энергий)

ГЛ 15]
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
263
для которых справедлива нерелятивистская кинематика, эта
кривая очень близка к окружности. Такая ситуация характерна,
в частности, для обсуждаемого распада /(-мезонов, поскольку
полный энергетический выход ее равен 75 Мэв и эту энергию
следует распределить по трем пионам.
Криволинейной границе соответствует предельный случай
cos θ = ±1, т. е. те распады, в которых пионы с номерами 1 и 2
Рис. 28. Пример симметричного графика Далица,
когда все продукты распада — пионы.
Этот график соответствует реакции р + р -» я +π +л [13].
Т,, Тг и Гз —это кинетические энергии π—-, π°- и л+-мезонов
соответственно.
движутся параллельно или антипараллельно друг другу. Об-
ласти вокруг прямых АА', СС и ВВ' соответствуют случаям,
когда два из трех пионов имеют одну и ту же энергию.
Области, в которых можно было ожидать уменьшения числа
случаев для различных значений спина /(-мезона, были со всей
общностью и подробностями проанализированы Земахом [16].-
Мы ограничимся лишь качественным анализом распределения
точек, которого следует ожидать для различных значений спина
/(-мезона. Предположим, что при распаде Лч-мезона пионы
с номерами 1 и 3 положительны, а пион 2 отрицателен. Тем са-
мым распределение должно быть симметрично в треугольниках
В'С'С и С'СА'. Удобно разместить все точки в одном из этих
треугольников. Это позволит их сконцентрировать и облегчит
проведение визуальной оценки распределения их плотности.

264
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
/_
0
1
2
1+-0
(Г
1 +
2~
1+-2
2""
3+, 2+, 1 +
4_,3_,2-,Г,0~
Будем представлять полный момент / в виде векторной
суммы двух моментов: орбитального момента двух одинаковых
пионов относительно общего центра их масс, /+, и момента остав-
шегося пиона относительно центра масс системы из двух оди-
наковых пионов, L. Таким образом,
\l+ — L\<KU + L.
Из-за тождественности двух положительных пионов момент /+
должен быть четным. Возможные значения момента / и чет-
Таблица 4 ности для различных значе-
,р , . ний /+ и L приведены в
Значения J при заданных 1+, I— б, л
Если момент / отличен
от нуля, то по крайней мере
один из моментов 1+, L так-
же должен быть отличен от
нуля. Если, например, /+>2,
то в силу влияния цен-
тробежного барьера следо-
вало бы ожидать, что мат-
ричный элемент процесса (и тем самым плотность точек на гра-
фике) обратится в нуль, если два положительных пиона друг
относительно друга покоятся. Эта кинематическая ситуация воз-
никает тогда, когда отрицательный пион обладает максимально
возможной энергией. Таким образом, если /+ ^ 2, то, как и сле-
довало ожидать, должно иметь место уменьшение числа собы-
тий, попадающих на графике в область около точки М. На-
сколько велика должна быть область с малым числом событий,
зависит от конкретной динамики, которая неизвестна. Тем не
менее если такая область вообще не наблюдается, то это дол-
жно означать, что /+ = 0. Тогда исходя из качественных сообра-
жений, можно предположить, что эффект уменьшения числа то-
чек на графике будет ослабляться, если относительный импульс
двух положительных пионов q таков, что qa ~ 1. Здесь о — не-
который эффективный радиус взаимодействия, в качестве кото-
рого обычно выбирают некоторое среднее между комптонов-
скими длинами волн частиц, участвующих в реакции. Анало-
гично можно утверждать, что если бы /-С§> 1, то произошло бы
уменьшение числа точек в области, где покоится jr-мезон, т. е.
вблизи С. Экспериментальные данные приведены на рис. 29.
Глядя на них, очень трудно обнаружить сколько-нибудь замет-
ное отклонение от однородного распределения. Отсюда можно
заключить, что спин К-мезона равен нулю.
Поскольку оказывается, что /+ = /_ = 0, то четность конеч-
ного состояния отрицательна. С другой стороны, из распада
К+ -» π+ + л°

ГЛ. 15]
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
265
следует, что если спин /(-мезона равен 0, то его четность должна
быть положительной. Этот факт послужил первым указанием
на то, что в распадах /(-мезонов четность не сохраняется. Ана-
лиз Далица сыграл решающую
роль в формулировке того, что
в 1955—1956 гг. широко обсуж-
далось как парадокс τ — θ*).
Наконец, Ли и Янг задали решаю- Tg/Q
щий вопрос: какие факты вообще
свидетельствуют в пользу сохра-
нения четности в слабых взаимо-
действиях? Они выяснили, что
таких фактов не существует, и
предложили ряд экспериментов
по проверке этого утверждения
(см. гл. 30). Эксперименты уста-
новили, что никакого парадокса
здесь нет. Этот результат, вместе
с тем, означает, что для опреде-
ления четности /(-мезона нельзя
воспользоваться процессом рас
пада.
Четность /(-мезона первона-
чально была определена косвен-
но, путем рассмотрения реакции
К- + Не4-*ЛН4 + п°.
С Л, т 14 (Г,-Т,)/№
Если спин гиперфрагмента ЛН4 *
равен 0, то орбитальный момент Рис. 29. График Далица для 220 слу-
начального состояния должен чаев распада К+ ->π+ + π+ + π-.
быть таким же, как у конечного ^Г3™я ^^KSTZbSE
СОСТОЯНИЯ. ПОЭТОМУ ЧетНОСТЬ тнкой. Здесь представлена половина
jr полного графика, поскольку существует
/(-мезона должна совпадать с снмметрняр φΠΟ двум я+.мезо„ам. <L
четностью пиона, т. е. быть от-
рицательной, при условии, что,
как обычно, положительная чет-
ность приписывается Л°-гиперону.
Утверждение относительно спина дН4 основывается на сле-
дующих аргументах. В двухчастичном распаде
лН4 -> π" + Не4
*) Трехпионный тип распада был назван τ-распадом, а двухпиониый —
θ распадом. Первое время после открытия /(-мезонов не было ясно, что раз-
личные продукты распада представляют собой осколки одной и той же ча-
стицы. Экспериментальные данные приняли характер парадокса только после
того, как измерения масс и времен жизни стали явно свидетельствовать в
пользу того, что речь идет об одной частице.
обозначены так же, как на рис. 28,
за исключением того, что кинетические
энергии измерены в величинах Q=»

266 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч Щ
π -мезон и ядро Не4 имеют спин 0. Тем самым четность ко-
нечного состояния должна быть —(—1)J, где J — спин ядра л Н4.
Спин / может равняться только 0 или 1 *). Начальное состояние
имеет положительную четность, так что: а) если У = 0, то ко-
нечное состояние имеет отрицательную четность и распад дол-
жен происходить по каналу Si/2; в то же время б) если 7=1,
то распад должен происходить по каналу Р\/2- Далее, относи-
тельно распада свободного Л°-гиперона известно, что амплитуда
Р-волны аР мала. Мы продолжим обсуждение этого анализа
в гл. 33, а теперь отметим только то, что
T^]LF = o,li±o,o3.
Тем самым, если / = I, то ядро дН4 должно преимущественно
распадаться по трехчастичным каналам, которые не запре-
щаются так или иначе законом сохранения момента. Следует
ожидать, что если / = 1, то величина
Г(ЛН*->я- + Не<)
А4= f
1 полн
должна быть малой. Эксперименты Эммара и его коллег [18]
приводят к значению /?4 = 0,67 ± 0,06, что сильно говорит в
пользу 7 = 0.
Единственная возможность, которая могла бы поколебать
вывод о том, что /(-мезон — псевдоскаляр, связана с допуще-
нием существования возбужденного состояния ядра л Н4* с
7=1, когда процесс, ответственный за распад, выглядит так:
A'- + He4->H4* + nQ
'->aH4 + v.
Расчеты показывают, что подобное состояние не существует. Од-
нако, поскольку эти расчеты в сильной степени основаны на
специфических предположениях о потенциале системы Λ0—ну-
клон, то пока еще нельзя сказать, что четность /(-мезонов уста-
новлена с полной определенностью. Изучение γ-квантов в' по-
следнем эксперименте должно устранить остающиеся еще со-
мнения. Когда станут доступны поляризованные протонные
мишени, окажутся возможными проверки и других типов [19,
20]. Ниже мы будем считать /(-мезоны псевдоскалярами.
*) Это так, поскольку ядро ЛН4 содержит Л°-гиперон в 5-состоянии от-
носительно остова—тритона (спин его равен '/г). Если сииглетное взаимо-
действие в системе Λ0 — нуклон сильнее триплетного, то спин равен нулю.
При сделанном выборе четности Л°-гиперона четность э любом случае будет
Положительной.

ГЛ 15]
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
δ67
1]°-мезон
Последней частицей, которую мы рассмотрим в этой главе,
является η0-мезон. Эта частица была открыта в реакции [21]
π+ + d —> ρ + ρ + π+ + π~ + at0.
График распределения инвариантной массы трехпионный си-
стемы, т. е. числа событий в зависимости от
Μ2 = (ωπ+ + ω„- + ωπο)2 + (q+ + q_ + q0f,
обнаруживает очень резкий пик в окрестности 550 Мэв. Он ин-
терпретируется как новая частица, названная 1г°-мезоном, ко-
торая в этом эксперименте распадается согласно
η0 —> π+ +π~ + it0.
Последующие эксперименты показали, что
/7Ιηο = 548,8 ± 0,6 Мэв.
Другие типы распада имеют вид
ηο
ηο
ηο
ηο
->2γ
-►ЗлР
->π+π
—>π+π'
или
-jt°
"Υ
2лРу
38,1
29,4
23,3
5,5
± 2,396
+ 2,8%
± 1,196
±0,5%
Распад η° —»2γ, подобно распаду эг°-мезона, имеет явно элек-
тромагнитную природу. Поскольку другие типы распада имеют
сравнимые по величине постоянные распада, то эти распады
также должны иметь электромагнитную природу (включая в
некоторых случаях виртуальный фотон). Тем самым следует
ожидать, что время жизни т]°-мезона должно быть по порядку
величины близко к времени жизни п°-мезона.
Распад вида
η°->2γ
позволяет нам заключить, что, как и в случае л;0-мезона, спин
Т10-мезона не может равняться единице. Кроме того, поскольку
определение однофотонного состояния нечетно относительно опе-
рации зарядового сопряжения, то двухфотонный распад гг°-ме-
зона показывает, что он, так же как и п°-мезон, четен относи-
тельно зарядового сопряжения. Поэтому можно заключить, что
в распаде
ηη -* п° + л+ + л"

268
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
состояние π+π~ должно быть четным относительно зарядового
сопряжения*). Поскольку для этой пары частиц нет никакого
различия между зарядовым сопряжением и обменом, то это
означает, что момент пары π+π~ должен быть четным. Та же
ситуация наблюдается в распаде
К+-мезона, так что здесь заря-
женные мезоны играют ту же
роль, что и два положительных
мезона при анализе распада К*-
мезона. График Далица, изобра-
женный на рис. 30, вновь не дает
никаких указаний на какое-либо
сгущение точек в какой бы
то ни было области. Поэтому
можно заключить, что спин
и четность tf-мезона рав-
ны о-**).
Мы убедились в том, что су-
ществует восемь частиц с одина-
ковыми спином и четностью.
Позднее мы исследуем вопрос
о том, существует ли какая-то
подходящая схема симметрии,
которая позволяет рассматривать
эти частицы как члены одного
семейства. Возможность объеди-
нения их в семейство далеко не
очевидна, поскольку их массы
различаются довольно сильно.
Этим данная ситуация отличает-
ся от случаев триплета пионов
(л+, π°, яг) и двух дублетов
/С-мезонов (АГ+, К0) и (К°, К'),
массы которых близки. Установление взаимосвязей между
этими частицами, так же как и между группами частиц (р, п),
(Σ+, Σ°, Σ") и (Ξ°, Ξ~), которые также расщепляются в мульти-
плеты с почти одинаковыми массами, составляет основное со-
держание гл. 16.
0,1 0,2 0,3
(Г.- Γ_)/ψθ
Рис. 30. График Далица для рас-
пада η° -> π+ 4- π° + π-.
Кинетические энергии Τ отмечены зна-
ком заряда пиона [t3].
*) Асимметрия в распределении яЛзг свидетельствовала бы о наруше-
нии инвариантности относительно зарядового сопряжения взаимодействия, от-
ветственного за распад, см [22].
**) Поскольку взаимодействие, ответственное за распад гу°-мезона, не-
слабое, то для определения внутренней четности ц° мезона можно пользо-
ваться законом сохранения четности.

Глава 16
ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ
Еще в тридцатые годы при изучении ядерных сил, обусло-
вливающих взаимодействие между протонами и нейтронами,
было установлено, что действующие между протоном и прото-
ном, нейтроном и нейтроном, а также между протоном и нейтро-
ном в том же состоянии силы почти одинаковы. Например, раз-
личие энергий связи зеркальных ядер Н3 и Не3 (пар и ррп)
можно объяснить тем, что их заряды неодинаковы, а это при-
водит к различию в кулоновских энергиях. Последнее указы-
вает на то, что существует приближенное равенство потенциалов
VPp=V„„. (16.1)
Аналогично из анализа параметров низкоэнергетического ну-
клон-нуклонного рассеяния следует, что в одних и тех же со-
стояниях *)
Vnp=Vpp. (16.2)
Эти наблюдения навели на мысль, что взаимодействие ме-
жду нуклонами таково, что «выключение» заряда протона ли-
квидирует различие между протоном и нейтроном и эти частицы
становятся неразличимыми. Это в свою очередь означает, что
«выключение» заряда протона должно привести к исчезновению
различий в значениях масс протона и нейтрона, длин рассеяния
и т. д. Следовательно, протон и нейтрон можно рассматривать
как два состояния одной и той же частицы — нуклона.
Предположение о том, что действующие между этими двумя
состояниями силы одинаковы, т. е. не зависят от заряда, лучше
всего объясняется существованием некоторой симметрии. Посту-
пим аналогично тому, как это было сделано в гл. 1 при обсуж-
дении лоренцевой инвариантности. Будем считать, что в гиль-
бертовом пространстве векторов состояний существует группа
*) Условие, согласно которому состояния должны быть одинаковыми,
следует из того, что системы рр и пп не могут находиться в симметричных
относительно обмена составляющих из частиц состояниях (3Si, 'Ρ0, ·.·)·

270
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. in
унитарных преобразований U такая, что состояния Φ и С/ф
при учете лишь сильных взаимодействий описывают одно и то
же явление. Тогда операторы нуклонного поля будут преобра-
зовываться следующим образом:
„/*«)„-■-("» ""К*?*)-*(*?*). (16.3,
\Фп(*)/ \И2| "22 / V Фп W / V *»(*)/
Поскольку это преобразование должно сохранять перестановоч-
ные соотношения, то 2 X 2-матрица Ш должна быть унитарной.
Такая унитарная 2 X 2-матрица характеризуется четырьмя па-
раметрами. Если же вынести общий фазовый множитель, то
останется всего три параметра. Обычной формой записи матри-
цы Ш, в которой опущен фазовый множитель, является сле-
дующая:
^ = е2<1'Т, (16.4)
где три эрмитовых канонических 2 X 2-матрицы с нулевым
шпуром
T' = (i о)· т»"(/ о)· Тз = (о -\) (16·5)
являются спиновыми матрицами Паули. Преобразование (16.3)
очень похоже на те, что были использованы при описании инва-
риантности по отношению к вращениям*). Это подсказывает
путь, каким следует идти, чтобы описать интересующую нас ин-
вариантность. Мы будем говорить об инвариантности по отно-
шению к вращениям во «внутреннем» пространстве (внутреннее,
поскольку оно не является обычным пространством). Уравнение
же (16.3) соответствует описанию нуклона с помощью спинора,
о котором, во избежание недоразумений, будем говорить как
об изоспиноре.
Здесь будет существовать и аналог обычного момента. Мы
назовем его изаспином. Инвариантность по отношению к вра-
щениям означает, что изоспин сохраняется. Если обозначить
изоспин буквой Т, то
U*=ela-T. (1.6.6)
Для бесконечно малых вращений (16.3) выглядит так:
ψ (*) + fa,- [Τi, ψ (*)] = ψ (x) + у «'α£τ,ψ {x),
т. е.
[Τи ψ(*)1 = ^τ,ψ(Χ) (16.7)
*) Главное отличие состоит в том, что преобразование (16.3) не затра-
гивает пространственных координат.

ГЛ. 16]
ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ
271
мы записываем , . как ibml. Легко видеть, что эти
V \ΨηΜ/ I
соотношения удовлетворяются, если
Т= Τ / dH^+ W τψ W· (16'8)
Заметим, что
гз=i \d3x« w *Р ω - φ» w *„ (*))■ (16·9>
Следовательно, оператор заряда нуклона Q можно записать
в виде
Q = J* Λη£ (*) Ψρ Μ = J d8** (*) -^r1 Ψ (*)· (16.10)
Мы можем ввести и оператор барионного числа NB, опре-
делив его как
ND
J <*Ч< (*)*,(*> + *»(*) *»(*) + ···)■ (16Л1>
Невыписанные члены соответствуют аналогичным вкладам дру
гих полей, несущих барионное число. Таким образом, если
рассматривать только протоны и нейтроны, то
Q = \NB + T3. (16.12)
Из легко устанавливаемых перестановочных соотношений
[Т„ T,\ = iemTh (16.13)
следует, что
[Q, ΤΑΦΟ, * = 1, 2.
Следовательно, заряд нарушает сохранение изоспина.
Формальная тождественность изоспина и обычного спина
дает нам возможность воспользоваться здесь техникой теории
моментов, и чтобы подчеркнуть эту аналогию, мы будем поль-
зоваться той же терминологией. Таким образом, мы будем
говорить о нуклоне как о простейшем (спинорном) представле-
нии группы преобразований. Произведение двух нуклонных со-
стояний будет опять представлением, но уже приводимым. Про-
изведение двух состояний, каждое из которых имеет спин 1/2,
разлагается на комбинации состояний со спином I и со спи-
ном 0. Эти состояния уже преобразуются сами через себя *).
*) Это и есть то, что мы подразумеваем под «неприводимостью».

272
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. Ш
Комбинации, характеризующиеся значением Τ = 1, опреде-
ляются формулами
ψ(ρ42)·
^ (<€>+«>).
а комбинация, характеризующаяся значением Г = 0, имеет вид
-j^(«-W)· <16Л5)
Можно ожидать, что такое же поведение имеет место и для
произведения нуклоиных и антинуклонных состояний. Однако
в этом случае комбинации с Τ = 1 и Τ = 0 другие. Происходит
это потому, что антинуклоны порождаются операторами фрС и
1|з„С Таким образом, соотношение
означает, что
ф' = «Гф. (16.16)
Далее, специфическим свойством 2X2 унитарных, унимодуляр-
ных матриц (т. е. таких матриц, для которых det'2?=l)
является то, что матрицы 1£* и <U связаны преобразованием
подобия. Воспользовавшись же стандартной формой (16.4),
легко увидеть, что
_i . L
«Г = е 2 "" = (- /т2) е 2 °" (»τ2) = (- йг2) ^ (гг2). (16.17)
Следовательно, если мы для антинуклона запишем
-фпС\ /-ψ.
х--*,де)~| _i = i ψ Ι, (16.18)
ГР / \ ТР
то получим закон преобразования
%' = &%■
Поэтому для нуклон-антинуклонной системы комбинации с Т = \
определены следующим образом:
а комбинация с Г = 0 имеет вид

ГЛ. 161 ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ 273
Поскольку мы интересуемся трансформационными свойствами
в изотопическом пространстве, то, работая с х, а не прямо
с антинуклонным дублетом, мы не делаем различия между ча-
стицами и античастицами. Тем самым нам нет необходимости
модифицировать теорию моментов, имея в виду ее распростра-
нение на случай, когда имеются и античастицы.
Нуклон как частица представляется восьмикомпонентным
оператором, четыре компоненты которого описывают протонное,
а остальные — нейтронное состояние. Поскольку все операторы
со спином 1/2 должны удовлетворять автиперестановочным со-
отношениям, то можно ввести и обобщенный принцип Паули:
два нуклона не могут находиться в одном и том же состоянии,
причем состояние теперь характеризуется еще одним дополни-
тельным числом — третьей компонентой изоспина. Следователь-
но, волновая функция двух нуклонов должна быть полностью
антисимметричной. Для дейтрона, который является простран-
ственно симметричным двухнуклонным состоянием, изоспин дол-
жен быть таким, чтобы полное состояние было бы антисимме-
тричным. Таким образом, дейтрон должен быть состоянием
сТ = 0.
Если мы примем во внимание представление, согласно кото-
рому ядерные силы между нуклонами обусловлены (в основном)
обменом пионами, то нам придется сделать и еще более фунда-
ментальное утверждение: пион-нуклонное взаимодействие также
является зарядоЕо независимым. Большой матричный элемент
реакции
Ν-+Ν + п.
которая лежит в основе гипотезы Юкавы, означает, что пион
должен иметь либо Г = 1, либо Τ = 0. Поскольку существуют
три пиона π+, π° и п~, массы которых почти одинаковы, а также
одинаковы их спины и четности, то естественно предположить,
что для пиона Τ — 1. Таким образом, три пиона обладают теми
же трансформационными свойствами, что и три состояния
(16.19). С точки зрения внутренней симметрии мы можем рас-
сматривать пионы как «связанные состояния» нуклона и анти-
нуклона, и такое представление иногда оказывается полезным.
Однако оно вовсе не является необходимым. Единственно, что
требуется, так это го, чтобы однопионные состояния образовы-
вали бы неприводимое представление рассматриваемой симме-
трии с значением Τ = 1.
Чтобы построить оператор изоспина, нужно воспользоваться
требованием, в соответствии с которым оператор пионного поля
в изоспиновом пространстве должен преобразовываться как
вектор
[Т1г <P,(x)] = iei]k<pk(x). (16.21)
18 С. Газиорович

274 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ I4· HI
Легко проверить, что оператор
T^ijd^xni{x)(t)il(Pj(x), (16.22)
где
{tah=~ieila, (16-23)
удовлетворяет требованию (16.21) (мы пользуемся канониче-
скими перестановочными соотношениями), так как
[Ти Tj[ = ielikTk.
В случае Τ = 1 аналогами τ-матриц, согласно определению
(16.23), являются
/ООП /О -I О'
f2 = ( 0 0 0 j, t3 = \ i 0 0
-г 0 0/ *0 0 0>
Часто, однако, бывает более удобно работать в представлении,
в котором
/1 0 0\
*з = 1 0 0 0 . (16.24)
\0 0 -1 /
Матрицы ta должны удовлетворять тем же перестановочным
соотношениям, что и операторы изоспина Та, которые, с учетом
определения
T± = {Ti±iT2), (16.25)
имеют вид
[Уз, 7"±] = ± 7"*, [Г+, Г_] = 2Г3. (16.26)
Поэтому легко найти 3 X 3-матрицы t\ и U, соответствую-
щие U. Они определяются так:
/0 1 0\ /0 -г 0\
^ = у=2 * ° х )· ^ = У1 г' ° -Ч· <16-27)
\ 0 1 0 / V 0 t 0 /
В (16.21) мы ввели операторы пионного поля <рг(*)- Остается
установить, какие специфические комбинации этих компонент,
действуя на вакуум, порождают частицы л+, π° и π". Из (16.21)
следует, что
Г Ф1±%1 Ф, ±fth (16.28)
L 3 Кг J Кз

ГЛ. 16] ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ 275
Таким образом, если положить Т3 = 1 для зт+-мезона, Т3 = О для
я°-мезона и Т3 =■—1 для лг-мезона, то можно считать, что
^^-Ψο = «±ψπ±· (16-29)
Фазовый множитель а+ будет выбран для удобства позднее. По-
скольку [Г3, φ3] = 0, то в данном случае естественно выбрать
Φ3ψο = ψπο· (16.30)
Если мы теперь воспользуемся соотношением
[Г±)Фз] = ±/2^?Ч (16.31)
которое также следует из (16.21), то, применив его к вакуум-
ному состоянию, найдем
Γ±φ3Ψ0 = Γ±Ψπο= =F 1/2α±Ψ„±. (16.32)
Выбирая
α±= + 1, (16.33)
получим
7,±ΨΠ,= \/2"Ψ„± (16.34)
с положительными коэффициентами в обоих случаях. Это соот-
ношение является стандартным условием, обычно используемым
физиками (условие Кондона — Шортли), в соответствии с ко-
торым построены таблицы коэффициентов Вигнера. Уравнение
(16.34) является частным случаем соотношения
τ±ψτ> т> - [V * ТЖ ± Ц + i)\i«ef . ,. (16.35)
* о о
справедливого для любого изоспина. Оно показывает, что опе-
раторы Т+, действуя на состояние, увеличивают (уменьшают)
на единицу третью компоненту его изоспина. Этот факт сразу
следует из первого из соотношений (16.26), которое, будучи при-
мененным к состоянию с данными Т' и Т'3, дает
VW. Т'3 = (TJs ± Т±) V г, = (Ц ± 1) Γ±ΨΓ,_ г,. (16.36)
Если пионное поле φ (а:) преобразуется при вращениях в изо-
топическом пространстве как вектор, то мы можем выписать ин-
вариантные лагранжианы взаимодействия. Простейшая его фор-
ма, в которой учитывается также и четность пионов, такова
-2Ι (х) = fe* (*) Υ5τΨ (λ) ср (Х). (16.37)
В компонентах она выглядит так:
+ lg (^Υ5ψΡ - ψ„γ5ψ„) φ3. (16.38)
18*

276
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
Степень совпадения масс частиц, принадлежащих одному
мультиплету, может рассматриваться как критерий справедли-
вости зарядовой независимости. Для пиона
71 ~3%,
тл
что много больше соответствующей величины для нуклона. По-
видимому, в последнем случае происходит некоторая компенса-
ция. Эти 3% представляются тем пределом точности, с которой
следует ожидать выполнения предсказаний, базирующихся на
предположении о точной симметрии. Так, теория, в которой со-
храняется изоспин, предсказывает, что для реакции
/чг° + Не3
^ π+ + Η3
отношение
п= g(p + rf->n+ + H3)
^ σ (ρ + d -* π° + He3)
должно быть равно 2. Это обусловлено тем, что дейтрон имеет
Τ = 0, так что в начальном состоянии Г = 1/2. В конечном со-
стоянии пион имеет Τ = 1, а ядра Не3, Н3 образуют изодублет.
Теперь можно воспользоваться правилами сложения моментов,
чтобы разложить конечное состояние по собственным состоя-
ниям изоспина. Тогда получим, что
4W» = V~ Ψ3/2 1/2 + l/ | ΨΙ/2 1/2,
_ /г _ /τ (16·39)
π+Η3~ у 3 3/2 1/2 У 3 1/2 1/2·
Если же изоспин сохраняется, то реализуется лишь конечное со-
стояние с Τ = 1/2. Поэтому для элементов матрицы рассеяния
получим
(ΨηοΗε3,5Ψρ^ = 1/Λ|Λ1Γ=./2,
¥* (16.40)
откуда и следует сделанное утверждение. Как показали оценки,
кулоновские поправки и учет разницы в значениях масс увели-
чивают предсказываемый результат приблизительно на 4%. Эк-
сперимент же дает отношение
#=1,91 ±0,25 (Крюви и др. [1]),
R = 2,26 ±0,11 (Хартинг и др. [2]),

ГЛ. 16] ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ 277
что подтверждает закон сохранения изоспина с ожидаемой сте-
пенью точности.
Другим подтверждением зарядовой независимости является
безуспешность попыток обнаружить реакцию
d + d -* He4 + π°,
которая, поскольку ядро Не4, подобно дейтрону, является изо-
синглетом, запрещена зарядовой независимостью. Акимов и со-
авторы [3] нашли, что
c(d + d-» He4 + π°) < 1,6 ■ 10"32 см2,
тогда как сечение электромагнитного взаимодействия
d + d->He4 + γ
больше, чем 0,8 · 10-32 см2.
Распространение идеи зарядовой независимости на другие,
помимо пионов и нуклонов, частицы, о которых все чаще и чаще
стали сообщать в экспериментальных работах начала пятидеся-
тых годов, составляет блестящую главу в развитии физики
элементарных частиц. Первой из вновь открытых частиц был
Л°-гиперон. Он образовывался в больших количествах (сечение
порядка нескольких миллибарн) и распадался очень медленно
с временем жизни порядка 10~10 сек. Это было загадкой, по-
скольку, если механизм его возникновения определяется реак-
цией
ρ + п~ —» Л° + пионы,
то матричный элемент для реакции
Л° -» ρ + пг
должен быть достаточно большим, так что распад происходил
бы за время, меньшее 10~22 сек. Возможное объяснение загадки
состояло в том, что Л°-гиперон считался возбужденным состоя-
нием системы рп~ с большим моментом (/ !>, 13/2), распад ко-
торого замедлялся очень высоким центробежным барьером. Оно
основывалось на наблюдениях первых гиперфрагментов, из ко-
торых следовало, что Л°-гиперон жил внутри ядер так долго,
как если бы был свободным, не подверженным мгновенной вну-
тренней конверсии.
Первым правильное решение этой проблемы нашел Пайс.
Он предположил, что Л°-гиперон должен образовываться сов-
местно с другой «новой» частицей. Только тогда он может воз-
никать столь интенсивно. Распад же его должен быть медлен-
ным, поскольку он происходит без участия соответствующего

278
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
(4 III
партнера. Действительно, вскоре была обнаружена реакция
' > π+ + яГ
> р + л~
В свое время были обнаружены Σ+- и Е~-частицы, а также Дч-
и /("-частицы. Об их существовании вскоре удалось узнать из
наблюдений некоторых их распадов
Чтобы и в этом случае избежать грубого нарушения принципа
детального равновесия, пришлось предположить, что для этих
частиц также справедливо предположение Пайса об ассоциа-
тивном рождении. Попытки приписать новым частицам мульти-
пликативное квантовое число («внутреннюю четность»), которое
для нуклонов и пионов было бы равно +1, а для новых частиц
—1, что отвечало бы парному рождению новых частиц в обыч-
ных реакциях, пришлось отвергнуть в связи с открытием новой
частицы Ξ-. Эта частица распадалась со временем жизни по-
рядка 1Сг10 сек согласно
Е- -* Λ° + яг.
Однако ее распад на нейтрон и лг-мезон не наблюдался. Таким
образом, введение «внутренней четности» для Е~-гиперона не
объясняло его свойств.
В 1953 г. в эту довольно запутанную картину Гелл-Ма-
ном [4] и независимо Нишиджимой [5] была внесена ясность за
счет распространения концепции зарядовой независимости на
новые частицы. Вспомним, что в изотопическом пространстве
пионы образуют триплет. Заряд каждого из его компонентов
определяется как
Для нуклонов мы уже получили соотношение
Q = ^NB + T3,
в котором NB — барионное число. Эти два соотношения взаимно
согласованы, поскольку для пионов барионное число равно
нулю. В обоих случаях разница в значениях масс членов муль-
типлета имеет порядок нескольких Мэв. Если посмотреть на
спектр известных в 1953 г. частиц (рис. 31), то легко обнару-
жить, что частицы Σ+, Λ° и Σ- трудно рассматривать как члены
одного триплета. Скорее всего, при отсутствии заряженных
партнеров Л°-гиперон нужно было бы рассматривать как со-
стояние с Г = 0. В этом случае полученное выше соотношение

ГЛ. 16]
ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ
279
между зарядом и Тъ нарушается. Оказывается необходимым
ввести новую величину 5, названную странностью, чтобы опять
связать Q и Т3. Полагая
Q = jNB + ±S + T3, (16.41)
будем считать, что 5 = 0 для пионов и нуклонов и S = —1 для
Л°-гиперона. Таким образом, распад
Л° — ρ + п-
происходит с изменением странности |AS| = 1, и медленность
распада мы будем связывать с несохранением странности. По-
скольку ассоциативное рождение является быстрым процессом,
Σ~
—Л"
η
барионы
Σ* к~г к"? к*г
ρ Jt~ Л° ii+
Мезоны
Рис. 31. Известные в 1953 г. элементарные
частицы.
то /(-мезоны, возникающие совместно с Л°-гипероном, должны
иметь S = + 1. Между прочим, эта схема запрещает реакцию
η + ρ -> Л° + Л° + π+,
на которую нет запрета, если пользоваться лишь представле-
нием об ассоциативном рождении. Эта реакция никогда не на-
блюдалась.
Σ+ и Е"-гипероны имеют почти одинаковые массы, и если
пока считать, что не может быть частиц с зарядом, большим 1,
то они должны быть членами триплета. С учетом этого предпо-
ложения из формулы (16.41) мы получаем, что, во-первых, для
этого триплета S = —1 и, во-вторых, должна существовать ней-
тральная частица Σ0. Пользуясь представлением о странности,
можно объяснить, почему Е°-гиперон не наблюдался. Σ°-ΓΗπεροΗ
может распадаться с сохранением странности согласно
Σ°^Λ° + γ.
Позже были предприняты последовательные поиски Е°-гиперона
и он был обнаружен.
Что касается вопроса о том, какова странность Е~-гиперона,
то сведения об этом были получены из того факта, что сущест-
вует распад
Е" — Л° -f VT,

20
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. m
Если для этого процесса \AS\ — 1, то для В_-гиперона S должна
была равняться —2. Это могло объяснить и отсутствие реакции
Е~ —► π + яг,
поскольку для нее \AS\ = 2. Если же опять исключить из рас-
смотрения многократно заряженные частицы, то при S = —2
для Ξ~-гиперона Т3 = —1/2. А это означает, что у Н"-гиперона
должен существовать всего лишь один партнер Ξ0, распадаю-
щийся согласно
Ξο _ до + „о.
Вскоре было получено подтверждение схемы Гелл-Мана — Ни-
шиджимы. Наблюдалось образование Е~-гиперона совместно
с двумя К -мезонами и был открыт Еэ-гиперон.
Если мы вернемся к К-мезонам, для которых ΝΒ = 0, то об-
наружим, что для /С'-мезона при условии, что 5 = 1, компонен-
та Г3 должна быть равна 1/2, так что следует ожидать, что
партнером /С+-мезона будет /С°-мезон. /("-мезон, античастица
/С+-мезона, будет иметь странность S = —1 и его партнером
должен быть Ж°-мезон. Иначе говоря,_данная схема предсказы-
вает две вырожденные частицы К0 и К0. Следствием этих сооб-
ражений является то, что при низких энергиях предпочтительно
должны образовываться К+-, а не /С~-мезоны. Происходит это
потому, что /С+-мезоны могут возникать в процессах, подобных
следующему:
ρ + ρ -* ρ + Λ° + Κ+.
Порог этой реакции около 1,5 Мэв, тогда как образование
/С"-мезонов с сохранением странности может происходить лишь
совместно с рождением /С+-мезонов. Это имеет место, например,
в реакции
ρ + ρ — ρ + ρ + Κ+ + Κ~,
порог которой около 2,5 Мэв. Проведенные в Брукхевене в
1956 г. эксперименты очень четко показали наличие этого эф-
фекта.
Идея существования аддитивного квантового числа — стран-
ности, сохраняющегося в сильных и электромагнитных взаимо-
действиях (как это следует из процесса ассоциативного фото-
рождения γ + ρ —> Λ° + К+), многократно проверялась и несом-
ненно верна Поскольку слабые взаимодействия, ответственные
за распады странных частиц, не сохраняют странность, то
здесь, так же как и в случае изоспина, мы сталкиваемся с на-
рушенной симметрией. С проявлением таких нарушений мы еще
столкнемся, когда будем обсуждать несохранение четности в
слабых взаимодействиях и высшую симметрию, которая, как те-

ГЛ. 16] ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ 281
перь считают, объединяет друг с другом все барионы и все
псевдоскалярные мезоны.
Закончим мы эту главу двумя замечаниями. Одно из них,
имеющее чисто практическую ценность, состоит в том, что
сохранение изоспина позволяет ввести удобное квантовое число,
называемое G-четностью [6, 7]. Оно определяется соотношением
G = CeinT\ (16.42)
в котором С — оператор зарядового сопряжения. Относительно
преобразования С пионное поле преобразуется следующим об-
разом:
СфС"' = φ*, СфзС-1 = фз, (16.43)
так что если ф = —— (ф, + г"ф2), то тогда получим
г 2
с| ф2 к-1=( -Ф2).
\Фз/ \ Фз/
С другой стороны,
/ф.\ /-ф,\
е'»ь[ ф2 |е-'я7"' = ( ф2 ,
\Фз/ \-фз/
так что
βφ£β_1=-φ;. (16.44)
Отсюда следует, что состояние с четным числом пионов не мо-
жет превратиться в состояние с нечетным их числом. Этот ре-
зультат напоминает теорему Фарри в квантовой электродина-
мике. Поскольку С сохраняется в сильных и электромагнитных
взаимодействиях, го нарушение G-инвариантности в процессе, в
котором нет слабых взаимодействий, означает, что не сохра-
няется изоспин, т. е. процесс идет с участием электромагнитных
взаимодействий. Например, существует распад
η° — π+ + π~ + π°. (16.45)
Поскольку т]0-мезон не имеет заряженных партнеров, то для
него Τ = 0. Следовательно, он может распадаться следующим
образом:
откуда следует, что
οη С = η .
Значит,
„ 0^-1 0

582
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. lit
С другой стороны, в реакции (16.45) для конечного состояния
G = —1. Поэтому этот распад должен быть электромагнитным.
Поскольку же фотоны не наблюдаются, то, прибегая к языку
фейнмановых графов, можно сказать, что этот процесс осуще-
ствляется через излучение и последующее поглощение вирту-
альных фотонов. Следовательно, матричный элемент распада
отличается от соответствующего матричного элемента сильного
взаимодействия на множитель порядка α/π.
Второе замечание основано на следующем наблюдении. Если
вместо странности ввести новое квантовое число — гиперза-
ряд У, причем
Y = y(Nb + S), (16.46)
то обнаруживается замечательное соответствие между барион-
ными состояниями и состояниями псевдоскалярных мезонов:
У
+ 1
0
0
-1
τ
1/2
1
0
1/2
Барионы
ρ, η
Σ+Σ0Σ~
Λ°
Ξ°Ξ~
Мезоны
κ+,κ°
+ 0 -
0
кй, /г
В гл. 17 мы, продолжая следовать представлению о внутрен-
ней симметрии, рассмотрим унитарную симметрию, которая об-
ладает многими привлекательными чертами и, в частности, по-
зволяет объяснить и упомянутое выше соответствие между ба-
рионными и мезонными состояниями.
ЗАДАЧИ
1. В распаде
Ζ0->3π°
наблюдается новая частица Ζ0. Масса Z0 приблизительно равна 1200 Мэв, а
ширина, соответствующая этому распаду, порядка 20 Мэв.
а) Что можно сказать об изоспине Z0?
б) Каковы возможные значения ее спина и четности?
2. Несколько позже наблюдался распад
Ζ0->2π°.
Он не является слабым распадом. К^кие допустимы самые простые значения
спина и четности? Предполагая, что не существует многократно заряженных
частиц (например, ΖΛΛ), дать фубую оценку для парциальной ширины про-
цесса Zo -» 2jt.

гл. 161
ЗАРЯДОВАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И СТРАННОСТЬ
283
(Указание. Амплитуда процесса, нарушающего зарядовую независимость,
жна включать и электромагнитные взаимодействия. Если же никаких реаль-
А°Л фотонов не излучается, то в матричном элементе должен найти свое от-
НЬ'жение факт излучения и поглощения виртуальных фотонов, так что ампли-
Ра должна быть домножена на фактор порядка а= 1/137.)
^ я Выразите все возможные амплитуды пион-пионного рассеяния через ам-
итуды ^2. ^'· Α°· индексы которых обозначают полный (сохраняющийся)
"■"оспин в начальном (и конечном) состоянии.
И 4. Достаточно хорошо известно, что в захвате антипротонов прогонами
иг'иляция с вероятностью в 99% происходит в двух S-состояниях: 'SoH3Si
Пользуясь законом сохранения изоспина и инвариантностью относительно С,
постройте таблицу, из которой следовало бы, какие аннигиляционные реакции
Β+ρ-*ηη (л^4) разрешены для четырех возможных начальных состояний
(два синглета с Г=0, 1 и два соответствующих триплета).

Глава /7
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
В конце предыдущей главы мы обратили внимание на то,
что существует своеобразное подобие восьми барионов восьми
псевдоскалярным мезонам. Будь тг°-мезон открыт пятью годами
раньше, это подобие могло бы сыграть роль ключа к разгадке,
лежащей в его основе симметрии. На самом деле этот ключ
был найден совсем иначе. Поиск подобных ключей был главной
заботой физиков-теоретиков во второй половине пятидесятых
годов. Он был вызван убеждением в том, что должна существо-
вать скрытая симметрия, связывающая многие новые частицы
и правильно объясняющая существование гиперзаряда. Такой
поиск был затруднен тем очевидным фактом, что соответствую-
щая симметрия должна быть сильно нарушенной. В отличие
от зарядовой независимости, электромагнитные нарушения кото-
рой столь малы, что не приводят к полному разрушению сим-
метрии (например, Мг »М„), отделение очень сильных взаимо-
действий, которые, по-видимому, имеют отношение к искомой
симметрии, от умеренно сильных взаимодействий, приводящих к
ее нарушению (ими сохраняется только изоспин), является про-
цедурой достаточно произвольной. Надежда на то, что, хотя
нарушающие симметрию члены, с одной стороны, достаточно
велики, так что заметно снимают любое вырождение по массам
частиц с одними и теми же спином и четностью, в то же время
они все же малы в том смысле, что дают возможность прове-
рить некоторые предсказания, позволила сформулировать ряд
моделей. Модель «глобальной симметрии» Гелл-Мана [1] и
Швингера [2] была первой из этой серии. Ни одна из них не
смогла пролить свет на проблему, и не было достигнуто даже
приближенного согласия с экспериментом.
Ключом к разгадке послужила модель Сакаты [3]. Он заме-
тил, что в мире нуклонов и пионов было бы достаточно одни''
нуклонов (и антинуклонов) чтобы составить из них все осталь-
ные частицы. В то же время ввиду наличия странности для
построения всех известных частиц к нуклонам достаточно

ГЛ. 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
285
добавить всего лишь одну странную частицу. Например,
/С+ = (Л°р), Σ+ = (Λ0ρ«), Ξ- = (Λ0Α0β). (17.1)
Математическая структура модели Сакаты в своем идеализиро-
ванном варианте, в котором нуклоны и Л°-гиперон имели одну
и ту же массу, изучалась многими авторами*). Если изучение
группы преобразований, действующих в пространстве состояний
протона и нейтрона, привело к появлению изоспина, то группа
унитарных преобразований, действующих в пространстве состоя-
ний трех частиц (р,п,А°), породила высшую симметрию, мало
знакомую большинству физиков. Цель настоящей главы — по-
знакомить читателей со структурой такой симметрии и показать,
как она связана с представлением об изоспине.
Начнем же мы снова с рассмотрения изоспина. Вспомним,
что сделанное предположение состояло в требовании инвариант-
ности теории относительно преобразований фундаментального
дублета ψ = р\,
\Ч*п/ {
ψ-»ψ' = β"2"α"ψ. (17.2)
Этими преобразованиями являются все унитарные, унимодуляр-
ные 2 X 2-матричные преобразования. Группу этих преобразо-
ваний обычно называют группой SU (2). Когда а бесконечно
мало, то
ψ' = (1 +±/α.τ)ψ. (17.3)
Величины γ τ называются генераторами бесконечно малых
преобразований. Мы видели, что они удовлетворяют перестано-
вочным соотношениям
Эти перестановочные соотношения можно получить, если вос-
пользоваться специальными 2 X 2-представлениями генераторов.
Если мы определим генераторы абстрактно, задавая их переста-
новочные соотношения
[Tt, Tl] = ieilkTk (17.5)
(полностью антисимметричные величины ецъ называют струк-
турными константами), то исчерпывающее изучение изоспина
эквивалентно нахождению всех матриц высшей размерности,
удовлетворяющих соотношениям (17.5). В случае изоспина (или
*) Ссылки и библиографию можно найти в работе [4]. (Прим. перев.)

286
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
оператора момента) эти матрицы являются представлениями
изоспиновых операторов. Мультиплеты, бесконечно малые пре-
образования которых определяются этими матрицами,
X' = (l+ia-T)x (17.6)
сопоставляются частицам таким, как π+, π°, π~ или Σ+, Σ°, Σ",
если рассматриваются 3 Χ 3-матричные представления Т{. Мы
можем представлять себе Т{ как операторы, действующие на не-
которые «состояния» х*). Главным образом нас интересуют
размерность и характер этих состояний.
Наиболее простой и широко распространенный способ изу-
чения этих состояний сводится к разумному использованию
перестановочных соотношений (17.5)**). Вводя
Т±=ТХ± iT2,
эти соотношения можно записать в виде
[Т3, Т±] = ± Т±, [Т+,Т_] = 2Т3. (17.7)
Отсюда следует, что величина С, определенная равенством
С = 1(Т'+7'_ + Г_7'+) + Г|=Гг, (17.8)
коммутирует со всеми тремя генераторами. Следовательно,
С—это так называемый инвариантный оператор или оператор
Казимира. Нетрудно узнать в нем квадрат изоспина. Другое
наблюдение состоит в том, что диагонализовать можно всего
лишь один из операторов Т{. Обычно выбор падает на Т3. По-
следнее означает, что состояния можно характеризовать соб-
ственными значениями Т3, которые будут обозначаться как i-з-
Из (17.7) следует, что
ТУЛ^М^з ± ОЪ.-Сз ± 1)Γ±ν (17.9)
Поэтому по заданному собственному состоянию Т3 мы можем
найти два других, действуя на него «повышающим» (7"+) и «по-
нижающим» (Т-.) операторами. Далее, так как
T2T±%t3 = T±T%3> (17.10)
то отсюда следует, что во всех состояниях, полученных из не-
которого состояния повторным применением «повышающих» или
«понижающих» операторов, величина Т2 одна и та же. Следова-
тельно, различные представления могут характеризоваться соб-
*) Мы будем пока игнорировать то обстоятельство, что % представляй*
собой полевые операторы, определенные в гильбертовом пространстве всех
физических состоянии, и будем пользоваться термином «состояния».
**) См., например, [6].

ГЛ. 17]
Унитарная симметрия
28?
ственными значениями Т2. Здесь мы не будем воспроизводить
обычной процедуры, с помощью которой, начиная с состояния
с наивысшим для данного представления *) значением U, можно
показать, что
а) если наивысшее значение /3 равно /, то существует
(2/+ 1) состояние, так что / должно быть либо целым, либо
полуцелым;
б) возможные значения h суть /, t — 1, t — 2,.... — t\
в) собственное значение оператора Т2 равно t(t + 1);
г) в данном неприводимом представлении (характеризую-
щимся заданным значением t) каждому t3 соответствует только
одно состояние;
д) т^и щ = [(/ + у (* ± /s +1)]'%±1 р), (17.1 о
и мы можем выбрать
(х,аП V?i<>) = Vs· (17Л2)
Произведение двух неприводимых представлений %{t) и
X(i') будет, вообще говоря, приводимым. Его разложение на не-
приводимые представления легче всего проделать графически.
-/ -iV -/ β 1 t-2 t-i t
■*з
Рис. 32. Графическое изображение представле-
ния t.
Состояниям мы сопоставим точки на линии так, как это пока-
зано на рис. 32. Поскольку для любого произведения
Wflx^} -ft + 'Qx* (Ох,;Ю. (17.13)
то соответствующие произведению состояний точки на диа-
грамме занимаются, вообще говоря, несколько раз (рис. 33),
Однако крайней правой
точке соответствует толь- > " J x
ко одно состояние. Дей- * ; ; ; j *
ствуя на него последова- n „ QQ M „„„ „
J Рис. 33. Места, занятые произведением
тельно понижающим one- / / 3 \\
ратором, получим пред- [% \~2j)'^Со-
ставление (t + V). Сле-
дующей точке соответствуют два состояния. Одно из них при-
надлежит представлению t + t'. Второе, ему ортогональное,
*) Такое состояние должно существовать, если представление имеет ко-
нечное ЧИСЛО КОМПОНеНТ, И ОНО ДОЛЖНО удовлетворять УСЛОВИЮ 7"+Хмакс=0.

288
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1ч in
является состоянием из представления t+t'—1—с наивысшим
значением третьей компоненты изоспина. Следуя по этому пути,
мы получим обычную редукцию (t + t'), (t + V—1),..., t—1'\.
Причина, по которой столь детально обсуждался хорошо из-
вестный вопрос, состоит в том, что эта техника является самым
простым инструментом изучения рассматриваемой ниже гораздо
менее известной симметрии SU(S). Если мы считаем, что фун-
даментальные поля образуют триплет (который в модели Са-
каты состоит из р, п, А0), то мы можем предположить суще-
ствование инвариантности относительно преобразований
1а->%'а=иаЬ%ь, (17.14)
где LJ—произвольные унитарные, унимодулярные 3 X 3-мат-
рицы. Каноническое представление такой матрицы имеет вид
1/ = ехр|-|-/2а^]. (17.15)
Здесь λη играют ту же роль, что и Ti-матрицы в случае SU(2)-
симметрии. Стандартная их запись, введенная Гелл-Маном [7],
такова:
λ,=
Я4= 0 0 0; λ5= 00 0 ; λ6= 001, (17.16)
Перестановочные соотношения, характеризующие группу, кото-
рым удовлетворяют матрицы у^г, напоминают по виду пере-
становочные соотношения для операторов, которым удовлетво-
ряют матрицы γτ,-. Мы имеем
[т**тЧНМтл*)· (17Л7)
Структурные константы fah принимают значения, которые при-

ГЛ 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
289
ведены в табл. 5. Мы можем получить и антиперестановочные
соотношения, которые справедливы, однако, лишь для матриц
3X3.
{λ{, K]} = ±6i]l+2dmKk. (17.18)
Величины fnh и dijh соответственно антисимметричны и сим-
метричны относительно перестановки любых двух индексов.
Значения ацъ также приведены в таба. 5.
Таблица 5
Ненулевые значения коэффициентов fijk и йщ
(i/У
123
147
156
246
257
345
367
458
678
h]k
1
1 2
-1 2
1/2
1'2
1 2
-1/2
V~b2
I 32
(Цк)
118
14)
157
228
247
256
338
344
355
366
377
448
558
668
778
888
dtjk
l/VT
1/2
1/2
i/Кз
-1 2
1/2
1//3
1/2
1/2
-1/2
-1 2
-1/21^3
-1/2^3
-1/2^3
-1/2^3"
-1/ f3
Как и в случае группы SU (2), генераторы мы определим
так:
F£ = yV (17.19)
Они будут удовлетворять перестановочным соотношениям
[Fi,Fj\~iflfllFk. (17.20)
J9 С Газиорович

290
сильные взаимодействия
ГЧ. Ill
Чтобы обобщить соотношения (17.7), введем следующие ве-
личины:
T± = Ft±iF2, U± = F6±iF7, V± = F4±iF5,
9 U'-ul)
TS = F3, 1/ = уГ/78-
В терминах этих операторов перестановочные соотношения,
как нетрудно убедиться, принимают вид
[Т3, Г±]=±Г±, [К, 7·±] = 0,
[Г3, U±] = + j U±, [У, t/±] = ± U±, (17.22)
[Г3, V±)=±^V±, [У, V±]=±V±;
[Т+, Γ_] = 27'3,
[f/+, i/-] = f Y-T3=2U3, (17.23)
[V+, l/_]=f У + Г3 = 21/3;
[Г+, 1/+] = [Г+, U.] = [U+, K+] = 0,
[Г+, K_J= - t/_, [Г+, t/+]= И+, (17.24)
[t/+, K-] = r_, [7-3, У] = 0.
Невыписанные здесь перестановочные соотношения можно по-
лучить из этих, если воспользоваться тем, что
Т+ = (Т_)+, t/+ = (t/_)+, V\ = (K_)+. (17.25)
Следующий шаг состоит в том, чтобы получить состояния, пре-
образующиеся по закону
ψ-»ψ' ~(l+ia.F)i|), (17.26)
где Fi представляются матрицами, которые не обязательно трех-
мерны. Перестановочные соотношения позволяют представить
диагональными матрицами *) только два из восьми генераторов
группы, что фактически и отражено в формулах (17.16). В ка-
честве таких генераторов мы выберем T3 и Y. Их собственные
значения будем обозначать соответственно как t3 и у и ими
будем характеризовать состояния в (17.26).
Аналогично тому как это было в случае SU(2) -симметрии,
перестановочные соотношения показывают, что Т±, U± и V± яв-
ляются соответственно «повышающими» и «понижающими» зна-
*) Математическим выражением этого положения является то, что ронг
группы SU(3) равен 2. В общем случае ранг группы SU(n) равен и —1.

ГЛ 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
291
U+ У+
и. t3
>-
чения h и у операторами. Это изображено на рис. 34, который
является аналогом рис. 32. Поскольку теперь состояния поме-
чаются двумя квантовыми числами, то нужна уже двухмерная
решетка. На ней показано действие операторов Т+,..., V— Ин-
тервалы на осях выбраны так, что углы между линиями, пока-
зывающими действие операторов сдвига, кратны 60е.
Все состояния неприводимого представления можно полу-
чить последовательным применением операторов сдвига к како-
му-либо состоянию. Если пред-
ставление конечномерно, то на
диаграмме ему будет соответ-
ствовать лишь конечное число
точек. Природа представления
будет определена, если будут
определены на диаграмме со-
ответствующие ему точки и
найдено, сколько раз зани-
мается каждая из них.
Начнем С рассмотрения СО- рис. 34. Действие операторов сдвига,
стояния с наибольшим значе-
нием h- Вскоре мы увидим, что такое состояние единственно,
т. е. не может быть двух различных значений у, для которых
'з = ('з)макс Это состояние яИ(Гз)макс, #)=я1>макс обладает тем
свойством, что у него нет соседнего состояния справа, так что
F+llWc = У+Фмакс = U-^шкс = 0. (17.27)
Границу диаграммы можно определить, если к состоянию фмакс
повторно применять, например, оператор, V- Этим оператором
мы будем действовать на гамаке до тех пор, пока не получим
нуль. Пусть
^+Чмакс=0. (17.28)
После того как достигнуто состояние (ν-)ρψΜ3κο, мы можем
двигаться вдоль границ диаграммы, последовательно применяя
к этому состоянию оператор Т_, пока не достигнем следующего
угла, где
(Г_Г>-)Ч,акс = 0. (17.29)
Выше предполагали, что граница диаграммы выпуклая.
Можно доказать, что это действительно так, если воспользо-
ваться перестановочными соотношениями. Это доказательство
может служить прототипом рассуждений, используемых для
установления справедливости и некоторых других утверждений,
которые будут сделаны позже и обоснование которых будет
опущено.
19*

292
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
Рассмотрим границу распределения точек на диаграмме, изоб-
раженной на рис. 35. Точке Μ будет соответствовать наиболь-
шее собственное значение Т3. Сопоставляемое ей состояние пред-
ставлено вектором 1[)Маьс Это состояние называют состоянием
с наибольшим весом. Применение к нему оператора К_ дает
состояние, соответствующее
fM точке N, которое обозначим
как ψ^ν- Это состояние един-
/Ч ственно. Состояние LLTl г|ч!ако
не является от него независи-
(В · мым, так как
+ T_U_) ψΜ8Κε = 1/_ψΜ3Κ0. (17.30)
1С ·
Мы предоставляем читателям
самим убедиться в том, что,
какую бы ни взять траекторию
Рис. 35. Вогнутая часть границы. на решетке, результат оста-
Пунктирньши линиями изображены нется тем же самым. Анало-
запрещенные шаги. гично можно доказать, что со-
стояние ψΒ, определенное как
V-^n, также единственно, как и состояние, сопоставляемое точ-
ке Л, т. е. $α == V-Ψβ. Если же существует состояние, отвечаю-
щее точке С, то мы будем иметь
U^c = 4a- (17-31)
Также
λ(ψΛ, ΨΑ)-(Κ_ψβ, Γ/+ψ0) = (ψΒ, V+U+^c). (17.32)
Следовательно,
(*λ· *л)
А это означает, что состояния, соответствующего точке С, не
существует.
Таким образом, вогнутости быть не может. Внешняя граница
выпуклая, и внутри любой области, окруженной точками, каж-
дой из которых соответствуют некоторые состояния, не суще-
ствует точек, которым нельзя было бы сопоставить состояний.
Пользуясь алгебраической техникой, которая только что
была продемонстрирована на примере установления единствен-
ности каждого граничного состояния и отсутствия вогнутости,
можно доказать, что для неприводимых представлений справед-
ливы следующие утверждения.
1. В общем случае граница представляется шестиугольни-
ком. Если, начиная с точки, сопоставляемой состоянию 1|змано>

ГЛ. 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
293
мы проходим ρ шагов в направлении V- и затем q шагов в на-
правлении Т- (как это предписано соотношениями (17.28) и
(17.29)), то в направлениях U+ и V+ граница будет измеряться
соответственно ρ и q шагами, затем ρ шагами в направлении Т+,
заканчиваясь q шагами в направлении U-, что и показано на
рис. 36. Следовательно, граница сим-
метрична относительно поворотов на
120° *).
2. Граница симметрична относитель-
но отражений оси г/.
3. Каждой граничной точке сопоста-
вляется по одному состоянию, каждой
точке первого после границы слоя — по
два состояния, каждой точке следую-
щего за ним слоя — по три состояния и
т. д. Эта закономерность выполняется
до тех пор, пока не достигается тре-
угольный внутренний СЛОЙ. При проДВИ- рис зб. Типичное пред-
жении внутрь его кратность состояний ставление [(р, <7)=(7, 3)].
не увеличивается. Следовательно для кратности состояний, сопо-
ставляемых точкам диаграм-
«ТреуГОЛЬНОГО» представления, ДЛЯ КОТО- мы, отмечены цифрами на
рого или ρ = 0, или q = 0, каждой точке линиях,
диаграммы соответствует только одно
состояние. Обычно графически представлению сопоставляется
пирамида. Основанием ее является шестиугольник. Первый
после границы внутренний слой повторяется на некоторой вы-
соте от основания. Второй повторяется на той же высоте, что
и первый, и еще раз на удвоенной высоте и т. д. Построенная
таким образом пирамида обрезается на высоте, на которой на
боковых гранях впервые появляются точки из треугольного
внутреннего слоя основания. Таким образом, кратность состоя-
ния, соответствующего любой точке такой пирамиды, будет рав-
на единице. Теперь легко видеть, что каждая сторона треуголь-
ника верхнего основания такой пирамиды будет измеряться
ρ — q шагами, если р^ q, или q — ρ шагами, если q > p. Мы
также видим, что всего существует q + 1 слоев, если р^- q, и
ρ + 1 слоев в противном случае. Это рассмотрение позволяет
просто подсчитать число состояний в такого типа неприводимом
представлении, которое мы обозначим символом {p,q). Верхнее
треугольное основание пирамиды имеет
P-9+I
Σ / = у(/?-<7+1)(р-<7 + 2)
1-1
*) При условии, что масштаб на осях такой, что точки диаграммы ле-
Жвт на равносторонних треугольниках.

294
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. Щ
точек и повторяется в объеме пирамиды q + I раз. Внешняя ли-
ния следующего слоя добавляет 3(р— 9 + 2) точек и повто-
ряется q раз. Потом добавляется 3(р— 9 + 4) точек следую-
щего слоя, которые повторяются q — 1 раз и т. д. Следовательно,
число состояний равно
Q
l(9+l)(p-9+l)(p-<7 + 2) + 3 5](<7-v)(p-<? + 2v + 2) =
Ц(р + 1)(9+1)(Р + 9 + 2). (17.34)
4. Данным значениям {t3, у) соответствует, вообще говоря,
несколько состояний. Таким образом, для того чтобы различать
их, необходимо ввести дополнительные обозначения. Мы вос-
пользуемся тем, что генераторы Т+, Т- и Т3 удовлетворяют пере-
становочным соотношениям группы изоспина SU(2). Следова-
тельно, пока мы двигаемся вдоль линии у = const, оператор
f = j(T+T_ + T..T+) + Tl (17.35)
остается инвариантным, так как
[7"±, ТЦ = [Т3, Г2] = 0. (17.36)
Поэтому состояния мы можем помечать не только значениями k
и у, но и собственными значениями оператора Г2. Рассмотрим,
например, состояния, соответствующие точкам верхней линии
рис. 36. Все они с помощью операторов Т± связаны с состоя-
нием, сопоставляемым крайней правой точке диаграммы. Зна-
чит, все они принадлежат неприводимому представлению группы
5С/(2), т. е. образуют изотопический мультиплет. А так как
всего таких состояний ρ + 1, то мы можем определить величину
изоспина. Она равна
Т^~Р, (17.37)
и, значит, для крайней правой точки этой линии t3=*T = -§-.
Когда мы переходим к следующей линии, то снова можем
начинать с крайней правой точки, которой опять соответствует
только одно состояние. Действуя на него оператором 7"_, полу-
чим изотопический мультиплет, содержащий ρ + 2 членов. Для
него
Г = |(р+1). (17.38)
Второе состояние, принадлежащее уже следующему от основа-
ния слою пирамиды, может быть сделано ортогональным со-

ГЛ 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
295
стоянию, принадлежащему группе состояний с Τ — ^-г—. Оно
будет удовлетворять условию
Γ+ψ = 0. (17.39)
Исходя из этого состояния, можно построить на этой линии
второй изотопический мультиплет. Подсчет соответствующих то-
чек показывает, что
Т=|(р-1). (17.40)
Таким образом, состояния, соответствующие каждому слою пи-
рамиды, всегда можно выбрать в качестве членов изотопиче-
ского чуаьтиплета. Между прочим, рассуждая подобным обра-
зом, нетрудно получить, что в состоянии с наибольшим весом
Фмакс
(/3)макс = у(р + <7)· (17.41)
Принятый способ отождествления состояний является удоб-
ным в том смысле, что он соответствует ситуации, когда Si/(3)-
симметрия по естественным причинам оказывается нарушенной.
Однако это не значит, что данный способ является единствен-
ным. Состояния можно также характеризовать собственными
значениями и3 определенного в (17.23) оператора U3 (аналог /з),
собственными значениями q оператора
Q = T3 + ±Y (17.42)
(аналог Y) и собственными значениями оператора
U2 = j(U+U_ + U_U+)+Ul. (17.43)
Разумеется, существует всего лишь два аддитивных квантовых
числа Тг и Y, так что Q не является независимым. Однако по-
скольку
[U±, Q] = [U3, Q] = 0, (17.44)
то это означает, что Q обладает свойствами, подобными свой-
ствам оператора Y, при условии, что состояния теперь мы свя-
зываем с помощью операторов сдвига U±.
Мы можем воспользоваться подобием и- и ^-представлений и
вычислить (#)Макс *)■ В u-мультиплете, к которому принадлежит
*) Собственное значение Υ в состоянии >]Wkc.

296
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ш
^макс, являющееся в нем низшим состоянием,
так что
(■фмакс. ^3. Ψμεκο) = ("з)макс ~ §" 1'
Однако поскольку
(17.45)
3
«3 = "4У·
то мы получаем
(|/)макс = т(/'~<7)·
(17.46)
5. За исключением тривиального унитарного синглетного
представления (0,0), простейшими представлениями будут
(1,0) и (0, 1), которые мы будем обозначать соответственно как
3 и 3**). Соответствующие им диаграммы изображены на
*-i«
Рис. 37. Графическое изображение представлений 3 и 3*.
рис. 37. Следует указать, что в отличие от SU (2) -симметрии, в
этом случае существуют два фундаментальных неэквивалентных
представления. В случае SU(2) -симметрии мы установили, что
два дублета, преобразующихся по правилам
•
эквивалентны, поскольку U и U* или, что равнозначно, тг и —τ,
связаны преобразованием подобия. Это положение несправед-
ливо для λ* и —λ»· Поэтому трансформационные свойства три·
ллета и сопряженной ему величины различны **).
*) Мы будем обозначать представление (р, q) и ему сопряженное (q,p)
их размерностями N н N*, договорившись, что JV соответствует случай
p^q. Например, (3,0) будет обозначаться как 10, а (0,3) как 10*.
**) Это легко понять на примере модели Сакаты. Если_игнорировать ба-
рионное число, то не существует разницы между (р, я) и (я, р) Однако есть
разница между (р, и, Λ0) и (я, ρ, Λ0). В этом случае нельзя пренебрегать
странностью, которая различна в этих двух состояниях.

ГЛ. 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
297
Мы можем воспользоваться перестановочными соотношения-
ми, чтобы найти матричные элементы операторов сдвига между
состояниями, которые они связывают. Например, для состояний
3 (или 3*) в соответствии с обозначениями рис. 37 запишем
£/+Ιγ) = λ|β>.
Нормируя все состояния на единицу, находим, что
tf=<Yl(/_t/+lv> = <vl[t/-, £ΜΙγ> = (γ|Γ3-4κ|γ)=1·
Поэтому, выбирая должным образом фазу, можно положить
?. = 1. Оказывается, что произведение всех λ, соответствующих
сторонам треугольника, изображающего представление 3, поло-
жительно и все λ равны по величине. Таким образом, мы вы-
бираем
(β|[/+|γ) = (α|Γ+|β) = (γ|1/_|α)=1. (17.47)
Для представления 3* произведение трех λ отрицательно. По-
скольку мы хотим сохранить обычные представления об изо-
спине, то потребуем положительности матричного элемента опе-
ратора Т+. Следовательно, один из оставшихся матричных
элементов должен быть выбран положительным, а другой —
отрицательным. Мы выбираем
(с\ V+ \Ь) = (а\ Т+ |6) = -(с| U+ |а>= 1. (17.48)
Этот стандартный выбор фаз и был использован де Свартом
[8]*) в его таблице вигнеровских коэффициентов для группы
SU(5). Матричные элементы (17.47) приводят к тому, что гене-
раторами оказываются 3 X 3-матрицы γ λ{. Матричные эле-
менты (17.48) приводят не к—о"^'· чег0 можно было бы ожи-
дать, а к эквивалентному набору
^λ,^—~Ψ^\Γ\
где
6. Графической техникой можно воспользоваться для приве-
дения произведения двух неприводимых представлений. Эта
процедура аналогична сложению моментов, в которой важную
*) См. также [9, 10]. (Прим. перев.)

298
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14 И[
роль при определении состояний, дающих вклад в произведе-
ние двух неприводимых представлений, играл аддитивный ха-
рактер квантового числа 7"3 (см. рис. 33). Та же самая техника
применима и в случае SU(3)-симметрии. Все различие состоит
в том, что теперь существуют два аддитивных квантовых числа
Т3 и У, так что собственные значения операторов Т3 и У в про-
изведении ty{t3, У)у(й, у') соответственно равны t3 + t3 иу+у'.
На языке диаграмм обобще-
ние процедуры, проиллюстри-
рованной на рис. 33, состоит в
следующем. На каждую точку,
принадлежащую диаграмме,
сопоставляемой ψ, наклады-
вается вся диаграмма, соответ-
ствующая φ, причем так, что
эта точка оказывается центром
второй диаграммы. Эта проце-
дура изображена на рис. 38,
на котором выполнено умно-
жение 3®3*. Из него видно,
что существуют шесть гранич-
ных точек и трижды занятая
центральная точка. Из общих
правил умножения нам из-
вестно, что два центральных
состояния с шестью граничными образуют октет. Оставшееся
состояние должно быть синглетом, принадлежащим другому
представлению. Мы, таким образом, получили
3®3* = 801. (17.49)
Диаграмма показывает, что октет представляет состояние (I, 1).
Можно пойти дальше и определить специальные комбинации
(α, β, у) и {а, Ь, с) представлений (1,0) и (0, 1), составляющие
октет и синглет. Запишем
</с).
{fib) \
*
ч(ас)
/
/
/
V
Рис. 38. Места, занятые произведе-
нием 3 ® 3*.
I Л,) = |ас),
|С,)=|\й>,
| β,> = [ ас),
А,)-
\с2)-
\в3)
= |β&>.
(17.50)
Чтобы найти состояние, которое принадлежит тому же изотопи-
ческому мультиплету, что \Bi) и \В3), подействуем на \В\) опе-
ратором 7/_: __
7·_|β,) = |βα) + |αβ)=/2|β2>.
Здесь мы ввели нормированное состояние
|β2> = -^(|ββ> + |α&>).
(17.51)

ГЛ. I'] УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ 299
Чтобы найти изотопический синглет, принадлежащий октету,
подействуем V- на состояние |Л|). Получившееся в результате
состояние является суперпозицией \В%) и искомого состояния
\D0). Ортогонализация приводит к следующему нормирован-
ному выражению:
| D0) = yL-(2 Iус) + \ab)-\ βα». (17.52)
Читатели сами могут убедиться в том, что
T±\D0) = 0.
Оставшаяся комбинация состояний \ус), \ab) и |ββ), ортого-
нальная как \В2), так и \D0), должна
нормированной, она определяется со-
отношением
~^{-\ab) + \fia) + \yc)). (17.53)
Волновые функции (17.50) с по-
мощью определения (17.52) могут
быть использованы для вычисления
матричных элементов в октетном пред-
ставлении. Например,
<Z)011/_ I Л,> = <Z)01 К_ | «с> =
= (D0\\c) + (D0\ab) =
=W(2 + 1) = /5· (17·54)
Результаты такого вычисления легко представляются на октет-
ной диаграмме, что и изображено на рис. 39. Эти матричные
элементы нужны для построения волновых функций состояний
в редукции произведения
808 = 10808010010*027. (17.55)
В данном случае разложение, приведенное в формуле (17.55),
легко получить с помощью графической техники, уже ранее
использованной в редукции произведения 3 ® 3*. На рис. 40
указаны кратности состояний, соответствующих точкам диа-
граммы, которые получаются путем «умножения» каждой точки
одного октета на другой октет. С помощью правил, позволяю-
щих установить кратность любого состояния, — они были про-
демонстрированы на рис. 36, — читатели сами могут легко убе-
диться в правильности соотношения (17.55).
быть синглетом. Будучи
Рис. 39. Матричные эле-
менты операторов сдвига
в октетном представлении.
Пунктирными линиями соеди-
нены точки, соответствующие
состояниям с V = ± I в изотопи-
ческом синглете Do.

300
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
Волновые функции строятся с помощью очевидной, хотя не-
сколько и утомительной процедуры. Соответствующие резуль-
таты можно найти в литературе [4].
7. Существуют и другие аналогии с теорией моментов. Мож-
но определить неприводимые тензорные операторы, являющиеся
обобщениями соответствующих величин в теории SU(2) -сим-
метрии. Они задаются посредством перестановочных коммута-
ционных соотношений с генераторами. Если эти генераторы
обозначать как Fu а не как Т+, Т-, ..., У, то мы имеем
[Ft, ην)]=Σ4ν4ν, β IF, I ν, α). (17.56)
β
Здесь индекс ν заменяет обозначение (ρ, q) неприводимого пред-
ставления, а а является собирательным индексом, под которым
следует понимать набор ин-
х Хх х дексов, характеризующих со-
стояния внутри представления,
хх Лхх Л\ хх т· е. {is, у, Т). Написанное со-
хх хх отношение аналогично тому,
которое имеет место в теории
ххЛ х%хх х*& х моментов [6]:
хх ххх хх
хх хх
XX Χ ·Χ Χ ·Χ
хх
[J, T,m\=^T1m'(JM'\J\JM)·
ххЛ Vx" *Х М' (17.57)
Сами операторы момента —
это неприводимые тензоры
Рис. 40. Места, соответствующие со- Для векторного представления
стояниям в произведении 8® 8*. (т. е. представления с момен-
и кратности этих состояний. том 1). Хорошо известно, что>
следствием теоремы Вигнера—
Эккарта является возможность заменять векторный оператор в
матричных элементах между состояниями с одним и тем же i
на генератор. Например,
(JM' | г | JM) = α (/) (JΜ' I J | JM). (17.58)
В случае SU(3) -симметрии сами генераторы /*"» удовлетво-
ряют перестановочным соотношениям (17.56). Однако в отличие
от ситуации, имеющей место в теории моментов, теперь суще-
ствует еще и другая группа операторов, обозначаемых через Du
которые также удовлетворяют этим соотношениям. Существова-
ние в случае SU(3) -симметрии двух наборов неприводимых тен-
зорных операторов связано, по существу, с тем, что в произве-
дении любого представления на октет (р, q) ® (1,1) предста-
вление (р, q) появляется дважды, если только или р, или q ее

ГЛ. 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
301
равны нулю. В этих же случаях оно появляется один раз*).
Этим рассматриваемая теория отличается от теории моментов,
в которой »)jj возникает лишь один раз в произведении \j>j ® ψ].
Операторы D* имеют следующий вид:
ik
где dijh были определены в (17.18). Доказательство, что Dt удо-
влетворяют требуемым коммутационным соотношениям
[D,,Fj] = lfllbDk, (17.60)
следует из перестановочных соотношений для Ft, коль скоро
установлено тождество
diikfktm + fkij d{<{m = dklm fiki. (17.61)
Оно получается подстановкой Klt λ/ и Kh в общее тождество
[А, {В, С}] = {[А, В], С} + {[А, С] В}, (17.62)
умножением получившегося результата на каждое из λ и по-
следующим взятием шпура. Обобщение соотношения (17.58) на
рассматриваемый случай приводит теперь к равенству
(ν, а |О}1' °| ν, α) = С, (ν) <ν, а'| Ft | ν, α> + С2 (ν) (ν, а'| Я, Ι % α>.
(17.63)
Операторы D3 и D8 представляют особый интерес. Непосред-
ственное вычисление показывает, что
D3 = ^(V2-U2) + ~T3Y (17.64)
и
^ Д8 ~-| Я»+ |(7*-ll*). (17-65)
8
Здесь F2=**2iFiFl является инвариантным оператором, комму-
тирующим со всеми F{. Его можно записать в виде
Я-={{Г+> T_) + ±{U+, υ_} + γ{ν+, Vj + Tt+^Y2, (17.66)
и его величина для представления (р, q) легко получается
вычислением его матричных элементов для «максимального
*) Эта тьорема может быть доказана графически. Однако наиболее про-
сто она доказывается другим способом (см. [4]).

302
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14 III
состояния», для которого, как мы это определили, t3 = -^(p + q)
и y = -^(p — q). Мы находим, что
F2 = \(p2 + pq+q2) + {p + q). (17.67)
Если бы искалось представление F,·, то для этой цели можно
было бы воспользоваться коэффициентами правой части пере-
становочных соотношений (17.17). Совершенно аналогично слу-
чаю SU(2) -симметрии, где оказалось возможным использовать
то, что
{Tdib = -ieUk. (17.68)
здесь мы можем воспользоваться связью
(Fi)ib = -lftlk. (17-69)
Аналогично мы можем проверить и то, что матричное предста-
вление Di имеет вид
(Dt)Jh = dm. (17.70)
Равенство (17.69) доказывается подстановкой λ,·, Xj, λρ. в тожде-
ство Якоби
[[А, В], С] + [[В, С]А] + ЦС, А]В] = 0,
последующим умножением на каждое λ и взятием шпура. Про-
верку равенства (17.70) мы оставляем читателям.
Этими замечаниями мы завершаем длительную математиче-
скую подготовку к обсуждению вопроса об отношении унитар-
ной симметрии к физике сильных взаимодействий и ее исполь-
зовании в этой области. Подробность изложения обусловлена
тем, что большинство физиков все еще недостаточно хорошо
знакомо с теорией групп. Для тех же, кто ее знает, во многих
случаях более эффективна тензорная техника, использующая
схемы Юнга*). Если бы мы и захотели изложить эту технику,
то в рамках этой книги смогли бы привести лишь ряд рецептов.
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь графическим изображением неприводимых представлений,
покажите, что в произведении (р, <?)® (1,1) представление (р, q) встречается
дважды, если pq ^= 0.
*) Такая техника необходима для исследования групп более высокого
ранга, таких, как, например, группа SU (6), которая в последнее время при-
влекает всеобщее внимание. Прекрасное изложение этой техники можно найти
в [11]. (Прим. ред.)

ГЛ 17]
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
303
Указание. Начертите правый верхний угол диаграммы прсичвольного пред-
ставления (p.q), правильно указав кратности соответствующих состояний.
Произведите умножение на октет и отождествите точки, принадлежащие пред-
ставлениям (р+1, <?+1), (р+2, <? — 2) и (р — \, <?+2). Какое из них будет
левее'
2 Следуя рассуждениям Мессиа (Quantum Mechanics, Vol. II) докажите
теорему Вигиера — Зккарта для группы S£/(3).
3 Покажите, что кратность состояний, сопоставляемых точкам следую-
щего посте границы слоя диаграммы, изображающей представление, равна
двум, если только граница ие
.L. л!Г -L
VT __М VH
треугольная
Указание
Если |ΛΙ) — со-
стояние с максимальным ве-
сом то состояния Т_\М) и
U+V-M) линейно независимы,
если не существует такого Θ, что
tosQT Μ +sinO£/+V_|M)=0.
4. В редукции произведения
8®8 состояние с максимальным
весом задается равенством
(lO,K=l, 7--!,Гв—!)_
V 2 2/
для декаплетного представле-
ния, где частицы Σ* и п* яв-
ляются членами двух октр-
тов, для которых К=0, 7,= 7'3=
= 1, а частицы р. К* являются членами двух октетов, для которых К=1,
Т=ТЪ--^ Пользуясь матричными элементами операторов сдвига в октетном
представлении изображенными на рис 39, выпишите оставшиеся члены де-
каплетного представления.
5. Используя решение задачи 4, покажите, что матричные элементы опе-
раторов сдвига в представлении 10 определяются (с точностью до множи-
теля Уб) так, как это показано на рис. 41
в. Выполните умножение 8 ® 10. Сколько раз представление 1 встре-
чается в произведении 8 ® 8 ® 8 <8> 8?
Рис. 41

Глава 18
ВОСЬМЕРИЧНЫЙ ПУТЬ
В гл. 17. в которой была введена группа SU(3), мы уже
говорили, что интерес к ней был порожден симметричной мо-
делью Сакаты, в которой частицы (р, п, Л°) образуют 3-пред-
ставление, а соответствующий набор античастиц — сопряженное
3*-представление этой группы. Из этой модели сразу следовало,
что девять возможных барион-антибарионных комбинаций мож-
но разделить на октет и синглет мезонных состояний. Если
эти «связанные состояния» обладали бы нужными свойствами
по отношению к преобразованиям пространства (т. е. связь
имела бы место в ^о-состоянии), то октет мог бы описывать
известные в го время семь мезонов π+, п°, п~, К+, К0, К0, К~.
Сверх того, предсказывалась новая восьмая частица. Согласно
нашим обозначениям ts является третьей компонентой изоспина.
В модели Сакаты гиперзаряд может быть записан в виде
Y = y + ^NB, (18.1)
где NB — барионное число. Следовательно, (18.1) описывает
как триплет, так и антитриплет. Поэтому возникающий при пе-
ремножении
3®3* = 8©1
октет состоит из изотопического дублета с У = 1, изотопического
дублета с Υ = —1, триплета с Υ = 0 и синглета с Υ = 0, что в
точности соответствует хорошо известным псевдоскалярным ме-
зонам. Что же касается классификации барионов в модели Са-
каты, то здесь дело обстоит несколько хуже. Поскольку части-
цы ρ, η, Λ0 являются компонентами фундаментального трипле-
та, то модель требует, чтобы барионы Σ и Ξ принадлежали
к одному или нескольким мультиплетам, содержащимся в про-
изведении 3 ® 3 ® 3*. Однако, как известно, все восемь барио-
нов очень похожи друг на друга, и разница в значениях их масс
относительно мала. В то же время в произведении 3 <8> 3 ® 3* =
= 15 фб ©ЗфЗ нет очевидных кандидатов на роль Σ- и S-ril-

ГЛ 18]
ВОСЬМЕРИЧНЫЙ ПУТЬ
305
перонов (оценка этого произведения показывает, что только в
представлении 15 имеется дублет с У =—1, который еще мож-
но было бы попытаться сопоставить Ξ-гиперону), ввиду чего
модели Сакаты были свойственны некоторые трудности.
Гелл-Ман [1] и независимо Нееман [2] предложили рассма-
тривать и барионы как члены регулярного октетного предста-
вления. В этом случае отмеченное в конце гл. 16 подобие мезон-
ных и барнонных состояний находило свое естественное объясне-
ние. Это положение, известное под названием восьмеричный путь,
требует с самого начала некоторых пояснений *).
1. Чтобы аддитивные квантовые числа в теории Si/(3)-CHM-
метрии ассоциировать с изоспином и гиперзарядом, следует счи-
тать, что 7"з и У в том виде, в котором они были определены
в гл 17, соответствуют сопоставляемым им физическим величи-
нам. Тем самым барионное число вообще не должно появляться
в каких-либо формулах.
2. Все до сих пор открытые сильно взаимодействующие ча-
стицы — это либо мезоны и барионы, либо частицы, составлен-
ные из мезонов и барионов (или антибарионов). Следовательно,
все до сих пор зарегистрированные резонансы, о которых речь
пойдет позже, должны принадлежать представлениям, содержа-
щимся в произведениях 8 ® 8 ® 8.. . Все такие частицы имеют
целый гиперзаряд. Поскольку же гиперзаряд состояния с наи-
большим весом в любом представлении (у)ткс = у (Р ~~ Я)* т0
это означает, что восьмеричный путь допускает лишь предста-
вления с ρ — q или с разностью ρ — q, кратной трем.
3. Существует, однако, возможность рассматривать наблю-
даемые частицы как составленные из фундаментального трипле-
та и ему сопряженной величины. Если соотношение между фи-
зическими величинами Ts, У и диагональными квантовыми чис-
лами то же, что и для наблюдаемых частиц, так что t3 и у
являются третьей компонентой изоспина и гиперзарядом некото-
рого состояния, то фундаментальные поля должны иметь гипер-
12 „ 2 1
заряды γ и —g для членов 3-представления и -_- и —- для
членов 3*-представления. Это и есть так называемая модель
кварков Гелл-Мана [8] и Цвейга [9]. Если фундаментальные
поля характеризуются также и барионным числом, то оно в про-
изведении 3 ® 3* (кварк-антикварковая система), как и в мо-
дели Сакаты, должно быть равно нулю. Барионы могут быть
построены из произведения
3®3®3=10®8φ8©1, (18.2)
*) Переводы основных статей по восьмеричному пути содержатся в [3].
Из обзорных работ на русском языке по тем же проблемам см. лекции
Η Η Боголюбова и других авторов в [4—7]. (Прим. ред.)
21) С. Гали рович

306
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. hi
представляющего связанное состояние трех кварков. Поэтому
кварковые поля должны обладать барионным числом 1/3 *).
Теория поля вовсе не требует, чтобы каждому полю соответ-
ствовала некоторая частица**). Если все же такие кварковые
частицы существуют, то по крайней мере одна из них должна
быть стабильной, ибо закон сохранения барионов запрещает ее
распад на «обычные» частицы. Поиск этих новых частиц пока
не увенчался успехом. По этой причине, а также из-за трудно-
стей, связанных с введением такого взаимодействия, которое,
например, может связывать кварк и антикварк или три кварка,
но никак не два кварка, мы не будем далее рассматривать мо-
дель кварков***). То, о чем здесь говорилось, относится также
и к модификациям этой модели, в которых путем увеличения
числа фундаментальных триплетов удается избежать приписы-
вания фундаментальным полям дробных гиперзаряда и барион-
ного числа [10].
Начнем с того, что найдем наиболее общий вид SU(3) -инва-
риантного барион-мезонного взаимодействия Юкавы, которое
было бы обобщением зарядово независимого выражения
Ъа(ъ)аьШ' О8·3)
Очевидно, что если ψ™ будут обозначать восемь барионных опе-
раторов, а (рг- — восемь мезонных операторов, то аналогом вы-
ражения (18.3) будет форма
Фт (Ft)mn ,ψηψ1 = — ifimn^m^i- (18·4)
Здесь мы использовали матричное представление F4 (17 69).
Пользуясь перестановочными соотношениями (17.17) и условием
нормировки
5ρλ,λ/ = 2δ,/, (18.5)
*) Это условие, однако, ие является необходимым. Триплет мог бы и
не обладать барионным- числом. Но тогда нужно было бы ввести дополнитель-
ное унитарно сингле гное поле со спином '/г, которое обладало бы и барион-
ным числом. Его присутствие в октете давало бы возможность разлячать ба-
рионы и мезоны.
**) Однако если поле иесет на себе столь экзотические квантовые числа,
как, например, барионное число '/з, то появление частицы неизбежно. Если
q(x) есть поле с барионным числом 7з, то состояние q (*)Ψ0 является со-
стоянием с барионным числом '/з- Легчайшее из этих состояний должно быть
стабильным, если оно не может распасться на состояние с меньшей массой
и барионным числом —2/3 и барион Во всяком случае, какой-то из кварков
должен быть стабильным.
***) Модель кварков, в которой векторный и псевдовекгорный токи (важ-
ные с точки зрения слабых взаимодействий) могут быть выбраны в виде
— q (х) γμλ(.<7 (х) и — q (х) ΥμΥ5λ£9 <#)■ позволяет получить перестановочные
Δ Δ
соотношения для этих токов. Они обсуждаются в конце гл. 34.

гл 11
ВОСЬМЕРИЧНЫЙ ПУТЬ
30?
можно записать
Amn=^-Sp([Xm, λ„]λ£). (18.6)
Таким образом, взаимодействие (18.3) имеет вид
- \ Sp ([λ„ψ„, Α„ψ„] АгФг). (18.7)
Если ввести Зх 3-матрицы
В = γ~ %т$т, В = ~ λ„·ψ„, Μ = у= λ1ψ1, (18.8)
то нетрудно видеть, что это взаимодействие приводится к форме
—Sp([B, В] Μ). (18.9)
В отличие от зарядово независимого взаимодействия в данном
случае возможна связь не только типа Юкавы. Благодаря тому
что существует еще один набор октетных операторов Dit мы мо-
жем записать второй инвариант
4>т (Dt)mn ψ„φ, = dimn$m%q>{. (18.10)
Из соотношения (17.18) следует, что
Поэтому, пользуясь матрицами В, В и М, получим для пра-
вой части (18.10)
Sp({B,B}M). (18.12)
Инвариантность взаимодействий (18.4) и (18.10) по отношению
к инфинитезимальным преобразованиям устанавливается наи-
более просто путем выяснения законов преобразований 3X3-
матриц. Для любого оператора поля с трансформационными
свойствами октета справедливо соотношение
[Ft, 4>,] = ifuk<f>k. (18.13)
Следовательно, при инфинитезимальном преобразовании
φ) = elaiFiq,,e-iaiFi ~ Ф/ + /a, [Ft, ψ,] ~ ср, - V//Aq>ft.
Поскольку же, однако,
то отсюда следует, что
V, ~ V/ ~ i ai [λ" Vp*] ·
т. е.
М'**М-±Щ[Ъ. М]«е~*вЛМе*в|\ (18.14)
20*

308
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Щ
Таким образом, шпур произведения любого числа таких 3X3-
матриц должен быть инвариантом.
Остается выразить операторы уи ... через полевые опера-
торы рождения и уничтожения частиц с фиксированными 7^ и У.
Если φ^+ является оператором, который, действуя на вакуум,
порождает /С+-мезон, то он должен удовлетворять условиям
т. е.
[Г3, Ф*+]=~Ф^+, [К, q£+] = q>++. (18.15)
Аналогично
С помощью соотношения (18.13) получаем следующие переста-
новочные соотношения:
[Т3, q>t ± /ф21 = ± (qpi ± 1%),
[^з, Ф4 ± 1ф5] = ± з" (Ф4 ± 'Фз).
[Т3, φ6 ± 1*φ7] = + - (φ6 ± г"ф7), (]g
[Υ, ф,±1ф2] = 0,
[Υ, φ4±/φ5]=±(φ4±/φ5),
[Υ, φ„ ± /φ7] = +(φ6 ± /φ7).
Это позволяет нам отождествить
Ф*+*Т1Г ^ф" + /ф5*+ = У% ^ф" ~"^
фк°*~>7¥ ^Фб ~"£ф7^'
Ф**-*ТггГ (Φβ + *Ρ7)>
_1_
Φ„±*-*γγ(φΙ+'φ2)·
Пользуясь оператором полного изоспина, мы можем также
показать, что

ГЛ. 18]
ВОСЬМЕРИЧНЫЙ ПУТЬ
309
Таким образом, мезонная матрица имеет вид
V 2 }г 6 '
Μ
-π"
к-
Υ~2 г Vb
Ж0
ηυ
к+ '
к0
1 6 '
. (18.17)
Здесь использованы сокращенные обозначения: п+ для φπ+,
К+ для φκ+ и т. д.
Выбор фаз для операторов в матричном представлении Μ
произведен так, что при зарядовом сопряжении
СМС~*=МТ. (18.18)
Барионную матрицу мы записываем подобным же образом *):
В-
Ue°+—L· а°
12 "16
1 Σ° + '
VJ Vg
λ°
η
2
/6
л°
(18.19)
В
V 2 V&
Σ+
P
1
Ё0+7ТЛ°
η
ντ
л°
(18.20)
Наиболее общий вид связи Юкавы (опускаем γ5) опреде-
ляется так:
-(l-a)Sp([B, fi]AJ) + aSp({B, В)Μ). (18.21)
*) При стандартном выборе вигнеровских коэффициентов комбинация
(φ Λ = г——> Действуя на вакуум, порождает— Ψ +. Кроме того, так
как К' — это античастица К*, то из (16.18) видно, что оператор Ф*-, дей-
к
ствуя на вакуум, должен порождать состояние—Ψ Аналогично для барио-
л
нов ψ!+ порождает —Ψ +. Поскольку Ξ ие является античастицей протона,
то мы должны иметь оператор— ψ^-, который порождает состояние — Ψ т

310
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
После вычисления шпура и перегруппировки членов мы полу-
чим следующий результат:
--?i = ΝτΝ · π + (1 - 2α)ΞτΒ . π + Ц^ NNtf - ~^- ΞΞη -
- (1 - 2α)ΝτΚ · Σ - ΞτΚ* . Σ - (1 - 2α) Σ · Κ+τΝ - Σ · tfi+t3 -
- i=^- йлк -1^ κ+λλ/ +1=^- злг + $=£■ kc+az +
Vs VJ Vz V3
+ (-21)(1-α)ΣΧΣ.π + -^ΣΛ-π + -^-ΛΣ.η +
' 2^Σ.Ση°--^ΛΛη°. (18.22)
Уз ' /з
Здесь мы воспользовались следующими обозначениями изотопи-
ческих дублетов:
-С)· »-£> «-(£> «·-(_£)· <->
Чтобы получить F-связь, достаточно положить α = 0, а D-связь
будет получаться при сс= 1. Эти два типа связи отличаются
друг от друга тем, что обладают разными свойствами по отно-
шению к так называемым ^-преобразованиям. Эти преобразова-
ния сводятся к замене любой матрицы на транспонированную
матрицу. Мы увидим, что обе связи имеют место, так что отно-
сительно /^-отражений не существует приближенной симметрии.
Нет необходимости говорить, что эта форма связи имеет ме-
сто для любых трех октетов. Однако в некоторых случаях воз-
можна реализация лишь F- или D-связи. Рассмотрим взаимо-
действие векторного мезона с двумя псевдоскалярными мезона-
ми Р. Поскольку векторный мезонный октет при зарядовом
сопряжении *) преобразуется по закону, обратному закону пре-
образования псевдоскалярных мезонов, а именно
CV^C'1 = - Vl, (18.24)
то произведение SpiV^Pd^P) преобразуется согласно правилу
δρ(νμΡ3μΡ)-^ - Sp(viPr^Pr)= - Spty^P ■ Ρ). (18.25)
Поэтому из-за инвариантности относительно С исчезает симмет-
ричная комбинация (.D-связь). Мы предоставляем читателям
*) Обычно принимается, что нейтральный векторный мезои имеет те
же свойства относительно зарядового сопряжения С, что и фотон Если ней·
тральный мезон принадлежит октету, то в формуле (18.18) изменяется знак
при обычном выборе фаз у заряженных членов.

ГЛ 18]
ВОСЬМЕРИЧНЫЙ ПУТЬ
311
возможность самим убедиться в том, что связь двух векторных
мезонов с псевдоскалярным мезоном должна быть только
£>-связыо
e^paSpHdVW0}), (18.26)
где
±1, если (μ, ν, ρ, σ) — четная (нечетная)
перестановка 0, 1, 2, 3,
О во всех остальных случаях.
Инвариантность лагранжиана относительно группы преобразо-
ваний St/(3), подобно зарядовой независимости, означает, что
существуют сохраняющиеся токи. Если записать 3? —
=i?((pa, (5μφα), где теперь φα обозначает любое поле, каковы
бы ни бычи его трансформационные свойства, то при бесконеч-
но малом преобразовании
Φα"* ^Φα^~' ~ Φα + "*fe (/^)αβ Φβ·
Если воспользоваться уравнениями движения, то вариация
плотности лагранжиана определяется выражением
Полагая 6=2' = 0, получим следующий результат:
Следовательно, восемь токов, определенных равенствами
^'11ЩЗ{Р^^ (18'27)
в которых Fk представлены квадратными матрицами той же
размерности, что и φ, подчиняются закону сохранения
д^> = 0. (18.28)
Связь векторного октета с двумя мезонами, как мы это уже
знаем, является F-связью. Поэтому естественно предположить,
что фундаментальное взаимодействие векторных мезонов с ба-
рионным октетом также осуществляется через F-связь. Однако
нет причин полагать, что в этом случае не может появиться
феноменологических взаимодействий £)-типа *).
*) Фактически, если бы мы попытались сконструировать модель сильных
взаимо ействий, основываясь только на векторных мезонах и барионах, связь
Меж у которыми относится к F-типу, то эги уравнения обладали бы /?-сим-
Цетри и, что не соответствует действительности.

312
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. ИГ
Одна из причин повышенного интереса к выбору вида связи
состоит в том, что, зная, какая именно реализуется связь, мы
можем очень просто предсказывать отношения матричных эле-
ментов трехоктетных процессов. Если бы существовали другие
тяжелые октетные частицы с барионным числом 1, то, как сле-
довало ожидать, они могли бы распадаться на барион и мезон.
Зная же вид связи, мы можем объяснить некоторые соотноше-
ния. Например, можно найти следующие отношения квадратов
матричных элементов:
Μ(Ξ°*-*Ε-+π+)
Ai(jV8+*->p + r,°)
М(ы£*^>р + п°)
= 2(1 -2α)2,
(3 - 4α)2
(18.29)
Если осуществляется только лишь F-связь или D-связь, то одна
экспериментально найденная ширина определяет все остальные.
В гл. 20 мы увидим, что есть данные в пользу существования
октета векторных мезонов. Они образуют изотопический три-
плет р+, р°, р~, дублет К + 'к К0* с У = 1 и дублет их античастиц
с У = —1, а также изотопический синглет, обозначаемый какое.
Выражение (18.22) в случае а = 0 (.F-связь) дает
ΙΜ (К+* -^К+ + n°)lM (р° -* π+ + π") |2 = |. (18.30)
При вычислении постоянной распада всегда возникают кине-
матические факторы, обусловленные зависимостью матричных
элементов от энергии реакции и от фазового объема, завися-
щего от масс участвующих в реакции частиц. Однако, как из-
вестно, точной St/(3)-симметрии не существует. Разница в
значениях масс членов октетов очень велика. По-видимому, от-
ношения констант связей в общей трилинейной форме (18.22)
будут также меняться. Ниже мы обсудим некоторые соображе-
ния по вопросу о снятии вырождения по массам. Однако мы
почти ничего не можем сказать об отклонениях констант связи
от ожидаемых значений. Эксперимент пока не может дать
ясного ответа на этот вопрос. Считается, что если при расчете
кинематических факторов пользоваться физическими значениями
масс, то тем самым в основном будут учтены главные особен-
ности нарушения SU(3) -симметрии. Эта гипотеза находится в
разумном соответствии с фактами *).
Если кроме октетов во взаимодействии участвуют и другие
мультиплеты, то в общем случае нам следует вычислить вигне-
*) О попытке учесть влияние эффектов,, нарушающих симметрию, на зна-
чения констант связи, см. [11].

ГЛ 18] ВОСЬМЕРПЧНЫП ПУТЬ 313
ровские коэффициенты. Некоторые из них сейчас протабулиро-
ваны [12, 13]. Иногда, однако, для достижения желаемого ре-
зультата оказывается возможным воспользоваться каким-либо
особым приемом. Рассмотрим специальный пример. В гл. 19 мы
увидим, что существует убедительное доказательство того, что
ряд барион-мезонных резонансов принадлежит (3,0), т. е.
10-прщставлению группы SU(3).
Декаплет содержит состояние с У=1, 7 = 3/2 (его члены,
обозначаются как Ath, Λ+, Δ°, Δ"), состояние с У = 0, Τ =
= 1(УГ, Υ?, ΥΓ), состояние с У = — 1, Τ = 1/2(Ε*°, Ξ*") и со-
стояние с У = —2, Τ = 0(Ω"). В пределах одного изотопического
мультитета можно обычным способом вычислить отношение
матричных элементов распадов каждого его члена на две ча-
стицы, являющиеся членами октетов. Таким образом, если мы
хотим сравнить распады
Δ++ — ρ + π+, Δ° — ρ + η;
то следует разложить состояние (ρ, яг) по собственным состоя-
ниям изоспина. Это дает, например, отношение
|Μ(Δ0-> р + п~)1м(А++ -* ρ + π+)\2 = ~. (18.31)
В гл. 17 было указано, что состояния представлений группы
Sl/(3) могут классифицироваться по их унитарному спину вме-
сто изоспина. Например, в декаплетеЛ-, ΥΤ*, Ξ-*, Ω- образуют
состояние с U = -к\ Δ , Υ\*, Ξ * — состояние с U = 1 и т. д. Мы
можем теперь воспользоваться законом сохранения унитарного
спина, чтобы получить некоторые следствия, касающиеся связи
различных изотопических мультиплетов. Рассмотрим распад
ΚΓ*-»>Λ0 + π~. (18.32)
Начальное состояние имеет U = 3/2. В конечном состоянии π~
принадлежит состоянию с U = 1/2, что можно увидеть из рис. 39,
изображающего октет. Λ0 не является собственным состоянием
оператора унитарного спина. Фактически триплет получается из
состояния с U = 0 и ортогонального ему нормированного со-
стояния, получающегося в результате действия оператора U-
на нейтронное состояние. Таким образом,
ψ(0-1, [/3 = 0)~^_Ψ(η) = {ψ(Σ°)-]^Ψ(Λο) (18.33)
И
Ψ (С/ = 0, U3 - 0) = Ц- Ψ (Σ») +1 Ψ (Λ"). (18.34)

314
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
Следовательно, Л°-состояние можно выразить через собственные
состояния со значениями U = 0 и U = 1:
Ψ(Λ°)=1ψ((/ = 0)--!^-Ψ(^=1). (18.35)
В рассматриваемый нами распад вклад дает только состояние
£7=1. Поэтому матричный элемент процесса (18 32) можно за-
писать в виде
Μ{ΥΤ*-*Α° + η-)=-1=Μ1, (18.36)
так как
ψ(£/«1, υ3=0)®ψ(υ = ±, £Л = !) =
С другой стороны, в распаде
Δ~ --> η + л~
нейтрон — состояние с U = 3/2, так что здесь матричный эле-
мент равен
Μ(Δ~->η + π") = Λ1,.
Манипулируя законами сохранения унитарного и изотопического
спинов*), мы можем провести многие вычисления без явного
использования декаплетных вигнеровских коэффициентов. В
дальнейшем мы увидим, что есть некоторые основания в пользу
того, чтобы рассматривать фотон как состояние с U—0. Поэтому
эта техника особенно удобна для сравнения, скажем, амплитуд
фоторождения. Мы не будем углубляться в эту проблему, по-
скольку и вопрос о постоянных распада, и вопрос об электро-
магнитных свойствах сильно взаимодействующих частиц будут
обсуждаться нами позднее.
Гораздо более трудным, нежели задача предсказания свойств
частиц на основе представления об 5£7(3)-симметрии, является
вопрос об оценке степени правдоподобности этих прогнозов. Пер-
вый шаг на пути решения этой нерешенной проблемы состоит в
выяснении природы разрушающего симметрию механизма и, в
особенности, в установлении его трансформационных свойств
Для уяснения того, что это означает, рассмотрим пример из
атомной физики.
Если атом поместить во внешнее магнитное поле, то симмет-
рии относительно вращений уже не будет. Следовательно, мы
должны ожидать, что снимется характерное для такой симмет-
*) Эта техника была развита в работе [14].

ГЛ 181
ВОСЬМЕРИЧНЫЙ ПУТЬ
315
рии вырождение уровней энергии с разными значениями мо-
мента и h. Взаимодействие имеет вид
V = —fl ■ «внеш,
где μ — оператор магнитного момента. Среди следствий этого
факта есть и такие, которые целиком обязаны тому, что при
вращениях μ преобразуется как вектор.
Следовательно, в первом порядке *)
Δ£ = ~ (* ЛИ, ΜΨ/μ) "внеш — ~ Q-J (*JM> ^JM) ' "внеш·
Ничего не зная о строении атома, мы тем не менее можем заклю-
чить, что энергетические уровни будут сдвигаться на (вектор И
направлен по оси г)
ΔΕ = — ajHBliemM,
так что расщепленные уровни будут равноудалены друг от дру-
га. Если внешнее поле не мало, то тогда нельзя ограничиться
первым порядком теории возмущений. В этом случае трансфор-
мационные свойства будут более сложными. Квадратичный по И
член, например, будет преобразовываться так же, как преобра-
зуется комбинация скаляра и неприводимого тензора, соответ-
ствующего / = 2, и т. д. Мы можем опять установить, как проис-
ходит расщепление, зная только одни трансформационные свой-
ства, несмотря на то, что оно теперь будет характеризоваться
большим числом параметров, которые нельзя определить без зна-
ния конкретной динамики.
Аналогичная ситуация имеет место и в случае нарушенной
SU(3) -симметрии. Рассмотрим массовый оператор сМ. В слу-
чае точной симметрии
(Ψν.σ, ο^Ψν,α) = /ην (18.37)
(здесь опять ν характеризует представление, а а — состояние
в нем). В действительности Ж содержит существенный член, пре-
образующийся как унитарный синглет, а также и некоторое ко-
личество членов, преобразующихся как другие неприводимые
тензоры. Как известно из эксперимента, состояния с фиксирован-
ным У, принадлежащие данному изотопическому мультиплету,
все еще вырождены (электромагнитные взаимодействия исклю-
чаются). Это означает, что в разложении а/% на неприводимые
тензоры появляются лишь операторы с У = О, Τ = 0. Рассмот-
рим массы октета. Поскольку
8®8 = 1φ8Θ8Θ10Θ10*Θ27,
*) Второе равенство в этом соотношении следует из теоремы Вигнера —
Эккарта.

316
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. III
то массы членов октета можно выразить через четыре константы,
определяющие вклад от синглета, два вклада от октетов и вклад
от представления 27. Декаплетные тензоры вкладов не дают, по-
скольку у них нет членов с У = Τ = 0. Если по каким-либо при-
чинам некоторые тензоры отсутствуют, то тогда интересующих
нас масс больше, чем констант, и между первыми возникает
связь, которую называют правилом сумм. В своей фундамен-
тальной работе по унитарной симметрии Гелл-Ман предложил
считать, что октетныи вклад в массовый оператор доминирует
(после синглетного вклада). Это означает, что между массами
членов октета существует связь. Действуя по аналогии с приме-
ром из атомной физики, обсуждавшимся выше, мы в общем слу-
чае запишем
ΓΨν,α, ο#Ψν,α) = /ην = £,(ν)(Ψν,α, F^v,J + C2(v)(,Fv,a№,a).
(18.38)
2
Пользуясь тем, что Y = -^=F8, и выражением (17.65) для Ds,
получим так называемую массовую формулу Гелл-Мана — Оку-
бо 115]
(Ψν, αο^Ψν, α) = My + M2Y + M3 [Τ (T + 1) - -g- У2]. (18.39)
В частности, когда представление ν треугольное, т. е. когда ρ =
= 0 или <7 = 0, то, как известно, в разложении ν*®ν октет появ-
ляется лишь один раз. В этом случае массовая формула выгля-
дит так:
(Ψν. α, ο#Ψν,α) - Μ, -Ι- Μ2Υ. (18.40)
Ее можно также получить и из сотношения (18.39), если заме-
тить, что для любого треугольного представления существует
линейная связь между У и Г вида
Τ = \ Υ + const.
Другой вид массовой формулы для октета, который следует
из соотношения (18.39), именно
MB + MN ^ ЗМА + М% j
получается путем выписывания через 3 X 3-матрицы наиболее
общего выражения для массового члена, преобразующегося как
октет. Им является
m, Sp (ΒΒλ8) + ma Sp (Ελ&Β). (18.42)

гл. 14
восьмеричный путь
317
Если его прибавить к синглетному члену вида
m0SpBB, (18.43)
то мы получим ту же самую формулу.
Формула (18.41) удивительно хорошо согласуется с экспери-
ментальными данными. Соответствующая формула для псевдо-
скалярных мезонов не столь хороша. Однако, когда она записана
для квадратов масс
т\= \ ", (18.44)
то мы снова получаем хорошее согласие с опытом. Еще более за-
мечательно то, что декаплетная эквидистантная формула (18.40)
также удовлетворяется. Хотя вопрос о существовании частиц
Ξ* и Ω~ и не обсуждался, их свойства фактически были предска-
заны на основе представления об S U (3) -симметрии. Это—наи-
более резонный, хотя и не единственный, довод в пользу справед-
ливости этого представления и предположения об октетном ха-
рактере механизма нарушения Si)(3)-симметрии.
Этим мы завершаем обсуждение группы SU(3). Однако мы
еще не один раз будем возвращаться к предсказаниям, следую-
щим из представления об SU(3) -симметрии.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что для любых четырех ЗХЗ-матриц с нулевым шпуром
Sp {ABCD + ACBD + ABDC + ACDB + ADBC + ADCB) =
= Sp AB Sp CD + Sp AC Sp BD + Sp AD Sp ВС
2. Рассмотрите феноменологическую амплитуду 5ρ(Ψλ,ΤΨΛ1), где Ψ—
барионная октетная матрица, а Μ— мезонная октетная матрица. Покажите,
что: а) амплитуда обладает трансформационными свойствами октета, б) при
зарядовом сопряжении она имеет следующие свойства:
Sp (Ψλ;ΓΨΛ1) -> Sp (Ψλ[( - CTT ~ C~l) ΨΜ)
(Γ — дираковские матрицы, т. е. 1, γα, Vs или им подобные).
3. Покажите, что существует только три СР-инвариантные амплитуды, ли-
нейные по λβ, и что они могут быть записаны в виде
If Sp ([Ψ, Ψ] [λβ, Μ] ) + if? Sp «Ψ, Ψ} [λ6. Μ] ) +
+ ih' (Sp (ΨΜ) Sp (Ψλ6) - Sp (Ψλβ) Sp (ΨΜ) ),
если мезон является скалярным (или, что одно и то же, если он псевдоскаля-
рен, но четность не сохраняется). Покажите, что существуют четыре сохра-
няющие четность амплитуды, линейные по λβ, которые можно записать в виде
la Sp ([Ψ, γ6Ψ] {λ,, Μ}) + ib Sp ({Ψ, γ6Ψ} [λβ. Μ]) +
+ ic Sp (Ψλ0γ5ΨΜ) + id Sp (ΨΜγ6Ψλ6).

Глава 19
БАРИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ*)
Восемь барионов, о которых шла речь в гл. 14, обладают об-
щим свойством — они стабильны по отношению к сильным взаи-
модействиям. Это свойство вряд ли очень принципиально: уже
пятипроцентное увеличение массы Σ-гиперона сделало бы его
нестабильным, поскольку тогда бы он мог распадаться по схеме
Σ — Л° + п.
Краткость времени жизни частицы может привести к некото-
рой зависимости ее распадных характеристик от способа ее об-
разования. Однако если возбужденное состояние уместно клас-
сифицировать как частицу, то процессы ее рождения и распада
не должны слишком сильно зависеть друг от друга. На практике
оказывается, что доступные экспериментальному наблюдению
частицы обладают более или менее определенной массой, причем
соответствующая неопределенность или ширина обычно на поря-
док меньше, чем масса. Более того, частицы характеризуются
вполне определенными квантовыми числами, такими, как спин,
четность, странность, изотопический спин. При этом большая
часть частиц классифицируется по супермультиплетам группы
Si/(3). В этой главе мы вкратне обсудим известные барионные
резонансы, выясним, как они были открыты и каковы, если они
известны, их квантовые числа. Все эти квантовые числа полу-
чаются в результате изучения продуктов распада частиц.
Массу нестабильной частицы определяют, изучая энергии и
импульсы некоторых наборов частиц, возникших в процессе ре-
*) Материал этой и следующей глав отражает состояние эксперимента
на конец 1965 г. К настоящему времени ситуация заметно изменилась. От-
крыто много новых частиц, уточнены квантовые числа старых. Так, в ряде
случаев современные значения масс и ширин резонаисов отличаются на 5—
10 Мэе от приводимых автором. Мы не чувствовали себя вправе педантично
поправлять автора во всех таких довольно многочисленных местах (в гл. 19
и 20) и ограничились лишь устранением принципиально ошибочных утвер-
ждений, отвергнутых в последующие годы. Таблицы современных эксперимен-
тальных данных о барионных и мезоииых резоиансах читатели найдут s
приложениях иа стр. 339 и 362. (Прим, перев.)

ГЛ 191
ВАРИОННЫЕ РЁЗОНАНСЫ
319
акции при высоких энергиях. Если в этой реакции часто рож-
дается нестабильная частица, то в распределении инвариантной
массы определенных поднаборов частиц (продуктов распада)
М* = (Σ£4)2 - (Σρ,)2
наблюдается ярко выраженный максимум. Положение этого мак-
симума задается массой нестабильной частицы, а ширина макси-
мума дает информацию о вероятности ее распада. Рассмотрим в
т
I
100
1
I
чШГ
+
Г-Л
1530
S,I7; 3.35 и 3,36 Гэ8/о
si-ρ-~Σ*Κ°#-
1680
\
^---W
L
л i i i i i nsn
УЧ
1,7 iS 3J 3,3 3J5 3,7 ZJ 3,1 3j
(Гзв)3
Рис. 42. Распределение квадрата инвариантной
массы Б+л;--пары в реакциип~ + ρ->Σ+ + К0 + it~.
Пунктирная кривая показывает ожидаемое распределение
для случая постоянного матричного элемента н реляти-
вистского фазового объема.
качестве примера рис. 42, показывающий распределение квадра-
та инвариантной массы в системе Σ+π_, возникающей в реакции
πτ+ρ-+Σ++Κ°+η-
при импульсах налетающего лГ-мезона от 2,2 до 2,4 Гэв/с. На
фоне некоррелированных событий выделяются три заметных пи-
ка. Все они ассоциируются с резонансами, о которых мы позд-
нее поговорим подробнее.
Если в конечном состоянии образуются три частицы, как, на-
пример, в реакции
Кг + р~*А° + п+ + пг,
то очень удобно изображать события точками на графике, по
осям которого отложены энергии двух пар частиц. Как было
показано в гл. 15, плотность точек на таком графике Далица

320
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
t4. Щ
пропорциональна квадрату матричного элемента как функции
двух энергий, так что всякого рода корреляции становятся осо-
бенно наглядными. Рис. 43 иллюстрирует это для реакции
К~+ρ -*■ Λ°+π++π~.
Заметим, что в системе центра масс
№ = ω, +ω2 + ω3, 0 = pl + p2 + p3,
где ω,, Pi — это энергии и импульсы трех частиц в конечном со-
стоянии. Таким образом, квадрат инвариантной массы пары
(со2 + со3)2 - (р2 + psy = (W-coiy~p2l = W2 + m21-2 Го,
пропорционален энергии третьей частицы. Поэтому график рис. 43
эквивалентен графикам Далица, которые мы обсуждали в гл. 15.
Масса (Лл~),Мэ6
то то wo wo то
Щ | | |
1,50 2,00 г,50 3,00 3,50 УЮ
Массаг(Ля-), ГзВ1
Рис. 43. Распределение квадрата массы Λ°π+ и Λ.°π~
в реакции К +ρ->Λ° +π+ + η~ при 1,51 Гэв/с [I]
Удобство графика Далица заключено в том, что с его по-
мощью можно часто изучать два резонанса одновременно, что
позволяет по крайней мере идентифицировать различные иска-
жения, связанные с взаимодействием этих резонансов. Так, при
низких энергиях два сгущения, изображенных на рис. 43, пересе-
каются. Точки, которые находятся в области, принадлежащей
обоим сгущениям,-отвечают событиям, когда два пиона резони-
руют с одним и тем же Л°-гипероном. Это обстоятельство может
исказить форму резонанса или даже несколько сдвинуть его

ГЛ. 19]
БЛРИОННЫЕ РЕЗОНЛНСЫ
321
Экспериментальный анализ резонансов таит в себе много
опасностей обнаружить ложный пик в спектре масс. Рассмотрим
простой пример. Как видно из рис. 43, в реакции
К~ + ρ -*■ Л° + π+ + π~
пионы сильно коррелируют с Л°-частицами при энергии 1385 Мэв.
В данном эксперименте в распределении массы я^п+-системы воз-
никнет ярко выраженный пик благодаря лишь одним кинемати-
ческим ограничениям! Если квадрат инвариантной массы всей
системы обозначить через s, а квадрат инвариантной массы г/-па-
ры — через вц, то закон сохранения энергии и импульса приво-
дит к соотношению
S = S12 + S13 + S23~ mi~ ml~ ml
так что
S12==S-Sl3-S23 + m2l+ml + mt-
Это означает, что максимум в распределении s23 и Si3 проявится
и в распределении S\2. Примером может служить рождение резо-
нанса Л^*(1518), который затем распадается на Л/*(1238) и пион,
причем
Л* (1238) -н- N(938) +π (140).
Таким образом, можно ожидать появления пион-пионной корре-
ляции с «массой»~400 Мэв, и на эксперименте такая корреля-
ция действительно наблюдается. Истинный резонанс отличается
от ложного пика тем, что он появляется при одной и той же мас-
се в различных экспериментах, в то время как энергия ложного
пика в различных опытах различна. Такие же сложности харак-
терны и для четырехчастичных конечных состояний.
В нашем обсуждении мы пользовались то понятием «резо-
нанс», то понятием «нестабильная частица». Обычно резонансы
связывают с резкими максимумами в сечении. Но эксперимен-
тально тот же самый пик (с теми же квантовыми числами) по»
является не только в упругом рассеянии соответствующих ча-
стиц, но и в конечном состоянии целого ряда сложных реакций.
Так, в реакции
π+ + ρ —► π+ + п~ + л* + ρ
присутствуют π+p- и пгр-пики при 1238 Мэв и зт+згр-пик
при 1518 Мэв. Те же самые пики появляются и в эффективных
сечениях упругого рассеяния π+ + ρ —► π+ + ρ и η~ + ρ —* π' + ρ.
Поэтому мы не будем делать различия между двумя этими спо-
собами качественного описания явления.
Помимо массы и ширины, нестабильная частица обладает
и другими квантовыми числами. Наиболее важными из них
21 С. Галюрович

322
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Гч. m
являются момент импульса (спин) и четность. На практике их
определить иногда весьма трудно, хотя достаточно точные экспе-
риментальные данные об угловых распределениях, поляриза-
ционных корреляциях и тому подобном, в принципе, всегда по-
зволяют это сделать. Внутренние квантовые числа, такие как
изотопический спин, можно определить, либо отыскав соответ-
ствующие частицы-партнеры с другим зарядом, либо сравнив
вероятности распада по различным каналам. Классификацию по
мультиплетам группы SU(3) провести труднее. Здесь главную
роль играет массовая формула Гелл-Мана — Окубо (18.39),
являющаяся основным «испытанием» для кандидатов на неза-
полненные места в супермультиплете. Используемые при этом
методы иллюстрируются в следующем ниже обсуждении ряда
барионных резонансов.
Некоторые резонансы t K=l
Резонанс ЛС2(1238). Этот резонанс*), который часто обо-
значают также символом Δ (1238), был первым открытым резо-
нансом. Эксперименты, проведенные в начале пятидесятых годов,
обнаружили драматический пик в эффективном сечении пион-
нуклонного рассеяния, расположенный при полной энергии в си-
стеме центра масс, равной 1238 Мэв. Ширина пика составляет
примерно 120 Мэв. Пик появляется как в π+ρ-сечении, так и в
лгр-сечении, так что если предположить, что резонанс характери-
зуется определенным изотопическим спином, то это должно быть
состояние с Τ — 3/2. Это предположение подтверждается следую-
щим рассмотрением.
Разложение пион-нуклонных состояний по собственным со-
стояниям изотопического спина **) имеет вид
я+р х 3/2, 3/2'
Ψ^-|/"|·Ψ%-1/2+1/"4ψ:
1/2, -1/2,
Ι/2·
(19.1)
*) Пока не приняты стандартизованные обозначения, мы будем поль-
зоваться символом Ντ (масса) для обозначения барионного резонанса, изо-
топический спин которого равен Г, а гиперзаряд +1. Для резонансов с ги-
перзарядом 0 и —I мы используем символы Υτ α &τ соответственно. Пред-
лагалось также обозначать состояние с Τ=3/2 через Δα, с Г=1—через Σα·
с Т=Ч2 — через Na, а с Г=0—через Λα, где индекс показываетSU(3)-при-
надлежность.
**) Состояния с определенным изотопическим спином обозначаются че-
рез ΨΓ> Γ.

ГЛ. 19]
БАРИОННЫЕ РЕЗОНЛНСЫ
323
Таким образом, в предположении сохранения изотопического
спина имеются следующие амплитуды рассеяния:
/φ»"' ψ'» \_(wout win λ^Λ
\Ι π+ρ> π+ρ) ~\ 3/2,3/2> 3/2. 3/2^ Λ3/2>
Ι π_ρ· Ψπ~ρ) = У ^3/2 + "jf Α/2>
(19.2)
№ ψ^ρ)-?-α
,-^Α
3 *3/2 3 1/2"
Полные эффективные сечения рассеяния в области, где множест-
венное рождение мезонов несущественно, даются равенствами
°л+=р|лз/2 12'
θη_ = ο{π-ρ->π-ρ) + ο(π-ρ->π?η) = Ρ(±\Λ312\2 + ^\Α112η. (19.3)
Кинематический фактор ρ для обоих процессов один и тот же,
900 1100 1300 1500 1700 WOO 2/00- 2300 2500
Масса л-р=системы, МзВ
Рис. 44. Полные сечения π+p- и лгр-рассеяния.
если пренебречь небольшой разностью масс. Таким образом,
предположение о том, что изотопический спин равен Τ = 3/2,
означает, что при резонансной энергии
σ+/σ_=3, (19.4)
что хорошо подтверждается экспериментом (рис. 44).
21*

324
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. Hi
Указания на величину момента импульса резонансного со-
стояния содержатся в том факте, что вблизи резонанса эффек-
тивное сечение я+р-рассеяния равно примерно Sn/q^, где qr —
импульс, отвечающий резонансной энергии в системе центра
масс. Это — максимальное значение, которое может принимать
эффективное сечение в состоянии с 7 = 3/2. В системе центрз
масс угловое распределение пионов в конечном состоянии отно-
сительно направления движения пионов в начальном состоянии
также определенным образом зависит от момента импульса. При
таком выборе оси z резонансное состояние должно характеризо-
ваться значением Jz — ± 1/2. При распаде на пион и барион со
спином 1/2 конечные состояния с определенным моментом им-
пульса 7 имеют вид
Г
ψ"2=1' '-ж-υ* , (β, Ф)х!]§ + У - 2
^-υ\ ,(е. φ)κ^/2.
2 2 (19.5)
Ψ,-* = У J^L· y;Ll (θ, φ) x;j + ]/ ^ Yl, (θ,
-Ι 2
φ) κ,/
(функция ΚΓ(Θ, φ) описывает орбитальный момент в распаде-),
2
если четность такова, что орбитальный момент 1 = 1 —-к, и
/ 3 f i~
ψ<12= \ 2тагП+1(е> ^ш2-V Й^;+.(θ.ф)х:„
^-,/2 4Й ^. (β. φ) ^"2 -171-Й г: i о. φ) &
(19.61
2/+ 2 /+-LV"' T/ Ai/2 г у + 2 н- ' ψ/лщ!
если закон сохранения четности требует, чтобы / = 7 + 1/2. Если
в начальном состоянии нуклоны не поляризованы, то угловое
распределение задается равенством
/(θ)~| Σ {Κ'2|2 + |Ψ7'/2[2}. (19.7)
по спинам
нуклона
При 7=1/2 мы получаем /(θ) = const, а при 7 = 3/2 оказы-
вается, что
/ (Θ) = const (1+3 cos2 θ). (19.8)
Экспериментальное угловое распределение согласуется с пред-
сказанием (19.8). Нужно заметить, что угловое распределение

ГЛ. 19] БАРИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ 325
зависит только от значения /, а не от четности, т. е. орбитального
момента. Легче всего это увидеть, пользуясь разложением по со-
стояниям с определенной спиральностью, в котором концепция
орбитального момента просто не появляется.
Таким образом, чтобы определить четность резонанса, нужны
более детальные измерения. Вывод о том, что четность резонанса
ВО
%60
ч
%
1
•о
го
о
woo то то woo woo
Jppexmi/ffwx масса Ji~p
Рис. 45. Спектр массы яГр-системы в реакции
р + р->р + р + п+ — п при 3,25 Гэв/с.
Плавная кривая изображает спектр, определяемый только
фазовым объемом [21.
положительна, т. е. что орбитальный момент равен 1, был факти-
чески впервые получен благодаря данным фазового анализа пи-
он-нуклонного рассеяния*). Было замечено, что доминирующий
сдвиг фазы (который мог оказаться сдвигом фазы либо Ρ ν,-вол-
ны, либо D «/г-волны) при малых q ведет себя скорее как q3, а не
как <75· Этот'вывод был подтвержден экспериментами по поляри-
зации нуклона в конечном состоянии пион-нуклонного рассеяния.
Резонанс JV3/2 (1238) проявляется в большом числе реакций,
наблюдается также и его античастица (рис. 45) в реакции
р + ρ -* ρ + ρ + зт+ + тГ.
*) Четность резонанса, распадающегося на нуклон и пион, равна
(—1) ', где / — орбитальный момент системы пион-нуклон.

326
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
Резонанс N\n (1518). Следующий пик в пион-нуклонном эф-
фективном сечении рассеяния (рис. 44) наблюдается при энер-
гии в системе центра масс, равной 1518 Мэв. Он присутствует
только в л~/?-сечении. Поэтому его изотопический спин равен Т=
= 1/2; его ширина тоже имеет порядок 120 Мэв. В отличие от
так называемого «(3-3)-резонанса», который мы обсудили выше,
в этом случае провести фазовый анализ углового распределения
значительно сложнее. Во-первых, при более высоких энергиях
для описания рассеяния требуется большее количество фаз. Во-
вторых, начинают играть роль и неупругие процессы, такие как
л~ + ρ —► л+ + тг + п,
так что фазы теперь становятся комплексными. Тем не менее фа-
зовый анализ был проведен и показал, что / = 3/2, четность от-
рицательна, так что распад происходит в D-состояние [З]*). На
самом деле впервые квантовые числа этого резонанса были опре-
делены посредством анализа данных по фоторождению мезона
γ + ρ —► ρ + π°.
Именно в этой реакции и был впервые открыт резонанс Ν\ν
(1518) [4—7]. Фазовый анализ достаточно сложен, так что здесь
мы просто перечислим основные шаги, не выводя никаких фор-
мул [8].
Угловое распределение образовавшихся в результате фото-
рождения мезонов хорошо описывается выражением
|| - (5-3 cos2 θ), (19.9)
которое характерно для резонанса с / = 3/2. Если бы четность
была положительной, то резонанс имел бы те же квантовые чи-
сла, что и (3-3)-резонанс при 1238 Мэв. Если встать на ту точку
зрения, что в области энергий между двумя резонансами основ-
ные черты реакции
γ + ρ -> ρ + л°
определяются только вкладом этих резонансов, то угловое рас-
пределение в этом случае должно было бы иметь вид (19.9).
Если же принять, что резонанс обладает отрицательной четно-
стью, то угловое распределение будет задаваться равенством
|g- = 1 ([ Л |2 + | Б |2) (5 ^ 3 cos2θ) - 2 Re ЛБ* cos θ, (19.Ю)
где А и В определяют зависящий от энергии вклад от двух резо-
нансов. Эксперимент свидетельствует скорее в пользу (19.9). К
*i В этой статье содержатся ссылки на другие работы на эту тему·

ГЛ 19]
БЛРИОННЫЕ РЕ30НЛНСЫ
327
сожалению, это не является решающим. Можно показать *), что
фазы А и В совпадают с фазами пион-нуклонного рассеяния со-
ответственно в Р3/2- и /)3/2-состояниях. Если обсуждаемый резо-
нанс отвечает Оз/г-состоянию, то в промежуточной энергетиче-
ской области фаза Р3/2-волны уже перешла через 90°, а фаза
Оз 2-волны еще приближается к 90°. Поэтому очень правдоподоб-
но, что относительная фаза А и В близка к 90°, так что коэффи-
циент Re AB* мал. Сакураи [9] показал, что поляризация ну-
клонов в конечном состоянии дается формулой
21mAB*sin6 .
r~ do/dQ ' iiy.ii;
так что если второй резонанс обладает отрицательной четностью,
то следует ожидать заметной поляризации. Это подтвердилось
на эксперименте [10], и сейчас общепринято приписывать этому
резонансу квантовые числа (3/2)~.
Резонанс Λ '/гОб^распадается преимущественно на π + Ν,
однако с относительной вероятностью примерно 20% возможен
распад
Пион и нуклон по крайней мере часть времени проводят во вза-
имно коррелированном состоянии—/Уз/2(1238)-резонансе. Инте-
ресно, что в реакции
обе пары— и рп+ и рп~ — являются продуктами распада /Уз/2·
(Браун и др. в [11]).
Резонанс /Vi/2(1688). Этот резонанс, ширина которого равна
100 Мэв, был обнаружен также в фоторождении л°- и л.+-мезонов
[4]. Он проявляется как пик в л~р-сечении и отсутствует в л+р-се-
чении. Таким образом, это — состояние с Τ = 1/2. Анализ угло-
вого распределения в системе центра масс, записанного в виде
-^=ΣΩ„εο8"θ, (19.12)
показывает, что вблизи резонанса рассеяние в состояниях с
/=7/2 или с более высокими моментами очень мало [12]. В то
Же время угловое распределение в фоторождении совместимо с
предположением, что / = 5/2. Пион-нуклонный фазовый анализ,
проведенный Овилом и другими [3], указывает, что фазовый
сдвиг F,5 (/-"-волна, Τ = 1/2, / = 5/2) быстро возрастает по мере
приближения к резонансу, так что разумно приписать резонансу
*) См. гл. 26 Данное там доказательство можно легко модифицировать
Для случая фоторождения.

328
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
квантовые числа 5/2+. Такой выбор четности подтверждается из-
мерениями поляризации протона при фоторождении в области
энергий между резонансами 1518 и 1688 [13]. Поскольку поляри-
зация в этой области велика *), это указывает на то, что резо-
нансы имеют противоположную четность **).
Некоторые резонансы с Y = 0
Детальный обзор странных резонансов как с У = 0, так и с
Υ = — 1 содержится в работе Далица [15]. Здесь же мы ограни-
чимся кратким рассмотрением.
Резонанс Υ\ (1385). Этот резонанс в системе Λ°π был открыт
в 1961 г. в реакции [16]
Кг + ρ -» Λ° + π+ + яг.
На графике Далица (см. рис. 43) ясно видна корреляция Λπ-па-
ры. Эта корреляция наблюдалась также в реакциях [17]
л~ + р-+А° + л~ + /С+,
л- + р^А° + л+К°,
л+ + р->А° + л+ + К+,
1С + а-+р + А° + л-,
/Г + Не4-*Не3 + Л° + л".
Все эти эксперименты дают одно и то же значение массы и
ширины
Μ * = 1385 Мэв, Г = 50 Мэв.
В реакции
ρ + ρ^Α° + Α° + π- + π+
наблюдалась и античастица Υ\. Каналы распада Υ\ суть
κ!->-Σ + π и Υ\-+Α° + π, причем
Г(У1 ->Σ + η)~ 0.1Γ (Υ\ ->Λ° + π).
*) Идентификация резонанса как /^/г-состояния подтверждается также
анализом дифференциального сечения π-ρ-рассеяния [14].
**) Здесь при переводе было опушено краткое перечисление ряда выс-
ших резонансов, поскольку содержащиеся в нем данные подверглись рез-
ким изменениям Современные экснеримен-альные данные о высших бариоп-
пых резонаисах см. в таблице на стр. 339. (Прим. ред.)

ГЛ. 19]
БЛРИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
329
Для определения спина и четности резонанса Ki использовался
метод, основанный на изучении распределения поляризации Л°-
частицы [17]. Как будет показано в гл. 33, известные характе-
ристики распада Л°-гиперона позволяют сравнительно просто
измерить его поляризацию. Таким образом, можно найти
распределения (Р)-п и (Р)-т, где (Р) — поляризация Л°-ча-
стицы, а и и т — два направления, которые определены рис.46.
Как эти распределения зависят от спина и четности Υ\, в резуль-
тате распада которого образуется
Л°-частица, можно понять следую-
щим образом *).
Выберем направление и, т. е.
нормаль к плоскости рождения, η
качестве оси квантования. Резонанс
Y*u образующийся в сильной, со-
храняющей четность реакции, опи-
сывается, вообще говоря, вектором
состояния
Ψ«=Σ^Ψ/« (19.14)
Μ
(а = /, /—1, 7 — 2,..., —/), при-
чем матрица плотности рмм, дается
равенством
V/-a/-°* (19.15)
_ ν „α Γα·
Рис. 46. Геометрия распада ре-
зонанса Kj.
Вектор η перпендикулярен плоско-
сти рождения, вектора ρ показывает
направление импульса Л"-гнперона;
изображен также вектор
го = 2/5 (р ■ п) — п.
Однако если базис выбран таким образом, что спин резо-
нанса Υ\ должен быть направлен по оси г, то **)
α α MM'
= у
-i>^(a,-ip^· <19лб)
MM'
'MM'
Μ
причем любое произведение операторов /,, содержащее хотя бы
один /,· с / φ 3, должно иметь нулевой матричный элемент. От-
сюда можно показать, что матрица рмм, диагональна, а ее
диагональные элементы задают вероятность того, что г-компо-
нента спина Υ\ имеет значение М. В общем случае конечное
*) Этот расчет является прототипом общего метода определения спина
и четности резонансов. Именно поэтому мы приводим его с такими подроб-
ностями. Другой подход (разработанный для общего случая) не использует
формализма спиральности. предпочитаемого здесь нами [18].
**) Здесь /j обозначает k-ю степень /з.

330
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
(ч т
πΑ-состояние можно записать как *)
Ф°РШК -Р. 0 = Σ Ψα (Ψα. Ф°РШК -Ρ, θ) + . .
- Σ Ψ/μΡμμ- l/^1 «(φ. е. 0). (19.17)
" ш^лш' у 4π
MM'
так что в общем случае
(σ · η) = (Φ, λ, _я> 0) (а · η)λ,λ Фя λ _Λ 0) =
λλ' MM'
2/+1
ы Σ Σ <*VH* ■ »WPmm'W<p> θ> °)«(φ. е. о)·
λλ' MM'
(19.18)
В нашем случае матрица плотности Fi диагональна. Сверх
того, выполняется соотношение
(σ · th)t,K = [(σ+β-" + σ_6'<Ρ) sin θ + a3cos θ]λλ, (19.19)
где появляются углы относительно направления ρ (поскольку
рассматриваются индексы спиральности). Так как σ± являются
соответственно повышающим и понижающим операторами, мы
получаем
(° · ™)м = 2λ cos θ δ^'λ + е~'ф sin θ ]/(-i- - λ) (~ + λ) 6ν. λ+i +
+ β'(Ρ81ηθ]/(^ + λ)(|-λ)δλ'.λ-Ι. (19.20)
Выражение для (о · η)Κλ, получится, если заменить φ на π+φ,
т. е. изменить знак второго и третьего членов. Небольшая
алгебраическая выкладка приводит к следующему результату:
{(а ■ п) ) м
X \йм. -1/2 (θ))2± 2Re(<^I/2<^lI/2)sine41,./2(eKM. -i/a(6)). (19.21)
Из сохранения четности в распаде Уррезонанса следует, что
c£i/2 = 3^-1/2, (19.22)
*) Члены, опущенные в этом разложении вектора по полной гис ie со-
стоянии, несущественны. Во втором равенстве (19.17) использован ма ернал
гл. 4, стр. 105.

ГЛ 9]
БАРЙОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
331
так что мы получаем следующий окончательный результат:
(<0 · ™> U Σ Р (М) {cos θ [(<& 1/2 (θ))2 - (dk -Ι/2 (θ))2] ±
± 2 sin θ dJM, 1/2 (Θ)^,_Ι/2(Θ)]. (19.23)
Экспериментальные распределения [19] *)
(σ · in) = 0,36±0,14 + (- 3,5± l,05)cos26 + (4,0 +1,3)cos46,
(σ·η)= -(0,39 ±0,15)+ (1,36 ±0,30) cos2 θ (19-24)
хорошо согласуются с квантовыми числами 3/2+. Эта идентифи-
ка ия резонанса и является общепринятой.
Резонанс Го (1405). Наличие резонанса в Σ+π~- и 2~л;+-систе-
мах, не обладающего однократно или дважды заряженными
партерами, было обнаружено в реакциях [20, 15]:
'Σ±+πτ+π++π-,
Р 1Σ° + π° + π++π-
II
/^- + ρ->Σ± + πτ+π°.
На рис. 42 изображено соответствующее распределение массы,
из которого мы заключаем, что
М. = 1405 Мэв, Г = 35 Мэв.
'о
Анализ углового распределения и поляризации Σ+ в распаде
^->Σ++π"
I—> р + п°
показывает, что / = 1/2 [21]. На то, какова четность резонанса,
никаких указаний нет. Уже очень давно Далиц и Туан [22] **)
заметили, чго, судя по данным по низкоэнергетическому К /^-рас-
сеянию, можно предположить, что при отсутствии других кана-
лов в ΚΝ-сжтеме должно быть связанное состояние с Τ = 0.
Если же ввести Σπ-канал, то такое связанное состояние уже не
будет стабильным и проявится как резонанс в системе Ση. Если
эта схема верна, то четность резонанса должна быть отрицатель-
ной, поскольку Л^-мезон псевдоскалярен, а / = 0.
*) Чет юсть можно определить, если заметить, что (σ ■ tn) для ча-
ст цы (/)=·= зависит от угла так же, как (о ■ я) для частицы с квантовыми
чис 1и (/)+.
* ) См также [23].

332
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
Резонанс Yo (1520). О существовании второго резонанса с
Τ = 0 при 1520 Мэв можно сделать вывод по экспериментальным
данным, приведенным на рис. 42. Этот резонанс наблюдается
также в реакции [24]
К~ + ρ — Кг + ρ + π+ + π",
где распределение массы К~р-системы обнаруживает пик при
1520 Мэв с довольно небольшой шириной Г «=16 Мэв. Заряжен-
ных партнеров у этого резонанса нет, так что нужно считать
Τ = 0.
Схемы распада резонанса У0 (1520) таковы [25]:
Κ^(Σ+π-) + (Σ-π+) + (Σ°π°) 55 ±7%,
Υ*ο-*ΚΝ 29 ±4%,
Υ*ο-»Λππ 16 ±2%.
Спин и четность резонанса получаются, грубо говоря, следую-
щим образом [26].
Эффективное сечение упругого К~7?-рассеяния можно хорошо
описать формулой
-U- = A-04 + /3cos6 + Ccos2e), (19.25)
где В мало, а С имеет резкий максимум при резонансной энер-
гии (рис. 47).
При более низких энергиях в амплитуде рассеяния преобла-
дает, по-видимому, Si/2-волна Она же ответственна за основную
часть нерезонансного рассеяния и в области резонанса (напом-
ним, что энергия 1520 Мэв довольно близка к порогу К N-рассея-
ния). Тот факт, что для описания углового распределения не тре-
буются более высокие степени cos θ, чем вторая, показывает,
что / = 3/2. Резкий минимум параметра А и малость члена
с cos θ свидетельствуют, что резонанс имеется в £3/2-состоянии.
Это ясно из выражения
"St=р f I(Si'2 ~ D3/d+cos θ (2Яз/2 + р,/2) + wwcos2 θ |2 +
+ sin2 θ | Pm - Pm + 3 cos θ£>3/212}. (19.26)
Мы выведем это соотношение позднее (гл. 23). Оно справедливо
в предположении, что в рассеянии не участвуют волны с / > 3/2.
Данные по поляризации Σ-гиперона в реакции
Кг + ρ — Σ + π
использовались, чтобы показать, что только отрицательная отно-
сительная четность ΚΣ-системы способна дать разумное объясне-
ние этим данным. Поскольку соответствующие рассуждения

ГЛ 191
ЬАРИОННЫЕ РЕЗОНАНГЫ
ззз
предпотагакл знание детальных свойств резонанса и довольно
сложны, мы не будем разбирать их здесь и отошлем читателя
к обзору Далица
Резонанс Υ\ (1660). Этот резонанс, изотопический спин кото-
рого (^=1) установлен по его распаду на Λ0 и π, обладает ши>
ринои 45 ± 5 Мэв. Его схемы рас-
•,11111 | I I I I
пада Таковы [1]:
Υ\->Α°π
Κ,->Ξπ
~ 5%,
~30%,
Fi -> Алл
-20%,
Yl->KN ~15°o,
iWFS(I405) + ji~30% [28].
В статье Альвареца и других обсу-
ждается угловое распределение в
двухчастичных каналах распада
этого резонанса. Оно показывает,
что следует предпочесть спин / =
= 3/2 отождествлению 7 = 1/2 или
/ = 52. Однако указания на это
очень недостоверны, и твердого вы-
вода сделать нельзя.
Резонанс Yi (1765). Этот резо-
нанс, ширина которого составляет
примерно 70 Мэв, имеет спин-чет-
ность 5 2'. Его схемы распада та-
ковы [29]*):
Yl
Y\
Υ\
Υ\
Υ\
->ΚΝ
->Λ°π
-♦Κ! (1385) +π
-*Κο(1520) + π
->Σπ
60%,
16%,
10%,
10%,
< 3%.
Резонанс Υ*0 (1815). Измерения
полных сечений К~р- и /C~n-pac-
сеяния показывают, что при энергии
ной 50 Мэв в К~р-сечетт, который
Щ 500
q, Мзв/с
Рис. 47. Зависимость коэф-
фициентов А, В и С, вхо-
дящих в равенство (19.25),
от энергии [27].
1815 Мэв имеется пик шири^
отсутствует в /0~м-сечении.
*) В эгои статье можно найти ссылки на более ранние работы.

334
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. ИГ
Таким образом, этот резонанс характеризуется значением
Τ = 0 (рис. 48). Угловое распределение в распадах свидетельст-
ва?^ _ ztoo
М(КИ),МэВ
Рнс. 48. Полные сечения К~р- и Κη-рассеяния в ин-
тервале энергий от 1520 Мэв до 2500 Мэв.
вует в пользу идентификации / = 5/2+ [30, 31]. Распад Ко-
—»-Fi (1385) + π наблюдается с относительной частотой 15%.
Некоторые резонансы с Υ=— 1
Резонанс Ξ1/2 (1530). В реакциях
КГ + р-Л
К"
(а)
(б)
(в)
обнаружен резонанс в системе Ξπ, масса и ширина которого
равны [32—34]
Μ = 1529 ±5 Мэв, Г = 7,5 ± 1,7 Мэв.
В пользу идентификации 7* = 1/2 свидетельствует сравнение про-
цессов (а) и (б). В случае Τ = 3/2 в процесс рождения резонан-
са давала бы вклад лишь та часть /("р-состояния, которая отве-

ГЛ. 19]
БАРИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
335
чает Τ = 1 (поскольку /С-мезоны обладают изотопическим спи-
ном, равным 1/2). Таким образом, записав
Ψ — л/ — Ψ i i/Iψ
Н-Л° "" \ 3 3/2 -1/2 "f" Χ 3 1/2,-1/2.
Ψ + = l/ - 4f 4- Ι/ — Ψ
х а я+ КЗ за, Ιβ т у з 1/2-1/2
и _ _
η2.-./2®4ν = /1Ψ2,0-/1ψ,.0,
Ψ3/2, 1/2 ® Ψ* = /~ Ψ2.0 + \Г\ Ψ..О,
мы находим, что для Τ = 3/2 вероятность рождения Ξ1/2 в реак-
ции (а) относится к соответствующей вероятности в реакции (б)
как 2: 1. Однако экспериментальное значение этого отношения
составляет примерно 1 :4, откуда следует, что изотопический
спин Τ = 3/2 этому резонансу приписать нельзя. Спин и четность
резонанса изучались с помощью одного из вариантов метода,
описанного нами в связи с резонансом У) (1385), и оказались
равными 3/2+ [33, 35].
Резонанс 3j,2(1820). Другой Ξπ-резонанс с шириной порядка
16 Мэв имеет массу 1820 Мэв. Этот резонанс распадается по
схемам:
Е;/2(1820)^Л°/С~65°/о
(из возможности такого распада следует, что Τ = 1/2),
Ξ;/2(1820)^Ξπ~5°/0(
STya (1820) -* Ξ* (1530) + π ~ 25 %,
3Ι/2(1820)-*Ξππ~5%.
Стандартный анализ спина и четности дает некоторые слабые
указания на значения 3/2".
Резонанс Ξ]/2(1933). Наблюдался также резонанс 31/2(1933)
с шириной 140 Мэв. Имеются указания на квантовые числа 5/2+.
Ω-гиперон и группа Si/(3)
В предельном случае точной SU(3) -симметрии любая ча-
стица, которая способна распадаться на барион (член барион-
ного октета) и мезон (член октета псевдоскалярных мезонов),
олжна принадлежать одному (или нескольким) неприводимому

336
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Щ
представлению группы SU(3), содержащемуся в произведении
8®8 = 1£8®8Θ1Ο^1Ο*027.
Рассмотрим теперь резонанс ТУз/гС 1238). Если мы попытаемся
приписать его какому-нибудь неприводимому супермультиплету,
то окажется, что благодаря своему изотопическому спину он мо-
жет попасть только в представления 10 или 27. Целый ряд авто-
ров показал, что правильную классификацию дает мультиплет
10 [36—38]. Следствия такого выбора таковы.
1. Резонанс .V3/2 должен иметь следующих партнеров по
мультиплету:
резонанс со спин-четностью (у) , У = 0, Τ =1,
(3 \+ 1
резонанс со спин-четностью Ig-J , Y- — 2, Г = 0,
как это указывалось в гл. 18.
2. Если взаимодействие, нарушающее симметрию, преобра-
зуется как октет, так что применима формула Гелл-Мана—
Окубо, то уровни в супермультиплете 10 должны быть эквиди-
стантны.
Резонанс Y\ (1385) также попадает в декаплет. Далее,
классификация по декаплету гребует существования резонанса
Si/2 при 1529 Мэв. И в самом деле, такая частица (Ξ*(1529))
была найдена, причем ее спин и четность, по-видимому, согла-
суются с принятой классификацией. Наконец, схема Sl/(3)-chm-
метрии предсказывает существование изотопического сичглета
с отрицательным зарядом, Y=—2 и массой 1679 Мэв. Эта масса
лежит ниже порога распада
Ω- — Ξ + К,
так что 0~-гиперон должен быть стабильной частицей, распа-
дающейся только за счет слабых взаимодействий:
Ω--* Ξ-+ л°, Q--^5° + :rr,
£Γ-+Λ° + /Γ. Ω~-»·3 + 2π.
Такая частица — й_-гиперон — действительно была открыта [39,
40]. Ее масса (1675±8 Мэв) оказалась в блестящем согласии с
предсказаниями St/ (3) -симметрии. Время ее жизни
τ = (1,3± 0,7) · 10 ш сек

ГЛ. IS]
БЛРИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
337
показывает, что ответственное за распад взаимодействие — это
слабое взаимодействие, величина которого, очевидно, не отлича-
ется существенно от того, что ожидалось.
Заметим, что если предположить, что в распадах членов де-
каплета на бариои и псевдоскалярный мезон нарушение SU(3)-
симметрии определяется только разницей масс частиц, то по из-
вестной ширине JV3/2(1238) можно вычислить ширины Y\ и 31β·
Эта возможность появляется по той причине, что произведение
8®8 содержит 10 только один раз, т. е. в теории фигурирует
только одна константа связи. Формула для ширины имеет вид*)
Здесь μ — масса пиона, т — масса бариона, Μ — масса распа-
дающейся частицы, р' — это импульс распада в системе центра
масс, а Е — энергия бариона. Именно константы связи f опре-
деляются SU(3) -симметрией. Чтобы найти соотношения между
ними, можно воспользоваться техникой унитарного спина. Рас-
смотрим
Μ {ν]/2 + -> рл+) = Μ (νΙ/2 -»· tin),
Μ (#зд + -+ ρπ+) = Μ ( Υ'~ -+ Α°η~),
Μ {νΖ+ -^ Ρ*+) = Μ few -+ π°3-),
Μ {Ыш + -* рл+) = Μ (ξ;« - π-Σ°),
Μ (ν£ +-+рл<) = м( ΥΓ - Ση).
Так к
\π. „ L ψ — Ι' 3 Ψ
4 π» = -g— Ψ{/=0 + γ ^£/=I>
*) Эта формула выводится с помощью феноменологической плотности
лагранжиана
f Г.
-2Ι = £ Φα(*>1>μαωβμ4'<*
μ
в которой ψ μα обозначают поля со спииом 3/г (см. приложение к гл. 25,
стр. 465).
22 С. Газиорович

338
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ш
то, оставляя только те члены, которые дают вклад в состояние
с U=312, получим *)
Ψ ψ = —
Λ° π~ 2
*№--/4(/4*$+.-.).
ЦТ „ψ _ ЦТ- 1\TfI/2_ L_ ψ""2!
4 Η° Ч π Ч 1 Ч 1/2 — j/g" ^ 3/2 + · · -,
ψ ψ __1ψ-1βψ0_ [_ ψ-42
ΤΕ-^π° ~ 2 %2 Τ1- j/g" 43/2 +···.
ψ Ш _ J. ψΟψΙ/2 !_ ψ1/2 ,
T3o4V ~ 2 ^1%2~ γ-ξ F3/2+···.
ΠΓ ψ _ ' ψΙ/2ψΟ_ ' φ-1/2 ,
Эти соотношения приводят к следующим предсказаниям:
Процесс Предсказанная ширина Эксперимент
Υ] -* \п~ 43 Мэв ~ 44 Мэв
Ξ*-*Ξπ 20 Мэв ~ 7 Мэв
УГ^-Σπ 6,8 Мэв ~4,8 Мэв
Сравнение с экспериментом показывает, что, несмотря на то, что
формула (19.27) слишком упрощает зависимость ширины распа-
да от масс участвующих в процессе частиц, предсказания SU(3)-
симметрии все же довольно разумны, и предположение о том,
что Si/(3)-симметрия нарушается только массами частиц, вы-
глядит правдоподобным **).
Разумно задать вопрос, сущеовуют ли резонансы, принадле-
жащие более сложным супермультиплетам, чем 8 и 10. Имеются
некоторые качественные соображения в пользу того, что массы
27-плета, если он существует, должны быть большими (см. соот-
ветствующее обсуждение в гл 25) Частицы, относящиеся к еще
более высоким мультиплетам могут рождаться только совместно
по крайней мере с еще одной частицей, так гто они не будут про-
являться как пики в сечении мезон-нуклонного рассеяния. Суще-
ствуют ли эти высшие супермультиплеты в действительности —
покажет будущее.
*) Состояние с определенным унитарным спином и его третьей проек-
цией t/3 мы обозначили через Ψ у.
**) Здесь выпущена небольшая часть текста, которая содержала све-
дения о высших резонансах, не подтвержденные экспернме itom Otho u
тельно современного состояния экспериментальных данных см табл. 6
стр. 339. (Прим. ред.)

ГЛ 19)
БАРИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
339
Барионные резонансы **)
Таблица 6*)
Класс
«№
Ν№
γ'
'о
Частица
и и
резонанс
N (1470)
А/(1518)
#(1550)
N(1680)
N(1688)
N'(1710)
N"(1750)
N (2190)
N (2650)
N (3030)
Δ(1236)
Δ(1640)
Δ(1690)
Δ(1910)
Δ(1930)
Δ(1950)
Δ(2420)
^ (2850)
Δ(3230)
V(1405)
Λ (1520)
\'(1670)
Λ'(1700)
/(/Ρ)*")
1/2(1 2+)
1/2(3/2~)
1/2(1 2~)
1 2(5 2~)
1,2 (5 2+)
1/2(1/2^)
l/2(l.'2+)
1/2 (7/2~)
1/2 (?~)
1/2 (?)
3/2 (3/2+)
3/2(1/2~)
3/2 (3/2~)
3/2(5/2+)
3/2(1/2+)
3/2 (7/2+)
3/2(11/2+)
3/2 (?+)
3/2 (?)
0(l/2~)
0 (3/2~)
Oil/2")
0 (3/2~)
Масса,
Мэв
1460
1515
1525
1675
1690
1715
1785
2190
2650
3030
1236 + 0,6
1630
1670
1880
1905
1940
2420
2850
3230
1405
1518,8
±1,5
1670
1690
Ширина
Г,
Мэв
260
115
80
145
125
280
405
300
360
400
120+2
160
225
250
300
210
310
400
440
40
16
+ 2
25
40
Главные
типы
распада
тип
распада
Νπ
Νηη
Νη
Νηη
Νη
Νη
Νη
Νηη
Νη
Νηη
Νη
Νη
Νη
Νη
Νη
Νη
Νη
Νηη
Νη
Νη
Νη
Νη
Δ(1236)π
Νπ
Νηη
Νη
Νη
Ση
ΝΚ
Σπ
Ann
ΝΚ~
Λη
Σπ
ΝΚ
Σ4
Λππ
Σππ
вероят-
ность, %
55
45
50
50
35
65
45
55
60
40
65
34
35
100
25
75
15
20
25
40
~50
11
>20
100
45
45
10
14
33
45
25
35
20
20
22*

340 СИЛЬНЫЕ ЬЗАИМОДЕЙСТбИЙ (Ч. И|
Таблица 6 (продолжение!
Класс
Го
11
s *
Ω'
Частица
или
резонанс
Λ(1815)
Λ(1830)
Λ (2100)
Λ(2350)
Σ (1385)
Σ(1610)
Σ(1660)
Σ (1700)
Σ(1765)
Σ(1915)
Σ(2030)
Σ(2250)
Σ(2455)
Σ(2595)
Ξ (1530)
Ε(1820)
Ξ (1930)
Ξ (2030)
£Γ
*) Добавл
/(;/>)*»>
0(5/2+)
0(5/2")
0(7/2"")
0(?)
1 (3/2+)
Κ?)
1 (3/2~)
Κ?)
1 (5/2~)
1 (5/2+)
1 (7/2+)
Κ?)
1(?)
Масса,
1815
1830
2100
2350
Ширина
Г.
Л!эе
75
80
140
210
1382±1 36+3
1615
1660
1700
1765
1905
2030
2250
2455
65
50
ПО
100
60
120
200
120
1 (?) Ι 2595 Ι ~ 140
1/2(3/2+)
1/2 (?)
1/2 (?)
1/2 (?)
0(3/2+)
1529+1
1820
1930
2030
7+2
~20
110
50
1672, 4
время жизни
(1,3 ±0,5) X
Х10 w сек
Главные типы
распада
тип
распада
NK
Σπ
Σ(1385)π
ΝΚ
Σπ
ΝΚ
ΝΚ
Ля
Σπ
Λπ
Λ(1405)π
Лл
N~R
Λπ
Λ(1520)π
Σ (1385) π
ΝΚ
Λπ
ΝΚ
Λπ
Σπ
ΝΚ
вероят-
ность, %
65
11
9
10
35
30
90
10
46
16
15
15
10
5
10
35
10
ΝΚ
ΝΚ Ι
Ел
Л/С
Ε(1530)π
ΣΚ
Ξπ
Л/С
ΑΚ
ΣΚ
Ξπ
Л/С
100
60
10
-30
~50
-50
еио редактором перевода. Данные взяты из статьи [41].
**) Данные по стабильным барлонам, кроме Й~-гиперона, при-
ведены в тексте гл. 14.
***) /—изотопический спин, /—спин, Я—пространственная четность.
Примечание. Кроме того, известны, но недостоверно, резо-
наисы: Δ(1690)Ρ33, Ν (1730) Z)13, /V(1P60)P,„ Λ41980)£>13, Ν (2080),
Λ43245), /V(3690), /V(3755), Z0 (1865), Zx (1900), Λ (1327), Λ (1745) P„i.
A(1750)Sot, A(1860)F07, Σ (1440), Σ (1650) S,„ Σ (1780), Σ (1880), Ξ (1705).

ГЛ- 191
6АРЙОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
341
ЗАДАЧА
Воспользуйтесь формулами
3 . .„. 1 + cos θ θ г— 1 + cos θ . θ
I-J' d№. 3/2 (θ)= 2 C°S "2 : 3'2· Χ>2 = ~ * 2 Sm ~2]
, Γ- 1 - COS θ θ . 1 - COS θ . θ
«3/2. -1/2 = ^ 3 2 C0S ¥ : 3/2· -3'2 = 2 Sln ~2'
3COS0-1 θ . l+3cos6 . θ
2 C0S2"; «1/2, -1/2 2 sin2";
1 + cos θ \2 θ _ Λ-/ 1 + cos θ \2 . θ
5 . Μ + cos θ \2 θ r-l 1 + cos θ \2 . θ
/ = J. «5/2. 5/2 = \ 2 1 ~2 ' rf5/2. 3/2 = - Τ 5 ^ ^ J sin -;
«5/2.1/2 = 4~ S θ cos 2". d5/2 _ll2= — sin2 θ sin -;
лГ=-{ 1 - cos θ \2 θ . / 1 + cos θ \2 . θ
4>/2. -3/2 = У 5 у 2 ] cos 2"; rf5/2. -5/2 = ~ ( 2 ] sm Υ''
5 cos θ - 3 , θ . 1 - 5 cos θ , θ . θ
d3/2, 3/2 ' ~ COS - ; rf3/2, 1/2 = γ= C°s2 ~ Sln ~ ;
1 + 5 cos θ . , θ θ . 3 + 5 cos θ . , θ
«3/2. -1/2 = ρ= Sin — COS — ; rf3/2, -3/2 " sln 2~5
Ι fi
dl/2 i/2 e "о" (^ cos2 Θ — 2 cos Θ— 1) cos -—;
1 Ω
«1/2, -1/2 "" ~~ V ^ cos2 6 + 2 cos θ — 1) sin -^-,
чтобы обсудить распад резонанса со спииом 5/2 на нестабильную частицу
со спином 3/2 и пион:
"••(iMi)+«+
Все выводы должны быть сформулированы в терминах частиц в конечном
состоянии, т. е. протона и пионов.

Глава 20
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ *)
Аргументация Юкавы в пользу существования мезонов, от-
ветственных за ядерные силы, была скорее качественной, так что
спин и четность мезонов предсказать было нельзя. В 1951 г. при-
рода пиона была окончательно установлена, однако совершенно
не исключалась возможность существования и других мезонов.
Так, Теллер и его сотрудники [1], предположив наличие обмена
векторным мезоном, качественно объяснили значительное спин-
орбитальное взаимодействие и отталкивание на малых расстоя-
ниях, характерные для ядерных сил. Намбу [2], а также Фрезер
и Фулко [2] показали, что предположение о наличии бозонного
состояния с векторными квантовыми числами помогает объяс-
нить ряд деталей электрон-нуклонного рассеяния (см. гл. 25).
В очень интересной работе Сакураи [3] содержатся почти неот-
разимые доводы в пользу существования векторных мезонов,
позволяющие качественно понять целую совокупность различных
явлений на основе теории возмущений с векторными мезонами.
На вопросы, поставленные теоретиками, начали поступать
первые ответы в 1961 г., когда быстрое накопление эксперимен-
тальных данных сделало возможным анализ многопионных кор-
реляций. Помимо уже предсказанных векторных мезонов, было
открыто и много других мезонов. Попытка классифицировать но-
вые частицы по мультиплетам группы SU(3) была в каком-то
смысле более успешной для мезонов, чем для барионов; поэтому
мы построим изложение именно в этом плане. Конечно, излишне
говорить, что некоторые сопоставления частиц состояниям в
мультиплетах группы SU(3) являются пока еще предположи-
тельными.
Нонет векторных мезонов **)
ρ-мезон. Этот первый из мезонных резонансов был открыт в
1961 г. в результате изучения спектра инвариантной массы пары
*) См. примечание переводчика в начале гл. 19. {Прим. ред.)
**) Имеются в виду октет и сииглет в смысле группы Si/(3).

ГЛ 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
343
пионов в реакциях
лГ + р-
п~ + р-
■п+ +π + η,
• π~ + π° + p.
Типичное распределение массы изображено на рис. 49. Масса и
ширина частицы оказа-
лись равными
Мэв,
Гр= 125 Мэв.
тр = 765
Пик
JTJt0-
ция\
π+
пнк
появляется в
спектрах [5].
Г61
+ р-
наб.
i π+ +
^и+ч-
чюдается
π+π - и
В реак-
π+ +η
π°+ ρ
только
0,5 1,0 1,5 2Л
3φφεκΓπυβΗθΗ масса,
£,5
Гэв
3,0
в π π°-, но не в л+п+-спе-
ктре, так что резонанс мо-
жно ассоциировать с со-
стоянием 7"= 1. Поскольку
резонанс широк, не воз-
никает никаких сомнений
в том, что он распадается
посредством сильных вза-
имодействий. Сохранение
С-четности требует припи-
сать резонансу G~\. От-
сюда можно сделать вы-
вод, что р° нечетен относи-
те тьно зарядового сопря-
жения, поскольку состоя-
ния с 7"=1 меняют знак
при преобразовании einT\ a
G = CeinT\ (20.1)
Двухпнонное состояние с изотопическим спином Τ = 1 должно
быть антисимметричным относительно перестановки пространст-
венных координат; так как оно антисимметрично относительно
перестановки внутренних квантовых чисел. Поэтому орбитальный
момент в распаде должен быть нечетным, так что четность
должна быть отрицательной. Таким образом, возможны лишь
следующие отождествления по спину-четности: 1~, 3_, 5_, ...Ин-
формацию о спине можно получить из углового распределения
резонирующих пионов в системе центра масс. Рис. 50 схематиче-
ски изображает геометрию реакции. Выберем систему координат,
Рис. 49. Распределение массы π+π -системы
в реакции π+ + ρ -> π+ + п~ + (/V*)++ при
8 Гэв/с [4].

341
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
N. И!
в которой налетающий мезон движется вдоль оси г, а вектор
- Р\ X Рп
lPfXft.1·
который перпендикулярен плоскости страницы (и направлен
вверх), задает положение оси у. Спин рождающегося р-мезона
должен быть ориентирован перпендикулярно плоскости реакции.
В системе покоя р-мезона его
состояние описывается волно-
вой функцией Σ СЛга, и уг-
т
ловое распределение двух пио-
нов, отнесенное к оси z, имеет
вид
ΣΡ(η)\Υ?(θ, φ)|2
(где ^тР(т) = 6\. Таким об-
Рис. 50. Графическое изображение
направлений в реакции рождения разом, ключом к отысканию
р-мезона. значения J служит «макси-
мальная сложность» углового
распределения. Если отобрать специальный класс р-событий,
так называемые «периферические» события, то р-мезон можно
рассматривать как промежуточное состояние в реакции
я+π —>- ρ —>- π + я.
В этом случае г-компонента момента импульса в начальном со-
стоянии равна нулю, и угловое распределение принимает вид
/(Θ) = |Ρ/(Θ)|2. (20.2)
Экспериментальное угловое распределение я~я0-пары можно за-
писать в форме
/(е)=л+е cos θ-ь с cose. . (20.3)
Такое угловое распределение интерпретируется как результат
когерентной суперпозиции следующих двух амплитуд: а) ампли-
туды, отвечающей резонансу в / = 1, и б) амплитуды S-волно-
вого рождения пионной пары (в состоянии с Τ = 2, поскольку
состояние с Τ — I невозможно, если / = 0). Согласно этой интер-
претации угловое распределение равно
/ (Θ) = | А, + Л, cos θ |2 = I A012 + 2 Re A0A\ cos θ +1 A, I2 cos2 Θ. (20.4)
При массе р-мезона резонансная амплитуда А\ становится чисто
мнимой, так что при переходе через массу ρ интерференционный
член меняет знак. Это и наблюдается на опыте (рис. 51). АсиМ-

ГЛ. 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
345
метрия вперед — назад для распределения π+лг-пары не обла-
дает такими простыми свойствами и будет обсуждена ниже в
связи с ε-мезоном.
Λ~·-
гот
М(л-л°)>Мз8 '
Рис. 51. Асимметрия вперед — назад углового распре-
деления п~л° как функция двухпиоиной массы л~я°
при малых передачах импульса.
Сплошная линия представляет среднее значение взитых с опреде-
ленным весом результатов различных экспериментов [6*].
I I I
' I I
Ρ ρ'
о)
6)
Ρ'
ρ ρ'
в)
Рис. 52. Диаграммы, дающие вклад в рождение двух пионов.
с) диаграмма с оянопионн JM обменом, б), в) другие дилгрзммы. Предполагается,
что если величина {р'— р)2 мала, т. е. имеет поряток нескольких квадратов пион-
ной массы, то диаграмма а) будет доминирующей.
Имеются указания, о которых мы более подробно поговорим
в гл. 27, что ρ-мезон рождается преимущественно в перифериче-
ских столкновениях, т. е. в процессах, представленных диаграм-
мой а) рис. 52. Основанием периферической модели служит тот

346
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч m
факт, что экспериментальное отношение
°("-p-»"+";»j = 1>8±0,3 (20.5)
(эксперименты Эрвина и др ). Если в части ππ-рассеяния, отве-
чающей диаграмме а) рис. 52, воспользоваться разложением
по собственным состояниям изотопического спина
уз °·° ν"2 "'·" ' Ye,
то для резонанса с Τ = 1 мы получим
σ (it+ + π- -> π+ + π~)
Фл-яо = -г^ф1,.1 + -г^ф2,-.' (20·6)
σ (π- + π° -> π- + π°)
= 1. (20.7)
Однако в первом процессе происходит обмен л+-мезоном, кото-
рый связан с нуклоном в Υ'2 раз сильнее, чем я°-мезон (в этом
легко убедиться, если принять какое-либо сохраняющее изото-
пический спин взаимодействие, например, NrNn). Таким обра-
зом, предсказывается отношение 2:1, которое хорошо согласует-
ся с экспериментом, ρ-мезон наблюдался также в большом числе
других реакций, включая аннигиляцию pp.
ω-мезон. Другой многопионный резонанс был открыт в реак-
ции [7]
ρ + р~ —> л+ + л+ + л° + л~ + л~.
Для всех случаев аннигиляции были построены распределения
массы всевозможных троек пионов. Для троек с зарядом 1 и 2 не
было обнаружено никаких отклонений от кривой, определяемой
фазовым объемом, в случае же нейтральной тройки π+π°π_ был
найден резкий пик с массой 782 Мэв и шириной, которая была
определена позднее и оказалась равной [8]
Г = 9,3 ± 1,7 Мэв
(рис. 53). Отсюда следует, что это — сильный распад и что G-
четность резонанса равна — 1. Поскольку 7 = 0, то для нейт-
рального ω-мезона С = — 1.
Спин и четность были определены с помощью графика Дали-
ца (рис. 54). Если в системе центра масс импульсы π°, л+ и п"
равны соответственно р, q — -~ Ρ и — q —^р, то для / = 0 мат-
ричный элемент распада является функцией, зависящей только
от скаляров, построенных из ρ и q (так как, согласно предпо-
ложению, ω-мезон не может быть поляризован). Далее, С — — 1.
поэтому при перестановке л* и лг, т. е. при замене Q—*—q, вол-

ГЛ 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
347
новая функция конечного состояния должна быть антисиммет-
ричной. Таким образом, матричный элемент должен иметь вид
M^s^p-qf (ρ2, q\ (ρ ■ qf). (20.8)
Энергии π+ и π- равны, если
(q + ipj = (q-~p)\
т. е. если p-q — Q. Итак, распадов, в которых оба пиона имеют од-
ну и ту же энергию, а / = 0, быть не должно. Это означает, что
0,2 ОА 0,6 Οβ /β /,2 /А 1,6 !,в 8β г,2
З/р/рвнтибная масса Mj, Гзд
Рис. 53. Число пионных троек как функция массы
тройки М3 в реакции ρ + ρ -> 2π+ + 2π~ + π°.
А— для троек с | Q | = Ι; Б — для троек с [ Q | = 2; В—для
троек с |О| = 0 [7].
в области осей симметрии графика Далица должно наблюдаться
резкое уменьшение числа событий. Однако эксперимент не дает
никаких указаний на это, так что значение / = 0 исключается.
Если импульсы трех пионов коллинеарны и образуют угол θ
с некоторой осью квантования, то трехпионная волновая функ-
ция редуцируется к угловому фактору Уу*(6). Четность такого
состояния равна (—1)3(—I)·7, где первый сомножитель пред-
ставляет собой внутреннюю четность трех пионов. Поэтому, если

348
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
четность ω равна (— 1)J, то коллинеарных событий не будет. Та-
кие события лежат на границе графика Далица. На эксперимен-
те действительно наблюдается уменьшение числа событий по ме-
ре приближения к границе графика, что показывает возможность
следующих значений спина и четности: 1~, 2+, 3~.
Теперь мы приведем аргументы, данные впервые Далицем,
что отождествление 2+ является неразумным. Закон сохранения
Рис. 54. График Далица для распада
ω°^.π+ + π0 + π- [8*].
импульса требует, чтобы все три вектора импульса обладали од-
ной и той же длиной и составляли друг с другом угол 120°. Ясно,
что поворот на 120° вокруг оси, перпендикулярной плоскости рас-
пада,эквивалентен двум перестановкам (сначала π°·«-*π+, а затем
π+<-*π"). Матричный элемент инвариантен относительно этих пе-
рестановок, так что должно иметь место равенство
e2«m/3=lj (20.9)
где т — проекция момента количества движения ω-мезона на
ось z, перпендикулярную плоскости распада. Для /<3 отсюда
следует, что т = 0. С другой стороны, операция ISR, представ-
ляющая собой произведение отражения в начале координат и
вращения на 180° вокруг перпендикулярной плоскости распада
оси, приводит к той же конфигурации, так что матричный эле-

ГЛ. 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
349
мент должен быть инвариантен относительно этой операции, т. е.
1 = ηω (— l)3eimn.
Поскольку m = О, отсюда следует, что ηω= — 1, т. е. ω-мезон об-
ладает отрицательной четностью. Если бы η(„ равнялось + 1, то
в центре графика Далица, где все пионы обладают одинаковой
энергией, наблюдалось бы уменьшение числа событий. На экспе-
рименте такого уменьшения нет, так что идентификация 2*
исключается. Общепринято отождествление 1~; таким образом,
подобно ρ-мезону, ω является векторным мезоном.
Распад
ω —*· π+ + π-
нарушает сохранение С-четности и может идти только через
электромагнитное взаимодействие. Поэтому можно было бы ожи-
дать, что он будет происходить в а2 раз (а — это постоянная
тонкой структуры) реже, чем распад ω —► 3π, так как при этом
реальные фотоны не появляются, а это означает, что матричный
элемент содержит по крайней мере вторую степень е. Однако,
как показал Глэшоу [9], из-за наличия р°-мезона, масса которого
не так уж сильно отличается от массы ω, вероятность распада
ω—*2π увеличивается примерно в сто раз. Если учесть электро-
магнитное взаимодействие, то изотопический спин уже не будет
хорошим квантовым числом и появится возможность «смешива-
ния» р°- и ω-состояний. Если мы запишем феноменологический
лагранжиан для р° и ω, включив член, нарушающий изотопи-
ческую инвариантность (λ порядка а)
-*= - Y(V)2-i(^)2-i^P°2-i^2-
-^λ^ + μ^ροα^ρο^-, (20.10)*)
то смешанный член λ можно устранить, если определить р' и ω'
следующим образом:
p0=p/cose + ro' sin6,
(20.11)
ω = — ρ' sin θ + ω' cos θ,
где
е = -агстдЯ-$^~20Я. (20.12)
2 μω - н
Если не принимать во внимание распадный член
—/л+лг(cos θρ' + sin θα/). (20.13)
*) Множитель "Κ" vV "*~ ^ω) нУжен Для того, чтобы множитель λ был без-
размерным.

S50
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. 111
то именно р' и ω' окажутся свободными, стабильными части-
цами. Согласно (20.13) следует ожидать, что для ω'-»π+π~
матричный элемент будет иметь вид
Μ (ω' -* π+π~) « tg θ Μ (ρ' -* π+лг). (20.14)
Множитель sin θ ~ θ « 20λ, так что возникает увеличение ве-
роятности приблизительно в сто раз.
На самом деле ситуация осложняется тем фактом, что ам-
плитуда рождения зт+лг-пары представляет собой сумму ампли-
туды нарушающего изотопическую инвариантность ω-распада и
амплитуды распада р° на π+π" при 782 Мэв (р°-мезон достаточ-
но широк, чтобы этот процесс был возможен). Интерференция
двух амплитуд усложняет дело. Экспериментальные указания
противоречивы:
Γ(π+π-)/ΓποπΗ^1,8^ο/0 [Ю]
и
Γ(π+π-)/ΓΠΟΛΗ<0,8?/0 [11].
(f-мезон. В реакциях
обнаружен пик в распределении массы /^-системы при энергии
1020 Мэв, причем ширина Г = 3,1 ± 0,6 Мэв [12]. Малость ши-
рины свидетельствует не о том, что константа распада мала, а
просто о малости фазового объема: порог /С+/(~-распада равен
988 Мэв. а порог К°Ж°-распада — 995 Мэв.
Оказывается, что изотопический спин φ-мезона равен Τ = О,
поскольку в реакциях
КГ + Р-- i ^+ , „- , „о
наблюдается пик в /^/("-системе, по отсутствует соответствую-
щий пик в /^"К^системе. Трансформационные свойства φ-мезо-
на при зарядовом сопряжении зависят от его спина. Из распада
φ -» К+ + К-
мы видим, что СсрС-1 = (—l)J<p и что четность φ-мезона равна
(—1)J. Поскольку Τ = 0, G-четность равна (—1)J. Эксперимен-
тальное отношение вероятностей
Γ(φ->π+π-)Ι 8
Г(ф->/С + Ю

ГЛ. 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
351
можно объяснить, если принять, что G = —1. Это означает, что
четность отрицательна, а спин нечетен*). Чтобы сделать ото-
ждествление / = 1, нужно рассмотреть отношение
Г(Ф^о + ^)
Из-за различия масс заряженных и нейтральных /(-мезонов это
отношение не равно единице, как это вытекает из изотопиче-
ском инвариантности, но, грубо говоря, пропорционально
(po/p+)2J+1,
где р+ — это импульс в системе центра масс при распаде на за-
ряженные /(-мезоны (152 Мэв/с), а р0 — это импульс в системе
центра масс при распаде на нейтральные К-мезоны (107Мэе/с).
Экспериментальное отношение свидетельствует в пользу /= 1.
Это отождествление и является общепринятым. По-видимому,
стоит отметить, что вероятность рождения φ-мезонов не очень
велика. В реакциях
Г Л° + φ
при импульсе /("-мезона 2,24 Гэв/с ω-мезоны рождаются при-
мерно в два раза чаще, чем φ-мезоны.
К*-мезон. /(*-мезон проявляется как пик в распределении
массы /(л-системы в реакциях типа [13]
i ρ + Κ0 + π~
[ р + К +п .
Его масса равна 891 Мэв, ширина составляет Г = 50 ± 2 Мэв,
изоспин равен 1/2. Это следует из того, что экспериментальное
отношение
п= ?(*--» Х° + я-)4
Н Г (Г"-»/(-+я0) i,4-U·4·
*) Другой аргумент, который предваряет обсуждение некоторых особен-
ностей распадов нейтральных /(-мезонов, проводимое в гл. 32, сводится к
следующему. При комбниироваином преобразовании СР (Р — это оператор
пространственной инверсии) φ-мезон не меняется. Если 1 — четное, то две
нейтральные частицы, которые реально распадаются, должны быть либо обе
четны, либо обе нечетны относительно СР. Если же / нечетное, то одна из
частиц олжна быть четной, а другая нечетной относительно СР. При этом
испочь уется тот факт, что К" и его античастица не являются состояниями
с определенным временем жизни Фактически с хорошей точностью можно
счита ь что на самом деле распадаются линейные комбинации К0 и Л'°,
о на и которых симметрична относительно СР и распадается главным обра-
зом на π л , а другая—антисимметрична. При φ-распаде только один Л'-ме-
зон превращается затем в я*л-, так что J должно быть нечетным [12*].

552
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч III
в то время как теоретически оно должно быть равно 2, если
Τ = 1/2, и 1/2, если Τ = 3/2. Это отождествление подтвер-
ждается также тем, что в спектре лг.К0-системы в реакции
π" + ρ -* Σ+ + π" + К0
соответствующий пик отсутствует. Изучение угловых распре-
делений [14], аналогичное изучению угловых распределений
для ρ-мезона, показывает, что спин-четность этого резонанса
равна 1~.
Итак, мы рассказали об экспериментальных данных о суще-
ствовании девяти векторных мезонов. Теперь уместно задать
вопрос: как эти данные согласуются со схемой унитарной сим-
метрии?
ρ-мезон с У = 0 и Г = 1, К*-мезоны с У = ±1 и Τ = 1/2
совместно либо с ω-, либо с φ-мезонами, которые оба обладают
квантовыми числами Y = T=0, выглядят подходящими канди-
датами на заполнение октега, а остающийся девятый мезон, по-
видимому, следует отнести к синглетному представлению.
Формула Гелл-Мана — Окубо дает для массы члена октета
с Υ = Τ = 0 выражение
т* = 4"'(Г)з-«'(Р) „ (9зо МэвГ (20.15)
(если, как это принято для бозонов, мы будем применять фор-
мулу для квадратов масс т2). Путь спасения массовой фор-
мулы был предложен Сакураи [12*], который заметил, что по-
скольку SU(3) представляет собой сильно нарушенную симмет-
рию, то на самом деле имеются переходы между синглетным
SU(3)-состоянием ω° и изотопическим синглетом ωβ, входящим в
состав октета. Переходы обусловлены взаимодействием «проме-
жуточной силы», которое нарушает SU(3) -симметрию, но не изо-
топическую инвариантность. Таким образом, феноменологиче-
ский лагранжиан, включающий «смешивание», можно записать
в виде (если опустить члены, отвечающие кинетической энер-
гии)
Jg> = - т2т1 - т><°)2 - λ2ω8ω<°\ (20.16)
где т8 = 930 Мэв, как и требуется массовой формулой. Соб-
ственные состояния массы, которые и являются наблюдаемыми
физическими частицами ω н φ, задаются соотношениями
φ — cos Ocuf, + sin θω(0»,
(20.17)
ω = — sin θω8 + cos θω<°>,
диагонализующими (20.16) при
1 λ2
e = -arctg-^ -2.
2 rag — m\

гл а\
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАИСЫ
353
Теперь физические массы определяются равенствами
m2(cp) = i-К + «D + 1 iK - <f + λΤ>
m» = 1 (m82 + m2) -1 [(m2 - m2)2 + λ4]Ι/2. (20.18)
Если в эти формулы подставить т(<р) = 1020 М.эв и т(со) =
= 782 Мэв, то окажется, что
λ = 650 Мэв, cos θ = 0.77. (20.19)
Теория смешивания приводит к некоторым определенным пред-
сказаниям. Рассмотрим распад <f->-KK. Унитарно синглетаая
компонента φ-мезона должна была бы распадаться на КК в
Р-состоянии, т. е. в состоянии, антисимметричном относительно
перестановки пространственных координат. Поэтому волновая
функция должна быть антисимметричной и по внутренним пере-
менным. Однако возможно лишь взаимодействие вида
cu°Sp (/>/>),
которое симметрично. Таким образом, на КК может распа-
даться только ωβ-компонента физического φ-мезона. Однако
взаимодействие, ответственное за такой распад, определяется
однозначно, поскольку всем условиям удовлетворяет лишь анти-
симметричная комбинация ipex октетов (f-типа). Итак, взаи-
модействие должно иметь вид
-ifilkVlp'd,ipk· (20·20)
Отсюда следует, что вероятность распада φ—*ΚΚ можно свя-
зать с вероятностью распада р° —* π+π~. который включает те
же октеты. Связь соответствующих матричных элементов осу-
ществляется благодаря взаимодействию
gSpO/JP, д»р}). (20.21)
Интересующие нас члены нетрудно найти. Они оказываются
равными
в[/2рй(Я+а?я--я-д1Ая+) +
+ "j/f ω? (К+диК~ - К~д»К+ + К\К° - К\К% (20.22)
Таким образом, искомое отношение вероятностей равно
причем мы пренебрегли эффектом расщепления масс. Но,
строго говоря, пренебрежение расщеплением масс незаконно
23 С Газнорович

354
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
|Ч. Ill
главным образом _из-за того, что масса φ слишком близка к по-
рогу рождения КК. Поэтому нужно правильно учесть как зави-
симость фазового объема от масс, так и центробежный множи-
тель PJ.
Чтобы рассчитать вероятности распадов, исходя из взаимо-
действия (20.22), воспользуемся правилами Фейнмана. В систе-
ме покоя р-мезона матричный элемент дается равенством
sfr··»·-*-»-^· №24)
где е — это вектор поляризации, а Λ — импульсы рождающихся
пионов. Квадрат этого выражения, усредненный по состояниям
поляризации р°-мезона, равен
3 L· 2π (е К+Г 3π Κ+*
поляр
так что вероятность распада определяется соотношением
Г =
1 /2 а.,\ 1 1П ч,„ г _,.,,„ , ag-fc;
[~tg2k2+) ~L·(2π)3 4π Jω*d(i,nk+b (2(°л~ mp)
+
(2я)*\3я~ +I2tnl'-"' J " "" т ' " H' 12ят*'
(20.25)
Точно такие же вычисления можно провести и для распада
φ-мезона на К+К~ и К°К° (или, лучше, для распада на К1К2 —
реально наблюдаемые собственные состояния СР). В результате
получим равенства *)
Г(ф-»/С+/Г")=1,6 Мэв (экспер. 1,9 ± 0,4 Мэв),
Г (φ -»/С,/с2)= 1,0 Мэв (экспер. 1,2±0,ЗМзв)
где использовано соотношение Гр = 125 Мэв.
Интересное замечание было сделано Окубо [15]. Он показал,
что если объединить унитарный синглет и октет в одну 3 X 3:
матрицу,
ω, . Р° . со"»
ντ^Υ2^~ vw
Ρ"
Р+ К+
<о8 _ Ро , в>ф>_ %о
VW V2 Уз
К~ К0 --^г +
(20.26)
*) В этих вычислениях мы воспользовались формулой (20.23) для отно-
шения квадратов констант связи.

ГЛ 20] БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ 855
и считать, что во всех взаимодействиях, включающих оба пред-
ставления, например в
Sp({V9, Vs}Ps), (20.27)
фигурирует именно Vg, то: а) однозначное взаимодействие
(D-типа) векторных мезонов с векторными и псевдоскалярными
мезонами (20.27) запрещает распад
φ—► ρ + я
в полном согласии с экспериментом и б) наиболее общий мас-
совый член феноменологического лагранжиана, не содержащий
Sp V<>, имеет вид
М2 Sp (VgVg) ~ μ2 Sp VgVfa = (Μ2 - μ2) ρ+ρ +
+ (м2 + -£) K'+K' + (Μ2 + μ2) ω2 + Μ 2ω<0)! - 2 VU μ2ω8ω<°>. (20.28)
Отсюда непосредственно следует, что угол смешивания равен
cos θ = |^3/2. Предсказывается также следующее соотношение
между массами:
/η2(φ) = Μ2 + 2μ2, /η2(ρ) = /η2(ω) = Μ2-μ2,
m2(/C) = M2 + iV, (20.29)
т. е.
m2 (φ) + m2 (p) = 2m2 (К*), m2 (ρ) = m2 (ω). (20.30)
Эти массовые формулы хорошо согласуются с экспериментом.
В настоящее время нет серьезных теоретических причин отно-
ситься к Vg как к основной величине, никогда не выделяя из нее
ω'°> в виде Sp Vg, так что замечание Окубо нужно рассматри-
вать как забавное, но не очень глубокое наблюдение. Наш скеп-
тицизм по поводу фундаментальной роли нонетов в форме
(20.26) вызван рассмотрением резонанса, к обсуждению кото-
рого мы сейчас переходим *).
Девятый псевдоскалярный мезон
Х°-мезон. В реакциях
(К~ + Р-*Л° + нейтральные частицы)
обнаружен новый пик в распределении квадрата инвариантной
массы нейтральных частиц [16—19]. Пик появляется при энергии
т(Х°) = 960 ± 5 Мэв.
Его ширина невелика: в литературе приводятся два значения
верхней оценки ширины — 12 Мэв и 4 Мэв, но не исключена и
*) См., однако, примечание на стр. 3δβ,

856
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. III
гораздо меньшая ширина. Х°-мезон распадается в основном по
схеме
Χ°^η+2π.
Если бы это был электромагнитный распад, что нужно было бы
предположить, если бы G-четность Х°-мезона была равна —1,
то главным его распадом оказался бы другой — Х° —* 3π. Одна-
ко такой распад не наблюдается. Поэтому мы заключаем, что
для Х°-мезона G = +1 и что η, 2л-распад идет за счет сильных
взаимодействий. Поскольку наблюдается распад
Х° — η0 + 2π°,
то Τ = 0 или 2. Но механизм рождения мезона исключает зна-
чение Τ — 2, так что /' = 0.
Имеются также некоторые данные о распаде
А'0 —»· л* + п~ + у,
который идет с относительной вероятностью 20%. Из графиков
Далица для этих событий и для η, 2я-событий получается весь-
ма вероятный вывод, что спин-четность резонанса равна 0".
Из успеха массовой формулы Гелл-Мана — Окубо ясно, что
заметного смешивания, типа предложенного для ш(°>ю8-системы,
между Х° и изосинглетным членом октета псевдоскалярных ме-
зонов (η°) нет. Поэтому объединение всех псевдоскалярных ме-
зонов в единую 3 X 3-нонетную матрицу Р9, подобную Vg, не-
разумно. Однако нонет мезонов еще раз появляется в другом
классе резонансов, к обсуждению которого мы и перейдем*).
Нонет резонансов 2+
Р-мезон. Этот резонанс был впервые обнаружен как пик в
спектре π+лг-системы в реакции [26]
π-+ρ —*- η+π++π-.
*) Β 1964 г. была предложена схема статической симметрии, основанная
на группе SC/(6) и объединяющая «внутреннюю» S£/(3)-симметрию и
«внешнюю» спиновую симметрию. В SU(6) -классификации обсуждаемые ме-
зоны попадают в один 35-супермультиплет, содержащий октет псевдоскаляр-
ных и нонет векторных мезонов. Таким образом, отсутствие попета псевдо-
скалярных мезоиов находит себе естественное объяснение и не может слу-
жить аргументом против ноиетной схемы. Заметим, что из Sf7(6) -симметрии
следуют, в частности, массовые формулы типа (20.29) и выражение Д1Я
угла φ — ω-смешиваиия. Барионные же резонансы описываются 56-супер-
мультиплетом группы S[/(6). Здесь наиболее эффектный результат — это
предсказание отношения магнитных моментов нейтрона и прогона. Si/(6)-
симметрия легко обобщается на коллинеарные процессы. Имеются также
многочисленные попытки объединения Si/(3)-группы непосредственно с
группой Пуанкаре [20—23] (см. также литературу на русском языке в
[24, 25], в последнем — особенно лекции Н. Н. Боголюбова). (Прим. перев.)

ГЛ. 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
357
Соответствующего пика в реакции
π- + ρ —* η + п~ + п°
нет, так что резонанс, масса которого равна 1250 Мэв, а шири-
на ~ 100 Мэв, следует отнести к состояниям с Т=0.
Поскольку это — симметричное состояние, спин должен быть
четным. Этот вывод подтверждается регистрацией распада [27]
Ρ — 2π°.
Угловое распределение в распаде включает член cos4 θ [28], от-
куда мы заключаем, что спин-четность /р-мезона равна 2+.
А2-мезон. Изучение реакции [29]
п+ + ρ -> п+ + п~ + л+ + р,
п~ + ρ —>■ π+ + π- + π- + ρ
при 3,65 Гэв/с показывает, что чаще всего в этих реакциях
рождается резонанс Ν*3/2 (1238). В первой реакции p°/V*++, ρ°π+ρ
и π+π~/ν*++ образуются с относительной вероятностью 30%, 25%
и 30% соответственно. р°-мезон, возникающий вместе с Л^*++,
рождается обычно «периферически», т. е. с малой передачей
импульса (этот процесс изображается такой же диаграммой,
что и на рис. 52, а, с той лишь разницей, что выходящая линия,
ранее помеченная символом //, теперь представляет /V*). С дру-
гой стороны, р°-мезон, возникающий вместе с нерезонансной
л+р-системой, по-видимому, не является периферическим. Для
таких событий в распределении массы л.+р°-пары возникает ши-
рокий пик, занимающий область от 1,0 до 1,4 Гэв.
Последующее изучение триплета пионов в реакции
π+ + ρ —► π+ + π~ + η~ + ρ
при 3,2 Гэв/с показали, что этот пик на самом деле расщеп-
ляется на два: первый пик отвечает массе 1090 Мэв и назы-
вается А\, а второй обладает массой 1320 Мэв и называетсяА2.
Ширина А2 составляет 80 Мэв.
Из существования распада
Аг —»■ π + ρ
следует, что Τ = 2, 1, 0, а наличие распада [30]
А2-+К±+К°,
идущего с относительной вероятностью 10%, свидетельствует
о том, что Τ = Ι.· Тот факт, что Л2-пик был зарегистрован так-
же в реакции
π~ + ρ ->■ η + Α°
Ι—**? + Κ\

358
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
(нейтральные мезоны, образующиеся в реакции, распадаются
на π+πτ), показывает, что спин-четность может быть равна
только 0+, 2+, 4+, ..., так как при этом А2 распадается на два
одинаковых бозона. Поскольку частица со спин-четностью 0+ не
может распасться на три пиона (вспомним гл. 15, где обсужда-
лись квантовые числа /(-мезонов), мы приходим к выводу, что
естественнее всего предположить спин-четность Л2 равной 2*.
Анализ графика Далица также свидетельствует в пользу такого
предположения. До сих пор нет никаких экспериментальных
данных о незапрещенном распаде
А2^Х° + п;
распад же
А2 -> η° + π,
идущий с относительной вероятностью 20%, регистрировался
многократно.
К*( 1410)-мезон. Указания на /(π-состояние с массой 1410Мэв
и шириной Г ~ 100 Мэв получены из рассмотрения реакций [31]
К- + ρ — К0 + л- + ρ
при 3,5 Гэв(с и
А°л~К+
при 4 Гэв/с [32]*). Угловое распределение указывает на спин-
четность 2+. Отношение вероятностей распада по различным ка-
налам обсуждалось Харди и другими. Такое обсуждение при-
водит к выводу, что Τ = 1/2.
1*-мезон. При исследованиях Λ/77-взаимодействий при 4,6—
5,0 Гэв/с в случаях, когда в конечном состоянии образуются
два /(-мезона, обнаружен пик в /(^-системе [34] (оба /(-мезона
распадаются на π+π~) при
m (И = 1500 Мэв,
причем Г «= 85 Мэв.
Существование распада
Г - К, + Кх
показывает, что /*-мезон должен обладать положительной чет-
ностью и четным спином. Опять регистрация распада
F — K + κ·
*) См. также [33].

ГЛ. 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОЙАНСЫ
ЗБ9
исключает отождествление 0+, а угловое распределение свиде-
тельствует в пользу отождествления 2+. Нет никаких данных
о соответствующем пике в /^/("-системах, так что нужно счи-
тать, что Τ = 0.
Если применить массовую формулу к К* (1410) и Л2, то ока*-
жется, что в равенстве
значения параметров М^ и λ равны
Ml = (1440 Мэв)2, λ = - (425 Мэв)2.
Если /С* (1410) и Л2 являются членами октета, то изоспиновый
синглет должен лежать при 1440 Мэв. Это значение лежит где-
то в середине между массами /° и /*, так что для спасения мас-
совой формулы нужно снова прибегнуть к теории смешивания.
Угол смешивания оказывается того же порядка, что и для век-
торных мезонов [35].
Отметим также следующий любопытный факт: с точностью
до неопределенности масс 2+-мезонов выполняется соотношение
т (К\+) - т (Л2) = гп «-) - гп (р) = т2 {К) - т2 (π). (20.31)
Это как раз то соотношение, которое должно было бы выпол-
няться, если бы все мезоны были связанными состояниями
кварка и антикварка и если бы расщепление масс объяснялось
различием масс изотопического синглета и дублета в фундамен-
тальном представлении 3 (или 3*), описывающем кварки.
Другие резонансы *)
Если внимательно следить за литературой по резонансам в
течение любых шести месяцев подряд, то за это время навер-
няка встретятся сообщения о нескольких новых резоиансах в
различных реакциях. Некоторые из этих резонансов появляются
и в других реакциях и, наконец, становятся общепризнанными;
существование же других не подтверждается. В этом параграфе
мы расскажем о нескольких таких резонансах, «неопределенный
статут» которых объясняется либо тем, что они открыты лишь
недавно, либо тем, что их квантовые числа до сих пор не уста-
новлены.
Ai-пик. Этот пик при 1090 Мэв уже упоминался в связи с Л2.
А\ распадается на πρ (рис. 55), но, по-видимому, не может рас-
пасться на КК или πη [36]. Если это так, то отождествления по
*) Современные данные по бозоипым резонансам см. β таблице на
стр. 362. (Прим. ped.)

360
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
спин-четности 0+, 1", 2+, ... исключены. Наиболее вероятная
идентификация состоит в том, что А\ —это псевдовекторная ча-
стица, т. е. обладает спин-четностью 1+. Часто подымался во-
прос, является ли А\ настоящим резонансом или же просто
кинематическим максимумом. Соответствующие рассмотрения
не приводят к определенному выводу. Кроме гого, они очень
сложны, так что мы не будем приводить их здесь и отошлем
читателей к оригинальной литературе [37—39].
А,
t г j
дфд?е/<п7иа//ая масса, Гэв
Рис. 55. Эффективная масса л+р°-системы в реакции
π+ -i- ρ -> ρ + η+ + π+ + π- при 8 Гэе/с.
Отобраны только те события, в которых не рождается резонанс
(Л*)++ [36].
ε-мезон*). Рассматривая р-мезон, мы обсуждали угловое
распределение л^лЯ-пар в системе покоя р-мезона. Угловое рас-
пределение можно интерпретировать как результат когерентной
интерференции S-волнового рождения двух пионов и р+-распада.
Параметр асимметрии вперед — назад для л+л~-пар р° не обра-
щается в нуль при резонансной энергии (рис. 56). Снова запи-
шем угловое распределение в форме
I(e)=\A0+AlcosB\2 = \Aof + \Ai\2cos2B + 2ReA0A*icosQ.
Нетрудно видеть, что если член 2Re AHi, отвечающий за асим-
метрию, не обращается в нуль в точке, соответствующей мас-
се р, где Αλ чисто мнимое, то это означает, что А0 также имеет
заметную мнимую часть. Далее, тот факт, что параметр асим-
метрии одинаков по обе стороны пика, где ReA\ имеет разные
знаки, свидетельствует о том, что Re A0 ведет себя точно также.
W
1
10
*) ε-мезон относится к числу недостаточно твердо установленных резо·
иансов, см. примечание к табл. 7 на стр. 362. (Прим. ред )

ГЛ. 20]
БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
361
Легче всего объяснить поведение параметра асимметрии, если
предположить, что существует частица с квантовыми числами
0+, Τ = 0 и массой и шириной, которые близки к массе и шири-
не ρ [40]. Такая частица, действительно, была недавно открыта.
1500
Рис. 56. Асимметрия вперед — назад углового распределения п+п~
как функция двухпионной массы π+π~.
Сплошная линия представляет среднее значение взятых с определенным весом
результатов различных экспериментов [6*].
Ее масса оказалась равной 720 Мэв, а ширина Г = 50 Мэв
[41, 42].
В-мезон. В реакциях
π± + ρ —* π° + π+ + π~ + π± + ρ
обнаружен пик [43] в распределении четырехпионной инвариант-
ной массы при энергии 1220 Мэв (Г = 100 Мэв), причем наблю-
дается сильная корреляция нейтральной тройки π+π°π~ при мас-
се ω-мезона. Поэтому В-мезон интерпретируется как резонанс в
системе ωπ. Эта простая картина, однако, в значительной сте-
пени усложняется следующими экспериментальными фактами.

362 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГЧ Ш
Таблица 7*)
Бозонные резонансы **)
Резонанс
1
ω (783)
η' (958)
или
Х°
φ (1019)
i)0+ (1070)
/ (1260)
D (1285)
Ε (1420)
f (1515)
Ρ (765)
6 (962)
ηΝ (1016)
Л, (1070)
В (1220)
A2l (1270)
A2i] (1315)
nA (1640)
PN (1650)
ρ (1700)
К * (890)
KA (1240)
КA (1320)
Символ
(Ур)
φ'
η'
φ
η
η'
η'
η
η
Ρ
π
π
Ρ
π
π
π
Ρ
Ρ
κ
κ
κ
2
(1-)
(ο-)
(1-)
(0+)
(2 + )
{Α)
{Α)
(2+)
(1-)
(?)
(0+)
(1+)
(Α)
(Ν)
(2+)
Μ)
(Λ0
( )
(1-)
И)
(Λ)
/Ο
3
o-(i-)
0+ (0-)
o-(i-)
0+ (0+)
0+ (2 + )
0+ (Α)
0+ (0-)
0+(2 + )
i+(i-)
>Η )
1- (0+)
1-(1 + )
1+(1+)
1- (Ν)
1-(2+)
Ι-(Α)
1+W
1+ ( )
1/2(1-)
1/2(1 + )
1/2(1 + )
Масса,
Мэв
4
783,4 ±0,7
958,3 ±0,8
1019,5+0,6
1070 + 10
1264±10
1285±4
1424 + 6
1514 + 5
765±10
962 + 5
1016+10
1070 ±20
1221 ±16
1269±5
1315±4
1633 + 9
1650 + 20
1700 ±20
891,4+0,6
~1240
~ 1330
Ширина
Γ, Мэв
5
12,6 + 1,1
<4
3,7+0,6
~80
145 + 25
31+4
71 + 10
73 + 23
125+20
<5
~25
80 + 35
123 + 16
26 + 7
23±12
93 ±24
120 + 30
110+25
49,7 + 1,1
— 60
— 70
Главные типы
распада
тип распада
6
π+π_π°
ηππ
π+π~γ
KLKS
π+π~π°
ππ
ΚΚ
ππ
ΚΚπ
Κ*Κ
nw(1016)n
ΚΚ
ηππ
ππ
ηπ
3π
ωπ
ρπ
ρπ
3π
2π
4π
Κη
Κηη
Κηπ
веро
ят-
ность,
%
7
-90
-10
71
22
48
33
20
<65
>35
50
50
72
18
100
<80
100
100
100

ГЛ. SO] БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ 363
Таблица 7 (продолжение)
Резонанс
1
KN (1420)
КА (1780)
Символ
on
2
К (2+)
К (Л)
/О
(уР) ···>
3
1/2 (2+)
1/2 (Л)
Масса,
Мэв
4
1422 + 4
1775 + 12
Ширина
Г, Мэв
5
90±6
72 ±26
Главные типы
распада
тип распада
6
Кп
Кр
К*п
КN (1420) η
Кр
веро-
ят-
ность,
%
7
51
33
11
34
19
11
*) Добавлено редактором перевода. Данные взяты из [45].
**) Данные по псевдоскалярным мезонам, кроме Х° (или η'),
приведены в тексте гл. 15.
***) / — изотопический спин; G — G-четность; / — спин; Ρ — прост-
ранственная четность.
Примечание. Кроме того, известны, но недостоверно, резо-
нансы: σ(410), η0+(720), Я (990), Л, 5 (1170), рр (1410), KSKS (H40)
π/ρ (1550), φ (1650), /? (1750), η (1830)', φ (1830), S(1930), Г (2200),
/Щ2380), t/(2380), κ(725), /^(1150), КА(П75), КА (1265), КА (1280\
Κν(1660), К* (2240), /?1(1630), /?2(1700), /?3(1750), NN(1925),
AW (1945), AW (2190), WW (2345).
Как известно из рассмотрения со-мезонного графика Далица,
три мезона, образующихся в результате ω-распада, имеют тен-
денцию группироваться в центре графика Далица, т. е. в боль-
шинстве случаев обладают примерно одинаковой энергией. Если
отобрать только такие β-события, в которых тройка мезонов
удовлетворяет этому условию, то оказывается, что /3-пик в за-
метной степени размывается. Если же ограничиться мезонами,
отвечающими граничным областям графика Далица, то β-пик
будет выражен очень ярко (хотя гораздо менее вероятно, что
такие мезоны образовались в результате ω-распада). Поэтому
возникает впечатление, что β-мезон — это скорее четырехпион-
ный резонанс, чем ωπ-резонанс [44]. Поскольку β-мезон не рас-
падается на 2π или КК, то его спин-четность не может быть
равна 1" или 3". Для прояснения ситуации требуются дополни-
тельные экспериментальные данные.
Несмотря на то, что в настоящее время положение дел вы-
глядит довольно запутанным, можно надеяться, что в недале-
ком будущем структура спектра мезонов станет достаточно по-
нятной, чтобы интерпретировать постоянно возрастающее число
мезонных состояний с единой точки зрения.

364
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
N. Щ
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите мультипликативное квантовое число А (Бронцана — Лоу>
которое приписывается бозоиам следующим образом: '
/р А = +\ А=-\
η°, π, К, Х°
<Р, ρ, Κ", ν ω
f Г,Аг,К-(Ш0)
Аг
Составьте таблицу разрешенных и запрещенных реакций (запрещенных только
сохранением /4-четиости) и сравните ее с экспериментальными фактами, опи-
санными в этой главе.
2. Обсудите особенности симметричного графика Далица для распада
1+-мезона в следующих случаях: а) Т = 0, б) 1, в) Τ = 2.

Глава 21
СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ 5-МАТРИЦЫ. I. УНИТАРНОСТЬ
До сих пор наше знакомство с физикой сильных взаимодей-
ствий ограничивалось обсуждением тех ее сторон, которые под-
даются анализу без знания динамики этих взаимодействий. За-
мечательно то, что эта область столь обширна. Несомненно, что
выяснение причин, порождающих симметрию, приведет к уста-
новлению еще большего числа закономерностей. Тем не менее
рано или поздно должен возникнуть вопрос о расчете сечений
рассеяния, угловых распределений или функций Грина. Поэтому
интересно попытаться сконструировать модель, которая пред-
сказывала бы с некоторой степенью точности эксперименталь-
ные результаты. Квантовая электродинамика — это первая мо-
дель, в которой было дано квантовое описание релятивистски
инвариантного взаимодействия электронного и фотонного полей.
Она оказалась на самом деле лучше, чем мы были в праве от
нее ожидать.
В трактовке же сильных взаимодействий не было достигнуто
такого успеха. Отсутствие принципа соответствия в данном слу-
чае затрудняет формулировку удовлетворительной лагранжевой
теории. Неизвестно даже количество полей, которые следует
считать фундаментальными, хотя простоты ради и выбирают
минимальное их число, как, например, в модели кварков Гелл-
Мана и Цвейга. Кроме того, в теории с любыми полями препят-
ствием Для проведения имеющих смысл вычислений служила
сильная связь. Поэтому в течение последних десяти лет внима-
ние было привлечено к разработке более скромной задачи, су-
щество которой состояло в основном в отыскании связей
между матричными элементами. В этом подходе, широко из-
вестном под названием дисперсионного подхода или «теории
S-матрицы» *), имеют дело со свойствами матричных элементов
*) Существует большая группа теоретиков, считающих, что на самом
деле имеет смысл только одна S-матрица, а понятие поля ненужно. Верим
ли мы в теорию поля или считаем, что только построенная с ее помощью
S-матрица имеет смысл, — в данном случае это никак не сказывается на вы-
числениях.

868
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
матрицы рассеяния, которые определяются структурой ре-
лятивистской теории поля. В этой главе мы изучим ряд соотно-
шений между такими матричными элементами, которые следуют
из унитарности S-матрицы или, что одно и то же, из условия
полноты набора всех физических состояний.
Элементы матрицы рассеяния могут быть выражены через
фурье-образы матричных элементов полей (см. (7.24)). Соотно-
шения же унитарности, которые будут выведены позже, не за-
висят от уравнений движения. Поэтому на данном этапе можно
вообще не затрагивать вопроса о том, какие поля являются
фундаментальными и как они взаимодействуют. Заметим, ме-
жду прочим, что это обусловлено своеобразной гибкостью тео-
рии поля, что находит свое отражение в возможности строить
локальное поле, соответствующее любой стабильной частице
[1—3]*). Таким образом, мы можем говорить о пионных или
нуклонных полях, даже если, быть может, первичные субатом-
ные сущности описываются полями с совершенно другими свой-
ствами и квантовыми числами.
Чтобы раскрыть содержание условия унитарности, рассмо-
трим частный вопрос — рассеяние пионов на нуклонах
Np + ix„ ->■ Ν ρ' + nq>.
Индексы ρ, q, ρ', qr обозначают не только импульсы, но также
спин и изоспин состояний. Унитарность S-матрицы
SS+ = S<S = \ (21.1)
означает, что для оператора R, определенного формулой
R = S — 1, (21.2)
выполняется следующее соотношение:
R + R+ = — RhR. (21.3)
Таким образом, матричные элементы удовлетворяют условию
= -Σ(Ψρ"9', /?+<")W, *Ψ£,). (21.4)
η
Суммирование в правой части проводится по полной системе
физических состояний, образующих гильбертово пространство.
Будучи записанным через Г-матрицу, определенную в (9.10)
*) В случае сильных взаимодействий мы обычно предполагаем, что
электромагнитные и слабые взаимодействия могут быть некоторым образом
«выключены», так чтс барионы и псевдоскалярные мезоны оказываются ста-
бильными.

СВ0ПСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. Ι. УНИТАРНОСТЬ 367
формулой
(Ψ2\ /?Ψ,"*) = - (2π)416 (Pk - Pt) Τ (k, I), (21.5)
предыдущее соотношение принимает вид
ПТЧР, Ч\ Ρ', q')-T(p', q'\ ρ, q)] =
= -(2π)4\] b(Pn-p-q) Γ (η; ρ', q') Τ (η; ρ, q). (21.6)
η
Левая часть этого равенства связана с мнимой частью ампли-
туды рассеяния. Соотношение же (21.6) определяет ее через
сумму произведений матричных элементов, связывающих на-
чальное и конечное состояния со всеми физическими состояния-
ми, энергия которых равна энергии начального и конечного
состояний. Среди этих промежуточных состояний допустимы
лишь те, которые могут перейти в начальное и конечное состоя-
ния. Например, в случае рассеяния пионов на нуклонах воз-
можны только такие промежуточные состояния, у которых ба-
рионное число 1, полуцелый спин, изотопический спин 1/2 или
3/2 и заряд такой же, как и в начальном состоянии. При низ-
ких энергиях, т. е. когда энергия не превосходит порога рожде-
ния пионов,
(М + mnf < (ρ + qf < (Μ + 2mnf, (21.7)
вклад в сумму по промежуточным состояниям даст лишь со-
стояние с одним нуклоном и одним мезоном. В этом случае со-
вершенно очевидно, что
i[r(p,q;p',q')-T(p', q'; p, q)] =
= -(2π)< Υ f-^el Γ dV ' x
W L·) (2n)» J (2*)» Ρν(ρ")Ρπ(<7") Χ
спин
Χ δ (ρ + q- ρ" -q") Γ (ρ", q"; ρ', q')T(p", q"; p, q). (21.8)
Сумма берется по двум возможным спиновым состояниям про-
межуточного нуклона, а множители
1 Ер.
, *v (2L9)
появляются в результате сделанного выбора нормировки со-
стояний. В отличие от виртуальных состояний, возникающих в
графах Фейнмана, частицы промежуточных состояний нахо-
дятся на массовой оболочке, так что

368
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ III
При рассеянии вперед р' — ρ и q' = q, так что в этом част-
ном случае, условие унитарности сводится к
2lmT(p, q; p, q)- - (2π)« У δ(Ρ„- p-q)\ Τ (η; ρ, <?)|2 =
- W^J (2π)3 ··· (2π)η3 Χ
η
* '"'':ЫP:Γp^lpJ'"^' "> «Mi (21.Ю)
Вернемся теперь к формуле (9.16): в системе центра масс
выражение для сечения a(p + q~>n) имеет вид
2ω,
(2π)6 Μ Γ 4 Γ d*Pl d*Pn
iE (_Q_ + _R_) V ' J (2π)3 ■■· (2π)3
9 β \ ω9 Eq )
X Ρ(Ρ,)·.·Ρ(Ρ«) ' (P" P2 P"' P' 9)lJ·
Сравнивая его с равенством (21.10), получаем*), что
lmT(p, q; p, <?) = - -^щanoJlli{W). (21.11)
Это и есть хорошо известная оптическая теорема, связывающая
мнимую часть амплитуды рассеяния с полным сечением рассея-
ния. Заметим, что, в зависимости от амплитуды обычного упру-
гого рассеяния f(W,Q, φ), дифференциальное сечение этого про-
цесса в системе центра масс, в которой W является энергией, за-
писывается в виде
-SH Σ I W, θ, φ) Р. (21-12)
спин
Эта амплитуда связана с матричным элементом бозон-ф'ермион-
ного рассеяния по формуле
f(W, θ, φ)= -^ψ-Τ{ρ', q'; p, q), (21.13)
так что мы возвращаемся к обычной формулировке оптиче-
ской теоремы
lmf(W, 0) = ^аполн(\Г). (21.14)
*) Читатели сами могут убедиться в том, что явно инвариантная форма,
соответствующая (21.11), выглядит так:
1ш Τ (ρ, с; Р, Ч) = - [(P-^2-g2|'/2 аполн (((ρ + 9)2)"2)·

ГЛ. 21] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. I. УНИТАРНОСТЬ 369
Заметим, что (21.13) принимает вид
f(W,Q,q>)=-2g-TW,q';p,q) (21.15)
для бозон-бозонного рассеяния и
f(W, θ, <f)=-Z*gtT(p', q>; p, q) (21.16)
для фермион-фермионного рассеяния. Отличие этих выражений
друг от друга обусловлено разной нормировкой однофермион-
ных и однобозонных состояний*). Формулировка оптической
теоремы в виде соотношения (21.14) при этом, однако, не ме-
няется.
Мы увидим, что оптическая теорема окажется чрезвычайно
полезной в последующих- приложениях. Замечательную связь
между амплитудой упругого рассеяния и полным сечением
рассеяния наиболее просто осмыслить, рассматривая рассеяние
с волновой точки зрения [4]. При таком описании любое ослаб-
ление интенсивности пучка падающих частиц может быть лишь
следствием интерференции между падающим пучком и когерент-
ной волной, рассеянной вперед. Поэтому зависимость от ампли-
туды рассеяния вперед линейная, а не квадратичная.
Условие унитарности (21.6) было получено без ссылок на
теорию поля и даже релятивистскую инвариантность. Посмо-
трим теперь, какое обобщение этого соотношения возникнет
в теории поля. С этой целью рассмотрим выражение для матрич-
ного элемента рассеяния, полученного в (7.14):
Χ [Ф„(у), Φ„(*)] ψΡ)^~1· (2Ι·17)
Из него следует, что
(П%- ^Vi^-i2\\dxdy£wK^^ θ(*ο-%)Χ
(2π)3'2
(2пГ
Χ [φβ (у), Φα (*)1 ΨΡ) К* ~ш · (21-18)
*) Соотношения (21.13), (21.15) и (21.16) легко получаются, если вос-
пользоваться так называемым упругим условием унитарности (21.8), которое
в системе центра масс, будучи записанным через амплитуду /, выглядит так:
Im / (ft', к) = JL J d&k„r Ι*'- к") f (ft", ft).
24 С. Газиорович

370 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. Ut
Таким образом
- (-2π)4id(p + q-ff-q')[T(/>', q'\ p, q)~Г(р, q; p', q')\ =
= - W"ii ^^'94λΨρ'· [%(у)> <ρα(*)]ψΡ)ΚΧβ-""· (21Л9)
Если мы введем переменные ξ и z, определенные следующим
образом:
y = l + ±z, х = 1-±г, (21.20)
и воспользуемся тем, что
КуЬ (У) - k (У) = е'р»\ (i z) e-'V14 (21.21)
и
К Ж (х) - /а (х) = eVja (-±z) ,"'■ νμ, (21.22)
то правая часть равенства (21.19) преобразуется к виду
(-2π)4b(p + q-p'-q')-Л^ j" dzel^+"')z/2 x
Χ(ψρ"['β(τ-)· '-(-"тЖ)· i2L23)
Отсюда мы получаем
<[i4p'. ?';p. «)-7*(p, «;p't /)]-
—ет/-»""^^ [4(f). t(-f)l".)· <21^
Интеграция по z дает дельта-функцию, и в результате оказы-
вается, что
ПТ(Р', (f; Ρ, д)-Г(р, q; ρ', ?')] =
= (2π)2{6(Ρπ-ρ-<?)(Ψρ„ /β(0)Ψ„)(Ψ„, /α(0)Ψρ)-
-ν„-Ρ + <7θ(Ψ„ /α(0)Ψ„)(Ψ„-, /β(0)Ψρ)}. (21.25)
Учитывая соотношение
(Κ*> /α(°)ψΡ)= - (2я),/2Г(«; ρ, q), (21.26)
полученное из формулы (6.28), мы видим, что первый член в
(21.25) воспроизводит равенство (21.6) *). Для достижения же
*) В формуле (21.25) в качестве полной системы фи-лическнх состояний
Ψη мы выбрали «oub-состояння.

ГЛ. 21) СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. I. УНИТАРНОСТЬ 371
полной согласованности мы должны показать, что второй член
исчезает в физической области, т. е. там, где ρ и q являются
физическими импульсами нуклона и пиона. В системе центра
масс, вводя обозначения ρ = (Ε, ρ) и ρ' = {Ε, ρ'), получаем, что
в первом члене
Pl = (p + qf = (Ер + сор)2 >{М + mnf. (21.27)
С другой стороны, во втором члене
Р1 = (Р - Я'? = φρ - <»pf ~(Р + Р')2.
Можно легко проверить, что для физических импульсов эта ве-
личина всегда меньше (М+тя)2, так что в этой области вто-
рой член вклада не дает, и тем самым мы не
противоречим соотношению (21.6).
Второй член будет, однако, давать вклад,
когда импульсы будут принимать нефизиче-
ские значения (соответствующие, например,
мнимым углам рассеяния) такие, что
(p-q'f>(M + mnf. (21.28)
Следует подчеркнуть, что матрица рассея-
ния, связывающая физические состояния, оп-
ределена только в физической области *). Мы,
однако, увидим, что в теории поля важна
и нефизическая область. Таким образом, ко-
гда мы говорим о матричном элементе, как,
например, о Т(р\ q'\ p, q), в нефизической
области, то предполагаем, что существует хо-
рошо определенная математическая процеду-
ра, с помощью которой можно определить в
этой области такую функцию. В частности, мы
будем считать, что возможно некоторое ана-
литическое продолжение физического матричного элемента в не-
физическую область. В любом порядке теории имеется явное
выражение для Т(р', q'\ p, q), и поэтому справедливость сделан-
ного предположения может быть, по-видимому, проверена. Этот
вопрос будет рассмотрен в гл. 22.
Чтобы понять, как возникает добавочный член в условии
унитарности, представим себе амплитуду рассеяния, соответ-
ствующую заштрихованному графу на рис. 57.
*) Физическая область определяется как область, в которой все пере-
менные принимают физические значения, т. е. все импульсы, так же как и
все углы, вещественны.
Рис. 57. Изобра-
жение суммы всех
графов для пион-
нуклонного рассея-
ния.
В физической области
входящими частицами
является частицы / и
2, а выходящими — 3 и
4. Стрелки обозна-
чают направления со-
ответствующих им-
пульсов. Заряды не
обозначены.
24'

372
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
гч. m
В переменных
t = {p'-pf = W-q?> (21.29)
u = {p-q'f={p'-qf,
которые удовлетворяют условию
s + t + и = 2М2 + 2т% (21.30)
физическая область соответствует тому, что s^-{M + mny, а об-
ласть, в которой отличен от нуля второй член в условии (21.25),
такова, что в ней и^(М+тл)2. Заметим, что если частицы /
и 2 являются входящими, а частицы 3 и 4— выходящими, то
энергия W в системе центра масс процесса, представленного на
рис. 57, связана с s соотношением W2=s. Физическую область
мы будем называть s-каналом. Если же теперь мы будем рас-
сматривать частицы / и 4 как входящие, а частицы 2 и 3 — как
выходящие (а это значит, что q'0<0 и q0 < 0), то энергия W в
системе центра масс будет удовлетворять равенству
W* = u. (21.31)
Таким образом, то, что мы называли нефизической областью,
является таковой лишь для процесса «1» + «2» —»· «3» +«4». Для
перекрестного процесса она будет физической областью, в ко-
торой согласно (21.25) имеет место обычное условие унитар-
ности. Если первой реакцией является, например,
π+ + ρ —* π+ + ρ,
то перекрестной ей будет
л" + ρ —* π- + ρ.
В теории возмущений эти два процесса просто связаны друг с
другом. На эту симметрию впервые обратили внимание Гелл-
Ман и Гольдбергер. Ими было обнаружено простое, но очень
важное свойство релятивистской теории поля, в которой каж-
дому графу всегда соответствует другой граф, внешние линии
которого являются перекрестными по отношению к линиям пер-
вого (как, например, на рис. 7). Мы будем часто пользоваться
свойствами перекрестной симметрии *).
Можно ожидать, что и i-каналу, в котором входящими ча-
стицами являются мезоны, а частицы / и 3 будут выходящими,
т. е. каналу, описывающему процесс
π+ + п~ —*■ ρ + ρ,
*) Связь между перекрестными реакциями была использована Яухом и
Рорлихом [5] для упрощения вычислений в электродинамике. Перекрестные
соотношения они называли «правилами подстановок».

ГЛ 21| СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. I. УНИТАРНОСТЬ 373
также должно соответствовать условие унитарности, дающее
вклад при «физических» для /-канала значениях импульсов*).
В том, что это действительно так, можно убедиться, рассмотрев
разные представления для амплитуды пион-нуклонного рассея-
ния. Начнем с редукционной формулы (7.19), которая после вы-
деления движения центра масс дает
Τ (ρ', q'\ P,q) = - -j^js- J dzeH"W) Τ θ (z°) X
хЫ^Ш-К-^КН*· (2,·32)
Существует и другая форма, получаемая с помощью той же
техники,
Т(р', q'; P, q)~
(21.33)
из которой следует, что
Г (ρ, q; p\ <?') =
-^ i ^'"+"*e<-2°>K, [4(-f). /(- -f )]»>№
(21.34)
Таким образом, мы находим, что
i[T{p', q'\ ρ, д)-Г{р, q; p', q')] =
-2π Σ Ιδ {Ρη - ρ - ч) (ψΡ-. k (θ) ψ„) (ψ„. / (0) ψβ)« (ρ) -
-δ(Ρη-ρ + ρ')(ψρ<. Π0)Ψ„)«(ρ)(Ψ„, /ρ(0)Ψβ)}. (21.35)
Чтобы убедиться в том, что первый член, как и ранее, дает
условие унитарности в s-канале, можно воспользоваться фор-
мулой (6.30). Второй член содержит матричный элемент (Ψ„,
/ρ(0)Ψ,). Если не обращать внимания на кинематические мно-
жители, то этот матричный элемент описывает процесс
π +π—>■««».
*) Этот канал получается из s-канала «перекрещиванием» выходящей
нуклонной и входящей мезонной линий В /-канале есть также симметрия от-
носительно обмена двумя мезонными линиями, что является следствием ста-
тистики Бозе для двухмезонного состояния.

374
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. lit
Аналогично (Ψρ-, / (0) Ψ„) и (ρ) описывает процесс
«п» —* ρ + р.
Можно ожидать, что область, в которой дает вклад второй член
соотношения (21.35), такова, что в ней
t> (2M)2, (21.36)
поскольку только в этом случае /VJV-состояние будет «физиче-
ским». На самом же деле этот вклад будет отличен от нуля вся-
кий раз, как только энергия в системе нентра масс /-канала бу*
дет такой, что окажется возможным породить состояние п. Низ-
шее по массе промежуточное состояние содержит два мезона,
так что условие унитарности в /-канале будет давать вклад при
t>(2m„)2. (21.37)
В этой области амплитуда Т(р + р^*п) должна быть опреде-
лена аналитическим продолжением амплитуды процесса
ρ + ρ-* «η».
Для s- и ы-каналов также есть нефизические вклады в усло-
вие унитарности, возникающие от опущенных ранее однону-
клонных вкладов в суммы соотношения (21.25). Они будут от-
личны от нуля, только если начальное пион-нуклонное состояние
будет иметь У = 1/2 и Τ = 1/2. Оценим этот вклад в s-канале.
Получим
i[T(p',q';p:q)-r(p,q;p',q')l =
= 4πΜ j dp"b {р"г - Μ2) d(p"-p-q)X
Χ(ψρ"/β(°)ψρ-)(ν/α(°)ψρ)· (2!·38)
Ясно, что этот член не дает вклада в физической области. Дей-
ствительно, вторая дельта-функция показывает, что он отличен
от нуля лишь при s = М2.
Чтобы получить более явное выражение, следует оценить по-
дробнее матричный элемент (Ψρ»> /α(0)Ψρ). Он является ма-
тричным элементом псевдоскалярного оператора. Применение
к нему редукционной техники, в конце концов, приводит нас к
следующему выражению:
(Ψρ·. /« (°) ΨΡ) ~ " (Ρ") (ψο. J dx dye'P'y-'^O (x, y) Ψ„) и (р).

ГЛ. 21] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. 1. УНИТАРНОСТЬ 375
Если мы также заметим, что этот матричный элемент в изото-
пическом пространстве должен преобразовываться как вектор,
то приходим к выводу, что наиболее общий его вид таков:
(V А, (0) ψρ) = Ш (Ρ") Y5V (P) F (Ρ2' Ρ"'. (Ρ" ~ Ρ?)- (21-39)
F является неизвестной функцией инвариантных переменных
р"\ р2 и (р"-р)2. Из (21.38) видно, что
(р" - pf = т*я, р2 = М2, р"* = М2, (21.40)
так что F оказывается константой. Мы запишем ее обычным об-
разом:
F(M2,M\ O-ji^, (21.41)
где g—вещественная постоянная, поскольку /а(0) является
эрмитовым оператором. В низшем порядке теории возмущений g
совпадает с go — константой связи в лагранжиане взаимодей-
ствия
-2*1 = igo$ (х) Υ5νΨ (х) φα (х)· (21.42)
Поэтому g часто называют перенормированной константой свя-
зи. Однако существование такой величины никак не связано со
специальным выбором лагранжиана. Она является числом, ха-
рактеризующим матричный элемент, связывающий нуклон с
пион-нуклонным состоянием с теми же, что и у нуклона, кванто-
выми числами. Теперь можно выписать правую часть соотноше-
ния (21.38). Мы получим
AnM6{s - Μ2) J dp"b{p" -p~q){- jgp) X
Χ Σ "(Ρ')Υ5τβ"(Π(ρ")"(Γ)(ρ")Υ5τ„"(ρ) =
спин, τ
= - -j^r δ (s - Μ2) й (ρ') τβταΥ5 (Μ + β + q) V5u (p) =
= 1£^b(s-M2)u{p')xtira-^-u(p). (21.43)
Аналогично однонуклонный член в α-канале даст вклад
-β§τ*("- М2)й{р')хаЧЦ^и(р). (21,44)

376
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
Мы предоставляем читателям показать, что в случае скаляр-
ных мезонов соотношение (21.43) должно быть заменено на
^гй (s - М2) й (ρ') τβτα (2М + Ц^-) и (р). (21.45)
Одночастичные состояния — это единственные состояния, для
которых были высказаны более или менее определенные утвер-
ждения о взаимодействии и о частицах. Они фиксируют зави-
симость условий унитарности от модели.
Рис. 58. Графическое изображение мнимой части амплитуды рассеяния
в s- и /-каналах.
Во втором разложении нет трехмезонных членов, что обусловлено правилами отбора
по G-четностн, которые запрещают процессы, где происходит превращение нечетного
числа мезсн 'в в четное их число.
Итак, с помощью редукционных формул теории поля мы
нашли, что мнимая часть амплитуды рассеяния может быть
представлена в виде некоторого разложения. Каждый член его
содержит матричные элементы, связывающие начальное и ко-
нечное состояния с некоторым состоянием из полного набора
промежуточных состояний с такими же энергией, импульсом и
квантовыми числами. Члены этого разложения отличны от нуля
не только в физической области. Они дают вклад в областях,
являющихся физическими для процессов, получаемых из данно-
го заменой одной из входящих частиц на выходящую и наобо-
рот. Далее, мы нашли, что при заданных трансформационных
свойствах частиц одночастичные члены в условии унитарности
могут быть явно выписаны всякий раз, когда они возникают.
Эти результаты изображены графически на рис. 58.

ГЛ. 211 СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. t. УНИТАРНОСТЬ 377
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что матричный элемент (Ψ0, А (х) В (у) Ψ0), где А (х) и
В (у) — скалярные поля, может быть записан в виде
оо
(Ψ0, А (х) В {у) ψ0) = «J dv?pAB (μ2) Δ(+' (х - у, μ2),
о
где
*+Чх-у, μ2)= - / J -^ β-""*-ν·θ(ρ") δ(ρ2-μ2).
2. Пусть (Ψ0, β (г/) .4 (х) Ψ0) представимо в виде
(Ψο, В (у) А (х) Ψ0) = i J ф2р£Л (μ2) Δ'+> (г/ - х, μ2).
Каково соотношение между р „ (μ2) и р„. (μ2), являющееся следствием
локальной коммутативности
1А(х), В(у)]=0, (х-у)*<0?
3. Пользуясь результатами задач 1 и 2, напишите представление для
(Ψο. [Л (х), В (у)] Ψ0).
Предположите, что, так же кач и в зада ie 2, [Л {х), В (у) ] = 0 для (х — у)2 < О
Как должен вести себя матричный элемент (Ψο, [А (*), В (у)] Ψ0) вне свето-
вого конуса, т. е. при (х — у)2 < О?
4. Получите представления для (Ψ0, ψ,τ (λ:) ψρ (i/) Ψ0) и (Ψ0, ψρ (у) ψα (*) *о),
пользуясь для этого наиболее общими формулами:
(2π)3 ]£ (Ψο, ψα (0) ψ„) (Ψ„, ψβ (0) Ψ„) =
= J d,n26 (ρ2 - m2) θ (р°) [барр^т2) +
+ (Ρ)αβ Ρ$ ('"2) + ^αρ Ρ& ('"') + (V5P)C,6 Ρ?* («*)] + · · ·
Воспользовавшись тем свойством, что {ψα (х), ψρ (»/)} = 0 при (х — i/)2 < 0,
запишите представление для (Ψ0, {ψβ Μ. Ψρ (i/)) Ψο)· Какое произойдет упро-
щение, если четность сохраняется?
5. Дано представление
(Ψο, ΙΑ [х), А (у)] Ψο) = I J Φ2ρ (μ2) Δ (х - у, μ2)
и известно, что А(х)—скалярное поле, удовлетворяющее уравнению
(□ + т*)А(х)= шАЦх).
Вычислите ρ (μ2) с точностью до g2 включительно.
6. Запишите определенную в (7.35) константу Zi через введенные в за-
даче 4 функции ρ(1,(μ2). Считайте, что четность сохраняется.

Глава 22
СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ.
II. АНАЛИТИЧНОСТЬ
Условие унитарности S-матрицы позволяет получить инфор-
мацию о мнимых частях ее матричных элементов. В этой главе
мы покажем, что структура амплитуды рассеяния дает важные
сведения и о вещественных частях этих элементов. Начало про-
грессу в этом направлении, о чем мы будем говорить ниже, по-
ложила работа Гелл-Мана, Гольдбергера и Тирринга [1, 2], из
которой следовало, что форма редукционной формулы для ам-
плитуды рассеяния позволяет аналитически ее продолжить в об-
ласть комплексных значений энергии. Вскоре мы поясним, в чем
состоит важность этого загадочного результата.
Аргументация Гелл-Мана, Гольдбергера и Тирринга своди-
лась к следующему.
Рассмотрим, например, амплитуду фотон-протонного рассея-
ния вперед. Интересующая нас часть амплитуды определяется
формулой
Г» (P. Q; Ρ, ,) = --^|^θ(Ζ°)(ψρ, [д(|). Α(-|)]Ψ„).
(22.1)
Это выражение полностью аналогично формуле (21.17), в кото-
рой нужно положить q = q'', поскольку фотонные 4-импульсы
при рассеянии вперед одинаковы. Условие локальной коммута-
тивности, которое мы ассоциировали с микроскопической при-
чинностью, выглядит так:
Ит)-ь(-т)]-0· *2<°· (ад
Это условие с учетом свойства ступенчатой функции 9(г°) озна-
чает, что амплитуда является фурье-образом функции, исчезаю-
щей всюду вне будущего светового конуса. Это утверждение
имеет определенное значение для зависимости фурье-образа от
энергетической переменной. В лабораторной системе амплитуда

ГЛ. 221 СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. И. АНАЛИТИЧНОСТЬ 379
рассеяния имеет следующий вид:
оо
~~к\ dz°\(pzeiq (г°~1г)рм (*· Ζο)· (22·3)
и поскольку
РкЛ*> Zo) = 0. Zo<l«|,
(22.4)
/
Комплексная
-'— "~~~-^ ллоскос/т
7s-^переменной q
\
то интегрирование совершается по области, где zo — <7-г>0.
Если теперь считать q, энергию фотона, комплексной пере-
менной с Im q>0, то для таких q интеграл будет хорошо
определен, так что для опреде-
ления аналитического продол-
жения амплитуды рассеяния
вперед в верхнюю комплекс-
ную полуплоскость перемен-
ной q можно воспользоваться
представлением (22.1). Если
амплитуду Τλλ(ρ, q; ρ, q) в ЛЯ- рис 59. Контур, использованный для
бораторНОЙ системе обозначить получения представления (22.5) для
через f(q), то наши выводы об Hi)·
аналитических свойствах f(q)
в верхней комплексной полуплоскости q позволяют нам записать
представление для f(q), в котором будут явно отражены эти
свойства и которое очень полезно для дальнейшего. Этим пред-
ставлением является формула Коши
/(<?)■
1
Ъй
т*
(22.5)
в которой контур состоит из вещественной оси от —оо до + оо и
замыкающей полуокружности в верхней полуплоскости (рис. 59).
Таким образом, мы имеем
Это представление нельзя записать, если f(q) не ограничена
в верхней полуплоскости, когда q—*oo. Мы будем предпола-
гать, что f(q) —*0, когда q-*oo, так что второй член в (22.6)
можно опустить. Другие возможности мы обсудим позже. Пове-
дение f(q) на бесконечности нам фактически неизвестно. Оно
отражает поведение матричного элемента
(MMt)-M-t)KL.

380
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
и может быть очень сингулярным. Вообще же постулируется,
что математическая природа операторов полей такова, что это
поведение не может быть более сингулярным, нежели то, кото-
рое определяется конечным числом производных дельта-функ-
ции. Это предположение эквивалентно тому, что f(q) считается
растущей на бесконечности не быстрее полинома по q.
Если f(q) обращается на бесконечности в нуль, то
Когда же q стремится к вещественной оси сверху*), то
/(</) = Iim-^r f dq' ,Hq,) . =
ε-#0 2ni J q -q-№
— OO
+ 00 +00
= iP J ^Y^,+-L· J dq'f(q'Wn6(q-qn
—00 _oo
так что **)
Hq) = irP J" dq'J^. (22.7)
— 00
Выделяя из обеих сторон равенства вещественные части, получим
Kef{q) = j-P j dq>l™MLm (22.8)
Можно легко показать, что ***)
Imf(-<7') = -Imf(<7'). (22.9)
*) Амплитуда рассеяния должна быть определена именно как это гра-
ничное значение, ибо только так можно придать смысл интегралу (22.3). Он
обладает такой структурой благодаря появлению 6(z°) в формуле (22.1).
**) Символ Ρ означает, что интеграл берется в смысле главного зна-
чения.
***) Из формулы (22.1) нетрудно видеть, что f{—q) определяется тем
же самым интегралом, что и f{q), с той лишь разницей, что теперь вместо
θ (г°) появляется —θ(—г°). Поэтому этот интеграл определяет /*(<?)·

ГЛ. 22] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. П. АНАЛИТИЧНОСТЬ 381
Это позволяет нам переписать соотношение (22.8) следующим
образом:
О оо
— оо О
сю оо
П J 4 q " + q ' π J ч tf — q
о о
оо
= ±р[чЦ'ац'Щ^-. (22.10)
П J q' -q2
Это замечательное соотношение, выражающее вещественную
часть амплитуды рассеяния вперед через ее мнимую часть, яв-
ляется прямым следствием условия микроскопической причин-
ности и потому совсем не зависит от выбора модели. Если мы
теперь воспользуемся оптической теоремой
lmf{q') = ^onomi{q'l (22.11)
то получим дисперсионное соотношение для рассеяния вперед
следующего вида:
оо
Ref(<7)= — Ρ Γ da' ^"'н^1, (22.12)
4 2л2 J 4 q' -q2
Амплитуда при нулевой частоте в точности равна томсоновской
амплитуде *)
f(0) = -7f· <22ЛЗ)
Это означает, что
оо
~lHii °^W)dq'. (22.14)
о
Полученное соотношение, однако, не может быть выполнено, по-
скольку его правая часть положительна.
Ошибка кроется в сделанном выше предположении об исчез-
новении f(q) при q —► оо. Если f(q) не обращается в нуль на
бесконечности, но зато стремится к нулю функция f{q)/q, то
*) При нулевой частоте амплитуда может зависеть только от заряда и
массы частицы мишени и должна быть равна классической амплитуде Том-
сона. Все эффекты, обязанные своим происхождением наличию структуры, а
также радиационные поправки при нулевой частоте приводят лишь к пере-
нормировке заряда и массы (т. е. к замене «голых» величин физическими).
Доказательство этого положения можно найти у Тирринга [3], Гелл-Мана
и Гольдбергера [4] или у Лоу [5].

382
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ III
в этом случае, проводя те же, что и раньше, рассуждения, полу-
чаем
T^\d^'J-U)· (22Л5>
Здесь есть дополнительный член, возникающий из-за полюса в
начале координат у функции f{q)lq. Если этот интеграл при-
вести к виду, в котором интегрирование проводится только по
положительным частотам, то получим
со
Μ л J q (<f -q2)
Это соотношение может быть записано в форме
оо
Ref(q) = ~-?- + ^P Г ^/σπΓ(<??· (22.16)
м 2π2 J q q
Формула (22.16) может быть получена и путем вычитания
из Ref(<7), определенной соотношением (22.12), выражения
Re ДО), которое получается из (22.12), если в нем положить
9=0*). Если поведение на бесконечности функции f (q) является
еще более сингулярным, то в этом случае может быть полу-
чено следующее соотношение:
«.fM-icW-' + ^-^J-V wyi'JL)- <22|7>
В действительности же, поскольку нет оснований ожидать не-
ограниченного возрастания сечения рассеяния с ростом энергии,
то, по-видимому, соотношение (22.16) является верным и срав-
нение его с экспериментом может служить способом проверки
справедливости предположений, использованных при его полу-
чении.
Пример рассеяния вперед фотонов, к сожалению, до неко-
торой степени нас дезориентирует. Доказательств существова-
ния дисперсионных соотношений для рассеяния вперед в других
системах либо вообще не существует, либо их проведение яв-
ляется делом чрезвычайно трудным. Как только рассматри-
вается рассеяние частиц конечной массы, то сразу возникают
*) Следует отметить, что каждое вычитание требует введения в теорию
дополнительных данных. В случае рассеяния фотонов /(0) можно опреде-
лить независимо, ио в мезонной теории, где нет пороговых теорем, константа
/(0) должна определяться экспериментально.

ГЛ. 221 СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ 5-МАТРИЦЫ. И. АНАЛИТИЧНОСТЬ 383
трудности. Экспонента под интегралом (22.3) как функция ча-
стоты частицы ω, определяется теперь формулой
gHuzt—i У ω2—m2 q.x
и поэтому в этом случае для комплексных ω фактически не су-
ществует простого представления (22.1). Для установления
свойств амплитуды пион-нуклонного рассеяния вперед, позво-
ляющих получить дисперсионное соотношение, необходимо при-
влекать намного более сложные методы исследования *). В слу-
чаях же рассеяния 7(-мезонов на нукло-
нах или N — Л/-рассеяния вообще нет об-
щих доказательств существования ана-
литических свойств амплитуд, необходи-
мых для написания дисперсионных соот- #\.м' }-^>*^~q=p'-p
ношений.
В такой ситуации информация об ана-
литических свойствах амплитуд рассея-
ния может быть получена путем из-
учения свойств членов рядов теории воз- „ сп _ „
» **\ г\ „ Рис. ЬО. Простейший
мущении**). Однако, хотя некоторые чле- граф> дающийи вклад в
ны этих разложений и обладают опре- матричный элемент тока.
Деленными аналитическими свойствами,
вовсе не обязательно, что этими же свойствами будут обладать и
соответствующие суммы. Это обусловлено гем, что в настоящее
время полностью не ясен вопрос о сходимости рядов теории воз-
мущений. Тем не менее в качестве рабочей гипотезы было при-
нято считать результаты, вытекающие из исследования фейнма-
новых графов, действительными и для настоящих решений.
Установление аналитических свойств амплитуды, соответ-
ствующей произвольному фейнманову графу, является делом
очень сложным. Мы проиллюстрируем эту процедуру на про-
стом примере. Рассмотрим одночастичный матричный элемент
скалярного тока (см. гл. 13) (ΨΡ-, /(0)ΨΡ). Простейший нетри-
виальный граф, дающий вклад в этот матричный элемент, при-
веден на рис. 60. Предполагается, что частица, начальный им-
пульс которой р, а конечный — р', имеет массу М. Она излучает
частицу массы μ и превращается в частицу с массой М{. По-
скольку все частицы скалярные, то вклад от этого графа про-
порционален
rf4/!fe2_(i2 + ie {p>_kf_M2 + ie {p_kf_rfi+te· (22·18>
f
*) См. например, [6] и [7]. (Прим. перев )
**) Подробное рассмотрение вопросов, встречающихся при установлении
аналитических свойств амплитуд, построенных по правилам Фейныана, можно
найти в [δ].

384
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч III
Чтобы преобразовать этот интеграл, воспользуемся старой тех-
никой Фейнмана. С помощью формулы
-стЬс-!»-'»/*.·.·/^^;,^,·,·;^^· <2219>
о о
которую легко получить индукцией из равенства
1
1 Г, 1
л,л2 J
da
[Л,а + Л2(1-а)Р '
о
мы преобразуем рассматриваемый интеграл к виду
1
2 da, da2 J ααβ (a, 4- α2 + α3 - 1) d4k X
0 0 0
Χ
[&2 + 26 (α,ρ + α2ρ') + α, (ρ2 - Μ2) + α2 (ρ' - -Μ2) - μ2αΛ + /ε]
1 1 !
= 2 J da, Γ da2 J da36 (a, + a2 + a3 - 1) J d4£ X
ooo
[(Α-α1ρ-α2ρ/)2-(αΙρ + α2ρ')2 + (Λ12-,Μ2)(α1 + σ2)-μ2α3 + /ε]3' ' '
Учитывая равенство
2Ι^^Τ7ε-=-^Γ· (22.21)
получим *)
I 1 1
— in2 da! da2 da3 X
0 о ;
X 6(ai+a2 + a3- 1) ^ 22)
a2M2 + a2M2 + 2ala2pp' + (M2 - Μ2) (a, + a2) + u2a3 "
Сингулярности могут быть только там, где знаменатель обра-
щается в нуль. В зависимости от переменной
<72 =(р' — р)**= 2AI2 — 2/7//,
*) Если частицы спинорные, то в числителе подынтегрального выраже-
ния появляются некоторые γ-матрицы и члены, подобные (Mi -p+k) Они
могут привести к тому, что интеграл начнет расходиться Однако они не ме-
няют аналитических свойств, которые определяются только свойствами зна-
менателя подынтегрального выражения.

ГЛ. 22] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. II. АНАЛИТИЧНОСТЬ 385
которая может пробегать все комплексные значения, знамена*
тель приобретает вид
D (at, q2) = (α, + α2)2 Μ2 + (α, + α2)(Μ2 - Μ2) + α3μ2 - α,α2<72. (22.23)
Очевидно, что для комплексных q2 знаменатель никогда не об-
ращается в нуль. Следовательно, все сингулярности должны
располагаться на вещественной оси плоскости переменной q2.
з
Если воспользоваться связью 2 Щ= 1 > т0 мы можем выраже-
i = l
ние в знаменателе записать так:
D (аг, q2) = - М\ (1 - а3) + М2(1 - а3) + сух2 - а,а2<?2. (22.24)
Замечая, что внешние частицы массы Μ стабильны, так что
Μ<Μ1+μ,
мы видим, что
D (а„ q2) > [Μ, (1 - а3) - μα3]2 - а,а2<72.
Следовательно, сингулярности должны лежать в области q2>0
в точках
„2 Μ2(1-α3)-Μ2α3(1-α3) + μ2α3
з
причем параметры cti, се2, се3 связаны соотношением 2α/=1·
1=1
Минимальное значение правой части этого равенства находится
с помощью обычного метода множителей Лагранжа. Мы запи-
сываем
Μ, (1 — а3) - М2а3 (1 — а3) + μ2α3 / da, rfa2 \
Qia2 \ Ctj Сг /
das [-Λ42-Μ2(1+2α3)+μ2]= 0
aia2
И
λ (dai + rfa2 + da3) = 0.
Складывая эти равенства и полагая затем коэффициенты при
дифференциалах равными нулю, после простых преобразований
находим, что искомый минимум реализуется при
μ2 Μ2-Μ2-μ2
tf-a°- . , г, ей = —2 f-^-. (22.26)
1 2 Μ2 + μ2-Μ2 ^ Μ2 + μ2-Μ2 '
Если Μ2<μ2 + Λ42, как это имеет место, скажем, в случае
нуклон-фотонной вершины (где Mi = M), то тогда мы получаем
ay = a2^ 1/2, что можно согласовать с дополнительным условием
25 С, Газиорович

386 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. Ш
на аг лишь при а° = а°=1/2; «з = 0· Это в свою очередь озна-
чает, что сингулярности на положительной оси переменной q2
начинаются с порога
<72М„„ = 4Л^. (22.27J
Если же Λ42>μ2 + Μ2, то в этом случае сингулярности начи-
наются со значения
которое, хотя и положительно, однако меньше 4.М2*). Таким
образом, если не делать вычитаний, которые обусловлены по-
ведением на бесконечности, то мы получаем представление
со
(Ψρ-, / (0) ΨΡ) = F ((ρ' - pf) = F (<?*) = 1 Γ dq'2 ]rHf\. (22.29)
π J q' — q2 — le
'мин
Было установлено, что аналитические свойства, следующие из
этого представления, характерны для каждого члена разложе-
ния в ряд теории возмущений матричного элемента тока.
Теперь мы покажем, что появление рассмотренных выше
сингулярностей предписывается условием унитарности. Приме-
ним редукционную технику к матричному элементу
(%',/(0)Ψρ).
Мы можем получить для него два эквивалентных выражения:
(Ψρ,,/(0)Ψρ)=-^ /^"'*Θ(Χ0)(Ψ0, [f{x), /(0)]Ψρ) (22.30)
и
(ΨΡ',/(0)Ψρ)=-^3β /^-^θ(-Χ°)(Ψρ,, [j(0),f+(x)]Vo), (22.31)
откуда следует, что
(ΨΡ, /(0)Ψρ')' = --^/^'^Θ(-^(Ψ0, \f{x), /(0)]ΨΡ)·
Следовательно
(Ψρ'. /(0)ΨΡ)-(Ψρ, /(0)Ψ„)· =
~l^i dxelP'X^o, [fix), /(0)]ΨΡ). (22.32)
*) Для формфактора дейтрона (рис. 61) Μ1=-μ=43(Μα+ΕΒ), где Ев —
энергия связи. Значит, q^lUu = 8MaEB.

ГЛ. 22] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. II. АНАЛИТИЧНОСТЬ 387
Разлагая (22.32) по полной системе состояний и проводя инте-
грирование по х, получаем
(4V, / (0) Ψρ) - (ΨΡ, / (0) Ψ,)' = 2/ Im F (q2) =
= (2π)5/2 i Σ {δ (Ρ„ - ρ') (Ψ0, f (0) Ψ„) (Ψη, / (0) Ψρ) -
η
-δ(Ρη-ρ + ρ')(Ψο, /(0)Ψη)(ΨΠ> /(0)Ψρ)}. (22.33)
Первый член в правой части этого равенства обращается в
нуль. Происходит это потому, что состояние Ψη с 4-импуль-
сом р' должно быть одночастичным состоянием. Однако в гл. 13
было показано, что частица с энергией-импульсом р' таким, что
р'2—М2, имеет перенормированную массу Μ только в том слу-
чае, если
(Ψο,Κ0)Ψρ-)-0. (22.34)
Второй член в соотношении (22.33) дает вклад в нефизической
области*), где Р2 = q2 > 0. Фактически же этот вклад отличен
от нуля для всех q2 больших, чем квадрат массы наинизшего со-
стояния Ψη, для которого не обращается в нуль элемент
(Ψο,/(0)Ψη). В случае, когда рассматривается матричный эле-
мент электромагнитного тока, наинизшим состоянием является
двухпионное состояние, так что мнимая часть оказывается от-
личной от нуля при q2>4m2x. Для процесса, изображенного на
рис. 60, ток (он был взят для простоты скалярным) «порожда-
ет» пару частиц массы Mt. Поэтому порогом является значение
<72 = 4М2, (22.35)
что находится в согласии с равенством (22.27). В случае же,
когда Λ42>Μ2 + μ2, ситуация оказывается более деликатной.
Как было показано Мандельстамом [9], к чьей работе мы и дол-
жны адресовать читателей, интересующихся деталями данного
вопроса (см. также [10]), разрез опять-таки проходит от значе-
ния 4М1 до бесконечности. Однако структура матричного эле-
мента (Ψη, f(0)xVp) такова, что разрез деформируется и начи-
нается теперь со значения, приведенного в равенстве (22.28),
следуя затем к +оо.
*) Поскольку ток 1(х) был определен как эрмитов оператор, то можно по-
казать, что этот матричный элемент должен быть вещественным, что проти-
воречит соотношению (22.32). Фактически так оно и есть в физической обла-
сти, в которой φ = [ρ'— р)2<0 и импульсы ρ и р' вещественны. Правая
часть равенства (22.33) ие исчезает при q2>0, и здесь Fig2) нужно рассма-
тривать как аналитическое продолжение матричного элемента тока в нефи-
зическую область. Предыдущее рассмотрение показало, что такое аналитиче-
ское продолжение возможно.
2Б*

388
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. 1Ц
Заметим, между прочим, что положения начальных точек ли-
нии сингулярностей находятся в соответствии с физически инту-
итивными представлениями [11]. В случае, когда Μ2 < Μ*+μ2,
что имеет место для нуклонного формфактора, размер нуклона
определяется наилегчайшей частицей, которая может быть ис-
пущена нуклоном и снова им поглощена после
ее взаимодействия с электромагнитным полем.
Таким образом, радиус нуклона
Когда же Μ2>Μ2 + μ2, что должно иметь ме-
сто для дейтронной вершины, например, та-
кой, которая изображена на рис. 61, то про-
тяженность определяемой ею структуры есть
размер дейтрона. Поэтому следует ожидать,
Рис. 61. Граф тео-
рии возмущений
для электромаг-
нитного формфак-
тора дейтрона.
что*)
1
4 yMlE£
(22.36)
Нами было молчаливо принято, что р2 = р' = М2, так что в
действительности представление выглядит так:
со
η J ef —a2
где
G{p\ p'W) =
= ij\im{F(p\ p'\ / + fe) - F(p2, p'\ / - te)) (22.38)
2i
e-*0
— скачок функции F(p2, ρ'; q2) при переходе через разрез в
комплексной плоскости q2. Соответствующий контур изображен
на рис. 62. Если же р2 и (или) р' произвольны и могут ме-
няться, то возможно появление новых сингулярностей в плоско-
сти переменной q2. Это может сказаться либо в смещении син-
гулярностей, что приведет к удлинению разреза (как это было
в рассмотренном выше случае), либо каким-то другим более
сложным образом, вследствие чего окажется невозможным
*) Волновая функция системы двух связанных частиц массы М\ с энер-
гией связи Ев ведет себя как е~ат, где а= уМ.Е„ Поэтому распределение
заряда ведет себя как е~2аг, так что (г) ~ 1/2а и среднее расстояние от
«границы» до центра масс порядка 1/4ц.

ГЛ. 221 СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. II. АНАЛИТИЧНОСТЬ 389
Комплексная
плоскость
переменной
Чг
записать простое спектральное представление. Только для огра-
ниченного множества значений р2 и р' можно доказать спра-
ведливость представления (22.29) для вклада в вершинную
функцию [12] каждого графа тео-
рии возмущений.
Рассмотрение амплитуд рас-
сеяния намного сложнее. Это
объясняется тем, что даже тогда,
когда внешние частицы нахо-
дятся на массовой оболочке, ам-
плитуда рассеяния зависит от
двух переменных—энергии и угла
рассеяния. Во многих случаях
важно знать аналитические свой-
ства амплитуды по обеим пе-
ременным. Анализ большого клас-
са фейнмановых графов, так же
как и нерелятивистской теории рассеяния, свидетельствует в
пользу предположения Мандельстама [13] о поведении ампли-
туды любого двухчастичного процесса А + В —> С + D. Обозна-
чим массы и 4-импульсы этих частиц соответственно буквами
Рис. 62. Контур в комплексной
плоскости переменной <72, приво-
дящий к представлению (22.37).
а) - " б) ° * 6)
Рис. 63. Кинематика процессов: а) А + В->С + D,
б) A + C->B + D, e) A + D-+B + C.
тА,..., mD; рА,..., рв. Графически этот процесс представлен
на рис. 63. Из числа обычных переменных
s = (pA + Рв?>
i = (PA~Pcf>
и = {рА- PdY.
(22.39)
связанных между собой соотношением
s + t + u = тА + гп?в-\- tn2c + т20,
(22.40)

390
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
только две переменные независимы. В системе центра масс для
реакции А + В-+С + D переменная
s= W\
где W является полной энергией в этой системе. Переменная /
называется передачей импульса, поскольку в том случае, когда
одинаковы массы частиц С и Л, а также D и В (как, например,
в случае пион-нуклонного рассеяния), (—t) является квадратом
передачи импульса в реакции А + В —* С + D. Предположение
Мандельстама состоит в следующем. Любому четырехчастично-
му процессу (изображенному на рис. 63) сопоставляется функ-
ция (p(s, /, и), причем s, t и и связаны соотношением (22.40).
Эта функция аналитична везде в комплексных плоскостях пере-
менных s, t и и, за исключением разрезов, определяемых обоб-
щенными условиями унитарности. Она имеет некоторые гранич-
ные значения на берегах разрезов. Таким образом, когда пере-
менная s стремится сверху к разрезу в s-плоскости, идущему от
s0 до +оо, то соответствующее граничное значение определяет
амплитуду в s-канале, т. е. амплитуду процесса А + В —*С + D.
Если переменная / стремится сверху к разрезу в /-плоскости, то
функция φ превращается в амплитуду процесса А + С -* В + D.
Аналогичная картина имеет место и для ы-канала.
Как мы увидем, амплитуда процесса с четырьмя внешними
частицами может быть представлена в общем случае как сумма
произведений некоторых кинематических факторов таких, как
спиноры и γ-матрицы, и величин, которые мы назовем инвари-
антными функциями. Предположенные Мандельстамом свойства
этих функций находят свое отражение в представлении Ман-
дельстама *):
со ею оо
·<·. '■ -»-■: i «№+т1 **£Н /*-$£+
ОО СО ОО ОО
• +-L Г f ds'dt' Р"(5,'<,} lJL Г Г dfdu' P23^'^ I
+ π2 J J as al (s'-5)(/'-0 + n2 J J at au (*'-<)(«'-«) +
оо со
Пороги s-, t- и «-разрезов (s0, tQ, u0) определяются обобщенными
условиями унитарности.
*) Переводы основополагающих работ по представлению Мандельстама
см. в [14]. (Прим. ред.)

ГЛ. 22] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИцЫ. II. АНАЛИТИЧНОСТЬ 391
Представление Мандельстама (22.41) так, как оно здесь
сформулировано, не является самым общим. Поскольку неиз-
вестно поведение «спектральных функций» р» (х, у) при больших
значениях аргументов, то вполне возможно, что на самом деле
необходимо сделать некоторое число вычитаний наподобие тех,
которые были сделаны при получении модифицированного пред-
ставления (22.17). Следует также заметить, что функции (pj(s')...
могут содержать сингулярности типа дельта-функцийg2fi(s' — μ2),
так что функция <D(s, t, и) в этом случае должна иметь полюсы
вида g2if(y^~s). Важность предположения Мандельстама будет
раскрыта нами в следующей главе. Здесь же мы только хотим
отметить, что, несмотря на свою простоту, представление Ман-
дельстама вовсе не следует из аналитических свойств ампли-
туды по одной переменной, когда другая фиксирована в физи-
ческой области. Например, неверным является утверждение, что
аналитические свойства вершинной функции по двум перемен-
ным таковы, что можно записать представление
π2 J J (x~p )(y-q2)
Было установлено, что представление Мандельстама имеет ме-
сто в теории потенциального рассеяния для потенциалов вида [15]
оо
V{r)=\ doe^-,
μ
а также и для большого класса фейнмановых графов*).
Для процессов, описываемых графами с числом внешних ли-
ний, большим четырех, таких, например, как процессы обра-
зования частиц, число переменных, от которых зависят ампли-
туды, очень быстро увеличивается. Поэтому даже в случае про-
стейших графов нельзя сделать каких-либо предположений о
свойствах амплитуд как функций нескольких переменных. Су-
ществуют указания на то, что если значения всех переменных,
кроме одной, лежат в физической области (так что все энергии
и импульсы, за исключением одной переменной, которая ком-
плексна, вещественны и положительны, вещественны также и
углы рассеяния), то амплитуда снова аналитична по выделен-
ной переменной во всей ее области, за исключением разрезов,
*) Даже в четвертом порядке теории возмущений существуют графы,
для которых представление Мандельстама не выполняется. Это — те графы,
в которых существуют аномальные пороги наподобие тех, о которых мы уже
говорили, когда рассматривали вершинную функцию. Простым руководстпом
по аномальным порогам является работа Колемана и Нортона [16], в кото-
рой можно найги и ссылки иа соответствующую литературу.

392
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
обусловленных требованием унитарности. В качестве иллюстра-
ции рассмотрим амплитуду процесса
π + Ν—>Ν + π+π,
изображенного на рис. 64, а. Мы можем с уверенностью предпо-
ложить, что если значения переменных s = (р + q)2, Sn = (ρ' +
+ <7i)2, Si2= {p' + qz)2, лежат в физической области, то ампли-
туда аналитична по / = (р' — р)2 во всей плоскости этой пере-
менной, за исключением разрезов, определяемых условием уни-
тарности, как это показано на рис. 64, бив. Таким образом,
I /
/¥,'/&
\ I
\ I
\ i
\
\
ft
в)
Рис. 64. а) Процесс n + N-y-N + n + n; б) одночастичный
член в мнимой части амплитуды в <-канале; в) многочас-
тичный член в мнимой части амплитуды в <-канале.
для A (s, Su, S12, ,.., t) мы получаем следующее представление:
со
A (s, sn, .... t) = — J at ψ—i =
t,
CO OO
= J_ Гш,Сб{1'-уА А...,П + А_ С dfB^Qm {22A2)
η J i—I я J t —t
t, и
В этом соотношении В является мнимой частью амплитуды в
/-канале. Она состоит из двух частей, что показано на рис. 64, б
и е. Первая, одночастичная, часть содержит произведение пион-
нуклонной вершинной функции и четырехпионной функции, при
этом масса одного из пионов равна ?'. Многочастичная часть
своим происхождением обязана превращениям трех пионов (пре-
вращения двух пионов невозможны из-за сохранения G-четно-
сти) в другие частицы. Однопионный обменный член после инте-
грирования дельта-функции в качестве вычета в полюсе t=μ1
дает произведение пион-нуклонной константы связи и амплиту-
ды пион-пионного рассеяния. В гл. 27 мы увидим, что есть осно-
вание считать, что в экспериментах, где происходит образование
частиц, при малых отрицательных значениях t в полной ампли*

ГЛ. 22] СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ S-МАТРИЦЫ. П. АНАЛИТИЧНОСТЬ 393
туде доминируют одночастичные обменные члены. Тем самым
можно косвенным образом получить сведения о пион-пионном
сечении рассеяния. Решающее значение в проблеме справедли-
вости подобных выводов имеют представления
типа (22.42). Именно по этой причине мы здесь s„r дгу
о них и упомянули. у^ if
ЗАДАЧИ
/
\
1. Рассмотрите граф (рис. 65). Выпишите выражение 4 V
для соответствующей этому графу амплитуды как фуик- 'р у
ции s=(p+<?)2 и t=(q' — q)2, в котором интегрирование
ведется только по фейнмановым параметрам (наподобие ρ «.,-
выражения (22.22)). Обсудите аналитические свойства ам-
плитуды как функции s при t^O.
2. Пользуясь полученным в задаче 3 гл. 21 представлением для величины
вакуумного ожидания коммутатора, найдите представление для
(ψο, е^-йии, β(ν)]ψβ).
Каковы аналитические свойства фурье-образа этого матричного элемента? Что
определяет положение сингулярностей?

Глава 23
ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
В пятидесятых годах, перед тем как на базе представлений
о внутренней симметрии возник новый раздел физики элемен-
тарных частиц, пионы и нуклоны среди всех прочих частиц за-
нимали особое положение. В частности, пион-нуклонное рассея-
ние рассматривалось прежде всего как динамическая проблема.
Стимулированное работой Гелл-Мана, Гольдбергера и Тиррин-
га изучение аналитических свойств амплитуд рассеяния сразу
привело к установлению простых соотношений между вещест-
венной частью амплитуды пион-нуклонного рассеяния и полным
сечением рассеяния [1, 2]. Успешное их сравнение с эксперимен-
тальными данными говорило за то, что наконец-то найден метод
теоретического исследования сильных взаимодействий. Получе-
ние и проверка дисперсионных соотношений для рассеяния впе-
ред исторически предшествовали изучению аналитических
свойств амплитуды рассеяния как функции обеих ее перемен-
ных — энергии и косинуса угла рассеяния. Однако мы не будем
следовать историческому ходу событий и воспользуемся слу-
чаем, чтобы более или менее широко взглянуть на проблему
пион-нуклонного рассеяния в целом. Поэтому для получения
дисперсионных соотношений для рассеяния вперед мы восполь-
зуемся предположением Мандельстама, несмотря на то, что
оно всего лишь гипотеза, в то время как существование интере-
сующих нас дисперсионных соотношений можно доказать и без
теории возмущений [3, 4].
Перед тем как записать представление Мандельстама, мы
должны остановиться на некоторых вопросах кинематики. Это
немного скучно, однако необходимо и может пригодиться где-
нибудь еще. Начнем с того, что если в амплитуде
Тр(р', q'\ Ρ, <l)=-^jdze ^θ(Ζο) (ψ,, [fc(f). /«("τ)]*')
(23.1)

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 395
явно выделить то, что обусловлено наличием двух нуклонных
состояний, то для нее получим следующую форму:
Tpaip', q'\ ρ, <7) = -^~5-«(ρ')<2βα"(Ρ)· (23.2)
Здесь Sgnip', q'\ ρ, q) — 4 X 4-матрица, заключенная между
спинорами й(р') и и(р). Наиболее общий вид матрицы
&(р{р'> Я'\ Р, Ч) таков:
-A + B^ + C^l^, Υν] + βμΥμΥ5 + £γ5. (23.3)
Скалярная, векторная и т. д. функции в этом выражении зави-
сят от импульсов нуклонов ρ и р' и мезонов q и q' в начальном
и конечном состояниях. Однако последние два члена на самом
деле не возникают, поскольку амплитуда должна быть скаля-
ром*), ибо четность в сильных взаимодействиях сохраняется.
Тензорный член должен иметь вид
c^=c,pVv + c2py+...
Поскольку он заключен между спинорами й(р') и и(р), то мож-
но воспользоваться уравнениями
(р-М)ы(р)=ы(р')(р'-Л1) = 0
и исключить его вовсе. По аналогичным же соображениям су-
ществует всего лишь один векторный член, и соотношение (23.2)
можно записать в виде
Ура(р', q'\ ρ, q) =
= W"^[_/lpa(s· '» "Η-ΠΓ^βρα^ *. u)]u{p). (23.4)
Функции i4pa(s, t, и) и Bpa(s, t, и) зависят от скалярных пере-
менных
* = (р + <7)2.
t = {q'~qf,
U = (p'-qf,
причем
s + t + u = 2M2 + 2m%. (23.5)
Что же касается зависимости от изотопических переменных,
то мы считаем, что спиноры й(р') и ы(р) имеют не выпи-
санные явно индексы, которые указывают на то, что эти спи-
норы в действительности являются восьмикомпонентными,
*) Из трех независимых 4-векторов нельзя построить псевдоскаляра.

396
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
t4. Ill
представляющими нуклонные состояния, т. е. протон и нейтрон.
Таким образом, функции Лра и βρα являются 2 X 2-матрицами
в изотопическом пространстве. Наиболее общим их представле-
нием является следующее:
лра = брал(+Ч4к, та]л(->,
, (23.6)
ββα = δβ„β(+, + Τ[ν τα]β(-».
Таким образом, при заданных энергии и угле рассеяния пион-
нуклонное рассеяние может быть описано четырьмя числами.
Этого и следовало ожидать. Каждому значению изоспина Τ =
= 1/2 и 3/2 соответствует по две амплитуды. Одна из них опи-
сывает рассеяние, когда спин остается неизменным, другая —
когда он переворачивается.
Динамика пион-нуклонного рассеяния описывается функция-
ми A(±y>(s, t, и) и B(±'>{s,t,u). Они как раз и являются теми ин-
вариантными амплитудами, которые, по нашему предположе-
нию, обладают мандельстамовскими аналитическими свойствами.
Эти амплитуды будут представлены выражениями, подоб-
ными выражению (22.41). Однако, кроме того, возникают и до-
полнительные члены, обусловленные одночастичными вкладами,
чьи мнимые части были выписаны в формулах (21.43) и (21.44).
Там мы нашли, что
l[Tta(p'' Я'\ Р> Ч)~Т^{р, q\ p', q')] =
+ многочастичные вклады. (23.7)
Это означает, что мы можем написать
со со
(M+mnY im\
СО СО
if , f РиЧ»'. О
(M+mn)2 4ml
OO CO
+ Λ f ds' Г rfu' ffi'fr'·,"') , (23.8)
Jt2 J J (s' - s) («'-«) ' v '
(Ai+mn)2 (Ai+mn)2
поскольку одночастичные члены возникают лишь совместно с
комбинацией ■ -, т. е. появляются только в В(±)-фуыкциях.

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 397
Нижние пределы в выписанных выше интегралах определяются
порогами рождения нуклона и мезона в s- и ы-каналах и двух
мезонов в /-канале.
После несложных алгебраических преобразований соотноше-
нию (23.7) можно придать такой вид, из которого следует, что
*ν1β(+)(δ· '· ")-Bw*(s, t, u)] +
+ -§-[τρ. τα][β(_)(5, t, m)-B(-)*(s, t, u)]-
i,pia« \S — m β ьа1р·
= — g2 [τβταδ (s — Μ2) — τατβδ (и — Μ2)] + многочастичные вклады,
(23.9)
т. е.
Im£(±)(s, U u)=-±-g2[6(s-M2) + b(u~M2)] +
+ многочастичные вклады. (23.10)
В представлении Мандельстама для В * (s, /, и) эти одноча-
стичные члены появляются следующим образом:
fl(*)(s>ilB)--:g.(7iiLr4:^L_) +
+^ J ^ J rfV-^-o +
(Λ1+'»π)2 Am2
π
(А*+тв)1' 4m2
σο
I И.,'
(s'-s)(u'-u)
+ ^ I ds' I d*^f%. (23.11)
(M+mn)2 (Μ+"»π)2
Это происходит потому, что амплитуда рассеяния в некотором
канале, например в s-канале, определяется как граничное зна-
чение соответствующей комбинации /K+)(s, t, и),.. .,B<-)(s, t, и),
когда переменная s стремится сверху на физическую область ве-
щественной оси (Μ + /ηπ)24^δ-^оо, причем переменные t и и
должны лежать в своих физических областях. Таким образом,
мнимая часть любой из амплитуд Л(+),..., β(-) определяется
так:
I. F (s + ie, t, u)—F(s — te, t, u)

398
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
Если мы воспользуемся тождеством
-хй — = Ρ та l· inb (s — Μ2),
то увидим, что в формуле (23.11) одночастичные члены выбра-
ны правильно.
Физическую область переменной t легче всего определить в
системе центра масс. В ней
<7 = (ω, q), <7' = (ω, q'),
p = {E,-q), p' = {E,-q%
и мы находим, что
s = (£ + ω)2 = W2 (23.12)
и
t = — (q'-qf = — 2q2{\— cos θ). (23.13)
Таким образом, физические значения / в s-канале таковы:
—4<72</<0. (23.14)
Между прочим, можно показать, что если переменная s прини-
мает физические значения и cos θ ограничен единицей, то пере-
менная и< (М + т„)2. На самом же деле имеет место более
сильное ограничение:
(M2-m2Y
Если заметить, что
(s'-s)(«'-«) [s'-s^ u'-u) u' + s' + t-2M2-2m2l ' .
то из представлений (23.8) и (23.11) видно, что при фиксиро-
ванной передаче импульса можно сразу получить одномерные
дисперсионные соотношения:
A^,t)-± f ^ii^-i- f 4W^m.
* ' ' η J s —s ' η J u' — u'
(M+mn)2 {M+mnY
B{±)(s, о=-^г(д!237+ мпг7г)-Ь
+x ! d,^A + L j мЙШ. (23.16)
'π J s—s'nj u—u

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ 399
При малых значениях / существование этих дисперсионных со-
отношений может быть доказано и без привлечения теории воз-
мущений *).
Из равенства (23.1) видно, что имеет место следующее фор-
мальное тождество:
т1а(Р' -<?'; Р'· -?) = V7'· Ч'> Р· 1)· (23-16)
Оно является выражением перекрестной симметрии. Из него
следует, что
{й{р)[-Ат{и, t, 8)-Ц1-В&а(и, t, ψ (//)}* =
= й{р')[-А&а(и, t, 5)*--4^-ββα(". U s)*]«(p) =
= й{р')[-Ат{8, t, и) + Ц£вт(з, t, u)]u(p),
Аш(и, t, 5)*=±Л(±)(5, t, и),
В[±)(и, t, s)*= + B(±)(s. /, и).
Это означает, что соотношения (23.15) могут быть записаны
следующим образом:
сю
л<±> (*,,,„) = 1- J ^*(д,о(.^±_1_).
(М+тя)2
^■'■")--ЦмЬ^м^)+
(М+тпу
Чтобы получить правильные знаки, необходимо помнить, что
переменная s в знаменателях имеет положительную мнимую до-
бавку, а у переменной и = 2М2 + 2т2— t — s при физических s
есть отрицательная малая мнимая добавка. Если ввести обозна-
чения
b, = p'-p^q-cf> * = Δ2, v=PQ,
*) Обсуждение доказательств существования дисперсионных соотношений
без использования теории возмущений можно найти в лекциях Лемана [51, а
также у Швебера [6]. (Этому же вопросу посвящен оригинальный труд Бого-
любова, Медведева и Поливанова [4]. (Прим. перев.)) То, что в каждом по-
рядке теории возмущений при малых <<0 имеют место одномерные диспер-
сионные соотношения, было установлено Шимаичиком [7].

400
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
то эти уравнения можно записать в более симметричной
форме:
π 4
oo
+ -1 J ^(v'.OJ^h:^). (23.19)
Mmn+±t
Прежде чем продолжить обсуждение рассеяния вперед, мы
остановимся на фазовом анализе пион-нуклонного рассеяния.
Это позволит нам в дальнейшем выразить вещественные части
амплитуд Л(±) и BW через фазы рассеяния. В первую очередь
следует отметить, что фазы, описывающие реакцию
π" + ρ —* π" + ρ,
будут комплексными, ибо, кроме упругого процесса, возможен
еще и неупругий процесс
лг + ρ -* π° + η.
Однако фазы можно сделать вещественными, если воспользо-
ваться законом сохранения изоспина. Из него следует, что при
низких энергиях рассеяние пиона на нуклоне с полным изоспи-
ном 1/2 и 3/2 будет упругим. С помощью проекционных опера-
торов общее выражение для амплитуды, имеющее вид
f(p=V(+> + τ [τρ·Τα] Fl_)' (23·20)
может быть представлено в виде разложения по изотопическим
амплитудам. Если учесть, что
T=±x + tn.
то нетрудно получить явный вид проекционных операторов для
Τ = 3/2 и Τ = 1/2. Действительно,
tn.T = T{T + l)-2-^-. (23.21)
Далее, для мезонного оператора мы воспользуемся представле-
нием (16.23), так что проекционные операторы
П1/2 = -Ь^, П3/2 = Щ^-, (23.22)

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ 401
построенные с помощью соотношения (23.21), примут следую-
щий вид:
(П1/г)ра = "β" 6ра + "J ie^l = "з (6ра + 2~ Ιτβ' T°l) »
(23.23)
(Пз/2)Ва = у δβα ~ "J iepaiTi = "J (2δβα — "2 ^V Т^ ) "
В этих выражениях не выписаны индексы, указывающие на то,
что проекционные операторы представляются 2 X 2-матрицами
в изотопическом пространстве нуклона. Таким образом, выра-
жение (23.20) может быть переписано в виде
/> = FW (П./2 + Π3/2)ρα + F{~\2nm - Π3/2)βα =
= (П,а) .„ (F(+) + 2F(-») + (Π3/2)βα (Fw - F(-»> (23.24)
Рассмотрим теперь амплитуду F рассеяния в некотором изо-
топическом состоянии. Если для частиц с нулевым спином имеет
место обычное разложение
со
F (W, cos θ) = 2 (2/ + 1) ft (Ю Ρi (cos θ),
(=0
то в нашем случае мы не можем им воспользоваться. Нуклон
имеет отличный от нуля спин 1/2. Значит в действительности
F(W, cos θ) является 2 X 2-матрицей в спиновом пространстве
нуклона. Однако если сохраняется четность и теория инва-
риантна относительно обращения времени, то существует всего
лишь две независимые амплитуды*). Все это можно перефор-
мулировать так.
Взаимодействие в состоянии с заданным орбитальным мо-
ментом / приводит к рассеянию в состояниях с разными пол-
ными моментами / = Ι ± γ. Соответствующие амплитуды, во-
обще говоря, различны. Запишем
F(«7, со8е)=2(2/ + 1)^_(^)П/=г1 + /г+(Ц7)П/ ЛРДсозб).
(23.25)
Здесь Π _ 1 и Π _ 1 — проекционные операторы. Их можно
найти, воспользовавшись тождеством
J(J+\) = t(l+l) + ^ + L.a. (23.26)
*) Это проше всего установить, воспользовавшись спиральным представ-
лением (гл. 4).
26 С. Газиорович

402 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 14. Ill
Эти проекционные операторы имеют вид
2 S
Пользуясь тем, что
σ . LPt (cos θ) = a . £Рг (<?' · ?) = -а · q' x iVq.Pi (q' · q) =
= -ia ■ q' X qP\ (cos θ),
для каждой изотопической амплитуды рассеяния получим вы-
ражение
F (W, cos θ) = 2 [If,- W + (I + 1) /|+ (W)] Pz (cos θ) -
-ia-qxq' fj [/,_ (И7) - /l+ W] ^ (cos Θ). (23.28)
Чтобы связать полученный результат с формулой (23.4),
мы должны записать последнюю в системе центра масс. Поль-
зуясь явным представлением спиноров (2.47), находим, что
й (р') и (р) = 2Мщ + Е) Ш + РзЕ + /ρ2σ · q') (Μ + 9зЕ + tpjt ■ q) =
(Μ+ £)-(£-Μ) cos 6 - -> g-Af
2M + io-qXq -щ-
и соответственно
йГп'П + ^иГп!- (E+M)(W-M) {E~M)(W + M) -
"IPJ—2~UW 2M H 2M C0S8_
f'^T^^-fX^
2 2M
Таким образом, с помощью формулы (23.13), из которой сле-
дует, что
F (IF, сое θ)- —l-^-T(W, cos θ),
получаем соотношения
^^-[Α{Ψ, cos θ) -{W- Μ) Β (W, cos6)]-
E-M
2W
E-M
cos θ [A + (W + M) B] = J] [//,_ + (/+ 1)/I+] ^(cos Θ),
г
?ir π+(^+^)β]=2(/,-+//+)Λ'(εοδθ)· (23·29>

ГЛ. 23] ПИОН-МУКЛОННОЁ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 403
Пользуясь формулами
(2/ + 1) cos QPl (cos θ) = №,_, (cos θ) + (/ + 1) Pt+i (cos θ),
(2/ + 1) Pt (cos θ) = P'l+1 (cos Θ) - P\_x (cos Θ),
IP1 (cos Θ) = cos ΘΡ{ (cos Θ) - P;_, (cos Θ),
читатели могут сами прийти к следующему результату *):
+ 1
fl±(W) = \ J* d(cose){[^-[A-(W-M)B]]pl{cose)-
-1
-[^- [A + {W+M)B]]pt±l(cosθ)}. (23.30)
После столь долгих приготовлений мы, наконец, можем при-
ступить к анализу пион-нуклонного рассеяния. Ограничимся
рассмотрением области достаточно низких энергий, в которой
можно не считаться с неупругими процессами такими, как ро-
ждение пионов. В этом случае парциальные амплитуды можно
выразить через вещественные фазы
ftjW) = q l± . (23.31)**)
При этом существенны только S- и Я-волны. Значит, амплитуда
рассеяния определяется выражением
f{W, cos θ) - /Si/2 + (hU2 + 2fPm) cos θ - ia . я sin θ (^ - /pJ.
(23.32)
В этом выражении мы использовали спектроскопические обо-
значения и ввели нормаль к плоскости реакции
~ . -,,»
\qxq'\
где q* и q — единичные векторы в направления соответствую-
щих импульсов. Следовательно, дифференциальное сечение рас-
сеяния имеет вид
ж -1К+(К+2Ч2)cos θ Г+sin2 ΘΙЧ. - Ч Ι2· (23·33)
*) Если заметить, что функции А и В зависят от W2 только через ком-
бинацию E=(W2 + Μ2 — m]^/2W, то можно легко доказать так называемое
соотношение симметрии Макдауэла /i+(—W) =—/i+i-(W).
**) Это легко показать, если формулу (23.28) подставить в соотношение
(21.8). Тогда получится, что в системе центра масс Im fl± (№) = q |//± (tt7)!2.
26*

404
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
а поляризация нуклона, как в этом нетрудно убедиться, опре-
деляется выражением
(23.34)
Анализ углового распределения, выраженного через фазы,
позволил определить квантовые числа резонанса N* (1238) *).
10
# 5
1 1 1 1 | Ι Ι Ι 1 | ' 1 1 1 | Т 1 '
у
X
/
/
/
/
/
/
/
- /
S I 1 1 1 1 1 , 1 . I , 1 1 1 1 I I
1 1
_
~
_
-
_
-
1 1
-5
%Ю
-15 -
τ—I—I—I—|—I—I—г
~т I i I I г~
\
Μ
0 0,5 1,0 1.5 г,0
Ря/т*
Рис. 66. Фазы S-рассеяния пионов на нуклонах
в состояниях с Г= 1/2(01!) и Г = 3/2(а3) как
функции импульса пиона в системе центра масс [9].
Последующие измерения поляризации подтвердили правиль-
ность выбора фаз (из набора возможных), при которых состоя-
ние с J = Τ — 3/2 оказывается резонансным. На рис. 66 изобра-
*) По вопросу о неопределенностях, возникающих при фазовом ана-
лизе, см. [8].

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 405
жены S-фазы для Τ = 1/2 и Τ = 3/2. Они обычно обозначаются,
как соответственно aj и аз (для Р-фаз приняты обозначе-
ния Сб2т, 2j)· Отсюда можно найти длины рассеяния. Особый
интерес для нас будут представлять величины
о, = lim-£- = 0,178 ±0,005,
а3 = Нт -— = - 0,107 ± 0,003,
q-ЬО Ч1тЯ
(23.35)
где q — импульс пиона в системе центра масс.
При более высоких энергиях, когда становятся возможными
неупругие процессы, форма парциальных амплитуд будет иметь
вид
2гб> +
1г -te — 1 tif + sin 26, + 1 — η, + cos 26, + ,
f,*^-3^ 2, + ' 2, > <23·36)
где
0<η,<1. (23.37)
Удвоение в этом случае числа параметров, характеризующих
амплитуду при заданной энергии, значительно усложняет за-
дачу их определения, что обусловлено довольно большими экс-
периментальными ошибками. Тем не менее этот анализ был,
все-таки проведен ([10], см. там же ссылки на литературу).
В случае рассеяния вперед нет членов, ответственных за пе-
реворачивание спина. Первое же слагаемое соотношения (23.28)
приводит к тому, что
F (ψ, θ = 0) = Σ Wi- (W) + (/ + 1) ft+ (W)l
1=0
oo
ReF(№, e = 0) = ^-V[/sin26/_ + (/ + l)sin26i+].
(23.38)
t=o
Нас будет интересовать поведение вещественной части ампли-
туды рассеяния в лабораторной системе, поскольку дисперсион-
ные соотношения, которые будут скоро рассмотрены, наиболее
просто выглядят именно в этой системе. Для нахождения связи
между амплитудами рассеяния в системах центра масс и лабо-
раторной проще всего воспользоваться тем, что оптическая
теорема
lm F (W, θ = 0) = -^ аполн (W) (23.39)

406 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. Hi
в этих двух системах выглядит совершенно одинаково. Отсюда
мы получаем, что *)
jk4=.±.ff»"i»»a±. (23.40)
Путем несложных алгебраических преобразований можно найти,
что в зависимости от инвариантной переменной s
Г (УТ + Μ + fffr) (Ks" + Λ4 - тя) (/7- Μ + тл) Q/T - Μ - тл) Л1/2
9 L 4s J '
(23.41)
С другой стороны, в лабораторной системе
s = (ωη + Mf -ql = M2 + m2„ + 2Maq .
Отсюда после несложного расчета получаем, что
\{У7 + М + тп){У7 + М-тп){У^-М + тп){)Г7-М-тл)~\т
<?£ - [ 4Af» J ·
(23.42)
Таким образом, если фазы известны, то нетрудно определить
амплитуду рассеяния в лабораторной системе.
При рассеянии вперед t = 0. Кроме того, если энергия пиона
в лабораторной системе cut, то ν = MwL и соотношения (23.19)
могут быть приведены к виду
оо
Л(±,(оа) = — Г Λ»'α* (ω') [-Α ± -А—),
β(±> (tDl) = &Ш [(тЦ2М) + Фь * {тЦ2М)-&1) +
ОО
+ _L f Ad'^V) /__!_ + -J—V (23.43)
Поскольку q = q', то отсюда следует, что
ΓβαΙρ. q\ p, <7)=Т^г[- Am{aL)+B^{aL)u(p)qu{p)]='
= i t~ Л1*>Л + ω^βραΚ)]· (23·44)
*) Здесь Ql обозначает импульс пиона в лабораторной системе.

ГЛ. 23] ПНОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 407
Амплитуда рассеяния определяется соотношением
F*« (ωΔ) --f Fn. „ = ж Fu. M == -jjj- (- —~j Τ = 16π5Γ (ρ, q; ρ, q),
(23.45)
так что отсюда следует
**> К) - AW К) - ω,β(±)К). (23.46)
Чтобы получить соотношения для величин, наиболее тесно свя-
занных с экспериментально наблюдаемыми величинами, и вы-
явить симметрию выписанных дисперсионных соотношений,
остановимся на амплитуде рассеяния п—мезонов протонами.
Поскольку Fn+ = F (T = 3/2), то очевидно, что имеет место соот-
ношение
Fn+ = F{+) - F{~\ (23.47)
Аналогично
рг-Тр(Т-т) + Тр(т-т)-
=. | (F<+> - F<">) + 2. (F(+) + 2F(->) = F<+> + fH (23 48)
Таким образом, дисперсионные соотношения могут быть запи-
саны в двух формах. С одной стороны,
Re/*->W.^e[f,-K)-F„K)], -f^ w/4-4 +
1 g^ml^nM2 2&L Γ α(_) (ω') + ω'β(_) (ω')
Поскольку
а апоЛи(ю,)-апЧЦ"'(а)г\
Im^-W-a'-W + ^W-^- * U) 2 "+ ( ь) .
то мы получаем
+^Р Г-^Т К-" Μ - «У" М)· (23.49)
2п J ω -ω? '

408
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. III
С другой стороны, в результате несложного расчета оказы-
вается, что
Re F<«К) -1 Re |F„- (<ot) + F„+ (<ot)] -
π J ч 8πΜ (ml 2Μψ-ω?
ЫМ π J "" x ' 8лМ (m|/2Af)2-u,L
Л
Сю
Г^полн/ Λ , _полн / ΛΙ /αο em
+ 1TPJ^ rt^l π_ V°J + a„+ С«» Л- (23.50)
Полное сечение для п+р-рассеяния при высоких энергиях,
больших 5 Гэв, может быть представлено следующим образом *):
1 Ь{+) I а \~а
°(+,—к-^)-~+-^г ^- *
г, « Г23.51)
2^ " П > ml [mj
Параметры представлены в следующей таблице:
а
0,5
0,7
σ
оо
1.050
1,125
Ь(+)
2,21
3,54
Ь<->
0,34
0,77
Таким образом, грубо говоря, сечения оя± стремятся к общему
значению порядка 22 мб. А это означает, что в соотношении
(23.50) необходимо сделать вычитание. После того, как оно
сделано, мы получаем следующее выражение:
K*[F«-(*l)+F«+(*l)]-
„2„2 , „, \2
^-ω*
- Λ,- К) + >V К) + ш [-^) j^rp^ _ wl
+ i J т/^ЦуК-Н(»') + <Г («0]. (23.52)
в котором опущена поправка порядка т^Ш2 к одночастичному
*) Значения параметров взяты из работы [11], см. также замечания на
стр. 417.

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЁ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 409
члену. Если мы сделаем соответствующее вычитание (оно не
является необходимым) в соотношении (23.49) и после этого
скомбинируем получившийся результат с соотношением (23.52),
то сможем записать более симметричные соотношения:
Κ^π±(ωΛ) = 4(1+-^)^Κ) + τ(1-^)^Κ)±
2fa>l l 1
2 2 2
mzn nfn тя
4π2 1 ) q' \ to'-(ot '
_l_
τ
σ"»™ (ω')
ω' + ®L
+ ^P\— H^T^ + ^ZT^J. (23.53)
где
?=€Ш- <23-54>
Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется фор-
мулой *)
ReFn+(6 = 0) =
L i
+ / sin 2δ{Ι=3/2) + (21 + 2) sin 26f+=1/2) + {t + I) sin 2o£73/2)l· (23.55)
При низких энергиях существенны лишь S- и Р-фазы. Эти ве-
личины определяются из фазового анализа. Таким образом, в
дисперсионных соотношениях присутствует всего лишь один не-
известный параметр g2/4n. Его можно легко оценить. Оказы-
вается, что **)
/2 = 0,081 ±0,002,
т. е.
1^ = 14,4 + 0,4. (23.56)
*) Эти соотношения следуют из того факта, что
Re FI - ~ Re FI » - (ir) 2^~Σ[' sin 26f_ + (/ + 1) sin 26f+J.
**) Критические замечания и ссылки на литературу по вопросу о различ»
р2
ных оценках -г— имеются у Гамильтона и Вулкока [12].

410
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
|Ч. III
Значение этого результата зависит, конечно, от того, справед-
ливы или нет дисперсионные соотношения вообще. Существует
множество работ, в которых проводится сравнение теории с экс-
периментом. Рис. 67 иллюстрирует некоторое согласие предска-
занного поведения вещественной части амплитуды рассеяния
с экспериментально найденным ее изменением.
Кинетическая энергия пиона
6 лабораторной системе, Мэв
Рис. 67. Сравнение экспериментальных данных для реакции .
η~ + ρ->π_ +ρ с теоретическими результатами, следующими
из дисперсионных соотношений для рассеяния вперед (q — им-
пульс в системе ц. м.) [13].
Дисперсионное соотношение (23.49) не содержит каких-либо
вычитательных членов. Если ω положить равным тя, то мы по-
лучим правило сумм. Заметив, что
К- К) - V К) -1 \FU\mn) - Ρ3>π)] =
2^i i mn\.. sin2ai — sin 2α3 2 I. . Wrt \ / _\
мы получим
2
"3
(l + £■)(a, - a3) Mf + 5-f Λο' jr [<&*(ω') - <#?» («0]·
V ' П £я Q (23.57)

ГЛ.23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 411
Если же сюда подставить экспериментально найденные значе-
ния для длин рассеяния (23.35), то мы найдем
f = 0,082 ± 0,008,
что находится в прекрасном согласии с приведенным в формуле
(23.56) значением. То, что разность σ™~Η — σ^+'ΙΗ стремится
к нулю достаточно быстро, можно считать экспериментальным
фактом. Поэтому соотношение (23.49) справедливо.
Если все-таки допустить привлечение моделей, то можно,
конечно, получить независимую информацию о константе вы-
читания [Fn- (m„) + Fn+ (тя)]. Хотя не существует общих поро-
говых теорем, подобных той, что определяет константу вычи-
тания для рассеяния фотонов (22.13), тем не менее есть класс
моделей, в которых имеют место пороговые теоремы этого
сорта. К такому классу принадлежат все модели, в которых
пионное поле ψα(Χ) может быть представлено дивергенцией
аксиального векторного тока *)
т2п<ра(х) = кдХ»(х). (23.58)
В этом случаем
}а{х) = (а+п§Ча(х)~д№(аГч^х) + и&1х))^дХа{х). (23.59)
Отсюда следует, что амплитуда перехода имеет вид:
т,Лр\ ?'; ρ, <?) = --^(ψρ"ν· /α(°)ψΡ) =
= - ^W, KS (0) ΨΡ). (23.60)
Следовательно, амплитуда рассеяния обращается в нуль, когда
импульс пиона стремится к нулю. Единственное осложнение мо-
жет возникнуть лишь тогда, когда матричный элемент KS (0)
имеет сингулярность при ς^-O. В случае п^р-рассеяние та-
кая сингулярность могла бы возникнуть только из-за полюса,
обусловленного промежуточным нейтроном. Если же мы раз-
личаем нейтронную массу Мп и протонную массу Мр, то зна-
менатель вида
1 I
(p + qf-M2n ~~ Μ2ρ-Μ2η + 2ρς + <?
оказывается при q =* 0 уже неопасным. Эта пороговая теорема
применима к амплитуде рассеяния, когда внешний пион имеет
*) Такая теория будет подробно обсуждаться в гл. 34 в связи с вопро-
сами теории слабых взаимодействий.

412
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. m
экстраполированную к нулю массу. Польза, которую можно
отсюда извлечь, зависит от справедливости предположения, что
такая экстраполяция не меняет сколь-нибудь заметным обра-
зом интегралы с сечениями рассеяния. В действительности ам-
плитуды рассеяния на пороге в нуль не обращаются, и сразу
трудно сказать, будут ли «малы» амплитуды Fn±^mn). Тем не
менее можно проверить справедливость пороговой теоремы. Для
этого нужно проверить выполняется ли вытекающее из нее ус-
ловие [14]*), которое получается следующим образом.
Когда Мп φ Мр и qz, q' не равны т£, то дисперсионные соот-
ношения для амплитуд
Λ(+)(ν, t; q\ <7/2) = !μπ+ρ(ν, t; q\ q'*) + ΑΛ-ρ(ν, t; q\ q%
β(+,(ν, t; q\ /)=4[B„+p(v, t; q\ /) + firt-p(v, t; q\ /)]
имеют форму
Β-(ν. f, Λ /)_-£^+φ^Ιπ1β,.ν,,;,*,Λ
где
ν0 = Mmn + \ m\ - j (q2 + q'* -1).
Следовательно,
g2 ΔνβΜ„-ν2 2 Г dv' ,i+w ' 2 ,2\
= --ΓΖ π*- + α\ — 1тЛ(+,(г', t; q\ q') +
+? Iv^[im AW(v'· '· Λ«°- iIm **w· '· "'■ "">]■
(23.61)
Когда t = 0 и q2 = q', написанная выше величина есть ампли-
туда рассеяния вперед в лабораторной системе (уравнение
*) Мы следуем здесь методу, предложенному Н. Фуксом.

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 413
(23.46)). При ν = ΜρωΔ = 0 мы получаем требование, чтобы
Т^ЧЙг^Ч/.О.О.О). (23.62)
О
Оказывается, оно удовлетворяется с точностью 10%, что яв-
ляется свидетельством в пользу теорий, характеризующихся
уравнениями типа (23.58).
Необходимо отметить, что дисперсионные соотношения для
рассеяния вперед могли бы быть использованы для определения
четности пиона. Соотношение (21.45) показывает, что одно-
частичный вклад в условие унитарности в случае скалярных ме-
зонов имеет иной, нежели в псевдоскалярном случае, вид.
В частности, у полюсного члена другой знак, что делает невоз-
можным согласие с экспериментом. Это различие в знаке вы-
чета в полюсе обусловлено тем, что однонуклонное промежуточ-
ное состояние может рассматриваться как «связанное состоя-
ние» падающего пиона и нуклона. Однако связанный нуклон
должен находиться в Р-состоянии, если мезон псевдоскалярен,
и в S-состоянии, если он скалярен.
Такой результат позволяет предположить, что и четность
/(-мезонов может быть установлена путем сравнения диспер-
сионных соотношений для рассеяния вперед с экспериментом.
К сожалению, эти дисперсионные соотношения не столь просты
как пион-нуклонные. Кроме полюсных членов, обязанных своим
возникновением процессам
К~ + Р-+А°
и
Κ- + Ρ-+Σ0,
при энергиях в лабораторной системе Λ/Λ0 + тя — MN ^ coL ^ тк
(т. е. когда импульсы /С-мезона нефизические) в мнимую часть
амплитуды рассеяния вперед дает вклад до сих пор не рассма-
тривавшаяся «нефизическая» область, связанная с процессами
/С + р-
Λ° + 2π
Ι Σ + π.
При coi, ^ тк мы, конечно, можем воспользоваться оптической
теоремой. Однако, не прибегая к моделям, оценить вклад в ам-
плитуду /Ш-рассеяния вперед нефизического непрерывного
спектра мы не сможем.
Недавно вновь пробудился интерес к дисперсионным соот-
ношениям для рассеяния вперед в связи с тем, что при

414
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. ИГ
измерениях упругого л^р-рассеяния при высоких энергиях и
очень малых передачах импульса оказалось возможным обнару-
жить вклад [15] интерференции с амплитудой кулоновского рас-
сеяния. Из соотношения (23.28) видно, что если игнорировать
кулоновские эффекты, то амплитуда рассеяния содержит два
члена. Один из них является амплитудой рассеяния без пере-
ворачивания спина, другой пропорционален
σ · Я X <f = σ ■ « sin θ
и называется амплитудой рассеяния с переворачиванием спина.
При очень малых углах из-за sin θ второй член оказывается
намного меньше первого. (При этом мы пренебрегаем тем со-
вершенно невероятным случаем, когда коэффициент оказывается
аномально большим.) Поэтому рассеяние описывается только
одной амплитудой. Если ввести
Кь-Ц-Р«* (23.63)
то дифференциальное сечение упругого рассеяния -jt- равно
Если же учесть кулоновские эффекты, то это соотношение при-
мет вид
rfo\,±
—%- = | Ас (/) + Re An± +1 Im A± |2. (23.64)
Кулоновская амплитуда*) ведет себя как l/|f|. Она отрица-
тельна для π+ρ-рассеяния, что соответствует отталкиванию, и
положительна для лгр-рассеяния. Если зарядово. независимую
часть амплитуды представить в виде
Лл± = (а + /)еа+", (23.65)
то, воспользовавшись оптической теоремой, можно выразить о
через полное поперечное сечение
Im Απ± (t = 0) = еа = ^f- Л. σ™". (23.66)
В формуле (23.65) α и Ъ можно изменять, чтобы получить со- \
гласие с экспериментом. На рис. 68 и 69 приводятся экспери-
ментальные данные, из которых следует, что α должно отли-
чаться от нуля. Величина Ъ порядка 5 (Гэв/с)~2.
*) Обычно используется форма такая же, как у Бете [16].

23] ПИОН-НУКЛОННОЁ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ. 4[5
WD0
500
I
^
50
10
11,86Гэ8/сл-
\
**-.
, ^С^,-_
0,02 ОМ 0ft6 0,08
-t. (ГябМг
Рис. 68. л~р-упругое рассеяние при малых углах
и передаче импульса 12 Гэв/с.
Сплошной линией изображена наиболее близкая к экспери
ментальным данным кривая, полученная путем подбора α
н Ь. Пунктирная же —подбором одного лишь Ь при
а = 0 [15].
1000
I
50
(О
—1 1 1 ; 1 1 1-
11,86 Гэб/с Л*
о/е ом 0,06 о,ов
-t, (ГзВ/с)г
Рис, 69. jt+p-упругое рассеяние (все обозначения
аналогичны рис. 68).

416
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
Можно теперь сравнить ReFn± с тем, что дают для этих ве-
личин дисперсионные соотношения для рассеяния вперед [И,
17]*). Если для полного сечения рассеяния при высоких энер-
гиях принять предположения (23.51), то, как показывает рис. 70,
О
-0,1
-о,г
-0,3
«г
7 ο
-0,1
-о,г
-0,3
-а*
Я*-р
II
Стандартное
отклонение
Пределы оцененной
систематической
- ошибки
-J 1 I I | |
J L
т г
Jt-
^ШДДЦДд5"—
τ-
барашенков υ Дедю
τ**** Хехлер, Збел иГшеке
8 10 12 № 16 18
80 22 2$
р, Гэб/с
Рис. 70. Сравнение параметра α с результатами,
предсказанными дисперсионными соотношениями
для рассеяния вперед.
Сплошными прямоугольниками изображены пределы система-
тических ошибок. Вертикальные отрезки по их краям доба-
вляют к статистическим ошибкам одно стандартное откло-
нение [15].
нельзя достичь согласия с экспериментом. Оно оказывается воз-
можным лишь при условии, что (σ£-™ — ο^+j меняет знак при
энергиях выше 20 Гэв [19].
Совершенно ясно, что поскольку дисперсионные соотноше-
ния могут быть доказаны на основе только лишь самых общих,
*) См. также [18]. (Прим. ред.)

ГЛ. 23] ПИОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШ 417
не зависящих от модели, принципов релятивистской теории
поля, то обнаруженная их очевидная неспособность описать экс-
перимент должна иметь чрезвычайное значение. И если можно
действительно спасти положение, предположив осцилляции
сп~ — ση+, то несомненно, что вопрос о причинах этих осцилля-
ции при высоких энергиях будет в грядущие годы предметом
интенсивных как экспериментальных, так и теоретических ис-
следований.
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь тем, что
i(1)f(2> = JLnr + i)-2,
и представлением
Va/bc ~ ~ ieabc
постройте проекционные операторы для двухпиоиных состояний с Τ = 2. 1,0.
2. Наиболее общий вид амплитуды пион-пионного рассеяния таков:
^γδ. αβ (*. l< «) = 6сгАбЛ + δαδδβγβ + 6a[36Y5C-
Пользуясь построенными выше проекционными операторами. выразите А,
β и С через амплитуды рассеяния в состояниях с определенными спинами.
3. Пользуясь оптической теоремой и перекрестной симметрией, запишите
дисперсионные соотношения для пион-пионного рассеяния вперед в таком виде,
в котором интегрирование ведется лишь по положительным частотам. Пусть
полные сечения рассеяния при высоких энергиях стремятся к константам.
Сколько в этом случае нужно ввести произвольных коистант?
4. Каково обобщение формулы (23 4) для пион-нуклонного рассеяния,
если не предполагать сохранения четности? Проанализируйте такой процесс
настолько, насколько это возможно.

Глава 24
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Получение дисперсионных соотношений для рассеяния впе-
ред и их успешное использование сразу же пробудили интерес
к аналитическим свойствам амплитуд рассеяния на произволь-
ный угол. Вскоре было обнаружено, что можно получить диспер-
сионные соотношения при фиксированной ненулевой передаче
импульса [1—3]*). Такие соотношения имеют вид
со
ReF(s, f)-±P jdxlmF(x, /)(-!_ ±_L_) (24.1)
4m*
(где для пион-нуклонного рассеяния в системе центра масс
s = A(q2 + m2n), «=-2<72(l+cos6) и /= - 2q2 (l -cos θ)).
В принципе они могли бы привести к системе уравнений для
парциальных амплитуд**), для чего нужно было бы подста-
вить в дисперсионное соотношение разложение по парциальным
волнам амплитуды, рассматриваемой в зависимости от
cos6 = l Η 5~:
s — 4т„
F {s, t) - J (21 + 1) a, (s) Р, (l + ~J~A · (24'2>
Эту систему уравнений можно было бы оборвать при некотором
значении / и тем самым получить некую приближенную схему,
отличную от теории возмущений. Однако эта программа встре-
тилась с двумя трудностями: а) ряд (24.2) перестает сходиться,
*) Последняя статья известна у специалистов под кодовым названием
CGLN Она чрезвычайно полезна тем, кто хочет подробно ознакомиться
с пион-нуклонным рассеянием при низких энергиях.
**) По вопросам, затронутым в этой главе (а также в гл. 21—23, 25),
см [4]. (Прим. ред.)

ГЛ. 24] СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН 419
если аргумент полиномов Лежандра превышает определенную
величину; в некоторой области значений х разложение (24.2)
нельзя подставить в правую часть соотношения (24.1); б) если
в соотношении (24.1) сделать вычитание, то появляется «кон-
станта» вычитания, являющаяся совершенно неизвестной функ-
цией /. Эти трудности частично были устранены Мандельстамом,
постулировавшим явную зависимость амплитуды рассеяния от t.
Представление Мандельстама делает возможным непосредствен-
ное изучение парциальных амплитуд. Это чрезвычайно инте-
ресно, поскольку на эти амплитуды условием унитарности нало-
жены некоторые ограничения. В «упругой» области они должны
иметь вид
ft (<?) =е' l -S1" l . 6; — вещественна, (24.3)
а при боле высоких q
Μ<7)=2^(η/'6<-0, 0<η,<1;
при этом по-прежнему имеет место ограничение
1<7ШК1- (24-4)
Поскольку резонансы характеризуются определенными момен-
тами и четностями, то тем самым существует возможность
легко их выявлять путем изучения парциальных амплитуд.
В этой главе, не обсуждая действительно существующих резо-
нансов, мы рассмотрим некоторые свойства парциальных ампли-
туд. В педагогических же целях главные выводы будем соот-
носить с теорией, описывающей рассеяние двух нейтральных
псевдоскалярных мезонов, которая фиксируется лагранжианом
взаимодействия вида
Ζ,, = λ JiPjtVCx):. (24.5)
Поскольку мы интересуемся амплитудой упругого рассеяния, то
будем изучать Г-матрицу T(q3, qt; qu q2), через которую ампли-
туда определяется следующим образом:
F (W, cos θ) = - -9~ Τ (q3, <?4; qlt q2), (24.6)
где W — энергия в системе центра масс. Предположим, что
матрица 7" имеет такие аналитические свойства, что может быть
27*

420 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. II
представлена в мандельстамовской форме
Τ (s, t) = -±- j / dx dyp (x, tj) X
X [(x-s)(y-t) + (X~t)(y-u) + ~(x-u)(y-^)\ ' <24·7)
где
s = (<7i + <72)Z = (<7з + 94)2.
^ = (<?3-9i)2 = (92-^)2.
" = (94-'71)2 = (92-9з)2·
В системе центра масс мы имеем ^, = (ω, q), q2 = (&, —q),
<7з = (со, q) и q4 = {&, -q'), так что
t=-(q'-q)2=-2q2{l-cose), (24.8)
и = - (<?' + ?)2 = - 2?2 (1 + cos Θ).
Парциальная волновая амплитуда ft(W), определенная фор-
мулой
+ i
// (W) = i j rf (cos Θ) Яг (cos Θ) (- ^f Τ (s, tj), (24.9)
может быть получена из представления (24.7). Его мы запи-
шем так:
σο
T(s, t) = ~ J J dxdyp(x, y)[j^z
1
iml
s) (y + 2q2 - 2q2 cos Θ)
i ! +
T (y~s)(x + 2q2+2q2cosG) ~
~^~(x+y-u-t)\ x + 2q2-2q2cos6 "т" у + 2q2 + 2q2 cos6/J'
Воспользуемся также тем, что
¥р<С05е>Т^ = <М· (24Л0)

ГЛ. 24]
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
421
π
Поскольку и +1 = — 4q2, то после простых преобразований
найдем
оо
4ml
^(l^ + TT7TwHl+w)- (24Л1>
В данном случае существует только одна спектральная функ-
ция ρ (л;, у), поскольку физическим процессом во всех трех
s-, t- и ы-каналах всегда будет одна и та же реакция
Поэтому амплитуда Τ (s, t, и) не изменяется при перестановке
всех ее переменных. Далее, поскольку зх°-мезоны являются
бозонами, то амплитуда должна быть симметричной, например,
относительно перестановки q3 и qA. Поэтому мы должны иметь
Р(*. У) = Р{у. *)· (24.12)
Попытаемся теперь подставить представление (24.11) в соот-
ношение
\mfl{W)^q\fl{W)f, (24.13)
которое следует из представления
f,(W)=e sma,m> (24Л4)
и получить тем самым хотя и сложное, но тем не менее явное
уравнение для р{х, у). Эта программа в своей более элегантной
формулировке*) очень интенсивно обсуждалась в последние
годы **).
Помимо явных трудностей, свойственных уравнениям такого
типа, существуют еще специальные проблемы, связанные с по-
ведением спектральных функций р(х, у), когда их аргумен-
ты становятся большими. Однако, поскольку до сих пор
в этом направлении не было получено ничего практически
*) Условие унитарности записывается в виде
Im Τ (s. <) — ?ψ- J d&~q„r (s, - (q' - q")*) Τ (s, ~(q"- q)*) ,
после чего в него подставляется представление (24.7).
**) Очень прозрачное обсуждение этой программы (известной под назва-
нием <стрип»-приближения) можно найти у Фраучи [5]. Использование пред-
ставления Мандельстама в теории потенциального рассеяния обсуждается
Гольдбергером и Ватсоном [6].

422
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
-*5/
интересного*), мы не будем останавливаться на обсуждении
этой, претендующей на многое, программы. Мы просто посмот-
рим, что можно сказать о парциальных амплитудах, если не об-
ращать внимания на их связь с функцией р(х, у).
Функция
tt(v)^VJft(v), (24.15)
где ν = q2, обращается в нуль для нечетных /, ибо в уравнении
(24.11) присутствует множитель 1 +(—1)', и рассматриваемые
частицы являются бозонами. Соответствующая проблема пион-
пионного рассеяния отличается от
ν-плоскость рассматриваемой тем, что в ней
появляются еще изотопические со-
стояния с Τ = О,1,2. В этом случае
путем аналогичных рассуждений
мы находим, что при Τ = 0, 2 нужно
Рис 71 Область аналитич- учитывать состояния рассеяния лишь
ности tt(\). с четными моментами, а при Τ =\ —
лишь с нечетными. Аналитиче-
ские свойства функции ti(v) непосредственно следуют из пред-
ставления (24.11). Сингулярности лежат на вещественной оси
переменной v. Они встречаются тогда, когда 4/п£ ^ s < со, т. е.
при q2 = ν Χ) (за это ответствен первый знаменатель предста-
вления (24.11)) и при — 2т2[^\> — со,как-то следует из второго
знаменателя. Функции Лежандра второго рода Qi(x) **) опре-
делены всюду вне разреза от х = 1 до х = —1. Это приводит
к тому, что в ν-плоскости разрез идет от — т2 до —оо. Может
показаться, что из представления (24.11) следует, что при q2=0
должен иметь место полюс. Однако, когда <72—»-0,
*('+*) ~(*Г·
так что на самом деле сингулярности нет. Поведение же вблизи
порога
fi(v) ~ v' (24.16)
в точности совпадает с обычным поведением bi(q) ~ q2l+\ сле-
дующим из теории потенциального рассеяния при низких энер-
гиях***).
*) Эта идеология тем не менее имела очень большое значение. Она при-
вела к представлениям о «бутстрапе» (гл. 25) и «полюсах Редже» (гл. 28).
**) См., например, [7].
***) Полученное здесь поведение вблизи порога означает, что интеграл
\dyp(x, у)у~'~х сходится (см. (24.11)). Это является одним нз основных Ре"
зультатов.

ГЛ. 24]
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
423
Таким образом, функция ti(v) аналитична в плоскости пере-
менной ν всюду, за исключением разрезов, идущих от — оо до
— /Ил и от 0 до + оо (рис. 71). Следовательно, мы можем за-
писать представление для этой функции. Его можно объединить
с условием унитарности, которое означает, что *)
lmtt(v) = -^\tl(v)\2 (24.17)
для
0<v<3m*. (24.18)
Для v>3m2
Ιπ1^(ν) = -^|^(ν)|2+ -^-,
V s q 4
ибо выше порога неупругих процессов (именно процесса
2п0->4зг°) амплитуда имеет вид
2/δ, (ν)
,п ν ' -1
f'(v> = Щ ·
Записывая в общем случае
Im*,(v) = P/(v)|Mv)|2, (24.19)
получаем, что
W-irJ*' Vv-V +irj ^^^Г' (24.20)
0 —оо
где φ;(ν) обозначает неизвестный скачок функции /,(ν) на ле-
вом разрезе. Заметим, что если бы мы рассматривали рассеяние
скалярных мезонов, когда разрешен процесс
Л° + Л° -* Л°,
то должны были бы появиться полюсные члены, соответствую-
щие одночастичным вкладам в условие унитарности. Таким об-
разом, мы имели бы дополнительные члены
7-,(s, *, W) = -^r(—Ц-+—Ц-+—Ц-V {24·21>
(2я)ь \s-n4 и-тгл t-mi)
Вклады в парциальные амплитуды от второго и третьего сла-
гаемых можно включить в последний член представления
+ 1
*) Заметим, что tt (ν) ss (— 8π5) | [ d (cos θ) Ρ, (cos θ) Τ (ν, cos θ),
-Ι
поэтому в соотношении (24.17) нет коэффициента.

424
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
(24.20), удлинив одновременно левый разрез до значения
— -тт%. Первое слагаемое дает вклад
е2 6ic
8π 4ν + 3m| '
Оно определяет добавочный полюсный член в функции /;(v),
отличный от нуля лишь в S-состоянии.
Из полученного порогового поведения (24.16) следует, что,
в противоположность ожидаемому, функция
Mv)^-^- (24.22)
в точке ν == 0 не имеет полюса 1-го порядка. Поэтому для ftt(v)
мы можем записать представление, аналогичное представлению
(24.20). Эта функция при ν —* со и / > 1 убывает значительно
быстрее ^(ν). Для / = 0 все остается по-прежнему. Поскольку
маловероятно, что 1 = η/(ν)->0 при ν—>0, то оказывается, что
для вещественных ν lm //(v)—> const, если ν—>со. Поэтому в
представлении (24.20) для случая / = 0 потребуется, возможно,
сделать вычитание. Таким образом, мы записываем
~тл
MvHfl0 + ^f^ !,т'■><*? +- f dV *>W (2423)
u ч ' υ π J ν ν — ν — <ε π J ν (ν — ν) ν '
0 — οο
Наличие произвольной константы в амплитуде S-рассеяния
можно связать с произволом выбора константы λ в формуле
(24.5).
Уравнение типа (24.23) является очень сложным интеграль-
ным уравнением для функции ^(ν), зависящим как от неизвест-
ной функции φ((ν), так и от характеристик неупругих· процес-
сов. Если пренебречь последними, т. е. воспользоваться лишь
условием «упругой унитарности» (24.17), то даже в этом слу-
чае, не зная функции φ/(ν), мы не сможем многого сделать*).
Тем не менее соотношение (24.20), рассматриваемое как
представление унитарной парциальной амплитуды, оказывается
очень полезным. Объясняется это тем, что в ограниченной обла-
сти вклад от левого разреза может быть определен некоторым
*) Эта функция в данном случае в принципе определяется условием
унитарности в перекрестных каналах, которые описывают также л°л°-рас·
сеяние. Фактически она неизвестна. Никому из многочисленных авторов не
удалось решить уравнение (24.20). Иными словами, не найдена перекрестно-
симметричная амплитуда, удовлетворяющая требуемым аналитическим свой-
ствам и условию упругой унитарности. В мандельстамовской и парцнаино·
волновой формах трудности связаны соответственно с использованием yew-
вня унитарности и требования перекрестной симметрии.

ГЛ. 241
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
425
числом произвольных параметров, которые находятся из экспе-
римента. Тогда в ограниченной области энергий представление
(24.20) дает приближенное выражение для амплитуды. Проил-
люстрируем это на нескольких примерах.
Приближение эффективного радиуса. Учитывая соотношение
Im-^-=-^, 0<v<3m*. (24.24)
h (v) V s
которое сразу следует из условия (24.17), мы видим, что
функция
ft(v)-7TT + ^ (24·25)
h (v) V s
обладает следующими аналитическими свойствами.
1. Она имеет полюсы в нулях парциальной амплитуды.
2. Она имеет разрез вдоль положительной вещественной
оси,' идущий от Ът\ до + оо. При этом мы определим, что
q — + Υ ν, когда ν стремится к положительной вещественной
оси сверху, и q— — Y\, когда ν стремится к ней снизу. Кроме
того, у нее есть разрез, идущий от значения ν = — 4m^ (своим
происхождением он обязан Υs) до — оо.
3. Она имеет левый разрез, идущий от —т2п (или от —-τ^ηηΑ
до —оо. Таким образом, если предположить, что функция ^ (ν)
не имеет нулей в комплексной плоскости, близких к началу ко-
ординат, то мы можем представить регулярную функцию g((v)
ее рядом Тейлора с центром разложения в начале координат.
Следовательно, мы имеем
£i(v)~ai + Mv) (24.26)
или, что одно и то же,
v'Re7^«fl« + ft/(v). (24.27)
Через фазы это запишется так:
Z-fLctgbt^^at + bp. (2128)
У s
Это — хорошо известная формула эффективного радиуса с ре-
лятивистской кинематикой. Она дает двухпараметрическое опи-
сание низкоэнергетического рассеяния. Область справедливости
этой формулы зависит от того, насколько справедливо прибли-
жение (24.26). А оно определяется влиянием левого разреза.
Если это влияние в основном сказывается лишь в далеких

426
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. III
областях (мы увидим, что это, грубо говоря, соответствует ко-
роткодействующему потенциалу), то формула (24.28) оказы-
вается справедливой в значительной области. Соответствующая
амплитуда рассеяния
'' (V) q ctg δ, (ν) - iq
выглядит так:
ft (ν) = -ρ= ' = V''bt VT, . (24.29)
I s α, ν'
—— (a, + b.\) -iq ν + / ■=■ q
v' V ' ' ; bt btV7
Если й/>0 и bt<0, то gi(v) имеет нуль в точке v=— alJbl^
==vR>0, и в ее окрестности ft(v) приближенно представляется
формулой
-1г
ft Μ = Τ -, 2 , л . (24.30)
%(ν-νΛ + 1/Γ)'
2ν'/Λ
гдеГ= . Эта формула имеет резонансный характер.
I bt I Vsr
Вблизи ν = \r фаза увеличивается и проходит через эх/2 в точке
ν = Уд. Если β; уменьшается до тех пор, пока не станет отрица-
тельным, в то время как bt остается все время отрицательным,
то знаменатель будет обращаться в нуль при ν = — νΒ, чему
соответствует q = i YvB. Корень определяется соотношением
-νβ+Α_(_1).^2==„.
Ь1 \bt\VSB
Для малых ai/bi этот корень vB ~ o,Jbi и вычет в полюсе ft(v)
,_. (~1)'+Ч
l*llV4
Такой полюс соответствует связанному состоянию*), и, как мы
уже упоминали при обсуждении пион-нуклонного рассеяния
(в связи с рассмотрением полюсных членов в случае скалярных
пионов), знак вычета меняется с изменением /.
Нужно отметить, что брейт-вигнерова форма (24.30) обман-
чива; из нее следует наличие у fi{v) полюсов при
*) См. гл. 23, в особенности рассуждения на стр. 413.

ГЛ. 24] СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН 427
что находится в противоречии с постулированными аналитиче-
скими свойствами. В действительности о положении сингуляр-
ности нужно судить по формуле (24.29). Если мы запишем ам-
плитуду/; (ν) в виде
/' Μ ~ ~ , . i >
что справедливо в том случае, когда
то функция
fi(v)~
Ρ = 7= ^ —»
I Ь1 I У SR Ч
~β
(<7+^э + уЧ-тр2)(9+1'р-/^-тр2)
имеет полюсы в нижней комплексной полуплоскости q. Если
учесть данное нами ранее определение связи между перемен-
ными q и ν, проиллюстрированное на рис. 72, то мы увидим,
что в действительности сингулярности в плоскости ν лежат на
втором римановом листе.
/т д>0
q<0
q-плосность
ς>0
lmq>0
qZ= ν-плосиосгпь
q>0
q<0
Рис. 72. Соотношение между комплексными плоско-
стями переменных q и v.
Уравнение с заданным скачком на левом разрезе. Когда из-
вестен скачок ti{y) на левом разрезе φ,·(ν), то можно найти
ii(v), если удастся решить нелинейное сингулярное интеграль-
ное уравнение (24.20). Чу и Мандельстамом [8] был разработан
метод, позволяющий преодолеть это препятствие. В последнее
время он был предметом многочисленных исследований*). Идея
этого метода состоит в том, чтобы записать амплитуду рассея-
ния в виде отношения двух функций, числитель и знаменатель
которого не имеют скачков соответственно на правом и левом
*) Соответствующая литература приведена в работе Маргина н Урец-
кого [9].

428 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. ц,
разрезах*). Чтобы правильно учесть пороговые свойства фуНк.
ции ti(v), а именно то, что она ведет себя как ν' при ν-»0, рас-
смотрим функцию
Μν) = 4''(ν). (24.31)
Множитель sl введен для того, чтобы не изменять поведение
функции на бесконечности **). Теперь запишем
По определению Ni(v) не имеет правых сингулярностей, так
что для ν > О
Dt (ν + ie) -Dt(v- ie) = Ni (v) [///"' (v + ie) - ftf1 (v - /ε)J =
= - 2/ (J)'+¥ /V, (v) ^ - 2ip, (v) Nt (v), (24.33)
что позволяет нам написать
Dt (v) = , _ --о f *, ''^У*0., . (24.34)
'v ' π J (V — v0) (v — ν — (ε) x '
0
Аналогично для ν < — т2л имеем
Nt (ν + ie) -Nt(v- ie) = 2щг (ν) D, (ν),
т. е.
9
-тл
— ОО
Отметим, что мы нормировали функцию Dt(v) на единицу в
точке ν = vo- Это всегда можно сделать, выбрав нужный мас-
штаб для функций Ni и Di. Подставив соотношение (24.35) в
формулу (24.33), получим интегральное уравнение
~тл
ад _ ! _ ^L f ^ f ^ P,(jO^(v^K) 36)
'v ' π2 J J (v - v0) (v — v) (v" - v')
*) В том случае, когда массы частиц неодинаковы (как, например, в ел)*1
чае яЛ^-рассеяния), кроме левого разреза на отрицательной оси, есть ей
разрезы в комплексной плоскости. Они, однако, всегда отделены от прав°г*
разреза, определяемого условием унитарности, поэтому их мы будем и*-""
вать левыми разрезами
**) См., напримрр, [9].

ГЛ. 241
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
429
Если воспользоваться определением
ос-
Kl (V, V", V0) = η-, w , - w , TFT . (24.37)
'N ' π J (ν - vo) Ы - v) (v - ν ) '
0
то уравнению (24.36) можно придать вид
-4
β, (ν) = 1 + -i- J dv"K, (ν, ν", ν0) φ, (ν") D, (ν").
— οο
Если определить функцию
A,(v)=-i- J dv V^V' (24.38)
— oo
то уравнение (24.36) может быть преобразовано. Для этого за-
метим, что функцию Nt(v) можно представить в виде
оо
о
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что при ν > О
[mW((v) = 0, а для v< — m\ функция Nt(v) имеет правильный
скачок через разрез. Подставляя в записанную выше формулу
выражение для Α (ν), получим интегральное уравнение
Иг (ν) - L, (ν) + ^ Г rfv- hWW h^Zh^L. (24.з9)
0
Это явно несингулярное уравнение, однако, его нельзя решить
аналитически, за исключением тех случаев, когда функция
Ц(\·) особенно проста. Во многих практических приложениях
в качестве L((v) обычно выбирают борновскую амплитуду, так
что в случае слабой связи
■и /„л _ Ц (у) + 0 (g«) . , , -Гб. а , ν
«iM*—! _ 0 (g2)—~Li(v) = hi (у).
В этом случае (в борновском приближении Lt(\) —это 1-я пар-
циальная амплитуда у^—j") получается очень сложное урав-
нение. Для того чтобы все-таки получить представление

430 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. И]
о природе решений таких уравнений, Пагельс [10] предложил
недавно аппроксимировать К (ν, ν', ν0) рядом полюсных членов
вида
j s2q Г циклические Л
■^ Кг (*. v'. vo) = (s_^)(s_So)(s_^ + ( перестановки j, (24.40)
где s = 4(v + m£).
За отсутствием места мы не имеем возможности обсуждать
далее такую приближенную схему, дающую возможность упро-
стить вычисления при решении этих уравнений. Чтобы охарак-
теризовать общую картину, мы ограничимся рассмотрением
S-волны, для которой
L0(v) = λ = const.
Выберем для простоты v0 = 0. Тогда сразу видно, что
Λ'(ν) =λ. Следовательно,
оо
Z)(v)=i--^f-^__L_. {Ш1)
π J у ν s v — ν
При замене переменных
2\2
V = л
интеграл легко преобразуется к виду
оо
дМ-1-**Г у (24.42)
Последнее выражение интересно тем, что когда λ < 0, Ζ) (ν) об-
ращается в нуль при некотором ν < 0. Это означает, что ампли-
туда рассеяния
'M = T>W (24·43)
в этой точке имеет полюс. Если нуль выражения (24.42) обозна-
чить через —vb. to тогда в его окрестности
*>(v) = (v + vB)(f£) +0((ν + νβ)2),
В
так что

ГЛ.24]
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
431
Такой полюс с отрицательным вычетом соответствует связан-
ному состоянию (см. формулу (24.21) и последующие рассу-
ждения). Возникновение связанного состояния для λ<0 не
зависит от выбора функции L(v) *). Эта функция в интеграль-
ном уравнении для парциальных амплитуд играет ту же роль,
что и потенциал в уравнении Шредингера, где при соответствую-
щем выборе этого потенциала всегда можно получить связанное
состояние. Мы еще раз убеждаемся, что и дисперсионная тео-
рия при правильном выборе «взаимодействия» приводит к свя-
занному состоянию. Поскольку полюс связанного состояния уже
оказался на отрицательной оси, нет необходимости включать
его в L0(v) и вновь пересчитывать. Если мы введем обозначе-
ние
оо
/(v)-^f-^-i-,
' π J Vx's' v'-ν
так что (см. (24.43),· (24.41))
/(ν) =
1 - λ/ (ν)
1-λ/(-νΒ) = 0.
то модифицированное Ν (ν) будет определяться соотношением
ΛΓ(ν) = λ + ——
κ
(где κ такова, что полюс при ν = —νΒ в методе N/D имеет пра-
вильный вычет). Соответствующее модифицированное D(v) вы-
глядит так:
оо
"J V vV v'-v \ -v' + vB)
= 1-λ/(ν)-^-[/(ν)-/(-νβ)] = (1-λ/(ν))(1+|-^-).
Отсюда
f (ν)--££>■- λ ~^-f(v),
β (ν) 1-λ/(ν) £> (ν)
что и требовалось.
*) Специфика такого выбора L(v) состоит в том, что связанное состоя-
ние только одно, и оно реализуется для любых сколь угодно малых λ<0.

432 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. lil
Общее выражение для функции /,(v) задается формулой
f,(v)- = ^ . (24.45)
η J 1 vV ν' —ν у s
Мы теперь видим, что если для некоторой величины v = v#
ReDt{vR) = 0, т. е.
1-^-Р Г ^ N'{vl _-Q
π J lA.,v ν' —ν г, '
ο lAvV
то при v = vR δ, (ν/?) = Υ · Когда сдвиг фаз проходит через π/2,
говорят о резонансе. В окрестности vR
так что
'* ^ ~ Τ ST · (24.46)
1
я
1 \uv /V/?
v-vR--7M=N (v„)
(lRe^4
Сравнение этого результата с обычным брейт-вигнеровым выра-
жением показывает, что мы. можем отождествить
ув_*№*)\Ъ Ш7)
(_ReDl(v))
с шириной резонанса.
iV/D-решение дисперсионного уравнения для парциальных
амплитуд с заданным скачком на левом разрезе не единственно.
Действительно, замена
Dth^DM + ^-^L- (24.48)
i
не нарушает аналитических свойств ^(v) при условии, что
знаки а( выбраны так, что возникающие в tt(v) полюсы лежат
на втором, а не на физическом листе. Это очевидно уже из рас- ^

ГЛ. 241 СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН 433
смотрения одного члена α/ (ν — vo) при малом а. В этом случае
амплитуда имеет вид
t (ν) = J^l . (24.49)
Она имеет нуль при q2 = q\. Функции N(q2) и D{q2) в окрест-
ности q2~ql меняются медленно, так что мы можем их вообще
считать постоянными. Знаменатель обращается в нуль при
q = ± <7о + η
и когда α очень мало, так что и η также мало, приближенно
2<7οη(£>κ+^Λ/) + α = 0,
т. е.
Значит,
H[±2q0DR~^rN
so
'*-V.
2<7о
ΙΓηη= —
r+(vtJ
aN
2\ΠΓο
rf,+.*"
So
Полюс будет находиться в нижней полуплоскости переменной qt
если
aN(g%>0. (24.50)
Эта так называемая неопределенность CDD [11] в решении дис-
персионных уравнений для парциальных амплитуд приводит
к возникновению дополнительных резонансов. Они отличаются
от так называемых «динамических» резонансов, которые возни-
кают при отсутствии полюсов CDD, когда ReD(v) = 0, тем, что
могут быть введены в теорию произвольно. Простые модели по-
казывают, что в гамильтоновом подходе к проблеме рассеяния
этой неопределенное ги соответствует возможность существова-
ния дополнительных нестабильных частиц, способных распа-
даться на частицы, рассеяние которых изучается. Мы предоста-
вляем читателям возможность самим убедиться в том, что без
каких бы то ни было изменений в амплитуде рассеяния можно
2» с. Га-ыорович

434
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч »Г
выделить «динамический» резонанс и представить его как член
типа CDD, подобно тому как это было сделано ранее в случае
«динамического» связанного состояния.
Модель более реалистическую, чем только что рассмотрен-
ная, можно построить, заменив φ/(ν) на ряд из дельта-функций.
Этому соответствует выбор
Μν)-ΣτΤ5Γ· <24·51)
Если ограничиться лишь S-волной и сохранить только один
член
ср0 (s) = πλ0δ (ν + оц),
то тогда
Λ/(ν)=_ΜΙ^ (24.52)
и
оо
g(v)=l + ^D(-ao)(v-v0) fdV-^-J J ^-.(24.53)
π J V s' ν' — ν0 ν — ν ν + α0
Проще работать с нер,елятивистской кинематикой. В этом слу-
чае нужно опустить yV. Если же выбрать также v0-> — оо,
то тогда
оо
D(ν)= 1 Ч flVff = 1 + ,r— .77=^
π J ч (V'_V)(V' + (X0) Καο-tVv
и
S=-l+2iV7f0(v).
Как нетрудно убедиться, последнее выражение приобретает вид
S = д2 ~"^ + α° + ^ ^^_ /24 54)
<72 + iqR + a0 + R Va* '
где g=| ν и R = λ0£>(— α0). Замечательно то, что эта ампли-
туда (при условии, что λ0<2 JAa0) в точности совпадает с ам-
плитудой S-волны, которая получается из решения уравнения
Шредингера с потенциалом [12, 13]
V 2)4 /
Этим подтверждается сделанное ранее замечание о том, что
«дальние» вклады на левой полуоси соответствуют вкладам от
короткодействующих потенциалов.

ГЛ 24J
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
435
Обычно неупругие процессы учитываются путем введения
функции η; (ν) в
t,{v)=Vs
. . 2/e.(v)
Г- η, (ν) e ' - 1
2iq
Если эта функция известна либо из эксперимента, либо в ре-
зультате решения модельной задачи, то тогда можно обобщить
NID-Memn так, чтобы учесть и неупругие процессы [14]*).
Определим функцию
*М-«р[-·* f <"т№г]· О"·
V I
*- Hevnn J
где νΗε>πρ~Π0Ρ°Γ неупругих процессов, когда η не равно еди-
нице. Она может быть представлена в виде**)
где
„,,_-iP J Α-^ω,. (24.58)
VHeynp
Тогда мы можем записать
Ην\ == η(ν)^2'6(ν)-1 = ^(ν)Γ'φ(ν)·6Μ(ν)-1 = ft(v)e2l"a(v)-l
2/ςτ/>^Γ 2/<7/J/T 2tqjVT
(24.59)
где
α (ν) = β (ν)-^ φ (ν). (24.60)
2ia (ν) _ ,
α(ν) = « ' , (24.61)
Если теперь определить
2/?//.
то нетрудно видеть, что функция
β(ν) = _^1+_· (_! Л (24.62)
Я (v) 1iq\Vs \R[y) J
*) В работе [14] подробно обсуждаются дисперсионные соотношения для
парциальных амплитуд. В своем изложении мы следуем работе [15].
**) Эта φ (ν) не имеет ничего общего с функцией Ф;^), которая ранее
фигурировала в этой главе.
28*

436
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Гч. m
обладает следующими свойствами: а) имеет те же аналитиче-
ские свойства, что и /(ν), ибо функция R(\), определенная соот-
ношением (24.56), не исчезает нигде в конечной части плоско-
сти; разрез же, обусловленный наличием q в (24.62), может
быть взят вдоль положительной вещественной оси; б) удовле-
творяет упругому условию унитарности на правом разрезе;
в) если известны η (ν) и скачок t(\) на левом разрезе, то из-
вестен и скачок о (ν) на левом разрезе. Поэтому, применяя стан-
дартную /V/D-процедуру, мы можем определить с (ν) *).
Из соотношения (24.60), представленного в виде
β(ν)-«(ν) + ^Ρ J" "f^L. (24.63)
vneynp
Ясно, что быстрые изменения в неупругой части будут сильно
сказываться на б (ν). Боллом и Фрезером [17] было доказано, что
быстрое уменьшение η могло бы быть причиной появления не-
которых из наблюдаемых резонансов. Более детальные вычис-
ления привели, однако, к несколько обескураживающим резуль-
татам, и мы не будем далее обсуждать этот вопрос.
Неупругие процессы могут быть детально изучены лишь в
одном особом случае, когда неупругость обусловлена наличием
других двухчастичных каналов, как, например,
л~ + р-*п~ + ρ,
л~ + р->п° + п,
π- + ρ->Κ° + Ζ°,
л~ + ρ~+Κ+ + Σ~,
п~ + ρ -*■ р~ + ρ,
Круг проблем, которые можно рассматривать таким образом,
чрезвычайно широк, если трактовать резонансы как частицы.
По вопросу многоканальных процессов имеется обширная лите-
ратура**). Здесь же мы должны ограничиться лишь очень крат-
ким его описанием.
Что же касается одноканального случая, то в ограниченной
области энергий наиболее полезными свойствами являются ана-
*) Недавно в работе [16] было отмечено, что в многоканальной задаче
решение для амплитуды рассеяния и решение, получаемое с помощью эквива-
лентного множителя, учитывающего неупругость, не всегда еввпадают. Послед-
нее может быть проявлением сингулярностей типа CDD.
**) Ссылки можно найти, в частности, в работе [18].

ГЛ. 24]
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
437
литичность и унитарность. Последнее свойство мы рассмотрим
в первую очередь. При этом ограничимся лишь s-каналом.
Рассмотрим набор двухчастичных состояний, которые обо-
значим буквами с, Ь. с,.. . Если в данном начальном состоянии
частицы обладают 4-импульсами р, q (и массами Ма, та), а в
конечном — р\ q' (и массами Мь, ть), то матрица перехода бу-
дет обозначаться как ТЬа(р\ q'\ p, q). Обобщенное условие уни-
тарности (21.8) выглядит так:
*[Тъа(р'' <?'; р> q)-T'ablP' я; ρ', <Л1-
-θπ\* V V Г d3Po Г d3Qc biPc + Qc-p-q) y
-W ^i^jj (2π)« J (2π)« p(D (p ) pW fo)
СПИИЫ С · С \rc/ i С \'С/
XT*cb(Pc' Яс> Р'' <ЛТса(Рс' Чс< Р' <?>
Здесь для фермионов рс{рс)= ,„ Лм » а Для бозонов рс(рс) =
= -т. ?3 . В системе центра масс
ipU/*'· 9'; />, д)-ГаЬ(р, q; p', q')\ = (2π)4 Σ Σ | di4 X
СПИНЫ С
X P2cdpc , ГсЬГса. (24.64
В новых переменных
Ε = /pfTMf + Vp*e + m* (24.65)
мы получаем
<W4'>(p.)p»(ft) "^«ИйО?-/,). (24.66)
где
I4Mcmc, если с —фермион-фермионное состояние;
2МС, если с — бозон-фермионное состояние;
1, если с — бозон-бозонное состояние.
Таким образом, условие унитарности принимает более простой
вид:
i(Tba-T'ab) = {24 Σ Σ J *ΩΛ "4^ Γ<«· (24'67)

438
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. 111
Теперь в системе центра масс можно разложить Tba(p', q'; ρ, q)
по полному набору собственных состояний полного момента /
и четности ε, так что
(Tba(p', q'\ ρ, <7))п.м = - Σ ^αε)Φ/ε(ρ, ρ). (24.68)
Λ ε
Функции Φ/, ε можно выбрать так, чтобы удовлетворялось усло-
вие вещественности
Φ*, ε {β, ρ) = Φ/, ε Ср, р) (24.69)
и ортонормированности
-L 2 J" dQjrOV. * (£". Ρ') Φ,, ε (ρ", р) = Ь1ГЬгг.ф1Ё(р, ρ).
СПИНЫ
(24.70)
Для бесспиновых частиц этими функциями являются полиномы
Лежандра. Выше мы нашли также и функции, по которым раз-
лагается пион-нуклонная матрица рассеяния. Пользуясь этим
разложением, можно получить условие унитарности для t{ba E) (s),
которое выглядит так:
/ [ffc ε) (s) - й ε)* (s)] - - S й ε)* (s) ^Ь- ω ε) (S). (24.71)
Обобщением одноканального соотношения
(f (ω — /ε) )* = f (ω + ie), (24.72)
с помощью которого мы отождествляем Imt(io) с [^(ω + ie)—
— i(o — ie)]/2i, является матричное условие
{t(s — ie))+ = t(s + ie). (24.73)
Поэтому левая часть соотношения (24.71) обозначает
i[t{bae)(s + iB)-t['ae)(s-ie)\.
Необходимо подчеркнуть, что каждый двучастичный переход
а —*■ Ь описывается не одной, а несколькими амплитудами. Про-
исходит это потому, что момент и четность не определяют еще
полностью состояния двухчастичной неподвижной в целом си-
стемы. Например, переходу
π + Ν -* ρ + Ν*
в состояние -у соответствуют три амплитуды. Это связано
с тем, что конечными состояниями будут 6D-/2, 4^у2 и 2S_*).
*) Другими словами, каждая такая подматрица имеет вид /у (λρ λ2; λν λ2)>
где λ обозначает спиральность. г

ГЛ. 241 СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛИ 439
Впредь же мы будем считать, что символы a, b... обозначают
не только пару частиц (в представлении, в котором диагоналей
изоспин), но также и состояния с возможными значениями ор-
битального момента и спина.
Для построения формулы эффективного радиуса, аналогич-
ной формуле (24.28), необходимо знать поведение матричных
элементов на пороге. В случае разных масс переменная пере-
дачи импульса в системе центра масс имеет вид
t = (p'~pf = {Ey-ETT + 2\p\\p'\cosQ-p2-p'\
и аргумент функций Q(, возникающих в выражениях, подоб-
ных (24.11), таков:
Следовательно, когда ρ —> 0, амплитуда ведет себя как ρ «, где
/„ — орбитальный момент начального состояния. Аналогично
на пороге выходящей пары частиц матричный элемент меняется
как (р')ь. Таким образом,
Й^М^ЧйД (24.74)
где амплитуда Aba(s) на пороге не обращается в нуль. Усло-
вие унитарности теперь выглядит так:
vi 16hV р2!с+'
i[Aba{s + ie) - Aba(s - ie)] = - 2j Abc (s - ie) ψ Aca (s + ie),
так что мы можем написать матричное уравнение
i [Л-1 (s - ie) - A~l (s + ie)] = 2R. (24.75)
в котором введена диагональная матрица
**---^#+,ν (24-76)
Разумеется, рс должно быть вещественным.
Обсуждение аналитических свойств является делом утоми-
тельным, ибо когда массы различны, представление Мандель-
стама приводит к довольно сложным выражениям, содержащим
левые сингулярности [19]. Мы не будем здесь углубляться в
детали. Ограничимся лишь приведением результата — всегда

440
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
будут существовать левые сингулярности (обозначаемые L) и,
кроме того, правые сингулярности, начинающиеся с точек вет-
вления sa = (Ма + та)2, sb,...
Оказывается, что матрица
M{s)=sA-l(s)—iR{s) (24.77)
не имеет правого разреза. Ее сингулярностями являются раз-
резы и изолированные полюсы там, где det A (s) обращается в
нуль. Приближение нулевого радиуса состоит в том, что M(s)
заменяется постоянной эрмитовой матрицей, которая должна
быть выбрана так, чтобы матрица t(s) была бы симметрична.
Далее, в случае многоканальной системы, для которой
A (s) = [M(s) + iR(s)]-\ (24.78)
связанные состояния и резонансы возникают при тех значе-
ниях s, при которых
det (Μ (s) + iR (s)) = 0. (24.79)
Мы можем проиллюстрировать это, рассмотрев mt- и К,К-
связанные системы в S-состояниях. Тогда получим
Vs V 0 qK)
В зависимости от энергии пиона в системе центра масс ω по-
следнее соотношение выглядит так *):
[Mn-^-V^^K м12
r'(s)=[ 8.π5
\ Ml2 М22 - ~-Υ а? - т\
Соотношение (24.79) теперь имеет следующий вид:
(К„ - i у 1 - -J-) \К22 - i \/ 1 - -^ ) - КЪ = 0, (24.81)
если
Ми = ^Кц. (24.82)
*) Хотя условие унитарности в физической области требует, чтобы <?л и
<?к были бы вещественными, мы можем воспользоваться соотношением (24.80),
чтобы определить t~l (s) и, значит, t(s) для всех <?π и <?к· Когда ω становится
меньше тк, <?к "Определяется как (|<7к|.
(24.80)

ГЛ. 24] СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН 441
Матрицу (24.80) можно теперь обратить. Тогда получаем
,^ = 'Ζ**' ==== ν
&
~к12 Ku-iyi—φ-
X| r *- I- (24.83)
Стоит остановиться на некоторых свойствах многоканальной
задачи, выявленных на этом простом примере.
1. Условие (24.81) может быть выполнено лишь при
ю <тл*). В этом случае все четыре амплитуды имеют полюсы
при ω = ωβ· Например, это Λ0-полюс в амплитудах процессов
К-ρ ~* Κ-ρ, π±Σ * — π*Στ и К~р —· π±Σ+.
2. Для тп < ω < тк знаменатель может быть записан в
виде
I*..-'/1 -#)(*»+ |/^Т)-КЬ- (24.84)
При некотором ω = а>я вещественная часть знаменателя может
обращаться в нуль. При ω = coR амплитуда π-π-рассеяния яв-
ляется чисто мнимой и описывает резонанс. Примером тому слу-
жит Ki-резонанс в лЛ°-системе. Он, однако, не наблюдается не-
посредственно в реакциях КЛ/ —* KN или KN —» πΛ°.
3. Рассмотрим случай, когда /С12 = 0. Тогда ππ- и КК-ка-
налы не связаны. Если /(/(-амплитуда имеет полюс при ω = ω0,
/ —2 1 > а ^12
ω0
медленно возрастает, то вещественная часть знаменателя будет
исчезать вблизи точки, соответствующей /(-/(-связанному со-
стоянию.
Уо( 1405)-резонанс может отражать наличие Д'-/У-связанного
состояния, хотя сильная связь между всеми каналами делает
такую идентификацию проблематичной.
4. Само собой разумеется, что вещественная часть знаме-
нателя может обращаться в нуль при ω > mK. В этом случае
во всех каналах поведение становится резонансным.
В заключение необходимо сказать следующее. Представле-
Уие Мандельстама дает возможность изучить дисперсионные
*) Решение при ci)>mK возможно лишь при наличии специальной связи
между массами я- и Д-мезонов.

442
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
соотношения для парциальных амплитуд. Условие унитарности
можно удовлетворить только ниже порога рождения, так что
если не прибегать к феноменологическому представлению о по-
глощении, то развитый в этой главе метод оказывается справед-
ливым лишь для двухчастичных состояний. В этом смысле дис-
персионные соотношения соответствуют нерелятивистскому
уравнению Шредингера, в решении которого автоматически
учтена двухчастичная унитарность, а поглощение описывается
оптическим потенциалом. Эту аналогию можно продолжить
дальше в том смысле, что динамические свойства парциальной
амплитуды рассеяния определяются функцией Li(v) точно так
же, как нерелятивистское рассеяние определяется потенциалом.
Имея в виду эту аналогию, нетрудно критически оценить и не-
достатки дисперсионного подхода.
1. N/D-метоА не учитывает специфических особенностей вы-
соких энергий. Именно; он игнорирует наличие многочастичных
процессов.
2. Не выявлена связь между различными парциальными ам-
плитудами. Даже в том случае, когда, например, все Lt(v) по-
лучаются из единственного борновского члена, не очевидна
связь между уравнениями с различными I.
3. В отличие от решения уравнения Шредингера, N/D — ре-
шения обладают рядом нежелательных особенностей. Это обус-
ловлено неопределенностью CDD. Однако даже если не обра-
щать на нее внимания, то неясно, являются ли эти решения
единственными. Они могут зависеть от точки вычитания vo, в
которой D(v) нормируется на единицу. Наконец, в обычной
схеме борновских итераций для учета левых сингулярностей ин-
тегралы, как правило, расходятся и нужно вводить обрезание.
То, что мы уделили столь много места этому подходу, оправ-
дывается следующим:
1. Дисперсионный подход к изучению парциальных ампли-
туд показывает, что при очень малом числе предположений ряд
хорошо известных из теории потенциального рассеяния поло-
жений характерен также и для низкоэнергетической области
физики элементарных частиц. В частности, имеет место при-
ближение эффективного радиуса, связанные состояния прояв-
ляются как полюсы амплитуды рассеяния, резонансам отвечают
полюсы на нефизическом листе, в многоканальном случае ре-
зонанс проявляется сразу во всех каналах и т. д.
2. Может как раз оказаться, что структура низкоэнергети-
ческой части спектра определяется двухчастичной областью.
Вклад же многочастичных процессов можно охарактеризовать
надлежащим числом параметров. Таким образом, хотя описан-
ный подход и недостаточен для полного понимания динамики
при низких энергиях, тем не менее он может дать гораздо более

ГЛ. 241
СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
443
осмысленное феноменологическое описание, нежели, например,
фазовый анализ. В следующей главе мы увидим, что по не со-
всем еще понятным причинам учет взаимодействия, обусловлен-
ного одночастичным обменом, в рамках приближения эффектив-
ного радиуса (или в рамках Л/Д)-метода) позволяет описать
резонансы с наблюдаемыми квантовыми числами.
3. Перед тем как обратиться к более сложным методам,
учитывающим трехчастичные состояния и позволяющим изучать
амплитуды вне энергетической поверхности, необходимо сна-
чала разобраться в более простых вещах.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите разобранную в этой главе двухканальную задачу. Пока-
жите, что в случае, когда существует резонанс выше К-порога. вблизи резо-
нанса
1
4π σππ-»ππ"
1
1
4π
4 Χ1
(ω_ω/?)2 + _1.(ΓΙ+Γ2)2
Γ2 1 ..
/Γ2\2 1
4π ηπ-»ππ·
2
"ππ-»ππ·
где
2. Рассмотрите одноканальные дисперсионные соотношения для парциаль-
ных амплитуд и воспользуйтесь условием упругой унитарности. Что можно
сказать о б(оо) —6(0), где δ(ν) —сдвиг фазы, если L(v), будучи определен-
ным, скажем, соотношением (24.38), имеет вид
ΜνΗ—зН?
ν + α
Сколько может быть связанных состояний в этом случае?
3. Каково максимальное число связанных состояний в случае, когда
L (ν) = V
λη
rt-I
■ν + α„*
Что можно сказать о б(оо) —6(0)?
4. Покажите, что амплитуде рассеяния
„2(6
t\e
21
можно поставить в соответствие диаграмму (рис. 73J.

444
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
5. Покажите, что резонансные кривые на диаграммах (рис. 74 и 75) соот-
ветствуют следующим случаям:
а) Резонанс с долей упругого канала большей, чем 0,5.
б) Резонанс с долей упругого канала меньшей, чем 0,5.
^-—
у
У
/
/
1 ^
/ S
1 /
\ //?
\
\ {
\
s^
\тГв
^*-ч
"Ч
——*G
"^\
^£^^
V
\
\
\
ч \
\ \
\ 1
\ 1
1 /
/ /
/ /
//
/ /
у
О
Рис. 74.
Re L·
Im£
О
Рис. 75.
Re£
е) Резонанс с теми же квантовыми числами (спнн и четность), которыми
обладает нерезонансное основное состояние в случае притяжения.
г) Резонанс с теми же спином и четностью, которыми обладает нерезо-
нансное основное состояние в случае отталкивания.

Глава 25
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ
Как стало очевидным за последние пять лет, главная задача
физики сильных взаимодействий состоит в том, чтобы объяс-
нить спектр резонансов, который вырисовывается понемногу в
результате опытов, проводимых в различных лабораториях. По-
скольку в случае сильной связи мы не умеем извлекать инфор-
мацию из теории поля и поскольку у нас нет ни малейшего
понятия о том, что же представляют собой «фундаментальные.?
составляющие материи, до сих пор не удалось построить ника-
кого аналога уравнения Шредингера с хорошо определенной си-
стемой квазисобственных состояний. С другой стороны, из-
вестно, что связанные состояния и резонансы проявляются как
сингулярности элементов матрицы рассеяния. Именно это и оп-
ределило основное направление исследований в данной области.
Грубо говоря, точка зрения, которой руководствовались иссле-
дователи, работавшие над этой проблемой, сводится к следую-
щему.
1. Детальная структура низкоэнергетической части спектра
определяется дальнодействующей частью «потенциала» взаимо-
действия между парами частиц. Вклад короткодействующих сил
можно представить с помощью небольшого числа специально
подбираемых параметров.
2. «Потенциал» взаимодействия возникает в результате того,
что пары частиц обмениваются между собой другими части-
цами. При этом в противоположность задачам атомной физики,
где потенциал порождается обменом фотонами, или задачам
ядерной физики, где взаимодействие между нуклонами возни-
кает в результате обмена мезонами, в данном случае нельзя
выделить никаких специально «создающих потенциал» частиц.
Так, при взаимодействии мезонов с нуклонами может происхо-
дить обмен теми же самыми мезонами и нуклонами. Если су-
ществуют возбужденные барионные состояния, то они также
Могут принимать участие в обмене, давая тем самым вклад в
потенциал, ответственный за их собственное существование.

446
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. 111
Следовательно, возникающий таким образом спектр частиц дол-
жен удовлетворять определенным условиям самосогласованно-
сти. Эти условия накладывают ограничения на массы и ширины
(или константы связи) отдельных членов спектра.
3. В качестве орудия исследования при таком подходе необ-
ходимо использовать совместно условия аналитичности, пере-
крестной симметрии и унитарности. Условие аналитичности по-
зволяет записать представление для амплитуд рассеяния. Пере-
крестная симметрия устанавливает связь между исследуемыми
процессами и определяющими их «потенциалами». Унитарность
накладывает основные ограничения на амплитуды.
Осуществление этой программы, известной под названием
«бутстрап»*), потребовало бы, строго говоря, вычисления ам-
плитуды рассеяния, удовлетворяющей условию перекрестной
симметрии. Даже приближенный учет перекрестной симметрии
требует довольно сложной вычислительной работы. Ввиду огра-
ниченного объема этой главы самое большее, что мы можем
здесь сделать, — дать качественное описание использовавшейся
для этой цели процедуры. Хотя с точки зрения бутстрапа необ-
ходимо одновременно рассматривать все частицы, до сих пор
при всех вычислениях ограничивались лишь рассмотрением
взаимной связи небольшой группы частиц**). Ниже мы рассмо-
трим возникновение резонанса Ν* (1238) (Т = J = 3/2) при
взаимодействии пионов с нуклонами.
Процедура, которой обычно пользуются в таких случаях,
грубо говоря, состоит в следующем. Записываются дисперсион-
ные соотношения для парциальных амплитуд в виде
по правому по левому
разрезу разрезу
(25.1)
Простая форма первого интеграла обусловлена тем, что мы
пренебрегли многопионными процессами. Функция q>i(W') опре-
деляется с помощью какого-нибудь простого приближения, и
уравнения решаются /V/D-методом. Нули ReD(tt^) определяют
положение резонансов. Функция yi{W) должна, разумеется,
учитывать влияние резонанса, найденного в результате решения
уравнений. При построении функции <рг(№) следует руковод-
ствоваться условием перекрестной симметрии. Обсуждая пред-
*) Буквальный перевод слова bootstrap — зашнуровка. (Прим. перев.)
**) Чтобы эта процедура имела смысл, необходимо допустить, что уравне-
ния «частичного бутстрапа» все же имеют решения, хотя и с не вполне точ-
ными значениями масс и ширин, так как в противном случае не могло бы су-
ществовать никакого решения, если неучтены все возможные состояния.

ГЛ. 25]
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ
447
ставление Мандельстама, мы уже отмечали, что Г-матрица, рас-
сматриваемая как функция переменных s, i и и, описывает це-
лый ряд процессов. Например, в случае пион-нуклонного рас-
сеяния зависимость /"-матрицы от переменной t такова, что при
и-канал
^;-
я.
N
"ч/Г
*;
t-канал
\st
3)
ν/ \λ ν/ \
β)
ж)
Рис. 76. α) Связь между s- и ы-каналами пион-нуклон-
ного рассеяния; б) связь между s- и /-каналами;
е) однонуклонное промежуточное состояние в s-ханале;
г) промежуточное состояние в s-канале, содержащее
одну изобару N*; д) однонуклонный «обмен» в ы-канале;
е) «Обмен» одной N* в ы-канале; ж) «обмен» одним
р-мезоном в ы-канале.
<>4т£ она описывает процесс π + η-*Ν+Ν, а при и^-
> (М + тл)2 она описывает пион-нуклонное рассеяние. Эти
свойства наглядно иллюстрируются рис. 76. На рис. 76, α и б
показана связь между процессами в s- и «-каналах и в s- и
/-каналах соответственно. На рис. 76, в, г и д показан вклад,
который дают в эти каналы одночастичные состояния (включая
/У*-резонанс). Поскольку вклад левого разреза в парциальную
амплитуду определяется проекцией на эту амплитуду членов,
зависящих от cos й, т. е. членов, зависящих от t и и, мы можем

448 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. Ill
установить соответствие между скачком на левом разрезе и
промежуточными состояниями в /· и «-каналах. По аналогии
с нерелятивистским рассеянием массу системы, которой обме-
ниваются частицы, можно связать с обратным радиусом дей-
ствия «потенциала». Так, член типа
оо оо
j at j as (s,_s){l,_l) - j at t+(p_pT
имеет фурье-образ
оо
V(r) = 4n { dfa(f, s)e~VFr,
т. е. ему соответствует потенциал с радиусом действия 1/2/ηπ.
Член типа
I
du'b (u't s) —
(М+тл)2
соответствует очень сложному, зависящему от энергии потен-
циалу.
Приближение, которым мы собираемся руководствоваться,
основывается на разумном предположении о том, что дально-
действующая часть потенциала (соответствующая обмену ча-
стицами небольшой массы) должна играть основную роль в
определении низкоэнергетической структуры спектра. При этом
резонансы могут существовать только в том случае, если при-
ближенный «потенциал» — это потенциал притяжения. Такое
приближение не обязано быть хорошим для определения ампли-
туды рассеяния S-волны, поскольку эта амплитуда очень чув-
ствительна к влиянию короткодействующих сил. В случае
S-волны не существует никакого центробежного барьера, ко-
торый удерживал бы ее вне центральной области.
Мы начнем с рассмотрения обмена одним нуклоном в «-ка-
нале. Покажем, что в результате такого обмена возникает по-
тенциал притяжения в состоянии с квантовыми числами Τ -
— / = 3/2, и, следовательно, в этом состоянии может возник-
нуть резонанс. Будем считать массу нуклона очень большой,
т. е. будем работать в «статическом пределе» *).
*) Наши результаты будут совпадать с результатами работы Чу и Лоу
[1], которая послужила прототипом для всех вычислений такого рода.

ГЛ.Я]
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ
449
Согласно формуле (23.30)
flA^ = 1WL[Al~{W''M)B'] + E^¥L[-Al±l-{W+M)B^^
(25.2)
где
АЛ if \A(W, cos θ),
^} = lJd(cose)Pi(cose){B(riCose)_ (25.3)
(25.4)
Если ограничиться одночастичными членами, то
Ai±](W, cos0) = 0,
β(±) (W, cos θ) = - -f f—I— + о ,„2 '—j ^ ·
v 4n\M2-s M2~{2M2 + 2m^-s-t))
Первый член будет давать вклад только в В0. Если бы мы про-
сто хотели вычислить амплитуду пион-нуклонного рассеяния в
некотором приближении, то мы бы удержали этот член. Он дает
небольшой вклад в амплитуды /о+ и /\_, причем этот вклад со-
ответствует наличию слабого отталкивания. Обе эти амплитуды
довольно трудно вычислить: первую потому, что S-волны очень
чувствительны к короткодействующим силам, а последнюю по-
тому, что она оказывается очень малой и вследствие этого очень
чувствительна к небольшим погрешностям. Однако в данном
случае мы не должны вводить извне полюсы в s-канале, по-
скольку в идеологии бутстрапа предполагается, что они должны
автоматически возникнуть в результате вычислений. Поэтому,
опустив этот член, мы получаем
1
1
(COS θ) PL (COS θ) s _ Mi _ 2m2 _ 2p2 (, _ CQS θ) -
d(cose)P£(cos9)- l
fir'
=n
'= +
4it
4it
1
2p2
2 ,
1
' 2
i<
+ 1
-i - M<~2mjt-2P* >
1 . — J. cos 0
s2 (-
4π 2p'
^Ql(Lj^a.). M
где ρ — импульс, a ω — энергия пиона в системе центра масс.
Если считать, что масса нуклона очень велика, так что его от-
дачей можно пренебречь, то
s ~ (Μ + ω)2 я= Μ2 + 2Мсо
и
s~M2- 2ω2 Μα
2р2 р2
29 С. Газиорович

450
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14 Hi
В пределе больших М, воспользовавшись приближенным ра-
венством
Ql [~^J ~ 2^T(L + 3/2) ^ ' (25·6)
получим следующие формулы:
р(±). + е2 1 β(±) _ g2 ρ2 ρ(±) _ ρ ( i \
β° * An 2Μω ' β' ~ + An 6ΑΡω» ' № U { Μ3 )'
Ρ2
Если в равенстве (25.2) положить Ε — Μ те-пЬ- и W~
то, проделав несложные вычисления, получим
«-)_+ S2 fw=+ S2 Ρ2 «+, _т S2 Ρ2
'0+ ^ 8πΛ1 ' Ч- ~ An 12Μ2ω ' Ι+ ^ An 6Λ42ω
(25.7)
Λ1 ~ ω,
(25.8)
Таким образом, в терминах амплитуд с определенным значе-
нием изоспина
fW = f(+)_f-)j (259)
1(1/2) _ г(+) , 2Г(->
окончательный результат выглядит следующим образом:
f№~ML из/а =_ Ml·
'0+ т\ ' ,0+ т2 '
f<l/2> = J!£_ ДЗ/2, = --!&!; (25Л0)
1 Зт£ш ' Зт£ш v '
f(i/2) = _ 2^2Р2 f(3/2) = 4f2P
/l+ 3m2<o ' /l+ Зт2о '
В этих формулах амплитуды выражены через константу /
f2 _ _£l ( тп\2
1 4п\2М ) '
Знак плюс перед борновским членом амплитуды соответствует
потенциалу притяжения, знак минус — потенциалу отталкива-
ния. Как видно, притяжение существует в S-состоянии при
Τ = 1/2 (это состояние мы не принимаем во внимание), в со-
стоянии 7"= 1/2, /р=1/2+ (нуклонное состояние), и, наконец,
значительно более сильное (в четыре раза) притяжение суще-
ствует в состоянии Τ = 3/2, Jp = 3/2+, т. е. в состоянии N*. Если

fVl 251 ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНС.ОВ 45[
представить амплитуду в виде N/D и подставить в эту формулу
Ν(ω) в борновском приближении, так что
/Ε?(ω>- М^кл , (25.И)
π J ω' ρ ω''-ω — /e
το при положительном (/{+М)б амплитуда будет проходить
через резонанс. В действительности в формуле
/№ = JU-" (25.12)
3itm£ J ω' (ω' — ω) 3com£
тп
интеграл, определяющий D, расходится. В данном случае эта
расходимость связана с использованием нерелятивистских при-
ближений, однако если спин частицы обмена ^ 1, то расходи-
мость присуща самой проблеме. Следовательно, необходимо об-
резать интеграл. Величина параметра обрезания выбирается
так, чтобы положение резонанса совпало с экспериментальным.
Таким образом, мы можем написать
1-
ω^ 3ω/η^
Это выражение можно переписать в виде
-^ctga33 = -|fl--^). (25.14)
Весьма интересно, что данные по пион-нуклонному рассеянию
с разумной точностью согласуются с линейной аппроксимацией
функции ReD(co). На рис. 77 приведены экспериментальные
данные по пион-нуклонному рассеянию. Определенное по этим
данн м значение Ρ ~ 0,08 находится в хорошем согласии с ве-
личиной, полученной из дисперсионных соотношений для рас-
сеяния вперед.
В духе идеологии бутстрапа мы должны теперь рассмотреть
вклад от обмена Ν* и посмотреть, меняет ли его учет получен-
ный результат, а также «предсказывается» ли при этом сам
нуклон. Мы обсуждаем сейчас лишь «частичный» бутстрап, по-
этому при таком подходе не может быть и речи о «предска-
зании» пиона. Его структуру нужно определять отдельно, воз-
можно совместно с решением πρω-проблемы. Чтобы посмотреть,
как влияет на амплитуду рассеяния в различных состояниях
29*

452
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ш
в s-канале обмен некоторой частицей (Τ, Ζ*5) в и-канале,
удобно ввести так называемую кроссинг-матрицу. Вообще го-
воря, обмен любой частицей в u-канале приводит к рассеянию в
s-канале в состояниях со всевозможными значениями момента.
6,0
5.0
ν>
$3,0
Нэ
гр
W
о
-W
Ι Τ
ς*4
NJ/,5
iff\.
i/,J*
I '
1
W
S8
- —
1
1 1
Ι Τ1 Ι Ι Γ" Ι- Ι 1
Прямая линия: fz=0,067
во
nd
1 1 1
a>J=2,/7
113
124\
140*^150
1Во<\г7В
sOv—
2004 *2I7
\ +220
1 1 1 1 |4| 1 1 1
"
—
-
"
go
ω*
гр
Рис. 77. График, изображающий зависимость
•t]3ctga33/cD* от энергии в системе центра масс [2]
η = Pjifmjrt ω* — энергия пиона в системе центра масс.
Мы можем лишь надеяться, что в рассматриваемом нами стати-
ческом пределе картина будет достаточно простой и что этот
предел дает качественно верное описание основных эффектов*).
В статическом пределе, когда
ν « Μω, (25.15)
дисперсионные соотношения при фиксированном переданном им-
пульсе (23.19) принимают более простой вид. Сделав замену
ω' = v'/M, мы получим в пределе Μ —* оо
оо
Аш (ω, 0 = - f ^ω'α(±) (ω', t) i^1— ± -73—),
(25.16)
00
' 8лМ \ ω θ/ ' π J ^ \ · ' / \ω' — ω ω' + ω/
*) По утверждению Керазерса [3], это действительно так.

ГЛ. 251
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ
453
Таким образом, в статическом пределе перекрестная симметрия
означает инвариантность относительно одновременной замены
ω-» — ω, <7 —>— ~q' и α—* β. Если записать (23.28) в виде
F[±) (ω, cos θ) = V { fM (ω) [t + i-ia.q'xi -jj^) Pt (cos Θ) +
+ /£> (ω) (l + io-q'Xq -ц^щ) Pt (cos Θ)}, (25.17)
то из перекрестной симметрии следует, что
F(±,(co, cos θ) = ± F± (- ω, cos θ) =
= ±Σ{^)(-ω)('+1+'σ·^Χ^Τ(^θ)-)ρ'^θ)+
+ f£4-<»)(l-i°-Q'XqjI£^))Pt(cose)}.
Это позволяет нам приравнять
Я? <ω> = ± (νττ Я? <- ») + иг- Я? < - ω>) ■
Равенство (25.18) можно записать в виде
7£>М^ , / 1 21\(±№(-<°)
/£>(ω) / "2Г+ I V 2 Л- 2 1 Д ±/£>(-ω)/' (25Л9)
Входящая в это соотношение матрица обычно обозначается бук-
вой L и называется статической кроссинг-матрицей для пар-
циальных волн. Немного погодя мы объясним, какую важную
роль играет эта матрица.
Воспользовавшись соотношениями
f(3/2) = f(+)_f(-)i f(l/2) = f,+) + 2f(-,) (2520)
мы немедленно получаем
Г (ω) - f(-> (ω) = Γ (ω) = Lf(+) (- ω) + Lf ^ (- ω) =
= Ζ,(4Γ/2)(-ω)+|Ρ'2»(-ω))
и
f+) (ω) + 2f(-» (ω) - f(1/2> (ω) = LfM (- ω) - 2Lf(-> (- ω) =

454
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
Следовательно, соотношения перекрестной симметрии можно за-
писать таким образом, чтобы учесть перекрестные свойства изо-
топических амплитуд. В результате получаем
1
3(2/+1)
/}|»(-ω)_
(25.21)
Заметим, что полученная нами кроссинг-матрица, которую мы
обозначим через М, так же как и кроссинг-матрица L, удовле-
f?l2) (ω)
ffi2)(«>)
_/Γ(ω)_
Ι 21 2 41
2(1+1) -1 4(/ + 1) -2
4 8/ -1 -2/
_8(/+1) -4 -2(/+1) 1 .
творяет условию
Μ2
1.
(25.22)
Чтобы проиллюстрировать, какое значение имеет кроссинг-мат-
рица, рассмотрим рассеяние пионов на нуклонах. Допустим, что
происходит обмен частицей с орбитальным моментом и четно-
стью /р и изоспином Т. Это означает, что в случае, когда «-ка-
нал является физическим, т. е. при и^-(М + тл)2, или в стати-
ческом пределе, когда ω -^ — тп, рассеяние будет происходить
только в состоянии (Jp, Т), так что только функция (fm(~(u))jP
будет отлична от нуля. Кроссинг-матрица покажет нам тогда,
в каких состояниях будет происходить рассеяние в s-канале в
случае, когда он является физическим, т. е. при ω ^ tr^. При
этом положительность элемента матрицы рассеяния будет сви-
детельствовать о наличии потенциала притяжения.
Рассмотрим, например, обмен нуклоном. В перекрестном ка-
нале вклад в амплитуду дает только полюсный член. Следова-
тельно *),
/(№)(_ ω)==0> ^(1/2)(_ω):
3ρψ_
ml®
*) Из формулы (25.4) видно, что полюсный член в s-канале равен
- (g74n) (Μ2 ~ s)~ ' ~ g2/8jtMo.
Вследствие перекрестной симметрии
Во" «-«V&iAfco,
/Й?(-«) «*τ78πΜ
т. е
Мм игнорируем члены с /=0, поскольку в данной связи оии не представляют
интереса.

ГЛ 25] ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ 455
Если выражение для Д^2,( —ω) подставить в правую часть ра-
венства (25.21), то мы получим уже знакомый нам результат,
а именно
f.? Μ=τΨ- · АЧ2) Μ = А3^2) Η = - ψ¥-. /Г (ω) = π- ·
|+ Зт'со 1+ 3m£o ' Зт„о
(25.23)
Легко видеть, что обмен изобарой Ν* приводит к наиболее силь-
ному притяжению в состоянии, имеющем квантовые числа ну-
клона*). Таким образом, чтобы ответить на вопрос, при каком
условии нуклон и Ν* «порождают» друг друга [5], нужно опре-
делить, при каких Ρ и f'2 имеет место равенство (/ = 1)
/ЗГЧ
0 1. (25.24)
О I
(25.25)
Этот чрезвычайно упрощенный расчет иллюстрирует, каким об-
разом можно наложить условие самосогласованности. Он можег
также дать некоторое представление о происхождении возбу-
жденных состояний нуклона. Как было показано в [3], есть осно-
вания полагать, что и другие пион-нуклонные резонансы воз-
никают аналогичным образом в результате их обоюдного дей-
ствия друг на друга. Мы уже видели выше, как состояния Рц
и Рзз**) «порождают» друг друга. Керазерс [3] приводит аргу-
менты в пользу того, что в результате обмена нуклоном {Рц)
должно возникать протяжение в состоянии F37, в то время как
в результате обмена изобарой (Рзз) должно возникать притя-
жение в состоянии Fi5. Если посмотреть теперь на статическую
кроссинг-матрицу (с 1 = 3), то легко видеть, что состояния Р15
и F& в свою очередь «поддерживают» друг друга. Аналогичным
образом поддерживают друг друга состояния Я19 и //з,п· Кроме
того, связь в этих состояниях осуществляется за счет обмена
низшими возбужденными состояниями нуклона. Таким образом,
*) Вклад от обмена изобарой N* можно вычислить, не переходя к стати-
ческому пределу, если допустить, что она ведет себя как частица со спином 3/г.
Формализм для описания частиц со спином 3/? кратко изложен в примечании
к дани! н гтве (см [4])
**) Мы пользуемся спектроскопическими обозначениями (/)2т. г/·
Г\
d&bI 0 1
\ з/2/
Как легко видеть.
/
<
\
f 1
4
V 16
2
-1
8
-4
2
8
-1
-4
4
-2
-2
1
р2 _ ψ! _ _L £2
' ΙΝ-ΝΛ 2 ' '

456
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч Щ
предсказывается последовательность резонансов, соответствую-
щих некоторым из резонансов, обсуждавшихся в гл. 19. Отме-
тим, между прочим, что D- и G-состояния (/ = 2, 4), по-внти-
мому, не принадлежат к этой системе взаимосвязанных резо-
нансов.
Насколько можно полагаться на эти заведомо грубые вы-
числения? В пользу точки зрения, согласно которой нуклонный
спектр определяется низшими по массе состояниями, свидетель-
ствуют вычисления, проделанные Доннаши, Гамильтоном и Ли
[6, 7]. Эти авторы исследуют дисперсионные соотношения для
парциальных амплитуд ft[2(W)lq21 при следующих предположени-
ях. Скачок на левом разрезе включает: а) член, обусловленный
обменом нуклона, величина которого определяется пион-нуклон-
ной константой связи f2; б) член, обусловленный обменом изо-
барой N*, масса и ширина которой берутся из эксперимента;
в) член, обусловленный обменом р-мезоном. Учет обмена р-мезо-
ном — это один из способов представить проекцию ампли-
туды процесса rat —» NN с Τ = ] = 1 в /-канале (см. рис. 76).
Член в) зависит как от константы связи prat, определяемой по
ширине р-мезона, так и от константы связи pNN. Последнюю
оценивают по аномальным векторным моментам нуклонов (см.
гл. 26), а также с помощью соотношения между константой
связи р-нуклон и фазой S-волны пион-нуклонного рассеяния.
Кроме _того, используется проекция амплитуды процесса
ηπ — NN в i-канале с Τ = J — 0, которую также можно оценить
по фазе пион-нуклонного рассеяния, и вводятся некоторые кон-
станты вычитания (Р-волновые длины рассеяния пионов на
нуклонах). Вычитания в дисперсионных соотношениях для пар-
циальных амплитуд делаются для того, чтобы входящие в них
интегралы быстрее сходились и, следовательно, были менее чув-
ствительны к влиянию более высоких по массе состояний (т. t
короткодействующих сил), которое мы в настоящее время не
умеем достаточно удовлетворительно учесть. Исходя из всего
этого, авторы нашли, что: а) амплитуды Рзз, Dl3, Fl5 и F^ мо-
гут резонировать; б) Р33-резонанс объясняется вполне удовле-
творительно; в) амплитуды D13 и F15 должны резонировать при
энергиях ниже 810 и 1150 Мэв соответственно (в действитель-
ности резонансные энергии равны 600 и 900 Мэв); г) похоже
что амплитуда F37 резонирует в окрестности экспериментальнг
наблюдаемой точки (1350 Мэв); д) фазы, вычисленные πρ
энергиях 98, 120, 224 и 310 Мэв, в основном согласуются с фа-
зами, полученными с помощью фазового анализа данных по
угловому распределению и, в некоторых случаях, данных о по
ляризации протона отдачи. К сожалению, детали этих вычнс
лений слишком сложны, чтобы их можно было привести зде »
в сколько-нибудь разумном виде. Однако на рис. 78 показано,

ГЛ. 251
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РКЗОНАНСОБ
457
какой вклад вносит в различные амплитуды обмен перечислен-
ными выше системами.
Поскольку теперь принято считать, что нуклоны и пионы яв-
ляются членами SU (3) -октетов, интересно посмотреть, предска-
зывает ли наша теория, что резонансное состояние, возникаю-
щее в результате однобарионпого обмена в и-канале, должно
Рнс. 78. Вклад от различных левых разрезов в амплитуды: а) Р33 (вклад
от перекрестного разреза, обусловленного Ν*, слишком мал, чтобы его можно
было изобразить на этом рисунке); б) Di3; в) Fl5 и г) F37 [8].
Сплошная кривая изображает суммарный вклад; борновскнй член в s- и и-ка-
ал "' вклад от перекрестного разреза (обмен N*); — \ — | — I — I —вклад от Т = 1 = 0
ЯП-обмена в i-канале; —XXX—вклад от Г = / —I лл-обмена в i-канале.
принадлежать декаплету. В статическом пределе единственное,
что нужно изменить в вычислениях, проделанных в начале
этой главы, — это расширить изотопическую часть кроссинг-
Матрицы так, чтобы она связывала различные SU(3)-амплитуды.

458
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1ч. hi
С практической точки зрения возникают, конечно, и другие
осложнения. Так, если в случае пион-нуклонного рассеяния мы
могли для простоты пренебречь отдачей нуклона, то для
К р-рассеяния такое приближение становится нелепым. Однако,
поскольку детальные расчеты [9] подтверждают те качественные
рассуждения, которые будут изложены ниже, мы сочли возмож-
ным привести их здесь.
При рассеянии двух октетов начальное и конечное состояния
могут принадлежать к одному из супермультиплетов, содержа-
щихся в произведении
8®8 = 1θ8β©84©1Ο0Μ*Θ27.
Следовательно, все амплитуды должны выражаться в виде ли-
нейных комбинаций следующих амплитуд: F(l), F(85«->85),
F(8s<*+8a), F(8a*^8a), F(10), F(10*), F(27).Чтобы определить
перекрестные свойства этих амплитуд, мы выразим их через
амплитуды, перекрестные свойства которых очевидны. Напри-
мер, амплитуда процесса п+р —»п+р в и-канале становится ам-
плитудой процесса п~р —► п'р в s-канале. Если выразить обе эти
амплитуды через выписанные выше амплитуды F, то можно
получить информацию о перекрестных свойствах амплитуд F.
Следующие ниже соотношения легче всего получить с помощью
таблиц вигнеровских SU(3)-коэффициентов [10, 11]:
F(n+ + p->n+ + p) = yF(27) + |F(10),
F (π~ + ρ -> π~ + ρ) =
„lF{27) + ±F(lo) + LF(iO') + ^F(8ss) + ^F(8aa) + ^=F(%s),
F{K+ + p->K+ + p) = F(27),
F(/r + P^K~ + p) = ~F (27) + -i-F(10) + -i-F(l<n +
+ ±F(8j + ±F{8aa) + jF(l),
F (Λ° + η° -> Λ" + η") = -g- F (27) +±F (8 J + |'F (1),
F{A° + π°-> Λ0 + π°) = A F (27) + j F (10) + ~ F (10*) + у F (8SS).
γψΡ{π°+ρ-*Κ+ + Α) =
= 4" F (27) + - F (10*) F (8„) -F (8aa) -W F (8J.
20 ' 12 ч 20 12 aa 3K5
^rF(^- + p->n° + A0)=--l-F(27)-1L-F(10) +
+l?F(10*) + lrJi7(8-)-i7r/r(8-)· (26,26)

ГЛ. Й] ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ 459
Эти равенства можно обратить. Таким образом, мы получим,
например,
F(27) = F{k+ + P~>K+ + p\
F(10) = 2F(n+ + ρ — π+ + ρ)— F(Κ+ + ρ _— Κ+ + ρ)
и т. д. Переход к перекрестному процессу дает
F(27) = F(K+ + Ρ -* K+ + P)-* F(Κ- + Ρ -* Κ- + ρ).
Последнюю амплитуду можно в свою очередь выразить с по-
мощью соотношений (25.26) через St/(З)-амшштуды F. Таким
способом можно построить кроссинг-матрицу для SU(3)-амп-
литуд. Она выглядит следующим образом [12]:
27
10
10*
8ss
Saa
8as
1
27
7
40
9
40
9
40
27
40
9
8
0
27
8
10
1
12
1
4
1
4
1
2
0
V\
5
4
10*
1
12
1
4
1
4
1
2
0
-Υ τ
5
4
°ss
1
5
2
5
2
5
3
10
1
2
0
1
°αα
1
3
0
0
1
2
*\
0
-1
8flj
0
/Ι
-VI
0
0
0
0
1
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
0
1
8
Рассмотрим теперь обмен барионом. Величина этого члена
зависит от отношения констант F и D связи барионов с мезо-
ном. Если лагранжиан взаимодействия имеет вид
g [aBD,B + (1 - α) BF,B] P„ (25.28)
то амплитуда в и-канале будет выглядеть так:
-jjf-^ [o?DjDt + (1 - α)2 FjF, + α(1 - α) (Ζ7,/), + D,F,)l (25.29)

460
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
|Ч. Ill
Эта амплитуда должна выражаться в виде некоторой комбинации
F(8SS), F(8aa) и F(8ns). Мы знаем, что в случае чистой F-связи
(а = 0), амплитуда выражалась бы просто через F(8aa), а в
случае чистой D-связи — через F(8SS). Следовательно, произве-
дение 8 X 8-матриц FjFi должно быть пропорционально опера-
тору проектирования для перехода 8aa. Коэффициент пропор-
циональности в равенстве
(Π(8βα)),£ = λΡ,Ρ£ (25.30)
определяется из условия
(n(8aa))kj(n(8aa))lt = (U(8aa))kh
K^F.F^XF.F,.
F2 можно вычислить, воспользовавшись представлением
(Ft),k = - ihik. (25.31)
Константы fjjft протабулированы в гл. 17. F2 оказывается рав-
ным 3, так что
/^£ = 3(П(8аа))„. (25.32)
Аналогичный подсчет дает D2 = 5/3. Воспользовавшись этим,
получим
ОД = |-(П(8д)„. (25.33)
Оператор DjFt можно рассматривать как обменный оператор,
обращающий симметрию, так как, действуя на антисимметрич-
ный октет, он переводит его в симметричный. Чтобы убедиться
в этом, заметим, что
(f вд)Ш^£)|8й) = Я^£|8а>,
(^FkF,)(D,Fd\Ba) = 0.
Второе соотношение следует из равенства
{DjF,)ab = - idjacfjcb = 0.
Эта величина обращается в нуль вследствие свойств симме-
трии d и /. Если мы запишем
DF \8a) = l\8s),
то коэффициент ξ можно найти из равенства
S2 <8S 18.) = <8„ | FDDF 18а> = 5 <8„ | 8Й>.
Аналогично можно показать, что оператор FjD{ также действует
как обменный оператор, переводящий симметричное состояние

ГЛ. 25]
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ
461
в антисимметричное. Таким образом, мы можем записать (обо-
значая обменный оператор через X)
D,Ft + F,Dl = Vb(Xa' + X")it·
(25.34)
Итак, обмен октетом б
столбца
арионов мо»
0
0
0
5а2/3
3(1-а)2
УЬи{\ -а)
/5а(1 -а)
0
то представить с помощью
27
10
10*
8«
8аа'
&as
8ic
1
или, если считать (as) и (sa) неразличимыми, как мы уже по-
ступали при построении кроссинг-матрицы, с помощью столбца
0
0
0
5а2/3 . (25.35)
3(1-а)2
2 У5а(1-а)
0
Умножив этот столбец на кроссинг-матрицу, мы получим ам-
плитуды рассеяния в s-канале. Величина а определяет, какие
именно состояния будут резонировать, т. е. в каких состояниях
однобарионный обмен порождает потенциал притяжения. В ра-
боте [9] наилучшие результаты получались при а ~ 2/3. Как
видно, при таком значении а наиболее вероятно возникновение
связанного состояния в 10. Вычисления, относящиеся к про-
странственной части амплитуды, остаются в точности такими
же, как в задаче о пион-нуклонном рассеянии (в пределе точ-
ной Si/(3)-симметрии, когда массы всех мезонов и всех барионов
вырождены), так что спин и четность по-прежнему будут 3/21".
Интересно, что величину а «* 2/3 можно получить, если по-
требовать, чтобы обмен декаплетом и обмен октетом барионов

462
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
N Ht
приводили к «взаимному бутстрапу» [13]. Амплитуду, соответ-
ствующую однобарионному обмену, можно записать в виде
1£-^{| a?F (8SS) + 3(1 -α)2 F (8aa)+ YEa(1 -α) [F(8as)+F (8^
(25.36)
или в матричной форме (строки и столбцы нумеруются ин-
дексами 8а и 8S)
a s
3(1-a)2 Vba{l-a)\a
8'
Μ2-и
\^5а(1-а)
(25.37)
Как легко видеть, собственные значения этой матрицы равны
О и 5/Зсс2 + 3(1 — ос)2, а собственный вектор, соответствующий
ненулевому собственному значению, представляет собой барион-
ное состояние
Фв ~ 3 (1 - а) Ф8 + νΙΓαΦβ
(25.38)
Μ2-и
(25.39)
Если происходит обмен декаплетом, то столбец, на который
нужно умножить кроссинг-матрицу, выглядит так:
О
1
О
О
О
О
О
В результате получаются следующие октетные амплитуды
в S-канале:
1 2
2 ^ У^> у'1
Ρ (8ss) = m2-s ' F (8°°) = °* P ^8°^ = ~4~ M2-s '
Их снова можно записать в матричной форме
у' / О VT/4
M2~s { ^5/4 1/2
(25.40)

ГЛ 251
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ
463
Собственные значения этой матрицы равны lh(l±\rG), а соб-
ственный вектор, соответствующий наличию притяжения, как
легко вычислить, есть
Фв ~ V5 Ф8в + (1 + /6) Φν (25.41)
Если сравнить это выражение с (25.38), то из условия само-
согласованности мы получим
а = —^=~0,67. (25.42)
Приведенные выше рассуждения вселяют известный опти-
мизм. Можно надеяться, что удалось найти качественное объяс-
нение механизма возникновения резонансов. Воодушевленные
этим, многке авторы предприняли детальные релятивистские
вычисления самосогласованной (бутстрап) системы барионов
и мезонов. Однако полученные результаты количественно не
согласовывались с известным из эксперимента спектром и,
кроме того, эти вычисления страдали присутствием целого ряда
неопределенностей. Процедура, которой пользовались исследо-
ватели, состоит в следующем. Решается пара уравнений (24.34),
(24.35), причем функция φ/(ν) вычисляется в борновском при-
ближении, соответствующем обмену (одночастичному) всеми
частицами, которые по предположению принимают участие в
бутстрапе. Константы связи и массы считаются свободными па-
раметрами. Далее, ищут нули функции Α (ν) (или ее веще-
ственной части) и вычисляют функцию Nt(v) в точке, где зна-
менатель обращается в нуль. Свободные параметры варьируют
до тех пор, пока нули знаменателя в точности совпадут со зна-
чениями масс, определяющих функцию q>;(v), а вычеты в этих
попюсах — с вычетами в полюсах в t- или u-каналах. При этом
неопределенности возникают в следующих пунктах:
1. Выбор формы амплитуды рассеяния, для которой запи-
сываются дисперсионные соотношения. Чтобы обеспечить пра-
вильное поведение амплитуды на пороге, иногда рассматривают
вспомогательную амплитуду hi(v), где
Μν) = Λ(ν).
Это приводит, однако, к осложнениям на бесконечности. Труд-
ностей, связанных с поведением амплитуды на бесконечности,
можно избежать, если положить
Mv) = ^Mv).
Однако при таком выборе у амплитуды рассеяния появляются,
вообще говоря, полюсы в начале координат. Между тем нет
никаких причин для существования таких полюсов. Кроме того,
если рассматриваются частицы неравной массы, то последняя

464
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
форма для амплитуды нарушает пороговое условие для пере-
крестного процесса. «Наилучшая» форма вспомогательной ам-
плитуды была предложена Мартином и Урецким [14].
2. При приближенных вычислениях результаты оказываются
зависящими от выбора произвольной точки вычитания νο, в ко-
торой функция, стоящая в знаменателе, нормирована на еди-
ницу. Существуют, однако, более изощренные версии N/D-ые-
то да, в которых эта трудность отсутствует [15].
3. В многоканальном A'/D-приближении матрица перехода
часто оказывается несимметричной, что противоречит условиям,
налагаемым инвариантностью относительно обращения вре-
мени [16].
4. Если спин частицы обмена больше или равен единице, то
интеграл, входящий в уравнение для N, необходимо обрезать.
Это представляется фундаментальной трудностью для подхода,
в котором резонансные состояния рассматриваются как ча-
стицы. Можно думать, что эта трудность связана с неперенор-
мируемостью лагранжевых теорий частиц со спином, большим
или равным единице. Таким образом, константа обрезания ста-
новится дополнительным параметром теории.
5. При численном решении уравнений в амплитуде рассея-
ния появляются полюсы, вычеты в которых имеют знак, проти-
воположный тому, который требуется, чтобы их можно было
отождествить со связанными состояниями. Про такие полюсы
говорят, что они представляют «духовые» состояния [17]. Такие
состояния нарушают унитарность, и их появление, весьма ве-
роятно, является следствием нарушения перекрестной симме-
трии [18].
Даже когда все эти трудности так или иначе обходятся, ре-
зультаты вычислений оказываются не слишком обнадеживаю-
щими. Вычисленные таким образом ширины резонансов в два-
три раза превышают наблюдаемые [19]. Поэтому, оценивая
имеющиеся на сегодня данные, мы приходим к следующим вы-
водам: а) представление о том, что явления при .низких энер-
гиях в основном определяются свойствами низших по массе
состояний с добавлением лишь нескольких параметров, необхо-
димых для учета неизвестных «короткодействующих» эффектов,
привело к определенному качественному и количественном}
успеху; б) чтобы объяснить с помощью бутстрапа такие пара-
метры резонансов, как масса и ширина, нужна гораздо более
изощренная процедура, чем W/D-метод с простым одночастнч'
ным обменом. Вполне возможно, конечно, что параметры резо-
нансов особенно чувствительны к «короткодействующим» эф-
фектам. В этом случае условия самосогласованности только ме-
жду низшими массовыми состояниями пообще не будут давать
правильного ответа.

гд 25] ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРИРОДА РЕЗОНАНСОВ 465
расширенное примечание по поводу теории возмущений
ря частиц со спином 3/2
Свободную частицу со спином 3/2 можно описывать величи-
я й ψαμΜ. которая преобразуется как четырехкомпонентныи
штор по индексу α η как вектор по индексу μ [20, 21]*). Она
иовлетворяет уравнению
(«Υ^μ— Μ)αβψρν(Χ)=0
(дополнительным условиям
(Υμ)αβψβμ(*) = 0, δ^αΙΧ(Χ) = 0,
благодаря которым, как легко видеть, в нерелятивистском пре-
деле ψαμ сводится к части произведения трехмерного вектора и
двухкомпонентного спинора, обладающей спином 3/2. Лагран-
Ж1ан взаимодействия частицы со спином 3/2 с нуклоном и пио-
ном обычно выбирают в виде
— ψ (х) % {х) д\ (х) + э. с.
Здесь предполагается, что четность частицы со спином 3/2 по-
ложительна. В практических вычислениях пользуются проек-
ционным оператором
3/2
Λμν(ρ)= Σ «{?(ρΚ>(ρ).
г— 3/2 μ
Если записать это выражение в виде
Λμν(Ρ) = ^2^- (ag-μν + &ΥμΥν + ΖΡμΡτ) + <*ΥμΡν + εΡμΥν).
то с учетом дополнительных условий, записанных в импульсном
представлении, нормированный должным образом проекцион-
ный оператор будет выглядеть так:
_ р + М Ι ^2_ 2ΡμΡν ΡμΥν-ΡνΥμλ
Anv~ 2М \^μν ΤγΜ·Υν ЗЛР-"^ 3ΛΙ /"
По аналогии со случаем частиц, обладающих спином 1/2, функ-
цию распространения можно выбрать в виде
2ΜΛμν (ρ)
ρ2 - Μ2 + ie,
*) Поле ψαμ преобразуется по приводимому (-д"- °)Ф1°> ~2")]®\"2"' 2/
"Редставлению однородной группы Лоренца.
30 С. Газиоровцч

466
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. ГЦ
Однако этот выбор неоднозначен. Если мы собираемся рассма-
тривать только диаграммы, соответствующие обмену Λ/*, то
можно считать, что обменная диаграмма представляет одно-
частичное промежуточное состояние, для обсуждения свойств
которого в действительности нужно знать лишь Λμν. Для таких
диаграмм выписанная выше функция распространения является
правильной.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите статическую модель ρωπ-связи, считая векторные мезоны ρ
и ω статическими источниками. В такой модели взаимодействие векторных ме
зонов будет обусловлено исключительно операторными свойствами спиновой
матрицы S. Покажите, что в случае Р-волновой связи S ■ q (где q — им-
пульс пиона) модель предсказывает резонанс в системе πω со спином и чет-
ностью 2" при условии, что основной вклад в амплитуду рассеяния дает обмен
р-мезоном.
2. Вычислите фазу S-волиы пион-нуклонного рассеяния в борновском при-
ближении, предположив, что S-волиовое рассеяние обусловлено исключите и.·
но обменом ρ-мезоном. Чему равны предсказываемые в этом случае длины
рассеяния, если связь р-мезона с пионами и нуклонами определяется а) по
вероятности распада ρ->2π и б) р-мезон «универсально» связан с изотопиче-
ским током
3Ι = /Ρμ («ρΓ°6μφ + \ ψΥν·ψ +...].
Чему равны длины рассеяния щ и аз, если воспользоваться моделью р-мезон-
ного обмена только для определения их отношения, а величину разности
«1 — а3 = 0,285 взять из дисперсионных соотношений для рассеяния вперед'
3. Рассмотрите рассеяние пиона частицей с 7,=/ = 3/2 в статическом
пределе в случае Р-волновой связи. Покажите, что в этом случае предсказы-
вается резонанс с Τ = / = 5/2.
4. В формализме Рарита — Швингера частицы со спином 2 описываются
полем φμν(*), симметричным по μ, ν и удовлетворяющим условиям:
<3μφμν(*) = 0. £μ>μν(*) = 0.
Покажите, что трансформационные свойства этого поля как раз такие, какие
необходимы для описания частицы со спином 2. Покажите, что величины
Αμν(λ), которые при разложении этого поля по плоским волнам играют роль
векторов. εμ (λ) в случае векторного поля, удовлетворяют условию
^ Λμν (λ) Αρο (λ) =— ΡμρΡνα + "Τ)" ^μσ^νρ —jr ^μν^ρΟΙ
λ
где
а частица имеет массу т и 4-импульс q.

Глава 26
ФОРМФАКТОРЫ
Изучение сечений рассеяния сильно взаимодействующих ча-
стиц— это не единственный способ получения информации об
их строении. С точки зрения теории поля пион-нуклонные соуда-
рения позволяют нам изучить матричные элементы вида
(Ψη, /π(Ο)ΨΝ), где в случае упругого рассеяния η представляет
состояние с одним пионом и одним нуклоном. Измеряя вели-
чины (Ψη,/μ(0)ΨΝ), где ]ц{х) — оператор электромагнитного
тока, можно получить информацию о совсем других аспектах
строения частиц. Такие матричные элементы можно легко изме-
рить в процессах с участием реальных фотонов, например, в
случае фоторождения
у + Ν-+Ν + π(+ ...).
вероятность которого определяется, как легко видеть, величи-
ной
(2π)4/^#(Ψ„,/μ(0)ΨΛΓ), (26.1)
или в процессах с виртуальными фотонами. В качестве источ-
ника виртуальных фотонов удобнее всего использовать электрон
или мюон. Эти частицы не обладают сильным взаимодействием,
поэтому в процессах с их участием можно выделить вклад элек-
тромагнитного взаимодействия. Примерами процессов с вир-
туальными фотонами могут служить рассеяние электронов на
протонах, где измеряется величина (ΨΡ', /μ (0) Ψρ), или электроро-
ждение, т. е. процесс е + р —> е + ρ + п, в котором измеряется
величина (Ψρπ·, /μ(0)Ψρ) (при этом у фотона q2 Ф 0) (рис. 79).
За недостатком места мы ограничимся здесь лишь обсуждением
рассеяния электронов на нуклонах *).
Поскольку электромагнитное поле слабо взаимодейству-
ет с заряженным веществом, можно думать, что графы,
*) Прекрасное обсуждение процессов фоторождения можно найти в [1].
30*

468
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. II]
соответствующие обмену двумя фотонами, дают малый вклад в
сечение рассеяния электронов на протонах. Детальные вычисле-
ния [2, 3], а также экспериментальные данные*) подтверждают
это предположение. Поэтому в дальнейшем мы будем рассма-
тривать только члены, соответствующие обмену одним фотоном
г) д)
Рис. 79. Процессы, в которых измеряются матрич-
ные элементы тока.
а) Фоторождение; б) электророждение; в) рассеяние электро-
нов на протонах; г) то же рассеяние с обменом двумя
фотонами и д) рождение пар в электрон-позитронных
столкновениях.
Однофотонные члены должны также играть основную роль в
процессах типа
е+ + е~-^р + р.
До последнего времени эксперименты такого рода было невоз-
можно поставить из-за отсутствия электронов достаточно высо-
кой энергии. Подобные эксперименты станут возможны, когда
будет завершено сооружение накопительных колец для элек-
тронов высокой энергии.
Если бы протон был просто тяжелым позитроном, то матрич-
ный элемент, описывающий вклад графа, изображенного на
рис. 79, в, был бы равен
т = (2HF йе (/г°(-еГ) и° Мр-кг + ь й {Pf) еГи {р)· (26 2)
*) Эксперимент показывает, что —Wir;—τ—Щг ^ 0,02 (по данны
' σ (е+ρ) + σ (е~ρ) ^
[4]). Различие между этими двумя сечениями обусловлено интерференцией Mf
жду однофотонными и двухфотонными членами, знак которых различен Д.ч>
этих двух процессов.

ГЛ, 26)
ФОРМФАКТОРЫ
469
где k и k' — 4-импульсы электрона в начальном и конечном со-
стояниях, а ρ и р' — соответствующие величины для протона.
Если ток определяется выражением
jll(x) = e%(x)yll%(x) + .... (26.3)
то Τ можно записать в виде
Т = (2SF Ue (kl yllUe {k)(k'-kY + ie (Ψ?'> /·* (°> Ψ")· <26·4)
Из-за сильного взаимодействия нуклона с другими частицами
(например, с заряженными мезонами), которые в свою очередь
взаимодействуют с электромагнитным полем, матричный эле-
мент тока оказывается в данном случае гораздо более сложным,
чем соответствующий матричный элемент для электрона. В фор-
мулу (26.4) нужно подставить наиболее общее выражение для
матричного элемента тока *)
(ψΡ · k (0) ΨΡ) - jj£p й (ρ') [γЛ ((/>' - Ρ)2) +
+ i%v (ρ' - ρ)ν Fp2((p' - pf) ]u(ρ). (26.5)
Здесь Ff и F% — совершенно неизвестные функции — формфакто-
ры протона. С помощью равенства
и (Р') «τμν (ρ' - ρ)ν и (ρ) = - \ й (ρ') [γμ, β'-β] и (ρ) =
= -}"(ρ')[Υμ(ρ'-Μ)-№-ρ)νμ]Μ(ρ) =
= «(ρ')[2Μνμ-(ρ' + ρ)μ]α(ρ)
матричный элемент (26.5) можно переписать в виде, более
удобном для возведения в квадрат и вычисления шпуров,
а именно
71SF й {р,) К (F· + 2MF§ ~ <Λ + Pv) ρ"λu iP)· (26·6)
Функции Ff и Fl зависят от
t = {p'-pY = W-kf.
*) Если учесть, что спиноры и(р') и и[р) удовлетворяют уравнению Ди-
рака, то легко видеть, что наиболее общее выражение для рассматриваемого
матричного элемента может содержать только γμ, (ρ' — ρ)μ и <σμν (ρ' — ρ)ν,
умиож иные на произвольные функции отр2, р' и (р'— р)2 и стоящие между
спинорами. Из-за условия (' (р' — ρ)μ (Ψρ', /μ (0) Ψρ) = 0, выражающего закон
сохранения тока, второй из этих членов отсутствует. Из эрмитовости опера-
тора тока следует вещественность Ft.

470
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Щ
Значения этих функций на пороге можно определить, рас-
смотрев поведение нерелятивистского протона во внешнем элек-
тромагнитном поле. В системе координат, в которой протон и
электрон не обмениваются энергией, энергию взаимодействия
можно записать в виде
- J Λ^Η6ωΠ^<Ρ'-Ρ)Χ(ΨΡ'./11(0)Ψρ) =
= |Ae-i(—'>Хнеш(х)(Тр„ /μ(0)Ψρ). (26.7)
Для скалярного потенциала, используя равенства
Нр')Уси(р) = и+{р')и(р)^ 1
и
и(р)у1и(р) = -ш- + 1 щ .
получаем
Я. = eF\ (0) -^р-1 а*хе-Цр'-р)хА1неш (х),
откуда следует, что
/=Т(0) = 1, (26.8)
поскольку eFf(O) представляет собой эффективный заряд про-
тона. Читатели, вероятно, помнят, что аналогичные аргументы
использовались в гл. 13 для идентификации заряда при вычис-
лении радиационных поправок к кулоновскому рассеянию.
Энергия взаимодействия с векторным потенциалом может
быть представлена в виде
Х-щ-3\сРхе~НР'-р)ХАвтш(х)- (26.9)
Второй член имеет вид ε{ν)·Α и представляет собой энергию
взаимодействия движущегося заряда с векторным потенциалом.
Первый член можно записать в виде
—щ[\+ 2MFU<3)\ -±р J" а>хе-'*-**о · V X Лвне»,
который в точности совпадает с выражением для энергии взаимо-
действия магнитного диполя с внешним магнитным полем. Со-
ответствующий магнитный момент равен
Ш
■[l+2A!Ff(0)l,

ГЛ 26]
ФОРМФАКТОРЫ
471
откуда следует, что, помимо магнитного момента, которым дол-
жна обладать частица, описываемая уравнением Дирака, протон
обладает аномальным моментом, равным eFf (0). Таким образом,
^(0) = ef. (26.10)
где μΡ — аномальный момент в ядерных магнетонах.
Подставив в равенство (26.4) выражение (26.6) для матрич-
ного элемента протонного тока, стандартным образом легко вы-
числить сечение рассеяния электрона на протоне. Результат
обычно записывают в лабораторной системе. Обозначая через Ε
энергию электрона и через θ угол рассеяния, получим
2е
2 cos 7Г
do _ α2 2
dQ ^sin1 i 1 + (2£/M) sin2 у
x{(^(0)2--^r[4M2(F?(0)2 + 2H(0 + 2MF2p«)]2lg24]}.
(26.11)
Удобно ввести величины
«n-Ftm+UFSm. (2612)
GMt)=*Ff{i) + 2MFi(t),
через которые сечение выражается следующим образом *):
^"Witorr 1 ~ -2M*WM(t)) tg2-g
I 4M2
(26.13)
(
2Θ
cos^-=-
da\ α2 wa 2
dQ /MOTT 4£2 sjn4 |. ! + (2E/M) sin2 6
Здесь ( jo")mott представляет сечение рассеяния на точечном
(не обладающем внутренней структурой) протоне**). Заметьте,
что при фиксированном переданном импульсе —t график отноше-
нияЫт)/ЬкГ' ' рассматриваемого как функция tg2у, пред-
ставляет собой прямую линию. Наклон этой прямой и ее точки
*) Заметьте, что в сечении отсутствует интерференция между членами
Ge и Gm.
**) Оно впервые было рассчитано Моттом (Прим. ред.).

472
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
пересечения с координатными осями дают нам информацию
о формфакторах. Прямолинейность графика является след-
ствием механизма однофотонного обмена. Проверка показала,
что для 0< — г< 1,8 (Гэв/с)2 экспериментальные точки с хо-
рошей точностью ложатся на теоретическую прямую*).
Весьма важно получить аналогичную информацию о ней-
троне. Сведения о нейтронных формфакторах можно извлечь из
данных о рассеянии электронов на дейтроне, в частности, из
реакции
e + d—*n + p + e.
Из-за недостатка места, а также ввиду наличия превосходных
обзоров по этому вопросу мы не будем здесь вдаваться в детали
этого чрезвычайно сложного анализа [5] **). Достаточно сказать,
что для значений —гс<1,8 (Гэв/с)2 величины нейтронных форм-
факторов известны достаточно достоверно. На рис. 80 и 81 со-
браны данные о нуклонных формфакторах. Из (26.8), (26.10) и
(26.12) следует, что
G|(0)=1, Сй(0) = 1+цр«*2,79. (26.14)
Аналогично для нейтронных формфакторов
Ge(0) = 0, Ο£(0)=μ„«-1,91. (26.15)
Приведенные выше данные удобно суммировать с помощью
так называемого «дипольного приближения» [8] ***)
OP(0„^«^Lii«^lflE «_!_,. (26.16)
tw 1+μρ μη t μ„ / t \i \ i
Последний член показывает, что
V (0,71)*)
( dGnE(t)\ __μ^
V dt ],=,„ ~ 4ΛΙ2 '
\ dt /f=,0
т. e.
(dF?tt\\
0. (26.17)
Любая аппроксимация экспериментальных данных должна, по
мимо условий (26.14) и (26.15), удовлетворять также условии
(26.17). Это условие является следствием того эксперименталь-
ного факта, что результаты измерений электрон-нейтронного
*) Ссылки можно найти в докладе Д. Р. Иенни «Формула Розенблюта
сделанном на Стэнфордской конференции [4]. В этом докладе величина t вы-
ражена в (фсрми)'2. Мы пользуемся единицами (Гэв/с)2—25 (ферми)"2.
**) Более сорременный (по сравнению с [5]) обзор был сделан в [6]
***) Эта аппроксимация хорошо работает вплоть до д^=4(Гэв/с)К

ГЛ. S6]
ФОРМФАКТОРЫ
473
взаимодействия, полученные при рассеянии медленных нейтро-
нов на атомах, могут быть полностью объяснены наличием
ZS
I
Г
I
о.
',0
л
οβ-
0
"Г
Зависимость протонных
аюрмдзакторов от ог
Οβ
0,6
дг/ГэВ/с)г
Рис. 80. Формфакторы протона как функции q2 — —/[7].
1,0 к 1 1 1 1 :
0JB
\
I
ол
о
1
X
Забисимоста неИтронныя
φορΜφακπΙΟροβ от qs
Η
4i
Ν.
Л-^лМ91)
1—-4-
(G"f
о,г
Μ
ом
0,8
1,0
ог/Ы' )г
кг
Рис. 81. Формфакторы нейтрона как функции Q2 = —/.
магнитного момента нейтрона [9]. Дипольная аппроксимация ни
в коей мере не является единственно возможной. Более того,
в этом случае довольно трудно интерпретировать фактор
(1 — 1\а2у2, характеризующий форму кривой.

474
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
Более разумный способ определения фактора, описываю-
щего форму кривой (в противоположность пороговым значе-
ниям величин G, которые нормируют формфакторы), состоит в
совместном использовании свойств аналитичности и унитарно-
сти*). Мы предположим, что формфакторы F\ и Fi являются
аналитическими функциями t с сингулярностями, определяе-
мыми условием унитарности. Поскольку структура нуклона оп-
ределяется в основном сильными взаимодействиями, удобно по-
строить вычисления таким образом, чтобы можно было исполь-
зовать закон сохранения изоспина. Если записать оператор
электромагнитного тока в виде
/μ(*) = βψ(*)γμ-^ψ(*)+ ···. (26·18)
то очевидно, что он имеет смешанные трансформационные свой-
ства относительно вращений в изотопическом пространстве.
Одна его часть преобразуется как скаляр, а другая — как
третья компонента изовектора. Как будет видно в дальнейшем,
этот факт получает естественную интерпретацию в рамках
SU (3) -симметрии.
Вследствие отмеченных выше смешанных трансформацион-
ных свойств матричные элементы протонного и нейтронного то-
ков можно выразить через матричные элементы изоскалярного
и изовекторного токов. Мы можем, следовательно, написать
/£(*) = #(*) + £(*).
#(*) = #(*)-#(*). (26Л9)
Можно определить соответствующие изовекторные и изоска-
лярные F"(t), .... Ζ7!(0· Их пороговые значения равны
F! (0) = Ge (0) = F\(0) = G|(0) = \ ,
2MFI (0) = { (μ„-μ„) ^μ'«1,85, . (26.20)
2MFI (0) = 1 (μρ + μ„) ^ μ4 « - 0,06.
Мы предположим, что формфакторы F\'s{t) можно представить
в виде
оо
ρ'Μ = τ$λ'υ=γ· (26-21>
*) Вычисления формфакторов в рамках дисперсионного подхода бьпи
впервые выполнены в работах [10, 11].

ГЛ. 26)
ФОРМФАКТОРЫ
475
Нижний предел в интеграле, равно как функция <Pj(f')> должен
определяться из условия унитарности. Удобнее пользоваться
условием унитарности не непосредственно для матричного эле-
мента (Ψρ,, /μ(0)Ψρ), а для величины (Ψρ_, /μ(0)Ψ0), которая
описывает процесс
Этот процесс очень просто связан с интересующим нас процес-
сом — на графе нужно поменять местами фотонную и нуклон-
ную линии. Процесс рождения нуклонной пары описывается
теми же самыми формфакторами, аналитически продолженными
в другую область. Применяя редукционную формулу, можно на-
писать
ОС· U (°) ψο) = 72SF а {р) К [F. ( (ρ + ρ)2 ) + 2МF2 ( (ρ + ρ? )} +
+ (ρμ-ρμ)/Μ(/> + Ρ)2)Μρ) =
=li^ i dxe'Px (ψρ·θ Uc) u {x)' /[l (0)1 Ψο) v (рг (26·22)
Для обратного процесса мы запишем
{% k (°) ΨΖ)=wб (й К [f. ((ρ + ρ)2 )+2Μ/?2 ((ρ + ρ)2)] +
+ (Ρμ-Ρμ)/72((Ρ + Ρ)2)}"(Ρ)==
= ~^μ { dxe-'P*€ (ρ) (Ψ0, θ (- *0) [/μ (0), f (Χ)] Ψρ). (26.23)
Вычитая из (26.22) комплексно сопряженное равенство (26.23)
и проделывая несложные преобразования, получим
~т й(р){У]1[1т Fi(t) + 2MF2(t)] + (pii-pll) lm F2(t)}v(p) =
- ~ · "^ J" dxe'P* (Ψρ, [/ (х), /μ (0)] Ψ (0) )υ (ρ) =
= -^Σδ(Ρ„-ρ-ρ)(Ψρ, /(0)Ψβ)(Ψη, /μ(0)Ψ0Μ/>).
(26.24) *)
Правая часть отлична от нуля, когда t=(p + ρ)2 достаточно ве-
лико. Значение t, при котором мнимая часть Fi(t) становится
отличной от нуля, зависит от массы низшего состояния Ψ„, для
*) Другой член в коммутаторе содержит δ {Рп + Ρ) (Ψη, f (0) Ψ0). Следо-
вательно. Ψη должно быть однонуклонным состоянием, для которого
(Ψρ / (0) Ψο) *"0 (см- гл. 13, условие перенормировки массы).

476
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
которого матричный элемент (Ψ„, /μ(0)Ψο) не равен нулю.
Именно в этом пункте становится удобным разделение тока на
изовекторную и изоскалярную части. Для изоскалярного тока,
который нечетен относительно зарядового сопряжения и не ме-
няется при вращениях в изоспиновом пространстве,
0/^(0) С_, = -^(0). (26.25)
Следовательно, низшим состоянием здесь является трехпионное
состояние. Его наименьший квадрат массы, определяющий
нижний предел в интеграле, представляющем изоскалярныи
формфактор, равен (Зтл)2. Для изовекторного тока
G/°<0) G-'=/°(0), (26.26)
и нижний предел в интеграле равен (2тп) 2.
Чтобы записать имеющее смысл представление для форм-
факторов, мы должны также знать кое-что об их поведении на
бесконечности. К сожалению, мы не знаем об этом ничего. Ис-
ходя из теории возмущений, можно предположить, что в диспер-
сионном соотношении для F\{t) нужно сделать одно вычитание,
а для F2(t) можно вообще не делать вычитаний. Это согла-
суется с интуитивным представлением о том, что заряд про-
тона являет собой нечто, трудно объяснимое в терминах про-
странственной структуры частицы; об этом свидетельствует ра-
венство зарядов протона и электрона, несмотря на огромное
различие в структуре этих частиц. В то же время аномальный
момент можно понять, по крайней мере качественно, в терминах
пионного облака. Итак, мы запишем
М') = -2+!Г J dt PV-t-ie)'
со
F?-! + -*· [df Ф'(°
ΓΙ 2 ^π J ατ t'(f-t-ie)
(26.27)
iml
w-± i«g£u.
9m«
я
Ft V)-— J at γ-γ—&
(26.28)
4

ГЛ. 26]
ФОРМФАКТОРЫ
477
Если нас интересует только вид формфакторов, то можно запи-
сать соотношения (26.28) с вычитанием *).
Перейдем теперь к вычислению мнимой части формфактора.
Представляет интерес проверка гипотезы о том, что вклад мно-
гочастичных состояний можно с хорошей точностью аппрокси-
мировать векторными мезонными резонансами: р0 для изовек-
торного формфактора и φ для изоскалярного формфактора. Это
—0->£~|§
«)
Рис. 82. Графы, дающие основной вклад в а) изо-
векторный формфактор; б) изоскалярный форм-
фактор.
приближение графически изображено на рис. 82. Взаимодей-
ствие векторного мезона, обладающего энергией — импульсом
Q, с нуклоном мы будем описывать феноменологическим мат-
ричным элементом
(ΨΡ, I (0) Ψς) υ (ρ) = £*±QL a (p) {^/л ^ + ia%x (ρ + pf F%N) ν (ρ).
(26.29)
Здесь вектор eK(r\, Q) описывает состояние поляризации вектор-
ного мезона. Связь векторного мезона с нуклоном также описы-
вается с помощью формфакторов. Однако в формулу (26.24)
для мнимой части Fi входят только их значения при t = m2v.
Аналогично матричный элемент перехода фотона в векторный
мезон мы будем описывать константой
(Ψ* /μ(0)ψο)= -^?2^(η, Q)^-. (26.30)
При Ьф т^этот матричный элемент не может быть константой.
Действительно, он должен исчезать при t —► 0. Вероятно, легче
всего увидеть это, если заметить, что матричные элементы
*) Более подробно затронутые здесь вопросы обсуждаются в [12],
{Прим. ред.)

478
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. Ill
такого вида приводят к «смешиванию» фотона и векторного ме-
зона. Такое смешивание неизбежно смещает массы частиц.
Единственная возможность гарантировать, что фотон останется
безмассовым (иначе будет нарушена градиентная инвариант-
ность), состоит в исчезновении смешивания при t = 0. Исполь-
зуя выражения (26.29) и (26.30), получим
2 г!
ImF,(0= 2j —2γ~ b{t-m2v).
по векторным
мезонам
по векторным
(26.31)
мезонам
При переходе от (26.24) к (26.31) был учтен вклад одночастич-
ного фазового пространства и проведено суммирование по поля-
ризациям. Суммирование в (26.31) проводится по всем вектор-
ным мезонам (обозначавшимся до сих пор V), которые дают
вклад в мнимую часть формфактора. Таким образом, мы полу-
чаем для изовекторных формфакторов
F»(0«I+I*
FZ(t) :
2 ■ 2 γρ m2-
F® m2
2Yp ηξ-t'
(26.32)
а для изоскалярных формфакторов
Fs(t) = —+— ωΝΝ — L _. _<(NN
2 Υω ml-t 2 Ym ml
^4 , f$nn m\
.2 / "+" п.. _2
F(2) m2 F<2> m2
pS / .·. __ ' ωΝΝ m(is , ΓψΝΝ OTq>
2γω ml-t 2γφ ml-t
В терминах Ge(0 мы получаем
(26.33)
2 Yp ml-t 2Yb Ж m\-t

гл. «i
ФОРМФАКТОРЫ
479
Аналогично
G%[t) = ±[l-b-c + -
Ь , с
7 Г
1-
I--
CS,(0 = G°M (0) (1-а' + —^γΑ .
(26.35)
Ом(0 = G%(0) (1-У- С + —^-г + —^1
1 г 1 .
т,л т..
Экспериментальные данные достаточно хорошо аппроксими-
руются следующими выражениями (см., например, [7]):
cl(0 = i
Gm (0 = 2,353
Gsm(0=0,44
+ 1,23 + 0,71 +
3,28 ± 0,07 3,51 ± 0,70
t
-0,21 ±0,12 +
(0.75)2
1,93 ± 0,06
1 -I-
t
(1,22)2
0,72 ±0,10"
1
/
+ 0,31 ±0,05 +
(0,79)2
2,23 ± 0,02
t
(1,03)4
1,54 ±0,04
(26.36)
1--
t
1 -■
/
■0,19±0,14 +
(0,75)2 (1,22):
2,10 ±0,08 0,91 ±0,11 "
t
1-
t
(0.79)2
1-
(1.03)2 _
Отсюда видно, что в области —t ,<: 1,2 (Гэв/с)2 представление
о доминирующей роли векторных мезонов вполне оправдано.
Можно также считать, что экспериментальные данные указы-
вают на существование еще одного векторного мезона с Τ = 1
и массой 1,2 Гэв. Это дело вкуса. Описанная выше модель слиш-
ком груба, чтобы можно было извлечь из нее сколько-нибудь
существенную информацию о связи векторных мезонов с барио-
нами *).
Некоторые соотношения между изоскалярными и изовектор-
ными формфакторами возникают в результате применения уни-
тарной симметрии. К обсуждению этого вопроса мы и перейдем
теперь.
Как известно, электромагнитный ток, содержащий вклад от
всех заряженных адронов, преобразуется частично как третья
компонента изовекторного тока, а частично как изоскалярный
*) По поводу современного состояния вопроса см. [13—16].

480
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14 III
ток. При этом взаимодействие с электромагнитным полем яв-
ляется универсальным, гак что зарядовые формфакторы всех
заряженных частиц при нулевой передаче импульса равны еди-
нице. Вскоре после того, как была предложена SU(3) -симме-
трия, оказалось, что формула Гелл-Мана— Нишпджимы. запи-
санная в виде
Q = T3 + ±Y, (26.37)
где Υ — гнперзаряд, наводит на мысль о том, что электромаг-
нитный ток преобразуется как комбинация токов <^"μ и
—^-S'f (см. (17.21)) [17,28]*). Если эти члены входят с рав-
ными коэффициентами (как в формуле (26.37)), то ток, который
можно переписать в виде Ж^ + - г— <У{?. преобразуется как
член октета с U = 0. В случае векторных мезонов состояние
с U = 0— это состояние, ортогональное к
t/-4v--/i**+/|
ψ«
Таким образом, можно считать, что электрический ток связан
только с комбинацией у^З ρ" + ω8 . Отсюда следует, что
— : —= |/"3:1. (26.38)
■ρ "ω
Следует отметить, что при наших предположениях унитарно
синглетный векторный мезон ω<°> не взаимодействует с электро-
магнитным током. Если учесть смешивание ω<0)—щ (см.
гл. 20), то физические ω- и φ-мезоны будут оба взаимодейство-
вать с электромагнитным током. В этом случае
-J- : -J- : ~ = ^3: - sin θ : cosO ~ 1,73 : - 0,62 : 0,78. (26.39)
•ρ "и 'Ч>
Дальнейшие предсказания можно получить только в том слу-
чае, если мы предположим чистую F-связь между векторными
мезонами и барионами. Хотя это предположение безусловно
верно при нулевой передаче импульса, когда сохраняющиеся
токи можно в действительности рассматривать по теории возму-
щений, существуют серьезные сомнения в том, можно ли при-
*) Подобные трансформационные свойства естественным образом вознн
кают в кварковой модели, предложенной Гелл-Маном и Цвейгом. В други*
моделях могут возникать дополнительные вклады от унитарного снимете [19]

ГЛ. 2fi|
ФОРМФАКТОРЫ
481
менять его для получения количественных предсказаний в экс-
периментальной области.
Унитарная симметрия действительно приводит к целому ряду
предсказаний, которые следуют из предположения, о том, что
электромагнитный ток преобразуется как член октета. Напри-
мер, поскольку электрический 'ток является с/=0-генератором
группы SU(3), средние значения любого произведения плотно-
стей токов одинаковы для всех членов некоторого унитарного
мультиплета. В частности, это означает, что электромагнитные
собственные энергии (в пределе точной SU(3) -симметрии, нару-
шенной только электромагнитными эффектами) связаны соот-
ношениями:
Ьтр = δηττ+, (U = 1/2-мультиплет),
1 з VTT
Ьтп = δ/ηΣ„ = ^6тг + j 6тл, ^- δΣ0Λ„ (U = 1-мультиплет),
δ/πΧ- = Ьтя- (U = 1/2-мультиплет),
уТМ/ил·- ^36m2° + 2δΣ.Λο = 0 (i/ = 0-состояние).
(26.40)
Здесь δΣ„Λ„ — член, ответственный за «смешивание масс». Соот-
ветствующий эффективный лагранжиан выглядел бы так:
δ/ηΣ+Σ+Σ+ + ... + δΣ„Λ0Σ°Λ° + ... .
Из (26.40) следует замечательная формула:
(ms- - mEo) = (mp-mn) + (mz- - ras+). (26.41)
Три члена, входящих в эту формулу, равны соответственно
6,5 ± 1,5 Мэв; —1,3 Мэв и 7,7 ± 0,2 Мэв. Как видно, формула
удивительно хорошо согласуется с экспериментом. Равенство
«W = ψψ (тР ~~ тА» ~ m2+ + m-z) *" * ·5 Мэв (26.42)
находит косвенное подтверждение в различии энергий связи ги-
перядер дНе4 и дН4. Наличие члена δΣ„Λ„ означает, что имеется
смешивание, и поэтому физические Σ0- и Л°-гипероны, равно как
п°- и т|°-мезоны, не являются более чистыми изотопическими со-
стояниями. Угол смешивания можно оценить из равенства
(26.42). Он равен 0,02 радиан. Такое смешивание приводит к по-
явлению вершины Л°Л°п (запрещенной сохранением изоспина)
с константой связи, равной —0,05 константы связи Σ°Λ°π° [20],
и к нарушению зарядовой симметрии в гиперядрах, которое, по
грубым оценкам, согласуется с результатами наблюдений.
31 С. Гааиироьич

482 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (Ч. Ill
Из тех же предположений следует еще одно предсказание
(ψο· /μ, · · · 1*4») ~ 1'3(Ψ0, ц ... /μηΨη0) = 0, (26.43)
т. е.
Μ (η° -> 2Υ) = ■— Μ (π° -* 2γ).
\ ο
Сделанное ранее предположение о трансформационных свой-
ствах тока приводит к определенным предсказаниям относи-
тельно соотношений между амплитудами фоторождения. Все
процессы вида *)
у + Nr+A
определяются только одной вершиной, поскольку 10 содержится
в произведении 8 ® 8 лишь один раз. Поэтому амплитуда про-
цесса
V + ρ -* Ν*+
определяет, с точностью до кинематических множителей, ампли-
туды распадов типа
Наибольший интерес представляют предсказания относительно
формфакторов и, следовательно, магнитных моментов барионов.
Поскольку матричный элемент (ΨΒ„ /μ(0)ΨΒ) содержит как F-,
так и D-связь, то следует ожидать, что все барионные форм-
факторы можно выразить через какие-либо два из них, напри-
мер через формфакторы нейтрона и прогона. Это легче всего
сделать, если воспользоваться представлением октета в виде
ЗхЗ-матриц. Тогда электромагнитный ток будет представляться
матрицей
/2 0 0>
<2 = λ3 + -^λ8 = ! 0 -1 0], (26.44)
\0 0 -
а формфакторы определятся следующим выражением:
/M0Sp(B'vJQ, fl]) + Di(f)Sp(B>Yu{Q,fl}) +
+ iF2(t) Sp (В V?v [Q, β]) + *4 it) Sp (β'σμν<?ν{Q, β}). (26.45)
*) Как показано в [21], этот процесс можно описать с помощью феномено-
логического лагранжиана взаимодействия
-2Ι = -^ *μν (*) (*ν (*) ΥμΥ5·Φ (х) + э. с)
где Yi «0,37; -ф\(х) — поле спииа 3/а и /·μνΜ — электромагнитное поле.

Г Л Л]
ФОРМФАКТОРЫ
■ 83
Поскольку при нулевой передаче импульса должна осуще-
ствляться чистая /-связь, то
Л(0)=1, Л,(0)=0. (26.46)
Из (26.45) следует, в частности,
1 |/з"
μΣ+ = μ„. iv =~ 2" μ«· μΣΛ = - -у μ«· (26·47>
Здесь μΣΛ — смешанный момент, обусловливающий распад
Σ°-*Α° + γ. Ценность этих предсказаний зависит от того, на-
сколько существенно для динамики магнитных моментов рас-
щепление масс. Если эти моменты определяются низкоэнерге-
тической структурой, то разность масс л- и /С-мезонов будет
играть весьма существенную роль, и отклонения от выписанных
выше предсказаний могут быть очень велики. Имеющиеся в на-
стоящее время экспериментальные данные
μΑ„=-0,73 ±0,17 (26.48)
и
1+μΣ+ = 4,3±1>5 (26.49)
согласуются с предсказаниями SU(3) -симметрии [22, 23].
В заключение этой главы мы вкратце обсудим существую-
щие теоретические оценки величин аномальных магнитных мо-
ментов нуклонов. До сих пор для этих целей использовались
преимущественно дисперсионные соотношения в сочетании с ус-
ловием унитарности в форме (26.24). При таких вычислениях
уже не следует считать векторные мезоны стабильными части-
цами. Поэтому низшими по массе состояниями, которые, как
мы надеемся, дают основной вклад в (26.24), являются двух-
пионное состояние для изовекторного формфактора и трехпион-
ное состояние для изоскалярного формфактора. Поскольку
форма изоскалярного формфактора зависит как от ω-, так и от
φ-ыезона, то, вероятно, нужно учесть также вклад /(^-системы.
В настоящее время мы, очевидно, ничего не можем сказать
о матричных элементах вида Ψρ, /(0)Ψη), описывающих
процесс
«п» -* Ν + Ν,
когда η не является двухчастичным состоянием. Мы можем, та-
ким образом, обсуждать вклад КК-пары в изоскалярный форм-
фактор. Но, поскольку мы знаем, что ω-мезон, основной способ
распада которого ω—*3π, играет столь же существенную роль,
Мы должны отказаться от попыток вычислить με стандартным
способом. При вычислении μ* мы будем учитывать в формуле
31*

484
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ш
(26.24) только двухпионные промежуточные состояния. Таким
образом, нас интересует величина
(2π)5/2 у
НРп-Р-Р)(ΨΡ, /(0) Ψ2„)υ (ρ)(Ψ2π, /μ(0).Ψ0) =
(2π)5/2
2
Щ1 { |^M*i +^-ρ-ρ)(ΨΡ, ДО)4^0 Χ
Χυ(ρ)(Ψ^1, /μ(Ο)Ψο). (26.50)
Рассмотрим сначала матричный элемент (Ψ/Χ. /μ(Ο)Ψο).
Он связан с электромагнитным формфактором пиона, который
определяется равенством *)
№*,. /μ (0) Ψο) = -^р езаР (fe. - *a)u ΡАП- (26.51)
Кинематические факторы здесь в точности такие же, как в низ-
шем порядке теории возмущений, когда Fn(t) = 1. Как и
прежде, отсутствие перенормировки заряда эквивалентно усло-
вию
М0)=1. (26.52)
Очевидно, что пионный формфактор Fn(t), так же как и ну-
клонные формфакторы, представляет собой функцию, аналити-
ческую в комплексной плоскости t с разрезом от 4т£ до + оо.
Если рассматривать в условии унитарности только двухпионные
промежуточные состояния, то можно довольно быстро получить
явный вид Fn(t). Важно помнить, что двухпионное состояние в
(ψ£%. /μ(Ο)Ψο) должно иметь квантовые числа Τ = / = 1.
Докажем сначала, что фаза F„(t) совпадает с фазой ампли-
туды ππ-рассеяния в состоянии Τ = /=1. Из инвариантности
относительно обращения времени следует, что
ОС /о (0) ψο) = (ψ£> /ο (0) ψο)' = W. /о (0) Ψ0)* (26.53)
(в представлении, диагональном по моменту, обращение дви-
жения не изменит состояния Ψ2π, за исключением перехода
in -*-»■ out). Далее,
«. /ο<0)*ο)-(ψ£.5/Λ)-
-ε"*,ν-'-»(ν£ /0(0)Ψ0) = β2'δ-(ψ-', ;ο(0)Ψυ)·,
так что
Fn(t) = e2i6™Fl(t). ' (26.54)
*) В формуле (26.50) для краткости опущены индексы α и β изотопиче-
ского спина пиоиов. Суммирование в условии унитарности всегда распростра-
няется иа все квантовые числа, характеризующие состояние.

ГЛ. 26]
ФОРМФАКТОРЫ
485
Это и есть требуемый результат *). Теперь ясно, что если
амплитуда зш-рассеяния в состоянии Т = ]=\ дается выра-
жением N(t)/D(t), где D(t) имеет только правый разрез,
a N(t) — только левый разрез (см. гл. 24), то
F*W = -§ff (26·55>
удовлетворяет должному фазовому условию, условию норми-
ровки (26.52) и имеет правильные аналитические свойства. Чи-
татели могут легко проверить, что
№. Ю = - (2л)5й й (fe, + k2 - ρ - ρ) υ (ρ) (Ψ&, f (0) Ψρ) (26.56)
и, следовательно,
ν (Ρ) (П1. / (0) Ψρ) = (2π)3/2 Τ {k,k2, ρ β) (26.57)
равно матричному элементу Г-матрицы для процесса
Ν + Ν-*-2η. Этот матричный элемент имеет вид
ΤμΨΑ, PP) = ~[Q^5v(p)^-A&a(s, t, и)-\—2-^-LB?fl{s, t, и)]и(р),
(26.58)
где функции Αβα и В$а можно найти в явном виде, если ограни-
читься вкладом однонуклонных членов и изобары, причем
резонанс N3/2 рассматривать как стабильную частицу. Здесь
нужно, однако, иметь в виду один весьма существенный допол-
нительный эффект. Как показано на рис. 83, два пиона в ко-
нечном состоянии взаимодействуют между собой, причем в со-
стоянии с Τ = J = 1 они взаимодействуют сильно. Данное об-
стоятельство необходимо учесть при вычислениях. Это можно
сде!ать для каждой парциальной волны. Мы предоставляем
читателям убедиться самим, что если амплитуда процесса
N + N-*-2n в состоянии T—J=l в отсутствие rat-взаимодей-
ствия имеет вид **)
WW) = 1T J dt'-7=T' (26·59)
по левому
разрезу
*) Это — специальный случай утверждения, обычно называемого теоре-
ой Ферми — Ватсона — Айдзу.
**) Напомним, что мы обсуждаем только полюсные члены в амплитуде
AW~».jijt, и поэтому, если не учитывать взаимодействие в конечном состоя-
ли, правый разрез в i-каиале отсутствует.

486
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ill
то при учете ют-взаимодействия она определяется формулой [24] *)
Ι ΝΝ-*πη\1>
1 1
D(t) И
J
at'
Δ£/ (П Ρ (Г)
t'-t
(26.60)
но левому
разрезу
В области резонанса в лл-амплитуде функция D(t) будет иметь
вид брейт-вигнерового резонансного знаменателя. Вдали or
точки t=nip функция D(t')
меняется очень медленно.
Если в интеграле (26.60)
можно пренебречь ее измене-
нием, то окончательный ре-
зультат будет в точности
совпадать с результатом дн-
N jj v β сперсионного расчета графов,
изображенных на рис. 84,
lm F(t) =1
π
с)
Λ>
/"
мД
\"
Тт
I I
в)
,/V*
Рис. 83. Схема вычислений изовек-
торного формфактора.
Рис. 84. Вычисление
формфактора по теории
возмущений.
с формфактором, умноженным на величину \D(0)/D{t) |2, пред-
ставляющую собой функцию распространения р-мезона в пре
деле очень острого резонанса. Учет этого фактора не слишком
сильно влияет на вычисления векторного магнитного момента
*) Это решение, так же как и (26.55), содержит обычную неопределен-
ность типа КДД, о которой мы упоминали в гл. 24. Как и раньше, фазы
/yvw->rot (О И /ли (О в одном и тоы же (/, 7")-состоянии должны быть одина-
ковы.

ГЛ. 26)
ФОРМФАКТОРЫ
487
[25]. Нужно отметить также, что учет обмена изобарой приводит
к расходящемуся интегралу, который необходимо обрезать. Если
сделать обрезание при 4М2, то получится разумное согласие
с экспериментом. Полученную в результате всех этих вычисле-
нии численную величину [] 1]
μ* = 1,90
(ее нужно сравнить с экспериментальным значением 1,85) труд-
но, конечно, принять всерьез. Тем не менее этот результат ка-
жется обнадеживающим в том отношении, что можно надеяться
вычислить магнитные моменты, учитывая лишь низшие проме-
жуточные состояния *).
ЗАДАЧИ
1. Пользуясь выражением (26.58) в низшем порядке теории возмущений
и пренебрегая ππ-взаимодействием, вычислите правую часть равенства (2650)
и, следовательно, μ", с точностью до этого порядка. При получении численной
оценки положите g2/4jt~15.
2. Выпишите выражение для инвариантной, сохраняющей четность
ωρπ-вершины. В предположении, что распад м->3л определяется диаграммой
ы
'Я
•
Δ^^^
^ Я
Рис. 85.
Рис. 86.
рис. 85 (должным образом симметризованной по π-мезонам), оцените вели-
чин) константы взаимодействия, если известно, что Γω~10 Мэв, а распад
ρ->2π описывается лагранжианом взаимодействия
-2WPqtf%<ppS
с \ЦАк « 2,4.
3. Пусть распад л°-мезона описывается графом рис. 86, причем константы
связи векторный мезон — фотон определяются равенством (26.30) и SU(3)-
соотношением
-L:-L-^:,
Υρ Υω
(т е. ω — φ-смешиванием пренебрегаем). Найдите γρ по известному времени
жизни п°-мезона и константе связи ωρπ, найденной в задаче 2.
4. Вычислите вероятность распада
ω -> е* + е-.
*) Более поздние вычисления, связывающие аномальные моменты с ам-
плитудами фоторождеиия мезонов, подтвердили это предположение [26, 27].

Глава 27
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОБМЕНА
Благодаря наличию ускорителей частиц высоких энергий к
настоящему времени собрана обширная экспериментальная ин-
формация о неупругих процессах типа
π+ + ρ —»■ π+ -+- п~ + зх+ + р.
На первый взгляд могло бы показаться, что все обсуждавшееся
до сих пор не имеет никакого отношения к таким процессам и
что мы совершенно не подготовлены к их изучению. В самом
деле, если мы захотим рассматривать конечное состояние в та-
ком процессе как многочастичное, то из-за очень большого
числа переменных чрезвычайно затруднительно даже выписать
представление для соответствующего матричного элемента.
К счастью, исследование корреляций между различными части-
цами показывает, что пары, и иногда и триплеты частиц оказы-
ваются продуктами распада резонансов. Так, например, в опре-
деленной области энергий падающих частиц и переданных им-
пульсов процесс, с которого мы начали эту главу, в первом
приближении можно с успехом рассматривать как процесс*)
π+ + ρ -* р° + Ν*++
с последующим распадом р° и Ν* в конечном состоянии на их
обычные продукты распада. Экспериментально установлено, что
в большинстве неупругих столкновений с 3—5 частицами в ко-
нечном состоянии в области энергий 2—10 Гэв «резонансное
рождение чрезвычайно распространено, так что эффективно ко-
нечные состояния содержат только две частицы.
Другой пример. Оказывается, что процесс
/С+ + ρ -* К0 + π+ + ρ
*) Об этом свидетельствуют наблюдения, выполненные при импульсах па-
дающего мезона 2—3 Гэв/с, 4 Гэв/с и 8 Гэв/с. Большая часть сведений, при-
веденных в этой главе, позаимствована из превосходной обзорной статьи [II-
Эта статья содержит также многочисленные ссылки. (По поводу современного
состояния вопроса см. доклад Дж. Д. Джексона на XIII Международной кон-
ференции по физике высоких энергий, Беркли, 1966. (Прим. перев.))

ГЛ.27) МЕХАНИЗМ ОДН0ЧАСШЧН010 ОБМЕНА 189
при импульсе 3 Гэв/с примерно в половине случаев предста-
вляет собой в действительности реакцию
К++ Ρ-+К*ЧЮ\) + р,
а в оставшейся половине случаев — реакцию
К+ + ρ-+К0 + Ν*» (1238).
Как видно из графика Далица (рис. 87), нерезонансные собы-
тия чрезвычайно редки.
Рис. 87. График Далица для процесса К+ + ρ -> К" + ρ + π+
при 3 Гэв/с.
Большая часть событий лежит либо в области резонанса Ν*. либо
в области К* [2].
Однако, даже несмотря на эти упрощающие обстоятель-
ства, мы не слишком хорошо подготовлены к изучению событий
при высоких энергиях. Исключение составляет лишь один класс-
процессов. Это — процессы, характеризующиеся малой переда-
чей импульса. В таких случаях, а они, как оказывается, соста-
вляют подавляющее большинство всех событий, величина / все
еще близка к нефизическому значению t ~ т\, при котором
граф с обменом одним пионом (рис. 88) давал бы основной (на
самом деле бесконечный) вклад. Еслн мы предположим, что
рассматриваемые процессы можно приближенно описывать од-
нопионными членами даже при физических |г| ~ 0,1—0,2 (Гэв/с)2,
то мы сможем реально вычислить сечения таких процессов, вы-
разив их через низкоэнергетические матричные элементы.

490 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Ρ-Ι- HI
Например, матричный элемент для процесса π1" + ρ —*р° + Λ/*++
будет равен
Τ (ΛΓρ; πΝ) = (Ψρ, /„ (0) Ψ„) [ (Ψ„., /rt (0) Ψ„). (27.1)
t — nin + ie
Матричный элемент (Ψρ, /π(0)Ψ„) тесно связан с матричным
элементом, описывающим распад
р° —► л+ + яг.
Различие состоит лишь в том, что в первом случае массу одного
из пионов нужно считать равной не т\, а скорее t. Если
К \ /it
\ I
К*К Л
I
/
/
6)
Рис. 88. Графы с обменом одной частицей для
процессов: α) η + ρ -> ρ + Ν*; б) К+ + Ν -* Κ* ■+· Λ/;
β) /(+ + W -» Κ° + Λ/*; г) π- + ρ -> π° + η.
допустить, что этот матричный элемент не очень чувствителен
к изменениям массы мезона, то можно сделать замену
(Ψρ, L (0) Ψ„) = -щ* · 2U^ (ρ) <7μ, (27.2)
где q — 4-импульс падающего мезона, а ε^(ρ)-вектор поляриза-
ции р-мезона, удовлетворяющий условию
ε"(ρΚ = 0. (27.3)
Если сделать аналогичное приближение для яЛ^-вершины, го
можно написать*)
<Ψ«·. L (0) Ψ*) = -^ «μ (ρ') и (ρ) (^ - <?'μ)· (27.4)
*) Формализм Рарита — Швингера для описания частиц со спином 3/а
вкратце описан в примечании к гл. 25 (см. также сноску на стр 337).

ГЛ. 27]
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОБМЕНА
491
Приближение, использованное здесь для того, чтобы связать
«нефизические» матричные элементы тока с физическими мат-
ричными элементами, — это то самое приближение, которое
довольно успешно применялось в электродинамике высоких
80 π—| 1—τ > ■ 1 1 г г
Рис. 89. Граф, изображающий дифференциальные
сечения процесса π+ + ρ -> р+ + ρ при 2,75 Гэв/с.
Гистограмма представляет экспериментальные данные, верх-
няя кривая — результаты вычислений по формуле (27.6),
а нижняя сплошная кривая —результаты вычислений в мо-
дели однопионного обмена с учетом поглощения [1].
1 — немодифицированная модель ΟΡΕ, 2 —модель ОРЯ с уче-
том поглощения, 3 —модель ΟΡΕ с формфактором Амальди —
Селлери (универсальная кривая).
энергий и которое известно под названием приближения Вейцзе-
кера - - Вильямса (гл. 12).
Если рассматривается процесс
π + N — ρ + Ν,
то в (27.1) нужно заменить (ΨΝ., /π(0)Ψ,ν) на (Ψ„, Λ,(0)ΨΝ).
а затем воспользоваться формулой
(Ψλτ, /η(0)Ψ*) = -^«(ρ')Υ5"(Ρ)· (27.5)
Тот же самый матричный элемент (с очевидными модифика-
циями) соответствует графу, изображенному на рис. 88, б. Граф,
изображенный на рис. 88, в, включает обмен ρ-мезоном и будет
обсуждаться позже.

492
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. щ
Теперь мы можем с помощью формул (27.1), (27.2) и (27.5)
вычислить, например, сечение процесса
л+ + ρ -» р+ + р.
50
10
№<о,г(гэв/с)г
30 - _Л-П-
В результате очевидных вычис-
лений по теории возмущений
получим
^ (ρππ "
X
da
dt
[f
S(il.u
4jt
4π
Χ
• (тр-тя)2][<- (mp + mnf\
4ml(i-mlf
(27.6)
На рис. 89 показано сравнение
результатов вычислений с экс-
периментом. Ясно видно, что,
хотя теория качественно вос-
производит пик, отвечающий
рассеянию вперед, эксперимен-
тально наблюдаемый пик го-
раздо сильнее.
Не вполне ясно, однако, об-
условлены эти расхождения ог-
раниченной применимостью мо-
дели однопионного обмена
{ΟΡΕ) или чем-либо еще. Трей-
ман и Янг [3] сформулировали
необходимое условие приме-
нимости модели ΟΡΕ. Они от-
метили, что одним из след-
ствий обмена единственной
бесспиновой частицей является
отсутствие корреляции между
плоскостями, образованными
импульсами пиона и р-мезона,
с одной стороны, и начальным
и конечным импульсами нукло-
на, — с другой. Это обуслов-
лено тем, что бесспиновая ча-
стица не может переносить
никакой информации о направ-
лении. Критерий Треймана —
Янга обычно выполняется при
малых передачах импульса, ио
может нарушаться при больших передачах. Это свидетельствует.
по-видимому, в пользу настоящей модели (рис. 90).
50
10
_\t\>0,5
~Ц^
1
90
Угол, градусы
В)
WO
Рис. 90. Распределение угла Трей-
мана — Янга для различных зна-
чений 111 квадрата импульса,
переданного п+р в реакции
р +р-> р +р+п++ п~ [4].

ГЛ. 27]
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОБМЕНА
493
Более детальные критерии были предложены Готфрндом и
Джексоном [5]. Для их иллюстрации рассмотрим рождение р-ме-
зона. В качестве координатной системы удобно выбрать систему
покоя ρ-мезона. При этом ось г мы направим по импульсу па-
дающего пиона, а ось у— по направлению pt X рл, где pf — на-
правление вылета нуклона или N* (см. рис. 50). Вектор состоя-
з
ния р-мезона можно записать в виде Ψα=2 Cm'WjmU = 1,
а = 1, 2, 3), а амплитуду распада — в виде
(ФРг о; -„,. о. δΨα) = <^о Σ CmD{w (Rpv Pjt), (27.7)
где р\ — импульс одного из мезонов, образовавшихся при рас-
паде р°—*п+ + л~, в системе покоя р-мезона. Угловое распре-
деление пионов определяется формулой
Σ|(ΦΡΙο.-ΡΙ.ο, 5Ψ„)ρ =
= I &о I *-> 2j CmCm'Dmo (Rp,. pj) D.woiRp,, p„) =
α MM' ' π \ i π/
= Ko|2 %,PM^tw-mvd%{B)d^(B). (27.8)
MM'
где
Рш-^СС (27-9)
α
— матрица плотности р-мезона. Мы предоставляем читателям
самим убедиться, что сохранение четности при рождении р-ме-
зона приводит к тому, что
P-M,-M. = (-lf-M'pMM,. (27.10)
Используя это условие, а также свойства
Рмм' = Р'м'м (27·Π)
4о (Θ) == cos θ, rf'iV (θ) = ~ (1+ cos θ),
dft (θ) = - Α 0 (θ) = СЙ!'-, (θ) = - γ= Sin θ,
(27.12)
можно записать угловое распределение пионов в следующем
общем виде:
W («, <Р) = Рш cos2 θ + ρ,, sin2 θ -
- ρ,, _, sin2 θ cos 2φ - Υ2 Re ρ,, 0 sin 2Θ cos φ. (27.13)

494
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. щ
В случае однолистного обмена начальное состояние для про-
цесса образования р-мезона является двухпионным состоянием.
В выбранной нами координатной системе начальное состояние
должно иметь / = 1 и Μ = 0, по-
скольку спины отсутствуют, а ор-
битальный момент не может
иметь ненулевую проекцию на вы-
бранную нами ось квантования.
Таким образом, в случае чисто-
го однопионного обмена только
роо может быть отличным от ну-
ля*). Во многих реакциях это,
по-видимому, действительно име-
ет место (рис. 91).
Итак, данные по угловому
распределению свидетельствуют в
пользу модели однопионного об-
мена, и, следовательно, источник
трудностей следует искать где-
либо еще. Феррари и Селлери
[6] **) попытались, оставаясь в
рамках модели однопионного об-
-?. мена, усовершенствовать теорию,
' вводя в пионную функцию рас-
пространения и двухпионные ма-
тричные элементы тока дополни-
тельную зависимость от t. В ре-
зультате такой модификации се-
чение в формуле (27.6) умно-
жается на функцию Ι/^Ο!2. где
F(0)=1 и F(t)-+0 при i-voo.
Хотя авторам и удалось найти
формфактор, обеспечивающий со-
гласие с экспериментом в достаточно большом интервале энер-
гий, его структуру
\t\
Рис. 91. Сравнение измеренных и
вычисленных значений элементов
матрицы плотности р0-мезона для
реакции п* + ρ-> ρ0 + Ν* при
4 Гэв/с.
Доминирующая рс0-компонента наводит
на мысль об обмене бесспиновой части-
цей. Отклонения от роо = 1 обусловлены
поглощением 11].
F(t)>
f-(2,4m„)2
(27.14)
*) В случае, когда происходит обмен векторным мезоном (например, а),
процесс рождения ω+π->ρ в системе покоя р-мезона может идти только а
Р-состоянии. Это диктуется требованиями сохранения момента и четности. Та-
ким образом, матричные элементы, описывающие процесс рождения, пропор-
циональны С (1, 1, 1; М, О, М). Они исчезают при Л1=0, так что в случае
обмена векторным .мезоном угловое распределение должно иметь внд
sin2 θ(рп —pi, -iCos2cp).
**) Эта статья содержит ссылки на большое число работ по однопионному
обмену.

ГЛ. Я]
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОБМЕНА
495
невозможно согласовать с интуитивным представлением о том,
что такие формфакторы должны быть связаны с какими-либо
резонансами, играющими определенную роль в строении вер-
шины. В данном случае «масса резонанса» 2,4тл слишком мала.
Наличие в угловом распределении пика при θ = 0, значи-
тельно более резкого, чем предсказывается формулой (27.6),
можно объяснить и по-другому.
Если воспользоваться соотношением
Wqn.H = Mqm (27.15)
где <7л — импульс падающего пиона в лабораторной системе, то
легко видеть, что выражение
do _ nt fmn g2 [{-(тр-тл)2]^-(тр + тя)2]
Ч" dt ЛМ*т1 Ы 4π" (t - m2nf l '
является универсальной формой, не зависящей от энергии. Пол-
ное сечение реакции равно
макс
- i *■£·
«ИИ
Пределы интегрирования определяются значениями выражения
t = m\ + m%- 2ω„ (9д) ωρ (<£) + 2qj'n cos 6л (27.17)
при cosGj,= ± 1. Таким образом, при высоких энергиях
a~atffi~W2. (27.18)
Такое поведение сечения свидетельствует о нарушении унитар-
ности*). Разложение сечения (27.6) по парциальным волнам
подтверждает этот вывод. Причины нарушения унитарности
можно понять, исходя из чисто физических соображений. В на-
шей периферической модели учитываются только силы с наи-
большим радиусом действия (обусловленные обменом самой
легкой частицей). Это предположение можно оправдать в слу-
чае парциальных волн, соответствующих большим значениям
момента, которые из-за наличия центробежного барьера ни-
когда не проникают в область малых расстояний. Низшие пар-
циальные волны, которые способны проникать, так сказать, к са-
мой сердцевине нуклона, могут взаимодействовать и другими
способами. Из условия унитарности следует, что если для дан-
ной парциальной волны открыто много каналов реакции, то
*) Из-за недостатка места мы не имеем возможности показать здесь, что
в предположении справедливости представления Мандельстгма из унитарности
следует условие
σ
In IP
< const.

496
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Hi
амплитуда в каждом из них уменьшается. Поэтому учет погло-
щения низших парциальных волн оставит практически неиз-
менным высокий пик в направлении вперед, обусловленный
вкладом высших парциальных волн, и в то же время обрежет
часть амплитуды, медленно меняющуюся при изменении угла.
Именно такая ситуация наблюдается на эксперименте.
Однако осуществить эту программу совсем не просто. На
практике чаще всего пользуются следующей процедурой
[7-12]:
1. Амплитуду реакции разлагают по спиральным амплиту-
дам (см. гл. 4, стр. 103 и 104). Это более общая процедура, чем
разложение по парциальным волнам, которое нужно проводить
по-разному для каждого конечного состояния.
2. В каждую спиральную амплитуду вводятся фактор, учи-
тывающий уменьшение амплитуды, обусловленное наличием от-
крытых каналов для двух начальных частиц, а также фактор,
играющий аналогичную роль для двух частиц в конечном со-
стоянии.
Мы проиллюстрируем эту процедуру на примере процесса
п++ ρ —> р++ р. В борновском приближении амплитуда этого
процесса определяется формулой
(2jt) t — т„
Здесь г, s и k — значения компонент спина частиц, участвую-
щих в реакции. Соответствующая амплитуда для процесса, в
котором участвуют частицы со спиральностями Яг, λΙ и λ, оче-
видно, равна
~^ Т^Т й (Ρ'· **) Ys" (Р. λ·) *μ (λ· <П <7μ· ('27.20)
(2π) t - mi
Итак, наша первая задача — сконструировать волновые функ-
ции с определенной спиральностью.
Поляризация покоящегося векторного мезона характери-
зуется вектором
0\ /0^
βμ(+1, 0)=--^| ] ; £*(0, 0) =
(27.21)
е^-1»°) = 17Т

ГЛ. 27]
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТНЧНОГО ОБМЕНА
497
Преобразование Лоренца, сообщающее векторному мезону им-
пульс q' в направлении г, переводит этот вектор в
еЧК q%) = LlW*vfr. 0),
т. е.
*{±l, q'i~t) - Τ -~ | ±'t |; еНО, Ц') -
(27.22)
(27.23)
После этого нужно сделать пространственный поворот, который
перевел бы ось г в направление q', характеризующееся в нашей
координатной системе сферическими углами (Θ, 0). Поскольку
для такого вращения
/?(0, Θ, 0) = е-'в'·,
(27.24)
мы почучнм в результате следующие спиральные векторы поля-
ризации:
q'lnif,
e"(±I, q')-
; βμ(0>9') =
m0
sine
cose
(27.25)
f --4,sine,
J 2
β·*(λ, <?')^μ =
μ= _£
λ= + 1,
■(flf'-o'cosG), λ = 0.
(27.26)
1^2
brsine,
λ=-1
(здесь мы пренебрегли массой пиона). Аналогичным образом
конструируются спиральные спиноры. Спинор, представляющий
частицу со спином 1/2, движущуюся с импульсом ρ в направле-
нии оси z и обладающую спиральностью Яь определяется фор-
мулой
V2M(E + M)\ o3p Γλ· \r2M(E + M) { 2λ,ρ )%λ·'
,\ /0λ (27.27)
Xi/2 Ι ο/* "-|/2 li
32 С Газиорович

498 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 1Ч- "'
Спинор, представляющий частицу, движущуюся в противопо-
ложном направлении, определяется формулой (4.80), т. е.
и(р, ^) = (-1)2 ле-™*и(1жр, λ,) =
(-D2
V2M(E + M) \ 2λ,ρ
/Е + М\
\ 2λ,ρ /
("J' λ'" + |' (27.28)
( о)> λ·=_¥·
ил!
"(^+1)=тщ^(Т)(>)'
Г 2/ 1·Α2Μ(£ + Μ) \ -р /\0/
Спинор, представляющий частицу, со спиральностью Яг, дви-
жущуюся в направлении р' (образующем с ρ угол Θ), опре-
деляется формулой
и{р', Я2) = е-'^'2«(р, λ2) =
(θ . θ \
cos — — sin γ \
. θ θ Χ»,· (27·29)
sin γ cos у у
так что
ulp', — ) = -7= (Е'+М, —р'){— sin — , cos—),
in 1 / fi в\ <27·30)
"ΙΡ'. - —|д17== (£' + M,//)(cos-, sin-).
Г 2/ V2M(E' + M) ' \ 2 2/
Соответственно при
Y5 = Pi (27.31)
мы получим *)
6 {ρ'' i)YsW (ρ· τ) ^
/ .θ θ W 0\ 1(Е + М)(Е' + М)\Ш( ρ ρ' \ θ
(27.32a)
*) Отметим, между прочим, что сконструированные выше векторные в
спинорные спиральные волновые функции можно использовать для построения
спиральных волновых функций со спином 3/2, вида
λ'
КЗК было сделано Дж. Эбелем (не опубликовано).

ГЛ. 27] МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОБМЕНА 499
Аналогично
u(p',j)yu(P, -{) =
-[ 4.V!2 ] U + M+ E' + MJSin 2 ' W·™)
u(p', -~)\ψ(ρ, |) =
((Е + М)(Е' + М)\Ч*(_Р_+ Ρ' \sinj (2732в)
й(р',-±)у5и(р, --[) =
/(£ + М)(Д' + М)\1/2/ ρ ρ' \ в
~ \ 4Μ2 ) \Ε + Μ E' + MJC0S2- Уг'-агг>
Если ввести обозначения
С_ (2π)6 <Ц 4М2 ) ' Α±~ Е + М- Е' + М> W-М)
то различные спиральные амплитуды можно записать в виде*)
a(w,Q;\, 1, у) = л(г, Θ; -1, -|, -1) =
= -/l(u7, θ; 1, --i-, -y) =
/ 1 1\ С„ / 1 θ\
= -Л Г, θ; - 1, —, - = =^- --7= sin θ cos- =
\ 2 2/ t-m2n\ Vl 2 /
YT cn θ / θ \
-■-- (l-sin2-), (27.34a)
t- ml
sin-
A{W, Θ; 1, ' , -γ) = Λ (W7, Θ; 1, -4", }) =
— A(W,6;- 1,1, -4-)= -H(w,e;- l.-^.-J-)-
]■ 2C,, θ θ
it-cos -sin2-, 27.346)
t - ml 2 2
*) Легко проверить, что эти амплитуды удовлетворяют условию
A(W, θ; -λρ, -λ', -λ) = (— [)λΡ+λ+λΑ(Ψ, θ; λρ> λ', λ),
Следующему из сохранения четности.
32*

500
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
f4. Ill
A(w,Q;0,±. ^)=-a(w, Θ; °· "У· ~т) =
^соЛ^-ЛсоввУ (27.34b)
< — m£ 2 ^ mp m,
i*(w. θ;0. -i, -\) = A[W, θ;0, -^-, |) =
_^_sin°(X_^.C0Se]. (27.34r)
Как было показано в гл. 4 (формула (4.98)), каждую из этих
амплитуд можно разложить по амплитудам с определенным
значением момента, воспользовавшись формулой
A (W, θ; λ, λ2, λ,) = JL J (/ + j) ay (IF; λ, λ2λ,) dft λ_λ,(θ). (27.35)
Именно в амплитуды as(W; λ, λ2, λ]) и нужно вводить факторы,
учитывающие поглощение в начальном и конечном состояниях.
Обычная (однако ни в коей мере не обоснованная) процедура
состоит в замене aj(W; λ, λ?, λ\) на
expi6'f{W)aj(W; λ, λ2, Я,)ехр/б((1Г), (27.36)
где δ/ и bf — комплексные фазы в начальном и конечном со-
стояниях. При практических вычислениях амплитуд A(W, θ; λ,
λ2, λ\) для рассеяния на малые углы сумму по / заменяют ин-
тегралом и используют приближенное равенство
dl„ к-%> (θ) « Λ_λ1_λ, ((2/ + 1) sin Ι), (27.37)
так что
Л (IF, θ; λ, λ2, λ,)«
со
» 72^ J X dx,*-**-b {2X Sin τ) α (W> X> λ· λ2> *l)· i27"38)
хмня
Амплитуды a(W, х; λ, λ2, λ]) легко получить, если заметить,
что, поскольку
< =4% - ω*)2 - <«' - «>* = тР + < - 2%ил + 2<7<?' (1 " 2 ^п21).
(27.39)

ГЛ. 27] МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСЛИЧНОГО ОБМЕНА 501
все амплитуды A(W, θ; λ, λ2, λΧ) имеют вид
-γ-,—г \w = 2 sin „
ε* + w1 \ 2
η=λ—λ1—λ2
И
с«7та- U = 2sinf-) (27.40)
j^=en§ xdxJn(wx)Kn{Ex). (27.41)
о
Таким образом, если
ЛОР, θ; λ, Α* λ,) « J] С"(У:^+У1)Ю", (27.42)
ft = A— Ai — Λ/2
то
a(W, x; λ, λ2, λ,) « 2л2с„(1Р; λ, λ2, λ,)β4„(β«). (27.43)
η
Для грубого учета поглощения можно умножить a(W, x; λ, λ2, λ^
на множитель вида
1-С,е~У,(х-»). (27.44)
При С[ « 1 этот множитель обеспечивает практически полное
поглощение низших парциальных волн Ije ■«--»■/+ γ). При уве-
личении / поглощение спадает по гауссовой кривой в соответ-
ствии с наблюдаемой на опыте зависимостью амплитуды упру-
гого рассеяния от переданного импульса [12, 13]
/fa. 0~-^<WiM. (27.45)
Чтобы получить разумное согласие с экспериментами по упру-
гому п~р-рассеянию при 4 Гэв/с, Готфрид и Джексон [12] вы-
брали для рассматриваемого процесса
Сх » 0,76, ух «0,04. (27.46)
За последние два года с помощью описанного нами метода было
выполнено большое число вычислений. Ситуация, существую-
щая в этом вопросе в настоящее время, иллюстрируется следую-
щими довольно бессистемными комментариями [14]:
1. Модель одночастичного обмена с учетом поглощения хо-
рошо описывает реакции
π+ + ρ -* р+ + ρ
в интервале импульсов 1,6 Гэв/с—8 Гэв/с. Множитель (27.44;,
который в действительности следует писать как
(.-c-HryVc,-·^)".

502 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. 11!
чтобы отличать начальный (1) канал, известный из упругого
рассеяния, от конечного (2) канала, можно слегка видоизме-
нять, не нарушая общего согласия с экспериментом. Наилучшее
88
гб
гг
го
* №
ν
в
б
2
υ ш о,г as OA
Щ,Гзв2
Рис. 92. Дифференциальное сечение реакции
π+ + ρ -> ρ + Ν* при 4 Гэв/с для различных значе-
ний параметров С2 и Υ2 (нормировка произвольна).
согласие достигается при следующем выборе параметров ρ ну
клопного канала:
C2~l, Y2»4-Vi·
В качестве иллюстрации точности предсказаний модели срав-
ним экспериментальные и теоретические значения матриц
плотности р.
Рассмотрим процесс рождения р+ при 4 Гэв/с. Теоретические
значения матричных элементов*), усредненные по интервал)
*) Ввиду недостатка места мы лишены возможности продемонстрирова ь
здесь эти вполне очевидные вычисления.

ГЛ. 2?)
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОБМЕНА 503
УГЛ0(5 1 > cos θ > 0,7, равны
(poo) = 0,65; (Р1,_,> = 0,06; (р10> = -0,18,
что с разумной точностью согласуется с экспериментальными
значениями
(роо) = 0,70 ± 0,08; (р,, _,) = 0,17 ± 0,14; (р,0> = -0,07 ± 0,07.
2. Как видно из рис. 92, реакцию
π+ + ρ -»ρ + Л'*
при 4 Гэв/с также можно понять с помощью механизма одно-
листного обмена, если вы-
брать параметры
C2«l, Y2R5^Yi·
Удачное описание формы
углового распределения не
сопровождается, однако, со-
ответствующим успехом в
расчете полных сечений. Вы-
численные теоретически се-
чения в два-три раза боль-
ше экспериментальных. При
8 Гэв с расхождения исчеза-
ют, и оба сечения согласу-
ются между собой
аэксп« 1 мб,
στεορ=« 1,2 мб.
3. Данные по рождению
К' в реакции
К+ + Р-*К+Р
при 3 Гэв/с не удается описать с помощью однопионного об-
мена. Их можно объяснить, если учесть еще обмен векторным
мезоном, впервые предложенный в другом контексте Сакураи и
Стодольским [15, 16]*). Однако если определять параметры,
*) Этим авторам удалось объяснить данные по реакции KN -> K7V*, где
вообще не может происходить обмен пионом, при условии, что р-мезон связан
cWV* так же, как фотон (вершина yNN* известна из экспериментов по фо-
i рождению). В терминах полей это выглядит так:
■£- (0 V - 5 V) (ΦνΥμΥβψ + э. с).
и
1,0
мб/стер
Ч^
$
η
0
SO W
1 1
Is'
I/
11
II
■^
\\
NX
NX
NX
NX.
VX
V\
N\
ч\
! 1 Mil
6L
-~
1,0
0β
0,6
cos£
Ц7
Рис. 93. Дифференциальное сечение
процесса К+ + ρ -> К*+ + ρ при 5 Гэв/с,
вычисленное при значениях констант
связи, определенных из той же реакции
при 3 Гэв/с.
Учитывался обмен как пионом, так н вектор-
ным мезоном. Две теоретические кривые соот-
ветствуют двум различным выборам констант
связи векторного мезона [14].

504
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. iii
MJ1
(U,B) -
ЛИ, А)
-^
(I, A)
(ищагэдк \
^^ JO
10
5
описывающие взаимодействие р-мезона из экспериментов при
импульсе 3 Гэв/с, то вычисленное теоретически сечение при
больших передачах импульса оказывается слишком велит
(рис. 93). Это обусловлено тем, что зависимость сечения в бор.
новском приближении от s
отличается в этом слу-
чае от полученной ра-
нее при учете только об-
мена пионом (см. формулу
(27.6)).
4. Модель р-мезонного
обмена определенно не мо-
жет объяснить данные по
д-р-рассеянию с перезаряд-
кой (рис. 94) [17].
Подводя итоги, можно
сказать, что модель однот-
онного обмена позволяет до-
вольно успешно объяснить
многие детали реакции с
рождением резонансов при
малых передачах импульса.
Нужно только позаботиться
о том, чтобы избегать наи-
более очевидных наруше-
ний унитарности. Исполь-
зуемая для этой цели
процедура в большой мере
произвольна.
В то же время наличие
других неопределенностей не
позволяет критически про-
верить обычно используе-
мый метод, состоящий в уче-
те поглощения только низ-
ших парциальных волн. Для
процессов, в которых npi
исходит обмен частицами с
более высоким снином, данная модель менее эффективна
Возможно, это связано с тем, что хотя в прямом канале и мож-
но с успехом рассматривать многопионные резонансы с выс-
шими спинами как «частицы», но в тех случаях, когда эти ре-
зонансы выступают в качестве «частиц» обмена и находятся
далеко от энергетической поверхности, эта процедура нуждается
в модификации.
/1=3,?
О 0,1 OJ OJ W
0,5 0,6 OJ
и(Гзб/сЙ
Рис. 94. Дифференциальное сечение
я;-р-рассеяния с перезарядкой при
значениях импульса в лабораторной
системе 5,9 и 10 Гэв/с.
Линия, помеченная буквой В. представляет
борновское приближение, а линии, помечен-
ные буквой А, — результаты вычислений с уче-
том поглощения, Е — эксперимент [17].

ГЛ. 27]
МЕХАНИЗМ ОДНОЧАСТИЧНОГО ОСМЕНА
505
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите процесс, изображенный на графе рнс. 95. Используя
соотношения типа (Ч'сд· /п>^л)= (2π)3/2 Γ (п + Л->Сл), получите выражение
dc(A + B-+C. + C ) = _!— | , *q 2Ч2 X
(.Ρα-Ρβ) -PaPb J
Покажите, что с помощью замены переменных его можно переписать в виде
X J dWB7ipBnW2B7i dc(A + n^ CA) da(B+n^ CB),
где i^-q2, W — полная энергия и р —импульс в системе центра масс, a W .
ρ —полная энергия и импульс частицы А в системе центра масс An
(и аналогично для WВп, рВл). д
2. Покажите, что если обозначить амплитуду " *■ ^ ^Zr
процесса π + N -*■ ρ + N через Τλ λ , (s, <). το ' *
матрицу плотности для р-мезона можно записать
в виде
λ/νλΛ" Рис. 95.
Если W выбрано должным образом, то эта матрица удовлетворяет условию
Spp=l. Найдите матрицу плотности в (7, М-представлении). Вычислите
матрицу плотности для ρ-мезона в модели ΟΡΕ.

Глава 28
УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
Периферические неупругие двухчастичные процессы, обсуж-
давшиеся в гл. 27, удается разумно объяснить в терминах про-
стых понятий теории поля или теории S-матрицы (аналитич-
ность, перекрестная симметрия, унитарность). Как мы уже
видели, модель одночастичного обмена, исправленная путем
введения феноменологического члена, учитывающего поглощение
низших парциальных волн, хорошо описывает подобные про-
цессы в широком интервале энергий. Однако эти процессы со-
ставляют лишь очень незначительную часть реакций при высо-
ких энергиях. Для других процессов при высоких энергиях ни-
какой теории такого типа не существует. Поэтому в этой главе
мы постараемся построить феноменологическую схему для опи-
сания процессов при высоких энергиях с помощью возможно
меньшего числа произвольных параметров. Мы сосредоточим
наше внимание на данных по упругому рассеянию.
Из всех элементов матрицы рассеяния легче всего измерить
мнимую часть амплитуды рассеяния вперед (т. е. амплитуды
при переданном импульсе t — 0), поскольку она по оптической
теореме связана с полным сечением рассеяния. Если мы
будем пользоваться амплитудами, определенными равенством
(23.63) *),
Ms, 0——/«.-(*. 0, (28.1)
<7ц.м.
то формула для дифференциального сечения упругого рассеяния
*) Мы еще раз напоминаем читателю, что при обсуждении свойств ана-
литичности удобнее всего пользоваться амплитудами Τ(s, t, и), которые свя
заны с амплитудами рассеяния в системе центра масс /ц. н (s. 0 соотношение
Τ (s, t, и) = - УТ/ц. м (s, 0/8π5
(если все состояния нормированы так, как если бы оии описывали бозоиы)
Если же речь идет об унитарности, то более компактной оказывается форма
A(s, t). Заметьте, что величину, обозначенную здесь /, мы в гл. S3 обозна-
чали через F.

ГЛ. 28J УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 507
примет простой вид
daynp(s, t)
Tt— = l^(s, OP,
а оптическая теорема будет выглядеть так:
Im^(s, 0):
,(s)
flGn
(28.2)
(28.3)
Полные сечения рассеяния нуклонов и мезонов показаны на
рис. 96. Бросается в глаза одна особенность всех приведенных
т β » № is
Импульс, Гзб/с
Рис. 96. Схематическое представление полных
сечений рассеяния (при высоких энергиях)
нуклонов на нуклонах, антинуклонов на ну-
клонах и мезонов на нуклонах как функций
импульса падающей частицы в лабораторной
системе координат [1].
здесь кривых — отсутствие какой-либо видимой структуры. Если
сечения действительно стремятся к нулю, то они делают это
исключительно медленно. Более правдоподобна другая интер-
претация этих данных — все сечения стремятся к постоянным
значениям. В предположении о том, что все сечения постоянны,
нет ничего нефизического. Простая классическая модель —

508
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
модель «черного шара» — приводит к постоянным сечениям при
высоких энергиях.
Если игнорировать спин, го амплитуду рассеяния можно за-
писать в следующем виде:
a(s, о=-^2Л2/ + 1)М5)р<(со8е)
i
=Ц- Σ (2<+п^С"' р^°5^· <28-4>
Здесь δ; — вещественные фазы, а множители η; описывают по-
глощение. Если поглощение отсутствует, то η;=1; при полном
поглощении η,· = 0. В модели черного шара предполагается, что
все парциальные волны вплоть до некоторого максимального
значения I полностью поглощаются. В классическом пределе
максимальное значение / определяется эффективным радиусом
взаимодействия R:
г\1 = 0, I ^ qR. (28.5)
Рассеяние более высоких парциальных волн вообще отсутствует.
Таким образом,
A(s, 0)«-4^-]£(2/+1) = *ΙΛπ-£ (28.6)
г-о
и
<уПош (s) = 4 Υπ Im A (s, 0) = 2nR2. (28.7)
Необходимо отметить, однако, что эта простая модель опреде-
ленно не годится для описания дифференциального сечения.
В этой модели амплитуда рассеяния на малые углы равна
Л (s, 0« ^ Σ W + 1) Pi (cos θ)« -4^ J 2x dxJ0(XQ)«
i=0 0
~ &£*-11 {qBR) = Щ- /, (/? У-=Т), (28.8)
2
лись тем, что при малых углах приближенно
.где мы сделали замену—t = Aq2sin2-^- « (9Θ)2 и воспользова-
/>i(cosθ)«/„((/ +у) θ). (28.9)

ГЛ. 281 УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 509
Этот результат не согласуется с экспериментальными данными,
которые можно параметризовать следующим образом:
*Ξ- = (^λ pat+bP
dt \ dt )t=o
Если сечения стремятся при высоких энергиях к постоянным
пределам и если они делают это достаточно быстро, то сечение
рассеяния частиц на данной мишени должно быть равно сече-
нию рассеяния античастиц на той же мишени [2], т. е.
Km К£И(*)-<СЛИ(5)) = 0. (28.10)
Мы приведем доказательство для случая полных сечений σπ и
σ + . В гл. 23 было написано дисперсионное соотношение
(23.49) для случая, когда (σπ_ρ — σπ+ρ)-»■ 0 при s —» оо. Если мы
предположим, что
(σπ_ρ(5)-σπ+ρ(5))^Δσ, (28.11)
то, как легко видеть, для величины *)
/_-(«D)-f+ (ω) / (ω)-/ (-ω)
*<«»»-- ЙГ^—~ Sf (28·12)
можно записать дисперсионное соотношение с одним вычита-
нием
Re№)-£(0)] =
оо
_2Ai/2 ω2 , ω2 η Γ q'da' , , _ , ,.п /00 ...
~—7π"+4^ J -,2(>_ω2)Κ-ΡΚ)-^+ρ(ω)]. (28.13)
ω*, ω2-ω2 ' 4π2' J (0'2(ω,2_ω2)
π
Следовательно, при высоких энергиях
Δσ , ω2
Reg(<»2)~—In ~ +const. (28.14)
т.
Если выразить амплитуды g(<»2) через амплитуды в системе
Центра масс, то мы получим
Imf„_p(S, 0)-lmf„+p(s, 0)--£f Δσ,
Re^-p(S, 0)-Ке/я+р(5, 0)--g-ΔσΙη-^-.
Таким образом, каждая из Imf,,* (s, 0) стремится к const-j/s.
Отсюда следует, что при высоких энергиях амплитуда упругого
*)/_(— со) = / + (ω) в силу перекрестной симметрии.

510
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕИСТ ВИЯ
[Ч. Ill
рассеяния преимущественно вещественна. Но такой вывод про-
тиворечит всем известным моделям, основанным на интуитив-
ном представлении о том, что мнимая часть амплитуды рассея-
ния, в которую дают положительный вклад все неупругие про
цессы, должна быть больше, чем вещественная часть, в котор}ю
дает вклад большое число членов со случайным набором зна-
ков. Это противоречие можно устранить, если только Δσ = 0.
Теорема Померанчука была доказана при несколько более сла-
бых предположениях Вейнбергом [3]. Он показал, что если
σπ-ρ (s)— an+p (s) не меняет знак бесконечное число раз, то
а) если g(ω2) ограничена, то[ffn-p(s) - an+p(s)]Ins-»-0 при
s —► оо;
б) если g(co2) не ограничена, но g(a2) =0(1п ω), то
о _ is)
π Ρ „ j
J + (s)
Окунь и Померанчук [2, 4] обобщили эту теорему. Они пока-
зали, что при высоких энергиях амплитуда рассеяния вперед
с обменом всегда мала по сравнению с амплитудой упругого
рассеяния. Например, для рассеяния с перезарядкой
da (п~р — л°п)
, dt
L
при s-j-oo, (28.15)
/ rfo (π~ρ-> π~ρ) \
\ dt )t=0
а для рассеяния с обменом странностью
Ιασ(κ-ρ->Σ*η*)\
I dt /,_n
—.—7 гг^2--»"0 ПРИ s-^oo. (28.16)
V dt /(_0
Упругое рассеяние отличается от (неупругого) обменного
рассеяния набором квантовых чисел, которыми могут обмени-
ваться участвующие в реакции частицы. Как показано на
рис. 97, вопрос о том, чем обмениваются частицы в любом дан-
ном процессе, определяется начальным и конечным состояниям)
в f-канале. Например, в упругом процессе л~р-+п~р промежу-
точное состояние в i-канале может иметь заряд Q = 0 и изо-
спин Τ = О, 1, 2. Напротив, для процесса л'р —► п°п (рассеяние
с обменом) возможны лишь промежуточные состояния с Q= -I
и Τ = 1, 2. Читатели могут легко убедиться в том, что обмен
системой с квантовыми числами вакуума (Q — О, Τ = 0 и т. д)
будет происходить только в случае упругого рассеяния.

Μ. 28] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 511
Перейдем теперь к теореме Окуня — Померанчука. Мы по-
кажем, что если при высоких энергиях какая-либо обменная ам-
плитуда доминирует над всеми остальными и если она не чисто
вещественна при t = О, то доминирующий обмен должен ассо-
циироваться с квантовыми числами вакуума.
Рассмотрим рассеяние псевдоскалярных мезонов на барио-
нах. Мы будем считать, что мезоны и барионы образуют SU(3)-
октеты, и будем обозначать их {а} и {Ь} соответственно. Восполь-
зуемся теперь оптической теоремой и перекрестной симметрией.
s-канал
/ ν
t-катл
б)
Рис. 97. Графическое представление упругого и обменного рассеяния.
На верхних рисунках изображены процессы в s-канале, а на нижних— связанные
с ними соотношениями перекрестной симметрии процессы в f-канале: а) упругое
рассеяние б) рассеяние с перезарядкой п~ρ->π°η; β) рассеяние с обменом стран-
Согласно оптической теореме, мнимая часть амплитуды упру-
гого рассеяния вперед данного мезона {а} на данном барионе
[Ь] определяется формулой
lm(ab\A{s, 0) | а6> =
,(s)
V\Gn
>о.
(28.17)
Перекрестная симметрия связывает эту амплитуду с амплитудой
процесса а + а —> Ъ + Ъ, аналитически продолженной в область,
которая является для /-канала нефизической, а именно s —» оо,
t = 0. Если обозначить амплитуду в /-канале через В, то пере-
крестная симметрия требует, чтобы
{ab\A(s.0)\ab) = {ЪЬ|В(0, s) |аа). (28.18)
Из главы, посвященной унитарной симметрии, мы знаем, что
СОСТОЯНИЯ |йй) и \bl·) можно разложить по полной системе

512
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. Ul
состояний, преобразующихся по неприводимым представлениям
группы SU(3). Запишем
I аа) = Σ Ι Κ μ) (λ, μ Ι αα). (28.19)
λ, μ
Здесь для вигнеровских SU(3) -коэффициентов использовано обо-
значение {λμ\αα). Индекс λ нумерует различные неприводимые
представления (для рассеяния октета на октете λ = 1, 8, 8', 10,
10* и 27), а μ указывает изоспин и гиперзаряд. Кроме того,
предполагается, что индекс μ отличает, например, декаплет, по-
лученный при разложении двухбозонных состояний, от дека-
плета, полученного при разложении двухфермионных состояний
или бозон-фермионных состояний. Равенство (28.18) можно пе-
реписать следующим образом:
(ab\ A{s, 0)\ab) =
= 2 Σ <W> I λ'μ') <λ'μ' Ι Β (0, s) I λμ) (λμ | αα). (28.20)
λμ λ'μ'
Мы будем предполагать, что существует точная унитарная сим-
метрия. В действительности это требование не является необхо-
димым, и более общий случай был рассмотрен Амати и др. [5].
В дальнейшем мы будем следовать в основном методу доказа-
тельства, предложенному в этой работе. Однако условие
<λ'μ' I В (О, s) | λμ> = δλν δμμ,βλ (0, s) (28.21)
несколько упрощает рассуждения.
Существует общая теорема, согласно которой для любого
неприводимого представления разложение произведения |fl}X{fl)
содержит тождественное представление 1 в точности один раз.
Таким образом, мы можем написать
\1) = ΝΑΣ αα), (28.22)
где ΝΑ — постоянная нормировки. Отсюда следует, что
V (λμ | аа) = -тт—, если λ — тождественное представление,
. а А
Σ(λμ|Ω<3) = 0 в противном случае.
а
Удобно записать это следующим образом:
5>μ|αα> = ^-δ(λ, 1),
(28.23)
2>6μ'μ'> = ^-δ(λ', 1).

ГЛ 2 1 УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 613
Из этих соотношений следует, что если λ — не тождественное
представление, то некоторые из коэффициентов (λμ\αα) и
bb λ'μ') должны быть отрицательны, в то время как другие —
положительны, так как в противном случае их взаимная
компенсация
^ (λμ|ββ> = 0, λφ\,
а
была бы невозможна. При λ = 1 все они могут быть выбраны
положительными.
Допустим теперь, что амплитуда с обменом некоторым λ до-
минирует. Это означает, что при высоких энергиях, когда пре-
обладает λ-обмен,
Re (ah \A(s,0)\ab) = Re Βλ (0, s) Σ (Bb | λμ> (λμ | αα),
μ (28.24)
Im (ab | A (s, 0) | ab) = Im B% (0, s) Σ (6b | λμ> (λμ | αα).
μ
Из второго из этих соотношений видно, что если λ Φ 1, то для
некоторых мезонов из совокупности [а] и некоторых барионов
из совокупности {Ь} комбинация из трех множителей, стоящая
в правой части второго уравнения (28.24), будет отрицательна
и, следовательно, неравенство (28.17) нарушится. Значит ам-
плитуда, дающая основной вклад в мнимую часть, должна соот-
ветствовать тождественному представлению (т. е. обмену кван-
товым i числами вакуума). В случае обменных реакций вели-
чины
Re (a'V I A (s, 0) | ab) = 2 <Ρ'δ \ λμ) (λμ | αα') Re Β% (0, s),
μλ (28.25)
Im (a'V I A (s, 0) | ab) = Σ (Ь'б \ λμ) (λμ \ αα') Im Βλ (0, s)
μλ
не содержат вклад от обмена системой с λ= 1. Таким образом,
f da (a + Ъ -> а' + Ь') \
\ dt ji=0
может быть сравнимо с I—- -г -I , только если для
некоторого λ φ 1
Re B% (0, 5) ^ Im β, (0, s) > Im βλ (0, s). (28.26)
Отсюда следует, однако, что при высоких энергиях данная об-
менная амплитуда вещественна при i ·- 0, что противоречит
33 С. Гизнеревн-1

514
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. in
нашим исходным допущениям. Экспериментальные данные сопа-
суются с предсказаниями Померанчука — Окуня (рис. 98).
Если мы обратимся теперь к упругому рассеянию с малой,
но неисчезающей передачей импульса (0 < — t ^z 1 (Гэв/с)2),
то обнаружим, что для
большого числа упругих
процессов
(рр
п+р-
К+Р-
'РР, РР~*РР,
■л+р, n~p~+iCp,
К+Р, К~Р^К~р)
зависимость дифференци-
ального сечения от / мож-
но описать почти универ-
сальной кривой [7]
^L = (^L\ grf+M·. (28.27)
. at \ at /i=o
Параметры а и b приве-
дены в табл. 8 *). Эти па-
раметры в хорошем при-
ближении не зависят от
энергии и
о о,г о,4 ofi oj /ft
P^PgWHB, Гэв/с
кг μ
Рис. 98. Экспериментальные данные, иллю-
стрирующие теорему Окуня — Померан-
чука.
На графике сравнивается сечеине яр-рассеяния
с перезарядкой и сечение упругого рр-рассеяния,
умноженное на 0,1. Крестики — 2,07 Гвв {рр), квад-
ратики—1,34 Гэв Ιβρ), треугольники — 2,85 Гвв
(рр), точки — данный эксперимент {пр) X 10 при
Г0 = 2,2 Гвв.
а» 10 (Гэв/с)
0,01<-£-<0,04.
-2
(28.28)
Как мы уже отмечали
раньше, такая зависи-
мость от / не согласуется
с предсказаниями модели
черного шара. Посмотрим,
какого рода модель может привести к такой зависимости. Для
этого запишем амплитуду A(s, t) в виде
A (s, /) = 1^- V (21 + 1) /, (s) Pt (cos θ) ~
(=0
~ ±f- j 2x dxfx (s) J0 (dx) ~ 2<7 Υπ J dppf (p, s) j0 (p /=}). (28.29)
*) Эти значения взяты из [8].

ГЛ 28) УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 515
Таблица 8
Значения параметров айв
РР
РР
π+ρ
ягр
К+Р
К~Р
Импульс
падающей
частицы в
лабораторной
системе, Гэв/с
6,8
8,8
12,8
16,7
19,6
7,2
8,9
12,0
6,8
8,8
12,8
16,7
7,0
8,9
13,0
17,0
6,8
9,8
12,8
7,2
9,0
Wdt)t.0.
мбКГэв/с?
106+2
106+2
104+4
92 + 5
97+7
181 + 16
178+8
140+10
43,7+1,6
41,0+1,2
37,8±1,8
32,6+1,9
42,6 + 1,7
41,4+1,0
42,4+1,6
35,2+1,8
19,7 ±4,3
19,7+1,5
22,0±1,4
38,9 + 11
37±11
а, (Гэв1с)~2
9,78±0,21
9,62 ±0,22
10,03 ±0,28
9,79+0,40
10,48+0,43
13,15+0,47
12,98±0,61
11,67 ±0,98
8,58+0,23
8,79 ±0,23
8,93+0,27
8,94+0,35
9,45±0,25
9,22 ±0,21
9,71 ±0,26
9,07+0,37
6,13±0,88
6,23 ±0,45
6,93 ±0,38
10,2+1,2
10,5±1,2
в. (Гэв1с) *
3,28±0,31
2,30+0,31
2,19+0,38
1,48+0,59
2,25+0,56
0,40 ±1,49
-2,77+2,50
2,24+0,29
2,38+0,32
2,36 ±0,34
2,82±0,43
2,75±0,34
2,54+0,30
3,02±0,35
2,12 ±0,53
1,36+0,07
0,99 ±0,55
1,18±0,45
3,97 ±0,92
4,2 ±1,0
Такое представление называется представлением прицельного
параметра *), поскольку в классическом пределе переменная ин-
тегрирования ρ »(I + 1/2)/i? интерпретируется как прицельный
параметр. Равенство (28.29) представляет собой преобразование
Фурье — Бесселя. Мы можем обратить его, чтобы получить вы-
ражение для f(p, s):
оо
f (P, s) = —-^ f d (V~t) (j/=7) A (s, t) Jo (p V~t). (28.30)
Если положить
A (s, t) ~ i Im A (s, 0) e""2 = -^^ еа^,
4У π
(28.31)
*) Наиболее полное и вполне современное обсуждение этого представле-
ния можно иайти в [9, 10].
зз*

616
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ч. щ
откуда следует, что
da - а"олн eatt (28.32)
dt 16n
то мы найдем
оо
/(Pt S) = i2s^±\ d{V=t) V—tj,{9 ]f=i)e-^v^l
Вяд
О
= ianom е~тш. (28.33)
Sitqa '
В случае полного поглощения низших парциальных волн (ма-
лые прицельные параметры) следовало бы ожидать, что
f(p, s)^-~
(такой результат получится, если положить в (28.4) η; = 0).
Таким образом, мы предсказываем, что
а^^^-. (28.34)
Для рр-рассеяния 4πα ~ 50 мб, в то время как аПОлн ^40 мб.
Следовательно, наша модель соответствует наличию сильно по-
глощающей центральной области, распределенной по Гауссу
с «шириной» Υ2α «* 0,9 фермы.
Несколько менее феноменологическая интерпретация экспо-
ненциальной зависимости амплитуды рассеяния от / возникает
в теории, которая в течение недолгого времени возбуждала
большой интерес и которая, быть может, сыграет еще очень
важную роль в физике элементарных частиц. Ввиду недостатка
места мы можем лишь очень коротко описать здесь теорию по-
люсов Редже *).
Пытаясь доказать справедливость представления Мандель-
стама для потенциального рассеяния, Редже [13] придумал не-
обычный метод для работы с разложением по парциальным
волнам **)
оо
f {q\ cos θ) - Σ (2/ + 1) ft (<72) Pi (cos θ). (28.35)
В общем случае такое разложение позволяет не слишком сильно
расширить область аналитичности по cos6. Дело в том, что
*) Простое введение в теорию полюсов Редже и их связь с представле-
нием Мандельстама можно найти в [11]. Более пространное изложение, из ко-
торого видно, насколько сложной стала эта проблема за очень короткое время,
содержится в [12].
**) Изложение метода Редже на русском языке см. в [14]. (Прим. ред)

ГЛ. 28] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 617
если мы разрешим cos θ в аргументе Рг (cos θ) принимать ком-
плексные значения, то такой ряд будет сходиться лишь в не-
большой области вне отрезка —l^cos6^+ 1, а именно в
эллипсе с фокусами в точках ±1, проходящем через ближай-
шую особенность f(s, cos θ) в комплексной плоскости cos θ.
Чтобы расширить эту область, Редже исследовал парциальные
Комплексная
1-п/юскость
1-0, 12 3 4
а)
=Θ
=0
О
6)
Рис. 99. а) Первоначальный контур интегрирования в пло-
скости комплексного момента; б) деформированный кон-
тур в плоскости комплексного момента.
амплитуды рассеяния как функции комплексного /. Ему уда-
лось обосновать следующую процедуру.
1. Сумму в формуле (28.35) можно переписать в виде
f(q2, cos θ) = 4 J dl (21 + 1)Д/, q2)
с
2\ Pi ("COS 6)
sinn/
(28.36)
Контур интегрирования показан на рис. 99, а. Это выражение
полностью эквивалентно (28.35), поскольку Ι/sinn/ имеет по-
люсы при I = О, ±1, ±2, ... с вычетами (—1)'/л.
2. Контур интегрирования можно деформировать, как пока-
зано на рис. 99, б. Чтобы показать это, нужно знать кое-что
о функции f(l, q2) (что представляет собой наиболее трудную
проблему) и, кроме того, необходимо знать свойства полиномов
Лежандра в незнакомой области [15].
На рис. 99,6 показано, что справа от линии Re/^—1/2
функция f(/, q2) имеет только изолированные полюсы.
Если записать функцию /(/, q2) вблизи полюса, положение
которого, вообще говоря, зависит от q2, в виде
Д*. Я)~ /-«„(,«) '
(28.37)

518
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. П|
то амплитуда рассеяния примет вид
№', С08в)—i /^β^/Κ, ЛРД_с05в)-
-"Σ'2ο·γ,:„'(';;"'>ρ°.^»—■» <2β·38>
η
Первый член обычно называют «остаточным интегралом», а вто-
рой представляет собой вклад «полюсов Редже». В этом пред-
ставлении мы уже можем придавать cos θ комплексные значе-
ния, не нарушая справедливости самого представления. С по-
мощью такого приема Редже удалось доказать представление
Мандельстама в нерелятивистской теории потенциального рас-
сеяния для определенного класса потенциалов (суперпозиции
потенциалов Юкавы).
Однако значительно более интересными оказались резуль-
таты, полученные попутно. Прежде всего, Редже удалось пока-
зать, что в представлении Мандельстама для потенциального
рассеяния нужно лишь конечное число вычитаний по перемен-
ной t. Этот результат ранее не был получен никем. Он следует
из того, что при г—* оо, Pi(z) ~ \z\l. Следовательно, асимптоти-
ческое поведение амплитуды f(q2, cos θ) при больших cos θ
определяется крайне правым полюсом Редже в комплексной /-пло-
скости. Далее, Редже показал, что функции an(q2), определяю-
щие положение полюсов в комплексной /-плоскости, имеют сле-
дующие свойства: а) при q2 < 0, т. е. ниже порога, полюсы ле-
жат на вещественной оси; б) при увеличении q2 они двигаются
вправо, начиная с точки /-^—1 при q2 = — оо. При q2 = 0 они
покидают вещественную ось и затем путешествуют по верхней
полуплоскости, возвращаясь, в конце концов, к линии / = — I
(рис. 100).
Если an{q?), двигаясь слева направо, проходит-через точк;
/ = 0 при некотором q2 < 0, то, как видно из формулы (28.38),
амплитуда рассеяния имеет в этой точке полюс. В окрестности
этого полюса амплитуда рассеяния имеет вид
f (q2, cos θ) ~ V4- Ρο (cos θ). 41 < 0.
характерный для связанного состояния с нулевым моментом.
Как показано на рис. 100, для того чтобы траектория, т. е. путь,
который проходит полюс Редже в комплексной плоскости / при

ГЛ. 2ft) УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 51§
изменении параметра q2, достигла точки I = 0, потенциал взаи-
модействия должен превышать некоторую минимальную вели-
чину. В противном случае траектория повернет обратно, так и
не достигнув точки / = 0. Если потенциал слишком слаб, связан-
ные состояния не существуют! С другой стороны, если потен-
циал достаточно силен, то траектория, прежде чем покинуть ве-
щественную ось, может пройти через точку I = I. В окрестности
Рис. 100. Ведущие траектории Редже для потен-
циалов Юкавы возрастающей силы (измеряемой
константой взаимодействия G) в комплексной /-пло-
скости [16].
этой точки амплитуда рассеяния будет иметь вид, характерный
для связанного состояния с моментом 1 = 1. Тем временем мо-
жет появиться второй полюс Редже, траектория которого также
пройдет через точку / = 0, в результате чего в S-волне возник-
нет второе связанное состояние. Таким образом, полюсы Редже
непосредственно ассоциируются со связанными состояниями си-
стемы. Если при q2 > 0 траектория проходит вблизи от точки
с целым I, причем Im an(q2)> 0, то, как легко видеть, в соответ-
ствующей парциальной волне возникает резонанс. Чтобы пока-
ать это, рассмотрим функцию f(q2, cos θ) в области, где доми-
нирует некоторый полюс Редже, так что
f (<2·cos θ> ~ -ш^т Рап <-cos θ>· (28·39>

520
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. III
В этом случае *)
I
U (<72) = \ I d (cos θ) / (q\ cos θ) Ρ, (cos θ) =
-1
- V«(^*[gB («■)-/] Ισ^ + Ζ + ΙΓ (28·4°)
Если в точке q2r Re an (q2) = I, то соответствующая парциальная
амплитуда имеет характерный резонансный вид
ν-$(**%^)^°η№
(28.41)
Проникновение теории Редже в физику элементарных частиц
началось после того, как Мандельстам и другие авторы
[17—20]**) высказали предположение, что в релятивистской
теории, так же как и в случае потенциального рассеяния, пар-
циальные амплитуды являются функциями, аналитическими в
комплексной /-плоскости (справа от некоторой линии Re/<0),
за исключением отдельных полюсов. Функция, определяющая
положение этих полюсов, как и в нерелятивистском случае,
представляет собой траекторию, вид которой связан с существо-
ванием различных частиц, стабильных или нестабильных. Это
предположение позволило разрешить неприятную проблему,
связанную с существованием частиц со спином ^ 1. Пусть
имеется частица со спином /, выступающая в качестве связан-
ного состояния в s-канале некоторой системы (например, f
с У = 2 в mt-системе). Вклад этой частицы в амплитуду рассея-
ния в s-канале определяется формулой
s-sB J\ s-s0)
В силу перекрестной симметрии такой же член будет давать
вклад в амплитуду рассеяния в /-канале. В результате при
больших энергиях в системе центра масс в этом канале
{Wt~ Y t) амплитуда рассеяния будет расти, как t3'. Детальное
исследование представления Мандельстама показывает, что не
существует никакого очевидного способа компенсировать этот
*) Мы воспользовались соотношением
I
и
sin πα
dzPt [z) /·«<-*)- „(a_/)(fl + /+1)
**) Переводы основных работ по применению метода Редже в теории
поля содержатся в [21]. (Прим. ред.)

Γ·". 28J УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 521
сингулярный вклад. Механизм, предложенный Редже, позволяет
избежать этой трудности. В этом случае полюсный член будет
давать вклад
где a(sB)—J- Когда мы рассматриваем i-канал, переменная 5
играет роль передачи импульса, так что в физической области
s <0 и нет никаких причин считать, что a(s) при s < 0 не мо-
жет быть < 1. В этом одна из основных причин того, что мы
продолжаем интересоваться механизмом Редже.
Теорию Редже можно перенести в релятивистскую область
с очень незначительными модификациями. Одна из них состоит
в том, что благодаря присутствию обменных потенциалов траек-
тории будут характеризоваться дополнительным индексом, «сиг-
натурой». Сигнатура указывает, будут ли физические состояния
иметь четные или нечетные /*). Фактически члены, описываю-
щие вклад полюсов Редже, имеют вид
f^£W(4(S>(-^e)±pa„(cose)).
Отсюда следует, что траектория, проходящая через связанное
состояние в S-волне, может после этого проходить только через
связанное состояние в £)-волне. Это является гарантией того,
что при рассеянии двух одинаковых пионов не могут появляться
связанные состояния с нечетными моментами.
Так же как и в нерелятивистской теории, траектория полюса
Редже определяет асимптотическое поведение амплитуды, когда
οοεθ, т. е. 2i/(s — s0)—* оо. Однако благодаря существованию
перекрестной симметрии в данном случае это обстоятельство
представляет не только академический интерес. Отсюда следует,
что при s —> оо и t < 0 амплитуда рассеяния ведет себя как
n*.')~S(if(<W
η
где αη(0 определяет положение полюсов Редже, соответствую-
щих связанным состояниям и резонансам в i-канале, г s0 — не-
который параметр, имеющий размерность квадрата массы. Та-
ким образом, обобщая представление об обмене отдельными ча-
стицами, мы можем говорить об «обмене» полюсами Редже.
Что можно сказать о траекториях αη(0? Поскольку для рас-
сеяния вперед T(s, 0) ~ s, ведущая траектория при t = 0 дол-
жна характеризоваться значением αρ(0)=Ι. Эта траектория
получила название траектории Померанчука. Если мы припи-
шем ей квантовые числа вакуума, то отсюда моментально будет
следовать теорема Померанчука.
*) См. приложение к [18].

522
СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. hi
Вблизи точки t = 0 наклон графика, изображающего зави-
симость Reap(i) от г, должен быть положительным. Чтобы убе-
диться в этом, запишем при малых t
аР(г)~ l+Bpt, (28.42)
тогда
"S = (ir)t_oехр {2 [ар (0 "1] 1п (s/5o)}' (28,43)
где «о — некоторая фиксированная константа с размерностью
квадрата массы. Поскольку дифференциальное сечение падает
с увеличением —г, вР должно быть положительно.
При малых г формула (28.43) почти совпадает с формулой
(28.27). Различие состоит лишь в том, что теория Редже пред-
сказывает логарифмический рост константы а при увеличении s.
В настоящее время не обнаружено такого сужения дифракцион-
ного пика с ростом энергии *). Поэтому считается, что если тео-
рия Редже справедлива в релятивистской области, то достигну-
тые сейчас в лабораториях энергии, по-видимому, недостаточно
высоки, чтобы проявилась простая полюсная структура**).
В связи с этим мы не будем продолжать здесь обсуждение этой
теории. Упомянем только, что предпринимались попытки сгруп-
пировать частицы в семейства «рекурренций Редже». Частицы,
принадлежащие к одному семейству, должны иметь одинаковые
внутренние квантовые числа и отличаться по спину на 2. При
желании можно считать, что некоторые барионные резонансы
(например, N к N* (1688), N* (1238) и N* (1920), Λ0 и γ'0 (1815)
и т. д.) связаны именно таким образом ***).
*) За исключением упругого рр-рассеяния. В рр-рассеянин наблюдается
расширение гика.
**) Экспериментальные данные по рассеянию при высоких энергиях
удается удовлетворительно описать, если учесть обмен тремя семействами
полюсов Редже, соответствующих вакуумному полюсу, нонету 1" и нонету 2*
(см., например, [22]). Более подробную информацию о столкновениях адроиов
при высоких энергиях можно найти в докладе Ван Хова -на XIII Между-
народной конференции по физике высоких энергий, Беркли, 1966 (см. также
Ван X о в, Лекция в Летней школе Шотландских университетов, 1966, кото-
рая переведена ниже в качестве приложения). (Прим. перев.)
***) В последние годы предпринимались многочисленные попытки приме
нить к описанию рассеяния при высоких энергиях 51/(3)- и SU(6)-симметрии
Однако при этом встречается целый ряд трудностей. Более плодотворным
оказался подход, основанный на модели независимых кварков [23, 24]. В этой
модели предполагается, что амплитуда рассеяния адронов вперед равна сумме
амплитуд рассеяния составляющих их «квазисвободиых» кварков. Отсюда сле-
дует целый ряд соотношений между сечениями, которые хорошо согласуются
с экспериментом. Аналогичные результаты можно получить также с помощью
модели, предложенной Кабиббо, Горвицем и Нееманом [25], в которой де-
лается попытка объединить гипотезу полюсов Редже с алгеброй токов. Хоро-
ший обзор этих моделей можно найти в лекциях Коккеди в Зимней шьоле
в Вене в 1967 г. (Прим. перев.)

ГЛ. 28] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 523
Ввиду неприменимости теории Редже при достигнутых в на-
стоящее время энергиях представляет интерес выяснить, какие
еще модели могли бы объяснить зависимость, описываемую
формулой (28.27). Ван Хов [26] рассматривал упругое рассея-
ние как теневое рассеяние от неупругих процессов. Он показал,
что при некоторых простых предположениях о природе неупру-
гих процессов при высоких энергиях такая модель приводит
к зависимости вида (28.27). Чтобы показать это, рассмотрим
условие унитарности для амплитуды упругого рассеяния (21.6)*)
[T(p',qf; ρ, q)-r(p,q; p', <?')] =
= (2π)4 Σ δ {Ρη ~ Ρ ~ Я) Γ (η; ρ', q') Τ (η; ρ, q) =
η
= Σ 2πδ (Ρη - ρ - ς)(Ψρ>, / (0) Ψ°"0(4Τ', / (0) ΨΡ). (28.44)
η
Правую часть этого равенства можно разложить на упругую
и неупругую части
(2π)4 V b(pn-p-q)r{n; p', q*)T(n; ρ, q) +
неупр
XT'(ρ", q"; ρ', q^T'(/>"', <?"; ρ, q) (28.45)
В такой форме Τ (ρ', q'; p, q) содержит как зависящие, так и не
зависящие от спина члены. Обычно считается, что при высоких
энергиях первые из них значительно меньше последних. Для
оправдания этого утверждения рассмотрим, например, формулу
(23.28), которая представляет амплитуду упругого пион-нуклон-
ного рассеяния. Мы можем переписать ее в виде
f(W, cos θ) = J^- £ [-1 + 1Цг_е2Щ- + (/ + 1) ν/β<+] Р[ (cos θ) +
t
+ ~^- sin θ 2 (η,.*2"'- - 4[+e2l6i+) Pi (cos θ). (28.46)
Легко показать, что если поглощение велико, то первый член
доминирует.
Таким образом, мы будем полагать, что условие унитарности
(28.44) записано для не зависящих от спина амплитуд. Однако
в правую часть благодаря наличию неупругих процессов будут
давать вклад и зависящие от спина члены.
*) Мы пользуемся здесь не амплитудой А, а Г-матрицей, поскольку усло-
вие унитарности в гл. 21 было выписано в терминах элементов Г-матрицы.

624 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ц ,jj
Рассмотрим вектор состояния Ф№ определенный равенством
ФРЧ= Σ Ψ^(Ψ^, /(0)%). (28.47)
неупр
Этот вектор состояния ортогонален любому вектору Ψ^ν, по-
лученному из Ψρ" в результате упругого рассеяния. Мы свя-
жем его с неупругим конечным состоянием. Можно написать
(2π) Σ №"', /(0)Ψρ'Τδ(Ρ„-ρ-</)(Ψ«"'> /(0)ΨΡ) =
неупр
-=(2я) Σ (Ψ^,/·(0)ΨΡ-)*№<,δ(Ρ-ρ-(?)Ψ^)(Ψο/, /(0)Ψρμ
m, η
неупр
= 2π (Φρν> δ (Ρ - ρ - <?) Φρ9), (28.48)
где Ρ является теперь оператором. Вообще говоря, индексы р,
g и р', ^' у φ указывают лишь на происхождение данного не-
упругого состояния. Из эксперимента известно, однако, что при
высоких энергиях неупругие процессы состоят главным образом
из «струй» частиц, движущихся (с малым поперечным импуль-
сом ~0,3—0,5 Гэе/с) в направлениях вперед и назад в системе
центра масс. Воспользовавшись этой информацией, мы можем
игнорировать все корреляции, кроме корреляций между напра-
влениями, определяемыми импульсами р, q и pr, qr в системе
центра масс. Грубо говоря, можно положить
(φρν, b(P-p-q)Фрд) = %{р.р\ s) (28.49)
в системе центра масс *). Эта функция является мерой того, на-
сколько перекрываются между собой две некоррелированные не-
упругие струи, различающиеся только направлениями. Напра-
вления струй определяются начальными состояниями частиц.
Если R представляет вращение, переводящее направление ρ в
направление р', то
#φ^= Σ /Wtor', */(0)ψΡ)=
неупр
= Σ ΨΓ'(ψΓ,/(0)Ψρ,) = αν.
неупр
Следовательно **),
% (Ρ ■ Ρ', S) = (Φρ„, δ (Ρ - q - ρ) ЯФМ) =
= ОТ '<DW, б (Ρ - q - ρ) Φρη) = Χ (ρ ■ ρ', s),
*) Детальное обсуждение можно найти в [27].
**) Если ρ выбрано в качестве оси г и ρ' образует с ним угол (Θ, 0), то
R~l<bpg будет описывать струю, распространяющуюся в направлении (Θ, л).
Последнее равенство следует из сделанного нами допущения, что зависимость
от φ отсутствует.

ГЛ. 28} УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 525
т· е. %{Р · р\ s) вещественна, как, разумеется, и должно быть.
Если мы напишем теперь
Τ (Ρ', q'\ Ρ, <7)ц.м. = - ^ 2] (2/ + 1) f/ (Ю Pi (cos Θ) (28.50)
и _
^•^•5)=wS(2/+1)^s)p<(cose)' <28·51)
то получим
Imfi(S) = <?|//(s)f + ^-X/(S)> (28.52)
или в терминах ft — 2qft
lmrl(s)=]-lLf^ + %l(s). (28.53)
Если допустить, что амплитуда упругого рассеяния чисто
мнима, то
||Imfi(s)|2-Imf/(S) + X/(s) = 0,
т. е.
ImU(s) = 1 - У1-2х,(5). (28.54)
Данный выбор корня диктуется тем, что при достаточно боль-
ших I {I >■ qR, где R — размер системы) как fh так и %г дол-
жны стремиться к нулю.
Ван Хов показал, что для модели некоррелированных струй
г(р-Р\ s) = x(0, s)e", (
i= - 2г?2(1 -cosB)^ — (^θ)2.
Проделав вычисления, аналогичные тем, которые привели
к (28.33), находим
XiW = Jfoe-WMfl'. (2.56)
Полное сечение дается формулой
<V>ih = S(2/ + Π 0-Imfi « J xdx ^(l - j^ _2Xo<?-*2/w) »
l 0
~2njdy(l-Vl- 2x06-»"") =
о
= 16я/4 (l - | T^2^ + In -i±i i^Xi). (28.57)

[4. Ill
526 СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Сечение упругого рассеяния равно
так что сечение неупругого рассеяния
<*неупр = аполн — <Тупр = "^? ^j (2/ + 1) j ItTl f, — -ξ- I f/ I |
I
= *LV(2/+l)Xi·
<72 ^
Несложные вычисления показывают, что
(28.59)
"неупр
ψ j 2x dxwi-*i*Af = 8лА%п. (28.60)
о
Таким образом, отношение
Супр = j __^еупр = j Хо (28.61)
Ополн σΠΟΛΗ Г _-iAt_o.·:· , ■- 1 + Kl-_2jCo
-2/0 +in
не зависит от Л. Следовательно, его можно использовать для
определения зСо· Между прочим, уже из равенства (28.54) видно,
что 0 <;%0<; 1/2. Проделав несложные выкладки, легко пока-
зать, что отсюда следует неравенство
σ·
0<-^<0,185. (28.62)
°полн
Экспериментальное значение этого отношения для я~р-рассея-
ния при 17,6 Гэв равно 0,160 ± 0,013, так что для этого процесса
условие самосогласованности выполнено. Для рр-ра-ссеяния это
отношение при энергии 19,6 Гэв равно 0,244 ± 0,012, так что в
этом случае требуется видоизменить используемую процедуру *).
Дифференциальное сечение упругого рассеяния определяется
формулой
2 (2/+ l)AP|(cosθ)2.
«Оупр
at
(28.63)
*) Коттингем и Пайерлс [28] исследовали количественно оба эти процесса.
Им учалось получить хорошее согласие с экспериментом при условии, что
в случае РР-рассеяния учитывается также вещественная часть амплитуды
упругого рассеяния (в виде разности двух гауссовых функции).

ГЛ- 28| УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ 527
Для его вычисления мы воспользуемся приближенным равен-
ством
оо
V(2/+ D-iLp^cosG) - j -ψ-U - У\-2№~*!ААЛ Μ*θ) «
О
CO
~jbdb[l- Vl-2%0e-^A] J0 {b \/~=i). (28.64)
о
В результате, как показал Ван Хов [27], получается
rftry"P = β"1"1". eat+bt\ (28.65)
rfi 16π
0 = 20!/!,
О = —5".
«Г
Постоянные θ| и а2 зависят от %0. При %0 — 0 Oi = 1, «2 = 0.
При хо = 1/2 at = 0,86, а2 = 0,03, так что отношение b/α2 всегда
очень мало.
К гауссовой форме функции %(ρ·ρ', s) вида (28.55) приво-
дит также мультипериферическая модель [29], в которой неупру-
гие процессы описываются совокупностью графов, изображен-
ных на рис. 101. Недостаток места не по- q^ _-
зволяет нам обсудить здесь эту интерес- \
ную модель. Отметим только, что, как к (V-гт
в предыдущем случае, гауссова форма V
дифференциального сечения возникает в λγ --
этой модели в результате своеобразного ;
расцепления» начального состояния ^
и конечного неупругого состояния. В
этой связи важно подчеркнуть, что су- рис. Ю1. Графы, кото-
ществуют некоторые общие соображения рые суммируются при
в потьзу формы (28.55) и что эта форма мультипериферических
позволяет объяснить важнейшие чер- вычислениях неупругого
-.,-*, j, υ рЭССбЯНИЯ.
ты диффракционнои части рассеяния.
Описанная выше модель Ван Хова дает определенные пред-
сказания относительно углового распределения упругого рассея-
ния при больших переданных импульсах. При больших \t\ ин-
теграл в (28.64) можно легко вычислить. Соответствующие
вычисления можно найти в [28]. В результате оказывается, что
при больших переданных импульсах —тт— должно вести себя

Б28
СИЛЬНЫЕ ВЗЛНМОДЕПСЧШЫ
14. ill
как
da,
упр
-aV^t
dt /> · (28-Сб)
В действительности экспериментальные данные (упругое
рр- рассеяние) гораздо лучше описываются эмпирической
формулой [30]
dQ. ne
(28.67)
где ρ х = ρ sin θ, ρ — импульс в
W
-30
\
Ро = 13,0Ы/с
V,/
иг" -
I
«VJ
41
/0
-л
ЛГ'
ю~
УЗ,!
\klBft
85,0 \
1,0 г,о з,о 4,о
ρ sin θ, ffl/c
Рис. ]02. Сечение упругого протон-
протонного рассеяния как функция по-
перечного переданного импульса.
Сплошная линия представляет экспоненту
Ае~Р sin Θ/Ρ» с А -=34 мб/стер и р0 = 0,151 Гэв1с
[30].
системе центра масс, р0 =
= 0,151 Гэв/с и Л =34 мб/стер
(рис. 102). В настоящее
время неизвестны никакие
теоретические соображения,
которые могли бы объяс-
нить появление в этом вы-
ражении поперечного им-
пульса. By и Янг [31] выска-
зали предположение, что ха-
рактерная зависимость типа
(28.67), возможно, отража-
ет трудность ускорения раз-
личных частей нуклона без
его разрушения. Если это
действительно так, то от-
сюда следует целый ряд
предсказаний относительно
процессов рассеяния на фик-
сированный угол (θ=£0) при
достаточно обльших энер-
гиях. Именно
ln "ло"(6' рп->рп)
dQ
In
do
f/Ω
(θ, ρρ -> рр)
I.
>η-^-(θ,ρρ->ρΛΤ)
(28.68)
i rfcr /a
1π^Ω(θ-
рр -> ρρ)
и другие предсказания. Оче-
видно, что при современной
скорости накопления дан-
ных нам не придется долго
ждать открытия новой чрезвычайно важной области филши
элементарных частиц.

, я] УШ'УГОП РЛСс:1-ЯНН1; ΙΙΙ4Ι IIUCOKIIX ЭП1-1ЧПЯХ 529
34ДЛЧП
1. Покажите, чю (28.05) следует из (28.G4). Воспользуйтесь равенством
оо
J х dx /о (ух) е-(|/2>*- = β~№υ\
о
2. Так называемые траектории Редже ап(г)> связанные с частицами наи-
меньшей массы, обладают тем свойством, что
где Ип — масса частицы, а /п — ее спин. Допустив, что
an(t) ~ а„(0) + ег,
где ε — «универсально», и что Мщ (940) (нуклон) и Л1/2 (1512) лежат на одной
и той же траектории, найдите е. Кроме тою: а) найдите массу частицы 2+, ле-
жащей на той же траектории, что и полюс Померанчука, для которого
ар(0) = 1; б) найдите массу частицы 3~, находящейся в одном «семействе
Ре же» с р-мезоном. При каком значении / р-мезонная траектория пересекает
ось / = 0? в) рассмотрите октет барионов и его партнера по семейству Редже
со спин-четностыо 5/2+. Проверьте формулу Гелл-Мана — Окубо для этого
октета.

Часть IV
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Слабые взаимодействия, как и электромагнитные, играют
двоякую роль в физике элементарных частиц. С одной стороны,
они проявляются во взаимодействиях лептонов, где их можно
с достаточной точностью исследовать без учета сомнительных
перенормировочных эффектов, обусловленных сильными взаи-
модействиями. С другой стороны, они служат «орудиями» изуче-
ния таких фундаментальных величин, как матричные элементы
токов сильно взаимодействующих частиц.
Разгадка природы слабых взаимодействий лептонов оказа-
лась чрезвычайно волнующим открытием последнего десятиле-
тия. Это событие явилось результатом нового класса экспери-
ментов, инициированных революционной статьей Ли и Янга по
вопросу сохранения четности в слабых взаимодействиях. По-
средством ряда необычайно тонких экспериментов за очень ко-
роткое время была установлена, по крайней мере для лептонов,
форма гамильтониана слабых взаимодействий (уже предсказы-
вавшаяся ранее теоретиками). Оказалось, что слабые взаимо-
действия, как и электромагнитные, обладают определенной сте-
пенью универсальности (насколько об этом позволяют судить
перенормировочные эффекты, обусловленные сильными взаимо-
действиями). Вероятнее всего, фундаментальные составные ча-
сти материи, каковыми бы они ни были, вступают в слабые
взаимодействия весьма однообразно: во взаимодействии прини-
мает участие лишь одно из двух состояний спиральности, так
что оператор поля бариона со спином 1/2 (или кварка) в сла-
бых взаимодействиях имеет вид (1—Υ5)Ψ(*'). В этом случае
теория принимает наиболее симметричную форму. Цель совре-
менных исследований по слабым взаимодействиям состоит
выяснении справедливости последних утверждений и в попыт-
ках сформулировать идею универсальности в наиболее общем
виде.
Установление того, что группа SU(S) характеризует симме-
трию в сильных взаимодействиях, существенно повлияло на
наши представления и о слабых взаимодействиях. Существуюг
весьма веские подтверждения гипотезы, согласно которой те

ВВГДГНПЕ
531
адронные величины*), которые играют важную роль в слабых
взаимодействиях, — это векторные и аксиальные токи, являю-
щиеся в свою очередь 5i/(3) -токами. Здесь вновь проявляется
сходство с электромагнитными взаимодействиями: величины,
взаимодействующие с электромагнитным полем, также являются
токами (только векторными), причем SU(3)-токами **).
В части четвертой настоящей книги делается попытка дать
обзор феноменологических теорий и экспериментальных данных,
позволивших недавно существенно продвинуться в понимании
слабых взаимодействий. После краткого описания теории сла-
бых взаимодействий, существовавшей до ниспровержения за-
кона сохранения четности, обсуждаются способы проверки со-
хранения четности, зарядового сопряжения и обращения вре-
мени.
Опыты по проверке сохранения четности являются вполне
наглядными; этого нельзя сказать относительно аналогичных
опытов по проверке других свойств симметрии, которые, как бу-
дет показано, не совсем независимы, поскольку из требования
одной лишь лоренцевой инвариантности вытекает инвариант-
ность относительно комбинированной операции РСТ. В гл. 30
формальным, но исчерпывающим образом обсуждаются способы
проверки всех трех указанных симметрии.
Глава 31 посвящена краткому описанию серии эксперимен-
тов, которые позволили в течение одного года (1957 г.) пол-
ностью выяснить природу слабых взаимодействий при низких
энергиях, по крайней мере для нестранных частиц. В двух по-
следующих главах обсуждается вопрос о слабых взаимодей-
ствиях для странных частиц. Эти взаимодействия можно разде-
лить на два класса.
Более фундаментальными являются лептонные взаимодей-
ствия, при которых сильно взаимодействующая частица распа-
дается с образованием лептонной пары. Благодаря достигну-
тому сейчас пониманию вопроса о взаимодействии лептонов с
другими системами можно утверждать, что эти взаимодействия
аналогичны электромагнитным взаимодействиям адронов.
Безусловно, изучение распадов дает очень мало новой инфор-
мации. Тем не менее до тех пор, пока эксперименты с пуч-
ками нейтрино не станут столь же чувствительным методом, как
и эксперименты с электронными пучками при изучении форм-
факторов, исследование слабых токов может дать доста-
точно ценных сведений относительно их трансформационных
свойств.
*) Напомним читателю, что «адроны» — это сильно взаимодействующие
"истицы.
**) В частности, генерирующий ток, обсуждавшийся в гл. 26 на стр. 460.
а*

S32
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Второй класс процессов состоит из нелептонных взаимодей-
ствий, которые можно считать аналогом кулоновского рассея-
ния, например, двух протонов. Очевидно, что в этом случае
сильные взаимодействия гораздо эффективнее маскируют изу-
чаемые основные взаимодействия, поэтому для последних, как и
для сильных взаимодействий, отсутствует строгая теория. Ввиду
этого мы ограничимся лишь феноменологическим описанием не-
которых нелептонных процессов.
В последней главе более подробно обсуждаются свойства то-
ков. В ней приводятся данные, свидетельствующие о том, что
слабые токи являются частью октета Sc/(3)-tokob, и обсуж-
даются следующие заманчивые гипотезы относительно их
свойств: а) аксиальные токи, хотя они и не сохраняются, лишь
слегка отличаются от сохраняющихся токов и б) перестановоч-
ные соотношения для токов просты и учитывают фундаменталь-
ным образом свойства симметрии сильных взаимодействий. По-
следняя гипотеза принадлежит Гелл-Ману, причем недавно
она была подтверждена вычислением перенормировки за счет
сильных взаимодействий аксиального тока, блестяще совпавшим
с экспериментальными данными.
Наш оптимистический обзор достигнутого прогресса в обла-
сти слабых взаимодействий не должен заслонять тот факт, что
имеется еще масса явлений, которых мы совсем не понимаем.
Почему слабые взаимодействия так просты? Ведь не существует
явного аналога градиентной инвариантности, которая позво-
ляет, по крайней мере формально, выразить универсальность
электромагнитных взаимодействий. Нет аналога фотона, по
крайней мере с массой менее 2 Гэв. Слабое взаимодействие лел-
тонов — весьма необычно, и хотя для опровержения сформ}
лироваиной теории необходима энергия порядка несколььич
сотен Гэв в системе центра масс, мы знаем, что эта теория не
может быть верной*). Наконец, интуитивно чувствуется, что
дальнейший прогресс в этой области должен быть существенно
связан с пониманием огромного различия между адронами и
лептонами, относительно которого имеются весьма скудные
предположения. Приведенные выше вопросы не обсуждаются в
последующих главах, потому что о них мы имеем лишь смут-
ные представления.
Обсуждению вопросов, связанных со слабыми взаимодей-
ствиями, было посвящено несколько прекрасных обзоров. Не-
которые из них упоминаются в соответствующих местах текста.
Среди других следует отметить статьи по слабым взаимодеи·
*) Имеется в виду, чго четырехфермношюе взаимодействие ле> τ hub с
точки зрения теории возмущений относится к неперенормпру мочу ти
(Прим. ред.)

ВВЕДЕНИЕ
533
в журнале «Annual Reviews of Nuclear Science» [1 — 3],
стВияМ о1]езные лекции Джексона, прочитанные им в 1962 г. [4],
очень * всеобъемЛющую коллекцию статей, изданную Каби-
^°к оме того, необходимым источником новейших сведений,
хорошо изложенных, являются издания докладов конфе-
чаСТ<ий по слабым взаимодействиям в Брукхевене (1963 г.) и
V№?огонне (1965 г.). Благодаря существованию прекрасного
В рбника Челлена [6] нам удалось опустить много длинных вы-
У Чд0К Наконец, мы хотели бы порекомендовать весьма «непе-
шеходное» изложение β-распада Липкиным [7] *).
*) См. также [8, 9].

Глава 29
«КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ» БЕТА-РАСПАДА
Теория β-распада, т. е. теория, описывающая процесс
η -*р + ег +ν,
возникла в 1934 г. благодаря работам Ферми [I, 2]*). Ранее,
в 1931 г., Паули постулировал существование новой, чрезвы-
чайно проникающей частицы, нейтрино, для объяснения непре-
рывного энергетического спектра электронов, наблюдающегося
при распадах ядер. Ферми же указал, что гамильтониан взаи-
модействия для этого процесса можно по аналогии с квантовой
электродинамикой записать в виде
Я, = Cv J d*x (% (х) νμΨ„ (*)) (фе (jc) ΥμΨν (*) )· (29.1)
Ниже мы покажем, что константа связи Cv, имеющая размер-
ность [М]'2, если положить fi = с = 1, мала. Следовательно,
применение в дальнейшем теории возмущения справедливо для
таких энергий, для которых
(EyCv «С 1,
где Ε — наибольшая энергия процесса, т. е. в "случае β-pao
пада—масса нуклона.
Одно из наиболее ранних заключений о гамильтониане взаи-
модействия, предложенного Ферми, состояло в том, что он не
является наиболее общим. Даже если не учитывать членов, со-
держащих производные, из лоренцевой инвариантности и ин-
вариантности по отношению к обращению времени и инвер-
сии пространства вытекает следующее выражение для Η,
*) Нейтринная гипотеза Паули никогда не была опубликована. Очень и
тересный исторический обзор (содержащий много полезных сведений) ич*ет<
в [3].

ГЛ 291 «КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ» БЕТА-РАСПАДА 535
содержащее пять членов*):
Яш = J dlx №s (ФР (*) Ψ» U)) (Φ* (*) Φν (*)) +
+ Cv (φ„ (*) ν"ψη (*) ) (φβ (x) ΥαΨν Μ ) +
+ γ Cr (ΦΡ (*) σαβψ« (*)) (Φ, (*) σ„β ψν (Χ)) +
+ Сл (Φ„ (*) ΥαΥ5Φ« (*)) (φβ (*) ΥαΥ5Φν (*)) +
+ С ρ (φρ (x) Ιγ5ψ„ (x)) (фе (*) /V5 Φν (*))], (29.2)
где σ** ="2"[γα, Υ13] и Ct — вещественные постоянные. Амплитуда
β-распада в первом приближении по константе связи имеет
вид **)
Р г
(Ψ/, ЯД-) = ^С; J d*x(Wf, (φρΓ'·ψ„)(φ,ΓΛ)Ψ/) =
i=S x0=0
= V с. J d3x {$f< ψρ (jc) Γ'ψ„ (*) Ψ,.) (Ψ„ ψβ (Χ) Ψο) Γ| х
< Χο=0
Χ -ТГШ V^v (/»v) β"'^'* (29-3)
(2π)
Множитель ]/"2/πν перед нейтринным спинором делает норми-
ровочный множитель в постоянной распада равным соответ-
ствующему множителю для фотона. В результате переход к пре-
делу tnv—>0 слегка упрощается. Величина (Ψε, φβ(*)Ψο) яв-
ляется волновой функцией электрона; если заряд ядра мал, так
что кулоновскими взаимодействиями можно пренебречь, то
(Ψ„ Ы^,)-е-1рех-1^. (29.4)
В противном случае нужно использовать волновую функцию
для электрона, находящегося в кулоновском поле ядра. Для це-
лей настоящей главы выражения (29.4) вполне достаточно.
Матричные элементы ядра
J (Pxe-1 C«+'v)- (Ψ,, ψρ (х) Γ.ψ„ (Χ) Wt) (29.6)
*) Из-за нашего выбора метрики константа, обозначенная в (29.2) через
Сд, имеет другой знак по сравнению с соответствующей константой Сл, на-
пример, в книге [4].
**) Через Ч/f и Ψ; обозначены волновые функции начального и конечного
тояннй ядра.

536
СЛЛВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
содержат операторы:
*„(*)*„(*)«<(*)*„(*).
% (х) y4„ (*) « < (*) Ρ,σ*Ψ„ (*) - О,
Ψ„ (*) Υ°Ψ„ (*) = Φρ (*) ψ„ (*).
ψρ (Χ) σ"ψη (*) - < Μ σ"ψη (*) = β//Λψ; (х) σ,ψ„ (*),
Ψρ (*) σ°4 (Χ) = - < Μ Ρ2σ*ψ„ (*) ~ 0.
Ψρ (*) Υ°Υ5Ψη (*) = Ψρ (*) Ρ|Φ„ (*) ~ °.
■φρ (*) Υ*ΥΒΨ„ (*) ~ Ψρ (*) <***„ Μ»
Ψρ (*) *Υ5Φ« Μ = _ Φρ (*) Ρ2Φ« (*) ~ °·
В этих выражениях члены, стоящие в правой части, соответ-
ствуют нерелятивистскому приближению. Такое приближение
вполне разумно, поскольку импульсы нуклонов в ядре обычно
малы (ν <: 1/10). Тогда необходимо рассматривать только два
ядерных матричных элемента:
J d3xe-iAx{4rf, ψ;(Χ)ψπ(Χ)Ψ.) (29.7)
И
J d\e-lAx(^f, ψρ+Μσψ„(*)^)· (29.8)
Xo=0
В этих выражениях
b = Pe + Pv = Pl~ Pf
— передача импульса при распаде ядра. В общем случае, до
тех пор пока не учитываются правила отбора по. моменту или
странности, основной вклад в матричные элементы дает первый
член разложения
ги'*= 1 -ib-x-~(A -xf + ....
поскольку величина передачи импульса такова, что произведе-
ние \A\R (где R — длина порядка радиуса ядра) мало.
С точки зрения ядерной физики поправки порядка |4 /? и
т. д. представляют большой интерес, поскольку они дают ин-
формацию о состоянии ядра до и после распада; для наших же
целей достаточно основного члена в разложении е~'Ах, даю-
щего прямую информацию о β-взаимодействии. Если началь-

ГЛ 24] «КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ> БЕТА-РАСПАДА
537
ное и конечное состояния отличаются по странности или отли-
чаются более чем на единицу по моменту, то релятивистские
поправки и более высокие члены разложения e~iAx будут
приводить к так называемым «запрещенным» переходам. Мы же
ограничимся рассмотрением только «разрешенных» переходов.
В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:
J d3x(Wf, Ψρ+(*)Ψ„(λ:)Ψ.) = <1>,
λ (29.9)
j Λ(^Φ;ωσψ„(,)ψ.)=Η
Электронные поправки, обусловленные главным образом воз-
мущением электронной волновой функции кулоновским полем
ядра, не учитываются.
А^атричный элемент для разрешенного перехода равен Ж,
причем
S = 1 - 2π/δ (Ef + Ee + Ev- E^cM
и
j/~2m г
°*= IISF L^ (Cs" ^ v ^ + Суй ^ w (р^*+
+ <σ*)(γ стй (Ре) okv (pv) + САй (ре) ykyzv (pv))] . (29.10)
Для нахождения постоянной распада необходимо вычислить
абсолютную величину квадрата амплитуды (29.10). Кроме того,
результат необходимо просуммировать по всем наблюдаемым
состояниям поляризации нейтрино. Для этого можно восполь-
зоваться тем фактом, что если масса нейтрино равна нулю, то
lim 2mv \ ν (ρν) ν (ρν) = (βν - mv) = βν. (29.11)
m„->0 ■*""
ν спины
Если же еще просуммировать и по состояниям поляризации
электрона и ограничиться рассмотрением экспериментов, в ко-
торых распадающиеся ядра не поляризованы, так что средние
по начальным состояниям поляризации
<**><1>«0, {ob){o') = ±6kl\{a)\\ (29.12)
то останется вычислить лишь величину
1 1
.2.-.)' 2*7 [ I Cs Г КО I2 SP (/> А) + С\ | (1) Ρ Sp (yAyA) +
+ 2CSCV\ (1> I2 Sp (/5vYome) + -^C\\ {a) f Sp (σΑσΑ) +
+JCAΙ <σ> Ρ SP (Y*Y6i6vYBYA) + T ,п»СаСт\ W ISP ЫМ")]

538
СЛАБЫГ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
В результате непосредственного вычисления шпуров получим
^if,[ciKi>l2(i-^e) + ^csCHO>l2 +
--^САСТ\ {а) ? + С\|(σ> ?(l - ± ■ ^^)]· (29.13)
До 1957 г. при поиске формы β-взаимодействия представ-
ляли интерес следующие свойства полученных соотношений:
1. Интерференционные члены между S- и V-связями, а
также между Т- и Л-связями обладают явной зависимостью от
энергии. Однако на эксперименте никакой зависимости от энер-
гии электрона не наблюдается. Поэтому было заключено, что
эти «интерференционные члены Фирца» [5] отсутствуют, так что
CSCV ~ О, СГСА ~ 0. (29.14)
2. Переходы, для которых изменение состояния ядра не свя-
зано с изменением момента и четности, могут происходить
как через переходы «типа Ферми», для которых |(1)|2=£0,
так и через переходы «типа Гамова — Теллера» [6], для кото-
рых 1(σ)[2=0. Исключение составляют переходы 0—0, кото-
рые не могут происходить через А- или Г-связи, поскольку
(7=0|σ|/ = 0) = 0. Поэтому для определения величин Cs и Cv
необходимо исследовать 0—0-переходы, не сопровождающиеся
изменением четности. В этих переходах спектры S- и V-связей
отличаются лишь на электрон-нейтринную корреляцию: при ска-
лярном взаимодействии электрон и нейтрино, как правило, вы-
летают из ядра в противоположные стороны, при вектор-
ном же — импульсы электрона и нейтрино обычно параллельны.
3. Переходы, для которых |Δ/| = 1 и нет изменения четно-
сти, могут происходить только через переходы типа Гамова —
Теллера, т. е. включают Т- и Л-связи. Их снова можно разли-
чить по электрон-нейтринной корреляции, которая в этом слу-
чае содержит множитель 1/3, возникающий из-за усреднения
по состояниям поляризации ядра.
С экспериментальной точки зрения ситуация в 1956 г. была
весьма запутанной: из-за больших трудностей, возникающих
при проведении корреляционных измерений, результаты по
следних носили противоречивый характер. Так, распад
Не6 -* Li6 + е- + ν,
сопровождающийся изменением / с 0 на 1 (четность ядра со-
храняется), указывал на отрицательную корреляцию в одном

ГЛ И]
«КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ» БЕТА-РАСПАДА
539
эксперименте (т. е. СА Φ 0) и на положительную — в другом
(т. е. взаимодействие — тензорное). Аналогично распад
Ne19 -* F19 + е+ + ν
с изменением спина с / = —1/2 до / = 1/2 (четность сохра-
няется) указывал с большой погрешностью на преобладание
S- и Г-связи, в то время как распад
Аг35-»-С135 + е+ + ν
ясно свидетельствовал о преобладании У-связи.
Под влиянием событий 1956—1957 гг. эксперименты с Аг35
были повторены, и оказалось, что доминирующими являются
все-таки V- и Л-связи *).
Взаимодействие при β-распаде не дает никакой информации
относительно наличия и величины СР, поскольку нуклоны, уча-
ствующие в распаде, являются нерелятивистскими. Такую ин-
формацию можно получить косвенным путем из идеи об универ-
сальном взаимодействии Ферми. Из количественного анализа
слабых взаимодействий μ-мезонов (мюонов) ясно, что распад
μ± -> е± + ν + ν
и ядерный захват
μ- + ΖА -+ (Ζ — 1) А + ν
огут быть хорошо описаны с- помощью четырехфермионного
гамильтониана взаимодействия, сходного с гамильтонианом
ля β-распада, и что сила взаимодействия в этих процессах
примерно такая же, как и при β-распаде**). Предположение,
что все эти процессы описываются одним и тем же четырехфер-
"ионным гамильтонианом [9—12]
Hw = 2 Ci (ψ, Γ'ψ2) №3I>4), (29.15)
*) Для ознакомления с этим классом экспериментов, описанием ирибо-
*« и яальвейшими ссылками см. [7].
**) Ввиду того, что время жизни нейтрона порядка 103 сек, а время жиз-
мюона порядка 10~6 сек, это утверждение може?г показаться немного стран-
Поскольку фазовый объем пропорционален пятой степени максимальной
•f ни электрона, то это различие (~109 раз) можно объяснить с помощью
ового множителя. В работе [8] имеется очень простое обсуждение μ-за-
ата.

540
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
t4.IV
было очень заманчивым*). Из этого предположения, в частно-
сти, вытекало, что пион должен слабо распадаться следующим
ρ J? образом:
~\^_^'<:'*^ π-»μ + ν,
п (е*,^-) ^e + v.
Рис. 103. Возможный граф,
приводящий к распаду 0дин из возможных механизмов
η -> (μ , е ) + v.
такого распада представлен на
рис. 103. Этот распад описывается матричным элементом
(Ψ<Γ, v *W" ?С;(¥8-„ ^Γ4ψο)(ψο> ViW (29.16)
Из сохранения момента и четности следует, что отличными от
нуля в матричном элементе (Ψ0, ψρΓ^Ψ^) являются только
аксиальные и псевдоскалярные члены.
В результате имеем
- СрЦРе) Υ5« (Ρν)(ψο· Φ,νΒΨηΨ„-)}. (29.17)
Лоренцева инвариантность требует, чтобы матричные элементы,
описывающие сильно взаимодействующие частицы, были та-
кими, что
(2π)'Α СА (Ψ0, ψ/ν5ΨΛ") = i£ fA W) -l-£fA K),
(29.18)
(2π)'/! Cp (Ψ0, Ψ„/ν5Φ„ψπ-) = if ρ (?) = if ρ «)·
*) Неопределенность в выборе между выражением ^^ С/ (-ф^/^г) (^зГ|+«)
и выражением, в котором ·ψ2 и 1|5,поменены местами, не являются фундаме
тальной. Она соответствует линейному преобразованию констант &·. Из эквг
валентности этих форм следует соотношение
УС' (Г')я& <Г/)^ - Σ Cl Wl)ad (Tl)cd,
которое при соответствующей нормировке Г* дает
e^^ci-spir'Wr''^).
Последнее выражение называется преобразованием Фирца (см., например, [131 ■

ГЛ. 29] «КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ» БЕТА-РАСПАДА 541
Используя равенство q = pe + Pv и уравнение Дирака для леп-
тонов, получим
Τ = ~ ^~t [Ι ^- Й (Ре) (Ре + fiv) № (Pv) + tip* (ре) Y6» (Pv) ) =
(2nfu \ тя I
W&A +fp)a {Pe) ysV {Pv)- (29·'9)
V2mv
1 (2π)
Квадрат матричного элемента, просуммированный по спинам
лептонов, равен
спины спины
-wi^+M'^· (29·20)
Постоянная распада теперь вычисляется легко. В результате
получим
]2л)М7Т (d?Pv_JLP<L.6(p +р _в) =
1 - 2Bi,/(2jt)» J 2£v Ee/me0[Pv + Pe q>
(2^)7 1 /м f^-^„
X J ^e(p. + £.-».)-^(l -4)7^ + /ρΤ· (29-2D
J 2£e 8it V rrfj \mn )
Отношение постоянных распада на пары элейтрон-нейтрино и
мюон-нейтрино [14] есть
Это отношение очень чувствительно к величине fp. Его экспери,
ментальное значение [15], сильно зависящее от />//а>
R = (1,25 ± 0,03) · ΙΟ'4
соответствует выбору
fP - 0, (29.23)

542
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
что эквивалентно предположению об отсутствии псевдоскаляр-
ного взаимодействия. Из величины времени жизни пнона сле-
дует, что*)
fA = 2,12- ΙΟ"7. (29.24)
На это число мы и будем в дальнейшем ссылаться.
Распад пиона не дает никакой информации о тензорном
взаимодействии, поскольку
(Ψο^ρΟμνψηΨπ) = 0.
Это непосредственно следует из того факта, что из одного 4-
вектора q» невозможно сконструировать антисимметричный тен-
зор. Тензорное взаимодействие дает вклад в распад
π± —* е± + ν + γ,
и грубые вычисления с помощью теории возмущений с приме-
нением разумного обрезания дают [16]
V Г (π->·μ-|-ν) ^ ' '
что полностью противоречит экспериментальной оценке [17]
Поскольку этот результат противоречил эксперименту с Не6 и,
кроме того, некорректные измерения давали
Г (π — £>ν)/Γ(π -► μν) < ΙΟ"5,
то положение со слабыми взаимодействиями пионов было в
1956 г. также весьма запутанным. Однако описанные противо-
речия были вскоре разрешены после небывалой вспышки экспе-
риментальной активности, вызванной появлением статьи Ли и
Янга «К вопросу о сохранении четности в слабых взаимодей-
ствиях».
*) Чтобы получить представление о том, насколько слабыми являются
слабые взаимодействия, достаточно сравнить /^/4π = 3,5· 10-15, например, с
fpnnl^ « 2,4.

Глава 30
ЧЕТНОСТЬ, ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ, ОБРАЩЕНИЕ
ВРЕМЕНИ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
ИХ СОХРАНЕНИЯ
В 1956 г. при попытке разрешить парадокс τ — θ Ли и Янг
[I]*) заинтересовались вопросом о том, какие в действительно-
сти существуют доказательства сохранения четности. Они от-
метили, что, хотя имеется хорошее подтверждение сохранения
четности в сильных и электромагнитных взаимодействиях, ни
один из экспериментов, проведенных до того времени, не ука-
зывает на сохранение четности в слабых взаимодействиях. В слу-
чае электромагнитных взаимодействий закону сохранения чет-
ности соответствует эмпирическое правило Лапорта, состоящее
в том, что при дипольном излучении «четные» состояния комби-
нируют только с «нечетными» (см., например, [3]). Правила Ла-
порта были с большой точностью проверены на эксперименте,
так что можно считать, что если амплитуда перехода
' = ' скаляр + ' псевдоскаляр!
то \Tp/Ts\ < Ю-6. В сильных взаимодействиях закон сохранения
четности тоже подтверждается весьма основательно. Например,
Тэннер [4] отметил, что из закона сохранения четности следует
невозможность распада возбужденного состояния Ne20*(l+) с
энергией 13,2 Мэв на О16 (спин-четность 0+) и α-частицу. Если
Сы четность не сохранялась, то такой распад проявился бы
в наличии резонанса в спектре α-частнц в реакции
ρ + F19 — О16 + а.
*) Переводы основных статей Ли и Янга по проблемам сохранения чет-
ности и. т. и. в слабых взаимодействиях см. в [2]. (Прим. ред.)

544
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Отсутствие такого явления свидетельствует о том, что в силь-
ных взаимодействиях *)
Τ
1 ρ
Ts
<Ю
-4
В слабых взаимодействиях все классические эксперименты
по β-распаду, состоящие в измерении таких величин, как фор-
ма электронного спектра, электрон-нейтринные корреляции,
β — γ-корреляции, запрещенные спектры и т. д., имеют дело
со скалярными величинами. Если снова записать матрицу
перехода в виде
Τ = Ts + Τ ρ,
то член, появляющийся после возведения в квадрат абсолют-
ной величины Т, а именно интерференционный член, описывает
несохранение четности. Этот член является псевдоскаляром, а
при измерениях вероятности перехода он в среднем оказывается
равным нулю. Чтобы убедиться в сохранении четности, нужно
измерить какую-либо псевдоскалярную величину. Придя к та-
кому решающему выводу, Ли и Янг перечислили эксперименты,
позволяющие выяснить, сохраняется ли четность в слабых вза-
имодействиях.
Один из экспериментов состоял в измерении корреляции
между импульсом электрона при β-распаде поляризованного
ядра и направлением поляризации ядра. При этом измеряется
величина ре · (/) в матричном элементе, которая, очевидно,
является псевдоскаляром, так как при инверсии пространства
ре->—ре, а /-»-/. Другой эксперимент состоит в измерении про-
дольной поляризации электрона. Если четность сохраняется, то
величина (ае-Ре) обязательно обращается в нуль.
При слабых распадах гиперонов, например Л°-гиперона, не-
сохранение четности может проявиться в наличии корреляции
между направлением поляризации Л°-гиперона (которое пер-
пендикулярно плоскости рождения пары) и импульсом пиона
в реакции
Л° -* ρ + π~.
Эта корреляция была бы заметна по резкой асимметрии коли-
чества пионов относительно плоскости рождения. *
*) В недавнем эксперименте Боем и Канкелайт [5] наблюдали круговую
поляризацию порядка 10~4 \-перехода в Та181 (т. е. превалирование одного
состояния спиральиости над другим). Они получили \fp/Ts\ ~ \0~*. Это со-
гласуется с оценкой, выведенной в предположении, что в слабых взаимодей-
ствиях четность не сохраняется.

ГЛ 30] ЧЕТНОСТЬ. ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ, ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 545
Эксперименты, предложенные Ли и Янгом, и многие другие
вскоре были проведены, и неожиданно оказалось, что действи-
тельно в слабых взаимодействиях четность не сохраняется. Позд-
нее мы обсудим некоторые из этих экспериментов, однако сей-
час затронем другие вопросы, поднятые в связи с сохранением
четности. Они связаны с общей теоремой квантовой теории поля,
впервые высказанной Людерсом*), но также обсуждавшейся
Швингером и Паули [7] (который в 1955 г. обратил внимание
на·? общий характер **)). Эта теорема гласит, что каждое воз-
можное состояние системы частиц является возможным состоя-
нием соответствующей системы античастиц при одновременной
инверсии пространства и обращении времени. Более формально,
эта теорема утверждает, что при весьма общих условиях имеет
место инвариантность относительно произведения операций Ρ
(четности), С (зарядового сопряжения) и Τ (обращения вре-
мени). Для доказательства этой теоремы РСТ достаточно пред-
положить лоренцеву инвариантность, наличие вакуумного со-
стояния и локальную коммутативность. Фактически последнее
допущение может быть заменено на более слабое [9]. Позднее
в этой главе мы используем некоторые следствия из этой тео-
ремы. Однако сначала мы проиллюстрируем ее для четырехфер-
мионного взаимодействия, чтобы яснее представить обсуждае-
мый вопрос ***)_
Рассмотрим гамильтониан взаимодействия
Hw= jd3x^w(x), (30.1)
где
<ад = Σ ^(ψ,Γ.ψ2)(ψ3Γ.ψ4) + Σ с] (λυοΓΓυοΨ,) (W/yA) +
+ Σ с; (ψ,Ι>2) (ψ3Ι>5ψ4) + Σ С; (адЧ*,) (ψ4ΥοΥ5ΓΓν0Ψ3)·
(30.2)
Второй и четвертый члены в (30.2) являются эрмитово сопря-
женными друг другу; гамильтониан Hw должен быть эрмито-
вым, даже если не считать, что С{ — вещественные величины.
Члены, содержащие Ci, имеют четность, противоположную чет-
ности членов, содержащих Сг·. Величинами Г,- является полный
*) Для ознакомления с простой трактовкой оригинальной работы Лю·
дерса см. [6].
* *) См. обсуждение этой теоремы в [8]. (Прим. ред.)
***) Этот подход позаимствован из работы 110].
35 С. Газиорович

546
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [Ч. IV
набор матриц Дирака 1, γμ, —^=σμν, γμγ5 и i'v5- При таком вы-
боре
ΥοΥμ+Υο = Υμ,
ν„σμν+νη = - 4- νη Γνν+. νμ+1 ν„ = — Γνμ. νν1 = σμν.
(30.3)
Υο^+Υο = - γ Υο [Υν+, Υμ+] Υο = J [Υμ, Υν] = σμν.
Υο (γμΥ5)+ Υο = ΥοΥ5Υμ+Υο = ΥμΥ5.
Yo(iY5)+Yo = i'Y5-
Поведение Hw при зарядовом сопряжении можно устано-
вить, если обратить внимание на то, что это преобразование
соответствует замене
Ψα-*ψ,Α,α, %-*-(G~[)po%, (30.4)
причем, как указывалось в гл. 2,
6-'/β=-γμΤ. (30.5)
Отсюда следует, что
ψα(1)Γ„βψβ(2)->--(?αρ4ρ(1)ΓαβΨσ(2)βσβ =
= -ψρ(1)Ψσ(2)(βΓΓβ-,)σρ = ψ(2)(6ΓΓβ-1)ψ(1), (30.6)
где смена знака происходит из-за перестановки антикоммути-
рующих спинорных операторов. Из соотношений
e>(/fe>- = _/,
^(σμΤβ-'=-σμν,
^(γμγ5)Γβ-' = γμγ5, (30.7)
получим, что зарядовое сопряжение соответствует· замене
Σο1 (яр,г^2) (ψ3Γ(ψ4) -> Σ ct (ψ^ψ,) (ф4г^3),
так как знак минус в одной из скобок будет всегда компенси-
роваться знаком минус в другой. Таким образом, для четных
членов зарядовое сопряжение эквивалентно замене
Ct^Cl (30.8)
Рассмотрение нечетных членов позволяет заключить, что для
них зарядовое сопряжение эквивалентно замене
C't^-C'i. (30.9)

ГЛ.30] ЧЕТНОСТЬ. ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 547
В действительности из более общего выражения, содержащего
произвольный фазовый множитель в (30.4) вытекает следую-
щее правило преобразования:
С [Ct, С\) С-1 = {tjcCI, - лсСГ], (30.10)
где
т1с=т1с.т1с2т1сзт1С4 (30.11)
— фазовый множитель.
Совершенно очевидно, что при пространственной инверсии
члены, содержащие Сг-, преобразуются со знаком, противопо-
ложным знаку членов, содержащих С\, так что
Ρ [Ct, С\] Р-« = [npCt. - V?i}, (30.12)
где фазовый множитель
%> = •npiWta7) 4- (30.13)
Таким образом, при одновременном преобразовании СР
GP{Ct, C'i) P~xe~x = [цсПрС], ЧсЧрС?}. (30.14)
Отсюда видно, что теория инвариантна при преобразовании СР
только в том случае, когда все С(. и С\ вещественны. Для со-
хранения четности фазовый множитель цР можно выбрать та-
ким, чтобы Hw оставался неизменным, только когда все С\,
или все С,·, равны нулю.
Рассмотрим теперь операцию обращения времени. Эта опе-
рация преобразует ψ и φ следующим образом:
ψα-* ψρβρα, Φβ-*·ββσψ ' (30.15)
где
β(γμ)*β-' = ψ. (30.16)
Кроме того, она переставляет местами сомножители в любом
произведении операторов*). В результате
ШРд* % (2)->(% (1) βα-Τ/αβψλ (2) βλβ)ο6„ =
= ψ(2)βΓ[β-'ψ(1).
Аналогично !
<
Ψ (3) Γ,γυφ (4) -* —φ (4) ν5βΓΓβ-Ιψ (3) = ψ (4) \o\5\oBTf β~'ψ (3).
*) Отметим, чго перестановка операторов происходит независимо от
вида статистики, которой подчиняется поле.
35·

548 СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (Ч. IV
Из этих соотношений следует, что обращение времени эквива-
лентно замене в Hw
Сг+^ЧтСг C'i+^r\TC'i, (30.17)
где фазовый множитель
Ατ = 'Пп'Пге'Птз'Ь. (30Л8)
Таким образом, мы доказали, что действие оператора
& = РСТ (30.19)
состоит в следующем:
Первое следствие из теоремы РСТ состоит в том, что при
нарушении одной из симметрии С, Ρ, Τ по крайней мере одна
другая симметрия тоже должна нарушаться. Второй результат,
который сейчас будет доказан, состоит в том, что равенство
масс стабильных частиц и их античастиц является следствием
только теоремы РСТ.
Будем описывать покоящуюся частицу А функцией T,4(s,σ),
где s обозначает ее спин, а σ — его г-компоненту. Тогда
MA = (4A(s, о), ΗΨΑ(ε, σ)). (30.21)
Из соотношения
Н = вне~1 (30.22)
следует, что *)
MA = {4A(s, a), C-lp-lT-lHTPC4A(s. σ)) =
= (№(s, о), Τ-1ΗΤΡΨα(5,ο)), (30.23)
где А — античастица А. Поскольку частица покоится, то
ΡΨ7(3, σ) = ηΨ7(5>σ),
так что преобразование четности не влияет на среднее значе-
ние. Наконец, перепишем соотношение (30.23) в -виде
μα = {ΤΨα(8· σ>· ИГР7(8, σ))' =
= (¥j(s. -ο), Η+Ψτ(5, -„)) = QST(S, -ο), #Ψτ(β,-σ)>
(30.24)
Поскольку масса не зависит от величины z-компоненты спина,
то
МА = МХ. (30.25)
*) Для краткости мы обозначаем операторы преобразований Р, С, Τ в
гильбертовом пространстве через Р, С, Τ вместо U(P), U(C), U(T).

ГЛ.301 ЧЕТНОСТЬ. ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 549
Другое следствие из теоремы РСТ состоит в равенстве вре-
мен жизни частиц и их античастиц*), по крайней мере с точ-
ностью до первого порядка по Hw. Напишем
Я = Я, + Hw. (30.26)
Здесь #s — часть гамильтониана, описывающая сильное и элек-
тромагнитное взаимодействия (включая, конечно, гамильтониан
свободной частицы) и удовлетворяющая соотношениям
[Я„Р] = 0, [Я3,С] = 0. (30.27)
Мы используем Hs для определения состояний и будем счи-
тать, что Hw описывает переходы между ними. Обозначим че-
рез Ψα устойчивые состояния частицы А при наличии только
r/s и через Ψj = СЧТА— состояния античастицы А. Конечные
состояния обозначим соответственно через ΨΒ и Ψ^~ΟΨΒ.
Будем предполагать, что
(Ψβ , ΨΒ) = 0.
В общем случае Hw не обязательно обеспечивает сохранение
четности, поэтому мы можем представить его в виде суммы чет-
ного и нечетного членов относительно операции Р:
Яш = Ж+> + Я<->. (30.28)
Постоянная распада
А-*В
определяется выражением
Г* - гЛт Σ Σ Ιψ*· №' + ВД Ψλ (s, ο) Ρ =
о спины
в конечном
состоянии
=2γτγΣ Σ (Г- "томе^ "тогь
о спнны
в конечном
состоянии
(30.29)
поскольку она является скалярной величиной и не может со-
держать псевдоскалярный интерференционный член.
*) В работе [11] дано общее формальное доказательство этого резуль-
тата для всех порядков по Hw. В ней, однако, не показано, как описывать
распадающуюся частицу; доказывается, что этот результат справедлив, если
использовать какой-нибудь гамильтониан, с помощью которого можно опре-
делить время жизни. - - ■

550
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
Из теоремы РСТ следует, что
(Ψβ, #„Ψλ) = (Ψβ, C-'T~'P~'HWPTC^A) =
= №в, г'(я1+,-я1-))г?,-) = (%, (я<в+)-я<и-))%)* =
= (%, (//^-Я^ОФв). (30.30)
Значок ^ обозначает состояние с обратным во времени дви-
жением; в частности, в представлении с определенным момен-
том обратными состояниями являются состояния, у которых 2-
компоненты спинов имеют знаки, противоположные первона-
чальным. Для вычисления Глв можно теперь использовать
(30.30). Тогда
γ^ = 72ΙΤ+Τ)Σ Σ {1№г. я№)12 + |(%, №w)f).
' о спнны
в конечном
состоянии
Последнее выражение, однако, определяет постоянную распада
А-+В, т. е. мы показали, что
Гли = Г^. (30.31)
Эти предсказания, следующие из теоремы РСТ, прекрасно со-
гласуются с экспериментом. До тех пор, пока считали, что ин-
вариантность при зарядовом сопряжении является свойством
всех взаимодействий, эти результаты казались не связанными
с пространственно-временными свойствами взаимодействий; как
будет показано далее, при нарушении С эти результаты выте-
кают из теоремы РСТ в качестве непосредственного следствия
лоренцевой инвариантности при условии, что последнее свой-
ство сформулировано в рамках теории поля. Из-за этой ого-
ворки нельзя считать, что теорема РСТ имеет такое же строгое
обоснование, как, например, закон сохранения энергии; поэтому
необходимо придумать способы ее проверки. Однако в этой
главе мы будем предполагать, что теорема РСТ справедлива, и
обратимся к вопросу о проверке инвариантности относительно
С, Ρ к Т.
Ранее отмечалось, что при наблюдении псевдоскалярной ве-
личины, например / · ρ при четырехчастичном распаде, нали-
чие произведения pt · рг X р3 свидетельствует о несохранении
четности. Поскольку при обращении времени как спины, так и
импульсы изменяют направления, то можно было бы ожидать,
что наличие неисчезающей величины, скажем / ■ р\ X р% свиде-
тельствует и о неинвариантности относительно Т. Однако это
неверно, потому что такой член присутствует при пион-нуклонном
рассеянии, в то время как не возникает сомнения в инвариант'

ГЛ. 30] ЧЕТНОСТЬ. ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ, ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
ности относительно Τ в сильных взаимодействиях*). По-види-
мому, необходим более аккуратный анализ; кроме того, за-
труднительно экспромтом придумать эксперименты для про-
верки инвариантности относительно зарядового сопряжения.
В нашем анализе**) мы предположим, что гамильтониан
взаимодействия Hw, описывающий рассматриваемые распады,
имеет вид
Яш = Σ (С,я1+) + C'iH^), (30.32)
где Hi удовлетворяет соотношению
тн„т~* = Σ {с\н[+) + c'iHV). (зо.зз)
Пример подобной структуры, имеющей вполне общий харак-
тер, приведен в (30.2). В этом случае вещественность констант
& и d свидетельствует об инвариантности относительно Т.
Аналогичным образом, поскольку Hi определен так, что
РН\**Р~1 = ± Н{г\ (30.34)
из сохранения четности следует, что С\ = 0, а из инвариантности
относительно зарядового сопряжения следует, как и в (30.10),
что константы С,- вещественны, а константы С\— чисто мнимы.
Попытаемся теперь выразить некоторые наблюдаемые вели-
чины через С; и С'.
Рассмотрим распад частицы А в конечное состояние В. Как
ΨΑ, так и ΨΒ являются собственными функциями гамильто-
ниана сильного (+ электромагнитного) взаимодействия Hs. Бу-
дем характеризовать конечное состояние В величинами спина
и импульса; оно также является out-состоянием, поскольку
асимптотически (в отдаленном будущем) стремится к состоянию
плоской волны, описываемому переменными {р, s]. Ожидаемое
значение наблюдаемой величины О, например, / · р, pi ■ р2 X рз
и т. д., дается выражением
2~п; Σ Σ О (р, s, а) | Ψ«* (ρ, s), Η„ΨΑα |2
(О) = A , ° p^f „ —. (30.35)
2s, + 1 Ll2a
о p,s
|(чГ(Р.*)."Ло)|2
*) Инвариантность относительно обращения времени проверялась с по-
мощью принципа детального равновесия в реакциях p+t->d+d [12] и
Cl2+a->N14+rf [13]. Анализ рр-рассеяния [14, 15] дает такой же предел
для членов в амплитуде, нарушающих 7"-инвариантностъ (~3%). Этого еще
недостаточно для заключения, что Τ сохраняется при электромагнитных
взаимодействиях сильно взаимодействующих частиц.
**) Этот анализ следует анализу Ли, содержащемуся в некоторых его
неопубликованных лекциях.

552
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. iv
Знаменатель здесь является просто нормирующим множите-
лем, поэтому в дальнейшем он будет опускаться.
Если в конечном состоянии В имеются частицы, обладающие
электромагнитными или сильными взаимодействиями, как, на-
пример, в реакциях
η —> ρ + er + ν
или
Λ°-> ρ + π~,
то величина (Ψβ", Η^α) будет комплексной. Фактически
№(/>, S), HwVAo) =
= Σ№(Ρ. s), 4T'(/, m))№(/, m), ВД4
Jm
Поэтому с помощью тех же аргументов, которые привели
к (26.36), можно доказать, что фаза (Ψβ"'(/,/η), #ο,Ψ>κ,) является
просто фазовым сдвигом при рассеянии сильно взаимодействую-
щих частиц в конечном состоянии. Таким образом,
№(/>. s), ЯА,) =
= Σ№(Ρ. s), Ф?(], т)Уб>х\Пи'(1, т), HwVAo)\^
Jm
= 2УС/М(/, p, s, σ). (30.36)
Следовательно,
(0)~ΣΣΣθ(ρ, s, o)ea'M(J, p, s, o)e-tb''M\f, p, s, σ>
psa J у
Из (30.32) вытекает, что
Μ (J, ρ, s, a) = 2CiMi+)(/, p, s, o) + 2CtM(r)(J, Ρ, s, a),
l i
т. e.
<0>~ ΣΣΣ 0(p, s. σ)β'(β'-β'') [CiC] M\+)(J, p, s, a) x
psa 11' Ц
XMj+)*(A P, s, o) + CiC?M\+)(J, p, s, a)M(rY{j', P. s, σ) +
+ C'iC*lM'f)(J, p, s, a)M\+)'(j', p, s, σ) +
+ С-С'1'м<Г)(1, ρ, s, σ)ΜΓ'*(/', Ρ, s, о)}. (30.37)
Существуют различные виды корреляций О (р, s, σ), которые
измеряются на опыте. Они могут быть как четными, так и не-
четными при обращении движения, т. е. при замене знаков у
векторов импульса и спина; они также могут быть как четными,
так и нечетными при пространственной инверсии, т. е. при за-

ГЛ. 30] ЧЕТНОСТЬ. ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ. ОБРАЩЕНЫL· ВРЕЛШНИ 553
мене знака только у импульса. Обозначим их следующим об-
разом:
£(+) = А'Р2. 5,-52>
£(~> = S-p, (30 38)
0(+) = S./7IX/72, S,.52X53,
0<-> = ρ, · р2 х /73,
где верхние индексы описывают их свойства при преобразова-
нии четности. Покажем теперь, что величины M^iJ, ρ, S, о)
обладают такими свойствами, что (£(±)) и (0(±)) образуют раз-
личные, хорошо определенные билинейные комбинации С,·. Пер-
вое очевидное свойство состоит в том, что
M\±}(J, ρ, s, o)=±M(r)(J, -p, s, о). (30.39)
Другое свойство
.Mi±r(/, p, s, σ) = Μ(Γ4Ι, - P. ~s, — σ) (30.40)
следует из инвариантности Hi относительно обращения вре-
мени. Поэтому имеем
2Ли(Г>(/, ρ, s, ο) = (Ψ2*(ρ, s), Я(Г^л,с) =
j
= №'(р, s), T-WPtVaJ-
= K"'(P, s), tffW^J-Wi-P. -s), Я(Г^л.-0)' =
^W(-P, -s), %n(J, m))*W(/, m), #№._„)· =
Jm
= 1еШ'№в(-р, -s), ΨΒ(/. m) )*№(/. т), #(Γ>ΨΛ -α)*,
(30.41)
откуда вытекает требуемый результат. Эти два свойства сим-
метрии могут быть использованы для преобразования выраже-
ния (30.37). Получим
<ο)~2Σ^(6/-δ/,)Χ
л- и
XiCiC,'20(/J, s, a)M\+)(J, ρ, 5,с)М\+)(Г, -ρ, -s, -σ) +
+ C/C; SO(p, s, or)M(i+)(/, p. s, o)Mi_)(/'. -P. -«. -σ) +
pso
+ Cic)J20(p. s, a)Mi_)(/, p, s, a)M\+)(J', - P, - s, - a) +
pstf
+ CicfSO(p. s, σ)Μ|-)(/, ρ, 5, a)Ai}~V. - Ρ, - s, - α)\ .
(30.42)

584 СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 14. IV
Рассмотрим теперь наблюдаемую величину типа 0(+), как, на-
пример, S ·ρ\ Χ р2. Она обладает свойством
О (—р, -s, —σ) = - О (р, s, о). (30.43)
Отсюда следует, что:
1. Во втором и третьем членах в формуле (30.42) сумма по
ρ содержит три члена, два из которых четны при р-*-*—р, а один
нечетен. Таким образом, коэффициенты при членах, содер-
/*
жащих интерференционный член CiC] (или ему комплексно
сопряженный), обращаются в нуль. Поэтому измерение 0(+>-
корреляции, как ранее указывали Ли и Янг, не дает никакой
информации относительно сохранения четности.
2. Оставшиеся два члена могут быть с помощью (30.43)
приведены к виду
]]' К II psO
X(M\+)(J, ρ, s, ο)μ\+)(Γ, -ρ, -s, -σ)-
- Mi+)(/, - Ρ, ~ s, - ο)Μ(,+)(Γ, ρ, s, a)) + J] C'tCf .. . ) ~
~ τ Σ Σ icos (δ/ _ δ/,)+l sin (δ/ ~б/,)] КС|С'+
+ C,C,) + (CiC', - ClCt)] 2 Oi+)(p, s, a) X
X M+)(/. p, s, о)м|+)(/'. - Ρ, - s, - σ) -
-Mi+)(/, -ρ, -s, -о)М(,+)(Г, р, s, σ)}+ ...
Следует отметить, что сумма 2 в этом выражении антисиммет-
psc
рична относительно одновременной замены /■*-*■/, /■*-*■/'. Следо-
вательно, коэффициентами в этой сумме являются величины
cos (в/-fir) (GCj-dC/)
и
sin (б/ -бЖС/^ + С^сД
Таким образом, наблюдение корреляции типа S · pi X р2 свиде-
тельствует либо о нарушении инвариантности относительно Т,
если отлична от нуля комбинация {CiC) — CiCj), либо о ее со-
хранении, если отлична от нуля разность (б/ — б/'), т. е. при на-
личии взаимодействия в конечном состоянии. При пион-нук·
лонном рассеянии, в котором такая корреляция наблюдается,

ГЛ. 30] ЧЕТНОСТЬ. ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 555
справедливо последнее заключение. Однако если бы такая кор-
реляция наблюдалась при распаде
К+ — π° + μ+ + ν,
то можно было бы заключить, что нарушается инвариантность
относительно Т.
Другие наблюдаемые величины могут быть исследованы ана-
логичным образом. Подытожим эти исследования в табл. 9,
в которой выписаны симметрии, нарушающиеся при наблюде-
нии корреляций, отмеченных над колонками. Две строчки обо-
значают, зависят ли наблюдения от наличия взаимодействия в
конечном состоянии или нет.
Таблица 9
cos [bj — 6j,)
(имеется и при отсутствии взаимо-
действия в конечном состоянии)
sin (bj - δj,)
(зависит от силы взаимодействия
в конечном состоянии)
£(+)
-
т, с
£<->
Р, С
Ρ, Τ
о<+)
т, с
о(-»
Ρ, Τ
Ρ, С
Настоящий обзор включает все выполненные проверочные
эксперименты^ кроме тех, которые основаны на странном пове-
дении К0- и ^°-мезонов во время распада; им будет посвящена
гл. 32. Мы должны теперь обсудить результаты экспериментов,
предложенных Ли и Янгом и их последователями.

Глава 31
ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β-РАСПАДЕ
Первый эксперимент, предложенный для проверки сохра-
нения четности в слабых взаимодействиях, с технической точки
зрения является самым трудным. Он состоит в изучении корре-
ляции между направлениями импульса электрона и поляриза-
ции распадающихся ядер, т. е. члена типа (J) · р. Этот экспери-
мент был осуществлен в Национальном бюро стандартов By,
Амблером, Хэйвордом, Хоппсом и Гудзоном [1, 2], которые по-
ляризовали ядра Со60 и измеряли корреляцию между импуль-
сом электрона и магнитным полем, вызывающим поляризацию.
Из-за малости магнитных моментов ядер ~ (eh/Mpc) для ори-
ентации их спинов требуются поля огромной напряженности.
Такие поля создаются разделением электронов в незаполнен-
ных электронных оболочках парамагнитных солей. Необходи-
мость проведения этого эксперимента при низких (0,01° К)
температурах дополнительно усугубляет трудности.
Ядро Со60, использовать которое предложили Ли и Янг, рас-
падается в возбужденное состояние ядра Ni60. Последнее пе-
реходит в основное состояние посредством двух последователь-
ных γ-переходов (4+ —* 2+ —»■ 0+). Для ориентированных ядер
угловое распределение γ-лучей относительно направления по-
ляризации задается выражением
W(Q)= A + Bcos26 + Ccos46. (31.1)
При электромагнитных взаимодействиях четность сохраняется,
поэтому в (31.1) входят только четные степени cos θ. Величину
W(nl2)-W(0)
W (π/2)
можно рассматривать в качестве меры поляризации ядер. Кор-
реляция между поляризацией ядер Со60 и импульсом электрона
определяется выражением
°* = (2яУ ^ ["Г CtU ^ °kV (pJ + Τ C'TU № σ*Υ5υ (pv) +
+ CA» (Pe) VftY5f (Pv) + С'Ай (Ре) ykV (Pv)] , (31 -2i

ГЛ. 31] ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ В-РАСПАДЕ 557
являющегося разновидностью выражения (29.10) с добавлен-
ными псевдоскалярными членами, так что
и опущенными членами Ферми, так как β-распад ядра Со60
является переходом 5+—>-4+. Непосредственное вычисление, ко-
торое слишком громоздко, чтобы его приводить здесь, показы-
вает, что: а) зависящие от энергии (~те1Ее) интерференцион-
ные члены Фирца пропорциональны теперь Re \CaC't — СаСт),
и именно этот коэффициент оказывается равным нулю в пре-
делах ошибок эксперимента; б) угловое распределение элек-
тронов относительно направления поляризации задается выра-
жением *)
U7£(e)=l+acose, (31.3)
где Θ —угол между направлением спина ядра и импульсом
электрона (cos6= pe'j ) и**)
е \cTf + \c'T\>+\cAf+\cAr (alA)
Здесь ve — скорость электрона, а Р — величина поляризации
ядра Со60.
Угловое распределение электронов измерялось в этом экспе-
рименте в присутствии ориентирующего магнитного поля, на-
правление которого менялось на противоположное. Результаты
измерений, представленные на рис. 104, указывают на то, что
анизотропия в испускании γ-квантов разрушается в течение пяти
минут из-за деполяризации, вызванной тепловым движением,
а коэффициент асимметрии в испускании электронов ведет себя
сходным образом, причем электронное распределение следует
за направлением магнитного поля.
Поскольку в этом эксперименте ve «= 0,6, а величина поляри-
зации — 60%, то измеренное значение
a ~ —0,4
*) Полный расчет приведен в [3] Использованные там метрика и пред-
ставление γ-матриц отличаются от принятых здесь.
**) Из-.i.i сдел иного выбора метрики коэффициенты Ct отличаются от
коэффициентов, определенных Ли и Янгом: C's = — (C's\ y.C^,= —(c(,) ,
С'т= ~ (С'т\. γ;С'а = К\. у:С'р = ~Κ\. у; Отметим,'чтоСА--(СА)Ц γ}
остальные же нештрихованные коэффициенты совпадают.

S58
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
о г
4 6 в Ю 12 /4 16 18
Время, минуты
Рис. 104. ^-анизотропия и β-анизотропия как
функции времени.
Верхний рисунок: гамма-анизотропия (с — экваториальный
счетчик, б —полярный счетчик). Средний рисунок: гамма.
, / W (π/2) - W (0) \
анизотропия, вычисленная по а н б ( е = ' —I
для обоих значений (наивысшего и иаинизшего) напря-
женности поляризующего поля. Нижний рисунок — β-анизо-
тропия. Подсоев образца Со60 приводит к деполяризации
в тегение примерно пяти минут [1].

ГЛ. 31]
ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β-РАСПАДЕ
559
свидетельствует о том, что
2Яе{стС,;-САС'^)
\Ст? + \с'т\2 + \СА? + \с'А\*
1. (31.5)
В выражение (31.4) не был включен член, описывающий
взаимодействие в конечном состоянии, в данном случае куло-
новское. Поскольку наблюдаемый эффект велик (|а|*»0,4
вместо 0.4Ζ/137), он в действительности не зависит от взаимо-
действия в конечном состоянии. Следовательно (см. табл. 9),
в данном случае нарушается симметрия относительно Ρ и С.
Столь сильный эффект не позволяет наблюдать наличие члена,
зависящего от Ζ, что могло бы дать информацию о нарушении
симметрии относительно Т.
Если предположить, что симметрия относительно Τ сохра-
няется, то константы связи будут вещественными. Тогда как
отсутствие членов Фирца, так и результат (31.5) можно объяс-
нить, если положить либо
С„ = Сл = 0, Ст = С'т, (31-6)
либо
Сг = Сг = 0, Са=-С'а, (31.7)
в результате чего в части р-взалмодействия типа Гамова — Тел-
лера
у Ст (ψΡσ«Ρ·ψ „) (^σαρ (1 + ν5) Ψν) + С α (ΨΡΥαΥ5ψ«) (ψ*Υα (1 - Ys) Φ»)
(31.8)
будет присутствовать только один член.
Такой неожиданный переход от эксперимента к обсуждению
специальных форм гамильтониана взаимодействия сделан из
соображений теории. Матрицы 1 ± \5 обладают весьма специ-
фическими свойствами. Поскольку
'-ψ, (31.9)
Ш
то они являются проекционными операторами. Если взглянуть
на выражения (2.48) — (2.51), то видно, что комбинация -g- (1 ±γ5)
является проекционным оператором для положительных (отри-
цательных) состояний спиральное™ частиц с нулевой массой.
Поэтому из формул (31.6) и (31.7) следует, что в слабых
взаимодействиях участвуют нейтрино только одной спираль-
ности. Такая теория двухкомпонентного нейтрино *) требует
*) Обычная частица со спином '/г. подчиняющаяся уравнению Дирака,
описывается четырехкомпонентным спинором.

560
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
несохранения четности, поскольку при пространственном отра-
жении знак спиральности меняется.
Выражение (31.8) можно переписать в виде
j Ст (ψρσ°Ρψ„) (φβ (1 + γ5) σα0ψν) + СА (%уа\5%) (ψ, (1 + γ5) γαψν).
(31.10)
В обоих членах в формуле (31.10) электронный оператор яв-
ляется сопряженным оператору (1—Υ5)ψρ(*). Появление ком-
бинации (1 —γδ) свидетельствует о том, что электрон при рас-
паде будет поляризован. Среднее значение продольной поляри-
зации электрона
<σ·ρ> =
2 «(г)+ (Р) (1 - Ys) σ · РО ~ Ys) «W (Ρ)
2«(Λ)+(Ρ)(1-Υ5)(1-Υ5)«("(Ρ)
Sp{(l-Y5)g-p(l-Y5)[Q3 + m)/2w]y°}= Ap -pftn
Sp{(l-V3)(l-Y5)[(p + "i)/2m]v0} 4EJm
. (31.11)
Две возможности (31.6) и (31.7) для эксперимента с ядрами
Со60 графически представлены на рис. 105.
На этом рисунке отображен тот экспериментальный факт,
что в обоих случаях импульс электрона стремится располо-
житься в направлении, противопо-
ложном спину ядра Со60. В распаде
[5+ —>-4+] одна единица момента
должна уноситься двумя лептонами.
Если электрон обладает отрицатель-
ной спиральностью, то из закона
сохранения момента следует, что
нейтрино, вылетающее в том же на-
правлении, что и электрон (при тен-
зорном взаимодействии корреляция
равна (l +"§" Pg£j)' бУДет иметь
Рис. 105. Схематическое изо-
бражение распада Со60 при
а) тензорном взаимодействии и
б) аксиально векторном взаи-
модействии.
отрицательную спиральность; ней-
трино же, вылетающее в противо-
положном направлении, т. е. при
аксиальном взаимодействии, будет
обладать положительной спираль-
ностью.
Предсказание того, что электроны, участвующие в р-рас-
паде, обладают максимальной спиральностью — v/c, было впер-
вые обнаружено в распаде ядра Со60 Фрауенфельдером и дР·
[4, 5]. Относительно медленные электроны (с энергией порядка

ГЛ. 31] ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β-РАСПАДЕ 561
100 кэв) отклонялись электростатическим полем *) на угол не-
многим более 90е, в результате чего первоначально продольно
поляризованный пучок становился поперечно поляризованным.
Поперечная поляризация измерялась затем по рассеянию элект-
ронов в обратную полусферу на веществе с большим Ζ.
Существуют и другие способы измерения продольной поля-
ризации электрона без превращения ее в поперечную. Как мы
уже отмечали в части, посвященной электродинамике, продоль-
ная поляризация может быть измерена при меллеровском рас-
сеянии на мишени, содержащей электроны, поляризованные
либо в направлении линии соударения, либо в противополож-
ном. Эта техника использовалась для определения величины и
знака спиральности электронов при других переходах типа Га-
мова — Теллера. Такие же результаты могут быть получены
на экспериментальных установках, основанных на том, что тор-
мозное излучение продольно поляризованного электрона имеет
тоже продольную поляризацию (гл. 12). Спиральность фотонов
может быть измерена при рассеянии их на поляризованных
электронах.
Следует отметить, что наличие оператора (1—γ5)ψ6(λ')
предполагает, что при β^ρβ^βΛε позитроны имеют спираль-
ность + v/c, в чем можно убедиться, если и{р) в (31.11) заме-
нить на v(p). Этот вывод был подтвержден в тонком экспери-
менте Пейджа и Хейнберга [6], которые изучали распад ядра
Ма22 в (3+ —► 2+) -переходе. Графическое изображение на рис. 105
показывает, что позитрон имеет положительную спиральность,
а нейтрино, испущенное в позитронном распаде, обладает спи-
ральностью, противоположной спиральности нейтрино, испу-
щенного в электронном распаде. Это будет справедливо, если
окажется, что в формуле (31.8) только один из двух членов ве-
рен. Тогда нейтрино необходимо описывать двухкомпонентным
спинором (только одно состояние спиральности), а антиней-
трино— двухкомпонентным спинором с противоположным со-
стоянием спиральности.
Рассмотрим теперь эксперименты с переходами типа Ферми.
Одним из них является изучение перехода 0+ —* 0+ при распаде
Ga66->Zn66. Фотоны, возникающие при аннигиляции позит-
ронов, рассеивались поляризованными электронами, и было
Установлено, что спиральность позитрона близка к +v/c.
Из этого следует, что электронный оператор входит в часть
типа Ферми гамильтониана слабого взаимодействия тоже
только в комбинации (1—γ5)ψε· Иначе говоря, необходимо
Рассматривать комбинацию
___С5 (фр1Ь) (ф, (1 + у5) цд + Cv (фру"гр „) (ф.у» (1 -ν5)Ψν) (31.12)
I *) Магнитное поле вращало бы спин.
I
36 С. Газиорович

562
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
с двумя альтернативными возможностями (в теории двухКом
понентного нейтрино): либо
либо
Cv=0.
Рис. 106. Спиральности
при переходах Ферми.
(31.13)
(31.14)
Если пытаться следовать идее двухкомпонентного нейтрино,
то необходимо проверить, одинаковой ли спиральностью или нет
обладают нейтрино, испускающиеся в переходах типа Ферми и
Гамова — Теллера. Для этого следует изучить переход, содер-
жащий как член Ферми, так и член Га-
мова — Теллера, и выяснить, имеется ли
между ними интерференция. Ясно, что
если нейтрино обладают противополож-
ными спиральностями, то амплитуды ти-
па 5 и (или) V не могут интерфериро-
вать с амплитудами типа Τ и (или) Л.
Если нарисовать схематическую диа-
грамму с указанием спиральностей и
электрон-нейтринных корреляций (рис.
106), аналогичную диаграмме на рис. 105,
то из нее будет видно, что интерфе-
ренция имеет место только в том слу-
чае, когда имеются обе амплитуды типа S и Τ и (или) обе
амплитуды типа V и А. Необходимо изучить переходы с Δ/ = О
(0+ -* 0+) и сохранением четности. В этом случае корреляция
между импульсом электрона и поляризацией ядра должна со-
держать член, дополнительный к (31.4) и описывающий только
переходы типа Гамова — Теллера. Этот член включает комби-
нации CsCt и CvCa- Поскольку лишь немногие распадающиеся
ядра легко поляризуются, следует использовать другую экспе-
риментальную технику [7, 8]. Если исходные ядра не поляризо-
ваны, после излучения β-лучей они поляризуются, и если по-
том происходит γ-распад, то измерение спиральности фотона
дает значение этой поляризации. Корреляция между спином
фотона S и поляризацией (/) соответствует сохранению четно-
сти при радиационном распаде, поскольку S · J — скаляр-
Иными словами, измерение {ре ■ S) эквивалентно измерению
(pe'J). Изучение распада ядра Sc46(4't —► 4+) с последующим
радиационным переходом в основное состояние (4+ —* 2* -* 0+)
показало, что интерференция между переходами типа Ферми и
Гамова — Теллера существует [9]. На основании двухкомпонент-
ной теории нейтрино для этого имеются две возможности: ин-
терференция либо членов типа
5 И Г,

ГЛ. 31]
ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β-РАСПАДЕ
563
либо членов типа
V и А.
В гл. 29 отмечалось, что с учетом экспериментов по элект·
рон-нейтринной корреляции верной является вторая возмож-
ность.
Решающий эксперимент, в котором непосредственно измеря-
лась спиральность нейтрино, подтвердил (V — Л)-форму β-взаи-
модействия [10]. Идея эксперимента состоит в следующем.
Рассмотрим электронный захват из /(-оболочки
е-(К) + Л(0) -»β*(1) +ν,
в котором исходные ядра обладают спином 0, а ядра после
реакции находятся в возбужденном состоянии со спином 1.
Ядра В*(1) и нейтрино движутся в противоположных направ-
лениях, и из закона сохранения момента следует, что их спи-
ральности одинаковы. Если теперь возбужденное ядро радиа-
ционно распадается
5*(1)-*(β)0 + γ,
то фотон будет поляризован по кругу и его спиральность будет
совпадать со спиральностью нейтрино в том случае, когда на-
правление его движения противоположно направлению движе-
ния нейтрино. Измерить спиральность фотона относительно
просто, определить же направление импульса нейтрино затруд-
нительно. В эксперименте измерялось направление движения
ядер В*(\). Если обозначить через Δ.Ε разность энергий В*(1)
и В(0), через ρ импульс ядра В*(1) и через θ угол между на-
правлением излучения фотона и направлением движения ядра,
то из закона сохранения энергии и импульса можно написать
выражение для энергии фотона:
еу = ае + ^^-Щ.. (31.15)
Если фотон с такой энергией сталкивается со стационарным
ядром В(0), то он резонансно поглощается им, причем ядро
β(0) переходит в возбужденное состояние В*(1) при условии,
что энергия фотона меньше, чем энергия распада ядра В(0),
т. е. разность
р2 рДЯсозв (Δ£)2
ν ™Β Δ£+ мв мв
снова равна ΔΕ. Следовательно, условие резонансного погло-
щения или резонансного рассеяния состоит в том, чтобы
pcosQ^AE. (31.16)
36*

564
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
Если импульс р, совпадающий также с энергией нейтрино, ра-
вен энергии фотона, то из условия резонансного рассеяния сле-
дует, что фотон должен двигаться в направлении, противопо-
ложном направлению движения нейтрино.
Голдхабер и др. довольно неожиданно обнаружили ядро,
Ей152(О-), которое после /С-захвата переходит в возбужденное
ядро Sni152(l-); последнее же распадается в основное состояние
0+. Энергия нейтрино *» 900
,* +
/i*"t ппф» О—
-*~у>.
-о-
■**»р
л*+
а)
Л*
О
■*~Vb
/""
-о-
-ж
б)
кэв, а Δ£ ~ 960 кэв, так что
круговая поляризация фото-
на не совсем стопроцентная.
Было обнаружено резонанс-
ное рассеяние и измерена
спиральность фотона, в ре-
зультате чего был сделан
вывод, что излучаемые ней-
трино имеют отрицатель-
ную спиральность, так что
β-взаимодействие относится
к аксиальному типу. Если
следовать двухкомпонент-
ной теории нейтрино, то
необходимо заключить, что
это взаимодействие явля-
ется комбинацией только
векторного и аксиального
членов.
Прежде чем обсуждать
относительную величину и
фазы коэффициентов Cv и СА, рассмотрим подтверждение двух
компонентной теории, полученное при изучении цепочки рас-
падов
π—>μ + ν
I— > e + ν + v.
Ли и Янг предположили, что в результате несохранения
четности при π-распаде мюон будет обладать продольной по-
ляризацией, а в результате несохранения четности при распаде
мюона возникнет корреляция между направлением движения
электрона и поляризацией мюона. Из двухкомпонентной тео-
рии нейтрино следует, что величина поляризации мюона равна
±v/c [11 —13]. Имеются два варианта распада пиона, изобра-
женные графически на рис. 107. Если μ+ испускается с та-
ким же нейтрино, как и е+ при β-распаде, то схема а) верна.
Используя зависимость μ~-элeκτpoнIIOгo рассеяния (с поляри-
зованными электронами) от спина или зависимость от спина
Рис. 107. Две возможные схемы рас-
пада п~ в μ- и v.
Спиральности должны всегда быть одинако-
выми, что следует нз закона сохранения мо-
мента импульса, а соотношение между я+ и я-
вытекает из теоремы СРТ.

ГЛ. 311 ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β РАСПАДЕ 565
кулоновского рассеяния мюонов, удалось измерить спираль-
ность μ-мезона при jr-распаде [14, 15]. Оказалось, что μ-мезон
обладает правовинтовои спиральностью, т. е. справедлива
схема а) *).
Этот результат согласуется с идеей сохранения лептонного
числа. Если считать, что vi., излучающееся при позитронном
β-распаде, — лептон, а е+ — антилептон, то vR, появляющиеся при
распаде нейтрона (п —>· ρ +
+е~ + у), будет антинейтри-
но. Пион, не имеющий леп-
тонного числа, должен рас-
падаться на лептон и анти-
лептон. Поскольку vL — леп-
тон, то μ+-Με30Η, как и е+,
должен быть антилептоном.
Эту идею можно прове-
рить на распаде
μ+ —» е+ + ν + v.
Согласно двухкомпонентной
теории нейтрино с сохране· ^
нием лептонного числа ОД- Рис. 108. Две возможные схемы для
НО ИЗ нейтрино ДОЛЖНО быть μ-распада: а) с сохранением лептонного
правовинтовым, а другое — числа и б> без с°^янения лептоннсго
левовинтовым. Способ ка-
чественной проверки этого
результата можно получить из рассмотрения схем (рис. 108),
на которых учтен тот экспериментальный факт, что при
р+-распаде е+ излучается преимущественно в направлении,
противоположном направлению движения [16, 17]. Из рисунка
видно, что при несохранении лептонного числа трудно удо-
влетворить закону сохранения момента в случае, когда направ-
ления движения электрона и двух нейтрино коллинеарны. Та-
кая конфигурация соответствует вершине электронного спект-
ра, и если бы изучались два vR или два vl, то при больших
энергиях наблюдался бы спад в спектре. Такой спад не наблю-
дается (рис. 109).
и* < —М>
г £»
я
VR
. VR
^U^
1 шщ> у
а)
1 шф»}-
е*
е*
числа.
Индекс у μ обозначает спии.
*) Оператор мюона ψ(*) может входить в гамильтониан взаимодействия
в любой из двух форм (1±у5)'ф(л:), причем в обоих случаях знак спирально-
сти при распаде пиоиа будет фиксирован, что следует из величины спираль-
ности нейтрино и закона сохранения момента. Если бы у мюона не было
массы, то форме (1—Υ5)Ψ(*) соответствовала бы определенная спираль-
иость. Электрон в распаде л±-*-е±+х почти не обладает массой: комбина-
ция (1—Vs) требует, чтобы е~ был правовинтовым, а величина спирально-
сти ν, — чтобы он был левовинтовым. Распад происходит только потому, что
2
е обладает массой и постоянная распада пропорциональна m .

566
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
К сожалению, подобный эксперимент, проведенный Гарвином
и др., очень сложен и его трудно описать. В этом экспери-
менте мюоны, излученные в направлении движения распадаю-
щихся пионов, замедлялись в графите. Магнитное поле, пер-
пендикулярное направлению движения, вращало мюоны с
частотой, определяемой их магнитным моментом. Если мюон
го зо 40
Инпульс позитрона, Мзб/с
50
Рис. 109. Экспериментальный позитроиный спектр в реак-
ции μ+ -> е+ + ν + v.
Стошная линия соответствует теоретически предсказанному спектру,
полученному при помощи гамильтониана (31.8) с учетом электромаг-
нитных поправок [18].
поляризуется (не сохраняется четность при распаде пиона) и
существует корреляция между направлением движения пози-
трона и направлением поляризации (четность не сохраняется
при распаде мюона), то в спектре позитрона должно проявиться
вращение мюонов. Спектральная интенсивность позитрона
в данной точке должна иметь вид
/ + (0 = е~и [1 + or cos (ω/ + φ)],
(31.17)

ГЛ. 311 ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β РАСПАДЕ 567
где ω = geB/2muc {g — гиромагнитное отношение мюона)— ча-
стота прецессии, φ — некоторая фиксированная фаза, постоян-
ная в эксперименте, л(г<11)—множитель деполяризации и
а — множитель, характеризующий асимметрию при распаде
мюона. Гарвин и др. не исследовали зависимость интенсивно-
сти от времени, а включали счетчики в определенный момент
времени и изменяли напряженность магнитного поля. Спект-
ральная интенсивность после прихода мюона в графит изменя-
лась синусоидально с изменением напряженности. Из величины
периода следовало, что g ~ 2. Интересный побочный результат
данного эксперимента состоял в том, что впервые удалось опре-
делить значение g для мюона. Это измерение свидетельствует
о том, что если магнитный момент сохраняется, то мюон может
взаимодействовать только через слабое или электромагнитное
взаимодействие. Таким образом, мюон является просто тяже-
лым электроном. Деполяризация μ+ в графите сравнительно
мала, и величина параметра ос, характеризующего распад
мюона, оказалась близкой к —1/3. Недостаток места не позво-
ляет привести подробный вывод выражений для энергетиче-
ского спектра электронов и углового распределения относи-
тельно направления поляризации мюона*). Этот вывод, прин-
ципиально простой, показывает, что при значении а ~ —1/3
величина Cs в наиболее общей форме гамильтониана взаимо-
действия в двухкомпонентной теории нейтрино
CS($v(l +Υ5)Ψμ)(Φβ0 -ν5)Ψν) + <?Κ(ψννα(1-ν5)Ψμ)(^να(1-Υ5)Ψν)
мала. Таким образом **),
&» (x) = -—Gv. (ΨνΥα (1 - Ys) Ψμ) (Ψ*Υα (1 - Ys) Ψν)· (31-18)
Это выражение необходимо теперь сравнить с гамильтонианом
взаимодействия при β-распаде, записанном в виде
у=- (СуЦрУ^п + <^ψρΥαγ5Ψ«) (ψ*Υα (1 - Ys) Ψν)· (31.19)
Сходство между ними удивительное, и остается только опре-
делить численные значения трех констант, входящих в соот-
ношения (31.18) и (31.19).
*) Эти выкладки представлены d [3].
**) Множитель 1/К 2 введен для компенсации множителя 2, возникаю-
щего при возведении в квадрат ψ,γα(1 — Υ5)Ψν·

568
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. TV
Величина Gu определяется по времени жизни мюона. По-
стоянная распада дается выражением
Г _/9,τΥ1 (2π)3 { \ ( d2Pe d3Pvl d3pv2 MP η η — л ΙΥ
2спИ £μ/'"μ J J J Eelme 2Pv! 2f>v2
X -j^s- 4~Tv SP ((I + Ye) V/VY^) Sp ((1 + γ5) YaPv.Yp/U,
где масса электрона те в матричном элементе положена рав-
ной нулю. Шпур легко вычисляется и в результате получим
4£μπ3 J J J 2Ee 2ρυν{ 2ρν2
Расчеты упрощаются, если заменить d3pv2/2Pv2 на α*Ρν2Β(Ρ%)Χ
Χδ(ρ*2) и исключить pvr Переходя в систему отсчета, в ко-
торой мюон покоится, т. е. раскрывая аргумент δ-функции,
имеем
- PePvl C0S θ,ν) mv.P* (^ К ~ »W\l)·
Интегрирование по углу между направлениями движения элек-
трона и нейтрино дает следующие пределы интегрирования
по рУ1 и ре:
2
Окончательно
^-mu-£e<pvi<TmP' °<Ρ*~ £{<т-тц.
1 192π3 192π3 /MY» 1
Т^_ Г Г32„5 ,„ „2.2
(—Υ —, ' (31.20)
Γμ 0>μ (G»M )
где М — масса протона. Из численного значения
τμ = 2,2· 10"6 се/с
получим, что
βμΜ2 = 1,02-10~5. (31.21)
Величины Cv и СА для β-взаимодействия определим по по-
стоянным распада чистых переходов типа Ферми, дающих зна-
чение Cv Наиболее удобными для этого являются ядра О14,
распадающиеся в N'4*. Данный переход является переходом

ГЛ. 311 ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β-РАСПАДЕ 569
0+-*0+, а О14, Ν14* и С14 образуют изотопический триплет.
Энергия, высвобождающаяся при ядерном β-распаде, обычно
настолько мала, что отдачей ядра можно полностью пренебречь.
Матричный элемент такого перехода имеет вид
так что после несложного вычисления шпура получим
Теперь можно определить
спины
Дельта-функция, описывающая сохранение импульса, пропадает
после интегрирования по импульсу ядра. Энергия же отдачи
ядра мала, поэтому она не входит в о-функцию, описывающую
сохранение энергии. В результате имеем *)
2 "макс
о
-■sIkV" «iVW^M- (31·22)
Отметим, что произведение F (η0)τ характеризует силу связи.
Для распада О14 Δ£ = 2,32 Мэв, а измеренное значение **)
F(Tb)Tln2 = 3075± 10 сек.
Для определения CV[19] необходимо знать величину |(Ψ№«,
β+αρΨ0„)|2. Комбинация оператора а%ар является просто
*) Непосредственное интегрирование дает
где η0 = /(A£/me)2-l.
**) Период полураспада принято использовать в так называемых
/'-значениях. Поскольку 7\j =τ!π2, возникает множитель F τ In 2.

570 СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕНСТВИЯ [Ч. IV
оператором понижения заряда; фактически она эквивалентна
выражению *)
afr-aN = \ α+ (τ, - h2) αΝ = (Г, - iT2)N = {T_)N « Г_.
Предполагая теперь зарядовую независимость при ядерном пе-
реходе, получим
(Ψνη», Γ_Ψ0,4) = <Γ=1, Т3 = 0\Т_\Т=\, Г3=1>=1 2.
Следовательно,
{CvM2f = π3 (—) -^ 7(4o)Tin2"
или
CVM2« 1,01 ·10~5. (31.23)
Равенство CV и Ομ весьма примечательно. Если учесть электро-
магнитные радиационные поправки при распаде мюона и куло-
новские поправки при распаде 0м, то получим
°»~Cv -* 0,025. (31.24)
Ομ
Остается определить константу СА. Вычисление периода полу-
распада нейтрона, измеренное значение которого равно 11,7 мин
[20], приводит к
С,
1,18 + 0,02. (31.25)
cv
Знак константы СА был найден с помощью тщательного
исследования распада поляризованных нейтронов. Недостаток
места не позволяет привести подробности вычислений, которые
показывают, что коэффициент (/„ · ре) в дифференциальной ве-
роятности распада пропорционален
ICaf + ReCvC/.
Из измерений следует, что этот коэффициент близок к нулю,
т. е. константы СА и Cv имеют противоположные знаки. В этом
же эксперименте была сделана безуспешная попытка обнару-
*) В действительности Т-, понижающий оператор полного изотопиче-
ского спина, содержит вклады от мезонного поля ядра, так что, строго го-
воря, Г_ = α%αρ + мезонные члены. Подобную идентификацию можно де-
лать только в том случае, когда мезониые члены несущественны. В гл. 34
мы увидим, что в матричный элемент на самом деле входит ие ап а„, а Г_.

ГЛ. 31]
ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ р-РАСПАДЕ
571
жить корреляцию типа (/„ · ре Χ ρν). Как указывалось в гл. 30,
это свидетельствует о том, что инвариантность относительно об-
ращения времени в этом распаде не нарушается*).
Форма гамильтониана взаимодействия при β-распаде поэто-
му имеет вид
уТ СУ($РГ(1 - 1,18γ5)Ψ«)(Ψ*να(1 -ν5)Ψν)· (31.26)
Сходство ее с соответствующей формой для распада мюона
(31.18) весьма обнадеживающее, поскольку оно говорит о су-
ществовании некоей «универсальности» для всех слабых взаимо-
действий. Очень заманчиво предположить, что гамильтониан
для всех слабых взаимодействий может быть представлен в виде
nw = -^=\ d3xJa (x) Ja+ (x), (31.27)
где
/a(*) = qVYaO -YsHv + llVYaO ~ Y5) Ψν + ΨηΥα (1 -Υ5Ηρ + ·■·
(31.28)
В этом случае мы имеем теорию Ферми, однако с оговоркой,
что все встречающиеся спиноры должны быть вида (1 — γ5) ψ.
Такая привлекательная форма гамильтониана предлагалась на
основе различных (не противоречащих друг другу) теоретиче-
ских предпосылок еще до полного экспериментального выясне-
ния данного вопроса [23—27]. Необходимо сделать несколько
замечаний относительно формы (31.27).
1. В ток Ja дают вклад и другие члены, поскольку суще-
ствуют распады со слабым взаимодействием, не рассмотренные
еще нами, такие, как распады странных частиц. Структура этих
членов будет исследована в последующих главах.
2. Гамильтониан для слабых взаимодействий будет содер-
жать член
γψ (ΨμΥ* (1 ~ Υ5) Ψν)+ (Φ«Υα (1 - Ys) %). (31.29)
который дает определенные предсказания относительно мюон-
ного захвата в водороде. При изучении этого процесса возни-
кают некоторые экспериментальные трудности. Во-первых, он
весьма редко происходит, причем конкурирует с распадом. Для
захвата на ядре с зарядом Ζ скорость захвата, грубо говоря,
*) Фаза — СД относительно Cv $ξ 8е; инвариантность относительно от-
ражения времени требует, чтобы она равнялась 0° [21, 22].
(Точность этих экспериментов не находится в противоречии с уста-
новленным нарушением Г-инвариаитиости в распадах нейтральных /С-мезо-
Нов, о котором говорится в гл. 32. (Прим. ред.))

572
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
пропорциональна Ζ4, где множитель Ζ соответствует числу про-
тонов в захвате
μ- +Ζ—(Ζ—Ι) +ν.
а множитель Ζ3 возникает из величины |ψμ(0) |2, являющейся
вероятностью нахождения мюона в ядре. Экспериментально на-
блюдаемое равновесие между захватом и распадом имеет место
при Ζ = 10. Следовательно, только один из 104 мюонов захва-
тывается ядром водорода. Во-вторых, мюоны, замедленные в
водороде, больше стремятся образовать μ~ρρ-Η0ΗΗ, чем μ'ρ-Β10-
мы Бора. А это означает, что интерпретация экспериментальных
данных не так проста, как могла бы быть, а требует знания
свойств образующихся молекул. Последние были изучены, и
правильная интерпретация вышеупомянутых экспериментальных
результатов показала их согласие с теоретическими предсказа-
ниями, основанными на форме (31.29), если в ядерной части
тока комбинацию (1—ys) заменить на комбинацию
(1-1,18γ5)*).
3. Таким образом, мы приходим к противоречию между
идеализированной формой (31.28) и феноменологической (31.26).
В действительности появление множителя перед ys не столь
удивительно. Например, при β-распаде матричный элемент
(Ψρ. % (0) γμ (1 - γ5) Ψ„ (0) Ψ„) (31.30)
из соображений инвариантности должен иметь форму
й(р) [γμ/7, (<72) + io^F,(q*) - w5FA(ηη - QvybFP (q*)] и (ft), (31.31)
где <7μ = ρμ,— ημ. Из эксперимента мы нашли, что Ft(0) =0,98
и FA(0) = 1,18, а остальные члены не дают вклада, если только
не происходит передачи импульса. Вычисление «формфакторов»
не является сейчас нашей целью. Мы только хотим здесь под-
черкнуть, что «1,18», есть такое же число, как например, значение
аномального момента протона, объяснение которого составляет
проблему физики сильных взаимодействий **). Мы уста-
новили, что Т7! (0) = 0,98, если положить G = Gu (1,002) (с уче-
том радиационных поправок). Близость G к единице просто
удивительна. Из этого факта следует, что сильные взаимодей-
ствия протонов и нейтронов за промежуток времени слабого
взаимодействия неразличимы, и векторная часть слабого вза-
имодействия имеет такой вид, как если бы нуклоны были «го-
лыми». Другими словами, в распаде
η -ν ρ -Ы + ν,
*) См. обзорную статью [28].
**) См. гл. 34, где приведено вычисление Fa(0).

ГЛ. 311 ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ β-РАСПАДЕ 573
например, нейтрон некоторое время состоит из поотона и яг-ме-
зона, а распады
η —-> ρ + π~,
p^*N*+++e~+v,
Ν*++ + π~^ρ
характеризуют постоянной, не связанной с постоянной распада
нейтрона. Таким образом, можно было бы ожидать, что кон-
станта Ft (0) в общем случае отлична от единицы. Объяснение
этого удивительного экспериментального результата было дано
фейнманом и Гелл-Маном и бу-
дет обсуждено в гл. 34.
4. Форма гамильтониана
G
Н„
V2
JX+
сходна с гамильтонианом Юкавы
вида
h'w~V~gJawa
Рис. 110. Механизм и «сигнатура»
рождения и^-мезона в экспери-
менте с нейтрино.
для гипотетических векторных
мезонов с наблюдаемым четырех-
частичным взаимодействием, характеризующим процесс второго
порядка, аналогичный, например, меллеровскому рассеянию. Та-
кие векторные мезоны должны быть очень тяжелыми и взаимо-
действовать «полуслабо», так как в противном случае вероят-
ность β-распада была бы в G-1 раз больше вероятности мюон-
ного распада. Масса mw должна быть больше массы К-мезона,
поскольку в противном случае вероятность слабого распада
например, оказалась бы в G-1 раз больше вероятности действи-
тельно наблюдаемого распада
К* -> μ+ + v.
Эксперименты с нейтрино высоких энергий, излучающимися при
β-распаде в пионных пучках высокой энергии, могли бы приве-
сти к обнаружению W-мезонов, возникающих по схеме, пред-
ставленной на рис. ПО. Однако на эксперименте пары μ+β~ не
наблюдались. Наличие последних при учете распределения ней-
тринного пучка по энергиям говорило бы о том [29]*), что мас-
са Р7-мезонов (если они существуют) должна быть больше
2 Гэв. Поскольку предположение о существовании W-мезонов,
*) В этой статье имеются ссылки на более ранние работы.

574
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
W,-
.У
переносящих слабые взаимодействия, ничего не объяснило, мы
не будем его больше касаться *).
5. Рассуждения, связанные с проблемой существования
1^-мезонов, привели нас к необходимости рассмотрения одной
старой проблемы. При наличии 1^-мезонов и с учетом закона
сохранения лептонного числа можно придумать механизм, гра-
фически представленный на рис.
/У 111, для процесса
μ± —*■ е± -f- γ.
Хотя расчет вероятности этой ре-
акции является весьма двусмыс-
ленным, ее величина при разум-
Рис 111. Диаграмма реакции Н<Ж обрезании расходящихся ИН-
μ--»·ε-+γ с W-мезоном в про- тегралов оказывается намного
межуточном состоянии. больше экспериментального зна-
чения. Было предложено возмож-
ное объяснение такого результата. Оно состоит в том, что ней-
трино, связанное с мюоном, отличается от нейтрино, связанного
с электроном, откуда следует, что процесс, изображенный на
рис. 111, невозможен**).
В вышеупомянутых экспериментах с нейтрино высоких энер-
гий последние возникают при распаде пионов, в основном в ре-
зультате реакции
л —* μ + ν,
и должны быть отмечены индексом μ, если они связаны с опре-
деленным лептоном. При взаимодействии
νμ + ядро —* ядро + лептон
наблюдались только мюоны [30]. Следовательно, нейтрино νμ не
могут быть связаны с электронами. При испускании нейтрино в
распаде /(-мезонов, происходящем в основном через реакцию
наблюдались электроны, число которых находится в грубом со-
гласии с числом, ожидаемым на основании количества Кез-ргс-
*) Эта точка зрения автора не разделяется многими теоретиками, по-
скольку существует ряд экспериментальных фактов, ие говоря уже о теорети-
ческих схемах, для объяснения которых приходится вводить различные типы
W-мезонов. (Прим. ред.)
**) Насколько нам известно, это объяснение было впервые предложено
Швингером в 1957 г.
(Всеобъемлющий теоретический анализ ситуации с двумя типами ней-
трино и предложение экспериментов по обнаружению второго нейтрино были
сделаны академиком Б. М. Понтекорво. (Прим. ред.))

гЛ 31] ФОРМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ρ-РАСПАДЕ 575
падов. Таким образом, существует два вида нейтрино, отличаю-
щихся между собой некоторым внутренним свойством, разре-
шающим одному из них быть связанным смюоном, а другому —
с электроном. Имеются ли еще и другие различия — неизвестно.
Если связь (31.18) справедлива, то оба эти нейтрино должны
обладать нулевой массой; последнее является существенным
свойством двухкомпонентных нейтрино *).
ЗАДАЧИ
1. Вычислите сечение процесса
ν + ρ -»· η + μ".
используя взаимодействие
у=г (ψμΥ" О - Ys) Ψν) (ψρΥα (1 - Υ») ψη) - э. с.
как функцию энергии нейтрино и угла рассеяния в системе ц. м. Каково
значение максимального момента импульса, при котором этот процесс еще
происходит? Используя эту величину, оцените энергию, при которой нару-
шается условие унитарности
а , 2niJ+i)
2. Связь Λμν приводит к появлению «индуцированного» псевдоскаляр-
ного члена в процессе
μ" + ρ -> η + ν
при обмене одним пионом. Оцените силу этого индуцированного псевдоскаляр-
ного взаимодействия.
*) В двухкомпонентной теории нейтрино лагранжиан инвариантен отно-
сительно преобразования ψν~*—Ystyv- Эта инвариантность запрещает появ-
ление массы нейтрино в результате самодействия.

Глава 32
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СТРАННЫХ ЧАСТИЦ.
I. ПРАВИЛА ОТБОРА, СИММЕТРИИ И РАСПАДНЫЕ
СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ
Анализ взаимодействия для бета-распада привел нас к весь-
ма привлекательной и компактной форме гамильтониана сла-
бого взаимодействия
Hw = ~ j Λ = /α (.ν) /ct (x) (32.1)
с токами вида
Λ*) = /» + /». (32.2)
Лептонный ток, как оказалось, имеет вид
if (*) = ΦβΥ° 0 - Υ5) % + ΨμΥα 0 ~ Υ5) Φν · (32.3)
Часть тока, содержащую сильно взаимодействующие частицы,
мы до конца не исследовали, поскольку имели дело только с
частицами нулевой странности. Мы обнаружили, что имеется
два тока для AS = 0, а именно, векторный ток, который вре-
менно будет обозначаться /у, о, и аксиальный ток JA, о- Динами-
ческие свойства этих токов мы обсудим позднее. Сейчас отме-
тим, что оба тока меняют заряд. Возможный член тока с AS = О
имел вид
■С, о + 'л, о = % Μ Υ" (1 ~ Ys) % (*)■ (32.4)
В этих токах AQ = I, если считать изменение заряда слева на-
право. Ясно, что для сопряженных токов /".о Jaj> будет
AQ — —1. Из вида (32.1) следует, что для обеспечения сохра-
нения заряда все члены в /" должны быть токами с AQ = 1.
Последнее, что мы хотим отметить по поводу /у, о и /д,о, — это
то, что с точностью до экспериментальных ошибок часть На,
содержащая произведения вида /" 0/Ζ+α и f^-0j^a, инвариантна
относительно обращения времени. Благодаря теореме СРТ от·

ГЛ. 32] РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ 577
сюда следует, что часть «полулептонного» Hw с Δ5=0 инва-
риантна относительно СР.
Переходя к распадам странных частиц, мы можем каче-
ственно объяснить все наблюдаемые процессы, добавив к JVjo и
J а, о токи, в которых меняется странность. Как уже упоминалось
в связи с введением понятия странности, распады странных ча-
стиц, по-видимому, с высокой точностью подчиняются правилу
отбора
| AS |=1. (32.5)
Свидетельством в пользу этого правила служит отсутствие во
многих сотнях наблюдаемых распадов Ξ~-Π1περθΗ3 выгодного,
с точки зрения фазового объема, канала
Ξ- -* η + п~. (32.6)
Вскоре мы сможем представить аргумент, показывающий, что
член в гамильтониане Hw с |AS|=2 должен быть по крайней
мере в 107 раз меньше, чем член с |AS| = 1. Поэтому мы по-
пробуем написать
/s= J v. о + J а, о + iv, l + J a. l. (32.7)
причем индекс 1 соответствует изменению странности. В меняю-
щем странность токе у нас появились и векторный, и аксиаль-
ный члены. В пользу введения их обоих свидетельствует суще-
ствование распадов
Λ'±->μ± + ν,
для которых постоянную распада определяет матричный эле-
мент (Ψο. Ja, i%(), и распадов
/С±'-^я° + е± + ν,
для "которых постоянную распада определяет (Ψπ°, Jv. i^k)· Эти
матричные элементы содержат сильно взаимодействующие ча-
стицы и токи, построенные из операторов поля этих частиц. Они
должны иметь подходящие трансформационные свойства отно-
сительно отражений, чтобы матричные элементы не обращались
в нуль. Нулевые компоненты токов должны преобразовываться
как псевдоскаляр для первого процесса и как скаляр для вто-
рого.
Фейнман и Гелл-Ман [1] отметили, что из отсутствия пере-
ходов с |AS|=2 следует, что токи с |AS|= 1 должны иметь
такую структуру, чтобы было
AS = AQ. (32.8)
37 С. Газиорович

578
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IT
Поэтому члены типа ψΛγα(1 ^Υ5)ψρ и ψΣ-γα(1 - Υ5)ψ„ допустимы,
а члены типа 'Φ„Υα(1 ~ Υ5)Ψς+~ нет· Если бы такой член суще-
ствовал, то с интенсивностью G мог бы появиться переход
η + Σ+«->αΓ+Σ-,
а это привело бы к распаду Е~ —> η + л~. Последний осущест-
вился бы при помощи последовательных переходов, из которых
только один содержал бы G, а остальные были бы сильными:
-2-> π~ + η + η + η —-> я~ + п.
Правило отбора (32.8) запрещает распад
Σ+ —>· η + е* + ν
и разрешает распад
Σ- -ν η + е~ + v.
Аналогично реакция
К- -*л+ + л* + е- + у
запрещена, в то время как реакция
К+ -> л+ + л- + е+ + ν
разрешена. Эти предсказания подтверждаются экспериментом
[2, 3].
Одно из наиболее ранних эмпирических правил, предложен-
ных для гамильтониана слабого взаимодействия, возникло из
сравнения постоянных нелептонных распадов
К0 -> л+ + п-
и
К+-+л++п°.
Первый из них проходит примерно в 500 раз быстрее. Для объ-
яснения этого различия имеется только одна возможность. При
распаде нейтрального /С-мезона симметричное состояние двух
π-мезонов (с / = 0) может иметь как Τ = 0, так и Τ = 2, в то
время как состояние π+π° может иметь только Τ = 2. Таким об-
разом, матричный элемент распада нейтрального /("-мезона со-
держит члены с Δ7" = 1/2, 3/2 и 5/2, а для распада К+-мезона
возможны члены только с Δ71 = 3/2 и 5/2. Если по каким-либо
причинам предпочтительны переходы с ΔΓ = 1/2, эффект может
найти качественное объяснение [4].
Правило отбора, по которому в меняющих странность сла-
бых взаимодействиях
AT = 1/2, (32.9)

ГЛ 32) РАСПАДНЫИ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ 579
будет выполнено самым непосредственным образом, если потре-
бовать, чтобы гамильтониан слабого взаимодействия Ни- пре-
образовывался как изоспинор. Из этой гипотезы следует боль-
шое число предсказаний. Легче всего они выводятся с помощью
формального приема: в феноменологический гамильтониан вво-
дится поле шпуриона, не представляющее никакой реальной
частицы, но преобразующееся как изоспинор. Рассмотрим, на-
пример, распады
и
Λ°->π+π°.
Взаимодействие, сохраняющее изотопический спин, можно запи-
сать в виде
Α°ΧΧΝ-η = Α0(Υ^γ?ρη-+ ... -%°ηπ°),
где х обозначает дублет шпурионов. Отсюда мы получаем со-
отношение
Г (Λ0 -> η + π°) l
Г (Λ° -> и + п°) + Г (Λ° -> ρ + π~)
(32.10)
Типичное экспериментальное значение этого отношения равно
0,315 ± 0.017, т. е. находится в превосходном согласии с пред-
сказанным значением. Ввиду несохранения четности распад об-
ладающего полуцелым спином Л°-гиперона может проходить
как через S-, так и через Р-каналы. Шпурионный формализм
дает информацию об обеих амплитудах и предсказывает, что
-5l=»=-£!L = -JL, (32.11)
где через S0, Po обозначены амплитуды для канала пл°, а через
S--, Р_-амплитуды для канала рл~. Эти амплитуды можно опре-
делить посредством детального анализа распада Λ0, которым
мы займемся в следующей главе. Здесь мы лишь отметим, что
это предсказание не противоречит еще не полным эксперимен-
тальным данным.
Правило Δ71 = 1/2 предсказывает соотношение между ампли-
тудами о+, со и а_ для трех процессов
шпурион +
Σ+-+η + π+
Σ+ -♦ ρ + π°
37*

580
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Разложив и начальное, и конечное состояния по собственным
состояниям оператора изотопического спина, мы получим
а+={Х¥ош+1 ψ^ο>=/у τ ^ _ γτ ψο^/Ι ψ- _
, / 2 ты\ 1 , 2
-y^f Ψ&) = Vltava-<Ы
α. - <ψ:" Ι η-*°>=<nf I <D=**.
так что
/2 β0 + α+=α- (32.12)
Это соотношение также выполняется по отдельности для ам-
плитуд S- и Р-волн. Каждая из этих амплитуд комплексна, при-
чем ее фаза определяется фазой пион-нуклонного рассеяния в
конечном состоянии*). Поскольку фазы 5- и Р-волн и для
Τ — 1/2, и для Τ = 3/2 еще довольно малы при полной энергии
в системе центра масс, отвечающей массе Σ, мы пренебрежем
ими. В таком случае амплитуды а+, а0 и ω_ можно изобразить
на плоскости с координатами, вдоль одной оси которых откла-
дываются 5-амплитуды, а вдоль другой — Р-амплитуды. По-
стоянные распадов (пропорциональные длинам «векторов» в
SP-плоскости) равны **)
Г+ = (0,584 ± 0,035) · Ю-10 сек~\
Г0 =(0,646 ± 0,030) · 10~10 сек~\
Г_ = (0,606 ± 0,015) · 10~10 сек~\
Соотношение между ними таково, что векторы образуют прямо-
угольный треугольник (точнее, с углом 92° ±5°), если только
выполняется правило ΔΤ = 1/2, благодаря чему треугольник
замыкается. Экспериментальные данные ***) о некоторых асим-
метриях распадов, которые мы обсудим в следующей главе,
указывают, что одна из амплитуд а+ и а_ отвечает в основном
*) Здесь снова предполагается инвариантность относительно преобра-
зований СР.
**) Этот вопрос детально обсуждался Далицем [5]. Приведенные здесь
данные взяты из доклада Самиоса [6].
***) Равенство постоянных Г+ и Г_ вызывает недоумение, поскольку, как
показывает рис. 112, один из распадов отвечает чистой S-волне, а второй —
чистой Р-волне и должен быть подавлен центробежным барьером.

[ 32] РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ 581
S-волне, а другая — Р-волне. Современные данные не слишком
хорошо согласуются с этим предсказанием *).
Правило AT = 1/2 предсказывает также соотношение
Г (Ξ° -> Λ" + π") 1
Г (Ξ- ->Λ° + π_) ~ 2 "
Здесь данные неопределенны из-за противоречащих друг другу
экспериментальных оценок времени жизни Ξ0. Один набор экс-
периментов очень хорошо подтверждает правило AT = 1/2, в
то время как второй требует
примерно 10% амплитуды с
Δ7" = 3/2. Само по себе это об-
стоятельство не слишком тре-
вожно, если принять точку зре-
ния, по которой правило AT =
= 1/2 представляет собой ди-
намический эффект, а вовсе не
фундаментальный закон приро-
ды, отражающий какие-то свой-
ства гамильтонианов. Вторую
точку зрения, не апеллирую-
щую к динамическому подавле-
нию переходов с AT=3/2, про-
вести несколько труднее. Для
этого потребовалось бы ввести
в гамильтониан Ни нейтраль-
ные токи и, следовательно, от-
казаться от простой связи Jaj£.
Далее, для объяснения того,
почему распад
К+ -* π+ + π°
в действительности имеет ме-
сто, требуется какая-то ампли-
туда с AT = 3/2. Если бы для слабого взаимодействия она была
абсолютно запрещена, переход сАТ=2>12 мог бы осуществляться
только при помощи виртуального электромагнитного поля во-
круг К+-мезона. В результате, вследствие лишь приближенного
сохранения изотопического спина, амплитуда перехода с
ΔΓ = 3/2 была бы по величине порядка 1% (~ 1/137), а это
дало бы постоянную распада К* в 50 раз меньшую, чем она
*) Это заключение основано на единственном измерении — измерении
параметра α(Σ+->ρπ°), который обсуждается в гл. 33 (формула (33.15)).
Для правила hT=xh нужно значение а=—0,98, а экспериментальное значе-
ние равно —0,78±0,10. Несомненно, вскоре эксперимент будет повторен, что
Даст возможность сделать окончательное заключение.
Рис. 112. Векторная диаграмма, описы-
вающая распады Σ-1" ->ηη+, Σ~-> пл
и Σ -> рп° в плоскости SP.
Области а и Ъ изображают две возможные
ориентации вектора ¥2 do. соответствующие
экспериментальному значению параметра
асимметрии а0= —0,73.

582
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
есть в действительности. Недостаток места не позволяет нам
подробно обсудить необходимость появления и величину дина-
мически подавленного члена с AT = 3/2.
Еще одно свидетельство в пользу большого динамического
усиления переходов с AT = 1/2 дают распады /С°-мезонов. Что-
бы обсудить его, рассмотрим подробнее эти распады, обнаружи-
вающие некоторые странные свойства.
Распад нейтральных /(-мезонов впервые обсуждался в пре-
красной статье Гелл-Мана и Пайса [7]*). Они отметили, что
сохранение гиперзаряда — точный закон для сильных взаимо-
действий, и поэтому невозможны переходы К0 -*-*- К0. В процес-
сах сильных взаимодействий эти две частицы совершенно раз-
личны, и каждый такой процесс вполне определенно говорит о
том, какая из них порождена. Для слабых же взаимодействий
гиперзаряд больше не является «хорошим» квантовым числом.
Частицы К0 и К0 теперь вырождены и могут переходить друг
в друга, например, при помощи механизма
К0 ~* π+ + π" -+ К0.
Отсюда следует, что собственными состояниями оператора мас-
сы теперь может быть Еместо К0 и К0 другая пара состояний,
например линейные комбинации этих двух состояний. Между
этим «смешиванием» и «смешиванием», обсуждавшимся в связи
с векторными мезонами ω и φ с точки зрения группы SU(3),
имеется различие. Оно заключается в том, что после_ включения
слабых взаимодействий никакая комбинация К0 и К0 не может
быть собственным состоянием полного гамильтониана: система
распадается. Вместо того чтобы иметь дело с
H = HS + HW, (32.13)
мы рассмотрим S-матрицу, действующую в пространстве, поро-
жденном состояниями /С0 и К0**). Хотя гамильтониан Ню очень
мал, для выявления эффектов смешивания /С0 — К0 мы должны
работать по крайней мере во втором порядке по Hw.
Разложение 5 по теории возмущений имеет вид
S » 1 -/ J dxfflw(х) -\[\ dx dx'T(3VW(х)£®w{х')). (32.14)
Если мы запишем
mw (x) = elp^mwe-iP^, (32.15)
*) Дальнейшее развитие теории содержится в [8].
**) Наше обсуждение слегка усложнено, поскольку мы не предполагай!
СР-инвариантности. Немного позже мы увидим, что по ряду данных QP мо-
жет не всегдз сохраняться.

ГЛ. 32) РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ Л-МЕЗОНОВ 583
то интегрирование по х и х' в 5-матрице можно провести, и
мы получим
(Ψ/Ιδ-ΙΙΨ,)-
= - (2π)4 ib (pf - pt) < ψ{ i &ew+«a?e £_/!o+i.e sew i ψ,>.
Символически мы в знакомой форме записываем *)
T = HW + HW E_„s + iBHw. (32.16)
В дальнейшем мы будем оперировать собственными состоя-
ниями оператора Hs: Ψ {Ко), Ψ(Κ°) и Ψ(η).
Тогда возникают выражения
(Т (/(") | Г | Ψ (/(")) У (Ψ iKD) ] Hw' Ψ {η)) (Ψ (η)' Hw' Ψ (/C°}) (32.17)
(Ψ (^η} i r i Ψ (ffft ^ V <ψ (K°)I g» IУ (я)> <Ψ («) I ff» IV (K°)>. (32.18)
Их связывает друг с другом СРГ-теорема, справедливая для Η
и Hs, а поэтому и для Hw. Мы имеем
(Ψ^ο) |т |ψ(^ = У [(yc^ie-'eff^eiy^))!2 =
_ V ΚΘΨ(Κ»)|^1Ρ|ΘΨ(η))|' у |(Ψ(^") Ι^| Ψ (»))|' _
jU EKo-En + ie L· EK„-En + ie
η ' η
= {Ψ{Κ°)\Τ\Ψ(Κ0)). (32.19)
При выводе этого равенства было существенно то, что состоя-
ния Ψ(η), полученные из состояний Ψ (я) преобразованием СРТ,
совпадают с ними. Точно таким же способом легко проверить,
что между {Ψ(Κ°)\Τ\Ψ(Κ0)) и <Ψ(ΑΓ°) \Τ\ψ(Κη)) никакого со-
отношения, которое следует только из теоремы СРТ, не возни-
кает. Если же предположить еще и инвариантность относительно
преобразования СР, то
(Ψ(Κ°)\ Т\^{к0)) = (СРУ(К°)\(СР)Т{СР)~1\СРЧ'{к0)) =
= (Ψ(Κ°)\Τ\Ψ(Κ0)). (32.20)
*) Мы определяем Hw так, что (Ч,(Л°)|Я1Г[Ч'(^С0)) =0. Далее, поскольку
AS=I, выполняется соотношение QV(КР)\НШ\Ч{Ка)} =0. Ниже мы рассматри-
ваем Л" и К0 в системе покоя.

584
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (4· IV
В пространстве состояний К0 и К0 оператор Τ представляется
матрицей общего вида
/<ψ(Κ°)ΙΠΨ(*°)> (^(Κ°)\Τ\Ψ{Κ°))\(Α В\
\(Ψ(Κ°)\Τ\Ψ(Κ0)) (^(Κ°)\Τ\Ψ(Κ°))Ι V С ΑΙ
Найдем линейные комбинации состояний К0 и К°> диагонали-
зующие эту матрицу. Назовем эти комбинации Ks и Kl*)-
В действительности мы требуем, чтобы между Ks и Kl не было
переходов, так что каждому из этих состояний отвечает свое
значение времени жизни. Другими словами, мы имеем
(Ψ {KL) IГ | Ψ {Ks)) = (Ψ {Ks) I T\ Ψ (Kl)) = 0. (32.22)
Собственные значения матрицы Т равны
λ± = А ± УВС, (32.23)
а собственные векторы, соответствующие этим двум собствен-
ным значениям, имеют вид
(А-) - ( I—)-
\ Vc/в J - * - Υciв I
Если ввести обозначения
р2 = В, q2 = C,
то получатся выражения
Ψ (Ks) = (Ι Ρ Ρ +1 Q Ι2)""2 (Ρψ (Κ°) + ?Ψ (Κ°)) (32.24)
и
Ψ (Κ*) = (Ι Ρ Ρ + \q ?)~Ш (ρΨ (/С0) - ?Ψ (tf°)). (32.25)
Когда имеется СР-инвариантность, В = С, так что q=±p.
Если выбрать q = — р, то**)
Ψ (/С,) = - γψ (Ψ (Κ°) - Ψ (Κ°)), Ψ (/Г2) = γψ (Ψ (Κ°) + Ψ (Κ°))
(32.26)
и (Ψ(ΚΙ)|Ψ(Κ2)) = 0. Β общем случае это не так***).
*) Индексы S a L позже будут связаны с коротким (short) и длинным
(long) временами жизни соответствующих частиц.
**) Обозначения К\ и Ki будут употребляться для линейных комбинаций
/С, = - i (К0 - K°)IVi, Кг = (К0 + K°)IY2
***) По поводу общей дискуссии см. работу [9] Она содержит много по-
лезных ссылок

ГЛ. 32] РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ 585
Вернемся теперь к обсуждению некоторых весьма неожидан-
ных явлений в распаде нейтральных К-мезонов. Удобнее всего
делать это, предположив СР-инвариантность. Если отказаться
от этого предположения, некоторые заключения потребуют мо-
дификации, и позднее мы проделаем это *).
Прежде всего следует отметить, что если произвольные фазы
выбраны так, что при зарядовом сопряжении
CW (К0) = Ψ {К% С Ψ (Κ°) = Ψ (Κ°), (32.27)
то для псевдоскалярных /("-мезонов
ερΨ(#,) = Ψ(#Ι) (32.28)
ερΨ(/(2)=-Ψ(/(2). (32.29)
Таким, образом, только состояние К\ может распасться на два
π-мезона с / = 0. Оба состояния К\ и /(г могут распадаться на
j^e+v и оба они могут распадаться на π+π"π°. Однако в послед-
нем случае трехмезонное состояние четно относительно С (эта
операция меняет местами л+ и π") и нечетно относительно Ρ
(присутствуют три π-мезона, каждая пара из которых находится
в S-состоянии). Поэтому К\ может распадаться на три π-мезона
только при условии, что трехпионное состояние несимметрично,
а в этом случае скорость распада подавлена эффектами центро-
бежного барьера**). Благодаря этим различиям мы могли бы
ожидать, что состояния К\ и Д'2 имеют различные времена жиз-
ни. Гелл-Манн и Пайс отметили, что, поскольку двухмезонный
канал распада предпочтительнее по соображениям фазового
объема, состояние К\ должно распадаться значительно быстрее.
Чем Кг- Распад К0 —*■ 2π, посредством которого был фактически
открыт /("-мезон, является главным каналом распада /([-ком-
поненты пучка /("-мезонов, а компоненту Кг следует наблюдать
гораздо дальше от источника /("-мезонов.
/(г-мезон наблюдался и был открыт [12]. Времена жизни двух
частиц равны
τ {КО = τ5 = (0,866 ±0,014)· 10~'° сек
и
τ(/(2) = τ£ = (5,62±0,68)· 10~8 се/с***).
*) Мы не обсуждаем возможных нарушений СРТ, поскольку тогда мы
не смогли бы вообще ничего вычислить. СРГ-инвариантность следует не-
посредственно из эрмитовости гамильтониана.
**) Недавно такой распад наблюдался, и амплитуда его A (Ki ~> π+π~π°)
свидетельствовала о том, что СР не сохраняется (см. [10, 11]).
***) Последние измерения [13] дали значения
rs= (0,87±0,009) · ΙΟ"10 сек,
tl=(5,15±0,15) ·10"8 сек,
(Прим. перев.)

586
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Отметим, что большая разница во временах жизни не обуслов-
лена СЯ-инвариантностью. Мы обсудим это обстоятельство да-
лее, при выводе соотношения (32.43). Вернемся теперь к нашему
описанию в терминах состояний К\ и Кг, т. е. перестанем пред-
полагать, что гамильтониан Hw инвариантен относительно СР.
Правило ΔΓ = 1/2 приводит к соотношению между постоянными
распадов
Ks. £-*π++π-'
и
Конечные состояния могут иметь изотопический спин Τ = О или
Τ = 2, и второе из этих значений запрещается нашим правилом.
Следовательно, воспользовавшись разложениями
Ψ.Τ>π» = γ "g- Ψ2 — ~\' ~3 ^0
мы предсказываем, что
Γ(Κ5->π+π~) T(KL~>n+n-)
Γ (Ks -> π°π°) = "Т"(К£ -> π°π0)~ =
(32.30)
(32.31)
Экспериментальное значение для первого из этих отношений
равно 2,2 ± 0,1, в согласии с предсказанным. Однако пока еще
нет данных о таком же отношении для Kl *)·
В процессах сильного взаимодействия типа
я- + р->Л° + /С°
или
К+ + п->р + К°
порождается именно /С°-мезон. Выраженная через амплитуды
рождения Ks и Kl амплитуда рождения К0 равна
А(К°)= ^|p|22+l<?|a (A(Ks)+A{KL))^a{A(Ks) + A(KL)). (32.32)
Это выражение получено при помощи формул (32.24) и (32.25).
Аналогично
А(К°)= ^'руУ (A(Ks)-A(KL))=fi{MKs) + A{KL)). (32.33)
*) Отношение T(Kl ->n*nr)/r(KL ->π°π°), измеренное в работе Кронина
и Гайярда [14], оказалось обратным: оно равно 1,96/4,17. (Прим. перев.)

ГЛ. 32]
РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ
587
Как только /С°-мезон родился, мы можем рассматривать его как
смесь Kl и Ks- Пусть массы этих частиц равны tnL и ms соот-
ветственно, а постоянные их распадов равны ΓΙ, и rs. Тогда в
системе покоя нейтральных Д-мезонов временную зависимость
амплитуд, описывающих пучки Ks и Kl, можно приближенно
записать в виде *)
a(Ks,t)-a(Ks,0)e-imste ^s',
1
a(KL, t) = a(KL, 0)e ""£'e 2 Г^.
(32.34)
Из-за различия в массах у компонент Ks и Kl их относительная
фаза меняется со временем, и пучок, содержавший при t=0 чи-
стую компоненту Ко, приобретает с течением времени и компо-
ненту К0. Присутствие К0 можно обнаружить по реакции типа
К0 + ρ -» Λ° + π+,
которая не может протекать на пучке /С°-мезонов. Зависимость
амплитуды К0 от времени находится следующим образом.
При t ~ 0 пучок состоит только из /С°-мезонов, так что в этот
момент амплитуды Ks и Kl равны. По истечении времени t, ха-
рактерного для л"°-мезона, мы находим
а(К°, t) = $(a(Ks, t)-a(KL, 01 =
= βΩ (KS, 0) f e~im^ г* - е-Ш*-7 4, (32.35)
так что вероятность появления Д°-мезона равна**)
Ρ (К0, t)~\$a(Ks, 0)f\e~i{ms~mL)te~^ Г^ - 1 f ~
«IMtfs. 0)l2(l -e"rs'cosA/?ii + e~rs<) (32.36)
(поскольку Ts ~ 500 Tl, мы пренебрегли величиной ΓΙ, в выпи-
санном выше выражении)^ На графике рис. 113 изображена ин-
тенсивность компоненты К0 как функция времени (отсчитывае-
мого в единицах xs) для нескольких величин разности масс
Дт = \ms — tnL\. Такой метод измерения применялся в несколь-
ких экспериментах***). Экспериментальное распределение
*) Наиболее полное описание распадающихся состояний (и оправдание
экспоненциальной формы распада) можно найти в [15].
**) Использовать этот эффект для измерения крошечной разницы масс
Kg и Kl было предложено в работе [16].
***) В экспериментах Фитча и др. [18] присутствие К0 обнаруживалось
по реакции К°->п++е~+ ν; ее конечное состояние невозможно для К0 из-за
правила AS = AQ.

5gg СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 'ч- >V
показано на рис. 114; оно дает значение [17]
| Ш | = (0,88 ± 0,20) ~г · (32·37)
Более поздний эксперимент [19] дает значение
| Ami = (0,65 ±0,30)·^-.
Эта цифра находится в лучшем согласии с измерениями Друго-
го типа, основанными на регенерации /(8-мезонов. Такие измере-
ния используют следующий принцип. Пусть пучок К0- (или К0-)
яшзоидпак
1
J/77-">/^
1
\ am-2
V S.J/77-/
s^&m*Q
1 .i I I I I
1 1
-
:
-
1 '
Время,
ν к,
10
Рис. 113. Вероятность обнаружить в пучке
(в момент t = 0 состоявшем только из /С°-ме-
зонов) /("-мезоны как функция времени (от-
считываемого в единицах τ5) для нескольких
значений Am [17].
мезонов летит в течение времени, промежуточного между Ts и
xL, так что компонента Ks «вымирает» полностью. Пусть теперь
пучок /Ct-мезонов каким-то образом перемешивается, например,
при прохождении через поглощающую среду. Тогда воздействие
среды на составляющие этот пучок компоненты
β(/ω=^τ«(*0)-^β(^°)
2β
будет различным, так что /Ся-мезон может регенерировать. Ве-
роятность появления Ks зависит от толщины поглотителя и от

ГЛ. 32] РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОВ 589
Am*). Эксперименты по регенерации показывают, что
h **)
I Am| ~0,5
х0с<
Знак разности масс нельзя определить с помощью этих экспе-
риментов. Однако для его нахождения был предложен другой
метод [23]. Пусть при t = О /(-мезон рождается в сильном взаи-
модействии (ассоциативное рождение). Величина А/л опреде-
ляет природу пучка при t = 0. Если затем пучок рассеивается
1_1 I | I I I I | I
Время, единицы г.
12
Рис. 114. Зависимость взаимодействий К0 от времени.
Для сравнения нанесены две теоретические кривые для Дт=1,5б
и 0.756. где б = ft/Tsc2 [17].
протонами, то знание фаз рассеяния К°р и К°р означает, что
после рассеяния известна относительная фаза компонент К0 и
К0. Вероятность обнаружения Ks через некоторое время после
рассеяния зависит от знака Am.
Тот факт, что Am сравнима с Ts, т. е. величина ее имеет по-
рядок G2, можно использовать для доказательства того, что
гамильтониан слабого взаимодействия не может содержать чле-
нов с AS = 2 [24, 25]***). Если бы такой член был, то выпол-
нялось бы соотношение
<Ψ ШI Hw (AS = 2) ΙΨ (Ks)) - (Ψ ЮI Hw (AS = 2) | Ψ (KL)) =
= 2pq*(\pf + \q IT' CP(K°)\Hw{bS = 2)\Ψ(Κ0)) + э. с. = О (G).
*) Эксперимент был предложен в работе [20]. Детальное обсуждение
зависимости от Δ/η можно иайти в работе [21] (см. также [22]).
**) Регенерационный опыт Ботта и др. (см. обзорный доклад Кабиббо
на XIII конференции по физике высоких энергий, 1966) дает значение
0,480+0,24. (Прим. перев.)
***) Глэшоу отметил, что если гамильтониан #„,(AS = 2) нечетен относи-
тельно зарядового сопряжения, то вклада порядка G не будет.

590
слабые Взаимодействия
[Ч. IV
Недавний эксперимент [26] нанес сокрушительный удар по
нарисованной к настоящему моменту привлекательной картине
слабых взаимодействий. В этом эксперименте было обнаружено,
что /(^-частицы распадаются на π+лг, непосредственно свиде-
тельствуя о нарушении СР-инвариантности, поскольку возмож-
ность регенерации, как было показано, совершенно исключена.
Отношение постоянных распада
\ΙΚ . '- « 2 · 10"3 (32.38)
может служить свидетельством малости нарушения СР-инвари-
антности. Это согласуется с указанием на то, что с точностью
до ошибок эксперимента в амплитуде распада нейтрона нет чле-
на типа /п-РеХРг· Если бы мы игнорировали всякую связь
между двумя такими различными процессами, мы не смогли бы
заключить, что нарушение СР-инвариантности мало только по-
тому, что мало отношение (32.38). Чтобы понять это, рассмо-
трим величины р2 = В и q2 = С, появляющиеся в выражении
(32.21). Мы имеем
„2_ д = ρ Γ (Ψ(Κ°)Ι^|Ψ(»))(Ψ(»)|//№|Ψ(Κ°))
" Ρ _ F
~Ιπ^(Ψ(Κ°)\Η^Ψ(η))δ(Εη-Εκη(Ψ(η)\Η^Ψ(Κ0)).
η
Вклад во второй член дают промежуточные состояния 2π с 7=0
и Т=2 состояния Зл, состояния с лептонами, например, πβν,
nnev и т. д. Первый член содержит вклады вне поверхности
энергии и может быть обозначен через MR + iM,, так что
B = MR + iM,-m Σ <4{Κ°)\Ηη\Ψτ(2η))(Ψτ(2κ)\ΗηΙΨ(Κ0)).
Г<=0, 2
(32.39)
Аналогично
C=*MR-iM,-in Σ (^{Κ°)\Η1ν\Ψτ(2π))(Ψτ(2κ)\Η^\Ψ{Κ0)).
Г=0, 2
(32.40)
В обоих случаях члены под знаком суммы находятся на поверх-
ности энергии. Рассмотрим теперь двухмезонные члены. Благо-
даря фазовому множителю двухчастичные члены на поверхности
энергии будут всегда больше, чем трех- или четырехчастичные
члены. Итак, двухмезонные члены всегда будут наиболее важ-

ГЛ. 32] РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОЕ 591
ными среди прочих членов на поверхности энергии. СРТ-инва-
риантность требует, чтобы выполнялось соотношение
W (2л)\HW | Ψ (tf°)> = №' (2π) | Hw |ΘΨ (tf °)>* =
= <Ψ? (2π) | Я J Ψ (tf °)>* = e2ie^ <Ψ°Γ"< (2π) | Hw | Ψ (tf °)>*.
Следовательно, мы можем записать
<ΨοΓ"'(2π)^κ;|Ψ(^0)> s are''^ (32.41 a)
и аналогично
{^TUi{2n)\Hw\^{K0)) = α^'βΓ. (32.416)
Из инвариантности относительно обращения времени следо-
вало бы, что ат и а'т имеют одинаковые фазы. Мы можем
воспользоваться уравнениями (32.41), (32.24) и (32.25) и по-
казать, что
(ΨΤ* (2π) I Я» ΙΨ (Ks)) = (ΙΡ Ι2 +1 9 lT-2 (par + qaT) e'\
^TUt(2n)\Hw\4r(Kl,))-(\p\2 + \Q\2y42(paT-qaT)ei\
Таким образом, если в выражениях*)
ρ2 « AiR + Ш, - шр2л (ω*2 + of) + ...,
q2 ^ MR~ iM, -шр2п(а2 + α2) + ...
двухмезониые члены доминируют над членами вне массовой
оболочки, то приближенно выполняется соотношение
2 *2 , *2
Ρ V + а2
(32.42)
9'
,2
an+ 4
Учитывая уже известное усиление для переходов с ΔΤ= 1/2, мы
получаем окончательно
_Р_ а^
Итак, при сделанных выше предположениях имеет место соотно-
шение
Γ(^2π0)~^-^2<<1. (32.43)
Г (Ks -> 2ix°) \ ра0 + да'0
*) Через р2р обозначен фазовый объем двух л-мезонов.

592
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Таким образом, неравенство Ts ^> TL не зависит от предполо-
жения об инвариантности относительно обращения времени. Это
обстоятельство оставляет место для еще не рассмотренной схе-
мы, которая допускает «максимальное» нарушение СР-инвари-
антности, по аналогии с максимальным несохранением четности.
Такая теоретическая схема должна была бы каким-то образом
объяснить убедительные свидетельства об СР-инвариантности в
бета-распаде и, как мы надеемся, сохранить универсальность.
В настоящее время роль различных членов В и С можно изу-
чить экспериментально. Феноменологически это видно из изло-
женного выше, а более детальный анализ можно найти в
литературе [27] *).
Экспериментальное доказательство нарушения СР-инвари-
антности никоим образом не обесценивает нашей дискуссии эф-
фекта регенерации**), существование которого, помимо всего,
следует прямо из принципа суперпозиции. В частности, нару-
шение СР-инвариантности не влияет на эксперименты по на-
хождению разности масс, поскольку зависимость от времени,
изображенная на рис. 112, совершенно не меняется. Для модели
взаимодействия типа ток — ток остается заключение о том, что
токи удовлетворяют правилу AS = AQ. Неясно, однако, можно
ли сохранить саму картину взаимодействия ток — ток ввиду
экспериментального факта нарушения СР-инвариантности.
Если сохранить картину ток — ток, то следует проверить, об-
ладают ли токи /v, 1 и /.4,1 реальными трансформационными
свойствами в изотопическом пространстве. Некоторые свидетель-
ства в пользу того, что эти токи преобразуются как изоспиноры,
вытекают из сравнения реакций
K+->n° + e+ + v
и
K°-*n- + e++v,
R°-*n+ + e~ +v.
Изоспинорный ток эквивалентен шпурионному полю, связан-
ному с π- и К-мезонами, причем гамильтониан взаимодействия
π·%τΚ сохраняет изотопический спин. Все это приводит к соот-
ношению
Г (Ке -» π-e+v) _ Г Q(° -+ π+e-v) ?
Г (К+ -* n°e+v) ~ Г (К+ -*■ л°е+\) — '
*) Эта статья логически развивает классическую статью [28].
**) Новым эффектом является возможность интерференции между двух-
мезонными состояниями, возникшими в результате распада пучка Kl, и
двухмезонными состояниями от распадов Ks, получившихся при регенерации
первоначального пучка Kl. Этот эффект недавно наблюдался [29].

ГЛ. 32] РАСПАДНЫЕ СВОЙСТВА НЕЙТРАЛЬНЫХ К-МЕЗОНОв 593
Следовательно,
T{KL ~* n+e~v) + Г (KL -> л-е+ν) =
|р)2+к|2 чх «» V г |р|. + кр
= 2Г(л:+->я°е+т). (32.44)
Экспериментальное отношение 2 Г (/С£ -> лет)/Г (ft+ —>- зх°е+ν)
равно 2,0 ± 0,5, что является обнадеживающим, но не оконча-
тельным свидетельством в пользу того, что векторная часть ме-
няющего странность тока преобразуется как изоспинор. Факти-
чески детальный анализ показывает, что это отношение весьма
чувствительно к доле присутствующей амплитуды с AT = 3/2;
пятипроцентная примесь такой амплитуды изменила бы это от-
ношение на 25%*)· Вопрос о трансформационных свойствах
аксиального тока требует проверки предсказаний типа
Γ(Ξ°->Σ~ + е~ + ν) = 2Γ(Ξ~ ->Σ° + е~ + ν)
или
Γ(Λ°->ρ + κ4Γ + ν)=|Γ(Λ0->η+η4Γ + ν),
в которых участвуют оба тока.
Следует отметить, что из одного только изоспинорного ха-
рактера меняющего странность тока не следует автоматически
правило AT = 1/2 для нелептонных распадов. Дело в том, что
нелептонным распадам отвечают члены типа J v. oJv, i и т. д.
Даже если меняющие странность токи преобразуются как изо-
спиноры, для всех сохраняющих странность токов имеет место
AQ=1, так что ΑΤ^-l. Все произведение разлагается как на
члены с AT = 1/2, так и на прочие. Обычно считается, что свой-
ство ΔΤ = 1/2 гамильтониана Hw для нелептонных распадов яв-
ляется следствием динамического усиления.
Настоящую главу можно резюмировать следующим утвер-
ждением. Меняющие странность токи должны быть как вектор-
ными, так и аксиальными. По крайней мере первые из них пре-
образуются как изоспиноры. Структура токов такова, что AS =
= AQ. Открытие нарушения СР-инвариантности может поста-
вить под вопрос вид «ток — ток» самого гамильтониана слабых
взаимодействий.
*) Это легко понять, если заметить, что
V*° — /τ *,„ + /τ ψ3β и "W- - /1*,я + /hm ■
Отсюда нетрудно вывести соотношение
Γ(/(+->π°ε+ν)
1 а (3/2)
)/(-^)
V~2 a (1/2);
где через а С/г) и а(3/2) обозначены амплитуды переходов, в которых изо-
топический спин меняется иа '/г и 3/2 соответственно.
38 С. Гаэиорович

Глава 33
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СТРАННЫХ ЧАСТИЦ.
II. АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ
В предыдущей главе мы видели, что лептонные и нелептон-
ные распады дают о слабых взаимодействиях информацию раз-
личного типа. Первые говорят. непосредственно о матричных
элементах меняющих странность векторного и аксиального то-
ков, в то время как последние описываются матричными эле-
ментами произведения двух токов. На деле в теории распадов
изучаются матричные элементы гамильтониана Hw, но прежде
чем перейти к ним, приходится существенно использовать ин-
формацию о матричных элементах токов. Если предположить,
однако, что нелептонное правило AT = 1/2 является динамиче-
ским эффектом, т. е. характеризует перекрывающееся влияние
сильных и слабых взаимодействий, то фундаментальное понима-
ние нелептонных распадов потребует более глубокого, чем мы
сейчас располагаем, знания сильных взаимодействий. Поэтому,
в итоге, тесной связи между двумя типами распадов нет. На-
рушая естественный порядок, мы сначала обсудим на феноме-
нологическом уровне некоторые нелептонные распады.
Сначала мы займемся процессом
Λ0 -*■ ρ + π-.
С ним сходны процессы
Ε-->Λ° + π-,
которые можно рассмотреть в полной аналогии с распадом
Л°-гиперона. Основанием для такого утверждения служит то,
что во всех таких случаях мы имеем дело с распадом частицы с
полуцелым спином на две частицы со спинами 0 и 1/2 соответ-
ственно. Распад может проходить как через S-, так и через
Р-волновый каналы. Если бы в распаде сохранялась четность,
был бы возможен только один из этих каналов. Наиболее общий
матричный элемент распада имеет вид
Μ = Up(p) (A + Ву5)иА(рА). (33.1)

ГЛ. 33] АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ 595
Мы знаем из общих соображений, что фазы чисел А и В (А и
В — константы, поскольку все три имеющихся 4-импульса нахо-
дятся на массовой оболочке) определяются рассеянием в конеч-
ном состоянии, если СР сохраняется. Вследствие правила
ДГ = 1/2 конечное состояние имеет Τ = 1/2. Однако низкоэнер-
гетические фазы рассеяния π-мезонов на нуклонах в состоянии
с Τ = 1/2 пренебрежимо малы, и поэтому А и В можно считать
вещественными. Но, поскольку имеется некоторое сомнение в
СР-инвариантности, мы будем считать А и В комплексными.
Нерелятивистский предел выписанного выше матричного эле-
мента в системе покоя Л°-гиперона имеет вид
где as и ар пропорциональны А и В соответственно. Спинор уц
описывает протон, а спинор %i — Л°-гиперон. В большинстве
случаев Л°-гиперон рождается в сильных взаимодействиях, на-
пример, в опытах по ассоциативному рождению. В таких слу-
чаях Л°-гиперон поляризован перпендикулярно плоскости реак-
ции. Нормаль к этой плоскости мы будем обозначать через п.
Точнее говоря, возьмем η в виде л = k X Рк1\к ХРл\, где ft —
направление падающего пучка. Если поляризацию Л°-гиперона
обозначить через Р\, то квадрат матричного элемента запишет-
ся в виде
I °* I2 = Xt К + %° ■ Яя) Х+РА2а'П (а'в + а а · дп)%[. (33.3)
Найдем вероятность перехода в состояние, в котором протон
поляризован на величину Рр в направлении т. Выражение
мы можем заменить выражением
Σ (tf). К* ( г Ч = SP (Μ 2 ) ·
f
Тогда мы получим
W = T Sp {(αβ + αρσ ■ ~qn)(\ + ΡΛσ . п)(а1 + ара.дя)(1 + Ppo-m)}.
Простые преобразования приводят эту формулу к виду
\°М? = \[Ы2 + \ар\2 + 2Р^{а>е)Яп-П +
+ 2Рр Ща'рав) дп-т + РАРрт · η (| as |* - | % ?) +
+ 2РАРр | ар ρ дп-тдл-п + 2РАРр Im (asap) дп-пхт}. (33.4)
38*

596
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Если поляризация протона в опыте не измеряется, мы можем
положить Ρν = 0 и в результате придем к выражению
\cM? = ±(\as\2 + \ap\2)(l+PA i^pVla'p cos6)' (33·5>
где θ — угол между нормалью к плоскости рождения Л°-гиперо-
на н импульсом π-мезона. Если поляризация Рл не равна нулю,
а на опыте обнаружена зависимость от cos θ (другими словами,
«вверх» от плоскости рождения испускается больше π-мезонов,
чем «вниз», т. е. имеется асимметрия верх — низ), мы заклю-
чаем, что ни as, ни ар не должны обращаться в нуль, и четность
не сохраняется. Следуя нашим рассуждениям в гл. 30, мы заме-
чаем что инвариантность относительно зарядового сопряже-
ния С требует, чтобы as и ар отличались только множителем I,
если не учитывать эффектов взаимодействия в конечном состоя-
нии. Поскольку эти эффекты очень малы*), заметная асимме-
трия верх — низ показывает, что С-инвариантность также нару-
шается. Вероятность распада выражается формулой
+ 1
ρ J d cos θ I о^|2 = ρ (Ι ω J2 +1 «p P), (33.6)
где р— множитель, с помощью которого учитывается фазовый
объем. Число распадов с π-мезонами, вылетающими вверх, про-
порционально выражению
pJdcose|^p = lP(|^i2 + |flp|2)(i +{рл |Qs2pe+7apPp)·
о
Следовательно,
N*~N* _ 1 d 2Reos°P
Ν+ + Ν+ 2 Рл \as\i + \a„\1 ■ (33J)
Если угловое распределение вылетающих π-мезонов записать
в виде
W (Θ) = 1 + аРл cos θ, (33.8)
то оказывается, что
2 Re a„a„
«=1—,tJ.i 12· (33.9)
Параметр α измерялся во многих опытах,**). Для процесса
Л° — ρ + п~ его величина равна
α = 0,62 ± 0,05***), (33.10)
*) Фазы и S-, и Р-волны πρ-рассеяния при полной энергии в системе
центра масс, равной 1115 Мэв, менее 10°.
**) См., например, [1].
***) В работе [2] получено значение а=0,65±0,02. (Прим. перке.)

ГЛ. 331 АНАЛИЗ НЕЛЁПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ 59?
Для определения параметра а из асимметрии верх — низ необ-
ходимо знать не только величину, но и знак Рл.. Однако из фор-
мулы (33.4) мы видим, что если взять неполяризованные
Д°-гипероны и измерять поляризацию протона в продольном на-
правлении (т = —qn), то можно получить ту же информацию.
Поляризацию протона и ее знак можно определить по рассеянию
на ядрах, и именно таким образом был установлен знак а. Ясно,
что, изучая поляризацию протона в различных направлениях,
мы можем получить другие комбинации параметров. Были из-
мерены следующие величины:
p==I^FTiSF = 0'19±0'19' (ЗЗЛ1)
\as\3-\ap\2
v-Ы' + Ы'-0'78*0'04· (ЗЗЛ2)
Если имеется инвариантность относительно обращения вре-
мени, то β должна обращаться в нуль*). Экспериментальные
данные недостаточно точны для того, чтобы определить, нару-
шается ли в этом распаде Г-инвариантность. Для распада
А°~+п + π°
был измерен параметр а, и оказалось, что [3]
а^?) -МО ±0,27**). (33.13)
Последнее согласуется с предсказаниями правила AT = 1/2, по
которому это отношение должно равняться 1.
В пределах ошибок эксперимента константы as, ap либо од-
новременно вещественны, либо одновременно мнимы. Из приве-
денных выше экспериментальных данных следует, что
— = 0,35 + 0,03, (33.14)
as
так что распад идет преимущественно через 5-волновый канал.
*) Говоря точнее, с учетом правила АГ^'/а β = 0,56 (ап — ai) Мцв
р=юо——'
с
т. е. β~—0,06, причем an и cti суть Pi/2 и Si/г-фазы, обе для состояния
с изоспином '/2.
**ч г 0,73 ±0,18
) Согласно последним данным это отношение равно .„. „ „„. (Прим.
перев.)

5Θ8
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Для распадов Е^гиперонов получены следующие значения
параметра а [4, 5]:
α(Σ+->ρ + π°) = -0,78 ±0,10,
α(Σ+-^η + π+)=-0,03±0,08, (33.15)
α(Σ""-»·η + π~) = - 0,10 ± 0,15 *).
Малость величины α в последних двух случаях указывает на то,
что эти распады идут через один канал. Как обсуждалось в пре-
дыдущей главе, правило Δ7* = 1/2 совместно с данными о по-
стоянных этих распадов требует, чтобы один из них шел через
5-волновый канал, а второй — через Р-волновый канал. До сих
пор еще не определено, какой из распадов идет через какой
канал**). Все, что требуется для этого, — найти знак у, кото-
рый можно установить из измерений поляризации нейтрона.
Однако этот трудный эксперимент еще не проделан ***).
Для распада
величина параметра α также измерялась и оказалась равной
ав. = — 0,48 ± 0,08 ****). (33.16)
Интересно обсудить роль SU(3) -симметрии в нелептонных
слабых взаимодействиях. Ясно, что гамильтониан Hw не инвари-
антен относительно группы St/(3), поскольку в слабых взаимо-
действиях не сохраняется странность. Вообще говоря, гамильто-
ниан Hw может быть суммой членов, каждый из которых преоб-
разуется как некоторый «неприводимый тензор» относительно
группы SU(S). В распаде
октет барионов —> октет барионов + октет мезонов
*) Усредненные последние данные приведены в приложении Берже к
уже упомянутому докладу Кабиббо на XIII конференции по физике высоких
энергий
α (Σ^)=- 0,960 ±0,067,
α (Σ+)=-0,08 ±0,037,
α(ΣΙ)=-0,017 ±0,042.
{Прим. перев.)
**) В недавней теоретической работе, исходя из SU(6) -симметрии вме-
сте с предположениями о трансформационных свойствах Hw, получено пред-
сказание, что α8(Σ+-> «+π+)=0 (см., например, [6]).
***) Согласно Берже γ(Σ^)<0, поэтому распад Σ^ идет через Р-вол-
новый канал. (Прим. перев.)
****) Измерения [7] дают α(Ξ)=— 0,391 ±0,032. (Прим. перев.)

ГЛ. 33] АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ 599
в гамильтониане Hw в принципе могут появиться все представ-
ления, содержащиеся в прямом произведении 8x8X8. Наблю-
даемое выполнение правила AT = 1/2 говорит о том, что октет-
ные члены в Нт существенно больше всех остальных. Даже если
мы предположим, что гамильтониан Яы преобразуется как октет,
мы не сможем вывести отсюда много нового о нелептонных рас-
падах гиперонов. Причина этого состоит в следующем. Если
правило AT = 1/2 считать справедливым априори, остается толь-
ко четыре независимых процесса, которые можно реально на-
блюдать. Они описываются амплитудами
а(Л°-^р + л."~) = а(Л°_),
α(Σ+->η + π+) = α(ΣΧ),
α (Σ~ -* η + л~) = α (ΣΖ),
α (Ξ" -» Л° + πΤ)= α (βΖ),
а амплитуды остальных процессов
α(\°->η + π°)^α(Λ§,
а(2+-*р + я0) = а(1о+),
Ω(Ξ0->Λ°+πθ)^Ω(Ξ2)
выражаются через них при помощи этого правила *). Однако
можно выписать гораздо больше октетных амплитуд. Матрич-
ный элемент типа ( Ψβ+ρ|#η>|ΨβΙ) может иметь столько неза-
висимых членов, сколько унитарных синглетов имеется в разло-
жении 8X8x8x8, т. е. восемь амплитуд. Фактически это
число завышено. Если представить барионы и мезоны матри-
цами 3x3 (уравнения (18.17) — (18.20)), а гамильтониан Hw —
матрицами λ6 или λ7, в соответствии с тем, как преобразуется
«шпурион» (как К0 или как К0), то амплитуды принимают вид
aiSp(BBPKe) + a2Sp (ΒΒΡλ7) + ... + a.iSp{BP)Sp(Bfo) + ...
(33.17)
Их число можно уменьшить, воспользовавшись следующим то-
ждеством, справедливым для 3 Χ 3-матриц с нулевым шпуром:
Sp(ABCD + ABDC + ACBD + ACDB + ADBC + ADCB) =
= Sp{AB)Sp{CD) + Sp(AC)Sp{BD) + Sp(AD)Sp(BC) (33.18)
Далее их число уменьшается благодаря СР-инвариантности,
если считать ее хорошим приближением. S-волновые амплитуды
*) В дальнейшем через α5(Σ+) будет обозначаться амплитуда S-волны;
верхний индекс соответствует заряду распадающейся частицы, а нижний ин-
декс — заряду π-мезоиа.

600
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
не сохраняют четность и поэтому они должны быть нечетны от-
носительно зарядового сопряжения С. Для этой операции мы
имеем *)
Р^РТ,
~ва-+-е$в1, (33.19)
Здесь греческими буквами обозначены спинорные индексы, а
шпур будет браться по SU(3) -индексам. В итоге при зарядовом
сопряжении типичный член Sp(BaBaPKk) преобразуется следую-
щим образом **):
sP(BaBaPKk)- - (<?-%,(еаа) sP(bZbt„p%) =
= - Sp {BTB~TPTKk) = Sp (λΙΡΒΒ) = Sp (BBKkP). (33.20)
Следовательно, такой член может появиться только в комби-
нации
Sp(BB\PKk-XkP\). (33.21)
Если учесть тот факт, что λβ = λβ и λ7 = — λ7, то прямым вычис-
лением можно показать, что наиболее общий вид S-волновой
амплитуды, содержащей λβ, выражается формулой
М, Sp (ββ [λ6, Ρ]) + Μ25ρ(ββ[λ6, Ρ]) +
+ i Л3 {Sp (βλ6) Sг ( зр) - Sp (B~P) Sp (βλ6)}. (33.22)
Для Я-волновой (сохраняющей четность) амплитуды типичный
член имеет вид 5ρ(βα(γ5)αβββΡλ6), и единственным отличием от
формулы (33.20) будет наличие матрицы \ц:
Sp (Ву5ВРК6)^ - (β~\β) Sp(firfirP\).
Здесь прямое вычисление также показывает, что имеются четы-
ре независимые Р-волновые амплитуды, содержащие λβ· Мы не
рассматриваем членов, преобразующихся как hi, поскольку
имеются основания полагать, что в гамильтониане Hw содержит-
ся только симметричная матрица λβ. Этот вопрос мы обсудим в
следующей главе. Согласившись с этим, мы отмечаем, что в
*) Правило преобразования мезонов было установлено ранее, в (18.18).
Вид преобразования барионных матриц 3X3 под действием оператора С сле-
дует из правил, полученных для простого спинора в (2.90), причем SU(3)-
индексы также следует переставлять.
**) При переходе к третьему равенству в формуле (33.20) знак изме-
нен по той причине, что при транспонировании В и В меняются местами, а
поскольку они — фермионные операторы, они антикоммутируют.

ГЛ. 33] АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ 601
формуле (33.22) три параметра описывают четыре независимые
S-волновые амплитуды. Следовательно, мы можем получить со-
отношение между ними. Шпуры в формуле (33.22) легко вы-
числяются, и в итоге мы приходим к следующему соотноше-
нию [8—10]: _
2as (ΞΙ) = as (Λ0-) + \r3 as (Σ0+). (33.23)
Нет оснований полагать, что то же соотношение справедливо
для Р-волновых амплитуд*). Тем не менее эксперименты свиде-
тельствуют о его наличии (рис.
115) [12].
Приведенные выше рассу-
ждения можно применить и к
нелептонным распадам /(-ме-
зонов. Наиболее общий мат-
ричный элемент, содержащий
h и три псевдоскалярных ме-
зона, имеет вид
Sp(P3X6)~ Sp P2 Sp (Ρλ6). (33.24)
Это преобразование следует из
тождества (33.18). Далее,
Sp(PK6)=K° + K°=V^Kl
Отсюда следует, что распад
К\-> 2π запрещен!
Поскольку отношение посто-
+ I О
•л + π
115. Проверка соотношения
2α(ΕΖ)=ν3α(Σ+) + a(A°J).
Два возможных значения У За (Σ + J соответ-
ствуют двум знакам константы γ , найден-
ной по экспериментальному значению а~.
янных распадов К
и К\ —*■ 2л известно плохо, неясно, насколько серьезен этот ре-
зультат [13, 14]. Это все, что мы можем сказать о нелептонных
распадах.
Лептонные распады гиперонов до самого последнего време-
ни не были изучены в деталях. Были определены полные по-
стоянные распадов, и они оказались аномально малыми. Если
бы, например, матричный элемент распада
А0-* р + е~ + ν
был тем же, что и для ядерного бета-распада, то предсказание
для постоянной этого распада получалось бы на основе соотно-
шения
(F (η) τ)Α = (F (η) τ)„ - -~ сек. (33.25)
In 2
*) Ли вывел соотношение для амплитуд Л-волны на основании невер-
ных гипотез. Тщательный анализ минимально необходимых предположений
дан в работе [11].

602
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. IV
Непосредственная численная оценка дает следующий резуль-
" тат *):
1п2 1 I M\-Ml\5
~тшг зо(ifesf] ~6·10? "*"· <33·26)
Экспериментальное значение постоянной распада равно
Г(Л° — ρ + е- + у) = 0,88 · Ю-3Гполн(Л°) = 3,4 · 106 сек-1.
Оно на порядок меньше, чем ожидалось. То же самое верно и
для других лептонных распадов гиперонов**). Таким образом,
если сохранять концепцию универсальности, то делать это нуж-
но менее грубым способом, чем тот, который состоит в простом
добавлении в гамильтониан Hw членов с AS = 0 и AS = 1 с оди-
наковыми коэффициентами.
Если предположить, что матричный элемент бета-распада
Л°-гиперона имеет простой вид
<ΨΡ I fv.. + J а, . Ι Ψλ> = -~ й (ρρ) (/ννα ~ F „γ<*γ5) и (рл), (33.27)
то измерения постоянной распада вместе с измерениями асим-
метрии вылета электронов относительно плоскости поляризации
Л°-гиперона дают значения [16]
Fv = 0,24 ± 0,02, FA = (0,8 ± 0,3) Fv. (33.28)
При этом предполагается еще, что Fv и FA — вещественные
константы. В следующей главе мы увидим, что это предположе-
ние находится в согласии с некоторыми теоретическими выво-
дами. При наличии подробных экспериментальных данных ста-
нет возможным более детальный анализ распада Л°-гиперона,
исходящий из общего матричного элемента
й {Рр) {\aFv W) + fFs (<72) + iFM {q2) a-\ - yf\5FA (<?2) -
- Qa\5F ρ (q2) + Юм (q2) y^qj «(PA). (33.29)
Дело в том, что рожденный в сильных взаимодействиях Л°-гипе-
рон обычно поляризован. Нужно измерить лишь параметр асим-
метрии а, а поляризацию Л°-гиперона можно определить непо-
*) Для интеграла по фазовому объему, появившегося в (31.22), хоро-
γ.5
шим приближением для больших η служит функция -~т-.
**) Например, ГЭКСп (Σ~ -> ne_v)/rTeop = (2,2 ± 0,4) · Ю-" и ГЭКсп (Е~ -*
~> Л° + е~ +ν)/ΓΓ = (12 ± 7)· Ю-2. Этн данные взяты из работы [15].

ГЛ 33]
АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ
603
средственно из измерении асимметрии верх — низ в нелептонном
распаде. В этом смысле любой бета-распад Л°-гиперона являет-
ся экспериментом типа опытов с Со60. Подробное обсуждение
гиперонных распадов можно найти в литературе [17— 19].
Если исходить из замечания, что формфакторы, содержащие
только сильно взаимодействующие частицы, весьма существенно
зависят от гиперзаряда или от передачи импульса, то, очевидно,
приходится отказаться от универсальности и для меняющих
странность распадов заменить константу связи G на ξΟ:
/α = Jv. о + Га. о +1(/". 1 + Ja. i> (33.30)
Аргументы в пользу такой замены мы найдем при рассмотрении
следующей проблемы, а именно лептонных распадов /С-мезонов.
Сначала рассмотрим распад
К* — μ* + ν,
матричный элемент которого при учете лоренц-инвариантности
принимает вид
= y^-~^ku(pt)ya(l-y5)v(pv)q-MpFK(q2), (33.31)
где
q=*pt + /ν ч2=тк·
Как показывают простые вычисления, постоянная распада вы-
ражается формулой
8я
'«к)гЙШ'-^Ь (33'32)
Отметим, что форма зависимости от лептонной массы показы-
вает, что распад К —* е + ν должен быть очень сильно подавлен
по сравнению с распадом К—* μ + v. Это замечание аналогично
нашему результату для лептонных распадов π-мезона *) и
*) Мы снова напоминаем читателю, что зависимость от лептонной массы,
благодаря которой постоянная распада на электрон так мала, является след-
ствием вида связи V — А, который требует, чтобы лептон и антилептон вы-
летали с противоположными спиральностями. В двухчастичном распаде ча-
стицы спина 0 это нарушило бы зэкон сохранения чомента в пределе
т( -> 0. ·

604
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
14. IV
находится в согласии с экспериментом. Сравнение постоянных
распада К- и π-мезонов на μ-мезон и нейтрино показывает, что *)
Г (К -> μν) mh
Г (π -> μν) т„
1--
2 \2
„2
„2 \2
1,3.
(33.33)
Отношение \FKjFn f опять-таки неразумно мало:
0,075,
что ясно говорит о нарушении универсальности,
следующий процесс:
(33.34)
Рассмотрим
JTW + f^J + v,
дающий информацию о матричном элементе (Ψπ° | fv, 11 Ψ*).
Этот член описывает эффекты только сильных взаимодействий,
и поэтому сохранение четности требует, чтобы вклад в него да-
вал только векторный ток /у, i. Из лоренц-инвариантности сле-
дует общий вид матричного элемента
<Ψη° | П. , Ι Ψ*> = (2π)"3 {(Ρκ + рл)а f+ W) + (Ρκ - ρπ)α f (q2)}. (33.35)
Формфакторы f+(q2) зависят только от передачи импульса.
Если в слабых взаимодействиях нарушается инвариантность от-
носительно обращения времени, их относительные фазы не обя-
заны быть вещественными. Это может показаться парадоксаль-
ным в связи с нашим утверждением, что в матричный элемент
дают вклад только сильные взаимодействия. Однако мы не га-
рантированы от того, что член /", i в гамильтониане Hw пред-
ставляет собой сумму членов
Jv, \=*?v,\ + e VV, i + ...
с произвольными фазами.
Постоянная распада легко выражается через формфакто-
ры f+. Мы имеем
-" - — ^-" (р,) v« О - v5) v (Pv) [(рк + Ρηγ f+ + (рк - Pnf L],
V2 (2π)'
так что
G УЪщ
Υ2 (2π)6
4Pt){(PK + W+ + mif-}*>&)·
*) Отношение постоянных распадов взято из работы [201.

ГЛ- 33] АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ 605
При выводе последнего соотношения мы воспользовались сохра-
нением 4-импульса и уравнением Дирака. Из этого соотноше-
ния мы видим, что распад Кез дает информацию только о форм-
факторе f+, если только по какой-то неизвестной причине /L не
превосходит f+ на два порядка. Постоянная распада опреде-
ляется выражением
ir-'si4tt6("-','-^','wp' (33·36)
причем | сМ11 получается как результат несложного вычисления
шпуров
|о^12= |/+ |2[2рк · ρνρκ · Pt + 2pn · pvPn ■ pt + 2pK · ρνΡπ · Pl +
+ 2Ρκ · PiPn · Pv ~ 2Ρκ ■ PnPi · Pv ~ im\ + О Pi · Pv] +
+ m\ | f_ |2 pv · Pl + 2m2 Re /+f_ (pK ■ Pv + Pn- Pv). (33.37)
Если интересоваться поляризацией лептона, под знаком шпура
появляется дополнительный множитель γ{1 + Pi\5n), который
модифицирует выражение для \*М\2 следующим образом: при-
веденное выше выражение умножается на 1/2 и к нему добав-
ляется член
2т1Р1 ΙΓη/+Γ_εαβμσρ°«4Ρ/σ· (33-38)
Здесь Pi — поляризация лептона, а па — 4-вектор, удовлетво-
ряющий обычным условиям (Pi)ana=0 и папа=—1. Очевидно,
что знак параметра, описывающего нарушение инвариантности
относительно обращения времени, следует искать только для
канала /(цз *).
Мы ожидаем, что формфакторы /± как функции q2 не слиш-
ком сильно меняются в области значений q2, охватываемой
экспериментом. Мы могли бы выписать дисперсионные соотно-
шения для этих формфакторов (точно так же, как это делалось
в гл. 26 для электромагнитных формфакторов) или просто нари-
совать возможные графы для этого процесса (рис. 116). В лю-
бом случае ясно, что единственным возможным резонансным со-
стоянием, которым могут обмениваться лептонная вершина и
/(зт-вершина, является векторный резонанс К*. Квадрат его
*) Измерения компоненты поляризации μ-мезона, нормальной к плоско-
,. | „II 3μ· Рп Χ Ρμ
стн распада остановившегося Д-мезона, \Н„ =—г——\.· \ ■ дают значение
Ι Ρπ Χ Ρμ I
[ΡμΙ =0,04 ± 0,35, согласующееся с Г-инвариантностью [21].
(Новые данные [22] дают значение \р£ | = 0,003 ± 0,014. (Прим. перев.))

606
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
массы много больше, чем максимальное значение q2—(tnK—тл)2.
Поэтому для анализа экспериментальных данных достаточно на-
писать феноменологические формулы
Μ<?2)=Μ0)+λ+-4-< <33·39)
Прежде чем заняться непосредственным обсуждением экспе-
риментальных данных, следует сделать еще одно замечание.
Рис. 116. Некоторые возможные графы для вершин
в распаде Ki3-
Если бы для /(π-вершины на рис. 116 мы использовали теорию
возмущений, то связь К*Кп можно было бы записать в виде
WX(^4-^4)· (33.40)
Величина fK*m известна из ширины К*, но, поскольку вершина
очевидным образом зависит от q2, а связь резонанса К* с леп-
тонной парой пока неизвестна, знание этого параметра дает не
слишком много. Полный матричный элемент пропорционален
выражению
„μν ?У
И 2
/Tib'*
(Ρκ + Ρη)μ——-r-«(Pi)YvO -YsWPv). (33-41)
в котором появляется функция распространения векторного ме-
зона.
Это выражение можно переписать в виде
(33.42)
1 Г „ ml — rnrn
4"2_m2 \(РК + Ря) т2 (Ρ К'
из которого следует, что
f_(0) ml-ml
0 3
f+ (0) m\*
-Pnf
(33.43)
- - f+(0) η
Отметим, что в пределе точной унитарной симметрии —.—tqt- = v.

ГЛ 33] АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ 607
Вычисления с формулами, выведенными в (33.36) и (33.37),
нехитры, но утомительны*). Мы ограничимся резюмированием
результатов нескольких экспериментов. Анализ всегда прово-
дился с вещественными формфакторами, поскольку опыты по
измерению поперечной поляризации лептона согласуются с
Г-инвариантностью. Зависимость вероятности распада от энер-
гии лептона имеет вид
+ fi.m\ {mKpt - mf) + 2/+f_ (2т*т£ + m\ - Зт^р,)}, (33.44)
где . . _ .
о 2 2
mt- + ту — т„
2тК
— максимальная энергия лептона. Отсюда, в принципе, можно
определить отношение f-/f+. Фактически оказывается, что спектр
не слишком чувствителен к вариации этого отношения. Более
точные данные получаются из сравнения полных постоянных
Кцз- и /Сез-распадов. Здесь имеет место формула
0,65 + 0,12 ~- + 0,02 (γ-)2- (33.45)
Два эксперимента, один с распадом /f° (он проводился в связи
с правилом AT = 1/2), а другой с распадом /С+, дали для отно-
Г (Кцз)
шения -г.„ . значения 0,73 ±0,15 и 0,65 ± 0,2 соответственно
[24, 25]. В каждом случае для f-/f+ получается два решения.
Одно решение дает
» -{^ =-0,5 ±1,0,
' +
т. е., грубо говоря, отношение f-/f+ мало. Другое решение при-
водит к величине /L//+ = —7 ±1. По μ-мезонному спектру
(рис. 117) мы видим, что предпочтительнее меньшая из этих ве-
личин **).
*) Весьма детальное обсуждение этого процесса можно найти в [23].
**) По последним данным, основанным на новом опыте с распадом
Кц% /-//+ = 0,46 + 0,27. Детальное обсуждение и ссылки см. в обзоре [27].
(Согласно последним данным, спектр μ-мезонов и отношение rw/re3
приводят к различным отношениям /-//+- Объяснить этот факт можно, если
учесть зависимость формфакторов /± от q\ (см. упоминавшийся выше доклад
Кабиббо). (Прим. перев.))

608
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. IV
Мы не касались еще вопроса о возможном подавлении ме-
няющего странность тока Jv, i- Для проверки сравним постоян-
ные распадов
К+^п+е+ + v
и
π+ ^п° + е+ + v.
Первая из них выражается формулой
М4г) т«0-8*2 + 8*6-*8~2АхЧпх){1\)к, (33.46)
G2MAp
768π3
где х = тп/тк. Отметим, что в этой формуле не появляется f_
Ι 1 I I | 1 | 1 I I Г
5 15 25 35 45 55 65 75 65 95 105 115 125 135
Мэв
Рис. 117. Спектр кинетической энергии ц-мезона в рас-
паде К+ -> μ + + π° + v.
Теоретические кривые соответствуют значениям ξ «* t~/f+ = ~s и
ξ = -■) [26].
Постоянную распада
п+ ~* п° + е* + ν
(33.47)
можно вычислить тем же способом, и в итоге получается фор-
мула [23]
(33.48)
х — ■
Δ =
2 9 9
т +-т , + пг
2тл+
Прн ее выводе следует исходить из выражения
<*ЖЛ V)=<*>>«♦+ма?Д,- (33·49)

ГЛ. 331 АНАЛИЗ НЕЛЕПТОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ РАСПАДОВ
609
Проведя численный расчет, найдем
Г (π+ -► π° + е+ + ν) » 0,20 (р+)я. (33.50)
Экспериментальное значение этой постоянной равно
Г (я+ -+ π° + е+ + ν) = (0,45 ± 0,09) сек'1, (33.51)
откуда следует, что
0+)я=1,5±ОД (33.52)
С другой стороны, экспериментальное значение
Г {К+ -* η + e+v) « 6 · 106 сек~1 (33.53)
приводит к величине
0+)*«О,15. (33.54)
Итак, снова оказывается, что меняющий странность ток связан
с лептонами примерно в восемь раз слабее, чем ток с AS = 0.
Со временем эксперименты с более редкими каналами
распадов существенно увеличат наши знания о матричных эле-
ментах меняющих странность токов. Для указания конкретных
целей экспериментов обычно требуется какая-нибудь теория.
Теперь мы перейдем к описанию некоторых последних теорети-
ческих исследований вопроса о токах.

Глава 84
СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО
СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ
Как уже давно известно, наиболее естественный способ вве-
дения в теорию аддитивной сохраняющейся величины состоит
в требовании инвариантности относительно подходящих калиб-
ровочных преобразований. Это требование, накладываемое на
лагранжиан (т. е. плотность функции Лагранжа), приводит к
определению сохраняющегося тока, интеграл по пространству
от нулевой компоненты которого и представляет собой сохра-
няющееся квантовое число. Именно таким образом мы говорили
о заряде, и аналогичные рассуждения применимы к бариониому
числу и гиперзаряду (в последнем случае только в пренебреже-
нии слабыми взаимодействиями). Можно использовать тот же
формализм для описания сохранения изотопического спина. По-
строить сохраняющийся изотопический ток совсем нетрудно.
В теории, содержащей только π-мезоны и нуклоны, такой ток
выражается формулой
Я? = J W(fe4 ~ *ft, (Т<к% <Урр. (34.1)
Включая в рассмотрение другие частицы, мы должны добавить
в правую часть вклады от каждого из полей, связанных с этими
частицами. Аналогичная конструкция для теории с St/(3)-инва-
риантностью приводилась в гл. 18. Конечно, тот факт, что мы
можем формально построить токи, вовсе не означает, что эти
токи обязательно играют роль во взаимодействиях. Лишь после
выяснения структуры слабых взаимодействий выявилось важное
значение, которое имеют токи в физике элементарных частиц.
В своей статье о форме слабого взаимодействия [1] Фейнман
и Гелл-Ман обратили внимание на замечательное равенство
величины Gu, характеризующей интенсивность взаимодействия
при распаде μ-мезона (если не учитывать не превышающих
0,5% электромагнитных поправок, то Ωμ — это неперенормиро-
ванная константа связи), и величины Gv, характеризующей ин-

ГЛ 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 611
тенсивность векторной связи в бета-распаде ядер*) (см. гл.31).
На языке теории поля мы сказали бы, что, как оказывается,
сильные взаимодействия не перенормируют слабую константу
связи. Фейнман и Гелл-Ман напомнили, что такая ситуация
не нова для физики элементарных частиц. Электрический заряд
также не перенормируется сильными (и фактически любыми)
взаимодействиями. Из-за тождества Уорда (см. гл. 13), следую-
щего из калибровочной инвариантности, электрический заряд
перенормируется только благодаря радиационным поправкам к
функции распространения фотона. На все заряженные частицы
они влияют одинаково, и причина этого состоит в сохранении
заряда. Какова бы ни была структура частицы, каково бы ни
было распределение заряда в «облаке», окружающем «голую»
частицу, полный заряд всегда остается тем же самым, т. е. не
перенормируется при наличии взаимодействий.
Вид векторного тока слабых взаимодействий,
^.ο = Φ»υ4+···. (34-2)
говорит о том, что его изотопические свойства описываются
1 , . ч
матрицен τ_ = -~\Х\ — п2):
К. о = Η 1λψ1 Ψ + · · - - ^' - &* μ· (34.3)
В тех же обозначениях электромагнитный ток запишется в
виде
? = Э&» + ±?™». (34.4)
Первый член представляет собой третью компоненту изотопиче-
ского тока, а второй член — ток гиперзаряда, так что интеграл
от их нулевых компонент по всему пространству дает обычный
результат:
Матричные элементы, взятые от первого члена, связывают
два однонуклонных состояния и могут быть измерены в опытах
по рассеянию электронов на нуклонах. В сущности, это —
*) Напомним, однако, что значение G? было получено из среднего вре-
мени жизни О14 в предположении, что мезонными эффгктами в ядре можно
пренебречь. Следующие ниже рассуждения показывают, что в действитель-
ности вычисления гл. 31 точны, если не учитывать электромагнитных эф-
фектов.
3»*

612
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
изовекторные формфакторы, определяемые формулой
<Ψρ- I *? | ψΡ> = (2яГ3 й W) [yJF\ (q2) + io^Fl (q2)] и (р), (34.5)
где
F?(0)-j, ^(0)--!^. (34.6)
Это приводит к следующей формуле для компоненты изотопиче-
ского тока, понижающей заряд:
<4V I Я?-<*?!%>-
= рй)г йп И ЬЛ (Λ + ЧУ ^ И "р <">■ (34·7)
В нее входят те же формфакторы F\ и F\. Эквивалентность
между формулами (34.5) и (34.7) следует из теоремы Вигнера—
Эккарта. Это отождествление слабого адронного векторного
тока с сохраняющимся изоспиновым током мы будем впредь на-
зывать гипотезой о сохраняющемся векторном токе *) (сокра-
щенно СВТ). Чтобы проверить ее справедливость, рассмотрим
некоторые предсказания теории с СВТ.
1. Бета-распад π-мезона
п* —* л° + е+ + ν
описывается в этой теории матричным элементом
(ψΑΚ~^\ψ«+)=^~3 fo+ν)Λ(('«·-Μ> <34·8)
Для нахождения величины /+(0) мы заметим, что имеет место
соотношение
J d4 <ΨΠ„ | Д» (х) - &*> (х) | Ψπ+) =
= J аЧе'С^У (2яГ3(рл0 + Pn+)J+ ((РлВ - ря+у) =
С другой стороны,
{^<Ψπ0|^)(Χ)-^)(Χ)|Ψπ+) =
- <ψ*° I Т-1 ψ*+> - 2ω*δ (/V - Ρη+) V 2·
*) Поскольку мы не знаем, действительно лн «голый», т. е. неперенорми-
рованный ток имеет вид (34.2), то недостаточно сказать, что ток сохра-
няется. Произвол фиксируется требованием, чтобы он равнялся изотопиче-
скому току, а не удвоенному ему, например.

ГЛ. 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 613
Следовательно,
f + (0) = 1/2. (34.9)
Экспериментальное значение, выписанное в формуле (33.52), на-
ходится в согласии с этим предсказанием. Следует отметить, что
даже если ток /v>0 не имеет ничего общего с изотопическим
спином, матричный элемент (Ψπο|/^ ^Ψ^) вряд ли обращался
бы в нуль, так что процесс проходил бы, но с неизвестной нам
интенсивностью. Для теории СВТ характерно предсказание этой
интенсивности. Поскольку другие теории не дают никаких пред-
сказаний, наша вера в гипотезу СВТ основана на согласии ее
следствий с опытом, а не на недвусмысленном отказе от аль-
тернативных гипотез.
2. Более серьезная проверка теории СВТ, предложенная
Гелл-Маном [2], основана на том факте, что эта теория пред-
сказывает наличие векторной связи типа связи с магнитным мо-
ментом. Член ''σμν^ν/72 (Ο) дает явный вклад в переходы типа
Гамова — Теллера, поскольку он пропорционален σ Χ д. Если
дополнить бета-распадную связь членом, описывающим «сла-
бый магнетизм», мы получим выражение
Х [^ ~ »" JW1 <V?V - YuVs] "«(ρ)· (34.10)
Нерелятивистский предел, в котором остаются только члены
типа Гамова — Теллера, тогда дает выражение
+ u(pe)y4l-y5)v(pv)[a'Pn^'Pp]}. (34.11)
Здесь подразумевается, что члены в квадратных скобках стоят
между двумя спинорами, представляющими протон и нейтрон
соответственно. Первый из них — это обычный аксиальный член.
Второй член порожден векторным током. Он линеен по д и не-
велик для бета-распада. Последний член обязан своим проис-
хождением нулевой компоненте аксиального тока. Если бы мы
не приняли гипотезы СВТ, в бета-распаде нейтрона (без учета
мезонного облака) все же сохранился бы второй член (от γμ
в формуле (34.10)). Однако коэффициент при нем оказался
бы равным единице вместр 1 + μρ — μη = 4,7. Таким образом,

614
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч IV
исследование этого члена обеспечивает весьма строгую про-
верку теории СВТ.
Гелл-Ман предложил обнаружить этот член путем тща-
тельного изучения спектра е± в распадах ядер Ν12 и В12 в С12.
Первые два состояния имеют квантовые числа 1+ и принадлежат
мультиплету с Τ = 1. Основное состояние ядра С12 имеет кван-
товые числа 0+ и Τ = 0 (рис. 118). Член изотопического трипле-
та с Тг = О, С12 *, переходит в основное состояние с испусканием
γ-кванта. При этом главный вклад дает магнитный дипольный
Рис. 118. Схема ядерных уровней, на которых
Гелл-Ман предложил проверять гипотезу СВТ.
переход, и магнитный момент можно вычислить по наблюдаемой
ширине распада. Такое вычисление подтверждает, что в радиа-
ционном распаде доминирующую роль играют аномальные мо-
менты [3]. Если пренебречь последним членом в выражении
(34.11), то квадрат матричного элемента е~-распада принимает
вид
Sp[Yfc(l -Ys)PvU +\5)\'{Pe + me)] X
Χ (0« + Ш eMql) (0" ~ Ш etlmQm) ■ (34.12)
Здесь введено обозначение Δ = 1 + μρ— μη и использовано со-
отношение
(σ{) (α,) ~ δ„.
Непосредственно вычислить шпуры нетрудно. Если пренебречь
отдачей ядра, останется только 6-функция, обеспечивающая за-
кон сохранения энергии, b(Ee+Ev — Еыакс). Выражение для
спектра электронов будет содержать обычные члены, только
множитель 3EeEv, идущий от шпура, заменится на
3£P£v[l + ^(£e-£v-^)]. (34.13)
Поправочный член для спектра е+ имеет противоположный знак,
и поскольку гпе < ЯР и £v = Ямакс — Ее, мы получаем следую-

ГЛ. 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 615
щую поправку к отношению выражений для спектров е~ и е+:
4АЕе
1С А
(34.14)
1+-
зм
4А£е
ЗМ
1 * з t>M е
2М
Разница в знаках следует из того, что эффекты «слабого маг-
нетизма» возникают в результате реальной интерференции ме-
жду векторным и аксиальным членами, а V — А для распада
на лептой переходит в V + А для распада на антилептон. По-
следний член в (34.11) можно было игнорировать потому, что
Щ
W
* ОМ
£.
ом
ом
R
T-^-^"i (0,57*0.11) 7. на МзВ
t ~^-ki -(ОМ^ ОМ) % на МзВ
_1 L
8 10 12
Энергия β-электронов, Мэв
ΙΙ
Рис. 119. Экспериментальные значения поправочных
множителей для В12 и Ν12 и теоретические прямые
по теории СВТ [5].
он не меняет знака и сокращается в отношении. Детали вычис-
ления и ряд поправок можно найти в очень интересной статье
By [4]. Экспериментальные результаты изображены на рис. 119
и находятся в полном согласии с теорией СВТ [5—7].
3. Эксперименты с высокоэнергетическими нейтрино
νμ + ρ -» η + μ+,
вскоре будут проведены на водороде и дейтерии. Наиболее об-
щий вид матричного элемента для процесса νμ + ρ :г* η + μ+

616
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ГЧ. IV
выражается формулой *)
G УШ^
W "lao·"д (Ρμ) Υα (Ι" V5)"{Pv) x
X U(pn) [yaFvt W) + ia\Fl tf) - y\FA (q>) - q\Fp (q*)} и (рр).
Формфакторы F\ (q2) и Fl (q2) известны из опытов по рас-
сеянию электронов на нуклонах, и это поможет в определении
других формфакторов.
Вычисление сечения про-
цесса νμ + ρ ->■ η + μ +
через формфакторы за-
няло бы слишком много
места. Здесь мы просто
представим графики
сечений для процессов
^μ + Ρ -* η + μ+ и
Xu + n-^p+μ-, найден-
ные в предположениях.что
FP = 0, Fl пренебрежимо
мал и FA (q2) = F\ (q2)
(рис. 120). Квадрат ма-
тричного элемента растет
как квадрат энергии ней-
трино в лабораторной си~
стеме, и если бы не было
формфакторов, сечение
росло бы бессмысленным
образом **). Как бы то ни было, рост сечения от σ ~ 12 · Ю-44 см2
для нейтрино из ядерных реакторов***) до в~ Ю-38 см2 при
J L__! I I L.
* S
kv (лаб), Гзд
Рис. 120. Теоретические кривые для сече-
ний нейтрино, вычисленные для FД (<?2)=
=FfC?2) = (i-«V)~2[9].
Пунктиром изображено асимптотическое значение
сечеиия нейтрино.
*) Лоренц-инварнатиость допускает еще и члены qaHv{q2) и
σ** дв\ьНа. Их не будет, если предположить, что: а) токи J v. о и J а, о имеют
определенную G-четность и б) их соответствующие трансформационные свой-
ства относительно С-преобразованнй те же, что у ψρΥαψη и ψΡγαγ5ψη со-
ответственно. Токи с «правильными» G-трансформационными свойствами были
названы Вейнбергом [8] токами первого класса, а опущенные нами члены
обязаны своим происхождением токам второго класса.
**) Даже при наличии формфакторов существующая теория теряет
смысл при энергии около 300 Гэв в системе центра масс, когда вклады
отдельных парциальных волн вступают в противоречие с условием уни-
тарности.
***) Кривая на рис. 120 взята из статьи [9], в которой содержатся вы-
числения, подтверждающие возможность физики нейтрино (см. также [10,
11]). Впервые нейтрино наблюдались в эксперименте Круэна, Райнеса и др.
[12].

ГЛ. 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 617
энергиях Εν ~ 1—2 Гэв должен сделать возможной экспери-
ментальную физику нейтрино*).
Наша дискуссия весьма естественным образом привела нас
к следующему вопросу. Что мы можем сказать об аксиальном
токе и о связанных с ним формфакторах FA(q2) и FP(q2)? Тот
факт, что величина
FA(0) = 1,18 + 0,02 (34.15)
также близка к единице, мог бы, вероятно, означать, что акси-
альный ток тоже сохраняется. Однако это запрещало бы распад
π->μ + ν.
Этот распад описывается матричным элементом
<Ψο | /5. о | Ψπ> = ^щ 1ЯаРп (q2) = -^p- Fn (ml).
Если имеет место формула
VaJA.O = 0,
то
<ψ01 а„/5. о Ι ψ»> = - iq* <% I /S. о Ι ψ„> = ^% F" (Λ
так что постоянная Fnipin), определяющая вероятность распада
π-мезона, должна обратиться в нуль. Из этого замечания выте-
кает, что ток JAt0 мог бы сохраняться в пределе, когда масса
π-мезона равна нулю. Это может быть установлено двумя спо-
собами: а) матричный элемент (Ψ1 [da/д. о| Ψ2) стремится к
нулю, когда квадрат передачи импульса становится много боль-
ше квадрата массы π-мезона, (pi — Р2) >· tnn [13, 14]; б) дивер-
генция аксиального тока пропорциональна псевдоскалярному
оператору, причем коэффициент пропорциональности стремится
к нулю, когда масса π-мезона стремится к нулю [15]. Моделью
такого типа является теория, в которой имеются нуклоны,
π-мезоны и скалярный мезон σ, τ. е. теория с лагранжианом
J? = N [iyada -g0(a + ix ■ q>v5)] N + \ (даЧ>)2 + \ (даа)2 -
-γμ^2 + *2)-λ0(φ2 + σ2-^)2-^σ. (34Л6)
*) Последние нейтринные эксперименты показали, что, грубо говоря,
F\(q2) имеет тот же вид, что и для рассеяния электронов, и что в пределах
ошибок эксперимента он равен FA(q2). Если бы последнее заключение было
надежнее, оно показало бы, что роль векторных мезонов в электромагнитных
формфакторах преувеличивалась, поскольку соответствующих псевдовектор-
ных резонансов при низких энергиях нет.

618
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Аксиальный ток, обозначаемый через ¥s, берется в виде
?s = γ Nya\5rN + (адау - ψδαα), (34.17)
и легко показать, что
«=4φ· (з4л8)
Оператор в правой части уравнения (34.18) с точностью до чис-
ленного множителя совпадает с псевдоскалярным оператором
мезонного поля. От других псевдоскалярных операторов (умно-
женных на подходящую константу, чтобы матричный элемент
между вакуумом и одномезонным состоянием был таким же) он
отличается тем, что матричные элементы π-мезонного поля, по
крайней мере в теории возмущений, — относительно медленно
меняющиеся функции передачи импульса. Этим модель типа
(34.16) отличается от любой теории, в которой дивергенция ак-
сиального тока оказывается более общим псевдоскалярным опе-
ратором.
С помощью предположения, что взятая между состояниями
с не слишком отличающимися энергиями и импульсами (малая
передача импульса) дивергенция аксиального тока ведет себя
следующим образом:
даЛа(х) = Ст|(р(х), (34.19)
можно вывести соотношение между величиной FA(0) и постоян-
ной распада π-мезона. Выведенное впервые в приближенной
дисперсионной теории Гольдбергером и Трейманом [16], оно
названо их именами. Вывод на основе выписанного выше пред-
положения, обычно называемого гипотезой о частичном сохране-
нии аксиального тока (сокращенно ЧСАТ) *), сравнительно ко-
роче**), а сделанные при этом приближения выявить легче.
Наша первая цель состоит в определении коэффициента С в фор-
муле (34.19). От обеих частей этой формулы мы возьмем ма-
*) В современной теории поля впал в немилость обычай связывать опре-
деленное поле с частицей, например π-мезоном. Более общая формулировка
гипотезы ЧСАТ налагает следующие требования на дивергенцию аксиального
тока: 1) не должны обращаться в нуль матричные элементы дивергенции,
связывающие вакуум с одномезонным состоянием; 2) матричные элементы
дивергенции должны быстро убывать прн увеличении передачи импульса. Ре-
зультаты, получаемые в предположении (34.19), воспроизводятся, если для
матричного элемента дивергенции аксиального тока взять приближение, в ко-
тором в спектральном представлении для него как функции передачи им-
пульса удерживается лишь полюсный член, соответствующий л-мезону [17].
**) Вывод соотношения Гольдбергера — Тренмана, использующий ЧСАТ,
по-видимому, принадлежит Феинману (как процитировано Гелл-Маном и
Леви [15]).

Г Л 341 СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 619
тричные элементы между состояниями с протоном и нейтроном
при одинаковых энергиях и импульсах. С одной стороны, имеем
= I (pa - па) й(р) [yay5FA (q2) + qay5FP (q2)] и (η) =
= 2MFA {q2) й (ρ) iy5 и (п) + q2FP (q2) и (ρ) iy5 и {η) ~
~ 2MFA (0) й (ρ) iy5 u (η), (34.20)
когда qa = ρα — na -> 0. С другой стороны,
<ΨΡ I С ml (φ, - «fc) I Ψ„> = \T2Cml <ΨΡ | φ'"' | Ψ„> =
ml
'"π - (Ρ - и)
= /2"С 2"^ 2 V^S* μ* (<72) й {ρ) iYs η (η). (34.21)
R последнем выражении ΚκΝπ — это π-мезонный формфактор
нуклона, нормированный на единицу при q2 = т2л, так что g —
константа связи π-мезона с нуклоном (g2/4n ^15). Если теперь
сравнить обе формулы при q2— 0 и предположить, что ΚΝΝη (Ο)
не слишком отличается от единицы, то получим
Между прочим, если мы сравним обе формулы при q2=tnn и за-
метим, что формфактор FA(q2) не имеет полюса в этой точке, то
получим соотношение
2MF . (0)
FP(q*)~ 2А\ . (34.23)
На деле этот член дает вклад в постоянную захвата
μ~ + ρ ->· η + ν,
поскольку в таком процессе передача импульса не равна нулю.
Его можно интерпретировать как вклад в μ-захват от π-мезона,
находящегося в облаке вокруг нуклона, и он называется инду-
цированным псевдоскаляром [18, 19]. Возьмем матричный эле-
мент между вакуумом и состоянием с π-мезоном, имеющим
4-импульс q, от соотношения
да?ы (х) « Мт1[А (0) Φ (*). (34·24)

620
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
в котором изотопические индексы опущены. Мы получим
Mml
- /<ΛΨο I ?& - i?& Ι Ψπ> = -=F Fn (ml)
Mm%FA(0) -. , ,_,. Mml V* FA(f»
^2"<ΨΓ|φ,-,|ψΙΙ> = -
(2π)3/2 g
так что
Fn{ml)~nFgA(0) -0,13. (34.25)
Это и есть соотношение Гольдбергера — Треймана. Если мы
вспомним, что величина Ря(тл) связана с fA, введенной в фор-
муле (29.24),
ОМ; тп
мы получим, что экспериментальное значение F„ равно
Fn(mh)~ 0,14,
что находится в довольно хорошем согласии с предсказанным
значением. Этот результат мы считаем достаточно убедительным
для того, чтобы принять ЧСАТ как рабочую гипотезу. Ее можно
проверить также в нейтринных экспериментах [20] *).
Вернемся к меняющим странность токам. Прежде всего от-
метим, что ток Jv< 1 не может сохраняться. Из рассмотрения
членов типа
ΨΛΥαΨρ (34.26)
яснг, что
Яа(^Уа%) = (Мр-Мк)Ък%+ ... (34.27)
Трудно себе представить взаимодействие, вклад от которого со-
кратился бы с членом, пропорциональным разности масс. Оку-
бо [21] отметил, что если бы ток /£ , сохранялся, можно было
бы построить аналог заряда
Qi = | (fxfv,, (jc), (34.28)
*) Еще один аргумент в пользу ЧСАТ следует из соотношении, обсу-
ждавшегося на стр. 413.

ГЛ 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 621
коммутирующий с полным гамильтонианом. Отсюда, однако,
следует, что
<ψΛ|[0,. ^1Ιψρ> = (^-^λ)<ψλ^>Ιψρ> = ο.
т. е.
|Λ(ΨΛ|/ο,,(Χ)|Ψρ) = 0. (34.29)
Поскольку ток /", 1 приводит к переходам между протоном и
Λ-гипероном, он не может сохраняться. В пределе унитарной
симметрии, когда массы всех барионов равны, этот аргумент те-
ряет свою силу, и можно представить себе, что ток Jv, i в этом
пределе сохраняется. Поскольку ток /у. о связан с изотопиче-
ским током, т. е. с токами ¥il)a и ^(2)α группы St/(3), соблаз-
нительно связать ток Jv, 1 с другими токами октета. Кабиббо [22]
предположил, чго меняющий странность ток, отвечающий за пе-
реход протона в Л-гиперон, обладает трансформационными
свойствами генератора V- группы SU(3), т. е. *)
ΓνΛ = Ρ*α-1?®\ (34.30)
Непосредственным следствием этой гипотезы является правило
AS = AQ, а также правило AT = 1/2 для меняющих странность
токов. Она не отвечает на вопрос, как согласовать универсаль-
ность с наблюдаемыми малыми постоянными распадов стран-
ных частиц. Кабиббо сформулировал универсальность посред-
ством утверждения, что полные адронные токи имеют вид
fv = cos θ (^(1)α - lP2)a) + sin θ (^(4)α - *Τ(5)α) (34.31)
fA = cos θ W a - σψα) + sin θ (?Γ - iP?α). (34.32)
Векторные токи сохраняются в пределе точной симметрии SU (3).
Утверждение об их связи с группой SU(3) означает, что заряды
Fu'(t)= \с?х?т{х) (34.33)
являются генераторами группы St/(3) и не зависят от времени.
Предполагается также, что аксиальные токи преобразуются как
октет, так что
Wa(x), F^UifmZT. (34.34)
Мы примем также гипотезу ЧСАТ, по которой
да#£)а {х) ~ МР/1Ф) т2т (х)· (34.35)
*) Эти величины введены в гл. 18 при выводе формулы (18.27).

622
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
С помощью перестановочных соотношений для октетных опера-
торов (17.52) легко показать, что и для векторных, и для акси-
альных токов выполняется соотношение
f = β-*№,(^<1>« _ l70«)e», (3436)
Сделаем несколько замечаний.
1. Угол поворота в формуле (34.36) один и тот же для век-
торного и аксиального токов. Экспериментальные свидетельства
в пользу этого будут приведены ниже. Отсюда следует, что два
типа токов порождены каким-то одним механизмом.
2. Реальный ток получается путем поворота изотопического
тока. Если бы унитарную симметрию нарушали лишь слабые
взаимодействия, никаким способом нельзя было бы отличить
изотопический ток от того же тока, преобразованного после по-
ворота. Мы можем преобразовать и гиперзаряд, получив
Y' = e-2l№'YemF\ (34.37)
Поскольку изотопический ток коммутирует с Y, очевидно, вы-
полняется соотношение
[Λ У'1 = 0. (34.38)
Таким образом, если бы унитарная симметрия нарушалась толь-
ко слабыми взаимодействиями, изотопический спин н сохраняю-
щийся гиперзаряд оказались бы выделенными. Из формулы
(34.37) следует, что эффективный гамильтониан для нелептон-
ных процессов должен иметь трансформационные свойства опе-
ратора У. Поскольку Ψ представляется симметричной матри-
цей, гамильтониан может содержать только симметричную
матрицу λβ и не может содержать антисимметричной λ7. Этот
результат использовался в предыдущей главе при выводе соот-
ношения Ли (33,23).
Определим сначала величину угла Θ. Для аксиальных токов
мы сравниваем постоянные распадов
и
π±->μ± + ν.
Имея дело с распадами частиц, принадлежащих октету, удобно
построить 3 X 3-матрицу, представляющую ток. Она опреде-
ляется формулой
/О 0 0\
\ cos и (λ, - iK2) -+- j sin θ (λ4 - /λ5) = j cos θ 0 0)^7. (34.39)

ГЛ. 341 СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 623
С точки зрения свойств его симметрии матричный элемент
С^о I J а I Ψπ. к) Должен преобразовываться как
Sp(/P) = cos6ji+ + sinetf+. (34.40)
Поэтому из отношения постоянных распадов следует
F» 2
= tg2 θ = 0,075, (34.41)
откуда
вА ~ 0,27. (34.42)
Чтобы найти угол θ для векторных токов, мы сравним постоян-
ные распадов
и
π+ -> л° + е+ + v.
Здесь перед нами возникают две возможности скомбинировать
две матрицы Ρ (соответствующие псевдоскалярным мезонам)
с октетом токов J, поскольку произведение 8X8 содержит пред-
ставление 8 дважды. Однако по своим трансформационным
свойствам этот ток относится к токам чистого F-типа (посколь-
ку он связан с генераторами), так что трудностей не возникает.
Воспользовавшись рис. 39, мы находим, что
(34.43)
т. е. отношение квадратов матричных элементов содержит мно-
этому
f+(K)
Г{К+^п°е+у)
Γ(π+-5.π°β+ν)
р*
~Рл
( sin θ (π° Ι V_
^ cos θ (π° Ι Τ_
\K+)
K>
житель -jtg26. Поэтому
/+(")
=4|tg6|~0,l, (34.44)
если воспользоваться информацией, следующей из формул
(33.52) и (33.54). Следовательно,
θν « 0,22. (34.45)
Итак, с точностью до ошибок эксперимента углы совпадают. Мы
не рассматриваем такой возможности, когда они имеют одина-
ковую величину, но противоположные знаки.
По существу, угол Кабиббо θ является фундаментальной ве-
личиной. Он отличается от параметров типа FA{Q), которые
могут быть вычислены, если мы знаем закономерности сильных
взаимодействий. В каком-то смысле он отражает «разнобой», с
которым нарушают SU(3) -симметрию сильные (оставляющие
подгруппой изотопические преобразования) и слабые взаимо-

624
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
действия. Поэтому его только тогда удастся определить теорети-
чески, когда увеличится наше понимание того, как нарушают
фундаментальную унитарную симметрию различные взаимодей-
ствия. Когда угол θ известен, можно сделать ряд предсказаний:
1. Константа связи G ферми-переходов в бета-распаде за-
меняется на G cos θ = 0,97 G. Это означает, что Cv в формуле
(31.24) следует заменить на G cos θ. Ясно, что вследствие такой
модификации уменьшается различие между неперенормирован-
ной константой G и константой G с электромагнитными по-
правками.
2. Теория Кабиббо позволяет описать большое число лептон-
ных распадов, например:
п-+ р + е~ + ν,
Σ±-±Α0 + β± + ν,
Л0-+р + е~ + ν,
(34.46)
Σ -> η + е + ν,
Ξ"-(2°, Λ°) + <Γ + ν,
Здесь во всех случаях имеются векторная связь чистого /^-типа,
член со слабым магнетизмом, включающий F- и Л-связь, а так-
же аксиальные члены, тоже включающие связь типов F и D.
Если пренебречь всем, кроме главных членов, пропорциональ-
ных γμ и γμγ5, то для векторных матричных элементов получатся
результаты, собранные в табл. 10. Численные множители бе-
рутся из соответствующих мест схемы (рис. 39). 2±-гипероны и
Л°-гиперон в этой таблице не связаны, и поэтому векторный ко-
эффициент для этого процесса обращается в нуль. Фактически
Таблица 10
Матричные элементы векторных токов для
лептонных распадов
Процесс
п —> pe~v
Σ± _^ Λ°β±γ
Λ° —*■ pev
Σ~ —> ne~v
E~ —>. Л°е~\>
Е- _► S°e"~v
E° -► Σ+e'v
Матричный элемент
cos θ · γμ
0
1^3/2 sin θ · γμ
sin θ · γμ
1^3/2 sin θ · γ"
УЩ sin θ · γ*1
-sin θ · γμ

ГЛ. 341 СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 625
все численные множители относятся только к пределу точной
унитарной симметрии, причем еще считается, что и q2=0. Толь-
ко для нулевой передачи импульса закон сохранения тока по-
зволяет току F-THna «проявиться», несмотря на влияние сильных
взаимодействий. При q2 φ 0, с появлением формфактора F\ (q ).
примешиваются токи D-типа. Они-то и связывают 2±-гипероны
и Л°-гиперон. Поскольку для перехода Σ±—>-Л° формфактор
F\\q) пропорционален q2, т. е. довольно малой величине, ре-
зультаты табл. 10 более или менее разумны.
Для аксиальных токов мы предполагаем, что присутствуют
и D-, и F-связь, с интенсивностями α и 1 — а соответственно
Теперь соотношения будут содержать численные параметры, в
соответствии со связью вида
aSp(B{/, В}) + (1 - a) Sp (В [/, В]) =
1 ТО гт- =,-
Sp
J_y0 ,
V2 Σ + ντ
'=-Σ° +
V2
Ua°
Vb
so
2 -го
г=-Л
У б
X
X
(2a-l)(s+cos0 + psine)
(2a-l)osin6 + |/2(l-a)E0cose + yr|aA0cos6E+cose pcosO
^2ysine + (2a-l^°cos0 + j7!(3-4a)Aosine S+sin6 psinO
(34.47)
Результаты собраны в табл. 11. Сопоставление их с результа-
тами табл. 10 и сравнение с экспериментом приводят к следую-
щим выводам, Из постоянных бета-распада Л°-гиперона и леп-
тонных переходов Σ~η мы находим, что [23] θ = 0,26, в хорошем
согласии с найденным ранее значением, а также что
а«0,66. ' (34.48)
Эти параметры можно использовать, вычисляя FA(0) для рас-
пада Л°-гиперона (33.28). Согласие оказывается довольно хо-
рошим.
Интересно отметить, что значение a ~ -jt близко к упомяну-
тому в гл. 25 значению, которое обеспечивало тип потенциала,
гарантировавший, что мезон-барионные резонансы образуют де-
каплет. Если мы верим в ЧСАТ, этот результат не случаен,
4Q С> Газиоровнч

626
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Таблица 11
Матричные элементы аксиальных токов для
лептонных распадов
Процесс
η —> ре~\
Σ± _* A0e±v
Λ° —> pe~v
Σ~ —*■ ne~v
Β~ -* A°e~v
•ВТ —► Σ°β~ν
Ε° -* Z+e~v
Матричный элемент
РA W
cos θ · γμγ5
±VW& cos θ·γμγ5
^(l-f-Jsine-Y^
(1-2α)51πθ·γμγ5
-|^(l~)sinG.Y%6
ΙУ2 sin θ-γ^
sin θ · γμγ5
Из гипотезы о ЧСАТ следует, что аксиальная часть и инду-
цированный псевдоскаляр в матричном элементе аксиального
тока связаны соотношением (34.23). Мы имеем
<ψρ|^)β + /ΛΡΙΨ->-(2«Γ8β(ρ) (ναν5 + %гт?)иЫр*№
(34.49)
Если теперь рассмотреть матричный элемент k-\\ компоненты
тока между состояниями с унитарными индексами /' и /, то по-
лучим
<Ψβ| | &«i Ψβ _} = (2я)-з й (λ)^β + ш£±j и (ρ/) х
Χ [«WK^-n -oi^i^fittl- (34.50)
Важно отметить, что одна и та же константа α стоит множите-
лем и перед аксиальным членом γ^δ, и перед индуцированным
псевдоскаляром. Но во втором случае а характеризует долю
Л-связи в связи мезона с нуклоном. Таким образом, и в силь-
ных, и в слабых взаимодействиях а одна и та же.
Для больших передач импульса в табл. 10 и 11 следует
учесть влияние формфакторов. Член уи умножается на F\ (q2).
Мы должны учесть также «слабый магнетизм». При этом недо-
статочно связи одного только F-типа. Фактически, поскольку
μΡ + μη « 0,
разложение членов уравнения (26.45) показывает, что аэы = 3/4.
Таким образом, члены типа «слабого магнетизма» получаются

ГЛ- 341 СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 627
из табл. 11 подстановкой в каждом выражении а = 3/4 и умно-
жением на F%(q2). Члены типа индуцированного псевдоскаляра
известны, если только известны аксиальные формфакторы Fa (<72) ·
Тот факт, что векторные токи, участвующие в слабых и элек-
тромагнитных взаимодействиях, связаны с генераторами фун-
даментальной группы симметрии SU(3), может оказаться
весьма важным. Гелл-Ман [24] предложил трактовать и акси-
альные токи на столь же фундаментальной основе. Для этого
необходимо считать симметрию расширенной, так чтобы псевдо-
скаляры
/f (0= J dWV) (34.51)
Xt=t
также обладали хорошо определенными перестановочными соот-
ношениями. То, что они образуют октет, означает следующие
правила их коммутации с генераторами группы SU(S):
[Fm(i). F^(<)] = ^7^(0· (34.52)
Но если эти величины, так же как и F^\ являются генерато-
рами, то должны быть заданы коммутаторы их друг с другом.
Если при этом алгебра остается минимальной, эти коммутаторы
должны выражаться через старые величины. Гелл-Ман предло-
жил следующие перестановочные соотношения:
И°(0. FP(tj\ = iftlkFW(t). (34.53)
Помимо всего, они не зависящим ни от какой модели способом
фиксируют произвольный множитель перед аксиальными тока-
ми, аналогично тому, как теория СВТ Фейнмана и Г'елл-Мана
фиксирует множитель у векторных токов. Утверждение, что
«голый» ток имеет вид -ψτ_γα(1 —YsH1, трудно обобщить на слу-
чай, когда в теории рассматриваются не только барионы, но и
другие частицы. Теперь его можно заменить другим утвержде-
нием: адронный ток имеет вид J^a<1)_ J^(1, а перестановочные
соотношения Гелл-Мана фиксируют множитель. Такая формули-
ровка позволяет нам значительно приблизиться к не зависящему
ни от какой модели выражению того, что мы понимаем под уни-
версальностью слабых взаимодействий. Недостает еще какого-
либо принципа, связывающего масштабы лептонного и адрон-
ного токов в сумме /а =/"ент + ^?лр-Свидетельством в пользу
выписанных перестановочных соотношений, характерных Для
40·

628
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
алгебры St/(3)xSi/(3)*), является очень красивая оценка ве-
личины FA(0). Центральную роль в ней играют перестановоч-
ные соотношения (34.53) и гипотеза ЧСАТ [25, 26]. Вывод, ко-
торый мы приводим, немного отличается от оригинального вы-
вода Адлера и Вайсбергера и основывается на формальном
тождестве, полученном Фубини, Фурланом и Россетти [27]**).
Выпишем соотношение
Fi° (0) = J" dW>° (x, 0) = + J dxQ(±x0) da?li)a (jc)s
= + J" dxQ(±x0) D(i) (x). (34.54)
Чтобы оно выполнялось, необходимо предположить, что при
| х | —* оо ток обращается в нуль, а рассматриваются только
матричные элементы между состояниями с различными энергия-
ми, так что граничный член от интегрирования по частям по
времени «вылетает» благодаря бесконечно быстрым осцилля-
циям. Возьмем теперь матричный элемент от соотношения
(34.53) между двумя состояниями, принадлежащими одному и
тому же супермультиплету, например между двумя барионными
состояниями. Мы будем использовать получившееся соотноше-
ние
<Ψ« (Ρ') I И" (0), FP (0)] | Ψ6 (ρ)) = ifllk (Ψα (ρ') Ι F(h) (0) ΙΨ6 (ρ)).
(34.55)
Далее мы имеем
<ψ«(/)ΙΗ0(θ), Η/)(ο)]|ψ,(ρ))=
= - \ j ах dyQ {х0) θ (- у0) (Ψα (ρ') Ι [£><" (jc), D(l) {y)\ | Ψ, (p)) =
= - J" J" dx dy θ (*0) θ (- y0) e' {ρ'-")υ Χ
x{^a(p)\[D(i)(x-y), Du) (0)]\Wb(p)). (34.56)
Заметим, что л?о>0 и у0<0, так что мы имеем полное право
поставить под знаком интегралов добавочную θ-функцию
*) Из перестановочных соотношений для генераторов группы SU(3), a
также соотношении (34.52) и (34.53) следует, что величины F%) = — (F^ ±
— 's) Удовлетворяют перестановочным соотношениям группы SU(3) и, кро-
ме того,]/^, F(i.'l = 0. Отсюда и происходит название алгебры St/(3)xSt/(3).
**) Эта превосходная статья содержит много интересных применений пе-
рестановочных соотношений.

ГЛ. 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 629
0(лго — i/o)· Обозначив х — y = z, мы приводим получившееся вы-
ражение к виду
- J dz dy θ (го) θ (i/o + z0) θ (- y0) el (p'~p> y X
Χ<ΨΛρ')Ι[β<()(*), Д(Л(0)]К(р)> =
о
= — (2π)3 δ (ρ' - ρ) J dz J" dy0e' (£«_£*> й° θ (z0) Χ
Χ<ψ.(ρ№"Μ. я('>)] К (/>)>=
= -(2π)3δ (ρ-ρΟ J<fez0θ (2ь) <Ψβ (ρ') |[θ(" (г), Du) (0)] | Ψ,(ρ)> =
= -(2π)36(ρ-/η[η-£;$ dze^Q(г0) Х
Χ<Ψ.(ρ0Ι[β(Ι)(*). β(/)(0)]|Ψ,(ρ)>1 .
J «70=0
Введем теперь новую переменную
■>=^ = Ψ· 04.57)
после чего последнее выражение принимает вид
1{2пТ^Ь(р-р')^{\аге1"^ (г0) X
Х(4а(р)\[0{1)(г), Dw (0)}\УЬ(Р))) · (34.58)
' q=0
Заметим, что мы заменили eli°z° на е1"2 и положили <7 = 0.
Определим теперь функцию
^/(v) =
=- w idzelqz θ (2ο) <ψ°(//) 11°(<) (Ζ)· °φ (0)i'ψ*(ρ)> · (34·59)
В терминах этой функции мы получаем соотношение
<ψ«(/)|[η°(0),Η/)(0)]|ψ,(ρ)> =
= ~(2nfj^b(p - ρ') (-^ Fu (ν)) (34.60)

680 СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ (Ч. IV
Далее можно проверить, что
Im^/(v) = -1^2/dZ^//)|D,i4z)|,Ox
η
Χ <Ψ„ I Du) (0) Ι Ψ„ (ρ)) eiQZ - перекрестный член =
= -πΣ{δ(^-ρ-9)<Ψα(/)|β<,ΙΨ„><Ψ„|Ζ?(/)|ψ*(ρ)>-
η
-b(pn-p + q) <Ψ„ {ρ') \Da) Ι Ψ„> <Ψ„ | Dw | Ψ, (ρ))} =
IMF. {G) \2 «-,
= (—J— mjmyj (-π) 2jb(pn-p-q)<Ψβ(ρ')| Φ/1 Ψ„) Χ
η
Χ (Ψη Ι Φ/1 Ψ* (Ρ)) ~ перекрестный член.
При переходе к последнему выражению было использовано со-
отношение ЧСАТ. Последний шаг состоит в переходе от поля φ
к его источнику. Мы имеем
<Ψ„Ι Φ, ΙΨ*(Р)> = -Г-Г ^<ψ« Ι Ζ»" Ιψ» (Ρ)>·
|2
">i ~ (Ρ„ - ρ)
Однако, поскольку δ-функция в мнимой части приводит к тому,
что (р„ — pf = g2 = 0, мы можем, наконец, записать
ImFi/(v) =
(MF (0) \2 %п
—γ±)(-η)2^δ(ρη-ρ-ς)(Ψα(ρΙ\ΙΙ\^η)(Λ1Γη\Η\^Λρ))~
η
I MF. (0) \2
— перекрестный член = (—-—I Im Тц (ν). (34.61)
Здесь Tij(v)— амплитуда рассеяния безмассового мезона на ми-
шени. Функция Fij(v) имеет вид фурье-образа матричного эле-
мента, взятого от запаздывающего коммутатора. Поэтому для
нее можно выписать дисперсионные соотношения. Если мы пред-
положим отсутствие вычитаний, из равенства мнимых частей
следует связь
FllM,(^fLJTllM. (34.62)
Выберем теперь конкретные значения индексов i, /=1, 2.
Прежде всего, отсюда следует
И" (0), /f' (0)J = iF&) (0) = IT» (34.63)

ГЛ. 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 631
Если взять матричные элементы от обеих частей этого равен-
ства между двумя протонными состояниями, то получим *)
<4V I /Уз Ι ΨΡ) = 4- 4f δ (Ρ ~ Ρ') = <ΨΡ' IW (0), F? (0)] | Ψρ> =
Ε„ IMFAQ) \2/ д \
= -(W-fi δ (ρ - я (-^-L) (w τ12 (ν) )ν=ο,
так что коэффициенты при комбинации {Ер/М)Ь(р — р') связаны
соотношением
'v=o
Если заметить, что
(34.65)
так что
то получим
/i-yf (/я+ + /л-)>
/z = "J7Y (/ц+ "~ U-)'
Γ12 = |(Γπ_-Γπ+), (34.66)
l g2 l a
^-=-|-i:(^-(-)-^(-)U· <34·67>
(2π)6 2MzFj(0) 2 dv
Правую часть можно привести к более удобному виду. Пред-
ставление для мнимой части позволяет легко вычислить одноча-
стичный член в правой части (34.67). Прямое вычисление дает
(?п- Μ - Тл+ (ν)), = - -^ ( Шр )
\ 2Мр )
так что вклад одночастичного члена в (34.67) равен
~~ l~dV(T"- ~ rit+)iJv=0= (2«)6 ~^'
Наконец, воспользуемся равенствами
Imrn±(v) ^2^м <W» = щр— (34·68)
и
г„± (ν) = одночастичные члены+ — -^—Im Γπ± (ν). (34.69)
*) Отметим, что из q—0 следует ν—0.

632
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[Ч. IV
Подставив первое из них во второе, мы получаем правило
сумм *)
оо
= 1 + -Щ- Г **_ (a- (v') - σ+ (ν')), (34.70)
Λβ J V \ поли ν ' поли ч ' / * ν '
F\ (0)
выражающее FA(0) через сечения безмассовых π-мезонов. Если
игнорировать последнее обстоятельство и все численные оценки
проводить для π-мезонов на массовой оболочке, мы получаем ре-
зультат Вайсбергера
FA(0) « 1,16. (34.71)
Адлер попытался оценить эффекты выхода за массовую обо-
лочку и получил значение
FA(0)«1,24. (34.72)
Результат находится в превосходном согласии с эксперимен-
том **). Между прочим, если игнорировать эффекты выхода за
массовую оболочку, то сравнение с равенством (23.57) показы-
вает, что
~ПМ = I' ~Щ? Ι + ΙΓ)(Ω' " Пз)· (34.73)
где Oi и as — длины рассеяния πΝ для Г=1/2 и 3/2 соответ-
ственно.
В заключение мы следующим образом можем резюмировать
наши современные представления о слабых взаимодействиях.
1. За исключением явного нарушения СР в реакции
Кя—ьп +п~, все качественные черты можно объяснить мо-
делью взаимодействия ток — ток Фейнмана — Гелл-Мана.
2. Лептонные слабые взаимодействия и полулептонные сла-
бые взаимодействия с участием адронов количественно объяс-
няются при помощи двух параметров, именно константы G, ха-
рактеризующей общую интенсивность слабых взаимодействий, и
угла Кабиббо Θ, служащего мерой интенсивности полулептон-
ных взаимодействий, меняющих странность.
*) Существование (3-3)-резонанса приводит при низких энергиях к не-
равенству о+0ДИ>а~0ЯИ, вследствие чего FA (0) > 1.
**) В статье [28] тот же метод применен к t, /=4, 5 и 6, 7. Таким обра-
зом можно получить соотношение, определяющее параметр а, непосредствен-
но связанный с отношением F/D. Оказалось, что а~0,6 в хорошем согласии
с экспериментом.

ГЛ. 34] СОХРАНЯЮЩИЕСЯ И ЧАСТИЧНО СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ТОКИ 633
3. В настоящее время нет ясности ни в вопросе об иерархии
сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий, ни по
поводу общей связи между лептонами и адронами. Возможно,
что для ответа на эти вопросы понадобятся эксперименты при
энергиях, значительно превышающих доступные в настоящее
время*).
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите лептонный распад
Ω" -> 3° + е~ + v.
Для матричного элемента векторного тока воспользуйтесь СВТ и феномено-
логической связью, упомянутой в сноске на стр. 482. Для аксиального тока
воспользуйтесь ЧСАТ и данными о распаде резонанса 7V3/2 (·238).
2. Какую информацию о распаде
К* -» я* + л,- + е~ + ν
дают СВТ и ЧСАТ? Свободно пользуйтесь SU(3) -инвариантностью сильных
взаимодействий.
*) Роль алгебры токов в описании взаимодействий различных типов
освещена более подробно в недавнем обзоре А. Салама, Фундаментальная
теория материи. Результаты и методы, 1968 (см. перевод в УФН 99, вып. 4,
572, (1У69)). (Прим. ред.)

Дополнение I
Л. ВАН ХОВ *)
РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
ПРИ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
Глава I
ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
В этих лекциях будут рассматриваться главным образом
двухчастичные столкновения адронов при высоких энергиях. Та-
кие столкновения можно символически представить формулой
A+B^C + D, (1)
где А, В, С и D обозначают адроны, т. е. сильно взаимодействую-
щие частицы. Это могут быть мезоны, барионы или антибарионы.
Реальные эксперименты по рассеянию в настоящее время можно
поставить лишь при некотором специальном выборе падающих
частиц A и В. О таких реакциях сейчас собрана обширная экс-
периментальная информация. В зависимости от рассматривае-
мого процесса выходящие частицы С и D могут быть стабиль-
ными, долгоживущими или короткоживущими адронами, вклю-
чая мезонные, барионные или антибарионные резонансы. Во
многих случаях эти частицы обнаруживают по их продуктам
распада.
До сих пор не удалось извлечь детальную информацию о
двухчастичных столкновениях из экспериментов с космическими
лучами. Имеющиеся на сегодня экспериментальные результаты
были получены с помощью ускорителей высоких энергий. При
этом одна из начальных частиц, скажем А, содержится в первич-
ном или вторичном пучке, создаваемом ускорителем, а другая
частица, В, входит в состав мишени и практически находится
в покое. Обозначим через рл=(Ро. Рд) 4-импульс частицы пуч-
ка. Интервал энергий, достижимых для действующих в настоя-
щее время ускорителей, составляет для протонов
р$ < 33 Гэв = 33 Χ 109 эв. (2)
Для других адронов максимальная энергия соответственно мень-
ше. Частицей-мишенью обычно является протон или нейтрон.
Представив ее 4-импульс в виде
рв = (р£. рв); р%~тв\ рв~о,
*) Лекция в Летней школе Шотландских университетов (1966 г.).

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 635
где тв — масса частицы В, мы получим для квадрата энергии
в системе центра масс выражение
s = (рА + рв)2 = (р£ + ps)2 -1 ρ* + рв ? « 2твр* + т\ + т%. (3)
При тв=тр (массе протона) интервалу (2) соответствует ин-
тервал
s <С 64 Гэв2. (4)
Дальнейшего расширения интервалов (2) и (4) можно ожидать
по крайней мере из трех источников: строительства ускорителей
на более высокие энергии, создания встречных пучков адронов
и усовершенствования экспериментов с космическими лучами.
В ограниченном смысле расширение интервала (4) возможно и
с помощью существующих ускорителей. Если частица В — нук-
лон, связанный в ядре мишени, то можно для увеличения энер-
гии в системе центра масс использовать его фермиевское движе-
ние. Недавние измерения рассеяния протонов с энергией 30 Гэв
на связанных нуклонах дали в одном случае из 107 энергию
в системе центра масс (ц. м.) больше 14 Гэв [1]. Однако оче-
видно, что в таких случаях остающаяся часть ядра мишени
играет важную динамическую роль и должна оказывать серьез-
ное влияние на столкновение. Поэтому столкновение становится,
по существу, не двухчастичным, а более сложным. Наши же зна-
ния о строении ядра в настоящее время недостаточны для акку-
ратного вычисления необходимых поправок.
Аналогичные трудности (однако гораздо более серьезные)
встречаются при попытке извлечь информацию о столкновениях
виртуальных адронов из данных по рассеянию реальных адро-
нов. Так, иногда предлагают использовать для изучения пион-
пионного рассеяния столкновения пионов с протонами мишени.
При этом апеллируют к общепринятому представлению о том,
что протон окружен облаком виртуальных пионов, которые, в не-
котором смысле, связаны с ним. Однако понятие виртуального
адрона чрезвычайно плохо определено, и наши знания о силь-
ных взаимодействиях в настоящее время не дают возможности
придать ему четкий математический смысл. Поэтому мы можем
получить о столкновениях виртуальных частиц лишь самую гру-
бую информацию, и эта информация мало помогает нам в на-
ших попытках извлечь из экспериментальных данных четкую
картину сильных взаимодействий при высоких энергиях. Во всех
последующих рассуждениях мы будем считать частицы А и В
реальными свободными адронами, не участвующими ни в каких
взаимодействиях до того момента, когда они сталкиваются друг
с другом. Аналогичные предположения делаются относительно
частиц С и D после столкновения.

636
ДОПОЛНЕНИЕ Г
§ 1. Кинематические переменные и формулы для сечений
Построим, как обычно, из 4-импульсов рА, рв, рс, pD кине-
матические инварианты для реакции (1):
s=(pA + pB)2, t=(pA — pc)2, и=(рА — р*>)2. (5)
Здесь обозначения те же, что и в формуле (3) (сигнатура мет-
рики -\ ). Как известно, справедливы следующие соот-
ношения:
(pAf = m\, {р*Г = т\, (рс)2 = т2с, (pDf = m2D,
рА + рв = Рс + pD\ s + t + u = M2 = m2A + ml + m2c + m\.
Мы пользуемся единицами й=с=1. Ц. м. импульсы в началь-
ном (А + В) и конечном (С + D) состояниях будем обозначать
k и k' соответственно. Они удовлетворяют соотношению
J. i JL 1 L
S2 =(£2 + m2)2 +^ + m|)2 =(k'2 + m2c)2+(k'2 + miy. (7)
Ц. μ. угол рассеяния θ, равный, по определению, углу между им-
пульсами А и С в ц. м. системе, дается формулой
t = [(k? + m2Af - (k'2 + m2cy\ -k2- k'2 + 2kk' cos Θ. (8)
Равенства (7) и (8) являются частными случаями релятивистски
инвариантных определений (5).
Шесть величин s, t, и, k, k', θ зависят от двух независимых
параметров, в качестве которых можно выбрать, например, s
и t или k и Θ. Кроме того, если в реакции участвуют частицы
с ненулевым спином, то амплитуда рассеяния зависит от ориен-
тации их спинов, т. е. представляет собой функцию вида
T(s, t, λΑ, λΒ, λα, λΒ), (9)
где индекс λκ(κ=Α, В, С, D) указывает ориентацию спина ча-
стицы. В качестве λκ часто выбирают, следуя Якобу и Вику [2],
значения спиральности. Мы будем считать, что формула (9)
представляет релятивистски инвариантную амплитуду. Она свя-
зана с элементом S-матрицы в произвольной системе координат
соотношением
Τ(5, U λΑ, λΒ, Кс, λ0){р%Рвр%Р$)~&(РА +РВ+РС + PD) =
= /(рс, Кс; pD,lD\l-S \рл, λΑ; ρΒ, λΒ). (10)
Одночастичное состояние нормировано так, что
</, λ'\ρ,λ\)^Μ4ρ'-ρ). (Π)

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 637
Дифференциальное сечение рассеяния в случае полностью поля-
ризованных падающих и выходящих частиц равно
-f^-lfins, f, λΑ,λΒ, λ* λβ)Ρ. (12)
В том случае, когда одна из выходящих частиц, скажем С,
идентична А, а другая D идентична В, мы получаем упругое
рассеяние. Все остальные двухчастичные столкновения назы-
ваются неупругими. Амплитуда упругого рассеяния записывает-
ся в виде
7VnP(s' *>λΑ> λΒ·Κ> Ю- (13)
где Яа, в относятся к падающим, а Кл в — к выходящим части-
цам. Для s, t, и мы сохраним определения (5), где рс = р'А те-
перь является импульсом частицы А в конечном состоянии,
а р° = р'в — импульсом частицы В в конечном состоянии. По
оптической теореме, которая гласит, что
^полнС^л. λΒ) = |—[/И ImTynpis, 0, λΑ, λ£, λΑ, λβ), (14)
Гупр связана с полным сечением рассеяния аПолн(^л. λΒ) части-
цы А на частице В.
Отметим, что все наши уравнения остаются в силе и в том
случае, когда частицы А и В и (или) частицы С и D тождествен-
ны. Единственная модификация, которую необходимо внести
в эти уравнения, состоит в том, что область изменения угла рас-
сеяния θ нужно ограничить интервалом O<l0^jt/2 вместо пол-
ного интервала 0^θ<1π. В случае неполяризованных падаю-
щих частиц уравнения (12) и (14) нужно усреднить по Ка, Яв-
§ 2. Краткий обзор экспериментальных данных
В этом разделе мы попытаемся дать качественное описание
экспериментальных данных по рассеянию при высоких энергиях.
При этом мы будем ссылаться лишь на работы, имеющие не-
посредственное отношение к нашей теме. Под областью высо-
ких энергий мы будем понимать интервал, начинающийся с
энергии
р$^.5 Гэв, s ^ 12 Гэв2, (15)
и вплоть до максимальных энергий, достижимых для современ-
ных ускорителей (см. равенства (2), (4)). Все выполненные
к настоящему времени измерения двухчастичных столкновений
адронов в этой области энергий свидетельствуют о том, что диф-
ференциальное сечение daldt при фиксированном t представляет

838
ДОПОЛНЕНИЕ Г
собой гладкую, неосциллирующую функцию s. To же самое,
по-видимому, справедливо для daldt как функции s при фикси-
рованном ц. м. угле рассеяния Θ. Экстраполируя соответствую-
щие гладкие кривые к s—»+оо, мы естественным образом во
всех случаях получаем простое неосциллирующее асимптотиче-
ское поведение. Обычно теоретический анализ данных по рас-
сеянию при высоких энергиях проводится в предположении
справедливости именно такой экстраполяции. Мы также примем
здесь это предположение. Нужно, однако, иметь в виду, что по
ряду причин оно может оказаться неверным. Так, например, воз-
можно, что имеют место осцилляции по s, которые либо слиш-
ком медленны для того, чтобы их можно было заметить в огра-
ниченном интервале энергий 12 Гэв2 <i s .<; 64 Гэв2, освоенном
в настоящее время, либо, наоборот, слишком быстры, чтобы их
можно было обнаружить при том разрешении, которое допу-
скают соответствующие эксперименты. Позже (§ 4), мы еще
упомянем о возможности таких осцилляции. Однако при нашем
описании экспериментальных данных мы будем игнорировать
такую возможность.
Основная черта имеющихся данных о двухчастичных столк-
новениях состоит в том, что дифференциальное сечение daldt
во всех случаях быстро стремится к нулю при увеличении энер-
гии. Единственное важное исключение составляют процессы
упругого рассеяния А + В -* А + В при конечном переданном
импульсе (—ty1*. Мы начнем наше обсуждение именно с этого
последнего случая, относительно которого в настоящее время
имеются хорошие экспериментальные данные [3—6]. Для всех
Л и β, которые исследовались до сих пор, измеренные значения
daynp/dt, взятые при фиксированном / и s—>+оо, слабо меняют-
ся при изменении s, по крайней мере в интервале значений t,
0^-t=-(pA-p'A)2^l Гэв2 (16)
(р'А обозначает 4-импульс частицы А в конечном состоянии).
Имеющиеся данные согласуются с предположением о том, что
при s—>оо и при фиксированном t дифференциальное сечение
упругого рассеяния стремится к неисчезающему пределу, т. е.
амплитуда удовлетворяет соотношению
*-ЧГупр(5, t, λΑ, λΒ, λ'Α, yB)\^^f{t, λΑ, λΒ, λΑ, λΒ), (17)
где f конечна при всех значениях своих аргументов и положи-
тельна по крайней мере в интервале (16) и по крайней мере при
некоторых значениях спиральностей λ, λ'. Данные о полных се-
чениях также согласуются с предположением о том, что оПОлв
приближается к конечному положительному пределу. Как видно
из равенства (14), это значит, что
s"1 Im 7'Упр (s, О, КА, λΒ, λΑ, 1В) -^j+г* g (λΑ, λΒ) > 0 (18)

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 639
по крайней мере при некоторых значениях λΑ, λΒ. Конечно, все
эти данные согласуются и с тем, что / и g равны нулю или бес-
конечности, но в этом случае dayap/dt или аПолв должны при ис-
следованных в настоящее время энергиях стремиться к исчезаю-
щему или бесконечному пределу чрезвычайно медленно.
При больших энергиях форма кривой doyap/dt как функции /
в интервале (16) имеет очень простой вид, универсальный для
всех изученных случаев. Экспериментальные данные лучше
всего параметризуются в виде степенного ряда
In~rffL = a + 6' + c'2+ ···· (19)
где Ь и с положительны. Вклад второго члена в интервале (16)
очень мал:
О < с/62 .<: 0,04. (20)
Следующими членами разложения (19) в интервале (16)
можно пренебречь. Параметры а и 6 очень слабо зависят от
энергии. Их поведение согласуется с предположением о том, что
при s —* + оо они приближаются к некоторым положительным
пределам. То же самое, вероятно, справедливо и для с, но, по-
скольку этот параметр дает в уравнение (19) очень малый вклад,
он еще недостаточно аккуратно измерен.
В настоящее время у нас нет прямой информации об отно-
сительном вкладе в упругое рассеяние амплитуд без перево-
рота спина [λΑ = λ.4, "к'в =Яв)и с переворотом спина (Ад =^= Яд и (или)
λβτ^λβ). Часто предполагают, что при высоких энергиях взаи-
модействие становится не зависящим от спина. Это означало
бы, что амплитуды с переворотом спина должны стать пренебре-
жимо малыми по сравнению с амплитудами без переворота
спина, а все последние должны быть равны друг другу. За иск-
лючением одного очевидного случая, когда одна из частиц имеет
нулевой спин и угол рассеяния обращается в нуль (рассеяние
вперед), в настоящее время нет надежного экспериментального
подтверждения гипотезы о независимости взаимодействия от
спина. Решающее слово в· этом вопросе принадлежит экспери-
менту. Если тем не менее принять это предположение при очень
малых t(—t .< 0,05 Гэв2) и рассмотреть случай, когда обе ча-
стицы А и В заряжены, то из данных по рассеянию на очень ма-
лые углы можно, с помощью интерференции между ядерным и
кулоновским взаимодействием, вывести фазы Тутц). Это было
проделано для рр- [7—11] и л^-рассеяния [12]. В результате
оказалось, что отношение
Ρ = ^ΤΞΕ (2D
" упр

640
ДОПОЛНЕНИЕ I
порядка —0,3 для рр- и порядка —0,2 для π+ρ-рассеяния при
энергиях в интервале
10 Гэв2 *Cs<. 50 Гэв2 (22)
и при <=»0,01 Гэв2 (т. е. в области максимальной интерферен-
ции). Данные о величине ρ еще недостаточно надежны и точны,
чтобы из них можно было сделать определенные выводы относи-
тельно ее зависимости от энергии в интервале (22). В случае
р^-рассеяния ρ примерно постоянно, а для л±р-, по-видимому,
стремится к нулю. Однако погрешности в определении ρ очень
велики.
Мы продолжим теперь краткий обзор других типов двухча-
стичных столкновений, а именно, упругого рассеяния при боль-
ших переданных импульсах и всех видов неупругих столкнове-
ний (т. е. столкновений А + Б ~*С + D, где С и (или) D отли-
чаются от Л и (или) В). При s^>10 Гэв2 наиболее точные
эксперименты были проделаны до сих пор для случаев упругого
рр- [13] и лр- [14] рассеяния на большие углы, упругого пр- и
πρ-рассеяния назад [15—19] и различных неупругих процессов
п-р-^л°п [20—21], π-γ?->-ηη[22], Κ-ρ^Κ°η [23], рр-+Нп [24] при
малых переданных импульсах. Оказывается, что все сечения
do/dt с увеличением энергии быстро стремятся к нулю. Это —
убывание порядка от s_1 до S'2 для л~р-+л°п, л~р-+цп, К'р—*
-*K°n, pp->-nn.
Для упругого лр- и лр-рассеяния назад наблюдается не-
сколько более быстрое убывание. В случае упругого лр и
рр-рассеяния на большие углы da/dt с ростом s убывает, по-
видимому, значительно быстрее: при ц. м. углах рассеяния
около 90° убывание da/dt с ростом s можно описать экспонен-
той ехр[—As'12] с Л »3 Гэв~1. Кривые, изображающие перечис-
ленные выше дифференциальные сечения, обнаруживают более
четко выраженную структуру и большее разнообразие в форме
и наклоне, чем кривые упругого рассеяния при малых t. В неко-
торых случаях наблюдаются четко выраженные впадины, иссле-
дование которых представляет значительный интерес. Мы долж-
ны упомянуть также, что, помимо тех экспериментов, на кото-
рые мы ссылались выше, значительное количество данных
о неупругих двухчастичных реакциях при несколько меньших
энергиях можно почерпнуть из экспериментов с пузырьковыми
камерами [25].
Наконец, недавно были поставлены поляризационные экс-
перименты по упругому п~р-рассеянию [26] и рассеянию с пе-
резарядкой [27] и по упругому до-рассеянию [28] при высоких
энергиях. Эти эксперименты дали неисчезающее значение пара-
метра поляризации.

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 641
§ 3. Общие замечания о теоретических методах
Теоретические методы, используемые для анализа рассея-
ния адронов при очень высоких энергиях, в основных чертах
довольно похожи на методы физики сильных взаимодействий
при низких энергиях. И там и здесь не существует теории в под-
линном смысле этого слова, т. е. нет такого математического
формализма, с помощью которого можно было бы, используя
хорошо определенные и самосогласованные процедуры, делать
численные предсказания относительно важных эксперименталь-
ных величин (в нашем контексте такой важнейшей величиной
является, конечно, амплитуда рассеяния). Тем не менее в фи-
зике сильных взаимодействий существует, хотя и неполный, но
очень полезный математический аппарат. Это — формализм
S-матрицы в том виде, в каком его удалось абстрагировать из
известных примеров перенормируемой релятивистской кванто-
вой теории поля. Несмотря на то, что одно время на формализм
S-матрицы возлагались "весьма честолюбивые надежды и была
проделана большая работа, в настоящее время, по-видимому,
невозможно относиться к этому формализму иначе, как к весьма
общей математической схеме. Даже будучи дополнен другими
общими предположениями, он до сих пор не позволил развить
надежных вычислительных методов, обладающих предсказа-
тельной силой настоящей теории.
Несмотря на вышеупомянутые ограничения, формализм
S-матрицы оказался хорошо приспособленным для теоретиче-
ского анализа процессов рассеяния при высоких энергиях.
С одной стороны, он позволяет очень компактно выразить на-
блюдаемые следствия общих принципов симметрии и аналитич-
ности, которые, как мы полагаем, остаются справедливыми для
сильных взаимодействий. К ним относятся, РСТ и лоренц-инва-
риантность, изотопическая и приближенная унитарная симмет-
рия, а также перекрестная симметрия и некоторые свойства
аналитичности элементов S-матрицы по s и t (последние, так
же как и РСТ и лоренц-инвариантность, предполагаются спра-
ведливыми не только для сильных, но также и для электромаг-
нитных и слабых взаимодействий). С другой стороны, формализм
S-матрицы дает возможность математически корректно опреде-
лить различные динамические модели, которые можно затем ис-
пользовать для анализа экспериментальных данных в терминах
параметров или функций, оставшихся в модели неопределенными.
Во всех теоретических работах, посвященных рассеянию при
высоких энергиях, используются, в той или иной степени, сов-
местно специальные динамические модели и общие принципы
симметрии и аналитичности. В одной группе исследований, ко-
торые мы кратко опишем в §§ 5 и 6, для получения соотношений
41 С. Газиорович

642
ДОПОЛНЕНИЕ I
между наблюдаемыми величинами используются именно эти
общие принципы, дополненные минимальным числом добавоч-
ных общих предположений. Наиболее выдающиеся результаты,
полученные на этом пути, — дисперсионные соотношения для
рассеяния вперед пионов на нуклонах и связь между поведением
при высоких энергиях реакций А + β-ν С + D и С + В^*-А + D
Φ обозначает античастицу С и аналогично для А). Последнее
соотношение является обобщением широко известной теоремы
Померанчука о равенстве полных сечений реакций А + В и
А + В [29]. До сих пор при экспериментальной проверке всех
подобных следствий принципов симметрии и аналитичности об-
наруживалось полное согласие с предсказаниями теории. Это
является веским доводом в пользу правильности лежащих в
основе теории общих принципов.
Что касается успехов и недостатков различных динамиче-
ских моделей, здесь ситуация более сложная. Оценка того, на-
сколько успешно данная модель описывает эксперимент, оче-
видным образом зависит от числа и природы свободных пара-
метров или функций, которые можно произвольно менять для
достижения согласия с данными эксперимента. Эта оценка бу-
дет зависеть также от простоты и элегантности модели, в част-
ности от того, можно ли естественным образом согласовать ее
с вышеупомянутыми общими принципами симметрии и анали-
тичности (посредством этого будет автоматически достигнуто
согласие с экспериментально наблюдаемыми следствиями этих
принципов). Так, теоретико-полевые модели (например, модель
одномезонного обмена (ΟΡΕ)) вполне удовлетворяют послед-
нему требованию, однако они оставляют слишком мало свободы
в выборе произвольных параметров или функций. Поэтому не
удивительно, что эти модели встречаются с серьезными трудно-
стями при попытке описать одновременно наблюдаемую зависи-
мость амплитуд рассеяния от s и t. Напротив, оптические модели
имеют более чем достаточно свободы для подгонки под экспери-
ментальные данные, но их нелегко согласовать с общими прин-
ципами симметрии и унитарности. В настоящее время удалось,
однако, найти удачную компромиссную модель для описания
двухчастичных столкновений при высоких энергиях, а именно
модель полюсов Редже. Эта модель элегантным образом объеди-
няет в себе все общепринятые принципы симметрии и аналитич-
ности и в то же время содержит достаточное число свободных
функций, чтобы удовлетворить экспериментальным данным. Не-
смотря на это, она дает вполне определенные предсказания,ко-
торые, насколько сейчас известно, согласуются с экспериментом
(детальное описание модели полюсов Редже дано в §§ 7 и 8).
До сих пор мы не упоминали об еще одном важном свойстве
S-матрицы, хотя оно и является прямым следствием общих прин-

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 643
ципов квантовой физики. Речь идет об унитарности S-матрицы,
являющейся математическим выражением того факта, что сумма
вероятностей всех возможных конечных конфигураций в про-
цессе столкновения всегда равна единице. Для двухчастичных
соударений отсюда вытекают следствия двух типов. Во-первых,
условие унитарности устанавливает определенные неравенства
между двухчастичными амплитудами или сечениями рассеяния.
Во-вторых, оно приводит к возникновению соотношений, связы-
вающих двухчастичное рассеяние с некоторыми общими свой-
ствами неупругих столкновений (во многих из которых в конеч-
ном состоянии присутствуют три или более адрона). Эти соот-
ношения особенно важны для упругого рассеяния при высоких
энергиях, если, как принято сейчас считать (см. § 2), упругая
амплитуда становится при малых t почти чисто мнимой. В этом
случае упругое рассеяние на малые углы является почти чисто
теневым рассеянием от неупругих столкновений и поэтому весь-
ма непосредственным образом отражает некоторые общие
свойства последних. Это позволяет обсуждать упругое рассея-
ние в терминах простых, качественных закономерностей, кото-
рые известны или предполагаются справедливыми для неупругих
соударений (см. гл. 3).
Значительное внимание уделялось последнее время след-
ствиям, вытекающим для двухчастичных процессов при высоких
энергиях из приближенных St/(3)- и 5с/(6)-симметрий. Ис-
пользование для этой цели методов теории групп в случае
SU(6)-симметрии сталкивается с серьезными трудностями. Это
легко понять, поскольку основная концепция SU(6)-симметрии
противоречит релятивизму. Более конструктивным оказывается
другой, несколько наивный подход, основанный на модели квар-
ков, т. е. составной модели барионов и мезонов, учитывающей
успешные аспекты SU(6) -симметрии. Модель кварков для опи-
сания рассеяния при высоких энергиях находится на более низ-
кой ступени развития, чем модель полюсов Редже. Несмотря на
это, с ее помощью получены весьма заманчивые и многообе-
щающие результаты (см. гл. 4).
Глав а 2
РАЗЛОЖЕНИЕ ДВУХЧАСТИЧНОЙ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ И КОНЕЧНЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА.
ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ
§ 4. Форма разложения
Мы рассматриваем асимптотическое поведение амплитуды
рассеяния для двухчастичного процесса
А + В-+С + D
41*

644
ДОПОЛНЕНИЕ I
при высокой энергии, s—»+ос и фиксированном переданном
импульсе t=(pA — рс)2. Напомним, что в этом случае ц. м. угол
рассеяния θ (угол между направлениями Л и С) стремится к
нулю. Как уже отмечалось в § 2, эксперимент свидетельствует
о том, что дифференциальное сечение do/dt представляет собой
при таких условиях неосциллирующую функцию, приблизительно
постоянную по s для упругого рассеяния на малые углы (С=А,
D = B) и быстро убывающую с ростом s для всех других про-
цессов (упругое рассеяние на большие углы: Б=АфС=В,
а также различные неупругие двухчастичные столкновения). По-
видимому, эти сечения убывают как s в некоторой степени.
Описанное выше поведение наблюдается при переданных им-
пульсах, лежащих в интервале (16), и при всех изученных к на-
стоящему времени энергиях, превышающих предел 1(15). При-
нято считать, что такое поведение амплитуды рассеяния
T(s, t, λΑ, Kb, λα, λη) характерно и для асимптотической области
высоких энергий (s—»-foo). При теоретическом анализе асимп-
тотическую зависимость амплитуды от s и t часто представляют
в виде разложения в ряд
T(s, t, λΑ, λΒ, λc, λΒ) ~ Σ с,(ф,)а1\1п(ф,ф. (23)
S->+oo /=I,2, ...
Здесь параметры Cj, Sj, a.j, β3· могут зависеть от t и от спираль-
ностей λ. В действительности параметр Sj, имеющий размер-
ность (энергия) 2, в большой мере произволен, поскольку изме-
нение его величины приводит лишь к переопределению Cj и
добавлению к ряду новых членов, содержащих более низкие
степени In (s/sj). Параметры с-}, а;-, Pj безразмерные. Параметр
Cj может быть комплексным, в то время как щ и Pj обычно вы-
бирают вещественными и удовлетворяющими условию
aj+i'<aj, Pj+i < Pj, если aj+i = a3-. (24)
Это допущение основано на том, что экспериментально не обна-
ружено никаких осцилляции сечений при высоких энергиях. Та-
кое предположение, несомненно, естественно. Однако следует
четко представлять себе, что имеющиеся в настоящее время экс-
периментальные данные не исключают ни очень быстрых, ни
очень медленных осцилляции некоторых членов, входящих в
разложение (23). В качестве примера рассмотрим упругое рас-
сеяние вперед без переворота спина. Осцилляции в полном се-
чении (см. формулу (14)), могли бы быть обусловлены комп-
лексностью одного из щ, и они, вероятно, остались бы необна-
руженными, если выполнено одно из следующих условий:
|Imay|^103; |Ima/|^l. (2б)

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 645
Первый предел соответствует быстрым осцилляциям по s с пе-
риодом As порядка 10~2s, а второй — тому случаю, когда весь
интервал энергий, определяемый равенством (2), покрывает
лишь около четверти одного колебания. Поскольку в действи-
тельности величины ai, ей, ... порядка 1, 1/2, ..., первое нера-
венство кажется весьма маловероятным, однако у нас нет ни-
каких оснований отвергнуть вторую возможность. Так или иначе,
в дальнейшем всюду, где не оговорено противное, мы будем
считать ccj и β., вещественными.
Может показаться, что равенство (23), в особенности если
ограничиться вещественными а3- и β,-, накладывает слишком
сильные ограничения на асимптотическое поведение фазы ам-
плитуды Г, экспериментальные сведения о которой в настоящее
время чрезвычайно скудны. Из равенства (23) следует, что фаза
амплитуды Τ имеет при s —> + оо хорошо определенный предел.
Такой вывод подтверждается той ограниченной эксперименталь-
ной информацией, которой мы располагаем об отношении р, оп-
ределенном равенством (21) (см. § 2), и теоретическими рассуж-
дениями, которые мы приведем позднее (§6). И все же мы еще
раз подчеркиваем, что этот факт ни в коей мере нельзя считать
хорошо установленным.
Для описания экспериментальных данных не требуется учи-
тывать в равенстве (23) логарифмические члены: все имеющие-
ся результаты можно воспроизвести только с помощью степеней
s (г. е. все Pj = 0). Эти члены представляют, однако, большой
теоретический интерес (см. § 7), и можно надеяться, что после-
дующие эксперименты смогут ответить на вопрос, присутствуют
они в выражении для амплитуды или нет. Это заявление нуж-
дается в пояснении. Очевидно, что в любом конечном интервале
энергий логарифмический член всегда можно аппроксимировать
достаточным числом чисто степенных членов. Дело в том, од-
нако, что желательно иметь асимптотическое выражение, со-
держащее небольшое число членов и пригодное с хорошей точ-
ностью для всех энергий, превышающих минимальную, опреде-
ленную равенством (15). Имеющиеся сейчас данные позволяют
надеяться, что этого можно достичь, пользуясь не более чем не-
сколькими членами ряда (возможно двумя, тремя или четырьмя)
для каждой реакции, причем между членами, описывающими
различные реакции, существует целый ряд соотношений (такие
соотношения будут следовать из общих принципов симметрии
и аналитичности, упомянутых в § 3, или будут характеризовать
некоторую специальную динамическую модель). В этой связи
аналитический вид зависимости от s становится весьма суще-
ственным, и присутствие логарифмических факторов (или дру-
гих медленно меняющихся функций, таких как lnln s, например}
может оказаться необходимым. - ·

646
ДОПОЛНЕНИЕ I
По некоторым теоретическим соображениям, о которых мы
поговорим позже (см. § 6), удобнее заменить разложение (23)
формулой
Τ (s, U λ) ~ У с, (St/s,p [in (sjs,) - ~t', (26)
где St определяется равенством
st = s + у - 2"(«2 + m| + m% + m2D) = s + у - -у. (27)
В пределах имеющейся точности эксперимента формулой (26)
можно пользоваться с таким же успехом, как и формулой (23),
и все замечания, сделанные относительно (23), без изменения
переносятся на (26). В частности, существующие данные по
рассеянию при высоких энергиях можно описать формулой (26)
с небольшим числом членов и с Pj = 0, т. е. без логарифмических
факторов.
§ 5. Сохранение внутренних квантовых чисел
Для того чтобы учесть сохранение изоспина в процессе
А + В-+С + D при больших s и конечных t, удобно представить
амплитуду T(s, t, λ) в виде суммы членов
T(s, *,λ)=Σ(Λ /з|/с. /зс;/, /£-/i)x
XT,(s, t, λ) (Λ ll; /, /3D - /f I /D, /3D). (28)
Каждый член в этой формуле соответствует обмену изоспином /
между частицами Л и δ в том смысле, что когда частица А пре-
вращается в С, она передает изоспин / частице В, которая
в свою очередь превращается в D. Скобочные символы в фор-
муле (28) — это коэффициенты Клебша — Гордана для изото-
пической группы. Если частицы обмениваются изоспином /, оп-
ределенным согласно равенству (28), то в этом случае обычно
говорят об обмене изоспином в t-канале (см. § 6). В силу изото-
пической инвариантности те же амплитуды Tt, которые входят
в равенство (28), будут описывать и другие реакции вида
А' + В'—*С + D', где А' — это частица, принадлежащая к тому
же самому изотопическому мультиплету, что и А (аналогично
для В', С и D'). Уравнение (28) можно непосредственно ис-
пользовать и для новых реакций, сделав необходимые измене-
ния в коэффициентах Клебша — Гордана. В качестве примера

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 647
приведем явный вид формулы (28) для случая πρ-рассеяния
1 л+р-»л+р — l /=0 lAg" ' /=1>
'л_р-»л_р = '=0"^~р^Г /-1' '^")
* л~р-> л°п ~ ~ 1 π°ρ-> л+η = i/"q- ^ /=Г
Отметим, что равенство (28) справедливо только в случае
точной изотопической инвариантности. Считается, что для силь-
ных взаимодействий, в пренебрежении эффектами слабого и
электромагнитного взаимодействий, это именно так. Это приб-
лижение, несомненно, хорошо обосновано для процессов силь-
ных взаимодействий, имеющих достаточно большие сечения.
Однако оно может оказаться спорным для процессов с очень
малыми сечениями, как, например, рассеяние на большие углы
при очень высоких энергиях (см. § 2). Исследовать эту возмож-
ность можно только экспериментально.
Если применить изотопический анализ (28) к высокоэнерге-
тическому разложению амплитуды Τ (26), то ясно, что каждый
член в формуле (26) будет давать вклад в одну или более ам-
плитуд Ti. Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что, как
правило, каждый член в (26) дает вклад только в одну ампли-
туду. Другими словами, высокоэнергетические разложения раз-
личных амплитуд Tj, по-видимому, не содержат одинаковых сте-
пеней. Если это так, то каждому члену / в асимптотическом раз-
ложении (26) соответствует обмен определенным изоспином /3-
в i-канале (в противном случае, некоторые члены в (26) рас-
щеплялись бы между амплитудами, соответствующими обмену
различными значениями изоспина).
Для аддитивных внутренних квантовых чисел N и Y, т. е.
барионного числа и гиперзаряда, ситуация еще проще. В любой
данной реакции А + В-+С + D в i-канале происходит обмен
барионным числом, равным NA — Nc=AiD — NB- To же самое
справедливо для гйперзаряда. Отсюда тривиально следует,
что каждый член в разложении (26) дает вклад в амплитуду,
соответствующую обмену в i-канале квантовыми числами
Nl = NA — Nc и Yj = Yj—Yc. Например,
N/ = 0, Y/ = — 1 для π ρ -
N/= — 1, У/ = 1 для п~р-
* α:°λ°,
>λ°κ°.
(30)
(31)
Заметьте, что. поскольку при увеличении s переменная t остает-
ся фиксированной, реакция (30) отличается от (31) тем, что

648
ДОПОЛНЕНИЕ I
в ц. м. системе Л°-гиперон вылетает назад в случае (30) и впе-
ред в случае (31).
Описанная выше процедура позволяет явным образом учесть
закон сохранения изотопического спина. Ее можно непосред-
ственно обобщить на случай SU(3)-симметрии, если предполо-
жить, что последняя выполняется точно. Экспериментальные
данные указывают, однако, на то, что нарушение SU(3) -сим-
метрии в столкновениях при высоких энергиях и малых пере-
дачах импульса не менее существенно, чем в адронной спектро^
скопии, где оно проявляется, в частности, в расщеплении St/(3)-
мультиплетов по массе. (В настоящее время отсутствует
экспериментальная информация о том, с какой точностью вы-
полняется унитарная симметрия в процессах с большой пере-
дачей импульса. Этот вопрос представляет, несомненно, очень
большой интерес.) Поэтому при обобщении формулы (28) на
случай St7(3)-CHMMerpHH необходимо учесть эффекты первого
порядка по нарушению симметрии. В результате мы получим
формулу вида
Τ = Σ Υ (А I С; h Υ, Ι, /3) Tt. Y, ,γ (Β; t, Υ, Ι, /31D), (32)
Ι, Ι. Υ
где индекс | нумерует различные представления SU(3) (|=1,8,
10, 10, ...),а индексы У,/,/з — различные элементы в данном
представлении. Величины γ являются коэфициентами Клебша —
Гордана для группы Si7(3) только в пределе точной St/(3) -сим-
метрии. В реальном случае они зависят также от эффектов нару-
шения симметрии. Аналогично нарушение симметрии приводит
к тому, что амплитуды 7,|iY)I, соответствующие обмену кванто-
выми числами ξ, Υ, Ι в ^-канале, зависят не только от |, но также
и от У, /. Например, в случае реакции (29) Т1==0 становится сум-
мой членов вида Tlt о, о + Тв, о, о + Тэт, о, о, a TI=i переходит в
^8, 0, 1 + ^10, 0, 1 + * Ш 0, 1·
Что касается возможности использования формулы (32) для
асимптотического разложения (26), то здесь ситуация в точно-
сти такая же, как и в изотопическом случае. Как правило, каж-
дый член в разложении (26) дает вклад только в одну ампли-
туду 7\, γ, i и, следовательно, соответствует обмену в f-канале
определенным элементом Yj, Ij определенного SU(3) -предста-
вления iy. В дальнейшем мы будем считать это условие выпол-
ненным и будем, как и прежде, характеризовать каждый член в
разложении (26) полной системой принадлежащих ему кван-
товых чисел.
По нашему мнению, в настоящее время не существует доста-
точно удовлетворительного метода применения нарушений
SU(6)-симметрии для описания рассеяния при высоких энер-
гиях. В этих лекциях (см. гл. 4) мы будем рассматривать SU(6)-

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 649
свойства амплитуд как проявление динамики, основанной на
составной модели адронов (модели кварков). Эта модель по-
зволяет также получить многие из результатов нарушений
SU(3) -симметрии, не пользуясь теорией групп.
§ 6. Аналитичность и перекрестная симметрия
между s- и ы-каналами
В этом разделе мы опишем в терминах асимптотического
разложения (26) наиболее важные ограничения, которые накла-
дывают на поведение амплитуды рассеяния при высоких энер-
гиях и конечных переданных импульсах аналитичность и пере-
крестная симметрия. Эти ограничения являются обобщением
хорошо известной теоремы Померанчука о полных сечениях [29].
Основное содержание принципов аналитичности и перекрест-
ной симметрии состоит в том, что амплитуда рассеяния T{s, t, λ)
процесса А + В -*С + D может быть аналитически продолжена
по переменным s и t вдоль соответствующим образом выбран-
ных путей и что определенные линейные комбинации аналити-
ческих продолжений Τ или Т* (в зависимости от пути) совпа-
дают с амплитудами рассеяния перекрестных реакций
C + B-+A + D, (33)
А + С-* B + D. (34)
Кинематические переменные перекрестных реакций даются ра-
венством (5), в котором нужно сделать подстановки
pA^_pAt рс^_рс для C + B^A + D, (35)
рв^~ръ, рс->-р^ для A + C^B + D. (36)
Таким образом и'1' является энергией в ц. м. системе для процес-
са (33), a tll* — для процесса (34). В соответствии с этим часто
говорят, что реакции А + В -*С + D (33) и (34) относятся к
s-, и- и t-каналам соответственно (этим объясняется термин t-
канал, которым мы пользовались в предыдущем разделе).
В данный момент нас интересуют соотношения перекрестной
симметрии между реакциями в s- и «-каналах. Их можно полу-
чить, фиксировав t и продолжая аналитически T(s, t, λ) по пе-
ременной s через верхнюю полуплоскость комплексной перемен-
ной s к таким значениям на вещественной оси, для которых
и = — s — t — m\ — m\ — m2c ~ tn2D (37)
принимает значения, физически допустимые для квадрата энер-
гии в ц. м. системе реакции в ы-канале (реакция (33)), т. е.
когда переменные и и t можно записать в виде
и = (рё+рв)\ t = (pc-p*y (38)

650
ДОПОЛНЕНИЕ I
при физических значениях входящих сюда 4-импульсов. Ампли-
туда T*(s, t), комплексно сопряженная аналитически продол-
женной таким образом T(s, t), связана с амплитудой рассея-
ния Τ для реакции (33) соотношением перекрестной симметрии
T(u,t)=T*(s,t), (39)
где и, s и t удовлетворяют (37). Соотношение перекрестной
.симметрии (39) записано для случая бесспиновых частиц. Для
частиц с произвольным спином соотношение перекрестной сим-
метрии можно записать в аналогичной форме:
Τ (и, t, λ~, λ'Β, λ~, K'D) = T\s, t, λΑ, λΒ, Kc, λβ), (40)
где и, s, t по-прежнему удовлетворяют (37) и
Простая формула (40) получается только при некотором специ-
альном выборе спиновых амплитуд. Она справедлива.для «обоб-
щенных» спиральных амплитуд, определенных, согласно Тру-
мэну и Вику [30], в произвольной системе отсчета, которая, по
предположению, не меняется при аналитическом продолжении
амплитуды Τ по переменной s*) [31]. Формула (40) справедлива
также для «поперечных» амплитуд Котанского, для которых ось
квантования спина выбирается нормальной к плоскости рас-
сеяния**). Необходимо отметить, что равенство (40) справед-
ливо только при специальном выборе фаз спиновых состояний,
в противном случае оно будет содержать фазовый множитель.
*) Обобщенная спиральная амплитуда зависит ст системы отсчета, по-
этому ее следует писать в виде т(рАрврср°, ^^В^с^о)· τ. е. явным
образом указывая зависимость от 4-импульсов. Аналогично амплитуда в
ы-канале записывается в виде т(рср ρΑρ , λ'—λ'λ'— λ'Υ В этих обозна-
чениях соотношение перекрестной симметрии (40) выглядит так:
7>VW. ^u;,) = r*(-V, л -л ρ°, -^ я;, -дс1, яЭ.
(40')
Здесь амплитуда Τ {jjApBpcpD%AXB%c%I^ аналитически продолжена по ρ я
ρ , причем в процессе продолжения энергии р0, pjj все время имеют не-
отрицательную мнимую часть. Непосредственный вывод формул (40) и (40')
с помощью редукционной техники локальной теории поля можно найти в ра-
боте Свенсона [31].
**) Нормаль к плоскости рассеяния определяется, например, в ц. м. си-
стеме. Она остается неизменной при переходе к любой другой системе от-
счета, движущейся относительно ц. м. системы в направлении, лежащем в
плоскости рассеяния, например, при переходе к системе покоя падающей или
вылетающей частицы [32].

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 651
При выводе (40) явным образом использовалась инвариант-
ность относительно обращения времени [31].
При другом выборе спиновых амплитуд уравнение (40) ста-
новится более сложным. Его правая часть заменяется линейной
комбинацией спиновых амплитуд. Именно такая ситуация имеет
место для обычных спиральных амплитуд Якоба и Вика [33],
когда спиральности по определению относятся к ц. м. системе
столкновения. Соотношения перекрестной симметрии для этого
случая были впервые получены Трумэном и Виком [30] с по-
мощью другого способа аналитического продолжения. Продол-
жение через верхнюю полуплоскость s при фиксированном t
было осуществлено Бяласом и Свенсоном [34], к чьей работе мы
и отсылаем читателя, интересующегося явным видом этих соот-
ношений. Для очень простого и часто встречающегося случая,
когда частицы А, С имеют спин 0, а частицы В, D — спин 1/2,
соотношение перекрестной симметрии можно также записать
в виде
g (и, t) = g* (s, t)\ h (и, t) = h? (s, t). (42)
Функции g и h связаны с амплитудой Т в s-канале соотноше-
нием
T = %D
aik.xkA 1
g+i i*/x*ci *P* {43)
где kA, kc — трехмерные импульсы в ц. м. системе, а %в и %D —
двухкомпонентные спиноры, описывающие ориентацию спинов
частиц В и D в их системах покоя*). Аналогичным образом
определяются функции у, h для реакций в ы-канале (33).
Закончив, таким образом, описание соотношений перекрест-
ной симметрии между s- и ы-каналами, вернемся к описанию
рассеяния при высоких энергиях. Исходя из соотношений (39),
(40) и (42) и аналогичных соотношений, получающихся при пе-
рестановке Τ и Τ (справедливость этих соотношений следует из
симметрии перекрестных соотношений относительно Τ и Т), мож-
но записать амплитуду Τ в виде суммы
Т = Т+ + Т-, T± = ±[T(s, t, λ) ±7(и, t, λ')], (44)
*) В случае неполяризованиой частицы В формулы для сечения и по-
ляризации принимают вид
da 4π3 , , ,. , , ,„. 8π2 t
— --pTdel'+lAP). °поЛ„ = -^172- ta6fe 0).
-{%D\ i*„x*ci I d)
ρ-,* |g-(****c)L ν 2Ιη^·>

652
ДОПОЛНЕНИЕ Г
где использованы λ, λ', введенные в равенствах (40) и (41). Но-
вые амплитуры Т+(Т-) четны (нечетны) относительно перекрест-
ного преобразования, т. е. они удовлетворяют тождеству
Т± {и, t, λ') = ± f± (s, t, λ). (45)
Амплитуду T+(TJ) называют положительно (отрицательно) сиг-
натурной частью амплитуды Т.
Чтобы применить разбиение (44) к высокоэнергетическому
разложению (26), снова предположим для простоты, что каж-
дый член в (26) дает вклад либо только в Т+, либо в Г_. Если
бы какой-нибудь член вносил вклад одновременно и в Т+, и в
Т-, то его можно было бы в соответствии с этим разбить на две
части. Имеющиеся экспериментальные данные не требуют для
своего объяснения введения такого вырождения. Мы можем,
следовательно, сказать, что каждый член / в разложении (26)
имеет определенную сигнатуру ε, = ±1 (+\ для положитель-
ной, —1 для отрицательной сигнатуры). Пользуясь обычными
допущениями об аналитичности и менее чем экспоненциальном
росте амплитуды Τ в верхней полуплоскости s, можно пока-
зать, что фаза коэффициентов Cj определяется с точностью до π
показателем степени ccj и сигнатурой ej. Она задается формулой
C/=±|c,-|exp[-f \а, + {в,-Щ. (46)
Это важное следствие аналитичности и перекрестной симметрии
Является далеко идущим обобщением теоремы Померанчука
о полных сечениях [27]. Оно было получено с различной сте-
пенью общности в целом ряде работ [35—39]. Это равенство
справедливо только для высокоэнергетического разложения ви-
да (26), в котором в качестве параметров разложения исполь-
зуются st вместо s и (ins/ —к-\ вместо Ins.
В качестве примера приложения правила фаз (46) рассмот-
рим упругое рассеяние. Эксперимент, по-видимому, свидетель-
ствует о том, что при очень высоких энергиях дифференциаль-
ное сечение doYBP/dt при фиксированном t становится приблизи-
тельно независимым от s. В силу уравнения (12) отсюда сле-
дует, что ведущий член / = I в разложении (26) для Тущ при
О^С—1^.1 Гэв2 имеет и$ ~ 1. Применяя формулу (46), мы за-
ключаем отсюда, что Cj чисто мнимо, если сигнатура ei веду-
щего члена равна +1, а если бы ei = —1, то с, было бы чисто
вещественным. Эксперимент указывает на то, что первая воз-
можность гораздо более вероятна. В качестве другого примера
рассмотрим процесс п~р -> п°п. В этом случае перекрестная

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 653
реакция (33) есть к°р —* л+п. В силу изотопической инвариант-
ности (уравнение (29)) имеем
Следовательно, амплитуда Τ = Тл-р_^псп нечетна относительно
перекрестной операции Τ = Γ_, сигнатура отрицательна, и в ра-
венстве (46) для всех членов разложения амплитуды рассеяния
с перезарядкой Тл-р^пап нужно брать знак минус.
§ 7. Интерпретация высокоэнергетического
разложения в терминах f-канала
В предыдущем параграфе мы использовали перекрестную
симметрию между s- и м-каналами. Рассмотрим теперь пере-
крестную симметрию между s- и /-каналами, т. е. между перво-
начальной реакцией и реакцией А + С —> В + D (34). Соответ-
ствующая подстановка импульсов дается формулой (36). Ам-
плитуду процесса (34) будем обозначать через
Τ (/, s, lA, %, Ц, lD),' t = (pA + pcf, s = (pA- fFf. (48)
Мы аналитически продолжим ее по t и s в верхнюю полупло-
скость t так, чтобы величина
u = (pA-pD)2 = M2-(i + s), M2 = m2A + ml + m2c + m% (49)
оставалась постоянной и чтобы достичь значений s, больших
(тА + тв)2^ В полной аналогии с (39) (за_исключением того,
что теперь С играет роль А, А — роль В и В — роль С) мы по-
лучим следующее соотношение перекрестной симметрии:
T(s, t, λΑ, λΒ, λο, KD) = f*(t, s, lA, %, %, λ„). (50)
Здесь Т* обозначает величину, комплексно сопряженную анали-
тическому продолжению Т, а ориентации спинов связаны соот-
ношениями
ЯЛ = ЯЛ, %= — Яс, %= —λΒ, λ0=λ0. (51)
Мы предполагаем здесь, что спиновые амплитуды определены
таким образом, чтобы соотношения перекрестной симметрии
имели наиболее простой вид (см. по этому поводу дискуссию
после формул (40), (41)). Удобнее всего выбирать в качестве
спиновых амплитуд поперечные амплитуды Котанского *).
*) Они выгодно отличаются от обобщенных спиральных амплитуд тем,
что зависят от импульсов только через релятивистски инвариантные комби-
нации s и t (см. примечание на стр. 650). Нормаль к плоскости рассеяния
является релятивистски инвариантным понятием (см. другое примечание на
той же странице), причем она сохраняет своп смысл при переходе от s- к
и- и ^-каналам.

654
ДОПОЛНЕНИЕ I
В § 5 мы говорили об обмене внутренними квантовыми чис-
лами в ^-канале реакции А + В —» С + D. Очевидно, что для
реакции А + С —> В -f D эти квантовые числа просто совпадают
с квантовыми числами самих систем А + С и В -f D. Таким об-
разом, если Τi является амплитудой рассеяния для /-й изотопи-
ческой компоненты реакции А + С —> В + D, так что
fit, s, λ)=Σ0Α, /з; f, fill, /з+/|)х
/ _ _ _
Χ Τ, it, s, λ) (/, /f + /3DIIB, /f; /D, /3D), (52)
то аналитическое продолжение Ti, проведенное в соответствии
с (50), даст нам в силу равенства
Τ, = Τ] (53)
амплитуду Tj, входящую в формулу (28).
Понятие сигнатуры, взеденное для реакции А + В —» С -f D
равенством (44), также получает простую и весьма важную ин-
терпретацию в терминах реакции A + C-*B + Db i-канале. Ее
можно получить следующим образом. Уравнение (50) связывает
амплитуду рассеяния Τ реакции А + В —» С + D в s-канале с
аналитическим продолжением амплитуды Τ реакции А + С—*
—*B + D. Выпишем аналогичное соотношение для амплитуды
рассеяния Τ реакции С + В ~*А + В в w-канале. Оно гласит:
Туи, t, λ^-, λΒ, λΑ, KDJ = T [t, и, %, Ял, Я^-, Я0). (54)
Аргументами Т являются
u = (pC + pBf, 1 = (рё-рА)2.
Правая часть равенства (54) комплексно сопряжена аналити-
ческому продолжению амплитуды f(t, и, Я^-, %А, Я^-, Яд) реак-
ции С + A—>B+D в верхнюю полуплоскость t при фиксиро-
ванном t + и. Аргументами амплитуды Τ являются
t = (p^+pAf, ы = (р^-^)2.
Связь между различными λ определяется соотношениями, ана-
логичными (51):
Заметим jenepb, что реакция С + А-уВ + D идентична реак-
ции А + С—*В + D в i-канале, если не считать того, что две
падающие частицы поменялись ролями. Следовательно, Τ мож-
но выразить через Τ по формуле
f(t, и, j£, l'A, lj, Q = f(t, M*-t-u, λΑ, j£, Ц, l'D). (56)

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 655
Рассмотрим, далее, положительно и отрицательно сигнатур-
ные части Т+ амплитуды Т, определенные равенством (44), и
применим к ним соотношения (50) и (54). Заметим прежде все-
го, что соотношения (41), (51) и (55) дают
В результате из равенств (44), (50), (54) и (56) получаем
T±(s, t, λΑ, λΒ, Kc, KD) = T±(t, s, %A, λ^-, λ^, %D). (58)
Здесь правая часть представляет собой аналитическое продол-
жение в верхнюю полуплоскость t (при постоянном t + s) ам-
плитуды
T±(t, s, %A, %, %, λβ) =
= \\f{t, s,lA, %, Xj, XD)±f(i, M2-i-s,£„, %, %, λσ)].
(59)
Γ+ и Г- — это четная _и нечетная относительно перестановки па-
дающих частиц Л и С в i-канале (т. е. относительно замены s
на и = АР — t — s) части амплитуды Т.
Рассмотрим, далее, разложение_по парциальным волнам ам-
плитуды Τ для реакции Л + С -* В + D в i-канале, которое мы
запишем в виде
f{t,s,l)= Σ (2/ + 1) ξ( (/, Χ) Γ>1 (λ, cos 6f). (60)
/=0, 1,2, ...
Здесь Di — обобщенная сферическая функция, зависящая от
определения спиновых амплитуд. Она представляет собой ли-
нейную суперпозицию полиномов Лежандра P;(cos6f) и их про_-
изводных. Угол θ< — это угол рассеяния частицы Л на частице В
в ц. м. системе. Он связан с переменной s эквивалентными соот-
ношениями:
s = \(Щ + mA)m - (kf + m|)I/2f -Щ- kf + 2ktk't cos θ(, (61)
u = M2-t~s= [{Щ + m%)m-(kf + ml)m\ —k2t~k't2-2ktk't cosO,,
(62)
kt и k't — ц. m. импульсы в начальном и конечном состояниях:
t - \{Щ + mAf + (А» + mlf]2 = [(kf + m|)I/2 + (kf + „«,)'*]'. (63)

656
ДОПОЛНЕНИЕ I
Допустим, что либо тА = тс, либо гпв — mD *). Тогда замена s
на и означает просто замену θ< на π — θ(, так что Т± дается
формулой
?±(и,ч4 Σ (2/+l)^(i-я>tDi(λ>cosθ<)±°i&·_cosθ')]·
i=o, l, ...
(64)
Величины |л входящие в У+, мы обозначили здесь через %f.
Поскольку силы взаимодействия в s- и м-каналах (т. е. силы,
обусловленные обменом частиц в этих каналах), как правило,
не зависят друг от друга, естественно считать, что Т+ и Г-, а
следовательно, и %Т и %f также независимы друг от друга.
Инвариантность относительно отражения позволяет предполо-
жить, что Di четно (нечетно) по cosBt при четных (нечетных) /,
так же как и в случае бесспиновых частиц, когда D; — это про-
сто полиномы Лежандра Pi. Тогда при положительной (отрица-
тельной) сигнатуре сумма (64) содержит только члены с чет-
ными (нечетными) I, и |;+(|Г) определены только для'-четных
(нечетных) /.
Сформулируем теперь основные положения метода аналити-
ческого продолжения амплитуды в область комплексных значе-
ний угловых моментов /. При соответствующих предположениях
(справедливость представления Мандельстама для амплитуды
рассеяния) можно распространить на релятивистский случай
процедуру, развитую Редже [41, 42] для нерелятивистского по-
тенциального рассеяния, и получить с ее помощью однозначное
аналитическое продолжение функций ^(t, λ) в область ком-
плексных значений I (при этом t и Я рассматриваются как фик-
сированные параметры) **). После этого можно применить к
формуле (64) так называемое преобразование. Ватсона — Зом-
мерфельда, позволяющее записать сумму в виде контурного ин-
теграла ***)
f±(t, s, Я)= J(2/+l)Ef (f, -λ)3&·-^)±^·™*')α1. (65)
с
*) Корректное исследование предельного перехода s-^ + оопри фикси-
рованном t в случае т&фгпс и тв ¥=mD представляет собой гораздо более
сложную задачу, хотя основные результаты, возможно, останутся теми же
самыми (см. [40]).
*") Аналитические продолжения £г+ и £f будут, вообще говоря, различ-
ными функциями от /. Детали можно найти, например, в [43—45].
***) По поводу истории вопроса см. [44], п. 107.

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 657
Контур С обходит против часовой стрелки положительную ве-
щественную полуось в плоскости комплексной переменной I:
I = + оо -f ie -> ie, / = eei4>, Φ^γ^-^. /= — «—>■+oo—is,
где ε — положительная бесконечно малая величина. При выводе
формулы (65) было использовано свойство четности (нечетно-
сти) D; по cos θ< при четных (нечетных) I. Аналитическое про-
должение по I функций D; можно получить с помощью стандарт-
ного метода аналитического продолжения полиномов Лежан-
дра [43].
Следующий шаг состоит в допущении, что в правой части
равенства (65) можно осуществить аналитическое продолжение
по s и /, переводящее Г в Г (см. уравнения (50) и (58)). Пред-
варительно нужно, конечно, выразить с помощью соотношений
(61) и (63) cos θ< через s и t. Интегральное представление (65)
удобно для обсуждения асимптотического поведения Т+, Г_ и
Τ = Т++ Т- при s—>+оо и фиксированном t. В самом деле,
при s—►+оо и фиксированном t cos θ; —»—сю (напомним, что
аналитическое продолжение _по s и I нужно проводить через
верхнюю полуплоскость t при фиксированном вещественном и,
так чтобы произведение ktk't стало отрицательным). Далее, как
известно, при вещественных или комплексных I
№)г*.»~ Γ(/+1)π1/2 р[--2' ~-2~- ~l+Y' Z 2) +
Г1~/~¥) (2г)-'-' (l+l I , . _3 2\ (Ш
+ Г(-0 J^~ F[—> 2+l' 1+2· Ζ )· (66>
а входящая в равенство (66) гипергеометрическая функция F
стремится при г-»оо к единице. Следовательно, чтобы получить
асимптотическое поведение амплитуды Т, можно поступить сле-
дующим образом. Будем разгибать контур С налево до тех пор,
пока он не достигнет линии Rel = —1/2. При этом контур С
будет пересекать сингулярности функции |f (t, λ) в комплекс-
ной /-плоскости. Асимптотика будет определяться теми сингу-
лярностями %f{t, %), которые имеют наибольшую вещественную
часть и удовлетворяют условию Re Ι Ξ> —1/2. Последователь-
ность членов в асимптотическом разложении (26) будет опреде-
ляться последовательностью сингулярностеи, расположенных в
порядке убывания Re /.
Если эти сингулярности представляют собой простые полю-
сы, то они приводят к возникновению членов типа (26) без ло-
гарифмических факторов. Это следует из равенства (66). Так
42 С. Газноровнч

658
ДОПОЛНЕНИЕ I
в специальном случае Dt = />, простой полюс функции |* при
/=a3(Reaj>—1/2) приводит к появлению в (26) члена, со-
держащего s"i плюс другие члены, вида sp~ , sp~ .... Член
с s(f возникает из-за того, что полюсный член в (65) при
cos θ( —» —оо содержит комбинацию
Pa. (- COS Θ) ± Pa. (COS θ,) ~ Γ(α/+1) ^ ( ^ (6?)
Злак показателя в e'"a/ определяется тем, что аналитическое
продолжение (61) по s и / при больших s приводит к значениям
cos θ( вида
cos θ( = — I cos θ( Ι + IE, ε > 0.
Воспользовавшись, наконец, формулой (58), получаем в резуль-
тате, что вклад полюсного члена в Т+ содержит выражение
■(-.+1)
12 cos 6f |a/ 1 ± e-inai
Т(^ТТ) 7* sin πα,. * (68)
Заметим, что фаза этого выражения согласуется с фазой, полу-
ченной ранее (см. формулу (46)) на основании гораздо более
общих соображений. Поэтому можно сделать вывод, что вычет
функции |* в полюсе I = а, веществен. Если сделать уже упо-
минавшееся дополнительное предположение, что пгА = шс или
mB = mD, το, как легко видеть, из уравнений (61) — (62) следует
st = -^-g— = 2ktk't cos Bt. (69)
Это соотношение еще раз разъясняет ту особую роль, которую
играет st в асимптотических разложениях.
Если функция |* имеет в комплексной плоскости I при
Re I <2- —1/2 сингулярности более сложные, чем простые полюсы,
т. е. если она имеет разрезы, то асимптотическое разложение
амплитуды Τ будет содержать члены типа (26) с логарифмиче-
скими факторами. Такие члены, вероятно, возникнут также
вследствие интегрирования вдоль линии Re/=—1/2. Теоретиче-
ские соображения по поводу разрезов весьма неопределенны.
В работах Амати, Фубини и Стангеллини [46] и Мандельстама
[47] приведены соображения в пользу того, что сингулярности
функции %* в комплексной плоскости / не могут ограничивать-
ся простыми полюсами и обязательно должны присутствовать
разрезы. Кроме того, можно указать механизм, вследствие, кото-
рого существование полюсов автоматически приводит к возник·

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 659
новению разрезов, причем их расположение определяется поло-
жением полюсов*). Однако все подобные рассуждения не имеют
доказательной силы, поскольку вполне может оказаться, что
между сингулярностями, обусловленными вкладом различных
членов в парциальные амплитуды, существуют непредвиденные
компенсации. Как мы уже упоминали в § 4, этот вопрос остается
открытым также и с точки зрения эксперимента в том смысле,
что до сих пор отсутствуют экспериментальные указания за или
против присутствия логарифмических факторов в асимптотиче-
ском разложении (26).
В настоящее время обычно принимают допущение, что веду-
щие члены в разложении (26) обусловлены простыми полюсами
парциальных амплитуд |* (t, Я) в комплексной плоскости / в об-
ласти Re Ι Ξ> —1/2. Предполагается также, что свойства этих
полюсов можно определить из рассмотрения вероятного поведе-
ния соответствующих реакций в /-канале**). Таким образом,
мы приходим к описанию рассеяния при высоких энергиях с по-
мощью модели полюсов Редже, предложенной в 1962 г. сразу
несколькими авторами, в особенности Чу и Фраучи [48, 49] и
Грибовым и Померанчуком [50]***). В следующем разделе бу-
дет дан обзор основных положений, этой модели, а в § 9 будет
проведено краткое сравнение ее предсказаний с экспериментом.
§ 8. Модель полюсов Редже
Предположения, сформулированные в конце предыдущего
раздела, позволяют получить асимптотическое разложение ам-
плитуды рассеяния Τ в s-канале реакции А + В -*С + D вида
T(s, t, λ)^+οο^ Σ c,{sjst)ai. (70)
/—I» 2, ...
где α,, как было показано выше (формулы (67) — (69)), опреде-
ляются положением простых полюсов (по I) парциальных ам-
плитуд |* реакции A + C—>B + Db /-канале. Отсюда следует
целый ряд интересных предсказаний.
а) Свойство универсальности показателей а3- и б) свойство
факторизации вычетов. Априори показатели щ могут зависеть
от всех параметров, определяющих %t {t, λ) как функцию I, т. е.
от t, от вида частиц А, С, В и D, от сигнатуры и от ориентации
*) См., например, [44], стр. 185.
**) Обычно считают, что это поведение должно представлять собой ра-
зумное релятивистское обобщение поведения, обнаруженного Редже в тео-
рии нерелятивистского уравнения Шредиигера для суперпозиций юкавских
потенциалов [41].
***) Более детальный исторический обзор можно найти в [44].
42*

660
ДОПОЛНЕНИЕ I
спинов X. Однако в /-канале мы можем рассматривать \t как
матричные элементы
If = <Л> К· С, % IZJ (/) | В, %; D, %D) (71)
матрицы Zf (/), где / — полный момент, который в каждом от-
дельном случае можно выразить как функцию / и λ. При этом
допускается любой выбор частиц А, С, В и D, со всевозмож-
ными ориентациями спинов, лишь бы он был совместимым с
данной сигнатурой и квантовыми числами /-канала. Полюсы %f
в комплексной /-плоскости соответствуют полюсам матрицы
Zj (/) в комплексной /-плоскости, а вычет функции |z~ в полюсе
по I определяется вычетом матричного элемента (71) в соответ-
ствующем полюсе по /. Относительно полюсов Jf (/) функций
Zj (t) (так называемых полюсов Редже) сразу же можно сде-
лать следующие предсказания: положение этих полюсов зависит
только от /, сигнатуры и от внутренних квантовых чисел /-ка-
нала. Поскольку простой полюс матрицы обычно является полю-
сом только одного из ее собственных значений, вычеты матрич-
ных элементов (71) имеют вид произведения *)
Я? (0 = [vf (*; Α λΑ; С, %)]*[vf (t; Β, %; D, λβ)]. (72)
Если не считать несущественных усложнений, обусловленных
тем, что J, l и а могут отличаться друг от друга в случае
частиц со спином, перечисленные выше свойства полюсов Jf
матрицы Zj переносятся и на полюсы ^ и, следовательно, на
показатели α;· в формуле (70). В действительности даже в слу-
чае наличия спина при принятой нами нормировке амплитуд
(см. уравнение (12)) Jj: = aj. Отсюда следует, что показатели
α3· в формуле (70) зависят только от /, сигнатуры и от внутрен-
них квантовых чисел /-канала (свойство универсальности),
а вычеты функций £~ имеют вид произведения (72) (свойство
факторизации). Начиная с этого момента мы будем писать
af (/) вместо aj t подчеркивая этим, что щ должно, вообще го-
воря, зависеть от /.
в) Связь αγ (t) с частицами. Если положение полюса мат-
рицы Zj (/) в /-плоскости при фиксированном / зависит от /,
*) Тот факт, что Zj имеет полную систему собственных векоторов и соб-
ственных значений, следует из унитарности S-матрицы в ^-канале. Свойство
факторизации (72) было впервые обнаружено В. Н. Грибовым и И. Я. По-
меранчуком [50] и М. Гелл-Маном [51].

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 661
то, вообще говоря, этот полюс будет также полюсом Zf (t) в
i-плоскости при фиксированном J. Если / принимает неотрица-
тельное целое или полуцелое значение, физически совместимое
с сигнатурой и внутренними квантовыми числами f-канала *),
то полюс Zf (t) в i-плоскости при t = t0 будет соответствовать
частице с массой io , спином / и теми же самыми квантовыми
числами. При этом предполагается, что
Re/0>0, |Imi0|«Ref0.
Если Im t0 = 0, частица стабильна, в противном случае — это
резонанс. Четность частицы или резонанса связана с сигнату-
рой, и наоборот. По мнению Чу и Фраучи [48] и Бланкенбеклера
и Гольдбергера [52], можно предположить, что каждой частице
X соответствует полюс матрицы Zf (t) с теми же квантовыми
числами и сигнатурой, определяемой четностью частицы. Этот
полюс Р.едже /f (t) обладает свойством
'Г(тЭ = /х· (73)
где тх и Jx — масса и спин частицы X. Функцию Jf{t) назы-
вают также редже-траекторией X. Если равенство (73) при
одной и той же функции jf (t) удовлетворяется для несколь-
ких различных частиц, то эти частицы лежат на одной траекто-
рии Редже. Поскольку сигнатура полюса фиксирована, спины
частиц могут отличаться на 2, 4, ..., в то время как их четно-
сти и внутренние квантовые числа должны быть одинаковы. По-
добные «рекурренции Редже» в настоящее время хорошо из-
вестны для барионов. По-видимому, они существуют также и
для мезонов. В качестве примера для случая барионов можно
сослаться на нуклонные резонансы с изоспином 3/2 и массой
1236 и 1924 Мэв. Их спины и четности равны 3/2+ и 7/2+ (поло-
жительная четность соответствует отрицательной сигнатуре в
пион-нуклонной системе).
Итак, мы приходим к следующему выводу. Можно ожидать,
что одни и те же траектории Редже проходят через известные
частицы, положение которых фиксируется условием (73), и в то
же время определяют показатели степени af (t) = Jf (i) в асимп-
тотическом разложении (70).
*) Рассматривая случай равных масс (формула (64)), замечаем, что
сигнатура связана с пространственной четностью в ц. м. системе i-канала,
поскольку замена cosBi->—cosGi соответствует в_ этой системе инверсии
пространственных координат падающих частиц Л и С. Это особенно легко ви-
деть в случае Л=зт+, С=зтг. Положительная сигнатура соответствует положи-
тельной четности и /=0, 2, .... отрицательная сигнатура — отрицательной
четности и /= 1, 3, ... .

662
ДОПОЛНЕНИЕ I
г) Вещественность и положительность наклона о~ (г). До
тех пор пока t положительно, можно считать, что функция
Zf {t) описывает систему с энергией t'!s и моментом J. Следо-
вательно, если при некотором положительном i0 Jo = Jf (t0), то
можно рассматривать t0 как собственное значение гамильто-
ниана, обобщенного на случай момента /о (это значение мо-
мента, вообще говоря, будет нефизическим). Наоборот, можно
считать, что to нам задано, и определять /0 как собственное
значение момента /, входящего в обобщенный гамильтониан *).
До тех пор пока to лежит ниже порога непрерывного спектра
состояний рассеяния, собственные значения Ιψ вещественны
при вещественных /0, поскольку при вещественных /о обобщен-
ный гамильтониан эрмитов. И наоборот, если to —заданная ве-
щественная энергия, лежащая ниже порога непрерывного
спектра, то следует ожидать, что собственное значение /о опе-
ратора / будет вещественным.
Отсюда естественно сделать вывод, что //* (t), а следователь-
но и af (t), должны быть вещественны при положительных t
ниже порога непрерывного спектра. Весьма соблазнительно
предположить, что это свойство будет сохраняться и при отри-
цательных t, т. е. в физической области реакции А + В —*■ С + D.
Это предположение кажется естественным в случае, когда си-
стема А +С в i-канале ведет себя как бозон **). Однако, как
показал Грибов, оно неверно, когда система А + С ведет себя
как фермион [54]. В этом случае при t < 0 функции Jf (г) стано-
вятся комплексными и появляются парами, члены которых ком-
плексно сопряжены друг другу. Следовательно, если реакция
А + В —* С + D допускает обмен бозоном в i-канале, то модель
полюсов Редже предсказывает вещественность показателей щ
в разложении (70). В случае обмена фермионами показатели
становятся комплексными при t < 0, так что асимптотическое
поведение может обнаруживать осцилляции. Согласно Кино-
шите [53], появления таких осцилляции следует ожидать не в
полных сечениях, а в поляризации.
Однако к выводам относительно фермионного обмена нужно
относиться с осторожностью. Дело в том, что все простые реак-
ции такого типа, например
π± + ρ -* ρ + π*, π~ + ρ -* η + π°, η~ + ρ —> ρ + d,
ρ + ρ -* η+ + d,
*) Этот обобщенный гамильтониан очень легко выписать в нереляти-
вистской шредингеровской теории с центрально-симметричным потенциалом.
Нужно просто взять радиальное волновое уравнение и подставить в выраже-
ние для центробежного потенциала /(/+1)г~2 соответствующее значение /.
**) См. приложение А к работе [53].

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 663
соответствуют случаю неравных масс (тл Φ ητ^ и mjf Φ tnD в
наших обозначениях), корректное рассмотрение которого до сих
пор не проведено*). Это, однако, ни в коей мере не снижает
интереса к их тщательному экспериментальному исследованию.
Вернемся теперь к обсуждению поведения полюсов Редже
// (t) при положительных t ниже порога непрерывного спектра.
Очевидно, следует ожидать, что в этой области производная
dJfldt будет положительна. В самом деле, to можно рассма-
тривать как собственное значение обобщенного гамильтониана,
соответствующее моменту /о = //~(^о). Увеличение /0 означает
увеличение центробежного потенциала, что приводит к увели-
1/2
чению собственного значения энергии to . Отсюда видно, что
djf/dt и, следовательно, da^idt должны быть положительны.
Эти свойства, вероятно, остаются справедливыми и при t < О,
по крайней мере для бозонных траекторий. Как мы уже упоми-
нали раньше, фермионные траектории при t < 0 становятся
комплексными, однако при малых t их мнимые части малы.
Заметим в заключение, что все рассуждения, относящиеся
к пунктам в) иг), применимы только к движущимся полюсам,
т. е. когда Jf (t) эффективно меняется при изменении t. В ли-
тературе интенсивно обсуждался вопрос о том, могут ли суще-
ствовать фиксированные полюсы, или в более общем случае
фиксированные сингулярности (т. е. сингулярности, не завися-
щие от t). Этот вопрос, в сущности, до сих пор не решен. Его
решение осложняется тем, что если существуют разрезы, дви-
жущиеся при изменении t (что весьма вероятно), то они при
своем движении могут проходить через фиксированные сингу-
лярности и заставлять последние перемещаться с одного листа
римановой поверхности на другой.
д) Вещественность вычетов. Нули вычетов. Принято считать,
что вычет парциальной амплитуды (71) в полюсе Редже J fit)
представляет собой вещественную функцию t, если t =
= (рА — рс)2 находится в физической области реакции А + В-*-
-* С + D. В простом случае Д = Pt, рассмотренном нами при
выводе уравнения (68), вещественность вычета уже была пока-
зана. Приведенные там аргументы применимы и к более общему
случаю, когда функции Jf it) и df it) вещественны. В этом слу-
чае вещественность вычета следует из аналитичности Τ при
фиксированном t (§ 6). В случае фермионного обмена анало-
гичное утверждение, по-видимому, справедливо лишь прибли-
женно, с той точностью, с какой можно считать функцию af{t)
вещественной при малых \t\.
*) Рассмотрение, проведенное в недавней работе Голвдбергера и Джон-
са [40], относится к случаю бесспиновых частиц·

664
ДОПОЛНЕНИЕ I
Вычеты обладают еще одним интересным свойством: можно
ожидать, что при определенных значениях t=(pA — рс)2 при
высоких энергиях они исчезают. Рассмотрим вычет Rf(i) пар-
циальной амплитуды (71) в полюсе J = Jf (t). Пусть а,- (/) = aj
будет показателем соответствующего члена в разложении (70).
Коэффициент Cj при этом члене представляет собой произведе-
ние Rj и выражения типа (68), возникающего из последнего
множителя в подынтегральном выражении (65). Выражение
(68) имеет полюс при значении а; = af (t), равном четному це-
лому числу при четной сигнатуре и нечетному числу при нечет-
ной сигнатуре. Если при этом справедливо асимптотическое
разложение (70), то для того, чтобы амплитуда оставалась ко-
нечной, вычет Rf (t) должен исчезать при соответствующем зна-
чении t. Высказывались также предположения [55 — 59], что
этот вычет должен исчезать при некоторых значениях /, для
которых af (t) равно нечетному (четному) числу при четной
(нечетной) сигнатуре. Поскольку в этом случае выражение (68)
конечно, то это означало бы, что /-й член асимптотического раз-
ложения должен исчезать при таких t. Такой эффект должен
был бы наблюдаться. Согласно современной версии этой гипо-
тезы, Rf (t) может исчезать только, если кроме перечисленных
выше условий выполняется одно из следующих условий:
1) значение /' функции Jf(t) в точке t, о которой идет речь,
отрицательно *) или
2) J' неотрицательно, а диаграмма Фейнмана, описывающая
одночастичный обмен (ΟΡΕ) в реакции А + В —* С + Ζ) и соот-
ветствующая обмену в f-канале одной-единственной частицей со
спином /', не дает вклада в рассматриваемую амплитуду
T(s, t, Κα, λβ, Kc, λυ).
е) Свойства аналитичности полюсов и вычетов. К перечис-
ленным выше свойствам и предположениям можно еще добавить
некоторую информацию об аналитических свойствах полюсов
Редже Jf (t) парциальных амплитуд (71) и вычетов Rf (t) по пе-
ременной t. По аналогии с нерелятивистской теорией Шредин-
гера или из рассмотрения представления Мандельстама для
релятивистских амплитуд следует ожидать, что Jf (t) и Rf (t) яв-
ляются аналитическими функциями t, если система А + С пред-
ставляет собой бозон, и аналитическими функциями t'l*, если
Л + С представляет фермион, с разрезом от самого низшего
порога в i-канале до + оо **).
*) Поскольку соответствующее значение I — целое, в случае бозонного
(фермионного) обмена в /-канале /' равно целому (полуцелому) числу.
**) См. [43], а также [49] и [60].

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 665
§ 9. Сравнение с экспериментом
Мы закончим эту главу кратким обсуждением эксперимен-
тальной ситуации в терминах асимптотического разложения (70)
и модели полюсов Редже *).
Эксперимент свидетельствует о том, что в случае упругого
рассеяния ведущий член в разложении для всех реакций имеет
показатель α, ~ 1, что соответствует постоянным σΠ0ΠΗ и
doynv/dt в пределе высоких энергий.
Сигнатура этого члена положительна, а квантовые числа
i-канала совпадают с квантовыми числами вакуума. В модели
полюсов Редже функцию а, = а,+ (t) «=_ 1 называют траекторией
Померанчука. Она, по-видимому, универсальна, ее наклон da+ldt
равен нулю или очень мал, и ее можно связать с одним из ме-
зонов 2+, имеющих / = У = 0 (/о с массой 1250 Мэв, f'0 с мас-
сой 1525 Мэв).
Отклонение Сполн и dcynp/dt от константы можно объяснить,
вводя следующие члены разложения, у которых квантовые
числа i-канала совпадают с квантовыми числами St/(3) -нонета
мезонов с нечетной сигнатурой и октета или нонета мезонов
с четной сигнатурой. Если производная da~ldt имеет для этих
членов порядок величины 1 (Гэв/с)-2, то соответствующие траек-
тории Редже можно экстраполировать в виде прямых линий,
проходящих через хорошо известный нонет 1" мезонов (для
случая нечетной сигнатуры) и через предполагаемый нонет 2+
мезонов (для случая четной сигнатуры) [55, 61].
Реакции с перезарядкой дают нам информацию о тех членах
в асимптотическом разложении, для которых заряд i-канала
равен ±1, а гиперзаряд равен нулю. Так, в реакцию л~р —*л.°п
дают вклад только те из упомянутых выше траекторий, которые
имеют нечетную сигнатуру, например р-мезонная траектория.
Это позволяет экспериментально определить форму данной
траектории. Оказывается, что она и в самом деле очень близка
к прямой линии при —1 (Гэв/с)2<С. t-^.0, и ее наклон примерно
равен 1 (Гэв/с)-2, вследствие чего, будучи экстраполирована как
прямая линия до значения t = т2, она проходит через точку, от-
вечающую спину 1. Это соответствует заметному сужению пика
и является в настоящее время самым замечательным предска-
занием модели полюсов Редже. Описанное в предыдущем раз-
деле свойство исчезновения вычетов (конец пункта г)) по-
зволяет сделать определенные предсказания относительно
части амплитуды процесса п~р —*л°п, описывающей рассеяние
*) Более детальный обзор и многочисленные ссылки можно найти в ра-
ботах, представленных на конференцию в Стони Брук (1966) (см. библио-
графию).

666
ДОПОЛНЕНИЕ I
с переворотом спина. Эта амплитуда должна исчезать при значе-
ниях /, при которых исчезает а~ (i), т. е. при t «*—0,6 (Гэб/с)2.
Поразительным образом в этой точке сечение имеет заметный
минимум. Только один аспект реакции лгр —*■ п°п нельзя объяс-
нить с помощью одной р-траектории. Это—неисчезающая поля-
ризация при 6 Гэв — эффект, для объяснения которого нужно
рассмотреть интерференцию р-мезонной траектории с дру-
гим членом в амплитуде. Насколько сейчас известно, этот
член можно выбирать различными способами, однако он не
может принадлежать ни к одному из двух вышеупомянутых
нонетов.
В реакции К~р —*■ К°п доминируют р-мезонная траектория и
ее двойник с положительной сигнатурой, который предположи-
тельно можно отождествить с траекторией Л2-мезона с / = 1,
У = 0 и массой 1290 Мэв. (Такое отождествление требует, чтобы
спин и четность Л2-мезона равнялись 2+, — этот пункт еще не
окончательно установлен.) Л2-траектория проходит через Л2-ме-
зон при значении спина J = 2, если ее наклон, как уже упоми-
налось выше, равен 1 (Гэв/с)~2. Это позволяет сделать теоре-
тические предсказания относительно реакции π+ρ->-ηη, в ко-
торой полностью доминирует Л2-траектория [62]. Предсказания
хорошо согласуются с последними экспериментальными дан-
ными [22].
В целом анализ процессов мезон-нуклонного рассеяния впе-
ред с помощью модели полюсов Редже оказался чрезвычайно
успешным, и было бы очень важно довести его до более высо-
кой степени точности (в настоящее время подлинно количествен-
ная проверка модели полюсов Редже возможна лишь для реак-
ции лгр —* п°п). Также успешно можно описать л*р-рассеяние
назад с помощью двух очень прямых траекторий с противопо-
ложной сигнатурой, одна из которых принадлежит нуклону,
а другая — изобаре N512,3/2 (1236 Мэв). Экспериментальные дан-
ные [15, 16] указывают, что в последнем случае связь более сла-
бая, чем в первом. Кроме того, впадину на кривой do/di для
реакции п+р —* ρπ+ можно объяснить с помощью аргументов,
приведенных в предыдущем разделе (конец пункта г)), отно-
сящихся в данном случае к вычету нуклонной траектории.
В случае рассеяния нуклонов и антинуклонов с перезарядкой
ситуация менее удовлетворительна. Имеющиеся результаты по
рассеянию пр -*рп [15 — 19] и рр -*пп [24, 63] нельзя объяснить
с помощью двух упомянутых выше нонетов траекторий [64, 65].
Необходима по крайней мере еще одна траектория [64] или же
нужно прибегнуть к другим объяснениям (типа предложенного
Байерсом [66] учета дальнодействующей части однопионного об-
мена в рамках когерентной капельной модели [67]).

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 667
Глава 3
ДИФРАКЦИЯ КАК ТЕНЕВОЕ РАССЕЯНИЕ
§ 10. Условие унитарности и функция перекрывания
Амплитуда Тупр упругого рассеяния А + В —*■ А + В при вы-
соких энергих и малых передачах импульса, по-видимому, ста-
новится почти чисто мнимой. Поскольку при этом дифференци-
альное сечение doynp/dt существенно отлично от нуля лишь при
чрезвычайно малых t, можно предположить, что всюду, где
упругое рассеяние имеет заметную величину, оно является пре-
имущественно теневым рассеянием, обусловленным существо-
ванием неупругих процессов. Следовательно, его можно при-
ближенно описать в терминах основных свойств неупругих
процессов. В данном разделе обсуждаются некоторые следствия
этой гипотезы, непосредственно вытекающие из условия унитар-
ности S-матрицы.
Условие унитарности в операторной форме имеет вид
S+5=l, или i(T+-T) = T+T, где T = i(l-S). (74)
Возьмем матричный элемент от этого равенства между состоя-
ниями (ргА, р'в I и \рА, рв) системы А + В. Мы будем пре-
небрегать спинами всех частиц, что было бы законно, если бы
при очень высоких энергиях амплитуда рассеяния с переворо-
том спина становилась пренебрежимо малой по сравнению с ам-
плитудой рассеяния без переворота спина. В матричном эле-
менте ТТ+ разделим вклады упругих и неупругих состояний.
Формулы принимают особенно простой вид, если перейти к пар-
циальным амплитудам щ, определенным равенством
1/2 w -
7уПр (s, t) = ^ Σ(2/ + 1) ViPi(cos θ)· (75>
l
Обозначения здесь те же, что и в § 1. В итоге получаем
Ren,-j\n,\2 = h (76)
где fi определяется неупругими процессами по следующему
правилу. Пусть начальное состояние системы А + В характери-
зуется вектором \рА, рв). Рассмотрим неупругую часть соот-
ветствующего конечного состояния
\^(РА, PB)) = PS\PA, pB). (77)
Здесь S — это S-матрица, а Р — оператор проектирования на
неупругие состояния, т. е. на все состояния, отличные от А + В.

ДОПОЛНЕНИЕ I
668
Имеем, д0лее'
<Ψ (р>А р'в) Ι ψ (рА- рвУ>=^ντ' о« ^л+рв - р'А - р'в">F (s' ')·
(78)
f (s· <> = -Ш Σ <2/ + !)hpi <coS θ>' (79)
г
где рА и PB —как обычно, 4-импульсы частиц Л и 5, а
р'л и р'в— другие возможные значения этих переменных, причем
(pAf^(p'AY = m% (pBf = (p'BY = m*B, s = (p^ + pB)2,
1 = (рА-р'АУ, s«2 = (k2 + m2Af+(k2+ml)m, i=-2/e2(l-cos6).
(80)
Релятивистски инвариантная функция F(s. t) имеет простой
смысл. Если взять два начальных состояния \рА, рБ) и \р'А,р'в),
удовлетворяющих условию рА + рв = р'А + р'в, т. е. имеющих
одну и ту же ц. м. систему и одну и ту же ц. м. энергию, то
функции F{s, t) будет характеризовать степень перекрывания
между волновыми функциями \ty(pA, рв)) и |ψ(ρ"\ ρ'Β)) соот-
ветствующих неупругих конечных состояний. Эта функция, на-
зываемая функцией перекрывания [68], описывает основные
свойства неупругих соударений, которые определяют возникаю-
щую в результате тень. В самом деле, в силу равенства (79)
функция F определяет /;, a fi в свою очередь, посредством равен-
ства (76) в случае чисто мнимой Гупр, т. е. чисто веществен-
ной η^, определяет ψ*). В этом случае уравнение (76) дает
для г); два возможных значения
η, = 1 ± (1 - 2/,)1/2- (81)
Эти значения вещественны, так как условие унитарности S-мат-
рицы, будучи применено к 1-й парциальной волне упругого
А + β-рассеяния, дает
|1— t)i|<1, или 0</,<1/2. (82)
Неопределенность в знаке формулы (81) легко устраняется тре-
бованием непрерывности: эксперимент свидетельствует, что при
высоких энергиях η; и f; стремятся к непрерывным функциям
прицельного параметра b = lk~\ что η; никогда не превышает
*). Это утверждение остается справедливым и в том случае, когда Гупр
имеет неисчезающую вещественную часть, если фазу 7"упр можно определить
из независимых теоретических соображений, например, с помощью асимпто-
тического разложения (26) и правила фаз (46) (см. гл. 2).

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 669
единицы и что η;—>-0 при /—>-оо. Поэтому требование непрерыв-
ности заставляет нас выбрать в формуле (81) знак минус:
η,= 1-(1-2/0'/=. (83)
При качественном рассмотрении можно аппроксимировать
выражение (83) первым членом его разложения в степенной
ряд
■4i~fi, или Tynp(s, 0~y^ (s, t), (84)
поскольку эксперимент указывает на то, что поправки более вы-'"
сокого порядка существенны лишь при малых /. Это обуслов-
лено почти экспоненциальной формой дифракционного пика
(см. уравнения (19) и (20)), которая приводит к тому, что от-
ношение ОупрДтполн обынтегрированного упругого сечения к пол-
ному сечению всегда мало (с<! 0,2). Отсюда следует, что в пер-
вом приближении форма дифракционного пика, т. е. dcynpldt,
при малых \t\ непосредственно определяется зависимостью от /
функции перекрывания, заданной равенством (78). Эксперимен-
тально при высоких энергиях чаще всего наблюдаются неупру-
гие столкновения, в которых образуется значительное число вто-
ричных частиц с малыми поперечными, но довольно большими
продольными импульсами в ц. м. системе. Поэтому часто гово-
рят о «струйной» структуре, типичной для столкновений при
высоких энергиях. Струйная структура немедленно приводит
к тому, что F(s, t) должна круто спадать с ростом t, и сле-
довательно, предсказывается аналогичный крутой спад для
функции dcyTiV/dt. До тех пор, пока не будет получена более де-
тальная информация о неупругих столкновениях, подобные
рассуждения трудно провести на более количественном уровне.
Краткий обзор работ в этом направлении будет дан в § 12.
Ясно, однако, что эта проблема представляет значительный ин-
терес, поскольку все существующие модели наименее успешны
именно в предсказании зависимости дифференциального сечения
от t при высоких энергиях *).
В заключение этого параграфа мы приведем несколько фор-
мул для сечений:
аполн = 2лк~2 2 (2/ + 1) Re η„ аупр = nk~2 Σ (2/ + 1) I η, Ρ;
1 ' (85)
σΗ6γπρ = аполи - аупр = 2nk~2 Σ (2/ + 1) /, = 4jtW,/2F (s, 0).
*) Так, модель полюсов Редже дает всего лишь несколько предсказаний
относительно зависимости функции перекрывания от t.

670
ДОПОЛНЕНИЕ I
§11. Неравенства между сечениями
Качественные рассуждения, подобные тем, которые приве-
дены после формулы (84), позволяют на основе простых ин-
туитивных представлений о поведении функции перекрывания
предсказать целый ряд неравенств между сечениями, хорошо
согласующихся с экспериментом. Для начала рассмотрим в ка-
честве примера неупругие рр-столкновения при высоких энер-
гиях. Их наиболее характерной особенностью является уже упо-
минавшаяся нами струйная структура и, в особенности, малые
значения всех поперечных импульсов. Это наводит, на мысль
о том, что все вылетающие частицы можно грубо разбить на две
группы. Одна группа содержит частицы, движущиеся в ц. м. си-
стеме вперед (передняя группа), а другая — частицы, движу-
щиеся назад (задняя группа). В каждой из этих групп веду-
щей частицей, т. е. частицей с наибольшем ц. м. импульсом,
почти всегда является нуклон или нуклонная изобара [69]. Кроме
того, известно, что антинуклоны и странные частицы рождаются
редко. Поэтому как в передней, так и в задней группе полное
барионное число и странность в большинстве случаев совпадают
с соответствующими квантовыми числами протона. Хотя к на-
стоящему времени проделано всего лишь несколько измерений,
тем не менее кажется весьма вероятным, что и полный заряд
каждой группы, как правило, равен заряду протона.
Все эти свойства можно сформулировать в более общей
форме с помощью понятия об обмене. Обозначим через А па-
дающую частицу, через В — частицу-мишень, через А' — перед-
нюю группу и через В' — заднюю группу (А' и В' обычно пред-
ставляют собой многочастичные системы, т. е. не являются ни
отдельными частицами, ни резонансами). По аналогии с двух-
частичными реакциями процесс А + В -*_А' +_В' можно назвать
s-каналом реакции, а процесс Л + Л'-> 5 +β' —/-каналом.
Тогда перечисленные выше свойства означают, что в большей
части неупругих столкновений при высоких энергиях обмен в
i-канале барионным числом, странностью или зарядом является
очень редким событием. Как мы уже знаем, то же самое ха-
рактерно и для двухчастичных столкновений. Вероятно, это
правило справедливо также и для изоспина, т. е. для всех кван-
товых чисел, сохраняющихся в сильных взаимодействиях. Вслед-
ствие этого полное конечное неупругое состояние г]ив, возник-
шее в результате столкновения А + В, приближенно распа-
дается на две части:
*лв *№ + #&- (86)
где i]^b обозначает конечные состояния, соответствующие об-
мену в /-канале нулевыми внутренними квантовыми числами,

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 671
а ψ^ — конечные состояния, соответствующие обмену неисче-
зающими квантовыми числами. Пользуясь определением (78),
легко получить соответствующее разбиение функции перекры-
вания
Fab (s, t) « FZ (s. t) + F% (s, t). (87)
Обычно считается, что при высоких энергиях отсутствует обмен
в i-канале неисчезающими квантовыми числами. Если это дей-
ствительно так, то
F
6L·
(0)
АВ
•О при s->oo. (88)
Сравним теперь, например, рр- и яр-столкновения. Любому
конечному состоянию р' + р", принадлежащему ψ<^, будет соот-
ветствовать конечное состояние п' + р", принадлежащее ψ?>,
просто потому, что п' связано с р' тем же изотопическим вра-
щением, которое переводит η в р, и наоборот. Следовательно,
F%(s,1) = F%(s,f). (89)
Аналогичное утверждение несправедливо, однако, для конечных
состояний р' + р", п' + р", содержащихся в ψ'0, ψ"'. В этом
случае будет больше состояний типа п' + р", поскольку суще-
ствует больше способов обмена зарядом между пир, чем ме-
жду ρ и р. Поскольку каждое неупругое состояние вносит в
функцию перекрывания при t = О положительный вклад (см.
уравнение (78)), то
F%(s, 0)<F%(s, 0). (90)
Вспоминая соотношение (85), получаем отсюда неравенство ме-
жду неупругими сечениями *)
"неупр "неупр
(пр). (91)
Аналогично можно рассмотреть рр- и Яр-системы. Поскольку в
первом случае существует больше способов обмена зарядом,
чем во втором, мы получаем предсказание
"неупр (рр)> (пр). (92)
*) Легче сравнивать с экспериментом подобные неравенства для полных
сечений аПОпн. Однако, поскольку отношение супр/Сполн мало и все дифрак-
ционные пики имеют очень похожую форму (они различаются главным обра-
зом высотой и шириной, а не формой), Ополн должно удовлетворять тем же
неравенствам, что и ^неупр.

672
ДОПОЛНЕНИЕ I
Возможность дополнительного нуклонного обмена (главным об-
разом аннигиляции) в системе пр приводит к тому, что
"неупр (пр)> "неупр
{пр). (93)
При выводе последнего неравенства мы предположили, что
FfUs, f) = F%(s, t).
Вообще, можно ожидать, что
F%(s,t) = FZ(s,t), (94)
благодаря тому, что при очень высоких энергиях в г-канале бу-
дет происходить обмен единственным квантовым числом — за-
рядовой четностью С = + 1 *).
Совершенно аналогичные рассуждения применимы и к ме-
зон-барионным столкновениям. Они приводят к следующим не-
равенствам-
(π р)> (л+р), (95)
(Кр)>океуПр(К°р), (96)
"неупр (К°р)>онеу11р(К0р), (97)
"неупр (к°р)> инеупр (К+р)· (98)
Все неравенства, кроме (97), следуют из рассмотрения обмена
зарядом. При выводе соотношения (97) мы снова воспользова-
лись равенством (94) и тем, что обмен странностью может идти
через значительно большее число неупругих состояний для
^°р-системы, чем для К°р, поскольку существует большое число
гиперонов с гиперзарядом У = 0, в то время как до сих пор мы
не обладаем достоверными сведениями ни об одном барионе
с У = 2.
Все выписанные выше неравенства обусловлены существова-
нием обмена в /-канале неисчезающими квантовыми числами.
Как видно из равенства (88), при высоких энергиях такой об-
мен становится редким событием, так что в каждом из соотно-
шений (91) — (98) в пределе s—»■ + оо оба неупругих сечения
становятся равными друг другу. Здесь положение в точности
такое же, как в упругом рассеянии, где соответствующие сече-
ния doyvp/dt по тем же самым причинам имеют аналогичное
асимптотическое поведение.
*) Для двухчастичных процессов аналогичное свойство проявляется в
том, что для упругого рассеяния ведущий член в разложении (26) имеет по-
ложительную сигнатуру, что соответствует обмену в /-канале зарядовой чет-
ностью С= + 1.

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 673
В приведенных выше рассуждениях мы допускали, что вы-
летающие частицы в большинстве неупругих столкновений
можно разбить на переднюю и заднюю группы. Наши выводы
имеют, однако, несколько более широкую область применимо-
сти. В действительности для сравнения океущ>(АхВ) с
ОнеупрИг^) нужно лишь, чтобы конечные состояния, скажем, в
неупругих А\ + β-столкновениях имели бы аналоги с равной
амплитудой в системе А2 + В, в то время как некоторые из ко-
нечных состояний А2 + В не имели бы аналога в системе
Л[ + В. Очевидно, что это свойство более общее, чем то, кото-
рым мы пользовались в наших рассуждениях. Как именно оно
могло бы проявляться в природе — в настоящее время сказать
невозможно, поскольку наши экспериментальные сведения о не-
упругих конечных состояниях, содержащих более двух частиц
или резонансов, чрезвычайно ограничены. Прогресс в этой обла-
сти происходит очень медленно ввиду серьезных трудностей:
связанных с анализом многочастичных систем. Было бы, од-
нако, желательно продемонстрировать каким-либо образом су-
ществование свойств типа описанных в настоящем параграфе.
§ 12. Зависимость функции перекрывания от t
Если пренебречь вещественной частью амплитуды упругого
рассеяния, то зависимость функции перекрывания F(s, t) от t
можно вывести из формулы (19), описывающей наблюдаемое
дифференциальное сечение. Если выйти за рамки приближения
(84) и воспользоваться уравнением (83), то мы получим-зависи-
мость функции F от t, более близкую к точной экспоненте
F(s,t) = F(s,0)eb't, (99)
чем в случае dcynp/dt. Вычисленное с помощью (99) дифферен-
циальное сечение при малых \t\ имеет вид (19) с с/b2«»0,02,
тогда как при больших t оно ведет себя как expf—Ъ" Υ—t) *).
Таким образом, оказывается, что простая зависимость от t вида
(99) является хорошим приближением к действительности. По-
видимому, это справедливо в интервале t, в котором сама
функция F уменьшается более чем на порядок величины.
Может возникнуть вопрос, допускает ли экспоненциальная
форма F какое-либо простое качественное объяснение. Возмож-
но, что большая часть конечных неупругих состояний имеет
много возбужденных степеней свободы, слабо коррелирован-
ных между собой. В крайнем случае, если пренебречь даже
*) См. две последние работы, цитированные в [68], а также работу [70J,
где параметризованы экспериментальные данные по яр- и ДО-рассеяни'о
43 С. Газноровнч

674
ДОПОЛНЕНИЕ I
корреляциями, обусловленными законами сохранения, неупру-
гое конечное состояние (77) будет иметь вид произведения
N
Ч'(РЛ, Рв) = Пъ(РА, Рв), (100)
1 = 1
где функции ψ>,.. ., ψΛ относятся к различным группам степе-
ней свободы, a TV при высоких энергиях довольно велико. Тогда
из уравнения (78) следует
F(s. i) = I]>i(s. *),
Ft(s, 0^%(/Л р'в)\ ЫРА, Рв)). (101)
В этой формуле мы сняли ограничения, накладываемые сохра-
нением энергии — импульса (влияние этих ограничений будет,
конечно, тем меньше, чем больше число N). Все Fi(s, t)— веще-
ственные функции, убывающие с ростом t. Если число множи-
телей N велико, то произведение будет необходимо убывать
с ростом t по экспоненциальному закону
F(s, t) «ΠΜβ, 0)[l+O((s)f]«
~[I[Ft(s, 0)]exp[f Σ Ms)]. (102)
Более детальные рассуждения такого типа, учитывающие со-
хранение энергии — импульса, проводились для специальной
модели «некоррелированных струй» [71]. В настоящее время
невозможно сказать, правильно ли такое объяснение экспонен-
циальной формы функции F. Хотя сам факт множественного
рождения частиц в столкновениях при высоких энергиях, по-ви-
димому, можно считать установленным, но в то же время пол-
ностью отсутствует всякая информация о возможных корреля-
циях между ними.
В заключение этой главы мы упомянем об исследованиях
Коккеди [72]. Он изучал /^-столкновения в предположении, что
функция перекрывания состоит из двух частей, одна из которых
относится к неупругим столкновениям с аннигиляцией, а дру-
гая — без аннигиляции, что, грубо говоря, соответствует членам
Я1' и F<°) в формуле (87). Система рр даже при наиболее вы-
соких энергиях, достигнутых в настоящее время, обнаруживает
быстрое изменение сечения с энергией. В то же время для си-
стем рр и пр сечения приблизительно постоянны. Это наводит на
мысль, что в рассматриваемой области F*1' дает заметный вклад,
который, однако, быстро уменьшается с ростом энергии. Кок-
кеди предложил для Л'> модель, подтверждающую эту гипотезу
и хорошо согласующуюся с экспериментом.

РАССЕЯНШ- СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 675
Глава 4
КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
§ 13. 51/(6)-симметрия, алгебра токов и модель кварков
Использование методов, описанных в гл. 2, для анализа·
влияния на реакции при высоких энергиях приближенной SU(3)-
симметрии не встречает никаких особых трудностей. В то же
время значительно труднее приспособить их для обсуждения
St/(6) -симметрии, которая существенным образом включает
спин. В этом случае мы сталкиваемся со всеми сложностями ре-
лятивистской спин-орбитальной связи. Тем не менее вскоре после
того, как в физику элементарных частиц было введено понятие
об 5[/(6)-симметрии, с ее помощью было получено замечательное
предсказание относительно разностей между полными сече-
ниями, так называемые соотношения Джонсона — Треймана [73]
"2 \сполЛК+р) ~ (УлолЛК'р)] =
= о"пол„(л;+р) - Рполн(лГр) = опшш(К+п) - ап0ЛИ(К~п). (103}
Эти соотношения с разумной точностью согласуются с экспери-
ментом. В то же время другие соотношения, например, нера-
венство треугольника для рассеяния вперед [74]
[*0Гр-.я^)]»>[^0,-(,)]Я-[^ОГ,)]И. (Ю4>
очень плохо согласуются с опытными данными, хотя они и сле-
дуют только из SU(3)-симметрии и не требуют привлечения
SU(6)-симметрии. Экспериментально обнаружено, что в дейст-
вительности левая часть неравенства (104) быстро уменьшается
с ростом энергии, в то время как правая часть остается положи-
тельной и почти постоянной. Отсюда ясно, что некоторые сече-
ния или комбинации сечений очень чувствительны к нарушению-
симметрии, в то время как другие почти не ощущают его. Па-
радоксы такого рода, безусловно, затрудняют теоретический
анализ реакций при высоких энергиях с помощью Si/(3)- и
SU(6) -симметрии. Обычно проблема состоит в том, чтобы вы-
вести «успешные» соотношения, не пользуясь аргументами, ко-
торые приводили бы к дальнейшим соотношениям, не согласую-
щимся с экспериментом.
Эта ситуация не слишком отличается от той, с которой мы
сталкиваемся при анализе электромагнитных и слабых взаимо-
действий адронов с помощью SU(6) -симметрии. В этом случае
также не удается успешно и самосогласованно применить ме-
тоды теории групп и поэтому приходится развивать другие
43*

676
ДОПОЛНЕНИЕ I
подходы, главным образом основанные на использовании ал-
гебры токов [75] и модели кварков [76, 77]. Последняя представ-
ляет собой динамическую модель, в которой адроны рассматри-
ваются как составные частицы, образованные из St/(3)-трипле-
тов, называемых кварками. В рамках этой модели проводятся
чрезвычайно успешные, но заведомо очень грубые вычисления,
основывающиеся на нерелятивистском рассмотрении кварков
внутри адрона. При этом, однако, обходятся стороной и остаются
без ответа вопросы, связанные с силами взаимодействия между
кварками. В алгебре токов кварки используются менее явно.
В этом методе постулируются перестановочные соотношения для
токов, которые имеют место в случае, когда операторы токов
простейшим образом построены из кварковых полей. Эти пере-
становочные соотношения используются затем для вывода пра-
вил сумм, связывающих наблюдаемые свойства адронов, уже
•без какого-либо обращения к кваркам. С помощью метода ал-
гебры токов также удалось добиться значительных успехов.
Наиболее замечательным ее предсказанием является правило
сумм Адлера — Вайсбергера, выражающее абсолютное значе-
ние отношения аксиальной константы бета-распада к векторной
через полное сечение рассеяния пионов на нуклонах [78. 79].
Одна из наиболее привлекательных черт модели кварков со-
стоит в том, что из нее непосредственно следует целый ряд соот-
ношений между определенными свойствами нуклонов и анало-
гичными свойствами мезонов. В качестве наиболее известного
примера можно привести правильное соотношение между маг-
нитным моментом протона и парциальной шириной распада
ω°—>π° + γ [80, 81]. Как мы увидим позже, для процессов рас-
сеяния при высоких энергиях получаются еще более порази-
тельные предсказания. Так, модель кварков дает для полных
сечений соотношение
lim σ"°™;πΡ>=-|. (105)
s-> +oo аполн (ΡΡ) Ο
Экстраполяция измеренных ηρ- и рр-сечений к постоянным зна-
чениями при бесконечной энергии дает оПолн (яр) ~ 22 мб,
Рполн(рр) ~ 36 мб—в хорошем согласии с формулой (105).
Именно качественный успех таких простых предсказаний,
а также тот факт, что при их выводе не предполагается точной
£{/(3)-симметрии, и делают модель кг.арков столь привлекатель-
ной и плодотворной на настоящей ступени развития теории.
Большую часть ее предсказаний можно получить в слегка мо-
дифицированной форме из менее радикальных предположений
с помощью алгебры токов. Однако при этом вывод становится
более сложным и исходные предположения в большей степени

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 677
зависят от конкретной рассматриваемой задачи*). Поэтому мы
упомянем здесь лишь о недавней работе Кабиббо, Горвица,
Коккеди и Неемана [83, 84], распространивших метод алгебры
токов на рассеяние при высоких энергиях. Этим авторам уда-
лось получить соотношение (105) и другие следствия из модели
кварков для рассеяния при высоких энергиях с помощью введе-
ния скалярных и векторных токов, описывающих взаимодей-
ствие частиц с двумя нонетами полюсов Редже. При этом ска-
лярные (векторные) токи связаны с полюсами, имеющими чет-
ную (нечетную) сигнатуру. Перестановочные соотношения для
этих «сильных токов» выводятся из модели кварков, но в даль-
нейшем кварки никак не используются. С помощью этого
метода получены очень интересные результаты. Выводится фор-
мула (105) и целый ряд других, хорошо выполняющихся соот-
ношений при t = 0. В то же время оказывается, что для согла-
сования между собой зависимости различных полных сечений
от s необходимо, чтобы все аПолн при s-voo стремились к нулю
как sa, где а ^ —0,07 **).
Последующее обсуждение будет посвящено применению мо-
дели кварков к рассеянию при высоких энергиях. Мы ограни-
чимся обзором лишь нескольких из многочисленных соотноше-
ний, полученных для амплитуд рассеяния вперед и их мнимых
частей, т. е. полных сечений [85 — 88]. В то же время мы уделим
больше внимания зависимости амплитуды от / и вопросу о са-
мосогласованности основного предположения об аддитивности
[87, 89].
§ 14. Гипотеза аддитивности для амплитуд рассеяния
В основе всех применений модели кварков [76, 77] лежит ис-
ходное предположение об аддитивности, согласно которому ве-
личины, характеризующие некоторые специальные свойства ад-
рона, можно выразить в виде суммы членов, принадлежащих
*) Существует и другой метод вывода следствий кварковой модели без
предположения о существовании кварков. Это можно сделать с помощью
гипотезы об универсальности, согласно которой известные мезоны домини-
руют во всех соответствующих взаимодействиях или токах. Эта гипотеза де-
тально исследовалась Фрейндом. По поводу применения гипотезы об универ-
сальности к рассеянию при высоких энергиях см. [82].
**) Необходимо отметить, что модель Кабиббо и др. не воспроизводит
равенства (105), если принять во внимание нарушение SU (3) -симметрии. По-
этому асимптотическое значение отношения аПОЛн (я.р)1вполи (рр) может быть
любым, в зависимости от отношения констант F и D связи барионов с окте-
том, с четной сигнатурой. Это отношение является свободным параметром
(см. по этому поводу [84]). В модели кварков положение иное, поскольку
процессы пр- и рр-рассеяния, в которых участвуют только кварки с I—lh, не
зависят от нарушения SC(3)-симметрии. Эффекты нарушения симметрии начи-
нают проявляться только в процессах, в которых участвуют кварки с /=0.
44 С. Газнорович

678
ДОПОЛНЕНИЕ I
кваркам и антикваркам, составляющим этот адрон. В случае
слабых или электромагнитных взаимодействий матричный эле-
мент (слабого или электромагнитного) оператора тока между
двумя адронными состояниями Л и Л' записывается в виде
суммы членов
<Α'\Ιμ\Α)=Σ(Α'\ΙΙ\Α), (106)
г
где оператор /μ действует только на i-й кварк *) в А и остав-
ляет остальные кварки без изменения. Предполагается, что
матричный элемент (л'|/μ | Л) имеет структуру вида
<A'\jl\*>-<Q?lW>t?A(bPa (107)
Здесь (Qf'\ J^Qf) представляет матричный элемент тока между
кварковыми состояниями Qf и QA\ вычисленный при том же
значении переданного импульса рА' — рА = Δρμ, что и (А' | /μ j Ay
Он зависит от Л и Л' только через спиновые и SU (З)-переменные
кварков Qf и Qf. Формфактор ffA' описывает перекрывание
между кварковой волновой функцией адрона Л' и волновой
функцией, порожденной в результате действия /μ на кварковую
волновую функцию адрона Л. Если адрон Л' идентичен адрону Л
и оператор /μ не меняет ни спиновое, ни SU (З)-состояния
кварка фг, то
ffA(0)=l. (108)
Равенства (106) и (107) описывают содержание гипотезы адди-
тивности. Соотношение (106) выражает свойство аддитивности,
а соотношение (107) описывает приближение, позволяющее
сравнивать, скажем, свойства барионов и мезонов. В самом
деле, предполагается, что \Q(· Kup2i) зависит только от Δρμ,
спинового и 5U(3) -состояний кварка Q, в А и Л', тогда как fAA'
описывает влияние кварковых волновых функций Л и Л'**).
Мы обобщим теперь гипотезу аддитивности на двухчастич-
ные процессы рассеяния
А + В-*А' + В'. (109)
*) Для большей точности следовало бы говорить i-й кварк или анти-
кварк, но мы не будем явно различать кварки и аитикварки. В случае мезо-
нов индекс i пробегает значения, соответствующие одному кварку и одному
антикварку, а в случае барионов — значения, соответствующие трем
кваркам.
**) Предполагается, что можно разделить пространственные и спиновые
координаты кварков. Это можно сделать, если состояния кварков в адроне
нерелятивистские и Δρμ не слишком велико. Предположение о нерелятивизме
во всяком случае желательно, если мы хотим, чтобы модель кварков вос-
производила структуру адронных 5£/(6)-мультиплетов, в особенности значе-
ния их спинов.

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 679
Предполагается, что частицы Л и Л' имеют одинаковую квар-
ковую структуру, т. е. они обе являются либо барионами, либо
мезонами. То же самое предполагается и в отношении В' и В.
Как обычно, через s будем обозначать квадрат ц. м. энергии.
Переданный 4-импульс мы будем обозначать Δρμ:
Δρμ = ρ£'-ρ£ = Ρ*-ρ*'. (по)
Пусть Qi обозначает кварки, входяшие в состав A (i = 1, 2, 3,
если А — барион; i = 1, 2, если А — мезон; как и прежде, мы
пользуемся термином «кварки» и для кварков, и для антиквар-
ков). Аналогично пусть Qj обозначает кварки в В. Гипотеза
аддитивности означает тогда, что процесс (108) происходит пу-
тем рассеяния отдельных кварков Qj, входящих в Л, на отдель-
ных кварках Qj, входящих в β. При этом остальные кварки
остаются без изменений. В терминах матрицы столкновения
Г = /(1—S) (111)
это можно записать так:
(А'В' | Τ | АВ) = δ4 (ρ* + рв' -рА- рв) Σ (А'В' | Т„ | АВ). (112)
I. I
Здесь оператор Тц действует на i-й кварк Л, но оставляет дру-
гие кварки неизменными. Соотношение (112), являющееся ана-
логом (106), необходимо дополнить соотношением, аналогич-
ным (107). Мы запишем его в форме
<А'В' | Tt,1 АВ) = (Qf'Qf | Τ ц \ QfQf) ff* (Δρμ) fBB'(- Δρμ). (113)
(QfQfl^iAQfQf) описывает столкновениз кваркоз Qf, Q.
с передачей импульса Δρμ, переводящее их из спиновых и
5£/(3)-состояний Qj, QB, в которых они находились в адро-
нах Л, В, в спиновые и 5£/(3)-состояния Qj', Q?'. Как и в фор-
муле (107), формфакторы fj'A описывают перекрывание между
кварковой волновой функцией Л' и волновой функцией, поро-
жденной действием Тц на Qh при неизменных остальных квар-
ках в А (аналогично для ff'B; см. примечания на стр. 678).
Формфакторы удовлетворяют равенству (108) при А = А', В = В',
если в процессе рассеяния вперед спиновые и SU (З)-состояния Q(
и Q/ не меняются.
Зависимость различных факторов в формуле (113) от энергии
падающих частиц s1,2=pA + pB заслуживает специального рас-
смотрения. Естественно считать, что при данном Δρμ формфак-
торы fA'A, fB'B не зависят от s. Аналогичное предположение
кажется разумным и для (QfQf l^l QfQf) в случае упругого
44·

680
ДОПОЛНЕНИЕ I
рассеяния при очень высоких энергиях (Л' = Л, В' = β,
s—> + oo), если все сечения выходят на константу. В самом
деле, в этом случае можно предположить, что ковариантная ам-
плитуда (13) становится пропорциональной s, так что при нор-
мировке (10) матричный элемент (112) становится не завися-
щим от s. Естественно предположить то же самое и для (113).
Другими словами, тот факт, что матричный элемент рассеяния
А + В при очень высоких энергиях становится не зависящим от
энергии, объясняется тем, что, по предположению, это справед-
ливо для матричного элемента (Q, + Qj)-рассеяния. В этом
простом случае можно избежать вопроса о том, какую энергию
следует приписать столкновению Qi + Qj, если задана энергия
s'1' столкновения А + В.
Однако мы неизбежно встретимся с этим вопросом, рассма-
тривая упругое рассеяние при конечных s и неупругие процессы
(Л φ А' и (или) В φ В') с убывающими сечениями при всех s.
Поскольку модель кварков характеризуется главным образом
свойством аддитивности, кажется естественным считать, что
свойства адронов представляют собой сумму свойств составляю-
щих их кварков и что это справедливо не только для барион-
ного числа, изоспина, гиперзаряда и спина, но также и для энер-
гии и импульса. Таким образом, если Л имеет 4-импульс pjj, то
составляющие его кварки будут иметь импульсы
Pl-cfPU' 21 с? =1- (114)
Естественно допустить, что все cf приблизительно равны друг
другу, так что
cf я* сА, сА = 1/2 для мезонов, сА=1/3 для барионов. (115)
Очевидно, что (114) несовместимо с соотношением
{р1? = т\->т\, (116)
которое должно было бы выполняться для свободного кварка
с большой массой mQ. Однако мы обсуждаем здесь свойства
кварков, которыми они должны были бы обладать, будучи свя-
занными в адроне, а эти кварки, как видно из равенств (114) и
(115), имеют эффективную массу т^** порядка
т|*Ф « у тв ~ 1 тм, (117)
где тв, тм — средние значения масс барионов и мезонов соот-
ветственно. В пользу столь малого значения эффективной массы
кварка свидетельствуют также вычисления магнитных моментов
барионов на основе гипотезы аддитивности [80, 81, 90]. В дей-

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 681
ствительности во всех успешных приложениях модели кварков
гипотеза аддитивности используется для свойств связанных
кварков и полученные результаты совершенно не зависят от
того, что представлял бы собой свободный кварк, если бы он
существовал. Делается, однако, существенное предположение,
что свойства связанных кварков в барионах и мезонах одина-
ковы. Именно это предположение подвергается проверке при
сравнении барионов и мезонов в рамках модели кварков.
Заметим также в этой связи, что все приложения этой мо-
дели относятся к свойствам частиц при малых передачах им-
пульса, так что фактически используются свойства связанных
кварков, усредненные по интервалам и временам !>> т~1. В те-
чение более коротких промежутков времени кварки могут иметь
другие свойства осциллирующего характера*). В частности,
фермиевские импульсы кварков в адроне могут иметь вполне
заметную величину, но давать малый вклад в усредненные по
времени величины р£, входящие в (114).
Мы примем равенства (112) и (ИЗ) в качестве явной фор-
мулировки гипотезы аддитивности для рассеяния при высоких
энергиях. При этом будем считать, что матричные элементы
(Qf'Qf \Tll\QfQf} одинаковы для различных адронных столк-
новений, если только результирующие энергии кварк-кварковых
столкновений, определяемые равенствами (114) — (115), одина-
ковы. Эти энергии равны
s„ = (ρ' + PJf ~ (cAmAf + {cBmBf + 2cAcB (p*pB). (118)
При высоких энергиях они хорошо аппроксимируются выраже-
нием
Sif « САСВ iS-mA~ ml) ~ CACBS0> О !9)
где so есть значение st (см. равенство (27)) при t = 0. Это зна-
чит, что для сравнения барион-барионных, мезон-барионных и
мезон-мезонных столкновений их нужно рассматривать при
энергиях, удовлетворяющих следующим пропорциям:
„вв мв мм
т-т—т· <120'
И действительно, согласие с экспериментом улучшается, если
барион-барионные и мезон-барионные сечения сравнивать таким
образом.
*) Можно полагать, что быстрые осцилляции могли бы быть обуслов-
лены наличием очень сильного взаимодействия, связывающего кварки в ад-
роне. Заряд и барионное число также могут осциллировать, так что их дроб-
ные значения ±Vs. ±2/з могли бы относиться к усредненным целочисленным
значениям.

682
ДОПОЛНЕНИЕ I
§ 15. Соотношения между полными сечениями
Гипотеза аддитивности (равенства (112) — (ИЗ)) приводит
к предсказанию многочисленных соотношений между амплиту-
дами рассеяния. Мы приведем здесь некоторые из них в том
виде, в каком они были впервые получены [85—88], т. е. в пре-
небрежении спиновыми переменными. Как было показано не-
давно Ициксоном и Якобом [91], спиновые переменные также
можно принять во внимание. При этом некоторые соотношения,
полученные в пренебрежении спином, оказываются справедли-
выми для усредненных по спину величин. Кроме того, удается
получить ряд новых соотношений. В тех немногих случаях,
когда имеющиеся данные позволяют экспериментально прове-
рить эти соотношения, согласие оказывается удивительно хоро-
шим, особенно если принять во внимание грубость модели.
Рассмотрим вначале упругое рассеяние вперед, т. е.
А' = А, В' = В, Δρμ = 0. (121)
Как явствует из уравнения (108), все формфакторы в этом слу-
чае сводятся к единице. Построим барионы и мезоны из квар-
ков, пренебрегая спином
n+ = QpQn, #+ = QPCL м 22)
Ρ = QpQpQn, η = QpQnQn,
где Qp, Q„, <3λ обозначают кварки с /= 1/2, / = 0 соответственно.
Используя сокращения
(АВ\Т\АВ) = (АВ), (QiQl\Til\QiQ,) = (QlQl), (123)
мы немедленно получаем
(рр) = 4 (QPQp) + 4 (QpQn) + (QnQn),
(пр) = 2 (QpQp) + 5 (QpQn) + 2 (QnQn),
{np) = 2 (QpQp) + 4 (QnQp) + (QpQn) + 2 (Q„Qn>,
(pp) = 4 (QpQP) + 2 (QpQn) + 2 (QnQp) + (Q„Q„),
(π+ ρ) = 2 (QpQp) + (QpQn) + 2 (QnQp) + (QnQn),
(n-p) = 2 (QpQp) + (QPQn) + 2 (QnQp) + (QnQn),
(K+p) = 2 (QpQp) + (QpQn) + 2 (QkQp) + Шп),
(κ+η) = (QpQp) + 2 (QpQn) + (Q&p) + 2 (4Q„).
(K-p) = 2 (QPQP) + (QPQn) + 2 (Q&p) + (QxQn),
(K-n) - (QpQp) + 2 (QpQn) + ШР) + 2 Шп)-

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 683
Простым следствием этих соотношений является равенство
j 1(РР) + (пр) + (пр) + {рр)] = [(п+р) + (п~р)] =
= 2 №PQP) + 3 (QpQn) + (QnQn) + 2 (QpQp) + (QpQn) +
+ 2(QnQP) + (QnQn)· (125)
При очень высоких энергиях отсутствие обменного рассеяния и
аннигиляции приводит к тому, что в каждой квадратной скобке
все амплитуды становятся равными друг другу, так что
| (рр) = 2 (π+ρ) = 12 (QPQP). (126)
Отсюда по оптической теореме следует равенство (105). При-
меняя оптическую теорему непосредственно к равенству (125),
получаем
2 [Дполн (π+ρ) + Сполн (π~ρ)] _^ (]97)
Опот (РР) + Яполн (ПР) + 0полн («р) + «ПОЛИ (рр) з· ν·>
Если в соответствии с правилом (120) взять сечение πρ-рассея-
ния при 13 Гэв, а сечение нуклон-нуклонного рассеяния при
20 Гэв, то экспериментальное значение этого отношения будет
равняться 0,59 ± 0,05. Если же все сечения были бы взяты при
одной и той же энергии, 13 или 20 Гэв, то оно равнялось бы
0,54 ± 0,05.
В качестве другого примера рассмотрим соотношения Джон-
сона— Треймана (103). Из (124) легко получить
(К+р) - (К~п) = 2 (6РР - δλρ) + δρ„ - δλ„,
(η+ρ) - (π~ ρ) = 2 (δρρ - δ„ρ) + δρ„ - δ„„, (128)
(Kfn) - (Κ~η) = 2 (δρ„ - δλ„) + δρρ - δλρ,
где введены обозначения
δαδ = (QaQb) — (QaQb); «, Ь = ρ, П, λ. (129)
Изотопическая инвариантность дает
δρρ = δ„η, брп = δηρ, δλρ = δλη- (130)
Следовательно,
(Κ+ρ) — (Κ-ρ) = (η+ρ) — (η-ρ) + (Κ+η) — (Κ-η). (131)
Как было показано Липкиным и Шеком [86], соответствующее
соотношение для полных сечений очень хорошо согласуется
с экспериментом при s ^, 15 Гэв2. Чтобы получить соотношения
Джонсона — Треймана (103), необходимо кроме того, чтобы
δλρ = δηρ. (132)

684
ДОПОЛНЕНИЕ I
Последнее равенство справедливо, если кварк-кварковые и
кварк-антикварковые амплитуды SU(3) -симметричны. Поэтому
вполне естественно, что равенство (131) для оПОлН, не зависящее
от нарушения симметрии, лучше согласуется с опытными дан-
ными, чем полные соотношения Джонсона — Треймана.
В качестве последнего замечания о полных сечениях отме-
тим, что обсуждавшиеся выше соотношения начинают расхо-
диться с экспериментом, когда s становится меньше величины
порядка 10 Гэв2.
Это указывает на то, что гипотеза аддитивности для ампли-
туд рассеяния справедлива только при высоких энергиях.
16. Дифференциальные сечения и самосогласованность
гипотезы аддитивности
В этом разделе мы обсудим следствия, вытекающие из мо-
дели кварков, дополненной предположением об аддитивности
амплитуд рассеяния, для дифференциальных сечений в случае
упругого рассеяния при высоких энергиях*). Это рассмотрение
поможет нам понять, почему, по крайней мере в двух предель-
ных случаях, гипотеза аддитивности может быть хорошим при-
ближением. Естественно предположить, что при очень высоких
энергиях кварк-кварковое упругое рассеяние становится чисто
дифракционным и его сечение не зависит от энергии. Поэтому
в уравнении (ИЗ), примененном к случаю упругого рассеяния
(А' = А и В' = В), мы положим
<QiQf\Ttt\QtQf)-'^l,(t)='ie,i(t). ' = (Др)2, Озз)
где ga(t)—вещественные функции. Изотопическая симметрия
дает
gPP(t)=gnn(t), gxP(0 = £*»('). (134)
где индексы ρ, η, λ относятся к кваркам QP, Qn, Qx- Если пре-
небречь эффектами нарушения Sf/(3)-симметрии, то мы полу-
чим, кроме того,
g».(t)=gpp{t), gpn(()-gKn(t). (135)
Отсутствие зарядового обмена при очень высоких энергиях при-
водит к дополнительному соотношению
gpP(t) = gpn(t). (136)
Аналогичные соотношения выполняются для кварк-антикварко-
вого рассеяния. Мы выпишем их с указанием необходимых
*) Ициксон и Якоб [91] исследовали также многие другие дифферен-
циальные сечения, существенно зависящие от спина.

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 685
допущений {р, пЛ относятся к QP, Qn, Qx)·
изоспин и i g_.p = gan, gpn = gnp, ёьР = ёкп,
зарядовое \ _ _ . (137)
сопряжение: I &&*■ ~ ^"λ" ^λΡ ^λ'
st/(3):^=^p, £ρ„=^„; (138)
отсутствие
обмена зарядом: g-p = gnp. (139)
И наконец, сечения упругого рассеяния QiQi и Q,Q/ стано-
вятся при очень высоких энергиях одинаковыми*), что означает
Используя все эти соотношения, за исключением тех, которые
требуют SC/(3)-симметрии, мы получаем при очень высоких
энергиях
(AB\T\AB) = igAB(t)fA(t)fB(t), (141)
где**)
fA(t) = I1ffA(Aptl), /βω=Σ/?β(-Δρμ), (142)
ёлв (0 = gPP (t) для Л, β = π, ρ, η, ρ, η,
gAB(t)=-^[g}.P(t) + gPP(t)] для Л = /С,/С~иВ = р, η, π,
&лв(0 = у[^Р(0 + 2.дЬр(0] для Л = Л, Ей fi = ρ, η, π, (143)
gAB (0 = γ [2gjtp (/) + g-pP (f)] Для Л = Ξ и В = ρ, η, π,
gAB(t) = g\P(t) для Л = 0" и В = р, η, π.
При наличии SU(2>)-симметрии все £ав(0 сводятся к gPP(t)-
Целый ряд следствий из выписанных выше соотношений об-
суждался в отдельных работах Коккеди и автора [87 — 89].
Имеющиеся в настоящее время данные не позволяют провести
*) Это не что иное, как обобщенная теорема Померанчука для ие зави-
сящего от энергии дифракционного рассеяния (см. [92], или гл. 2 настоящих
лекций — свойства ведущего члена в асимптотическом разложении (26) для
упругого рассеяния, в особенности положительность его сигнатуры).
**) Чтобы отделить формфакторы / от амплитуд рассеяния g в процессах
с участием странных частиц, нужно опираться на то обстоятельство, что
fi (t) не зависит от i. Это очевидно, если А — мезон, поскольку он состоит
только из двух кварков и, следовательно, имеется только один импульс от-
носительного движения. Это справедливо также и для гиперонов при усло-
вии, что их волновые функции симметричны по всем трем кваркам.

686
ДОПОЛНЕНИЕ I
достаточно точное сравнение с экспериментом, однако модель
предсказывает значительную степень универсальности дифрак-
ционного рассеяния всех адронов при высоких энергиях, на что
определенно указывают существующие результаты измерений.
В наших дальнейших рассуждениях мы ограничимся рассея-
нием пионов (π) и нуклонов (Ν). В пределе S£/(3)-симметрии
наши формулы будут применимы ко всем барионам и мезонам.
Вводя обозначение
8(t)=gPP{t), (144)
мы получим вместо (141)
{АВ\Т\АВ) =ig(t)fA(t)fB(t). (145)
Отсюда следует свойство факторизации
{АВ\Т\АВ)* = {АА\Т\АА){ВВ\Т\ВВ), (146)
позволяющее, например, определить дифракционное ππ-рассея-
ние по известным данным о πΝ- и AW-рассеянии:
Ν ' ' ' f"(t) ч ' (NN\T\NN) '
Формула (145) показывает, что зависимость адрон-адронного
дифракционного рассеяния от t определяется функциями двух
типов—адронными формфакторами gA(t), fB(t) и асимптоти-
ческими кварк-кварковыми амплитудами g(t). Эффекты, обус-
ловленные этими функциями, нельзя разделить, основываясь
только на данных по адрон-адронному дифракционному рассея-
нию. Поэтому мы обсудим здесь два крайних случая, между ко-
торыми можно вообразить континуум промежуточных ситуаций.
Это рассмотрение позволит лучше понять, почему работает ги-
потеза аддитивности.
В первом крайнем случае зависимость дифракционного пика
от' t предполагается обусловленной главным образом формфак-
торами в том смысле, что g(t) остается практически равной ^(0)
на всей ширине дифракционного пика, наклон которого опреде-
ляется множителем fA(t)fB{t) в формуле (145). Другими
словами, эффективные размеры кварков, определяющие их ди-
фракционное рассеяние при высоких энергиях, предполагаются
меньшими соответствующих размеров адронов. Минимальные
размеры кварка получаются, если допустить, что кварки ведут
себя как черные шарики. В этом случае их радиус RQ опреде-
ляется формулой
<W«2Q) = 2л7?|, (148)

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 687
где Gnonii(QQ)—полное сечение кварк-кваркового рассеяния, в
нашей нормировке равное
σ„οΛΗ(<?<2)=4π2£(0) *)· (149)
Но из формул (145), (142) и (108) следует
Ополи(рр) = 36π2£(0) = 9o„oflH(QQ), (160)
так что в результате мы получаем
■р2 _ Ополн (РР) ,|КП
Rq~—ш~· (151>
Эта величина и в самом деле значительно меньше, чем размеры
протона (или пиона), определяемые по их дифракции, не только
из-за множителя 9 в формуле (150), но и из-за того, что экспо-
ненциальная форма дифракционного пика соответствует нали-
чию поглощения, которое велико лишь при нулевом значении
прицельного параметра и спадает по Гауссу. В обозначениях
§ 10 η; приближенно равно
%«%ехр(- -~Υ (152)
где 6^9 (Гэв/с)2 представляет собой ширину дифракционного
рр- или πρ-пика при высоких энергиях, определенную равен-
ством (19). Параметр ηο близок к 1 для рр- и порядка 0,7 для
πρ-пика.
Итак, наш первый крайний случай приводит к картине, в ко-
торой адроны состоят из кварков малого размера, находящихся
друг от друга на расстояниях, больших по сравнению с их раз-
мерами. В этой картине успех гипотезы аддитивности кварко-
вых амплитуд рассеяния объясняется малыми размерами квар-
ков, благодаря которым многократное рассеяние является
редким событием. Из этой картины следует также еще одно
*) Заметим, что при очень высокой энергии и конечном t матричные эле-
менты (А'В'\ Τ \АВ) и (Qf'Qf I Тц I Qf Qf), входящие в формулы (112) и
(113), одинаковы для всех координатных систем, в которых импульсы па-
дающих частиц ρ, ρ' коллинеарны, направлены в противоположные стороны
и очень велики по абсолютной величине. Это легко увидеть из равенства
(10), если заметить, что в таких системах
(РоРоРоРоУ2 ~ γ (РоР'о~Ρ■ /)= инварианту,
где р0, pq — энергии падающих частиц. Ц. м. система А + В-столкновення удо-
влетворяет перечисленным выше условиям как для /4+В-столкновения, так
и для соответствующих Qi + Qj-столкновении. Поэтому сечения последних
можно вычислять, непосредственно применяя формулы (10), (12) и (13). Ма-
тричные элементы (10) матрицы Г=»'(1—S)—это те самые элементы, кото-
рые использовались в гл. 4.

688
ДОПОЛНЕНИЕ I
интересное свойство. Зависимость адрон-адронного упругого
рассеяния от t определяется теперь формулой
%Ч^10[™™Р. (153)
Но в нашей картине, в которой маленькие кварки образуют
большие адроны, формфактор fA{t) должен в равной степени
относиться ко всем свойствам адронов, носителями которых яв-
ляются кварки, включая электромагнитные и слабые эффекты.
Поэтому в формуле (153) мы можем взять в качестве fA, fB
электромагнитные формфакторы. Замечательно, что это пред-
положение приводит к превосходному согласию с эксперимен-
том для случая Л = В = протону — единственного случая, допу-
скающего в настоящее время экспериментальную проверку
[85—89]. В этом случае равенство (153) выполняется в интер-
вале О^С — t <Z 1 (Гэв/с)2, где doynp/dt уменьшается в 10~3 раз.
Это предположение позволяет извлечь из дифракционного
πρ-рассеяния сведения об электромагнитном формфакторе
пиона, который оказывается очень похожим на протонный.
Рассмотрим теперь второй крайний случай, когда зависи-
мость дифракционного пика от t предполагается обусловленной
главным образом кварк-кварковыми амплитудами g(t). При
этом адронные формфакторы fA-B(0 в формуле (145) остаются
приблизительно равными }Α·Β{0) на всей ширине дифракцион-
ного пика. Возникающая при этом картина противоположна
предыдущему случаю. Теперь уже сами кварки имеют большие
эффективные размеры, определяющие дифракционное рассея-
ние. В то же время различные кварки внутри адрона перекры-
ваются в пространстве почти полностью, что и приводит к сла-
бой зависимости формфакторов fA-B(t) от t. В этом с.лучае ам-
плитуды дифракционного рассеяния всех адронов в пределе
очень высоких энергий отличаются лишь постоянными множи-
телями, а именно
{AB\T\AB)=inAnBg(t), (154)
где nAt B = fA,B(0) есть число кварков, образующих А, В. Эта
картина также совместима с экспериментальными данными, по-
скольку экстраполяция дифракционных пиков рр-, рр-, π±ρ-
рассеяния к бесконечным значениям энергии и в самом деле
указывает на то, что их формы становятся чрезвычайно близки
друг другу. Кварк-кварковое дифракционное рассеяние теперь
полностью определяется равенствами
onuM{QQ) = ^auom(pp), ^r(QQ) = ^r^r(PP)' (155)

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 689
а соответствующие коэффициенты поглоТцекия η, приближенно
задаются формулой (152) с ηο ~ 1/9. В то время как эффектив-
ные размеры кварка, определяющие дифракцию, велики, его по-
глощающая способность очень мала. Она достигает максимума
примерно в 10% при нулевом значении прицельного параметра.
В данной картине успех гипотезы аддитивности для амплитуд
рассеяния объясняется малым поглощением, т. е. высокой про-
зрачностью. Хотя в данном случае кварки перекрываются в про-
странстве, но их дифракционное взаимодействие столь слабо,
что множественные процессы, включающие рассеяние более чем
на одном кварке в одном и том же адроне, по-прежнему очень
маловероятны. Это, однако, перестает быть справедливым для
рассеяния при больших t, поскольку быстрое спадание g(t)
с ростом t благоприятствует в этом случае множественным про-
цессам.
Полученный вывод о слабости дифракционного взаимодей-
ствия между кварками наводит на мысль о том, что его можно
рассматривать в первом борновском приближении, считая, что
каждый малый объем одного кварка взаимодействует с анало-
гичным малым объемом другого кварка, а полная амплитуда
рассеяния представляет собой сумму всех таких вкладов. От-
сюда следует
g(t) = g(0)[F(t)]\ (156)
где F(t) — формфактор кварка, описывающий пространственное
распределение его дифракционного взаимодействия *). Если тот
же самый формфактор F(t) описывает распределение электро-
магнитного и слабого взаимодействия в кварке, то его следует
отождествить с электромагнитными формфакторами протона и
пиона, поскольку в нашем приближении fAB(t) не дают вкла-
да в последние. Как уже упоминалось после формулы (153),
экспериментальные данные совместимы с таким отождест-
влением
Нет нужды говорить, что в только что рассмотренной картине
представить себе кварк как отдельную частицу еще труднее,
чем в предыдущем случае, когда предполагалось, что размеры
кварков малы.
Приведенные рассуждения показывают, как можно понять,
почему работает гипотеза аддитивности в двух крайних слу-
чаях. Естественно ожидать, что промежуточные случаи будут
соединять элементы этих двух крайних случаев, однако общий
*) Если бы один кварк был точечным, а другой — размазанным, то в
борновском приближении мы бы получили g(t)=g(0)F(t). Дополнительный
фактор F(t) в формуле (156) объясняется тем; что мы считаем размазанным
оба кварка.

690
ДОПОЛНЕНИЕ I
вывод о том, что многократное рассеяние на различных кварках,
входящих в один и тот же адрон, будет давать лишь малый
вклад в адрон-адронные столкновения при малых передачах
импульса, не изменится.
§17. Связь с моделью полюсов Редже.
Неупругие столкновения в модели кварков
В заключение мы сделаем несколько замечаний по поводу
сравнения кваркового подхода к рассеянию при высоких энер-
гиях с моделью полюсов Редже (гл. 2) и с рассмотрением те-
невого рассеяния, приведенным в гл. 3.
Некоторые предсказания модели кварков качественно по-
хожи на результаты, полученные в модели полюсов Редже. Так,
свойство факторизации дифракционного рассеяния и полных се-
чений при высоких энергиях, выражаемое равенствами (145) и
(146), можно получить также из теории полюсов Редже, если
применить свойство факторизации (§ 8, п. б)) к вычету в по-
люсе Померанчука (ai~l), который доминирует в упругом
рассеянии. Более прямое и более общее следствие гипотезы
аддитивности (112) — (ИЗ) состоит в том, что при s —* оо и ко-
нечном t в i-канале происходит обмен квантовыми числами
кварк-антикварковой системы с положительной и отрицатель-
ной сигнатурами, что соответствует двум нонетам, необходимым
в теории полюсов Редже для описания мезон-нуклонных реак-
ций. Можно сказать, что система кварк — антикварк, взятая при
положительных и отрицательных значениях t=m2 (m — масса
системы), дает нам динамическую модель траекторий Редже ме-
зонов, и что матрица Zf (t), входящая в формулу (71), непо-
средственно связана с такой Q^-системой. Это сразу же объяс-
няет наблюдаемую универсальность показателей щ и их связь
с частицами (§ 8, п. а) и в)). Вышеупомянутые аналогии яв-
ляются, конечно, лишь частичными, и хотя модель полюсов
Редже и кварковая модель рассеяния при высоких энергиях
имеют ряд точек соприкосновения, полные наборы их следствий
значительно отличаются во многих отношениях. Очень вероятно,
однако, что обе они представляют собой не более чем прибли-
женные описания в действительности чрезвычайно сложного
класса явлений физики сильных взаимодействий.
Основные идеи кварковой модели рассеяния при высоких
энергиях и малых переданных импульсах можно распростра-
нить на большой класс неупругих процессов, если разрешить А'
и β' в формулах (112) и (113) пробегать все состояния, полу-
чаемые путем передачи не слишком большой величины Α/?μ
энергии и импульса и, быть может, изоспина и гиперзаряда от
кварка Q; из А кварку Qj из В. В этом случае состояния А\ В'

РАССЕЯНИЕ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ 691
не обязаны быть резонансами. Они могут представлять 'to6ofl
возбужденные системы, распадающиеся путем виртуального ро-
ждения кварк-антикварковых пар, освобождающихся в виде ме-
зонов*). Неупругие конечные состояния А'+ В' могут совпа-
дать с теми, которые обсуждались в § 11. При этом А' и В' бо-
лее точно характеризуют рассматривавшиеся там передние и
задние группы частиц. Описанное ранее появление «ведущей»
частицы могло бы быть обусловлено тем, что энергия и импульс
возбуждения частицы А' (или β'), излучаемые в форме мезо-
нов, будут иметь преимущественное направление распростране-
ния в пространстве, а именно, направление движения частицы В
(или Л), которая ударила А (или В) и перевела ее в возбу-
жденное состояние А' (или В'). Это направление будет, конечно,
направлением назад для падающей частицы А и вперед для ча-
стицы мишени В. Обсуждаемый эффект довольно легко пред-
ставить себе наглядно, когда А (или В)—барион. Тогда при
кварк-кварковом столкновении замедляется только один кварк
в А (В), в то время как два других стремятся продолжать
двигаться со своими первоначальными импульсами. Последние
два кварка будут двигаться с довольно большим импульсом, на-
правленным вперед (назад), увлекая за собой первый кварк.
Остающаяся энергия А'(В') будет излучаться в виде мезонов со
значительно меньшими импульсами. Заметим, что такой вид на-
правленного возбуждения типичен для многочастичных систем.
Он возникает, например, когда кристалл возбуждается падаю-
щей на него быстрой частицей: фононы, возбужденные в кри-
сталле, будут иметь направление распространения, сильно кор-
релированное с направлением движения падающей частицы.
Разбиение (86) конечного состояния на необменную и обмен-
ную части также легко связать с равенствами (112) и (113).
Оно возникает из-за того, что в QiQj-столкновении может пере-
даваться исчезающее или неисчезающее значение изоспина и
гиперзаряда. При этом не учитывается лишь аннигиляционный
вклад в я]/^, когда А = бариону, В = антибариону. Такие со-
стояния не могут быть порождены в единичном кварк-кварко-
вом столкновении, здесь необходим о.бмен тремя кварками.
Вследствие этого их возможное разбиение на переднюю и зад-
нюю группы нельзя интерпретировать в тех же терминах, что и
раньше. Вообще все процессы, включающие барионный обмен,
требуют в кварковой модели специального рассмотрения, так же
как, например, мезон-нуклонное рассеяние назад.
*) Мы не рассматриваем случай, когда Δρμ становится настолько велико,
что могут испускаться свободные кварки, хотя это могло бы случиться, если
бы кварки имели целочисленные заряды и барнонные числа (см. примечания
на стр. 681).

692
ДОПОЛНЕНИЕ Г
Дальнейший анализ аннигиляционных эффектов в барион-
антибарионных столкновениях порождает некоторые сомнения
в том, правильно ли учитывается в модели кварков с аддитив-
ными амплитудами, примененной к полным сечениям и сече-
ниям упругого рассеяния (§§ 15, 16), вклад в амплитуду упру-
гого барион-антибарионного рассеяния, обусловленный тенью
аннигиляции. В § 16 мы считали адрон-адронное и кварк-квар-
ковое упругое рассеяние чисто дифракционным, на что указы-
вает вещественность Цц в равенстве (133). Хотя гипотеза адди-
тивности может быть справедлива для тени от неаннигиляцион-
ной части ΨΛΒ = Ψ^ + Ψ(λ'β. но тень от барион-антибарионной
аннигиляции никак нельзя получить аддитивным способом из
теней от кварк-антикварковой аннигиляции. Поэтому возможно,
что в наши формулы для упругих барион-антибарионных ампли-
туд и полных сечений нужно ввести дополнительные члены. На
это указывают также и экспериментальные данные, поскольку
равенство (127) лучше согласуется с экспериментом, если вы-
честь аннигиляционный вклад из аП0лк(пр) и оПолн(/?р).
Последнее замечание относится к форме дифракционного
пика. В гл. 3 мы с помощью условия унитарности связали его
с функцией перекрывания для неупругих столкновений. В то же
время в § 16 было предложено для него выражение через адрон-
ный формфактор. Это приводит к связи между формфактором
и функцией перекрывания. В настоящее вре'мя мы не знаем, од-
нако, можно ли придавать ей какое-либо значение, равно как
не знаем, какое объяснение приблизительно экспоненциальной
формы функции перекрывания лучше — в терминах неупругих
столкновений, предложенное в § 12, или в терминах формфак-
торов.

Дополнение II
Η. КАБИББО*)
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В этом докладе я буду обсуждать современную ситуацию в
теории слабых взаимодействий **).
Среди новых экспериментальных результатов интересны дан-
ные о нелептонных распадах Σ-гиперона, которые находятся в
хорошем согласии с правилом ΔΓ = 1/2, а также ликвидируют
неоднозначность треугольной диаграммы для Σ-гиперона, под-
тверждая недавние теоретические исследования. Не менее ин-
тересны поток более точных данных о лептонных и нелептонных
распадах Я-мезонов и точное определение знака и величины
разности масс KL и Ks-
Что касается теории, то схемы, основанные на октетной мо-
дели адронных токов, с помощью новой техники (алгебры то-
ков) привели к ряду заметных успехов. Впервые виден реаль-
ный прогресс в понимании нелептонных распадов.
Проблема нарушения СР еще не решена.
Наше основное предположение состоит в том, что слабые
взаимодействия порождены связью между токами. Все суще-
ствующие экспериментальные данные свидетельствуют в пользу
простой локальной связи, хотя весьма возможно, что в действи-
тельности связь не локальная, а осуществляется при помощи
промежуточного векторного мезона. В последнем случае струк-
тура слабых взаимодействий сильно напоминала бы структуру
сильных и электромагнитных. Существующее в настоящий мо-
мент экспериментальное ограничение на массу промежуточного
векторного мезона, Mw > 2МР, соответствует возможной нело-
кальности на расстояниях г ^ 10~м см.
По-видимому, слабые взаимодействия описываются простым
феноменологическим лагранжианом
1^=-7={ы1 + л/ь + /1/1}+/,нл. (О
*) Раппортерский доклад на XII Международной конференции по фи-
зике высоких энергий, Беркли, Калифорния, 31 августа — 7 сентября
1966 г.
**) Я не пытался дать здесь полный список всех экспериментальных и
теоретических работ Подробное перечисление экспериментальных работ
можно найти в обзорных статьях Триллинга и Самисса [1].
45 С. Газиорович

694
ДОПОЛНЕНИЕ II
Через Ζ-нл обозначен лагранжиан нелептонного слабого взаимо-
действия, и вопрос о его возможной структуре мы обсудим позд-
нее. G—константа связи Ферми, а Ιγ, — лептонный ток, имею-
щий простой вид
/μ = [μΥλ (1+Υβ) vj + [Ζγλ (1 + Ys) vj. (2)
/x — это адронный ток.
Лептонные взаимодействия
Первый член в скобках в формуле (1) описывает чистое леп-
тон-лептонное взаимодействие. Оно отвечает за распад μ-ме-
зона, но порождает и другие возможные процессы, подобные
рассеянию е — ve или аннигиляции электрон-позитронной пары
в два нейтрино
e± + ve-+e± + ve,
е+ + e~-*xe + ve.
Хотя эти процессы непосредственно не наблюдались, косвенные
свидетельства в пользу второго процесса найдены в астрофи-
зике. Выяснилось, что этот процесс играет важную и необхо-
димую роль в механизме охлаждения звезд*). Если распад
μ-мезона идет через промежуточный И?+-мезон, связывающий
части (μνμ,) и (eve) лептонного тока h, то тот же самый мезон
мог бы связать и эти части сами собой, порождая упомянутые
выше процессы.
Вид амплитуды распада μ-мезона, следующий из формул
(1), (2), проверялся в двух недавних измерениях параметра
Мишеля р. Эти весьма точные измерения дали [2, 3] соответ-
ственно ρ = 0,750 ± 0,003 и ρ = 0,760 ± 0,09, в превосходном со-
гласии с предсказанной величиной ρ = 3/4. Проф. Телегди под-
черкнул, что было бы весьма важно измерить и параметр Ми-
шеля η, относящийся к низкоэнергетическому концу спектра.
Это особенно важно потому, что точные значения р, упомянутые
выше, получены в предположениях η = 0 (Чикагская группа)
и η < 0,04 (Колумбийская группа), без которых ошибки оказа-
лись бы выше.
Время жизни μ-мезона, с учетом низших радиационных по-
правок, определяется формулой [4, 5]
Исходя из значения tu = (2,198 ± 0,001) · 10~6 сек [6], By [7] по-
лучила G = (1,4350 ± 0,0011) · 10-*» эрг ■ см3.
*) Я благодарен проф. М. Рудерману за обсуждение этого вопроса.

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
695
Полулептонные взаимодействия
Второй и третий члены в формуле (1) описывают слабые
взаимодействия лептонов с адронами. Центральная проблема
состоит здесь в определении структуры тока /λ(*)> т- е· в нахо-
ждении правил отбора для него (AS, AT, четность, G-четность,
Сит. д.) и его динамических свойств (сохранение и частичное
сохранение и т. п.). В схеме ток —ток амплитуда любого полу-
лептонного процесса, например
А -* В + I- + ν/, А' -* В' + l+ + Vi (/± = e± или μ±),
пропорциональна матричному элементу тока/*,(*) или Я(х) ме-
жду состояниями начального и конечного барионов
(B\Ji(x)\A), {Β'\Ιλ(Χ)\Α').
Таким образом, теоретическая задача (без „радиационных по-
правок) сводится к вычислению таких матричных элементов, и
наоборот, экспериментальные данные можно интерпретировать
как информацию об этих матричных элементах.
Было предположено [8], что адронный ток 1к{х) имеет про-
стую структуру и является членом октета токов 1{(х) — пред-
ставления группы SU(S). Точнее,
/λ (х) = cos θ (/[ + Ul) + sin θ (Л + /Л). (4)
В октете /[(*) члены с разными четностями смешаны, и каждый
член октета является суммой векторного тока }1к{х) и аксиаль-
ного тока g{(x): /[(х) = /[(л;) + g{(х). Комбинации (/[ + //£)
и (/£ + ijfy отвечают AQ ·= + 1 с AS = 0 и AS = 1 соответственно.
Они занимают в октете то же место, что π и К+. Выпишем
векторную и аксиальную части тока /λ
VK (x) = cos 0 (/' + ijl) + sin θ (j{ + ijl),
Αλ(Χ) = cos θ (g\ + ig\) + sin θ (g{ + igl). (5)
Обсудим правила отбора, следующие из такой модели, и свя-
занную с этим проблему: что делать с нелептонными взаимодей-
ствиями? Согласно формуле (4), /λ состоит из двух частей:
сохраняющий странность ток с AT = 1 и меняющий странность
ток AS = AQ = 1 и AT = 1/2. Существование этих двух частей
хорошо установлено. Свидетельства об отсутствии других частей
неубедительны, но нет и доказательств их наличия, так что
можно удовлетвориться этой схемой как хорошим рабочим при-
ближением.
45*

696
ДОПОЛНЕНИЕ II
Обсудим кратко всю ситуацию, начав с возможного в токе
члена с AS = — \Q. Оценки таких членов можно получить в
экспериментах двух типов.
а) Отношение между постоянными простых распадов с AS =
= — AQ и AS = AQ.
1) 4^^4!t~ie: + *c<0,02 [9],
2)
К+ ->я+ +л~ +е+ + \е
[10].
Данные 1) свидетельствуют об отсутствии только аксиального
тока с AS = — AQ, в то время как данные 2) относятся и
/7йф? (&m=0,W)
0,5 Re л
~f A(Ha~e+Jt-v)
Рис. I.
к аксиальному, и к векторному току. Поскольку постоянные
бета-распадов, грубо говоря, пропорциональны комбинации
3|Ga|2+ \Gv\2, оценка аксиальной компоненты с AS =—AQ,
следующая из 2), сильнее, чем для векторной компоненты.
б) Благодаря особым свойствам нейтральной /(-системы
можно измерить отношение амплитуд распада /(J с AS = — AQ

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДППСТВИЯ
697
и AS = AQ
_ а(К°->л- + 1+ +v)
Х_ α (/<■"-> π- +/+ +ν) '
На конференции представлены два новых эксперимента, посвя-
щенных этой проблеме: опыт Пенсильванской группы [11] и опыт
совместной группы Карнеги — Брукхейвен [12]. На рис. I пред-
ставлены результаты этих групп, а также результаты более
ранних экспериментов [13—15]. Инвариантность относительно
обращения времени требует, чтобы константа % была вещест-
венной, а из AS = AQ следует, что %=0. Экспериментальная
ситуация не совсем ясна, но, объединяя все эти данные,
можно было бы заключить, что |xl<0,5 и что значение %=0 с
определенностью не исключено. Если AS = AQ=l, ток подчи-
няется правилу АТ= 1/2, откуда следует, что
(n-\jl(x)\K°)=V2(n°\jl(r)\K+).
Отсюда и из правила AS = AQ выводится соотношение между
постоянными распадов /(+ и /(?:
* *3 *3
Γ(^->/+ + ν + π-) + Γ(^-*/;ν + π+) = 2Γ(^+->/+ + ν + π°).
Это соотношение сохраняет силу даже при нарушении СЯ-инва-
риантности. Кроме юго, спектры π-мезонов и лептонов и,
вообще говоря, график Далица для распадов К+ и K°L должны
совпадать. Все данные, имеющиеся к настоящему времени, со-
гласуются с этими условиями в пределах ошибок экспери-
мента [1].
Нелептонные взаимодействия
В модели с промежуточным lF-мезоном заряженный мезон
W* осуществляет связь лептонного тока /λ и адронного тока Д.
Этот мезон мог бы связывать ток 1%. сам с собой, порождая леп-
тонные распады, а также связывать сам с собой и ток /λ. От-
сюда следует, что нелептонная часть лагранжиана содержит по
крайней мере член вида
Этот член порождает нелептонные распады с AS = 0 и AS =
= ± 1. В недавних экспериментах искался член с AS = 0. В них
проверялось наличие смешивания по четности на ядерных уров-
нях [16—18] и измерялись не сохраняющие четность угловые
корреляции в реакциях типа (л, у) с поляризованными нейтро-

698
ДОПОЛНЕНИЕ II
нами [19]. Верхние оценки, грубо говоря, дают для этих членов
величины, которые для них и ожидаются.
Если в ток добавить члены с AS = — AQ, то они породят
нелептонные переходы с AS = 0 типа таких, которые отвечают
за разность масс K°s~Kl в низшем порядке по слабым взаимо-
действиям, равную примерно 1 эв. Это противоречит хорошо
сейчас установленному значению Ат=тс — /rcs=+0,5rs~
«*4·10~6 эв, отлично согласующемуся со вторым порядком по
слабым взаимодействиям. Определение знака Am в трех незави-
симых экспериментах, в частности, в очень точном опыте группы
Ла Холла, — один из наиболее интересных результатов, пред-
ставленных на конференции. Однако часть лагранжиана (6)
с AS = 1 приводит к перехо-
дам и с ΔΤ = 1/2, и с AT—
= 3/2. Но один из наиболее
поразительных фактов о не-
лептонных переходах со-
стоит в справедливости пра-
вила Δ7'= 1/2. Бангертер
и др. [20] представили ре-
зультаты экспериментов, в
которых измерялись пара-
метры асимметрии нелеп-
тонного распада Σ-гиперона.
Предыдущие эксперимен-
тальные данные в общем-то
противоречили правилу
А7=1/2. Новые результаты
вместе с хорошо установ-
ленными значениями трех
постоянных распадов не-
плохо согласуются с пред-
сказаниями правила AT = 1/2. Бейли и др. [21] представили ре-
зультаты эксперимента, из которых следует, что значение γ+
близко к —1. Это ликвидирует неоднозначность в треугольной
диаграмме для Σ, и Σ+ оказывается чисто Р-волновой.
На рис. II представлена треугольная диаграмма для Σ-ги-
перона, получающаяся после усреднения старых и новых
данных.
Свидетельства в пользу правила AT = 1/2 в нелептонных
распадах Я-мезонов обсуждались недавно Триллингом в его до-
кладе на Аргоннской конференции. Согласие этого правила
с опытами очень хорошее. Новые результаты по распадам
Кг—>3π, представленные Бером и др. [22], позволяют заклю-
чить, что амплитуды t-распада с AT = 3/2 не превышают не-
Рнс И.

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
699
скольких процентов от амплитуд с ΔΓ = 1/2. Единственные убе-
дительные данные об амплитуде с ΔΓ = 3/2 получены из рас-
пада /С+—*π+ + π°, для которого она должна составлять при-
мерно 5% от амплитуды с ΔΓ = 1/2 в распаде Ks—»·2π. Итак,
перед нами дилемма. С одной стороны, было бы желательно
отождествить нелептонный лагранжиан с формулой (6). В этом
случае мы должны предположить, что часть его с AT = 3/2 по-
давлена по какой-то динамической причине. Возможность этого
реальна, и в подходе алгебры токов получаются механизмы, ко-
торые могли бы вызывать такое подавление. Ниже мы обсудим,
как в некоторых — но не во всех — необходимых случаях возни-
кает подавление.
С другой стороны, мы могли бы предположить, что нелеп-
тонный лагранжиан в точности подчиняется правилу ΔΓ = 1/2.
В схеме взаимодействия типа ток — ток этого можно достичь,
добавив подходящий нейтральный адронный ток, N^(x), и на-
писав
.(*) = !%■ [h (x) It (х) + Νλ (х) Nl (*)].
(7)
Такие амшштуры с АТ=3/2, как амплитуда распада К+^-л++л°,
через посредство
электромаг-
Таблица I
Экспериментальные данные
о нейтральных лептонных токах
Распад
k-0
П
μ+ + μ"
+ e~
Доля распада
могли бы возникать тогда
нитного взаимодействия. Хо-
тя при этом предсказывае-
мые величины амплитуд с
ΔΓ = 3/2 на порядок мень-
ше наблюдаемых, отметим,
что предсказания порядков
величины электромагнитных
эффектов вообще не слиш-
ком хороши. Примером мо-
гут служить отношения ам-
плитуды распада η-э-Зл
к амплитудам распадов
η->2π + γ и η-»-γ + γ·
Самой неприятной чер-
той нейтрального адронного
тока является то, что у него
нет лептонного аналога. В
табл. I собраны некоторые
экспериментальные данные
о верхней границе возможных процессов, которые могли бы воз-
никать из нейтральных лептонных токов.
Вопрос о динамическом или точном характере правила
ΔΓ=1/2 может остаться открытым еще долгое время.
К1
К"
п++е+ +е~
1++μ++μ~
< 2.5-Ю-" [55]
< 8-10-456]
< 5-10-457]
. Ю-6 [56]
ΙΟ"5 [57]
Ю~* [58]
ΙΟ"6 [59]
Ю~е [60]
<5
<5
<1
<1,1
<3·

700
ДОПОЛНЕНИЕ II
Универсальность векторных токов
Рассмотрим свойства слабого тока подробнее. Эти свойства
основаны на предположении, что октет токов, к которому при-
надлежит /λ, обладает весьма специальными особенностями.
Первая из них — в том, что именно к векторному октету Д, при-
надлежит электромагнитный ток:
;эм — ;3 I ' ;8
/λ — /λ "Г" ,Ад" 1\·
Другими словами, с октетом векторных токов связаны генера-
торы F* приближенной группы симметрии SU(2>), причем
/="' = j dxj'0(x).
В частности, векторный ток с AS = 0 связан с оператором изо-
топического спина
Т+ = F1 + iF2 = \dx 0i + //о).
Гипотеза о принадлежности векторной части слабого тока J\
к тому же октету, к которому принадлежит ток электромагнит-
ный, является, следовательно, естественным обобщением гипо-
тезы о сохраняющемся векторном токе (СВТ). Гипотеза же СВТ
нашла хорошее экспериментальное подтверждение (слабый маг-
нетизм, бета-распад л-мезона и т. д.) [7]. Наличие множителя
cos θ—малая, но экспериментально наблюдаемая поправка
к лагранжиану бета-распада. Множитель cos θ перед током
с AS = 0 (и множитель sin θ перед током с AS = 1) возникает
из требования, чтобы адронный ток /*, имел ту же интенсив-
ность, что и лептонный /λ. Полная интенсивность /», поделена
между частями с AS = 0 и AS=1 в пропорции cos Θ и sin θ.
Мы можем сравнить интенсивности векторных частей /λ и 1%,
рассмотрев операторы «зарядов», связанные с этими частями:
Qv = / V0 (х) dx = cos θ (Fl + iF2) + sin θ (F* + iF5),
Lv= j {ey0ve + μνονμ} dx.
Затем мы образуем коммутаторы Lv и Qv с операторами, эрми-
тово сопряженными к ним
2L* = [LV,LV% 2Q* = [QV, (?+].
Значения обоих коммутаторов вычисляются точно: первое — из
явного выражения для Lv, а второе—из перестановочных со-
отношений группы SU(3). Оператор L3 аналогичен оператору

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
701
третьей компоненты изотопического спина: L3 = -^-fN -+N ~ —
— Ν —Ν V В действительности Lv', Lv+ и L3 подчиняются тем
же самым перестановочным соотношениям, что и операторы
изотопического спина Т+, Т~ и Г3; то же самое справедливо и
для операторов Qv, Qv+ и Q3. Это означает, что спектры собст-
венных значений L3 и Q3 совпадают, а отсюда следует, что Lv и
Qv нормированы одинаково и имеют одинаковую интенсивность.
Операторы Qv, Qv+ и Q3 порождают подгруппу St/(2)
группы SU(3), полностью эквивалентную группе изотопических
вращений. Две группы отличаются поворотом на угол 2Θ вокруг
7-й оси в пространстве представлений группы SU(3). Отметим,
что именно нарушающее SU(3) -инвариантность взаимодействие
выделяет подгруппу изотопического спина среди других возмож-
ных подгрупп группы SV(3) (в том числе и подгруппы слабого
изоспина Q). Поэтому угол θ должен считаться не эффектом
перенормировки, а мерой различия между подгруппой SU(2),
генерируемой слабым током, и подгруппой SU(2), остающейся
группой инвариантности после нарушения SU(3). Даже очень
слабое нарушение SU(3) определило бы этот угол, априори про-
извольный. Фактически любая попытка вычислить θ бесполезна,
пока не сделан постулат о связи (пока неизвестной) между на-
рушающим SU(3) -инвариантность и слабыми взаимодействиями.
Определенное значение угла θ может возникнуть только как ре-
зультат динамического расчета, учитывающего влияние обоих
этих взаимодействий.
Бета-распад по Ферми и распады Кез· Проверка теории
Предсказание для величины векторной константы связи в
бета-распаде выражается формулой
Gv = G cos θ.
Значение Gv получается из измерений времени жизни в чисто
фермиевских бета-распадах, подобных распаду
О14 -> N14 + е+ + v.
Для достижения необходимой точности следует учесть различ-
ные поправки, главным образом эффекты экранировки и радиа-
ционные поправки. В то время как с методом учета экранировки
по Роузу специалисты в общем-то согласны, расчеты радиацион-
ных поправок, проведенные Берманом и Киношитой и Сирли-
ным [4, 5], вызывают серьезные разногласия.
Основной причиной этого является расходимость поправок
Для точечного взаимодействия типа V— 1,18 А (расходнмостей

702
ДОПОЛНЕНИЕ II
нет только для варианта V + A). По-видимому, ситуацию не
улучшает и введение нуклонных формфакторов в графы а), б)
и е) на рис. III с одновременным учетом испускания мягких
фотонов (граф г) и д)). Логарифмическая расходимость гра-
фа б) — собственной энергии электрона — не устраняется введе-
нием формфакторов нуклона.
Челлен [23] отметил, что хотя совокупность всех поправоч-
ных членов должна быть, конечно, калибровочно-инвариантной,
Υ Υ Υ
Λ Λ Λ
α) 6) β)
η' > η' V η
г) . д) в)
Рис. III.
вклад каждого отдельного графа зависит от калибровки элек-
тромагнитного поля. В частности, можно выбрать калибровку,
в которой расходимости собственной энергии электрона нет.
В этой частной калибровке вся совокупность радиационных по-
правок может оказаться конечной, если формфакторы нуклона
достаточно быстро спадают при больших передачах импульса.
Первые грубые оценки Челлена дали поправки, конечные и со-
гласующиеся с расчетами Киношита и Сирлина при обрезании
на 1,3 Μр. Однако ситуация не очень ясна, поскольку следовало
бы ожидать, что если поправки конечны в какой-то калибровке,
выбранной Челленом, то они должны быть конечны и в любой
калибровке. По-видимому, стоило бы пересмотреть проблему в
обычной калибровке. В дискуссии в Летнем институте теорети-
ческой физики в Сиэттле (сессия 1966 г.) Фолди отметил, что в
слабой вершине имеет место перенос заряда от точечной ча-
стицы (электрона) к протяженной (протону). Поэтому, может
быть, следует ввести взаимодействие с вершиной pnevy, и графы
типа графа е) на рис. III могут сократить расходимость соб-
ственной энергии электрона. Это интересное предложение сле-
дует рассмотреть.
X

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
703
Если учесть радиационные поправки Бермана — Киношиты—
Сирлииа, то получается значение [24]
Gv = (1,4034 ± 0,0016) · I0"49 эрг ■ см3.
Сравнение его с величиной G в распаде мюона дает величину
1 - cosO = -^-^- = (2,2 ± 0,2 ± 0,5)%.
Здесь ±0,2 — ошибка эксперимента, а ±0,5 — оценка неопреде-
ленности в радиационных поправках.
Таким образом, из фермиевского бета-распада получается
значение
sinO = 0,210 ± 0,16.
Более прямые измерения sin θ для процессов с AS = 1 произво-
дятся в распаде К+ —> л° + е+ + ν (или К0 —* л~ + е+ + ν). Мат-
ричный элемент распада Кез имеет вид
<л° | Jx | К+) = sin θ [/+ (q2) (р* + р«\ + f_ {q2) (ρ* - р\1 (8)
где q2— передача импульса к лептонам: q2 — (рк — рп)2. Мат-
ричный элемент описывает как распад Кез, так и распад К^з
(е— μ-универсальность). К распаду К+ —*■ п° + е+ + ν относится
только амплитуда U(q2)· Далее, SU(3)-инвариантность предска-
зывает, что
М0)=^,
а теорема Адемолло— Гатто гарантирует, что это предсказание
выполняется с точностью до второго порядка по нарушающему
5£/(3)-симметрию взаимодействию.
Если воспользоваться параметризацией
M<72)~f+(0)(l+^-),
f-W)~f-(0)(l+^).
(9)
то получается соотношение
Γ(/(+-*π° + β+ + ν) =
= sin20 · 2f% (0) [l + 0,277 (-^-)2] 7,42 · 107 сек'1.
В докладе Триллинга на Аргоннской конференции имеется ре-
зультат:
Г(К+-+л° + е+ + ν) = (3,61 ± 0,20) · Ю6 сект\

704
ДОПОЛНЬНИЕ II
Пренебрегая нарушением S'U(3) -инвариантности и считая, что
формфактор f+(q2) не зависит от q2 (т. е. что М\ = оо), мы по-
лучаем значение sin θ = 0,222 ± 0,006. Согласие очень хорошее.
Если ввести зависимость от q2, отвечающую положительной
массе [25], то значение sin θ уменьшается. Например, для М+ =
= Л?к» = 890 Мэв sin θ = 0,21, также в превосходном согласии
с другими оценками.
Экспериментальная ситуация с распадами Ка
Уместно кратко обсудить сейчас общую ситуацию для рас-
падов Ki3:
Μ /($_„*+μ* +ν;
Проблема заключается в нахождении формфакторов f+{q2) и
f-(q2), определенных в уравнении (8). Для изучения зависимо-
сти f+(g2) можно использовать распады Кез- В табл. II дана
сводка экспериментальных результатов для радиуса, связанного
с /+. Введенный там параметр λ+ равен
тл
Очевидно, что пока нельзя дать ясного и окончательного ответа.
Отметим, что некоторые из наиболее точных измерений дают
низкие значения М+ в области 500 — 600 Мэв. Этому не следует
удивляться, поскольку радиус протона соответствует массе
<~ 600 Мэв, меньшей чем массы ρ-, ω- и φ-мезонов. Большин-
ство /^-экспериментов анализировалось до последнего вре-
мени в предположении, что формфакторы постоянны, с целью
определить отношение
Использовались данные различных типов, главным образом
1) данные об отношении К^з/Км, график Далица, и т. п.,
2) данные о продольной и полной поляризациях.
Измерения полной поляризации основаны на том, что если
в рамках двухкомпонентной теории нейтрино фиксировать ки-
нематику, то μ-мезон полностью поляризован вдоль некоторого
направления (т. е. находится в чистом состоянии). Направление
поляризации очень чувствительно к величине | [26]. Данные пер-
вого типа не согласуются с поляризационными, если проводить

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Распады Ке3 и К%
(f+ = /+ (0) (l + λ-J-J или f+ - f+ (0)J^A
705
Таблица II
Распад К£3
λ
0,038+0,045
-0,01 ±0,029
-0,04 ±0,05
0,09 ±0,05
0,025+0,020
[1] Т. Brown,
[2] G. Jensen
[3] G. В о г г е а
[4] G. К а 1 m u
[5] R. Imlay,
[6] D. Luers,
[7]. G. Fisher
[8] A Fir est
M, Мэв
>1000
540 ±90
Ссылка
ΠΙ
[21
[31
[41
[5]
Распад К°е3
λ
0,07 ±0,06
0,15 ±0,08
0,024 ±0,021
Μ, Мэв
>400
430 < Μ < 660
>500
UCRL-10205, 1962.
, Phys. Rev. 136B, 1431 (1964).
ni, Phys. Rev. Leff. 12, Г23 (1964).
s, Доклад иа конференции, см. сноску на стр. 693.
Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
Phys. Rev. 133B, 1276 (1965).
Argonne Conf. on Weak Int., 1965.
one, Доклад иа конференции, см. сноску на стр.
Ссылка
[61
[71
[8]
393.
их анализ в предположении постоянных формфакторов. Поля-
ризационным данным отвечают отрицательные g(g » — ]). Ана-
лиз диаграммы Далица согласуется с ними, если предположить
зависимость f+(q2) отвечающей массе около 500 Мэв. В качестве
примера связи проблемы g и значения М+ можно рассмотреть
отношение Кцз/Кез- Удерживая члены, пропорциональные 1/М2±,
получаем
К,
Mi
^- = 0,6487 + 0,1045 —f +
+ 0,1269Reg + 0,0I93g2 + 0,0006 -%Reg + 0,358^f Re g +
+ 0,0127
м-
мг
К Е2
м-
К ъ2
g2-0,0535-^g2. (10)

706
ДОПОЛНЕНИЕ II
Если М+ **■> 500, а не бесконечна, то Re ξ уменьшается на ОД и
оказываются возможными отрицательные |. Итак, хотя в на-
стоящий момент ситуация не вполне удовлетворительна, мы ви-
дим, как добиться ясности. Более точные экспериментальные
значения ξ и М+ следует сравнить с различными теоретическими
моделями. Имеющиеся в настоящий момент данные свидетель-
ствуют, скорее всего, об отрицательности ξ и о существенной за-
висимости f+(q2) от передачи импульса.
Другие способы проверки теории.
Распады гиперонов, К^/я^
Анализ гиперонных распадов был проведен Брене и др. [27].
Они учли нарушение SU(3) -инвариантности, введя ренормиро-
ванное значение Θα для аксиального тока. Согласно теореме
Адемолло — Гатто, перенормировка векторных токов не учиты-
валась.
Анализ дал удовлетворительные результаты. В то время как
по оценкам для распада Кез и для величины G
sine = 0,21,
анализ гиперонных распадов привел к значению
sin θ = 0,28;
α = D/(D + F) = 0,665 ±0,018 (D/F = 2), gA = (CA/Cу)1Э-расп = 1,18.
Предсказания и экспериментальные значения для постоянных
распадов сравниваются в табл. III. Отметим, что введение ре-
нормированного Θα — не единственный способ нарушить St/(3)-
симметрию. Было бы весьма интересно располагать большим
числом экспериментальных данных по этим распадам, чтобы
увидеть, как и в каком месте происходит нарушение SU(3) -сим-
метрии. Группа Мериленда представила на эту конферен-
цию новые данные об отношениях постоянных для распада
Σ±-+Λ + β*+ν [28]:
rfe--*A + *-t^ = (0f6I±0il6).10-4f
Г (Σ -*Ν + η~)
Г (Σ~ -> Λ + е~ + ν)
Γ(Σ+->Λ + β++ν)
:2,0± 1,1.
Эти данные не включались в анализ, но согласуются с предска-
занными значениями. Интересно отметить, что значение ΘΑ —
— 0,268 очень хорошо согласуется с данными сравнения распа-

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 707
Таблица III
Лептоиные распады гиперонов
(sin 0 = 0,21; sin 0Д = 0,28; DIF=2)
Распад
п —> ре~\
Λ0 —> ре~\
Λ0 —> ρμ~ν
Σ~ —> пе ν
Σ~ .—> ημ~ν
Σ~ —► Λ°<Γν
Ζ —> Λ e ν
Ξ~ -► Λ°β~ν
Ξ~ -» Λ°μ_ν
Ε° _* Σ+e-v
Ξ° -> Σ+μ-ν
Лучшие оценки
Относительные
константы связи
Vch (0)
0,978
/-0,2584
\±0,005j
/—0,2114
\ ±0,004)
0
(+0,258\
{±0,005}
(+0,211\
\+ 0,004 j
Л(0)
-1,138
±0,026
(-0,2134
1 ±0,007/
( + 0,103\
\± 0,022)
(+0,6184
\±0,022J
(+0,0434
\ ±0,005 }
(+0,3124
\+0,007 j
Доля распада
1
(0,87+0,03)
(1,48+0,05)
(1,29+0,13)
(0,62+0,06)
(0,70 ±0,04)
(0,21 ±0.01)
(0,43 ±0,03)
(0,12±0,01)
(0,31 ±0,04)
(0,24+0,04)
10
io-s
10-3
ю-4
кг4
ю-3
ю-3
ΙΟ"3
10~5
Экспериментальная
доля распада
1
(0,88±0,08) · 10~3
(1,35+0,6) ·10~4
(1,28+0,16) · 10~3
(0,62+0,12)-Ю-3
(0,75+0,28) · Ю-4
(0,13±0,13)·10-4
(1,2+0,8)· Ю-3
дов К—>■ μ + ν и π—* μ + v. Амплитуды этих распадов пара-
метризуются двумя эквивалентными способами:
(0\AK\K+) = smQfKpK = sinQAfpK,
(0\AK\n+)~CosQfnp% = cos\fpZ.
Из отношения постоянных распадов получается значение
tg20A=O,O75, или sin0A=O,28, согласующееся с данными
Брене и др. из гиперонных распадов. Причина такого согласия
непонятна, поскольку в этом случае с нарушением SU (3) -инва-
риантности связано много эффектов. Использование другой па-
раметризации дает
■^-тйт-1·28· (12)
Алгебра токов. Универсальность аксиальных токов
Идею универсальности можно распространить на аксиальные
токи, если, как это сделал Гелл-Ман, предположить, что за^
ряды, связанные с аксиальным октетом,
Fl-jdxglb),

708
ДОПОЛНЕНИЕ II
расширяют алгебру St/(3) до алгебры 5i/(3) ®Si/(3). Посту-
лируется следующий набор перестановочных соотношений:
[f', /="'] = И, Fi\ = ififkFk,
[Fl, FU = [FL F^iflikFi (l6)
Соответствие этих перестановочных соотношений алгебре
SU(3) ® SU(3) становится очевидным после введения комби-
наций
Fi^^if + Fi).
F'+ и FL коммутируют группа с группой, и каждый набор обра-
зует базис алгебры SU(3). Предполагается, что сами токи под-
чиняются перестановочным соотношениям
[К 8к(*)]-№ /1WJ = timetW. (И)
Важным следствием их является то, что октет ^ = /( + Я[ °ДИ"
наково коммутирует как с F'5, так и с F1:
Если нелептонный лагранжиан построен из заряженного адрон-
ного тока (как в уравнении (б)), это же утверждение остается
в силе и для него:
И, £нл] = К ^нл]. (16)
Уравнение (16) справедливо и в том случае, когда член
с ΔΓ = 3/2 в лагранжиане (6) скомпенсирован добавлением ней-
тральных токов, также принадлежащих октету /*,. При этих
предположениях заряд, связанный с аксиальным слабым то-
ком Αλ,
QA = J А0 dx = cos θ |f s + iF}] + sin θ [Ft + iFs],
обладает свойством
[Q\ QA+]-lQv, QV+1 = 2Q\
и мы можем заключить, что аксиальный и векторный слабые
токи обладают одинаковой интенсивностью.

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
700
ЧСАТ и соотношение Адлера — Вайсбергера
В последние два года алгебра токов с большим успехом ис-
пользовалась для получения соотношений между различными
процессами слабых взаимодействий и между слабыми и силь-
ными взаимодействиями. Важные результаты алгебра токов
дала совместно с гипотезой ЧСАТ (частичное сохранение акси-
ального тока), которая связывает дивергенцию аксиального
тока AS = 0 и л-мезонное поле:
дЛ = тУп^ i= 1.2.3.
Все матричные элементы обеих частей этого уравнения обла-
дают л-мезонным полюсом, и для вычетов в полюсе оно яв-
ляется тождеством. Вдали от полюса уравнение можно считать
определением <рл-
Однако уравнение ЧСАТ не несет всей информации. Прак-
тически оно означает, что все матричные элементы дивергенции
аксиального тока доминируются вкладом от л-мезонного полюса
не только в точке q2 — т\, где это очевидно, но и в окрестности
этой точки, включая и q2 = 0. Поэтому более подходящим был
бы термин «доминирование дивергенции аксиального тока по-
люсом».
Первым интересным и очень успешным результатом алгебры
токов совместно с ЧСАТ было правило сумм Адлера — Вайсбер-
гера [29, 30]. Оно позволяет вычислить аксиальную константу
связи в бета-распаде, gA = GA/GV, через полные сечения рас-
сеяния л±р:
1 г = [ ) — —[σ+(ω)-σ (ω)],
8Α \8πΝ J 2π J ω
где σ±(ω)— полное сечение гт^р-рассеяния при энергии ω и ну-
левой массе л-мезона. Соотношение выполняется с высокой точ-
ностью и, по крайней мере для бета-распада, завершает про-
грамму вычисления всех параметров слабых взаимодействий
через два параметра G и θ и величины, определяемые и изме-
ряемые во взаимодействиях других типов.
Многими авторами [31—33] это соотношение обобщено на
распады с AS = 1. Результат в целом удовлетворительный, но
не настолько же точный из-за неопределенностей в амплитудах
/Сл-рассеяния ниже порога.
Низкоэнергетические теоремы
Новый класс применений алгебры токов основан на исполь-
зовании низкоэнергетической теоремы [34 — 37], которая утверж-
дает, что амплитуда слабого процесса с участием л-мезона,
А —> В + л, в пределе нулевого 4-импульса л-мезона связана

710
ДОПОЛНЕНИЕ II
с амплитудой более простого процесса, А -*В. Здесь мы кратко
обсудим две цепочки таких соотношений: одну для лептонных
процессов
(К-> л + η + лептоны) ->(/(-» π + лептоны)^-(/(—>- лептоны)
а другую—для нелептонных
(К-*-η + η + π)-»-(/С->-π + я).
Результаты обеих групп соотношений находятся в превосход-
ном согласии с экспериментом.
Низкоэнергетические теоремы применялись также для нелеп-
тонных распадов гиперонов. Здесь ситуация более сложна и не
вполне понятна; мы прокомментируем ее позднее. Начнем с про-
стого вывода низкоэнергетической теоремы.
Рассмотрим матричный элемент локального оператора £?(0)
(им может быть ток или сам нелептонный лагранжиан) между
двумя состояниями, одно из которых содержит π-мезон с им-
пульсом ^λ в зарядовом состоянии г:
М= <β + лг|б/(0) jet).
Применим стандартный редукционный формализм и перепишем
наш матричный элемент через запаздывающий коммутатор:
Μ = - i J dxe-1"* (D2 - m2) (β | [φ'' (x), d (0)] | α) θ (x0).
Интегрируя по частям, перепишем его в виде
M= + lj axe-to* (q2 - τη2) <β | [φ'' (x), d (0)] | α) θ (*„).
Воспользуемся теперь гипотезой ЧСАТ и выразим поле л-ме-
зона через дивергенцию аксиального тока. Здесь, однако, удоб-
нее с самого начала ввести новую величину, определив ее с по-
мощью запаздывающего коммутатора оператора if (0) с аксиаль-
ным током:
Τμ = / dxe-ч* φ I [gl (x), d (0)] J α) θ (x0).
Образуем теперь величину </μ7"μ. Ее можно вычислить, заметив,
что q,ie~i"x = —i—;—е~'"х, и проведя интегрирование по частям:
ахи
qj» = i / dxe-b* (β J [dX (x), d (0)] J α) θ (x0) +
+ i j dxe-'о* (β j fg'0 (x), d (0)J | а) б (х0).

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
711
Перейдем теперь к пределу, в котором все четыре компоненты
<д обращаются в нуль. В этом пределе qyTy также обращается
в нуль, если только у Τ нет особенности в этой точке. Если та-
кой особенности нет, в пределе мы получаем уравнение для
двух членов в правой части последнего уравнения, которое
после использования гипотезы ЧСАТ принимает вид
\\m-^ml\ dxe-w(β| [φ'(*), d(0)Ι α) θ(,ν0) =
,j->0 I 2 ·>
= /<λ*<β|[£$(*. 0), rf(0)]|a> = @[F/, rf(0)]|a>.
Очевидно, что предел М при q\ —»· 0 с точностью до множителя
совпадает с пределом левой части уравнения, и мы получаем
окончательно
-^ lim (β + я' I rf (0) I a) = <β I [F{, d (0)] | a). (17)
Таким образом, в пределе нулевого 4-импульса я-мезона мат-
ричный элемент оператора d(0) между состояниями β + я* и а
связан с матричным элементом связанного с ним оператора ме-
жду состояниями β и а. Следовательно, мы можем связать про-
цесс с участием N я-мезонов с другими процессами, в которых
участвуют N — I, N — 2,..., 0 л-мезонов.
Цепочка /£—>ял + лептоны
Низкоэнергетическая теорема применялась к лептонньщ рас-
падам /(-мезонов:
Кц (например, К+-+п+ +п~ + е+ + ve),
Km (например, /С+->л° + μ+ + νμ),
Ki2 (например, К+ -> μ+ + νμ).
Эти распады порождены частью слабого адронного тока с AS =
= AQ = — 1, т. е. членом sin Q(jt — if)).
Начнем с последнего соотношения, Kiz~*Ki2- Низкоэнерге-
тическая теорема (17) утверждает, что
lim (я0, q \j{ — iJl | К) =
«7λ->ο
= -^<о|И, (Л_г71)]|/С>=- ' <o|/l-t7||/c>.
In ' * Ιπ
Последнее равенство получено с учетом того, что Д имеет с Fl$
те же коммутаторы, что и с F', и что Д — г'Д соответствует

712
ДОПОЛНЕНИЕ II
Δ73= — 1/2. В терминах параметризации, введенной в уравне-
ниях (8) и (11), это означает
где через f+(M2K, 0) обозначены формфакторы в точке q2=Mj.t
экстраполированные к нулевой массе π-мезона. Эта формула
была получена Калланом и Трейманом [38], а также Матуром,
Окубо и Пандитом [39]. Для сравнения с экспериментальными
данными напомним, что предсказание SU(3)-инвариантности
f+(0, m^\=llY2 хорошо согласуется с ними. Предположим
также, что экстраполяция к точке тл = 0 не привносит ника-
кого эффекта, и перепишем уравнение (18) в виде
/+М+;-К)_ к
откуда (см. уравнение (12))
i±M[l+E(AiS]-1.28.
Если зависимость f+(q2) соответствует М+ « 600, это уравнение
удовлетворяется при отрицательном ξ, как это предполагалось
в анализе экспериментов по распаду К&. Что-либо большее
сейчас сказать невозможно, и следует подождать дальнейшего
уточнения данных по распаду /(μ3. Важным свойством уравне-
ния (18) является то, что оно связывает нарушение SU(3)-ин-
вариантности в аксиальных и векторных переходах.
Перейдем к следующему соотношению. В применении к рас-
паду /Се4 теорема утверждает, что
Игл (п+, q+; л~, q~\ J{ — U% \ K+) =
V* (л', q-\[Fit (/i-i7S)]k+>-0,
/π
lim <n+, q+\ n~, q~\li- Ux \ K+)
«к-*0
лГо
= ψ{η\ q+1 №,№ -ul)] |Г> =
in
^<fl\q+\A-lJl\K+)--r<fl°.q+\A-tJl\K+).

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
713
Выберем параметризацию амплитуды Kej в виде
(л4, q'; π~, q~\jx — W\\K+) =
= /, (q+ + q-)K + f2tf - g~)K +f3(p«-q+-<)-),+ hs^p^p+p-,
Формфакторы могут зависеть от различных кинематических
инвариантов процесса: (q+q~), (q±pK)·
Имеются два условия:
при #=θ{^ο,' <19>
np*K-0\h-2(f+ + L)/L (20)
Эти уравнения получены Калланом и Трейманом [38]. Ясно,
что если обе группы уравнений удовлетворяются одновременно,
то f3 должна существенно зависеть от кинематических перемен-
ных. Ситуацию прояснил Вейпберг [40], предложивший более
симметричный способ рассмотрения задач с несколькими л-ме-
зонами. Оказывается, что в /3 дает вклад /С+-мезонный полюс
(рис. IV). Как показал Вейнберг, учет этого
вклада дает л\ /Λ"
г pkq+ . f 1· если <7~==°; \ /
'3~ /»V + pV (θ, если q+ = 0, н* ~* Hy*JK
Η*
Рис. IV.
так что между двумя пределами нет проти-
воречия. Важность полюсной диаграммы для
распада К—>2л еще раньше отмечена Бу-
шиа и Мейером [41]. Экспериментальные результаты групп
Беркли, Лондонского университетского колледжа и Висконсина
дают (/2>/(fi) =0,9 ± 0,25, где (fi) и (/2) — усредненные по фа-
зовому объему амплитуды fi и f2. Согласие с уравнением (19)
превосходное. Положив fi = fa и исходя из экспериментального
значения для постоянной распада Т(К+-*-п+ + п~+е++\) =
= (2,9 ± 0,6)· Ю3 сект1, Вейнберг получил величину f\ немного
меньшей, чем теоретические предсказания для нее из уравне-
ний (19) и (20). Различие на 20—25% говорит о хорошем
согласии, поскольку при расчетах мы пренебрегали зависимо-
стью формфактора f+ от передачи импульса в распаде Ка-
Очевидный успех этих предсказаний, так же как и анало-
гичные результаты для распадов К—*3л, которые мы обсудим
ниже, трудно понять в связи с наличием сильных взаимодей-
ствий π — л, которые могут поставить под сомнение процедуру
экстраполяции. По-видимому, эти успехи свидетельствуют о сла-
бости л — л-взанмодействий при низких энергиях.
46 С, Гиаиороанч

714
ДОПОЛНЕНИЕ II
S-фазу π—л-рассеяния в состоянии с 7=0 можно измерить
непосредственно в распаде Kei- На этой конференции объеди-
ненная группа Беркли — Висконсина [9] сообщила результат
измерения длины рассеяния й0
/ + 0,6\
flo = 0,6(^0>5jm-<,
который согласуется с предсказанием Вейнберга, о0 = 0,20т-'.
Важные для изучения сильных взаимодействий эксперименты
по изучению распадов КС4 должны быть продолжены [42, 43].
Нелептонные /С-распады
Судзуки [44] применил низкоэнергетическую теорему к не-
лептонным распадам /(-мезонов и нашел соотношение Для по-
стоянных распадов Κ->3π и К—>2π; затем этот результат был
получен рядом других авторов [45—48].
В предположении о линейной зависимости амплитуды рас-
пада К-*Зп от энергии «выделенного» π-мезона в этих рабо-
тах найдена и величина наклона. Недавно Абарбанель [49]
вновь рассмотрел проблему применимости метода Вейнберга
и пришел к тем же заключениям, но более убедительным спо-
собом. Согласно предложению Вейнберга [50], в предположении
о линейной зависимости вероятности перехода от энергии вы-
деленного π-мезона, был проанализирован график Далица для
распада K-»3jt. В терминах переменных (Т3 относится к вы-
деленному π-мезону)
Υ = (3T3/Q) - 1, Χ = ]/3 (Τ* - T2)/Q
это означает приближение вида
\S\2=l+aY.
Чтобы судить о точности этого приближения, мы можем рас-
смотреть представленные на данную конференцию результаты
группы Рутгерса [51] по распаду К+ -*■ л+л+п~. Выбрав квадра-
тичную зависимость от Υ вида Ι+αΥ+cY2, они нашли, что
о = 0,260 ± 0,027, а с = — 0,068 ±0,058, что свидетельствует
о допустимости линейного приближения.
Я буду обсуждать применение низкоэнергетической теоремы
к распаду К -» Зл, следуя выводу, данному Беллом [52].
Предположим, что лагранжиан LHli — типа ток — ток и со-
держит нейтральные токи, обеспечивающие выполнение пра-
вила Δ7'=1/2. Интересующая нас часть лагранжиана с AS=—1

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
715
ведет себя как —1/2-компонента дублета Ζ-λ. В терминах «шпу-
(°\
риона» 5 = 1-1 мы можем написать
LH3=(sL).
Низкоэнергетическая теорема утверждает, что
Ит<я\ q\ л\ q2; η3, q3\(sL)\K) = ~W,ql;n2,q2\[F&, (sL)]\k).
где мы использовали результат алгебры токов — соотношение
[F'i, L\\ = \F', L%] (λ=± 1/2). Введя в изотопическом простран-
стве векторы, соответствующие трем π-мезонам, мы имеем в
самом общем виде следующее выражение для матричного эле-
мента распада К—»3зх, учитывающее статистику бозонов и ли-
нейность по Еи E2, Е3:
(Зя|(я1)|К) = (я|-я2)[яз(этК)](а + р£8) +
+циклические перестановки по индексам 1, 2, 3.
Матричный элемент распада К—*2пмы параметризуем следую-
щим образом:
(2π|(δΖ,)|/0=γπ, -3b(sK).
В пределе, когда
мк
из низкоэнергетической теоремы следует соотношение
«1 · π2 (я3 ■ (sT/C)) α + [(π2 - я3) π, + (я3 · π,) я2] (sxK) (α + -§- Μκ} =
У~2 l/2"
= -г— (щ ■ η21 (sn3 ■ τ Κ) | Κ) = -τ~ Υ (π! · π2) (δπ3 · ΧΚ).
/π /π
Отсюда постоянные и наклоны спектров всех трех распадов
К—>·3π выражаются через один параметр у, определяемый рас-
падом К—>2л:
α = Υ. α + £-Μκ = 0.
Исходя из приближения, в котором
\S\-A+sY,
Намбу и Хара [45] получили следующую таблицу предска-
заний для распадов К-*-Ъп (верхний индекс относится
46*

716
ДОПОЛНЕНИЕ ГГ
к /(-мезону, а нижние — к продуктам распада):
эксп
Al-
Лооа
А +
^4+оо
So+- -
S++-
. (х ю+6)
0,89 ± 0,01
0,92 ± 0,05
0,96 ± 0,02
0,94 ± 0,01
-0,67 ± 0,06
0,23 ± 0,03
теор.
(из
0,81
—*■ л π
±0,01
0,67
0,30
0,68
■)(х ю6)
Sioo -0,70 ±0,06
Согласие очень хорошее.
Если ограничиться только заряженными адронными токами,
лагранжиан L„n отвечает переходам как с ΔΓ= 1/2, так и с
Δ7"=3/2. Легко показать, что если распад К —* 2л подчиняется
правилу AT =1/2, то для распада К~>-Зя члены с Δ7 = 3/2 сильно
подавлены. В пределе, когда любой из л-мезонов имеет нулевой
4-импульс, низкоэнергетическая теорема связывает амплитуду
распада К-+Зл с частью амплитуды распада Κ-*-2π, для кото-
рой AT=3/2 и которая по предположению равна нулю. Условие,
чтобы амплитуда распада /С-»-Зя обращалась в нуль в трех
различных точках, довольно сильное, но, как отметил Белл [52],
его достаточно, чтобы обратить в нуль амплитуды с ΔΓ = 3/2.
Судзуки отметил, что эти амплитуды либо постоянны, либо яв-
ляются линейными функциями энергии.
Фактически можно пойти еще дальше и, как предложил
Судзуки [44], доказать, что в распаде К-* 2л амплитуды с
Δ7'=3/2 обращаются в нуль. Применив низкоэнергетическую
теорему к распаду Κ->2π, мы можем привести матричный
элемент этого процесса к амплитудам перехода К—*-η и да-
лее— А'—» вакуум. Такие переходы с Δ7"=3/2 запрещены со-
хранением изотопического спина. Отметим, что в амплитуде
К-*2я с ΔΓ=3/2 не может быть К-мезонного полюса, имев-
шегося для амплитуды Ке4- Однако экстраполяция к нулю по
обоим 4-импульсам π-мезонов — это экстраполяция на величины
порядка Мк, в противоположность экстраполяции на величину
Мд для перехода от /<С-»-Зл к К-^-2л.
Нелептонные распады гиперонов
Экстраполяционный метод применялся и к распадам гипе-
ронов, не всегда приводя к успеху. Исходя из простого лагран-
жиана J*k(x)Jk(x) (без предположения ΔΓ=1/2), Судзуки и
Сугавара [36, 37] вывели некоторые интересные соотношения

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
717
для S-волн:
1Λ2Λο + Λο" = 0,
ΣΖ - \[2 П = Σ+,
Первые два совпадают с предсказаниями правила ΔΓ= 1/2.
Третье не совпадает с этим предсказанием, поскольку знак ΣΧ
Рис. V.
получается неправильным. Если теперь потребовать выполне-
ния правила Δ7=1/2, получится еще одно условие
которое согласуется с данными йельской группы [20, 21]. Чет-
вертое соотношение вместе с этим условием эквивалентно соот-
ношению Ли — Сугавара [53, 54].
Из-за наличия полюсных диаграмм ситуация с Р-волнами
более сложна и до настоящего времени непонятна. Рис. V по-
казывает, что экспериментальные данные подтверждают соот-
ношение Ли — Сугавара как для S-волн (что естественно), так
и для Р-волн (что непонятно).

ЛИТЕРАТУРА
К введению части I
1- А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика,
Физматгиз, 1969.
2. J. D. В j о г k e n, S. D. D г е 11, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-
Hill, 1964; Relativistic Quantum Fields, 1965.
3 H. H. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных
полей, Гостехиздат, 1957.
4. С. De Witt, R. Omnes, Dispersion Relations and Elementary Particles,
Wiley, 1961.
5. M. Гольдбергер, К- Ватсон, Теория столкновений, «Мир», 1967.
6. В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
7. J. M. J a u с h, F. R о h г 1 i с h. The Theory of Photons and Electrons, Ad-
dison — Wesley, 1955.
8. G. К a 11 e n, Quantenelektrodynamik, Handbuch der Physik 5/1, Springer —
Verlag, 1958.
9. F. Mandl, An Introduction to Quantum Field Theory, lnterscience, 1960.
10. С. Ш в е б е р, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.
11 X. Умезава, Квантовая теория поля, ИЛ, 1959.
12. Г. Вентцель, Квантовая теория волновых полей, ИЛ, 1947
К главе 1
1. Quantum Electrodynamics, J. Schwinger (ed.)\ Dover, 1958.
2. G. Feinberg, S. W e i nb e г й, Nuovo Cim. 14,571 (1959).
К задачам гл. 1
1, 2, 5. Э. X е и л и, В. Т и р р и н г, Элементарная квантовая теория поля, ИЛ,
1963.
3,4. В. Паули, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947.
К главе 2
1. J. D. В j о г k e n, S. D. D г е 11, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-
Hill, 1964.
2. «Теоретическая физика двадцатого столетия», ИЛ, 1963.
3. Р. С т р и т е р, А. В а й т м а н, РСТ, спин и статистика и все такое, «Наука»,
1966.
4 С. S. Wu, 1. Shaknow, Phys. Rev. 77, 136 (1950).
5. G. С. Wick, A. S. Wightman, E. P. Wigner, Phys. Rev. 88, 101 (1952).
К задачам гл. 2
2. M. H. J о h n s о п, В. A. L i p p m a n, Phys. Rev. 76, 828 (1949).
3. L. L. Foldy, S. A. Wouthuysen, Phys. Rev 78, 29 (1950).
4. J. D. В j or ken, S, D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-
Hill, 1964.

ЛИТЕРАТУРА
719
К главе 3
1. S. G u p t a, Proc. Phys. Soc. A63, 681 (1951).
2. К. В 1 е u 1 е г, Helv. Phys. Acta 23, 567 (1950).
Дополнительная к гл. 3
Т. Т. Wu, Phys. Rev. 129, 1420 (1963)—квантование электромагнитного поля
с дефинитной метрикой.
К главе 4
1. R. H a a g, Phys. Rev. 112, 669 (1959).
2. К. Nishijima, Phys. Rev. Ill, 995 (1958).
3. W. Z i m m e r m a n n, Nuovo Cim. 10, 59 (1958).
4. E. P. W i g n e r, Ann. Math. 40, 149 (1939).
5. V. В а г g m a n n, Ann. Math. 48, 568 (1947).
6. P. С т р и т е р, А. В а й т м а н, РСТ, спин и статистика и все такое, «На-
ука», 1966.
7. Н. J о о s, Fortschr. Phys. 10, 65 (1962).
8. S.Weinberg, Phys. Rev. 133, B1318 (1964).
9. M. J а с о b, G. С. W i с k, Ann. Phys. 7, 404 (1959).
10. A. M а с f a r 1 a n e, Rev. Mod. Phys. 34, 41 (1962).
К задачам гл. 4
1. M. Гольдбергер, К. Ватсон, Теория рассеяния, «Мир», 1967 (прило-
жение Д).
Дополнительная к гл. 4
D. L. Weaver, С. L. Hammer, R. H. Good, Jr., Phys. Rev. 135, B241
(1964) —2 (2s + 1)-компонентные волновые функции.
G. С. Wick, Ann. Phys. 18, 65 (1962)—трехчастичные состояния.
D. Zwanziger, Phys. Rev. 133, B1036 (1964)—состояния с т = 0.
S. Weinberg, Phys. Rev. 134, B882 (1964) — состояния с т = 0.
S. Weinberg, Phys. Rev. 135, B1046 (1964)—сохранение заряда и лоренц-
инвариантность.
К главе 5
1. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.
2. Б. В. Медведев, ЖЭТФ 49, 1518 (1965).
К задачам гл. 5
2. V. G. Soloviev, Nucl. Phys. 6, 618 (1958).
3, 4. М. G е 11 - М а п п, М. L e v у, Nuovo Cim. 16, 706 (1960).
К главе 6
1. G. К a 11 e n, Arkiv. Fys. 2, 187, 371 (1950).
2. С. N. Y a n g, D. F e 1 d m a n, Phys. Rev. 79, 972 (1950).
3. W. Z i m m e r m a n n, Nuovo Cim. 10, 597 (1958).
4. H. Lehman n, K. Symanzik, W. Zimmerman n, Nuovo Cim. 1, 425
(1955).
5. К. Н ep p, Comm. Math. Phys. 1, 95 (1965).
Дополнительная к гл. 6
R. Haag, Suppl. Nuovo Cim. 14, 131 (1959); Lectures in Theoretical Physics,
Vol. Ill Interscience (1961) —рассеяние в теории поля.

/20
ЛИТЕРАТУРА
К главе 7
1. Н. Lehmann, Nuovo Cim. 11, 342 (1954); русский перевод в ПСФ. № 3
(1955), стр. 133.
Дополнительная к гл. 7
V. Glaser, H. Lehmann, W. Zimmermann, Nuovo Cim. 6, 1122
(1957) — ^-функции.
H. Lehmann, К. S у m a n z i k, W. Zimmermann, Nuovo Cim. 6, 319
(1957) —S-матрнца и поля.
W. Zimmermann, Nuovo Cim. 13, 503 (1959)—выделение одночастичных
особенностей.
К главе 8
1. М. Gel 1-Mann, F. E. Low, Phys. Rev. 84,340 (1951).
2. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ, 1963.
3. J. D. В j о г к е п, S. D. D г е 11, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-
Hill, 1964.
4. H. H. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных
полей, Гостехиздат, 1957.
5. А. Д. Суханов, ЖЭТФ 41, 1915 (1961); 47, 1303 (1964).
Дополнительная к гл. 8
J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sci. 37, 452 (1951)—функциональная фор-
мулировка.
L. Symanzik, Z. Naturforsch, 9a, 809 (1954)—функциональная формули-
ровка.
G. С. Wick, Phys. Rev. 80, 268 (1950) —другой способ получения рядов тео-
рии возмущений.
Дополнительная к гл. 9
J. D. В j о г k e n, S. D. D г е 11, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill
(1964) —правила Фейнмана.
Ь. Weinberg, Lectures on Particles and Field Theory. Brandeis Summer
Institute in Theoretical Physics, 1964, Prentice-Hall (1965)—правила Фейн-
мана для полей произвольного спина.
R. F. Feynmann, Phys. Rev. 76, 749, 769 (1949) —ради шутки и пользы.
К введению части II
1. G. [(alien, Quantenelektrodynamik, Handbuch der Phvsik 5/1, Springer —
Verlag, 1958.
2. В. Г а й т л е p, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
3. J. M. Jaucn,-"F. Rohrlich, The Theory oi Photons and Electrons, Addi-
son — Wesley, 1955.
4. А. И. A x и е з е р, В. Б. Б е р е с т е Ц к и й, Квантовая электродинамика,
Физматгиз, 1959.
5. Л. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill,
" 1965. •
6. H. H. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных
полей, Гостехиздат, 1957.
7. В. Т и р р и и г, Принципы квантовой электродинамики, «Высшая школа»,
1964.
8. С. Ш в е б е р, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.

Л1ИЕРАТУРА
721
Дополнительная к введению ч. II
К. Johnson, Lectures on Particles and Field Theory, Brandeis Summer Insti-
tute in Theoretical Physics, 1964, Prentice-Hall (1965)—последние исследо-
вания проблем перенормировки в квантовой электродинамике.
N. М е i s t e r, D. R. Y e n n i e, Phys. Rev. 130, 12Ю (1963) — радиационные по-
правки при высоких энергиях.
Е. Kazes, Nuovo Cim. 12, 1226 (1959)—общая формулировка тождества
Уорда.
Статьи в Acta Physica Austriaca, Supplement № 2 (1965), где изложены
труды зимней школы в Шладминге (P. Urban ed.).
К главе 10
1. J. M. J a u с h, F. R о h г 1 i с h, The Theory of Photons and Electrons, Addi-
son — Weslev, 1955.
2. F. W. L i p p "s, H. A. T о 1 h о с k, Physica 20, 85, 395 (1954).
3. J D. J а с k s о n, Classical Electrodynamics, John Wiley and Sons, 1962, ch. 7.
4. S. B. G u n s t, L. A. P a g e, Phys. Rev. 90, 970 (1953).
5. H. A. T о 1 h о с k, Rev. Mod. Phvs. 28, 277 (1956).
6. L. W.Fag g, S. S. H a n n a, Re'v. Mod. Phvs. 31, 711 (1959).
7. M. D e u t s с h С G i 111 e m a n, R. W. Bauer, L. Grodzins, A. W. S u-
n у a r, Phys. Rev. 107, 1733 (1957).
8. S. De Benedetti, H. С. С or ben, Ann. Rev. Nucl. Sci. 4 (1954).
К главе 11
1. S. M о 11 e r, Ann. Phvsik 14, 568 (1932).
2. А. В i n с е r, Phvs. Rev. 107, 1434 (1957).
3. K. Bockman/G. Kramer, W. R. T h e i s, Z. Phys. 150, 201 (1958).
4. L. P a ge, Rev. Mod. Phys. 31, 759 (1959).
5. H. J. В h a b h a, Proc. Rov. Soc. (London), A154, 125 (1935).
6. R. H. D a 1 i I z, Proc. Rov. Soc. (London) A206, 509 (1951).
7. D R. Yennie, S. С F'rautschi. H. S u u r a, Ann. Phys. (N. Y.) 13, 379
(1961).
8. N. F. M о 11, Proc. Rov. Soc. (London) A124, 425 (1929).
9. H. A. T о 1 h о с k, Rev" Mod. Phys. 28, 277 (1956).
К задачам гл. 11
1. S. А. В 1 u d m a n, J. A. Y о u n g, Phys. Rev. 131, 2326 (1963).
К главе 12
1. M. A. Bethe, W. Heitler, Proc. Rov. Soc. (London) A146, 85 (1934). •
2. E. Fermi, Z. Phvsik 29, 315 (1924).
3. K- F. W e i z s а с k e r, Z. Physik 88, 612 (1934).
4. E. J. W i 11 i a m s, Dan. Mat.-Fys. Medd. 13, № 4 (1935).
5. К. М. М с V о v, F. J. D v s о n, Phys. Rev. 106, 1360 (1957).
6. S. D. D r e 11, Ann. Phys". (N. Y.) 4, 75 (1958).
К «лаве 13
1. Сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954, статья
Р. Фейнмана.
2. Н. Н. Боголюбов, О. С. П а р а с ю к, ДАН СССР 100, 251 (1955);
ДАН СССР 100, 429 (1955): Изв. АН СССР, сер. матем. 20, 585 (1956).
3 Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных
полей, Гостехиздат, 1957, гл. IV и V.
4. G. К а 11 е n, D а п. Mat.-Fys. Medd. 29, № 17 (1954).
5. К. J о h n s о n, Ann. Phvs. (N. Y.) 10, 536 (1960).
6. G. Kail e n, Helv. Phys". Acta 25, 417 (1952).

722
ЛИТЕРАТУРА
7. J. M. Jauch, F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Addi-
son— Wesley (1955), стр. 178 и далее.
8. J. С. W a r d, Phys. Rev. 77, 293 (1950): 78, 182 (1950).
9. K.Johnson, Nucl. Phys. 25, 431,435 (1961).
10. E. E r i к s e n, L. L. F о 1 d y, Phys. Rev. 98, 775 (1955).
11. R. Karplus, N. Kroll, Phys. Rev. 77, 536 (1950).
12. С So mm erf ield, Ann. Phys. (N. Y.) 5,21 (1958).
13. A. A. Schupp, R. W. Pidd, H. R. Crane, Phys. Rev. 121, 1 (1951).
14. D. R. Yennie, S. C. Frautschi, H. Suura, Ann. Phys. (N. Y.) 13,
379 (1961).
15. J. D. В j о г к e n, S. D. D г e 11, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill,
1965.
16. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.
К задачам гл. 13
Б. S. Gasiorowicz, A. Petermann, Phys. Rev. Lett. 1, 1511 (1958).
6. К. Johnson, Lectures on Particles and Field Theory, Brandeis Summer
Institute in Theoretical Physics, 1964.
К введению части III
1. Сб. «Физика высоких энергий и теория элементарных частиц», «Наукова
думка», 1967.
2. Д. В. Ш и р к о в, В. В. Серебряков, В. А. Мещеряков, Дисперсион-
ные теории сильных взаимодействий при низких энергиях, «Наука», 1967.
3. В. С. Б а р а ш е н к о в. Сечения взаимодействия элементарных частиц, «На-
ука», 1966.
4. М. Гольд бергер, К- В а т с о н, Теория рассеяния, «Мир», 1967.
5. Г. Б а р т о н, Дисперсионные методы в теории поля. Атомиздат, 1968.
К главе 14
1. М. Goldhaber, G. Fein berg, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 45, 1301
(1959).
2. A. H. Rose nf eld et al. Rev. Mod. Phys. 41, № 1, January (1969).
3. T. D. Le e, С N. Y a n g, Phvs. Rev. 109, 1755 (1958).
4. M. J а с о b, Nuovo Cim. 9, 826 (1958).
5. M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley and
Sons, 1957.
6. L. Durand, L. F. Landovitz, J. Zeitner, Phys. Rev. 112, 273 (1958).
7. F. S. Crawford, M. С r e s t i, M. L. Good, M. L. Stevenson,
H. K. T i с h o, Phys. Rev. Lett. 2, 114 (1959).
8. R. H. D a 1 i t z, Proceedings of the Rutherford Jubilee International Conferen-
ce, 1962.
9. A. H. R о s e n f e 1 d et al., Rev. Mod. Phys. 37, 633 (1965).
10. J. Leitner, P. Nor din, Jr., A. H. Rosenfeld, F. T. Solmitz,
R. D. T r i p p, Phys. Rev. Lett. 3, 238 (1959).
11. G.Fein berg, Phys. Rev. 109, 1019 (1958).
1§. G. F e 1 d m a n, T. F u 11 о n, Nucl. Phvs. 8, 106 (1958).
13. L. E.. E v a n s, Nuovo Cim. 26, 580 (1962).
14. R. H. Dalit z, Proceedings of the Aix-en-Provence Conference on Elemen-
tary Particles, 1961 (Saclay, France).
15. H. С оu r a n t et al., Phys. Rev. Lett. 10, 409 (1963).
16. S.B.Treiman, Phys. Rev. 113, 355 (1959).
Дополнительная к гл. 14
С. С. Giamati, F. R e i n e s, Phys. Rev. 126, 2178 (1962) —сохранение числа
барионов.
R. К. Adair, Phys. Rev. 100, 1540 (1955)—метод определения спинов.

ЛИТЕРАТУРА
723
К главе 15
1 R. Durbin, H. Loar, J. Steinberger, Phys. Rev. 83, 646 (1951).
2. D. L. С 1 a r к, A. R о b e r t s, R. W i 1 s о п, Phys. Rev. 83, 649 (1961).
3. W. F. С a r t w г i g h t, С R i с h m a n, M. N. W h i t e h e a d. H. A. W i 1 с о x,
Phys. Rev. 91,677 (1953).
4. N. К roll, W. Wad a, Phys. Rev. 98, 1355 (1955).
5. R. Piano, A. P г о d e 11, N. S a m i о s, M. Schwartz, J. Steinber-
ger, Phys. Rev. Lett. 3, 525 (1959).
6. W. K. P a n о f s к у, R. L. A a m о d t, J. H a d 1 e y, Phys. Rev. 81, 565 (1951).
7. A. S. W i g h t m a n, Phys. Rev. 77, 521 (1950).
8. Т. В Day, G. A. Snow, J. Sue her, Phys. Rev. Lett. 3, 61 (1960).
9. G. A. Snow, Proceedings of the 1960 Annual International Conference on
High Energy Physics at Rochester, Interscience, p. 407.
10. M. L e о n, H. А. В е t h e, Phys. Rev. 127, 636 (1962).
11. T. H. Fields, G. C. Y о d h, M. Derrick, J. G. Fetkovitch, Phys.
Rev. Lett. 5,69 (1960).
12. R. К nop, R. A. Burnstein, G. A. Snow, Phys. Rev. Lett. 14, 767
(1965).
13. A 1 f f et al., Phys. Rev. Lett. 9, 325 (1962).
14. R. H. Dalitz, Phil. Mag. 44, 1068 (1953); Phys. Rev. 94, 1046 (1954).
15. E. Fabri, Nuovo Cim. 11,479 (1954).
16. С Zemach, Phys. Rev. 133, B1201 (1964).
17. J. О r e a r et al., Phys. Rev. 102, 1675 (1956).
18. R. G. A m m a r et al., Nuovo Cim. 19, 20 (1961).
19. А. В о h r, Nucl. Phys. 10, 486 (1959).
20. С. Б и л е н ь к и й, ЖЭТФ 35, 827 (1958).
21. A. Pevsner et al., Phys. Rev. Lett. 7,421 (1961).
22. J. Bernstein, G. Feinberg, T. D. Lee, Phys. Rev. 139, B1650 (1965).
Дополнительная к гл. 15
L. M.Brown, P. Singer, Phys. Rev. 133, B812 (1964)— типы распада
Т]°-мезона.
К главе 16
1. А. V. Crewe, B. Led ley, E. Lillethus, S. M. Markovitz, С. Re у,
Phys. Rev. 118, 1091 (1960).
2. D. Hart in get al., Phys. Rev. 119, 1716 (1960).
3. Y u. K. A k i m о v, О. V. S a v с h e п с k о, L. M. S о г о k o, Proceedings of
the 1960 Annual International Conference on High Energy Physics at Roches-
ter, Interscience, 1960.
4. M. G e 11 - M a n n, Phys. Rev. 92, 833 (1953).
5. T. Nakano, K. N i s h i j i m a, Progr. Theor. Phvs. 10, 581 (1953).
6. C. G о e b e 1, Phys. Rev. 103, 258 (1956).
7. T. D. L e e, С N. Y a n g, Nuovo Cim. 3, 749 (1956).
К задачам гл. 16
3. G. F. С h e w, S. M a n d e 1 s t a m, Phys. Rev. 119, 467 (1960).
4. J. J. S a k u r a i, Invariance Principles and Elementary Particles, Princeton
University Press, 1964, p. 230.
К главе 17
1. M. G e 11 - M a n n, Phys. Rev. 106, 1296 (1957),
2. J. Schwinger, Ann. Phys. 2, 407 (1957).
3. S. S a k a t a, Progr. Theor. Phys. 16, 686 (1956).
4. S Gasiorowicz, S. L. Glashow, Advances in Theoretical Physics,
vol. 11, Academic Press, 1966.

724
ЛИТЕРАТУРА
5. Л. Б. Окунь, Слабые взаимодействия элементарных частиц, Физматгиз,
1963.
6. М. Е. R о s e, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley and
Sons, 1957, p. 24.
7. M. G e 11 - M a n n, Phys. Rev. 125, 1067 (1962).
8. Дж. деСварт, УФН 84, 651 (1964).
9. Я. А. С мо род и некий, УФН 84, 3 (1964).
10. В. Б. Берестецкий, УФН 85, 393 (1965).
11. М. X а м м е р м е ш, Теория групп, «Мир», 1968.
12. Д. П. Желобенко, Лекции по теории групп Ли, Дубна, 19U
13. Сб. «Теория групп и элементарные частицы», «Мир», 1967.
Дополнительная к гл. 17
R. Е. В е h г е n d s, J. D г е i 11 е i n, С. F г о n s d a 1, B. W. Lee, Rev. Mod.
Phys. 34, 1 (1962) —обзор групп Ли.
S. Gasiorowicz, A Simple Graphical Method in the Analysis of SU(3). Ar-
gonne National Laboratory ANL— 6729, 1963 — вводный трактат.
V. Yamaguchi, Prog. Theor. Phys. Suppl. 1 (1959)—симметричная модель
Сакаты.
M. Ike da, S. Ogawa, Y. О h n u k i, Prog. Theor. Phys. 23, 1073 (I960) —
обсуждение теории SU (3).
J. E. Wess, Nuovo Cim. 15, 52 (1960) —общее обсуждение теории.
A. S a 1 a m, J. С Ward, Nuovo Cim. 20, 419 (1961) — восемь векторных мезо-
нов и симметричная модель Сакаты.
D L u r i e, A. J. М а с f a r I a n e, J. Math. Phys. 5, 565 (1964) —матричные эле-
менты октетных операторов.
К главе 18
1. М. Gell-Mann, California Institute of Technology Synchrotron Lab. Re-
port No CTSL-20; см. также M. Gell-Mann, Y. Neeman, The Eightfold
Wav, W. A. Benjamin (1964).
2. Y. N eem a n, Nucl. Phys. 26, 222 (1961).
3. Сб. «Элементарные частицы и компенсирующие поля», «Мир», 1964.
4. Сб. «Физика высоких энергий и теория элементарных частиц», «Наукова
думка», 1967.
5. Я. А. С м о р о д и н с к и и, УФН 84, 3 (1964).
6. В. Б. Берестецкий, УФН 85, 393 (1965).
7. Сб. «Теория rpvnn и элементарные частицы», «Мир», 1967.
8. М. G е 11 - М а п п, Phys. Lett. 8, 214 (1964).
9. G. Z w e i g (неопубликованное сообщение, ЦЕРН).
10. F. Gursey, Т. D. Lee, M. Nauenberg, Plivs. Rev. 135, B467 (1964).
11. F.J. Ernst, R. L. Warnock, К. С W a 1 i, Phys. Rev. 141, 1354 (1966).
12. J. J. d e S w a r t, Rev. Mod. Phys. 35, 916 (1963).
13. P. McNamee, F. Chilton, Rev. Mod. Phys. 36, 1005 (1964).
14. С A. L e v i n s о n, H. J. L i p k i n, S. M e s h k о v, Phys Rev. Lett. 10, 361
(1963).
15. S. О k u b o, Progr. Theor. Phys. 27, 949 (1962)).
Дополнительная к гл. 18
M. G о и г d i n, Some Topics Related to LUiitary Symmetry, Ergeb. Exakten.
Naturw. 36 (1965) —общий обзор.
S. Coleman, S. L. G I a s h о w, Phys Rev. 134, B671 (1964) — модель «голо-
вастиков» для расщепления масс в октете.
С. A. Lev ins on, H. J. L i p k i n, S. Meshkov, Phys Rev. Lett. 7, 81
(1962) — унитарный спин и фоторождение.
R. J, Gakes, Phys. Rev. 132, 2349 (1963) —электромагнетизм и теория St/(3).

ЛИТЕРАТУРА
725
A. J. Macf arlane, E. С. Sudarshan, Nuovo Cim. 31, 1176 (1961) —
электромагнетизм и теория S£/(3).
J. Ginibre, Nuovo Cim. 30, 406 (1963)—общее выражение для массовой
формулы.
S. L. Glashow, M. G е 11 - М а п п, Ann. Phys. 15, 437 (1961)—токи для
градиентной инвариантности второго рода.
S. L. Glashow, Phys. Rev. 130, 2132 (1963)—спонтанное нарушение сим-
метрии.
М. Suzuki, Progr. Theor. Phys. 31, 1073 (1964)—спонтанное расщепление
масс.
К главе 19
1. L. A I v a re z et al., Phys. Rev. Lett. 10, 184 (1963).
2. С. В a 1 t а у et al., Nucleon Structure, Stanford Press, 1964.
3. P. A u v i I, C. Lovelace, A. D о n n а с h i e, A. T, Lea, Phys. Lett. 12,
76 (1964).
4 M. H e i n b e r g et al., Phys. Rev. 110, 1211 (1958)\
5. J. W. De Wire, H. E. Jackson, R. Littauer, Phvs. Rev. 110, 1208
(1958).
6. P. С S t e i п, К. С R о g e r s, Phys. Rev. 110, 1209 (1958).
7. F. P. Dixon, R. L. Walker, Phys. Rev. Lett. 1, 142 (1958).
8. R. F. P e i e r I s, Phys. Rev. 118, 325 (1960).
9. J. J. S a k u r a i, Phys. Rev. Lett. 1, 258 (1958).
10. P. С S t e i n, Phys. Rev. Lett. 2, 473 (1959).
11. G. G о 1 d h a b e r, Conference on Particle and High Energy Physics at
Boulder, Colorado, 1964.
12. R. Т. С е п с e, Proceedings of the International Conference on Nucleon Struc-
ture at Stanford University, Stanford University Press, 1964.
13. C. M e n с u с с i n i, R. Q w e r z о 1 i, S. S a 1 v i n i, Proceedings of the Aix-en-
Provence Intern. Conf. G. E. N. Saclay, 1961.
14. P. J. D u k e et al.. Phys. Rev. Lett. 15, 468 (1965).
15. R. H. Dalitz, Ann. Rev. Nucl. Sci. 13, 339 Ann. Rev. Inc., Palo Alto Calif.,
(1963).
16. M. H. A 1 s t о n et al., Phys. Rev. Lett. 5, 520 (1960).
17. P. L. В a s t i e n, M. F e г г о - L u z z i, A. H. R о s e n f e 1 d, Phys. Rev. Lett.
6,702 (1961).
18. N. Byers, S. Fenster, Phys. Rev. Lett. 11,52 (1963).
19. J. B. Shafer, J. J. Murray, D. О. Н u w e, Phys. Rev. Lett. 10, 176
(1963).
20. M. H. Alston et al., Proc. Intern. Conf. on High Energy Phvsics, CERN,
Geneva, 1962, p. 311.
21. A. E n g 1 e r et al., Phys. Rev. Lett. 15, 224 (1965).
22. R. H. D a 1 i t z, S. F. T u a n, Ann. Phys. 3, 307 (1960).
23. T K. Kim, Phys. Rev. Lett. 14, 29 (1965).
24. S. P. A I m e i d a, G. R. L у п с h, Phvs. Rev. 9, 204 (1964).
25. M. Watson, M. Ferro-Luzz'i, R. Tripp, Phys. Rev. 131, B2248
(1963).
26. G. Snow, Proc. Intern. Conf. on High Energy Physics, CERN, 1962, p. 795.
27. M. Ferro-Luzzi et al., Phys. Rev. Lett. 8, 28 (1962).
28. P. E b e rh a r d et al., Phys. Rev. Lett. 14, 466 (1965).
29. R. B. Bell, R. W. Birge, Y. 1. Pan, R. T. Pu, Phys. Rev. Lett. 16, 203
(1966).
30. O. Chamberlain et al., Phys. Rev. 125, 1695 (1962).
31 V. Cook et al., Phys. Rev. 123, 320 (1961).
32. G. M. P j e г г о п et al., Phys. Rev. Lett. 9, 114 (1962).
33. P. E. S с h 1 e i n et al., Phys. Rev. Lett. 11, 167 (1963).
31. L. В e r t a n z a et al., Phys. Rev. Lett. 9, 180 (1962).

726
ЛИТЕРАТУРА
35 G. A S m it h. Т. S. L i n d s е у, Т. В. S h a t e r, J. J. M u г г а у, Phys. Rev
Lett. 14, 25 (1965).
36. к. Е. Behrends, Т. Dreitlein, G, F г о п s d a 1, В. Lee, Rev. Mod
Phys. 34, I (1962).
37. S. L. G 1 a s h о w, J. J. S а к u r a i, Nuovo Cim. 26, 622 (1962).
38. M. Gell-Мап n, Proc. Intern. Ann. Conf. on High Energy Physics, CERN,
Geneva, 1962, p. 865.
39. V. E. Barnes et al., Phys. Rev. Lett. 12,204 (1964); Phys. Lett. 12,134 (1964).
40. G. S. A b r a m s et al., Phys. Rev. Lett. 13, 670 (1964).
41. A. H. Rosenfeld et al., Rev. Mod. Phys. 41, № 1 (January) (1969).
Дополнительная к гл. 19
A. H. Rosenfeld, А. В a r b a r о - G a 11 i e r i, W. H. В а г k a s, P. L. В a s-
tien, M. Roos, Rev. Mod. Phys. 37, 633 (1965) —таблицы последних дан-
ных по частицам и резонансам; литература.
М. A d e m о 11 о, R. G a 11 о, Phvs. Rev. 133, В531 (1964) — спиновые критерии.
S. M. Berman, R. J. О a k e s," Phys. Rev. 135, В1034 (1964) —спиновые кри-
терии.
S. M. Berman, M. Jacob, Phys. Rev. 139, В1023 (1965)—спиновые кри-
терии, использующие формализм спиральности.
Е. S. Abers, L. А. В а 1 a z s, Y. Нага, Phys. Rev. 136, B1382 (1964)—раз-
мышления о высших резонансах.
К главе 20
1. Е. Teller, M. H. Johnson, Phys. Rev. 98, 783 (1955).
I*. Н. P. Duerr, E.Teller, Phys. Rev. 101,494 (1956).
2. Y.Narabu, Phvs. Rev. 106, 1366 (1957).
2*.W. R. Frazer, T. R. Fulco, Phys. Rev. 117, 1609 (1960).
3. J. J. S a k u r a i, Ann. Phys. (N. Y.) 11, 1 (1960).
4. Phys. Lett. 12,356 (1964).
5. A. E r w i n et al., Phys. Rev. Lett. 6, 628 (1961).
6. D. S t о п e h i 11 et al., Phys. Rev. Lett. 6, 624 (1961).
6*. Nuovo Cim. 35, 713 (1965).
7. B. C. Mag lie, L. W. Alvarez, A. H. Rosenfeld, M. L. Steven-
son, Phys. Rev. Lett. 7, 178 (1961).
8. N. G e 1 f a n d, O. Miller, N. N u s s b a u m, T. R a t a u, T. S h u 11 z,
T. Steinberger, T. H. Tan, L. К i r s с h, R. Piano, Phys. Rev. Lett.
11,436 (1963).
8*. С A 1 f f et al., Phys. Rev. Lett. 9, 325 (1962).
9. S. L. G 1 a s h о w, Phys. Rev. Lett. 7, 469 (1961).
9*.T. Bernstein, G.Feinb erg, Nuovo Cim. 25, 1343 (1962).
10. W. D. Walker, T. Boyd, A. R. Erwin, P. H. Scatterblown,
M. A. T h о m p s о n, E. W e s t, Phys. Lett. 8, 208 (1964).
11. G LOtjens, T. Steinberger, Phys. Rev. Lett. 12, 517 (1964).
12. L. В e r t a n z a, V. В r i s s о n, P. Connolly, E. Hart, 1. M i 11 r a,
G. Moneti, R. Rau, N. Samios, S. L i с fit m a n, I. Scillicorn,
S. Yamamoto, L. Cray, M. Goldberg, T. Leitner, T. West-
gard, Phys. Rev. Lett. 9, 80 (1962); S. Yamamoto, M. Goldberg,
M. G u n d z i k, T. L. L e i n e r, S. L i с h t m a n, P. Connolly, E. Hart,
K- Lai, G. London, G. Moneti, R. Rau, N. S a m i о s," I. Skill!-
k о г n, Proceedings of the Sienna International Conference on Elementary
Particles, Italian Physical Society, Bologna, 1963, p. 130.
12*. J. J. S a k u r a i, Phys. Rev. Lett. 9, 472 (1962).
13. M. A 1 s t о n, L. A 1 v a r e z, P. E b e r n a r d, M. L. G о о d, W G r a z i а п о,
H. Ticho, S. Wojcicki, Phys. Rev. Lett. 6,300 (1961).
14. G. Smith, T. Schwartz, D. Miller, G. Kalbfleisch, R. Hutt,
O. Dahl, G. Alexander, Phys. Rev, Lett. 10, 138 (1963).

ЛИТЕРАТУРА
727
15 S. Okubo, Phys. Lett. 5, 165 (1963).
16. M. Goldberg et al., Phys. Rev. Lett. 12, 546 (1964); 13, 249 (1964).
17. G. К a 1 b f 1 e i s ch et al., Phys. Rev. Lett. 12, 527 (1964).
18. G. Kalbfleisch, O. D a h 1, A. Rittenberg, Phvs. Rev. Lett. 13, 349
(1964).
19. P. D a u b e r et al., Phys. Rev. Lett. 13, 449 (1964).
20. F. G u r s e y, L. A. R a d i с a t i, Phys. Rev. Lett. 13, 173 (1964).
21. A. P a i s, Rev. Mod. Phys. 38, 215 (1966).
22. R. D e 1Ъ о u r g o, M. A. R a s h i d, T. Strathdee, Proc. of the Seminar
on High Energy Phys., Trieste, 1965, p. 455.
23. B. S а к i t a, Symmetries of Hadrons, Argonne Nation Lab., Report, March
1966.
24. Сб. «Теория групп и элементарные частицы», «Мир», 1967.
25. Сб. «Физика высоких энергий и теория элементарных частиц», «Наукова
думка», 1967.
26 W. Selove, V. Hagopian, H. В rod у, A. Baker, E. Leboy, Phys.
Rev. Lett. 9, 272 (1963).
27. L. Sodickson, M. Wahlig, 1. Mannelli, D. Frisch, O. Fackler,
Phvs. Rev. Lett. 12, 485 (1964).
28 Y. Lee, B. Roe, D. Sinclair, T. Van d e r V e 1 d e, Phys. Rev. Lett.
12, 342 (1964).
29. G. G о I d h a b e r et al., Phys. Rev. Lett. 12, 336 (1964).
30. S. V. С h u n g et al., Phys. Rev. Lett. 12, 621 (1964J.
31. N. H a q u e et al., Phys. Lett. 14, 338 (1965).
32. L. M. H a r d у et al. 14, 401 (1965).
33. S. С h u n g et al„ Phys. Rev. Lett. IS, 325 (1965).
34. V. E. В а г n e s et al., Phys. Rev. Lett. 15, 322 (1965).
35. S. L. Glashow, R. H. Socolow, Phys. Rev. Lett. 15, 329 (1965).
36. M. D e u t s с h m a n et al., Phys. Rev. Lett. 12, 356 (1964).
37. R. T. Deck, Phys. Lett. 13, 169 (1964).
38. V. Maor, T. A. O'Halloran, Jr., Phys. Lett. 15, 281 (1965).
39. N. P. С h u n g, Phvs. Rev. Lett. 14, 806 (1965).
40. L. D u r a n d 111, Y. Т. С h i u, Phys. Rev. Lett. 14, 329 (1965).
41. V. Hagopian, W. Selove, T. Alitti, T. P. Baton, M. Neveu
Rene, Phys. Rev. Lett. 14, 1077 (1965).
42. M. F e 1 d m a n et al., Phys. Rev. Lett. 14, 869 (1965).
43. M. Abolins,R. L Larder, W.Melhop, N.Young, P. Yager Phys
Rev. Lett. 11,381 (1963).
44. G. G о 1 d h a b e r, S. G о 1 d h a b e г, Т. К a d у k, S. S h e n, Phvs. Rev. Lett.
15, 118 (1965).
45. A. H. R о s e n f e 1 d et al., Rev. Mod. Phys. 41, № 1 (January) (/969).
К задачам гл. 20
1. В г о п z a n, F. E. L о w, Phys. Rev. Lett. 12, 522 (1964).
2. С Zemach, Phys. Rev. 133, B1201 (1964).
Дополнительная к гл. 20
J. A. Y о u n g, S. А. В 1 u d m a n, Phys. Rev. 131, 2326 (1963) — электромагнит-
ные свойства векторных мезонов.
М. Gel 1-Mann, F. Zachariasen, Phys. Rev. 124, 953 (1961) — резонансы
и нестабильные частицы.
R. F. Da she n. D. H. Sharp, Phys. Rev. 133, B1585 (1964.1 — ф~ «-смеши-
вание.
S. Coleman, H. J. Schnitzer, Phys. Rev. 134, B863 (1964)—ф—ш-смеши-
вание.
Y. S. К i m, S. О n e d a, J. С. P a t i, Phys. Rev. 135, В1076 (1964) — <p — ш-сме-
цшвание.

728
ЛНТРРАТУРЛ
К главе 21
1. R. H a a g, Phys. Rev. 112, 669 (1958).
2. К. N i s h i j i m a, Phys. Rev. 112, 995 (1958).
3. W.Zimmermann, Nuovo Cim. 10, 567 (1958).
4. L. I. S h i f f, Progr. Theor. Phys. (Kyoto) II, 288 (1954).
5. J. M. J a u с h, F. R о h r 1 i с h, The Theory of Photons and Electrons, Addi-
son — Wesley, 1955.
К задачам гл. 21
1—5. H. Lehman, Nuovo Cim. II, 342 (1954) (перевод в ПСФ № 3, 1955,
стр. 133).
К главе 22
1. М. G е 11 - М а п п, М. L. G о 1 d b e r g e r, W. T h i r r i n g, Phys. Rev. 95,
1612 (1954).
2. М. G о 1 d b e r g e r, Phys. Rev. 99, 979 (1955).
3. W. Th i r ring, Phil. Mag. 41, 1193 (1950).
4. M. Gell-Mann, M. G о 1 d b e r g e r, Phys. Rev. 96, 1428 (1954).
5. F. Low, Phys. Rev. 96, 1433 (1954).
6. Г. Ч е л л е н, Физика элементарных частиц, «Наука», 1966.
7. Н. Н. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К. Поливанов, Вопроси
теории дисперсионных соотношений, Физматгиз, 1958.
8. J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill.
1965.
9. S. Mandelstam, Phys. Rev. Lett. 4, 84 (I960).
10. R. Blankenbecler, L. Cook, Phys. Rev. 119, 1745 (1960).
11. Y. Nambu, Nuovo Cim. 9,610 (1958).
12. Y. N a mb u, Nuovo Cim. 6, 1064 (1957).
13. S. Mandelstam, Phys. Rev. 112, 1334 (1958).
14. Сб. «Новый метод в теории сильных взаимодействий», ИЛ, I960.
15. М. Г о л ь д б е р г е р, К. В а т с о н, Теория столкновений, ИЛ, 1967.
16. S. С о 1 е m a n, R. N о г t о п, Nuovo Cim. 38, 438 (1965).
К задачам гл. 22
1. S. Mandelstam, Phys. Rev. 115, 1741 (1959).
Дополнительная к гл. 21 и 22
Y. Nambu, Nuovo Cim. 9, 610 (1958)—аналитические свойства формфакто-
ров.
А. М. Bincer, Phys. Rev. 118,855 (1960) — доказательство аналитичности
формфакторов.
L. D. Landau, Nucl. Phys. 13, 181 (1959) — правила Ландау — Бьоркена.
R. Е. С u t ко s к у, J. Math. Phys. I, 429 (1960) — правила для скачков на раз-
резе.
J. С. Polkinghorn, Nuovo Cim. 23, 360 (1961); 25, 901 (1962) —унитарные
сингулярности.
L. В. Oku n, A. P. Ru dik, Nucl, Phys. 15, 261 (1960) —еще п п| лвнлах Лан-
дау — Бьоркена.
R. О е h e m e, Nuovo Cim. 13, 778 (1959) — аномальные пороги.
R. Blankenbecler, Y. Nambu, Nuovo Cim. 18, 595 (1900) - аномальные
пороги.

JIMTFPATVPA
729
К. N i s h i j i m a, Pliys. Rev. 126, 852 (1962)—аномальные пороги.
S. Mandelstam, Phys. Rev. 115, 1741. 1752 (1959)—представление Ман-
дельстама в теории возмущений
С. Fronsdal, R. E. Norton, J. Math. Phys. 5, 100 (1964) — интегральное
представление трехточечной функции.
S. Gasiorowicz, H. P. Noyes, Nuovo Cim. 10, 78 (1958) — иллюстрации
к строгому доказательству дисперсионных соотношений.
S. Coleman, R. E. Norton, Nuovo Cim. 38, 438 (1965)—сингулярности
в физической области.
S. Gasiorowicz, Fortsch. Physik 8, 665 (1965)—обзор работ по представ-
лению Мандельстама.
W. Zimmermann, Nuovo Cim. 21, 36 (1961)—о представлении Мандель-
стама.
К главе 23
1. R. Karplus, M. Ruderman, Phys. Rev. 98, 771 (1955).
2. М. L. G о 1 d b e r g e r, Phys. Rev. 99, 979 (1955).
3. К. S у m a n z i k, Phys. Rev. 105, 743 (1957).
4. H. H. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К. Поливанов, Вопросы
теории дисперсионных соотношений, Физматгиз, 1958.
5. H.Lehman n, Suppl. Nuovo Cim. 14, 153 (1959).
6. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ,
1963.
7. К. Symanzik, Progr. Theor. Phys. (Kyoto) 20, 690 (1958).
8 Г. Б е т е, Ф. Г о ф м а н, Мезоны и поля, т. II, ИЛ, 1958.
9. J. Hamilton, Strong Interactions and High Energy Physics Oliver and
Boyd Ltd, 1964.
10. P. A u v i 1, С Lovelace. A. Donnachie, A. T. Lea, Phys. Lett. 12,
76 (1964).
11. G. Hohler, G. Ebel, J. Giesecke, Z. Physik 180, 430 (1964).
12. J. Hamilton, W. S. Wool cock, Rev. Mod. Phys. 35, 737 (1963).
13. J. Deahl et al., Phvs. Rev. 124, 1987 (1961).
14. S. L. A d 1 e r. Phys. Rev. 137, B1022 (1965).
15. K. J. F о 1 e y, Phys. Rev. I ett. 14, 862 (1965J.
16. H. В e t h e, Ann. Phys. (N. Y.) 3, 190 (1958).
17. V. S. Barashenkov, V. I. Dedyu, Nucl. Phys. 64, 636 (1965).
18. В. С. Б а р а ш е н к о в, Сечения взаимодействия элементарных частиц,
«Наука», 1966.
19. В. Lautrup, P. Meller Nielsen, Р. ОI e s e n, Phys. Rev. 140, В984
(1965).
К задачам гл. 23
2. G. F. Chew, S. Mandelstam, Phys. Rev. 119, 467 (1960).
4. S. Fubini, D. W a I e с k a. Phys. Rev. 116, 194 (1959).
Дополнительная к гл. 23
J. Hamilton, W. S. Wool cock, Rev. Mod. Phys. 35, 737 (1963) --приме-
нение дисперсионных соотношений для рассеяния вперед.
G. Hohler, G. Ebel, Nucl. Phys. 48, 470 (1963) —анализ дисперсионных со-
отношений для рассеяния вперед.
G. Hohler, J. Baacke, J. Giesecke, N. Zovko, Proc. Roy. Soc. A289,
500 (1966) —обзор приложений при высоких энергиях.
С. Lovelace, Proc. Roy. Soc. A289, 547 (19C6)—фазовый анализ.
47 ( Газио]Ювич

730
ЛИТЕРАТУРА
К главе 24
1. A. S а 1 a m, Nuovo Cim. 3, 424 (1956).
2. R. С а р р s, G. Т а к е d a, Phys. Rev. 103, 1877 (1956).
3. G. F. Chew, M. L. G о 1 d b e r g e r, F. Low, Y. N a m b u, Phys. Rev. 106,
1377 (1957).
4. Д. В. Ш и р к о в, В. В. Серебряков, В. А. Мещеряков, Диспер-
сионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях, «HavKa»,
1967.
5. S. С. F г a u t sch i, Regge Poles and S-Matrix Theory, W. A. Benjamin inc.,
1963.
6. M. L. G о 1 d b e г g e г, К. М. Watson, Collision Theory, John Wiley and
Sons, 1964, гл. 10. (Русский перевод М. Гольдбергер, К- Ватсон,
Теория столкновений, «Мир», 1967.)
7. W. Magnus, F. Obe r h e 11 i n ge r, Special Functions of Mathematical
Physics, Chelsa Publishing Co., 1949.
8. G. F. С h e w, S. M a n d e 1 s t a m, Phys. Rev. 119, 467 (1960).
9. A. W. M a r t i n, J. L. U r e t s k y, Phys. Rev. 135, B803 (1964).
10. H. P a ge 1 s, Phys. Rev. 140, B1599 (1965).
11. L. Gastillejo, R. H. D a 1 i t г, F. J. Dyson, Phys. Rev. 101. 453
(1956).
12. V.Bargman n, Rev. Mod. Phys. 21, 488 (1949).
13. С. Е ck a rt, Phys. Rev. 35, 1303 (1930).
14. G. Frye, R. L. Warnock, Phys. Rev. 130, 478 (1963).
15. M. F ro i s s a r t, Nuovo Cim. 22, 191 (1961).
16. M. Bander, P. W. С о n 11 e r, G. L. Shaw, Phvs. Rev. Lett. 14, 270
(1965).
17. J. В a 11, W. F r a s e r, Phys. Rev. Lett. 7, 204 (1961).
18. R. H. Dalitz, Ann. Rev. Nucl. Sci. 13, 339; Annual Reviews. Inc. Palo
Alto, 1963.
19. S. Ma cDo well, Phys. Rev. 116,774 (1960).
Дополнительная к гл. 24
G. F. С h e w, S. С. F r a u t s с h i, Phys. Rev. 123, 1478 (1961) — полосовое при-
ближение, т. е. представление Мандельстама с двухчастичным условием
унитарности.
К. A. Ter-Martirosyan, Nucl., Phys. 25, 353 (1961)—полосовое при-
ближение.
М. С i и i, S. Fubini, Ann. Phys. 10, 352 (1960)—приближение, основанное
на вычитательных членах.
A.Martin, Nuovo Cim. 38, 1326 (1965)—свойства дисперсионных соотно-
шений для амплитуд парциальных волн.
S. W. Ma cDo w el 1, Phys. Rev. 116, 774 (1959)—области аналитичности
амплитуд парциальных волн.
R. Blankenbecler, M. L. Goldberger, S. W. MacDowell,
S. В. Freiman, Phys. Rev. 123, 692 (1961) —амплитуды парциальных волн
на втором римановом листе.
М. S u g a w а г а, А. К а п a z a w a, Phys. Rev. 126, 2251 (1962) — общее
обсуждение дисперсионных соотношений для амплитуд парциальных
волн.
R. Omnes, Nuovo Cim. 21, 524 (1961)—альтернативные методы к N/D ме-
тоду.
J. S. Ball, Phys. Rev. 137, В1573 (1965)—явная зависимость от константы
связи в N/D методе.
Н. П. Клепиков, В. В. Федоров, ЖЭТФ 16, 1076 (1963)—пороговые
сингулярности.

ЛИТЕРАТУРА
731
Е. J. Squires, Nuovo Cim. 34, 1751 (1964)—иеупругость в одиночном ка-
нале W/D-метода.
G. Auberson, G. Wanders, Phys. Rev. Lett. 15, 61 (1965) — неединствен-
ность решении уравнений W/D-метода.
B. W. Lee, К. Т. М a h a n t h a p p a, L. S. G e r s t e i п, М. L. W h i p p m а п,
Ann. Phys. 28, 466 (1964) —связь дисперсионных соотношений для ампли-
туд парциальных волн с теорией поля.
P. Beckmann, Z. Physik 179, 379 (1964)—поведение на пороге и скачок
на левом разрезе.
R. L. Warn о с k, Nuovo Cim. 32, 255 (1964) —полюсы на втором римановом
листе в многоканальной проблеме.
М. Ross, Phys. Rev. Lett. 11, 450 (1963)—резонансные полюсы в многока-
нальной проблеме.
R. J. Eden, J. R. Taylor, Phys. Rev, 133, B1575 (1964)—дисперсионные
соотношения для многоканальных амплитуд парциальных волн.
W. R. Frazer, A. W. Hendry, Phys. Rev. 134, В1307 (1964) — поведение
иа пороге в многоканальной проблеме.
К главе 25
1. G. F. С h e w, F. E. L о w, Phvs. Rev. 107, 1570 (1956).
2. В а г п е s et al., Phvs. Rev. 117, 225 (1960).
3. P. С a r r u t h e r s, Phys. Rev. 133, B497 (1964).
4. E. A b e r s, С Z e m а с h, Phys. Rev. 131, 2305 (1963).
5. G. F. С h e w, Phys. Rev. Lett. 9, 233 (1962).
6. A. D о п n а с h i e, J. H a m i 11 о n, A. T. L e a, Phys. Rev. 135, B5I5 (I964|.
7. A. D о n п а с h i e, J. H a m i 11 о п, Ann. Phys. 31, 410 (1965).
8. A. D о n n а с h i e et al., Phys. Rev. 135, B555 (1965).
9. A. W. M a r t i n, K. S. W a 1 i, Phys. Rev. 130, 2455 (1963).
10. J.J.deSwart, Rev. Mod. Phys. 35, 916 (1963).
11. P. McNamee, F. Chilton, Rev. Mod. Phvs. 36, 1005 (1964).
12. J.J.deSwart, Nuovo Cim. 31, 420 (1964).
13. R. E. Cutkosky, Ann. Phys. 23, 415 (1963).
14. A. M a r t i n, J. L. U r e t s k y, Phys. Rev. 135, B803 (1964).
15 G L. S h a w, Phys. Rev. Lett. 12, 345 (1964).
16. J. D. В j or ken, M. Nauenberg, Phys. Rev. 121, 1250 (1961).
17. G. Kail en, W. P a u 1 i, Dan. Mat.-Fys. Medd. 30, 7 (1955).
18 M A. Ruderman, S. Gasiorowicz, Nuovo Cim. 8, 861 (1958).
19. J. R. Fulco, G L. Shaw, D. Y. Wong, Phys. Rev. 137, B1242 (1965).
20. W. Rarita, J. Sch winger, Phys. Rev. 60, 61 (1941).
21. X. Ум ез а в а, Квантовая теория поля, ИЛ, 1958.
К задачам гл. 25
2. J. J. S a k u r a i, Ann. Phys. 11, 1 (1960).
Дополнительная к гл. 25
S. С. Frautschi, J. D. Walecka, Phys. Rev. 120, I486 (1960) — реляти-
вистское обобщение объяснения (3-3) -резонанса Чу — Лоу.
A. D о п п а с h i e, J. Hamilton, Ann. Phys. 31, 410 (1965) — определение
резонансов, исходя из дальнодействующих сил.
C. Lovelace, Proc. Roy. Soc. A289, 547 (1966)—обзор работ по фазовому
анализу и предсказаниям резонансов.
G. НбЫег, К. Dletz, Z. Physik 160, 453 (I960)—фазы пион-нуклопного
рассеяния на основе метода CGLN,
47*

732
ЛИТЕРАТУРА
R. L. Wartiock, G. Frye, Phys. Rev. 138. B947 (1965)—фазы /С— W-pac-
сеяния при низких энергиях.
F. Zachariasen, С. Zemach, Phys. Rev. 128, 849 (1962)—бутстрап.
Chan Hong-Mo, P. C. DeCelles, J. E. Paton, Nuovo Cim. 33, 70
(1964) —мезонный бутстрап в теории SU(3).
R. Capps, Phys. Rev. 132, 2749 (1963)—бутстрап в теории с нарушенной
SU (3) -симметрией.
R. E. Cutkosky, P. Tarjanne, Phys. Rev. 132, А354 (19631),— спонтанное
нарушение SU (3) -симметрии.
К. С. Wali, R. Warn ос k, Phys. Rev. 135, В1358 (1964) — бутстрап в тео-
рии с нарушенной SU(3)-симметрией.
R. M. Roc к mo re, Phys. Rev. 132, 878 (1963)—взаимосвязь между бутстра-
пом и другими самосогласованными приближениями.
R. F. Dash en, S. С. Frautschi, Phys. Rev. 137, B1318, B1331 (1965) —
возмущения в теории S-матрицы и динамическое октетное усиление.
R. F. Dashen, S. С. Frautschi, D. H. Sharp, Rev. Lett. Phys. 13, 777
(1964)—октетное усиление в гамильтониане слабых взаимодействий
К главе 26
1. P. S t i chel, Forschr. Phys. 13, 73 (1965).
2. S. D. Drell, M. A. Ruder man, Phys. Rev. 106, 561 (1957).
3. S. D. D r e 11, S. F u b i n i, Phys. Rev. 113, 741 (1959).
4. А. В row man, i. Pine, Proceedings of the International Conference on
Nucleon Structure at Stanford University, R. Hofstadter, L. I. Shift (ed.,),
1964.
5. С. Д. Дрелл и Ф. 3 а х а р и а с е н, Электромагнитная структура нукло-
нов, ИЛ, 1962.
6 L. I. S h i f f, T. G r i f f y, High Energy Physics, Academic Press, 1966.
7. E. B. H u gh e s et al., Phys. Rev. 139, B458 (1965).
8. J. R. Dunning, Jr., K. W. Chen et al., Phys. Rev. 141, 1286 (1966).
9. L. L. F о 1 d y, Phys. Rev. 87, 688 (1952).
10. G. E. Chew, R. К a r p 1 u s, S. Gasiorowicz, F. Zachariasen,
Phys. Rev. 110,265 (1958).
11. P. Federbush, M. L. Goldberger, S. В. Т г е i m a n, Phys. Rev. 112,
642 (1958).
12. Г. Б а р т о и, Дисперсионные методы в теории поля, Атомиздат, 1968.
13. М. Gell-Mann, F. Zachariasen, Phvs. Rev. 124, 953 (1961).
14. M. Gell-Mann, D. Sharp, W. Wagner, Phys. Rev. Lett. 8, 261
(1962).
15. D. A. G e f f e n, Phys. Rev. 128, 374 (1962).
16. R. Dashen, D. Sharp, Phys. Rev. 133, B1585 (1964).
17. S. Coleman, S. L. Glashow, Phys. Rev. Lett. 6, 1423 (1961).
18. N. Cabibbo, R. Gatto, Nuovo Cim. 21, 872 (1961).
19. M. Nauenberg, Phys. Rev. 135, В1407 (1964).
20. R. H. D a 1 i t z, F. V о rt H i p p e 1, Phys. Lett. 10, 155 (1964).
21. M. G о u г tl i n. Ph. S a 1 i n, Nuovo Cim. 27, 193 (1963).
22. D. A. Hill, K. K- Li, E. W. Jenkins, T. F. К у с i a, H. R u d e r m a n,
Phys. Rev. Lett. 15, 85 (1965).
23. A. "D. Mclnturf, С. Е. Roos, Phys. Rev. Lett. 13, 246 (1964).
24. W. R. F r a z e r, J. R. F u 1 с о, Phys. Rev 117, 1603 (1960).
25. J. S. В a 11, D. Y. W о n g, Phys. Rev. 130, 2112 (1963).
26. S. D. D r e 11, H. R. P a g e 1 s, Phys. Rev. 140, B397 (1965).
27. S. Fubini, G, Furlau, С Rossetti, Nuovo Cim. 43, 161 (1966).
К задачам гл. 26
1—4. См. ссылки [26, 27].

ЛИТЕРАТУРА
733
Дополнительная к гл. 26
R. G. Sachs, Phys. Rev. 126. 2256 (1962) —размышления о поведении форм-
факторов при высоких энергиях.
L. D и г а п d, Phys Rev. 123, 1393 (1961)—анализ электрон-дейтронного рас-
сеяния.
S. D. Drell, H. R. P a g е 1 s, Phys. Rev. 140, В397 (1965) — вычисление ано-
мальных магнитных моментов через амплитуду фоторождения.
К главе 27
1. J. D. J а с k s о п, Rev. Mod. Phys. 37, 484 (1965).
2. Ferro-Luzziet al., Nuovo Cim. 36, 1101 (1965).
3 S. B. T r e i m a n, С N. Y a n g, Phys. Rev. Lett. 8, 140 (1962}.
4. T. Ferbel et a!.. Phys. Rev. 138, B1528 (1965).
5. K. G о 11 f r i e d, J. D. J а с к s о п. Nuovo Cim. 33, 309 (1964).
6. E. F e г г a r i, F. S e 11 e r i, Suppl. Nuovo Cim. 249, 453 (1962).
7. M. Froissart, Phys. Rev. 123, 1053 (1961).
8. N. Sopkovitch, Nuovo Cim. 26, 186 (1962).
9. LDurand. Y. С h i u, Phys. Rev. Lett. 12, 399 (1964).
10. M. R о s s, G. S h a w, Phvs. Rev. Lett. 12, 627 (1964).
11. A. Dar, W. T oboe man, Phys. Rev. Lett. 12,511 (1964).
12. K. G о 11 f r i e d, J. D.Jackson, Nuovo Cim. 34, 735 (1964).
13. M. Baker, R. Blankenbecler, Phys. Rev. 128, 415 (1962).
14. J. D. Jackson, J. T. Donohue, K. Gott fired, R. Kevser,
B. E. S v e n s о n, Phys. Rev. 139, B428 (1965).
15. L. Stodolsky, J. J. Sakurai, Phys. Rev. 11,90 (1963).
16. L. Stodolsky, Phys. Rev. 134, B1099 (1964).
17. V. В a r g e r, M. E b "e 1, Phys. Rev. 138, Bl 148 (1965).
К задачам гл. 27
1. С. G о е b e 1, Proceedings of the 1961 Midwestern Conference on Theoretical
Physics.
2. K. G о 11 f г i e d, J. D. J а с к s о п, Nuovo Cim. 33, 309 (1964); 34, 735 (1964).
Дополнительная к гл. 27
L. В. Okun, I. Ya. P orne r a n ch uk, Nucl. Phys. 10, 492 (1959) — перифери-
ческие вычисления.
F. Salzman, G. S a I z m a n, Phys. Rev. 120, 599 (1960); 125, 1703 (1962)' —
обсуждение модели однопионного обмена.
L. Durand, Y. Т. Chiu, Phys. Rev. 139, B646 (1965) —теория OPE с погло-
щением.
R. Arnold, Phys Rev. 136, B1388 (1964)—представление прицельного пара-
метра для /(-матрицы.
В. Е. Svenson, Nuovo Cim. 37, 714 (1965) — вычисления матрицы плотности.
К главе 28
1. W. G а 1 b r a i t h et al., Phys. Rev. 138, B913 (1965).
2. И. Я. П о м е р а и ч у к, ЖЭТФ 499 (1958).
3 S Weinberg, Phys. Rev. 124, 2049 (1961).
4 Л. Б Окунь, И. Я. По мера н чу к, ЖЭТФ 3, 307 (1956).
5. D. A m a t i, L. L. F о 1 d у, A. S t a n g h e 11 i n i, L. V a n H о v e, Nuovo Cim.
32,685 (1964).
6 I. J F r i e d e s et al., Phys Rev. Lett. 15, 38 (1965).
7. K. J. F о 1 e у et al., S. J. L i n d e n b a u m, W. A. Love, S. О z a k i,

734
ЛИТЕРАТУРА
J. J. Russell, L. С. Yuan, Phys. Rev. Lett. 10, 376, 543 (1963); 11, 425,
503 (1963).
8. R. S e rb e r, Phys. Rev. Lett. 13, 32 (1964).
9. R. Blankenbecler, M. L. Goldberger, Plrvs. Rev. 126, 766
(1962).
10. R. Glauber, Lectures in Theoretical Physics, lnterscience Publishers,
1958.
11. S. C. Frautschi, Regge Poles and S-Matrix Theory, W. A. Benjamin,
1963.
12. R. О е h m e, Strong Interactions and High Energy Physics (Scottish Uni-
versities Summer Scholl, 1963), R. G. Moorhouse, Ed., Plenum Press, N. Y.,
1964.
13. T. Regge, Nuovo Cim. 14, 951 (1959).
14. В. де Альф ар о, Т. Редже, Потенциальное рассеяние, «Мир»,
1966.
15. W. Magnus, F. Oberhettinger, Special Functions of Mathematical
Physics, Chelsea Publishing, 1949.
16. C. Lovelace, D. Masson, CERN Proceedings, 1962.
17. G. F. Chew, S. С Frautschi, S. M a n d e 1 s t a m, Phys. Rev. 126, 1202
(1962).
18. S. C. Frautschi, M. Gel 1-Mann, F. Zach aria sen, Phys. Rev.
126,2204 (1962).
19. R. Blankenbecler, M. L. Goldberger, Phys. Rev. 126, 766
(1962).
20. В. Н. Г р и б о в, ЖЭТФ 14, 478, 1395 (Ш2).
21. Сб. «Теория сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963.
22. R. J. F i 11 i p s, W. R а г i t a, Phys. Rev, 139, В1336 (1965).
23. Е. М. Левин. Л. Л. Франкфурт, ЖЭТФ, Письма 2, 105
(1965).
24. Н. L i p k i n, F. S h e с к, Phys. Rev. Lett. 16, 71 (1966).
25. N. Cabibbo, L. Horvitz, Y. Nee man, Phys. Rev. Lett. 14, 87
(1965).
26. LVanHov e, Nuovo Cim. 28, 798 (1963).
27. L. Va n H о ve, Rev. Mod. Phys. 36, 655 (1964).
28. W. N. Cottingham, R. F. Peierls, Phys. Rev. 137, B147 (1965).
29. D. A m a t i, S. F u b i n i, A. S t a n g h e 11 i n i, Nuovo Cim. 26, 896
(1962).
30. J. Orear, Phys. Rev. Lett. 12, 112 (1964).
31. T. T. W u, С N. Y a n g, Phvs. Rev. 137, B708 (1965).
К задачам гл. 28
2. A. Rosenfeld in Proceedings of the International Conference on Nuclear
Structure, Stanford University, Press, 1963.
Дополнительная к гл. 28
D. Amati, M. С i n i, A. Stanghellini, Nuovo Cim. 30, 193 (1963)—о
мультипериферической модели; литература.
И. М. Д р е м и н, И. И. Ройзен, Р. Б. Уайт, Д. С. Ч е р н а в с к и й, ЖЭТФ
21, 633 (1965) —о мультипериферической модели.
J. D. Bjorken, Т. Т. W u, Phys. Rev. 130, 2566 (1963) —суммы графов в пре-
деле высоких энергий.
G. F. Chew, S. С. Frautschi, S. M a n d e I s t a m, Phys. Rev. 126, 1202
(1962) —гипотеза полюсов Редже в релятивистской теории.
S. С. Frautschi, M. G е 11 - М а п п, F. Zachariasen, Phys. Rev. 126,
2204 (1962) —«Реджизация» амплитуд рассеяния.

ЛИТЕРАТУРА
735
В. Н. Г р и б о в, Б. Л. И о ф ф е, И. Я. П о м е р а н ч у к, А. П. Р у д и к, ЖЭТФ
15, 984 (1962) —следствия гипотезы полюсов Редже.
R. J. N. Phillips, W. Rar it a, Phys. Rev. 139, B1336 (1965) — гипотеза по-
люсов Редже в настоящее время.
Z. Koba, Fortschr. Physik 11, 118 (1963)—обзор явлении при сверхвысоких
энергиях.
К введению части IV
1. Е. J. Konopinski, Ann. Rev. Nucl. Sci. 9 (1959).
2. G. Feinberg, L. M. Lederman, Ann. Rev. Nucl. Sci 13, (1963).
3. T. D. Lee, С S. Wu, Ann. Rev. Nucl. Sci. 15 (1965).
4. J. D. J а с k s о n, Elementary Particles Physics and Field Theory, W. A. Benja-
min, 1963.
5. The Development of Weak Interaction Theory, P. K. Kabir (Ed.), Gordon and
Breach Science Publishers, New York, 1963.
6. Г. Ч е л л е н, Физика элементарных частиц, «Наука», 1966.
7. Н. J. L i p k i n, Beta Decay for Pedestrians, North — Holland Publishing-Co.,
Amsterdam, 1962.
8. Л. Б. Окунь, Слабые взаимодействия элементарных частиц, Физматгиз,
1963.
9. Г. Б а р т о н. Дисперсионные методы в теории поля, Атомиздат, 1968.
К главе 29
1. Е. Fermi, Nuovo Cim. II, 1 (1934).
2. Е. Fermi, Z. Phys. 88, 161 (1934).
3. Сб. «Теоретическая физика XX века», ИЛ, 1963.
4. М. Е. Rose, Beta and Gamma-Ray Spectroscopy, Interscience Publ.,
1955
5. M. F i e rz, Z. Phys. 104, 553 (1937).
6. G. G a m о w, E. T e 11 e r, Phys. Rev. 49, 895 (1936).
7. J. S. A 11 e n, Rev. Mod. Phys. 31, 791 (1959).
8. E. Fermi, Elementary Particles, Yale University Press, New Haven,
1951.
9. G. P u p p i, Nuovo Cim. 5, 587 (1948).
10. О. К 1 e i n, Nature 161, 897 (1948).
11. J. Tiomno, J. A. Wheeler, Rev. Mod. Phys. 21, 144 (1949).
12. T. D. Lee, M. Rosenbluth, С N. Yang, Phys. Rev. 75, 905 (1949).
13. R. H. Good, Rev. Mod. Phys. 27, 187 (1955).
14. M. A. Ruderman, R. F i n k e 1 s t e i n, Phys. Rev. 76, 1458 (1949).
15. E. d i Capua, R. Garland, L. Pondrom, A. S t r e 1 z о f f, Phys. Rev.
133B, 1333 (1964).
16. К j w a t a, S. О g a w a, H. О k о n i, B. S a k i t a, S. О n e d a, Progr. Theo-
ret. Phvs. 13, 19 (1955).
17. J. M. tassels, M. R i g b v, A. M. W e t h e r e 11, J. R. W a r m w a 1 d,
Proc. Phvs. Soc. A (London) 70, 729 (1957).
К главе 30
1. Т. D. L e e, С. N. Y a n g, Phys. Rev. 104, 254 (1956).
2. Сб. «Новые свойства симметрии элементарных частиц», ИЛ, 1958.
3. Е. P. W i g п е г, Group Theory and its Applications to the Quantum Mecha-
nics of Atomic Spectra, Academic Press (1959).
4. N. T a n n e r, Phys. Rev. 107, 1203 (1957),

736
ЛИ1ЕРАТУРА
5. F. Bochm, E. Kankeleit, Phvs. Rev. Lett. 14, 312 (1965).
6. CLuders, Ann. Phys. (N. Y.) 2, 1 (1957).
7. В. Паули, в книге «Нильс Бор и развитие физики», ИЛ, 1958.
8. Р. С т р и т е р, А. В а й т м а н, РСТ, спин и статистика и все такое, «На-
ука», 1966.
9. R. Y о s t, Helv. Phys. Acta 30, 409 (1957).
10. Т. D. Lee, R. Oehme, С N. Yang, Phys. Rev. 106, 340 (1957).
11. CLuders, B. Zumino, Phys. Rev. 106, 345 (1957).
12. L. R о s e n, J. E. В г о 11 e v, Phvs. Rev. Lett. 2, 98 (1959).
13. D. Bodansky, S. F. E с с 1 e s, G. W. Farwell, M. E. Rickey,
P. С R о b i n s о n, Phvs. Rev. Lett. 2, 101 (1959).
14. A. Abashian, E. M. Haf f er, Phys. Rev. Left. 1,255 (1958).
15. P. Hillman, A. Johansson. G. Tibell, Phys. Rev. 110, 1218 (1958).
Дополнительная к гл. 30
P. Маршак, Е. С у д е р ш а н. Введение в физику элементарных частиц. ИЛ,
1963 — обсуждение симметрии.
G. Grawert, G. Luders, H. Rollnik, Fortschr. Physik. 7, 291 (1959) —
о теореме РСТ.
J. Bernstein, G. Fein berg, T. D. Lee, Phys. Rev. 139, B1650 (1965) —
вопрос о сохранении С в электромагнитных взаимодействиях адронов.
К главе 31
1. С. S. W u, E. Ambler, R. Havwar'd, D. Н о р р е s, R. Hudson, Phys.
Rev. 105, 1413 (1957).
2. С. S. W u, E. Ambler, R. H a v w a r d, D. H о р р е s, R. Hudson, Phys.
Rev. 106, 1361 (1957).
3. Г. Чел лен, Физика элементарных частиц, «Наука», 1966, гл. 13.
4. Н. Frauenfelder, R. Bobone, E. Von G о е 1 г, N. L e v i п е,
Н. R. Т о w i s, R. Р е а с о с k, A. Rossi and G. De P a s q u a 1 i, Phys. Rev.
106, 386 (1957).
5. P. E. С a v a n a g h, J. Turner, C. Coleman, G. G a r d, B. R i d 1 e v,
Phil. Mag. 21, 1105 (1957).
6. L. A. P a g e, M. H e i n b e r g, Phys. Rev. 106, 394 (1957).
7. J. D. Jackson, S. Treiman, H. W у 1 d, Phys. Rev. 106, 517 (1957).
8. K. Alder, B. Stech, A. W i n t h e r, Phys. Rev. 107, 728 (1957).
9. F. Boehm, A. Wapsta, Phys. Rev. 107, 1202 (1957).
10. M. Goldhaber, L. G rod z ins, A. S u n у a r, Phys. Rev. 109. 1015
(1958).
11. A. S a I a m, Nuovo Cim. 5, 299 (1957).
12. Л. Д. Ландау, Nucl. Phys. 3, 127 (1957).
13. T. D. Lee, С N. Yang, Phys. Rev. 105, 1671 (1957).
14. А. Т. Алиханов, Т. В. Галактионов, Ю. В. Городков
Г. П. Елисеев, В. А. Любимов, ЖЭТФ 11, 1380 (1960).
15. G. Backenstoss, В. Hvams, G. К nop, P. Marin, U. Stierlin,
Phys. Rev. Lett. 6, 415 (1961)".
16. J. I. Friedman. V. L. Tel egdi, Phys. Rev. 105, 1681 (1957).
17. R. L. G a r w i n, L. M. L e d e r m a n, M. W e i n r i с h, Phys. Rev '05,
1415 (1957).
18. M. В a r d о n et al., Phys. Rev. Lett. 14, 449 (1965).
19. S. M. В e r m a n, Phys Rev. 112, 267 (1958).
20. A. H. С о с н о в с к и й, П. Е. С п и в а к, Ю. А. П р о к о ф ь с в. 11. Е. К у г и-
ков, Ю. П. Д у б 11 и и н, Nucl. Phys. 10, 395 (1959).
21 М. Т. Bugry, V. Е. Krohn, Т. В. N о v с у, G. R. R i и g о, V. L. Тс
legdi, Phys. Rev'. 110, 1214 (1958).

ЛИТЕРАТУРА
737
22. М. Г. Burg у, V. Е. К г о h n, Г. В. N о v е у, G. R. R i n g о, V. L. Т е 1 е g-
d i, Phys. Rev. Lett. 1, 324 (1958).
23. li. С G. Sudarshan, R. E. Marshall, Phys. Rev. 109, 1860 (1958).
24. R. P. Feinman, M. G e 11 - M a n n, Phys. Rev. 109, 193 (1958).
25. J. J. S а к u r a i, Nuovo Cim. 7, 649 (1958).
26. W. R. T h e i s, Z. Phys. 150, 590 (1958).
27. W. R. T h e i s, Fortschr. Phys. 7, 559 (1959).
28. G. Feinberg, L. Lederman, Ann. Rev. Nucl. Sci. 13 (1963У.
29. R Burns et al., Phys. Rev. Lett. 15, 42 (1965).
30. G. Da tiby et al., Phys. Rev. Lett. 9, 36 (1962).
Дополнительная к гл. 31
S. M. Bcrman, A. S i r 1 i n, Ann. Phys. 20, 20 (1962)—радиационные по-
правки к распадам мюона и нейтрона; литература.
Т. D. Lee, С. N. Yang, Phys. Rev. 126, 2239 (1962)—о реакциях с нейтрино.
Б. Понтекорво, УФН 6, 1 (1963)—астрофизика и нейтрино.
J.Bernstein, M. R u d e r m a n, G. Feinberg, Phys. Rev. 132, 1227
(1963) —электромагнитные свойства нейтрино.
G. R. Henry, E. Veltman, Nuovo Cim. 37, 500 (1965) —рождение мезонов
с помощью нейтрино.
К главе 32
1. R. P. Feynman, M. G е 11 - М a n n, Phys. Rev. 109, 193 (1958).
2. U. N a u e n b e r g et al., Phys. Rev. Lett. 12, 679 (1964).
3. R. W. В i r ge et al., Phys. Rev. 139, B1600 (1965).
4. M. G e 11 - M a n n, A. Pais, Proceedings of the Glashow Conference, Per-
gamon Press, London, 1954.
5. R. H. Dalitz, Conference on Fundamental Aspects of Weak Interactions,
Brookhaven National Laboratory, 1963; BNL 837 (C—39).
6. N. P. S a m i о s, Proc. of the Int. Conf. on Weak Interactions, Argonne Na-
tional Laboratory, 1965; ANL-7130.
7. M. G e 11 - M a n n, A. P a i s, Phvs. Rev. 97, 1387 (1955).
8. A. P a i s, О. Р i с с i о n i, Phys. Rev. 100, 1487 (1955).
9. R. G. S а с h s, Ann. Phys. 22, 239 (1963).
10. J. A. A n d e r s о n et al., Phys. Rev. Lett. 14, 475 (1965).
11. S. L. Glashow, S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 14, 835 (1965).
12. K. Lande et al., Phys. Rev. 103, 1901 (1956).
13. Delvin etal., Phys. Rev. Lett. 18,48 (1963).
14. Кронин, Гайярде, Доклад на Аргоннской конференции, 1965.
15. М. Г о л ь д б е р г е р, К. В а т с о н, Теория столкновений, «Мир», 1967.
16. W. F. Frv, R. G. Sachs, Phys. Rev. 109,2212 (1958).
17. U. С a m e" r i n i et al., Phys. Rev. 128, 362 (1962).
18. V. L. Fitch, P. A. Pi roue, R. Perkins, Nuovo Cim. 22, 1160 (1961).
19. G. W. M e i s n e r et al., Phys. Rev. Lett. 16, 278 (1965).
20. M. L. Good, Phys. Rev. 106, 591 (1957).
21. R. H. G о о d et al., Phvs. Rev. Lett. 124, 1223 (1962).
22. V. L. F i t ch et al., Phys. Rev. Lett. 15, 73 (1965).
23. U. С a m e г i n i et al., Nuovo Cim. 28, 1096 (1963).
24. Л. Б. Окунь, Б. М. Понтекорво, ЖЭТФ 32, 1587 (1957J.
25. S. G 1 a s h о w, Phys. Rev. Lett. 6, 196 (1962).
26. J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. L. Fitch, R. T u r 1 a y, Phys.
Rev. Lett. 15, 138 (1964).
27. T. T. W u, С N. Y a n g, Phys. Rev. Lett. 13, 380 (1964).
28. T. D. Lee, R. Oehme, С N. Yang, Phvs. Rev. 106, 340 (1957);.
29. V. L. F i t с h et al., Phys. Rev. Lett. 15, 73 (1965).

738
ЛИТЕРАТУРА
К главе 33
1. J. W. Cronin, О. F. Over set h, Phys. Rev. 129, 1795 (1963).
2. О. E. Overseth, R. F. Roth, Phys. Rev. Lett. 19, 391 (1967).
3. B. Cork et al., Phys. Rev. 100, 1000 (1960).
4. E. F. В e a 11 et al, Phvs. Rev. Lett. 8, 75 (1962).
5. E. D. T r i p p et al., Phys. Rev. Lett. 9, 66 (1962).
6. G. Altarelli, F. Bucella, R. Gat to, Phys. Lett. 14, 70 (1965)\
7. D. W. M e r i I et al., Phys. Rev. 13, 439 (1964).
8. B. Lee, Phys. Rev. Lett. 18, 83 (1964).
9. M. G e 11 - M a n n, Phys. Lett. 8, 214 (1964).
10. H. S u g a w a r a, Progr. Theor. Phys. 31, 213 (1964).
11. S. P. R о s e n. Phys. Rev. 140, B326 (1965).
12. M. L. S t e v e n s о п et al., Phys. Lett. 9, 349 (1964).
13. N. С a b i b b o, Phys. Rev. Lett. 12, 155 (1964).
14. M. G e 11 - M a n n, Phys. Lett. 8, 214 (1964).
15. H. H. В i n g h a m, Proc. Roy. Soc. A285, 202 (1965).
16. R. H. D a 1 i t z, Varenna Summer School Lectures, 1964.
17. В. П. Белов, Б. С. Мянгалев, В. М Шехте р, ЖЭТФ 38, 541 (1960).
18. С. Н. А 1 b r i g h t, Phys. Rev. 115, 750 (1959).
19 D. R. H a r r i n g t о n, Phys. Rev. 120, 1482 (I960).
20. J. L. В г о w n et al., Phys. Rev. Lett. 8, 450 (1962).
21. U. С a m e r i n i et al., Phys. Rev. Lett. 14, 989 (1965)\
22. Young et al., Phys. Rev. Lett. 18, 806 (1967).
23. J. D. J а с к s о n, Weak Interactions, Lectures in Theoretical Physics, Bran-
deis Summer Institute, N. Y., 1963.
24. D. L u e r s et al., Phys. Rev. Lett. 133, B1276 (1964).
25. B. P. R о e et al., Phys. Rev. Lett. 7, 346 (4961).
26. В i s i et al., Phys. Rev. Lett. 12, 490 (Ш64).
27. G. Trilling, Proc. of the Int. Conf. on Weak Interactions, Argonne Na-
tional Laboratory, 1965, ANL-7130.
Дополнительная к гл. 32, 33
G. Feldman, P. T. Matthews, A. S a 1 a m, Phys. Rev. 121, 302 (1961) —
полюсная модель для распада гиперонов.
L. Wolf ens tein, Phys. Rev. 121, 1245 (1961)—полюсная модель для рас-
пада странных чисел.
Н. Sugawara, Phys. Rev. 135, В252 (1964)—применение модели Фельд-
мана — Мэтыоза — Салама.
N. Gabibbo, A. Maksymowicz, Phys. Rev. 137, В438 (1965)—распа-
ды Ки-
L. М. В г о w п, Н. F a i e r, Phys. Rev. Lett. 12, 514 (1964) — распад Кц и пион-
пионный резонанс в 5-состоянии.
В. Barrett, Т. N. Truong, Phys. Rev. Lett. 13, 734 (1964)—доминирую-
щая роль векторных мезонов в лептонных распадах.
S. L. Glashow, R. H. So со low, Phys. Rev. Lett. 10, 143 (1965)—распады
fi-гиперона.
К главе 34
1. R. P. Fevnman, M. G е 11 - М a n n, Phvs. Rev. 109, 193 (1958).
2. М. G е 11 - М a n n, Phys. Rev. 11, 162 (1958).
3. F. На vw a r d, E.G. Fuller, Phvs. Rev. 106,991 (1957).
4. С S. \V u, Rev. Mod. Phvs. 36, 618 (1964).
5. Y. K. Lee, L. W. Mo, C. S. W u, Phys. Rev. Lett. 10, 253 (1963).
6. T. Mayer-Kuckuck, F. С Michel, Phys. Rev. 127, 545 (1962).
7. N. W. Glass, R. W. Peterson, Phys. Rev. 130, 299 (1963).
8. S, W e i n b e г g, Phys. Rev, 112, 1375 (1958).

ЛИТЕРАТУРА
739
9. Т. D. L е е, С. N. Y a n g, Phys. Rev. Lett. 4, 307 (I960).
10. Б. Понтекорво, ЖЭТФ 37, 1751 (1959).
11. М. S с h w a r t z. Phys. Rev. Lett. 4, 306 (1960).
12. С L. Cowan, F. R e i n e s, F. В. Н а г г i s о п, Н. W. К г u s e,
A. D. M с G u i r e, Nature 178, 446 (1956).
13. Y.Nambu, Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960).
14. ЧжоуГуан-чжао, ЖЭТФ 39, 703 (1960).
15. M. Gell-M ami, M. Levy, Nuovo Cim. 16, 705 (1960).
16. M. Goldberger, S. B. Treiman, Phys. Rev. 110, 1178 (1958).
17. J. Bernstein, S. Fubini, M. Gell-Mann, W. Thirring, Nuovo
Cim. 17, 757 (1960).
18. M. L. Goldberger, S. B. Treiman, Phys. Rev. Ill, 354 (1958).
19. L. W о 1F e n s t e i n, Nuovo Cim. 8, 882 (1958).
20. S A d 1 e r, Phvs. Rev. 135, B963 (1964).
21. S Oku bo, Nuovo Cim. 13, 292 (1959).
22. N. С a b i b b o, Phys. Rev. Lett. 10, 531 (1963).
23. N. Brene, B. Hellesen, M. R о о s, Phys. Lett. 11, 344 (1964).
24. M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125, 1067 (1962); Phvsics I, 63 (1964).
25. W. I. W e i s b e г g e r, Phys. Rev. Lett. 14, 1047 (1965).
26. S. L. A d 1 e r, Phys. Rev. Lett. 14, 1051 (1965).
27. S. Fubini, G. F u r 1 a n, С R о s s e 11 i, Nuovo Cim. 40, 1171 (1965).
28. D. Amati, С. В о u с h i a t, J. Nayts, Phys. Lett. 19, 59 (1965).
Дополнительная к гл. 34
S. Fubini, G. Furl an, Physics 1, 229 (1965)—перестановочные соотноше-
ния для токов и нарушение симметрии.
М. A demo II о, R. Gatto, Phys. Rev. Lett. 13, 264 (1964) — непереномируе-
мость векторного тока, изменяющего странность, в первом порядке теории
возмущений.
S. Fubini, G. F u г 1 а п, С. R о s s e 11 i, Nuovo Cim. 40, 1171 (1965) — приме-
нения перестановочных соотношении для токов.
К дополнению 1
1. D. E. D о г f a n et al., Phys. Rev. Lett. 14, 995 (1965).
2. M. J а с о b, G. С. W i с k, Ann. Phvs. 7, 404 (1959).
3. A. N. D i d d e n s et af., Phys. Rev." Lett. 9, 108, 111 (1962).
4. K. J. Foley et al., Phys. Rev. Lett. 10, 376, 543 (1963); II, 425, 503 (19G3).
5. D. Harting et al., Phys. Lett. 8, 288 (1964); Nuovo Cim 38, 60 (1965).
6. K. J. F о 1 e у et al., Phys. Rev. Lett. 15, 45 (1965).
7. A. E. T а у 1 о r et al., Phys. Lett. 14, 54 (1965)
8. K. J. F о 1 e у et al., Phvs. Rev. Lett. 14, 74 (1965).
9. Л. Кирилови др., ЯФ 1, 379 (1965).
10. G. В е 11 e 11 i n i et al., Phvs. Lett. 14, 164 (1965).
11. G. В e 11 e 11 i n i et al., Phvs. Lett. 19, 341, 705 (1965).
12. K. J. Fо 1 e v et al., Phys. Rev. Lett. 14, 862 (1965).
13. G. Cocconietal., Phys. Rev. 138, В165, (1965).
14. J. О r e a r et al., Phys. Rev. Lett. 15, 309 (1965).
15. W. R. F г i s k e n et af., Phvs. Rev. Lett. 15, 313 (1965).
16. S. W. Kormanvos, A. D. Krisch, J. R. O'F a 11 о n, K. Ruddick,
L. G. R a t h e r, Phys. Rev. Lett. 16, 709 (1966).
17. H. В г о d у et al., Phys. Rev. Lett. 16, 828, 968 (1966).
18. J. L. Friedes, H. Palevsky, R. L. Stearns, R. J. Sutter Phys
Rev. Lett. 15, 38 (1965).
19. G. M a n n i n g et al., Nuovo Cim. 41, 167 (1966).
20. I. Ma пне Hi, A. Bigi, R. Carrara, M. W a h 1 i g, L. Sodickson,
Phys. Rev. Lett. 14, 408 (1965).

740
ЛИТЕРАТУРА
21. А. V. Stirling et al., Phys. Rev. Lett. 14. 763 (1965); Phys. Lett. 20, 75
(1966).
22. O. G u i s a n et al., Phys. Lett. 18, 200 (1965).
23. P. A s t b u г у et al., Phys. Lett 16, 328 (1965).
24. G. Finochiaro et al. — доклад, представленный на конференцию по
двухчастичным реакциям при высоких энергиях в Стони Брук, апрель
1966.
25 D. R. О. Morrison — доклад, представленный на вышеназванную кон-
ференцию.
26. М. В о г g h i n e et al., Phys. Lett. 21, 114 (1966)'.
27. P. Sonderegger — доклад на конференции в Стони Брук.
28. L. Н о 11 о w а у — доклад на конференции в Стони Брук.
29. И. Я. П о м е р а н ч у к, ЖЭТФ 34, 725 (1958).
30. J. L. T r u e m а п, С С. W i с k. Ann. Phys. 26. 322 (1964).
31. В. Е. Y. Svensson, University of Lund preprint, March 1966; Arkiv for
Fysik.
32. А К о t a n s к i, Ягеллонский университет, Краков, препринты TP.IU—21/65
(1965). опубликовано в Acta. Physica Polonica. май 1966, и TPJU—4/66
(1966).
33. М. J а с о b, G. С. W i с k, Ann. Phys. 7, 404 (1959).
34. A. Bialas, B. E. Y Svensson, Nuovo Cim 42A, 672 (1966).
35. L. V a n H о v e, Phys Lett. 5, 252 (1963).
36. А. А. Логунов. H r v e н В а н X ь е у, И Т Тодоров.О. А. Хруста-
лев, Phys. Lett. 7,69 (1963).
37. А. В i a 1 я s. E. В i a 1 я s. Nuovo Cim. 37. 1686 ПВД5)
38. L. Van Hove, High-Energy Physics and Flementary Particles, Internatio-
nal Atomic Energy Agency, Vienna. 1965, p 179.
39. L. Van Hove, 1965 Tokyo Summer Lectures in Theoretical Physics, Syo-
kabo Tokvo and Benjarrrn. New York. 196в Part 11- о 17.
40. M. L. Goldberger, С. Е. Jones, Princeton Univ. preprint. (1966)
Phys. Rev. Lett. 17, 105 (1966).
41. T. R e g g e, Nuovo Cim 14, 951 (1959): 18. 947 (19ЗД
42. A. Bottino, A M. Longoni, T. Regge, Nuovo Cim. 23, 954 (1962).
43. E. S. Squires, Complex angular momenta and particle physics. W. A. Be-
njamin. New York and Amsterdam, 1963.
44. S. C. F r a u t s с h i, Regge poles and S-matrix theory, W. A. Benjamin,
New York and Amsterdam, 1963.
45. R. Omnes, M. F г о i s s a r t, Mandelstam theory and Regge poles,
W A. Benjamin, New York and Amsterdam, 1963
46. D A m a t i, S. F u b i n i, A. S t a n g h e 11 i n i, Phvs. Lett. 1, 29 (1962).
47. S. Mandelstam, Nuovo Cim. 30, 1127, 1148 (1963).
48. G. F. Chew, S. C. Frautschi, Phys. Rev. Lett. 8, 41 (1962).
49. S. С Frautschi, M. G e 11 - M a n n, F. Zachariasen, Phys. Rev. 12fi,
2204 (1962).
Б0. В. Н. Г р и б о в, И. Я П о м е р а н ч v к, Phvs. Rev. Lett. 8, 343, 412 (1962).
51. М. G e 11 - М a n n, Phys. Rev. Lett. 8, 263 (1962).
52. R. Blankenbecler, M. L. Goldberger, Phys. Rev. 126, 766 (1962).
53. Т. К i n о s h i t a, CERN Report 62—63 (1962).
54. V. N. Gribov, Proceedings of the 1962 International Conference on High-
Energy Phvsics at CERN, Ed. by Prentki (CERN, Geneva, 1962), p. 547.
55. R. J. N. Phillips, W. Rarita, Phys. Rev. 139, B1336 (1965).
56. G. H 6 h 1 e r, J. В а а с k e, H. S с h 1 a i 1 e, P. Sonderegger, Phys. Lett
20,79 (1965).
57. F. A rb ab, С. В. Ch i u, LRL preprint, Berkely (1966).
58. L. L. W a n g, Phys. Rev. Lett. 16, 756 (1966)\
59. G. F. С h e w, Доклад на конференции в Стони Брук.
60. А. О. Barut. D. E. Zwanziger, Phys. Rev. 127, 974 (1962).

ЛЛТРРЛТУРА
741
61. V. Barger, M. Olsson. Phys. Rev. Lett. 16, 545. 052 (1966); Phys. Rev.
(в печати).
62. R. J. N. Phillips, W. Rarita, Phys. Rev. 140, B200 (1965) и исправ-
ления к этой статье (в печати)
63. P. A s t b u r у et al., Phys. Rev (в печати).
64. H. H б g a a s о n, W Fischer. CERN preprint TH, 672, June 1966.
65 J. L. F r i e d e s. частное сообщение.
66. N. В у е г s, UCLA preprint. June 1966.
67. N. В у e rs, С N. Y a n g, Phvs. Rev. 142, B976 (1966).
68. L. Van Hove, Physikertagung Stuttgart (1962), (Mosbach — Baden Phv-
sik —Verlag (1963), 84; Nuovo Cim. 28. 798 (1963); Rev. Mod. Phys. 36, 655
(1964); Strong, electromagnetic and weak interaction, Ed. by A. Zichichi
(W. A. Benjamin, New York and Amsterdam, 1964, p. 84).
69. А В i a 1 a s, Nuovo Cim 33, 972 (1964).
70. W N. Cottingham, R. F. Peierls, Phys. Rev. 137, B147, (1965).
71. L Van Hove, Rev. Mod. Phvs. 36, 655 (1964).
72. J.J.J. К ok ke dee, Nuovo Cim. 43A, 919 (1966).
73. K. Johnson, S. B. Treiman, Phys. Rev. Lett. 14, 189 (1965).
74. H. H a r a r i, H. J. L i p k i n, Phvs. Rev. Lett. 13, 208 (1964).
75. M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125, 1067 (1962); Physics 1, 63 (1964).
76. M. G e 11 - M a n n, Phys Lett 8, 214 (19641.
77 G. Zweig, CERN preprints TH. 401 a TH 402 (1964).
78. S. L. Adler, Phys Rev Lett. 14, 1051 (1965); Phvs. Rev. 140, B736 (1965).
79 W T Weisbererr Phvs Rev Lett 14, 1047 (1465).
80. W. E. Thirring, Phys. Lett. 16, 335 (1965): Acta Phvs. Austr. Suppl. II,
205 (1966) and Suppl 111.
81. G. Вес с hi, G. M о r p u r g o, Phys. Lett. 17, 352 (1965); Phys. Rev. 140,
B687 (1965).
82. P. G O. Freund, Phys. Rev. Lett. 15, 929 (1965); Nuovo Cim. 43A, 1171
(1966)
83. N. С a b i b b o, L. H о r w i t z, Y. N e e m a n, CERN preprint TH. 680 (1966)
84. N. С a b i b b o, L. H о r w i t z, J. J. К о k k e d e e, Y, N e e m a n, CERN
preprint TH. 685 (1965).
85. E. M. Левин, Л. Л. Франкфурт. ЖЭТФ, Письма в редакцию 2, 105
(1965)
86 Н J. L i p k i n, F. S с h e с к, Phys. Rev. Lett. 16, 71 (1966).
87 J. J. J. Kokkedee, L. Van Hove, Nuovo Cim. 42, 711 (19661
88 .1 J. .1 Kokkedee, Phys. Lett. 22, 88 (1966).
89 L. V a n H о v e. Доклад на конференции в Стони Брук.
90 Н Н Б о г о л ю б о в и др. Препринт D — 1968, Дубна (1965).
91 С. 11 г у k s о п, М Л а с о b, Saclay preprint, July 1966.
92 L. V а п Н о v e, Phys. Lett. 5, 262 (1963).
К дополнению II
1 Proceedings of the International Conference on Weak Interactions, 1965,
Arcjonne Report 7130
2 .1 Peoples, Report 147, Columbia University.
3. R. D E h r 1 i с h et al.. Phys. Rev. I ett 16, 540 (1966).
4. T. Kinoshita, A S i r 1 i n, Phvs Rev 113,1652(1959).
5. S. В e r m a n, A. S i r 1 i n, Ann. Phys. 20, 20 (1962).
6. F. J. Farley et al, Proceedings of the International Conference on High
Energv Phvsics, 1962. Geneva, ~>. 415
7. С. S. Wu, Rev. Mod Phys. 36, 618 (1964).
8. N Cabibbo, Phvs Rev. Lett. 10,531 (1963).
9. R. В irge et al., Phvs Rev. 139, B1600 (1965).
10. W. Willis et al., Phys. Rev. Lett 13, 201 (1964).
11. L. F e 1 d m а п, Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.

742
ЛИТЕРАТУРА
12. Y. Clio et al., Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
13. В. А и Ь е г t et al., Phys. Rev. Lett 17, 59 (1965).
14. M. В a 1 d а С е о 1 i n et al., Nuovo Cim. 38, 684 (1965).
15. P. Frauzini et al., Phys. Rev. 140, B127 (1965).
16. P. Paul et al., Доклад на конференции, см сноску на стр. 693.
17. Р. В о с к, Н. S с h о р р е г, Phys. Lett. 16, 284 (1965).
18. Люб а шов и др., ЖЭТФ, Письма в редакцию 3, 76, 268 (1966).
19. К. Abrahams et al., Proceedings of the International Conference on the
Study of Nuclear Structure with Neutrons, 1965, Antwerp, p. 42.
20. R. О. В a n g e r t e r et al., Preprint UCRL-16939.
21. D. В a ley et al., Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
22. В е h r et al., Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
23. G. К а 11 е п, Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
24. J. M. F r e e m a n et al., Phys. Rev. Lett. 16, 959 (1966).
25. S. О n e d a, J. S u % h e r, Phys. Rev. Lett. 15, 927 (1965).
26. N. Gabibbo, A. Maksymovicz, Phys. Lett. 9, 352; 11, 213 (1964),
14, 72 (1965).
27. N. Breneet al., Phys. Lett. 11,344 (1964).
28. M. I. B a g g e 11 et al., Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
29. S. L. A d 1 е г, Phys. Rev. 143, 1144 (1966).
30. W. I. W e i s b e r g e r, Phys. Rev. 143, 1302 (1966).
31. D. A m a t i et al., Phys. Lett. 19, 59 (1965).
32. L. K. P a n d i t, J. S с h e с h t e r, Phys. Lett. 19, 56 (1965).
33. С A. Levinson, I. J. Muzinich, Phys. Rev. Lett. 15, 715, 842 (19651-
34. Y. N a m b u, D. L u r i e, Phys. Rev. 125, 1429 (1962).
35. Y. Nambu, E. Shrauner, Phys. ReV. 128, 862 (1962).
36. H. S a g a w a r a, Phys. Rev. Lett. 15, 870 (1965).
37. M. S u z u k i, Phys. Rev. Lett. 15, 980 (1965).
38. С G. Callan, S. B. Treiman, Phys. Rev. Lett. 16, 153 (1966).
39. V. S. M a t h u r et al., Phys. Rev. Lett. 16, 371 (1966).
40. S. W e i n b e r g, Phys. Rev. Lett. 17, 336 (1966).
41. С. В о и с h i a t, Ph. Meyer, Orsay, preprint.
42. R. W. В i r ge et al., Phys. Rev. 139, B1600 (1965).
43. N. Cabibbo, A. Maksymowicz, Phys. Rev. 137, B348 (1965)
44. M. S u z u k i, Phys. Rev. 144, 1154 (1966).
45. Y. H a r a, Y. N a m b u, Phys. Rev. Lett. 16, 875 (1965)\
46. D. К. Е 1 i a s, J. С. Т а у 1 о r, Nuovo Cim. 44, 518 (1966).
47. S. К. В о s e, S. N. В i s w a s, Phys. Rev. Lett. 16, 340 (1966).
48. B. M. K. N e f k e n s, Phys. Lett. 22, 94 (1966).
49. H. D. I. A b a r b a n e 1, Princeton University preprint.
50. S. W e i n b e r g, Phys. Rev. Lett. 4, 87, 585 (1960).
51. S. Y. Fung et al., Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
52. J. S. Bell, Weak Interactions and Current Algebras, Lecture Notes, Noord-
wick, 1966.
53. H. S u g a w a r a, Progr. Theor. Phys. 31, 213 (1964).
54. B. W.Lee, Phys Rev. Lett. 12, 83 (1964).
55. W. V e r n о n et al., Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
56. М. Bott-Bodenhausen et al., Доклад на конференции, см. сноску иа
стр. 693.
57. A. A b a s h i a n et al.. Доклад на конференции, см. сноску на стр. 693.
58. D. W. Carpenter et al., Phys. Rev. 142, 871 (1966).
59. V. Camerini et al., Phys. Rev. Lett. 13, 318 (1964),
60. V. С a m e r i n i et al., Nuovo Cim. 37, 1795 (1965).

Стефен Газиорович
ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
М., 1969 г., 744 стр. с илл.
Редакторы И. Г. Вирко, Д. А. Миртова
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры С. Н. Емельянова, Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 24/11 1969 г. Подписано к пе-
чати 13/ΧΙ 1969 г. Бумага бОХЭО'/.е· Физ. печ.
л. 46,5. Условн. печ. л. 46,5. Уч.-нзд. л. 45,39.
Тираж 8800 экз. Цена книги 3 р. 47 к
Заказ № 223.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва. В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ
А л и х а н о в А. П., Слабые взаимодействия. Новейшие исследова-
ния p-paспада, Фпзматгпз, 1960, 144 стр., 37 коп.
А х м а т о в А. С, Молекулярная физика граничного трения, Физмат-
гиз, 1963, 472 стр., 2 р. 17 к.
Весе К. Ф-, Радиоактивные стандартные препараты, перев. с нем.,
Физматгиз, 1958, 244 стр., 85 коп.
Г у р е в и ч И. И., Тарасов Л. В., Физика нейтронов низких энер-
гий, «Наука», 1965, 608 стр., 1 р. 99 к.
Д о б р е ц о в Л. Н., Атомная физика, Физматгиз, 1960, 348 стр.,
76 коп.
Друкарев Г. Ф., Теория столкновений электронов с атомами, Физ-
матгиз, 1963, 220 стр . 73 коп.
X а л п e p н И., Деление ядер, перев. с англ., Физматгиз, 1962, 156 стр.,
40 коп.
Ш п о л ь с к и й Э. В., Очерки истории развития советской физики
1917—1967, «Наука», 1969, 144 стр., 30 коп.
Перечисленную литературу можно приобрести в магазинах книго-
торга. При отсутствии данных книг на месте заказы можно направлять
по адресу: Москва, К-50, ул. Медведева, I, магазин № 8 Москниги, отдел
«Книга — почтой».