И. И. Пахомов
А. Б. Цибуля

И. И. Пахомов
А. Б. Цибуля
РАСЧЕТ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ЛАЗЕРНЫХ
ПРИБОРОВ
МОСКВА „РАДИО И СВЯЗЬ»
1986
Scan: AAW;
DjVu: Dmitry7

ББК 32.86
П21
УДК 621.3.038.8:535.317.2
Пахомов И. И., Цибуля А. Б.
П21 Расчет оптических систем лазерных приборов. — М.:
Радио и связь, 1986. — 152 с: ил.
Приводится габаритный и аберрационный расчет оптических систем
оптико-электронных лазерных приборов. Излагаются вопросы расчета
параметров лазерного излучения, формируемого оптическими резонаторами.
Рассматриваются методы вычислительной геометрической оптики применительно к
габаритному и аберрационному расчетам оптических систем лазерных
приборов с учетом специфики лазерного излучения.
Для инженерно-технических работников.
„2403000000-217 ББК 32.86
П 41-86
046(01)-86
Рецензенты: доктора техн. наук М. М. Русинов и Ю. Г. Якушечков
Редакция литературы по конструированию
и технологии производства радиоэлектронной аппаратуры
Производственное издание
ИВАН ИВАНОВИЧ ПАХОМОВ
АНДРЕЙ БОРИСОВИЧ ЦИБУЛЯ
РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЛАЗЕРНЫХ ПРИБОРОВ
Заведующий редакцией П. И. Никонов
Редактор Н. В. Ефимова
Художественный редактор Н. С. Ш е и н
Обложка художника В. Н. Забайрова
Технический редактор И. Л. Т к а ч е н к о
Корректор Т. В. Дземидович
ИБ № 681
Сдано в набор 28.05.85 Подписано в печать 26.09.85
Т-15294 Формат 60x90/i6 Бумага кн.-журн. № 2 Гарнитура литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 9,5 Усл. кр.-отт. 9,75 Уч.-изд. л. 10,21 Тираж 7000 экз. Изд. № 20446
Зак. № 60 Цена 50 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Московская типография № 5 В ГО «Союзучетиздат»
J01000 Москва, ул. Кирова, д. 40
® Издательство «Радио и связь», 1986

ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие лазерной техники привело к созданию приборов
нового класса — оптико-электронных лазерных приборов, что
поставило оптиков-конструкторов перед необходимостью расчета
оптических систем, трансформирующих лазерное излучение. Из-за
специфических особенностей лазерного излучения законы его
распространения и взаимодействия с оптическими средами и
деталями отличаются от законов, справедливых для обычного
электромагнитного излучения. Эффективность же практического
применения лазеров во многом зависит от того, насколько правильно
учтены свойства лазеров, как источников излучения, при расчете
оптических систем.
Основы расчета оптических систем сложились более века
тому назад, при этом система понятий и математический аппарат,
используемый при расчетах, базировался в основном на
прикладной геометрической оптике.
Законы формирования лазерных пучков были впервые
описаны на языке волновой оптики, где понятия и математический
аппарат, как и полученные результаты, не соответствуют
традиционной теории оптических систем. Полученные формулы
отличаются от формул, описывающих параллельные и гомоцентрические
пучки. В связи с этим возникло мнение, что геометрическая
оптика неприменима к рассматриваемой задаче. Причем такое мнение
бытует до сих пор даже в научно-технических публикациях, хотя
идея применимости методов геометрической оптики к расчету
лазерных пучков была обоснована в ряде работ, появившихся
15—20 лет тому назад. Это объясняется тем, что эти работы
известны узкому кругу специалистов, а простые методы расчета,
пригодные для практического применения, до сих пор не
созданы.
В предлагаемой книге описаны методики расчета лазерных
пучков, которые, с одной стороны, соответствуют системе
понятий и математическому аппарату теории оптических систем, а с
другой — позволяют получить результаты, адекватные
результатам строгого волнового рассмотрения процессов. Многие
вопросы излагаются в книге впервые и являются результатами
оригинальных трудов авторов.
Параксиальные расчеты оптических систем,
трансформирующих лазерное излучение, обращены к наиболее широкому кругу
читателей, разрабатывающих или использующих лазерные
устройства. Излагаемый здесь материал базируется на простых и
3

наглядных математических и физических понятиях, но без
упрощения сути дела. Конечные формулы представлены в удобном
для расчетов виде. Рассмотрено несколько десятков решений
конкретных задач, доведенных, как правило, до численного
результата. Следует отметить, что при параксиальном расчете не
учитывается диафрагмирование лазерных пучков, однако это
вполне оправдано в большинстве оптических систем.
О простоте предлагаемых геометрооптических методов
свидетельствует, например, то, что для травильного понимания и
применения метода двух лучей достаточно знаний в области
математики и оптики в пределах средней школы. Наглядность метода
подтверждается тем, что он на сегодня единственный,
допускающий чисто графическое решение ряда задач.
Материал книги, посвященный расчету аберрационных
искажений лазерных лучков в оптических системах, адресован более
узкому кругу специалистов — оптикам, проектирующим
высококачественные оптические «системы, трансформирующие лазерное
излучение. При этом расчеты искажений рассмотрены двумя
методами. Первый из них метод лучевых пакетов, который позволя-
ет рассчитать искажения наиболее простыми средствами, на
основе теории оптических систем, в частности теории аберраций
третьего порядка.
Если оптическая система с корригирована так, что
аберрационные искажения малы, то распределение энергии в
сформированном и исходном пучках подобны. Однако при больших
искажениях (что допустимо в некоторых оптических системах)
интерпретация результатов .представляет определенные трудности, и в книге
обсуждаются пути их преодоления. Второй метод расчета —
метод скалярной теории дифракции хотя и сложнее первого, но
описывает суть происходящих явлений точнее. Здесь получены
формулы, по которым искажения распределения поля лазерного
пучка могут быть рассчитаны на ЭВМ, и приведены примеры
результатов таких расчетов.
Метод скалярной теории дифракции может использоваться
при проектировании наиболее высококачественных оптических
систем, когда необходимо знать точную структуру
электромагнитного поля, формируемого системой лазерного пучка, либо когда
существенную роль играет диафрагмирование этого пучка, что не
может быть учтено методом геометрической оптики.
В целом изложенные в книге результаты предназначены для
использования при проектировании и расчете оптико-электронных
лазерных приборов и систем различного назначения в лазерной
технологии, оптической связи, локации, геодезии, медицине,
волоконной оптике.
Предисловие книги написано авторами совместно, § 1.2, 1.5,
2.2, 2.7, гл. 4 и приложения — доктором техн. наук И. И. Пахо-
мовым, § 1.1, 1.3, 1.4, 2.1, 2.3—2.6, 2.8 и гл. 3 —канд. техн. наук
А. Б. Цибулей.
4

ГЛАВА ПЕРВАЯ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ
ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ В ПАРАКСИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
1.1. ВОЛНОВЫЕ МЕТОДЫ
Пространственная структура лазерного пучка формируется в
лазерном резонаторе (рис. 1), представляющем собой в
простейшем и наиболее часто встречающемся случае два зеркала 1> 2
(плоских или сферических), находящихся на общей оптической
оси. Пучок света усиливается в активной среде 3, помещенной в
резонатор, и испытывает периодические отражения от зеркал.
Зеркала частично пропускают свет, поэтому при каждом
отражении часть световой энергии выходит из резонатора [16],
формируя выходящий пучок.
Рис. 1. Оптическая схема резо- Рис. 2. Пространственная структу-
натора ра лазерного пучка
Расчет пространственных характеристик лазерного пучка
впервые осуществлен методами электродинамики. Статья [37] была
одной из первых, посвященных рассматриваемому вопросу.
Авторы путем расчета на ЭВМ на основе принципа Гюйгенса —
Френеля нашли распределение электромагнитного поля на
поверхности зеркал лазерного резонатора.
В работе [3] рассмотрен конфокальный резонатор
(образованный зеркалами, фокусы которых совпадают), и из решения
интегрального уравнения, составленного на основе принципа
Гюйгенса — Ф,ренеля, получены аналитические соотношения для
пространственных характеристик лазерного пучка. В параксиальном
приближении, если пренебречь краевыми эффектами на
зеркалах, форма распределения поля между отражателями
конфокального резонатора характеризуется функцией Гаусса, умножен-
5

ной на полином Зрмита [31] (при квадратной форме
отражателей) или .на полином Лагерра (при круглой их форме). Степень
полинома связана с типом колебания, возникающего в резонаторе
(модой). Основной тип колебаний описывает функция Гаусса.
Радиус R кривизны волнового фронта равен (рис. 2):
* = (*» + *)/*, (1)
где zK — конфокальный параметр (длина ближней зоны1) пучка;
z — координата вдоль оси резонатора, отсчитываемая от его
середины. Величина 2zK равна dK — длине конфокального
резонатора.
Волновой фронт является плоским на бесконечности (г=±оо)
и в центре конфокального резонатора (z=0). Минимальный
радиус кривизны J? = 2zK волнового фронта находится в сечениях
z=±zK (на зеркалах конфокального резонатора). Таким образом,
пучок, формируемый конфокальным, а также любым устойчивым
резонатором, представляет собой волну, отличную как от
сферической, так и от плоской. Понятие устойчивого и неустойчивого*
резонатора пояснено в § 1.3 и 1.5. Неустойчивые резонаторы
образуют сферическую волну [1, 15], но в данной книге
рассматриваем только пучки,
формируемые устойчивыми
резонаторами, как наиболее часто
встречающимися в лазерных
приборах.
Диаметр 2r(z) пучка в
зависимости от продольной
координаты определяется из
уравнения:
/■4*)=(#2 */«)(*£+^/*к. (2)
где % — длина волны
излучения. Диаметр пучка в
перетяжке (минимальном сечении)
2г(0) обозначим как 2гр.
Коэффициент Км зависит от того,,
по какому уровню энергии Е
относительно энергии на оси:
пучка и для какой моды
определяется диаметр пучка.
(Энергия, заключенная в пучке,
спадает от оси к краю постепенно,,
резкой границы не имеет, и:
0,588 0,70Т\1,О7Г1,Я9 Кн
1
Рис. 3. Зависимости коэффициента Км
от уровня энергии, на котором
измеряются диаметр и расходимость гауссова
пучка
J Параллельное использование этих двух терминов связано с общей
тенденцией данной книги представить расчет лазерных пучков как часть теории
оптических систем. Термин «длина ближней зоны» более универсален и
применим к пучкам не только лазерным. В ближней зоне диаметр пучка
определяется в первую очередь диаметром его перетяжки, а в дальней — его
расходимостью.
6

указать точный диаметр пучка невозможно.) Коэффициент Км для
основной моды определяется из таблиц функции Гаусса (рис. 3),
а если пучок неодномодовый, то по уровню энергии 1/е2: Км =
= (2/ч-1)1/2, где I — поперечное модовое число [17].
На основе понятия эквивалентного конфокального резонатора
[3] было показано, что пучок, формируемый любым устойчивым
резонатором, описывается формулами (1) и (2), необходимо
только найти соответствующие этому резонатору значение гк и
положение перетяжки пучка. Из выражения (2) видно, что
лазерный пучок на заданном уровне энергии ограничен однополостным
гиперболоидом вращения, ось которого совпадает с осью
резонатора, а асимптоты наклонены к ней под углом в = /См1АЯ/я<гк,
определяющим расходимость пучка. Диаметр пучка минимален
посередине между зеркалами конфокального резонатора (z=0)', a
на зеркалах (z=zK) в Y 2 раз больше.
Радиус кривизны R(z) волнового фронта и конфокальный параметр zK =
=гр/в одинаковы для всех мод лазерного пучка. Поэтому исследование его
преобразования оптической системой в параксиальном приближении может
быть ограничено рассмотрением основной моды. Следует помнить, что для
правильного расчета преобразования лазерного излучения оптической системой
всегда необходимо знать форму пучка, а следовательно, конфигурацию
резонатора, формирующего этот пучок. Точнее следует сказать, что оптическая схема
резонатора лазера, используемого в оптико-электронном приборе, является
составной и неотъемлемой частью оптической системы этого прибора.
В первых трех главах книги будут рассмотрены только те
случаи, когда диафрагмированием пучка можно пренебречь. При
этом траектория центра волнового пучка совпадает с лучом,
идущим по оси пучка и преломляющимся по законам геометрической
оптики [9]. Тип колебаний лазерного пучка при его
формировании оптическими системами не изменяется. Сформированный
пучок можно характеризовать диаметром 2r'v его минимального
сечения (перетяжки), расходимостью 20' и расстоянием z'v
плоскости перетяжки от задней фокальной плоскости оптической
системы. Формулы для определения этих величин, полученные в
работах [49, 50], могут быть записаны в следующем виде:
«г=</*к = -*;/*»=(@/®')2 - (/*;//*р)2=(/т/(4+zl). (3)
где аг — коэффициент продольного увеличения ближней зоны;
zv—расстояние перетяжки от передней фокальной плоскости
оптической системы; f — заднее фокусное расстояние оптической
системы. Конфокальный параметр сформированного пучка г/к =
—r'p/в'. На пучок, выходящий через сферическое зеркало лазера,
оно действует как рассеивающая линза и соответствующим
образом изменяет его пространственные характеристики.
В работе [12] для расчета пространственных характеристик лазерного
пучка предложен метод вариансов, полученный на основе волновых представлений.
Варианс — это комплексная величина, изменяющаяся при распространении ла-
7

зерного пучка в свободном пространстве и при его формировании линзой.
Метод вариансов приводит к тем же вычислениям и дает те же результаты, что
и формулы (3). Преимуществом записи в комплексной форме является
компактность аналитических выражений.
Приведенные здесь и полученные с помощью аппарата электродинамики,
результаты не соответствуют известным из геометрической оптики формулам,
описывающим формирование параллельных и гомоцентрических пучков и
определяющих положение и размеры изображений. Это подтверждает тот факт,
что лазерный пучок не является ни плоской, ни сферической волной. Попытки
дать геометрооптическую трактовку лазерного пучка приводили либо к не
вполне точным результатам, либо к неверным понятиям, как, например, «лучи в
форме гипербол», что дало основание к утверждениям о неприменимости методов
геометрической оптики к расчету лазерных пучков. Тем не менее правильная
геометрооптическая модель лазерного пучка в виде лучевого пакета была
построена в работах ряда советских и американских авторов.
Использование этой модели позволяет существенно упростить и сделать
более наглядным вывод формул, описывающих формирование
пространственной структуры лазерных пучков. Упрощаются также численные расчеты. Кроме
того, на основе лучевого пакета можно выйти за рамки параксиальной оптики
и учесть влияние на структуру лазерного пучка аберраций резонатора и
формирующей оптической системы. Модель лазерного пучка в виде лучевого
пакета, дающая правильное описание этого пучка с помощью обычных лучей,
строго говоря, не вписывается в рамки традиционной геометрической оптики (лучи
не перпендикулярны волновым фронтам), что привело к новому взгляду на
основы геометрической оптики [18, 19]. Далее в книге описывается применение
геометрической оптики к параксиальному и аберрационному расчету лазерных
пучков. Полученные при этом результаты находятся в соответствии с
результатами волнового рассмотрения.
1.2. МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Кратко изложим минимум сведений из прикладной геометрической оптики?
[33], необходимый для понимания последующего материала.
Ход луча при преломлении на линзе, либо при отражении от сферического
зеркала (рис. 4), описывается формулами:
о' = (п/п')о + 1гФ; h'=h—o'd, (4)
где Ф=1//' — оптическая сила линзы или зеркала (/' — их заднее фокусное
расстояние); d — расстояние между линзами или зеркалами; а и а' — углы
наклона луча к оптической оси до и после преломления; h и К — поперечные
координаты луча на линзах (зеркалах); п и п' — показатели преломления
среды до и после линзы.
В параксиальном приближении считается, что углы наклона лучей равны
их синусам и тангенсам. Пространством предметов называют пространство, в
котором лучи идут до линзы, а пространством изображений — пространство,
в котором идут лучи, преломившиеся в линзе. Лучи, вышедшие из одной точки
Л пространства предметов, собираются в некоторой точке Л' пространства
изображений, являющейся изображением точки Л. Две плоскости, проходящие
через эти точки и перпендикулярные оптической оси, называют взаимно
сопряженными. Расстояния гиг' точек Л и Л' от оптической оси являются разме-
8

рами соответственно предмета и изображения. Отношение этих размеров
называют линейным увеличением р=г7г.
Любая оптическая система может быть представлена в виде эквивалентной
линзы. Для этого через оптическую систему необходимо рассчитать ход двух
Рис. 4. Ход луча, преломляющегося на последовательных фокусирующих
элементах
осевых лучей — в прямом и в обратном ходе (рис. 5). Точки пересечения
преломленных лучей с оптической осью определяют положения соответственно
задней F'a и передней Fs фокальных плоскостей, а точки пересечения каждого
яз этих лучей с сопряженным ему лучом — положения задней #'э и передней Яэ
главных плоскостей, от которых отсчитываются заднее /'э и переднее /э
фокусные расстояния. Они связаны соотношением:
/э//э=— п'/п, (5)
где пил' — показатели преломления среды в пространствах предметов и
изображений. Оптическая система, фокальные плоскости которой находятся в
бесконечности, называется афокальной.
Положение сопряженных плоскостей определяется формулой Ньютона, а
увеличение — формулой увеличений:
22'=//'; р=_//2=—2'//', (6)
где z и z' — расстояния сопряженных плоскостей от соответствующих
фокальных плоскостей.
В прикладной оптике приняты следующие правила знаков.
Положительными считаются направления: для поперечных размеров — вверх от оптической
оси, для продольных размеров — слева направо, а углов — по часовой
стрелке.
Рис. 5. Замена оптической системы эк- Рис. 6. К задаче 1
Бивалентной линзой
9

Для правильного применения методов геометрической оптики
к расчету преобразования через оптическую систему лазерного
излучения нужно знать физическое обоснование, на котором
базируется геометрическая оптика. Так как излучение имеет
электромагнитную природу, то, следовательно, и обоснование это должно
вытекать из системы уравнений Максвелла или из теории
дифракции, которая на ней базируется [4]. В работе [22] показано,
что при отсутствии диафрагмирования электромагнитные поляг
любого вида, если рассматривать их в сопряженных плоскостях,
в параксиальном приближении подобны друг другу, причем
коэффициент подобия равен увеличению |3, т. е. можно сказать, что>
поверхности уровня амплитуды (или интенсивности) являются
изображением поверхностей уровня амплитуд (или интенсивно-
стей) поля, в опорной плоскости оптически с ней сопряженной.
Правильное понимание и применение этого положения позволяет
рассчитывать в параксиальном приближении преобразование ч£-
рез оптическую систему излучения любого типа. Учитывая это,
можно без дальнейшего анализа решить некоторые задачи о
преобразовании лазерного пучка оптической системой.
Приведем несколько примеров.
Задача 1. Через линзу проходит гауссов пучок, параметр конфокаль-
ности которого 2К задан и положение относительно линзы определено, т. е.,
известно положение сечения перетяжки, определяемое отрезком ар (рис. 6).
Найти радиус пятна в заданной плоскости Л'.
Решение. Определяем плоскость Л, оптически сопряженную с
плоскостью Л', а следовательно, а радиус ri/e гауссова пучка в плоскости Л.
Находим изображение отрезка гце линзой в плоскости А', которое и определяет
радиус пятна г'ife в плоскости Л', являющейся сечением преобразованного линзой
гауссова пучка.
Задача 2. Построить распределение амплитуды поля в заданном
сечении преобразованного линзой гауссова пучка (рис. 7).
Распределение
ймплитуды 6 А
Распределение
амплитуды В А
Рис. 7. К задаче 2
Решение. Как и в задаче 1, находим положение плоскости Л,
оптически сопряженной с плоскостью Л'. В оптически сопряженных точках
амплитуда поля имеет одно и то же значение (без учета потерь).
10

Задача 3. Будет ли меняться диаметр пятна в задней фокальной
плоскости линзы при изменении положения гауссова пучка относительно
линзы, т. е. изменении отрезка ар?
Решение. Диаметр пятна в задней фокальной плоскости равен
изображению диаметра пятна в сечении гауссова пучка, оптически сопряженном с
задней фокальной плоскостью, т. е. с сечением, находящимся в бесконечности.
1
И',
^1
1
Рис. 8. К задаче 3
Сеченав
перетяжки
Щ1е№
Рис. 9. К задаче 4
Рис. 10. К задаче 5
Так как гауссов пучок на входе оптической системы задан, то известна и
расходимость 20 пучка. Угловой размер сечения пучка в бесконечности,
следовательно, также равен 20 и его
изображение в задней фокальной плоскости
линзы равно 2r'i/e=20/'=const
независимо от положения гауссова пучка ^J
относительно линзы (рис. 8); диаметр
же пятна на линзе может
существенно меняться.
Задача 4. Найти расходимость
пучка, преобразованного линзой.
Решение. Расходимость пучка, преобразованного линзой, равна
угловому размеру его сечения в бесконечности, являющегося изображением сечения
пучка на входе оптической системы (рис. 9), т. е. 2&'*=>2ri/e(F)lf'.
3 а д а ч а 5. Найти расходимость гауссова пучка на выходе афокальной
системы (рис. 10).
Решение. Используя полученный в задачах 3 и 4 результат, находим
2в,=2г'1/е//,2=2в/'1//,2.
Рассмотрение преобразования гауссова пучка методами
геометрической оптики эффективно и при анализе характера
деформации пучка из-за неточности его ориентировки по отношению к
оси оптической системы (децентрировка пучка и поворот его оси).
Если децентрировка или поворот невелики (в рамках
параксиального приближения), радиусы сечений преобразованного пучка
остаются такими же, как в случае, при котором пучок шел бы по
оптической оси системы, но осью пучка являлся луч,
преломляющийся в системе в соответствии с формулами (4). Случай, когда
поворот оси сравнительно велик и это приближение
неудовлетворительно, рассмотрен в § 2.7.
Используя геометрооптические формулы (6) для определения
размеров и положения изображения произвольного сечения ла-
и

зерного пучка и задаваясь формой исходного лазерного пучка в
соответствии с выражением (2), можно найти уравнение
огибающей лазерного пучка, сформированного линзой (рис. 11). Проведя
соответствующие выкладки, нетрудно убедиться, что огибающей
сформированного линзой пучка, так же как и исходного,
является гипербола. Формулы, связывающие параметры исходного и
Рис. И. Преобразование лазерного пучка линзой
сформированного пучков, оказываются совпадающими с
формулами (3), полученными волновым методом. При этом важно
отметить, что плоскости перетяжек исходного и сформированного
пучков не являются взаимно сопряженными, т. е. сформированная
перетяжка Р' не является изображением / исходной Р (,см. рис.
11). Размер сформированной перетяжки r'v всегда меньше
размера изображения г' исходной перетяжки, т. е. минимальное
сечение пучка в пространстве изображений меньше при
использовании лазерного источника, чем источника типа Ламбертова с тем
же размером излучающей площадки и углом расходимости.
Сформированная оптической системой перетяжка пучка смещена
относительно изображения исходной перетяжки. Они совпадают
только при гк/гр = 0, что выполняется, в частности, для афокаль-
ной системы, например телескопа.
Формулы (3) позволяют провести расчет преобразования
лазерного пучка через многокомпонентную оптическую систему
путем последовательного применения их к каждому компоненту.
Однако практически более удобно сначала заменить
многокомпонентную систему эквивалентной линзой (см. рис. 5) и применять
формулы (3) уже к ней. При этом, естественно, нужно
пользоваться значениями фокусного расстояния эквивалентной линзы, а
грэ отсчитывать от ее фокальных плоскостей.
На рис. 12—15 приведены зависимости z'K{zK)\ ar(zP); ar(f)
и z'p(Zp), подсчитанные по формулам (3).
Задача 6. Выходящий из лазера пучок поворачивается на 90° с
помощью прямоугольной призмы. Расстояние от плоского зеркала лазера до пе-
12

редней грани призмы d=50 мм, длина катета сечения призмы а=20 мм,
показатель ее преломления п—1,516. Найти расстояние s'p от задней грани
призмы до перетяжки выходящего из нее пучка.
Решение. Действие прямоугольной призмы на проходящие через нее
лучи, если исключить поворот лучей, эквивалентно действию
плоскопараллельной пластинки, толщина которой равна длине катета сечения призмы [33].
Рис. 12. Зависимость z'K от zK Рис. 13. Зависимость аг от zv
Рис. 14. Зависимость аг от Y Рис. 15. Зависимость z'v от zP
Плоскопараллельная пластинка является частным случаем афокальной системы,
следовательно, перетяжка прошедшего через нее пучка совпадает с
изображением исходной перетяжки. Параметры прошедшего через пластинку пучка не
изменяются, так как увеличение р=1. Известно [33], что плоскопараллельная
пластинка смещает изображение по ходу лучей на /(/г— 1)//г, где t — толщина
пластинки. Значит, s'P=— d—а+а(п— 1)/п, т. е. sV-50—20/1,516=—63,2 мм,
т. е. перетяжка мнимая и находится на расстоянии 63,-2 мм перед задней
гранью призмы.
1.3. ЛУЧЕВОЙ ПАКЕТ
Рассмотрим симметричный лазерный резонатор со
сферическими зеркалами (рис. 16). Луч, идущий вблизи оси резонатора,
усиливается в активной среде и испытывает периодические
отражения от зеркал. При каждом отражении луч частично проходит
через зеркало и покидает резонатор. Отраженный луч снова
усиливается и при следующем отражении снова частично выходит
из резонатора и так далее. Таким образом, пучок света, выходя-
13

щий из лазерного резонатора, можно представить в виде
совокупности лучей (лучевого пакета), являющихся продолжениями
первоначального луча после каждого его отражения от зеркал [48].
Траекторию меридионального луча в симметричном резонаторе
определим, применив к формулам (4), записанным
-последовательно для каждого отражения, методы разностного исчисления
[10]. Оказывается, что поперечная координата hk луча при k-u
отражении, начиная с & = 0, определяется так [37]:
hk = hQ cos [(£ + 0,5) ©]/cos (0,5 со)—a0 dQ sin (k ©)/sin ©, (7)
где cos G) = l—4сФс/2 (0<йсФс<4); hQ и a0 — поперечные
линейная и угловая координаты луча при первом отражении (см.
рис. 16). Неравенство определяет условие устойчивости
симметричного резонатора. Если оно нарушено, то луч после
определенного числа отражений обязательно выйдет за границы апертуры
зеркал. Такие резонаторы называются неустойчивыми и в данной
книге не рассматриваются.
В общем случае, когда © не кратно целому числу я, точки, в
которых происходит отражение луча на зеркалах резонатора, не
повторяются. Луч при этом, несмотря на дискретный характер
отражения, стремится полностью зачертить некоторую область
внутри резонатора. Граница этой области является огибающей
лучевого пакета, т. е. описывает форму лазерного пучка в гео-
метрооптической трактовке [39]. Используя уравнение (7),
отметим на одном из зеркал резонатора точки, соответствующие
четным значениям &, а на другом — нечетным. Последовательно
соединим эти точки и к полученному таким образом семейству лучей
применим стандартную методику определения огибающей [21].
Получим следующее уравнение (начало координат в центре
резонатора — рис. 17):
у2 = Г2 (г) = ,.2 + г2 @2 или [г (г)//>]2 = j + (г/гк)2> (8)
причем
(V@)2 = *K2 =<1-<*с Фс/4) dc/Фс. (9)
14

Уравнения (8) так же, как и (2), описывают гиперболу,
являющуюся огибающей лазерного пучка (см. рис. 16). Формула
(9) определяет величину zK конфокального параметра (ближней
зоны) лазерного пучка, С помощью графика на рис. 18 можно
tp^rtfZ y\$=0 Я&)
Рис. 17. Плоский лучевой пакет
Ц1 D:Z ЦЗ 0,4 0,50,6.0,7 Q8 0,9 dn//b
Рис. 18. График зависимости
величины zK/rc от dn/rc для
плоскосферического резонатора
найти длину 2К ближней зоны пучка лазера с наиболее
распространенным типом резонатора — плоскосферическим. Для этого
надо знать длину dn резонатора и радиус Rc кривизны
сферического зеркала. График построен по формуле (9) с учетом того,
что /?с=2/Фс, a dn=dc/2. Перетяжка находится на плоском
зеркале.
Для произвольного лазерного резонатора длиной dv с
зеркалами оптической силы Ф\ и Ф2 применим формулы объединения
двух оптических систем [33] и получим параметры Фс и dc
эквивалентного симметричного резонатора (рис. 19):
Ф0 = Ф1 + Ф.-4рФ1Ф1; dc = dp(Oc + Ox + 02)/Oc. (10)
Отсюда видно, что поверхность зеркал как реального, так и
эквивалентного резонаторов должна совпадать с поверхностью
Рис. 19. Преобразование произвольного резонатора в эквивалентный
симметричный
15

волнового фронта в месте расположения этих зеркал — см. (1).
Плоскость перетяжки пучка смещена относительно середины
резонатора в сторону зеркала с меньшей оптической силой на
величину Az=d?((&i—Фг)/2ФС. Используя формулу (9), можно
симметричный резонатор пересчитать в эквивалентный
конфокальный.
Задача 1. Лазерный резонатор образован вогнутыми зеркалами с
радиусами кривизны Ri = 3 м и i?2=2 м, отстоящими друг от друга на
расстоянии <2р = 1,5 м. Длина волны излучения Х=0,63 мкм. Определить положение и
диаметр 2гр перетяжки и расходимость 26 пучка на уровне энергии 0,01 для
основной моды.
Решение. Оптическая сила зеркала равна Ф=2/Я. Определим по
формулам (10) параметры эквивалентного симметричного резонатора: Фс=2/3+
+2/2—1,5-2.2/3-2=0,67 дптр; </с = 1,5 (0,67+2/3+2/2) =3,49 м; Az=l,5(2/2—
—2/3) =0,5 м. Перетяжка пучка находится на расстоянии sp = 1,5/2—0,5 =
=0,25 м от первого зеркала и на расстоянии 1,25 м от второго. В соответствии
с (9): 2К= У (1—3,49-0,67/4) -3,49/0,67=1,47 м.
Из (2), положив /См= 1,519 (см. рис. 3) и 2=0, получим: 2гр=
=2-1,519 ]/"(0,63- 10-б/ЗД4) • 1,47= 1,65 мм; 20=2-1,519]/0,63-10"6(3,14-1,47) =
= 1,12-Ю-3 рад=3'44".
Задача 2. Плоскосферический резонатор имеет радиус кривизны
сферического зеркала Rc=2 м. Длина резонатора */п=0,2 м. Излучается пучок, в
котором в одном поперечном направлении видны три моды (/=2). Рассчитать
диаметр перетяжки и расходимость пучка (Х=0,63 мкм).
Решение. Подсчитываем величину </п/#с=0,1. По графику на рис. 17
определяем zK/Rc = 0,3, т. е. длина ближней зоны zK=0,6 м. В формуле (2)
положим Км= У 2-2+1=2,24, 2=0 и получим: 2гр = 2-2,24 ]/" (0,63-10"6/3,14)X
Х06=1,55 мм; 20=1,55.1О-3/О,6=— 2,58-10~3 рад=8'36".
В описанном лучевом пакете после каждого отражения луч
касается огибающей гиперболы. Через любую точку плоскости
внутри огибающей проходят два луча, причем можно показать,
что биссектриса угла между лучами является нормалью к
волновому фронту, задаваемому уравнением (1). Таким образом,
метод лучевых пакетов позволяет на основе геометрической оптики
определить формируемую в резонаторе структуру лазерного
пучка, описание которой первоначально получено на основе
волновой оптики. Лучевое решение разумеется не содержит длины
волны излучения и зависит от координат первоначального луча. Так
как эти координаты лроизвольны, то и лазерный пучок можно
описать различными лучевыми пакетами с разными диаметрами
перетяжки и расходимостями, но одним и тем же конфокальным
параметром zK. Выбор начального положения луча в резонаторе
при геометрооптической трактовке соответствует выбору уровня
энергии, на котором проводится описание, типа колебания и
длины волны света в волновой трактовке.
В [8] рассмотрена аналогичная система лучей в резонаторе.
При этом использовались не параксиальные формулы (4), а точ-
16

ный закон отражения на зеркалах эллиптической фирмы. При
рассмотрении некоторых замкнутых путей внутри резонатора
были вычислены собственные частоты и контуры модовой картины
лазерного резонатора. Места на зеркале, принадлежащие путям,
кратным целому числу длин волн, соответствуют максимуму
амплитуды распределения поля на зеркале. Там, где проходят пути,
в которые укладывается целое нечетное число длин полуволн,
находятся минимумы поля.
Подо-бно тому, кдк произвольный меридиональный луч,
последовательно отражаясь от сферических зеркал лазерного
резонатора, формирует плоский лучевой пакет, так и косой луч
образует пространственный лучевой пакет (рис. 20). Его проекции на
Рис. 20. Пространственный лучевой пакет
координатные плоскости представляют собой рассмотренные
выше плоские лучевые пакеты. Осесимметричному лазерному лучку
соответствует лучевой пакет, ограниченный однополостным
гиперболоидом вращения [46] (рис. 21). Косые лучи, идущие по
его поверхности, являются прямолинейными образующими этого
гиперболоида [5]. Это значит, что огибающая поверхность
лазерного пучка может быть получена вращением любого из этих
лучей вокруг оптической, оси, т. е. параметры лазерного пучка
можно описать с помощью лишь одного косого луча. Расстояние от
луча до оптической оси равно радиусу r(z) лазерного пучка в
данном сечении. Минимальное расстояние между лучом и осью
(гр) определяет диаметр и положение перетяжки пучка. Его
расходимость равна удвоенному углу G между лучом и
оптической осью.
Косой луч полностью определяется своими проекциями на две
взаимно перпендикулярные координатные плоскости, содержащие
ось пучка. Эти проекции в параксиальном приближении можно
считать меридиональными лучами, характеризующимися
параметром -ф — углом между плоскостью проекции и направлением
общего к оптической оси и косому лучу перпендикуляра гр. На
рис. 21 проекция на плоскость, содержащую ось пучка, для прос-
17

тоты смещена параллельно самой себе. Проекция при г[? = 0(-ф =
=я) определяет диаметр перетяжки пучка, равный удвоенному,
расстоянию гр между проекцией луча и оптической осью (см.
рис. 17 и 21). Проекция при я|э = я/2 (1|э = Зл/2) определяет
расходимость пучка, равную удвоенному углу 0 между проекцией луча и
Рис. 21. Проекция пространственного лучевого пакета на плоскость
оптической осью, и положение перетяжки в месте пересечения
проекции луча ic оптической осью. Проекция при tgi|) = —z/zK
определяет диаметр пучка в сечении z, равный удвоенному
расстоянию r(z) проекции луча от оси в этом сечении, и центр кривизны
волнового фронта в этом же сечении, расположенный в точке
пересечения проекции луча с осью. Точки пересечения проекцией
луча при i|) = 0(i|) = n) и 1|) = я/2(1|) = Зя/2) определяют границы
ближней зоны пучка.
Формирование пучка в резонаторе с плоскими зеркалами
невозможно описать на языке геометрической оптики, поскольку
при этом существенную роль играет дифракционное
взаимодействие электромагнитного поля с "оправами зеркал. Однако,
используя измеренные значения диаметра перетяжки 2гр и
расходимости 20 пучка, можно в ряде случаев представить его в
виде вышеописанного лучевого пакета. Так, это возможно для
пучков с гауссовым распределением энергии по поперечному
сечению (подробнее об этом см. § 2.8 и 3.1).
Описанный выше пространственный лучевой пакет относится к
простейшему классу пучков, огибающая которых полностью описывается ходом одного
крайнего луча. Возможны три положения луча относительно оптической оси и
соответственно только три вида таких пучков. Луч, параллельный оптической
©си, при вращении вокруг нее образует прямой круговой цилиндр —
поверхность,, ограничивающую параллельный пучок (аналог плоской волны). Враще-
18

ние вокруг оптической оси луча, пересекающего ее, дает прямой круговой
конус, ограничивающий гомоцентрический пучок (аналог сферической волны).
Наконец, при вращении вокруг оси луча, скрещивающегося с ней (косого луча),
образуется однополостный гиперболоид вращения — поверхность,
ограничивающая пучок лучей, выходящих из лазерного резонатора (аналог гауссовой
волны). Параксиальный расчет таких пучков существенно упрощается, поскольку
сводится к расчету хода единственного крайнего луча (в третьем случае —
двух проекций одного косого луча). Если пучок и оптическая система несоос-
ны, то в силу линейности формул параксиальной оптики необходимо
дополнительно рассчитать лишь ход луча, идущего по оси пучка.
Эти свойства параллельных и гомоцентрических пучков широко
использовались в прикладной оптике. Интерес к пучкам с гиперболической огибающей
возник лишь в связи с развитием лазерной оптики. Однако только
сравнительно недавно выяснилось, что они относятся к простейшему классу пучков,
форма которых описывается ходом одного крайнего луча.
Кроме крайних лучей пучок содержит также лучи, идущие внутри этого
пакета и не касающиеся его. Любую точку произвольного поперечного сечения
лазерного пучка можно рассматривать как вершину элементарного
гомоцентрического пучка, состоящего из таких внутренних лучей. Расходимость
элементарных пучков зависит от положения сечения (z), в котором находится его
вершина, ее расстояния от оси пучка и не превышает расходимости пучка в целом.
Ось симметрии каждого из элементарных пучков совпадает с нормалью к
волновому фронту, проведенной в вершине пучка — см. (1). Элементарным
гомоцентрическим пучкам в пространстве предметов соответствуют такие же,
сопряженные пучки в пространстве изображений, что согласуется с изложенной в
предыдущем параграфе моделью преобразования лазерных пучков оптическими
системами.
1.4. МЕТОД ДВУХ ЛУЧЕЙ
Методом двух лучей будем называть параксиальный метод
расчета параметров лазерного пучка, основанный на его
представлении двумя меридиональными лучами. Так как лучи
являются проекциями одного и того же косого луча на две «взаимно
перпендикулярные координатные -плоскости, то -параметры ф
этих лучей должны всегда отличаться на я/2. Обычно в качестве
исходных будем брать луч с if> = 0 (параллельный оптической оси
и отстоящий от нее на rv — радиус сечения перетяжки пучка) и
луч с ф = я/2 (пересекающий оптическую ось в сечении
перетяжки под углом в, равным половине расходимости пучка)—см.
рис. 17 и 21. Оба луча изобразим на общей оптической оси.
Заметим, что луч / (i|) = 0) соответствует осевому лучу, ход которого
рассчитывается при определении положения задних главной и
фокальной плоскостей оптической системы, а луч II (1|) = я/2) —
первому главному лучу, координаты которого входят в формулы
для сумм Зейделя [29].
Рассмотрим ход лазерного пучка через линзу <с передним
фокусным расстоянием f и задним /'. Они различны, если различны
показатели преломления п и п' в пространствах предметов и юзо-
19

бражений (см. рис. 5). На рис. 22 представлен ход через линзу
косого луча, описывающего лазерный пучок, а на рис. 23 —
соответствующий чертеж, выполненный по методу двух лучей.
Расстояния до перетяжки пучка zv перед линзой и z'p после нее
будем отсчитывать соответственно от переднего F и заднего F'
фокусов линзы. От этих же точек будем отсчитывать и координаты
Рис. 22. Преломление косого луча, описывающего лазерный пучок, в линзе
z и zr вдоль оптической оси. Луч / (i|) = 0) после линзы пройдет
через задний фокус F'. Для определения хода луча // (if=я/2)
проведем вспомогательный луч ///, параллельный лучу // и
проходящий через передний фокус. После линзы луч /// пройдет па-
Рис. 23. Построение хода лазерного пучка через линзу методом двух лучей
20

раллельно оптической оси, а луч // 'пересечется с ним в задней
фокальной плоскости.
Из рис. 22 видно, что направление перпендикуляра r'v между
преломленным косым лучом и оптической осью поворачивается на
некоторый угол Агр по отношению к направлению перпендикуляра
гр между исходным косым лучом и оптической осью. Отсюда
следует, что каждый в отдельности преломленные ,в линзе лучи I и П
не определяют ни диаметра перетяжки, ни ее положения, ни
расходимости сформированного линзой пучка, так как параметр if>
лучей после щреломления меняется, т. е. было бы неправильным
искать расходимость сформированного пучка, проследив ход череа
оптическую систему только луча //, а положение сформированной
перетяжки определять его пересечением с оптической осью. В
совокупности эти два луча несут всю информацию о геометрических
характеристиках сформированного пучка.
Определим угол 6' наклона косого луча после линзы. Он равен
квадратному корню из суммы квадратов углов наклона его
проекций, т. е. лучей I и II после преломления в линзе (см. рис. 23):
e,2=(rp//02+(Gzp/n2 или 1/тг=(в/в')2 = Г2/(2к + ^). (")
где уг — угловое увеличение пучка.
Радиус r'(z) пучка в каждом сечении равен квадратному
корню из суммы квадратов ординат лучей I и II \в этом сечении:
г'»(г)= (у 2'У+ (Vf-y22')* ■ (12)
Исследовав это выражение на минимум, найдем величину zr—z'Vy
равную расстоянию от заднего фокуса линзы до перетяжки
сформированного пучка:
Подставив соотношение (13) в (12), получим значение
минимального диаметра 2/*'(г), т. е. перетяжку 2г'р сформированного пучка,
откуда:
ft-K/rP)2=f2/(4+z2p), (м>
где рг — линейное увеличение в перетяжках. Из формул (5), (11)
и (14) получим еще два соотношения:
ar = z;/zK=-//7(*2 + *2), (15)
где сьг — продольное увеличение ближней зоны, и
Jp =:nrp@ = п' г'р 0' = const. (16)
Величину Jp будем называть инвариантом лазерного пучка. Из
формулы (2) следует, что для основной моды по уровню энергии
1/е2 он, равен Я/я, а в общем случае К2ЛЫ, где /См — коэффициент
в формуле (2). Использование инварианта, с одной стороны,
позволяет сократить число операций при вычислении преобразования
пучка через оптическую систему или упростить вывод формул (см.
21

§ 2.5). С другой стороны, 1иожно сделать важные практические
выводы о характере преобразования лазерного пучка оптической
системой. Из формулы (16) очевидно, что нельзя с помощью
оптической системы одновременно уменьшить -радиус сечения перетяжки
и расходимость излучения. Уменьшение радиуса сечения
перетяжки обязательно приводит к увеличению расходимости пучка.
Уменьшить обе величины одновременно можно лишь уменьшив
длину волны излучения либо увеличив показатель преломления
среды, в которой формируется пучок.
Составив соотношение второго к первому слагаемых правой
части формулы (12) и подставив г' из выражения (13), получим
квадрат тангенса угла Аф, на который поворачивается вокруг оси
z «направление перпендикуляра r'v (между оптической осью и
косым лучом, описывающим лазерный пучок):
tgAip = *K/zp. (17)
На основе формул (ill) —1(17) можно также написать:
аг = (Р?л')/л = л/(я' Т?)= —*;/**• (18)
Полученные соотношения полностью описывают форму,
размеры и положение сформированного лазерного пучка. Эти
соотношения при 2К = 0, т. е. когда косой луч становится меридиональным,
а пучок — гомоцентрическим, переходят в известные формулы
параксиальной геометрической оптики: (11) и (14) —в формулы
углового и линейного увеличения в сопряженных плоскостях, (13) —
в формулу Ньютона (6), формула (15) —в формулу -продольного
увеличения оптической системы, а (16) аналогична инварианту
Лагранжа. Если оптическая среда до и после линзы одинакова, то
полученные выражения сводятся в (3), т. е. выражения (11),
(13) — (16) являются также обобщением формул Когельника.
Форма огибающей пучка, определяемая уравнением (12)
(гипербола), соответствует выражению (2). Заметим, что диаметр
сформированной перетяжки 2г'р и диаметр изображения 2г' исходной
перетяжки связаны соотношением: r/p = r/cos Аф — см. (17).
В табл. 1 представлены характер и диапазоны изменения
положения и значения сформированной линзой .перетяжки лазерного
пучка при перемещении перетяжки исходного -пучка вдоль
оптической оси слева направо. Таблица составлена на основе формул
{11) — (16). Для сравнения в таблице также приведены характер
и диапазоны изменения положения и размера построенного линзой
изображения исходной перетяжки. Диапазон 1 всегда
соответствует- действительной исходной перетяжке, а 4 — мнимой. Из
таблицы видно, что диаметр 2r'v сформированной перетяжки всегда
конечен и меньше диаметра 2г' изображения исходной перетяжки.
Перетяжка всегда формируется на конечном расстоянии от
линзы, ограниченном величиной —fffI2zK в ту или в другую сторону от
заднего фокуса линз. Поэтому если абсолютная величина |/|
переднего фокусного расстояния линзы меньше 2гк, то
сформированная такой линзой перетяжка всегда действительная в случае
положительной линзы и всегда мнимая в случае отрицательной.
22

Таблица 1. Изменение параметров сформированной перетяжки
и изображения исходной перетяжки при ее перемещении вдоль оптической оси?
Параметр
Zp
г'
Г'р/Гр
Г'/Гр
Характер и диапазон изменения параметра
1 2 1
4
Перетяжка исходного пучка перемещается слева направо
(-°o)-(-Zk)
(-2J—(0)
(0) —(г„)
(гк) — («>)
Перетяжка сформированного пучка перемещается
направо
(0)-(-//72zK)
налево
(-//72г„)--(0)
налево
(0)-(//'/2гк)
направо
(//72г„) —(0)
Изображение исходной перетяжки перемещается направо
(0) — (ЧГМ
(-//'/*„) — (оо) (-оо)—(//7гк)
, Ш'М — Ф)
Диаметр сформированной перетяжки
увеличивается
(0)-(|/1/Т/2"гк)
(1/1/У2 гк) —
—(!/1/г„)
уменьшается
ш\м—
— (1Л/Т/2"гн)
(1/1/1/2 гк)-(0)
Диаметр изображения исходной перетяжки
увеличивается
(0) —(|/|/г„)
Ш\М — (°°)
уменьшается
(«>) —(1/1/*и)
(1/1/гк)—(0)
Формулы (11) — (16) могут быть получены любым из рассмотренных
методов: волновым, сопряженных плоскостей, лучевых пакетов [38] или двух
лучей. Однако вывод методом двух лучей наиболее прост и поэтому приведен
здесь полностью. При выборе метода для численных расчетов руководствуются
соображениями простоты, наглядности, особенностей используемых
вычислительных средств, традиций, контекста общей решаемой задачи и т. д. Любой
конкретный расчет, как правило, включает элементы более чем одного метода.
При расчете афокальных систем наиболее целесообразно применение метода
сопряженных плоскостей. При расчете преобразования пучков через
оптические системы, положения главных и фокальных плоскостей которых известны,
удобнее всего пользоваться готовыми формулами (11) — (16) или (3) (если
необходимо знать параметры пучка в целом) либо использовать методы
сопряженных плоскостей или двух лучей (если надо знать только диаметр пучка в
какой-то плоскости или его расходимость). Расчет оптических систем,
заданных только своими конструктивными параметрами (радиусы кривизны, показате-
23

ли преломления, толщины промежутков), как правило, целесообразно проводить
методом двух лучей. Этот же метод наиболее удобен при чисто графических
решениях. Высказанные соображения иллюстрируются приведенными ниже
примерами решений задач.
Задача 1. Найти графически форму огибающей лазерного пучка с
заданными диаметром перетяжки 2гр и расходимостью 20, прошедшего через
линзу (фокусные расстояния / и /')• Расстояние zp от переднего фокуса
линзы до перетяжки пучка известно.
Решение. Построение хода лучей и I и II, описывающих лазерный
пучок через линзу, дано выше и представлено на рис. 23. При графическом
построении огибающей лазерного пучка выберем ряд абсцисс z и z', в которых
проведем построение (точки а, 6, ..., g). Рассматривая соответствующие
ординаты у лучей I и II как катеты треугольника, откладываем его гипотенузу г
перпендикулярно оптической оси. Соединив ряд полученных таким образом точек
плавной кривой, получим огибающую пучка. На рисунке показана только
нижняя ветвь огибающей, верхняя должна пройти симметрично ей относительно
оптической оси. Построив огибающую, легко определить диаметр и положение
перетяжки, а также расходимость пучка.
Задача 2. Графически построен ход лучей / и //, описывающих
лазерный пучок, через многокомпонентную оптическую систему, и положение этих
лучей на выходе системы известно (рис. 24). Не строя контуров огибающей,
определить графически основные параметры сформированного системой пучка.
Рис. 24. Графическое определение параметров сформированного пучка
Решение. Лучи I и II на выходе оптической системы являются
проекциями на плоскости yz и xz преломленного оптической системой косого луча,
описывающего лазерный пучок. Построим проекцию этого луча на плоскость
ху, перпендикулярную оптической оси. На эту плоскость перпендикуляры гр
и г'р между оптической осью и лучом проектируются в натуральную
величину. Отложим по оси у высоту hi первого луча в точке 02у в которой луч //
пересекает оптическую ось, а по оси х — высоту второго луча в точке Оь в
которой луч / пересекает оптическую ось. Соединив отмеченные на осях хи у
точки прямой линией, получим проекцию косого луча на плоскость ху. Опустив
на эту проекцию перпендикуляр из точки О, являющейся следом оси z,
получим значение г'р, равное радиусу перетяжки сформированного пучка.
Проекцию перпендикуляра г''р на ось г'ру или г'рх спроектируем соответственно на
луч / или //. Тем самым определится точка Р, в которой размещается
перетяжка сформированного пучка.
24

Расходимость 20' пучка найдем, считая что углы наклона первого &'у в
второго 0'* лучей к оптической оси являются проекциями угла 0' на
плоскости yz и xz. Для этого около точки 0\ построим прямоугольный треугольник,
один катет которого равен г'ру, а второй (h2—г'р*). Гипотенузу этого
треугольника отложим из точки 0\ перпендикулярно оси z. Прямая, соединяющая
полученную таким образом точку с Р, идет по асимптоте огибающей
сформированного пучка и наклонена к оптической оси на угол 0', т. е. является лучом,
параметр $' которого равен я/2. Точка пересечения этого луча с прямой, па*
раллельной оптической оси и отстоящей от нее на расстояние г'р (т. е. с
лучом, параметр г|/ которого равен 0), определит значение z'K конфокального
параметра (длины ближней зоны) сформированного пучка.
Задача 3. Лазерный пучок с диаметром перетяжки 2гр = 1,65 мм и
расходимостью 20= 1,12-Ю-3 рад падает на поверхность воды (л=1,33). Угол
падения а=5°. Расстояние по оси пучка от плоского зеркала лазера до
поверхности воды sp=5 м. Определить параметры пучка после преломления.
Решение. При нормальном падении пучка на плоскую границу раздела
(рис. 25) диаметр его перетяжки не изменяется: луч / №=0) остается
параллельным оси, т. е. г|/=г|)=0. Отсюда следует, что для луча // также i|/=i|)=
= я/2, т. е. луч II после преломления определяет расходимость пучка. Значит,
Рис. 25. Нормальное падение лазерного пучка на плоскую границу раздела двух
сред
0'=0/n, т. е. 20'= 1,12-10-3/1,33=0,84.Ю-3 рад. Длина ближней зоны zK
пучка также изменяется. Так как г'к=г'р/в', то z'K=jzKn, т. е. z'K=l,65.10""3/0,84X
Х10~3=1,96 м. Изменение расстояния sp от границы раздела до перетяжки
определяется точкой пересечения луча // с осью пучка: s'p=spny т. е. s'p =
=5-1,33=6,65 м. Так как угол падения
пучка невелик (5'), то вычисленные
значения останутся справедливыми и
для наклонного падения. Остается
только подсчитать угол наклона оси пучка
о'=о/п, т. е. а'=5°/1,33=3° 46'.
Рис. 26. Преобразование лазерного
пучка границей раздела двух сред
ОтЫющт гйцтВои лучка
25

Задача 4. Лазерный пучок с теми же параметрами, что и в
предыдущей задаче, падает на сферическую границу раздела двух сред (R—50 см,
л=1, /г'=1,5). Расстояние от вершины сферы до перетяжки пучка sp =—2 м.
Найти параметры сформированного пучка (рис. 26).
Решение. Первый вариант — на основе полученных в данном
параграфе формул. Известно [33], что фокусные расстояния сферической поверхности
равны: f=—nRI(n'—n), т. е. /=—0,5/0,5=—1 м; if'=/i'/?/(/i'—п) = 1,5-0,5/0,5 =
= 1,5 м; zp=sp—/=—2+1=—1 м; zK=rP/0= 1,65- 10-3/1,12-10~3= 1,47 м. Из
<15): аг=Ы,5/(12+1,472)=0,475; z'K=zK(Xr= 1,47-0,475=0,7 м. Из (18): г'Р =
=груатп!п\ т. е. 2г'р = 1,65 1/0,475/1,5 = 0,93 мм, В'=г'Р1г'к, т. е. 20'=О,93Х
ХЮ"3/0,7=1,33-10~3 рад=4'26"; z'p =—2раг=0,47 м, и сформированная
перетяжка находится на расстоянии s'P = 1,5+0,47= 1,97 м от вершины сферы.
Второй вариант — по методу двух лучей. Оптическая сила преломляющей
поверхности Ф=1//', ff—1,5-0,5/0,5= 1,5 м. Из формул (4) для луча /: hlo=rp\
^о=0; 2axi = l,65-10-3/1,5=1,МО-3 рад. Для луча //: апо=в; 2Л"0 =
=—1,12-10-3-2=2,24-10~3 м; 2ani = 1,12-10-3/1,5—2,24-10"3/1,5 = — 0.75 X
ХЮ-3 рад; e'=|/"aiia+(riIIf, т. е. 20'=1,33-1О-3 рад. Из (16): г'р=грвп1В'п',
т. е. 2г'р = 1,65-Ю-3-1,12-10-3/1,33-Ю-3-1,5 = 0,93 мм. Из (8): r/2+e'2sp'2=
=/го12+/гош, т. е. s'P = ]/ (1,65-10"3)2+ (2,24- Ю-3)2—(0,93-10~3)2/1,33-10~3=
= 1,97 м; 2,^=г/р/0/=О,93-1О-3/1,33.1О-3=О,7 м.
Задача 5. Линза с фокусным расстоянием /'=0,5 м стоит на
расстоянии —sp=0,2 м от перетяжки лазерного пучка, обладающего теми же
параметрами, что и в задаче 3. Найти параметры сформированного линзой пучка.
Решение. Так как оптическая среда справа и слева от линзы
одинакова, то можно пользоваться формулами (3): zp = -nf+sP = 0,5—0,2 = 0,3 м; zK =
=гр/0= 1,65/1,12= 1,47 м; Y~^=Y\Y z\+z>P =0,33; 0'=0/j/"a7, т. е. 20'=
= 1,12-10-3/0,33=3,36-10-3 рад=1Г 12"; г'р=—zpar=—0,3-0,332=— 0,033 м,
т. е. s'p = 0,5—0,033 = 0,467 м; 2r'p=2rp]/"a7= 1,65-0,33=0,55 мм; г/к = гкаг =
= 1,47-0,332=0,16 м.
Задача 6. Исходные данные те же, что и в предыдущей задаче.
Требуется найти диаметр пучка на расстоянии d'=l м от линзы (параметры
сформированного пучка неизвестны).
Решение. Первый вариант — методом сопряженных плоскостей.
Находим положение сечения сопряженного тому, в котором необходимо найти
диаметр пучка. Из (6): г=— f'2l(d—f) =— 0,52/(1— 0,5) =—0,5 м. Из (8): г(г) =
= ]/r2P+02(—f—z+sp)2, т. е. 2г(2) = "|/"1,652.10-6+1,122-10-6(0,5+0,5—
=Д2)Г2=1,87 мм. Из (6): 2r(d') =2r(г)/'/z=l,87-10"3-0,5/0,5 =1,87 мм.
Второй вариант — методом двух лучей. Луч /: 2o*i = 1,65 • 10~3/0,5 = 3,3 X
ХЮ"3 рад; 2Md') = 1,65-10"3—3,3-10"3-1=—1,65 мм. Луч //: 2/^=—1,12- 10"3Х
Х0,2=—0,22-Ю"3 м; 2ai = 1,12-10"3—0,22-10"3/0,5=0,67-10"3 рад; 2ft(d')=-
=0,22-10-3—0,67-10-3-1=— 0,89-Ю-3 м; 2r(d')= ]/"l,652+0,892=l,87 мм.
1.5. МАТРИЧНЫЙ МЕТОД
В ряде случаев удобным для расчетов является матричный
метод, обладающий достаточной простотой и универсальностью.
Читатель, не владеющий аппаратом матричного исчисления, может
26

пропустить этот параграф без ущерба для понимания
последующего материала.
Основная идея метода проста. Можно показать [«13], что
каждому оптическому элементу в соответствии с его функциями
(преломления лучей, их отражения и т. д.) можно сопоставить
матрицу этого элемента типа Мр = Г £р рр 1.
Если имеется сложная оптическая система, то ее действие в
целом (преобразование лучей из плоскости ОПх в плоскость ОП2)
характеризуется также матрицей типа Г ^ ^р 1, полученной
путем перемножения всех матриц, характеризующих каждый
оптический элемент в отдельности. Матрицы перемножаются в
соответствии с известным правилом перемножения матриц [13].
Следует помнить, что при записи результирующей матрицы
нужно соблюдать строгую последовательность: перемножение
осуществляется от выхода системы к входу, т. е. матрица
последнего оптического элемента умножается на матрицу предыдущего
элемента и т. д. (M=MnMn-i... М2М\). Определитель
результирующей матрицы всегда должен быть равен 1 (это свойство
используется и для проверки правильности проделанных
преобразований). В табл. 2 приведены матрицы преобразования лучей,
соответствующие некоторым, часто встречающимся, оптическим
элементам [13].
Элементы Лр, Вр, Ср, Dp матрицы имеют вполне
определенный смысл. Их значения характеризуют свойства системы.
Пусть Мр — матрица сложной оптической системы, тогда
преобразование лучей этой системой записывается так:
-ВрСр = 1, У2 = пги2,
V^n.u,. (19)
Для уяснения смысла коэффициентов Ар> Вр, Ср, Dp матрицы
преобразования лучей оптической системой поступим следующим.,
образом. Предположим, что коэффициенты равны нулю и
выясним к чему это приведет.
1. Dp = 0. Преобразование лучей описывается соотношением
(19), что соответствует следующей связи между элементами
матрицы Мр:
У2 = АрУг + ВрУ1; (20)
V% = CpyL + DpVv
Соотношения (19) и (20) эквивалентны (это разная запись
характера преобразования лучей оптической системой).
Следовательно, для рассматриваемого случая (Dp = 0) V2=Cpyi+0-V\ =
= Сру\. Это значит, что все лучи, идущие из одной и той же
входной опорной плоскости ОПи выходят из выходной опорной
плоскости под одним и тем же углом V2 = Cpyi к оси системы (т. е. в
виде параллельного пучка) независимо от того, под каким углом
27
"У г
Уг.
'Ар Вр
[Ср Dp\
'Ух'
Ух.
, где Ар Dp

Таблица 2. Таблица матриц преобразования лучей
Описание
Оптическая схема
Перемещение в
свободном пространстве
п
0П;1
jon2
Матрица преобразования
L0 1 J
Преломление на одной
поверхности
Г ° '1 =
L — (n2 — njr lj
Отражение от одной
поверхности
Г ! °1 = Г ' °1
L2n/r lj L—ф 1J
Тонкая линза в воздухе
с фокусным расстояни
ем f
o%nju
!,. J
#
П
0Я? ) I 0П2
Преобразование луча
между двумя главными
плоскостями системы
линз в воздухе
* н>
оп1
»1 Fj
ол2
г 1 <Нг 1 <Ь
L—г/г 1J L—ф iJ
Преобразование луча
между фокальными
плоскостями системы линз в
воздухе
-^.
#
ол?
* к
|0П2
г ° и
L —1//' о J
Преобразование луча
между двумя
сопряженными плоскостями
(поперечное увеличение Р)
Г Р On
L —i/r i/PJ
Афокальная система с
поперечным
увеличением р
ГР ОН
Lo i/pJ
28

Vx эти лучи входили в систему. Отсюда следует, что входная
плоскость 0#! должна быть передней фокальной плоскостью
системы (рис. 27,а).
2. £Р = 0, тогда y2=Apyi+0-Vi=Apyi. Это означает, что все
лучи, проходящие через точку Ох (с координатой ух) плоскости
ОП{ пройдут через одну и ту же точку 02 (с координатой у2)
плоскости ОП2. Следовательно, точки 0\ и 02 являются
соответственно точкой-предметом и точкой-изображением плоскостей
ОПх и ОП2 — оптически сопряженными плоскостями. Ар=у2[у\
есть поперечное увеличение системы (рис. 27,6).
& г)
Рис. 27. Схемы преобразования лучей
3. СР = 0, тогда V2=DpVi. Это означает, что параллельный
пучок лучей, вошедших в оптическую систему (например, под
углом щ к оптической оси), выйдет из нее также в виде
параллельного лучка под углом и2 к оси, т. е. данная оптическая
система является афокальной (рис. 27,в). Угловое увеличение системы
составляет n\Dpfn2=u2/ui.
4. Лр = 0, тогда уравнение для у2 записывается в виде у2 =
= BpVi. Это значит, что лучи, входящие в оптическую систему в
виде параллельного пучка лучей под углом щ к оси, в выходной
плоскости ОП2 пройдут через одну и ту же точку (с координатой
у«). Следовательно, в этом случае плоскость ОП2 является
задней фокальной плоскостью оптической системы (рис. 27,г).
Используя матричные методы в параксиальной оптике, легко
решать задачи геометрической оптики, излагаемые в курсах по
теории оптических систем.
Если рассматривать распространение волн с позиций
геометрической оптики, то тоже можно воспользоваться «матричной
оптикой». Кривизна сферического волнового фронта определяется
выражением Т\=у\\и\. Однако удобнее пользоваться понятием
«приведенное значение» радиуса кривизны R = ri/n\=y\lniUi =
=*yi/Vi. Использование приведенных значений дает следующее
преимущество: при пересечении плоской границы раздела двух
29

сред значение R для соответствующего волнового фронта не
меняется. Для сферического волнового фронта, центр которого
расположен на оси и данной опорной плоскости, значение R
является единственным параметром, который полностью определяет
форму волнового фронта.
Из формулы (20) следует, что после прохождения
сферической волной оптической системы приведенный радиус кривизны
волнового фронта определяется выражением:
Да= (Ар R1 + Bp)/(Cp RL + DP). (21)
Это выражение было известно и ранее, но в такой форме через,
коэффициенты матрицы Мр впервые было записано X. Когельни-
ком и названо «правилом ABCD». С помощью формулы (21)
легко вычислить кривизну сферического волнового фронта, центр
которого расположен на оси при переходе от одной опорной
плоскости к другой.
Матричное описание резонатора. Оптическая схема
резонатора, заполненного активной средой, представлена на рис. 1.
Матрица перемещения луча, соответствующая оптическому
промежутку между двумя зеркалами резонатора, содержит
приведенную длину L = d—Н—=d—(п—l)l/n. Входную опорную плос-
п
кость ОП\ удобно расположить на поверхности второго (частично
прозрачного) зеркала и рассматривать исходный луч Г^11
падающим на ОП\ в положительном направлении оси z. Вторую
опорную плоскость ОП2 также имеет смысл расположить там, где
находится и длоскость ОПи поскольку нас интересует
преобразование пучка за «полный проход» через резонатор (после
отражения от второго зеркала, излучение частично возвращается в
обратном направлении, проходит через среду к левому зеркалу
системы, затем возвращается и вновь проходит через среду к
выходному зеркалу).
Обозначив оптические силы первого и второго зеркал через Ф*
и Ф2, преобразование луча за один полный проход резонатора
можно записать в виде
' ь
V
'2"
?,
'А
С
Рв
pD
"1
0
р
'р.
1
1
1
—а
0 "
1 —
—а
ф
V
"I U
-0 1.
xL-.
2
f
" 1 0'
Ф1 02L
i«
'Ух
Ух.
Ц2~
1— Фг
' УЛ.
Ух\~
фхц-\
L J
(22)
Следует помнить, что радиусы кривизны вогнутых сферических
зеркал считаются положительными, выпуклых —
отрицательными. Для того, чтобы рассчитать изменение параметров луча
вследствие N последовательных полных проходов через
резонатор, нужно возвести полную матрицу преобразования лучей в
N-ю степень.
30

Расчет параметров пучка, формируемого резонатором. Зная
матрицу резонатора Mv, можно определить тип резонатора и
параметры формируемого им излучения. Олуская доказательства,
приведем табл. 3, иллюстрирующую связь между матрицей
резонатора и его оптическими свойствами. В таблице приведены
выражения для параметров Zk, /о, 26, R лазерного излучения,
выходящего из резонатора, матрица которого Мр = Г ^ ^ 1 [13].
Пример расчета. Рассмотрим резонатор, образованный двумя
вогнутыми зеркалами, каждое из которых имеет радиус кривизны 10 м (ф1==ф2=
=0,2 дптр), причем расстояние между зеркалами равно 34 см, т е L=0,34 м.
Матрица резонатора определяется в соответствии с формулой (22): Л1Р =
ГЛР -Яр! Где АР = 1-^iL—2Ф2£+Ф1Ф2£2=0,800; ВР = (2—OiL)L=0,657; СР =
|Gp Up I
==_ф1_ф24-ф1ф21=—0,3864; £)Р = 1—Ф11=0,932. Находим след матрицы: Лр +
+£р = 1,732. Следовательно, — К (Лр+£)р)/2<1 — резонатор устойчивый.
Собственные значения Xi,2=exp(±iO)=0,866zfc0,500t, так как cos0=(/4p-f-
+Dp)/2 = 0,866 и 0 = 0—180°. В нашем случае 6 = 30°, т. е. для 12 полных
проходов луча матрица преобразования лучей равна единичной матрице. Это
означает, что какой бы параксиальный луч в резонаторе не выбрали, после 12
полных проходов через резонатор его направление совпадает с
первоначальным В этом смысле имеем устойчивый резонатор, в котором все лучи после
некоторого количества проходов воспроизводятся и ни один из собственных
лучей не удаляется от оси и не выходит из системы.
Для нахождения матрицы, описывающей Л/"-кратный проход луча через
резонатор, можно пользоваться теоремой Сильвестра:
sin (N+ 1) О—Dp sin N 0 Вр sin N в
[Ср Dp]
MN гЛ» В
sin в sin в
Ср sin N в Dp sin N в—sin (N— 1)0
sin в sin в
Если в предыдущей формуле взять N=\, то получим матрицу, Мр =
X А В 1
— р р . При N=—1 имеем обратную матрицу, если N® кратно 2я -—
[Ср Dp J
единичная матрица
Пользуясь табл. 3, находим параметры гауссова пучка для
рассматриваемого резонатора.
1. Радиус кривизны волнового фронта в выходной опорной плоскости R==
~2Bp/(Dp—Ар) = 10 м, что соответствует радиусу кривизны зеркала.
2. Радиус сечения пучка в выходной опорной плоскости для А,=0,633 мкм
(на зеркале резонатора) /*i/e= (Х5Р/я sin 0)1/2=0,52 мм.
3. Положение сечения перетяжки 2= (Ар—:/)р)/2СР = 0,17 м — влево от
правого зеркала, т. е. располагается в центре рассматриваемого
симметричного резонатора.
4. Радиус в сечении перетяжки /ve(0) = (—^sinO/^CP)I/2=0,51 мм.
5. Конфокальный параметр пучка 2к=яг02А=—sin 0/Ср = 1,30 м, т. е.
ближняя зона пучка простирается от сечения перетяжки, смещенного от выходного
зеркала на 17 см влево до 1,13 м вправо. Согласно определению конфокального
31

Таблица 3. Таблица формул расчета параметров лазерного излучения
Рассматриваемое свойство
След матрицы
AP+DP
Главное собственное
значение hi (t берется
положительным, а О в
интервале 0—я)
Отношение компонент
собственного вектора
ylV=(ki—Dp)/CPt
V/y=(U-Ap)/Bp
Параметры гауссова
пучка:
радиус кривизны
волнового фронта
радиус сечения пучка
положение сечения
перетяжки
радиус в сечении
перетяжки пучка
конфокальный
параметр пучка
расходимость пучка (в
радианах)
Неустойчивые резонаторы
(гомоцентрический пучок)
Условия неустойчивого
резонатора:
(Ap+Dp)/2>\
— положительная ветвь,
(ЛР+£>р)/2<1
— отрицательная
?и= ±ехр /= ± (ch *+sh /),
cht=±(Ap+Dp)/2,
sh(t) =
=[(^)'-'Г
Радиус кривизны iR
#=(Xi—DP)/CP =
= (Лр—2)p)/2Cp±sh t/CPi
l/lR=(ta—Ap)/Bp=
= (Dp—AP)/2BP±sht/Bp
Устойчивые резонаторы
(эрмито-гауссов пучок)
Условие устойчивого
резонатора
—\<(AP+DP)/2<1
Xi = exp(/9)=cos9-f
+ /sin9,
cos9=G4p+£>p)/2,
sine =
-[-(^)T
Комплексный параметр
кривизны
l Ap— Dp
q = ~^p~ +
sin О
, sin 0 1
+ 11Г'Т +
+l—т
nr2
Выражения для
параметров гауссова пучка
R=2BPl{Dp—Ap)
ri/e=(X5p/jtsin0)1/2
z=(Ap—Dp)I2Cp
(влево от ОП)
ro=(~^sin0/jtCp)1/2
2K=Jtr2oA= (—sin 0)/Ср
20=2Уяго=2го/2к=
=2 {—%CPln sin0)4/2
32

параметра диаметр пучка в 0П2 увеличивается до |/Л2г1/е(0)=0,7 мм и
радиус кривизны волнового фронта /?=2zK = 2,6 м.
6. Расходимость в дальней зоне (в радианах) 20=2А,/яг1/е(О) =
=2r1/e(0)/2K=2(—XCp/n sin в)1/а=0,8 мрад=3'.
Следует иметь в виду, что если ввести в рассматриваемый резонатор
центральный гауссов пучок, радиус пятна которого в сечении перетяжки и
конфокальный параметр имеют значения, немного отличающиеся от выше
приведенных, то в этом случае полной воспроизводимости уже не будет, но после
шестикратного полного прохода резонатора (при 0=я/6 и симметричной моде)
опять получим исходный пучок.
Если резонатор характеризуется большим числом Френеля, то гауссов
пучок последнего типа будет циркулировать бесконечно долго. На практике обьтс-
но устойчивая генерация достигается в режиме основной моды в тех случаях,
когда в точно делится на я или 2я.
Правило ABCD для гауссовых пучков. X. Когельник
предложил ввести для характеристики лазерного излучения так
называемый комплексный параметр кривизны q(z)> который связан с
R и r2(z) соотношением \lq=\IR + i%lnr2{z). Введение величины.-
q удобно потому, что если матрица оптической системы известнаи
АИЛ
лр пр I то изменение комплексного параметра кривизны огг-
ределяется выражением q2 = (Apqi + Bp)/(CPqi + Dp)y которое
идентично выражению (21), т. е. изменяется по тому же закону>
что и кривизна волнового фронта в геометрической оптике.
Применим правило ABCD к рассмотрению преобразования
лазерного пучка одиночной линзой. Проведем вычисления при
выводе формул с учетом правила знаков, принятого в оптике.
Выберем в качестве опорных плоскостей ОП\ и ОП2 сечение
перетяжки пучка до и после преобразования. Положение опорных
плоскостей будет определять отрезками ар и
преобразования оптической системы для
чая:
a'v
Запишем матрицу
рассматриваемого слу-
Мр =
Ар Вр
Cn Dr
-иг
а.
1
L-i/f
—"р ■ -Р
l + ajr
01
1_
Г1
.0
р «;/г
—ар]
1J
•
Так как опорные -плоскости совпадают с сечениями перетяжки,
то комплексные параметры кривизны #1=—izit q2=—iz'\.
Записываем правило преобразования комплексного параметра q
оптической системой:
q2= Ардг + Вр = — (l — gp/Г) i*x+ Др—gp + gpgp/Г =
Cpqi + Dp fci//' + (l + «p//')
•iz
или
2—60
f *«;-<(
i+
+ — apa'
' t> p p
V J ' "
aP +
33

Из последнего соотношения получаем два уравнения
{ ^z\lf' = a'p-ap + apa'plf ;
Решая эти уравнения, находим выражения для г'\ и а'р:
1_ f£.= 1 + (ар/Г) .
;' ^/fr + (i + af)2 '
ГЛАВА ВТОРАЯ
ПАРАКСИАЛЬНЫЙ РАСЧЕТ
ОСНОВНЫХ ТИПОВ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. ПЕРЕДАЧА ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ В СВОБОДНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
В оптической связи (атмосферной и космической) при
лазерной локации и т. п. возникает необходимость передачи лазерного
излучения на расстояние. При этом, как правило, требуется
получить 'пятно достаточно малого диаметра 2гп в плоскости приема
•на некотором расстоянии L от излучающей системы.
Желательно, чтобы диаметр 2ги пятна на излучающей оптике также был
достаточно мал. Будем считать, что излучающая оптическая
система формирует перетяжку лазерного пучка диаметром 2r'v на
расстоянии s'p от излучающей линзы (рис. 28). Тогда диаметры
2ги и 2гп в соответствии с уравнением огибающей лазерного
пучка (8) можно выразить так: . r2K=r'2p+s'2p®'2; r2n=r'2v+(L—
—s'p)2®'2, где в'—расходимость пучка, сформированного излу-
Рис. 28. Передача лазерного пучка через свободное пространство
34

чающей линзой. Исключим из этих соотношений параметры в" и
г'р, учитывая, что их произведение равно инварианту лазерного
пучка Jp (16). Продифференцировав полученное выражение по
s'p, найдем условия минимальности диаметров 2ги и 2гп пятна в
начале и на конце линии [39]:
s; ~L rll{rl + rl) ; 1/г;2=1/г2+ 1/г2в (23)
Причем минимально достижимые значения 2ги и 2гп
определяются из [39]:
гигп = 1/р. (24)
Для заполнения пучком лазера излучающей линзы, при
небольших габаритах излучающей системы и малой расходимости
лазерного пучка, между лазером и излучающей линзой
необходимо поместить вспомогательную короткофокусную линзу, которая
вместе с излучающей линзой образует телескопическую систему,
работающую в обратном ходе лучей. Вводя расфокусировку А
телескопа, можно добиться выполнения условий (23). Для
определения параметров сформированного расфокусированным
телескопом лазерного пучка применим метод двух лучей и формулы (4):
Для луча / (if) = 0) получим (рис. 29): aIo = 0; hl\ = rp; aIi = rp///i;
Рис. 29. Ход через телескоп двух лучей, определяющих форму лазерного пучка
/li2 = _rp(//2 + A)///r, aI2 = —rPA/f/i/f/2. Аналогично для луча // (гр =
= я/2) :а»0=в; W^-effV-Zp); a"i = e2p//'i; h"2~e(f'*i + '
+ ZpA + Zpf2)//'i; а112=-в(//21+грА)///1Г2. Здесь f\ и
/'2-фокусные расстояния первой и второй линз телескопа; 2гр и 20 —
диаметр перетяжки и расходимость исходного лазерного пучка; zv —
расстояние до его перетяжки от передней фокальной плоскости
первой линзы телескопа. Уравнения лучей / и //, вышедших из
телескопа, запишем в следующем виде: у (z) = h2— a2z. Найдем
диаметр 2r(z) лазерного пучка на расстоянии z от второй линзы
телескопа r2(z) = [yl(z)]2+[yll(z)]2. Положив z = L, получим
соотношение, из которого определится диаметр 2гп пучка в
плоскости приема в общем, неоптимизированном, случае:
Г г' 12 / \ 2 Г / *' \2
rih 1= ± !_) +_Lr/A) +
L rPf2{L-Q \ \П L-f'2J г\ \\f'2J
2* 35

где 2K — конфокальный параметр (длина ближней зоны)
исходного пучка. Положив г = 0, получим соотношение для определения
2гп диаметра пучка на излучающей линзе. Продифференцировав
выражение (25) по А и приравняв производную нулю, найдем
(необходимую расфокусировку Aopt и .соответствующие ей
минимальные диаметры лятна в плоскостях излучения и приема: 2ги и 2га
[42]:
/'2
Д = il у f'2/(z2 4- z2\ •
(rJr^^[f\(L-f'2)ir2fl{zl + zl);
XrJrPY=-[(z^-z>)/z>K] [Lf'2/(L-f2) f[\2 + f?l{zl + z>p). (26)
Нетрудно убедиться, что при полученных значениях гп и ги
соотношение (24) выполняется с достаточно «высокой степенью
приближения.
Неточность котировочного механизма приводит к увеличению
диаметра 'Пятна в плоскости приема. Из (25) .следует, что допуск
<Д> на расфокусировку равен:
<Д>» = 22с (/?_!), (27)
где К — коэффициент допустимого увеличения диаметра пятна в
плоскости приема, a zKC— длина ближней зоны пучка между
линзами телескопа.
Номограмма на рис. 30 построена по формуле (24) и позволяет
произвести выбор диаметров пучка на излучающей линзе и в приемной плоскости по-
известной длине трассы L и длине волны X излучения (для лазера,
работающего на основной моде, по уровню энергии 1/е2) или значению инварианта JP
(в общем случае). Диаметр Du излучающей оптики следует брать несколько
большим 2ги с тем, чтобы избежать дифракции пучка на оправе линзы 1. При
пользовании номограммой следует попарно соединить прямыми точки с
интересующими нас числовыми значениями величин на двух крайних и на двух
внутренних шкалах номограммы. Причем точка пересечения этих прямых
должна лежать на средней, немой, шкале номограммы.
При передаче на расстояние излучения полупроводниковых
лазеров нет необходимости в дополнительной линзе, так как их
расходимость достаточно велика и соответствует относительным
отверстиям используемых для их формирования объективов.
Значения zK ближней зоны пучков полупроводниковых лазеров очень
малы по сравнению с фокусными расстояниями объективов. При
этом формулы (3) практически переходят в формулы для о,бычных
источников света, т. е. излучающий объектив строит изображение
1 В [17] рекомендуется £>и/2ги^2,2.
36

лазера в плоскости приема: !ГИ=6/'И; rn=rvLlf\. Когда
излучающий диод работает в люминесцентном режиме, его расходимость
существенно увеличивается tno сравнению с лазерным режимом.
При этом неизбежно диафрагмирование на излучающей оптике.
олХ
цзХ-
о, 15-1
0,1 \-
0,08±
Ц06%
40J+
Ш\
Рис. 30.
метров
ш
Veo
U717
f№
Ш
1зо
+ 25
Л20
%%18
St"
f/z
fn
\ю
\8
\Г
Tf
rirWH
r%f r
№ Vol
0:6
•0,0
■0,4
Г W%
2 +
60
f+.
■0.8
'1.0
10 -
+3
•4 4_
■5<n-3
■6>°
■8
■10
ю'Ч-
■20
40
4~ in~5
10 J+
Л-г^нмх^дВ
tr
-z
•4-
■F
8
10
■12
■14
16
18
■20
22
24
26
28
■30
32
■34
36
38
40
42
44
4-6
4-8
50
70T
5o:
40-
30-
20-
15-
10.
7,0'-
5,0'-
4,0-
3,0-
Ю-
1,5 •
1,0,
0.7-
0,5'.
0,4-
0,3
0,2
Ъ, '
CM .
30
20
15
10
10
.5,0
4,0
■3,0
2,0
'1,5
1,0
0,7
0,5
0,4
■0,3
■0,2
-0,15
• 0,1
'■0,07
'•0;05
701
5o:
40-
30-
20-
15-
/0:
Z0:
5,0-
4,0-
3}0-
2,0-
1,5-
1,0..
0,7'
0,5'-
0,4-
0,3-
0,2-
мм угп мин\
170
150
•40
-JO
-20
-15
-JO
40
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-If
-1,0
-0,7
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
X,mkm\
\1S
'M
■ 40
• 30
-20
■15
•JO
:7,0
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,5
JO
'-0,7
'-0,5
-0,4
-0,3
-0,Z
rntcti
Номограмма для выбора диа-
пучка на излучающей линзе и
в плоскости приема
Рис. 31. Номограмма для
определения коэффициента передачи линии на
светодиоде
Будем считать, что люминесцентный диод имеет ламбертову
диаграмму направленности. Это оправдано тем, что в пределах угла
расходимости примерно 2-50° диаграмма его направленности
действительно близка к ламбертовой, а затем спадает гораздо
быстрее. Угол охвата излучения передающей оптикой обычно меньше
2-50°, поэтому для того, чтобы учесть спад диаграммы
направленности при больших углах, достаточно ввести коэффициент я,
равный отношению интегральных мощностей излучения лам;бертова
источника и люминесцентного диода при одинаковой осевой
интенсивности. Коэффициент т передачи мощности излучения на трассе
представим воспользовавшись формулой Манжена — Чиколева
[28]: ч=п(гцГп/грЬ)2. В этом выражении отсутствует фокусное
расстояние f'jn излучающей линзы, так как освещенность изображения
ламбертова источника не зависит от него. Важно лишь, чтобы
линза сформировала изображение люминесцентного диода в плоско*
сти приема.
37

По номограмме на рис. 31 можно определить т. Выражение для
% справедливо, если угол охвата излучения передающей линзой не
превосходит угла ср, в пределах которого диаграмма
направленности люминесцентного диода близка к ламбертовой. Кроме того,
изображение диода, формируемое в плоскости приема, должно
полностью покрывать приемную оптику. Если одно из этих условий
нарушено, то величина % меньше определяемой из формулы, так
как площадь приемной или излучающей оптики используется
неэффективно. Отсюда следуют ограничения, накладываемые на
фокусное расстояние излучающей линзы: ги/ф<Ги<С^р^п.
Из выражения для коэффициента передачи т следует, что
наиболее экономичен такой вариант построения линии, когда
диаметры излучающей и приемной оптики равны друг другу. Это же
относится и к лазерной передающей линии (без учета влияния
атмосферы)— см. (24). При этом излучающая оптическая система
формирует пучок так, что его перетяжка находится точно
посередине трассы, и всю длину трассы занимает его ближняя зона»
т. е. s'p = z'k = L/2. В общем случае г^Фги и, как следует из (23),
Задача 1. Определить минимальные размеры пятна, формируемого
телескопом на конце открытой линии, и диапазон юстировки телескопа. Длина
L линии может изменяться от 0,5 до 5 км. Лазер работает на основной моде
(Х=0,63 мкм). Диаметр излучающей линзы Х)и= 11 см, а ее фокусное
расстояние /'2=80 см. Длина ближней зоны пучка лазера гк=1,47 м.
Решение. Будем считать, что на оправе линзы интенсивность поля
спадает так, что /(м = 2,1, тогда дифракцией за счет диафрагмирования можно
пренебречь. Используя график на рис. 3, найдем, что по уровню энергии 1/е2
величина ги= 11/2x2,1=2,63 см. Используя номограмму на рис. 30 или
формулу (24), получаем при L=0,5 км 2гп = 7,6 мм, а при L = 5 кмх2гп=7,6 см.
Положив zp = 0, определим из (26): Д = 0,82/(500—0,8) =0,0013 м при L=0,5 км
и А=1,ЗХЮ-4 м при L=5 км, т. е. диапазон юстировки составляет 1,2 мм.
Из (26) имеем f/i^ff2rPyrz2K-{-z2p/zKr1!l rp = y Kzk/tc, т. е. гр = 0,55 мм и /'i =
= 0,8 • 0,55 • 10~3/0,0263 мм. Выбираем fi = 20 мм. Тогда фактически 2ги = 44 мм,
2гп = 9,1 мм (L = 0,5 км), 2гп=91 мм (L = 5 км).
Задача 2. Определить диаметр пятна, формируемого телескопом (fi =
= 3 см, f2=30 см, <2=35 см) на конце линии L=100 м. У исходного пучка
2гр = 1,65 мм, 2в=1,12-10-3 рад, sp=—10 см.
Решение. Используем (25). Первое слагаемое правой части равно
[(0,35—0,3—0,03)/0,32—1/100]2=0,2122=0,045. Второе слагаемое: [(0,03/0,3)2+
+ (—0,1 +0,03) -0,212]2- (1,12/1,б5)2= Ю-5. Отсюда 2гп = 0,212-1,65-10"3-0,ЗХ
X 100/0,03=0,35 м.
Задача 3. Определить потери энергии в светодиодной линии, если
2ги=2гп=12 см, L = 100 м, 2гр = 0,5 мм, я=3, и диапазон допустимых фокусных
расстояний излучающей линзы, если ф=50°.
Решение. т=3(0,062/0,00025-100)2=6,2%. Нижняя граница диапазона ?
равна 0,06-130/50-3,14«7 см; верхняя — 0,00025-100/0,06«40 см.
38

2.2. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ИЗМЕНЕНИЯ
РАСХОДИМОСТИ ПУЧКОВ
Уменьшение расходимости лазерного излучения с помощью
оптической системы, как видно из формул (3), возможно только при
аг>1, т. е. f'>zK. В случае газовых лазеров, конфокальные
параметры zK которых обычно имеют значения лорядка метров,
уменьшить расходимость с помощью одиночной линзы практически
невозможно — это приведет к большим габаритам всей системы.
Проведем рассмотрение двух- и трехкомтюнентных систем,
которые можно использовать для непрерывного изменения
расходимости, т. е. систем, в которых компоненты (все или часть)
перемещаются. Расходимость излучения из оптической системы (см.
§ 1.2) равна 2в' = 2г////, где г/ — радиус сечения пучка в передней
фокальной плоскости оптической системы (расходимость пучка
равна угловому размеру сечения пучка в бесконечности, которое
оптически сопряжено с передней фокальной плоскостью
последнего компонента).
Поэтому оптическую систему для изменения расходимости
можно представить как комбинацию системы переменного увеличения
(СПУ) и коллимирующего объектива, причем плоскость
изображения (ПИ) СПУ совмещена с передней фокальной плоскостью
коллимирующего объектива (рис. 32). Если ПИ неподвижна, то л
коллимирующий объектив
неподвижен, если плоскость ПИ совпадает с
задней фокальной плоскостью СПУ,
то в целом вся система будет афо-
кальной. При такой схеме
изменения расходимости простейшей
является двухкомпонентная оптическая
система, представляющая собой
комбинацию однокомпонентной
СПУ, увеличение которой
изменяется при перемещении оптического
компонента и предметной плоскости ПП, и неподвижного
коллимирующего объектива (рис. 33). Найдем выражение для расходимости
2®' в такой оптической системе. Обозначим перемещение
оптического компонента через si=*iitn, где т — переменный параметр, a t'i =
= const. Расходимость излучения, преобразованного оптической си-
СПУ
Рис. 32.
менения
Оптическая система из-
расходимости лазерного
пучка
Сеч Пёр.
Рис. 33. Оптическая система с однокомпонентной СПУ
39

стемой, составляет 2@' = 2rf/f't где rf = rz(3i, г*— радиус сечения
пучка в ПЛ, оптически сопряженной с ПИ и равный п = г0 [ 1 + {zv—Z\)2/
z2K]l/2 (для случая изменения интенсивности в сечении пучка по
уровню 1/е2 и для моды ТЕМоо). Следовательно, чтобы найти г и
нужно знать значения zp, Z\ и |3 в функции s\ перемещения
компонента [25]: 2i = /2i/(s—d0)f zp = Zpo—su Pi= (do—si)//i.
Расходимость определяется выражением:
/2 L zk \
(28)
Из (28) можно получить, что при d0 = 0 (система становится афо-
кальной, так как d0— расстояние между фокусами F\ и F2) 20'=
= 20o|//i///2|. Из (28) также очевидно, что если zK=oo; то
выражение (28) определяет расходимость излучения, представляющего
собой плоскую волну на входе оптической системы. На входе
гауссов пучок характеризуется в (28) членом [l + (zp0—&\ +
/:
i)/zVJ1'2.
d0—Si
Из (28) можно найти выражение для агэ и z'p2:
^2 = <*гэ [«pi (1 +гР1 (dt-sj/fj2) + (d0-si)2 #tf ] ;
схгэ=(2в0/2в')я = г^„ =
c2 г2
_ /1 /2
4 (do — s^ +[f2 + (Zpo — sJ (do — sj ]2 *
Для случая, когда перемещаются оба компонента,
агэ= (2 в0/2 ©')*=</*« =
в fUl
4 (do—S! + s2)2 + [ f\ + (zP0 — Sl) (d0-Sl+s2)] 2 "
Рассмотрим теперь двухкомпонентную СПУ. В этом случае
возможны различные варианты оптических систем с различной
кинематикой перемещения компонентов и ПП. Простейшая система —
неподвижный первый компонент и перемещающийся второй
(рис. 34). В этом случае расходимость излучения на выходе
оптической системы определяется формулой [24]:
2 в'=2/>,//;= ^
2 . (zP—2i)a
4
I/2p = 2 0o[z2 + (zp-Zl)*]'/2p//;,
(29)
40

где $ = — (l/fif2y[s22+s2(do—z'2o)+f22—zf2odo] —увеличение СПУ
в функции перемещения второго компонента: s2 = t2m; ei=f2i(z/2o—
—s2)/[f22—{z'20—s2)(do+s2)]\ Zp=zPo\ 2®o=2r0/zK. Если в качестве
СПУ использовать систему с перемещающимся первым и вторым
компонентами, то имеет смысл эти компоненты перемещать па ли-
Рис. 34. Оптическая система с двухкомпонентной СПУ
нейным законам [25]: si=*i\m, s2 = km, где i\ и i2 — постоянные
величины, определяющие смещения компонентов, am — переменный
параметр. В этом случае расходимость излучения 26'
определяется формулой:
2 в' = 2 0О [г* + (гр-г№* Щ9 (30)
где zp = Zpo—Si = zpo—iim; Zi = f2i{z'20—S2)/[f22—{z'2o—S2)(do+S2—
Sl)]\ $ = -(Vhf2)[f22-(z'20-S2)ido + S2-Sl)].
В формулах (28) — (30) 2к = оо означает переход к формулам
теории оптических систем; 2г0 в этом случае просто размер
предмета в ПП (2/=2г0). Из последней формулы можно лолучить и
выражение
агэ = (2 6о/2 0')2= ^ l/lz2K+(zP0-s1-z1Y].
Если перемещаются все три компонента, выражение для агэ
имеет вид
«гэ = Я П flflzp (fl-d, d2)-ff rf,]»_+Z* (fl-d, d2)\
При расчете обычно рассматривают системы, в которых не
создается (промежуточных изображений (другими словами, сечения
перетяжки должны быть мнимыми или находиться вне оптической
системы). Поэтому имеет смысл строить системы, схемы которых
представлены на рис. 35. Метод удобен тем, что при создании
таких систем можно использовать опыт, накопленный при
(проектировании панкратических систем, отбирая системы, имеющие
нужный перепад увеличений М.
Приведем пример. Требуется изменять расходимость излучения лазера в
пределах 20'= 1—12'. Параметры резонатора следующие: Rl=R2=lO м, L=
=34 см (следует иметь в виду, что при расчете оптических систем для
лазерного излучения всегда необходимо знать параметры резонатора, определяющие
параметры излучения). Для указанного устойчивого резонатора гауссов пучок
41

характеризуется параметрами: 2г0=1,02 мм, zK=\,3 м, 2во=0,79-10-3 рад=3'.
Выбираем в качестве СПУ двухкомпонентную систему с перепадом
увеличений М=15 и перемещающимся первым и вторым компонентами по законам
5l=—m, s2=0,lm [25] с параметрами в относительных единицах: 2/2о=0,35;
f22=0,9075; /21=so,1817; z0= 1,2727; d0=2,4497; £2=0,1; 6=75; |р| = 0,05—0,75,
ПИПЛ
ПП ПИ
Y i
т-£
A f
СПУ
Рис. 35. Схемы оптических систем изменения расходимости лазерных пучков
Возьмем перемещение первого компонента равным 100 мм (т. е. т—\—50 мм).
Тогда z'2o=17,5 мм, d0= 122,49 мм, 20=63,63 мм, /ч=21,31 мм, /2=47,63 мм.
Выбираем zp0=—300 мм. В положениях т—0, т=±1 значение zpq—Zi=zp0—
—20=—363 мм. Из условия 20/(|р|=О,О5) = Г=О,ООО29, используя формулу
(30), находим фокусное расстояние коллимирующего объектива /'3=0,176 м.
Полученная система представлена на рис. 36. Она обеспечивает нужный
перепад увеличений и изменение угла расходимости в заданных пределах.
-*—
<"•
ч
84.S4
пи >
г*
30,13 J
53,55
122 Лд
/
ч
176
ПП i
fz
J-163
^
'
'
Рис. 36. Схема оптической системы
Рис. 37. График изменения
расходимости в функции параметра т
На рис. 37 приведены результаты расчета изменения расходимости
излучения в функции т. Из рисунка видно, что действительно |3(— l)/£(+l) = 15.
Однако очевидно, что в данной оптической системе можно получить больший-
перепад изменения углов расходимости М (де 50) или уменьшить перемещение
компонентов, взяв т=+0,5 -*• — 0,3, что обеспечивает изменение расходимости-
в пределах 20'= 1—12'.
Если в излучении присутствуют и высшие типы колебаний
(кроме основного ТЕМоо), то в формулах (28) — (30) правую часть
выражений нужно умножать на коэффициент Дм, учитывающий
увеличение размера пятен для высших типов колебаний по
сравнению с основным — см (2).
42

Для изменения расходимости излучения можно пользоваться и
более сложными оптическими системами, представляющими собой
нанкратические афокальные системы [25], в которых
расходимость изменяется в любых заданных пределах. В таких системах
она определяется по формуле 20'=20o|/'i var/Гк! =20o|fi/fK var].
Из формул же (28) — (30) следует, что в коллимирующих
системах 2072eo=i[z2K+(zp—zi)2]1/2/fKvar, где fKVar = f2/(3.
Следовательно, 207200 <1 возможно при условии [z2K+ (zp—Zi)2]1/2<
<Гкуаг, выполнение которого при больших zK приводит к
значительному увеличению габаритов системы. В табл. 4 приведены
параметры СПУ, используемые при расчете систем изменения
расходимости лазерного излучения. (Параметр i0 во всех случаях
равен 0.)
Если основой афокальной системы является СПУ с
механической компенсацией, то в этом случае 20/=20o|fi|3cny №'к\ и Рас*
чет такой системы в основном совпадает с расчетом обычной
афокальной панкратической системы. Если же хотим использовать
СПУ с линейным перемещением компонентов, то нужна
зависимость 20' в функции перемещения компонентов. Для получения
таких зависимостей можно использовать формулы (28) — (30), в
которых вместо параметра конфокалытсти zK подставить параметр
конфокальности гауссова пучка после его преобразования первым
компонентом афокальной системы, т. е. zK = zOKaro, где аго=*
= f2i/(z20K + z2P0); 200=20/Ка^"; zp = z0-zPof2il(z\K + z*PO).
Следовательно, формулы для расчета изменения расходимости
афокальной панкратической системой принимают следующий вид:
2 в0
трехкомпонентная система 2@' = -yzzz [z2OKa2ro+(z0—zparo +
У аго
+A-S2)T'277L;
d0—s2 /2 /з
четырехкомпонентная система
2 в' = (2 в0/1/^) [го2ко£о + (го-гр ссго-г^2]1/2 ф/fd \
Р= -(!//. /з) [/§-(4,-*) (d0 + s3~s2)]y
Za = /| (4—s3)/[/s —(z20-~s3) (do + s8 —Sg)]-
Выбираем нужную СПУ. Затем подбираем фокусные расстояния
первого и последнего компонентов. Проверяем по формулам (29)
и (30) возможность использования линейного перемещения
компонентов, т. е. рассчитываем закон изменения расходимости при
линейном перемещении компонентов. Если линейное перемещение
компонентов обеспечивает изменение расходимости в заданных
пределах, то переходят к дальнейшему расчету, оставляя
перемещение компонентов линейным. Если же линейное перемещение, не
обеспечивает выполнение заданных технических условий, то,
оставляя ту же СПУ, переходим к системе с механической
компенсацией, определив закон перемещения одного из компонентов
системы, обеспечивающий неподвижность ПИ.
43

44
Таблица 4. Таблица значений параметров СПУ
0,7744— 0,99 0,21806 YfWl^Sf I
1/15 -0,0516 —1.1 0.1 75/7,5 0,35 (0>995) 1,3999 2,6724 (0,467) I—[—.
]. т9? .|ПП
1/10 0,55-0,055—1 0,1 100/10 0,45 (l'flll) 1,3728 3,4399 (б?477)8 _ТПИ|^Т
1 21 П 49fi7 Ynui^^Y I
1/9 0,57-0,063-1 0,1 90/9 0,4 (/(1) 1,4545 2,7995 (о|б717) Г~1

45
Продолжение
М Р *i *■ О/у z'20 /22 20 </0 /2! Схема кт^О)
I III Н-тгЧ™
]/8 УЖг -1 К15 8о'12 °>7875 IS) 1>*т\ 4>3696 AS ггп -
1/7 0,6059— - л 1С 7П/1П ч п G7* 2,4577 t ,7Ло ч <Vtt 0,4454 ТПИ^Т
1/7 -0,086 ~~] 0,15 70/10,5 0,675 (15б8) 1,5789 3,358 ((j66?) пии^
I II III I «—»-i
I I III I 1« У5У ЧП1Г
^ ЗДгЙ H.240,2 60/12 1 f2'f|84) 2,0825 4,832 (J-g* ■ П
J/4 0,72-0,18 -1 P'5 4°/20 3>75 3(5J228) ^9714 8>2926 (dSS) "| | 'Т
■ ■пиши 'чини ян ИД и i|w ■ n "mm ' " 1Ш.ХШШ ■ iihi mm inn— urn in imim I iuiii ■■ ■ Him i J ————in mi ——■—— m umimi i hiimihi ямиии им и hi.i i hiiiij ■■ ни»»—нш«

2.3. ПЕРЕДАЧА ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ ФОКУСИРУЮЩИМИ
СВЕТОВОДАМИ
Эффект фокусировки лежит в основе принципа работы
линзовых, зеркальных и градиентных волоконных световодов.
Линзовые или зеркальные световоды представляют собой
последовательность одинаковых эквидистантных линз или зеркал,
фокусирующих пучок света. Формально ход лучей в таких световодах
описывается так же, как и ход лучей в лазерном резонаторе, т. е.
траектория луча в устойчивом световоде представляет собой
синусоиду— см. (7) и рис. 38. Разумеется синусоиде соответствуют
только точки преломления луча на линзах. В промежутках между
линзами луч идет по отрезкам прямых. Понятие устойчивости
линзового световода аналогично понятию устойчивости
симметричного резонатора (см. § 1.3) и выражается неравенством 0<
<^сФс<4, где dc— расстояние между линзами световода, а Фс—
их оптическая сила.
к=0 k=f k=Z k=J к=^ к=5
Рис. 38. Ход лазерного пучка в линзовом световоде
В градиентных световодах фоксирующий эффект распределен
равномерно по всей их длине за счет квадратичного распределения
показателя преломления в поперечном сечении:
п(у)/пг=1— 0,5Ф2гу2, (31)
где пг—показатель преломления на оси; у — координата,
перпендикулярная оси; Фг — коэффициент, определяющий фокусирующие
свойства градиентной среды. Вид траектории луча в градиентном
световоде определяется из решения дифференциального уравнения
[22] d2hfdz2 = —Ф2гй (h — поперечная координата луча) и также
представляет собой синусоиду:
h (z) = h0 cos (Фг z)—(сг0/Фг) sin (Фг z). (32)
Здесь z — координата вдоль оси фокусирующей среды; h0 и о0
соответственно линейная и угловая поперечные координаты луча при
z=0. В данном случае условие устойчивости записывается как
Фг>0. Длина периода осцилляции луча (7) в линзовом световоде
равна T = 2ndc/(x> или при dc<Pc<Cl Г^2я]/^с/Фс, а в градиентном
Г=2я/Фг.
46

Фокусирующие световоды могут использоваться для передачи
изображения. На длинах, кратных целому числу Г, строятся прямые изображения, а
через Г/2 — перевернутые. В параксиальном приближении оптическая длина
всех лучей, прошедших через фокусирующий световод, одинакова.
Градиентные волоконные световоды обладают более широкой полосой пропускания, чем
ступенчатые, и находят применение в оптической связи [14]. Линзовые
световоды используются в тех случаях, когда требуется широкая полоса
пропускания либо необходимо передавать на расстояние фазу электромагнитного поля
Найдем форму огибающей лазерного пучка, идущего по
фокусирующему световоду. Для этого воспользуемся формулами (7) и
(32) и методом двух лучей. Для градиентного световода (рис.39)
[20 J:
г2 (г) = [rp cos (Фг z)f + [0 sp cos (Фг z) - (в п/ФГ пг) sin (Фг г)]2,
откуда
где
г2 (г) = г\р + A cos (2 Фг г)—В sin (2 Фг г),
гср= т К +02 sp +@2 "2/фг *?);
А = ~ К+02 sl -®2 "2/фг2 *?);
B = spe2n/G)rnr.
(33)
л
щ=щ^^
1
^Щу\
1
в
^к
* ~sp
>
— // Лг //' .... '/'
,
^
^
^
-»^
■*
. я
dr
^
if
,
'/
f
Sp
г
ZK
1
\е-|
Рис. 39. Ход лазерного пучка в градиентном фокусирующем световоде
Здесь 2r(z) —диаметр лазерного пучка в фокусирующем
световоде; z — продольная координата; 2гр и 2G — диаметр
перетяжки и расходимость исходного лазерного лучка; sPr—
расстояние от переднего торца фокусирующего световода до
перетяжки исходного пучка; п — показатель преломления
среды перед фокусирующим световодом. Формула (33)
справедлива и для линзового световода [38], если заменить
Фгг на Ы (k — номер линзы, начиная с £=0) — сад. рис.
47

38. Выражения для гсР, А и В в этом случае опускаем. Из формулы
{33) видно, что диаметр пучка в световоде пульсирует, причем в
два раза чаще, чем отдельно взятый луч (см. рис. 38 и 39).
Огибающая пучка на этих рисунках построена графически по методу
двух лучей.
При передаче лазерного пучка по фокусирующему световоду
желательно, чтобы он имел минимально возможный диаметр, так
как при увеличении диаметра пучка возрастают потери
передаваемой оптической энергии и уменьшается широкополосность линии
[22]. Пучок, имеющий минимально возможный диаметр в
световоде, называется согласованным. Очевидно, что зависимость 2r(z)
(диаметра лазерного пучка в градиентном световоде) от sp
(расстояния от переднего торца световода до перетяжки входящего в
него лазерного пучка) такова, что минимальным значениям г (г)
соответствует sp = 0, т. е. перетяжка пучка должна быть
сформирована на входном торце световода. При этом диаметр пучка
пульсирует между значениями 2r(z)=2rp и 2г(г)=2®п/ФГпГ.
При помощи оптической системы можно изменять значения
гр и 0 пучка на входе .в световод с учетом того, что их
произведение остается инвариантным (16). При гр = ®п/Фгпг пульсации
пучка исчезают, диаметр лазерного лучка ib световоде становится
минимально возможным и равным диаметру перетяжки лучка на
входе в световод: 2r(z) = 2гр = 2]/г1р/Фгпг, где Jv — инвариант
лазерного пучка (16). При этом конфокальный параметр (длина
ближней зоны) согласованного пучка должен 'быть равен: zK =
= Гр/6=!я/ФгЯг. Огибающая согласованного пучка в градиентном
световоде представляет собой прямую линию (в трехмерной
картине — прямой круговой цилиндр), хотя каждый отдельный луч
идет по синусоиде (в трехмерной картине — по спирали).
Выходящий из заднего торца градиентного световода пучок,
согласованный с этим световодом, воспроизводит форму пучка на
входе, независимо от длины dv световода, лричем перетяжка
выходящего пучка всегда находится на заднем торце световода.
Аналогично можно найти условия согласования лазерного
пучка с линзовым световодом [38]. Перетяжка согласованного
пучка должна находится на расстоянии sp =—dc/2 от первой
линзы световода, а длина zK его ближней зоны соответствовать
формуле (9), если под dc и Фс в ней лонимать лараметры световода,
т. е. лазерный пучок согласован со световодом, если
геометрические параметры лазерного резонатора и световода одинаковы.
Диаметр 2гь согласованного пучка на всех линзах световода
одинаков и равен 2о1=,2гСр = 2 уг472^с/[Фс(4—dc<Dc)]. Форма пуика
в любом промежутке между линзами ловторяет форму пучка на
входе в световод (рис. 40). Перетяжка лучка формируется точно
посередине между любыми соседними линзами, ее диаметр и
расходимость равны диаметру перетяжки и расходимости лучка,
входящего в световод, лричем rp/rft=cos(o)/2). При лреломлении
согласованного лазерного лучка ла каждой линзе световода лара-
48

метр t[) изменяется на одно и то же значение Ai]) = o) (в
градиентном световоде Дг|) = Фг^г).
Фокусирующий световод можно рассматривать как пространственный
фильтр излучения. Если на один его конец подать пучок лучей от бесконечного
источника с широкой диаграммой направленности, то на другом сформируется
Рис. 40. Пучок, согласованный с линзовым световодом
пучок с гиперболической огибающей, перетяжка которого находится на
расстоянии dc/2 от последней линзы линзового световода либо на выходном торце
градиентного световода. Длина zK ближней зоны, сформировавшегося таким
образом пучка, равна длине ближней зоны пучка, согласованного с
соответствующим световодом. Диаметр перетяжки сформировавшегося пучка равен
диаметру световедущей части градиентного световода или в cos(w/2) раз меньше
диаметра линзового световода. Таким образом, условия согласования лазерного
пучка с фокусирующим световодом можно сформулировать так: длина ближней
зоны и положение перетяжки лазерного пучка, подаваемого на вход
фокусирующего световода, должны совпадать с длиной ближней зоны и положением
перетяжки пучка, сформировавшегося на входе световода при его засветке в
обратном ходе лучей источником рассеянного света. Размеры перетяжек этих
пучков и их расходимости, вообще говоря, не обязаны совпадать. Дальше (в
§ 2.8) показано, что условия согласования лазерного пучка с волоконным
световодом, обладающим ступенчатым распределением показателя преломления,
аналогичны.
Задача 1. Диаметр перетяжки лазерного пучка 2гр = 1,65 мм, его
расходимость 29= 1,12- Ю-3 рад. Найти параметры пучка при условии его
согласования с линзовым* световодом, расстояния между линзами которого dc =
=20 м, а фокусные расстояния //с=100 м. Найти диаметр согласованного
пучка на линзах световода.
Решение. Используя (9), получаем: 2К = ]/~20-100(1—20/4-100) =
= 43,6 м. Перетяжка пучка с такой длиной ближней зоны должна
располагаться на расстоянии 10 м перед первой линзой световода. Значение 4/р =
= 1,65-1,12-10-6= 1,85 мкм; гр = уТ^у т. е. 2гР= ]/" 1,85-10"6-43,6=9 мм;
2O=l,85-10-6/9-10-3=0,2-10-3 рад; 2rh = \f 4- (1,85-10-6)2-20* 100/(4—
—20/100) =9,2 мм.
Задача 2. Лазерный пучок с теми же параметрами, что и в
предыдущей задаче согласовать с градиентным световодом, диаметр световедущей
жилы которого £>с=80 мкм, показатель преломления на оси яг = 1,457, а разность
показателей преломления на оси и на краю Дя=0,007.
49

Решение. Из (31): Фг = 2|/ 2A^r/Dc = 2]/"2'0,007/U457/80-10-6-
=2,45-103 1/м; 2к=1/ФгЛг= 1/2,45-1,457-103=0,28-10-3 м; 2rp=2r(z) = j/ 1,85Х
ХШ"6-0,28-10-3-22,8 мкм; 20=22,8-10-б/0,28-10~3 = 0,081 рад.
2.4. РАСЧЕТ СОГЛАСУЮЩЕЙ ОПТИКИ
Лазерный пучок, согласованный со световодом, должен иметь
определенное значение z'K — конфокального параметра
(ближней зоны). Это значение, как правило, не совпадает с
конфокальным параметром пучка zK, излучаемого лазером. Часто
возникает задача — преобразовать пучок так, чтобы его ближняя зона
изменилась с гк на z'K, причем показатели преломления п и п' в
пространствах предметов и изображений могут быть различными.
К этой же задаче сводится преобразование лазерного пучка в
пучок, диаметр перетяжки 2r'v которого либо его расходимость 20'
должны иметь какое-то определенное значение. Необходимый
конфокальный параметр z'K определяется в этом случае как ггк =
— n'rnvIJv, либо e/K=/p/0/V, где JV — инвариант лазерного
пучка (16).
Из (15) следует, что фокусное расстояние f линзы,
осуществляющей такое преобразование, должно быть по модулю не
меньше ^min, определяемого по любому из следующих трех
соотношений [43]:
-/min/inin^K^; !/;,„! = гр/в'; 1/т,„1=г;/е, (34)
где 2гр и 20 — соответственно диаметр перетяжки и
расходимость исходного пучка. По номограмме на рнс. 41 можно
определить fmm. Если /' = /'min, то перетяжка исходного пучка
находится в переднем фокусе линзы, а
7+
5
г-
Р-
1 +
Д7 +
0}5+
0,3 +
ци+
+ 70'
50
+30
4-20
+15
10
4-7
+ 5
-Z
Шъ>м
5+6
4 + 4
J4-J- 4-30
24-2 4-20
1,5+1,5
0,5
ОА
9,15
1+1 4-W
0,8 \ 0,8
0,6+0,6
~ 0,5
ОА
0,3 + 0,3
0,2+0,2 +2
■0,15 \1}5
70
50
■15
МП угп мин мкь
Рис:. 41. Номограмма для определения
/ mln
50
сформированная — в заднем
(рис. 42). В общем случае, как
следует из (15), расстояния zp
(от переднего фокуса линзы
до исходной перетяжки) и z'p
(от заднего фокуса до
сформированной перетяжки)
определяются так [43]:
(^/<)2=(v^)2=(/7/;in)2-i>
(35)
причем знаки zv и z'v должны
быть противоположными (см.
рис. 11).
Если значения ближней
зоны zK и z'K согласуемых
пучков достаточно велики
либо если одно из этих
значений мало по сравнению с
тем расстоянием, которое
требуется выдержать между

соответствующей перетяжкой и согласующей линзой, то, как
следует из приведенных формул, габариты однолиязового согласуют
щего устройства могут оказаться недопустимо большими. В этом
случае целесообразно применение согласующего телескопа. При
расчете этого телескопа будем предполагать, что исходная и
сформированная 'перетяжки находятся в воздухе, т. е. л=л/=1.
Выведем формулы, связывающие параметры исходного и сфор-
Рис. 42. Перетяжка формируемого пучка в переднем фокусе линзы:
а — положительная линза, б — отрицательная линза
мированного телескопом пучка. Для этого применим
последовательно к двум линзам телескота формулы (3) — см. рис. 29.
Получим величину (хг продольного увеличения ближней зоны и
z'v — расстояние сфрмированной телескопом перетяжки пучка
от заднего фокуса -второй линзы [39]:
аг = </гк = (@/0')2=('-;/'-р)2 = /;2/;2/[(гкА)2 + (грА + /;2)2]; (36)
*;/ar=zp+A(^+^)//;2.
Здесь /'i и \'г — фокусные расстояния лервой и второй линз
телескопа; А — его расфокусировка (расстояние от задней
фокальной плоскости лервой линзы до .передней фокальной плоскости
второй линзы); zv — расстояние от переднего фокуса первой
линзы до исходной перетяжки. При Д = 0 сформированная телескопом
перетяжка совпадает по значению и положению с изображением
исходной перетяжки, так как сфокусированный телескоп афока-
лен.
Формула (36) для (Хг является квадратным уравнением
относительно величины А. Дискриминант этого уравнения должен
быть положителен. Отсюда ,и из аналогичного выражения при
обратном ходе лучей следует неравенство: (z/2K + z/2p)/z/2K^
>[f'2/(f'i$r)]2^z2K/(z2K+z2p). Отношение f'2f'{ фокусных
расстояний линз телескопа называется его увеличением. Полученное
неравенство показывает, насколько (учитывая допустимые габа-
51

риты устройства) увеличение согласующего телескопа может
отличаться от требуемого полеречиого увеличения в перетяжках
МР2г=«г).
Задача 1. По результатам решения задач в § 2.3 рассчитать параметры
согласующих линз.
Решение, 1. Из (34): /Vin=l,65-10-3/0,2-10-3=8,l м (или Гшт =
*=9-10-3/1,12-10-3=8,1м). Выбираем /'=10 м. Тогда из (35): 2^ = 43,6 |/~00/
/8,1 )2—1 = 31,6м, т.е. согласующая линза должна находиться на расстоянии s'p =
«=41,6 м перед первой линзой световода; 2Р=—(1,65/1,12) • ]/^(10/8,l)2—1 =
=—1,07 м, т. е. расстояние от перетяжки лазерного пучка до согласующей
линзы должно быть равно 11,07 м.
2. Из (34): fmin = l,65/10-3/0,081=0,02 м (или /'min = 22,8-10-6/l,12.10-3 =
=0,02 м). Выбираем /'=25 мм. Из (35): z'v = 0,28-10~3]/"(0,25/0,2)2— 1 =
= 0,21 мм; гр = (1,65/1,12). ]/(0,25/0,2 )2—1 = 1,1 м, т. е. согласующая линза
должна находиться на расстоянии 1,1 м от перетяжки лазерного пучка, а
сформированная перетяжка практически в ее заднем фокусе.
Задача 2. По первому варианту задачи 1 рассчитать согласующий
телескоп.
Решение. Зададимся допустимым расстоянием от лазера до световода
около 2,5 м (вместо 43 м). Положим zp=— zK и z'P = 0, рг=9/1,65=5,5х. Из
неравенства 5,5>/'2/f'i>5,5/ ]/2~ выбираем /V//i = 4x и fi = 10 cm; /'2=40 см.
Из (36) находим А= (z'vlav—zP)fl'2/(z2K+z2P) = 1,47-0,12/2.Ь472=3,4 мм.
Длина всего устройства 1,47+0,1+0,1 + 0,003+0,4+0,4=2,473 м.
Задача 3. Определить размеры и положение перетяжки пучка,
формируемого телескопом, по результатам решения задачи 1 в § 2.1.
Решение. Из (36) при L = 0,5 км получим Р2Г= (0,02-0,8)2/[(1,47Х
Х0,0013)2)+0,024] и рг=8,ЗЗХ, т.е. 2г'р = 1,10-8-33=9,1 мм; 2'р = 8,332х
ХО,0013-1,472/0,022=487 м. При L=5 км р2г= (0,02-0,8)2/[( 1,47-0,00013)2+
+0,024] и рг=36,2Х, т. е. 2г'р=1,1-36,2=39,8 мм;2'р = 36,22-0,00013-1,47^/0,02 =
=920 м. По полученным данным нетрудно провоерить выполнение
соотношений (23).
Рассмотрим согласование леосеюимметрмчных лазерных
пучков, т. е. пучков, у которых конфокальные параметры в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях различны: гкхфгку.
Допустим, этот лучок необходимо преобразовать в пучок с другими,
но тоже неодинаковыми значениями конфокального параметра:
г'шФг'ку, 'Причем перетяжки пучка в обеих плоскостях должны
совладать. С помощью обычной осесимметричной линзы, как
следует из (11) — (16) такое преобразование осуществить
невозможно. Для этого необходима анаморфотная линза, фокусные
расстояния которой в двух взаимноперлендикулярных плоскостях
различны: f'x¥=f'y. В общем случае положение перетяжек
сформированного такой линзой пучка в плоскостях хг и yz не будет
^совпадать, т. е. лучок станет астигматичным. С тем чтобы отличать
этот астигматизм от аберрации с тем же названием, будем
называть его астигматизмом первого порядка, поскольку он
устраняется лри габаритном расчете подбором f'x и \\ фокусных расстоя-
52

ний аноморфотной линзы и sp — расстояния от этой линзы до
перетяжки исходного пучка.
Сначала определим расстояния —sp — от перетяжки
'исходного пучка до 'передней главной плоскости линзы и s'p — от
задней главной плоскости линзы до сформированной перетяжки.
Для этого, считая перетяжки
в плоскостях xz и yz справа от
линзы совпадающими
(астигматизм первого порядка
устранен), запишем, используя
выражение (8), условия
«сшивки» пучков на линзе —
размеры пучка на линзе справа и
слева от нее должны быть
одинаковы (рис. 43):
Рис. 43. «Сшивка» пучков на линзе
r2 -f02S2 = r'2 + 0'2s'2: Г2 + 02S2 = r'2 + 0'2$'2.
рх ' * р рх*х °р » ру х У Р РУ* У Р
Решая эти условия относительно —sp ,и s'p, получаем [44]:
sl = [ z2 ("/"'- l/°W)-<' (л/л'- Uary)]/(arx-aryy9
s'p2 ^<*rx<Zry U2KX (<*vx—n'/n)—z*y {агу—п'1п)]Цаг х—аг „), (37)
где arx=z'KxlzKX; ary=z'Ky/zKy. Если пучок с одной из -сторон от
линзы, например справа, осесимметричен, то г'ру=г'рх=г'р', 0'у =
(37а)
Sp — %кх*ку'>
s'p2=--(ZKyn'/n+*Kxn'/n — K)ZK
Фокусные (расстояния анаморфотной линзы определяются из (13)
и (15):
fx={arxSP + Sp)/(l — ссГхп'/п)\ f'y ^(apySp + s^/il — Opyn'/n).
(38)
Такая линза с различными фокусными расстояниями в
плоскостях xz и yz должна иметь эллиптические или две сокращенные
под прямым углом цилиндрические поверхности, .или
представлять из себя комбинацию двух цилиндрических либо сферической
и цилиндрической линз (рис. 44).
Поясним смысл формул (37а). Исходный пучок имеет
эллиптическое сечение, причем если грх>гру> то ®х<®у, т. е.
ориентация большой и малой полуосей эллипса в дальней зоне
повернута на 90° по сравнению с ближней зоной. Существует,
следовательно, одно промежуточное круглое сечение, положение которого
определяется первой из формул (37а). Только в этом сечении
исходный пучок можно «сшить» с круглым сформированным
пучком, и именно здесь необходимо ставить линзу.
Возможен случай, когда это круглое сечение имеет диаметр
меньше диаметра перетяжки сформированного пучка. Тогда рас-
53

чет по второй из формул (37а) дает отрицательное значение s/2Pi
т. е. осуществить такое преобразование одной линзой
невозможно. Необходима двухкомпонентная система, и существуют два ее
простейших (варианта. В первом варианте один компонент —
анаморфотный, преобразующий исходный пучок в круглый, но с
параметрами, отличными от требуемых. Второй компонент —
обычная линза, преобразующая промежуточный пучок в требуемый.
Рис. 44. Виды анаморфотных линз
Во втором варианте оба компонента — цилиндрические линзы.
Одна формирует пучок в плоскости xz, другая — в yz. При этом
надо задаться расстоянием dv между исходной и
сформированной перетяжками, а расстояния spx и svy от перетяжки до линз
определить из условия «сшивки» пучка в каждой из
координатных плоскостей.
Отметим, что полученные зде'сь решения для лучков с
гиперболической огибающей невозможны для гомоцентрических пучков —
с помощью одной тонкой анаморфотной линзы нельзя получить
изображение с разными в двух взаимно перпендикулярных
направлениях увеличениями.
2.5. ФОРМИРОВАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ГРАДИЕНТНЫМИ
ФОКУСИРУЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
К градиентным фокусирующим элементам относятся
градиентные .стержни и пластины, газовые линзы, активная среда лазеров.
Распределение показателя преломления, возникающее в активной
ереде лазеров, влияет на пространственные характеристики
излучения [47]. Газовые линзы [22] и градиентные стержни
используют для формирования лазерных пучков, градиентные пластины
(как аналоги линз) — в оптических системах. Отрезки
градиентных волокон применяют как микролинзы, согласующие различные
оптические элементы (полупроводниковые лазеры,
люминесцентные диоды, световоды, лавинные фотодиоды и т. д.) [36].
Формулы (31)—'(33), описывающие поведение лучей и
лазерных пучков б градиентной фокусирующей среде, представлены в
54

§ 2.3. Используя формулу (32), найдем 'переднее f и заднее fr
фокусные расстояния фокусирующего элемента длиной dr и
расстояния sH — от переднего торца до передней главной плоскости
Н ,и s'H — от заднего торца до задней главной плоскости Нг
[36] (рис. 45):
— 1/л / = 1 In'V = (Фр/zip) sin (dr Фг);
nsH** — nfsH^(nr/Or)tg(drOr/2)i (39)
где п и п! — показатели преломления в пространствах
предметов и изображений соответственно. Отсюда видно, .что Фг равно
максимально возможной оптической силе отрезка данной
фокусирующей среды. В зависимости от длины отрезка его оптическая
сила меняется от 0 до Фг, затем через 0 до —Фг и так далее с
периодом Г=2я/Фг.
fr*
г"*—
»
Л
-Z
-S
;
-*—
//'
/. ,/,
/' /,
^^f
0
5и
-f
Пг
'/'
'/
"dr
*-
и
'/ '/.
у/
т' *"
-s'A
I
-Г
П
^"*"^"-^ -г'
*
о
i
Рис. 45. Построение изображения через градиентный фокусирующий элемент
Используя формулы (39), можно любой градиентный
фокусирующий элемент заменить эквивалентной линзой. Из формул (6)'
и (39) после несложных тригонометрических преобразований
получим соотношения, связывающие величины s (от переднего то.р-
ца до предмета) и s' (от заднего торца до изображения) с
увеличением р и параметрами фокусирующего элемента [36]:
P = cos£/cos(dP0P + E) = cos(dP0P+C/)/cos£/; £ + £' = /Ся—4ФР,
(40?
где tg£ = — snrOr/n; igtf =я'птФт1п'\ К — целое число, на единицу
превышающее число целых полупериодов осцилляции луча,
укладывающееся на длине dr фокусирующего элемента. Полученные
формулы являются аналогами формул линейного увеличения и
Ньютона (6) для градиентных фокусирующих элементов.
По формулам (40), для случая действительных предмета и изображения?
(s<COy a s'X)) построены графики и номограмма, приведенные на рис. 46 и
47. При е?гФг<я/2 следует пользоваться рис. 46,а, а при я/2<с?гФг<я.—
рис. 46,6. Изменение величины <2гФг на 2пК не меняет вида графиков, а изме-
55

нение на п приводит к изменению знака р (изображение становиться прямым,
а не перевернутым). Графиками можно также пользоваться, если — s
заменить на s', a p — на 1/р.
vmniiwwz'iww №$$i
с) б)
Рис. 46. Графики увеличения фокусирующего элемента
Задача 1. Люминесцентный диод имеет размер излучающей площадки
2г=0,1 мм. Необходимо создать его изображение размером 2г'=0,3 мм с
помощью градиентной линзы. Диаметр линзы £>л = 1 см, показатель преломления
на оси линзы лг = 1,5, на периферии 1,45.
=г7г=—3.
Решение. Р =
Из (31): Фг=2|/"2[1— л(Ял)/Лг]/£л=2у 2(1—
Для предварительной оценки используем рис. 46 и
—1,45)/1,5)/0,01 = 51,68 м-
47. Если с£гФг<я/2, то не удается добиться малых значений —s, что
необходимо для более полного перехвата энергии излучения светодиода, и
одновременно получить сравнительно небольшую длину всей схемы. Так, при с£гФг~
«0,6 (с?г«12 мм) — s«100 мм и s'«150 мм. В диапазоне я/2<<2гФ,г<я
удается приблизить предмет вплотную к переднему торцу линзы, сохраняя
приемлемое значение s'. Из (40) получим s=—(cos<2rOr— 1/Р)/Фг sindrOr. Положим
откуда ^гФг=1,91 и d?= 1,91/51,68=37 мм; 5'=
= (cos ^гФг—Р)/Фг sin </гФг= (—0,333+
5 = 0, ТОГДа С08^гФг=1/Р,
+o,t
+o,z
+0,3
+0Л
+0J
+0,6
±0.7
09±М
tf-t1,6
2-ГМ
№
so+го
~$пГфГ/к
+ 2,8
+ 2,6
+2Л
+ 2,2
+2,0
+ Г,8
+ 1,6
+ 1Л
+ 1,2
+ 1,0
+ 0,8
+ 0,6
+0А
+ 0,2
+ 0
с!гФг-Кя:
+0,1
+0,2
+0,3
+ОЛ
+4
0,7 + по
0,9Т?>
7'L+a
1Л
1,3
25Аг>г
3,5 ±1
50+W
5ГПГФг/пГ
+ 3)/51,68-0,943=54,7 мм.
Прошедший через
фокусирующий элемент лазерный
пучок может сходиться либо
расходиться, формируя
соответственно действительную или
мнимую перетяжку.
Расходимость пучка, диаметр
перетяжки и ее расположение
относительно заднего торца
фокусирующего элемента полно-
Рис. 47. Номограмма для определения
расстояний до предмета и
изображения от торцов фокусирующего
элемента
56

стью определяют характеристики пучка, трансформированного
фокусирующим элементом. Перейдем к нахождению трех
указанных параметров.
Под расходимостью 20(z) пучка в данном сечении
фокусирующего элемента будем понимать угол, под которым станет рас*
ходится пучок, если элемент в этом сечении срезать, а
пространство за ним считать заполненным материалом с показателем
.преломления пг. Расходимость определяется лучами, имеющими в
данном сечении максимальный угол наклона к оптической оси.
Найдем ее, в соответствии с методом двух лучей, как квадратный
корень из суммы квадратов углов наклона а1 и а11 лучей / и //,
определяющих форму огибающей лазерного пучка в
фокусирующем элементе (см. рис. 39). Воспользуемся при этом формулой
(32), продифференцировав которую по z, найдем зависимость
o(z). В результате получим [20]
02(г) = ф2[г2р—4cos(2(Drz) + Bsin(2(Prz)], (41)
где гср, А и В — те же параметры, что и в (33).
Заметим, что выражение (41) нельзя получить
дифференцированием формулы (33), так как расходимость пучка определяется
не крайними лучами плоского лучевого пакета, а теми, которые
имеют наибольший угол наклона к оси. Расходимость пучка на
выходе фокусирующего элемента равна 2®' = 2®(d)nr/n'f где,
20(d) — расходимость 20 (z) при z=dr, an' — показатель
преломления среды после фокусирующего элемента.
Диаметр перетяжки 2r'v лазерного тучка после
фокусирующего элемента определим из свойства инвариантности (16) [20]:
JP = nrp® = const, т. е. г/р = пгр@1пЪ/ или r'p = JPlnr®(d).
Расстояние s'p от заднего торца элемента до плоскости -перетяжки
сформированного пучка иайдем из условия, <что огибающая лазер-ного
пучка в однородном пространстве представляет собой гиперболу
(8). Решение этого условия относительно s'p дает: s'2p= (r2(d)—
—/*'2р)/0'2. Знак s'p противоположен знаку производной
выражения (33) или совпадает со знаком производной выражения (41) при
z=dr: sign (s'p) = sign [A sin(2(Drdr) +Bcos(2<brdr)]. Если диаметр
пучка 2r(z) iB фокусирующем элементе уменьшается вблизи
(выходного торца, элемент фокусирует .излучение, и s'p
положительно. В противоположном случае излучение после фокусирующего
элемента расходится, т. е. s'p отрицательно. (Мнимая перетяжка
лежит на расстоянии —s'p от выходного торца).
Сформированная фокусирующим элементом перетяжка пучка
совпадает с изображением исходной перетяжки (т. е. s'p = s')
только при dr кратном Т/2, т.е. когда оптическая сила
фокусирующего элемента равна .нулю. Исходная и сформированная
перетяжка могут одновременно лежать на противоположных торцах
фокусирующего элемента только при dT кратном Г/4.
Задача 2. Перетяжка лазерного пучка (2гр=0,2 мм, 26 = 9,24-10"3 рад)
находится в 2 см от переднего торца фокусирующего стержня, параметры
которого даны в задаче 1. Найти максимальные и минимальные значения диамет-
57

pa пучка и его расходимости в стержне и положения сечений стержня,
соответствующие этим значениям.
Решение. Из (32): 4(r2P+02s2p) =0,074-10"6 м2; 402/Ф2гл2г = О,О14Х
ХЮ-6 м2; 4В=— 0,022 м2, отсюда 4г2ср= (0,074+0,014) • 10-6/2 = 0,043-Ю"6 м2;
4Л= (0,074—0,014) • 10-6/2=0,03-10~6 м2.. Формулы (32) и (41) можно
представить в следующем виде: r2(z) =r2cp+j/^2-f-B2cos(2<I>r2+&), где e=arctg(5/y4),
и О2(г) =Ф2*[г2сР+ У А2+В2 sin(2Фг2+е)]. Отсюда гШах = ]/>2ср + ]Л42+£2;
rmin=]/"r2cp—]/ А2 + В2; Отах=ФгГтах, 2гтах = 0,271 MM; 2rmin = 0,085 ММ;
20тах = 14,5-1О-3 рад; 20min = 4,6-Ю-3 рад. Сечение, соответствующее rmax и
Omin, находится на расстоянии—е/2Фг=0,636/2 -51,68 = 6,15 мм от переднего
торца и повторяется через каждые 2я/2Фг = 60,8 мм. Точно посередине между
этими сечениями находятся сечения, соответствующие rmin и 0max.
Проверка: Гр0=Гтах0т1пЯг = /ппп0тахЯг.
Задача 3. Исходные данные — те же, что в предыдущей задаче. Найти
минимальную длину dv фокусирующего стержня, если требуется, чтобы он
сформировал действительную перетяжку диаметром 2r/p = 0,l mm (rmax >/*'?>
>i/min, т. е. задача имеет решение).
Решение. в'=гРв/г'Ру т. е. 20'= 18,48-Ю"3 рад. 20(dr) =207лг=12,32Х
+ 10-3 рад. Из (42): sin (2Фг^г+8) = [02№)/Ф2г—г2ср]/УАЧНВ^ 0,380 и
2Фг^г+е=0,39+2я/С, или я—0,39+2я# (е=— 0,64); sign(s'p) = sign(0,03-0,38—
—0,022-0,92) <0, т. е. первому решению соответствует мнимая перетяжка.
Значит, dP= (3,14—0,39+0,64)/2-51,68=32,8 мм.
Р«с. 48. Ход луча в
градиентных фокусирующих элементах
я аналогичных линзовых
системах:
,а — 0<А<я/2Фг; б — я/2Фг<
<с?г<л;/Фг; в — я/Фг<<2г<
<Зя/2Фг

Существует аналогия между градиентными и линзовыми
фокусирующими системами. Если длина градиентного элемента
меньше четверти периода осцилляции луча .в нем (0<^г<л;/2Фг), то
ход луча подобен ходу луча ib однолинзовой системе (рис. 48,а).
При. я/2Фг<^г<я/Фг существует аналогия с двухкомпонентной
системой с отрицательной расфокусировкой (рис. 48,6), а при
я/Фг<^г<Зя/2Фг с системой с положительной расфокусировкой
(рис. 48,<з). Если фокусирующий элемент кроме поперечного
имеет еще .и продольный градиент .показателя преломления, то
эквивалентная ему система состоит из компонентов с неодинаковыми
фокусными расстояниями. Анализ формул, описывающих
преобразование лазерного пучка градиентным фокусирующим элементом,
показывает, что при 2К>1/ФГ использование диапазона л;/2Фг<
<^г<я/Фг позволяет сократить габариты системы и уменьшить
проблемы со «сшивкой» пучков, как и в случае телескопической
системы с отрицательной расфокусировкой.
2.6. ФОКУСИРОВКА ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ
При использовании лазерного излучения .часто возникает
необходимость его фокусировки. Требования к -параметрам
сфокусированного тучка определяются конкретными условиями задачи.
Из (3) следует, что если нужно получить минимальное значение
диаметра 2r'v перетяжки сфокусированного тучка, то следует
выбирать линзу с возможно коротким фокусным расстоянием и
располагать ее как можно дальше от сечения перетяжки. (Линзу
помещают на расстоянии, три котором шучок почти полностью
заполняет ее апертуру, но три этом не происходит заметного
виньетирования, так как иначе вокруг сфокусированного пятна
возникнут дифракционные кольца).
Случай, когда пучок требуется сфокусировать в пятно
заданных размеров, рассмотрен в § 2.4. Там показано, что эта задача
решается неоднозначно — те же параметры пучка достигаются с
помощью линз с различными фокусными расстояниями /', если
размещать их соответствующим образом относительно пучка.
Отсюда следует, что, кроме требований к диаметру 2г'р
сформированного пучка, можно наложить дополнительные требования:
фокусное расстояние линзы либо расстояние от линзы до объекта
фокусировки должно иметь значение, определяемое на основе
формул § 2.4.
Другой вариант дополнительного требования состоит в том,
что задано расстояние d0 между перетяжкой пучка (плоским
зеркалом лазера) и объектом фокусировки. Запишем для этого
варианта условие «сшивки» пучка на линзе, используя выражение
(8) — см. рис. 43:
где 2гр — диаметр перетяжки исходного пучка; 20 и 29х —
расходимости пучка до и после линзы; sp и s'p — расстояния от лин-
59

зы до исходной и сформированной перетяжек. Отсюда получим
[44]:
—sp = d0/(l -ar) ± Уаг[^1~аг)Ч^], (42)
где ar = z'K/zK — продольное увеличение -ближней зоны пучка; zK
ж z\ — конфокальные параметры исходного .и сформированного
лучков. При аг>1 берется знак плюс перед радикалам, при аг<
<1 — минус. Показатели преломления ,в пространствах
предметов и изображений считаем одинаковыми. Фокусное расстояние
линзы при этом, как следует из формулы (38), должно быть ра>в-
но //=(«rSp+s/p)/.(l— <хг).
В ряде случаев особенности работы прибора ставят
ограничения на величину rfH — расстояние от линзы с заданным /' до
объекта фокусировки. При этом желательно получить пятно
минимально возможных размеров. Для анализа этой задачи
воспользуемся выражением (12), дающим диаметр 2r'(z) пучка,
сформированного линзой, в зависимости от продольной координаты z\
оттаптываемой от заднего фокуса линзы. Продифференцируем это
выражение по zv — расстоянию от линзы до перетяжки исходного
пучка. Приравняв производную нулю, получим оптимальное
значение zp [44]:
*р=—/'2/4, причем r'(dB)mln = rp(dH—/')//' (43)
т. е. в рассматриваемом случае линза должна -строить
изображение перетяжки пучка в плоскости фокусировки. Перетяжка
сформированного линзой пучка должна быть смещена в сторону
линзы (см. рис. 11). Нетрудно проверить, что при этом приближенно
выполняется соотношение (42): r„r'(d„)min« rv<ddK (2ги — диаметр
пучка на линзе). Если перефокусировать линзу так, чтобы на
расстоянии dH от нее формировалась перетяжка пучка, то ее диаметр
окажется больше 2r(dH)min, определяемый из соотношения (43),
т. е. при данных условиях задачи максимальная концентрация
энергии достигается не при формировании перетяжки на объекте
фокусировки.
Неточность продольной юстировки линзы приведет к тому, что
действительное значение zv будет отличным от оптимального.
Разделив (выражение (12) на вторую из формул (43), получим
соотношение, определяющее коэффициент К увеличения диаметра
пучка на расстоянии dH от линзы по сравнению с 2r/(dH)min в
зависимости от допуска <zP> на продольную юстировку [44]:
К = Г' (йЖ (4и)т!п = /1+(<*Р>/*к)2« * + (<*Р>№2. (44)
Эта формула была получена ib § 2.1 ib несколько другом виде для
телескопической системы (27). Она может быть обобщена на
случай произвольной оптической системы. Под <Lzv> следует тогда
понимать суммарную расфокусировку оптической системы,
^приведенную к какой-то плоскости, а под zK — длину ближней зоны
лазерного пучка, сформированного вблизи этой плоскости. Отсюда
следует, что наиболее сильно расфокусировка будет сказываться
60

в тех оптических системах, в которых естыместа острой
фокусировки лазерного лучка ('ближняя зона мала, например ib
телескопических системах или микроскопах).
В некоторых случаях расчет может привести к недопустимо
большим габаритам оптической системы. Обычно это бывает,
когда пучок должен быть сфокусирован в пятно достаточно малых
размеров, а расстояние dH от линзы до объекта фокусировки
сравнительно большое. Тогда для фокусировки следует применять
двухлинзовую систему. Формально решение этой задачи
находится с помощью тех же формул, что
и передача пучка по
свободному пространству (см. § 2.1 и 2.4).
Однако при фокусировке пучка,
в отличие от случая его передачи
на большое расстояние,
расфокусировка А системы должна быть --]-
существенно большей и
соизмеримой с фокусными расстояниями
линз телескопа.
При пропускании лазерного
пучка через электрооптические
кристаллы, при лазерной резке
материалов и т. п. требуется
сфокусировать пучок так, чтобы он
имел минимальное сечение на
всей длине dM оптического
элемента или материала (рис. 49). Как
следует из (24), минимально возможный диаметр 2га пучка на
передней и задней поверхности разрезаемого материала
определяется величиной rd=yrdMJp/n1 где п — показатель преломления
оптического элемента. В случае разрезания под п понимают
показатель преломления среды, в которой находится разрезаемый
материал. По «формулам (23) найдем, что диаметр перетяжки 2г'р
сфокусированного пучка при этом определяется как r'p = rd/}f 2, и
она должна быть расположена точно посередине между передней
и задней поверхностями разрезаемого материала (оптического
элемента). Величина z'K ближней зоны (конфокального
параметра) сфокусированного пучка должна быть равна zfK^dJ2. Таким
образом, задача свелась к рассмотренному в § 2.4
преобразованию исходного лазерного пучка в пучок с заданными
(геометрическими параметрами.
Задача 1. Лазерный пучок (2гр = 1,65 мм, 20=1,12-Ю-3 рад)
сфокусировать так, чтобы диаметр сфокусированного пятна 2г'р=22,8 мкм.
Решение. — см. решение задачи 1, вариант 2 в § 2.4.
Задача 2. Тот же пучок сформировать так, чтобы его расходимость
20'=0,2-Ю-3 рад.
Решение — см. решение задачи 1, вариант 1 и задачи 2 в § 2.4.
Рис. 49. Фокусировка пучка при
разрезании материала
61

Задача 3. Тот же пучок сфокусировать так, чтобы диаметр его
перетяжки 2г'р = Ю мкм, а ее расстояние от линзы s'p = 30 мм
Решение. Из условия «сшивки» пучка на линзе получим: s=—]/г' 2Р +
H-0'V2p—г2р/0, т е# 5=—4,72 м. Из (38): /'= [—4,72- (10-10-6/1,65-10-^ +
+30-10-3]/[1—(6,06-Ю-3)2] =29,83 мм (f'~s'p). Такое решение
малоприемлемо из-за больших габаритов Поэтому рассмотрим вариант двухлинзовой
фокусирующей системы. Первую линзу выбираем короткофокусной f'i = 20 мм.
Положим zp = 0. Тогда между линзами гр с = 1,12-10-3-20-10~3 = 22,4 мкм; Ос =
= 1,65' 10—3/20-10-3=0,0825 рад. Из условия сшивки пучка на второй линзе:
(d-j'x) = Y102-10-12+0,1852-0,032—22,42-10-12/0,0825 = 67,2 мм, т е расстояние
между линзами d=87,2 мм. Из .(38): f'2=[(10-10-6/22,4-10-6)2- (_67,2-10"^) +
+ 0,03]/(1—0,446)2=20,8 мм. По (36) можно проверить правильность
полученных результатов.
Задача 4. Расстояние от плоского зеркала лазера (2гр = \ см, 20 =
= 8,7-Ю-3 рад) до мишени составляет 3 м; толщина мишени dM = 10 см.
Рассчитать параметры пучка, необходимого для разрезания мишени и параметры
фокусирующей линзы.
Решение. z'K = dM/2=5 см; r/p = ]/7p02/K, т е. 2г'р = 1,83 мм. Диаметр
пятна на поверхности мишени 2rd=l,38 j/~2=2,6 мм; аг= (1,83/10)2=3,35-10~2.
Из (42): dol(l—аг) =3,05/(1— 3,35-10"2) =3,16 м; sp=— 3,16+0,183 |/ 3,1б2+
+ (0,01/8,7-10-3)2=—2,5 м. Из (38): /'= (—3,35-10-2'2,5+3,05—2,5)/0,966=
= 482,7 мм.
Задача 5. С помощью линзы (f=50 мм) нужно получить пятно
минимальных размеров на расстоянии dH = 100 мм от нее; 2гр = 10 мм, 20 = 8,7Х
ХЮ-3 рад.
Решение Из (43): zp=—0,052/0,1=—25 мм, т. е. sp=— 75 мм;
г'(dK)min = 0,01-0,05/0,05 = 10 мм.
В устройствах для фокусировки лазерного излучения подчас приходится
использовать готовые оптические узлы (фото- и микрообъективы, окуляры и
т. п.). При выборе этих узлов следует обратить внимание не только на
соответствие результатам расчета фокусных расстояний, но также и на то, чтобы
перетяжка сфокусированного пучка находилась примерно там же, где при
использовании данного узла по прямому назначению находится плоскость
предмета или изображения (в заднем фокусе фотообъектива, в переднем фокусе
окуляра, в плоскости фокусировки микрообъектива и т. д.). При таких
положениях этих узлов будут минимальны их аберрации, а следовательно, и
аберрационные искажения формируемых пучков.
2.7. ПРОХОЖДЕНИЕ НАКЛОННОГО ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА ЧЕРЕЗ
ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ
При фокусировке лазерного излучения в среднем и дальнем
инфракрасном диапазоне частот наиболее подходящими
фокусирующими элементами оказываются зеркала. Если излучение
достаточно мощное, то задние поверхности зеркал не должны
попадать в ход пучка. Лазерный пучок должен быть -несоосен с такой
системой. Причины децентрировки и несоосности лазерного пучка
с оптической системой (рис. 50) могут быть и другими. При зна-
62

чительных углах несоосности форма поперечного сечения тучка
искажается. При анализе этой задачи удобно воспользоваться
методом сопряженных плоскостей.
Рис. 50, Децентрировка и поворот лазерного пучка
Рассмотрим прохождение через оптическую систему
наклонного гауссова пучка, ось которого пересекает оптическую ось сие
темы и составляет с ней угол а (рис. 51). Для простоты рассмот
рим случай, когда оси 0z и 0V
лежат в плоскости O'x'z' (это
условие не ограничивает общности
решаемой задачи).
Система координат Oxyz
связана с гауссовым пучком (ось
Oz — ось симметрии гауссова
пучка), а система координат O'x'y'z'
с оптической системой (ось 0'z'
совпадает с осью оптической
системы). Уравнение огибающей
гауссова пучка в системе
координат Oxyz имеет вид: (*2+02)/r2i/*(O) =— «2/22к= 1. Запишем теперь
это уравнение в системе координат Ox'y'z', учитывая, что x=j
= *'cos<z—z'since+ х<к, У=у', z = xf sina + z' cosa+z0>:
• Огибающая гауссово:
j/ пучка
Рис: 51. Прохождение наклонного
лазерного пучка через линзу
|у а + *g, + (*' cos a—z' sin a)2 + 2x& (xf cos a—z' sin a)]/r2l/e (0) -
— U'?sin2a + л;'2'sin2a + г'2cos2a+
+ 2г0' (x' sin a + z' cos a) + z\,\jz\ = 1.
(45);
Для получения уравнения огибающей преобразованного
линзой гауссова пучка нужно взять сечение исходного пучка
плоскостью z'=const и найти его изображение .через оптическую
систему. Начало системы координат O'x'y'z' удо'бно поместить в
главной точке передней главной плоскости #. Сечение пучка
представляет собой эллипс. Уравнение эллипса (45) прео!бразуется к виду
*'» л_„ [,'л.^Лг ^L + a = 0 или
<hi (*'"
А/е (0)
(*' + fli/fln)8
' 2
У
( а\—аг1 а)/а2{{ r\fe (0) ( a2 —au a)/axl
63
(46);

где а\ 1=cos2 a/r2i/e (0) —sin2 a/z2K; ax = (x0—zr sin a) cos a/r21/e (0) —
— (zc + z'cosasina)/z2K; a = (лг0—z'sina)2/r2i/e(0)— (z0- +
+z'cosa)2/z2K—1.
Центр эллипса находится в точке с координатами
Полуоси эллипса равны: a20 = b2oMn^2i/e(0);
«2
«11
0,
4 =
а1±а п ч [ [z' + 2n, cos a—*n, sinal2 ]
'We
(0)sin2 a
Отношение полуосей эллипса равно Ь2о/а2о = апг2\/е(0) =г2\/е(0)Х
X [cos2a/r2i/e(0)~sin2a/z2K] =cos2a—sin2atg20, где 0 —
расходимость исходного гауссова пучка. Оно не зависит от -положения
сечения перетяжки и определяется только углом поворота пучка a
и его расходимостью.
Найдем полуось эллипса Ь'0 = Ь0$, являющегося изображением
эллипса (46):
&;=^ор=п/ло)( 1
г
1
(s + z0, cos a — x0, sin a)2
г2 cos2 a — r\,e (0) sin2 a
1/2
(47)
где s = z'=s'/(l—s'ff').
Если ввести обозначения z2o = z2Kcos2a—r2i/e(0)sin2a и —sp =
= Zq-, TO
(
s' + zQ, cos a—x0, sin a + —7- (#0, sin a— z0, cos a)
г2 cos2 a — r\,e (0) sin2 a
J1/2
} .
(48)
Следовательно, положение сечения, в котором ft'o минимальна,
определяется величиной s'p, равной s'p = [l/f'+ {\+sviy)svlz2K]l
J[l/f/2+(l+sP/n2/z2K]. Величина b'omin = b0m[nVf'2/(z2p + z2K), где
zv = YЛ-Х& sin a—z0' cos a. Следовательно, b/omin = bmin{//2/[ (/' +
4- Xo-sina — Zo-cosa)2 + (z2Kcos2a — r2i/e(0)sin2a)]}1/2, где
bomin = ^l/e(0), a'omir^ &'огшп/Пл?(0) у й\\.
Положение центра эллипса определяется координатой
(z0, -f- s' cos a/(l —s'//')) sin a
(#0,—s' sin a/(l —s'//')) cos a
'!/«
(0)
I'-r)-
64

= {[(г°'(1—y)+s'cosaV?/^°)sina—*o'(l — ~тг)~
-s' sin a zjj cos a I
1
2^ cos2 a—rj^ (0) sin2 a
Расходимость будет разной в различных плоскостях.
Максимальна она в плоскости х'у' и равна:
26' = 2а0 (z = / = - /')//' = 2Ь0 (г = /)/г1/в (0)У^ /' =
2 Г, [ — /'+z0,cosg—xQ/sinaj2 11/2
2г1/в(0)г„
2^ cos2 a — rj^ (0) sin2 a
[—/' + z0, cosa— x0, sin a]2 Ш2
/' ]/" z* cos2 a—/^ (0) sin2 a
г:? cos2 a — r\, (0)sin2a
При a = 0 полученные формулы переходят в (3).
2.8. СОГЛАСОВАНИЕ ЛАЗЕРОВ С ВОЛОКОННЫМИ СВЕТОВОДАМИ
Целью согласования лазеров со световодами (рис. 52)
является повышение эффективности ввода оптической энергии в
световод. Будем считать, что лазерный пучок и световод имеют
различные геометрические характеристики в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях xz ,и yz для того, чтобы иметь возможность
»ь
, т Р
А
•^
у
S
^
\
/'
"~
0
#
4* ** # Щ &
& d # & ^
_ ^ f ^ ПС ^
ч —■—-——-^ \
^
'
# # 0 0 # &
Рис. 52. Диэлектрический
волоконный световод
Рис. 53. Торец световода в
перетяжке сформированного пучка
рассчитывать, в частности, согласование полупроводниковых
лазеров, а также световодов эллиптического сечения. Ограничимся
случаями, когда распределение энергии как в ближнем; так и в
дальнем поле лазера можно аппроксимировать одной и той же
математической зависимостью £г=Ф(л;*), симметричной относи-
тельномакеимума и монотонно спадающей от него (например,
закон Гаусса или закон косинуса). Гауссова аппроксимация
справедлива для одномодовых (газовых, твердотельных и
полупроводниковых) лазеров [16, 51]. В большинстве случаев распреде-
3—60 65

ление энергии в многомодовых лазерных оучках также можно
аппроксимировать функцией, удовлетворяющей указанным
требованиям.
Для того чтобы вывести максимум энергии лазерного пучка в
световод, надо разместить его входной торец в перетяжке пучка,
сформированного согласующим оптическим устройством (рис. 53).
Будем считать, что в световод войдут только те лучи, угол
'наклона которых меньше апертуры световода ©, а поперечная
координата в перетяжке меньше полуширины гс распространяющегося
по световоду поля( см. рис. 52), т. е. эффективность х ввода
определяется линейным и угловым виньетированием пучка
размерами собственного поля световода. Запишем это так: %=хГхГгУ1:охХ
Хтшу,
vrx vry v<o* vco#
т. е. т= j <Z>(x)dx$ Ф{у)йу Г Q)((ox)d<ox f Ф(«>у)й<оу. (49)
ооо о
Здесь осе Фг- пронормированы по своему характерному размеру:
Vi — коэффициенты линейного (г) или углового (ю)
виньетирования по координатам дг/или у: vr = rc/r/p; vC)=o)/G/, где r'v и 0' —
линейный и угловой размеры лазерного пучка, сформированного
согласующим устройством.
В случае многомодовых световодов 2rc = Dc, а со2 = /г2с—п20у где
As — диаметр сердечника световода; пс и п0 — показатели
преломления его сердечника и оболочки [14]. Поле,
распространяющееся по одномодовому световоду, можно аппроксимировать
гауссовой функцией, причем [51]
2rc/Dc = 0,65+ l,619/F3/2 + 2,879/V6, (50)
где нормированная частота V=Vп2с—n207iDclX (А, — длина волны
излучения). На рис. 54 представлена зависимость гс от Dc,
рассчитанная по (50).
Анаморфотное оптическое устройство, согласующее параметры
лазера и световода, можно охарактеризовать линейными
увеличениями в перетяжках рГх и рГу и угловыми увеличениями пучка
7гзс и угу в плоскостях xz и yz соответственно. Тоща, в
соответствии с (18), коэффициенты виньетирования пучка ,на входном
торце световода определятся так:
vr = rjr'p = {rjrp) YWJ^n; vo = o)/0' = (co/0) V~arn'/n, (51)
где rv и 6 — параметры исходного лазерного пучка; п и п' —
показатели .преломления в пространствах предметов и изображений;
аг — продольное увеличение «ближней зоны пучка в согласующем
устройстве, На рис. 55 и 56 представлены построенные по
формулам (51) при п=п' номограммы. Значения v, аг и рг отмечены в
относительных единицах, a rv и гс так же, как и в и ю, — в
попарно одинаковых единицах. В случае одномодовых лазера и
световода rc0rt/=/,2>6ft=?v/rt> поэтому vr=l/v© (основная лазерная и
основная световодная моды идентичны).
66

th%
WD
SO
6D
ЬО
zd
.1
•
л
_J I
/«г
\//
-II I !
f,Z
i iTT—:.
2,5 3 3,5 4-V
1 2 3 45 8 10 20 40 Or
Рис. 54. Зависимость
отношения ширины основной моды
2rc к диаметру сердечника
световода Dc от параметра V
Рис. 57. Сравнение значений
эффективности ввода,
рассчитанных волновым и геометрооп-
тическим методами
8,0:
5,0-
5,0-
¥'
3,0'
2,0'
1,5-
1,0.
0,8'-
0,6"-
0,5-
ол-
о,з-
о,г-
0,15-
0,1.
11,08:
0,07-
0,05-
0,04'
0,03'
£,02-
ЦЩ5-
0,01'
^0,01^0,001
0,0002
0,0004
■0,0006
■0,01
0,0015
ом
0,004
о,оов
0,0f
ом
0,03
ом
-0,015-
-0,02-
'о;03-
0,04-
-0,054
■лг-
'-0,15.
'-0,2-
'0,3-
'0,4.
-0,5-
. 0,6-
0,8:
:/,*-
\ 3-
4'
:£
д\
- 70-
Рг
'■0,1
-0,15
~az
'-0,4
.05
-0,5
'10
-Z
-5
'4-
%
120
-5/7
-Ш
:8lL
100
wo+tooo-
70±700z
60 + 600-
50+600-
40+400-
30+300-
20+200-
15 + 150-
10+100.
8,0+ 80-
6,0+ 60 Z
5,0+ 50-
•4,0+ 40-
3,0+ 30-
2,0+ 20л
1,5+ 15-
1,0+ 10,
0,8+ 8Ц
0.6 + 82
0,5+ 5A
0,4+ 4Л
0/3 + 3-\
0,2+ 'Z\
o,i5+ m
o,\ У w
10
8,0'
7,0'
80-
5,0'
4,0'
з;о-
2,0-
1,5-
1,0.
■Д8-
5,6'.
US'
0,4'
0,3-
0.2-
0,15-
Д/.
$08'
0,06'-
0,05'
0,04-
5,03-
Ц02-
Ц015-
. W.
-8Д.
: 6,0-
-5,0-
-4,0-
-3,0-
-2,0.
-1,5-
.1,0.
'-0,8-
'-0,61
-0,5A
'0,4
-0,3
-0/2
•0J54
.0,1.
'■0,08
'■005
-0,05-i
-0,04-
-0,03-
402-
■0015-
0,0! +0,01-
100
■80
■60
'•HO
■20
■10
■8
■6
4
.2
10
-0,6
■0,0
■0,4
'.0/2
t-ars
Hi
.0.06
-004
■0,05
•DM
.001
-0,008
■0,004
'0,002
.0,0015
•0,UOi
'.0,0005
0,0004
'0.0003
■00002
00001
1000 _ Ш7
800
600+600'.
500+550-
WO
300+300-
200+200.
150+150-
100 +100.
80+ 80'
60+ 60-
50+ 50'
40
800:
m+
40+
30+ 30-
20+20-
15+ 15-
10+
W
в
S+ 6
5~V
4^; 4 +
5 +
2+ Z-
1,5+ 1,5-
1,0^ 1,0-
Рис. 55. Номограмма для определения
коэффициента v линейного
виньетирования пучка
Рис. 56. Номограмма для определения
коэффициента уф углового
виньетирования пучка
3*
67

Ошсаиная методика расчета основана на г-еометросшти'ческом
понятии <виньетиро©ания. В случае, когда и лазер .и световод —
одномодовые, существует формула для эффективности т ввода,
полученная на основе электродинамики [51]:
x = [2/(vrx+ l/Vrx)][2/(vry+ l/vry)]. (52)
Сравним эффективности ввода одномодового пучка в одномо-
довый световод, рассчитанные обоими методами. На рис. 57
кривая 1 рассчитана по (49), а 2 — по (52). В обоих случаях
эффективность ввода по одной координате (л: или у) зависит только от
одного параметра vr (vrv(0 = l), причем в логарифмическом
масштабе эта зависимость симметрична относительно точки vr=l.
Таким образом, приведенные графики перекрывают все возможные
значения параметров согласуемых пучков и показывают очень
хорошее соответствие результатов. В данном случае Фг- — гауссова
функция и интегралы в (40) определялись с помощью таблиц
интеграла вероятности [31], причем предполагалось, что входящий
пучок начинает виньетироваться там, где энергия световодной
моды спадает до уровня 0,2 (табл. 5).
Задача 1. Рассчитать эффективность ввода энергии одномодового
лазерного пучка (Х=0,63 мкм, 2гр = 1 мм) в многомодовый (Dc=50 мкм, пс —
= 1,471, п0 = 1,457) световод при прямой стыковке.
Решение. 0) = ]/1,47I2—1,4572= 0,202; В = 0,63-10-6/3,14-0,5'10-3 =
= 0,401-10-3. Из (51) или по номограммам на рис. 55 и 56: vrx=vn/=:0,05;
va)x = v(oy=0,5-103. По табл. 5: tr^=Try=0,101; та)Х=т(оУ=1. Из (49): т=
Дд012=1°/0.
Задача 2. То же для одномодового световода (Dc = 5 мкм, лс = 1,459,
по =1,457).
Решение. По графику на рис. 54 или по (50) найдем: 2гс = 6,26 мкм,
Vr=6,26-10-3; по (51): т= [2/(6,26-10~3+1/6,26-10-3)]2=0,02%. Тот же
результат можно получить из табл. 5.
Задача 3.- Рассчитать эффективность ввода по условиям задач 1 и 2,
но с применением согласующей линзы с фокусным расстоянием f'=7 мм,
стоящей в 7 мм от перетяжки исходного пучка.
Решение. Из (3) получаем: г'р= 2,81 мкм, в'=0,0714.
Для многомодового световода: vrx=Vry=25/2,81 =8,9; ^х^^^ 0,202/
0,0714=2,83 и т=100% (так как все Vi>l).
Для одномодового световода: vr*=vry = 3,13/2,81 = l,114. По (59): т=[2Х
XI, 114/(1 + 1,1142)]2=98,8%. Из табл. 5 находим: v(D = l/vr = 0,898; тг = 0,995;
х -0,978; т= (0,995-0,978) 2=93,7%.
10 Задача 4. Рассчитать эффективность прямой стыковки одномодового
полупроводникового лазера (Х=1,3 мкм, 0Х = О,15, ву=0,5) с многомодовым
(£>с=50 мкм, /ic = l,471, л0=1,457) и одномодовым (Dc = 12 км, /гс = 1,459,
п0 =1,457) световодами.
Решение. гр* = 1,3/3,14-0,15=2,76 мкм, гРУ=0,83 мкм.
Для многомодового световода: vrx=25/2,76«9; vry=25/0,83«30; v(dX=
=0,202/0,15=1,35; гшу=0,202/0,5=0,404. Из табл. 5 находим ^=^^=75%.
Для одномодового световода: из рис. 54 или из (50) получаем гс = 6,73 мкм;
vr* = 6,73/2,76=2,44; vry = 6,73/0,83=8,11. Из (52): т= [2/(2,44+1/2,44) ]Х
68

Таблица 5. Зависимость т» от коэффициента виньетирования v<
(При Vj>l,37—Tj = l)
vi
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
0,00
0,000
20 1
0,201
20 1
0,389
18
0,555 1
15 1
0,691
12
0,797
9
0,873
6
0,925
3
0,958
3
0,978
1 2
0,989
I 1
0,995
1 о
0,998
1 0
0,01
020
21 1
221
19
407
18
570
15
703
12
806
8
879
6
928
4
961
2
980
1 1
990
1 1
995
I 1
998
1 о
0,02
041
2а 1
240
19
425
17
585
14
715
11
814
8
885
5
932
4
963
2
981
1 1
991
1 0
996
1 о
998
1 о
0.03
061
20 1
259
19
442
16
599
14
726
11
822
9
891
5
936
4
965
2
982
| 1
991
| 1
996
1 о
998
1 о
0,04
081
20 1
278
19 !
458
17
613
14
737
11
831
8
896
6
940
4
967
3
983
1 1
992
1 о
996
1 1
998
| 1
0.05
101
20 i
297
19
475
17
627
14
748
11
839
7
902
5
944
3
970
2
984
1 1
992
1 1
997
1 о
999
1 о
0,06
121
20
316
19
492
16
641
13
759
10
846
7
907
5
947
3
972
2
985
| 1
993
1 1
997
1 0
999
1 0
0.07
141 !
20
335
18
508
16
654
13
769
9
853
7
912
4
950
3
974
1
986
1 1
994
1 о
997
1 о
999
1 0
0,08
161
20 !
353
18
524
16
667
12
778
9
860
7
916
5
953
2
975
I 1
987
| 1
994
1 о
997
| 1
999
1 о
0,09
181
20
371
18
540
15
679
12
787
10
867
6
921
4
955
3
976
2
988
j 1
994
1 1
998
1 0
999
1 0
Х[2/(8,11 + 1/8,Н)] = 17,0%. Из табл.5: veX- 1/2,44=0,410; v^I/8,11^
= 0,123; Tr*=Try = l; ^=0,703; 1^=0,246; т=0,703-0,246 =17,3%.
Коэффициент ввода лазерной энергии в световод т зависит от
продольного увеличения агх и агу согласующего устройства.
Найдем, каким агх и агу соответствует максимальное значение т.
Для этого возьмем отдельно произведения %ГхЪ<ьх и %ryt®y в (49)
и продифференцируем .их по агх и агу соответственно. Приравняв
производные иулю и выразив оттуда аг, огсолучим:
*ех=г ox &JrPx <»*; <*гу=rcy ey/rpy (oyt (53);
69

т. е. так же, как и в случае фокусирующих световодов, длина гк
ближней зоны пучка, формируемого на входе световода, должна
быть равна длине zc ближней зоны поля, сформировавшегося на
его выходе при засветке световода источником рассеянного
света (§ 2.3). При выполнении условий (53) v2r = v2(i)=nrc(o/n/rp®.
Предельная эффективность ввода, достигаемая при этом, как для
многомодовых, так и одномодовых световодов ори п/гссо'^пгр&
по обеим поперечным направлениям равна около 100%.
Если значения фазовых объемов лазера и световода
существенно различны (случай многомодовых световодов), то
эффективность ввода слабо критична к нарушению условий оптимальности
(53). Если же эти фазовые объемы близки друг другу, то их
нарушение существенно сказывается на эффективности ввода.
Задача 5. Найти параметры линзы, обеспечивающей предельную
эффективность ввода многомодового лазерного пучка (гР = 1 мм, 0=1О_3) в много-
модовый световод (£с=50мкм, лс = 1,471, п0 = 1,457).
Решение. гс=25 мкм, о = 0,202. Из (53) получаем: аГх = аГ1/ = 25Х
Х10-3/Ю00-0,202 = 1,24.10-4, т. е. г'р = 12,4 мкм. Из (34): f'min = 12,4.10-e/10-3=
-12,4 мм и т=100%.
Задача 6. Найти параметры согласующего устройства,
обеспечивающего предельную эффективность ввода по данным задачи 4.
Решение. zK * = 2,76/0,15 =18,4 мкм; zK у = 0,83/0,5= 1,66 мкм. Согласую-
щее устройство может быть фоклином (анаморфотным фоконом), линейные
увеличения (Зг которого в случае одномодового световода (Зг * = 6,73/2,76=2,44
и рг у = 6,73/0,83=8,11. В случае многомодового световода zc=jDc/2o), т- е- 2с =
=25/0,202=124 мкм; ргж=]/ 124/18,4=2,59 и рг „ = }/" 124/1,66=8,64.
Согласующая линза рассчитывается по (37а). Приведем расчет только для
одномодового световода, тогда 2с=г2сяД, т. е. zc=:6,732-3,14/l,3=109 мкм. Из-
(37а) получим sp=—]/ 18,4-1,66=—5,53 мкм, а s'2p<0, т. е. необходима
телескопическая система из анаморфотной и сферической линз. Задавшись s'p =
= 0, из (38) найдем /'*=—2,442-5,53/(1—2,442) =6,65 мкм; /'„=—8,112-5,53/(1—
—8,11)2=5,62 мкм. Диаметр перетяжки сформированного анаморфотной линзой
осесимметричного пучка при s'p = 0 равен диаметру пучка на этой линзе: г'р =
—1/2,762+0,152-5,532=2,88 мкм. Рассчитаем параметры второй (сферической)
линзы: 2К=2,88-3,14/1,3=6,96 мкм. Из (34): fmm= ]Л09-6,96=27,5 мкм к
г» 100%.
Как видно из решения последней задачи при согласовании
полупроводниковых лазеров требуются миниатюрные
анаморфотные фоко'ны и линзы. Их изготовление сталкивается с
-серьезными трудностями, поэтому обычно используют не обеспечивающие
предельной эффективности ввода, но технологически более
доступные устройства. Рассмотрев на основании выражения (49)
работу таких устройств, получим формулы для оптимальных
параметров, которые сведены в табл. 6. Значки (II) и (J-) обозначают
требования взаимной параллельности или перпендикулярности
больших полуосей сечений лазерного и оветоводного пучков. Фор-
70

71
Таблица 6. Формулы для оптимальных параметров согласующих устройств
Название I Оптимальные параметры при
Согласующего Схема Оптимальные параметры пгрв = п' гс ю (в частности для
устройства одномодовых лазера и световода)
Осесимметрич- Y^^^ PZ II £ — (Гсдс/Гр*)2 + (W'w)* . аг=гСхГсУ1грхГрУ;
ный фокон (II) ^"Н3-}'—" II Г (tox/&x)2 + (<Oy/ey)2 ' v«=vffl|,*=l/Vr*=l/vex
If? I I
ная линза • (—H H4 U г (о)*/вя)а + (<Dj,/09)8 ' Уг»-»„,-1М,«1/»ш,
Осесимметрич- I _^ / \ /r I (//')' — (rcx/&x)* + (Wey)a —/Г=''р*''р»/«>жО)»='-схГсу/вх01;;
ная микролин- — П НН—~ Н~ Wl' (<»*/'Р*)а + <«*/rw)« ' v^-v^-l/va-l/v.,

72
Окончание табл. в
Название Оптимальные параметры при
согласующего Схема Оптимальные параметры п гр в =* п* гс о (в частности для
устройства одномодовых лазера и световода)
I 1 Г!
Осесимметрич- „ - М ir»_i/f. a _^f/o. —!1'=грхгРу/(Ох(ду=ГсХГсу1вхву;
НЯа ГПЯ ПИРИТ- 1 J 7* Г ' Г I / Ч/Г— 1// , «Г—-Л/ /Л,
ная градиент- , ■ j I г—и , л _i/p. // _wf//o
ная микролин- иЧ ^ Т] л(гг)/лг<1—0,5в2у Фг-Ш, аг-щ jz
екая линза (И) •—Q ( -^ j Н" —s= (2/лл—1) ТАсу2ку(1—zKV/Zcv) ^^тсо л:» vffljr=a>*/e*
j-^K АЛ

мулы в последней колонке являются частным случаем формул
предпоследней колонки, когда лазер и световод имеют
одинаковый фазовый объем (одно и то же число мод).
В общем случае при формировании неосесимметричного
лазерного пучка осесимметричной линзой пучок становится астигматич-
ным (см. § 2.4), что отрицательно сказывается на эффективности
ввода. Две возможности устранения астигматизма описаны в
графах табл. 6 «Осесимметричная линза» и «Осесимметричная
микролинза».
Практически с осесимметричной линзой трудно достигнуть
значительных коэффициентов ввода >в одномодовые световоды из-
за аберраций линз, вызывающих размытие перетяжки пучка.
Степень коррекции аберраций ов объективах микроскопов в принципе
достаточна для их использования в качестве согласующих линз.
Однако аберрации в стандартных объективах скорректированы
не на рабочую длину волны полупроводниковых лазеров и не для
такого хода лучей, который диктуется условиями (53). Для
ввода энергии полупроводникового ла;зера в световоды был 'бы
эффективен объектив типа (Микроскопного, но рассчитанный
специально для этой цейм.
В качестве микролинз технологически удобно использовать
стеклянные шарики и полусферы. Приведем формулы для их
фокусных расстояний У и вершинных фокусных отрезков sF
(расстояний от-поверхности линзы до фокуса) (рис. 58):
полусфера f' = RI(nn—\)\ — sF = /'; s'p = f'/a*;
(54)
сфера /' = Я/1л/2(Пл—1); -sP~s'F = R(2—пл)/2(пл— 1),
где R — радиус кривизны сферы; пл — показатель преломления
материала линзы. У сферы передняя и задняя главные плоскости
совпадают и проходят через ее (Центр, а у полусферы одна из
-главных плоскостей касается ее вершины. Параметры
градиентной линзы по известному значению f в общем случае
рассчитываются по формулам § 2.5. Вариант в табл. 6 соответствует
наиболее компактной и в продольном, и в поперечном направлениях
F Л Иг F1
Sf
№
f'
а)
SF
F ИНГ ? ,
н
*f
\
f
^
-f
л
J
fp
z
f)
Рис. 58. Согласующие линзы в виде:
а — полусферы; б —сферы
73

схеме и, кроме того, позволяет создать удобную интегральную
конструкцию.
Цилиндрическая микролинза должна быть ©плотную прижата
к световоду, а ее увеличение агу определяется из (52). Тогда
aryf'**=s'2F+z2cy. В табл. 6 представлен случай, когда
согласующая цилиндрическая линза изготовлена из отрезка световода*
перпендикулярного оптической оси. При этом использованы
последняя формула и соотношение (54).
Задача 7. Рассчитать параметры осесимметричных фоконов,
обеспечивающих квазиоптимальное согласование по условиям задачи 4, и
соответствующие коэффициенты ввода.
Решение. Для многомодового световода из табл. 6 находим: аг =
=]/" [(25/2,76)2+(25/0,83)2]/[(0,202/0,15)2+ (0,202/0,15)2] =22,4; рг= у 22,4=
=4,73. Из (51): vrx=25/2,76-4,73 =1,91; vry=25/0,83-4,73=6,37; т=100%, т. е.
уменьшение эффективности ввода в случае многомодовых световодов и одно-
модовых лазеров практически незаметно.
Для одномодового световода: аг=|/ 6,732/2,76- 0,83=4,45. Из (51): vr =
= 6,73/2,76-4,45=0,548. Из табл. 6 и (52): т= [2/(0,548+1/0,548)]2=71,0%. Из
табл. 5: т=0,8372 = 10Д%.
Задача 8. Найти параметры линзы, обеспечивающей квазиоптимальное:
согласование по условиям задачи 4.
Решение. Значения аг найдены при решении задачи 7. Зададимся f'=
= 10 мм. Тогда из табл. 6 для многомодового световода: zp —10/4,73=2,11 мм;
z'p = 10-4,73=47,3 мм. Для одномодового световода zv —10/4,45=2,25 мм; z'v —
= 10-4,45 = 44,5 мм. Коэффициенты ввода т найдены при решении задачи 7.
Задача 9. Найти параметры согласующих микролинз, осуществляющих:
квазиоптимальное согласование по данным задачи 4.
Решение. Для многомодового световода из табл. 6 найдем —ff'=-
«К [(25/0,15)2+(25/0,5)2]/[(0,202/2,76)2+ (0,202/0,83)2] = 685 мкм2 и f =
=26,2 мкм. Зададимся /гл = 1,457. Тогда из (54): #=26,2-0,457=12 мкм
(полусфера) или #=26,2.2-0,457/1,457=16,5 мкм (сфера); рг ж=26,2-0,15/2,76= 1,42;
ргу=26,2-0,5/0,83= 15,78. Из (51): vPx=v(oy=25/2,76-1,42 = 6,38; vPy=ve)ac=
=25/0,83-15,78=1,91; т=100%.
Для одномодового световода: f'= "J/ 6,732/0,15-0,5=24,6 мкм; ргзс=24,6Х
X 15/2,76= 1,34; vP* = 6,73/2,76-1,34= 1,82. Из табл. 5: vPy=v(DX= 1/1,82=0,549;
т=0,8372=70,1%. Из табл. 6 и (52): т=,[2/(1,82+1/1,82)]2=71,0%.
Задача 10. Найдем параметры градиентных согласующих микролинз„
осуществляющих квазиоптимальное согласование по данным задачи 4.
Решение. Значения f и т подсчитаны при решении задачи 9.
Коэффициенты Фг тогда равны 0,0382 и 0,0407 мкм-1 соответственно для
многомодового и одномодового световодов; dr=41,2 мкм и с?г=38,6 мкм. Задавшись
n(DT) = 1,457, получим лг> 1,457/(1— 0,5- 0,52) = 1,66 и я* > 1,457/1— 0,5Х
Х(6,73/24,6)2=1,51.
Квазиоптимальные эффективности ввода, обеспечиваемые
всеми* осесимметричными устройствами, теоретически одинаковы.
Случай микролинз отличается от остальных только тем, что
меняются местами значения vr и vQ .
74

Задача 11. Найти параметры циклических микролинз, осуществляющих
хвазиоптимальное согласование по данным задачи 4.
Решение. Для многомодового световода: 2ЯЦ = 4(1—1/1,457)-J/" 25 X
ХО.ЬЗ/0,202-0,5= 18 мкм; — sq=5,3 мкм; v л>1 и т=100%.
Для одномодового световода: 2#ц=4(1—1/1,457)]/ 6,73-0,83/0,062- 0,5 =
= 16,8 мкм; —Sq=4,9 мкм; vq:c=0,062/0,15=0,413 и по формуле (52): т=тшЛ=»
-2/(0,413+1/0,413) =70,6%. По табл. 5: т=тюЗС=70,6%.
Анализ формул (табл. 6) показывает, что эффективность ©вода
энергии полупроводниковых лазеров в эллиптические световоды
несколько выше, чем в круглые. Осесимметричные согласующие
устройства более эффективны с лазерами, обладающими меньшей
шириной полоски, а цилиндрические — с большей. В связи ,с
имеющейся сейчас тенденцией к созданию канальных лазеров
осесимметричные согласующие устройства следует считать более
перспективными.
В приведенных примерах решений задач при определении
эффективности ввода использовалась гауссовая аппроксимация
поля лазерного пучка и соответственно таблица интеграла
вероятности (табл. 5), а в случае, когда и лазер и световод одномодо-
вые, — формула (52). При использовании других
аппроксимаций, удовлетворяющих указанным в начале параграфа условиям,
приведенные формулы для оптимальных параметров согласующих
устройств остаются в силе. Эффективность ввода вычисляется
через интегралы от аппроксимирующих функций. Так, если
используется косинусная аппроксимация, то эффективность ввода
определяется с помощью таблиц синуса. Если энергия распределена
и по сечению и по телесному углу равномерно, то t;=v* (при
Vf<l).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
АБЕРРАЦИОННЫХ ИСКАЖЕНИЙ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ
3.1. О ПРАВОМЕРНОСТИ МЕТОДА ЛУЧЕВЫХ ПАКЕТОВ ДЛЯ
АБЕРРАЦИОННОГО РАСЧЕТА
В [4] показано, что толе однородной монохроматической
плоской волны, а также поле электрического диполя в вакууме на
больших расстояниях от диполя описываются экспоненциальными
решениями уравнений Максвелла. На основании этого разумоно
предположить, что в областях, расположенных на расстояниях
многих длин волн X от источника, толе общего типа можно
представить о ©иде экспоненциального решения:
Е0 = е (г) ехр Ц kq>(r)]\ H0 = h (г) ехр [/ /гср (г)], (55)
75

где Eq и #о — комплексные векторные амплитуды электрического
и магнитного полей; / — мнимая единица; k — волновое число;
ф(г) — оптический путь или эйконал. Подстановка этих
выражений в уравнения Максвелла или в волновое уравнение дает
соотношения, в которых ряд слагаемых обращается в нуль при &->-оо
(Я-^0). После этих упрощений полученные соотношения
приводятся к уравнению эйконала:
(gradcp)2 = rt2, (56)
где п — показатель преломления среды. Поверхности ср (г) =
= const называются геометрическими волновыми фронтами.
Световые лучи определяются как траектории, ортогональные к этим
фронтам, и им приписывают направление, совпадающее в каждой
точке с направлением усредненного вектора Пойнтинга. Как
следует из соответствующих выкладок, через каждую точку
пространства при отсутствии отражений проходит только один луч.
Применение такого классического подхода к полю в лазерном
резонаторе приводит к искажению формы пучка, так как
предполагаемое эспоненциальное решение заведомо приспособлено к
описанию поля только вдали от источника. При А,->0 сечение
перетяжки сужается и стремится к нулю, а концентрация энергии
к бесконечности. Можно попытаться построить лучевую картину,
минуя промежуточные выкладки, и определить лучи как се!мейство
нормалей к неискаженным поверхностям волнового фронта (1)
лазерного пучка, совпадающих по направлению с усредненным
вектором Пойнтинга. Однако такие лучи оказываются
искривленными в изотропном пространстве, они не подчиняются уравнению*
эйконала (56), принципу Ферма и другим законам геометрической
оптики. Только вдали от перетяжки получаемая классическим
путем лучевая картина дает правильное описание лазерного пучка.
Модель в виде параксиального лучевого пакета с этой точки
зрения неправильна — лучи в ней не перпендикулярны волновому
фронту — но дает правильное описание лазерного пучка,
согласующееся с результатами волновой теории. Это противоречие
потребовало нового взгляда на основы геометрической оптики [18г
19]. В этих работах в волновое уравнение были подставлены
решения в виде произведения экспоненты на сумму эталонной
функций (ЭйриилиВебера), хорошо аппроксимирующей тшшчныеполя
вблизи фокусов, каустик, и ее первой производной. После
соответствующих математических выкладок, в ходе которых были
отброшены слагаемые, стремящиеся к нулю при &->оо, было
получено уравнение (56). В этом уравнении ср, однако, уже не
геометрическая фаза волны (эйконал), а некоторая функция аргументов
экспоненты и эталонной функции. Этот обобщенный эйконал —
двузначная функция координат, однозначная лишь на самой
каустике. Лучи определяются как (семейство нормалей к
обобщенному эйконалу, т. е. через каждую точку области внутри каустики
должно проходить два луча. Эти лучи подчиняются всем законам»
обычной геометрической оптики и в изотропном дространстве яв-
76

ляются прямыми. В частном случае функцию Вебера можно
выразить через функцию Гаусса [2], т. е. данная модификация
геометрической оптики теоретически строго обосновывает плоский
лучевой пакет, описанный в § 1.3.
В работах [6, 7] рассматривается обратный вопрос перехода
от системы лучей к полю. Результаты работ [18, 19] и [6, 7]
.позволяют установить строгое взаимно-однозначное соответствие
между лучевым пакетом и волновым пучком.
Лучевые картины, соответствующие фувкциям Вебера общего
(негауссового) вида, могут описывать искаженные, например под
воздействием аберраций оптической системы, лазерные пучки.
Причиной полного соответствия лучевой и волновой моделей
является то, что лазерный пучок самоограничен и поэтому
практически не дифрагирует на оправах оптики. До появления лазеров
оптика не сталкивалась с подобными пучками.
Таким образом, метод эталонных функций подвел
теоретическую базу под проведенный в § 1.3 и 1.4 чисто лучевой анализ
формирования пучка в лазерном резонаторе и его формирования
оптическими системами. Лучи лучевого пакета являются
обычными лучами, но они не перпендикулярны волновому фронту (ему
перпендикулярны биссектрисы углов между соответственными
парами лучей), а описание с помощью этих лучей остается
справедливым вблизи фокусов и каустик. В свете сказанного термин
«дифракционная расходимость» неправомерен применительно к
недиафрагмированному лазерному пучку и его следует понимать
только как указание на метод, которым был впервые рассмотрен
вопрос о пространственной структуре лазерных пучков. Это
следует из определения «Дифракция волн — ...любое отклонение
при распространении волн от законов геометрической оптики»
[35]. Формула Ньютона (6) не считается дифракционной, хотя
она тоже может быть получена из дифракционного интеграла
Кирхгофа. Прикладная оптика выходит за рамки ограничений,
накладываемых классической геометрической оптикой, скажем,
при расчете аберрационных искажений изображения, что
противоречит указанию о несправедливости геометрической оптики
вблизи фокусов. Метод эталонных функций подвел теоретическую
базу и под эти расчеты.
Следует обратить внимание на правильность выбора системы
лучей. Так, иногда считают, что плоскому фронту всегда
соответствует параллельный пучок, забывая, что это справедливо только
для плоского фронта равной интенсивности. Плоскому фронту с
гауссовой интенсивностью эквивалентен лучевой пакет, описанный
в § 1.3. Попытки представить пространственную структуру
лазерных пучков на основе понятий лучевой оптики обусловлены
сравнительной простотой и наглядностью этих понятий и тем, что
именно этими понятиями привыкли пользоваться конструкторы и
разработчики оптических систем.
Численный расчет лучей лучевого пакета через реальные
оптические системы, заданные радиусами кривизны преломляющих ло-
77

верхностеи, толщинами промежутков и показателями
преломления, позволяет получить форму лучевого пакета на выходе этой
системы. Правильность полученных таким образом результатов
определяется в первую очередь правильностью построения
исходной системы лучей, заменившей реальный лазерный пучок.
Целесообразнее вести расчет, начиная с резонатора лазера, который
исдользуется с рассчитываемой системой. Зеркала лазерных
резонаторов обладают чрезвычайно малыми эффективными
относительными отверстиями (около 1:1000), т. е. в пределах рабочей
зоны зеркал параксиальное приближение дает высокую точность.
По формулам § 1.3 зная геометрические параметры резонатора
можно определить параметры соответствующего ему
параксиального лучевого пакета. Далее можно рассчитывать ход лучей этого
пакета через оптическую систему уже по формулам для
реальных, непараксиальных- лучей. Исходный лучевой пакет, как
показано выше, является строго обоснованным и соответствующим
полю б лазерном резонаторе, поэтому и преломленные лучи на
выходе оптической системы должны дать правильное описание
контуров сформированного лазерного пучка.
3.2. АБЕРРАЦИИ И ФАЗОВЫЙ ОБЪЕМ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ
При анализе аберрационных искажений лазерного пучка
полезно вспомнить теорему Лиувилля [22]. Она утверждает, что
фазовый объем V поперечного сечения пучка лучей остается
постоянным вдоль всего хода пучка:
У- $n2QdS = const, (57)
где п — показатель преломления среды; dS — элемент площади
поперечного сечения пучка; Q — текущая телесная расходимость
элементарного гомоцентрического пучка лучей, вершиной которого
является элемент dS.
Непосредственный подсчет фазового объема
лучевых пучков в большинстве
практических случаев очень сложен.
Поэтому в инженерной практике
пользуются упрощенной
характеристикой, аналогичной интегралу
Лиувилля,— инвариантом Лагранжа [33]:
Т Уд = nr sin 0 = aiV sin 0' = const, (58)
где 2r и 2r' — поперечные
размеры предмета и изображения до
и после оптической системы, а
29 и 20' — углы, под которыми
из плоскости предмета
(изображения) видна оптическая систе-
„ г** гт » • ма. Соотношение (58) инвариант-
Рис. 59. Пучок с простейшей mci' ^wv \ ' *„„ п
структурой но уже не для любого сечения, а
78

только для сопряженных (плоскостей пучка. Инвариант Лагранжа
определяет как .бы габаритные размеры фазового объема простой
формы, в который вписан реальный лучок. Фазовый о'бъем
реального пучка и габаритный фазовый объем совпадают только для
пучка с простейшей структурой — пучка однородного .круглого
излучателя, каждая точка которого излучает в одном и том же
угле 20 (рис. 59). При сложной структуре пучка фазовый объем,
определяемый интегралом (57), меньше габаритного фазового
объема.
Для примера подсчитаем в параксиальном приближении фазовые объемы
лучевого пакета, эквивалентного лазерному пучку, и пучка с лростейшей
структурой. Расходимости 26 и диаметры перетяжек 2гР(2г), а следовательно, и
инварианты Лангранжа /л обоих пучков и их габаритные фазовые объемы бу-
дом считать одинаковыми. В перетяжке лучевого пакета получим (см. рис.17):
я/2
Vp = j п2 яв2 sin2 tj) 2 nr2p cos i|) d cos яр = (я п 0 rp)2/2,
©ткуда для одной моды Vp=%2/2. На расстоянии z от перетяжки диаметр
2r(z) лучевого пакета в соответствии с формулой (8) возрастает до 2]/V2p+
+в222. Расходимости элементарных гомоцентрических пучков в этом сечении
меньше соответствующих углов в перетяжке в j/^l+COz/rp)2 раз (см. § 1.3).
Таким образом, интеграл Лиувилля в этом сечении имеет то же значение, что
и в перетяжке.
Теперь подсчитаем фазовый объем пучка с простейшей структурой:
г
V = \ п2 я02 2 л ydy = (я п в г)2,
о
где у — поперечная координата. На расстоянии z от перетяжки такого пучка
расхсдшлость элементарных гомоцентрических пучков уменьшается, но по более
сложному закону, чем в случае лучевых пакетов. Нетрудно, однако, убедиться,
что и в этом случае интеграл Лиувилля сохраняет значение, подсчитанное в
перетяжке.
Из проведенных вычислений видно, что при одном и том же
инварианте Лагранжа фазовый объем лучевого пакета в два
раза меньше фазового объема пучка простейшей структуры, т. е.
габаритный фазовый объем лазерного лучка в два раза больше
его интеграла Лиувилля.
Кстати, легко увидеть, что фазовый объем многомодового
волоконного ступенчатого световода совпадает с фазовым объемом
пучка /простейшей структуры, а фазовый объем многомодового
градиентного световода — с фазовым объемом лучевого пакета.
Отсюда следует, что от источника рассеянного света в
ступенчатый световод войдет в два раза больше энергии, чем в
градиентный при одинаковых диаметрах сердечника и апертурах.
Специфика лазерных оптических систем не позволяет
применить к ним приемы аберрационного расчета, .развитые для
оптических систем, формирующих изображение. От лазерных систем
79

требуется не изображение сопряженных точек, а концентрация
энергии лазерного излучения на заданных объектах или его
передача на расстояние. В таких оптических системах аберрационные
искажения корректируются, как правило, легче, чем при
формировании изображений, но тем не менее требуются особые приемы
расчета. Формально назначение оптических систем лазерных
приборов близко к назначению световых приборов — проекторных и
прожекторных. Однако лазерные пучки имеют фазовые объемы
на несколько порядков меньше, чем пучки в световых приборах,
что не позволяет пользоваться при расчете лазерных оптических
систем методами светотехники.
Поперечные остаточные аберрации фокусирующих оптических
систем могут быть соизмеримы с поперечными размерами
перетяжки лазерного пучка н местах его острой фокусировки. При
этом поперечные размеры перетяжки возрастают по сравнению с
значением, полученным из параксиального расчета. Наоборот, в
системах, где поперечное сечение перетяжки принимает большое
значение, угловые аберрации могут быть соизмеримы с
расходимостью пучка, что приводит к увеличению расходимости пучка по
сравнению с параксиальным значением. В обоих случаях
инвариант Лагранжа пучка на выходе оптической 'системы возрастает.
При этом (возрастает его габаритный фазовый объем, хотя
интеграл Лиувилля остается постоянным. При расчете оптических
систем, формирующих изображение, с таким явлением не
сталкиваются,, так как размеры предметов и их изображений обычно
намного превышают значения остаточных поперечных аберраций
оптических систем и инвариант Лангранжа действительно
инвариантен с высокой степенью точности. Это является следствием
того, что фазовый объем пучков в оптических системах,
формирующих изображение, на несколько порядков больше фазового
объема лазерных пучков [40].
Аберрационное увеличение габаритного фазового объема
лазерного пучка нежелательно, поскольку приводит к потерям
оптической энергии при ее передаче по направляющим системам и
при согласовании с фотоприемными устройствами к уменьшению
концентрации энергии в технологических устройствах и т. д.
Целью аберрационного расчета оптических систем лазерных
приборов является, как правило, борьба с этими явлениями.
Грубую оценку влияния аберраций на лазерные пучки можно сделать на
основе (44), определяющей влияние расфокусировки оптической системы на
увеличение диаметра формируемого ею лазерного пучка. Различные лучи
лучевого пакета проходят через разные аберрационные зоны компонентов
оптической системы. Каждую аберрационную зону можно охарактеризовать своим
зональным фокусным расстоянием. Этот факт можно трактовать как наличие
различной расфокусировки оптической системы для различных аберрационных
зон, т. е. формулу (44) можно использовать для оценки сверху аберрационного
расширения лазерного пучка: /С« l + (6s/zK)2/2, гДе К — коэффициент
аберрационного расширения пучка; 6s — суммарная продольная аберрация оптической
80

системы, приведенная к какой-либо плоскости; zK — длина ближней зоны
лазерного пучка, сформированного вблизи этой же плоскости (zK=rp/0).
Отсюда видно, что наиболее сильно аберрации сказываются в тех оптических
системах, где есть места острой фокусировки лазерного пучка, в которых длина
ближней зоны пучка мала.
3.3. РАСЧЕТ АБЕРРАЦИОННЫХ ИСКАЖЕНИЙ ЛУЧЕВОГО ПАКЕТА
В § 1.3 и 1.4 было показано, что лазерный пучок можно
представить с помощью плоского и пространственного лучевых
пакетов. Ход луча пространственного пакета через оптическую
систему, соосную с ним, полностью определяет параметры лучевого
пакета на выходе системы. В параксиальном приближении расчет
одного косого луча пространственного лучевого пакета был
заменен расчетом двух меридиональных лучей. За рамками
параксиального приближения такая замена уже недопустима — здесь
необходимо рассчитывать ход действительного косого луча.
Значения диаметра 2rv перетяжки и расходимости 20 пучка на входе
оптической системы не являются четко определенными: они
зависят от того, на каком уровне энергии мы рассматриваем лазерный
пучок.
Как известно, энергия, заключенная в лазерном пучке,
спадает от оси к краю постепенно и резкой границы не имеет.
Испускаемый лазером пучок поэтому можно представить в виде
множества соосных лучевых пакетов, каждый из которых соответствует
описанию этого пучка на каком-то определенном уровне энергии.
Эти лучевые пакеты обладают различными значениями гр и 0, но
одним и тем же значением zK = rp/sin6 длины ближней зоны.
Совпадает также положение их минимального сечения.
Рассчитав ход лучей (по одному из каждого такого лучевого
пакета) через оптическую систему, получим параметры лучевых
пакетов, сформированных этой системой. В параксиальном
приближении все эти пакеты в соответствии с формулами (11) — (16J
будут иметь одинаковые значения zK и s'v — длины ближней
зоны сформированного пучка и расстояния до его перетяжки от
последней преломляющей поверхности оптической системы.
Аберрации оптической системы приведут к тому, что эти величины будут
различны для лучевых пакетов, описывающих лазерный пучок на
различных уровнях энергии. Разброс значений величин z'K и s'p
может характеризовать искажения, которым подвергся пучок
лазера в реальной оптической системе. Оптическая система должна
быть спроектирована так, чтобы этот разброс был невелик, т. е.
чтобы лучевые пакеты, соответствующие различным уровням
энергии, формировались этой системой примерно одинаково [45].
Подобно тому, как это делалось в § 1.4, косой луч
пространственного лучевого пакета будем задавать следующими
параметрами: гр, в, sp и if. Для того чтобы использовать применяемые
схемы расчета косых лучей, необходимо переходить от этих величин
к обычному способу задания луча через декартовы координаты
81

х, у и z произвольной точки на луче. Используя известные
соотношения аналитической геометрии [5], получаем:
Hi = гр cos ip—(z1—sp) tg 0 sin г|>;
xi = гр sin Ф + (zi—sp) tg ® cos яр.
Направляющие косинусы Я, [л и v луча равны:
X=sinecosi|5; [х=—sin 6 sin г|); v=cos0. Расстояние r(z) от
произвольной точки на луче до оптической оси составляет: г2(г) =
=/2p+(zi—sp) 2tg2G. Это соотношение может использоваться для
вычисления световых диаметров линз оптической системы,
которые следует определять из расчета крайнего лучевого пакета,
соответствующего достаточно низкому уровню энергии (около 0,01) ^
с тем, чтобы избежать заметной дифракции на оправах линз.
Приведем также формулы обратного перехода, необходимые
для определения параметров преломленного лучевого пакета
после расчета хода косого луча через оптическую систему: cos0' = v';
sini]/ = — Я7|Л — v'2; rp=(y' Х' — х' Ю/]Л— v'2;
s^-v'ix'X' + y'ui'W-v'z),
где штрих означает, что данная величина относится к лучу,
преломленному оптической системой. Знак перед корнем выбирается
так, чтобы значение r'v было положительно. Величина г'к
ближней зоны преломленного лучевого пакета определится как z'K —
=|гУ|Ль±7"2|.
Как отмечалось выше, разброс значений z'K и s'p, полученных
в результате расчета косых лучей, соответствующих описанию
лазерного пучка на различных уровнях энергии, характеризует
аберрационные искажения лазерного пучка. Эти искажения
можно оценить также, рассчитывая меридиональные лучи плоского
лучевого пакета [39].
Если учесть специфику оптических систем, предназначенных
для формирования лазерных пучков, можно построить более
простую схему расчета, требующую меньшего количества
математических операций. Упрощение получается, во-первых, за счет того,,
что расчет ведется непосредственно через параметры лучевого
пакета гр, G и sp. Во-вторых, параметр ф вообще исключается из
расчета, так как он не определяет характеристики лучевого
пакета в целом, а из промежуточных выкладок его удается
устранить. Тем самым рассчитанный луч на выходе оптической системы,
не является четко определенным: определено только семейство-
лучей, для которых оптическая ось является центром круговой:
симметрии. Но этого оказывается достаточным, если лазерный
пучок и оптическая система осесимметричны и соосны. В-третьих,,
как показано ниже, при расчете луча, выраженного через
параметры лучевого пакета, можно использовать свойство
инвариантности произведения этих параметров.
Рассмотрим ход косого луча DMSNE, падающего на
преломляющую поверхность (рис. 60): А — вершина сферы с цент-
82

ром в точке С, лежащей на оптической оси 00\ (оси z) и с
радиусам г, равным длине отрезка МС — нормали к преломляющей
поверхности. Эта поверхность разделяет среды с показателями
преломления п и п'. ABD — плоскость, перпендикулярная оптической
оси. BDQE — плоскость преломления, содержащая нормаль МС
Рис. 60. Преломление косого луча
и луч DE. ZMCB = Zq>— угол в плоскости преломления между
нормалью МС и проекцией ВС оптической оси 00\ на эту
плоскость. Расстояние AB=GD между точкой А (вершиной сферы) и
линией BD пересечения плоскости преломления с плоскостью
ABD обозначим br. FD — проекция луча на эту плоскость.
Расстояние от центра С сферы до точки Н — проекции на
оптическую ось точки М пересечения луча с преломляющей поверхностью
обозначим ст. ZCME=Ze— угол падения. Исходные параметры
луча на чертеже представлены так: гр=55о; 0= ZMSSb\ sp=ASq.
Обозначим a=l—sp/r.
Из первого инварианта Кербера [34], используя рис. 60,
нетрудно получить [45]
Jp = nrp sin 0 = л' г* sin 0' =const. (59)
Последнее уравнение формально тождественно инварианту Лаг-
ранжа, но имеет иной смысл: для любого луча, идущего в
произвольной осесимметричной оптической системе, которая может
включать в себя плоские, сферические и асферические поверхно*
сти раздела, а также градиентные фокусирующие элементы,
произведение показателя преломления среды на расстояние по
общему перпендикуляру между лучом (касательной к лучу) и
оптической осью, умноженное на синус угла между направлениями
луча и оси, остается инвариантным вдоль всего хода луча. В
частности, для любого меридионального луча это произведение равно
нулю. Из соотношения (59) следует инвариантность знака угла
83

между лучом и оптической осью, откуда можно сделать
заключение о спиральном характере хода косого луча в
многокомпонентной оптической системе.
Применительно к лучевому пакету, образованному вращением
косого луча вокруг оптической оси, это равенство для луча
приводит к инварианту Лагранжа для пучка с той разницей, что
здесь оно справедливо для области конечных апертур, а не
только в параксиальной области, а величины гр и r'v относятся не к
сопряженным оптическим плоскостям, а к плоскостям, в которых
находятся перетяжки лазерного пучка.
Таким образом, для любого пространственного лучевого
пакета, соосного с оптической системой и описывающего данный
лазерный пучок на соответствующем ему уровне энергии, cooTHOHiej
ние (59) строго выполняется в любой осесимметричной оптической
системе. Однако для пучка в
целом на выходе аберрационной
оптической системы значение rVr
как отмечалось в § 3.2, может
превысить значение, определенное из
равенства (59). Это может
произойти, если велик разброс
значений z'K и s'p на выходе системы»
т. е. когда пучок сильно искажен.
Тогда лучевые пакеты,
соответствующие описанию пучка на раа-
ных уровнях энергии,
оказываются смещенными относительна
друг друга вдоль оптической оси,,
в результате перетяжка пучка в
целом не совпадает с перетяж-
Рис. 61. Рассчитанный на ЭВМ
вид огибающих лучевых пакетов,
соответствующих описанию пучка
на различных уровнях энергии,
вблизи фокуса линзы
кой ни одного из этих пакетов, а определяется их пересечением,,
что видно из рис. 61.
Плоскость NLC перпендикулярна лучу. Отсюда получим:
sine=NC/MC; NC2 = NL2 + LC2, т. е. sin2e = r2p/r2+a2 sin2 0. Из
точки N опустим на оптическую ось перпендикуляр NJ. Используя
получившиеся при этом прямоугольные треугольники, определим
С = а sin2 G + cos 0 cos е.
Запишем формулы, необходимые для расчета хода косого
луча пространственного лучевого пакета через одну сферическую
преломляющую поверхность. В этих формулах d — расстояние
между вершинами последовательных преломляющих
поверхностей, г — индекс поверхности, гк=гр/$тВ.
ai = l + (di-i—s/i-i)/ru
sin28i={(/pMinsin2ei)2+a22]sin262;
COS87^]/l—Sin28f,
cos 8 • = V1 — ip>ilni+\)% sin2 zt;
84

ct = at sin2 ®i + cos &i cos 0^;
COS 0Ж =s (П(/П;+}) COS 0* + C| [COS в) — (tli/m+i) COS 8j;
sin2 0г+1 = 1—cos2 0f+i;
5; = [ 1 — r, (ct—cos 0/+i cos г'.)] /sin2 0^.
Количество математических операций при расчете по
приведенным формулам косого луча лучевого пакета примерно в два*
раза меньше, чем если его рассчитывать, приспособив для этога
схему Федера [29]. Так же, как и в схеме Федера, здесь
полностью отсутствуют тригонометрические функции и имеется только-
два радикала на итерацию, т. е. данная схема может быть
приспособлена для расчетов на ЭВМ. В приведенной схеме
отсутствуют также переменные, обращающиеся в бесконечность (sin©
может быть равен нулю только для меридионального луча, а такой
луч не может служить для описания пространственного лучевого
пакета). Бесконечность может получиться только в последней*
формуле при переходе с плоской преломляющей поверхности на
сферическую. В этом случае надо вести вычисления по формуле-
s'i=s(di—sViJ/Zi+iCOseV^iCossi. Приведенную схему можно
также использовать, положив /р = 0, для расчета хода
меридиональных лучей.
На рис. 62 и 63 представлены графики рассчитанных по приведенным
формулам искажений; лазерных пучков. На рис. 62 приведен график зависимости*
bz=z'Klz'n—1, а на рис. 63 —6а = а7я'—1 от инварианта JP/r при ^1=1 и я2=
= 1,5; z'K и а7 — значения величин z'K и а\ определенные в параксиальном
приближении.
При использовании для описания искажений лазерных пучков геометро-
оптических параметров 6Z и 6а возникает вопрос об их связи с распределением*
^ у ^ -.— i
в 8 Ю Jp/r-ft
Рис. 62. График искажений длины ближней зоны пуч
ост

интенсивности в сформированном оптической системой пучке. В
высококачественных системах, сконструированных так, что эти параметры близки к нулю,
вопрос решается просто — распределения энергии в исходном и
сформированном пучках подобны.
Рис. 63. График искажений положения перетяжки пучка
В общем случае для решения этого вопроса необходимо провести работу
по сравнению с результатами дифракционного расчета (см. гл. 4) и
эксперимента. Возможен также геометрооптический подход, заключающийся в том, что
исходный лазерный пучок задается некоторой совокупностью плоских и
пространственных лучевых пакетов, построенных так, что плотность расположения
лучей пропорциональна плотности оптической энергии. Тогда плотность
расположения этих лучей на выходе оптической системы характеризует
распределение энергии в сформированном системой пучке. Проведенные оценки
показали перспективность такого подхода в некоторых случаях — объем вычислений
существенно сокращается по сравнению с дифракционным методом, а точность
описания распределений энергии достаточно хорошая.
Использование этого подхода совместно с теорией аберраций третьего
порядка, во-видимому, позволит получить в некоторых случаях приближенные
аналитические выражения для распределений энергии в лазерных пучках,
сформированных аберрационными оптическими системами.
3.4. СВЯЗЬ ИСКАЖЕНИЙ ЛУЧЕВЫХ ПАКЕТОВ С СУММАМИ
ЗЕЙДЕЛЯ
В предыдущем параграфе изложена методика расчета
искажений пространственной структуры лазерного пучка,
формируемого в центрированной оптической системе. Эта методика
использует точный расчет через оптическую систему, соосную с лазерным
пучком, косых лучей пространственных лучевых пакетов и может
служить для контроля качества и окончательной корректировки
параметров оптических систем, формирующих лазерное излучение.
86

На первом этапе выбора этих параметров желательно иметь
приближенные, сравнительно простые формулы, определяющие иска*
жения лазерных пучков в рамках теории аберраций третьего
порядка.
Лучевой пакет, описывающий лазерный пучок на определенном
уровне энергии, будем характеризовать следующими
параметрами: длиной ближней зоны zK = rp/sin0; значением инварианта
Jp = nrpsine, расстоянием zp от фокальной плоскости оптической
системы F до перетяжки пучка (рис. 64). Здесь п — показатель
Рис. 64. Косой луч лучевого пакета в оптической системе
преломления среды, гр — половина диаметра перетяжки пучка
(расстояние между оптической осью и косым лучом,
определяющим лучевой; пакет, по общему к оси и к лучу перпендикуляру),
Э — половина расходимости пучка (угол между косым лучом и
оптической осью). Эти параметры после оптической системы
представим в следующем виде [41]: z'K = z'K(l+lJp+ ...); z'p=z'p(l +
+%JP+ ...)> гДе черта означает, что данная величина определена
в параксиальном приближении (в последующих формулах черту
будем опускать): | и % — коэффициенты при первой степени в
разложении соответствующего решения в ряд по степеням /р. В
промежуточных выкладках понадобится также величина г|/=г|/-|-
+т/р+ ... — параметр перебора, задающий положение отдельно-
го косого луча в пространственном лучевом пакете (см. § 1.3).
Найдем координаты та и Ma(mq и Mq) пересечения косого
луча лучевого пакета с двумя плоскостями А и Q пространства
предметов, перпендикулярными оптической оси. Обычно при
рассмотрении аберраций оптических систем, строящих
изображения в качестве таких плоскостей, берут плоскость предмета (А)
и плоскость входного зрачка (Q). Координаты т неправим по
оси у, а М — по оси х. Из рис. 64 получим: ma = rpcost|) —
— (Za—Zp)tgesini|); Ma = rp Sinty— (Za—Zp) tg 0 COS t|), ГДе ZflH2p-
расстояния от передней фокальной плоскости соответственно до
плоскости А и Q. Аналогичные формулы можно написать для
87

координат т'а и M'a(tn'q и M'q) пересечения сопряженного косого
луча с плоскостями А' и Q', сопряженными А и Q. Выразим в
этих формулах величины z'K, z'v и г|/ через их разложения по
степеням инварианта Jp лучевого пакета и оставим в разложениях
только два первых члена. Полученные формулы подставим в
выражения для поперечных аберраций луча в плоскостях А' и Q':
Буква g соответствует оси у, буква G — оси х. Выражения для
плоскости Q' получают заменой индекса а на q. Будем считать,
что плоскость А совпадает с плоскостью перетяжки лазерного
пучка до оптической системы, а плоскость Q' — с плоскостью
перетяжки пучка, сформированного этой системой. При этом
допущении из рассмотрения исключаются афокальные системы, в
которых плоскость сформированной перетяжки и изображение
исходной перетяжки совпадают. Этот случай можно рассмотреть
отдельно. Заметим, что для оптических систем, формирующих
лазерное излучение, понятие входного зрачка не имеет смысла, так
как лазерный пучок ограничивается не диафрагмами оптической
системы, а является самоограниченным.
Полученные в результате описанных выше операций
соотношения решим относительно коэффициентов | и %,
характеризующих искажения пространственной структуры лазерного пучка:
-2 92
|г"^-^ + 7^1<вй-вг'>г'-<в0«-в0«>г'1;
% = ■
2/гг? / Jp гр
\ z„ Zr> I \ г-п Zu I
(60)
где z2c = z2K+z2p; T\ = zv cosif—zKsm^)\ T2 = zvsmi§ + zKQ.os'§\
Для расчета удобно представить величины | и % через суммы
Зейделя. Для этого в формулах (60) поперечные аберрации
bgf и 8G' следует выразить через эти суммы. Поскольку
аберрации присутствуют в двух плоскостях А' и Q', то необходимо
использовать формулы, выражающие аберрации через суммы
Зейделя для этих двух плоскостей в случае общего положения луча
(когда он в плоскости А не пересекает ось у, см. рис. 64. Такие
формулы даны в [34]. Используем их в следующей модификации:
2n'a/6g'a(zq—za)3 = mq(m2q + M2q)Si— (3m2q ... и т. д.), где S-
суммы Зейделя (Sq — суммы Зейделя для плоскости Q'):
S/ = 2A/>; 8,,= %у[Щ/Ь(1/п)]*Аф/пУ> и т. д.
Обозначения и смысл величин, входящих в формулы, подробно
объяснены в [29] и [34]. После подстановки этих соотношений в
уравнения (60) получим [41]:
2п^Л = — ^- ^
Г2 г\ пг2к
zc
88

- z2 г4 г2
—- 5i«,+—— 5, — 3 s- Sn +
г2 г2 г2 г2
г2 г2 (г2—2г21 1
+-f-(3sm+/2sIV) л;2 рЧ .
Zk гк zc J
Полученные формулы дают искомые выражения
коэффициентов g и х, характеризующих искажения лазерного пучка, через
параметры ;гк и zp исходного пучка, фокусное расстояние /'
оптической системы и ее суммы Зейделя. Значение £ или %, умноженное
на инвариант Jp лучевого пакета, соответствующего описанию
лазерного пучка на интересующем нас уровне энергии, дает
значение относительного изменения соответствующего параметра
(zK или zv)y сформированного оптической системой лазерного
пучка, по сравнению с параксиальной величиной zK или zv.
Точность полученных формул соответствует точности формул теории*
аберраций третьего порядка. Так как значение инварианта Jv
лазерного пучка, как правило, невелико, то эти формулы дают
достаточно высокую степень приближения к точным значениям
zK и Zp, получаемым по методике, изложенной в § 3.3.
Полученные формулы содержат суммы Зейделя для двух
плоскостей, перпендикулярных оптической оси, так как они
описывают искажения трехмерной пространственной структуры
лазерного пучка. При расчете же оптических систем, формирующих
изображения, рассматривают абберации, как правило, лишь в
одной плоскости — плоскости изображения. Как видно из
полученных формул, идеально откорректированная система, у которой
все суммы Зейделя равны нулю, не обеспечивает неискаженного
формирования лазерного пучка. При расчете оптических систем,
формирующих лазерное излучение, в большинстве случаев, по-
видимому, нужно стремиться к тому, чтобы значение % было
возможно ближе к нулю, а значение £ при этом имело максимально-
возможное отрицательное значение. При этом концентрация
энергии излучения лазера максимальна. При расчете конкретных
систем могут возникнуть, конечно, и другие требования к | и х-
3.5. ФОРМИРОВАНИЕ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ ФОКОНАМИ
Параксиальное приближение при рассмотрении хода пучков*
в фоконе показывает, что в них выполняется соотношение Лаг-
ранжа (58) [28] (рис. 65):
nDsiriG = n'£>'sinG', (61)
где D и D' — соответственно входной и выходной диаметры фо-
кона; в и 0' — расходимости пучка на входе и выходе; п и п' —
89
2nzK%
„4
4
Zp
ff 3
nzz

показатели преломления среды до и после фокона. На рис. 65
показан анаморфотный фокой (фоклин), для которого
соотношение (61) надо рассматривать отдельно в плоскостях хг и уг.
Анализ хода непараксиальных лучей показывает, что
соотношение Лагранжа строго не выполняется и габаритный фазовый
объем пучка на выходе фоко-
'z на возрастает. Этот факт дал
основание поместить данный
параграф в главе,
посвященной аберрационному расчету
лазерных пучков, хотя здесь
трудно говорить об аберрациях
в обычном смысле этого слова.
Одиночный фокон не может
строить изображение и поэтому
для него не имеют смысла
аберрации, рассматриваемые в
курсах прикладной оптики. Тем не
менее можно рассчитать
искажения лазерного пучка,
сформированного фоконом, аналогичные тем, которые возникают в
аберрационных линзовых системах.
Вначале изучим общие закономерности формирования
фоконом лучевых, в том числе лазерных, пучков [40]. Рассмотрим
прямой круговой фокон АО В и падающий на него косой луч SQ и
проведем следующие построения (рис. 66): Из вершины О
фокона проводим сферу радиусом г, равным перпендикуляру ОЕ,
опущенному из этой вершины на продолжение луча. Назовем ее
сферой касания. Из точки С пересечения луча с поверхностью
фокона проведем нормаль к этой поверхности. Нормаль пересечет
wp
4S
{ S~
,
]
-Рис. 65
^4
I
. Анамо
=?>
,
(
' "
У
^
s^ У
^\ '
/, ]
\
рфотный
лин)
7**~
/%
**"
к
фокон (фок
Рис. 66. Прямой круговой фокон и сфера касания
90

ось фокона в точке, которую обозначим С0. Через луч и нормаль
проведем плоскость отражения, пересекающую сферу касания по
окружности (окружности касания) с центром в точке Ос. Так как
угол падения е равен углу отражения е', то отраженный луч
должен касаться окружности касания с другой стороны по
отношению к исходному лучу. Отсюда видно, что заданный луч после
любого отражения от поверхности фокона касается одной и той же
сферы касания, хотя окружности касания для каждого отражения
разные. Описанное построение упрощается для меридионального
луча. Окружность касания в этом случае одна для всех
отражений. Использование окружности касания — удобный прием при
графическом построении хода через фокон меридионального
луча (рис. 67). Из рис. 66 и 67 видно, что если входная и выходная
площадки фокона разделены поверхностью сферы касания, то
соответствующий этой сфере касания луч / через фокон не прой*
дет и отразится назад, в отличие от луча 2.
\У fii
Рис. 67. Графическое построение хода меридиональных лучей в фоконе
Рассмотрим сечение прямого кругового фокона сферической
поверхностью произвольного радиуса R, имеющей центр в
вершине фокона О (см. рис. 66). На этой поверхности, как нетрудна
видеть, лучи, имеющие общую сферу касания, имеют один и тот
же угол а наклона к лучу ОМ, проходящему через вершину
фокона О и вершину М рассматриваемого семейства лучей, лежащую
на сферической поверхности. Лучи, имеющие другую общую
сферу касания, образуют в каждой рассматриваемой точке М
другую коническую поверхность с той же осью ОМ, но с другим
углом при вершине а. Из рис. 66 видно, что sin o = r/R. Луч ОМ
является, таким образом, осью гомоцентрического пучка лучей,
проходящих через то^ку М сферической поверхности.
Расходимость гомоцентрического пучка лучей обозначим в.
Очевидно для нее также можно записать sin ®=r/RM, понимая
здесь под RM радиус сферы касания, соответствующей лучам с
максимальным из углов а. Отсюда следует, что прямой круговоГг
фокон, ограниченный двумя произвольными сферическими
поверхностями с центрами в его вершине, удовлетворяет соотношению
(61). Под 0 понимается расходимость гомоцентрических пучков
лучей, проходящих через каждую из точек соответствующей
91

сферической поверхности и имеющих в этих точках свои
вершины. Предполагается, что все гомоцентрические пучки имеют
одинаковую расходимость 0 во всех точках входной сферической
поверхности и другую, но одинаковую расходимость 0' во всех
точках выходной сферической поверхности. В такой трактовке
соотношение (61) строго выполняется даже за рамками
параксиального приближения при любой длине фокона (при любом угле ф
при его вершине), но при условии, что оси всех гомоцентрических
пучков лучей на входе фокона пересекаются в его вершине.
Пучок, обладающий таким свойством, будем называть
согласованным с фоконом. Заметим, что габаритный фазовый объем пучка,
согласованного с фоконом, превышает значение, соответствующее
выражению (61), так как угол наклона к оптической оси
крайнего луча, определяющего расходимость пучка, равен не G, а 0+ф.
Типична ситуация, когда входная поверхность фокона —
плоская, а оси всех гомоцентрических пучков параллельны оси
фокона, например когда входная площадка фокона размещена в
перетяжке лазерного пучка. В этом случае для различных лучей
пучка 0<6<ф. Из вышеизложенного следует, что максимальный
угол cr'm наклона луча на выходе фокона с учетом двойного
рассогласования (на входе и на выходе фокона) равен: а'т =
= arcsin [зт(6+ф)/Р]+Ф, где р— линейное увеличение фокона
(fi = D'/D). Отсюда видно, что невозможно с помощью фокона
эффективно формировать лазерный пучок, если его расходимость 0
меньше или соизмерима с углом ф при вершине фокона. Для того
чтобы это было возможно, пучок необходимо согласовать с
фоконом, например за счет искривления входной и выходной
поверхности фокона так, чтобы оси всех гомоцентрических пучков,
идущих внутри фокона, пересекались в его вершине, а после фокона
и перед ним были параллельны оптической оси. Таким образом
фокон должен быть заключен в телескопическую систему Галилея,
обеспечивающую его согласование с входящим и выходящим
пучком. Практически нет возможности придать фокону нужную
кривизну его торцов. Поэтому приходится выбирать фокон, угол
наклона образующей которого много меньше угла расходимости
формируемого пучка. В этом случае, как видно из
вышеприведенных формул, рассогласование с пучком фокона, имеющего
плоские торцы, сказывается несущественно. Для пучков газовых
лазеров, расходимости которых составляют единицы угловых
минут, практически невозможно изготовить удовлетворительно
работающий фокон. С полупроводниковыми же лазерами,
расходимости которых составляют до десятков градусов, фокон обычно
работает достаточно эффективно и часто имеет преимущества
перед линзами.
Заметим, что из теоремы Лиувилля следуют некоторые
ограничения. Если фазовый объем пучка меньше фазового объема
оптического устройства, в которое он вводится с помощью фокона, то
следует выполнять неравенство: 2rp^Z)^2rc/p, где
2гр—диаметр пучка на входном торце фокона; 2гс — входной диаметр оп-
92

тического устройства. Если соотношение между указанными
фазовыми объемами обратное, то и знак неравенства следует поменять
на обратный. Если неравенство нарушается, то неизбежны
дополнительные потери энергии лазерного пучка по сравнению с теми,
которые следуют из теоремы Лиувилля.
При определении искажений формы лазерного пучка,
прошедшего фокон, необходимо рассчитать через него ход ряда косых
лучей, каждый из которых определяет параметры лучевого
пакета, описывающего лазерный пучок на каком-то определенном
уровне энергии, подобно тому, как это делалось в § 3.3 для
зеркально-линзовых формирующих систем. Каждый из этих лучей может
отразиться от поверхности фокона по нескольку раз, причем для
разных лучей число отражений, вообще говоря, различно.
Рассмотрим схему расчета косого луча пространственного лучевого
пакета через фокон.
На рис. 68 представлен прямой круговой фокон и идущий з
нем косой луч АН] 6 — угол наклона луча к оптической оси,
определяющий расходимость лучевого пакета; PPQ—rv —
расстояние между оптической осью и косым лучом, отсчитываемое по
общему к ним перпендикуляру; HH0 = h — расстояние точки
пересечения косого луча с поверхностью фокона от оптической оси;
H0Po=t — расстояние между проекцией точки пересечения луча
с поверхностью фокона на оптическую ось и основанием
перпендикуляра Р0. Четвертый параметр, необходимый для строгого
задания косого луча, — угол г|) между направлением оси у,
перпендикулярной оптической оси, и перпендикуляром гр в соответствии
со сказанным в § 3.3 можно в расчет не принимать. Условия отра-
Рис. 68. Ход косого луча лучевого пакета в фоконе
93

жения на поверхности фокона лучей, отличающихся друг от
друга только параметром перебора of, будут одинаковы и величины
r'p, f и 6' после отражения от него не зависят.
Расстояние г {г) произвольной точки на косом луче от
оптической оси определяется формулой (8). Решая ее совместно с
уравнением образующей фокона, получим две координаты точки
пересечения косого луча с поверхностью фокона, т. е. параметры t и
h. В частности, для прямолинейной образующей получим:
^[Sptg^-VS^tg20tg29 + r2{tg2(p_tg20)]/(tg2(p_tg2e);
h = (sp—*)tgq>,
где sp — расстояние от основания Р0 перпендикуляра гр до
вершины О фокона, положительное при расширяющемся и
отрицательное при сужающемся фоконе. Угол ср также считается
положительным для расширяющегося и отрицательным для
сужающегося фокона. Параметр t положителен, когда перпендикуляр />
находится правее точки пересечения луча с поверхностью фокона
и отрицательным в обратном случае. Предполагается, что луч
идет слева направо.
Для криволинейной формы образующей выражения будут
иметь другой вид. Все последующие, формулы справедливы для
фоконов как с прямолинейной, так и с криволинейной образую-
щей. В последнем случае под ср понимается угол наклона к
оптической оси. касательной к образующей фокона, проведенной в
точке пересечения с ней луча.
Из точки Н пересечения луча с поверхностью фокона проведем
нормаль HN, которая вместе с лучом определит плоскость
отражения. Проведем в этой плоскости отраженный луч НА' так*
чтобы ZAHN= ZNHA'. Из точки N пересечения нормали с
оптической осью проведем в плоскости отражения прямую АА',
перпендикулярную нормали. Рассмотрим проекции треугольника
AHA' на плоскость, содержащую оптическую ось и нормаль HN
(на рис. 68 эта плоскость вынесена вниз), и на плоскость входного
торца фокона, перпендикулярную оптической оси. Последняя
плоскость интересна тем, что все перпендикуляры гр к лучу и к
оптической оси после любого отражения луча от поверхности
фокона проектируются на нее в натуральную величину. Проекция
PiPoi перпендикуляра гр определится как r2p/h. Решая совместно
уравнения прямых А\А\ и HiAj, найдем перпендикуляр,
опущенный из точки Ai на оптическую ось: AiA0i = htgcp(h + ttg2®tg(p)f
(Atgq>—ttg2®). Очевидно AlA0i = A'lA'oi = AuC=A'uC'. Угол
между прямой НцАц и осью С'С равен углу РцОцНц. Отсюда найдехМ
величину OnC=rpfttg0/cos2(p(/itg(p—ttg2®). Из рис. 68 видно,
что OiiC=OuC'=A'uE. Из подобия треугольников НцЕА'ц и
НцОцБ найдем катет DOn и затем высоту ОцР'п, равную г'р —
расстоянию между отраженным лучом и оптической осью.
Учитывая равенство h2—r2p = t2tg2® и соотношение (59), получаем:
sin G'/sin ®=rp/rfp = Y r2v + c2)h% где с=— (h ctg 0 sin2 cp +
-И tg6cos2(p).
94

Так как P'ii#n=£tg©, то ?=r'pcfrptg®'. Значение rv всегда
положительно, а знак угла в определяет правую или левую
закрутку луча вокруг оптической оси. В рамках описываемого
расчета можно считать, что он всегда положителен.
Если апертурный угол фокона, определяемый условиями
полного внутреннего отражения на его боковой поверхности,
невелик, то необходимо сравнивать угол падения луча с критическим
углом sinEK = n0/nc, где п0 и пс — соответственно показатели
преломления оболочки и сердечника фокона. В § 3.3 приведена
формула для угла падения косого луча на осесимметричную
поверхность (см. стр. 84). Применительно к фокону она запишется так:
sin2 e == cos2 (p[(rp//i)2+(///*—tgcp)2sin2G]. Эту же формулу
можно применить для определения угла падения луча на поверхность,
разделяющую сердечник и оболочку двухслойного оптического
световода. При этом cp = 0, r2c=h2=r2p + tztg2®. Отсюда cos2e=
= [1—(гр/гс)2] sin 20, где 2гс — диаметр сердечника световода.
Все приведенные в настоящем параграфе рассуждения и
выводы применимы только к фоконам, формирующим многомодовые
лазерные пучки. Строгое рассмотрение фоконов, преобразующих
одномодовое излучение, возможно только с привлечением
волновой теории. Линейное увеличение р одномодовых фоконов при
этом оказывается, как правило, меньшим, чем отношение
диаметров его выходной и входной площадок.
глава четвертая
расчет искажений лазерных пучков
методом скалярной теории дифракции
В первой главе было рассмотрено преобразование лазерных
пучков в гауссовом приближении. Оптическая система
считалась идеальной, когда входящий в нее гауссов пучок снова
преобразовывался в чисто гауссов пучок. Это возможно только тогда,
когда оптическая система не вносит дополнительных искажений
в форму волнового фронта, т. е. изменяет фазы по квадратичному
закону. Однако все реальные оптические системы в той или иной
.мере искажают входящее в них излучение. Поэтому перейдем к
рассмотрению искажений, вносимых оптической системой при
прохождении через нее лазерного излучения.
4.1. ОБ АБЕРРАЦИОННОМ РАСЧЕТЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Как уже отмечалось выше, лазерное излучение обладает
свойствами, не позволяющими интерпретировать его ни в виде
сферической, ни в виде плоской волны. Волновой фронт с учетом
некоторых допущений представляет собой поверхность параболоида
вращения, которую в случае малых поперечных размеров пучка
95

обычно заменяют сферической поверхностью в соответствии с
формулой (1). Радиус кривизны волнового фронта равен
бесконечности в сечении перетяжки и в дальней зоне при z-*oo.
Поэтому лазерный пучок не является гомоцентрическим даже в
параксиальной области, в отличие от пучка, излучаемого светящейся
точкой обычного объекта.
При рассмотрении аберраций, вносимых оптической системой,
следует иметь в виду, что лазерное излучение, как правило,
достаточно монохроматично (ширина спектральной линии мала) и
поэтому обычно в расчетах нужно учитывать только
монохроматические аберрации.
При проведении аберрационного расчета возникают две
задачи. Первая — проверить путем расчета те искажения, которые
вносит присутствие оптической системы в характеристики лазерного
пучка (по отношению к характеристикам, полученным в
параксиальном приближении). Вторая — рассчитать параметры
оптической системы по заданным допустимым искажениям
преобразованного пучка, т. е. синтезировать оптическую систему.
Решение первой задачи можно провести методами теории
дифракции, используя дифракционный интеграл [27, 22]. Однако ее
точное решение трудно осуществить аналитическими методами.
Можно провести расчет численными методами с использованием
ЭВМК но такой расчет весьма трудоемок. Возникает вопрос:
нельзя ли при расчете оптической системы использовать хорошо
разработанные методы вычислительной оптики? Для использования
вычислительных методов лучевой оптики необходимо определить
понятие луча в рассматриваемом случае. Очевидно, что при
расчете деформации волнового фронта лазерного пучка оптической
системой можно воспользоваться представлением лазерного пучка
как совокупности лучей, являющихся нормалями к волновому
фронту в точках его пересечения с первой поверхностью
оптической системы. При таком подходе можно представить лазер
(вернее лазерное излучение) как некоторую совокупность
светящихся точек (расположенных на оптической оси) и считать, что в
оптическую систему входит совокупность ограниченных по фронту
сферических волн (которыми аппроксимируется лазерный пучок),
исходящих из различных точек оптической оси (рис. 69). Расчет
хода каждого луча через
оптическую систему в этом случае
может быть проведен по известным
формулам расчета хода
реального луча в оптической системе. В
результате могут быть вычислены
геометрические аберрации луча,
по которым можно определить и
волновые аберрации,
характеризующие деформацию волнового
фронта пучка, прошедшего через
оптическую систему.
Рис. 69. Представление гауссова
пучка в виде совокупности лучей
96

Волновой фронт лазерного излучения описывается уравнением
*2 + #2
z—z0= —- £7"£о, где zQ — координата точки на оси z, через
2 ( zo + zk)
которую проходит волновой фронт. Радиус кривизны волнового
фронта в точке (0,0, г0) равен R(z0) = zq + z2k/z0. Подставляя в
формулу для волнового фронта координаты (xi, у[у z\) точки
поверхности линзы, через которую проходит волна, из уравнения 2z03—
—2ziZo2+[2^2K—(x2i + y2i)]z0—2z2KZ\ = 0 находим координаты (0,0,
Zo) точки на оси, в которой волновой фронт, проходящий через
точку (хи У и Zi), пересекает ось z.
Зная 2о, находим радиус кривизны этого волнового фронта в
точке (0, 0, Zo)R(zo) = (z2Q-rZ2K)/zQ. Уравнение нормали к
волновому фронту, проходящему через точку (хи уи Z\), имеет вид:
y = kz+y\(l—kzi/yi), где k = yi/R(z0). Координата z точки
пересечения нормали с осью Oz определяется по формуле z\—R(z0).
Таким образом, луч, проходящий через точку поверхности линзы
с координатами (хи Уи Z\), выходит из точки на оси с
координатами (0, 0, Z\-{-R(zo)) и составляет с осью z угол, тангенс
которого равен k=—yi/R(zo). Положение луча в пространстве
определили, расчет же луча через оптическую систему, производится по
известным формулам вычислительной оптики. Проведя расчет
достаточного числа лучей через оптическую систему, можно найти
форму волновой поверхности преобразованного пучка,
распределение энергии в любом сечении преобразованного пучка (которое
изменяется при наличии аберраций) и огибающую лазерного
пучка.
Положение точки пересечения нормали к волновой
поверхности в точке с координатами (хи уь z\) с осью z можно
определить, избежав необходимости решения уравнения 3-й степени.
Решая совместно уравнения волнового фронта и преломляющей
поверхности
x2 + y2=-2R(z0)(z-z0))
i2 + y2 + (z-zn)*=:R>w
находим координаты хи Уи Z\ точки, в которой волновой фронт,
проходящий через точку с координатами (0, 0," zq), пересекает
преломляющую поверхность, радиус кривизны которой Rn:
Zi = zn-\-R(zo)±V2znR + R2+R2n—2RzQ; уг = ± V—2R(zi—z0).
Далее расчет проводят, как и в первом случае.
4.2. РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЙ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА МЕТОДОМ
СКАЛЯРНОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
Рассмотренный выше метод позволяет оценить отклонение
центра кривизны волнового фронта после прохождения пучка через
оптическую систему от его параксиального положения и таким
образом оценить вносимые оптической системой искажения. Однако
этот метод оценки искажений трудоемок и не очень нагляден. Бо~
4—60 97

лее рационально воспользоваться формулами, позволяющими
найти некоторые функции, характеризующие искажения пучка
после прохождения оптической системы в любой точке пространства
за оптической системой. Получение таких функций возможно
только с использованием методов теории дифракции.
Однако прежде чем перейти к непосредственному анализу
преобразования лазерного пучка оптической системой, необходимо
напомнить некоторые известные сведения о свойствах
формируемого резонатором излучения. Свойства лазерного излучения
определяются конфигурацией резонатора (устойчивого или
неустойчивого), формирующего это излучение. Устойчивые резонаторы (с
прямоугольной апертурой) формируют эрмито-гауссовы пучки,
которые описываются выражением [1,11]:
Ч>'(*', У', z')^A(z')^^-Hn(V2-7^—-\HmfV2^^-\ X
Г1/Л2') V г1/е(г') I V r\/e(z') I
xexp{-i[fe._(m + „H)arc.g^+1^]jexp|---^irj,
(62)
где /п, п — модовые числа; Нп и Н1а — полиномы Эрмита — Че-
бышева; r/i/e(0)—радиус пятна в сечении перетяжки; г\/е —
радиус пятна в произвольном сечении гауссоиды (по уровню
амплитуды \/е); R'(zf)—радиус кривизны волнового фронта в точке
(О, 0, г')\ k = 2n/X — волновое число; zK— параметр конфокально-
сти пучка.
В случае, когда модовые числа тип равны нулю, выражение
(62) описывает чисто гауссов пучок (основная мода ТЕМоо), для
которого изменение амплитуды в поперечном сечении
представляет собой гауссоиду (см. рис. 3).
Следует отметить, что радиус кривизны волнового фронта
R'{zf) и радиус пятна rVe(z') в сечении пучка одинаковы для
всех мод эрмито-гауссова пучка (см. § 1.1). Поэтому исследование
преобразования гауссовых пучков оптической системой в
параксиальном приближении может быть ограничено рассмотрением
основной моды (ТЕМоо). Фаза же эрмито-гауссова пучка зависит
от модовых чисел тип. Зависимости r'i/e(z') и R'(г') в
выражении (62) имеют вид:
'•1/Л^) = ^(0)[1 + (^Г)7/2= ЯЧО-аф + ^У]. (63)
Гауссов пучок, формируемый устойчивым резонатором,
представляет собой волну, отличную как от сферической, так и от
плоской. Это, в частности, следует и из уравнения фазовой
поверхности гауссова пучка z'—z0= (х'2+y'2)/2R'(z0) [22, 27].
Фазовая поверхность в данном случае представляет собой
параболоид вращения, радиус кривизны которого R'(z') в точке на оси
определяется зависимостью (63). Конечно, при определенных усло-
98

виях (особенно в фотометрических расчетах) допустимо
представление лазера в виде точечного источника излучения или лазерного
излучения в виде плоской волны. Например, при больших
(г'>гк) R'(z')v**z', т. е. гауссов пучок может в приближении
геометрической оптики рассматриваться как сферическая волна.
Для плоского резонатора, радиусы кривизны поверхностей
зеркал которого i/?i,2 = oo, распределение амплитуды поля при
прямоугольных зеркалах описывается выражением [1,15]:
__ (cos Г я (т+ 1)х "|-* (cos Г п (п-\- 1) у п ^
~~ Isin I 2а (1 + (Р + i)/V~S^t7Q J J I sin L 26(1 + (P+ 1)/У^пЩ) J/ '
где x, у — координаты точки в поперечном сечении пучка; а, Ь —
размеры зеркал по осям х и у\ Na и Nb — числа Френеля для
зеркал; (3 = 0,824. Для четных значений т, п в выражении для
•фтп поле описывается функцией cos, для нечетных — sin.
Распределение поля в поперечном сечении для каждой моды остается
практически постоянным в любом сечении, волновой фронт
излучения — плоский.
Неустойчивые резонаторы в приближении геометрической
оптики 'формируют гомоцентрический пучок (сферическую волну),
который описывается выражением:
х'
X
У
М2— 1 а2
а ) ~ \ М2-
(64)
где N3KB — эквивалентный параметр Френеля; М — коэффициент
линейного расширения волны; Нт и Нп — полиномы Эрмита ог
комплексного переменного.
Выражение (64) получено для зеркал
со сглаженным краем [1, 15]. Из
сказанного выше очевидно, что
характер излучения,
формируемого резонатором, может быть
существенно различным. Это может
быть или гауссов пучок или
сферическая волна, все
определяется типом резонатора (устойчив
он или нет).
Преобразование гауссова
пучка линзой. Рассмотрим
прохождение гауссова пучка через
оптическую систему (рис. 70)*
используя скалярную теорию
дифракции. Оптическую систему будем считать тонкой. В этом случае
линза представляется как фазовый корректор, изменяющий с
точностью до постоянного множителя фазу по закону [26]:
4* 99
Рис. 70. Прохождение гауссова пучка
через оптическую систему

где
а_ д (l//?)-(l/j) . g__ I (i//?)-(i/ri) . (65)
4 (1/п) — (1/га). ' Р 8 (1/гг) — (1/г2) '
ш, 5 (1/г?)-(1/гЭ .
64 (1/^) — (1/г,) '
П> ^2 — радиусы кривизны поверхностей линзы.
Пучок считаем чисто гауссовым (мода ТЕМ0о): Ч^л/, у', z') =
=i4i(z')ex'p —i— {хп+уп) , где q— комплексный 'параметр
кривизны Котельника (l/q=l/R/(z/)~iX/nrni/e = {z'—izK)l(zn +
+ z2v)=—ap/{a2p+z2K)—izK/(a2p + z2K)=—iap + izK)l(a2v + z2K).
Поле в произвольной точке после линзы с координатами (х, у,
z) в соответствии со скалярной теорией дифракции определяется
путем вычисления дифракционного интеграла [22, 27]:
ц(х,у9 z)= -i_JJ(cosa + cosP)^(jc', у\ z')e^(e-^/r)dS. (66)
2Л (5)
Сделаем ряд допущений: cos a«cos |J« 1; r^z (в знаменателе
подынтегрального выражения); г в фазовом члене представлен в
виде степенного ряда (разложение функции г в ряд):
r^Vf+tf-xF + iy'-y)* =2/1+4- (Х-Х')% + (У-У')% -
12 22
1 Г {х—х')* + {у — у')* I2 . 1 Г (х — х')* + (у — у')
8 L z2 J 16 [ z2
5 г (х—х')* + (у—у')*
IS
Учитывая сделанные допущения и подставляя выражения для
о|/, ф в дифракционный интеграл (66), получаем:
V(x,y,z) = ±kl&-(r-'''*$fap\-i-!r(x'a + y'i) +
Az (S) { 2q
+ ^(r2 + ar4 + P^+^r8+---)-/^K'V'-^)2 + (y'-i/)2] +
2/ 2г
. t-JL К*'—*)' + (/—у)а1а f А К*'—*)8 + (у'—у)8!8 .
22 422 22 824
_5*_ l(x>-x)* + (y>-yW ]dx,
^ 2г 6426 / ^ V '
Искажения лазерного пучка определяются: конечностью
апертуры оптической системы, искажениями излучения при
распространении в свободном пространстве, линза в общем случае не
является квадратичным фазовым корректором (65). Конечность
апертуры всегда имеет место. Однако в определенных условиях
конечность апертуры может вносить малые искажения (если,
например, апертура велика). Искажения излучения при распростра-
100
5 г (х — х')* + (у — у')* -И л
128 1. г2 J -*~""Г

2/' 22 )
нении в свободном пространстве устранить нельзя. Однако в
дальней зоне искажения свободного пространства ослабевают и
ими можно пренебречь при £->оо. В ближней зоне эти искажения
велики и ими пренебрегать нельзя (они становятся соизмеримыми
с искажениями линзы). Наиболее практически важным при
анализе свойств излучения в ближней зоне является случай
концентрации энергии на конечном расстоянии (z^f, x'^y' = 0).
Искажения, вносимые линзой, частично можно устранить (например,
применением асферической оптики).
Запишем дифракционный интеграл в виде:
!>(*, У, г)= iAl{Z'] *-'MJexp(-i-^(x'» + y'«) +
Л z (S) I 2?
к / ./ о I ..t од • к
W
X ехр | i -±- [az г* + ps г6 + (bs г8]} их' dy', (68)
где as^a + 2f'/8zs; р2 = р-2/'/16г5; (о2=со + |-(/'/г7).
64
Перепишем интеграл (68), сделав следующие преобразования:
учтем поглощение в линзе излучения (a^l^aKd—а^ г2/2/'(/га,—
— 1), .где ах — спектральный коэффициент поглощения излучения
в линзе; d — толщина линзы по оси); дополним члены с г4, г6 и
г8 под интегралом до полиномов Чебышева, 'наименее
уклоняющихся от 'нуля в .промежутке [—1, +1] (табл. 7).
ПГ(Р = ^шах) = Р4-р2+1/8; П(р) = р6-1,5р4 +
-Ь-%2-1/32; 78(р)=р*-2рб+1,25р4-0,25р2+1/128.
16
Максимальное отклонение от нуля полиномов Г4(р), Гб(р), ^s(p)
равно соответственно 1/8, 1/32, 1/128 [25, 32].
Тогда выражение (68) записывается в виде
I г (S)
+ *я)}ехр{-(ау'»4ЛУ' + ^^
+ 2со2^ах)Г6(р) + (а,+ 1,5р,^ах +
+ 1 ^ ** Ы ^ - Г2 ^ах + ^ах/8]} Ы dy\ (69)
ы
где а =
, г2 2/' (я.— 1)
L г1/е ' V ^
+ 7|р2^ах+а2)]; bx=-(kx/z)i; by=-(ky/z)i; cx = (kxV2z)i;
Су = (&f/2/2z) i; т0 = exp (—ax d).
101

Таблица 7. Таблица полиномов Чебышева Тп(р)
п
2
3
4
5
6
7
8
Многочлены Чебышева, наименее
уклоняющиеся от нуля в
промежутке [-1. +1]. Тп (р)
р2—0,5000
р3—0,7500р
р4__ р2 + 0,125
р?—1,25р3+0,3125
р«— 1,5р4+0,5625q2—0,0312
р7—1,75р5 + 0,875р3—0,1094р
р8—2р6 + 1,25р4—0,25р2+1/128
Наибольшее 1
уклонение в
промежутке
[-1. 1] 1
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
1/64
1/128
Точки наибольшего
уклонения р^
0; ±1
±1/2; ±1
0; ±0,7071; ±1
±0,309, ±0,809
±1
0; ±0,5; ±0,866;
±1
±0,2225; ±0,6235;
±0,91; ±1 ,
0; ±0,3827;
±0,7071; ±0,9239;
±1
Корни многочленов
±0,7071
0; ±0,866
±0,3827; ±0,9239
0; ±0,5878;
±0,9511
±0,2588; ±0,7071;
±0,9749
±0,4339; ±0,7818;
0; ±0,9749
±0,1951; ±0,5555;
±0,8315; ±0,9808
Цель проделанных простых алгебраических преобразований
состоит в том, чтобы выделить главную часть аберрационных
членов (квадратичную), уменьшив члены са2 г4, р2 г6 и ш2 г8 в S,
32 и 128 раз (свойства полиномов Чебышева, наименее
уклоняющихся от нуля). Если теперь пренебречь членами с Г4(р), TQ(p) и
Т8 (р), т. е. положить их равными нулю и расширить пределы
интегрирования до ±оо, то в результате интегрирования получим
гауссов пучок г|)Гаус, преобразованный линзой, но не совпадающий
с параксиальным гауссовым пучком 1|)ГаУс.пар, параметры которого
определяются формулами (63).
Это отличие определяется тем, что параметры гауссова пучка
•фгаус зависят также и от аберраций линзы, которые вошли в
величину «а» в формуле (69), т. е. это гауссов пучок
«ближайший» к пучку, преобразованному линзой с учетом ее аберраций.
А искажения пучка г|)гаус, которые будут иметь место при учете
членов 7\(р), ^б(р), Т8(р), по величине значительно меньше
искажений параксиального гауссова пучка 1|)ГаУс.пар, т. е. гауссов
пучок -фгаус гораздо «ближе по форме» к реальному пучку,
преобразованному линзой.
При этом следует иметь в виду следующее. Если при расчете
по формуле (69) параметров пучка гр(л:, у, г), преобразованного
линзой, отбросить члены с Г6(р) и Г8(р), то это не будет озна-
102

чать, что не учитываются аберрации 5-го и 7-го порядков, так как
отброшенные члены по величине составляют примерно 1/32 часть
аберраций 5-го порядка и 1/16 часть аберраций 7-го порядка.
Главная же часть этих аберраций входит в величину «а»,
определяющую параметры пучка яргаус
Необходимо также остановиться и на вопросе о влиянии
поглощения на параметры гауссова пучка я|)ГаУс. Поглощение может
быть использовано для коррекции параметров гауссова пучка
(для положительной линзы наличие в ней поглощения
эквивалентно уменьшению радиусов пятен на линзе и в сечении перетяжки).
Используя поглощение в линзе, можно сформировать после нее
волновой фронт излучения, близкий к плоскому.
Искажения гауссова пучка линзой. Проведенные
преобразования позволили значительно уменьшить удельный вес членов с
Г6(р) и Г8(р) по сравнению с членом 7"4(р), поэтому ими можно
пренебречь и рассмотреть искажения гауссова пучка,
определяемые членом (a5:-.Ll,5psr2max+l,75co2:/'4max) (г4—r2r2max + r*max/8).
Вычисление интеграла (69), пренебрегая членами с Т0(р) и Г8(р),
проведем следующим образом. Экспоненту, определяющую
искажения гауссова пучка, разложим в ряд:
exp {t ~(^+ W2rLx+ l,75co2^ax)(r*-,V^x + ^ax/8)} =
Тогда вычисление интеграла (69) сводится к вычислению ин-
*та х
тегралов вида Inx= j хпехр{—i(ax2 + bxx+cx)}dx, если аперту-
~*тах
ру линзы взять в виде прямоугольника или квадрата.
Вычисление 1пх можно провести с помощью рекуррентной
формулы:
1их = ^- {—К /(„-и х + (п— 1) /(„-г»—*1-1 ехр [ — (ах* +
+ Ьхх + сх)]}\^ («=1,2,3,...). (70)
1 max
В дальнейшем будем опускать пределы интегрирования -при
записи интегралов.
Рекуррентную формулу можно получить следующим образом.
Преобразуем иодинтегральное выражение в 1Пх'
1пх = $ хп ехр { — (ax2 + bx х+сх)} dx = j ^— (2 ax + bx—bx) exp x
X { — (ах* + Ьхх+сх)} dx= — J xn~l exp{—(ax* + bxx+cx)}dx+
+ — J xn~l (2 ax+bx) exp {—(ax2 + bx x + cx)}dx.
103

Вычисляя второй интеграл по частям, получаем: 1пх —
= 7~ { — К I(n-i)x + (n— 1) 1{п-2)х — xn~l exp [ — (ах2 + Ьхх + сх)}}.
Использование этого рекуррентного соотношения позволяет
последовательно понизить порядок степенного члена до нуля и вы-
*max
разить 1пх через интеграл 1ЬХ= j exp l — (ax2 + bxx + cj] dx.
Приведем выражения для некоторых интегралов:
Л* =^i-K I»x-F (*)} ; 12х = ^{Ь\ + 2 а) 10х + (Ьх~2ах) F(x)};
hx= ^Г (~Ь* <Р1 + 6 а) }ох-F (х) [4 а2 & + 4 a-tbx (bx-2 ax)]} ;
hx = ^г {(^ -Ь 12 а&2 + 12 а2) /0, + [-8 а3 д3 + 4 а2 6Х х2 +
+ (b2x + 6a)(bx-2ax) + 4abx)F(x)}; (71)
'<>* = j ^ (*) d* = J exP {—-(«*2 + &* х + сх)} dx.
Интегралы /„= Jjrnexp{— (axz+bxx+cx)}exp{— (ay2+byy + cy)}x
Xdxcly (я=0, 2, 4, ...) яерез /Пж и 1пу вычисляются по следующей
формуле:
In = \\r"F(x)F (у) axdy = J J (x2 + г/2)"/2 /? (*) F (//) dxdr/ =
m
Xdy= 2 C^ jJ^-2^(x)F(y)d^(^=0,2, 4,...). (72)
Для интегралов /г и U, например, имеем:
72 = И ^ ^ ^ ^ ^ ^^ = 72^ 70^ + 72£/ 70Х ;
74= И r* f W F (y) dxdy =*7^7^ + 2 72^ 72^/ + hx hy;
F(x) = exp {—(ax2 + bxx + cx)} ; F(*/) = exp {—(at/* + by y + cy)}.
Если расширить пределы интегрирования в (70) — (72) до
±оо (возможность этого обсуждается ниже), то вычисление
интегралов 1пх и 1пу упрощается, так как интегралы 10х и 10у в этом
случае вычисляются в элементарных функциях и в выражениях
(70) —(72) пропадают члены с F(x) | ~~.
Опуская промежуточные преобразования, приведем конечные
формулы для интегралов 1п (при # = 4boo и у=±оо):
, __ ехР[ — (Сх+Су)] Я
у9 — ■
104
2 а а
1_ ^2/г2
4 az2

е*Р[ — [с'х+c'g)] jt_
2 — 4
£2r2
+
k*
Л-
exp[ — (c;_ c'y)}
6 — 18
/г2 л2
4 az2 16 a« г4
ft4 r4 k° re
4аг2
+ 9
16 a2 г4 64а3г«
, _ *w[ — (cx + c'y)] я
24—96
4 аг2
+
(73)
+ 72
/г4^
16
k*r*
+
k* r*
3 r° -i
a4 2» J
16 a2 24 64 a3 z6 * 256;
Анализ выражений (73) показывает, что функции,
заключенные в квадратных скобках, представляют собой лолиномы Чебы-
шева — Лагерра [32] Ln(a)( у, а)=у~аеУ(уа+пе-У)(п) комплексного
переменного y=k2r2/4az2 при а=0. Интегралы 1п теперь могут
быть записаны в таком компактном виде:
/2л = (я/а) ыр1-К + с'у)] Lin0) № r2/4 ^2)/a^ =
= (я/а)ехр[-(£?; + ^)]/^. (74)
Полиномы Чебышева — Лагерра связаны рекуррентным
соотношением L<a)n+i+ (у—2п—l—a) Ha)n+ (a+n) nL^n-i^O, которое
можно использовать в дальнейшем для вычисления интегралов,
учитывая, что Ь0(аЦу, а) = 1, Li(a)(y, а) = (а+1) — у. Трудность
вычисления интегралов 12п осложняется тем, что в общем случае
аргумент y=k2r2/4az2 в полиномах Чебышева — Лагерра в нашем
рассмотрении является комплексной величиной, так как
комплексна величина а. В выражении (74) (я/а)ехр[—(c'x+cfy)\ общий
множитель для всех интегралов. Поэтому рассмотри^, как
вычисляются интегралы I*2n=2L(°)n{k2r2/4az2)/ani определяющие
изменение амплитуды и'фазы в любом сечении преобразованного
линзой пучка. Используя рекуррентное соотношение для полиномов
Чебышева — Лагерра, можно написать и рекуррентное
соотношение для вычисления интегралов 1*2п-
^,- > ед (£Л - 4- [± ч« [В) *-+'-»>-
Прежде чем продолжить получение рекуррентных формул
для /*2(п+о, рассмотрим, что представляет собой функция
i(Ai(z')/Xz)e-ikzexp[— (c'x+c'y)], входящая в (74). Учитывая
выражения для с'х и с'у, получаем:
тгаус —
i Аг (г') _
Кг
1 Аг <2') e-ikz
ег***-± ехр\—(с'х + с'у)] =
а * \ \2г 4аг* ) /
— выражение, описывающее гауссов пучок. Покажем это.
5—60 105

Представим величину а в виде
«=[1/^-^/2/' (%-1)]+ f [JL + -L —i- -
где Л- l/i?'-l//'-^ax (-L со, r£ax +± fe г^х + «2 )//' ;
В = (2/А) \\1т\1е-афГ (л*-1)1-2/^%.
Тогда
2 г 4 аг2 2 г
л+±
4 22 £2 / „ , 1 \2 £2 k2
-?('+-f)"
+ ^/[(^v)'+*]
4 J
+
Мнимая часть этого выражения определяет форму волнового
фронта, а действительная — распределение поля в сечении пучка.
Действительная часть
= 1/г15#и?(Л+1/2)« + А>2*].
Следовательно, r'V*(z) = г*21/е[22(^ + 1/2)2+52г2] = r*2l/eI>2(Л2+
+B2)+2J4z+l] — квадрат радиуса в сечении пучка z=const по
уровню 1/е амплитуды. Так .как А зависит от ps и cos, которые
являются функциями z, то A=A(z) и
Г\)е = ГТ/е [*2 (А (*) + 1/^)2+ S2 *2]. (76)
Учитывая последнее выражение, можно написать уровнение
огибающей преобразованного гауссова пучка по уровню амплитуды
поля 1/е с учетом аберрационных искажений в виде
(*'2 + y'*)lr\2ie - № (А (г) + 1/z)2 + В2 г2] = О,
или
(х'г + уп)1г\)е - [г2 (Л2 (г) + Б2) + 2 А (г) г] = 1. (77)
Из формулы (77) следует, что так как А зависит от г, то
огибающая преобразованного линзой гауссова пучка с учетом аберраций
уже не является поверхностью второго порядка (гиперболоидом
вращения), как в случае параксиального приближения.
Радиус кривизны волнового фронта R определяется
формулой:
R (г) = [(Л2 + £2) 22 + 2 A z+ 1]/[(Л2 + В2) z + А]. (78)
Следовательно, яргаус = [iAi(z)f(kz)] ехр ( — ikz) (я/а) ехр { —
—([r'2/r'2i/e+inr'2/KR(z)]}—гауссов пучок, полученный не в па-
106

раксиальном приближении, а с учетом аберрационных искажений
гауссова пучка. Если бы теперь можно было пренебречь
искажениями пучка, вносимыми членами с /*4, /*б, ..., то это был бы
чисто гауссов пучок, у которого сечение перетяжки смещено от
его параксиального положения и размер пятна также зависит от
аберраций линзы.
Расходимость пучка определяется из условия
2 0' - lim 2г (г)1г = 2 г\(е [(Л2 + В2)]1 '\
2->оо
В случае параксиального приближения (а2 = (32 =со2 =0) имеем
/•,21/е = г*21/е[г2(Л2пар+В2)+2Лпар^+1)], где Л„ар=1/#'— 1/f.
Положение сечения перетяжки гауссова пучка в
параксиальном приближении аргауспар находится из условия минимума
r'\/e: 2(Л2пар+В2)г+2ЛПар=0, т. е. сечение перетяжки гауссова
ПуЧКа "фгауспар НаХОДИТСЯ В ПЛОСКОСТИ 2 = 2р=—ЛПар/(Л2Пар+52),
а радиус пятна в сечении перетяжки
Радиус кривизны волнового фронта определяется из условия
яг'2 I Г1 *• Лпар+1/z
яг'* = J_ rj_ ]P Лдар + 1
%R{z) г 4г к* ( . 1\
L 4 \А™+Т)
2 £2
+ ~7~ в*
я г'г1%.
Следовательно, \R(z) = {Л2пар + В2)г2+2Лг+1]/[(Л2Пар + B2)z +
+Лпар]. Таким образом, .получили другие выражения для величин
zp, Л/ъЩг) и2в'(г):
г W — W . г> _г* Г___^1___-11/2.
р О/Я' — 1//T + S2 ' l/e l/e L (!/#' — 1//')2 + £а J *
р (г) = Ю/*' — 1/П + в»]^ + 2(1/у—i//')g+i . /79ч
2 в' = 2 rj/e [(1/Д'-1/Ля + В211/2-
Полученные формулы (76) — (78) позволяют оценить
параметры аберрационного гауссова пучка, т. е. найти положение й
минимальный радиус сечения пучка, радиус кривизны волнового
фронта, проходящего через любую точку с координатами (0, 0, г).
Представляет интерес также сечение, для которого Л (г)+ 1/2=0
(Т. е. z=—1/Л, R(z) = +z).
Оценим порядок величин Л и В: Л~1//' при а% =0,
B=X/nr2i/e==\km2fnf'2(m==f'lri/e)y и с точностью до множителя
т2/п пропорциональна ft/f2, т. е. практически выполняется
неравенство В«<Л.
Тогда формулы (76) — (79) упрощаются и можно записать для
параметров гауссова пучка, преобразованного линзой, более
простые соотношения: гр« —1/Л; r'i/ea*r*i/e\B/A\; 26'«2г*1/в|Л|.
Эти формулы совпадают с формулами, которые получаются
при выполнении условия Л(г) + 1/г=0, т. е. сечение перетяжки
5* 107

(z=zp) и сечение z=—1/Л практически совпадают. Однако
выполнение условия Л(г) +l/z=0 значительно упрощает формулы,
поэтому имеет смысл вместо сечения перетяжки рассматривать
сечение z = — 1/Л.
Оценим на примере отличие в каустиках параксиального и
аберрационного гауссовых пучков. Рассмотрим линзы различной
конфигурации с /'=12 мм, rmax=2 мм, п/б=2 мм. Для
параксиального пучка с длиной волны ?i=3,39 мкм zpml2 мм. Для
аберрационного гауссова пучка в табл. 8 представлены результаты
расчета зависимости r\/e(z).
Таблица 8. Таблица значений
П = 6, г2=°°, «=1,5
z, мм
f'l/e, МКМ
11,56
6,57
11,57
6,25
11,572
6,243
11,58
6,38
ri = 12, г2 = °°, « = 2
11,80
6,84
11,81
6,67
11,82
6,54
11,83
6,388
11,832
6,383
11,84
6,40
Продолжение
п = 9, г2=оо, «=1,75
Z, ММ
file, МКМ
11,60
12,06
11,70
8,06
11,75
6,86
11,76
6,42
11,766
6,348
11,77
6,39
11,78
6,78
11,80
7,02
11,90
8,54
Окончание
/'i=r2= 12, «=1,5
Z, ММ
Г'\1е, МКМ
11,81
6,67
11,82
6,54
11,832
6,38
11,84
6,40
П=— г2=18, «=1,75
Zp, ММ
г\/е, МКМ
11,879
6,41
/-! = — г2 = 24, «=2
11,896
6,42
Г! = 15, г2=— 20,
/г= 1,7142
11,873
6,41
Следует однако помнить, что при расчете не учтены конечность
апертуры линзы и искажения пучка остаточными аберрациями.
Чем больше аберрации, тем больше смещение реальной
плоскости перетяжки от фокальной плоскости. Это хорошо видно из
табл. 8. Аберрации линзы уменьшаются с увеличением п, и из
анализа табл. 8 следует, что уменьшается и смещение плоскости
перетяжки от фокальной длоскости, а г'\/е увеличивается.
Приведенный пример свидетельствует о том, что аберрации
линзы существенно влияют на положение сечения перетяжки и
это нужно учитывать, особенно, если речь идет о технологичес-
108

ком использовании лазерного излучения — например резка
металла.
Из формул (77) следует, что если f'=R'9 то 2Р=0, т. е.
сечение перетяжки преобразованного пучка находится на линзе,
радиус пятна в сечении перетяжки в этом случае равен r'iJe=r*\fe—
1 а:
г
-1/2
-2 —; I , радиус кривизны волнового фронта
г1/е 2/'(пя—*)
R{z) = (B2z2+l)/B2z2, расходимость излучения 2©'=2Уяг*1/<?
преобразованного гауссова пучка минимальна (с каким бы фокусным
расстоянием не взяли линзу, получить меньший угол
расходимости нельзя).
Ранее говорилось о том, что расходимость преобразованного
пучка минимальна, когда сечение перетяжки пучка находится в
передней фокальной плоскости линзы. Это верно, если фокусное
расстояние линзы задано, а положение ее относительно пучка можно
менять. Рассмотренный же случай f'=R' соответствует схеме, в
которой задайы параметр конфокальности пучка, положение его
сечения перетяжки относительно-линзы и требуется выбрать
фокусное расстояние линзы для получения минимальной
расходимости пучка после линзы. Если же имеется возможность менять
относительное положение линзы и пучка, то в этом случае нужно
сечение перетяжки помещать в переднюю фокальную плоскость
линзы и по возможности использовать линзу с большим
фокусным расстоянием*
Оценим влияние величины В на расходимость. С уменьшением
В угол 20' уменьшается, В уменьшается с увеличением
коэффициента поглощения ах . Увеличение коэффициента поглощения а%
приводит в этом случае к увеличению радиуса пятна в сечении
перетяжки преобразованного пучка rV<?(0) =г*1/в[1/г21/в—
—а%Щ'(пх —1)]~1/2, сечение перетяжки находится на линзе.
Оценим влияние аберраций на свойства преобразованного
гауссова пучка. Если оптическая система предназначена для
фокусировки излучения, то следует, используя формулу (76),
исследовать огибающую пучка и найти положение сечения минимального
радиуса. Гораздо проще оценить влияние аберраций на
расходимость гауссова пучка. Если учитывать аберрации оптической
системы, то в этом случае формулы (76) — (78) принимают вид:
г{/е(г) = г*1/е[ВУ(А*(г) + В2)У>;
2в' = 2г\/в[А1 + В*]Ч*; (80)
где А„-А(г=оо) = 1/Д>-<1/Г- (-f cor*ax + l± Kax + ") fLJf •
Для уменьшения расходимости нужно уменьшать величины В и
109

Лоо, В уменьшается с увеличением поглощения, а Л» можно
сделать равной «улю, если выбрать фокусное расстояние линзы
равным /' = #'{1+ [-^-o)//4+||-P//2+al//2j, где /=Г/гшах
определяется заданием относительного отверстия. Пучок, прошедший
через линзу, можно представить в виде i$(x, yt z)=tyrayc{x, y9 г)Х
XFktmn, где Fktmn — функция искажения эрмито-гауссова пучка
моды TEMmn «-компонентной оптической системой с учетом
аберраций &-го порядка. Приводим выражения для некоторых
функций искажения:
f3oi=l+^(«s+1.5psr2ax +
+ Ь75 os г^)
Г—г"1 Г-
4 max'2
__L(A/2/')2(aS+l,5p2^ax +
+ 1.75cos^ax)2 [/;-2^ax i;+r<max /;+ -^ ^w^ /;) +
^== 1 +' ^ («* + 1,5 h Cx + 1,75 со, ггаах) х
max
'ma:
64
*4 'max '2 •
+ 1.75 «* ^ах)2 [ /Г-2 г^х /<')'+Сх /<•)•+ -f-x X
х(/Г-^/У0 +
64
^M+'Sp («2+1,5 pzrk+1.76 cos r*ax)x
X
[ т
' 'max *-9. *
~(±)%(<Ь+1'*Ь'*ш* +
+ 1,75 co2 r4 l2 Г Я2)* — 2 r2 Л2>* 4- r4 /<2>* + Гтах x
i >*vw^'max; L'e 6,тахЧ ■ 'тах'4 » —"— ^
Х(П2)*-^ах^Л+^
.8
max
64
Г2п = (n!/a«) 1Я (А2 гЩ az*) ; /<}>* = ^ L<') (£2 r2/4 аг2);
/£>• - (л!/а") L<f) {№ гЩ az2) (n = 1, 2, 3, ...). (81)
Полученные формулы позволяют рассчитать искажения эрмито-
гауссова пучка линзой. Обычно приходится сталкиваться или со
случаем концентрации излучения в пятно малых размеров
(фокусировка излучения) или необходимостью формирования
нужной диаграммы направленности излучения.
ПО

Для решения первой задачи имеет смысл рассмотреть
распределение поля в сечении z =— 1/Л. Это целесообразно по двум
причинам. Во-первых, это сечение практически совпадает с сечением
перетяжки и, во-вторых, вычисления значительно упрощаются
(отпадает необходимость использования ЭВМ), так как величина
а становится величиной действительной и равной a=l/r2i/e (при
ах ==0). В этом случае выражения (40) для интегралов /*2П
принимают вид:
Ч=*г\,Л1-~У)-> /; = >1/е (2-4 «/ + «/*);
П=ГЬе(6-18У + 9У*-У*)->
/* = г?„ (24-96 у + 72 у*-16 у» + у*) = г?„ 4! L4 (у) ; (82)
У=г"/г\)е; r'Ue = Xf>lnrlle.
Формулы (82) достаточно просты и позволяют легко провести
вычисление распределения поля в сечении z== — 1/Л, близком к
сечению перетяжки. Значения полиномов Чебышева — Лагерра от
действительного переменного табулированы [21], что позволяет
проводить вычисления и без ЭВМ (табл. 9).
Когда необходимо проанализировать диаграмму
направленности излучения, преобразоранного линзой, нужно устремить z->-oo.
Очевидно, что в этом случае г2/г2==©2 и диаграмму
направленности следует вычислять в функции угла G.
Оценка искажений, обусловленных конечностью апертуры
линзы. При вычислении интегралов 1пх(70) в некоторых случаях
возникает необходимость вычисления интеграла вида 1ох в конечных
пределах (—хтах, +хтах). В общем случае этот интеграл
представляет собой интеграл вероятности от комплексного
переменного. Результат интегрирования дает комплексное число (а+ф),
что свидетельствует об изменении амплитуды и фазы
преобразованного гауссова пучка. Однако в двух случаях вычисление
интеграла сводится к вычислению определенного интеграла от
действительного переменного. Это имеет место, когда пределы
интегрирования составляют —оо, +оо и z=—1/Л. Рассмотрим
подробнее случай z=—1/Л. Тогда интеграл записывается в виде:
f -с mrax х* , . 2хх'
hx = e x J exp r+i ;
-*тах I ГЧе г\/ег\
-J dx =
/е)
. kx'
=*е 2z Г ехр \—+1 —} dx-
Сделаем замену переменных x/r\/e=Xy x'/r'i/e=X'. Тогда
интеграл Iqx можно записать так:
~•кх'2
22
1<*=е 'z rlle I ехр {-X*} е>™' d X, Хтах = хтах/г1/е.
~^max
111

Таблица 9. Таблица значений
У
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 1
1,1
1,2
1,3
2 1
4 1
| 2
1 1
0,8050
0,6200
0,4450
0,2800
0,1250
—0,0200
—0,1550
—0,2800
—0,3950
—0,50000
—0,5950 1
—0,6800 1
—0,7550 1
—1 1
1 1
3
1
0,7148
0,4587
0,2305
0,0293
—0,1458
-0,2960
—0,4222
—0,5253
—0,6065
—0,6667
—0,7068
—0,7280 '
—0,7312
—0,3333 1
2,3333
4
1 1
I 0,6293
0,3147
0,0523
1—0,1616
—0,3307
—0,4586
—0,5487
—0,6043
—0,6250
—0,5963
—0,5963 1
—0,5456
—0,4757 1
0,3333
1
5
1 1
1 0,5484
0,1870
—0,0933
—0,3014
—0,4456
—0,5336
—0,5730
—0,5707
—0,5332
—0,4667 '
—0,3767
—0,2687
—0,1476 1
0,7333 1
—0,8667
б
1
0,4717
: 0,0743-
-0,2101
—0,3978
—0,5041
—0,5428
—0,5265
-0,4667
—0,3737 I
—0,2569
—0,1247
0,0157
0,1578
0,8222 1
—1,8444 1
7
1
1 0,3993
—0,0244
1
-0,3011
—0,4578
—0,5183
—0,5042
—0,4340
—0,3242
—0,1890
—0,0405
0,1410
0,2569
0,3902
0,6635 1
—1,6280
е~у
| 1
0,9048
• 0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4965
0,4493
0,4065
0,3679
0,3329
0,3012
0,2725
0,1353
0,0183
Так как пределы интегрирования симметричные, то
1*0х= j ехр { — X2} exp {i 2 XX'} dX = 2 j exp { — X2} x
X cos 2 XX' d X.
Интеграл 1*ох достаточно простой, его значения легко
табулировать для различных значений X' и Хтах. В табл. 10 приведены
значения интеграла для некоторых Хтах ,и X'.
В табл. 10 коэффициент kx равен отношению интегралов /*0ЛГ
при конечных и бесконечных пределах интегрирования. Если
нужно учесть конечность апертуры объектива, то результат,
полученный при Ятах#тах = ±°°, следует умножить на kxky. Одновремен-
но коэффициент характеризует и ошибку, если не учитывать
конечности апертуры объектива. При Ятах/П/<?=1,5 ошибка не
превышает 8% (при вычислении г\/е), при *max/n/<?=2 (0,8%).
112

полиномов Ln(y)ln\
In'-»
л=2
1
0,7283
0,5076
0,3296
0,1877
0,0758
—0,0109
—0,0769
—0,1858
—0,1606
—0,1839
—0,1980
—0,2048 1
—0,2054 1
—0,1353 1
0,0183 1
3
I ]
1 0,6467
0,3755
0,1707
0,0196
—0,0884
—0,1624
—0,2096
—0,2360
—0,2465
—0,2452
—0,2353
—0,2193
—0,1992 1
—0,0451 1
0,0427 1
4
1 1
I 0,5694
1 0,2576
0,0387
—0,1083
—0,2005
—0,2517
—0,2725
—0,2715
—0,2555
—0,2299
—0,*1985
—0,1643
—0,1296 1
0,0451 1
0,0183 I
5
1 l
0,4962
0,1531
-0,0691
—0,2020
—0,2703
—0,2928
—0,2845
—0,2564
—0,2168
-0,1717
—0,1253
—0,0809 1
-0,0402 1
0,0992 1
—0,0159 1
6
1 1
0,4268
0,0608
|—0,4556
—0,2666
—0,3057
—0,2979
—0,2614
—0,2097
—0,1519
—0,0945
-0,0415
0,0047
0,0430 1
0,1112 1
-0,0337 1
7
1 1
0,3613
—0,0200
—0,2230
—0,3068
-0,3143
—0,2767
-0,2155
-0,1457
—0,0768
—0,0149
—0,0369
0,0774
0,1063 1
0,0898 1
—0,0298 1
Lt (У)
1 l
| 0,9
| 0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 1
-0,1
—0,2
-0,3 1
—1 1
—3 1
Ui(*>« 9
1 i
1 0,8143
1 0,6550
0,5185
0,4022
0,3032
0,2195
0,1490
0,0899
0,0406
0
—0,0368
—0,0666
-0,0904
—0,1353
—0,0549
Анализ результатов, приведенных в табл. 10, также позволяет
сделать вывод, что г\/е увеличивается за счет конечности
апертуры объектива в 1,3 раза при xmax/ri/e=l, в 1,08 раза при
*max//Ve=l,5 И 1,008 ПрИ Хтах/г]/е = 2.
Для Х^.1 можно при вычислении интеграла 1*0х пользоваться следующей
приближенной формулой. Представим величину X2 в виде:
Х2=Х2тйх - —— -f — \-гХтйхХ—
\ *max *max 8 /
X2
— тах =Х2т*хТ2(Х/Хы&х) +XmaxX-X2max/8,
8
где Т2(Х/Хт&х) — полином Чебышева, наименее уклоняющийся от нуля в
интервале 0... 1, причем max|Г21=1/8, имеющий нули в точках ±0,7071.
113

Таблица 10. Таблица значений интеграла /*о*
X'
'*о*<А')
/*ox(A')^*ox(0)
К
X'
7*o*(A') 1
^o«(A')//*0x(0) 1
К 1
0
1 ,493
■
0,842
0,9
0,961 С
0,644 С
1 ,219 1
0,1
1 ,486
0,995
0,847
1 1
1
,858
>,575
,316
у
0,2
1 ,463
0,980
0,859
1 ,1
0,753
0,504'
1 ,424
= 1
0,3
1 ,426
0,955
1
0,880
1 .2
0,647
1 ,3
0,542
0,433 0,363
1 ,540 1 ,658
0.4
1 ,375
0,921
0,910
1.4
0,441
0,295
1 ,767
0,5
1 ,312
0,879
0,950
1 ,5
0,345
0,231
' 1 ,847
0,6
1 ,237
0,828
1,000
1.6
0,255
0,171
1 ,862
0,7
1 ,153
0,772
1 ,062
1 ,7
0,173
0,116
1 ,826
0,8
1,060
0.710
1,134
1,8
0,100
0,067
1 ,442
*т«=М
л'
'"W* >
l*ox(X')i'*oxl<»
К
X'
'W)
/*ох(^)//*ох(0)
**
1 °
1 ,56(
1
0,88(
0,9
0,941 (
0,603
1 ,193
0,1
) 1 ,551
0,994
) 0,884
~7~
3,825
3,529
1 ,265
0,2
1 ,524
0,977
0,895
1 Л
0,708
0,454
1 ,340
0,3 0,4
1 1 .480
0,949
0,913
1 ,2
0,593
0,380
1 ,412
1 ,3
0,481
0,309
1,472
1 ,420
0,910
0,940
1 .4
0,376
0,241
1 ,507
0,5
1 ,345
0,862
0,974
1 ,5
0,279
0,179
1,492
0,6
1 ,258
0,806
0,7
1 ,159
0,743
1,017 1 ,067
1 ,6
0,191
0,122
1,390
1 ,7
0,113
0,072
1,147
0,8
1 ,053
0,675
1,127
1.8
0,047
0,300
0,674
Атах=1'5
*'
'*ох<*'>
J*Gx(X')ii*0x(0)
К
X
*\х(Х')
/*о«(^)//*ох(0)
*х
0
1.71
1
0,96
0,9
1
0,884
0,493
1,078
0,1
2 1,698
1
0,992
6 0,968
1
0,703
0,411
1 ,078
0,2
1 ,657
0,967
0,973
I
1 .1
0,570
0,333
0,3
1,590
0,897
0,982
1.2
0,447
0,261
11 ,064 1 ,031
1.3
0,33
0,19
0,97
0,4
1 ,500
0,876
0,993
1 .4
7 0,243
7 0,142
3 0,881
1 0,5
1,390
0,812
1 ,007
1 .5
0,16Е
0,096
0,882
1 0,6
1 ,265
0,739
1,029
1 ,6
1
0,103
0,060
0,75С
0,7
1 ,129
0,660
1 ,056
1.7
0,057
0,033
0.57S
I 0,8
0,987
0,557
1
1,070
1,8
0,025
0,015
0,674
114

Продолжение
X'
'*о*(*')
^Ох(^)//*ох(0)
К
X'
10Ох(Х')
J*ox(x'VI*ox(0)
К
0
1,764
1
0.995
0,9
0,794
0,450
1,007
0.1
• 1,747
0,990
0,995
1
0,654
0,371
1 ,004
0,2
1,697
0,962
0,996
1.1
0,528
0,299
0,998
0.3
1.617
0,917
0,998
1 .2
0,416
0,236
0,990
1.3
0,321
0,182
0,98С
0,4
1,511
0,857
0,999
1,4
0,242
0,138
0,971
0,5
1,385
0,785
1.003
1 .5
0.180
0,102
0,964
0,6
1,243
0,705
1,005
1 .6
0,132
0,075
0,962
0,7
1,093
0,620
1,006
1,7
0,096
0,054
0,972
0,8
0,942
0,534
1,008
1.8
0,039
0,040
1 ,001
Пренебрегая в X2 членом X2max72(X/Xmax), получаем для интеграла
следующее выражение: 1*0х&2е max jmaX<T"*max* C0S2XX'dX. Интеграл /*<>*
о
легко вычисляется в элементарных функциях:
ехр
/to-2
(- — X2 \
\ 8 Лгааху
*Lx + 4X'2
{ — Xmax cos 2 Xmax X* + 2 X' sin 2 Xmax X'+
*max\
+ XmRXe i .
Для Xmax=l интеграл /*ох, рассчитанный по этой формуле, равен 1,4325.
В табл. 10 значение этого интеграла равно 1,493, т. е. для практических расчетов
совпадение хорошее. Для Хтах<1 точность вычисления возрастает.
Искажения лазерного пучка тонким двухлинзовым
объективом. Рассмотрим искажения гауссова пучка двухлинзовым
тонким объективом, оптические силы .компонентов которого
соответственно cDi и Ф2.
Для этого случая изменением фазы луча, Oty
проходящего на высоте h=t от плоскости OEfi
до плоскости ОП2 (рис. 71), равно
Ф= 1? (D0_dl-d2)+ ^ dt+ ^ d2 =
115
Рис. 71. Схема двух-
линзового объектива

Учитывая выражение (65), изменение фазы можно записать в
виде
+ ю1л«+...] + -£-(п>_1) I- Ч П+*°.г2 +
2 \ r2 r3 J
\ 1ф2 ф
+ p2 r* + щ r« + ...] = k (D^ + D, «2)- **
,.2 +
2/s
+ (P. %+^)''+(°.%+^) "+••■]• »»)
где Фь Фг — оптические силы 1-го и 2-го компонентов тонкого
объектива; Ф^ = Ф! + ф2 — оптическая сила тонкого двухлинзо-
вого объектива;
а _ 1 (l/^)-(l/rf+1) . 1 (1/^)-(1^+1) _
' 4 (Ип)-(1/П+1) ' Pl 8 (1/г,)-(1/гЖ) '
А(^)_(1/^,)
64 (1/Г|) —(1/г,+1)
Выражение (83) структурно совпадает с выражением (65).
Поэтому, если обозначить
(«.%+a^)+«b-="*; (ь^+ь^)-*фг=ь:
(•'%+""%)+Й--Ф"-*- <84>
то все полученные формулы могут быть использованы и в
рассматриваемом случае, если в них си заменить на а2 , Pi—Р^, coi—02.
Дифракционный интеграл, описывающий преобразование
гауссова пучка двухлинзовым тонким объективом, совпадает по
форме с (68), если под а^, р2 и со2 понимать выражения (84).
Если же для описания искажений гауссова пучка, как и для
одиночной линзы, использовать дроби Чебышева, наименее
уклоняющиеся от нуля, то в этом случае дифракционный интеграл
записывается в форме (69). Сохраняют свой вид и функции
искажения Fmnht-
Преобразуем фазовый член в (83), определяющий искажения
пучка объективом и свободным пространством, .к виду
Г W. К +1.5^^+1,75^^) +
+ ^(«.+ 1,6^^+1,76^^ +
116

''max X
X
, J_ IJ 1 »5 rmax , 8J5 'max \
Ф2 \423 8z* 64 z? /J
Г4 (P)+ [ % (Pi + 2 ©1 ^) + §; (P2 + 2 co2 r»ax) +
+ к ( " ЗТ* + ЗТ i 'Ч] '- ^e (P) + [^ <* + I 0)2 +
+ фГШг1^5Гв(Р). (85)
2л —»
Обозначим
«г + ] .5 'шах Р* + 1.75 г«ах сог = F3 (<х„ рг> и,) ;
1/4 2*-1,5 г^/8 «»+8,75 г*ах/64 г' = F3 (z) ;
Pi + 2 <о, r^ax = F6 (р„ сог) ; -1/8 *5 + 5 /^ах/32г7 =
= F6(z); сог = ^7(сог); F7 (2) = 5/64 г1.
Тогда выражения (85) можно переписать в виде
\% Ръ К, Pi, «>i)+ £ F3 (о,, р„ «,)+ %^-1 Сх Т4 (р) +
+ [^ F5 (Р1( ш,) + ^ FB (Р2, «J + %^-J r^ax Г6 (р) +
+ [> F, К) +^F7 К) + ^1 ггаах Г8 (р). (86)
Использование двухлинзового объекта всегда предполагает,
что в этом случае будут уменьшены искажения проходящей
через него волны. Вопрос коррекции аберраций гауссова пучка с
использованием двухлинзового объектива будет рассмотрен ниже.
4.3. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕЙ
ЗАДАННЫЕ ДОПУСТИМЫЕ ИСКАЖЕНИЯ ПУЧКА
В зависимости от назначения оптической системы
(фокусировка излучения, формирование нужной диаграммы
направленности) или условий ее работы (например, прохождение мощных
потоков излучения) можно использовать компоненты оптической
системы в виде одиночных линз или двухлинзовые склеенные
объективы. Рассмотрим методику выбора компонентов оптической
системы.
Одиночная линза. Выбор компонента оптической системы
определяется заданными допустимыми искажениями проходящего
через него пучка. Эти искажения, в свою очередь, определяются
волновыми аберрациями, вносимыми оптическими компонентами.
Рассмотрим аберрации, определяемые членом с Г4(р).
Волновую аберрацию, вызывающую искажения проходящего
пучка, можно найти по (69):
Ф = (k/2 Г) (а2 + 1,5 р2 r£ax + 1,75 cos rmax) т*ж Tt (r/rmax),
117

где az, Рз и (os определяется формой линзы (радиусами
кривизны ее поверхностей Г\ и г2).
Выразим величину ф через фокусное расстояние линзы /',
радиусы кривизны ее поверхностей г\ и г2, длину волны излучения
X, величину /=f7^max, определяющую относительное отверстие
компонента:
^/1_р?-р| 5r2 _L p?~pS +
X/' U Pl-p2 Т raax 8 Pl-p2 ^
4-175/-* 5 РГ—PJ . 1 Г if', ,
^ ' ™* 64 pi_pa Т 4 2з 8 2б тахТ
+ if" £ ^ах) Сх Т, (Р)
или
*/' т<<р)( 1 pf—р! , 15 1 Р.-Р2 .
X I* \ 4 Pl—р2 ' 8/« Pl—p2 ^
+ l,75_l_fb£!. + _Lil__Lil + ^_il), (87>
64/4 Рх —р2 4 z3 8/2 z* 64/4 z? / V '
где все линейные размеры гь г2, г выражены в долях f, т. е.
fr-wi/f, f*2-w2//', рг== 1/гг- В последнем выражении первые три
члена определяют волновую аберрацию, вносимую самой линзой,
три последних — волновую аберрацию свободного пространства.
При 2-~^oo волновая аберрация свободного пространства равна
нулю.
Рассмотрим формирование диаграммы направленности
(*-мх>). Тогда ф=(яГД)(^4(р)//4)(а1+1,5р1//2+1,75о)1//4). Если
задать условие ф^я/m, т. е. волновая аберрация, вносимая
линзой, не превышает nfm, то оно будет выполняться для фокусных
расстояний, удовлетворяющих следующему неравенству:
/' < Я №х + 1,5 М2 + 1,75 <V/4) ТА (р) m =
= X /8/К /4 + 1,5 рх Р + 1,75 ©J m T4 (р). (88)
В табл. 1 (приложение) приведены значения функций <xi/4~f
+ l,5Pi/2+l,75coi для различных относительных отверстий линзы
и различной их формы. Пользуясь. этой таблицей, можно
проверить выполнение условия (88) или оценить вносимую волновую
аберрацию по формуле (87). Аналогично, учитывая, что при
выбранной нормировке п%—1 = 1/(р 1—рг), условие (88) можно
записать и для показателя преломления излучения, длина волны Я
которого п%— 1^Я/8/(р1—p2)mT4(p) (ai/4+l,5Pi/2+l,75coi).
Приведем пример. Нужно выбрать компонент с относительным
отверстием 1 : 5 (/= 10) и допустимой волновой аберрацией
я/4(т=4). Тогда при р2 = —0,5 (см. табл. 11) можно сказать, что
минимальная волновая аберрация имеет место для линзы с
pi = 0,3 и р2 = —0,5. Значение функции ai/4 + l,5Pi/2d- l,75coi=475,79
118

и, следовательно, //^4-105Я. Если Я=1,06-10~3 мм, то f^
^4-1,06-10-3-105 мм=424 мм, Я=0,69-10~3 мм, то f<276 мм,
Я=3,39-10"3 мм, то /'^1356 мм. При т=8 фокусное расстояние
должно быть в два раза меньше, т. е. для Л=1,06 мкм /^212 мм.
Однако при pi = 0,3 и р2=—0,5 показатель преломления линзы
пх = 1 + l/(pi—р2)=2,25. Если же выбрать показатель
преломления /1я = 1,5, то pi—Р2=1/(/г^ —l):pi—р2 = 2. В этом случае
pi = 1,5; р2=—0,5; ai/4+l,5Pi/2+l,75coi =4447,6 и, следовательно,
f/=(2-108/4447,6)?i, т. е. фокусное расстояние линзы должно быть
примерно в 10 раз меньше.
В табл. 11 приведены и значения функций F5(a, (3, со),
которые позволяют одновременно оценить и остаточные волновые
аберрации 5-го порядка. Например, для Я= 1,06 мкм, т = 8
Ф^39,27.10-3.
Оценив аберрации 5-го порядка, можно перейти к точной
оценке искажений пучка, преобразованного линзой, используя
формулы (81), описывающие искажения пучка. Оценка волновых
аберраций позволяет одновременно решить и вопрос о точности
расчета по формулам (81).
Приведенные численные примеры одновременно
иллюстрируют и эффективность предложенного в § 2.2 метода расчета с
использованием дробей Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля.
Их применение позволило выделить ближайший к искаженному
гауссов пучок, положение сечения перетяжки которого и его
радиус зависят от аберраций оптической системы. При этом
искажения ближайшего гауссова пучка определяются зависимостями
(81). Волновые аберрации, определяющие искажения
ближайшего пучка, уменьшены в 8,32 раза и более. Это упрощает расчет и
повышает его точность с учетом меньшего числа членов
разложения.
Приведенные табл. 11 позволяют облегчить выбор и расчет
линзы, используемой для преобразования лазерного излучения.
Они также могут быть использованы для выбора параметров и
двухлинзового тонкого объектива. Покажем это.
Двухлинзовый объектив. Применение двухлинзового
склеенного объектива позволяет выбрать его параметры (ль я2, ги г2 и гз),
устранив в задацной плоскости для тонкого объектива волновые
аберрации 3-го порядка, 31/32 часть аберраций 5-го порядка и
15/16 часть 7-го порядка.
Если объектив используется для фокусировки излучения, то
а2=(а1Ф1 + а2Ф2+1/4г3)/Ф2; р2 = (Ф^+ФгРг—1/82в)/Ф2 ; о2—
= (о)1Ф1+со2Ф2+5/64г7)/Ф2. При 'формировании заданной
диаграммы направленности (г=оо): a2= (а^ + агФг)/*!)^; P^=(Pi<Di +
+ Р2Ф2)/Ф2; С02 = (С01Ф1+0)2Ф2)/Ф2.
В соответствии с (86) условие отсутствия указанных аберраций
3-го порядка можно записать в таком виде:
Фх^зК, plf co1) + 02F3(a2, p2, to2) + F3(*) = 0. (89)
119

Добавив к (89) условие Фг+Ф2 = ±1, находим связь между
оптическими силами компонентов и их волновыми абберациями:
ф.= *М«1, Pi. «hd+FsW ф^-И-Ф,. (90)
1 Fe(«l. Pi- ®l)— M«l. P8. ©■) ~~
Пусть условие (89) выполняется при некоторых значениях pi,
Р2, рз. Тогда по найденным <Di и Ф2 находим показатели
преломления п\ и п2 компонентов: fli=l+<Di/(pi—рг), Аг2=1+Фг/(р2—рз).
Очевидно, что можно рассчитать бесчисленное количество таких
объективов с заданным фокусным расстоянием.
Если задано относительное отверстие объектива, то взяв любую
табл. 9 для нужного I можно выбрать произвольно pi и рз, а по
формулам (90) рассчитать оптические силы компонентов <Di и Ф$,
обеспечивающие отсутствие аберраций 3-го и большей части 5-го
и 7-го порядков. По Ф1 и Ф2 находят показатели преломления
компонентов.
В качестве исходных параметров можно использовать
показатели преломления щ и n2j тогда в результате расчета находят
pi и р3. Малые кривизны поверхностей обеспечиваются
использованием стекол с большим и малым показателями преломления.
Уменьшение показателей преломления и их разности п\—п2
приводят к увеличению кривизны поверхностей Компонедтов.
Для облегчения расчета в табл. 11 приведены значения
функций F3(a, (3, со) и Fs(P, со) для различных сочетаний /=const и
рг^сог^. Приведем пример расчета параметров двухлинзового
тонкого объектива, используя табл. 11 и формулы (90).
Пусть требуется рассчитать объектив с относительным отверстием 1 :3
(т. е. /=6). Аберрации следует устранить для случая 2=оо. Рассмотрим
случай, когда вторая поверхность объектива плоская (р2=0, Г2=оо). Из табл. 11
J/»6, ра=0) выбираем кривизны первой и третьей поверхностей с учетом
достижения показателей преломления сред в интервале 1,4—1,75: pi=»l/ri=4, р3=
= 1/г3=4,604. Затем по (90) находим оптические силы компонентов объектива
и показатели преломления стекол: <&i = 3, Ф2=—2, «1=1,7500, /г2= 1,4608.
Используя приведенные в таблице значения функций Fs(pi) и Fsipz) для
максимального значения остаточных волновых аберраций, определяемых членом
(Р2 +2ю2г2тах)7б(р)Лпах, получаем |<p|<3-10-5(f'A) или f'm<lO% Ф=я/т.
Последнее выражение связывает фокусное расстояние объектива f и величину
т, характеризующую максимальную остаточную волновую аберрацию. Если
выбрать фокусное расстояние объектива, то величина т определит остаточные
волновые аберрации. Если же задать допустимое значение волновой аберрации,
то оно определит допустимые фокусные расстояния /'^(Я/m) -105, при
которых остаточная волновая аберрация не превысит заданного значения л/m или
Х/2/л.
При расчете двухлинзового объектива наглядно проявляются достоинства
предложенного метода расчета. Если не использовать дроби Чебышева,
наименее уклоняющиеся от нуля, то условие отсутствия аберраций 3-го порядка
(ai<Di + a2<D2=0) выполняется при pi = 3,89, р2=0, рз=4,8, п\ = 1,7500, п2= 1,400;
<Di=2,9205, Ф2=—1,9208. Сравнение аберраций 5-го порядка показывает, что у
120

второго объектива остаточные аберрации 5-го порядка примерно в 25 раз
больше: |ф| ^0,75-10-3(ГА).
Выбор исходной схемы объектива. Исходную схему объектива
выбираем из условия устранения главной (по значению) части
волновой аберрации. Рассмотрение проведем отдельно для
случаев фокусировки излучения и формирования излучения в
бесконечности (г-^оо). Проанализируем сначала случай фокусировки
излучения (z = — 1/А). Условие а^=0 можно представить в
соответствии с (89) в виде
а^ + а^ + Т^г==0 ИЛИ «1Ф1 + «2Ф2 + 1^Г = 0> (91)
где aj=-J-(p3—p3)/(Pl—p2); a2=i-(p3_p3y(p2_p3); ф1==(Л1_
— 1)(Рг—Р2^; Ф2 = ("2— 1)(Р2—Рз)-
Величина z, определяющая положение плоскости, в которой
фокусируется излучение, находится из условия z=—1/Л, т. е.
l/4z3 = —А3/4, где А в свою очередь определяется выражением
(69): А = 1/Я'-1/Г-( i <osr4max+ ^Psr2raax+as)rWf. Од-
о 13
нако для хорошо коррегированной системы, а такую и хотим
рассчитать, г»/,= 1/фл: = 1/[(п1—1) (р1—р2) + {п2— 1) (р2—рз)].
Следует заметить, что, как показывают расчеты, z может отличаться
от фокусного расстояния на несколько процентов.
Перепишем теперь условие (91) в виде: (п\—1) (р3д—р3г) +
+ ("2-1)(р32-р3з) + |>1—1)(р1-р2) + (л2-1)(р2-рз)]3 = 0.
Если р2=т^0, то поделив все члены в (91У на р23, получаем следующее
выражение:
(%-1) (Р3/Р23-1) + (п2-1) (1 -р3/Р3) + [(п,-1) (рх/Р2-1) +
+ (^2— 1) (1 — Рз/Р2)13 = 0. (92)
Выполнение этого условия и обеспечивает равенство нулю
величины a^j. Условие а2 = 0 можно выполнить изменением значений /г,,
«2, рь Рг> рз. Следовательно, возможно бесчисленное множество
решений, так как в нашем случае имеется четыре свободных
параметра.
Рассмотрим подробнее случай расчета конструктивных
параметров объектива (pi, рг, рз) при выбранных сортах стекол (т. е.
пх и п2 заданы). Обозначим pi/p2=*i, Рз/р2=#2. Тогда уравнение
(92) переписывается в виде
(n1-l)(x\-l) + (ni-l)(l-4) + [(n1-l)(x1-l) +
+ (лг-1)(1-*,>)]* = 0. (93)
Обозначив (п2— 1) (1— х2)>— {т—1)=п2—П\—(п2—1)х2=В,
запишем (93) так:
1<Ъ-1) + (п1-тз?1 + 3(п1—1ГВя* + г(п1—1)В*х1 +
+ (n2-n1)—(n2—l)xl + B3 = 0. (94)
6—60 121

Уравнение (94) связывает переменные х2 и х%. Задавая
переменные х2> получаем уравнение 3-й степени относительно хи
которое дает одно или три действительных решения, каждое из
которых определяет одну из возможных схем объектива. При этом мы
не учитывали ни относительного отверстия объектива гтах, ни
параметров гауссова пучка (r\/e, R', гк), не обеспечили выполнения
УСЛОВИЯ а2 +1,5р2Г2тах+1,75с01:Г4тах = 0.
Анализ выражения (94) показывает, что если 5 = 0 {х2=(п2—
—п\)/(п2—1), то решение уравнения записывается в простом
аналитическом виде:
*i = — [п2—п\—(п2—!) 41/^1— * +(«1— О3] или
*i = — V[n2—п±—(п2— 1) х1]/[пг— 1 + (rti— 1)3]. (95)
Подставляя полученное выражение для х2 в (95), имеем
*? = ~ (п2-п±) Цп2-1)2- (Ла-я^Ила— l)2 [nt— 1 + (Лх— I)3] =
- -Щ2-пх)[2п,-(пх+ 1)]/(я2- 1)*[1+(пг-I)2].
Таким образом Х\ и х2 выразились через показатели
преломления стекол линз. Для нахождения рь р2 и р3 нужно добавить еще
одно уравнение: 1//'=(пх—1) (pi—р2) + (^2—1) (р2—рз) =
= p2[(«i—1) (xi—1) + (п2—1) (1— #2)]. С учетом, чтоВ=0,оптичес-
ская сила объектива оказывается равной Ф^=1///=(Л1—ljpi —
= {п\—1)/л, т. е. определяется только оптической силой первой
поверхности. Задав оптическую силу объектива, находим Г\ =
= (п\—1)/', а затем значения показателей преломления стекол;
имеем следующие формулы для расчета радиусов кривизны
поверхностей:
гг = (nt— 1)/'; г2 = хггх; г3 = "2~ ■ г2;
Лз—«1 (96)'
^- —^/"(«2—^i) [(^2— I)2—(^2~^i)2]/ (^2— l)2J(^i— 1) + (^г— I)3];
*2 = ("2— l)/(«a— J) = (^2 — П1) I (П2— !)•
Легко показать также, что уравнение (93) дает еще одно
решение при условии, что (п\—1)х\-\-п2—п\ = 0, т. е. Х\ = — (п2—
—П{)/(п\—1). В этом случае уравнение (93) записывают так:
</»i—1) (jc»i—1) + (п2—1)(1— xh) + [—х2(п2—1)]3=0. Следова-
тельно, *2=— уг (щ— п2) [(п{—I)2— (щ—п2)2]/(п{—1)2(п2— 1) X
Х[1+(Л2—I)2], и радиусы кривизны поверхностей объектива
находят по формулам:
г3=— (п2— 1)/'; г2 = г3л:2; г1==-^
«1—1
/2.
*1 П2 «1
В данном случае оптическая сила объектива определяется
кривизной третьей поверхности объектива (Ф=—(п2—1)рз).
122

Если первая или (Вторая поверхность плоская, то нужно
пользоваться соответственно следующими уравнениями:
(*i—l)p?—(/is— l)p| + [(^—l)Pl—(п2—1)Рз]3=0; р2 = 0;
(n1-l)(-pl) + (n2-l)(pl-pl) + [(n1-l)(-p2) +
+ (^2-1)(Р2-Рз)]3=0, Pl=0.
В общем случае, когда ВФО и рг^О, следует пользоваться
уравнением (94). Задавая различные значения Х2, находим
соответствующие им значения х\, а затем и все параметры
объектива.
Исследуем подробнее случай 5=0. В соответствии с
формулами (96) очевидно, что параметры объектива определяются
величиной Х\ при заданных щ, п2 и /'. Зависимость х\( щ, Яг)
определяет как радиусы кривизны поверхностей, так и схему объектива.
Так как величина Х\ есть функция двух переменных, то исследуем
изменение х\ при П\ = const и Л2=const.
Для упрощения записи введем следующие обозначения: П\—1 =
-у, n2-l =z. Тогда n2-n: = z-y; х, (у, г) = - ((*Г? f^V* ;
I г2 (1 + У2) >
ri=yf'u, r2=Xiri=Xiyf/; r3 = zr2/(z—y)=xiyzf'l(z—y). В долях
фокусного расстояния радиусы кривизны поверхностей
рассчитываемого объектива равны:
rjf = у; г2!Г = ухг; га//' = х1 yz/(z—y). (97)
Из (97) следует, что чем больше хи тем больше будут радиусы
кривизны поверхностей ги т2 и г3.
Исследуем изменение х\ в функции z(z=n2—1) при # = const.
При г=оо х\= — {2/(1+у2)}1/3 — асимптота, при 2=0 Х\ =—оо,
при ЛГ1 = 0 z=y и z=y/2. Находим производную — {*i(l +
+У2)1/3} = л;г2/3г~3 (3zy—2y2). Экстремум (максимум)
о
2 2
функция #1(2) имеет при z= —у и он равен *i(2= — у) =
=,[4(14-г/2)]~1/з<: (4)-1/3 = 0,6301. График хх(г) (1+*/2)1/3
представлен на рис. 72. На графике можно выделить три зоны I, II,
III. Зоны I и II соответствуют случаю п2<.пи т. е. показатель
преломления второго компонента меньше первого. Зона III
характеризуется тем, что второй компонент имеет больший
показатель преломления: п2>П\.
Рассмотрим форму линз, соответствующих выделенным зонам.
На рис. 72 при f>0 и f'<0 для каждой зоны изображены схемы
объективов. С увеличением \xi\ радиус кривизны второй
поверхности возрастает (зоны I и II), т. е. при больших п2 или при
малых по сравнению с П\. В частности, первая линза будет
симметричной при Х\——1. Это имеет место при выполнении условия
(г—у) (2z—y)/(l+y2)z2 = l, т. е. при Zi,2= [3y±Vby2 +
+ 4y*]/2(l-y2).
6* 123

Приведем пример. Пусть задано значение ni=l,75, т. е. #=0,75. Найдем
параметры объектива, первая линза которого симметрична. Величина Х\=—1
яри гм«(2,25±0,75-2,693)/0,875, zi«0,257. Следовательно, п{= 1,257; /г2=1,75;
п/Р-0,75; Ы\'=— 0,75; Гз/Г-0,375.
Рассмотрим еще пример. Задано #=0,5. Тогда zi,2= 1 ± ]/" 6/3 «1 ±0,82.
Для г» =1,82 («2=2,82 — стекла типа ИКС): ri//'=0,5; г2//'=—0,5; r3/f=0,588.
Ж ^*ОТ#(#/«ШЙ)
Рис. 72. Графики xi(z) (а) и xi(y) (б)
Рассмотрим теперь поведение х\ при z=const (n2 = const) в
функции у. При у=оо *!=—z-2'3; */=0, ^=—2^=—1,26; при
у=2 и y=2z jci = 0. Анализируем производную — {xiz2/z} =
ду
в L *г2/3 {- [ (22-г/) (1 + у2) + (z—у) (1 + г/2) +2t/ {г—у) (2г -
О
124

—ff)j}(l+ff2)"2. Производная равна нулю при *л,2~[2г2—
—1± V(2z2—1)2+9г2]Дг. Функция xxz2f* имеет
экстремум-максимум, график ее представлен на рис. 70.
Как и при у = const можно выделить три области (I, II, III) и
проанализировать форму поверхностей линз объектива. В
области /: ri/f'=y>0\ г2/^=ух1<0\ rzlf'=Xiyz/(z—y)<:Q. В области Я;
п/f>0; ЫУ>0; Гз//'<0; в области ///: n//'>0; r2//'<0; /У/'ХХ
При выборе исходной системы тонкого объектива, используя
формулу (92), считали, что излучение фокусируется в плоскости,
практически совпадающей с фокальной плоскостью объектива.
Однако предлагаемая методика расчета легко может быть
обобщена и на случай произвольного положения плоскости
фокусировки z=mf\ где т — коэффициент, определяющий положение
плоскости фокусировки (ее параксиальное положение). Тогда
формула (92) перепишется в виде
(»-"H-i)+,"'-i,(,-f)+
+^-1>(-^-,)+('--1)(,-^):г-0'
Формула (95) записывается в этом случае следующим образом;
_ \f (п2—пг) — (п2—1)4 .
Решение уравнения (93) можно свести к решению уравнения
второй степени относительно, например, х2, сделав замену
переменной pi—p2=£(ip2—рз) или Xi—1=(1—x2)k. Тогда, выражая из
последней формулы #i = l+(l—x2)k и подставляя в (92),
получаем квадратное уравнение относительно х2:
х1№(пг— l) + n2-l +A*] + x2[-2 (ni—l)k*—3k* (пг— 1) +
+n%—l — 2A*] + [k*(nl—l) + n2—l+A* + 3{k + lJAfa—1)] -0;
A — k(ttx—1) + я2—1; ^i= 1 +k(l—x2).
Задавая значение А, находим х2 и хи а затем радиусы кривизны
ловерхностей объектива ru r2i г3.
Рассмотрим теперь расчет тонкого двухлинзового объектива,
скорригированного на бесконечность. Прежде всего следует
учесть, что выражения для величин as, P2» ^s упрощаются, так
как аберрации свободного пространства в этом случае равны
нулю: а2=(а1Ф1+а2Ф2)/Ф2; Р2 = (piOi + p2®2)/Os ; со2= (oiOi-i-
+ы2Ф2)/Фя' Уравнение (91) теперь перепишется так:
%Фх + а2Ф2-0 или (^-l)(p3-p3) + (n2_l)(p3_p3) = o. (98)
Аналогично уравнение (98) принимает вид
(лА-!)(*?-!) + (/!.-1)(1-Д^) = 0. (99)
125

В общем случае при расчете параметров объектива следует
пользоваться формулой (98). Задавая, например, лг2> находим хх:
Xi=yl—(п2—1)(1—x32)/fii—1. По Х\ и х2 определяем радиусы
кривизны поверхностей объектива: г2=/'[(л1—1) (хг—1) +
+ (п2—1) (1— х2)], ri = r2/xu гз = г2/х2. Таким образом можно
рассчитать много возможных схем объективов. Задавая критерий
отбора системы (например, минимум волновых аберраций,
определяемых членом 7\>(р)), выбираем исходную систему для
дальнейшей коррекции.
Проанализируем сначала некоторые частные случаи. Пусть
Р2 = 0. Тогда уравнение (99) принимает вид
ifh— 1)Р? + ("2—1)( — Pi) = 0 или pf/p| = («а— 1)/(Лх— 1). (100)
Добавляя выражение для f через pi и р3, получаем
Ф2 = (Аг1_1)>1_(^_1)р3 = (Л1_1)^^^рз_(п2_1)рз. (101)
Отсюда p3^Q2/[(%-l)|/-^=f -(n2-l)],
Pi = |^^^^i:/[(«i-l)>^~J^r-(^2-l)]- Для переменных
у и z эти выражения перепишутся в виде:
Ps=®AyVz/y—z); Pi = Vziy®AyVzill—z) или r3/f'=yfrz/y—z;
ri/ff = {yVz/y—z)/Vz/y==y—Vy^; r,= oo. (102)
Когда первая поверхность плоская (pi = 0, ri = oo), уравнение
(98) записывается в виде: (/zi—1) (—р32) + {п2— 1) (р32—р3з) =0
или р2=]/ n*ZLn Рз- С учетом Ф2 = (п2—Пг)р2— (л2— 1)рз
получаем
ф2
3 Г п 1
(/г2 —%) "J/ n2i—1 — (п2— 1)
л-Т^^-—v ,?!, , „ ; р'-°- <103>
Для переменных у и г выражения (103) принимают вид:
/•1==оо; r2//' = /(z—у)/г [(г—у) V zl{z—y)—z\;
r3/f' = (z-y)VzTy-z. (104)
Формулы (104) можно представить еще и в другом виде,
обозначив u=z/y, v= (z—y)/z= 1 :
rx//' = («i — 1) [ 1—w2/3]; r2=oo; г3 = г1и'/3; rj-oo;
r2-r3t;i/3; r3/r = (na—l)[t»2/3—1].
126

Рассмотрим еще случай, когда вторая линза симметрична
(Р2=—рз). Тогда с учетом выражения (95) получаем хг\ = [п\—
— l—2(n2—l)]/(ni—l) = (y—2z)Jy. Радиусы кривизны
поверхностей линз рассчитываются по формулам:
rjr = (пг-1) |Л+_Г* + [2л,—lit— И;
Окончательный расчет параметров тонкого двухлинзового
объектива. Выше подробно рассмотрен вопрос выбора исходной
схемы двухлинзового объектива. При этом, однако, не
учитывали ни относительного отверстия объектива, ни параметров
гауссова пучка, не было обеспечено выполнения условия а^ +
+ l,5ps r2max+l,75co2 г4щах, характеризующего отсутствие в тонком
•объективе аберраций 3-го порядка, 15/16 части 7-го порядка и
31/32 части аберраций 5-го порядка. Поэтому, задав величины
*max, R\ rUe, f находим коэффициент А{= — (as + l,5|3 2 r2max-l-
2/
+ 1,75со 2^4тах), определяющий искажения преобразованного
линзой пучка, и считаем распределение амплитуды и фазы в
плоскости, для которой проводилась коррекция аберраций.
Если величина Аг достаточно велика, что приводит к
заметному увеличению r\je преобразованного пучка по сравнению с его
параксиальным значением, то требуется провести коррекцию
параметров объектива для получения ^4i = 0. Добиться i4i=0 можно,
меняя pi, р2 или рз (считаем, что П\ и п2 заданы, хотя можно,
естественно, и варьировать в дальнейшем показателями
преломления стекол).
Расчет производим по следующей схеме:
1. Меняем рз (pi или р2).
2. Вычисляем фокусное расстояние тонкого объектива
f = (ni—l) (pi—р2) + (я2—1) (р2—рз).
3. При заданных значениях rmax, П/<?, R' вычисляем г=—1/А.
Определение положения плоскости, в которой фокусируется
гауссов пучок, сводится к решению уравнения вида / (г) =г+ 1/А (г) =0.
Отыскание корня функции f(z) удобно проводить методом
простой итерации, представив исходное уравнение в каноническом
виде: z=g(z), где функция g(z) =—1/Л(г), а итерационная
формула имеет вид Zk+i= — 1/Л(г^). Так как z лежит вблизи /', то в
качестве начального значения z следует принять zo = f\ Это
обеспечивает быструю (за 2—3 итерации) сходимость zu к значению z
при заданной точности его определения. Структурная схема
алгоритма простой итерации представлена на рис. 73. При
использовании этого алгоритма для решения уравнения /(г)=0 других
видов следует предусматривать контроль сходимости и
прекращать счет, если сходимость при выбранном начальном
приближении не обеспечивается-.
127

4. Вычислив г, находим коэффициент A\ss{kl2f) (aL4-
+ 1,5Р Xr2n,ax+1,75(D^ r4max) .
5. Проведя ряд вычислений А\ при различных значениях р*
методом последовательных приближений, находим значение рз>
при котором Ai = 0 (можно р3 находить и из условия решения
ПьШор начального
значения zk
\
вычисление
Корень z определен
Ч***кы
Рис. 73. Структурная схема алгоритма вычисления 2К=—1/Л
уравнения седьмой степени относительно р3 при заданных рь р2г
пи п2). Нахождение р3, при котором А\(ги г2, г3, пи п2)=0, также
можно свести к решению уравнения f(z)=0. В этом случае
можно пользоваться методом простой итерации, но с проверкой его
сходимости. Другим методом решения уравнения для данного
конкретного вида функции А\(г) может служить метод половинного
деления, позволяющий найти все действительные корни на
отрезке [zu Z2]. Структурная схема алгоритма метода половинного
деления приведена на рис. 74.
6. Имея все параметры тонкого объектива (щ п2, pi, ,р2, рз)>
вычисляем по формуле (85) значение остаточных аберраций,
определяющих искажение распределения амплитуды в плоскости
фокусировки излучения: (6/2/') (р2+2©з г2тах)Г6(р)г6тах=Аф.
7. При достаточно малых значениях остаточных аберраций
(я/10—я/20) можно остановиться на выбранной схеме объектива*
Рассчитав искажения, вносимые остаточными аберрациями и
конечностью апертуры объектива, получим полное представление о
характере распределения амплитуды в плоскости фокусировки if
значение пятна г\/е, в которое фокусируется излучение.
8. Если полученные результаты не удовлетворяют
конструктора (например, с его точки зрения остаточные искажения следует
уменьшить), то, выбирая другую систему (с другими Х\ и х2)у все
расчеты повторяют до получения нужных результатов.
128

Рассмотрим некоторые примеры расчета двухлинзовых
объективов с использованием предложенной методики.
Приведем пример расчета двухлинзового объектива для фокусировки
лазерного излучения Я=0,694 мкм в пятно радиусом r'i/e« (2—3)*,. Параметры
гауссова пучка: rI/e(0)=2 мм, гк=яг21/Л0)А=18,106-103 мм.
Вычисление f(zk) через равные
1 ttUtTIPTlRrf ПЬГ Л 7 /7/7 PAfPHbf ^Urtt^rf
ffz) при переходе от 2% к
♦
zk±1
1 Вычисление zCp »1/Z (^+zM)
I fPcp)
<C^fapW**^
^L
,2M~zcp ,
ffZwJ-fPcp)
<CT ffecp)<b
f(4b№v)
i-ix корень
найден
Рис. 74. Структурная схема алгоритма вычисления Л(п, г2, г3, nif я2)=0
Радиус пятна в плоскости фокусировки излучения в соответствии с (76)
равен r'i/e=Яг/ягi/e«A,/7™*i/e. Фокусное расстояние объектива выбираем
равным 12 мм, тогда r'l/e**2X (без учета искажений оптической системой, т. е.
в параксиальном приближении).
Выбираем из каталога оптического стекла стекла типа ТБФ4 («1 = 1,7701)
и БФ8 (л2= 1,57734). По (95) находим хх и х2: xi=0,5185, #2=—0,333.
Следовательно, исходная система характеризуется следующими параметрами: rti=
-1,7701 (ТБФ4); /г2=1,57734 (БФ8); п=9,241 мм; г2=4,792 мм; r3=
—■ 14,377 мм; /'=12,009 мм; г= 12,031 мм.
Выбираем относительное отверстие объектива 1:3 (/max=2 мм). Сечение
перетяжки располагаем на линзе (#'=оо). Рассчитываем значение
коэффициента А\=—0,27. Скорригируем систему с целью уменьшения А\ до нуля (т. е.
уменьшения аберраций, а следовательно, и значения г\/е с учетом аберраций).
Коррекцию можно провести, меняя любой из параметров (nu n2, rи т2, г3),
методом последовательных приближений в соответствии со структурной схемой
алгоритма, представленной на рис. 74. Меняя радиус кривизны третьей
поверхности г3, добиваемся уменьшения А\ практически до нуля. При г3=
=—12,507 мм i4i=—0,00007. Таким образом, окончательная схема объектива
имеет параметры: «1 = 1,7701; /г2= 1,57734; /*1=9,241 мм; г2= 4,792 мм; г3=
=—12,507 мм; /'=11,202 мм; г= 11,190 мм; гШах=2 мм.
129

Волновые аберрации рассчитанного тонкого объектива, определяемые
членом Ах= (k/2f) (a^ +1,5Р2Г2тах+1,75©2Г4тах)7,4(г/Гтах)г4тах, практически
равны нулю. Оцениваем остаточные волновые аберрации 5-го порядка,
определяемые членом [ (k/2f') ($2+2® 2г2п&х)г6п&хТб(г/гп&х)\^:П>150. Если бы не
использовать представления аберраций с помощью полиномов Чебышева,
наименее уклоняющихся от нуля, то остаточные аберрации 5-го порядка оказались
бы в 32 раза больше.
Остаточные волновые аберрации 5-го порядка малы и ими, следовательно,,
можно пренебречь, так как они вносят малые искажения. Для окончательной
оценки величины г\/е следует оценить искажения, вносимые конечностью
апертуры объектива, которые в данном случае практически определяют и
суммарные искажения.
Оценку влияния конечности апертур объектива можно провести, используя
табл. 8. В нашем случае Xmax=#max//Ve=l; Утах=1/тах/г1/е=1. На рис. 75
приведено распределение амплитуды гауссова пучка, сфокусированного в
плоскости 2=11,190 мм тонким двухлинзовым объективом с фокусным расстоянием
/'= 11,202 мм. Из рис. 75 видно, что радиус пятна г'1/е с учетом, конечности
апертуры объектива равен r'i/e~ l,3r'i/&nap, т. е. увеличился в 1,3 раза по
сравнению с его параксиальным значением! г \/е пар =?1г/яг/1/е=1,78Я.
Следовательно, гГ1/е«2,ЗЯ, как и требовалось по заданию.
Рис. 75. График изменения ампли- Рис. 76. Распределение интенсив-
туды (в отн. ед.) в сечении пучка ности в сечениях гауссова пучка,
преобразованного объективом
Приведем еще результаты расчета тонкого объектива для лазерного
излучения К =1,153 мкм и ri/e(0)= 2мм (zA=10 898 мм). Выбирая сорта стекол?
ТБФ4 (ni= 1,7549) и (/г2= 1,5660) БФ7, получаем следующую исходную
систему: ri=9,059 мм, г2=4,721 мм, г3=—14,162 мм, /'=12,007 мм, г= 12,029 мм,.
/max = 2 мм, Л=—0,17. Меняя радиус кривизны третьей поверхности,
добиваемся выполнения условия Л1 = 0 (г3=—12,261 мм, /'= 11,176 мм, г= 11,163 мм)>
(Л 1=—0,000015). Для этого объектива искажения также будут определяться в-
основном конечностью его апертуры, так как остаточные аберрации малы.
Для проверки правильности предлагаемой методики расчета параметров-
тонкого объектива по формуле (68) проведено вычисление распределения
интенсивности гауссова пучка (п/ДО) =2мм, гк= 18,106-103 мм, Я =1,153 мкм),,
130

прошедшего через объектив (/zi=1,7547, п2= 1,5660, ri-9,059 мм, г2=4,721 мм,
г3=—14,162 мм) в сечениях г= 12,05; 12,029; 12,11; 11,95; 11,9 мм.
Результаты расчета на ЭВМ приведены на рис. 76. Анализируя
результаты расчета, можно сделать вывод, что лазерное излучение сфокусировано
данным объективом в кружок наименьшего радиуса (/"г1/е=3,2 мкм) в плоскости
г=12,029 мм.
Если не учитывать аберраций, вносимых членами с Г6(р) и Тз(р), то
получаем радиус r'1/e(z= 12,029) «Kz/(nr\/e) 1,3=2,9 мкм. При расчете же
дифракционного интеграла учитывались аберрации 3-го, 5-го и 7-го порядков, что
привело к увеличению г\/е примерно на 10%- Можно считать, следовательно,
что результаты численного расчета дифракционного интеграла подтверждают
с достаточной для практики точностью предложенную методику расчета
параметров тонкого объектива, в котором устраняются аберрации 3-го порядка,
31/32 часть аберрации 5-го порядка и 15/16 часть 7-го порядка.
Рассмотрим пример расчета тонкого объектива, аберрации которого
корригируются в плоскости z=oo. Пусть требуется рассчитать длиннофокусный
объектив с относительным отверстием 1:3 (/—6). Для расчета такого
объектива с малыми остаточными аберрациями, имеет смысл использовать сорта
стекол с резко эазличающимися по значению показателями преломления, что
привопит к малым кривизнам поверхностей линз объектива. Проведем расчет
с использованием табл. И. Выбираем из таблицы для /=6, р2=—0,6 значения
р£=0,4 и р3=0,9. Тогда F3(0,4) =91,318 и F3(0,9) =207,17, Ф!=1,78821, п^1 +
+Oi/(pi—р2)= 2,78821 (ИКС-28), Ф2=—0,78821, п2=1,52547 (ОФ-1), /ч=2,5Г,
г2 (5/3)/' иг3=(10/9)Г.
Остаточные аберрации объектива определяются значениями функций
F5(0,4) =0,2385-Ю-6 и ^(0,9) =0,1225-10~5. Для остаточных аберраций я/10
соотношение между фокусным расстоянием и длиной волны излучения
определяется неравенством //<64-105А,. В данном случае длиннофокусный объектив
может иметь достаточно малые аберрации. Например, для Я=0,63 мкм f'<Z
<4032 мм. Если остаточные аберрации уменьшить до я/50, то /'<800 мм.
Анализ показывает, что использование стекол с малым Дп=я2—п>\ приводит к
существенному увеличению остаточных аберраций в рассматриваемом случае
или существенному, по сравнению с первым случаем, уменьшению фокусного
расстояния объектива.
Приведем пример. Выбираем из той же таблицы (/=6, р2=—-0,6) pi—2 и
р3=2,7. Тогда <Bi= 1,9459, щ = 1,7484, Ф2=—0,9459, /г2= 1,2866. Для остаточных
аберраций я/10 связь между фокусным расстоянием объектива f и длиной
волны излучения % следующая: /'<49,32- 103Л, при г1 = 0,5/:/, г2=— 5,3/', г3= 1/2,7/'.
Остаточные аберрации объектива в этом случае значительно возрастают.
Двухкомпонентная оптическая система для изменения
расходимости излучения. Для двухкомпонентной оптической системы
для изменения расходимости лазерного излучения (как правило,
для уменьшения расходимости) можно предложить следующий
порядок расчета: расчет первого компонента для получения
пятна в плоскости z = — 1/Л с распределением, близким к гауссово-
му (для основной моды ТЕМоо); расчет распределения поля в
плоскости второго тонкого компонента; расчет второго
компонента на минимум аберраций в бесконечности. Расчет первого
компонента (как правило, короткофокусного) проводится по методике,
131

изложенной выше. Выбор относительного отверстия объектива,
обеспечивающего выполнение условия Хтах/ПА?^2, позволяет
получить в плоскости z=—1/Л практически гауссово распределение
поля.
Второй компонент располагаем таким образом, чтобы
плоскость г= 1/Л первого компонента, в которой пятно минимально,
совпадала с передней фокальной плоскостью второго компонента.
Рассчитаем распределение поля в плоскости второго компонента,
считая что в его передней фокальной плоскости распределение
поля я|)р-2 известно (при хорошей коррекции первого
компонента — гауссово).
Распределение поля в плоскости Я2, Н'2 находится по
формуле:
p—ikr
*~i4JJl*,- dS,
(S) Г
где г=l(x1—x2)2+(уг— y2)2+ (%—z2)2]-'2 ж r0—(xL x2 + yt y2)/r0J так как
(*i. Уг) < r'l/e; r0 = [x\ + y\ + (z-z2)2]W.
Тогда i|) -w (Л/г0)J f *Ff exp {—/ & [r0—(x^ + y^/r^dx^y^A/r^X
X exp( — t £r0) J f 4>Fi exp {/ ft [(^ *2 + y,yj/r0]} dxx dyv
(S)
Интегрировать следует при —оо<д:1<;оо и —oo<r/i<o°.
Поэтому последнее выражение представляет собой просто
преобразование Фурье функции ^р2 (распределения поля в передней
фокальной плоскости второго компонента). Если переменные в рас-
пределении поля разделяются, то вычисление *ф представляет
собой произведение двух одномерных преобразований Фурье.
Вычисление* этого интеграла может быть проведено и численным
методом с помощью ЭВМ.
Если распределение поля в фокальной плоскости гауссово, то
<fo ~exp[—(ax2 + bxx+cx)]exp[ —(ау2 + Ьуу + су)].
Тогда ij) ~ (Л/г0) exp (— ikr0)IxIy;
оо
1Х = j exp (—(ах2 + bx x+сх)] exp [i kxxjr^] dx=
—oo
= exp (—cx) Vn/ci* exp { — i [k2 (b*x—x2/rQ)2]/4a*} exp (/ я/4); a* = a/i;
b*x = bjki; со = k (Ь^—Хь/Го) = k (bjki—x2/r0); co2/4a* = со2/4ш;
n/a* = i я/а.
Если решение вопроса продолжить аналитически, то
необходимо представить х2/г0 в виде ряда относительно х2 и у2. Добавив
в фазовый член изменение фазы, вносимое вторым компонентом,
получим аналитическое выражение поля на выходе второго
компонента. Используя это выражение, по методике, изложенной
132

выше, выбираем конструктивные параметры второго компонента,
обеспечив коррекцию аберраций на бесконечности.
Проведенный в такой последовательности расчет позволит
получить оптическую систему, состоящую из тонких компонентов и
скорригированную на бесконечность. Перейдя к компонентам
конечной толщины и рассчитав всю систему в целом, следует
оценить реальные аберрации системы.
4.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ИЗЛУЧЕНИЯ,
СФОРМИРОВАННОГО ПЛОСКИМ РЕЗОНАТОРОМ
Для простоты рассмотрим резонатор, для которого р/]^8яЛ/<§;
<С1. В этом случае распределение поля по зеркалу
(прямоугольной апертуры) приближенно описывается формулой вида [15]:
Е {-?-\е (j_\^lc0S(Am^) + iBmXsm(AmX)\
т\а ) п[ ь ) Un(AmX)-iBmXcos(AmX) J
i cos (AnY) + iBnY sin (АпУЦ
\4n(AnY)-iBnYcos(AnY)r K
где Ат.п=[(ту п+ 1) (1 + РМ4)я/2]/[1 + 2p/M + 2(p/M)2]; Sm,„ =
= Am,n№ + M); M = V8nN; X = x/a; T=y/b.
Удобнее, однако, для дальнейшего записать это распределение
через комплексные экспоненты:
cos (Ат X) = ~- {exp (i Ат X) + ехр (—i Am X)};
sin(AmX) = -±r{exp(iAmX}—exp(—iAmX)}.
Такое представление удобно в нашем случае тем, что его
использование позволяет свести решение поставленной задачи к
ранее уже решенной.
Проведем вычисления для излучения моды TEMmn (для
определенности возьмем тип четными). Тогда распределение поля
tymn(x, у) запишется в виде
Утп (*> У) = A {cos (Am X) cos (An Y) + i [Bm X sin (Am X) cos (An Y) +
+ BnYcos{AmX)sm(AnY)]-BmBnXYsm(AmX)sin(AnY)}.
Это распределение поля ij)mn(#, у) следует подставить в
дифракционный интеграл (66). Покажем, как провести вычисление
дифракционного интеграла для 1-го слагаемого в я|)тп. Переходя
от тригонометрических функций к экспоненциальным, получаем:
cos (Am X) cos (An Y) = y {ехр [* (Ат Х- Ап Y)] +
+ exp[-i(AmX-AnY)] + exp[i(AmX + AnY)] +
+ exp[-i(AmX + AnY)]}. (106)
133

С учетом сделанных допущений при вычислении дифракционного
интеграла и полагая R'=0 (волновой фронт плоский), П/е = оо
(распределение поля описывается функцией (105), из (106)
получаем для одного -первого слагаемого в чртп(х, у):
*(*. У, г)--Ц^*-'М1ехр{-(а*'2 + ^^^
+ (as+ l,5psr^ax+ l,75o)s^max) (r4-rV^ax + /tax/8J]} dtdtf,
где a = £\±--±-*2L(JL~r* +iipsr2 +0^1;
2 l Z /' f \ 8 2 max 16 max" SjJ »
fe^^r —ikx/z—AmXi= —ixik/z—Am/a);
by=—iky/z + AnYi=—iy(k/z—An/b);
cx = i kx2/2z, cy = iky2/2z.
Полученный интеграл по форме совпадает с дифракционным
интегралом (69), для вычисления которого можно полностью
использовать полученные ранее формулы (70) — (72). При этом
интеграл 1ох в (71) представляет собой интеграл Френеля, для
вычисления которого можно воспользоваться таблицами
специальных функций [31]. Однако для случая фокусировки излучения
решение задачи значительно упрощается, если рассмотреть фо-
кусировку в плоскости z = — 1/Л, где А =—1//'—г2тах(—-со2г4тах+
о
15
Н— Psr2max + a^)///;.a2, Ра и со2 характеризуют в соответствии
16
с (32) аберраций оптической системы. Плоскость, в которой будем
рассматривать распределение поля, очень близка к плоскости
£=/'. Рассмотрение распределения в этой плоскости значительно
облегчает получение расчетных зависимостей. Интеграл /о*
вычисляется в элементарных функциях:
/о*= Jexp{—(а*'» + 6я*' + cx)}dx' = Jexp{—(M' + <>х)}йх' =
= -^exp{-(bxx' + cx)}\x™*~a . (107)
Пользоваться в данном случае формулами (38) нельзя, так
как а = 0. Поэтому записываем выражения для интегралов [30]
вида:
^тах
/nx = J xnexp{—(bxx+cx)}dx =
—д:тах
*" n*"~' п(п—\)хп-2
-Ьх Ь\ + (—6Ж)?
134
= ехр{—(Ьхх + сх)} -
,2 г т-^г - + ...+

_i_/_iy-i «!
= _ехр{-(ЬхХ + сх)}« {xbx)k{n_k)l
bn+l jfco
-хта=-а
Используя эту формулу, запишем выражение для некоторых
интегралов 1пх- Учитывая, что Ьх=—ib'xx, bv = ib'vy, b'xxmax=<p,
b'yymax=^i, можно записать
Iux = 2sm<p/bx' Ioy = 2simp/b'y;
h* = -7г[(2-Ь;2х^х)5Шф-2Ь;хтахсо8Ф];
О X
hv= - ~ [(2-&;2Сх) sin^-2&;ymaxcost];
/4, = -7Т {2^ax^sin9 + 8x3maxcos9-12J2jc}; <108>
bx
hy=^T{2yimaKb'ysm^+8yliaxcos^-l2I2y};
by
Интегралы (108) представляют действительные числа. С
помощью формул (81), можно записать выражение для функции
искажения ^оо31. Также легко вычисляются и интегралы типа /<а)п,
а следовательно, и другие функции искажения (F31io, ^31п, ...)•
Если в формулах положить т=—1, п=—1, то перейдем к
рассмотрению преобразования оптической системой плоской волны.
В случае, когда плоскость, в которой рассматривается распре*
деление поля, имеет произвольное расположение (2=var),
следует пользоваться формулами (71), где I0x, hy — интегралы
Френеля.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Было проведено достаточно большое число расчетов
распределения амплитуды поля и его фазы для гауссова пучка,
преобразованного линзой. Рассчитывали как путем численного решения
дифракционного интеграла, так и по формулам (81). Расчеты
проводили для линз с фокусным расстоянием /'=12 мм
(симметричная двояковыпуклая линза и плоско-выпуклая) и
параметрами: /гл = 1,5; 1,75; 2; rmax=2—4 мм; ri/e= 1—3 мм; г0=/7=12 мм.
Длина волны излучения составляет 0,69; 1,06; 3,39 и 10,6 мкм.
Распределение амплитуды и фазы поля определяли в сечениях
2= 11—13 мм (через 0,1 мм).
135

Характер распределения амплитуды и фазы в различных
сечениях преобразованного линзой пучка представлен на рис. 77 и 78
(Л, = 3,39 МКМ, Г1/е=2 ММ, Гщах = 2 MM, Zp= 12 ММ, /1^=1,5). На
рисунках цифрами 1—6 обозначены сечения: 2i = ll мм, г2 =
= 11,8 мм, гз=Н,9 мм, 24=12 мм, 25 = 13 мм, 2б=Н,7 мм.
Расчеты проводились на ЭВМ путем численного вычисления
дифракционного интеграла. Амплитуда нормирована на амплитуду в
точке г'=0. Из графиков видно, что minri/e(2) »9,5 мкм при
параксиальном значении л/е(2р)... 6,3 мкм. Расширение
преобразованного пучка по сравнению с параксиальным пучком
обусловлено достаточно большим для одиночной линзы относительным
отверстием (/72rmax = 3) и главное тем, что rmax=/*i/<?.
Амплитуда
i
1
0,1
0,5
0,37
i >^^V
\\ Кривая
у/ж'Гаусса
\ К\ \
1 1 -Ьь .
——1
• 5
* 4
5,5
5
О Гф(0) 6,3 9,5 12,625 25,25
Рис. 77. Распределение
амплитуды в сечении пучка
6J
12,625 г'ми
Рис. 78. Распределение фазы в
сечении преобразованного пучка
Как и следовало ожидать (§ 2.2), сечение минимального
радиуса преобразованного пучка смещеьо от его параксиального
положения (г^/'=12 мм) на значительную величину (0,15 мм),
которая определяется волновыми аберрациями линзы (величинами
ел, pi, coi).
Анализ результатов расчета по формулам (81) с результатами
численного расчета показывает, что при гтах/П/е>1,5 и f'/rmax>8
наблюдается достаточно хорошее совпадение результатов
расчета. В этих случаях для оценки искажений пучка линзой можно
пользоваться формулами (81). Качественно распределение поля
совпадает с результатами, полученными в [26].
136

Приложение 1
РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ИНТЕГРАЛОВ /2„
Для расчета распределения поля в произвольной плоскости с
использованием формул (81) необходимо иметь формулы для вычисления интегралов
1*2п от комплексного переменного. Теперь, используя рекуррентные
соотношения (42), рассмотрим методику вычисления интегралов /*2п. Представим ве-
личину а с учетом (76) и (78) в таком виде: 1/а= -¥— [1/г'21/е-Ьф/#—
—1/г)яД]. Учитывав выражения для R и r'2i/e, получаем
-J — 7"- — [л+ у|/[(ЛНВ!)г2 + 2Хг+1]= —
При а^ = 0 г21/е=%1пВ, и тогда можно величину \\а записать в виде
1 4z2
Я ~~ &2 г'2
1—1 •
4+т
В
4*2
~~ *2 '&
[1 — i С], где С
-(лн-f)
/5.
Представим комплексное число в тригонометрическом виде: 1—/С=ре-г'Ф=*
="1/1 Н-С2е—^^arctgc Сделаем следующие обозначения: г2/г'21/е=у, 4z2/k2r'2i/e—
=#'2i/e, тогда 1/а=^/21/ерв-г^; &2г2/4аг2.=*/ре-гЖ Следовательно, рекуррентное
соотношение для полиномов Чебышева — Лагерра можно переписать в виде
4¥i (У Р в"'*) = (2 я + 1 —у р «-<♦) 4°> G, p в-**) -я" 4°J, (у р •"*♦).
А рекуррентное соотношение (70) для вычисления интегралов 7*2n:
'а<п+1) & Р е~^) = "7 ;2я (2 я + 1 —» р е-1*) —
-$-'»<«+1> = «1% Р «"'* (2 "+ l-^P^^) 4n-«^;4/eP2^2'%n-i)-
Представим интегралы 7*2П в виде 7*2n=Re7*2n—Пт /*2п. Тогда получаем
72(nH-i) = *1 /в Р (cos *—*' sin яр) (2 л + 1) [Re l\n—l Im 72nl —
— R[2/e yp* (cos2^ — i sin 2 <ф) [Re 7*n —i Im 7*„] —/г2 /?i}e p2 (cos 2 ф—
— / sin 2 ip)[Re 7*n—i Im 7*n]. (Ш)
Соотношение (1П) позволяет записать рекуррентные формулы-для
вычисления Re/*2(n+i) и Im/*2(n+i):
Re 4(n+i) = (2 п + 1) р Ri2/, [cos я|> Re 7^ —sin ф Im 7*2„] _
— «i/, 1/ P2 [G0S 2 * *e y2n —sin 2 я|> Im 7^] —/г2 R\)e p2X
X [cos 2 я|> #e 7*2(n_1} —sin 2 яр Im 724(n_1}] ; (2П)
Im 7*2(n+1 j = (2 n + 1) p i?;2/e [sin я|) Re l\n + cos * Im l\n\ —
137

— R\% У P2 [sin 2 if Re /*2„ + cos 2 ф Im /^] — n» R\% p2 [sin 2ф Re /^n_,, -f-
+ cos 2 *Im '««-I)] ;
Re I*0 = 1 ; Im Г0 = 0 ; Re /2 = J?',2/e [p cos ф—у p2 cos 2i|>] ;
Im 4 = R\2/e [p sin ф—# p2 sin 2 1|>]#
Рассмотренные выше интегралы вида /2n= $$r2nF(x)F(y)dxdy определяют
искажения основной моды излучения ТЕМоо. Для расчета искажений излучения
других мод TEMmn линзой необходимо также вычислять интегралы вида /<*'гп=
=jf xhr2nF(x)F(y)dxdy. Приводим выражения для интегралов /г'1', hw, /4(2):
4' > = J J xr* F (x) F (y) dxdy = Isx Ioy + Ilx hv =
= (—bx) (л/а) \е~Сх~СУ1а){2—(& r*/4 az*)} ; Л'} = J J at4 F (x) F (</) dnfr =
= (—bx) (n/a) \e~Cx~Cylcfi) {6 — 6 (k* r*/4 az*) + (ft4 r4/16 а? г4)} ;
Л2)= UxyF (x)F (y) dxdy=( — bs) (—by) (n/a) (e"'*~e*/o«) X
X {12—8 (ft2 r8/4 022) + (A4 /^/16 а2 г4)}.
Выражения в фигурных скобках представляют собой полиномы Чебышева —
Лаггера: /.,<•> (£2г2/4аг2), ЬРЧРгЩаг*), L2(2) (ftV2/4az2).
Аналогично с точностью до (я/я)ехр[—(с'х+с',,)] можно написать
выражения и для интегралов следующего вида:
4') = ff^F (x) F (у) dxdy=(—bx) 4!) (*2 а2/4 az*)/a* ;
4'} = j J */* F (х) F (у) <ta& = ( — bx) I*,1 > (ft2 л2/4 az2)/a4 ;
/22> = J j *(/r2 F (x) F (y) dxdy = ( — bx) (—by) L(i2) (ft2r2/4az2)/rt ;
/<,2> s j j xyt* F (x) F (y) dxdy = (—bx) (—by) 42) (& r»/4 az*)/a? ;
42> _ j J xr/r« f (*) F (y) dxdy = (—6x) (—ft,) 42) (*2 '2/4 a22)/a3 ;
42) = ]\xyr*F (x) F (y) dxdy=( — bx) (—by) I<2> (A2 r2/4a z2)/a4.
Можно написать и рекуррентные формулы для вычисления этих интегралов,
аналогичные (2П):
Re I2%+1) = (2 п + 1 + a) p R\% [ cos * Re /<«>* —sin t Im /g?'] —
— R?/e У P2 tcos 2 * Re /2")*— sin 2 * Im 4«>*] — (n + <*)n R'?le p2 X
X [cos 2 ф Re /<%*_„ -sin 2 * Im 7$£_„] ;
I™ /(2(n+l) = (2 n + 1 + a) рЯ',% [ sin « Re2«>* + cosa|> Im /2«>*]_
— R?/e У P2 I sin 2 * *e 'Й** + cos 2 t Im /<,*>*] _
— (n + а) л *J% p2 [ sin 2 * Re 4<*>!_I) + cos 2 « Im 4$_1)] f (3n>
Знание этих интегралов позволяет написать выражения для функций иска*
жения эрмито-гауссовых пучков.
138

Приложение 2
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ /4F3 И F5
В рассчитанных таблицах приведены значения функций /4F3 и F&: 773=«4-
4-l,5rW6+l,75rWco=! (а/4+1,5р/2+1,75©); F5 = (р + 2©rsmax)remax=»
= JL (8/2+2<о), где /=/'A*max — величина, характеризующая относительное от-
/*
верстие линзы; г* — радиусы кривизны поверхностей, нормированные на
значение фокусного расстояния линзы f (pi=/7n). Такая нормировка позволяет
составить таблицы, которые являются универсальными и могут быть
использованы для расчета параметров двухлинзового объектива (90), а также для
расчета волновых аберраций оптической системы (87), (88).
Таблица 11. Таблица значений Z4^, F5
г=»4. р2=о
Cti-pV4
FJ4
Fs
0,1
26,088
0,5035х
х ю-5
0,2
53,190
0,2075х
х ю-4
0.3
81.356
0,4807
0,4
110,64
0,8789
0.5
141.09
0,141IX
х ю-3
0,6
172,77
0.2087
0.7
205.72
0.2916
«i = P2i/4
FJ*
Ft
0.8
240
0.3906
0,9
275,66
0.5067
1
312,75
0,6409
1,1
351.32
0.7939
1.2
391.44
0.9668Х
X 10~3
1,3
433,14
0.116.0Х
X 10~2
1.4
476.49
0,1376
1.5
521,53
0,1614
<Х,=рУ4
Fzl*
Fb
1,6
568,32
0,Г 5
1,7
616.91
0,2161
1,8
667,35
0,2472
1,9
71f,70
0,2809
2
774
0,3174
2,2
888,69
0,3988
2,2
830,31
2,3
949.18
0,3566 1 0,4440
•ai=pV4
Fzl4
Fi
2,4
1011,8
0,4922
2,5
1076,7
0,5436
2,6
1143,9
0,5983
2,7
1213,3
0,6563
2,8
1285,2
0,7178
2,9
1359,5
0,7828
3
1436,2
0,8514
3.1
1515.5
0.9238X
x ю-2
<x,=p2,/4
F3Z4
F5
3.2
1597,4
0,10.10—l
3,3
1681,9
3,4
1769,2
0,108o'o,1164
3,5
1859,1
0,1252
3,6
1951,9
0,1345
3,7
2047,5
0,1441
3,8
2146
0,1542
3.9
2247,5
0,1648
139

Продолжение табл. 11
<Xi=pV4
Fzl4
Fs
4
2352
0,1758
4,1
2459,5
0,1872
4,2
2570,2
4,3
2684
0.1992|o.2116
1
4,4
2801
0.2245
4,5
2921,3
0,2379
4,a
3045
0,2518
4,7
3172
0,2663 X
x ю-1
Z = 6, p; = — 0,2
Pi
F3l*
Ft
0,1
9,7274
0,2951 X
XI О"8
0,2
12.971
0,4293
0,3
22,717
0,1478X
X 10~7
0,4
38,999
0,4741
0,5
61,866
0,1219 X
X 10~6
0,6
91 ,383
0.2647
0,7
127,63
0,509a
Pi
FzlA
Ft
0,8
170,72
0,8983
0,9
220.,76
0,1479 X
X 10-5
1
277,9
0,2311
1 Л
342,29
0,3459
1.2
,414,11
0,5000
1.3
. 493,56
0,7021
1.4
580,87
0.9619X
X 1 О-5
1,5
676,29
0.1290X
X 10-4
Pi
F*l*
Fs
1,6
780,08
0,1699
1.7
892,55
0,2203
1,8
1014
0,2816
1,9
1144,9
0,3555
2
1285,5
0,4438
2,1
1436,3
0,5486
2,2 1 2,3
1597,7
0,6720
1770,3
0,8165
Pi
Fzl*
Fb
2,4
1954,5
0,9846 X
x 10-4
2,5
2151
0,1179 X
x 10-З
2,6
2360,4
0,1404
2,7
2583,2
0,1661
2,8
2820,4
0,1955
2,9
3072,6
0,2290
3
3340,6
0,2670
3,1
3625,3
0,3100
Pi
F3I4
Fz
3,2
3927,7
0,3584
3,3
4248,7
0,4128
3,4 1 3,5
4589,5
0,4739
4951
0,5421
3.6
5334,7
0,6181
3,7
5741,7
0,7028
3,8
6173,4
0,7968
3,9
6631.3
0,9009 X
x 10-З
РЦ
F3Z4
F5
4
7116,8
0,1016 X
X 10-2
4,1
7631,6
0,1143
4,2
8177,4
0,1283
4,3
8756
0,1437
4,4
9369,4
0,1606
4,5 '
10019
0,1791
4,6
4,7
10708 1 11438
0.1994
0,2216 X
X Ю-2
140

Продолжение табл. II
J=8, p2=Q
a!=p2i/4
F3f4
Ft
0,1
411,53
0,7689 X
XI 0-7
0,2
826,95
0,3098 X
x io-6
0,3
1246,3
0,7027
0,4
1669,7
0.1259 X
X 10-5
0,5
2097,1
0,1982
0,6
2528,6
0,2875
0,7
2964,3
0,3943
a,=pV4
Fd*
Fs
0,8
3404,1
0,5188
0,9
3848,3
0,6614
1
4296,7
0,8225
1.1
4749,5
0,1002 X
ХЮ-4
1,2
1,3
5206,815668,5
0,1202|0,1420
1,4
6134,7
0,1659
1,5
6605,5
0,1918
«i-p?i/4
Fd*
F*
1.6
7080,9
0,2197
1.7
7561,1
0,2498
1,8
8045,9
0,2819
1,9
8535.5
0,3163
2
9030
0,3529
2.1
9529,3
0,3916
2,2
10033
0,4327
2,3
10543
0,4761
a,=pV4
FV4
Fs
2.4
И 057
0,5218
2,5
11 576
0,5700
2,6
12 101
0,6205
2,7
12631
0,6735
2,8
13 166
0,7290
2,9
13 706
0,7870
3
14 252
0,8475
3,1
14 803
0,9107
a,=pV4
F3l*
F5
3,2
15 360
0,9765 X
X 10-4
3,3
15 922
0,1045 X
x 10-З
3,4
16 489
0,1116
3.5
17 063
0,1190
3.6
17642
0,1266
3,7
18 226
0,1346
3,8
18817
0,1428
3,9
19 413
0,1514
a,~p2,/4
Fzl4
F5
4
20 016
0,1602
4,1
20 624
0,1693
4,2
21 238
0,1787
4,3
21 858
0,1884
4,4
22 484
0,1985
4,5
23 117
0,2088
4,6
23 756
0,2194
4,7
24 400
0,2304
<Xi=p2i/4
Fzl4
FB
4,8
25 052
0,2417
4,9
25 709
0,253a
5
26 373
0,2654
5.1
27 044
0,2775
5,2
27 721
0,2901
5,3
28 404
0,3030
5,4
29 094
0,3163
5.5
29 791
0,3299 X
x io-3
141

Продолжение табл. 11
z=6, р2—1
Pl
0
F&l* 1 330.48
Fi
0.2772 X
X Ю-5
0.1
301.10
0,2520
0.2
277,90
0,2311
0,3
261,27
0,2137
0.4
251.21
0,1999
0,5
247.73
0,1904
0.6
250.87
0,1864
Pi
Fzl*
0,7
260,68
F$ 1 0,1900
0,8
277,23
0,2038
0,9
300,59
0.2315
1
330.88
0.2772
1.1
368,22
1.3461
1.2
412.74
0,4442
1.3
464,62
0,5784
1,4
524,03
0,7567
Pi
Fzl*
Fs
1.5
591,19
0,9882 X
X Ю-5
1.6
666.32
0,1283 X
X 10-4
1.7
749,68
0,1653
1.8
841,56
0.2110
1.9
942,26
0,2670
2
1052,1
0.3347
2,1
1171.5
0,4159
2,2
1300,8
0,5126
Pi
j?y4
Fi
2,3
1440,6
0,6269
1 2.4
1591.2
0,7611
2,5
1753,1
0,9177 X
x ю-3
2.6
1927,0
0,1099 X
X Ю-3
2,7
2,8
2113,412313,0
0,1309
0,1551
2,9
2526.4
0,1827
3
2754,5
0,2143 X
x io-3
Pi
F3l*
Fs
—0,1
367,29
0,3080 x
X 10-5
-0,2
410,36
0,3464
-0,3
460,17
0,3951
-0.4
516.80
0,4574
—0,6
650,93
0,6403
-0,5
580,35
0,5375
-0,7
728,69
0,7714
—0.8
813.79
0.9374 X
X 10—5
Pi
JF3Z4
Fa
-0,9
906,39
0,1145 X
X Ю-4
-1.1
1114,9
0,1724
-1.2
1231,3
0,2114
-1.3
1356,2
0,2586
—1.4
1489.8
0,3154
—1.5
1632,4
0,3832
—1,6
1784,4
0,4636
—1,7
1946,2
0,5583
Pi
*У4
Fa
—1.8
2118,2
0,6693
-1.9
2300,8
0, -987
—2
2494,6
0,9487 X
X Ю-4
—2,1
2700
0,1122 X
x io-3
—2,2
2917,5
0,1321
-2,3
3147,8
0,1549
—2,4
3391.6
0,1808
—2,5
3649,5
0,2104 X
x io-3
142

Продолжение табл. If
/=8, р2—0,5
Pi
F3l*
Fs
0,1
215,66
0,2496 X
x 10—7
0,2
195,10
0,2161
0,3
195,06
0,2017 X
X'10-6
0.4
215,59
0,2208
0,5
256,75
0,2995
0,6
318,63
0,4756
0,7
401,36
0,7990
Pi J
Fzl*
Fb
0,8 !
505,09
0,1332 X
X Ю-5
0,9 '
630,01
0,2150
1
776,34
0,3341
1.1
944,32
0,5007
1.2
1,3
1134,2J 1346.4
0,7264
0,1024 X
X 10-4
1.4
1581.1
0.1409 X
X Ю-4
1,5
1838,9
0,1897
Pi
Fzl*
JP5
1 ,6
2120,1
0,2507
1 ,7
2425,1
0,3258
1.8
,2754,5
1
0,4172
1,9
3108,9
0,5273
2
3488,7
0,6586
2,1
3894,7
0,8141
2,2
4327,6
0,9967 X
X Ю-4 '
2,3
4787,9
0,1210 X
x 10-З
Pi
F3l4
JFs
2,4
5276,7
0,1457
2,5
5794,5
0,1742
2,6
6342,5
0,2069
2,7
6921,4
0,2443
2,8
7532,4
0,2868
2,9
8176,4
0,3350
3
8854,7
0,3893
3,1
9568,3
0,4504
Pi
Fil*
Fb
3,2
10318
0,5189
3,3
11 107
0,5956
3,4
11 935
0,6810
3.5
12803
0,7759
3.6
13714
0.8813
3.7
14 670
0,9978 X
X 10^3
3.8
15 672
0,1126 X
X Ю-2
3,9
16721
0,1268
Pi
Fzl*
F&
4
17820
0,1424
4,1
18971
0,1595
4,2
20176
0,1782
1
4,3
21437
0,1988
4,4
22757
0,2211
4,5
24138
0,2456
4.6
25583
0,2721
4,6
27094
0,30104
J=6, p2=~0,6
Pi
F3l*
FS
0,1
101,19
0,3013 X
x 10-6
0,2
91,383
0,2647
0,3
88,085
0,24163
0,4
91 ,318
0,2385
0,5
101,11
0,2685
0,6
117,52
0,3515
0,7
140,61
0,5143
143

Продолжение табл. 11
Pi
Fa*4
Fb
0,8
170,45
0,7917
0,9
i 207,17
1
0,1225 X
X 10-5
1
250,87
0,1864
1 Л
301,70
0,2769
1.2
359,81
0,4006
1,3
425,40
0,5653
1,4
498,65
0,7800
1,5
579,81
0,1054 X
x ю-4
Pi
Fa*4
Fb
1.6
669,12
0,1400
1,7
766,85
0,1829
1.8
873,33
0.2355
1.9
988,87
0,2994
2
1113,8
0,3763
2.1
1248,6
0,4681
2,2
1393,7
0.5767
2.3
1549.6
0,7045
Pt
Fa*4
F6
2,4
1716,5
0,8540 X
X 10-4
2.5
1895,3
0,1028 X
x ю-3
2.6
2086,5
0,1229
2.7
2290,7
0,1460
2,8
2508.5
0.1726
2,9
2740,8
0,2029
3,3
2988,2
0,2374
3,1
3251,7
0,2765
p.
Fa*4
Fs
3.2
3532,1
0,3207
3,3
3830,3
0,3705
j 3,4
4147,5
0,4265
| 3,5
4484,6
0.4892
[ 3,6
4842,8
0,5593
3.7
5223.4
0,6374
3,8
5627.6
0,7244
339
6056,9
0,8209 X
x ю-3
4
6512,7
0,9278 X
x io-3
/=6, 02-0
<Xi-pty4
Fa*4
F5
0,1
130,68
0,4346 X
x io-6
0.2
263.59
0.1762 X
X Ю-5
0.3
398,75
0,4018
0,4
536,24
0,7239
0,5
676,09
0,1146 X
xio-4
| 0,6
1
818,37
0,1672
0,7
963.12
0.2305
«i=p2i/4
jy4
Fb
0.8
1110,4
0,3048
0,9
1260,2
0,3906
1
1412,7
0,4882
1.1
1567.9
0,5979
1.2
1725,8
0,7202
1.3
1886,5
0,8552
1,4
2050.1
0,1004 x
X IO"3
1.5
2216,5
0,1165
aj = pV4
F3J4
F3
1 .6
2385,9
0,1341
1 .7
2558.3
0,1531
1.8
2733,8
0,1736
1.9
2912,3
0,1956
2.0
3094,0
0,2191
2.1
3278,9
0,2442
2,2
3467,1
0,2709
2.3
3658.6
0.2992
144

Продолжение табл. If
ai=pV4
Fzl4
Fb
2,4
3853,4
0,3292
2,5
2,6
4051 ,7J4253,5
1
0,3609 0,3944
2,7
4458,7
j 0,4297
2,8
4667,6
0,4668
2,9
4880,1
0,5057
3,0
5096,3
0,5466
3,1
5316,2
0,5893
ai=pV4
Fzl*
Fb
3,2
5539,8
0,6340
\
3,3
5767,4
0,6808
3.4
5998,8
0,7295
1 3.5
6234,2
0,7803
3,6
6473,5
0,8333
1 3,7
6716,9
0,8884
3,8
6964,5 '
3,9
7216,1
0,0457 j 0,1005
a!=p?]/4
F3l4
Fb
4,0
7472,0
0,1067
4,1
7732,1
0,1131
4,2
7996,6
0,1197
4,3
8265,4
0,1266
4,4
8538.6
0,1337
4,5
8816,3
0,1410
4,5
9098,5
0,1486
4,7
9385,4
0,1565
ai = pV4
F4<
Fi
4,8
9676,8
0,1646
4,9
9972,9
0,1729
; 5,0
10273,7
0,1816
5,1
10 579
0,1905
5,2
10 889
0,1996
5,3
11 205
0,2091
5,4
11 525
0,2186 X
X Ю-2
5,5
11 850
0,2287
ai-pV4
Fsl*
Fb
5,6
12 181
0,2390
5,7
12 516
,0,2495
5,8
12 857
5,9 |
6.0 1
1
13 203 i 13554
,0,26041 0,2715
0,2829
Z—10, p2=0
a,=p2,/4
F3J4
Fb
0,1
25
0,1250 X
x 10-ю
0,2
100,03
0,2001 x
x 10^
0,3
225.15
0,1013 X
x 10—8
0,4
400,48
0,3206
0,5
826,17
0.7837
0.6
902,43
0,1627 X
x 10-7
0.7
1229,5
0,3020
a,=pV4
FzlA
Fs
0,8
1607,7
0,5161
0,9
2037,3
0,82842
1
2518,9
0,1265 X
x 10-6
1.1
3052,7
0,1858
1,2
3639,3
0,2638
1,3
4279,2
0,3645
1,4
4973,1
0,4919
1 .5
5721,5
0,6506
145

Продолжение табл. 11
«i-pV4
FzlA
Fi
1,6
6225,2
0,8454 X
х ю-6
1,7
7384,9
0,1082 X
х ю-5
1,8
8301,5
0,1365
1,9
9275,8
0,1702
2
10308
0,2100
2,1
11401
0,2565
2,2
12554
0,3105
2,3
13770
0,3729
«i-pV4
F3l*
F5
2.4
15 048
0,4446
2.5
16 390
0,52642
2,6
17 799
0,6195
2,7
19 274
0,7248
2,8
20 818
0,8436
2,9
22 432
0,9770Х
ХЮ"5
3
24 118
0.1126Х
xio-4
3.1
25 878
0,1293
Cti=pV4
F3V
JFs
3.2
27 713
0,1478
3,3
29 625
0,1684
3,4
31 616
0,1912
3,5
33 690
0,2163
3,6
35 847
0,2440
3,7
38 089
3.8
40 421
0,2744|0,3077
3,9
42 843
0,3441
a,=pV4
F3V
Fb
l 4
45 360
0,3840
1 4Л
47 972
0,4274
4,2
50 684
0,4747
4,3
53 499
0,5261
4,4
56 420
0,5819
4,5
59 448
0,6423
4,6
62 590
0,7077
4,7
65 848
0,7784 X
X 10~4
/-6, p2—0,2
Pi-l/ri
Fzl*
Fi
0,1
22,701
0,8317 X
X 10-8
0,2
42,971
0,4287 X
X Ю-8
0,3
61,702
0,5672 X
X Ю-7
0,4
91,056
0,1336\
X 1 0-6
0,5
127.06
0,2786
0.6
169.79
0,5252
0,7
219,37
0,9142
Pi=i/n
F3V
Fb
0,8
275,89
0,1494 X
X Ю-5
0,9
339,5
0,2322
1
410,36
0,3464
1,1
488,65
0,4995
1 .2
574,56
0,6999
1,3
668,32
0,9573
1.4
770,17
0,1282 X
X Ю-4
1,5
880,38
0,1687
Pi = l/n
JF3Z4
JPs
1,6
999,26
0,2185
1 .7
1127.1
0,2790
1.8
1264,3
0,3520
1,9
1411,2
0,4391
2
1568,3
0,5424
2,1
1735,9
0,6641
2,2
1914,7
0,8064
2,3
2105,0
0,9720 X
X Ю-4
146

Продолжение табл. It
Pi-I/r,
F3*4
F5
2,4
2307,5
0.1164 X
xio-з
2,5
2522,8
0,1384
2,6
2751,6
2,7
2994,5
0,1638|0,1927
2,8
3252,3
0,2256
2,9
3525,8
0,2629
3
3815,9
0,3052
3,1
4123,5
0,3527
Pi=l/ri '
Fzl*
F-,
3,2
4449,6
I 0,4062
3,3
4795,2
0,4661
3,4
5161,5
0,5331
3,5
5549,6
0,6078
3,6
5960,8
0,6909
3,7
6396,4
0,7831
3,8
6857,9
0,8853-10-3
/«6, p2=.—0,5
Pi
Fsl*
F-,
0,1
68,393
0,1408 X
X 10-6
0,2
61,865
0,1218
0,3
61,845
0,1137
0,4
68,352
0,1244
0,5
81,424
0.1689
0,6
101,11
0,2685
0,7
127.49
0,4520
Pi
Fzl4
F&
0,8
160,64
0.7552
0.9
200,68
0,1222 X
X Ю-5
1
247,73
0,1904
1.1
301,93
0.2863
1,2
363,45
0,4167
1 .3
432,47
0,5897
1.4
509,21
0,8144
1.5
593,90
0,1101 x
x ю-4
Pi
Fzl<
Fb
1.6
686,79
0,1461
1.7
788,17
0,1906
1.8
898.34
0,2452
1.9
1017,6
0,3114
2,0
1146.5
0,3909
2.1
1285,2
0,4856
2,2
1434,3
0,5976
2,3
1594.2
0,7293
Pi
F3l*
F*
2.4
1765.5
0.8830
2.5
1948,5
0,1062 X
x io-3
2,6
2144,2
0,1268
2,7
2353
0,1506
2,8
2575,6
0,1778
2,9
2812,7
0,2088
3,0
3065,1
0,2441
3,1
3333.8
0.2842
Pi
F3Z4
Ft
3,2
3619,5
0.3294
3,3
3923,3
0,3803
3.4
4246,2
0.4374
3.5
4589,2
0,5014
3,6
4953,7
0,5729J
3,7
5340,7
0,6526 1
3,6
5751,6
0,7412 1
3,9
6187,8
0.8395 X
хю-з
147

Продолжение табл. 11
1=7, р2=0
OI-PV4
F9l*
Fb
0,1
241.57
0,1717 X
х ю-6
0,2
486.16
0.6938
0,3
733,76
0,1576 X
X Ю~5
0,4
984,48
0,2831
0,5
1238.3
0.4466
0,6
1495,4
0,69
0.7
1755.7
0.8924
tt! = PV4
JV*
Л
0.8
2019,3
0. И 76 X
х ю-4
0.9
2286.3
0.1503
1
2556,7
0,1873
Ы
2830,6
0,2287
Ь2
3108,0
0,2747
1.3
3389,0
0,3254
1,4
3673.5
0,3808
1.5
3961,8
0,4411
Ci-pV4
FslA
F&
1.6
4253.7
0,5062
1.7
4549.5
0.5765
1.8
4849.1
0,6519
1.9
5152.6
0,7327
2
5460,0
0.8187
2,1
5771,4
0,9103X
xio-4
2,2
6086,8
0,Ю07Х
ХЮ"3
2.3
6406.4
0.1110
«ai=p2i/4
Fzl*
-Fs
2,4
6730,1
0,1219
2,5
7057,9
0,1333
2,6
7390,1
0.1454
2,7
7726,5
0,1581
2,8
8067,3
0,1713
2,9
8412,5
0,1852
3
8762,2
0,1-998
3.1
9116.4
0,2150
<Xi=pV4
F3l*
Fs
3,2
9475,2
0,2309
3,3
9838,6
0,2474
3,4
10206
0,2647
3,5
10579
0,2826
3.6
10957
0,3012
3.7
11339
0.3206
3,8
11726
0.3406
3.9
12118
0,3614
ai=p2,/4
FzP
Fb
4
12 516
0,3830
4,1
12918
0,4053
4,2
13 325
0,4284
4,3
13 738
0,4522
4,4
14 155
0,4769
4,5
14578
0,5023
4.6
15 006
0.5285
4.7
15440
0.5556 X
x io—3
€ft=p2i/4
FZV
Fb
4,8
15 879
0,5835
4,9
16 323
0,6122
5
16773
0,6418
5,1
17 229
0,67226
5,2
17 690
0.7036
5,3
18 157
0,7358
5,4
5,5
18 629 1 19108
0,7688
0,8028 X
x io-3
148

Окончание табл. И
z=io, р2=—0,5
pi-1'П
Fzl4
Fb
0.1
525.97
0.653X
X 10-8
0.2
475.84
0,56549
0,3
475,79
0.4
525,86
0,5278|o,57789
0,5
626,17
0.78369
0,6
776,86
0,1244 X
x ю-7
0,7
978.12
0,2088
0.8
1230.2
0.37774
Pi=»l/n
F3l*
JPs
0,9
1533.4
0,56055
1
1888
0,86987
Ы
2294,4
0.I302X
xio—6
1.2
2753.0
0,18856
1.3
3264,4
0.26546
1,4
3829.1
0,36456
1.5
4447,6
0,49X
x io—6
1.6
5120,6
0,6460
Pi-l/ri
F3l*
Fb
1,7
5848,8
0,83766
1,8
6632,9
0,107 X
xio-5
1,9
7473,8
0,13494
2
8372,2
0,16820
2,1
9329.2
0,20732
2.1
10345
0,25317
2.3
11 422
0,30647
2.4
12561
0,36806
Pi—l/ri
F3Z4
F5
2.5
13 763
0,43882
2,6
15 029
0,51969
2.7 1 2,8
16 360
0,6117
17 759
0,671591
2.9
19 225
0.83347
3
20 762
0,96510
3,1
22 370
0.111 X
x 10-4
3,2
24 052
0,12788
Pi=l/ri
FiV
F5
3.3
25 809
0,14627
3,4
27 643
0,16668
3,5
29 557
0,18927
3,6
31 551
0,21422
3,7
33 629
0,2417
3.8
35 793
0,27192
a.9
38 046
0,30506
4
40 389
0.341X
x 10-4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ананьев Ю. А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного
излучения. — М.: Наука, 1979. — 328 с.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ./Под
ред. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
3. Бойд Дж., Гордон Дж. Конфокальный резонатор со многими типами
колебаний для квантовых генераторов миллиметрового и оптического
диапазонов. — В кн.: Лазеры.: Пер. с англ./Под ред. М. Е. Жаботинского и Г. А.
Шмаонова. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963, с. 363—383.
4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.: Пер. с англ./Под ред. Г. П. Мотуле-
вич. — М.: Наука, 1970. — 856 с.
5. Бугров Я. С, Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. — М.: Наука, 1(980. — 176 с.
1149

6. Быков В. П. Построение волнового поля по лучевой картине. — ЖТФ, 1970,
т. 40, вып. 10, с. 2036—2042.
7. Быков В. П. Построение волнового поля по известной лучевой картине,
обладающей каустикой с двумя ветвями. — Изв. вузов СССР, Радиофизика*
1971» т. И, № 6, с. 880—885.
8. Быков В. П., Вайнштейн Л. А. Геометрическая оптика открытых
резонаторов. — ЖЭТФ, 1964, т. 47, вып. 8, с. 508—517.
9. Власов С. Н., Таланов В. И. О связи лучевого и волнового описаний
электромагнитных пучков в квазиоптических системах. — Изв. вузов СССР,
Радиофизика, 1965, т. 8, № 1, с. 195—203.
10. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М: Наука, 1967. —
370 с.
11. Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света. — Минск: Наука и техника*
1977. — 144 с.
12. Дешан Ж., Мает П. Резонаторы и лучеводы. — В кн.: Квазиоптика: пер.
с англ./Под ред. Р. Б. Ваганова. — М.: Мир, 1,966, с. 189—209.
13. Джерард А., Берч Дж. М. Введение в матричную оптику: Пер. с англ./Под
реД. В. В. Коробкина. — Мир, Ю78. — 340 с.
14. Дианов Е. М. Волоконно-оптическая связь. Состояние и перспективы
развития. — Изв. АН СССР. Сер. физ., 1980, т. 44, № 8, с. 1764—1(769.
16. Ищенко Е. Ф. Открытые оптические резонаторы. — М.: Сов. радио, 1980. —
206 с.
16. Качмарек Ф. Введение в физику лазеров: Пер. с польск./Под ред. М. Ф.
Бухенского. — Мир, 1981. — 544 с.
17. Климков Ю. М. Расчет оптико-электронных приборов с лазерами. — М.:
Сов. радио, 1979. — 260 с.
18. Кравцов Ю. А. Об одной модификации метода геометрической оптики. —
Изв. вузов СССР. Радиофизика, 1*964, т. 7, № 4, с. 664—673.
19. Кравцов Ю. А. Модификация метода геометрической оптики для волны,
просачивающейся через каустику. — Изв. вузов СССР. Радиофизика; 1965,,
т. 8, № 4, с. 659^-667.
20. Кузнецов А. А., Цибуля А. Б. Расчет параметров лазерного пучка;
прошедшего через фокусирующий стержень. — Квантовая электроника, 1983, т. 10,
№ 2, с. 430—4312.
21. Люстерник Л. А., Червоненкис О. А., Ямпольский А. Р. Математический
анализ. Вычисление элементарных функций. — М.: Физматгиз, 1963. — 240 с.
22. Маркузе Д. Оптические волноводы: Пер. с англ./Под ред. В. В.
Шевченко. — М.: Мир, 11974. — 574 с.
23. Пахомов И. И. Геометрооптические преобразования гауссовых пучков. —
Изв. вузов СССР. Приборостроение, Ш81, т. 24, № 3, с. 76—811.
24. Пахомов И. И. Оптические системы изменения расходимости гауссовых
пучков. — Изв. вузов СССР. Аэрофотосъемка, геодезия и картография, 1982,
№ 5, с. 107-4113.
25. Пахомов И. И. Панкратические системы. — М.: Машиностроение, Ю76.—
160 с.
26. Пахомов И. И., Алехнович В. И., Костин Д. И. Преобразование лазерного
пучка тонкой линзой. — Труды МВТУ. — М.: МВТУ, 198Г, № 368, с. 69—
76.
27. Пахомов И. И., Рожков О. В., Рождествин В. Н. Оптико-электронные
квантовые приборы. — М.: Радио и связь, 1982. — 450 с.
28. Слюсарев Г. Г. О возможном и невозможном в оптике. — М.: Физматгиз,
1960. — 192 с.
29. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. — М.: Машиностроение,
1969. — 672 с
30. Смолянский М. Л. Таблицы неопределенных интегралов. —- М.: Наука,
1965. — 1К1 с.
31. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
.математическими таблицами/Под ред. М. Абрамовица и Стиган: Пер. с англ./Под
ред. В. А. Диткина и Л. Н. Кармазиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
32. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука,
1979. — 415 с.
150

33. Теория оптических систем/Б. И. Бегунов, Н. П. Заказнов, С. И. Кирюшин,
В. И. Кузичев. — М.: Машиностроение, 1981. — 348 с.
34. Тудоровский А. И. Теория оптических систем. —- 2-е изд. — М. — Л.: Изд.
АН СССР, т. 1, 1948,-661, т. 2, 1952 — 567 с.
35. Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия,
1983. — 928 с.
36. Филимонов В. П., Цибуля А. Б., Чертов В. Г. Расчет согласующих
элементов на основе самофокусирующего волокна. — Оптико-механическая
промышленность, 1979, № 4, с. 26—27.
37. Фокс А., Ли Т. Резонансные типы колебаний в интерферометре квантового
генератора. — В кн.: Лазеры: Пер. с англ./Под ред. М. Е. Жаботинского и
Г. А. Шмаонова. — М.: Изд-во иностр. лит. Ш63, с. 325—362.
38. Цибуля А. Б. Геометрооптические параметры термогазового световода. —
В кн.: Исследования термогидродинамических световодов./Под ред. А. В.
Лыкова. — Минск: ИТМО АН БССР, 1970, с. 99—111.
39. Цибуля А. Б. Лучевая модель расчета лазерных пучков. — В кн.: Аэротер*
мооптика и лучеводы/Под ред. А. В. Лыкова. — Минск.: ИТМО АН БООР,
1970, с. 77—89.
40. Цибуля А. Б. Некоторые оптические свойства согласующих фоконов. —
Оптика и спектроскопия, 1978, т. 44, вып. 4, с. 784—789.
41. Цибуля А. Б. Связь искажений лазерного пучка с аберрациями
оптической системы. — Оптико-механическая промышленность, 1983, № 1, с. 19—
22.
42. Цибуля А. Б., Чертов В. Г. Расчет оптической схемы атмосферной лазерной
линии связи. — Оптико-механическая промышленность, Ш76, № 1, с. 5—7.
43. Цибуля А. Б., Чертов В. Г. Фокусировка лазера одномодового излучения.—
Оптико-механическая промышленность, 1976, № 5, с. 22—26.
44. Цибуля А. Б., Чертов Б. Г. Расчет линз, формирующих лазерное
излучение. — Оптико-механическая промышленность, 1977, № 3, с. 17—19<
45. Цибуля А. Б., Чертов В. Г. Геометрооптический расчет искажений лазерного
пучка при преломлении на сферических поверхностях. —
Оптико-механическая промышленность, 1979, № 11, с. 19—21.
46. Цибуля А. Б., Чертов В. Г., Шерешев А. Б. Пространственная структура
лазерных пучков и геометрическая оптика. — Оптико-механическая
промышленность, Ю77, № 10, с. 66—72.
47. Dably F. W., Boyko В. W., Shank S. V., Whinnery I. R. Short-Time Constant
Thermal Self-Defocusing of Laser Beams. —IEEE J., 1969, v. QE-5, N 10,
p. 516—520.
48. Kahn W. K. Geometric Optical Derivation of Formula for the Variation of the
Spot Size in a Spherical Mirror Resonator. — Appl. Optics, 1965, v. 4, № 6,
p. 758-759.
49. Kogelnik H. Matching of Optical Modes. —Bell Syst. Techn. J., 1964, v. 43,
№ 1, p. 334—351.
50. Kogelnik H. Imagimg of Optical Modes-Resonators With the Internal Lenses. —
Bell Syst. Techn. J., 1965, v. 44, № 3, p. 455—494.
51. Marcuse D. Loss Analysis of Single-Mode Fiber Splices. — Bell Syst. Tech. J.,
1977, v. 56, № 5, p. 703—718.
52. Tanaka M., Takenaka Т., Fukumitsu O. Gaussian Approximation of the
Emission from Semiconductor laser. — Radiosci., 1982, v. 17, № 1, p. 155—161.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава первая. Методы расчета пространственной структуры
лазерных пучков в параксиальном приближении 5
1.1. Волновые методы . 5
1.2. Метод сопряженных плоскостей 8
1.3. Лучевой пакет . 13
1.4. Метод двух лучей » 19
1.5. Матричный метод . . * 26
Глава вторая. Параксиальный расчет основных типов оптических
систем 34
2.1. Передача лазерных пучков в свободном пространстве ... 34
2.2. Оптические системы непрерывного изменения расходимости
пучков 39
2.3. Передача лазерных пучков фокусирующими световодами ... 46
2.4. Расчет согласующей оптики 50
2.5. Формирование излучения градиентными фокусирующими
элементами 54
2.6. Фокусировка лазерных пучков 59
2.7. Прохождение наклонного лазерного пучка через оптическую
систему , 62
2.8. Согласование лазеров с волоконными световодами .... 65
Глава третья. Геометрооптический расчет аберрационных искажений
лазерных пучков 75
3.1. О правомерности метода лучевых пакетов для аберрационного
расчета 75
3.2. Аберрации и фазовый объем лазерных пучков 78
3.3. Расчет аберрационных искажений лучевого пакета .... 81
3.4. Связь искажений лучевых пакетов с суммами Зейделя ... 86
3.5. Формирование лазерных пучков фоконами 89
Глава четвертая. Расчет искажений лазерных пучков методом
скалярной теории дифракции . * 95
4.1. Об аберрационном расчете оптических систем преобразования
лазерного излучения 95
4.2. Расчет искажений лазерного пучка методом скалярной теории
дифракции 97
4.3. Расчет оптической системы, обеспечивающей заданные
допустимые искажения пучка 117
4.4. Преобразование оптической системой излучения,
сформированного плоским резонатором 133
Заключение , » « 135
Приложение 1. Рекуррентные формулы для расчета интегралов hn 137
Приложение 2. Таблицы значений функций /4F3 и F$ 139
Список литературы . , 149

МАГАЗИНЫ-
ОПОРНЫЕ ПУНКТЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА
111024 Москва, Шоссе энтузиастов,
24/43, магазин IM" 15
197198 Ленинград ПС, Большой пр.,
34, магазин № 55
226000 Рига, бульвар Падомью,
17. магазин "Гайсма"
630000 Новосибирск, Красный пр.,
60, магазин № 7
443000 Куйбышев, ул. Красноармейская,
62, магазин № 16
7000070 Ташкент, ул. Шота Руставели,
43, магазин № 21
390000 Рязань, ул. Циолковского,
1, магазин № 7
173016 Новгород, Ленинградская ул.,
13, магазин № 2 "Прометей"
634032 Томск, ул. Нахимова,
15/1, магазин № 15
603000 Горький, пр. Гагарина,
110, магазин № 9
«РАДИО И СВЯЗЬ»