Author: Рунд Х.
Tags: математика теория относительности классическая финслеровая геометрии римановая геометрия
Year: 1981
Text
ХРунд
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
М.: Наука, 1981.— 504 с.
Книга представляет собой систематическое изложение классической
финслеровой геометрии. Финслерова геометрия является непосредственным
обобщением римановой геометрии. Она находит широкое применение в теории
относительное! и
Для лиц, интересующихся конкретными вопросами финслеровой геометрии и
ее приложениями в физике.
Доступна студентам физических и математических специальностей
университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода и переводчика 7
Предисловие автора к русскому изданию 9
Предисловие 11
Указания читателю 14
Введение 15
Глава I. Вариационное исчисление. Пространства Минковского 19
§ 1. Задачи вариационного исчисления в параметрической форме 20
§ 2. Касательное пространство. Индикатриса 28
§ 3. Метрический тензор и соприкасающаяся индикатриса 34
§ 4. Дуальное касательное пространство. Фигуратриса 38
§ 5. Функция Гамильтона 42
§ 6. Тригонометрические функции и ортогональность 47
§ 7. Определение угла 52
§ 8. Площадь и объем 59
Глава II. Геодезические: ковариантное дифференцирование 67
§ 1. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют 67
геодезические
§ 2. Явное выражение для вторых производных в дифференциальных 74
уравнениях геодезических
§ 3. Дифференциал вектора 76
§ 4. Частное дифференцирование векторов 81
§ 5. Элементарные свойства 8-дифференцирования 84
Глава III. «Евклидова связность» Э. Картана 90
§ 1. Фундаментальные постулаты Картана 90
§ 2. Свойства ковариантной производной 97
§ 3. Общая геометрия путей: связность Бервальда 103
§ 4. Связности, возникающие из общей геометрии путей 109
§ 5. Соприкасающееся риманово пространство 112
§ 6. Нормальные координаты 116
Глава IV. Теория кривизны 124
§ 1. Коммутационные формулы 124
1. Коммутационные формулы, получающиеся из 8-
дифференцирования A25). 2. Три тензора кривизны Картана A30). 3.
Альтернативный вывод тензоров кривизны с помощью внешних
форм A32).
§ 2. Тождества, которым удовлетворяют тензоры кривизны 136
§ 3. Тождества Бианки 141
§ 4. Девиации геодезических 144
§ 5. Первая и вторая вариации интеграла длины 153
§ 6. Тензоры кривизны, возникающие из связности Бервальда 159
§ 7. Пространства постоянной кривизны 165
§ 8. Проективные тензоры кривизны Г/5
1. Обобщенный тензор Вейля A76). 2. Проективная связность A81).
3. Проективно плоские пространства; пространства с
прямолинейными геодезическими A83).
Глава V. Подпространства финслеровых пространств 190
§ 1. Теория кривых 190
§ 2. Проекционные множители 195
§ 3. Коэффициенты индуцированной связности 200
§ 4. Фундаментальные аспекты теории подпространств, основанной на 205
евклидовой связности
1. Нормальная кривизна и ассоциированные тензоры B05). 2. D-
символизм B08). 3. Обобщенные уравнения Гаусса, Кодацци и Кюне
B12).
§ 5. Производная Ли и ее применение в теории подпространств 215
§ 6. Поверхности, вложенные в F3 lib
§ 7. Фундаментальные аспекты теории подпространств с точки зрения 234
метрики Минковского
1. Нормальная кривизна B35). 2. Две вторые фундаментальные
формы B39). 3. Главные направления B43). 4. Уравнения Гаусса и
Кодацци B48). 5. Подпространства произвольной размерности B51).
§ 8. Дифференциальная геометрия индикатрисы и геометрическое 253
значение тензора S^
§ 9. Сравнение индуцированных и внутренних коэффициентов связности 260
Глава VI. Дополнительные вопросы 265
§ 1. Группы движений 265
§ 2. Конформная геометрия 274
§ 3. Проблема эквивалентности 281
§ 4. Теория нелинейных связностей 288
§ 5. Теория локального вложения 295
§ 6. Двумерные финслеровы пространства 306
1. Формальные аспекты C07). 2. Некоторые проективные
преобразования, применимые к F2. Пространства с прямолинейными
геодезическими C12). 3. Двумерные финслеровы пространства, у
которых главный скаляр является функцией только положения.
Пространства Ландсберга C16).
§ 7. Теорема о дивергенции и двумерная теорема Гаусса — Бонне для 318
финслеровых метрик
1. Одно тождество на гиперповерхностях C18). 2. Теорема о
дивергенции. Частные случаи C20) 3. Скаляр кривизны как
дивергенция C25). 4. Аналог теоремы Гаусса — Бонне для
двумерных финслеровых метрик C28).
Глава VII. Теория Гамильтона — Якоби для однородных лагранжианов 334
§ 1. Канонический формализм 334
§ 2. Интегральные инварианты 338
§ 3. Уравнение Гамильтона — Якоби 343
§ 4. Механика релятивистской частицы 346
§ 5. Заключительные замечания 351
Глава VIII. Связность, зависящая от направлений, и формы кривизны 353
§ 1. Введение 353
§ 2. Структурные уравнения первого рода 355
§ 3. Производные по направлениям от/?-форм 358
§ 4. Структурные уравнения второго рода и тождества Бианки 361
§ 5. Разложение форм связности и кривизны 363
§ 6. Случай нулевой кривизны 366
§ 7. Метрический случай 369
Глава IX. Подпространства многообразий с зависящими от направлений 377
связностями
§ 1. Неметрическая теория 378
§ 2. Метрическая теория 383
§ 3. Свойства выделенной единичной нормали 389
§ 4. Гиперповерхности 392
Приложение. Библиографические указания 394
Добавление I. О специальных финслеровых пространствах (Г. С. Асанов) 398
§ 1. Различные типы специальных финслеровых пространств 398
§ 2. БЗ-подобные финслеровы пространства 405
1. Примеры метрических функций S3-подобных финслеровых
пространств D05). 2. Уравнения Окубо D09). 3. Свойства S3-
подобногс финслерова пространства с метрической функцией
Бервальда — Моора D12).
§ 3. 1 -формовые финслеровы пространства 418
1. Введение D18). 2. Явный вид коэффициентов связности D19). 3.
Выделенное соприкасающееся риманово пространство D22). 4.
Некоторые следствия условия С,- = 0 для 1 -формовых финслеровых
пространств D23).
§ 4. С-сводимые финслеровы пространства 426
1. Основные результаты теории пространств Рандерса и Кропиной
D26). 2. О калибровочно инвариантной структуре проективных
тензоров пространства Рандерса D31). 3. О приложении теории
пространства Рандерса в теории электромагнитного поля D35).
Добавление П. О финслеровом обобщении теории относительности (Г. С. 439
Асанов)
§ 1. Основные принципы развития финслерова обобщения теории 439
относительности
§ 2. Финслерова кинематика 446
§ 3. Финслеров кинематический дуализм 452
§ 4. Финслерова геометризация изотопической инвариантности 458
§ 5. Дополнительные замечания 462
§ 6. Плотность лагранжиана гравитационного поля при финслеровом 465
подходе
§ 7. Ковариантный и интегрируемый закон сохранения энергии-импульса 469
гравитационного поля
§ 8. Связь между уравнениями поля и финслеровыми геодезическими 470
Библиография
Предметный указатель
Обозначения
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный параллелизм 421 Геодезические 72
472
498
502
Автопараллельные кривые 81, 203,
374
Аксиома монодромии 32
Асимптотические направления в
подпространстве 233, 247
Бесконечно малое движение 266
Бисектор 175
Вариация интеграла длины вторая
155
первая 153
— нормальная 149
Вложение пространства Fn в
пространство другого типа
295—306
Вполне геодезические
подпространства 234, 247
Вторая фундаментальная форма
(подпространства) 222, 229,
232, 241, 385
дополнительная 241, 252
Выпуклость 25, 31
— строгая 25
Геометрия путей 103
ограниченная 105
Главная кривизна кривой 191, 194
— нормаль кривой 191
Главные направления на
гиперповерхности 243
Главный скаляр 227, 307, 317
Гомологические преобразования 274
Гомотетия 274
Группа голономии 274
— движений 265—274
— масштабных преобразований
общая 417
специальная 417
Двойственность 42
Девиации геодезических 144—153
Дельта-дифференцирование 79
— частное 83
Деформация пространства 219, 248
Евклидова связность 90
Изотропная точка 166
Индикатриса 32
—, дифференциальная геометрия
253—260
— Дюпена 243
соприкасающаяся 229
— плоская 407
— постоянной кривизны 258
— соприкасающаяся 36
Индуцированная ковариантная
производная на Fm 200
— метрика на Fm 196
— связность на Fm 201
Интегральная геометрия 395
Интегральные инварианты 73, 339—
343
Калибровочные преобразования 350,
431—435
Канонические уравнения 72, 338
Канонический импульс 72, 335
, векторное поле 339
Класс особенности (индикатрисы)
260
Клебша потенциалы 352
Ковариантное дифференцирование
79, 92, 107
Ковариантный вектор 38
Комплексные финслеровы
пространства 397
Контактное преобразование 296
— тензорное исчисление 296
Контравариантный вектор 29
Конформная метрика 274
Конформное соответствие 275
Конформные коэффициенты
(параметры) связности 279
Конформный фундаментальный
тензор 278
Конциркулярное векторное поле 430
Косинус в пространстве
Минковского 49
Коэффициенты связности: см. в
списке обозначений G'kh, Г^к,
Кривизна геодезических 192
— главная кривых 191, 194
— кривых 191, 195
— риманова 150, 166
Кручение 134
— геодезическое 232
Лемма Риччи 86, 100, 387
Метод дополнительной координаты
403
Метрика в Тп 31,34
К 41
Х„23,31
— индуцированная 383 Метрическая
функция 31
Бервальда — Моора 406, 412—
416,446
Кропиной 402, 426-^31
Рандерса 402, 426-^31
, специальные типы 394, 395,
398
1 -формовая 418
Метрический тензор 34
с детерминантом, зависящим
только от хт (с G;=0) 66, 99,
414, 423
сигнатурой (+ ...) 414
Минимальные гиперповерхности
103, 234
Многообразие основное 29
— составное 288, 294
Направление нулевое 338
Неголономные подпространства 296,
297
— пространства 395
Неголономный репер 297
Независимый интеграл Гильберта 73
Нелинейные связности ПО, 288—295
Нериманова геометрия 104
Норма Минковского 60
Нормаль гиперплоскости в Тп 50
— главная к кривой 191
— подпространства 198, 226, 235,
251,319,385,386,389—391
Нормальная вариация 149
— кривизна (подпространства) 265
— 208
в точке 237
вторичная 238
, поверхность относительно
линейного элемента 228
Нормальность 47
Нормальные координаты 116
— — относительно линейного
элемента 122
опорного элемента 119
— тензоры 119, 122
Нормальный конус
(гиперповерхности) 235
Объем 59—66
Омбилическая точка 255
Опорная плоскость 40
— функция 40
Опорный элемент 92
Ортогональность 47
Параллелизм (в касательном
пространстве) 30
Параллельный перенос 92
8-типа 79
Площадь 59—66
Подпространства многообразий с
зависящими от направлений
связностями 377—393
Полная фигура 346
Применение финслеровой геометрии
в теоретической физике 396,
398, 439^71
Проблема Лагранжа 395
Проективные коэффициенты,
связности 182
— преобразования 176
Проективный параметр 183, 433
Проекционные множители
(подпространства) 195—199
Производная Ли 215—225
Пространство ассоциированное
евклидово 61
— аффинно связанное 108, 109
двумерное 312
— Бервальда 109, 428
— вполне симметричное 175
— двумерное 306
— изотропное 167, 187
— Кавагути 396
— Картана 396
— касательное 29
дуальное 39
Пространство касательное риманово
115
— Ландсберга 109, 317, 428
— Минковского 32
— неголономное 395
— обобщенное вариационное 395
— постоянной кривизны 165—175
— проективно плоское 183
— риманово 23
— скалярной кривизны 130
— соприкасающееся риманово 112—
116
— специальное финслерово 398—405
с метрикой Бервальда —
Моора 406, 412—417, 446
Кропиной 402, 426—
431
Рандерса 402, 426—
431
(а, Р)-метрикой 403
— с прямолинейными
геодезическими 183
— Финслера 23
бесконечномерное 396
С-сводимое 400, 426-^38
СЗ-подобное 404
Р-сводимое 404
Р2-подобное 404
53-подобное 405^17
1-формовое 418
Расширение тензоров 119
Родригеса формула обобщенная 246,
253
РПГ-пространство 429
РОТ-пространство 429
Связность метрическая 369, 388
— нелинейная 110, 288—295
— полуметрическая 291
— полуточечная 305
— проективная 181—183
— эксцентральная 289, 290
Символы Кристоффеля 74
Симметрия индикатрисы 32
Синус в пространстве Минковсхого
51,63
Скобки Лангранжа 342
Сопряженные направления
(подпространства) 223
— точки 158
Стационарное векторное поле 366
Структурные уравнения второго рода
362
первого рода 357
Тензор девиаций проективный 179
— инвариантный относительно
проективного преобразования
179
— кривизны 126
относительный 126
— проективный 175—189, 431—435
нормальной кривизны 207
второй 210
— обобщенный Вейля 176—181, 184
— эйлеровой кривизны 207
Теорема Гаусса — Бонне 328—333
— Дайке 66, 99, 414, 423
— заключительная о С-сводимости
402
— замещения 122
— о дивергенции 323
— обобщенная Бельтрами и
Эннепера 233
Мюснера 228, 238, 253, 386
Шура 167
Теория Гамильтона — Якоби 334
— кривизны пространства Fn 124—
189
Тождества Бианки 142, 143, 163, 356,
363, 380
для двумерных пространств 311
Трансверсальность 48
Трансляция 269, 429
Угловая метрика 259
Угол 52—59
Уравнение Якоби 150, 151, 158
Уравнения Гамильтона — Якоби 71,
343—346
для заряженной частицы 350
— Гаусса — Кодацци 214, 215, 250,
251, 387, 393
— Кюне215
— Окубо 409
— Эйлера — Лагранжа 72
, вейерштрассова форма для
и = 2 195
Условие Лежандра 24
—Л 21
—^22
— 5 23
— С24
— Q = 0 66, 99, 414, 423
Фигуратриса 43
Финслерова кинематика 446—452
Финслерово обобщение теории
относительности 439—446
Фокальная точка 73
Формулы Бертранда и Пу секса 151
— коммутационные для
ковариантного
дифференцирования 125—130,
161
Функция Вейерштрасса 50
— Гамильтона 42—47, 336
заряженной частицы 349
Эквивалентность (локальная)
финслеровых пространств
281—287
Эквивалентные проблемы в
вариационном исчислении 23 Г-условие 401
Экстремальные кривые (экстремали) 1-форма связности 355
338 , разложение 365
.D-символизм 208—212 2-форма кривизны 356
Х-группа 441 , разложение 365
Г-тензор 401 — кручения 3 57, 3 80
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
И ПЕРЕВОДЧИКА
Вниманию читателя предлагается перевод книги известного
специалиста в области финслеровой геометрии, профессора
Аризонского университета Ханно Рунда. Книга X. Рунда пред-
представляет собой систематическое изложение методов финслеро-
финслеровой геометрии и примыкающих к ней вопросов.
Общая теория пространств Финслера, которая является есте-
естественным обобщением теории римановых пространств, достигла
полного и глубокого развития к концу 50-х годов. В ее разра-
разработку внесли вклад ученые многих стран. Книга профессора
Рунда, вышедшая в 1959 г. на английском языке, как бы во-
вобрала в себя все достигнутые за предшествующие годы резуль-
результаты. Именно в этом мы видим причину того, что за 20 лет,
прошедших со дня ее выхода, она практически не устарела. Это
обстоятельство очень сильно упростило роль переводчика и ре-
редактора перевода, поскольку английский текст нигде не потре-
потребовал переработки при переводе. Написанная на высоком науч-
научном уровне, характерном для всех работ профессора Рунда,
книга будет полезна всем, кто интересуется дифференциальной
геометрией. Она окажется незаменимой для тех, кто увлечется
приложениями финслеровой геометрии.
Вместе с тем прошедшие годы многое добавили к материалу
первоначального издания книги. Поэтому, подготавливая рус-
русское издание, мы внесли соответствующие дополнения и мы
благодарны Главной редакции физико-математической литера-
литературы издательства «Наука» за предоставление такой возмож-
возможности.
Специально для русского издания профессором Рундом по
нашей просьбе были написаны три новые главы (главы VII,
VIII и IX) и § 7 «Аналог теоремы Гаусса — Бонне для двумер-
двумерных финслеровых метрик» к главе VI.
Глава VII посвящена изложению теории Гамильтона —
Якоби для однородных лагранжианов, разработанной профес-
профессором Рундом. Важность включения этой главы обусловлена
тем, что финслерова метрическая функция является однород-
однородным лагранжианом для финслеровых геодезических.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА И ПЕРЕВОДЧИКА
На содержании глав VIII и IX сказалось характерное для
научного творчества профессора Рунда стремление к обобще-
обобщению методов и идей финслеровой геометрии с целью построе-
построения все более фундаментальных теорий. Собственно финслерова
геометрия в значительной степени опирается на предпо-
предположение однородности соответствующей степени основных гео-
геометрических объектов по касательным векторам. Тем не менее
оказывается, что можно очень далеко развить теорию завися-
зависящих от направлений связностей (глава VIII) и, далее, теорию
подпространств (глава IX), не делая никаких предположений
об однородности.
Кроме того, профессор Рунд по просьбе переводчика внес
в текст несколько небольших замечаний и добавил ряд новых
ссылок в приложение, идущее теперь после главы IX. Он так-
также любезно согласился написать предисловие к русскому пе-
переводу книги.
Наконец, с целью ознакомления читателя с результатами
новейших исследований по специальным финслеровым про-
пространствам и их приложениям в общей теории относительности
Г. С. Асановым написаны два добавления.
Г. С. Асанов, Э. Г. Позняк
Апрель 1979 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Когда коллега из Московского государственного универси-
университета Г. С. Асанов сообщил мне о том, что он переводит на рус-
русский язык мою книгу «Дифференциальная геометрия финсле-
ровых пространств», я, естественно, был очень обрадован. Вме-
Вместе с тем я вначале испытывал определенное беспокойство, в
значительной степени потому, что сознавал, что книга, впервые
опубликованная два десятилетия назад, посвящена теме, ко-
которая не оставалась без внимания в последние годы, период
интенсивного развития дифференциальной геометрии. Кроме
того, мои собственные математические интересы разделились,
и я не был уверен, что смог бы в достаточной степени полно
охватить обширную новейшую литературу по финслеровой гео-
геометрии и ее приложениям. Однако мои сомнения рассеялись
после того, как Асанов ознакомил меня с планом издания моей
книги на русском языке, который предусматривал включение
трех новых глав и двух добавлений, содержащих современный
материал.
Что касается первоначального текста книги, то я использо-
использовал представившуюся мне возможность для устранения не-
нескольких небольших опечаток и для внесения ряда дополнений,
обеспечивающих связь с новым материалом, содержащимся в
добавлениях I—II. Эти дополнения сделаны мною по предло-
предложению Г. С. Асанова. Со своей стороны хочу подчеркнуть, что
из нашей продолжительной переписки с Асановым я узнал
много нового о финслеровой геометрии. Глава VI «Дополни-
«Дополнительные вопросы» расширена добавлением § 7, который излагает
мою новую работу, посвященную теореме о дивергенции и ее
приложению к выводу теоремы типа Гаусса — Бонне для дву-
двумерных метрик. В остальном первоначальный текст полностью
сохранен.
Несколько лет назад я практически отказался от своей идеи
о том, что методы финслеровой геометрии будут играть суще-
существенную роль в теоретической физике. После ознакомления
с работами Асанова в этой области эта идея возродилась.
Несмотря на мое увлечение в настоящее время калибровоч-
калибровочными теориями физических полей, я по предложению Асанова
Ю ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
написал три новые главы (VII, VIII и IX), которые, на мой
взгляд, весьма удачно вписаны в перевод первоначального
текста книги.
Г. С. Асановым были написаны два добавления «О специ-
специальных финслеровых пространствах» и «О финслеровом обоб-
обобщении теории относительности». Первое из них содержит
ценную информацию о специальных финслеровых метриках.
Многие из приведенных здесь результатов принадлежат про-
профессору И. Мацумото, университет Киото, и его сотрудникам.
Совершенно ясно, что такие метрики важны в теории относи-
относительности, основанной на финслеровой геометрии. Эти и другие
возможности изучаются в добавлении II, содержащем большой
материал, в основу которого положены публикации Г. С. Аса-
нова. Я горячо желаю, чтобы опубликование перевода моей
книги помогло донести результаты исследований по финсле-
финслеровой геометрии и ее приложениям широкой аудитории и уско-
ускорило тем самым прогресс в развитии этого интересного направ-
направления.
В заключение мне приятно поблагодарить Г. С. Асанова за
проявленную им инициативу и за возможность исключительно
приятного сотрудничества с ним на протяжении прошедшего
года.
7 марта 1979 г.
Ханко Рунд
Факультет математики, Аризонский университет, Туксон, Аризона, США
Факультет прикладной математики, Университет Ватерлоу,
Ватерлоу, Онтарио, Канада
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании настоящей монографии автор преследовал
двоякую цель. Во-первых, попытаться дать по возможности
полное и ясное изложение теории пространств Финслера на
основе методов классической дифференциальной геометрии.
Во-вторых, мы старались добиться, чтобы монография могла
служить также введением в раздел дифференциальной геоме-
геометрии, тесно связанный с различными областями теоретической
физики, прежде всего с аналитической динамикой и геометри-
геометрической оптикой. Поэтому мы стремились к детальному изло-
изложению основных аспектов теории, хотя бы даже в ущерб крат-
краткости изложения. Но в то же время многие параграфы из по-
последних глав, представляющие интерес главным образом для
специалистов в области дифференциальной геометрии, напи-
написаны менее подробно.
Наличие различных точек зрения на финслерову геометрию,
безусловно, усложняло стоящую перед нами задачу связного
изложения теории финслеровых пространств. Это замечание ка-
касается не только развития нашего предмета на основе тензор-
тензорного анализа, его следует понимать и в более широком смысле.
Обширные исследования Буземана открыли новые пути под-
подхода к финслеровой геометрии, отличные от методов классиче-
классического тензорного анализа. Хотя подробное описание такого
подхода не укладывается в рамки настоящей книги, важность
фундаментальных исследований Буземана не вызывает сомне-
сомнений. В недавно вышедшей книге Буземан ') исчерпывающим
образом и со значительно большей компетентностью, чем этого
можно было бы достичь в настоящей книге, изложил свою
точку зрения. Поэтому теория Буземана не включена в настоя-
настоящую монографию и ссылаться на нее мы будем только тогда,
когда рассматриваемые нами частные проблемы прямо опи-
опираются на эту теорию.
Таким образом, мы ограничиваемся методами классической
дифференциальной геометрии, которые до настоящего времени
') Буземан [10]. Числа в квадратных скобках указывают библиснра-
фию.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
преобладали в литературе по этой теме. Применение тензор-
тензорных методов стало преобладающим после использования их в
теории финслеровых пространств Бервальдом и Картаном. Не-
Несмотря на то, что некоторые из концепций, введенных этими
авторами, имеют существенные отличия, последние статьи Бер-
вальда показывают, что обе точки зрения занимают заслужен-
заслуженное место в рамках общей теории, более того, могут выгодно
сочетаться.
В настоящей книге мы стремились дать по возможности
единую трактовку этих, а также и более современных теорий,
пытаясь вместе с тем сохранить дух оригинальных работ, в ко-
которых эти теории были выдвинуты. Неизбежным следствием
этого стал классический характер предлагаемого читателю из-
издания. (Автор был не в состоянии решить, требуются ли в наш
век извинения за это.)
Заглянув в оглавление, читатель может ознакомиться с кру-
кругом вопросов, охваченных настоящей монографией. К сожале-
сожалению, было невозможно охватить также более современные
обобщения финслеровой геометрии (такие, как геометрия Кар-
тана или Кавагути), не сокращая в значительной степени опи-
описание теории финслеровых пространств, а этого, как мы
понимали, следовало избежать любой ценой. К тому же профес-
профессор Э. Девис сообщил, что он планирует написать книгу по об-
общим метрическим пространствам, так что указанный недоста-
недостаток вряд ли является существенным.
Все отмеченное выше касается и библиографии, исключая
несколько необходимых ссылок на общие математические ме-
методы. Нами сделана попытка дать полный список публикаций
по финслеровой геометрии (до июля 1957 г.), любые пропуски
следует считать непреднамеренными. Практически все ссылки
снабжены комментариями в соответствующих местах книги.
Первоначально эта книга планировалась для серии «Ergeb-
nisse», однако после получения рукописи издательство предло-
предложило включить книгу в серию «Grundlehren». Это потребовало
некоторых изменений и добавлений для того, чтобы привести
книгу в соответствие • с общей традицией и характером пред-
предшествующих томов этой серии. В частности, был расширен
объем более элементарных частей книги. Этой же причиной
объясняется большое число ссылок на оригинальные источники,
на которых основывается изложение, а также наличие разделов,
написанных мелким шрифтом. Эти разделы содержат краткие
обзоры дополнительных результатов, которые было нецелесооб-
нецелесообразно включить в основной текст. Ссылки на оригинальные
источники и написанные мелким шрифтом разделы служат
преимущественно цели ввести читателя в оригинальную лите-
литературу по финслеровым пространствам, и можно надеяться, что
ПРЕДИСЛОВИЕ 13
они окажутся полезными для специалистов в области диффе-
дифференциальной геометрии.
Для чтения книги предполагается знакомство с техникой
тензорного анализа и линейной алгебры. Хотя знакомство с ри-
мановой геометрией, ввиду ссылок на нее, является весьма же-
желательным, это условие не имеет абсолютного значения. То же
самое относится к классической дифференциальной геометрии
кривых и поверхностей. Не знакомого с ней читателя могут
смутить мотивировки идей и понятий в главе, посвященной под-
подпространствам.
Я очень признателен моим коллегам Р. ван дер Борту,
Д. Р. Ванстоуну и К- Ф. Темплину за ценную помощь в про-
просмотре доказательств, а также Д. Абрамовичу за его переводы
русских текстов. Кроме того, я хочу выразить мою глубокую
благодарность профессору К. И. Пауку не только за ряд важ-
важных предложений по улучшению изложения отдельных вопро-
вопросов, рассмотренных в книге, но также и за очень ценные со-
советы, полученные мною в ходе многократных обсуждений
проблем настоящей монографии, особенно в начальной стадии
работы над ней.
Наконец, я пользуюсь особенно приятной для меня возмож-
возможностью поблагодарить издателей за их терпение, за их неиз-
неизменную тактичность и за сотрудничество, которое они всегда
охотно оказывали.
X. Рунд
Декабрь 1958 г.
УКАЗАНИЯ ЧИТАТЕЛЮ
Читателю, который хочет ознакомиться с теорией про-
пространств Финслера лишь в общих чертах (в частности, с целью
приложения к теоретической физике), мы советуем пропускать
весь мелкий шрифт и читать книгу в следующем порядке: гл. I,
§§ 1—6; гл. II, §§ 1—4; гл. III, §§ 1—3; гл. IV, §§ 1—4;
гл. V, § 1.
Ссылки на уравнения даются в виде (N, М, Р), где N и М
указывают соответственно главу и параграф. Если N совпа-
совпадает с номером главы, в которой дается ссылка, то N опу-
опускается.
В переиздании диссертации Финслера [1] содержится
составленный X. Шубертом полный обзор литературы, охваты-
охватывающий также и работы по обобщениям финслеровых про-
пространств.
ВВЕДЕНИЕ
Идея финслерова пространства восходит к знаменитой лек-
лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии*
A854 г.). В этой лекции Риман обсуждает различные возмож-
возможности метризации «-мерного многообразия и уделяет особое
внимание метрике, задаваемой положительным квадратным
корнем из положительно определенной квадратичной диффе-
дифференциальной формы. Эта метрика лежит в основе римановой
геометрии. В то же время предполагается, что метрической
функцией может служить также и положительный корень чет-
четвертой степени из дифференциальной формы четвертого по-
порядка. Указанные метрические функции обладают следующими
тремя общими свойствами: они положительны, однородны пер-
первой степени по дифференциалам, а также являются выпуклыми
функциями дифференциалов. Поэтому представляется естест-
естественным ввести дальнейшее обобщение, в котором расстояние
ds между двумя близкими точками с координатами х1 и х' -f-
-f- dx' определяется некоторой функцией F(x', dxl), удовлетво-
удовлетворяющей этим трем условиям, так что
ds = F (x't dx1) (i = 1, ..., п).
Вызывает удивление, что систематическое изучение много-
многообразий с такой метрикой началось с запозданием более чем
на 60 лет. Первым исследованием в этой области стала диссер-
диссертация Финслера A918 г.), и поэтому название таких метриче-
метрических пространств теперь связывают с его именем. Фактором,
ускорившим начало исследовательской деятельности в этом на-
направлении, следует, по-видимому, считать введение Каратео-
дори новых геометрических методов в вариационное исчисле-
исчисление для изучения задач в параметрической форме. Ядром этих
методов является понятие индикатрисы, причем предположение
выпуклости индикатрисы играет в этих методах фундаменталь-
фундаментальную роль, поскольку оно обеспечивает выполнение необходи-
необходимых условий минимума в вариационной задаче для стационар-
стационарных кривых. В действительности замечательное сходство между
некоторыми аспектами дифференциальной геометрии и вариа-
вариационным исчислением было замечено несколькими годами
16 ВВЕДЕНИЕ
раньше публикации Финслера, в частности, в работах Блисса,
Ландсберга и Бляшке. Блисс и Ландсберг ввели (различные)
определения угла в терминах инвариантов параметрической
вариационной задачи. Аналитическое изучение таких инвариан-
инвариантов было проведено Э. Нётер и А. Ундерхиллом. Вместе с тем
следует отметить, что геометрические теории Блисса и Ландс-
Ландсберга были развиты на евклидовой основе и поэтому не явля-
являлись развитием идеи Римана. Очевидно, что именно диссерта-
диссертация Финслера должна рассматриваться как первый шаг в этом
направлении.
Несколькими годами позже в общем развитии финслеровой
геометрии происходит интересный поворот от первоначальной
точки зрения Финслера к новым теоретическим методам. Финс-
лер, руководствуясь в основном понятиями вариационного ис-
исчисления, не использовал методов тензорного анализа. В 1925 г.
тензорный анализ был применен к теории почти одновременно
Сингом, Тейлором и Бервальдом. Ими было обнаружено, что
вторые производные от -~- F2(xl, dx') по дифференциалам иг-
играют замечательную роль компонент метрического тензора
(аналогично римановой геометрии) и что из дифференциаль-
дифференциальных уравнений геодезических можно вывести коэффициенты
связности, определяющие обобщение параллельного переноса
Леви-Чивиты.
Ковариантные производные, введенные Сингом и Тейлором,
совпадают. Напротив, теория Бервальда отличается от теорий
Синга и Тейлора. Существенной чертой его геометрии является
нарушение леммы Риччи (которая в римановой геометрии тре-
требует обращения в нуль ковариантной производной от метриче-
метрического тензора). Несмотря на это, Бервальд последовательно
развивал свою теорию, уделяя особенное внимание теории кри-
кривизны, а также двумерным пространствам. Значение его работ
возросло с возникновением общей геометрии путей (обобщение
так называемой неримановой геометрии), развитой Дугласом и
Кнебельманом, поскольку Бервальд первоначально стремился
развить аналогию между метрической и неметрической диффе-
дифференциальной геометрией.
Новый и неожиданный поворот в развитии теории произо-
произошел в 1934 г., когда Э. Картан опубликовал свой трактат о фин-
слеровых пространствах. Он показал, что можно так определить
коэффициенты связности, а следовательно, и ковариантную
производную, что справедливость леммы Риччи будет сохра-
сохранена. Вслед за этим он развил теорию кривизны. Картановский
подход преобладал практически во всех последующих исследо-
исследованиях геометрии финслеровых пространств, и несколько ма-
математиков выразили мнение, что в результате теория достигла
ВВЕДЕНИЕ 17
своей окончательной формы. Это мнение, однако, было пра-
правильно лишь до некоторой степени.
Действительно, картановская теория основывалась на спе-
специальном приеме: рассматривалось пространство, элементами
которого являются не точки основного многообразия, а его ли-
линейные элементы, образующие Bп—1)-мерное многообразие.
На этом многообразии Картан задавал так называемую «ев-
«евклидову связность», которая однозначно строилась по фунда-
фундаментальной метрической функции F(x', dxl) с помощью опре-
определенных постулатов. Этот метод опирался на введение так
называемого «опорного элемента», а именно, в каждой точке
необходимо было наперед задать направление, играющее роль
аргумента во всех функциях, зависящих как от точки, так и от
направления. Поэтому, например, длина вектора, а также век-
вектор, получаемый бесконечно малым параллельным смещением,
зависели от произвольного выбора опорного элемента. Этот
прием вел к развитию финслеровой геометрии путем прямого
обобщения методов римановои геометрии.
Однако ощущалось, что введение опорного элемента неже-
нежелательно с геометрической точки зрения, так как оно в значи-
значительной степени ослабляет естественную связь с вариационным
исчислением. Эту мысль независимо друг от друга высказали
несколько исследователей, в частности, Вагнер, Буземан и ав-
автор настоящей книги. Ими было подчеркнуто, что естественной
локальной метрикой финслерова пространства является метри-
метрика Минковского, тогда как произвольное наложение евклидовой
метрики затемняет ряд наиболее интересных характеристик
финслерова пространства. По этим причинам в начале 50-х го-
годов были выдвинуты дальнейшие теории. Отказ от использо-
использования опорного элемента приводил к новым трудностям: напри-
например, ортогональность между двумя векторами переставала быть
симметричной. Заметно увеличивались аналитические трудно-
трудности, в особенности вследствие нарушения леммы Риччи.
К счастью, существует замечательное сходство между всеми
этими теориями с точки зрения дифференциальных инвариан-
инвариантов, что, естественно, можно было бы ожидать заранее. Именно
в приложении и интерпретации этих инвариантов две основные
точки зрения на финслерову геометрию оказываются неприми-
непримиримыми.
Данная выше краткая историческая зарисовка объясняет
причины, по которым первая глава настоящей книги посвящена
изложению весьма элементарных вопросов вариационного ис-
исчисления и ряда основных аспектов геометрии Минковского.
Разумеется, эта геометрия излагается без каких-либо претензий
на полноту. Во второй главе чисто аналитическим (но естест-
естественным) способом будет введен ряд коэффициентов связности,
18 ВВЕДЕНИЕ
с помощью которых может быть определен параллельный пере-
перенос, независимый от опорных элементов. Это даст нам возмож-
возможность легко изложить теорию Каргана, практически не прибе-
прибегая к новым вычислениям. Ввиду огромной важности картанов-
ского подхода, мы позволили себе подробно воспроизвести его
фундаментальные постулаты и их непосредственные следствия.
Конечно, в рамках настоящей монографии невозможно охватить
все современные подходы к финслеровой геометрии. Обсужде-
Обсуждение наиболее важных из них составляет ядро третьей главы,
в которой, в частности, вводится связность Бервальда. Прове-
Проведено подробное сравнение различных ковариантных производ-
производных, которое указывает на ценное единство различных точек
зрения. Это единство частично сохраняется и в теории кри-
кривизны и ее приложений (гл. IV), тогда как в теории подпро-
подпространств (гл. V), как мы увидим, с неизбежностью возникают
резкие различия. Последнее также относится и к заключитель-
заключительной гл. VI, посвященной изложению ряда более или менее изо-
изолированных вопросов.
Как было отмечено во введении, не оказалось возможным
включить в книгу рассмотрение различных обобщений финсле-
финслеровой геометрии таких, как геометрия Картана, основанная на
понятии объема, или пространства Кавагути, в которых метри-
метрическая функция зависит от высших производных от касатель-
касательных векторов. Конечно, можно было бы развить теорию с об-
обобщенной точки зрения: например, мы определенно могли бы
начать с рассмотрения фундаментальной метрической функции,
зависящей от ковариантных или контравариантных векторных
плотностей, так что финслерова геометрия выступала бы здесь
в роли одного из частных случаев общей теории. Мы чувство-
чувствовали, однако, что последующее за этим ослабление геометри-
геометрической ясности и неизбежное аналитическое усложнение долж-
должны были бы оттолкнуть многих читателей, в то время как бег-
беглого прочтения настоящей книги интересующемуся читателю
будет достаточно, чтобы не испытывать никаких трудностей
при изучении оригинальной литературы по этим обобщениям.
Глава I
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
ПРОСТРАНСТВА МИНКОВСКОГО
Теория пространств Финслера берет свое начало в вариа-
вариационном исчислении. В настоящей главе мы сформулируем про-
простейшие задачи вариационного исчисления, не предполагая ни-
никаких предварительных знаний из области вариационного ис-
исчисления и не делая попытки исчерпать эту область в объеме,
обычном для стандартных учебников. Только те вопросы, кото-
которые играют центральную роль в теории финслеровых про-
пространств, такие, как условие Лежандра, обсуждаются подробно
и, насколько возможно, с геометрической точки зрения. Пока-
Показано, каким образом задачи вариационного исчисления позво-
позволяют ввести метрику на основном многообразии. Локальные
свойства такой метрики лучше всего описываются путем вве-
введения так называемых касательных пространств. Строго го-
говоря, понятие касательных пространств не зависит от метрики
н поэтому должно вводиться до метрики, однако его значение,
по-видимому, более легко понимается в свете понятия метрики.
Поэтому большая часть настоящей главы посвящена изучению
метрических свойств касательных пространств, что естественно
приводит к определению пространства Минковского. Фактиче-
Фактически пространства Финслера являются локально пространствами
Минковского. Поэтому определения основных локальных гео-
геометрических понятий — таких, как длина, угол, тригонометри-
тригонометрические отношения и площади, — необходимо формулировать в
терминах геометрии Минковского. Нередко различные инва-
инварианты такой геометрии могут рассматриваться как обобщения
одного и того же инварианта евклидовой геометрии. Следова-
Следовательно, некоторые метрические понятия (такие, как угол) мож-
можно определять несколькими различными, но равноценными спо-
способами. Поскольку есть опасение, что это может несколько
смутить читателя, начавшего изучение настоящей книги, мы вы-
вынуждены проанализировать и сравнить эти различные опреде-
определения основных метрических величин. Некоторые из них будут
использованы в последующих главах, другие во избежание не-
недоразумений придется исключить.
20 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Задачи вариационного исчисления
в параметрической форме
Пусть R обозначает область я-мерного пространства Хп, ко-
которая полностью покрывается некоторой координатной систе-
системой, так что любая точка из R представляется набором п не-
независимых переменных х' (i=\, 2, ..., я), которые будут на-
называться координатами. Всегда будет подразумеваться, что
координаты вещественные. Возможность продолжения такой
координатной системы до координатной системы на всем про-
пространстве Хп, очевидно, зависит от топологического устройства
Хп. В настоящей монографии мы не будем ни затрагивать та-
такие вопросы, ни вдаваться в обсуждение аксиоматических ос-
оснований понятия пространства Х„; что касается этих вопросов,
читатель отсылается к трактату Веблена и Уайтхеда ').
Преобразование координат задается я уравнениями
xl'=xl'{xl, .... х") (/', Г, ... =1, ..., л), A.1)
которые указывают, что координаты х1 точки из Хп представ-
представляются в новой координатной системе новыми переменными
х'). Мы будем предполагать3), что функции х1' в A.1) яв-
являются по меньшей мере класса С2 и что якобиан преобразо-
преобразования A.1) не обращается тождественно в нуль, т. е.
det
В результате этого предположения х' выражаются через х1':
xt = xi(x1'). A.1a)
Уравнения
xl = xl{t), A.3)
где t—некоторый параметр, определяют кривую С в простран-
пространстве Хп. Если функции A.3) принадлежат классу С, то вектор
с компонентами
*'=4г 0-4)
') Веблен и Уайтхед [1].
2) Здесь мы следуем методу коренных букв и индексов Схоутена [1];
изменение координатной системы указывается путем присоединения штрихо-
штрихованного индекса, как это сделано в A.1). Этот метод дает нам возможность
отличать координатные преобразования от отображений типа х' = х'(?,1, ...
..., |"), которые устанавливают соответствие между двумя различными точ-
точками Р (х'), Q (I1) в. одной и той же координатной системе.
3) Мы будем говорить, что функция f (х') принадлежит классу Сг, если /
непрерывна по всем своим переменным х' и обладает непрерывными произ-
производными до r-го порядка по каждой х1 в области R.
§ 1. ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 21
касателен к кривой С. Комбинация (х1, х') называется линей-
линейным элементом кривой С. Две различные точки Pi и Рг кри-
кривой С задаются двумя различными значениями t\ и t2 пара-
параметра t. Рассмотрим вместе с С вторую кривую С класса С1,
задаваемую уравнениями
*' = *'(*). A.5)
Предположим, что кривая С также соединяет точки Рь Р2, при-
причем на С этим точкам соответствуют те же значения t\ и Ц па-
параметра, что и на кривой С. Другими словами, x'(ti) = x'(ti),
x'itz) =x'(ti). Мы будем говорить, что С принадлежит малой
(е, г|)-окрестности кривой С1), если для всех значений t в ин-
интервале /1^/^/2 выполняются 2я неравенств
\xl(t)-xl(t)\<e, |4^-^'|<Л. A.6)
Предположим теперь, что нам задана функция F(x', x') ли-
линейных элементов {х\ х1) кривых в области R, принадлежащая
классу С5 по всем своим 2п аргументам. Тогда вдоль кривых С
и С можно определить интегралы
и
\[^)l. A.7)
Кривая С называется экстремалью фундаментальной функ-
функции F, если / ^ 7 (или / ^/) для всех кривых С, принадле-
принадлежащих (е, г|)-окрестности кривой С в области R.
Простейшая задача вариационного исчисления состоит в на-
нахождении экстремалей данной фундаментальной функции F2).
Для того чтобы было обеспечено существование экстрема-
экстремалей, сама функция должна удовлетворять определенным усло-
условиям. Рассмотрим каждое из этих условий.
Условие А. Функция F(x\ x') положительно однородна сте-
степени 1 по х':
F(x\ H(') = ?F(x', x{) (k>0). A.8)
Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы инте-
интеграл /, задаваемый формулой A.7), не зависел от выбора па-
параметра /3). Для широкого класса задач вариационного ис-
исчисления значение интеграла / не зависит от направления, в
котором мы интегрируем вдоль С. Выполнение этого свойства
') В этом состоит понятие «engere Nachbarschaft»; Каратеодори [1],
с. 192. Что касается этих определений, читатель может также обратиться к
книге Б о л ь ц а [1], гл. V.
2) В действительности можно наложить менее ограничительные условия
на кривые сравнения. Ср. Больца [1], Каратеодори [1].
3) Это доказано Каратеодори [1], с. 212—213.
22 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
предполагает, что наряду с условием А справедливо равенство
F(x*,i?) = F(xl, -Л А,
Однако в дальнейшем, как правило, мы не накладываем усло-
условие Ai на метрическую функцию F. Исключения из этого пра-
правила будут оговариваться ').
Производные по х' и х' будут обозначаться соответствую-
соответствующими индексами, В силу условия А функции Fj, Fj^j поло-
положительно однородны соответственно степени 0 и —1 по х1, т. е.2)
Fa (x, kx) = F.i (x, x) {k > 0), A.9)
Ffiii{xlkx)=-k-xFti^{.x,x) (k>0), A.10)
что можно проверить непосредственно путем дифференцирова-
дифференцирования равенства A.8).
Теоремы Эйлера об однородных функциях дают тожде-
тождества 3)
Ftt(x,x)xl = F(x,x), A.11)
Fiiti{x,x)xt*=Q. A.12)
Из A.12) в свою очередь легко вывести тождество
det|/^y| = 0. A.13)
В связи с условием А следует обратить внимание на возмож-
возможность добиться однородности функции специальным приемом:
в общем случае неоднородная функция касательных векторов
легко преобразуется в однородную путем введения дополнитель-
дополнительной координаты 4).
Если фундаментальная функция F(xl, x') определена для
всех линейных элементов в области R, то естественно рассма-
рассматривать F как функцию, _определяющую расстояние в Хп: на-
например, «длина» кривой С между точками Pi и Р2 может быть
определена с помощью второго из интегралов A.7). Более
точно, если А(х1) и B(xi-\-dxi)—две бесконечно близкие точки
области R, то расстояние ds между ними определяется равен-
равенством
ds^Fix^dx1). A.14)*
') В связи с условием А] см. Б у з е м а н [3], [9].
2) В дальнейшем мы иногда будем обозначать аргументы без указания
индексов. Например, мы будем писать F(x, x) вместо F(xk,xk).
3) Мы принимаем обычное правило суммирования, которое подразумевает,
что по повторяющемуся индексу идет суммирование. Согласно этому правилу
п
левая часть A.11) равна ^ F j (x, х) х'
t-\ х
*) Это преобразование описано в книге Рунда [24], гл. 2, § 7. — Прим.
перев.
§ I. ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 23
Так как функция F однородна первой степени по дифферен-
дифференциалам dx1, то это приводит к нужному интегралу. В результате
в пространстве Хп вводится метрика ').
В частности, если функция F имеет вид
F (*', dx1) = [gl} (xk) dx1 dx1]1'2, A.15)
где коэффициенты gn(xk) не зависят от dx1, то метрика, опре-
определяемая с помощью F, является метрикой риманова простран-
пространства.
Пространство Х„ называется финслеровым пространством2),
если фундаментальная функция F(xl, х'), определяющая метри-
метрику A.14), удовлетворяет также следующим условиям.
Условие В. Функция F(x', х') положительна, если не все х'
обращаются в нуль одновременно, т. е.3)
0 при ?(х1JФ0. A.16)
') Более строгая формулировка откладывается до § 2.
2) Точнее, положительно определенным финслеровым пространством. Ср.
добавление I, с. 399. — Прим. перев.
3) Эго условие не ограничивает теорию существенно. При определенных
обстоятельствах можно заменить подынтегральную функцию F(x',x'), прини-
принимающую и положительные, и отрицательные значения, «эквивалентной» под-
интегральной функцией, положительной в области. Если 5 (**) — какая-либо
функция класса С1, зависящая только от хк, то выражение S / (**) dx1 яв-
является точным дифференциалом: если это выражение интегрируется вдоль
кривой С, соединяющей две точки Р\, Р2 в области R, го результат S(P2) —
— 5(Я,) не зависит от пути. Следовательно, если мы добавляем члены
S i (xk) x' к подынте! ральной функции интеграла A.7), то результирующие
экстремали совпадают с экстремалями первоначального интеграла, так что
с точки зрения вариационного исчисления две задачи, определяемые подын-
подынтегральными функциями F (xk xk) и F* (xk, xk) = F (xk, xk) + S i (xk) xl эк-
эквивалентны. Поэтому может оказаться возможным такой выбор функции
S(xk), что F* станет положительной, даже если F меняет знак. Фактически
достаточное условие, обеспечивающее существование такой конструкции, со-
состоит в том, что в некоторой точке Р (*(о)) области R существует такой ли-
линейный элемент (*^о)' -*@))> чт0
(a) F (xk , xk)-F i(xk . xk )xl>0
V @)' / x \ @) @O
для всех значений x{^kx'@) (k > 0). Если это условие выполняется, то можно
выбрать функцию F*(xk,xk) так, чтобы F*(xk,xk) > 0 для всех линейных эле-
элементов окрестности точки Р (х'0)) (Каратеодори [1], с. 243). Обратное
утверждение также верно, ибо если функция F(xk, xk) удовлетворяет усло-
условию Аь то неравенство (а) достаточно, чтобы обеспечить положительность са-
самой функции F, так что для этого класса функций такая конструкция излиш-
излишняя (Рунд [16]). Альтернативная форма условия (а) дана Дамкёле-
ром и Хоффом [1], [2].
24 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Наконец, последним условием является условие Лежандра.
Для нашей цели удобно дать формулировку этого условия,
слегка отличную от той, которая обычно приводится в учебни-
учебниках по вариационному исчислению; в дальнейшем мы покажем,
что обе формулировки эквивалентны.
Условие С. Квадратичная форма
F2t I (х х) VII — др2 ^х> ® ?'У П 17}
*у*'1*'*Нб - diidij fee U-iO
положительно определена (т. е. принимает положительные зна-
значения при всех значениях переменных ?', не равных одновре-
одновременно нулю).
Заметим, что в силу A.13) для формулировки условия С бо-
более подходит функция F2, чем F.
Непосредственным следствием этого условия является нера-
неравенство
(/*&/ (х, к) V41J < (Fly (x, к) VV) (^ V (x, *) П\к), A.18)
которое выполняется для любой пары переменных |', ц' и для
любого линейного элемента (xk, хк), причем знак равенства воз-
возможен тогда и только тогда, когда существует соотношение
g' = Хц1 с некоторым множителем пропорциональности к. До-
Доказательство A.18) непосредственно следует из того факта, что
квадратичное по ц выражение
Fb.1 (х, к) (V + ^<) (|/ + mi) - Fb.!l%> + 2(iF|yS'rj' + i^Fly^i
в силу условия С не может иметь вещественных нулей, если не
выполняется |''-\- \щ' = 0. Неравенство A.18) просто выражает
тот факт, что соответствующий дискриминант отрицателен.
Ясно, что справедливо тождество
у F2.t.i(х, к) = F.t(x, к)F.i(x, x) + F (x, к)F.t.i(x, к). A.19)
Из A.11) и A.12) следует
YFllil(x' x)k' = F(x, x)F.i(x, x) A.19a)
и
x). A.19b)
Поэтому A.19) может быть записано в виде
x'F2.!^(x
-\-F{x, x)F^i(x,x). A.19c)
(х, к)x'F2.!^(x, к)хк
§ I. ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 25
Таким образом, для любого набора переменных ?' мы имеем
(*. х) П' =
= \2F(x, i)]}^/ (x, xn'l1 -jF~2(x, x)(F2^,(x, x)xV
Применяя к последнему члену в правой части этого уравнения
неравенство A.18) с ту' = х' и принимая во внимание A.19b),
находим, что
F.^(x,x)l%l^0. A.20)
Знак равенства здесь возможен тогда и только тогда, когда |'
пропорциональны х1, что согласуется с уравнением A.12).
Итак, квадратичная форма A.20) не является положитель-
положительно определенной; ранг матрицы |^у| равен я— 1. Из хороша
известной теоремы о выпуклых функциях следует, что функция
F(xk, xk) является выпуклой по хк ').
Установим теперь этот результат, доказав следующее более
общее утверждение:
Если (х1, х1), (х1, х') — какие-либо два линейных элемента
с тем же самым «центром» х1, то выполняется следующее не-
') Рассмотрим функцию f(u') от п переменных и1, ... ,ия. Область D в
пространстве переменных и' называется выпуклой, если вместе с двумя лю-
любыми точками она содержит и весь прямолинейный отрезок, соединяющий эти
точки. Функция /(?;') называется выпуклой в D, если она определена всюду
в D и если для всех пар точек иA)) н'2) из D выполнено неравенство
(a)
(X а р д и, Литлвуд и Полна [1], с. 79). Функция строго выпукла, если
это неравенство выполнено для всех пар различных точек н'1(, н('2). Если f(u')
выпукла и непрерывна, то можно показать, что она удовлетворяет более об-
общему неравенству
(Ь) / (A - 9) и\х) + е«(г2)) < A - 9) / («{„) + 6/ (и('2))
для любого значения 9 такого, что 0^9^ 1. Часто неравенство (Ь) берется
в качестве определения выпуклости функции { (Боннезен и Фенхель
т.е. is).
Наше последующее изложение не будет зависеть от теоремы о.выпуклых
функциях, на которую мы ранее сослались в тексте. Взамен ее мы выведем
другую теорему, лучше приспособленную к нашим целям, в частности потому,
что ее доказательство будет включать несколько полезных в дальнейшем фор-
формул.
Заметим, что если функция f однородна первой степени по и', то (а) эк-
эквивалентно неравенству
26 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
равенство:
х1) + Р(х1,х1), A.21)
причем знак равенства в A.21) имеет место тогда и только
тогда, когда справедливо соотношение х' = vx\ где v > 0.
Доказательство. Пусть (х1, х'), (х', |') — два произ-
произвольных линейных элемента (с общим центром х'), у которых
не обращаются в нуль одновременно ни все х1, ни все ?'. Из
второй теоремы о средних значениях следует
F (х, l) = F (х, х) + /у (х, х) (V - х1) + Ф„ (Г - х1) (I1 - х1),
где мы обозначили
фн = Т РМ <**• U" + A ~ 9) ^ (° < е < О-
Вследствие A.11) записанное выше выражение сводится к виду
F (х, I) = /у (*, jc) V + Ф„ (Г - х') ($! - Xs). A.22)
Строго говоря, мы должны исключить возможность того, что
|' = Хх' для некоторого отрицательного числа X, поскольку
легко проверить, что в этом случае выражение 8х*+A—6)|*
может обратиться в нуль, а это сделает выражение A-22) бес-
бессмысленным. Помня об этом ограничении, рассмотрим квадра-
квадратичную форму
Ф = ФчA1-х')A'-х1).
Согласно A.20) эта форма неотрицательна и обращается в
нуль тогда и только тогда, когда существует такое число р,
что
^_*< = р(9х<ЧA-е)Г),
т. е. когда
Г О+рэ-р) = *'(! +ре).
Независимо от того, имеет ли место р = 0 или р Ф 0, два числа
A + рб) —р и A + р9) не могут обратиться в нуль одновре-
одновременно. Поэтому ни одно из этих чисел не равно нулю, так как
в противном случае все х' или же все |' должны были бы об-
обратиться в нуль, что противоречит нашему исходному предпо-
предположению. Поэтому ввиду вышеупомянутого ограничения форма
Ф неотрицательна и обращается в нуль тогда и только тогда,
когда
ll = kxl с k>0. A.23)
Возвращаясь к разложению A.22), мы можем теперь выве-
вывести следующее замечательное неравенство:
x,x)%1. A.24)
S 1. ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
27
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
I1 = kx' с k > 0. Легко проверить непосредственной подстанов-
подстановкой, что это утверждение справедливо всегда, за исключением
случая |' = Хх' с X < 0. Полагая в левой части A.24) |' = Хх',
мы получим F(x, Хх). Согласно условию В число F(x, Хх) по-
положительно. В то же время правая часть A.24) становится
равной XF л{х, х)х' = XF{x, х), что отрицательно при X < 0.
Применим теперь неравенство A.24) к двум различным па-
парам линейных элементов, а именно к {х1, х' + х'), (х', х') и
{х1, х'-\-х'), (х1, х'). В результате получим неравенство
(равенство имеет место тогда и только тогда, когда k\xl = x' -{-
+ х', kx > 0), а также неравенство
(равенство имеет место тогда и только тогда, когда k^c1 = х' -\-
-\-x't k2>0). Складывая эти два неравенства и принимая во
внимание A.11), мы получим требуемое соотношение A.21),
что и доказывает наше утверждение.
Следует, однако, заметить, что выпуклость функции F не
влечет за собой выполнение условия С; в § 3 мы рассмотрим
пример функции, которая удовлетворяет уравнению A.21), но
для которой квадратичная форма A.17) не является положи-
положительно определенной.
Наконец, выразим условие С в виде, более обычном для ва-
вариационного исчисления. Из теории квадратичных форм извест-
известно, что условие С влечет ') неравенство
g (x, х) = det
(x, х)
>0
A.25)
для всех линейных элементов (xkt xk). В детерминанте A.25)
можно использовать обращение в нуль детерминанта A.13).
Действительно, элементарное вычисление, основанное на ра-
равенствах A.19), A.12) и A.13), дает2)
FFx4
Fx>
= — F
-1
ИЛИ
g (x, x) =
¦Fn-lD(x,x),
-F
A.26)
') Ср. Караэеодори [1], с. 178.
2) Тейлор [2], с. 261.
28
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где
D (х, к) =
F.t.l F.i
XX X
F.i 0
A.26а)
Итак, в силу уравнения A.25) условие С приводит к неравен-
неравенству
D(x,x)<0. A.27)
Это именно тот вид условия Лежандра, в котором оно обыч-
обычно записывается в вариационном исчислении ').
Обратно, можно показать, что если выполняется A.27), то
ранг матрицы IIZ^^/II Равен п—1; следовательно, в этом слу-
случае квадратичная форма A.20) не является положительно оп-
определенной2). Применение уравнения A.19) немедленно при-
приводит к условию С. Поэтому это условие эквивалентно условию
Лежандра A.27). Если условие A.27) удовлетворяется для всех
линейных элементов области, то соответствующая функции
F(x, x) вариационная задача называется регулярной в этой об-
области.
§ 2. Касательное пространство. Индикатриса
В предыдущем параграфе мы свободно пользовались поня-
понятием линейного элемента (х', х'), не указывая явно связи ме-
между переменными х' и х'. Удобнее всего эта связь описывается
путем введения так называемых «касательных пространств».
Рассмотрим новую систему локальных координат, задавае-
задаваемую уравнениями A.1). По отношению к инвариантному пара-
параметру t новые компоненты касательного вектора х1'=йх1'1
вдоль кривой A.3) получаются путем дифференцирования по t
следующих соотношений:
xv _ xv /xi п\\
Это дает
*'' = -?т** B.1)
') Каратеодори [I], с. 216; Блисс [3], с. 107.
2) Промежуточные этапы полностью представлены в книгах Каратеодори
и Блисса. См. также § 3, где будет показано, что детерминант A.27) пропор-
пропорционален детерминанту
F.i.i xl
xl 0
Заметим, что условие A.27) предполагает, что квадратичная форма
F л .1 (*. х) !'!' положительно определена при условии F., (х, х) \1 = 0,
§ 2. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ИНДИКАТРИСА 29
или, в терминах дифференциалов,
dx1' = — dx'. B.1a)
дх'
Рассматривая dx' как «компоненты» смещения в пространстве
Х„ из точки Р{х1) в точку Q(x' + dx') (независимо от какой-
либо кривой), мы видим, что уравнение B.1а) представляет
собой закон преобразования компонент таких смещений. Если
точка Р(х') фиксирована, что предполагает фиксированность
коэффициентов дх''/дх1 преобразования B.1а), а дифферен-
дифференциалы dx' являются переменными, то соотношение B.1а) —это
просто линейное преобразование дифференциалов. Разумеется,
то же самое справедливо для переменных х' и к1' в преобра-
преобразовании B.1). Это означает, что величины такого рода можно
интерпретировать как элементы я-мерного линейного вектор-
векторного пространства.
На языке тензорного анализа система п величин X', кото-
которые при преобразовании A.1) преобразуются по закону, экви-
эквивалентному закону преобразования х' (уравнение B.1)), назы-
называется контравариантным вектором, «закрепленным» в точке
Р(х') пространства Хп. Отдельные X' являются «компонентами»
этого вектора. Такие контравариантные векторы образуют век-
векторное пространство. Это векторное пространство может быть
также определено как совокупность всех контравариантных
векторов, закрепленных в точке Р (или как совокупность всех
дифференциалов в точке РI). Ясно, что такое векторное про-
пространство можно связать с каждой точкой Р(х') пространства
Хп. Мы будем называть Хп основным многообразием; координа-
координаты х1 точек этого многообразия входят в коэффициенты линей-
линейного преобразования B.1). Определенное выше векторное про-
пространство будет обозначаться через Тп(Р) (или Т„(х')). Мы будем
говорить о нем как о «касательном пространстве» в точке Р(х').
В дальнейшем принадлежащие Тп(Р) элементы будут, как
правило, обозначаться через х' (хотя и не всегда: иногда мы
будем использовать обозначения |', ту, ..., X', ...). Поэтому
читатель может интерпретировать элементы х' или dx', принад-
принадлежащие Тп(Р), как «направления» в точке Р.
Далее, поскольку преобразование B.1) однородно, то каса-
касательные пространства можно рассматривать как центроаффин-
ные пространства, центр или начало которых отвечает значе-
значениям х1 = 0, х2 = 0, ..., хп = 0. Имея в виду аналогию с ка-
касательными плоскостями обычной дифференциальной геометрии,
иногда полезно представлять себе, что начало пространства
') Ср., например, Уайтхед и Веблен [1], с. 61, которые называют
это векторное пространство касательным пространством дифференциалов. Ср.
также С х о у т е н Щ, с. 69; Л и х н е р о в и ч [8], с. 4.
30 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тп(Р) совпадает с точкой Р пространства Хп, т. е. что начало
является «точкой соприкосновения».
Из нашего построения ясно, что преобразование типа A.1)
в основном многообразии Х„ индуцирует линейное преобразо-
преобразование B.1) в каждом касательном пространстве.
Обозначим через О центр некоторого фиксированного каса-
касательного пространства Тп(Р), соприкасающегося с простран-
пространством Хп в точке Р. Любой вектор ту из Тп(Р) может быть ин-
интерпретирован как такой направленный отрезок или смещение
OQ в Т„(Р), что точка Q имеет координаты rf по отношению
к координатной системе в Тп(Р) (которая, как мы видим, за-
зависит от выбора координат в основном многообразии Х„). Та-
Таким образом, контравариантные векторы могут быть заданы
не только смещениями, но также «точками» из Тп(Р). Если
?' — еще один вектор из Тп(Р), отвечающий смещению 05, то
смещение QS в 7\(Р) имеет компоненты ?' — if; к элементам
пространства Тп(Р) применимы обычные законы векторного
сложения, вычитания и умножения.
В частности, два вектора ?', ц' из Тп(Р) параллельны, если
их компоненты пропорциональны, т. е. если |' = Кг\' (X 4 0).
Суммируем; когда мы пользуемся линейным элементом
(х\ х'), под х1 понимается некоторая точка Р в Хп, а под х'—
элемент касательного пространства Тп(Р) в точке Р. При ис-
использовании данного фиксированного касательного простран-
пространства х1 должны рассматриваться как константы, в то время
как х1 являются переменными. Соотношения между касатель-
касательными пространствами, заданными в различных точках много-
многообразия Х„, рассматриваются в последующих главах.
Понятие касательного пространства, разумеется, не зависит
от метрики, (возможно) заданной в основном многообразии
Хп- Однако, как мы сейчас покажем, введение в Х„ метрики
с помощью A.14) однозначно задает метрику в каждом каса-
касательном пространстве.
Рассмотрим функцию F(x, x), определенную для всех линей-
линейных элементов (х', х') в области R из Хп и удовлетворяющую
условиям А, В и С из § 1. В настоящем параграфе мы ограни-
ограничим наше внимание фиксированной точкой Р(х') из Хп и со-
соответствующим касательным пространством Тп(Р). Уравнение
F(xl, xl)=l (х* фиксированы, х1 переменны) B,2)
представляет собой (п—1)-мерное множество точек из Тп(Р),
т. е. гиперповерхность. Мы сейчас покажем, что элементы х'
(плиточки) из Тп(Р), удовлетворяющие неравенству
F(x\ xl)^.l (x: фиксированы, х' переменны), B.3)
§ 2. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ИНДИКАТРИСА 31
являются внутренними или граничными точками выпуклого
тела, граница которого задается уравнением B.2) '). Это свой-
свойство является прямым следствием условий А, В и С. Во-первых,
заметим, что каждый направленный радиус-вектор OQ, где О —
центр пространства Тп(Р), пересекает гиперповерхность B.2)
в одной, и только в одной, точке. Действительно, из условия В
и уравнения A.8) следует, что каждый радиус-вектор обяза-
обязательно пересекает гиперповерхность. В то же время, если бы
два вектора Хх', цх' (X > 0, ц > О, X ф ц), выходящие из О и
совпадающие по направлению с OR, удовлетворяли B.2), го
из A.8) следовало бы (X— \x)F(x, х) = 0, что противоречит усло-
условию В. Во-вторых, пусть х\ х' — две любые точки, удовлетво-
удовлетворяющие B.3) (мы можем рассматривать х' и х' как векторы из
Тп(Р), выходящие из О, конечные точки которых имеют коор-
координаты х', х'). Множество B.3) является выпуклым, если любая
точка |', лежащая на отрезке [х\ х'], также удовлетворяет
B.3). Такая точка %' может быть представлена равенством |'=
= A—6)i'+ 6х', где 0 <; 8 <; 1. Поэтому вследствие A.21)
мы имеем
F (х1, V) < F (х1, A-6) х1) + F (х\ Вх')
или, используя A.8),
F (х', ?') < A - 9) F (х\ х() + QF (х1, х1).
Так как по предположению справедливы неравенства F(x', x')^.
^ 1, Р{х\ х')^; 1, то отсюда следует, что F(x', i')^ 1- Таким
образом, точка |' удовлетворяет B.3), что и доказывает наше
утверждение.
Теперь мы можем определить длину произвольного вектора
OQ из Тп(Р). Если т)' — координаты точки Q (при этом мы обо-
обозначаем вектор OQ через х\'), то длина (или норма) вектора ту
задается равенством
|T)| = F(x(, т)'). B.4)
Геометрически эта длина является отношением OQ/OR, где
R — точка, в которой отрезок OQ (продленный, если это необ-
необходимо) пересекает гиперповерхность B.2). Длина вектора QS,
соединяющего две произвольные точки Q(ti/), S(?')> определится
выражением F(x\ ?' —т)'); ибо если мы построим параллело-
параллелограмм OQSS', у которого QS и 05' — равные и противополож-
противоположные стороны, то координаты точки 5' будут равны ?' — tj'. На-
Назовем F(x', х') метрической функцией.
') Боннезен и Фенхель [1], с. 22.
32 ГЛ. t. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итак, ясно, что в геометрии пространства Т„(Р) поверхность
B.2) играет роль единичной сферы. Следуя Каратеодори '),
который первый ввел эту поверхность в вариационное исчисле-
исчисление, мы назовем ее индикатрисой.
Определив метрику в каждом касательном пространстве, мы
можем утверждать, что эта метрика определяет локальную ме-
метрику пространства Хп в малых окрестностях произвольных то-
точек Р(х'). Строго говоря, выражение F(x', dx') задает длину
вектора dx' касательного пространства, опирающегося на точку
Р(х). Однако, когда мы используем уравнение A.14), мы ин-
интерпретируем это выражение как элемент ds длины (или сме-
смещения) в Х„, т. е. рассматриваем приближение первого по-
порядка.
Векторное пространство с метрикой, удовлетворяющей усло-
условиям А, В и С, называется пространством Минковского2).
Впервые метрическая функция такого типа была введена Мин-
ковским для целей теории чисел 3). Однако Минковский строил
свою геометрию, отправляясь от геометрии евклидова простран-
пространства. Вследствие этого развиваемая на последующих страни-
страницах теория значительно отличается от точки зрения самого Мин-
Минковского. Для ознакомления с аксиоматической трактовкой
пространств Минковского, отличающей их от других метриче-
метрических пространств, мы отсылаем читателя к Блюменталю и Бу-
земану 4).
Индикатриса называется симметричной относительно центра,
если ее уравнение удовлетворяет условию Ai. Это условие со-
соответствует аксиоме сильной монодромии 5): если F(x',x'— х1)
обозначает расстояние в смысле Минковского между двумя
различными точками х' и х' из Тп, то F(xl, х'— х1) =
— F(x', х' — х'). Мы всегда будем оговаривать особо те слу-
случаи, в которых требуются такие свойства симметрии.
Уравнение A.21) представляет собой неравенство треугольника. Следова-
Следовательно, кратчайшее расстояние между двумя точками достигается на прямо-
прямолинейном отрезке, соединяющем эти точки.
') Каратеодори [2], [3]; Минковский [1].
2) Точнее, положительно определенным пространством Минковского. —
Прим. перев.
3) Строго говоря, правильное определение пространства Минковского ос-
основывается скорее на условии выпуклости A.21), чем на более сильном ус-
условии С. Поэтому рассматриваемые в дальнейшем пространства Минковского
являются немного более общими, чем те, которые определяются в соответ>
ствии с ортодоксальным определением. См. также § 8 ниже.
4) Блюменталь [11; Буземан [11 — [4], [10].
6) Хамел [1].
§ 2. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ИНДИКАТРИСА 33
Обратно, пусть в Тп(Р) нам задана произвольная замкнутая гиперповерх-
гиперповерхность f(x', х') = 1 с центром в точке О, где функция / неотрицательна и по-
положительно однородна первой степени по *' Эта функция определяет мет-
метрику в пространстве Тп(Р): расстояние р(а, Ь) между двумя точками а, Ь из
Тп(Р) определяется как f(x',r\'), где г\'—компоненты вектора ab. Пусть те-
теперь точки а, Ь, с образуют произвольный треугольник в Тп(Р). Построим в
точке О векторы О А = ab, О В = be, ОС = ас. Обозначим через А', В', С со-
соответственно точки пересечения этих векторов (или их продолжений) с дан-
данной гиперповерхностью. Далее обозначим через S точку пересечения прямых
В'А' и ОС. (Обратим внимание, что треугольник abc определяет плоскость,
так чго наша конструкция является существенно двумерной.) Имеет место
следующая
Теорема1). В треугольнике abc сумма длин двух сторон р(а,Ь) +
+ р(Ь, с) больше, равна или меньше длины р(а,с) третьей стороны соответ-
соответственно тому, является ли S внутренней, граничной или внешней точкой об-
области J, ограниченной гиперповерхностью f(x',x') = 1.
Доказательство. По определению ОА=р (а,Ь)ОА', ОВ — р (Ь, с)ОВ',
ОС = р(а, с)ОС; поэтому вследствие ab + be = ас мы имеем
р (а, Ь) О А' + р (Ь, с) ОВ' = р (а, с) ОС.
Но ОА' = OS + SA' и OB' = OS — B'S; следовательно,
(р (a, b) + p (Ь, с)) OS + p (a, b) SA' - р (Ь, с) B'S = p (а, с) ОС. B.5)
Из нашей конструкции следует, что треугольник ОАС равен фигуре, по-
получаемой параллельным переносом треугольника abc. Таким образом, если
мы построим прямую A'D параллельно АС до пересечения с прямой ОС в точ-
точке D, то A'D будет параллельна ОВ. Треугольники OB'S и DA'S подобны, так
что p(B',S)/p(SA') =p(OB')/p(A'D). Но p(A'D)/p(AC) = p(OA')/p(OA),
ибо АС = ОВ. Следовательно,
р (B'S)/p (SA') = р (ОВ')/р (ОВ) ¦ р (ОА)/р (ОА') = [р (be)}'1 p (а, Ь)
по построению. Точки В', S, А' коллинеарны. Поэтому мы имеем р(Ь, с)B'S =
= р(а, b)SA'. Кроме того, так как точки О, S, С коллинеарны, то ОС =
= e.OS. Теперь уравнение B.5) примет вид
(р (а, Ь) + р (Ь, с)) OS = ер (а, с) 05. B.6)
Поскольку С — граничная точка заданной гиперповерхности, то е j 1 в за-
зависимости от того, является ли S внутренней, граничной или внешней точкой
области /. Следовательно, теорема вытекает из уравнения B.6).
Говорят, что область / нигде не вогнута, если в каждой граничной точке
Q области / существует такая гиперплоскость К, что Q принадлежит К, а У
расположена целиком по одну сторону от К- Если, кроме того, гиперплоскость
К не содержит никаких других точек из /, за исключением точки Q, то гово-
говорят, что / является всюду выпуклой. Таким образом, если область / нигде не
вогнута, то точка 5, принадлежащая отрезку, соединяющему две граничные
') Доказательство этой теоремы принадлежит Голабу и Херлену
[1], с. 389. Однако эти авторы использовали для доказательства дополни-
дополнительно введенную евклидову метрику. Поскольку мы стараемся избегать такой
процедуры, то мы дали альтернативное доказательство. Читатель отсылается
к этой статье также за дальнейшими подробностями о так называемых псев-
псевдопространствах Минковского, т. е. о таких пространствах, у которых метри-
метрическая функция не обязательно выпукла.
2 х. Рунд
34 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
точки А', В', является либо граничной, либо внутренней точкой области /.
Поэтому из предыдущей теоремы следует теорема Минковского1): метриче-
метрическая функция / удовлетворяет неравенству треугольника тогда и только тогда,
когда гиперповерхность f(xl, х') = 1 нигде не вотнута; знак равенства влечет
за собой коллинеарность, только когда гиперповерхность всюду выпукла.
Естественный способ обобщения понятия пространства Минковского со-
состоит в отказе от условия В (не говоря об ослаблении предположений глад-
гладкости). В этом случае индикатрисы могут уходить в бесконечность. Альтом
[1] было доказано, что неравенство треугольника необходимо и достаточно
для того, чтобы индикатриса была проективно выпуклой, т. е. чтобы индика-
индикатриса могла быть отражена посредством коллинеаций на (не обязательно ог-
ограниченную) выпуклую гиперповерхность. Эти результаты были усилены
Пауком [1], [21 и применены им к задачам вариационного исчисления в
параметрической форме. Таким образом, даже в знаконеопределенном случае
получается условие регулярности (или квазирегулярности2)) Лежандра.
Ароншайном [1] были получены сходные результаты для бесконечно-
бесконечномерных векторных пространств, которые могут быть рассмотрены — в таком
контексте—как банаховы пространства со знаконеопределенной нормой.
Дальнейшие применения понятия квазирегулярности в вариационном исчис-
исчислении обсуждаются Буземаном и Майером [1], §§ 3—4. По-видимому,
результаты этих авторов могут составить основу для систематической теории
финслеровых пространств, для которых условия В и С существенно ослаб-
ослаблены.
С более общей точки зрения рассматривал индикатрису Вагнер [13].
Вначале рассматривается произвольная гиперповерхность, а затем любой век-
вектор, выходящий из центра и имеющий такое ориентированное направление, что
оно пересекает гиперповерхность, называется «измеримым» вектором3).
§ 3. Метрический тензор и соприкасающаяся индикатриса
Пусть к1 — произвольный вектор, выходящий из начала О
в касательном пространстве Тп(Р). Определим величины gi/
с помощью уравнений
1 d*F> (х, х) f
Используя B.1), легко проверить, что компоненты g(/- обра-
образуют ковариантный тензор второго 4) ранга. Ввиду условия од-
однородности A.8) функция F2 положительно однородна второй
степени по к'. Следовательно, из уравнения A.19Ь) мы имеем
x) = gil(x,x)xixi. C.2)
') Минковский [1], §§ 6, 16, 17.
2) Что касается определения квазирегулярности, см. Паук [2], с. 30.
См. также Шоке [1], [2].
3) Вагнер [13], § 2. См. определение класса «сингулярности» индика-
индикатрисы в гл. V, § 8.
4) Заметим, что в силу B.1) при преобразовании A.1) мы всегда имеем
&х /дх =дх 1дх\ так что дифференцирование тензора по вектору х' дает
новый тензор, ковариаитная валентность которого увеличивается на единицу.
Этот вывод, разумеется, неприменим к дифференцированию по координате х',
за исключением случая, когда дифференцируется какая-либо скалярная вели-
величина ф (я1').
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР 35
Поэтому в согласии с нашим определением B.4) все длины в
Тп(Р) могут выражаться через величины gn, которые мы бу-
будем рассматривать как компоненты метрического тензора ка-
касательного пространства Тп(Р). Уравнение B.2) индикатрисы
касательного пространства Тп(Р) теперь может быть записано
в виде
F2(x,x) = gl,(x,i)itx'=l. C.3)
Из определения C.1) следует, что тензор ga(x, х) положи-
положительно однороден нулевой степени по х' и симметричен по своим
индексам. Далее, мы можем построить следующий характер-
характерный для финслеровой геометрии тензор '):
1 dgtl(x,t) 1 е>3Я (х, х)
СиЛх,х) = -—^- = т——-г, C.4)
который положительно однороден степени —1 по х, а также
симметричен по всем своим индексам. В дальнейшем будут по-
постоянно применяться следующие тождества (вытекающие из
однородности):
Ci!k (х, х) х1 = Ст (х, х) х1 = Ст (х, х) xk = 0, C.5)
(x, х) -t _ dCijk (x, x) ш/ _ dCljk (x. x) .fe _ п
й X — . X — . X —U.
п д" д"
,.й X — . X —
дхп дх" дх
(<J.D)
Для дальнейших ссылок выразим уравнение касательной
гиперплоскости к индикатрисе B.2) в данной точке х1@) каса-
касательного пространства Тп(Р) через метрический тензор C.1).
Так же, как и в обычной аналитической геометрии, уравнение
этой гиперплоскости имеет вид2)
*<*>
) (*'--*№>)=
После использования тождества A.19а) и определения C.1)
метрического тензора уравнение C.7) переписывается в виде
') Картан [1], с. 11. Применение тензорного исчисления к вариацион-
вариационному исчислению подробно обсуждается Дондером [1] иДушеком и
Майером [1]. В этой связи мы должны также упомянуть Тукера [1],
Боске [1], [2] и В е б л ен а [2]. Джонсоном [1] сделана попытка при-
применить тензорное исчисление к неоднородным проблемам вариационного ис-
исчисления.
2) Легко проверить непосредственно, что если B.2) записано в парамет-
параметрическом виде х1 = х1 (х1, и") (а=1, ..., п — 1), то дх1/диа являются теми
(п—1) векторами, определенными в каждой точке поверхности B.2), на ко-
которые натягивается искомая гиперплоскость. Уравнение C.7) немедленно сле-
следует после дифференцирования тождества/7 {xk, xk (x^, и")) = 1, вытекающего
из определения индикатрисы B.2), по иа.
36 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Выражая расстояние ds между двумя точками х' и х' + dx'
из пространства Х„, определяемое равенством A.14), через ме-
метрический тензор, мы получаем
ds2 = gij(x,dx)dx'dxl. C.9)
Следовательно, риманово пространство с положительно опреде-
определенной метрикой является частным случаем нашего метриче-
метрического пространства и соответствует метрической функции F,
у которой тензор gn не зависит от направлений. В этом случае
индикатриса C.3) каждого касательного пространства Тп(Р)
принимает вид gj/(jt)jW = 1, где компоненты метрического тен-
тензора подразумеваются фиксированными (в данной координат-
координатной системе) в Тп(Р). Поэтому последнее уравнение представ-
представляет квадратичную гиперповерхность, и поскольку квадратич-
квадратичная форма в левой части положительно определена в соответ-
соответствии с нашим условием С, то эта гиперповерхность будет
(п—1)-мерным эллипсоидом. Посредством аффинного преоб-
преобразования в Тп{Р) это уравнение можно преобразовать к виду
п
']? (х{J = U другими словами, квадратичная индикатриса —
с точностью до аффинного преобразования — эквивалентна
(п—1)-мерной единичной сфере евклидовой геометрии. Так
как во всех случаях метрика в Хп локально определяется ме-
метрикой его касательных пространств, то риманово простран-
пространство локально евклидово.
Аналогично можно локально рассматривать метрику финс-
лерова пространства как метрику пространства Минковского.
В последнем случае индикатриса, вообще говоря, не яв-
является квадратичной гиперповерхностью. Тем не менее можно
построить квадратичную гиперповерхность для каждого фикси-
фиксированного вектора i[0) с помощью уравнения
Q2 = ?„(**¦ х{0))х>х> = 1. (ЗЛО)
В этом уравнении xk, х^0) предполагаются фиксированными,
в то время как х' являются переменными. Эта гиперповерхность
называется соприкасающейся индикатрисой*). В точке х1 = х*0)
она имеет соприкосновение второго порядка с индикатрисой
C.3), что немедленно следует из равенства вторых произвол-
ных функций F и Q при х1 — x'{0)i
Указанная конструкция сильно повлияла на развитие гео-
геометрии Минковского. Вместо того чтобы полагать, что инди-
индикатриса C.3) играет роль единичной сферы, можно построить
соприкасающуюся квадрику C.10) для каждого направления
') Финслер [1], с. 42,
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР 37
xL в Тп(Р) и таким образом для каждого линейного элемента
(х', i('0)) получить евклидову метрику. В последующих главах
мы покажем, как принятие или непринятие этой конструкции
приводит к существенно различным подходам к финслеровой
геометрии. Систематическое изучение геометрии Минкрвского
на основе евклидовой метрики, связанной с каждым направле-
направлением , было проведено О. Варгой [1].
Построение соприкасающейся индикатрисы существенно опирается на ус-
условие С и может оказаться невозможным, если заменить это условие более
общим условием выпуклости A.21). На это указывает следующий 2-мерный
пример. Расмотрим функцию
F(xu i2) = (х5* + i2m)^, C.11)
где m — положительное четное целое число ^2 '). Легко проверить, что функ-
функция C.11) удовлетворяет условиям А, В и условию выпуклости A.21). Ис-
Используя C.1), находим
2
\Х1
п—2 /л
\Х1
gi2 = B - т) (ххх2)т-> (i™ + *f)~\ C.12)
g22 = хГ2 (i? + *?)~2 [(m -\)i? + Щ
В точке х\ = 1, Х2 = 0 индикатрисы величины gl2 и §22 обращаются в
нуль, тогда как gu = 1, если только не имеет места т = 2. Следовательно,
уравнение C.10) соприкасающейся индикатрисы в этой точке имеет вид
ij = 1, т. е. мы получаем не эллипс, а пару прямых линий, именно, касатель-
касательные прямые к индикатрисе в точках (—1, 0) и (+1, 0). Очевидно, подобное
явление имеет место и в точках @, 1) и @, —1). Причина этого вырождения
заключается в том, что детерминант тензора gi.
{xf + xfJ~
обращается в нуль при х\ = 1, хг = 0, если только не имеет места m = 2 (в
этом случае мы имеем евклидову метрику).
Тем не менее в дальнейшем мы увидим, что многие результаты, которые
выводятся на основе условия С, будут также справедливы при более общем
предположении выпуклости A.21). Этот факт следует подчеркнуть: мы будем
обращаться к этому примеру по ходу изложения.
Условие С может быть представлено в несколько иной фор-
форме следующим образом. Возвращаясь к уравнению A.12), мы
видим, что если F11— алгебраическое дополнение kFa? в детер-
детерминанте |/VV|, то справедливы равенства
х х х C.14)
12 • • ' pin
') При пг = 4 этот пример рассматривал Риман ([1], с. 278).- В этом
частном примере мы пишем индексы, указывающие компоненты, внизу для
того, чтобы избежать смешения с показателями степени.
38
ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следовательно, должна существовать такая функция F\ (х, х),
что
i'x'Fi = Fi!. C.15)
Если мы умножим это уравнение на
то в силу A.11) получим
(суммируя по / и /),
или ')
;
Аналогично, после умножения C.15) на х1х> мы найдем
-2
Fi = -
F.i.i X1
х х'
X1 О
(зле)
C.17)
Это та форма функции Fu которая была введена Вейерштрас-
сом в его теории параметрических задач вариационного исчис-
исчисления. Такая задача регулярна в области тогда и только тогда,
когда функция Fi всюду положительна в этой области2). Это
непосредственно следует из A.26а) и A.27).
§ 4. Дуальное касательное пространство. Фигуратриса
Продолжим наше рассмотрение касательного пространства
Тп(Р), связанного с точкой Р(х') из Хп. Координаты х1 в этом
параграфе предполагаются фиксированными.
Используя метрический тензор C.1), мы можем поставить
в соответствие каждому произвольному контравариантному
вектору х' из Тп(Р) ковариантный вектор г/,-, определенный со-
соотношением
yi = gij(x,x)x1, D.1)
где аргумент направления в тензоре gij совпадает с рассма-
рассматриваемым вектором х1. Таким образом, соотношение D.1) ста-
ставит в соответствие каждой точке х' из Тп(Р) набор значений
tji. Соответствие D.1) представляет собой аналитическую фор-
формулировку замечательного геометрического явления — двой-
двойственности между ковариантными и контравариантными век-
векторами. Прежде всего, tji могут рассматриваться как коорди-
') Ср., например, Перрон [1], с. 99.
3) Ср. Каратеодори [1], с. 216 л 245.
§ 4. ДУАЛЬНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ФИГУРАТРИСА 39
наты точек некоторого векторного пространства Т'п(РI), ко-
которое мы будем называть дуальным касательным простран-
пространством к. Хп ъ точке Р. Пространство Т'п(Р) является множеством
всех ковариантных векторов, касательных к!л в точке Р. Как
и прежде, каждая координатная система в Хп однозначно оп-
определяет координатную систему в Т'п(Р). Используя D.1), не«
трудно показать, что преобразование A.1) индуцирует линей-
линейное преобразование
1?
в Гп(Р).
С другой стороны, хорошо известно2), что любому кова-
риантному вектору «,• однозначно соответствует гиперплоскость
в Тп(Р), задаваемая уравнением
utxl — const. D.3)
Изменяя константу в этом уравнении, мы получим семейство
параллельных гиперплоскостей. Дадим константе в D.3) та-
такое значение, чтобы гиперплоскость D.3) оказалась касатель-
касательной к гиперповерхности
Я (**, xk) = gil (**, xk) xlx! = r\ D.4)
где г > 0 фиксировано. Уравнение D.4) представляет собой ги-
гиперповерхность, гомотетичную индикатрисе C.3). Разумеется,
значение константы в D.3) зависит от значений щ и г; следо-
следовательно, уравнение касательной гиперплоскости имеет вид
Щх1 = гН(х\ик), D.5)
где Н — некоторая функция от х" и и& (вследствие того, что
8ч — функции переменных xk, хотя эти переменные и зафикси-
зафиксированы в пространствах Тп(Р) и Т'п(Р)K). Понятно, что если
мы заменим и& пропорциональными компонентами и? = Я«?
с Я, > 0, то для той же самой гиперплоскости мы получим урав-
') Это очевидно из того факта, что соотношение D.1) обладает обрат-
обратным: действительно, из теоремы о неявной функции следует, что при условии
det
д
TTteih1
?-0
можно решить уравнения D.1) относительно х1 как функций от yi. Но из
C.4) и C.5) мы можем вывести, что элементы этого детерминанта равны
gi/{x,x), так что требуемое условие удовлетворяется ввиду A.25).
2) Схоутен [1], с. 7.
3) Тот факт, что константа в правой части D.3) прямо пропорциональна
г (что делает законным обозначение D.5)), легко устанавливается путем рас-
рассмотрения различных значений гх и г2 в построении D.4).
40 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
нение D.5) с и\ вместо и*. Отсюда следует, что
Н (х\ Kuk) = КН (**, ик) (Я > 0), D.6)
т. е. функция Н положительно однородна степени 1 по uk.
Гиперплоскость D.5) разделяет пространство Тп(Р) на две
области Si и S2- Она имеет одну общую точку с гиперповерх-
гиперповерхностью D.4), а именно точку соприкосновения. В силу нашего
условия выпуклости A.21) все другие точки этой гиперповерх-
гиперповерхности лежат строго по одну сторону от гиперплоскости D.5),
т. е. все они целиком содержатся в одной из областей Si и S2.
Гиперплоскость D.5) называется опорной плоскостью гипер-
гиперповерхности D.4), а функция Н — опорной функцией гиперпо-
гиперповерхности ').
Для всех точек, лежащих внутри или на гиперповерхности
D.4), имеет место неравенство
и{х* < гН {х\ ик), D.7)
так что rH(xk, Uk) может быть определена как точная верхняя
грань для (щх1) при условии F(xk, xk)^.r. Обратно, множе-
множество всех точек, удовлетворяющих неравенству D.7) (для лю-
любого выбора Ui), является множеством, для которого
F{xl, x')^r. Поскольку мы предположили, что г > 0, то от-
отсюда непосредственно следует
Н {х\ uk) > 0, D.8)
если только не все Uk равны нулю одновременно.
Пусть х1(й) — координаты точки соприкосновения гиперпло-
гиперплоскости D.5) с гиперповерхностью D.4). Аналогично C.8), мы
можем записать уравнение касательной гиперплоскости в виде
а (х.к xk ~\ х1 х) = г2
или, используя D.1) и обозначая через yf1 компоненты кова-
риантного вектора из Т'п (Р), соответствующего xL, в виде
yf)Xi = г2. D.9)
Так как уравнения D.5) и D.9) представляют одну и ту же ги*
перплоскость, то мы имеем
Поэтому в силу D.6) координаты н, определяются по yf)
с точностью до положительного множителя X. Выберем «<°> = Ям,
') Ср. Боннезен и Фенхель [1], с. 4 и 23, где рассматрчвается
только случай г = 1. Однако для наших целей часто удобнее рассматривать
гиперповерхности, гомотетичные индикатрисе.
§ 4. ДУАЛЬНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ФИГУРАТРИСА 41
так, чтобы Н (л;*, ы(й0)) = г. Тогда вследствие D.10) мы
имеем uf] = yf и уравнение D.9) касательной гиперплоскости
принимает вид
yfW = H2(xk,yf). D.11)
В частности, точка х}0) лежит на гиперплоскости. Поэтому из
C.2), D.1) и D.11) следует, что
Я2 (**, yf) = *,<% = gt/ (хк, **0)) *<0)*{0) = F* (х", хк0)). D.12)
Полученное тождество является наиболее общим тождеством,
включающим соответствующие векторы (или точки) xL и г/<0)
из пространств Тп(Р) и Т'п(Р).
Так как по определению правая часть D.12) представляет
собой квадрат длины вектора хк0), то естественно рассматривать
левую часть Я2 [хк, у(°]) (которая не включает явно xk0)) как
квадрат длины вектора yf> из Т'п(Р). Поэтому мы будем рас-
рассматривать опорную функцию индикатрисы (или гомотетичных
ей поверхностей) в Тп(Р) как метрическую функцию простран-
пространства Т'п(Р){). Мы можем построить в Т'п(Р) гиперповерхность,
определяющую единичные ковариантные векторы,
H{x\yk)=\. D.13)
Снова это замкнутая выпуклая гиперповерхность. Этот факт
может быть доказан так же, как для индикатрисы, поскольку
мы видели, что если отвлечься от условия выпуклости, Н(хи,уй)
удовлетворяет тем же условиям, что и F(xk, хк). Условие вы-
выпуклости легко доказывается следующим образом2). Если ы,-,
Vi — произвольные векторы из Т'п(Р), то из D.7) следует, что
для всех точек, удовлетворяющих неравенству F(xl, х') ^ г,
мы имеем
и(х' < гН (xk, uk), ViX1 < rH (xk, vk)
или
(и, + vt) xl < г {Н (х\ ик) + Я (х\ vk)}.
Но поскольку rH(xk, Uk-\-Vk) —верхняя точная грань для
(и,; + Vi)x', достигаемая в определенной точке множества
Р(х', х') ^ г, то
Я (xk, uk + oft)< Я (х\ uk) + Н {х\ vk). D.14)
Таким образом, гиперповерхность D.13) в Т'п{Р) играет роль
единичной сферы в Т'п (Р) и индуцирует метрику Минковского в
этом пространстве. Эта гиперповерхность называется фигура-
трисой.
') Рунд [1], с. 60—62.
2) Боиаезеа и Фенхель [1],с, 24.
42 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итак, мы имеем полностью симметричную двойственность
между пространствами Тп(Р) и Т'п(Р), поскольку можно пока-
показать обратно, что F(x, x) является опорной функцией фигура-
фигуратрисы.
Фигуратриса была впервые открыта Минковским в связи с его теорией
выпуклых тел (в евклидовом пространстве). Терминология следует Адамару,
который переоткрыл фигуратрису в вариационном исчислении1).
Если рассмотреть евклидову метрику, то в Тп(Р) можно определить ев-
п
клидову единичную сферу 2_, (*1J — ' и легко показать, что фигуратриса
получается из индикатрисы с помощью преобразования взаимных поляр отно-
относительно евклидовой единичной сферы2). В отличие от нашего метода, Ка-
Каратеодори записывал уравнение фигуратрисы в виде Х(х, у) = 0. Это отли-
отличие является следствием существенно иного подхода к трактовке функций Га-
Гамильтона параметрических задач вариационного исчисления. Мы вернемся к
этому вопросу в следующем параграфе.
Бляшке [1] дал подробную трактовку фигуратрисы в случаях двух и
трех измерений, также дополнительно вводя евклидову метрику. Для дву-
двумерного случая им было показано, что функция Fi (§ 3) представляет собой
радиус кривизны фигуратрисы, в то время как J?-функция3) Вейерштрасса
допускает простую интерпретацию, которую мы обсудим в § 6 для га-мерного
случая. Кроме того, он показал, что с точки зрения вариационного исчисле-
исчисления фигуратриса может быть более полезной, чем индикатриса, при наруше-
нарушении условия В. В трехмерном случае функция Ft является обратной гауссовой
кривизной фигуратрисы. Это приводит к наглядной интерпретации некоторых
необходимых условий в вариационном исчислении в терминах главных радиу-
радиусов кривизны. В той же самой статье Бляшке обсуждает обобщение понятия
фигуратрисы на случай кратных интегралов. Почти те же самые вопросы
были независимо изучены в статье Р и дер а [1]. С помощью аналитических
методов, описанных Боннезеном и Фенхелем [1], результаты Бляшке
могут быть непосредственно обобщены на «-мерный случай. Фигуратриса ока-
оказывается также полезной в применениях к геометрической оптике4).
§ 5. Функция Гамильтона
Так как функция H(xk, ук) положительно однородна сте-
степени 1 по ук, то имеют место тождества
Н (х, у) = Hyt (x, у) yt E.1)
и
Ну1у,<<х'У)У1 = 0- <5-2)
Аналогично A.13) обращается в нуль детерминант
det ~^Г =0- E-3)
') М и н к овс к и й [2],
2) Каратеодори
3) Каратеодори
*) Каратеодори
§8;Адамар [1], с. 92.
, с. 246—248.
, с. 224.
; С и н г ?4],
§ 5. ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА 43
Определим контравариантный метрический тензор, отвечаю-
отвечающий ковариантному вектору у,-, равенствами
gilix и) _ I ^' (х, у) E4)
g (х, у)— 2 dyidyi ¦ \ъл)
Для доказательства того, что g'l являются компонентами тен-
тензора, достаточно продифференцировать закон преобразования
скаляра Я2 и учесть D.2). Поскольку Н2 — однородная функ-
функция степени 2 по yt, то из теорем Эйлера об однородных функ-
функциях следует тождество
НЦх, y) = gi!(x, y)yty}. E.5)
Пусть х1 и yi — два вектора из пространств Тп (Р) и Т'п (Р)
соответственно, двойственные друг другу согласно D.1). В силу
определения C.1) и тождества A.19а) соответствие D.1) мо-
может быть записано в виде
дР[х*] E.6)
дх1
Поскольку соотношения между пространствами Тп(Р) и Т'п{Р)
полностью симметричны, то обратное к E.6) соотношение имеет
аналогичный вид
xl = H{X,y)^fl. E.7)
Перепишем E.4) в виде
gi! (х, у) = Ну. (х, у) • HVj {x, y) + H (х, у) HyiVj (x, у).
Умножение этого равенства на у, и использование E.1) и E.2)
показывает, что E.7) эквивалентно соотношению
х' = 8"(х,у)у„ E.8)
которое является обращением соотношения D.1).
Дифференцирование E.7) по хк дает тождество ')
которое в силу E.7), D.1) и C.5) сводится к виду
gi!{x,x)g^{x,y)=b). E.9)
Функции g''(xk, yk) (как и функции gu(xk, xk)) однородны
нулевой степени по уи- Следовательно, справедливы тождества
Щ^АУ1^^ЛУк = о. E.Ю)
') Здесь б^ обозначает символ Кронекера: 6^ = 0, если i ф к, и 6^=1,
если / = k.
44 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поэтому, после дифференцирования равенств E.9) по х" и ум-
умножения на х!ук, мы получим
.. , dgik(x, у)
g (x, у) x'yk = — gu (х, х) ——-h х1
. я о v-j i// i/я. <5'| * ' "¦/ а„Л
или, используя D.1) и E.8),
dgik (x, у)
х'Уь
——й х а; —
Таким образом, из C.2) и E.5) следует равенство
dF (х, х) = _ дН (х, у)
дхк дхн ' ( " '
где, аналогично каноническим уравнениям механики, мы рас-
рассматриваем (х\ х') и (х', yi) как независимые переменные ле-
левой и правой сторон соответственно'). Более того, если yi—
единичный вектор, т. е. если
Н{х\ ук)=\, E.12)
то уравнения E.6) и E.7) принимают вид
dF ., дН
Проведенное в настоящем и в предыдущем параграфах рассмотрение
функции Н(х,у) имело своей целью выяснить геометрическую природу этой
функции, в частности тот факт, что она служит опорной функцией для инди-
индикатрисы. Нижеследующее чисто аналитическое рассмотрение существенно ко-
короче. Прежде всего заметим, что при тех ограничениях, которые мы нало-
наложили на функцию F (х,х), доказательство свойств дифференцируемости функ-
функции Н(х, у) по yi не представляет никаких трудностей: фактически эта проб-
проблема была исследована Боннезеном и Фенхелем2) с более общей точки зре-
зрения. Далее, согласно C.1) выражения D 1), определяющие г/г, положительно
однородны степени 1 по к1. Принимая ко внимание условие A.25), мы видим,
что уравнения D.1) можно разрешить относительно х', т. е. можно выразить
х' как функции от yt, именно,
х1 = V (х\ yk). E.7а)
Эти функции положительно однородны первой степени по у*. Подставляя
¦§'(хк, ук) в D.1), мы получим тождество относительно (хк, ук), после диф-
дифференцирования которого по ;/* получается уравнение
где мы положили я|У'4 = д^/дуь. В силу C.5) первый член в правой части
этого уравнения тождественно обращается в нуль; следовательно, гр'* являют-
являются элементами матрицы, обратной к симметричной матрице \\gi/\\:
git (x, $) ytk (х, у) = Sf. E.9a)
') Рунд [2], с. 210.
2) Боннезен и Фенхель [ 1 ], с. 26.
§ 5. ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА 45
Альтернативное определение функции Н(х, у) получается подстановкой
E.7а) в F(x, к), т. е.
Я (х, y) = F (jc, if (jc, у)). E.5а)
Дифференцируя функцию Н по (/< и используя A.19а) и C.1), находим
откуда вследствие E.7а) и E.9а) получаем уравнение
эквивалентное E 7). С учетом E 9) из E.9а) следует, что справедливо ра-
равенство I])"" = g'*, правая часть которого совпадает с E.4). Таким образом,
этот метод дает нам возможность установить дифференцируемость Н(х, у) по
всем своим аргументам без каких-либо трудностей.
Читатель немедленно заметит близкое сходство между ка-
каноническими соотношениями механики и нашими уравнениями
E.11) и E.13), причем опорная функция играет роль функции
Гамильтона. Заметим, что условие E.12) может быть всегда
обеспечено подходящим выбором параметра s длины дуги: дей-
действительно, если функция F рассматривается как функция Ла-
гранжа некоторой динамической системы, то можно показать,
что «нормировка» E.12) эквивалентна уравнению энергии для
консервативной системы1). Поэтому в дальнейшем мы будем
рассматривать Н как функцию Гамильтона для задачи ва-
вариационного исчисления, порождаемой функцией F. Это прямо
противоположно методу, предложенному Каратеодори2) для
изучения параметрических задач, в котором вместо вполне оп-
определенной функции Гамильтона постулируется уравнение Га-
Гамильтона. Последний метод использовал также Дирак [1]:
в обеих этих теориях приходится бороться с неопределенностью
функции Гамильтона и, следовательно, с неопределенными
множителями. Напротив, геометрический метод, рассмотрен-
рассмотренный в настоящем параграфе3), естественно приводит к опре-
определенному гамильтониану и не имеет указанных недостатков.
Кроме того, теперь мы имеем ясную геометрическую интер-
интерпретацию соотношений D.1) и E.8): они описывают двойствен-
двойственность между касательными пространствами Тп(Р) и Т'п(Р),
а также между индикатрисой и фигуратрисой. В то же время
с точки зрения механики они представляют собой соответствие
между обобщенными компонентами скорости и канонического
. импульса динамической системы. Следует также указать, что
') Рунд [2].
2) Каратеодори [1], с. 218.
3) См. также гл. VII. — Прим. перев.
46 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
функции F и Н могут быть получены друг из друга преобразо-
преобразованиями Лежандра ').
В заключение настоящего параграфа остановимся на естественно возни-
возникающем вопросе, останутся ли справедливыми соотношения между простран-
пространствами Тп(Р) и Тп (Р) при менее ограничительном условии выпуклости
A.21), т. е. является ли условие С существенным. В этой связи поучительно
снова обратиться к нашему двумерному примеру C.11). Используя C.12),
мы получаем из D.1)
ya = xm-l(xm + x?)~^~[ (a, p = l, 2). E.14)
Точки @, 1) и A, 0) пространства Т2(Р), в которых детерминант уравнения
C.13) обращается в нуль, соответствуют точкам @, 1) и A, 0) простран-
пространства Т2 (Р). Функция Гамильтона оказывается равной
m-l
{ ) . E-15)
а так как т — целое число, то нетрудно проверить, что фигуратриса D.13)
является замкнутой выпуклой кривой в Г2 (Р). Дифференцирование функции
Гамильтона E.15) приводит к уравнению E.7). Метрический тензор E.4)
принимает следующий вид:
2 2-т
__
8 =Н \т_\) (У'^г) ' EЛ6)
2 2-т Г т т
I 1 т-1 , т—1
С помощью этих уравнений и уравнения E.12) можно прямым вычислением
получить равенства E.8) и E.9). Очевидно, что эти равенства должны вы-
выполняться при всех значениях yi и г/г- Хотя gli -*- оо при (/i-»-0 (m > 2), тем
че менее мы видим, что
2 1 г т т
I
при г/i ->- 0. Аналогично,
2т г т+1 1 2т-1
/71— 1
при г/1 ->0, в то время как
2m r 2m m
ym
-1 -|
-l J _^
т 2т '
, 1 , ч т—1 . т — 1
+ ——г (yiyu + у2
m — 1 А
') Вельте [1].
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 47
Точка A, 0) может быть рассмотрена точно так же из соображений сим-
симметрии.
Ясно поэтому, что теория в ее настоящем виде в принципе справедлива,
несмотря на возможное обращение в нуль детерминанта g в отдельных точ-
точках. С другой стороны, если мы хотим использовать соприкасающуюся инди-
индикатрису (или соприкасающуюся фигуратрису), то эти точки должны быть
исключены, поскольку нам придется рассматривать величины типа gn(x, y)r)i
(с Ц\?=У\), которые будут стремиться к бесконечности при у\ -*¦ 0. Источ-
Источник этих трудностей, разумеется, лежит в том, что функция Н(х, у) не обя-
обязана быть дважды дифференцируемой по у; во всех точках.
§ 6. Тригонометрические функции и ортогональность
При изучении финслеровых пространств нам понадобятся
тригонометрические функции и углы, определенные в произ-
произвольной точке Р{х'). Понятно, что их следует определять в тер-
терминах локальной метрики, т. е. в терминах метрики касатель-
касательного пространства Минковского в рассматриваемой точке. По-
Поэтому прежде всего мы изучим эти понятия для случая про-
пространства Минковского. К сожалению, в пространстве Минков-
Минковского существует ряд различных инвариантов, которые сво-
сводятся к одному и тому же классическому евклидову инвариан-
инварианту в случае, когда пространство Минковского вырождается в
евклидово пространство. Вследствие этого в литературе, по-
посвященной пространствам Минковского и Финслера, встре-
встречаются различные определения тригонометрических функций и
углов. В настоящем параграфе мы рассмотрим различные точ-
точки зрения на эти вопросы с помощью индикатрисы как исход-
исходного инструмента нашего исследования.
Прежде всего мы займемся понятием ортогональности. В ев-
евклидовой геометрии любая прямая, параллельная плоскости,
касательной к сфере, ортогональна радиус-вектору, соединяю-
соединяющему центр с точкой касания плоскости со сферой. Поскольку
мы рассматриваем индикатрису как обобщенную сферу в про-
пространстве Минковского, то это естественно приводит нас к сле-
следующему определению. Пусть |< — произвольный вектор длины
||| = F(*, |), выходящий из центра О пространства Тп(Р).
Построим гиперповерхность /|.- F(x, к1) = (||, гомотетичную
индикатрисе (т. е. обобщенную «сферу радиуса |?|»). Анало-
Аналогично C.8), уравнение касательной гиперплоскости к /| в точке
!' имеет вид
&/(**. S*)!'*7 = 16Р. F.1)
Любой вектор ц', принадлежащий или параллельный этой ги-
гиперплоскости, называется ортогональным или нормальным к {•'.
Поскольку такой вектор ц' может быть представлен как раз-
разность двух векторов i[2) и xlw, каждый из которых удовлетво-
удовлетворяет уравнению F.1), то условие нормальности х\' к §' в Тп{Р)
48 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
может быть записано в виде
Ы**, !*НУ = о. F.2)
Заметим, что ортогональность несимметрична относительно
векторов ?' и т)'. Симметричность имела бы место, если бы ко-
коэффициенты gij(xk, |ft) в левой части F.2) не зависели от ар-
аргументов, что возможно лишь в случае, когда метрика в Тп(Р)
является евклидовой1). В дальнейшем станет очевидно, что
отсутствие симметрии приводит ко многим существенно отлич-
отличным чертам в локальной геометрии финслерова пространства
по сравнению с локально евклидовой геометрией.
В силу соотношений D.1) и E.6) (примененных к ?') усло-
условие ортогональности F.2) может быть записано в виде
^4^V = o. (б.з)
дх'
Но это в точности условие трансверсальности вариационных за-
задач в параметрической форме2): поэтому наше обобщенное
понятие ортогональности эквивалентно понятию трансверсаль-
трансверсальности.
Теперь мы можем определить косинус, соответствующий
двум произвольным векторам |; и ц\ выходящим из центра ка-
') Более точно, зададимся вопросом: каким условиям должна удовлетво-
удовлетворять фундаментальная функция F(x, х) регулярной вариационной задачи для
того, чтобы условие трансверсальности было симметричным. Для случая
п — 3 ответ на этот вопрос был дан Бляшке [3]: необходимое и достаточ-
достаточное условие того, чтобы требуемое свойство симметрии имело место, состоит
в том, чтобы функция F(x, x) имела вид
F (х, х) = [а{} (х) х1х!}112.
Этот результат доказан Бляшке на основе следующей теоремы: замкнутая
выпуклая поверхность, касающаяся каждого описанного цилиндра по плоской
кривой, обязательно должна быть эллипсоидом. См. Боненблюст [1].
Следует отметить, что эта теорема несправедлива при п = 2; контрпри-
контрпримером является известный класс замкнутых плоских кривых, рассмотренный
Радоном [1]. У этих кривых имеется то общее с эллипсами свойство, что
они обладают сопряженными диаметрами (определяемыми посредством пары
параллельных касательных). Характеристика таких кривых дана Лаугви-
цем [1], с. 239.
2) Б о л ьц а [1], с. 303; Каратеодори [1], с 248. Нетрудно показать,
что трансверсальность эквивалентна евклидову понятию ортогональности тогда
и только тогда, когда F (х, х) имеет вид
F (х, x) = G(.
что предполагает локально евклидову метрику. См. Мансилл [1]; Беке
!11. Для параметрического случая проблема обсуждалась в работах Лап аса
1], [2], с. 461. В этих работах также исследуется проблема нахождения
всех подходящих метрических функций F(x, x), исходя из предположения ус-
условий трансверсальности.
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 49
сательного пространства Т„(Р). Пусть вектор г\' (или его про-
продолжение) пересекает гиперплоскость F.1) в точке Q. Обозна-
Обозначим через R точку соприкосновения гиперплоскости F.1) с ги-
гиперповерхностью 1%. Тогда по построению вектор RQ нормален
к вектору OR и, следовательно, мы можем определить косинус
равенством
cos (|, л) = ± I ОД |/| OQ |, F.4а)
где в правой части стоит отношение соответствующих измерен-
измеренных в пространстве Минковского длин, а знак -+- или — вы-
выбирается в соответствии с тем, лежат ли точки ц1 и R по одну
или по разные стороны гиперплоскости, параллельной гипер-
гиперплоскости F.1) и проходящей через точку О. Координаты точ-
точки Q могут быть определены с помощью уравнения F.1); в ре-
результате мы находим следующее аналитическое выражение1):
СМ №' ")=Я/>(*», 6»)/>(*»,„»)• F'4)
Оно тоже несимметрично по своим аргументам |' и г)'. Из со-
соотношения F.2) следует, что cos (|, г)) = 0, если вектор if
нормален к вектору ?'. Так как Цц однородны нулевой степени
по аргументам направления, то из F.4) следует, что cos(|, r|)
-не зависит от длин векторов |' и ц'. Легко проверяется,
что —1 ^cos(|, ц) ^ 1 в силу уравнений A.18) и C.1). От-
Отметим, что косинус F.4) должен рассматриваться как функция
двух направлений, а не как функция одной переменной (угла),
как это имеет место в евклидовой геометрии.
В дуальном касательном пространстве Тп (Р) имеются два вектора, соот-
соответствующие векторам |' и ц1 из Т„(Р). Естественно перенести аналогичную
конструкцию в Тп (Р) путем использования гиперповерхности, гомотетичной
фигуратрисе. Если мы обозначим получаемый таким образом косинус через
Cos (?, г|), то можно показать, что2)
Cos (I, г,) = cos (iq, |).
Таким образом, отличие между индикатрисой и фигуратрисой приводит к на-
нарушению симметрии косинуса.
Пусть уравнение
щх1 = 1 F.5)
представляет некоторую гиперплоскость в Тп(Р). Вследствие
нашего определения такая гиперплоскость обладает одним нор-
нормальным направлением, ибо мы всегда можем построить гомо-
') Строго говоря, при знаке —в F.4а) эквивалентность F.4) и F.4а) за-
зависит от условия А]. Тем не менее мы будем рассматривать F.4) как общее
определение косинуса.
2) Рунд [3],с. 17.
50 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
тетичную индикатрисе гиперповерхность, касающуюся гипер-
гиперплоскости в некоторой точке S. Направление OS представляет
собой нормальное направление. Опять же, как результат вы-
выпуклости, OS является кратчайшим расстоянием от точки О
до гиперплоскости. Если Т(х')—произвольная точка, не при-
принадлежащая гиперплоскости, то можно построить прямую ли-
линию ТМ, параллельную OS, которая пересечет гиперплоскость
в точке М. Элементарное вычисление показывает, что нормаль-
нормальное расстояние |7\М| от Т до гиперплоскости F.5) равно
тм\=±
Н (х, а)
F.6)
причем знак — или -+- берется в зависимости от того, лежит
ли Т по противоположную сторону от гиперплоскости, что и
центр, или по ту же сторону. В частности, нормальное расстоя-
расстояние от гиперплоскости до центра равно Н~1(х, а).
В качестве непосредственного применения этой формулы
рассмотрим две различные точки А (х'щ) и В (i*0)) на индика-
индикатрисе F(x, х) = 1. Если г/@>— элемент из Т'п(Р), соответствую-
соответствующий xL, го в силу D.12) мы имеем x^yf = 1, так что урав-
уравнение D.11) касательной гиперплоскости к индикатрисе в точ-
точке В имеет вид z/l0)i' = l. Построим прямую АС, параллельную
ОВ, до пересечения с этой гиперплоскостью в точке С. Тогда
согласно F.6) нормальное расстояние \АС\ равно
1 - yf%} =l-gt, (х, *@)) ЗД'о = 1 - cos (i@), iA))
(последнее равенство следует из D.1) и F.4)), где нами при-
принято во внимание, что х*0) и х'A)— единичные векторы. Однако
отношение |ЛС|/|ОВ| в точности равно «функции Вейер-
штрасса» <§{xk, xfoy i^) вариационного исчисления1). По-
Поскольку \ОВ\ = 1 по построению, то в силу E.6) мы имеем
% {х\ **,, **,) = F (х", **,) - Fj (х", **,) х\Х) = 1 - cos (i@), x{1)).
F.7)
Последнее уравнение может быть использовано также для того, чтобы
показать, что определение F.4) косинуса эквивалентно определению, данному
Финслером2). В этом определении косинус, отвечающий двум направлениям,
') Каратеодори [1], с. 223, уравнение B62.1), и с. 244. Эта функ-
функция первоначально была введена с чисто аналитической точки зрения в связи
с необходимыми условиями экстремума в вариационном исчислении. Ее экви-
эквивалентность с данным здесь геометрическим определением была указана К а -
ратеодори [2], [3] на евклидовой основе. Ясно, что выпуклость индика-
индикатрисы предполагает <В > 0 для всех наборов неравных i'1( и л:^, и обратно.
Это прямо следует из уравнения A.24). См. также Уайтхед [3].
2) Финслер [1], с. 39.
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 51
рассматривается как функция угла ф между ними. По существу, определение
косинуса у Финслера аналогично нашему, за исключением того, что исполь-
используется предельный процесс. После этого сам угол ф определяется путем по-
постулирования обычного разложения в ряд функции cos ф по ф. Позднее мы
вернемся к этому определению. В свою очередь предельный процесс, исполь-
использованный Финслером, приводит к уравнению F.7).
С другой стороны, произвольно задав фиксированное направ-
направление х\ мы можем построить соприкасающуюся индикатрису,
соответствующую х', и аналогичным образом определить коси-
косинус, отвечающий двум направлениям |' и ц'. Вместо правой
части уравнения F.4) получится выражение
(**.**) g Y
Это альтернативное определение косинуса, предложенное,
независимо, Бервальдом и Сингом1). Ясно, что это выражение
симметрично по |' и tj', однако оно зависит от выбора направ-
направления х', т. е. от так называемого опорного элемента. Поэтому
определение F.8) используется в тех теориях финслеровых
пространств, которые опираются на понятие опорного элемента.
Основываясь на понятии ассоциированной евклидовой ме-
метризации, Буземан предложил совершенно иной подход к про-
проблеме определения тригонометрических функций в симметрич-
симметричных пространствах (т. е. пространствах, удовлетворяющих ус-
условию А[) 2). Поскольку определения тригонометрических
функций по Буземану тесно связаны с определением объема в
пространстве Минковского, то мы отложим их обсуждение до
§ 8, посвященного объему. Там же будет естественно ввести
функцию синус в пространстве Минковского. Такая функция
была определена Буземаном, причем, в противоположность оп-
определенной выше функции косинус, она предполагает менее
ограничительные условия дифференцируемости индикатрисы.
Определение косинуса F.4а) подсказывает альтернативное определение.
Пусть OR и OQ — два вектора из Тп(Р), соответствующие %' и т)', и пусть
Q' — точка пересечения вектора ОС? (или его продолжения) с плоскостью,
касательной к /g в точке Р. Определим 3)
sin (|'< i\l) = ± тщгг, F.9а)
где знак + или — выбирается в зависимости от того, происходит ли враще-
вращение вектора RQ' вокруг О против часовой стрелки или по часовой стрелке.
Эта функция не допускает такого же простого аналитического представления,
как функция F.4) для косинуса. Не имеем мы также и равенства sin2(g,
iq) + cos2 (|, т)) = 1: как указывает Буземан4), такое равенство предполагает
') Бервальд [1], с. 217; [2], с. 56; Синг [1], с. 65.
2) Буземан [4 , §2; [5], §2.
3) Рунд [3],§ 10.
4) Буземан [4J, с. 162.
52 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
теорему Пифагора, которая, нообше говоря, несправедлива в пространствах
Минковского. Если обозначить вектор RQ' через ?, то из F.4 а) и F.4) сле-
следует, что
' ^|f W' F.9)
В силу формулы F.9а) соотношение между синусом и косинусом в простран-
пространстве Минковского представляется в виде
Эта функция также не зависит от длин векторов |' и ц' и несимметрична по
своим аргументам направлений. Если мы предположим, что индикатриса сим-
симметрична (условие Ai), то из F.9) последует нормальность г\' к |', следова-
следовательно, sin(|, т)) = ±1. Соотношение F.10) не очень полезно. В действитель-
действительности важная роль функции синус обусловливается тем фактом, что она
позволяет получить формулы сложения для тригонометрии пространства Мин-
Минковского. Пусть !', ц', х1 — три компланарные точки на индикатрисе, причем
вращение вокруг О от ?' к ц1 и затем к х' происходит против часовой стрелки;
тогда можно доказать справедливость следующих формул «сложения»:
cos (i, x) = cos (I, г]) cos On, x) — ^ .^' * {1 — cos (I, r\) cos (iq, |)}, F.11)
sin (i, x) = S™n |g' ^ {sin (r|, t) cos (ti, x) + cos (n, I) sin (ti, *)}. F.12)
С помощью этих уравнений можно легко найти обобщения формул евкли-
евклидовой тригонометрии: например, если вектор х1 нормален к tj', то
что соответствует тождеству sin ( а + — J = cos а. Для косинуса и синуса,
отвечающих двум близким единичным векторам |( и ?' + 61', можно легко
установить следующие соотношения:
cos (il, il + б|г) == t -1 г</ (*, |) б^ ftg/ + о (б|3), F.13)
sin (I1, I1 + S|') = [gtl (x, S|) Sif dll]ll2 + О F|2). F.14)
Они полезны для определения угла. В заключение отметим, что уравнения
F.11) —F.14) можно использовать для определения производных от синуса
и косинуса.
§ 7. Определения угла
Если мы продолжаем рассматривать индикатрису как по-
поверхность, играющую роль единичной сферы касательного про-
пространства Тп(Р) с метрикой Минковского, то наиболее естест-
естественное обобщение евклидова угла состоит в следующем. Два
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛА ' 53
произвольных непараллельных вектора ?', г\', выходящих из
точки Р, определяют двумерное линейное подпространство Гг,
а именно множество тех точек из Тп(Р), координаты которых
представляются в виде х' = Я,|'¦ + М'. гДе ^> М^ — переменные
параметры. Пространство Г2 пересекает индикатрису по замк-
замкнутой выпуклой кривой /2, содержащейся в Г2. Эта кривая иг-
играет роль «единичной окружности» в Г2. Пусть ?' и ц1 (про-
(продолженные, если необходимо) пересекают /2 в точках а и Ь. Тогда
наиболее короткая (в смысле метрики Минковского) из двух
дуг, вырезаемых точками а и b на /2, представляет собой воз-
возможное определение угла. В частности, пусть ?' и ?' -+- dV —
два равных по длине близких вектора из Т2. В силу C.5) из
равенства их длин следует
Ы**. ?*Нг<#-=о. G.1)
Поэтому вектор d\l нормален к ?' (или трансверсален %') в
смысле уравнения F.2). Угол с№ между векторами |' и |' -f-
+ d%' определится формулой
dQ = [gii{x\dlk)dlldlJTF-4x,l), G.2)
где d\'/F{x, ?) можно рассматривать как элемент дуги, вы-
вырезаемой из индикатрисы /2 двумя векторами. После интегри-
интегрирования выражения G.2) по конечной дуге индикатрисы /2 по-
получится конечный угол.
Это определение в действительности эквивалентно определению угла, дан-
данному Блиссом ') для случая двумерной вариационной задачи на евклидовой
основе. Подынтегральное выражение вариационной задачи задается в виде
/ (дг,, х2, т) л/х\ + *2> где *'• ^2 —точки декартовой плоскости, а т— (евкли-
(евклидов) угол между осью Х\ и направлением, определяемым вектором с компо-
компонентами ?\, х2. Соответствующий интеграл определяет «обобщенную длину»
в ллоскости (х\, х2), а кривые, минимизирующие обобщенные длины, являются
экстремалями. Пусть касательная к экстремали в точке (х\, х%) образует угол
t с осью х\. (Евклидов) угол т, определяемый (евклидовыми) тригонометри-
тригонометрическими функциями
f sin т + К cos т . _ — f cos т + fx sin т ,„ _.
-! т== , sint= : , . , G.3)
где аргументами функций f и fT = дЦдт являются (Х\, Хг, т), представляет
собой направление, трансверсальное к экстремали в точке (х\, jf2). Простое
вычисление показывает, что это понятие трансверсальности эквивалентно
тому, которое определяется уравнением F.3). Пусть теперь О А', О А — экс-
экстремали, пересекающиеся в точке О и такие, что для обобщенных длин дуг
справедливо равенство ОА = ОА' = г. Обозначим через / обобщенную длину
дуги кривой АА', трансверсальной к экстремалям ОА и ОА'. Тогда обобщен-
') Б лисе [1], с. 190; форма G,2) для угла дана Рун дом [1], с. 63.
54 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ный угол G между О А и О А' определяется равенством
8 = Iim —. G.4)
г->0 т
Условие трансверсальности G.1) показывает, что определение G.2) сводится
для рассматриваемого случая к определению G.4). В терминах евклидовой
геометрии плоскости (хь х2) можно вывести следующую формулу для угла 0
между двумя направлениями, составляющими углы Tj и Тг с осью Х\:
где f—трансверсальное к т направление, задаваемое уравнениями G.3)').
Главное преимущество данного выше определения угла со-
состоит в том, что угол оказывается аддитивной функцией в том
смысле, что если ?', ту, ?' — три компланарных вектора, выхо-
выходящие из точки О, то сумма углов, определяемых направле-
направлениями |', ту и ту, %', равна углу, определяемому по |\ t,'. Неко-
Некоторые недостатки этого определения мы обсудим после того,
как дадим альтернативные определения угла по Финслеру и
Ландсбергу.
Финслер начинает с рассмотрения уравнения F.7J). Пред-
Предполагается, что два единичных вектора %' и ту определяют та-
такую скалярную функцию ср, что
cosg, л)=1--^- + 1Г+ ••- G-6)
причем косинус задается формулой F.7). Если мы разложим
член F(xk, r\k), появляющийся в выражении F.7) для ^"-функ-
^"-функции, в ряд Тейлора в окрестности ?*, то мы найдем, что
8 (хк, f, цк) = i F.iki(Г - V) (?' ~ V), G.7)
где
Fj*. = f 4y (xk, 9?fe + A - 9) цк) @ < 9 < 1).
В силу соотношений F.7), G.6) и G.7) можно положить
Ф2 = FJ., (хк, t) F1 - т!() A' - V) A - Л), G.8)
где Л-»-0 при ту'-*¦ ?'. В частности, если ту = |' + d\l (векторы
единичные), то угол dq> между этими векторами определяется
равенством
dq>2 = F.i.i (x, |) d\l dl1. G.9)
') Блисс [1], с. 192.
2) Финслер [1], с. 39.
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛА 55
Это определение допускает следующую геометрическую ин-
интерпретацию. Из соотношений C.1) и A.19с) мы имеем
Вц(*, t) = gth(x. Dg/ki*' 1Iк +Ft'tlix, I),
ибо F(xk, ?*) = 1. Умножая это уравнение на dg'dg/ и прини-
принимая во внимание G.1) и определение G.9), находим
dq,2 = gil(x,l)dlidll, G.10)
пренебрегая величинами более высокого порядка малости. Это
выражение представляет собой квадрат длины дуги, вырезае-
вырезаемой из соприкасающейся индикатрисы Ц векторами ?' и ?' -f-
-f- d\' (измерение производится посредством ]*г), где Л — квад-
квадрика, получаемая путем пересечения двумерного линейного
пространства Т2, определяемого векторами |' и {•' -+- d\l, с со-
соприкасающейся индикатрисой, соответствующей направлению |'.
Используя G.7), мы можем записать уравнение G.9) в
виде
у dq>2 = #(**,?*, lk + dt). G.11)
Это соотношение было найдено Ландобергом в связи с двумер-
двумерными вариационными задачами, причем и на этот раз рассмо-
рассмотрение проводилось на евклидовой основе1). Уравнение G.11),
однако, не совпадает с оригинальным определением Ландсбер-
га; его собственное определение задается соотношением
ср* = \ (!' df - |2 dV) [F, (x, l)f2, G.12)
представляющим собой угол между двумя единичными векто-
векторами Ц0), I'd, где функция Л определяется так же, как и в урав-
уравнении C.15). Ландсберг пришел к определению G.12) при рас-
рассмотрении точных инвариантных дифференциалов, возникающих
в двумерной вариационной задаче. Уравнение G.11), следую-
следующее из G.12), устанавливает эквивалентность определений
Ландсберга и Финслера для бесконечно малых углов.
Сам Финслер в своей последней публикации 2) указывал, что определение
G.8) не представляет собой аддитивной угловой меры. Тем не менее аддитив-
аддитивное определение может быть выведено из G.8) следующим образом. Пусть
') Это соотношение позволяет дать интерпретацию dcp2 на действительной
индикатрисе: по определению (§ 6) правая часть в уравнении G.11) соответ-
соответствует расстоянию в смысле метрики Минковского от точки |' + d\' на инди-
индикатрисе до касательной гиперплоскости, проходящей через ?'. Уравнения
G.11) и G.12) приведены у Ландсберга [2], с. 338 и 331 соответственно.
2) Финслер [2], с. 8.
56 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ф (|(о). ?ш)—угол между двумя единичными векторами в соответствии с
G.8). Тогда получается аддитивная функция
6A)
СО СВОЙСТВОМ ф-Хр При |A)->-|@).
Если вектор ?' не является единичным, то уравнение G.9) следует заме-
заменить на
V-f^, 6) *,/(*, gJdg'^-F-'U, DF.li (x, \)d\ld\i. G.14)
Это та форма, которая использовалась Картаном в соответствии с его мето-
методом, основанным на соприкасающейся индикатрисе1).
Согласно F.13) и F.14) мы имеем следующие соотношения между двумя
бесконечно близкими единичными векторами %' и |' + dis-
discos F', g' + dll) = 1-JV + O (dcp3) G.15)
sin (?', I1 + dll) = d6 + О (rf02), G.15a)
где углы d6 и dcp задаются формулами G.2) и G.10).
Поскольку в силу C.2) правая часть G.2) может быть за-
записана в виде F(x, d^,)F~l(x, %), то в этом определении доста-
достаточно, чтобы функция F(x, х) принадлежала классу С1, тогда
как определение G.10) требует принадлежности функции F(x,x)
классу С2. Главное же различие этих определений заключается
в том, что определение G.2) зависит от глобального устройства
индикатрисы, ибо F(x, dl,) зависит от формы индикатрисы в
направлении d\ (которое трансверсально к |), в то время как
определение G.10) учитывает строение индикатрисы только в
непосредственной окрестности направления \ (т. е. зависит
лишь от соприкасающейся индикатрисы, соответствующей этому
направлениюJ).
В О(боих случаях крайне сложной является проблема опре-
определения угла между двумя параллельными противоположными
направлениями (аналог евклидова л), или угла, соответствую-
соответствующего полному повороту. Согласно определению G.2) в двумер-
') Карта н [1], с. 14; см. также Деленс [1], [2].
2) Эти факты указаны Голабом [1], с. 79. Г о л а б [9] также показал,
что угол Ландсберга инвариантен относительно преобразования взаимных по-
поляр. Этот результат связан с конформной геометрией финслеровых про-
пространств (см. гл. VI, § 2). Кроме того, Белецкий и Голаб [1] показали,
что при п = 2 определение угла, данное Финслером, обладает свойствами ад-
аддитивности и инвариантности относительно перемены сторон угла (т. е. сим-
симметрией) только тогда, когда финслерово пространство является римановым.
Дальнейшее обсуждение определения Финслера и выпуклости индикатрисы
имеется у Гол аба [11].
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛА 57
ном случае этот угол зависит от полной длины индикатрисы.
Эта зависимость вызывает серьезные трудности в случае мно-
многомерного пространства. Дело в том, что угол между двумя
параллельными противоположными направлениями может быть
различным при различных выборах содержащих их двумерных
плоскостей 7%, ибо длина индикатрисы /2 зависит от выбора
плоскости Г2, которая не определяется однозначно. Аналогич-
Аналогичные замечания справедливы для определения G.10). Поэтому
какое определение ни взять, появятся различные числа, соот-
соответствующие числу л евклидовой геометрии, причем эти числа
зависят от выбора двумерного линейного подпространства. По
этой причине было предложено ') использовать нормирован-
нормированный угол 8': это угол 8, определенный посредством G.2), де-
деленный на полную длину дуги k индикатрисы пространства Гг.
Следовательно, нормированный угол, отвечающий полному по-
повороту, всегда равен единице, независимо от выбора 7Y При
дополнительном условии симметрии Ai угол, отвечающий по-
половине полного поворота, всегда будет равен -х .
С другой стороны, по определению
1а = § л/gu (х, dx) dx1 dxf, G.16)
где интеграл берется по всей индикатрисе, так что для двумер-
двумерного пространства Минковского Т^ аналог числа л равен
П = |/2. G.17)
Голабом2) был получен ряд результатов о границах, внутри
которых должно лежать число П. Опишем кратко главные ре-
результаты, касающиеся этих границ; с этой целью мы на мгно-
мгновение отбросим условия дифференцируемое™. Докажем сле-
следующую теорему 3): если индикатриса /г обладает центром сим-
симметрии (условие Ai), то
3<П<4. G.18)
Для того чтобы доказать левую часть неравенства, рассмотрим фиксиро-
фиксированный единичный вектор!', выходящий из точки О. Пусть т|' — переменный
единичный вектор, также выходящий из точки О, который может вращаться
от!;' до —I'. При этом вращении функция F(x,i\ — |) принимает значения от
0 до 2. Обозначим положение fj;, при котором F(x, у\ — |) = 1, через ц*, так
что конечная точка выходящего из О вектора с компонентами S' = fj' — |'
также лежит на индикатрисе. Конечные точки векторов ±1'. ± *\\ S* опреде-
1], с. 63.
') Рунд [11
2) Голаб [ []
s) Го л а б [2], с. 70 и дальше. Данное здесь доказательство существенно
проще, чем уЛаугвица [I].
58 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
лят шестиугольник, вписанный в индикатрису, при этом стороны этого шести-
шестиугольника имеют единичную длину. Но из неравенства треугольника следует,
что длина /2 индикатрисы не меньше длины периметра вписанного шести-
шестиугольника, т. е. 6 ^ /2, откуда немедленно следует левая часть неравенства
G.18).
Для доказательства правой части неравенства G.18) мы используем тот
факт, что каждая замкнутая выпуклая кривая с центром симметрии обладает
по крайней мере одной парой сопряженных диаметров Щ^, Ц2) ')• Применяя
указанный результат к индикатрисе /2, мы видим, что эти направления опре-
определяют вписанный параллелограмм Pi и описанный параллелограмм Ре, при-
причем последний образуется парой касательных, проведенных к индикатрисе в
концах сопряженных диаметров. Заметим, что параллелограмм Я< может рас-
рассматриваться как индикатриса /2 еще одной метрики Минковского, определен-
определенной на Т% По построению, длина любого вектора из Г2, измеренная посред-
посредством /г, будет не меньше, чем его длина, измеренная посредством /2. В част-
частности, h не больше, чем длина индикатрисы /2, измеренная посредством /2,
что в свою очередь не больше длины периметра шестиугольника Ре, измерен-
измеренной посредством /2. Ясно, однако, что последняя длина равна просто 8 по
построению, так что /2 ^С 8. Это доказывает вторую часть теоремы.
Кроме того, заметим, что границы П, указанные в неравенстве G.18), мо-
могут достигаться. Действительно, пусть е — такая константа, что О ^С е ^С 1.
Построим шестиугольник с вершинами
A, 1), (-1, -1), A, 0), (-1, 0), (8, -1). (-8, +1)
по отношению к линейной координатной системе в Т2. Если рассматривать
этот шестиугольник как индикатрису пространства Тг, то его периметр ра-
равен 6 + 2е, так что в этом случае П = 3 + е. Граничные значения в G.18)
получаются для фигур с е = 0 и е = 1.
Переходя к случаю несимметричных индикатрис, укажем на
следующую конструкцию Голаба. Пусть /B — произвольная
замкнутая выпуклая кривая в Т2, и пусть m — произвольная
точка из области, ограниченной /B. Рассматривая m как центр
кривой /С2, можно использовать эту кривую для определения
метрики Минковского в Т2- Это, в частности, определяет длину
L2 кривой К.2- Ясно, однако, что эта длина, вообще говоря, бу-
будет зависеть от выбора центра ш: поэтому мы пишем Ьг(/п).
Далее можно показать, что 2)
П=112(т)>2 + -^г, G.19)
где П, вообще говоря, неограничено сверху.
Пусть теперь /J представляет собой минимальное значение
для L2(m) по отношению ко всевозможным положениям m в
области, ограниченной кривой /С2, при условии, что /B фикси-
') Это результат Функа [1], доказательство которого основывается на
предположении, что кривая принадлежит классу С2. Однако Лаугвиц [1],
с. 238, нашел доказательство, которое не зависит от таких предположений
дифференцируемости, при этом его метод подобен методу, использованному
Радоном [1] в связи с исследованием опорных линий замкнутых выпуклых
кривых.
2) Г о л а б [2], с. 56 и дальше.
§ 8. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 59
рована. Тогда справедливо следующее неравенство1):
n°^jL2°<12. G.19а)
В заключение рассмотрим пример треугольной индикатрисы с вершинами
а, Ь, с и с центром в произвольной точке т внутри треугольника. Построим
отрезок а"та\ параллельный стороне аЬ и пересекающий стороны ас а Ьс в
точках а" и а' соответственно. Аналогично построим отрезки b"mb' и с"тс'
параллельно Ьс и са соответственно. Длины (в смысле метрики Минковского)
сторон треугольника удовлетворяют отношениям подобия
аЬ _ та' с"т cb'
са с"т са са
Аналогичные равенства справедливы для отрезков mb' и тс'. Следовательно,
та' тЪ' . тс' _ cb' + b'a" + a"a са __
аЬ Ьс са ~ са ~~ са ~
Однако, по определению, L2(m) задается равенством
. , об Ьс са
' та' тЬ' тс' '
_ та' . тЪ' ,_ „.
Если мы положим —— =Я, —г— = \i, то из соотношения G.20) следует,
что
После дифференцирования мы найдем, что минимум L2 функции L2(m) до-
достигается при
Я = ц = A—% — и) или Я = и = —= ,
Z
Следовательно, для треугольной индикатрисы L2 = 9. Ясно, что L^ini) -*¦ оо,
когда m приближается к одной из точек а', Ь', с', что показывает неограни-
неограниченность Lj(m) сверху.
В связи с исследованиями, касающимися обобщений теоремы Гаусса —
Бонне и ее следствий, Буземан2) замечает, что для многих проблем задание
специальной угловой меры не является необходимым и требуется только, что-
чтобы такая мера удовлетворяла следующим условиям:
(a) она должна быть аддитивной для углов с одной и той же вершиной;
(b) «прямые» углы имеют постоянную меру (П).
Отметим, что введенный выше нормированный угол удовлетворяет требе
ваниям Буземана.
§ 8. Площадь и объем
Поиск приемлемого определения площади и объема в про-
пространствах Минковского (следовательно, и в пространствах
Финслера) связан с рядом довольно трудных вопросов, и мно-
многие предложенные определения страдают серьезными недо-
недостатками. Поскольку в дальнейшем у нас не возникнет необ-
') Голаб [2], с. 61.
2) Буземан [6], с. 280.
60 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ходимости часто пользоваться понятием объема, то настоящее
обсуждение будет состоять из очень краткого обзора наиболее
важных определений, причем этот обзор включен главным об-
образом ради полноты.
Для трехмерного пространства Финслера F3 (независимо от
каких-либо условий дифференцируемое™) Шоке ') была вве-
введена двумерная мера («площадь»). Эта мера позволила Шоке
распространить на F% некоторые понятия евклидова векторного
анализа. Буземаном2) было проведено систематическое изуче-
изучение /?-мерных мер я-мерных пространств Минковского, обоб-
обобщающих меру Шоке (для пространства Минковского Т3) и ос-
основанных на теории меры.
Для того чтобы ясно сформулировать соответствующие оп-
определения, нам необходимо кратко остановиться на одном фун-
фундаментальном аспекте подхода Буземана к геометрии Минков-
Минковского, именно, на понятии «ассоциированных евклидовых про-
пространств». В связи с этим мы на время откажемся от тензор-
тензорных обозначений и переопределим пространства Минковского
без требований дифференцируемое™. Пусть F(x)—действи-
F(x)—действительная функция, определенная на я-мерном векторном про-
пространстве Тп- Предполагается: A) F(x) положительна при
хфО, B) F(x) симметрична, т. е. F(x) = F(— x), C) F(x)
положительно однородна первой степени и D) F(x) выпукла.
Тогда на пространстве Тп задана норма Минковского равен-
равенством || х \\F = F(xK).
Если мы дополнительно введем в пространстве Тп евкли-
евклидову норму || i|| е (чем определится пространство Еп), то при
х ф 0 мы будем иметь
где вектор
и\\Е
интерпретируется как единичный вектор в направлении х по от*
ношению в евклидовой метрике 4).
') Булиган и Шоке [1].
2) Б у з е м а н [5].
s) Конечно, четыре сформулированных выше условия являются более об-
общими, чем те, которые были наложены на метрическую функцию в § 1, за ис-
исключением условия симметрии B), которое эквивалентно условию Ai из § 1.
Таким образом, в этом параграфе мы должны предположить выполнение Аь
хотя, вообще говоря, это условие не будет предполагаться в последующих
главах. Функция F(х) играет ту же роль, что и наша метрическая функция
F(x>, х1), причем х1 постоянны в любом пространстве Минковского, «касатель-
«касательном» к пространству Финслера в точке х1.
*) У Менгера эта же функция FCt) называется «AbstandskoeHizient» (cp.
Паук [2], с. 38).
§ 8. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 61
Таким образом, расстояние Минковского и евклидовы рас-
расстояния связываются множителем пропорциональности, зави-
зависящим только от направления рассматриваемого вектора. Ясно,
что данное пространство Минковского может быть получено из
различных евклидовых пространств, связанных друг с другом
невырожденными аффинными преобразованиями. Эти простран-
пространства называются евклидовыми пространствами, ассоциирован-
ассоциированными с пространством Минковского. Те понятия и теоремы, ко-
которые не зависят от выбора ассоциированного пространства,
имеют внутренний смысл для пространства Минковского1).
Норма Минковского инвариантна относительно трансляций
i = х + а> а так как они действуют на пространстве просто
транзитивно, то из теории меры Хаара следует, что с точностью
до постоянного множителя существует самое большее одна
мера, инвариантная относительно трансляций2). Однако мера
Лебега %п{Щ измеримого по Лебегу множества М в евклидо-
евклидовом пространстве зависит от выбора ассоциированного про-
пространства, и, следовательно, мы вынуждены искать такой мно-
множитель а, чтобы мера \М\п = а%п{М) удовлетворяла требова-
требованию независимости.
Этой цели будет служить следующее общее определение а.
Пусть Vr — некоторая /--мерная гиперплоскость в Т„. Обозна-
Обозначим через %Г(М) r-мерную меру Лебега (в ассоциированном
евклидовом пространстве) измеримого по Лебегу множества М
в Vr. Через U(Vr) мы обозначим множество, по которому ли-
линейное r-пространство, параллельное V, и проходящее через
начало (центр индикатрисы), пересекает «внутренность»
F(x) ^ 1 индикатрисы. Мера Лебега множества U(Vr) будет
равна %r{U(Vr)), и мы положим
(8-3)
где со(г) — объем евклидовой г-мерной единичной сферы:
r_
г (-к- +
') Буземан [4], § 1; [5], § 2.
2 См. теорию меры Хаара на локально компактных топологических груп-
группах (которая выходит за рамки настоящей книги) у В ей л я [1] или в ори-
оригинальной статье Хаара [1]. Мы говорим о мере Хаара в га-мерном вектор-
векторном пространстве Тп, рассматривая его как абелеву аддитивную группу, снаб-
снабженную естественной топологией (определяемой любой евклидовой нормой
или нормой Минковского). В случае пространства Тп процедура Лебега [1]
показывает, что, с точностью до постоянного множителя, мера Лебега яв-
является единственной мерой, инвариантной относительно трансляций. Евкли*
дова метрика используется только для нормализации.
62 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Множитель (8.3) обладает требуемыми свойствами. Поэтому
мера Минковского множества М гиперплоскости V, задается
равенством
\M\r = e(Vr)K(M). (8.5)
Имеются и другие соображения, ведущие к тому же выбору
множителя а'); приемлемость данного определения объема
подтверждается успешным решением большого числа задач
геометрии Минковского, из которых наиболее важными, по-
видимому, являются изопериметрические задачи2).
Определенные выше величины могут быть использованы для
того, чтобы ввести функцию синус. Пусть два линейных под-
подпространства Vm и V, размерностей тип соответственно пе-
пересекаются по р-мерному линейному подпространству Vp> где
р ^ О (что предполагает, что Vp непусто). Относительное по-
положение Vm и V, как множеств в ассоциированном евклидовом
пространстве описывается одним углом только тогда, когда 3)
Min(m, г) = р+1, (8.6)
так что обычный синус этого утла — который будет обозна-
обозначаться через sin(Vm, Vr) —определен, только если выполняется
условие (8.6). Кроме того, размерность q линейного подпро-
подпространства Vq наименьшей размерности, содержащего Vm и Vr,
равна
q = m + r — р.
Синус Минковского sm(Vm,Vr) теперь может быть определен
как 4)
sm (Vm, Vr) = sin (Vm, Vr) "йай' (8J)
где a(Vp) = 1, если p = О, и a(Vq) = 1, если одно из линей-
линейных подпространств Vm или Vr содержится в другом.
') Б у з е м а н [5], с. 243 и дальше.
2) См., например, Б у з е м а н [13J.
3) Ср., например, Сомервил [1J.
4) Буземаи [4], с. 161. Первоначальное определение не совпадает с оп-
определением (8.7); (8.7) является скорее следствием определения Буземана.
Хотя первоначальное определение яснее выражает факт независимости си-
синуса Минковского от выбора ассоциированного евклидова пространства, од-
однако определение (8.7) допускает простую формулировку. В частном сообще-
сообщении профессор С. И. Паук указал на возможность успешно следовать методу
Гильберта (отвечающему случаю т = 1, г = 1, п = 2) ив общем случае:
именно, с помощью определения угла между Vm и У, как упорядоченной
пары (Vm, V,). Относительные положения Vm и V, в ассоциированном евкли-
евклидовом пространстве могут описываться одним числом, а именно мерой угла
(Vm, Vr), обозначаемой через o(Vm, Vr), 0 <: а <: я (разумеется, при усло-
условии выполнения (8.6)).
§ 3. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 63
И этот синус не может рассматриваться как функция дей-
действительной переменной, т. е. угла. Тем не менее он обладает
многими свойствами синуса из евклидовой геометрии. Напри-
Например, можно легко вывести закон синусов для треугольников
(предполагая т = 1, г = 1, р = 0), ибо синус и косинус F.4)
Минковского связаны друг с другом 1).
Полезно обратиться к двумерному случаю. Выберем какое-
либо фиксированное направление, проходящее через начало,
в качестве «полярной оси», так что если мы введем ассоцииро-
ассоциированную евклидову метрику, задавая тем самым Е2, то мы смо-
сможем определить соответствующий евклидов угол ty между лю-
любым радиус-вектором и этой осью. Принимая во внимание
(8.2), положим G(t|)) = F(|), где компонентами | являются
cos г); и sin г|). Уравнение F(x) = 1 для индикатрисы может быть
записано в полярной форме следующим образом:
г = ¦
Следовательно, множитель а, определяемый с помощью (8.3)
и зависящий от выбора Е2, для п = 2 задается равенством
]"•
(8.8)
Из формул (8.7) следует, что синус Минковского, отвечаю-
отвечающий двум направлениям г|>1 и г|з2, выходящим из начала, мо-
может быть записан в виде2)
/I ¦ \ s'n (Ф Ф)
sm (гр„ Ь) = о в (
Кроме того, с помощью (8.8) мера угла между этими на-
направлениями может быть определена следующим образом:
= ст \ С-2(гр)Л|>. (8.9)
Из (8.8) мы выводим далее, что этот угол равен удвоенной
площади Минковского соответствующего сектора индикатрисы.
До сих пор мы ограничивали наше внимание рассмотрением
пространств Минковского. Для того чтобы распространить вве-
введенные понятия на финслеровы пространства Fn, удобно опре-
определить их так, как это сделано в работе Буземана, Шоке,
') Буземан [4], с. 162. Следует заметить, однако, что косинус опреде-
определяется, только когда индикатриса дифференцируема.
2) Буземан [8].
64 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Менгера и Паука1). Подынтегральная функция F (х, к) опреде-
определяется для хе?л и х е Е'п, где Еп и Е'п — некоторые я-мер-
ные евклидовы векторные пространства. Предполагается, что
функция F является положительной при к Ф 0, непрерывной
по (х, к), симметричной, положительно однородной и выпуклой
по к. Касательное пространство Тп(х) к Fn в точке х является
я-мерным векторным пространством с нормой
Ассоциированная евклидова метрика касательного простран-
пространства Т„(х) является /^-метрикой, где пространства Еп нЕ'п для
удобства отождествляются.
Итак, для двумерных финслеровых пространств множитель
а, определяемый равенством (8.3), в силу (8.8) может быть
записан как
а(х) = п JG-2fe ф)Ж|) . (8.10)
где G(x, г|з) =F(x, l). Следовательно, площадь Шоке измери-
измеримого по Лебегу подмножества М из F2 равна
J о (х) dX2 (x)= J о (х) dxl dx2, (8.10а)
м м
причем последнее выражение справедливо при условии, что
мы используем «декартовы» координаты.
Здесь целесообразно сделать еще одно общее замечание. При г < п мы
определили r-мерную меру только для подмножеств r-мерных линейных под-
подпространств пространства Минковского. Паук называл ее «мерой Шоке».
С другой стороны, Буземан 2) определяет ее для любого борелевского множе-
множества в пространстве Минковского как хаусдорфову меру (т. е. как г-мерную
хаусдорфову меру); для этой меры подходит название «мера Буземана».
Только и-мерная мера и-мерного пространства Минковского является мерой
Хаара. При переходе к пространствам Финслера возникают определенные
сложности: так как описание их определенно выходит за рамки настоящей
монографии, то за обсуждением этих вопросов мы отсылаем читателя к
Пауку3).
В заключение отметим, что мера Буземана может быть выведена не-
несколько иным образом, как это было показано Бартелем4). Этот метод мож-
можно вкратце описать следующим образом. Рассмотрим в Тп параллелепипед,
натянутый на п векторов А, А А. Требуется, чтобы объем J этого па-
A) B) (л)
') См., например, Паук [2], с. 31—33, 37—40. Если не учитывать усло-
условия симметрии Аь то это определение является несколько более общим, чем
определение из § 1; однако на протяжении этой книги последнее определение
рассматривается в качестве основного.
Ц Буземан [5].
*) Ср., например, Паук [3].
4) Бартель [1]. Альтернативный метод появился в результате стрем-
стремления устранить понятие ассоциированного евклидова пространства.
§ 8. ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ 65
раллелепипеда обладал следующими свойствами:
(a) /(Д...,Л)>0;
A) (л)
(b) J{A А + А А) =
A) (<) (k) (п)
= / (Л А, ..., А) при условии, что i фк,
A) (/) (л)
(c) 1{А ХА А) = \Х\1(А А А).
A) (») (п) A) (i) (л)
Хорошо известно, что эти условия определяют / с точностью до положитель-
положительного множителя 0(л), постоянного в Т„ !):
J = a{n)\ det (A1) | (А1 — 1-я компонента вектора А).
Итак, после задания подходящей ориентации, объем измеримого по Лебегу
множества М из Т„ будет задан формулой
/ (М) = oin)Xn (M).
Множитель ст(л) может быть определен с помощью следующего дополнитель-
дополнительного постулата:
(d) Объем Минковского индикатрисы одинаков для всех «-мерных про-
пространств Минковского. Поэтому этот объем должен задаваться равенством
(8.4) и, следовательно,
а(п) (мера Лебега «внутренности» индикатрисы) = со', что определяет
а<">2).
В тех теориях пространств Финслера (в смысле определе-
определения из § 1), в которых любая геометрическая величина зависит
от произвольно выбранного направления (т. е. от опорного
элемента), можно, разумеется, просто использовать выражение
для меры объема, непосредственно обобщающее соответствую-
соответствующую меру, используемую в локально евклидовой геометрии. На
этом пути, задав произвольное направление |' в Т„, мы можем
использовать множитель -\fg(x, ?) вместо ст(/г), где g(x, |) =
= dei(ga(x, l)). Например, если в измеримой по Лебегу об-
области R финслерова пространства Fn определено непрерывное
векторное поле |'(дг*), причем R ограничена замкнутым много-
многообразием Fn-\, то определенный интеграл
... dxn, (8.11)
¦) См., например, Спернер [1], с. 118—124.
2) Бартель [1], с. 360 и дальше. И снова можно определить синус
Минковского. Эти понятия применяются Бартелем к исследованию дифферен-
дифференциальной геометрии гиперповерхностей в пространствах Минковского.
3 X. Рунд
66 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
распространенный по области R, будет представлять собой
о»бъем области R относительно векторного поля %1(хк) (от ко-
которого этот объем зависит) ').
В частности, из A.26) и C.16) следует, что равенство
g(x,l) = F1(x,l)[F(x,l)]n+i (8Л2)
выполняется тождественно, так что для двумерного финслерова
пространства этот тип площади имеет вид
dxl dx\ (8.13)
Это та же форма меры площади, которая предлагалась Функом
и Бервальдом 2).
Очевидно3), что если заданная метрика пространства Fn
такова, что dg/dx' = 0, то интеграл (8.11) не зависит от век-
векторного поля 1'(хк). Это требование эквивалентно уравнению
Ct = 0, (8.14)
где в соответствии с обозначением C.4) мы положили
Q = gft/Cft/(, (8.15)
Как будет отмечено ниже (в примечании перед формулой
C.2.4')), условие (8.14) накладывает сильное ограничение на
метрику. Однако тот факт, что все проблемы, связанные с по-
понятием объема, немедленно разрешаются, коль скоро удовле-
удовлетворяется уравнение (8.14), ясно указывает на особый интерес
таких специальных классов финслеровых пространств.
В заключение следует упомянуть о мере площади, введен-
введенной Бляшке4). Это определение формулировалось в терминах
интегральной геометрии и включало в себя площадь фигура-
трисы для двумерного случая.
') В этой процедуре предлагается использовать для целей измерения со-
соприкасающиеся индикатрисы (эллипсоиды, соответствующие векторному
полю |*). При этом существует прямая аналогия с определением (8.3): дей-
действительно, в данном случае множитель 0 из (8.3) выбирается в виде
V& (¦*> 1) > что предполагает, что «-мерный объем эллипсоидов (относительно
соприкасающейся метрики) в точности равен со'"*.
2) Функ и Бервальд [1], с. 46. В этой статье показано, что эта
мера площади тесно связана с углом G.12) Ландсберга. Альтернативное опре-
определение дано Голабом [7], причем можно показать (при подходящих пред-
предположениях о дифференцируемое™), что мера Голаба не зависит от вектор-
векторного поля | тогда и только тогда, когда пространство локально евклидово
(Голаб [8]). Площадь, определенная Голабом, связана с углом G.2) та-
таким же образом, как площадь (8.13). связана с углом G.12) (Голаб flO]).
3) Этот абзац включен в русский перевод автором книги. — Прим. перев.
4) Б л я ш к е [5].
Г л а в а II
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ:
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Описав наиболее существенные локальные метрические
свойства касательных пространств, перейдем теперь к изуче-
изучению основного многообразия Хп- Для того что,бы подчеркнуть
тот факт, что основное многообразие снабжено финслеровой
метрикой, в дальнейшем будем обозначать его через Fn. Неко-
Некоторые из наиболее фундаментальных свойств ?п описываются
экстремалями вариационной задачи, к которым приводит фин-
слерова метрика. Поэтому прежде всего мы получим дифферен-
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют экстремали, или
«геодезические», пространства Рп. Этот вывод будет проведен
не обычным методом, основанным на первой вариации инте-
интеграла длины, а методом, специально приспособленным для
того, чтобы рельефно выделить геометрический смысл понятия
геодезической. Одна из основных задач геометрии простран-
пространства Fn состоит в изучении взаимосвязи между касательными
пространствами в соседних точках пространства Fn: точнее,
ищется способ установить геометрически содержательные отоб-
отображения одного такого касательного пространства на другое.
На более элементарном языке эта задача может быть сформу-
сформулирована так: найти условия, которые должны удовлетворяться
для того, чтобы два вектора, принадлежащие различным, но до-
достаточно близким касательным пространствам, могли рассма-
рассматриваться как параллельные. Этот вопрос никоим образом не
является тривиальным: аналитически эта проблема проявляется
в том, что частная производная тензора, вообще говоря, не яв-
является тензором. Это именно та точка зрения, с которой мы
проведем предварительный анализ этой проблемы в настоящей
главе.
§ 1. Дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют геодезические
В этом параграфе мы получим дифференциальные уравне>
ния, которым удовлетворяют геодезические финслерова про-
пространства Fn- Мы будем следовать геометрическому подходу,
который до некоторой степени основывается- на понятиях, об-
з*
68 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
сужденных в предыдущей главе, и который сходен с методом
Каратеодори '). Результаты гл. I, касающиеся пространств
Минковского (например, кратчайшее расстояние от точки до
гиперплоскости), указывают на то, что понятие нормальности
обеспечивает наиболее естественный подход к задаче опреде-
определения кривых минимальной длины, соединяющих две заданные
точки или заданную точку и заданную гиперповерхность. Мы
будем руководствоваться этой идеей на протяжении настоя-
настоящего параграфа.
Предположим, что нам задано семейство гиперповерхностей
в Fn уравнениями
S(x') = 2, A.1)
где 2 — параметр семейства. Мы будем предполагать, что
функция S(x') принадлежит по крайней мере классу С2 и что
семейство A.1) полностью просто покрывает конечную область
Л' из Fn- Если 8х' — малое смещение, касательное к какой-либо
гиперповерхности семейства (т.е. если х1 и х1 + 8х' удовлетво-
удовлетворяют A.1) при одном и том же значении 2), то мы имеем
-|^-6х' = 0; A.2)
дх1
dS
—j- составляют компоненты ковариантного вектора; построим
в направлении этого вектора единичный вектор yt, полагая
г/, = ф(х')-п-> A.3)
дх1
где
(ер (х7)) = #(*', -§) 0-4)
— длина вектора —г-. Мы можем обычным образом связать
с t/i единичный контравариантныи вектор
?' = g"(х, У)У1 или yi = ga(x, Ql', A.5)
так что в силу A.3) уравнение A.2) переписывается в виде
gtt(x,l)ll6xt = 0. A.6)
Поскольку бх' — произвольное смещение, касательное к гипер-
гиперповерхности, то согласно уравнению A.6.2) мы можем заклю-
заключить, что |' — единичный вектор, нормальный к гиперповерхно-
гиперповерхности (поскольку смещения, касательные к гиперповерхности,
нормальны к ?')¦
Путем построения единичной нормали к каждой точке се-
семейства гиперповерхностей мы найдем векторное поле %'{xk),
1) Каратеодори [1], гл. XII.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 69
определенное на области R. Решая дифференциальные урав-
уравнения
мы получаем конгруэнцию G кривых, касательные векторы ко-
которых совпадают с единичными нормалями к семейству гипер-
гиперповерхностей. Мы будем называть его семейством, трансвер-
сальным к конгруэнции G. Для того чтобы левая часть уравне-
уравнения A.7) также представляла единичный вектор, необходимо,
чтобы параметром s вдоль кривых из G являлась финслерова
длина дуги, определяемая фундаментальной функцией F(x, х')\
ибо после деления уравнения A.3.9) на ds мы немедленно по-
получим, что dx'/ds действительно является единичным вектором.
Что касается обозначений, введем следующее соглашение:
всюду, где аргумент направления dx'/ds относится к единич-
единичному вектору, получаемому дифференцированием по длине
дуги s кривой, этот аргумент будет обозначаться через х'\ в от-
отличие от х'.
Пусть Г — некоторая кривая конгруэнции G, пересекающая
в точках Qi и Q2 две гиперповерхности семейства A.1), соответ-
соответствующие значениям параметра 2i и 22. Можно построить кри-
кривую С класса С2, целиком содержащуюся в области R и соеди-
соединяющую Qi и Q2, которая нигде не касается семейства A.1).
Если С представляется уравнениями х' = х'(а), где а — пара-
параметр на С, то последнее требование эквивалентно строгой мо-
монотонности функции
2 (a) = S (*>))•
Пусть Р—произвольная точка на кривой С, вектор с компо-
компонентами dx'/da касателен к С, и мы будем обозначать его
через к1. Следовательно, в точке Р мы в силу A.3) имеем
rfS _ dS {_ у i i
— — —j~ x — — x .
da дх ф
Поскольку yi — единичный вектор, то мы можем использовать
A.5.13) и записать
? la' = Fil (*' Х ) Х '
где х'1 отвечает значению векторного поля, определяемого по-
посредством A.7) в точке Р. Вводя выражение A.6.7) для &-
функции. Вейерштрасса, мы видим, что последнее уравнение
может быть записано в виде
F (х, х) - Ф ¦§¦ = % (х, х', х). A.8)
Так как наше предположение выпуклости приводит к неравен-
70 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ству (э^О (§ 6 гл. I), то после интегрирования вдоль кривой
С от Qi до Q2 мы получаем
где 0i, а2 — значения параметра а, отвечающие точкам Qi и
Q2- По определению A.4) функция ср является строго положи-
положительной (§ 4 гл. I), так что мы имеем
2_2ii (L9)
Из A.5) и A.7) следует, что z/(oc" = 1 (единичный вектор);
поэтому, используя A.3), мы получаем вдоль Г
, dS fi rf2 /1 in\
1=ф^х =ф^71 AЛ0)
где вектор х'' касателен к Г, а йЪ/ds берется вдоль Г. Следо-
Следовательно, после интегрирования вдоль Г
Q* Q2
F (х, x') , С rf2 , „ v /i n \
rfs== )rfs==^S A.9а)
Ф rfs
rQi rQ>
Сравнивая A.9) и A.9а), мы приходим к выводу, что кривые
Г конгруэнции G минимизируют интеграл от F/qp, причем мно-
множитель ф-1 появляется вследствие того, что семейство A.1) ги-
гиперповерхностей было выбрано произвольно. Ясно, что это се-
семейство должно быть специализировано вполне определенным
образом для того, чтобы кривые результирующей конгруэнции
G действительно минимизировали интеграл от F. В проведе-
проведении этой специализации мы будем следовать методу Каратео-
дори ').
Для этого мы предположим, что семейство A.1) таково,
что функция ф(х') постоянна на каждой гиперповерхности се-
семейства, т. е. что qr4 является не обращающейся в нуль функ-
функцией /B) от параметра S. Тогда из A.10) следует, что
^ = /B), A.11)
где, как и прежде, производная dYi/ds берется вдоль кривых
из конгруэнции G. Но поскольку -ф(/) является монотонной
функцией аргумента t, то семейство A.1) может быть эквива-
эквивалентным образом представлено уравнениями
)) = i|)B)eS, A.12)
') Франк и Мизес [1], гл.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 71
так что в силу A.11)
Выберем функцию г|)B) так, чтобы
s
rl(t)dt. A.14)
После подстановки A.14) в A.13) мы находим, что —— = 1
тождественно. Следовательно, без потери общности можно счи-
считать, что db/ds в уравнении A.11) является единицей — этого
всегда можно достичь путем «нормирования» уравнений A.1)
семейства (смысл которого ясен из A.12) и A.14)). Таким об-
образом, мы получаем, что тождественно выполняется равенство
ф(х') = 1 и что семейство гиперповерхностей представляется
дифференциальным уравнением в частных производных
н(х\^А=\. A.15)
Последнее уравнение является уравнением Гамильтона —
Якоби для простейшей вариационной задачи в параметрической
форме1). Это обеспечивает, чтобы кривые конгруэнции G ми-
минимизировали интеграл от F. В силу A.15) и A.4) сравнение
формул A.9) и A.9а) дает
F (xl, x') da^ ^F (x\ *'') ds, A.16)
так что кривые конгруэнции G являются геодезическими про-
пространства Fn. Заметим, что, вследствие однородности функции
F(x, x) степени +1 по своим аргументам направлений, это не-
неравенство не зависит от выбора входящих в него параметров а
и s.
Теперь нетрудно получить дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют геодезические. Из A.15), A.4) и A.3)
') Уравнение Гамильтона — Якоби обычно не записывают в виде A.15),
содержащем вполне определенную функцию Н Гамильтона. За стандартной
трактовкой читателю следует обратиться к Каратеодори [1], гл. VIII,
или к Б о льда [1], гл. V. Дальнейшие свойства семейства геодезических со
специальным рассмотрением контактных преобразований и скобок Лагранжа
описаны Мореном [1], Дугласом [2], Рундом [13]. Аналогия прове-
проведенных выше построений с геометрической оптикой (а также и с механикой)
должна быть непосредственно видна читателю. Эта аналогия довольно под-
подробно обсуждалась Каратеодори [5]. Подход Синга [4] к геометриче-
геометрической оптике также может быть интерпретирован до некоторой степени с этой
точки зрения.
72 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
мы имеем
У1 1ГГ- AЛ7)
дх
Дифференцируя это уравнение по s вдоль Г, мы в силу A.5.13)
получаем
dyi _ d*S x,j = d*S дН (х, у) A 18)
ds дх1 дх' дх1 дх1 dyt
Дифференцируя уравнение A.15) по х', мы получим из A.17)
дН (х, у) , дН (х, у) d*S _ Q A ig)
dxi dijj дх1 дх1
что вместе с A.18) дает
dyi __ дН (х, у) A20)
ds дх1
Это искомые дифференциальные уравнения геодезических.
Подставляя в эти уравнения функции yt из A.5.13) и учитывая
A.5.11), мы получаем классические уравнения Эйлера — Ла-
гранжа ')
d tdF(x, x') \ dF(x, x') =Q , 2j.
ds V дх'1 ) дх1 '
Читатель, знакомый с аналитической механикой, без труда
заметит сходство уравнений A.20), A.21) с уравнениями дви-
движения динамической системы. Действительно, мы уже отмечали
в § 5 гл. I, что переход от переменных (х\ х') к переменным
(х\ yi) соответствует в механике переходу от обобщенных ком-
компонент скорости к каноническому импульсу. Поэтому A.20) яв-
является первой частью уравнений движения в канонической
форме, вторая часть представляется посредством A.5.7). Эти
две части составляют 2п дифференциальных уравнений первого
порядка, в то время как A.21) состоит из п дифференциальных
уравнений второго порядка.
Таким образом, экстремали вариационной задачи, опреде-
определяемые интегралом A.1.7), удовлетворяют эквивалентным диф-
дифференциальным уравнениям A.20) и A.21). Следовательно,
дуги этих кривых представляют собой «кратчайшие расстоя-
расстояния» в Fn (при условии, что они содержатся в достаточно малой
области в Fn), и поэтому мы в дальнейшем будем называть их
геодезическими дугами или просто геодезическими. Можно по-
') Уравнения Эйлера — Лагранжа можно вывести при существенно более
слабых предположениях о дифференцируемое™ функции F(x, х); К а р а-
теодори [4] показал, что достаточно предположить, что F(x, x) имеет
гладкость класса С2.
§ !. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 73
казать, что дифференциальные уравнения A.21) имеют един-
единственное решение, отвечающее заданному начальному линей-
линейному элементу. Это означает, что через каждый линейный эле-
элемент финслерова пространства можно провести единственную
геодезическую. Далее, данное решение дифференциальных
уравнений A.21) всегда можно вложить в семейство решений.
Доказательства этих фактов основываются на теории диффе-
дифференциальных уравнений, и читатель отсылается к стандартным
руководствам по этой теме :).
Проинтегрируем теперь дифференциал dS = (dS/dxl)dx'
вдоль произвольной кривой С, соединяющей две точки, которым
отвечают значения параметра Si и S2 для S. Тогда из уравне-
уравнений A.17), A.15) и A.5.13) следует, что
Qi Q2
Sf dF Ix x'\ dx1
где векторный аргумент х" во втором интеграле относится к ка-
касательному вектору конгруэнции G геодезических. Очевидно,
что значение этого интеграла не зависит от выбора кривой С,
а зависит лишь от конечных точек Qi и СЬ- В действительности
это хорошо известный интеграл Гильберта 2).
Далее, если кривая С замкнута, то из A.22) следует, что
гйх1 = 0. A.22а)
Вспоминая, что переменные г/,- могут интерпретироваться как
канонические импульсы динамической системы, мы узнаем в
левой части A.22а) фундаментальный интегральный инвариант
такой системы.
В заключение проверим, что геодезические пространства
Минковского являются прямолинейными. Действительно, про-
пространство Минковского характеризуется существованием коор-
координатной системы, в которой метрическая функция F не зави-
зависит от х'. В такой системе Fxi = — Hxi = 0 (уравнение A.5.11)),
Следовательно, согласно A.20) геодезические пространства
Минковского удовлетворяют уравнениям yi = const. Поэтому
в силу A.5.8) dx'/ds = const, что дает d2x'/ds2 = 03).
') Карате од ори [1], с. 240—245. См. также гл. III, § 6.
2) Больца [1], с. 258.
3) Мы предполагали, что семейство кривых, ортогонально пересекающих
гиперповерхности A.1), просто покрывает область R. Однако это предполо-
предположение может удовлетворяться только для достаточно малой области R. Дей-
Действительно, согласно теореме Морса и Литтауэра [1] наличие фокаль-
фокальных точек (Морс [1], с. 51) достаточно, чтобы нарушить это свойство се-
семейства экстремалей. Точнее, необходимое и достаточное условие того, чтобы
точка р экстремали Г, нормальной к гиперповерхности 0, была фокальной
74 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 2. Явное выражение для вторых производных
в дифференциальных уравнениях геодезических
Разрешим теперь уравнения A.21) относительно вторых
производных х. Прежде всего заметим, что уравнения A.21)
остаются справедливыми при замене параметра s произволь-
произвольным параметром t, являющимся монотонно возрастающей функ-
функцией t(s) от s (при подходящем выборе, если это необходимо,
знака у /). Если обозначить через х' производные функций х'
по / вдоль некоторой кривой, то хп = х' (dtlds), а поскольку
F положительно однородна степени 1 по своим аргументам на-
направлений, то F (x, xl) = F{x, xn)(ds/dt). После дифференциро-
дифференцирования последнего уравнения по х' и х' мы найдем
Fxi (х, х) = Fxi (х, х') -?-, Fx,t (х, х') = Fxi (x, х).
Поэтому уравнения A.21) могут быть записаны в виде
dF (x, x) \ dF (x, x) _ n , .
) U BЛ)
d (
dt{
дх1
Выведем теперь другую форму для выражения в левой ча-
части этого уравнения.
Из равенств A.20), A.5.11) и A.3.1) мы получаем, что гео-
геодезические удовлетворяют дифференциальным уравнениям
± ( (х, *') xW = j д-^А *'V* = ^ B.2)
2 дх ds
Г (ft* (х, *) xW j ^
дх 2 дх
(заметим, что F(x, x') — 1 вследствие нашего выбора длины
дуги в качестве параметра). Введем теперь символы Кристоф-
феля первого рода, которые определяются, как и в римановой
геометрии, уравнениями
Тшfc i)_ i(«BfrS- + *^- *St?i>). ,2.3)
2 \ дх дх1 дх /
В результате свойств симметрии функций gu мы имеем
±*1ф±М, B.4)
точкой для о, состоит в том, чтобы семейство экстремалей, трансверсально
пересекающих а вблизи Г, не покрывало окрестность точки р просто. Морс и
Литтауэр доказали эту теорему в предположении, что финслерово простран-
пространство Fn, а также и гиперповерхность а являются аналитическими. Позднее
Севидж [1] доказал ту же самую теорему при более слабом, предположе-
предположении: именно, что Fn и а класса С3. Дальнейшие глобальные свойства семейств
экстремалей обсуждались Ребом [1]—[3],
§ 2. ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 75
так что уравнение B.2) принимает вид
^--Уш(х, x')x'hx'k=0. B.5)
Это та тензорная форма дифференциальных уравнений, кото-
которой должны удовлетворять ковариантные компоненты касатель-
касательного вектора геодезической1).
Для того чтобы найти соответствующие уравнения для про-
производных от контравариантных компонент х'1, заменим функ-
функции yi в B.2) согласно A.4.1) и проведем дифференцирование
в левой части с учетом A.3.5). Тогда
Учитывая свойства симметрии тензора gij и уравнение B.3),
мы получим
gt, (х, х') х"! + ут (х, х') х'\'к = 0. B.6)
Обозначим через
YA (х, х') = gli (x, у) yhik (x, х') B.7)
(где г/,- соответствует л;' согласно A.4.1)) так называемые сим-
символы Кристоффеля второго рода. Тогда уравнение B.6) экви-
эквивалентно уравнению
х"! + Ун'к{х, x')x'hx'k = Q. B.8)
Это искомые дифференциальные уравнения второго порядка,
векторный контравариантный характер которых следует из
тензорных свойств уравнений B.5). Параметром дифференци-
дифференцирования в B.2) является длина дуги s, на что указывают наши
обозначения. Легко видеть, что после преобразования пара-
параметра t = t(s) (с dt/ds ф 0) уравнения B.8) примут вид
х1 + уЛ (*> *) **** ~ *' (-ж)/ж = 0. B-80
') Читатель может проверить, что выражения в левой части B.1) преоб-
преобразуются при преобразовании A.1.1) как компоненты ковариаитного вектора.
Поэтому уравнения B.1), а следовательно также и B.5), инвариантны (что
также очевидно из построения). Тензорный характер B.5) также может быть
установлен прямым вычислением. Следует отметить, что, хотя символы Кри-
Кристоффеля B.3) и не обладают теми же трансформационными свойствами, что
и в римановой геометрии, тем не менее комбинация B.4) приводит к тому,
что левая часть B.5) представляет собой компоненты ковариантного вектора
(см. уравнение C.11)). Этот вопрос мы полностью изучим в следующем па-
параграфе.
76 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В заключение полезно выписать тождества, которым удо-
удовлетворяют символы Кристоффеля:
Vhtk (х, х) = уш (х, х), yhlk (х, х) = ук\ (х, х),
ehk (х, х) ък1 (х, х) = уш (х, к),
dg{j(x, х)
—k = У ilk (х, х) + y,ik (х, х),
B-10)
i
38
У) = - «*» {х, у) Уп1г (х, х) - gM (x, у) yA (x, х).
В этих формулах — так же как и в B.3) и B.7) — следует
помнить, что аргументы направлений х' и г/,- должны соответ-
соответствовать друг другу согласно A.4.1).
§ 3. Дифференциал вектора
Начнем теперь обсуждение возможных путей, следуя кото-
которым, можно определить дифференцирование вектора так, чтобы
это снова давало вектор или тензор. Мы увидим, что сущест-
существуют различные подходы к этой проблеме: поэтому в данном
параграфе мы начнем с элементарных аналитических рассмо-
рассмотрений, откладывая на дальнейшее соответствующее геометри-
геометрическое обсуждение.
Пусть С: x' = x'(t) —кривая класса С2 в финслеровом про-
пространстве Fn- Предположим, что вдоль С определено непрерыв-
непрерывное и непрерывно дифференцируемое векторное поле Х'{1).
В новой координатной системе (х' ), получаемой из координат-
координатной системы (л;1") посредством A.1.1) (разумеется, при усло-
условии A.1.2)), векторное поле будет задаваться уравнением
Х1 = А\'Х1', C.1)
где
Al' = ft. C.2)
дх
Отметим для дальнейшего, что если мы запишем А) =дх1'/дх1>
то имеют место тождества
А\'ЛЧ = Ь). C.3)
Продифференцируем C.1) по параметру t кривой С. Тогда
dX' Л1 dX1' | (^ at\Yi'.i' /о Л\
~dF = Ai'~dT^' \di'Ai')X x , C.4)
где
\ = —jr = —p—jr. C.5)
дх' дх1 дх1 К '
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОРА 77
Из уравнения C.4) следует, что dX'/dt не являются компонен-
компонентами вектора ввиду наличия члена, включающего д\'А\>. Гео-
Геометрически очевидно, что так и должно быть: ведь векторы А'
и X' + dXl являются элементами двух различных касательных
пространств Тп(Р) и T,,(Q) соответственно, где Р и Q — близ-
близкие точки на С с такими координатами х' и х' -f- dxl, что сме-
смещение dx{ вдоль С отвечает приращению dt параметра t в C.4).
Так как мы имеем дело с метрическим пространством, то было
бы естественно выразить разность между соседними касатель-
касательными пространствами в терминах метрического тензора и его
производных. Поэтому при изучении изменения векторного
поля X'(t) вдоль С при переходе от Р к Q мы должны учиты-
учитывать два фактора, именно: (а) изменение dX'= (dXl/dt)dt век-
вектора X'(t), которое зависит только от поля X1 и, значит, не за-
зависит от метрики пространства, и (Ь) разность метрик каса-
касательных пространств Тп(Р) и Tn(Q). Затем можно предполо-
предположить, что тензорный дифференциал (т. е. выражение со строго
инвариантными свойствами) векторного поля будет состоять
из суммы двух членов, каждый из которых соответствует одному
из факторов (а) или (Ь).
Аналитический подход к определению последнего фактора
состоит в рассмотрении структуры второго члена в правой ча-
части уравнения C.4): мы сейчас покажем, что этот член можно
представить в виде двух выражений, одно из которых записы-
записывается в терминах координатной системы (х1), а другое — в
терминах координатной системы (хг), причем каждое из этих
выражений одинаковым образом включает в себя метрический
тензор и его производные. Эта процедура даст искомый вектор-
векторный дифференциал.
Пусть gn (x, х) — метрический тензор вдоль С: закон его
преобразования относительно A.1.1) задается формулой
gir {xk>, xk') = gt/ (x\ xk) A\.A\,. C.6)
Дифференцируя это уравнение по xk', получаем ')
Ti~ === ~~~ г~ /l j'/l/'/l?' ~f- zC ijk^i's\j' \Ok'/\fi'J X ~~f~
dxk' dxk
+ 8it (AfaAl. + A\,dk,A\), C.7)
где было использовано A.3.4) и соотношения C.1), применен-
применен1
ные к вектору х1, т. е.
х1' = A'ix. C.8)
') В оставшейся части этого параграфа будет предполагаться, что аргу-
аргументом направления в gij является вектор х1 = dx'/dt, касательный к С: по-
поэтому мы можем опустить указание векторных аргументов без опасения, чю
возникнет неясность.
78 ГЛ. И. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Путем циклической перестановки индексов V', /', k' из уравнения
C.7) получаются еще два подобных уравнения. Из суммы двух
последних уравнений мы вычтем уравнение C.7) и разделим
результат на 2. Так получающееся выражение существенно уп-
упрощается после учета уравнения B.3) и того факта, 4iq д\'А\'=
— di'A)> ввиду C.5). Таким образом, мы получаем
ут. = А\,А\Л\,чт + glkA\- {диЩ +
+ Cl!h {AjAtfrAb + A[,A[,dvA% - А\,А\,дк,А\) х". C.9)
Заметим, что согласно C.6) gtkA\, =gr>h>Ar{. Поэтому, разре-
разрешая уравнение C.9) относительно второго члена в правой ча-
ча1'
сти и свертывая затем с х1', находим
,А[, (дгА1) х»'х!'), (ЗЛО)
где мы использовали равенства A.5.9), A.3.5), B.7) и C.8).
Исключим из правой части уравнения C.10) величину д, А\,%
Этого можно добиться путем свертки C.10) с х1' и учета того
факта, что согласно C.8) и A.3.5) последний член в правой
части после свертки обратится в нуль. После подходящей пе-
перемены индексов мы таким образом получаем
(drAhh) xl'xh' = Ahh,yp,h'rxP'xi' - y/jXPxI. C.11)
Подставляем это выражение в последний член в правой части
C.10); тогда этот член принимает вид
- Sr'k'CmA[,A{, (Ahh,y/rxP'xi' - yphtxPxi).
Однако мы видели (гл. I), что частное дифференцирование
тензора по векторным аргументам снова приводит к тензору.
Поэтому из C.6) следует
Используя это уравнение и равенство A.5.9), сведем исследуе-
исследуемый член к выражению
Заменяя этим выражением последний член в правой части
C.10), мы после изменения индексов и использования C.2)
найдем
'iip} *'• (ЗЛ2>
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОРА 79
Это искомый результат: очевидно, что два выражения в фи-
фигурных скобках имеют одинаковые структуры, но относятся
к различным координатным системам. Полагая
ё1НСш = п1НСш = Ск1, C-13)
введем обозначение
Pki (х, х) = ум (х, х) - Ск\ (х, х) уР1! (х, х) х\ C.14)
и аналогично в системе (х1'). Тогда уравнение C.12) сведется
к
(дгА\,) xi' = А[,Р/^' - А\,Р^хК C.15)
Подставим это выражение в последний член в правой части
C.4). Используя C.1), получим
dXt — Ai dXt _]_ А1 Р r' Xl'xi' — Р l
dt ~~ i' dt * nr'ri' ;'A x rh
или, после перегруппировки,
i_ pj-Xhx) = A1
Отсюда следует, что выражения, определяемые равенством
ЬХ1 dXl i . /,./
о* dt i
цбразуют компоненты контравариантного вектора. Мы будем
рассматривать ЬХ'/Ы как одно из возможных дифференциро-
дифференцирований1). Процесс дифференцирования, определяемый равен-
равенством C.17), будет называться «6-дифференцированием».
В частности, этот процесс дает корректно определенный па-
параллельный перенос: вектор X1-\-dXl из Tn(xi-\-dxi) назы-
называется полученным из вектора X1, принадлежащего Тп(х'), па-
параллельным переносом, если 8Х' = 0, т. е. если 2)
dXl = - /у,- (х, dx) Xh dx1. C.18)
Ясно, что этот параллельный перенос зависит только от
вектора X'1 и смещения dx1, в отличие от альтернативных форм
параллелизма, которые будут рассмотрены позднее.
Следующая геометрическая интерпретация показывает фун-
фундаментальное значение такого определения параллелизма. ~~
') Ph'k(x, x) впервые были введены в форме C.14) Рун дом [3], [4],
однако, как мы увидим позднее, эти коэффициенты тесно связаны с аналогич-
аналогичными коэффициентами, введенными К а р т а н о м [1].
2) Мы можем заменить аргумент (хк, хк) в Ph'j(x, x) на (хк, dxk); тогда
из определения C.14) как следствие равенств A.3.4) и C.13) получаем, что
Ph'i однородны нулевой степени по аргументам направлений. Обратим также
внимание на тот факт, что /V/ несимметричны по своем нижним индексам (в
отличие от символов Кристоффеля B.7)).
80 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
положим на мгновение, что финслерово пространство является
пространством Минковского. Другими словами, предположим,
что существует координатная система, в которой dF/dx1 = 0.
Применим к этим производным преобразование типа A.1.1).
Дифференцируя, получим
дх1 дх1 1 дх' К l >J
так что в (х'")-системе производные dF/дх1', вообще говоря, не
обращаются в нуль. В самом деле, они обратятся в нуль, только
если преобразование окажется линейным. Вследствие этого мы
будем называть те координаты системы, в которых dF/dx' об-
обращаются в нуль, «линейными координатами», а остальные бу-
будем рассматривать как «криволинейные». Из A.3.1) и B.3) оче-
очевидно, что в линейной системе Y/Д = 0- Поэтому Ph'k = 0 в силу
C.14). Следовательно, в такой системе условие C.18) паралле-
параллелизма сводится к равенству dXl = 0, что не имеет места в кри-
криволинейных системах. Итак, в линейной системе координат два
вектора равной длины параллельны, если их компоненты оди-
одинаковы (гл. I, § 2), что предполагает, что такое поле парал-
параллельных векторов удовлетворяет дифференциальным уравне-
уравнениям dX' = 0. Отсюда следует, что в случае пространства Мин-
Минковского общее определение параллелизма C.18) сводится про-
просто к векторному определению. Далее ясно, что после преоб-
преобразования компонент dX' из линейной системы координат в
произвольную криволинейную систему координат в простран-
пространстве Минковского получаются компоненты ЬХ1, задаваемые
формулой C.17). Суммируем: для того чтобы поле векторов
получалось параллельным переносом заданного вектора в про-
пространстве Минковского, необходимо и достаточно, чтобы оно
в произвольной координатной системе удовлетворяло диффе-
дифференциальным уравнениям C.18) [).
') Именно это свойство привело автора к определению коэффициентов
РД?. Если постулировать это свойство, то можно прийти к уравнению C.14)
построением, очень близким к тому, которое было проведено в настоящем па-
параграфе. Этот метод аналогичен методу, часто используемому в евклидовых
криволинейных координатах; действительно, если мы преобразуем дифферен-
дифференциальные уравнения прямых линий cPx'jds2- = 0 (здесь s — длина дуги) из
линейных координат к криволинейным, то получим символы Кристоффеля ри-
мановой геометрии. Аналогия проходит и дальше, ибо принципиальное разли-
различие между геометрией Минковского в криволинейных координатах и финсле-
финслеровой геометрией заключается в том, что в финслеровой геометрии уравнения
C.18), вообще говоря, неинтегрируемы, в противоположность случаю про-
пространства Минковского Криволинейные координаты в пространстве Минков-
Минковского рассматривал также О. Варга [1], однако он делал это с помощью
евклидовой метрики, ассоциированной с каждым направлением, т. е. с по-
помощью системы соприкасающихся индикатрис (гл. 1, § 3). Его конструкция
параллельного переноса более соответствует характеру настоящей главы.
§ 4. ЧАСТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 81
Параллельный перенос C.18) обладает следующим важным
свойством. Кривая называется автопараллельной, если ее ка-
касательные векторы получаются друг из друга последователь-
последовательными бесконечно малыми параллельными переносами типа
C.18). Справедлива следующая теорема: геодезические B.8)
финслерова пространства являются автопараллельными кри-
кривыми ').
Этот результат немедленно следует из равенств B.8), C.14)
и C.18), если заметить, что в силу A.3.5) мы имеем тождество
Рк',(х, х)х12 = уп1,(х, х)хн. C.19)
Поэтому уравнения геодезических финслерова пространства
могут быть записаны в виде
•^¦ = 0, где *" = -§Г" C.20)
Теперь мы в состоянии исследовать геометрические и алге-
алгебраические свойства б-дифференцирования. Однако по причи-
причинам, которые будут объяснены в следующем параграфе, удоб-
удобнее заняться этими вопросами позднее.
§ 4. Частное дифференцирование векторов
Предположим, что вместо задания векторного поля как
функции от одного параметра / (определенного вдоль некоторой
кривой) задано векторное поле Х'(хк) в конечной области про-
пространства Fn- Будем считать, что X' — непрерывные и непре-
непрерывно дифференцируемые функции п переменных х\ .. . , хп.
Взяв частные производные от функций X' и используя равен-
равенства C.1) и C.5), найдем, что эти производные преобразуются
по закону
(_/ Л\ л i A31 \J j\ i л :' / -\ A J \ tTJt /л -i \
И снова присутствие члена д/'Аг указывает, что эти частные
производные не образуют компонент тензора. Однако было бы
ошибочно думать, что для получения тензора достаточно до-
добавить к частным производным член Ph',Xh, как это было сде-
сделано в уравнении C.17). Нетрудно заметить, что, хотя суммы
Ph'j{x, х)х' обладают необходимыми трансформационными
свойствами, сами члены /У/(х, x) этими свойствами не обла-
обладают. Однако на основе формул предыдущего параграфа срав-
сравнительно нетрудно получить выражение, которое должно до-
>) Напомним, что это то свойство, которым обладают прямые линии в ев-
евклидовой геометрии.
82 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
бавляться к частным производным дХ'/дхк для того, чтобы по-
получился тензор ').
Из уравнения D.1) ясно, что мы должны постараться раз-
разложить последний член в правой части на два выражения, оди-
одинаковые по форме, но относящиеся к различным координатным
системам. Этот член будет явно задаваться уравнением C.5),
после того как мы исключим выражения типа (d^Afc) xh', вхо-
входящие в фигурные скобки в C.9). Этого можно добиться с по-
помощью C.15), если принять во внимание симметрию в C.5).
Таким образом, мы получаем
+ &кЛ\,А\,Рг\ - А\А\Акк,Рк\) хК D.2)
Применяя C.13) и переставляя индексы, имеем
+ СШР,\ - CmPk\) x1}. D.3)
Определим теперь новые коэффициенты, полагая
Phi {х, х) = у/*/ (х, к) - {Ст {х, х) Ptht (x, х) +
+ Ckih (х, х) РД (х, х) - Ст (х, к) Рк\ (х, х)} х\ D.4)
Pti (х, х) = ghk (х, у) Phi (х, к) {уг = gt, (х, х) х1). D.5)
Тогда уравнение D.3) сводится к
Это приводит к искомому закону преобразования, так как,
умножая последнее уравнение на выражение gk'h'Arh,A'h и учи-
учитывая равенства D.5), C.2), C.5) и C.6), после подходящей
замены индексов получаем
АГ (д.,А[) = Ai,Ai;P*/v - AW,. D.6a)
') Это дополнительное выражение снова должно включать метрический
тензор и его производные: однако любая функция от метрического тензора
должна иметь векторный аргумент. Поэтому мы должны выбрать во всех фор-
формулах настоящего параграфа некоторый линейный элемент (х', х'), и тогда
векторные аргументы можно опустить. Когда мы пишем <Ш= {йХ1\йхк)йхк,
то векторы х' соответствуют смещениям dx'.
§ 4. ЧАСТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 83
После подстановки этого выражения в D.1) мы в силу C.1)
окончательно находим
Итак, величины Х\]г определенные равенствами
xb{x' х)==^ + p*hi'{x' х) **• D'8)
действительно образуют компоненты смешанного тензора
контравариантной и ковариантной валентности 1. Процесс D.8)
называется частным ^-дифференцированием1): при этом внут-
внутренняя связь между процессами D.8) и C.17) лучше всего вы-
выражается соотношением
Щ- = Х\, (х, х) xi = Щх, х) ^-, D.9)
которое аналогично обычной формуле йф/dt = (дФ/дх')х1.
Уравнение D.9) легко выводится следующим образом: из D.4),
D.5) и A.3.5) мы имеем
или, используя B.7), C.13) и C.19),
pflJci==(y^-Ciflrylrlx1)x'.
Поэтому из определения C.14) мы в результате получаем
Pf,(x,x)xl = P/lj(x, x)x>', D.10)
откуда следует D.9). Ясно также, что мы можем заменить в
C.17) коэффициенты Рн1\ коэффициентами Р*/,-. Однако такая
замена не всегда желательна, особенно если вычисления вклю-
включают явное выражение этих коэффициентов, поскольку первые
имеют гораздо более простую форму. Мы видим также, что
ввиду C.19) и D.10) уравнения геодезических B.8) могут быть
') Определение коэффициентов Р*/1 j в виде D.4) и D.5) было впервые
дано Р у н д о м [5]. Однако позднее Э. Девис показал, что они идентичны ко-
коэффициентам (обозначаемым через Г|Лу)) введенным намного раньше
Э. Картавом [1]. Метод Картана будет описан в следующей главе.
В контексте рассмотрений настоящей главы мы умышленно сохранили ис-
использованное выше обозначение, надеясь, что это поможет читателю провести
ясное различие между разными формами ковариантного дифференцирования,
которые будут в дальнейшем описаны. Определение D.4) может быть запи-
записано несколькими способами, включающими конечный рекуррентный процесс
(Рунд [6]), что полезно для дальнейших обобщений. Альтернативные вы-
выводы коэффициентов Р*/1] будут рассмотрены в гл. III.
84 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
записаны в виде
d'x1 , п, ,¦ / dx
rfs2 ^rh
В заключение заметим, что вследствие симметрии символов
Кристоффеля выражение D.4) непосредственно указывает на
симметрию коэффициентов P*hlj по их нижним индексам:
Ph'lix, x) =Р}1н(х, х). D.12)
Разность между двумя коэффициентами дается формулой
Рщ - Рщ = (CmPhki - CihkPti) xl + ChikCikryprlXpxl. D.13)
Это соотношение пряхмо следует из уравнений C.14) и D.4).
§ 5. Элементарные свойства 6-дифференцирования
Процессы дифференцирования, определяемые уравнениями
C.17) и D.8), дают нам основной метод, с помощью которого
мы можем заняться построением общей теории пространств
Финслера. Вместо этого, следуя Э. Картану, мы рассмотрим
альтернативную трактовку ковариантных производных, тем бо-
более что данная трактовка доминирует в литературе по финсле-
ровым пространствам. В настоящем параграфе мы ограничимся
исследованием наиболее элементарных свойств 6-производной,
поскольку в дальнейшем это даст нам возможность легче про-
проводить соответствующие сравнения.
Ясно, что с помощью коэффициентов Р*^k можно распростра-
распространить процесс 6-дифференцирования контравариантных векторов
на произвольные тензоры, просто следуя примеру римановой
(или так называемой «неримановой» (Эйзенхарт [2]))
геометрии. При этом, однако, возникает определенная труд-
трудность, которая не проявлялась в предыдущей главе, где мы
предполагали, что векторное поле X1 зависит только от точек
основного многообразия или просто от одного параметра. Дей-
Действительно, вообще говоря, векторное поле X' может зависеть
от линейных элементов (хк, ?*), так что X1 = Х'(хк, |й). Тогда
мы должны заменить первые члены в правых частях уравнений
C.17) и D.8) выражениями
дХ1 dx' дХ1 dl>
дх1 dt die1 dt
дХ' . дХ1 д1к
дх' дхк дх1
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА б-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 85
соответственно. Хотя тензорный характер C.17) и D.8) от этого
никоим образом не изменяется '), добавление таких членов вы-
вызывает неудобство, так как они включают производные вектор-
векторной части |А линейных элементов (хк, |й), от которых зависит
векторное поле X'. Эту трудность нельзя обойти, и в дальней-
дальнейшем мы увидим, что рассматриваемая геометрическая проблема
ясно указывает или скорее вынуждает подходящий выбор про-
производных векторного аргумента2). Однако это не нарушает
справедливости утверждения, сделанного в связи с уравнением
C.18): если задан некоторый вектор X1 в Т„(Р), то это урав-
уравнение однозначно определяет «параллельный» вектор X' + dXl
в бесконечно близком касательном пространстве.
В соответствии с этим определим частную б-производную
по хк в направлении х' для произвольного тензора Т'1 '" 'г/ ... ,¦
{х, I) формулой
r?i---'r _ dl h-'s I n -U dlh ,
дхк ^ d.ih dxk
Г
V T"'l •¦¦ 'n-l'Wl'- '' D*'n (x x\ —
Lu h ¦¦¦ 's h k '
1
Ц-1
Тензорный характер E.1) непосредственно следует из закона
преобразования D.6а).
Прямыми следствиями этого определения являются следую-
следующие правила:
A) б-производная (или дифференциал) суммы двух тензо-
тензоров является суммой б-производных (или дифференциалов) этих
тензоров;
B) б-производная (или дифференциал) обладает теми же
свойствами для произведений, что и обычная производная (или
дифференциал).
Разумеется, эти правила применимы, только когда рассма-
рассматриваемые тензоры зависят от одного и того же поля ск нап-
направлений (если вообще они зависят от направлений), т. е. члены
d\kjdxh должны быть везде одинаковыми. Наконец, из E.1)
можно также вывести, что
C) б-производная скалярной функции равна ее обычной
производной.
') Это немедленно следует после дифференцирования уравнений C.1) с
учетом изменения векторных аргументов.
2) Это замечание будет развито в гл. III в связи с рассмотрением кова-
риантной производной Э. Картана.
86 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В качестве простейшего приложения определения E.1) рас-
рассмотрим б-производную в направлении х1 от метрического тен-
тензора gij(x, l), соответствующего некоторому линейному эле-
элементу (х, I). Из E.1) и A.3.4) мы имеем
"•* ' ' dxk ' ' " дхк
- ghj (х, I) Р\\ (х, х) - gih (x, I) Р)\ (х, х). E.2)
Присутствие члена д^1г/дхк указывает, что б-производная при-
приобретает смысл только после задания этого члена. Из геоме-
геометрических соображений очевидно, что для определения метри-
метрического тензора в бесконечно близкой точке необходимо задать
его приращение относительно приращения как координат, так
и направлений. Далее ясно, что новые упрощения появятся
только после того, как мы отождествим вектор х' направления
дифференцирования с вектором \\ входящим в gij. Положим
х' = ?'. Тогда согласно D.5) два последних члена в правой ча-
части уравнения E.2) сведутся к
- {Р'т (х, I) + P)ik (х, I)).
Однако вследствие уравнения B.10) и симметрии тензора Сцн
из определения D.4) вытекают следующие тождества:
P'iik + P'iik = j^ - 2CUh (x, x) Pk\ (x, x) x\ E.3)
или
Ahx1, E.30
дхя
где были использованы равенства D.10) и D.12). Уравнение
E.2) (с к1 = ?') принимает вид
gll;k (х, I) = 2Ст (х, I) [?^ + Р\\ (х, I) ?'] . E.4)
В силу D.8) оно сводится к виду
Этот результат является обобщением леммы Риччи из ри-
мановой геометрии1), поскольку финслерово пространство ста-
становится римановым при тождественном обращении в нуль тен-
тензора Сан- Уравнение E.5) ясно указывает характер зависимо-
зависимости б-производной метрического тензора от изменения вектор-
векторного аргумента \k. Из A.3.5) независимо от значений произ-
1) Рунд [5], [6]. За дальнейшим обсуждением этого вопроса читатель
отсылается к гл. III, § 2.
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА б-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 87
водных д^н/дхк вытекают тождества
' ёц* (х, I) Г = glhk (х, I) I1 = 0. E.6)
В некоторых случаях эти тождества позволяют обходить ана-
аналитические трудности, возникающие из-за того, что правая часть
у E.5) не обращается тождественно в нуль.
Интересен частный случай, когда вектор \' = х' = dx'/dt
является касательным к некоторой кривой С с длиной дуги л.
В этом случае б-дифференцирование производится вдоль кри-
кривой С. Умножая E.5) на dxk/dt, мы получим из D.9)
6вп (х, х) bxh ,r _ч
Далее, согласно E.6) имеют место полезные тождества
bgj, (*, i) , _ bglt (*, i) ¦
ы X — ы X —U. (Ь.Ь)
Уравнения E.7) и E.8) справедливы для произвольных кри-
кривых С класса С2; поэтому из C.20), B.8') и E.8) следует, что
при дифференцировании вдоль геодезической финслерова про-
пространства справедливо равенство ')
i^ = 0. E.8a)
Непосредственным следствием того, что ковариантная про-
производная метрического тензора с произвольным аргументом,
вообще говоря, не обращается в нуль, является тот факт, что
при параллельном переносе (определенном в § 3 посредством
б-дифференцирования) вектора X' его длина, вообще говоря,
не остается неизменной: явление, не имеющее аналога в ри-
мановой геометрии. Изменение длины вектора X' при парал-
параллельном переносе из точки Р(х') в точку Q(xl-\-dx') задается
соотношением
¦т- (gt, (x, X) XlXl) ds = Sil. ' Х!Х> ds, E.9)
') Согласно A.3.5) левая часть соотношения E.7) обращается в нуль,
если для некоторой функции X(t), определенной вдоль кривой С, справед-
справедливо уравнение 6x'/6t = Xx'. Однако, если кривая удовлетворяет этому диф-
дифференциальному уравнению, то она должна быть геодезической. Действительно,
в силу A.3.9) мы имеем gi/(x, x)x'x'— (ds/dtJ = s2, и если мы применим
процесс б-дифференцирования к этому уравнению, то мы получим
gil(x, x)x'Fx'lbt) = ss, что вместе с двумя предыдущими уравнениями дает
Я = s/s. Поэтому дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет кри-
кривая С, имеют вид 8x'/6t — (§/s)x! = 0, что на основании C.19) эквивалентно
уравнениям B.8') для геодезических. Отметим также, что если K(t) = 0 вдоль
С, то t = as + b, где a, b — константы.
88 ГЛ. II. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ: КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
которое следует из C.18); ds является длиной смещения dxl.
Если, однако, кривая Г является геодезической в Fn, соединяю-
соединяющей точки Р и Q, то легко видеть, что скалярное произведе-
произведение X' с касательным вектором х" к геодезической в точке Р,
т. е. выражение gtj (x, х')х/1Х'\ остается инвариантным вслед-
вследствие уравнения E.8). Поэтому, в частности, длина вектора
остается неизменной при параллельном переносе, если перенос
производится в направлении вектора.
Это условие вместе с двумя другими, именно с условиями того, что гео-
геодезические должны быть автопараллельными кривыми и что dX' должны быть
линейны по X', были постулированы Рун дом [4] в попытке дать геометри-
геометрическую трактовку проблемы параллельного переноса в финслеровом простран-
пространстве. На этом пути можно прийти к коэффициентам Рн'к из § 3. Ясно, од-
однако, что эти условия недостаточны для однозначного определения /V*; в
лучшем случае можно сказать, что они являются простейшими коэффициен-
коэффициентами, свойства которых обеспечивают, чтобы соответствующий параллелизм
обладал вышеуказанными свойствами. На это явно указывал Лаугвиц [2];
он показал, что если к правой части уравнения C.18) параллелизма добавить
член типа Bhlj(x, dx)Xhdxl, то указанные выше три условия останутся спра-
справедливыми, если считать, что тензор щ = Bijkdxk = gihB/hkdxk является косо-
симметричным и а,/(х, dx)dx> = 0. Последние соотношения имеют место, если
сам тензор В,-,-* является кососимметричным по всем своим индексам, а такие
ненулевые тензоры могут существовать, только когда размерность превосходит
2. Таким образом, данные условия однозначно определяют параллелизм лишь
при п = 2. Дальнейшее подробное изучение условий такого типа провел
Т. Оку б о [1], [2]. Он ввел новую метрическую связность, коэффициенты ко-
которой явно не вычислены.
Следующие формулы будут полезны в дальнейшем. Нам ча-
часто придется иметь дело с величинами, содержащими производ-
производные коэффициентов Рнъ. и PVk по векторам. Из D.10) и C.19)
мы имеем
Рн'к (х, х) xhxk = yhlk (х, х) xhxk. E.10)
Дифференцируя правую часть этого уравнения по х1, мы в силу
B.3), B.7) и A.3.6) получим выражение
dg'
s .ij I 9 i -h
grsYli kX X -j- Z\h iX ,
Г7Г
которое вследствие A.5.9) эквивалентно
Поэтому из C.14) следует, что
jrrDhikxhxk) = 2Pllhx\ E.11)
и после дифференцирования уравнения E.10) по х1 мы будем
иметь
дР*'
—^ xhxk + 2P'lihx/l = 2Plihxh.
дх1
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 6-ДИФФЕРЕН11ИРОВАНИЯ 89
Следовательно, учитывая D.10), мы получаем полезное тожде-
тождество
-^i"ife = 0. E.12)
die1
Аналогичным образом, дифференцируя уравнение C.14) и
используя такие же редукции, мы найдем, что
p [X X . @.10)
Во многих случаях это уравнение полезнее использовать после
исключения последнего члена в правой части с помощью D.13).
Краткое вычисление дает следующую формулу:
дР
—?*- xk = (Phi - Pthi) + 2CkhjPikrxr + Сщ | kx\ E.14)
где тензор Clh, | k получается из ковариантной производной
Сlh..k путем замены производных d%h/dxk в соответствующем
выражении E.4) членами —PkhrXr (см. гл. III, § 2). Легко про-
проверить, что соотношение E.12) можно также вывести (исполь-
(используя менее прямой путь) из формулы E.14).
Тем же способом, которым мы пришли к формулам E.5) и
E.6), мы можем показать также, что
¦tin lv i\ . Г> (v b\il (К ]К\
Дифференцируя E.5) по xh и затем переставляя местами ин-
индексы к, k, получаем
2" (8Ц; hk ~ 8ц- kh ) = Ctfi- кЦн ~~ Ct!l;h4k + СЩ 0>!hk ~ Qkh)- E.16)
Следовательно, в силу E.15) и A.3.5)
= - Cllm (x, W Щк1\н + Cilm (x, I) l^hl\k = 0 E.17)
как результат симметрии Сцт по всем своим индексам.
Глава III
«ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э КАРТАНА
Характерной чертой развитого в предыдущей главе про-
процесса б-дифференцирования является отличие от нуля кова-
риантной производной метрического тензора. Вследствие этого
дальнейшие выводы теории пространств Финслера будут ра-
радикально отличаться от совокупности установленных теорем
римановой геометрии, поскольку в ней лемма Риччи (согласно
которой ковариантная производная метрического тензора об-
обращается в нуль) играет наиболее решающую роль. Это раз-
различие нельзя преодолеть, если продолжать рассматривать ло-
локально финслеровы пространства как пространства Минков-
ского и использовать только линейные связности. С другой сто-
стороны, можно принять существенно новую точку зрения, если
ввести так называемый опорный элемент: следуя этому методу,
действительно можно построить ковариантные производные,
для которых аналог леммы Риччи справедлив в общем случае.
Это достигается с помощью «евклидовой связности» Картана,
которой посвящается первая часть настоящей главы. Ввиду
огромного влияния, которое этот подход оказал на общее раз-
развитие нашего предмета, теория Картана будет развита с самого
начала. Во второй половине настоящей главы мы введем обоб-
обобщение финслеровых пространств, а именно, определим общее
пространство путей: это приводит к альтернативным формам
ковариантных производных, которые будут сравниваться друг
с другом в свете результатов этой и предыдущей глав.
§ 1. Фундаментальные постулаты Картана
В предыдущей главе мы очертили аналитическую основу, на
которой можно построить теорию пространств Финслера, рас-
рассматривая их локально как пространства Минковского. Теория
Э. Картана1), которая рассматривает пространства Финслера
с существенно новой точки зрения, сыграла наиболее решаю-
решающую роль в развитии этого предмета, и для того, чтобы пол-
') Кар тан [1], [2].
§ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КАРТАНА 91
ностью разъяснить методы Картана, нам следует на мгновение
вернуться к исходной точке, именно, к элементарным опреде-
определениям гл. I. В настоящем параграфе мы изложим точку зре-
зрения, принятую Картаном в его монографии, и обсудим посту-
постулаты, посредством которых он определил свои ковариантные
производные, причем результаты вычислений из гл. II позволят
нам обойти довольно громоздкий анализ для определения яв-
явного вида коэффициентов этих ковариантных производных1).
Для того чтобы ввести в финслеровом пространстве Fn так
называемую «евклидову связность», Картан рассматривает мно-
многообразие X2n-i линейных элементов (х\ х'), размерность ко-
которого равна 2п — 1 (так как для определения направления
в касательном пространстве Т„(х) нужны только отношения
компонент х'). Координаты х' рассматриваются как центр ли-
линейного элемента (х\ х'). Далее, все геометрические объекты
(тензоры, связности и т. д.) определяются как функции линей-
линейных элементов. С помощью функции F(x!, х'), удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям гл. I, в пространстве F,, определяется метрика.
Говорят, что на многообразии Xin-i введена евклидова связ-
связность, если в X2n-i проведено следующее построение:
(I) Задан метрический тензор с симметричными компонен-
компонентами gij(x, х), так что квадрат расстояния между центрами х'
и х1 + dx' двух бесконечно близких линейных элементов (х\ х')
и (х' + dx', х1 -f- dx') задается выражением 2)
gl!(x,x)dxidxl. A.1)
Из того что dx' образуют компоненты контравариантного век-
вектора, следует, что квадрат длины произвольного контравариант-
контравариантного вектора должен определяться квадратичной формой
ди(х,х)Х1Х!. A.10
') В разное время были даны более короткие методы определения карта-
новских коэффициентов, в частности, О. Варгой [2], Лаугвицем [3] и
Зуланке [1]. Однако, поскольку эти авторы используют специальные кон-
конструкции такие, как соприкасающееся риманово пространство (см. § 4), или
общую геометрию путей (в смысле Дугласа [1]), то их методы не могут
показать основные идеи Картана так же ясно, как его оригинальный метод.
Поэтому, по-видимому, предпочтительнее следовать историческому подходу
и отложить на время обсуждение этих более современных построений. Ука-
Укажем также, что Схоутен и Хаантьес[1] создали более общую теорию
для определения коэффициентов связности пространств, в которых фунда-
фундаментальный метрический тензор зависит от ко- и контравариантных векторных
плотностей. В этой связи читателю следует обратиться к Схоутену и
X л а в а т ы [1].
2) Заметим, что в этом выражении не требуется никакой связи между
дифференциалом dx' и аргументом направления х'. На данном этапе не пред-
предполагается никакой связи между тензором gn и метрической функцией F(x, x)
пространства Fn\ эта связь должна выводиться из дальнейших постулатов."
92 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
Это выражение больше не является функцией только точки х'
и вектора Х\ Но зависит от так называемого опорного элемента
(х\х') вектора (этот элемент следует прежде выбратьI).
(II) Постулируется, что приращение вектора X' при беско-
бесконечно малом изменении его опорного элемента от (х1, х') до
(х' + dx', х' + dx') задается следующим ковариантным (или
абсолютным) дифференциалом:
DX' = dX' + Ck\ (х, х) Xk dx" + ГД (х, х) Xk dxh, A.2)
где коэффициенты Ck'h и ГУл являются функциями опорного
элемента. На эти коэффициенты накладывается условие: если
вектор X' переносится из (х\ х') в (х' + dx\ х' + dx') парал-
параллельным переносом, т. е. если этот вектор получает прираще-
приращение dX' согласно уравнениям
DXl = 0 или йХ1 = — Ск\Хкй^ — Тк\Хкй^, A.3)
то длина вектора X1, задаваемая посредством A-Г), должна
оставаться неизменной. Легко вывести ограничение на коэффи-
коэффициенты Ck'h и IY'ft, налагаемое этим постулатом. Введем обо-
обозначение
со,' = СД^л + ГДлЛ A.4)
Определение A.2) примет вид
DX* == dX1 + щ1Хк. A.2')
Дифференцируя квадратичную форму A.1'). получаем, что при
параллельном переносе A.3) изменение квадрата длины век-
вектора имеет вид
(dgil-gkt(*ih-g,k<»ik)XtX'.
Поэтому достаточное условие требуемой инвариантности длины
вектора X' при параллельном переносе записывается в виде
dgii — ®t{ + <oii, A.5)
где мы положили
/ .0.6)
Так как dx' и dx' независимы, то согласно A.4) из условий
A.5) следует, что коэффициенты ГД и СД должны удовлетво-
удовлетворять уравнениям
¦^Г = Г1М + ГМ A.7)
') Читатель легко заметит, что измерение длины A.1') соответствует из-
измерению длины с помощью соприкасающейся индикатрисы (гл. I, § 3, уравне-
уравнение C.10)), построенной в Тп(х'); коэффициенты этой квадратичной гиперпо-
гиперповерхности задаются посредством gui*11, хк), где хк, кк фиксированы. Поэтому
выражение A.1') подобно измерению длины в локально евклидовой геометрии.
§ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КАРТАНА 93
A.7а)
дх'1 ' '
.где
Г«м = ^гЛ. A-8)
Cilh = gikCikh. A.8а)
Ясно, что для определения коэффициентов Г;*л и СЛг соот-
соотношений A.7) и A.7а) недостаточно. Более того, мы еще не
упомянули о заданной метрической функции F(x\ x') в Fn- Для
того чтобы связать эту функцию с метрическим тензором и од-
однозначно вывести коэффициенты, входящие в ковариантную
производную A-2), следует ввести дополнительные посту-
постулаты ').
(III) (а) Если направление вектора X' совпадает с напра-
направлением его опорного элемента (х\ х'), то его длина должна
равняться F(x\ X').
(b) Пусть X', У' — два вектора с общим опорным элемен-
элементом (хк, хк). Пусть при бесконечно малом повороте вокруг
центра хк опорный элемент переходит в (хк, хк + dxk), причем
компоненты X' и У' остаются фиксированными; соответствую-
соответствующие ковариантные дифференциалы обозначим через DX' и DY1.
Требуется выполнение следующего условия симметрии:
Sit \x> x) л u* — git \x> X) r ил- ¦
(c) Если направление вектора с фиксированными компонен-
компонентами X' совпадает с направлением его опорного элемента, то
ковариантный дифференциал A.2) этого вектора, отвечающий
бесконечно малому повороту опорного элемента вокруг своего
центра, тождественно обращается в нуль.
(d) Коэффициенты (которые мы будем обозначать через
Wk), появляющиеся в ковариантном дифференциале A.2) при
смещении, которое переносит опорный элемент параллельно
себе из хк в. хк + dxk согласно A.3), должны быть симметричны
по своим нижним индексам k, h2).
') В действительности в этом пункте Картан вводит дополнительно к ус-
условиям (а), (Ь), (с) и (d) еще один постулат ([1], с. 10). Этот постулат, од-
однако, излишен, так как его можно вывести из остальных (см. Картан [3]).
Этот постулат просто связывает перпендикулярность и трансверсальность от-
относительно опорного элемента.
2) Наиболее интересная геометрическая интерпретация этих постулатов
может быть проведена методом, использованным О. Варгой [1] для вы-
вывода коэффициентов ковариантного дифференциала в пространствах Мин-
ковского. Каждому направлению в пространстве сопоставляется евклидова
метрика с помощью соприкасающейся индикатрисы. Это приводит к построе-
построению «декартовых» координатных систем, т. е. систем из п базисных векторов
ek (i, k—l, ..., п), которые удовлетворяют уравнениям e/ey=g,-ft(i) и
94 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э, КАРТАНА
Из этих условий можно сделать ряд аналитических выво-
выводов. Очевидно, что согласно A.1') условие (а) дает
,x) = gl!(x,x)xixl. A.9)
Используя A.2) и A.8а), мы получаем из (Ь) равенство
которое выполняется для всех возможных множеств значений
X', У' и dx', только если справедливо условие симметрии
п с /1 1 п\
Теперь из A.7а) немедленно следует
1
Далее, в силу A.2) условие (с) может быть записано в виде
Ck\xk dxh = 0.
Поскольку это равенство должно выполняться для всех возмож-
возможных наборов значений dxH, то
где мы еще раз воспользовались формулой A.8а). Дифферен-
Дифференцируя уравнение A.9) последовательно по хк и хн и принимая
во внимание A.10), A.11) и A.12), получаем
F{x,x)Fkk{x,x) = gik{x>x)xi A.13)
и
* рь ГУ т-ч t ri т-ч / -л 4 л \
р . , Ир . , _i_ p uF U Z^Z (У (\ 1 Д 1
9 х х™ — х хг1 *^ х х^ &hk' ^ ' '
Таким образом, из A.9), A.14) и A.11) следует, что вве-
введенные в настоящем параграфе тензоры git и Сцн совпадают
с тензорами, определенными прямым способом в гл. I (§ 3,
уравнения C.1), C.2) и C.4)) и обозначенными теми же сим-
символами. Разумеется, они обладают одинаковыми свойствами.
В частности, условие С из гл. I, накладываемое на функцию
которые являются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функ-
функциями от х1. Затем ищется аналитическое выражение, которое должно пред-
представлять собой изменение данного векторного поля, зависящего от х\ при
изменении х' на dx1. Из-за этой специальной координатной системы анализ
сильно упрощается. Наконец, введение криволинейных координат в простран-
пространстве Минковского по существу сводит проблему нахождения соответствующих
коэффициентов в этих координатах к проблеме настоящего параграфа.
§ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КАРТАНА 95
F(x, х)\ обеспечивает положительную определенность метрики
A.10 ')•
Как следствие равенства A.9) мы получаем, что единичный
вектор /' в направлении опорного элемента (х\ х') задается
формулой
1= .. ,
F (x, x)
причем из A.13) и A.15) следует, что его ковариантные компо-
компоli = Fit(x,x) = gtk(x,x)tk. A.150
Для того чтобы использовать условие (d), мы должны вы-
вычислить ковариантный дифференциал от /'. В силу A.12) со-
соответствующее уравнение A.2) сводится к уравнению
Dll = dli + Tkihlkdxh, (J.I 6)
и при параллельном смещении вектора /' (т. е. когда D11 = 0)
мы имеем из A.15)
или
< '(^)iyA**d**. A-160
Итак, при смещении опорного элемента по этому закону вели-
величины dx' задаются как функции от (хк, хк). После подстановки
этих величин в выражение A.2) для ковариантного дифферен-
дифференциала и учета A.12) мы найдем, что при этих условиях спра-
справедливо равенство
DXi = dXi+nijXkdxl, A.17)
где
nti = Tki,-CkthTThlxr. A.18)
Теперь из условия (d) следует, что
Пг/ = ГГА. A.19)
Меняя местами индексы и принимая во внимание A.8), A.8а)
и A.19), получаем
Тед — r/(-fe = (Cki/i^t i — CjaiTr й) xr. A.20)
Так как коэффициенты Сцн уже определены уравнениями
A.14), то остается лишь найти коэффициенты Тиц- Для этого
') Следует подчеркнуть, что понятие длины, введенное в гл. I, вообще
говоря, не совпадает с тем понятием длины, которое определяет формула
A.1'). Эквивалентность этих двух определений имеет место только тогда, ког-
когда направление вектора X' совпадает с направлением его опорного элемента.
96 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
достаточно заметить, что уравнения A.20) вместе с A.7) об-
образуют систему из п3 уравнений для пг неизвестных Г*//. По-
Поэтому эти уравнения будут однозначно определять коэффи-
коэффициенты Г*;/1). Это в свою очередь однозначно определяет ко-
коэффициенты П'/С помощью равенства A.18).
Мы могли бы теперь воспользоваться методом Картана и
решить исследуемые уравнения относительно этих коэффициен-
коэффициентов. Однако результаты предыдущей главы дают нам возмож-
возможность обойти этот довольно длинный расчет. Действительно,
заметим, что согласно A.12) из формулы A.18) следует, что
П11Хк = Гк',хк, A.21)
так что соотношение A.18) может быть записано в виде
П'/ = IV/ - cyAr;V. A.22)
Подставляя теперь в A.7) коэффициенты Т*цн вместо коэффи-
коэффициентов Г (/л, имеем
П/л + T)lh + 2Ci!krr\xr, A.23)
дх11
где, разумеется,
A.24)
Уравнение A.23) является одним из уравнений, которым
должны удовлетворять T*ijh. Однако решение мы уже знаем.
Действительно, если мы обратимся к уравнению E.3') из § 5
гл. II, то увидим, что коэффициенты Р'цн, определенные в § 4
гл. II, удовлетворяют в точности такому же уравнению. Более
того, если мы подставим P*ijh вместо Т*ци в формулу A.18), то
как результат соотношений симметрии P}'h = P\!t (уравнение
B.4.12)) получим набор значений Г,/й, который удовлетворяет
уравнениям A.20). Итак, существует единственное решение
уравнений A.7) и A.20), задаваемое формулами
Г*// = Пи + CkihT'rhiXr, A.25)
где Т1ц задаются уравнением B.4.4J).
Представим теперь эти коэффициенты в той.форме, в кото-
которой они были первоначально введены Картаном. Для этого рас-
рассмотрим уравнение
2G1 {х, х) = yh\ (х, х) х*х*. A.26)
') Картан [1], с. 15.
2) За исключением специальных случаев, мы в дальнейшем будем при-
придерживаться картановских обозначений Гд'^ вместо Р}/^.
§ 2. СВОЙСТВА КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 97
Дифференцируя его по хг, вследствие B.5.11) найдем
^г = Рг\(х,х)х\ A.27)
Поэтому в силу A.25), A.12) и B.4.10) справедливы равен-
равенства
IY>* = П',** = PlljXk = Р,\хк = -g-. A.27')
Таким образом, уравнение B.4.4) может, быть записано в виде
г* л, г dQh r dQh л-г dQh л оя\
в котором оно было получено Картаном '). Кроме того, исполь-
используя A.27') и A-27), мы видим, что уравнение A.25) принимает
вид
Ткц>=Пи+Сш^-, A.29)
дх>
так что в силу A.28) имеет место формула
г л, г д°Н л. г dQh л ъп\
Итак, коэффициенты, определяющие ковариантный диффе-
дифференциал A.2), полностью определяются уравнениями A.11) и
A.30J).
§ 2. Свойства ковариантной производной
Определив ковариантный дифференциал A.2) для произ-
произвольного контравариантного вектора X', мы теперь можем рас-
распространить процесс дифференцирования на тензоры произволь-
•) Картан [1], с. 16.
2) Применение картановской производной к проблемам вариационного
исчисления изучалось Стоксом [1]. О. Варга [3] рассматривает кова-
риантные производные типа A.2), однако не использует обычно налагаемых
на коэффициенты условий симметрии, ограничиваясь только условием
Сй'й (х, х) кк = 0. Т. О к у б о [1], [3], [5] вводит условия, подобные картанов*
ским, однако в его теории соотношения A.14) не обязаны выполняться. Чер-
НУ [']> [21 принадлежит более общий метод, основанный на использовании
внешних дифференциальных форм, который приводит к классу евклидовых
связностей. Связность A.30) является специальным случаем таких связно*
стей. Некоторые применения метода Черна описаны в гл. VI, § 3.
4 X. Рунд
98 ГЛ. ИГ. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
ного ранга. Положим
±
H=l
v=l
B.1)
Здесь, конечно, следует отметить, что тензор Т является функ-
функцией опорного элемента (х, х), так что член dT включает в себя
изменение этого элемента. Если принять во внимание этот факт,
то можно легко показать, что только что описанный процесс
дифференцирования снова удовлетворяет обычным законам ко-
вариантного дифференцирования, т. е. дифференциал суммы
является суммой дифференциалов и справедливо обычное пра-
правило дифференцирования произведений. Ковариантный диффе-
дифференциал скаляра равен его обыкновенному дифференциалу.
Определение B.1) может быть легко переписано в виде, ко-
который непосредственно приводит к ковариантным (частным)
производным по координатам хь. Чтобы проиллюстрировать это
наиболее ясно, мы возьмем тензор достаточно низкого ранга;
соответствующее обобщение на тензоры произвольного ранга
очевидно. Рассмотрим тензор Тц = Ti,(x, x), для которого урав-
уравнение B.1) имеет вид
DTU = dTt, - Tkj (С Д dxh + ГД dxh) -
~Tik(Cfhdxh+Yfhdxh). B.10
В этом выражении мы можем заменить dxh на ковариантный
дифференциал единичного вектора /' в направлении опорного
элемента. Для этого решим уравнения A.16) относительно dxH,
учитывая равенство A.15). Тогда
dxh = FDlh + xh(^j-)~ Тг\хт dxs. B.2)
После подстановки этих выражений в B.1') мы найдем, что
в результате A.12) коэффициенты перед Dlh принимают вид
-{rw(fcA)+n*(rcA)}. B.3)
Следуя Картану, определим новый тензор ЛД следующим об-
образом;
Aikh(x,x)^F(x,x)Cikh(x,x). B.4)
§ 2. СВОЙСТВА КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 99
Таким образом, на основании соотношений A.11) и A.14) мы
имеем ')
С помощью тензора Л«*л уравнение B.Г) с учетом B.3) пред-
представляется в виде
DTtl = йТц - (TklAt\ + ГгИЛ) Dlh -
B.5)
где были использованы уравнения A.18).
Для того чтобы явно выделить ковариантныи дифференциал
касательного вектора, входящего в Тц, подставим в соотноше-
соотношение B.5) равенство
дТ., дТ.
Еще раз применяя формулу B.2), мы после небольшого упро-
упрощения получим 2)
/ дТ. \
= \F-j~ - TMAikh - TikAfh)Dlh + Tmhdxh, B.50
') Из этого тензора можно получить свернутый тензор
^т-. B.4а)
дх1
Ai = \-F-~(\ng), B.4b)
2 дх1
где g = det \gii\- В свое время финслеровым пространствам с Л,-= 0 было
уделено значительное внимание ввиду того, что когда g является функцией
только от точек многообразия, на нем можно определить инвариантную меру
объема -\fg~ dx' ... dxn в точности так же, как в римановой геометрии
(уравнение A.8.11)). При этом было известно, что только двумерные фиисле-
ровы пространства с At = 0 в действительности являются римановыми
(Бервальд [10, IV], с. 769). И лишь недавно Дайке [1] с помощью ме-
методов относительной аффинной геометрии показал, что этот результат верен
для финслеровых пространств произвольной размерности.
Добавление автора книги в русский перевод. Важно отметить, что этот
результат существенно опирается на положительную однородность и выпук-
выпуклость метрики. При нарушении этих условий можно построить однородные ме-
метрические функции с л,- = 0, не являющиеся римановыми (см. подробнее до-
добавление I, § 2).
2) К а рта н [1], с. 17. При..этом, однако, подразумевается, что Ti/(x,x)
однородны нулевой степени по X', так что **(ЗГ*/да**) = 0. Заметим также,
что Картан обозначает выражение F(dTn/dxk) через Тц ц k\ однако для того,
чтобы избежать введения слишком большого числа таких сокращений, мы не
будем строго придерживаться обозначений Картана.
100 ГЛ. 111. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. К.АРТАНА
где
тк~~дФ dJb —Tkjlih — TikTjh. B.5 )
В силу A.27') это равенство можно записать в виде
дТи дТц dG k
Ясно, что эти величины являются компонентами тензора, а
именно компонентами ковариантной производной от Тц по хн.
Поскольку ковариантный дифференциал тензора Тц задается
равенством B.5'), а коэффициентами перед Dlh являются тен-
тензоры, то выражение Тц\нйхн представляет собой приращение
тензора Тц при параллельном переносе опорного элемента из
точки х' в точку х' + dxK
В частности, если Тц = git, то Dgij и gij\h тождественно об-
обращаются в нуль. Это, конечно, непосредственно следует из
проведенных в § 1 построений, но может быть проверено и пря-
прямой подстановкой в уравнения B.5) и B.6) ').
Очевидно, что проведенное выше построение ковариантного
дифференциала тензора с помощью ковариантного дифферен-
дифференциала единичного вектора в направлении опорного элемента
применимо к тензорам произвольного ранга. Для контрава-
риантного вектора Х'=Х'(х, х) (снова однородного нулевой
степени по хк) мы аналогично найдем
DXi=(F "S"+w)Dlh+xi^dxh' BJ)
где2)
Если мы применим эту формулу к единичному вектору /' в на-
направлении опорного элемента, который задается посредством
A.15), то в силу A.15') мы получим, что
dxk
') Этого можно было ожидать с чисто геометрической точки зрения, так
как опорный элемент определяет две соприкасающиеся (квадратичные) инди-
индикатрисы в двух бесконечно близких точках аналогично случаю римановой
геометрии.
2) Если вектор Х'(х, х) положительно однороден степени р по xk, то фор*
мула B.7) должна быть заменена на
0x1 - (? w+AklhXk)Dlh+x^h dxh+pXiJr- B-7a)
§ 2. СВОЙСТВА КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 101
ИЛИ, принимая во внимание уравнения A.12) и B.4),
D11 = (б? - lllk) Dlk + l\h dxh. B.10)
Но поскольку I' является вектором единичной длины, то после
дифференцирования тождества ghk(x, x)lhlk = 1 мы найдем, что
lkDlk = 0 B.11)
вследствие Dghk(x, x)=0. Поэтому после подстановки этого
результата в B.10) мы имеем
l\h = 0. ' B.12)
Более того, если мы запишем
„ dF OF dGl
[k dxk dxl dxk '
то простая редукция, основанная на уравнениях A.27')', B.3.14)
и A.3.5), даст тождественно
F]k = 0. B.13)
Поэтому из уравнения B.4) следует, что
= FidChhL ^d(hhL dQl
хк дх1 dxk
- CiihT\lk - CUjYllk - СшТ}1,,} • B.14)
Используя теперь A.3.5) и A.3.6), мы замечаем, что
C,hl 6G1 ,
Но из определения A.3.4) очевидно, что ddhj/дх1 = dCtlh/dxl,
причем функции Сщ однородны степени —1 по хк. Поэтому из
теоремы Эйлера q6 однородных функциях и уравнения A.27')
следует, что
Ат\кх1 = Ъ, Сцк\кх1 = 0. B.14а)
Полезно сравнить этот процесс ковариантного дифференци-
дифференцирования с б-процессом, описанным в предыдущей главе. С этой
целью рассмотрим ковариантный тензор Тц. Предположим на
мгновение, что этот тензор является функцией только точек
многообразия, так что дТц/дхк = 0. Тогда вследствие равен-
равенства Р1\ — Y\lk из определений B.5.1) и B.6) немедленно вы-
вытекает, что Тi)\h — 7ц;к. Существенное различие указанных
дифференциалов заключается в том, что дифференциал DTv, в
B.5') зависит от вариации Dlh опорного элемента, тогда как со-
соответствующий дифференциал 6Г,-/ зависит только от направ-
102 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
ления xk, в котором проводится дифференцирование. С другой
стороны, если Тц зависит от векторного поля ?*, так что Тц =
— Tii(x, g), то в рассматриваемой точке мы можем положить
|< = х'. Тогда из соотношения B.5.1) следует, что Tij-lh зависит
от вариации d\k/dxh этого векторного поля, причем Тц\ь. полу-
получится из Тц-н, если мы положим dlk/dxh = — dGk/dxh '). Та-
Таким образом, имеем
дТц / <Э|* dGk \
а поскольку |' = х1, то из соотношений A.27') и B.4.8) сле-
следует, что
^%H. B.15)
Рассмотрим важный частный случай, когда направление сме-
смещения dxk из точки xk в точку xk + dxft совпадает с направле-
направлением xk опорного элемента. В силу уравнений A.30) и A.12)
мы в этом случае имеем
Тш (х, х) dxh = Yb-ft (x, x) dxh, B.16)
так что ковариантный дифференциал A.2) вектора X' сводится
к
DcXt = dXi + CkihXkdxh+4kihXkdxh. B.17)
Это тот тип ковариантного дифференциала, который получается
при дифференцировании векторного поля X'(t) вдоль заданной
кривой С: х' = х'(г); опорный элемент выбирается в виде х' =
= dx'/dt (поэтому для этого ковариантного дифференциала ис-
используется обозначение Dc). Выражение B.17) было найдено,
независимо и почти одновременно, Сингом и Тейлором2). Снова
') Эта конструкция была впервые предложена Рун дом [5] на основе
определенных геометрических рассмотрений в терминах неинтегрируемых век-
векторных полей. В этой статье указывалось, однако, что из-за наличия члена
d\k/dxh (значение которого можно фиксировать) получаемая производная в
общем случае не дает корректного описания вариации рассматриваемого тен-
тензорного поля. В случае картановского дифференциала B.5) эта трудность не
возникает, поскольку первое слагаемое в правой части равенства B.5), вклю-
включающее вариацию D14 опорного элемента, содержит необходимые компенси-
компенсирующие члены.
2) Синг [1]; Тейлор [1]. Соответствующая формула для ковариант-
ных векторов была дана Субраманьяном [1].
Б а р т е л ь .[2] ввел более сложный процесс «частного» ковариантного
дифференцирования: условие симметрии A.19) заменяется соотношением
где последние производные относятся к процессу дифференцирования типа
B.8) с новыми коэффициентами Г^. Явное выражение для этих коэффи-
§ 3. ОБЩАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПУТЕЙ: СВЯЗНОСТЬ БЕРВАЛЬДА ЮЗ
нетрудно сравнить дифференциал B.17) с б-дифференциалом
из гл. II. Из соотношений B.3.14), B.3.17) и B.17) получаем
DcXl - 6Xl = CklhXk {dxh + Y/V dx\
или, учитывая B.3.19),
DcXl-bXi = CkihXkbxh. B.18)
Это соотношение выражает тот факт, что при рассмотрении пе-
перехода между двумя точками х' и х' + dxl на кривой / диффе-
дифференциал DcXl зависит от второй производной х' касательного
вектора к С, хотя это и не имеет места для 8Х1. С точки зрения
определения параллелизма между двумя касательными про-
пространствами Tn(xk) и Т„(xk + dxk) такая зависимость от кри-
кривой С нежелательна. Согласно уравнению A.12) дифферен-
дифференциалы DCX' и 6Х' совпадают, когда 8х' равно %х1, т. е. когда
кривая С является геодезической ').
§ 3. Общая геометрия путей: связность Бервальда
Хорошо известное обобщение римановой геометрии полу-
получается в результате перехода к так называемой «геометрии пу-
путей» (которую иногда называют геометрией «неримаиовых»
пространств2). Этот переход можно описать следующим обра-
образом: в римановом пространстве с метрическим тензором gn(xk)
геодезические задаются дифференциальными уравнениями
йгх1 , i , и dxh dxk „
причем символы Кристоффеля являются функциями только от
координат и определяются по ga(xk) уравнениями B.2.3) и
B.2.7). Обратно, пусть Хп — многообразие, рассматриваемое
без какой бы то ни было метрики. Предположим, что на Хп за-
задан набор функций hh'kix'), зависящих лишь от координат х1
многообразия Хп. Назовем функции hh'k(x') коэффициентами
связности. Предположим, что эти функции удовлетворяют за-
закону преобразования
U V — U i Ai' Ah Ah I (ft Ai \ AV
циентов не дается. Цель введения такой производной заключается в том, что-
чтобы гиперповерхности с нулевой второй фундаментальной формой (если они
существуют) были минимальными гиперповерхностями. Следовательно, в этом
случае площадь определяется, так же как и в римановой геометрии (уравне-
(уравнение A.8.11)), с помощью опорного элемента, совпадающего с нормальным век-
вектором к гиперповерхности.
') См. ссылку к уравнению B.5.8а), где рассматривается аналогичная
проблема.
2) См., например, Т. И. Т о м а е [ 1] или Эйзенхарт [2].
104 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. К.АРТАНА
так что дифференциальные уравнения
dHl ' (х?)**" dxk -0
\x) — и
инвариантны, поскольку левая часть является контравариант-
ным вектором. Кривые х' = л,''(/), удовлетворяющие этим урав-
уравнениям, называются путями на Хп, и исследование их свойств
является предметом изучения «геометрии путей». Основное мно-
многообразие Х„ с заданными на нем путями образует то, что часто
называют «неримановым» пространством. Если существует тен-
тензор gij(xk), по которому можно построить функции hhik(xi) по
формулам B.2.3) и B.2.7), то пути (с t = s) являются геоде-
геодезическими римановой метрики, определяемой посредством
gij(xk). Однако в общем случае такой тензор не существует.
С точки зрения теории финслеровых пространств важно за-
заметить, что в приведенных выше дифференциальных уравнениях
путей величины d2xl/dt2 задаются как полиномы второй степени
по dxh/dt. Следовательно, в случае финслеровых пространств
соответствующий переход включает в себя введение системы
дифференциальных уравнений вида
^H, C.1)
где Н'(х!, х1) — заданные функции линейных элементов основ-
основного многообразия Хп, положительно однородные второй сте-
пени по х'. Разумеется, предполагается также, что трансформа-
трансформационные свойства функций Н' обеспечивают инвариантность
уравнений C.1). Кривые х' = х'У), удовлетворяющие уравне-
уравнениям C.1), являются путями на многообразии, а многообразие,
на котором заданы эти пути, называется общим пространством
путей. Эти пространства, которые первоначально были введены
Дугласом '), являются прямым обобщением финслеровых про-
пространств, причем, если существуют метрическая функция
F(x, x) и, следовательно, метрический тензор ga(x, x) такие,
что функции Н1(х,х) совпадают с функциями G'(x, x) (опре-
(определяемыми формулами A.26)), то из B.2.8) следует, что урав-
уравнения C.1) с t = s представляют собой геодезические метрики
F(x, х). Конечно, в общем случае такая редукция невозможна.
Из предположения об однородности функций Я'(я, к) сле-
следует, что уравнения C.1) могут быть записаны в виде
C.2)
где
C.3)
') Дуглас [1],Кнебельман [1].
§ 3. ОБЩАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПУТЕЙ: СВЯЗНОСТЬ БЕРВАЛЬДА 105
При выводе уравнения C.2) использовано соотношение
2Hl(x,x) = Hhik(x,x)xHxk,
следующее из теоремы Эйлера.
Отметим, что функции Hh'k однородны нулевой степени по
х' и симметричны по своим нижним индексам.
Для того чтобы уравнения C.1) были инвариантными, мы
должны потребовать, чтобы функции Н'(х, х) преобразовыва-
преобразовывались согласно правилу
2W = 2Я'Л{' - (<Э, А]') х1хК C.4)
Если это условие удовлетворяется, то легко проверить '), что
«коэффициенты связности» C.3) удовлетворяют закону преоб-
преобразования
"Л- = *VHMMS- + (д„А1) А\: C.5)
Таким образом, коэффициенты Hh'k преобразуются точно
так же, как и Р\\ (или Wk), что очевидно из соотношения
B.4.6а). Этого следовало ожидать. Поэтому в общей геоме-
геометрии путей Hh'k играют такую же роль, что и Р\\ (или П'к) в
метрической теории.
Тому случаю, когда коэффициенты Hh'k не зависят от на-
направления, отвечает так называемая «ограниченная геометрия
путей», т. е. нериманова геометрия.
Концепция общей геометрии путей в высшей степени по-
полезна, и в последующих главах мы будем к ней неоднократно
возвращаться. Однако даже в метрическом случае подход, ос-
основанный на уравнении C.3), имеет особое значение, так как он
>) Это получается путем дифференцирования соотношения C.4) по
xh , xk , причем второе слагаемое в правой части является следствием
B.3.3). Альтернативно уравнение C.5) является прямым следствием следую-
следующей полезной леммы, принадлежащей Кнебельману ([1], с. 529): пусть задано
множество функций/' (g) г ; ,,,г (х), однородных нулевой степени по п пере-
переменным х1, х2, ..., х" и симметричных по индексам i\, 12 in, где (а) и
(Р) — какие-либо дополнительные наборы индексов. Предположим далее, что
дх" ~ дхк
Тогда
Эта лемма легко устанавливается путем повторного дифференцирования и
применения теоремы Эйлера.
106 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТ AHA
непосредственно приводит к коэффициентам связности, исполь-
использованным Бервальдом.
Возвращаясь к финслерову пространству Fn, заметим, что в
силу соотношений B.2.8) и A.26) дифференциальные уравне-
уравнения геодезических могут быть записаны в виде
d2xl , *
ds2 ^^
с параметром s, представляющим собой длину дуги. Уравнения
C.3) заставляют нас определить новые коэффициенты связно-
связности, полагая
ОД (д.( ^ = diQi (*¦ *) _ (з.б)
Именно эти коэффициенты были использованы Э. Нётер!) в
наиболее ранних исследованиях финслеровых пространств (рас-
(рассматриваемых как пространства линейных элементов) с точки
зрения дифференциальных инвариантов. Геометрическая тео-
теория, основанная на связности C.6), была подробно развита
Бервальдом2), в особенности для двумерного случая3).
Легко установить связь между коэффициентами C.6) и ко-
коэффициентами Th'k- Действительно, из C.6) и A.27) мы имеем
Sufi и = ehk ~^г (Pikrxr) = ghk {-^j- (^Р1зг) xr + Я Д}
или, используя A.5.9),
Gihl == Plhl "Ь ~р]~ (Pihr) ХТ — 2CkhjPi rx''. C.7)
Это соотношение может быть упрощено при помощи уравнения
B.5.14); замечая, что ПА; = .Р!Й/, мы найдем
(Jih/ == 1 ihj "т" ^ihj \ kX • C.8)
Альтернативно, если использовать уравнения B.14) и A.15),
то
i/\ C.8а)
') Нётер [1].
2) Бервальд [1], [2], [4]. Подробные статьи, посвященные этому на-
направлению, принадлежат Кошмидеру [1], Винтерницу [1], Бер-
Бервальд у [13]. Определенные аспекты метрической теории Бервальда в связи
с работой Дугласа [1] обсуждаются Слебодзинским в статье [1], основан-
основанной на рассмотрении кинематической группы (Вундхайлер [2]).
3) Бервальд [5], [6]. Следует подчеркнуть, что теория Бервальда так-
также основана на использовании опорного элемента. ,
§ 3. ОБЩАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПУТЕЙ: СВЯЗНОСТЬ БЕРВЛЛЬДА 107
Это уравнение было впервые получено Картаном1); в частно-
частности, он показал, что коэффициенты связности C.6) включают
производные четвертого порядка от метрической функции, тогда
как Tlhi включают только производные не выше третьего по-
порядка.
Из соотношений B.14а) и C.8а) мы видим также, что
Gmxl = Гтх\ C.8в)
и, следовательно, закон параллельного переноса опорного эле-
элемента одинаков для обеих связностей.
Бервальд определяет частные ковариантные производные
аналогично картановскому способу B.6), с единственным отли-
отличием, что T'hk заменяются на G/Д. В этом случае частные ко-
ковариантные производные от F и от единичного вектора /' в на-
направлении опорного элемента также тождественно обращаются
в нуль2) (как и в уравнениях B.12) и B.13)). Чтобы избежать
смешения с использованными выше обозначениями, мы обозна-
обозначим такие ковариантные производные следующим образом:
производная по переменной xk будет обозначаться индексом к
в скобках, так что упомянутое утверждение запишется в виде
^) = 0. '(« = 0. C.9)
Далее, ковариантная производная Бервальда от метрического
тензора определяется равенством
dgtl dgtj dGl
После сравнения этого результата с уравнением C.8а) и учета
gij^h=: 0 из симметрии Ать. следует, что3)
-2Ai!knlh. C.11)
') Картан [1], с. 19, формула (XV). Дальнейшие сравнения между
двумя связностями проведены Э. Де висом [2], с. 262, Хосокавой [3],
Лаптевым [2] и Бервальд ом [7], [9], [10], который также вывел со-
соотношения между тензорами кривизны, получающимися из двух связаностей.
(См. гл. IV.) Сасаки [1] исследовал соотношение между коэффициентами
C.6), ассоциированными со специальными метрическими функциями в связи
с проведенным им обобщением проективной дифференциальной геометрии ис-
искривленных пространств, изучавшейся Вебленом [1].
2) Бервальд [21, уравнения B5) и C5).
3) Бервальд [9], уравнение E). См. также Схоутени Хаантьес
[1], § 5. Уравнение C.11) в действительности является частным случаем сле-
следующей леммы. Допустим, что нам задана пара наборов коэффициентов связ-
A) B) .
ности, так что Г/Д = IVft + 7У&, где 7Уд> — некоторый тензор. Тогда раз-
разность между соответствующими ковариантными производными метрического
тензора gi/ по хн (определяемыми так же, как в C.10)) задается посредством
Ttjh + Т/а,. Поэтому, если одна из связностей является «метрической» (т. е. если
соответствующее выражение C.10) тождественно обращается в нуль),тодру-
108 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
Финслеровы пространства, для которых коэффициенты G/A
не зависят от аргументов направлений'х', названы Бервальдом
«аффинно связанными пространствами»1). Для того чтобы
найти необходимые и достаточные условия, которые должны
удовлетворяться для выполнения этого требования, мы должны
вычислить производные от Gthj или Г(Л/ по аргументам направ-
направлений.
Положим
(зл2>
После дифференцирования этого выражения по хг мы найдем,
что в силу A.3.4), B.14), C.6) и C.8) справедливо уравнение
dQtft/ . _ _ _ h i r,h r F»ft
—-Qj-f Г W/r | к = Oj/fcCfc r\lX — Cft/rl i k — Wftrl i k-
Путем циклической перестановки индексов i, k, j мы получим
еще два подобных уравнения. Сложим эти уравнения и вычтем
сумму из первого уравнения; принимая во внимание соотноше-
соотношения C.12), B.4.4) (с />*'* = ГЛ). получим
яг*
r\l-\- CkihCj T\l — CijhCk r\t)x — 2ChkrF*i [. C.13)
Продифференцируем тождество A.24) по хг и снова используем
соотношение A.3.4). Тогда уравнение C.13) сведется к
<ЗГ; > fy ft ¦ п ft „hhr>
-(C1hiCilr\k + CihiC!lr\k-CillCihrlk)xk. C.14)
В частности, из этого уравнения и соотношений A.3.5),
B.14), B.14а) получаем
лг*Л av*h
^J-X' = CAU-X< = ^X>, C.15)
так что мы можем записать C.8а) в следующем виде:
Glki = rikl+—^-xr. C.16)
гая будет метрической тогда и только тогда, когда Ttjh кососимметричен по
двум первым индексам. Для римановых пространств этот результат был ука-
указан На л ли [1], позднее он был обобщен Кавагути [1].
') Бервальд [2], с. 47. В противоположность этому, Вагнер [1],
[4] называет такие пространства «пространствами Бервальда» и показывает,
что определение таких пространств связано с проблемой определения всех ги-
гиперповерхностей, допускающих транзитивную подгруппу центрально аффинных
преобразований. В статье Вагнера [1] обсуждаются частные случаи.
§ 4. СВЯЗНОСТИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ИЗ ГЕОМЕТРИИ ПУТЕЙ Ю9
Итак, если метрика пространства такова, что ц\
тождественно, то из C.8) следует, что P*ft' k = Ghk и в силу
C.14) производные от Gh\ по аргументам направлений обра-
обращаются в нуль. Следовательно, «аффинно связанные простран-
пространства» характеризуются условием С,7й|й = 0. Обратно, можно
показать '), что это условие вытекает из уравнения dGh'k/dxl = О,
а значит, из уравнения dTl'k/dx1 = 0. Геометрическое значение
этих специальных пространств следует из того факта, что в силу
уравнений A.17) параллельный перенос вектора (в картанов-
ском смысле) не зависит от его начального опорного элемента,
при условии, что он перемещается параллельно самому себе2).
Замечание3). В современной литературе пространства
с С;/*;|/, = 0 называются пространствами Бервальда, а простран-
пространства со свойством Cijk\hlh = 0 называются пространствами
Ландсберга. Из D.1.31) следует, что если тензор кривизны Pj'kh
равен нулю, то рассматриваемое пространство является про-
пространством последнего типа.
§ 4. Связности, возникающие из общей геометрии путей
Вернемся на время к неметрическому случаю, т. е. к много-
многообразию Хп, пути которого задаются дифференциальными урав-
уравнениями C.1). С помощью коэффициентов C.3) параллельный
перенос вектора X' из точки х1 в точку х' + dxl задается усло-
условием обращения в нуль соответствующей ковариантной произ-
производной. Другими словами, условие параллельности задается
уравнениями
dXl = - ЯД (х, х) Xh dxk. D.1)
Здесь производные х1 (аргументы направлений функций Я/Л)
представляют собой опорный элемент. Этот параллельный пе-
перенос эквивалентен параллельному переносу, соответствующему
ковариантной производной Бервальда (§ 3) в метрическом слу-
случае. Кроме того, следуя методу Лаугвица, мы можем (и причем
различными способами) определить параллельный перенос, не
зависящий от опорного элемента. Введем функции
^L. D.2)
') Бервальд [9], § 1. Доказательство этого утверждения не трудное,
но довольно длинное; оно основано на том, что тензор Cih]-| k можно пред-
представить в виде линейных комбинаций производных третьего и четвертого по-
порядков от G' по аргументам направлений. Такая же теорема (в несколько из-
измененной форме) была получена Вагнером [13], с. 123; ее доказатель-
доказательство основано на аффинной дифференциальной геометрии индикатрисы.
2) Кар тан [1], с. 38.
3) Это замечание вставлено в русский текст автором книги по просьбе
переводчика. — Прим. перев.
ПО ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
Они положительно однородны первой степени по хк вследствие
однородности функций #', так что в силу определения C.3)
справедливо
Hki{x, x)x! = Hi(x, х). D.3)
С помощью этих функций мы можем определить параллельный
перенос вектора X' из точки х' в точку х' + dx1, не прибегая
при этом к помощи опорного элемента. С этой целью поло-
положим ')
dXl = -Hlk (x, dx) Х\ D.4а)
или, альтернативно,
dXl = -Н'к (х, X) dx\ D.4b)
Если мы введем в Х„ такую финслерову метрику, что пути
C.1) являются геодезическими этой метрики, то можно считать,
что Hl\x, x) =Gl(x, х). Тогда в силу D.2), A.27) и B.3.18)
параллельный перенос D.4а) будет просто параллельным пере-
переносом, отвечающим процессу б-дифференцирования, описанному
в § 3 гл. II.
С другой стороны, таким же образом можно вывести, что
альтернативная конс-трукция параллельного переноса, опреде-
определяемая посредством D.4b), приводит к уравнению
dX' = - /У; (х, X) X' dxh, D.5)
где согласно B.3.14)
/У, (х, X) = Yft'/ (х, X) - Chl, (x, X) у/, (х, X) X". D.5а)
Эти коэффициенты отвечают процессу ковариантного диф~
ференцирования, введенному Бартелем2). Очевидно, что соот-
соответствующий ковариантный дифференциал от X' нелинеен по
X', хотя и однороден степени 1 по этому аргументу. Важной
чертой этой производной, в противоположность б-процессу, яв-
является тот факт, что при параллельном переносе длина вектора
остается инвариантной (как и в римановой геометрии). Этот
факт непосредственно следует из того, что согласно A.3.5),
B.3.19) и B.2.10) мы имеем
Х'Х'[с181](х, X)-gth(x, X)Pkhi{x, X)dxk-
~ gk! (X, X) Pk\ (X, X) dxk\ =
= X'X>[d8ild{*kX) - Ш(x, X) - ylik(x, X)]dxk = 0.
') Лаугвиц [З], с. 23. Основная идея этого метода подобна той, кото-
которая кратко описана Бомпиани [1]. Общая геометрия путей, основанная на
нелинейном смещении D.4Ь), обсуждалась Миками [1] в связи с рабо-
работами Бортолотти [1], [3] и Фризеке [1]. См. также Схоутен [2]
и К а в а г у т и [3].
2) Б артель [3], [4].
§ 4. СВЯЗНОСТИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ИЗ ГЕОМЕТРИИ ПУТЕЙ 111
Именно это фундаментальное свойство привело Бартеля к рас-
рассмотрению таких нелинейных связностей. Мы^ вернемся к этому
вопросу в следующем параграфе ').
Следуя 3 уланке [1], [2], коэффициенты r^'ft (или P*hl?) можно вы-
вывести элегантным способом из уравнений C.2) путей. При этом мы не пред-
предполагаем, что коэффициенты #*'* получаются в результате дифференциро-
дифференцирования заданной функции Н\ а считаем, что #Л заданы с самого начала.
Обычным образом определим в многообразии Х„ ковариантную производную
с помощью Hh'k. Например, если ац (х, х) является ковариантным тензором
второго ранга, однородным нулевой степени по х', то мы должны положить 2)
да., да,. , „ h h
Ла^17 ~ # НУ - аН ** D6)
' дх' di p ' пи i i in ь i ¦¦
Если тензор ац и коэффициенты Hihk симметричны по своим нижним индек-
индексам, то из соотношения D.6) следует, что а)
„А_ IH { да_Ц , dakj daik
дх1 дх!
Введем теперь финслерову метрику и определим, пока произвольные, коэффи-
коэффициенты Hk'h согласно следующим условиям: (a) Hkhi должны быть симмет-
симметричны по k, i; (b) ковариантная производная метрического тензора g,t, оп-
определяемая с помощью H/ji посредством D.6), должна тождественно об-
обращаться в нуль.
Применяя уравнение D.7) к метрическому тензору gi,- (что возможно
ввиду условия (а)), из условия (Ь) находим, что справедлива формула
«kl = В*" Ьт ~ iPiiflpk + CkilHpi ~ CiklHp,) *"}• D-8)
где мы использовали соотношения A.3.4) .и B.2.3). В силу B.2.7) из формул
D.8) и A.3.5) следует также
,, j .ft .к i .ft .fe ,, ¦„.
Hhkxx =\kxx- D-9)
Итак, после умножения равенства D.8) на xk и учета A.3.5) мы имеем
в силу B.3.14)
,, 1 ,t h .ъ « и I .p .k г, ft .k
Hkix =V, kx -CilVp kx * =Pikx-
') Более общее обсуждение нелинейных связностей см. в гл. VI, § 4. Об-
Общая теория таких связностей развита Вагнером [13].
2) Ср., например, уравнение B.6).
3) Ср. Норден [1], с. 135. Формулу D.7) можно также получить путем
циклической перестановки индексов i, k, j в уравнении D.6). Действительно,
такие перестановки индексов дают два новых уравнения; вычитая из их сум-
суммы уравнение D.6) и производя необходимые упрощения, мы придем к \$Л).
Ц2 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. К.АРТАНА
Поэтому из B.4.4) и D.8) следует, что Нk -t = P\ ; = Г? (. Таким образом,
мы видим, что условия (а) и (Ь) достаточны для определения вполне под-
подходящих коэффициентов связности, именно, тех, которые определяют кова-
риантное б-дифференцирование ').
§ 5. Соприкасающееся риманово пространство
В настоящем параграфе мы обсуждаем простой метод, кото-
который может применяться к различным вопросам финслеровой
геометрии и который, в частности, используется для получения
и сравнения различных ковариантных производных. Основная
идея соприкасающегося риманова пространства берет начало в
диссертации Назима 2). Хотя этот автор и не привел точных вы-
выражений для коэффициентов используемой им связности, од-
однако из его построений ясно, что он имел дело с ковариантной
производной Тейлора и Синга, которая, как мы видели в § 2,
является частным случаем ковариантной производной Картана.
Систематическое исследование соприкасающихся римановых
пространств провел О. Варга; с помощью этих пространств ему
удалось получить элегантный вывод связности Картана. Анало-
Аналогичный метод был затем использован Лаугвицем [2] при
сравнительном изучении более современных определений кова-
ковариантных производных.
Пусть С —кривая финслерова пространства Fn, задаваемая
уравнениями x' = xl(s), где s — параметр длины дуги. Обозна-
Обозначим единичные касательные векторы х" = dx'/ds к этой кри-
кривой через ?'(s)' Мы будем предполагать, что эти векторы ло-
локально продолжаются до векторного поля l'(xk), определен-
определенного в некоторой области R пространства Fn. Определим в об-
области R риманову метрику уц(х), полагая
Чи(х) = Вц(х>Ш). ' E.1)
Область R называется соприкасающимся римановым многооб-
многообразием вдоль кривой С. В области R мы можем использовать
обычную ковариантную производную римановой геометрии3),
возникающую из параллелизма Леви-Чивиты; если Xl(xk) —
векторное поле, определенное на R, то мы можем записать
DRXl = dXl + {I. } Xk dx1, E.2)
') Следует, однако,. заметить, что производная D.6) в общем случае
не эквивалентна соответствующей б-производной, причем разница обуслов-
обусловлена различными коэффициентами у членов, включающих даи/дх1.
2) Назим [1].
3) Эйзенхарт [1], с. 62.
§5. СОПРИКАСАЮЩЕЕСЯ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО ИЗ
где W*-}"- символы Кристоффеля второго рода, определяе-
определяемые по v<7 обычным образом, т. е.
Тензорный характер выражения E.2) обеспечивается вслед-
вследствие закона преобразования этих символов. Если мы подста-
подставим E.1) в формулу E.2а), то в силу B.2.3) и A.3.4) найдем
{ k ' j} = Vk'i (x, I) + С,\ (х, |) -j^k + Cut (x, |) -jj ~~
~gih{x,%)Ck!l{x,l)^. E.3)
Таким образом, если мы используем соотношения E.2) и
E.3) для определения ковариантной производной з Fn, то эта
производная .будет зависеть от выбора векторного поля \h{xk),
поскольку в выражение E.3) входят частные производные от
этого поля. С другой стороны, дифференцируя вдоль самой
кривой С, мы можем применить соотношение A.3.5), следую-
следующее из однородности, ко второму члену в правой части E.2),
что дает
DRX! = dXl + ykl, (х, ?) Xk dx! + Ckli (x, |) ^~ Хк ds. E.4)
Ясно, что этот дифференциал зависит от вторых производных
вдоль кривой С, а в остальном не зависит от выбора вектор-
векторного поля 11{хк). Отправляясь от точки зрения теории, локально
основанной на пространстве Минковского (и, следовательно, не
зависящей от понятия опорного элемента), нам следует потре-
потребовать, чтобы дифференциал от X', соответствующий смещению
из точки х1 в точку х' + dx', зависел только от X' и dxl (и, ко-
конечно же, от метрического тензора и его производных). Как
было показано Лаугвицем '), это легко может быть достигнуто
путем некоторой модификации уравнений E.2) и E.3). Дей-
Действительно, если С — проходящая через точку х' геодезическая,
касательный вектор которой в точке х' равен |', то из E.4) мы
получим б-производную (§ 3 гл. II). С другой стороны, вклады-
вкладывая вектор X1 в векторное поле Х'{хк) и заменяя аргументы |'
в E.1) на Х\ мы построим другое соприкасающееся риманово
пространство, отвечающее этому векторному полю. Из урав-
уравнений, соответствующих E.3) и соотношениям A.3.5), мы ви-
видим, что новая ковариа.нтная производная, получающаяся в ре-
') Л аугвиц [2], с. 450—452.
114 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА '
зультате этой конструкции, задается равенством
dXl + у*', (х, X) Xk dx1 + С/, (х, X) Щ- Xk dx1. E.5)
OX
Из-за наличия производных дХ'/дхк это выражение все еще за-
зависит от векторного поля X'(xk). Однако мы можем заменить
эти производные с помощью (вообще говоря, неинтегрируемых)
уравнений
В результате выражение E.5) однозначно определяется и пред-
представляет собой ковариантный дифференциал Бартеля (§ 4).
С геометрической точки зрения уравнение E.6) означает, что
вектор Хк в точке с координатами х' + X'ds получается из век-
вектора Xk в точке х1 путем параллельного переноса, отвечаю-
отвечающего E.5).
Более того, картановские коэффициенты Wk могут быть
прямо получены из E.3) следующим образом с помощью сим-
символов E.3). Образуем частную ковариантную производную век-
векторного поля Х'(хк) и предположим, следуя О. Варге1), что
векторное поле |' выбрано так, что соответствующие ковариант-
ные производные от ?' тождественно обращаются в нуль в рас-
рассматриваемой точке, т. е. что
В силу A.3.5) и E.3) это эквивалентно равенству
— VJ (у i)i — Г.,(у
Однако из E.7) и A.3.5) мы имеем также
После подстановки этих выражений в E.8) получаем
-?^=-РД (*,!)?* E.9)
(вследствие определения B.3.14)). Теперь можно заменить
производные в E.3) с помощью E.9). Принимая во внимание
определение B.4.4), мы видим, что для начального линейного
элемента (х, |) справедливо окончательно равенство
!) О. Варга [2], с. 172. См. также О. Варга [6].
§5. СОПРИКАСАЮЩЕЕСЯ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО 115
В сущности, указанная выше конструкция использовалась
О. Варгой [2] при выводе коэффициентов Vfh. Мы отсылаем
читателя к этой статье за более подробным описанием свойств
соприкасающихся римановых многообразий. Аналогично, этим
же способом нетрудно получить коэффициенты G/ft Бервальда
(§3)').
Мы можем подытожить результаты трех последних парагра-
параграфов следующим образом: ковариантные производные Берваль-
Бервальда, Бартеля и автора могут быть получены методом, происхо-
происходящим из общей геометрии путей, в то время как этот метод не-
непригоден для ковариантных производных Тейлора, Сиига и
Картана. Тем не менее все эти ковариантные производные мо-
могут быть построены с помощью метода соприкасающегося ри-
манова пространства, хотя в некоторых случаях такая кон-
конструкция может показаться несколько искусственной. Прекрас-
Прекрасное описание соотношений между различными ковариантными
производными содержится в обзоре Лаугвица 2).
Добавление3). Сравнительно недавно в работах Мацу-
мото [1], [7] было предложено понятие касательного рима-
нова пространства к финслерову пространству Fn в точке Р(х!);
это понятие следует отличать от соприкасающегося риманова
пространства. Обозначим касательный вектор х' в Тп(Р) через
у1 и рассмотрим метрический тензор gij(xh, yh) при фиксиро-
фиксированных координатах xh точки Р. Если затем рассматривать п
переменных yh как локальные координаты /г-мерного многооб-
многообразия, то оно может рассматриваться как n-мерное риманово
многообразие Vn(x) с метрическим тензором, имеющим компо-
компоненты gij(xh, yh) (при этом ун переменны, a xh фиксированы).
Тогда со смещением в Vn(x), представляемым компонентами
dy\ можно ассоциировать фундаментальную квадратичную
форму
iy1. E.11)
Эта метрика обладает рядом замечательных свойств. Если по-
построить связанные с ней символы Кристоффеля по формулам
E.2а) — игнорируя на мгновение тот факт, что, в отличие от
производных в E.2а), производные dgu/dyh являются тензо-
тензорами,— то с помощью A.3.4) получается
! i _ ' „lmtY .\[а8тн(*'У) , dg,m(x,y) dghj (х, у) f
К1—2 8 {х.У)[ ^ +~^? ^~] =
= gim(x,y)[Cmhl (х, у) 4- Clmh (х, у) - Chlm (x, у)] = Ск1! (х, у). E.12)
1) Л аугвиц [3], с. 26.
2) Л аугвиц [3], с. 25.
3) Это добавление, идущее до конца параграфа, сделано автором книги
для настоящего перевода. — Прим. перев.
116 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
Ясно поэтому, что эти коэффициенты появляются аналогично
коэффициентам связности; однако при этом не следует забы-
забывать, что E.12) являются компонентами тензора и поэтому
при преобразовании координат хн не преобразуются по закону
преобразования коэффициентов связности.
Эту аналогию можно продолжить. Построим формально
тензор Римана — Кристоффеля по тензору E.12), т. е.
с / дЯг h dki к ] т ;. т
Тогда из A.3.4) видно, что
StlUt = CmihClmk-Cn!kCtmh. E.13)
Этот тензор имеет в финслеровой геометрии фундаментальное
значение, поскольку, как впервые было замечено Э. Картаном,
его можно рассматривать (с точностью до скалярного множи-
множителя) как тензор кривизны пространства Fn (см. D.1.25) ниже).
§ 6. Нормальные координаты
Хорошо известно, что в римановой геометрии и в «ограни-
«ограниченной» геометрии путей (т. е. в геометрии путей с не завися-
зависящими от направлений коэффициентами C.3)) важную роль
играют так называемые нормальные координаты. Они опреде-
определяются следующим образом. Пусть О — некоторая фиксиро-
фиксированная точка, принятая за начало. Рассмотрим семейство пу-
путей, проходящих через точку О. Тогда по отношению к данной
координатной системе (х1) нормальными координатами z!
с центром О называются такие координаты, представляемые
аналитическими функциями z'(x'), что проходящие через точку
О пути задаются линейными уравнениями:
г! = а'(-\-Ь' (а', Ь1 — константы),
где z' — O в точке О. Ясно, что этими условиями нормальные
координаты zl определяются с точностью до однородных линей-
линейных преобразований.
Возникает естественный вопрос, возможно ли введение нор*
мальных координат в общей геометрии путей и, следовательно,
в финслеровых пространствах. В настоящем параграфе мы рас-
рассмотрим этот вопрос с точки зрения общей геометрии путей,
имея, конечно, при этом в виду, что наши выводы будут непо-
непосредственно применимы к финслеровым пространствам. Мы по-
покажем, что, строго говоря, ответ на поставленный выше вопрос
отрицателен. Можно, однако, построить координатные системы,
обладающие частью тех свойств, которые обычно требуются от
нормальных координат.
§6. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 117
Рассмотрим задаваемый формулами C.1) путь Г, проходя-
проходящий через точку О с координатами xL. Касательный к Г век-
вектор в точке О будет обозначаться через х'0) = [dx'/dt]t=t, где
to — значение параметра t кривой Г в точке О1). Дифферен-
Дифференцируя C.1) по /, получаем
— "I — О
dt3 ^Ztl \x' dt
где
И1 (y **-\ -
\' dt)-
з
Последний член в правой части предыдущего равенства по-
появился в результате использования уравнения C.1). Функции
Н'(хк, хк), очевидно, положительно однородны степени 3 по хк.
з
По индукции мы приходим к выводу, что вообще вдоль пути Г
справедливо уравнение 2)
где функции Hl (xk, xk) положительно однородны степени т
т
ПО Хк.
Последовательность выражений F.1) (получающаяся под-
подстановкой вместо индекса т его значений 2, 3, ...) вместе
с заданными начальными значениями при t = t0 однозначно
определяет параметрические уравнения х1 = х1(г) пути Г с по-
помощью ряда
х1 (t) = xl 4- х1 (( — ()—> — Н1 (xl к1 U/ ~t V" F 21
т=2
Заметим, что эти степенные ряды сходятся при достаточно ма-
малых значениях \t — to\. Поэтому в заданной окрестности, со-
содержащей точку О, путь однозначно определяется направле-
направлением х1{0) в этой точке. Полагая
z' = (t-to)x{O), . F.3)
мы получаем из свойств однородности функций Н\ что ряды
т
F.2) могут быть записаны в виде
оо
x (i)—хф)-гг Zj от! v @)' г ^л'
m=2 m
') В настоящем параграфе предполагается, что функции Н1(х, х) в C.1)
-аналитичны по всем своим аргументам.
2) Ради однотипности обозначений мы вместо Н' будем писать Н .
2
118 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАИА
Мы можем рассматривать эти уравнения как преобразова-
преобразование, определяющее новые переменные г1. Его якобиан в точке
О равен
дх'
det
dz'
F.5)
Однако, вообще говоря, это преобразование не является ана-
литическим в точке О. Действительно, вычисляя вторые произ*
водные, мы найдем, что
dz'dzk dz*dzk 3 dz!dzk
Поэтому при t—*to каждый член в правой части, кроме пер-
первого, стремится к нулю вследствие того, что эти члены поло-
положительно однородны степени 1, 2, 3, ... по х'. Предел первого
члена не определен, поскольку в силу зависимости от z' его
предельное значение, вообще говоря, будет зависеть от направ-
направления подхода к началу. Очевидно, что единственным случаем,
в котором эта трудность не встречается, является случай, когда
вторые производные от Я' не зависят от направления. Однако
согласно C.3) это означает, что мы имеем дело с «ограничен-
«ограниченной» геометрией путей. Все сказанное можно суммировать сле-
следующим образом:
Пусть О — произвольная фиксированная точка в простран-
пространстве путей с координатной системой (х1). Тогда и только тогда,
когда пространство путей принадлежит ограниченному типу,
существует система координат (z') со свойствами: A) преобра-
преобразование от х' к г' аналитично в точке О и B) проходящие че-
через точку О пути задаются линейными уравнениями F.3)').
Рассматривая линейный элемент (xlm, jfcL) как опорный эле-
элемент, можно, однако, построить систему координат, которая
') Эта теорема принадлежит Дугласу [1], с. 163. Аналогичный ре-
результат был установлен Буземаном [11]. В этой связи следует отметить,
что для путей (и, следовательно, для геодезических финслерова пространства)
остается справедливым следующее свойство: для любой точки О существует
область R, содержащая О, такая, что каждая точка Р из R соединяется с О
одним и только одним путем, лежащим в R. Более общий результат был до-
доказан Уайтхедом [1], [2]: для любой точки О существует такая область
D, содержащая О, что любые две точки Р и Q из D могут быть соединены
одним и только одним путем, лежащим в области D. См. также У а й т -
хед [4].
В работе Нётер [1] были изучены нормальные координаты, определяе-
определяемые семейством геодезических. Дальнейшие свойства нормальных координат
в Fn исследованы Кернсом [1]: он доказал существование некоторого типа
нормальных координат при более слабых предположениях, а именно в пред-
предположении, что F(x, х) и Fл {х, X) принадлежат классу С1. См. также Д у-
шекиМайер [1].
§6. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 119
удовлетворяет условию A), но не удовлетворяет условию B).
Это построение легко проводится следующим образом. Отно-
Относительно нашего опорного элемента можно определить после-
последовательность параметров
HlX-im*"- rS — (т = 2, 3, ...). F.6)
1 2 т т\ дххдх2 ...дхт
Образуем из них выражения
р1 Dъ 4), **)=Hhh... /mZv»... *ч F.7)
от
Соприкасающаяся аналитическая функция в направлении
xL к (вообще говоря, неаналитической) функции F.4) полу-
получается путем замены Я' (xL, г*) в F.4) на соответствующие
от
функции Р1 (х?о), 4). 2й):
Как и ранее, эти степенные ряды сходятся для достаточно ма-
малых значений \zl\. Действительно, если мы положим г1 =
= xL(t — tA, то ряд F.8) сходится к F.4), так как в силу свойств
однородности функций Я' из соотношений F.6) и F.7) следует,
ЧТО
Г VX@)' X@)> X{0)J nj. 1 .../т@Г(О) • • • X@) Л11 \Г(й)' XW- V°-3/
Поскольку ряд F.4) сходится при достаточно малых значениях
\г'\, для которых г' пропорциональны i[0), то отсюда следует,
что ряд F.8) сходится для всех достаточно малых значе-
значений \z'\.
Координаты z', определяемые F.8), называются нормаль-
нормальными координатами по отношению к координатной системе (х')
относительно опорного элемента (xL, i?0)). Как и в ограничен-
ограниченной геометрии путей, легко показать, что произвольное преоб-
преобразование координат х1 вызывает однородное линейное преоб*
разование нормальных координат z' ').
Более того, можно обычным образом ввести процедуру «рас*
ширения», а также «нормальные» тензоры. Мы, однако, не бу-
будем излагать этот вопрос, так как соответствующие обобщения
лишь слегка отличаются от их первоначальных аналогов2).
') Д у глас [1], с. 164 и дальше.
2) Дуглас [1], §§ 10—11. Первоначальные определения расширения и
нормальных тензоров см. у Т. И. Том ас а [1], с. 14 и 102,
120 ГЛ. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
Альтернативное определение нормальных координат на мно-
многообразиях с несколько отличным типом связности принадле-
принадлежит О. Варге '). Мы кратко опишем эти координаты, так как они
также могут непосредственно применяться к финслеровым про-
странствам. Рассматриваемые многообразия наделяются связ-
связностью в том смысле, что для каждого линейного элемента
(х, х) определяются тензор Ch'k(x, x) и симметричные коэффи-
коэффициенты связности VI1 k (x, хJ). Относительно данного семейства
линейных элементов
x' = xi(t)! vi = vi(t) F.10)
параллельный перенос векторного поля X{(xk, vk) определяется
формулой
Г dvh , 4 ft / ч dx* 1 . „,(• , ч dxh ) vk n /л и\
Г7Г + л/ (x> v^ IT] + Thk (X) y) ~~dT \x °> F-l ^
— + ( c* * Г7Г
где
Ai(x,v) = r?i(x,v)vl. F.12)
Если семейство F.10) является «параллельным», т. е. если это
семейство удовлетворяет дифференциальным уравнениям
dvh . .h i \ dx1 _ . .
-ir + Ai(x,v)-jr = 0, F.13)
то условие F.11) сводится к
^f+nik(x,v)^Xk = 0. F.14)
Для того что,бы определить нормальную систему координат,
рассмотрим фиксированный линейный элемент (xm, vm) и век-
вектор х[0), заданный в точке х\щ как функция этого линейного
элемента. Построим теперь кривую С, проходящую через точку
х[0) и касающуюся х1{Щ, которая обладает следующим свой-
свойством: если и('0) параллельно переносится вдоль С, то поле век-
векторов х1, касательных к С, является параллельным относитель-
относительно поля v'. Тогда линейные элементы (x't v') должны удовле-
удовлетворять уравнению F.13), тогда как касательные векторы удо-
удовлетворяют уравнению F.14) или, точнее,
d2xl . r»f , v dxh dxk n , . -.
~Ж + Fft ь(х' y) If ~dT = °' FЛ5)
') О. В а р г а [13]. Что касается общей теории пространств, так называе-
называемых «Affinzusammenhangende Mannigfaltigkeiten», см. О. Варга [11].
2) Chlk и T'hlk в рассматриваемой теории играют роль, подобную той, ко-
которую играют так же обозначаемые символы в теории в § 1. Следует, од-
однако, помнить, что последние символы выводятся из метрической функции,
которая теперь не определена. Предполагается аналитичность Сй*^ и Г^'А.
§ 6. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 121
Кривая С и поле v'(t) однозначно определяются дифференци-
дифференциальными уравнениями F.13) и F.15) вместе с заданными на-
начальными условиями в точке xL, где t = ^о- Поэтому решение
уравнения F.15) представляется следующим разложением:
*'@ = *«'„) + *<<>>('-'о)"
Для решения уравнения F.13) мы имеем аналогично
v' @ = vlo) ~ Л/ (*«». у(о)) *(о) ('- 'о) -
iA///2.../m(^). *<о>)*Ь*Й ••• *!о('-'оГ F-17)
Появляющиеся в этих разложениях коэффициенты задаются
следующими редукционными формулами:
an t ,
F.18)
л
т
вместе
Л/.',....
с
дх'"
1
— f
/от_,
'/2
пг"
¦•• Лп-1
т у дх т
ал,г,
-(m- 0A4.../m_As/m '
где мы использовали обозначения Эйзенхарта '), а именно, сим-
символ Р перед выражением указывает на суммирование членов,
получающихся циклической перестановкой индексов j\, j2, ...
,.., jm, a m обозначает число индексов.
Будем теперь изменять вектор *<•> в точке х*0), сохраняя vl{0)
фиксированным. Тогда мы получим семейство кривых С, кото-
которые, как мы увидим, просто покрывают область, содержащую
xL. Если в уравнении F.16) сделать подстановку
zt = xlO)(t-to), F.20)
то новые координаты г' определятся следующими уравнениями:
Ш-Г,:и...,я{хт.*„)**~.*«. F.2D
m-2
') Э й з е н х а р т [2], с. 58.
122 Ml. III. «ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ» Э. КАРТАНА
причем якобиан преобразования F.21) также удовлетворяет
равенству F.5) в точке xL Аналогично, из F.17) мы найдем
Обращение уравнения F.21) имеет вид
~i _ ~i (хк vk xk _ xk \ /л 23}
V @)' @)' @)/' yj-t-j/
что после подстановки в F.22) дает однозначное представление
поля как функции точки многообразия:
vi __ vt rxk j yft ; xk\ F.24)
Поскольку координаты z\ определяемые посредством F.21),
однозначно задаются начальным линейным элементом (х%, а§)
в области, содержащей л^0), то их можно рассматривать как
нормальные координаты относительно линейного элемента
xk vk ) ')•
Как и ранее, мы видим, что эти нормальные координаты не
обладают всеми свойствами, которые обычно требуются от нор-
нормальных координат в классическом смысле. Семейство кривых С
представляется линейными уравнениями F.20), однако эти кри-
кривые, вообще говоря, не являются автопараллельными кривыми
(т. е. путями рассматриваемой теории). Действительно, из
F.13) и F.15) следует, что среди кривых этого семейства ав-
автопараллельными являются только те, для которых удовлетво-
удовлетворяются дополнительные условия
i "— -I — ( dxi Л
Это, однако, не является серьезным препятствием для приме-
применимости таких координат к проблеме определения инвариан-
инвариантов, так как произвольное преобразование координат х' по-
прежнему приводит к линейному однородному преобразованию
координат zl. Поэтому по отношению к этим нормальным ко-
координатам г' снова могут быть введены процедура расширения
и понятие нормальных тензоров. Более того, можно доказать
обобщения хорошо известной теоремы замещения Т. И. То-
Томаса 2).
') О. Варга [13], § 1.
2) О. Варга [13], с. 155 и дальше; что касается классической теоремы
замещения, см. Т. И. Томас [1], § 39. Нормальные координаты Варги ис-
использовались Рапчаком [2] для вывода инвариантного расширения Томаса
для тензоров финслерова пространства. Модификацию определений О. Варги
см. у Р а п ч а к а [3].
§ 6. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 123
В заключение параграфа мы отметим, что нормальные ко-
координаты, определяемые соотношениями F.4), могут исполь-
использоваться в связи с изучением спрямляемых дуг, как было по-
показано в работе Майерса [1]. В этом исследовании пред-
предполагается, что основное многообразие М является многооб-
многообразием класса С4, а метрическая функция F(x, х) —класса С3.
Так называемая «интегральная» длина дуги может быть опре-
определена интегралом Лебега от F вдоль абсолютно непрерывной
кривой. Финслерово пространство становится метрическим мно-
многообразием (в обычном топологическом смысле), если опреде-
определить расстояние р(Р, Q) между двумя точками Р, Q из М как
точную нижнюю грань интегральных длин дуг, соединяющих
Р с Q. Как хорошо известно, необходимое и достаточное усло-
условие того, чтобы дуга х' = x'(t) (t0 ^ t ^ ti) в евклидовом про-
пространстве была спрямляемой, состоит в том, чтобы x'(t) были
функциями ограниченной вариации на интервале t0 ^ t ^ tt.
Для того чтобы сформулировать соответствующий результат
для финслеровых пространств, мы будем говорить, следуя
Майерсу, что многообразие М обладает свойством I, если для
произвольного компактного подмножества 5 из М и произ-
произвольной допустимой координатной системы (х'), покрывающей
это многообразие, существуют такие положительные константы
А и В, что для любых двух точек Р (*'0)), Q (х1A)) из 5 выпол-
выполняются неравенства
А\х\ц-х[й)\<р{Р,О)<вЪут-х{0)\ (г=1, •.., п).
Используя нормальные координаты, можно показать, что каж-
каждое финслерово многообразие обладает свойством I '). Более
того, справедлива следующая теорема: необходимое и доста-
достаточное условие того, чтобы дуга g на метрическом многообра-
многообразии класса С1 со свойством I была спрямляемой, состоит в том,
чтобы каждая часть этой дуги задавалась функциями х' =
= x'(t) (t0 < t < t\) ограниченной вариации. Следовательно,
необходимое и достаточное условие того, чтобы дуга в финсле-
ровом пространстве была спрямляемой, состоит в том, чтобы
каждая часть этой дуги задавалась функциями x' = x'(t)
\(t0 ^ t ^ ti) ограниченной вариации.
') См. доказательство этого и следующего утверждений уМайерса [1],
§ 3. Ср. также БуземаниМайер [1].
Глава IV
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Теория кривизны описывает различия между геометрией ос-
основного многообразия и геометрией его касательных про-
пространств. Такое описание не может быть проведено только в
терминах коэффициентов связности, поскольку они не обла-
обладают нужными трансформационными свойствами. Поэтому мы
будем вынуждены заняться поиском подходящего набора тен-
тензоров— так называемых тензоров кривизны. Простейший ана-
аналитический подход к этой задаче основан на том факте, что ко-
вариантные производные, вообще говоря, не коммутативны.
В первом параграфе настоящей главы мы изучим соответствую-
соответствующие коммутационные формулы, которые приводят к нужным
тензорам кривизны. Будет показано, что эти тензоры удовле-
удовлетворяют большому числу соотношений. Соответствующий ана-
анализ, к сожалению, довольно громоздок. Включение параграфа
о девиациях геодезических позволило избежать монотонности
изложения. К тому же рассмотрение девиаций геодезических
позволяет провести ясное описание ряда замечательных геоме-
геометрических свойств кривизны и соответствующих ей тензоров.
Мы также рассмотрим вторую вариацию интеграла длины и
установим фундаментальную связь с вариационным исчисле-
исчислением, в частности с присоединенной задачей. Далее оказывает-
оказывается, что ряд тензоров кривизны играет важную роль в общей
геометрии путей; подобные тензоры использовались Берваль-
дом в его теории кривизны. Мы изучим эти тензоры, в частно-
частности, из-за их тесной связи с проективными тензорами кривизны.
С помощью развитого таким образом аналитического аппарата
окажется возможным рассмотреть специальные случаи финс-
леровых пространств, в частности пространства постоянной кри-
кривизны и нулевой проективной кривизны.
§ 1. Коммутационные формулы
В двух предыдущих главах мы изучили различные формы
ковариантных производных, интересных для развития финсле-
ровой геометрии. Они имеют одну общую черту: именно, эле-
элементарные правила дифференцирования сумм и произведений
I 1. КОММУТАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 125
двух или более тензоров справедливы для них в обычной форме.
В то же время порядок дифференцирования по различным па-
параметрам или координатам точек, вообще говоря, нельзя изме-
изменять. Согласно обычной геометрической интерпретации кри-
кривизны с помощью понятия параллельного переноса, после па-
параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой конеч-
конечные значения компонент вектора, вообще говоря, не совпадают
с его начальными значениями. Об этом явлении часто говорят
как о «неинтегрируемости» параллельного переноса — факт,
хорошо известный в римановой геометрии. При построении тео-
теории кривизны римановых пространств этот факт часто прини-
принимают за отправную точку. Поэтому естественно начать изуче-
изучение свойств кривизны финслеровых пространств аналогичным
образом.
В соответствии с этим мы выведем в настоящем параграфе
коммутационные формулы для повторного дифференцирования,
отвечающего различным формам ковариантных производных.
На этом пути мы придем к определению нескольких новых тен-
тензоров, так называемых тензоров кривизны, аналитические и
геометрические свойства которых будут изучены в настоящей
главе.
Мы начнем с коммутационных формул, отвечающих б-про-
изводной, введенной в гл. II, так как, по-видимому, она обла-
обладает простейшей структурой. Изучение картановской ковариант-
ной производной приводит к трем различным тензорам кри-
кривизны, один из которых тесно связан с тензором, возникающим
из й-дифференцирования. Знание этого тензора даст нам воз-
возможность избежать дальнейших длинных вычислений. Следует
указать, что Картан') пришел к трем вышеупомянутым тен-
тензорам кривизны с помощью метода внешних дифференциаль-
дифференциальных форм; этот подход будет кратко изложен в конце настоя-
настоящего параграфа.
1. Коммутационные формулы, получающиеся из 6-диффе-
ренцирования. Так же, как в § 5 гл. II, мы рассмотрим вектор-
векторное поле X'(xk, gfe), зависящее как от точек многообразия, так
и от поля направлений: lk = lk(xk). В соответствии с опреде-
определением B.5.1) его ковариантная б-производная в точке хк в
направлении |* задается равенством
откуда следует
X\hk =-?p (XU) + ^rU*) f!r + TfuXU - Х\,П'к. A.2)
>) Картан [1], гл. XIII.
126 гл. iv. теория кривизны
После подстановки равенства A.1) в A.2), проведения указан-
указанных в A.2) дифференцирований и группировки членов мы по-
получим
X1 f d'xi I ( d*xi д$' | d*xi di,l\ .
>hk X дхкдх" ~V\dxkdxl dxh "*" dxldxh дхкУ
. дгХ1 д\т dll dXl d2jl , (дХ> r,t . дХ'
dxldxm dxh dxk^ dxl dxkdxh ^Kdx11 /ft+ dxk
1
ftJ-
(L3)
Внимательное рассмотрение этого уравнения показывает, что
выражение в фигурных скобках в правой части симметрично по
индексам h, k. Поэтому, если мы образуем производную X\kh
путем перестановки индексов h, k и вычтем получающееся вы-
выражение для X\kh из A.3), то мы найдем, что
X\hu - X\kh = Ki\k (x, I) X1, A.4)
где
+ ( i
x* ^ дх1 дх» )\ дх" ^ дх1 dxh
Irnjl/ ft — i m hi t ft. (I.O)
Назовем тензор, определенный формулой A.5), «относитель-
«относительным» тензором кривизны, так как он зависит от производных
dll/dxk поля ?'(**) ')• Появление таких величин является спе-
специфической чертой финслеровых пространств, что часто приво-
приводит к серьезным трудностям. В общем, эти величины следует
интерпретировать в свете конкретной рассматриваемой задачи.
В дальнейшем мы увидим, что для ряда задач относительный
тензор кривизны является наиболее полезным: ясно, однако,
что, когда мы желаем изучать финслерово пространство само
по себе, нам нужен другой тензор, который не зависит от про-
производных д?,'/дхк. Такой тензор легко получить следующим об-
образом.
Предположим, что векторное поле |' является «стационар-
«стационарным» в рассматриваемой точке, т. е. что оно удовлетворяет со-
соотношению lift (х, 1) = 0. Тогда из B.5.1) следует, что в силу
¦) Рунд [5], с. 91.
§ 1. КОММУТАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 127
C.1.27')" мы имеем в рассматриваемой точке ')
¦ili- == — T'rh (х, l)lr = — d°l (x'h g) • A.6)
Подставляя это соотношение в формулу A.1), мы вследствие
определения C.2.8) получим картановскую ковариантную про-
производную X\h. При этом линейный элемент |' рассматривается
как опорный элемент х1, так что мы можем написать |' = i'
без опасения неясности. Итак, тензор A.5) принимает вид2)
дх" дх1 дхк) \ dxh дх1 дх
+ Гт{кГ,тн-Гт1ьГГк. A.7)
Очевидно, что этот тензор кривизны зависит только от ли-
линейного элемента, т. е. только от точки многообразия и направ-
направления. Он, однако, страдает тем недостатком, что формула
A.4) перестает быть верной, если К\1кч заменить на К/ьь, при-
причем равенство нарушается и при использовании картановской
производной C.2.8). Для того чтобы вывести коммутационную
формулу, отвечающую картановской производной, заметим, что
в силу A.6) пятый член в правой части A.3) должен быть за-
заменен другим членом, поскольку теперь величины dt,l/dxh не
являются функциями только от точек многообразия. Именно,
рассматриваемый член в A.3) должен быть заменен выраже-
выражением
дХ1 д (dGl\. дХ1 д (dGm\dGl ,. .
дх1 dxk UxV дхт дх1 \ dxh ) dxk ' ( '
Используя соотношения C.1.27'), C.3.6) и C.3.16), мы видим,
что A.8) может быть записано в виде
или
дх' L дх* дх'
') Это построение описано более подробно Рундо м [5], с. 99, где такое,
вообще говоря, неинтегрируемое векторное поле определяется геометрически
с помощью нормальной координатной системы относительно каждого направ-
направления !' в рассматриваемой точке хк.
2) Похожие тензоры, связанные с геометрией путей, были выведены Дуг-
Дугласом П], Кнебельманом [1], Бомпиани [1]. См. также Анко-
ч,еа [1]. Тензор A.7) появляется также в работе Э. Девиса [1], с. 263, где
он обозначается через Щ1^-
128 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Поэтому (симметричный) пятый член в A.3) заменяется на
A.9) и после перемены индексов h, k мы в силу определения
A.7)') получаем
X\hk - x\kh = KiihkXl~^-KrlHiX- 0.10)
Заметим для дальнейшего, что в силу эквивалентности вы-
выражений A.8) н A.9) тензор A.7) удовлетворяет следующему
соотношению:
Формула A.4), конечно же, обобщается и для тензоров про-
произвольного ранга, зависящих от векторного поля ?'(•**)• Пусть
Т1х'р . . (*,?) — тензор контравариантной валентности р
] 1 • • • 1 q
и ковариантной валентности q (р и q — произвольные положи-
положительные целые числа). Читатель может проверить справедлив
вость следующего соотношения:
тг\ ••• 'р —
,: a*
'а
-j;*'"V...,-,v."-'A'»- Aла)
Например, для ковариантного тензора Tij(x,Q второго ранга
мы имеем
Til;hk — Tij;kh = — TisKj hk — TsjKiShk- A.13)
Если мы положим
gsiKiShk = Kmk, A.14)
то, в частности,
ёц-hk — Si!;kh = — Kjlhk — Kiihk A.15)
и далее из B.5.17)
Kjihk{x, x)x' — — Kuhk(x, x)xl. A.15а)
') Сходные соотношения справедливы для ковариантных производных
Бервальда, определенных в гл. III, § 3 (Бервальд [2], с. 53), и в общей
геометрии путей (Кнебельман [1], с. 532). Следует, однако, отметить, что,.
в то время как формула A.4) может быть использована для вывода правиль-
правильного изменения вектора при б-параллельном переносе вдоль бесконечно малой
замкнутой кривой, это неверно для формулы A.10), если опорный элемент
не подчинен специальным условиям, которые мы обсудим позже.
§ 1. КОММУТАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 129
Как и ранее, если мы хотим заменить в A.12) тензор Kj'hk
на Kj'hk, то мы должны рассмотреть два дополнительных члена
типа A.8). С помощью соотношения A.11) их можно объеди-
объединить и получить выражение, содержащее тензор кривизны. Та-
Таким способом мы приходим к общей формуле
/г,1!' ••¦• 1р ТЧ ¦¦¦ {р
1 h-'-lq]^-1 /,.../|*A =
q
"> 1 " p тг /11 C\
i, ¦¦¦ ia-,sia,, ... /„A/, hk- I.1-!";
Вместо A.13) теперь имеет место формула
Tii\hk —Tij\kh= —rKrhkX —TisKfhk — TsjKfhk- A.16а)
OX
Дальнейшие коммутационные формулы, которые потом ча-
часто будут полезными, включают в себя последовательное диф<-
ференцирование по векторам, определяющим направления, и
ковариантное дифференцирование типа C.2.6). Общая фор-
формула имеет следующий вид:
5?
5=1
Эти соотношения выводятся непосредственно, и вывод их мо-
может быть оставлен читателю. Мы лишь заметим, что первое
слагаемое в Правой части возникает из выражения типа
dx
5 X. Рунд
; \yh к — i ft k), U • loj
130 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
к которому мы применили уравнения C.3.8) ')• Особенно пб-
лезным частным случаем соотношения A.17) является тожде-
тождество
/д*'\ д , t) дХ1 , dTfk
\JFl>-lF{Xlh) = WAhkirl ~^FX- (L18a)
2. Три тензора кривизны Картана. Рассмотрим коммута-
коммутационные формулы, возникающие из картановских ковариант-
ных производных типа C.2.7), например
DXl = (F j^ + Ak\X*) Dlh + X\ h dxK A.19)
Ясно, что они включают в себя два различных процесса част-
частного дифференцирования, именно, производную X\h (опреде-
(определяемую согласно C.2.8)) и производную
) A-20)
так что мы можем записать A.19) в виде
DXi = Xi\hDlh + X\hdxh. A.21)
Для получения полного набора коммутационных формул нам
следует рассмотреть смешанные производные, включающие
один или оба процесса, обозначаемые посредством \h или \h.
С первого взгляда это может показаться довольно трудным.
Однако анализ, проведенный в первой части настоящего пара-
параграфа, позволит нам вывести необходимые результаты без до-
дополнительных длинных выкладок.
Во-первых, рассмотрим коммутационные формулы, соответ-
соответствующие повторному применению операции, определяемой
производной A.20). Из этого соотношения мы прямо находим2)
дЛ
') Аналогичные соотношения были выведены Бервальдом [2], с. 53,
и Кнебельманом [1], с. 532. Однако коммутационные формулы, обсу-
обсуждаемые этими авторами, содержат вместо коэффициентов V*hlk коэффи-
коэффициенты Gh'k, причем эти коэффициенты заменяют Г?'й везде, где они встре-
встречаются в вычислениях. Поэтому член типа A.18) будет тождественно равен
нулю и, следовательно, те формулы Бервальда и Кнебельмана, которые соот-
соответствуют A.17), не содержат члена, аналогичного нашему первому члену
в правой части A.17). См. § 6.
2) Строго говоря, мы должны писать Х'1л|* вместо Х'\ы, в A.22).
§ 1. КОММУТАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 131
Однако, если мы продифференцируем уравнение C.2.4) по век-
векторам и примем во внимание симметрию, возникающую из оп-
определения A.3.4), то мы увидим, что
W* - ^ЛА - у Sr\h • A.23)
Подставляя этот результат в A.22) и учитывая A.20), мы най-
найдем
где, следуя Картану ¦), введено обозначение
51\н = ^тА1\-Ат\А1\. A.25)
Этот тензор является первым из тензоров кривизны Кдртана;
мы обсудим его геометрический смысл позже2).
Во-вторых, рассмотрим коммутационные формулы, включаю-
включающие оба вышеупомянутых процесса дифференцирования. Из
формул C.3.8) и A.20) мы имеем
к) +AHir\kXr+AlltrXrlk, A.26)
где мы использовали C.2.13). Кроме того, из A.20) следует,
что
%lrX\h - AhrkX\r. A.27)
Вычитая это уравнение из A.26) и принимая во внимание
A.18а), мы получим
у'1 у1 \ — с дХ' л l f
Л \h\k ~X\k\h — г -^ГГ Ahk\rl —
Ah\X\r.
После исключения членов дХ'/дх1 с помощью A.20) мы полу-
получаем окончательно формулу
'L / + ^|/Vfti/ + ^iHft/ft, 0-28)
где, снова следуя Картану3), мы положили
= F -^- + AUAhmk | rf - А,\, ft. A.29)
') К ар тан [1], с. 34, формула (XVI).
2) Наиболее элегантная геометрическая трактовка этого тензора дана
О. В а р г о й [8]; мы, однако, отложим рассмотрение этой трактовки до сле-
следующей главы.
3) Кар тан [1], с. 35, формула (XVII)'.
5*
132 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Этот тензор является вторым из тензоров кривизны Картана.
-Мы можем легко свести его к более простой форме следующим
образом. На основании формул C.3.14),- C.2.13) и C.1.15) мы
имеем
дТ*1
F -^г = Аь* i / + ЛД, к - girA!kh | г - Ак'тА,тн i Аг -
A.30)
Подстановка этого соотношения в определение A.29) дает
Phh = ЛЛ i, - gimAm, т - Ак1тА,тцг1г + A,mkAm\\rlr. A.31)
Из этой формулы очевидно, что второй тензор кривизны выво-
выводится прямо из ковариантных производных тензора Ак\.
В-третьих, коммутационные формулы, включающие только
ковариантные производные типа \н, уже известны из уравнений
A.10). Мы можем, однако, представить последние соотношения
в несколько измененной форме, исключая члены дХ'/дх1 с по-
помощью A.20). Таким способом мы получим
Х1т - XU = (ЯД* + А/пКЛчГ) X1 ~ X11/ КЛ/, A.32)
где были использованы C.1.15) и C.2.4). Тогда искомые ком-
коммутационные формулы примут следующий окончательный вид:
*1 ш -X\kh = R/H.X1 - Кг\йгХ11/( A.33)
где мы положили
R,\k = KU + C/mKrV, A -34)
так что
R/h^'^K/hkX1. A.34a)
Этот тензор является третьим тензором кривизны Картана:
в силу A.11) и A.7) мы можем записать его явно в виде 1)л
дх1 dik ) \ dxk дх1
дЮт дЮт р т dGl r m dGl\
A.35)
3. Альтернативный вывод тензоров кривизны с помощью
внешних форм. В оставшейся части параграфа мы будем
предполагать известной теорию внешних дифференциальных
') Картав [1], с, 36, формула (XIX)'. См. также Э. Девис [1],
с. 363.
§ 1. КОММУТАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 133
форм1). Не знакомый с понятиями этой теории читатель мо-
может опустить данный пункт, поскольку содержащиеся здесь ре-
результаты уже были выведены в предыдущих пунктах настоя-
настоящего параграфа. Наша цель состоит в том, чтобы кратко опи-
описать метод, использованный Картаном для получения трех оп-
определенных выше тензоров кривизны. Этот метод является пря-
прямым обобщением соответствующего метода для тензора кри-
кривизны риманова пространства, который также принадлежит
Картану2).
Рассмотрим фиксированную точку Р(х') из Fn, линейный
элемент (х\ х') с центром в точке Р и смещение dx', которое
определяет бесконечно близкую точку Р\{х' + dx'). Согласно
C.1.4) изменению линейного элемента от (х1, х') до (х' + dx',
х' -f- dx') отвечает дифференциальная форма
со/ (d) = СД (х, х) dxh + Г Д (х, х) dxh. A.36)
Следуя Картану, мы будем обозначать ковариантный диффе-
дифференциал Dlh единичного вектора lh в направлении опорного эле-
элемента через со". Используя соотношения C.2.2), C.2.4) и C.1.18),
запишем форму A.36) в виде
со/ (d) = ЛДсо" + П'а dxh. A.37)
С помощью касательных векторов к координатным кривым
х' = const из Fn мы можем построить в Тп(Р) базис, состоящий
из п векторов e<i), 6B), ..., ew, так что смещение РР\ в Тп(Р)
представится в виде
Далее, отправляясь от базиса, определенного в Т„(Р), по-
построим с помощью параллельного переноса C.1.3) аналогичный
базис в Тп{Р\), так что приращения базисных векторов равны
dew = (otk(d)eik). A.38)
Таким способом мы получаем подвижный репер («repere mo-
mobile»K); например, если мы рассматриваем заданную кривую,
то репер определяется в каждой точке кривой.
В общем случае, однако, такие приращения не приводят к
интегрируемым системам дифференциальных уравнений в част-
частных производных. Рассмотрим второе смещение 8х' в Тп(Р), оп-
определяющее другую точку Р2 из Fn, так что
~РР =6г*р
') За общей теорией внешних дифференциальных форм мы отсылаем чи-
дателя к работам: Картан [7], [8]; Кэлер [1], гл. I; Схоутен [1],
гл. II, § 12.
2) К
, §
2) Картан [7], гл. VII—VIII.
3) Картан [7], с. 34 и с. 179—181,
134 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
причем опорный элемент в точке Рг имеет вид х1 + бя'. Тогда
базис в точке Рг определится приращениями
&?<,) = ©,*(*)*(*). A.38а)
где форма сог*(б) согласно A.36) задается равенством
со/ (б) = С/Л (х, х) 6xh + ГД (*, *) бхй.
Далее можно построить бесконечно малый «параллелограмм»
путем перенесения РР\ с помощью параллельного смещения из
Р в Яг, причем это смещение в точку Рч определит новую точку
Р3 из Fn- Аналогично, РР2 может быть перенесено с помощью
параллелизма в точку Р\, что определит точку Р'3. В общем
случае, однако, Я3 и Р'3 не будут совпадать и смещение Р'3Рз
определит так называемое кручение пространства Fn. Ясно, что
компоненты этого смещения равны
так что кручение определяется внешним произведением ')
п1 = [dxWl
Если мы подставим в последнее выражение формулу A.37), то
мы найдем, что член, включающий ГУ/,, исчезает в силу сим-
симметрии этих коэффициентов по k и h. Следовательно, у нас
остается выражение
О' = ЛД[Лс*аА]. A.39)
Далее, из выражений A.38) и A.38а) следует, что для рас-
рассмотрения интегрируемости нам достаточно вычислить следую-
следующие выражения:
б de{i) - d 6e(i) = (во,* (d) - сЦ* (б)) ew +
+ (со/ (d) со/ (б) - со/ (б) со/ Щ еф. A.40)
') Внешнее произведение двух форм со, я определяется следующим об-
образом:
[со, п] = со (d) n (б) — со (б) я (rf).
Более общо, если d\, d2 dp — коммутирующие дифференциалы, а формы
со; заданы равенствами
то внешнее произведение равно
[°>1. «2 °>p] = au1a2ft2 ••• Vp'UA d**2 rfx*p] =
со, (rf,) ... ш, (rfp)
§ I. КОММУТАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 135
Коэффициент при е<*) в правой части является внешним диф-
дифференциалом, который мы запишем в виде ')
- (©,*)' = fo>,* (d) - daf (б). A.41)
Коэффициент при ец) является внешним произведением:
[сог V] = со/ (d) V F) - со,* (б) щ1 (d).
Поэтому A.40) может быть записано в виде
б de(l) - d 6ew = ( [со, V] - К*)') е{ку A.42)
Это выражение представляет собой кривизну пространства (так
как оно указывает, что параллельный перенос, вообще говоря,
не является интегрируемым). Итак, кривизна представляется
внешней формой 2)
0,* = [<о,Ч*]-(<0'. A-43)
Альтернативно, для ковариантной формы
из соотношения A.43) следует, что
Используя C.1.5), мы находим
пи = [©>«] - (<о/у)' = - Q/?. A.43а)
Ясно, что если мы вычислим правые части соотношений
A.43) или A.43а), выражая формы со.* и их дифференциалы
с помощью A.37), то мы получим члены, включающие произве*
дения [S*5ft], [dA;*coft] и [dxkdxh]. В итоге A.43) запишется в
виде
Q/ = Shu [й"сой] + Phn ldxk<bh\ + RAh [dxk dxh], A.44)
где в первом и третьем членах в правой части проводится сум-
суммирование только по всем комбинациям (k, К). Представление
Q,-' в виде суммы в формуле A.44) неоднозначно, так как
') Ср. Картан [7], с. 51, где вместо (о>(. )' используется обозначе-
обозначение do>(A
2) Например, в римановой геометрии уравнение A.43) дает
fi,.ft (d, б) = j Rkihj {dxh бх1 - dx' 6xh),
где Rfhj — тензор кривизны рйманова пространства (Картан [7J, с. 182).
Имеется расхождение в знаке между соответствующими уравнениями в ра-
работах Картан а [1] и [7]; это может вызвать небольшое различие в обо-
обозначении тензора кривизны.
136 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
вследствие соотношения lh&h = Ql) формы uft не являются не-
независимыми. Эту трудность можно устранить путем такой груп-
группировки членов в A.44), что
Pi'kh(x,x)xh = 0, A.45)
причем одновременно
Silkh(x,x)xh = 0. A.46)
Вычисляя явно правую часть равенства A.43) (расчет довольно
громоздок), можно показать, что определяемые посредством
A.44) тензоры действительно являются тензорами кривизны
A.25), A.31) и A.35) в тех же обозначениях 2).
Уравнение A.44) позволяет дать простую геометрическую
интерпретацию этих тензоров в терминах бесконечно малого
«параллелограмма». Во-первых, если линейные элементы
(х1 + dx1, xl + die1), {xl + 8х\ xl -f- ЬхР) имеют одинаковый центр
х1, соответствующие приращения задаются равенствами dl' =
= а', б/' = Р', то приращение, ассоциированное с параллель-
параллельным переносом вдоль бесконечно малого цикла, сводится к
i — &1 klla p .
Во-вторых, если хх -f- dx1 получается из (х{, х1) параллельным
переносом из точки х1 в точку х' -f- dx1 с dx' = а', а х' -f- бх' по-
получается в результате вращения, задаваемого посредством
б/'1 = р', то соответствующее приращение имеет вид
Наконец, если оба линейных элемента получаются из (х1, х')
путем параллельного переноса из точки х в точки xl -f- dx1 и
xl -f- Ьх1 соответственно, причем dx1 = а' и бх' = Р', то очевид-
очевидно, что соответствующее приращение равно
Ясно, что эти специальные результаты могут быть выведены
также из коммутационных формул, полученных в начале на-
настоящего параграфа.
§ 2. Тождества, которым удовлетворяют тензоры кривизны
Как и в римановой геометрии, структура тензоров кривизны
такова, что они удовлетворяют большому числу тождеств, наи-
наиболее важные из которых мы выведем в настоящем параграфе.
') Это соотношение следует из ковариантного дифференцирования тожде-
тождества gn(x,x)blj. = 1.
2) Отметим, что формулы A.45) и A.46) совместимы с определениями
A.25) н A.31) в силу соотношений C.2.4) и C.2.14а).
i 2. ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 137
Кроме тождеств A.45) и A.46), из определений рассматривае-
рассматриваемых тензоров очевидны дальнейшие тождества
K/ftfc — — -К/й*. Kf'hk — ~ К/ш B-0
Sj hk= Sl'kh> B.2)
Ri tik— Rj'kh- B-3)
Пусть
SgrjS/kh B.4)
Pukh = griPirkh. B.5)
Тогда
•S/iTift — Si}hk> B.6)
Piihk— ^i/Aft . B-7)
и
Л-/*а (*, х)хг = Ajkh i <• (x, x) xl. B.8)
С другой стороны, если мы положим
*<//>* = ffr/*/ftft. ¦ B-9)
то этот тензор, вообще говоря, не является кососимметричным
по i, j, как в римановой геометрии. Действительно, если мы
рассмотрим частный случай соотношения A.16а), который воз-
возникает, когда Тц = gn, то в силу B.9) и тождества Яглл = О
имеет место равенство
Kjihk — — K-Hhk — 2C;/;/(r hkxr. B.10)
Для относительного тензора кривизны Kjihk соответствующей
формулой является A.15I). В частности, вследствие A.3.5)
мы имеем
К,т (х, х) х1 - - Кцнк (х, х) х1. B.11)
Для многих целей необходимо иметь явное выражение для
тензора B.9). Его легко можно найти следующим образом:
дифференцирование тождества Т}1н = glsr*jSh по хг и х1 дает
ai?A дТун др1
_
дхг дх1 дхг
g" dg" dG'
dxl d#) + l"h\dx' ~ dxl
') P у н д [5], с 95. В этой работе автор ошибочно предполагал, что косо-
кососимметричность тензора Kijhk по (', / будет следовать из A.15) при переходе
от «относительного» к хорошо определенному тензору кривизны. Правильны^
уравнением, конечно, является наше уравнение B.10).
138 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Используя тождество
0 = <А e=^!l_i?l-^i
« \г дхг dki дкг
предыдущее равенство можно переписать в следующем виде:
дхг дх1 дхг
* m г* I h =
_ nis(dV)sh dT)sh dGl
Аналогичное соотношение получается путем перестановки ин-
индексов Лиг. Вычитая его из полученного выше равенства и
учитывая A.7), легко видеть, что левая часть равна Ki'h, Сле-
Следовательно, в силу B.9) мы найдем (после подходящей замены
индексов)
dV'iih «П/А dG'
1
dV*ijk dQ \ , r«m r» r*m v*
~W ~d^) + Ti hTimk ~ Г/ kVlmh-
Соответствующая формула для относительного тензора кри-
кривизны A.5) имеет вид
аг*.ь аг?,ь dv- \
ijk | t/fe » I t^ p*m р* тл*т р*
~~г ^ I 77 д л" J ~* ^ ^ ^^ ^' ^^
— g ьГ*от +§• .л1п*ОТь- B.12а)
Из B.12) мы можем непосредственно вывести соответствую-
соответствующую формулу для тензора, определяемого равенством
Riihk== gjrRi hk- B.13)
Действительно, из соотношения A.34) мы имеем
Rmk = Kmk + Ci!mKrmhkxr. B.14)
Далее, из A.11) и B.12) следует, что 1)
/аг;,Л аг« dGl\ / dvilb дт'иь bg1 \
Hilhk = \д? i?~ "a^J ~ V~5? W~d^) +
_a^_ , G m dct\ ,
B.15)
m
') Картан [1], с. 36, формула (XIX).
§2. ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ТЕНЗОРОВ КРИВИЗНЫ 139
Кроме того, формула B.14) дает
Rijhk + Rjihk = Кцнк + Kim + 2CijmKrmhkXr,
и поэтому вследствие B.10) мы получаем
Riikk = -R}ikk- B-16)
Рассмотрим сумму K,Jhk + Kklin + Kn'ki (которая, как из-
известно, тождественно обращается в нуль в римановой геоме-
геометрии). Структура выражения A.7) такова, что формально тен-
тензор Kj'hk совпадает со своим римановым аналогом, за исклю-
исключением членов, содержащих производные от YVk по касатель-
касательным векторам. Выписывая упомянутую сумму, мы получим ряд
дополнительных членов, а именно:
дЧн до1 dryk дв' агу, ао*
дх1 дх" ~*~ дх1 дхп дх1 дхн +
dT%lh dGl dV'h\ dGl дТ'н'{ дО1
дх1 дх' дх1 дх' дх1 дхк '
причем сумма остающихся членов равна нулю в римановой
геометрии. В силу симметрии коэффициентов T*hlk no h, k мы
видим, что записанное выше выражение также тождественно
обращается в нуль; следовательно,
*Д* + **'/* + *Л/ = 0. B.17)
Очевидным следствием этого тождества является
= 0, B.17а)
и если мы применим к каждому из тензоров в левой части
формулу B.10), то получим
^//ft* + Kik!h--\~ Kihkj =
— *— 2 {СщКг hk + CikiKr /A + СШКГ kj) xr- B-18)
В частности, подставляя в этот результат соотношение A.34),
мы будем тождественно иметь ')
k + ClklKrllh + CthlKr'k,} xr = 0. B.19)
Из B.1) и B.18) следует
Kwk ~ Kim = Kim + Wank, B.20)
') Это тождество установлено Картаном [1], с. 37. Уравнение B.17)
дано Рун дом [5], с. 96. Ясно, что B.17) справедливо также для относи-
относительного тензора кривизны К/'м.
140 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
где мы для краткости положили
Qiihk — {СщКг hk + CikAr !h + CihlKr kl) x'¦ B.21)
Заметим, что вследствие B.21) и B.1) справедливо равенство
Qtihk = ~ Qukh- B.22)
Аналогично,
Прибавляя это уравнение к B.20) и принимая во внимание
B.10) и B.1), мы найдем, что
Kihjk — Kikih + К/т — KjMk — %Kiihk + ^CijiKr hkXr +
+ 2 (Qllhk - Qiihk) = 2/?,/At + 2 (Qim - Qlthk), B.23)
где мы использовали A.34).
Аналогичное уравнение получается переменой пар индексов
i, j и h, k. После вычитания получаемого таким образом урав-
уравнения из B.23) мы в силу B.10) получаем
2{(Я,/** - Rmi) + (Qtihk ~ QMk) - (Qhktj ~ Qkhu)) =
—(Kihjk+Khnk) — (Ktkih + Kktih) + (Kfkth + ^ ft/i/i) ~~ (Kjhik+ Khjik) —
= — 2 {CihiKr jk — CikiKr ih + С1ЫКг ih — CjhiKr ik) x'• B.24)
Однако из B.21) непосредственно следует, что
(Qiihk — Qiihk) + (Qkkil — Qhkij) =
K CK CK + СК ) xT
Подставляя этот результат в B.24), мы имеем окончательно
Rilhk — Rhkij = {Cihi^r jk — CikiK, lh +
+ CmKrlih-Cl/liKrlik}xr. B.25)
Соответствующая формула для тензора Кцнь прямо вытекает
из A.34) и B.25):
Kijhk ^Ш/ == {CihlKr jk — CikiKr jh + CjkiKr ih —
— CihiKr ik + СШКГ n — CitlKr hk) xr. B.26)
На основании B.1) и A.3.5) мы, в частности, можем на-
написать
(Rim - Rhkii) xh = {C!klKrlih ~ CikiK/ih) xrxh, B.27)
- Kmi) x* = (C,kiKrltH ~ dkiK/jh - СтКг1ы,) xrxh B.27a)
B.28)
§ 3. ТОЖДЕСТВА БИАНКИ 141
Следует отметить, что в силу A.34а) все члены вида xrK/hk
можно заменить соответствующим членом, включающим тен-
тензор Rr'hk-
§ 3. Тождества Бианки
Рассмотрим произвольное ковариантное векторное поле
Yi(xk), которое предполагается не зависящим от направлений.
Для такого поля коммутационные формулы A.16) дают
Yi|jk — Yt\ki = — YrKi ik-
Ковариантное дифференцирование этого соотношения по xh
приводит к уравнению
Yii jkh — Yi|kjh — — Yr\hKi ik — YrKi"/*ia-
Два аналогичных уравнения можно получить путем цикличе-
циклической перестановки индексов /, k, h. Складывая и перегруппи-
перегруппировывая эти соотношения, мы находим, что
Yi | hki) + (Yi i kh\ — Yi | k\h) =
= — (Yr\ hKi'jk + Yr i kKih] + Yr | jKi kh) —
— Yr (Kl /k I ft + Kihj I k + Klkh | /).
Скобки в левой части могут быть выражены через тензоры кри-
кривизны с помощью A.16). Если это сделать, то первый член в
скобках в правой части взаимно уничтожится с аналогичным
членом в левой части и останется уравнение
= — Yt | r (Kfkh + Kh Ik + Kk hi) +
+ Yr (Ki ik I h + Kihi | k + Ki'kh | /). C.1)
В этом уравнении коэффициент при Уцг тождественно об-
обращается в нуль в силу B.17), и, кроме того, в рассматривае-
рассматриваемом случае мы имеем
'?УИ/ _ dT'liy
дх1 ~, дхг "
142 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Поэтому из C.1) следует (поскольку векторное поле Y, являет-
является полностью произвольным) ')
Kirik\h-\- Klh\\k-\- Klkh\j +
/ av*r AT*r AV*r \
\W s kh + ~дкГ s ik + ~№~ s M) = ^ '
Это соотношение представляет собой первую серию тождеств
Бианки. Те же соображения, примененные к относительному
тензору кривизны, дают
Ktik;h + KiHi;k + KtTto.i = b, C.2а)
где точка с запятой означает, как и прежде, частную 6-произ-
водную.
Еще одна серия тождеств Бианки, включающая тензоры
кривизны Rj'hk и Pj'hk, может быть выведена из C.2) следую-
следующим образом. Запишем A.34) в виде
Аг ik = Hi ik — At mt\s lkl .
Ковариантно дифференцируя это уравнение по xh и учитывая
тождество C.2.12), мы получим
Kilk I ft = Rl \k | h — Al m I hKsm\kV — AirmKsmik | hi*'¦
Два аналогичных выражения получаются циклической пере-
перестановкой индексов /, k, h. Складывая эти три уравнения, на-
находим
KiTjk | ft + Kihi | k + Kikh | / =
= Ri ]k I ft + Rihi | k + Rikh | / — A{m I hKsmjklS — At'm | ft/Csmft//S —
— Ai m | jKsmkhlS — Ai'm (Ksmik I h + /(Л/ I k + K^kh | /) lS-
Теперь можно применить тождество C.2) к левой части
этого уравнения, а также к последнему члену в скобках в пра-
') Ясно, что соотношение C.2) можно вывести таким же способом, даже
если не предполагать, что векторное поле У< не зависит от направлений; вы-
вычисления в этом случае будут значительно более громоздкими. Действи-
Действительно, тогда мы получим в C.2) дополнительный член:
F" {(KsTlk I ft + Ksrhl | k + K/kh I /} +
+ *m (C/ft I m^s Ik + C1k | m^shi + C\l | tries'kh)} *'
Из C.3.15) следует, что коэффициент перед dYijdx' совпадает с левой частью
C.2), свернутой с х1.
§ 3. ТОЖДЕСТВА БИАНКИ 143
вой части. Это дает
О = Ri Ik I h + Rih\ | k "+• Ri kh I / +
dTfk
— AiTm I hKsmiklS — Ai'm i kKsmhjlS — At'm \ jK
r)Y"m r)Y*m
FK + F
(r)Vm
k
Приводя подобные члены, мы видим, что предыдущее соотно-
соотношение можно записать в виде
О = Ri \k i h -f- Rihi | k + Rikh i / +
K —7i At i\i + At mt L I +
\ dx dxl /
f)T*m
I * + Mm? ~?Г
( ( с i k at \ лт с a k
shi\ ~dll i\k + AimF—^
Однако из A.30) и C.2.14а) мы имеем
дТ"т
с г j ,т л m /г
г i I =Aj i\rt ,
дх
и, следовательно, по определению A.29) коэффициент при
I'Ks'kh равен
/)Г*Т
и i i л т \ л т л m is n r
г —7 At цj + At mAj i\sl —Pi it.
Точно так же могут быть упрощены третья и четвертая скобки
в записанном выше уравнении. Используя после этого C.14а),
мы окончательно получим
0 = Rir k\n + Rirhnk + Rirkh\i +
+ I (Rm'khP/it + RmjkPihl + RmlhiPikl)- C.3)
Это соотношение является второй серией тождеств Бианки1).
Как и ранее, к тождествам возможен альтернативный под-
подход с помощью метода внешних форм. Действительно, взяв
внешнюю производную от A.43а) в соответствии с обычными
') К ар тан [1], с. 37, формула (XXIV). Форма C.2а) была дана Рун-
до м [5], с. 97. Между формулой C.3) и формулой (XXIV) Картана имеется
расхождение в знаке, которому автор не может дать объяснение, поскольку
Картан не указал явно промежуточные этапы вычисления.
144 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
правилами
**
и подставляя A.43) в правую часть, мы получим
(Qtl)f - [ш/О,*] + [^kQlk] = 0. C.4J
Аналогично, из A.39) и A.43) мы найдем
(G'r-Id^Gfc'l + K'a^O. C.5)
Как и в римановой геометрии '), эти соотношения после до-
дополнительного вычисления также приводят к тождествам C.3).
§ 4. Девиации геодезических
В качестве первого приложения развитой в предыдущих па-
параграфах теории мы рассмотрим вопрос о девиациях геодези-
геодезических. Задачи такой природы впервые рассматривались Леви-
Чивитой (для случая римановых пространств). Им было пока-
показано, что на таком пути определенные аспекты геометрии про-
пространства с ненулевым тензором кривизны могут быть опи-
описаны с помощью некоторых, весьма замечательных теорем.
В настоящем параграфе будет развит аналогичный подход для
финслеровых пространств.
Геометрическая основа простейшей формы уравнений де-
девиаций геодезических может быть кратко описана следующим
образом. Рассмотрим два вектора х'{0), х'{) из касательного про-
пространства Тп(Р) в точке Р пространства Fn, причем оба век-
вектора выходят из центра Тп(Р). Предположим, что угол между
этими векторами в центре является малым. Построим геодези-
геодезические Го и Fi в Fn, проходящие через точку Р и касающиеся
х*0) и х\Х) соответственно. На каждой геодезической отметим
такие точки Qo, Q\, что геодезические длины дуг PQ0 и PQi
равны; обозначим общую длину дуги через s. Смещение QoQi,
рассматриваемое как бесконечно малый вектор %' (в первом
приближении), будет функцией от s, так что мы можем обра-
образовать его первые и вторые б-производные, а именно 8t,'/8s,
8%'/6s2. Далее мы покажем, что, вообще говоря,
0 ь
в противоположность евклидову пространству (или простран-
пространству -Минковского), в котором эти вторые производные тожде-
тождественно равны нулю.
') Картан [7], с. 210—211,
§ 4 ДЕВИАЦИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 145
Таким образом, эти производные представляют собой инва-
инвариантную меру характерного «отклонения», а именно отклоне-
отклонения геометрии Fn в окрестности точки Р от геометрии касатель-
касательного пространства в точке Р. Будет показано, что эта инвари-
инвариантная мера выражается через тензор кривизны Ki'hk- Более
того, мы увидим, что основанный на этом построении анализ
приводит к большому числу чисто геометрических теорем, при-
причем в следующем параграфе будет очевидна тесная связь урав-
уравнения девиаций геодезических с присоединенной проблемой
(т. е. теорией второй вариации) вариационного исчисления.
Возможна, однако, более общая теория, которая включает
описанное выше рассмотрение как частный случай; мы восполь-
воспользуемся этим преимуществом и для вывода уравнений девиаций
геодезических поступим следующим образом.
Пусть F2 — двумерное подпространство финслерова про-
пространства Fn- Предположим,' что F2 может быть параметрически
представлено уравнениями х' = х'(и, v), где и, v — гауссовы
параметры поверхности. Будем считать, что соответствующий
якобиан имеет второй ранг и что функции х'(и, v) по крайней
мере класса С4. Координатные кривые на F2 имеют вид и =
— const, v = const. Обозначим их касательные векторы через
ц' и I' соответственно: итак,
так что
dv dudv ди
Пусть Х'(хк) —векторное поле, определенное в области про-
пространства Fn, содержащей F2. Если Р — точка на F2, а х1 —
поле (которое мы ниже опишем более подробно), касательное
к F2 в окрестности точки Р, то в соответствии с B.4.9) мы мо-
можем определить в точке Р следующие б-производные:
— Л-hC, =1 . ь -Г I h k\xt X) A Ig, К*-д)
Ьи \ ox J
П\ (х, х) Хк) г)". D.3а)
.dxh
В частности, в силу D.1) и D.2) мы имеем
^— = д Х—Ь Глг4 (х, х) lkr\h = 6ri , D.4)
где мы использовали симметрию коэффициентов Тп\ по ин-
индексам h и k. Кроме того,
146 гл- IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
так что на основании D.4) справедливо соотношение
Ь2х' Ь2х1 ( t i v a fc
Отсюда, используя A.4), получаем
H-W = ^^^)^V. D.5)
Здесь «относительный» тензор кривизны ЯД* берется относи-
относительно (пока не определенного) поля х'(хк).
Рассмотрим теперь две близкие координатные кривые v =
= const, v + е = const из F2. Обозначим эти кривые через С, С
соответственно. Предположим, что С, С пересекаются с коор-
координатной кривой и — «1 = const в точках А\, В\ соответственно;
аналогично, две точки А2, В2 определяются пересечением С, С
с кривой и = «2 = const. Пусть А — произвольная точка на
дуге А\А2 кривой С, соответствующая значению параметра м.
Предположим, что этой точке отвечает точка В на дуге В\В2
кривой С, значение параметра и* которой задается равенством
«* = « + /(«), D.6)
где / — такая функция класса С2, что (и* — и) имеет порядок
величины е. Пренебрегая величинами порядка е2, мы получим,
что разность z' между координатами точек А, В задается вы-
выражением
г' = Чг е + Ж f («) = ^ + f (") ?'• DJ)
Перейдем теперь к вычислению вторых ковариантных произ-
производных от z' по и; они будут однозначно определены, если мы
отождествим поле х' с полем |', определенным на F2. Из D.4)
мы имеем
S
Ьи 6v ~ 6v Ьи А/ hk
, }h
У S S Л
где на втором этапе вычисления мы применили D.5) с X' = ?',
х> = g;. Но в результате кососимметричности тензора кривизны
по индексам h, k мы имеем Я/'л*(х, ?)?''!;* = 0 и, следовательно,
из D.7) вытекает, что последнее уравнение может быть запи-
записано в виде
Далее, так как величина е постоянна для двух кривых С, С,
то из D.7) следует, что
W— 6 Тй? +/<")#+ 2/' W TGT
§ 4. ДЕВИАЦИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 147
где штрих означает дифференцирование по и. Таким образом,
из D.8) и D.9) мы имеем
D.10)
Это уравнение представляет собой изменение вариации век-
вектора z' вдоль кривой С при наиболее общих условиях. Специа-
Специализируя эти условия, мы получим различные формы уравнений
девиаций геодезических. Прежде всего предположим, что кри-
кривые v — const являются геодезическими пространства Fn, а и —
длина дуги вдоль этих кривых. Тогда согласно D.1) и B.3.20)
мы имеем б|'/бы = 0 вдоль кривой С, а поскольку то же са-
самое справедливо и вдоль кривой С, т. е. -^- (-у-J = 0, то
¦j—|— = 0. По этим причинам уравнение D.10) сводится к виду
Соотношение D.11) является точным аналогом уравнения
девиаций геодезических, выведенного Леви-Чивитой'). Оно
дает нам возможность выяснить геометрический смысл функ-
функции /(«)• Положим, в соответствии с A.4.1),
yt=8ti{x, 1I'. D.12)
Тогда yi%1 = 1 вследствие того, что ds2 = du2 = gi,-(x, Qdx'dx1
вдоль С. Так как кривая С является геодезической простран-
пространства Fn, то из D.12) и B.5.8) снова следует, что
-5Г=° DЛЗ)
вдоль С. Умножая D.11) на у-, и замечая, что в силу B.11)
справедливо соотношение
') Леви-Чивита [1], с. 215. Аналогичные уравнения были получены
Бервальдом [12], с. 303, в связи со второй вариацией интеграла длины
вдоль геодезической. Проведенное выше обобщение метода Леви-Чивиты экви-
эквивалентно результатам, полученным Рун дом [7], [8]. Кроме того, следует
заметить, что в уравнении D.11) мы можем заменить ЯД* на К/'нь- Действи-
Действительно, если кривые v = const являются геодезическими, то мы имеем
{д%Чдхн) %h = (dllldxh) (dxhldu) = dl'/du
вдоль этих кривых. Подставляя сюда последний член из уравнения
d\l/du -\- 2Gl(x, |) = 0 геодезических и используя однородность функции
G'(x, |) и уравнение B.5.12), мы получим, что тензор /?Д*|'|\ определяемый
формулой A.5), равен тензору /СД*!'!* согласно определению A.6).
148 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
мы на основании формул D.12) и D.13) можем написать
или
Этот результат является первым интегралом уравнений D.11).
Кроме того, после дифференцирования уравнения D.7), ум-
умноженного на г/,, по и мы обнаруживаем, что в силу D.12) и
D.13) справедливо соотношение
8 ir few') = -L (y*zi - f <"»=у* Чг ~ г <">•
так что уравнение D.14) принимает вид
¦ЯгЫ) = Си D.15)
где С\ — константа интегрирования. Используя этот результат,
легко показать1), что при указанных выше условиях имеет ме-
место равенство С\ = 0 и поэтому из D.14) следует, что f'(u)
является проекцией вектора 6z'/6u на касательный вектор |'
геодезической С в точке Р.
Если мы выберем функцию f(u) так, чтобы f"(u) = О, то
уравнения D.11), очевидно, сведутся к виду2)
D.16)
который допускает первый интеграл
yi^T = Г(и) = const. D.17)
') Рунд [7], с. 6. Прямое доказательство этого утверждения можно по-
получить с помощью того факта, что касательные векторы к геодезическим v =
= const образуют единичное векторное поле. Мы опускаем детали, так как
нигде в дальнейшем это упрощение не будет использоваться.
2) Из соотношения A.34) следует, что уравнение D.16) может быть за-
записано также с помощью картановского тензора кривизны в альтернативной
форме
бУ , ; h k_
б«2 + Rl к* (X'l>llZ - °-
Этот частный случай уравнений D.11) был получен Картаном [1], с. 40,
уравнение (XXV). Аналогичные уравнения можно вывести и в общей гео-
геометрии путей (гл. III, § 3): в действительности они могут быть получены по-
почти непосредственно из уравнений вариации дифференциальных уравнений
путей. Эта процедура обсуждается Бервальдом [10, IV] и Косамби
[1] — [4]. Следует отметить, что эти уравнения вариации тесно связаны с об-
обратной вариационной задачей, что, в частности, очевидно из работ Д. Д е •
виса [1], [2]. См. также Э. Дев и с [1]; С у [1].
§ 4. ДЕВИАЦИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 149
Таким образом, если мы используем соотношение D.13) еще
раз, то получим
у(г1=Пи)и + С2, D.17а)
где Сг — некоторая другая константа. В частности, если мы вы-
выберем f(u) так, чтобы f'(u)=O, то уравнение D.17а) будет
выражать тот факт, что мы можем установить соответствие ме-
между геодезическими С я С так, чтобы проекция вектора е' на
единичный касательный вектор ?' кривой С оставалась постоян-
постоянной. Нормальным называется такое соответствие, для кото-
которого вектор z' нормален к ?'; в этом случае D.17а) сводится к
yizi = 0 D.17b)
в согласии с определением нормальности.
Уравнение D.16) очень важно с нескольких точек зрения.
Во-первых, как и в классической геометрии, оно приводит к за*
дачам «в целом» таким, например, как теорема Бонне о диа-
диаметрах двумерных выпуклых поверхностей'). Во-вторых, как
это будет видно в следующем параграфе, уравнение D.16)
тесно связано с теорией второй вариации интеграла длины и,
следовательно, с присоединенной задачей вариационного исчис-
исчисления. Чтобы яснее показать последнюю связь, необходимо
вывести альтернативную форму этих уравнений. Пусть X1 —
векторное поле, определенное вдоль геодезической С, так что
направление X' совпадает с направлением г', а длина вектора
X'1 нормирована на единицу, т. е.
gij(x,l)XiX'=l D.18)
вдоль С. Дифференцируя это уравнение по и и замечая, что
§ёа{х> ?)/бм = 0 вдоль геодезической согласно B.5.8а), мы по-
получаем
git(x,l)Xl-^r = Q. D.19)
Далее, по определению X' существует такая скалярная функ-
функция z(u), что
г' = гХ' D.20)
вдоль С, так что мы имеем
D.21)
Если мы подставим этот результат в D.16), умножим полу-
получающееся уравнение на gii(x,%)Xi и примем во внимание
') Бляшке [4], с. 218.
150 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
соотношения D.18), D.19) и D.20), то мы получим для скаляр-
скалярной функции z{u) следующее дифференциальное уравнение вто-
второго порядка:
z" + г [gll (x, l)X'^ + KIihkl'lhXlXk] = 0, D.22)
или, что легко проверить дифференцированием уравнения
D.19),
г" + г [Ктк (х, 1) 1'?Х'Хк - gil (х, Z)*?L.*?L] = O. D.22а)
За исключением последнего слагаемого в левой части, это
соотношение имеет тот же вид, что и уравнение Якоби в клас-
классической теории поверхностей1), при условии, что мы опреде-
определяем скалярную риманову кривизну в двумерном направлении
(|, X), аналогично тому, как это делается в римановой геоме-
геометрии 2), формулой
R (X' h Х) = (*/Л [х, 6) gik (х, g) - gfl {х, d ghk (x, d) iVx'x*' D<23)
Предполагая, что вариация нормальна (в смысле D.17Ь)), т. е.
что gii(x, I) I'z' = zgij (x, I) I'X' = 0, и учитывая, что векторное
поле I1 является единичным, а X' удовлетворяет D.18), мы при-
приходим к выводу, что знаменатель у D.23) просто равен еди-
единице и уравнение D.22а) примет вид3)
z" + z [R (х, I, X) - gtl (x, 1)^--^?-] = 0. D.24)
Итак, тензорные уравнения D.16) могут быть сведены к од-
одному инвариантному уравнению. При этом если уравнение
D.24) имеет решение z = z(u), которое обращается в нуль,
скажем, при и = и\, то в силу D.20) также иг' = 0 при и = и\.
Как следствие условия С (гл. I, § 1), последнее слагаемое
в левой части D.24) обращается в нуль тогда и только тогда,
когда 6Х'/8и = 0, что, вообще говоря, не имеет места, так как
X' зависит от выбора не только геодезической С, но также и
от кривой С. Однако для случая п = 2 равенство 8Х'/6и = 0 4)
') Бляшке [4], с. 216.
2) Эйзенхарт [1], с. 81.
3) Альтернативные формы уравнения D.24) даны Рун дом [1], с. 188—
189.
4) Это является частным случаем более общей теоремы (Рунд [11],
с. 185) о геометрии двумерного подпространства F2, содержащего геодезиче-
геодезические С, С. Именно, если Ха (а, Р, ... =1,2) — компоненты вектора X1 в F%
(с координатной системой и" и с индуцированной метрикой gaat определяе-
определяемой в гл. V), то уравнение 6XaJ6u = 0, где ковариантное дифференцирова-
дифференцирование относится к индуцированным символам Гяау> справедливо независимо от
того, выполняется ли 8Х'/ди = 0 или нет.
5 4. ДЕВИАЦИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 151
имеет место. Это легко доказывается следующим образом. Во-
первых, заметим, что в силу уравнений D.17Ь), D.13), D.20)
и первого из уравнений D.21) имеет место равенство
Во-вторых, так как по предположению векторы X' и |' не па-
параллельны, то мы можем для случая п = 2 представить вектор
ЬХ'/8и в виде линейной комбинации векторов X' и |':
После умножения этого уравнения на г/, и суммирования по i
мы из уравнений D.12) и D.17Ь) заключаем, что ц обращается
в нуль. Поэтому бХ'/бы = XX1 и после подстановки этого ре-
результата в D.19) и учета условия С мы находим, что X = 0.
Это доказывает наше утверждение. В итоге уравнение D.24)
для случая двумерного финслерова пространства сводится к
виду
z" + zR (x, I) = 0. D.24а)
Итак, классическое уравнение Якоби для двумерного рима-
нова пространства ') может быть прямо обобщено на случай
двумерного финслерова пространства и может применяться
аналогичным образом для вывода теорем вышеупомянутого
типа.
Например, нетрудно показать, что уравнение D.24а) приводит к обобще-
обобщениям формул Бертранда и Пусекса классической дифференциальной геомет-
геометрии2). Рассмотрим фиксированную точку О двумерного финслерова простран-
пространства F2, имеющую координаты *('0) (/=1,2), и фиксированное направление
*L, проходящее через О. Обозначим через Го геодезическую пространства Т^,
касательную к х'^ в точке О, и построим семейство геодезических, проходя-
проходящих через О, (направленные) касательные векторы наклонены под углами
Ф @ ^ ф ^ Ф) к Хфу Здесь ф —угол Ландсберга, определяемый уравне-
уравнением A.7.12). Откладывая равные расстояния s = г = const (измеряемые от
О) вдоль геодезических этого семейства, мы получим «сектор» радиуса г с
углом Ф при вершине. Внутри этого сектора касательные векторы к геодези-
геодезическим, проходящим через О, образуют векторное поле. Это векторное поле
естественным образом определяет опорные элементы, относительно которых
измеряется длина а дуги s = г. Последняя, очевидно, является ортогональной
траекторией к семейству геодезических. Кроме того, используя те же самые
опорные элементы, мы можем определить площадь Q сектора с помощью
') Бляшке [4], с. 216, уравнение F7), где это соотношение выводится
из присоединенной задачи по отношению к интегралу длины на поверхности.
Применения D.24а) обсуждались Майером [1], Душеком и Майе-
р о м [2] для случая римановых пространств.
2) См., например, Бляшке [4], с. 153.
152 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
A.8.13). Можно далее показать, что ')
(гф — g \
.зф ) D.25)
/ л2Ф — 2Й
= 12 I1 (
Ф->0
Еще одна замечательная интерпретация кривизны R может быть полу-
получена следующим образом. Пусть Со — кривая в F2, проходящая через линей-
линейный элемент (х@), i<o>) в точке О. Построим семейство эквидистантных от Со
кривых С вместе с ортогональными траекториями к этому семейству. Рас-
Рассмотрим одну из этих траекторий, пересекающую кривую Со в точке Р, так
что длина дуги ОР, измеренная вдоль Со, равна so. Через 5 мы обозначим
длину дуги вдоль этой траектории, измеряемую от Р. Четыре точки О, Р, Q,
R, отвечающие значениям @, 0), (so, 0) (so, S), @, S) длин s0 и S соответ-
соответственно, определяют криволинейный «четырехугольник» на F2. Как и прежде,
касательные к семейству кривых С, эквидистантных от Со, определяют поле
опорных элементов, относительно которых проводятся все измерения. Обо-
Обозначим площадь четырехугольника (задаваемую формулой A.8.13)) через Q.
Можно показать, что 2)
D-26)
где в — длина дуги RQ четырехугольника. Кроме того, если Со — геодезиче-
геодезическая и если р~' — кривизна в точке R кривой С семейства, содержащего дугу
RQ, то записанное выше соотношение сводится к видуэ)
*( *) ] <4-26а>
Дальнейшее подробное обсуждение уравнения Якоби D.24а) проведено
Функом [2]. Пусть ф1 и ф2 — два различных частных интеграла уравнения
D.24а). Положим
ф—2L. D.27)
ф2
Тогда обычным образом можно обнаружить, что кривизна R задает производ-
производную Шварца 4)
^4 (?)'
Эту формулу можно использовать для вывода дальнейших геометрических со-
соотношений, включающих R, аналогично тому, как это делалось выше5).
') Бервальд [10, I], с. 54 и дальше. Для случая пространства F2 по-
постоянной кривизны (см. § 7 настоящей главы) такие же формулы обсужда-
обсуждались Моором [2], с. 13 и дальше. Доказательство вполне аналогично дока-
доказательству классических формул.
2) Бервальд [10, I], с. 47 и дальше. См. также Бервальд [1].
3) Здесь р определяется по отношению к углу A.7.12): см. гл. V, § 1,
4) См. Камке [1], с. 120.
5^ Функ [2], с. 187 и дальше.
§ 5. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ 153
Результаты настоящего параграфа приводят к естественному вопросу о
Справедливости для финслеровых пространств аналога теоремы Гаусса — Бон-
Бонне. В этой связи важен результат Буземана1), что для двумерных финслеро-
финслеровых пространств не существует такой универсальной угловой меры (т. е. меры,
локально определяемой только метрикой Минковского), чтобы теорема Гаус-
Гаусса— Бонне была всегда справедлива. В литературе был предложен ряд фор-
формул, сводящихся к классической формуле Гаусса — Бонне, когда пространство
сводится к евклидову, однако ни одна из них не может претендовать на то,
что она обладает тем внутренним геометрическим или топологическим смыс-
смыслом, который естественно ожидать от теоремы Гаусса — Бонне2).
Отметим в заключение, что хорошо известное обобщение формулы Гаус-
Гаусса —¦ Бонне для 2р-Мерных финслеровых пространств, данное Аллендорфером
й Вейлем, может быть приспособлено к специальному классу финслеровых
пространств, а именно к тем пространствам, для которых тензор кривизны
Stjhk (§ 1) тождественно обращается в нуль3). Замечательно, что указанный
тип финслеровых пространств характеризуется тем условием, что его угловая
метрика имеет постоянную единичную кривизну (см. гл. V, § 8).
Примечание переводчика. Обобщение теоремы Гаусса — Бон-
Бонне для двумерного финслерова пространства проводится в § 7 гл. VI. Этот па-
параграф включен в русский перевод автором книги.
§ 5. Первая и вторая вариации интеграла длины
Формулы предыдущих параграфов позволяют нам без осо-
особого труда вычислить первую и вторую вариации фундамен-
фундаментального интеграла A.1.7), устанавливая тем самым новую
связь с классическим вариационным исчислением. Мы после-
последуем за геометрическим построением из § 4, т. е. еще раз рас-
рассмотрим двумерное подпространство Fi, на котором опреде-
определена локальная координатная система с помощью кривых и =
= const и v = const. Мы, однако, не предполагаем, что кривые
и = const являются геодезическими, и рассматриваем перемен-
переменную и как параметр, представляющий длину дуги s вдоль этих
кривых. Обозначения останутся теми же. Ясно, что разность
между интегралами длины (между фиксированными значе-
значениями и = и\ и u = U2), взятыми вдоль близких кривых о = 0
и v = е, задается (в первом приближении по е) так называе-
называемой «первой вариацией»:
6/ = e
«1
Согласно A.3.2) мы имеем
') Буземан [12]; [_10], с. 408.
2) Назим [1], [2]; Буземан [8]; Рунд [3]; Блис [2].
3) Это результат Л и х н е р о в и ч а [6], [7].
154 Гл.iv. теория кривизны
(?' = дх'/ди является единичным вектором, поскольку и —
длина дуги), так что
где мы использовали A.3.5). Если мы применим к этому ре-
результату D.2), B.2.9) и B.2.10), то
FW = Sii (x, 1) I' [^ + yA (x, I) nht] ¦ E.2)
Однако из A.3.5) и B.3.14) вытекает следующее тожде-
тождество:
glt (х, I) 1!Рк\ (х, I) = gti (x, I) 1<ун\ (х, I),
так что в силу E.2) и определения B.3.17) справедливо соот-
соотношение
F^-^ = Sa(x,l)l!-ir- E.2а)
Следовательно, вариация E.1) равна
ц(.хЛ)ъ!^<1и. E.3)
Теперь мы в состоянии немедленно получить различные аль-
альтернативные формы первой вариации. Во-первых, вспоминая
определение A.6.4) косинуса Минковского, мы видим, что со-
соотношение E.3) эквивалентно соотношению
Во-вторых, очевидно, что в силу B.5.8) вдоль кривой С
справедливо равенство
так что соотношение E.3) принимает вид
б/ - е ] \gtl (х, I) |У]„И; - \ gtf (x, |) V it du |. E.3b)
§ 5. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ {55
Из E.3), E.3а), E.3Ь) вытекают следующие теоремы1):
1. Первая вариация обращается в нуль, если вектор вариа-
вариации т]' переносится параллельно вдоль кривой С.
2. Первая вариация обращается в нуль, если ковариантная
производная вектора вариации л' является нормальной (т. е.
трансверсальной) относительно касательного вектора кривой С.
3. Первая вариация является положительной или отрица-
отрицательной в зависимости от того, является ли угол между кова-
риантной производной от ц' и касательным вектором ?' к С ост-
острым или тупым.
4. Первая вариация обращается в нуль, если С является
геодезической (т. е. если 6?'/6ы = 0) и если вектор вариации
в конечных точках либо обращается в нуль, либо нормален
относительно касательного вектора ?' к С.
Вторая вариация интеграла длины определяется выраже-1
нием
{х' l) 1 J- E.4)
которое можно легко вычислить с помощью уравнения E.2а).
Дифференцируя последнее уравнение и еще раз принимая во
внимание формулу B.5.8), мы получим
f OF у
d2F
Используя D.4) и E.2а), мы видим, что выражение E.4) мо-
может быть теперь записано в виде
«2
Р2 f U U
А2/ __ Л_ \ (\а . (у Ь\ а. (у g\ 0.t (у Ь\ Е"р*1 V
и 1 2 J \iaij \л> Ь/ s th \л> Ь/ &]k \л' Ь/ 5 fe J /х
Ul • ¦'
Из этого соотношения следует, что вторая вариация обра-
обращается в нуль, если вектор вариации переносится параллельно
вдоль С.
И снова можно получить альтернативные формы соотноше-
соотношения E.5). Из A.14) и D.5) следует, что
¦ = gti (x, I) I -T-T- + Д г/ЛА (д:, I) Л 5 I Л » E.6)
') Эти теоремы являются обобщениями соответствующих результатов в
римановой геометрии, принадлежащих Сингу [2]. Для случая финслерова
пространства первая вариация обсуждается Стоксом [11; Фриманом
[1]; Рундом [11], с. 192.
156 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
где «относительный» тензор кривизны Riihk относится к полю,
определяемому посредством ?'. Далее, вдоль кривой С мы
имеем
^ </ <*• 6) *'$¦) ~ *, <*• Э ¦? ^- E.7)
После подстановки выражений E.6) и E.7) в формулу E.5)
мы видим, что вторая вариация принимает вид
64=4 И te« <*• *> - ^'* (*> а ^* <*> a ^*i -&г ^f+
«1
. E.8)
Важный частный случай выражения E.8) возникает, когда
кривая С является геодезической. Поскольку в этом случае
б|'/би = 0, то мы имеем ')
и,
{ х, |) - gr,A (x, |) ?/fe (x, i) ??] -^
M
Это уравнение эквивалентно выражению для второй вариации,
данному Э. Девисом 2).
!) Как и ранее, для этого частного случая мы можем заменить относи-
относительный тензор кривизны Кцм на тензор Ki/нк- Это становится очевидным,
если записать последнее слагаемое в правой части E.6) в виде
8ч (х, I) 1'ЯЛ*г|г|'1Г1*. Тогда из A.5) и A.7) как результат однородности коэф-
коэффициентов G' мы получаем
Последнее слагаемое обращается в нуль, так как кривая С является геодези-
геодезической, поэтому в силу C.3.15) и C.2.14а) имеет место соотношение
и результат вытекает непосредственно. Кроме того, из A.34а) следует, что
мы можем заменить Kt/hkl'l11 на Riihk\'\h-
2) Э. Д е в и с [3], с. 246. В этой статье дается элегантная геометрическая
интерпретация первого слагаемого в правой части равенства. Аналогичные вы-
вычисления проведены Ауслендером [1], [2] иФрименом [1]. Как было
показано Лаптевым [1], вторая вариация может изучаться также с по-
помощью производной Ли (гл. V, § 5).
§ S. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ВАРИАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДЛИНЫ 157
Если мы еще более сузим нашу задачу и предположим, что
вариация является нормальной, т. е. что
Ы*,Е)!У = 0 E.9)
(это, конечно, подразумевает ограничение на координатную си-
систему (и, и) на F2), то после дифференцирования уравнения
E.9) мы в силу B.5.8) получим
Вц(х,1)^-1' = -Ви(х,1)г\{-^ = 0, E.10)
поскольку кривая С является геодезической. Кроме того, после
ковариантного дифференцирования уравнения E.9) по о и
учета соотношения B.5.8) аналогично будет следовать, что
если вариация ч\' обращается в нуль в заданных конечных точ-
точках и = и\ и и = ii2 кривой С, то
[««<*. 8 *??-
Таким образом, в силу последнего уравнения и уравнения E.10)
вторая вариация E.8а) сводится к
= 1Г $
Определим теперь вектор X', параллельный ц', так что
Л' = Л*'. gii(x,l)XiXl=l. E.12)
Тогда из E.9) и E.12) следует, что
Ыт (*. I) gtk (х, I) - g,t (х, I) ghk (х, Ш \\нХ1Хк = 1
и далее из D.23) и B.11)
Ktlkk (х, I) Л'Л W = - r)%iHk (х, I) 1'1нХ*Хк= -тJ/? (х, t,X).E.13)
Итак1), дифференцируя оба уравнения E.12) по и и учитывая
B.5.8а), мы найдем
6ti' tvi i ЬХ1 , ^ч vi ЬХ* А
') Из E.13), E.11) и условия С гл. I, § 1, мы можем немедленно выве-
вывести следующую теорему: пусть Г — геодезическая и функция R равна нулю
или отрицательна для любого элемента A, X), содержащего направление кри-
кривой Г. Тогда вторая вариация длины кривой Г положительна в классе всех
вариаций с фиксированными концевыми точками (и, следовательно, длина
кривой Г является относительным минимумом в классе вариаций такого типа).
См. случай п = 2 у Больца [1], а л-мерный случай римановых про-
пространств— у С инга [2], с. 260. Дальнейшие теоремы о кривизне двумерного
подпространства, содержащего Г, принадлежат С и н г у [2]; они могут быть
обобщены аналогичным образом.
158 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
так что
г1 +Ч2ёи(х>$)-ьГ-ьГ- E.14)
После подстановки соотношений E.13) и E.14) в E.11) мы по-
получим
и,
ЬЧ = -Т \ {^ + T\2{gu(x,t)-^^--R(x,t,X))}du. E.15)
Это выражение является обобщением формы второй вариа-
вариации в римановой геометрии, принадлежащей Сингу1).
Итак, для любого определенного пространства F2, содер-
содержащего геодезическую С, подынтегральное выражение в E.15)
(кроме функций т] и т]') является заданной функцией длины
дуги и, и поэтому мы можем написать уравнения Эйлера при-
присоединенной задачи2), т. е. так называемые уравнения Якоби
rf + Л { R (х, I, X) - gtl (х, I) ^-^- } = 0. E.16)
Очевидно, что это соотношение формально эквивалентно ска-
скалярной форме уравнения D.24) девиаций геодезических; дей-
действительно, если мы положим f = 0 в D.7), то функции z(u)
и т](«) будут отличаться только постоянным множителем е, в
fo же время X' имеет в обоих уравнениях одинаковый смысл.
Этот результат устанавливает связь между теорией девиаций
геодезических и теорией присоединенных задач вариационного
исчисления. Следует, однако, заметить, что по своему смыслу
уравнение E.16) является более общим, чем уравнение D.24),
поскольку D.24) относится к подпространству Р2, содержащему
семейство v — const геодезических пространства Fn, в то время
как в E.15) от подпространства F2 требуется лишь, чтобы оно
содержало одну геодезическую, а именно С. Для случая п = 2
такого различия делать не надо, и так как в этом случае
бХ'/бц = 0, то уравнение E.16) сводится к
4" + i\R(x, l) = 0. E.16a)
Сопряженные точки на кривой С определяются последова-
последовательными нулями какого-либо решения уравнения Якоби E.16).
С помощью теоремы Штурма3) можно получить следующий
') С инг [2], с. 261; Рунд [11], с. 198.
"' " "], с. 26~
2) Каратеодори [1], с. 260 и дальше. Присоединенная задача имеет
дело с экстремальными значениями интеграла E.15) в смысле вариационного
исчисления. ¦
3) Больца [1], с. 62. См. также Морс [1], гл. IV.
§ 6. ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 159
результат1): если функция R, соответствующая каждому эле-
элементу (|, X), содержащему направление геодезической С,
меньше положительного числа А, то расстояние между парой
сопряженных точек на С не может быть меньше, чем я/д/Л ;
в то же время, если R всегда больше положительного числа В,
то расстояние между парой сопряженных точек для вариаций
в F2, порожденных параллельным переносом единичного нор-
нормального вектора к С, меньше я/д/б 2)-
§ 6. Тензоры кривизны, возникающие из связности
Бервальда
Ясно, что коэффициенты связности Glhk(x, х) (определенные
в гл. III, § 3), использованные Бервальдом для определения
ковариантных производных, также приводят к ряду тензоров
кривизны. Как и прежде, мы могли бы вывести соответствую-
соответствующие коммутационные формулы для определения этих тензоров.
Такая процедура, однако, была бы скучной и утомительной,
а так как существует очень тесная связь между этими тензо-
тензорами и определенными выше тензорами кривизны, то можно
обойти такие вычисления. При этом мы можем отправляться
от специальной формы D.16) уравнений девиаций геодезиче-
геодезических, которую Бервальд 3) записывает в виде
^ + Н{(х, x)z* = 0 • F.1)
(где мы заменили ?' на х'). Тензор H'k(x, x) называется «тен-
«тензором девиаций», он определяется формулами
Н{ (х, х) = KJhk (x, х) xlxh = R/hk (x, x) х1х\ F.2)
где второе тождество следует из A.34). Уравнение A.11) по-
позволяет нам немедленно выписать точное выражение для этого
') Этот результат является прямым обобщением хорошо известной тео-
теоремы римановой геометрии: Синг [2], с. 264; Шенберг [1]; Майерс [3].
Подробный вывод и обсуждение связанных с ней теорем дано А у с л е н -
дером [3], эта работа основывается на «глобальных» методах.
2) За более подробным описанием сопряженных точек читатель отсылает-
отсылается к учебникам по вариационному исчислению, в особенности к учебнику
Морса [1]. Очень полное описание сопряженных геометрических мест точек
в re-мерном финслеровом пространстве дано Уайтхедом [4]; X а у с х о л ¦
дер [1] исследует зависимость положения фокальных точек от кривизны, ос-
основываясь на определениях Картана. См. также Ринов [1].
3) Бервальд [10, IV], с. 758. Мы позволили себе слегка изменить обо-
обозначения, поскольку Бервальд использует символ К/'ьн вместо Я/м, и если
бы мы сохранили его обозначения, то могло бы возникнуть смешение с тен-
тензорами кривизны, введенными в § 1.
160 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
тензора:
я< (,,;) = 2 f^-^;* + 2G^-fjfl, F.3)
я дхя дхпдх" я< дх дх"
где мы использовали тот факт, что функция G'{x, x) положи-
положительно однородна степени 2 по к1.
Два других тензора могут быть определены аналогичным
образом. Во-первых, положим
\ (х, х) дН) (х, х) \
i1) F-4)
Продифференцируем теперь соотношение F.3) по х1 и пере-
переставим индексы / и k в результирующем выражении. После не-
некоторого упрощения мы найдем, что определение F.4) пред-
представляется в виде
дЮ1 W f dG[ ¦ dGr
Н"> ~ dxkdx' дх'дЛ" + kr dX! °'i dxk ¦ (Ь-4а)
Тогда из соотношений A.11) и A.34а) следует, что
Н\к (х, х) = Кн11к (х, х) xh = Rhlik (x, x) х". F.5)
Во-вторых, положим ')
Hh ik - дх" - 3 V dxh д*' дх" dxk
Используя формулу F.4а), мы найдем, что
где мы обозначили
dGi, dGi
имея в виду тождества
Г,{.
: = GU^ = °- F-8a)
dGi,
К сожалению, тензор F.7) не имеет простой связи с тензо-
тензорами, определенными раньше. Заметим, что из F.5) и F.6)
следует
// I __ К I I ?Г дК>Г \k
h Ik h /k g?
h ¦¦ (b.9)
') Бервальд называет тензоры F.4) и F.6) «Grundtensor der Krflmmung»
и «Kriimmungstensor» соответственно,
§ 6. ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 161
Используя обозначения гл. III, прямой выкладкой можно полу-
получить
Hljkh = Kljkh + Aimk | rAjmh I sfl1" —
— Aimh i rAjmk i slrls + Ани \r\hlr — Aijh i г 14'', F.9a)
или, эквивалентно,
Hmh = Rilkh - 2Alm,R<mkhls + *S~^ ¦ F.9b)
Обратная формула имеет вид
Rtlkh = -g (#//*» - Нцм) - хg" {glm mglp m - glm(h)gip (k)), F.9c)
где (k) обозначает ковариантное дифференцирование по хк в
смысле Бервальда (гл. III, § ЗI). В частности,
Нт1 (х, х) х1 = Ki!ki (x, х) х1. F.9d)
Коммутационные формулы2), включающие тензор ЯД*,
очень похожи на формулы, выведенные в § 1 дтш тензора Ki'hk-
Читатель может легко проверить, что справедливы следующие
тождества:
H F.10)
j
или
# "к - TriH/hk - T(rH'hk. F.10a)
Согласно формулам A.17) мы имеем ,
--^г^0- F-И)
или
-JJT = TrGikh - TiGrkh> F-11 a)
/(Л)
или
\rG\kh-VnG[kh. F.11b)
¦) Определения F.2), F.4) и F.7) даны Бервальдом [2]. Соотноше-
Соотношения F.5), F.9а), F.9Ь) и F.9с) между этими тензорами кривизны и тензо-
тензорами кривизны Картана получены (в слегка отличной форме) Бервальдом
[9]. Следует отметить, что определения F.2), F.4) и F.7) могут также при-
применяться в общей геометрии путей; см. Бервальд [10, IV]. Более общо,
О. Варге [12] принадлежат формулы для разности между тензорами кри-
кривизны, получающимися из двух различных метрических связностей, опреде-
определенных на одном и том же пространстве линейных элементов.
2) Коммутационные формулы, включающие производные Картана и Бер-
Бервальда, получены Э. Девисом [1], § 1. Дальнейшие тождества, включаю-
включающие тензор F.7), выведены И спасом [1], [2]. Некоторые из этих тож-
тождеств являются обобщениями хорошо известных тождеств Веблена.
С X Рунл
162 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
В дальнейшем нам представится случай использовать неко-
некоторые тождества, которым удовлетворяет тензор ЯДд.. В дей-
действительности эти тождества являются альтернативными фор-
формами тождеств Бианки. Их можно вывести следующим обра-
образом. Во-первых, с помощью F.6) нетрудно проверить, что имеет
место тождество
//,'.. 4- Hut., 4- И К =0 (Р> 121
1' h ik \ 1' k hi \ " t kh "" VйЛ/
Во-вторых, пусть Т(х, х) — произвольная непрерывно диффе-
дифференцируемая функция координат и касательных векторов. При-
Применим к этой функции формулу F.10). После ковариантного
дифференцирования полученного выражения по х1 и учета F.11)
мы найдем
дТ„. дТ
т т . [LL г-Гг иг
1 (i)(k)(D 1 (k) (()(/) ~~ дхг ik dxr ik{iy
С помощью F.6) и C.3.9) мы можем записать это уравнение
в виде
дТ1П дТ
т т (') тт г -s и г ,',s
1 (i)(k)(l) — l(k)(i)(l) — al7^ ik — ~дкТ s ik (/) "
Далее, из F.10а) и F.6) мы имеем
d(k)
T(k)(t) и) — T(k)(i)a) = —-qTj-Hsrnxs — T(r)Hk''ц.
dT
Складывая эти тождества, получаем
T(i)(k)(i) — T(k){i)d) =
дТ,п dTlk) дТ
— L_L и r j-s SOL И r j.s и r
— дхг UsikA дхг 1JsilA дхг s
Два подобных уравнения получаются путем циклической пере-
перестановки индексов i, k, /. Сложим их с первым уравнением,
тогда после упрощения левой части остается
0 = -Q^r {Hsrik(D + Hsrn(к) + Hs kia))x +
Tfl) H r _L dT(k) И r _L бТ^ И r _J_
xr s ik * dxr s n "•" dxr s kl '
dT(k) tt r | dT{i) и г , дТЧ) и г V т (и г ,н г \,г г ч
дкт ns и + dir ns lk+-QJ-f-ns kij+l (r) (Пк il + П I Ik+Hl ki)-
Однако из соотношения F.6) очевидно, что тензор Hsrlk косо-
симметричен по индексам / и k. Поэтому второй коэффициент
при Xs в этом соотношении обращается в нуль. В силу F.12)
то же самое справедливо для коэффициента при Г(Г>. Итак, по-
поскольку дТ/дхг является полностью произвольным, мы имеем
(H/ik (/) + Hiu №) + Hsrki w)xs = 0, F.13)
§ 6. ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 163
или, с учетом F.6) и C.3.9),
HtkU) + И и т + Н km) = 0. F.13а)
Кроме того, в силу F.2) и F.5) мы можем записать
tfL** = -tfL/ = tf/ F.14)
и поэтому после умножения F.13) на х' мы найдем
Нгш-НгЦк) + НгШ1)х* = 0. F.13Ь)
Наконец, из F.11b) и F.6) следует, что
Lk{l) — U г _ Ur fi m Цг П т I Um f. r
dii' — П i ik(l) nmkUi П П1тУк jl' ™ikUm ti-
till снова еще два таких же уравнения получаются циклической
перестановкой индексов i, k, l. Складывая три получающихся
таким образом уравнения, мы после упрощения найдем
дИ\кт | dH\nk) | dHkl{i) /г, г _,_ IT Г J_ U Г \ ,
dx1 dx' dx1
+ HikGm ji + HuGtn Ik + HklGm ц.
Поэтому, дифференцируя уравнение F.13а) по х', мы получим
тождество
" f ik (I) "Г "{U (k) "Т" "{kl (i) "T"
+ H7kGmrn + HfiGJik + H?tGmr,t = 0. F.13c)
Уравнения F.13) —F.13c) являются альтернативными фор-
формами тождеств Бианки ') для тензоров ffj, Hlkj, Hг\г
Приведенные ниже следствия уравнения F.13с) окажутся
полезными в дальнейшем. Умножая F.13с) на х1 и учитывая
соотношения F.8а) и F.14), мы найдем
\Нi ik{i)-\- Иi ii{k)-\- HI ki{i))x = HkGm ji — HiGmjk. F.15)
Свертка индексов г и / даст окончательно
(H/tw + Hrru ik) + Hrrkl ,„) х = HiGrrml - H?Grrmk. F-15a)
Кроме того, полезны еще две свертки: положим
#, = #*, F.16а)
') Бе р в а л ь д [2], с. 54.
6*
164 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
причем второе равенство прямо следует из определения F.6).
Так как функции Я,- однородны первой степени по касательным
векторам, то мы имеем
Hl/xt = Hl. F.16c)
Далее, можно ввести новый скаляр Н(х, х), полагая
Этот скаляр появится в нескольких важных формулах. Напри-
Например, заметим, что ввиду F.2) и кососимметричности Kilhk no h
и k мы имеем
Щ(х,х)х1 = 0. F.18)
Дифференцируя это тождество по хк, мы найдем
дН)
так что свертка I и k согласно F.17) даст
дНг-
^J + {l)H
F.19)
-(л—1)Я = 0. F.19а)
ил
Это соотношение позволяет нам записать F.16с) в более
удобной форме. Во-первых, дифференцируя уравнение F.19а)
по х\ мы находим
д2Нг, . дНг, дН
-777-^Г* +—^ + («-1)-гт = 0. F.19b)
дх дх дх дх
Во-вторых, из F.16а), F.16Ь) и F.4) вытекает, что
И ,< Ч "'"г д2В* ),!
3 V дх1 дх' дх дх /
1 дН 1 д2Нг,
= —(п— 1)—^ гг~7*> (б-20)
где второе равенство следует из F.17) и факта однородности Я
второй степени. Из F.19Ь) мы находим, что это уравнение сво-
сводится к виду
Производя свертку в уравнении F.4) и используя соотношения
F 16а) и F.17), мы имеем также
5 7. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 165
так что окончательно
F.22)
Кроме того, из F.20) и F.19а) следует, что
H^x' = 4 (n - 1) H - i -^ x1 = (« - 1) Я. F.23)
Сравнение этого выражения с формулой F.16с) показывает,
что
Hixi = (n-\)H. F.24)
В заключение отметим, что если мы свернем индексы i, k в
F.7) и поменяем местами индексы h и / в получающемся урав-
уравнении, то после вычитания получится соотношение
Як тт к j k h к i *-л г /-^ k /"> v г~> к \
h J Ь ~"~ ** i hh Т. ~~~ '• ~\~ *~J I Ъ *~J r h ^ U Ь ^J r i ~Л—
It 1К J ПК д/l А 1 \ I R т IX (X К Т ] \
4- д°Т С к ^— Г k
Применяя F.7) еще раз, мы с помощью уравнения F.16Ь) най-
найдем, что
п ]h n hi ~~ п к hi- yj.AU)
§ 7. Пространства постоянной кривизны
Вернемся теперь к определению D.23) римановой кривизны
R(x, х, X) пространства в двумерном направлении. В точке х'
относительно двумерного направления (х, X) в этой точке кри-
кривизна R(x, х, X) задается формулой
K,,hh (x, х) х1х'гХ!'Хк
~ \8ih (х, х) glk (x, x) - gl/ (x, x) ghk (x, x)] xixhX>Xk '
В римановой геометрии этот скаляр представляет собой гаус-
гауссову кривизну двумерного геодезического подпространства, оп-
определяемого элементом (х, X). То же самое верно и для нашего
более общего случая, если принять определение гауссовой кри-
кривизны двумерного подпространства, совпадающее с тем, кото-
которое было дано Финслером ').
') Финслер [1], с. 105. Это результат О. Варги [10], с. 120. В до-
довольно простом доказательстве, основанном на скалярной форме уравнений
девиаций геодезических для п. = 2, используется соприкасающаяся риманова
метрика. См. гл. V, § 6.
166 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Следуя Сингу1), назовем точку из Fn, в которой кривизна
R(x, х, К) не зависит от выбора X', изотропной точкой простран-
пространства Fn. Соответствующее значение R(x, х, X) мы будем обо-
обозначать через R(x, х). Вследствие однородности нулевой сте-
степени тензора кривизны и метрических тензоров, входящих в
G.1), мы можем заменить х' на единичные векторы I1 в направ-
направлении х'. Поэтому ясно, что если точка х' изотропная, то из
G.1) следует, что в этой точке (для любого X') мы должны
иметь
{R (х, х) (glk (х, х) - 1,1к) - К„м (х, х) /'/*} X!Xk = 0.
Далее, поскольку коэффициенты перед X'Xk по предположению
не зависят от X', то
2R (х, х) {glk (х, х) - 1,1к) - [Kmk (х, х) + KtkHi (х. *)] № = 0. G.2)
Однако из B.27а) и A.3.5) мы имеем
[Kim (х, х) - Кш, (х, х)] /'/* = CwKrlihx44h.
Правая часть этого выражения обращается в нуль вследствие
кососимметричности Krlm no i и h, и поэтому после переста-
перестановки индексов мы найдем
Условие G.2) сводится к
R (х, х) (gjk (х, х) - l,lk) = Kim (x, х) Н\ G.3)
или
R (х, х) (Ык - lkV) = Ktlhk (x, х) /'/*. G.3а)
Из этого уравнения мы теперь можем легко получить соот-
соответствующее значение функции R(x, x). Определяя, как и в
римановой геометрии, тензор Кш путем свертки тензора кри-
кривизны
Кш (х, х) = Ki'hi (x, х), G.4)
мы из G.3а) после свертки k и / получим
К (х, X)— {п_ 1} Лш\х, Х)и — {п_ Х) р2 (х> Л). G.5)
Таким образом, равенство G.3а) с функцией R, задаваемой
выражением G.5), является необходимым условием того, чтобы
') Синг и Шильд [1], с. 111. Соответствующее определение в рима-
римановой геометрии требует, чтобы кривизна R(x, х, X) не зависела как от Д
так и от X', однако ясно, что для финслеровых пространств нам следует при-
принять определение, данное выше. Бервальд [10, IV], с. 774, называет фин-
слеровы пространства, в которых каждая точка изотропна, «пространствами
Скалярной кривизны».
§ 7. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 167
пространство Fn было изотропным в точке х1. Обратно, после
подстановки G.3а) и G.5) в G.1) видно, что это условие яв-
является также п достаточным ').
Мы можем записать уравнение G.3а) в более удобной фор-
форме следующим образом. Из соотношений F.2) и F.5) мы имеем
К*'/*** = J { JTf (Kj^'x1) - -JL;
Подставим теперь G.3а) в это уравнение и выполним указан-
указанные дифференцирования, замечая при этом, что
д1? _Lfrr /71 d/' _L/A* III \
Результирующее уравнение имеет вид
*'V' = т {
V = т {IF
Из этой формы уравнения G.3а) можно теперь вывести сле-
следующие формулы, которые окажутся полезными в дальнейшем.
Вследствие того, что функция R(x, х) однородна нулевой сте-
степени по х' (уравнение G.5)), мы имеем
W = (n-l)fi. G.7а)
Поэтому в силу C.2.12) справедливы
(*Л*Ю'),, = *,/(«2-'Л G.7Ь)
(/СЛА/ГО|Й = («-I)/?,*- G.7с)
В частности, из G.7Ь) следует, что
(Krhsklrnih = Rlk-Rlhlhlk. G.7d)
Мы теперь в состоянии установить следующее обобщение
теоремы Шура римановой геометрии2): если финслерово про-
') Легко проверить, что каждое двумерное финслерово пространство изо-
изотропно (хотя в довольно тривиальном смысле). Этот результат немедленно
следует из определения G.1), поскольку в пространстве двух измерений про-
произвольный вектор X' может быть представлен в виде X1 = Я|' + щ' (§ 5) и
после подстановки в G.1) мы находим, что правая сторона не зависит от Л
и ц. Поэтому в оставшейся части настоящего параграфа мы будем предпола-
предполагать п > 2, если не оговорено противное.
2) В сущности, эта теорема принадлежит Бервальду [10, IV], с. 778.
Она была установлена Бервальдом в терминах его тензоров кривизны (§ 6)
и получающихся из них скаляров; однако ввиду соотношений F.2) — F,6)
теорема Бервальда эквивалентна установленной выше.
168 гл. iv. теория кривизны
странство Fn (с п > 2) изотропно в каждой точке области и
если скаляр R(x, х), определенный уравнением G.5), не зави-
зависит от аргументов х1, то риманова кривизна постоянна в этой
области.
Для того чтобы доказать эту теорему, заметим, что в силу
B.8) справедливо
Р{п (х, х) V = А{г |,/',
так что если мы умножим тождества Бианки C.3) на /' и учтем
A.34а) и C.2.12), то
( VkH I / + Kr\l , * + *Л* I н) [Г + (\'т | ЛгЯ« + \'т , ЛЛ* +
Свернем в этом уравнении индексы / и h, умножая одновре-
одновременно на lk. Используя B.1) и C.2.4а), мы после подходящей
перемены индексов найдем
(к h — к h к h \ lris _i_
V^rsh\k 'Krsk\h Ixrkh\s)lL ~l~
+ (Wn i /Л - Am, pCrt)'W = 0- G-9)
Подставим в это соотношение уравнения G.6) — G.7d), после
некоторых упрощений оно сводится к виду
или, окончательно,
В соответствии с предположениями теоремы будем считать,
что R является функцией только от точек пространства, т. е.
R 0
Уравнение G.10) принимает вид
*,* = *,//*•
и после его дифференцирования по хн мы получим
я, / Щ -1%) К + v {ghk - у,)} = о
или, используя G.10а),
§ 7. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 169
Еще раз принимая во внимание G.10аI), мы приходим к вы-
выводу, что R\k = 0, и это доказывает сформулированную выше
теорему.
Достоин упоминания также и следующий факт2): если тен-
тензор кривизны финслерова пространства Fn (n > 2) удовлетво-
удовлетворяет соотношению
то скаляр R (х, х) является константой. Действительно, если
мы умножим это условие на lk, то получим уравнение G.3а),
так что G.11) является достаточным условием изотропности
пространства. Далее, сравнивая G.11) с G.6), мы при этих
условиях находим
dik (A- — no— dii {bk — / lk),
или
(.-»¦?-».
Итак, удовлетворяются условия обобщенной теоремы Шура,
а отсюда немедленно вытекает наше утверждение.
В этой связи интересно заметить, что если R(x, x) не зави-
зависит от направлений, то дифференцирование уравнения G.6)
по х1 после некоторого упрощения дает
так что из F.5) и F.6) мы имеем
Him = R (gijgik — gikgn)- G.6a)
Это уравнение является аналогом соотношения, характеризую-
характеризующего изотропную точку в римановой геометрии3), при условии,
что мы рассматриваем тензор, определяемый уравнением F.7)
(а не тензоры Kihkj или Rihkj), как естественное обобщение тен-
тензора кривизны римановой геометрии. Снова, полагая
Н ш — H^kr,
мы из G.6а) получаем, что при этих условиях
Hik = (n-l)Rglk. G.6b)
Из обобщенной теоремы Шура следует, что финслеровы про-
') Заметим, что коэффициент при Rul' равен Fd2Fldxhdxk и не может об-
обращаться в нуль для всех значений h, k в силу условия С (гл. I, § 1).
2) Бервальд [10, IV].
3) Синг и Шильд [1], с. 112. Для двумерного случая финслеровой
геометрии см. Моор [2], с. 7.
170 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
странства Fn (с п > 2) постоянной кривизны удовлетворяют
уравнениям G.6а) или G.6Ь).
Изотропные финслеровы пространства могут также харак-
характеризоваться свойствами векторов, параллельно переносимых
по бесконечно малым замкнутым кривым. Так как эти свой-
свойства довольно громоздкие, мы отсылаем читателя за подробно-
подробностями к книге О. Варги ').
Более специальные случаи возникают при обращении в нуль
определенных функций, включающих тензор кривизны K/'hk-
Заметим, во-первых, что в силу A.34) тензор Rj'hk обращается
в нуль, когда обращается в нуль тензор Ki'nn- Обратное тоже
верно, поскольку вследствие A.34а) мы можем записать A.34)
в виде
К/нк (х, х) = /?ДЙ (х, х) - C>mRrnhk (х, х)хг.
Во-вторых, из F.2) и F.5) следует, что тензоры Бервальда
H'k, H)k обращаются в нуль вместе с K/'hk, однако из F.9Ь)
мы видим, что в общем случае Я/,'/* обращается в нуль, только
если K/'iik обращается в нуль для всех аргументов х'. Обрат-
Обратное, разумеется, не обязано выполняться2).
Рассмотрим в Fn векторное поле ?,'(хк): если это поле ста-
стационарно, т. е. если оно удовлетворяет дифференциальным
уравнениям
llk = -$r+nlk(x,t)th = O, G.12)
то должны удовлетворяться следующие условия интегрируе-
интегрируемости:
¦Лг (IT, (x, I) t) - -/г (П'т (х, 1) f) = О.
дх дхК
Принимая во внимание G.12) и определение A.7), легко
видеть, что это условие сводится к виду 3)
l'K,'hk(x,l) = 0. G.13)
Следовательно, это условие является достаточным для су-
существования векторного поля Ь,1(хк), стационарного относи-
относительно самого себя (в смысле уравнения G.12L)). Более того,
') О. Варга [9], с. 154—155.
2) Бервальд [9], § 2.
3) Этот результат можно было бы, конечно, предвидеть в свете п. 3 § 1
(см., в частности, уравнение A.44)) Тем не менее идущее дальше в тексте
подробное обсуждение поможет читателю более глубоко проникнуть в струк-
структуру финслеровых пространств.
4) Этот же результат был получен О. В а р г о й [7], с. 375. В действитель-
действительности Варга показал, что если построить тензор gi,(x) = gi,(x,%) и рассмо-
рассмотреть его как метрический тензор неевклидова пространства с кривизной k.
§ 7. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 1 71
«параллельный перенос» вектора X' относительно поля \k, оп-
определяемый уравнениями
дХ> = - П\ (х, I) Xh или dt = - П\ (х, I) Xhdx\ G.14)
дх
является интегрируемым, если
?) = 0. G.15)
Действительно, условия интегрируемости для G.14) снова могут
быть сведены к виду
X'K/nk (х, I) = 0.
Предполагая, что G.15) удовлетворяется для стационарного
векторного поля \1{хи), можно показать, что существуют коор-
координатные системы, в которых ГТй(х, g) обращаются в нуль.
Это можно сделать следующим образом: в данной точке Р из
Fn выберем п произвольных линейно независимых векторов
Х\а) (а — 1, •••. п). Пусть эти векторы переносятся парал-
параллельно относительно поля \и согласно определению G.14).
Тогда наши предположения определят п векторов Х\а) в каж-
каждой точке окрестности точки Р и по непрерывности эти векторы
будут оставаться линейно независимыми в этой окрестности1).
Определим теперь специальную координатную систему ха, по-
полагая в каждой точке этой области
G.16)
Заметим, что соответствующие условия интегрируемости, т. е.
(
удовлетворены, поскольку в силу G.14) и G.16) мы имеем
дХ1ы _ дХ\а) dxk _ Г.{ , , А k
то должны выполняться соотношения
Эти уравнения вместе с G.13) представляют собой необходимые и достаточ-
достаточные условия того, чтобы финслерово пространство являлось обобщенным не-
неевклидовым пространством (в смысле, указанном выше).
') Х\а\ могут быть выбраны так, чтобы в точке Р удовлетворять соотно-
соотношению
172 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
так что левая часть симметрична по а и р. Так как общий за-
закон преобразования B.4.6а) для П'й имеет вид
r'v <* t\ дхУ ( d2*' i r*i iv r\ дх" дхкЛ
1 aY|3 (X, |) = —j I a в + lh k(X,l) —— —g- I,
дх' \ дх дхр дх дхр J
то из соотношений G.16) и G.17) следует, что FaVp (х, ?) = 0.
В действительности, можно пойти и дальше. В самом деле, из
C.1.22) мы заключаем, что Га^р = 0 и поэтому на основании
C.1.7) справедливо
°
Принимая во внимание A.3.2), мы видим, что это равенство
приводит к уравнениям
^^ = 0 . G.18)
в специальной координатной системе G.16). Если бы это урав-
уравнение было справедливым в какой-либо одной координатной
системе для всех направлений |, то пространство было бы про-
пространством Минковского. В то же время, если условие G.15)
выполняется для всех направлений |' в каждой точке из Fn, то
это не обязательно ведет к указанному частному случаю. Дей-
Действительно, предположим, что существует другое векторное
поле ц'(хк), стационарное относительно самого себя, причем
K/'hk(x, v\) =0. Как и раньше, мы можем показать, что суще-
существуют координатные системы (ха) (а = 1, ..., га), в которых
др{х, ц}/дха = 0, однако такая координатная система не долж-
должна обязательно совпадать с системой (ха). Даже если в точке Р
выбран тот же самый начальный набор векторов Х\а), поля
Х\а), Х\а), вообще говоря, будут отличаться в точках, отличных
от Р, так как их построение (по уравнению G.14)) включает
коэффициенты Y*hk (x, ?) и T'hk (x, г\) соответственно. Эти поля
будут, однако, совпадать, если коэффициенты Т*нк не зависят от
направления, причем из C.3.14) видно, что это условие будет
удовлетворяться, если С^к\г—0. Мы, следовательно, имеем
теорему1): финслерово пространство является пространством
Минковского, если тензоры Kj'hk (или /?Да) и Ch'k\r (или Ah'kir)
тождественно равны нулю. Ясно, что аналогичная теорема спра-
справедлива и для тензора кривизны Бервальда: финслерово про-
') К ар тан [1], с. 39, где этот результат приведен без доказательства.
Построение координатной системы G.16), ведущее к уравнениям G.18), при-
принадлежит Рунду [5], с. 101, однако в этой работе ошибочно предполагалось,
что G.15) является достаточным условием для того, чтобы пространство было
пространством Минковского. См. также О. Варга [1], с. 161; Вагнер
[13], с. 126.
§ 7. ПРОСТРАНСТВА ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 1 73
странство является пространством Минковского, если тензоры
Hj'hk и Gjlhk тождественно равны нулю ').
Прежде2) чем закончить настоящий параграф, мы обсудим
один вопрос, тесно связанный с возможными приложениями в
общей теории относительности. Как хорошо известно, в рима-
новой геометрии свертка тождеств Бианки дает соотношение,
утверждающее равенство нулю ковариантной дивергенции от
так называемого тензора Эйнштейна. Рассмотрим возможность
аналогичного построения в финслеровой геометрии.
Структура тождеств Бланки C.2) указывает, что в общем
случае этой аналогии нет: это с очевидностью следует из слож-
сложной структуры членов, содержащих производные от коэффи-
коэффициентов связности. Если, однако, пространство имеет постоян-
постоянную кривизну, т. е. справедливо уравнение G.11) с R — const,
то действительно существует тензор, дивергенция которого'об-
которого'обращается в нуль вследствие тождеств Бианки. Этот тензор об-
образуется из тензоров кривизны A.7) и A-25) и включает в себя
следующие свертки:
Кы = Кн,1, K = ghlKhi G.19)
Sv^S^t, S = ghlSh!. G.20)
Чтобы получить выражение для этого тензора, мы должны
прежде всего выяснить структуру тождеств Бианки C.2) для
случая пространства постоянной кривизны. Подставляя G.11),
мы имеем
дту, дту,
и, следовательно,
') Уравнения C.3.8а) и C.3.14) показывают, что условие Ah'i u = 0 вле-
влечет за собой Gh'jk = 0. Обратное также верно, как можно показать, расписы-
расписывая выражения Gh'jk через Л/* и их различные производные (Бервальд
[9], уравнение A1)).
2) Текст, начинающийся с этого абзаца и заканчивающийся формулой
G.29), вставлен в русский перевод автором книги по просьбе переводчика.—
Прим. перев.
174 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Однако из A.30) вытекает, что в общем случае справедливо со-
соотношение
dxh дкк
ЛД + Г \А\Л/" + А\А,тк, г
= ЛД | * - ЛД | „ + Г \Ат\, ГЛ/"Л + Ат\А,т
Л1 л t \ f ! Л I Л т Л i Л т
л i л т л i
1 л t \ f ! Л I Л Л i Л т 1
h\k — Л1 k\h +' \AmhAi k—AmkAl h\\r
= Aiih\k~A,ik\h + rS,ihkU, G.22)
где на последнем этапе мы воспользовались определением A.25).
Подставим это соотношение в G.21), а получающийся резуль-
результат в свою очередь подставим в C.2). Тогда мы найдем, что
К и jit I h + KukhM ~Ь Kiihi I k + /? Uk (Anii I / —
— Ank\j) + li(Ai[k\h — Ailh\k) +
/1 s + lhSulk | s + l,Sllkh i s)] = 0. G.23)
Соотношение G.23) представляет собой тождество Бианки для
пространства постоянной кривизны.
Умножим соотношение G.23) на glkgi!. Коэффициенты при
R, не содержащие тензора S,/&/, обратятся в нуль в силу
i I и ~ gi!At,,) = 0.
Аналогично, вследствие тождества /'5iftfe;is=0 останется только
один содержащий Su/k член, а именно:
gl!gl%Siiik! / = lhgi!Sikik i / = l^'St,, f = lhS, /,
где на последних двух шагах мы воспользовались обозначением
G.20). В результате эта операция сводит содержащие R члены
к виду
' l G.24)
Что касается двух первых членов в левой части G.23), то с по-
помощью G.19) мы находим
g'kgil (/С,„* i * + Кинь I д = gi!Ku I * + g'^tun i, =
= К i h - gi!Kih i / = Ш - gi!Kih) i /• G.25)
Чтобы упростить третий член, еще раз применим условие G.11),
на этот раз к тождеству B.10). Тогда
Ким == ~ Ким ~ 2^ {ihAui — ijAuf,),
так что
Ktlhl I к = — Klihl I * ~ 2/? (iftA lA )
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 175
Следовательно, согласно G.19) имеют место равенства
81к8"К,ш,* = - glkKlh\k-2R (g'XAt,k) =
= -(A* + 2/?g'Vl/),/. G.26)
В силу G.23) сумма выражений G.24), G.25) и G.26) должна
обращаться в нуль, т. е.
- 2Rg%Al + RSlhU)u. = 0. G.27)
В результате мы можем определить обобщенный тензор Эйн-
Эйнштейна
Gk = gllKik - j &'нК + Rh (gi!At - j Si') . G.28)
Равенство G.27) дает следующую теорему.
Теорема1). В финслеровом пространстве Fn постоянной
кривизны с п > 2 дивергенция обобщенного тензора Эйнштейна
G'h тождественно обращается в нуль:
<Vl/ = 0. . G.29)
За дальнейшими подробностями о финслеровых пространствах постоянной
кривизны читатель отсылается к работам О. Варги [7] и [9]. Эти простран-
пространства характеризуются свойствами векторов, переносимых параллельно по бес-
бесконечно малым замкнутым кривым. Такие свойства также обсуждаются Б е р -
вальдом [1] и [10, IV].
Далее, с вопросами, рассмотренными в настоящем параграфе, связан ин-
интересный результат Бляшке [2]. «Бисектором» (который называется «Sym-
metrale») двух точек Р, Q двумерного финслерова пространства F2 называется
геометрическое место тех точек М, расстояния которых от Р и Q (измерен-
(измеренные вдоль геодезических, соединяющих М, Р и М, Q соответственно) равны.
Если это геометрическое место точек является геодезической' пространства h\,
то метрическая функция пространства F2 должна быть метрической функцией
риманова пространства постоянной кривизны.
О. Варга [14] и [5] описывает финслеровы пространства, обладающие
дальним параллелизмом линейных элементов. Наконец, Уолкером [1] по-
показано, что вполне симметричные финслеровы пространства2) являются ри-
мановыми пространствами постоянной кривизны.
§ 8. Проективные тензоры кривизны
В этом параграфе мы рассмотрим так называемые «проек-
«проективные» преобразования, которые приведут нас к различным
') Рунд [17]. Соответствующий вопрос для финслеровых пространств
скалярной кривизны обсуждается в статье С и б а т ы [2].
2) Говорят, что пространство обладает сферической симметрией относи-
относительно точки Р, если существует такая координатная система х\ что Р =
= @, ..., 0) и пространство выдерживает любые однородные ортогональные
преобразования этой системы, т. е. если произвольная структура на этом про-
пространстве (метрика, пути и т. д.) переходит в себя при любом таком ортого-
ортогональном преобразовании. Термин «вполне симметричное пространство» пред-
предполагает сферическую симметрию относительно каждой точки.
176 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
проективным тензорам кривизны. Строго говоря, эта тема об-
образует самостоятельный раздел общей геометрии путей (гл. III,
§ 3), и именно в связи с ней эти понятия были первоначально
введены; однако, как мы увидим в дальнейшем, проективные
тензоры кривизны играют важную роль в исследовании спе-
специальных классов финслеровых пространств. Несмотря на то,
что изложение в двух первых частях этого параграфа основано
на общей геометрии путей, читатель может легко перевести его
на язык собственно финслеровой геометрии, рассматривая пути
как геодезические.
1. Обобщенный тензор Вейля. Предположим, что в общем
пространстве путей дифференциальные уравнения путей по от-
отношению к некоторому специальному параметру s имеют вид
-^ + 20'(*,*') = 0 (*" = -g-). (8.1)
С помощью уравнений F.3), F.4) и F.6) мы можем опреде-
определить тензоры кривизны Н\, H)k, Hh jk, отвечающие функциям
G', причем эти тензоры можно построить, даже если мы не пред-
предполагаем существования метрики. По этой причине мы будем
придерживаться наших предыдущих обозначений, имея в виду
возможность применения полученных ниже результатов к ме-
метрическим пространствам.
Ясно, что если подвергнуть уравнение (8.1) произвольному
преобразованию его параметра s: t = t(s), где dt/ds > 0, то
вид уравнения (8.1) в общем случае не сохранится. Действи-
Действительно, обозначая дифференцирование по t, как обычно, точкой,
мы найдем, что дифференциальные уравнения путей примут
вид
*' + 2G'(*,¦*) _ xk + 2Gk(x,x) , .
-, — -г (I, R, — I, . . ., П). @.Z)
X1 Xя
Очевидно, что эти уравнения останутся неизменными, если мы
заменим функции G'(x, х) новыми функциями 0'{х, х), кото-
которые определяются равенством
&{х, x) = Gl{x, х)-Р(х, х)х\ (8.3)
где Р(х, х)—произвольная скалярная функция, положительно
однородная первой степени по к1. Ясно, что это соотношение
представляет собой наиболее общее изменение функции G',
оставляющее неизменными уравнения (8.2). Используя терми-
терминологию ограниченной геометрии путей, мы будем называть
(8.3) проективным преобразованием функций G'. Уравнения
(8.3) могут альтернативно рассматриваться как задающие отоб-
отображение ') двух пространств путей, характеризуемых функция-
') См. также К н е б е л ь м а н [1], с. 534.
§8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 177
ми G' и G' соответственно (причем соответствующие линейные
элементы обозначаются теми же самыми координатами (х\ х')).
Специальные параметры s и s уравнений (8.1) связаны соотно-
соотношением ')
s = А + В \ е- 2 S p {x- dx!ds) ds ds, (8.3a)
где А и В — произвольные константы.
По аналогии с F.3) определим тензор кривизны H'k по но-
новым функциям Gh'k'-
f^ §f,. (8.4)
OX OX и Х О К
Из (8.3) мы найдем
— Г ;' — -^- й' — —
После подстановки этих и аналогичных выражений в (8.4) мы
можем упростить результирующее соотношение, причем боль-
большинство этих упрощений является следствием свойств однород-
однородности функций G' (второй степени) и функции Р (первой сте-
степени). Останется
dxk dxkdxh ^ дхкдх1
dxR дх дх" ) \ дх дх1
Составив ковариантные производные (—г) хн и Рщ, мы мо-
V дх" J(h)
жем записать это уравнение в тензорной форме
bUPWxh + P2). (8.7)
Аналогичным образом может быть вычислено изменение
тензора H{k при проективном преобразовании (8.3). Если мы
продифференцируем выражение (8.6) по xh и поменяем ме-
местами индексы h и k, то, вычитая полученные таким образом
') Это легко проверяется следующим образом. Предположим, что мы на-
нашли такой параметр s, что пути (определяемые функциями С) представ-
представляются уравнением (8.1). Если мы совершим преобразование параметра s =
= s(s) вместе с проективным преобразованием (8.3), то
ds ) J \ ds ) ds \ \ ds J ds [ ds2 J
Это уравнение сводится к виду (8.1), если правая часть равна нулю. Таким
образом, получается дифференциальное уравнение для s как функции от s.
Ясно, что (8.3а) является его наиболее общим решением,
178 гл- IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
соотношения и используя F.4), мы найдем, что
57 и! xl Г дР ЭР dGl дР\,
V дх" дх дх" дх )
д2Р д2Р да1 д2Р dGl\ ,. .
dxkdxh + dxkdxl dxh dxhdxl дхЧ' { '
Как и ранее, это соотношение может быть записано в тензорной
форме
^HL-bl (р{к) + р j
'|Y*V) (JZ) 1 (8.7b)
(h)
Применим к равенству (8.6) операцию свертки и разделим
полученное выражение на п—1. Тогда в силу F.17) мы най-
найдем
TGx
дх1 дх'
ИЛИ
Н = Я + Ртхн + Р2. (8.8)
Сопоставляя соотношения (8.7) и (8.8), мы видим, что
Й'ь-Нб'ь^Н'ь-Нб'ь + х'К-^) х'1-2Рш-Р^'\. (8.9)
1Л дх" J(h) дх" J
Продифференцируем это уравнение по хг и затем свернем по г
и /. Замечая, что выражение в квадратных скобках однородно
первой степени, мы видим, что указанная процедура просто
воспроизводит это выражение (п + \) раз, так что
Используя это уравнение, можно исключить выражение в квад*
ратных скобках в (8.9). В результате мы получим
§ 8 ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 179
Следовательно, тензор, определяемый равенством ')
/ i N
j^| — //^ //5^ I » ? 1л:', (8 10)
п + 1 \ дх' dxk )
инвариантен относительно проективного преобразования (8.3)
и поэтому может рассматриваться как проективный тензор де-
девиаций (являясь аналогом тензора Н[ в уравнениях F.1) де-
девиаций геодезических).
Если мы свернем (8.10) по / и k, принимая во внимание од-
однородность второй степени функций Н, Н[, мы с помощью F.17)
и (G.19а) получим
W\ = {n— \)H — nH + IL=r\-H-] ~Н = 0. (8.11)
1 у ' ' га + 1 ' га + 1 v/
Из (8.10), F.18) и F.19а) аналогично следует, что
W{xk = 0, fR. 12)
откуда дифференцированием по хн мы выводийучто
Ук — \wi (Я, 1 9як
Если мы продифференцируем (8.10) по хн и затем свернем по-
полученное выражение по / и h, то после некоторого упрощения
найдем
^f = 0. (8.12b)
Из тензора (8.10) можно получить другие проективные тен-
тензоры кривизны, применяя метод, использованный в § 6 для из-
изучения тензора кривизны Бервальда. Во-первых, по аналогии
с F.4) запишем
и, во-вторых, следуя F.6), положим
^-^^J- (8Л4)
Существенно, что эти тензоры аналитически выражаются
как функции от тензора Н) и ассоциированных тензоров. Чтобы
найти соответствующее выражение для тензора (8.13), под-
1) W'k и ассоциированные тензоры были определены таким способом Б е р -
в а л ь д о м [10, IV].
180 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
ставим (8.10) в правую сторону и выполним указанные диффе-
дифференцирования. Применяя к полученному результату соотноше-
соотношения F.4) и F.6), мы после небольшого упрощения найдем
3 (n + I) {. \ дх" дх / V дх
Производные от //J. по векторам можно исключить с помощью
F.21): тогда записанное выше выражение сведется к
*' ' Ь{ ( дН
ядЛ + M
п + 1 п + 1 \ дх
Однако из F.24) и F.16Ь) видно, что
(п-\)-^~ = Нк + х1НЬ1. (8.15)
Исключая с помощью этого уравнения производные от Н по
векторам в предыдущем уравнении, мы получим искомое вы-
выражение
(8.16)
С помощью F.25) получается альтернативная форма выраже-
выражения (8.16):
L L ^ (н,л - нш) + ^j (пнк + xrHkr) -
^+xrHhr). (8.16a)
Тензор (8.14) находится дифференцированием этого выра-
выражения по к1. После подстановки в результирующее выражение
соотношений F.6) и F.16Ь) мы найдем
W/hk = Я Д* + ^у (Я« - HQ +
7ТТ (# SF) + T\ \nHik + Hki
~T~\ \
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 1 81
Формула (8.17) представляет собой обобщение тензора, вве-
введенного Вейлем в ограниченной геометрии путей.
Отметим, что проективные тензоры кривизны удовлетворяют
следующим простым тождествам. Замечая, что W) однороден
второй степени по своим аргументам направлений, мы из (8.13)
и (8.12а) выводим, что
(^AW[, (8.18)
dxR
так что в силу (8.14)
Wi'mx'^wL Wlfhkxix" = Wi (8.18a)
Далее, дифференцирование выражения (8.12а) дает
\ %h _ dW[
г-Л '¦ '
дх1дхк дх1 дхк '
и, следовательно, из (8.14) и (8.13) мы имеем
, и 2 dWl I dW{ dWL
(8Л9)
Уравнения (8.13), (8.14), (8.18) и (8.18а) показывают, что
если один из этих трех тензоров W), W)k, ^\ ш тождественно
равен нулю, то два других также равны нулю. Кроме того,
в силу (8.11) и (8.12Ь) из уравнений (8.13) и (8.14) следует,
что
Wrhr = 0, Wi\r = 0. (8.20)
2. Проективная связность. Для проективной теории путей
фундаментальное значение имеет набор коэффициентов связно-
связности, инвариантных относительно проективного преобразования
(8.3). Эти коэффициенты легко выводятся следующим обра-
образом. Замечая еще раз, что функции Р(х, х) в (8.3) однородны
первой степени по своим аргументам направлений, мы видим,
что свертка индексов /иАв уравнении (8.5) дает
S (8.21)
G/z G//(/*+l)S
дх
Дифференцируя это соотношение по xk, мы найдем
Grrik = Grrlk-{n+\).-^. (8.21а)
дх дх
182 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
С помощью этих уравнений можно исключить производные
дР/дх1 и д2Р/дх1дхк из (8.5), получая при этом
Gk'i = Gk'i - ^rj Ы (G/fc - G/0 + б[ (G/, - Grrt) ] -
X
In r r r \
\{>r Ik — <Jr Ik)-
n
Следовательно, величины, определяемые равенством
Ш1! = ОЛ - ^ТТ №''* + 6^1 + ^°гГЛ (8.22)
инвариантны относительно проективного преобразования (8.3)
и в силу этого не зависят от параметризации путей ').
Эти величины известны как проективные коэффициенты
связности, поскольку они определяют проективную коварианг-
ную производную таким же способом, каким Ghfk приводят к ко-
вариантной производной. Тем не менее, как и в ограниченной
геометрии путей, проективные ковариантные производные тен-
тензора, вообще говоря, не являются тензорами2). Нетрудно, од-
однако, показать, что каждый дифференциальный инвариант,
остающийся инвариантным при проективном преобразовании
(8.3), выражается в терминах ГЦ'/ и их производных3).
Дифференцируя (8.22) по х\ мы получим
WO/** + b'kG/tH + tiG/ik] - j^j G/ikk- (8.23)
Ясно, что это выражение представляет собой тензор, инвариант-
инвариантный относительно проективного преобразования (8.3).
В ограниченной геометрии путей, которая характеризуется
существованием такой параметризации, что Gkhh = 0, тензор
(8.23) тождественно равен нулю. Обратное также верно, как
мы сейчас покажем. Дифференцируя (8.5) по хн, мы находим
bkih— kih— I djchdjck — k gihgkl h dxk дх1 ~ Х 'дх1Гдх1Гдх1'
(8.24)
') Дуглас [1], с. 156.
2) Это верно даже в ограниченной геометрии путей (ср. Эйзенхарт
[2], с. 101), поскольку закон преобразования коэффициентов Щ'/, определяе-
определяемых формулой (8.22), такой же, как и в ограниченной теории. Это непосред-
непосредственно видно, если заметить, что определение проективных коэффициентов
связности в ограниченной теории формально совпадает с определением
(8.22), за исключением того, что в нем отсутствует последний член в правой
части, причем этот член является тензором.
3) Дуглас [1], § 7.
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ
Выберем теперь специальное проективное преобразование (8.3),
в котором функция Р удовлетворяет соотношению
P = -L-Grrsxs или -^-«-L-GrV (8.25)
п + 1 дх дх п + 1
Если мы подставим (8.25) в правую часть выражения (8.24),
то она совпадает с правой частью (8.23), т. е. при проективном
преобразовании, определяемом равенством (8.25), справедливо
Bk lh — Gk lh-
Следовательно, если Bkiih — 0, то существует параметризация
путей, для которой тензор Gkhh равен нулю.
Мы можем суммировать эти результаты следующим обра-
образом.
Теорема. Необходимое и достаточное условие того, чтобы
общее пространство путей сводилось проективным преобразо-
преобразованием (8.3) к пространству путей ограниченного типа, состоит
в том, чтобы тензор Bkhh тождественно обращался в нуль.
Отметим попутно, что по отношению к каждой координат-
координатной системе (х') существует так называемый проективный па-
параметр t(X), определяемый с точностью до невырожденного ли-
линейного преобразования, такой, что коэффициенты Gk't, опре-
определяемые этим параметром, равны ПУ/, задаваемым формулой
(8.22). Действительно, после подстановки (8.25) в (8.5) мы по-
получаем
оУ, = сЛ - ^гу (ate/* + $0/,) - 1^гт Grrlk.
Сравнение с (8.22) показывает, что Gk!t = Щ'* для этой спе-
специальной параметризации ').
3. Проективно плоские пространства; пространства с прямо-
прямолинейными геодезическими. Общее пространство путей назы-
называется проективно плоским, если существует координатная си-
система, в которой пути могут быть представлены системой из
(п— 1) линейных уравнений. Если пространство является к тому
же метрическим (причем пути являются геодезическими), то
оно называется пространством с прямолинейными геодезиче-
геодезическими.
Фундаментальное значение тензоров Wk'ih и Bkhh иллюстри-
иллюстрирует следующая
Теорема2). Необходимое и достаточное условие того, что-
чтобы общее п-мерное пространство путей было проективно пло-
') Дуглас [1], §§5-6.
2) Для п >¦ 2 эта теорема доказана Дугласом [1], с. 162. Случай
п = 2 рассматривался Берва льдом [10, Ш], §§ 9—10. См. также Ф у н к
[2] — [4] и Виртингер [1],
184 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
скин, состоит в том, чтобы удовлетворялись уравнения
BkiUl = 0, Wk'lh = 0 при п>2, (8.26)
тогда как для п — 2 второе из этих уравнений должно быть за-
заменено на
Hihii))xh = Q. (8.27)
Доказательство. В настоящем параграфе мы будем
иметь дело только со случаем п > 2, поскольку 2-мерные финс-
леровы пространства подробно рассматриваются в гл. VI, § 6.
Как мы видели, из первого условия (8.26) следует, что общее
пространство путей является пространством ограниченного
типа. При этом тензор Wu'ih сводится к хорошо известному тен-
тензору Вейля. Требуемое утверждение следует теперь из класси-
классической теоремы '), согласно которой необходимое и достаточное
условие того, чтобы пространство с аффинной связностью было
проективно плоским, состоит в равенстве нулю тензора Вейля.
Значение обобщенного тензора Вейля еще более рельефно
иллюстрирует следующая
Теорема2). Для того чтобы общее пространство путей
размерности п > 2 могло быть отображено проективным пре-
преобразованием на общее пространство путей нулевой кривизны
{Hi'hk = 0), необходимо и достаточно, чтобы
W) = 0, (8.28)
тогда как при п = 2 должны удовлетворяться уравнения (8.27).
Доказательство. Положим
Qk = Pw + P-%p?- (8.29)
Тогда согласно F.11) мы имеем
Подставляя эти два соотношения в формулу (8.7Ь), мы видим,
что она может быть записана в виде
HL = HL + 6iQ, - b[Qk - х!' (^l - ^) . (8.30)
V дх дхК /
Таким образом, для того чтобы было возможно найти про-
проективное преобразование (8.3), для которого Н[к равен нулю,
должен, во-первых, существовать вектор Qh, удовлетворяющий
') За доказательством этой теоремы из ограниченной геометрии путей мы
отсылаем читателя к Э й з е н х а р т у [2], с. 96.
2) Бервальд [10, IV], с. 767. См. также гл. VI, § 6.
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 185
соотношению
(8.31)
и, во-вторых, должна существовать скалярная функция Р(х, х),
однородная первой степени по своим аргументам направлений,
удовлетворяющая уравнению (8.29). Условия интегрируемости
для системы уравнений (8.29) имеют вид
Qk (h) — Qh (k) = P(k) (ft) — P(h) (k) +
Согласно F.10) и (8.29а) эти уравнения эквивалентны
Qk № — Qh (k) =
dP , dP dP / dQh DQb \
= - —r Hlkh + P{h) —^ - Pm -JP + P ( -f| - IT )=
дх дхх дх \ дх дх /
второе равенство получается после применения (8.29). Однако,
если мы подставим (8.31) в правую часть, то искомое условие
интегриуемости сведется к
Яш ~ Qh(k) = 0. (8.32)
Если мы проведем свертку по индексам / и k в уравнении
(8.31), замечая, что Q& положительно однородны первой сте-
степени по своим аргументам направлений в силу (8.29), то мы
получим
dQr .
Hrhr = Hh = -nQh+-~r xr. (8.33)
Следовательно, согласно F.16b)
dHh dQh dQk d2Qr r
H====n+ + * (
ИЛИ
до
Hkhxh = -n^xr + Qk. (8.33b)
Исключая из (8.33) и (8.33b) производные по касательным век-
векторам от Qr, мы получим
Из этого соотношения следует, что условия интегрируемости
(8.32) могут быть записаны в виде
) + HkrWxr) — (nHhM -f Hhr <k)xr) = 0. (8.34)
186 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Однако для я = 2 это условие сводится к уравнению (8.27):
стало быть, для этого случая мы теорему доказали. Теперь мы
должны показать, что при п > 2 уравнения (8.34) следуют из
уравнений (8.28).
Из уравнения (8.16) мы получим два новых соотношения
путем свертки индексов / и k, а также / и h. Это дает
W'hi = Hi, + -ji— Hrrik - -^~ (nf!h + xrHhr) (8.35)
и
W'lk = H\k + -~гт H/k, + 1^T {nlh + xrHkr). (8.35a)
Из (8.13) мы заключаем, что Whk кососнмметричны по h и к.
Поэтому из (8.20) следует, что левые части обоих уравнений
(8.35) и (8.35а) тождественно равны нулю. Поэтому, если мы
продифференцируем эти соотношения ковариантно по хк и х"
соответственно и сложим два получающихся таким образом
тождества, то мы найдем
0 = Ял/ и + Hjk (Л) + га^_ t ¦ (Я//л (й) + Н/
ki
Далее, свертка выражения F.13а) дает
Hh/ (k) + Hjk Ф) = — Hkh (/> = Hhk (/), • (8.37)
и в то же время из F.15а) вытекает, что
х' (H/kim + H/iw) = Н/ы^х1 - (HfG/mk ~ HfG/mh). (8.38)
Подставляя тождества (8.37), (8.38) в уравнение (8.36), мы
получим
0 = Hhk (!) + ^ j H/kh(j) — га_|_ х {HfG/mk — HfG/mh) +
ЯЛ {k)) + хг (Я*г да - Hhr („)]. (8.39)
Ковариантное дифференцирование (8.16) по Xs с последующей
сверткой по индексам / и s дает
Whk (/) = ЯЛй, (/) + я+ j H/ +
га2_ t [« (#А (Л) ~~ ^Л (ft)) + ХГ {Hkr (ft) — Hhr (k))]-
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 187
Вычтем теперь из этого соотношения равенство (8.39). Полу-
Получим
¦ U) n-)-l h ' тк к r mh>
> - H
h< <*>)
Если мы умножим уравнение (8.10) на G/тн и учтем F.8а),
то
WkG/mh = Hk Gr mh — HG/kh-
После подстановки этого выражения в (8.40) мы получаем окон-
окончательно, что (8.40) эквивалентно тождеству
№ZG'
Это доказывает теорему Бервальда: действительно, если wf об-
обращается в нуль, то обращаются в нуль также Whk и его ко-
вариантные производные и (8.41) сводится к искомому условию
интегрируемости (8.34).
Ясно, что эта теорема непосредственно применима к теории
финслеровых пространств, если мы интерпретируем пути как
геодезические; при этом при записи дифференциальных урав-
уравнений путей в виде (8.1) под параметром s должна пониматься
длина дуги.
Еще одно важное свойство обобщенного тензора Вейля уста-
устанавливается в следующей теореме.
Теорема. Обобщенный тензор Вейля тождественно обра-
обращается в нуль в изотропном финслеровом пространстве.
Доказательство. Из F.2) и G.3а) вытекает, что ус-
условие изотропности имеет вид
С помощью соотношений F.5), G.5) и F.23) скаляр R может
быть представлен в виде R = H/F2. Поэтому записанное выше
условие можно переписать как
//{«Я (в/'-/'/,). (8.42)
После дифференцирования этого уравнения по xk и последую-
последующей свертки по индексам i и k мы найдем
дНт, дН И
!f-W — {n+l)T1'-* (8-43)
188 ГЛ. IV. ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ
Подстановка (8.42) и (8.43) в определение (8.10) тензора W)
немедленно дает желаемый результат, а именно W\ = 0.
Выводом из двух последних теорем является следующая
Теорема1), п-мерное изотропное финслерово простран-
пространство (с п > 2) может быть преобразовано проективной заменой
в общее пространство путей нулевой кривизны.
Наконец, отметим, что финслеровы пространства изотроп-
изотропной кривизны образуют специальный подкласс класса финсле-
ровых пространств, у которых проективный (вейлевский) тен-
тензор кривизны тождественно равен нулю. Этот подкласс харак-
характеризуется следующим свойством.
Теорема2). Среди пространств нулевой проективной кри-
кривизны финслеровы пространства изотропной кривизны при
п > 2 характеризуются соотношениями
"Ц F ~ (Kihl4h) + (КиГ1н) h = 0. (8.44)
дхя
F рг (К\кП)Ц F
дх1 га — 1 дх
Доказательство. Уравнения G.3а) представляют со-
собой условие изотропности. Дифференцируя эти уравнения по
х1 и затем свертывая / и /, мы найдем
F -?f (Ki'^lH11) = F j^ - (n - 1) Rlk.
Далее, дифференцирование G.5) по хк дает
dR _ 1 д ,„ ,,-.м
dife га — 1 дхк
Исключая из этих соотношений dR/dxk, мы имеем
(8.45)
Заменяя выражение в правой части с помощью G.5), мы по-
получим требуемое соотношение (8.44).
Для того чтобы доказать обратное утверждение, заметим,
во-первых, что в силу F.2) и F.17) мы можем записать
H = ir^TKrlsiXrxs. (8.46)
') Бервальд [10, IV]. Для п — 2 требуются совершенно иные условия;
см. гл. VI, § 6. "
2) См. предыдущую сноску.
§ 8. ПРОЕКТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ КРИВИЗНЫ 189
Предполагая теперь, что W) = 0, мы после подстановки F.2)
и (8.46) в уравнение (8.10) найдем, что
Выполняя указанные дифференцирования н замечая, что вслед-
вследствие B.11) мы имеем
hKr\klr = 0.
мы получим
а/ о/ [I
is I iris к у i iris k js h iris г
A/sfei I — я_! Ar sit I ~ "ny_ j Ar sfti t +
F»'-"!]
Далее, предполагая дополнительно, что справедливо уравнение
(8.44), мы найдем, что записанное выше соотношение сводится
к виду
Теперь из G.4), G.5) и G.3а) следует, что при этих условиях
пространство является пространством изотропной кривизны.
В заключение мы приведем следующую таблицу1). Ее мож-
можно рассматривать как сводку наиболее важных результатов
о специальных типах финслеровых пространств (п ^2):
финслеровы пространства изотропной кривизны
I
I I
финслеровы пространства финслеровы пространства
постоянной кривизны с прямолинейными геодезическими
I I
финслеровы пространства постоянной кривизны с прямолинейными
геодезическими
I
римановы пространства постоянной кривизны
') Бервальд [10, IV], с. 756. См. также Бервальд [14]; Функ
И-[4].
Глава V
ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
В настоящей главе мы займемся изучением дифференциаль-
дифференциальной геометрии многообразий, погруженных в финслерово про-
пространство Fn- До сих пор мы успешно рассматривали два прин-
принципиально различных подхода к финслеровым пространствам
(т. е. теорию евклидовой связности, с одной стороны, и теорию,
локально основанную на свойствах пространства Минков-
ского, — с другой) с более или менее единой точки зрения. Од-
Однако в дальнейшем два этих подхода ведут к различным тео-
теориям подпространств.
В свою очередь следует отметить, что изучение подпро-
подпространств, основанное на евклидовой связности, проводилось
двумя способами. Первый метод рассмотрения, развитый глав-
главным образом Хомбу и Э. Девисом, основывается на обобщении
D-символизма ван дер Вардена и Бортолотти, который обла-
обладает высокой степенью общности. Мы посвятим этой теории
§§ 4 и 5 настоящей главы. Второй метод, развитый Бервальдом,
тесно связан с работами Финслера и Картана. Он по своему
характеру менее формален, но ограничен двумерными подпро-
подпространствами в Fz. Он излагается в § 6.
Поскольку теория гиперповерхностей и вообще подпро-
подпространств в большой степени зависит от поведения содержа-
содержащихся в них кривых, то мы начнем настоящую главу с крат-
краткого рассмотрения общей теории кривых.
§ 1. Теория кривых
Пусть С — аналитическая кривая в пространстве Fn, опре-
определяемая уравнениями
*' = *'(«). A.1)
где предполагается, что параметр s обозначает длину дуги, из-
измеряемую вдоль С от произвольно зафиксированной точки на
С. Как и раньше, из A.3.9) следует, что касательный вектор
Xfi = dx'Ids к кривой С является единичным вектором, т. е.
8„{х,х')х"х"=1. A.2)
§ 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ 1 91
Применяя к этому уравнению процесс б-дифференцирования по
s и учитывая B.5.8), мы найдем
gl,{x,rtx"^ = 0, A.3)"
так что вектор 8xn/6s нормален к касательному вектору хп к С '¦).
Единичный вектор в направлении вектора 6x"/ds называется
главной нормалью.
Для того чтобы определить кривизну кривой С в данной
точке Р(х') на С, мы рассмотрим некоторую точку Q(x' -\- Ах')
на С в окрестности точки Р. Длину дуги сегментаРB обозначим
через As. Вектор хп + Ах'1, касательный к С в точке Q, может
быть получен непосредственно из A.1) путем дифференциро-
дифференцирования. Кроме того, мы можем также построить второй вектор
х" + А*х" в точке Q, именно, путем переноса касательного век-
вектора х" в точке Р в точку Q с помощью б-параллелизма. В силу
B.3.18) и B.3.19) разность между двумя этими векторами за-
задается равенствами
Ах'1 - ДУ' = Axri + Yft't (x, x') x'h Axk. A.4)
Кроме того, легко видеть, что оба вектора хп + Ах'1, хп -f
+ А*х11 единичные. Действительно, что касается первого век-
вектора, то достаточно лишь заметить, что всюду вдоль С удовле-
удовлетворяется A.2), тогда как вариация квадрата длины второго
вектора представляется равенством
d О2 (х, х')) = 6gn (x, x') x'lx'' + 2gu (x, x') дх'1х".
Первое слагаемое в правой части этого равенства обращается
в нуль как следствие B.5.8), а второе слагаемое обращается в
нуль по определению б-параллелизма. Таким образом, согласно
определению A.7.10), угол между этими векторами в точке О
задается выражением
Аф = \&ц (х, х' + ДУ) (Ах" - А У 0 (Ах'1 - A*x")f2 A.5)
или, если мы используем альтернативное определение A.7.2)
угла,
Д9 = lgu (х, Ах' - ДV) (Ахн - А*хн) (Ах'! - ДУ')]1/2. A.5а)
Из геометрического построения очевидно, что эти углы из-
измеряют кривизну кривой С в точке Р. В евклидовой дифферен-
дифференциальной геометрии эти два угла совпадают, и кривизна кри-
кривой С определяется производной от этого угла по длине дуги.
Эта аналогия вынуждает нас теперь ввести два различных ра-
') См. гл. I, § 6.
192 гл. v. подпространства финслеровых пространств
диуса кривизны р и г в точке Р; они определяются формулами
— = hm -r- . A.6а)
r As->0 л;>
Далее ясно, что когда берется предел, то из A.4), B.3.17)
и B.3.19) следует, что
,. \х'1 - \*xri 6х/{ ,. _.
I'm г- =-ТГ- О-7)
Таким образом, из соотношений A.5), A.5а), A.6), A.6а) мы
выводим следующие выражения для двух типов кривизны:
1'2 „ оч
, A.8)
Следовательно, р~1 и г~1 представляют собой длину вектора
bxnlbs, измеряемую соответственно с помощью соприкасаю-
соприкасающейся индикатрисы (соответствующей х") или с помощью ис-
исходной индикатрисы (F = 1) в касательном пространстве Тп(Р)
в точке Р1). Как результат уравнений B.3.20) мы получаем
также, что обе кривизны р~' и г~х тождественно обращаются
в нуль, если С является геодезической пространства Рп. Обрат-
Обратное также верно, что очевидно из условия С (гл. I, § 1).
Дальнейшая простая геометрическая интерпретация риг
получается следующим образом. Пусть Г — геодезическая в Fn,
касательная к С в точке Р. Отметим точки Н и М на Г и С со-
соответственно, длины дуг которых от Р равны As. Обозначая
координаты Н и М через x'(s -f- As) и x'(s -f- As), мы имеем
х1 (S + AS) = x* (S) + x'1 (s) As + j x (s) (AsJ + ...,
и аналогично для х'. Поскольку x1 (s) = xl (s) и х" (s) = xn (s) no
построению, то
xl (s -f As) — xl (s -f As) =
') Картан [1], с. 19, определяет р с помощью этого свойства. Альтер-
Альтернативное определение A.6а) для г дано Рундом [3], гл. VI; [4], § 6. Ясно,
что A.8) представляет собой естественное определение в рамках теорий, осно-
основывающихся на опорном элементе, в то время как A.8а) диктуется метрикой
Минковского.
§ 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
193
где мы использовали уравнение B.3.19), а также тот факт, что
Г является геодезической. Если мы перейдем к пределу и обо-
обозначим длину смещения НМ через |ЯЖ|, то ')
НМ\
lim
^W ИЛИ
в зависимости от того, измеряется ли |#М| с помощью сопри-
касающей индикатрисы или с помощью индикатрисы F(x, x') =
= 1. Уравнение A.9) является обобщением хорошо известной
и полезной теоремы классической дифференциальной геоме-
геометрии.
Ковариантный дифференциал C.2.7) Картана можно ис-
использовать для вывода формул Френе для любой аналитиче-
аналитической кривой С из F). Опорный элемент определяется единич-
единичным касательным вектором к С, и поскольку для ковариант-
ного дифференциала Картана мы имеем Dgn(x, x') = О, то фор-
формулы Френе получаются формально точно так же, как
в римановой геометрии3). Поэтому было бы излишним повто-
повторять здесь этот вывод: мы ограничимся тем, что приведем конеч-
конечный результат. Запишем
¦аи — Л > Ы.Я) ?,s
и определим ортонормированный базис в точке Р относительно
хн с помощью п векторов
где
(р, q = % ¦
A. 1) ... О. р)
(р, 1) ... (р, р)
Тогда формулы Френе имеют вид
1 . . 1
A. О ... О.Р-
5A)
{р, 1) ... (р, Р-\I\Р
., П),
'«(Р)
Р(р-1)
\),
') Рунд [10, II], § 5, где та же самая конструкция вводится при не-
несколько более общих условиях, которые отвечают понятию «относительной»
кривизны (Липка [1]).
2) Тейлор [1]. Соответствующее обобщение формул Френе для б-про-
цесса громоздко и обладает небольшой практической пользой вследствие того,
что 6gn, вообще говоря, не обращаются тождественно в нуль. С точки зрения
геометрии Минковского это вполне естественно, так как понятие ортогональ-
ортогональности не является симметричным.
*) Ср., например, Синг и Шильд [1], с. 73—76; Схоутен [1],
с. 229; Эйзенхарт [1], с. 106.
7 х. Рунд
194 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
где
1 _ УДр_1Др+1 / 1 _ 1 _\
Р(р) dp VPo Р„ )'
Совершенно иной подход к проблеме определения подходя-
подходящей меры кривизны кривой принадлежит Финслеру, который
пришел к тому же инварианту без предварительных ссылок на
понятия угла или параллелизма. Действительно, пусть Р, Q —
две точки на кривой С. Обозначим длину дуги PQ на С через s.
Мы можем построить единственную геодезическую, проходя-
проходящую через точки Р, Q (при условии, что они не слишком уда-
удалены друг от друга). Пусть а — длина дуги PQ геодезической.
Тогда кривизна k кривой С в точке Р определяется следующим
образом '):
д Aim 24 (
V s-»0 V
~
¦). A.10)
Путем довольно длинного вычисления, включающего ^-функ-
^-функцию Вейерштрасса, можно показать, что A.10) эквивалентно
соотношению 2)
k2 = F-3(x, x)F.i.!(x, *)(*'_ |'Hё'-I'), A.11)
где | относится к семейству геодезических, содержащему гео-
геодезический сегмент PQ; точка означает дифференцирование по
произвольному параметру /. Если мы вернемся к параметриза-
параметризации длиной дуги, то.после применения уравнений геодезических
B.2.8) мы найдем, что
и _-t .2 Ьх'1 р& ( -\ 6*'г
ё х ~ s &s ~~ р \х' х> 6s '
и A.11) примет вид
k^F(x,x)F.l.j(x,x)^^. A.12)
После подстановки этого результата в A.1.19с) и учета A.3.1)
мы получим
k2 = gu (х, *)^Г^- gin (x> *') ё,и (x, x') x'hx'k ^- *?-.
A.13)
') Финслер [1], гл. VII, с. 59; [2], с. 5. Менгеру [1] принадлежит
определение кривизны для общих метрических пространств. Хаантьес [1]
показал, что определение Менгера совпадает с определением A.10) в про-
пространствах Минковского и даже в общих финслеровых пространствах. Б у -
земан [4], с. 172—174, принимает несколько отличное от A.10) определение
кривизны. Между ним и A.10) существует соотношение, включающее кри-
кривизну буземановской' изопериметрисы. См. Буземан [4], с. 181, а также
Б у з е м а н [8], с. 285, 286, для двумерных пространств.
2) Финслер [1], с. 64; [2], с. 5. Заметим, что выражение A.11), в от-
отличие от A.10), зависит от свойств дифференцируемости кривой С.
§ 2. ПРОЕКЦИОННЫЕ МНОЖИТЕЛИ 195
Следовательно, в силу A.3) и A.8) мы имеем k2 = р~2: таким
образом, определение A.8) совпадает с определением Финс-
лера A.10I).
Выражение A.11) принимает особенно простой вид для случая двумер-
двумерного пространства Финслера. Положив х1 = х, х2 «= у, |' = |, ?2 = fj. Под-
Подстановка в A.11) дает
Я (*, *) б2 = ^ (* - |J + 2FiS (х - I) (у - ч) + Fw ($ - iiJ.
Но из A.3.15) при я = 2 следует
и поэтому
Я (х, х) k2 = F{ (x, х) [х(у-ц)-у-{х- I)]2. A.15)
Однако поскольку производные |, ц относятся к геодезической, то они удо-
удовлетворяют вейерштрассовой форме уравнений Эйлера-Лагранжа 2)
а так как по построению | = х, г\ = у, то мы можем исключить | и ц из
A.15), получая при этом
1 1
Р
Этот инвариант появился впервые в работах Ландсберга и Ундерхилла 3)
и был назван Ландсбергом «экстремальной кривизной». Легко показать, что
если F имеет специальный вид
Я (и, v, й,Ь) = Е (и, v) и2 + 2F (и, v) йЬ + G (и, v) v2
(как в классической теории поверхностей), то k совпадает с хорошо извест-
известным выражением для геодезической кривизны.
§ 2. Проекционные множители
яг-мерное подпространство Fm пространства Fn может быть
представлено параметрически уравнениями 4)
i it ci\ /о 1 \
X X (U ), (Z. I)
где мы предполагаем, что переменные иа образуют координат-
координатную систему в Fm. Кроме того, мы будем предполагать, что
') Этого следовало ожидать, так как Финслер [1], с. 65 интерпрети-
интерпретирует k в терминах угла аналогично A.6). В гл. I, § 7 мы видели, что опре-
определяемый Финслером угол совпадает с тем, который использовал Картан.
2) Больца [1], с. 203.
3) Ландсберг [2], с. 329; Ундерхилл [1], [2]. Дальнейшее обсу-
обсуждение этого инварианта проведено Бервальдом [3], [5], [10, I], с. 38—
42, и М оо р о м [1].
4) На протяжении настоящей главы латинские индексы пробегают значе-
значения от 1 до я, греческие индексы — от 1 до т, за исключением ц, v, 0, т, ко-
которые принимают значения от т + 1 до п.
196 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
функции B.1) принадлежат классу С4. Далее, введем обозна-
обозначение
B.2)
>г дх1
ди
и предположим, что матрица этих проекционных множителей
II d' II /О Q\
||#а|| Ц -О)
имеет ранг т.
Вдоль любой координатной кривой (параметра иа) в Fm
вектор с п компонентами В1а касателен к кривой. Независимым
переменным иа отвечают т таких линейно независимых каса-
касательных к Fm векторных полей, что любой касательный к Fm
вектор линейно выражается через них1). В частности, если
dx' — бесконечно малое смещение, касательное к Fm, то из B.1)
и B.2) следует, что
dx=Badua,
где dua — бесконечно малые координатные смещения. Поэтому,
если мы обозначим компоненты касательного к Fm вектора X' по
отношению к «"-системе через Ха, то будем иметь
X1 = В1аХа. B.4)
Применим это выражение к касательному вектору х' (или йа)
к кривой С, содержащейся в Fm\ тогда
дх1
дйа
= Ва. B.4а)
Ясно, что финслерова метрика пространства Fn индуцирует
финслерову метрику на пространстве Fm. Для данной точки Р
из Fm на т векторов ?« натягивается m-мерное линейное под-
пространство Тт(Р) касательного пространства Т„(Р) к Fn в
точке Р. Это подпространство должно рассматриваться как ка-
касательное пространство к Fm в точке Р. Если F(x, x) — метри-
метрическая функция пространства Fn для направления х\ касатель-
касательного к Fm в точке Р, то из B.4) вытекает, что соответствующая
метрическая функция для Fm задается следующим выражением:
F{u\ ua) = F{xl{ua), В1айа). B.5)
Метрический тензор ga$(u,и) пространства Fm определяется
(как и для Fn) формулой
u, й) /п г: \
г- B-5а)
') Строго говоря, это утверждение является определением понятия «ка-
сательности» к Fm-
¦ § 2. ПРОЕКЦИОННЫЕ МНОЖИТЕЛИ 197
После последовательного дифференцирования B.5) по ма, мР и
учета A.3.1) и B.4а) мы получим
go. р («• «) = г</ (*¦ *) B«V B-6)
где
fiaV::.Y = fiafiP ...fiv- B-7)
В силу соотношения B.4) имеем
(и, и) ХаХ* = gtl (х, х) ГХ\ B.8)
так что, как следствие условия С из гл. I, § 1, матрица
\\gafi(u, й) || коэффициентов в B.6) имеет ранг m для всех на-
направлений йа.
Если по аналогии с A.4.1) и A.5.6) мы определим кова-
риантный вектор va, соответствующий йа из Тт, полагая
va = ga^(u,uH = FJ^-, B.9)
то из B.4) и B.6) будет следовать, что
va = gii(x> x)Blxi = yiBia. B.10)
Отметим здесь, что Вьа является функциями только от точек х;
поэтому после дифференцирования B.10) по up мы получим
$ = В1ав1 B.11)
где
Несмотря на уравнение B.11), множество проекционных мно-
множителей fif, вообще говоря, зависит от направлений. Диффе-
Дифференцируя B.11) еще раз по v4, получаем
B. lib)
Ковариантные векторы B.10) являются элементами т-мер-
ного линейного подпространства Т'т{Р) дуального касательного
пространства Т'п(Р) к Fn в точке Р. Функция расстояния в
Т'т{Р) задается равенством
Н(и, о) = //(*'(и), у Ли, v)), B.12)
и после дифференцирования по va, op мы в силу B.11а) полу-
получаем
1 д2Н2 (и, v) 1 д2Н2 (х, у) „о дН dBf
4 ' ' \ < я> „ар | тт i
'/ I rill П71
2 dyt dyj
198 гл. v. подпространства финслеровых пространств
Однако из уравнений A.5.7), B.4) и B.11Ь) следует, что вто-
второе слагаемое в правой части этого равенства тождественно
обращается в нуль. Поэтому, согласно A.5.4), мы имеем
M^'fc y)B4f. B.13)
Естественно, функции F(u, й), Я (и, v) имеют те же свой-
свойства однородности, что и исходные функции F(x,x) и Н(х,у).
В частности, ifi — ga®{u, v)va является уравнением, обратным
к B.9). Таким образом, используя тождества dyi/дх' = gij и
dift/dva = ga&, мы выводим из B.11а) и B.4а) следующее яв-
явное выражение для Bf:
S° = g°3(", v)gil(x,x)B'r B.14)
Говорят, что коварнантный вектор У; является нормальным
к подпространству Fm в точке Р, если он нормален к Тт(Р) в
Т„(Р), т. е. если он удовлетворяет уравнениям
YtBla = 0. B.15)
Здесь мы имеем m уравнений для определения п функций У,-.
Поскольку ранг матрицы B.3) предполагается равным пг, то
отсюда следует, что существует п — m линейно независимых
векторов Ni (ц — m-\- 1, ..., п), нормальных к Fm, и что они
могут быть выбраны бесконечным числом способов как линейно
независимые решения системы
l = 0. B.15а)
По отношению к данному направлению х' в Тп(Р) мы можем
выбрать множество нормалей, удовлетворяющих соотноше-
соотношениям ')
М' = ^(х,х)Ыг дИ(х,х)М1Ы! = д». B.16)
ц ц u v
Как следствие B.14) — B.16) мы получаем, что
B?(x,x)Nl(x,x) = 0. B.17)
Нам часто придется использовать выражения ер' опреде-
определяемые как
') Уравнение B.15) не зависит от метрики, однако коль скоро мы введем
систему взаимно перпендикулярных контравариантных нормалей, в описание
войдет метрический тензор и, следовательно, опорный элемент. В § 7, в кото-
котором мы будем иметь дело с теорией, локально основанной на свойствах про-
пространства Минковского, будет видно, что такое положение дел вызывает
серьезные трудности,
§ 2. ПРОЕКЦИОННЫЕ МНОЖИТЕЛИ (99
Из B.11) следует, что ф'б'=0, так что <р! имеют вид
Ц |Х |Х
где множители к' вследствие B.16) задаются формулами
уШ<=Х1. Однако из определения ф| и уравнения B.17) мы
V V
имеем ф'Л^'=— Nl. Это определяет Я'= — Л", и, следова-
V V V V
тельно,
В1аВ] (х, х) = Ь' - N) (х, х), B.18)
где
NUx, х) = t М1{х,х)И,{х,х). B.19)
IX=m+1 и, ц
Из этой и предыдущей формул непосредственно вытекают
следующие полезные соотношения:
gik (х, х) = ga{i (и, й) В« (х, х) В{ (х, х) + Nik (x, х) B.20)
ik(x y) = ga&(u v)B% + Nik
gik(x, y) = ga&(u, v)B% + Nik{x, x). B.21)
Кроме того, дифференцируя B.6) по йУ и принимая во вни-
внимание B.4а), мы получим
%\
sCa(w(tf> u) = Cilk(x, x)B%\. B.22)
Далее, нам понадобятся производные по направлению от В®.
Из B.14) и B.22) мы имеем
^- = 2g
a6
Применим к последнему члену в этом выражении равенство
B.18). После упрощения наше выражение сводится к виду
B.23)
B.23а)
диУ
или альтернативно
Из этого результата и B.18) следует вывод, что
^ &%\ B.24)
Заметим, что как следствие A.3.5) и B.4) имеет место равен-
равенство
дВа, dNl,
-±йУ = —^йУ = 0. B.25)
диУ диУ
200 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 3. Коэффициенты индуцированной связности
Рассмотрим векторное поле Ха{иР), определенное на под-
подпространстве Fm. Компоненты X' этого поля относительно объ-
объемлющего пространства Fn задаются равенствами B.4), и мы
можем обычным способом образовать ковариантные производ-
производные относительно Fn. Однако, несмотря на то, что поле X' ка-
касается пространства Fm, это не верно для полей DX' и 6Х'.
В сущности нам нужен процесс ковариантного дифференциро-
дифференцирования в самом пространстве Fm. Такой процесс может быть
определен двумя различными способами. Во-первых, мы мо-
можем построить ковариантный дифференциал от X' относитель-
относительно Fn и затем спроектировать получившийся вектор на Fm
с помощью проекционных множителей, определенных в § 2.
В результате мы получим вектор, касательный к пространству
Fm, который будем называть индуцированной ковариантной
производной вектора X'. Во-вторых, мы можем определить ко-
коэффициенты связности по образцу гл. II и III, используя ме-
метрический тензор g-ap B.6) пространства Fm и его производ-
производные. Эти коэффициенты, называемые внутренними коэффи-
коэффициентами, приведут нас к внутренней ковариантной производ-
производной от X'.
К сожалению, эти альтернативные процессы дифференциро-
дифференцирования, вообще говоря, не совпадают. Первая возможность ве-
ведет к более простой теории, чем вторая, и поэтому мы начнем
изучение ковариантного дифференцирования с рассмотрения
индуцированной ковариантной производной. Обсуждение вну-
внутренней ковариантной производной мы отложим до последнего
параграфа настоящей главы.
Построим для смещения dxl между двумя точками х' и
х1 + dxl из пространства Fm отвечающий ему картановский ко-
ковариантный дифференциал DXt (задаваемый формулой C.1.2))
относительно опорного элемента х[, который мы будем по-преж-
по-прежнему рассматривать касательным к Fm. В соответствии со ска-
сказанным выше определим индуцированный дифференциал ВХа
уравнением
a = BUx, x)DXl. C.1)
Если duv — смещение dxk относительно координат иа простран-
пространства Fm, то дифференцирование B.4) приводит к соотношению
dXl = B\ dX* + В^уХ* du\ C.2)
где
C>3)
§ 3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНДУЦИРОВАННОЙ СВЯЗНОСТИ 201
Аналогичное уравнение имеет место для соответствующего из-
изменения dxk опорного элемента хк. После подстановки этих со-
соотношений вместе с A.4) в C.1.2) мы получим
DX1 = Bi dX* + (В^у + CLBpSevu6 + r'hkBft) Xp du1 +
+ CikBftX* du\ C.4)
Таким образом, в силу C.1), B.11), B.14), B.22) определение
C.1) может быть записано в виде
DXa = dXa + Bat (B^y + ClkhB\B\yit + rikBft) X* du1 +
+ C$yX*duy. C.5)
Кроме того, по аналогии с определением C.1.2) запишем ко-
вариантный дифференциал в форме
DXa = dXa + С$УХ* duy + TlyXf du\ C.6)
которая определяет коэффициенты Гр7 индуцированной связ-
связности. Сравнение с C.5) дает явное выражение для этих ко-
коэффициентов:
Tly = Bat (bU + CkhBlB\yuz + TikB^). C.7)
Аналогично, если мы применим б-процесс к полю X' и оп-
определим индуцированные б-производные и коэффициенты ра-
равенствами
~6Xa = BibXL C.8)
и
l du\ C.9)
то отсюда будет следовать, что эти параметры представляются
в виде
r*a
r*3aY = В? (В^у + Гн'кВК), (ЗЛО)
или в силу B.14) альтернативно
Заметим, что как следствие соотношений A.3.5), B.4), C.7) и
C.10) мы имеем для коэффициентов индуцированной связности
Га . В т-,*а .8 /о . <\
pv" — Гр7ым. C.11)
Ясно, что коэффициенты индуцированной связности опре-
определяют параллельный перенос в Fm. Выясним теперь, являются
ли геодезические пространства Fm автопараллельными относи-
относительно этого параллельного переноса. По определению геоде-
геодезическими пространства Fm являются такие кривые из Fm,
202 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
которые минимизируют интеграл
а поскольку метрика пространства Fm удовлетворяет тем же
условиям, что и метрика пространства Fn, то из результатов
гл. II немедленно следует, что геодезические пространства Fm
суть решения дифференциальных уравнений
-п 9ПУ — л> у du du a 1 оч
ds2 '
где s — длина дуги, а уа7р — символы Кристоффеля второго
рода, построенные по тензору ga$. Теперь нетрудно выразить
уравнения C.12) в терминах коэффициентов C.10).
Для этой цели продифференцируем уравнения B.6) по и7
вдоль кривой С из Fm, причем в качестве аргументов направле-
направлений у встречающихся в этих уравнениях тензоров берутся ка-
касательные к С векторы. Таким способом мы получаем
C.13)
им ил
Произведя в этом уравнении циклическую перестановку ин-
индексов а, р, у, мы получим два аналогичных соотношения, из
суммы которых мы вычтем уравнение C.13). В результате по-
получим
+ Д Л, В&ВЬ) й\
C.13а)
В частности, вследствие A.3.5) мы имеем
или, используя C.1.27'), B.14), C.12),
2Ga = Bt Dy + Гй*В$) upuv. C.14)
Поэтому из C.10) следует, что
2Ga = rSupuv. C.15)
Применяя уравнение C.9) к касательному вектору х'а гео-
геодезической C.12) и используя C.15), мы получим, что геоде-
геодезические пространства Fm удовлетворяют уравнениям
Лг'а
§ 3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНДУЦИРОВАННОЙ СВЯЗНОСТИ 203
Таким образом, геодезические подпространства действительно
являются автопараллельными кривыми относительно индуци-
индуцированной связности. Очевидно, что это верно также и для вну-
внутренней связности.
Кроме того, если мы умножим уравнения C.1) и C.8) на
gay, то в силу B.14) эти уравнения могут быть записаны в
виде
ё..В[0Г = па^Ха C.17)
и
g.^bX^g^X". C.17а)
Из этих соотношений вытекают следующие очень простые,
но полезные теоремы '):
1. Если кривая С лежит в подпространстве Fm простран-
пространства Fm, а векторное поле в Fm параллельно вдоль С относи-
относительно связности в Fn, то оно также параллельно относительно
индуцированной связности пространства Fm.
2. Если кривая является геодезической в Fn, то она также
геодезическая в любом подпространстве Fm, в котором она со-
содержится.
3. Необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор-
векторное поле в Fm было параллельно относительно индуцирован-
индуцированной связности пространства Fm вдоль кривой С, не будучи при
этом параллельно в Fn, состоит в том, чтобы ковариантные диф-
дифференциалы gijSX1 этого поля относительно связности в Fn были
нормальны к Fm (уравнение B.15)).
4. Если геодезическая пространства Fm не является геоде-
геодезической пространства Fn, то ее главная нормаль г($х''/8з)
нормальна к Fm (при этом нормаль определяется относительно
линейного элемента, касательного к геодезической).
Отметим, наконец, что существует связность для векторов,
присоединенных к Fm и нормальных к Fm в смысле уравнения
B.15). Эта связность определяется аналогичным уравнению
C.1) способом. Пусть вектор У нормален к Fm (и определен
на Fm), так что он представим в виде Y1 = 2 М'У11. Ковариант-
ный дифференциал DY& определяется как проекция DY' на
(п — т) -мерное направление, нормальное к Fm, т. е.
DY* = gliN! DY1. C.18)
') Эти теоремы являются обобщениями хорошо известных теорем рима-
новой геометрии. Ср. Эйзенхарт [1], с. 75. Следует, однако, заметить, что
в римановой геометрии индуцированная и внутренняя связности автоматиче-
автоматически совпадают.
204 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОПЫХ ПРОСТРАНСТВ
Если мы запишем ')
DY* = dYa + C%FV duy + K^Yv duy C.19)
(ц, v = m+l n),
то легко проверить (как и выше), что в силу C.18) справед-
справедливы соотношения
Cvv = ?(-/f (<4f<> C.20)
и2) .
dNl ч
r + Г^Ч + C[kNhBks/). C.21)
Альтернативно мы можем записать C.19) в виде
Dr = tfr + AVvtf«v + A%YvDly C.22)
(la, как обычно, единичный вектор в направлении опорного эле-
элемента), где
C.23)
В заключение мы заметим, что индуцированная связность
C.10) не является метрической, т. е. соответствующие кова-
риантные производные от ga$ не обращаются тождественно в
нуль. Действительно, записывая ковариантную производную
мы после подстановки из C.13) и C.10) найдем, что
') В последующих уравнениях предполагается, что по повторяющимся
индексам ц, v, a ведется суммирование от от + 1 до п.
2) Здесь мы предположили, что giiN1 —-— = 0. Это равенство выпол-
и дйУ
няется, если компоненты N выбраны так, чтобы dNi/дйУ = 0, что геометри-
v ц
чески законно в силу уравнения B.15а) (поскольку Ва не зависят от направ-
направления). Ср. Э. Девис [2], с. 22 и 25. Описанный выше метод близок методу
Э. Девиса.
§ 4. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА ЕВКЛИДОВОЙ СВЯЗНОСТИ 205
Заменим в этом уравнении Г'цк на Г^, используя C.1.25).
Тогда, как следствие C.1.7), первые три члена обратятся в
нуль, и у нас останется соотношение
ваа „ = 2Ачи К - ВЮ f + г?/*3 В%- C-25)
§ 4. Фундаментальные аспекты теории подпространств,
основанной на евклидовой связности
1. Нормальная кривизна и ассоциированные тензоры. Выше
нам удалось получить с единой точки зрения ряд важных для
теории подпространств формул независимо от того, основывает-
основывается ли теория на евклидовой связности или же используется
метрика, локально являющаяся метрикой Минковского. Однако
в приложениях этих формул, т. е. в собственно теории подпро-
подпространств, это различие приводит к двум существенно отличным
геометрическим теориям. В настоящем параграфе мы обсудим
теорию, основанную на евклидовой связности, откладывая аль-
альтернативную трактовку до § 7.
Проводимое в настоящем параграфе исследование основы-
основывается главным образом на работах Хомбу и-Э. Девиса1).
Статья Хом.бу содержит подробное описание аналитических ме-
методов, полезных в дальнейшем, тогда как трактовка Девиса
менее формальна.
Перейдем к нахождению аналитического выражения для
нормальной кривизны подпространства. Рассмотрим кривую
С: х' = x'(s) (или иа — ua(s)) пространства Fm, выбирая длину
дуги в качестве параметра. Согласно § 1 длина вектора Dx'l/Ds
дает нам меру кривизны кривой С, рассматриваемой как кри-
кривая в Fn, тогда как длина вектора Dum/Ds представляет собой
меру кривизны С, рассматриваемой как кривая в Fm. Ясно, что
нормальная кривизна кривой С пространства Fm в точке Р и
в направлении х'1 (касательном к С) будет задаваться векто-
вектором Dxn — BlaDu/a, который сам нормален к Fm. Вместо яв-
явного вычисления этого выражения мы рассмотрим вектор DX' —¦
— BlaDXa, где Ха(и, и)— векторное поле, определенное вдоль С
и касательное к Fm (так что мы не теряем членов, которые в
других случаях отбрасываются вследствие однородности). Пред-
Предположим, что функции Ха(и,й) однородны нулевой степени по
йа. Опорный элемент должен касаться кривой С; а поскольку
он естественно входит в наши выражения, то мы непосред-
') Хомбу [3], Э. Девис [2]. Более ограниченная теория гиперповерх-
гиперповерхностей рассматривалась в различных аспектах Картаном [1], с. 19—29,
Хаймовичем [1], [3], [4], Вегенером [2], Назимом [1]. Теория
гиперповерхностей может быть также построена для нелинейной связности
(Бартель [4], [5]) (см. гл. III).
206 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
ственно замечаем, что ,
DI* - ВШ* = Ну (и, и) du\ D.1)
где мы положили
\ (Ь1)* ЧУ\ D.2)
использовав B.4) и C.2).
Полезно выразить индуцированный ковариантный диффе-
дифференциал, определяемый согласно C.1), через ковариантный
дифференциал Dla (аналогично соотношению C.2.7)). Мы
имеем
DXl - BlaDXa = [F jt + AtkXk^ Dlh + X\h dxh -
Bi (V -|? + ^YXe) Dly - Bti\y du\ D.3)
где
y« dX dXa rl .e | fT*a
D-4)
Уравнение D.4) вызывает естественное беспокойство: действи-
действительно, коэффициенты Гр", которые появляются в этом уравне-
уравнении, вообще говоря, не совпадают с коэффициентами Гз^, опре*
¦деленными в C.10). После учета уравнения C.1.25) сравнение
формул D.4) и C.6) дает ')
Г~*а Т1а «а т-16 ;8 tл с\
pY = 1 pY — Лрб1 eyl ¦ D.5)
Для того чтобы выяснить структуру уравнения D.3), заме-
заметим, что, во-первых, в силу D.1) и B.4) мы имеем
% D[h ~ в« |? ШУ}=pw H{i duy- D-6)
Во-вторых, из B.22) и B.14) следует, что
Ab = BfALB%. D.7)
С помощью этого уравнения и уравнений D.1) и B.18) мы на-
ходим
lh - В1А%Х* Dly = [AikHh duy + NJALBhDly] Xk
Dlh - В1аА%,Х* Dly = [AikHhy duy + NJALBhyDly] Xk. D.8)
В-третьих, дифференцирование соотношения B.4) по ы? дает
дХ1 h , дХ1 д/ 8 Ri ур , Rl дХа
B+Bu ВХ +В
') Заметим, что Т^ даже не симметричны по индексам Р и у- См. ниже
уравнения D.33) и D.34).
§ 4. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА ЕВКЛИДОВОЙ СВЯЗНОСТИ 207
и в итоге мы получаем
X\hdxh - В1аХ?у duy = (ВЪУ - В*аТlay + ГЗД*) Xp duy -
T>hxrBhy - Т%й*в{) duy
= (В'ру - В1аТ;ау + fhlkBfy) X* duy-Fjj- Ну duy, D.9)
где во втором равенстве мы использовали D.2). Подставим те-
теперь соотношения D.6), D.8) и D.9) в D.3). После группи-
группировки слагаемых мы получаем, что содержащие дХ1/дх! члены
пропадают, и остается уравнение
DXl - BlaDXa = Dy ~ ДаГр" + ГМ$ + AikB$Hky) X* duy +
+ N\{AlhkBly])X^Dly. D.10)
Применим уравнение D.10) к вектору х'1, касательному
к кривой С (в предположении, что этот вектор является опор-
опорным элементом). Тогда последнее слагаемое в правой части
тождественно обратится в нуль в силу B.4) и A.3.5). Поэтому,
если мы положим
Я;р = Bly - fiiFft + (rVkBy + AlhkHky) B\, D.11)
так что
= Н1у, D.11а)
то уравнение D.10) в этом случае сведется к
Dxri - Bi5u'a = Hy^ duy D.12)
в согласии с D.1) и D.2). Правая сторона этого уравнения
представляет ту часть векторной кривизны кривой С, которая
нормальна к Рт. Ясно, что это выражение зависит только ог
направления вектора х'\ касательного к С в рассматриваемой
точке Р, и является одним и тем же для всех кривых, касатель-
о.
ных к С в этой точке. Поэтому мы будем называть Ну$ тензо-
тензором нормальной или эйлеровой кривизны пространства Fm в
точке Р и в направлении u'ai).
В частности, если С — геодезическая пространства Fm, то
Du'a = 0 и из D.12) следует, что величина вектора нормальной
') Обозначение D.11) совпадает с обозначениями Хомбу [3], с. 77, и
Э. Девиса [2], с. 27. Эти авторы выводят тензор D.14), используя кова-
риантное дифференцирование, обобщая тем самым формальные методы, с по-
помощью которых он вводится в римановой геометрии. См., например, С х о у -
тен [1], с. 256,
208 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
кривизны Н1а$и'аи'® (рассматриваемого как вектор простран-
пространства Fn) равна кривизне геодезической (рассматриваемой как
кривая из Fn) пространства Fm, проходящей через Р в направ-
направлении и'а.
Естественно ввести «смешанные» коэффициенты связности
следующим образом: положим J)
riv = rUfi* + ЛЛ*Я$. D.13)
Тогда мы можем написать уравнение D.11) в форме
Hyt = Biy + YlhyBl - Г*3аХ- D.14)
Ясно, что это выражение представляет собой смешанный тип
ковариантной производной от проекционных множителей ??
причем дифференцирование проводится частично относительно
метрики в Fn и частично относительно метрики в Fm. Поэтому,
для того чтобы в полной мере оценить значение уравнения
D.14), нам необходимо вкратце рассмотреть тот общий тип ко-
вариантного дифференцирования, который оно включает в
себя.
2. ?>-символизм 2). Пусть X' — произвольное векторное поле,
определенное в точках пространства Fm. Мы можем предста-
представить его ковариантный дифференциал в виде
DXl = VhXl dxh + VhXl Dlh,' D.15)
где в соответствии с C.2.7)
VhX^X\h D.16)
и
D.17)
Поэтому, если мы хотим представить ковариантный диффе-
дифференциал D.15) в форме
l t D.18)
') Это определение следует работе X о м б у [3], с. 83.
2) Процесс ковариантного дифференцирования относительно коэффициен-
коэффициентов связности объемлющего пространства и подпространства, о котором мы
теперь говорим как о D-символизме («D-Simbolik»); был введен в риманову
геометрию Бортолотти [2] и ван дер Варденом [1]. Дальнейшее
развитие дано в работах Бомпиани [3] иТукера [1]. Общее описание
метода содержится у Схоутена [1], с. 254 и далее. Этот метод был обоб-
обобщен X о м б у [3] для применения к картановской ковариантной производной
в финслеровых пространствах и интенсивно использовался Хомбу и Э. Д е -
висом [2].
§ 4. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА ЕВКЛИДОВОЙ СВЯЗНОСТИ 209
0 1
то операторы D, D в силу уравнения D.1) должны определяться
равенством
П О 1
D.19)
D.20)
D-операторы можно выразить через коэффициенты связно-
связности. Действительно, разлагая D.19) в соответствии с D.16) и
D.17), мы имеем
DyA. = Dv h T*- rhX I -f- \Oyi hk ~Г П.Лц1 А
\ dx die )
Используя B.4), D.2) и D.13), мы можем свести это соотно-
соотношение к виду
° „л дХ1 г, дХ1 ^6 ,е • '
Аналогично, если Va — векторное поле, касательное к Fm,
и Y1 = X N^^— поле, нормальное к Fm, то мы определяем со-
соответствующие Д°-операторы уравнениями
DI/" "" "" р^ /,е _]_ Р*аТ/^ С/1 00\
•уИ ¦— v — 6 i e.yU -т-Хр-у" уч.бл)
L7y ^vГТ 1 evK + ^vy^ . D.2o)
так что для смешанного тензора, имеющего, например, индексы
трех типов, мы должны написать
0 дТ'^ дТ1а
Ul 1 ь\и ~Т I hyl а —1 ayl е. ~Г ^vy* а ¦ D.24)
Uyla ^б
В связи с двумя последними определениями отметим, что, ис-
используя новые обозначения, нетрудно выразить коэффициенты
C.23) в более простой форме. Учитывая C.1.29) и подставляя
D.2) и D.13), мы найдем
210 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
1
Естественно1), ?)-оператор может применяться к векторным
полям Va, У^:
Ь $1 D.26)
Vu ^?V'. ¦ D.27)
о
В качестве специального приложения рассмотрим ?)-произ-
водную от проекционных множителей В$. Из данных выше оп-
определений, согласно D.14), следует
DyBl = В1ч + TiyBl - Г1ауВ1а = /НР. D.28)
Аналогично мы можем ввести тензор, связанный с кривизной
пространства Fm, полагая
С помощью уравнения D.17) этот тензор непосредственно вы-
вычисляется путем применения B.23). Результат может быть уп-
упрощен с помощью B.15а), B.17) и B.18), что дает выражение
D.28а)
Аналогично определяется второй тензор нормальной кривиз-
кривизны пространства Fm2) в точке Р в данном направлении:
Lyil ^ DyNl = -f- - -^ Г^п8 - %у№ + TiyNk. D.29)
ix aur аи v м-
Величины D.29), рассматриваемые как компоненты вектора в
Fn, определяют вектор, касательный к Fm, или, другими сло-
словами, эти величины «по индексу i лежат в Fm». Для того чтобы
о
проверить это утверждение, заметим, что D-операция является
о
«метрической», т. е. Ду^,-; = О3), что непосредственно следует
из определения Dygi,-, уравнений C.1.7) и C.1.25) и свойства
однородности тензора gij. Требуемый результат немедленно по-
о
лучается, если применить D-оператор к уравнению B.16).
') Хомбу [3], с. 76. Так как мы не будем слишком подробно изучать
D-оператор, то за дальнейшими деталями, и в особенности за коммутацион-
коммутационными формулами, читатель отсылается к этой статье.
2) За обсуждением соответствующего тензора в римановой геометрии чи-
читатель отсылается к Схоутену [1], с. 256 и Бомпиани [2].
3) Хомбу [3], с. 80. Несложные вычисления, приводящие к этому утвер-
утверждению, оставлены читателю.
§4 ТЕОРИЯ. ОСНОВАННАЯ НА ЕВКЛИДОВОЙ СВЯЗНОСТИ 211
Итак, положим
вй^ = Ь^, D.30)
так что
Ь1Щ = BUya- D.30а)
о
Аналогично, поскольку вектор Ну$ нормален к Fm, мы можем
положить
ад(е = Я!}р, D.31)
и
так что
Я$В = #'Я$Р. D.31а)
и
о
Следовательно, если мы применим Dy-производную к выраже-
выражению B.15а), то из уравнений D.30) —D.31а), а также из D.28)
и D.29) будет вытекать, что
Ll = -gaSky&. D.32)
Таким образом, первый и второй тензоры эйлеровой кривизны
не являются независимыми.
Выше мы отметили, что коэффициенты Гр^, определяемые
согласно D.5), вообще говоря, не эквивалентны коэффициентам
Гр", задаваемым посредством C.10). Разность между ними легко
вычисляется следующим образом: после разложения D.5) и
использования C.7) и D.7) мы найдем
Пау = в? {в\» + rLfipv + AkkBl« - дЭД f}.
В этот результат мы подставляем C.1.29) и C.10), что дает
Тру = Тру + BiAhkBp \{Bsy — Bi,rey) I + rm//mBY}.
Вместе с D.2) это приводит к соотношению
ГК = ГЙ + Я°ЛМ#$. D.зз)
С другой стороны, коэффициенты Гр™ задают метрическую
связность, что, как мы видели выше, неверно для Гр°. Действи-
Действительно, согласно D.2) мы можем записать уравнения C.25)
в виде
о
Однако из C.24) и определения D-оператора следует
Гг*в г""-^ п (v*^ р*в\
sap|Y Sa6 ^ pY 3V/ g63 V aY 1 ay)'
212 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
так что, подставляя D.33), получим
в силу B.14). '
Поскольку Гр^ симметричны по |3, у, то из D.33) следует,
что
f ;aY - r;ap = bUU {bIh* - внун$), D.34)
и из C.11) и D.33) мы выводим, что
Г7»а . В -p*a.B pa .8 /. олп\
I р-уК — 1 (,yll =lp7w • D.o4aj
Кроме того, из определения D.28) ясно, что Ну$, вообще
говоря, не симметричны. Действительно, в силу D.11) имеет
место соотношение
# # A BH ВН) 5 (F Г^)
Поэтому, используя D.34) и применяя B.18), мы оконча-
окончательно находим
Я^ - HU = ЩА[к {В1Н* - ВНУН1У D.34Ь)
3. Обобщенные уравнения Гаусса, Кодацци и Кюне. Разви-
Развитый выше аналитический аппарат дает возможность очень про-
простым способом получить соответствующие обобщения уравне-
уравнений Гаусса, Кодацци и Кюне классической дифференциальной
геометрии. Для этой цели нам необходимо вывести подходящие
о
коммутационные формулы для ?)-оператора. Поскольку этот
вывод основан на довольно длинном вычислении, мы приведем
только некоторые промежуточные этапы,
о
Применим D-оператор к уравнению D.28). Тогда
°п к (dTU <уть,х,г1г
Uatiyfr = I —-j; л^б" Ып "Г" [ feal ftY
/ лтр*ё ЯГГ*е \ О
— I—^ ^T" Ua« — 1 pal 67 I #s — 1 Ya" бр + • • •, D.35)
где точками обозначены слагаемые, симметричные по индексам
а и V-
Если в соответствии с D.1.7) мы определим «смешанные»
тензоры кривизны для Fm с помощью равенств
dT dT б .% , гг rfe
Ь«м "Г 1 Sal /,Y —
TaТТб
dVha | gr/ta n6 .A, pi rft /,
§ 4. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА ЕВКЛИДОВОЙ СВЯЗНОСТИ 213
И
ist "ХРУ "*РУ рб ,-,*¦ f*?P'8
PVa~~~d7 Jcf — bylpa —
- ^ + ^ Т6,уй1 + TZrt D.37)
то из D.35) будет следовать, что
0 °; ° ° г hi i ° г /•—¦в ~ *б\
DaHyfi — DyHa$ = BfrKhya — Ве^Сз\>а + #6[3 (Га-у ~ Г\>а)- D.38)
Аналогично из D.29) имеем
a« — Яо уЛц a I +
f dTky
I ——
V диа
^- 1 k« + J /ai fey
n диа диЕ
—d(fi~ \Ihf ^ ly ' ~ ~di? ^ ly >[№u | ~ l vai-бц + • • •, D.39)
где снова не выписаны симметричные по ее и у члены. Кроме
того, заметим, что коэффициент перед dNl/diis в D.39) может
и
быть с помощью D.34а) представлен в виде
или, после подходящей перемены индексов,
Третий тензор кривизны определяется формулой
v ' p~ ^v^ — ^aY^ixa* D.40)
О U ой
Таким образом, в силу D.37) и D.40) из равенства D.39) сле-
следует, что
UaLyv — UyLay, = Dl Afeva — JV AYa —
Ц V
dtfi о
— г Л Aevat — i-fiuUvo—1 «v/- D.41)
214 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
О
Применим теперь D-оператор к соотношению D.31а) и при-
примем во внимание D.29). Мы получим
DyHi» = B'Jj^H^ + NlDyH^. D.42)
Подставляя этот результат в D.38), найдем, что
(^ LyfxHa^) + N (Д*ЯуЗ — DyH^) =
{ВпаНу - ВУН*), D.43)
где к последнему члену в правой части мы применили урав-
уравнение D.34). После умножения этого соотношения на В\, со-
согласно B.17) и D.31а), получится
0 0 0 0
LwlHy$ — LyiHaft = KhyaB Bi — K&ya- D.44)
Аналогично умножение D.43) на Ni дает
v
all yP — i^v-iJap — I\hyaOfil\ t -p П 6$iJjAhk \?>а.П у — ОуП a) 'V(. ^4.40^
V V
0
Применив теперь D-оператор к равенству D.30а) и исполь-
используя D.28) и D.31а), мы получим
D-yjLpn = Af HysLfin ~т" BsDyLfin- D.46)
V
Подстановка этого выражения в уравнение D.41) дает
00 00 00 00..
л Т1 [ »»v i О rjVru\ i n! / г\ гО r~vrOi
Л/ I Н с / »—в Н й / I -4— Г\ в I / ) / —— III I =
jv \^ji а.о*-'у\а **у&^оцх/ ti '-'о \*-^OL*-iy\j, *-/y*~/CLiiJ —
v
Mi 6 е ° I
u v дй
Умножая этот результат на Б?, мы, как и выше, найдем
[х дй
о
Эту формулу можно несколько модифицировать. Если, как
и прежде, мы предположим, что нормальные векторы N1 вы-
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ 215
браны так, что dNi/дйУ = О, то из B.16) и B.24) последует
dNl
-V = - 2BplBipBh6CLNk D.49)
аи и
и
3N*
Поэтому соотношение D.48) может быть легко сведено к виду
b e k° ehLk6p
h»tL(yka-BhaH§. D.51)
Наконец, умножая соотношение D.47) на Ni и используя D.50),
V
получаем
00 ° °А Ik
Ha&Lyv,— Hy'bLaiL — K.k4aN Ni— K-xya- D.52)
Ц V
Уравнения D.44) представляют собой обобщение уравнений
Гаусса, D.45) и D.51) —уравнений Кодацци, тогда как D.52)
является обобщением уравнений Кюне ').
§ 5. Производная Ли и ее применение
в теории подпространств
Производные Ли являются чрезвычайно полезным и мощ-
мощным инструментом исследования в теории малых деформаций
подпространств риманова пространства. В настоящем пара-
параграфе мы, следуя Э. Д е в и с у [1], обобщим производные Ли
на финслеровы пространства и применим их к теории подпро-
подпространств. При этом мы увидим, что тензор эйлеровой кривизны
не обладает всеми геометрическими свойствами, которыми об-
обладает его аналог в римановой геометрии. Поскольку рассмо-
') По существу, эти уравнения, и их вывод содержатся в работе Э. Д е-
виса [2], с. 29. Как уже отмечалось выше, трактовка Хомбу включает в себя
1 о
коммутационные формулы для D- и D-операторов. На этом пути получаются
дополнительные формулы, которые вполне могут рассматриваться как даль-
дальнейшие обобщения уравнений Гаусса, Кодацци и Кюне. Более того, Хомбу
выражает последние уравнения через картановские тензоры кривизны
К$уе' Pfiyt' 'Sp-ye (гл- 'V) пространства Fm. Естественно, такие формулы мно-
многочисленны, а также чрезвычайно сложны, и мы отсылаем читателя за даль-
дальнейшими подробностями к Хомбу [3]. Тензоры кривизны D.36), D.37),
D.40) были введены Э. Девисом [2]. См. также Р а п ч а к [1] и О. В а р -
га [5].
216 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
трение этого результата составляет главную цепь настоящего
параграфа, обсуждение собственно производной Ли в Fn будет
по необходимости кратким ').
Пусть v'(x)—векторное поле класса С2, определенное на
области R пространства Fn. С этим полем мы можем связать
бесконечно малое преобразование типа
х' = х1 + v' (x) dx, E.1)
где dx рассматривается как бесконечно малая константа. Мы
можем интерпретировать E.1) путем присоединения к каждой
точке х1 из Fn сдвига или смещения dx' = vi(x)dx, причем есте-
естественно в то же время оговорить в качестве условия, что соот-
соответствующее изменение компонент х' опорного элемента имеет
вид
X = .
Если Х'(х, х)—векторное поле, определенное на R, при-
причем функции Х'(х, х) однородны нулевой степени по хк, то ва-
вариации E.1) и E.2) будут влиять на это поле. Действительно,
если мы обозначим вариацию поля X', индуцированную вариа-
о
циями E.1) и E.2), через dXl, то
dxk
Если мы используем C.1.27'), проводя сложение и вычитание
одинаковых членов, это выражение можно записать в виде
дХ1 дХ1 дО1г \ k , . дХ1
\v dx\
1г \ k , . дХ1 . h ... , ._ оч
¦r\v dx-\ r-(v?kxk)dx, E.3)
xk ) dxh v 'fe >
х& dxh dxk
где мы использовали факт независимости поля v'(x) от на-
направления.
Тем не менее, если мы интерпретируем E.1) не как общий
сдвиг, а просто как бесконечно малое координатное преобразо-
преобразование (с которым E.2) должно быть согласовано), и если мы
обозначим компоненты поля X' в новой координатной системе
') За геометрическим обоснованием и мотивировками введения производ-
производной Ли читатель отсылается к Схоутену [1], гл. II, § 10, и Схоутену
иван дер Кульку [1], гл. 11, § 13. Помимо работ Э. Д е в и с а [1], [2],
производную Ли для финслеровых пространств вводил также Лаптев [1].
Кроме этого, можно определить более общие, чем E.1), бесконечно ма-
малые преобразования, а именно такие, при которых вектор v' является функ-
функцией как направления, так и точки многообразия: v' = v'(x, x). Здесь хк —
направление заданного опорного элемента. Таким способом С у [1] обобщает
результаты Э. Девиса о девиациях геодезических.
$ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ 217
через Х\ то мы должны будем иметь
дх>
Будем говорить, что вектор X' получается из X' «смещением» ')
из (х, х) в (х, х), и положим
йХ1 = Г -Г-^-^гХ1 dx. E.4)
дх<
Теперь производная Ли векторного поля X' в финслеровом
пространстве Fn определяется равенством
v . m
DXl= dXl~dX , E.5)
L a%
Подставив E.3) и E.4) в это выражение, найдем, что
или
L dxh
Рассматривая это соотношение как определение производ-
производной Ли контравариантного векторного поля X', мы можем оп-
определить производную Ли произвольного тензорного поля
Т'1 '" 'г/, ... is следующим образом:
y v+i г Jv
E.7)
В дальнейшем нам потребуются производные Ли метриче-
метрического тензора и коэффициентов связности пространства Fn.
Первая легко вычисляется прямо из определения E.7):
') Первоначальным термином, используемым Схоутеном и ван
Кампеном [1], является «mitgeschleppt». В дополнение к E.3) и E.4) мы
2
можем ввести дальнейшую разность dXl, рассматривая вектор, получаемый
параллельным переносом X' из (х, х) в {х, х) (Э. Девис [1], с. 266).
218 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
но поскольку тождественно gu\k = 0, то это выражение сво-
сводится к
Li
где мы использовали C.2.4). Заметим попутно, что условия
Dgi! = 0 E.9)
являются обобщениями уравнений Киллинга римановой гео-
геометрии на финслеровы пространства и дают необходимые и до-
достаточные условия существования движений в таких простран-
пространствах ').
Для того чтобы найти производные Ли от Г*к, мы не можем
непосредственно применять E.7), поскольку Г% не образуют
компонент тензора, так что мы должны вернуться к определе-
определению E.5). Во-первых, заметим, что
lk \ dxh дхг dxh
Если мы используем для нахождения ковариантных производ-
производных v\h от поля vr тот же метод, что и выше, то найдем
Во-вторых, закон преобразования B.4.6а) коэффициентов
Г"й может быть записан в виде
р.; _ дх1 (д2хт , р*г дх\ дх{ \
ik~ дхЛдх>дхк + st dxl дхЧ'
и поскольку
дх1 ., . dvl ,
——г = б' 4- -5-у dx,
дхг г ' дх'
то после некоторого упрощения мы получаем, что
dvl p,*r . dvr л*г . dv' „«гЛ , /к и\
r + T + T)dx EЛ1)
Таким образом, согласно E.5), E.10) и E.11), мы имеем
dt)t Г*г L дх)Г Г*1 L dv' Г*1 J
') Эйзенхарт [1], с. 234. Аналогичное обобщение уравнений Киллинга
дано Кнебельманом [1], с. 557. Мы вернемся к этому вопросу в гл. VI.
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ 219
Если мы теперь рассмотрим разложение
dvh r*h dvl , /г*гг*г r*(
то из D.1.7) будет следовать, что ')
Drfk = v\ik + K)khvh + -^f Цгхг). E.12)
После этих предварительных рассмотрений мы можем вер-
вернуться к изучению малых деформаций пространства Fm, полу-
получающихся в результате применения преобразований E.1) к каж-
каждой точке из Fm. Это приводит к новому подпространству Fm
пространства Fn, фундаментальные величины которого беско-
бесконечно мало отличаются от соответствующих величин простран-
пространства Fm. Мы будем предполагать, что новый опорный элемент
остается касательным к Fm (что накладывает определенные
ограничения на производные от поля v'(x)). Для того чтобы
о
найти вариацию тензора Ну§ эйлеровой кривизны, мы должны
будем найти вариацию более элементарных объектов, связан-
связанных с пространством Fm. Дифференцируя E.1) по иа, мы не-
немедленно получаем
так что
dfli = ^-dT = -^i-fi*dT. E.13)
диа дхк '
Но выражение E.13) является также «смещенным» значением
m .
dBa, что очевидно после рассмотрения E.1) как координатного
преобразования, поскольку в этом преобразовании «участвует»
') Формулы E.8) и E.12) впервые получены Э. Дев и сом [11 (уравне-
v 2 m
ния C5) и C0) соответственно). В этой статье приращения d, d, d обозна-
12 3 (г, s)
чаюхся через d, d, d, а инвариантные производные D определяются с по-
помощью
Г S
"hs)_ d~d
A,3)
так что D = D. Соответствующие этим операторам коммутационные формулы
применяются к выводу уравнений девиаций геодезических так же, как и к об-
обобщенным формулам Френе.
220 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
координатная система пространства Fm. Поэтому, если мы оп-
а a v tn a
ределим оператор D, полагая Ddr = d — d (так что D = D
для величин из Fn), то имеем
= 0. E.14)
Отсюда и из соотношения B.6) следует, что
причем правая часть этого равенства задается согласно E.8).
Кроме того, поскольку gaog®s = 6?, то очевидно, что
E.16)
Следовательно, используя B.14) и B.18), мы имеем
b° M№ E.17)
откуда с учетом соотношения B.18) получается
DN[ = - В!аЬв« = - g^B^N^Dg^). E.18)
Далее, как и для формулы E.11), можно показать, что
k dvk
и поэтому из B.14) и E.13) мы выводим, что
Применение этого результата к B.18) дает
dN\ = DNJ dx + dN) = \DN) + (Nf -J^-Ni~)} dr. E.19)
С помощью найденных формул мы можем теперь вычислить
а i ° i
выражение DHy. Мы видели, что вектор #Yg нормален к Fm,
и поэтому из D.11а) следует, что это верно также для вектора
Ну. Таким образом, из B.17) и D.2) следует, что
= NlH = Ni (B^Y + Г$Я$) /, E.20)
причем последнее равенство получено с помощью B.15а). При-
v
меняя к уравнению E.20) операцию d-дифференцирования и
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ 221
учитывая соотношение E.13), E.19) и
получим
|i) J
- dx + {DT% dx
Подстановка в полученное равенство выражения E.11) для
'/n и последующее применение E.20) дают
) + ^Hhy+ Nlk (Dlt) B!,h/ } dx.
Следовательно,
i^f) ^" ^ (*) B^P- E-21)
Подставим теперь последнее выражение в формулу для ва-
вариации коэффициентов связности ГД; тогда
DVfy = (рГ,1) В\ + (DA%) H\ + Ajt (DH$), E.22)
что прямо следует из D.13) и E.14).
Для того чтобы вычислить соответствующую производную
от Гр"> заметим, что если мы подставим соотношение C.10)
в D.33) и используем D.13), то будем иметь
Гру == ^' wpy ~Ь ГдуВр). E.23)
Таким образом,
— 1 Pv>
где величины с чертой относятся к Fm (за исключением Гр",
которые относятся к Fm согласно определению D.5)), в силу
E.14) мы также находим
ОТ ;ау = DBf (fi^Y + Т{УВ1) + {ЬтЦв^. E.24)
Подставим в уравнение E.24) выражение E.17) для диффе-
о
ренциала DBi. Тогда, принимая во внимание B.15) и D.14),
222 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
получаем, что первый член в правой части может быть запи-
записан в виде
?) "I«+кл - в
Следовательно, уравнение E.24) принимает вид
ЬЩ = H^DBl + {klhy)BlBl _ E.25)
Явное выражение для вариации коэффициентов Гр" получается
теперь подстановкой E.21) и E.22) в уравнение E.25). Это
дает окончательный результат в терминах производных Ли
E.8) и E.12).
о.
Мы теперь в состоянии вычислить вариацию от #pY. Из со-
соотношения D.14) с учетом E.25) и E.14) имеем
= (Ьт[у) в\ - в
С помощью B.18) и E.18) это соотношение легко сводится
к виду
ОЯ'р = bN\Hyz + N) (DTiy) Bl E.26)
где последний член задается равенством E.22)').
Применим полученные выше уравнения к следующей гео-
геометрической задаче. В римановой геометрии вторая фундамен-
фундаментальная форма может быть получена двумя различными ме-
методами. Первый метод, принадлежащий Бомпиани2), основан
на том, что вектор из Fm может быть параллельно перенесен
из точки Р(х') пространства Fm в бесконечно близкую точку
Q(x' + dx') пространства Fm двумя способами: во-первых, как
вектор объемлющего пространства Fn и, во-вторых, как вектор
подпространства Fm. Векторная разность между получающи-
получающимися таким образом векторами выражается через вторую квад*
ратичную форму. Второй метод, принадлежащий Бианки3),
включает в себя вычисление вариации первой фундаменталь-
фундаментальной формы при переходе из данного подпространства Fm в бес-
бесконечно близкое подпространство, параллельное Fm. В рима-
римановой геометрии оба метода дают одну и ту же вторую фунда-
фундаментальную форму 4), однако, как мы увидим, это не так для
финслеровых пространств.
') Приведенные выше формулы для вариации фундаментальных величин
пространства Fm относительно E.1), являются по существу теми же, что и
формулы, данные Э. Девисом [2], § 6. В этой статье уравнение E.26) вы-
о а
водится из коммутационных формулы для операторов D и А
2) Б о м п н а н и [4], гл. I.
3) Бианки [1], т. II, ч. II, с. 450.
4) Э. Девис [4], с. 291.
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ 223
Рассмотрим первый метод. Предположим, что X' является
вектором, касательным к Fm в точке Р, и обозначим через
X'(P\Q) вектор, получающийся в результате параллельного пе-
переноса вектора X' относительно связности пространства Fn из
точки Р в точку Q, так что
X1 (Р | Q) = X1 + d*Xl = Xl- HU* dxk - AlhkXhDlk. E.27)
Аналогично, если компоненты вектора X' после проектирования
в пространство Fm равны Ха и если мы обозначим через
Xa(P\Q) вектор, получающийся в результате параллельного пе-
переноса вектора Ха в пространстве Fm из точки Р в точку Q, то
получим
Ха (Р | Q) = Ха + сГХа = Ха- т;ауХ& duy - А1УХ^ЪГ. E.28)
Векторная разность V' между этими векторами задается ра-
равенством V1 = X1 (Р |Q) — В'аХа (P\Q), где В« определяются
своими значениями в точке Q. Так какХ'~В1аХа в точке Р, то
из E.27) и E.28) следует, что в первом приближении справед-
справедливо
у' = d*t - Bla d*Xa - BpYZa du\ E.29)
Взяв значения d*X\ d*Xa, указанные в E.27) и E.28), и ис-
используя D.8), мы найдем
d*Xl - В1а d*Xa = - Ы)А1кв1х^ВкуЪ1у - А1нкН*В%Х* du1 +
или, используя D.13) и D.28а),
После подстановки D.14) мы видим, что это соотношение сво-
сводится к
d*Xl - В'а d*Xa = - //v3ZBD/v + Dv - Hyv) Xs* du\
Таким образом, уравнение E.28) принимает окончательный вид
у' = - Ну^ЪР - Ну$Х* du1. E.30)
Это уравнение представляет собой геометрическую интер-
1 . 0
претацию двух квадратичных форм с коэффициентамиНу§, #Yg.
Квадратичная форма Hy$duy du вполне может рассматривать-
рассматриваться как вторая фундаментальная форма: например, два направ-
направления duv, 6«v можно считать сопряженными при условии
224 M. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
О .
#yi3 duy Ьи = 0. Тем не менее очевидно, что отсутствие симме-
о
трии у Яур препятствует тому, чтобы эта сопряженность была
взаимной ').
Рассмотрим теперь второй подход ко второй фундаменталь-
фундаментальной форме, т. е. подход Бианки. Подставим в выражение E.15)
для вариации компонент ga$ значения производной Ли от gt/
в соответствии с E.8). Это дает
bgas = В& (glhv*, + glhvtt + 2Aiihv\l*). E.31)
Однако из D.13) и D.21) мы имеем
так что
Следовательно, соотношение E.31) может быть записано в виде
а 0 . О
До- = er $В^ D v -f- В'D v — A v* (В*Нг -\- В' Нг) -\-
+ 2B%Ahirv\klk). E.32)
Следуя методу Бианки, предположим теперь, что соответ-
соответствующее преобразованию E.1) смещение таково, что о' нор-
нормален к Fm, т. е.
о
Взяв D-производную от этого уравнения и учитывая D.28), мы
получим соотношение
Подставим это соотношение в уравнение E.32). После некото-
некоторой перегруппировки членов это уравнение принимает вид
') Уравнение E.30) принадлежит Э. Девису [2], § 7.
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ, ВЛОЖЕННЫЕ В Р, 225
Уравнение E.33) представляет собой другую геометриче-
о ,
скую интерпретацию На& и является обобщением аналогичного
уравнения, полученного Бианки для случая римановых гипер-
гиперповерхностей ').
§ 6. Поверхности, вложенные в F3
Прежде чем перейти к изучению подпространств финсле-
рова пространства с точки зрения геометрии, локально осно-
основанной на пространстве Минковского, мы рассмотрим один
частный случай, а именно, пространства /-"г, вложенные в F3.
Это целесообразно сделать по следующим причинам: во-пер-
во-первых, ввиду простоты геометрической картины, и, во-вторых,
ввиду того, что для этого случая Бервальдом2) была предло-
предложена специальная теория, отличная от рассмотренной выше.
Эта теория очень похожа на теорию Финслера и Картана3) и
замечательна по своей геометрической ясности и простоте.
Кроме того, можно ввести альтернативную вторую фундамен-
фундаментальную форму с симметричными коэффициентами в противо-
0
положность тензорам На& из § 5.
') Бианки [1], уравнение C2). Уравнение E.33) получено Э. Деви-
сом [2], § 7. В римановой геометрии правая часть уравнения E.33) сводится
к одному члену
Поскольку v1 нормален к Fm, мы можем записать:
7»
Если мы, в частности, предположим, что v^ имеет только одну компоненту
e/dx вдоль нормали /W, то уравнение E.33) примет вид
и
Следовательно, если обозначить через rfs2 фундаментальную метрическую фор-
му пространства Fm, получающегося бесконечно малым смещением простран-
пространства Fm, то
р p dx) dua dub =
Таким образом,
Это соотношение в римановой геометрии иллюстрирует геометрический смысл
а
величины Dgap. Соответствующее соотношение в финслеровой геометрии, есте»
ственно, было бы более сложным.
2) Бервальд [8].
3) Финслер [1], гл. XV; Картан [1], гл. IX.
8 X. Рунд
226 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Рассмотрим трехмерное финслерово пространство F3 с за-
заданной на нем локальной координатной системой х' (i = 1, 2, 3).
Предположим, что эта система выбрана так, чтобы поверх-
поверхность F2 имела уравнение х3 = 0. Координаты иа(а, р = 1, 2)
пространства F2 можно положить равными и1 = лт1, и2 = х2.
Пусть в произвольной точке Р пространства F2 задан единич-
единичный вектор 1а в направлении (касательного) опорного элемен-
элемента х'. Тогда мы можем определить еще один касательный к F?
в точке Р вектор с ковариантными компонентами та, полагая
пц = — л/g I2, т-2 = + Vg l\
где g = det|gop|. Ясно, что /па нормален к 1а, ибо из опреде-
определения следует, что 1ата = 0. Кроме того, поскольку /„/<* = !,
то мы имеем
1\Щ — hmi — ~у/ё> или ^т2 — /2т'= —т=-, F.1)
и, следовательно, тата=\, так что та является единичным
вектором. Метрический тензор ga$ пространства F2 выражается
через компоненты пары ортогональных векторов 1а, та; легко
видеть, что это выражение имеет вид
g4 = U, + та,%, ga" = Пь + тат*. F.2)
'Введем теперь в точке Р нормальный к поверхности вектор п1
¦с ковариантными компонентами @, 0, (g33)~'h), ориентирован-
ориентированный так, что
I1 Р /3
/re'
= 1, F.3)
что совместимо с F.1), поскольку g = gg33 по построению1).
Таким образом мы получаем три взаимно перпендикулярных
единичных вектора, определенных в каждой точке Р простран-
пространства F-i. Вычислим ковариантные производные от этих векто-
векторов, когда направление опорного элемента х' в точке Р под-
подвергается малому изменению и он становится равным х1 + dx!.
') Это построение является частным случаем следующей теоремы: пусть
(—l)'~'pt — детерминант матрицы, получаемой после, вычеркивания t-ro столб-
столбца из матрицы | В1а |. Тогда детерминанты g = det|ga | и ? = det | g</1 свя-
связаны друг с другом формулой
g (и, й) = g (х, х) g11 (х, х) pip{,
где (и, и), (х, х) относятся к одному и тому же касательному направлению.
Доказательство этой теоремы (которое мы оставляем читателю) основывается
на уравнениях B.6) и том факте, что по построению справедливо
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ, ВЛОЖЕННЫЕ В F3 227
Из общего выражения C.1.2) для ковариантной производной
мы в этом случае в силу A.3.5) имеем (так как dua = 0)
Однако поскольку /а, та — единичные векторы, то /aD/a = 0 и
maDma = 0, так что мы можем записать
Dla = dcp ¦ та, Dma = dq • f, F.5)
где
dcp = maDla = — laDtna = — laDma = — d$. F.6)
Поэтому F.5) и F.4) представляются в виде
df = dcp ¦ та; dma = - dcp • f — -у /4pvme du\ F.7)
Аналогично
dla = dcp ¦ ma; dma = — dcp • la + -p- Aa^ym^ dii1. F.7a)
Коэффициент пропорциональности rfqp имеет геометрический
смысл приращения угла. Действительно, из F.5) и F.6) мы
имеем
dcp = madf = mad f ¦%-J = -j-ma dua,
использовав факт, что тайа = 0. Тогда из определения та сле-
следует, что
F.8)
что по существу эквивалентно определению A.7.12) Ландсберга
понятия угла.
Теории Бервальда и Финслера в большой степени основы-
основываются на производных по <р. Они содержат скаляр /, опреде-
определяемый уравнением
/ = АаЬУтатьт\ F.9)
Если мы рассмотрим разложение на F2:
то после умножения этого уравнения на А1, тУ получим J\ = 0
(так как А$ау1у = 0) и /2 =/. Следовательно, мы имеем1)
Аа^тат& = JmT F.9а)
¦) Скаляр -^ J был введен Бервальдом [8], с. 6, где он назывался
«Hauptskalar».
228 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Замечая, что
мы выводим из F.9), что уравнение F.7) может быть записано
в виде
df = ^ф • та; dma = - dcp ¦ la - J dy • ma>
или
dla a dma ,a , a /Mm
W^ ' ~d^^~l ~Jm' FЛ0)
Аналогично
После этих предварительных замечаний рассмотрим нор-
нормальную кривизну кривой С: х' = x'(s) пространства F2, касаю-
касающейся к /'. Как и в евклидовой геометрии, определим нормаль*
ную кривизну скалярным произведением
.,, .. Dll Dnl , ,. ...
Используя C.1.16), C.1.27') и тот факт, что G'(x, x) одно-
однородны второй степени по х', мы, очевидно, можем записать кри-
кривизну в виде ')
ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ /3 == О, П1 ^ М2 ^ О,
Я (х, к) N (х, х) = 2«3G3 (jc, i). F.12)
Таким образом, кривизна N(x, x) однородна нулевой степени
по х1. Так как N(x, x) не зависит от вторых производных х\ то
она обязана быть одинаковой для всех кривых из простран-
пространства F2, касающихся С в точке Р. Поэтому мы будем рассма*
тривать N(x, x) как нормальную кривизну поверхности F2 от-
относительно линейного элемента (х, х). Эта независимость от
высших производных влечет за собой тот факт, что теорема
Мюснера справедлива также для поверхностей, вложенных в
финслеровы пространства2).
Рассмотрим теперь в касательном пространстве Т3(Р) к про-
пространству ^з в точке Р набор векторов йа, касательных к Ft.
в точке Р, для которых правая часть уравнения F.12) имеет
фиксированное значение, а именно, равное единице. Ясно, что
') Картан [1], с. 21. Несколько более общее определение нормальной
кривизны изучал Нагата [1].
2) Финслер [3], Картан [1], с. 21. См. также § 7.
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ, ВЛОЖЕННЫЕ В F3 229
эти векторы определяют кривую
F2(u, u)N(u, й)=\ F.13)
в Т2(Р) (где иа фиксированы, а йа— переменные). Геометриче-
Геометрическое место точек, являющихся концами этих векторов, пред-
представляет собой, очевидно, обобщение индикатрисы Дюпена
классической дифференциальной геометрии. Длина произволь-
произвольного вектора йа, удовлетворяющего F.13), задается посред-
посредством
F{u, й) = —т======г,
л/N (и, и)
откуда следует
так что индикатриса Дюпена является геометрическим местом
конечных точек векторов из Т2{Р), опирающихся на точку Р,
длина которых обратно пропорциональна квадратному корню
из нормальной кривизны. И снова выражение F.13) не являет-
является, вообще говоря, квадратичной формой. Следовательно, отно-
относительно каждого направления йа из F2 в точке Р мы можем
построить соприкасающуюся индикатрису Дюпена, которая оп-
определяется уравнением
Qap(«, u)vav^=l (ua, п13 фиксированы).
Здесь векторы va является переменными, а коэффициенты
определяются с помощью ')
UaZ-J дй«дй* ' {6Л5)
Естественно рассматривать дифференциальную форму
Qafl(w, u)duadu$ как вторую фундаментальную форму простран-
пространства F2 относительно линейного элемента (и, и). Из определе-
определения F.15) очевидно, что коэффициенты Qap этой формы сим-
симметричны по а и р. Ортогональные инварианты (т. е. след и
дискриминант) этой формы могут использоваться для того,
чтобы определить среднюю и гауссову кривизны простран-
пространства F2.
Для того чтобы дать явные выражения для этих инвариан-
инвариантов, необходимо вычислить коэффициенты F.15). Выполняя
указанные в этом уравнении дифференцирования, мы получим
') Это построение принадлежит Б е р в а л ь д у [8], с. 9.
230 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Встречающиеся в этом соотношении производные могут быть
преобразованы в производные, содержащие дифференцирова-
дифференцирование по ф. Во-первых, в силу F.10) мы имеем
так что
где мы использовали тот факт, что функция А^ однородна нуле-
нулевой степени по йа. Разлагая dN/dift по векторам /р и тр, из
ортогональности этих векторов и уравнения F.18) немедленно
получаем, что
-^—- —«V F.19)
<Эце F d(f p V '
Дифференцируя соотношение F.18) еще раз по ф и подставляя
в полученное выражение F.10) и F.17), мы находим
dq>2 <9q> дй$ <Эир дй^ \ (Эф
или, после учета F.18) и свойств однородности для Af,
= F2—я—-rn'mz—J . F.20)
Снова разложим первое слагаемое в правой части этого урав-
уравнения так же, как это делалось выше; тогда легко проверить,
что F.20) эквивалентно уравнению
„2 d2N ON n , , . ,
F ^FU = —^ {1«т*+ 1*та) +
Подставим теперь F.19) и F.21) в выражение F.16) для Qap,
используя одновременно формулу F.2) для gap- После некото-
некоторых преобразований найдем
F.22)
Если мы теперь представим переменный вектор va в уравнении
F.14) его компонентами X, Y относительно фиксированных век-
векторов /а, та, т. е. если мы положим
va = Xla + Yma, F.23)
так что
X = lava, Y = mava, F.23а)
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ, ВЛОЖЕННЫЕ В F, 231
то уравнение F.14) соприкасающейся индикатрисы Дюпена от-
относительно линейного элемента (и, и) примет вид
>=1. F.24)
Таким образом, средняя кривизна для линейного элемента
(ы, и) определяется как след левой части уравнения F.24):
тогда как гауссова кривизна для линейного элемента (и, и) оп-
определяется дискриминантом уравнения F.24):
R]R2 4 V d(f ) 2 dcp2 '2 дф v '
]2 f 2 p ф
Эти инварианты ') обладают свойствами, очень близкими к свой-
свойствам их евклидовых аналогов. Например, непосредственно вид-
видно, что если мы умножим F.22) на ga& и просуммируем по а
и р, то
а также
где Q = det(Qap). Из этих уравнений очевидно, что главные
радиусы кривизны Ru R2 пространства Fi в точке Р относи-
относительно линейного элемента (и, и) равны экстремальным значе-
значениям дроби
1 Qaft (а, й) vavQ
— = —! z-o- (и, й фиксированы). F.28)
R gaB (и, й) vav$
Действительно, эти экстремальные значения равны корням урав-
уравнения
|g-aR-/?QaR| = 0, F.29)
что согласовано с уравнениями F.27) и F.27а). Кроме того,
отметим, что в качестве непосредственного следствия F.25) и
F.26) справедливо соотношение
Ц--*)(?-")—И ?)'• «•*»
На основе проведенных выше построений возможно ввести
дальнейшие понятия классической дифференциальной геометрии
такие, как асимптотические кривые, эллиптические, гиперболи-
гиперболические и параболические точки. Мы ограничимся кратким
') Бервальд [8], § 2.
232 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
обсуждением понятия геодезического кручения ввиду того, что,
как было указано Картаном '), вообще говоря, линии кривизны
не соответствуют тем кривым пространства Ft, у которых обра-
обращается в нуль геодезическое кручение. В действительности это
наблюдение содержится в интересном обобщении теоремы Бель-
трами и Эннепера 2).
Как и в евклидовой дифференциальной геометрии, мы опре-
определим геодезическое кручение кривой С скалярным произведе-
произведением
1 , Dn. Dm1
Поскольку п\ = О, п2 = 0, tnz = 0, то из выражения C.2.7) для
ковариантной производной от т' следует, что3)
— = пзАкНт -t;—|- тГнк —r- rn . F.31a)
тй us as
Так как li(Dl'/Ds)= 0, мы можем разложить Dlk/Ds, исполь-
используя F.11), следующим образом:
Dlk ь тк
¦=— = Nnk + ~, F.32)
где l/pg является геодезической кривизной кривой С (будучи
длиной вектора Dla/Ds). Следуя Картану4), введем инварианты
A = niAlkhmkmh, B — niAkhmknh. F.33)
Тогда из C.1.27'), F.31а) — F.33) следует, что геодезическое
кручение представляется в виде
+ Byv + ^^. F.34)
xg pg F дхп
Для того чтобы получить обобщение вышеупомянутой тео-
теоремы, найдем более явное выражение для dN/dy, чем F.18).
Дифференцируя F.12) по xk, имеем
или, поскольку mkh = 0,
р21Гп т" = 2«з !?-'"* + W2 -jt dn /13) mk. F.35)
Вспоминая, что т — (g33)'2, можно легко проверить, что
') Картан [1], с. 21.
2) Бляшке [4], с. 113.
3) Здесь опорные элементы берутся касательными к С.
*) Картан [1], с. 22.
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ, ВЛОЖЕННЫЕ В F3 233
Подставляя этот результат в F.35), имеем
dN . 2n.mk dGl
- b i +N
t till, ' . I J » I
dxk F дхк
и поэтому из F.18) и F.33) следует, что
dN 2ntmk dGl
д<р F дх
Сравнивая этот результат с F.34), мы окончательно получаем
F.37)
Предположим теперь, что направление йа в точке Р из F%
является асимптотическим направлением, т. е. N(u, й) =0.
Тогда из F.26) следует, что
или, используя F.37),
"Ч9=-/С. F.38)
Эта геометрическая интерпретация К представляет собой обоб-
обобщение теоремы. Бельтрами и Эннепера.
Вышеупомянутое замечание Картана о линиях кривизны
следует из уравнения F.37), ибо условие dN/dq> — О (соответ-
(соответствующее стационарному значению N) не влечет за собой
(Tg)-1=0, как в евклидовой дифференциальной геометрии.
Замечание. Полученные выше результаты, по существу,
принадлежат Картану [1] иФинслеру [1]. Однако сред-
средняя и гауссова кривизны, использованные этими авторами, не
эквивалентны соответствующим кривизнам, определенным в на-
настоящем тексте. Для определения 2# и К Финслер ') рассма-
рассматривает уравнение Эйлера евклидовой дифференциальной гео-
геометрии
JV = -„- sin2 ф + -g— cos2 ф.
Запись его в виде
') Финслер [1], § 70 и дальше, где обсуждаются дальнейшие след-
ствия уравнения F.37).
234 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
и последовательное дифференцирование по ф дают
так что
Эти уравнения рассматриваются Финслером и Картаном как
определения средней и гауссовой кривизн пространства F%. Срав-
Сравнивая эти уравнения с F.25) и F.26), мы видим, что каждое
наше определение включает дополнительный член, содержащий
инвариант /. Тем не менее это не влияет на полученные выше
результаты, поскольку они зависят от тождества F.30), кото-
которое одинаково верно для определений обоил типов.
Некоторые аспекты изложенной выше теории можно обоб-
обобщить на гиперповерхности л-мерных финслеровых пространств.
Это обобщение принадлежит Бервальду ').
§ 7. Фундаментальные аспекты теории подпространств
с точки зрения мефики Минковского
Как отмечено в начале настоящей главы, теория подпро-
подпространств финслероза пространства радикально меняется, если
не использовать понятия опорного элемента и евклидовой связ-
связности Картана. Отказ от этих понятий вызывает аналитические
трудности по двум причинам; во-первых, ковариантная произ-
производная метрического тензора больше не обращается в нуль и,
во-вторых, нельзя построить поля взаимно ортогональных еди-
единичных векторов. Вследствие этого ковариантная производная
единичной нормали к гиперповерхности, вообще говоря, не ка-
сательна к гиперповерхности, в противоположность классиче-
классической дифференциальной геометрии. Это вызывает специфиче-
специфические трудности геометрического характера, которые диктуют
необходимость определенного пересмотра наших представлений
и о самих нормалях. Вышеуказанные причины заставляют нас
ввести две различные вторые фундаментальные формы, кото-
') Бервальд [8], § 4. Детальное изучение понятия средней кривизны
в финслеровых пространствах проведено Цаном [1], [2]. Вполне геодези-
геодезические гиперповерхности изучались Кикучи [1], Хаймовичем [7], Pan-
чаком [4]. См. также Пасу [1]. Используя класс нелинейных связностей,
¦Б ар те ль [5], [6] исследует свойства минимальных гиперповерхностей, при-
причем используемая им мера объема та же, что у Шоке в Буземана (гл. 1, § 8).,
§ 7. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСК0Г0 235
рые лишь в совокупности обладают всеми свойствами второй
фундаментальной формы классической дифференциальной гео-
геометрии. При этом фундаментальное значение имеет тот факт,
что из-за отсутствия линейности, вообще говоря, невозможно
определить точно число главных направлений в точке.
Для простоты мы вначале разовьем теорию гиперповерхно-
гиперповерхностей F,,-i финслерова пространства Fn, а в конце параграфа
остановимся на соответствующих обобщениях на случай под-
подпространств Fm, вложенных в Fn-
1. Нормальная кривизна. Для гиперповерхности Fn-i урав-
уравнение B.15) определяет единственную нормаль п' при условии,
что п' нормируется так, чтобы ее длина в метрике Минковского
равнялась единице:
п.В'а = О, я' = g4 (х, п) п,, F (Х1, nl) = 1. G.1)
В дальнейшем, однако, мы увидим, что хотя вектор п' и очень
полезен, он не обладает всеми теми свойствами, которые тре-
требуются от нормали. Например, пусть С: x' = x'(s) —кривая в
Fn-i, проходящая через точку Р. Так как кривая С параметри-
параметризована длиной дуги, то ее касательный вектор хп = dx'/ds еди-
единичен. Если записать уравнение C.17а) в виде
8t, (*• *0 К (х) ±?- = ga6 (и, и') *?-, G.2)
то ясно, что главный нормальный вектор г {6x"/&s) геодезиче-
геодезической пространства Fn-\, касательный к С в точке Р, не совпа-
совпадает с нормалью пространства Fn-\, определяемой согласно
G.1), как это имеет место в классической дифференциальной
геометрии; вместо этого его направление совпадает с единич-
единичным вектором п*'(х, х'), определяемым уравнениями
gl/(x,x')Bjl(x)n*t(x,x') = 0,
F(xf, п*Цх, х')) = 1.
Каждому направлению х", касательному к Fn-\ в точке Р, со-
соответствует геодезическая пространства Fn-i, а следовательно,
и такой вектор; множество этих векторов образует в касатель-
касательном пространстве Тп{Р) конус с вершиной в точке Р. Мы бу-
будем называть этот конус нормальным конусом пространства
Fn-\ в точке Р (в евклидовой геометрии этот конус состоял бы
просто из единственной нормали к пространству Fn-\ в точ-
точке РI).
') Геометрическое различие между вектором п1 и образующей п*'(х,х')
нормального конуса легко описывается следующим образом. Векторы В'а оп-
определяют гиперплоскость 7"я_, в Т„(Р). На индикатрисе в Тп(Р) существуют
236 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Приведенные ниже тождества, содержащие п' и я*', ока-
окажутся полезными в дальнейшем. Для сокращения записи по-
положим ')
п;(х, xf) = gij(x, x')n'i(x,x'). G.4)
Тогда из G.1) и G.3) следует, что векторы п\{х, х') и я, про-
пропорциональны. Используя далее определение A.6.4) косинуса
Минковского и тот факт, что векторы я' и я*' единичны, легко
установить, что
( '
где
* (х, х') = Sll (х, х') п*' (х, х') п» (х, х'). G.6)
Кроме того, из B.14) и G.3) мы имеем
В* (х, х') п*1 (х, х') = О, G.7)
Очевидно поэтому, что мы должны найти второй набор проек-
проекционных параметров Щ, обратных к В'а, так, чтобы
Щ (х) п* (х) = 0. G.7а)
Это легко сделать следующим образом: по аналогии с B.6) оп-
определим тензор гиперповерхности, не зависящий от направле-
направления, полагая
Записывая
ЪЧ (и) = Ya6 («) git (x, n) В[ (х), G.8а)
мы видим, что выполняется условие G.7а), и в то же время
= Ор И
Легко проверить, что в соответствии с B.18) имеют место ра-
равенства
Spfe (х) В/В (х, х') = Ь) - -1 n*k (x, х') п) (х, х') G.10)
две такие точки Ри Р2, что проходящие через них гиперплоскости параллельны
Тп-и это следует из выпуклости индикатрисы. Оба вектора РРи РР2 удовле-
удовлетворяют условиям G.1); после выбора подходящей ориентации один из этих
векторов может быть принят за п'. Пусть Рз — такая точка на гиперэллип-
гиперэллипсоиде gtj ух, х'щ) х'1х'1 = 1 (*ц фиксирован), что проходящая через нее каса-
касательная гиперплоскость параллельна Тп-\. Обозначим через Р* точку, в кото-
которой вектор РРз (продолженный, если необходимо) пересекает индикатрису.
Тогда л*' {х, ж('0)) представляет собой вектор PPt.
') Следует отметить, что п\ не являются ковариантными компонентами
вектора п*'.
§ 7. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 237
х) Ь] (х) = Ь)-пк (х) щ (х). G.10а)
Определим теперь нормальную кривизну пространства Fn-\
с помощью следующего геометрического построения. Рассмо-
Рассмотрим две бесконечно близкие точки Р(х'), Q(xl + dx') кривой С
пространства Fn-i. В точке Р для касательного вектора х'1 к С
в силу G.1) выполняется равенство
= 0; G.11)
поэтому, согласно A.6.4), cos(n, х') = 0 в этой точке.
Перенесем вектор я,- из точки Р в точку Q с помощью б-па-
раллелизма (гл. II). Тогда мы получим вектор
щ + d*nt = щ + Pihk (x, х') nh dx\ G.12)
Вычислим в точке Q косинус для векторов nl -f- d*nl и хп + dx'1,
где х'1 + dx'1 — единичный вектор, касающийся кривой С в этой
точке. Тогда
dq = cos (п + d*n, х' + dx') = н{х + }^a-i) FixVdx. x' + dx') ¦
G.13)
Ясно, что dq характеризует изменение направления т при пе-
переходе из точки Р в точку Q и, следовательно, представляет
некоторую меру кривизны пространства Fn-\ в точке Р в на-
направлении PQ.
В силу G.11) числитель правой части G.13) может быть
записан в видеп(^д:" + d*tiiXn. Но поскольку равенство G.11)
выполняется всюду вдоль кривой С, то после дифференциро-
дифференцирования мы имеем nt dx'1 = — dnt xn. К тому же знаменатель в
правой части G.13) отличается от единицы только членами
первого порядка малости. Следовательно, пренебрегая членами
второго порядка малости, мы найдем
dq х'1 (d-nt - dnt)
ЧГ Та ' GЛ4>
замечая при этом, что п' + dn' является единичной нормалью
к Fn-i в точке Q. Ясно, что это выражение не зависит от про-
производных вектора хп, касательного к С, и поэтому одинаково
для всех кривых пространства Fn~\ с общим касательным век-
вектором в точке Р. Таким образом, формула G.14) представляет
собой свойство самой гиперповерхности. Величина dq/ds на-
называется нормальной кривизной пространства Fn-\ -в точке Р
в направлении х'' и обозначается через \R(x, лг')]-
Очевидно, что это определение совпадает с соответствую-
соответствующим определением в классической дифференциальной
238 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
геометрии. Действительно, подставляя G.12) в G.14), мы будем
иметь
1 da / dn, h dxk \ ,
l_ { <¦_ p ft iv r\ 1 „ri
R (x, x') ~ ds — \ds n k{X' X ' Uh d,
или, согласно B.3.17) и G.11),
1 bn.. ., bx'1
R (x, x') bs x n' 6s
G.15)
Кроме того, рассматривая кривую С как кривую пространства
Fn и используя определение A.8а) для ее кривизны \/г, мы из
G.15) и определения косинуса Минковского A.6.4) выводим,
что
cos I n ,
Поскольку bxfi/6s совпадает по направлению с главной нор-
нормалью кривой С по отношению к Fn, то ясно, что этот резуль-
результат представляет собой обобщение теоремы Мюснера.
В качестве приложения этой теоремы рассмотрим случай,
когда С является геодезической пространства Fn-\. Обозначая
кривизну этой геодезической (рассматриваемой как кривая
пространства Fn) через (R*{x, At')), мы находим из A.8а),
G.2) и G.3)
Следовательно, поскольку косинус является функцией, одно-
однородной нулевой степени по своим аргументам направлений,
уравнение G.16) примет вид
cos(n, п*) _ 1 ,_ 17.
R*(x, x') ~~ R(x, x') ¦ К-'Л1>
Таким образом, нормальная кривизна R~l(x,x'), вообще говоря,
не совпадает с кривизной геодезической пространства Fn-\ (рас-
(рассматриваемой как кривая из Fn), касающейся к х" в точке х1.
Действительно, из G.16) следует, что R~1(x, x') является кри-
кривизной той кривой из Fn-\, касающейся к хп в точке х\ у ко-
которой главная нормаль совпадает по направлению с п'. Тем
не менее проведенное выше построение показывает, что оба
радиуса кривизны R и R* являются инвариантами. Они есте-
естественно приводят к двум различным вторым фундаменталь-
фундаментальным формам. Мы будем называть (R*(x, х'))~1 вторичной нор-
нормальной кривизной^) пространства Fn-\ в направлении х'1.
') Рунд [10, II], с. 202. Очевидно, что радиус R* (х, х') не может быть
получен путем вариации единичной нормали п*'(х, х').
§ 7. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 239
2. Две вторые фундаментальные формы. Рассмотрим век-
векторное поле X'(s), определенное вдоль кривой С пространства
Fn-\ и касательное к Fn-\. Из определения B.3.17) б-производ,-
ной, а также из B.4.10) и C.2) мы имеем
или, вводя б-производную от Ха относительно пространства
Fn-u
-fo-=lf)yXU +Ba-fo-, G.18)
где
/pv = flpv-fi?rP$ + rU?Jj*. G.19)
Непосредственно видно, что эти величины являются компо-
компонентами тензора, получаемого с помощью процесса «смешан-
«смешанного» дифференцирования того типа, котэрый был рассмотрен
в § 4. В действительности для б-дифференцирования можно
развить аналог «D-символизма». Именно, определим по ана-
аналогии с D.24) следующую производную для тензорного, поля
Th — 'г
OYY ai---as'— У ai-"as'
, V Th ¦¦¦ 'n
2T ^ r 3 ^ avy
^ r . as^ avy G.20)]
Член дуТ ' га, ...а в правой части обозначает результат диф-
I S
ференцирования Т1 ra,...as no «Y; при этом у тензора
Т ' '" га ... а учитывается изменение аргумента направлений
(если он есть). В связи с этим важно учитывать, задаются ли
аргументы направлений в терминах координатной системы про-
пространства Fп или же пространства Fn-\. В частности, на Fn-\ мы
имеем
1
Ясно, что можно было бы также определить 6Y-оператор,
однако в дальнейшем такой оператор не понадобится.
Существенны следующие замечания. Во-первых, ясно, что
G.19) является частным случаем выражения G.20), если
240 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
положить
G.20а)
и учесть, что б« не зависят от направления. В отличие от тен-
зораЯр, эйлеровой кривизны из § 4, тензор /,'у симметричен
по своим нижним индексам. Простое сравнение, основанное
на D.33), показывает, что в обозначениях, принятых в § 4,
справедливо соотношение
Во-вторых, прямое вычисление, использующее уравнение C.25),
дает
Vap ("> "') = B'J?gtlsk (x, x') - б^ВЦ, G.21)
где векторные аргументы касаются к Fn-\ и совпадают с на-
направлением дифференцирования. Величины /ар, рассматривае-
рассматриваемые как компоненты вектора пространства Рп, представляют
собой образующие нормального конуса. Действительно, в силу
B.6) уравнение C.10а) может быть записано в виде
„ д/< г» 6—„ RifRi 4-r*i
что с помощью G.19) сводится к
0 (х х') Ri I1 (x х') =0 G 99\
После сравнения этого результата с G.13) ясно, что мы можем
определить тензор Qag(«, и') гиперповерхности уравнением
I1 (х х'\ = и*' (х х'\ Q* (и и') G 941
Компоненты этого тензора можно рассматривать как коэф-
коэффициенты одной из вторых фундаментальных форм простран-
пространства Fn-\. Действительно, мы можем записать уравнение G.18)
в виде
^- = n*Up (и, и') XV3 + ба ^ , G.24)
который представляет собой разложение ковариантной произ-
производной от X' на компоненту, касательную к гиперповерхности,
и на компоненту, касательную к нормальному конусу. Если, мы
теперь применим это уравнение к касательному вектору хп
дезической пространства F4-i (du'a/bs = 0), то
Лг'' • а
ил *1г\* / /\ /Ct /р
{и, и) и и ,
§ 7. ТЕОРИЯ. ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 241
Поскольку п*' является единичным вектором, то отсюда сле-
следует, что кривизна этой геодезической (рассматриваемой как
кривая пространства Fn), как и в классической дифференциаль-
дифференциальной геометрии, представляется равенством
= QuB (м. и')и'аи' =— - —г-. G.25)
R* (х, х')
Назовем выражение Q*a& (и, и') dua duR дополнительной второй
фундаментальной формой1). Мы будем отличать ее от другой
второй фундаментальной формы, к выводу который мы пере-
переходим.
Как и в уравнении G.25), выразим нормальную кривизну
через «квадратичные» формы. Подставляя G.24) в G.15), мы в
силу G.1) и G.17) имеем
R (х, х7) — 'Н1 ар ^' "') "/<Х"' ' G-26)
Положим
(и, и') = ml\# (и, и'); G.27)
i-i
тогда уравнение G.26) примет вид
1 Оге„ (и, и') duadu&
R(x,x') ~ ga&(u,u')duadu^
Выражение Qa$(u, u')duadu$, стоящее в числителе правой
части этого уравнения, называется второй квадратичной фор-
формой пространства Fn-\-
Из симметрии коэффициентов /«р следует, что оба набора
коэффициентов Qap и й«р симметричны по индексам аир.
Между Qap и Qap существует простое соотношение. Если
мы умножим уравнение G.23) на tii и учтем, что п' и п*1 яв-
являются единичными векторами, то из определения A.6.4) коси-
косинуса Минковского получится
rt;/a|3 = COS (Л, П*) QJp. G.29)
Поэтому из G.27) и G.29) следует равенство
Qap (и, и') = Q^ (и, и') cos (п, л*). G.30)
Коэффициенты Qa0 второй фундаментальной формы снова
могут быть интерпретированы в терминах вариации единичной
нормали пространства /V-i2). Действительно, если мы возьмем
') Рунд [9], с. 493.
2) В действительности коэффициенты Qag были врервые определены с цо-
G.3); Рунд [10, II], с. 199,
242 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
о
ба- производную от G.1), то
или после подстановки G.20а) и G.27)
^{). G.31)
Это уравнение полезно также, если мы хотим выразить ва-
вариацию единичной нормали через вторую фундаментальную
форму. Это делается следующим образом: умножая G.31) на
Ь/ и учитывая G.10а), мы получаем
<V? = - V/ + ni
или, вследствие единичности вектора п1,
g'l (x, n) QafJ6» = - g4 (х, n) 6ап, - п'(лАввлл). G.32)
Кроме того, из G.1) вытекает
g" (х, п) Ьап, = дап1 + g" {x, n) cht, an\ G.33)
где для краткости мы положили
о
Cih.a = bagih(x, ft). G.34)
Используя еще раз соотношение G.1), мы получим
пЛапн=-±сы,апнп'. G.35)
Подставляя G.33) и G.35) в G.32) и используя G.8а), мы на-
находим следующее выражение для вариации вектора ri;
р - chk, У [ё1к (х, я) - y rin*]. G.36)
В связи с этой формулой заметим, что член chu, anh не со-
содержит производных дпк/диа (как можно было бы ожидать
с первого взгляда), так как если мы разложим выражение для
о
6ап1 с помощью G.34), то содержащий производные дпк/ди*
член тождественно обращается в нуль вследствие однородно-
однородности. Таким образом, выражение 6ап1 зависит только от коор<
динат многообразия и направления х' дифференцирования, т. е.
оно является одним и тем же для всех кривых пространства
Fn-u которые имеют общую касательную хп в рассматриваемой
точке.
5 1. ТЕОРИЯ. ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ, МИНКОВСКОГО 243
О
Можно также вычислить ба-производные от образующих
п*' нормального конуса. Способом, аналогичным описанному
выше, мы найдем
1аПч (х, х') = - Ч> (*, х') g^ (и, и') fl'Q^ (и, и') -
- с\и а (х, х') п*» (х, х') [g'l (х, х') - щ п'1 (х, х') n*i (х, х')] +
+ yMlnilOn"(*, *0. G-Зба)
где
c'hi,a{x,x') = lagh!{x,xr). G.37)
В противоположность уравнению G.36) уравнение G.37)
имеет тот недостаток, что правая часть его содержит производ-
о
ные от хп, так что Ьап*1 (х, х) зависит от кривой простран-
пространства Fn-u вдоль которой происходит дифференцирование. Этого
следовало ожидать вследствие геометрической природы век-
вектора п*'(х, х').
- 3. Главные направления. Возвращаясь к уравнению G.28),
мы видим, что естественным обобщением индикатрисы Дюпена
классической дифференциальной геометрии является (п — 2)-
мерное геометрическое место точек, определяемых уравнением
О„э(и, ы/)и/а«'Р=1. G-38)
которые принадлежат гиперплоскости Тп-.\, натянутой на век-
векторы В'а в Тп- Разумеется, G.38) не является, вообще говоря,
квадратичной поверхностью.
Определим теперь главные направления. Это направления,
определяемые такими точками на гиперповерхности G.38), что
расстояние в метрике Минковского от этих точек до центра ин-
индикатрисы принимает экстремальное значение относительно
соседних точек гиперповерхности G.38). Другими словами,
главные направления задаются экстремальными значениями
выражения gap(u, u')u'au'® при дополнительном условии
Qap(«> и')и'аи'&=1, где иа фиксированы.
В силу G.28) из этого определения следует, что главные
направления — это такие направления, для которых нормаль-
нормальная кривизна принимает экстремальные значения. Действи-
Действительно, согласно G.28) и G.38), длины радиус-векторов и'а ин-
индикатрисы Дюпена равны просто -^R{u, и').
244 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
В соответствии с методом множителей Лагранжа мы ищем
решения уравнений
-~ {&» (и, и') u'au'* + К (па„ (и, и') и'аи'ь - 1)} = 0.
он
Вследствие A.3.5) эти уравнения сводятся к
2gav («. «') и'а -f 2AQav (и, и') и'а + К —? и/в«'е = 0. G.39)
ой "
. Кроме того, мы можем записать G.27) в силу G.19) и G.1)
в виде
fins = ш (Впл -' п
После дифференцирования этого уравнения по m'v получается
соотношение
Следовательно, используя B.5.12), мы имеем
^^«'VP = 0. /7.40)
ди'у
Поэтому G.39) сводится к виду
gay {и, и') и'а = - Шау (и, и') и'\
и, умножая это уравнение на u'v и учитывая G.28), мы нахо^
дим
K = -R(x, к').
Таким образом, главные направления удовлетворяют урав-
уравнениям.
gay (и, «0 и'а = R (х, х') QaY (и, «О «/а, G.41)
где R~] (x, х/) — нормальная кривизна, соответствующая этим
направлениям.
Так как эти уравнения нелинейны, то в общем случае не-
невозможно получить какую-либо информацию о числе незави-
независимых решений, и поэтому невозможно определить гауссову и
среднюю кривизну так, как это делается в классической диф-
дифференциальной' геометрии. Тем не менее мы увидим, что, не-
несмотря на эту трудность, главные направления G.41) обладают
многими свойствами своих евклидовых аналогов.
Прежде всего предположим, что существуют по крайней
мере два независимых решения и^", и'^ (это возможно из гео-
геометрических соображений). Записывая два уравнения G.41),
§ 7. ТЕОРИЯ. ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 245
соответствующих каждому из этих решений, и умножая их на
и'2, и'2 соответственно, мы имеем
а (и u')umu'y = R О (и и' \и'аи'у G 41а)
Sap V. ' (I)/ A) B) v(l) ay \ ' A)/ A) B) \i .tiaf
И
где R(i) и Rii) — нормальные, т. е. главные, кривизны, соот-
соответствующие направлениям u(',", м^'"'. Поскольку функции
Qay(u, и') однородны нулевой степени по и'а, мы можем нор-
нормировать векторы «',", ы('2° так, что они будут единичными;
тогда, вспоминая определение косинуса Минковского A.6.4) и
вычитая G.41 Ь) из G.41 а), мы получим
cos (и'а), и'{2)) - cos (»'2), иа)) _ Г Qav (и, u'(l)) ^ Qay (», »'2)) "I ^/a^/v
G.42)
Этот результат ') является обобщением соотношения орто-
ортогональности между главными направлениями из классической
теории. Действительно, если бы косинус был симметричным по
своим аргументам направлений и если бы коэффициенты QaY
не зависели от направления, то из G.42) следовало бы, что
главные направления соответствуют сопряженным направле-
направлениям индикатрисы Дюпена. Поэтому или уравнения G.4а) или
же уравнения G.41Ь) приводили бы к закону ортогональности.
Далее, если мы умножим G.36) на и'а и просуммируем по
а, то, как легко видеть, это уравнение записывается в следую-
следующем виде:
или, после использования G.8а) и упрощения,
S/t, _ .„.я. 1 I Vkht, \ h k
US = Q«3" bi + 2
В частности, из G.1) и G.9) следует, что
G.44)
Предположим теперь, что и'а в этом уравнении является глав-
главным направлением. Обозначая с помощью fa = g( ')'$
ковариантные компоненты вектора и'а и принимая во внимание
') Р у н д [9], с. 496.
246 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
уравнения G.41) для главных направлений, мы в силу G.44)
имеем
, б/г, 1
Bla-^-=-R-\х, x')va. G.45)
Таким образом, проекция ковариантной производной вдоль
главного направления единичной нормали на гиперповерхность
совпадает с этим главным направлением'). Эта теорема яв-
является обобщением классической формулы Родригеса. Следует
заметить, что, в отличие от классической теории, ковариантный
дифференциал вектора nt имеет, вообще говоря, ненулевую нор-
нормальную компоненту.
Поскольку, как мы видели выше, средняя кривизна не мо-
может быть определена непосредственно с помощью индикатрисы
Дюпена, постараемся найти другую аналогию из классической
дифференциальной геометрии, чтобы прийти к подходящему
определению. Напомним тот факт, что поверхностный лапла-
лапласиан V2r радиус-вектора г данной точки поверхности, вложен-
вложенной в трехмерное евклидово пространство, задается формулой
V2r = Мп, где п — единичная нормаль к поверхности в этой
точке, а М — средняя кривизна. Замечая, что в финслеровых
пространствах оператор Лапласа представляется выражением
о о
g 6аб„, зависящим от направления, рассмотрим выражение
ga* (и, и'N„ &*') = ?°Р (и, W) 6авЬ = gep (и, и') 4,
где последнее соотношение является следствием G.20а). Мы
видели (уравнение G.22)), что /?р является образующей нор-
нормального конуса, поэтому, по аналогии со сказанным выше,
уравнение
g«0 (и, и') К (?„*') = М* (и, и') п*( (х, х')
определяет скаляр М* (и, и'). Поскольку п*! является единич-
единичным вектором, то М*(и, и') представляет собой поверхностный
лапласиан и поэтому будет рассматриваться как средняя кри-
кривизна. В силу G.23) из двух последних уравнений следует, что
среднюю кривизну можно представить в виде
ЛГ (и, и') = g«P (И, и') Ql& (и, и'). G.46)
Аналогично средняя кривизна, соответствующая второй фун-
фундаментальной форме Qap, определяется равенством
М (и, «0 = YaP («) Qap (и, и'). G.46а)
') Аналогичные результаты получены Рун дом [10, II], с. 206.
§ 7, ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 247
Инвариант G.46а) имеет очень простой геометрический смысл.
Действительно, используя G.31) и G.8а) и независимость век-
вектора щ от направления, мы можем записать
М (и, и') = - gi! (х, n) b°6atit;
следовательно, из G.1) и G.10а) мы выводим
М (и, и') = - n*ft - ghi]kn" [gik - j nW~\. G.47)
Первое слагаемое в средней кривизне М(и, и') является ди-
дивергенцией единичного нормального векторного поля пк про-
пространства Fn-\. Второе слагаемое в правой части G.47) неиз-
неизбежно появляется вследствие того, что вектор б/г' не касате-
лен к Fn-ь
Говорят, что направление и'а является асимптотическим,
если оно удовлетворяет уравнению
Qap (и, uf) u'aus = 0. G.48)
Свойства асимптотических направлений в финслеровой геоме-
геометрии вполне аналогичны соответствующим свойствам в класси-
классической дифференциальной геометрии, как это видно из следую-
следующих ниже теорем. Для асимптотических направлений нормаль-
нормальная и дополнительная нормальная кривизны пространства Fn~\
обращаются в нуль. Это утверждение прямо следует из G.28)
и G.30). Кроме того, в силу G.24) мы имеем: главная нормаль
(гбх''/os) асимптотической кривой пространства Fn~\ (рассма-
(рассматриваемой как кривая пространства Fn) касательна к Fn-\.
В частности, если касательные к геодезической Г пространства
Fn-\ являются асимптотическими направлениями, то Г также
является геодезической пространства Fn- Обратно, геодезические
пространства Fn, лежащие в Fn-u являются геодезическими
пространства Fn-\ и касаются асимптотических направлений
пространства Fn-i- Из уравнения A.9) следует также, что если
геодезическая пространства Fn-\ касается асимптотического на-
направления в точке Р, то она имеет соприкосновение по край-
крайней мере второго порядка с геодезической пространства Fn, ка-
касающейся ее в точке Р.
Если все геодезические пространства Fn~\ являются также
геодезическими объемлющего пространства Fn, то гиперповерх-
гиперповерхность Fn-\ называется вполне геодезической. Необходимое и
достаточное условие того, чтобы Fn-\ была вполне геодезиче-
геодезической, состоит в том, чтобы уравнение G.48) выполнялось для
всех (и, и'). Дифференцируя G.48) по и'у и и'6 и принимая
во внимание G.40) и C.3.15), мы найдем, что вполне
248 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
^геодезические гиперповерхности характеризуются условием
% («, и') + nfi),, h (x, x') x'h Bky[ = 0. G.48а)
Это уравнение и уравнение G.36) показывают, что в общем слу-
случае единичные нормали вполне геодезических гиперповерхно-
гиперповерхностей не параллельны в объемлющем пространстве (в отличие
от римановой геометрииI).
В § 5 мы отметили, что эйлеров тензор кривизны может ин-
интерпретироваться в терминах малых деформаций подпростран-
подпространства, хотя окончательный результат не так прост, как в рима-
римановой геометрии (уравнение E.33)). Такой же вывод можно
сделать и в данном случае. Поскольку вычисления в обоих
случаях очень похожи, мы ограничимся только формулиров-
формулировкой окончательных результатов. Отправляясь от гиперповерх-
гиперповерхности Fn-i, мы построим новую гиперповерхность Fn-i как гео-
геометрическое место точек с координатами х' -f- ш\ где п' — еди-
единичная нормаль, отвечающая точке х\ принадлежащей Fn-\-
Если Р(х') и Q(x'-{-dx') —две точки из Fn-\, стоящие_на рас-
расстоянии ds друг от друга, то они определяют точки Р, Q на
гиперповерхности Fn-i, стоящие на расстоянии ds. Пренебрегая
членами высокого порядка малости по е, легко показать, что2)
(ds \2 . о / , , dx' дп' ,_ .,-.,.
¦Ж) - l = ^i, (х, dx)-^-^. G.49)
Используя G.36), этот результат можно записать в более явном
виде
ev in, W) тю[а„ + с1К „я* (в| +1 b»v,(«V)] u'V. G.50)
4. Уравнения Гаусса и Кодацци. Для того чтобы найти
соотношения между коэффициентами Qa|3 второй фундаменталь-
фундаментальной формы пространства Fn-\ и тензорами кривизны простран-
пространства Fn, необходимо выразить /„з через компоненты нормали.
Для этого мы определим новый набор величин ©L, полагая
Займемся прежде всего нахождением явных выражений для
«ар- Используя G.23) и G.30), мы видим, что уравнение G.51)
может быть записано в виде
[sec (п, п*) пн — п<]
<] =
') В работе Кернса [1] изучаются геодезические многообразия, транс-
версальные к данному подпространству (произвольной размерности), в терми-
терминах нормальных координат.
2) Рунд [9], с. 499-50Q.
§ 7. ТЕОРИЯ, ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 249
Кроме того, из A.6.4) следует, что
п1 = sec (п, п*) п'1 — \хаВ'а,
где мы положили
,га=-п'В?. G.52)
Следовательно, мы имеем
и уравнения G.51) принимают вид
1 Л G.54)
Предположим теперь, что аргументы направлений, встре-
встречающиеся в этих тензорах, задаются векторным полем Ъ,'(хк),
касательным к Fn-\- Мы можем, далее, взять соответствующую
о
6Y- производную от G.54) и прямыми вычислениями, аналогич-
аналогичными тем, которые применялись при выводе коммутационных
формул, показать, что
0 г ° i hk-~i г~а
Тензор кривизны в этом равенстве определяется по отношению
к коэффициентам FpY пространства Fn-\ формулой, в точности
соответствующей D.1.5). Применяя равенство G.55) к G.51),
мы найдем
г~б ~i ны ° i ° t
-J- tl (Qap ;у — йо-у; р) "Г" 6YCOup — брСОау G.56)
О
Подставим в это соотношение выражение для 6угсг из уравне-
уравнения G.36). После некоторых упрощений мы получим следую-
следующее уравнение:
,: Y
^ Л V [Chk, pOaY
+ g'* (*, n) ft" (cftfe, pQaY - chk< YQep) + бу<э - 6p<Y. G.56a)
Умножим это уравнение на gi}{x, n) B'K и учтем G.1) и G.8).
Это приведет нас к
(«Y^aP ~ %Ay) = 8i, (*• ») ^Ш^Ж* +
Ы pQaY - cftkl AP) + g4/ (*, «) В{ (бусо^ - 60<Y). G.57)
250 Гл. v. подпространства финслеровых пространств
После умножения G.56а) на ?;/(*, п)п! аналогичным обра-
образом получим
ft/ <*. п) пЩыВ™у = (Qa0; у - Qav; 0) +
+ 7 "*** (^, pQaV - Ckk, vQaP) + ft, (*> ") «' (\4f> ~ K<,)' <78)
Уравнения G.57) и G.58) являются обобщениями уравнений
Гаусса и Кодацци классической дифференциальной геометрии.
Сравнивая эти уравнения с соответствующими уравнениями ри-
мановой геометрии, мы видим, что существенные отличия
(кроме невозможности свертывания членов с различными ар-
аргументами направлений) возникают из-за дополнительных чле-
членов, включающих ©' и chk о. Это снова является следствием
того факта, что ковариантные производные единичных норма-
нормалей не касательны к гиперповерхности. Из уравнений G.57) и
о
G.58) можно исключить б-производные от ©L. Действительно,
дифференцируя соотношения G.53) и G.20а), мы находим
Заменим в этом уравнении /eY выражением G.54), после чего
полученное соотношение может быть записано в виде
+ (QgYQa0 - QepQaY) №*) + n' (Q&yQ4 - QeflQaY) jx«. G.59)
Умножение G.50) на gil{x, n)B[ в силу G.8) и G.1) дает
X, П) В{ FYC0^ - VaY) = V
(eA* e8aY) FV y^)}
Аналогично, если мы умножим G.59) на Цц(х, п)п'', то
8{1 (X, П) П' (бу<9 - fip<v) = (Q«V°aB - Q6^aY) ^6- (
Подставим уравнения G.60) и G.60а) в G.57) и G.58) соот-
соответственно. Тогда уравнения Гаусса и Кодацци принимают свой
окончательный вид ')
chk, pay - chk, YQa6)
') Рунд [9], с. 502.
§ 7. ТЕОРИЯ. ОСНОВАННАЯ НА МЕТРИКЕ МИНКОВСКОГО 251
ft/ <*,
+ ~ nhnk (chk, pQaY - ckk. упч) + (Q6YQap - Q6pQaY) ц«. G.62)
Другие формы уравнений Гаусса и Кодацци получаются при
рассмотрении коэффициентов Qap дополнительной второй фун-
фундаментальной формы вместе с заданной образующей п*'(х, х')
нормального конуса. Для того чтобы вывести искомые соотно-
ношения, рассмотрим вместо G.54) уравнение G.23). Вычис-
Вычисление проводится аналогично тому, как это было сделано выше
(в действительности это вычисление проще, так как отсутствуют
аналоги членов coL), и поэтому мы его здесь опускаем. Аль-
Альтернативные формы уравнений Гаусса и Кодацци имеют сле-
следующий вид:
KaKyfi ("> «О — 'Ф (йауЯад — йазйху) ~
= Kktlk (X, X') efap'v - П1В[ (c*t, yQ;0 - Ср. рОау) G.63)
И
где с*. а задаются уравнением G.37).
5. Подпространства произвольной размерности. До сих пор
наше рассмотрение теории подпространств финслерова про-
пространства ограничивалось случаем гиперповерхности Fn-i, вло-
вложенной в Fn. Элиопулос1) обобщил развитую выше теорию на
случай подпространства Рт из Fn коразмерности, большей еди-
единицы. Это обобщение не тривиально, поскольку нельзя по-
построить систему нормалей так же, как в классической теории.
Однако окончательные результаты аналогичны описанным
выше, так что мы не станем излагать подробно эту теорию,
а лишь укажем ее главные отличия.
Рассмотрим (я — т) нормалей п', нормированных согласно
GJJ), вместе с (п — т) независимыми решениями п*1(х, х')
уравнений gtl (х, х') В<ап'' = 0. Что касается проекционных мно-
множителей, то теперь мы должны положить
bai=gn{x, п)ча*В' G.65)
') Элиопулос [I], с. 1—63; [2].
2) В оставшейся части настоящего параграфа ц, v, ... = т. + 1, ..., п.
Суммирование по этим индексам будет указываться явно.
252 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
где
1-1 1ХМ
Векторы л*' можно выбрать так, чтобы удовлетворялись соот-
соотношения типа
gtl (х, х') п (х, х') n*i (х, х') = % (х, х') №, G.67)
где функции i|)u(x, x') являются обобщениями функций, опре-
определяемых уравнением G.6). Соотношение между различными
нормалями задается формулой
|Х V V
где мы положили
Pnv = cos (ft, ft*) М\,)~'- G.68a)
|X V
Как и раньше, мы будем использовать коэффициенты инду-
индуцированной связности. Определение тензора /ар остается преж-
прежним, в частности он продолжает удовлетворять соотношению
ортогональности G.22). Поэтому мы можем определить коэф-
коэффициенты Qag уравнениями
'ар = 2-i ^арЯц • G.ОУ)
В то же время для альтернативных коэффициентов QaB есте-
и
ственным является определение
йар = X ^ар COS (ft, ft"), G.70)
V |Х |Х V U
которое является обобщением G.30). Ковариантная производ-
производная касательного вектора х'1 к кривой пространства Fm может
быть выражена в виде
T-^(Qag« и )п +бат, G.71)
и из G.70) следует, что
nt Ьх' = Qap«'a«'p. G.72)
Квадратичная форма в правой части этого выражения слу*
жит для описания нормальной кривизны пространства Fm, от-
отвечающей нормали п1. Из уравнения G.72) может быть снова
V
§ 8. ГЕОМЕТРИЯ ИНДИКАТРИСЫ И ЗНАЧЕНИЕ ТЕНЗОРА Sijhk 253
выведена теорема Мюснера. Дополнительные вторые фунда-
фундаментальные формы Q*a$u'au'® связаны с соответствующими до-
v
полнительными нормальными кривизнами пространства Fm так
же, как в случае гиперповерхностей. Обобщенное соотношение
«ортогональности» G.42) сохраняет свою форму, хотя аналог
формулы Родригеса G.45) становится значительно более слож-
сложным и теряет свою геометрическую наглядность.
Уравнения Гаусса и Кодацци естественно становятся гораздо
более громоздкими. Согласно G.56) мы имеем соотношение ')
?>6А ауC \Ц> II } — *\hkl \Х, л ) Daf^Y ~Т~
0 ° »• v-i»-/»
~Т* 2-t \ььA$УуН' — u2(xyO^AZ J -p 2.J ft \*'afii;Y — "ау;Cу* G.7о)
|Л|Я |Л U |Л |Л|Л|Л
Умножение этого уравнения на gtl(x, x')В'к и gif(x, x')n*! дает
искомые соотношения. Окончательная форма этих уравнений,
получающаяся после подстановки в G.73) явных выражений
для производных от единичных нормалей, довольно громоздка.
Как и раньше, имеются два набора таких соотношений, отве-
отвечающих Qap и Оаз- За подробным описанием всех этих резуль-
результатов читатель отсылается к оригинальным работам Элио-
пулоса.
§ 8. Дифференциальная геометрия индикатрисы
и геометрическое значение тензора Бцнм
В предыдущей главе мы видели, что в картановской теории
кривизны финслерова пространства появляются три тензора,
один из которых обозначается через Sijhk- При изучении свойств
кривизны индикатрисы (которая, помимо всего, является ги-
гиперповерхностью в пространстве Минковского), О. В а р г а [8]
получил несколько теорем, включающих Sijhk, которые ясно по-
показывают геометрический смысл этого тензора. Настоящий па-
параграф посвящен этим теоремам. С помощью формализма пре-
предыдущих параграфов мы будем в состоянии довольно близко
следовать оригинальным методам О. Варги.
Рассмотрим пространство Минковского Мп, обладающее ко-
координатной системой, в которой коэффициенты ГЦ обращаются
в нуль. Тогда метрическая функция имеет вид F(xl) и гиперпо-
гиперповерхность
Я (*') = ^ {k = const > 0) (8.1)
') Э л и о п у л ос [1], с. 52,
254 гл. v. подпространства финслеровых пространств
гомотетична индикатрисе F(x') = 1. Гиперповерхность (8.1) мо-
может быть представлена параметрически в виде
х* = х'(иа) (а, р=1 п-1). (8.2)
После подстановки этих значений х' в (8.1) мы получим тож-
тождество относительно иа, дифференцирование которого дает
^ = 0, (8.3)
дх
так что вектор yi = F—г= ?и(х) х* нормален к гиперповерх-
ОХ
ности (8.1) (что согласуется с построением в гл. I, согласно ко-
которому радиус-вектор х' индикатрисы нормален касательной
плоскости, натянутой на В1а). Если п' является единичным нор-
нормальным вектором, то из (8.1) следует,что nl=^Jkx\ п,-= л/k г/,-.
С помощью уравнения G.8) (в котором теперь ga(x, n) за-
заменяется на gi/ (п) = gij (x)) на гиперповерхности (8.1) инду-
индуцируется положительно определенная риманова метрика, пред-
представляемая тензором Yap. Если в соответствии с § 7 мы теперь
положим
Вар = СОаВ«' + В&ар, (8.4)
то из G.1) и G.8) будет следовать, что
">ар = »Лэ. 8ц(п)В1уВ^ = ч^. (8.4а)
Далее, продифференцировав соотношение (8.3) по «Р и учиты-
учитывая G.8) и (8.1), мы найдем
а следовательно, согласно (8.4а),
»aP = VWap = -V?Yap. (8.5)
Кроме того, дифференцируя G.8) по иУ и принимая во вни-
внимание факт однородности нулевой степени функций ga(n) по п',
мы с помощью метода, аналогичного тому, который привел к
уравнению C.13а), найдем
?AS/=YaYp-CaY0. (8.6)
Здесь 7»у& — символы Кристоффеля первого рода, построенные
по Ya&. а Саур определяются формулами
(8.7)
Таким образом, в силу (8.4а) — (8.6) уравнение (8.4) принимает
вид
&а, = -куа^ + ВЪ(у%-С^). (8.8)
§ 8. ГЕОМЕТРИЯ ИНДИКАТРИСЫ И ЗНАЧЕНИЕ ТЕНЗОРА Sljhk 255
О
Как и в предыдущих параграфах, мы можем ввести 6у- опе-
оператор: он задается с помощью величин у6а„, определенных на
гиперповерхности. Из определения символов Кристоффеля сле-
о
дует, что беуая = 0. Частным случаем действия этого оператора
является формула
при выводе которой использован тот факт, что координатная си-
система х' в пространстве Минковского может быть выбрана так,
что V*hk тождественно обращаются в нуль. Уравнение (8.8)
представляется теперь в виде
что, в частности, дает
nhK = - ky^x* = - У* Ya3. (8.8b)
По аналогии с G.20а) и G.27) можно рассматривать левую
часть в уравнении (8.8Ь) как коэффициенты второй фундамен-
фундаментальной формы: согласно (8.5) они равны со^р. Кроме того, если
нормальная кривизна определяется так же, как в G.28), т. е.
равенством
1 fi>aE du" due
то из (8.5) следует #~' = У^> что не только не зависит от на-
направлений, но и является константой на гиперповерхности (8.1).
Поэтому главные направления в каждой точке гиперповерхно-
гиперповерхности (8.1) являются неопределенными; это означает, что каждая
точка гиперповерхности (8.1) является омбилической1). Таким
образом, мы видим, что любая гиперповерхность, гомотетичная
индикатрисе, состоит из омбилических точек.
о
Взяв 6Y- производную от уравнения (8.8а) и подставляя ре>
зультат в это же уравнение, находим
В получившемся уравнении мы меняем местами индексы р и
у и вычитаем его из исходного уравнения, замечая при этом,
') Бляшке [4], § 47.
256 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
что, как и раньше,
0 0 0 0. ? ft - (б
(бубр — брбу) В'а = + B'ttKayfi = — ВъКа$у'
где /*Саур— (риманов) тензор кривизны, определяемый с по*
мощью Yap, т. е.
*2* = ^ (VS Y) - ^7 (Vе. р) + Y*pY*Y - Y«YY*p.
Таким образом, мы находим
1p
+ В\ (СерСау — СеуСар) + бб (буСар — SpCay). (8.9)
Для того чтобы упростить последнее выражение, рассмотрим
более подробно последнее слагаемое в правой части. Диффе-
Дифференцируя (8.7) по «v и используя (8.8), мы получим
dCijh Rilhk
Это выражение подставляется в формальное определение
s г °РЙ г
что после упрощения дает
о
Очевидно, что выражение 6YCap симметрично по индексам Р
и Y- Поэтому третье слагаемое в правой части (8.9) тожде-
тождественно обращается в нуль, так что это уравнение сводится к
B'&i = б« ik М ~ У Л + №у - C%C°J} (8.10)
или
#6ayp = k (YapY6y — YayYpe) + ^баур. (8.10а)
где мы использовали свойства кососимметричности тензора
Да60У И ПОЛОЖИЛИ _ _
5бауР = CayCfi&e — CapCyfc. (8.11)
Из формулы (8.11) очевидно, что тензор 5&а.у$ по своей
структуре вполне аналогичен тензору кривизны Sjihk D.1.25),
который в пространстве Минковского принимает вид
Slikh(х) = F2(С?, (л)С,Нт(л) - Cmih(л)С,кт (л)). (8.12)"
§ 8. ГЕОМЕТРИЯ ИНДИКАТРИСЫ И ЗНАЧЕНИЕ ТЕНЗОРА S{fhft 25?
Кроме того, из этого определения и равенства A.3.5) мы имеем
Sjihkti1 = 0 (и еще три аналогичных уравнения). Поэтому, если
мы разложим тензор (8.12) по п векторам (щ, bf), то из G.1),
G.7а), G.9) и (8.11) будет следовать простое выражение
S,ikh = F%a^b)ba.byh. (8.13)
Для индикатрисы F = 1 = k, и, стало быть, в этом случае мы
из (8.10а) и (8.13) получаем
- YaYVP6)} Ь)ьу/Н- (8.14)
Таким образом, тензор Sjihk выражается через тензор кри-
кривизны, задаваемый индуцированной (римановой) метрикой на
индикатрисе. Ясно, что эта интерпретация останется верной и
при рассмотрении пространства Минковского Мп, касательного
к финслерову пространству Fn, поскольку это никак не повлияет
на определение (8.12) тензора Sank1)-
Пусть ?', X' — векторы, касательные к гиперповерхности
(8.1) в данной точке Р. Риманова кривизна R в точке Р отно-
относительно пары направлений, задаваемой векторами ?', X', оп-
определяется выражением (ср. уравнение D.4.23))
КЩ, g, AJ »e*wavB • 18.10)
Поэтому из формулы (8.10а) следует, что
R(u, I, X) = k + ^Vrft „ 8 . (8.16)
(YY YY) 1ЧУХ"Х»
Последнее выражение подсказывает нам определение новой
скалярной кривизны S для пространства Минковского, а имен-
именно2):
S^g Х) mkl l (8.17)
Поскольку векторы |' и X' касаются индикатрисы, то с помощью
G.8), G.8а), G.10а) и (8.13) легко проверяется, что
(YapY6Y - YaYYB6) rgY^aXp
Учитывая равенство F~2 = k, мы выводим из уравнений (8.16)
и (8.18) окончательный результат
(8.19)
') О. В а р г а [8], с. 49. См. также Л а у г в и ц [б].
г) О. Варга [8], с. 47. Это определение является прямым аналогом
определения D.4.23).
9 X Рунд
258 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Из этого соотношения вытекает следующая основная тео-
теорема: гомотетичная индикатрисе гиперповерхность радиуса \j-\fk
в пространстве Минковского имеет постоянную кривизну в ин-
индуцированной римановой метрике G.8) тогда и только тогда,
когда скалярная кривизна S пространства постоянна. Далее,
риманова кривизна постоянна и равна k тогда и только тогда,
когда скаляр S равен нулю ').
В случае2), когда индикатриса является пространством по-
постоянной кривизны, из (8.18) следует, что
56ctY3 = F~2S (YapY6Y — YaYYap)- (8.20*)
Подстановка этого выражения в (8.13) дает
S/i* = S (VaPY6Y - YaYY6p) b)bykbl. (8.2Г)
В то же время из уравнения G.8а) в силу G.8) вытекает
У^ = 81Л- (8-22*)
Следовательно, согласно G.10а),
YeP*W = BvfiK = Slh (в? - п\) = htj, (8.23*)
где
hi, = gu - ntn,. ¦ (8.24*)
Поэтому в силу (8.23*) уравнение (8.21*) сводится к виду
(8.25*)
Отметим, что при п ^ 4 уравнение (8.25*) является определяю-
определяющим соотношением для БЗ-подобного финслерова простран-
пространства 3). Следовательно, если индикатриса каждого касательного
пространства финслерова пространства Fn (n ^ 4) имеет по-
постоянную кривизну, то пространство Fn является S3-nodo6-
ным 4).
Добавление переводчика. Аналогично для любого трехмер-
трехмерного финслерова пространства справедлива формула (8.25*),
причем при такой размерности скаляр S в этой формуле может
произвольно зависеть от х". Кроме того, стандартная форма
трехмерного риманова тензора кривизны дает следующее вы-
') О. Варга [8], с. 50. Теорема является обобщением того факта, что
метрика, индуцированная на сфере евклидова пространства, имеет постоян-
постоянную кривизну.
2) Формулы (8.20*) — (8.25*), текст и ссылки к ним добавлены в русский
перевод автором книги. — Прим. перев.
3) Это определение принадлежит Мацумото [1], с. 203. См. также §1
добавления I.
4) Частное сообщение Г. С. Асанова.
§ 8. ГЕОМЕТРИЯ ИНДИКАТРИСЫ И ЗНАЧЕНИЕ ТЕНЗОРА S^ftfe 259
ражение для рассматриваемого тензора кривизны четырехмер-
четырехмерного финслерова пространства:
Sniim = hamMt, - hn!Mim + ht,Mam - himMnS. (8.26*)
В этой формуле Мц является произвольным достаточно глад-
гладким симметричным тензором нулевой степени однородности
по хп.
Пусть х', х1 -\- dx' — две точки на гиперповерхности (8.1), от-
отстоящие на расстоянии ds в индуцированной римановой метри-
метрике. Тогда по G.8)
ds2 = Yap dua duP = gtl (n) dx' dxK (8.20)
В то же время, согласно определению A.7.10), угол dcp между
двумя векторами х\ х' -\- dx' равной длины задается равенством
p
так что вследствие п1 = л/kx1 и F~2 (x) = k мы из (8.20) и (8.21)
имеем
ds = -%L. (8.22)
Таким образом, угловая метрика, определяемая формулой
A.7.10), совпадает с индуцированной римановой метрикой, за-
задаваемой равенством G.8).
Из этой теоремы и теоремы, следующей за формулой (8.19),
вытекает важный вывод: если тензор кривизны Sjihk равен нулю,
то угловая метрика финслерова пространства имеет постоянную
единичную кривизну1).
С более общей точки зрения индикатриса изучалась Ваг-
Вагнером [13]. Рассмотрим семейство всех касательных гипер-
гиперплоскостей в гиперповерхности Mn-i пространства Минковского.
Если это семейство определяет гиперповерхность в дуальном
пространстве2), то Мп~\ называется регулярной. С другой сто-
стороны, если это семейство гиперплоскостей зависит от п — г — 1
параметров, то говорят, что гиперповерхность М„-\ имеет осо-
особенность класса г. Разумеется, аналогичные определения можно
дать в дуальном пространстве. Если Мп-\ задается уравнениями
•) Картан [1], с. 35, где эта теорема устанавливается без использова-
использования индикатрисы. Доказательство, аналогичное проведенному выше, дано
Кавагути [5], с. 176—177. Кроме того, аффинная геометрия индикатрисы
изучается в этой статье способом, существенно отличным от способа Ваг-
Вагнера [13], § 1. См. также Д е лен с [2].
2) В смысле § 4 гл. I, ...
9*
260 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
типа (8.2) и если коэффициенты г),- касательных гиперплоско-
гиперплоскостей зависят от координат иа точки соприкосновения согласно
уравнениям
-Пг = П/ (ма),
то тензор gao (в обозначениях Вагнера) определяется форму-
формулой
С помощью (8.3) и (8.5) легко проверить, что этот тензор соот-
соответствует тензору уар. Аналогичное построение может быть
проведено в дуальном пространстве. Затем можно доказать,
что гиперповерхность Мп-\ имеет особенность класса г, когда
1
матрица ||gae|| имеет ранг п — г—1, и аналогично для дуаль-
дуального пространства '). Ясно, что если отождествить гиперповерх-
гиперповерхность Мп-\ с индикатрисой, то условие Лежандра может быть
сформулировано в терминах этих понятий. Если индикатриса
имеет особенность класса г, то уравнения Эйлера—Лагранжа
соответствующей вариационной задачи представляются в кано-
канонической форме, включающей дополнительные параметры. При
/¦ = 1 можно найти полный набор дифференциальных инва-
инвариантов. За полным описанием этих результатов читатель от-
отсылается к работе Вагнера [10], где получены первая и вто-
вторая вариации интеграла длины, соответствующего сингулярной
метрике, что приводит к условиям Якоби и Вейерштрасса для
таких метрик.
§ 9. Сравнение индуцированных
и внутренних коэффициентов связности
В § 3 мы отмечали, что индуцированные коэффициенты
связности подпространства Fm пространства Fn, которыми мы
пользовались на протяжении настоящей главы, вообще говоря,
не совпадают с внутренними коэффициентами, т. е. с коэффи-
коэффициентами PgY или Гру.получающимися из индуцированного ме-
метрического тензора gap и его производных точно так же, как
получаются коэффициенты ГЦ и ТЦ из тензора цц и его про*
изводных. Мы закончим настоящую главу тем, что установим
формулы, связывающие эти коэффициенты.
С этой целью обратимся к уравнению C.7), задающему
связь между индуцированными коэффициентами подпростран-
подпространства Fm и коэффициентами пространства Fn. С помощью C.1.10)
') Вагнер [13], с. 72. .
§ 9. СРАВНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ СВЯЗНОСТИ 261
можно записать это соотношение в виде
ChlkBtyB&ti*. (9.1)
Вычтем из этого выражения уравнение C.13а); в результате
получим
Г^ = YaPY + Ch
hkr В (^ )
- ChkrB$ (fi? -^ + ВГаейе) ¦ (9.2)
Если мы положим
Ql = T BaY"a"V + G'> (9-3)
так что
Qb==1F= 31F+ ВвИ> ( )
то уравнение (9.2) сведется к
raPv = Ya3Y + Ch*r EayO3 ~ Bp^O- (9.5)
Кроме того, используя C.1.27') и C.14), мы в этих обозна-
обозначениях имеем
Ga = BiQ1, (9.6)
и, следовательно,
Согласно C.1.30) коэффициенты внутренней связности оп*
ределяются равенством ')
l Y L +C (9.8)
В силу (9.7) и B.22) это равенство принимает вид
(9.9)
') Заметим, что вследствие C.15) не существует различия между вну-
внутренними коэффициентами Ga и индуцированными коэффициентами Ga, так
что нет необходимости в различных обозначениях. В силу B.22) то же самое
относится и к CaBv.
262 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Однако если мы положим
2Н1 = Ы]н'аьйай*, (9.10)
то из D.11), D.33) и A.3.5) будет следовать, что
Н' = \ N\ (варм V + ПМйвир) = Nfe1. (9.11)
Дифференцирование этого соотношения с использованием
B.18) и (9.4) дает
А^ (9-12)
ди ди
Подставим в это выражение уравнение (9.9) и применим
B.18). Тогда четыре слагаемых обращаются в нуль, и оконча-
окончательная форма уравнения (9.9) имеет вид
'I'apY = YapY + Chkr (Ва</&$ ~ SfSY^a) +
( hk дНГ hk дНГ\ in 1 о\
(9.13)
Сравнивая этот результат с (9.5), мы получаем ')
'Г Г Г ( Dhk дИ' Rhk 1Ё
1 a|3Y —laPY = Cftftr| ^By^TH ВаУ ~d(
В частности,
(Topv (и, и') - Гару (и, и')) и/у = 0. (9.14а)
Таким образом, если смещение совпадает по направлению с
опорным элементом, то процесс ковариантного дифференциро-
дифференцирования является одинаковым для обеих связностей2).
Уравнение (9.14) имеет тот недостаток, что оно содержит
производные дН'/дй"* (которые должны вычисляться в каждом
случае); кроме того, оно включает коэффициенты rapv вместо
Гиру. Поэтому мы выведем сейчас эквивалентные фор-
формулы, которые исправят положение дел, хотя и не будут на-
настолько же простыми.
Как и ранее, из соотношения C.1.29) следует
(9.15)
-..у
') Эта формула приводится в другом виде (без доказательства) Хомбу
[3], с. 71. Автор благодарен Э. Девису, обратившему его внимание на эту
формулу и сообщившему ее простое альтернативное доказательство.
2) Этот результат в более ограниченном виде был установлен Т е й л о -
""", поскольку процесс ковариантного дифференцирования Тейлора
1нга [1] вдоль кривой идентичен процессу Картана.,
ром [3],
{1] и Chi
§ 9. СРАВНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ СВЯЗНОСТИ 263
или в силу (9.7)
T*3Y = TaPv - Cape {~- & + B?Qi) • (9.16)
Далее, из C.1.29), C.7) и C.10а) мы получаем
Га|3у — Гару = — Chjr I By —j- + B[yUB I SCai
что в силу формулы (9.4) сводится к
ToPy = Га0У — C/j/rBpaQy. (9.17)
Итак, уравнения (9.16), (9.17) и B.22) дают соотношение
TaPv — r'aPY==:'r'agY — PaPv — C/i/rBaC6 I —~ ^' + BiQy I + C/j/rBapQy,
которое упрощается с помощью B.18) и (9.12), так что резуль-
результат принимает вид
(9.18)
Если мы применим к этому результату (9.14), то
y
Это уравнение представляет собой искомое соотношение
между коэффициентами связности со «звездочкой», остается
только устранить производные по направлениям от функций
Н>. Вычислим эти производные, используя уравнения (9.12) и
B.23). Тогда первое слагаемое в правой части (9.19) примет
вид
Вру |-? Снь, = - Blfakr Bge6Bi^NTQlClm - NpL).
Упрощая это выражение с помощью B.22), мы получим
\\ С = ChkrNr, {B$Q'a - 2CgvB^Q'}. (9.20)
В\\
По аналогии с уравнениями G.69) и G.70) положим
(9.21)
так что в силу (9.3) и (9.4) имеют место равенства'
264 ГЛ. V. ПОДПРОСТРАНСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
И
Q^uV = Ni {В^й4* + 2G'} = 2Ы{п1.
Поэтому на основании B.19) справедливы соотношения
2NP1 = Z iVUpwV (9.22)
ц ц ц
И
=2>г(Оарг/). (9.23)
После подстановки (9.22) и (9.23) в (9.20) мы найдем
= У N!CW «Qae«e - с1Л^гхийХ). (9.24)
В1 4?Г
ди ( ц ц
Еще два аналогичных уравнения получаются из (9.24) цик-
циклической перестановкой индексов а, р, у. Подставляя их вместе
с (9.24) в (9.19), мы находим искомое соотношение
п
T0 Гр Z ^ Chkj \\В^й + BfrQ BS|3) if
a«e«"}. (9.25)
Дифференциальная геометрия пространства Fm (вложен-
(вложенного в Fn) с точки зрения внутренних коэффициентов Тр". по-
видимому, никогда не изучалась. Из-за сложности соотношений
между этими коэффициентами такое исследование было бы до-
довольно трудным, в особенности потому, что эти соотношения не
позволяют получить столь же простой тензор, как /^р, свойства
ортогональности G.22) которого прямо следуют из соотношения
C.10а) между коэффициентами связности пространства Fn и
индуцированными коэффициентами пространства Fm. Напом-
Напомним, что именно эти свойства ортогональности приводят ко
вторым фундаментальным формам. Поэтому представляется
справедливым, что имеются серьезные препятствия для иссле-
исследования связи между описанной выше теорией и внутренней
дифференциальной геометрией пространства Fm ').
') Заметим, что ни определение гауссовой кривизны, данное Бервальдом
(уравнение F.26)), ни определение Финслера (уравнение F.40)) не являются
«внутренними», и автору представляется очень сомнительным, чтобы для этих
инвариантов выполнялась гауссова «Theorema Egregium».
Глава VI
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
В первых пяти главах настоящей монографии мы постара-
постарались изложить большинство основных вопросов финслеровой
геометрии. Однако много интересных тем осталось без внима-
внимания, и цель настоящей главы состоит в том, чтобы частично за-
заполнить этот пробел. Излагаемые ниже вопросы часто не свя-
связаны друг с другом, и поэтому ради удобства читателей различ-
различные параграфы этой главы написаны так, что они могут
читаться независимо, хотя, разумеется, предполагается известным
материал предыдущих глав. Мы кратко рассмотрим теорию
групп движения, конформную геометрию, ряд аспектов про-
проблемы эквивалентности, теорию вложения и геометрию двумер-
двумерных финслеровых пространств.
§ 1. Группы движений
При изучении групп движений финслерова пространства мы
будем использовать главным образом коэффициенты связности
Бервальда Gh'k, а не коэффициенты Картана Т\\. Этот выбор
сделан из-за наличия тесной связи коэффициентов Бервальда
с общей геометрией путей. Однако следует отметить, что на-
настоящая теория может быть без труда развита и на основе ко-
коэффициентов Картана1).
Определение движения в финслеровом пространстве Fn ана-
аналогично определению, которое обычно дается в римановой гео-
геометрии2). Рассмотрим отображение области R пространства Fn
на другую область R того же пространства Fn. Это отображе-
отображение аналитически представляется соотношениями
где хк и хк— координаты точек областей R и R соответственно.
Предполагается, что функции ty'(xk) принадлежат по крайней
мере классу С3. Пусть P(xr), Q(xr -f- dxr) — две бесконечно
близкие точки, лежащие внутри области R. Обозначим длину
') Фактически это было сделано Шоошем [1].
2) Ср. Эйзенхарт [1], § 27.
266 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
F(x', dxr) смещения dxr через ds. Точкам Р, Q соответствуют
точки P{xr), Q(xr + dxr) в R, где
d? =
Длина ds этого смещения равна F(xr,dxr); в общем случае ds
отличается от ds. Если, однако, пространство Fn допускает
отображение, сохраняющее длины дуг, то для произвольных
смещений dxr мы будем иметь
Записывая dxr в виде dxr — x'dt и дифференцируя это соотно-
соотношение последовательно по хн и xk, мы с помощью A.3.1) по-
получим
где следует иметь в виду, что ghk в левой части и gi/ в правой
представляют собой одну и ту же функцию от переменных
(хг, хг) и (г|)г, (dtyr/dxs)xs) соответственно. Таким образом, если
метрическая функция пространства Fn такова, что указанные
уравнения допускают решение вида
х1 = ^(х\ х2, ..., ха),
включающее один или более параметров, говорят, что эти урав-
уравнения определяют движение пространства Fn. Мы рассматри-
рассматриваем движение как элемент (непрерывной) группы точечных
преобразований, сохраняющих длину дуги каждой кривой.
В частности, из определения геодезических следует, что дви-
движение переводит геодезические в геодезические.
Рассмотрим бесконечно малое преобразование вида E.5.1)
xi = tf(x') = xi + vi(xr)dx. A.1)
В этом случае мы имеем
it-tU-Kdx (l.la)
дх дх"
^=-g-iW + fiiVT. A.1b)
Приведенное выше условие, которое должно удовлетворяться
для того, чтобы A.1) представляло движение, может теперь
быть записано в виде
ghk (xr, хг) =
§ 1. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ 267
v m
Вводя операторы d, d, D, определенные в § 5 гл. V, мы
видим, что это условие имеет вид
или
О = dghk + ( ghi -yj- + gik ~J^h) dx>
где мы пренебрегли степенями dx выше первой. Поскольку по
определению
то, согласно определению производной Ли, наше условие сво-
сводится к
v m
О = dghk — dghk = (Dghk) dx.
Следовательно, если поле vl(x) определяет бесконечно малое
движение, то оно должно удовлетворять -гп(п-\- 1) уравнениям
Киллинга E.5.9):
pgtl(x,*) = 0. A.2)
С помощью выражения E.5.8) для производной Ли от метри-
метрического тензора мы можем представить эти условия в виде ')
Dgt! = gthv\, + ghtvhu + 2Ct{hv\^ = 0. A.2a)
Раскладывая ковариантные производные в правой части со-
согласно их определению, мы имеем
dvn , .. dv_
dx
g!h —c + v {Гцк + Tm + 2CilhYkrx ) +
+ o/^ dv -r n /i o\
Кроме того, из C.1.7) и C.1.29) следует, что
f/ife + rj/j. = ——j— 2СциТкГх ,
') Форма A.2а) уравнения Киллинга дана Хокари [11 и Шоошем
[1]. См. также Акбар-Заде [2], где используется остроумное преобразо-
преобразование производной Ли.
268 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
а значит, A.3) сводится к виду
Этот вид уравнений Киллинга принадлежит Кнебельману *),
который получил их прямыми вычислениями, основанными на
определении движения. Исключая производные dvh/dxl из урав-
уравнений A.4) с помощью определения производной Бервальда от
о*.)( мы можем представить A.4) в виде
или
Den = Slhvh + glhv*t) + gtl mv» + 2Ctlhvfo*r = 0. A.5)
Как и в римановой геометрии2), локальные координаты
финслерова пространства Fn могут быть выбраны так, что кон-
травариантные компоненты поля, определяющего бесконечно
малое преобразование A.1), равны
o' = fi!. A.6)
Следовательно, конечное преобразование, порожденное A.1),
записывается в этой координатной системе в виде
х' = х' + б\т. A.6а)
Уравнения A.4) сводятся теперь к уравнениям
^=0 (U=!,...,«), A.7)
что в силу A.3.1) влечет за собой
^gf^=O. A.7а)
Обратно, если удовлетворяются уравнения A.7), то решение
уравнений A.4) задается формулами A.6). Таким образом, мы
имеем- следующий результат3): наиболее общее финслерово
') Кнебельман [\], с. 557.
2) Эйзенхарт [1], с. 223; Томас [1], с. 35.
s) Этот результат принадлежит Кнебельману [1], с. 557, который
предполагал дополнительно, что dF/дх1 ф 0. Однако это предположение уже
содержится в условии В из § 1 гл. I; действительно, если бы dF/дх1 обрати-
обратилась в нуль, то мы имели бы
дх'
как следствие A.6). Ср. также Ш о о ш [1], с. 78.
§ 1. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ 269
пространство, допускающее бесконечно малое движение, мо-
может быть получено путем выбора такой метрической функции
F(x, х), которая в некоторой координатной системе является
функцией только от х2, ..., хп; х1, х2, . . . , хп.
Кроме того, если gu не зависят от х1, то из A.7а) вытекает,
что длина инвариантна относительно конечного преобразова-
преобразования A.6а). Следовательно, финслерово пространство, допускаю-
допускающее бесконечно малое движение A.1), допускает однопарамет-
рическую непрерывную группу G\ движений, порожденных пре-
преобразованием A.1).
Векторное поле и'(х) определяет конгруэнцию кривых в
Fn, так называемых путей движения, каждое из которых опи-
описывается точкой, претерпевающей бесконечно малое смещение
согласно A.1). Рассмотрим два линейно независимых движе-
движения и предположим, что определяющее первое движение поле
нормировано согласно A.6). Второе движение может обладать
теми же путями только тогда, когда определяющее его поле
параллельно v{, т. е. когда это поле имеет вид ср (х) vl = ср (х) &[¦
Уравнения Киллинга A.4) для этого движения в силу A.7)
имеют вид
п дф , dtp , пГ дф . r n
Умножая их на х', х1 и принимая во внимание A.3.5), мы по-
получим
, ., .i da> г, dF dm л
и, следовательно, по условию В (гл. I, § 1)
dt ~Ul
С другой стороны, если функция ф — константа, то два дви-
движения не являются линейно независимыми, и поэтому в резуль-
результате мы получаем, что два линейно независимых движения не
могут иметь одинаковые пути.
Следуя Кнебельману, назовем движение трансляцией, если
его пути являются геодезическими1). Найдем теперь условия,
при которых финслерово пространство допускает однопараме-
трическую группу трансляций. Во-первых, мы должны выяс-
выяснить, когда координатные кривые х1 (т. е. кривые х2 — с2, х3 =
= с3, .... х" — сп) будут геодезическими. Легко видеть, что мы
') В римановой геометрии трансляции определяются как движения, при
которых каждая точка перемещается на одно и то же расстояние, а данное
здесь определение является теоремой. В нашем случае с помощью построения,
аналогичного проведенному в гл. II, § 1, легко доказать для финслеровых
пространств, что если пути движения являются геодезическими, то каждая
точка перемещается на одинаковое расстояние.
270 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
можем выбрать в качестве л-1 длину дуги s этих кривых. Если
указанные кривые удовлетворяют дифференциальным уравне-
уравнениям B.2.8) геодезических пространства Fn, то в этой специ-
специальной координатной системе мы будем иметь yi'i = 0 или
¦уi/i = 0 вдоль таких геодезических. В результате B.2.3) эти
условия имеют вид
д a
а поскольку gn = 1 (как результат х] = s), то
Следовательно, в силу A.3.1) функция F(x, х) представляется
в виде
Я(*. х) = а{х'У + х\,{х\ ..., хп; х\ ..., х'г) +
+ <р2(х\ ..., хп; х2 л-"), A.8)
где а — константа, а ф, и <р2— однородные по х2, ..., кп функ-
функции соответственно степени 1 и 2. Обратно, если F имеет вид
A.8), то очевидно, что кривые вдоль хх являются геодезиче-
геодезическими, так что это условие на F является также и достаточным.
Сравнивая этот результат с первой теоремой настоящего пара-
параграфа, мы имеем: финслерово пространство, допускающее не-
непрерывную группу G\ трансляций, может быть получено путем
выбора такой метрической функции F(x, x), которая в подхо-
подходящей координатной системе представляется в виде A.8)').
Кроме того, можно показать, что следующая, хорошо извест-
известная в римановой геометрии2), теорема верна также и для финс-
леровых пространств: косинус (определяемый посредством
A.6.8)) угла между касательными векторами путей трансляции
и произвольной геодезической не изменяется вдоль геодезиче-
геодезической.
Возвращаясь к уравнениям Киллинга A.2), заметим, что
поскольку они состоят из jn(n-\-l) независимых уравнений,
мы не может разрешить их относительно v% как функций от
v' и gtj. Напомним, однако, что движение переводит геодезиче-
геодезическую в геодезическую. Записывая уравнения геодезических в
виде
!) К н е б е л ь м а и [11, с. 559.
г) Эйзен харт [1], с. 239; Кнебельман [1], с. 559.
§ I. ГРУППЫ ДВИЖЕНИИ 271
с помощью рассуждений, вполне аналогичных тем, которые при-
приводят к A.2), нетрудно установить справедливость условий
DG)k{x, x)=0. A.9)
Вычисление этих производных Ли не представляет никаких
трудностей: для этого нужно повторить почти слово в слово вы-
вычисление производных Ли от ГЦ, проведенное в § 5 гл. V. Это
возможно вследствие того, что Glhk имеют тот же закон преоб-
преобразования, что и T'hk- Поэтому, учитывая E.5.12), мы видим,
что условие A.9) может быть записано в виде
о</> (*) + Н,1ккон + в}1кню№ = 0. A.9а)
Таким образом, задача нахождения компонент движения
сводится к решению уравнений A.9а) с учетом уравнений Кил-
линга A.2). Зависимыми переменными в этих уравнениях яв-
являются п(п-\-\) функций vl и и* причем должны удовлетво-
удовлетворяться -^п(п-\-\) условий A.2). Таким образом, наибольшее
число линейно независимых движений, которое может допускать
финслерово пространство /•',,, равно -^ п{п~\- \) ').
В заключение выведем условия интегрируемости для урав-
уравнений A.9). Эти условия понадобятся нам для того, чтобы
установить, когда пространство Fn допускает г ^.-^ п{п-\-\)
линейно независимых движений. Следующий вывод может слу-
служить хорошим примером, иллюстрирующим о,бщий метод, ча-
часто используемый для получения условий интегрируемости до-
довольно сложных уравнений, в частности уравнений A.9).
Заметим, что из D.6.10а) следует
VU) (k) (Z) — Щ) (I) (ft) — ¦—¦ H"kl — v\m)H"iM + V(})Hmkl.
Возьмем от A.9а) ковариантную производную по х1 и поменяем
местами в получившемся соотношении индексы k и /. Это по-
позволяет нам исключить ковариантные производные третьего
порядка по и' с помощью записанной выше коммутационной
формулы. В результате мы получим
—'H?kixr + v\m)Hfki —
A.10)
') К н е б е л ь м а н [1], с 561,
272 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ¦
Это соотношение можно существенно упростить. Во-первых,
выписывая полное выражение для vlU), мы видим, что
§\ A.11)
Вю-вторых, используя тождества Бианки D.6.13с), мы найдем
V \H)kh {.It — ti jih (fti + GhjrH'ik) =
= - vh {H)Lk {h) + H'uG'r,, + WaGlrlk). A.12)
В-третьих, если выписать полное выражение для ковариантной
производной Gljkliah поменять местами индексы к и I в этом
выражении и вычесть получающиеся соотношения друг из друга,
i ri dG)kh дп\ы dGr , дОг
GrkG\ih — GrjiGrkh + CikGUh — CinGfkr + GkkGjir.
Далее, если мы представим Н)ы в виде D.6.7) и продиф-
продифференцируем это выражение по xh, то обнаружим, что мы по-
получим в точности правую часть написанного выше соотношения.
Следовательно, мы установили полезное тождество
h —Gjkha) — Giiink)- A.13>
После подстановки A.11) — A-13) (в указанном порядке) в
уравнение A.10) нетрудно видеть, что A.10) эквивалентно
' uh ,h и1 и1 ,h I ul h h ¦ dH
V{h)njkl — V(j,tthkl — tl ikhV(i) -f- П tihV(k) — V(r X
= — V И ilk (ft, — brjl \HkhV + V(S) (k)X ) —
-GiibiH^v'-vlsnnx3). A.14)
Кроме того, из A.9а) и D.6.8а) следует, что
г .s ттг h
V(s) [k)X == — tikhV
и
v[s)Wx = - Hrthvh = Hrhlvh.
Таким образом, четыре последних слагаемых в правой части
A.14) обращаются в нуль, и мы окончательно имеем
— v{hiH/lm + ифН'ш = 0. A.15)
§ I. ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ 273
Это уравнение представляет собой первое условие интегри-
интегрируемости для A.9а), получаемое путем ковариантного диффе-
дифференцирования. Найдем теперь также второе условие интегрируе-
интегрируемости, получающееся из A.9а) путем частного дифференциро-
дифференцирования по направлению. Это может быть сделано следующим
образом: из D.6.11а) вытекает соотношение
(
dvU) \ Hi) (*) _
-Г7Г I —J
дх /(ft) дх
Следовательно, после дифференцирования A.9а) по х1 мы най-
найдем
дх1
™ аГ"" ' ' **" ' ' A.16)
V^
С помощью A.11) и D.6.8а) мы получаем, во-первых,
= 0 A.17)
дх
и, во-вторых,
дх
A.18)
Соотношения A.17) и A.18) вместе с (ЫЗ) подставляются в
A.16). Тогда после упрощения уравнение A.16) принимает сле-
следующий окончательный вид:
0G'-
v G'/ki (Л) -\——fjr~ v^r ~ v\h)Ghtik + V(j)Ghik + vwGjkh + GlhjiV(k) = 0.
A.19)
Соотношения A.15) и A.19) представляют собой искомыг
условия интегрируемости уравнений A.9)'). Заметим, что нам
нет необходимости идти дальше, ибо остальные соотношения,
получающиеся из A.2) и A.9) путем частного и ковариантного
дифференцирования и исключения vlij){k) с помощью A.9а), ока-
оказываются линейно зависимыми от A.15) и A.19). Например,
если мы ковариантно продифференцируем уравнения Киллинга
A.5) по х1, то получим соотношение, которое выводится также
и из A.19) путем умножения на giSxs. Следовательно, это соот-
соотношение линейно зависимо от A.19). Аналогично частное,
дифференцирование A.5) по векторному аргументу хк дает
') Кнебельман [1], с. 549 и с. 5§1,
274 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
соотношение, которое в свою очередь приводит (путем кова-
риантного дифференцирования) к уравнениям, выводимым из
A.19). Полный анализ этого вопроса выходит за рамки настоя-
настоящего параграфа.
Альтернативный подход к вопросу о существовании движений в финсле-
ровом пространстве принадлежит Вану1), метод которого основывается на
теории линейных групп.
Понятие движения обобщается путем введения преобразования гомоте-
гомотетии2). Это — преобразования, сохраняющие отношения длин векторов. Беско-
Бесконечно малые преобразования гомотетии в финслеровых пространствах под-
подробно изучались Хирама ту [1], [2] и Таканой [1], причем оба автора
получили обобщения теорем Шенкса [1] и Яно [3].
Вагнер [7] обсуждает так называемые гомологические преобразования,
которые влияют на метрику (т. е. на индикатрису), но не на геодезические, и
получает инварианты относительно гомологических преобразований. За трак-
трактовкой картановской группы голономий в финслеровых пространствах чита-
читатель отсылается к Акбар-Заде [1], На су [2] и Вагнеру [5]. В по-
последней статье рассматриваются двумерные пространства и находятся инва-
инвариантные условия того, чтобы группа голономий, которая, вообще говоря, яв-
является бесконечномерной непрерывной группой, имела конечную размерность.
§ 2. Конформная геометрия
Предположим, что на пространстве Fn определены две раз-
различные метрические функции F(x, х), F{x, х), удовлетворяющие
условиям А, В, С из § 1 гл. I. Две метрики, получающиеся из
этих функций, называются конформными, если между двумя ме-
метрическими тензорами (определяемыми согласно A.3.1)) суще-
существует множитель пропорциональности ^>{х, x), т. е. если
gtj (x, х) = 1|з (х, х) ga (x, х). B.1)
Это предположение влечет за собой пропорциональность
длин векторов, заданных в одном и том же касательном про-
пространстве. Далее, определяемый формулой A.7.10) угол между
двумя направлениями в одном и том же касательном простран-
пространстве одинаков относительно обеих метрик, ибо, согласно A.3.2),
соотношение B.1) дает
F (х, х) = Ц (х, х)щ F (х, х). B.1 а)
Естественно, что из соотношений B.1а) не вытекает B.1): до-
достаточное условие того, чтобы это имело место, состоит в неза-
независимости функции i|) от направлений. Очевидно также, что
альтернативное определение угла, задаваемое формулой A.7.2),
не инвариантно относительно B.1) до тех пор, пока не выпол-
выполняется это же условие.
') Ван [1], с. 5.
2) Преобразования гомотетии были определены в римановой геометрии
Щенксом [1].
§ 2. КОНФОРМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 275
Оказывается, что условие независимости функции г|) от на-
направлений автоматически следует из соотношения B.1). Дей-
Действительно, дифференцируя B.1) по xk, мы имеем
В силу свойств симметрии тензора Сць, из этого соотношения
следует
Полагая здесь h = k и суммируя по k, мы находим
-^-=0 (пф\). B.2)
дх1
Таким образом, множитель пропорциональности является
самое большее функцией точки '), и поэтому из сделанных выше
замечаний следует, что оба угла, определяемые согласно A.7.2)
и A.7.10), инвариантны относительно конформного соответствия
B.1). Следующее утверждение является дальнейшим непосред-
непосредственным следствием соотношений B.1) и B.2): если финсле-
рово пространство Fn допускает конформное соответствие B.1)
с римановым прост ранет волг Vn, то Fn салю должно быть ри-
мановым2).
Запишем B.1) в виде
gu(x, x) = e2°gll(x,x), B.3)
где
a==a(x) = ±lnqt B.4)
так что
g" (x, х) = е-3"?' (х, х). B.5)
') Этот результат принадлежит Кнебельману [2], с. 376.
2) Используя выражение A.7.12) для угла Ландсберга, Голаб [4] по-
показал, что если финслерово пространство Fn конформно евклидову простран-
пространству, то Fn необходимо является римановым. Кяебельманом было указано,
что эта теорема является частным случаем теоремы, сформулированной выше,
т.е. прямым следствием B.2). Кроме того, в работе Го л аба [5] показано,
что определение B.1) влечет за собой пропорциональность длин; равенство
углов (Ландсберга) было у Голаба отправной точкой при определении кон-
конформности. В [51 устанавливается эквивалентность этих двух свойств. В на-
нашем доказательстве B.2) предполагалось, что gi/, gi, имеют непрерывные про-
производные по направлениям. Голаб [6] доказал справедливость B.2) для
п = 2 при более слабых предположениях, а именно, в предположении, что gu
являются лишь непрерывными. Этот результат был обобщен Шмидтом [1],
доказавшим его при любом п. К а р т а н [4] подходит к этой же проблеме не-
несколько по-иному и показывает, что при п > 2 пространство должно быть
римановым для того, чтобы направления в каждой точке финслерова про-
пространства были конформны направлениям в фиксированной точке евклидова
пространства.
276 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Тогда из B.2.3) и B.2.7) следует, что для символов Кристоф-
феля второго рода справедливо выражение
YA = УU + ("А* + °tf ~ ehkg^k), B.6)
где
Замечая, что в силу C.3.6) мы можем записать коэффи-
коэффициенты связности Бервальда в виде
легко проверить с помощью B.6), что
А
Следовательно, если мы положим
F2ghk-xhxk, B.8)
то
{ I = U[ I : 7 <J/>,. (?•")
Из этой формулы можно получить несколько простых след-
следствий. Поскольку по определению B.8) функции Bhk однородны
второй степени по аргументам направлений, то из B.9) мы
имеем
Gh = Gh — Bhkak. B.9a)
Следовательно, дифференциальное уравнение B.2.8) геодезиче-
геодезической Г пространства Fn относительно метрической функции
F(x, х) может быть представлено в виде
,?Н B.Ю)
Пусть s — длина дуги кривой Г относительно метрической функ-
функции F(x, x). Тогда^ согласно B.3), мы имеем
-?-«". B.11)
§ 2. КОНФОРМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ . 277
Дифференциальные уравнения геодезической Г, записанные по
отношению к параметру s, после некоторого упрощения прини*
мают вид
-4- #}".="• <2Л2>
Таким образом, геодезические пространства Fn относительно
метрической функции F(x,x) не являются, вообще говоря, гео-
геодезическими относительно конформной метрики Р(х, х). Дей-
Действительно, из B.12) следует, что геодезические двух метрик
совпадают тогда и только тогда, когда
*=° <2ЛЗ>
для всех линейных элементов (х, х). Однако это возможно,
только если вк = О (при п > 1), т. е. если а является констан-
константой (уравнение B.7)). Справедливость этого утверждения легко
проверяется следующим образом: умножая B.13) на gth мы
находим
о* =
Из A.3.1) и A.5.6) следует, что коэффициенты перед ok равны
просто FFkkki (х, х). Однако матрица этих коэффициентов имеет
ранг (п—1) по условию С (§ 1 гл. 1), поэтому, согласно
A.1.12), условие B.13) влечет за собой ok = Xxk, где функция X
однородна степени —1 по х'. Если мы продифференцируем это
соотношение по xh и примем во внимание независимость а*, от
xh, то после свертки по h и k найдем Х(п— 1) =0, что дока-
доказывает наше утверждение. Таким образом, конформное преоб-
преобразование B.1) оставляет геодезические инвариантными тогда
и только тогда, когда множитель пропорциональности является
константой^). Кроме того, ясно, что преобразование типа B.1)
с постоянным \р будет оставлять неизменными все метрические
соотношения, существующие в финслеровом пространстве Fn.
Следовательно, используя терминологию Вейля, мы можем ска-
сказать, что проективные и конформные свойства финслерова про-
пространства однозначно определяют его метрические свойства.
Вспоминая определение тензора кривизны D.6.7), построен-
построенного с помощью Gn'k, мы после подстановки B.9) в соответ-
') Это является обобщением принадлежащей Вейлю [1] теоремы рима-
новой геометрии, имеющей важное значение в теории относительности. Другой
подход к этой же проблеме дан Лаугвицем [4]. Проективные соотноше-
соотношения между двумя конформными метриками изучались Хосокавой [1].'
278 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ствующее выражение для тензора кривизны ЯДй, построенного
с помощью Gfi'k, найдем следующее соотношение1):
1 _
kh -
дх1 \ dxk дх1 dxh дхн дх1 дхк
д
дВ1т\
-wirvwU- BЛ4)
— а.а„
Сравнивая этот результат с соответствующим соотношением
в римановой геометрии, мы видим, что в римановом случае не
появляются члены, включающие отдельно ат, поскольку в ри-
римановой геометрии последнее слагаемое в правой части B.14)
обращается в нуль, а алгебраическое исключение amw приво-
приводит к исключению ог. В частном случае, когда геометрия яв-
является римановой, результатом этой процедуры является кон-
конформный тензор кривизны Вейля2). В общем случае можно
показать, что исключение от(Н) дает конформный инвариант, не
являющийся тензором.
Для того чтобы найти полный набор конформных инвариан-
инвариантов, мы будем следовать методу, который является прямым об-
обобщением соответствующего метода, применяемого в римано-
римановой геометрии3). Положим
Ф = Гиг"", B.15)
где \g\ =Aei(gij), так что Ф является относительным скаля-
скаляром веса — 2/п. Дополнительно к предположениям гл. I о ме-
метрической функции F, мы должны теперь предположить, что
гессиан функции Ф по х1 не обращается тождественно в нуль.
Если мы положим
Сг>) = : Г. (/ЛЬ)
то получится тензор, инвариантный относительно конформного
преобразования B.1). Действительно, поскольку
то из B.15) и B.1а) следует, что Ф, а значит, и G,7 инвариант-
инвариантны относительно B.1). Поэтому о G,-/ часто говорят как о фун-
фундаментальном конформном тензоре. Его явное выражение имеет
') К небельм ан [2], с. 377. Соответствующее соотношение в римано-
римановой геометрии получено Эйзенхартом [1], с. 89, уравнение B8.5).
2) Эйзенхарг [l]. с 90 и дальше.
8) Томас [1], с. 66 и дальше.
§ 2. КОНФОРМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 279
ВИД
Gi | — II п | . h д , ¦— 1/п 1 . h д - I—1/rt
» = glg! + ?* f\e\ +gX \8\
— г —^—-rflgl . B.16а)
При преобразовании A.1.1) с отличным от нуля якобианом
| А\ | ^ det (A\) == det f -^-r \ функция Ф преобразуется соглас-
\ и х /
но закону
откуда после дифференцирования следует, что закон преобра-
преобразования для Gij имеет вид
Gi'r^lAi'f^GijAl'r. B.17)
В то же время для алгебраических дополнений G1' коэффи-
коэффициентов Gij в det {Gij) мы имеем
2"lGilAi;/'. B.17а)
С помощью фундаментального тензора йц можно непосред-
непосредственно обобщить развитую в римановой геометрии теорию.
Поскольку, однако, соответствующие вычисления являются до-
довольно длинными, мы ограничимся кратким описанием несколь-
нескольких начальных шагов.
Прежде всего образуем по G,-/ символы Кристоффеля:
ih(dGhk . dGjh dGj
Эти объекты позволяют нам получить аналог коэффициентов
связности G)k, а именно, параметры конформной связности
А1 — У1 дХ' дХ 1 д2к
Л-jk — ^4
у V , 0 1Q
г^ +7^ ТТТТТТ^^1 (^-1У)
дх! дх" 2 дх1 дх"
Закон преобразования, которому удовлетворяют эти коэффи-
коэффициенты, отличен от закона преобразования коэффициентов Gift.
Действительно, если мы положим
**' = — -^{indetCO}, B.20)
280 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
то после применения преобразования A.1.1) получится соот-
соотношение
Полагая
— ~ — xx, (z.zz)
мы находим, что B.21) принимает следующий простой вид1):
d2Dl'h'
Как и ранее, параметры связности B.19) могут быть ис-
использованы для определения процесса ковариантного диффе-
дифференцирования; при этом, по аналогии с D.6.7), тензор кривиз-
кривизны определяется по А)к и их производным. Как и в римановой
геометрии2), с помощью этого тензора кривизны можно по-
построить полный набор конформных инвариантов. Эти конформ-
конформные инварианты, вообще говоря, не являются тензорами.
В заключение заметим, что можно развить аналогичную
теорию, в которой центральную роль вместо G\k играют ГД.
Однако из-за наличия тесной связи G\k с общей геометрией
путей коэффициенты G)k более предпочтительны. Кроме того,
простое вычисление, основанное на B.4.4) и B.9), показывает,
что при конформном преобразовании B.1) коэффициенты Т)к
преобразуются следующим образом:
ГЬ = П/ + (ofii + d/di — g kgijOk) —
F
2
2 °
Эти уравнения, очевидно, более сложны, чем соответствую-
соответствующие уравнения B.9) для G;/, поэтому дальнейшие вычисления
были бы еще более громоздкими.
') Кнебельман [2], с. 378.
2) Очень кратко этот процесс был описан Кнебельманом [2]. X о м -
б у [1] получил конформные скалярные инварианты для двумерных финсле-
ровых пространств. Дальнейшее исследование, включающее построение пол-
полного набора конформных инвариантов, проведено Хомбу [3].
§ 3. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 281
§ 3. Проблема эквивалентности
Проблему эквивалентности двух финслеровых пространств
можно рассматривать с двух различных точек зрения1), одна
из которых предложена Черном, а другая О. Варгой. Хотя при
подходе О. Варги в сущности изучается эквивалентность про-
пространств линейных элементов с заданным набором параметров
связности, этот метод применим также к финслеровым про-
пространствам. При таком подходе решение проблемы эквивалент-
эквивалентности формулируется в терминах тензоров кручения и кри-
кривизны и их ковариантных производных, что приводит к ре-
результатам, прямо обобщающим хорошо известные теоремы
римановой геометрии2). С другой стороны, в методе Черна экви-
эквивалентность двух финслеровых геометрий формулируется в тер-
терминах систем форм Пфаффа.
В этом параграфе мы будем следовать подходу Черна, ко-
который обладает значительной степенью общности (хотя это
верно также и для подхода Варги) в том смысле, что он при-
применим к большому классу евклидовых связностей в финслеро-
вом пространстве, частным случаем которых является связ-
связность Картана. Мы будем использовать метод внешних диффе-
дифференциальных форм3); читатель, не знакомый с этим методом,
может опустить настоящий параграф, поскольку последующие
результаты на него не опираются.
Два финслеровых пространства называются локально эк-
эквивалентными, если существует такое аналитическое точечное
отображение между двумя окрестностями, что соответствующие
дуги имеют одну и ту же длину. Поэтому наши рассмотрения
будут основаны скорее на метрической функции F(xk, xk), чем
на коэффициентах связности Til, поскольку, как мы отмечали
выше, теория в конечном счете включает в себя проблему эк-
эквивалентности семейства евклидовых связностей в простран-
пространстве.
Элемент длины дуги ds = F(xk, dxk) представляется фор-
формой Пфаффа
<o = Ft,(x, x)dxl. C.1)
-Вводя п(п— 1) новых переменных г>?, удовлетворяющих
соотношениям 4)
о«** = 0, ¦ C.2)
') Черн [1], [21; О. Варга fill.
2) Ср., например, Томас [1], с. 206.
3) Ссылки на этот метод указаны в п. 3 § 1 гл. IV.
4) На протяжении этого параграфа латинские индексы пробегают значе*
ния от I до я, а греческие индексы — от 1 до п — 1.
282 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
и полагая
о» = F.k, C.3)
построим п линейно независимых форм
<»' = o?dje*, C.4)
для которых, согласно C.1) и C.3), мы имеем
ю = <оп. C.4а)
Если аналитическое соответствие между двумя эквивалент-
эквивалентными финслеровыми пространствами представляется в виде
х1 = х1 (х>), C.5)
то оно сопровождается преобразованиями
'х1='х1{х1, х1), vl = vl(x!,xl,vf), C.5а)
так что относительно C.5) и C.5а) мы имеем
сог = со\ C.6)
Обратно, если существует преобразование вида
х'==х((х1, х>, vf), х1 = х1(х', xi, vf),
»* = »*(*'. *'• vt)>
для которого выполняется условие C.6), то из C.4) следует,
что функции х' не зависят от х1 ио*и поэтому определяют ло-
локальное точечное соответствие, которое устанавливает локаль-
локальную эквивалентность двух финслеровых геометрий. Поэтому
проблема эквивалентности сводится к проблеме эквивалентно-
эквивалентности линейно независимых форм Пфаффа от двух наборов
п2 + п переменных х1, х\ а? и *', xl, vat соответственно ').
Для того чтобы вычислить внешние производные от форм со',
необходимо ввести элементы и1к матрицы, обратной к v'k:
«Jo* = 6^ = 0^*. C.8)
Кроме того, из C.3) и свойств однородности функции F мы
имеем
С помощью C.4) и C.8) мы можем Теперь представить
Внешнюю производную от C.4а) в виде
') Черн [2], с. 98.
§ 3. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 283
Однако из C.9) и однородности нулевой степени функции F Ai
по хк следует, что коэффициент при [dxla>n] тождественно об-
обращается в нуль. Поэтому мы можем выбрать п — 1 форм
Пфаффа со" так, чтобы
(<»»)' = Ох]. (зл°)
где в силу C.9)
К = - <рм dkl + т < (F*< - F^ik>)w" +
причем -~п{п—1) величин Яар являются произвольными, за
исключением условия симметрии
Аар = Ара. C.10b)
Легко устанавливается, что формы Пфаффа сог, со^ линейно
независимы. Действительно, если бы существовало соотноше^
ние вида
то было бы выполнено равенство
Поэтому, согласно A.1.12), и условию С из § 1 гл. I (которое,
как мы видели, предполагает, что матрица коэффициентов Р.
имеет ранг п — 1) мы имели бы
\хаи{а = U1,
откуда после умножения на vf, в силу C.3) и C.8), нетрудно
вывести А,/7 = 0, или X — 0 (поскольку F>0). Так как ма-
матрица |ы?[| имеет ранг п—1, то отсюда следовало бы j.ia = 0
и via' = 0, что возможно, только если vi = 0. Это доказывает
наше утверждение.
Далее, дифференцируя соотношение C.8) и разрешая по-
получающееся выражение относительно dvk. мы найдем
dv\ = — v\p) du\. C.11)
Поэтому, взяв внешнюю производную от C.4), мы получим
В правой части этого выражения выделим из суммирования
ро k суммирование по р, что даст нам дополнительный член.
284 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
С учетом C.2) и C.9) это приводит к соотношению
(со*)' = — о« [du^a>»] -~j-vf [dito1]. C.12)
Это соотношение можно представить в виде ')
(e»a)As[«X](modfflP)» C.13)
где
и" = '-у о° dx' (mod со1'). C.13а)
Используя C.10а), мы видим, что коэффициент при dx> в
выражении co^-f ^^n будет обращаться в нуль, если
Выберем и1,, vl, так, чтобы это условие удовлетворялось без на-
нарушения условия det (uj) ф 0. Возможность такого выбора не-
непосредственно проверяется следующим образом. Если мы за-
запишем C.14) в виде
и заметим, что в силу C.8), C.9) и A.1.12) левая часть экви-
эквивалентна выражению
то из C.3) следует, что условие C.14) влечет за собой
FFM = V?w? = ***°?°/ - F*'F*l- C.14а)
С помощью соотношений A.1.19) и A.3.1) это равенство сво-
сводится к
?t,eVtyfc. C-14b>
вместе с
g</"a»J5 = 6ae- C.14С)
Однако из условия С из § 1, гл. I мы имеем det(g,;) > 0 (урав-
(уравнение A.1.25)), и поэтому det(a^) =5^0, так что требуемое усло-
условие удовлетворяется.
Исключив таким образом содержащие dx1 члены в выра-
выражении cog + 6a3«>?, мы теперь свободны в выборе форм со? так,
чтобы
К + К^п = °- (ЗЛ5)
') Обозначение
й = о (mod <Bi, co2 о>г)
указывает, что форма п принадлежит идеалу, порожденному однородными
формами COi, 0J, ..., СОг-
§ 3. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 285
Используя C.10а) и C.14), мы далее находим, что уравнение
C.12) может быть записано в виде
(«а)' = jy^a-J + [оР dwA-J va _ [щЭщ»] №(F j.jll^ + K^), C.16)
или
(СО*)' = [co«coa] + [(oPftja^ C.16а)
где наиболее общее выражение для (п—IJ форм со? Пфаффа
имеет вид ')
ш« = vl du\ - 6°v (Fxtt,uM + *vp) a.» + ^«v, C.17)
причем [х2 произвольны, за исключением условия симметрии
^Y = ^p. (ЗЛ7а)
Выберем теперь конкретный вид переменных Яа„, ц"„. Диффе-
Дифференцируя C.14а) и повторно применяя соотношение C.8), мы
найдем
- 60в К duQ - 6ae (,? duQ = d (FFitit) uiu{.
В левую часть этих уравнений подставим C.17). Тогда после
некоторого упрощения мы получим
Кг< + КьК = - d {FFM <4 - 2Яе6«" -
- (Fxttl + F^t) «®П + My + ЬагРЪу) &• C- » 8)
Член d (FFkikj) можно записать следующим образом. Из C.10а)
очевидно, что если vu — коэффициент при dx1 в произвольной
линейной комбинации форм со?, то VjX1 = 0. Обратно, поскольку
формы со? линейно независимы по отношению к dx1, то любая
форма Vj dx1, удовлетворяющая условию VjX1 = 0, конгруэнтна
линейной комбинации форм со?» mod ©'. В дифференциальной
форме <l(FFj[iih) коэффициент при dx1 равен
Vih] = {FxiFxl*h + FFxlxhkl).
Кроме того, из свойств однородности F следует
vihlx' = 0,
так что d (FFj.ij.li) обладает требуемым свойством. Следова-
Следовательно, мы можем записать
d(FF*<xi) = Fua< + Fm<»h- C-19)
После подстановки этого выражения в C.18) мы можем
полностью определить вспомогательные переменные ц®, Я^
') Черн [1], с. 34.
286 гл- VI- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
требованием, чтобы окончательный результат подстановки имел
вид
бае»? + бабСОг = Н М- C.20)
Действительно, из C.18) и C.19) следует, что условие C.20)
выполняется, если положить
~ 2Чб = (Fxitl + Fxl*t + Fi,n) «М C.21)
C-22)
Поскольку последнее уравнение эквивалентно соотношению
то переменные ц?в, Яе6, а следовательно, и пфаффианы со?, cog
полностью определены. Обратно, подходящим выбором этих ве-
величин может быть обеспечена справедливость условий C.20)').
Среди п + п -{- п(п — 1) переменных xl, x', vf у х' суще-
существенны только отношения компонент, в то же время х1 и vf свя-
связаны п— 1 уравнениями C.2) и -^п(п— 1) уравнениями C.14с).
Поэтому в действительности среди них имеется только
п + (п-1)+ у(«-1)(«-2)
независимых переменных. Таким же является и число полно-
полностью независимых форм Пфаффа
со\ <, cog C.23)
(последние из которых связаны уравнениями C.20)), причем
процесс, с помощью которого мы пришли к этим формам, яв-
является внутренним, т. е. одинаковым для локально эквивалент-
эквивалентных пространств.
В итоге проблема эквивалентности сводится к проблеме эк-
эквивалентности систем пфаффовых форм, число которых равно
числу переменных. Согласно Картану проблема эквивалентности
двух таких наборов пфаффианов может быть решена с помощью
конечного алгоритма2).
Из общей теории следует также, что дальнейшие дифферен-
дифференциальные инварианты финслерова пространства получаются пу-
путем образования внешних производных форм Пфаффа C.23).
Поэтому мы подробно не останавливаемся на этом и сделаем
лишь несколько замечаний геометрического характера.
') Черн [1], с. 35.
2) Черн [2], с. 105; Кар тан [5], [6J.
§ 3. ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 287
Нетрудно показать1), что коэффициенты #еба в правой части C.20) за-
задаются формулами
А1Л
так что римановы пространства характеризуются условием Н^ = 0.
С геометрической точки зрения удобно определить новый набор форм,
полагая
згг=со', л] = со} + Y/X- C.25)
Здесь мы предположили, что
Уца + Уца = -Нца' ' C.26)
и учли, что коэффициент Нika равен нулю, если один из его индексов равен и,
и использовали б Кронекера для поднимания и опускания индексов. Ясно,
что для определения у*/а недостаточно соотношений C.26). Полагая у"; =
= Y?tt = 0, мы видим, что наиболее общее выражение для у задается равен-
равенством
2YapY = Aaav ~ Vp ~ Vy ~ ^PV C'27)
где А — набор величин, кососимметричных по последней паре индексов.
Формы C.25) можно использовать для определения евклидовой связно-
связности финслерова пространства картановским методом «подвижного репера», т. е.
путем присоединения к каждому набору переменных (х1, х1, и?) и-мерного
евклидова пространства с ортонормированным репером (еь ..., еп) так, что
смещение РР\ представляется в виде я,е,-, а приращения величин е; подчи-
подчиняются соотношению dei = я{е;. 2). Эти уравнения определяют бесконечно ма-
малое смещение между двумя евклидовыми пространствами или евклидову связ-
связность. Свойства этой связности зависят от дифференциальных форм
Пг = (зт'У - |V:rtJ] C.28)
и
П) = (зх})' - [tfn'b], C.28а)
которые предполагаются внешними квадратичными дифференциальными фор-
формами по со' и С0ц. Затем можно показать, что евклидовых связностей так же
много, как и инвариантов, удовлетворяющих вышеуказанным условиям. В част-
частности, если мы положим А- = 0, то уравнение C.27) примет внд
и мы получим евклидову связность Картана3).
В заключение отметим, что все евклидовы связности, принадлежащие к
описанному выше классу, обладают тем свойством, что эквивалентность связ-
связностей является необходимым и достаточным условием эквивалентности фин-
слеровых пространств.
>) Черн [2], с. 107.
2) См. гл. IV, § 1, п. 3 и, кроме того, гл. Ш, § 1.
3) За довольно громоздким доказательством, опирающимся на структур-
структурные уравнения, читатель отсылается к работе Черна [2], с. 107—120.
288 ГЛ. VI ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 4. Теория нелинейных связностей
В гл. III, § 4 мы кратко упоминали о возможности введения
в финслеровом пространстве нелинейных связностей. Наиболее
общая трактовка таких связностей принадлежит Вагнеру, част-
частные случаи таких связностей изучались Кавагути и Бартелем1).
Первоначальная мотивировка введения нелинейных связностей
состояла в построении финслеровой геометрии без использова-
использования опорного элемента. В работах Вагнера множество локаль-
локальных индикатрис рассматривалось как отправной пункт построе-
построения финслеровой геометрии. С этой точки зрения Вагнер раз-
развивал так называемую «теорию составных многообразий»2).
Рассмотрим в финслеровом пространстве Fn дифференцируе-
дифференцируемое векторное поле X' и предположим, что задан набор функций
Т'к(х, X), зависящих от этого поля, которые преобразуются так
же, как комбинации Т"нк (х, X) Xh. Тогда дифференциалы, опре-
определяемые соотношениями
6Х1 = dXl + Г? (х, X)dx\ D.1)
являются компонентами вектора, который может рассматри-
рассматриваться как некоторый тип ковариантного дифференциала от X1.
Таким образом, Г* (х, X) порождают то, что мы можем назвать
нелинейной связностью, так как второе слагаемое в правой ча-
части D.1) будет, вообще говоря, нелинейным по Xh. Аналогично
при заданном ковариантном векторном поле У,- набор коэффи-
коэффициентов Г1к(х, Y) с подходящими трансформационными- свой-
свойствами определяет ковариантный дифференциал от К,-:
bYi = dYi-Yik(x,Y)dxk. D.1а)
Параллельный перенос определяется теперь условиями
1.2
6Х' = О (или 6У; = 0). Как и прежде, он задает отображение
касательного пространства Тп(х1) на Тп(х1 -\- dx') (или Т'п(х')
^T'nix' + dx')).
Легко показать, что необходимое и достаточное условие того,
чтобы пара параллельных ковариантных векторов из Тп(х')
оставалась параллельной после параллельного в этом смысле
переноса в Т„(х' + dx'), состоит в том, что функции Г1(х, X)
') Вагнер [13], в особенности §§ 3—4; Кавагути [5]; Бартель
[3], [4], [6]. С точки зрения общей геометрии путей нелинейные связности
рассматривались Фризеке [1], Бортолотти [3], Кавагути [3].
2) Вагнер [И], [15] и, кроме того, [13], с. 65—67.
§ 4. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕИ 289
должны быть положительно однородными первой степени по
своим векторным аргументам. Предполагая, что это условие вы-
выполняется, а также что Гк(х, X) принадлежат по крайней мере
классу С2, мы можем записать
Т)к(х,Х)Х! = Тк{х,Х), D.2)
где мы положили
1, дТ[ (х, X)
Г)к(х,Х)= k(dxi . D.3)
2
Вводя аналогичные предположения о функциях Tik(x, Y), мы
соответственно имеем ')
hk{x,Y)Yi = hh(x,Y), D.2а)
где
2
Г{1к(х,У) = -^-. D.3а)
Естественно, что коэффициенты нелинейной связности ПО'
рождают следующий тензор кривизны:
1 ari art 1,1, 1,1,
Rhk = 1?г- IF + llkVh ~ T]hTk ЦЛ)
и аналогично2)
2 2
2 dT,h дТ,к 0 2 9 2
Rlhk = IF ~ IF + H*r№ - T[hYlk. D-4a)
Получающаяся таким образом теория может быть суще-
существенно обобщена путем введения так называемой «эксцен-
!) По существу это представляет точку зрения, принятую первоначально
Миками [1] и Вагнером [13] (с. 108). Кавагути [5], отправляясь
от менее общего набора коэффициентов связности Г^, использует уравнения,
соответствующие D.2), для определения Yhk по Тк, отмечая, что эти урав-
1, 1,
нения, конечно, не определяют однозначно i^k чеРез I&. На самом деле, для
того чтобы получить эквивалент леммы Риччи, Кавагути использовал коэф-
коэффициенты связности, не соответствующие прямо уравнениям D.3) ([5],
с. 197).
2) Заметим, например, что из D.1.7) следует
, , 01 и О\ ъ 01 ь
'"" дх« дх11 дх-
где 1 у — 1 jhx .
Ю X, Рунд
А. г*! ~ h Г*'
290 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
тральной» связности. Действительно, из трансформационных
свойств параметров связности ясно, что разность между любой
парой различных коэффициентов является компонентами тен-
тензора. В частности, мы можем таким способом определить новую
«эксцентральную» связность, полагая для ее коэффициентов
Г} (*, X) = Г| (х, Х) + 6) . D.5)
и
Г и (х, Y) = Г „ (х, Y) - YiYh D.5а)
Как результат D.1) и D.1а), соответствующие ковариантные
дифференциалы могут быть записаны в виде
1 1
6Г = 6Х' + dxl D.6)
и
bYi = bYt - Y, dx!Yt. D.6a)
Параллельный перенос, определяемый условиями б^' = 0,
2
6К; = 0, может поэтому интерпретироваться как композиция
двух отображений, первое из которых является вышеупомяну-
вышеупомянутым отображением соответствующих касательных пространств,
а второе является сдвигом
'Xl = Xl-dxl D.7)
% = Yt + Y, dxlYt D.7a)
в Тп и Т'п соответственно. Для связностей D.5) и D.5а) можно
1 2
определить тензоры кривизны Rhk и #щ> в точности аналогич-
аналогично определениям D.4) и D.4а). Поступая таким образом и
подставляя D.5) и D.5а), мы найдем
I 1 1 1
Rhk — Rhk -Ь Tftfe — Г/Уг D.8)
и
^ D.8а)
м «кручения»:
k = \ (Rhk - kk) = 4 Л* - Ги) D.9)
D.9а)
Это естественно приводит к тензорам «кручения»:
)
§ 4. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ 291
Эти формулы иллюстрируют наиболее общие аналитические
методы, которые используются в теории нелинейных связно-
стей.
Рассмотрим интересные частные случаи нелинейных связ-
связностей. Во-первых, если два вектора У* и X' связаны соотно-
соотношением
Yi = gi!(x,X)Xl = FJtr D.10)
и если эти соотношения выполняются также после параллель-
1 . 2
ного переноса, определяемого уравнениями 6X' = Q,bYi = 0,
то легко проверить, что мы должны потребовать
а!* Х) Ю ~ 8tl (х, X) Г{ (х, X). D.11)
2
Заметим, что это соотношение полностью определяет Vik через
Во-вторых, можно потребовать, чтобы дополнительное усло-
условие на связность было метрическим (в смысле Вагнера2)): в
1 .
силу D.1) это означает, что коэффициенты Г* удовлетворяют
соотношению
или, по D.10),
Y Д (х, X) see gtl (x, X) Х1Г[ (X,X) = F-?F. D.12)
') Соотношение D.11) получено Кав агути [51 (с. 188) для специаль-
специального класса метрических связностей. Отметим, что Кавагути выводил это со-
соотношение из условия X'6gij(x, К) = 0, которое, вообще говоря, не выпол-
выполняется в настоящем случае по крайней мере до тех пор, пока не сделаны до-
дополнительные предположения.
2) Вагнер [13], с. 113. В этой работе термин «метрический» означает
неизменность длины (контравариантного) вектора при параллельном переносе.
В теории нелинейных связностей это условие не влечет за собой тождествен--
ного обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора (что
мы называли раньше термином «метрическая связность»). Отметим также, что
в силу D.11) из условия D.12) следует, что длина ковариантных векторов
остается неизменной при параллельном переносе. Этот результат немедленно
вытекает из того факта, что dF/dxk = —дН/дхк. Условие D.12) можно полу-
получить также из рассмотрения ковариантных производных от скаляров (Рунд
[15]). Сверх того, Вагнер ([13], с. 113) вводит более общее понятие «полу-
«полуметрической» связности, которое предполагает, что при параллельном пере-
переносе двух векторов отношение их длин остается постоянным. В этом смысле
теория нелинейных связностей тесно соприкасается с конформной геометрией,
обсуждаемой в § 2,
292 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Используя A.3.2), мы видим, что это условие может быть за-
записано как
Вц{х, X)X'hk(x, X) = ^d8tld^X) X'XI. D.13)
Дифференцируя последнее уравнение по Xh и учитывая соот-
соотношения A.3.5) и D.3), мы найдем
d8ihXX)
Поэтому уравнение D.11) принимает вид
{{x,X). D.14)
Дальнейшее дифференцирование этого выражения по К/, в силу
D.3а) дает
1
h (x, Y) = h (х, X) + ghl (x, Y)Y,^-. D.15)
ил
Если мы определим ковариантную производную метриче-
метрического тензора gi,- уравнениями
**«= 51 dxk + 1$ dxh - «Л dxk ~ 8>fa dxk' D-16)
то простое вычисление, основанное на D.11) и D.15), показы-
показывает, что
Отсюда следует, что если ковариантная производная от gq
определена согласно D.16), то никакие условия на коэффи-
коэффициенты связности не могут вызывать обращения в нуль кова-
риантных производных от ga ').
Рассмотрим в свете этой теории геодезические пространства
Fn- Предположим, что векторы X1 являются касательными век-
векторами dx'/ds геодезической, так что в обозначениях C.1.26)
') Этот вывод неприменим к ковариантной производной, определяемой
К ав агути [5] (с. 196), поскольку его метод формально совпадает с мето-
методом Картана (гл. III, §§ 1 и 2). Например, Кавагути ([5], с. 196) определяет
производную для вектора V" = V'(x, X) равенством
DV* = dVl + T^V1 dxk + F^A^V1 DXk.
Поэтому, даже если вектор V" не зависит от Хк, его ковариантная производ-
производная зависит от производных X', которые в данном случае выполняют роль
опорного элемента. Поэтому Г^ можно выбрать так, что Dgtj = О,
§ 4. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕИ 293
дифференциальные уравнения B.2.8) этой геодезической за-
записываются в виде
¦^r + 2Gl(x,X) = 0. D.18)
Чтобы выяснить, при каких условиях геодезические автопарал-
автопараллельны относительно параллельного переноса, определяемого
коэффициентами Г^ (х, X), мы должны переписать условия
D.13) в несколько иной форме. Применяя B.2.10) к правой
части D.13) и учитывая C.1.28), A.3.5) и C.1.27'), мы найдем,
что D.13) эквивалентно
' *"' D.19)
Дифференцируя это соотношение по Хн и умножая результат
на g'1', получим
Поэтому, используя D.19) еще раз и учитывая однородность
второй степени коэффициентов G', мы выводим
2G1 = Нхк + gihYi (likXk - к). D.20)
Таким образом, согласно D.1), дифференциальные уравнения
D.18) геодезических принимают вид
= 0. D.21)
Итак, геодезические будут автопараллельными кривыми
пространства Fn тогда и только тогда, когда ')
Y, (hkXk - k) = 0. { D.22)
Это условие тривиально удовлетворяется, если T!hk симме-
симметричны по h и k. Действительно, тогда мы имеем как резуль-
результат D.2)
Кроме того, в этом случае r(ft однозначно определены, ибэ
уравнение D.20) теперь принимает вид
') Рунд [15].
294 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
и повторное дифференцирование по Хн и Хк с учетом D.2) и
1
симметричности Yhk дает
1.
Коэффициенты в правой части являются параметрами связ-
связности Бервальда1), а эти параметры полностью определяются
метрикой пространства Fn. Следовательно, мы имеем теорему2):
Если коэффициенты t{k метрической нелинейной связности
симметричны по своим нижним индексам h и k, то они одно-
однозначно определяются и эквивалентны, параметрам связности
Бервальда.
2,
Мы видим, что в этом случае коэффициенты Ты* опреде-
определяются формулой D.15); они будут совпадать с Т\к тогда и
только тогда, когда Chk \ гХг — 0. Этот результат легко полу-
получается прямым вычислением.
Дальнейшие результаты теории нелинейных связностей по
Вагнеру основываются на методах центроаффинной геометрии
локальных индикатрис. «Аффинно связанные» пространства
(т. е. пространства, для которых коэффициенты связности яв-
являются функциями только точек многообразия) можно охарак-
охарактеризовать условиями, которые эквивалентны условиям, обсуж-
обсуждаемым в конце § 3 гл. III. В частности, необходимое и доста-
достаточное условие того, чтобы двумерное финслерово простран-
пространство ненулевой кривизны было аффинно связанным, состоит в
том, чтобы все индикатрисы обладали одной и той же постоян-
постоянной центроаффинной кривизной3). Аналогичными методами мо-
могут быть выведены необходимые и достаточные условия того,
чтобы пространство было плоским4). Используя теорию состав-
составного многообразия, можно рассматривать теорию Картана
с этой альтернативной точки зрения, однако вследствие слож-
сложности этого метода читателю следует обратиться к оригиналь-
оригинальным публикациям Вагнера5).
В заключение отметим, что класс нелинейных метрических связностей, ко-
который изучался Кавагути, представляет особый геометрический интерес, по-
поскольку эти связности естественно возникают в процессе исследования свойств
движения в пространствах Минковского. Рассмотрим соответствие между дву-
. ') Гл. ЛИ, §3. .
2) Этот результат представляет собой ядро фундаментальной теоремы
единственности Вагнера ([13], с. 116). Подробная трактовка геодезических,
включающая такие аспекты, как вторая вариация и уравнение Якоби, с точки
зрения теории нелинейных связностей дана Вагнером [13], § 4.
3) Вагнер [13], с. 124.
4) См. гл. IV; Вагнер [13], с. 126.
5) Вагнер [11], [15]; [13], §§ 5-6. - - - - •'
§ 5. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ 295
мя касательными пространствами Тп(Х1) и Т„(х' + dx'), определяемое уравне-
уравнениями ')
х,1 = F (х, X) _ jt
F (х + dx, X)
где _
А'' = (б/ - \]к (х, X) dxk) X1, D.24)
а функции |j.ft (x, X) однородны нулевой степени по X' (в действительности
можно использовать функции, являющиеся «обобщенными» однородными функ-
функциями2)). Легко проверяется, что уравнения D.23) эквивалентны уравнениям
«параллельного переноса», которые можно записать в виде
где
Поэтому
ЧЯ'4-ГТ". D.27)
и прямая подстановка в D.12) показывает, что определяемый таким образом
параллельный перенос является метрическим. Можно показать3), что геодези-
геодезические автопараллельны при условии, что функции Ц^ удовлетворяют урав-
уравнениям
h к . .. _2 . .. к h ( dgjh (x, X) 1 dgkh (x, X) |
1 hk ~~ g I дхк 2 дх' )'
Как мы уже видели выше, на коэффициенты D.27) можно наложить
дальнейшие условия, обеспечивающие обращение в нуль ковариантноп про-
производной метрического тензора.
§ 5. Теория локального вложения
В этом параграфе мы кратко рассмотрим вопрос о вложении
«-мерного финслерова пространства Fn в пространство, имею-
имеющее более высокую размерность и другой тип. Другими сло-
словами, мы исследуем, при каких условиях Fn может рассматри-
рассматриваться как подпространство (голономное или неголономное)
другого пространства. Эта проблема не разработана так же
полно, как соответствующая проблема в римановой геометрии,
поэтому мы просто опишем несколько основных известных ре-
результатов.
Оригинальный и очень плодотворный подход к этой про-
проблеме принадлежит Эйзенхарту [3], который показал, что
финслерово пространство может быть получено из риманова
') Кавагути [5], с. 186.
2) Идея «обобщенных» однородных функций принадлежит Кавагути и по-
подробно описывается в работе [4].
3) Кавагути [5], с. 191.
296 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
пространства путем применения однородного контактного пре-
преобразования1). Это вызывает необходимость в тензорном ис-
исчислении относительно группы однородных контактных преоб-
преобразований. До некоторой степени такое исчисление было раз-
развито в работах Хосокавы [ 1 ], Я н о [2], [3],Эйзенхар-
таиКнебельмана [1]. Эйзенхарт и Кнебельман ввели так
называемый первый контактный репер (см. ниже), к которому
в последующих работах Муто [1] иДойла [1] был добав-
добавлен еще один репер. Применимость этих методов к изучению
финслеровой геометрии была показана Муто и Яно [1].
В работе Дойла [1] были введены неголономные подпро-
подпространства. Эта идея была затем использована Э. Дев и сом
[5], [6] в связи с теорией общих метрических пространств, од-
однако результирующая теория ограничена: в нее невозможно
включить результаты Муто и Яно [1], а также отсутствует
связь с теорией Эйзенхарта [3].
Недавно в большой по объему и подробной статье Я н о и
Дев и с [1] развили так называемое контактное тензорное ис-
исчисление в наиболее общей форме. Это исчисление основано
на теории неголономных подпространств (риманова простран-
пространства). В результате оказалось возможным заполнить вышеука-
вышеуказанный пробел. Показано, что картановская теория финслеро-
вых пространств может быть включена как такой частный
случай,в котором контактные преобразования сводятся к расши-
расширенным точечным преобразованиям (которые еще раньше ис-
использовались при изучении финслеровой геометрии). Это дает
возможность рассматривать финслеровы пространства как не-
неголономные подпространства римановых пространств. Изуче-
Изучение этой возможности проведено в последующей работе Я н о и
Д е в и с а [2].
В настоящем параграфе мы кратко изложим этот подход.
Очевидно, что в рамках настоящей монографии невозможно
дать разумно исчерпывающий обзор упомянутых результатов,
так как мы были бы вынуждены дать подробное изложение
контактного тензорного анализа, а также — довольно сложной
и обширной — теории неголономных подпространств. За пол-
полным обсуждением этих вопросов и их применений к финслеро-
вым пространствам читатель должен обратиться к работе Яно
и Девиса [I]2).
') Следует отметить, что еще раньше Рашевский [1] показал, что
двумерная финслерова метрика может быть получена контактным преобразо-
преобразованием из метрики, содержащей линейный элемент.
2) Результаты, близкие результатам Яно и Девиса [1], были неза-
независимо и почти одновременно получены Такано \2]. В несколько более об-
общем виде они содержатся в работе Сугури и Накаямы \1]. Обзор ли-
литературы о неголономных подпространствах римановых или аффинно связан-
связанных пространств см. в работе Яно и Девиса [1J.
§ 5. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ 297
Рассмотрим 2п-мерное пространство У%п линейных элемен-
элементов (х', х') финслерова пространства Fn- Введем следующие
обозначения: х' = х\ x' = xn+i, хА = (x't xn+i)^). Предполагает-
Предполагается, что координатные преобразования
х* = хА' (хА) E.1)
в Угп имеют вид A.1.1)
х'' = х''(х'), xi'^x<n+iy = ^Txi = ^Txn+i. E.1а)
дх дх
Пусть нам заданы 2п линейно независимых контравариант-
ных векторных полей БД Nn+iA в Угп- Тогда мы можем опре-
определить матрицу (В'а, N"+>a), обратную к матрице (БД Nn+IA)
так, чтобы
ВАВ\ = б/, B,ANn+iA = 0, E.2)
Nn+jABlA = 0, Nn+iANn+iA = bnnV, E.2a)
и
ВАВ{В + Nn+ANn+iB = 6l E.3)
In векторов В;А, Nn+tA определяют так называемый неголоном-
ный репер.
Эта терминология оправдывается следующим определением.
В каждом касательном пространстве пространства V2n п-век-
торов BiA натягивают n-мерную «плоскость». Множество всех
этих плоскостей (взятых по различным касательным простран-
пространствам) определяет неголономное подпространство простран-
пространства Vin- Термин «неголономное» указывает на то, что в об-
общем случае не существует такого семейства n-мерных поверх-
поверхностей в Vzn, касательные плоскости которых (в касательных
пространствах к V2«) совпадают с плоскостями, натянутыми
на векторы БД Если же такое семейство поверхностей суще-
существует, то неголономное подпространство сводится к обычному
(голономному) подпространству рассмотренного в гл. V типа.
Согласно E.3) произвольное смещение dxA в V2n может быть
представлено в виде
dxA = ЬАВ dxB = BtA (ихI + Nn+tA {dx)n+i, E.4)
где
(dxI = В1 B dxB, (dx)n+i = Nn+iB dxB. E.5)
Скобки означают, что {dxI и (dx)n+i, вообще говоря, не яв-
являются точными дифференциалами. В частности, если, напри-
например, (dx)n+i = 0, так что dxA = BtA(dx)', то dxA касателен к
') На протяжении настоящего параграфа подразумевается, что заглавные
латинские буквы А, В, ... пробегают значения от 1 до In, тогда как малые
латинские буквы изменяются в пределах от 1 до п, как и прежде.
298 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
неголономному подпространству V"n пространства Угп, натяну-
натянутому на п векторов BiA.
Покажем теперь, что расширенные точечные преобразования
E.1а) накладывают определенные условия на неголономный
репер, что приводит к неголономной аффинной связности в У2я,
которая определяет индуцированную связность на неголоном-
ном подпространстве. Путем некоторого ограничения на связ-
связность в Vin мы таким образом получим коэффициенты связно-
связности в финслеровом пространстве Fn.
Пусть f = f(xA) ¦—произвольная функция координат хА про-
пространства Уъп. Используя E.4), запишем
df = j^ dxA = (dxI X,f + (dx)n+i Xn+if, E.6)
где мы определили так называемые неголономные частные про-
производные согласно
Например, для смещения вдоль Vtn мы имеем
df = (dx)iXtf.
Используя E.2), нетрудно показать, что коммутационные фор-
формулы для операторов E.7) имеют вид ')
(ВД - XkVh) f = Q^Xtf + uhkn+iXn^f, E.8)
(XhXn+k— Xn+kXh) f — &h, пЛ-к %if + ^A. n+k ^n+if> E.8a)
n+k Xn+kXn+k) f = Qn+h,n+k %tf + Qn+h, n+k ^n+lfi E.8b)
где
Оы,' = (ХкВкл-ХкВкА)В1А, E.9)
Qhkn+i = (ХкВкА - XkBhA) Nn+lA, E.9a)
Q*. n+k = {XkNn+k* - Xn+kBhA) BlA, E.9b)
Q*. n+k"+i = (XhNn+kA - Xn+kBhA) Nn+lA, E.9c)
Qn+н. n+k1 = (Xn+kNn+k* - Xn+kNn+h*) B\, E.9d)
Qn+h, n+kn+i = (Xn+ltNn+kA - Xn+kNn+A) Nn+iA. E.9e)
Предположим теперь, что нам заданы аффинные коэффи-
коэффициенты Тв^с в Vin- Они приводят к следующему ковариантному
дифференциалу векторного поля vA пространства Угп:
= dvA + TBAcvc dxB.
l) Яно и Девис [1], с, 5.
§ 5. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ 299
В частности, если vA касателен к У"„, т. е. если vA = BiAv', то
мы имеем
6сИ = BtA dvl + ГвАсис dxB + (dBtA) v\
что после применения E.4) и E.6) может быть записано в
виде
6vA = BtA dvl + (dxI [ГвАсВкСБ,в + X,.BkA] vk +
+ (dx)n+! [TBAcBkCNn+lB + Xn+iBkA] d\ E.10)
Проекция этого дифференциала на V"n задается выражением
BfW + (dxI Г До* + (dx)n+l rn+l.lkvkl
где')
Г/'* = BlA (BsBBkOTBAc + Х,ВкА) E.11)
?n+l!k = BtA(Nn+,BBkCTBAc+Xa+lBkA). E.11а)
Переставляя в первом из этих уравнений индексы / и k и вычи-
вычитая, мы в силу E.9) получим
ГД-1У, = 7У + ?У, E.12)
где ...
Подобные соотношения справедливы и для величин, включаю-
включающих индексы > п.
Таким образом, ковариантный дифференциал от vl опреде-
определяется равенством
6vl = dvl + (dx)'r/kvk + (dx)n+i Yn+i!kv\ E.13)
а ковариантная производная от vl вдоль Уы задается равен*
ством
V/o' = Х,и1 + Г/V. E.13а)
В то же время на неголономном пространстве, определяемом
векторами Nn+jA, мы имеем
VB+/o' = Xn+Iv{ + rn+l\vk, E.13b)
так что
6v' = (dx)' Wjv' + (dx)n+i Vn+Ivl. E.13c)
Естественно, что этот процесс ковариантного дифференци-
дифференцирования может применяться и к тензорам произвольного ранга.
Далее, предположим, что на Угл задана риманова метрика
с метрическим тензором gAB (который мы сейчас специализи-
специализируем). Предполагая взаимную ортогональность векторов Bt3,
') Эти коэффициенты не следует смешивать с коэффициентами C.1.30).
300 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Nn+iA относительно этой метрики:
мы вследствие E.4) имеем
ds2 = gAB dxA dxB = glk (dx)< {dxf + gn+!, n+k (dx)n+' (dx)n+\
где
iANn+kB. E.14)
Эти тензоры определяют метрику в неголономных подпро-
подпространствах.
Пусть теперь коэффициенты Гвлс аффинной связности вы-
выбраны так, что Vtgjk — 0 и Wn+i(gn+i, n+k) = 0; другими словами,
связность является метрической1). Это влечет за собой опре-
определенные условия на коэффициенты ГД. Чтобы получить эти
условия, поступим следующим образом. Для индексов /, /, k ^
^п по определению имеет место равенство
0 = Vtgjb = Xigik - ghkYti - ?/АГД.
Циклическая перестановка индексов i, j, k дает еще два урав-
уравнения, из суммы которых мы вычтем исходное уравнение. Та-
Таким образом мы находим, что
2*1аГД = (Xkgil + X!gkl - Xlgik) + gih (ГД - ГД) +
+ гй*(гД-гД) + ^А(гД-глА/).
Вводя обозначения
и
^ Ik = g m
мы видим, что написанное выше условие на коэффициенты
связности с помощью E.12) может быть представлено в виде
2Г Д = gih (Xkghl + Xigkh - Xhgtk) +
+ (Q№' + Q{!k + Qlk!) + (T!kl + Tlik + Tlkl). E.15)
Аналогичные соотношения справедливы и для индексов, боль-
больших п. Коэффициенты Т\и1 могут рассматриваться как неголо-
номные компоненты кручения пространства У2я-
Итак, мы ввели несколько общих понятий теории неголоном-
неголономных подпространств риманова пространства. Приспособим те-
теперь эту теорию к нашей специальной задаче.
Как мы отмечали выше, неголономный репер может быть
выбран различными способами. Для того чтобы сделать этот
') Читатель может проверить, что эти условия следуют из требования
bgAB — 0. См. Ян о и Дев и с [1], с. 13.
§ 5. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ 301
выбор, заметим, что линейные комбинации типа C)BiA из BiA
при условии det(C/)=^0 порождают неголономное подпростран-
подпространство, изоморфное V%n- В силу линейной независимости BtA мы
можем найти такие значения С), что С\вк' =Ь[. Выполняя та-
такое преобразование, выбирая Nn+iA так, чтобы
в согласии с уравнениями E.1а), представим наш неголоном-
ный репер в виде
В то же время в силу E.2) для обратной матрицы имеют место
равенства ^
Я'л = (в/,о), Nn+iA^(-Bf+i,KVd- E.17)
В дальнейшем мы увидим, что эти значения не инвариантны
относительно точечного преобразования E.1а). Из того факта,
что BiA являются компонентами контравариантных векторов в
Vin, следует
R R
Bj - дхА Bi
Кроме того, в силу E.1а) мы имеем
g^n+iY ^ djcV ^ дУ .h dx{-n+iY _ дх1'
дх' ~~ дх' ~ дх'дх*1 * ' dxn+i ~ дх1
так что
дх' дх> dxh дх1 '
Если мы присоединим к преобразованию E.1а) преобразо-
преобразование неголономного репера, задаваемое равенством
R А' _ R А' дх!
Вг -в< -W-
то уравнение E.18) примет вид
A' (fj' д2*1' дх> <-
так что по аналогии с E.16) мы можем написать
Ну ==^О/', Of ), @.1У)
где
= ^4" (^п- Bjn+{ р^-гт xk). (б. 19а)
дх1 \дх> ' дх1 дхк ) v '
302 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Аналогично Nn+iA теряют свой специальный вид при преоб-
преобразовании E.1а); однако снова, если мы присоединим измене-
изменение репера, имеющее вид
А' дх1 д, А'
то первоначальная форма этих величин может быть восстанов-
восстановлена. То же самое применимо к обратным величинам E.17).
Следовательно, мы можем потребовать, чтобы все точечные
преобразования E.1а) сопровождались подходящим измене-
изменением неголономного репера ').
Уравнение E.19а) описывают изменение величин В,п+' от-
относительно комбинированных преобразований, и если мы по-
положим
Bjn+i = — Г}, E.20)
то формула E.19а) принимает вид
г;:: = ёС(т) Цг + -Р-т- *"') • E.20а)
1 дх1 \ ' дх' дх> дхк )
Мы теперь в состоянии полностью использовать специаль-
специальные формы E.16) и E.17) неголономного репера. Действительно,
из этих уравнений следует, что E.5) и E.7) принимают вид
(dxI = dx1, (dx)n+i = - B,n+i dx1 + dxn+i
и
yf df | D +l df у , df
В частности, если положим Xn+if = Xif, (dx)n+l = (dx)' и при-
примем во внимание E.20), то эти уравнения можно будет пере-
переписать в виде
(dx)i = dxi, (dxI = dx + Г} dx1 E.21)
') Уравнения E.16) и E.17) определяют ту специальную форму репера,
которая была использована Яно и Девисом [2], с. 412. В работе Я но и
Девиса [1], с. 14, репер берется в виде
Случай, рассматриваемый Э. Девисом [5], является более специальным, а
именно:
В работе Доила [1] предполагается, что
§ 5. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ 303
Кром« того, вследствие E.16) и E.17) коммутационные
формулы E.8) принимают гораздо более простой вид, а именно:
(XhXk - XkXh) f = uhkn+iXtf = R^Xj, E.22)
(ВД - XkXh) f = fiAi n+kn+%f = S'A Л/, E.22a)
(ВД-ВД)/ = 0, E.22b)
где
Я'А* = йм"+'. S'A* = Qft.n+fc"+'- E.22с)
Тензоры E.22с) можно представить более явными формулами.
Из соотношений E.9а) и E.9Ь) после применения E.16) и
E.17) вытекает, что
Следовательно, используя E.20) и E.22с), мы получим ')
Rlhk = ХкГ1н-XhTi E.23)
и _
S\k = Xkrlh. E.23а)
С помощью E.21а) ковариантные производные E.13а) и
E.13Ь) представляются следующим образом:
E.24а)
Введем теперь в финслеровом пространстве Fn метрический
тензор. Пусть F(xk, xk) — метрическая функция пространства
Fn, по которой строится метрический тензор gt,- согласно A.3.1).
Мы можем отождествить риманову метрику пространства Угя,
определяемую согласно E.14), с этим метрическим тензором,
предполагая, что
+i = gn- E.25)
Условия E.15), накладываемые на коэффициенты связности
T/'k, теперь включают в себя финслерову метрику. Естественно,
Ч Яно иДевис [2], с. 414.
304 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
что Tj'k не определяются полностью этими условиями. Поэтому
предположим дополнительно, что V/i' = 0, Vn+/i' = 6/.
Согласно E.13с), эти условия эквивалентны требованию
6i' = (dx)n+i. Подставляя эти условия в E.24) и E.24а), най-
найдем
-Г} + гД** = 0, E.26)
а также
Гп+1,\хк = 0. E.27)
Эти соотношения подсказывают, что мы должны положить
-—j—.
E.28)
причем величины в правой части определяются относительно
финслеровой метрики F(xk, х") уравнениями C.1.26), C.1.28),
A.3.4). Действительно, из C.1.27') и A.3.5) следует, что при
этих условиях должны удовлетворяться равенства E.26) и
E.27). Поэтому примем, что
I i = Tlkx =-?7f' E-29)
В силу уравнений E.21а) это определение будет влиять на
E.15); действительно, учитывая E.9), E.16) и E.17), мы ви-
видим, что E.15) сводится теперь к виду
lk g \ dxk dxk dx> ^ dxl дх' dxl
, dQl ds!k
+ IF ~JT
Сравнивая этот результат с C.1.28), мы видим, что коэффи-
коэффициенты ГД будут равны Т)\, если мы подчиним компоненты
кручения пространства Угп условию
7V + r/fe + rft/ = 0. E.31)
Аналогично, выписывая соответствующее E.15) соотноше-
соотношение, содержащее индексы, большие чем п, мы с помощью E.21а)
и E.25) найдем
Ц n+t, kl + Tln+I, k + Т\, „+/. F.32)
Кроме того, уравнение A.3.4) показывает, что мы можем
отождествить Г1п+1< к с С/& при условии
&k, n+i + Tn+j ,к1 + Гп+1) h + T\, n+i = 0. E.33)
§ 5. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ 305
Итак, мы доказали следующую теорему:
Финслерово пространство Fn может рассматриваться как
неголономное подпространство риманова пространства Vln, ме-
метрика которого задается равенством E.25), а кручение удовле-
удовлетворяет условиям E.31) и E.33)').
Другой остроумный подход к проблеме вложения — в некоторых отноше-
отношениях сходный с тем, который мы описали выше, — принадлежит Гальвани2).
И снова, по причине громоздкости и сложности формул, мы дадим лишь очень
беглое описание фундаментальных идей и наиболее важных результатов, по-
полученных Гальвани, опуская доказательства. В то время как в классической
трактовке проблемы вложения римановых пространств в евклидовы простран-
пространства большей размерности основным элементом пространства, в которое со-
совершается вложение, является точка, в рассматриваемой теории принята пол-
полностью отличная точка зрения. Каждой точке финслерова пространства Fn со-
соответствует специальная конфигурация S в евклидовом пространстве Еы раз-
размерности N, где N > п и где S определяется тройкой
S = (М, Д, П) E.34)
такой, что М является точкой, Д — линией, проходящей через М, а П — «-мер-
«-мерной плоскостью, содержащей Д. Ясно, что
L = l(M, Д) E.35)
представляет собой линейный элемент. Далее, напомним, что согласно общей
теории форм Пфаффа евклидова связность 82/1-1 в пространстве линейных
элементов определяется набором линейно независимых форм со/, со,-/ (i, } =
= 1, ...,«; со;,- = —со,/). Вообще говоря, система
<Bj = 0 E.36)
не является вполне интегрируемой, однако если это имеет место, мы будем
называть соответствующую связность U2n-i полуточечной связностью.
Рассмотрим пространство М„ размерности п, на котором определены ло-
локальные координаты х'. Как и ранее, при определении направлений х' в ка-
касательных пространствах к М„ важны только отношения компонент х', так что
точки х' из М„ вместе с направлениями х' определяют Bя— 1)-мерное про-
пространство W2n-\. Задавая в пространстве VF2n-i связность 82,1-1 так, чтобы
со,- не зависели от dxl, мы получим полуточечное пространство Z-2«— i- Далее,
мы можем ввести финслерову метрику в И^п-ь по отношению к кото-
которой со<, со;/ определяют ковариантныи дифференциал (в смысле гл. III), и об-
обратно, эта метрика и со;/ характеризуют пространство Ltn-i-
Возвращаясь к конфигурации E.34) пространства Ек (N > п), предпо-
предположим теперь, что полилинейные элементы порождают многообразие Af2«-i и
что связность 82n-i задается отображением M2n-i на Е„. Это дает локальную
реализацию связности 82n-i.
') Эта теорема принадлежит Яно иДевису [2], с. 416. С ней тесно
связаны работы Дайке [2], [3], который доказал, что, вообще говоря, не-
невозможно вложить финслерово пространство в риманово без кручения, но
что всегда возможно определить метрику и тензоры кручения Bя—1)-мер-
Bя—1)-мерного пространства V^n-i так, чтобы данное пространство Fn представляло
собой неголономное подпространство пространства V^n-i- При этом не накла-
накладывается никаких условий типа E.33); об объемлющем пространстве пред-
предполагается лишь, что автопараллельные кривые являются геодезическими.
2) Гальвани [1] — [6]. Для двумерных финслеровых пространств
аналогичный метод был предложен Рашевским [2].
306 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Мы теперь в состоянии сформулировать главные теоремы:
A) Каждая аналитическая связность 82n—i локально реалиузема в ев-
евклидовом пространстве EN размерности N = 2п2 — п, причем общее решение
зависит от п(п?—1) произвольных функций Bп—1) аргументов1).
B) Каждая аналитическая полуточечная связность %п-\ локально реа-
реализуема полуточечным многообразием М2п-\ в Еп размерности jV = 2(«2 —
— /1+1), причем общее решение зависит от п(п— IJ произвольных функций
Bя — 1) аргументов2).
C) Каждое пространство L2n-\ локально реализуемо посредством много-
многообразия М2я-1 в En, где N = 2ге2— п.
D) Каждое пространство L2n~i локально реализуемо в En с N —
= 2(/г2 — п+ 1) полуточечным многообразием М2п-\3).
E) Каждое аналитическое финслерово пространство Fn локально реали-
реализуемо при условиях, предполагаемых в теоремах C) и D) 4).
Для случая п = 2 оказывается, что многообразие элементов E.34) может
быть вложено либо в Ез, либо в трехмерное риманово пространство V3. Спра-
Справедливы следующие теоремы:
F) Для того чтобы двумерное финслерово пространство F2 было локаль-
локально реализуемо в Е3, необходимо, чтобы оно обладало абсолютным параллелиз-
параллелизмом своих линейных элементов; если это условие не удовлетворяется, про-
пространство реализуемо в Уз5)-
G) При такой реализации образами точек из F2 являются ортогональные
траектории однопараметрического семейства развертывающихся линейчатых
поверхностей из V3 (или из Е3), а образами геодезических из F2 являются об-
образующие этик поверхностей6).
В заключение упомянем о другом подходе к проблеме вложения, развитом
Вагнером [2]. Этот подход основывается на рассмотрении финслерова
пространства как поля локальных гиперповерхностей. Поле Al-мерных поверх-
поверхностей в аффинном Ен называется постоянным полем, если при сдвиге, при
котором точка Р[ отображается в точку Р2, М-мерная поверхность, связанная
с Pi, отображается в М-мерную поверхность, связанную с Р2. Нетрудно пока-
показать, что поле локальных /и-мерных поверхностей в Хп может быть вложено
в постоянное поле (m-\- k) -мерных поверхностей пространства ?л+а, где
k ^ п. Явные формулы такого вложения даны Ингарденом [1].
§ 6. Двумерные финслеровы пространства
Теория двумерных финслеровых пространств была предме-
предметом большого числа исследований, так что в рамках настоящей
монографии почти невозможно дать полный обзор всех раз-
разнообразных результатов.
Поэтому мы ограничимся кратким описанием главных ас-
аспектов этой теории. В частности, подчеркнем, что применяемые
в двумерном случае методы и аппарат существенно отличаются
от методов, применяемых в общем случае. Одной из главных
особенностей двумерной теории является наличие в ней трех
различных типов производных. Поэтому мы начнем настоящий
') Гальвани
2) Гальвани
3) Гальвани
4) Гальвани
б) Гальвани
в) Гальвани
; [4], с. 133.
с. 137.
с. 141.
, с. 143.
, [3]; [6], с. 431.
, с. 444 и далее.
§ 6. ДВУМЕРНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА
307
параграф с краткого описания этого формализма и его непо-
непосредственных следствий, развитого главным образом Берваль-
дом и Картаном ').
1. Формальные аспекты. В двумерном финслеровом про-
пространстве Fi однозначно определен единичный вектор т', нор-
нормальный к единичному вектору /' в направлении опорного эле-
элемента х'. После введения матриц
F.1)
где g = det(gij), a V -положительный квадратный корень, мы
можем определить вектор т\ полагая 2)
/' = e'*mft, /* = e,*m*, F.2a)
так что будут тождественно выполняться следующие соотноше-
соотношения:
ш' = -е% mt = -Blklk, F.2b)
llmk - lkml = slk, ltmk — lkmt = eik. F.2c)
Поскольку /'ft = 0, gink = 0, то мы имеем также
m\k==mi\k==0- F-2d)
Далее, представим метрический тензор следующим образом:
gii = lllf+mimi, b4 = ltlb + mtmk F.3)
и заметим для дальнейшего, что
*« + *« = 0, е% = в}, е%4 = 2. F.4)
Как и в уравнении E.6.9), введем главный скаляр3) /. Тогда
вследствие A.3.5) мы будем иметь соотношения
Ат =
= FCW =
F.5)
') Бервальд [5], Картан [5]. В работе Бервальда [6] имеются
ссылки на более ранние результаты. Кроме того, обратим внимание читателя
на тот факт, что ряд результатов о кривизне двумерных финслеровых про-
пространств приведен в §§ 4 и 5 гл. IV. Ради полноты мы должны упомянуть, что
Грюсс [1] провел детальное изучение системы сетей в F2. Понятие «геодези-
«геодезических коник» в Fz обсуждается Г р ю с с о м [2] иНакадзимой [1].Трак-
[1].Трактовка картановского параллелизма двумерных финслеровых пространств при-
принадлежит Гальвани [6].
2) Обратим внимание, что это та же конструкция, что и использованная
в § 6 гл. V.
3) Этот скаляр впервые появился в работе Бервальда [5], с. 204; он
отличается множителем '/г от скаляра, используемого в настоящем параграфе.
308 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
непосредственным следствием которых является равенство
^-^f—/VF-*. F.6)
Определим теперь три типа производных, специфичных для
двумерных пространств. Прежде всего введем обозначения
дФ дФ dGl Yk dXk dXk dGl ,R _,
ф[A = ^-1 ТТГТТ' XW = ~Ti "T-7, ...ит.д., F.7)
dxl dxl dxl dxl dxl dxl
где Ф — произвольная однородная скалярная функция, а Xй —
произвольное векторное поле; аналогично для тензоров любого
ранга. Если мы теперь положим
Ф5 = Ф((/, Xks = Xkmll, ..., и т. д., F.7а)
то ясно, что индекс s (не являющийся индексом, принимающим
значения 1,2) здесь обозначает дифференцирование по длине
дуги s геодезической пространства F2, касательной к линейному
элементу (х, х). С помощью F.7) обычные ковариантные про-
производные могут быть записаны в виде
Xl^Xin + xW,, F.7b)
Tik i / = Tik [/] - ThkYti - TlhTlhi, • • • и т. д. F.7с)
и, в частности,
0. F.7d)
С помощью C.3.8) и D.6.10) легко выводятся следующие ком-
коммутационные формулы:
1кхг, F.8)
дФ
Аналогичная F.7а) производная может быть определена
следующим образом:
Х'ь = Х{пт\ ... я т. я., F.10)
так что, например,
Фц\ = ®sh + ФьШ. F.10а)
§ 6. ДВУМЕРНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА 309
Как результат этих определений, имеют место следующие
формулы, проверку которых мы оставляем читателю:
л 1 dGl i Лт*1 /с 11\
пц тТ1к; F.11)
1 = nij щ; F.12)
л 2G' i 1 dGl i ,..„,
/? = --l-~-m', mi = -rilhm'mh; F.13a)
j^ j^mh; F.14)
(^•X = G<7X. (т0ь = rf/mX- F-14a)
К третьему определению производной можно прийти, если
вспомнить выражение E.6.8) для угла ср. В обозначениях F.1)
мы можем записать
\Ц \кй1\ F.15)
Следовательно,
^ = «ь F.16)
и поэтому если функция Ф однородна нулевой степени по хк,
то
„ дФ дФ дФ дФ i ._ ,_.
F —T = mi —-, —- = F—Ttn\ 6.17)
дх <Эф <Эф дх
Обозначая производные по ф индексом ф внизу, мы имеем из
соотношений F.5) и F.6)
(gii)9 = 2/тгту, (Уг)„ = / Vi". F.18)
а также
(e**)v = /ew, (е'*)ф = -/в'\ F.19)
Если мы вспомним, что
fr=т (б) ~ «/). ^г = 7 (*« " W F-2°)
то из F.19) непосредственно получаются формулы
и
т^ = -1!~1т1, (т.)ф = - /. + Jmt. F.22)
310 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что касается тензоров кривизны, то вследствие кососим-
метричности D.2.16) справедливо равенство
и поэтому в силу F.4) мы можем записать
/?A/ = /CA/ = WeAfe, F.23)
где
K = -jK,lhkShkltm,. F.23а)
Используя эти сведения, нетрудно вывести фундаменталь-
фундаментальные свойства пространства F2. Прежде всего, получим комму-
коммутационные формулы для трех типов производных, определен-
определенных выше, из которых почти непосредственно будут следовать
тождества Бианки. Заметим, что в силу F.2d), F.5) и F.7а)
мы имеем
lrlr = Jstnhtnltnk. F.24)
Далее, вследствие F.17) и F.23) уравнение F.8) принимает
вид
тогда как аналогичное уравнение F.9) может быть записано
в виде
—Т--\—г) = (J,fnhm. + т.Г*А) F.26)
дхк \ дхк )щ F Зф v s h k I hbj- v I
Простое вычисление, основанное на F.11), F.17), F.22) и
F.26), приводит к соотношению
Ф*ф — ФФ6 — — /*ФФ — Ф, — /Ф*. F.27)
и аналогично
ФФ* - Ф5Ф = — Ф4, F.27а)
ФЛ-Ф»,= -/СФФ. F.27Ь)
Эти коммутационные формулы принадлежат Картану1).
Рассмотрим теперь следующее очевидное тождество Якоби:
— %sb) + (%sb — Ф,ф4) +
- %bs) + (ФЙ5Ф - Ф*ф.) + (Ф5ф4 - Ф,6ф) = 0.
После подстановки F.27) в каждую из этих скобок мы по-
получим
- ТСфФф - /„ФФ + Л (Ф5Ф - Ф,Ф - Ф») + / (Ф.» - Ф45) = 0.
•) Картан [5], с. 121.
§ 6. ДВУМЕРНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА 311
Если далее мы примем F.27) еще раз и исключим член ФФ, то
найдем окончательно
Kv + JK + JSs = 0. F.28)
Это соотношение представляет собой тождество Бианки для
Fi в форме, данной Бервальдом ').
Далее, если мы продифференцируем C.3.8) по xh и исполь-
используем F.24) и F.17), мы увидим, что
^ + (Jt)mh. F.29)
В то же время в силу F.22) мы имеем
{1^п{т1пгк\ = G5ф + JJS) т&т1тк — Js (ljinlink + т,11тк + mjtnllk).
F.30)
Кроме того, из F.2d), F.5) и F.10а) следует
Afr 11 = Ush + Jtmt) mjmhmr, F.31)
и если мы подставим эти значения в C.3.14), то после некото-
некоторого упрощения получается равенство
~t = tnimkmh(W - JJsml - //) + mlmh {Jsmklt + /s/femy). F.32)
P
OX
Подстановка F.30) и F.32) в F.29) дает следующее фунда-
фундаментальное разложение:
FG\kh = mjmhmk {т1 (У5ф + Jb) — 2l'js}. F.33)
') Б е р в а л ь д [5], с. 206. В этой связи следует отметить работу М о о р а
[2] о двумерных финслеровых пространствах постоянной кривизны. С по-
помощью F.23) коммутационные формулы для скалярной функции Ф могут
быть записаны следующим образом:
ф| hk ~ ®\kh = - F ~djr Kzhkmr.
В частности, из F.2а) и F.4) следует, что мы имеем (Бервальд [5],
с. 203)
дФ dF dOdF
Если мы предположим, что пространство таково, что К\ \ = К\ % = 0, К ф 0,
и применим эту формулу к Ф = К, мы найдем Кх1рх* — ^-х^х1 :=^- Кроме
того, по однородности К^х] + К#х2 = 0, так что Кх, = Кх' = 0. Поэтому из
Определения величин К ц, К\2 следует также Кх\ = Кх' = 0- Таким образом,
условия К\ i = 0 и К = const эквивалентны (М о о р [2], с. 4). Из F.23) вы-
вытекает, что эти условия эквивалентны условию (K.lrtlklr\ i = Q. Тождества
Бианки принимают вид
W + Jss = 0.
Подробное изучение этого уравнения проведено Моором [2].
312 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
В частности,
j y „ + /»). F.33a)
Если мы положим
G)khr = -gjT \G)kh)
и продифференцируем равенство F.33а) по хг, учитывая при
этом F.17) и F.22), то это даст
РЩы + F2G)kir = mrmjtnk {(/S(p + /ь)ф +
-f 2/ (Is<f + /ь)} — (Js<f + Л) {m^/, + mjmrlk}.
Следовательно, из F.33а) мы получим
2/ (/„ + /6)} -
A. -f mjlrmk + т,тг1к}. F.34)
Из разложения F.33) очевидно, что двумерные «аффинно
связанные пространства» (т. е. те пространства Финслера, для
которых Gj; не зависят от направления) характеризуются ус-
условиями
Jb = Js = O. F.35)
Применяя F.27Ь) к главному скаляру J, мы видим, что эти
условия влекут за собрй либо A) К, = 0, либо B) / = const.
Из F.23) следует, что если К — 0, то I'Ki'hk — 0, что, как мы
видели в гл. IV, § 7, является достаточным условием для суще-
существования координатной системы, в которой Гл'^ = 0. Поэтому
по C.3.8а), F.31) и F.35) мы найдем, что для аффинно свя-
связанных пространств справедливо равенство G/U = 0. Тогда, из
F.7d) следует, что Fxt(xk,xk) = 0 для всех направлений xk, от-
откуда вытекает, что наше пространство является пространством
Минковского (в согласии с последней теоремой из § 7 гл. IV).
Таким образом, мы можем больше не рассматривать первую
альтернативу К = 0. Ко второй альтернативе мы вернемся
в п. 3.
2. Некоторые проективные преобразования, применимые к
F2- Пространства с прямолинейными геодезическими. Докажем
теперь следующую теорему '):
Необходимое и достаточное условие того, что в двумерном
финслеровом пространстве можно было так проективно изме-
изменить функции G[k, чтобы преобразованные функции Ghk не за-
зависели от направления, заключается в выполнении уравнения
(Js9 + /Др + 2/ (Jsv + Jb) + 6/s = 0. F.36)
') Бервальд [10,111], с. 97.
§ 6. ДВУМЕРНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА 313
Доказательство. Рассмотрим проективное преобра-
преобразование вида D.8.3)
G' = Gl + P (x, х) х1, F.37)
где функции Р(х, х) являются положительно однородными пер-
первой степени по хк. Тогда
Ghk = Ghk + -^bh + -^bk + x -^^ F.37а)
GW = Ghkl + ^r^Tf Ьн +
+ fР . а' + х1 —гп,—г- F.37Ь)
dxh dxk °i^x дх' дхн дхк '
Кроме того, свертывая первую производную от F.37) по на-
направлению, мы получим
'-т $
Предположим теперь, что Glhk не зависят от направления, таи
что правая часть равенства F.37Ь) обращается в нуль. Тогда
подстановка F.38) в F.37Ь) дает
Ghki ~~ у {bhG'rkj + ЪHт\н + b\Grrhk) — у ^Grrhki = 0. F.39)
Обратно, ' если удовлетворяется это условие, то мы мо-
можем определить функцию Р для проективного преобразования
F.37), полагая
где Glrk — Gir — произвольные функции только от координат,
так что
д'Р _ 1 пГ
dx>dxk~ 3 rkl'
В силу условия F.39) подстановка последнего соотношения
в F.37Ь) дает Ghjk — Q. Следовательно, условие F.39) является
также и достаточным. Наконец, с помощью уравнений F.33),
F.33а) и F.34) мы можем преобразовать уравнения F.39) к
данному виду F.36).
Ясно/что только что доказанная теорема может быть сфор-
сформулирована следующим образом: необходимое и достаточное
условие того, чтобы геодезические финслерова пространства
314 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
образовали квазигеодезическую систему, состоит в выполнении
F.36) 1).
Докажем теперь следующую теорему:
Для того, чтобы существовало проективное преобразование
коэффициентов Ghk, в результате которого тензор кривизны
D.6.&)двумерного финслерова пространства обращался в нуль,
необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись уравнения
Яф5-3/С6 = О. F.40)
Доказательство. С помощью D.8.7Ь) легко показать,
что при проективном преобразовании F.37) тензор кривизны
Н)и преобразуется следующим образом:
*¦
F.41)
Вспоминая обозначения D.6.16а) и D.6.16Ь)
i Н
Hi = Н»> -^tf =
мы в_идим, что после свертки по индексам i и k в F.41) усло-
условие H)k = 0 примет вид
дР дР(И ъ
Н! = 2Ри)-Р — -^. F.42)
Дифференцируя это уравнение по хн, мы вследствие однород-
однородности первой степени функции Р найдем
дри\ ¦ др
С помощью этих уравнений условие F.42) принимает вид
- Н, + - Hjkxk = (Ри) - Р-Ц-). F.43)
3 ' 4 1к V. дх! ) '
Итак, для того чтобы выполнялись равенства #/& = 0,
функция Р должна удовлетворять дифференциальным уравне-
уравнениям F.43). Условия интегрируемости для F.43) имеют вид
1 /ЗР2\ , 1 (дР2\
— — -z-r + Т ~ГГ ) =
2 \ дх' /(&) 2 V дх* /(/)
= 4 (Н,- ш - Hk (/)) + | {(Hlhxh)(k) - (Hkhxh){!)). F.44)
') «Квазигеодезическими» системами называются такие системы диффе-
дифференциальных уравнений, в которых d'x'/dt2 являются однородными полино-
полиномами второй степени по dxkldt. Ср. Бляшке и Боль [1], § 29; Бер-
вальд [10,111], с. 98.
§ 6. ДВУМЕРНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА 315
В силу коммутационных формул D.6.10) и D.6.11) левая часть
у F.4.4) может быть записана как
дР , дР
н) + Р
х'
Тн)к + РшfeP(fe)T+p(f
дх1 dxR дх> \ дхК дх
Если мы прибавим и вычтем один и тот же член в этом
выражении, то
дх> ) У
дхк дх
Это выражение равно правой части формулы F.41J, умножен-
умноженной на дР/дх', и обращается в нуль, поскольку П)к = 0. По-
Поэтому, согласно F.44), условия интегрируемости для F.43)
равны ~~
2 (Я/ m - Hk {/)) + (Hihxh)m - {Hkhxhh) = 0. F.45)
Обратно, если удовлетворяется уравнение F.45), то вслед-
вследствие F.41) условия интегрируемости F.43) ведут к H)k~Q.
Таким образом, условия F.45) являются необходимыми и до-
достаточными для существования такой функции Р, что //J-fe=o ')•
Выразим теперь соотношения F.45) через s-, Ъ- и ср-произ-
водные. В силу D.6.6), D.6.9d) и F.23) мы имеем
Hllk = FKmlBhk, F.46)
и поэтому на основании F.2а), F.17) и F.20) получим
F.47)
F.47a)
Hjhxh = F (Kh + /Сф/пу). F.47b)
Поскольку коэффициенты G\\ симметричны, то справедливо со-
соотношение
Если мы теперь разложим члены в правой части с помощью
F.10а) и используем равенства F.12) и F.2с), то
Я/ (и - Нк У) = FKb^k. F.48)
Аналогично простая редукция, основанная на F.47Ь), дает
(Я/Л*) - (Я*Л> = F(Kb- Kvs) e/ft. F.48а)
') Это, между прочим, является альтернативным доказательством послед-
последней части второй теоремы, сформулированной на <:-. 314, . .
316 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
После подстановки F.48) и F.48а) в условия интегрируемости
F.45) они сведутся к виду'
что и доказывает справедливость условия F.40).
Дальнейшая интерпретация условий F.36) и F.40) содер-
содержится в следующей теореме:
Для того чтобы геодезические двумерного финслерова про-
пространства были прямолинейными, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия F.36) и F.40)').
Действительно, предположим, что существует координатная
система, в которой дифференциальные уравнения геодезических
имеют вид
x'xk - xkx'1 = 0. F.49)
Тогда в силу D.8.2) мы имеем
Gl = Fqx1, F.50)
где q = q{x, х) —некоторая функция, однородная нулевой сте-
степени по хк. Положим в проективном преобразовании, опреде-
определяемом формулой F.37), Р = — Fq. Тогда G' = 0 в силу F.50).
Таким образом, условия F.36) и F.40) удовлетворяются. Об-
Обратное утверждение устанавливается аналогично.
3. Двумерные финслеровы пространства, у которых главный скаляр яв-
является функцией только положения. Пространства Ландсберга Такие простран-
пространства были предметом подробного исследования, в результате которого полу-
получено большое число довольно сложных теорем. Мы сформулируем некоторые
из этих интересных результатов, отсылая читателя за доказательствами к ори-
оригинальной литературе.
Все двумерные финслеровы пространства, для которых / является нену-
ненулевой константой, могут быть перечислены следующим образом 2) (где a,i' и
P,i' представляют собой линейно независимые формы Пфаффа):
Р<4; F = I(a<i'J + (p/i'J]V,e3cpJ_4=rarctgii|lJi F.51)
F.51а)
Л>4; in F=\ (l - -~=) Ш (ati) + } (l + j=L=) Ш (M<). F.51b)
Кроме того, если в таком двумерном финслеровом пространстве кривизна
К является функцией только положения (т. е. не зависит от касательных век-
векторов), то данное пространство представляет собой пространство Минков-
ского (что прямо следует из F.35) и тождества Бианки F.28)).
') Это можно доказать также непосредственно из условий прямолинейно-
прямолинейности геодезических (Бервальд [10,111], с. 96). См. также Функ [2].
2) Бервальд [5], с. 215 и далее,
§ 6. ДВУМЕРНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА 317
Далее, если в двумерном финслеровом пространстве с прямолинейными
геодезическими / является функцией только положения, и при этом / Ф О,
РФ 9/г, то такое пространство есть пространство Минковского1).
Метрическая функция двумерного финслерова пространства с прямоли-
прямолинейными геодезическими, которое не является пространством Минковского и
для которого Р = 9/г, может быть преобразована к виду
F.52)
где z — отличное от константы решение следующего дифференциального урав-
уравнения в частных производных:
*L_te F.53)
дх2
_
дхх дх
Решения этого уравнения задаются в виде 2)
*' + zx2 = -ф (г), F.54)
где ф — произвольная аналитическая функция от г.
Пространство является пространством Минковского тогда и только тогда,
когда 2 принимает одну из следующих форм:
где с1, с2, с3 — произвольные константы.
Если Js — 0, двумерное финслерово пространство называется простран-
пространством Ландсберга3).
Все пространства Ландсберга с прямолинейными геодезическими могут
быть перечислены следующим образом:
(I) К = 0 — пространства Минковского.
(II) К, = const ф 0 — неевклидовы пространства.
A) Если K = -rr> то
/г"
и [(а2 + (х2J (х1J - 2xlx2x'x2 + (а2 + (*')г) (х2I]1'2
а2 + (х1J + (х2J ,
B) Если К = — -тг, то
„ , [(а2 - (х2J) (х1J + гд:1*:2^^2 + (а2 - (л:1J) U2J]1/2
а2 - (л:1J - (х2)
где а и k—положительные константы.
(III) К переменно. Тогда
где ¦ф(г) —произвольная функция с ty"(z) Ф 0.
') Бервальд [10,111], с. 104.
2) Бервальд [10, III], с. 107 и далее.
3) Такие пространства впервые рассматривали Ландсберг [2], с. 334
и далее; К а р т а н [5], с. 33 и далее; Бервальд [5], с. 208; Бервальд
[10, III), с. 109 и далее.
318 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 7. Теорема о дивергенции и двумерная теорема
Гаусса — Бонне для финслеровых метрик
В настоящем параграфе ') доказываются теоремы, указан-
указанные в его заглавии. Теорема о дивергенции выводится из общей
теоремы Стокса. Это возможно потому, что формулировка по-
последней теоремы по существу не зависит от метрики. Как и
следовало ожидать, получающаяся теорема о дивергенции для
векторных полей обладает некоторыми нежелательными чер-
чертами, так как она зависит от вариаций присоединяемого опор-
опорного элемента. Мы покажем, что, налагая определенные усло-
условия на производные по направлениям от рассматриваемого век-
векторного поля, можно избежать указанных недостатков. Далее
мы найдем условия, при которых скалярная кривизна двумер-
двумерного финслерова пространства представляется в виде диверген-
дивергенции определенного векторного поля. В соответствии с этим при-
применение теоремы о дивергенции ведет к формальному аналогу
классической формулы Гаусса — Бонне для двумерных финсле-
финслеровых метрик.
1. Одно тождество на гиперповерхностях. Рассмотрим ориен-
ориентированную гиперповерхность Fn-\ пространства Fn с задан-
заданной системой локальных координат иа2). Вложение Fn-\ в Fn
(локально) представляется уравнениями вида
*'= */(„<*). GЛ)
при этом предполагается, что х1(иа) являются функциями клас-
класса С1 в рассматриваемой области. Как и в гл. V, положим
*.-? G.2)
и будем считать, что ранг матрицы ||В?| всюду равен га—1,
Для заданного в произвольной точке пространства f«_i опор-
опорного элемента х> (не обязательно касательного к Fn-\) опреде-
определяется индуцированная метрика пространства Fn-\ с помощью
тензора
ba»{u) = glh{x,*)BiaB* G.3)
с детерминантом
&() dt[M)] О Л)
') Настоящий параграф написан автором книги для русского издания
на основе статьи: Рунд [25]. — Прим. перев.
2) Все греческие индексы пробегают значения от 1 до п — 1. Предпола-
гае-тся также обычное правило суммирования по верхним и нижним индек-
индексам. ' - ¦ .
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 319
С помощью величин G.2) определим набор из п детерми-
детерминантов (п— 1)-го порядка:
Я1_(_1Г.и.....?.рг« G.6)
(суммирования по / нет). Эти детерминанты являются относи-
относительными ковариантными векторами веса —1 и не зависят от
какой-либо метрики. (Положительная) величина я для щ опре-
определяется равенством
яЦх,х) = ёН1(х, x)nhns. G.6)
Кроме того, из определения G.5) следует, что
яД = 0 G.7)
тождественно. Таким образом, поскольку п — 1 линейно неза-
независимых векторов В!а порождают (п — 1)-мерные касательные
к Fn-i пространства в каждой точке, то л,- является нормалью
к Fn-i в каждой точке (причем эта нормаль не зависит от вы-
выбора опорного элемента). Поэтому единичная нормаль п,- к
Fn-i, сонаправленная с л/, должна определяться равенством
ntij = Л/. G.8)
Наше дальнейшее изложение существенно опирается на сле-
следующую лемму.
Лемма. Детерминант G.4) задается равенством
Ь(и) = пЦх,х)ё(х,х). G.9)
Доказательство. Заметим, что определение G.5) эк-
эквивалентно равенству
(л-1)! я, = 8/,,...,/» •¦•'», G.10)
где е// .../ обозначает n-мерный символ перестановки, а
/== G11)
Теперь в силу G.3) мы можем записать G.4) следующим об-
образом:
(п - 1)! Ъ = еа- - а—ев' - ^-^,3, .. . Ч-А-. =
= е В., ... Ва„_,е В„, ... Вап_^1А ... gin_xhn_v,
G.12)
где е™1'"™'1 является (п—1)-мерным символом перестановки.
Далее, соотношение G.11) эквивалентно
320 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
так что G.12) принимает вид
(п-1)!& = /«-/яЛ-Ч/л ... g,aHa. G.14)
Кроме того, из G.10) имеем
где 6... — обобщенный символ Кронекера. Поскольку в силу
кососимметричности якобиана G.11)
TO
Я/В"«-'« = /'*¦¦•'». G.15)
Таким образом, соотношение G.14) может быть записано в виде
(n-l)\b = n,nhB"t-tnEhh2~HngltHt ... g,nHn. G.16)
Напомним теперь, что алгебраическое дополнение Glh элемента
gin в детерминанте g задается равенством
(n-l)!G/ft = e//2-Vft2-\/A--^w G.17)
Подставляя G.17) в выражение G.16), мы получим
что в силу G.6) немедленно дает требуемое тождество G.9).
Отметим, что это тождество справедливо для любого выбора
опорного элемента х> на ?п-\-
2. Теорема о дивергенции. Частные случаи. Доказываемая
ниже теорема о дивергенции для финслеровых метрик является
частным случаем общей теоремы Стокса, которая не зависит
от какой-либо метрики на рассматриваемом многообразии Хп.
Эта теорема может быть сформулирована- следующим образом.
Пусть G является n-мерной компактной областью пространства
Хп, с (п—1)-мерной границей 3G класса С1, и пусть Q обо-
обозначает (п—1)-форму класса С1, определенную в окрестности
области G. Тогда
Jq, G.18)
во
где граница 0G, рассматриваемая как гиперповерхность, ориен-
ориентирована так, что нормаль я,-, определяемая согласно G.5) на
dG, направлена вне G.
Выберем теперь (п— 1)-форму Q следующим образом. Пусть
А'(х, х)—контравариантное векторное поле класса С1 на Fn.
Для любой точки Р с координатами х' и для любого опорного
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 321
элемента х' положим
уЛ /0 (у v\ rlri A
X) Л \Л, Л) UX /\ . . .
... Adxi~l Adxi+'А ¦¦¦ Adx". G.i9)
Тогда (согласно обычным правилам внешнего дифференциро-
дифференцирования)
dQ= ? (—l)'~ld{ s/g{x, x) A1 (x, x)}dxx А •••
y-i
... Л dxt~{ A dx'+l A ... Л rf-t". G.20)
При вычислении 1-формы d{^/g(x, x) А1 (х, х)} необходимо
принять во внимание вариацию опорного элемента, поскольку
эта 1-форма определена лишь тогда, когда дифференциал dx1
известен для любого смещения dxk на Fn. Это предполагает,
что х1 рассматриваются как функции класса С1 от координат,
а именно, х' = xl(xk). Таким образом, мы имеем
G.21)
Подставляя это выражение в G.20) и учитывая соотноше-
соотношения
dxk Л dxx Л ... Adxi~] A dx'+l А ¦•• Л dxn —
^(-iy-[6idx Л ... Adx\
преобразуем формулу G.20) к виду
) . Л ... Л *-, G.22)
где по дважды повторяющимся индексам подразумевается сум-
суммирование.
Вспомним теперь, что относительный скаляр
g (х, х) = det [g!h (x, x)]
по предположению положителен, а л/g (х, х) является скаляр-
скалярной плотностью (именно, относительным скаляром веса 1). Ко-
вариантная производная от таких плотностей включает член,
содержащий свернутые коэффициенты связности; так что
как следствие равенства gft,i
11 X. Рунд
322 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Поэтому
дх дх
Следовательно, после свертки по / и h
^А1^1МЖ^^ШЖв). G.23)
дх' дх
Таким образом,
Эх' + дх1 дх' ~ Vg (/ + дх1 J' { '
где мы положили
xli^-^ + Gl G.25)
Отметим, что эти величины являются компонентами тензора
типа A, 1) в силу C.1.27') и известных трансформационных
свойств коэффициентов связности Fjfe. (Альтернативно из C.1.15)
и определения G.25) следует, что для произвольного смещения
dxk на Fn справедливо равенство
i[k dxk = F dll + G{dxk + l! dF,
или в силу C.1.16) и C.2.13)
х[к dxk = FDV + l!dF = Dx' + /' dF, G.26)
что также устанавливает тензорный характер G.25).) На осно-
основании G.23) и C.2.4Ь) мы можем теперь представить G.22)
в виде
Vir{4 (^^j!}(x), G.27)
где для краткости мы положим
d(x) = dx1 A ... Adx". G.28)
Кроме того, если граница 3G представлена параметрически
в виде G.1), то закон преобразования для (п—1)-форм дает
dx1 А ... Adx1'1 A dxi+i А ... Л dxn =
г)(гХ г' 1-/ + 1 г»
= а(в', ...,«"-')• d{u)' G9)
где по аналогии с G.28)
d (и) = dux A ... A dun-K G.30)
§ 7, ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 323
Итак, с помощью G.5) мы можем представить форму G.19)
на дд в виде
Q = ^/g (х, х) п,А! (х, х) d (и), G.31)
или в силу G.8)
Q = я л/gix, х) tijA1 (x, х) d (и). G.32)
Однако из тождества G.4) вытекает
¦у/b (и) = п
Поэтому, вспоминая, что л положительно по определению, мы
можем преобразовать форму G.32) на dG к виду
Q = лЩи) njA1 (x, x)d(u). G.33)
Наконец, после подстановки равенств G.27) и G.33) в
G.18) мы получаем следующее утверждение:
Теорема о дивергенции. Пусть G —¦ компактная об-
область пространства Fn с (п— 1) -мерной границей dG класса
С. Тогда для любого определенного на G контравариантного
векторного поля А!(х, х) класса С1 справедливо равенство
\ VF { А[ 1 + (A'Ci + ~) х\, \d(x)= \ л/Ьп,А! d (и), G.34)
G dG
где п,- — единичная нормаль на dG, направленная во внешнюю
от dG сторону.
Замечание 1. Аргументы направлений х< у всех вели-
величин, явно входящих в подынтегральные выражения, относятся
к заданному опорному элементу.
Замечание 2. В случае римановой метрики, в котором
Ci = 0 тождественно, и в предположении, что А' зависят только
от координат х\ соотношение G.34) сводится к хорошо извест-
известной теореме римановой геометрии, причем в этом случае A\j
совпадает с римановой ковариантной дивергенцией векторного
поля AL
Замечание 3. Формула G.34) имеет тот недостаток,
что в подынтегральном выражении в левой части появляются
величины x-j- Этого, вообще говоря, нельзя избежать, так как
для любого зависящего от направлений подынтегрального вы-
выражения f(xh, xh) соответствующий интеграл по конечной об-
области G определен лишь в случае, когда в каждой точке об-
области G заданы аргументы направлений xh.
Однако в некоторых случаях этот недостаток может быть
устранен (по крайней мере частично) путем подчинения век-
векторного поля А'(х, х\ дополнительным условиям, Чтобы выяс-
324 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
нить эту возможность, рассмотрим систему из п2 дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных
- = pC,Ah - qC^A1, G.35)
х'
дх
где р = р(х), q = q(x)—пока произвольные функции пере-
переменных хт. Для того чтобы исследовать условия интегрируе-
интегрируемости уравнений G.35), продифференцируем правую часть по
xk и после этого заменим производные dAh/dxk согласно G.35).
Это даст нам следующее выражение:
- pq (Сfiti + CkCii) A1 + qChnClkmAm
Здесь все члены, кроме выражения, содержащего q2, симме-
симметричны по j и k. Поэтому система G.35) интегрируема в слу-
случаях, когда либо
<7 = 0, G.36)
либо
Smhlk = 0, G.37)
где Smhlk— тензор кривизны D.1.25), который мы здесь запи-
запишем в виде
Smhik = F2 {СьчС1ти - CuClnil G.38)
Итак, для произвольного финслерова пространства, у которого
тензор Smhjk отличен от нуля, система G.35) интегрируема
тогда и только тогда, когда q = 0, причем р произвольно.
В частности, при р — —.1 система G.35) принимает вид
-C,Ah. G.39)
В этом случае G.34) сводится к теореме о дивергенции в ее
классическом виде, а именно,
A\id(x)= \ s/b щА' d (и). G.40)
a da
Предположим теперь, что заданное векторное поле Л^х, i)
имеет постоянную длину, т. е.
git, (x, х) А1 (х, х) Ah (x, x) = ]i = const. G.41)
Тогда, дифференцируя G.41) по х1, мы найдем, что
= 0, G.42)
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 325
Если это поле удовлетворяет также уравнению G.35), то
qCmAlAh + glhAl -|? = О,
что совместимо с G.42), только если р =0 и q = I (в пред-
предположении, что пространство не является римановым и С[ Ф 0).
Следовательно, вооб_ще говоря, никакое ненулевое векторное
поле постоянной длины не может удовлетворять уравнению
G.39); однако если выполняется условие G.37), то условия ин-
интегрируемости системы
удовлетворяются и являются совместимыми с требованием по-
постоянства длины векторного поля А'(х, х).
3. Скаляр кривизны как дивергенция. В настоящем разделе
мы получим обобщение замечательного тождества, впервые вы-
выведенного Хорндески [1] для римановых метрик. С по-
помощью этого тождества, при определенных условиях, скаляр
кривизны может быть выражен как дивергенция, что в свою
очередь дает прямой подход к теоремам типа Гаусса — Бонне.
Пусть Х< (х, х)—произвольное векторное поле класса С2,
определенное на некоторой области G пространства Fn. Для
заданного опорного элемента определим относительный контра-
вариантный вектор Z'(x, x) веса -\-\, полагая
-±Z' = ]i-l<)fe6{hmXlX?H, G.43)
где
p = gh,(x,*)XhXl. G.44)
Поскольку (Уя)|А = 0, то дивергенция от Z' задается выраже-
выражением
-\-blhmXlXm[h\i}. G.45)
Исследуем по отдельности каждый член в правой части этого
выражения.
Из кососимметричности обобщенного символа Кронекера мы
имеем
b{hmX X"\hi/ = yb'imX (x"\h\i — X"\i\h). G.46)
Поэтому из D.1.10) следует, что
OX X O
OipX 1ЛтД hkTTT
/-7 лт\
G.47)
326 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
где
Ko\i = i%kHi- G-48)
С помощью формулы для разложения символа б{тр получается
s/ftft у у/ i^mp
О/трЛ/Л Д hk —
= fi{ (Ы - бХ) XjXlKmphk + X,Xl {Ь!ХЧ + 6$*) Ктрнк =
= а (Л* - Л) + XmX'6% {Ктрни - Кртни). G.49)
Однако, согласно D.2.10), мы имеем
_ д"""ЛЙ = Kmphk + 2С7КъгНк, G.50)
так что, в частности,
— К hk = K ЛА + 2CV Ко ftfc = К iik G.51)
в силу кососимметричности Ko'hk и симметричности dlk no h и
k. Скаляр кривизны пространства Fn определяется следующим
образом:
K = Kh\k. G.52)
Из соотношений G.50) и G.51) следует, что уравнение G.49)
эквивалентно
b^X^lChk = 2цД- + 2XmXlb4hp {Kmphk + СГКъни). G.53)
Поэтому уравнение G.46) может быть записано в виде
s 1 h v I vm
О[тЛ Л | h | I —
lKmP ' ,. U ' ffihyl ( у Amp , ^Хр ^ j. r
I\ hk МА — О/А ^ЛтСг -г- -Qirr I До ftfc =
, G.54)
где для получения второго равенства используется кососим-
кососимметричность д'шр и Kuhk по индексам Л и &.
Разложение, аналогичное проведенному в G.49), дает
fc- G.55)
Однако из G.44) вытекает
Щ1 = 2ёыХ1гХ1и. G.56)
Таким о.бразом,
fjh yl ут „~К, sJh У1 Ym
6hk \rtn \rp i r> — 1 v* \rlbhk vm vP
mpA | ftA |ft -+- Z@, ЛтЛ Op/Л |йЛ |fe =
> G.57)
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 327
где последнее равенство прямо следует из G.55). Подставим
теперь соотношения G.54) и G.57) в G.45). Тогда
-f *fg v~-Xb№pXtXl {^-xXm\hX\k + Kmphk). G.58)
Это и есть искомое тождество: оно выражает скаляр кри-
кривизны К пространства Fn в виде суммы дивергенции и членов,
зависящих от векторного поля X1 (х, х). Если Fn — риманово
пространство, а X' — функция, зависящая только от хт, то то-
тождество G.58) сводится к тождеству, полученному X о р н -
д е с к и [1].
В силу кососимметричности обобщенного символа Кроне-
кера, он обращается в нуль, коль скоро число его верхних
индексов превосходит размерность п. Поэтому при п = 2 то-
тождество G.58) принимает вид
Л" = Zli - 4 V? ц"' (Х^Ъ + -^) Ко'ннХ". G.59)
Для двумерного финслерова пространства F2 возможны даль-
дальнейшие редукции, если на векторное поле Х'(х, х) наклады-
накладываются дополнительные условия. Для этого напомним опреде-
определение C.1.15) единичного вектора V в направлении опорного
элемента. С помощью соотношений
V* G.60)
на пространстве Fi определяется единственная единичная нор-
нормаль к //, которая вследствие C.2.12) удовлетворяет условиям
m/i*==0> mU = °- G.61)
Для дальнейшего отметим, что обращение равенства G.60)
имеет вид
G.62)
и что справедливы тождества
/ G.63)
Shi ~ lhl! ~"~ mhmh l = I "t" mim • \<-vV
Теперь уравнение F.6.5) может быть записано следующим об-
образом:
F (х, х) Ст (х, х) = / (х, х) mhm,mk. G.65)
В частности, поскольку т\ — единичный вектор, то
F (х, х) С, (х, х) = ] (х, х) mt. G.66)
328 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Кроме того, если уравнение G.65) подставить в выражение
G.38) для картановского тензора кривизны Smhjk, то видно,
что этот тензор в F2 тождественно обращается в нуль. Таким
образом, условия интегрируемости G.37) системы дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных G.35) автомати-
автоматически удовлетворяются в F2, и мы можем потребовать от век-
векторного поля XI(х, х), определяющего G.43), чтобы оно было
решением системы G.35). Если, кроме того, подчинить это
поле условию р.= 1, то из заключительных замечаний преды-
предыдущего раздела следует, что мы должны положить р — 0 и
q = \ в G.35). Это влечет за собой, что векторное поле
Х'(х, х) удовлетворяет условиям
^- + XlCit=0. G.67)
дх'
При этом тождество G.59) сводится к следующему простому
виду:
2 л/g K = Z\t. G.68)
4. Аналог теоремы Гаусса — Бонне для двумерных финсле-
ровых метрик. Ограничимся теперь рассмотрением двумерного
финслерова пространства F2, так что для данного единичного
векторного поля Х'(х, х), удовлетворяющего условиям G.67),
мы можем применить к тождеству G.68) интегральную форму
G.34). Ради краткости положим
— — О[тЛ Лц = Л Л|Д — Л Ац. (/.оУ)
Тогда в силу G.43) справедливо соотношение
Z/ = 4-Vj5/, G.70)
поскольку [I = 1 по построению. Пусть теперь G — односвяз-
ная область пространства F2, ограниченная простой замкнутой
кривой С класса С2. Отождествим в равенстве G.34) А1 с 45'
и затем подставим в него формулу G.68). Это дает
5 { } Уя К + V? (CtS1 + |р-) х\, | d (х) = § л/FniS1 du. G.71)
Нашей целью является нахождение явной формулы для
полной кривизны, т. е. интеграла от -^ д/'g К, по G. Поэтому
необходимо подробно исследовать второй член в подынтеграль-
подынтегральном выражении в левой части, а также интеграл в правой ча'
сти. Мы начнем с первого из них.
Для этого необходимо вычислить производную по направ*
лениям от вектора G.69). Если выполнено G.67) (что пред-
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 329
полагается на протяжении всего этого пункта), то из D.1.27)
следует, что
Л- (Х{к) = F-lPm!klXm - С\тХти, G.72)
ох
где Рт!ы — тензор кривизны D.1.31), который мы будем здесь
представлять в виде
F Pm Ы = Ckl \т — g Cmk | h — CkpCml \ 0 4" CmkCp 11 o- G.73)
Применяя формулу G.72) к соотношению G.69), мы можем
записать
+ ±- = p{ + q[+r\, G.74)
где
p[ = ClSl-C[mSm, G.75)
?!=c:ffl(^;-ri[,), G.76)
r\ = F-lPp\iXp F>hXk - fifr')- G.77)
Для вычисления этих величин подставим соотношение G.69)
в G.75), после чего применим G.65) и G.66). Это дает
р{ = - JF-lmi (ersX'X'i h) {eih - т''тк^}.
С помощью G.62) это выражение может быть приведено к виду
р[ = - JF~ 1т[ (ггзХгХ] h) Уп + VJ /ftm'}. G.78)
Аналогично получается
q\ = JF-lmi (erSXrX\ h) l'mh. G.79)
Складывая G.78) и G.79) и учитывая G.63), мы приходим
к равенству
Р{ + q\ = 0. G.80)
Обратимся теперь к выражению G.77). В силу соотношений
C.2.12) и G.61) из уравнения G.65) следует, что
G.81)
Поэтому при п = 2 тензор G.73) сводится к
Рны = ?„г mjWfc/ (? (б,^ _ fi?m^# G82)
Чтобы упростить это выражение, заметим, что G.62) позво-
позволяет написать равенство
330 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
С помощью этого равенства G.82) может быть представлено
в виде
Кроме того, поскольку
то G.84)
где
дает
F-lPphklXp = -F-2^
•^|0 = Л
Кроме того, легко проверить, что
Поэтому
После
получим
mbehkX ШХк — Ь\
к Р\п 1
g) J |о/
\Х!) = е'1
в силу G.85) и G.62) уравнение
rj = _JF-2(VF)"^lom;8
подстановки уравнений
окончательно
р с/ I dsl
L/ /О | 11
U!mQ = -
G.80)
F~2Jn
ттие РХР, G.85)
G.86)
G.77) принимает вид
- F~2J\omrfi. G.87)
и G.87) в G.74) мы
mil1- G.88)
Замечательно, что это выражение не зависит от выбора еди-
единичного векторного поля Х*(х, х), определяющего S' по фор-
формуле G.69), при единственном условии, что это векторное поле
удовлетворяет уравнению G.67).
Рассмотрим теперь интеграл в правой части выражения
G.71). Выберем параметрическое представление кривой С, ог-
ограничивающей область G, в виде х1 = х/(а), где параметр а на-
находится из соотношения
do2 = ghl(x,x)dxhdx1 G.89)
(производные х1 снова относятся к заданному опорному эле*
менту). Итак,
представляет собой единичный вектор, касательный к кривой
С. Единичная внешняя нормаль к С задается равенством
»|'. G-91)
так как очевидно, что
n,l' = gJh(x,x)n'%l = 0 G.92)
%«" = gih (х, х) п1П/1 = ghl (х, х) nhns = 1. G.93)
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 331
Для дальнейшего заметим также, что
G-94)
Поскольку gjh(x, x)l'lh = 1, то
gih(x,x)t'-^ = 0. G.95)
Аналогично G.93) дает
Кроме того, сравнение G.92) с G.95) показывает, что D^'/Da
пропорционально п', что мы выразим в виде
-^ = —^ G97)
Da р ' ('-У/>
где, по аналогии с классической формулой Френе, мы интер-
интерпретируем множитель пропорциональности р-1 как кривизну
кривой С (относительно ориентации единичной нормали, ука-
указываемой G.91)). Из G.97) и G.92) следует
1 Di,1 j Dnt
Кроме того, поскольку п = 2, то величины A.2) задаются
посредством G.90), так что A.4) сводится к виду
b = ghl(x,x)l'%l=l, G.99)
где мы отождествили параметр и с а. Итак, из определения
G.69) для S' с учетом равенства G.91) непосредственно сле-
следует, что
1 - Vg (X2X\ht - XlX)hf). G.100)
В этом месте мы напомним еще раз, что векторное поле Х>{х,х)
удовлетворяет условию G.67), и поэтому в силу C.2.7) мы мо-
можем записать DX == X\hdxh для произвольного смещения dxh.
Теперь равенство G.100) принимает вид
G.101)
Чтобы преобразовать это выражение к более удобному виду,
разложим единичное векторное поле X1' следующим образом:
X' = a(o)ll + b(o)nl, G.102)
где
а2 + 62=1. G.103)
332 ГЛ. VI. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Тогда в силу кососимметричности е/л по индексам / и h мы
имеем
+ V ^ + *«(|'^ + я'^). GЛ04)
где а' = da/da, b' = db/da.
Это выражение легко упрощается следующим образом. Из
G.94) мы имеем
ч№ = - (VF)"' в,н№ = - (V*). G.Ю5)
что вместе с G.97) дает
Ы'-^ ^-р-е/д^^р-ЧУЮ- G-106)
Далее, из G.94) и G.98) следует, что
(^). G.107)
Наконец, из G.91), G.96) и G.97) непосредственно видно, что
После подстановки соотношений G.105) — G.108) в G.104) по-
последнее выражение на основании равенства G.103) принимает
вид
elhX< -^- = - (УёУ' (аЬ' - а'Ь) + (р VF)"'- G.109)
Вследствие G.103) удобно положить а = cos Э, Ь = sin Э. Та-
Таким образом, в силу G.101), G.99) и G.109) подынтегральное
выражение в интеграле правой части уравнения G.71) может
быть представлено в виде
u = —-j- + dB. G.110)
Наш окончательный результат получается теперь подстанов-
подстановкой соотношений G.89) и G.110) в G.71), что дает
\ л/1 {-^ К - F~2J [omlllx\i}d(x) = 2л-^—. G.111)
о с
Отметим, что входящие в эту формулу интегралы полностью
независимы от векторного поля Х>(х, х), на котором основы-
основывается наше построение.
На двумерном римановом многообразии гауссова кривизна
равна -?¦ К, где К — скалярная кривизна, а главный скаляр /
§ 7. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ 333
Бервальда тождественно обращается в нуль. Поэтому в этом
случае формула G.111) сводится к классической теореме Гаус-
Гаусса — Бонне.
Появление в поверхностном интеграле члена x-h к сожале-
сожалению, неизбежно. Оно является следствием зависимости всех ве-
величин, встречающихся в подынтегральных выражениях в G.111),
от заданного опорного элемента. Очевидно, что эту зависимость
нельзя уничтожить. Этот факт, по-видимому, находится в со-
соответствии с выводом, недавно сделанным Буземаном ([14],
§ 16), о том, что для гладких финслеровых поверхностей не
существует истинного аналога теоремы Гаусса — Бонне (хотя
при этом следует отметить, что буземановские определения
гауссовой кривизны для F2 и кривизны ограничивающей кри-
кривой С существенно отличны от использованных выше).
И все же возможна небольшая модификация подынтеграль-
подынтегрального выражения в G.111). Отождествим данный опорный эле-
элемент х' с dxi/ds, где s — длина дуги конгруэнции с кривых про-
пространства F2, единичные векторы которых совпадают с х1. При
этих условиях F— 1, и из G.26), C.1.15) и G.60) следует, что
,/..' .1 ./ Die1
mil X;j = niiXjx = mi „ ¦ = к,
где % — кривизна кривых конгруэнции с. Подставим это выра-
выражение в G.111); это дает формулу
ад = 2я-§-^-. G.112)
Если, в частности, конгруэнция с выбрана так, что она является
семейством геодезических пространства F2, просто покрываю-
покрывающим область G, то % = 0 на G. Поэтому G.112) сводится к ра-
равенству
\±<tf>Kd(x) = 2n-§^, G.113)
G
которое имеет формально ту же структуру, что и классическая
теорема Гаусса — Бонне.
Глава VII
ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ
ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ЛАГРАНЖИАНОВ
В каноническом формализме классической механики пере-
переменная времени играет выделенную роль, поскольку именно
она является независимой переменной интеграла действия. Это
приводит к параметрически неинвариантным вариационным за-
задачам, лагранжианы которых не являются однородными первой
степени по обобщенным скоростям. Указанный формализм не
может непосредственно применяться к таким лагранжианам,
как метрические функции финслеровой геометрии, вследствие
того, что эти функции однородны первой степени по своим ар-
аргументам направлений. Именно по этой причине для таких
лагранжианов в главе I, § 5 был развит альтернативный кано-
канонический формализм. Однако некоторые из предположений, на-
наложенных в гл. I на метрическую функцию, довольно ограни-
ограничительны, что препятствует приложению этих методов ко мно-
многим физическим проблемам. Поэтому в настоящей главе
канонический формализм для однородных лагранжианов разви-
развивается с самого начала на основе гораздо более слабых пред-
предположений. Рассмотрение 1-формы, определяемой канониче-
каноническим моментом, непосредственно приводит к основным поня-
понятиям теории Гамильтона — Якоби таким, как скобки Лагран-
жа, интегральные инварианты и уравнение Гамильтона — Якоби.
Поскольку релятивистская механика строится на основе одно-
однородных лагранжианов, наш метод применим к анализу движе-
движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнит-
электромагнитных полях.
§ 1. Канонический формализм
Проведенное в §§ 4 и 5 гл. I исследование функции Гамиль-
Гамильтона использовало ряд геометрических условий, которым долж-
должна удовлетворять метрическая функция F(xl, х'). Однако во
многих физических приложениях эти условия не выполняются,
и поэтому необходимо выяснить, применим ли канонический
формализм гл. I к лагранжианам, не удовлетворяющим таким
сильным ограничениям. Мы увидим ниже, что это действительно
имеет место. Поскольку геометрические вопросы канонического
§ 1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ , 335
формализма охватываются содержанием гл. I, наше изложение
будет носить аналитический характер.
Предположим, что нам задано n-мерное дифференцируемое
многообразие Хп с локальной координатной системой xi
(j,h, ... = 1, ..., п). Система п уравнений вида
х' = х1(х), то<т<ть. A.1)
определяет дугу кривой С на Х„, где т — произвольный пара-
параметр. Если функции х> (х) в A.1) дифференцируемы, то мы мо-
можем рассматривать х< = dx'/dx как поле касательных к кри-
кривой С векторов. Введем функцию Лагранжа L = L(x, x), пред-
предполагая, что она удовлетворяет следующим условиям:
(i) L(x, x) принадлежит классу С2 по всем своим 2п аргу-
аргументам;
(ii) L(x, x) однородна первой степени по аргументам х>;
Ясно, что эти условия гораздо слабее тех, которые были
наложены на метрическую функцию F(x', х>) в § 1 гл. I. По-
Поэтому, чтс^бы избежать недоразумений, мы в этой главе исполь-
используем обозначение L, а не F.
Из условия однородности (ii) следует, что
тождественно; поэтому нецелесообразно определять компонен-
компоненты канонического импульса так же, как это обычно делается
в классической механике, полагая
Действительно, эти величины однородны степени 0 по «обоб-
«обобщенным скоростям» х'\ и поэтому уравнения A.4) не могут быть
разрешены относительно х> как функций от (xh, рн).
Обе эти трудности будут преодолены, если вместо A.4) мы
определим компоненты канонического импульса формулой
1 dL2 (х, х) г / -\ dL (x, х) ,. е%
величины у,- однородны первой степени по xh. В силу A.2) мы
можем разрешить уравнение A.5)—по крайней мере локаль-
локально— относительно х> как функций от (xh, yh), получая таким
образом
Xs ^^(х, у). A.6)
336 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
По предположению (i) эти функции принадлежат по меньшей
мере классу С; они однородны первой степени по ун, поскольку
таковыми же являются yh, рассматриваемые как функции пе-
переменных х1. Итак,
Далее, подставляя A.6) в A.5), мы получаем тождество отно-
относительно yh (при фиксированных х1)
_ 1 QU- (х, -ф (х, у))
так что дифференцирование по ун дает
.Л 1 (Э2Л2 (х, ib (х, ч)) дтЬк
2 di'di* аг/Л "
Отсюда очевидно, что
что можно было бы предсказать прямо из формулы A.5), по-
поскольку она влечет за собой
^i ^ A.10)
дхк die1
Определим теперь функцию Гамильтона, полагая
A.11)
Эта функция однородна первой степени по ун и принадлежит
по меньшей мере классу С1 по всем своим аргументам. Диффе-
Дифференцирование A.11) по г//дает
Следовательно, с помощью A.11), A.5), A.12) и A.7) мы на-
находим
„ дН , dL dtyh aV d\b> ,/, . /1 ю\
dyf dxh dys ду} dyh
что переписывается в виде
^H^y)^L^^f-. . A.14)
Выражение A.14) представляет собой обращение уравнения
A.6) и, значит, обращение уравнения A.5).
§ 1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 337
Кроме того, дифференцирование A.11) по х1 дает
дН _ dL dL
д' ~ д1
дх' ~ дх1 dxh дх' '
и дН
Я —т- =
а'
, dL , dib" r dL . д (,, дН \
— L —г + Ни — < == 1" —т + Чи —г I Я I =
dx' Uh dx' dx' ith dx' \ dyh)
, dL . dH dH . и d2H ,. . кч
= L —- + —j- — yh + H —j— yh. A.15)
dx' dx1 du. dx'dy.
Но поскольку Я ^однородна первой степени по ун, то мы имеем
= Я, A.16)
так что
а2н дн
Поэтому из A.15) следует, что
ЯдН г OL /1 л о\
Таким образом, согласно A.11),
дН
_ j_
дх! ~ дх'
A.19)
при условии, что L ф 0. Из A.13) и A.18) следует, что функ-
функция Гамильтона Н(х, у) действительно принадлежит классу С2
по всем своим аргументам.
Выразим теперь оператор Эйлера — Лагранжа
через функцию Гамильтона. Здесь т — произвольный параметр.
С помощью A.5) и A.18) получается
,в пл d (l dL\ i dL dL dL dyJ i udH dH dL
1 d%\ дх' ) дх1 dx дх' dx дх' dx дх1
A.21)
и поэтому, если L Ф 0, то
dy, дН \ у, dH
р-+Я-т)-^--г. A.22)
x дх' / Н dx
Разумеется, такие выражения, как A.20), имеют смысл толь-
только в некоторой окрестности кривой С. Если параметр т выбран
так, чтобы
Ux = L{xh,dxh), A.23)
338 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
то из однородности L и уравнения A.11) следует, что
?(*,*)= 1, H(x,y) = l, A.24)
а также
¦?¦-¦?=° <L25>
вдоль С. В этом случае уравнения A.5), A.14) и A.12) прини-
принимают вид уравнений классической механики, а именно:
Щ ^^ A.26)
dx
(L27)
Однако это внешнее сходство не должно приводить к недора-
недоразумениям. Например, даже если выполнено A.24), частное диф-
дифференцирование первого уравнения в A.26) приводит к фор-
формально неправильному результату, если не учесть, что это урав-
уравнение является комбинацией A.5) и A.24).
В заключение настоящего параграфа введем следующее ог-
ограничение на функцию L(x, x). Говорят, что направление х{о)
в некоторой точке Р{х>) является нулевым, если L {х1, х[о)) = 0.
Вообще говоря, функция L может оказаться не дифференци-
дифференцируемой для таких линейных элементов. Поэтому нулевые на-
направления исключаются из наших дальнейших рассмотрений.
§ 2. Интегральные инварианты
По определению экстремальной кривой (или просто экстре-
экстремалью) называется такая кривая на дифференцируемом много-
многообразии Х„, которая удовлетворяет уравнениям Эйлера — Ла-
гранжа
E,(L) = 0, B.1)
где Ej(L) определяется согласно A.20). Если функция L ин-
интерпретируется как метрика на Х„, то экстремали, разумеется,
являются геодезическими пространства Хп, отвечающими этой
метрике. Уравнения B.1) представляют собой необходимые ус-
условия того, чтобы кривая A.1) отвечала экстремальному зна-
значению интеграла
Ti
/ [С] = J L (х, х) dx B.2)
относительно других кривых в окрестности кривой С с общими
начальными х^(то) и конечными ^.(xi) точками. В гл. II урав-
§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 339
нения B.1) выводились методом эквивалентных интегралов
Каратеодори: это было разумно, поскольку из результатов гл. I
очевидно, что выпуклость индикатрисы влечет за собой усло-
условие Вейерштрасса. Однако теперь на функцию L(x, х) не на-
накладываются такие условия, и поэтому требуется новый вывод
уравнений B.1).
Конечно, можно было бы применить стандартный подход
классического вариационного исчисления, включающий вычис-
вычисление первой вариации интеграла B.2), и затем показать, что
уравнения B.1) эквивалентны требованию обращения в нуль
первой вариации. Однако этот подход не проливает света на
теорию Гамильтона — Якоби, которая находится в центре на-
нашего внимания в настоящей главе. Поэтому мы изберем иной
метод, который более соответствует духу теории Гамильтона —
Якоби.
Предположим, что нам задана (п— 1)-параметрическая кон-
конгруэнция К кривых на Х„, представляемая в виде
*' = *'(*,"") (а=1, .... п- 1), B.3)
где переменные иа обозначают параметры конгруэнции (вдоль
каждого члена Г из К меняется только г). Обозначим
х' = ^^- B.4)
и будем считать, что функции в правой части B.3) принадле-
принадлежат классу С3 по всем своим аргументам. Кроме того, предпо-
предположим, что
откуда следует, что конгруэнция К просто покрывает некото-
некоторую область R пространства Хп; наши дальнейшие рассмотре-
рассмотрения будут ограничиваться этой областью R.
В силу соотношения A.5) каждому вектору х'\ задаваемому
равенством B.4), однозначно сопоставляется вектор г/,-. Таким
образом, уравнение B.3) приводит к векторному полю канони-
канонического импульса
У1 = у,(т, иа). B.6)
Одно из таких векторных полей определено в каждой точке об-
области R.
Прежде чем перейти к нашей задаче, напомним, что теория
голономных динамических систем может описываться в терми-
терминах 1-формы
pjdx1 ~H(t,x,p)dt B.7)
340 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
на произведении многообразий Хп+\ = Хп X Л где / — вещест-
вещественная прямая с координатой / (временем). Здесь р/ — импульс,
определяемый, согласно A.4), для лагранжиана, на который не
накладывается условие A.3). Следовательно, уравнение A.4)
может быть разрешено относительно х1 как функций от {xh, ph),
которые затем подставляются в выражение — L(t, x, х)+р,х!
и дают гамильтониан H(t, x, р), входящий в B.7). Фундамен-
Фундаментальное значение формы B.7) заключается в том, что она пред-
представляет собой подынтегральное выражение первого (относи-
(относительного) интегрального инварианта.
Постараемся теперь аналогичным образом построить теорию
Гамильтона — Якоби для однородного лагранжиана. Однако r
этом случае мы не имеем выделенной переменной такой, как t.
(Как будет видно ниже, в физических приложениях время яв-
является просто одной из п независимых переменных х'.) Кроме
того, очевидно, что гамильтониан A.11) не может играть роль,
аналогичную роли гамильтониана в B.7), поскольку в послед-
последнем случае этот гамильтониан представляет собой взятую с от-
отрицательным знаком (п+1)-ю компоненту вектора импульса
на Хп+\. Из этого замечания следует однако, что 1-форма B.7)
есть скалярное произведение вектора импульса и вектора сме-
смещения (dxi, dt).
Наиболее естественным аналогом B.7) в нашем случае яв-
является 1-форма
iSi^pjdx1, B.8)
где ради краткости мы положили
Pi = H~x{x, у) yh B.9)
что в силу A.5) и A.11) согласуется с обозначением A.4). Итак,
относительно конгруэнции B.3) мы имеем
dx' = — dx + Щ- dua. B.10)
дх ди
Кроме того, поскольку уравнения B.6) вместе с B.9) задают
Р/ как функции от (т, иа), то
dp, = ijf-dx + ^du°. B.11)
Здесь и в дальнейшем греческие индексы а, р, . . . изменяются
в пределах от I до п— 1. С помощью B.10) и B.11) внешняя
производная от B.8) выражается в виде
др, дх1 др, д
B.12)
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 341
где скобки Лагранжа [иа, ыР] определяются, как обычно, ра-
равенством
H^sj^^) BЛЗ)
что эквивалентно
д { дх! \ д ( дх1 \ /о , ...
{{Y BЛ4)
2-форма B.12) состоит из двух независимых слагаемых.
Рассмотрим теперь, к каким следствиям приводит требование
обращения в нуль первого из них, т. е. условия
0_
дх диа диа дх
Во-первых, заметим, что подстановка B.3) и B.6) позво-
позволяет записать гамильтониан как функцию от г и иа, именно:
h (т, иа) = Н (ж' (т, иа), у, (т, иа)), B.16)
так что
dh дН дх1 дН дц,
j 1L (О 17}
дх дх' дх di/j дх
И
dh дН дх' дН ду,
+ ^ BЛ8)
диа дх' диа ду! дип
Теперь с помощью B.9), B.4) и A.14) мы можем предста-
представить второе слагаемое в левой части B.15) в виде
др1 дх1 „ дН д
диа дх ду^ диа
1 дН dh дН ду, dh dH dti,
Н ду, диа dyj dua диа ду, диа
где для получения второго равенства мы воспользовались тем,
что функция Я однородна первой степени по у/. В силу B.18)
это выражение может быть сведено к виду
др, дх' дН дх'
__ г/ /о 1 q)
диа дх дх' диа ' V '
Во-вторых, заметим, что производная др,/д%, входящая в
первое слагаемое в левой части B.15), обозначает дифферен-
дифференцирование вдоль некоторой кривой конгруэнции B.3). Поэтому
из A.20), A.4) и A.19) следует, что это слагаемое может быть
342 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
записано так:
дх диа
После подстановки B.19) и B.20) в условие B.15), оно прини-
принимает простой вид
Р (г~\ —П (9 9П
Далее, из A.20) следует также, что
/т\ -i d ( dL .A dL ../ dL ./_
dx \ дх1 ) дх1 дх1
Hi
это выражение тождественно обращается в нуль в силу одно-
однородности L. Следовательно, если воспользоваться обозначением
B.4), то
E,(L)-^- = 0 B.22)
тождественно. Но условие B.5) влечет за собой линейную не-
независимость п векторов дх'/дх, дх''/диа (а = 1, ..., п—1), и
поэтому из соотношений B.21) и B.22) получается, что
?/ (L) = 0. B.23)
Следовательно, конгруэнция B.3) состоит из экстремалей. Это
является первым следствием условия B.15).
Дальнейшие следствия получаются следующим образом. Ус-
Условие B.15) эквивалентно
1 \ a ( дх1 \ ,о о..
(-*Г)- B4)
Дифференцирование B.14) по т дает
Подставляя в это выражение B.24), получаем
д г „ в1 д Г д С дх'1 \1 д Г д
[и, и] ^^JJ
Следовательно, поскольку функции B.3) принадлежат клас-
классу С3,
~{и\ «Р] = 0. B.25)
Таким образом, скобки Лагранжа остаются постоянными вдоль
каждой кривой нашей конгруэнции экстремалей. Этот резуль-
результат является аналогом хорошо известной теоремы, принадле-
§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 343
жащей Лагранжу, согласно которой скобки Лагранжа постоян-
постоянны вдоль динамической траектории, т. е. вдоль любой экстре-
экстремали интеграла действия системы классической механики1).
Кроме того, соотношение B.25) подсказывает нам, что усло-
условие B.15) достаточно для того, чтобы гарантировать существо-
существование интегральных инвариантов. Чтобы доказать это утверж-
утверждение, заметим, что уравнение B.3) может рассматриваться
как уравнение однопараметрического семейства гиперповерхно-
гиперповерхностей Vn-i (т.) пространства Хп: на каждой такой гиперповерх-
гиперповерхности параметр % постоянен, an — 1 параметров иа являются
координатами. Тогда на каждой гиперповерхности Vn-i(x) в
силу B.8), B.10) и B.12) имеют место равенства
со = p,j?-du* B.26)
и
da = - 1 [ua, и»} dua A di$. B.27)
Рассмотрим двумерную область G на гиперповерхности Vn-\{%)
при некотором фиксированном значении т. Предположим, что
эта область ограничена замкнутой кривой 0G класса С. Тогда,
с одной стороны, мы, согласно B.27), имеем
^co = - j J [иа, иЦ dua A difi, B.28)
о а
что в силу B.25) не зависит от т. С другой стороны, из тео-
теоремы Стокса следует, что
\d(o= jjco. B.29)
а да
В результате интеграл в правой части не зависит от % и поэтому
является интегральным инвариантом.
§ 3. Уравнение Гамильтона — Якоби
В дополнение к условию B.15) потребуем теперь, чтобы
для конгруэнции B.3) обращались в нуль скобки Лагранжа
B.13). Тогда из B.12) следует
Лй = 0. C.1)
Поэтому для 1-формы со лемма Пуанкаре гарантирует сущест-
существование— по крайней мере локальное — такой функции S(x!)
от координат пространства Хп, что
H-l{x,y)yt = ^j. C.2)
') См., например, Рунд [24], с. 50.
344 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
Уравнение
S(xl) = S, C.3)
где S — некоторый параметр, задает однопараметрическое се-
семейство гиперповерхностей пространства Х„. Это семейство
трансверсально пересекает каждую кривую конгруэнции B.3).
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить,
что если &х> — произвольное смещение на какой-либо гиперпо-
гиперповерхности из семейства C.3), то (dS/dx')dx' = О, или, согласно
C.2) и A.5),
О = у, 6х' = L (х, х) dL^ ±} Ьх1, C.4)
что и влечет за собой трансверсальность 8х> к касательным век-
векторам хн конгруэнции B.3) в смысле определения A.6.3).
Пусть теперь Г — кривая конгруэнции B.3), и пусть Ро, Pi —
точки на Г, соответствующие значениям параметра т0 и %\. Пред-
Предположим, что Ро, Р\ лежат в области существования функции
S(xh) так, что одна из гиперповерхностей семейства C.3) про-
проходит через Ро, а другая — через Р\, причем уравнения этих
гиперповерхностей имеют вид
S(xft) = E0 и S(*ft) = 2i. C.5)
Тогда из C.2), A.5) и A.11) следует, что едоль Г справедливы
соотношения
— = —rx —H y,x' = H L-—rx'—H L =L(x, x), C.6)
dx dx1 dx'
и, следовательно,
L(x, x)dx=-- J ||-rfT = SI-2o. C.7)
pto Г To
Замечательно, что значение этого интеграла не зависит от вы-
выбора кривой Г конгруэнции B.3); действительно, этот интеграл
принимает одно и то же значение для всех кривых конгруэнции
B.3), начальные и конечные точки которых лежат на первой и
на второй из гиперповерхностей C.5) соответственно.
Соотношение C.2) накладывает ограничение на производ-
производные dS/dx', которые образуют ковариантное векторное поле,
нормальное к гиперповерхностям C.3). Именно, из однородно-
однородности функции Гамильтона Н следует, что
Н(х!,Н-1(х, у)У1) = Н-1(х, у)Н{х,у)=\.
Поэтому C.2) влечет за собой то, что функция S(xh) должна
удовлетворять дифференциальному уравнению в частных про-
§ 3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 345
изводных
-¦&¦)-'¦ <3-8>
Это уравнение имеет определенный геометрический смысл. Если
данный лагранжиан рассматривается как метрическая функция
на пространстве Х„, т. е. если L(x!, X') обозначает норму (или
«длину») вектора с компонентами Х> в касательном простран-
пространстве Тп{Р), опирающемся на точку Р с координатами х1, то
Н{х', у/) равно норме некоторого вектора с компонентами г//,
принадлежащего дуальному касательному пространству Т'п{Р).
Тогда уравнение C.8) требует, чтобы градиентное поле dS/dx1'
всюду имело единичную норму; в этом смысле C.8) является
нормирующим условием. Уравнение C.8) будет называться
уравнением Гамильтона — Якоби для однородного лагранжиана
Цх,х).
Обратно, предположим, что мы имеем некоторое решение
S{xh) уравнения C.8). Оно определяет ковариантное векторное
поле
у> = Шг <3-9>
единичной нормы, которое в свою очередь в силу A.14) приво-
приводит к контравариантному векторному полю х>:
.,__ дН(х,у) __ dH(x,dS/dx)
Х ~ ду, - Щ • <3-10)
Действительно, так как Н(х, у)=\, то из A.11) следует
L(x, х) = 1, т. е. мы должны отождествить х1 с dx'/dx, где х —
параметр, определяемый равенством
dx = L{xl, dx1). (З.П)
Интегральные кривые системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка C.10) являются экстремалями.
Это легко проверяется следующим образом. Согласно C.9) и
C.10) мы имеем вдоль такой интегральной кривой
dy, d2S dxh d2S дН (к, у)
dx дхндх' dx dxhdxi dyh K ' '
Далее, дифференцирование уравнения Гамильтона — Якоби
C.8) дает
дН . дН d2S л
+ =0
дх' dyh dxh дх^
что после подстановки C.12) приводит к уравнениям
dy, дН
-Г- + ^гт = 0- C.13)
dx дх'
346 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
Сравнение с A.27) показывает, что уравнения C.13) эквива-
эквивалентны уравнениям Эйлера — Лагранжа при специальном вы-
выборе параметра т, определяемом формулой C.11).
Описанная выше геометрическая конструкция, состоящая из
однопараметрического семейства гиперповерхностей C.3), транс-
версально пересекающих (п — 1)-параметрическое семейство
экстремалей, называется полной фигурой (по терминологии
Каратеодори).
Итак, результаты настоящего параграфа могут быть сум-
суммированы следующим образом: условие C.1) замкнутости
1-формы со приводит к полной фигуре; обратно, любое решение
уравнения Гамильтона — Якоби порождает такую фигуру.
§ 4. Механика релятивистской частицы
С точки зрения физических приложений описанный выше
формализм для однородных лагранжианов важен уже потому,
что он дает наиболее прямой подход к механике релятивист-
релятивистской частицы. В релятивистской теории не существует выде-
выделенного параметра времени t, поэтому инвариантные вариа-
вариационные принципы не могут формулироваться по образцу
классической механики, в которой t является независимой пере-
переменной в интеграле действия. Следует отметить, что даже в слу-
случае одной релятивистской частицы собственное время, как пара-
параметр, принципиально ничем не выделено, так что все вариа-
вариационные принципы в однородном случае целесообразно форму-
формулировать в терминах произвольного параметра.
Рассмотрим четырехмерное пространственно-временное мно-
многообразие У4 с заданным на нем псевдоримановым метриче-
метрическим тензором uhj{x), подчиненным следующим условиям:
(i) симметричность: ahj(x) = а,п(х);
(п) принадлежность классу С2;
(Hi) несингулярность, т. е. а = |det(a/h)| Ф 0;
(iv) гиперболичность, т. е. что сигнатура тензора а/,,- равна
+2.
Мировая линия частицы представляется кривой в W
х! = х>{а), D.1)
где параметр сг определяется метрикой так, что
da2 = ajh dx1 dxH. D.2)
Параметр сг (с точностью до константы) в релятивистской ме-
механике имеет смысл собственного времени частицы, поэтому
контравариантный вектор с компонентами
// dxJ
х =-щ-
§ 4. МЕХАНИКА РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ 347
является четырехмерной скоростью частицы. Из D.2)- следует,
что компоненты D.3) не являются независимыми, а удовлетво-
удовлетворяют соотношению
a/ftx'VA=l." D.4)
Эта зависимость между компонентами вызывает определен-
определенные трудности при попытке сформулировать вариационный
принцип для движения частицы, отправляясь от лагранжиана
L(x'\ х1). Первая трудность проистекает из того, что эта функ-
функция будет сильно неоднозначной вследствие возможности ум-
умножения ее или отдельных входящих в нее членов на произ-
вольные степени скаляра [alhx x ) без изменения соответ-
соответствующего интеграла действия. В то же время такая процедура
будет серьезно влиять на результирующие уравнения Эйлера —
Лагранжа. Во-вторых, вариационное исчисление существенно
основывается на предположении, что входящие в L компоненты
скорости полностью независимы, что, очевидно, нарушается со-
соотношением D.4). Кроме того, в данном случае нельзя вос-
воспользоваться и методами так называемой задачи Лагранжа,
поскольку они применимы к связям (интегрируемым или не-
интегрируемым), ограничивающим направления аргументов х' ,
а совершенно очевидно, что D.4) не попадает в эту категорию.
Обе эти трудности немедленно исчезают, если потребовать,
чтобы лагранжиан L(x!, x1) был однороден первой степени по
скоростям. Это, во-первых, влечет за собой устранение описан-
описанной выше неоднозначности, поскольку умножение на величину
типа (ajkX'x11-)'1' будет нарушать требуемую однородность. Во-
вторых, поскольку, как указывалось в § 1 гл. I, интеграл дей-
действия от однородного лагранжиана инвариантен относительно
произвольного преобразования параметра, то можно использо-
использовать произвольный параметр х (как делалось выше), представ-
представляя при этом мировую линию D.1) в виде
х' = х1 (г) D.5)
и полагая х1 = dx1 /dx. Эти компоненты не подчинены связям
D.4), в результате чего вторая трудность также исчезает.
Именно эти причины мотивируют необходимость формулиро-
формулировать динамику релятивистских частиц с помощью однородных
лагранжианов.
Это, конечно, не означает, что параметр сг вообще не мо-
может использоваться; как будет видно ниже, он бывает очень
удобен, однако выбирать его можно только после выполнения
всех основных операций, в частности после выполнения всех
дифференцирований.
348 ГЛ. VII, ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ
Итак, мы будем предполагать, что релятивистские уравне-
уравнения движения частицы являются уравнениями Эйлера — Ла-
гранжа для однородного лагранжиана вида
L (х!, х>) = Ц (х1, х>) + L, (xJ, х>), D.6)
где Lo — лагранжиан «свободной частицы», a L/ — лагранжиан
«взаимодействия», описывающий влияние физических полей
(кроме гравитационного) на частицу. Обычно предполагается,
что
LQ(x,xi) = mc(aihxlxfl)m, D.7)
где т — константа массы покоя частицы, а с — константа ско-
скорости света в вакууме.
По предположению (iv) индикатриса этого лагранжиана
состоит из двух гиперболоидов — двуполостного и однополост-
ного, — имеющих общий асимптотический световой конус
'h = 0. D.8)
В отличие от случая, рассматриваемого в гл. I, эта индикатри-
индикатриса не удовлетворяет условие выпуклости. Можно доказать (см.
Лавлок и Рунд [1], с. 245 и далее), что если два вектора
направлены в будущее, то они удовлетворяют неравенству
треугольника, обратному к A.1.21). Поэтому измененные под-
подходящим образом рассуждения из гл. I показывают, что вре-
мениподобные экстремали вариационной задачи, определяемые
лагранжианом D.7), отвечают максимуму (вместо минимума).
Это явление характерно для релятивистской механики.
Наиболее характерным примером вариационного принципа,
основанного на D.6), является случай частицы с зарядом е в
электромагнитном поле, задаваемом векторным потенциалом
Aj(x). Как хорошо известно, лагранжиан взаимодействия в
этом случае имеет вид
Lj = ^Afx!, D.9)
который, как и требуется, однороден первой степени по хК
Ради краткости положим
Ф (х, х) = тс (ahlxhx'I'2 D.10)
и
так что рассматриваемый лагранжиан принимает вид
L (х, х) = Ф (х, х) + ty/x1. D.12)
Применим к этому лагранжиану описанный в §§ 1—3 фор-
формализм,
§ 4. МЕХАНИКА РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ 349
Согласно определению A.5) мы имеем следующее выраже-
выражение для канонического импульса:
у, = L (rn4\-"aihxh + г])/). D.13)
Для того чтобы построить гамильтониан Н(х, у), нужно раз-
разрешить это уравнение относительно xh как функции от г/,-.
С этой целью запишем D.13) в виде
m2c2La!hxh = ф (у/ — Li]),).
Свертывая с тензором a'k, взаимным к О/*, мы с помощью
A.11) получим
У^У. D.14)
В этом соотношении ф все еще является функцией перемен-
переменных (х1, х1'), так что нам необходимо выразить эти переменные
через (х>, у,). Подставляя уравнение D.14) в лагранжиан
D.12), мы в силу A.11) находим
Я = Ф [1 + (тс)-2Н- УЧ/ (Ун - Я%)]. D.15)
Из этого равенства следует выразить ф как функцию от (х<, yt)
и подставить полученное выражение в D.14). Тогда х1' станет
функцией переменных (х1, г//), что и требовалось.
К счастью, эта довольно громоздкая процедура не нужна
в нашем случае, поскольку для наших целей достаточно урав-
уравнения D.14). Действительно, подставляя D.14) в D.10), мы
получим
а!к (yk -
так что (нулевые направления, лежащие на световом конусе
D.8), разумеется, исключаются из рассмотрения)
т2с2Я2 (х, у) = ahi [у, - Я (х, у) %) [у, - Я (х, у) ty]. D.16)
Это — квадратное уравнение относительно Я, из которого Я
легко находится. И снова нам не обязательно это делать, по-
поскольку мы хотим лишь найти уравнение Гамильтона — Якоби.
Поэтому, имея в виду соотношение C.2), мы просто заменим
H~xyi в D.16) на dS/dx1, что, как мы видели, дает уравнение
Гамильтона — Якоби C.8). Ясно, что сама функция Н(х, у)
при этом исчезает. Итак, легко выводится, что функция S(x")
должна удовлетворять следующему дифференциальному урав-
уравнению в частных производных:
350 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
(подставлено D.11)), D.17) и является искомым релятивист-
релятивистским уравнением Гамильтона — Якоби для заряженной частицы
в электромагнитном поле '). .
Уравнение D.17) иллюстрирует одно важное понятие клас-
классической электродинамики, играющее центральную роль в кван-
квантовой электродинамике. Предположим, что векторный потен-
потенциал Aj подвергается калибровочному преобразованию
Ai^A'j^Ai-j^-, D.18)
где Х = Х(х) —произвольная скалярная функция. Тензор элек-
электромагнитного поля
ЗА, дАь
*<4Л9>
ЗА, дАь
определяющий напряженность поля, инвариантен относительно
преобразования D.18). Однако для произвольной функции
%(х) уравнение Гамильтона — Якоби D.17) не инвариантно ав-
автоматически относительно преобразования D.18). Для инва-
инвариантности необходимо потребовать, чтобы калибровочное пре-
преобразование D.18) сопровождалось соответствующим преоб-
преобразованием функции S(x/t), именно,
S^S' = S -jk. D.20)
Указанное явление проливает дополнительный свет на эти
функции. Действительно, при переходе к квантовой механике
функция ~S(xh) приобретает роль — по крайней мере частич-
частично— фазы волновой функции W(xh), и поэтому D.20) индуци-
индуцирует ее преобразование вида
(^) D.21)
что обычно называется калибровочным преобразованием вто-
второго рода. Мы видим, что это понятие появляется и при чисто
классическом рассмотрении.
В заключение кратко рассмотрим уравнения Эйлера — Ла-
гранжа для лагранжиана D.12). Вычисление Ej(q>) с функ-
функцией D.10) является частным случаем вывода уравнений Эй'
лера — Лагранжа, проведенного для финслеровой метрики в
§ 2 гл. II. Поэтому нет необходимости повторять здесь это вы-
вычисление: результат имеет вид
Е, (Ф) = яААр-'вм (-Ж- ~ Ф wO • D-22)
') Данный здесь вывод D.17) очень близок выводу, предложенному
Ванстоуном [1].
S. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 351
где, конечно, в абсолютной производной
Dxh dxh , f h
Dx dx ^ \ I k
\xlxk
]XX
символы Кристоффеля относятся к римановой метрике
Кроме того, из D.9) с помощью D.19) прямо следует, что
Соотношения D.22) и D.23) можно теперь объединить и по-
получить искомый результат
-^-%^) +-cFhix\ D.24)
c
что является выражением Эйлера — Лагранжа для лагранжиа-
лагранжиана L при выборе произвольного параметра т.
Отождествим теперь параметр х с параметром 0, определяе-
определяемым соотношением D.2). При этом будет удовлетворяться ус-
условие D.4), так что D.10) сведется к
Ф = me, dq>/dx = 0. D.25)
Выражение D.24) примет вид
Е, (L) = mcaih-^- + -I Fhix'\ D.26)
где мы использовали обозначение D.3). Теперь уравнения Эй-
Эйлера— Лагранжа могут быть записаны в виде уравнений дви-
движения заряда
Dx' e c ,h
= Fx
D.27)
Правая часть в D.27) является классической силой Лоренца.
§ 5. Заключительные замечания
Приведенный выше канонический формализм может быть
развит в нескольких различных направлениях. Он может ис-
использоваться для более прямого, чем описанное в § 4, иссле-
исследования движения частицы в гравитационном поле (Р у н д
[23]). Замечательно также, что использование квантовомеха-
нического аналога гамильтониана ведет к релятивистскому
уравнению Гейзенберга, что дает непосредственный подход к
релятивистской теории электрона в смысле Дирака. Эти во-
вопросы кратко описаны в книге Р у н д а [24] и более подробно
в работе Рунда [20]. Далее, недавно было показано, что
теория однородного гамильтониана, дополненная введением
352 ГЛ. VII. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
потенциала Клебша '), позволяет построить более общую теорию
Гамильтона — Якоби. Она в свою очередь порождает вариа-
вариационный принцип, дающий не только гравитационные полевые
уравнения Эйнштейна в присутствии материи, но также и урав-
уравнения движения идеальной релятивистской жидкости. Это по-
позволяет обходиться без использования в общей теории относи-
относительности гипотезы геодезических, поскольку, как оказывается,
движение свободной частицы непосредственно получается из
вышеупомянутого всеохватывающего принципа (Рунд [27],
[28], Баума истер [1], [2]).
') Для тензоров весьма общего вида переход к потенциалам Клебша (как
говорят, к представлению Клебша) подробно описан в работе Рун да [26].
В этой же работе рассмотрено электромагнитное поле в представлении Клеб-
Клебша и показано, что из вариационного принципа для электромагнитного поля
в пустоте в представлении Клебша следуют обе пары уравнений Максвелла
(тогда как при стандартных рассмотрениях из вариационного принципа полу-
получается только одна пара уравнений Максвелла, а вторая просто постули-
постулируется) . — Прим. перев.
Глава VIII
СВЯЗНОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ НАПРАВЛЕНИЙ,
И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
§ 1. Введение
Связность, зависящая от направлений, естественно возни-
возникает при изучении финслеровой геометрии. В этой геометрии
коэффициенты связности обычно выражаются через заданный
метрический тензор и его различные производные, причем ме-
метрический тензор зависит не только от координат х' точек ос-
основного многообразия Хп, но также и от п аргументов направ-
направлений, которые в предыдущих главах обозначались через х>.
Дифференциальные уравнения геодезических могут быть пред-
представлены в виде (см. гл. III, § 3)
ds2 ^ "
где s обозначает финслерову длину дуги. Функции Н' в этих
уравнениях положительно однородны второй степени по своим
аргументам направлений, что прямо следует из нулевой одно-
однородности финслерова метрического тензора по аргументам на-
направлений (т. е. по х'). Обратно, в общей геометрии путей
(см. гл. III, § 3) предполагается, что вместо метрики на много-
многообразии Хп задан набор из п функций Н'{хн, хн) от 2п пере-
переменных. При этом считается, что указанные функции положи-
положительно однородны второй степени по хн, а также что уравне-
уравнения C.3.1) так называемых путей (которые обычно относятся
к некоторому параметру t, так что xh = dxh/dt) инвариантны
относительно допустимых преобразований локальных коорди-
координат в Хп. Дальнейшее развитие этой теории существенно опи-
опирается на предположения однородности. Набор коэффициентов
связности в геометрии путей задается вторыми производными
от W по направлениям, которые вследствие этого оказываются
не только однородными нулевой степени по своим аргументам
направлений, но также и симметричными по своим нижним
индексам.
Целью настоящей главы является развитие единой точки
зрения на весь этот комплекс идей. По аналогии с общей гео-
геометрией путей предполагается, что задана зависящая от на-
12 X. Рунд
354 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
правлений связность, однако не делается никаких предполо-
предположений о природе зависимости коэффициентов связности от их
аргументов направлений, кроме необходимой дифференцируе-
мости. Не накладывается никаких условий однородности или
симметрии. Несмотря на то, что использование условий одно-
однородности основных тензоров финслеровой геометрии является
одним из наиболее эффективных технических средств этой гео-
геометрии, в настоящей главе будет показано, что общая теория
связности, зависящей от направлений, и соответствующая ей
теория кривизны могут быть получены без предположений од-
однородности или симметрии и что вместе с тем центральные вы-
выводы проявляют поразительное формальное сходство с соот-
соответствующими теоремами финслеровой геометрии.
Ввиду того, что развиваемый ниже аппарат не зависит от
каких-либо предположений однородности, понятно, что в ре-
результате этого расширяется область применимости методов
финслеровой геометрии к теории физических полей. В этой
связи можно дать ссылку на сравнительно недавнюю статью
Керна [1], в которой метрическая теория строится на основе
лагранжиана, не однородного по своим аргументам.
Основным объектом нашего исследования является на.бор
из п2 зависящих от направлений 1-форм а>й'(х, х) в кокасатель-
ном расслоении основного многообразия Хп. Вследствие зави-
зависимости форм <йн'(х, х) от направлений, соответствующие 2-фор-
мы кривизны пц!(х, х), вообще говоря, не принадлежат рас-
расслоению 2-форм над Хп\ в § 2 проводится необходимое разло-
разложение форм &h'(x, x), с помощью которого подходящим обра-
образом формулируются структурные уравнения. В § 3'вводится
так называемая производная по направлениям (т. е. по пере-
переменным х1, задающим направление) от зависящих от направ-
направлений р-форм. С помощью этого оператора существенно упро-
упрощаются многие вычисления, которые иначе могут быть доволь-
довольно громоздкими. В частности, этот оператор применяется в § 4
при выводе структурных уравнений второго рода, что в свою
очередь непосредственно ведет к явному представлению для
обобщенных тождеств Бианки. В § 5 показано, что любая за-
зависящая от направлений 1-форма связности может быть раз-
разложена на сумму 1-форм связности с нулевой кривизной и тен-
тензорной 1-формы. Это наблюдение позволяет нам дать в § 6 пол-
полную характеристику 1-форм связности для случая нулевой кри-
кривизны. В заключительном § 7 рассматривается метрическая
теория. Предполагается, что дополнительно к связности задано
зависящее от направлений поле метрического тензора типа (О,
2), о котором известно лишь, что оно принадлежит классу С2,
симметрично и не является особым. Устанавливаются необхо-
необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять
§ 2. СТРУКТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА 355
связность, для того чтобы она была метрической относительно
этого заданного поля. Доказано, что симметричная часть ко-
коэффициентов связности однозначно определяется этим требо-
требованием при условии, что определенная п2 X я2-матрица не вы-
вырождена, причем элементы ее целиком определяются метриче-
метрическим тензорным полем. Показано, что это условие автомати-
автоматически удовлетворяется для случая финслеровой метрики; если,
кроме того, коэффициенты связности симметричны, то полу-
получающиеся коэффициенты, как и следовало ожидать, совпадают
с коэффициентами картановской евклидовой связности (см.
гл. III) для используемой финслеровой метрики.
§ 2. Структурные уравнения первого рода
Зависящей от направлений р-формой л на многообразии Хп
называется такая форма, коэффициенты которой зависят не
только от локальных координат х1 точки Р из Хп, но также и
от компонент х' ') некоторого элемента касательного простран-
пространства ТР (Хп) к Хп в точке Р. Чтобы подчеркнуть такую зависи-
зависимость от направлений, мы будем писать я = я(л:, х).
Предположим теперь, что нам заданы п2 зависящих от на-
направлений 1-форм cuft'(x, x), которые удовлетворяют следую-
следующим условиям:
(i) Формы ®h'(x, х) являются элементами кокасательных
пространств Т*р(Хп), т. е. относительно канонического базиса
{dxk}, индуцируемого на Т*р(Хп) локальной координатной си-
системой на Хп, они допускают представление вида
щ'(х,х) = Г1/к(х,х)Aхк. B.1)
(И) Коэффициенты Th'k(x, x) принадлежат классу С3 по
всем своим аргументам.
(щ) При допустимых координатных преобразованиях вида
xl = xi{xh), 1-формы юл'(я, х) преобразуются по закону
dB{ = BW - fiW, B.2)
где
Вследствие закона преобразования B.2) заданные формы
®h!(х, х) называются {-формами связности.
') Это обозначение не вполне удобно, так как х1 не обязательно рассма-
рассматриваются как производные от х1 по некоторому параметру, как это имеет
место, например, в A.1). Однако это обозначение использовалось в большей
части литературы по финслеровой геометрии и ее обобщениямд и поэтому оно
сохранено нами. .
12*
356 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
Наше дальнейшее изложение целиком основывается на
предположениях (i) — (Hi); следует подчеркнуть, что не пред-
предполагается, что 1-формы являются однородными функциями от
аргументов, описывающих направление, и также не предпола-
предполагается, что коэффициенты связности ГУ* являются симметрич-
симметричными по своим нижним индексам.
Начальные построения проводятся традиционным образом.
Во-первых, внешнее дифференцирование выражения B.2) дает
О = dB\ Л т + В{ d<bhl — dBlh Л со/ — Blh dm1,
откуда 1-формы db\ исключаются с помощью B.2). Таким об-
образом, получается соотношение
вШ = В[п11, B.4)
в котором 2-формы Qh'(x,x) определяются, как обычно, равен-
равенствами
QA/ = rf(DA/ + (D//AcoA'. B.5)
По определению они являются формами типа A,1) • Во-вторых,
если для некоторого тензорного поля типа A,0) с компонен-
компонентами Х'(х, х) внешняя ковариантная производная задается
формулой
DXj = dX! + ^Xh, B.6)
то из B.2) следует, что B.6) являются 1-формами типа A, 0).
Поэтому мы можем записать
D (DX1) = d {DX1) + со/ Л DX1 =
= d (ы/Х1) + со/' Л (dXl + ат1Хт) =
= dett'X1 + com; Л ЩтХ1 = п^Х1, B.7)
где последнее равенство вытекает из B.5). Форма Q// назы-
называется 2-формой кривизны. Далее, после подстановки B.5) вме-
вместе с его внешней производной во внешнюю ковариантную про-
производную
DQj = dQh! + со/ Л Q// - соЛ' Л ?V,
получается тождество
Щ/ = 0, B.8)
которое, как обычно, называется тождеством Бианки.
До сих пор не было различия между стандартной теорией
связностей и теорией связностей, зависящих от направлений.
Однако, в отличие от классической теории, 2-формы кривизны,
определяемые равенствами B.5), вообще говоря, не являются '
элементами пространств Ар(Хп) 2-форм на Х„. Действительно,
§ 2. СТРУКТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА 357
после подстановки B.1) в B.5) непосредственно видно, что
Q/ = </ГД Л dxk + (Гт'к dx9) Л (ГЛ* dxk) =
dxm Л rf*fe, B.9)
а поскольку im рассматриваются как независимые переменные,
то появляющееся в последнем слагаемом в правой части внеш-
внешнее произведение dxm/\dxk не может быть выражено через
Yп (и — 1) базисных элементов {dxh Л dxk) пространства Ар {Хп)-
Выражение B.9) для форм кривизны Qh' нельзя признать удо-
удовлетворительным, так как дифференциалы dxm не являются тен-
тензором A, 0). Поэтому необходимо заменить эти дифференциалы
внешними ковариантными производными от хт, которые, со-
согласно B.6), задаются формулой
Dxm = dxm + armxr = dxm + Yrmkxr dxk. B.10)
В соответствии с этим 2-формы кривизны й/ записываются в
виде
Й/; = Q!7 + ^рг Dxm Л dx\ B.11)
где
представляют собой ту часть Q/, которая содержится в Ар (Хп).
Таким образом, Q; (л;, х) имеет вид
QV = - ^ Khk dxh Л dx\ B.13)
где тензор кривизны Ki'hk равен
KtHkix,x)-{—k d.m 1Г кх J-
гЛгЛл" г»/*гл- BЛ4)
Поскольку исходные 2-формы кривизны Q/ не допускают та-
такого представления, мы сосредоточим наше внимание на фор-
формах Qj'. Уравнения B.11) вместе с соотношениями B.12) и
B.13) будут называться структурными уравнениями первого
рода.
Определим теперь 2-формы кручения Q'(x,x), которые от-
относительно канонического базиса {dxk} пространства Тр (Хп) за-
задаются равенством
Qj = -D(dx'), B.15)
358 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
что в силу B.6) и B.1) эквивалентно
Q/ = _ Щ1 д dxh = fh'k dxh A dx\ B.16)
Это показывает, что формы Q' являются элементами простран-
ства Ар(Хп) и поэтому не требуют модификаций. Мы часто бу-
будем записывать B.16) в виде
B.17)
где
Sh'k (x, x) = rhjk (х, х) - ГЛ (х, х) B.18)
является зависящим от направлений тензором кручения типа
A,2). Из B.15) и B.17) немедленно следует
DQ> = - QhJ Д dx*. B.19)
Отметим теперь следующую формулу. Пусть Th ! ••¦ — тен-
тензорное поле типа (г, s). Тогда, используя B.10), имеем
dTh /•¦• = / ^-j- ^-^— Trmkxr I dxk -\ *~^— Dxm.
B.20)
Поэтому, если определить ковариантную производную OTTh l •••
равенством
Т. /•••,.=¦
dxk dxm r k +
+ г/'Л...'--ГА'//...'-+ ••-. B.21)
а абсолютный дифференциал равенством
DThJ- = dThJ- + e>liTkJ--®ltlTlJ-+ .... B.22)
то, согласно B.1) и B.20),
DThJ- = ThJ-[kdx"+ dTh-'m" D#». B.23)
Эта формула будет часто использоваться в дальнейшем. Сле-
дует, однако, заметить, что в силу B.15) соответствующий ре-
результат для тензорных р-форм (р ^ 1) справедлив, только если
кручение обращается в нуль.
§ 3. Производные по направлениям от р-форм
Наши дальнейшие вычисления примут более систематиче*
ский характер в результате введения так называемых произ-
производных по направлениям- от произвольных р-форм, Эта опера-
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ОТ р-ФОРМ 359
ция обозначается посредством д{ и, как будет показано, одно-
однозначно определяется следующими требованиями:
a) Для пары р-форм л и со
д. (я + со) = др + др. C.1)
b) Для р-формы л и д-формы X
dt (яДА) = (д,п) Л Я + л Л (ЗД, C.2)
независимо от значений р и q.
c) Для формы нулевой степени А(х, х)
d) Для любой р-формы л
di{dn) = d{din), C.4)
т. е. оператор д1 коммутирует с оператором d внешнего диффе-
дифференцирования.
Для того чтобы получить явное выражение для <9г-со, поло-
положим л = хк в тождестве C.4). Тогда в силу C.3) имеет место
равенство
а. {dxk) = d {dtxk) = 0. C.5)
Аналогично при я = хт из тождеств C.4) и C.3) следует, что
dt (dxm) = d {dLxm) = d E«) = 0. C.6)
Таким образом, для произвольной зависящей от направлений
(р -f- q) -формы
я == Л/( ... /рИ1 ... т<? Же'' Л ... Л rf*'" Л dxT1 Л ... Л rf*m' C.7)
из C.2), C.3), C.5) и C.6) следует равенство
= '¦•••/p"'''"m'7 djc/, д ... Л dx'p Л dJc™1 Л ... Л rfjc41".
C.8)
Отсюда и из тождества C.1) вытекает, что производная по на-
направлению от любой дифференциальной формы однозначно оп-
определяется условиями а) — d).
В частности, из C.5), C.6) и C.8) очевидно, что производ-
производная по направлениям от 1-формы B.10) задается выражением
Д) dxK C.9)
360 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРЛШ КРИВИЗНЫ
Это подсказывает определение производных по направлениям
от 1-форм связности. Именно, положим
С помощью этих производных выражение C.9) может быть
записано в виде
dt (Dxm) = ©/" + co/V. C.11)
1-формы C.10) будут играть важную роль в наших дальней-
дальнейших исследованиях. Для того чтО(бы определить тип этих форм,
заметим, что при допустимом координатном преобразовании
х< = х' (xh) мы имеем в обозначениях B.3)
у/ R[?ft С* 1 О\
X —DhX , \ОЛ?)
так что дх!Idxh = B!h- Таким образом, взяв производные по на-
направлениям от уравнения B.2) и используя C.10), найдем
Г)!- I ,, / DP о' In 1 О\
t>l&h т := ®р [Dh.om. (оЛо)
Это показывает, что \-формы C.10) имеют тип A, 2).
Последнее свойство позволяет выразить производные по на-
направлениям от 2-формы кручения в удобном виде. Действи-
Действительно, из B.16), B.17) и C.10) следует непосредственно, что
0*^ = -»*'». Л dx" = ^^Tdxh Л dxk. C.14)
Для дальнейшего введем также 1-формы
«о/р» = ** (О = -Щ^р dxh Л *х\ C.15)
которые, очевидно, обладают условием симметрии
®lpm = ®lmp C.16)
и которые в силу C.13) имеют тип A, 3).
Однако производная по направлению от тензорной р-формы
не обязательно дает тензорную форму. Это явление иллюстри-
иллюстрируется соотношением C.11), присутствие в котором члена со;"
делает производную по направлению от Dxm нетензорной, не-
несмотря на то, что Dxm является формой типа A, 0). Этот част^
ный при-мер является следствием того, что Dxm не принадлежит
пространству Лр (Х^ = Тр (^„); действительно, легко проверить,
что производная по направлению от формы любого типа (р, q),
содержащейся в Ар{Хп) (г = 1 п), имеет тип (р, ^+1),
§ 4. СТРУКТУРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА 361
В качестве непосредственного приложения полученных ре-
результатов рассмотрим структурные уравнения B.11). С по-
помощью C.10)' они могут быть записаны в виде
Q/'= Q/ —ffl/m Л W. C.17)
так что формула B.19) принимает вид
DQ! = - п]! A dx1 — ©/„, Л dx1 A Dxm. C.18)
Кроме того, из формулы B.17) мы имеем в силу B.15) и B.23)
DQ1 = 1 (ZXSA) Л dxh A dxk - Sh!kuh A dxk =
= ~2 shk 11 dxh A dxk A dx1 +
+ - ^%r dxh A dxk A Dxm - Sj,Qm A dx1,
2 dx
или после применения C.14)
DQf = j (Sh'k, t - SjtS^b) dxh A dxk A dx1 - щ1 m dx1 A Dxm.
C.19)
Сравнение этого выражения с C.18) показывает, что содержа-
содержащие Dxm члены можно исключить. Принимая во внимание
B.13), находим окончательно
[Ki'hk ~ Sh'k 11 + SjtSh\] dxh A dxk A dx1 = 0. C.20)
Отсюда в свою очередь следует так называемое циклическое
тождество, согласно которому циклическая сумма по индексам
/, h, k выражения в квадратных скобках тождественно обра-
обращается в нуль. Замечательно, что это тождество обладает
структурой, аналогичной структуре циклического тождества
стандартной теории линейных связностей. Мы увидим, однако,
что это не так для аналога тождеств Бианки.
§ 4. Структурные уравнения второго рода
и тождества Бианки
Кроме структурных уравнений первого рода, которые осно-
основаны на использовании внешней производной, существует дру-
другой набор аналогичных уравнений, включающих в с&бя диф-
дифференцирование по направлениям.
Для того чтобы получить эти уравнения, положим
D.1)
362 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
и применим к соотношению B.5) оператор дт, учитывая при
этом условия C.2) и C.4). Это дает
G/'m = d (dA©/) + (а*©,') Л тр + щ' Л (а*©/"),
или, если использовать C.10),
п/т = de>,'m + <йр'т Л щр + юр' Л ©/"„. D.2)
Кроме того, поскольку форма со^ш является тензорной формой
типа A, 2), мы можем записать
D&/m = d@/m + &J Л &l"m — <?>lP Л ®р'т — ®т" Л Ю;^. D.3)
Поэтому D.2) эквивалентно соотношению
Й/И = Л/И-Й/РЛ%'. D.4)
Это соотношение показывает, что производные по направле-
направлениям от 2-форм ?V не являются тензорными, что и следовало
ожидать, так как эти формы не содержатся в А2Р (^„). В то же
время конструкция 2-форм кривизны п}' не имеет этого недо-
недостатка, поэтому мы можем теперь использовать D.4) и вычис-
вычислить соответствующие производные по направлениям
Из уравнений C.17) следует, что
^==Й/т + ^КрАО4 D.6)
Применяя к этому равенству формулы C.15) и C.11), мы полу-
получим
QVm = (Ql'm + щ'р Л G>m") + Wp Л <й/„X + &/рт Л Dx". D.7)
Сравнение этого выражения с D.4) дает искомый результат:
Q'l'm = Ddti'm + т'р Л (ЛгРтХ + Wрт Л D?. D.8)
Соотношения D.8) называются структурными уравнениями вто-
второго рода.
В качестве непосредственного применения этих уравнений
выведем явный вид тождеств Бианки для 2-форм кривизны п*н.
Из C.17) и тождества Бианки B.8) для Q/,' мы имеем
DQ^Dirn'mADx). D.9)
Поскольку, согласно B.7) и C.17), справедливо равенство
D (Dxm) = Qrmx = (Q;m - аГр Л Dxp) /, D.10)
то мы можем выразить D.9) в виде
W)xp. D.11)
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФОРМ СВЯЗНОСТИ И КРИВИЗНЫ 363
Вследствие условий симметрии C.16) уравнения D.8) дают
?>Ql'm Д Dxm = Z)(o/m Л Dx'n + (ш/т Л <W) Л Dx°. D.12)
Поэтому соотношения D.11) могут быть заменены на
DQ}1 = &L Л Dxm - co/m Л {&ГЛ D.13)
что и является тождествами Бианки для 2-форм кривизны Q}1.
Для того чтобы представить их в компонентной записи, за-
заметим, что внешнее ковариантное дифференцирование соотно-
соотношения B.13) с помощью B.15) и B.23) дает
}' = - i (DKAk) Л dxh Л dxk + Khuh Л dxk
DQ}' = - -i (DKAk) Л dxh Л dxk + Khkuh Л dxk =
= - Т (КЛ* I m ^m + d^KhkDx) Л G?xft Л rf** + ^pmQ" Л fi?xm,
или, если мы используем D.5) и B.17),
№' - Ql'm Л Dxm= - у[^СЛ*| m - Ki'pmSllPkldxh Л rfxfe Л dJc".
D.14)
Наконец, с помощью B.13) и C.10) второе слагаемое в правой
части D.13) может быть представлено в виде
1 дТ 1
- «Л л (q;p/) =- -~~ d*m л {Кг\ихг) dxh л dxk.
После подстановки этого выражения вместе с D.14) в тожде-
тождества Бианки D.13) получается
\Ki'hk i m - Kt!pmShpk + ^- Kr\kxr ] dxh Л dxk Л dxm = 0. D.15)
Отсюда в свою очередь следует, что циклическая сумма по ин-
индексам h, k, m выражений в квадратных скобках тождественно
обращается в нуль. Для случая симметричной связности полу-
получающиеся таким образом тождества аналогичны тождествам
Бианки финслеровой геометрии (гл. IV, § 3).
§ 5. Разложение форм связности и кривизны
Покажем теперь, что для 1-форм связности существуют про-
простые естественные разложения. Такие разложения дадут нам
возможность в следующем параграфе легко изучить случай об-
обращения в нуль форм кривизны.
Пусть а[ (х, х) представляет собой набор из п независимых,
а в остальном произвольных тензорных полей типа @, 1), яв-
являющихся функциями класса С2 по всем своим 2я аргументам.
364 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
Элементы обратной к (а{) матрицы обозначаются через blt (х, х),
так что
а[{х, х)Ъ\{х, х) = Ъ1 E.1)
Определяющее соотношение
Da[ = da\ — a^a^ E.2)
можно разрешить относительно а™, что дает
E.з)
Поскольку второе слагаемое в правой части является по по-
построению тензором типа A,1), то первое слагаемое удовлетво-
удовлетворяет закону преобразования, аналогичному закону преобразо-
преобразования B.2) для 1-формы связности со/Л В соответствии с этим
представим E.3) в виде
o>*' = V + V. E-4)
где
E.5)
рассматривается как новая 1-форма связности, и
Lhi = -b[Dal E.6)
Как и в случае B.5), 2-форма кривизны, ассоциированная со
связностью лй;', задается равенством
1У = яЛЧя/ЛяЛ'. E.7)
Из E.1) имеем
db\=-Wmh\da™, E.8)
так что внешнее дифференцирование соотношения E.5) .дает
<Ч' = - ад dak ЛЧ = " (Ыт da™) Л {Ь\ da]).
Подставив сюда E.5), мы получим
dnhJ = — пк} Л я/
или, согласно E.7),
IV = 0. E.9)
Отсюда следует, что любая зависящая от направлений I-форма
разлагается в сумму l-формы связности с нулевой кривизной
и формы тензорного типа.
Это явление автоматически приводит к соответствующему
разложению 2-формы кривизны Q/Л Действительно, подстановка
E.4) в B.5) в силу E.7) и E.9) дает
Од' = dU + nm' Л Lhm ~ «мп Л U + U A Lhm,
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФОРМ СВЯЗНОСТИ И КРИВИЗНЫ 365
и после еще одной подстановки E.4) мы получим
Qh> = dLhJ + aj A Lhm - <*hm A Lj + Lhm A Lj. E.10)
Так как для формы Lh' типа A, 1) имеет место равенство
DLhj = dLh' + шт> A Lhm - щт A LmJ,
то соотношение E.10) сводится к
QhJ = DLh'-LjALha, E.11)
что является искомым разложением нашей 2-формы кривизны.
С помощью B.10) представим теперь E.5) в виде
пн'
= Ъ\ [^ - (dlhalh) Гг'\хг^ dx + b[ {d^ai) Dx"! E.12)
откуда очевидно, что 1-формы связности пи' не содержатся в
Т*р(Хп). Введем теперь следующие 1-формы связности:
коэффициенты которых равны
^) E.14)
так что E.12) может быть записано в виде
i l \{l)Dxm. E.15)
Подставляя это выражение в E.4) и учитывая определение
E.6) и тождество B.23), получаем, что данная {-форма связ-
связности w/i' допускает разложение
сан1 = пн ~bWh\kdxk. E.16)
Согласно B.1) и E.13) это разложение эквивалентно равен-
равенству
rhl\=yhik-bKk- E-17)
Далее, поскольку второе слагаемое в правой части E.16) яв-
является формой типа A.1), представляют интерес свойства
2-формы кривизны, ассоциированной с п!/. Полагая
Пл* = Лг;/ + я;/л<, E-18)
можно показать прямым вычислением, аналогичным проведен-
проведенному в § 2, что
A dx* + (dAvA) Dx" A dx\ E.19)
366 гл. viii. связность и формы кривизны
где
E.20)
Заметим, что из-за наличия второго и четвертого слагаемых
в правой части этот тензор не является зависящим только от
коэффициентов связности E.14).
Для того чтобы найти явное выражение для тензора K*i!hk,
подставим в E.20) соотношение E.14). Стандартное вычисле-
вычисление дает следующий результат:
Этот тензор, вообще говоря, не обращается в нуль. Если бы
первоначальное поле было выбрано так, чтобы д.а^ = 0 (что
является тензорным условием), то эта процедура действительно
привела бы к тензору кривизны E.20), обращающемуся в нуль.
Заметим, что этот вывод непосредственно следует из E.9) и
E.15), поскольку в этом случае последнее соотношение влечет
за собой Яй' = я/Л Однако поскольку в дальнейшем предполо-
предположения такого рода не выполняются, то случай не зависящих
от направлений полей alh отбрасывается.
§ 6. Случай нулевой кривизны
Говорят, что векторное поле У = У{хк) на Х„ является ста-
стационарным, если оно удовлетворяет следующей системе диффе-
дифференциальных уравнений:
dZ'^-T/bix.in'dx*. F.1)
Из условий интегрируемости систем дифференциальных урав-
уравнений такого типа следует, что стационарное поле существует
тогда и только тогда, когда
+ Tjk (x, I) Г Д (х, I) - Tjh (x, I) Ytmk (x, I)] = 0,
что в силу B.14) эквивалентно
l%'bk(x, ?) = 0. F.2)
?6. СЛУЧАП НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 367
Это условие заведомо выполняется, если данная связность удо-
удовлетворяет равенству
Ki'*k (x, х) = 0 F.3)
для всех х1, что будет предполагаться в настоящем параграфе.
Поэтому можно считать, что нам задано стационарное поле
I1 — V (хн)¦ Возвращаясь к общему разложению E.17), в ко-
котором по определению
l^ F.4)
"'* dxR дхт ' "
положим теперь
л i ( \ / / t\ /с к\
/~i)i \Х) '¦— d)i \Xj ?/• ^о.о^
Тогда с помощью F.1) выражение F.4) представляется в виде
да{ да[ dlm , _ „ . . dAi _, _ т .
h
F.6)
Легко проверить, что условия интегрируемости системы
дА1
-JL = AlnThmk{x,l) F.7)
имеют вид
и выполняются согласно предположению F.3). Поэтому мы
можем выбрать поле F.5) так, чтобы оно удовлетворяло урав-
уравнениям F.7). Тогда из F.6), F.7) и E.17) будет следовать
или, если мы применим E.14), F.1) и F.5),
m!'(x,l) = B{dAL F.8)
где
В{(х) = ь{(х,1) F.9)
является обращением А\(х). Таким образом, если тензор крш
еизны обращается в нуль, то 1-формы связности &ь!{х,%) вы-
выражаются относительно стационарного векторного поля %'(xh)
формулами F.8).
Этот результат можно несколько усилить. Пусть матрица
(Ah(x)) выбрана так, что она имеет п линейно независимых
собственных векторов в некоторой точке Р из Хп. Тогда можно
построить такую локальную координатную систему на Хп, что^
бы в точке Р элементы этой матрицы имели диагональное пред*
ставление
(x), F.10)
368 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
где Ф(й)(х) —набор из п функций от координат многообразия,
а скобки вокруг нижнего индекса h означают, что никакого
суммирования по h не проводится. Тогда из F.8) следует, что
в точке Р 1-формы юл' (х, |) могут быть представлены в виде
А (п<р(А)). F.11)
Согласно F.7) значение А\ в бесконечно близкой к Р точке
будет задаваться посредством Ah -f- dAh, где
dA'h = AlmVhmk (x, 1) dxk = Almmm (x, I). F.12)
Правая часть в этом выражении вычисляется в точке Р. Если
мы подставим F.10) и F.11) в F.12), то найдем, что
?MA = 6Arf<p(A). F.13)
Сравнение F.13) с F.10) показывает, что условие F.7) со-
согласовано с диагональным представлением F.10) для А'н(х)
не только в точке Р, но также и в конечной окрестности этой
точки. В результате нами установлена следующая
Теорема. Если тензор кривизны обращается в нуль, то
существуют локальные координатные системы, в которых 1-фор-
1-формы (Dh'(x,%) связности, определяемые в терминах стационар-
стационарного векторного поля У (х), имеют диагональный вид F.11).
Этот результат представляет собой обобщение теоремы
о симметричных аффинных связностях, принадлежащей Эйзен-
харту ([2], с. 20).
Наконец, рассмотрим случай, когда дополнительно к F.3)
предполагается, что 2-форма кручения Q' также обращается
в нуль. Тогда B.16) и F.8) дают
0 = <оА/ д dxh = B[ dAlh Л dxh = B[d (Alh dxh),
откуда следует, что 1 -форма Ahdxh является точным дифферен-
дифференциалом. Поэтому существует, по крайней мере локально, набор
таких функций у'(х), что
Ah = —х, В i = —j .
Выберем теперь эти функции в качестве локальных координат
на Хп, так что относительно этой новой координатной системы
справедливо равенство
откуда следует, что
шЧх, Е) = в{<*Ла=0. F.14)
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 369
Таким образом, нулевая кривизна и нулевое кручение влекут
за собой существование таких локальных координат, относи-
относительно которых l-формы связности, вычисляемые для некото-
некоторого стационарного векторного поля ?,'(х), обращаются в нуль.
При этом следует подчеркнуть, что стационарное поле ?'(х)
играет выделенную роль в том смысле, что, задав некоторое
другое стационарное поле ц'(х), вообще говоря, нельзя утвер-
утверждать, что &hi(x,r\) обращается в нуль в координатной си-
системе, в которой выполняется F.14).
§ 7. Метрический случай
Для того чтобы приспособить развитую выше теорию к тео-
теории общих метрических пространств и, в частности, к финсле-
ровой геометрии, предположим теперь, что дополнительно к
связности на нашем многообразии задано зависящее от напра-
направлений тензорное поле типа @, 2), компоненты которого обо-
обозначаются через ghj(x,x). Это поле должно быть симметрич-
симметричным, принадлежать классу С2 и не быть сингулярным, а в
остальном может быть произвольным. Положим
Chil — — ~^7Г — Cihl G.1)
C^ = gimChml = gimCmM, G.2)
где ghi — тензор, обратный к ghj. Величины G.1) и G.2) яв-
являются компонентами тензоров типа @, 3) и A, 2) соответ-
соответственно.
В терминах коэффициентов связности Yh'k{x, x) ковариант-
ные производные от ghi задаются в виде
ghk \ ] = -^/ 2СшГ0 ,• — gihYk i — gklYklh G.3)
где мы ввели обозначение
fh...i — kx' = fh...o...k. G.4)
Найдем теперь необходимые и достаточные условия, которым
должны удовлетворять коэффициенты связности, для того
что\бы связность была метрической относительно тензорного
поля ghi, т. е. чтобы тождественно выполнялись соотношения
?**1/ = 0. G.5)
Предположим сначала, что условие G.5) выполнено. Тогда
циклическая перестановка нижних индексов h, k, j в G.3) и
370 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
последующая перегруппировка получающихся соотношений
дают
п
_ (де№ ) dgfe/ d8hk \ nir г1 л-с г1 г гМ
~ \~д^ + "л? dxi~) ~ (т °k kn °h ~ ш °''~~
- ёц (Гк'к + Гк'„) - glh (Г Д - Г*',) - gtk (F/ft - ГЛ';),
или, если мы обозначим через [hk, j] символы Кристоффеля
первого рода и применим B.18),
0 - 2 [hk, ]] - 2 (СшГ01к + Ck!l\\\ - СШТО1,) -
- пи BГД - SA'ft) - eiuS/k ~ gikS/h. G.6)
В терминах символов Кристоффеля второго рода
соотношение G.6), как легко видеть, эквивалентно соотноше-
соотношению
- iPtl^u + <VPIV* - ёГ/тСЛ„Го"т). G.7)
За исключением первого члена, правая часть в G.7) сим-
симметрична по h и k. Поэтому соотношение G.7) является по су-
существу условием на симметричную часть коэффициентов Г/Л,
что становится очевидным после рассмотрения -д-(ГА ~Ь ^А)-
Обратно, предположим, что наша связность удовлетворяет
условию G.7) для произвольного кососимметричного тензорного
поля Sh'k- После перестановки нижних индексов h и k и вычи-
вычитания получающегося соотношения из G.7) видно, что 5»'*
снова задается равенством B.18). Далее, из G.7) нетрудно
получить, что
Отсюда в свою очередь следует G.5), и поэтому мы приходим
к выводу, что G.7) является необходимым и достаточным ус-
условием того, чтобы связность была метрической в смысле G.5)
без ограничений на ее кососимметричную часть.
Однако из-за наличия членов ГУ* в правой части G.7) не-
непосредственно не очевидно, определяет ли оно однозначно
симметричную часть связности. Чтобы разобраться в этом, ум-
умножим G.7) на xh. Это дает
Го k + Со рГ0 ь — § тСо*рГо m -j- Ck рГо о = -Pft» G.8)
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 371
где для краткости мы положили
Pi = Ph'kxh, G.9)
причем величины
Р*ъ = { h' k] + 1 S^ - 1 Slm (SkPSmPk + gkpSm\) G.10)
зависят только от поля gm, его производных по координатам
и от Sh'k. Соотношение G.8) может быть записано в виде
где компоненты
Qii = № + С о1 Л ~ 8 "COhh + Ck'hx> G.12)
полностью определяются полем ghJ- и его производными по на-
направлениям. Теперь можно рассмотреть G.11) как систему из
п2 линейных уравнений для п2 величин ГУ1;. Эта система пред-
представляется в виде
ZQbTb = Pa (А=1 п2), G.13)
где сделаны следующие отождествления:
га = г» (*-«+'= ГД (s=1 „2^ GЛ4)
И
рл = рП(/-«+* = p/ft (a=\, ..., п2), G.15)
а коэффициенты в п2 X п2-матрице (Q^) определяются равен-
равенством
Далее, если матрица (Q?) не вырождена, то уравнения G.13)
можно разрешить относительно коэффициентов Г1, ..., Г",
т. е. относительно коэффициентов Го'ь . .., Го"л как функций
от тензора gh,-, его различных производных и от Sh'k- Тогда од-
однозначно определятся коэффициенты 1Ул. а после подстановки
их в правую часть G.7) однозначно определятся и коэффи-
коэффициенты Г/Л- Все это можно подытожить следующим образом:
Теорема. Для того чтобы связность была метрической
относительно данного симметричного тензорного поля ghj(x, x),
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты связности
Th!k(x, x) удовлетворяли соотношению G.7), в котором косо-
симметричная часть 2Shlk{x, x) коэффициентов Yrfkix, x) пол-
полностью произвольна. Если, кроме этого, метрический тензор
ёы (х, х) таков, что
det(QJ)^O, G.17)
372 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
где п2У^п2-матрица (Q?) задана соотношениями G.16) и G.12),
то условие G.7) полностью определяет коэффициенты связно-
связности Yh!k{x, х) через поле ghi(x, x), его первые производные по
координатам и направлениям и через Sh'k (x, х).
Рассмотрим в качестве простого приложения этой теоремы
геодезические пространства Хп, о котором будет предполагать-
предполагаться, что на нем введен метрический тензор ghi(x,x), удовлетво-
удовлетворяющий условию G.17). Пусть С: xl = xi(t)—параметриче-
xi(t)—параметрическое представление кривой класса С2, причем параметр t пока
произволен. В терминах метрической связности абсолютная
производная от ghj(x, х) вдоль С задается соотношением
2CwDxl. G.18)
Это соотношение является прямым следствием G.5), B.23) и
G.1). Длина дуги s кривой С определяется, как обычно, равен-
равенством
ds2 = ghi{x, x)dxhdx!, G.19)
где аргумент направления в ghf{x, x) относится к касательному
вектору х1 = dx'/dt к С. Это непосредственно приводит к рас-
рассмотрению экстремалей вариационной задачи, определяемой
скалярным лагранжианом L, задаваемым в виде
LHx,x) = glll(x,x)xhxi. G.20)
Этот лагранжиан положительно однороден первой степени по
своим аргументам направлений тогда и только тогда, когда
ghf(x, x) положительно однородны нулевой степени, что здесь
не предполагается. Таким образом, экстремали нашей вариа-
ционной задачи, вообще говоря, параметрически не инвариант^
ны и могут рассматриваться как геодезические пространства
Хп лишь после того, как параметр t отождествлен с длиной
дуги s.
Таким образом, мы должны прежде всего рассмотреть эк-
экстремали пространства Хп, т. е. кривые, удовлетворяющие урав-
уравнениям Эйлера — Лагранжа
где вектор Эйлера — Лагранжа Et{L) задается равенствами
EJ(L) = ^-(-^r) Щ-. G.22)
1 v ' dt \дх>) дх< '
Вектор обобщенного канонического импульса р/, отвечающий
линейному элементу (х1, х1), определяется как
p1(x,x) = L(x,x)?^-. G.23)
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 373
Всюду предполагается, что L ф 0. Согласно G.1-)- и G.20) пре-
предыдущее определение эквивалентно
Pi*=ghi*>' + Chkixhxk = goj + C0oh G.24)
так что
= L2 + Com. G.25)
Теперь из G.22) мы, как обычно, имеем
' dt \дх' ) дх1 дх1 dt \ дх>
или, если использовать G.23) и G.25),
Е, (L) х< = -jL (/Г V -L) = 4i (L"'Cooo). G.26)
Итак, скаляр L-'COoo постоянен вдоль экстремали, тогда как
для произвольной кривой С вектор Эйлера — Лагранжа, во-
вообще говоря, не является нормальным к касательному вектору
к С.
Чтобы найти явное выражение для этого вектора, заметим
прежде всего, что, согласно G.23), имеет место соотношение
dJ
и в то же время
dL _ 1 , dghk
дх1 2 дх'
Таким образом, G.22) эквивалентно
G.27)
Кроме того, из G.5) следует
, / х х = 2C0oh^o i + 2^олГо / = 2рйГ0 ;,
где для получения второго равенства мы использовали G.24).
Итак, в терминах B.18) имеем
Ph\ t о — — —^j- xx — ph (I i о — 1 о /) — phbt 0.
374 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
Следовательно, G.27) сводится к равенству
) G-28)
которое представляет вектор Эйлера — Лагранжа в терминах
абсолютных производных относительно метрической связности
от канонического импульса.
Как было отмечено выше, геодезические пространства Хп
удовлетворяют уравнениям G.21) для t = s, что, согласно
G.19), влечет за собой L = ± 1 вдоль этих кривых. Таким об-
образом, в силу G.28) геодезические характеризуются диффе-
дифференциальными уравнениями
Dpi _ „^ dxk G 9m
~ -PS^f- G-29)
Итак, в случае симметричной связности вектор канонического
импульса переносится вдоль геодезической параллельно самому
себе.
В классической дифференциальной геометрии более есте-
естественным является описание геодезических в терминах абсо»
лютной производной от касательного вектора, а не от вектора
канонического импульса, как это было сделано выше. Однако в
данном случае такая процедура не привела бы к удовлетвори-
удовлетворительным результатам. Действительно, из G.24) следует, что
в силу G.18) для произвольного параметра t
^f = \gki + 2 (Сом + Cow)] %¦ + Ж (Сад) xhxk, G.30)
и поэтому G.28) примет более громоздкий вид
§f 0. G.31)
Итак, если автопараллельная кривая определяется требова-
требованием, что она удовлетворяет дифференциальным уравнениям
^ 4f G.32)
то из G.18) следует, что вдоль таких кривых
Dghl(x,x') = 0, G.33)
тогда как
Dp, _ D
" _ ¦ ¦ _"|Г
Ds Ds
(Coo/), G.34)
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 375
и вектор Эйлера—Лагранжа таких кривых задается равен-
равенством
LE, (L) = -^ (СОоу) + />AS, V'. G.35)
Очевидно, что геодезические будут совпадать с автопараллель-
автопараллельными кривыми только при довольно специальных условиях.
В заключение кратко остановимся на случае финслерова
метрического тензора gm{x, x). По определению это предпола-
предполагает существование скалярной метрической функции F(x,x),
класса С3, положительно однородной первой степени по своим
аргументам направлений. Невырожденный метрический тензор
строится по F (х, х) согласно правилу A.3.1)
1 Я2р2 (у i\
ён,(х,х) = - d.hdkj . G.36)
При этих условиях ghj{x, x) является положительно однород-
однородным нулевой степени по своим аргументам направлений, а тен-
тензоры G.1) симметричны по своим нижним индексам и таковы,
что
"«-"ftO/ — '-'О/г/ — и> У.1 •"' /
Тогда величины G.12) сведутся к
QlhL = tfkblk + Ch!kxl G.38)
и будут обладать обратными M'il в смысле
40?» = бХ G.39)
что можно непосредственно проверить с помощью соотношений
# 6{6а-С,'*х\ G.40)
причем при этой проверке принимаются во внимание тожде-
тождества G.37). Поэтому необходимое условие G.17) удовлетво-
удовлетворяется, и, следовательно, сформулированная выше общая тео-
теорема применима к финслеровым метрикам.
Действительно, с помощью G.11), G.39) и G.40) легко по-
получить
Mlk4phl 0 m— OpOk Л 0 т = Mlk^h,
ИЛИ
Го'* == ib\bhk - C,V) P!h = Pl- СЛРо, G.41)
что является явным решением G.11). Подставим эти значения
в G.7). Тогда
гЛ = Р-н'н - (Сн'тР? + ск'тр? - gllchkmp?) +
4- ifih'fifm + CkWm - Cm'fib\) />o"\ G.42)
376 ГЛ. VIII. СВЯЗНОСТЬ И ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
где Ph и Ph!k в силу G.9) и G.10) представляют собой явные
функции от ghj, его различных первых производных и от S/-A-
Соотношения G.42) задают наиболее общие асимметричные
коэффициенты связности, являющиеся метрическими относи-
относительно данной финслеровой метрики.
Наконец, потребуем, чтобы связность была также и сим-
симметричной. Тогда соотношение G.10) указывает, что /V* яв-
являются просто символами Кристоффеля второго рода, а из
G.41) и G.42) очевидно, что при этих условиях связность
G.42) является не чем иным, как евклидовой связностью
Э. Картана.
Г л а в а IX
ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИЙ
С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ НАПРАВЛЕНИЙ СВЯЗНОСТЯМИ
Общая теория кривизны многообразий с зависящей от на-
направлений связностью может непосредственно применяться
к подпространствам таких многообразий. Этим вопросам и бу-
будет посвящена настоящая глава. Последующие рассмотрения
существенно опираются на результаты гл. VIII. О связности
не делается никаких предположений, кроме тех, которые были
введены в предыдущей главе. При этом обнаруживается заме-
замечательный факт, что почти полностью сохраняются основные
черты стандартной теории подпространств финслерова про-
пространства.
В § 1 обсуждаются некоторые основные аспекты теории
подпространств. При этом предполагается лишь, что на рас-
рассматриваемом подпространстве задана зависящая от направ-
направлений связность, которая приводит к ковариантному дифферен-
дифференцированию тензоров подпространства, включающему связности
как подпространства, так и объемлющего многообразия. По-
Поскольку любое геометрическое описание подпространств долж-
должно обязательно включать понятие нормальности, в § 2 вводится
метрика в смысле гл. VIII, § 7, в терминах которой определяет-
определяется скалярное произведение, а следовательно, и ортогональность.
Требование равенства проекции ковариантной производной
произвольного касательного векторного поля на подпрост-
подпространство и ковариантной производной этого поля относитель-
относительно связности подпространства однозначно определяет послед-
последнюю связность. Все дальнейшее изложение основывается на
этой так называемой индуцированной связности. Кроме того,
индуцированная связность приводит к однозначно определен-
определенному нормальному векторному полю, в терминах которого без
труда получаются аналоги стандартных теорем классической
дифференциальной геометрии подпространств. § 3 посвящен
довольно подробному описанию этих нормальных векторных
полей, с акцентом на свойства их ковариантных производных.
Рассматриваемая теория имеет наиболее простую структуру
в случае, когда подпространство оказывается гиперповерхно-
гиперповерхностью. Этот случай описывается в § 4, в заключение которого
выводятся аналоги классических уравнений Гаусса и Кдцацци,
378 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Неметрическая теория
Пусть Хп — дифференцируемое многообразие. Система из п
уравнений
xi = xi(ua) (/=1, ..., п; а=1, ..., т; т<п), A.1)
которые выражают п локальных координат некоторой точки Р
многообразия Х„ через т параметров иа, является аналитиче-
аналитическим представлением /тг-мерного подпространства многообра-
многообразия Х„. Мы будем предполагать, что функции х> (иа) принад-
принадлежат классу С3 и что ранг матрицы их первых производных
В'а = дх''/диа A.2)
является максимальным, а именно, равен т. Ясно, что опреде-
определяемое с помощью A.1) подпространство само является диф-
дифференцируемым многообразием, которое будет обозначаться че-
через Хт; тогда иа могут рассматриваться как т параметров,
определяющих локальную координатную систему на Хт ').
Дополнительно к координатным преобразованиям х1 =
= 'x'(xh) на Хп рассмотрим также допустимые параметриче-
параметрические преобразования па = па(Ф) на Хт, которые предпола-
предполагаются обратимыми и принадлежащими классу С2. Это вы-
вынуждает нас рассматривать поля геометрических объектов,
имеющих различные законы преобразования относительно
этих обоих преобразований координат. Например, легко про-
проверяется, что так называемые проекционные множители A.2)
имеют тензорный тип A, 0) относительно координатных пре-
преобразований на Хп и тип @, 1) относительно координатных
преобразований на Хт. Для краткости будем обозначать тен-
тензорный тип таких полей записью A, 0; 0, 1); отсюда ясно оп-
определение тензорного поля типа (а, Ь; с, d).
О любом элементе касательного пространства Тт(Р) к про-
пространству Хт в точке Р говорят, что он касателен к Хт. Если обо-
обозначить через Ua компоненты этого элемента по отношению к па-
параметрам иа пространства Хт, то его компоненты по отношению
к координатам х1' пространства Хп будут задаваться формулами
Х! = В'аиа. A.3)
Отметим, что каждое Тт{Р) является m-мерным линейным
подпространством пространства Тп(Р), натянутым на m ли-
линейно независимых векторов В'а. В частности,
dx' = B'adua, A.4)
что непосредственно видно из A.1).
') Ниже будет предполагаться, что греческие индексы пробегают значения
от 1 до пг, а латинские — значения от 1 до п. Правило суммирования по верх-
верхним и нижним индексам применяется к обоим наборам индексов.
§ 1. НЕМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 379
Для того чтобы определить абсолютные или ковариантные
производные тензорных полей типа (а, Ь; с, d), очевидно, нуж-
нужна, в дополнение к связности на Х„, связность на Хт. Она оп-
определяется в терминах набора из т2 зависящих от направле-
направлений 1-форм на Хт; эти формы будут обозначаться через
п(,а(и, ы), где подразумевается, что и, й описывают зависимость
от координатных точек и от направлений соответственно. Пред-
Предположим, что эти 1-формы связности на Хт- удовлетворяют
точно тем же условиям, которые в гл. VIII, § 2 накладывались
на 1-формы связности сол^х, х) пространства Хп, а именно:
(i) они являются элементами кокасательных пространств
Т'тФ) пространства Хт, т. е. они допускают представление вида
A.5)
(ii) коэффициенты Грау(«, ы) принадлежат классу С3 по
всем своим аргументам;
(iii) при допустимом преобразовании вида па = па(и$)
1-формы п$а{и, и) преобразуются согласно
йЬ1 = Ыщх-Ь\пха, A.6)
где
Мы пока не предполагаем никакой априорной связи между
1-формами связности (ah' на Хп и п$а на Хт; последние пред-
предполагаются произвольными, за исключением условий (i), (ii)
и (iii), оговоренных выше.
С помощью этих 1-форм связности нетрудно определить ко-
ковариантные производные от тензорных полей типа (а, Ь; с, d).
Например, пусть Лц обозначает набор из тп р-форм на Хт
(О ^ р ^ т), представимых в виде
Ala = A'a&l...tpdu^ Л ... Adu\ A.8)
где коэффициенты являются компонентами тензорного поля
типа A, 0; р-\-1). Тогда абсолютная внешняя производная от
такого поля определяется равенством
DA!a = dA!a - я/ ЛЛ{ + &Н1 Л К- A.9)
Исходя из условий (i) — (iii), нетрудно определить 2-формы
кривизны
аналогично тому, как это было сделано в § 2 гл. VIII. Хотя
эти формы имеют тип A, 1; 0, 0), они не содержатся в про-
пространствах А~р(Хт) 2-форм на Хт в точке Р. Поэтому необхо-
380 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИИ
димо разложение этих форм
в котором
Пра =—гг /Cpaev dus Л duy A-12)
является элементом из Ар(Хт) и
а а дГ$ау
Яа е = 5?л, = —^— du , A.13)
где
Г^^Хе - ГЛГ3\ (U4)
обозначает тензор кривизны пространства Хт. Как и ранее,
можно показать, что прямым следствием A.10) являются то-
тождества Бианки
р = 0 A.15)
и что повторное внешнее дифференцирование A.9) дает
DiDA'aj^UH1 ЛАна-Па* АА>&) A.16)
где Qh1 — 2-формы кривизны (8.2.5) на Хп.
2-форма кручения определяется, как обычно, равенством
na = -D(dua), A.17)
которое может быть представлено в виде
na = ±Se%due Adu\ A.18)
где
\v = ^m "v»1 A-19)
Легко проверяется, что
Ш^-П^ЛЛА A.20)
Пусть Т1'.::1'.\'.(и, и) обозначает компоненты зависящего от
направлений тензорного поля типа (а, Ь; с, d) на Хт. Посколь-
Поскольку по определению
Du*- = duK + rQ\updu\ A.21)
то мы имеем
§ 1. НЕМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 381
В соответствии с этим определим ковариантную производную,
полагая
г/...а... _ alh... р... alh ... р ... г я, р ¦
+ г.\ П::: I:;: - гДП::: ?а::: + (гЛП::: I::. - гДг{::: l:::) в*.
A.22)
Это выражение представляет собой тензорное поле типа
(а, Ь; с, d -\- 1). Связь с абсолютной ковариантной производной
от Т{ '.','. р.'.'.' описывается формулой
Qji ... а ...
:I::; = т{:::g:::лyduy + h-^-du*; A.23)
которая будет часто использоваться в дальнейшем.
Применим теперь полученные выше формулы к проекцион-
проекционным множителям A.2). Положим
Яа/р = М||р. A.24)
Поскольку В'а не зависит от направлений, то, во-первых, из
A.22) следует
ЯЛ = ?Л - ЯеГ Д + гЛ-ВаЯр, A.25)
где
и, во-вторых, из A.23) следует, что
Н'а = Но,\ du$ = dB'a - В'елае + юА'в2 = DB!a. A.27)
1-формам Яц в A.8) соответствует случай р = 1. Поэтому,
согласно A.16),
= В^Л/-4ПаР. A.28)
С другой стороны, из A.27) в силу A.17) и A.23) следует
DHl == (DHJt) Л dup + H
= - Я.Д „ v rfu3 Л duy - ^^- dub A Dux - Ha\ll\ A.29)
так что сравнение с A.28) дает
яЛц, а"? Л rfuY + ЯДПР + ^^ rfup Л Dux = В^Пар - BjQfty.
A.30)
Это уравнение представляет собой фундаментальное соот-
соотношение между 2*формами кривизны пространств Хп и Хт со^
382 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИИ
ответственно, прямо следующее из одного лишь факта вложе-
вложения Хт в Х„. Поэтому мы рассмотрим эту формулу более под-
подробно. Для этой цели заметим, что A.3), A.4) влекут за собой
х1 = В'айа, A.31)
так что
j^ Bl A.32)
ди
Поэтому дифференцирование A.25) попадает
в + ВВф
или, если использовать A.13) и (8.3.10),
¦^Г d/ = - в'ряЛ + m^iBaBl A.33)
Кроме того, из A.31) мы имеем
Dxl = (DBl)ul
а следовательно, согласно A.27),
A.34)
Подставим теперь A.11), (8.3.17) и A.33) в уравнение A.30).
После некоторого упрощения получается
яЛ^^л^ + яДгг6-
= BiK* - BhaQh! + BWi Л {Dx - B{Du%),
или, если мы используем A.34),
#Л IIv du& Л duy + ЯаурПр = В^п;в - Вапн1 + bWi Л {Н$й*).
A.35)
Это и есть искомая формула. Для дальнейших целей мы пред-
представим этот результат в компонентной форме, что легко де-
делается путем подстановки в A.35) соотношений A.18), A.12),
(8.2.13), (8.3.10) и A.27). С использованием обозначения
уравнение A.35) записывается в виде1)
у
^н(%1*1) (U37)
а р|1ч — На vllP 4" На eSg у — Kt hkBaB$By
¦) Эта формула дана в работе Рун да [18], с. 230, где, однако, она полу-
получена только для гиперповерхностей, которые удовлетворяют стандартным
предположениям финслеровой геометрии, -
§ 2. МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 383
Это уравнение представляет собой самое общее соотноше-
соотношение между тензорами кривизны подпространства Хт и про-
пространства вложения Хп. Поэтому из него следуют обобщения
уравнений Гаусса и Кодацци классической теории подпро-
подпространств. Следует еще раз подчеркнуть, что эта формула не
зависит от какого-либо наперед заданного соотношения ме-
между связностями пространств Х„ и Х,п.
§ 2. Метрическая теория
Выкладки, проведенные в предыдущем параграфе, имели
преимущественно аналитическую природу. Теория принимает
гораздо более геометрический характер после того, как на мно-
многообразии задана метрика. Это происходит потому, что зада-
задание метрики позволяет ввести векторные поля, нормальные к
подпространству Хт. При этом также возникают естественные
соотношения между соответствующими 1-формами связности
пространств Хп и Хт-
Поэтому будем считать, что на Х„ задана метрика с по-
помощью зависящего от направлений метрического тензора типа
(О, 2), компоненты которого обозначаются через ghj{x, х). Как
и в § 7 гл. VIII, предполагается, что этот тензор произволен,
за исключением условий невырожденности, симметричности и
принадлежности классу С2 по всем своим 2п аргументам. Из
A.3) следует, что для того, чтобы длина касательного век-
вектора X' принимала одинаковые значения относительно Хп и
Хт, необходимо, чтобы метрический тензор пространства Хт
задавался равенством
ga&(u,u) = ghl(x,x)B^B!&, B.1)
где аргументы направлений находятся в соответствии с A.31).
Таким О)бразом, по заданной метрике на Хп однозначно опре-
определяется так называемая индуцированная метрика на Хт. Од-
Однако условия, наложенные на индуцированную метрику, недо-
недостаточны для того, чтобы гарантировать неравенство det(gap)=^=
Ф 0; поскольку нам понадобится обратный тензор ga$ к gap,
мы вынуждены ограничиться такими направлениями на Хт,
для которых это неравенство выполняется. При этих условиях
мы можем определить зависящий от направлений тензор типа
@, 1; 1,0)
АЛ- B.2)
Полезность введенного тензора иллюстрирует тождество
В/4 = ^, B.3)
прямо следующее из B.1).
384 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИЙ
Рассмотрим теперь векторное поле Х'(и, и), касательное
к Хт в смысле A.3). Из формул мы имеем в обозначениях
A.26)
dX! = BjfiUa dub + B!adUa. B.4)
Кроме того, в терминах соответствующих 1-форм кривизны на
Хт мы можем написать
DX! = dX1 + щ'Хн B.5)
и
DUa = dUa + яра?/р. B.6)
Объединяя эти соотношения с B.4), получаем
DX1 - BlDUa = BJaUa dwp - Bln&aU* - mlXh,
или, если мы используем A.3) и A.27),
DX1 = B'aDUa + H'aUa. B.7)
Эта формула описывает связь между абсолютными произ-
производными от X1' и Ua соответственно; она справедлива для про-
произвольных 1-форм связности вХ„и Хт.
Обратим внимание на то, что первое слагаемое в правой
части B.7) представляет собой вектор, касательный к Хт, так
что он был бы касательной проекцией дифференциала DX1',
если второе слагаемое было бы нормальным к Хт. Поэтому
будем считать, что 1-формы ща на Хт таковы, что вектор Н>
нормален к пространству Хт, т. е.
ghi(x,*)Hia(u,u)Bb = O B.8)
для всех аргументов направлений х' и йк, связанных соотно-
соотношением A.31). Эта формулировка естественна с геометриче-
геометрической точки зрения, так как по построению проекционные мно-
множители Ва порождают подпространство Тт(Р) пространства
Тп(Р), тогда как понятие ортогональности определяется, как
обычно, в терминах скалярного произведения, ассоциирован-
ассоциированного с заданной метрикой.
Если мы подставим A.27) в B.8) и учтем B.1), мы полу-
получим
В силу B.2) это эквивалентно
[ !1\ B.10)
откуда следует, что сформулированное выше условие одно-
однозначно определяет l-формы связности яр™ на Хт по {-формам
связности (?>h> на Хп. По очевидным .соображениям, результи-
§ 2. МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 385
рующая связность называется индуцированной связностью.
Наши дальнейшие рассмотрения будут целиком основываться
на этой связности.
Соотношение B.8) влечет за собой много важных след-
следствий. Во-первых, мы видим, что из определения B.2) прямо
следует
так что B.8) эквивалентно
В"Я^ = 0. B.12)
Во-вторых, A.27) показывает, что в силу B.8)
№ = 0 B.13)
для всех значений нижних индексов а, [3, у. Поэтому каждый
из ш2 векторов пространства Хп с компонентами На<'$ норма-
нормален Хт в смысле B.8). Это сразу же приводит к однозначно
определенному вектору единичной нормали к Хт, именно:
N1 (и, и) = цЯ«'р (и, и) gafi (и, и), B.14)
где \х, — скалярный множитель, введение которого объясняется
требованием
ghl(x, x)Nh(u, и) N!(u, и) = ± 1, B.15)
причем подразумевается, что из наших рассмотрений должна
быть исключена любая точка из Хт, для которой ц = 0. По-
Положим
N, (и,й) = gM (х, х) Nh (и, и), B.16)
так что B.15) может быть записано в виде
N,N' = ±\. B.17)
Тогда из B.14) следует, что
± 1 = цВД/ря. B.18)
Это подсказывает нам определение коэффициентов второй
фундаментальной формы пространства Хт посредством
QH («,«) = Nj (и, и) Я^р {и, и), B.19)
так что B.18) может быть представлено в виде
. B.20)
Из этого соотношения находится скалярный множитель у Нор-
Нормаль к Хт, определяемая с помощью B.14) и B.20), назы*
13 X. Рунд
386 ГЛ. tX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИЙ
вается выделенной единичной нормалью1). Дополнительно к
B.15) свойства этого вектора проявляются в следующих соот-
соотношениях:
tf,B? = SA/JVfcBi = O, B.21)
что следует прямо из B.13), B.14) и B.16), а также
N'Bf = 0. B.22)
Пусть кривая С на Хт задана уравнениями ua — ua(s), где
s — натуральный параметр, определяемый формулой
ds2 = ga&(u,u')duadu?, B.23)
п и' = dua/ds — касательный к С вектор. Если мы положим
в B.7) Ua = u'a, отождествляя на мгновение аргументы на-
направлений в B.7) с и'а, то с помощью A.27) получится
Dx'1
Ds
B.24)
Равенство B.24) задает разложение вектора кривизны Dx''/Ds
кривой С, рассматриваемой как кривая пространства Х„, на
нормальную и касательную компоненты. В частности, из B.19)
и B.21) следует, что
Nl°?- = &a/au*. B.25)
Поэтому для всех кривых подпространства Хт, имеющих об-
общую касательную и'а в некоторой точке Р из Хт, стоящее в
правой части этого выражения скалярное произведение имеет
одно и то же значение: очевидно, это является обобщением тео-
теоремы Мюснера классической теории подпространств. Описан-
Описанное явление, между прочим, оправдывает терминологию «вто-
«вторая квадратичная форма» для B.19). Более того, если кривая
С оказывается автопараллельной кривой пространства Хт, т. е.
если она удовлетворяет дифференциальным уравнениямDu'a—
= 0, то уравнение B.24) сводится к
Dx'l , „ »
J±Z — W 'all' Ы'Р (9 9Р,\
Ds л а аи и . \Z.ZO)
Таким образом, вектор кривизны автопараллельной кривой
пространства Хт, рассматриваемой как кривая пространства
Хп, является нормальным к Хп. Ясно, что это утверждение пред-
представляет собой аналог теоремы классической теории поверх-
') Эта нормаль введена в работе Рунда [22] для подпространств рима-
новых многообразий; однако очевидно, что польза, таких нормалей не огра-
ограничивается этим случаем.
§ 2. МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 387
ностей, утверждающей, что главная нормаль геодезической
кривой поверхности совпадает по направлению с нормалью
к поверхности.
Обратимся к тождеству A.37). При умножении его на N/
с помощью B.21) и B.19) получается
N/ (ЯД ,i v ~ #Лц э) + адз\ = N,Ki'hkBlaB^ +
+ Ni^Bha(BlHQly-BkyHu\), B.27)
. что, очевидно, является обобщением уравнения Кодацци. Ана-
Аналогично после умножения A.37) на gh,B^ и учета соотношений
C.1) и B.13) получается
^ ~ ^ЖД B.28)
где мы положили
Kmk = ghpKiPlk B.29)
и
V B-30)
Ясно, что соотношение B.28) представляет собой обобщение
уравнения Гаусса.
Отметим, что несколько громоздкий вид уравнений B.27)
и B.28) является, далеко не в самую последнюю очередь, след-
следствием того факта, что мы рассматриваем очень общую ситуа-
ситуацию. В дальнейшем мы увидим, что последовательное введе-
введение дополнительных условий позволяет значительно упростить
эти уравнения.
Соотношение B.21) позволяет надеяться, что левая часть
в B.28) представляется в более удобном виде в случае, когда
имеет место аналог леммы Риччи; Поэтому мы сейчас вычис-
вычислим ковариантную производную от ghi, т. е.
ёщ „ е = "^Г - |[г 1\ V - яыГДв* - gtiVhlkBl B-31)
Здесь
B.32)
где на втором шаге мы использовали A.31). Далее, соотноше-
соотношение B.10) эквивалентно
ГД = В) (By1, + Гр'ьВ№), B.33)
13*
388 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИЙ
так что
дй
5—
й
1 v tU = — \BiBi) \Bq e+lO fc?>6/i
или, в терминах (8.7.1) и A.25),
дй
С помощью B.2) и A.25) это равенство может быть представ-
представлено в виде
It» =2LhipBhg giqBv/iae-\-2LhipBig giqBBl 0
Л vt» 2LhipBhg giqvae.\2LhipBig giqvB^l 0 e»
где первое слагаемое в правой части обращается в нуль вслед-
вследствие B.13), тогда как применение B.1) ко второму члену сво^
дит это равенство к
Ц^ТчКй" = 2ChiiB\r?t. B.34)
Подстановка его вместе с B.32) в B.31) дает
или, в терминах определения (8.7.3),
^,11 в = §н,, »^ + 2СЛ/г (Д0'в
С помощью A.25) это равенство представляется в виде
2Ch!lH0le, B.35)
что описывает связь между соответствующими ковариантными
производными метрического тензора относительно связностей
пространств Хщ и Хп.
Формула B.35) является вполне общей, так как не предпо-
предполагается никаких соотношений между метрическим тензором
и связностью пространства Хп. Предположим теперь, что связ-
связность является метрической, т. е. что
emk = o. B.З6)
Это возможно на основании теоремы из § 7 гл. VIII. При этих
условиях B.35) сводится к простому соотношению
*й/.е=2СЛ//Я0'в. B.37)
Отсюда получается ряд следствий об индуцированном метри-
метрическом тензоре B.1) пространства Хт. Действительно, мы
§ 3. СВОЙСТВА ВЫДЕЛЕННОЙ НОРМАЛИ 389
имеем
? = 8 В"Л + 8В Л + 8В*Л В е-
= 8к, „ гВ"Л + 8н,Ва В Л +
Подставим сюда B.37) и A.24) и затем применим B.13) к
двум последним слагаемым в правой части. Мы получим фор-
формулу
ёа,и = 2СнЛЧНо\ B-38)
для ковариантной производной индуцированного метрического
тензора.
Этот результат может быть использован для того, чтобы
представить уравнение B.28) в несколько более удобном виде.
Ковариантное дифференцирование B.13) дает
8н,,, А*ЯЛ + ShPU ,ДЛ + ?А/Wa ll v = °>
так что, согласно B.37) и A.24), справедливо соотношение
а p>hu I __ _ or f>hj-r I и j a if h и j
Подстановка этого соотношения в B.28) дает искомое уравне-
уравнение
8hi {"*\HJy ~ * .WO = «„чь
дТ '
+ ^tf
B-39)
§ 3. Свойства выделенной единичной нормали
В стандартной теории /л-мерных подпространств /г-мерного
дифференцируемого многообразия базисом ортогонального до-
дополнения к касательному пространству Тт(Хп) может служить
произвольный набор из п — т линейно независимых векторов,
поскольку не существует естественного способа для однознач-
однозначного выбора такого базиса, за исключением случая т = п— 1.
Однако из результатов предыдущего параграфа очевидно, что
можно достичь существенного прогресса путем использования
выделенного вектора единичной нормали, определенного соот-
соотношениями B.14) и B.15). Поэтому в настоящем параграфе
мы исследуем свойства этого вектора.
Тождество B.3) подсказывает определение тензорного поля
типа A, 1; 0, 0) на подпространстве Хт. Положим
C.1)
390 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИЙ
Из соотношений ортогональности B.21) и B.22) немедленно
следуют свойства
N'hBa = 0, C.2)
#?В/=0, C.3)
i = Nh, C.4)
= N1. C.5)
Кроме того, из B.3) и C.1) имеем
? '& wL (з.б)
т. е. матрица (Nl) является идемпотентной.
Это в свою очередь подсказывает определение тензора
М{ = Ni^f N!Nh, C.7)
где знак (+) выбирается в соответствии со знаком (±) в
B.17). Из B.21), B.22), C.2) и C.3) очевидно, что
M'hBa = 0, C.8)
М[В* = О. C.9)
В то же время, согласно B.17), C.4) и C.5), мы имеем
UA 0, (ЗЛО)
= 0. C.11)
Снова используя C.4) — C.6) и B.17), легко видеть, что
MkMk = Mi C.12)
так что матрица (Mi) также идемпотентна. Соотношения C.8)
и C.10) показывают, что п векторов м{, ..., М'п лежат в
(п — т —1) -мерном ортогональном дополнении (т + 1)-мер-
1)-мерного пространства, натянутого на т + 1 векторов В'а, N*. По-
Поэтому ранг матрицы (М{) равен самое большее (п — т—1).
Для дальнейшего заметим, что равенство C.12) имеет своим
следствием
(в? - м ?) (в? - лгё) = в? - М, C.13)
т. е. матрица {bl — Mb) также идемпотетна и, следовательно,
вырождена.
Рассмотрим теперь ковариантную производную от единич-
единичной нормали. К,овариантное дифференцирование B.22) дает
§ 3. СВОЙСТВА ВЫДЕЛЕННОЙ НОРМАЛИ 391
так что в силу C.1) справедливо соотношение
N{y(fi'}-M'}) = -NlB^iyB^±NhNlNU. C.14)
Для того чтобы упростить последнее слагаемое в правой части
C.14), заметим, что B.15) и B.37) дают
NtNl у = —U* i yN'Nk = - c/*W'tf*- C-15)
Теперь нам понадобится ковариантная производная от 5™. Из
B.2) и A.24) следует
В1i v = Л &Л + *"*/*, X + gaE§lhHE\,
где
л-ае _ рЪ
ё || Y S
Таким образом, согласно B.2),
что дает
В Л, Y = gm (gih , vBe - ^ , vS/ + 8,hHB\). C.16)
Кроме того, из B.37) и B.38) мы имеем
(б* - В*В^) = 2СшВ*еМ*Н0'г C.17)
где на последнем шаге мы использовали C.1). Итак, C.16)
принимает вид
BarH = gaZ{gthHe\ + 2СШВХНО\). C.18)
В частности, с помощью B.19) и C.5) получается
^4nv = /Uv + 2gatChklBiNkHQ\. C.19)
Наконец, это выражение вместе с C.15) подставляется в C.14).
Это дает искомое соотношение
Н[ у (б? - Ml) = ~ Bhagae [QEY + 2CpklBp&NhH0ly] =F
^Nh[CpklNpNkHoly]. C.20)
В силу замечания, следующего за C.13), ясно, что это урав-
уравнение невозможно разрешить относительно yVj[Y. Однако это
явление никоим образом не связано с тем, что мы рассматри-
рассматриваем здесь метрику финслерова типа; важным является лишь
тот факт, что коразмерность подпространства Хт не предпола-
предполагается равной единице. Поэтому C.20) должно рассматривать-
рассматриваться просто как система дифференциальных уравнений, которым
удовлетворяет единичная нормаль.
392 ГЛ. IX. ПОДПРОСТРАНСТВА МНОГООБРАЗИИ
§ 4. Гиперповерхности
Формулы предыдущего параграфа принимают гораздо бо-
более простой вид в случае,' когда рассматриваемое подпростран-
подпространство является гиперповерхностью, т. е. когда т = «—1. Эти
упрощения проистекают главным образом из того, что в ука-
указанном случае можно считать ранг матрицы (в„) равным п— 1,
что и будет предполагаться в настоящем параграфе.
Тогда уравнения л;В^=0 обладают решением, которое од-
однозначно определяется с точностью до скалярного множителя.
(Действительно, поскольку В'а не зависят от аргументов на-
направлений ыа, то это верно также и для решений л/; однако
коль скоро накладывается нормирующее условие, использую-
использующее метрику, то немедленно возникает зависимость от направ-
направлений.) В частности, из B.13) и B.21) следует, что величины
#а'р, рассматриваемые как векторы в Хп, имеют общее напра-
направление, именно, направление единичной нормали Л"'. Следова-
Следовательно, мы можем положить
С помощью B.19) и B.17) отсюда можно вывести
"'ар == N]tia g = ± [Лар,
в результате чего мы имеем
Яо'р = ±?2врЛГ'. D.1)
Кроме того, из замечаний, следующих за C.12), при т =
= п — 1 вытекает тождество
М = 0, - D.2)
так как при этих условиях векторы N1, В'а порождают все ка-
касательные пространства многообразия Х„. Теперь из C.7) сле-
следует
Н = ± N'Nh,
так что, согласно C.1),
BiBl^bi^FN'Nh. D.3)
Знаки в этих равенствах соответствуют выбору знаков в
NjN' = ± 1.
После подстановки D.1) и D.2) в C.20) мы получим ра-
равенство
iVf, Y = - B>agae [QeY ± 2ChklB':NkNlQoy] - N1 [ChkiNhNkNlQOyl D.4)
которое представляет собой разложение ковариантной произ-
производной от единичной нормали к Хп-Х на касательную и нор-
нормальную компоненты.
§ 4. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ 393
Ясно, что большинство соотношений предыдущих парагра-
параграфов может быть значительно упрощено на основе этих след-
следствий. Наиболее важные из этих соотношений касаются обоб-
обобщений уравнений Гаусса и Кодацци, к которым мы теперь и
обратимся. С этой целью заметим, что, согласно D.1), спра-
справедливо равенство
Hjft || у = ± (йар II yN' -f- йа|3 || у).
так что, согласно B.17),
W/ЯЛ II Y = Оа|» II У ± й«3 (NM у). D. 5)
Кроме того, из D.4), B.21) и B.17) мы имеем
N,N{ у = =F ChkiNhNkNlQOy, D.6)
и поэтому D.5) принимает вид
^/Я Л и у = Qap л y - ChkiNkNkN!Qa&QOy. D.7)
Соотношение D.7) подставляется в B.27), что дает
Qap i| Y - &ау II Р + ChkiNhNkNl (QaYQOp -
№ - QaeVv + Ni ~r Bha {B^Hoy - BkyHo&). D.8)
Это соотношение представляет собой обобщение уравнений Ко-
Кодацци для гиперповерхностей.
Наконец, после подстановки D.1) в B.39) и некоторых уп-
упрощений, использующих равенство B.15), мы получим
D-9)
Соотношение D.9) задает представление тензора индуци-
индуцированной кривизны гиперповерхности Хп-\ через коэффициен-
коэффициенты второй фундаментальной формы и тензор кривизны объем-
объемлющего пространства Хп- Вследствие этого соотношение D.9)
является аналогом уравнения Гаусса классической теории по-
поверхностей ').
') Формулы D.8) и D.9) почти совпадают с соответствующими форму-
формулами Рунда [18] для гиперповерхностей в стандартной теории финслеровых
пространств. Соответствующие уравнения для внутренних связностей полу-
получены Ру н д о м [19].
Приложение
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К сожалению, в рамках настоящей монографии невозможно
дать полный о>бзор разнообразных вопросов финслеровой гео-
геометрии. Поэтому мы просто перечислим их под специальными
заголовками и укажем соответствующую литературу. Разумеет-
Разумеется, этот список не охватывает всех возможных обобщений
финслеровой геометрии, изученных за прошедшие тридцать
лет.
1. Современные обзорные статьи.
Буземан [7]; Голаб [12]; Гёльдер [1]; первая из
них является исключительно ярким обзором буземановского
подхода к финслеровой геометрии. Более современная и более
охватывающая трактовка этого подхода содержится в книге
Буземана [10] ')¦
2. Финслеровы пространства с метрическими функциями
специального вида.
Следует обратить внимание на то, что метрические функ-
функции, изученные нижеперечисленными авторами, не всегда удо-
удовлетворяют условиям В и С из § 1 гл. I, так что рассматри-
рассматриваемые пространства не всегда являются финслеровыми про-
пространствами или пространствами Минковского, если строго
следовать определениям из гл. I.
Деленс и Девисм [1], Девисм [1], [2] рассматри-
рассматривали метрическую функцию вида
F (х', у', z') = [(xj + (y'f + (г'K - Зх'у'г']1'3. A)
Серия статей Хумберта [1] — [5] посвящена изучению
свойств метрической функции
F (*', У') = К*'K + (У'?]Ш- B)
Результаты этого изучения позволяют получить определенные
теоремы о плоских алгебраических кривых. Более общая дву-
двумерная метрика типа
i,a2 ...ap Md* 'dx * "• dx "] C)
') См. также новую книгу Буземана [14]. — Прим. перев.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 395
с р 5= 3 (ось ..., оср = 1, 2) подробно изучалась Л ибером
[1], который показал, что можно определить линейную аф-
аффинную связность с параметрами, зависящими только от то-
точек многообразия (и не зависящими от касательных векто-
векторов).
М о о р [3] рассматривает двумерную финслерову метриче-
метрическую функцию вида F = f/g, где
f=?ak{x, y)x"-ki)k D)
Da)
Работа М о о p a [7] посвящена частному случаю р = 4 формы
C), однако между методами и результатами его работы и ра-
работы Л ибера [1] имеется лишь небольшое сходство. Виг-
нер [1], [3] рассматривает случай р = 3 формы C) и обоб-
обобщает результаты с двумерного случая на трехмерный.
Финслеровы пространства, инварианты которых обладают
специальными наперед заданными свойствами, обсуждаются в
ра,ботах: Моор [6]; Нобухара и Нагаи [1]; Тахибана
[1]; Врона [1].
3. Неголономные пространства.
Здесь мы приведем список статей о неголономных подпро-
подпространствах финслерова пространства, включая случай соб-
собственно неголономных пространств. За соответствующей ли-
литературой для римановых и так называемых меримановых про-
пространств читатель отсылается к Схоутену [1], а литература
о проблеме "Лагранжа в вариационном исчислении (которая
тесно связана с теорией неголономных пространств) дана Ка-
ратеодори [1]. Поэтому эту литературу мы приводить не
будем и ограничимся следующей: Хомбу [3]; X,осокава
[2]; Кацурада [1], [3]; Макфарлан [1]; Рунд [12] —
[14]; Вагнер [3], [6], [8], [9], [11], [12], [14]; Вундхай-
лер [1].
4. Интегральная геометрия.
Фундаментальные аспекты интегральной геометрии на финс-
леровой основе описаны Бляшке [5] и Оуэнсом [1].
5. «Обобщенные вариационные» пространства.
Интересное прямое обобщение идеи финслерова простран-
пространства принадлежит Лихнеровичу [2] — [5]. Эти простран-
пространства основываются на неголономной вариационной задаче для
396 ПРИЛОЖЕНИЕ
интеграла типа
Ui
] = ^ н [Fщ, х1 (и), х1 (и)] du,
где
и
>[xf(v), x'(v)]dv.
Здесь функции Я и со однородны первой степени по х1. В та-
таких пространствах могут быть определены параметры связно-
связности, ведущие к параллельному переносу и к теории кривизны.
Определение обобщенных вариационных пространств естествен-
естественно появляется при изучении неконсервативных динамических
систем.
6. Бесконечномерные финслеровы пространства.
Различные бесконечномерные пространства изучаются
Голдстайном [1] с точки зрения вариационного исчисле-
исчисления. Более общий подход принадлежит Лаугвицу [5]; он
связан с результатами Ароншайна [1]. Можно установить
некоторую связь между этими методами и методами А. Д. Ми-
чела (в библиографии не цитируется). Тот факт, что про-
пространство Минковского является конечномерным банаховым
пространством, ясно указывает на возможность введения беско-
бесконечномерных финслеровых пространств.
7. Дальнейшие обобщения финслеровых пространств: про-
пространства Картана, пространства Кавагути.
Полная библиография статей о пространствах Картана п
Кавагути и их обобщениях, включающая публикации вплоть
до 1950 г., дана X. Шубертом и опубликована в качестве при-
приложения к изданию диссертации Финслера [1].
8. Применение методов метрической дифференциальной гео-
геометрии в теоретической физике.
Несколько предпринятых в литературе попыток применить
описанные в этой монографии методы в теоретической физике
подают надежды на возрастание интереса к таким приложе-
приложениям. Эти надежды подтверждает современный сборник статей
различных авторов, озаглавленный «Memoirs of the unifying
study of basic problems in engineering sciences by means of geo-
geometry», v. I. — Tokyo, 1955. Мы перечислим следующие статьи,
названия которых указывают, к какому разделу теоретиче-
теоретической физики они относятся: Элиопулос [1]; Фудзи-
нака [1]; Хорват и Моор [1], [2]; Кондо [1]; Хосо-
кава [4]; Левашов [1]; Лихнерович [1], [4], [5];
Лихнерович и Тири [1]; Пил [1]; Рунд [2], [12] —
[14]; Сегре [1] (эта статья вместе с работой Бляшке [6]
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 397
указывает на интересные применения в геометрической оптике);
Синг [4]; Теодореско [1J — [3]; Вундхайлер [1].
Снова следует заметить, что очень часто метрическая функ-
функция, отождествляемая с однородным лагранжианом динамиче-
динамической системы, не удовлетворяет условиям В и С из § 1 гл. I.
Вследствие нарушения условия С могут появляться сингуляр-
сингулярности; их часто игнорируют, однако, по-видимому, изучение их
в контексте физических приложений должно быть полезным.
Большой ') новый материал по специальным финслеровым
пространствам читатель найдет в добавлении I к этой книге,
написанном Г. С. Асановым.
Относительно п. 8 выше следует указать на добавление II,
также написанное Г. С. Асановым. Исследование Б и м а [1] —
[4] и Б и м а и Кишты [1] финслеровых пространств с инде-
индефинитной метрикой может быть интересным для дальнейших
разработок релятивистских приложений теории. В монографии
Рун да и Беаре [1] изучаются свойства скалярных плотно-
плотностей (лагранжианов) вида
3? = S (х ; ghkm, ghk,l', ghk, lm'> Chkh ^hkUm\ Cfiklm),
где
_ dghk _ d2ghk ¦
ghk, I - -JJ- • Shk, lm — dxl dxtn •
p hkl p hkl
^hkl, m dxm ' hkltn dxm '
Показано, что любая такая скалярная плотность должна вы-
выражаться через тензор кривизны K)hk- Явная форма этой за-
зависимости выводится с помощью очень длинных вычислений,
которые основываются на том факте, что, поскольку 3? является
скалярной плотностью, то ее производные должны удовлетво-
удовлетворять серии из трех тождеств (так называемых тождеств инва-
инвариантности). Явно вычислена тензорная дивергенция выраже-
выражений Эйлера — Лагранжа; в отличие от римановой геометрии,
эта дивергенция в общем случае не обращается в нуль.
Комплексные финслеровы пространства изучались в работе
Рунда [21].
Примечание переводчика. Дополнительные резуль-
результаты о финслеровых пространствах и их обрбщениях читатель
найдет в современных работах группы венгерских геометров:
Белтеки [1], О. Варга [17] — [32], Т. Варга [1] —[2],
Мерза [1], Моор [8] — [44], Р а пча к [5] —[9], Сол чани
[1] — [2]. Область исследования этих работ ясна из их назва-
названия.
') Дальнейший текст написан автором книги специально для русского из-
издания. — Прим. -перев.
Добавление I
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
(Г. С. Аса нов)
В предыдущих главах читатель имел возможность познако-
познакомиться с геометрическими идеями и разнообразным математи-
математическим аппаратом общей теории финслеровых пространств.
В этой теории не делалось никаких специальных предположе-
предположений о виде основной метрической функции, кроме достаточной
гладкости, однородности первой степени по касательным век-
векторам (условие А из § 1 гл. I; в гл. VIII и IX не использова-
использовалось и это предположение), а также положительной опреде-
определенности (условия В и С из § 1 гл. I; впрочем, за редким
исключением, формулы из предыдущих глав локально спра-
справедливы и без предположений В и С).
Для конкретных приложений финслеровой геометрии, на-
например в теоретической физике, такая общность оказывается
чрезмерной. Поэтому необходимо систематическое изучение спе-
специальных финслеровых пространств, обладающих по возмож-
возможности наиболее простыми, но, конечно, нетривиальными свой-
свойствами.
В целом изучение специальных типов финслеровых про-
пространств представляет двоякий интерес. Во-первых, такое из-
изучение позволяет более полно понять отдельные стороны финс-
финслеровой геометрии. В идеале было бы желательно знать все
специфические черты финслерова пространства с какой-либо
специальной структурой одного из характерных финслеровых
тензоров. Во-вторых, многие такие результаты могут оказаться
легко ориентируемыми на конкретные приложения к другим
областям науки. В последующих параграфах дан краткий об-
обзор основных результатов исследования специальных финсле-
финслеровых пространств. Большинство из них получено в 70-х гг.
§ 1. Различные типы специальных
финслеровых пространств
В настоящем вводном параграфе собраны определения раз-
различных специальных типов финслеровых пространств. Три типа,
а именно, 53-подобные, С-сводимые и 1-формовые финслеровы
пространства, как наиболее полно изученные в настоящее время,
будут подробнее рассмотрены в последующих параграфах.
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 399
Основное многообразие М будет предполагаться гладким по
меньшей мере класса С2. Наше рассмотрение будет носить ло-
локальный характер. Предположения положительной определен-
определенности (условия В и- С из § 1 гл. I) не выполняются для боль-
большинства изученных ниже метрик. Поэтому мы ограничимся
лишь подходящими областями 2 (х) касательных пространств.
Финслеровым пространством будет называться тройка (М, 2(х),
F(x,x)).
В § 8 гл. V было показано, что первый картановский тензор
кривизны любого трехмерного финслерова пространства имеет
вид E.8.25*)
F2Siimk = S {himhik — hikh!m), A.1)
где 5 является скаляром, Бцти = SijmkF~2 и
01.
htm = glm-ltlm = F-epr. A-2)
Этот факт позволяет естественно ввести следующее специальное
финслерово пространство'):
Определение. Финслерово пространство F" размерно-
размерности п ^г 4 называется БЗ-подобным, если существует такой ска-
скаляр 5, что тензор Sijmk для F" записывается в виде A.1).
Легко доказывается, что если F" является 53-подобным, то
скаляр 5 представляет собой функцию только точек многооб-
многообразия. Действительно, Sijmk является тензором кривизны C.5.13)
касательных римановых пространств. Тождества Бианки для
тензора Зцшь, выраженного из A.1), немедленно дают dS/dx' =
= 0.
Условие 53-подобности имеет ясный геометрический смысл:
как было показано в гл. V, § 8, для 53-подобности финслерова
пространства необходимо и достаточно, чтобы индикатриса
имела постоянную кривизну.
Свертка A.1) дает просто
F2Sim = (n-2)Shim, A.3)
_.. F2S'/ = (n-2)(n-l)S, A.4)
Касательные римановы пространства к рассматриваемым
финслеровым пространствам обладают интересными свойства-
свойствами. Именно, каждое касательное риманово пространство к 53-
подобному финслерову пространству размерности п вложимо
в (п+1) -мерное евклидово пространство. Вложение действи-
действительное или мнимое в зависимости от того, имеет ли место
5(лг)>0 или 5(лг)<02). Действительно, нетрудно проверить,
') Мацумото [11, с. 203.
2) Мацумото [1], с. 204.
400 ДОБАВЛЕНИЕ I
что в этом случае выполняются соответствующие уравнения
Гаусса и Кодацци. Далее, каждое касательное риманово про-
пространство к 53-подобному финслерову пространству является
конформно плоским1). Этот факт является прямым следствием
обращения в нуль конформного тензора кривизны касательных
римановых пространств, что легко проверяется. Дополнитель-
Дополнительную информацию дает следующая теорема2): если касатель-
касательные пространства к некоторому финслерову пространству яв-
являются конформно плоскими и конформный множитель к(х, х)
для тензора Sl/mft имеет вид к(х, х) =cp(.F(x, x); х), то
K = b(x)F2a{x) A.5)
(здесь а(х) и Ь(х)—скалярные функции) и финслерово про-
пространство 53-подобно, причем
S = a(a + 2). A.6)
Аналогично стандартная форма E.8.26*) тензора 5,/т* в
размерности п = 4 позволяет определить 54-подобные финсле-
ровы пространства. Подробное исследование таких пространств
пока не проводилось. Поэтому мы ограничимся замечанием, что,
как показывает сравнение E.8.26*) с A.8), С-сводимые финс-
леровы пространства 54-подобны.
Определение 3). Финслерово пространство Fn размер-
размерности п называется С-сводимым, если удовлетворяются сле-
следующие условия:
1) Fn не является римановым;
2) размерность п больше двух;
3) тензор djm пространства Fn записывается в виде
Сцт = (п + 1Г1 (huCm + himCi + hmiCi), A.7)
где Ct = gm'Cimj.
В связи с этим определением следует подчеркнуть, что если
мы предположим справедливость равенства С,/т = /гцМт -J-
+ hjmMi + hmiMj без условий на Mi, кроме Mix' = 0, то после
свертки Cijm с g'm мы немедленно обнаружим
и поэтому придем снова к A.7).
С-сводимые финслеровы пространства обладают многими
интересными свойствами. Действительно4), тензор Snijm при-
') Мацумото [1], с. 203.
2) Аса но в [10]. Доказательство прямо следует из условия обращения
в нуль конформного тензора кривизны.
3) Мацумото [3], с, 30.
*) Формулы A.8), A.9) — A-11) впервые выведены в работе Мацу,
м о т о [5].
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 401
нимает простой вид
KmMii — hn,Mim + h,,Mnm — himMnl, A.8)
где
Mll = (MnMn/2)hi, + MtMl.
Далее, подстановка A.7) в цбщее выражение для так назы-
называемого Т-тензора ')
Tntim = F (Cnl, I m) + Gnillm + Cnnil, + Clnnlt + Cilmln A.9*)
(высокая вертикальная черта обозначает ковариантное диффе-
дифференцирование по хт в касательном римановом пространстве
с коэффициентами связности C.5.12)) дает элегантное выра-
выражение
Тпцт = FM (hnih!m + hn!hmi + hnmhu), A.9)
где М является скаляром. Кроме того, если мы введем тензор
Kit = Cnii | тхт, A.10)
то для С-сводимого пространства получим
Рщ/ = KiP) + hi,Pn + hinPl A.11)
Где Pi = Mi | jk1. Это выражение позволяет явно выписать вто-
второй картановский тензор кривизны Рцтп- С помощью преды-
предыдущих формул можно показать, что финслерово пространство
не может быть одновременно 53-подобным и С-сводимым и
что С-сводимое пространство Ландсберга является простран-
пространством Бервальда2). Финслерово пространство нулевой кри-
кривизны С-сводимо, если тензор Рци\ъ обращается в нуль3).
С-сводимое финслерово пространство скалярной кривизны ло-
локально является пространством Минковского, если скалярная
кривизна обращается в нуль4).
Обозначим
а(х, х) = [атп(х)хтхп]т, 0 (х, х) = Ъь (х)х1, A.12)
') Что касается свойств этого тензора и его значения для финслеровой
геометрии, читатель отсылается к статье МаиумотоиСимады [2], где
указаны соответствующие ссылки. Если тензор A.9*) обращается в нуль, то
говорят, что пространство удовлетворяет Т-условию.
2) См. доказательство этих утверждений в статье Мацумото [3].
3) Сибата [2]. Этот результат обобщает теорему Нуматы [2], со-
согласно которой пространство Ландсберга ненулевой скалярной кривизны
С-сводимо.
4) Сибата [2].
402 ДОБАВЛЕНИЕ I
где атп(х)—риманов метрический тензор, a bt{x)—ковариант-
ное векторное поле. Финслеровы метрики
F = a + $ A.13)
и
F = ~ A.14)
называются метрикой Рандерса и метрикой Кропиной соот-
соответственно. Легко проверяется, что финслеровы пространства
с метриками A.13") и A.14) являются С-сводимыми. Недавно
Мацумото и Хойо [1] доказали обратное утверждение,
которое они назвали заключительной теоремой: метрикой лю-
любого С-сводимого финслерова пространства может быть либо
метрика Рандерса, либо метрика Кропиной. Идея доказатель-
доказательства этой теоремы состоит в интерпретации характеристиче-
характеристического тензорного уравнения A.7) С-сводимости как системы
уравнений в частных производных относительно метрической
функции и затем в нахождении полного решения. В резуль-
результате проблема изучения С-сводимых пространств нашла свое
полное решение в том смысле, что она сведена к изучению двух
конкретных метрик. Обратно, метрики Рандерса и Кропиной
могут характеризоваться условием С-сводимости.
Метрика A.13) впервые была предложена Рандерсом
[1] в целях приложения ее в общей теории относительности.
Эта асимметричная, т. е. не инвариантная относительно замены
касательного вектора х' на противоположный вектор — х', ме-
метрика, по его мнению, отражала выделенность направления
времени в действительном мире. Рандерс вывел уравнения гео-
геодезических (уравнения D.1)) для этой метрики, которые в
четырехмерном случае оказались эквивалентными уравнениям
Лоренца, описывающим релятивистское движение пробного за-
заряда в электромагнитном и гравитационном полях. Это озна-
означает, что метрика Рандерса является (с точностью до кон-
константы) правильной функцией Лагранжа для пробного элек-
электрического заряда в таких полях. Этим обстоятельством объяс-
объясняется интерес приложения теории пространства Рандерса в
теории электромагнитного поля, на что обращали внимание
многие авторы: Лихнерович и Тири [1]; Стивенсон
Рунд [19], гл. 3; Ас а но в"[1], [6]>[17].
1] — [2]; Стивенсон и Килмистер [1]; Ингарден
2], [3]; Элиопулос [1], [3] —[4]; Маккирнан [1];
В статье Сибаты [1] была показана интересная связь ме-
между метрикой Кропиной и функцией Лагранжа динамических
систем. Рассмотрим функцию Лагранжа
F (xa, t, ха) = gcb (ха, 0 хахс/2 + Cb (xa, t)xb-U (xa, /),
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 403
где а, Ь, с = 1, 2, ..., п — 1 и 6et(gbc) Ф 0, и положим хп = t
и ха = ха/хп, а также
&e = 2 (&„)"'а4с, Cc = 2ajbn,
где 6а = 0, а 6„(л'Ч, /) Ф 0 произвольны, то мы увидим, что
функция
F{x\xi) = 'F{x\tyxa)x\
где ?=1,2, ..., п, является метрикой Кропиной.
Следует отметить, что F представляет общий случай дина-
динамических систем, учитывающий тензор массы gcb, коэффициен-
коэффициенты затухания Сь и потенциальную энергию U. Таким образом,
метрика Кропиной включает в себя все наиболее важные со-
составные части динамических систем. Использованная выше про-
процедура является не чем иным, как применением хорошо из-
известного метода «дополнительной координаты» (Рунд [24],
с. 44), т. е. стандартной процедуры достижения необходимой
однородности первой степени функции Лагранжа по скоро-
скоростям.
Понятие С-сводимости обобщается следующим образом1):
Определение. Если нериманово финслерово простран-
пространство Fn таково, что размерность п больше 2, а картановский
тензор Cmij кручения записывается в виде
Cmil = AmiC/ + АиСт + AimCb A.15)
где Ац — симметричный тензор со свойством Ацх1 = 0, то F"
называется квази-С-сводимым.
Финслерова метрическая функция F{a, p), однородная пер-
первой степени по а, р, часто называется (а, Р) -метрикой. Можно
легко проверить, что любое нериманово финслерово простран-
пространство с (а, Р)-метрикой является квази-С-сводимым при раз-
размерности > 2.
Известно, что если тензор 5,-/ = 5,-"/п (тензор Тц = 77%)'
финслерова пространства размерности п ^ 4 (размерности
п ^ 3) с (а, р)-метрикой тождественно обращается в нуль, то
пространство является римановым при условии, что длина ко-
вариантного вектора bt по отношению к римановой метрике ац
не является константой2). Другое важное свойство состоит в
том, что если финслерово пространство с (а, Р)-метрикой до-
допускает конкурентное векторное поле, то пространство является
римановым3).
') Мацу м ото [7]. В этой статье, в частности, изучались условия обра-
обращения в нуль тензора Si/ (тензор Риччи касательного риманова простран-
пространства) квази-С-сводимого пространства.
2) Нумата [1].
8) Мацумото и Эгучи [1].
404 ДОБАВЛЕНИЕ I
По аналогии с С-сводимыми пространствами определяется
следующий специальный тип финслеровых пространств1):
Определение. Финслерово пространство называется Р-
сводимым, если тензор A.10) имеет вид
Ptik = (hltPk + hjkPt + HktP,)/(n + 1). A.16)
Сравнение с A.11) показывает, что любое С-сводимое финс-
финслерово пространство является Р-сводимым. Известно также ча-
частично обратное утверждение: п(>3)-мерное Р-сводимое финс-
финслерово пространство ненулевой скалярной кривизны является
С-сводимым 2).
Канонический вид F.6.5)
Ciin=:JF~lmimjmn A.17)
картановского тензора кручения в двумерном случае приводит
к новому типу специальных финслеровых пространств. Под-
Подстановка A.17) в общее выражение D.1.31) для второго кар-
картановского тензора кривизны Рцы непосредственно дает 3)
Pukn = PtClkn-P,Clka, A.18)
где Pi — ковариантное векторное поле. На этом пути мы при-
приходим к следующему определению 3):
Определение. Финслерово пространство размерности
^3 называется Р2-подобным, если существует такое ковариант-
ковариантное векторное поле Pi, что тензор кривизны Рцы записывается
в виде A.18).
Известно следующее интересное свойство таких пространств:
пусть финслерово пространство является Р2-подобным. Тогда
обращается в нуль либо тензор Рцнп, либо тензор Sijkn. В пер-
первом случае обращаются в нуль ковариантные производные
Sijkn \щ ОТ bijkn ) ¦
В заключение укажем еще один возможный специальный
тип 4):
Определение. Финслерово пространство F"(n^4) на-
называется СЗ-подобным, если существуют четыре скалярных
поля Н, I, J, К, и два линейно независимых векторных поля Xi,
Yi, обладающих нулевой однородностью по касательным век-
векторам, удовлетворяющих соотношению
FCm = HXtX,Xk + / {XtXtYk + XiXJi + XkX{Y,) +
+ J (XtYiYk + X,YkYt + XkYtY,) + KYiY,Yk, A.19)
') Мацумото [10].
2) Сибата [2].
3) Мацумото [1], с. 202.
4) Это определение и все сформулированные ниже свойства СЗ-подобных
пространств принадлежат Ну мате [4].
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 405
и если не существует скалярного поля \х и векторного поля Z,,
удовлетворяющих соотношению FCt/k = \xZiZjZk-
Следует заметить, что С-тензор всегда имеет структуру
A.19) для положительно определенных трехмерных финслеро-
вых пространств, хотя, разумеется, положительная определен-
определенность не является необходимым условием для этой структуры.
Векторы Xi и У,- могут выбираться взаимно ортогональными
и имеющими единичную длину. Можно показать, что СЗ-по-
добное пространство не может быть С-сводимым и что не су-
существует финслеровых пространств, одновременно 53-подоб-
ных и СЗ-подобных, при условии, что финслерова метрика яв-
является симметричной (т. е. выполняется условие Ai из гл. I,
§ 1) и положительно определенной. Кроме того, прямое вы-
вычисление показывает, что СЗ-подобное пространство не может
обладать Г-условием.
Известен довольно широкий класс метрик СЗ-подобных
финслеровых пространств. Именно, пусть F3— трехмерное по-
положительно определенное финслерово пространство с метриче-
метрической функцией F* = (g*afi(x, х)хах^2 (ее, р=1, 2, 3), a FN~3
(TV ^ 4) обозначает (N — 3)-мерное риманово пространство
с римановой метрической функцией F = (атп(х)хтхп)'/г (т, п =
= 4, ..., N). Тогда финслерово пространство с метрической
функцией ((/¦"*J + (^JI/г является УУ-мерным СЗ-подобным фин-
слеровым пространством.
В § 3 будет рассмотрен еще один тип финслеровых про-
пространств, а именно, 1-формовые финслеровы пространства. Та-
Такие пространства строятся по произвольной метрике Минков-
ского с помощью поля реперов. -
Заметим также, что финслеровы пространства постоянной
кривизны (в различных смыслах) могут естественно рассма-
рассматриваться как специальные пространства. В предыдущих гла-
главах читатель найдет много интересных фактов о таких про-
пространствах. Кроме того, читатель, внимательно прочитавший
настоящую книгу, легко сможет сам предложить новые инте-
интересные определения специальных типов финслеровых про-
пространств.
§ 2. 53-подобные финслеровы пространства
1. Примеры метрических функций 53-подобных финслеро-
финслеровых пространств. Обозначим через Sm(x) достаточно гладкое
поле ковариантных реперов. Заглавные латинские буквы ука-.
зывают номера векторов, составляющих репер; векторными ин-
индексами всегда будут являться малые (строчные) латинские
буквы. Все латинские буквы будут пробегать значения от 1
406 ДОБАВЛЕНИЕ I
до п, если не оговорено противное. Через Sa(x) обозначается
взаимный контравариантный репер, так что 5™ (х) 5,- (х) = Ь7-
Функция
[п "|1/я
ТТ Г<?4 (г) хт) (9 П
А-1 J
была первым примером 53-подобной финслеровой метрической
функции1). Если S'a (x) выбрать за базис в касательном про-
пространстве Т(х), то функция B.1) в этом Т(х) запишется в виде
следующей метрики Минковского:
[л -ll/n
ЕхА\ . B.2)
А-1 J
Выражение B.2) называется метрической функцией Берваль-
да — Моора2). В настоящее время известен довольно широкий
класс метрик 53-подобных финслеровых пространств: таковыми
являются п-мерные финслеровы пространства с метрическими
функциями
[п -11/v (х)
У ра (х) ( S4 (x) xmY{х) B 1)
А >= 1 J
и
F (х, х) = П (Si (x) xmfA(x), ? гА (х) = 1, B.4)
г(?е v(a:) и гА(х)—скалярные функции такие, что v (л:) ф 0, 1,2
и еЛ (л:) =5^= 0 в каждой точке х 3).
Для проверки этого факта удобно провести вычисление в
некотором касательном пространстве Т(х), выбрав Sa(x) за
базис. Тогда из B.3) — B.4) мы последовательно получим
§ав = \ J1F*.B = B - v) lAlB + (v - 1) ЬАВ1А AАУ\ B.6)
АВ =
1
ll + T
- 4) /лгв;л - (v -1) <WWW/ (^)]- B.8)
') Ac а нов [2], [3], [8], [10].
2) Происхождение этого названия объясняет еноска после формулы
B.47).
8) Ас а нов [10].
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 407
После подстановки B.5) —B.8) в общее выражение C.5.13)
SABCD = С AdCeBC — С AC^EBD
для 5-тензора несколько громоздкое, хотя и несложное, вычис-
вычисление дает простой результат
= ^ (hAChBD - hADhBC) B.9)
Значение v = 0 в формулах B.5) — B.10) соответствует метри-
метрикам B.4). Выражение B.9), очевидно, подходит под опреде-
определение A.1) 53-подобного финслерова пространства.
Кривизна индикатрисы, согласно E.8.19), равна R = 1 + 5.
Из B.10) следует, что R является константой, а именно:
*=TW=b- {2Л0а)
Поскольку v = 0 отвечает случаю B.4), то метрики B.4) яв-
являются нетривиальными примерами метрик финслеровых про-
пространств с плоской (в смысле равенства нулю тензора кри-
кривизны) индикатрисой, т. е. R = 0.
Интересно отметить тот факт, что финслеровы пространства
с метриками B.4) удовлетворяют Т-условию (т. е. условию об-
обращения в нуль Т-тензора A.9*)I). В то же время ни одна из
метрик B.3) не удовлетворяет Г-условию. Более того, для всех
метрик B.3) скаляр FT, где Т = Т''ц обозначает свертку Т-тен-
зора A.9*), не является константой2).
Выражение B.10) удовлетворяет неравенствам: 5^0, если
v > 1, и 5 < — 1, если v < 1. Так как 5 = a (a -f- 2):=г — 1,
то из A.4) — A.5) немедленно следует, что A.4) с
является конформным множителем для касательных римано-
вых пространств к БЗ-подобным финслеровым пространствам
с метриками B.3), когда v > 1, и с метриками B.4), когда
v = 0. Однако если 53-подобное финслерово пространство имеет
метрику B.3) с v < 1, то конформный множитель х не может
иметь вид A.4).
:) Это свойство проверяется прямым довольно громоздким вычислением.
Оно впервые было указано для метрики Бервальда — Моора в статье М а ¦
цумото и Симады [2]. Настоящее обобщение дано Асановым [10].
2) См. Аса но в [10].
408 ДОБАВЛЕНИЕ I
Примеры 53-подобных финслеровых пространств с —1 <
< 5 < 0 неизвестны; они должны иметь конформный множи-
множитель вида A.4) с —1 < а < 1.
Зафиксируем некоторое касательное пространство Т(х) и
выберем базис в Т(х), полагая
{\eA(x)\llv{x)SA(x)} для B.3);
* {Sm(x)} для B.4).
Тогда соответствующие метрики примут вид
[п -il/v
S УА(хАГ\ , ул=±1, v^O, 1, 2, B.13)
А=\ Л
для B.3) и
п п.
А=\ А=\
для B.4). Разумеется, v и ел являются константами в Т(х).
Введем 'функции
)Г^, B.15)
[П ""I 1/JJ,
Z YB (^В)'1 • Обращение B.15) имеет вид
в-1 J
где функция F(xB) равна B.13). Кроме этого, мы рассмотрим
аналогичные функции
)]^, B.17)
где /г(хв)= Ц(^В) • Их обращением является
А 1
)r^ B.18)
с функцией F(xB), равной B.14). Все функции B.15) — B.18)
дифференцируемы и положительно однородны первой степени,
Т' ё' xA(kxB) = kxA(xB), kA(kxB) = kkA(xB), k>0. B.19)
Функции B.15), B.16) (функции B.17), B.18)) обладаюг
следующим замечательным свойством: они переводят метрики
B.13) (метрики B.14)) друг в друга, именно1),
F{xA) = F{xB{kA)). B.20)
') Это свойство впервые было указано Л. Окубо [2] для частного слу-
случая, а именно, для метрики B.13) с б" = 1,
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫ.Х ПРОСТРАНСТВЛ.Х 109
В заключение коснемся свойств индикатрисы 53-подобного
пространства Минковского с дифференцируемой метрикой F(x;),
удовлетворяющей условиям А и В гл. I, § 1 и, кроме того, ус-
условию <\е1(д2Р2/дх1дХ1) ф 0 на Т(х)— <0>, где <0> — нулевой
вектор. Пусть Fi"' обозначает гиперповерхность F(x) = К,
К > 0 в Т(х). Тогда можно доказать '), что/^~' компактна, ли-
линейно связна, односвязна и изометрична сфере радиуса
k/(S -f- 1)'/2. Этот результат применим к пространству Минков-
ского с метрикой B.13) с уА = 1, поскольку эта метрика удо-
удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям. Отметим также,
что вычислением можно показать1), что объем V индикатрисы
такого пространства Минковского с метрикой B.13) с уА = 1
равен
где Ve обозначает объем единичной сферы евклидова простран-
пространства, а п является размерностью пространства. Интересно, что
при v > 2 мы имеем V < Ve и lim V = 0.
V->oo
2. Уравнения Окубо. В предыдущем разделе мы ввели функ-
функции B.15), обладающие интересным свойством B.19). Другой
интересный факт состоит в том, что все функции B.15) удовле-
удовлетворяют дифференциальным уравнениям одного и того же типа,
а именно
(FD — dF/dxD, Fcd = dFo/dxc), где К — константа. Это утверж-
утверждение может быть проверено довольно простым вычислением,
которое мы здесь опускаем2). Это вычисление дает следующее
выражение для константы /С:
Уравнения B.22) могут быть представлены в других экви-
эквивалентных формах. После подстановки тождества
д2х° д dF p дхс дх°
dkA dkB CD dkA dkB
') К. Окубо [1].
/л \1/2
2) Такое свойство функций B.15) с F — I ^ \х ) I было установлено
К. Окубо [2]; в указанной статье приведены отвечающие этому случаю по-
подробные вычисления. Наше обобщение проводится без труда.
410 ДОБАВЛЕНИЕ I
в B.22) мы получим
d2F(x(x)) ,к пр дхс
Если мы введем метрику
F'(x) = qF(x(x)), 4 = const > 0, B.24)
то предыдущие уравнения примут вид
Пв = <7A-*)^сд|рг|рг B.22Ь)
или после умножения на F* = qF
)^Tjpr, B.22c)
где h'AB = F*F*AB, hCD = FFCD. Уравнения B.22) —B.22с) яв-
являются эквивалентными формами одного и того же уравнения.
Уравнение B.22) было предложено и впервые исследовано
в контексте теории 53-подобных финслеровых пространств
К. О куб о [1], [2]. Мы будем называть B.22) —B.22с) урав-
уравнениями Окубо. Наиболее наглядный геометрический смысл
этих уравнений следует из B.22с). Именно, уравнения Окубо
являются требованием, чтобы hCo имел тензорный (возможно,
с точностью до общей константы) закон преобразования при
отображении хА = хА (хв) двух пространств Минковского с ме-
метриками F(x) и F*(х).
Следует отметить, что не каждое однородное преобразова-
преобразование, связывающее две 53-подобные метрики Минковского, удо-
удовлетворяет таким уравнениям. Например, преобразование B.17)
не удовлетворяет уравнениям Окубо, что нетрудно проверить
прямой выкладкой.
Тем не менее важную роль уравнений Окубо в изучении
53-подобных финслеровых пространств ясно иллюстрирует сле-
следующая
Теорема1). Пусть F(xA) — метрическая функция произ-
произвольного S3-подобного пространства Минковского размерности
п 2& 2 с некоторым. S, входящим в A.1) (включая случай, когда
F является римановой метрикой; в последнем случае 5 = 0).
Если существуют п достаточно гладких функций хА (хв) со свой-
свойством положительной однородности B.19) и с отличным от
нуля якобианом \ дхА /дхв | ф 0, удовлетворяющие уравнениям.
Окубо с некоторым К Ф 1, то метрика, определяемая равен-
') Эта теорема впервые доказана К. Окубо [2] для частного случая,
когда F является положительно определенной евклидовой метрикой. Наше
обобщение легко проводится непосредственно.
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 411
ством B.24), является метрикой также SZ-подобного простран-
пространства с
s*=T^f- B-25)
Доказательство. Для единичных векторов lA= 3F /дхЛ
и Гл = дР*/дхАмы из B.24) имеем
Га^Фв^га. B.26)
Используя B.22с) и B.26), а также равенство fiAB = gAB — UIb,
мы немедленно найдем
{ 1 % ^
JZJ ) % ^в ¦ B.27)
Если мы формально положим
§лв<*) = 8соШ-^~^г. B.28)
то из B.27) и B.26) последует
Ёлв = Ф A - К) (gAB + т^Х Ыв) ¦ B'29)
Компоненты взаимного к B.29) тензора равны
ёАВ= q4ll-K] (§АВ ~ KlAlB). B.30>
Далее, обозначим посредством
символы Кристоффеля и посредством
} {/с})
риманов тензор кривизны для метрического тензора §ле(л;).
Тогда вследствие тензорного закона преобразования B.28) и
того факта, что тензор Sabcd (x), соответствующий метриче-
метрическому тензору g*AB (x), является не чем иным, как римановым
тензором. кривизны, построенным по обычной формуле по
8ав (•*)> должно выполняться тензорное соотношение
с* /-\ r> /-/-w дхЕ дхр dJifi дхт /п „о
SAbcd (х) = Repqt (х (х)) -^ -^ -^ -^-. B.33)
412 ДОБАВЛЕНИЕ 1
Теперь нам остается вычислить тензор B.32) и подставить
результат в B.33) для нахождения тензора S*Abcd- В силу ра-
равенства Ллв = FdlA/dxB из B.29), очевидно, следует
B.34)
где 2САвс — dgAB/dxc. После подстановки B.34) и B.30) в
B.31) и учета тождеств lAhAB = 0 и 1АСДвс = 0 мы получим
просто
{B} CABc + ^BhAcF-1. B.35)
Подстановка B.35) и B.29) в B.32) легко дает следующий
результат:
[ hBD-hADhBC)F-2l B.36)
Однако, по предположению, тензор SABcd имеет 53-подо.бный
вид A.1). Поэтому
Rabcd =q\l-K)(S + K) (hAChBD - hADhBC) F~\ B.37)
Наконец, подставляя это выражение в B.33) и используя
B.22с) и B.24), мы получим окончательно
Sabcd = -f=X (А*сйвд - НлМс) F*-2. B.38)
Теорема доказана.
3. Свойства 53-подобного финслерова пространства с мет-
метрической функцией Бервальда — Моора. Среди различных
53-подобных финслеровых пространств пространство с метри-
метрикой B.1), которая в каждом касательном пространстве яв-
является метрикой Бервальда — Моора B.2), изучено наиболее
подробно. Такое пространство имеет ряд замечательных свойств,
которые мы опишем в настоящем разделе.
Возьмем в касательном пространстве Т(х) ' некоторый ка-
касательный вектор fmEF(i) и построим в Т(х) n-мерный па-
параллелотоп с ребрами, параллельными векторам некоторого
репера 5л (х), и с диагональю, совпадающей с хт. Тогда после
деления его объема на объем базисного параллелотопа с реб*
рами SA(x) мы, как легко видеть, получим следующее выра*
жение:
П (Si{x)xm). B.39)
А= 1
Это выражение имеет постоянный знак в каждом из 2" секто-
секторов, образованных п векторами Sa(x) в л-мерном касательном
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 413
пространстве Т(х)< Для наших целей будет достаточно прове-
провести рассмотрение в одном из них, и мы выберем сектор
2+(х)с=Т(х), B.40)
образуемый всеми векторами х е Т(х), для которых
xmSi(x)>0 B.41)
для всех значений А. Разумеется, при рассмотрении кривых
финслерова пространства мы должны также предполагать, что
они Е+-подО|бны, т. е. что dx e E+ вдоль таких кривых. Извле-
Извлекая из полученного выше выражения B.39) корень п-й сте-
степени, мы приходим к метрике B.1).
В результате такого построения мы получаем финслерово
пространство (М, 2+(я), F) с метрической функцией Берваль-
да — Моора B.2) в каждом касательном пространстве. По
своему смыслу это финслерово пространство основано на по-
понятии объема, ибо измерение финслеровых длин векторов в
этом пространстве производится посредством n-мерных объе-
объемов.
При п = 2 метрика B.1) является римановой. Поэтому для
нас здесь интересен только случай п ^ 3.
Финслеров метрический тензор A.3.1) для метрики B.1)
легко находится в виде
gti = \2xiX, -nZ xAxAStsf) F'2. B.42)
\ A — 1 /
Удобны следующие обозначения:
*A = S%xm, xA = Sixm. B.43)
Соотношение между xm и xm = gmix1 может быть легко най-
найдено с помощью A.5.6) в виде
* B-44)
Особенности обходятся нашим предположением B.41). Исполь-
Используя A.5.5а), нетрудно найти функцию Гамильтона. Она имеет
вид, аналогичный B.2):
[p()Y- B-45)
Используя B.45), мы, согласно правилу A.5.4), получим
компоненты обратного к B.42) метрического тензора g'1:
- п tx * VS^) FЛ B.46)
414 ДОБАВЛЕНИЕ I
Теорема 1. Детерминант финслерова метрического тен-
тензора B.42) является функцией только от хт.
Действительно, явный вид детерминанта / = det (gij) мо-
может быть легко найден с помощью B.42):
f = (_l)«+1n-rtdet2(s?), B.47)
откуда следует теорема 1 ').
Очевидно, утверждение теоремы 1 может быть записано в
следующем эквивалентном виде:
С, = 0, B.48)
где Ci = C/j = jdln |det(glk) \/дх' в силу A.3.4). Метрика B.2)
не является положительно определенной, и поэтому теорема
Дайке (см. ссылку к формуле C.2.4')) неприменима к B.2).
Теорема 2. Сигнатура финслерова метрического тензора
B.46) имеет вид (-J .. .).
Для доказательства теоремы 2 полезно заметить, что ком-
компоненты тензора B.46) являются квадратичными функциями
от lm = xm/F. Следовательно, ортонормированные (контрава-
риантные) реперы метрического тензора B.46) должны быть
линейными функциями от lm. Они имеют следующий явный
вид 2):
№ = Г, B.49)
(я-р+")(я_р)Г ? (<#и - сср), 1 < Р < п - 1, B.50)
АР
fp = [
где ал= /'Sf • Sa (без суммирования по А). После подстановки
B.49) и B.50) в
ёч (х, х) = ifif'p {х, х) f'Q (x, х), B.51)
где среди множителей r\PQ отличны от нуля только г\00 =
== — tiu = — г\22 = ... = 1, а Р, Q = 0, 1, ..., п — 1, мы после
несложных вычислений найдем, что правая часть B.51) экви-
эквивалентна B.42) -при любых хт и хт. Это доказывает теорему 2.
') Отметим, что метрика B.2) была впервые введена Бервальдом
[10], [11] для пространств Картана и после этого Моором [6], с. 187, для
финслеровых пространств, именно, как пример метрики, удовлетворяющей тео,-
реме 1. Других таких примеров метрик до сих пор неизвестно.,
*) Асаиов [8],
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 415
Для взаимного к /{? ковариантного ортонормированного ре-
репера fpm справедлива полностью аналогичная запись, а именно:
fm = lm> n i B.52)
fP —\ Ц 11/2 V (пА+Х пР) \<ГР<Гг, 1 <9W\
i т |_ (я — Я + 1) (я — Р) 1 Z_i v 7 ^ ^ > \ /
Л=Р
где а^, = ';^ • S^ (без суммирования по Л). Взаимность этих
ортонормированных реперов, т. е.
fm Iv v\ ff (v y\ Л'" (9 КЛ\
IP \X, X) 11 (X, X) — Of > [^/..O'i)
легко проверяется непосредственно.
Метрический тензор и ортонормированные реперы рассма-
рассматриваемого финслерова пространства удовлетворяют серии ин-
интересных тождеств1). Несложными прямыми выкладками мож-
можно убедиться, что для B.46), B.49), B.50) и B.52), B.53)
справедливо
A \ А С — /О КЛ\
Т\ — i) ОрГ , \Z.DK))
дх'
(У х дх
и при п = 4
где
Еи = (ц" + 2lll!)F~2. - B.59)
Далее, введем два следующих дифференциальных оператора
второго и n-го порядка соответственно:
f = f2 (х, х) g« (x, x)^7T~f. B.60)
Тождества
flm = (l-n)lm, B.62a)
f B.62b)
Ac а нов [3], [7].
41fi ДОБАВЛЕНИЕ 1
справедливы для любого финслерова пространства. Для рас-
рассматриваемого здесь финслерова пространства справедливо
также
Slm = (-l)n~l(n-l)r, B.63а)
Slm = {\-n)lm. B.63b)
Два последних тождества наиболее просто получаются путем
дифференцирования /'", представленного в виде lm==StAlA =
= Saxa U (xb) . Принимая во внимание, что, согласно B.49),
в = i
B.50) и B.52), B.53) реперы f"pl и fm являются линейными
функциями от /' и /, соответственно и что Ст = 0, мы получим
следующие тождества, обобщающие B.62а), B.62Ь), B.63а) и
B.63Ь):
ff? = (l-n)f?, B.64a)
f? = O-«)C B.64b)
Sf? = (-ir>-l)/p, B.65a)
Sf? = (!-«)/?• B.65b)
Заметим также, что
f {Ff = [a (a - 1) + a (n - 1)] (F)a B.66)
выполняется для любого финслерова пространства. Аналогично
в рассматриваемом пространстве
S (F)a = (a)" {F)a. B.67)
Нетрудно также проверить, что
S {lm {Ff) == (a + I)" (a + 1 - n) lm (F)a, B.68)
S {lm {Ff) = (a - I)" (a - 1 + n) Г {Ff, B.69)
где а — показатель степени. Приведенные выше тождества ука-
указывают большое число собственных функций операторов f и 5.
Наконец, нетрудно показать справедливость тождества
fg4 = (8 - An) ti1 ^ - 2Я-^ B.70)
для рассматриваемого здесь финслерова пространства, а также
тождеств
f = B4 - Юл) САВС + 4 Bл - 1) (lth,k + l,hlh + lkhtl) F'1 +
- 2)ltl/lkF-1,i B.71)
/
CicCcDECh = (я - 3) CBDT. B.72)
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 417
Далее, обратим внимание на тот интересный факт, что
1-формовая метрическая функция Бервальда — Моора B.1) ин-
инвариантна относительно следующей специальной группы мае*
штабных преобразований реперов:
Sb{x) = rA{x)S*(x) B.73)
с
f[rA(x) = \, B.74)
А= I
где г4 (х) — скалярные функции, нигде не обращающиеся я
нуль. Действительно, структура функции B.1) такова, что она
не изменяется после подстановки в нее Sm(x) вместо Sm(x) (ср.
с группой кинематических преобразований (/(-преобразований),
рассмотренной в добавлении II, § 1, формула A.2) и § 2).
Очевидно, что любой геометрический объект (в частности,
финслеровы тензоры кривизны, связности и т. д.), который
можно построить по l-формовой метрической функции Бер-
Бервальда—Моора, инвариантен относительно специальной груп-
группы масштабных преобразований реперов B.73), B.74). Это
утверждение будет справедливо и для обобщения B.4) 1-фор-
мовой метрической функции Бервальда — Моора, если условие
B.74) заменить на
й(гЛ(х)/{х)=1. B.75)
Л = 1
Рассмотрим теперь общую группу масштабных преобразо-
преобразований реперов
Si(x) = wA(x)Si(x), B.76)
где wA (x) — произвольные скалярные функции, нигде не обра-
обращающиеся в нуль. Преобразование B.76), очевидно, вызывает
конформное преобразование (см. гл. VI, § 2) метрической функ»
ции B.1) с конформным множителем
[п -|l/rt
П wA(x)\ . B.77)
а-1 J
Поэтому любой конформный инвариант финслерова простран-
пространства с l-формовой метрической функцией Бервальда — Моора .
инвариантен относительно общей масштабной группы преобра-
преобразований B.76). Это утверждение, разумеется, справедливо а
для метрической функции B.4).
14 X. Рунд
418 ДОБАВЛЕНИЕ I
§ 3. 1-формовые финслеровы пространства
В настоящем параграфе изучаются так называемые 1-фор-
!мовые финслеровы пространства. Метрика таких пространств
строится, исходя из произвольной метрики Минковского, с по-
помощью поля реперов равной с многообразием размерности.
По структуре коэффициентов связности, а следовательно, и
тех тензоров кривизны, которые включают дифференцирование
по координатам х' основного многообразия, — именно такие
тензоры кривизны имеют наиболее сложную структуру в финс-
леровой геометрии — этот тип финслерова пространства можно
считать наиболее простым. Упрощения следуют из того факта,
что в таких пространствах дифференцирование основных гео-
геометрических объектов по координатам х1 сводится, в опреде-
определенном смысле, к дифференцированию по касательным векто-
векторам х'.
Наибольшие упрощения возникают в пространствах с 1-фор-
мовой метрикой Бервальда — Моора. Дело в том, что для этой
метрики свернутый картановский тензор кручения равен нулю,
т. е. С,- = 0; кроме того, финслерово пространство с такой ме-
метрикой является 53-подобным и удовлетворяет Г-условию (см.
§ 2). Это обстоятельство интересно для приложений, поскольку
на основе такой метрики возможна разработка финслерова об-
обобщения теории относительности (см. добавление II).
1. Введение. Пусть М является п-мерным параллелизуемым
многообразием с глобальным полем реперов Si(x) класса С3,
так что линейные формы <вл = Sm (x) хт линейно независимы.
Пусть далее F^ink{xA) обозначает некоторую метрическую
функцию пространства Минковского. Тогда многообразие М
становится 1 -формовым финслеровым пространством ') Fn после
следующего определения на нем l-формовой финслеровой ме-
метрики:
F Ос, xm) = Fmnk (Si (х) хт) = Ршпи (У). C.1)
Равенство C.1) определяет финслерово пространство с од-
одним и тем же заданным пространством Минковского в каждом
касательном пространстве. C.1) представляет довольно широ-
широкий класс финслеровых пространств. Тем не менее далеко не
любое финслерово пространство является локально 1-формо-
вым. Например, среди ЗЗ-подобных метрик B.3) — B.4) ме-
метрика B.3) является 1-формовой в некоторой области тогда и
только тогда, когда v = const в этой области; аналогично для
метрики B.4) последнее условие заменяется на еА = const при
всех значениях индекса А.
!) Это название предложено в статье Мацумото и Симады [1].
В этой работе наиболее подробно был рассмотрен двумерный случай.
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 419
В дальнейшем реперы S™ и Sm предполагаются взаимны-
взаимными, т. е. SaSZ — &a- Индексы А, В, С, D обозначают номера век-
векторов в реперах и принимают значения 1, 2, ..., п. Буквы /, /,...
обозначают векторные индексы относительно натуральных ре-
реперов. Производная д/дх' будет обозначаться сокращенно че-
через di. Величины типа VA и Vi всегда связаны соотношением
Va = SaVi. Под ха в дальнейшем всегда будет пониматься
функция от хт и хт такая, что
хА^хА(хт, xm) = SAm{x)xm. C.2)
Свертка с хт обозначается индексом 0, например
Д t ук _ д i pi]- _ piO
1\т kX — 1\т о, Г Xj — Г .
Финслеров метрический тензор 1-формового финслерова про-
пространства вследствие C.1) представляется в виде
gtl (хт, хт) = S? (x) Sf (x) gAB (xD (xm, хт)), (з.З)
где величины
1 ° /"Mink /Q .,
gAB==J^W^ C-4)
(метрический тензор исходного пространства Минковского) за-
зависят от х только через xD.
Это наблюдение замечательно тем, что в результате диффе-
дифференцирование gij no xm сводится к дифференцированию gu по
хт, а именно:
(Sff 2A0*mCi№ C.5)
где
\hm = SAdmSi^-S*dmSbA. C.6)
То же справедливо и для производных от Сцт по xk, поскольку
САВС = у dgAB/dxc также являются функциями только от xD.
Уравнения финслеровых геодезических произвольного 1-фор-
1-формового финслерова пространства легко записываются в виде
-^-Ус + РАвсУаУв = О, C.6*)
где о — параметр финслеровой длины дуги, FABc = SiBSlcFAih,
a FAjn обозначает тензор C.11).
2. Явный вид коэффициентов связности. Из C.5) следует,
что символы Кристоффеля B.2.7) 1-формового финслерова про-
пространства можно записать в виде
у?, = АД + Ф/у* + gkm (С^Ло*; + С1ткЫ\ - CtIhAohm), C.7)
14*
420 ' ДОБАВЛЕНИЕ I
где
ф*/* = г*Ч./А, C.8)
Ф*./* = 4(/?'.м + /?/.№-^.//). C.9)
Ft, ih (х, х) = gim (x, х) Fmih (x), (ЗЛО)
FA,b(x) = dlS*(x)-dhSf(x). C.11)
Тензор C.9) можно представить в виде
Ф1, ih (*. *) = Sab (х> х) Ф^ % (х), C.12)
где тензор
* *) C.13).
зависит только от х.
Справедливы следующие полезные тождества:
Ф<-,/й = -ф;.*/> C-Й)
Ф,/ = -^7М, C-15)
Ф// = 0, Ф,о° = Флоо = 0, C.16)
Ф/. /А + Ф/. /а = ^. м + Z7/, (а = 2Ф,-, /Л + Flh „, C.17)
Ф*. /а ~ Фу. ш = ~ Fh, „. C.18)
Чтобы получить картановские коэффициенты связности, мы,
используя C.7) и тождество x'Cjmh(x, х)= 0, последовательно
запишем
Y,*o = Ло*? + Ф,о* + С,*тЛото, C.19)
Yo"o = A0fe0 + Ooofe. C.20)
Вследствие C.8) и C.9) справедливо
Фоо" = ^т/;о>от- C.2 П
Из выражения B.3.14) следует, что коэффициенты Piko(x, x)z==
^ Piki{x, х)х> равны
РЛ = уЛ-С^ошо. C.22)
Подставляя сюда C.19) и C.20), получим
РЛ = ЛсЛ- + шД C.23)
и>1к = Ф1Ок-С1ктФ<ют. C.24)
Наконец, подставляя C.23) в B.4.4), мы находим картановские
коэффициенты связности Tf t (x, x) = P]kj (x, х) в следующем яв-
явном виде:
i j = Л/ i + Ф// — Ci mWj — C; mI?»j + LijmWh g ¦ C.25)
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 421
С помощью разложения C.7) нетрудно также вычислить
коэффициенты связности Бервальда, которые рассматривались
в гл. III, § 3. Для этого заметим, что вследствие C.20) мы для
коэффициентов 2G* = уо*о имеем просто
2Gk = Л<Д + ФоЛ C.26)
Дифференцирование и учет тождеств C.14) — C.18), дает ко-
коэффициенты связности Бервальда Gik(x, х) = dGk(x, х)/дх' и
Gikj(x, x) =dGik(x, х)/дх! в следующем явном виде:
О/* = Л0*, + Ф/0* + яД . C.27)
О/*/ = ЛД + Ф//* + п,*/, C.28)
где
Щк = ~ С/*тФОот, C.29)
"Л = ~ Ctkm (Ф/От + ФоЛ - С,кт (Ф1От + ФоЛ +
+ Clim (Фм" - ФоЛ gkh - Фо. он ^-. C.30)
Сравнивая C.25) и C.28), мы, согласно C.3.8), получим
характерный тензор Сц,ц о = Ciki lmxm финслеровой геометрии
в следующем виде:
Ctkl i о = - Ст*/Ф«т - С1т,ФОкт - С1ктФ0,т - Сщ | mOJOm C.31)
или, после использования выражения A.9*) для Т-тензора,
C (ФШ ^Фт^~ )
- Сш, (ФоГ - ^Фоо"/1") - С„т (Ф0/т - ip^F-1). C.32)
Отметим, что Г-условие, т. е. Тцкт = 0, вызывает существенное
упрощение в этом выражении.
Подведем итог. Коэффициенты связности Картана C.25) и
Бервальда C.28) равны коэффициентам связности Л,-*/ абсо-
абсолютного параллелизма1), которым поле реперов S™ (х) наде-
наделяет многообразие, плюс тензорные добавки, содержащие тен-
тензор Ctjm. Картановские коэффициенты связности C.25) не со-
содержат производных от Ctjm по касательным векторам xk (в
отличие от коэффициентов C.28)), однако вместо этого в них
входят члены, содержащие произведение тензора Сцт на себя.
Не содержащие тензор Сцт члены в обоих коэффициентах
C.25) и C.28) одинаковы и равны
ГД = АД + Ф,Д C.33)
') Описание понятия абсолютного параллелизма читатель найдет, напри-
например, в книге С л е б о д з и н с к о i о [3], гл. X.
422 ДОБАВЛЕНИЕ I
Коэффициенты C.33) симметричны по нижним индексам. Они
являются коэффициентами связности. Их можно рассматривать
как обобщение римановых символов Кристоффеля на случай
1-формовых финслеровых пространств. Связность с коэффи-
коэффициентами C.33) не является метрической. Однако, как и для
коэффициентов связности Бервальда, ковариантная производ-
производная метрической функции, взятая с коэффициентами связности
C.33), обращается в нуль, т. е.
>F~ /оа7= '
как это нетрудно проверить.
3. Выделенное соприкасающееся риманово пространство.
Поле реперов S™ (х) определяет выделенное векторное поле
Sm(x) на многообразии М согласно определению
Sm(x) = t S'Jtix). C.34)
Векторы Sm симметричны по отношению к векторам, состав-
составляющим репер Sa, в том смысле, что
Sm(x)SAm(x)=l C.35)
при любом значении А.
Риманов метрический тензор
«</ (х) = gu (x, S (х)) C.36)
определяет риманово пространство, обозначаемое нами посред-
посредством V, соприкасающееся (см. гл. III, § 5) с 1-формовым
финслеровым пространством вдоль S-конгруэнции кривых, ка-
касательных к векторному полю C.34). Справедлива
Теорема. gAe(x, S(х)) и Cabd(x, S{x)) являются констан-
константами.
Это утверждение немедленно следует из того, что §лв и Cabd
являются функциями только от xD (x, x) = Sm(x)xm (см. конец
п. 1 настоящего параграфа), для которых вследствие C.35)
справедливо
xD(x, S(x))=l C.37)
при каждом значении индекса D.
Ввиду C.8), C.12) и C.13) из C.37) немедленно следует,
что компоненты тензора
r\ti4x) = <t>lik(x, S(x)) C.38)
являются коэффициентами вращения Риччи риманова про-
пространства Vn. Заметим, что тензор Фцк(х,х) строится по та-
такому же точно правилу, как и в римановой геометрии, только
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 423
теперь входящий в это правило C.12) метрический тензор gAn
является финслеровым.
Из предыдущей теоремы следует возможность выбрать ор-
тонормированный репер h™{x), P, Q = О, 1, ..., п—1, рима-
нова метрического тензора C.36) так, чтобы он был связан с
репером 5л (х) линейным невырожденным преобразованием
S2i(*) = a5A™(*) C.39)
с постоянными ') коэффициентами а^. Следовательно, мы имеем
Предложение. Пусть V" — некоторое риманово про-
пространство с какой-либо сигнатурой, допускающее некоторое
глобальное поле ортоноржированных реперов На (х). Пусть, да-
далее, Fm^{xA) —какая-либо метрическая функция Минковского
с такой же сигнатурой. Тогда с помощью невырожденного ли-
линейного преобразования C.39) с постоянными коэффициентами
а^ можно ввести в V" такое глобальное поле реперов S^ (x),
что Vn будет {/" для соответствующего i-формового финслерова
пространства с метрикой C.1).
Следует также отметить, что коэффициенты C.33) обла-
обладают тем свойством, что
ftk,(x, S(*)) = {, *,}(*), C.40)
где правая часть представляет собой символы Кристоффеля
риманова пространства Vй.
Итак, для 1-формовых финслеровых пространств имеется
естественное соприкасающееся риманово пространство V" с ря-
рядом замечательных свойств. Мы назовем V" выделенным со-
соприкасающимся римановым пространством для {-формового
финслерова пространства.
4. Некоторые следствия условия С, = 0 для 1-формовых фин-
финслеровых пространств. Из выражения C.27) следует
Gmm = хпдп In | det (S?) | - Cn (Go"o - АД), C.41)
') Произвольный ортонормированный репер h™ (x) тензора C.36) связан
с репером 5д (х) невырожденным преобразованием
SA W = аА (*) hP (*)• C-39а)
где а^ (л:), вообще говоря, не являются константами. Однако
Sab (х, S (*)) = nPQa^ (x) ag (x) = const. C.39b)
Уравнение C.39b) очевидно допускает постоянные решения Од = const, что и
ведет к возможности соотношения C.39). Любое другое решение уравнения
C.39b) имеет вид a^ (x) = Rq (x) а$, где /^обозначает коэффициенты произ-
произвольного вращения в (псевдо) евклидовом пространстве в точке х.
424 ДОБАВЛЕНИЕ I
где мы подставили Аттп = <?„ In | det (sf) |. Пусть С; = 0 тож-
тождественно. Выберем систему координат х' так, чтобы
det (Sf) = const, C.42)
что (локально) всегда возможно1). Тогда мы получим Gmm =
— О, и вследствие этого коэффициенты проективной связности
D.8.22) будут равны просто
nm'n = Gm'n. C.43)
Согласно определению проективного параметра в п. 2 § 8 гл. IV
это означает, что мы имеем
Предложение. Если в l-формовом финслеровом про-
пространстве тождественно выполняется условие С,- = 0, то пара-
параметр финслеровой длины дуги является проективным относи-
относительно системы координат со свойством C.42).
Ясно, что этот факт сильно упрощает изучение проективных
свойств 1-формовых финслеровых пространств со свойством
Ci = 0.
Кроме того, поскольку С,- = 0, очевидно, эквивалентно ус-
условию д det(gmn)/дх1— 0, то изучение конформных свойств
1-формовых пространств со свойствами С,- = 0 также очень
сильно упрощается ввиду того, что полный набор конформных
инвариантов финслерова пространства можно построить по ос-
основному конформному скаляру F.2.15).
В структуре тензоров кривизны D.6.7), D.1.7) и D.1.35)
1-формового финслерова пространства условие С/= 0 вызы-
вызывает следующие интересные тождества:
ЯЛ* = 0, *Л* = 0, /?Л* = 0, C.44)
непосредственно вытекающие из общих выражений для этих
тензоров ввиду того, что относительно координат со свойством
C.42) условие С,¦ = 0 влечет за собой Г*„т„=0 и Gmmn = 0
в силу формул C.25) и C.28) соответственно.
') Возможность такого выбора прямо следует из того факта, что det (sf)
является скалярной плотностью веса +1. Действительно, пусть W(x)—про-
W(x)—произвольная дифференцируемая скалярная плотность веса -f-1. Совершая коор-
координатное преобразование х' = х'(х1), мы имеем W(x) =J(x\W(x), где / =
= det (дх'/дх1). Выберем координатную систему х' так, чтобы
x\ = C \ W (x) dx\ x2 = x2, ..., xn = xn (C = const).
J
Тогда мы получим / = CW~\ а следовательно, W(x) = const, что и завер-
завершает доказательство. Построение такого типа хорошо известно в дифферен-
дифференциальной геометрии (ср. Эйзенхарт [2], с. 104).
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 425
В силу тождества D.6.25) свойство C.44) влечет за собой
симметричность тензора D.6.16Ь), т. е.
Нтп — Нпт. C.45)
Поэтому из равенства Нтп = дНп/дхт (см. D.6.16Ь)) будет сле-
следовать, что вектор Нп является градиентом, т. е.
1 дН1,
Я„ = т^ C.46)
(ср. D.6.17) и D.6.24)), и далее
лт Ш ^ л тп = ~2 g^rn Q^n л i> C.47)
H^gmnHma = ±nHtt, C.48)
где мы ввели оператор
г-, „тп д д .„ ,„ч
a-g -^п-щп- C.49)
Если Ci = 0 тождественно, то, выбирая координаты со свой-
свойством C.42) и учитывая Gmm = 0, мы из общей формулы
D.6.3) получим просто
Hli = 2dlGi — G,tGi'. C.50)
В 1-формовых пространствах удобно использовать обозначение
д] для частной производной по х' при постоянном хА, так что,
например, d*tQ =
дх
. Она, очевидно, обладает свой-
x =const
ствами
C.52)
а также в силу 1-формовости пространства
^ = ^лв = ^лвс = 0, C.53)
что означает, что F, Цав и Сдвс можно просто выносить из-под
знака д).
Подставляя в C.50) очевидное равенство
2diGl = 2SlAd]GA + 2GAdiSlA + ZGJAJi C.54)
и используя полезное обозначение
Gj = Gt} —Аь\, C.55)
426 ДОБАВЛЕНИЕ I
мы находим
Я/ = 2SlAd\GA + 2GAdtSA - Gt'Gj1 + AoW/. C.56)
Обратим внимание, что второй член в этом выражении выпа-
выпадает, если dtSA = 0. Подстановка C.56) в C.48) дает
2# = 2SlAd't (п GA) + 2 (<3^) a GA - а {6АВ6ВА) + а (лДлолв).
C.57)
Указанные выше упрощения позволяют вычислить явное вы-
выражение для скаляра C.57).
§ 4. С-сводимые финслеровы пространства
В настоящем параграфе мы дадим обзор результатов теории
С-сводимых пространств, которые были нами кратко охарак-
охарактеризованы в § 1.
1. Основные результаты теории пространств Рандерса и
Кропиной. Мы будем предполагать, что ат„(х) и Ьп(х) принад-
принадлежат классу С2. Финслерово пространство с метрикой Рандер-
Рандерса A.13) называется пространством Рандерса. Оно обозна-
обозначается здесь через Vп, в то время как ассоциированное рима-
ново пространство с метрическим тензором атп будет обозна-
обозначаться через Vn- Аналогично финслерово пространство с метри-
метрикой Кропиной A.14) называется пространством Кропиной. Раз-
Размерность п может быть произвольной ^2.
При изучении пространства Рандерса удобны следующие
обозначения:
Ь1 = а"Ь,, р = bib1, х = FJa,
It == да/дх1 = aux'la, I1 = a111,,
Ailm = FCllm,
At'm = glaAtnm, At = At'f = (n + 1) m,/2.
Финслеров метрический тензор пространства Рандерса легко
находится в виде
компоненты взаимного тензора равны
g" = (а« - pV _ p'b1 + (р + ц) рУ)/т.
Аналогичные выражения для финслерова метрического тензора
пространства Кропиной см. в работе Сибаты [1].
Для пространства Рандерса мы можем заменить Mi, вхо-
входящее в A.8) и A.11), на mi%4>/2F, a LM в A.9) на
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 427
— (F2P + Р2 + 2F$)/4F2. В пространстве Кропиной ML равняется
Bai/iVP — 2a26;/|32)P/2a2, а FM равно р3/2ра4-
Следующее замечательное свойство оказывается полезным
при доказательстве многих теорем о пространстве Рандерса:
Теорема1). Если финслерова длина (AiAjg'1)'1* вектора
At не зависит от касательных векторов х', то пространство Ран-
Рандерса становится римановым пространством, т. е. &,• = 0.
Нетрудно также доказать2), что каждое из следующих ус-
условий для пространства Рандерса: 1) Sijmn = 0; 2) Тцт„ = 0
влечет за собой &,= 0. Аналогично 3): 1) тензор Sm/m про-
пространства Кропиной размерности я> 3 не обращается тожде-
тождественно в нуль при условии положительной определенности
метрики; 2) тензор Тпцт пространства Кропиной не обращается
в нуль.
Хотя метрики Рандерса и Кропиной могут показаться до-
довольно простым обобщением римановой метрики, исчерпываю-
исчерпывающее изучение структуры основных геометрических величин,
включающих коэффициенты связности Картана ТтП, наталки-
наталкивается на существенные трудности из-за довольно сложной
структуры этих коэффициентов. Для специального случая про-
пространства Рандерса, именно, с градиентным вектором &,-, ко-
коэффициенты связности были впервые вычислены в конкретной
форме Я суд ой [1]. Для общего пространства Рандерса кон-
конкретный вид этих коэффициентов был дан в статье С и б а т ы,
Симады, Адзумы и Ясуды [1], а для пространства Кро-
Кропиной — в статье С и б а т ы [ 1 ].
Обозначим через {,••„} и Vnbi символы Кристоффеля и ко-
вариантную производную векторного поля bi(x) в ассоцииро-
ассоциированном римановом пространстве Vn и положим
— (Ьц — bjt)/2, X = -j boo — — bmb[m< о].
Свертка с р' будет обозначаться индексом 0, например:
Прямое вычисление так называемого разностного тензора D{ln—
= Г}гп — | .' > дает для пространства Рандерса следующее
') Сибата, Симада, Адзума и Ясуда [1].
г) См. Мацумото [5].
3)Сибата [1].
428 ДОБАВЛЕНИЕ I
выражение '):
D/k = Pl\m + {h\bOh + Л'Л, - V*»")/2 -
- Щ\ + §iS (PW]Pk + bMpt) + aml (gis (bm + bmlsx) Aikm -
- Аит {\m + bimlix) ~ AU ibm + ЬцоМ)/х-
Аналогичное выражение получается для пространства Кро-
пиной 2).
Коэффициенты связности Бервальда записываются в до-
довольно простом виде. Например, для пространства Рандерса мы
имеем 3)
°' в т({ /*
Двумерные пространства Ландсберга с (а, Р)-метрикой по-
подробно изучались в статье Хасигучи, Хойо и Мацумото
[1]. Они нашли полное описание ландсберговых метрик Ран-
Рандерса и Кропиной:
Теорема. Двумерное финслерово пространство с метрикой
Рандерса является пространством Ландсберга тогда и только
тогда, когда метрика записывается в виде
F = k ((б,J + (Ь2J)Ь2 ((хУ + (х2JI12 + М1 + Ь2х\
где k — константа, a bt — градиент гармонической функции пе-
переменных х'.
Теорема. Двумерное финслерово пространство с метри-
метрикой Кропиной является пространством Ландсберга тогда и
только тогда, когда Pi + ф2 является комплексной аналитиче-
аналитической функцией переменной х1 + ix2.
Теорема. Двумерное финслерово пространство с обоб-
обобщенной метрикой Кропиной F = am+1/Pm, шфО, —1, является
пространством Ландсберга тогда и только тогда, когда
m In (F,J + F2JI/2 + i arth-^-
является комплексной аналитической функцией переменной
Xх -f ix2 и выполняется условие m({b\)A~{Ьф2J + (Ь2L) +
&2
+ ()
Как известно из работы Мацумото [5], пространство
Рандерса является пространством Ландсберга тогда и только
тогда, когда векторное поле bi{x) параллельно относительно
римановой связности в Vn, т. е. Ьц = 0. Это также верно при
') Сибата, Снмада, Адзума и Я с уда [1].
2) См Сибата [1].
3) См. С и б а т а, С и м а д а, Адзума и Ясуда [1].
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 429
замене Ьц — 0 условием Ьщ = 01). Кроме того, Ьц = О экви-
эквивалентно Л, |о = 0, а также эквивалентно Dy'n=02). Дальней-
Дальнейшие свойства пространств Ландсберга— Рандерса изучались
в работе Сибаты, Симады, Адзумы и Ясуды [1], в
которой были доказаны две следующие теоремы:
Теорема. Если пространство Рандерса размерности п~^2
является пространством. Ландсберга скалярной кривизны, то
пространство Рандерса либо является римановым, либо ло-
локально является пространством Минковского, причем при
п = 2 имеет место только вторая возможность 3).
Теорема. Для пространства Ландсберга — Рандерса сле-
следующие условия эквивалентны:
1) У пространства скалярная кривизна R.
2) У пространства постоянная кривизна R.
3) Пространство локально плоское или постоянной кривиз-
кривизны в зависимости от R = 0 или R ф 0 соответственно.
С помощью коэффициентов Dj'k третий картановский тензор
кривизны пространства Рандерса получается в следующем яз-
ном виде:
{D,l
h i *
г
где Rfhk — риманов тензор кривизны пространства Vn. Ана-
Аналогичное выражение получается для пространства Кропиной4).
Символ %{hk) обозначает перестановку индексов h, k и вычита-
вычитание.
С помощью этого выражения Ясуда и Симада [1] уста-
установили необходимые и достаточные условия того, чтобы у про-
пространства Рандерса была скалярная кривизна. Кроме этого,
они вывели условие постоянства кривизны пространства Ран-
Рандерса. Было найдено, что если пространство Рандерса имеет
постоянную кривизну R, то вектор bi — либо градиент, либо
трансляция (т. е. &<«•/) = 0 и Ь'Ьц = 0) в У„. Пространство Ран-
Рандерса постоянной кривизны R с градиентным вектором bi или
с трансляцией 6,- называют РПГ-пространством или РПТ-про-
странством соответственно. В вышеуказанной работе были до-
доказаны следующие теоремы:
!) См. Сибата, Симада, Адзума и Ясуда [1], Хасигучи и
Ичийо [1].
2) См. Мацумото [5] и Сибата, Симада, Адзума и Ясу-
Ясу]
2)
да [1].
3)
При п 5= 3 эта теорема была доказана с большей общностью в работе
т ы [2].
4) См. Сибата [1].
) р 5
Н у м а т ы [2].
4) С. Си
430 ДОБАВЛЕНИЕ I
Теорема. Пространство Рандерса является РПГ-про-
странством тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) Ьц = (bb)
2) с2 + 4
3) Rhikf= —
Теорема. Пространство Рандерса является РПТ-про-
РПТ-пространством тогда и только тогда, когда имеют место условия:
1) Векторное поле bi является трансляцией в W,
2)
+ R (bijbkuu + ahkb,b, + (p — \)ajhaik} (R = const).
Теорема. Для пространства Рандерса (bi ф 0) следую-
следующие условия взаимно эквивалентны:
1) Пространство Рандерса локально является простран-
пространством Минковского.
2) Пространство Рандерса обладает постоянной кривизной
R = 0.
3) Третий картановский тензор кривизны Rjlnm обращается
в нуль.
4) Пространство Рандерса является пространством с абсо-
абсолютным параллелизмом линейных элементов в смысле Кар-
тана.
Как следствие этого пространство Рандерса локально яв-
является пространством Минковского тогда и только тогда, когда
Ri'nm = 0. Такое же необходимое и достаточное условие того,
что;бы пространство Кропиной локально являлось простран-
пространством Минковского, доказал недавно Сибата [1] в предпо-
предположении, что метрика Кропиной является положительно опре-
определенной.
Наконец, РПГ-пространство Рандерса (bt ф 0) локально
является пространством Минковского, если выполнено одно из
следующих условий '):
1) р — константа в Vn;
2) р не постоянно и всегда п ^ р или л<р в Vn-
Кроме того, было показано2), что bt не может быть концир-
кулярным векторным полем в пространстве Рандерса. Вектор-
Векторное поле vi(x) называется конциркулярным, если
vt 11 — vivi + Ф (*> *)?</•
Необходимое условие конциркулярности Vi(x) имеет вид
•) Ясуда иСимада [1].
2) Сибата, Симада, Ад
зума и Ясуда [1].
О -СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 431
Систематическое исследование основных характерных тен-
тензоров пространства Кропиной было проведено недавно в ста-
статье Сибаты [1], которую мы частично цитировали выше.
В частности, он установил необходимые и достаточные ус-
условия того, чтобы пространство Кропиной было пространством
Бервальда.
Теорема. Пространство Кропиной является простран-
пространством Бервальда тогда и только тогда, когда ковариантная
производная V/b< от bt относительно ассоциированной римано~
вой связности записывается в виде
V/6, = Ьп (ЬтЬптаИ + btbn! - b,b№t)/p.
Теорема. Пространство Кропиной является простран-
пространством Бервальда тогда и только тогда, когда тензор Ш-11тп об-
ращается в нуль, в предположении положительной определен-
определенности метрики Кропиной.
Кроме того, Сибата исследовал условия того, чтобы про-
пространство Кропиной локально являлось пространством Мин-
ковского.
Теорема. Пусть метрика Кропиной является положи-
положительно определенной. Тогда следующие условия эквивалентны;
1) Пространство Кропиной локально является простран-
пространством Минковского.
2) Тензор кривизны Бервальда и тензор Eijmn обращаются
в нуль.
3) Третий картановский тензор кривизны обращается в
нуль.
С-сводимые финслеровы пространства обсуждаются также
в статьях Идзуми [1] — [3], Идзуми и Йосиды [ 1 ], М а -
цумото [8], [9], Мацумото и Нуматы [1], Мацу-
мот о и Симады [3], Нуматы [3], Снмады [1].
2. О калибровочно инвариантной структуре проективных
тензоров пространства Рандерса. В настоящем разделе мы до-
дополним результаты, описанные в предыдущих параграфах, вы-
вычислением явной формы проективных величин пространства
Рандерса. Оказывается, что структура этих величин обладает
интересными простыми свойствами.
Запишем уравнения геодезических пространства Рандерса,
выбирая риманову длину дуги s (так что ds = a(x, dx)) в ка-
качестве параметра вдоль геодезических. Тогда 'мы легко полу-
получим уравнения геодезических в следующем виде:
^- + 2Gm(x,x) = 0, D.1)
432 ДОБАВЛЕНИЕ I
где х' = dxl/ds,
Gm=fm+ Gm,
Гт(х, X) = \{.mj)xixi, D.2)
Gm(x, x)=ja(x, x)xlFtm(x) D.3)
и Fim = amnFln, Fmn=-2b{nm]^^r-^-. Тензор Fmn яв-
является калибровочно инвариантным, т. е. он остается неизмен-
неизменным при добавлении произвольного градиента к bi(x).
Примем точку зрения общей геометрии путей (см. гл. III,
§ 3) и вычислим последовательно
G(m == Щ- = XiGma~2 + — Fima, D.4)
q m _ dGjm =
1 ' dx1'
= j [Ba,7Gmcr' + XtFj + x,Ftm) a'1 - 2xlx,Gma~i], D.5)
где xi = aijx'. Кроме того,
f .m == ^m __ j 'П I jri
Коэффициенты D.4) и D.5) обнаруживают замечательное
свойство:
Gmm = 0, ОЛя-О,... D.6)
Поэтому, если мы выберем координаты х1 основного многооб--
разия так, что,бы ')
\.'п Wl-?rln|det(an,)| = O, D.7)
li m ) 2 дх1 '
то мы увидим, что общее выражение для проективных коэффи-
коэффициентов связности D.8.22)
ПЛ = ОГ, - -^ {btmGrr, + b,mGrrt + *mGrr{/) D.8)
в нашем случае сводится к упрощенному виду
Пш 7> m
i j — V
j.
') Что всегда возможно локально; см., в частности, Эйзенхарт [2],
5. 104.
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕР013ЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 433
Это означает, что параметр s является проективным (см. гл. IV,
§ 8, п. 2). Итак, мы можем сделать следующий вывод:
Предложение. Для пространства Рандерса параметр
римановой длины дуги вдоль путей является проективным па-
параметром по отношению к координатам х\ выбираемым со-
согласно D.7).
Далее, из D.8) и D.5) следует, что 6,- входит в проектив-
проективные коэффициенты связности пространства Рандерса только
через калибровочно инвариантный тензор Fij. Вспоминая, что
каждый дифференциальный инвариант, остающийся неизмен-
неизменным при проективном преобразовании, выражается через ILm/
и их производные (см. гл. IV,.§ 8, п. 2), мы заключаем:
Предложение. Каждый проективный инвариант про-
пространства Рандерса является калибровочно инвариантным.
Проективно инвариантный тензор B,m;n = dHim,/dxn D.8.23)
может быть теперь легко построен с помощью D.8) и D.4) в
следующем виде:
-Fr-rF m 4- rv F,m-I- r f.F,m-l-
+ 2Gm (*,aM + x/am- + xnatl) a] a~3 + ЗО1"*^^-6. D.9)
Фундаментальное значение тензора B<m/n заключается в хо-
хорошо известном факте (гл. IV, § 8, п. 2), что обращение этого
тензора в нуль является необходимым и достаточным условием
того, чтобы общее пространство путей сводилось проективным
преобразованием
G1 (х, х) = G1 (х, х) — Р (х, х) х1, D.10)
где Р(х, х)—произвольная (достаточно гладкая) функция со
свойством положительной однородности первой степени по х,
к пространству путей ограниченного типа, т. е. чтобы суще-
существовала параметризация путей, для которой Gtmj не зависят
от векторов х'.
Из D.9) легко, однако, сделать вывод, что Bim\n = 0 влечет
за собой Fij — 0. Действительно, из D.9) мы легко получаем
следующее соотношение:
2Bim!naln = (п + 1) (Fim - 2i;GmGT3) a.
Поэтому ввиду произвольности векторов Xi из этого выраже-
выражения немедленно следует, что его обращение в нуль возможна
тогда и только тогда, когда Рц = 0,
434 ДОБАВЛЕНИЕ I
Итак, мы установили:
Теорема. Пространство Рандерса сводится проективным
преобразованием к пространству путей ограниченного типа
тогда и только тогда, когда bt(x) является градиентом.
По отношению к параметру s тензор кривизны D.6.7)
_ (до т. - - _ _ \
Яш от I n i | /~. г Г1 т | /1 m л г I
« И = %Л I / + (Jn iOr j + <Jr n/Oi I
может быть вычислен с помощью D.4), D.5) в довольно про-
простом, виде:
Нптц = Rnmu + 4 Кип [FnmFtl + aniFiSFsm - FniF,m +
+ 2 {x^fr + kkaniVjFkm + xtV,Fnm) a -
-2xkxnxi(VlFkm)a~3]. D.11)
He зависящая от направлений часть этого тензора, очевид-
очевидно, равна
Нптц = кгтц + 4 И<,/> [FrTFu + amFfFs™ - FniFjm)- D.11 а)
Это выражение не включает в себя производных от Fij(x). Век-
Векторы х' входят только в те члены в правой части D.11), кото-
которые содержат риманову ковариантную производную V/.
Выражение D.11) является полиномом третьей степени по
и' = х'/а, причем производные Vm-fV являются коэффициен-
коэффициентами членов, содержащих и'. В результате мы приходим к сле-
следующему предложению.
Предложение. Тензор D.11) является не зависящим от
направлений тогда и только тогда, когда SmFJ обращается в
нуль.
Тензор D.11) калибровочно инвариантен, в отличие от тен-
тензора кривизны Бервальда, не являющегося калибровочно ин-
инвариантным. Сравнивая D.1) — D.3) с выписанными в преды-
предыдущем п. 1 коэффициентами связности Бервальда, мы видим,
что коэффициенты связности Бервальда, а следовательно, и
тензор кривизны Бервальда (отвечающий параметру финсле^
ровой длины дуги вдоль путей) могут рассматриваться как ре-
результат проективного преобразования D.10) калибровочно ин-
инвариантных аналогов (D.2), D.3) и D.11) соответственно)"
с производящей функцией
Р(х, х) = - j bmx'xnF-x + blb{imlxmx~\
которая не является калибровочно инвариантной;
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 435
Свертка дает
= Фи + j (**// + *//* + aiiXnJn)/a + j XtXjxVJa3, D.12)
где /„ = VmFnm и
Ф«/ = kt, + ~ FtnF!n + -i auFmnFrmanr. D.13)
Г Г
Rif = Rimjm — риманов тензор Рнччи. Симметрия
Htl = Hn D.14)
является прямым следствием тол<деств D.3). Другая свертка
дает нуль:
' Hnntl^Hft-Htt = 0. D.15)
Свойство D.14) сводит общее выражение для проективного
тензора Вейля D.8.16а) к следующему упрощенному виду:
1Т^п + -^—-^I D.16)
3. О приложении теории пространства Рандерса в теории
электромагнитного поля. С точностью до константы функция
Лагранжа пробного электрического заряда получается из ме-
метрики Рандерса A.13) после подстановки в нее выражения
bt(x) = -^At(x), D.17)
где Ai — векторный потенциал электромагнитного поля, е и
то — электрический заряд и масса покоя заряда, с — скорость
света. Поэтому результаты теории пространства Рандерса мо-
могут применяться при исследовании свойств электромагнитного
поля и, в частности, при изучении структуры электродинамики
как физической теории.
Рассмотрим следующую проблему. Как хорошо известно,
экспериментальная информация о классических полях (из ко-
которых известно гравитационное и электромагнитное поля) по-
получается путем наблюдения их влияния на движение матери-
материальных тел (или частиц). Таким наиболее элементарным про-
процессом является наблюдение мировых линий пробных частиц
в этих полях.
Однако коэффициенты Gm(x, x), входящие в обыкновенные
дифференциальные уравнения второго порядка хт + Gm (x, х) =
= 0, хт = dxm/dt, представляющие аналитически мировые ли-
линии, существенно зависят от выбора параметризации мировых
линий. В то же время полевые переменные обычно строятся
именно по коэффициентам Gm. Напротив, сами мировые линии,
436 ДОБАВЛЕНИЕ I
как четырехмерные кривые, являются инвариантными гео-
геометрическими объектами, существующими независимо от спо-
способа выбора параметра t. Следует также подчеркнуть, что в
экспериментах (например, в камерах и т. п.) наблюдаются имен-
именно мировые линии, тогда как параметр / может выбираться
исключительно из соображений удобства.
Следовательно, физические поля должны определяться ми-
мировыми линиями пробных частиц независимо от специальной
параметризации.
Таким образом, мы приходим к следующей интересной про-
проблеме.
Проблема. Указать путь построения полевых перемен-
переменных, описывающих классические поля, безотносительно к ка-
каким-либо специальным параметризациям мировых линий проб-
пробных частиц.
Наиболее общая замена параметра порождается проектив-
проективным преобразованием D.10). Очевидно, что любая величина,
которая может быть построена только с помощью проективных
коэффициентов связности, имеет параметрически инвариантный
смысл. Принимая во внимание явную форму коэффициентов
D.8), D.5) и D.3), мы можем сделать вывод:
Предложение. Тензор Fmn(х) электромагнитного поля
имеет параметрически инвариантный смысл.
Действительно, D.5) является полиномом третьей степени
по и'==х'(а), так что Fmn легко может быть выделен из коэф-
коэффициентов этого полинома.
Далее, выражение D.11а) возникает как прямое обобщение
риманова тензора кривизны на случай, когда принимается во
внимание электромагнитное поле. Следуя работе А с а н о в а
[1], где тензор D.13) был получен явно (формула B5) из этой
работы), мы назовем тензор D.13) тензором Риччи гравиэлек-
тромагнитного поля. Сравнивая D.13) с D.12), мы можем сде-
сделать вывод:
Предложение. Уравнения Максвелла электромагнитного
поля в вакууме эквивалентны утверждению, что тензор Риччи
D.12) гравиэлектромагнитного поля не зависит от направле-
направлений.
Действительно, D.13) совпадает с D.12), только если элек-
электрический ток (который равен (m0c2/e)Jn в наших обозначе-
обозначениях) обращается в нуль. Остальная часть уравнений Макс-
Максвелла в вакууме, а именно, VmFij + V/Fmi + ViFJm = 0, является
тождеством вследствие определения Ft/ = Vib,- — Vjbt.
Более того, свертка Ф{х) = атп(х)Фтп{х) дает скаляр
O(x) = R + ^FmnFmn D.18)
О СПЕЦИАЛЬНЫХ ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 437
(п = 4), который в точности равен функции Лагранжа электро-
электромагнитного и гравитационного полей. В результате мы прихо-
приходим к следующему выводу:
Предложение. Не зависящая от направлений часть
скалярной кривизны gmn{x,x)Hmn{x,x) калибровочно инва-
инвариантного тензора D.11) является плотностью полевого лагран-
лагранжиана электромагнитного и (риманова) гравитационного по-
полей в вакууме.
Обратим внимание на то, что если мы подставим Ft,- =
г
= (e/moc2)Fij, где F-ц — ^Л/ — У/А/, то получим Ф = R +
+ у (e/moc2JF 1,РЦ, так что множитель у Ри-Р1' определяет еди-
единицу заряда. Варьируя эту единицу, мы при желании можем
отделить переменные собственно электромагнитного поля от гра-
гравитационных.
Итак, мы видим, что существует внутренний геометрический
способ построения полевого лагранжиана, исходя из функции
Лагранжа пробных частиц.
Следует подчеркнуть, что результаты теории пространства
Рандерса могут быть интересны для физических приложений
в электродинамике только тогда, когда они соответствуют не-
ненулевому тензору Fij, т. е. только тогда, когда 6,-(jc) не является
градиентом. В особенности калибровочно инвариантные вели-
величины представляют интерес для физических приложений, по-
поскольку Fa, а не поле D.17), является физически наблюдаемой
величиной. В этой связи мы отметим, что финслеров перенос
собственной системы отсчета пробного электрического заряда,
изучавшийся в статье Ас а но в а [6], сводится к рассмотре-
рассмотрению переноса репера hf] с проективными коэффициентами
связности. Именно, уравнение B3) из этой статьи, представ-
представляющее такой перенос, может быть записано в виде
dh{a)
-±--T\imn(x,uk)h^un = Q, a= 1,2,3, D.19)
что очевидно после сравнения D.5) и D.8) с формулой B3)
из указанной статьи.
Простейшим, но нетривиальным, примером электромагнит-
электромагнитного поля является однородное поле, т. е. поле со свойством
S/iFmn — 0. Из предыдущего параграфа мы можем сделать вы-
вывод, что тензор D.11) не зависит от направлений тогда и только
тогда, когда электромагнитное поле однородно. Однородные
электромагнитные поля изучались многими авторами1)- В част-
') См. Асанов [6]; Баргманн, Мичел и Телегди [1]; Хёниг,
Шукинг и Вишвешвара [1].
438 ДОБАВЛЕНИЕ I
ности, было показано, что мировые линии пробных заряжен-
заряженных частиц в однородном электромагнитном поле являются
спиралями1), т. е. что скаляры Френе остаются постоянными
вдоль мировой линии. Из предыдущего параграфа следует так-
также, что девиации пробных зарядов в таком поле описываются
не зависящим от направлений тензором D.11а) аналогично
случаю только гравитационного поля.
') Хёниг, Шукинг и Вишвешвара [1].
Добавление II
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(Г. С. А с а н о в)
Развитие финслерова обобщения теории относительности представляется
интересной и актуальной теоретической проблемой. Число публикаций в этой
области заметно растет '), хотя все еще довольно медленно. Наличие многих
пробелов в выяснении возможностей финслерова подхода к общей теории от-
относительности может вызвать чувство удивления ввиду широкой распростра-
ценности различных, часто довольно абстрактных, математических методов в
современной общей теории относительности. Простейшую причину этого мож-
можно видеть в том, что финслерова геометрия пока не получила широкого рас-
распространения среди специалистов в области теоретической физики. В настоя-
настоящем добавлении предпринята попытка наметить контуры тех методов, кото-
которые дает фннслерова геометрия для метрического обобщения теории относи-
относительности. Эти методы часто основываются на специальных финслеровых
пространствах.
§ 1. Основные принципы развития финслерова обобщения
теории относительности
Финслерово обобщение римановой метрической структуры пространства-
времени предполагает введение зависимости метрического тензора от кон-
конгруэнции кривых. Пусть р — некоторая четырехмерная конгруэнция кривых
класса С2. Выберем некоторое контравариантное векторное поле Ьт(х) такого
же класса, касательное к р. Относительно |3 финслеров метрический тензор
пространственно-временного многообразия, обозначаемый в настоящем добав-
добавлении через fmn(x,yJ), однозначно определит следующий риманов метриче-
метрический тензор:
gmn(x;P)<=fmn(x,b(x)), A.1)
функционально зависящий от р-конгруэнции. Риманово пространство-время
с метрическим тензором A.1) является соприкасающимся (см. гл. III, § 5) с
основным финслеровым пространством-временем вдоль р-конгруэнции. В силу
') См. следующие недавние статьи и ссылки в них: И. Такано [1]—[5],
Мацумото [7], Ингарден [3], Икеда [1] —[6], Богословский
[1] — И, Каваллери и Спинелли [1], Асанов [4] — [13].
2) В предыдущих разделах книги касательные векторы обозначались
через х1. Такое обозначение заимствовано из вариационного исчисления, в ко-
котором финслерова метрическая функция играет роль функции Лагранжа, а х'
обозначают скорость. Тем не менее во многих геометрических рассмотрениях
под х' понимается просто касательный вектор. Чтобы избежать неправильных
ассоциаций, мы в настоящем добавлении, следуя обозначениям ряда новейших
статей, обозначаем касательные векторы через у\ тем самым подчеркивая, что
х' и у' являются, вообще говоря, независимыми переменными. В тех же слу-
случаях, когда рассматриваемый касательный вектор действительно получен диф-
дифференцированием х' по некоторому параметру (это будет ясно из контекста),
сохраняется прежнее обозначение х'.
440 ДОБАВЛЕНИЕ II
свойства нулевой однородности финслерова метрического тензора по каса-
касательным векторам у' каждое векторное поле Ьт(х), касательное к данной
конгруэнции р, определит, согласно A.1), один н тот же риманов метриче-
метрический тензор.
Общее содержание финслерова обобщения римановой теории относитель-
относительности можно видеть в соответствующем обобщении принципа относительно-
относительности для свойств протяженных систем отсчета. Хорошо известно1), что в общей
теории относительности система отсчета может геометрически представляться
полем четырех линейно независимых векторов (реперов). Зависимость метри-
метрического тензора от Д-конгруэнций имеет своим прямым следствием центро-
аффинную (нелоренцеву) деформацию риманова метрического тензора A.1) и
его собственных тетрад при изменении |3-конгруэнции. Этот эффект может
рассматриваться как деформация реперов протяженной системы отсчета, вы-
вызывающая деформацию риманова метрического тензора. В соответствии с этим
мы в качестве общего отправного пункта постулируем следующий
I. Финслеров принцип относительности. Риманов метриче-
метрический тензор пространственно-временного многообразия не может быть одно-
однозначно определен безотносительно к выбору какой-либо протяженной системы
отсчета с некоторой (J-конгруэнцией. Он, вообще говоря, центроаффинно де-
деформируется относительно систем отсчета с различными C-конгруэнциями. Все
системы отсчета с допустимыми C-конгруэнциями равноправны.
Раскрытие физического содержания и возможных физических приложений
зависимости метрического тензора от (J-конгруэнций является одной из общих
задач теории. В § 3 мы попытаемся показать, что р-конгруэнция собственной
протяженной системы отсчета инерциального, локально непробного тела сов-
совпадает с базисной конгруэнцией, т. е. с конгруэнцией, касательной к полю
четырехмерных скоростей движения системы отсчета. Для начала, однако,
можно мыслить C-конгруэнцию системы отсчета как «внутреннюю» степень
свободы, влияющую на метрический тензор и его собственные тетрады.
Отправляясь от общей идеи принципа I, мы должны допустить зависи-
зависимость метрического тензора не только от точек хт пространственно-времен-
пространственно-временного многообразия, но также и от касательных векторов ут. Такая зависи-
зависимость естественно описывается финслеровой геометрией.
В дальнейшем будет предполагаться, что в каждой точке хт концы до-
допустимых касательных векторов ут заполняют односвязную открытую че-
четырехмерную область 2 + (х) а Т(х), содержащую конечную точку выделен-
выделенного касательного вектора Sm(x), о котором будет идти речь ниже (см. прин-
принцип III). В соответствии с этим р-конгруэнция допустима тогда и только тог-
тогда, когда bm(x) eH+(x).
В силу основных тождеств гл. I, §§ 1 и 3 финслеров метрический тензор
может рассматриваться как такой симметричный тензор fmn(x,y), который
удовлетворяет условиям:
Сь fmn(x, у) положительно однороден нулевой степени по касательным
векторам у;
С2. Тензор — dfmnldyk полностью симметричен по всем своим индексам
ш, п, k.
Условие Ci имеет ясный физический смысл. Пусть C-конгруэнции некото-
некоторых систем отсчета совпадают с их базисными конгруэнциями. Тогда, по-
поскольку любые два коллинеарных четырехмерных вектора в некоторой точке
х в действительности описывают одну и ту же скорость, условие Ci означает,
что метрический тензор может изменяться только при изменении самой ско-
скорости, а не длины четырехмерных вектороа, представляющих эту скорость гео-
геометрически. Если условие Q выполнено, то С2 очевидно является необходи-
необходимым и достаточным условием существования «производящей» функции F(x, у),
удовлетворяющей A.3.1) и имеющей смысл основной метрической функции.
') См., например, Тр ед ер [1].
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 441
Существование такой функции позволяет сформулировать недостающее
понятие эквивалентности. Введем следующее
Определение. К-группой в точке х называется группа всех линейных
унимодулярных преобразований допустимых касательных векторов ут е
б=2 + (лг), оставляющих инвариантной основную финслерову метрическую функ-
функцию F{x,y).
Если обзначить через К™ (х) коэффициенты некоторого преобразования
из /(-группы, то
F(x,KZ(x)ym)=*F(x,ym) A.2)
для любого f eS+(j(). Преобразования из К-группы будут для краткости
называться /(-преобразованиями.
По определению /(-преобразования сохраняют финслерову длину допусти-
допустимых касательных векторов. Поэтому они переводят единичные касательные
векторы /'" = y'n/F (лежащие на индикатрисе) в единичные. Достаточно дать
определение эквивалентности для единичных касательных векторов.
Определение. Два допустимых единичных касательных вектора
'(?) и 'B)> опирающихся на одну и ту же точку х, называются эквивалент-
эквивалентными, если существует связывающее их ^-преобразование, т. е. если
'B)== ^гГ W '(") для некоторого /(-преобразования. Финслерова метризация
удовлетворяет условию эквивалентности, если любые два допустимых еди-
единичных касательных вектора, опирающихся на одну и ту же точку х, эквива-
эквивалентны.
В дальнейшем будет предполагаться, что выполнены следующие два усло-
условия.
Условие I. Рассматриваемые касательные векторы и конгруэнции кри-
кривых допустимы.
Условие II. Финслерова метризация удовлетворяет условию эквива-
эквивалентности ').
Следующим шагом является
II. Принцип пространственно-временной сигнатуры.
Финслеров метрический тензор должен иметь пространственно-временную сиг-
сигнатуру (+ — — —) для каждого касательного вектора.
Этот принцип играет одинаково фундаментальную роль как при собст-
собственно римановом, так и при финслеровом подходе к теории относительности.
Он необходим для того, чтобы риманов метрический тензор в правой части
A.1) имел пространственно-временную сигнатуру.
Финслерова теория, согласованная с принципом II, позволяет обобщить
риманову теорию относительности, основанную на собственно римановой гео-
геометрии, не вступая в противоречие с экспериментальным базисом общей или
специальной теории относительности. В этой связи следует подчеркнуть, что
локальная справедливость специальной теории относительности, вообще го-
говоря, не означает, что первичная метрическая структура действительного про-
пространства-времени неизбежно является римановой. Строгое следствие состоит
только в том, что метрический тензор (риманов или финслеров) должен иметь
пространственно-временную сигнатуру.
I) В математических терминах это условие означает, что /(-группа дей-
действует транзитивно на той части индикатрисы, которая принадлежит 2+(лг).
В противном случае ситуация выглядела бы довольно странно: эта часть ин-
индикатрисы расслаивалась бы на транзитивные поверхности, и векторы, лежа-
лежащие на этих различных поверхностях, не были бы эквивалентными. В послед-
последнем случае остается надежда достигнуть выполнения условия II путем суже-
сужения области 2+(х). Конечно, метрическая функция может не допускать ./(-груп-
./(-группы, отличной от единицы; мы отказываемся комментировать такой случай.
Условие II ограничивает возможный выбор метрической функции.
442 ДОБАВЛЕНИЕ It
Математическая формулировка принципа II имеет вид
где Р, Q = 0, 1, 2, 3, а среди коэффициентов т)Р0 отличны от нуля только
ilno = —i1ii = —1122 = —т]зз = 1. По своему смыслу f^(x, у) является кова-
риантной тетрадой финслерова метрического тензора. Взаимная контрава-
риантная финслерова тетрада /q (x, у) может быть определена, как обычно,
соотношениями fj?f? = Ьр, где 8 — символ Кронекера. Для удобства можно
подчинять выбор финслеровых тетрад условию
Из общих соображений ясно, что существование у пространства-времени
финслеровой структуры должно проявляться в зависимости физических полей,
как и самого финслерова метрического тензора, не только от точек хт, но
также н от касательных векторов ут пространственно-временного многообра-
многообразия М, или, другими словами, как зависимость полей от точек касательного
расслоения ТМ на М. Поля, зависящие от х и от у, мы будем называть обоб-
обобщенными полями.
Касательное расслоение ТМ пространственно-временного многообразия М
можно рассматривать как общий геометрический образ пространства-вре-
пространства-времени1). М — только часть ТМ, а именно, его база. Одновременно с этой об-
общей точкой зрения на пространстп-время возникает вопрос фундаментального
физического значения: каковы метрические свойства самого ТМ и какова
структура физических полей на ТМ}
Для анализа этого вопроса необходимо применять методы теории метри-
метрических пространств, более общих, чем римановы. Действительно, риманов
метрический тензор наделяет нетривиальной метрической структурой только
базу М, тогда как касательные пространства Т(х) он снабжает лишь три-
тривиальной метрической структурой псевдоевклидова пространства. По этой при-
причине риманова геометрия не дает возможностей для конструктивного анализа
проблемы общих метрических свойств касательных пространств, а следова-
следовательно, и всего касательного расслоения. Напротив, финслеров метрический
тензор метризует все касательное расслоение довольно общим образом.
Для того чтобы теория обобщенных полей ф(х, у), задаваемых на ТМ,
была согласована с известными физическими фактами, она должна определен-
определенным образом соответствовать обычной теории полей, зависящих только от х.
Поскольку в различных сечениях касательного расслоения ТМ мы получаем
различные векторные поля bm(x) на М и далее различные римановы метри-
метрические тензоры A.1) и поля ф(х, Ь(х)), то строгое соответствие устанавли-
устанавливается требованием, чтобы одно из этих сечений давало обычно рассматривае-
рассматриваемые поля на М, зависящие только от х. Обозначая векторное поле, отвечаю-
отвечающее такому выделенному сечению, через Sm(x) и называя конгруэнцию каса-
касательных к Sm(x) кривых S-конгруэнцией, мы, таким образом, устанавливаем
III. Принцип соответствия Физические поля ф(х), зависящие
только от х, должны совпадать с их обобщениями ср(х,у), взятыми на выде-
выделенной времениподобной S-конгруэнции, так что ф(х) = ц>(х, S(x)).
Времениподобность, о которой говорится в этом принципе, понимается от-
относительно обычного эйнштейновского риманова метрического тензора gmn(x),
который представляется в виде
gmn(x) = fmn(x,S(x)). A.5)
') Читателя, желающего подробно ознакомиться с расслоениями, ассоции-
ассоциируемыми с пространством-временем, мы отсылаем к работе Траутма-
на [1].
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 443
Удобно подчинить длину векторов Sm(x) условию единичности
8та М Sm (х) Sn (X) = 1. A.6)
Строгое соответствие финслеровой теории относительности специальной
теории относительности может быть легко установлено с помощью простых
рассмотрений Действительно, зафиксируем некоторую точку х и обозначим
через ит четырехмерный вектор скорости достаточно малой материальной ча-
частицы |л в окрестности точки х. Финслеров метрический тензор различен отно-
относительно различных неколлинеарных векторов г/[^ и yfyt так что соответ-
соответствующие собственные тетрады будут также различными и неортонормиро-
ванными друг относительно друга. Если специальная теория относительности
строго справедлива для некоторого набора частиц ц с различными скоростями
ит, то это просто означает, что все частицы из этого множества, независимо
от их скоростей ит, остаются связанными с одним и тем же касательным век-
вектором; именно его мы и обозначили выше через Sm(x). По своему смыслу
Sm(x) должен быть времениподобным по отношению к обычному эйнштейнов-
эйнштейновскому риманову метрическому тензору A.5).
Вместе с тем кинематика частиц, связанных с различными касательными
векторами, может быть различной (см. §§ 2 и 3). Поэтому финслерово обоб-
обобщение ставит перед физической теорией интересный вопрос о том, при каких
условиях на частицу jx и ее скорость ит собственный касательный вектор у'"
частицы начинает отклоняться от Sm. Мы остановимся на обсуждении этого
вопроса в § 3.
Понятие выделенного векторного поля естественно появляется уже в са-
самой чисто римановой теории относительности. Пусть, в частности, гравита-
гравитационное поле является статическим, т. е. существуют такие координаты хт,
т = О, 1, 2, 3, называемые статическими, по отношению к которым риманов
метрический тензор A.5) имеет статический вид: gOo — goo (xa), gay = gay (x6),
goa = О (a. Y> 6 = '> 2, 3). Тогда векторное поле единичных времениподоб-
ных векторов мирового времени
S° = (?oor4 Sa = 0. A.7)
играет роль выделенного векторного поля. Для A.7) тождественно выпол-
выполняется следующий закон сохранения:
VmSm = O, A.8)
где Vm — оператор риманова ковариантного дифференцирования. Если мы обо-
обозначим" через 5И тело, создающее рассматриваемое статическое гравитацион-
гравитационное поле, то на границе Г этого тела векторное поле Sm(x), очевидно, удо-
удовлетворяет следующему граничному условию:
где ит(х)—четырехмерная скорость точки х границы. С помощью краевой
задачи A.6) — A.9) выделенное векторное поле Sm(x) может быть определено
также и в гравитационном поле N гравитирующих тел.
В литературе по общей теории относительности неоднократно развива-
развивались теории, содержащие специальное векторное поле (см., в частности, об-
обзор: Вилл и Нордведт [1])- Следует подчеркнуть, что гравитирующее
тело Ш уже самим фактом своего присутствия порождает выделенное поле
направлений согласно уравнениям A.8), A.9), нарушая тем самым мыслимую
изотропность абсолютно пустого пространства-времени. Показательно, что
даже на бесконечном удалении от статического гравитирующего тела про-
пространство-время 1^4 не является просто псевдоевклидовым пространством Ei}
в действительности оно имеет более сложную структуру, которую можно сим-
символически описать формулой
Vt {г -> оо) = ?4 + Sm.
444 ДОБАВЛЕНИЕ II
Хотя при г -*¦ оо пространство-время локально изотропно в силовом смысле
(обращение в нуль риманова тензора кривизны), тем не менее с точки зрения
своей первичной геометрической структуры оно локально анизотропно соглас-
согласно предыдущей формуле.
Нормальные к 5-конгруэнции векторы
g™ (х) = - SnVnSm A.10)
по своему смыслу являются векторами гравитационного ускорения частицы,
покоящейся относительно системы отсчета с базисной S-конгруэнцией. В ста-
статическом поле вследствие равенства A.7) имеют место тождества
VaSm = 0, A.11)
как это нетрудно проверить. Поэтому гравитационное ускорение будет со-
сохраняющейся величиной, т. е.
Vmgm = 0, A.12)
как следствие тождества A.11). Этот факт дает, в частности, возможность
инвариантно определять массу покоя М тела 5И с помощью обычной теоремы
Гаусса. В шварцшильдовском гравитационном поле в сферических координа-
координатах вектор g'n в точности равен вектору ньютоновского гравитационного уско-
ускорения, т. е. среди gm отлична от нуля только одна компонента, равная
' = -— A13)
г3 '
где G обозначает гравитационную постоянную.
Соотношение A.5) означает, что мы формулируем соответствие финслеро-
вой структуры пространства-времени с римановой с помощью выделенного со-
соприкасающегося риманова пространства (добавление I, § 3). Тетрадное поле
h™, Р = 0, 1, 2, 3, риманова метрического тензора A.5) будет связано с ос-
основным полем реперов S™, А = 1, 2, 3, 4, линейным преобразованием C.39)
из добавления I. Это преобразование легко вычисляется явно для бервальд-
мооровской 1-формовой финслеровой метрики A.14) с помощью формул
B.49), B.50) из добавления I. Оно имеет вид
Sm ' Iт *У^ ит
i — т~ !1п ; 'ч »
4 " 4 V3 L
, . к- О-5а)
4"°^7УЗ ' ~W 3 "* 4
, V2
Обратно,
utn1
2
A.5Ь)
Па == ~. I — Оо ~\~ &д )•
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 443
Зависимость финслерова метрического тензора от касательных векторов
приводит к тому, что области 2+(лг) с: Г(лг) становятся касательными рима-
новыми пространствами (см. гл. III, § 5).
IV. Принцип инвариантности. По переменным ут (свободные)
обобщенные физические поля должны быть инвариантными относительно
группы движений касательного риманова пространства.
Этот принцип является простым перенесением аналогичного принципа ри-
мановой теории относительности. Принцип IV дает возможность формулиро-
формулировать полевые уравнения, определяющие зависимость обобщенных полей от ка-
касательных векторов (см., в частности, § 4). Принцип тривиально удовлетво-
удовлетворяется для самого финслерова метрического тензора.
Выбор различных финслеровых метрических тензоров, удовлетворяющих
принципам II, III, будет соответствовать различным группам движения G (х)
касательных римановых пространств, соответствующих точкам х. Обратно,
фиксируя G(x), можно получить финслеров метрический тензор. В действи-
действительном пространстве-времени группу G(x) можно конкретизировать, исходя
из свойств инвариантности некоторой рассматриваемой совокупности физиче-
физических полей по внутренним координатам.
Напомним в этой связи, что физические поля характеризуются не только
инвариантными свойствами по переменным х (внешние симметрии), но также
и внутренними симметриями, не связанными с х. Преследуя цель развития
теории физических полей на касательном расслоении пространства-времени,
мы немедленно обнаруживаем, что поля должны зависеть не только от «внеш-
«внешних координат» х, но также и от «внутренних координат» у. На этом пути
возникает интересная физическая идея: если геометрическая структура дей-
действительного пространства-времени такова, что пространственно-временное
многообразие М является лоренц-инвариантным, а его касательные простран-
пространства, рассматриваемые как касательные римановы пространства, симметричны
относительно некоторой группы G(x), то физические поля должны быть лоренц-
инвариантными по переменным х и G(x) -инвариантными по переменным у.
Как хорошо известно, в пренебрежении электромагнитными взаимодей-
взаимодействиями физические поля инвариантны относительно группы изотопических
симметрии, которую можно рассматривать как группу движений трехмерного
евклидова пространства, называемого в этом контексте изотопическим про-
пространством. Электромагнитное поле разрушает строгую изотопическую инва-
инвариантность, но сохраняет инвариантность относительно вращении вокруг век-
векторного потенциала электромагнитного поля.
Такие соображения диктуют вполне конкретный выбор G(x), в результате
чего возникает тесная связь свойств симметрии сильных и электромагнитных
взаимодействий с группой движений касательных римановых пространств.
Ограничиваясь рассмотрением только единичных касательных векторов, лежа-
лежащих на индикатрисе, естественно формулировать инвариантность касательных
пространств на языке инвариантности самой индикатрисы.
Таким образом, пренебрегая электромагнитными взаимодействиями, мы
неизбежно приходим к следующему новому принципу (см. также § 4):
V. Принцип изотопической симметрии. Индикатриса должна
иметь нулевую риманову кривизну.
К перечисленным выше принципам следует также добавить так называе-
называемый космологический принцип1), который всегда используется в физических
построениях, хотя редко оговаривается ясно. Согласно общей формулировке
этого принципа физические законы одинаковы в локальных окрестностях
произвольных точек х. На финслеров метрический тензор этот принцип накла-
накладывает существенное ограничение, так как, вообще говоря, не исключена воз-
возможность, что хотя финслеров метрический тензор имеет пространственно-вре-
пространственно-временную сигнатуру и у индикатрисы нулевая кривизна в некоторой области,
См. формулировку и обсуждение этого принципа в книге Бонд и [1].
446 ДОБАВЛЕНИЕ II
тем не менее структура касательных в различных точках этой области рима-
новых пространств различна. Пренебрегая электромагнитным полем, разумно
исключить такие возможности как следствие равноправности всех точек х и
всех касательных римановых пространств. Этому можно дать следующую
точную формулировку:
VI. Финслеров космологический принцип. Финслерова мет-
метрика пространства-времени должна быть 1-формовой.
Действительно, согласно определению 1-формового финслерова простран-
пространства и 1-формовой метрики в § 3 добавления I, это означает, что различные
касательные пространства различаются только базисом S^(x), так что в каж-
каждом касательном пространстве относительно его собственного базиса S^ все
соответствующие формулы, описывающие касательное риманово пространство,
совершенно идентичны.
Всем вышеперечисленным принципам удовлетворяет финслерова метриче-
метрическая функция B.1) из добавления I
11/4
F{x, у)
[4 1/4
Д (S?n (x) ут)
А-\ J
как это немедленно следует из ее свойств, указанных в пп. 1 и 3 § 2 добав-
добавления I. Выделенное векторное поле определится формулой C.34) из добав-
добавления I.
Наконец, вслед за равенством A.8) можно подчинить все векторные поля
S™ (х) условию отсутствия источников (вне гравитирующих тел), т. е. усло-
условиям
VmSj* = O. A.15)
В силу линейности соотношений A.5а), A.5Ь) из A.15) следует
V^ = o (Lie)
для поля h'P (х), определенного равенствами A.5Ь). Согласно первому из ра-
равенств A.5Ь) справедливо
h^ = Sm. A.17)
§ 2. Финслерова кинематика
Систематическое использование инвариантности относительно /(-преобра-
/(-преобразований дает адекватный метод исследования финслеровой кинематики. Одно-
Одновременно это исследование иллюстрирует смысл /(-преобразований как соб-
собственных кинематических преобразований между локальными инерциальнымн
системами отсчета, у которых собственный касательный вектор ут совпадает
с вектором скорости ит. Полезным инструментом исследования финслеровой
кинематики оказывается понятие инвариантных скоростей. Ниже мы наложим
на инвариантные скорости ряд простейших предположений, в результате чего
однозначно придем к финслеровой метрической функции A.14), на которой
может быть последовательно основано финслерово обобщение теории отно-
относительности.
Из определения /(-преобразований A.2) и общего определения A.3.1)
финслерова метрического тензора fmn(x, у) следует, что. при /(-преобразова-
/(-преобразованиях этот тензор преобразуется по закону
**« (*) K'li (*> /*/ (
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 447
где у$ = К™ (х) jfi, и
К% (х) К (х) = 6f. B.2)
Далее, для финслеровых тетрад
/m(*.</<2>) = tfl«ff(*,l/(])), B.3)
ГР?Г B.4)
Всевозможные ортонормпрованные тетрады, связанные со всеми (допу-
(допустимыми) касательными векторами у'"еТ(х), могут быть получены из одной
из них, например f™ (х, S), отвечающей выбору ym = S'"(x) (где Sm(x) —
выделенный вектор, о котором шла речь в предыдущем параграфе), следую-
следующим образом:
1™ (х, у) = К"пг (х) L<j> (х) !nQ (x, 5), B.5)
где ym = К% (х) Sn (x), a L^ (x) — коэффициенты преобразований Лоренца.
Световой конус определяется обычным образом относительно каждой тетрады
fp (x, у); это определение, однако, дает различные, но изоморфные поверхно-
поверхности при различных ут. Поэтому при отклонении собственного касательного
вектора ут локальной инерциальной системы отсчета от Sm /(-преобразования
будут деформировать световой конус, определенный относительно тетрад
/р (х, S (х)) чисто римановой теории относительности.
Из B.3) — B.5) следует, что группа Лоренца и /(-группа имеют различ-
различный геометрический смысл. Именно, группа Лоренца преобразует друг в друга
все финслеровы тетрады, связанные с каким-либо фиксированным касательным
вектором ут, тогда как К-группа преобразует друг в друга финслеровы те-
тетрады, связанные с различными </'". Две эти группы действуют на различные
индексы финслеровых тетрад: /(-группа — на векторные индексы т, а группа
Лоренца — на тетрадные индексы Р. Таким образом, по своему смыслу группа
Лоренца является группой симметрии (группой Клейна) всех инерциальных
систем отсчета, связанных с каким-либо фиксированным касательным вектором
ут\ в то же время /(-группа является собственно кинематической группой ло-
локальных инерциальных систем отсчета с векторами скорости ит, идентичными
собственным касательным векторам.
Понятно, что для выяснения финслеровой кинематики достаточно исследо-
исследовать кинематику частиц с ут = ит и выявить ее специфические черты. Пре-
Преследуя эту цель, мы в оставшейся части настоящего параграфа всегда будем
предполагать ут = ит. Поскольку хт будут иметь некоторые фиксированные
значения, мы будем опускать аргумент х в формулах всюду, где это удобно.
Пусть Xi и х2 — две различные инерциальные системы отсчета с векторами
скорости и™) и йB) соответственно. Вследствие равенств у^) = ыG) и yfy = ufy
собственные ортонормированные тетрады систем отсчета xi и %2 равны
f? (H(i)) и ^Р (йB)) со°тветственно. Выбор A.4) будет подразумеваться. Отно-
Относительно Xi и Хг компоненты произвольного касательного вектора wm равны
соответственно
Поэтому в силу соотношений ufy = K% и^ц и B.3), B.4) закон преобразо-
преобразования между xi и х2 имеет вид
wpB) = wQ(l)K% wp ([) = wQ B) К%, B.6)
448 ДОБАВЛЕНИЕ II
где KPQ = К*/? («,„) f? (иB)). В частности,
«й A) = *о- «ш B) = Г0Р. B.7)
4) О) **«• 60 = «О) B) 7<Q. B-8)
= 4
ПОСКОЛЬКУ tt^j B) = «A) A) = б?.
Движение х2 относительно Xi описывается двумя трехмерными скоро-
скоростями
(а, \ = 1, 2, 3), которые определяются относительно xi внутренним образом
(т. е. для их определения не требуется покидать систему отсчета Xi), не имеют
различный физический, а также геометрический смысл. Обратные скорости,
описывающие движение щ относительно х2, равны
Пусть какой-либо источник световых сигналов покоится относительно у»2,
например, в точке wa B) = 0. Тогда относительно щ события испускания све-
световых сигналов от такого источника образуют множество неодновременных
сигналов w A) = о;0 B) Kq , где да°B) произвольны. Следовательно,
уа . »'(') .
и>" A)
Таким образом, Va находится путем наблюдения за движением каких-либо
источников сигналов, покоящихся относительно х2. Разумно назвать Va кор-
корпускулярной скоростью системы отсчета хг относительно щ.
Другую природу имеет Va. Рассмотрим относительно х2 множество собы-
событий: wa B) произвольны, а да°B) фиксированы, например w°B) = 0. Такой
набор событий можно наглядно представлять как «вспышку» системы отсчета
Хг в момент собственного времени да°B) = 0. Тогда относительно xi будет
наблюдаться множество неодновременных событий w" (I) таких, что
wQ A) /С*о = wn A К*°о + wa A) К*а = 0. Следовательно,
Va
В любой момент времени w°(l) векторы ша A) образуют трехмерную пло-
плоскость одновременных событий в Xi, н Vд, является не чем иным, как ско-
скоростью движения этой плоскости относительно хь Можно назвать Va волно-
волновой скоростью движения системы отсчета кг относительно щ.
Таким образом, Va и Va могут быть непосредственно измерены в Хь По-
Поэтому наблюдение движений различных систем отсчета относительно Х[ позво-
позволяет найти в Xi соотношение
Ро = Фа(^). B.П)
Мы назовем B.11) фундаментальным кинематическим соотношением. Это по-
понятие оказывается ценным для изучения кинематики.
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 449
По общим физическим соображениям можно подчинить B.11) ряду усло-
условий. Прежде всего мы потребуем
A) Фа(^ = 0) = 0,
что означает, что Х2 покоится относительно Xi в обоих смыслах. Далее, зада-
зададим следующее условие:
B) Взаимная однозначность и гладкость соотношения B.11) между
Va и Ги.
Фундаментальное кинематическое соотношение легко может быть записано
в тензорной форме иР = qsP(uQ). Действительно, принимая во внимание то
обстоятельство, что трехмерным скоростям B.9) соответствуют четырехмер-
четырехмерные скорости ир = КР^ирA) и ир = К*рз=ыр A), так что
Va = ua/u° и Va = ujuo,
и свертывая соотношение иа/и0 = (ра(и /ц°) с иа, мы после использования
вытекающего из B.2) тождества
ирырЕ=Ло + иа«а = 1 B.12)
получим
(°
B.13)
Up(uQ)= a
«0 + йафа (иу/ии)
где ф0 = 1.
Если фундаментальное кинематическое соотношение известно, то финслеров
метрический тензор легко может быть вычислен. Действительно, имеет место
Предложение. Фундаментальное кинематическое соотношение, запи-
записанное в тензорной форме B.13), эквивалентно финслерову соответствию
A.5.6) между контра- и ковариантными векторами.
Чтобы убедиться в этом, преобразуем ир A) и иР A) в хг спомощью B.6).
Мы получим ырB) = 6р и ир B) = 6р. Поэтому иРB) = r\PQuQB). Исполь-
Используя, далее, соотношения ир B) = f? (и A)) uQ A) и «р B) = f$ (и A)) uQ A),
следующие из A.4), и принимая во внимание A.3), мы немедленно найдем,
что равенство иР(\) — fPQ (йA))ы'3A) действительно имеет место1).
Следующим шагом является требование симметрии
(з) С-С
Оно, очевидно, эквивалентно условию /Cq = Кр. Условие C) существенно
упрощает кинематику, поскольку из него следует, что обратные скорости дви-
движения Xi относительно и2 могут быть определены в %\ внутренним образом.
Действительно, сравнивая B.9) с B.10), мы видим, что справедливо
Предложение. Свойство КР = /fp (свойство К,*р = К*°р) необхо-
необходимо и достаточно для того, чтобы скорость Va (скорость Va) движения xj
относительно xi была равна скорости F* {скорости Vй) движения щ отно
сительно Х2-
Выше молчаливо предполагалось, что det (К™)=?0. Физический смысл
этого условия состоит в существовании обратного преобразования у каждого
') В частности, в кинематике, отвечающей специальным преобразованиям
Лоренца, фундаментальное кинематическое соотношение имеет вид Va=—Va.
После подстановки фа = — иа/и° в B.13) мы получим щ = и", иа = — «а,
а следовательно, fPQ = r\pq.
1/а15 X. Рунд
450 ДОБАВЛЕНИЕ II
/(-преобразования. В действительности в кинематике достаточно предполо-
предположить
D) det(tf?)-det(*2)-l.
Рассмотрим теперь системы отсчета к2 с произвольными скоростями Va
относительно фиксированной системы отсчета уА. Обозначим через kA и SA
собственные значения и собственные векторы матрицы \K*q (Va)\l Мы имеем
K^Si-kASpA, B.14)
% = kAS$, B.15)
где kA = l/kA и
S?s? = 5? B.16)
Вследствие условия симметрии C) и действительности К™ и Kq собственные
значения kA и kA являются действительными, а Sp и SA могут рассматри-
рассматриваться как действительные векторы. Всегда предполагается достаточная глад-
гладкость зависимости SA и SA от Va.
Собственные векторы имеют ясный физический смысл, непосредственно
следующий из их определения, а именно:
Предложение. Если относительно х2 движется сигнал с трехмерной
скоростью с компонентами СА = S^jS^ (с компонентами СА = S^/Sq^, to от-
относительно х, трехмерная скорость этого сигнала имеет такие же по величине
компоненты.
Имея в виду этот факт, мы назовем СА и СА инвариантными скоростями.
При /(-преобразованиях длина и направление каждой из четырех трехмерных
скоростей СаА (или СА) остаются неизменными. При SA -> 0 соответствующая
инвариантная скорость СА стремится к бесконечности.
Различные кинематики, удовлетворяющие условиям A) —D), можно клас-
классифицировать следующим образом:
a) SA^0 для каждого А = 1, 2, 3, 4;
b) SA = 0 только для одного значения А;
c) 5^ = 0 только для двух значений А 1);
d) SA^0 только для одного значения А.
Из условия C) легко вывести, что если S°A = 0 для некоторого А, то
SA = 0 для того же значения А, и обратно.
Мы рассмотрим только случай а). Поскольку уравнения B.14) опреде-
определяют четверку векторов SA с точностью до постоянного общего множителя,
можно для удобства фиксировать такие множители путем выбора SA = -r
для всех А; условие а) перепишется в эквивалентном виде
E) S°=i-.
') Кинематика, основанная на группе специальных преобразований Ло-
Лоренца, принадлежит случаю с).
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 451
Теорема. Условия C), D) и E) однозначно определяют следующее
фундаментальное кинематическое соотношение:
Доказательство. Подставляя Р = 0 в B.14) и B.15) и затем деля
A
результат на SA н SA соответственно, мы получим
B.18)
где «р = 1{*р, up = /Сц и СЛ = С°А=1. Соотношение kA = l/kA дает систе-
систему четырех уравнении, определяющих Up(uQ), именно:
4 л п 4
л-1 6Q"
В силу унимодулярности D) и симметрии C) матрицы | К^ | имеет место
тождество
где С Ф 0 — константа, а б — символ Кронекера. Поэтому, согласно E), про-
произведение Sq ¦ SA может быть заменено на С/16 для каждого А. Наконец,
принимая во внимание B.12), мы немедленно получим С = 4, а следова-
следовательно, B.17).
Сравнение B.17) с B.13) показывает справедливость следующего выра-
выражения для функции B.11):
~~ ~" B.19)
Условие B), очевидно, выполняется для B.19). Условие A) также имеет
место:
Предложение. Условия C) и D) обеспечивают справедливость усло-
условия A) для фундаментального кинематического соотношения B.19).
Действительно, Va = 0 дает иа = 0. Подставляя иа = 0 в B.18), получим
^(F« = 0)=l B.20)
для каждого А, а поэтому из B.15) немедленно следует
KPQ (va = 0) = б?. B.21)
Это соотношение означает, что если у,2 покоится относительно Xi в смысле
Va = 0, то кинематическое преобразование является диагональной единицей.
Замечательно, что B.21) является следствием условий C)—E), так что из-
излишне постулировать B.21) дополнительно к условиям C) — E). Свертывая
B.15) с SA, затем, полагая Р = а. и принимая во внимание B.20) —B.21)
и 5^=1, мы немедленно получим, что
УС^(^ = 0) = 4 2 Sa (^Y = О) = 0. B.22)
А=\ А~\
452 ДОБАВЛЕНИЕ II
Вследствие B.22) фа в B.19) обращается в нуль при Vv = 0. Доказательство
закончено.
По определению Sp — функции от Va = иа/и и, следовательно, функции
только от отношения компонент четырехмерных векторов. Это означает, что
Sp, рассматриваемые как функции от касательных векторов ур, должны обла-
обладать нулевой однородностью: Sp (ky) = Sp (у), k > 0.
Сделаем простейшее предположение об инвариантных скоростях:
F) Инвариантные скорости не зависят or Va.
Тогда S^ и Sp1 также будут независимыми от Va. В этом случае можно
легко проинтегрировать соотношение B.17) между векторами иР и ир, имею-
имеющими единичную финслерову длину вследствие B.12). Результатом этого ин-
интегрирования является метрическая функция A.14).
Итак мы нашли:
Теорема. Условия C)— F) однозначно ведут к финслеровой метричв'
ской функции A.14).
Для метрической функции A.14) К-группа, определяемая согласно A.2),
состоит из преобразований с коэффициентами
К™ (х) = ? SJJ (*) kAS* (x), B.23)
Л=1
где kA — четыре вещественных параметра, удовлетворяющих тождеству
4
П^=1> B-24)
которое обеспечивает унимодулярность преобразований. Эта группа произво-
производит унимодулярные анизотропные растяжения касательного пространства в
четырех направлениях векторов S"\. Очевидно, что эта группа является абе-
левой.
В заключение настоящего параграфа интересно отметить, что финслерова
метрическая функция A.14) может быть получена в результате следующего
«наивного» кинематического рассмотрения: в группе Лоренца собственно кине-
кинематический смысл имеет только подгруппа специальных преобразований, ос-
оставляющих инвариантным двумерный пространственно-временной интервал /.
Формально / может быть обобщен на четыре измерения двумя альтернатив-
альтернативными способами:
I = 1(Уа)г ~ (tf 1J]1/l = [(»° ~ Ul) (Уй + У1)]''1
1 1
[„]
рнманов способ
фннслеров способ
§ 3. Финслеррв кинематический дуализм
Как мы указывали в начале предыдущего параграфа, финслерова кине-
кинематика" проявляет фундаментальную дуальность, состоящую в том, что кине-
кинематические свойства описываются одновременно двумя группами инвариант-
инвариантности, а именно, /(-группой и группой Лоренца. Этот дуализм неизбежно воз-
возникает как следствие того факта, что при финслеровом подходе достаточно
малая частица геом_етрически представляется двумя четырехмерными каса-
касательными векторами, а именно, вектором скорости ит и («внутренним») соб-
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 453
ственным касательным вектором ут. Другими словами, геометрическим обра-
образом частицы ц в любой момент времени является линейный элемент (х, у), а
не просто точка х'.
Зафиксируем точку х1. Случай, когда |х имеет вектор скорости ит и соб-
собственный касательный вектор ут, будет называться (и, у)-состоянием частицы
ц в точке х. Через Мй (у) мы обозначим множество (и, у) -состояний с произ-
произвольным ит, но с фиксированным ут. Через N^ будет обозначаться множе-
множество (и, и)- состояний с произвольным вектором ит (и с ут = ит для каждого
состояния).
Ввиду того, что соответствие между финслеровой и римановой структу-
структурами устанавливается с помощью выделенного векторного поля Sm(x) (см.
§ 1, принцип III), то Мц (S) есть множество состояний, для которых справед-
справедлива обычная специальная теория относительности. Однако поскольку эта тео-
теория, строго говоря, справедлива только для пробных частиц, то мы приходим
к выводу, что Мп (S) является множеством пробных частиц (более точно,
множеством состояний пробной частицы ц).
Иной физический смысл имеет множество N^. Чтобы сделать аргумента-
аргументацию наиболее прозрачной, мы в дальнейшем ограничимся следующей, наибо-
наиболее простой физической ситуацией. Именно, рассмотрим сферически симме-
симметричную частицу ц с массой покоя тй и собственным радиусом г0 в статиче-
статическом гравитационном поле, создаваемом статическим, сферически симметрич-
симметричным телом 27! с массой покоя Ма ~^> т0 и радиусом Ro 3> Гц. Всегда будет
предполагаться, что расстояние R от ц до центра тела 5И достаточно велико,
а трехмерная скорость Va частицы ц относительно 5И достаточно мала (отно-
(относительно скорости света с), так что влиянием частицы ц на движение тела Ш1
можно пренебречь (в течение достаточно малого промежутка времени рассмо-
рассмотрения). Эти предположения делают законным рассмотрение частицы ц как
инерциальной (хотя, вообще говоря, непробной). Кроме того, будет предпо-
предполагаться, что ц не обладает никакими внутренними движениями, т. е. что ча-
частица ц, статична относительно ее собственной системы отсчета.
Для оценки степени непробности частицы ц. естественно ввести следующий
параметр:
с1г) C 1)
Здесь у обозначает отношение полной энергии частицы ц (относительно тела
SW) к ее энергии покоя т0с2. Расстояние г от центра частицы ц до точки рас-
рассмотрения вблизи поверхности частицы ц, измеряется относительно собствен-
собственной системы отсчета частицы ц.
Поясним смысл параметра C.1). Пусть ц создает доминирующее гравита-
гравитационное поле в некоторой своей окрестности. Тогда ввиду того, что гравита-
гравитационные ускорения в собственных статических (шварцшильдовских, для опреде-
определенности) гравитационных полях тела WI и частицы ц относительно собствен-
собственных статических координат равны соответственно g^ = const M0JR и
g'uj = constmjr2 (см. A.13)), то C.1) является отношением этих ускорений,
взятых относительно собственной системы отсчета тела SW. При этом у появ-
появляется в результате преобразования ускорения а^ из собственной системы
отсчета частицы ц в собственную систему отсчета тела 2Й.
Ясно, что [г с е(г0) < 1 является пробной частицей. Присутствие пробной
частицы в некоторой точке не влияет на внешнее гравитационное поле, и ее
скорость ит никак не связана с ее собственным касательным вектором ут, ко-
который остается равным вектору Sm внешнего гравитационного поля незави-
независимо от ит. Очевидно, что никакие наблюдения над локально пробными ча-
частицами не могут ни доказать, ни опровергнуть действительное существование
финслеровой метрической структуры,
15 X. Рунд
454 ДОБАВЛЕНИЕ II
Наибольший интерес для исследования финслеровой структуры представ-
представляет альтернативный случай, а именно, е(го) >> 1. Введем следующее
Определение. Частица ц в поле тела 2Й называется S-частицей, если
г(гп) > 1.
По определению S-частица создает доминирующее гравитационное поле
в своей достаточно малой окрестности. Непробная частица ц, является S-ча-
стиией тогда и только тогда, когда она является локально полностью непроб-
непробной. Случай e(r0) ~ 1 является промежуточным между альтернативными слу-
случаями пробной частицы и S-частицы; мы не будем касаться этого случая
ввиду возникающих усложнений.
В статическом гравитационном поле конгруэнция мирового времени есте-
естественно играет роль выделенной S-конгруэнции, как мы обращали внимание
в § 1 при обсуждении принципа III. Поэтому если [г является S-частицей, а
значит, гравитационное поле в достаточно малой окрестности частицы \i (в
некоторый момент времени) является статическим и определяется только
частицей (д., то ит = 5т = ут, где 5т определяется действительным, т. е.
«перенормированным», гравитационным полем. Таким образом, мы видим,
что S-частица следует S-линии «перенормированного» гравитационного поля.
Эта ситуация действительно альтернативна случаю локально пробной частицы.
В результате этих несложных рассмотрений мы приходим к выводу, что
Л^р, является множеством S-частиц (более строго, множеством состояний ча-
частицы ц (в некоторой фиксированной точке), когда она является S-частицей).
Как мы обращали внимание в предыдущем параграфе, финслеровы свой-
свойства могут быть полностью выяснены из кинематики частиц с ут = ит. По-
Поэтому очевидно, что проявления финслеровых свойств реального пространства-
времени естественно ожидать в кинематике и динамике S-частиц относительно
«неперенормированного» гравитационного поля.
Таким образом, мы приходим к следующему принципу:
Д-принцип. Финслеров кинематический дуализм является геометриче-
геометрическим аналогом физического дуализма между локально пробными частицами
и S-частицами.
Введение этого принципа открывает интересные возможности для разви-
развития теории релятивистских непробных частиц на финслеровой основе. Ввиду
того, что равенство хт = ут = и является определяющей чертой финслеро-
финслеровых геодезических, ближайшее следствие Д-принципа состоит в том, что ди-
динамика S-частиц должна описываться финслеровой функцией Лагранжа
Ls(x,i) = - mQc*F (х, х), C.2)
где F — финслерова метрическая функция пространства-времени. Функция
C.2) является аналогом обычной римановой функции Лагранжа
LT (х, х) = - т/ [g{j (х) x'x'f2, C.3)
описывающей локально пробные частицы.
Следует, конечно, иметь в виду, что прямая проверка предположений та-
такого типа на основе наблюдений макроскопических локально непробных тел
в нашей Солнечной системе неосуществимы в ближайшее время, поскольку
скорости Va (относительно солнца) макроскопических тел слишком малы, а
именно | Va \/с ё^ 10~4, в то время как финслеровы величины идентичны соот-
соответствующим им римановым аналогам в низших нетривиальных порядках по
Va/c.
С обратной трудностью мы сталкиваемся в экспериментах с микроскопи-
микроскопическими частицами в земных лабораториях; а именно, скорости относительно
Земли могут быть очень близки к скорости света, однако массы чрезвычайно
малы по отношению к массе Земли. Например, ультрарелятивистские протоны
современных ускорителей могут иметь у ^ 104. Тем не менее мы получим
только е(г0) « 10~4 около протона (после подстановки в C.1) массы Земли
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 455
Мо, радиуса'Земли R, массы покоя т0 протона, характерного радиуса протона
г0 « Ю-13 см и у = 104).
Поскольку в общей теории относительности уравнения движения тел тесно
связаны с уравнениями поля '), встает вопрос о выборе плотности лагранжиа-
лагранжиана гравитационного поля, ведущей к финслеровым геодезическим. Ответ на этот
вопрос (по крайней мере частично) будет дан в § 8. Укажем в этой связи, что
недавно Каваллери и Спинелли [1], рассматривая итеративным ме-
методом релятивистские уравнения движения, обращали внимание на то обстоя-
обстоятельство, что их подход предполагает финслерово описание частиц. Понятно,
что такой подход альтернативен попытке начать с выбора некоторой точной
финслеровой метрической функции, а следовательно, и с вида финслеровых
геодезических. Обе точки зрения имеют свои преимущества.
В вышеуказанной статье Каваллери и Спинелли финслеровы свойства по-
появляются вследствие несохранения массы. Ввиду того, что это «несохранение»
определяется на римановой основе, можно также сказать, что предположение
финслеровой динамики S-частиц предполагает несохранение и анизотропию
массы S-частиц в римановом смысле, хотя с собственно финслеровой точки
зрения геодезические представляют инерциальное движение. Полагая
L (х, х)
мы можем рассматривать финслерову динамику как проявление «анизотропии
массы», поскольку динамика будет описываться функцией Лагранжа
Ls = -m (х, х) с2 [g,i (x) j'i'P C-5)
с анизотропной «массой» т(х, х).
В целом экспериментальные факты о динамике ультрарелятивистских не-
непробных частиц или тел отсутствуют, за единственным исключением, которое
встречается в космических лучах. В настоящее время частицы наибольшей
энергии регистрируются среди протонов космических лучей сверхвысоких
энергий. у-Факт0Р таких протонов может достигать у с~ 1010 (см. Хри-
стиансен и др. [1]), что дает г{г0) « 100 для таких протонов около Зем-
Земли. Интересно, что именно с таких значений у ^ 10ш спектр протонов косми-
космических лучей обнаруживает аномальное поведение (которое обсуждается в вы-
вышеупомянутой книге Христиансена и др.) 2). Поскольку, согласно нашему опре-
определению, частицы с такими значениями е(г0) « 100 являются S-частицами, то
с точки зрения обсуждаемой здесь финслеровой теории эта аномалия в прин-
принципе может быть следствием локальной непробности таких протонов, т. е. мо-
может быть гравитационным эффектом. Можно надеяться, что будущее разви-
развитие финслеровой теории относительности приведет к соответствующим мето-
методам расчета.
') См., например, Синг [5], гл. IV, § 4. Что касается новейших исследо-
исследований этого вопроса, мы отсылаем к статьям Каваллери и Спннелли
[1] иСпинелли [1] —[3].
2) Аномалия спектра космических лучей сверхвысоких энергий находится
в резком противоречии с результатами современной теории поля. Ввиду осо-
особенно высокого значения у-Факт0Ра. в статье Киржница и Чечина [1]
была высказана мысль, что эта аномалия может быть проявлением метриче-
метрических свойств нового типа, а именно, финслеровых. После этого в работах
Богословского [1] — [5] была развита специальная релятивистская тео-
теория анизотропного пространства-времени на основе специальной финслеровой
метрической функции, содержащей малый безразмерный феноменологический
параметр, так что метрическая функция стремится к римановой метрике при
стремлении этого параметра к нулю. _ ~
456 ДОБАВЛЕНИЕ II
Подчеркнем, что, кроме протонов космических лучей сверхвысоких энер-
энергий, все остальные микроскопические частицы в земных наблюдениях яв-
являются глубоко пробными как результат подавления их собственного гравита-
гравитационного поля интенсивным гравитационным полем Земли ').
В такой ситуации представляет интерес построение теоретической модели
взаимодействия S-частиц в финслеровом пространстве, согласованном с основ-
основными физическими принципами, с целью выяснения специфических особенно-
особенностей проявления гравитационного поля в таких взаимодействиях. При этом
следует ожидать, что поля q>s, ассоциируемые с 5-частицами, будут нелиней-
нелинейными, а их взаимодействия будут нелокальными.
Сознавая сложность такой задачи, мы здесь ограничимся лишь несколь-
несколькими замечаниями. А именно, обращает на себя внимание тот факт, что урав-
уравнения для соответствующего скалярного поля q>s (х), ассоциируемого с S-ча-
стицей массы М, может быть естественно сформулировано путем непосред-
непосредственного обобщения обычных уравнений скалярного поля. Действительно,
пусть fmn(x,y)—финслеров метрический тензор финслерова пространства с
метрикой A.14), а Н(х,у)—соответствующая функция Гамильтона — Якоби
(см. гл. I, § 5, а также гл. VII), которая в рассматриваемом финслеровом
пространстве имеет вид B.45) из добавления I. Тогда естественно предло-
предложить следующую плотность лагранжиана для скалярного поля:
Ss (х; ф5 (х), Ф. (х)) = [Я2 (х, Ф/.(х)) - (ф5 (x)f М2] Г (х), C.6)
где ф,- = dffs/dx1. Здесь {(x) обозначает детерминант финслерова метриче-
метрического тензора; этот детерминант не зависит от касательных векторов в силу
нашего выбора специального финслерова пространства (добавление I, § 2,
теорема 1). Соответствующие этому лагранжиану полевые уравнения легко
записываются в виде
Характеристиками этого уравнения, очевидно, являются изотропные финсле-
ровы геодезические (вдоль которых fmn(x, y)ymyn — 0).
Полевые уравнения C.7) нелинейны. Если в некоторой области R основ-
основного многообразия с координатами х' функции /"*" не зависят от х! и если де-
детерминант этого тензора не зависит от касательных векторов (это свойство
здесь выполняется), то в R существует решение полевых уравнений C.7) для
одной частицы в виде плоской волны
ik хт
ф5 (х) = const е m , C.8)
') В принципе эта трудность может быть преодолена достаточным удале-
удалением лаборатории от Земли и других планет. Например, на расстоянии от
Солнца, равном радиусу орбиты Плутона, R да 6-Ю14 см, значение е(г0) да 1
достигается для протонов су* Ю2- Такие протоны могут изучаться локаль-
локальными методами (камеры, пленки и т. д.), позволяющими измерить дисперсион-
дисперсионные соотношения (т. е. зависимость энергии от импульса). Понятно, что изме-
измерения на таких расстояниях от Земли не будут осуществлены в ближайшие
годы.
К сожалению, наблюдения космических протонов с у ^ 1010 пока могут
проводиться только с помощью существенно косвенных методов, а именно,
путем детектирования вторичных широких атмосферных ливней (см. Хри-
стиансен и др. [1]), что не позволяет непосредственно измерить диспер->
сдобные соотн.ощени.я,,
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 457
где волновой вектор km удовлетворяет финслерову дисперсионному соотно-
соотношению
Г" (A) kmkH = М2. C.9)
Вследствие нелинейности уравнений принцип суперпозиции нарушается.
При желании включить в рассмотрение также внутренние симметрии S-ча-
стиц мы должны следовать теории полей q>s(x, у), зависящих от линейного
опорного элемента (х, у) в картановском финслеровом пространстве. Соответ-
Соответствие между q>s(x, у) и q>s(x) может быть сформулировано с помощью прин-
принципа III из § 1 в виде (fs(x) = cps(x, S(х)). Можно думать, что взаимодей-
взаимодействие S-частиц должно осуществляться (в противоположность случаю пол-
полностью пробных частиц) через поля типа <fs(x, у). Этот вопрос, как и многие
связанные проблемы, нуждается в специальных исследованиях.
В заключение настоящего параграфа обсудим кратко вопрос о построении
собственной системы отсчета S-частицы. Как хорошо известно, собственная
система отсчета достаточно малой пробной частицы геометрически представ-
представляется ортонормированными реперами, переносимыми вдоль траектории ча-
частицы с помощью риманова параллельного переноса. В отличие от этого си-
система отсчета S-частицы должна быть существенно протяженной. Покажем,
что в достаточно малой окрестности S-частицы ее собственная система отсчета
может быть построена с помощью /(-группы.
Рассмотрим S-частицу ц в некоторой фиксированной четырехмерной точ-
точке хт. Выберем достаточно малую односвязную открытую трехмерную окрест-
окрестность W частицы jx так, чтобы вне W вкладом самой частицы jx в гравита-
гравитационное поле, создаваемое телом 5Й, можно было пренебречь (т. е. e(r0) -С 1
вне W). Пусть справедливо е{г0) » 1. Обозначим через W^cW такую мак-
максимальную окрестность частицы ц, что e(r) S> 1 внутри Wo- Тогда в четырех-
четырехмерной области U, получаемой как топологическое произведение Wo на беско-
бесконечно малый временной интервал нахождения частицы \i в Wo, могут быть
введены координаты двух типов, а именно, статические координаты хр, Р, Q,
R, Т = 0, 1, 2, 3, («неперенормированного») шварцшильдовского поля, опре-
определяемого телом ЗЯ в отсутствие |х, и статические координаты X/ \ снова
шварцшильдовского (но «перенормированного») поля, создаваемого только
частицей ц (ввиду е(г) » 1 вкладом тела Ш в поле в U можно пренебречь).
Тогда риманов метрический тензор 8pq\x{ii,}> (и)). описывающий действи-
действительное («перенормированное») гравитационное поле в U, должен иметь стан-
стандартный статический (шварцшильдов) вид в координатах х^у В результате
этого мы приходим к следующей фундаментальной проблеме для теории
S-частиц:
Проблема. Найти закон преобразования, связывающий риманов мет-
метрический тензор gpQ {*a,\; {!¦*}) с римановым метрическим тензором gpQ(xp;
{•И}) = gpQ(xR), описывающим гравитационное поле, создаваемое телом 5И в
U в отсутствие частицы \i.
Фактически проблема состоит в нахождении центроаффинных преобразо-
преобразований ')
связывающих собственные тетрады А^ (х; {ц,}) и A(q( (x) ss Aq (x, S) га
= Aq (х; {9JJ}) римановых метрических тензоров gpQ(x;{\i}) и gpcj(x) = gpci(x;
S) соответственно. Н.а самом деле достаточно знать лишь закон преобразова-
') Круглой скобкой выделяются индексы, указывающие ьомера векторов,
составляющих репер.
458 ДОБАВЛЕНИЕ II
ния между Aq (х) и асимптотической тетрадой h*q (x; {ц}) шварцшильдовско-
го гравитационного поля, создаваемого частицей ц в U. Свойство е(г) 3> 1
существенно упрощает рассмотрение, поскольку оно дает возможность счи-
считать h^ (xR) и /i(Q) (xR) константами относительно координат xR в U и
вслед за этим рассматривать закон преобразования между xR и Xj^j линей-
линейным. Поскольку по определению асимптотических тетрад справедливо
?1%)ЬЪ полУчаем
где величины в правой части являются константами.
Итак, неопределенность в коэффициентах Qq в U остается только в сле-
следующих постоянных коэффициентах:
*?(**; М)~ А* <<?(*«; М)/?>(*«),
которые зависят лишь от четырехмерной скорости и? частицы [г. Очевидно, что
^-преобразования должны образовывать некоторую кинематическою группу,
которую мы обозначаем как /(-группу.
В результате сформулированная выше проблема сводится к нахождению
такой группы. Обращает на себя внимание то, что нет никаких теоретических
оснований для отождествления этой группы с группой Лоренца. К сожалению,
как мы отмечали в предыдущем параграфе, прямые экспериментальные дан-
данные о структуре /(-группы отсутствуют. Естественно думать, что /(-группа
должна иметь совершенно иную структуру, чем группа Лоренца. Дело в том,
что случай пробных частиц, которыми управляет группа Лоренца, и случай
S-частиц, которыми управляет /(-группа, существенно отличаются с физической
точки зрения.
Возникающая ситуация очень интересна ввиду того, что из определения
К-группы очевидно, что она должна иметь некоторый универсальный вид, не
зависящий от частного выбора 5-частицы. Следует подчеркнуть, что отказ от
априорного отождествления ./(-группы с группой Лоренца неизбежно ведет к
тому, что первичной метрической структурой реального пространства-времени
будет не риманова, а финслерова структура, проявляющаяся в кинематике и
динамике непробных частиц. Коль скоро ./(-группа известна, финслерова ме-
метрическая функция может быть выведена. Не исключено, что вид /(-группы
может быть найден косвенными методами, поскольку /(-группа, как фунда-
фундаментальная концепция, должна проявляться не только в теории гравитации,
но и в других разделах теоретической физики.
§ 4. Финслерова геометризация
изотопической инвариантности
Несмотря на фундаментальную роль изотопической инвариантности в тео-
теории сильно взаимодействующих полей, риманова теория пространства-времени
не дает никакого ответа на вопрос о том, проявлением какой геометрической
симметрии касательного расслоения действительного пространства-времени яв-
является эта инвариантность. Вслед за первоначальной идеей Гейзенберга изо-
изотопическая инвариантность до сих пор часто трактуется просто как «внутреи-
няя» симметрия относительно трехмерных вращений во «внутреннем» про-
пространстве. Общий метод расслоенных пространств, не выясняя пространствен^
но-временной природы слоев, дает абстрактное геометрическое описание этой
инвариантности (равно, как и многих других групповых симметрии).
Выяснение пространственно-временной природы изотопических симметрии
предполагает ответ на следующий вопрос: что такое изотопическое простран-
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 459
ство с точки зрения касательного расслоения действительного пространства-
времени?
Как мы уже обращали внимание в § 1 при обсуждении принципа V, финс-
леров подход дает естественный ответ на этот вопрос, а именно: изотопиче-
изотопическое пространство является не чем иным, как индикатрисой финслеровой струк-
структуры пространства-времени.
В целом финслеров подход приводит к единому геометрическому описа-
описанию гравитационных и сильных взаимодействий согласно следующей формуле:
риманова метрическая структура + изотопическая инвариантность = финсле-
рова метрическая структура с индикатрисой нулевой кривизны.
Для определения зависимости (свободного) обобщенного скалярного поля
ф(х, у) от «изотопических координат естественно подчинить это поле урав-
уравнению Клейна — Гордона в касательном римановом пространстве, т. е. урав-
уравнению
где
а ц2 — некоторая константа. Зависимость рассматриваемого поля, отвечающего
пробной частице, от хт определится согласно принципу III из § 1 из уравне-
уравнения Клейна— Гордона для скалярного поля 'ф(х) = <р(х, S(x)) в римановом
пространстве с метрическим тензором A.5). Понятно, что аналогичным обра-
образом можно описывать обобщенные векторные или спинорные поля.
В оставшейся части настоящего параграфа мы приведем решение уравне-
уравнения D.1) для финслеровой метрической функции A.14). Поскольку хт бу-
будут фиксированы, мы будем опускать их в формулах всюду, где это удобно.
Возможность явного решения следует из результатов пп. 1 и 3 § 2 добав-
добавления I.
Свойство B.48) из добавления I, т. е. независимость функции D.2) от ка-
касательных векторов ут для нашей метрики, существенно упрощает задачу, так
как позволяет переписать D.1) в следующем, более простом виде:
= 0. D.3)
V дут ' дуп '
Для рассматриваемого финслерова пространства в выражении A.5) из
добавления I для конформного множителя следует положить а = —1, как
это немедленно следует из свойства S = —1 (см. в добавлении I формулу
B.10) при v = 0) и равенства A.6) из добавления I. Поэтому F~2 является
конформным множителем для касательных римановых пространств нашего
финслерова пространства. Вследствие этого должны существовать четыре
функции
Р, Q = 0, 1, 2, 3, такие, что
„2 / \ tmn i \ РО &"§ &$ /л с\
г (у) t (у) = г| ч р -q , D.5)
где коэффициенты г\РС1 те же, что и в A.3). В дальнейшем удобно выбрать
S™ в качестве базиса в касательном пространстве, так что
460
ДОБАВЛЕНИЕ II
Подставляя в D.5) выражение A.3), мы для функций D.4) получим уравне-
уравнения
Выбор A.4) будет подразумеваться.
Из формулы B.50) добавления I непосредственно видно, что
F (у) /™ (у) — линейные функции от уп, так что
Константы
равны
111 I
-Уз i/Уз" i/уз" i/уз
• VI -V! -VI
— л/2 л/2
0
0
D.7)
D.8)
D.9)
Здесь Р = 0, 1, 2, 3 —номер строки, А = 1, 2, 3, 4 — номер столбца. Для об-
обратной матрицы справедливо соотношение
и-1
1 II ъЧ
D.10)
так что имеет место равенство
1
^ = 6^, если S^ = -т- Sq6ba6p^, где 6 —
символ Кронекера.
Сравнение D.6) с D.7) показывает, что общее решение уравнения D.5)
имеет вид
$A(zp) = cAexp(SJzp), D.11)
где сА — произвольные константы. Для удобства мы положим просто
сА=1. D.12)
Из D.9)—D.12) и вида функции F (выражение B.2) из добавления I)
легко находится якобиан преобразования
4
в-i
Обратное к D.11) преобразование, очевидно, имеет вид
гр (у) = SpAln уА.
В частности, в силу S^=l/4 (см, D.9) и D.10)) и D.14) мы имеем
D.13)
D.14)
z°=4-
и обратно
А-1
D.15)
D.16)
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 461
В результате справедливо равенство
fp«(z) = *-2zY4 D.17)
Обозначим через 1(х) «внутреннее» псевдоевклидово пространство-время
с координатами zp. Прямое и обратное соотношения D.11) и D.14) между zp
и координатами ул открытой области 2+(х) а Т(х), для которой ул >¦ 0 прн
всех значениях А, устанавливают диффеоморфизм между областью 2+(л:) с
метрическим тензором fmn и областью 1(х) с псевдоевклидовым метрическим
тензором цр?. Только одна полупрямая из 2+ (х), а именно, касательная к
вектору Sm(x), отображается в прямую линию в 1(х), а именно, в ось г° — 0.
Индикатриса F(x,y) = 1 из 2+(х) диффеоморфиа всему трехмерному про-
пространству 2° = 0 в !(х). Границе области 2+(лс) при отображении соответ-
соответствует бесконечность г° -*- оо. Только в достаточно малой окрестности точки
гр = @, 0, 0, 0) индикатрисы отображение можно приближенно рассматри-
рассматривать как тождественное. Справедливо
у° = 1 + 6ар2в20, D.18)
? $vA D.19)
А- 1
(о,р,-у = 1, 2, 3), где yp = fpm(Sn)ym.
Совершая в D.1) преобразование D.11), D.12) и используя D.13), D.16)
и D.17), получаем
ег° ^^ ? + й0 ф = ° D'20)
или просто
D.21)
Это уравнение имеет постоянные коэффициенты и поэтому допускает реше-
решения в виде плоских волн в 1(х), т. е.
цк(х,г) = Ьк(х)е1 pZ , D.22)
где «внутренние» волновые векторы kP должны удовлетворять следующему
дисперсионному соотношению:
r,PQu и о;ь ,Л (л OQ1
Подстановкой D.14) в решения D.22) мы преобразуем их в касательное про-
пространство Т(х), а именно:
или
4 г .fc sp-\
cpfc (*, у) = Ьк (*) П IV) Р А\ D-24)
Л1
4
в силу S^ = — и F4 == ТТ 1/л
П
Л-1
4
и F4 == ТТ 1/л
х, у)
(а = 1, 2, 3). Согласно D.9) входящие в D.24) и D.25) произведения яв-
являются однородными функциями нулевой степени по уА.
462 ДОБАВЛЕНИЕ II
Скалярное поле D.25), взятое на выделенной S-конгруэнции, равно просто
<pft (х, S (*)) = bk (х), D.26)
что следует из очевидных тождеств S^Sm = 1 и F (S) — \. Воспользуемся да-
далее принципом III из § 1 и подчиним скалярное поле D.26) обычному урав-
уравнению Клейна — Гордона в плоском пространстве-времени с прямолинейными
координатами х". Тогда для D.26) мы также будем иметь решения в виде
плоских волн
M*)-5>*,«"mXl". D.27)
где bkq — константы, а «внешний» волновой вектор qm удовлетворяет обыч-
обычному релятивистскому дисперсионному соотношению
\тп (х, S (х)) qmqn = н2 = const. D.28)
Получающееся таким образом решение для одной скалярной частицы
Ф4, (х, у) = bkq exp \}qmxm + lkpzp (у) ] D.29)
представляет собой плоскую иолну в плоском пространственно-временном
многообразии и неплоские волны в касательных пространствах. В силу D.18)
и D.19) только в достаточно малой окрестности точки ур — Sp з= др индика-
индикатрисы они могут приближенно рассматриваться как плоские волны в касатель-
касательных пространствах, т. е.
<fkq (х, у) « Ьн„ exp \iqmxm + ikaya]. D.30)
Интересно также отметить, что решения D.24) являются собственными функ-
функциями операторов B.60) и B.61) из добавления I, а именно:
§ D.31)
[4 -11/4
А-\ J
Uk = - Ц2фА, D.32)
что легко проверить.
§ 5. Дополнительные замечания
Составной частью программы развития финслеровой теории относитель-
относительности является формулировка уравнений физических полей в касательном про-
пространстве, которое может рассматриваться как касательное риманово про-
пространство, на что мы обращали внимание в § 1 при обсуждении принципа IV.
Поэтому можно формулировать эти уравнения аналогично тому, как это де-
делается на базовом пространственно-временном многообразии в собственно ри-
мановой теории.
Проиллюстрируем эту возможность на примере электромагнитного поля,
выбирая конкретную финслерову метрическую функцию A.14).
Как хорошо известно, электромагнитное поле является векторным. На ри-
мановом пространственно-временном многообразии его ковариантный вектор-
векторный потенциал Ат(х) зависит только от точек хп. Формулировка теории элек-
электромагнитного поля в финслеровом пространстве-времени обобщается с по-
помощью векторного потенциала Ат(х,у), зависящего от линейного опорного
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 463
элемента (х, у). Принцип соответствия (принцип III из § 1) требует, чтобы
Ат (х, S (*)) = Am (*)• E.1)
Совершая преобразование D.4) во внутреннее пространсмо-время 1{х),
мы в силу D.6) получаем
E.2)
Поскольку электромагнитное поле не обладает никакими внутренними
симметриями, потребуем независимости Ар от у. Принцип I будет тривиально
удовлетворяться. Далее, удобно определить Ат(х,у) как однородные функции
нулевой степени по у. В результате мы получим
Ат (х, у) = АР (х) \рп (x, у). E.3)
Уравнение E.1) примет вид
Ар (х) hpm (x) = Ат (х), E.4)
где Ьрт(х) = ^{х, S (х)). Соотношения
Ат (х, у) = Ап (х) hnp (x) С (х, у) E.5)
устанавливают взаимно однозначное соответствие между Ат(х) и Ат(х, у).
Для контравариантных компонент мы имеем
Ат (х у) = \тп (х, у) Ап (х, у) = Ар (х) fm (х, у) = Ап (х) hp (x) ff (x, у), E.6)
где Ар = 4PQAQ, Ап (х) = \пт (х, S (х)) Ат (х).
Наложим калибровочное условие
Ао (х) « Sm (x) Am (х) шш h™ (x) Ат (х) = 0. E.7)
Оно является условием на скалярную функцию А0(х) и поэтому не приводит
к противоречиям с принципом ковариантности. Таким образом, из-за наличия
в теории выделенного векторного поля Sm(x) мы обходим известную труд-
трудность обычной теории1), состоящую в том, что условие обращения в нуль
временнйй компоненты векторного потенциала не ковариантно, хотя оно и яв-
является необходимым для того, чтобы сделать вывод о поперечности электро-
электромагнитных волн из условия лоренцевой калибровки
VmAm (x) = 0. E.8)
Здесь Vm — риманова ковариантная производная по отношению к тензору
gmn(x) — fmn(X, S(x)).
Определим тензор электромагнитного поля в касательном пространстве
Т(х), рассматриваемом как римано.во пространство, равенством
F (г ,А - ( дАп (х' у) дЛш(х, y)\F(r л ' ,,-q,
fmn(X, у) — у -jy-m Щп у \х> У)> V°-a)
где множитель F добавлен для сохранения нулевой однородности по касатель-
касательным векторам у. Приведенные в п. 3 § 2 добавления I тождества позволяют
легко выяснить структуру уравнений электромагнитного поля в Т{х). Действи-
Действительно, в силу тождества B.57) добавления I и E.3), E.7), мы имеем про-
просто
р —л (х) (Р fa — faf°) E.10)
') Боголюбов и Ш и р к о в [1], с. 43.
464 ДОБАВЛЕНИЕ II
Поднимая индексы, получим
где Аа = Ti^^g = "" Л„. Определим ток (однородный нулевой степени по у)
обычным образом:
¦Г U и) F (*' У) д VT7] ^ {Х' У) Г 1х и) дУПП {Х' У) «121
J ^У>- ^/—f дут -Г(х,у) ^т , E.12)
где на втором шаге мы воспользовались независимостью функции D.2) от у",
что следует из B.48) добавления I. Подставляя сюда E.11) и используя
A.4), тождества B.56) из добавления I и аналогичные им тождества
0 дут ° дут F
ду \ ду J
мы получим
}"¦ (х, у) = 2Ап (х, у). E.15)
Мы видим, что векторный потенциал равен (с точностью до константы) «вну-
«внутренней» плотности электрического тока /".
Вследствие условия E.7) и тождеств д[™/дут = 0 (см. B.56) из добав-
добавления I) лоренцева калибровка справедлива в Т(х), т. е.
1 д У^М" (х, у) = дАп (х, у) = Q
В силу B.64Ь) и B.65Ь) из добавления I, векторный потенциал является соб-
собственной функцией двух основных дифференциальных операторов, а именно:
SAm (х, у) = fAm (x, у) = - ЪАт (х, у). E.17)
Наше следующее замечание состоит в том, что финслеров подход под-
подсказывает статистическую трактовку гравитационного поля. А именно, введем
функцию распределения v(x, x) для описания гравитационного поля как ста-
статистической среды. В финслеровом пространстве-времени уравнение для
функции распределения естественно запишется в виде')
Х \дхт Х тпдх
где Рт'п — коэффициенты связности из гл. II. Уравнение E.18) непосред-
непосредственно обобщает уравнение Лиувилля в римановом пространстве. Легко
видеть, что характеристиками дифференциального уравнения E.18) являются
финслеровы геодезические.
Интересно, что в силу тождества C.2.13) уравнение E.18) имеет решение
v (х, х) = ф (F (х, х)), E.19)
где F — основная финслерова метрическая функция, а ф(^)—произвольная
функция.
') На важность применения финслеровой геометрии в теории статисти-
статистических функций распределения впервые обращал внимание Власов [1],
гл. 5.
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 465
Плотность р и средняя скорость ит(х) движения гравитационного поля
представятся выражениями
[xnSn (x) -l~\v (х, х) V - / (х) rf4*' E.20)
um (x) = - J xmb [xnSn (x) - 1] v (x, x) V - f (x) d4xl E.21)
соответственно. Необходимость введения дираковской б-функции в E.20)
и E.21) становится очевидным после рассмотрения уединенного наблюдателя,
имеющего скорость Sm. Относительно его собственного ортонормированного
базиса (й^, hom = Sm), а = 1, 2, 3, интегрирование должно, очевидно, про-
проводиться только по трем пространственным компонентам Va = h^x скоро-
скоростей (но не по временной компоненте V0 = h°mxm = Smim), т. е. по векторам
(const, V", V2, V3); мы для удобства положили const = 1.
Изменяя базис в касательном пространстве согласно
Л/71 __ Р^ПлЛ
1
и используя равенство — / (х) s— det (fmn) = yg- det (S^), а также SmS^ = 1
и E.19), мы из E.20) немедленно получаем
р = const, E.22)
и далее из E.21) следует
Здесь подынтегральные выражения не зависят от х1 и, кроме того, не зависят
от индекса В. Поэтому ит = const ^ S^ = const Sm. Константа здесь не-
В= 1
существенна, поскольку ит(х) можно считать единичным векторным полем.
Итак,
ит (х) = Sm (x). E.24)
В результате мы получили интерпретацию выделенного векторного поля Sm(x)
как поля средних скоростей движения гравитационного поля.
§ 6. Плотность лагранжиана гравитационного поля
при финслеровом подходе
Характерной чертой финслеровых тензоров кривизны является зависи-
зависимость их от касательных векторов ук. Поэтому, если мы выберем в качестве
лагранжиана гравитационного поля свертку какого-либо финслерова тензора
кривизны (аналогично тому, как это делается в эйнштейновской общей теории
относительности), то получим функцию, зависящую не только от точек хк
основного многообразия, но также и от касательных векторов ук. Возникает
вопрос, как формулировать полевую теорию на основе плотности лагран-
лагранжиана вида Л(х,у).
Отправляясь от скалярной геометрической плотности Л(х, у) веса +1>
естественно формулировать полевую теорию на основе плотности лагранжиана
?ида А(х,у(х)). Зависимость А(х,у(х)) qt у"(х) можно понимать как за-
466 ДОБАВЛЕНИЕ II
висимость от выделенного векторного поля (см. предыдущие параграфы).
Пусть (рА(х) обозначают те поля, по которым строится плотность лагранжиа-
лагранжиана А(х,у). Ограничиваясь для простоты случаем, когда плотность лагран-
лагранжиана содержит производные от <рл не выше первого порядка, мы имеем
Л = Л (Фл (х), д^А (х), ук (х)). F.1)
Если бы мы теперь просто записали уравнение Эйлера — Лагранжа, от-
отвечающее переменной ук{х), то, поскольку плотность лагранжиана F.1) не
содержит производных от ук(х), мы получили бы дЛ/дук = 0, что противо-
противоречит зависимости Л от ук. Покажем, что это противоречие устраняется после
перехода к представлению Клебша для векторного поля ук(х).
Как недавно было показано Рун дом [26], с. 127, произвольное диффе-
дифференцируемое контравариантное векторное поле ук(х) можно (локально) пред-
представить в виде
у* = ц (х) е ki'n dtF dfi дпН, 06.2)
где е*''я — полностью антисимметричный тензор, [х(я)—скалярная плотность
веса — 1, a F(x), G(x), H(x)—скалярные функции. Последние четыре функ-
функции называются потенциалами Клебша для поля yk(x), а о переходе от
поля ук(х) к потенциалам Клебша говорят как о переходе к представлению
Клебша. Разумеется, по заданному векторному полю ук(х) потенциалы Клеб-
Клебша определяются не однозначно, но лишь с точностью до соответствующего
калибровочного преобразования (оно описано в работе Рунда [26]). Для
поля ук{х) общего вида потенциалы Клебша являются независимыми функ-
функциями, что будет всегда предполагаться.
После подстановки F.2) в F.1) мы получим плотность лагранжиана Л
вида
Л (Фл, дт<рА, (х, d,F, <Э;О, дпН) = Л (Фл, «ЭШФЛ, це*"" d,F dfi дпН). F.3)
Уравнение Эйлера — Лагранжа, отвечающее переменной ц(х), очевидно, будет
иметь вид
'0
Если функция Л (х,у) обладает нулевой однородностью по у, т. е.
A(x,ky)=*A(x,y) F.5)
(именно такой случай встречается при финслеровом обобщении теории отно-
относительности, поскольку фиислеров метрический тензор и все фннслеровы тен-
тензоры кривизны обладают нулевой однородностью по у'; в F.5) достаточно
потребовать k > 0), то уравнение F.4) удовлетворится тождественно (в силу
теорем Эйлера об однородных функциях). Поэтому в дальнейшем всегда бу-
будет предполагаться, что условие F.5) выполнено.
Уравнение Эйлера — Лагранжа, отвечающее переменной F(x), очевидно,
имеет вид
или
* ... , / г) Л \
1 = 0,
поскольку dl(tP4ndjGdnH) = 0. Еще два аналогичных уравнения отвечают
переменным G и Н. Систему так получающихся трех уравнений можно
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 467
записать в виде
F.6)
.. 1 г, г дА \ , / ал \п
где использовано обозначение JV •«, = — I о, I ix г- I — дь I ц 11.
'* 2 L V дук) Ч ду*Л
В силу независимости функций F, G, Н из системы F.6) однозначно следует
y'Nik = 0, как нетрудно убедиться. Итак, уравнения Эйлера — Лагранжа, от-
отвечающие переменным F, G, Н, эквивалентны уравнениям
Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований по-
потенциалов Клебша. Уравнения Эйлера — Лагранжа, отвечающие полям <рА(х),
также калибровочно инвариантны.
При описании гравитационного поля четырьмя линейно независимыми
1-формами (см. принцип V из § 1) роль функций ц>А(х) играет поле основ-
основных ковариантных реперов St (x). В дальнейшем, однако, нам будет удобнее
пользоваться полем реперов hp (x), связанных с S'4 {x) линейным соотноше-
соотношением (C.39) из добавления I; в частности, для 1-формовой метрики Берваль-
да — Моора соотношением A.5Ь)). Ковариантные реперы Щ (х) всегда будут
пониматься взаимными к hlp (x). Удобны обозначения ур (х) = й? (х) у1 (х),
а также
Fpl!(x) = dihpl-d!hpi,
pPQR —nQTnRSFP FP _hih/FP
где среди констант T]Qr отличны от нуля только ri00 = —т]11 = — rf2 = — ti33=
== l,P, Q, ... = О, 1, 2, 3.
Логически простейший выбор плотности лагранжиана типа F.1) при
1-формовом подходе имеет вид
A = hL(FpQT(x), yp(x)), F.8)
где h = det (hf), a L(fPqT, r/p)—достаточно гладкая функция от указан-
указанных аргументов, обладающая нулевой однородностью по ур.
Для плотности лагранжиана F.8) справедливо
„ i,def 1 <ЭА „ dL
что легко проверить. Тензоры F.9) кососимметричны, т. е.
Пр'/ = -Пр/?. F.11)
468 ДОБАВЛЕНИЕ II
Уравнения Эйлера — Лагранжа, отвечающие полям hf (х), принимают вид
1<Э,.(/Шр;') = 7У F.12)
(в пустоте). При наличии материи, создающей гравитационное поле, в правую
часть обычным образом добавится тензор энергии-импульса материи.
В силу условия однородности F.5) векторное поле yk(x), входящее в
плотность лагранжиана, определяется лишь с точностью до произвольного
общего множителя. Поэтому плотность ц (х) веса — 1 в F.2) можно выби-
выбирать из соображений удобства. Выберем
*«-та- FЛЗ)
Тогда векторная плотность h(x)yk(x) будет сохраняющейся величиной, т. е.
dk(h(x)yk(x)) = 0, F.14)
что прямо следует из F.2) и F.14). Выше (с. 443) мы обращали внимание
на целесообразность подчинения выделенного векторного поля уравнению со-
сохранения вида F.14). Замечательно, что в настоящей теории уравнение со-
сохранения F.14) появляется автоматически, так что нет необходимости вво-
вводить его дополнительно к полевым уравнениям.
Вследствие равенства F.13) уравнения F.7) принимают вид
В частном случае, когда функция L в F.8) не зависит от ур, мы получим
теорию с плотностью лагранжиана вида
Л = Ы.(^%), F.16)
где лагранжиан L, вообще говоря, — произвольная достаточно гладкая функ-
функция от скаляров Fpqr. Плотность лагранжиана F.16) можно выбирать ло-
логически многими способами. Например, если исходить из эйнштейновской
плотности лагранжиана V — gR, где R — свертка риманова тензора кривиз-
кривизны, a g = det(gi/(x)), и выразить в ней риманов метрический тензор gi/(x)
через тетрадное поле Af (х) согласно g^ = tIpq^i Щ> т0 после отбрасывания
дивергенции, содержащей все вторые производные, останется плотность ла-
лагранжиана вида F.16). Соответствующие полевые уравнения будут, оче-
очевидно, эквивалентны уравнениям Эйнштейна, так что мы получим просто
новое представление эйнштейновской теории. 1-формовый финслеров подход
предлагает ряд других кандидатов на роль полевого лагранжиана рассмат-
рассматриваемого типа, ближайшими из которых являются H(x,S(x)), R(x,S(x))
и K(x,S(x)) (получающиеся из соответствующих финслеровых тензоров кри-
кривизны) после отбрасывания из них подходящей дивергенции для исключения
из лагранжиана вторых производных. Руководствуясь соображениями про-
простоты, можно предложить лагранжиан, в полной аналогии с электродинами-
электродинамикой, просто в виде
pQ* F.17)
Все такие выборы охватываются общей квадратичной формулой
m, F.18)
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 469
где набор констант Xptqrm"" обладает свойством кососимметричности:
_ QRMN _ _ RQMN , RQNМ /й,пч
РТ — РТ — * РТ ' w-ly/
а в остальном может быть произвольным.
После перехода от реперов hpm (х) обратно к основным реперам Sm (х)
плотность лагранжиана F.16) принимает вид
A = SL (FABC), F.20)
где FABC = S'gSl; (dtsf — dfif), S = det (sf). Обратим внимание на ин-
интересную возможность выбрать лагранжиан L(FABc) так, чтобы плотность
лагранжиана F.20) была инвариантна относительно общей группы масштаб-
масштабных преобразований реперов (формула B.76) из добавления I). Таким свой-
свойством инвариантности обладает, например, плотность лагранжиана
a = sjVW,2. F-21)
где F]23 = FA=lB=^ с=3 и т. д. Действительно, из формулы B.76) нетрудно
вывести равенства
^23— Ш2Ш3 t 23- ••• ">•¦">
и S = a>VaAz;45, где ?'23 = Sls^^s} — д/Щ и 3 = det (sf). Из этих
равенств прямо следует инвариантность выражения F.21) относительно про-
произвольных преобразований B.76) из добавления I. Плотность лагранжиана
F.21) можно симметризовать по индексам 1, 2, 3, 4.
§ 7. Ковариантный и интегрируемый закон сохранения
энергии-импульса гравитационного поля
В настоящем параграфе обращено внимание на интересный факт, что
при 1-формовом подходе любая плотность лагранжиана вида F.8) или F.16)
приводит к ковариантному и интегрируемому закону сохранения локальной
энергии-импульса поля.
Исходным является замечание, что простейшей геометрической величиной,
которая может быть использована для формулировки ковариантного и инте-
интегрируемого закона сохранения локальной энергии-импульса поля в римановом
пространстве-времени, является набор четырех векторных полей Трт(х), удов-
удовлетворяющих закону сохранения
VmrPm = 0. G.1)
Vm обозначает оператор риманова ковариантного дифференцирования. Вслед-
Вследствие хорошо известного тождества
^J
равенство нулю ковариантной дивергенции векторного поля в римановом про-
пространстве-времени представляет собой интегрируемый закон сохранения точно
так же, как и в плоском пространстве-времени. После соответствующего
определения полей Трт(х) среди четырех геометрических скаляров
G.2)
Ео является энергией, а Е\, Е2, Е3 — тремя компонентами импульса, содержа-
470 ДОБАВЛЕНИЕ II
щегося в трехмерном объеме интегрирования V. Через dom обозначен трех-
трехмерный элемент поверхности. Если гиперповерхность V выбрать замкнутой, то
по теореме Гаусса в силу закона сохранения G.1) получится Ер =0.
Как хорошо известно, закон сохранения локальной энергии-импульса гра-
гравитационного поля не может быть сформулирован в виде G.1), если описы-
описывать гравитационное поле собственно римановым метрическим тензором. Это
не достигается и при описании гравитационного поля полем тетрад, опреде-
определяемых по риманову метрическому тензору лишь с точностью до произволь-
произвольных вращений: в этом случае закон G.1) оказывается существенно неодно-
неоднозначным (см. Родичев [1]). В отличие от этого при 1-формовом подходе
гравитационное поле описывается четырьмя векторными полями h?m (х), как
физически наблюдаемыми. На этом пути однозначно формулируется закон
сохранения типа G.1).
Действительно, вследствие кососимметричности F.11) тензоров Прг' в
силу уравнений поля F.12) справедливы законы сохранения
JLa,(A77,')~o G.3)
типа G.1). Поэтому мы назовем F.10) тензором энергии-импульса гравита-
гравитационного поля. Его структура F.10) аналогична структуре тензора энергии-
импульса электромагнитного поля. Сравнивая уравнения F.12) с уравнениями
Максвелла в пустоте, можно сказать, что источником гравитационного поля
в пустоте является тензор энергии-импульса гравитационного поля.
Для плотности лагранжиана F.18) выражения F.9) и F.10) прини-
принимают вид
"Ч»«Т11, G.4)
G.5)
Из G.5) видно, что след тензора Tnm = TnQhQ обращается в нуль:
Г/ = 0 G.6)
при размерности = 4.
Наиболее простой вид предыдущие формулы принимают для лагранжиа-
лагранжиана F.17), а именно:
П//'=4/у7, G.7)
±Tnm~-FtlaF4m + ±bZL, G.8)
W = Tr/ G.9)
Аналогия со случаем электромагнитного поля в этих формулах особенно пол-
полная (см. также Асанов [14]).
§ 8. Связь между уравнениями поля
и финслеровыми геодезическими
Как хорошо известно, в общей теории относительности, основанной на
римановой метризации пространства-времени, существует внутренняя связь
между полевыми уравнениями и гипотезой римановых геодезических для
пробных тел. Такая связь наиболее ясно проявляется в случае, когда грави-
гравитационное поле создается некогерентной идеальной жидкостью: примене-
применение тождеств Бианки к левой части уравнений Эйнштейна немедленно дает,
что линии тока такой жидкости являются римановыми геодезическими (см.,
например, Синг [5]).
О ФИНСЛЕРОВОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 471
Аналогично при финслеровом подходе к теории относительности инте-
интересно рассматривать некогерентную идеальную жидкость, предполагая, что
ее линии тока являются финслеровыми геодезическими. Однако такое пред-
предположение не может делаться независимо от выбора полевого лагранжиана
гравитационного поля: этот выбор должен быть согласован с уравнениями
финслеровых геодезических в том смысле, что аналог тождеств Бианки для
полевых уравнений должен приводить к уравнениям финслеровых геодезиче-
геодезических. Ниже показано, что такое согласование имеет место при выборе про-
произвольной плотности лагранжиана гравитационного поля вида F.16).
Обозначим через тР' лагранжеву производную от плотности лагранжиана
F.16), т. е.
х
def
<ЭА дА
= д, _ ,_ .„, —тт. (8.1)
' <?(<??)
Для плотности лагранжиана F.16) лагранжевы производные (8.1) удовле-
удовлетворяют тождествам
Q
(аналог тождеств Бианки). Эти тождества можно получить в результате
применения второй теоремы Нётер. В справедливости тождеств (8.2) для
произвольной плотности лагранжиана вида F.16) можно также убедиться
прямой выкладкой. Аналогичные тождества можно получить и для плотно-
плотности лагранжиана F.8).
Пусть теперь источником гравитационного поля является некогерентная
идеальная жидкость с плотностью лагранжиана
A'=i-p(x) Л (*,«(*)), (8.3)
где F(x,u)—какая-либо 1-формовая финслерова метрическая функция,
и'(х) —поле скоростей движения жидкости, а р(л:)—скалярная плотность
веса +1.
Очевидно,
-^- = р (х) ир (х) и' (х), (8.4)
где up = F (х, и) dF (х, и)/дир, ир (x) = hP (х) и1 (х) и ир (х) = ир (uQ (*)).
Уравнения поля, создаваемого жидкостью, принимают вид
V = p(x) «р (*)«'(*). (8.5)
Условие непрерывности жидкости записывается обычным образом:
dl[p(x)ui(x)] = 0. (8.6)
В добавлении I мы обращали внимание на то, что финслеровы геодези-
геодезические произвольного 1-формового финслерова пространства описываются
уравнениями C.6*), добавление I. Следовательно, уравнения конгруэнции
финслеровых геодезических произвольного 1-формового финслерова простран-
пространства записываются в виде
ul(x)diUp(x) + FRQp(x)uR(x)uQ(x) = O. (8 7)
Оказывается, что из уравнений поля (8.5) и уравнения непрерывности
(8.6) однозначно следует, что линии тока жидкости с плотностью лагранжиа-
лагранжиана (8.3) являются финслеровыми геодезическими. Действительно, дифферен-
дифференцирование уравнений (8.5) и последующая подстановка (8.6) немедленно
дает (8.7).
Итак, мы получили обобщение аналогичного утверждения, хорошо извест-
известного в общей теории относительности (см., например, Синг [5], гл. IV, § 4).
БИБЛИОГРАФИЯ
А д а м а р (Hadamard J.)
1. Lemons sur le calcul des variations. — Paris, 1910.
Акбар-Заде (Akbar-Zadeh H.)
1. Sur la reductibilite d'une variete finslerienne. — С. г. Acad. Sci. Paris,
1954, 239, p. 945—947
2. Sur les isometries infinitesimales d'une variete finslerienne. — С. г. Acad.
Sci. Paris, 1956, 242, p. 608—610.
Альт (Alt F.)
1. Dreiecksungleichung und Eichkorper in verallgemeinerten Minkowskischen
Raumen.— Ergebn. math. Kolloq., 1937, 8, S. 32—33.
А н к о ч е a (Ancochea G.)
1. Kovariante Differentiation und die Riccischen Identitaten in Finslerschen
Raumen. — Rev. mat. hisp.-amer., 1933, 2, S. 261—264.
Ароншайн (Aronszajn N )
I. Sur quelques problemes concernant les espaces de Minkowski et les espa-
ces vectoriels generaux. — Atti Accad. naz. Lincei Rend. F), 1937, 26,
p. 374—376.
Ac а н о в Г. С.
1. Электромагнитное поле как финслерово многообразие. — Изв. вузов,
Физика, 1975, № 1, с. 86—90.
2. Гравитационное поле в финслеровом пространстве, основанном на по-
понятии объема. — Вестн. МГУ, Физика, Астрономия, 1976, 17, № 3,
с. 288-296.
3. Финслерово пространство с алгебраической метрикой, определяемой по-
полем реперов. — В кн.: Проблемы геометрии, 8. М.: ВИНИТИ АН СССР,
1977, с. 67—87.
4. Эффекты локальной анизотропии пространства-времени, определяемые
финслеровой структурой. —¦ В кн.: Проблемы теории гравитации и эле-
элементарных частиц,- 8. М.: Атомиздат, 1977, с. 37—43.
5. Структура скалярного и электромагнитного полей на касательном рас-
расслоении пространства-времени с абсолютным параллелизмом. — Вестн-
МГУ, Физика, Астрономия, 1977, 18, № 6, с. 19—24.
6. Motion of the rest frame of the electric charge defined by the Finslerian
structure of the electromagnetic field. — Report. Math Phys., 1977, 11,
№ 2, p. 221—226.
7. The Finslerian structure of space-time defined by its absolute paralle-
parallelism. — Ann. Phys. 1977, 34, № 3, p. 169—174.
8. Some consequences of the Finslerian structure of the space-time with the
absolute parallelism. — Reports Math. Phys., 1978, 13, № 1, p. 13—23.
9. Scalar and electromagnetic fields in Finslerian space-time with the abso-
absolute parallelism. — Reports Math. Phys., 1978, 14, № 2, p. 239—248.
10. New examples ot S3-like Finsler spaces. —- Reports Math. Phys., 1979
15, № 3, p. 443—447.
II. Основные принципы финслеровой теории относительности, I. — Изв. ву-
вузов, Физика, 1979, № 7, с. 58.
БИБЛИОГРАФИЯ 473
12. Основные принципы финслеровой теории относительности, II. — Изв. ву-
вузов, Физика, 1979, № 7, с. 104.
13. On Finslerian Relativity. — II Nuovo Cimento, 1979, B49, p. 221—246.
14. Интегрируемый ковариантный закон сохранения энергии-импульса гра-
гравитационного поля со структурой абсолютного параллелизма. — Теорети-
Теоретическая и математическая физика, 1979, 39, № 1, с. 75—82.
Ауслендер (Auslander L.)
1. The use of forms in variational calculations. — Pacific J. Math. 1955, 5,
p. 853—859.
2. Remark on the use of forms in variational calculations. — Pacific J. Math.,
1956, 6, p. 209—210.
3. On curvature in Finsler geometry. — Trans. Amer. Math. Soc, 1955, 79,
p. 378—388.
Баргманн, Мичел иТелегди (Bargmann V., Michel L., Telegdi V. L.)
1. Precession of the polarization on particles moving in a homogeneous elec-
electromagnetic field. — Phys. Rev. Lett., 1959, 2, p. 435—436.
Бартель (Barthel W.)
1. Zum Inhaltsbegriff der Minkowskischen Geometrie. — Math. Z., 1953, 58,
S. 358—375.
2. Ober die Minimalflaschen in gefaserten Finsler-Raumen.— Ann. Mat. Рига
Appl. D), 1954, 36, S. 159—190.
3. Ober eine Parallelverschiebung mit Langeninvarianz in lokal-Minkowskis-
chen Raumen, I, П. —Arch. Math., 1953, 4, S. 346—365.
4. Ober Minkowskische und Finslersche Geometrie. — Convegno Internazio-
nale di Geometria Differenziale, Italia, 1954, S. 71—76.
5. Variationsprobleme der Oberfla'chenfunktion in der Finslerschen Geomet-
Geometrie.—Math. Z., 1955, 62, S. 23-36.
6. Extremalprobleme in Jer Finslerschen Inhaltsgeometrie. — Ann. Univ. Sa-
ray., 1956, 4, S. 171—183.
Баумайстер (Baumeister R.)
1. Generalized Hamilton — Jacobi theories. — J. Math. Phys., 1978, 19, № 11,
p. 2377—2387.
2. Clebsch representations and variational principles in the theory of relativis-
tic dynamical systems. — Utilitas Math., 1979, 16, p. 43—72.
Беке (Веке М.)
1. Transversalitat und Orthogonalitat. — Mat. fiz. Lap., 1938, 45, S 157—
161.
Белецкий и Голаб (Bielecki A., Golab S.)
1. Sur un probleme de la metrique angulaire dans les espaces de Finsler. —
Ann. Soc. Polon. Math., 1945, 18, p. 134—144.
Бе л теки (Belteky К.)
1. Ober spezielle bahntreue Abbildungen. — Publ. Math. Debrecen, 1968, 15,
S. 189—202.
Бервальд (Berwald L.)
1. Ober Parallelflbertragung in Raumen mit allgemeiner Massbestimmung.—
Jber. dtsch. Math. Ver., 1926, 34, S. 213—220.
2. Untersuchung der Krflmmung allgemeiner metrischer Raume auf Grund
des in ihnen herrschenden Parallelisttius. — Math. Z., 1926, 25r S. 40—73.
Correction. — Math. Z., 1927, 26, S. 176.
3. Ober die erste Krummung der Kurven bei allgemeiner Massbestimmung.—
Lotos (Prag), 1919/1920, 67/68, S. 52—56.
4. Parallelflbertragung in allgemeinen Raumen. — Atti Congr. Bologna, 1931,
4, S. 263—270.
Б. Ober zwei-dimensionale allgemeine rnetrische Raume, I. II. — J. reine atl-
gew Math., 1927, 156, S. 191—210, 211—222.
6. Zur Geometrie ebener Variationsprobleme. — Lotos, 1926, 74. S. 43—52
7. Ober Finslerische und verwandte Raume. — Cas. mat. fys., 1935, 64,
5. 1—16.
16 X. рунд
474 БИБЛИОГРАФИЯ
8. Ober die Hauptkriimmungen einer Flache im dreidimensionalen Finslers-
chen Raum. — Monatsh. Math. Phys., 1936, 43, S. 1—14.
9. Ober Beziehungen zwischen den Theorien der ParallelQbertragung in
Finslerschen Raumen. — Nederl. Akad. Wetensch. Proa, Ser. A., 1946, 49,
S. 642—647.
10. Ober Finslersche und Cartansche Geometrie. I. Geometrische Erklarun-
gen der Krummung und des Hauptskalars im zweidimensionalen Finslers-
Finslerschen Raum. — Mathematica (Timisoara), 1941, 17, S. 34—55. II. Invarian-
ten bei der Variation vielfacher Integrale und Parallelhyperflachen in
Cartanschen Raumen. — Compositio math., 1939, 7, S. 141—176. III. Two-
dimensional Finsler spaces with rectilinear extremals. — Ann. Math. B),
1941, 42, p. 84—112. IV. Projectivekriimmung allgemeiner affiner Raume
und Finslersche Raume skalarer Krummung. — Ann. Math B) 1947 48,
S. 755-781.
11. Sui differenziali secondi covarianti. — Atti Accad. Lincei Rend. F), 1927,
5, p. 763—768.
12. Una forma normale invariante della seconda variazione. — Atti Accad.
Lincei Rend. F), 1928, 7, p. 301—306.
13. Differentialinvarianten in der Geometrie. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
und ihre Verallgemeinerungen. — Enzykl. math. Wiss., Leipzig, 3D11, 1927.
14. Ober die re-dimensionalen Geometrien konstanter Krummung, in denen
die Geraden die Kurzesten sind. — Math. Z., 1929, 30, S. 449—469.
15. Ober Systeme von gewohnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
deren Integralkurven mit dem System der geraden Linien topologisch
equivalent sind. —Ann. Math B), 1947, 48, S. 193—215.
Б и а н к и (Bianchi L.)
1. Lezioni di Geometria Differenziale. — Bologna, 1924.
Б и м (Веет J. K.)
1. Indefinite Finsler spaces and timelike spaces. — Canad. J. Math., 1970, 22,
p. 1035—1039.
2. Motions in two-dimensional indefinite Finsler spaces. — Indiana Univ.
Math. J., 1971/1972, 21, p. 551—555.
3. On the indicatrix and isotropy group in Finsler spaces with Lorentz sig-
signature. — Lincei Rend. (8), 1973, 54, p. 385—392.
4. Characterizing Finsler spaces which are pseudo-Riemannian of constant
curvature.— Pacific J. Math., 1976, 64, p. 67—77.
Бим и Кишта (Веет J. K-, Kishta M. A.)
1. On generalized indefinite Finsler spaces. — Indiana Univ. Math. J., 1974,
23, p. 845—853.
Близникас В. И.
1. Пространства Финслера и их обобщения. — В ки.: Алгебра. Топология.
Геометрия, 1967 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР). М., 1969, с. 73—
125.
Б л и с с (Bliss G. А.)
1. A generalisation of the notion of angle. — Trans. Amer. Math. Soc, 1925,
27, p. 61—67.
2. Generalisations of geodesic curvature and a theorem of Gauss concerning
Eeodesic triangles. — Amer. J. Math., 1915, 37, p. 1—18.
ectures on the calculus of variations. — Chicago, 1946.
Блюменталь (Blumenthal L. M.)
I. Theory and applications of distance geometry. — Oxford, 1953.
Бляшке (Blaschke W.)
1. Ober die Figuratrix in der Variationsrechnung. — Arch. Math. Phys., 1912,
20, S. 28—44.
2. Geornetrische Untersuchungen zur Variationsrechnung. I. Ober Symmetra-
len. —Math. Z., 1920, 6, S. 281—285.
3. Raumliche Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitatsbedin-
gung. — Ber. kgl. Sachs. Ges. Wis., Math. Phys. Kl., 1916, 68, S. 50—55.
БИБЛИОГРАФИЯ
475
4. Vorlesungen fiber Differentialgeometrie, Bd. I. — 3 Aufl. — Berlin, 1924.
[Русский перевод: Бляшке В. Дифференциальная геометрия, т I —-
М.: ОНТИ, 1935.]
5. Integralgeometrie, XI: Zur Variationsrechnung. — Abh. math. Sem. Ham-
Hamburg Univ., 1936, 11, S. 359—366.
6. Zur Variationsrechnung. — Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, Ser. A, 1954, 19,
S. 106—107.
Бляшке и Боль (Blaschke W., Bol G.)
1. Geometrie der Gewebe. — Berlin, 1938.
Боголюбовы. Н. иШирковД. В.
1. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1973.
Богословский Г. Ю.
1. О специальной релятивистской теории анизотропного пространства-вре-
пространства-времени. — ДАН СССР, 1973, 213, с. 1055—1058.
2. О возможности обнаружения локальной анизотропии пространства-вре-
пространства-времени с помощью эффекта Допплера. — Письма в ЖЭТФ, 1976, 23, с. 192—-
194.
3. Об общей релятивистской теории локально анизотропного пространства-
времени. — Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные
теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и
гравитации». Минск, 1976, с. 253—255.
4. A special relativistic theory of the locally anisotropic space-time, I: The
metric and group of motions of the anisotropic space of events. — II Nuovo
Cimento, 1977, 40B, p. 99—115.
5. A special relativistic theory of the locally anisotropic space-time; II: Me-
Mechanics and electrodynamics in the anisotropic space. — II Nuovo Cimento,
1977, 40B, p. 116—134; 1978, 43B, p. 377—378.
Б оль ц a (Bolza О.)
1. Vorlesungen fiber Variationsrechnung. — Leipzig, 1909.
Бомпиани (Bompiani E.)
1. Sulle connessioni affini non posizionali. — Arch. Math., 1952, 3, p. 183—
186.
2. Studi sugli spazi curvi. — Atti 1st. Veneto (9), 1921, 5 (80), p. 355—386,
839—859.
3. Proprieta d'immersione di una varieta in uno spazio di Riemann. — Rend.
Sem. Mat. Milano, 1951, 22, p. 3—26.
4. Studi sugli spazi curvi; la seconda forma fondamentale di una Vm in
Vn. — Atti 1st. Veneto (9), 1921, 5 (80), p. 1113—1145.
Б о н д и (Bondi H.)
1. Cosmology. — Cambridge: Cambridge University Press, 1960.
Боненблюст (Bohnenblust F.)
1. Convex regions and projections in Minkowski spaces. — Ann. Math., 1938,
39, p. 301—308.
Боннезен и Фенхель (Bonnesen Т., Fenchel W.)
1. Theorie der konvexen Korper. — Berlin: Springer-Verlag, 1934.
Бортолотти (Bortolotti E.)
1. Transporti non lineari. I. — Atti Acad. naz. Lincei, Rend. F), 1936, 23,
p. 16—21; П. —Atti Acad. naz. Lincei, Rend. F), 1936, 23, p. 104—110;
III.— Atti Acad. naz. Lincei, Rend. F), 1936, 23, p. 175—180.
2. Spazi subordinati: equazioni di Gauss e Codazzi. — Boll. Un. Mat. Ital.,
1927, 6, p. 134—137.
3. Differential invariants of direction and point displacements. — Ann. Math.
B), 1931, 32, p. 361—377.
Б о с к e (Bosquet J. P.)
1. Quelques formules fondamentales de la theorie invariantive du calcul des
variantions. — Bull. Acad. Bruxelles E), 1929, 15, p. 270—377.
2. Contribution 4-la theorie invariantive du calcul des variations, — Bull.
Acad. Bruxelles E), 1929, 15, p. 1002—1017.
16*
476 БИБЛИОГРАФИЯ
Буземан (Busemann H.)
1. Ober die Geometrien, in denen die «Kreise mit unendlichem Radius» die
kfirzesten Linien sind. — Math. Ann., 1932, 106, S. 140—160.
2. Ober die Raume mit konvexen Kugeln und Parallelenaxiom. — Nachr. Ges
Wiss. Gottingen, 1933, S. 116—140.
3. Metric methods in Finsler spaces and the foundations of geometry.—
Princeton, 1942.
4. The foundations of Minkowskian geometry. — Comm. Math. Helv., 1950
24, p. 156-187.
5. Intrinsic area.— Ann. Math., 1947, 48, p. 234—267.
6. Angular measure and integral curvature. — Canad. J. Math., 1949, 1,
p. 279—296.
7. The geometry of Finsler spaces. — Bull. Amer. Math. Soc, 1950, 56,
p. 5—15.
8. An geodesic curvature in two-dimensional Finsler spaces. — Ann. Math.
Рига Appl. D), 1950, 31, p. 281—295.
9. Metric conditions for symmetric Finsler spaces. — Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1941, 27, p. 533—539.
10. The geometry of geodesies. — N. Y., 1955.
11. On normal coordinates in Finsler spaces. — Math. Ann., 1955, 129,
p. 417—423.
12. Quasihyperbolic geometry. — Rend. Circ. Mat. Palermo' B), 1955, 4,
p. 256—269.
13. The isoperimetric problem for Minkowski area. — Amer. J. Math., 1949, 71,
p. 743—762.
14. Recent synthetic differential geometry. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Sprin-
Springer, 1970.
Буземан и Майер (Busemann H., Mayer W.)
1. On the foundations of the calculus of variations.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1941, 49, p. 173—198.
Булиган и Шоке (Bouligand G., Choquet G.)
1. Problemes lies a des metriques variationnelles. — C. r. Acad. Sci. Paris,
1944, 218, p. 696—698.
В агнер В. В.
1. О пространствах Бервальда. — Матем. сб., 1938, 3, с. 655—662.
2. О вмещении поля локальных поверхностей в Хп в постоянное поле по-
поверхностей в аффинном пространстве. — ДАН СССР, 1949, 66, № 5,
с. 785—788.
3. Обобщение неголономных многообразий в финслеровом пространстве. —
Изв. Саратовск. ун-та, 1938, 1, № 2, с. 67—97.
4. Об обобщенных пространствах Бервальда. — ДАН СССР, 1943, 39, № 1,
с. 3—5.
5. Двумерные пространства Финслера с конечными непрерывными группа-
группами голономии. — ДАН СССР, 1943, 39, № 6, с. 223—226.
6. Внутренняя геометрия нелинейных и неголономных многообразий. — Ма-
Матем. сб., 1943, 13, 135—167.
7. Гомологические преобразования метрики Финслера. — ДАН СССР, 1945,
46, № 7, с. 287—290.
8. Геометрия поля локальных кривых в Х3 и простейший случай задачи
Лагранжа в вариационном исчислении. — ДАН СССР, 1945, 48, № 4,
с. 245—248.
9. Геометрия поля локальных плоских кривых в Хг.— ДАН СССР, 1945,
48, № 6, с. 382—384.
10. Геометрическая теория простейшей га-мерной сингулярной задачи ва-
вариационного исчисления. — Матем. сб. 1947, 21, № 3, с. 321—364.
11. Теория поля локальных гиперполос в Х„ и ее приложения к механике
-системы с нелинейными неголономнымн связями.— ДАН СССР, 1949, 66,
№ 6, с. 1033—1036.
БИБЛИОГРАФИЯ 477
12. Theory of a field of local (n — 2)-dimensional surfaces in Xn and its ap-
application to the problem of Lagrange in the calculus of variations. — Ann.
Math. B), 1948, 49, p. 141—188.
13. Геометрия Финслера как теория поля локальных гиперповерхностей в
Хп. — Тр. семинара по векторы, и тензоры, анализу, 1949, 7, с. 65—166.
14. Теория поля локальных гиперполос. — Тр. семинара по векторн. и тен-
зорн. анализу, 1950, 8, с. 197—272.
15. Теория составного многообразия. — Тр. семинара по векторн. и тен-
зорн. анализу, 1950, 8, с. 11—72.
Ван (Wang Н.-С.)
1. Or Finsler spaces with completely integrable Killing equations. — J. Lon-
London Math. Soc, 1947, 22, p. 5—9.
Ванстоун (Vanstone J. R.)
I. The Hamilton — Jacobi equation for a relativistic charged particle. — Cana-
Canadian Math. Bull., 1963, 6, p. 341—349.
Варга О. (Varga О.)
1. Zur Begriindung der Minkowskischen Geometrie. — Acta Szeged. Math.,
1943, 10, S. 149—163.
2. Zur Herleitung des invarianten Differentials in Finslerschen Raumen. —
Monatsh. Phys., 1941, 50, S. 165—175.
3. Beitrage zur Theorie der Finslerschen Raume und der affinzusammen-
hangenden Raume von Linienelementen. — Lotos, 1936, 84, S. 1—4.
4. Aufbau der Finslerschen Geometrie mit Hilfe einer oskulierenden Min-
Minkowskischen Massbestimmung. — Sitzungsber. Akad. Wiss. 1942, 61,
S. 14—22.
5. Zur Differentialgeometrie der Hyperflachen in Finslerschen Raumen. —
Dtsch. Math., 1941, 6, S. 192—212.
6. Bestimmung des invarianten Differentials in Finslerschen Raumen. —
Mat. Fiz. Lapok, 1941, 48, S. 423—435.
7. Ober eine Klasse von Finslerschen Raumen, die nichteuklidischen verallge-
meinern. — Comment. Math. Helv., 1947, 19, S. 367—380.
8. Die Krflmmung der Eichflache des Minkowskischen Raumes und die geo-
metrische Deutung des einen Knimmungstensors des Finslerschen Rau-
Raumes.—Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1955, 20, S. 41—51.
9. Eine geometrische Charakterisierung der Finslerschen Raume konstanter
Kriimmung. — Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1951, 2, S. 143—156.
10. Ober das Krflmmungsmass in Finslerschen Raumen. — Publ. Math., 1949,
1, S. 116—122.
II. Ober affinzusammenhangende Mannigfaltigkeiten von Linienelementen,
insbesondere deren Aquivalenz. — Publ. Math., 1949, 1, S. 7—17.
12. Uber den Zusammenhang der Krflmmungsaffinoren in zwei eineindeutig
aufeinander abgebildeten Finslerschen Raumen. — Acta Sci., Szeged, 1950,
12, S. 132—135.
13. Normalkoordinaten in allgemeinen differentialgeometrischen Raumen und
ihre Verwendung zur Bestimmung samtlicher Differentialinvarianten. —
С. г. Premier Congres Math. Hongrois, Budapest, 1952, p. 131—162.
14. Eine Charakterisierung der Finslerschen Raume mit absolutem Parallelis-
mus der Linienelemente. — Arch. Math., 1954, 5, S. 128—131.
15. Eine Charakterisierung der Finslerschen Raume mit absolutem Paralle-
lismus der Linienelemente. — Acta Univ. Debrecen, 1954, 1, S. 105—108.
16. Bedingungen fur die Metrisierbarkeit von affinzusammenhangenden Li-
nienelementmanningfaltigkeiten. — Acta Math. Sci. Hungar., 1954, 5,
S. 7—16.
17. HHbertsche Verallgemeine nicht-euklidische Geometrie und Zusammen-
Zusammenhang derselben mit der Minkowskischen Geometrie. — In: Intern. Cong-
Congress of Math: Abstracts. Edinburgh, 1958, S. 3.
18. Uber die Zerlegbarkei von Fraslerschen RauMen.—Acta Math. Hungar..
1960, II, S. 197—203.
178 БИБЛИОГРАФИЯ
19. Ober eine Kennzeichnung der Riemannschen Raume konstanter negativer
und positiver Kriimmung. — Annali di Mat., 1961, 53, S. 105—117.
20. Bemerkung zur Winkelmetrik in Finslerschen Raumen.— Ann. Univ. Sci.
Budapest, Sectio Math., I960—61, 3—4, S. 379—382.
21. Ober den inneren und induzierten Zusammenhang fur Hyperflachen in
Finslerschen Raumen. — Publ. Math., 1961, 8, S. 208—217.
22. Ober eine Characterisierimg der Finslerschen Raume konstanter Kriim-
Kriimmung. — Monatsh. Math., 1961, 65, S. 277—286.
23. Zur Begrundung der Hilbertschen Verallgemeinerung der nichteuklidischen
Geometrie.— Monatsh. Math., 1962, 66, S. 265—275.
24. Herleitung des Cartanschen euklidischen Zussamenhanges in Finsler-
Raumen mit Hilfe der Riemannschen Geometrie. — Acta Phys. et Chimica,
1962, 8, S. 121—124.
25. Eine einfache Herleitung der Cartansche Obertragung der Finsler-Geo-
metrie. — Math. Notae, 1962, 18, S. 185—196.
26. Ober Hyperflachen konstanter Normalkrflmmung in Minkowskischen Rau-
Raumen.—Tensor N. S., 1963, 13, S. 246—250.
27. Hyperflachen mit Minkowskischer Massbestimmung in Finsler-Raumen. —
Publ. Math. 1964, 11, S. 301—309.
28. Zur spharischen Abblidung in Riemannschen Raumen. — Ann. Univ. Jassy,
1965, 11B, S. 507—517.
29. Die Methode des bewelichen n-Beines in der Finsler-Geometrie.—Acta
Math. Sci. Hungar. 1967, 18, S. 207—215.
30. Hyperflachen konstanter Normalkrummung in Finslerschen Raumen. —
Math. Nachr., 1968, 38, S. 47—52.
31. Zur Invarianz des Krummungsmassen der Winkelmetrik in Finsler-Rau-
Finsler-Raumen bei Einbettungen, — Math. Nachr., 1969, 43, S. 11 — 18.
32. Beziehung der ebenen verallgemeinerten nichteuklidischen Geometrie zu
gewissen Flachen im pseudominkowskischen Raum. — Aequationes Math.,
1969, 3, S. 112—117.
Варга Т. (Varga Т.)
1. Ober Berwafdsche Raume, I. —Publ. Math., 1978, 25, S. 213—223.
2. Ober Berwaldsche Raume, II.— Publ. Math., 1979, 26, S. 41—50.
ван дер Варден (Waerden В. L. van der)
1. Differentialkovarianten von n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in Rie-
Riemannschen m-dimensionalen Raumen. — Abh. math. Sem. Hamburg, 1927,
5, S. 153—160.
Веблен (Veblen O.)
1. Projektive Relativitatstheorie. — Ergebn. Math., 1933, 2, S. 1.
2. A generalisation of the quadratic differential form. — Quart. J. Math. (Ox-
(Oxford Series), 1930, 1, p. 60—76.
Веблен и Томас (Veblen О , Thomas Т. Y.)
1. The geometry of paths. — Trans. Amer. Math. Soc, 1923, 25, p. 551—608.
Веблен иУайтхед (Veblen О., Whitehead J. H. C.)
1. The foundations of differential geometry. — Cambridge Tracts, 1932, № 19.
В е г е н e p (Wegener J. M.)
1. Untersuchung der zwei- und dreidimensionalen Raume mit der Grundfunk-
tion Z.= (ailkx'xixky^. — Nederl. Akad. Wetensch. Proc, Ser. A, 1935, 38,
S. 949—955.
2. Hyperflachen in Finslerschen Raumen als Transversalflachen einer Schar
von Extremalen. — Monatsh. Phys., 1936, 44, S. 115—130.
3. Untersuchungen fiber Finslersche Raume. — Lotos, 1936, 84, S. 4—7.
В е и л ь A. (Weil A.)
1. L'integration dans les groupes topologiques et ses applications. — Actuali-
tes Sci. Ind., Paris, 1940.
В е й л ь Г. (Weyl H.) -
1 Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und der-konformen
Auffassung. — Gottinger Nachr., 1921, S. 99—112. .
БИБЛИОГРАФИЯ
479
В е л ь f e (Velte W.)
1. Bemerkung zu einer Arbeit von H. Rund. — Arch. Math., 1953, 4, S 343—
345.
Вилл иНордведт (Will С. М., Nordvedt К.)
1. Conservation laws and preferred frames in Relativistic gravity, I and II.—
Astrophys. J., 1972, 177, p. 757 and 775.
Винтерниц (Winternitz A.)
I. Uber die affine Grundlage der Metrik eines Variationsproblems. — Sit-
zungsber. preuss. Akad. Wiss., 1930, 26, S. 457—469.
Виртингер (Wirtinger W.)
1. Uber allgemeine Massbestimmungen, in welchen die geodatischen Linien
durch lineare Gleichungen bestimmt sind. — Monatsh. Math. Phys., 1923,
33, S. 1—14,
Власов A. A.
1. Статистические функции распределения. — M.: Наука, 1966.
В р о н a (Wrona W.)
1. Neues Beispiel einer Finslerschen Geometrie. — Prace mat. fiz., 1939 46,
S. 281—290.
Вундхайлер (Wundheiler A.)
1. Uber Variationsgleichungen fflr affine geodatische Linien und nicht-holo-
nome nicht-konservative dynamische Systeme, — Prace mat. fiz., 1931, 38,
S. 129—147.
2. Kovariante Ableitung und die Cesaroschen Unbeweglichkeitsbedingun-
gen. — Math. Z., 1932, 36, S. 104—109.
Гальвани (Galvani O.)
1. Sur la realisation des espaces de Finsler. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1946,
222, p. 1067—1069.
2. Les connexions finsleriennes de congruences de droites. — С. г. Acad. Sci.
Paris, 1946, 222, p. 1200—1202.
3. Sur 1'immersion du plan de Finsler dans certains espaces de Riemann
a trois dimensions. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1946, 223, p. 1088—
1090.
4. La realisation des connexions euclidiennes d'elements lineaires et des
espaces de Finsler. — Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 1951, 2, p. 123—
146.
5. La realisation des espaces de Finsler. — С. г. Congres Soc. Savantes Paris
et des Departements tenu a Grenoble en 1952, 1952, p. 57—60.
6. Realisations euclidiennes des plans de Finsler. — Ann. Inst. Fourier, Gre-
Grenoble, 1955, 5, p. 421—454.
Гель дер (Holder E.)
1. Auf Extremalintegrale gegrundete metrische Raume.— Bericht von der
Riemann-Tagung des Forschungsinstituts fur Mathematik, Berlin, 1957,
S. 178—193.
Г о л а б (Golab S.)
1. Einige Bemefkungen fiber Winkelmetrik in Finslerschen Raumen.— Verh.
int. Math. Kongr., Zurich, 1932, 2, S. 178—179.
2. Quelques problemes metriques de la geometrie de Minkowski. — Trav.
Acad. Mines Cracovie Fasc, 1932, 6, p. 1—79.
3. Sur un invariant integral relativ aux espaces metriques generalises. —
Atti Accad. naz. Lincei, Rend. F), 1933, 17, p. 515—518.
4. Sur la representation conforme de l'espace de Finsler sur l'espace eucli-
dien. — С. г. Acad Sci. Paris, 1933, 196, p. 25—27.
5. Sur la representation conforme de deux espaces de Finsler. — C. r. Acad.
Sci. Paris, 1933, 196, p. 986—988.
6. Contribution a un theoreme de M. M S. Knebelmann. — Prace mat. fiz.,
1934, 41, p. 97—100.
7. Sur la mesure des aires dans les espaces de Finsler. — С. г. Acad. Sci.
Paris, 1935, 200, p. 197—199.
480 БИБЛИОГРАФИЯ
8. Sur une condition necessaire et suffisante afin qu'un espace de Finsler
soit un espace Riemannien. — Atti Accad. naz. Lincei, Rend. F), 1935,
21, p. 133-137.
9. Les transformations par polaires teciproques dans la geometrie de Fins-
Finsler. — С r. Acad. Sci. Paris, 1935, 200, p. 1462—1464
10. Sur le rapport entre les notions des mesures des angles et des aires dans
les espaces de Finsler. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1935, 201, p. 250—
251.
11. On Finsler's measurement of angle. — Ann. Soc. Pol. Math., 1954, 24,
p. 78—84.
12. Zur Theorie der Obertragungen.— Bericht von der Riemann-Tagung des
Forschungsinstituts fur Mathematik, Berlin, 1957, S. 162—177.
Голаб и Херлен (Golab S., Harlen H.)
1. Minkowskische Geometrie, I, II. — Monatsh Math. Phys., 1938, 38,
S. 387—398.
Голдстайн (Goldstine H. H.)
1. The calculus of variations in abstract spaces. — Duke Math. J., 1942, 9,
p. 811-822.
Г р ю с с (Gruss G.)
1. Ober Gewebe auf Flachen in dreidimensionalen allgemeinen metrischen
Raumen.— Math. Ann., 1928, 100, S. 1—31.
2. Eine Bemerkung fiber geodatische Kegelschnitte auf Flachen allgemeiner
Metrik. — Jber. dtsch. Math.-Ver. 1929. 38, S 83—91.
3. Beitrage zur Differentialgeometrie zweidimensionaler allgemein-metrischer
Raume. — Math. Ann., 1930, 103, S. 162—184.
Дайке (Deicke A.)
1. Ober die Finsler-Raume mit At — 0. — Arch. Math., 1953, 4, S. 45—51.
2. Ober die Darstellung von Finsler-Raumen durch nicht-holonome Mannigfal-
tigkeiten in Riemannschen Raumen. — Arch. Math., 1953, 4, S. 234—
238.
3. Finsler spaces as non-holonomic subspaces of Riemannian spaces.—J. Lon-
London Math. Soc, 1955, 30, p. 53—58.
Дамкёлер (Damkohler W.)
1. Zur Frage der Aquivalenz indefiniter VariationsDrobieme mit definiten.—
Sitzungsber. Math.-Nat. Abt. bayer. Akad. Wiss., 1940, S. 1—14.
Дамкёлер и Хофф (Damkohler W., Hnff E.)
1. Ober einige Eigenschaften von Kurvenintegraien und fiber die Aquiva-
Aquivalenz von indefiniten mit definiten Variationsproblemen. — Math. Ann., 1947,
120, S. 12—20.
ДевисД. (Davis D. R.)
1. The inverse problem in the calculus of variations in higher space. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1928, 30, p. 710—736.
2. Integrals whose extremals are a given 2-parameter family of curves. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1931, 33, p. 311—314.
Д евис Э. (Davies E. T.)
1. Lie derivation in generalised metric spaces. — Ann. Mat. Рига. Appl., 1939,
18, p. 261—274.
2. Subspaces of a Finsler space. — Proc London Math. Soc, 1945, 49, № 2,
p. 19—39.
3. On the second variation of a simple integral with movable end-points. —
J. London math. Soc, 1949, 24, p. 241—247
4. On the second and third fundamental forms of a subspace. — J. London
Math. Soc, 1937, 12, p. 289—295.
5. On the invariant tdeory of contact transformations. — Math. Z., 1953. 57,
p. 415—427.
6. Sur la theorie invariante des transformations de contact — Genmetrie Dif-
ferentielle, Colloques int. Centre nat. Rech. Scient., С N. R. Paris, 1953,
p. 11—15.
БИБЛИОГРАФИЯ 481
Д е в и с м (Devisme J.J
1. Sur une espace dont l'element lineaire est defini par ds3 = dxs + dy3 +
+ dz3 — 3 dx dy dz. — J. Math, pures appl. (9), 1940, 19, p. 359—393.
2. Sur quelques proprietes des tnedres d'Appell. — C. r. Acad. Sci. Paris,
1941, 212, p 43—45.
Д е л е н с (Delens P.)
1. Sur certains problemes relatifs aux espaces de Finsler. — C. r. Acad. Sci.
Paris, 1933, 196. p. 1356—1358.
2. La metrique angulaire des espaces de Finsler et la geometrie differentielle
projective. — Actuahtes, 80, Paris, 1934.
Деленс и Девисм (Delens P., Devisme J.)
1. Sur certaines formes differentielles et les metriques associees. — C, r.
Acad. Sci. Paris, 1933, 196, p. 518—521.
Д ж о н (. о н (Johnson М. М.)
1. Tensors of the calculus of variations. — Amer. J. Math., 1931, 53, p. 103—
116.
Дирак (Dirac P. A. M.)
1. Homogeneous variables in classical mechanics. — Proc. Camb. Phil. Soc,
1933, 29, p. 389—400.
Дои л (Doyle Т. С.)
1. Tensor decompositions with applications to the contact and complex
groups.— Ann Math., 1941, 42, № 2, p. 698—722.
Дондер (Donder T.)
1. Theorie invariantive du calcul des variations. — Paris, 1935.
Дуглас (Douglas J.)
1. The general geometry of paths.— Ann. Math., 1928, 29, № 2, p. 143—168.
2. The transversality relative to a surface of F(*, y, z; x', y', z')dt =¦ Mini-
Minimum. — Bull. Amer. Math. Soc, 1926, 32, p. 669—674.
Дутка (Dutka J.)
1. Transversality in higher space. — J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech., 1944,
23, p. 126—133.
Душек (Duschek A.)
1. Uber geometrische Variantionsrechnung. — Abh. Sem. Vektor-und Tensora-
nalysis, 1937, 4, S. 95—99.
Душек и Майер (Duschek A., Mayer W.)
1. Lehrbuch der Differentialgeometrie, Bd. I und П. —Leipzig; Berlin, 1930.
2. Zur geometrischen Variationsrechnung, II. Ober die zweite Variation des
eindimensionalen Problems. — Monatsh. Math. Phys., 1933, 40, S. 294—
308.
3 у л а н к е (Sulanke R.)
1. Die eindeutige Bestimmtheit des von Hanno Rund eingefuhrten Zusammen-
hanges in Finsler-Raumen. — Wiss. Z. Humboldt-Univ., Math.-naturwiss.,
1955, 4, S. 229—233.
2. «Anmerkung» to [1]. —Wiss. Z. Humboldt-Univ., Math.-naturwiss., 1956,
5, S. 269.
Идзуми (Izumi H.)
1. Conformal transformations of Finsler spaces, I: Concircular transforma-
transformations of a curve with Finsler metric. — Tensor, 1977, 31, p. 33—41.
2. On *P-Finsler spaces, I. — Mem. Defence Academy of Japan, 1976, 16,
№ 4, p. 133—138.
3. On *P-Finsler spaces, II.— Mem. Defence Academy of Japan, 1977, 17,
№ 1, p. 1—9.
Идзуми и И о си д a (Izumi H., Yoshida M.)
I. On Finsler spaces of perpendicular scalar curvature. — Tensor, 1978, 32,
№ 2, p. 219—224.
И кед a (Ikeda S.)
1. Some structurological remarks on a nonlocal field.— Intern. J. Thepr.
Phys., 1976, 15, № 5, p. 377—387,
482 БИБЛИОГРАФИЯ
2. Some information theoretical aspects of the gravitational field. — Lettere
al Nuovo Cirnento, 1977, 19, № 4, p. 141—144.
3. On the geometrical theory of «nonlocal» fields characterized by internal
variables. — Lettere al Nuovo Cimento, 1978, 21, № 5, p. 165—168.
4. Some physico-geometrical remarks on the theory of fields in higher-order
spaces. — Lettere al Nuovo Cimento, 1978, 21, № 14, p. 493—496.
5 Some constructive comments on the theory of fields in Finsler spaces. —
Lettere al Nuovo Cimento, 1978, 21, № 16, p. 567—571.
6. Some structurological remarks on the theory of fields in Finsler spaces. —
Lettere al Nuovo Cimento, 1978, 23, № 12, p. 449—454.
Ингарден (Ingarden R. S.)
1. Ober die Einbettung eines Finslerschen Raumes in einem Minkowskischen
Raum. — Bull. Acad. Polon. ScL, Cl. Ill, 1954, 2, S. 305—308.
2. On the geometrically absolute optical representation in the electron micro-
microscope. — Prace Wroclawckiepo Tow. Nauk., Wroclaw, 1957, B45, p. 1—60.
3. Differential geometry and physics. — Tensor, 1976, 30, p. 201—206.
И с п а с (Ispas С. I.)
1. Les identites de Veblen dans les espaces generalises. — Acad. Repub. Pop.
Romane Bui. Sti., Sect. Sti. Mat. Fiz., 1952, 4, p. 533—539.
2. Identites de type Ricci dans l'espace de Finsler. — Com. Acad. R. P. Ro-
Romane, 1952, 2, p. 13—18.
Кавагути A. (Kawaguchi A.)
1. Beziehung zwischen einer metrischen linearen Obertragung und einer
nicht-metrischen in einem allgemeinen metrischen Raume. — Ned. Akad.
Wet. Proa, 1937, 40, ser A, S. 596—601.
2. On the theory of non-linear connections, I. Introduction to the theory of
general non-linear connections. — Tensor (N. S.), 1952, 2, p. 123—
142.
3. On the theory of non-linear connections. — Convegno Int. Geometria dif-
ferensiale, Italia, Roma, 1954, p. 27—32.
4. Generalised direction transformation and generalised homogeneous func-
function. — Tensor (N. S.), 1955, 5, p. 68—70.
5. On the theory of non-linear connections, II: Theory of Minkowski space
and of non-linear connections in a Finsler space. — Tensor (N. S.), 1956,
6, p. 165—199.
Кавагути X. (Kawaguchi H.)
1. On Finsler spaces with the vanishing second curvature tensor. — Tensor,
1972, 26, p. 250—254.
Каваллери и Спинелли (Cavalleri G., Spinelli G.)
1. Gravity theory allowing for point particles and zitter-bewegung. — II Nuo-
Nuovo Cimento, 1977, 39 B, № 1, p. 93—104.
Камке (Kamke E.)
1. Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losungen.— Leipzig,
1942.
Каратеодорн (Caratheodory C.)
1. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.—
Berlin; Leipzig, 1935.
2. Ober die diskontinuierlichen Losungen in der Variationsrechnung: Disser-
Dissertation. — Gottingen, 1904.
3. Ober die starken Maxima und Minima bei einfachen Integralen. — Math.
Ann., 1906, 62, S. 449—503.
4. Bemerkung fiber die Eulerschen Differentialgleichungen der Variationsrech-
Variationsrechnung. — Nachr. Ges. Wiss. Gott., Math.-phys. KL, 1931, 1, S. 40—42.
5. Geometrische Optik. — Ergebn. Math., Berlin, 1937, 4, № 5.
К а р т а н (Cartan E.)
1. Les espaces de Finsler. — Actualites 79, Paris, 1934.
2. Sur les espaces de Finsler, - С. г. Acad. Sci. Paris, 1933, 196, p. 582^
586.
БИБЛИОГРАФИЯ 483
3. Les espaces de Finsler. — Abh. aus dem Seminar fur Vekfor- und Tensor-
analysis, 1937, 4, p. 70—81, 82—94.
4. Observations sur la communication precedente (реферат Го л аба Г41) —
С. г. Acad. Sci. Paris, 1933, Т96, p. 27-28.
5. Sur une probleme d'equivalence et la theorie des espaces metriques genera-
generalises — Math. Cluj, 1930, 4, p. 111 — 136.
6. Les problemes d'equivalence. — In: Selecta de M. Cartan. Paris, 1939,
p. 113—136.
7. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann. — 2 ed. — Paris, 1951.
8. Les systemes differentiels exterieurs et leurs" applications geometriques.—
Actualites, Paris, 1945, p. 994.
Кацурада (Katsurada Y.)
1. On the connection parameters in a non-holonomic space of line-elements.—
J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., 1950, 11, ser. I, p. 129—149.
2. On the theory on non-holonomic systems in the Finsler space. — Tohoku
math. J., 1951, 3, № 2, p. 140—148.
Керн (Kern J.)
1. Lagrange geometry. — Arch. Math., 1974, 25, p. 438—443.
Керне (Cairns S. S.)
1. Normal coordinates for extremals transversal to a manifold. — Amer. J.
Math., 1938, 60, p. 423—435.
Кикучи (Kikuchi S.)
1. On the theory of subspace in a Finsler space. — Tensor, 1952, 2, p. 67—79.
Киржниц Д. А. иЧечнн В. А.
1. Космические лучи сверхвысоких энергий и возможное обобщение реляти-
релятивистской теории. — Ядерная физика, 1972, 15, № 5, с. 1031—1059.
Кнебельман (Knebelman M. S.)
1. Collineations and motions in generalised space. — Amer. J. Math., 1929, 51,
p. 527—564.
2. Conformal geometry of generalised metric spaces. — Proc. Nat. Acad. Sci
USA, 1929, 15, p. 376—379.
3. Groups of collineations in the space of paths. — Proc. Nat. Acad Sci USA
1927, 13, p. 396—400.
4. Motions and collineations in general path space.—Proc. Nat. Acad. Sci
USA, 1927, 13, p. 607—611.
К он д о (Kondo K.)
1. On the theoretical investigation based on abstract geometry of dynamical
systems appearing in engineering. — Proc. 3rd Jap. Nat. Congress appl.
Mechanics, Tokyo 1951 p. 425—432.
К о с а м б и (Kosambi D. D.)
1. Geometrie differentielle et calcul des variations. — Acad. Naz. Lincei Rend.
F), 1932, 16, p. 410—415.
2. Parallelism and path-spaces. — Math. Z., 1933, 37, p. 608—618.
3. Systems of differential equations of second order. — Quart J. Math. (Ox-
(Oxford Sen), 1935, 6, p. 1—12.
4. Les espaces des paths generalises qu'on peut associer avec un espace de
Finsler. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1938, 206, p. 1538—1541.
Кошмидер (Koschmieder L.)
1. Die neuere formale Variationsrechnung. — Jber dtsch. Math.-Ver., 1931, 40,
S. 109—132.
Кропина В. К.
1. О проективном финслеровом пространстве с определенной специальной
формой. — Научн. докл. Высш. школы, 1959, № 2, с. 38—42.
2. Проективные двумерные финслеровы пространства со специальной метри-
метрикой. — Тр. сем. вект. тенз. анализу, 1961, 11, с. 277—291.
Кэлер (Kahler Е.)
1. Einfiihrung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen. —
Hamburger math. Einzelschr., 1934, 16.
484 БИБЛИОГРАФИЯ
Лавлок и Рунд (Lovelock D., Rund H.)
1. Tensors, Differential Forms and Variational Principles. — N. Y.: Wiley-
Interscience, 1973.
Ландсберг (Landsberg G.)
1. Ober die Totalkriimmung. — Jber. dtsch. Math.-Ver., 1907, 16, S. 36—46.
2. Ober die Krummung in der Variationsrechnung. — Math. Ann. 1908, 65.
S. 313—349.
3. Krummungstheorie und Variationsrechnung. — Jber. dtsch. Math.-Ver., 1907,
16, S. 547—551.
Л а п а с (La Paz L.)
1. Problems of the calculus of variations with prescribed transversality con-
conditions. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1931, 17, p. 459—463.
2. The Euler equations of problems of the calculus of variations with prescri-
prescribed transversality conditions. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1931, 17,
p. 459—463.
Лаптев Б. Л.
1. Инвариантная форма 2-й вариации, полученная дифференцированием Ли
в пространстве Финслера. — Изв. физ.-матем. о-ва при Казанск. ун-те,
1940, 12, с. 3—8.
2. Дифференцирование Ли. — В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. Итоги
науки. 1965. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967, с. 429-465.
Лаугвиц (Laugwitz D.)
1. Konvexe Mittelpunktsbereiche und normierte Raume.— Math. Z., 1955, 61,
S. 235—244.
2. Zur geometrischen Begrundung der Parallelverschiebung in Finslerschen
Raumen. — Arch. Math., 1955, 6, S. 448—453.
3. Die Vektorubertragung in der Finslerschen Geometrie und der Wegegeo-
metrie. — Indag. Math., 1956, 18, S. 21—28.
4. Zur projektiven und konformen Geometrie der Finsler-Raume. — Arch.
Math., 1956, 7, S. 74—77.
5. Grundlagen fur die Geometrie der unendlichdimensionalen Finsler-Raume.—
Ann. Mat. Рига Appl, 1956, 41, S. 21—41.
6. Eine Beziehung zwischen affiner und Minkowskischer Diiferentialgeomet-
rie. —Publ. Math. 1957, 5, S. 72—76.
Лебег (Lebesgue H.)
1. Lejons sur integration et la recherche des fonctions primitives. — 2 ed.—
Paris, Г928.
Левашов А. Е.
1. Обобщенная финслерова геометрия и классическая механика.—Труды
Среднеазиатск. ун-та, Ташкент, 1938, 22, с. 109—118.
Леви-Чивита (Levi-Civita Т.)
1. Sur l'ecart geodesique. — Math. Ann., 1926, 97, p. 291—320.
2. The absolute differential calculus. — Trans. M. Long, London, 1929.
Левин (Levine J.)
1. Conllineations in generalised spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1951, 2,
p. 447—455.
Л и б е р А. Е.
1. О двумерных пространствах с алгебраической метрикой. — Тр. сем. вект.
тенз. анализу, 1952, 9, с. 319—350.
Липка (Lipka J.)
1. On the relative curvature of two curves in Vn. — Bull. Amer. Math. Soc.,
1923, 29, p. 345—348.
Липшиц (Lipschitz R.)
1. Untersuchungen in betreff der ganzen homogenen Funktionen von n Dif-
ferentialen. — J. Math. (Crelle). 1869, 70, S. 71—102.
2. Fortgesetzte Untersuchungen in betreff der ganzen homogenen Funktionen
von n Differential. — J. Math. (Crelle), 1870, 72, S. 1—56.
БИБЛИОГРАФИЯ 485
Лихнерович (Lichnerowicz A.)
1. Les espaces a connexion semi-symetrique et la mecanique. — С г Acad
Sci. Paris, 1941, 212, p 328—331.
2. Sur une generalisation des espaces de Finsler. — С. г. Acad. Sci. Paris,
1942, 214, p. 599—601.
3. Sur une extension du calcul des variations. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1943
216, p. 25—28.
4. Les espaces variationnels generalises. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1943, 217,
p. 415—418.
5. Les espaces variationnels generalises. — Ann. Sci. Ecole norm, sup., 1945,
62, p. 339-384.
6. Sur une extension de la formule d'Allendoerfer-Weil a certaines varietes
finsleriennes. — С. г. Acad Sci. Paris, 1946, 223, p. 12—14.
7. Quelques theoremes de geometrie differentielle globale. — Comment. Math.
Helv., 1949, 22, p. 271—301.
8. Theorie globale des connexions et des groupes d'holonomie. — Rome, 1955.
Лихнерович и Тири (Lichnerowicz A., Thiry Y.)
1. Problemes de calcul des variations lies a la dynamique classique et a la
theorie unitaire de champ. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1947, 224, p. 529—531.
Льюис (Lewis D. C.)
1. Metric properties of differential equations. — Amer. J. Math., 1949, 71,
p. 294—312.
M а й e p (Mayer W.)
1. Beitrag zur geometrischen Variationsrechnung. — Jber. dtsch. Math.-Ver.,
,1929, 38, S. 260—281.
M а й е р с (Myers S.)
1. Arc length in metric and Finsler manifolds. — Ann. Math., 1938, 39, № 2,
p. 463—471.
2. Arcs and geodesies in metric spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1945, 57,
p. 217—227.
3. Riemannian manifolds with positive mean curvature. — Duke Math. J., 1941,
8, p. 401—404.
Маккирнан (McKiernan M. A.)
1. Fatigue spaces in electromagnetic-gravitational theory. — Canad. Math.
Bull., 1966, 9, p. 489—507.
Макфарлан (McFarlan L. H.)
1. Problems of the calculus of variations in several dependent variables and
their derivatives of higher order. — Tohoku math. J., 1931, 33, p. 204—218.
M а н с и л л (Mancill J. D.)
1. Problems in the calculus of variations with prescribed transversality con-
conditions. — Amer. J. Math., 1939, 61, p. 330—334.
Мацумото (Matsumoto M.)
1. On Finsler spaces with curvature tensors of some special forms. — Tensor,
1971, 22, № 2, p. 201—204.
2. V-transformations of Finsler spaces, I: Definition, infinitesimal transforma-
transformations and isometries. — J. Math. Kyoto Univ., 1972, 12, № 3, 479—512.
3. On C-reducible Finsler spaces. — Tensor, 1972, 24, № 1, p. 29—37.
4. A theory of three-dimensional Finsler spaces in terms of scalars. — De-
monstr. Math., 1973, 6, 223—251.
5. On Finsler spaces with Rander's metric and special forms of important
tensors. —J. Math. Kyoto Univ., 1974, 14, № 3, p. 477—498.
6. On three-dimensional Finsler spaces satisfying the T- and Bp-conditions. —
Tensor, 1975, 29, № 1, p. 13—20.
7. On Einstein's gravitational field equation in a tangent Riemannian space
of a Finsler space. — Reports Math. Phys., 1975, 8, № 1, p. 103—108.
8. On the indicatrices of a Finsler space. — Period. Math. Hungar., 1977, 8,
№ 2, p. 187—193.
186 БИБЛИОГРАФИЯ
9. Strongly non-Riemannian Finsler spaces. — Anal. Sci. Univ [Al. I. Cuza»,
Iasi, 1977, 23, № 1, p. 141—149.
10. Finsler spaces with the Ач-curvature tensor Рнци of a special form.—
Reports Math Phys., 1978, 14, № 1, p. 1 — 13.
Мацумото иНумата (Matsumoto M., Numata S.)
1. On Finsler spaces with cubic metric. — Tensor, 1979, 33, № 1, p. 10—15.
Мацумото и Сибата (Matsumoto M., Shibata С.)
1. On the curvature tensor Riikh of C-reducible Finsler spaces. — J Korean
Math. Soc, 1976, 13, № 1, p. 141—144, 189.
Мацумото и Симада (Matsumoto M., Shimada H.)
1. On Finsler spaces with 1-form metric. — Tensor, 1978, 32, № 1, p. 161—
169.
2. On Finsler spaces with 1-form metric, II: Berwald—Moor's metric L =
= {yhf...ynyi" — Tensor, 1978, 32, № 2, n. 275—278.
3. On Finsler spaces with the curvature tensors Рыт and Sni/k satisfying
special conditions. — Reports Math. Phys., 1977, 12, № 1, p. 77—87.
Мацумото и X о й о (Matsumoto M., Hojo S.)
1. A conclusive theorem on C-reducible Finsler spaces. — Tensor, 1978, 32,
№ 2, p. 225-230.
Мацумото и Эгучи (Matsumoto M., Eguchi К.)
1. Finsler spaces admitting a concurrent vector field. — Tensor, 1974, 28, №2,
p. 239—249.
M e н r e p (Menger K.)
1. Untersuchungen iiber allgemeine Metrik. Vierte Untersuchung. — Math.
Ann., 1930, 103, S. 466—501.
Me p з a (Merza J.)
1. On a special Finsler geometry. — Demonstrate Math., 1973, 6, p. 761 —
769.
M и к а м и (Mikami M.)
1. On the theory of non-linear direction displacements. — Jap J. Math., 1948,
17, p. 541—568.
Минковский (Minkowski H.)
1. Geometrie der Zahlen. — Leipzig; Berlin, 1910.
2. Theorie der konvexen Korper, insbesondere Begrundungen ihres Oberfla-
chenbegriffs. — Ges. Abh., 1911, 2, S. 131—229.
M о о р (Moor A.)
1. Generalisation du scalaire de courbure et du scalaire principal d'un es-
pace finslerien a n dimensions. — Canad. J. Math., 1950, 2, p. 307—313.
2. Espaces metriques dont le scalaire de courbure est constant. — Bull. Sci.
Math., 1950, 74, № 2, p. 13—32.
3. Finslersche Raume mit der Grundfunktion L = f/g. — Comment. Math.
Helv., 1950, 24, S. 188—195.
4. Einfuhrung des invarianten Differentials und Integrals in allgemeinen
metrischen Raumen. — Acta math., 1951, 86, S. 71—83.
5. Quelques remarques sur la generalisation du scalaire de courbure et du
scalaire principal. — Canad. J. Math, 1952, 4, p. 189—197.
6. Uber die Dualitat von Finslerschen und Cartanschen Raumen. — Acta
math., 1952, 88, S. 347—370; Erganzung. — Acta math., 1954, 91, S. 187—
188.
7. Finslersche Raume mit agebraischer Grundfunktion. — Publ. Math., 1952,
2, S. 178—190.
8. Untersuchungen uber die kovariante Ableitung in Linienelementraumen.
Publ. Math. 1960, 7. S. 41—53.
9. Uber affine Finslerraume von skalarer Krummung. — Acta Sci. Math.,
1961, 22, S. 157—189.
10. Uber die Form der Fundamentalgrossen gewisser affinen Raume. — Publ.
Math., 1962, 9, S. 289—297.
БИБЛИОГРАФИЯ 487
11. Uber projektive Veranderung der Ubertragung in Linienelementmanniefal-
tigkeiten. — Acta Sci. Math., 1963, 24, S. 119—128.
12. Untersuchungen iiber Finslerraume von rekurrenter Krtimmunp — Tensor
(N. S.); 1963, 13, S. 1-18. ё'
13. Eine Verallgemeinerung der metrischen Ubertragung in allgemeinen met-
rischen Raumen. — Publ. Math., 1963, 10, S. 145—150.
14. Linienelementraume mit nicht-symmetrischen Fundamentaltensor —Publ
Math., 1964, 11, S. 245—256.
15. Gleichung der autoparallelen Abweichung in n-dimensionalen Linienele-
Linienelementraumen. — Acta Sci Math., 1964, 25, S. 266—282.
16. Begrundung einer affinen Geometrie der Bahnen dritter Ordnung —Tensor
(N. S.), 1965, 16, S. 37—55.
17 Untersuchungen iiber die oskulierenden Punktraume der metrischen Linie-
Linienelementraume. — Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 1965, 16, S. 57—74.
18. Uber eine skalare Form der Gleichung der autoparallelen Abweichung im
affinen Raum. — Publ. Math., 1965, 12, S. 281—291.
19. Uber spezielle Bahnengeometrien dritter Ordnung. — Ann. Polon. Math.,
1966, 17, S. 261—271.
20. Uber aquivalente Variationsprobleme erster und zweiter Ordnung. — J.
reine angew. Math., 1966, 223, S. 131—137.
21. Aquivalenztheorie der allgemeinen metrischen Linienelementraume. — In:
Perspectives in Geometry and Relativity. Indiana University Press, 1966,
p. 239—244.
22. Ubertragungstheorie bezuglich der allgemeinen Linienelementtransfor-
mationen. — Publ. Math., 1966, 13, S. 263—287.
23. Uber gewisse Type aquivalenter Variationsprobleme von einem Parame-
Parameter. — Ann. Polon. Math., 1967, 19, S. 107—113.
24. Uber aquivalente Variationsprobleme von mehreren Veranderlichen. L. Pin-
terrel kozos munka. — Acta Sci. Math., 1967, 28, S. 271—279.
25. Einige Bemerkungen iiber Kurven und Grundelementfolgen in allgemeinen
Raumen. —Publ. Math., 1967, 14, S. 337—347.
26. Tensorkalkul und Ubertragungstheorie der Elemente der homogenen Be-
ruhrungstransformationen. — Tensor (N. S.), 1968, 19, S. 165—173.
27. Uber eine Verallgemeinerung der Schouten-Haantjesschen Raume. — Com-
positio Math., 1968, 19, S. 83—94.
28. Objektentheoretische Untersuchungen uber die kovarianten Ableitungen in
allgemeinen Linienelementraumen.— Acta Sci. Math., 1968, 29, S. 177—
186.
29. Grundziige der moglichen Hyperflachentheorien der /.-Raume. — Publ.
Math., 1969, 16, S. 161—174.
30. Uber die kovariante Ableitung der Vektoren in verallgemeinerten Linien-
Linienelementraumen. — Acta Sci. Math., 1970, 31, S. 129—139.
31 Uber Finslerraume von zweifach rekurrenter Krummung. — Acta Math.
Acad. Sci. Hungar., 1971, 22, S. 453—465.
32 Unterraume von rekurrenter Krummung in Finslerraumen. — Tensor (N.
S.), 1972, 24, S. 261—265.
33. Finslerraume von identischer Torsion. — Acta Sci. Math., 1973, 34, S. 279—
288.
34. Uber die Nichtexistenz gewisser Type von Linienelementraumen von re-
rekurrenter Krummung. — Publ. Math., 1972, 19, S. 169—175.
35. Untersuchungen in vierdimensionalen verallgemeinerten Finslerraumen
mit Hilfe eines naturlichen Vierbeins. — Publ. Math., 1973, 20, S. 241—
258.
36. Finslerraume von rekurrenter Torsion. — Publ. Math., 1974, 21, S. 255—
265.
37. Uber eine Ubertragungstheorie der metrischen Linienelementraume mit re-
fcurrentem Grundtensor. — Tensor (N. S.), 1975, 29, S. 47—63,
488 БИБЛИОГРАФИЯ
38. Ober die Veranderung der Kriimmung bei einer Torsion der Obertragung.—
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1975, 26, S. 97—111.
39. Erganzungen und Bemerkungen zu meiner Arbeit: «Ober eine Obertra-
gungstheorie der metrischen Linienelementraume mit rekurrentem Grund-
tensor». — Tensor (N. S), 1975, 29, S. 283—286.
40. Untersuchungen fiber aquivalente Variationsprobleme von mehreren Ve-
randerlichen. —Acta Sci. Math., 1975, 37, S. 323—330.
41. Ober die Charakterisierung von speziellen 3- und 4-dimensionalen Fins-
lerraumen durch Invarianten. — Bollettino U. M. I., 1975, 12, S. 189—
199.
42. Ober spezielle Type von Hyperflachen in verallgemeinerten Finslerrau-
men. — Publ. Math., 1976, 23, S. 27—38.
43. Ober allgemeine Obertragungstheorien in metrischen Linienelementrau-
men. — Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1976, 28, S. 321—334.
44. Ober Unterraume von Linienelementraumen mit rekurrentem Massten-
sor. — Tensor, (N. S.), 1977, 31, S. 1—7.
Морен (Maurin K.)
1. Eingliedrige Gruppen der homogenen kanonischen Transformationen und
Finslersche Raume. — Ann. Polon. Math., 1955, 2, S. 97—102.
Mope (Morse M.)
1. The calculus of variations in the large. — N. Y. Amer. Math. Soc. Coll.
Publ., 1934, 18.
Морс и Литтауэр (Morse M., Littauer S. B.)
1. A characterisation of fields in the calculus of variations. — Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 1932, 18, p. 724—730.
M у т о (Muto Y.)
1. On the connections in the manifold admitting homogeneous contact trans-
transformations. — Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 1938, 20, p. 451—457.
Муто иЯно (Muto Y., Yano K.)
1. Sur les transformations de contact et !es espaces de Finsler. — Tohoku
math. J., 1939, 45, p. 295—307.
H а г а т a (Nagata Y.)
1. Normal curvature of a vector field in hypersurface in a Finsler space.—
Tensor, 1955, 5, p. 17—22.
H аз и м (Nazim A.)
1. Ober Finslersche Raume: Dissertation. — Miinschen, 1936.
2. Ober den Satz von Gauss — Bonnet im Finslerschen Raum. — Univ.
d'Istanbul, 1948, S. 26—32.
Накадзима (Nakajima S.)
1. Geometrische Untersuchungen zur Variationsrechnung. — Jap. J. Math.,
1926, 3, S. 61—64.
H а л л и (Nalli P.)
1. Trasporti rigidi di vettori negli spazi di Riemann. — Atti Accad. naz.
Lincei Rend., 1931, 13, № 6, p. 669—675.
Hacy (Nasu Y.)
1. On the torse-forming directions in a Finsler space. — Tohoku math. J.,
1952, 4, № 2, p. 99—102.
2. Non-euclidean geometry in Finsler spaces. — Kurnamoto J. Sci., Ser. A,
1952, 1, p. 8—12.
H ё т е р (Noether E.)
1. Invarianten beliebiger Differentialausdrucke.— Gott. Nachr., 1918, 25,
S. 37—44.
Нобухараи Нагаи (Nobuhara Т., Nagai Т.)
1. On the special Finsler space of three dimensions. — Tensor (N. S.), 1952,
2, p. 175—180.
Норден А. П.
1. Пространства аффинной связности. — M.: Наука, 1978,
БИБЛИОГРАФИЯ 489
Ну мата (Numata S.)
1. On the curvature tensor Shi/h and the tensor Тш/ь of generalized Randers
spaces. — Tensor, 1975, 29, p. 35—39.
2. On Landsberg spaces of scalar curvature. — J. Korean Math. Soc, 1975,
12, № 2, p. 97—100.
3. On torsion tensors Rhik and Рщк of Finsler spaces with a metric ds =
= (giI(x)dxidx')l/1 + bt(x)dx'. — Tensor, 1978, 32, p. 27—31.
4. On C3-like Finsler spaces. — Reports Math. Phys., 1979, 12, p. 10—12.
О к у б о К. (Okubo К.)
1. On Finsler spaces with the curvature Sj/*; of a special form. — Mem. Fac.
Education, Shiga Univ., 1975, № 25, p. 1.
2. Some theorems of 8з(К) metric spaces. — Mem. Fac. Education, Shiga
Univ., 1979, 17, p. 19—25.
О к у б о Т. (Ohkubo Т.)
1. On a metric displacement in a Finsler space. — Tensor, 1941, 4, p. 53—
55,
2. On relations among various connections in Finslerian space. — Kuma-
moto J. Sci., Ser. A, 1954, 1, № 3, p. 1—6.
3. Geometry in a space with a generalized metric. — Tensor, 1940, 3,
p. 48—55.
4. Geometry in a space with generalized metrics, II. — J. Fac. Sci. Hokkaido
Univ., Ser. I, 1941, 10, p. 157—178.
5. On a symmetric displacement in Finsler space. — Tensor, 1941, 4,
4, p. 53—55.
Оуэне (Owens O. G.)
1. The integral geometry definition of arc-length for two-dimensional Finsler
spaces. — Trans. Amer. Math. Soc, 1952, 73, p. 198—210.
Оцуки (Otsuki T.)
1. On geodesic coordinates in Finsler spaces. — Math. J. Okayama Univ.,
1957, 6, p. 135—145.
Паук (Раис С. Y.)
1. L'inegalite triangulaire dans les espaces de Minkowski generalises.—
Atti Accad. Naz. Lincei Rend., 1936, 26, № 6, p. 369—374.
2. Les methodes directes en calcul des variations et en geometrie differen-
tielle. — Paris, 1941.
3. Les theoremes fort et faible de Vitali et les conditions d'evane^^r!"" de
halos. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1951, 232, p. 1727—1729,
Перрон (Perron O.)
1. Algebra I: Die Grundlagen. — Berlin; Leipzig, 1927
Пил (Pihl M.)
1. Classical mechanics in a geometrical description. — Danske Vid. Selsk.
Mat.-Fys. Medd., 1955, 30, № 12, p. 26.
Радон (Radon H.)
1. Uber eine besondere Art ebener konvexer Kurven. — Leipz.; Ber., 1916,
68, S. 123—128.
P айдер (Rider P. R.)
1. The figuratrix in the calculus of variations.—Trans. Amer. Math. Soc., 1926,
28, p. 640—653.
P а н д е р с (Randers G.)
1. On an asymmetrical metric in the four-space of general relativity. — Phys.
Rev., 1941, 59, p. 195—199.
P а п ч а к (Rapcsak A.)
1. Kurven auf Hyperflachen im Finslerschen Raume. — Hungarica Acta math.,
1949, 1, S. 21—27.
2. Invariante Taylorsche Reihe in einem Finslerschen Raum. — Publ. Math.,
1955, 4, S. 49—60.
3. Eine neue Definition der Normalkoordinaten im Finslerschen Raum, —
Acta Univ. Debrecen, 1954, 1, S. №9—116.
490 БИБЛИОГРАФИЯ
4. Eine neue Charakterisierung Finslerscher Raume skaiarer und konstanter
Kriimmung, und projektiv-ebene Raume. — Ada math. Acad. Sci. Hungar.,
1957, 8, S. 1—18.
5. Ober die Begriindung der lokalen metrischen Differentialgeometrie. —
Publ. Math., 1960, 7, S. 382—393.
6. Metrikus es affinosszeftiggo palyaterek palyatario lekepezesei. — Magyar
Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl., 961, 11, p. 339—369.
7. Ober die bahntreuen Abbildungen affinzusammenhangenden Raume —
Publ. Math., 1961, 8, S. 225—230.
8. Uber die Metrisierbarkeit affinzusammenhangender Bahnraume. — Ann.
Mat. Рига AppL, 1962, 57, S. 233—238.
9. Die Bestimmungder Grundfunktionen projectiv-ebener metrischer Raume.—
Publ. Math., 1962, 9, S. 164—167.
Рашевский П. К.
1. Метрическая двойственность в двумерной геометрии Финслера, в частно-
частности на произвольной поверхности. — ДАН СССР, 1935, Ш, № 4,
с. 147—150.
2. Systemes trimetriques et la metrique de Finsler generalisee. — C. r. Acad.
Sci. Paris, 1936, 202, p. 1237—1239.
P e б (Reeb G.)
1. Quelques proprietes globales de geodesiques d'un espace de Finsler et des
varietes minima d'un espace de Cartan. — Coll. Topologie Strasbourg 1951,
№ II; La Bibliotheque Nationale et Universitaire de Strasbourg, 1952.
2. Sur certaines proprietes globales des trajectoires de la dynamique, dues
a l'existance de l'invariant integral de M. Elie Cartan. — Coll. Topologie
Strasbourg 1951, № HI; La Bibliotheque Nationale et Universitaire de
Strasbourg, 1952.
3. Sur les espaces de Finsler et les espaces de Cartan. — Geometrie diffe-
rentielle, Coll. int. Centre nat. Recherche scient; Strasbourg, С N. R.
Paris, 1953, p. 35—40.
P и м а н Б.
1. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии. — В кн.: Об основаниях
геометрии. Казань, 1893, с. 67—82.
Р и н о в (Rinow W.)
1. Ober vollstandige differentialgeometrische Raume. — Dtsch. Math., 1936,
1, S. 46—63.
Родичев В. И.
1. Теория гравитации в ортогональном репере. — М.: Наука, 1974.
Р у н д (Rund H.)
1. Zur Begriindung der Differentialgeometrie der Minkowskischen Raume.—
Arch. Math., 1952, 3, S. 60—69.
2. Die Hamiltonsche Funktion bei allgemeinen dynamischen Systemen. —
Arch. Math., 1952, 3, S. 207—215.
3. Finsler spaces considered as locally Minkowskian spaces: Thesis. — Cape
Town, 1950.
4. Ober die Parallelverschiebung in Finslerschen Raumen. — Math. Z., 1951
54, S. 115—128.
5. On the analytical properties of curvature tensors in Finsler spaces. —
Math. Ann., 1954. 127, p. 82—104.
6. On the geometry of generalised metric spaces. — Convegno Int. (..tometria-
diffenreziale, Italia, Roma 1954, p. 114—121.
7 Eine Krummungstheorie der Finslerschen Raume. — Math. Ann., 1952,
125, S. 1 — 18.
8 Theory of curvature in Finsler spaces. — Coll. Topologie Strasbourg, 1951,
,\o IV; La Bibliotheque Nationale et Universitaire de Strasbourg, 1952.
9. Hypersurfaces of a Finsler space. — Canad. J. Math., 1956, 8, p. 487—503,
БИБЛИОГРАФИЯ 491
10. The theory of subspaces of a Finsler space, I — Math. Z. 1952, 58,
p. 363-375. II. - Math. Z., 1953, 57, p. 193-210
11. The scalar form of Jacobi's equations in the calculus of variations.—
Ann. Math. Рига Appl., 1953, 35, № 4, p. 183—202.
12. Ober nicht-holonome allgemeine metrische Geometrie. — Math. Nachr.,
1954, 11, S. 61—80.
13. Application des methodes de la geometrie metrique generalisee a la
dynamique theorique. — Geometrie differentielle, Coll. int. Centre nat.
Recherche scient., Strasbourg, С N. R. Paris, 1953, p. 41—51.
14. Ober allgemeine nicht-holonome und dissipative Systeme. — Bericht von
der Riemann-Tagung des Forschungsinstituts fiir Mathematik, Berlin,
1957, S. 269—279.
15. Some remarks concerning the theory of non-linear connections. — Nederl.
Akad. Wetensch. Proa, ser. A, 1958, 61, p. 341—347.
16. On Caratheodory's methods of equivalent integrals in the calculus of
variations. — Nederl. Akad. Wetensch. Proa, ser. A, 1959, 62, p. 1—5.
17. Ober Finslersche Raume mit speziellen Krummungseigenschaften. —
Monatsh. Math., 1962, 66, S. 241—251.
18. Curvature properties of hypersurfaces oi Finsler and Minkowskian
spaces.— Tensor, 1963, 14, p. 226—244.
19. The intrinsic and induced curvature theories of subspaces of a Finsler
space. — Tensor, 1965, 16, p. 294—312.
20. Hamilton formalism in relativistic field theories. — In: Perspectives in
Geometry and Relativity. University of Indiana Press, 1966, p. 328—339.
21. Generalized metrics on complex manifolds. — Math. Nach., 1967, 34,
№ 1/2, p. 55—77.
22. Invariant theory of variational problems on subspaces of a Riemannian
manifpld. — Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1971.
23. Invariant equations of motion in general relativity. — Tensor, 1972, 23,
p. 365—368.
24. The Hamilton — Jacobi theory in the calculus of variations. — London;
N. Y.: D. Van Nostrand, 1966.
25. A divergence theorem for Finsler metrics. — Monatsh. Math., 1975, 79,
p. 233—252.
26. Generalized Clebsch representations on Manifolds. — In: Topics in diffe-
differential geometry. N. Y.: Acackrr.'c Press, 1976, p. 111—133.
27. Clebsch potentials and varia(:onal principles in the theory of dynamical
systems. — Arch. Rat onal Mech. Analysis, 1977, 65, p. 305—344.
28. Clebsch represantations and relativistic dynamical systems.—Arch.
Rational Mech. Analysis, 1979.
РундиБеаре (Rund H., Beare H.)
1. Variational properties of direction-dependent metric fields. — Pretoria:
University of South Africa, 1972.
С а с а к и (Sasaki S.)
1. Non-euclidean geometry in generalised space. — Sci. Rep. Tohoku Univ.,
1937, 26, № 1, p. 313—322.
С е в и д ж (Savage L. J.)
1. On the crossing of extremals at focal points. — Bull. Amer. Math. Soc,
1943, 49, p. 467—469.
С e r p e (Segre B.)
1. Geometria non euclidea ed ottica geometrica. I. — Atti Accad. naz. Lincei,
Rend. Cl. Fis. Mat. Nat. (8), 1949, 7, p. 16—19. II.— Atti Accad. naz.
Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis Mat. Nat. (8), 1949, 7, p 20—26.
Сибата (Shibata C.)
1. On Finsler spaces with Kropina metric.— Reports Math. Phys., 1978, 13,'
p. 117-128.
492 БИБЛИОГРАФИЯ
2. On the curvature tensor Ruik of Finsler spaces of scalar curvature. —
Tensor, 1978, 32, № 3, p. 311—317.
Сибата, Симада, Адзумаи Ясуда (Shibata С, Shimada H., Azuma M.,
Yasuda H.)
1. On Finsler spaces with Randers' metric. — Tensor, 1977, 31, p. 219—226.
Симада (Shimada H.)
1. On the Ricci tensors of particular Finsler spaces.—J. Korean Math. Soc,
1977, 14, p. 41—63.
С и н г (Synge J. L.)
1. A generalisation of the Riemannian line-element. — Trans. Amer. Math.
Soc, 1925, 27, p. 61—67.
2. On the first and second variations of the line integral in Riemannian
geometry. — Proc. London Math. Soc. B), 1926, 25, p. 247—264.
3. On the connectivity of spaces of constant curvature. — Quart. Math.
(Oxford Series), 1936, 7, p. 316—320.
4. Geometrical mechanics and de Broglie waves. — Cambridge, 1954.
5. Общая теория относительности.—M.: ИЛ, 1963.
Сип г и Шильд (Synge J. L., Schild A.)
1. Tensor calculus. — Toronto, 1949.
Слебодзинский (Slebodziiiski W.)
1. Sur deux connexions affines generalisees.— Prace mat. fiz., 1935, 43,
p. 1—39.
2. Note sur les varietes metriques.— Prace mat. fiz., 1929, 36, № 2,
p. 61—63.
3. Exterior forms and their applications. — Warszawa: PWN, 1970.
Солчани (Szolcsaiiyi E.)
1. Hyperflachen mit Riemannscher Massbestimmung im Finslersehen Raum. —
Publ. Math., 1975, 22, S. 133—150.
2. Hyperflachen mit Riemannscher Massbestimmung im Finslersehen Raum,
II. —Publ. Math., 1978, 25, S. 203—210.
Сомервилл (Somerville D. M.)
1. An introduction to the geometry of N dimensions. — London, 1929.
Спинелли (Spinelli G.)
1. Minimal prescription for matter terms in the gravitational theory. — Rend.
Accad Naz. Lincei, 1977, 63, p. 71.
2. Gravitational field theory for the continuum: second order field equations.—
Rend. Accad Naz. Lincei, 1978, 64, p. 603.
3. Gravitational field theory for the continuum: convergence to general
relativity. — Rend. Accad Naz. Lincei, 1978, 65, p. 78.
Стивенсон (Stephenson G.)
1. Affine field structure of gravitation and electromagnetism. — II Nuovo
Cimento, 1953, 10, p. 354—355.
2. La geometrie de Finsler et les theories du champ unifie. — Ann. Inst.
H. Poincare, 1957, 15, № 3, p. 205—215.
Стивенсон и Килмистер (Stephenson G., Kilmister С W.)
1. A unifield field theory of gravitation and electromagnetism. — II Nuovo
Cimento, 1953, 10, p. 230—235.
Стоке (Stokes E.)
1. Applications of the covariant derivative of Cartan in the calculus of
variations. — Contributions to the calculus of variations 1938—1941
Chicago 1942, p. 139—174.
С у (Su В.)
1. Geodesic deviation in generalised metric spaces. — Acad. Sinica Science
Rec, 1949, 2, p. 220—226.
Субраманьян (Subramanian S.)
1. On Synge's paper.— Bull. Acad. Sci. Allahabad, 1933, 3, p. 61— 64.
БИБЛИОГРАФИЯ 493
С у г у р и и Накаяма (Suguri Т., Nakayama S.)
1. Note on Riemann spaces and contact transformations. — Tensor (N SI
1955, 5, p. 1 — 16. ' ¦''
С x о у т е н (Schouten J. А.)
1. Ricci calculus.— 2nd ed. — Berlin, 1954.
2. Erlanger Programm und Obertragungslehre. — Neue Gesichtspunkte zur
Grundlegung der Geometrie, Palermo, 1926, 50, S. 142—169.
Схоутен и ван дер К у л ь к (Schouten J. A., van der Kulk W.)
1. Pfaff's problem and its generalisations. — Oxford, 1949.
Схоутен и ван Кампен (Schouten J. A., van Kampen E R.)
1. Beitrage гиг Theorie de Deformation. — Prace Mat. Fiz. Warszawa 1933
41, S. 1 — 19.
Схоутен и Хаантьес (Schouten J. A., Haantjes J.)
1. Ober die Festlegung von allgemeinen Massbestimmungen und Obertra-
gungen in bezug auf ko- und kontravariante Vektordichten. — Monatsh
Math. Phys., 1936, 43, S. 161—176.
Схоутен и Хлаваты (Schouten J. A., Hlavaty V.)
1. Zur Theorie der allgemeinen linearen Obertragung.— Math. Z., 1929, 30,
S. 414—432.
Та к ан о И (Takano Y.)
1. Spinor field in Finsler spaces. — Progr. Theor. Phys., 1964, 32, № 2
p. 365—366.
2. Theory of fields in Finsler spaces, I. — Progr. Theor. Phys., 1968, 40, № 5,
p. 1159—1180.
3. Gravitational field in Finsler spaces. — Lett. Nuovo Cimento, 1974, 10,
№ 11, p. 747—750.
4. Variational principle in Finsler spaces. — Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11,
№ 10, p. 486—490.
5. On the theory of fields in Finsler spaces — Proc. of int. symposium on
relativity and unified field theory A975—1976), Calcuta, p. 17—26.
Такано К. (Takano К.)
1. Homothetic transformations in Finsler spaces.— Rep. Univ. Electro-Com-
mun., 1952, p. 61—70.
2. Contact transformations and generalised metric spaces. — Tensor, 1954, 4,
p. 51—66.
Тахибана (Tachibana S.)
1. On Finsler spaces which admit a concurrent vector field.— Tensor, 1950,
1, p. 1-5.
Тейлор (Taylor J. H.)
1. A generalisation of Levi-Cvita's parallelism and the Frenet formulas.—
Trans Amer. Math. Soc, 1925, 27, p. 246—264.
2 Reduction of Euler's equations to a canonical form. — Bull. Amer. Math
Soc, 1925, 31, p. 257—262.
3. Parallelism and transversality in a subspace of a general (Finsler)
space.— Ann. Math., 1927, 28, № 2, p. 620—628.
Теодореско (Theodoresco N.)
1 Sur les geodesiques de longueur nulle de certain elements lineaires fins-
leriens. — Bull. Ecole Polvtech. Ruearest, 1941. 12. p. 9—16.
2. Geometrie finslerienne et propagation des ondes. — Acad. Roumaine Bull.,
Sect Sci., 1942, 23, p. 138—144.
3. Introduction physico-mathematirue a la tbeorie invariante de la propagation
des ondes. — Rev. Univ. «C. I. Parhon» Politehn. Bucuresti, Ser. Sti. Nat..
1952, 1, p. 25—51.
Томас (Thomas T. Y.)
1. Differentia! invariants of generalised spaces. — Cambridge, 1934.
Траутман (Trautman A.)
1. Fibre bundles associated with space-time. — Reports Math. Phys., 1970, 1,
p. 29—62.
1Э4 БИБЛИОГРАФИЯ
Т р е д е р Г.
1. Теория гравитации и принцип эквивалентности. — М.: Атомиздат, 1973.
Тукер (Tucker A. W.)
1. On tensor invariance in the calculus of variations. — Ann. Math., 1934,
35, № 2, p. 341—350.
2. On generalised covariant differentiation. — Ann. Math., 1931, 32, № 2,
p. 451—460.
У а й i x e д (Whitehead J. H. C.)
1. Convex regions in the geometry of paths. — Quart. J. Math. (Oxford
Series), 1932, 3, p. 33—42.
2. Convex regions in the geometry of paths: Addendum. — Quart. J. Math.
(Oxford Series), 1933, 4, p. 226—227.
3. The Weierstrass ^-function in differential metric geometry. — Quart. J.
Math. (Oxford Series), 1933, 4, p. 291—296.
4. On the covering of a complete space by the geodesies through a point. —
Ann. Math., 1935, 36, p. 679—704.
Ундерхилл (Underbill A. L.)
1. Invariants of the function F(x, у, х', y') under point and parameter trans-
transformations, connected with the calculus of variations: Thesis. — Chicago,
1907.
2. Invariants of the function f(x,y,x',y') in the calculus of variations.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1908, 9, p. 316—338.
Уолкер (Walker A. G.)
1. Completely symmetric spaces.— J. London Math. Soc, 1944, 19, p. 219—
226.
Ф и н с л ер (Finsler P.)
1. Uber Kurven und Flachen in allgemeinen Raumen: Dissertation. — Got-
tingen, 1918.
2. Uber die Krummungen der kurven und Flachen.— Reale Accad. Ital.,
Fondazione Alessandro Volta, IX Convegno Volta, Roma, 1940.
3. Ober eine Verallgemeinerung des Satzes von Meusnier. — Vierteljschr.
naturforsch. Ges. Zurich, 1940, 85, S. 155—164.
ФранкиМизес (Frank P., von Mises R.)
1. Die Differential und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. —
2 Aufl. — Braunschweig, 1930.
Фризеке (Friesecke H.)
1. Vektorubertragung, Richtungsubertragung, Metrik. — Math. Ann., 1925, 94,
S. 101-118.
Ф р и м е н (Freeman J. G.)
1. First and second variations of the length integral in a generalised metric
space. — Quart. J. Math. (Oxford Series), 1944, 15, p. 70—83.
Фудзинака (Fujinaka M.)
1. On Finsler spaces and dynamics with special reference to the equations
of hunting. — Proc. 3rd Jap. Nat. Congress appl. Mech., Tokyo, 1954,
p. 433—436.
Ф у н к (Funk P.)
1. Ober den Begriff «extremale Krummung» und eine kennzeichnende Eigen-
schaft der Ellipse.— Math. Z., 1919, 3, S. 87—92.
2. Uber zweidimensionale Raume, insbesondere fiber solche mit geradlinigen
Extremalen und positiver konstranter Krummung. — Math. Z., 1935, 40,
S. 86-93.
3. Ober die Geometrien bei denen die Geraden die KQrzesten sind. — Math.
Ann., 1929, 101, S. 226—237.
4. Ober Geometrien, bei denen die Geraden die kurzesten Linien sind und die
Aquidistanten zu einer Geraden wieder Gerade sind. — Monatsh. Math.
Phys., 1930, 37, S. 153—158.
БИБЛИОГРАФИЯ 495
5. Beitrage zur zweidimensionalen Finslerschen Geometrie. — Monatsh. Math.
Phys., 1948, 52, S. 194—216.
Функи Бервальд (Funk P., Berwald L.)
1. Flacheninhalt und Winkel in der Variationsrechnung. — Lotos (Paris),
1919/1920, 67/68, S. 45—56.
Хаантьес (Haantjes J.)
1. Distance geometry. Curvature in abstract metric spaces.— Ned. Akad. Wet.
Proc, ser. A, 1947, 50, p. 496—508.
X a a p (Haar A.)
I. Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Qruppen. — Ann. Math.,
1933, 34, № 2, S. 147—169.
Хаймович (Haimovici M.)
1. Formules fondamentales dans la theorie des hypersurfaces d'un espace
de Finsler. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1934, 198, p. 426—427.
2. Sur les espaces generaux qui se correspondent point par point avec
conservation du parallelisme de M. Cartan. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1934,
198, p. 1105—1107.
3. Sur quelques types de metriques de Finsler. — С. г. Acad. Sci., Paris, 1934,
199, p 1091 — 1093.
4. Les formules fondamentales dans la theorie des hypersurfaces d'un espace
general.— Ann. Sci Univ. Jassy 1935, 20, p. 39—58.
5. Sur les espaces de Finsler a connexion affine. — С. г. Acad. Sci. Paris,
1937 204, p. 837-839
6. Le parallelisme dans les espaces de Finsler et la differentiation invariante
de M. Levi-Civita, — Ann. Sci Univ Jassy, I. Math., 1938, 24, p. 214—218.
7. Sulle superficie totalmente geodetiche negli spazi di Finsler. — Atti Accad.
naz. Lincei Rend., 1938, 27, № 6, p. 633—641.
Хамель (Hamel G.)
1. Ober die Geometrien, in denen die Geraden die kiirzesten Linien sind. —
Math. Ann., 1903, 57, S. 231—264.
Харди, Литтлвуд и Полна (Hardy G. H., Littlewood J. E., Po-
lya G.)
1. Inequalities. — Cambridge, 1934. [Русский перевод: Харди Г. Г.,
Литтлвуд Дж. Е., Полна Г. — Неравенства. — М.: ИЛ, 1948.]
Хасигучи и Ичийо (Hashiguchi M., Ichijo Y.)
1. On some special (a, P) -metrics. — Rep. Fac. Sci. Kagoshima Univ., 1975,
8, p. 39—46.
Хасигучи, Хойо и Мацумото (Hashiguchi M., Hojo S., Matsumoto M.)
1. On Landsberg spaces of two dimensions with (a, P) -metric. — J. Korean
Math. Soc, 1973, 10, p. 17—26.
Хаусхолдер (Householder A. S.)
1. The dependence of a focal point upon curvature in the calculus of
variations. — In: Contributions to the calculus of variations 1933—1937.
Chicago, 1937, p. 485—526.
Хёниг, Шукинг и Вишвешвара (Honig Е„ Schuking E. L., Vish-
veshwara С. V.)
1. Motion of charge particles in homogeneous electromagnetic fields. — J.
Math. Phys., 1974, 15, p. 774—781.
Хирамату (Hiramatu H.)
1. Groups of homothetic transformations in a Finsler space. — Tensor (N. S.),
1954, 3, p. 131 — 143.
2. On some properties of groups of homothetic transformations in Riemannian
and Finslerian spaces. — Tensor (N. S.), 1954, 4, p. 28—39.
X о к а р и (Hokari S.)
1. Winkeltreue Transformationen und Bewegungen im Finslerschen RSum. —
J. рас. Sci. Hokkaido Univ., Math., 1936, 5, ser. I, S. 1—8.
496 БИБЛИОГРАФИЯ
X о м б у (Hombu H.)
1. Konforme Invarianten im Finslerschen Raume.— J. Fac. Sci. Hokkaido
Univ., Math., 1934, 2, ser I, S. 157—168.
2. Konforme Invarianten im Finslerschen Raume. — J. Fac. Sci. Hokkaido
Univ., Math., 1935, 4, ser. I, S. 51—66.
3. Die Krummungstheorie im Finslerschen Raume. — J. Fac. Sci. Hokkaido
Univ., Math., 1936, 5, ser. I, S. 67—94.
ХорватиМоор (Horyath J. I., Moor A.)
1. Entwicklung einer einheitlichen Feldtheorie begriindet auf die Finslersche
Geometrie. — Z. Phys., 1952, 131, S. 544—570.
2. Entwicklung einer Feldtheorie begriindet auf einen allgemeinen metrischen
Linienelementraum, I. II.— Ned. Akad. Wet. Proc. ser. A, 1955, 58, S. 421 —
429; 581—587.
Хорндески (Horndeski G. W.)
1. Dimensionally dependent divergences. — Proc. Camb. Philos. Soc, 1972,
72, p. 77-82.
Хосокава (Hosokawa T.)
1. Conformal property of a manifold Bn. — Jap. Math., 1932, 9, p. 59—62.
2. Ober nicht-holonome Obertragung in allgemeiner Mannigfaltigkeit Tn. —
J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., Math., 1934, 2, ser. I, p. 1—11.
3. On the various linear displacements in the Berwald — Finsler's manifold.—
Sci. Rep., Tokyo, 1930, 19, p. 37—51.
4. Finslenan wave geometry and Milne's world-structure. — J. Sci. Hiroshima
Univ., (A), 1938, 8, p. 249—270.
5. Connections in the manifold admitting contact transformations. — J. Fac.
Sci. Hokkaido Univ., Math., 1934, 2, p. 169—176.
Христиансен Г. Б., Куликов Г. В. и Фомин Ю. А.
1. Космическое излучение сверхвысокой энергии. — М.: Атомиздат, 1975.
X у м б е р т (Humbert P.)
1. Sur certaines figures planes de l'espace attache a l'operateur Д3. — С. г.
Acad. Sci. Paris, 1939, 209, p. 590—591; 1940, 211, p. 530—531.
2. Sur une extension de la notion d'angle: angles d'un faisceau de trois
droites. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1941, 213, p. 970—971.
3. Sur certaines figures planes de l'espace attache a l'operateur Д3. — Bull.
Sci. Math., 1942, 66, № 2, p. 145—154; J. Math pures appl., 1942, 21, № 9,
p. 141—153; Ann. Univ. Lyon, Sect. A, 1941, 4, № 3, p. 93.
4. Bitetraedres de l'espace attache a l'operateur Д3. — Bull. Sci. Math, 1944,
68, № 2, p. 50—59.
5. Formules trigonometriques dans le plan et l'espace attaches a l'operateur
Дз. — Ann. Soc. Sci. Bruxelles, ser. I, 1946, 60, p. 196—199.
Ц а н (Zhang M. Y.)
1. Die mittlere Kriimmung einer Flache in dreidimensionalen Finslerschen
Raume —Acad. Sinica Sci. Rec, 1950, 3, S. 35—39.
2. Mean curvarures of a substance in a Finsler space. — Ann. Math. Рига
Appl., 1950, 31, p. 297—302.
4 e p н (Chern S. S.)
1. On the euclidean connections in a Finsler space. — Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1943, 29, p. 33—37.
2. Local equivalence and euclidean connections in Finsler spaces. — Sci. Rep.
Nat. Tsing Hua Univ., Ser. A, 1948, 5, p. 95—121.
Ill а н к с (Shanks S.)
1. Homothetic correspondences between Riemannian spaces. — Duke Math. J.,
1950, 17, p. 299—311.
Шенберг (Schoenberg I. J.)
1. Some applications of the calculus of variations to Riemannian geometry. —
Ann. Math., 1932, 33, p. 485—495,
БИБЛИОГРАФИЯ 497
Широков А. П.
1. Гонометрпческая система в геометрии Финслера.—Тр. семинара по вект.
и тензорн. анализу, 1950, 8, с. 414—424.
Шмидт (Szmidt Z.)
1. Un theoreme de M. Knebelman. — Prace mat. fiz., 1952, 48, p. 101 — 103.
Шоке (Choquet G.)
1. Etude metrique des espaces de Finsler. Nouvelles methodes pour les
theoremes d'existence en calcul des variations. — С. г. Acad Sci. Paris,
1944, 219, p. 476—478.
2. Etude differentielle des minimisantes dans les problemes reguliers du cal-
calcul des variations. — С. г. Acad. Sci. Paris, 1944, 218, p. 240—542.
Ш о о ш (So6s G.)
1. Ober Gruppen von Affinitaten und Bewegungen in Finslerschen Raumen.—
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1954, 5, S. 73—84.
2. Ober Gruppen von Automorphismen in affinzusammenhangenden Raumen
von Linienelementen. — Publ. Math. Debrecen, 1956, 4, S. 294—302.
Шпервер (Sperner E.)
1. Einfiirung in die analytische Geometrie und Algebra. 1. Teil. — Oberwol-
fach, 1948.
Эйзенхарт (Eisenhart L. P.)
1. Риманова геометрия. — M.: ИЛ, 1948.
2. Non-Riemannian geometry. — N Y.: Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 1927.
3. Finsler spaces derived from Riemann spaces by contact transformations. —
Ann. Math. B), 1948, 49, p. 227-254
Эйзенхарти Кнебельман (Eisenhart L. P., Knebelman M. S.)
1. Invariant theory of homogeneous contact transformations. — Ann. Math.
B), 1936. 37, p 747—765.
Элиопулос (Eliopoulos H A.)
1. Methods of generalised metric geometry with applications to mathematical
physics' Thesis. — Toronto, 1956.
2. The theory of subspaces of a generalised metric space. — Canad. J. Math.,
1959. 11, p 235—265.
3. A generalised metric space for electromagnetic theory. — Acad. Roy. Belg.,
Bull Cl Sci., 1965, 51, p. 986—995.
4. Multi-particle theory derived from the geometry of a locally Minkowskian
Finsler space. — Acad Roy. Belg., Bull. Cl. Sci., 1966, 52, p. 69—75.
Яно (Yano K.)
1. On the linear displacements in the generalised manifold. — Proc. Math.-
Pbys. Soc Japan, 1934. 16, p. 318—326.
2. On the theory of linear connections in the manifold admitting homogeneous
contact transformations. — Proc. Math.-Phys. Soc. Japan, 1935, 17,
p. 39—47.
3. Groups of transformations in generalized spaces. — Tokyo, 1949.
Яно и Девис (Yano K-, Davies E. T.)
1. Contact tensor calculus. — Ann. Mat. Рига Appl., 1954, 37, p. 1—36.
2. On the connection in Finsler spaces as an induced connection. — Rend.
Circ. Mat Palermo B), 1955, 3, p. 409—417.
Ясуд a (Yasuda H.)
1 On extended Lie systems, III (Finsler spaces). —Tensor, 1972, 23,
p 115—130
2 Finsler spaces as distributions on Riemannian manifolds. — Hokkaido
Math J, 1972. 1, № 2. p 280—297
3 On F'nsler spaces with absolute parallelism of line elements. — J. Korean
Math Soc, 1976, 13, № 2, p. 179-188
Ясуда и Симада (Yasiida H Shimada H.)
1. On Randers spaces of scalar curvature. — Reports Math. Phys., 1977, II,
p. 347—360.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный параллелизм 421
Автопараллельные кривые 81, 203,
374
Аксиома монодромии 32
Асимптотические направления в под-
подпространстве 233, 247
Бесконечно малое движение 266
Бисектор 175
Вариация интеграла длины вторая
155
первая 153
— нормальная 149
Вложение пространства Fn в про-
пространство другого типа 295—306
Вполне геодезические подпростран-
подпространства 234, 247
Вторая фундаментальная форма (под-
(подпространства) 222, 229, 232, 241,
385
дополнительная 241, 252
Выпуклость 25, 31
— строгая 25
Геодезические 72
Геометрия путей 103
ограниченная 105
Главная кривизна кривой 191, 194
— нормаль кривой 191
Главные направления на гиперповерх-
гиперповерхности 243
Главный скаляр 227, 307, 317
Гомологические преобразования 274
Гомотетия 274
Группа голономии 274
— движений 265—274
— масштабных преобразований об-
общая 417
специальная 417
Двойственность 42
Девиации геодезических 144—163
Дельта-дифференцирование 79
— частное 83
Деформация пространства 219, 248
Евклидова связность 90
Изотропная точка 166
Индикатриса 32
—, дифференциальная геометрия
253—260
— Дюпена 243
соприкасающаяся 229
— плоская 407
— постоянной кривизны 258
— соприкасающаяся 36
Индуцированная ковариантная про-
производная на Fm 200
—¦ метрика на Fm 196
— связность на Fm 201
Интегральная геометрия 395
Интегральные инварианты 73, 339—
343
Калибровочные преобразования 350,
431—435
Канонические уравнения 72, 338
Канонический импульс 72, 335
, векторное поле 339
Класс особенности (индикатрисы)
260
Клебша потенциалы 352
Ковариантное дифференцирование 79,
92, 107
Ковариантный вектор 38
Комплексные финслеровы простран-
пространства 397
Контактное преобразование 296
— тензорное исчисление 296
Контравариантный вектор 29
Конформная метрика 274
Конформное соответствие 275
Конформные коэффициенты (пара-
(параметры) связности 279
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
499
Конформный фундаментальный тен-
тензор 278
Конциркулярное векторное поле 430
Косинус в пространстве Минковского
49
Коэффициенты связности: см. в списке
обозначений Сг/г'^, IVfe, /V& и д.
Кривизна геодезических 192
— 1лавная кривых 191, 194
— кривых 191, 195
— риманова 150, 166
Кручение 134
— геодезическое 232
Лемма Риччи 86, 100, 387
Метод дополнительной координаты
403
Метрика в Тп 31, 34
7а 41
Х„ 23, 31
— индуцированная 383
Метрическая функция 31
Бервальда—Моора 406, 412—
416, 446
Кропиной 402, 426—431
Рандерса 402, 426—431
— — специальные типы 394, 395,
398
— — 1-формовая 418
Метрический тензор 34
— — с детерминантом, зависящим
только от хт (с Gi — 0) 66, 99,
414, 423
— сигнатурой (+ ...)
414
Минимальные гиперповерхности 103,
234
Многообразие основное 29
— составное 288, 294
Направление нулевое 338
Неголономные подпространства 296,
297
— пространства 395
Неголономный репер 297
Независимый интеграл Гильберта 73
Нелинейные связности ПО, 288—295
Нериманова геометрия 104
Норма Минковского 60
Нормаль гиперплоскости в Тп 50
— главная к кривой 191
— подпространства 198, 226, 235,
251, 319, 385, 386, 389—391
Нормальная вариация 149
— кривизна (подпространства) 265 —
208
— — в точке 237
вторичная 238
— —, поверхность относительно ли-
линейного элемента 228
Нормальность 47
Нормальные координаты 116
относительно линейного элемен-
элемента 122
— опорного элемента 119
— тензоры 119, 122
Нормальный конус (гиперповерхно-
(гиперповерхности) 235
Объем 59—66
Омбилическая точка 255
Опорная плоскость 40
— функция 40
Опорный элемент 92
Ортогональность 47
Параллелизм (в касательном про-
пространстве) 30
Параллельный перенос 92
— — б-типа 79
Площадь 59—66
Подпространства многоебразий с за-
зависящими от направлений связно-
стями 377—393
Полная фигура 346
Применение финслеровой геометрии
в теоретической физике 396, 398,
439—471
Проблема Лагранжа 395
Проективные коэффициенты, связно-
связности 182
— преобразования 176
Проективный параметр 183, 433
Проекционные множители (подпро-
(подпространства) 195—199
Производная Ли 215—225
Пространство ассоциированное евкли-
евклидово 61
— аффинно связанное 108, 109
двумерное 312
— Бервальда 109, 428
— вполне симметричное 175
— двумерное 306
— изотропное 167, 187
— Кавагути 396
— Картана 396
— касательное 29
дуальное 39
500
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пространство касательное
риманово 115
— Ландсберга 109, 317, 428
— Минковского 32
— неголономное 395
— обобщенное вариационное 395
— постоянной кривизны 165—175
— проективно плоское 183 .
— риманово 23
— скалярной кривизны 130
— соприкасающееся риманово 112—
116
— специальное финслерово 398—405
с метрикой Бервальда —
Моора 406, 412—417, 446
Кропиной 402, 426—
431
Рандерса 402, 426—
431
(а, Р)-метрикой 403
— с прямолинейными геодезическими
183
— Финслера 23
бесконечномерное 396
С-сводимое 400, 426—438
СЗ-подобное 404
Р-сводимое 404
— — Р2-подобное 404
53-подобное 405—417
1-формовое 418
Расширение тензоров 119
Родригеса формула обобщенная 246,
253
РПГ-пространство 429
РПТ-пространство 429
Связность метрическая 369, 388
— нелинейная ПО, 288—296
— полуметрическая 291
— полуточечная 305
— проективная 181—183
— эксцентральная 289, 290
Символы Кристоффеля 74
Симметрия индикатрисы 32
Синус в пространстве Минковского
51, 63
Скобки Лангранжа 342
Сопряженные направления (подпро-
(подпространства) 223
— точки 158
Стационарное векторное поле 366
Структурные уравнения второго рода
ЗЬ2
первого рода 357
Тензор девиаций проективный 179
— инвариантный относительно про-
проективного преобразования 179
— кривизны 126
— — относительный 126
— проективный 175—189, 431—435
нормальной кривизны 207
второй 210
— обобщенный Вейля 176—181, 184
— эйлеровой кривизны 207
Теорема Гаусса — Бонне 328—333
— Дайке 66, 99, 414, 423
— заключительная о С-сводимости
402
— замещения 122
— о дивергенции 323
— обобщенная Бельтрами и Эннепе-
ра 233
Мюснера 228, 238, 253, 386
Шура 167
Теория Гамильтона — Якоби 334
— кривизны пространства Fn 124—
189
Тождества Бианки 142, 143, 163, 356,
363, 380
для двумерных пространств
311
Трансверсальность 48
Трансляция 269, 429
Угловая метрика 259
Угол 52—59
Уравнение Якоби 150, 151, 158
Уравнения Гамильтона — Якоби 71,
343—346
для заряженной частицы
350
— Гаусса — Кодацци 214, 215, 250,
251, 387, 393
— Кюне 215
— Окубо 409
— Эйлера — Лагранжа 72
, вейерштрассова форма для
п = 2 195
Условие Лежандра 24
— А21
— А, 22
— В 23
— С 24
— Ct = 0 66, 99, 414, 423
Фигуратриса 43
Финслерова кинематика 446—452
Финслерово обобщение теории отно-
относительности 439—446
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗ АТЕЛЬ
501
Фокальная точка 73
Формулы Бертранда и Пусекса 151
— коммутационные для ковариантно-
го дифференцирования 125—130,
161
Функция Вейерштрасса 50
— Гамильтона 42—47, 336
заряженной частицы 349
Экстремальные кривые (экстремали)
338
D-символизм 208—212
/(-группа 441
7"-тензор 401
7"-условие 401
Эквивалентность (локальная) фин-
слеровых пространств 281—287
Эквивалентные проблемы в вариа-
вариационном исчислении 23
1-форма связности 355
, разложение 365
2-форма кривизны 356
, разложение 365
— кручения 357, 380
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л*/76 Ql, Sin, Щ 134—135
Aikh 99 Pk't 79
Ai 99 P* ¦ P* * 82
?„196 л'*а 131
Bit Dr. 1OO
t Q7 A/ kh Ю4
"••¦P tf(*, g, X) 150
вг 197 tf (x, x) 165
fiL 199 sin (g, r\) 51
c 35 sin (Vm, Vr) 62
СД 79 G"'* 106
cos (g, tj) 49 G'hkl I60
di (символ Кронекера) 43 У^к> Ун'к 7^> ^5
^ (*s, *(o). Jf*) (функция Веиер- р. т*ь дз д?
штрасса) 50 '
F (л:*, i4) (метрическая функция) 23, rjL, Г^ 201
ЧП ' —«
/=•„ 67 XPV iU6
Fm 195 Г^у 208
g<7 (x\ xk) 34 Я (л:*, (/*) (функция Гамильтона) 39
j; ?• ^s) 4з «i.«}». л% 160
Т„?).Н{*.*) .63-164 S)Jl(,J9
Я^206 ^n' Г« ^' Г« ^ 39
OD
0 #' ^°
Яо 207 x'1 69
^/'L 126 ^» 20- 29
Kl'hk 126 ^2»-l 91
Klh 166 A.A 83
V95 A.'h100
-''¦*» 92 _. 107