О. Веблен и Дж. Уайтхед
ОСНОВАНИЯ
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОИ
ГЕОМЕТРИИ
Перевод с английского
М.Г. ФРЕЙЛИНОЙ
с дополнением
проф. В. В. ВАГНЕРА
19 49
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москечг

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Диференциальная геометрия многомерных пространств раз-
различных „связностей"' (в смысле Картана) является одним из
интереснейших разделов современной математики. Очень ве-
велико ее значение и в современной физике и механике. Со-
Создатели этой новой области математики, поглощенные разви-
развитием общих геометрических идей и увлеченные богатством
открывшихся им новых фактов, мало заботились о логической
строгости и отчетливости своих построений. В результате
в диференциальиой геометрии общих пространств создалась
традиция большего пренебрежения требованиями логической
строгости изложения, чем это принято в других разделах
современной математики. В самых серьезных руководствах
по многомерной диференциальной геометрии обычно отсут-
отсутствует даже ясное определение самого объекта изучения —
рассматриваемого „пространства".
Аналогичное положение наблюдалось в течение долгого
времени в теории аналитических функций в применении к по-
понятию римановой поверхности и в теории непрерывных групп
(в применении к самому основному понятию этой теории —
понятию непрерывной группы). Но в обоих этих случаях традиции
резко изменились, и сколько-нибудь серьезные руководства
с успехом избегают всякой логической расплывчатости ос-
основных определений. Возможность аналогичного уточнения из-
изложения многомерной диференциальной геометрии не вызывает
никаких сомнений, и принципы такого уточненного ее изложе-
изложения неоднократно указывались в журнальной математической
литературе; но единственной попыткой осуществить эти прин-

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
ципы в форме специальной книги, излагающей систематически
логические основания всех главных разновидностей многомер-
многомерной диференциальной геометрии, в зарубежной литературе
остается книга Веблена и Уайтхеда, предлагаемая советскому
читателю в русском переводе.
Помимо задачи создания формально безукоризненной логи-
логической базы основных определений, книга Веблена и Уайтхеда
преследует и более широкую задачу систематизации и оценки
значения различных специальных направлений многомерной
диференциальной геометрии. Такая систематизация неизбежно
связана с так называемой „общей теорией геометрических
объектов", изложения которой авторы не дают. Вообще, ука-
указанная сейчас вторая задача книги выполнена значительно ме-
менее удовлетворительно. Конечно идеи Веблена в этом направ-
направлении может быть заслуживают некоторого внимания и тогда,
когда он лишь .намечает некоторые возникающие здесь во-
вопросы" (см. предисловие авторов); но читателю книги несо-
несомненно интересно получить более законченное представление
о системе современной диференциальной геометрии. Чтобы
удовлетворить это законное желание читателей, издательство
заказало известному советскому геометру В. В. Вагнеру
большое дополнение к книге. Дополнение это в большей своей
части как раз и посвящено изложению общей теории геоме-
геометрических объектов.
Еще менее удовлетворительна книга Веблена и Уайтхе-
Уайтхеда в части высказываний авторов относительно связи дифе-
диференциальной геометрии общих многомерных пространств с
физической задачей изучения реального „физического" про-
пространства. Эти высказывания, правда, немногочисленны. Оши-
Ошибочность некоторых из них отмечена в примечаниях пере-
переводчика.
Проявлением порочных философских и методологических
установок авторов является и их мнение о невозможности на-
научного, объективного обсуждення самого- вопроса о предмете

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
и задачах геометрии (см. стр. 31). Следует однако отметить,
что авторы в своем дальнейшем изложении далеко не всегда
придерживаются этой идеалистической точки зрения, невольно
становясь на материалистические позиции при построении основ
диференциальной геометрии и обсуждении путей ее дальней-
дальнейшего развития.
Книга отличается ясностью изложения и не требует от
читателя предварительных знаний, выходящих за пределы
обычной подготовки студентов-математиков последних курсов
университетов. Но, естественно, что изучение целой книги,
посвященной лишь логическим основам диференциальной гео-
геометрии, целесообразно рекомендовать только читателям, кото-
которые или уже знакомы с богатым конкретным содержанием
этой науки, или приступают к серьезному ее изучению.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Настоящий выпуск «Кембриджской серии» задуман в тес-
тесной связи с выпуском № 24, посвященным инвариантам
квадратичных диференциальных форм*. Как указывает его
название, он содержит систему аксиом диференциальной гео-
геометрии и следствия из них, развитые настолько, насколько это
целесообразно, чтобы служить базой для .создания более об-
обстоятельного сочинения. Формулы появляются здесь лишь из-
изредка и играют побочную роль; предполагается, что читатель
почерпнет необходимые формулы из указанного выпуска № 24
или из других книг и статей, трактующих формальную сто-
сторону вопроса.
В диференциальной геометрии постоянно используются
аналитические операции с координатными системами; «выбрать
координатную систему такую, чтобы...»—этот прием является
типичным. Естественно поэтому формулировать аксиомы в тер-
терминах некоторого неопределенного класса «допустимых» коорди-
координатных систем и выводить свойства пространства из характера
допускаемых этими аксиомами преобразований координат.
Аксиомам общей диференциальиой геометрии предше-
предшествуют более специальные системы аксном, в которых структура
пространства определяется подходящим классом «предпочи-
«предпочитаемых» координатных систем. Так, эвклидова геометрия ха-
характеризуется классом прямоугольных декартовых координат-
координатных систем. Для каждого из этих пространств «предпочитае-
«предпочитаемые» координатные системы составляют подкласс «допустимых»
координатных систем. Первый класс узок настолько, чтобы
характеризовать структуру пространства; второй — широк на-
настолько, чтобы не стеснять свободы аналитических операций.
Эти более ранние аксиомы оказались достаточными для дифе-
* Русский перевод: О. В е б л е н, Инварианты диференциальных
квадратичных форм, ГИИЛ, 1948. В дальнейшем при ссылках эта
книга будет сокращенно обозначаться И.К.Ф. (Прим. ред.)

10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
ренциальной геометрии открытого односвязного пространства;
наиболее элементарные теоремы ее занимают ббльшую часть
глав III — IV. Аксиомы более общие, выраженные в терминах
допустимых координатных систем и без ограничений на связ-
связность пространства, даны в главе VI. Мы думаем, что они
могут служить достаточным фундаментом для любой из ныне
изучаемых систем диференциальной геометрии. Законченной
теорией, которую следовало бы построить, исходя из этих
аксиом, могла бы быть комбинация инфннитезимальной геомет-
геометрии и топологии. В последней главе мы намечаем некоторые
возникающие здесь вопросы в надежде, что кто-нибудь из чи-
читателей примет участие в построении такой математической
дисциплины, представляющей, по нашему убеждению, боль-
большую важность.
Принстон, Нью-Джерси, США
О. В.
ДЖ. У.

ГЛАВА I
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ"
§ 1. Арифметические точки. Анализ обычно заимствует
у геометрии не только терминологию, но также методы и
результаты. Мы намерены в настоящей главе показать, как
это может быть сделано без риска впасть в порочный круг
при применении анализа к геометрии. Нас будут особенно ин-
интересовать вопросы, группирующиеся вокруг понятия линей-
линейной зависимости.
Мы будем предполагать известным содержание упомянутой
в предисловии книги О. Веблена и, в частности, правило
Крамера («И.К.Ф.>, стр. 6) для решения линейной системы
уравнений
у
2/
Это правило гласит: если детерминант
не равен нулю, то решение системы A.1) имеет вид:
*'=2ау/' 0-2)
где
а А1, означает алгебраическое дополнение элемента а1 из ма-
матрицы || «у || (обозначение, принятое в «Й.К.Ф.»); а1 называют
приведенным минором элемента а1..
Упорядоченную систему я действительных * чисел (х1,...,.*")
мы будем называть арифметической точкой, а сами числа
хг,...,хп — ее компонентами. Множество всех арифметических
точек для данного значения п будем называть арифметическим
пространством п измерений. Как и в «И.К.Ф.>, мы будем
1 Ничто не мешает нам брать числа из любой области; но мы огра-
ограничимся множеством действительных чисел, употребляемым в ана-
анализе.

12 Г Л ABA I
обозначать арифметическую точку одной буквой х, а при рас-
рассмотрении нескольких арифметических точек будем различать
их с помощью индексов; так, ха заменяет подробную запись
к*\. -. ю-
В эвклидовой геометрии все точки равноправны, но в ариф-
арифметическом пространстве каждая точка индивидуализирована.
В частности, точки @,... ,0), A,..., 0),..., @, ...,1) назы-
называются, соответственно, начальной и единичными точками. На-
Начальную точку — короче, начало — будем обозначать через е0,
а единичные точки — через еъ...,еп.
Во многих книгах по анализу упорядоченная система чи-
чисел {х1,..., хп) называется просто точкой (без всякого при-
прилагательного); с другой стороны, в книгах по алгебре * то же
самое часто называют вектором. Две основные операции век-
векторной алгебры суть умножение на число и сложение. Точнее,
если х — арифметическая точка, а а — число, то ах есть точка
(ах\..., ахп)\
если х и у — две точки, то х-\-у есть^точка
Комбинируя эти две операции, мы можем определить раз-
разность двух точек и, вообще, любую линейную комбинацию
к точек xt,..., xk. Теория линейной зависимости изучает
свойства, которые могут быть сформулированы в терминах
этих двух операций.
§ 2. Линейная зависимость. Точки, заданные равен-
равенствами '.
х*=Мш (о = 1,..., т), B.1)
называются линейными комбинациями точек xv..., хт. Со-
Согласно этому определению, начальная точка есть линейная
• См., например, А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, ГТТИ,
1946, стр. 82. (Прим. ред.)
1 Как и в <И.К.Ф.>, по повторяющемуся индексу производится
суммирование. Латинские индексы у иас всегда пробегают значения
от 1 до я; значения греческих индексов будут указываться в тексте.

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ
13
комбинация любой системы точек. Система двух и более точек
называется линейно-независимой, если ни одна из них не яв-
является линейной комбинацией остальных. Для полноты опре-
определения мы говорим, что всякая отдельно взятая точка, кроме
начала, линейно-независима.
Система точек xlt.. ., хт независима в том и только в том
случае, если соотношение
sax[ — Q B.2)
имеет место лишь при s1 —... = sm = Q. Действительно, пред-
предположение, что один из коэфициентов B.2), скажем s1, не
равен нулю, дает
s2 ¦ sm
С другой стороны, соотношение вида B.1) является частным
случаем соотношения B.2).
Пусть аи ..., ат—какая-либо система точек. Либо аь ..., ат
все совпадают с началом, либо одна из них, скажем ах, не-
независима. Далее, либо они все зависят от аи либо система
каких-то двух из этих точек, скажем ах, а2, независима. Про-
Продолжая рассуждать таким же образом, мы придем к незави-
независимой системе точек Cj,..., а , от которой будут линейно за-
зависеть все точки Oj,..., ат. Нам нужен критерий для опре-
определения числа р; мы получим этот критерий, рассматривая
матрицу
а\, а\,..., с
О», й«, . . . , С-
столбцы которой суть наши т арифметических точек.
Если все ее детерминанты (p-j-l)-ro порядка равны нулю,
но хотя бы один детерминант р-то порядка отличен от нуля,
то говорят, что ранг матрицы равен р. Основная теорема
теории линейной зависимости гласит:

14
ГЛАВА I
Если ранг матрицы ||^|| равен р, то среда точек
аи .. .,ат имеется ровно .р независимых, от которых зави-
зависят все остальные т — р точек.
Для доказательства рассмотрим сперва случай, когда
т^п. По условию, ранг матрицы ||я?|| равен р; мы можем,
ие теряя общности, считать отличным от нуля детерминант
Если р = т, то из правила Крамера для решения линей-
линейных уравиеиий следует, что точки au..i,am независимы; ибо,
при а^=0 уравнения
имеют единственное решение @,..., 0).
Если р<^т, то независимость точек ах ^доказы-
^доказывается совершенно таким же образом. Остается доказать, что
остальные точки а, (о=р -\-1,..., т) зависят от этих р точек.
С этой целью рассмотрим матрицу
р. аР
Обозначим через А\,..., Ар алгебраические дополнения эле-
элементов а},...,*»1. Тогда детерминант нашей матрицы пред-
представится в виде
( — \)Paafa-\-A)a[, (k = \ р);
при /<р этот детерминант равен нулю, потому что матрица
содержит две строки с соответственно равными элементами;
при i^>p он также равен нулю, в силу того, что ранг ма-
матрицы ||4|[ равен р. Заметим, что коэфициенты а, А^ не за-
зависят от элементов а[, а[,..., а1. Следовательно, обозначив
B.3)
получаем искомую зависимость:
(а=р +1,...,»).

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО л ИЗМЕРЕНИЙ 15
Если т~^>п, рассматриваем точки а? = (<^,..., о?, О,..., 0)
в арифметическом пространстве от измерений. Мы можем тогда
для получения соотношения B.3) применить вышеизложенное
рассуждение.
Таким образом, теорема установлена для всех значе-
значений т.
§ 3. Линейные пространства. Если хх,... ,xk — « линей-
линейно-независимых точек, то множество всех точек, связанных
с ними линейной зависимостью, мы будем называть арифмети-
арифметическим линейным k-пространством1, а о точках хх,...,хк
будем говорить, что они определяют это «-пространство или
что «-пространство на них натянуто. Так, линейное 1-про-
1-пространство состоит из точек, компоненты которых пропорцио-
пропорциональны компонентам данной точки; его можно назвать ариф-
арифметической прямой, проходящей через начало.
Из равенств
х'=*х[, (;=i,...,*j,. 'C.1)
определяющих линейное «-пространство Х,„ следует, что каж-
каждой точке (Р,..., tk) арифметического пространства « изме-
измерений соответствует точка в Xk, причем точке е0 соответ-
соответствует начало, а точкам ех,..., ek—точки хъ..., xk. Боль-
Больше того, каждой точке из Xk отвечает в точности одна точка
«-мерного арифметического пространства. Ибо, если tx и/2 —
точки этого последнего, отвечающие одной и той же точке
из Xk, то
или
но хъ ..., xk «зависимы, поэтому tx = t2,-
Таким образом, равенства вида C.1) не только опреде-
определяют линейное «-пространство, но и устанавливают точечное
1 В § 7 мы дадим определение ^-плоскости вообще. Всякое
линейное пространство содержит начало. Значение их обуслов-
обусловлено тем фактом, что (пользуясь обозначением, введенным в § 1),
если линейное А-пространство содержит точки хх и Хр то оно со-
содержит также хх-\-х2. Мы можем выразить это свойство, сказав,
что линейные ^-пространства замкнуты относительно операции сло-
сложения.

16 ГЛАВА I
вваимно-одновначное отображение этого А-пространства на ариф-
арифметическое пространство к измерений. Такое отображение
называется параметризацией линейного ^-пространства.
Точки, линейно зависящие от т точек аи...,ат линей-
линейного ^-пространства Хк, все содержатся в Хч. Ибо ах, ... , ат
заданы равенством вида
и всякая точка, линейно зависящая от av ..., ат, зависит,
очевидно, и от хи .. ., xk. Это можно назвать свойством тран-
транзитивности линейной зависимости.
Если на точки xx,...,xk натянуто линейное &-простран-
ство Xk, то не существует другого линейного А-пространства,
содержащего эти точки. Ибо, если ylt. .., yk определяют
линейное fe-пространство Kft, содержащее хх,..., xk, то
Если бы детерминант |^| был равен нулю, то существо-
существовало бы соотношение вида
где не все si,..., sk нули. Но это означало бы, что
и x1,...fxk не были бы независимыми. Следовательно, для
каждого значения / уравнения C.2) могут быть решены по
правилу Крамера и дают
Из транзитивности линейной зависимости и из C.2) сле-
следует, что каждая точка пространства Хк лежит в Yk. Точно
так же из C.3) следует, что каждая точка пространства Yk
лежит в Xk. Таким образом, эти пространства совпадают.
Мы можем выразить этот факт, сказав, что линейное &-про-
странство определяется любой системой k независимых точек,
в нем содержащихся, и, следовательно, линейное /г-простран-
ство не содержит никакой системы / независимых точек, l~^>k.
Действительно, из определения линейной зависимости ясно,
что Любые k точек в системе / независимых точек сами

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО л ИЗМЕРЕНИЙ 17
независимы: они определяли бы, следовательно, некоторое ли-
линейное Л-простраиство, содержащее ббльшую систему.
Теорема § 2 может быть высказана теперь в такой
форме:
Если ранг матрицы f' х^ || равен р, то все точки хи ..., хт
содержатся в линейном р-пространстве, но не содержатся
ни в каком линейном q-пространстве, <
§ 4. Линейные однородные преобразования. Всякое со-
соответствие, при котором каждая точка х множества X отве-
отвечает одной единственной точке у, называется однозначным
преобразованием X в У, где Y—множество точек, которым
соответствуют точки из X. Мы можем обозначить такое пре-
преобразование символом х—*у.
Если никакие две различные точки множества X не со-
соответствуют одной и той же точке из Y, то преобразование
х—*у будем называть неособенным или взаимно-однозначным,
короче A-1). Если х—*у — какое-либо неособенное преоб-
преобразование, то существует единственное однозначное преобра-
преобразование, у—*-х, обратное преобразованию х—*-у.
Преобразование, заданное равенствами вида
D.1)
называется линейным однородным. Оно неособенное, если де-
детерминант а='\а'.\ не равен нулю. Ибо, если афО, то урав-
уравнения D.1), тождественные с A.1), могут быть разрешены
и дают обратное преобразование
*' = а</, D.2)
где а'.—приведенный мииор элемента aj.
Всякое линейное преобразование х—t-y, особенное или
неособенное, переводит каждую точку, зависящую от данной
системы х1)...,хк, в точку, зависящую от уц...,ук, при-
причем х\ —*ух . Действительно, всякая точка х, заданная ра-
равенствами
х'=Рх[, D.3)
переходит в точку у, заданную равенствами
/ = ej*/ = aj^=/>>j?. D.4)
2 Веблен и Уайтхед

18 Г Л ABA I
Таким образом, при линейных преобразованиях остаются
неизменными не только соотношения линейной зависимости,
но также и параметры t1,.. ., tk, при помощи которых эта
зависимость выражается.
Единичные точки переводятся в столбцы матрицы \\а'\\; если
ранг последней равен р, эти столбцы содержатся в линей-
линейном р-пространстве Хр, так как в точности р из них будут
независимы. Следовательно, все арифметическое простран-
пространство переводится в X , и всякие две точки хи х2, такие, что
переходят в одну и ту же точку из X . Таким образом, усло-
условие афО ие только достаточно, но и необходимо для того,
чтобы преобразование D.1) было неособенным.
Независимая система точек хг,..., xk переводится неосо-
неособенным линейным однородным преобразованием х—>-у в-си-
в-систему уи ..., yk, опять-таки независимую. Действительно,
если бы среди этих последних одни точки зависели от дру-
других, мы могли бы, применив обратное преобразование у—>х,
показать, что то же справедливо и для хи...,хк.
Таким образом, линейные однородные преобразования1
переводят линейные /f-пространства в линейные Л-пространства;
из теоремы § 2 следует, что матрицы
Н\\ и \\у'Л-
имеют один и тот же ранг.
Правило Крамера связано с тем фактом, что если ву за-
заданы и афО, то существует матрица |]я/[]> однозначно
определяемая условием D.5)
§,= а?4 D.5)
Это значит, если рассматривать столбцы матрицы || а* [)
как арифметические точки, что существует одно и только
одно линейное однородное преобразование, переводящее за-
заданную систему п независимых точек аг, ..., ап в единич-
единичные точки е,, .... е„.
1 Здесь и в следующих параграфах все преобразования пред-
предполагаются неособенными, если только не оговорено противное.

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 19
Отсюда следует, что имеется по меньшей мере одно ли-
линейное однородное преобразование, переводящее какую-либо
систему k независимых точек аи . .., ak в единичные точки
ev ...., ek, так как мы можем найти п — k точек eft+],... ,ап,
таких, что аи . . ., ап будут линейно независимы
(если детерминант \а^\ (I, Ji=l, ..., k) неравен нулю, мы
можем взять ак+1 = е/!+1, ..., ап = еп); и существует одно
и только одно преобразование, при котором а{—>е.. Преоб-
Преобразование, переводящее независимую систему точек Cj, ...,ak
в еи ..., ek, переводит линейное А-пространство, опре-
определяемое первой системой, в линейное ^-пространство, за-
заданное условиями
К = Р A=1, .... k),
+ .... я), \*л>
иными словами, в множество всех точек, удовлетворяющих
уравнениям
У+1 = 0, ..., уп=0.
§ 5. Однородные линейные уравнения. Существует
линейное однородное преобразование
У = ау, E.1)
которое переводит данное линейное ^-пространство Xh в ли-
линейное ^-пространство, заданное равенствами D.6). Отсюда
следует, что Xk состоит из тех и только из тех точек, ко-
которые удовлетворяют системе п—k линейных однородных
уравнений
a)xJ=Q (a = k-]-\, ..., п). E.2)
Обратно, если E.2) — какая-либо система п — k линейных
однородных уравнений относительно п переменных х, при-
причем матрица \\а'\\ имеет ранг п — k, то можно найти пре-
преобразование E.1), которое переводит множество точек,
удовлетворяющих уравнениям E.2), в линейное ^-пространство
D.6). Так как линейные однородные преобразования пере-
переводят линейные ^-пространства в линейные ^-пространства,
то отсюда следует, что решения системы E.2) образуют
линейное А-пространство.
2*

20 Г Л А В A I
Если
b}xJ = 0 (а—1, ..., т) E.3)
— какая-либо система линейных однородных уравнений, причем
ранг матрицы jj b}\\ равен г, то в числе этих уравнений
имеется г уравнений — пусть это будут уравнения
b)xf = O (о=1, ..., г) EЛ)
— таких, что матрица |] ftylj их коэфициентов имеет ранг г,
а все остальные уравнения являются их линейными комби-
комбинациями. Следовательно, точки, удовлетворяющие уравне-
уравнениям E.4), удовлетворяют всей системе уравнений E.3), и,
разумеется, всякая точка, удовлетворяющая E.3), удовле-
удовлетворяет и E.4). Согласно сказанному выше, точки, удовле-
удовлетворяющие E.4), образуют линейное (п—г)-пространство.
Таким образом, решения системы линейных однородных
уравнений образуют (п—г)-мерное пространство, где г—
ранг матрицы коэфициентов.
Всякая система точек, определяющих это (л — /^-про-
/^-пространство, называется полной системой решений.
Если дополнить изложенное в этом пункте описанием того,
каким образом линейное ^-пространство определяется систе-
системами независимых точек, мы получаем, вкратце, теорию ли-
линейных однородных уравнений.
§ 6. Параллельное перенесение. Преобразование, задан-
заданное уравнениями вида
/ = *< + «'. F.1)
называется параллельным перенесением. Очевидно, что парал-
параллельное перенесение — неособенное преобразование и что пре-
преобразование, обратное параллельному перенесению, есть снова
параллельное перенесение. Очевидно также, что если х —*у и
х—yz — два параллельных перенесения, то результирующее
преобразование х —»- z также будет параллельным перенесением
и что существует одно и только одно параллельное пе-
перенесение— именно, определяемое формулой
которое переводит заданную точку хй в заданную точку у0

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО л ИЗМЕРЕНИЙ 21
§ 7. Плоскости. Всякое множество точек, получаемое
при помощи параллельного перенесения линейного ^-простран-
^-пространства, мы будем называть арифметической k-плоскостью.
При k = 0 арифметическая А-плоскость есть точка; при
k = 1 она называется арифметической прямой линией; при
А = 2 — просто плоскостью, а при k = n—1—гиперпло-
n—1—гиперплоскостью. Если одна из двух ^-плоскостей может быть пере-
переведена в другую параллельным перенесением, то говорят, что
они параллельны. Из транзитивности параллельного перенесения
следует, что всякая ^-плоскость переходит при параллельном
перенесении снова в А-плоскость и что две ^-плоскости, па-
параллельные третьей, параллельны между собой. Через любую
точку х0 проходит ^-плоскость, параллельная заданному ли-
линейному А-пространству Xk; эта А-плоскость получается
из Xk путем параллельного перенесения, переводящего начало
в х0. Всякая плоскость, согласно определению, параллельна
самой себе, поскольку тождественное преобразование, остав-
оставляющее каждую точку неизменной, есть частный случай
параллельного перенесения.
Применяя параллельное перенесение
У = я?-\-/0 G.1)
к линейному ^-пространству, точки которого удовлетворяют
(п — k) независимым линейным однородным уравнениям
¦«J*/ = 0 (a = k + \, •••> я). G-2)
находим, что всякая ^-плоскость есть множество точек,
удовлетворяющих системе уравнений вида
a'jy/ =а°0. G.3)
Константы al определяются формулами
они будут нулями тогда и только тогда, когда точка у0,
в которую переносится начало, лежит в данном линейном
^-пространстве G.2). Аналогичным . образом, если у0 и
.Уо — две какие-либо точки А-плоскости G.3), то параллельное
перенесение у0—t-yq переводит эту плоскость самое в себя,

22 ГЛАВА [
Вспомнив, что «-плоскость Yk была определена как образ линей-
линейного ^-пространства при параллельном перенесении е0—*-у0,
мы заключаем, что Yk может быть с таким же успехом
определена как образ пространства Хк при параллельном
перенесении е0—>-_Уо. где у'о— любая точка из Yk. Следо-
Следовательно, всякие две Л-плоскости, параллельные друг другу
и имеющие общую точку, тождественны. Отсюда вытекает
существование одной и только одной ^-плоскости, проходя-
проходящей через данную точку и параллельной данной «-плоскоети.
Обратно, если дана система я— k линейных уравнений
вида G.3) и матрица ||а}|| этой системы имеет ранг (я— k),
то эти уравнения удовлетворяются системой точек, образу-
образующих Л-плоскость. Для доказательства заметим сначала,
что мы можем перенести k из переменных у вправо, оста-
оставив в левой части я— k переменных у, таких, что детер-
детерминант их коэфициентов отличен от нуля. Затем подставим
вместо у-оъ справа произвольные числа, разрешим, по пра-
правилу Крамера, уравнения относительно оставшихся _у-ов, и
мы получаем систему значений у\, ..., у'о, удовлетворяю-
удовлетворяющих G.3). Применив теперь параллельное перенесение у—*-х,
обратное G.1), мы видим, что множество точек, удовле-
удовлетворяющих G.3), переводится в множество точек, удовлетво-
удовлетворяющих G.2). Иными словами, решения системы G.3) удо-
удовлетворяют определению Л-плоскости.
По определению, линейное ^-пространство есть множество
точек, удовлетворяющих равенствам C.1). Применяя парал-
параллельное перенесение G.1), мы видим, что Л-плоскость есть
множество точек, удовлетворяющих равенствам вида
У =yl-\-fi(yi—y'o) (I = 1,...-, k). G.4)
Таким образом, только что доказанная нами теорема
утверждает, что решения системы уравнений вида G.3) за-
задаются формулами вида G.4), и обратно, всякая система
точек у, заданных равенствами G.4), является системой
решений уравнений вида G.3).
^-плоскость G.4) содержит точки у0, yv ..., ук. Под-
Подставляя правую часть G.4) в правую часть формулы, опре-
определяющей однородное линейное преобразование у—>z,
видим, что G.4) переводится при этом преобразовании

I АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 23
в Л-плоскость, проходящую через точки z0, zv ..., zk,
причем уа—>-za.
§ 8. Неоднородные линейные уравнения. Рассмотрим
произвольную систему линейных уравнений
в;*/ = а5 (а=1, ..., л); (8.1)
будем называть
I;«/;)
матрицей коэфициентов системы, а
">:1| (а = 0,1, .-., я),
т. е. матрицу, дополненную столбцом оо» — расширенной
матрицей. Пусть г — ранг матрицы коэфициентов, as —
ранг расширенной матрицы. Разумеется, sis* г. Мы можем,
не нарушая общности, предположить, что ранг матрицы
\\а)§ (к=\, ..., г)
для первых г уравнений равен г и что, следовательно, урав-
уравнения
a)xf=al (8.2)
удовлетворяются всеми точками некоторой (л — г)-плоскости,
и только ими. Если s~^>r, то в системе (8.1) имеется урав-
уравнение
ajx!=a0, (8.3)
для коэфициентов которого не существует никакого соот-
соотношения вида
«. = А«? (*=1. •••.»¦; 5 = 0,1 я). (8.4)
Но так как ранг матрицы |)а}|| равен r<^s, то имеет место
соотношение вида
а{=рха).
Для того чтобы всякое решение х системы (8.2) удовле-
удовлетворяло уравнению (8.3), мы должны были бы иметь:
\ ao = djx!=pxajx\—

24 глава i )
что противоречит предположению о невозможности соотно-.
шения вида (8.4). Следовательно, система линейных урав-
уравнений совместна (непротиворечива) тогда и только тогда,
когда расширенная матрица имеет тот же ранг, что
и матрица коэфициентов. Если этот ранг равен г, то
решения образуют (п — г)-плоскость.
§ 9. Линейные преобразования. При последовательном
выполнении — безразлично, в каком порядке — однородного
линейного преобразования (особенного или неособенного)
и параллельного перенесения результирующее преобразование
определяется, очевидно, равенствами вида
У =а)ж/-(-«'• (9.1)
Такое преобразование называется линейным преобразованием.
Так как и однородное линейное преобразование и парал-
параллельное перенесение переводят всякую плоскость снова
в плоскость, то -этим свойством обладает всякое линейное
преобразование. Многие свойства общих линейных преобра-
преобразований могут быть сразу выведены из соответствующих
свойств однородных линейных преобразований, если выпол-
выполнить подходящее параллельное перенесение. Таким образом,
например, мы убедимся, что преобразование (9.1) будет не-
неособенным в том и только в том случае, если афО;
что существует по меньшей мере одно линейное преобра-
преобразование, переводящее ?-[-1 заданных точек хй, xt, .... xk
соответственно в точки у0, уь ..., ук, при условии, что
ни одна из этих двух систем точек не содержится ни
в какой (k — \)-плоскости. В частности, если k = n, то
существует только одно такое преобразование.
Преобразование, обратное неособенному линейному преоб-
преобразованию, будет, очевидно, линейным.
§ 10. Аффинные теоремы. Мы в состоянии теперь до-
доказать чисто арифметическими методами большое число
теорем, на которые указывает наша геометрическая терми-
терминология. Достаточно привести несколько примеров.
Существует одна и только одна арифметическая k-пло-
скость, содержащая k-\-\ заданных точек у0, у1у ..., ук,
не лежащих ни в какой (k—\)-плоскости.

I АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 25
Пусть параллельное перенесение уй —*¦ ей переводит точки
уи ..., ук соответственно в*!, ..., хк. Если бы хи ..., хк
лежали в одном линейном (k— 1 )-пространстве Хк_1, то
точки уй, yv ..., yk лежали бы в однэй («— 1 )-плоскости,
параллельной Хк_ь Следовательно, xt, ..., хк определяют
линейное «-пространство Хк, и, значит, имеется по крайней
мере одна «-плоскость, содержащая у0, уи ..., ук, именно
та, которая параллельна Хк и определяется равенствами G.4).
Если Ук — какая-либо «-плоскость, проходящая через у0, .. .,ук,
то она -переводится параллельным перенесением у0—>-е0
в линейное «-пространство, параллельное Ук и содержащее
дгц ..., хк. Но Хк — единственное линейное «-пространство,
определяемое системой хъ ..., хк, следовательно, существует
только одна «-плоскость, содержащая у0, уъ ..., ук.
Так как имеется по крайней мере одно линейное преоб-
преобразование, переводящее («-)-lj данных точек х0, xlt ..., хк
в «-)-1 заданных точек у0, уи ..., ук при условии, что
ни та, ни другая система не лежит в одной («— 1 ^пло-
^плоскости, и так как линейные преобразования переводят «-пло-
«-плоскости снова в «-плоскости, то существует по меньшей
мере одно линейное преобразование, которое переводит
одну из двух k-плоскостей в другую.
Прямая линия, соединяющая какие-либо две точка
k-плоскости, целиком лежит е этой k-плоскости.
^-плоскость может быть переведена линейным преобра-
преобразованием в линейное А-пространство, удовлетворяющее ра-
равенствам
. Данная прямая переводится в прямую, которая соединяет
две точки atj, хг, удовлетворяющие A0.1). Но все точки
прямой определяются формулой
и все они удовлетворяют условиям A0.1), раз хг и х2 им
удовлетворяют. Следовательно, прямая вся лежит в данном
«-пространстве.
Легко продолжить список теорем этого рода. Все они
относятся к таким свойствам фигур, которые остаются не»
измеиными при неособенных линейных преобразованиях, или

26
ГЛАВА I
аффинных преобразованиях, как их иногда называют. Мы
можем поэтому продемонстрированный нами тип теорем на-
назвать аффинными теоремами.
§ 11. Мы видели, что всякое линейное преобразование
переводит прямые линии в прямые. Обратная теорема также
верна, хотя и не столь очевидна:
Всякое неособенное преобразование арифметического
пространства п измерений в себя 1 линейно, если оно пе-
переводит прямые линии в прямые2.
Мы приведем доказательство для л = 2 и предоставим
читателю обобщить теорему. Пусть Т — какое-либо преоб-
преобразование арифметиче-
@2)/ У J ского пространства в
себя, переводящее пря-
прямые линии в прямые.
Под этим мы подра-
подразумеваем, что каждая
точка данной прямой /
соответствует, при пре-
преобразовании Т, точке
некоторой прямой /я,
и каждая точка на m
отвечает некоторой точ-
точке на /. Если точки х0,
ЛГ] и хг неколлинеарны,
то они переводятся
преобразованием Т в
некоторые неколлинеарные точки у0, ух и у2. Действительно,
если бы у2 лежала на прямой уйуъ она отвечала бы, при
преобразовании Т, точке на прямой xoxv а это противо-
противоречит условию, что х2 не лежит на хокг. Далее, поскольку
7о> У\ и Уг неколлинеарны, существует неособенное линей-
1 Под преобразованием х—*у арифметического пространства
в себя самое мы всегда будем подразумевать отображение всего
пространства на все пространство; это значит, что каждая точка х
соответствует некоторой точке у и каждая точка у— некоторой точке х.
2 Это предложение эквивалентно одной форме основной тео-
теоремы проективной геометрия. Доказательство, по существу, заим-
заимствовано у Darboux, Sur la theoreme fondamental de la geomet-
rie projective, Math. Annalen, т. 17 A880), стр. 55.
Рис. 1

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 27
ное преобразование 5, переводящее _y<f. У\ и Уг обратно
в х0, х1 и х2, соответственно. Выполнив последовательно Т, за-
затем S, полним результирующее преобразование, которое остав-
оставляет х0, ДГ] и х2 неизменными и переводит прямые линии
в прямые. Мы покажем, что такое преобразование является
тождественным, откуда следует, что Т— преобразование, обрат-
обратное линейному, и, следовательно, само линейно.
Итак, предположим, что точки е0, ev ег остаются неиз-
неизменными. Так как рассматриваемое преобразование—неосо-
преобразование—неособенное, то параллельные прямые переходят в параллельные
прямые. В самом деле, пусть две параллельные прямые /
и m переходят в /' и /и', соответственно. Если /' и ш' не
параллельны, то они имеют общую точку х', соответствую-
соответствующую точке х, в которой пересекаются прямые / и /я; это
противоречит предположению, что / и /я параллельны. Из
указанного свойства, как легко видеть (см. рис. 1), следует,
что остаются неизменными, во-первых, все точки, у которых
обе координаты — целые числа, во-вторых, все точки с рацио-
рациональными координатами. Так как прямые, параллельные осям,
переходят в прямые, параллельные осям, преобразование должно
быть задано равенствами вида:
Поскольку рациональные точки остаются неизменными, прямая
у = х
переходит сама в себя. Это значит, что
т. е. ср есть та же функция, что и /. Эта функция удов-
удовлетворяет условию
№=Р, О1-2)
если р рационально. Пусть какая-либо прямая
у = тх -\- а
переходит в
Y=MX+A.

28 Г Л А В A I
Имеем
Полагая лг = О, имеем
А=/(а),
так как/@) = 0; а полагая а = 0, лг=1, имеем
М=/(т),
так как /A)=1. Из последних трех равенств получаем:
f{mx + a)=f{m)f(x)+f(a). A1.3)
Из A1.3) удобно получить два соотношения, полагая сна-
сначала да=1, затем а = 0. Таким образом, получаем:
ia) f(x+y)=f(x)+fiy),
(Ь) f(xy)==f(x)f{y), A1.4)
где х и у— любые действительные числа1.
Из A1.4*) следует, что для всякого положительного
числа Л
Так как преобразование неособенное, /(Л) обращается в
нуль только при Л = 0; поэтому из A1.4а) имеем
/(х + А)-/(х)=/(А)>0; (Ц.5)
следовательно, /(лг)"=— возрастающая функция.
Пусть теперь х — любое число и пусть
у=/(х).
Если у^>х, то существует такое рациональное число р,
что У^>р~^>х и A1.2) дает:
¦ 0 <>—р =/(*)-/(/>).
1 Эти условия получены Darboux в предположении, что преоб-
преобразование прямой линии в себя, заданное формулой
переводит гармонические группы в гармонические. В случае двух
измерений можно, пользуясь элементарными свойствами четырех-
четырехсторонника, показать, что гармонические группы точек переходят
Э гармонические.

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ 29
Это противоречит A1.5). Аналогичное противоречие возни-
возникает, если предположить у<^х. Следовательно, /(лг) = лг,
и преобразование, определенное формулами (И.1), яв-
является тождеством.
§ 12. Элементарная функция расстояния. Другое понятие,
заимствуемое анализом из элементарной геометрии, есть
расстояние, т. е. число
Ь (лг, у) = {(л:1 — УJ + • • • + (*"—УJ}'7'. A2.1)
причем берется положительный квадратный корень. Таким
образом, для каждых двух арифметических точек опреде-
определено неотрицательное число — расстояние между ними, удов-
удовлетворяющее условиям, известным из элементарной геомет-
геометрии. Например,
(a) (Ь(х, х) = 0,
(b) \Ь(х, у)фО, если хфу,
(c) ]Ь{х, у) = Ь(у, лг),
(d) [Ь(х, у)-\-Ь(у, z)^b(x, z).
Первые три условия очевидны. Для доказательства чет-
четвертого заметим сперва, что если две точки х, у переводятся
в точки лг', у' параллельным перенесением, то Ь(х, у) =
= 8 (лг', у'), т. е. при параллельном перенесении расстояния
не изменяются. Справедливость (или ложность) формулы (d)
поэтому не нарушится, если точки х, у, z преобразовать
путем параллельного перенесения, переводящего точку у в на-
начало. Но тогда (d) сводится к неравенству
{2(*')'}1/'+ {2 (**)•}''• > I2(*' -*fJ}1/s. A2.2)
в истинности которого можно убедиться чисто алгебраическим
путем.
Знак равенства в формуле A2.2) получается тогда и
только тогда, когда х н -г лежат на одной прямой, про-
проходящей через начало, и по разные стороны от начала. Это
значит, что в формуле (d) равенство имеет место в том
и только в том случае, когда х, у и z связаны уравнением
вида

30 Г Л А В А 1
где X и ji не обращаются в нуль одновременно и имеют
разные знаки. Если это условие выполнено и xj^y, y=^z,
то говорят, что у лежит между х и z.
Нетрудно вывести чисто арифметическими методами ряд
теорем, которые в указанных нами только что геометри-
геометрических терминах формулируются как известные теоремы
элементарной геометрии.
Эти теоремы касаются свойств, которые сохраняются
при преобразованиях арифметического пространства, остав-
оставляющих неизменными расстояния, т. е. при таких преобра-
преобразованиях, что если х—>-х и у—*-у, то
/J = 2п'"— /)»• A2.3)
Так как точка у лежит между двумя другими, х и z,
тогда и только тогда, когда
Цх, у) + Ь(у, z) = b(x, z),
то, следовательно, преобразование, сохраняющее расстоя-
расстояния, переводит прямые линии в прямые. Отсюда, согласно
теореме §11, следует, что такое преобразование линейно,
т. е. оно имеет вид
) . A2.4)
Подставляя эти выражения в A2.3), находим
# = Н), A2.5)
где подразумевается суммирование по L Всякое однородное
линейное преобразование, удовлетворяющее условию A2.5),
называется ортогональным, а его матрица — ортогональной
матрицей.
Аффинное преобразование называется прямым, если его
детерминант а положителен, и противоположным, если а<^0.
Прямые ортогональные преобразования иногда называются
собственными, а противоположные — несобственными. При
и = 3 собственные преобразования называются вращениями.
Аффинное преобразование, оставляющее неизменными рас-
расстояния, т. е. удовлетворяющее условиям A2.5), назы-
называется движением, если оно прямое, и симметрией, если
оно противоположное.

ГЛАВА II
ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Геометрия как математическая наука. В течение
девятнадцатого столетия математики пришли к мысли, что
существует не одна, а много геометрий. Эта идея, зародив-
зародившаяся в связи с попытками доказать эвклидову аксиому о па-
параллельности, свелась в конечном счете к следующему:
всякая математическая наука представляет собой совокуп-
совокупность теорем, выводимых из системы аксиом. Геометрия есть
математическая наука. Но тогда возникает вопрос, почему же
название «геометрия» присваивается тем, а не иным математиче-
математическим наукам. На этот вопрос, вероятно, нельзя дать определен-
определенного ответа1; можно лишь сказать: некоторая отрасль матема-
математики называется геометрией потому, что достаточно большое
число компетентных людей, руководствуясь своими склонно-
склонностями и традициями, считает это название правильным *.
1 Всякое объективное определение геометрии включало бы,
вероятно, всю математику. Рассмотрим, например, сферы в трех-
трехмерном эвклидовом метрическом пространстве (§ 6) с заданной
точкой в качестве центра. Эти сферы находятся во взаимно-одно-
значнОм соответствии с положительными действительными числами —
каждая сфера отвечает своему радиусу, а отрицательное число
может быть определено как соотношение между двумя сферами.
Любая теорема анализа может быть, таким образом, переведена
в теорему, относящуюся к этим сферам, и трудно было бы при-
придумать определение геометрии, которое дало бы возможность раз-
различать такие теоремы.
* Вопрос заключается, конечно, в том, как понимать объектив-
объективное определение геометрии (вообще, всякой математической науки).
Если, следуя авторам, рассматривать геометрию только как сложив-
сложившуюся формально-логическую систему — оторваино йот ее истори-
исторической реальной базы и от ее современных реальных конкретиза-
конкретизации,— мы, действительно, не в состоянии будем такого определения
дать. Скажем больше: на этом пути мы сталкиваемся с аналогичными
трудностями и при определении других математических наук. Если
же, как мы полагаем, объективное определение всякой науки необ-
необходимо должно учитывать процесс ее историчесиого развития; если,
следовательно, при трактовке современных геометрических теорий
мы не будем забывать, что они являютси лишь продуктом длинной

32 Г Л А В А II
В общеупотребительном в настоящее время смысле гео-
геометрия есть теория пространства, а пространство есть
система объектов, называемых обычно точками, вместе с си-
системой соотношений, которыми эти точки связаны *. Про-
Пространство, следовательно, есть не просто абстрактное мно-
жеств.о объектов, ио множество объектов с определенной
системой свойств1. Эту совокупность свойств мы будем
называть структурой пространства.
Например, структура так называемого метрического про-
пространства определяется функцией § (Р, Q), аргумент кото-
которой есть пара точек и значения которой — неотрицательные
числа. §(Р, Q) называется расстоянием между точками Р, Q;
оно удовлетворяет условиям (ср. гл. 1, § 12):
§(Р, Р) = 0, Ь(Р,0)фО, если
Ь(Р, Q) = *((?, Р),
Согласно принятому нами определению, два различных.
пространства могут состоять из одного и того же множества
точек, но с различной структурой. Например, если опре-
определить две различные функции расстояния в арифметическом
цепи абстракций, восходящей к эвклидовой геометрии и дальше,
через нее,— к реальному физическому пространству; если, наконец,
учесть, что построения современной геометрии, в конечном счете,
отражают опять-таки наши (чрезвычайно усложнившиеся) представ-
представления о физическом пространстве, — мы легко обнаружим, в чем
недостаток даваемого авторами (все же!..) .общеупотребительного'
определения (см. ниже). Затронутый здесь важный методологический
вопрос освещен в обзорной статье А. Д. Александрова (Успехи
матем. наук, т. II, вып. 4, 5, 1947). (Прим. перее.).
* Добавим: „причем эта система соотношений до некоторой,
степени аналогична тем или иным соотношениям между элементами
физического пространства*. Эта фраза, при всей ее расплывчатости
(более точная формулировка вряд ли возможна, если иметь в виду
чрезвычайное многообразие современных геометрических систем)
все же позволяет, как нам кажется, действительно выделить геомет-
геометрию из всех математических наук, на что определение, данное авто-
авторами (без такого добавления), ие может претендовать. (Прим. перев.)
1 Мы употребляем слово «свойство> в очень широком смысле.
<Свойство> может быть точкой, системой точек или системой
соотношений. Множество арифметических прямых линий, например,
есть свойство арифметического пространства, таково же и свойство
непересечения параллельных прямых.

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 33
л-мерном пространстве, мы можем получить два различных
метрических пространства.
Два пространства U и V эквивалентны, если существует
взаимно-однозначное соответствие Р—>¦ Q между точками [Р]
пространства U и точками [Q] пространства V, устанавли-
устанавливающее взаимно-однозначное же соответствие1 между всеми
свойствами, составляющими структуру U, и всеми свойствами,
составляющими структуру V. Эти два пространства обладают
одной и той же геометрией, ибо каждое утверждение, которое
может быть высказано относительно структуры U, перево-
переводится, при соответствии Р—>- Q, в утверждение относительно
структуры V.
Два эквивалентных пространства могут быть названы также
изоморфными, а преобразование одного из них в другое —
изоморфизмом. В частности, если ?/= V, преобразование
Р—>Q, переводящее U в самое себя, называется автоморфиз-
автоморфизмом пространства U.
§ 2. Группы преобразований. Имеется важный класс гео-
геометрий, каждая из которых может быть рассматриваема как
теория группы преобразований. Группа есть множество эле-
элементов, удовлетворяющих следующим условиям:
(I) С каждой упорядоченной парой элементов а, Ь связан
элемент с; мы пишем
c = ab.
1 Например, если U и V— метрические пространства, соот-
соответствие Р—>Q преобразует U в V в том и только в том случае,
если для каждой пары точек Р и Р' из U
b(P,P')=b(Q,Q'),
где Р—(.Q, р'—>?', a 8(Q, Q')— функция расстояния для V.
В качестве другого примера рассмотрим арифметическое про-
пространство одного измерения. Точками этого пространства пусть будут
Действительные числа, а структурой его — зависимости между
любыми двумя числами и их произведением. Преобразование
•*—»¦/(¦*) множества действительных чисел самого в себя сохра-
сохраняет эту структуру ' тогда и только тогда, когда функция f(x)
удовлетворяет условиям A1.4) гл. I. Следовательно, группа авто-
автоморфизмов (см. ниже, § 3) нашего пространства сводится к тож-
тождеству. Это неверно для множества комплексных чисел,_ так как
здесь автоморфизмом будет также и преобразование z—>z, где z
и z — комплексно-сопряжеииые числа.
3 Веблен и Уайтхед ._
«•С

34 Г Л А В A II
(II) Соблюдается закон ассоциативности, т. е.
(ab)c — a{bc).
(III) Существует элемент /, называемый единичным, такой,
что
at = ia = a.
(IV) Каждому элементу а отвечает элемент аг1, называемый
обратным по отношению к а, такой, что
Соответствие, при котором каждому объекту из данного
множества отвечает какой-нибудь объект из этого же мно-
. Лества, и каждый объект из этого множества отвечает по
крайней мере одному объекту из него, называется преобразо-
преобразованием этого множества в себя. Если это соответствие взаимно-
взаимнооднозначно, то преобразование называется неособенным; неосо-
неособенное преобразование можно назвать также перестановкой
объектов между собой. Множество перестановок, очевидно,
образует группу при следующих условиях:
(I) Результирующее преобразование любых двух преобра-
преобразований, принадлежащих данному множеству, также принадле-
принадлежит ему.
(II) Преобразование, обратное преобразованию из данного
множества, также принадлежит этому множеству.
Такое множество перестановок называется группой пре-
преобразований.
Совокупность автоморфизмов всякого пространства является,
очевидно, группой преобразований. В гл. I были приведены
некоторые примеры групп преобразований, а именно:
(I) Множество всех параллельных перенесений (§ 6) есть
группа — группа параллельных перенесений.
(II) Множество всех неособенных линейных однородных
преобразований (§ 4) есть группа — линейная однородная или
центро-аффинная группа.
(III) Множество всех линейных преобразований (§ 9) есть
группа — аффинная группа.
(IV) Множество всех ортогональных преобразований есть
группа — ортогональная группа.

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 35
(V) Множество всех движений и преобразований симметрии
есть группа — эвклидова метрическая группа.
Каждая из этих групп имеет подгруппу, состоящую из
тех преобразований, для которых детерминант я^>0. Так, мы
имеем прямую линейную однородную группу, прямую аффинную
группу, прямую, или собственно-ортогональную группу и
эвклидову группу движений.
§ 3. Геометрия и теория групп. Пусть! \Р,\ — какое-либо
множество объектов и G— некоторая группа взаимно-однознач-
взаимно-однозначных преобразований этого множества. Группа G дает метод
классификации фигур (т. е. систем точек) в [Р\: две
фигуры принадлежат одному и тому же классу в том и
только в том случае, когда имеется преобразование из О,
переводящее одну фигуру в другую. Две фигуры из одного
класса называются эквивалентными или конгруэнтными. Вслед-
Вследствие того, что G есть группа, соотношение эквивалентности
транзитивно. Множество точек [Р\, с такой классификацией,
принятой в качестве его структуры, является пространством,
для которого G есть группа автоморфизмов. Всякое свойство,
общее для всех фигур одного из классов, называется инва-
инвариантным относительно G, а геометрия этого пространства
часто характеризуется как изучение свойств, инвариантных
относительно G, или как теория инвариантов групиы G.
В качестве примера рассмотрим пространство, состоящее
из трех объектов: А, В и С. Группой пусть будет множество
четных перестановок:
(АВС\ (АВС\ (АВС\
\ABCJ ,\BCAJ ,\CABj .
Упорядоченные, тройки распадаются на два класса:
(ABC, BCA, CAB) и (ВАС, АСВ, СВА),
которые, можно считать, определяют положительную и отри-
отрицательную ориентации пространства. Сходство ориентации,
т- е. принадлежность к одному и тому же из этих двух
классов, есть соотношение между двумя упорядоченными
1 Мы обозначаем символом [Р] множество, представителем (типич-
(типичным членом) которого является Р.
3*

36 Г Л А В А II
тройками, остающееся инвариантным относительно группы
этой геометрии.
§ 4. Аффинное пространство. Пусть множеством точек
будет арифметическое пространство я измерений, а группой —
аффинная группа. Полученное пространство будем называть
аффинным1, а его геометрию — аффинной геометрией. Всякие
две системы точек, одна из которых может быть преобразо-
преобразована в другую посредством аффинного преобразования, назы-
называются аффинно-зквивалентными. Например, в гл. I доказано,
что всякие две точки, всякие две прямые и вообще всякие
две ^-плоскости — аффинно-эквивалентны. Аффинно-зквива-
Аффинно-зквивалентными являются также всякие две упорядоченные системы
из я-J-l точек, не лежащих в одном плоском (л—^-про-
(л—^-пространстве.
Результаты первых одиннадцати параграфов гл. I могут
теперь быть рассматриваемы как теоремы аффинной геометрии.
Более того, там был продемонстрирован стандартный метод
доказательства, именно — процесс нормализации. Он заклю-
заключается в следующем: показывается, что какой-нибудь особенно
простой представитель данного класса эквивалентных фигур
обладает определенным свойством,затем доказывается инвариант-
инвариантность этого свойства относительно рассматриваемой группы.
Типичным примером является доказательство третьей теоремы
в главе I, § 10; там в качестве представителя класса А-плоскостей
взято линейное ^-пространство, определяемое первыми k
единичными точками. Метод, нормализации не ограничивается
геометриями, описанными в § 3; он может быть с успехом
использован и в геометриях, рассматриваемых в дальнейших
главах.
Теоремы того класса, который рассмотрен нами в гл. I,
§ 10, образуют подкласс множества теорем об арифметическом
пространстве л измерений. В этом смысле аффинная геометрия
п измерений является подклассом множества всех теорем анализа.
§ 5. Аффинные пространства. С другой стороны, аффинная
геометрия является не только частью теории арифметического
1 Позже мы назовем его плоским аффинным пространством, в
отличие от обобщенных аффинных пространств.

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 37
п- пространства. Рассмотрим хотя бы поверхность сферы в
пространстве трех измерений. Плоскости, проходящие через
какую-либо точку Р сферы, пересекают ее по окружностям.
Если мы, исключив точку Р из каждой такой окружности,
назовем эти окружности «прямыми линиями», мы получаем
семейство точек и прямых с такой же структурой, как
точки н . прямые двумерного аффинного пространства.
Определенное таким образом двумерное аффинное про-
пространство находится во взаимно-однозначном соответствии с
арифметическим пространством двух измерений, притом так,
что прямые линии первого соответствуют арифметическим
прямым. Согласно определению, данному в § 1, эти два
пространства изоморфны, или эквивалентны, и имеют одну и
ту же геометрию.
Существует фактически бесчисленное множество л-мерных
аффинных пространств, которые все эквивалентны и имеют
одну и ту же геометрию. Одним из них является арифмети-
арифметическое пространство л измерений плюс аффинная группа.
Аффинная геометрия представляет собой теорию того, что
есть общего во всех этих аффинных пространствах.
§ 6. Эвклидовы метрические пространства: Другой при-
пример: пусть нашим пространством будет арифметическое про-
пространство л измерений, а группой — эвклидова метрическая
группа. Соответствующая геометрия называется эвклидовой
метрической геометрией.
Всякая точка «конгруэнтна», т. е. эквивалентна, относи-
относительно нашей группы, всякой другой точке. Точно так же
всякое ^-пространство конгруэнтно всякому другому А-про-
странству. Но две пары точек х,у и х',у' конгруэнтны тогда
и только тогда, когда Ь(х,у) = Ь(х',у').
Для этой геометрии характерно наличие инвариантной
единицы расстояния, иб'о пары точек х,у, для которых
& (Х>У) = 1, тем самым выделяются из всех других пар точек.
§ 7. Эвклидова геометрия. Геометрию, описанную в пре-
предыдущем параграфе, не следует смешивать с эвклидовой
геометрией. Специальным случаем я-мерного эвклидова про-
пространства является арифметическое л-пространство с группой,

38 г л а в а и
состоящей из тех аффинных преобразований
для которых
Эта группа называется группой подобия, или эвклидовой
группой. Фигуры, эквивалентные относительно этой группы,
называются подобными. А две фигуры, эквивалентные отно-
относительно эвклидовой метрической группы (подгруппы, кото-
которую мы получаем, полагая р= 1), называются конгруэнтными.
В то время как две пары точек конгруэнтны только в
случае равенства их расстояний, любые две пары точек
подобны. Но две тройки точек подобны лишь в том случае,
когда выполнены известные условия.
К специальным эвклидовым трехмерным пространствам
относится пространство окружающего нас внешнего мира,
каким он представляется нам в до-релятивистских физических
теориях. Две фигуры подобны, если они имеют «одинаковую
форму», конгруэнтны — если они к тому же-имеют «одинако-
«одинаковые размеры». Не существует однозначно определенной еди-
единицы расстояния.
§ 8. Координатные системы. Необязательно характеризо-
характеризовать геометрию так, как мы это делали в трех предыдущих
примерах, задавая специальный образец пространства с его
структурой, определенной посредством группы преобразова-
преобразований. Геометрия может быть также охарактеризована с помощью
системы аксиом, т. е. системы предложений, нз которых
можно вывести все теоремы данной геометрии. Для эвклидо-
эвклидовой и для аффинной геометрий это уже делалось неодно-
неоднократно. Все же мы .хотим предложить здесь еще одну систему
аксиом; в оправдание их скажем, что они сформулированы
в терминах координатных систем, а последним надлежит сыграть
фундаментальную роль в нашем дальнейшем изложении, при
исследовании гораздо более широкого класса геометрий.
Аксиомы эти предполагают известной теорию арифметического
пространства; всякое пространство данной геометрии они
описывают, пользуясь его сходством с арифметическим про-
пространством.

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 39
Когда мц говорим «точка», мы имеем в виду просто
один из совершенно неопределенных элементов того про-
пространства, которое должно быть охарактеризовано нашими
аксиомами. Это пространство мы будем иногда называть
«геометрическим пространством>, в отличие от арифметиче-
арифметического; с той же целью будем иногда называть точки его
«геометрическими точками».
Координатная система есть соответствие Р—+х между
множеством точек [Р] и множеством арифметических точек [*].
О каждой геометрической точке Р говорят, что она пред-
представлена каждой1 арифметической точкой, которой она соот-
соответствует. Всякая арифметическая точка х, представляющая
Р, называется образом точки Р в координатной системе Р—+х,
а Р называется прообразом* точки х. Числа х1,...,х'г,{ из
которых составлен какой-либо образ точки Р, называются
ее координатами.
Примером координатной системы является параметриза-
параметризация х—*-t арифметического А-пространства, заданного уравне-
уравнениями вида C.1) гл. 1, § 3. Здесь арифметические точки [х]
играют роль множества [Р], а точки арифметического про-
пространства k измерений — роль множества [х].
Термин параметризация часто употребляется вместо
«координатной системы», и множество точек [Р], отнесенное
к какой-нибудь координатной системе, называется парамет-
параметризованным. Множество точек, само по себе взятое, и то же
самое множество точек, так или иначе параметризованное,—
это два разных объекта.
Если [у] — множество арифметических точек, находящееся
в соответствии с [х], то в результате соответствия Р—*-х
и последующего преобразования2*—>у получается другая
координатная система Р—*у. Мы будем называть х—+у
1 Соответствие Р—>.х ие обязано быть взаимно-одиозначвым;
оио может относить каждой точке Р множество арифметических
точек, как это имеет место, например, в однородной системе коорди-
координат (ср. ниже, § 14).
* Авторы пользуются в обоих случаях одним и тем же терми-
термином-image (образ), хотя множества [Я] и [х] здесь отнюдь не
равноправны. (Прич. перев.)
2 Преобразование х->у может быть и не взаимно-однозначным;
например, когда Р->¦ х — однородная система координат, a P-»-v —
неоднородная. .

40
ГЛАВА II
преобразованием координат, переводящим координатную
систему Р—>-х в систему Р—*у. Преобразование координат
задается уравнениями вида
Обратное преобразование у—*х, заданное равенствами
является преобразованием координат от системы Р—*-у к
системе Р—>-х.
Геометрическое
пространство
Арифметическое
пространство
Рис. 2.
Теорию такого пространства, которое может быть вполне
охарактеризовано при помощи координатных систем, мы
будем называть координатной, геометрией.
§ 9. Класс координатных геометрий. Пусть G — мно-
множество преобразований, переводящих арифметические точки
в арифметические точки; запишем следующие аксиомы, в
которых неопределяемыми элементами являются точки и
предпочитаемые системы координат.
Gj. Каждая предпочитаемая система координат есть
взачмнО'Однозначное отображение пространства на арифме-
арифметическое пространство п измерений.
О3. Всякое преобразование координат, переводящее одну
предпочитаемую координатную систему в другую, принад-
принадлежит О,

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 41
G3. Всякая координатная система, полученная из пред-
предпочитаемой путем преобразования, принадлежащего G,
есть также предпочитаемая.
G4. Существует по крайней мере одна предпочитаемся
система координат.
Из Gj следует, что если Р—+ х и Р—>-у — какие-либо
две" предпочитаемые координатные системы, то существует
единственное преобразование координат, х—+у, переводящее
первую координатную систему во вторую. Из Gj и G3 следует,
что каждое преобразование, принадлежащее G, есть взаимно-
взаимнооднозначное преобразование арифметического /г-мерного про-
пространства в самое себя1.
Из Ог, G3 и G4 следует, что все предпочитаемые коорди-
координатные системы — и только такие системы — получаются из
одной, заданной путем преобразований, принадлежащих G.
Далее, отсюда же следует, что множество преобразований G
образует группу. В самом деле, во-первых, согласно G4,
существует, по крайней мере, одна предпочитаемая, система
координат, Р—>х; всякое преобразование х—>-у из О опре-
определяет, в силу G3, переход к предпочитаемой же системе
Р—*у, и значит, согласно G2, обратное преобразование у —»¦ х
принадлежит G. Во-вторых, всякое преобразование у —»¦ z из
О определяет, в силу G3, переход от Р—*-у к предпочитаемой
системе координат Р—*z; значит, в результате последовательно
выполненных преобразований х—>-у, у—+ z получается пре-
преобразование координат (х—*z) от Р—>-л: к Р—>-Z, и это
преобразование, согласно G2, принадлежит О. Таким образом,
множество О удовлетворяет условиям (§ 2), определяющим
группу преобразований.
Теория, построенная на аксиомах G{ (/=1,...,4), назы-
называется геометрией группы G.
Два пространства, удовлетворяющие аксиомам G(, сформу-
сформулированным для одной и той же группы G, очевидно, экви-
эквивалентны, ибо между их точками можно установить взаимно-
1 Это условие исключает из рассмотрения, между прочим, группу
дробно-линейных преобразований
^ ~~

42 ГЛАВАМ
однозначное соответствие таким образом, чтобы каждой предпо-
предпочитаемой системе одного пространства отвечала бы предпочи-
предпочитаемая система другого.
Примером пространства, удовлетворяющего аксиомам Gt,
является само арифметическое я-мерное пространство плюс
группа G: если в качестве предпочитаемых координатных
систем взять преобразования группы, причем тождественное
преобразование рассматривать как координатную систему,
в которой каждая точка отвечает сама себе, аксиомы будут
удовлетворены. Таким образом, понятие геометрии группы G,
определенное в этом параграфе, совпадает с тем, которое
было рассмотрено нами выше (см. § 3). Аксиомы О/,
собственно, представляют собой в развернутом виде следующее
утверждение: пространство (геометрическое) эквивалентно
арифметическому пространству плюс группа G.
Если, например, G— аффинная группа, то всякое про-
пространство, удовлетворяющее аксиомам G,-, есть аффинное про-
пространство. Предпочитаемые координатные системы называются
в этом случае декартовыми. Прообраз арифметической прямой
в декартовых координатах называется прямой линией. Следо-
Следовательно (см. §11, гл. I), декартовы координатные системы
суть те и только те отображения аффинного пространства
на арифметическое, которые отображают прямые линии на
арифметические прямые.
Точно та* же, если О — эвклидова метрическая группа,
то Gu..., G4 представляют собэй систему аксиом для эвкли-
эвклидовой метрической геометрии; если G — группа подобия, О{
образуют систему аксиом эвклидовой Геометрии. Предпочи-
Предпочитаемые координатные системы в эвклидовом ме_трическом
пространстве или в эвклидовом пространстве называются
прямоугольными декартовыми системами. Множество прямо-
прямоугольных декартовых координатных систем эвклндова простран-
пространства является подмножеством декартовых координатных систем
аффинного пространства; эвклидово пространство есть аффин-
аффинное пространство с дополнительным элементом структуры,
именно — классом тех свойств, которые определяются этим
меньшим классом предпочитаемых координатных систем. Вообще,
если G' — подгруппа группы G, т. е. подмножество преобразо-
преобразований из G, которое само является группой, то пространство,
удовлетворяющее аксиомам G|, есть пространство, удовлетво-

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 43
ряющее аксиомам G,-, но обладающее дополнительным элементом
структуры. Чем меньше группа, тем сложнее пространство1.
§ 10. Центро-аффинная геометрия. Пространство, удов-
удовлетворяющее аксиомам G{, где G — группа линейных одно-
однородных преобразований, называется цешпро-аффинным про-
пространством п измерений. Точка, которая в какой нибудь, а
следовательно, и во всякой системе предпочитаемых коорди-
координат соответствует началу, называется центром пространства.
Центро-аффинное пространство А% можно получить, выбрав
в аффинном пространстве Аа произвольную систему коорди-
координат Ко и приняв ее за предпочитаемую координатную систему
для А°п. Это равносильно выбору произвольной точки в Ап
в качестве центра для Ап: центро-аффинное пространство,
имеющее своим центром Ро, переводится в центро-аффинное
пространство, имеющее центром любую другую точку Ро,
посредством любого аффинного преобразования, переводящего
Ро в />0.
Точки центро-аффинного пространства можно называть
также векторами, а пространство это — векторным простран-
пространством. Сложение векторов и другие векторные операции
можно определить либэ аналитически, посредством предпочи-
предпочитаемых координатных систем и арифметических определений,
приведенных в гл. I, § 1, либо посредством геометрических
конструкций, использующих прямую линию и параллелизм.
Координаты вектора в предпочитаемой системе координат на-
называют компонентами вектора.
Будем говорить, что две упорядоченные пары точек
А,В и А',В' аффинного пространства экваполлентны (equipollent)
в том случае, если параллельное перенесение, перемещающее
А в А', переводит также В в В'. Таким образом каждая упо-
упорядоченная пара точек определяет класс всех упорядоченных
пар, ей эквиполлентных. Между этими классами эквиполлент-
1 Крайние случаи возникают: 1) когда G есть группа всех
преобразований арифметического пространства, 2) когда G состоит из
одного тождественного преобразования. В первом случае пространство
не имеет никакой структуры, кроме своего кардинального числа;
Во втором случае пространство обладает всеми свойствами арифме-
арифметического пространства.

44 ГЛАВАМ
ных упорядоченных пар точек аффинного' пространства и точ-
точками (векторами) центро-аффинного пространства можно уста-
установить взаимно-однозначное соответствие. Именно, каждую
точку О аффннного пространства выберем за центр некоторого
центро-аффннного пространства, и затем каждую точку Р этого
последнего будем считать соответствующей тому классу эк-
виполлентных пар, который содержит пару ОР. Самому
центру О будет соответствовать «нуль-вектор» — представи-
представитель класса пар совпадающих точек. Таким образом, теория
свободных векторов аффинного пространства, — т. е. таких,
что лишь задание вектора и его „начальной точки" опреде-
определяет его „конечную точку* т— эта теория совпадает с центро-
аффинной геометрией.
Аналогично, существуют центрированные эвклидовы и метри-
метрически-эвклидовы пространства, удовлетворяющие аксиомам О{
группы, однородных преобразований подобия и ортогональной
группы, соответственно. В центрированном эвклидовом метри-
метрическом пространстве каждый вектор имгет длину — расстояние
ertLr&r центра. Всякие два вектора х и у имеют скалярное
произведение,-которое выражается в предпочитаемых коорди-
координатах в виде лг'У; оно дает меру угла между векторами,
умноженную на произведение их длин. Всякие два вектора
имеют также векторное произведение, и т. д. Это та геомет-
геометрия, которая излагается в большинстве учебников по вектор-
векторному анализу.
г
§ 11. Ориентированные пространства. Пространство,
удовлетворяющее аксиомам О,, ..., G4, когда G есть группа
прямых аффинных преобразований
называется ориентированным аффинным пространством.
Это — аффинное пространство с дополнительным элементом
структуры, который определяется классом предпочитаемых
координатных систем внутри класса декартовых координатных
систем. Последние распадаются на два класса, состоящие из
систем, получаемых из данной декартовой системы, соответст-
соответственно, путем прямых или путем обратных преобразований.
Очевидно, системы каждого нз этих двух классов являются

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 45
предпочитаемыми координатными системами для ориентирован-
ориентированного аффинного пространства.
Таким образом, всякое аффинное пространство однозначно
определяет два ориентированных аффинных пространства, аф-
финно-эквивалентных между собой. Одно из них может быть
произвольно принято за положительно ориентированное (или
правостороннее), а другое—за отрицательно ориентированное
(или левостороннее). Этот процесс выделения ориентирован-
ориентированных аффинных пространств называется ориентированием
аффинного пространства.
Аффинное пространство можно ориентировать, выбрав про-
произвольную декартову систему координат Р~+х и выделяя
как положительно ориентированное то ориентированное аффин-
аффинное пространство, для которого эта координатная система
Р—*х будет предпочитаемой. Тогда все предпочитаемые ко-
координатные системы этого ориентированного аффинного про-
пространства также называют положительно ориентированными.
Исходная координатная система Р—*х может быть выделена
следующим образом: можно выбрать п -\-1 произвольных, не
лежащих в одной гиперплоскости, точек Ро, Рь ..., Рп и
потребовать, чтобы Р—*х была той декартовой системой
координат, в которой Ро, Plt...,Pn отвечают арифметиче-
арифметическим точкам е0, elt ..., еп, соответственно.
Упорядоченные системы я —{— 1 точек, не лежащих в одной
гиперплоскости, распадаются на два класса направлений, со-
соответственно тому, будет ли координатная система Ра—*-еа
положительно или отрицательно ориентированной. Упорядочен-
Упорядоченные системы точек первого класса называются положительно
направленными, а второго класса — отрицательно направ-
направленными.
Такое же рассуждение, с очевидными модификациями,
можно провести для эвклидова и для центро-аффинного про-
пространства. В последнем случае положительное направление
фиксируется путем выделения, в качестве положительно ори-
ориентированной, той предпочитаемой координатной системы, в
которой произвольно выбранная система я линейно независи-
независимых векторов Р1,...,Рп отвечает арифметическим точкам
«i,...,en, соответственно. Упорядоченная система я незави-
независимых векторов, представленных в положительно ориентиро-
ориентированной координатной системе точками xv ..., хп, соответ-

46 ГЛАВАМ
ственно, имеет, очевидно, положительное или отрицательное
направление, в зависимости от того, будет ли детерминант
• KI
положительным или отрицательным.
Преобразование координат, заданное равенствами
будет прямым, если
и противоположным, если
'а, ¦¦¦** = — 1- (Н.2)
Следовательно, две упорядоченные системы векторов Ри ..., Рп
и Рщ Рд,, имеют одинаковое направление, если вы-
выполняется A1.1), и противоположные направления, если вы-
выполняется A1.2).
§ 12. Ориентированные кривые. Вся теория ориентации
представляет собой обобщение ориентации прямой линии; а
последнее есть не что иное, как перенесение в область мате-
математики следующего физического наблюдения: прямая линия,
соединяющая две. точки Л и В, может быть описана движу-
движущейся частицей двояким путем: при движении от Л к В или
от В к Л.
Вообще, пусть АВ — какая-нибудь дуга непрерывной кри-
кривой, заданной параметрическими уравнениями
где А—*/0, В—>-t1 и функции х1 (t) непрерывны. Аналогично
предпочитаемым координатным системам для ориентированного
аффинного пространства, для дуги АВ существует класс па-
параметризаций, каждая из которых связана с параметризацией
A2.1) преобразованием вида
s = s(t),
где s(t) есть непрерывная функция от t, монотонно возра-
возрастающая от t0 до tlm И существует другой класс, получае-
получаемый из A2.1) преобразованиями t—>-s посредством непре-
непрерывных функций s(t), монотонно убывающих в том же

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 47
промежутке. Дуга АВ, отнесенная к одному из этих двух
классов параметризаций, называется ориентированной дугой.
Таким образом, всякая дуга, соединяющая А с В, определяет
две ориентированные дуги, которые мы можем обозначать
через АВ и через ВА, соответственно.
§13. Аффинные параметризации. В n-мерном аффинном
пространстве прямая линия задается в декартовых координа-
координатах линейными параметрическими уравнениями
х'о). A3.1)
Параметризации, заданные уравнениями такого вида, называ-
называются аффинными параметризациями. Это, очевидно, все те
и только те параметризации, которые связаны с какой-нибудь
заданной аффинной параметризацией линейными преобразова-
преобразованиями параметра. Поэтому прямая линия, аффинно-параметри-
зованная в декартовых координатных системах, удовлетворяет
аксиомам'G, для одномерного аффинного пространства1. Сле-
Следовательно, прямая линия определяет две ориентированных,
или направленных, прямых, которые можно назвать хох1 и х^хй,
соответственно; первая, xQxlt есть та прямая, для которой
A3.1) является предпочитаемой координатной системой.
Это может быть обобщено на случай любой А-плоскости.
Всякая А-плоскость обладает семейством аффинных парамет-
параметризаций и определяет две ориентированные аффинные плоскости.
Всякая упорядоченная система k-\-1 точек xo,xlt ..., хл,
не лежащих в одной (k—1 )-плоскости, определяет ориенти-
ориентированное А-пространство, именно то, для которого его пара-
параметризация
х' = х'0 + *М — х'0){1=\ k)
служит предпочитаемой координатной системой.
§ 14. Проективная и конформная геометрии. Проектив-
Проективные и конформные и-мерные пространства также можно оха-
охарактеризовать аксиомами, сформулированными в терминах
предпочитаемых координатных систем. Но нн те, ни другие
1 Одномерные аффинные пространства суть эвклидовы про-
пространства, потому что в одномерном пространстве аффинная группа
тождественна с эвклидовой.

48 ГЛАВА!!
пространства не могут быть в предпочитаемых координатах
полностью представлены арифметическим л-пространством.
Поэтому аксиомы Gt должны быть видоизменены. Один из
возможных для этого способов заключается во введении од-
однородных координат/ в которых точка Р, соответствующая
арифметической точке (Z1, ...,2"), соответствует также точке
(LZ1, ..., \Zm), где 1 — произвольный, неравный нулю множи-
множитель. Никакая точка не соответствует начальной точке арифме-
арифметического пространства. Таким образом, в однородных коор-
координатах каждая геометрическая точка представлена любой
точкой (за исключением начала) некоторой арифметической
прямой, проходящей через начало.
Мы даем ниже систему аксиом для я-мерной проективной
геометрии в терминах предпочитаемых однородных координат-
координатных систем.
Рг. В предпочитаемых однородных системах координат
каждая точка представлена по меньшей мере одной ариф-
арифметической точкой (я -\- 1)-мерного арифметического про-
пространства, а каждая арифметическая точка, отличная
от начала, представляет одну и только одну точку,
Рг. Две арифметические точки представляют одну и
ту же точку (геометрическую) в том и только в том
случае, когда они лежат на одной арифметической пря-
прямой, проходящей через начало.
Р3. Всякая предпочитаемая координатная система мо-
может быть преобразована во всякую другую (предпочитае-
(предпочитаемую оке) посредством однородного линейного преобразования.
Pt. Всякая однородная система координат, полученная
из предпочитаемой посредством однородного линейного пре-
преобразования, есть также предпочитаемая.
Ръ. Существует по меньшей мере одна предпочитаемая
система координат.
Из аксиом Р1 и Р2 следует, ч"то каждая предпочитаемая
координатная система является взаимно-однозначным соответ-
соответствием между точками проективного пространства и арифме-
арифметическими прямыми, проходящими через начало, в арифмети-
арифметическом пространстве (я —|— 1) измерений.
Система аксиом для конформной геометрии получается,
если изменить Р1г ...,Р6 так, чтобы каждая предпочитаемая
координатная система для конформного л-мерного простран-

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ
49
ства была взаимно-однозначным соответствием между точками
конформного пространства и образующими гиперконуса
в арифметическом пространстве (п-\-2) измерений.
Группа автоморфизмов проективного л-пространства назы-
называется л-мерной проективной группой, а конформного л-про-
л-пространства— л-мерной конформной группой. Проективные и
конформные пространства принадлежат к классу пространств,
описанных в § 3, ибо структуры их определяются проектив-
проективной и конформной группами, соответственно.
§ 15. Точечные преобразования. Автоморфизмы. Пусть
Р—+Р — какое-либо преобразование, которое переставляет
между собой точки пространства, удовлетворяющего аксио-
аксиомам § 9. Каждой предпочитаемой координатной системе Р —>¦ х
отвечает координатная система Р —+х,
получаемая в результате обратного
преобразования Р—>-Р с последую-
последующим отображением • Р—>лг. Будем
говорить, что преобразование Р—*-Р
переводит координатную систему
Р—>х в координатную систему
Р —>- х; оно будет автоморфизмом в
том и только в том случае, когда
каждая предпочитаемая система коор-
координат переводится в предпочитаемую
систему координат, ибо структура пространства определяется
всей совокупностью предпочитаемых координатных систем.
Во всякой предпочитаемой координатной системе — будем
теперь обозначать таковую через К вместо Р—>-лг—преобра-
Р—>-лг—преобразование Р —*.~р определяет в арифметическом пространстве
преобразование х—>¦ х, которое переводит образ каждой
точки Р в системе К в образ соответствующей ей в К
точки Р (см. рис. 3). Преобразование х—<-лг, в свою оче-
очередь, определяет Р—»-Р. Говорят, что Р —+ Р представлено
в К преобразованием х—»-лг. Координатная система К,
4 Вевлен и Уайтхед
РИС 3

50 ГЛАВА!!
в которую переводится К преобразованием Р—»-Р, полу-
получается из К путем обратного преобразования х—»-лг в ариф-
арифметическом пространстве. Поэтому, для того чтобы преобра-
преобразование Р—*-Р бгало автоморфизмом, необходимо и достаточно,
чтобы оно было представлено в К преобразованием, принад-
принадлежащим G. В этом случае оно будет, очевидно, представ-
представлено преобразованиями, принадлежащими G, во всех предпо-
предпочитаемых координатных системах. Таким образом, в каждой
предпочитаемой координатной системе группа автоморфизмов
представлена группой О, и эти две группы просто-изоморфны.
Каждая предпочитаемая координатная система есть изоморфизм,
переводящий группу автоморфизмов в группу G.
§ 16. Историческое развитие взглядов на геометрию.
Представление о математической науке как о совокупности
теорем, выводимых из аксиом, было, повидимому, ясно осоз-
осознано Аристотелем, если не более ранними греческими учеными.
Этот вопрос рассмотрен Шольцем (Н. S с h о 1 z, Die Axioma-
tik der Alten, Blutierfur Deutsche Philosophie, 4 A930), стр. 259).
Для греков, повиднмому, существовало лишь одно про-
пространство, которое вовсе не являлось обязательно собранием
точек; оно скорее представлялось местом (locus), в котором
можно передвигать тела и сравнивать их друг с другом.
Основным соотношением между телами являлась конгруэнт-
конгруэнтность, или наложимость.
Лишь после развития аналитической геометрии простран-
пространство стали рассматривать как собрание точек. С появлением
неэвклидовых геометрий была воспринята и мысль о суще-
существовании многих различных геометрий вообще. Но простран-
пространство все еще оставалось местом для сравнения фигур, причем
центральной идеей было понятие группы конгруэнтных пре-
преобразований пространства в себя. Отсюда развился взгляд
на геометрию, как на теорию инвариантов группы преобра-
преобразований. Эта точка зрения была изложена в 1870 г. в эр-
лангенскдй программе (F. Klein, Gesammelte Mathematische
Abhandlungen, Berlin, 1921, т. 1, стр. 460)*.
* Напечатано также в Mathem. Annalen, т. 43, 1893. Есть рус-
русский перевод: Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований, Казань, 1896. (Прим. перев.)

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 51
Идея группы преобразований синтезировала и обобщила
все прежние представления о движении и конгруэнтности.
Она дала также принцип классификации, с помощью которого
можно окинуть общим взглядом взаимоотношения между мно-
многими важнейшими геометриями, каковы, например, все рас-
рассмотренные в настоящей главе. Для более широкого знаком-
знакомства с этим методом классификации читатель может обратиться
к книге «Проективная геометрия» Веблена и Юнга, т. 2, осо-
особенно глава III1.
Переход ко взгляду на геометрию, как на специальный
вид математической науки, рассматриваемой вообще как со-
совокупность теорем, выводимых из аксиом, — этот переход
был сделан в самом начале нынешнего столетия; множество
разных систем аксиом было тогда установлено и изучено
для различных геометрий — Пашем, Пеано, Гильбертом,
Пиери, Э. Г. Моор, Р. Л. Моор и другими*. О си-
системах аксиом для аффинной и эвклидовой геометрии см.
А. N. Whitehead, Axioms of Descriptive Geometry (Cambridge
tract, No. 5, Cambridge, 1907) и Н. G. Forder.TAe Founda-
Foundations of Euclidean Geometry (Cambridge, 1927). Слово «аф-
«аффинный» не встречается в этих книгах; но аффинная геомет-
геометрия ведь определяется теми аксиомами эвклидовой геометрии,
которые не ссылаются на конгруэнтность.
Зта общая концепция математической науки никоим об-
образом не поколебала эрлангенской программы, ибо геометрию
можно было охарактеризовать как математическую науку, яв-
являющуюся теорией групп преобразований. Но еще задолго
до того, как была сформулирована эрлангенская программа,
существовали геометрии, которые не вполне укладывались
в ее рамки, именно, римановы геометрии. Нет необходимости
давать здесь определение риманова пространства; заметим
только, что существуют римановы пространства, являющиеся
метрическими пространствами (в том смысле, как это опре-
определено выше, в § 1), у которых группа автоморфизмов
сводится к тождественному преобразованию. Такая геометрия,
1 Veblen and Jotmg, Projective Geometry, New York, 1917.
* Укажем также на капитальный труд В. Ф. Кагана (Основания
геометрии, т. 1, Одесса, 1905), где им установлена система аксибм
эвклидовой геометрии и дано исчерпывающее доказательство их
независимости. (Прим. перев.)
4*

52 г л л в а п
очевидно, не может быть охарактеризована своей группой.
Между тем риманово пространство обладает структурой, в
смысле, указанном в начале главы: мы можем говорить о
длине всякой гладкой кривой и мы имеем систему кривых
(геодезических линий), обладающих свойствами, аналогичными
свойствам прямых линий.
Идея пространства, как множества точек, обладающего
структурой, берет свое начало, можно считать, у Римана,
в его Habili+ationsschrift A854I, но полное понимание эта
идея встретила с момента ее применения к общей теории
относительности Эйнштейна. Ибо в этой теории физическое
пространство уже не является больше местонахождением пере-
передвигаемых предметов; пространство-время само по себе —
вот единственный объект изучения в полной геометрии. Не
существует такой вещи, как тело в пространстве: материя
является аспектом структуры пространства-времени*.
В настоящее время деятельно изучается, как для физи-
физических, так и для математических целей, обширный класс
пространств, являющихся обобщениями римановых пространств.
Эти геометрии, как и римановы, вообще говоря, лежат вне
рамок эрлангенской программы; но все они используют коор-
координатный метод и аппарат диференциального исчисления. Это
значит, как показано ниже, в гл. V, что они пользуются
-«касательными пространствами», или «пространствами дифе-
ренциаяов», которые представляют собой центро-аффинные
пространства. Во многих случаях используется не центро-
аффинная группа, а другие группы преобразований в каса-
касательных пространствах (см. гл. V, § 15, и гл. VII, § 6).
Итак, у современных геометров имеется сильная тенденция
к обобщению эрлангенской программы, такому обобщению,
1 <.Gesamm'.lte Mathematlsche Werke>, Leipzig, 1876, стр. 254.
* Смысл этой довольно туманной фразы ветрудно понять: он
заключается в отрицании материи как первоосновы всего реального
мира и, следовательно, как основы всякой истинной науки. Но вызы-
вызывает полное недоумение попытка авторов опереться при этом на
теорию Эйнштейна. Как известно, теория относительности утверж-
утверждает, что невозможно рассматривать физические тела сами по Себе,
т. е. безотносительно ко времени-пространству, в котором они
находятся. Таким образом, теория относительности устанавливает
неразрывную связь между материей и физическим пространством,
как формой ее существования. (Прим. перев.)

ГЕОМЕТРИИ, ГРУППЫ И КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 53
которое могло бы заменить ее в качестве определения гео-
геометрии с помощью понятия группы. По этому вопросу отсы-
отсылаем читателя к работам Схоутена и Картана1. Более общая
точка зрения, рассматривающая геометрию как теорию про-
пространства с инвариантом (иными словами, с геометрическим
объектом, в том смысле, как он определен ниже, в гл. III),
была выдвинута Вебленом 2.
1 J.A. Schouten, Erlanger Prograrara und Ubertragungslehre.
Newe Gesichtspunkt zur Gruudlegung der Geometrie, Rendlcoritl del
Circolo Mat. di Palermo, 50 A926), стр. 142;
E. С art an, Les Recentes Generalisations dela Notion d'Espaces,
Bulletin des Sciences Nath. 48 A924), стр. 294;
E. Car tan, Rapport sur le Meraolre de J. A. Schouten intitule .Er-
.Erlanger Prograrara...*, Bull, de la Soc. Phys. Math, de Kazan, Series 3,
Vol. 2 A927), стр. 71.
2 О. V e Ы e n, Differential Invariants and Geometry, Attl del Con-
gresso Internationale del Matematlcl, Bologna A928), 1, стр. 181.

ГЛАВА III
ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1. Функции класса и. В предыдущей главе мы имели
дело с некоторыми ограниченными классами координатных
систем, а именно такими, что координаты при переходе от
одной из этих систем к другой преобразуются линейно. Но
вообще желательно пользоваться значительно более широким
классом координатных систем, так, чтобы преобразования ко-
координат были настолько общими, насколько это возможно
допустить, не нарушая смысла используемых аналитических
выражений. Теория тех преобразований, которыми мы будем
пользоваться, зависит от теоремы о неявных функциях почти
в такой же мере, в какой алгебраическое содержание гл. I
зависит от правила' Крамера решения линейных уравнений.
Нам понадобится несколько определений.
Множество точек в арифметическом пространстве я изме-
измерений, заданных неравенствами "вида
где 8]>0 будем называть п-кубом*, а х0— его центром.
Множество точек [х] называется областью (region) в том и только
в том случае, когда каждая точка х является центром неко-
некоторого я-куба, содержащегося в [дг]. Таким образом, каждый
я-куб является областью, и таковой же является все ариф-
арифметическое пространство. Множество X точек, общих двум
областям Х± и Х2, есть область. Действительно, если х0 —
какая-либо точка в X, то существует я-куб, определяемый
неравенством
* Мы вынуждены пользоваться этим, несколько противоречивым
(ввиду установившейся традиции называть «кубом> именно трех-
трехмерное тело) термином за отсутствием более подходящего; термин
авторов — «Ьох>. (Прим. перев.)

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 55
содержащийся в Хг, и я-куб, определяемый неравенством
содержащийся в Х2. Следовательно, я-куб, определяемый уо-
ловием
где 8 — меньшее из чисел 8Х, Ьг — содержится в X.
Функция1 Fix1, ..., х"), определенная для всех точек
области X, называется функцией класса и, если она и ее
производные порядка меньше или равного и существуют и
непрерывны в каждой точке области X. Здесь и может быть
любым положительным целым числом. Функцию, имеющую
производные всех порядков, будем считать принадлежащей к
классу оо, а всякую непрерывную функцию — принадлежа-
принадлежащей к классу 0. Функция, определенная в области X, назы-
называется аналитической, если она может быть разложена в сте-
степенной ряд вблизи каждой точки х0 из X, причем ряд этот
сходится для всех точек некоторого я-куба с центром в д;0.
Аналитические функции будем считать принадлежащими
классу а. Разумеется, функция, являющаяся функцией
класса и в области X, будет функцией класса и во всякой
облает», содержащейся в X, и будет также класса и', если
и'О
§ 2. Теорема о неявных функциях. При и ~^> 0 аналогом
правила Крамера является теорема о неявных функциях2,
которую мы приведем без доказательства.
Пусть
Ж*1, ...,*»;У, ••-,/"),
: B.1)
Г \Х , . . ., X , у , . . ., у )
суть я функций, класса и ^> 0 для х, у, принадлежащих,
соответственно, областям X, Y арифметических пространств я
1 Все рассматриваемые нами функции следует считать однознач-
однозначными, если не оговорено противное.
2 См. Э. Гурса, Курс математического анализа, т. 1, М. — Л,
1936. Теорема доказана для ц= 1, ..., оо в гл. III, § 38, и для ана-
аналитических функций —в гл. IX, § 185.

56 ГЛАВАМ!
и т измерений. Пусть точка х0 в X и точка уй в Y таковы,
что
и пусть якобиан
д (л:1 х")
отличен от нуля для х = х0 и у=у0. Теорема утверждает,
что уравнения
Fa(x;y) = 0 B.2)
допускают единственную систему решений
где xl(y) — функции класса и в некотором, содержащемся
в К, я-кубе с центром у0, причем
§ 3. Преобразования класса и. Пусть j^x),..., уп(х) — я
функций класса и^>0 в некоторой области X. С помощью
уравнений
/=/(*) ' C-1)
каждой точке х ставится в соответствие некоторая точка у,
так что множество точек X соответствует множеству Y. Та-
Такое соответствие мы будем называть преобразованием класса и,
переводящим X в Y. Мы будем также говорить, что преоб-
преобразование х—*-у, определенное формулой C.1), производится
над X. Поскольку функции уг(х), ..., уп(х) суть функции
класса и во всякой области А", содержащейся в X, урав-
уравнения C.1) определяют преобразование класса и, производи-
производимое и над всякой областью, содержащейся в X.
Пусть якобиан ^- отличен от нуля в каждой точке об-
ласти X. Тогда к уравнениям
У— У(«) = 0 C.2)
.Можно применить теорему о неявных функциях. Обозначим

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 57
где #0 — любая точка области X; уравнения C.2) допускают
систему решений
*W(.V), C.3)
где х'(у) принадлежат классу и в некотором я-кубе Ву с
центром у0. Этот я-куб находится во взаимно-однозначном
соответствии с некоторым множеством точек, содержащимся
в X, и, следовательно, сам содержится в Y. Отсюда следует,
что Y есть сбласть.
Если области X и Y находятся во взаимно-однозначном со-
соответствии, то преобразование х—+у имеет обратное пре-
преобразование у —*¦ х, определяемое уравнениями вида
я? = х?(у\, C.4)
Пусть у0 — любая точка в Y. Мы только что показали, что
х1 (у) являются функциями класса и в некотором и-кубе с
центром у0] следовательно, они будут класса и в К
Преобразование класса и ^> 0, распространенное на об-
область X, назовем регулярным в том и только в том случае,
если оно взаимно-однозначно и если его якобиан не обра-
обращается в нуль ни в одной точке1 X. Все преобразования,
которые мы будем рассматривать, следует считать^ регуляр-
регулярными, если не оговорено противное.
Если х—*-у, у—*-z—два преобразования класса и, пере-
переводящие область X в К и Y в Z соответственно, то резуль-
результирующее преобразование х—*-z, переводящее X в Z, будет
также класса и. Ибо х—+z определяется равенствами
и производные, —; т, можно вычислить по обычным
дхл . ¦ • dxJS
правилам диференциального исчисления; а если а=(о, то г1
1 Эти два условия независимы, как можно видеть на примере
следующих двух преобразований: а) (х, у)—»-(u, v), где и —е* cosy,
v-=e*siny и б) у = х*. В первом случае ,;"' ¦— е2*, и нигде не
Л " (¦*> У)
оораздается в нуль, но преобразование (л:, у)—».(«, v), опреде-
определенное для всех значений (х,у), не взаимно-однозначно. Во втором
случае преобразование х—*-у взаимио-однозначно, хоти-^- обра-
обращается в нуль в цачале координат.

58 гл а в а ш
можно разложить в степенной ряд (Гурса, гл. IX) вблизи
каждой точки в X. Якобиан преобразования х —+Z опреде-
определяется равенством
дх
ду_
дх
C.5)
откуда следует, что х—+z регулярно, если х—*у и у—*-г
оба регулярны. Далее,
\VrV\U
\VrV\
и, следовательно, преобразование, обратное регулярному, также
регулярно.
§ 4. Непрерывные преобразования. В диференциальной
геометрии рассматриваются, главным образом, преобразования
класса и^>0. Однако для полноты изложения мы приведем
три теоремы о преобразованиях класса 0.
Если х—*-у—не сангулярное непрерывное преобразование
области [х\ в множество точек [у], то \у \также есть
область.
Эта теорема принадлежит Броуэру (L. E. J. Brouwer, Be-
weis der Invarianz des и-dimensionalen Gebietes, Math. Annalen,
т. 71 A912), стр. 305—313L
Значительно упрощенное доказательство дано Шпернером 2.
Когда и^>0, эта теорема непосредственно вытекает из тео-
теоремы о неявных функциях, как было показано в § 3.
Если х—>у — неособенное непрерывное преобразование
области [х] в область [у], то обратное преобразование
у—>х непрерывно (F. Hausdorff, Mengenlehre, Leipzig, 1914,
гл. IX, теорема VIII).
Наконец, из определения непрерывных преобразований
сразу следует, что результирующее преобразование двух
последовательных непрерывных преобразований, из кдторых
первое переводит область [х] в область \у], а второе — [у]
в [г], непрерывно.
1 См. также Н. Lebesgue, Sur les correspondences entre les points
de deux espaces, Fundamenta Math., т. 2 A921), стр. 256 — 285.
2 E, Sperner, Neuer Beweis fttr die Invarianz der Diraensionszahl
und des gebietes, Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hamburg.
Universttat, т. 6 A928), стр. 265—272.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 59
§ 5. Псевдогруппы. Вместо того чтобы рассматривать, как
в гл. I, преобразования, переводящие все арифметическое
пространство в самое себя, мы рассмотрим теперь преобра-
преобразования, распространенные на части пространства. Если х—>-у
и у' —*z—два таких преобразования, переводящих множе-
множество точек Хъо множество К и множество Y1 во множество Z,
соответственно, то результирующее преобразование х—*-z
существует в случае, когда Г и F совпадают, и только
в этом случае. Мы приходим, таким образом, к расширению
понятия группы преобразований — к понятию псевдогруппы.
Псевдогруппой мы будем называть множество преобразова-
преобразований, удовлетворяющее следующим условиям:
(I) Если результирующее двух преобразований множества
существует, то оно также принадлежит этому множеству.
(II) Множество содержит обратное преобразование для
каждого преобразования из этого множества.
Ясно, что группа преобразований в арифметическом про-
пространстве есть частный случай псевдогруппы.
Из § 3, 4 следует, что для данного значения и (равного
0,1, ..., со или со) множество всех регулярных преобразова-
преобразований класса и образует псевдогруппу. Мы будем называть ее
псевдогруппой класса и.
§ 6. n-ячейки класса и. Всякую область, находящуюся
во взаимно-однозначном соответствии класса и с л-кубом, мы
будем называть арифметической п-ячейкой класса и. Так,
и-ячейкой является все арифметическое пространство, так как
оно соответствует я-кубу — 1<^л:г<М при преобразовании
Из определения ясно, что все арифметические я-ячейки класса и
эквивалентны относительно псевдогруппы класса а (т. е. су-
существует регулярное преобразование, переводящее одну из
данных двух л-ячеек в другую), и что всякое множество точек,
находящееся во взаимно-однозначном соответствии класса и
с я-ячейкой класса и, является л-ячейкой класса а.
§ 7. Простое многообразие класса U. Псевдогруппа класса
и содержит группу всех регулярных преобразований, переводя-

60 ГЛАВА III
щих арифметическое пространство в самое себя1. Обозначим
эту группу через Оа. Всякое пространство, удовлетворяющее
аксиомам G, сформулированным в гл. II, с группой Q = GU,
мы будем называть простым многообразием класса и. В слу-
случае, когда О есть подгруппа группы Оа, пространство, удов-
удовлетворяющее аксиомам О, есть простое многообразие класса и
плюс добавочная структура (см. гл. II, § 9). Так, эвкли-
эвклидовы пространства, аффинные пространства, л-ячейки класса
и' ^> и — все они являются простыми многообразиями класса и,
добавочная структура которых—класс предпочитаемых коор-
координатных систем, более узкий, чем те, которые охарактеризо-
охарактеризованы аксиомами О. Более того, одно и то же простое многообра-
многообразие может быть носителем нескольких различных пространств
более сложной природы. Так, два аффинных пространства Ап
и А'п могут иметь в качестве своих декартовых координатных си-
систем два различных подмножества из множества предпочитаемых
координатных систем одного и того же простого многообразия Сп.
Прямыми линиями для Ап и А'п, соответственно, будут две си-
системы кривых в Сп, каждая из которых обладает всеми аф-
финными свойствами арифметических прямых линий.
§ 8. Ориентированные простые многообразия. Преоб-
Преобразование х—>-у области X в область Y будем называть
прямым, если якобиан ~\ положителен во всех точках об-
' ' 2 1
I
ласти X, и противоположным, если
-^- отрицателен во всех
ОХ |
точках8 X.
Из соотношений C.5) и C.6) следует, что множество всех
прямых преобразований класса и представляет собой псевдо-
псевдогруппу.
1 Эта группа включает в себя линейные преобразования и многие
другие, например такие, как
У1 = *+ъ sin xl.
* Преобразование вообще может не быть ни прямым, ни проти-
противоположным: оно может переводить область Хх в Yx прямым преоб-
преобразованием, и в то же время область Хг в К2 противоположным
преобразованием. Это может случиться, разумеется, только тогда,
XX не имеют ни одной общей точки.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 61
Эта псевдогруппа содержит группу Оа всех прямых пре-
преобразований класса и, переводящих арифметическое простран-
пространство в самое себя. Пространство, удовлетворяющее аксиомам,
высказанным в гл, II, § 9, с группой G — G^ мы будем
называть ориентированным простым шюгообразием класса и.
Как и в случае аффинных пространств, со всяким простым
многообразием С ассоциируются два ориентированных много-
многообразия. Предпочитаемые координатные системы для этих
ориентированных многообразий получаются из произвольной
предпочитаемой координатной системы многообразия С по-
посредством прямых или противоположных, соответственно, преоб-
преобразований. Процесс выделения того илн другого из двух
ориентированных многообразий называется ориентированием С.
Итак, простое многообразие может быть ориентировано
двумя и только двумя способами. Получаемые два ориентиро-
ориентированных многообразия эквивалентны относительно группы Gu.
§ 9. Допустимые координатные системы для простого
многообразия. Хотя структура пространства вполне опреде-
определяется классом предпочитаемых координатных систем, часто
бывает удобно пользоваться другими координатами, хорошо
приспособленными для специальных задач (например, поляр-
полярными и эллиптическими координатами в эвклидовой геометрии).
В этом параграфе мы намерены определить класс «допусти-
«допустимых» координатных систем, достаточно широкий для обычных
нужд диференциальной геометрии. Всякая допустимая коорди-
координатная система представляет собой взаимно-однозначное соот-
соответствие Р—*-х между множеством точек [Р] и множеством
арифметических точек [х] в арифметиче<:ком пространстве
п измерений. Множество [Р] будем называть зоной*, а [х] —
арифметической зоной координатной системы Р—>-х.
Допустимые координатные системы класса и в простом
многообразии класса и' (и' ^ и) суть те и только те, которые
удовлетворяют следующим условиям:
* Мы позволили себе ввести этот термин, так как от термина
авторов — область (domain) — мы вынуждены были отказаться
во избежание смешения с топологическим понятием области, опре-
определенным выше (§ 1) под названием regioa {Прим. перев.)

62 Г Л А В А III
1. Если [Р] является в предпочитаемой координатной
системе К прообразом арифметической области [х], то
соответствие Р—*х, определяемое посредством К, является
допустимой координатной системой.
2. Если [х] — арифметическая область, Р—>х — допус-
допустимая система координат и х-^-у—регулярное преобра-
преобразование класса и, то результирующее отображение Р—>у
является допустимой координатной системой.
В частности, если рассматриваемое многообразие — ариф-
арифметическое пространство с преобразованиями группы Ga в ка-
качестве предпочитаемых координатных систем, то допустимыми
координатными системами являются преобразования псевдо-
псевдогруппы класса и. Вообще, множество всех преобразований
допустимых координатных систем в допустимые образует псев-
псевдогруппу г класса и.
Образ я-куба в допустимой координатной системе класса и
будем называть п-ячейкой класса и. Когда многообразие само
является арифметическим пространством, это определение
сводится к ранее данному определению арифметической я-ячей-
ки. В общем случае образом геометрической й-ячейки в до-
допустимой системе координат, очевидно, является арифметическая
я-ячейка, и обратно. Имеется по крайней мере одна допустимая
координатная система, в которой данная я-ячейка2 С пред-
представлена всем арифметическим пространством. Если множество
всех таких допустимых координатных систем взять в качестве
предпочитаемых координатных систем, то, исходя из условий
A), B), можно убедиться, что я-ячейка удовлетворяет аксио-
аксиомам простого многообразия.
Ассоциируя я-ячейку с предпочитаемыми координатными
системами, получающимися посредством прямых преобразова-
преобразований из данной допустимой системы координат — той, в ко-
которой я-ячейка представлена, — мы получаем ориентированную
1 Здесь исправлена ошибка, допущенная в «И. К. Ф.>, гл. II, § 2,
где утверждается, что множество всех преобразований координат
образует группу.
2 Мы часто будем опускать слова «класса и> в применении к раз-
разным определенным нами объектам (например, преобразованиям и
я-ячейкам). Класс и и размерность я будут фигурировать в качестве
параметров в большей части нашего исследования: всякое исследова-
исследование, в котором используются производные функции, применимо только
к многообразиям подходящего класса.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 63
п-ячейку; это — ориентированное многообразие, содержащееся
в данном многообразии. Всякое ориентирование многообразия,
очевидно, определяет ориентирование любой содержащейся
в нем я-ячейки и, в свою очередь, им определяется.
Множество допустимых координатных систем класса и не
зависит от и', коль скоро и' S* и. Чтобы лучше уяснить себе
это, возьмем аффинное пространство Ап. К декартовым коор-
координатным системам, установленным для Л„, присоединим все
те, которые получаются из какой-нибудь данной декартовой
системы посредством преобразований, принадлежащих группе
Gui, при всяком и' ^ и. Мы будем иметь тогда множество
предпочитаемых координатных систем для простого многооб-
многообразия класса и'. Но, сформулировав указанные выше условия
A), B) в терминах каждого из наших двух множеств пред-
предпочитаемых координатных систем, мы получим одно и то же
множество допустимых координатных »>систем.
Пространство Ап является аффинным благодаря тому факту,
что среди допустимых координатных систем находится спе-
специальный класс декартовых координатных систем. После того,
как мы включили в рассмотрение допустимые координатные
системы, центральная задача аффинной геометрии — возро-
возродить декартовы координатные системы, т. е. охарактеризовать
последние как подкласс первых. В следующем параграфе мы по-
показываем, как это сделать. Методы, используемые нами,
применимы только тогда, когда и^З, чтб мы и предполагаем.
§ 10. Диференциальные уравнения аффинной геометрии.
Для аффинного пространства Ап зоной декартовой системы
является все пространство, а зона допустимой координатной
системы может ограничиваться и частью пространства. Поэто-
Поэтому мы не можем, вообще говоря, рассматривать преобразо-
преобразования допустимых координат в декартовы; мы должны ввести
понятие преобразования между двумя координатными систе-
системами.
Пусть Р —>¦ xhQ -+у — две координатные системы 1 и пусть
[R] есть пересечение [Р] и [Q], т. е. множество точек, общих
1 Все упоминаемые нами координатные системы следует считать
взаимно-однозначными соответствиями Р-ь-х, причем [х\ есть неко-
некоторое множество точек в арифметическом пространстве.

64
Г,|Л А В A 111
для [Р] и [Q]. Если [R] не пусто, то существуют координат-
координатные системы R —+х' и /?—>-/, в которых каждая точка из
R отнесена к своему образу в Р—+ хи в Q—+y, соответственно.
Преобразование координат х' —*у' мы будем называть преоб-
преобразованием между Р—х и $—*у. Если множество [R] —
пустое, преобразования
между Р—ухи Q—+y
не существует.
Задача, поставлен-
поставленная в конце преды-
предыдущего параграфа, за-
заключается в определе-
определении преобразования
между данной допусти-
допустимой системой коорди-
координат и произвольной де-
декартовой системой. '
Решение должно будет зависеть от того факта, что вся-
всякие две декартовы координатные системы получаются одна из
другой линейным преобразованием. Предположим, мы обозна-
обозначили координаты в данной допустимой системе через х, в спе-
специально выбранной декартовой системе — через и, а преобра-
преобразование между ними — через
Рис. 4
Переход к любой другой декартовой системе координат за-
задается равенствами
J , A0.1)
где коэфициенты а постоянны. Значит, переход от координат
х к произвольной декартовой системе координат характери-
характеризуется диференциальными уравнениями, для которых (Ю.1)
представляют я независимых решений. Чтобы получить эти
уравнения, запишем общее решение в виде
где Оу и а — произвольные константы, и продиференцируем

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 65
A0.2)
дважды. Будем иметь:
дх> дх* "
Из A0.2«) получаем
где
а затем из (\0.2Ь)—
*У _*г<_0, A0.3)
дх1 дх* дх* Jk v ;
где
Следовательно, в каждой допустимой системе координат де-
декартовы координатные системы задаются системой диферен-
цнальных уравнений вида A0.3). Мы будем называть их дифе-
ренциальными уравнениями аффинной геометрии.
При преобразовании координат х—*-х диференциальные
уравнения A0.3) переходят в
дх/дхк
где
д'у ip _0)
так как всякое решение системы A0.3) должно быть скаляром
(см. «И. К. Ф.>, гл. V, § 5).
Из равенств A0.4) видно, что функции Г",, тождественно
равны нулю в том случае, когда координатная система Р—*-х —
декартова. Формула A0.5) с 1%! = 0 дает тогда их значения
5 Веблен н Уайтхед

66 • Г Л А & A 111
во всякой другой координатной системе Р—+х. Они явля-
являются функциями класса и = 2 в каждой допустимой системе
координат.
Итак, структура аффинного пространства определяет в каж-
каждой допустимой системе координат систему функций Г. Из
соотношения A0.5) между двумя системами функций Г и Г,
определенными в различных допустимых координатах, следует,
что Г суть компоненты аффинной связностиг. Всякая афин-
ная связность, которая таким путем определяется плоским
аффинным пространством, называется плоской.
§11. Диференциальные уравнения прямых линий. Аффин-
Аффинная связность появляется в различных проблемах плоской
аффинной геометрии. Например, прямые линии в декартовых
координатах, очевидно, удовлетворяют диференциальным урав-
уравнениям
При переходе к произвольным допустимым координатам эти
диференциальные уравнения принимают вид:
| w dx? dx4 __n
где Г — рассмотренные нами функции.
Вообще, всякая А-плоскость удовлетворяет диференциаль-
диференциальным уравнениям
d*J , w дх> дхч п п и — 1 ь\
ds ds ds ds*
Л-плоскости, и в частности прямые линии, выраженные как
решения этих уравнений, отнесены к аффинным параметриза-
параметризациям (гл. II, § 13).
1 Определение аффинной связности см. ниже, гл. V, § 12, или
в «И. К. Ф.>, гл. III, § 10. Аффинная связность сама по себе, рас-
рассматриваемая раздельно от своих компонент, является абстрактным
объектом, существование которого мы предполагаем для того, чтобы
было нечто, обладающее компонентами. С логической точки зрения
оиа совершенно аналогична любому другому абстрактному объекту
из области математики или физики — числу два, например, или элек-
электромагнитному полю. См. в «И. К. Ф.> примечание на стр. 28.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 67
§ 12. Интегрирование диференциальных уравнений
аффинной геометрии. Теперь возникает вопрос, что дает нам
интегрирование диференцнальных уравнений A0.3)? Предпо-
Предположим, что выполнены условия интегрируемости J:
{ ^-оП" A2Л)
где
^=^-^+ПЛ_Г,,П, A2.2)
Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы урав-
уравнения A0.3) допускали единственное решение
и(х\ ..., *«), A2.3)
удовлетворяющее заданным начальным условиям
здесь лг0— любая точка, вблизи которой выполняются усло-
условия A2.1). Решение A2.3) есть скалярная функция, опреде-
определенная в некоторой л-ячейке, содержащей *0- Общим реше-
решением будет
где все а — константы, а и}(х), ... , и"(х) суть п решений,
якобиан которых -^ не равен нулю в точке х^.
Решения и1, ... , ип все определены в некоторой я-ячейке,
содержащей точку х0, поэтому при любом преобразовании
вида A0.1) из Р—*х получается допустимая координатная
система Р—*у. Всякую такую допустимую систему коорди-
координат мы будем называть локально-декартовой координатной
системой. Из § 10 следует, что локальио-декартовыми явля-
являются те и только те координатные системы, в которых ком-
компоненты аффинной связности обращаются в нуль.
1 См. «И. К. Ф.>, гл. V, § 4. О трактовке вопроса, ие предпо-
предполагающей аналитичности, см. F Schur, Math. Annalen, 41 A893),
стр. 509.
5*

68 Г Л ABA III
Преобразование между любыми двумя локально-декарто-
выми координатными системами, в которых представлена дан-
данная точка,—линейно; и, обратно, всякая координатная система,
полученная из локально-декартовой координатной • системы
путем линейного преобразования, будет локально-декартовой.
Мы будем называть аффинную связность локально-плоской
в том и только в том случае, если каждая точка, в которой
она определена, представлена, по крайней мере, в одной ло-
локально-декартовой системе координат. Это равносильно тому,
что условия A2.1) выполняются всюду, где определена аффин-
аффинная связность. Локально-плоская аффинная связность будет
плоской тогда и только тогда, когда область1, в которой
она определена, есть я-ячейка С и С представлена арифмети-
арифметическим пространством, хотя бы в одной локально-декартовой
системе координат Р—*-у. В этом случае С будет плоским
аффинным пространством, для которого Р—*у служит декар-
декартовой координатной системой.
Вообще же область определения не обязана быть я-ячей-
кой. Она представляет собой пространство (согласно опреде-
определению в гл. II, § 1), структура которого определяется
допустимыми координатными системами, в которых оно пред-
представлено, и локально-плоской аффинной связностью. Такое
пространство мы будем называть локально-плоским аффинным
пространством, а его геометрию — локально-плоской аффинной
геометрией. Таким образом, локально-плоская аффинная гео-
геометрия есть теория локально-плоской аффинной связности.
§ 13. Три примера локально-плоских аффинных про-
пространств2. 1. В двумерном арифметическом пространстве
можно определить локально-плоскую аффинную структуру
посредством системы кривых
au{x,y) + bv{x,y) + c = O, A3.1)
где
j e*cosy,
1 Область есть образ арифметической области в какой-либо до-
допустимой системе координат. Подразумевается, если не оговорено
противное, что все упоминаемые нами аффинные связности и тен-
тензоры определены в областях.
* Ср. гл. VII, § 3.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 69
а в, ft и с — константы. Так как *"'v' ф. О, то уравнениями
вида A0.4) определится в каждой точке локально-плоская
аффинная связность. Общим решением уравнений A0.3) в дан-
данном случае является левая часть равенства A3.1), а уравне-
уравнения A3.2) при условии у0— ^<СУ <СУо^гп определяют
переход к локально-декартовой системе координат.
Легко видеть, однако, что мы не получаем здесь плоского
аффинного пространства, ибо, в силу периодичности' функ-
функций и(х, у) и v(x, у) относительно у, кривые A3.1) состоят
из отдельных', не связанных между собой отрезков.
2. Наш второй пример — поверхность цилиндра: локально-
плоская аффинная структура определяется на ней при раз-
развертывании ее на плоскость. Каждая точка Р на цилиндре
соответствует бесконечной последовательности [уа] арифмети-
арифметических точек; но кусок, содержащий Р, находится во взаим-
но-одьозначном соответствии с 2-ячейкой, содержащей какую-
либо одну из точек уа. Всякое такое взаимно-однозначное
соответствие следует рассматривать как локально-декартову
координатную систему. Вмещая цилиндр в трехмерное аффин-
аффинное пространство, мы можем преобразовать его аналитически
в кольцо ,
на аффинной плоскости. Система кривых на цилиндре, соот-
соответствующих прямым линиям, перейдет в систему аналити-
аналитических кривых в кольце и определит там в каждой точке
локально-плоскую аффинную связность. Но общее решение
уравнений A0.3) будет многозначной функцией, есл.и ее рас-
рассматривать на*всем кольце.
3. Существуют также локальио-плоские аффинные про-
пространства, не эквивалентные областям простого многообразия.
Например, в пространстве /?2, топологически эквивалентном
тору, можно определить локально-плоскую аффинную струк-
структуру следующим образом. Если (л;, у) — какая-либо точка
в двумерном арифметическом пространстве, то класс точек
* + r. y-\-s>
где г и 5 —любые целые числа (положительные, отрицатель-
отрицательные, или равные нулю), принимается за одну точку в /?2.

70 г л а в а ш
Всякая координатная система (x-{-r,y-\-s)—*(x, у),
в которой 2-ячейка из R2 представлена квадратом*
всякая такая система принимается за локально-декартову коор-
координатную систему.
Это пространство /?2 принадлежит к бэлее общему классу
«регулярных» многообразий, которые мы определяем в гл. VI.
§ 14. Геометрические объекты. Все, что остается неиз-
неизменным при преобразовании координат, называется инвариан-
инвариантом («И. К. Ф.», гл. И, § 2). Так, инвариантом является
точка, а также кривая или система кривых. Строго говоря,
инвариантом является также всякая вещь, например растение
или животное, не имеющая вэвсе отношения к рассматривае-
рассматриваемому нами пространству. Инвариант, связанный с простран-
пространством, т. е. свойство пространства, в смысле § 1 гл. И,
мы будем называть также геометрическим объектом1.
Точка является примером геометрического объекта, опре-
определяющего в каждой допустимой системе координат, в кото-
которой он представлен, систему чисел2.
Другие примеры геометрических объектов с компонен-
компонентами— аффинные связности и тензоры всех родов. Мы про-
просим читателя принять к сведению элементарную теорию этих
геометрических объектов в том виде, как она изложена
в «И. К. Ф.», гл. II.
§ 15. Регулярные точечные преобразования. Соответ-
Соответствие Р—>- Q между множеством точек [Р] и множеством
точек [Q] мы будем называть точечным преобразованием; мы
будем говорить, что оно переводит [Р] в [Q]. Точечное
* По нашей общей терминологии—2-кубом. (Прим. перге.)
1 Этот термин, в противовес термину инвариант, был ввгден
Схоутеном (J. A. Schouten and E. R. van Кагареп, Math. Annalen,
103 A930), стр. 758).
* Множество всех соответствий между точкоЧ Р и системами
ее координат — инвариантно: преобразование координатных систем
х-*-у не меняет того факта, что соответствия Р->-х и Р->-у, также
как и другие (Р -*¦ г, Р -*¦ t и т. п.), —что все они существуют.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ
71
Рис. 5
преобразование Р—+ Q есть функция
Q=F(P),
аргументом которой служит точка, принадлежащая [Р], а зна-
значениями являются точки [Q]. Всякоэ рассматриваемое нами
точечное преобразование следует считать — если не оговорено
противное — неособен-
неособенным, т. е. оно' не
только однозначно, но
ему соответствует так-
также однозначное обрат-
обратное преобразование.
Пусть Р—¦*¦ Q — то-
точечное преобразование
между двумя множе-
множествами точек [Р] и [Q] в
зоне одной и той же ко-
координатной системы К.
Преобразование Р—*-Q определяет в арифметическом про-
пространстве преобразование х~*у, которое переводит образ х
каждой точки Р в образ у соответствующей точки Q. Обратно,
преобразование х—*-у между двумя множествами [х] и [у]
в арифметической зоне одной и той же координатной системы
определяет точечное преобразование Р-—»-Q.
О точечном преобразовании между двумя множествами
точек, представленными в одной и той же координатной
системе к, говорят, что оно представлено уравнениями
* /=/(*),
которые определяют соответствующее преобразование в ариф-
арифметическом пространстве. Преобразование Р—>¦ Q с таким же
успехом может быть представлено и во всякой другой системе
координат К, зона которой содержит оба множества [Р] и [Q].
Действительно, пусть преобразование координат К в К опре-
определяется уравнениями
?
и пусть х, у — образы точек х и у, соответственно, в К,

72 г л aba Ш
Тогда преобразование Р—*Q задано в К формулой1
?=/{.У (/-'(*) }=?(*).
Точечное преобразование Р—>¦ Q между областями [Р] и [Q],
лежащими в зоне допустимой системы координат д, мы будем
называть регулярным точечным преобразованием класса
и'(и'г^и), если преобразование, которым оно представлено
в К, регулярно и принадлежит классу и'. Класс точечного
преобразования является, очевидно, инвариантом.
Как показано в § 15 гл. II, группа автоморфизмов
простого многообразия состоит из регулярных точечных пре-
преобразований, заданных в предпочитаемых координатах преоб-
преобразованиями группы Gu.
Аналогичное рассуждение показывает, что множество всех
регулярных точечных преобразований изоморфно псевдогруппе
класса и в арифметическом пространстве.
§ 16. Геометрические объекты и точечные преобразо-
преобразования. Такие геометрические объекты с компонентами, как
аффинные связности или тензоры, классифицируются по их
законам преобразования — законам, определяющим изменения,
происходящие при замене координат. При этом необходимо
также сказать, как ведет себя такой геометрический объект
при регулярном точечном преобразовании. Пусть закон преоб-
преобразования геометрического объекта выражается формулой
!>"E)=!/'»{#(*),... , &«(*), х(х)}, A6.1)
где S1, ... » 5я* — компоненты объекта в депустимой системе
координат Р—>-х, aS'1, ..., \т — его компоненты в допу-
допустимой системе координат Р—*х, заданной уравнениями
х< = х{{х). A6.2)
Пусть теперь уравнения A6.2) определяют точечное преоб-
преобразование множества точек [л:] во множество точек [л:] и пусть
• Обозначая х ->¦ у через S, х -*¦ х через Т, а х -*¦ у через S, имеем:
s=tst-\
где порядок операций указан справа налево.

ДОПУСТИМЫЕ КООРДИНАТЫ 73
S — любой геометрический объект, определенный на мно-
множестве [л;] и имеющий закон преобразования A6.1). Объекту ?
соответствует определенный на множестве [х] геометрический
объект |, компоненты которого заданы формулой A6.1) и
закон преобразования которого тот же, что и для ?. Говорят,
что точечное-цреобразование х—>-х переводит ? в ?. В этом
случае 5 эквивалентен ?.
§ 17. Геометрические объекты и их геометрии. Всякий гео-
геометрический объект, заданный в простом многообразии, опре-
определяет в нем специальную структуру и, следовательно, опре-
определяет пространство в смысле § 1 гл. II. Такое пространство
задано, коль скоро нами выделен специальный геометрический
объект Si и геометрию этого пространства мы будем называть
геометрией объекта ?• Два объекта, ? и 5, имеют одну и ту же
геометрию в том и только в том случае, когда они эквивалентны.
Геометрические объекты и пространства, ими определяе-
определяемые, классифицируются с помощью псевдогруппы регуляр-
регулярных точечных преобразований: два объекта считаются при-
принадлежащими к одному и тому же классу в том и только
в том случае, если они эквивалентны. В целях классификации
лучше рассматривать именно эту псевдогруппу, а не груп-
группу Gu, так как геометрический объект не обязательно бывает
определен на всем простом многообразии (ср. второй пример
локально-плоского аффинного пространства в § 13). Такая
классификация геометрических объектов вполне в духе эрлан-
генской программы; эквивалентность по отношению к псевдо-
псевдогруппе являемся при этом неизбежным обобщением эквива-
эквивалентности в более узком смысле слова.
Все геометрии, упомянутые нами при рассмотрении эрлан-
генской программы, и ее расширений, в конце § 16 гл. II,
представляют собой теории геометрических объектов. Напри-
Например, риманова геометрия есть теория симметричного тен-
тензора 0,7, детерминант которого не равен нулю. Геометрия,
определенная геометрическим объектом, укладывается в рамки
эрлангенской программы тогда и только тогда, когда этот
геометрический объект характеризуется своей группой авто-
автоморфизмов, т. е. группой точечных преобразований, перево-
переводящих его в самого себя.

ГЛАВА IV
ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ
§ 1. Назначение главы. В этой главе мы даем некото-
некоторое понятие о геометрическом месте (locus) в простом мно-
многообразии класса а. Это должно послужить основанием для
теории ^-пространств во всяком специальном многообразии
п измерений. Классическая диференциальная геометрия^-) на-
например, есть теория кривых и поверхностей в трехмерном
эвклидовом метрическом пространстве. Она специально зани-
занимается теорией кривых и поверхностей в «данной точке», т. е.
метрической структурой сколь угодно малых одно- и двумер-
двумерных ячеек (см. ниже, § 2), содержащих данную точку.
Все эти теории основаны на понятии ^-ячейки, которому
посвящена ббльшая часть настоящей главы.
§ 2. ft-ячейки в «-пространстве. k-янейкой класса и
является любое множество точек, заданных условиями:
И / 1У1<1 A=1,..., А),
(Ь) \ у =0 (<j = ft+l,..., л), ^•1>
в некоторой допустимой системе координат.
Если применить это определение к тому случаю, когда
наше пространство есть я-мерное арифметическое простран-
пространство, мы получаем определение арифметических &-ячеек. Из
этого определения следует, что все арифметические ^-ячейки
класса и эквивалентны по отношению к псевдогруппе класса а
(ср. гл. III, § 6).
Чем сложнее структура многообразия, тем более разно-
разнообразны ^-ячейки, в него вмещающиеся. Так, в многообразии
класса 0 все А-ячейки одинаковы. В многообразии класса и
имеются ^-ячейки класса 0, 1 а; а в эвклидовом про-
пространстве мы имеем ^-ячейки кривые и плоские.
Условия B,1) можно записать также в виде
(b) \ y = 0,

ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ 75
где
1. . B-5)
Соотношения B.2) и B.3) устанавливают, что ^-ячейка нахо-
находится во взаимно-однозначном соответствии с единичным к-ку-
бом в арифметическом пространстве k измерений. Это соот-
соответствие пре'дставляет собой координатную систему, или
параметризацию, Р—*-s, для fc-ячейки. fc-ячейка с установлен-
установленной таким образом параметризацией называется параметри-
параметризованной k-ячейкой.
Параметризация Р—>-s ^-ячейки была нами определена
как результирующее двух соответствий: допустимой коорди-
координатной системы Р—>¦ у и последующего преобразования^—»s.
Мы можем, не меняя параметризации, выполнить преобразо-
преобразование координат по формулам:
...,_у«). B.4)
Параметризация Р—>-s будет тогда определяться формулами
B.3) и формулами:
*<•=/>',..., s*. О, .... 0). B.5)
Мы можем также, не меняя координатной системы, выполнить
преобразование параметров по формулам
fl = fl(s\... , sk). B.6)
Если s —*¦ t — регулярное преобразовани класса и, то оно обра-
обращает B.5) в уравнения вида
*« = *'¦(/', ...,<*), B.7)
а А-куб B.3) — в арифметическую ^-ячейку класса и. Вся-
Всякую параметризацию, полученную из параметризации B.2)
посредством регулярного преобразования класса и, мы будем
называть параметризацией класса и, или регулярной пара-
параметризацией. Регулярные параметризации, в которых ^-ячейка
представлена арифметическим пространством k измерений,
можно рассматривать как ее предпочитаемые координатные
системы; тогда ^-ячейка будет, очевидно, простым многооб-
многообразием класса и.
Будем теперь исходить из системы л уравнений вида B.7),
считая, что функции в правой части принадлежат классу и и

76 ГЛАВА IV
независимы в некоторой арифметической /{-ячейке Тк. Говоря,
что функции независимы, мы хотим сказать, что ранг матрицы
раве» k. He теряя общности (дело сводится к выбору обо-
обозначений), мы можем предположить существование такой
системы значений /J, ... , ?*, для которой
Из непрерывности производных следует, что существует
в арифметическом пространстве k измерений &-куб с цен-
центром t0, в котором соблюдается B.8). Значит, в арифметиче-
арифметическом пространстве п измерений существует /z-куб, в котором
уравнения
дс*==Д5*(Я,...,/*) + *;(''-/*) (o = k+l,...t п) B.9)
определяют регулярное преобразование t—>-х. Следовательно,
преобразование, обратное B.9), приводит к координатной
системе /, в которой «-ячейка, содержащая точку хо = х((о),
изображается л-кубом с центром в арифметической точке
(tfi, ... , t$). Произведя очевидное преобразование этого куба,
мы возвращаемся к допустимой координатной системе, в кото-
которой уравнения B.7) сводятся к B.1). Таким образом, если
функции в правой часта B.7) независимы в точке х0, то
существует содержащая х0 ^-ячейка Ck класса и, точки
которой удовлетворяют B.7); и существует также такая
содержащая х0 п-ячейка, что все те ее точки, которые
удовлетворяют B.7), лежат в Ck.
§ 3. Неявные уравнения ft-ячейки. Пусть Сп есть
/г-ячейка, являющаяся изображением /z-куба—1 <^у'<С 1 в ко-
координатной системеJ у предыдущего параграфа. Произвольная
1 В этом и следующем параграфах мы часто будем переходить
к несколько более свободной терминологии, — к toJj, которой мы
пользовались в сЦ К. Ф.». Так, скоординатиая система» будет озна-
означать допустимую координатную систему класса и. При этом всякое

ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ 77
координатная система х, в которой Сп может быть представ-
представлена, получается из координатной системы у посредством пре-
преобразования B.4). В этой координатной системе Сп является
изображением арифметической я-ячейки произвольного вида,
^-ячейка Ck состоит из тех точек ячейки Си, которые удо-
удовлетворяют B.2ft); она выражается в координатах х системой
п—k уравнений
, ...,*•) = О (<j = * + l,..., я), C.1)
где F суть п — k функций из числа тех, которые опреде-
определяют преобразование
У = /*(*!, .... *•),
обратное преобразованию B.4). Уравнения C.1) называются
неявными уравнениями А-ячейки, а B.7) — ее параметри-
параметрическими уравнениями.
Каждое уравнение системы C.1) является неявным урав-
уравнением (я—1)-ячейки; следовательно, Ck представлена как
пересечение (я—1 )-ячеек, число которых равно я — k.
В качестве теоремы, обратной утверждению, что всякая
й-ячейка может быть представлена уравнениями вида C.1),
имеем: Пусть левые части уравнений C.1) — какие-либо
п — k функций класса а, якобиан которых имеет ранг
п — k в точке х0, удовлетворяющей C.1). Тогда сущест-
существует п-ячейка Сп, содержащая х0, такая, что все те ее
точки, которые удовлетворяют C.1), лежат в k-ячейке,
и каждая точка этой k-ячейки Ck удовлетворяет C.1).
Для доказательства мы можем, не теряя общности, пред-
предположить, что якобиан
не равен нулю в точке хй. Следовательно, в арифметическом
«-пространстве имеется куб с центром в х0, переходящий
наше высказывание, в котором фигурируют производные, применимо,
разумеется, только к пространствам соответствующего класса. Точку
мы можем обозначать арифметической точкой х, которой наша точка
соответствует в координатной системе Р-*х; мы будем также
пользоваться одной буквой х для обозначения координатной системы

78 Г Л А В A IV
при преобразовании
U=1,...,A),
+,..., л)
в арифметическую «-ячейку Лл, содержащую начало. Пусть
Вп— некоторый /г-куб, содержащий начало и содержащийся
в Ап, а Вк— ^-ячейка, состоящая из тех точек Вп, которые
удовлетворяют уравнениям
v" = 0.
Преобразование, обратное C.2), переводит Вп и^в ариф-
арифметическую л-ячейку и арифметическую А-ячейку, соответ-
соответственно; а последние изображают в координатной системе х
ту /г-ячейку Сп и ту А-ячейку Ск, существование которых
утверждается теоремой.
§ 4. Скаляры. Всякад ^функция точки, иными словами,
всякое соответствие, которое с каждой точкой из некоторого
множества [Р] связывает число f(P), определяет посредством
соотношения
F(x)=/(P)
функцию п переменных в каждой координатной системе Р—>х,
в которой представлено множество [Р]. Функция f(P) назы-
называется абсолютным скаляром, а функция/7(л;) — его компонен-
компонентой в коортня-той системе Р—*-х. Если компонента скаляра
есть функция класса и'<ив одной какой-нибудь координатной
системе, то она будет таковой во всех координатных систе-
системах. В этом случае мы будем называть f{P) скаляром класса а'.
Мы будем предполагать, что все упоминаемые нами скаляры
принадлежат классу и.
Скаляр определяет во всякой системе координат п про-
производных
dF df.
они являются компонентами геометрического объекта, назы-
называемого градиентом скаляра. Градиент представляет собой
ковариантный вектор: его компоненты, заданные в двух раз-
различных координатных системах, х и х, связаны между собой

ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ 79
уравнениями
дР __ SF дх!
дх' дх1 дх1 '
Так как эти уравнения линейны и однородны относительно
компонент, то, если все компоненты градиента равны нулю
в точке л;0 в одной системе координат, они, очевидно, все
равны нулю в этой точке и в любой другой системе координат.
В этом случае х0 называется особой точкой скаляра, в отли-
отличие от обыкновенной точки, где ие имеет места обращение
в нуль всех компонент градиента.
Если л;0 — обыкновенная точка скаляра, a F(x)— его ком-
компонента в какой-либо системе координат х, то, согласно дока-
доказанному в предыдущем параграфе, найдется такая л-ячейка Сх,
содержащая х0, что все точки Сх, удовлетворяющие уравнению
образуют (л — 1)-ячейку. Далее, найдется система коорди-
координат у, в которой компонента скаляра сводится к у1. Таким
образом, можно считать, что скаляр определяет в окрестности
всякой точки слой (п — 1)-ячеек, подобный семейству парал-
параллельных плоскостей в эвклидовом пространстве.
§ 5. Система п — k скаляров. Все сказанное об одном
скаляре немедленно обобщается иа любую систему п — k
скаляров (Ог^&г^л — 1). Определители (л — &)-го порядка,
якобиевой матрицы суть компоненты геометрического объекта,
называемого обобщенным градиентом. Они образуют, оче-
очевидно, ковариантный тензор; и если все компоненты обобщен-
обобщенного градиента равны нулю в какой-нибудь точке в данной
системе координат, то они будут все обращаться в нуль во
всякой системе координат. Такая точка называется особой
точкой системы скаляров. Всякая другая точка, в которой
все данные скаляры определены, называется обыкновенной
точкой. Из непрерывности производных вытекает, что мно-
множество всех обыкновенных точек представляет собой область.

ГЛАВА IV
Совершенно так же, как и в случае одного скаляра, если
х0 — обыкновенная точка и F" (х) (в = k -\- 1, ... , я) — ком-
компоненты л — k скаляров в какой-либо координатной системе,
в которой представлена точка х0, то существует такая
л-ячейка Сх, что все точки из Сх, удовлетворяющие урав-
уравнениям
E.2)
образуют А-ячейку. При этом существует система координат,
в которой компоненты скаляров сводятся к у*+1, . .. , у",
соответственно.
§ 6. Системы скаляров и ориентированные ^-ячейки.
Всякая упорядоченная система л скаляров Р(Р), ... ,fa{P)
задает некоторую координатную систему Р—>-у, определяе-
определяемую равенствами
r y'=f(P)- F.1)
Отображение Р—*у не обязательно должно быть взаимно-
взаимнооднозначным; оно представляет собой координатную систему
в общем смысле слова (см. гл. И, § 8). Если скаляры при-
принадлежат классу и и Q — обыкновенная точка, то уравне-
уравнения F.1) определяют допустимую систему координат у, в ко-
которой представлена некоторая л-ячейка CQ, содержащая Q.
Пусть х — любая допустимая координатная система, в кото-
которой Q представлена; преобразование между х и у задается
формулой
где F1 (х) — компонента скаляра f (P) в координатах х.
л-ячейка Со, ассоциированная с множеством всех пара-
параметризаций, получаемых из F.1) путем прямых преобразова-
преобразований* координат, представляет собой, согласно сказанному
в §8 гл. III, ориентированное простое многообразие. Следова-
Следовательно, и скаляров f (Р), ... , /Л(Я), взятых в определенном
порядке, определяют ориентацию л-ячейки CQ. Эта ориентация
заменяется противоположной, если один какой-нибудь из ска-
скаляров меняет знак. Она остается неизменной при четных
• Т. е. преобразований, для которых соответствующий якобиан
положителен. (Прим. перев.)

ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ 81
перестановках скаляров, но меняется при нечетных их пере-
перестановках. В этом заключается суть утверждения (с которым
иногйа приходится встречаться), что ориентация определяется
заданием порядка координат.
Всякая точка Ро в CQ есть пересечение А-ячейки Ck, за-
заданной уравнениями
(a) } f(P) = s* (X=l, ... , k),
(b) \ f°(P)=f(P0) (а=Л ' 1 - 1°^
и {п — &)-ячейки Сп_к, заданной уравнениями
(*) { f°(P) = s°. °' F3)
Эти две ячейки можно характеризовать как двойственные
друг другу. Уравнения F.2а) определяют параметризацию
для Сй, и из приведенного выше рассуждения следует, что Ck
можно ориентировать, приписав направление упорядоченной
системе скаляров f1 (Р), ...,/* (Р). Так определенную
ориентацию будем называть внутренней ориентацией Ск.
Таким же образом можно определить внутреннюю ориентацию
для Cn_k, приписывая направление упорядоченной системе
скаляров f+1(P), • . . , f(P)- Ориентация двух каких-нибудь
из ячеек Ck, Cn_k, CQ определяет ориентацию третьей бла-
благодаря соотношению
sign Ck- sign С„_й = sign CQ. F.4)
Пусть/Ul (P), . . . , f(P) — какая-либо другая упоря-
упорядоченная система скаляров, которые, будучи приравнены под-
подходящим константам, дают систему, неявных уравнений для Ск.
Пусть
F°(x)=.f°(P)
во всякой координатной системе, зона которой содержит Ck.
Во всякой точке А-ячейки Ск величичы
dF«

82 Г Л А В A IV
представляют две полные системы решений для алгебраиче-
алгебраических, относительно и, уравнений
где
суть параметрические уравнения ^-ячейки Ck. В таком случае,
согласно изложенному в § 3, 5 гл. I, существуют числа
а", такие, что
дР „dFf . . , ,
Ш1=й?Ш (Р, «,=.*+I,.--,«)
во всякой точке Ck. Определитель \а°\ — скаляр, определен-
определенный повсюду на Ck и не равный нулю. Если он положителен,
мы будем говорить, что системы скаляров / и / положи-
положительно связаны (positively related) по отношению к Ск;
в противном случае (т. е. если|а*К0) мы будем говорить,
что они отрицательно связаны (negatively related). Первое
свойство, очевидно, транзитивно; если же / положительно
связана с /, а / отрицательно связана с какой-нибудь
третьей системой скаляров /, то / и / отрицательно свя-
связаны.
Следовательно, упорядоченные системы скаляров, вхо-
входящие в неявные уравнения для Ck, распадаются на два
класса так, что члены одного и того же класса положительно
связаны друг с другом. Эти два класса можно назвать
внешними классами направлений, или внешними ориента-
циями ячейки Ck.
Как и в случае внутренней ориентации, внешняя ориента-
ориентация ячейки Ck определяется, если приписать положительное
направление упорядоченной системе скаляров/*4 (Р), ...,/" (Р)
(в принятых нами обозначениях, т. е. когда F.2?>) суть
неявные уравнения ^-ячейки Ck). Поэтому внешняя ори-
ориентация А-ячейки Ck определяет внутреннюю ориентацию
данной (я — ?)-ячейки, двойственной по отношению к Ck,
и, в свою очередь, ею определяется. Если, например,

ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ
/г = л— 1, то внешняя ориентация заключается в том, что
мы связываем положительный знак /"(Я) с одной стороной
Ck, а отрицательный знак — с другой ее стороной. Всякую
же 1-ячейку, которая встречает Ck в точности один раз,
можно ориентировать, считая точки на отрицательной стороне
^-ячейки Ck предшествующими точкам на положительной ее
стороне.
Из предыдущего параграфа вытекает, что две внутренние
и две внешние ориентации Ck связаны с двумя ориентациями
CQ уравнением, аналогичным F.4). Например, ориентирован-
ориентированная 3-ячейка может быть представлена правым винтом, а та-
такой винт можно либо толкать, чтобы заставить его вращаться,
либо вращать, чтобы заставить его ввинчиваться; с другой
стороны, винтовое движение можно определить как результи-
результирующее двух движений: вращения вокруг оси и параллель-
параллельного перенесения вдоль этой же оси.
§ 7. А-про<»ранства в целом. Итак, геометрический
образ (locus), удовлетворяющий л — k скалярным уравнениям
вида
F*+i(*) = <?*+', ..., Fn{x) = Cn, G.1)
где С*+', ..., Сп — константы, мы охарактеризовали как
построенный из fe-ячеек, при условии, что исключены все
особые точки. Мы можем теперь в дополнение сказать о
том, как эти ^-ячейки должны быть слажены между собой, чтобы
они могли служить для построения всего образа; именно,
мы утверждаем, что если две из этих k-ячеек имеют
общую точку Р, то существует k-ячейка, которая содер-
содержит Р и сама содержится в каждой из данных двух
ячеек.
Доказательство. Каждая из данных двух А-ячеек, в соот-
соответствии с тем, как они вообще получаются (см. § 3), свя-
связана с некоторой л-ячейкой и содержит все точки, общие для этой
л-ячейки и геометрического образа G.1). Пусть Сп есть л-ячейка,
содержащая Р и входящая в каждую из этих двух л-ячеек.
Согласно § 3, мы можем найти «-ячейку Ся, содержащую
точку Я, входящую в С„ и притом такую, что множество
тех точек в С'а, которые удовлетворяют G.1), образуют
6*

84 ГЛАВА IV
^-ячейку. Эта последняя и есть та А-ячейка, существование
которой мы должны были доказать.
Мы можем доказать также, что если Р и Q—какие-
либо две обыкновенные точки образа G.1), то имеются две
k-ячейки: одна—содержащая точку Р, другая—содержа-
другая—содержащая точку Q, состоящие целиком из точек образа G.1) и не
имеющие ни одной общей точки. Чтобы убедиться в этом,
достаточно взять две л-ячейки, содержащие, соответственно,
Р и Q и не имеющие общих точек. Согласно § 3, каждая
из этих «-ячеек содержит ^-ячейку, точки которой удовлет-
удовлетворяют уравнениям G.1), причем одна А-ячейка содержит Р,
а другая содержит Q. Две теоремы этого параграфа, вместе
с изложенным в § 2, составляют существенные пункты в до-
доказательстве следующего утверждения: множество обыкновен-
обыкновенных точек образа G.1) есть то, что называется (см. ниже,
гл. VI) регулярным многообразием.
§ 8. Локальные свойства. Инфинитезитльная геомет-
геометрия. Мы будем говорить, что некоторое свойство локально,
т. е. имеет место в точке Р, если существует содержащая
эту точку я-ячейка Ср, такая, что данное свойство присуще всем
областям, которые содержат Р и сами содержатся в Ср.
Систему локальных свойств в точке Р мы будем называть
локальной структурой в Я, а теорию локальной структуры —
инфинитезимальной геометрией г в точке Р. Таким образом,
инфинитезимальная геометрия в точке Р включает теоре-
теоремы о взаимоотношениях между Р и близкими к ней точ-
точками; но она не содержит никаких утверждений отно-
относительно какой-нибудь другой выделенной точки, отличной
от Р.
Допустим, например, что Р лежит в конце большой оси
эллипсоида. Инфинитезимальная геометрия в точке Р содержит
теорему о том, что гауссова кривизна в Р достигает макси-
максимума. Но это не является теоремой инфинитезимальной гео-
геометрии в произвольной точке данной поверхности.
i Этот термин употребляется в том же смысле многими авто-
авторами. Другие пользуются для этой цели термином „диференциаль-
ная геометрия", который мы употребляем в более широком смысле
(см. гл. VI, § 9).

ЯЧЕЙКИ И СКАЛЯРЫ 85
В инфйнитезимальной геометрии проблема эквивалентности
(гл. Ill, § 16, 17) заменяется проблемой локальной экви-
эквивалентности. Геометрический объект ? мы будем называть
локально-эквивалентным в точке Р геометрическому объ-
объекту ? в Р, если ? и 1 эквивалентны в я-ячейках, содер-
содержащих Р и Р, соответственно, и только при этом условии.
Например, все локально-плоские аффинные связности локально-
эквивалентны, но не эквивалентны в целом.
Проблема классификации локально-эквивалентных геомет-
геометрических объектов рассматривается в «И. К. Ф.» (гл. V);
там дается решение для аффинных связностей и для квадра-
квадратичных диференциальных форм.
§ 9. Эквивалентность скаляров. Проблема локальной экви-
эквивалентности для скаляров в обыкновенных точках решена
выше, в § 4. Действительно, предположим, что нам да-
даны два скаляра, и пусть Р будет обыкновенной точкой для
первого, a Q — для второго. Ясно, что эти два скаляра лишь
в том случае могут быть эквивалентны относительно преоб-
преобразования, переводящего Р в Q, если первый скаляр имеет
в Я то же самое значение, которое второй имеет в Q. До-
Допустим, что это условие выполнено. Согласно § 3, сущест-
существует координатная система у, в которой точка Р представ-
представлена и в которой первый скаляр имеет компоненту у1. Точно
так же, существует координатная система z, в которой пред-
представлена точка Q и в которой компонента второго скаляра
равна z1. Для достаточно малой /:-ячейки, содержащей Р,
точечное преобразование определяется требованием, чтобы
каждая точка у этой ячейки переходила в ту точку, для ко-
которой новые координаты z задаются формулой
Это точечное преобразование переводит первый скаляр, опре-
определенный в ячейке, содержащей Р, во второй скаляр,
определенный в ячейке, содержащей Q.
Аналогичным образом (см. § 5), если Я и Q — обыкно-
обыкновенные точки для двух систем из п — k (O^k^n—1)
скаляров, то существует точечное преобразование, переводя-
переводящее точку Р и включающую ее ячейку в точку Q и ячейку,

86 ГЛАВА IV
ее включающую, и преобразующее первую систему скаляров
во вторую, но это при том только условии, что обе системы
скаляров принимают одинаковые значения в Р и Q, соответ-
соответственно.
Приведенные рассуждения иллюстрируют разницу между ло-
локальной эквивалентностью и эквивалентностью в целом. Ибо
скаляр, который, будучи приравнен подходящей константе, дает
замкнутую поверхность (например, скаляр x2-\-y2-\-z2), не
эквивалентен скаляру, дающему только открытые поверхности
(например, скаляру x-\-y-\-z).

ГЛАВА V
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Дчференциалы функции. В арифметическом
л-мерном пространстве ^-ячейка 1-го класса выделяется среди
А-ячеек нулевого класса существованием, в каждой ее точке,
касательной /^-плоскости. Аналогично, всякое простое много-
многообразие 1-го класса имеет в каждой точке свое «касательное
пространство», которое можно определить, не вмещая много-
многообразие в пространство более высокого числа измерений. Мы даем
в этой главе небольшой очерк о касательных пространствах;
в качестве подготовительной стадии мы должны развить
здесь теорию диференциалов полнее, чем это сделано в
«И. К. Ф.».
Регулярная функция л переменных F (х1, ..., хп), класса а,
определяет функцию от 2л переменных
класса и — 1 относительно х и линейно-однородную отно-
относительно dx. Переменные dx1, ...,dxn называются диферен-
циалами переменных х1, ...,хп, соответственно, a dF—
диференщалом функции F(x). Если, в частности, Р(х) = х1,
то функция dF сводится к dx'.
Функция dF не обязательно должна быть «малой величи-
величиной», хотя она стремится к нулю вместе с dx, как и всякая
другая линейно-однородная функция Ч В лервом приближении
(т. е. с точностью до бесконечно-малых первого порядка) dF
представляет изменение функции F(x), вызванное заменой х на
x-\~dx\ по элементарной теореме диференциального исчисле-
исчисления,
F (х -{- dx) — Р (х) = ~ dx! -f s (x, dx),
1 Функция dF имеет смысл для всех значений dx, хотя-бы она
и была определена лишь в ограничениой области значений х.

88 Г Л А В A V
где
если
Если и ^ 2, то существует также функция 4я перемен-
переменных, называемая вторым диференциалом функции F{x),
bdF = —, bdx1 4- -^-, dx'bxi;
дх' ~дх1дх>
это — функция класса и —2 по х, линейная относительно
каждой из систем я переменных dx, Ьх и bdx. Она является
первым диференциалом функции dF от 2я переменных, х и
dx, первыми диференпиалами которых являются Ьх и bdx,
соответственно. По той же вышеупомянутой теореме диферен-
циального исчисления, bdF представляет, с точностью до беско-
бесконечно-малых порядка выше первого, изменение функции dF,
вызванное заменой х и dx на х-\~Ьх и dx-\~bdx, соответст-
соответственно. Для F(x) = x' функция bdF сводится к bdx1.
Если и ^ 3, то существует функция от 8я переменных —
первый диференциал от tidF, называемый третьим диферен-
диференциалом функции F:
AbdF = —t Шх< -1—?f-j №х*Ъх> + dxMxt -f bdx1 Ы) -f
Аналогичным образом можно определить четвертый дифе-
диференциал и т. д.
§ 2. Преобразование диференциалов. Каждая из си-
систем последовательных диференциалов переменных х пред-
представляет собой просто дополнительную систему я перемен-
переменных. Каждая система значений каждой системы переменных
есть некоторая точка в арифметическом я-мерном простран-
пространстве.
Регулярное преобразование
/=/(*) B-1)

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 89
определяет преобразование
dy{ = ^dxt. B.2)
Если точка х фиксирована, a dx меняется, мы получаем ли-
линейное преобразование «-мерного арифметического простран-
пространства.
С таким же успехом можно рассматривать систему
(х1, ..., хп, dx1, ..., dx") как точку в арифметическом про-
пространстве 2я измерений. Две системы уравнений B.1) и
B.2) вместе определяют тогда преобразование в этом
2я-мерном пространстве. Множество всех этих преобразований
(в арифметическом пространстве 2я измерений), определен-
определенных преобразованиями B.1) какой-либо псевдогруппы G0,
очевидно, само является псевдогруппой О1. Эта новая
псевдогруппа называется первым расширением* псевдо-
псевдогруппы 6°. Расширения высших порядков можно определить
рекуррентным соотношением: k-oe расширение псевдо-
псевдогруппы G0 есть псевдогруппа G* в арифметическом про-
пространстве 2*я измерений, a G*+1 является первым расширением
для G", при k = 0, 1, ..., и — 1.
§ 3. Диференциалы в точке. Обратимся вновь к геомет-
геометрии простого многообразия. Пусть будет
какая-либо арифметическая точка, связанная с точкой Р и
с координатной системой дс, в которой Р представлена.
Уравнения
определяютлреобразование dx—-dy арифметической точки dx
в арифметическую точку dy, ассоциированную с Я и с любой
координатной системой у, в которой Р представлена. Гео-
Геометрический объект, определяемый такой связью системы
чисел dy1,..., dyn с точкой Р и каждой координатной
1 S. Lie, Theorie 4er Transformationsgruppen, первый раздел,
Leipzig, 1888, стр.325.

90 . глава v
системой у, называется контравариантным вектором в Р,
или диференциалом в Р (ср. «И. К. Ф.», гл. II, § 5).
Числа dy1, ..., dyn называются его компонентами в коор-
координатах у, а уравнения C.1), как принято говорить, опре-
определяют его закон преобразования. Преобразование C.1) —
однозначно, и поэтому ни в какой системе координат два
различных диференциала не могут иметь все компоненты
совпадающими.
§ 4. Касательные пространства. Совокупность всех дифе-
ренциалов в какой-либо точке Р называется касательным
пространством диференциалов в Р. Таким образом, простое
многообразие имеет в каждой точке касательное простран-
пространство; мы будем поэтому называть его базисным многообра-
многообразием*. Всякая координатная система х, установленная для
базисного многообразия, определяет единственную коорди-
координатную систему dx для касательного пространства в каждой
точке, которая представлена в х. Эта координатная система dx
представляет собой взаимно-однозначное соответствие между
касательным пространством и арифметическим пространством
п измерений; ибо всякая арифметическая точка dx может
быть взята в качестве системы компонент, в координатах х,
диференциала в данной точке Р, и, с другой стороны, ком-
компоненты dx всякого диференциала суть компоненты арифме-
арифметической точки.
Если координатные системы dx, dy, ..., соответствующие
различным координатным системам х, у, ..., взяты в качестве
предпочитаемых координатных систем для касательного про-
пространства в Р, то оно удовлетворяет аксиомам, установлен-
установленным в гл. II, § 9, для центро-аффинного пространства
п измерений.
В самом деле, преобразование dx—*dy между любыми
двумя такими координатными системами задано формулой
C.1); оно линейно и однородно. Далее, существуют преобра-
преобразования координат, х—+у, определяющие заданное линейно-
однородное преобразование координат, их —*¦ dy, для касатель-
касательного пространства в Р.
*) Термин авторов — underlying manljold. (Прим. перев.)

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 91
§ 5. Ориентированные касательные пространства. Рас-
Рассмотрим какую-либо 1-ячейку класса 1. Если она ори-
ориентирована, то касательная в каждой ее точке ориентирована
(мы можем считать, что каждая касательная отмечена стрел-
стрелкой). Обратно, если касательная в одной единственной точке
ориентирована, то определена ориентация для 1-ячейки, а
следовательно, и для касательной во всякой другой ее точке.
Эти замечания следующим образом обобщаются в теории
простых многообразий.
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
преобразование координат х—*у было прямым, заключается
в том, что соответствующие преобразования координат
dx —»- dy, для касательных пространств в точках зоны х,
должны быть прямыми. Действительно, эти последние пре-
преобразования определяются формулой B.2): они — прямые
в том и только в том случае, когда якобиан положителен.
Отсюда следует, что каждое касательное пространство
к ориентированному многообразию есть ориентированное
центро-аффинное пространство. Обратно, ориентация одного
пространства, касательного к- простому многообразию, опре-
определяет класс предпочитаемых координатных систем, получа-
получаемых одна из другой посредством прямых преобразований;
тем самым определяется ориентация для многообразия, а
значит, и для всех других касательных к нему пространств.
§ 6. «Гладкость» * вблизи данной точки. Пусть х' —
какая-либо точка вблизи данной точки х, и пусть е'(х') —
функции класса и — 1, являющиеся, при х' стремящемся к х,
бесконечно-малыми порядка 1 -j- § (§ ^> 0). Уравнения
определяют преобразование х' —*¦ dx от некоторой, содержа-
содержащей х, л-ячейки в базисном многообразии к «-ячейке в ка-
касательном пространстве. Пусть у — какая-либо другая коор-
координатная система, полученная из х преобразованием х—>у,
и пусть у1' — координаты точки х' в этой системе. Из урав-
уравнений C.1) и из приведенной в § 1 теоремы диференциаль-
ного исчисления вытекает, что преобразование, выражаемое в
* Термин авторов — approximate flatness. (Прам. перев.)

92 Г Л А В A V
координатах у формулой
4у"=/'-/+ч'(/), F-2)
где г/ (у1) суть бесконечно-малые порядка 1 -j- Ь, совпадает
с преобразованием F.1), если учитывать только бесконечно-
малые первого порядка. Следовательно, класс преобразова-
преобразований, заданных уравнениями вида F.1), от л-ячейки, содержа-
содержащей некоторую точку х, к касательному пространству
в точке х, — этот класс является инвариантом1. Точка х
базисного многообразия переводится каждым из этих преоб-
преобразований в начало, или нуль-вектор касательного простран-
пространства, и называется точкой прикосновения к этому касатель-
касательному пространству. Таким образом, можно сказать, что
центр всякого касательного пространства совпадает с точкой
прикосновения в базисном многообразии.
Можно также считать, что уравнения F.1) определяют
преобразование координат в базисном многообразии. Каждая
полученная таким образом система координат dx называется
локальной координатной системой в точке х. Локальная
координатная система dy в той-же точке для всякой другой
координатной системы Ку получается из dx посредством
преобразования, которое согласуется с C.1) постольку,
поскольку учитываются лишь члены первого порядка. Это
приближение к плоскому пространству, или «гладкость»,
отличает л-ячейку класса 1 от произвольной я-ячейки класса 0.
В случае, если базисное многообразие является плоским
аффинным пространством Ап, уравнения
где у суть декартовы координаты, определяют инвариант-
инвариантное преобразование центро-аффинного пространства А°п (по-
(получаемого, если у0 принять за центр Ап) в касательное
пространство в точке у0; ибо у и dy являются декартовыми
координатными системами для Ап и для касательного про-
пространства, соответственно. Можно по.этому сказать, что ка-
касательное пространство в точке у0 совпадает с А°п, причем
центр касательного пространства совпадает с у0.
1 Как раз этот инвариантный класс преобразований и оправды-
эает термин «касательное пространство».

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 93
§ 7. Диференциалы и Л-ячейки. А-ячейка Ск может
быть представлена в координатной системе х параметриче-
параметрическими уравнениями вида
x': = x'(t\...,tn). G.1)
Значения диференциалов функций x'(t) в любой точке
xo = x(to) из Ck суть компоненты диференциала в касатель-
касательном пространстве в х0. Множество всех таких диференци-
диференциалов представляет параметризованное линейное А-простран-
ство Ек (см. гл. I, § 3), задаваемое уравнениями
dx'=(^jdfi (X=l,...,ft). G.2)
А-ячейка Ск определяет Ек, и параметризация t для Ск
определяет параметризацию dt для Ek. А-ячейка Ск, ассоци-
ассоциированная с ее регулярными параметризациями, является
простым многообразием А измерений (гл. IV, § 2), а ли-
линейное А-пространство Ек может быть отождествлено с каса-
касательным пространством к Ск в точке tQ.
Обратно, пусть линейное А-пространство Ek (x) опреде-
определено уравнениями
dxi = %{{x)dtx G.3)
в каждой точке х некоторой области X. Существует ли
семейство А-ячеек, из которых одна и только одна проходит
через каждую точку х и имеет Ek(x) своим касательным
пространством?
Ответ будет положительным в том и только в том слу-
случае, если диференциальные уравнения
e<x=i!t=o
*¦ дх1
вполне интегрируемы1, ибо тогда они имею1 л — k незави-
независимых решений tp*+1, • • •, <р", и искомые А-ячейки будут
заданы в неявном виде уравнениями
<Р° (*) =
1 См. Э. Г у р с а , Курс математического анализа, т. 2, гл. XXII,
§ 450.

94 Г Л А В А V
Существует ли множество параметризованных А-ячеек,
для которых параметризованные ^-пространства G.3) служат
касательными пространствами и которые своими параметри-
параметризациями определяют эти параметризации ^-пространств?
Ответ положителен в том и только в том случае, если
диференциальные уравнения
— — 5' (х)
вполне интегрируемы1. При &=1 ответ всегда положителен.
§ 8. Геометрия касательных пространств. Простейшая
геометрическая интерпретация тензоров находится в связи
с геометрией касательных пространств. По определению ка-
касательных пространств, ковариантное векторное поле V{x)
определяет точку
dxi=V(x)
касательного пространства в каждой точке, в которой поле
V(x) определено. Всякое ковариантное векторное поле,
заданное на множестве точек [х], определяет линейную
диференциальную форму
A.dx\
которая, будучи приравнена постоянной, дает уравнение ги-
гиперплоскости в касательном пространстве в каждой данной
точке х. Тензор второго порядка определяет квадратичную
диференциальную форму
gijdxidxi, (8.1)
которая, будучи приравнена постоянной, дает уравнение
квадрики с центром в начале. Каждый контравариантный
вектор X' определяет единственный ковариантный вектор
X. =g{jXl. (8.2)
Гиперплоскость
Xldxi = l (8.3)
есть поляра вектора X1 по отношению к квадрике
gljdxidx)=\. (8.4)
1 См. сноску на стр. 93.

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 95
Если форма (8.1) — невырождающаяся (т. е. определи-
определитель \gij\ не равен нулю), то всякий ковариантный вектор А)
определяет единственный контраварнантный вектор
являющийся полюсом гиперплоскости (8.3) по отношению
к квадрике (8.4). Такова геометрическая интерпретация
формальных операций опускания и поднимания индексов.
Квадратичную форму (8.1) можно принять за длину век-
вектора dx. Если эта форма положительно-определенная (т. е.
никогда не отрицательна), то она определяет центрирован-
центрированную эвклндову метрику в каждом касательном пространстве.
Действительно, существует класс координатных систем у,
в которых компоненты gtj в данной точке Ро равны Ь{у,
соответствующие координатные системы dy могут быть при-
приняты за прямоугольные декартовы системы в касательном
пространстве в Ро; и длина какого-либо вектора dy будет
тогда равна
Смешанный тензор второго порядка А1, определяет кол-
линеацию
в касательном пространстве, в каждой точке, в которой он
задан. Он определяет также бесконечно-малое преобразование
если
то это преобразование будет бесконечно-малым эвклидовым
смещением.
Нам достаточно этих примеров. Систематическое изложе-
изложение алгебраической теории тензоров читатель найдет у
Схоутена(Х A. Schouten, Der Ricci-Kalkill, Berlin, 1922, гл. 1)*.
* См. также: Схоутен и Строй к, Введение в новые ме-
методы диференциальной геометрии, т. 1, М. — Л., 1939; П. А. Широ-
Широков, Тензорное исчисление, ч. I, М, —Л., 1934; Г. Б. Гуревич,
Основы теории алгебраических инвариантов A948). (Прим. перев.)

96 Г Л А В А V
§ 9. Другие координаты в касательных пространствах.
Иногда желательно пользоваться в касательных простран-
пространствах другими координатами, отличными от dx*, dyl и т. д.
Например, если п ковариантных векторов vf (а = 1, 2, ..., п)
таковы, что детерминант
не равен нулю, то преобразование dx—»-(о, заданное фор-
формулой
aa = vfdxi, (9.1)
определяет координатную'систему со. Это — декартова коор-
координатная система; однако в отличие от координатной си-
системы dx, преобразующейся по формулам B.2), когда базис-
базисные координаты подвергаются преобразованию B.1), она
не меняется при преобразовании базисных координат. Таким
образом, со" суть скаляры; если Fa(x) — какие-либо п ска-
скаляров, то равенства
определяют единственную точку в каждом касательном про-
пространстве, ассоциированном с той тонкой, в которой эти
скаляры заданы.
В римановом пространстве vf могут быть единичными
взаимно-ортогональными векторами. Координатные системы со,
заданные формулами (9.1), будут тогда прямоугольными
декартовыми системами. В этом — основа метода, исходящего
от Риччи и Леви-Чивита, а затем использованного многими
авторами (см. например, L. P. Eisenhart, Riemannian Geo-
Geometry*, гл. III). Более общие координатные системы (9.1)
весьма многообразно используются теперь, особенно Картаном
и Схоутеном, в связи с обобщением параллельного перенесе-
перенесения Леви-Чивита. Они систематически изложены Р. Лагранжем
в его мемуаре (R. Lagrange, Calcvl diffirenttel absolu, Paris,
1926).
* Л. П. Эйзенхарт, Римаиова геометрия, ГИИЛ, 1948.
(Прим. перге.)

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 97
§ 10. Касательные и соприкасающиеся римановы про-
пространства. Для большей ясности — во избежание возможного
смешения — упомянем здесь о другом употреблении термина
«касательное пространство». Два тензора, g{, и Gi;, в одной
и той же регулярной «-ячейке определяют два римаиовых
пространства, совпадающих как множество точек, но имею-
имеющих различные структуры. Допустим, что
в данной точке х0, в данной системе координат.* Так как g
и G— тензоры, равенство A0.1) будет справедливо во всех
координатных системах, в которых точка х0 представлена.
О таких двух римановых пространствах говорят, что они
касаются друг друга в точке х0. Оба они определяют
в касательном, в точке х0, пространстве (в нашем прежнем
смысле) одну и ту же геометрию.
Говорят, что римановы пространства, определяемые тен-
тензорами g и G, имеют прикосновение порядка k, если, в до-
дополнение к соотношению A0.1), все производные от g{J
порядка меньше или равного k — 1 равны в точке х0 соот-
соответствующим производным от О,... В случае & = 2, эти два
римановых пространства называются соприкасающимися.
В этом случае аффинные связности (символы Кристоффеля),
определенные двумя пространствами («И. К. Ф.», гл. III,
§ 9), имеют в х0 одинаковые компоненты.
Предполагая квадратичную форму (8.1) положительной
и k = 1 или 2, можно считать одно из рассматриваемых
римановых пространств эвклидовым, и использовать соотно-
соотношение касания или соприкосновения для того, чтобы пере-
перенести результаты эвклидовой геометрии на риманову. По
этому вопросу отсылаем читателя к книге Картана Lecons
sur la geometrie des espaces de Riemann, Paris, 1928*.
Указанный метод дает наиболее полные результаты тогда,
когда используется эвклидово пространство наилучшего при-
прикосновения, именно то, в котором декартовы координаты
* Русский перевод: Э. К а р т а н, Геометрия римановых
пространств, М. — Л., 1936. В 1946 г. вышло второе французское
издание этой квиги, значительно расширенное и переработанное.
(Прим. п?рев.)
7 Веблен и Уайтхед

98 Г Л А В А V
в лг0 те же, что римановы нормальные координаты («И. К. Ф.»,
гл. VI, § 16) для риманова пространства.
§ 11. Вторые диференциалы. Мы ничего не сказали
пока о зависимостях между касательными пространствами
в различных точках базисного пространства. Мы приходим
к таким зависимостям, рассматривая вторые диференциалы.
Будем относить точке х, упорядоченной паре первых ди-
ференциалов dx, Ьх и координатной системе х арифмети-
арифметическую точку bdx^={bdxi, ..^bdx").
Уравнения
%1Ь . (П..)
определяют преобразование Ь dx—>bdy арифметической
точки Ь dx в арифметическую точку bdy, отнесенную к точке х,
диференциалам dx, Ьх и ко всякой координатной системе у,
в которой точка х представлена. Геометрический объект,
определенный этим соответствием между арифметической
точкой bdx и совокупностью х, dx, 'Ьх и каждой коорди-
координатной системой, называется вторым диференциалом, ассоци-
ассоциированным с х, dx и Ьх. Заметим, что разность $2 — Sj
между любыми двумя вторыми диференциалами, ассоцииро-
ассоциированными с х, dx, Ьх, представляет собой первый диферен-
циал. Действительно, всякое преобразование координат
х—>у переводит ^ в rik (Х=1,2) по формуле A1.1)
(через ?ъ % обозначены bdx, bdy, соответственно); следо-
следовательно,
Такое же рассуждение показывает, что -
bdx — dbx
является первым диференциалом. Таким образом, приравни-
приравнивая эту разность произвольному контравариантному вектору,
мы получаем инвариантное условие. В частности, инвариант-
инвариантным является равенство
bdx—dbx—0,
принимаемое при рассмотрении многих проблем.

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 99
§ 12. Аффинные связности. Пусть с каждой точкой х в не-
некоторой области и каждой упорядоченной парой первых ди-
ференциалов в этой точке ассоциируется второй диференциал.
Пусть в любой координатной системе компоненты второго
диференциала, ассоциированного с х, dx и Ьх, задаются равен-
равенствами:
bdxi = y(x,dx,bx). . A2.1)
Функции Y' являются компонентами геометрического объекта,
который можно назвать полем вторых диференциалов (в соот-
соответствии с тем, как это принято в «И. К. Ф», гл. II), так как
он определяет один второй диференциал для каждых х, dx и Ьх.
Пусть функции у* линейны и однородны относительно Ьх{.
Уравнения A2.1) можно тогда записать в виде:
bdxt = fk{x,dx)bxk. A2.2)
Во всякой другой координатной системе х компоненты этого
второго диференци.'.та будут равны
где
как это следует из тождеств
3x1 дхь . дх"
дх>дхк дхЪ' дхс "Г д-{
Функции fk(x,dx) суть компоненты геометрического объек-
объекта, закон преобразования которого выражается формулой A2.3).
Предположим теперь, что 4{k{x, dx) линейны и однородны
относительно dx:
4{k(x,dx) = -T'/kdxJ, A2.4)
где Т)ь зависят только от х. Из A2.3) имеем:
Геометрический объект, компонентами которого являются функ-
ции ^у*> называется аффинной связностью (см. «И. К. Ф.»,
7*

100 Г Л А В А V
гл. Ill, § 10). Если TL — функции класса «' в координатной
системе х, то они будут также класса и' в х, при условии
и'^и— 2. В этом случае и' — инвариант; его можно назвать
классом аффинной связности. Для рассматриваемых нами аффин-
аффинных связностей мы будем предполагать и' ==и — 2.
В случае, когда вторые диференциалы, с рассмотрения ко-
которых мы начали, удовлетворяют условию
bdx—б?§лгг=0, A2.6)
аффинная связность симметрична, т. е.
Обратно, из симметричности аффинной связности следует
A2.6).
Поле вторых диференциалов
A2.7)
определенное аффинной связностью,—очень специально.
Имеется уже весьма обширная теория других геометрических
объектов, которые возникают при модификации предположе-
предположений, приводящих к аффинной связности; таковы, например,
поля вторых диференциалов d?, заданных уравнениями A4.1)
и A5.1) (см. ниже). Другое обобщение заключается в требо-
требовании, чтобы функции у'А были однородными первой степени,
но не обязательно линейными, относительно dx. По этому
вопросу см. статью Бервальда (L. Berwald) в En.cyclopO.die
der Math. Wiss., т. Ill, часть III.
§ 13. Параллельное перенесение. Заменяя в A2.7)
dx1 через V, a §— через d, имеем:
A3.1)
При задании какой-либо параметризованной кривой
A3.2)
где x'(t) — функции класса 1, A3.1) определяет систему
обыкновенных диференциальных уравнений

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА \Q\
где
ТДО = -1У*Ю)-^. A3.4)
По известной теореме существования1 A3.3) имеют един-
единственную систему решений
удовлетворяющую начальным условиям,
5'(<о) = 5'0,
где ?'д — произвольны, a t0 — любое число в промежутке
<
Из линейного характера уравнений A3.3) вытекает,'что
эти решения линейны относительно начальных констант, т. е.
имеют вид
e'(<) = aJ(M0)S/(<0). A3.5)
Можно считать, что A3.5) определяет линейное однородное
преобразование
касательного пространства в точке x(t0) в касательное про-
пространство в x(t); по теореме существования это справедливо
для некоторого максимального интервала Ь' <^ t <^ с'.
Преобразование ? (t0) —>- ? (^) будет неособенным для каж-
каждой пары точек этого интервала, т. е. a(t,to)=^=O, (a = |c'1).
Действительно («И. К. Ф.», гл. I, § 7),
da , ddj
1П = аялТ'
где а1а5 = Ь'.. Но а' суть решения уравнений A3.3), обра-
обращающиеся в Ь*. при t = t0. Следовательно,
1 См. G. А. В1 i s з, Fundamental Existence Theorems (Colloquium
lectures of the Amer. Math. Soc, т. 3), стр. 95; И. Г. П е т р о в с к и й,
Лекции по теории обыкновенных диференциальных уравнений, М.-Л.,
1947. Исчерпывающая трактовка вопроса о параллельном перене-
перенесении, . непосредственно использующая линейность уравнения A3.3),
дана в статье L. Schlesinger, Parallelverschiebung und Krumrtungs-
tensor, Math. Annalen, т. 99 A928), стр. 413.

102 ГЛАВА V
и так как a (tu, tu) = 1, то
f т{ (*)<**
с(«,*0) = «'в фО.
Отсюда следует, что b' = b и с' = с. В самом деле, предпо-
предположим, что с' <^ с. Тогда мы можем, исходя от с', опреде-
определить преобразование
5@ — 50
для какого-либо 2, удовлетворяющего условию b'<^t<^с'.
Но для преобразований ?(*0)—»-?(#) и S (^)—*¦ ? (с') существует
результирующее преобразование. Таким образом предположе-
предположение с' <^ с приводит к противоречию. Поэтому с' —с и, ана-
аналогично, b'=b*.
Преобразование A3.5) не зависит от выбора координат,
потому что уравнение A3.1) инвариантно; а из характера
этого уравнения следует, что A3.5) не зависит от парамет-
параметризации кривой A3.2). Таким образом, преобразование
|(/0)—>-$(*) касательного пространства в t0 в касательное
пространство в t однозначно определяется диференциальными
уравнениями A3.1) и кривой A3.2). Это есть, как говорят,
параллельное перенесение—определяемое связностью Г — пер-
первого касательного пространства во второе вдоль кривой A3.2);
соответствующие векторы называют параллельными по от-
отношению к этой кривой.
Так как система решений, удовлетворяющих заданным на-
начальным условиям, определяется для A3.3) однозначно, то:
Если векторыi(f) и?(f) оба параллельны, относительно
кривой A3.2), данному вектору ? (t), то ? (?) параллелен ? (f).
Принимая ? — t, имеем:
Если Щ') параллелен Щ), то % (t) параллелен Щ').
Эти условия выражаются аналитически функциональными
соотношениями
(а)
\ a<s(f.,f)a^(t',t)^b'r
которые представляют собой необходимые и достаточные усло-
условия того, чтобы преобразования A3.5) образовывали псевдо-
tpynny.
* Ср. И. Г. Петровский, loc cit., стр. ПО. (Прим. пгрев.)

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЮЗ
Если аффинная связность—плоская (ср. гл. III, § 10), то
векторы, параллельные относительно любой кривой, равны
и параллельны, или эквивалентны в элементарном смысле, по-
потому что в декартовых координатах компоненты Г исчезают,
и A3.5) принимают вид
е'(*)=е'Со).
Очень близкую аналогию с плоским случаем представляет
симметричная связность. В этом последнем случае существуют
координатные системы, в которых компоненты связности исче-
исчезают в данной точке х («И. К. Ф.», гл. III, § 13). Пусть хх
и х2— какие-либо точки, близкие к х. Тогда параллельное
перенесение от х1 к х2 вдоль кривой
приближенно задается в указанных координатах формулой
Р(^) = «(«,), A3.7)
причем ошибка будет бесконечно-малой второго порядка,
когда х1 и х2 стремятся к х.
Эта аналогия привела к термину инфинитезимальный па-
параллелизм. Когда Г несимметрична, аналогия исчезает, ибо
формулы, соответствующие A3.7), имеют вид
где А — косо-снмметричный тензор:
Формулы A3.8), вообще говоря, имеют мало общего с
параллелизмом в элементарном смысле. В эвклидовом про-
пространстве, например, лреобразование A3.5), определенное тен-
тензором А и кривой A3.2), может быть результирующим для
параллельного перенесения в базисном пространстве (ср. § 6),
переводящего точку t0 в t, и последующего вращения.
§ 14. Аффинное перенесение. Всякое центро-аффинное пло-
плоское пространство Л° определяет единственное плоское аффин-
аффинное пространство А, содержащее те же точки и прямые, что
и Л°, но в котором центр считается эквивалентным всякой

104 ГЛАВА V
другой точке. Аффинное пространство, которое таким обра-
образом определяется касательным пространством диференциалов
в любой точке х, мы будем называть касательным аффинным
пространством в х.
Преобразования, определяемые уравнениями параллельного
перенесения,—преобразования между касательными простран-
пространствами диференциалов в различных точках, —-все они пред-
представляют собой изоморфизмы между касательными аффинными
пространствами. Существуют также семейства перенесений,
которые являются изоморфными преобразованиями между ка-
касательными аффинными пространствами в различных точках,
но не обязательно переводят нуль-вектор одного пространства
в нуль-вектор другого. Такое семейство определяется дифе-
реициальными уравнениями вида
<), A4.1)
где Г—какая-либо аффинная связность, а В—тензор.
Уравнения A4.1) определяют единственное преобразование,
S'(#)=^(<,'oN/('o)+e*(<o). . A4.2)
от касательного пространства в данной точке Го по кривой
A3.2) к касательному пространству в t. Как и в случае парал-
параллельного перенесения, эти преобразования образуют псевдо-
псевдогруппу.
В самом деле, пусть h' (t) — частная система решений
обыкновенных диференциальных уравнений
где f.(t) заданы формулой A3.4), а
f{t) = -B>k(x{t))
с помощью подстановки
A4.3) приводятся к уравнениям A3.3), и мы можем применять
те же рассуждения, что и в § 13.
Геометрически это означает, что мы производим параллель-
параллельное перенесение, переводящее h (t) в нуль-вектор касательного
пространства в каждой точке кривой A3.2).

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ДО5
Преобразование A4.2) мы будем называть аффинным пере-
перенесением, от касательного пространства в t0 к касательному
пространству в t вдоль кривой A3.2), определяемым составным
геометрическим объектом, состоящим из Г и В.
§15. Обобщения. Непосредственным обобщением аффин-
аффинного перенесения является перенесение касательных пространств,
определяемое равенствами
<Й'+ У Г}» de* + fi* Ac* — V{iiCjkdxk-\-Dkdxk) = Q, A5.1)
где Г — аффинная связность, а В, С, D — тензоры, валент-
валентность которых указана положением их индексов. Это перенесе-
перенесение представляет собой проективное преобразование касатель-
касательных пространств. Для его исследования необходимо ввести
в каждом касательном пространстве «бесконечно-удаленные
точки» и определить, таким образом, касательные проективные
пространства.
Теория диференциалов — это только один из возможных
путей, один, произвольно выбранный метод реализации общей
геометрической идеи: связывать с каждой точкой базисного
пространства некоторое ассоциированное пространство (см.
гл. VII, § 5—10). Такие ассоциированные пространства есте-
естественно возникают как геометрическая интерпретация многих
других геометрических объектов, не только диференциалов.
Совокупность геометрических объектов с заданным законом
преобразования, определенных в отдельной точке хй, есть
пространство, ассоциированное с хй. Это пространство удовле-
удовлетворяет аксиомам главы II, § 9, причем роль группы G играет
закон преобразования рассматриваемых объектов. Так, сово-
совокупность всех относительных тензоров данного веса, ковари-
антных порядка р и контравариантных порядка q, есть про-
пространство nP+q измерений с линейной однородной группой
преобразований. Точно также совокупность аффинных связно-
стей есть ядерное пространство с группой линейных преоб-
преобразований. Эти ассоциированные пространства являются конеч-
конечным продуктом эволюционного процесса, началом которого
следует считать «системы функций»,введенные Риччи(«И.К. Ф.»,
гл. II, § 16).
Идея смещения ассоциированных пространств вдоль кри-
кривых (см. гл. VII, § 6) может быть также рассматриваема как

106 Г Л А В А V
геометрическая интерпретация процессов, обычно практиковав-
практиковавшихся в теории уравнений с частными производными; но дей-
действительным началом развития этой идеи является открытие
Леви-Чивита инфинитезимального параллелизма1, полное зна-
значение которого было выявлено Г. Вейлем2, введшим общее
понятие симметричной аффинной связности. Затем идея перг-
несения между ассоциированными пространствами была подхва-
подхвачена Картаном и Схоутеном3, использовавшими ее как опре-
определяющий принцип в обобщенных геометриях, аффинной, кон-
конформной и проективной. Перенесения еще более общего типа
были ранее введены Кёнигом4;
Разработка этих концепций была в значительной мере свя-
связана с развитием обобщенной проективной геометрии (одним
из аспектов которой является теория проективных перенесе-
перенесений),- которое проводилось авторами, цитированными выше,
Томасом6 и некоторыми другими.
Изложение этого вопроса и библиографию см. в статье
Бортолотти: Е. Bortolotti, Comressioni proiettive, Bollettino
della Unione Matematica Italiana, т. 9, 10 A930—1931).
,: 1 .Nozione die Parallelismo in una varieta qualuftque e conseguente
speciflcazione geometrica della curvatura Riemanniana", Rendiconti del
Circolo Mat. di Palermo, 42 A917), стр. 173—204. Инфииитезималь-
ный параллелизм был также независимо открыт Схоутеном. Т. A. Scho-
uten, On the number of degrees of freedom of the geodetically moving
system and the enclosing. Euclidean space with the least possible num-
number of dimensions, Коп. Акад. van Weten. te Amsterdam, XXI A919),
стр. 607—6ГЗ.
2 H. Weyl, Reine Ihfinitesimalgeometrie, Math. Zeitschr., т. 2
A918), стр. 384—411. См. также Н. Weyl, „Raum, Zeit, Materie".
¦ 8 E. Cartan, Sur les varietes a connexion affine et la theorie. de la
relativite generalisee, Annales de VEcole Normale Superieare, т. 40
A923), стр. 325—4Г2: „Les espaces a connexion cgnforme", Annales de
laSoc. Polonaise de Math. A923), стр. 171—221, и „Sur les varietes
a connexion projective', Bull, de la Soc. Math, de France, т. 42A924),
етр..2О5; J. A. Schouten, On the place of conforraal and projective
geometry in.the theory of linear displacement,Proc.Akad. van Weten
te Amsterdam, т. 27 A924), стр. 407—424 и „Erlanger Programm und
Uebertragungslehre" Rendiconti del Circolo Mat: di Palermo, т. 50
A926), стр. 142—169. ¦
* R..K6nig, BeitrSge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre,
Jahresbericht der Deutschen Meth. Vereinigung, т. 28 A920),
стр. 219—228.
8 Т. Y. Thomas, A projective theory of' affinely connected mani-
manifolds, Math. Zeitschr,, т. 25 A926), стр, 723..-. .

Г Л А В А VI
СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Назначение главы. Мы закончили теперь обзор про-
простых многообразий класса и, причем нас интересовала глав-
главным образом их локальная структура. Инфинитезимальная
геометрия простых многообразий составляет большую часть
всей современной диференциальной геометрии, и предыдущие
главы содержат те элементарные свойства, которые предпола-
предполагаются известными в большинстве книг, посвященных этому
вопросу.
Но существует много пространств, геометрию которых можно
изучать с помощью допустимых координатных'систем и кото-
которые, тем не менее, не удовлетворяют аксиомам главы II, по-
потому что нет взаимнооднозначного соответствия между таким
пространством и арифметическим пространством. Подходящим
примером может служить • проективное пространство, а так-
также всякое замкнутое подпространство Sk, заданное
п — k неявными уравнениями (см. • гл: IV, § 7) без особых
точек, например, сфера или тор в арифметическом трехмер-
трехмерном пространстве.
Цель этой главы — охарактеризовать общий класс про-
пространств, типичным представителем которых является Sk. Мы
делаем это аксиоматически, в терминах некоторого неопре-
неопределенного класса «допустимых» координатных систем, во мно-
многом сходных с допустимыми координатными системами для про-
простого многообразия. Но в рассматриваемом нами теперь общем
"случае не существует, вообще говоря, такой допустимой коор-
координатной системы, в которой было бы полностью предстаалено
все пространство. ..
Аксиомы делятся на три группы: А, В и С. Аксиомы А
полностью описывают локальную структуру, а аксиомы С
накладывают некоторые общие ограничения на топологию про-
пространств1. Аксиомы В определяют класс допустимых* коорди-
1 Всякое пространство, удовлетворяющее аксиомам Аи С, есть
топологическое пространство с такой же локальной структурой,-как

108 ГЛАВА VI
натных систем. Таким образом, мы идем от построения струк-
структуры в малом к структуре пространства в целом, в противо-
противоположность главе IV, § 3 и 7, где локальная структура &-про-
странства выводится из его представления в целом.
Аксиомы описывают широкий класс пространств, которые
ке все эквивалентны. Чтобы притти к какой-нибудь опреде-
определенной геометрии, необходимо добавить дальнейшие постулаты
более специального характера.
§ 2. Первая группа аксиом. Аксиомы будут сформули-
сформулированы нами в терминах «точки» и «допустимые координатные
системы». Точки совершенно не определены, а допустимые
координатные системы образуют неопределенный класс взаимно-
взаимнооднозначных соответствий Р—>-х между множествами точек
и множествами арифметических точек в арифметическом
«-пространстве.
Свойства допустимых координатных систем будут описаны
в терминах регулярных, преобразований класса и в арифмети-
арифметическом пространстве, и и следует считать фиксированным,
равным либо 0,1 оо, либо ш. Прообраз арифметической
л-ячейки в допустимой координатной системе мы будем назы-
называть п-ячейкой класса и. Как н в предыдущих главах, мы
часто будем опускать слова «класса и» в применении к пре-
преобразованиям и л-ячейкам.
Аксиомы первой группы:
А,. Преобразование координат между двумя допусти-
допустимыми координатными системами одной и той же зоны регу-
регулярно, при условии, что по крайней мере для одной из дан-
данных систем арифметическая зона является областью.
А2. Всякая координатная система, полученная регуляр-
регулярным преобразованием координат из допустимой координат-
координатной системы, допустима.
А3. Соответствие, при котором каждой точке п-ячейки
отнесен ее образ в допустимой координатной системе, яв-
является допустимой координатной системой.
и простое многообразие класса и. Этот вопрос, равно как и другие
топологические вопросы, рассмотрен в статье «Система аксиом
диференциальной геометрии», Proc. Nat. Acad. of Sciences, т. 17
A931), стр. 551, в которой доказывается также независимость соот-
соответствующих аксиом.

СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ю9
§ 3. Геометрия «-ячейки. Мы в состоянии теперь дока-
доказать две теоремы, оправдывающие ранее сделанное замечание
о том, что аксиомы А вполне характеризуют локальную струк-
структуру. Первая теорема следующая:
Теорема 1. В любой допустимой координатной си-
системе образ п-ячейки есть арифметическая п-ячейка.
Пусть X—образ л-ячейки С в допустимой координатной
системе К. По определению л-ячейки, С является в некото-
некоторой допустимой системе координат Ко прообразом какой-то
арифметической л-ячейки Хо. По А3, соответствия между
С и Хо в Ко и между С и X в К суть допустимые коорди-
координатные системы. По Av преобразование координат от Хо к X —
регулярно, и, следовательно, X есть арифметическая «-ячейка.
Вторая теорема следующая:
Теорема 2. Если С—какая-либо п-ячейка иХ—ка-
иХ—какая-либо арифметическая п-ячейка, то существует допу-
допустимая координатная система, для которой С является
зоной, а X—арифметической зоной.
По определению л-ячейки, С является в некоторой допу-
допустимой системе координат прообразом арифметической л-ячей-
л-ячейки Y. По А3, соответствие между С и Y есть допустимая коор-
координатная система. Существует регулярное преобразование,
переводящее Y в X, и теорема следует из А2.
Аксиомы А достаточны для того, чтобы полностью охарак-
охарактеризовать л-ячейку. Действительно, пусть нам дана некоторая
л-ячейка С; сосредоточим свое внимание на С. Иначе говоря,
добзвим к аксиомам А следующее условие:
А. Пространство есть п-ячейка класса и.
Арифметическое пространство есть арифметическая л-ячейка
(гл. III, § 6), и по теореме 2 существует по крайней мере
одна допустимая система координат, в которой пространство,
удовлетворяющее А и А, находится во взаимно-однозначном
соответствии с арифметическим пространством. Если мно-
множество всех таких допустимых координатных систем при-
принять в качестве предпочитаемых координатных систем, то
л-ячейка будет, очевидно, простым многообразием, согласно
§ 7, гл. III. Обратно, очевидно, что простое многообразие
с допустимыми координатными системами, определенными в
§ 9 главы III, удовлетворяет аксиомам А и А.

116
ГЛАВА VI
§ 4. Объединение координатных систем. Пусть [Р] и [Q] —
зоны взаимно-однозначных координатных систем Р—>-х и Q —+ у,
соответственно, [х] и [у]— их арифметические зоны, a [R]—
пересечение [Р] и [Q]. Может случиться, что [в обеих коорди-
координатных системах обра-
образом [R] является пере-
пересечение [х] и [у], при-
причем] * каждая точка R
представлена одной и
той же арифметической
точкой z в Р—>х и
в Q—*y; или же, что
и [R], и пересечение [х]
Рис. 6 с [у] — оба пусты **.
И в том и в другом
случае существует взаимно-однозначная координатная систе-
система, в которой каждая точка Р отнесена своему образу
в Р—>х, а каждая точка Q — своему образу в Q—*-у. Эту
координатную систему мы будем называть объединением си-
систем Р—*х и Q—>у.
Пусть [Ка]— множество (конечное или бесконечное) вза-
взаимно-однозначных координатных систем, таких, что для каж-
каждой пары (Кл, К9) существует ее объединение. Обозначим зону
системы Кл через Ual а ее арифметическую зону—через Хл.
Обозначим, далее, через U множество всех точек, из кото-
* Слова в квадратных скобках вставлены нами; без этого
условия утверждение авторов о существовании объединения систем
Р -у х и Q -»- у (см; ниже) неверно, как показывает следующая схема:
(Прим. перее.)
** Эта возможность является, в нашей формулировке (см. преды-
предыдущее примечание), лишь частным случаем указанной первой воз-
возможности. (Прим. перее.)

СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ш
рых каждая принадлежит по крайней мере одной зоне Ua, a
через X—множество арифметических точек, каждая из кото-
которых принадлежит по меньшей мере одной Хл. Пусть К озна-
означает соответствие, при котором каждая точка из U отвечает
каждой арифметической точке, представляющей ее хотя бы
в одной системе Ка. Если бы при этом какая-нибудь точка
из U соответствовала двум различным арифметическим точкам
из X, то тогда имелись бы две координатные системы, Ка
и Кр, в которых эта точка отвечала бы двум различным
арифметическим точкам, и для пары Кя, Ко не существовало
бы объединения. Следовательно, каждая точка из U соответ-
соответствует в К одной и только одной точке из X. Точно также
никакие две точки из U не могут соответствовать одной и
той же арифметической точке. Таким образом, соответствие К—
взаимно-однозначное. Мы называем К объединением множества
координатных систем [Ка]. Итак, мы доказали следующую
теорему: всякое множество взаимно-однозначных координат-
координатных систем [К„\ имеет объединение, если существует объе-
объединение каждой пары (КЛ, КЛ.
§ 5. Вторая группа аксиом. Аксиомы В предназначены
для того, чтобы охарактеризовать класс допустимых коорди-
координатных систем в пространстве, удовлетворяющем аксиомам А.
Выше описан класс допустимых координатных систем, зоны
которых суть я-ячейки; аксиомы В устанавливают, что объе-
объединения таких систем исчерпывают весь класс допустимых
координатных систем.
Вот эти аксиомы:
Bj. Всякая координатная система, являющаяся объеди-
объединением множества допустимых координатных систем, зоны
которых суть п-ячейки, — допустима.
В2. Каждая допустимая система координат есть объе-
объединение множества допустимых координатных систем, зоны
которых суть п-ячейки.
§ 6. Следствия из аксиом Ли В. Из В2 следует, что
объединение всякого множества допустимых координатных
систем — если оно существует — есть объединение множества
допустимых координатных систем, зоны которых суть л-ячейки;
и из Вх имеем:

Й2 ГЛАВА VI
Теорема 3. Если объединение множества допустимых
систем координат существует, —оно является допустимой
системой координат.
Множество точек [Р] мы будем называть областью
в том и только в том случае, если каждая точка Р принад-
принадлежит л-ячейке, которая содержится в [Р].
Теорема 4. Зона допустимой системы координат
есть область.
Действительно, всякая допустимая координатная система К
есть объединение множества допустимых координатных систем,
зоны которых суть и-ячейки, и каждая точка из зоны системы
К содержится в одной из этих й-ячеек, а каждая из этих
й-ячеек содержится в зоне системы К; следовательно, она яв-
является областью.
В допустимой системе координат прообраз всякой арифме-
арифметической области есть, очевидно, область, а из теоремы 1
следует, что область, содержащаяся в зоне допустимой системы
координат, представлена в этой координатной системе ариф-
арифметической областью. Следовательно, из теоремы 4 имеем:
Теорема 5. Арифметическая зона допустимой системы
координат есть арифметическая область.
Теорема 6. Соответствие между всякой областью
в зоне допустимой системы координат и ее образом в этой
системе координат само является допустимой системой
координат.
Пусть X—образ области U в допустимой системе коор-
координат К. Как было замечено выше, X есть область. Следо-
Следовательно, существует множество таких кубов [Ха], каждый
из которых содержится в X, что любая точка из X принад-
принадлежит по крайней мере одному Ха. Если ?/а—прообраз Ха
в К, то из определения я-ячейки следует, что 0а есть
л-ячейка, а из Л3 следует, что соответствие в К между Ua и
Ха есть допустимая система координат Кл. Очевидно, каждое
объединение (Кл, Ка) существует и, следовательно, сущест-
существует объединение К множества [Ка]; согласно Вг> К' является
допустимой системой координат. Зоной координатной системы К'
является U, а ее арифметической зоной X.
Так как прообраз арифметической области в допустимой
системе координат есть область, то справедлива следующая
теорема:

СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ЦЗ
Теорема 7. Соответствие между областью в арифме-
арифметической зоне допустимой системы координат и ее про-
прообразом в этой системе координат само является допу-
допустимой системой координат.
§ 7. Третья группа аксиом. Сг Если две п-ячейки имеют
общую' точку, то они имеют общую п-ячейку, содержа-
содержащую эту точку.
С2. Если Р и Q — какие-либо две различные точки, то
существуют две п-ячейки — Ср, содержащая Р, и CQ, содер-
содержащая Q, причем Ср не имеет с Cq общей точки.
С3. Существуют по меньшей мере две точки.
Связь между этими аксиомами и теми, которые даны
Хаусдорфом' для топологического пространства, выясняется
в статье, на которую мы ссылались в § 1 настоящей главы.
§ 8. Следствия из аксиом А, В я С. Из С2 и С3 сле-
следует, что пространство есть область. Из С1 имеем:
Теорема 8. Две области с общей точкой пересека-
пересекаются по области.
Действительно, пусть Р — точка, содержащаяся в каждой
из двух областей U и U'. По определению области, имеются
две, содержащие Р, л-ячейкн, С и С, которые содержатся,
соответственно, в U и U'. Согласно Си имеется я-ячейка С",
которая содержит Р и сама содержится в пересечении С с
С, а значит, и в пересечении U с U'. Следовательно, пере-
пересечение U с U' есть область.
Из теоремы 4 следует, что зоны двух допустимых коор-
координатных систем пересекаются по области, — если они вообще
пересекаются, — и из теорем 5, 6 и Л] следует:
Теорема 9. Преобразование координат между любыми
двумя допустимыми координатными системами, зоны кото-
которых имеют общую точку, регулярно.
Теорема 10. Существует допустимая координатная
система, в которой две данные точки, Р и Q, обе пред-
представлены.
Согласно С2, существуют две л-ячейки, Ср и Cq, содержа-
содержащие, соответственно, Р и Q и не имеющие общей точки.
1 «GrundzUge der Megenlehre», Leipzig, 1914, стр. 213 (русский
перевод: Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ГТТИ, 1937, стр. 113).
8 Веблен и Уайтхед

114 ГЛАВА VI
Пусть Сх и С —какие-либо арифметические я-ячейки, не
имеющие общей точки. По теореме 2, существуют допусти-
допустимые системы координат Кх и К отображающие, соответ-
соответственно, Ср в Сх и CQ в Сг Ни Ср с CQ, ни Сх с Су не
имеют общих точек; следовательно, объединение систем Кх
и Ку существует и, по Ви является допустимой координат-
координатной системой.
Теорема 11. Множество всех преобразований между
двумя допустимыми системами координат есть псевдогруппа
класса и.
По теореме 9, всякое преобразование между двумя допу-
допустимыми системами координат принадлежит псевдогруппе
класса и.
Обратно, всякое регулярное преобразование х—>-у, рас-
распространенное на арифметическую область X, есть преобра-
преобразование между некоторой парой допустимых координатных
систем. В самом деле, имеется по меньшей мере одна
л-ячейка и по крайней мере одна допустимая система коорди-
координат, в которой данная л-ячейка представлена арифметическим
пространством. Из теоремы 7 следует, что область X является
арифметической зоной некоторой допустимой системы коор-
координат, а из аксиомы Л2 — что х—*-у есть преобразование
координат между двумя допустимыми координатными системами.
§ 9. Многообразия класса и. Общие определения и
теоремы, разработанные нами в последних трех главах для
простых многообразий, применимы ко всякому пространству,
удовлетворяющему аксиомам А, В и С. Ничего не нужно ме-
менять ни в определении &-ячеек, скаляров и других геометриче-
геометрических объектов, ни в трактовке касательных пространств, дифе-
ренциалов высших порядков, бесконечно-малого смешения и т. д.
То же замечание относится и к содержанию „И. К. Ф.\
Пространство, удовлетворяющее аксиомам А, В и С, мы
будем называть п-мерным многообразием класса и, или
регулярным многообразием^. Простое многообразие класса и,
1 Заметим, что всякое пространство, удовлетворяющее только
аксиомам А и С, является регулярным многообразием, т. к. мы мо-
можем подчинить его аксиомам всех трех групп А, В, С, введя, в слу-
случае надобности, новый класс допустимых координатных систем, оп-
определяемых через прежние системы.

СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц5
как оно определено в главе 111, является, очевидно, специ-
специальным случаем регулярного многообразия. Многообразие
класса 0 удовлетворяет нашему интуитивному представлению
о непрерывности, а многообразие класса 1—нашему пред-
представлению о «гладкости». Последнее находит свое матема-
математическое выражение в теории диференциалов первого порядка.
Пусть U—какая-либо область в регулярном многообра-
многообразии Мп; примем в качестве допустимых систем координат
для U те допустимые координатные системы для Мп, зоны
которых содержатся в U. Это множество допустимых коор-
координатных систем удовлетворяет, очевидно, аксиомам А и В, а
также аксиомам С1 и С2. Если область U содержит одну точку,
то она содержит все точки некоторой я-ячейки и, следо-
следовательно, удовлетворяет аксиоме С3. Таким образом, имеем:
Теорема 12. Всякая область в регулярном много-
многообразии сама есть регулярное многообразие, если только
она содержит хотя бы одну точку.
Пусть [К\ — множество всех допустимых координатных
систем для многообразия Мп класса и^>0. Пусть, далее,
[К'\ означает множество координатных систем, каждая из
которых получается из какой-нибудь системы К посредством
некоторого преобразования класса и', при каком-либо и'<^и.
Если принять [1С] за допустимые системы координат для мно-
многообразия Мп, оно, очевидно, будет удовлетворять аксиомам,
установленным для многообразия класса и'. Таким образом,
многообразие класса и является многообразием класса и' с допол-
дополнительным элементом структуры, именно, подклассом коор-
координатных систем [К\. Действительно, псевдогруппа класса и —
одна из многих, которые можно использовать для определе-
определения специальных классов многообразий класса 0, точно также как
группа Ga, определенная в главе 111, § 7, есть лишь одна
из многих, которые могут быть использованы для определе-
определения специальных простых многообразий1.
Мы можем теперь определить диференциальную геомет-
геометрию как общую теорию многообразий класса 1, в отличие от
геометрии многообразий класса 0, которая является ветвью
топологии. Teopi я тензоров, касательных пространств и гладг
1 См. гл. VII, § 4, а также § 8 статьи, указанной выше, в сноске
к § 1.

116 Г ЛАЙ А VI
ких подпространств проходит через всю диференциальную
геометрию. Общая теория многообразий класса 2 представ-
представляет собой подкласс диференциальных геометрий, содержа-
содержащих теорию аффинных связностей, кривизны и соприкаса-
соприкасающихся подпространств. Точно также существуют диферен-
циальные геометрии класса 3, класса 4, ...,и, наконец, мы при-
приходим к аналитическим многообразиям, которые обладают всеми
свойствами, вытекающими из разложений в степенные ряды.
§ 10. Jfe-пространства в целом.
Теорема 13. Если Ро — обыкновенная точка для п — k
скаляров класса «>0,/*+1(Р), ..., f"{P), определенных на
регулярном многообразии, то множество обыкновенных
точек, удовлетворяющих уравнениям
/°(Р)=/°(Р0), (в = А+1,...,я) (ЮЛ)
есть регулярное многообразие k измерений.
Из рассуждения, приведенного в § 3 гл. IV, следует,
что каждая обыкновенная точка геометрического места A0.1)
содержится в ^-ячейке, состоящей из точек этого геомет-
геометрического места. Далее, для каждой А-ячейки существует
класс параметризаций, заданных в допустимых координатах
уравнениями вида
где x(t) — функции класса и. Если эти параметризации и их
объединения принять за допустимые системы координат, то
аксиомы А и В будут, очевидно, выполнены. Рассматривая
установленные для «-пространства аксиомы С, мы с помощью
рассуждения, проведенного в § 7 гл. IV, заключаем, что
аксиомы С также удовлетворяются геометрическим местом
A0.1). Следовательно, оно представляет собой регулярное
многообразие k измерений.
§ 11. Регулярные точечные преобразования. Из тео-
теоремы 10 вытекает, что определение точечного преобразова-
преобразования, данное в § 15 гл. III, достаточно для рассмотрения
локальной эквивалентности, если определить последнюю на
регулярном многообразии так, как это сделано в § 8 гл. IV.
Но для установления эквивалентности в целом нам нужна

СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц7
теория точечных преобразований между областями, которые
необязательно представлены в одной и той же допустимой
системе координат. Настоящий параграф содержит элементы
такой теории. На ее основе мы убедимся, что содержание
§ 16 и 17 гл. Ill применимо к регулярным многообразиям
вообще.
Для определения общего класса регулярных точечных
преобразований мы определим сначала специальное подмноже-
подмножество таковых. Пусть Р—> Q — неособенное точечное преобра-
преобразование й-ячейки [Р] в некоторое множество точек [Q], лежа-
лежащее в том же самом или в каком-нибудь другом регулярном
многообразии. Преобразование Р —»- Q мы будем называть
регулярным в том и только в том случае, если имеются
допустимые координатные системы Р—>~х и Q—+х с зонами
[Р] и [Q], соответственно, с общей арифметической зоной,
и притом такие, что Р—»¦ Q есть результирующее двух последова-
последовательных отображений: 1) Р—>-л;, 2) л;—>Q.
Из этого определения следует, что [Q] является й-ячейкой.
Поэтому обратное преобразование Q—»-Р регулярно. Из Л3
следует, что преобразование Р —>- Q, произведенное
над каждой й-ячейкой, содержащейся в [Р], также регулярно.
Более того, существует регулярное точечное преобразова-
преобразование, переводящее одну из данных двух й-ячеек в другую,
потому что существует допустимая система координат, в которой
данная й-ячейка соответствует данной арифметической
я-ячейке.
Неособенное точечное преобразование Р—»¦ Q, произве-
произведенное над областью [Р], мы будем называть регулярным
в том и только в том случае, если каждая точка Р при-
принадлежит п-ячейке Ср, содержащейся в [Р], такой, что
преобразование Р—»¦ Q, произведенное 'над Ср, регулярно.
Из этого определения следует, что [Q] есть область и
что Q—+Р также регулярно. Пусть U—какая-либо область,
содержащаяся в [Р], и Р — какая-либо точка в U. Сущест-
Существует такая й-ячейка Ср, содержащая Р, что преобразова-
преобразование Р—>-Q, производимое над Ср, регулярно, и, по теореме 8,
существует й-ячейка С'р, содержащаяся в пересечении U с Ср.
Как ранее было замечено, Р —»• Q, распространенное на С'р,
регулярно. Таким образом, преобразование Р—»¦ Q, распростра-
распространенное на любую содержащуюся в [Р] область, регулярно.

118 Г Л А В А VI
В случае если [Р] является я-ячейкой, необходимо доказать,
что из регулярности преобразования Р—»-Q в смысле второго
из данных выше определений следует его регулярность в первом
смысле. Это вытекает, как частный случай, из следующей
теоремы:
Теорема 14. Пусть [Р]—зона любой допустимой
системы координат и пусть Р—±Q означает преобразова-
преобразование [Р] в любое множество точек [Q]. Соответствие Q—*-х,
являющееся результатом двух последовательных отобра-
отображений Q—*Р и Р—>-х, будет допустимой координатной
системой тогда и только тогда, когда Р—>-Q регулярно.
Предположим сначала, что Q—*-х есть допустимая система
координат и пусть Сх — какая-либо я-ячейка в арифметиче-
арифметической зоне системы Q—*-х. Прообразы я-ячейки Сх при
Р—>jc и при Q—+x суть я-ячейки, и из Ag немедленно
следует, что Р—»-Q регулярно.
Обратно, если Р—>-Q регулярно, то существует принадле-
принадлежащая [Р] я-ячейка Ср, содержащая заданную точку Р и
притом такая, что Р—»-Q, производимое над Ср, регулярно.
Это значит, что существуют допустимые координатные системы
Р—*у и Q—+у с одной и той же арифметической зоной,
имеющие своими зонами, соответственно, Ср и ту я-ячейку Cq,
в которую С переводится преобразованием Р—»-Q. Так как
Р—>-jc и Р—+у — допустимые системы координат, преобра-
преобразование х—*-у между ними будет, по теореме 9, регулярным.
А поскольку х—>у регулярно, координатная система, ото-
отображающая каждую точку из CQ на ее образ в Q—»х,
будет допустимой, согласно А2. Следовательно, Q—*-х является
объединением допустимых координатных систем, зоны которых
суть й-ячейки, и, значит, по аксиоме Bv является допустимой
системой координат. '
Как следствие, отсюда вытекает, что преобразование
P—>-Q области [Р] в область [Q] регулярно в том и
только в том случае, если Р—*Q, производимое над каж-
каждой п-ячейкой в [Р], регулярно в смысле первого опреде-
определения, данного в этом параграфе.
Теперь мы покажем, что определение, данное в этом
параграфе, согласуется с тем, которое дано в гл. III.
Теорема 15. Точечное преобразование Р—*¦ Q области
[Р] в множество точек\0\, — причем [Р] и [Q] оба принад~

СИСТЕМА АКСИОМ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц9
лежат зоне одной допустимой системы координат К — регу-
регулярно тогда и только тогда, когда оно представлено
в К регулярным преобразованием в арифметическом про-
пространстве.
Пусть [л:] является образом [Р] в К, а [у] — образом [Q],
и пусть л:—*-у — преобразование, которым Р—>-Q представ-
представлено в К. Предположим сначала х—*-у регулярным. Пусть
Р—>х— та координатная система,, в которой каждая точка Р
соответствует своему образу в К, a Q—>-у—координатная
система, в которой каждая точка Q соответствует своему
образу в К. По теореме 6, Р—>-х и Q—*-у— допустимые
системы координат, и преобразование у—>-х 'является регу-
регулярным преобразованием координат от Q—>-у к той коор-
координатной системе Q—*x, в которой [Q] представлено через [х].
Координатная система Q—>¦ х допустима, по Л2, и является
результирующим двух последовательных отображений: Q—>Р
и Р—*х. По теореме 14, преобразование Р—>Q регулярно.
Обратно, пусть Р—*-Q регулярно. Тогда, по теореме 14,
Q—>х — допустимая координатная система и преобразование
х—>-у регулярно, по аксиоме Ах.
Теорема 16. Точечное преобразование Р —>¦ Q области
[Р] в множество точек [Q] регулярно в том и только в том
случае, если для каждой точки Р имеется содержащая ее
п-ячейка Ср, содержащаяся в [Р] и обладающая следую-
следующим свойством: как Ср, так и CQ— ее образ при Р—»¦ Q — при-
принадлежат зоне одной допустимой координатной системы,
в которой преобразование Р—»-Q от Ср к CQ представ-
представлено регулярным преобразованием в арифметическом прост-
пространстве.
Достаточность этого условия вытекает из теоремы • 15
и определения регулярного точечного преобразования, рас-
распространенного на область. Предположим, поэтому, что
Р—>-Q регулярно, и пусть' P,Q — пара" соответствующих
точек. По теореме 10, существует допустимая координатная
система К, в зоне которой находятся Р и Q. Пусть U озна-
означает зону координатной системы К, С'р — пересечение U
с [Р], a C'Q — образ Ср приP—+Q. По теореме 8, Ср есть
область, и, следовательно, C'Q есть область, поскольку P—+Q
регулярно. Поэтому пересечение Cq с U также есть область.

120 ГЛАВА VI
Пусть Cq — какая-либо содержащая фй-ячейка, принадлежащая
этому пересечению, и пусть Ср означает образ CQ при преоб-
преобразовании Q—> Я. Тогда Ср должно быть й-ячеикой; регу-
регулярное преобразование Р—>¦ Q переводит Ср в CQ, и доказы-
доказываемая теорема следует из теоремы 15.
§ 12. Псевдогруппа регулярных точечных преобразо-
преобразований. Пусть Р—*Q означает регулярное точечное преобра-
преобразование, переводящее й-ячейку [Р] в и-ячейку [Q], a Q—>-R—
регулярное преобразование и-ячейки [Q] в й-ячейку [/?]. Тогда
Р—>-Q является результирующим двух отображений, Р—*х
и х—»-Q, т. е. двух допустимых координатных систем с одной
и той же арифметической зоной [х]. Аналогично, Q—> /?
является результирующим для отображений Q—*у ну—*-/?,
т. е. для двух допустимых координатных систем с общей
арифметической зоной [у]. Пусть х—*-у означает преобразо-
преобразование координат от Q—>-х к Q—*-у. По аксиоме Аи х—+ у
регулярно, и, по А2, координатная система Р—>-у, получен-
полученная из Р—»¦ х посредством преобразования х—>-у, допустима.
Следовательно, преобразование Р—*-R, являющееся резуль-
результирующим для отображений Р—*-у и у—>/?, регулярно.
Иными словами, точечные преобразования между й-ячейками
обладают свойством транзитивности.
Теорема 17. Множество всех регулярных точечных
преобразований между областями в регулярном многообра-
многообразии образует псевдогруппу.
Мы уже отмечали, что преобразование, обратное " регу-
регулярному точечному преобразованию, регулярно. Пусть
Р—> Q — регулярное точечное преобразование, переводящее
область [Р] в область [Q], a Q—»-/? — регулярное точечное
преобразование, переводящее [Q] в область [/?]. Согласно
следствию из теоремы 14, P^-*-Q переводит регулярным
преобразованием всякую и-ячейку Ср из [Р] в й-ячейку CQ, a
Q—+R перевэдит CQ в й-ячейку С#, также регулярным преоб-
преобразованием. Из транзитивности регулярных точечных преобра-
преобразований между й-ячейками следует, что Р—*R переводит
Ср в CR регулярным преобразованием. Значит, преобразо-
преобразование Р—>¦/?, распространенное на область [Я], регулярно, и
теорема таким образом доказана.

ГЛАВА VII
РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Общие замечания. Переход от общей теории,
построенной на аксиомах Л, В и С, к определенному част-
частному классу геометрий может быть совершен двумя путями:
можно либо добавить некоторые предположения относительно
топологии изучаемых пространств, либо выделить некоторый
тип локальной структуры. Эти пути до известной степени
независимы один от другого. Но многие виды локальной
структуры накладывают определенное ограничение на топо-
топологический характер пространства. Например, при п четном,
на й-сфере не может существовать не имеющее особенно-
особенностей непрерывное векторное поле 1.
Можно также ввести какой-нибудь тип структуры, кото-
который влечет за собой и локальные и топологические ограни-
ограничения. Хороший пример дает теория непрерывных групп,
й-мерная непрерывная группа представляет собой регулярное
многообразие с непрерывной функцией F(P,Q), определен-
определенной для всех упорядоченных пар точек. Значения функции
являются точками многообразия, и оно удовлетворяет всем
условиям, сформулированным для группы в главе II, § 2.
Краткое изложение этой теории, а также указания литера-
литературы можно найти в мемуаре Картана: Е. Cartan, La thiorie
des groupes finis et continues et I'analysis situs, Paris, 1930.
Рассмотрим другой пример. Пусть система я скаляров
/¦(Р), ... ,/"(Р) класса и]>0, не имеющих особых точек,
определена в каждой точке регулярного многообразия. Эти
скаляры определяют систему координат Р—+у,
y{=f(P),
1 Эта теорема принадлежит Броуэру: L. E. J. В г о u w e r, Uber
eineindeutlge, stetige Transformational von FISchen In sich, Math.
Annalen, т. 69 A910). Упрощенное доказательство дал Александер:
.1. W. А1 е х а п d e r, On transformations with Invariant points, Trans,
Am. Math, Soc, т. 23 A922), стр. 94,

122 ГЛАВА VII
в которой данная точка Р имеет единственный образ у.
Несколько точек могут соответствовать одной и той же
арифметической точке; но каждая точка Р содержится в
"я-ячейке, которая переводится отображением Р—>-у в арифме-
арифметическую я-ячейку. Следовательно, все многообразие отобра-
отображается на арифметическую область.
Если мы представим себе, что каждая точка Р лежит на
соответствующей арифметической точке, то может оказаться,
что наше регулярное мно-
многообразие перекрывает
себя, как показано на
рис. 7. Каждая точка в
части „Аи на диаграмме,
представляющая одну точ-
точку арифметического про-
пространства, изображает две
точки регулярного много-
многообразия. Такое многооб-
Рис- 7 разие, как принято го-
говорить, гладко лежит
на арифметическом пространстве.
При наложении регулярного многообразия на арифмети-
арифметическое пространство не может быть «складок», ибо складка
означала бы наличие края, т. е. геометрического места осо-
особых точек для заданных я скаляров. Так, в двумерном случае
регулярное многообразие не может быть ни сферой, ни тором
и никакой другой замкнутой поверхностью. Оно не может
также быть получено из тора путем изъятия конечного числа
изолированных 2-ячеек.
§ 2. Геометрия путей. Пространство путей (paths)* — это
такое пространство, в котором, в дополнение к свойствам
одной лишь протяженности, постулированным в аксиомах А,
В и С, имеется система кривых, называемых путями, с
помощью которых можно, так сказать, пробираться. Для
любых двух близких точек Ро и Р1 имеется «наилучший»
* Мы пользуемся термином «путь», как общепринятым в русской
литературе (см. напр., Н. Г. Чеботарев, Теория групп Ли, М. — Л.,
1946), хотя более точным переводом слова «path> был бы термин
<тропа>. {Прим. перге.)

РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 123
путь, их соединяющий; он может быть задан параметриче-
параметрическим уравнением вида
P = F{P0, Pltt),
причем функция F(PQ, Plt t) предполагается непрерывной
относительно Ро, Pt и t. Наилучший путь можно было бы
при желании принять в качестве неопределяемого термина
в системе аксиом; но обычно он определяется с помощью
более специальных условий, накладываемых на локальную
структуру. В римановом пространстве, например, он является
кратчайшей геодезической.
При построении какой-нибудь специальной геометрии путей
мы можем предполагать различные топологические свойства
либо у пространства в целом, — например, что любые две
точки соединены по крайней мере одним путем, — либо
в малом, например, что 2-ячейка, заданная условием
P = F{F@, А, и), F@, В, v),w},
(с подходящими ограничениями, наложенными на и, v и w),
порождается теми наилучшими путями, которые соединяют
точки на двух данных путях, выходящих из общей точки.
Другие предположения могут относиться к классам пара-
параметризаций для отдельных путей. Так, аффинное простран-
пространство путей характеризуется тем, что в нем каждый путь
имеет локальную структуру, определенную семейством аффин-
аффинных параметризаций для каждой из его 1-ячеек. Аффинные
параметризации суть все те и только те, которые получа-
получаются из какой-нибудь данной параметризации путем линейных
преобразований
s* = as-\-b.
Таким образом, каждый путь есть локально-эвклидово 1-про-
1-пространство, для которого аффинные параметризации суть локаль-
локально-декартовы координатные системы (ср. гл. II, § 13; гл. III,
§ 12, и ниже, § 3).
Из аффинных пространств путей наиболее широко изучены
пространства, в которых пути задаются в допустимых коор-
координатах диференциальными уравнениями

124 ГЛАВА VII
где T'jk — компоненты симметричной аффнииой связности.
Существование наилучших путей следует из того факта," что
такое пространство локально выпукло. Это значит, если Р —
данная точка в данной области U, то существует содержа-
содержащая Р и содержащаяся в U я-ячейка Ср, обладающая сле-
следующим свойством: две заданные точки в Ср соединены
одной и только одной дугой пути, не покидающего Ср1.
Уравнения
е»*=°. B.2)
.где S — контравариантный вектор, а запятая означает кова-
риантное диференцирование относительно Г, могут быть
истолкованы в терминах инфинитезимального параллелизма,
как р гл. V, § 13: касательные к пути в различных его
точках параллельны по отношению к нему. Другие парал-
параллельные перенесения, для которых пути служат самопарал-
самопараллельными (т. е. прямейшими) кривыми, возникают в^качестве
геометрической интерпретации дйференциальных уравнений
S.'*+^*-V = O B.3)
где А — теизор, косо-симметричный по своим ковариантным
индексам. Точно также аффинные перенесения можно опре-
определить с помощью уравнений
* ^ * = 0, B.4)
где B{k — любой смешанный тензор.
Теория какого-нибудь специального семейства аффинных пе-
перенесений принадлежит к геометрии составного геометрического
объекта, состоящего из симметричной аффинной связности
и тензоров А к В. Отношение этой геометрии к геометрии одной
лишь связности Г аналогичио тому,как эвклидова геометрия отно-
относится к аффинной геометрии. Тем более, что в обоих слу-
случаях дополнительные элементы структуры определяются тен-
тензорами.
Симметричные аффинные связности изучены довольно под-
подробно в случае и = ы. Элементарную теорию нормальных
1 J. Н. С. Whitehead, Convex regions In the geometry of
paths, Quarterly Journal of Math., 3 A932), стр. 33.

РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ . 125'
координат и нормальных тензоров можно найти в «И. К. Ф.»,
гл. VI. Многие результаты не зависят от ограничения и — ш;
краткое изложение теории нормальных координат для й^ш
можно найти в статье, указанной в гл. VI, § 1.
Обобщение этих геометрий заключается в том, что допу-
допускается в уравнениях B.1) зависимость компонент TL от
направления (Ас1, ... , dx"), также как и от точки х. Таким
образом, рассматриваются Г' однородные нулевой степени
относительно переменных dx1, ... , dxn. Изложение этой
теории читатель найдет у Дугласа (J. Douglas, The general
Geometry of paths, Annals of Math., т. 29 A928), стр. 143).
He существует пока систематической геометрии путей
класса и = 0, 1 или 2; это объясняется тем, что здесь при-
приходится обходиться без формального аппарата, доступного
в случае и^>2. Но начала этой геометрии имеются в соз-
созданной Бляшке и его школой «геометрии тканей», общую
теорию которой можно найти в статье W. Blaschke, Neue
Str5mungen der Differentialgeometrie, Jahresbericht der Deut-
schen Math. Ver., 40 A931)?стр. 1.
§ 3. Локально-плоские аффинные пространства. Опре-
Определения и результаты гл. III, § 12, могут быть в немногих
словах распространены на регулярные многообразия вообще.
Регулярное многообразие, на котором^определена локально-
плоская аффинная связность, мы будем называть локально-плос-
локально-плоским аффинным пространством. Таким образом, локально-плос-
локально-плоское аффинное пространство есть, согласно сказанному в
предыдущем параграфе, аффинное пространство путей.
Локально-декартовы координаты определяются как в гл. III,
§ 12, и каждая точка представлена по меньшей мере в одной
локально-декартовой координатной системе. Далее, локально-
плоские декартовы системы координат, очевидно, удовлетво'
ряют аксиомам А я В, если только слово «регулярный» в А1
и А2 заменить словом «линейный».
Обратно, заменим в аксиомах А и В слова «регулярное»
и «допустимая» словами «линейное» и «локально-декартова»,
соответственно. Мы получим новые системы аксиом А и В,
которые вместе с аксиомами С (взятыми без изменения) обра-
образуют совместную систему — ибо им удовлетворяет плоское
аффинное пространство. Во всяком пространстве, удовлетво-

126 . Г Л А В А VI!
ряющем этим аксиомам, определена — как это вытекает из
формального рассуждения, проведенного в гл. III, § 10 — ло-
локально-плоская аффинная связность. Итак:
Класс локально-аффинных пространств есть класс
пространств, которые удовлетворяют аксиомам, получаю-
получающимся из А, В и С путем замены в них псевдогруппы
класса и псевдогруппой линейных преобразований, распро-
распространенных на произвольные области.
Таким же образом могут быть определены локально-эвкли-
локально-эвклидовы пространства, также как и пространства постоянной положи-
положительной или отрицательной кривизны. История изучения этих
пространств и их значение очень хорошо освещены в трудах
Клейна —F. Klein, Zur Nicht-Fuklidischen Geometrie, Math.
Annalen, r. 37 A890), или «.Gesammelte Mathematische Abkand-
lungenn, Berlin, 1921, т. I, стр. 353*. Из современных работ
по этим же вопросам укажем на статью Гопфа — Н. Hopf,
Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem, Math. Annalen, т. 95
A925), стр. 313, и книгу Картана — Е. Cart an, Lecons sur
la geometrie des espaces de Riemann (гл. III).
§ 4. Другие псевдогруппы. Указанный способ характе-
характеристики локально-плоских аффинных пространств с помощью
системы аксиом, подобных аксиомам А, В и С, но использу-
использующих какую-нибудь подпсевдогруппу ** класса и, являет-
является примером общего метода, могущего служить для опре-
определения диференциальных геометрий специального вида. Он
аналогичен переходу от геометрии группы, как она определена
в гл. II, § 9, к геометрии подгруппы.
Так, существует класс пространств (локально-плоских
проективных пространств), определенный псевдогруппой дроб-
дробно-линейных преобразований между областями. Точно также
псевдогруппы конформных преобразований, преобразований при-
прикосновения, преобразований, сохраняющих объем, и многих дру-
других видов преобразований между областями, — все эти псев-
псевдогруппы порождают пространства, заслуживающие изучения.
* Имеется русский перевод издания лекций Клейна: Ф. К л е й и,
Неэвклидова геометрия, М. — Л., 1936. (Прим. перев.)
** Т. е. подмножество регулярных преобразований, само являю-
являющееся псевдогруппой. (Прим. перев.)

РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ , 127
Некоторые из этих пространств упомянуты в статье, на которую
мы ссылаемся в гл. VI, § 1.
§ 5. Ориентированные многообразия. Всякое многообра-
многообразие, определенное псевдогруппой прямых преобразований
класса и^>0 (гл. III, § 8), мы будем называть ориентиро-
ориентированным многообразием класса и. Регулярное многообразие
называется ориентируемым, если существует подмножество
его допустимых координатных систем, такое, что, будучи
с ним ассоциировано, данное многообразие удовлетворяет аксио-
аксиомам, установленным для ориентированного многообразия.
Ниже, в § 10, будет показано, что если ориентируе-
ориентируемое многообразие связно, т. е. не состоит из двух регуляр-
регулярных многообразий, не имеющих общей точки, то существует
два и только два таких подмножества его допустимых коорди-
координатных систем. Координатные системы в каком-либо одном из
этих подмножеств можно назвать положительно ориенти-
ориентированными; это и называется ориентированием многообразия.
Простое многообразие ориентируемо, как это следует
из гл. III, § 8.
§ в. Смещение ассоциированных пространств. Обширный
класс геометрий связан с теорией смещений ассоциированных
пространств, о которой мы говорили в конце гл. V. Эти
смещения представляют собой обобщения аффинных смещений,
описанных в главе V. Общий процесс может быть описан,
в абстрактной форме, следующим образом:
С каждой точкой Р базисного регулярного многообразия
ассоциируется пространство S(P), и все эти пространства
изоморфны. Семейство смещений есть множество преобразо-
преобразований S(P)—>-S(Q), таких, что:
A) Всякое смещение S(P)—*S(Q) является изоморфным
преобразованием пространства S{P) в S(Q).
B) Если Р и Q — какие-либо две точки базисного много-
многообразия, то существует по крайней мере одно смещение
S(P)->S(Q).
C) Результирующее двух последовательных смещений
S(P)—>5(Q) и S(Q)~+S{R) является смещением S (Р)—kS(/?).
D) Преобразование, обратное какому-либо смещению
S(P)-+S(Q), является смещением S(Q)~)

12g ГЛАВА VU
Таким образом, семейство смещений есть псевдогруппа
изоморфизмов между ассоциированными пространствами. Стан-
Стандартным является метод определения семейства смещений
при помощи геометрического объекта (например, аффинной
связности), который вместе с кривой, соединяющей
две точки, Р и Q, определяет преобразование S(P)—*-S(Q).
Этот метод был разработан в главе V для параллельных
и аффинных смещений в простом многообразии. Мы хотим
теперь показать, как это рассуждение можно распространить1
на произвольно-связное многообразие, формулируя предложе-
предложения так, чтобы они были применимы ко всякому геометриче-
геометрическому объекту, который обладает некоторыми абстрактными
локальными свойствами, присущими аффинной связности.
Пусть с каждой точкой Р базисного многообразия ассоци-
ассоциировано пространство S(P). Пусть Д — геометрический объект,
определяющий псевдогруппу смещений вдоль любой 1-ячейки
класса и'2 и, следовательно, вдоль любой дуги (под дугой
мы разумеем замкнутый промежуток в 1-ячейке, ср. гл. II, §12).
Мы покажем, что Д определяет псевдогруппу смещений
вдоль любой кривой, состоящей из конечного числа дуг ви...,а№
причем последняя точка дуги ал является первой точкой дуги
<jB+1. Такая кривая может быть представлена как сумма дуг:
Она может иметь сколько угодно кратных точек.
Теорема доказывается методом индукции: предположим,
что она верна для суммы Улг-i любых N—1 дуг, и докажем
ее справедливость для любой кривой
которая может быть представлена как сумма N дуг. Пусть А
означает последнюю точку кривой Улг-i и первую точку
дуги а. Тогда смещение S{P)—>S(P'), где Р. и Р' — любые
точки на кривой у, может быть определено как результирую-
1 Существенно обобщение иа случай кривых, которые необяза-
необязательно должны быть представлены в какой-нибудь одной допустимой
системе координат.
2 Для аффинных смещений этот класс и' = 1, Для смещений, опре-
определенных диференциальными уравнениями, содержащими вторые про-
производные функций, определяющих 1-ячейку, и'=2, и т. д.

РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 129
щее двух последовательных смещений, S(P)~+S(A) и
S (A)—+S (Р'). Множество всех таких смещений образует,
очевидно, псевдогруппу. Из условия проводимой нами индук-
индукции и из начальных предположений относительно А следует,
что S (Р) —>¦ S (Р') есть изоморфное преобразование простран-
пространства S(P) в S(P').
Таким образом, справедливость доказываемой теоремы
следует из того факта, что она верна для N=\.
Всякие две точки в связном многообразии соединяются по
крайней мере одной такой кривой, а потому А определяет
псевдогруппу смещений на многообразии, если только оно
связное. »
§ 7. Группа голономии. Если Р — какая-либо точка много-
многообразия, на котором определена псевдогруппа смещений,
то множество смещений, переводящих S(P) в самое себя,
является, очевидно, группой, содержащейся в данной псевдо-
псевдогруппе. Это—подгруппа группы автоморфизмов пространства
5 (Р); она называется группой голономии1 в точке Р. Группы го-
голономии в любых двух точках Р н Q — изоморфны, ибо суще-
существует смещение S(P)—>-5(Q), а относительно всякого такого
смещения наши две группы, очевидно, сопряжены.
Если, в частности, группа голономии в одной какой-нибудь
точке сводится к тождественному преобразованию, то она
сводится к тождеству в каждой точке; смещение называется
тогда голономным. Таковы, например, параллельные смещения
в плоской аффинной геометрии (ср. гл. V, § 13). Смещение
необходимо будет голономным в том случае, если группа ав-
автоморфизмов пространства S(P) состоит из одного тождест-
тождественного автоморфизма.
Если смещение голономно, то существует единственное
преобразование S(P)—»-5(Q); потому что, если бы существо-
существовали два различных смещения S(P) в S(Q), то, произведя
какое-нибудь одно из них, затем обратное другому, мы полу-
получили бы в результате преобразование нетождественное, при-
принадлежащее группе голономии в Р.
Если смещения S(P)—*-S(Q) определены вдоль кривых,
имеющих Р и Q своими конечными точками, то группа голо-
1 См. Е. С а г t а п, Les groupes d'holonomie des espaces generalise?,
Ada Math., т. 48 A926), стр. 1.
9 Веблен и Уайтхед

130 ГЛАВА VII
номии в Ро состоит из смещений вокруг замкнутых кривых
P = P(t), (*„</</,),
где
§ 8. Локально-голономные смещения. Пусть U — какая-
либо область в многообразии, на котором определено семейство
смещений вдоль кривых. Это семейство содержит подмножество,
образующее псевдогруппу, состоящую из всех смещений вдоль
кривых, содержащихся в U. Если эта псевдогруппа голо-
номна, то можно сказать, что исходное семейство смещений
голономно в U. Мы 'будем называть семейство локально-
голономным в том и только в том случае, если каждая точка
многообразия принадлежит я-ячейке, в которой смещение го-
лономио.
Так, например, локально-голономным будет параллелизм,
определенный посредством локально-плоской аффинной связ-
связности1.
§ 9. Группа голономии аффинного смешения. Пусть
О (Р) — группа голономии в точке Р семейства аффинных сме-
смещений, определенных уравнениями B.4). Преобразование группы
задано, очевидно, уравнениями вида
¦ (9.1)
где Д/(у) и а'(у) суть функции замкнутых кривых, начинаю-
начинающихся и кончающихся в точке Р. Из группового свойства
множества G (Р) вытекает, что
(9.2)
где a (yi -(-уг) — коэфициенты, определяющие смещение вдоль
кривой +
1 Лист Мёбиуса с локально-плоской аффинной структурой пред-
представляет пример локально-плоского аффинного пространства, в кото-
котором параллелизм не голономен (см. стр. 319 статьи Гопфа, на которую
мы ссылались в § 3).

РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 131
Можно доказать, что коэфициенты а (у) суть непрерыв-
непрерывные функции кривой у, а также, что множество преобра-
преобразований (9.1), где у—кривая, непрерывно деформируемая
в точку Р, является инвариантной подгруппой группы G(P).
Если кривая у задана в координатной системе х четырех-
четырехугольником с вершинами д:, x-\-dx, x-}-dx-j-Ьх и х-\-Ьх,
то преобразование (9.1) может быть записано следующим
образом:
5' = V — S/R'jkidxHx1 — Rlkldxk Ьх1 + е', (9.3)
где е' — бесконечно-малая третьего 'порядка относительно dx
и 8х, а
4 4 (9.4)
В этих формулах 5yW заданы равенствами A2.2) гл. III,
А)ы— теми же равенствами, но с заменой Г^ через ЛуА,
запятая означает ковариантное диференцирование относительно Г.
Это следует из рассуждений, аналогичных тем, которыми
пользовался Эйзенхарт («Non-Riemannian geomerty», гл. I,
§ 10). Выкладки можно упростить, если выразить Г в нор-
нормальных координатах. Тензоры R)kl и R\i называются тензо-
тензорами кривизны и кручения, соответственно; они играют цен-
центральную роль в исследованиях Картана и других авторов, на
которые мы указывали в гл. V, § 15.
§ 10. Смешение ориентации. Касательное пространство
диференциалов Т(Р) во всякой точке Р определяет два ориенти-
ориентированных Касательных пространства 7\(Р) и Т2(Р). Существует,
таким образом, ассоциированное пространство S(P), содержа-
содержащее как раз две точки, именно 7\(Р) и Тг(Р). Ориентация каса-
касательного пространства в какой-либо точке Р определяет
однозначно ориентацию всякой й-ячейки Ср, содержащей Р, а
эта последняя ориентация, в свою очередь, определяет ориен-
ориентацию касательного пространства в каждой точке, принадлежа-
принадлежащей Ср (гл. V, § 5). Следовательно, ориентация простран-
пространства Т(Р) определяет ориентацию касательного пространства
в каждой точке ячейки Ср, в частности, в каждой точке Р'
всякой 1-ячейки а, которая содержит Р и сама содержится
9*

132 ГЛАВА VII
в Ср. Если две я-ячейки определяют одно и то же ориенти-
ориентированное касательное пространство в какой-нибудь общей
точке Р, то они, очевидно, определяют одну и ту же ориента-
ориентацию для всякой содержащей Р я-ячейкн, принадлежащей их
пересечению. Отсюда, с помощью простого рассуждения, за-
заключаем, что ориентации касательных пространств в точках
1-ячейки о определяются, независимо от выбора л-ячейкн Ср,
заданной ориентацией пространства Т(Р). Это значит, что
между двуточечными пространствами S(P), ассоциированными
с точками ячейки в, определена псевдогруппа смещений, и,
следовательно, псевдогруппа смещений определена на всем
многообразии, если только это многообразие связное. Смеще-
Смещения происходят между ассоциированными пространствами
S{P) вдоль кривых того вида, который мы рассматривали в § 6.
Из определения явствует, что это семейство смещений
локально-голономно.
Оно голономно в том и только в том случае, когда
базисное многообразие ориентируемо.
Доказательство. Если многообразие ориентируемо,
можно каждой л-ячейке приписать однозначно ориентацию таким
образом, чтобы две я-ячейки с общей точкой Р определяли
одну и ту же ориентацию пространства Т(Р).
Следовательно, использованный при определении смещения
метод устанавливает для каждого касательного пространства
одну единственную ориентацию, и, значит, смещение голономно.
Обратно, если смещение голономно, то однозначная ориен-
ориентация Тх (О) касательного пространства в данной точке О опре-
определяет однозначную ориентацию Т1 (Р) касательного простран-
пространства в каждой точке Р. Пусть Р и Р' — две точки в какой-
либо л-ячейке С. Ориентированное касательное пространство
Т1\Р) определяет ориентацию ячейки С, ту же самую, кото-
которая определяется пространством Т1(Р'), так как смещение
голономно. Таким образом, каждой л-ячейке приписывается
однозначно ориентация, согласованная с ориентацией 7\ (Р)
касательного пространства во всякой точке я-ячейки^
Если базисное многообразие ассоциировать с положительно
ориентированными координатными системами этих ориентиро-
ориентированных л-ячеек, оно, очевидно, будет удовлетворять аксиомам
Аи А2 и С для ориентированного многообразия. Аксиома As
будет удовлетворена, потому что всякие две л-ячейки с общей

РАЗНЫЕ ГЕОМЕТРИИ 133
точкой Р определяют одну и ту же' ориентацию пространства
Т(Р), именно Tt(P), и таким образом они определяют одну
и ту же ориентацию всякой содержащейся в ич пересечении
я-ячейки, которая содержит Р. Следовательно, базисное много-
многообразие ориентируемо.
Отсюда следует, что связное, ориентируемое многообразие
является носителем двух и только двух ориентированных
многообразий, как сказано в § 5.
Наши двуточечные ассоциированные пространства могут быть
рассматриваемы просто как средство обозначения. По существу
вышеизложенное рассуждение можно провести и другим путем.
Заметим, например, что можно, задавая ориентацию касатель-
касательного пространства Т(Р) в какой-либо точке я-ячейки С, опре-
определить ориентацию касательного пространства в любой другой
точке этой ячейки следующим образом: каждый диференциал
в точке Р поставить в соответствие диференциалу в точке Q,
имеющему те же компоненты, в некоторой допустимой системе
координат, установленной в ячейке С. Это равносильно смеще-
смещению пространства Т(Р) в T(Q) посредством локально-плоской
аффинной связности, компоненты которой равны нулю в ука-
указанной системе координат. Мы рассматриваем таким образом
псевдогруппу всех параллельных смещений, которые можно
произвести между касательными пространствами посредством
локально-плоских аффинных связностей. Группой голономии
этого семейства смещений является либо группа прямых линей-
линейных однородных преобразований пространства в самое себя,
либо вся центро-аффинная группа. В первом случае базисное
многообразие ориентируемо, во втором случае—неориентируемо.
На многообразии, где всякая замкнутая кривая деформи-
деформируема в точку, локально-голономное смещение будет, очевидно,
голономным. Отсюда следует, что такое многообразие ориен-
ориентируемо.
§ 11. Покрывающие многообразия. Ассоциированным
пространствам S(P) нет нужды приписывать какую-либо струк-
структуру, кроме их кратности. Их можно поэтому рассматривать
как множества значений некоторой функцииг ?(Р). Пусть А —
локально-голономное семейство смещений между такими ассоции-
1 Значения этой функции могут быть числами, а могут ими и
не быть.

134 ГЛАВА VI!
рованными пространствами, определенное на регулярном много-
многообразии Мп.
Пусть U—какая-либо область, в которой Д голономно,
Ро— фиксированная, а Р—переменная точка в U. Пусть
%! (Ро) означает заданное значение функции $(Р0), а 5'(Р) —
то значение функции ?(Р), в которое переходит $'(Р0) ПРИ
смещении Д.
Однозначная функция ?''(Р) называется ветвью функции
S (Р). Число этих ветвей равно кратности а каждого ассоцииро-
ассоциированного пространства S(P).
Определим новог многообразие Мп следующим образом.
Точкой [Р, $(Р)] в Мп будем считать точку Р в Мп, ассоции-
ассоциированную с точкой $(Р) в S(P). Допустимой координатной
системой для Мп будем считать координатную систему
где Р—>-х — какая-либо допустимая координатная система
для Мп, в зоне которой Д голономно, а ?' (Р) — одна из выше-
вышеописанных однозначных ветвей. С этим семейством допустимых
координатных систем многообразие Мп, очевидно, удовлетво-
удовлетворяет аксиомам, установленным для регулярного многообразия.
Каждой точке из Мп соответствует в точности одна точка
из Мп, а каждой точке из Мп соответствуют а точек из Мп,
Говорят, что многообразие Мп покрывает Мп а раз.
Указанное выше преобразование многообразия Мп в Мп пере-
переводит S (Р) в однозначную -функцию, определенную над Мп,
именно в функцию, значение которой в точке [Р, $'(Р)] равно ?'(Р).
В случае, когда S(P) состоит из двух ориентированных
касательных пространств Т1 (Р) и Т2 (Р), покрывающее много-
многообразие Мп ориентируемо. Ибо, по определению, замкнутая
кривая в Мп есть кривая, которая начинается и кончается
в данной точке Р, ассопиированной с одной и той же ориен-
ориентацией пространства Т(Р), откуда следует, что л смещение
ориентации в Мп голономнэ. Если многообразие Мп — связное
и неориентируемое, Мп будет связным многообразием; если
многообразие Мп — связног и ориентируемое, Мп представ-
представляет собой пару связных многообразий.

ДОПОЛНЕНИЕ
В. В. ВАГНЕР
ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ И
ОСНОВАНИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Введение. Книга Веблена и Уайтхеда „Основания диферен-
циальной геометрии" —это, по существу, единственная книга в
зарубежной математической литературе, посвященная основа-
основаниям современной диференциальной геометрии. Несмотря на ее
небольшой объем, в ней затронуто много различных вопросов,
относящихся к основаниям диференциальной геометрии.
Необходимо, однако, отметить, что далеко ие все вопросы,
относящиеся к основаниям диференциальной геометрии, рас-
рассмотрены авторами с исчерпывающей полнотой. Собственно
говоря, полностью ими рассмотрен только вопрос об аксиома-
аксиоматическом определении понятия геометрического я-мерного
пространства в диференциальной геометрии. Что касается дру-
других вопросов, как, например: теория геометрических объектов,
теория псевдогрупп преобразований,- общее учение о связ-
связности в пространстве, как отображении локальных пространств,
ассоциированных с точками базисного пространства и т. д.,
то они затронуты только в самых общих чертах. Особенно
неудовлетворительными, с современной точки зрения, явля-
являются разделы книги, относящиеся к теории геометрических
объектов. По существу авторы вообще не дают точного опре-
определения геометрического объекта. Между тем понятие гео-
геометрического объекта тесно связано с основными идеями
книги. Поэтому мы сочли целесообразным дополнить книгу
Веблена и Уайтхеда систематическим изложением общей тео-
теории объектов, в частности геометрических объектов.
Понятие геометрического объекта тесно связано с основной
идеей книги Веблена и Уайтхеда о классификации различных
геометрий по характеризующим их геометрическим объектам.
Эта точка зрения, более общая, чем та, которая содержится
в эрлангенской программе Клейна, была впервые высказана

136 В- В- ВАГНЕР
Вебленом еще в 1928 г. на Международном математическом
съезде в Болонье, Однако отсутствие разработанной теории
геометрических объектов не дало возможности Веблену и
Уайтхеду рассмотреть в своей книге вопрос об определении
каждой геометрии с помощью характеризующего ее геометри-
геометрического объекта и заставило их ограничиться, главным обра-
образом, рассмотрением простейших частных примеров. В частно-
частности не рассмотренным остался естественно возникающий вопрос
о том, всякая ли геометрия Клейна, в смысле эрлангенской
программы, соответствующая произвольно заданной группе Ли,
может быть определена с помощью задания геометрического
объекта. Это обстоятельство объясняется тем, что до послед-
последнего времени1 оставалась неизвестной связь между теорией
геометрических объектов и теорией групп Ли, заданных опре-
определяющими диференциальными уравнениями.
В силу этих соображений мы и сочли необходимым сде-
сделать к книге Веблена и Уайтхеда настоящие дополнения. При
этом, касаясь приложений общей теории объектов к диферен-
циальной геометрии, мы ограничиваемся рассмотрением
вопроса о получении с помощью задания геометрического
объекта из общего геометрического я-пространства, опреде-
определяемого системой аксиом Веблена — Уайтхеда, геометрических
л-пространств специального типа, которые мы будем называть
диференциально-геометрическими пространствами Веблена —
Уайтхеда. Введение этих пространств представляет первый шаг
в том обобщении эрлангенской программы Клейна, которое
необходимо сделать для того, чтобы построения современной
диференциальиой геометрии могли быть в нее включены. Подобно
тому, как понятие пространства Клейна связано с понятием
группы преобразований, понятие пространства Веблена—Уайт-
Веблена—Уайтхеда связано с понятием псевдогруппы преобразований2. Эту
' 1 На связь между теорией геометрических объектов и теорией
групп (точнее псевдогрупп) преобразований, заданных определяющими
диференциальными уравнениями, было указано нами в 1945 г. См. [25].
(Здесь и дальше цифры в квадратных скобках указывают ссылки иа
литературу, список которой помещен в конце книги.)
з Заслугой Веблеиа н Уайтхеда является то, что они впервые
ввели понятие псевдогруппы преобразований, играющее важную роль
в основаниях диференциальной геометрии. Однако до сих пор отсут-
отсутствует систематически разработанная теория псевдогрупп преобразо-
преобразований. См. [б].

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 137
*
связь можно рассматривать с двух точек зрения. С точки зрения
Веблена н Уайтхеда свойства геометрического я-пространства
индуцируются заданием координатной структуры, т. е. опреде-
определенного множества координатных систем, которыми мы условли-
условливаемся пользоваться при изучении данного пространства. При
этом геометрическое пространство само по себе, без коорди-
координатной структуры, не имеет никаких свойств, представляя
собой просто некоторое множество мощности континуума1.
Из различных возможных типов координатных структур
выделяются два наиболее важных основных типа:
1) координатные структуры Клейна, координатные системы
которых связаны между собой преобразованиями в арифмети-
арифметическом л-пространстве, образующими группу;
2) координатные структуры Веблена—Уайтхеда, координат-
координатные системы которых связаны преобразованиями в арифметиче-
арифметическом л-пространстве, образующими псевдогруппу, удовлетворяю-
удовлетворяющую тем условиям, что ограничение любого ее преобразования
на некоторой'области и объединение совместных преобразова-
преобразований дает снова преобразование из псевдогруппы.
Задание на некотором множества координатной структуры
Клейна превращает это множество в геометрическое простран-
пространство Клейна, индуцируя на нем группу точечных преобразо-
преобразований этого пространства самого в себя, с помощью которой
вводится понятие эквивалентности геометрических образов этого
простраиства. Это дает возможность от координатного опре-
определения простраиства Клейна, с пдмощыо задания координатной
структуры Клейна, перейти к его чисто геометрическому
рассмотрению как л-мерного топологического многообразия
с заданной группой точечных преобразований самого в себя.
При этом очевидно, что различные координатные структуры
Клейна, заданные на данном многообразии, могут, в этом
последнем бескоординатном смысле, индуцировать на нем одну
и ту же геометрию Клейна. Аналогично, задание на некотором
множестве координатной структуры Веблена — Уайтхеда пре-
превращает это множество в геометрическое пространство Веблена—
Уайтхеда и индуцирует на нем некоторую псевдогруппу точеч-
точечных преобразований между областями этого пространства,
1 Топологические свойства также индуцируются координатной
структурой.

138 в. в. вагнер
с помощью которой можно определить эквивалентность гео-
геометрических образов уже, вообще говоря, не в целом, а только
в малом. Таким образом, мы получаем возможность чисто
геометрического рассмотрения пространства Веблена—Уайтхеда,
как я-мерного топологического многообразия с заданной псевдо-
псевдогруппой точечных преобразований между его областями. Также,
как и в предыдущем случае, одни и те же геометрии Веблена —
Уайтхеда, в этом последнем, бескоординатном смысле могут
быть индуцированы различными координатными структурами
Веблена —Уайтхеда.
Если псевдогруппа точечных преобразований, характери-
характеризующая пространство Веблена—Уайтхеда, путем объединения
совместных преобразований, определенных на связных областях^
может быть приведена к группе преобразований этого про-
пространства самого в себя, то мы можем рассматривать это
пространство как пространство Клейна. Однако в общем слу-
случае такое приведение невозможно и поэтому пространства
Веблена—Уайтхеда являются пространствами более общего вида,
чем пространства Клейна. Простейшим примером пространства
Веблена—Уайтхеда, не являющегося пространством Клейна,
может служить некоторая область в пространстве Клейна, не
инвариантная относительно всех преобразований соответствую-
соответствующей группы в этом пространстве и, следовательно, в частно-
частности, не совпадающая со всем пространством. Из этого замеча-
замечания следует, что для диференциальной геометрии в малом
основным типом изучаемых -пространств являются пространства
Веблена—Уайтхеда, а не пространства Клейна. Так, например,
при изучении куска развертывающейся поверхности мы имеем
дело не с эвклидовым пространством Клейна, а с эвклидовым
пространством Веблена — Уайтхеда.
Применяя теорию геометрических объектов, мы получаем
диференциально-геометрические пространства Веблена — Уайт-
Уайтхеда из общего пространства Веблена—Уайтхеда, определяемого
системой аксиом гл. VI, путем задания псевдогруппы точеч-
точечных преобразований в этом пространстве, как псевдогруппы
инвариантности некоторого геометрического диференциального
объекта. То, что таким путем могут быть получены все про-
пространства Веблена — Уайтхеда, приводящиеся к классическим
пространствам Клейна, следует из теоремы Медолаги [10],
дающей общий вид, к которому могут быть приведены

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 139
определяющие диференциальные уравнения каждой груп-
группы Ли.
За последнее время ряд работ был посвящен изучению
геометрии пространств, более общих, чем те, которые рассма-
рассматриваются Вебленом и Уайтхедом (таковы, например, про-
пространства с произвольной связностью в смысле Картана). Здесь,
кроме работ Картана, надо указать на работу Вандерслнса [19],
непосредственно примыкающую к книге Веблена и Уайтхеда.
Эта работа представляет интерес еще и с той точки зрения,
что в ней дается система аксиом для координатных структур
Клейна более общего вида, чем в книге Веблена и Уайтхеда.
Это дает возможность применения общей схемы при изуче-
изучении пространств Клейна, не являющихся простыми, т. е. тех,
которые не могут быть представлены целиком в одной ко-
координатной системе, как, например, проективное и конформное
пространства.
Среди других исследований, связанных с основаниями ди-
ференциальной геометрии, надо указать на работу Уитни [26],
а также [18], по теории диференцируемых многообразий, где
рассматривается вопрос о вмещенни общего пространства
Веблена — Уайтхеда некоторого класса и в арифметическое про-
пространство достаточно высокого числа измерений.
Намеченное Вебленом и Уайтхедом лишь в общих чер-
чертах (§ 6, 7) учение об отображении локальных пространств,
ассоциированных с точками данного базисного пространства,
получило свое дальнейшее развитие в теории так называемого
составного многообразия [23], [24], которая находит многочи-
многочисленные приложения, в частности приложения к дифереи-
циально-геометрической теории различных вариационных задач.
§ 1. Простые пространства Клейна. Назовем простым
пространством Клейна геометрическое пространство, определяе-
определяемое системой аксиом гл. II, § 9 книги Веблена и Уайтхеда,
при условии, что соответствующая группа G преобразований
арифметического пространства, которую мы будем далее на-
называть фундаментальной группой данного простого простран-
пространства Клейиа, является /--параметрической группой Ли. В даль-
дальнейшем мы будем предполагать, что фундаментальная группа
Gr допускает параметризацию в целом и что эта параметри-
параметризация выбрана каким-то определенным способом. Простое

140 в. в. вагнер
/я-простраиство Клейна будем обозначать через Кт. Таким
образом, каждая предпочитаемая координатная система в Кт
является взаимио-однозиачиым отображением всего Кт на ариф-
арифметическое /я-пространство
где Р—точка пространства Кт, а х = (х1, ..., хт)—точка
арифметического /и-пространства. Каждая упорядоченная пара
предпочитаемых координатных систем ж, х' определяет взаимно-
взаимнооднозначное преобразование арифметического пространства
х' = х'х~Цх), A.2)
принадлежащее фундаментальной группе Gr.
Пусть 1
х" =f* {xe, A') (o,b,c,d,e=l,...t m)
(i,;=\,...,r) A.3)
— уравнения преобразований фундаментальной группы Gr и
А' = и'(А/, А/) A.4)
21 1 2
— уравнения, определяющие значения параметров для преобра-
преобразования g2 gi, являющегося произведением преобразований
gi{A') и ^зИ')- Обозначим через Ь1 значения параметров,
1 2
определяющие тождественное преобразование. Условимся
обозначать через А1 (х'х*1) значения параметров, определяющие
преобразование х'х*1. Если выбрать некоторую начальную коор-
координатную систему х0 в Кт, то всякая другая координатная си-
система х может быть определена заданием г чисел
*), A.5)
являющихся значениями параметров, определяющими преобра-
преобразование xxJT1 группы Gr. Это означает, что выбор начальной
координатной системы х0 определяет взаимно-однозначное
отображение множества К предпочитаемых координатных си-
систем Кт на некоторую область арифметического г-простраиства,
1 Следуя Схоутену, мы будем часто обозначать преобразованные
переменные тем, что будем ставить штрихи у индексов, а не у самих
букв, обозначающих эти переменные.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 141
т. е. определяет координатную систему в К. Легко видёть.лто
множество К предпочитаемых координатных систем мы можем,
таким образом, рассматривать как геометрическое г-простран-
ство, удовлетворяющее системе аксиом, несущественно отли-
отличающейся от системы аксиом гл. II тем, что теперь пред-
предпочитаемые координатные системы являются взаимно-одно-
взаимно-однозначными отображениями всего геометрического пространства
на одну и ту же область арифметического г-пространства,
которая в общем случае может и не совпадать со всем ариф-
арифметическим пространством. Такие геометрические простран-
пространства мы будем также называть простыми пространствами
Клейна.
Таким образом, множество всех предпочитаемых координат-
координатных систем пространства Кт само является простым /--простран-
/--пространством Клейна Кг. Каждая предпочитаемая координатная система
в Кг однозначно определяется выбором начальной точки х0,
координаты которой в этой координатной системе будут равны
значениям параметров Ь4, определяющим тождественное пре-
преобразование группы Gr.
Представляя преобразование хх'о~1 как произведение пре-
преобразований Xtft'fT1 И ХХо,
'1^'\ 0-6)
мы получаем, что преобразование двух координатных систем
в Кг, с начальными точками х0 и х'о, определяется уравне-
уравнениями
Х" = ^'(А/(х^-\ X/), A.7)
откуда следует, что фундаментальной группой пространства
Кг является вторая параметрическая группа для группы Gr.
Вместо того чтобы определять точку в Кг числами A.5),
мы можем определить ее с помощью г чисел
Yi = A'(»<j»-i). A.8)
Определенные таким образом координатные системы в Кг мы
будем называть обратными координатными системами. Каждая
обратная координатная система в Кг также определяется

142 В. В. ЙАГНЕР
заданием начальной точки ж0, координаты которой в этой ко-
координатной системе равны Ь1. Пользуясь соотношением
*J*-i = («u*5-1)(*0*-i), A.9)
мы получаем, что преобразование двух обратных координат-
координатных систем в К, с начальными точками х0 и х'о определяется
уравнениями
о1)), AЛ0)
откуда следует, что если рассматривать Кг как простое про-
пространство Клейна, предпочитаемыми координатными системами
которого являются обратные координатные системы, то его-
фундаментальной группой будет первая параметрическая группа
для группы Ог. Взаимно-однозначное точечное соответствие
между двумя простыми /«-пространствами Клейна Кт и *Кт,
*Р' = Ь(Р), A.11)
называется изоморфным соответствием, если, отождествляя
соответствующие точки, мы получим совпадение предпочитаемых
координатных систем обоих пространств. Простые пространства
Клейна, между которыми можно установить изоморфное соот-
соответствие, называются изоморфными друг другу. Легко видеть,
что необходимым и достаточным условием изоморфностидвух
простых пространств Клейна является совпадение их фунда-
фундаментальных групп.
Согласно определению, изоморфное соответствие между
двумя пространствами Кт и *Кт определяет такое взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между их предпочитаемыми коор-
координатными системами, что относительно соответствующих коор-
координатных систем х и *х' соответствующие точки пространств
Кт и *Кт будут иметь численно равные координаты. Таким
образом, для любой пары соответствующих точек Р и *Р' мы
должны иметь
*х'{*Р') — х{Р), A.12)
или, согласно A.11),
Ve = x, A.13)
откуда получаем
V = «0~1. A.14)

ТЕОРИЯ ДЙФЕРЕНЦИАЛЬНЫк ОБЪЕКТОВ 443
Далее, легко- видеть, что изоморфное соответствие между
изоморфными пространствами Кт и *Кт однозначно опреде-
определяется заданием одной пары соответствующих координатных
*
систем х и *х', так как
A.15)
При этом каждая произвольным образом выбранная пара коор-
координатных систем определяет некоторое изоморфное соответ-
соответствие.
Пусть х, *х — произвольная пара координатных систем
в Кт и в *Кт, в общем случае не соответствующих друг
другу. Обозначим через *х' координатную систему в Кт,
соответствующую координатной системе х в Кт. Тогда, согласно
A.14), имеем *х' = хЬ-1. Переход от координатной системы
*х' к координатной системе *х определяется преобразова-
преобразованием *х*х'~1 = *хЬх~1, которому соответствуют значения
А'(*хЬх~г) параметров группы Gr, являющейся общей фунда-
фундаментальной группой пространств Кт и *Кт. Так как относи-
относительно соответствующих координатных систем ж и *х' соот-
соответствующие точки пространств Кт и *Кт будут иметь чис-
численно равные координаты, то, переходя от координатной
системы *х' к координатной системе *х, мы получаем, что
изоморфное соответствие между Кт и *Кт относительно коор-
координатных систем х и *х будет определяться уравнениями
'*xa=f(xe, А1(*хНх-Ц). A.16)
Взаимно-однозначное соответствие A.14) между координат-
координатными системами пространств Кт и *Кт можно рассматривать
как изоморфное соответствие между пространствами Кг и *КГ
как в том случае, когда мы пользуемся координатными систе-
системами, определяемыми равенствами A.5), так и в том случае,
когда мы пользуемся обратными координатными системами,
определяемыми равенствами A.8). В координатах это изоморф-
изоморфное соответствие будет определяться уравнениями
'•X1 = <р< {А? («ов-i *xf\ XJ), A.17)
'•У = <р< (W, А> (•«ьвхГ1), A.18)
где х0 и *хй — начальные точки координатных систем в Кг и
в *КГ. Если пространство *Кт совпадает с пространством Кт,

144 в- В- ВАГНЕР
тй изоморфное соответствие пространства Кт с самим собой
называется автоморфным соответствием. Отображение A.11),
которое мы теперь перепишем в виде
Р' = а(Р), A.19)
определяет точечное преобразование пространства Кт самого
в себя, называемое автоморфным преобразованием. Относи-
Относительно произвольной координатной системы х в Кт это авто-
автоморфное преобразование, согласно A.16), определяется урав-
уравнениями
'х*=/»(*«, A'ixax-1)). A.20)
Совокупность всех автоморфных преобразований в простран-
пространстве Кт, как легко видеть, образует группу А, называемую
полной группой автоморфных преобразований. Фиксируя в Кт
координатную систему ж, мы получаем, согласно A.20), изо-
изоморфное отображение полной группы автоморфных преобразо-
преобразований А на фундаментальную группу Gr, которое можно
символически записать так:
g=xax-i. A.21)
Так как каждое автоморфное преобразование в простран-
пространстве Кт определяет, согласно A.14), преобразование коорди-
координатных систем
х' = ха~\ A.22)
то мы можем представить полную группу автоморфных пре-
преобразований как группу точечных преобразований в простран-
пространстве Кг, являющемся множеством всех предпочитаемых коор-
координатных систем пространства Кт. Так как каждая упорядо-
упорядоченная пара координатных систем ж и х', согласно A.15),
однозначно определяет автоморфное преобразование
a = x'-ix, A.23)
переводящее первую координатную систему во вторую, то
отсюда следует, что рассматриваемое представление группы А
в пространстве Кг будет просто-транзитивным.
Заметим далее, что фундаментальная группа Gr может
быть также представлена как группа преобразований в

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 145
пространстве Кг:
x'=gx, A.24)
причем, так как упорядоченная пара координатных систем ж
и х' однозначно определяет преобразование фундаментальной
группы g, переводящее первую координатную систему во
вторую,
g=x'x~\ A.25)
то рассматриваемое представление фундаментальной группы
будет просто-транзитивным.
Из выражений A.22) и A.24) следует, что полная группа
автоморфных преобразований и фундаментальная группа, пред-
представленные как группы преобразований в Кг, будут взаимны,
т. е. каждая из них состоит из всех преобразований, комму-
коммутирующих со всеми преобразованиями другой группы. Этот
результат, по существу, совпадает с известным результатом,
что первая и вторая параметрические группы некоторой данной
группы Ли являются просто-транзитивными взаимными груп-
группами. Действительно, согласно равенствам A.17) и A.18),
полная группа автоморфных преобразований, представленная
в Кг, может быть определена в координатах следующими
уравнениями:
'Xi = (fi(AJ, XJ), где Ai = A'{xa-i-x-i), A.26)
или
' у' = <р'"(У', А'), где Ai = А' (хах-1). A.27)
Аналогично, фундаментальная группа, представленная в Кг,
может быть определена в координатах уравнениями
lXl = <fl(Xt,Af), где AJ — A/^i, A.28)
или
'}* = <?*(A/, YJ), где A> = At(g-i). A.29)
В дальнейшем, применительно к фундаментальной группе и
полной группе автоморфных преобразований, нам понадобится
следующая теорема:
Если нам даны две взаимные просто-транзитивные группы
преобразований некоторого множества Ш самого в себя, то
каждое разбиение Ш на системы импримитивности для
Ю Веблен и Уайтхед

146 В. В. ВАГНЕР
одной группы является разбиением на системы транзитив-
транзитивности некоторой подгруппы другой группы, и обратно, каж-
каждое разбиение ffi. на системы транзитивности некоторой
подгруппы одной группы является разбиением ffi на системы
импримитивности другой, группы.
Обозначим данные группы через G и Г и рассмотрим не-
некоторое разбиение множества 5Ш на системы импримитивности
для G.' Пусть М—произвольная система импримитивности
этого разбиения и т и т—два произвольных элемента из 5Ш,
принадлежащие М. Докажем, что преобразование у из Г, одно-
однозначно определяемое условием /я = у(от), преобразует каж-
каждую из систем импримитивности рассматриваемого разбиения
самое в себя. Для этого возьмем произвольную систему импри-
импримитивности М' и рассмотрим ее произвольный элемент т'.
Пусть g—преобразование из G, однозначно определяемое
условием m' = g(m). Пользуясь тем, что fg(m) = gy(m), мы
получаем, что f(m') — g(m). Так как М и М суть системы
импримитивности группы О, то преобразование g, преобразуя
т в т', будет преобразовывать т в некоторый элемент, со-
содержащийся в Ж', а это и показывает, что у (от') содержится в М.
Из доказанного следует, что множество различных пре-
преобразований группы Г, определенных упорядоченными парами
элементов одной и той же системы импримитивности, будет
образовывать некоторую подгруппу Г группы Г, для которой
данные системы импримитивности группы G являются систе-
системами транзитивности.
Обратно, пусть Г — некоторая подгруппа группы Г. Рас-
Рассмотрим произвольную систему транзитивности М подгруппы
Г и в ней произвольный элемент аи. Пусть, далее, g—произ-
g—произвольное преобразование из G, а М' — система транзитивности
подгруппы Г, содержащая элемент m' = g(m). Докажем, что
элемент g(m), где т — произвольный элемент из М, будет
также содержаться в М. Обозначая через у преобразование
из Г, однозначно определяемое условием от = у (от), и поль-
пользуясь, как и в первом случае, соотношением fg(m) = gy (от),
мы получаем g(m) = f (от'), откуда следует, что g(m), так же,
как и от', принадлежит М', поскольку М! есть система тран-
транзитивности для подгруппы Г.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 147
Из доказанного легко следует, что каждое преобразование
группы G преобразует системы транзитивности подгруппы Г
друг в друга, откуда и вытекает, что они являются системами
импримитивности группы G.
Если Кт и *Кт — два изоморфных простых пространства
Клейна, в которых заданы некоторые множества их точеч-
точечных преобразований самих в себя, то эти множества
преобразований мы назовем эквивалентными, если можно уста-
установить изоморфное соответствие между Кт и *Кт таким обра-
образом, что, отождествляя соответствующие точки обоих про-
пространств, мы получим совпадение данных множеств точечных
преобразований этих пространств. Нетрудно видеть, что пол-
полные группы автоморфных преобразований двух изоморфных
пространств Кт и *Кт являются простейшим примером экви-
эквивалентных групп, так как любое изоморфное соответствие
между Кт и *Кт, после отождествления соответствующих
точек, приводит к совпадению этих групп.
§ 2. Объекты в простом пространстве Клейна. Мы будем
говорить, что в простом пространстве Клейна Кт задан N-kom-
понентный объект, если задана упорядоченная система чисел
QA(A= 1, ..., N), называемых компонентами объекта, являю-
являющихся функциями предпочитаемой координатной системы
в Кт:
QA = QA(x). B.1)
Таким образом, задание N-компонентного объекта в Кт равно-
равносильно заданию в пространстве Кг упорядоченной системы N
скалярных функций точки. Выбирая в Кт начальную коорди-
координатную систему, т. е. выбирая начальную точку в Кг, мы
можем представить компоненты объекта как функции г пере-
переменных X1 или Y1:
B.2)
B.3)
Объект называется полным, если его компоненты опреде-
определены для всех координатных систем в Кт. В дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением полных объектов.
Два УУ-компонентных объекта называются равными друг
ДРУГУ, если их соответствующие компоненты являются одними
и теми же функциями координатной системы.
10*

148 В- В. ВАГНЕР
Объекты, отличающиеся друг от друга только порядком
компонент, называются изомерами1.
Компоненты упорядоченной системы v объектов QA>
s
(s=\,..., v) образуют новый объект, называемый объединением
данных объектов.Обратно, каждое подмножество множества ком-
компонент данного объекта определяет объект, называемый частью
данного объекта. УУ-компонентный объект определяет отобра-
отображение пространства К, в арифметическое УУ-пространство.
Множество точек в этом арифметическом Л'-пространстве,
являющееся образом Кг при этом отображении, называется
множеством значений объекта. В приложениях чаще всего
встречаются объекты, множество значений которых является
либо некоторой областью соответствующего арифметического
N-пространства, либо Ж-поверхностью в этом арифметическом
N-пространстве. Для объекта, являющегося объединением
N-скаляров, множество значений сводится к единственной
точке.
Инвариантным уравнением объекта называется всякое урав-
уравнение вида
6(Q^) = 0, B.4)
которому удовлетворяют значения компонент объекта в любой
координатной системе. Иначе говоря, инвариантное уравне-
уравнение /^-компонентного объекта определяет в арифметическом
N-пространстве точечное множество, содержащее множество
значении объекта.
Множество J всех координатных систем, для которых
компоненты объекта имеют данные постоянные значения, назы-
называется прообразом данного значения объекта. Таким образом,
устанавливается взаимно-однозначное соответствие между мно-
множеством всех прообразов значений объекта и самим множеством
его значений.
Рассмотрим два объекта
Q*> {А1== 1,... , NJ, № (А2= 1, ... , N2),
1 2
1 Здесь, как и дальше, мы в общей теории объектов часто будем
пользоваться такой терминологией, что в применении к аффинорнон
алгебре, являющейся частным случаем теории объектов аффинного
пространства, мы получаем совпадение с терминологией, принятой
Схоутеном и Стройкой в их книге [17].

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 149
таких, что каждый прообраз значения первого объекта вклю-
включается в некоторый прообраз значения второго объекта.
Определим отображение множества прообразов значений пер-
первого объекта на множество прообразов значений второго
объекта следующим образом:
f2==e(f1), если fiCf2) B.5)
где Iх — прообраз значения первого объекта, а 12 — про-
прообраз значения второго объекта. Благодаря взаимно-однознач-
взаимно-однозначному соответствию между множествами прообразов значений
и самими множествами значений, отображение B,5) опреде-
определяет отображение множества значений первого объекта на
множество значений второго объекта:
(
2 1
где 6Ла—функции, определенные на точечном множестве
арифметического Л^-пространства, являющемся множеством
значений первого объекта. Объект йл« называется в этом слу-
2
чае функцией объекта йл>.
1
Часть некоторого данного объекта служит простейшим
примером объекта, являющегося функцией данного объекта.
Два объекта называются подобными, если прообразы их
значений совпадают. Каждый из подобных объектов может
рассматриваться как функция другого. Простейшим примером
подобных объектов могут служить изомеры. В общем случае
подобные объекты могут иметь разное число компонент. Рассмот-
Рассмотрим, например, /V-компонентный объект йл, множество значений
которого представляет ЛГ-поверхность в арифметическом /V-npo-
странстве, допускающую параметрическое представление в
целом,
В этом случае значения параметров юА могут рассматриваться
как компоненты нового УИ-компонентного объекта, подобного
данному.
Объект, являющийся функцией не одного, а нескольких
объектов, определяется как функция объединения этих объ-
объектов.

150 в. в. вагнер
Если в Кт выбрана начальная координатная система х0,
то, как мы видели, произвольная координатная система х
может быть определена заданием г чисел
Х1 = Аг(х^^) B.8)
или г чисел
*-1), B.9)
образующих r-компонентные объекты, называемые универсаль-
универсальным объектом и обратным универсальным объектом, соответ-
соответственно, с начальной координатной системой х0. Таким образом,
универсальный объект и обратный универсальный объект
однозначно определяются заданием начальной координатной
системы.
Можно теперь считать, что уравнения B.2) и B.3) опреде-
определяют произвольный объект QA как функцию универсального
объекта или обратного универсального объекта, соответственно.
Таким образом, всякий объект может быть представлен как
функция универсального или обратного универсального объекта.
§ 3. Геометрические объекты в простом пространстве
Клейна. Объект в простом пространстве Клейна Кт назы-
называется геометрическим, если прообразы его значений являются
системами импримитивности для представления A.24) фунда-
фундаментальной группы Ог пространства Кт как группы преобразо-
преобразований в пространстве Кг всех координатных систем. В этом
случае мы получаем представление группы Gr на множестве й
прообразов значений геометрического объекта:
l'=g(l). C.1)
Так как мы имеем взаимно-однозначное соответствие между
множеством ^ прообразов значений объекта и множеством
значений объекта, то группа преобразований C.1) определяет
также группу точечных преобразований на множестве значе-
значений геометрического объекта, являющуюся представлением
группы Gr,
QA' — FA>QBf Aiy C.2)
Легко видеть, что для двух любых координатных систем х
и W мы имеем соотношения
, А'{х'х-1)), C.3)

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 151
выражающие, что значения компонент геометрического объекта
относительно произвольной координатной системы ж' одно-
однозначно определяются заданием его компонент относительно не-
некоторой начальной координатной системы х и соответствую-
соответствующего преобразования g = x'x~x группы GT. Обратно, если
компоненты некоторого объекта QA относительно двух любых
координатных систем х и х' связаны соотношениями C.3),
где FA — некоторые функции, то этот объект будет геоме-
геометрическим. Уравнения C.3) называются уравнениями преобра-
преобразований компонент геометрического объекта.
Таким образом, задача нахождения всех возможных N-компо-
нентных геометрических объектов приводит к задаче нахожде-
нахождения всех возможных, собственных или несобственных, транзи-
транзитивных представлений фундаментальной группы GT как группы
преобразований самого в себя некоторого точечного множе-
множества в арифметическом N-пространстве. В теории представле-
представлений групп Ли обычно рассматривается представление группы Ли
как группы преобразований самой в себя некоторой области
арифметического ^-пространства, в частном случае совпадаю-
совпадающей со всем арифметическим N-пространством. Мы будем
говорить, что данный ./V-компонентный геометрический объект
вмещается в данное представление фундаментальной группы Ог
на некоторой области арифметического N-пространства, если
преобразования данного представления группы GT индуцируют
на множестве значений объекта как раз ту самую группу
преобразований, которая определяется уравнениями преобразо-
преобразований компонент геометрического объекта. Следовательно,
если геометрический объект вмещен в некоторое представление
фундаментальной группы, то его множество значений будет
всегда системой транзитивности для этого представления фунда-
фундаментальной группы.
Встречающиеся в приложениях геометрические объекты
обычно задаются как уже вмещенные в некоторое представле-
представление фундаментальной группы. В этом случае функции FA(QB,Af),
рассматриваемые как функции переменных QB, считаются
определенными не только на множестве значений геометрн»
четкого объекта, но и на всей области арифметического
iV-пространстза, в которой определено рассматриваемое пред*
ставление группы, . вмещающее данный геометрический
объект.

152 в- в- ВАГНЕР
Если множество значений TV-компонентного объекта, вме-
вмещенного в некоторое данное представление группы Gr, является
М-поверхностью, то этот объект называется вмещенным регуляр-
регулярно, если эта Ж-поверхность вмещается в конгруэнцию М-поверх-
ностей, являющихся системами транзитивности данного предста-
представления группы Gr. В противном случае рассматриваемый
объект называется вмещенным сингулярно в данное предста-
представление группы Gr.
Так как прообразы значений для подобных объектов, по
определению, совпадают, то все объекты, подобные геомет-
геометрическому объекту, будут также геометрическими. Далее,
легко видеть, что подобным геометрическим объектам соответ-
соответствуют подобные представления группы Gr.
Простейшим примером геометрического объекта может
служить объект, компоненты которого равны координатам
некоторой фиксированной точки пространства Кт. Уравнения-
преобразований компонент в этом случае просто совпадают с
уравнениями преобразований координат этой точки. Далее,
примерами геометрических объектов могут служить универсаль-
универсальный объект X' и обратный универсальный объект У. То, что
эти объекты являются • геометрическими, следует, между
прочим, из того, что прообразы их значений суть точки прост-
пространства Кг, являющиеся тривиальным случаем систем импри-
импримитивности. Уравнения преобразований компонент универсаль-
универсального объекта получаются в следующем виде:
X >')=у (-#(*), АЦх'х-Ч), C.4)
а уравнения преобразований компонент обратного универсаль-
универсального объекта в виде:
У(х') = <р'(ф/(Л*(«'ж-*)), У*(х)), C.5)
где функции ф/(Л*) определяют значения параметров, соот-
соответствующие преобразованию, обратному для преобразования,
определяемого значениями параметров Ak' l.
1 Для случая трехмерного эвклидова пространства понятие гео-
геометрического объекта, по существу, встречается уже у Клейна. См.
Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, И. Гео-
Геометрия. М. —Л., ОНТИ A934), стр. 53. При этом Клейн все геометри-
геометрические объекты считает заданными как функции объединения несколь-

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 153
§ 4. Эквивалентные объекты. Группа инвариантности
объекта. Каждое изоморфное соответствие между двумя изо-
изоморфными простыми пространствами Клейна Кт и *Кт опре-
определяет взаимно-однозначное соответствие между объектами
в этих пространствах, если мы будем считать соответству-
соответствующими те объекты, компоненты которых относительно
соответствующих координатных систем равны друг другу.
Иначе говоря, если рассматривать задание объекта в Кт и
*Кт как задание упорядоченной системы скалярных функций
вКги *КГ, то эти скалярные функции должны соответствовать
друг другу при точечном соответствии между Кг и *КГ,
определяемом данным изоморфным соответствием между Кт и
*Кт. Пусть данный объект в Кт определяется уравнениями
B.2) и B.3); тогда, пользуясь тем, что точечное отображе-
отображение Кг на *КГ, соответствующее изоморфному отображению Кт
на *Кт, определяется в координатах уравнениями A.17) или
A.18), мы получаем, что соответствующий объект в *Кт
будет определяться уравнениями
%6*-1),*Л?), DЛ)
ИЛИ
>щА = 'Щ!А(*}п) = Ч!А (ср<- (*F/)^(x06-i*x-1))). D.2)
Пусть QA будет геометрическим объектом. Легко видеть,
что соответствующий ему объект будет тоже геометрическим,
с теми же самыми уравнениями преобразований компонент.
Найдем, пользуясь уравнениями D.1), связь между компо-
компонентами данного геометрического объекта QA в Кт и со-
соответствующего ему относительно начальных координатных
систем х0 и *%0 геометрического объекта *QA в *Кт. Для
этого мы прежде всего заметим соотношение
Xl). D.3)
ких геометряческих объектов, компоненты которых являются
коордянатами фяксярованных точек.
Термян «геометрический объект» появляется впервые у Схоутена
и Ван Кампена [16]. Первая попытка сястематического построения
теории объектов и геометряческях объектов была сделана Вуидгейле-
ром в докладе на Международной конференции по диференциальяой
геометрия в Москве в 1934 г. См. [27].

154 в. в. вагнер
Полагая затем в уравнениях D.1) *Х' = Ь' и замечая, что
у{(А/&)—А', мы получаем
'*QA(**0) = /M(Q* («„), А1 (**ое*5-»)). D.4)
Так как начальные координатные системы х0 и *х„ могут
быть выбраны произвольно, то мы заменим их произвольными
координатными системами ж и *х и перепишем уравнения D.4)
в виде:
(x), A1 («*8*-»)). D.5)
Два объекта, определенные, соответственно, в двух изоморф-
изоморфных пространствах Клейна, называются эквивалентными, если
существует изоморфное соответствие между этими простран-
пространствами, при котором данные объекты .соответствуют друг другу.
В силу сказанного выше, мы получаем, что эквивалентные
геометрические объекты имеют одни и те же уравнения пре-
преобразований компонент и, следовательно, определяют одно и
то же представление фундаментальной группы Gr. Обратно,
если два геометрических объекта, определенные в двух изо-
изоморфных пространствах Клейна, имеют одинаковые уравнения
преобразований компонент, то они эквивалентны.
Предполагая в предыдущих рассуждениях, что простран-
пространство *Кт совпадает с пространством Кт, мы получаем, что
каждое автоморфное преобразование в Кт определяет пре-
преобразование объектов в Кт. Согласно уравнениям D.1) и
D.2), мы получаем, что преобразование объектов, соответству-
соответствующее автоморфному преобразованию а в пространстве Кт,
определяется уравнениями
D.6)
или
'aA = tJM((p*(Jtft Ai (*ocr V)')- D-7)
Аналогично, преобразование геометрических объектов, согла-
согласно D.4), определяется уравнениями
>№—рА{$1в,А1(хах-1)). D.8)
Объект в Кт называется инвариантным относительно данного
автоморфного преобразования в Кт, если это преобразование
преобразует данный объект сам в себя. Легко рндеть, что

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 155
для инвариантности объекта относительно данного преобразова-
преобразования необходимо и достаточно, чтобы это автоморфное преоб-
преобразование определяло в пространстве Кг такое преобразование,
которое переводит сам в себя каждый прообраз значения
объекта. Совокупность всех автоморфных преобразований,
оставляющих инвариантным данный объект, образует, очевидно,
некоторую группу автоморфных преобразований, называемую
группой инвариантности данного объекта.
Легко видеть, что группы инвариантности подобных объ-
объектов совпадают, а группы инвариантности эквивалентных
объектов являются сопряженными подгруппами полной группы
автоморфных преобразований.
Докажем, что всякая группа автоморфных преобразований
может рассматриваться как группа инвариантности некоторого
геометрического объекта, который мы назовем характери-
характеристическим объектом данной группы автоморфных преобразо-
преобразований. Для этого мы представим данную группу автоморфных
преобразований как подгруппу общей группы автоморфных
преобразований, представленной в пространстве Кг.. Тогда ей
будет соответствовать некоторое разбиение пространства Кг на
системы транзитивности, которые, согласно теореме, доказанной
в конце § 1, будут являться системами импримитивности для фун-
фундаментальной группы Gr, представленной как группа точечных
преобразований в Кг. Таким образом, построив произвольный
объект, прообразами значений которого являются системы
транзитивности рассматриваемой группы преобразований в Кг,
мы получаем геометрический объект, являющийся характери-
характеристическим объектом данной группы автоморфных преобразова-
преобразований. Очевидно, что характеристический объект определяется
только с точностью до подобия.
Рассмотрим характеристический объект группы инвариант-
инвариантности произвольного объекта; не являющегося геометрическим.
Так как группа инвариантности этого объекта, представлен-
представленная как группа точечных преобразований в Кг, с одной сто-
стороны, переводит сама в себя каждый прообраз значения объ-
объекта, а, с другой стороны, имеет своими системами транзитив-
транзитивности прообразы значений характеристического объекта, то
отсюда непосредственно следует, что каждый прообраз значе-
значения характеристического объекта должен включаться в неко-
некоторый прообраз значения данного объекта. Это означает, чтд

156 В. В. ВАГНЕР
даииый объект будет функцией геометрического объекта, яв-
являющегося характеристическим объектом его группы инвариант-
инвариантности.
Нетрудно доказать следующую теорему:
Для того чтобы аз двух данных геометрических объ-
объектов в Кт первый был функцией второго, необходимо и дзета-
точно, чтобы группа инвариантности второго объекта,
была подгруппой группы инвариантности первого объекта.
Действительно, если первый объект является функцией
второго, то прообразы значений первого объекта являются
объединениями прообразов значений второго объекта. Отсюда
следует, что каждое точечное преобразование в Кг, переводя-
переводящее сам в себя каждый прообраз значения второго объекта,
переводит сам в себя и каждый прообраз значения первого
объекта, т. е. группа иивариантности второго объекта яв-
является подгруппой группы инвариантности первого объекта.
Обратно, если группа иивариантности второго объекта является
подгруппой группы иивариантности первого объекта, то пред-
представляя эти группы как группы преобразований в простран-
пространстве Кг, мы получаем.что каждая система транзитивности
подгруппы должна включаться в некоторую систему транзитив-
транзитивности группы, т. е., что каждый прообраз значения второго
объекта включается в некоторый прообраз значения первого
объекта, а это и означает, что первый объект является функ-
функцией второго.
Пусть В — некоторая группа автоморфных преобразований.
При изоморфном отображении A.21) полной группы автоморф-
автоморфных преобразований на фундаментальную группу группе В,
являющейся подгруппой полной группы автоморфных преобразо-
преобразований, соответствует некоторая подгруппа И фундаментальной
группы,
И=хВх-К D.9)
Фиксируя различным образом координатную систему х, мы
будем получать в общем случае различные подгруппы фунда-
фундаментальной группы, которые, очевидно, сопряжены друг с
другом. Пусть N—нормализатор подгруппы В в группе А.
Представляя N как группу преобразований в пространстве Кг,
мы, очевидно, получим, что системы транзитивности N будут
являться объединениями систем транзитивности В. Легко

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦЙАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ • 157
убедиться в следующем: для того чтобы в двух координат-
координатных системах х и х' подгруппе В соответствовала одна и та
же подгруппа фундаментальной группы, необходимо и до-
достаточно, чтобы х и х' принадлежали к одной и той же
системе транзитивности нормализатора N, представленного
как группа преобразований в Кг. Действительно, из равен-
равенства
хВх-1 = х'Вх'-1 D.10)
следует, что
х'-\хЪ(х'~1х)-1 = Ъ, D.11)
а это означает, что автоморфное преобразование х'~1х при-
принадлежит нормализатору N; следовательно, сами координатные
системы х и х' принадлежат одной и той же системе тран-
транзитивности нормализатора N, представленного как группа пре-
преобразований в пространстве Кг. Фиксируем некоторую систему
транзитивности f группы В, представленной как группа пре-
преобразований в Кг, и будем пользоваться только координат-
координатными системами, содержащимися в f. Тогда из пространства Кт
мы получим новое простое пространство Клейна — Кт, фунда-
фундаментальной группой которого будет подгруппа Н—хВх'1
фундаментальной группы исходного пространства Кт, где
х — произвольная координатная система из I.
Выбирая систему транзитивности f различным образом, мы
будем получать простые пространства Клейна в общем случае
с различными фундаментальными группами. Только в том
случае, когда выбранные системы транзитивности включаются
в одну и ту же систему транзитивности нормализатора, фун-
фундаментальные группы соответствующих пространств Клейна
совпадают и, следовательно, пространства Клейна изоморфны.
Все получаемые таким образом из пространства Кт простран-
пространства Клейна имеют в качестве полной группы автоморфных
преобразований группу В и отличаются только выбором пред-
предпочитаемых координатных систем. Поэтому, с геометрической
точки зрения, мы, собственно, можем говорить об одном и
том же пространстве Клейна, но только с разными коорди-
координатными структурами.
Определяя группу автоморфных преобразований В зада-
заданием ее характеристического объекта, мы получаем, что вы-
выбор определенной координатной структуры данного простран-

158 В. В- ВАГНЕР
ства Клейна сводится к выбору определенных значений
компонент характеристического объекта, которые определяют
прообраз значения характеристического объекта, являющийся
множеством предпочитаемых координатных систем соответст-
соответствующей координатной структуры. Однако мы можем изучать
геометрию полученного пространства Клейка, не выбирая
определенной координатной структуры, а пользуясь всеми
предпочитаемыми координатными системами исходного простран-
пространства Кт. В этом случае в формулы, с помощью которых мы будем
выражать те или другие свойства рассматриваемого простран-
пространства Клейна, не принадлежащие геометрии исходного про-
пространства, будут входить компоненты характеристического
объекта.
§ 5. Связующие объекты и объекты с промежуточными
A) B)
компонентами '. Пусть Kmi и Кт„— два простых простран-
A) B) •
ства Клейна. Рассмотрим множество Kmi X Кт,> являющееся
произведением этих пространств, т. е. множеством всех воз-
СП B)
можных пар (Р, Р) точек из первого и из второго простран-
A) B)
ства. Легко видеть, что Кт, X Кт> можно рассматривать как
простое /и1-)-Я12-пространство Клейна, фундаментальной груп-
A) B)
пой которого является прямое произведение Gr X @г, фунда-
A) B) ' A)
ментальных групп Gr и С?Га исходных пространств Km и
B) A) B)
Кт^ Действительно, каждая пара (х, х) координатных систем
A) B)
в пространствах Кт% и Kmsi, определяя взаимно-однозначное
A)
отображение Km на арифметическое Wj-пространство и взаимно-
B)
однозначное отображение Km, на арифметическое /и2-про-
странство, определяет тем самым взаимно-однозначное отобра-
(П B)
жение множества Kmi X А'щ, на арифметическое /Mj-j-m
1 Понятие связующего объекта и объекта с промежуточными
компонентами явлиется обобщением понятий связующего аффинора
и аффиноров с промежуточными компонентами, введенных Схоуте-
ном и Ван Кампеиом; см. [16], а также [17], стр. 18 и 29.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 159
A) B)
странство, т. е. определяет в Кт, X Кт^ координатную^ си-
A) B)
стему. Таким образом, произведение Кг X Кг, множеств коор-
A) B)
динатных систем пространств Кт1 и Ктз можно рассматри-
рассматривать как множество предпочитаемых координатных систем
A) B)
пространства Кт, X Кт„-
Рассмотрим две произвольные предпочитаемые координат-
A) B) A)B) A) B)
ные системы: (х, х)а(х',х'),в пространстве Кт, У^Кт^.Яегко
видеть, что они определяют точечное преобразование в арифме-
арифметическом тх -\- ^-пространстве:
x"* = fai {x\A<>) (e1 = l,...,m1; /1 = 1,...,г1) E.1)
B) а' <2> tL B) B\
х 2 = f^(xe>,A'*) (а2=1, ...,m2; /2=1,... ,r2),
где каждая из систем уравнений в отдельности определяет
A) B)
преобразования групп Gn и Grs, соответственно. Таким об-
образом, преобразование E.1) принадлежит группе пре-
преобразований в арифметическом т^А-т^- пространстве,
A) B)
являющейся прямым произведением G, X @г, групп
A) B) A) B)
G, и Gfi. Обратно, каждое преобразование (g, g)
A) B)
из группы G- X Ог, дает возможность из любой предпочита-
A) B) A) B)
емой координатной системы (ж, ж) пространства Кт, X Km.
A) A)
получить новую предпочитаемую координатную систему (g x)
B) B) A) B)
g х). Итак, мы доказали, что множество Кг X ь-r. предпо-
A) B)
читаемых координатных систем пространства Kmi X Km, дей-
действительно удовлетворяет системе аксиом простого простран-
A) B)
ства Клейна, и, следовательно, Кт, X Кт, является простым
т1 -\- /я2-пространством Клейна с фундаментальной группой
A) B) A) B)
G, Х^г,- Мы будем называть Kmi X Кт. произведением про-
A) B)
стых пространств Клейна KminKmi- Аналогичным образом

160 В. В. ВАГНЕР
определяется произведение любого числа простых пространств
КлАна.
До сих пор мы рассматривали только такие объекты,
компоненты которых являлись функциями одной координатной
системы в одном простом пространстве Клейна. Перейдем
теперь к рассмотрению так называемых связующих объектов,
компоненты которых являются функциями нескольких коорди-
координатных систем в различных простых пространствах Клейна.
Для простоты мы рассмотрим случай двух пространств Клейна,
A) B)
Кт, иЛтва- Мы скажем, что в этих пространствах задан свя-
связующий ^/-компонентный объект, если задана упорядоченная
система N чисел—компонент объекта,—являющихся функциями
предпочитаемых координатных систем в пространствах Кт.
B)
и Кт,:
A) B)
№ = №(х, х). E.2)
Из этого определения ясно, что задание связующего
A) B)
объекта в двух пространствах Кт и Кт равносильно заданию
A) B)
обыкновенного объекта в их произведении Кт, X Кт- Ана-
Аналогично, связующий объекг для произвольного числа про-
простых пространств Клейна можно рассматривать как обыкновен-
обыкновенный объект в простом пространстве Клейна, являющемся их
произведением. Таким образом, вся теория связующих объектов
полностью сводится к теории обыкновенных объектов.
Заметим, что если мы рассматриваем связующие объекты в
¦^-пространствах Клейна, то каждый обыкновенный объект в
одном из этих пространств можно также рассматривать как
частный случай связующего объекта.
Связующий объект мы назовем геометрическим, если,
рассматриваемый как обыкновенный объект в произведении
соответствующих пространств, он является геометрическим.
A) B)
Пусть в двух пространствах Kmi и Кщ.л задан связующий
геометрический объект ЙА со следующими уравнениями пре-
преобразований компонент:
A) B) A) B) A) A) A) B) B) B)
Q* (х', x') = FA{QB (х, х), Л'< (х' х-1), А1' (х' х)). E.3)

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 151
B) B)
Фиксируя координатную систему х в пространстве К-, мы
A)
получаем в пространстве Кт1 обыкновенный геометрический
объект со следующими уравнениями преобразований компо-
компонент:
A) B) A) B) A) A) A) B)
,QA(x',x) = FA (QB (х, х), А1' (*' х-1), Ь1'). E.4)
B)
Выбирая в пространстве Ктг различным образом фиксированную
B) A)
координатную систему х, мы будем получать в Кт, различ-
различные обыкновенные геометрические объекты, вмещенные в одно
A)
и то же представление фундаментальной группы Gr .
Аналогично, фиксируя координатную систему ж в про-
A) B)
странстве Кт1, мы получим в пространстве Кт обыкновенный
геометрический объект с уравнениями преобразований компо-
компонент:
„ A) B) по A) B) A). B) B) B)
QA(x,x') = FA(QB(x,x), *., А''(х' х-1)), E.5)
причем различному выбору фиксированной координатной си-
системы будут соответствовать различные геометрические объ-
объекты, вмещенные в одно и то же представление фундаменталь-
B) B)
ной группы ОГз пространства Km,-
Обратно, пусть нам задан связующий объект в двух про-
A) B)
странствах, Кт, и Kms, такой, что, фиксируя различным образом
B)
координатные системы в пространстве К,щ, мы будем полу-
получать в Kmi геометрические объекты, вмещенные в одно и
A)
то же представление фундаментальной группы G. простран-
A)
ства КП1:
A) A)
QA'=FA'(QB,A'>), E.6)
а фиксируя различным образом координатные системы
A) ' B)
в пространстве Кт1, мы будем получать в пространстве Кт,
II Веблен и Уайтхед

162 В. В. ВАГНЕР
геометрические объекты, вмещенные в одно и то же представле-
B)
ние фундаментальной группы Gra:
B) B)
QA' —pA' (QB>Auy E.7)
Докажем, что в этом случае данный связующий объект
является геометрическим. Действительно, из соотношений
л, A) B) A) A) B) A) A) A)
QA (Х>г *') — /м (QB (х, х'), АЬ («' х-1)), E.8)
~, A) B) B), ~„ ^Н2) B), B) B)
QA(x, x')—FA(QB(x, x), А''(х'х~% E.9)
мы получаем
(I) B) A) B) A) B) B) B) B) A) A) A)
(«' x') = ^(^(QC(x *) Л'»(х'х-1)) Л'>(*' «-
), E.10)
откуда и следует, что рассматриваемый связующий объект
будет геометрическим. Таким образом, из проведенных рас-
рассуждений следует теорема:
Для того чтобы связующий объект в двух простран-
пространствах Клейна был геометрическим, необходимо и доста-
достаточно, чтобы, фиксируя различным образом координатные
системы в одном пространстве, мы получали в другом
пространстве геометрические объекты, вмещенные в одно
и то же представление фундаментальной группы этого
пространства.
Легко видеть, что эта теорема может быть обобщена на
случай связующих объектов, определенных для любого числа
пространств Клейна.
Связующие объекты, определенные в двух пространствах
Клейна, обычно появляются прн рассмотрении точечных ото-
отображений между этими пространствами.
Пусть дано однозначное отображение пространства Клейна
A) B)
Кт> в пространство Клейна Кт^
B) я A)
Р=Ь(Р). E.11)
Как известно, задание этого отображения равносильно зада-
A) B)
нию в пространстве Кт X Km, точечного множества ш, состо-
A) A) A)
ящего из всех точек вида (Р, v(P)), где Р— произвольная

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 163
A)
точка пространства Ктк. Обозначим через Б группу всех авто-
A) B)
морфных преобразований пространства Kmi X Ктй, переводя-
переводящих множество Ш само в себя. Характеристический объект
группы В назовем связующим объектом отображения E.11).
Таким образом, согласно этому определению, связующий
объект отображения определен только с точностью до
подобия.
Предположим, что мы выбрали какнм-ннбудь определенным
образом связующий объект данного отображения E.11);
обозначим его через ВА. Определим теперь отображение
О) B)
E.11) в координатах, предполагая, что в Km, и в Km* вы-
A) B)
браны определенные координатные системы х и х. Легко
видеть, что определение отображения EЛ1) в координатах
уравнениями
B) 0)
0 () E.12)
где вид функций 6"» зависит от выбора координатных систем
A) B)
х и х, равносильно заданию в арифметическом ml-\-m2-npo-
странстве точечного множества М, состоящего из всех точек
A) , а)
вида (я, Ьа'(ха*)), которое является образом точечного мно-
A) B)
жества ж пространства Кт,У^Кт, в координатной системе
A) B) A) B)
(х, х). Для того чтобы в двух координатных системах (х, х)
A) B) A) (-')
и (х', х') пространства Kmi X Km, точечное множество Ш
имело один и тот же образ в арифметическом т1-\- /^-про-
/^-пространстве, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы авто-
A) B)
морфное преобразование в пространстве Кщ^Кт,, перево-
переводящее эти координатные системы друг в друга, переводило
само в себя точечное множество Ш, т. е., чтобы координатные
С) B) A) B) A) B)
системы (х, х) и (х', ж') в пространстве Kmi X Km, принадле-
принадлежали одному и тому же прообразу значения связующего
объекта отображения ВА. Следовательно, уравнения E.12),
определяющие отображение E.11) в координатах, будут
иметь один и тот же вид для всех координатных систем
11*

164 в. в. вагнёр
A) B)
(ж, х), относительно которых компоненты связующего объекта
ВА имеют одно и то же значение. Это дает возможность
записать уравнения, определяющие отображение E.11) в коор-
координатах, в инвариантном виде, введя в качестве дополнитель-
дополнительных параметров компоненты связующего объекта ВА данного
отображения:
B) A)
ха> = ва*(ха', ВА), E.13)
где вид функций 6О> уже не зависит от выбора координатных
A) B)
систем в пространствах Кт, и Кт,-
Применяя эти общие рассуждения к изоморфному отобра-
отображению A.11) двух пространств Клейна, Кт и Кт, мы полу-
получаем из уравнений A.16), что в этом случае в качестве
связующего объекта отображения можно выбрать связующий
геометрический объект, компоненты которого определяются
равенствами
/*?е, •х)=Л'(*х6х-1), E.14)
и переписать уравнения A.16) в виде, аналогичном E.13),
*xa=fa(xe, P1). E.15)
Тот факт, что связующий объект E.14) действительно
является геометрическим, может быть получен с помощью
доказанного выше достаточного условия, при котором связу-
связующий объект является геометрическим. Действительно, фикси-
фиксируя координатную систему х в пространстве Кт, мы получаем
из связующего объекта E.14) универсальный объект в про-
пространстве *Кт\ а фиксируя координатную систему в про-
пространстве *Кт, получаем обратный универсальный объект
в пространстве Кт. Так как все универсальные объекты, —
соответственно, обратные универсальные объекты, — вмеща-
вмещаются тривиальным образом в одно и то же представле-
представление фундаментальной группы, то достаточные условия выпол-
выполнены, и, следовательно, связующий объект E.14) является
геометрическим.
Переписывая, далее, уравнения D.5) в виде
Pl), E.16)

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 165
мы получаем, что геометрический объект в *Кт, соответству-
соответствующий при данном изоморфном отображении Кт на *Кт
геометрическому объекту в Кт, можно рассматривать как
функцию этого последнего и связующего объекта изоморф-
изоморфного отображения.
Как частный случай связующих объектов можно рассмат-
рассматривать объекты, компоненты которых являются функциями
нескольких координатных систем в одном и том же простран-
пространстве Клейна. Такие объекты мы будем называть объекта-
объектами с промежуточными компонентами. Согласно общей теории
связующих объектов, объект с промежуточными компонентами,
являющимися функциями v координатных систем в простран-
пространстве Кт, можно рассматривать как обыкновенный объект в
wn-пространстве Клейна (Km)v — w-степенн пространства Кт.
Из каждого объекта с промежуточными компонентами
относительно v координатных систем в пространстве Кт мы
можем получить обыкновенный объект в Кт, предполагая,
что рассматриваются значения компонент объекта только для
совпадающих координатных систем. Такой объект мы назовем
диагональным объектом, ассоциированным с данным объектом
с промежуточными компонентами.
Если мы предположим при рассмотрении отображения
(I) B)
E.11), что пространства Ктг н Кт, совпадают, и обозначим
соответствующее пространство просто через Кт, то связую-
связующий объект ВА этого отображения превратится в объект
с промежуточными компонентами. Так как при определении
полученного преобразования в пространстве Кт в координа-
координатах естественно относить исходные и преобразованные точки
к одной и той же координатной системе, то для инвариант-
инвариантной записи уравнений преобразования в координатах в виде,
аналогичном E.13), мы введем диагональный объект
СА(х) = ВА(х, х), E.17)
ассоциированный с объектом ВА с промежуточными компо-
компонентами. Этот объект мы будем называть объектом рассмат-
рассматриваемого преобразования в Кт. Инвариантные уравнения
данного преобразования в Кт могут быть записаны с помощью
этого объекта так:
V^e»^, CA\ E.18)

156 в- в- ВАГНЕР
Все сказанное мы можем применить к случаю автоморфного
преобразования в Кт, которое можно рассматривать как
частный случай изоморфного отображения двух пространств
Клейна, когда оба эти пространства совпадают. Вводя диаго-
диагональный объект, ассоциированный со связующим объектом
изоморфного отображения, который при совпадении обоих
пространств превращается в объект с промежуточными ком^
понентами, мы получаем, что автоморфное преобразование
в Кт определяется с помощью обыкновенного геометриче-
геометрического объекта
); E.19)
мы назовем его объектом данного автоморфного преобразо-
преобразования. С помощью этого объекта уравнения A.20) могут
быть переписаны следующим образом:
'xa=fa{xe, Q'). E.20)
•
Аналогично, уравнения D.8), определяющие преобразования
геометрических объектов при автоморфном преобразовании,
могут теперь быть записаны так:
'QA = FA(QB, Ql). E.21)
Этн уравнения дают выражение преобразованного геомет-
геометрического объекта как функции исходного объекта и объекта
автоморфного преобразования.
Всякий обыкновенный объект QA в пространстве Кы мы
можем двумя способами рассматривать как частный случай
объекта с промежуточными компонентами, являющимися функ-
функциями двух координатных систем х и х', считая в первом
случае, что он зависит только от первой координатной системы
QA(x, x') = QA(x), и, во втором случае, что он зависит
1
только от второй координатной системы QA (x, x') = QA(x').
2
Заметим, далее, что значения параметров Л'(ж', ж), опре-
определяющие преобразование координатной системы х в коор-
координатную систему ж', можно рассматривать как компоненты
геометрического объекта с промежуточными компонентами,
который мы назовем единичным объектом с промежуточными
компонентами. Пользуясь единичным объектом с промежу*
точными компонентами, мы можем рассматривать уравнения

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 167
C.3) преобразований компонент геометрического объекта QA
как дающие выражение объекта QA в виде функции объекта
2
QA и единичного объекта с промежуточными компонентами.
1
Диагональным объектом для единичного объекта с проме-
промежуточными компонентами будет объединение г скаляров §',
представляющих значения параметров, определяющие тожде-
тождественное преобразование фундаментальной группы.
§ в. Многозначные объекты. В качестве дальнейшего
обобщения понятия объекта в простом пространстве Клейна
мы введем так называемые многозначные объекты. Для этого
мы вернемся к определению объекта, данному в начале § 2.
Вместо того чтобы определять объект как упорядоченную
систему N чисел, являющихся, каждое в отдельности, одно-
однозначной функцией координатной системы, мы можем опреде-
определить объект просто как однозначную функцию, определенную
на множестве координатных систем, значение которой пред-
представляется точкой арифметического ^-пространства. Если
в этом последнем определении отказаться от однозначности
функции, то мы приходим к понятию многозначного объекта.
Таким образом, многозначный N-компонентный объект является
многозначной функцией, определенной на множестве предпо-
предпочитаемых координатных систем пространства Кт, каждое
значение которой представляется точкой арифметического
^-пространства. Так как эта функция многозначная, то каж-
каждой координатной системе будет соответствовать в общем
случае некоторое точечное множество арифметического N-npo-
странства.Мы будем называть его множеством многозначности
данного объекта.
С точки зрения приложений особый интерес имеют два
вида многозначных объектов: ?-значные объекты, у которых
каждое множество многозначности состоит из k различных
арифметических точек, и оо*-значные объекты, множества
многозначности которых являются ^-поверхностями арифмети-
арифметического Л^-пространства.
Так же как и в случае однозначного объекте, -мы вводим
понятие прообраза значения многозначного объекта, опреде-
определяя его как множество всех координатных систем, которым
соответствуют значения, образующие одно и тд же. множество

168 В. В. ВАГНЕР
многозначности. Пользуясь понятием прообразов значений
объекта, мы вводим, далее, так же как и для однозначных
объектов, понятие функциональной зависимости между много-
многозначными объектами и понятие подобия. Многозначные объекты
могут быть подобны однозначным объектам, и в этом случае
часто можно избежать рассмотрения многозначных объектов,
заменив их подобными им однозначными объектами. Так же,
как и в случае однозначного объекта, вводится понятие много-
многозначного геометрического объекта.
В приложениях часто приходится иметь дело с оо^-знач-
ными геометрическими объектами, являющимися /мпараметри-
ческими семействами однозначных геометрических объектов,
вмещенных в одно и то же представление фундаментальной
группы.
К простейшему примеру такого Л-значного геометриче-
геометрического объекта в пространстве Кт приводит рассмотрение
в этом пространстве некоторой ^-поверхности. Если в про-
пространстве Кт задана ^-поверхность, то каждой системе коор-
координат в Кт соответствует ^-поверхность в арифметическом
m-пространстве, являющаяся образом,, в этой координатной
системе данной ^-поверхности в Кт. Рассматривая эти
^-поверхности как множества многозначности некоторого много-
многозначного объекта в /fm, мы получаем оо*-значный геомет-
геометрический объект. Этот геометрический объект мы можем,
очевидно, рассматривать как ft-параметрическое семейство
однозначных геометрических объектов, каковыми являются
компоненты фиксированных точек в Кт.
§ 7. Основные геометрические объекты в аффинном
пространстве. В современной геометрии большую роль играет
аффинное пространство Еп, являющееся простым простран-
пространством Клейна, фундаментальной группой которого служит
группа аффинных преобразований арифметического я-про-
странства:
х*=А*х*-\-А%; A = Det|41'|=540. G.1)
Рассмотрим следующие два основных представления этой
группы в арифметическом я^+^-пространстве переменных
Pit'.. ?» P''"Pj, которые считаются лексикографически упо-

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 169
рядоченными по системам индексов (otj ... а ^ ...
h p; . • P.-p«
V "-An. D ....... ' G-d>
где
.« 1 ал
и k—произвольное действительное число.
Геометрические объекты в пространстве Еп, вмещенные
в представление G.2) группы G.1), называются собственными
W-оффинорными плотностями ковариантной валентности р,
контравариантной валентности q и веса k. Аналогично, гео-
геометрические объекты в пространстве Еп, вмещенные в пред-
представление G.3) группы G.1), называются несобственными
W-аффинорными плотностями ковариантной валентности р,
контравар нантной валентности q и веса А1.
Заметим, что уравнения G.2) при целом четном k и урав-
уравнения G.3) при целом нечетном k могут быть переписаны
в одинаковом виде:
В \ ', „. . =Д-\4'; . ../Г А1 .. ./• » • ?'-?я . G.4)
*\—'ph—$q \ *р Pi Рз «i—1*
Геометрические объекты, вмещенные в представление G.4)
группы G.1), называются просто аффинорными плотностями.
Однако аффинорные плотности удобно рассматривать, вообще
говоря, в тех случаях, когда вес является целым числом, так
как в противном случае может случиться, что в одних коор-
координатных системах их компоненты будут действительными,
а в других — комплексными числами. Поэтому в качестве
1 W-плотностн, или плотности Вейля, называются так потому, что
они были впервые введены Вейлем. См. W е у 1 Н., Raum. Zeit. Mathe-
rie 5. Aufl. A923), стр. 110. Хотя упоминание о них имеетси в книге
Схоутена и Стройка, однако систематически они были рассмотрены
только 8 более поздних работах f J-2J, [14],

170 в. в. вагнер
основных геометрических объектов пространства Еп целесо-
целесообразно выбрать собственные и несобственные W-аффинорные
плотности, сохраняя просто аффинорные плотности только
для случая целого веса. При этом аффинорную плотность
четного веса можно рассматривать как собственную W-аффи-
норную плотность, а аффинорную плотность нечетного веса —
как несобственную ^-аффинорную плотность.
Если p = q = k — Q, то представление G.2) сводится
к тождественному
»' = », G.5)
и мы получаем как частный случай собственной 1^-аффинор-
ной плотности собственный скаляр. При этих же предположе-
предположениях G.3) сводится не к тождественному представлению, а
к представлению:
0' = (Sing Д) 0, G!б)
и определяет однокомпонентные геометрические объекты, на-
называемые несобственными скалярами.
Заметим, что среди собственных и несобственных 1^-аффи-
норных плотностей, сингулярно вмещенных в представления
G.2) и G.3), будут встречаться геометрические объекты,
являющиеся объединениями скаляров. Тривиальным примером
таких геометрических объектов служит объединение пР+ч
скаляров, равных нулю. Нетривиальными примерами являются
кососимметричная ковариантная аффинорная плотность е*,...,»,
валентности п и веса —1, определяемая условием ei...» —1,
и кососимметричная контравариантная аффинорная плотность
@«i".«n валентности п и веса -\-\, определяемая условием
@1-"» = 1, а также смешанный аффинор валентности 2, ком-
компоненты которого равны 8».
С точки зрения общей теории объектов основные алгебраи-
алгебраические действия над W-аффинорными плотностями: сложение,
умножение, свертывание и переход к изомеру; а также дей-
действия, являющиеся комбинациями основных: вычитание, взаим-
взаимное свертывание, симметрирование и альтернирование, могут
рассматриваться как построение простейших функций от
l^-аффинорных плотностей, которые сами являются W-аффи-
иорными плотностями.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 171
Из многозначных геометрических объектов в пространстве
Еп чаще всего встречаются так называемые псевдоаффнноры,
т. е. аффиноры, определенные с точностью до произвольного
скалярного множителя. Псевдоаффинрр wi,...«p^"""^g является
оо—1-значным геометрическим объектом, представляющим
собой однопараметрическое семейство однозначных геометри-
геометрических объектов — аффиноров. Множества многозначности
псевдоаффинора являются прямыми соответствующего ариф-
арифметического пространства, проходящими через нулевую точку.
Из каждого псевдоаффинора wi,...^1"'^ можно построить
подобный ему 2-значный геометрический объект
о V
i-"Pa щ
N
где под знаком корня стоит сумма квадратов всех компонент
псевдоаффинора. Мы будем называть этот объект приведен-
приведенным псевдоаффинором.
Уравнения преобразований компонент приведенного псевдо-
псевдоаффинора имеют рид
«1 .«Р ¦
А ,...А ,А
В
..А
а В. 8д
Компоненты приведенного псевдоаффинора удовлетворяют
инвариантному уравнению
S(N{,..V^8J = 1- G.9)
Перейдем теперь к рассмотрению основных пространств
Клейна, получаемых из аффинного пространства Е путем
задания в нем некоторой группы автоморфных преобразова-
преобразований, определяемой ее характеристическим объектом.
1) Ориентированное аффинное пространство.
Зададим в Ел несобственный единичный скаляр s:
F=4:1), G.10)
и рассмотрим множество координатных систем, определяемых

172 в. в. вагнер
условием
? = +!• G.11)
Выбирая эти координатные системы в качестве предпо-
предпочитаемых, мы получаем из пространства Еп новое простран-
пространство Клейна, называемое ориентированным аффинным про-
пространством, фундаментальная группа которого определяется
уравнениями:
х*'=А1'х«-\-А*о, Д>0. G.12)
2) Составное аффинное пространство.
Зададим в Еп приведенный простой контравариантный
псевдо-/и-вектор №'-"Р"":
в' я' X /"Чт""Рт
Рг--Ри 4p4pN 13.
где
2 (№'-"И-тJ = 1; N[3'"-P'"№']---'f'n = О,
и рассмотрим множество координатных систем, определяемое
условием
1 •«"• = 0, р = /и-)-1...й. G.14)
Выбирая их в качестве предпочитаемых, мы получим из
пространства Еп новое пространство Клейна, которое назовем
составным аффинным пространством. Его фундаментальная
группа будет определяться уравнениями
= т-\-\,...,п),
хР' = АррХР^-А%.
3) Центро-аффинное пространство.
Зададим в Еп геометрический объект, компоненты кото-
которого являются координатами дго некоторой фиксированной
точки в Еп:
: ' G.16)
Выбирая в кэче,стве предпочитаемых координатные системы,

ТЁбРйя диФеренцИальных объектов 173
определяемые условием
4 = 0, G.17)
мы получаем из пространства Еп новое пространство Клейна,
называемое центро-аффинным пространством, с фундаменталь-
фундаментальной группой, определяемой уравнениями
х" = А*х*. G.18)
4) Аффинное пространство с объемной метрикой, или
эквиаффинное пространство.
Зададим положительную собственную W-скалярную плот-
плотность а веса— 1:
»' = |Д|», (»>0) G.19)
и выберем в качестве допустимых координатные системы,
удовлетворяющие условию
» = 1. G,20)
Таким путем из пространства Еп мы получим новое простран-
пространство Клейна с фундаментальной группой
*" = XV+4f; |Д| — 1, G,21)
которое мы назовем аффинным пространством с объемной
метрикой, или эквиаффинным пространством.
5) Полуметрическое пространство.
Зададим ковариантную собственную W-тензорную плот-
2
ность валентности 2 и веса с дискриминантом по абсо-
абсолютной величине, равным 1:
2
%^,= \А\* A^Af.^, G.22)
где
Рассматривая множество координатных систем, определяемых
условием
{К) G'23)
и выбирая эти координатные системы в качестве допустимых,
мы получаем из пространства Еп новое пространство Клейна,

В- В- ВАГНЕР
называемое полуметрическим пространством. Фундаментальная
группа этого пространства будет определяться уравнениям
v-«' Л"'г" Л- АЛ' П 94Л
Л /1а Л —— Л0 , V •""/
где
i—$) p — произвольный поло-
скаляр.
Объединяя несколько из этих пяти геометрических объек-
объектов: несобственный единичный скаляр, приведенный простой
контравариантиый псевдо-/и-вектор, точка, собственная 1Г-ска-
лярная плотность веса — 1 и собственная ковариаитная тензор-
2
ная плотность валентности 2 и веса —, мы можем построить
геометрические объекты, с помощью которых из простран-
пространства Еп получаются другие пространства Клейна, часто
встречающиеся в приложениях, как, например, ориентирован-
ориентированное центро- аффинное пространство, ориентированное аффин-
аффинное пространство с объемной метрикой, метрическое
эвклидово пространство, и т. д. При этом соответствую-
соответствующее объединение геометрических объектов часто бывает
удобно заменить подобным геометрическим объектом. Так,
например, при определении ориентированного аффинного
пространства с объемной метрикой, вместо объединения несоб-
несобственного единичного скаляра s и собственной lF-скалярной
плотности ti веса — 1 можно взять подобный этому объеди-
объединению геометрический объект
» = е», G.25)
являющийся несобственной lF-скалярной плотностью
веса —1, или, что то же самое, просто скалярной плотно-
плотностью веса —1. Аналогично, при определении метрического
эвклидова пространства вместо объединения собственной
о
IF-тензорной плотности дя„ веса и собственной 1Г-ска-
лярной плотности а веса — 1 удобнее взять подобный этому
объединению геометрический объект
являющийся ковариантным тензором.

ДИФЕ#ЁнЦЙАлЬНУк объЕКтрЬ 175
Вместо того чтобы изучать геометрию пространств Клейна,
полученных таким образом из пространства ?п, пользуясь
только предпочитаемыми координатными системами, выделен-
выделенными условием, что в них компоненты соответствующего
характеристического объекта имеют заданные постоянные
значения, мы можем продолжать пользоваться всеми предпо-
предпочитаемыми координатными системами исходного простран-
пространства Еп. В этом последнем случае все "свойства полученного
пространства Клейна, не принадлежащие геометрии самого
исходного пространства Еп, будут выражаться аналитически
формулами, содержащими компоненты характеристического
объекта.
Простейшим примером этому могут служить выражения:
1) для объема V параллелепипеда, я измерений, определяемого
д контравариантными векторами г>? (Х= 1,...,п) в аффинном
пространстве с объемной метрикой,
G.27)
2) для расстояния d между двумя точками в метрическом эв-
эвклидовом пространстве,
в произвольной координатной системе пространства Еп.
§ 8. Полные диференциальные группы. Пусть <р (?>•) —
функция класса v от л переменных ?х , являющихся, в свою
очередь, функциями того же класса от некоторых других
переменных. Покажем, что выражение для диференциала
порядка s(s*^v) от функции tp через диференциалы пере-
переменных может быть представлено в следующем виде:
где символ 2 означает, что берется сумма выраже-
dii |«. dik 5«*
ний —у-— • • • ~~п— для всех упорядоченных систем tlt..., ik

176 В. В. ВАГНЕР
положительных целых чисел, удовлетворяющих условию
h + ...+/* = *•
Для вывода формулы (8.1) нужно предварительно полу-
получить некоторые вспомогательные соотношения. Рассмотрим
следующие три суммы:
d* Г*.
Далее, возьмем произвольный член суммы (8.2)
^p^L Н-1). (8.5)
Если j^ ^> 1, то этот член с коэфнциентом у входит в сумму
k •
S//v+1>^T"- ^Х-Г^^ТПТ d"Xlx\+''"^W~
(8-6)
при г\=ух (^^ц), гA=Д — 1. Отсюда легко видеть,
что после приведения подобных членов в сумме (8.3)
член (8.5) будет входить в эту сумму с коэфици-
ентом, равным сумме всех индексов /,, ..., уЛ> которые
больше единицы, или если мы обозначим через т число

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
177
индексов, равных единице, то с коэфициентом s-\-\ — т.
Обращаясь теперь' к сумме (8.4) и предполагая, что в ней
приведены подобные члены, нетрудно убедиться, что член
(8.5) войдет в эту сумму с коэфициентом, равным числу
индексов, равных единице, среди индексов Ju... Jk, т. е. с
коэфициентом т. Отсюда следует, что если мы сложим
суммы (8.3) и (8.4):
то, после приведения подобных членов, член (8.5)
войдет в сумму (8.7) с коэфициентом 5-)-1. Таким обра-
образом, каждый член суммы (8.2) входит с коэфициентом s-f-1
в сумму (8.7), если мы приведем в ней подобные члены. Так
как, с другой стороны, каждый член суммы (8.7) отличается
только числовым множителем от некоторого члена суммы
(8.2), то отсюда вытекает, что сумма (8.7) равняется сумме
(8.2), умноженной на s-\-\,
ч
4 у*
d№_
d?1 &l
Л 54*
+
'*—il
^ =
= (*+D
d'iE«i
(8.8)
Откуда
12 Веблен и Уайтхед

178
В. В. ВАГНЕР
Пользуясь полученным соотношением (8.9), мы выведем фор-
формулу (8.1) методом математической индукции. Предполагая,
что формула (8.1) верна для некоторого s и диференцируя
обе части еще раз, мы получаем:
\
i + -.. + <* = -
откуда, применяя (8.9), имеем окончательно:
т. е., формула верна и для s-j-1. Так как формула
(8.1), очевидно, верна при$=1, то, таким образом, мы дока-
доказали, что она будет верна для любого значения s.l
Пусть 6*(К]°)—я функций класса к от и независимых
переменных rf. Полагая ?а=6*(г]а), мы получим из функции
<р (&) функцию от j]a, частные производные которой обозна-
обозначим через ya,...ag- Найдем выражения для этих частных про-
производных уа,...а, через частные производные ?«,...«, от <р по
5х и частные производные 6? я от функций Ьх.
Замечая, что
1..i (8.12)
и подставляя эти выражения в формулу (8.1), мы получаем,
1 Для я=1 вывод формулы (8.1) имеется в книге Чезаро Э„
Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления беско-
иечно-малых, II. Одесса. Mathesis A914), стр. 473—474. Приведенный
вывод формулы (8.1) для любого я является непосредственным обоб-
обобщением вывода Чезаро.

ТЕОРИЯ ДИФЕЕЁнЦЙАЛЬнЫХ ОБЪЕКТОВ 179
пользуясь независимостью диференциалов drf,
*=1 (/, + ... + /*=*)
(8.13)
Рассмотрим в арифметическом «-пространстве переменных
S" некоторую псевдогруппу 9$ регулярных преобразований
класса г. Пусть
$«'=/-'(?*) (8.14)
есть некоторое преобразование из 9$. Диференцируя эти урав-
уравнения v раз (v<^r), мы получаем с помощью формулы (8.1):
E=1 «)• (8.15)
Уравнения (8.14) и (8.15) вместе определяют в арифметическом
(я-f- ^-пространстве переменных ?", dsia регулярное пре-
преобразование, называемое диферещиальным продолжением
порядка v преобразования (8.14).
Нетрудно убедиться, что если два преобразования из 4$ имеют
результирующее преобразование, то результирующим для
диференциальных продолжений порядка v этих преобразова-
преобразований будет дифереициальное продолжение порядка v резуль-
результирующего данных преобразований из 9$. Аналогично, обрат-
обратным преобразованием для диференциального продолжения
порядка v некоторого преобразования из 9$ будет диферен-
циальное продолжение порядка v преобразования, обратного
для этого преобразования из ^К
Отсюда следует, что множество диференциальных про-
продолжений порядка v всех преобразований псевдогруппы ^
будет являться псевдогруппой регулярных преобразований в
арифметическом (п -(- ^-пространстве переменных 5", d*5";
эту псевдогруппу мы назовем диферещиальным продолжением
порядка v данной псевдогруппы 4$.
12*

В. В. ВАГНЕР
Назовем стационарной подпсевдогруппой псевдогруппы $
для точки $* подпсевдогруппу, состоящую из всех тех преобра-
преобразований $, которые определены на областях арифметического
«-пространства, содержащих ?g, и оставляют эту точку
инвариантной. Диференциальным продолжением порядка v
стационарной подпсевдогруппы для точки ?jj будет являться
подпсевдогруппа диференциального продолжения порядка v
псевдогруппы S$, состоящая из всех преобразований, перево-
переводящих самое в себя wz-плоскость.
?*=% ¦ (8Л6)
арифметического (д -\- ^-пространства переменных ?", dsZ*.
Очевидно, что эта псевдогруппа будет индуцировать в
¦уд-плоскости (8.16), рассматриваемой как арифметическое
от-пространство переменных ds^, группу преобразований,
которую мы назовем диференциальной группой порядка v,
ассоциированной с точкой (•?.
Предположим, что псевдогруппа $ является псевдогруп-
псевдогруппой всех регулярных преобразований класса v. Так как оче-
очевидно, что существуют л функций /* класса г, принимающих,
вместе со всеми своими производными до порядка v включи-
включительно, произвольно заданные значения в точке ?jj,. то ди-
ференциальная группа порядка v для любой точки в случае
группы всех регулярных преобразований состоит из всех
преобразований
/j •• • ik\
(s=lt...,v), (8.17)
где А* я — произвольные параметры, удовлетворяющие един-
единственному условию:
Det | Л«' | з^О. (8.18)
Таким образом, диференциальная группа порядка v для
псевдогруппы всех регулярных преобразований является. Nvn-
параметрической группой Ли, где
)] <8-'"

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 181
— число всех частных производных до порядка v включи-
включительно от п функций п переменных. Эту группу мы будем
называть полной диференциальной группой порядка v и обо-
обозначать через ?)лгрп.
Рассмотрим некоторые свойства группы Ъыт*
Тождественное преобразование !?)#,,„ определяется значе-
значениями параметров.
<...«. = С... (s = l,...,v), (8.20)
где символы Ь*' при 5=1 совпадают с обычными дель-
тами Кронекера, а при s~^>\ все равны нулю.
Найдем, далее, выражения для значений Л^'„,^ парамет-
параметров, определяющих результирующее преобразование для пре-
преобразований группы i?V,,n, соответствующих значениям Л«]...„,
,«"
и -^ «'...«' параметров.
Для этого рассмотрим два преобразования, принадлежащие
стационарной подпсевдогруппе, для точки SjjJ, псевдогруппы
всех регулярных преобразований класса v, диференциальные
продолжения порядка v которых индуцируют как раз данные
преобразования группы
Ё" = /*(?); ?«'=W); />($) =/*$) = $, (8.21)
1 2 1 '2
где
1 2 1 s is
Тогда диференциальное продолжение порядка v результирую-
результирующего преобразования для преобразований (8.21) будет инду-
индуцировать преобразование группы Q>Nm, являющееся результи-
результирующим для двух данных преобразований этой группы.
Таким образом, обозначая
Fp^ftftp)), (8.23)
21 2 1
мы должны иметь
&...№=<.....• (8-24)
21
Для вычисления значений частных производных сложной функ-
функции (8.23) мы воспользуемся формулой (8.13), что дает,

182
согласно
А"'
¦ftt-1
(8.22),
А'". .
k\
В. В. ВАГНЕР
Zu Л!
h. ..+<* = *)
t
/ft!
(8
.25)
Если А'1 и A"i , — значения параметров, соответ-
соответствующие двум взаимно обратным преобразованиям группы !!)#,,„.
то, согласно (8.25), они связаны соотношениями
к\ 1л /х! '' ¦
(Л+...+/* = »)
-=8" . (8.26)
'ft- '• *
Уравнения
5@« = const (/ = 1,..., и<») (8.27)
определяют в арифметическом ил-пространстве «л-параметри-
ческое семейство (v — и) л-плоскостей, являющихся системами
импримитивности для группы 2)дгоп. Определяя каждую пло-
плоскость конгруэнции" (8.27) значениями переменных ?W« и пред-
представляя группу 2)лгеп как гРУппу преобразований (v — и)п-
плоскостей, мы получаем гомоморфное отображение группы
2V,,n на ©лещ,- При этом гомоморфном отображении 2)лго„ на
^лг«п прообразом тождественного преобразования в !?#«„ бу-
будет (Non—Л/ц^-параметрическая инвариантная подгруппа
%ven— дгип группы 2)лгоп> преобразования которой определяются
уравнениями (8.17), если мы в них положим
<...„. = С.ч (/=1, ...,и). (8.28)
§ 9. Касательные составные многообразия. Будем назы-
называть геометрическое л-пространство, определяемое системой
аксиом гл. VI, общим пространством Веблена — Уайтхеда
класса и и обозначать его через Хп.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 183
Ассоциируем с каждой точкой Р пространства Хп, кото-
которое в дальнейшем будем называть базисным пространством,
простое пространство Клейна Кт(Р), называемое локальным
пространством. При этом мы будем предполагать, что все
локальные пространства Кт изоморфны.
Множество всех локальных пространств Кт, ассоцииро-
ассоциированных с точками базисного пространства Хп, мы назовем
составным многообразием и обозначим через Кт(Хп).
Будем говорить, что в некоторой области базисного про-
пространства Хп задано поле локальных координатных, систем,
если в каждом локальном пространстве Кт, ассоциированном
с некоторой точкой этой области, задана предпочитаемая
координатная система.
Пусть локальные пространства Кт имеют своей фундамен-
фундаментальной группой группу Ог, преобразования которой опреде-
определяются уравнениями A.3). Рассмотрим два поля локальных
координатных систем, определенных на простой области ба-
базисного пространства Хп, т. е. области, представимой в одной
координатной системе. Тогда переход от одного поля локаль-
локальных координатных систем к другому будет определяться
уравнениями
**=/*(*•, а* Eх)), (9.1)
где А1 — некоторые функции точки базисного пространства.
Составное многообразие Кт(Хп) называется голономширо-
ванным, если с каждой допустимой координатной системой
в базисном пространстве Хп ассоциировано определенное на
ее геометрической области поле локальных координатных си-
систем,—называемое голономным полем,—так что выполняются
следующие условия:
1) Каждая предпочитаемая координатная система в локаль-
локальном пространстве принадлежит некоторому голономному полю.
2) Голономное поле, ассоциированное с ограничением ко-
координатной системы в базисном пространстве, является огра-
ограничением голоиомного поля, ассоциированного с самой этой
координатной системой.
3) Уравнения, определяющие преобразование двух голо-
номных полей, ассоциированных с координатными системами
базисного пространства, имеющими общую геометрическую
область, зависят только от преобразования, определяющего

184 в. в. вагнер
переход от одной координатной системы к другой, но не от
самих этих координатных систем.
Последнее условие означает, что если преобразование,
определяющее переход от первой координатной системы ба-
базисного пространства ко второй, определяется уравнениями
6* =/»(?), (9.2)
то преобразование ассоциированных с этими координатными
системами голономных полей определяется уравнениями (9.1),
где функции Л'(?х) должны быть функционалами от функций
(9.3)
Если эти функционалы выражаются в виде обыкновенных
функций от производных /J e до некоторого порядка v
включительно:
Л'(?) = »'(?...„(?)) (s=l, .... v)t (9-4)
то составное многообразие Кт (Хп) называется диференциально
голономизированным, а число v — классом диференциальной
голономизации.
Рассмотрим голономизированное составное многообразие
Кт(Хп) как множество точек всех его локальных пространств.
Тогда каждая координатная система bAJ,h соответствующее ей
голономное поле локальных координатных систем будут опре-
определять взаимно-однозначное отображение некоторого подмно-
подмножества этого множества на некоторую область арифметического
(л -|~ «^-пространства переменных ?", Xй. Таким образом, состав-
составное многообразие Кт (Хп), рассматриваемое как множество всех
локальных точек, может рассматриваться так же, как геоме-
геометрическое (я -|~ «^-пространство, допустимые координатные
системы которого определяются с -помощью голономных полей
локальных координатных систем и связаны между собой псевдо-
псевдогруппой преобразований в арифметическом (л -\~т)-простран-
-\~т)-пространстве переменных ?*, ха, определяемой уравнениями вида
?¦'=/*' (?), (9.5)
*"=/*(**, со* (?...«,("))). (9.6)
где уравнения (9.5) определяют произвольные регулярные

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 185
преобразования класса и. Полученное таким образом из голо-
номизированного составного многообразия Кт(Хп) геометри-
геометрическое (я -\- /п)-пространство мы будем называть голономизиро-
ванным составным пространством.
Обозначим через Тт простое г/л-пространство Клейна,
фундаментальной группой которого является полная дифе-
ренциальная группа ^лт порядка v(v^u), и рассмотрим
составное многообразие Tvn(Xn). Это составное многообразие
мы диференциально голономизируем следующим образом.
Пусть Р—произвольная точка в Хп. Рассмотрим все воз-
возможные параметризированные кривые класса v, проходящие
через эту точку, которой на всех кривых будет соответство-
соответствовать значение параметра, равное нулю. Выберем в Ха неко-
некоторую координатную систему, геометрическая область кото-
которой содержит точку Р, и пусть
&¦=>(*) (9.7)
— уравнения какой-либо из рассматриваемы* кривых. Выбе-
Выберем, далее, некоторую координатную систему в локальном
пространстве Tvn(P) и поставим в соответствие каждой из
рассматриваемых кривых точку в Tvn (P), координаты ?(*)¦
(s = l, ..., v) которой будут равны значениям производных
координат точки кривой в точке Р, т. е. при tf = 0,
Так как эти производные при 1=0 могут иметь любые
значения, то мы получим, таким образом, все точки локаль-
локального пространства Топ(Р). Преобразуем теперь координатную
систему в Хп; тогда, согласно (8.1), производные координат
точки кривой в новой координатной системе будут выражать-
выражаться через производные координат точки кривой в старой коор-
координатной системе следующим образом:
53

186 В. В. ВАГНЕР
Для того чтобы производные ( -^ \ определяли в Tvn(P)
ту же самую точку, что и производные ( -^ 1 , нужно в
Tvn(P) выбрать ту координатную систему, которая полу-
получается из старой с помощью преобразования группы &ifm,
определяемого значениями параметров
А1..а,=?...а,(?). (9.10)
Таким образом, ассоциируя с начальной координатной
системой в Хп произвольную координатную систему в локаль-
локальном пространстве Тт(Р), мы ассоциируем с каждой коорди-
координатной системой в Хп) геометрическая область которой со-
содержит точку Р, некоторую вполне определенную координатную
систему в Тт(Р). Легко видеть, что любая координатная
система в Tvn будет ассоциирована с некоторой координатной
системой в Хп. Это следует непосредственно из того,
что в Хп можно найти координатную систему, переход
к которой от начальной координатной системы определяется
функциями /*', производные которых до порядка v включи-
включительно в данной точке имеют заданные значения Л«'...„,. Они
являются значениями параметров группы 2)лг»п> определяющими
преобразование, переводящее начальную координатную систему
в произвольно заданную. Далее, легко убедиться, что если
мы возьмем в Хп две произвольные координатные системы,
геометрические области которых содержат точку Р, и если
?«' ==/¦' (сх) будут уравнения, определяющие преобразование
первой во вторую, то преобразование ассоциированных с ними
координатных систем в Tvn(P) будет определяться значениями
параметров (9.10). Установим аналогичным образом связь
между координатными системами в Хп и координатными си-
системами в локальных пространствах для каждой точки Р и
назовем голономным полем локальных координатных систем,
ассоциированным с данной координатной системой в Хп, поле,
образуемое координатными системами в Tvn{P) (где Р — про-
произвольная точка геометрической области данной координатной
системы), ассоциированными с 'этой координатной системой.
Легко видеть, что условия, которым должны удовлетворять
голономные поля локальных координатных систем, при это

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 187
будут выполнены, и мы, таким образом, диференциально го-
лономизируем составное многообразие Tvn (Хп).
Полученное диференциально-голономизированное составное
многообразие Tvn(Xn) называется касательным составным
многообразием порядка v для пространства Хп, а локальные
пространства Тт этого составного многообразия называются
касательными пространствами порядка v, ассоциированными
с соответствующими точками пространства Ха.
Заметим, что в касательном составном многообразии Тт (Хп)
с различными координатными системами с общей геометриче-
геометрической областью может быть ассоциировано одно и то же голо-
номное поле локальных координатных систем. Легко видеть,
что необходимое и достаточное условие этого состоит в том,
что эти координатные системы в Хп должны быть связаны
преобразованием, определяемым функциями, удовлетворяющими
диференциальным уравнениям
Отсюда
где C=const, (9.12)
т. е. соответствующее преобразование в арифметическом
л-пространстве должно быть параллельным переносом.
С каждой точкой пространства Хп, класс которого равен и,
ассоциировано, таким образом, и касательных пространств
Tvn{v=l, ..., и). Между этими пространствами существует
взаимная связь, к выяснению которой мы сейчас и перейдем.
Установим прежде всего связь между координатными систе-
системами в этих пространствах. Рассмотрим два касательных про-
пространства: Т и Т (v<C_w), ассоциированных с одной и
(V)
той же точкой Ро. Координатную систему х в Тш будем
считать соответствующей координатной системе х в Tvm, если
в Хп существует координатная система, с которой ассоцииро-
(V) (W)
ваны обе эти координатные системы х и х. Легко видеть,
что таким образом мы получаем однозначное отображение
(V) (V) (W)
*=Y(«) (9-13)
(«О

188 в. в. вагнер
множества Ку^, координатных систем в Twn на множество Клгоп
координатных систем в Tvn. Действительно, если одна и та
(«О
же координатная система х в Xwn ассоциирована с двумя
различными координатными системами в Хп, то функции, опре-
определяющие преобразование одной из этих координатных
систем в другую, удовлетворяют условиям
А....ЛХ)=5:,..,. (*=i,.... «о, (9.Н)
где ?*— координаты точки Ро. Но из этих же равенств (9.14)
следует, что с этими координатными системами ассоциирована
(«О
одна и та же координатная система х в пространстве Tvn,
Таким образом, каждой координатной системе в Twn одно-
однозначно соответствует некоторая координатная система в Tvn.
Очевидно, что это соответствие (9ЛЗ), будучи однозначным,
(V) (V)
не будет взаимно-однозначным. Прообразом У~1(х) координат-
(V) (т)
ной системы х в Twn при этом отображении будет подмно-
подмножество координатных систем в Twn, .получающихся друг нз
друга с помощью произвольных преобразований из инвариант-
инвариантной подгруппы ЭТли-лг™ группы &цт.
Пользуясь соответствующими в этом смысле координатными
системами в Тт и Twn, мы можем точку ?^)«E = 1, ...,v)
в Tvn представить в виде {w — v) л-поверхности
gW« = ^«)« E=1, ...,v). (9.15)
в Twn. Таким образом, Tvn может быть представлено в Twn
в виде г/в-параметрического семейства (w—v) «-поверхностей.
Касательное пространство первого порядка является обыкно-
обыкновенным центро-аффинным пространством, так как полная дифе-
ренциальная группа первого порядка совпадает с центро-аф-
финной группой. Касательные пространства высших порядков
являются совершенно не изученными до снх пор простыми
пространствами Клейна.
§ 10. Диференциальные объекты в Хп. Вернемся снова
к рассмотрению составного многообразия Кт(Хп). Мы ска-
скажем, что на точечном множестве М базисного пространства
Хп задано поле локального объекта, если в каждом локаль-

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 189
ном пространстве Кт, ассоциированном с некоторой точкой
этого множества, задан объект с одним и тем же числом
компонент. Если на множестве М задать определенное поле
локальных координатных систем, то компоненты локальных
объектов относительно координатных систем данного поля
будут являться скалярными функциями точки, определенными
на множестве М. Мы будем называть их компонентами поля
локальных объектов относительно данного поля локальных
координатных систем.
Поле локального объекта называется однородным, если
все его объекты эквивалентны. Если поле локальных объек-
объектов не однородно, то мы можем разбить множество М, на
котором оно задано, на систему подмножеств так,- что на
каждом из этих подмножеств поле будет однородным, а ло-
локальные объекты, принадлежащие разным подмножествам, не
будут эквивалентны. Такие подмножества мы будем называть
множествами однородности данного поля локального объекта.
Для случая полей локальных геометрических объектов, мы
введем еще понятие псевдооднородного поля. Поле локального
геометрического объекта мы будем называть псевдооднородным,
если его объекты, не будучи обязательно эквивалентными,
включаются в одно и то же представление фундаментальной
группы локальных пространств.
Рассмотрим произвольное неоднородное поле локального
геометрического объекта, не являющееся псевдоодиородным,
и построим неоднородное поле объединения L скаляров
й)у(У= 1, ... , L) с теми же самыми множествами однород-
однородности. Таким образом, каждое множество однородности опре-
определяется заданием- L чисел, представляющих значения этих
скаляров на данном множестве однородности. Так как урав-
уравнения преобразований компонент локального геометрического
объекта, могут изменяться только при переходе от одного
множества однородности к другому, а для одного и того же
множества однородности они будут иметь одинаковый вид,
то мы можем представить их для всех геометрических объ-
объектов поля вместе следующим образом:
5*(/>)«=/*(«'(/>), QB(P), A'(P)). (ЮЛ)
Объединяя поле данного локального геометрического объ-
объекта с построенными полями скаляров, мы получаем поле

190 В. В. ВАГНЕР
локального (Л^-(-1)-компонентного объекта, которое будет
псевдооднородным, как это вытекает из уравнений преобразо-
преобразований его компонент:
mJ(P) = mJ{P);"QA = FA((aJ(P), QB(P), A'(P)). A0.2)
Поле локального объекта называется локальной функцией
другого поля локального объекта, заданного на том же са-
самом множестве базисного пространства, если в каждой точке
локальный объект первого поля является функцией локаль-
локального объекта второго поля. В общем случае вид функций,
выражающих компоненты первого объекта через компоненты
второго, зависит от точки. Если все эти функции, соответ-
соответствующие разным точкам, совместны1, то мы говорим, что пер-
первое поле локального объекта является функцией второго поля.
Мы будем говорить, что поле локального объекта, являю-
являющееся локальной функцией другого поля, является его одно-
однородно-локальной функцией, если во всех точках, принадле-
принадлежащих одному и тому же множеству однородности второго
поля, локальные объекты связаны одной и той же функцио-
функциональной зависимостью. Отсюда следует, как легко видеть,
что каждое множество однородности второго поля включается
в некоторое множество однородности первого поля.
Аналогичным образом определяются понятия локального
подобия, подобия и однородно-локального подобия полей
локальных объектов.
Заметим, что множества однородности двух однородно-
локально подобных полей локальных объектов совпадают.
Перейдем теперь от произвольного составного многообра-
многообразия Кт{Хп) к касательному составному многообразию-
1 Две функции, определенные на двух подмножествах некоторого
множества, называются совместными, если на пересечевии этих под-
подмножеств они совпадают и, следовательно, могут быть объединены
в одну функцию, определенную на объединении данных подмножеств.
В частности, функции всегда совместны, если пересечение под-
подмножеств, на которых они определены, пусто. Аналогично, произ-
произвольное множество функций, заданных на подмножествах некоторого
множества, называется множеством совместных функций, если функ-
функции этого множества попарно совместны. В этом случае все функ-
функции могут быть объединены в одну функцию, определенную на объ-
объединении всех подмножеств, на которых определены функции данного
множества.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 191
Мы будем говорить, что на точечном множестве* М про-
пространства Хп задан, диференциальный объект, если на этом
множестве задано поле локального объекта в касательном
составном многообразии Tvn(Xn) некоторого порядка v.
Пользуясь отображением (9.13) координатных систем про-
пространства Twn на координатные системы пространства Tvn,
ассоциированного с той же точкой Хп, мы можем каждому
объекту в Tvn поставить в соответствие объект в Twn(w~^>v)
таким образом, что прообразами значений этого последнего
(V) (V)
будут являться объединения прообразов у -1(х) координат-
(«0
ных систем в Tvn, принадлежащих одному и тому же прообразу
значений объекта в Tvn. Таким образом, диференциальный
объект в Хп, определенный как поле локального объекта
в касательном составном многообразии Tvn(Xn), можно пред-
представить так же, как поле локального объекта в любом каса-
касательном составном многообразии высшего порядка. Число v
называется классом диференциального объекта, если он может
быть представлен как поле локального объекта в касательном
составном многообразии порядка v, но не может быть пред-
представлен как поле локального объекта в касательном состав-
составном многообразии низшего порядка. Объединение скаляров,
являющихся функциями точки в Хп, по определению счи-
считается диференциальным объектом нулевого класса.
Пусть мы имеем в Хп некоторый диференциальный объект
класса v, заданный на некотором множестве М. Возьмем
произвольную допустимую координатную систему в Хп, геоме-
геометрическая область которой имеет непустое пересечение с мно-
множеством М. Рассматривая диференциальный объект не на всем
множестве М, а только на его пересечении с геометрической
областью выбранной координатной системы, мы можем опре-
определить его с помощью компонент поля соответствующего
локального объекта относительно голономного поля локальных
координатных систем, ассоциированного с выбранной коорди-
координатной системой. Эти компоненты мы будем называть голо-
номными компонентами диференциального объекта относи-
относительно данной координатной системы в Хп. Голономные ком-
компоненты называются полными, если геометрическая область
соответствующей координатной системы включает в себя мно-
множество М, и частичными — в противоположном случае. Голо-

192 В.. В. ВАГНЕР
номные компоненты мы будем представлять как функции ко-
координат точки 5е.
Очевидно, что голономные компоненты относительно сов-
совместных координатных систем в Хп будут являться совмест-
совместными функциями переменных ?«. Для голономных компонент
диференциального объекта относительно координатных систем,
геометрические области которых имеют одно и то же пере-
пересечение М с множеством М определения диференциального
объекта, можно получить следующее общее выражение. Вы-
Выберем одну из этих координатных систем в качестве начальной.
Построим обратный универсальный диференциальный объект
класса v, определенный на М, начальные локальные коорди-
координатные системы которого принадлежат голономному полю,
ассоциированному с выбранной начальной координатной систе-
системой в Хп. Тогда, как не трудно видеть, голономные компо-
компоненты У?,...«, этого обратного диференциального объекта
будут определяться уравнениями
где функции f определяют преобразование координатной
системы в Хп, относительно которой рассматриваются эти
голономные компоненты, в начальную координатную систему.
Представляя теперь исходный диференциальный объект, рас-
рассматриваемый на множестве М, как локальную функцию по-
построенного обратного универсального диференциального объ-
объекта, мы будем иметь
В это выражение входят значения функций /\ равные ко-
координатам соответствующих точек в начальной координатной
системе, потому что вид функциональной зависимости локальных
объектов зависит от точки.
Переходя к рассмотрению геометрических диференциаль-
ных объектов, мы ограничимся случаем, когда они образуют
псевдооднородное поле, так как любой геометрический дифе-
диференциальный объект путем объединения его со скалярами
может быть приведен к геометрическому диференциальному
объекту такого вида.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
При преобразовании координатной системы в Хп голоном-
ные компоненты геометрического диференциального объекта
класса v будут преобразовываться следующим образом:
или, обозначая через /а функции, определяющие обратное
преобразование для преобразования, определяемого функци-
функциями /",
Мы определили диференциальные объекты в Хп как поля
локальных объектов в касательных составных многообразиях.
Преимущество такого определения состоит в том, что оно по
существу сводит понятие диференциального объекта к поня-
понятию объекта в простом пространстве Клейна. При этом на-
наряду с голономными компонентами мы можем пользоваться
и неголономными компонентами, представляющими собой ком-
компоненты поля локального объекта в касательном составном
многообразии относительно произвольного неголономного поля
локальных координатных систем. Однако если при рассмотре-
рассмотрении диференциальных объектов ограничиться только их голо-
голономными компонентами, то к понятию диференциального объ-
объекта можно подойти с другой стороны, рассматривая его как
частный случай так называемого функционального объекта в Хп.
Мы будем говорить, что в Хп задан ЛГ-компонентный
функциональный объект, определенный на некотором точечном
множестве Ж, если с каждой допустимой координатной систе-
системой в Хп, геометрическая область R которой имеет непустое
пересечение R[\M о. множеством М, ассоциирована упорядочен-
упорядоченная система N функций QA (?") — компонент функционально-
функционального объекта, — определенных на множестве арифметического
и-пространства, являющемся образом множества R П М в данной
координатной системе, причем относительно совместных коор-
координатных систем в Хп компоненты функционального объекта
являются совместными функциями Ч
* О функциональных объектах см. [15]. Надо заметить, что в
этой работе, в отличие от нашего определения, компоненты функ-
функционального объекта считаются заданными только для координатных
системе Хп с общей геометрической областью. См. также [13],стр. 19.
13 Веблен и Уайтхед

194 в. в. вагнер
Функциональный объект называется геометрическим, если между
его компонентами относительно координатных систем, геоме-
геометрические области которых имеют одно и то же пересечение
с множеством определения объекта М, существует следующая за-
зависимость: компоненты QA в одной координатной системе
выражаются в виде функционалов от компонент в другой ко-
координатной системе и функций, определяющих преобразование
второй координатной системы в первую
QA' = FA'[&?,/>'], A0.7)
причем вид этих функционалов не зависит от выбора коорди-
координатных систем.
Очевидно, что диференциальный объект является частным
случаем функционального объекта. Точно так же геометриче-
геометрический диференциальный объект является частным случаем гео-
геометрического функционального объекта. Функционалы F в этом
случае сводятся к обыкновенным функциям от QB(f)
Надо заметить, что в приложениях не встречаются функ-
функциональные объекты, не являющиеся диференциальными объ-
объектами. Поэтому о функциональных объектах было упомя-
упомянуто только в связи с указанием на возможность другого
подхода к теории диференциальных объектов, но заниматься
специально функциональными объектами мы не будем.
В дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы
будем предполагать, что рассматриваемые диференциальные
объекты определены на областях пространства Хп. Отсюда
легко следует, что голономные компоненты таких диферен-
диференциальных объектов будут функции, определенные на областях
арифметического и-пространства. Если все голономные ком-
компоненты являются k раз непрерывно диференцируемыми
функциями, то число k мы будем называть класссом дифе-
ренцируемости данного диференциального объекта. Из выра-
выражений (Ю.4) легко получается, что класс диференцируемости
не может превышать разность между классом пространства
Хп и классом самого диференциального объекта. Диференци-
Диференциальный объект будем называть непрерывным, если все его
голономные компоненты являются непрерывными функциями.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 195
Класс диференцируемости непрерывного диференциального объ-
объекта будем считать равным нулю.
Предполагая, что класс диференцируемости рассматри-
рассматриваемого диференциального объекта выше нуля, диференцируем
уравнение A0.4):
$2
/=О
мы получаем, что совокупность частных производных от го-
лономных компонент диференциального объекта класса v
определяет диференциальный объект класса v-\-l, называ-
называемый производной данного диференциального объекта. Ана-
Аналогично определяются производные высшего порядка, до по-
порядка, равного классу диференцируемости включительно,
данного диференциального объекта. Объединение диференци-
диференциального объекта с его производными до некоторого порядка 5
включительно называется его диференциальным продолже-
продолжением порядка s.
Диференцируя A0.5), мы получаем:
+ 2/=*§'••* (Q* /:,...„)fl...w\ (Ю.9)
*=1 J'
где Af (j^) — приведенные миноры детерминанта A (/^)=
рассматриваемые как функции элементов детерминанта. Из
этих выражений видно, что производная данного геометри-
геометрического диференциального объекта (класс которого выше ну-
нуля) не будет уже геометрическим диференциальным объектом,
так как правые части уравнений A0.9) содержат не только
компоненты производной, но и компоненты самого геометри-
геометрического диференциального объекта. Однако из этих же со-
соотношений следует, что диференциальное продолжение пер-
первого порядка геометрического диференциального объекта
будет снова геометрическим диференциальным объектом. То
же самое справедливо и для диференциального продолжения
любого порядка геометрического диференциального объекта.
13*

В. В. ВАГНЕР
Как уже было сказано, касательные пространства первого
порядка являются центро-аффинными пространствами. Поэтому
определение геометрических диференциальных объектов пер-
первого класса сводится к определению геометрических объектов
в центро-аффинном пространстве. Замечая, что представления
G.2) и G.3) аффинной группы преобразований в арифметиче-
арифметическом «-пространстве вместе с тем являются и представлениями
центро-аффинной группы, мы получаем, что собственные и не-
несобственные W-аффинорные плотности могут рассматриваться
как геометрические объекты в центро-аффинном пространстве.
Геометрические диференциальные объекты, определяемые за-
заданием поля локальной собственной или несобственной
W-аффинорной плотности данных контравариантной и кова-
риантной валентностей в касательном составном многообразии
первого порядка, называются, соответственно, собственной или.
несобственной lF-аффинорной плотностью в пространстве Х„.
В общем случае вес k В^-аффинорной плотности в Хп
Можно считать меняющимся от точки к точке, рассматриваемая
W-аффинорная плотность образует в Хп неоднородное поле,
не являющееся также и псевдооднородным. Если вес в»
всех точках постоянен, то поле W-аффинорной плот-
плотности будет псевдооднородным. Но и в общем случае,
когда вес является функцией точки, мы можем объединить
эту скалярную функцию с данной W-аффиннорной плотностью
и, таким образом, получить геометрический диференциальный
объект, образующий псевдооднородное поле. Впрочем, нужна
заметить, что В^-аффинорные плотности в Хп с переменным
весом практически не встречаются в приложениях. Мы упо-
упоминаем о них только потому, что они являются простейшим
примером геометрических диференциальных объектов, обра-
образующих неоднородное поле, которые путем объединения со
скалярами приводятся к геометрическим диференциальным объ-
объектам, образующим псевдооднородное поле. Согласно опре-
определению однородного поля локального объекта в составном-
многообразии, й^-аффинорная плотность в Хп будет образо-
образовывать однородное поле только в том случае, когда все
локальные И^-аффинорные плотности будут эквивалентны;
в частности, отсюда следует, что все абсолютные инварианты
таких В^-аффинорных плотностей в Хп должны быть постоян-
постоянными.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 197
Среди геометрических объектов пространства Т2п, фун-
фундаментальная группа которого определяется уравнениями
A0.10)
особо важное значение имеют геометрические объекты, соот-
соответствующие следующему собственному представлению группы
A0.10) в арифметическом 'я~*~ -пространстве:
= Г?т). (Ю.П)
Заметим, что группа преобразований A0.11) транзитивна,
и, следовательно, множеством значений каждого такого геоме-
геометрического объекта является все арифметическое" о • про-
странство. Отсюда, далее, следует, что все геометрические
объекты, вмещенные в представление A0.11) группы A0.10),
эквивалентны друг другу.
Из геометрического объекта Г'р мы можем получить сле-
следующие два геометрических объекта, являющиеся его функ-
функциями:
ГТ = Г^; A0.12)
l (Ю.13)
Первый из этих геометрических объектов вмещается в тран-
транзитивное представление группы A0.10) в арифметическом
«-пространстве:
\ A0.14)
Второй геометрический объект вмещается в интранзитивное
представление группы A0.10) в арифметическом п ^ -
пространстве:
Множество значений этого объекта представляется —'—*"" ' -
14 Веблен и Уайтхед

198 в. в. вагнер
плоскостью
п;„=о, (юле)
являющейся системой транзитивности представления A0.15).
Отметим, что объединение геометрических объектов Гг
и П^ будет геометрическим объектом, подобным геометри-
геометрическому объекту Г"р. Это следует из того, что Гур можно
выразить, обратно, как функцию от Гт и IIJp:
Геометрический диференциальный объект второго класса
в Хп, определяемый с помощью поля локального геометри-
геометрического объекта в касательном составном многообразии вто-
второго порядка, уравнения преобразования компонент которого
имеют вид A0.11), называется объектом симметричной аф-
аффинной связности в Хп. Очевидно, что этот геометрический
диференциальный объект всегда образует однородное поле.
Геометрические диференциальные объекты второго класса
в Хп, определяемые с помощью полей локальных геометри-
геометрических объектов Гт и П"р, называются, соответственно, свер-
свернутым объектом аффинной связности и объектом проек-
проективной связности. Легко видеть, что эти геометрические
диференциальные объекты также всегда образуют однородные
поля.
§11. Псевдогруппы регулярных преобразований в Хп.
Взаимно-однозначное точечное преобразование, определенное
на некоторой области пространства Хп, называется регуляр-
регулярным преобразованием класса v (vs^u, где и — класс про-
пространства Хп), если это преобразование можно рассматривать
как объединение преобразований, определяемых в соответ-
соответствующих координатных системах уравнениями
'5-= в-Eх). (П.1)
Здесь 8" — функции класса v, такие, что их якобиан всюду
отличен от нуля.
Каждое такое преобразование индуцирует изоморфное
отображение касательного пространства Tvn (Р), ассоцииро-

• ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 199
ванного с некоторой точкой Р, принадлежащей области, на
которой определено преобразование, на касательное простран-
пространство Tvn('P), ассоциированное с соответствующей точкой 'Р,
определяемое следующими уравнениями:
*=i (i, + ...+i»=5) l k
Таким образом, связующий объект изоморфного отображения
TVtt(P) на Тт('Р) имеет своими компонентами значения част-
частных производных функций 8е в начальной точке $\
При изоморфном отображении простых пространств Клейна
мы получаем отображение объектов одного пространства на
объекты другого; поэтому, если на области определения рас-
рассматриваемого преобразования задан некоторый диференци-
альный объект класса v, то локальные объекты в касательных
пространствах Тт, соответствующие локальным объектам за-
заданного диференциального объекта, определят диференциаль-
ный объект класса v, заданный на области, являющейся об-
образом области определения исходногодиференциальногообъекта.
Мы будем говорить про этот объект, что он получен из
исходного диференциального объекта с помощью данного регу-
регулярного точечного преобразования в Хп. Для дальнейшего нам
особенно важно преобразование геометрических диференциаль-
ных объектов, образующих псевдооднородное или, в частном
случае, однородное поле. Пользуясь уравнениями E.16), опре-
определяющими соответствие между геометрическими объектами
при изоморфном отображении пространств Клейна, мы получаем,
что геометрическому диференциальному объекту, определя-
определяемому голономными компонентами ЙАEХ), соответствует гео-
геометрический диференциальный объект, определяемый в той
же координатной системе голономными компонентами 'QA (?*•),
получаемыми из уравнений
6"...„E4) (s=\,...,v), A1.3)
где функции FA определяют преобразования компонент дан-
данного геометрического диференциального объекта.
В дальнейшем, если не будет оговорено противное, мы
будем предполагать, что рассматриваемые диференциальные
объекты определены на всем пространстве Хп. Мы будем
14*

200 в. в. вагнер
говорить, что данное регулярное преобразование, определен-
определенное на некоторой области Хп, оставляет инвариантным данный
диференциальный объект, если оно преобразует диференци-
альный объект, рассматриваемый в области задания этого
преобразования, в диференциальный объект, совпадающий
в области его определения с данным диференцнальным объ-
объектом в Хп. Совокупность всех регулярных преобразований
в Хп, оставляющих инвариантным данный диференциальный
объект, очевидно, образует псевдогруппу. Она называется
псевдогруппой инвариантности этого диференциального объ-
объекта. Таким образом, псевдогруппа инвариантности диферен-
диференциального объекта класса v состоит в общем случае из
регулярных преобразований класса v. В некоторых случаях
мы будем рассматривать подпсевдогруппу этой псевдогруппы,
состоящую из всех преобразований класса w, последней, где
v<^w^u, если класс пространства Хп равен и. Ее мы будем
называть псевдогруппой инвариантности класса w' данного дифе-
диференциального объекта. Очевидно, что псевдогруппа инвариант-
инвариантности диференциального объекта обладает тем свойством, что
ограничение ее любого преобразования на некоторой области
также является преобразованием псевдогруппы, равным обра-
образом как и объединение совместных ее преобразований.
Каждая система транзитивности псевдогруппы инвариант-
инвариантности диференциального объекта включается в некоторое его
множество однородности, так как если существует преобра-
преобразование псевдогруппы инвариантности, переводящее некоторую
точку Р в точку 'Р, то локальные объекты в Tvn(P) и в
Tvn (rP) должны быть эквивалентны. В частности, отсюда сле-
следует, что для транзитивности псевдогруппы инвариантности
днференциального объекта необходимо, чтобы он образовывал
однородное поле.
Докажем теорему:
Если один диференциальный объект есть однородно-лО'
кальная функция другого, то псевдогруппа инвариантности
первого объекта содержит в качестве своей подпсевдогруппы
псевдогруппу инвариантности второго объекта.
Рассмотрим произвольное преобразование псевдогруппы
инвариантности второго объекта. Пусть Р—произвольная
точка области его определения. В результате этого преобра-
преобразования точка Р переходит в точку 'Р, принадлежащую тому

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 201
же самому множеству однородности второго объекта, что
и точка Р. Так как локальные объекты, соответствующие
первому и второму диференциальным объектам, связаны в
обеих точках Р и 'Р одной и той же функциональной за-
зависимостью, то отсюда непосредственно следует, что если
при отображении Tvn(P) на Tvn('P), индуцируемом рассма-
рассматриваемым преобразованием, локальные объекты, принадле-
принадлежащие второму диференциальному объекту, соответствуют
друг другу, то и локальные объекты, принадлежащие пер-
первому диференциальному объекту, соответствуют друг другу.
Это означает, что каждое преобразование псевдогруппы ин-
инвариантности второго диференциального объекта оставляет
инвариантным первый диференциальный объект, т. е., что
псевдогруппа инвариантности второго диференциального объ-
объекта является подпсевдогруппой псевдогруппы инвариантности
первого диференциального объекта.
Перейдем к рассмотрению зависимости между псевдогруп-
псевдогруппами инвариантности диференциального объекта и его ди-
диференциального продолжения.
Докажем теорему:
Псевдогруппа инвариантности диференциального про-
продолжения порядка s данного диференциального объекта
класса v совпадает с псевдогруппой инвариантности класса
v-\-s этого диференциального объекта.
Предположим, для простоты, что класс и пространства Хп
равен v-\-s. Рассматривая преобразование псевдогруппы ин-
инвариантности класса v-\-s данного диференциального объекта,
переводящее простую область в простую же область, мы
Можем ввести в этих областях координатные системы таким
образом, что соответствующие точки будут иметь численно
равные координаты. Легко видеть, что прн этом точки, со-
соответствующие при индуцированном изоморфном отображении
касательных пространств, будут также иметь численно рав-
равные координаты, и, следовательно, координатные системы
в касательных пространствах, принадлежащие голономным по-
полям, ассоциированным с выбранными координатными системами
в Хп, будут соответствующими при этом изоморфном отобра-
отображении. Отсюда вытекает, что голономные компоненты соот-
соответствующих диференциальных объектов относительно выбран-
выбранных координатных систем в Хп будут одинаковыми функциями

202 В. В. ВАГНЕР
координат точки. Таким образом, и частные производные
голономных компонент соответствующих диференциальных объ-
объектов будут также одинаковыми функциями для обоих ди-
диференциальных объектов; поэтому производные, а следо-
следовательно, и дифергнциальные продолжения соответствующих
диференциальных объектов будут также соответствовать друг
другу.
Из этих рассуждений ясно, что каждое преобра-
преобразование псевдогруппы инвариантности класса v-{-s
данного дифереициального объекта класса v принадлежит
псевдогруппе инвариантности его диференциального продол-
продолжения порядка f-|~s. Так как, с другой стороны (в силу
того, что сам диференциальный объект является частью сво-
своего диференциального Продолжения), каждое преобразование
из псевдогруппы инвариантности диференциального продол-
продолжения диференциального объекта принадлежит псевдогруппе
инвариантности самого диференциального объекта, то мы
получаем, что обе псевдогруппы должны совпадать, что
и доказывает теорему.
Если класс пространства и больше v-\-s, то мы должны
ввести в рассмотрение более широкий класс координатных
систем и понизить таким образом класс Хп до г>-|~5-
Рассмотрим теперь произвольную псевдогруппу 4$ точеч-
точечных регулярных преобразований класса w между областями
пространства Хп, удовлетворяющую следующим условиям:
1) Области, на которых определены преобразования псев-
псевдогруппы, в своей совокупности покрывают все простран-
пространства Хп.
2) Ограничение лю5ого преобразования псевдогруппы при-
принадлежит псевдогруппе.
3) Объединение совместных преобразований псевдогруппы
принадлежит псевдогруппе.
Стационарная подпсевдогруппа данной псевдогруппы в не-
некоторой точке Ро индуцирует в касательном пространстве
Tvn(P0) группу автоморфных преобразований, которую мы
обозначим через Ш*1 (Ро). Рассмотрим систему транзитивности
псевдогруппы %$, содержащую точку Ра. Выберем для каждой
точки Р этой системы транзитивности некоторое определенное
преобразование псевдогруппы $р, переводящее точку Ро в
точку Р. Выберем, далее, в касательном пространстве Тт (Ро)

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 203
определенный геометрический объект, являющийся характеристи-
характеристическим для группы автоморфных преобразований 91^ (Ро) и по-
построим поле локальных объектов, получаемых из этого
объекта путем отображения Tvn(P0) на Tvn(P), где Р— произ-
произвольная точка, принадлежащая рассматриваемой системе тран-
транзитивности. Таким образом, мы получаем геометрический ди-
ференциальный объект, класс которого не превосходит v,
определенный на данной системе транзитивности для ^J. Ана-
Аналогично, мы определяем геометрический диференциальный
объект на каждой системе транзитивности, причем выбираем
локальные геометрические объекты в начальных точках так,
чтобы они не были эквивалентны. Тогда мы получим геометри-
геометрический дифереициальный объект, для которого системы тран-
транзитивности псевдогруппы $ являются множествами однород-
однородности. Этот геометрический диференциальный объект мы
будем называть характеристическим диференциальным объек-
объектом порядка v для псевдогруппы $.
Покажем, что каждое преобразование из $ оставляет ин-
инвариантным характеристический диференциальный объект.
Рассмотрим произвольное преобразование /) из $ и пусть
Рг — некоторая точка, которую оно переводит в некоторую
точку Р2. Пусть, далее, Ро—начальная точка, принадлежащая
той же системе транзитивности, что Рг и Р2, а рг и р2 —
соответствующие фиксированные преобразования (переводящие
Ро в Pj и Ро в Рг), с помощью которых строился характери-
характеристический диференциальный объект иа данной системе тран-
транзитивности. Заменяя, если нужно, преобразования р, ри р2
их ограничениями, мы можем построить следующее резуль-
результирующее преобразование;
в общем случае оно является некоторым ограничением
преобразования р и, следовательно, индуцирует то же отоб-
отображение касательных пространств ТУП\Рг) и Tvn(P2), что
и преобразование р.
Это позволяет нам рассматривать данное отображение
Tm(Pi) на Tvn(P2) как результирующее следующих трех
отображений:
1) отображения Tvn(Pj) на Tvn(P0), индуцируемого преоб-
преобразованием pi~l, которое, очевидно переводит локальный

204 в. в. вагнер
объект в ^„(Pj) в начальный характеристический объект
в Tvn(P0);
2) отображения Tvn(P0) самого на себя, индуцируемого
преобразованием р2~грР1, принадлежащим стационарной под-
псевдогруппе для точки Ро и, следовательно, принадлежащим
группе Ш°)(Р0) автоморфных преобразований, которое, таким
образом, этот начальный объект оставляет инвариантным;
3) отображения Т Л(РО) на Tvn(P2), индуцируемого пре-
преобразованием р2, переводящего начальный объект в объект в
Tvn(P2), являющийся значением характеристического диферен-
циального объекта в точке Р2.
Мы показали, таким образом, что произвольное преобра-
преобразование из ^ оставляет инвариантным характеристический
диференциальный объект, и, следовательно, псевдогруппа ^3
является подпсевдогруппой псевдогруппы инвариантности ее
характеристического диференциального объекта. Отсюда сле-
следует, что характеристический диференциальный объект не
зависит от выбора фиксированных преобразований псевдо-
псевдогруппы, переводящих начальные точки систем транзитивности
в произвольные точки. Таким образом, произвол в построе-
построении характеристического диференциального объекта со-
состоит только в том, что, выбирая произвольно в каж-
каждой системе транзитивности псевдогруппы 9$ начальную
точку Ро, мы произвольно выбираем среди всех
возможных характеристических объектов группы Ш")(Р0) ав-
автоморфных преобразований, подобных между собой, опреде-
определенный объект. Легко убедиться, что этот произвол в по-
построении характеристического диференциального объекта
определяет его с точностью до однороднолокального подо-
подобия. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что ха-
характеристический диференциальный объект выбран таким об-
образом, что он является геометрическим диференциальным
объектом, образующим псевдооднородное поле. Этого всегда
можно достигнуть, как мы видели, путем объединения харак-
характеристического диференциального объекта со скалярами, что
соответствует переходу к однородно-локально подобному ди-
ференциальному объекту.
Из способа построения характеристического диференциаль-
диференциального объекта нетрудно усмотреть, что характеристический
днференциальиый объект низшего порядка является однородно*

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 205
локальной фуикцией характеристического дифереициальиого
объекта высшего порядка. Однако мы не будем останавли-
останавливаться иа доказательстве этого предложения. Заметим только,
что из него в силу ранее доказанной теоремы следует, что
псевдогруппа инвариантности характеристического диферен-
циального объекта высшего порядка является подпсевдогруп-
пой псевдогруппы инвариантности характеристического дифе-
ренциального объекта низшего порядка. Так как все эти
псевдогруппы содержат в качестве подпсевдогруппы данную
псевдогруппу 9$, то, беря псевдогруппы инвариантности ха-
характеристического дифереициальиого объекта возможно выс-
высшего порядка, мы, так сказать, приближаемся к самой псевдо-
псевдогруппе 9$.
Псевдогруппа ^3 иазывается диференциально-геометрически
определимой, если она совпадает с псевдогруппой инвариант-
инвариантности своего характеристического диференциального объекта
некоторого порядка v. При этом наименьшее значение числа v
называется порядком диференциально-геометрически опреде-
определимой псевдогруппы. Для диференциально-геометрически опре-
определимой псевдогруппы порядка v ее характеристические дифе-
ренциальиые объекты порядка v и выше называются глав-
ними характеристическими диференциальными объектами.
Очевидно, что псевдогруппы инвариантности всех главных
характеристических диференциальных объектов будут совпа-
совпадать с самой псевдогруппой.
Предположим, что рассматриваемая псевдогруппа 9$ является
псевдогруппой инвариантности произвольного дифереициальиого
объекта в Хп. Покажем, что в этом случае псевдогруппа ^3
будет обязательно дифгренциальио-геометрически опреде-
определимой.
С этой целью докажем, что если класс данного дифереи-
дифереициальиого объекта равен v, то он будет одиородио-локаль-
ной фуикцией характеристического диференциальиого объекта
порядка v для своей псевдогруппы инвариантности. Рассмат-
Рассматривая группу §1^) (Р), где Р—произвольная точка, мы заме-
замечаем, что она, очевидно, представляет собой подгруппу груп-
группы инвариантности локального объекта в Tvn(P), являющегося
значением данного диференциального объекта в точке Р.
Отсюда следует, согласно результатам § 4, что даииый
диференциальный объект является локальной функцией

206 в. в. вагнер
характеристического диференциального объекта порядка v.
Покажем теперь, что эта функциональная зависимость одно-
однородно-локальна. Рассмотрим касательные пространства Tvn (Рг)
и Tvn(P2), ассоциированные с точками Р1 и Р2, принадлежа-
принадлежащими одной и той же системе транзитивности для 9$. Суще-
Существует преобразование из $, переводящее Р1 в Рг и
индуцирующее отображение ТШ(Р1) на ТШ(Р2), при котором
локальные объекты, являющиеся значениями диференциаль-
диференциального объекта и характеристического диференциального объекта
в этих точках, будут соответствовать друг другу. Отсюда
непосредственно следует, что они связаны одной и той же
функциональной зависимостью. Таким образом, мы доказали,
что всякий диференциальный объект есть однородно-локаль-
однородно-локальная функция характеристического диференциального объекта
своей псевдогруппы инвариантности.
Отсюда следует, что, с одной стороны, псевдогруппа инва-
инвариантности должна содержать в качестве своей подпсевдо-
группы псевдогруппу инвариантности соответствующего ха-
характеристического диференциального объекта, а, с другой
стороны, сама должна содержаться в качестве подпсевдо-
группы в псевдогруппе инвариантности своего характеристи-
характеристического диференциального объекта. Следовательно, обе псев-
псевдогруппы совпадают.
Полученные результаты можно сформулировать в виде
следующей теоремы:
Псевдогруппа инвариантности любого диференциального
объекта класса v в Хп совпадает с псевдогруппой инвариант-
инвариантности ее характеристического диференциального объекта
порядка v; при этом сам диференциальный объект является
однородно-локальной функцией данного характеристического
диференциального объекта.
Назовем геометрический диференциальный объект харак-
характеристическим, если он является характеристическим диферен-
циальным объектом для своей псевдогруппы инвариантности..
Очевидно, что при этом он будет обязательно главным ха-
характеристическим диференциальным объектом своей псевдо-
псевдогруппы инвариантности.
Как следует из последней теоремы, при рассмотрении
псевдогрупп точечных преобразований в пространстве Хп,
определяемых как псевдогруппы инвариантностей некоторых

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 207
диференциальных объектов, мы можем ограничиться случаем
характеристических геометрических диференциальных объек-
объектов. Это обстоятельство заставляет специально заняться ха-
характеристическими геометрическими диференциальными объек-
объектами и, в первую очередь, найти условия, при которых
геометрический диференциальный объект является характери-
характеристическим.
Начнем с доказательства следующей теоремы:
Необходимое и достаточное условие того, что данный
геометрический диференциальный объект класса v является
характеристическим, состоит в том, что если Рг и Р2 —
две произвольные точки пространства, в котором он за-
задан, принадлежащие одному и тому же множеству одно-
однородности, а б— произвольное изоморфное отображение ка-
касательных пространств Tvn(Pr) и T^fPJ, при котором
локальные объекты, являющиеся значениями данного геомет-
геометрического диференциального объекта в точках: Рг и Рг, со-
соответствуют друг другу, то существует преобразование
псевдогруппы инвариантности геометрического диференциаль-
диференциального объекта, переводящее Рх в Рг и индуцирующее ото-
отображение б касательных пространств.
Докажем сперва необходимость этого условия. Согласно
определению характеристического диференциального объекта,
его множества однородности являются системами транзитив-
транзитивности его псевдогруппы инвариантности. Поэтому, если точки
Рг и Р2 принадлежат одному и тому же множеству однород-
однородности, то существует преобразование р псевдогруппы инва-
инвариантности, переводящее Р1 в Р2. Это преобразование инду-
индуцирует некоторое изоморфное отображение б касательных
пространств Tvn (Рг) и Tvn(P2), при котором локальные
объекты, являющиеся значениями геометрического диферен-
диференциального объекта в Рг и Рг, соответствуют друг
другу. Если 0 — произвольное изоморфное отображение Т^{Р})
и Tvn {P2), обладающее этим же свойством, то преоб-
преобразование. бб в Tvn(P2) является автоморфным преоб-
преобразованием, сохраняющим инвариантным локальный объект
в Тт(Р2) и, следовательно, принаглежащим группе Щ.^ (Р2),
индуцируемой стационарной подпсевдогруппой псевдогруппы
инвариантности рассматриваемого геометрического диферен-
диференциального объекта для точки Рг. Таким образом, существует

208 в. в. вагнер
некоторое преобразование р этой стационарной подпсевдо-
группы, индуцирующее в Tvn(P2) преобразование GO. Рас-
Рассмотрим результирующее преобразование рр для преобразо-
преобразований р и р или их соответствующих ограничений. Это
преобразование является преобразованием псевдогруппы инва-
инвариантности, переводящим точку Р1 в точку Р2 и индуциру-
индуцирующим произвольно заданное изоморфное отображение 6 каса-
касательных пространств Tvn{Pl) и Тт(Р2), при котором
локальные объекты, являющиеся значениями данного геометри-
геометрического диференциального объекта, соответствуют друг другу.
Для доказательства достаточности условия теоремы мы
предположим, что точки Р1 и Р2 совпадают. Тогда мы сразу
получаем, что локальный объект, являющийся значением дан-
данного геометрического диференциального объекта, будет ха-
характеристическим объектом для группы Ш^ (р) автоморфных
преобразований. Вспоминая способ построения характеристиче-
характеристического диференциальиого объекта для псевдогруппы преобра-
преобразований и замечая, что из существования преобразования
псевдогруппы инвариантности, переводящего друг в друга две
произвольные точки, принадлежащие одному и тому же мно-
множеству однородности диференциального объекта, следует сов-
совпадение его множеств однородности с системами транзитив-
транзитивности его псевдогруппы инвариантности, мы непосредственно
получаем, что заданный геометрический диференциальиый
объект является характеристическим.
Пользуясь доказанной теоремой, мы можем найти анали-
аналитические признаки того, что данный геометрический диферен-
циальный объект является характеристическим. Из уравне-
уравнений A1.3) мы видим, что в координатах преобразования
псевдогруппы инвариантности геометрического диференциаль-
диференциального уравнения определяются с помощью решений системы
диференциальных уравнений в частных производных:
Q*(8«) = P»(9B(S«), (?¦ • ¦«,). A1.5)
При этом разумеется, что если пространство Хп не является
простым, т. е. не представимо в одной координатной системе,
то для определения всех преобразований псевдогруппы инва-
инвариантности надо рассмотреть некоторую совокупность систем

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 209
диференциальных уравнений вида A1.5), соответствующих
различиому выбору координатных систем в Хп. Для того чтобы
при изоморфном отображении 6 касательного пространства
Tvn(P0) на касательное пространство Tvn('P0), где обе точки
Ро и 'Ро содержатся в геометрической области рассматривае-
рассматриваемой координатной системы, локальные объекты, представляю-
представляющие значения геометрического диференциального объекта
в этих точках, были соответствующими, необходимо и доста-
достаточно, чтобы компоненты Pj,...«, его связующего объекта
изоморфного отображения О удовлетворяли уравнениям:
QA{>%)==FA(QB(^ р«^ (П.6)
где Ео и % — координаты точек Ро и 'Ро, соответственно.
Отсюда мы получаем аналитическую формулировку выше-
вышеприведенного необходимого и достаточного условия того, что
данный геометрический диференциальный объект является ха-
характеристическим .
Каждая из систем диференциальных уравнений вида A1.5),
служащих для определения в координатах преобразований
псевдогруппой инвариантности, должна удовлетворять сле-
следующему условию:
Если SJ>> 'So. Р«,.. «(/=1>" " Р) — произвольная система чисел,
удовлетворяющих уравнениям A1.6), при дополнительном
условии
||, A1.7)
то существует по крайней мере одно частное решение си-
системы A1.5), удовлетворяющее начальным условиям
о*(So) = '& е:,...^ (So)=K..J4 (s=1 ,...,*)¦ (и•»)
Следуя Ли, системы диференциальных уравнений в частных
производных, удовлетворяющие такому условию, только без
дополнительного ограничения A1.7), обычно называют неогра-
неограниченно интегрируемыми. Принимая во внимание наше допол-
дополнительное требование (П.7), мы будем называть систему
A1.5), удовлетворяющую указанному условию, неограниченно
регулярно интегрируемой, подразумевая под регулярным реше-
решением системы всякое частное ее решение, определяющее ре-
регулярное преобразование в арифметическом «-пространстве.

210 В. В. ВАГНЕР
Заметим, что неограниченная интегрируемость системы означает,
что не существует днференциальных уравнений того же или
низшего порядка, которые не являлись бы конечными след-
следствиями системы и которым удовлетворяли бы все решения
данной системы; неограниченная регулярная интегрируемость
означает то же самое, с той только разницей, что мы ог-
ограничиваемся рассмотрением одних регулярных решений.
Таким образом, аналитический признак того, что данный
геометрический диференциальный объект является характе-
характеристическим, дается следующей теоремой:
Необходимое и достаточное условие того, что геомет-
геометрический диференциальный объект является характеристи-
характеристическим, состоит в том, что все системы диференциальных
уравнений в частных производных вида A1,5), служащие
для определения в координатах уравнений псевдогруппы его
инвариантности, должны быть неограниченно регулярно
интегрируемы.
§ 12. Диференциально-геометрические пространства
Веблена — Уайтхеда. Пусть мы имеем произвольную неограни-
неограниченно регулярно интегрируемую систему диферекциальных
уравнений
,f, &...*,) = О (s=l,...,v), A2.1)
где, как и в конце предыдущего параграфа, под регулярным
решением мы подразумеваем любое частное решение, опреде-
определяющее некоторое регулярное преобразование класса v ариф-
арифметического «-пространства. Если совокупность всех регуляр-
регулярных решений системы A2.1) определяет псевдогруппу преоб-
преобразований в арифметическом «-пространстве, то эта псевдо-
псевдогруппа называется псевдогруппой Ли, а уравнения системы
A2.1) — ее определяющими диференциальиыми уравнениями1.
В общем случае множество областей арифметического «-про-
«-пространства, на которых определены преобразования псевдо-
псевдогруппы Ли, может покрывать г.е все арифметическое «-про-
«-пространство, а только некоторую его область R. Мы будем
1 Основная литература по теории групп, или, следуя нашей
терминологии, псевдогрупп Ли, заданных своими определяющими
диференциальными уравнениями, исчерпывается работами [1], [2], [3],
[6], [7], [8], [9], [10].

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 211
говорить в этом случае, что псевдогруппа Ли задана на об-
области R арифметического «-пространства.' Очевидно, что вся-
всякая псевдогруппа Ли обладает тем свойством, что
ограничение ее любого преобразования на некоторой области
и объединение любого множества ее совместных преобразований
будут также преобразованиями псевдогруппы. Если данная
псевдогруппа Ли определена на области R, a R— произволь-
произвольная область, включающаяся в R, то совокупность всех пре-
преобразований данной псевдогруппы Ли, определенных на неко-
некоторых областях, включающихся в R, и переводящих эти
области в области, также включающиеся в R, будет образо-
образовывать подпсевдогруппу данной псевдогруппы Ли, называемую
ее двухсторонним ограничением на области R. Очевидно, что
двухстороннее ограничение псевдогруппы Ли на данной обла-
области R является псевдогруппой Ли, определенной на R. Ее
определяющие диференциальные уравнения получаются из
определяющих диференциальных уравнений исходной псевдо-
псевдогруппы Ли, если мы будем считать, что функции ФА, рас-
рассматриваемые как функции от Е" и 0а, определены только на
области R.
При рассмотрении псевдогруппы Ли может случиться, что,
взяв только те ее преобразования, которые определены на
связных областях, и заменив их объединениями, совместными
друг с другом, мы получим группу преобразований. В этом
случае мы будем говорить, что псевдогруппа Ли приводится
к группе. В общем случае такое приведение псевдогруппы
Ли к группе невозможно. Поэтому необоснованным является
то, что в классической теории определяющие диференциаль-
диференциальные уравнения псевдогруппы Ли считаются всегда определя-
определяющими группу преобразований.
Так как теория диференциальных уравнений в частных
производных любого порядка с любым числом неизвестных
функций по существу построена только в области аналити-
аналитических функций, то обычно рассматриваются псевдогруппы
Ли аналитических преобразований, определяющие диферен-
диференциальные уравнения которых содержат также аналитические
функции ФА. Требование, чтобы неограниченно регулярно ин-
интегрируемая система вида A2.1) была системой определяющих
диференциальных уравнений псевдогруппы Ли, накладывает

212 В. В. ВАГНЕР
большое ограничение на возможный вид этой системы. Еще
в 1897 г. П. Медолаги [10] по существу доказал следующую
теорему:
Необходимое и достаточное условие того,что неограниченно
интегрируемая система диференциальных уравнений вида
A2.1) является системой определяющих диференциальных
уравнений псевдогруппы Ли, состоит в том, что она мо-
может быть приведена к виду
¦ F*(Q*№, /1..«,) = ®А(Г), A2.2)
где функции FA таковы, что уравнения
QA' = F*'(№, <..„..) A2.3)
определяют некоторое представление диференциальной
группы порядка v.
Таким образом, нахождение всех возможных псевдогрупп
Ли приводится к нахождению всех возможных представлений
группы )N , т. е. к задаче, к которой сводится также и на-
нахождение всех возможных геометрических диференциальных
объектов класса v. Однако до недавнего времени оставалось
неизвестным все значение исследований Медолаги для теории
геометрических диференциальных объектов [25] >.
Назовем диференциально-геометрическим п-пространством
Веблена — Уайтхеда геометрическое пространство, опреде-
определяемое системой аксиом, аналогичной системе аксиом гл. VI
для пространства Хп и отличающейся от этой последней
только тем, что допустимые координатные системы связаны
между собой не преобразованиями псевдогруппы всех регу-
1 Установление связи между теорией геометрических диферен-
циальиых объектов и теорией псевдогруппы Ли дало возможность
применить методы Медолаги [10] и Вессио [22], служащие для оты-
отыскания определяющих диференциальных уравнений псевдогрупп Ли
в теории геометрических диференциальных объектов для отыскания
некоторых типов геометрических диференциальных объектов. Таким
путем Ю. Е. Пензовым [11] были найдены все основные одиоком-
понентные геометрические диференциальные объекты. Еще раньше
эта задача для одномерного пространства без применения общего
метода была решена Я. С. Дубновым (в неопубликованной работе).
Задача иахождеиия однокомпоиентных объектов, при дополнитель-
дополнительных частных предположениях об уравнении преобразования компо-
компонент, рассматривалась также Голомбом [4J.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 213
лярных преобразований класса v, а преобразованиями неко-
некоторой псевдогруппы Ли, заданной определяющими диференциаль.
ными уравнениями вида A2.2), — фундаментальной псевдо-
псевдогруппы данного пространства Веблена—Уайтхеда.
Покажем, что изучение диференциально-геометрических
пространств Веблена — Уайтхеда может быть сведено к изуче-,
нию пространства Хп с заданным на нем характеристическим
геометрическим диференциальным объектом.
Пусть в пространстве Хп класса v задан характеристиче-
характеристический геометрический диференциальный объект класса v, опре-
определенный на всем этом пространстве. Выберем в Хп начальную
координатную систему таким образом, чтобы преобразования
псевдогруппы инвариантности заданного характеристического
диференциального геометрического объекта, определенные на,
областях, включающихся в геометрическую область начальной
координатной системы, переводили эти области в области,
в своей совокупности покрывающие все Хп. Если псевдо-
псевдогруппа инвариантности транзитивна, то очевидно, что любая
координатная система может быть выбрана в качестве началь-
начальной. Каждое из преобразований псевдогруппы инвариантности,
определенное на области, включающейся в геометрическую,
область начальной координатной системы, дает возможность
из координатной системы, являющейся ограничением началь-
начальной на области определения этого преобразования, получить
новую координатную систему с той же самой арифметической
областью, если мы условимся преобразованной точке в Хп
приписывать в качестве ее координат в новой системе коор-
координаты ее прообраза в старой системе. Таким образом, мы
получим некоторое множество координатных систем, полученных,
как мы будем говорить, из начальной координатной системы с
помощью псевдогруппы $. В частности, это множество будет
содержать и самоё начальную координатную систему, так как
она получается в результате тождественного преобразования
псевдогруппы $. Множество геометрических областей рас-
рассматриваемых координатных систем будет покрывать все про-
пространство Хп, а все их арифметические области будут вклю-
включаться в арифметическую область /?0 начальной координатной
системы.
Пусть 2лEа) — голономные компоненты заданного харак-
характеристического геометрического диференциального объекта

214 В. В. ВАГНЕР
относительно начальной координатной системы, тогда нетрудно
убедиться, что каждая упорядоченная пара рассматриваемых
координатных систем, геометрические области которых имеют
не пустое пересечение, определяет некоторое преобразование
из псевдогруппы Ли, заданной на области Ro с помощью
определяющих диференциальных уравнений
?....,). A2.4)
Обратно, если мы имеем произвольную координатную си-
систему из числа рассматриваемых и некоторое преобразование
данной псевдогруппы Ли, определенное на ее арифметической
области, то с помощью этого преобразования мы получим
координатную систему, также принадлежащую к числу рас-
рассматриваемых. Учитывая эти замечания, не трудно устано-
установить, что если мы ограничимся рассмотрением только тех
координатных систем в Хп, которые получаются из начальной
с помощью псевдогруппы ^}, то мы получим из пространства Хп
новое геометрическое пространство, являющееся диферен-
циально-геометрическим пространством Веблена — Уайтхеда,
фундаментальной псевдогруппой которого служит псевдогруппа
Ли, определяемая системой A2.4). Очевидно, что различному
выбору начальной координатной системы в Хп в общем слу-
случае соответствуют диференциально-геометрические простран-
пространства Веблена — Уайтхеда с различными фундаментальными псев-
псевдогруппами. Однако с геометрической точки зрения эти
пространства не будут существенно различными, отличаясь
друг от друга, собственно, только своими координатными
структурами. Заметим, что для всех этих пространств точеч-
точечные преобразования в них, определяемые упорядоченными па-
парами координатных систем с общей арифметической областью,
вместе с объединениями совместных преобразований среди них,
образуют как раз псевдогруппу 9$.
Таким образом, вместо того чтобы изучать геометрию ди-
ференциально-геометрического пространства, пользуясь только
кдордннатными системами, входящими в его координатную
структуру, мы можем продолжать пользоваться всеми коор-
координатными системами пространства Хп. При этом, разумеется,
в формулы у нас будут входить произвольные компоненты
соответствующего характеристического геометрического ди-
ференциального объекта. Обратно, если мы имеем заданным

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 215
диференциально-геометрическое пространство Веблена — Уайт-
хеда с фундаментальной псевдогруппой, определяемой систе-
системой A2.2), то мы наряду с координатными системами, при-
принадлежащими его координатной структуре, можем ввести
в этом пространстве координатные системы, получаемые из
данных с помощью произвольных регулярных преобразований
класса v. Рассматривая все эти координатные системы в ка-
качестве допустимых, мы превращаем данное диференциальное
геометрическое пространство Веблена — Уайтхеда в простран-
пространство Хп.
Мы можем теперь определить в этом пространстве Хп харак-
характеристический геометрический диференциальный объект, голо-
номные компоненты которого относительно координатных
систем, принадлежащих координатной структуре исходного
пространства, выражаются функциями QA (?a). Таким обра-
образом, мы свели рассмотрение произвольного диференциаль-
но-геометрического пространства Веблена — Уайтхеда к рассмот-
рассмотрению пространства Хп с заданным характеристическим геомет-
геометрическим диференциальным объектом.
Чаще всего приходится встречаться со случаем, когда ха-
характеристический геометрический диференциальный объект
образует однородное поле, и, следовательно, его псевдогруппа
инвариантности транзитивна. Возможность существования ха-
характеристического геометрического диференциального объекта
с данными уравнениями преобразований компонент, образую-
образующего иа всем Хп однородное поле, зависит от топологической
структуры данного Хп. Простейший пример: для существо-
существования непрерывного контравариантного вектора, определенного
на всем Хп и образующего однородное поле (это означает, что
вектор должен быть всюду отличен от нуля), данное Хп
должно иметь определенную топологическую структуру.
Особый интерес имеет тот случай, когда путем объедине-
объединения совместных преобразований, определенных на связных
областях, псевдогруппа инвариантности характеристического
геометрического объекта приводится к группе преобразований
пространства Хп самого в себя. В этом случае мы получаем
из Хп пространство, которое с геометрической точки зрения
может рассматриваться как пространство Клейна. Если кроме
этого Хп является простым, то мы можем ввести координат-
координатную структуру, обычную для простого пространства Клейна.

216 В. В. ВАГНЕР
В противном случае для координатного определения получен-
полученного пространства Клейна приходится рассматривать обобщен-
обобщенную координатную структуру Клейна, например, ту, которая
была предложена Вандерслисом [19].
Рассмотрим теперь вопрос о получении из пространства Хп ча-
чаще всего встречающихся диференциально-геометрических про-
пространств Веблена — Уайтхеда.
1) Общее ориентированное пространство Веблена—Уайт-
Веблена—Уайтхеда.
Пусть в Хп задан единичный несобственный скаляр s, об-
образующий непрерывное поле. Это возможно только в том
случае, когда Хп является ориентируемым топологическим
многообразием. Очевидно, что е представляет собой характе-
характеристический геометрический диференциальный объект первого
класса, так как диференциальное уравнение
e = (SignA@?))e A2.5)
неограничено интегрируемо. Выберем в Хп начальную коорди-
координатную систему, удовлетворяющую условию
A2.6)
и имеющую своей арифметической областью все арифмети-
арифметическое «-пространство.
Таким образом, мы получаем из пространства Хя общее
ориентированное пространство Веблена — Уайтхеда с фунда-
фундаментальной псевдогруппой, определяемой диференциальным
уравнением
l. A2.7)
Заметим, что полученная координатная структура не за-
зависит от выбора начальной координатной системы, удовле-
удовлетворяющей данным условиям.
2) Общее составное пространство Веблена -— Уайтхеда,
Пусть в Хп задан приведенный простой псевдо /и-вектор
-"Р/п. Условием неограниченной интегрируемости системы
- , %'К* ( ) A28)

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 217
является соотношение1
dpi№---^-it3/»№i--TmJ==O. A2.9)
Если оно выполнено, то существует координатная система
в Хп такая, что ее арифметическая область совпадает со
всем арифметическим пространством, в которой компоненты
JJP'-..Рт имеют следующие значения:
N1-'" = 4=;Nfc-P«i-'/» = O (/> = «+1,...,«). A2.10)
Выбирая эту координатную систему в качестве начальной,
мы йолучаем общее составное пространство Веблена — Уайтхеда,
фундаментальная псевдогруппа которого определяется системой
/2 = 0, A2.11)
и, следовательно, уравнения преобразований этой псевдо-
псевдогруппы имеют вид
где /° и /р — произвольные функции, такие, что преобразо-
преобразование A2.12) регулярно.
3) Объемно-полуметрическое пространство.
Пусть в Хп задан свернутый объект аффинной связности Га.
Условием неограниченной интегрируемости системы
Га (Щ = Д* F*) (Гр (») - др In | Д F^) |) A2.13)
является соотношение
Vd=°- A2Л4>
Если оио выполнено, то существует координатная система,
удовлетворяющая условию
Га = 0. A2.15)
Выбирая эту координатную систему за начальную, мы полу-
получаем объемно-полуметрическое пространство Веблена — Уайт-
1 Это условие выражает, что поле X™ /я-направлений, определяе-
определяемое в Хп с помощью N#•¦"", является голоиомиым, т. е. определяю-
определяющим коигруаицию m-поверхностей. См. [17], стр. 75.
15 Веблен н Уайтхед

218 в. в. вагнер
хеда, фундаментальная псевдогруппа которого определяется
диференциальным уравнением
A2.16)
Название «объемно-полуметрическое» связано с тем, что
в этом пространстве можно ввести понятие объемного отно-
отношения двух областей как отношения я-кратных интегралов
\ ... \ db1.. .d?n, взятых по этим областям.
4) Проективное пространство Веблена — Уайтхеда.
Пусть в Хп задан объект проективной связности II "р-
Условия интегрируемости системы
^ —6VV) -Ь
I A2.17)
совпадают с условиями существования координатной системы,
в которой все компоненты И"р равны нулю. Эти условия
определяются в геометрии проективной связности. Если они
выполнены, то, выбирая координатную систему, удовлетворя-
удовлетворяющую условию
П"р = О A2.18)
в качестве начальной, мы получаем проективное пространство
Веблена — Уайтхеда. Его фундаментальной псевдогрулпой яв-
является псевдогруппа проективных преобразований, определенная
на арифметической области начальной координатной системы,
не совпадающей, вообще говоря, со всем арифметическим
и-пространством. Определяющие диференциальные уравнения
этой псевдогруппы имеют вид:
^I = O. 02.19)
а уравнения преобразований1:
В = 0,1,...,и). A2.20)
1 Об интегрировании системы A2.19) см. Els enh ar t L., Non-
Riemannlan geometry, стр. 108,

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 219
5) Объемно-метрическое пространство Веблена—Уайт-
хеда.
Пусть в Хп задана положительная собственная ^-скалярная
плотность о веса — 1. Так как уравнение
|Д(в^|»Eв) A2.21)
всегда неограниченно интегрируемо, то »— характеристиче-
характеристический геометрический диференциальный объект. Выбирая на-
начальную координатную систему так, чтобы выполнялось условие
» = 1, A2.22)
мы получаем общее объемно-метрическое пространство Веб-
Веблена—Уайтхеда, называемое так потому, что в этом простран-
пространстве можно ввести измерение объемов, определяя объем
данной области как величину л-кратного интеграла в
\... \
.«?", взятого по этой области. Его фундаментальная
псевдогруппа определяется диференциальным уравнением
Д(/?)=1. A2.23)
6) Конформное пространство Веблена—Уайтхеда.
* Пусть в Хп задана собственная №-тензорная плотность ^
веса с дискриминантом, по абсолютной величине равным
единице. Условие неограниченной интегрируемости системы
8* @ю) =1А (в?) Г 4. F?) 4 (в?) йхи Eю) A2-24)
то же, что и условие существования координатных систем,
в которых все компоненты да. постоянны. Это условие на-
находится в теории конформных отображений римановых про-
пространств или в теории пространств конформной связности.
Если это условие выполнено, то можно выбрать начальную
координатную систему так, чтобы выполнялись равенства:
{1;
Таким образом, мы получаем конформное пространство Веб-
Веблена—У айтх еда, фундаментальной псевдогруппой которого будет
15*

220 В. В. ВАГНЕР
псевдогруппа обычных конформных преобразований или псевдо-
псевдогруппа обобщенных конформных преобразований, в зави-
зависимости от того, будут все величины еа иметь одинаковые
знаки или нет.
7) Однородное пространство Веб лена—Уайтхеда.
Пусть в Хп задан контравариантный вектор Vх, всюду
отличный от нуля. Система
г/*@ш) = 0?г/!?(?ш) A2.26)
всегда неограниченно интегрируема, и,следовательно, вектор
if- всегда является характеристическим геометрическим ди-
ференциальным объектом. Выберем начальную координатную
систему так, чтобы выполнялось условие
©?(?-) = ЕР; A2.27)
нетрудно убедиться, что это всегда возможно. Тогда мы
получаем пространство Веблена — Уайтхеда, фундаментальная
псевдогруппа которого определяется диференциальными урав-
уравнениями
/¦=./55". A2.28)
Эти уравнения выражают тот факт, что функции /? положи-
положительно-однородны первого измерения. Именно поэтому дан-
данное пространство Веблена—Уайтхеда мы назвали однородным.
Оно играет- основную роль при построении геометрии про-
пространства проективной связности в однородных координатах
ван Данцига1.
Путем объединения геометрических диференциальных
объектов рассмотренного вида мы можем получить другие
часто встречающиеся пространства Веблена—Уайтхеда. Однако
при этом нужно иметь в виду, что объединение характери-
характеристических геометрических диференциальных объектов в общем
случае уже не будет характеристическим геометрическим ди-
ференциальным объектом. Не останавливаясь подробно на
всех возможных здесь комбинациях, укажем только несколько
основных случаев.
'van Dantzig D., Theorie des projektiven Zusammenhangs я-dl-
mensionaler Raurae., Math., Ann., 106 A932), 400—454.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 221
Объединение объекта проективной связности и свернутого
объекта аффинной связности или подобный этому объедине-
объединению объект симметричной аффинной связности в случае, если
ои является характеристическим геометрическим диферен-
циальным объектом, — т. е. если аффинор кривизны будет
равен нулю, — определяет аффинное пространство Веблена —
Уайтхеда.
Объединение объекта симметричной аффинной связности
нулевой кривизны и контравариантного вектора будет харак-
характеристическим геометрическим диференциальным объектом,
если ковариантная производная от этого вектора, составлен-
составленная с помощью данного объекта аффинной связности, является
единичным аффинором. В этом случае рассматриваемый геоме-
геометрический диференциальный объект определяет центро-аф-
финное пространство Веблена — Уайтхеда.
Если объединение собственной №-тензорной плотности да»
веса , с дискриминантом по абсолютной величине, равным
единице, и положительной собственной №-скалярной плот-
плотности й веса — 1, или подобный этому объединению тензор
?Г«р> образует характеристический геометрический диферен-
диференциальный объект, то g^ определяет пространство Веблена —
Уайтхеда постоянной кривизны, частным случаем которого
является эвклидово пространство Веблена—Уайтхеда. Это имеет
место в том случае, когда риманово пространство, опреде-
определяемое тензором g^, имеет постоянную кривизну.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Gar tan E., Sur la structure des groupes infinis de transforma-
transformations. Ann. Ec. Norm. 21 A904), 153—206; 22 A905), 219—308.
[2] G a r t a n E., Les sous-groupes des groupes continus de transforma-
transformations. Ann. Ec. Norm. 25 A908), 57—194.
[3] G a" r t a n E., L es groupes de transformations continus, infini, simple.
Amu Ec. Norm. 26 A909), 93—161.
[4] Q о 1 a b St., Ober die Klassifikation der geometrischen Objekte.
Math. Zeitschr. 44 A938), 104—114.
[5] G о 1 a b St., Ober den Begriff der Pseudogruppe von Transform atio-
nen. Math. Ann. 116 A939), 768—780.
[6] Engel F., Ober die Definitionsgleichungen der continuierlichen
Transformations gruppen. Math. Ann. 27 A886), 1—57.

222 в. в. вагнер
[7] En gel F., Klelnere Beitrage zur Cruppentheorie. Lelpz. Bralchte
9 A894). -
[8] Lie S., Die Grimdlagen fUrdieTheorie derunendlichen kontinuier-
lichen Transformationgruppen I, II.
Cesammelte Abhandlungen 6.
Leipzig, Teubner A927) 300—330, 331—364.
Первоначально опубликовано
Letpz. Berichte 3 A891), 316—352; 353—393.
[9]LieS., Untersuchungen Uber unendliche kontinuierliche Crup-
pen. Gesararaelte Abhandlungen 6.
Leipzig, Teubner A927) 396—493. •
Первоначально опубликовано.
Lelpz. Abhandl. 21 A895), 43—150.
[10] Medolaghi P., Sulla teoria del gruppl infinite continul.
Ann. di Matemattca, ser. 2, 25 A897), 179.
[11] Пен зов Ю. Е., Классификация однокомпонентных диференци-
альных геометрических объектов класса v, ДАН 54, № 7 A946).
[12] S с h о u t e n J. A., Ober die georaetrische Deutung von gewohn-
lichen p-Vektoren und W-p-Vektoren, und den korrespondle-
renden Dlchteu.
Proc. Kon. Nederlandsche Akad. 41 A938), 3—10.
[13] Schouten Jl A. und van DantzigD., Was ist Geometrie?
Труды семинара по векторному и тензорному анализу 2—3,
М.—Л., ОНТИ A935), 15—48.
[14] Schouten J. A., On ordinary quantities and W-quantities.
Compositlo Mathemattca 7 A940), 447—473.
[15] S ch о u t en J. A. andHaantjes J., On the theory of geo-
geometric objects.
Proc. London Math. Soc., ser. 2, 42 A937), 356—376.
[16] Schouten J. A. und van К a m p e n E. R., Zur Einbettungs-
und Krtimmungstheorie nichtholonomer Cebilde.
Math. Ann. 103 A930), 752—793.
[17] Схоутен И. А. и Стройк Д. Дж., Введение в новые методы
диференциальной геометрии, I.M.—Л., ОНТИ A939).
[18] Thomas T. Y., Lecture notes on'Whitney's theory of the imbed-
imbedding of differntiable manifolds in Euclidean space.
Revista de ciencias, Lima—Peru 45 A944), 29—60.
f 19] Vanderslice J. L. Non-holonomic geometries.
Атгг. J. Math. 56 A934), 153—193.
[20] V e Ы e n. O., Differential invariants and geometry.
Atti del Congresso Internazionale del Matematici, Bologna
A928).
[21] V e b 1 e n O. and W h i t e h e a d J. H. C, A set of axioms for
differential geometry.
Proc, Nat, Acad, Set. U, S, A. 17 A931), 551—561.

ТЕОРИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ 223
[22] V е s s 1 о t E., Sur la theorie generate des groupes.
Ann. Ec. Norm. 20 A903), 411—452.
[23] Вагнер В. В., Абсолютная производная поля локального
геометрического объекта в составном многообразии, ДАН 40,
№ з A943).
[24] В а г н е р В. В., Обобщение тождеств Риччи и Бианки для связ-
связности в составном многообразии, ДАН 46, № 8 A945).
[25] Вагнер В. В., Теория геометрических объектов и теория
конечных и бесконечных непрерывных групп преобразований,
ДАН 46 № 9 A945).
[26] W h i t п е у Н., Differentiate manifolds.
Ann. of Math. 37 A936), 645—580.
[27] Вундгейлер A. (Wundheiler А.), Объекты, инварианты и
классификация геометрий.
Труды семинара по векторному и тензорному анализу 4.
М.—Л., ОНТИA937), 376—385.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вмещение регулярное 152
— сингулярное 152
Геометрия аффинная 36
, диференциальные
уравнения 65
— диференциальная 115
— инфинитезичальная 84
— конформная 47
— проективная 47
— путей 122
— центроаффинная 43
— эвклидова 37
— — метрическая 37
Группа голономии 129, 130
— инвариантности 155
— полная диференциальная (по-
(порядка v) 181
— преобразований 34
автоморфиых полная 144
-г фундаментальная пространства
. Клейна 139
Зона координатной системы 61
арифметическая 61
Изомеры 148
Класс диференциальной голоно-
мизации 184
— многообразия 59, 114 '
— направлений 45, 82
— параметризации 75
— преобразования 56, 72, 198
— функции 55 '
— л-ячейки 59, 66, 109
Компоненты арифметической точ-
точки 11
— геометрического объекта 70
Координатные системы 38
Координатные системы допусти-
допустимые 61, 66, 108
локально-декартовы 67
предпочитаемые 40
Координатных систем объедине-
объединение ПО
Кривые ориентированные 46
Куб (я-куб) 54
Многообразие базисное 90
— голономизнрованное 183
— диференциально-голономизиро-
ванное 184
— касательное составное 187
— ориентированное 127
— простое 60
ориентированное 60
— регулярное 114
Множество многозначности 167
Область 54, 111
— арифметическая 54
Объект аффинной связности свер-
свернутой 198
— геометрический 70,135,150,153
— диагональный 165
— диференциальный 135
непрерывный 194
характеристический 203
главный 205
— /V-компонентный 147
— многозначный 167
— полный 147
Объект проективной связности
198
— связующий 158
— симметричной аффинной связ-
связности 198
— с промежуточными компонен-
компонентами 158

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
225
Объект с промежуточными kqm-
понентами единичный 166
— универсальный 150
обратный 150
— характеристический 155
— функциональный 193
Объекта диференциального класс
диференцируемости 194
продолжение 192
производная 195
— функция 149
Объектов объединение 148
Объекты подобные 149
Ориентация внешняя 82
— внутренняя 81
Параметризация 16, 39, 75
— аффинная 47
Пары точек эквиполлентные 43
Перенесение аффинное 105
— параллельное 20, 100
Плотность аффинорная, №-аффи-
норная 169
Поле голономное 183
— локальных объектов 189
Подпсевдогруппа стационарная
180
Преобразование аффинное 26
— линейное 26
— регулярное 57, 117, 198
в арифметическом простран-.
стве 57
— точечное 49, 70
Преобразование регулярное 70,
116
Преобразования диференциальное
продолжение 179
Преобразования между координат-
координатными системами 64
Пространства ассоциированные
105, 127
— аффинные, локально-плоские
68, 125
— касательные аффинные 104
диференциалов 90
¦ порядка v 187
¦ римановы 97
эвклидовы 97
Пространство арифметическое 11
— линейное 15
Пространство ' афинное ориенти-
ориентированное 171
составное 172
— Веб лена — Уайтхеда 136
конформное 219
общее ориентированное
216
составное 216
объемно-метрическое 219
объемно-полуметрическое
217
однородное 220
— проективное 218
— ориентированное 44
— полуметрическое 173
— центроаффиниое 172
— эквиаффииное 173
Псевдоаффинор 171
Псевдогруппа 59, 136
— диференциально-геометрически
определимая 205
— инвариантности 200
Псевдогруппы диференциальное
продолжение 179
Связность аффинная 66, 99
— — локально-плоская 68
плоская 66
Скаляр несобственный 170
— собственный 170
Смещение голономиое 129
— локально-голономное 130
Структура локальная 84
— пространства 32
Теорема Медолаги 138, 212
Теоремы аффинные 26
Точка арифметическая 11
, компоненты 11
Уравнения л-ячейки параметриче-
параметрические 77
— преобразования компонент гео-
геометрического объекта 151
— неограниченно регулярно ин-
интегрируемые 209
Эквивалентность 33
— локальная 85
Ячейка (л-ячейка) класса и 74
арифметическая 56
ориентированная 59

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства . .' 5
Предисловие авторов 9
Глава I. Арифметическое пространство я измерений
§ 1. Арифметические точки 11
§ 2. Линейная зависимость 12
§ 3. Линейные пространства 15
§ 4. Линейные однородные преобразования 17
§ 5. Однородные линейные уравнения 19
§ 6. Параллельное перенесение 20
§ 7. Плоскости 21
§ 8. Неоднородные линейные уравнения 23
§ 9. Линейные преобразования 24
§ 10. Аффинные теоремы 24
§ 11. > > 26
§ 12. Элементарная функция расстояния 29
Глава П. Геометрии, группы и координатные системы
§ 1. Геометрия как математическая наука 31
§ 2. Группы преобразований 33
§ 3. Геометрия и теория групп 35
§ 4. Аффинное пространство 36
§ 5. Аффинные пространства 36
§ 6. Эвклидовы метрические пространства ........ 37
§ 7. Эвклидова геометрия 37
§ 8. Координатные системы 38
§ 9. Класс координатных геометрий 40
§ 10. Центро-аффинная геометрия 43
§ 11. Ориентированные пространства 44
§ 12. Ориентированные кривые 46
§ 13. Аффинные параметризации 47
§ 14. Проективная н конформная геометрии 47
§ 15. Точечные преобразования. Автоморфизмы .... 49
§ 16. Историческое развитие взглядов на геометрию . . 50

ОГЛАВЛЕНИЕ 227
Глава III. Допустимые координаты
§ 1. Функции класса а 54
§ 2. Теорема о неявных функциях 55
§ 3. Преобразования класса и 56
§ 4. Непрерывные преобразования 58
§ 5. Псевдогруппы 59
§ 6. л-ячейки класса и 59
§ 7. Простое многообразие класса и 59
§ 8. Ориентированные простые многообразия 60
§ 9. Допустимые координатные системы для простого
многообразия 61
§ 10. Днференциальные уравнения аффинной геометрии . 63
§11. Днференциальные уравнения прямых линий 66
§ 12. Интегрирование диференциальных уравнений аффин-
аффинной геометрии ' 67
§ 13. Трипримера локально-плоских аффинных пространств 68
§ 14. Геометрические объекты 70
§ 15. Регулярные точечные преобразования 70
§ 16. Геометрические объекты и точечные преобразования 72
§ 17. Геометрические объекты и их геометрии 73
Глава IV. Ячейки и скаляры
§ 1. Назначение главы 74
§ 2. ft-ячейки в я-пространстве 74
§ 3. Неявные уравнения ft-ячейки 76
§ 4. Скаляры 78
§ 5. Система п — k скаляров 79
§ 6. Системы скаляров и ориентированные ft-ячейки . . 80
§ 7. fc-пространства в целом 83
§ 8. Локальные свойства. Инфинетезимальная геометрия 84
§ 9. Эквивалентность скаляров 85
Глава V. Касательные пространства
§ 1. Диференциалы функции 87
§ 2. Преобразования днференцналов 88
§ 3. Диференциалы в точке 89
§ 4. Касательные пространства ч . . . . 90
§ 5. Ориентированные касательные пространства ... 91
§ 6. «Гладкость» вблизи данной точки 91

228 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Диференциалы и А-ячейки 93
§ 8. Геометрия касательных пространств 94
§ 9. Другие координаты в касательных пространствах . 96
4 § 10. Касательные и соприкасающиеся римановы простран-
пространства 97
§ 11. Вторые диференциалы 98
§ 12. Аффинные связности 99
§ 13. Параллельное перенесение .'.*... 100
§ 14. Аффинное перенесение 103
§ 15. Обобщения 105
Глава VI. Система аксиом диференциальной геометрии
§ 1. Назначение главы 107
§ 2. Первая группа аксиом 103
§ 3. Геометрия л-ячейки 109
§ 4. Объединение координатных систем ПО
§ 5. Вторая группа аксиом 111
§ 6. Следствия из аксиом А я В 111
§ 7. Третья группа аксиом 113
§ 8. Следствия из аксиом А, В и С 113
§ 9. Многообразия класса и 114
§ 10. А-пространства в целом . . . 116
§ 11. Регулярные точечные преобразования 116
§ 12. Псевдогруппа регулярных точечных преобразований 120
Глава VII. Разные геометрии
§ 1. Общие замечания 121
§ 2. Геометрия путей 122
§ 3. Локальио-плоские аффинные пространства 125
§ 4. Другие псевдогруппы 126
§ 5. Ориентированные многообразия 127
§ 6. Смещение ассоциированных пространств 127
§ 7. Группа голономии 129
§ 8. Локально-голономные смещения 130
§ 9/Группа голономии аффинного смещения ? .... 1Е0
§ 10. Смещение ориентации 131
§ 11. Покрывающие многообразия . . 13

ОГЛАВЛЕНИЕ 229
Дополнение' (В. В. Вагнер). Теория дифереициальных объектов
и основания диференциальной геометрии.
Введение 135
§ 1. Простые пространства Клейна 139
§ 2. Объекты в простом пространстве Клейна 147
§ 3. Геометрические объекты в простом пространстве
Клейна 150
§ 4. Эквивалентные объекты. Группа инвариантности
объекта 153
§ 5. Связующие объекты и объекты с промежуточными
компонентами 158
§ 6. Многозначные объекты 167
§ 7. Основные геометрические объекты в аффинном
пространстве '. . . . 168
§ 8. Полные диференциальиые группы 175
§ 9. Касательные составные многообразия 182
§ 10. Диференциальные объекты в Хп 188
§ 11. Псевдогруппы регулярных преобразований в Хп . 198
§ 12. Диференциально-геометрическне пространства Вебле-
на — Уайтхеда 210
Литература 221
Предметный указатель 224

Редактор С. В. Фомин
Технический редактор Б. И., Корнилов
Корректор К. И. Иванова
Сдано в производство 7/ХИ 1948 г.
Подписано к печати 22/IV 1949 г.
А03870. Печ. л. 14«/«. Уч.-издат. л. 12,7.
Формат 82X108'/». Издат. N 1/97.
Цена 14 руб. Зак. № 8453.
Первая Образцовая типография имени
А. А. Жданова Главполиграфиздата
при Совете Министров СССР.
Москва, Валовая, 28.