Morse Theory
J. Milrtor
Based on lecture notes by
M. Spivak and R. Wells
Princeton University Press
Princeton, New Jersey, 1963

Дж. Милнор
Перевод с английского
В.И.Арнольда

ПРЕДИСЛОНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга Милнора является учебником по теории Морса.
Начиная с простейшего примера и кончая „теоремой перио-
периодичности" Ботта, изложение остается геометрически нагляд-
наглядным, но строгим; современным, но вместе с тем элегант-
элегантным; широким ¦). но замкнутым а себе: необходимые факты
из дифференциальной геометрии, вариационного исчисления
и т. п. выводятся в нужной автору форме в самой книге.
Теория Морса, т. е. изучение критических точек функ-
функций и функционалов „в целом", играет значительную роль
¦ современных топологических исследованиях. .Пере-
.Перестройки Морса* постоянно употребляются как гибкий и
адекватный аппарат при работе с дифференцируемыми
многообразиями, аппарат значительно более удобный и
мощный, чем комбинаторный подход. Развитая здесь тех-
техника уже дала целый ряд фундаментальных результатов.
Например, из доказанной Смейлом .теоремы о точности
неравенств Морса* вытекает гипотеза Пуанкаре2) в раз-
размерностях выше S, а также эквивалентность понятий
А-гомологичное™ и диффеоморфизма, существенная для
классификации дифференцируемых структур на сферах3)
(Милнор и Кервер).
') Заметим, что книга Милнора не претендует на полное
изложение всех вопросов вариационного исчисления в целом.
В частности, классические задачи о геометрически различных
критических точках и о несамопересекающихся замкнутых гео-
геодезических совершенно не затронуты.
•) Многообразие, гомотопически эквивалентное л-мерной
сфере S", комбинаторно эквивалентно (и тем самым гомео-
морфно) сфере.
:) Пусть | в (л) j — число дифференцируемых многообразий,
гомеоморфных S" и не диффеоморфных друг другу. Тогда
1 1
6 7
8 9 10 11
1 II 28 2 8 б 992 1
12 13 14
3
См. К е г v а 1 г е М., М i I n о г J., On differential structures on
sphe.es, Ann. Math., 77, 3A963), 504—537,

в
Предисловие переводчика
Теория критических точек функционалов получила
интересное приложение в работах Ботта. В то время как
Пуанкаре. Виркгоф, Морс, Шннрельман и Люстерник
применяли топологические методы к задачам вариацион-
вариационного исчисления в целом, Ботт применил методы вариа-
вариационного исчисления в целом к топологической задаче.
Рассматривая минимальные геодезические из классических
группах Ли, он нашел «стабильные гомотопические группы*
последних. Пусть, например, О{N) — группа ортогональ-
ортогональных матриц порядка N, кп{М)—л-мерная гомотопическая
группа многообразия М (т. е. группа гомотопических клас-
классов отображений л-мерной сферы в М). Тогда при А/
имеем vn+t0(N) = r.n0
п
«„от
0
z2
1
z2
2
0
3
z
4
0
5
0
6
0
7
Z
, 8
z,
9
Z2
10 ...
0 ...
Здесь Z — группа целых чисел, Z2 — группа вычетов
по модулю 2, состоящая из двух элементов 0, 1.
Доказанная Боттом теорема периодичности (тся+8О=1с„О)
легла в основу интенсивно развивающейся в настоящее
время „/(-теории*. В результате были решены такие клас-
классические задачи, как определение максимального числа k(n)
линейно независимых векторных полей на сфере любой
размерности S" (АдамеI) и вычисление индекса эллипти-
эллиптических дифференциальных операторов в многомерном
случае (Атиа и Зингер).
У читателя этой книги предполагаются лишь очень
небольшие предварительные сведения по топологии: неко-
некоторое представление о многообразиях, гомологиях, гомо-
¦) *Bт) — 0; первые несколько значений kBm-{-l) даются
таблицей
я
к(п)
1
1
3
3
5
1
7
7
9
1
11
3
13
1
15
7
17
1
19
3
...
31
9
...

топиях и расслоениях'). Смысл нескочькнх терминов,
менее известных русскому читателю, разъяснен о прило-
приложении, написанном Д. В. Аносовым.
Можно надеяться, чго книга Милнора. не отягощенная
алгебраическим формализмом, поможет советским чита-
читателям войти в круг илей и методов современной диф-
дифференциальной топологии.
В. И. Арнольд
') Необходимый минимум далеко перекрывается книгам»
Зейферта а Трельфалля [И], Стинрода {34], Ху Сы-цэяиа [43].

Г л <т в а I
НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ
НА МНОГООБРАЗИИ
§ I. Введение
• Начнем ' с примера. Рассмотрим тор М, касающийся
плоскости V, как показано на рис. 1.
Рис. 1.
Пусть /:M->R (R здесь и далее обозначает мно-«
жество всех действительных чисел) — высота точки тора
над плоскостью V. Обозначим через М" множество всех
точек х?М, в которых f(x)<^a. Тогда справедливы
следующие утверждения.
A) Если а<0</(р), то М" пусто.
B) Если f{p)<a<./(q). то М* гоыеоморфно дву.
мерной клетке.
C) Если /(?)<«</(г), то М" гомеоморфно ци-
цилиндру.

10 Гл. !. Нейыромдгнные f.mi)\ue функции на многообразии
D) Если / (г) < а < / (s), то .И" гомеоморфно компакт-
компактному многообразию рола t, имеющему краем окружность.
E) Е^ли /(s)<o. то Л1° есть весь тор.
Чтобы описать изменение Ма. когда а проходит через
одну из точек /(/>). f(q). /(r), /($). удобное исполь-
использовать понятие гомотопической эквмпалеигностн, а не
гомеоморфизма. В терминах теории гомотопий
A)-+|3) есть операция приклеивания нульмерной клетки,
тпк как с точностью до гомотопического типа простран-
пространства М", /{р)< а </(?). не отличается от нульмерной
клетки:
Здесь знак т следует понимать так: „имеет тот же гомо-
гомотопический тип, что и...*.
B)-*C) есть операция приклеивания одномерной клетки:
. C)-
клетки:
¦¦ D) есть снова операция приклеивания одномерной

$ I. Введение 11
D)~»E) есть операция приклеивании двумерной клетки.
Точное определение операции приклеивания h-мерной
Клетка звучит так. Пусть У — любое топологическое
пространство, и пусть
*•«!*€**: И*1К И
есть А-клетка, состоящая из всех векторов ^-мерного
евклидова пространств, длина которых не превосходит 1.
Граница
i*«lJf€R*:||x||«l|
будет обозначаться через S*. Если g : 5*~l -¦> У — непре-
непрерывное отображение, то пространство
ки/.
(К с А-клеткой, приклеенной при помощи g) получается
из топологической суммы (т. е. непересекающегося объеди-
объединения) Кие* отождествлением каждой точки jf^S*
с точкой g(x)?y. Чтобы охватить случай А=0, мы
считаем, что в" — точка, e° = S~' — пустое множество;
тогда У с приклеенной нульмерной клеткой есть объеди-
объединение У с отдельно лежащей точкой.
Как и следовало ожидать, точки р, q. г и 8, в. которых
меняется гомотопический тип множества М", допускают
простую характернзацию в терминах функции / — это ее
критические точки. Если выб, ать в окрестности одной нэ
этих точек какую-нибудь систему координат (х, у), то обе
производные -JJJ-, -J- обратятся в нуль.
Координаты (х, у) в окрестности точки р можно
выбрать так, что /=ш **-+- у», в окрестности точки *—так,
ито /«« const — jcj — уа, а в окрестностях q и г — так,
что / *= const -f- x* — у2. Заметим, что число минусов
в выражении для / вблизи каждой из этих точек есть
как раз размерность клетки, которую надо приклеить для
перехода от М" к Мь. где «</(•)<*•
Наши первые теоремы будут обобщением этих фактов
на случай произвольной дифференцируемой функции на
некотором многообразии.
Для дальнейшего ознакомления с теорией Морса чреавы»
чайно полеаиы работы (б. в. 12, 25].

12 Гл. 1. Невырожденные гладкие функции на многообразии
§ 2, Определения и леммы
Слова .гладкий* и „дифференцируемый" будут всюду
означать бесконечную лифференцируемость' (гладкость
класса С"). Касательное пространство гладкого много-
многообразия М в точке р будет обозначаться через ТМр.
Если g : M-+N — некоторое гладкое отображение, при-
причем g(p)wmqt то индуцироианиое отображение касатель-
касательных пространств мы будем обозначать через
Пусть / — гладкая действительная функция, заданная
на многообразии М. Точка р?М называется критической
точкой функции /. если индуцированное отображение
f,;TMp->TH/ip) обращается в нуль. Если мы выберем
в окрестности 0 точки р лок льную систему координат
Xх, ..., Xя, то это условие примет вид
Действительное число /(/>) называется критическим зна-
значением функции /.
Через М" мы обозначим множество всех точек х?М,
в которых /(лг)<и. Если а не является критическим
значением /. то Ма — гладкое многообразие с краем
(это вытекает из теоремы о неявной функции). Край Ма
есть множество уровня f~l(a). Это гладкое подмного-
подмногообразие в Л1.
Критическая точка р называется невырожденной, если
матрица вторых частных производных
невырождена. Непосредственно проверяется, что это свой-
свойство не зависит от системы координат. Это вытекает
также из следующего внутреннего определения.
Пусть р — критическая точка /. Определим симмет-
симметричный билинейный функционал /„ на пространстве ТМ
называемый гессианом / в точке р. Векторы v, ?TM
можно включить в -векторные поля v, с Положим.

'•¦"'.
¦ § 2. Определения и леммы 13
ГДе t»(/) означает 'производную / по направлению w
я vp. конечно, совпадает с v. Мы должны доказать сим-
симметричность /т, а также корректность определения, т. е.
независимость /„(?, w) от выбора полей v и w. Сим-
Симметричность вытекает из того, что
: Л («»(/)) - Я. («(/)) = I». «I, (Л *= °>
где [v, и>\ — скобка Пуассона полей v и w и где
\v. ie\p(/)*=0. так как /> —критическая точка для /.
¦ в ней производная / по любому направлению равна нулю.
. Итак, гессиан /м симметричен. Теперь корректность
определения очевидна, так как vt, (¦&(/)) = v(w(f)) не
зависит от поля V, продолжающего «, a wp(v(f)) не зави-
ентуэт w.
Пусть (*J х") — лекальная система координат
Мы можем положить
tp ss V b, —r-, где b, — постоянные. Тогда
—-г,
следовательно, матрица /—rTvCj")) является матрицей
\ дхг ах1 I
билинейного функционала /м относительно базиса -з~т • • • ¦
Теперь мы можем определить индекс н степень выро*
Ждения билинейного функционала /„ на ТМр. Индексом
билинейного функционала И на векторном пространстве V
называется максимальная размерность подпространств V.
Ы которых функционал Н отрицательно определен.
Степенью вырождения называется размерность нулевого
кроетранстеа. т. е. подпространства, состоящего из всех
Лекторов v g V, лея которых И (©. w) ** 0 при всех « ? И.

14 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Очевидно, точка р тогда и только тогда является невы-
невырожденной критической точкой /, когда степень вырожде-
вырождения /„ на TMf, равна нулю. Ми будем называть индекс /„
на ТМр просто индексом функции / в критической
точке р. Доказанная ниже лемма Морса показывает, что
повеление / вблизи р полностью описывается этим индек-
индексом. Сначала мы докажем следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть /—функция класса С* в выпук-
выпуклой окрестности V точки 0 в пространстве R" а
/@)за«0. Тогда существуют функции gt класса С*.
определенные в V и такие, что
причем gAty'c-r-iO)-
OX i
Доказательство.
о
Следовательно, можно положить
1
Лемма 2.2 (лемма Морса). Пусть р — невырожден-
невырожденная критическая точка /. Тогда в некоторой окрест-
окрестности U точки р существует такая локальная си-
система координат (у1 у"), что у'(/>) = <) при
всех I и в U справедливо тождество
где Х~ индекс / $ точке р.

§ 2, Определения и леммы
15
Доказательство. Покажем сначала, что если
подобное выражение для / существует, то X есть обяза-
обязательно индекс / в р. Пусть в какой-нибудь системе
координат U1 г") мы имеем
тогда
дг1
¦(/»)*=¦
— 2. если / = / <Х,
2. если / = />Х.
О в остальных случаях.
Следовательно, матрица функционала Д, относительно
базиса -g^rj • •••• -^р» имеет вид
о
Поэтому пространство ТМр имеет подпространство раз-
размерности X, на котором функционал /м отрицательно
определен, и подпространство V размерности л —X, на
котором /„ положительно определен. Если бы ТМр имело
подпространство размерности, большей чек X, на котором
функционал /„ отрицательно определен, то это подпро-
подпространство пересекалось бы с V, что, очевидно, невоз-
невозможно. Итак. X есть индекс /„. Покажем теперь, что
нужная система координат (у1, .. " О
видно, мы можем предположить
странства R" и что /(у?)=»/@)
р
у") существует. Оче-
Очечто р есть нуль про-
про. Согласно лемме 2.1.
в некоторой окрестности нуля мы можем написать
*»)•

16 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Так как нуль — критическая точка /, имеем
Следовательно, применяя к gt лемму 2.1, получаем гладкие
функции htj, такие, что
2
?/(•! nJj
и, таким образом,
к
2
ц) 2и IJI/(.1«)
Можно предположить, что A{yssA/(, так как всегда
можно ввести Л/у==-5"(А,/ + Ау/) и тогда Л~,,*= hlt.
/ = 2 xixiIiij- Кроме того, матрица (А^@)) совпадает
с матрицей 1-к--т—^-@))> и поэтому невырождена.
Теперь мы покажем, что существует невырожденное
преобразование координат, приводящее / к требуемому
виду (быть может, в меньшей окрестности нуля). Дока-
Доказательство аналогично обычной диагонализации квадра-
квадратичной формы (см., например, [4, стр. 271]). Основой
доказательства является следующее построение.
Предположим по индукции, что в окрестности Ul •
точки 0 существует система координат ир ..., и„, в которой
/=»±(в,)»± ... ±(«,_»)»-Н 2 **•/*!/(«,..-..««).
'• J &г
где матрицы (Htj(ult .... а„)) симметричны. Линейной
заменой последних я — г -f-1 координат можно добиться
того, что #„@)^0. Обозначим через ?(«, и„)
квадратный корень из \Н„(ах, ..., и„)\. Это гладкая и
не обращающаяся в нуль функция от их а, в мень-
меньшей окрестности U2 <z Ui точки 0. Введем новые коор-
координаты v,, .... «я формулами », = «, при <?

I 2 Определения и леммы
17
Из теоремы о неявной функции следует, что»,. ,,,,«,
могут служить координатами я достаточно малой окрест*
ности нуля Uy Легко проверить, что в U3 функцию /
можно выразить в виде
и завершает доказательство
Это заканчивает индукцию
леммы 2.2.
Следствие 2.3. Невырожденные критические
точки являются изолированными.
Примеры вырожденных критических точек ¦ (для функ-
функций на R и на R1) приведены ниже вместе с графиками.
(a) f(x)t=s дг\ Нуль — вырожденная критическая точка.
(б) /(лг) ¦»•"*• «In8—. Нуль — вырожденная и меняо-
лированная критическая точка.

18 Гл. /, Невырожденные гладкие функции на многообразии
(в) / (х, у)*=х9 — Здгу* = Re (x + /уK. Нуль — выро-
вырожденная критическая точка (.обезьянье седло*).
(г) f{x, y)«*jr. Множеством критических точек («с*
они вырожденные) является ось х — подмногообразие в R*.

§ 3. Определения и леммы ' 19
(д) /(л, у)«=х1у1. Множество критических точек (асе
Они вырожденные) состоит из объединения осей X и у,
которое не является подмногообразием в R3.
Мы закончим этот параграф рассмотрением однопара-
метрических групп диффеоморфизмов. Более подробное
изложение читатель найдет в книге {27].
Однопараметрической группой диффеоморфизмов
многообразия М называется такое отображение класса С°"
что
1) для каждого / ? R отображение <?,: М-* М, опре-
определенное формулой <?,(q) *=<?{(, Я), является диффеомор-
диффеоморфизмом М на себя;
2) лая всех /, *?R имеем f<f,«= 4Pi• ?#•
•* Каждой однопараметрической группе <р диффеоморфиа-
|1ов многообразия М мы сопоставим векторное поле X,
На Af, полагая для любой гладкой действительной функции /
Это векторное поле X называется порождающим группу <р.
Лемма 2.4. Гладкое векторное поле на М, об-
ращающееея в нуль вне, некоторого компактное

20 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
множества /С с /И, порождает единственную одно-
параметрическую группу диффеоморфизмов много-
многообразия М.
Доказательств). Пусть задана гладкая кривая
Вектор скорости
J7 € ™< (о
определяется соотношением -*;(/)= lint /<f<'"+*>>-
(см. § 8). Пусть теперь <р — однопараметрическая группа
диффеоморфизмоо, порожденная векторным полем Л*. При
любом фиксированном q кривая
удовлетворяет дифференциальному уравнению
с начальным условием %(q)—q- Действительно,
где /> = ?,(?)• Но хорошо известно, что такое дифферен-
дифференциальное уравнение локально имеет единственное реше-
решение, которое гладко зависит от начальных данных
(см. {10. стр. 166)). Заметим, что а локальных коорди-
координатах и1, .... и" дифференциальное уравнение принимает
более обычный вид -^-=jc'(«1 в"), /at,.... *.
Итак, для каждой точки многообразия Л! найдутся
окрестность U и число « > 0, такие, что дифференциаль-
дифференциальное уравнение
ЛЯ) v
имеет единственное гладкое решение при «?(/,

f 3. Описание гомотопического типа 21
Компактное множество Л' можно покрыть конечным
числом таких окрестностей U. Пусть ?,, > 0 —наименьшее
из соответствующих чисел •. Полагая <?,((]) —q при q(fcK,
мы находим, что наше дифференциальное уравнение имеет
единственное решение з(((/) при 11 | < t^ и при люСюм q ? М.
Это решение является гладкой функцией обеих перемен-
переменных. Далее, очевидно, ?,,, — ?,и гд. если только |/|,
|s|. |/ -f-*| < V Поэтому каждое отображение <р,. |/| < t0.
является диффеоморфизмом.
Остается только определить <$, при |f|!>e0. Каждое
число t можно представить в виде суммы кратного *„/2
и остатка л где | Г | < ty/2. Пусть / = * —¦ + т (где k > 0).
Положим
где преобразование fuJ итерируется k раз. Если * < 0,
нужно только заменить фD, на 9_^2. итерированное —А раз.
Итак, отображение ft определено при всех t. Нетрудно
проверить, что отображение <р, определено корректно, яп«
ляется гладким и <p/fJ —?, °9,- Лемма 2.4 доказана.
Замечание. Предположение, что X обращается в
нуль вне компактного множества, нельзя отбросить. Напри-
Например, пусть М — открытый интервал @, 1)CR, а X —
стандартное векторное поле -^ не М. Тогда X не по-
порождает никакой однопараметрической группы диффео-
диффеоморфизмов Л*.
% 8. Описание гомотопического типа с помощью
критических значений
В пом параграфе мы используем обозначение
где / — действительная функция на многообразии М.
Теорема 3.1. Пусть f — гладкая действитель-
действительная функция на многообразии М. Пусть а <?. Пред-

22 Гл. !. Невырожденные гладкие функции на многообразии
положим, что множество /"'[в, Ь]. состоящее из
всех точек р?М. в которых а</(/»)<Ь, ком-
компактной не содержит критических точек /. Тогда М*
диффеоморфно Мь. Кроме того, М" есть деформа-
деформационный ретракт М", так что отображение вклю-
включения М" ~> Мь является гомотопической эквивалент'
ностью.
Идея доказательства состоит в том, чтобы сдвинуть Мь
вниз на Ма вдоль ортогональных траекторий гиперповерх-
гиперповерхностей / = const (см. рис. 2).
Рис. 2.
Выберем на М риманову метрику. Скалярное произ-
произведение двух касательных векторов, определенное этой
метрикой, обозначим через {X, К). Градиентом функ-
функции / называется векторное поле на М, которое обозна-
обозначается grad / и определяется равенством ')
{X. grad/)
— производная / по направлению X),
где X — произвольное векторное поле. Векторное
поле grad/ обращается в нуль в точности в критических
точках функции /. Заметим, что для кривой C.R-+M
') В классических обозначениях, связанных с локальной
системой координат и1 и", градиент имеет компоненты
jJL.

§ Л Описание гомотопического типа 23
с вектором скорости -тг справедливо тождество
Пусть р : М -*• R—гладкая функция, равная l/(grad /. grad /)
на компактном множестве /"' [а, Ь\ и равная нулю вне
Некоторой компактной окрестности этого множества. Тогда
векторное поле X, определенное соотношением
удовлетворяет условиям леммы 2.4. Следовательно. X по-
порождает однопараметрическую группу диффеоморфизмов
«р,; М -*¦ М.
Рассмотрим при фиксированном ц ? М функцию
t-*/(f,(q)). Если <ft(q) принадлежит множеству /~1 [а, Ь\,
то
Итак, соответствие
является линейным с производной -И, пока /(?,(?))
Лежит между а и Ь.
Рассмотрим теперь диффеоморфизм <рд-в: М -*¦ М.
Очевидно, он отображает Ма диффеоморфно на Мь.
Это доказывает первую половину теоремы 3.1.
- ¦¦ Определим однопараметрнческое семейство отображений
ПОЛОЖИВ
если /(?)<а.
I), если
г0 есть тождественное отображение, a rt — ретрак-
ретракция Мь на Ма. Следовательно, М" есть деформационные
ретракт М*. Теорема 3.1 доказана.

24 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Замечание. Условие компактности /"' [а, Ь\ нельзя
отбросить. На рис. 3 иредеганлем случай, когда ^то мно-
множество не янляется компактным. Многообразие М не со-
содержит точку р. Очевидно, М" не является деформацион-
деформационным ретрактом Л1*.
Теорема 3.2. Пусть /: Af->R гладкая функ-
функция и р— ее невырожденная критическая точка
с индексом I. Предположим, что множество
/"'[г «¦ г-f-e), где c^f(p), компактно и не со-
содержит критических точек /. отличных от р. для
некоторого t > 0. Тогда для всех достаточно
малых е>0 множество МС?' имеет гомотопический
тип Л1Г1 с приклеенной клеткой размерности X.
Рис. 3.
Рис. 4.
Идея доказательства этой теоремы понятна из рис. 4.
относящегося к частному случаю функции на торе, назван-
названной в § 1 .высотой*. Область
густо заштрихована. Мы введем новую функцию F: M-+R,
совпадающую с высотой / всюду, кроме малой окрест-
окрестности точки р, где F меньше /. Тогда область
/*"'(—оо. с — е| будет состоять из Ме~* и из маленькой
области Н, лежащей в окрестности точки р. На рис. 4
область И заштрихована горизонтальными линиями.

§ 3. Описание гомотопического типа 25
¦ ' ' '• ¦'' — ш' "
Выбрав подходящим образом клетку ексН, мы цело»
средствеино убедимся, что Ме~'{}е является деформа-
деформационным ретрактом Ме~' [} Н (стягишжие происходит вдоль
горизонтальных линий). Наконец, применяя теорему 3.1
к функции F и области F~l[c — t, c-f-i|, мы видим,
что Ме~'[}Н есть деформационный ретракт Мс+\ чем
и заканчивается доказательство теоремы 3.2.
Выберем в некоторой окрестности U точки р такую
систему координат и1, .... а", чтобы в U выполнялось
тождество
Таким образом, критическая точка р имеет координаты
«'(/')= ••• =ия(/»)=»0.
Выберем * > 0 настолько малым, чтобы
A) область /"'[с—t, c-f-e| была компактной и не
содержала критических точек, отличных от р;
B) образ U при диффеоморфном вложении
¦?' («• «"):?/->R*
содержал замкнутый шар
Определим теперь #1 как множество точек иа U, в которых
Полученная конфигурация схематически представлена
на рис. б. Координатные линии изображают соответственно
.ПЛОСКОСТИ вк+1«= ... es«*s=0 И в1 «в ... =«*«=(),
окружность — границу шара радиуса У^а, а гиперболы —
гиперповерхности /~1(с — t) и /*'(^4-«)- Область АГ***
мштрихована густо, область /"'(с—•, cj —вертикаль-
—вертикальными линиями, область /~1[с, е+ш) — в клеточку. Жир-,
мая горизонтальная линия, проходящая череа р. изобра-
изображает клетку «К
Заметим, что *x(\Af" есть в точности граница «Ч
так что клетка «' приклеена к Mf" ш смысле | 1, что

26 Гл. t. Невырожденные гладкие функции на многообразии
и требопалось. Нужно доказать, что «И'~* U е' есть дефор-
деформационный ретракт Л1Г+*.
Рис. 5.
Построим новую гладкую функцию F:.M->R сле-
следующим образом. Пусть
Р : R -> R
— функция класса С", удовлетворяющая условиям
И @) > *.
jt(r) = O при г5>2е,
— 1 < р' (г) 4 0 при всех г,
где j*'(/") = -j--- Вне координатной окрестности ?/ функ-
функция F будет совпадать с /; внутри U положим
'J4- •...
Легко проверить, что /* — корректно определенная глад-
гладкая функция на М.
Удобно определить две функции
5, V U-+IQ, со)

§ 3. Описание гомотопического типа 27
соотношениями
Тогда / = с — 5-+-^. так что для всех q?U имеем
Z7 (Я) = с - 5@ + -П (?) - ^ (U?) 4- 2^ (?) )•
Утверждение 1. Облаете F~}(—оо, c-f-'l
падает с областью Л1е+1 = /(—со, с~ЬаЬ
Доказательство. Вне эллипсоида 5-f" 2ц <[ 2«
функции f и F совпадают. Внутри этого эллипсоида
имеем
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Критические точки функции Р
совпадают с критическими точками функции /.
Доказательство. Заметим, что
Из равенства
¦•¦'Где ковекторы d\ и dr\ обращаются в нуль одновременно
&дншь в начале координат, вытекает, что в U функция F
п:.не имеет других критических точек, кроме начала коор-
; Аннат. Утверждение доказано.
Рассмотрим теперь область F~* [с — t, с + •!• Из утвер-
ждения 1 и неравенства F < / видно, что
Р'1[с — «. с-г-«1<=/~Мс — «. «-М-
¦¦¦
Следовательно, область /'"'(с —е. c-f-«l компактна. Она
ие может содержать критических точек Г, исключая, быть
может, р. Но
у

28 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Следовательно, в области F'^e — t, c-j-'l вовсе нет
критических точек. Вместе с теоремой 3.1 это доказывает
следующее
Утверждение 'i. Область F~'(—оо, х — «] есть
деформационный ретракт Л1*+\
Рис ».
Область F~x{—оо, с — е] удобно обозначать через
Ме~* <}Н> где //—замыкание множества F~l(—оо. с—«}—
Замечание. По терминологии Смейла область Мс" [}Н
есть Ме~* с приклеенной ,ручкой§ И. Из теоремы 3.1 сле-
следует, что многообразие с краем М'~'\}Н. диффво*
морфно Ме+\ Этот факт играет существенную роль
» исследованиях Смейла по структуре дифференцируемых
многообразий (ср. C3] V ¦
Рассмотрим теперь клетку *Ч состоящую из всех то*
чек q. таких, что Ц?)<«. ЧЙ)*""^ Заметим, что .^
лежит внутри ручки Н. Действительио.. ^так как -gg-<0»
имеем при
но

§ 3.. Описание гомотопического типа
29
Рассмотренные области изображены на рис. 6. Об-
Область Ме~* заштрихопана густо, ручка Н заштрихована
вертикальными стрелками, а область F [с — с, c-f-e] —
вертикальными линиями.
Утверждение 4. Область Ме"к
деформационным ретрактом области М
Доказательство. Деформационная ретракция
г,: Ме~' U И -* Mr~" U "Х схематически указана вертикаль-
вертикальными стрелками на рис. 6. Точнее, пусть отображение rt
вне U йвляется тождественным; внутри U определим его
следующим образом. Будем различать три случая, как
отмечено на рис. 7.
[]ек является
ТтттттШ
Случай 3
Случай Z
Рис 7.
Случай 1. В области &<« определим rt формулой
Таким образом, 11 — тождественное отображение, а гв ото-
отображает всю область на «К То, что каждое г, отобража>
et F~l{—^ с—*| в себя, следует из неравенства -щ ><&.
Случай 2. В области «<S<i4-e определим гщ
формулой
(в1, ...

30 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
где число «,?10. 11 равно
Таким образом, г,—сиоиа тождественное отображение,
а г,, этображает всю область в гиперповерхность /~'(с — •)•
Читателю следует проверить, что функции s,u' остаются
непрерывными при ?—>¦?, т]->0. Заметим, что при 1 = е
это определение г, совпадает с данным в случае 1.
Случай 3. В области tj -f- е <; 5 (т. е. Мс~') пусть
rt — тождественное отображение. Это согласуется с преды-
предыдущим определением, когда 5 = т)~|-е.
Тем самым закончено доказательство того, что Mc~l U вх
есть деформационный ретракт /*'"'(—оо, c-f-ej. Вместе
с утверждением 3 это даст доказательство теоремы 3.2.
Замечание 3.3. Предположим, что /"' (с) содержит k
невырожденных критических точек pv .... рк с индек-
индексами \. .... ХЛ. Тогда аналогичное доказательство пока-
показывает, что Мс+г имеет гомотопический тип Мс~' U е ' U • • •
... [}е\
Замечание 3.4. Простая модификация доказатель-
доказательства теоремы 3.2 показывает, что само множество Ме
тоже есть деформационный ретракт Ме+*. Действи-
Действительно, Ме является деформационным ретрактом множе-
множества F~l(—оо, с], которое само есть деформационный
ретракт Мс*' (см. рис. 8). Объединяя этот факт с тео-
теоремой 3.2, мы легко убеждаемся в том, что Мс~* [} ех яв-
является деформационным ретрактом Мс.
Теорема 3.5. Пусть / — гладкая функция
на многообразии М, не имеющая вырожденных кри-
критических точек. Если каждое из множеств Ма ком-
компактно, то М имеет гомотопический тип клеточ-
клеточного комплекса, в котором каждой критической
точке с индексом X соответствует одна клетка
размерности X.
(Определение клеточного комплекса (CW-complex)
см. в работе [35].)')
') См. также приложение, стр. Ш. — Прим. ntpn.

§ 3. Описание гомотопического типа 6\
Доказательстно бу.тл-г осмопано па двух леммах о то-
топологическом простраистио Л' с приклеенной клеткой.
Лемма З.С (УаПтход). Пусть <р0 и ср, —гомотопные
отображения сферы ех в А". Тогда тождественное
Рис. 8. Множество Мс заштриховано густо, ^"'[с,
вертикальными линиями.
отображение X продолжается до гомотопикеекоЛ
аквивалентности
Доказательство. Определим h формулами,
A(jc) = jc при х?Х,
k (tu) — 2/и при 0 < / < -i ,, «,
k (/Я) = <рг_2/ (в) При у < / < li..
Здесь ft означает гомотопию между <р0 Hi <$.. to fet— npo-
изведсмие скаляра / на единичный вектор-, w. Соответ-
Соответствующее отображение
определяется аналогичными формулами. Щётрудно прове-

32 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
рить. что обе композиции Ы и Ik гомотопны соответ-
соответствующим тождественным отображениям. Итак, k есть
гомотопическая эквивалентность.
Дальнейшие подробности читатель найдет в лемме 5
статьи f361-
Лемма 3.7. Пусть <р: ех -* X — отображение при-
клеивания. Каждая гомотопическая эквивалентность
f: X ->Y продолжается до гомотопической экви-
эквивалентности
Доказательство (по неопубликованной работе
П. Хилтона). Определим F условиями
i F|<»» = /.
(Здесь и далее / — тождественное отображение.) Пусть
g: У -*¦ X — гомотопически обратное к / отображение.
Определим
соответствующими условиями
Так как gff гомотопно <р, из леммы 3.6 получаем
гомотопическую эквивалентность
А: XU,/f «*-+ХU,Л
Докажем сначала, что композиция
гомотопна тождественному отображению.
Пусть А, — гомотопия между gf н тождественным ото»
бражеимсм. Пользуясь специальным видом At, О и Р,

g S. Описание $омтопич«ско*о типа
Цнетим, что
при х?Х,
kOF (/«) «в ht-ttt («) пР" J < ' < 1. « € •*•
Искомая гомотопия
Определяется теперь формулами
g,(jc)= A,(jc) яри
при О
при
«Следовательно, отображение Р имеет левое гомотопическв
Обратное.
Доказательство того, что Р есть гомотопическая экви-
эквивалентность, будет проведено совершенно формально на
fcttoee следующего общего соображения.
¦ J Утверждение. Если отображение Р имеет левов
$омотопач*ски обратное L и правое гомотопически
Обратное R, то Р ест* гомотопическая эквивалент'
тесть, a R (или L) —двустороннее юмотопачееки
j>6ратное отображение.
]f Доказательство. Из соотношений .,
Wail. FRcatt
.fUteiueT соотношение
?дедомтельио,
. ф. е. ^—двустороннее обратное отображение.
4: Теперь мм можем закончить докдотедьстде лешшЪ.7
4«едую«им образом. Соотношение

84 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Показывает, что F имеет левое гомотопически обратное;
аналогичное рассуждение показывает, что и О имеет левое
гомотопически обратное.
Шаг 1. Так как k(QF)~l и известно, что к имеет
левое обратное, то (GF)k~f.
Шаг 2. Так как 0{Fk)~l и известно, что 0 имеет
левое обратное, то (Fk)O-zzJ.
Шаг 3. Так как F(kO)~l и F имеет АО левым гомо-
гомотопически обратным, то F есть гомотопическая эквива-
эквивалентность. Лемма 3.7 доказана.
Доказательство теоремы 3.5. Пусть Cj < с7 <
< с3 < ... — критические значения функции / : М -> R.
Последовательность {ct\ не имеет предельных точек, так
хаи каждое множество /И" компактно. Множество Ма при
о < Cj пусто. Пусть аФсх, с2. съ Предположим,
что Л!" имеет гомотопический run клеточного комплекса.
Пусть с — наименьшее из с( > а. Согласно теоремам 3.1,
3.2 и 3.';, яри достаточно малом е > 0 множество Ме*ш
имеет тог жг гомотопический тип, что и
{для некоторых отображения <?v .... <ру{е)). причем суще-
существует гомотопическая эквивалентность /г: Mf~'~> M".
Выше мы предположили, что существует гомотопическая
Эквивалентность hf :М*-*К. где К — некоторый клеточ-
клеточный комплекс.
Каждое отображение А' о h о^ гомотопно (гомотопна
осуществляется посредством клеточной аппроксимации) ото-
отображению ,
т1/:« i ~* Оч — 1) — ос1» К.
Следовательно, #U*,*X| U * •< U«.,.JXm есть клеточный
комплекс, имеющий, согласно леммам 3.6, 3.7, тот же
гомотопический тип, что и Мс+\
- ¦ По индукции заключаем отсюда, что любое Ма инее*
гомотопический тип клеточного комплекса. Вели М ком-
Иактно, доказательство закончено. Если М не компактно»
«о все его критические точки принадлежат одному из ком-
компактных множеств Ма, то рассуждение, аналогичное дока»

§ 4, Примеры 35
аательству теоремы 3.1, показывает, что Ма является де-
деформационным ретрактом М и доказательство завершено.
Если критических точек бесконечно много, то преды*
дущее построение дает бесконечную последовательность
гомотопических эквивалентностей
Кх с Кч cz К$ с...,
каждая мз которых продолжает предыдущую. Обозначим
нерез К объединение Kt с топологией прямого предела,
f. e. с сильнейшей допустимой топологией, и пусть
0:М-*-К — предельное отображение, Тогда g индуцирует
орфизмы гомотопических групп всех размерностей,
ется воспользоваться теоремой Уайтхеда') (теорема 1
работе [35]), чтобы заключить, что g есть гомотопн-
гомотопная эквивалентность.
(Теорема Уайтхеда утверждает, что если М и К оба
: одчинены клеточным комплексам, то любое отображение
t-*K. индуцирующее изоморфизмы гомотопических
ipynn, есть гомотопическая эквивалентность. Комплекс К.
конечно, подчинен сам себе. Чтобы доказать, что М под*
нжено некоторому клеточному комплексу, нужно рас-
рассматривать М как ретракт своей трубчатой окрестности
^некотором евклидовом пространстве.]
Доказательство теоремы 3.5 закончено.
:; Замечание. Мы доказали также, что каждое М*
.дшеет гомотопический тип конечного клеточного комплекса,
-1 которой на каждую критическую точку индекса h ле-
I цащую в Ма, приходится по одной клетке размерности X.
.. |го утверждение верно даже для критических значений а
-. си. имечание 3.4).
« § 4. Примеры
; В качестве приложения теорем на § 8 мы докажем
фйеяующую теорему.
Теорема 4.1. (Рнб). Ёела на компактном мною»
М существуем гладкая функция /. имеющая
') См. вримяышш, cip. 170L—Прим.- трем.

36 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
ровно две критические точки, обе невырожденные,
то многообразие М гомеоморфно сфере.
Доказательство. Это вытекает на теоремы 3.1
и леммы Морса (лемма 2.2). Две критические точки должны
быть точками минимума и максимума. Пусть, например,
f(p)z=0~ минимум, а /(?) — 1 — максимум. Если « до-
достаточно мало, то, согласно лемме 2.2, множества М*ят
•"/"' №• •! и /~Х П —•• М являются замкнутыми я-клет-
ками. Но /И* гомеоморфно Мх~* (согласно теореме 3.1).
Итак. М есть объединение двух замкнутых в-клеток
Мх~' в /"'{1 —«, 1), соединенных по их общему краю.
Легко построить гомеоморфизм между М н S".
Замечание 1. Теорема остается справедливой к
тогда, когда критические точки вырождены. Однако
доказательство в этом случае сложнее (см. B2, 30]).
Замечание 2. Неверно, что М должно быть диф-
феоморфно сфере 5я с ее обычной дифференцируемой
структурой. (См. {23); доказательство того, что 7-мерная
сфера с нестандартной дифференцируемой структурой
гомеоморфна обычной сфере 5% проведено в этой работе
при поиоши построения функции с двумя невырожденными
Критическими точками.)
В качестве другого приложение предыдущих теорем
ванетим, что если на л-мерном многообразии существует
дифференцируемая функция с тремя критическими точ-
. камн ')• то эти точки имеют индексы 0, п и л/2 (двой-
- 1) На любой замкнутой орпентяруемой поверхности суще»
ствует функция с тремя критическими точками (одна из которых
вырождена), см. [12]; автор имеет в виду случаи, когда все три
ад тачка невырождены. — Пром. мрев.

§ 4, Примеры 37
ственность Пуанкаре) и многообразие имеет гомотопи-
гомотопический тип (п/2)-мерноп сферы с приклеенной л-клеткой.
Эта ситуация изучена в работе Илса и Кёйпера A4]. Такая
функция существует, например, на действительной и Hi
комплексной проективной плоскости.
Пусть СР„ — «-мерное комплексное проективное про»
странство. Мы будем рассматривать СЯ*как множество клас»
Сов эквивалентности пропорциональных наборов (ж0, ....**)
lie-f! комплексных чисел, таких, что SU/P""'*
Класс эквивалентности набора (;0. .... zj обозначим
череа (*0:*,: ••• :*«)•
Определим действительную функцию / на многообра-
аии СРЯ равенством
где е0, ех, ..., с„ — различные действительные постоянные.
Чтобы найти критические точки /, рассмотрим следую-
следующую локальную систему координат. Пусть ?/„ — множество
классов (*„:*,:...: гп). таких, что jar0 ч*> 0, к
Тогда
*р Ух *«• Уя:
— исхомые координатные функции, отображающие С/о
диффеоморфно на открытый единичный шар в К2". Оче-
Очевидно, что
так что 8 координатной окрестности Uo имеем
Итак, единственная критическая точка f » Uo есть цен-
центральная точка системы координат
/>„«(! :0:0:...:0).
В этой точке функция / невырождена я имеет индекс*
равный удвоенному числу тех J. для которых <

38 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Точно так же можно рассмотреть другие системы коор-
координат с началом в точках
Так как эти системы координат покрывают СР„, един-
единственные критические точки/ — это точки р0, рх, .... рп.
Так как индекс / в точке р„ равен удвоенному числу тех /,
для которых С} < с„, каждое четное число от 0 до 2л
является индексом ровно одной точки. По теореме 3.5
СР„ имеет гомотопический тип клеточного комп-
комплекса вида
е° U в2 U е* U .. • U «2л.
Следовательно, целочисленными группами гомологии про-
пространства СР„ являются следующие:
I при / = 0, 2, 4 2я,
I при остальных значениях I.
§ 5. Неравенства Морса
В первоначальном изложении Морса теорема 3.5 от-
отсутствовала. Соотношение между топологией многообра-
многообразия М и критическими точками действительной функции
на М описывалось некоторыми неравенствами. В настоя-
настоящем параграфе будет изложена эта исходная точка зрения.
Определение. Пусть S — функция, сопоставляю-
сопоставляющая некоторым парам пространств целые числа; S назы-
называется субаддитивиой, если S(X, Z)CS(X. Y) + S(Y. Z)
при Xz>Yz>Z. Если же имеет место равенство, то эта
функция называется аддитивной.
Например, взяв за группу коэффициентов любое поле Р,
положим
Rx(X, Y)a=\-e число Бетти пары (X, У)«
«вранг группы Н\{Х, Y\ Р) над F
аля любой пары (X. Y). для которой этот ранг конечен.
Функция Rx субаддитивна; это легко усмотреть из следую-
следующего отрезка точной последовательности для тройки

• § 5. Неравенства Морса 39
(*. К. Z):
...-*Нк(У, Z)-+lh(X. Z)-»HK(X. К)-»....
Эйлерова характеристика х(A". Y) = ^,(—iy Rk(X, Y)
аддитивна.
Лемма 5.1. Пусть функция S субаддитивна и
Хос.. .сХя. Тогда S(Xn, Хо) < g S(*,. А",.,).
Если S аддитивна, то это неравенство обращается
ш равенство.
Доказательство. Проведем индукцию по п. При
п=1, очевидно, имеет место равенство, а при л = 2
|не}равенство является определением [суб!аддитивности.
¦ - Если результат справедлив для п *— 1. то S (Л'„_1. Хо) ^
. n-t
< 2 ^(Л',, АГ4„,). Следовательно,
и результат справедлив для п. Лемма 5.1 доказана.
Пусть S(X. Q) = S(X). Полагая в лемме 5.1 Jf<,sei,
имеем
для аддитивных функций S имеет место равенство.
Пусть Л1 — компактное многообразие и / — гладкая
функция на М, все критические точки которой изолиро-
изолированы и невырождены. Пусть о,<... < в» таковы, что М"<
Содержит ровно / критических точек и Ма* = А!.Тогда
(где Х4 — индекс критической точки)
(вырезание)
| группа коэффициентов в размерности Х{.
•.."^^О в остальных случаях. -

Л Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразий
Применяя неравенство A) к 0 = Л1 *с...сЛ1 *в
и S = RX, получаем
где Ск — число критических точек с индексом X. Применяй
иу формулу в случае S = x> имеем
Итак, доказана
Теорема 5.2 (слабые неравенства Морса). Обо*
значим через Сх число критических точек е индек-
индексом X на компактном многообразии М. Тогда
B)
C)
Более точные неравенства вытекают из следующих сообра*
женнй.
Лемма 5.3. Функция
$Х{Х, К)«/?х(^. »0-*x.i(*. n-f/?b-j(*. К)— ...
... ±R0(X, Y)
Субаддитивна.
Доказательство. Пусть дана точная последова-
последовательность .
линейных пространств. Ранг гомоморфизма к в сумме
с рангом I дает ранг А. Поэтому
rank A = rank A — rank / as
«rank A — rank В + rank/ a»
•= гапМ — rank В 4- rank С -— rank * яв
«* rank Л — rank В+rank С — ... ± rank D.

§ 5. Неравенства Морса 41
Следовательно, последнее выражение неотрицательно. Рас-
Рассмотрим теперь точную гомологическую последователь*
'мреть тройки XzsVz>Z. Применяя предыдущие вычисле-
вычисления к гомоморфизму
ыы видим, что
# гапкд = /гх(Г. Z) — RX{X. Z)+Rk(X, К) —
i; |?дедовательно,
.что и завершает доказательство.
";\ Применяя эту субаддитивную функцию к пространствам
i4 0с=Л1в1сЛ1в1с ... <=Л!Л\
подучаем неравенства Морса:
- /?w (Ai)-f-... ± /?0
^ Эти неравенства действит** пьно сильнее предыдущих.
В самом дел», складывая (\) и DХ_!), получим B^).
^•сравнивая D^) с DХ_,) при X > я, получим равенство C).
Щ-\ В качестве примера применения неравенств Морса рас-
рассмотрим случай Сх+1 = 0. Тогда Rx+l тоже должно быть
нулем. Сравнивая неравенства DХ) и Dх+1), мы видим, что
^Предположим теперь, что Cx_j тоже нуль. Тогда Rx_t
10 аналогичное рассуждение показывает, что
Щ
щ
-Вычитая это равенство из предыдущего, получаем
t Следствие 6.4. Если' СщшшС^гтО, то

42 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
(Конечно, это вытекает и из теоремы 3.5.) Заметим,
что этот результат позволяет находить группы гомологии
комплексного проективного пространства (см. § 4) без
помощи теоремы 3.5.
§ в. Многообразия в евклидовом пространстве
Хотя до сих пор мы рассматрирали на многообразии
только функции, все критические точки которых невы-
невырождены, мы пока еще не показали, что такие функции
существуют. В этом параграфе мы построим много функ-
функций, все критические точки которых невырождены, на лю-
любом многообразии, пложенном в R". Л именно, определим
при фиксированном р?Ч" функцию Lp: М-+Я. полагая
Lp(q)~ \\p ~q\\2. Оказывается, для почти всех р функ-
функция !..р имеет лишь невырожденные критические точки.
Пусть М с R" — многообразие размерности h < я,
гладко вложенное в R". Определим Л' с М X V следую»
щим образом:
ЛГ={(#. v):q?M, v перпендикулярно к М в q).
Нетрудно видеть, что /V есть я-мерное многообразие,
гладко вложенное в R2n (N есть пространство нормального
векторного пучка многообразия М).
Определяй Е : N -+ R" как Е(q, v) = q -f- V (отобра-
(отображение в .конец" t»),
ЕМ»
Определение. Точка i?Rn называется фокальной
точкой (М, q) кратности (*. если e*=q-\-v, где
\q, «OtiV. й якобиан Е в точке (q, v) имеет степень вы-
вырождения [1>0. Точка е называется фокальной точкой
многообразия М, если она является фокальной точкой (Ж, q)
Mtn некоторой точки д?М '

?:*
§ 6. Многообразия в евклидовом пространстве 43
Интуитивно ясно, что фокальная точка многообразия М
ь точка из R", где пересекаются близкие нормали.
Мы будем пользоваться следующей теоремой, которую
без доказательства.
?¦' Теорема 6.1 (Сард). Если Л!, и Щ — дифферел-
щируемые многообразия одинаковой размерности
що счетным базисом и f: Ml-+Mi принадлежат
Шлассу С1, то образ множества критических точек
рмеет в М2 меру нуль.
| Критическая точка отображения / есть точка, в ко*
якобиан вырожден. Доказательство теоремы 6.1
в книге B8|.
^Следствие 6.2. Для почти всех jc?R" точка х
>Ш9 является фокальной точкой многообразия М.
|Г. Доказательство. Мы видели, что N есть л-мер-
'|Йе многообразие. Фокальные точки являются образами
^критических точек отображения E:N-*-tC. Поэтому мно-
множество фокальных точек имеет меру нуль.
v"" Для лучшего понимания понятия фокальной точки
полезно рассмотреть «вторую основную форму* многообра-
;ttift в евклидовом пространстве. Мы не будем пытаться
;|*ть инвариантное определение, а воспользуемся фиксиро-
фиксированной локальной системой координат.
th Пусть в1, .... в* — координаты в некоторой области
•ЗДогообразия AfcR". Отображение включения М ш R"
Определяет п гладких функций ¦ '
х,(в1 в*), .... х„(в1, ....в*).
i функции будут коротко обозначаться через х (и1,..., я*),
х «= (лг,. .... хя). Соответственно и точка q ^ М с R"
удет теперь обозначаться через q. ¦ •
|С Первой основной формой в данной системе коорди-
«т называется, по определению, симметрическая матрица
ЯЕЙствительных функций ¦
Вторая основная форма есть симметрическая матрица (It/)
фекторноаначных функций, определенная следующим обра-

44 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
аом. Вектор —j—j в некоторой точке многообразия М
можно представить как сумму касательного и нормального
к М векторов. Мы определим \ц как нормальную компо-
компоненту вектора —;—т. Для любого единичного вектора V,
ди <)и'
нормального к /И в точке q. матрица
ыожст быть названа второй основной формой много'
образия М в точке q no направлению у.
Предположим для простоты, что координаты были
выбраны так, что матрица gll% вычисленная в точке q,
единичная. Тогда собственные числа матрицы (v • l,/() назы-
называются глазными кривизнами /С]..... Kt многообра-
8ин М ij точке q no направлению нормали v. Обратные
величины КГ К? называются главными радиусами
кривизны. Конечно, матрица (v • \ц) может оказаться вы-
вырожденной. В этом случае одна или несколько кривизн /Cj
Обратятся а нуль и соответствующие радиусы К7Х не опре-
определены.
Рассмотрим теперь нормаль /, состоящую из всех точек
q-\-tv, где v — фиксированный единичный вектор, орто-
ортогональный к М в q.
Лемма 6.3. Фокальными точками (М, q) вдоль t
является в точности точки q-\-KJl\, где 1 •<;/-<!?.
Кt ф о. Таким образом, на I имеется самое боль-
большее к фокальных точек (.'И. q), причем каждая из них
считается столько раз, какова ее кратность.
Доказательство. Выберем на заданном много»
образии п — к векторных полей щ (и1. .... и"), ...
.... Wn.jCa1. ••«.. и*), так, чтобы «г,, .... We.t были
единичными векторами, ортогональными друг к Другу
и к М. На многообразии N с М X R" можно ввести сле-
следующие координаты (и1,..., а*. *\ ..*,/"**). Пусть
(«\ .... «*, tl. .... <"*"*) отвечает точке
x{uh .... я*). 2 fw.Ce1. .... в»)
\ 1 /
(x

§ 6. Многообразия а евклидовом пространстве 45
Тогда функция
E:N->Kn
Порождает соответствие
(«' Л /' tn-*)-±+x(ul и*) +
л-*
с частными производными
де д у
да1 ~ du'^^i ди
де дх «у1 g dv/a
dt
Скалярные произведения этих п-меркых векторов с ли-
линейно независимыми векторами -Ц-, .... —?-, щ, ...
•••> wn-* образуют (л X л)-матрицу, ранг которой paseif
рангу якобиана функции Б в соответствующей точке.
Эта (я X я)-матрнца, очевидно, имеет вид
единичная матрица
Поэтому ее определитель равен определителю матрицы
из левого верхнего угла. С помощью тождества
0_ д /w дх\дчг„дх.' д*х
ди1 \ * ди*} ди1 да1 " ди1 ди*
мы убеждаемся, что в левом верхнем углу написана ма-
матрица
Итак, справедливо
Утверждение 6.4. Точка q + ^v тогда а только
тогда является фокальной точкой (М. q) крат-
кратности |а. когда матрица
вырождена со степенью вырождения

46 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Предположим теперь, что матрица (g,j) единичная.
В этом случае матрица (•) вырождена тогда и только
тогда, когда Ift — собственное значение матрицы (V • l,j),
причем кратность р равна кратности собственного значе-
значения 1//. Лемма 6.3 доказана.
Теперь для фиксированного p?R" изучим функцию
Lp = /:Af — R.
где . '. ¦.
= х • х — 2х • р + Р' Р*
Имеем
Д2<хр).
ди' ди'
Следовательно, критические точки функции / — это те я
только те точки q. для которых вектор q— р перпенди-
перпендикулярен к М в q.
"! Вторые частные производные в критической точке
определяются формулой
х дх , d»x '
Полагая p = x-}-/v, как в доказательстве леммы 6.3,
находим, что
Поэтому справедлива
Лемма 6.5. Точка q?Af тогда и только тогда
является вырожденкой критической точкой функ-
функции f = Lp, когда р — фокальная точка (М, q). Сте-
Степень вырождения критической точки q равна крат-
кратности фокальной точки р.
Объединяя этот результат со следствием 6.S из теоремы
Сарда, немедленно получаем следующую теорему.
Теорема 6.6. Для почти всехp?R* (т.е. всех,
кроме множества меры нуль) функция
не имеет вырожденных критических точен.

§6. Многообразия в евклидовом пространстве ¦ 47
Эта теорема «мест несколько интересных следствий.
Следствие 6.7. На любом многообразии М
1 существует дифференцируемая функция. «* имею-
имеющая вырожденных критических точек, для которой
каждое множество М" компактно.
у'- Доказательство. Это следует из теоремы 6.6
н из того факта, что л-мерное многообразие М можег
быть гладко вложено в R" т как замкнутое подмножество
«С*. 139]).
Приложение 1. Дифференцируемое многообра-
многообразие всегда имеет гомотопический тип клеточного
Комплекса. Это вытекает из приведенного выше следствия
и теоремы 3.5.
Приложение 2. На любом компактном мно-
многообразии М существует такое векторное поле X,
что сумма индексов особых точек поля X равна ^(М),
эйлеровой характеристике М, В самом деле, для лю*
бой дифференцируемой функции / на М имеем ^(Af)=*
*»2("—lJ*C]k' ГЛе С). — число критических точек с индек*
сом X. Но (— 1)* есть индекс векторного поля grad/
в особой точке, где / имеет индекс X.
Далее, сумма индексов особых точек любого вектор*
кого поля на М есть топологический инвариант М (см. C4]).
Следовательно, и для любого векторного поля эта сумма
равна хСМ)*
Следствие 6,7 можно усилить следующим образом.
Пусть *>0 — целое число и КаМ.—компактное мно-
множество.
Следствие 6.8. Каждая ограниченная гладкая
функция f:M-+R может быть равномерно аппро-
аппроксимирована гладкой функцией g, не имеющей выро-
вырожденных критических точек. Более того, g можно
выбрать так, чтобы t-ые производные g на компакт-
компактном множестве К равномерно приближали соответ-
соответствующие производные / при /<*.
(Ср. |26].)
Доказательство. Выберем вложение Л:/И->Ц"
многообразия М в некоторое евклидово пространство в

48 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
качестве ограниченного подмножества. При этом за пер-
первую координату Л, возьмем в точности данную функцию /.
Пусть с — достаточно большое число; выберем такую
точку
p = (_<f4-8,. % е„).
близкую к (— с, 0, ..., 0) ? R", чтобы функция Lp : М -> R
была невырожденной, и положим
Очевидно, g невырождена. Простой подсчет показывает, что
1 1
Очевидно, если с велико и е( малы, то g — требуемая
аппроксимация /.
Развитая теория пригодна также для описания индекса
функции
^:^-^R
в критической точке.
Лемма 6.9 (теорема об индексе для Lp). Индекс Lp
в невырожденной критаческой точкеq^M равен числу
фокальных точек (М, а), лежащих на отрезке от q
до р, если считать каждую точку столько раз, ка-
какова ее краткость.
Аналогичное утверждение, приведенное в гд. Ill (тео-
(теорема Морса об индексе), имеет фундаментальное значение.
Доказательство. Индекс матрицы
равен числу отрицательных собственных чисел. Если ма-
матрица (gt/) единичная, это число совпадает с числом
собственных значений матрицы (v • 1(у). не меньших чем I//.
Сравнивая это утверждение с леммой 6.3, получаем тре-
требуемое заключение,

§ 7. Теорема Лсфшеца о гиперплоских сечениях 49
'.;/¦/ § 7. Теорема Лефшеца о гииерплоских сечениях
В качестве применения изложенных выше идей мы
докажем некоторые результаты из топологии алгебраи-
алгебраических многообразий. Впервые они были доказаны Лсф-
шецем, исходипшим из сопершенно других соображений.
.Предлагаемое доказательство принадлежит Андреотти
И франкелу (см. 12, 20]).
Теорема 7.1. Пусть М с С" — неособое аффин-
аффинное алгебраическое многообразие действительной
размерности 2k в п-.черном комплексном простран-
пространстве. Тогда
Н,(М; Z) = 0 при t>k.
... Эта теорема вытекает из более сильной теоремы 7.2.
hi-
Теорема 7.2. Комплексно-аналитическое мно-
многообразие М комплексной размерности k, бианали-
тически вложенное в С в качестве замкнутого под-
подмножества, имеет гомотопический тип k-мерного
клеточного комплекса.
Мы разобьем доказательство на несколько шагов. Рас-
Рассмотрим сначала квадратичную форму от k комплексных
Переменных
7 2
"Подставим xH-\-lyH вместо г~ и возьмем действительную
часть Q. Это действительная квадратичная форма 2k дей-
действительных переменных
Утверждение 1. Если е — собственное значение
фы Q' кратности р. то — е — тоже собственное
Аначение той же кратности.
-Доказательство. Тождество Q(lzl, .... /z*)=*
*sm — Q(zx zk) показывает, что квадратичная форма Q'
Преобразуется в —Q' при помощи ортогонального пре-
преобразования переменных. Очевидно, это доказывает
1едливость утверждения 1.
4 А*-

50 Гл. /. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Рассмотрим теперь комплексное многообразие М,
бнаналитическк вложенное в С. Пусть q— некоторая
точка в /И.
Утверждение 2. Фокальные точки (М. д) вдоль
любой нормали I расположены симметрично отно-
относительно q.
Иными словами, если q-\-tv — фокальная точка, то
и q — tv — фокальная точка той же кратности.
Доказательство. Выберем на М в окрестности q
такие комплексные координаты г1, .... г", что *•(?)— .. •
... = z* (q) — 0. Отображение включения М -* С" опре*
деляет я комплексно-аналитических функций
wa=~wa(zl гк), о==1, .... п.
Пусть v — фиксированный единичный вектор, ортогональ-
ортогональный к М и q. Рассмотрим эрмитово скалярное произве-
произведение w и </:
Оно разлагается в комплексный степенной ряд
где Q-—однородная квадратичная форма (линейные члены
обращаются в нуль, так как нсктор v ортогонален Л1),
Теперь поде ran :im вместо zh выражение x!'-j-tyh, чтобы
получить на М действительную систему координат, и рас-
рассмотрим действительное скалярное произведение
w • v = Re 2 те'Л-
Эта функция разлагается в действительный степенной ряд
ад . vs= const-\-Q1 (х1 jc*. у1 }'*)+ ••¦•
Очевидно, квадратичные члены Q' определяют вторую
основную форму М в q по направлению нормали v. Со-
Согласно утверждению 1, собственные числа Q' разбиваются
На пары противоположных чисел. Поэтому фокальные
точки (М, q) на прямой, проходящей через q и q-\-v,
расположены симметрично относительно q. Утверждение Ц

$ 7. Теорема Лефшеца о гиперплоских сечениях 51
Теперь мы можем доказать теорему 7.2. Выберем такую
точку р ? С", чтобы квадрат расстояния до нее
Lp:M-yR
не имел вырожденных критических точек. Так как М—¦
вамкнутое подмножество С, ясно, что каждое множество
компактно. Рассмотрим теперь индекс функции Lp в кри-
критической точке q. В соответствии с леммой 6.9, этот
индекс равен числу фокальных точек (М, а), лежащих
на отрезке от р до q. Но на всей прямой, соединяющей р
с q."имеется самое большее 2ft фокальных точек, и они
расположены симметрично относительно q. Следовательно.
не более ft из них могут лежать между р и q.
Итак, индекс Lp в q не превосходит ft. Следовательно,
М имеет гомотопический тип клеточного комплекса раз-
размерности, не превосходящей ft, что завершает доказатель-
доказательство теоремы 7.2.
Следствие 7.3 (Лефшец). Пусть V — алгебраи-
алгебраическое многообразие комплексной размерности ft,
лежащее в комплексном проективном простран-
пространстве СР„. Пусть Р — гиперплоскость в СР„. прохо-
проходящая через все особые точки V {если они есть).
Тогда отображение включения
V{\P-»V
индуцирует изоморфизмы групп гомологии размер-
ностей, меньших ft —1, а индуцированный гомомор-
гомоморфизм
Н
есть отображение на.
Доказательство. Используя точную последова-
последовательность пары (V, VflP), легко видеть, что достаточно
доказать равенство H,(V, VftP, Z)«=0 при г < ft—1.
Согласно теореме двойственности Лефшеца1)» имеем
Н,<У.
>) См. приложение в юнце книги, стр. 179. —Прим. пере».

52 Гл. I. Невырожденные гладкие функции на многообразии
Но V — (V{\P)— пеособое алгебраическое подмногообра-
подмногообразие в аффинном пространстве СР„ — /'. Поэтому иэ 7.2
вытекает, что последняя группа при г ^ Л — I равна нулю,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7.3 допускает следующее уточнение.
Теорема 7.4 (Лефикц). В предположениях с Jed'
ствия 7.3 относительная гомотопическим группа
Kr(V, V(\P) равна нулю при г < к.
Доказательство. Доказп гельстпо оснонано на
предположении, что некоторую окрестность U нересече*
ния V П ^ можно деформировать в V Л Р внутри V, Это
можно доказать, например, с помощью теоремы, утвер*
ждающеи, что всякое алгебраическое .многообразие триан-
триангулируемо ')•
Вместо функции Lv ; V — (V п Р) ~> R мы используем
f:V-*-R, где
•[ 0 яри x?V()P.
| I/LAX) при Х$Р.
Так как критические точки Lp имеют индекс, не пре-
превосходящий Л, индекс критических точек / не меньше,
чей 2к — k == к. Функция / не имеет вырожденных кри-
критических точек, в которых е < / < со. Следовательно,
V имеет гомотопический тип V* = /~l|0. s] с конечным
числом приклеенных к четок размерности не меньше k.
Выберем * столь малым, что V с U. Обозначим
ч^рез Г единичный r-куб. Тогда каждое отображение
пары (/', /'") » (V, V П Р) можно деформировать в ото-
отображение
(Г. /V)-*(V. VПР) с: (?/. VП Я).
так как г < k; стало быть, можно его деформировать
» отображение в V(]P. Это завершает доказательство.
«) См. Van der Waerden В. L, EtnfOhfaftg in die alge-
tiraische Oeometrle, Berlin, 1939, приложение к гл. 4 — Прим.
перга.

Г л а в а II
КРАТКИЙ КУРС РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 8. Ковариантное дифференцирование
Цель этой глапы — дать краткое изложение основных
понятий римановой геометрии, которые понадобятся
в дальнейшем. Более подробные сведения читатель найдет
в книгах [19. 27. 41).
Пусть М — гладкое многообразие.
Определение. Аффинная связность в точке р ? М
есть функция, сопоставляющая каждому касательному
Вектору Хр ? ТМр и каждому векторному полю У новый
касательный вектор
Хр\-У?ТМр.
называемый коварианшной производной.х) У по напра»
вленню Хр. Требуется, чтобы этот вектор был билиней-
билинейной функцией от Хр и от У,
Далее, если
«—некоторая действительная функция и /У обозначает
векторное поле
ТО tpe6yeTca. чтобы операция \— удовлетворяла условию
Хр h (/Г) - ((Хр/) Ур)+(f(p)Xp\-Y)
(как обычно, через Хр/ обозначена производная / ПО на-
направлению Хр).
Глобальная аффинная связность (или просто связ-
связность) на /И есть функция, сопоставляющая каждой точке
') Вектор XV- У в книге Номидзу [27] обозначается через
VJf, Это обозначение подчеркивает, что дифференциальный one*
ратор X действует на векторной поде У.

54 Гл. fl. Краткий курс римановой геометрии
аффинную связность \~р в точке р. удовлетворяю-
удовлетворяющую следующему условию гладкости:
A) Если X и У— гладкие векторные поля на М, то
векторное поле X \— У, определенное формулой
должно быть тоже гладким.
Заметим, что
B) Х\— У есть билинейная функция X и Y,
D) A>(/K) = ((*/) О+ (/(*(- У))-
Условия A), B). C), D> можно принять за определе-
определение связности.
В локальных координатах и1, .... а", заданных в коор-
координатной окрестности UaM, связность |— определяется»3
гладкими действительными функциями Г*у, заданными на U,
как это объяснено ниже. Обозначим через дл векторное
поле —г- на U. Тогда каждое векторное поле X на U
да*
единственным образом записывается в виде
Off
где х*—действительные функции на U. В частности,
векторное поле dt {— dj можно записать в виде
к
Функции rf; полностью определяют связность на U.
В самом деле, для любых двух векторных полей X «= 2 *'д|
и К = 2 У^; можно вычислить Х\~У согласно правилам
B), C), D); получается формула
F)
где символом y*t обозначается действительная функция

§ S. .Ковариантное дифференцирование 55
Обратно, для любых гладких действительных функ-
функций Г?у на U можно определить А" (— Y формулой F).
Выполнение условий A), B). C), D), E) очевидно.
С помощью связности (— можно определить ковариант-
ную производную векторного поля вдоль кривой в М.
Введем сначала некоторые определения.
Параметризованная кривая в М есть гладка»
функция с действительного переменного t со значениями
Рис. 9.
в М. Векторное поле V вдоль кривой с есть функция,
сопоставляющая каждому /?R касательный вектор
Эта функция должна быть гладкой в следующем смысле:
для каждой гладкой функции / на М соответствие
t~>VJ
должно определять гладкую функцию на R.
Например, векторное поле скорости -^ кривой с
есть векторное поле вдоль с, определенное правилом
• de __ d
~зг~с*чг-
Злесь -тт обозначает стандартное векторное поле на дей-
действительной оси и
— гомоморфизм касательных пространств, индуцирован*
яый отображением с. (см. рис. 9).

56 Гл. It. Краткий курс римановой геометрии
Предположим теперь, что на М задана аффинная связ-
связность. Тогда каждому векторному полю V вдоль с соот-
DV
ветствует новое векторное поле —— вдоль с, называемое
ковариантной производной поля V. Операция
характеризуется следующими тремя аксиомами:
(б) если / — гладкая действительная функция на R, то
dt
(в) если поле V индуцировано векторным полем Y
DV
на М, т. е. если V, = YcU) при каждом t, то —гг- равно
dc
—тг\- У (т. е. ковариантной производной поля Y в на-
направлении вектора скорости кривой с).
Лемма 8.1. Существует одна и только одна
операция V-+-JT1 Удовлетворяющая трем пере-
численным условиям.
Доказательство. Выберем на М локальную си-
систему координат и пусть и1 (/) и" (t) — координаты
точки c{t). Векторное поле V единственным образом за-
записывается в виде
где v1, .... v" — действительные функции на R (или на
подходящем открытом подмножестве в R), a dt д„ —
стандартные векторные поля в координатной окрестности.
Из (а), (б) и (в) вытекает, что

$8. Ковариантное дифференцирование 87
Обратно, нетрудно проверить, что определенная этим ра-
равенством операция -щ- удовлетворяет условиям (а), (б)
ц,:,. Векторное поле V вдоль с называется параллельным
щешпорным полем, если его ковариантная произвол-
¦';•¦* DV ¦
:0& --тт- тождественно равна нулю.
Лемма 8.2. Пусть дана кривая с а касательный
Нктор Vo в точке сф). Тогда существует одно и
только одно параллельное векторное поле V вдоль
кривой с, продолжающее Vo.
Доказательство- Дифференциальные урапнения
'•t
Имеют решение с*(/). однозначно определенное началь*
мымн данными v*@). Так как этн уравнения линейны,
решения можно определить для всех допустимых значе-
мий t (см. A01).
:: Мы будем говорить, что вектор Vt получен из Vo при
помощи параллельного перенесения вдоль с.
Предположим теперь, что М — риманово многообразие.
Скалярное произведение двух векторов Хв, У. обозначим
через {X,. К,>.
. Определение. Связность \- на М совместна
% римановой метрикой, если параллельное перенесение
'сохраняет скалярное произведение. Иными словами, для
любой параметризованной кривой с и для любой пары Р, Р1
Яараллельных векторных полей вдоль с скалярное пронв*
ведение {Р, Pf) должно быть постоянным вдоль пой
Кривой.
г Лемма 8.3, Предположим, что связност, сое*
титла с метрикой. Пусть V, W — любые два век-
торных ноля вдоль с. Тогда >

58 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Доказательство. Выберем векторные поля
Л, Ря, параллельные вдоль с и ортонормальные
в одной точке е (и, следовательно, в каждой точке с).
Тогда данные поля V и W можно записать соответственно
в виде 2 v'Pi и ? wfPj (где «' = {V, Р,) есть действи-
действительная функция на R). Следовательно, (У, U?) = 2*'w' и
DV _X dv> о DW V
Следовательно,
что завершает доказательство.
Следстпне 8.4. Дли любых векторных полей
У, У на М и для любого вектора Хр?ТМр имеем
X,(Y. О = <А',г- У- Y'j») + {Yp. *ph У)-
Доказательство. Выберем кривую с, имеющую
при / = 0 вектор скорости Хр. и применим 8.3.
Определение 8 5. Свя.июсть \— называется сим*
мепринкой, если она удовлетворяет тождеству')
(Как обычно, [X, Y] означает скобку Пуассона [А", К1/=»
« А'(К/)— Y{Xf) даух векторных полей.) Применяя это
тождество к случаю X^=dt, Y~d} и учитывая, что
') Следующая формулировка, по-видимому (а, может быть,
и нет), интуитивно более понятна. Определим .вторую нова-
риантную производную* действительной функции / вдоль двух
векторов Хр, Yp как
'
. где Y— любое векторное поле, продолжающее Yp. Можно про-
проверить, что sto определение не зависит от выбора Y (ср. ниже
с доказательством леммы 9.1). Связность симметрична, если
вторая производная симметрична как функция Хр к. Yr

f 8. Ковариантное дифференцированы* 89
\it, dy)a=O, получаем соотношение
;* Г?/ — Г}<«*0. N
Обратно, если Г?у «= Г/j. то с помощью формулы F)
нетрудно проверить, что связность |— симметрична о рас*
сматриваемой координатной окрестности.
Лемма 8.6. (Основная лемма римановой геометрии.)
Риманово многообразие допускает одну и только
одну симметричную связность, совместную « его
Метрикой. (См. [27, стр. 110). [191.)
'''. Доказательство единственности. Приме*
мм 8.4 к векторным полям dt, dj, дл и полагая (ду, д)
яолучаем тождество
Переставляя /, J и k, получим три линейных уравнения
относительно трех величин
(грех, потому что д, \- dj «* dy |— dt)> Эти три уравнения
имеют единственное решение; получается первое тожде-
тождество Кристоффеля
Левая часть этого тождества равна 5}Г^?/4. Умножая
м обратную к (^и) матрицу (g"), получаем второе
тождество Кристоффеля
Г г5
Следовательно, связность однозначно определена метрикой.
L Обратно, определив Г|; этой «рормулой. можно про-
проверить, что полученная связность симметрична н совместна
С заданной метрикой. Доказательство закончено.
; В дальнейшем мы будем пользоваться другой харак-
характеристикой симметрии. Рассмотрим ^ираметрввоваиную

вО Гл. //. Краткий курс римановой геометрии
поверхность* в Л1, т. е. гладкую функцию
Под векторным полем V вдоль s понимается функция,
сопоставляющая каждой точке (х, y)?R2 касательный
вектор
У и. у) € 7*'Wf и, ,у
Например., два стандартных векторных поля -г- и -S-
д д *
порождают векторные поля *,-г- и s,-sr вдоль $, Эти
, - да дм
поля будут коротко обозначаться через -г— н -т—; ны
назовем иг «полями векторов скорости* на в.
Для любого гладкого векторного поля V вдоль # ко-
аариантные производные -^-- и -jj~ — это новые аек>
торные поля, которые строятся следующим образом. При
любом фиксированном у0 ограничение V на кривую
есть оекторние поле вдоль этой кривой. Его ковариантная
производная по х есть, по определению. \-г-\ . Тем
самым -х~ определена вдоль всей параметризованной по»
верхности s.
Например, можно образовать по две ковариантные
производные каждого из векторных полей -г- и -г—.
„ й ds D да
Производные ~^-j^ и -$~ -хг — это просто векторы уско-
ускорения ; .>01ветствующих координатных кривых. Однако сне
D да D да
шанные производные -§?-%г и "дг*^ не ногут
описаны гак просто.
Лемма 8.7. Если связность симметрична, то
дх ду ду дх *
Доказательство. Достаточно выразить обе про-
производные с помощью локальной системы координат»

§ 9. Тензор кривизны 61
§ 9. Тензор кривизны
Тензор кривизны R аффинной связности f— измеряет
асимметрию второй копарнантной производной д{ (— (д,\— Z)
по / и /. По трем заданным векторным полям А, К, Z'
определим новое векторное поле1) R(X. Y)Z:
Лемма 9.1. Значение R(X. Y)Z в точке р?М
зависит лишь от лекторов Хр, Ур. Zp a этой точке.
а не от их значений в близких точках. Далее, соот-
соответствие
Хр. Yp. Zp-*R(Xp. Yp)Zp
Является трилинейным отображением ТМР X ТМ. X
х тмр в тмр.
Коротко говоря, лемма утверждает, что R есть .тензор'.
Доказательство. Очевидно. R(X, Y)Z есть три-
трилинейная функция X, Y и Z. Если заменить X крат-
кратным /X, то три члена — A*(-(Kf-Z), Y\-(X\-Z).
\Х, Y]\-Z заменяются соответственно членами
(II)
(И!) -(У/ИХ\-Z) + (f [X. Y]HZ).
Складывая эти три члена, получаем тождество
R(/X. Y)Z = fR(X. Y)Z.
Соответствующие тождества для У и Z легко получаются
при помощи аналогичного вычисления. Предположим теперь,
что A- = 2*fy. Г=2у'*/ « 2 = 2**^- Тогда
R (X. Y) Z
*) В книге Номндзу R имеет обратный знак. Наш выбор
знака имеет то преимущество, что (в римаиовож, случае) скаляр-
скалярное произведение {R (д* dj dj, dt) совпадает с классиче-
классический R

82 Г л, П. Краткий куре римановой геометрии
Записывая это выражение в точке р. получим сумму
вависящую только от. значений функций *', у', г*
в точке р, а не от их значений в близких точках. Дока*
вательство закончено.
Рассмотрим теперь параметризованную поверхность
К данному векторному полю V вдоль s можно применить
два оператора ковариантного дифференцирования -г—
D
и -г-. Вообще говоря, эти операторы не коммутируют.
Лемма 9.2. ^^ V
Доказательство. Запишем левую и правую части
В локальной системе координат и используем тождество
(Интересно узнать, можно ли построить векторное
поле Р, параллельное вдоль s в том смысле, что
я имеющее данное значение /Vo) B начале координат.
Вообще говоря, такого поля не существует. Однако если
окажется, что тензор кривизны есть нуль, то Р можно
построить следующим образом. Пусть PUi 0) — параллель-
параллельное векторное поле вдоль оси х, удовлетворяющее задан-
заданному начальному условию. Для каждого фиксированного де«
пусть /*;,„ у) — параллельное векторное поле вдоль кривой
y-+s(x0. у).
имеющее выбранное значение при у = 0. Теперь Р опре-
определено везде вдоль s. Очевидно, -j-Я—тождественный
нуль н -jj Я — нуль на оси дс. Из тождества
D D о D D
р

§ 9. Тензор кривизны ' 63
•ытскает, что -г—-т—/* = 0. Иначе говоря, векторное
D
поле гтт Р параллельно вдоль кривых
У)-
Так как (-г-/5) =0. отсюда вытекает, что 4-Я —
\ "х ><*.. о) ох
тождественный нуль; итак, поле Р параллельно вдоль s.]
Начиная отсюда, мы будем предполагать, что М — ри*
наново многообразие, снабженное единственной симметрич-
симметричной связностью, совместной с его метрикой. Докажем, что
тензор R удовлетворяет четырем соотношениям симметрии.
Лемма 9.3, Тензор кривизны рималоаа мною-,
образин удовлетворяет следующим соотношениям;
A) R(X, Y)Z+R(Y, Л*)?»0,
B) R(X, Y)Z + R(Y, Z)X-\-R(Z, X)Y*=0>
C) </?(,V. Y)Z,
D) {R(X, Y)Z,
Доказательство. Соотношение кососимметрич-
кососимметричности A) "немедленно вытекает из определения тензора /?.
Так как все три слагаемых в формуле B) тензоры,
достаточно доказать Эту формулу в случае, когда все
Скобки [X, К], [У, Z], [2, X] равны нулю. В этом пред-
предположений нужно проверить тождество
X))+(Z\- {Y\- X))-
Но из Симметрии связности вытекает, что
(К h Z)- (Z h Y) = [У. 2]= 0.
Итак, левый верхний член а сумме с правым нижним дает
нуль. Остальные члены тоже попарно приводятся к нулю,
что и доказывает соотношение B).
Для доказательства тождества C) нужно показать, что
выражение {R (X. У) Z, IP') кососимметрично по Z н W.
Это, очевидно, эквивалентно утверждению, что .

64
Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
при всех X, Y, Z. Снова можно предположить, что
X, У\ — 0. так что (R(X. Y)Z, Z) равно
<fi-X[-(Y\-Z)) + (Y\-{X\-Z)), Z).
Иначе говоря, мы должны доказать симметричность выра-
выражения
(Y\-{X\-Z),Z)
относительно X и Y.
Так как \Х, К1 = 0, выражение YX{Z, Z) симмет-
симметрично относительно X и Y. Так как связность совместна
с метрикой, имеем
X{Z, Z) = 2(X\-Z. Z),
следовательно,
YX{Z, Z)**2(Y\-(X[-Z), Z) + 2{X\^Z, Y\-Z).
Но второе слагаемое, очевидно, симметрично' относи*
тельно X и Y. Следовательно. (Y\-(X\-Z), Z) симме-
симметрично относительно X и Y, что и доказывает свойство C).
Свойство D) можно вывести из A), B) и C) следую-
следующим образом.
<R(X,W)Y,Z)
<K(Y.Z)X,W)
<R(Z,Xjy,W)
(Mz.wjx.r>
' Формула B) означает, что сумма величин, написанных
у вершин заштрихованного треугольника W, равна нулю.'
Точно так же, ил основании A) к C), сумма вершки каж-

§ 10. Геодезические и полнота 85
из остальных заштрихованных треугольников равна
нулю. Складывая эти тождества для диух верхних зашри-
жованных треугольников и выпитая тождества, соответ-
соответствующие нижним, получим, что удвоенная верхняя вер-
IjtHiia минус удвоенная нижняя дают нуль. Это доказывает
соотношение D), а с ним и лемму 9.3.
§ 10. Геодезические и полнота
Пусть М — связное риманово многообразие.
¦ Определение. Параметризованный путь
где / — какой-нибудь интервал действительной прямой,
называется геодезической, если векторное поле ускоре-
ускорения -г? ¦— тождественно равно нулю. Соответственно поле
.Скорости -?т должно быть параллельным вдоль f. Если
1 — геодезическая, то, как показывает тождество
dt • dt/ u*
длина |-тт| = \-j7> -jf) вектора скорости постоянна
вдоль 7- Вводя длину дуги
s (О =» ГI ^ I dt -f const.
Можно выразить это утверждение так: параметр t вдоль
геодезической линейно зависит от длины дуги. Параметр t
Совпадает с длиной дуги тогда и только тогда, когда
ИН--
В локальных координатах и1 и" кривая t -* f (/) ? М
определяет л гладких функций в1 (О и" (О- Уравне-
D dt
ние геодезической "TT-jf^O принимает тогда вид

66 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Существование геодезических, таким образом, определяется
существованием решений некоторой системы дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка.
Рассмотрим более общую систему уравнений вида
rf'u
F
(••¦?)•
=-г(и. -^
Здесь u означает (и1, ... и") и F — набор из я функций
класса С", определенных в некоторой окрестности 0 точки
(Up v,)€R-'e.
Теорема существовании и единствен-
единственности 10.1. Существует такая окрестность W
точки (и,, v,) и такое число е > 0, что для каждой
точки (ю0, vo)?U/ дифференциальное уравнение
d'u
"tit3
имеет единственное решение t->\x(t), определенное
при |/j<« « удоолетяоряющее начальным условиям
Это решение гладко зй."<!сигп от начальных условий,
т. е. отображение
(V v0, /)-*¦(/)
иэ WX(—9. t) в R" определяется функциями класса С
по всем In 4- S переменным.
Доказательство. Введением новых переменных
V1 *= -?г- нашу систему л уравнений второго порядка
можно свести к системе 2л уравнений первого порядка
Теперь утверждение 10.1 вытекает из [10, стр. 166J. (См.
также лемму 2.4.)

§ 10. Геодезические и полнота 67
Применяя эту теорему к дифференциальным уравне-
уравнениям геодезических, получаем следующее утверждение.
Лемма 10.2. Для киждой точка р0 раманова
многообразия М существуют такая окрестность U
точки р0 и такое число t > 0, что для каждой
точки p?U и каждого касательного вектора v?TMa
длины меньше г существует единственная геодези-
геодезическая
удовлетворяющая условиям
Доказательство. Утверждение немедленно следо-
следовало бы из теоремы ЮЛ, если бы мы заменили интер-
интервал (— 2, 2) произвольно малым интервалом. Точнее, су*
ществуют окрестность U точки р0 и числа «,, «• > 0,
такие, что для каждого p?U и каждого w?ТМр, ||v||<8j,
существует единственная геодезическая
удовлетворяющая требуемым начальным условиям.
Чтобы получить более точное утверждение 10.2, необ-
необходимо только заметить, что дифференциальное уравнение
геодезических обладает следующим свойством однород-
однородности. Пусть с — любая константа. Если параметризован-
параметризованная кривая
является геодезической, то параметризованная кривая
также является геодезической.
Пусть теперь в меньше •,•,. Тогда, если ||tf||<» и
|/|<2, то
Поэтому мы можем определить у» @ к«к Т»*,^/)-
доказывает теорему 10.2.

68 Гл. II. Краткий курс римановой геометрии
Удобно ввести следующее обозначение. Пусть
V^TMq— каыгельный вектор, и пусть существует геоде-
геодезическая
т:[0. 1]-*М.
удовлетворяющая условиям
Точку f(l)?-4 обозначим exp^v) и назовем экспонен-
той') касательного вектора v- Тогда геодезическая ?,
может быть записана в виде
Согласно лемме 10.2, exp^v) определена для достаточно
малых \\v'\. Вообик- говоря. expw(v) не определена при
больших векторах г Но сел» exp^(t') определена, то обя-
обязательно од1и-.чмачно.
Определение. Многообразие Л1 геодезически
полно, если ехр^и) определена для всех точек q?M и
всех векторов v?TMv. Очевидно, это эквивалентно сле-
следующему требованию.
Каждый отрезок ;еодг.шчеекой -[,-,: \а. Ь\-± А\ про-
должаете я до бесконечной геодезической f:R->M.
Мы вернемся к изучению полноты, после того как дока-
докажем некоторые локальные роультлы.
Пусть ТМ — касательное пространство многообра-
многообразия М, состоящее из всех пяр (/>. v). p?M. v?TMp.
Мы придадим ТМ следующую структуру класса С^: если
(и1 и") — координаты в открытом множестве 1/cAf.
') Происхождение этого обозначения следующее. Если М —
группа всех унитарных (л .< л)-матриц, то касательное простран-
пространство в единице TMf естественно отождествляется с простран-
пространством косо-эрмитовых (п X п)-мзтриц. Функция
ехр7: ТМ{ -> М,
определенная выше, выражается в этом случае экспоненциаль-
экспоненциальным степенным рядом

§ 10. l\-inh\mwcKue и пплнпта 69
то каждый касательным тктор в q?U однозначно пред-
представим в виде /'<),-f ... +t"i)n, где dt~--^j . Функ-
Функции и1 и", /' t" образуют систему координат
в открытом множество TUcTM.
Лемма 10.2 утверждает, что для каждого р? М ото-
отображение
(q. v)-
определено в окрестности V точки {р. 0) ? 7\И. Кроме
того, это отображение дифференцируемо в V.
Рассмотрим теперь гладкую функцию F:V-*M X/И,
определенную формулой F(q, v) = (q, exp,(f)). Якобиан F
в точке (р, 0) невырожден. В самом деле, обозначая инду-
индуцированные координаты на i/X fcM X М через
(«J wj1. ux2 uj), имеем
д д
F (JL\-
Итак, матрица Якобн функции F в точке (р, 0) имеет вид
// Л
I I и потому невирождена.
Из теоремы о неявной функции следует, что F ото-
отображает некоторую окрестность V точки (р, 0)?ГЛ1 диф-
феоморфно на некоторую окрестность точки (р. р)?МУ,М.
Мы можем считать, что первая окрестность V' состоит
из всех пар (q, v), таких, что q принадлежит заданной
окрестности О' точки р и \\v\\ < е. Выберем меньшую
окрестность W точки р так, чтобы F{V')z>WX^- Мы
доказали следующее утверждение.
Лемма 10.3. Для каждой точки р?М суще-
существуют окрестность W и число е>0. такие, что
A) каждые две точки из W соединяет одна и
только одна геодезическая многообразия М длины
меньше е;

70 Гл. //. Краткий курс римановой геометрии
B) эта геодезическая гладко зависит от двух
рассматриваемых точек (т. е. если t-*-exp9l (tv),
0-<./< 1, —геодезическая, соединяющая qx и qv то
пара {qv v)?TM гладко зависит от qlt дг);
C) для каждой точки q?W отображение ехр?
отображает открытый е-шар из TMq диффеоморфно
на открытое множество UqziW.
Замечание. Можно было бы выбрать окрестность W
так, чтобы геодезические, соединяющие любые две ее
точки, лежали целиком в W (см. [37]).
Изучим теперь соотношение между геодезическими и
длиной дуги.
Теорема 10.4. Для W и е, определенных в лемме
10.3, пусть
Т :[0. 1]->М
— геодезическая длины меньше е, соединяющая дее
точки из W, а
— любой другой кусочно-гладкий путь, соединяющий
те же точки. Тогда
причем равенство достигается лишь при совпадении
точечных множеств ш([0. 1J) и f([0, lj).
Итак, 7 — кратчайший путь, соединяющий концы f.
Доказательство будет основано на двух леммах. Пусть
0 = Y(O) и 1/? —множество, определенное в лемме 10.3.
Лемма 10.S. В Uq геодезические, выходящие из q,
являются ортогональными траекториями гиперпо-
гиперповерхностей
(exp,(v): v 6 ТМЯ, \\v\\ = const).
Доказательство. Пусть t-*-v(t) — любая кривая
в ТМЩ, такая, что ||v@|| =>!• Мы должны показать, что

$ 10. Геодезические и полнота 71
соответствующие крпныо н Uq
/->схр7(лоу(/0)).
Где 0 < г0 < е, ортогональны радиальным геодезическим
г -> ех
Рассмотрим следующую параметризованную поверхность /:
/ (г, t) = охр, («г (/)). О ,J г < s.
Нужно доказать, что для всех (г, t)
Но
дг\дг ' dt/~\Or Or ' dt/~r\dr' dr dt Г
Первое выражение в правой части равно нулю, так как
кривые
, t)
геодезические. Второе выражение равно
\дг • at дг/~ 2 at \ Or ' дг I
так как 1™== |j-y (/)|j== 1. Следовательно, величина
\д% "Ж/ не зависит от г- ^° ПРИ г==!0 имеем
/(О, О-гехр^О)*-?;
следовательно. -^- @. /) == 0. Поэтому (ф, -?-/ тожде-
тождественно равно нулю. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь любую кусочно-гладкую кривую
as ia. b)-+и9-{?}.
Каждая точка w(t) единственным образом записывается
в виде ехр (/•(/), v{f))t где 0<г(/)<« и \\v{t)\\ «
«I. v{f)?TMq.
ь
Лемма 10.6 Длина ( l-jfldt больше или равна
а
\г{Ь) — г{а)\, причем равенство достигается только

72 Гл. II. Краткий курс римаковой геометрии
если функция r(t) монотонна, а функция v(t) no-
стоянна-
Итак, кратчайшим путем, соединяющим две концен-
концентрические сферы с центром д. служит радиальная геоде-
геодезическая.
Доказательство. Пусть /(/¦, /) — expe (г v (t)).
так что ш(/) = /(л(/), I). Тогда
« i «*/¦ I •
Так как два вектора справа ортогональны и |"хг1—'#
дг
это дает
причем равенство имеет место лишь при ~?-= 0. т. е.
при -^-=^0. Итак,
' at
ь
f \r'(O\dt>\r(b)-r(a)\,
а
где равенство достигается лить тогда, когда г (t) моно-
монотонна и v(t) постоянна. Доказательство закончено.
Теперь легко доказать теорему 10.4. Рассмотрим любой
кусочно-гладкий путь ш из q в точку
где 0 < г < «, ||w|| = 1. Тогда для любого Ь > 0 путь ш
должен содержать отрезок, соединяющий сферу радиуса Ь
со сферой радиуса г и лежащий между этими сферами.
Длина этого отрезка не меньше г — Ь; устремляя Ь к нулю,
видим, что длина ш должна быть не меньше г. Если w (|0, 11)
не совпадает с тЦО. 1\). то легко получить строгое не-
неравенство. Доказательство теоремы 10.4 закончено.
Теорема 10.4 имеет важное
Следствие 10,7. Пусть путь ш: [О, 1\-+М. па-
параметризованный длиной дуги, не длиннее никакого
другого пути из »@) в »(/). Тогда ш — геодезиче-
геодезическая.

f 10, Геодезические и полнота 73
Доказательство. Рассмотрим любой отрезок пути ш,
Лежащий внутри открытого множества W, введенного выше,
и имеющий, длину меньше I. Этот отрезок является геоде-
геодевический, согласно теореме 10,4. Следонатсльно, весь путь
ш - геодезическая.
Определение. Геодезическая т : (в. b\~*M назы-
называется минимальной, если она не длиннее никакого ку-
кусочно-гладкою пути, соединяющего ее концы.
Теорема 10.4 утверждает, что каждый достаточно
малый отрезок геодезической минимален. С другой сто*
ромы, длинная геодезическая может не быть минималь-
минимальной. Например, мы вскоре увидим, что дуга большого
круги на единичной сфере является геодезической. Если
такая дуга имеет длину больше *, она, конечно, не ми-
минимальна.
Вообще говоря, минимальная геодезическая не един-
единственна. Например, противоположные точки единичной
сферы соединены бесконечным множеством минимальных
геодезических. Справедливо, однако, следующее утвер-
утверждение.
Определим расстояние р(р, q) между двумя точками
р, q ? М как точную нижнюю грань длин кусочно-гладких
дуг. соединяющих эти точки. Очевидно, что при этом М
становится метрическим пространством. Из теоремы 10.4
легко следует, что эта метрика совместна с обычной то-
топологией на /И.
Следствие 10.8. Для каждого компактного мно-
множества КаМ найдется 8 > 0, такое, что любые две
точки из К, расстояние между которыми меньше К
соединяются единственной геодезической длины
меньше Ь. Эта геодезическая минимальна и гладко
зависит от своих концов.
Доказательство. Покроем К открытыми мно-
множествами Wu. как в лемме 10.3, и выберем 8 столь
малым, чтобы любые две точки, удаленны* друг от друга
меньше чем на Ь, лежали в обикч множестве Wt. След-
Следствие 10.8 доказано.
Напомним, что многообразие М геодезически полно,
если каждый отрезок геодезической может быть продол»
жен неограниченно.

74 Гл. II. Краткий курс римановой геоштрии
Теорема 10.9 (Хопф и Риноа1)). Если многообра-
многообразие М геодезически полно, то любые д*е его точка
можно соединить минимальной геодезической.
Доказательство. Рассмотрим точки р. q?M
с расстоянием г > 0. Выберем окрестность Up, как
в лемме 10.3. Обозначим через ScUp сферу радиуса
Ь < в вокруг р. Так как 5 компактна, существует точка
Ра — ехр,Лг«>. N1 = 1.
на S. лля которой расстояние до q достигает минимума.
Мы покажем, что
Отсюда вытекает, что отрезок геодезической /->т (/)«=»
= expert»), О^Г.г, действительно минимален между
Р и Я-
Для доказательства мы убедимся, что точка, движущая-
движущаяся вдоль геодезической т, должна подходить к q все ближе
и ближе. А именно, мы покажем, что при любом /?(&./*]
Р(Т(О. q)-=r~t. A#)
Это тождество при f —r доказывает теорему 10.9.
Докажем сначала равенство A4). Так как каждый путь
из р в q должен пересекать S, имеем
*)-т-р(». Я)) = ^¦+-р(Ло- ?)•
Следовательно, р (^0. q) = /• — S. Так как р„ = -j (8). это
доказывает (!.).
Пусть fo€i^« ri — верхняя грань чисел /, для которых
справедливо тождество A,)> Тогда по непрерывности спра-
справедливо и равенство (Ь,). Если i0 < г, то мы придем
к противоречию. Пусть 5' —маленькая сфера радиуса 8'
вокруг точки 7 Со)' н пусть Pp?.S' — точка на S', наи-
наименее удаленная от q (см. рис. 10). Тогда
q).
s?S
Следовательно,
') Cm. 129, 42J.

§ 10. Геодезические и полнота 75
Мы утверждаем, что р'о есть % (t0 -f- 8'). Действительно,
неравенство треугольника и равенство B) дают:
Но путь длины в точности fg-j-5' из р в Pq получится,
если идти по 1 от р до т(/„) и затем по минимальной
Рис. 10.
геодезической из т(/0) в р'о. Так как этот кусочно-геоде-
зический путь имеет наименьшую длину, он, согласно
10.7, представляет собой целую геодезическую, а поэтому
совпадает с y.
Итак, Tf('0+l'K==/V Равенство B) принимает вид
Р (Т Со + 8'). Я)« г - <*0 + «О- (U+*)
Противоречие с определением /0 завершает доказательство.
Докаванная теорема влечет аа собой
Следствие 10.10. Вели многообразие М иоде-
зачески полно, то каждое ограниченное подмноже-
подмножество § М имеет компактное замыкание. Следова-
Следовательно, М полно как метрическое пространство
(т. е. каждая фундаментальная последовательность
сходится).
Докавательство. Веля множество XtzM имеет
диаметр d, то для любой точки р?Х отображение
txpf:TMp-+M переводит шар радиуса d *TMf в ком-

Гл. It. Краткий курс римамоной геометрии
пактиие подмножество н Л1. которое, согласно геореме 10.9,
содгржит X. Следовательно, замыкание Л" компактно.
Обратно, если М поит как метрическое пространство,
то нетрудно доказать, используя лемму 10.3, что М
геодезически полно. Подробности читатель найдет в статье
Хопфл и Piiiiona |4'2|. Далее мы не будем различать геоде-
геодезическую полноту и метрическую полноту, а будем гово-
говорить просто о полных римановых многообразиях.
Обычные примеры геодезических. В я-мер-
ном еоклндопом Пространстве R" с обычными коорди-
координатами хх, .... х„ и обычной ричлновой метрикой
<fx, G dx^ -f-•••-+- *lxn <? dxn мы имеем I'fy^O и урав-
уравнение геодезической т. определенной соотиегствием t -*
~>(дг,(О xM(t)). «моет вид
Решениями являются прямые линии. Это можно было бы
увидеть и следующим образом, легко показать, что фор-
формуле длины дуги
V/,
dt
/я \
J IM at ) I
W» 1 '
соипадает с обычным определением длины дуги как
предела периметров вписанных многоугольников; из этого
определения « ю. что прямые линии имеют минимальную
длину и, следовательно, являются геодезическими.
Геодезическими на сфере S" служат большие круги,
т. е. пересечения S" с плоскостями ?*, проходящими
через центр S", и только они.
Доказательство. Отражение в плоскости Е1 есть
изомегрия l:Sa-*Sn с множеством неподвижных точек
С = S" П f3- Пусть jc и у — две точки из С, соединенные
единственной минимальной геодезической С. Так как
/ — изокстрия. кривая /(С) ес<с геодезическая той же
длины, что и С> соединяющая /(дг)и=д: с /(у)=аву. Сле-
Следовательно. С' = /(СГ); отсюда вытекает, что СсС.
Наконец, так как через кзждую точку S" в любой
направлении проходит большой круг, других геодезиче-
геодезических нет.

§ tO. Гсодс.тческие и полнота
77
Противоположные ючкм сферы соединены континуумом
геодезических миним.пьноП длины. Для любой другой
лары точек имеется единственная геоделиескдя минималь-
минимальной длины, но бесконечное семейсгн,> не минимальных
геодезических, зависящих от того, в какую сторону гео-
геодезическая идет и ско ii.ko оборотов делает вокруг сферы.
Из тех же соображений следует, что каждый меридиан
поверхности вращения япляется геодезической.
Геодезическими на поверхности прямого кругового
цилиндра Z служат образующие, круговые сечения, пер*
йендикулйрные образующим, а также винтовые линии на ?%
Доказательство. Разрежем Z вдоль одной из
образующих L Развертывая Z на R2. получаем изометрию
I
1
1
[
i
j
/:2 —t-*ft*. Геодезическими на Z являются образы
прямых линий в R1 при обратном отображении /~\ Любые
две точки на Z соединены бесконечным числом геодези-
геодезических.

Глава lit
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИМЕНЕНИИ
К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
§ II. Пространство путей гладкого многообразия
Пусть М — гладкое многообразие и р, q — две (не
обязательно различные) точки в М. Кусочно-гладким
путем из р в q мы будем называть отображение
ш : [О, 1]-*М, такое, что
1) существует подразделение 0 = /0 < /, < ... < tk =¦
= 1 отрезка [0, 11, для которого каждое отображение
41^-j- (i\ гладкое класса С°°;
2) ш@)=з/7 и и>A) = <7.
Множество всех кусочно-гладких путей из р в q на М
мы будем обозначать через Q(M; p, q). или. короче,
2(Af), или Q.
Далее (в § 16) мы снабдим Q структурой топологи-
топологического пространства, но пока это не нужно. Мы будем
представлять себе Q как нечто вроде .бесконечномерного
многообразия*. Чтобы провести аналогию, начнем со сле-
следующего определения.
Касательным пространством к Q в точке <* мы
назовем векторное пространство, состоящее из всех ку-
кусочно-гладких векторных полей W вдоль пути ш, для
которых UP@) — 0 и W(l) = 0. Это пространство будет
обозначаться через TQ9.
Пусть Р — действительная функция на Q. Естественно
возникает вопрос, что понимать под индуцированным ото-
отображением касательных пространств
Вели F — обычная гладкая функция на гладком многооб-
многообразии М, то можно определить Г,: ТМр -* ГН> w сле-
следующим образом.

§ II. Простраттва путей гладкого многообразия 79
Пусть Л' ? TMf.. Пиореи в М такой гладкий путь
и-* а (и) (определении!) при —е < и < е), что
d* у
dli
Тогда F% {X) равно значению J • умножен-
умноженному на базисный вектор \-уЛ ?ТЦ/>^.
\ "' ip (/»)
Чтобы провести аналогичное построение для F :2-*R,
потребуется следующее понятие.
Определение. Вариация пути ш (оставляющая
концы неподвижными) есть функция
определенная при некотором « > 0 и такая, что
2) существует подразделение 0 = /0 < /i < ... < tk = 1
отрезка [О, 1]. для которого отображение
«:(— е, е)Х{0, lJ-*/W,
определенное формулой а (и, /) = а(и)(/), на каждой
полосе (—е. e)Xl//_i. hi /==1 *• принадлежит
классу С00.
Заметим, что так как каждый путь а (а) принадлежит
Q = Q (M; p. q). то
3) о(«. 0) = />, а(«, \)~q при всех и?(— г. е).
Под вариацией в дальнейшем мы будем понимать
либо а, либо а. Если в приведенном выше определении
интервал (—е. е) заменяется окрестностью U точка О
в R", то а (или а) называется я-параметрической ва-
вариацией ш.
Теперь а можно рассматривать как .гладкий яуть" в S.
Его вектором скорости' -^-@N7л по определеиию
является векторное поле W вдоль ш:

80 Гл. III. Вариационное исчисление
Очевидно, U" ? ГУ,,,. Векторное поле W называется также
векторным полем вариации, соответствующим вариа-
вариации в.
Заметим, что для любого V ? rS2w существует вариа-
вариация а : (— «. е)-*Ц, удовлетворяющая условиям а@) = ш,
~ @) = W, Действительно, можно положить
а(и)(/)=гсхр. „(nUT',).
Пусть F - действительная функция на 2. По аналогии
с определением, данным выше, попытаемся определить
следующим образом. Для W?T\im построим вариацию
а:(—I, I)->*-!, такую, что
ш. ii@)=r,
и положим /•',(W-") равным произведению — .'''
на касательный вектор (~1 ¦ Конечно, без дополни*
тельных предположений о функции F нельзя ручаться,
что эта производная существует и что она не зависит
от выбора а. Мы не стянем исследовать условия, которым
должна удовлетворять функция F. чтобы отображение Рт
обладало этими свойствами. Мы указали, как можно
определить Ft, только для того, чтобы мотивировать
следующее
Определение. Путь ш называется критическим
путем для функции f:Q~-»-R тогда м только тогда.
dFitiu)) I —
когда — ' " \ есть нуль при любой вариации «
пути и>.
Пример. Если F достигает минимума на пути «^ ш
dF(*(u\)
все производные —7й«" опР«Аея<ны» То* очевидно.
«9 — критический путь.

§ 12. Функция действия 81
§ 12. Функция действия
Предположим теперь, ч>о М -¦ риманово многообразие.
Длину вектора v^TMp будем обозначать через j|t»i| =¦
ей (v, vI'. Для ш? L' определим действие пути1) ш от а
до * (где 0 в < f> •, I) как
Мы будем писать /Г вместо По-
Можно сравнить действие с длиной дуги- от а до Ь
следующим образом. Согласно неравенству Шварца
примененному к /@= 1 н ^@~|-^гЬ имеем
Где равенство достигается только при постоянной функ-
функции g, т. е. тогда и только тогда, когда параметр / про*
порционален длине дуги.
Предположим теперь, что существует минимальная
Геодезическая т. соединяющая р = ш@) с qав«A). Тогда
Здесь равенство ?'(?)«?'(«) возможно, только если
«i — также минимальная геодезическая, быть может иначе
Параметризованная (ср. со следствием 10.7). С другой
стороны, равенство L3(<a)*= E(u>i моэможно. только гели
параметр пропорционален длине дуги т. Итак. ?(?) < ?(<•),
') Автор выразитедьм, но неправильно называет функцию В
•нергией. — Прим. /upt*.
€ Дм. Ншдтр

82 Гл. Ш. Вариационное цснисн-мие
кроме случал, когда «• — тоже минимальная геодезическая.
Иными словами, доказана
Лемма 12.1'). Пусть М —по.гное puмаково много-
многообразие, и пусть расстояние между точками
р, q?At равно </. Тогда функции действия
достигает минимума d7 в точности на множеств*
минимальных геоОезических, соединяющих peg.
Посмотрим, какие пути w?Si иилиюия критическими
для функции леЯсгвия L.
Пусть а : (— *. i) -* ii—вариация ш и tt", *» -г— ^0, /) —
соответствующее векторное поле вариации. Далее, пусть
V, = -— — вектор скорости ш.
D <7»
A, ssr -J7 —1 ВеКЮр VCKOpi'HH* »,
1 (it <?1 ' '
A.V «= Vf+ — V( разрыв вектора скорости
в точке t. где 0 </ < I.
Конечно, UjV ^--' 0 для всех /. кроме конечного числа
точи:« разрыс..;.
Теорема 12.2 (формула псрноП париацин). Произ-
, 1 dE(a(u)\ I
водная-к—¦; f' равна
/ О
Доказательство. Согласно лемме 8.3. имеем
Гда да\ „ / D <Ъ i
Следопательно.
_ i 1
du du J \3f * ~at/ ~~ j \ди «Г' dtI
a o
*) Лемма 12.1 оредстабляет собой один из видов .принципа
наименьшего дейавм** классической механики. — Прим. nipt*.

f 12. Функция действия 83
По лемме 8.7 в последнюю формулу вместо -gjj-
l) ih
можно подставить —^ j.-.
Выберем 0 — *0 < /, < ... < tk га I так. чтобы ва-
вариация a nu.ia дифференцируемой в каждой полосе
(—«. t) v \tt_x, t,\. Тогда на отрезке i/j_t. //I можно
.интегрировать по частям* следующим образом. Из то*
ждестнц
вытекает, что
' >D да <
/«
{ I „ .. 1 I ^^^ 1 f „ _,, , | | \ Л##
\ «Г ' <W М . J V «Г ' , at Л /
Складывая соответствующие формулы для /«¦!,..., А
м используя равенство ~=зО при /«0. 1, получаем
J
/-I 0
Пологая в«0. находим искомую формулу
что и требовалось доказать.
Интуитивно ясно, что первый член выражения дм
-^Ja @) показывает, что изменение пути ш ш направления
уменьшения .излома* уменьшает действие (ср. рис. II).
Второй член показывает, что вариация пути в напра-
направлении вектора ускорения -^ (-jt) стремится уменьшить В.

Гл. III. Вариационное
Напомним, что пуп. ш ? Ц называется геодезической
тогда и только тогда, когда ом принадлежит классу Сх
на всем интерпале [0. I) и вектор ускорения -j
тождественно равен нулю вдоль и».
dt "i'
Рис U.
Следствие 12.3. Путь «• есть критическая
тонка функции Р. тогда и только тогда, когда он
является геодезической.
Доказательство. Ясно, что геодезическая является
критической точкой. Пусть ш — критическая точка. Суще-
Существует вариация м», такая, ччо V/ (/)«=/(/) А (/). где /(/)
положительна и только в точках tt обращается в нуль.
Тогда
>
? 4!г@) в ~ / /(/) (А(/)* А (/» dU
о
Это выражение равно нулю тогда и только тогда, когда
Д(/)зеО при всех t. Итак, каждый отрезок «Ц*/. tt+x\
является геодезической.
Выберем теперь вариацию так. что W (/,) as b,(V. Тогда
4- —т— @)«» — ^ (Д/ V, ^r.V7): так как это нуль, все Л/У
ранни ауаю и ш принадлежит классу С1 даже в точках tt.

13. Гессиан функции действия на критическом пути 83
Теперь из теоремы < нишвенности для диффорснциалышх
уравнений вытекает, чь» «> всюду принадлежит классу С*
И, следовательно, ян.шекя геодезической.
§ 13. Гессиан функции действия на критическом пути
Продолжая аналогию, развитую в предыдущем пара-
параграф*, мы хотим теперь определить билинейный функ-
функционал
тде т — критическая точка функции Я. т. е. геодезиче-
геодезическая. Этот билинейный функционал будет называться
гессианом функции Е в ?¦
Для действительной функции / на многообразии М
гессиан в критической точке р
можмо определить так. По Л\, Xt?TMp построим глад-
гладкое отображение (к,. иг)-*а(И). а,), определенное
в окрестности точки @, 0) в R2 со значениями из М.
так, что
«@.0)-= Я. ^?-@.0)=*,. -^@. О)-*,.
Тогда
Это подсказывает следующее определение ?м. По задан-
заданным полям Wj, W2?T2^ строим двупараиетрическую
вариацию
a:?/XfO. lJ-*Af.
где U — окрестность точки @. 0) в R1, так. что
а @. 0. /) = 7 (/). -^- @. 0. /) «= ИГ, @.
^0. 0. О-ВЗД

86 Гл. III. Вариационное исчисление
(ср. § 11). Тогда гессиан ?„(*',, Wt) есть, по опреде-
определению, вторая частная производная
ц,. и,))
•*"l«JuI 1@. О» *
где а (и,, «j)?Q обозначает путь в (и,, в,)@«=1(И|, иа. /)•
Эта вторая производная будет обозначаться короче через
« @.0).
Следующая теорема нужна для доказательства кор.
ректиости приведенного определения Е„.
Теорема 13.1 (формула второй вариации). Пусть
a:U-*Q — двупараметрическая вариация геодези-
геодезической 7< которой соответствуют векторные поля
вариации
^"^¦@. 0)€ГВ,. /=1. 2.
Тогда вторая производная j-r—тг-@. 0) функция
действия равна
где V в» -Л- — векторное пол* скорости и
¦—скачок производной —d('¦¦ « одмов uj конечново
числа ее точек разрыва $ открытом единичном
интервале.
Доказательство. В соответствии с теоремой 12.2,
имеем
1 дЕ V / дв

§ 13 Гегсиан фичкции дгйствич на критическом пути 87
Следовательно,
t 1
0 0 ' '
Вычислим это выражение в точке (и,, ма) = @, 0). Так
как 1 = «(,0, 0) — целая геодезическая, имеем
так что первый и третий члены равны нулю.
Преобразуя второй член, находим
V/» » D w\
Чтобы поменять местами операторы -s— и -^г, исполь-
используем формулу кривизны
Вместе с тождеством JLv = -? -^-*-§- UT, это дает
Подстановка этого выражения в формулу A3.2) завершает
Доказательство теоремы 13.1.
Следствие 13.4. Выражение Em(Wv №a)=»
as -у хг @. 0) *с/иь корректно определенная били-
билинейная симметричная функция от Wx и W3.
Доказательство. Формула второй вариации пока-
показывает, что тйГЗГ*0' °^ мвисит лишь от

86 Га III, Вариационное исчисление
полей вариации W, и Wj, так что определение Е„ (U",. 1Гг)
корректно. Эта формула покалывает также, что функ-
функция Е,щ билинейна. Свойство симметричности
?..<ttV tt,>--/:..<*',. IT',)
вовсе не очевидно, если исходить из формулы второй
вариации, но оно немедленно следует из симметричности
«»•/¦: <*'?
< ' г-з 1 i .
(Ш, <Ш, 0М, (III,
Замечание 13.5. Диагональные члены f.,<W', V)
квадратичной формы, соответствующей Я,., описываются
в терминах однопараметрнческой вариации -j. Действи-
Действительно.
где а:( — «. ») -> И - вариация 1, которой соответствует
векторное поле вариации ~ @), равное U". Для доказа-
доказательства этого тождества нужно лишь ввести '^пара-
'^параметрическую вариацию
и заметить, что
В качестве применения этого замечания докажем следую-
следующее утверждение.
Лемма 13.6. Если '{—минимальная геодезическая,
соединяющая р с q. то квадратичная форма Я„ поло-
жителъно полуопределена. Следовательно, индекс X
формы ?„
Доказательство. Из неравенства ?(«(«))>
>?(t)=:E(a@)) вытекает, что производная ?,еЩи)} t
вычисленная при к as 0. неотрицательна. Стедовательно,
?^Г W>0 для всех W.

14 ЯксЛиевы паля 89
§ 14. Якобиевм поля. Нулевое пространство ?„
Векторное поле J вдоль геодезической i наливается
якобиевым полем, если оно удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению Якоби
где V » -J-. Это линейное дифференциальное уравнение
второго порядка. |Его можно привести к более обычному
виду, выбрав вдоль f ортонормальные параллельные
векторные поля Я, /'„. При J(t)**2,/l(t)P,{t)
уравнение принимает вид
где a'f=*(R(V, P,)V, Р,).| Итак, уравнение Якоби имеет 2м
линсПно независимых решений вдоль геодезической 7- Ре"
Шения имеют гладкость класса С". Якобнево поле J пол-
полностью определяется начальными условиями
АО). *L@)ztmU0).
Пусть p*=i{a) и f = -j(A) — две точки геодезиче-
геодезической 7 * о + Ь.
Определение. Точки р *q называются сопря-
сопряженными1) вдоль i> если существует ненулевое якобиево
(юле J вдоль 7> обращающееся в нуль при < = аи /»«*.
кратностью сопряженных точек р * Я называется размер»
ность векторного пространства всех таких якобиевых полей.
Пусть теперь t — геодезическая из Q«Q(Af; р, Щ).
Напомним, что нулевое пространство гессиана
есть векторное пространство, состоящее из l^1
таких, что ?M(V|. f^aO при в х fl^r Степень выро»
') Вели т имеет самопересечения, определение становится
двусмысленным. Следовало бы говорить, что сопряжены аиачемяя
параметра « м •.

90 Гл. Ш. Вариационное исчисление
ждения v формы ?м равна размерности этого нулевого
пространства. Форма Еы вырождена, если v > 0.
Теорема 14.1. Векторное поле Wl^TQ1 принад-
принадлежит нулевому пространству ?„ тогда и только
тогда, когда IV', есть якобиево пом. Гессиан ?., выро-
вырожден тогда и только тогда, когда концы р и q сопря-
сопряжены вдоль геодезической т. Степень вырождения Еп
равна краткости р и q как сопряженных точек.
Доказательство (ср. с доказательством 12.3).
Если J—якобиево поле, обращающееся в нуль в р и в q,
то J, очевидно, принадлежит THV Формула йторой вариа-
вариации (теорема 13.1) устанавливает» что
i
4
Следовательно. У принадлежит нулевому пространству.
Обратно, предположим, что W^ принадлежит нулевому
пространству гессиана ?„. Выберем подразделение 0 в
~-fo<'i< ••• <'*==1 отрезка 10, 1] так. чтобы
Wl\ 1^_,, tt) было глядким при каждом /. Пусть /40. 1J-*
-> [0. 1] — гладкая функция, равная нулю при значениях
параметра f0. tv .... tk и положительная в остальных
точках, я пусть
И/, (/)«« / (О p—i- -4- /? (У. Г,)
Тогда
/
... . , • о
Из *ого, • что* • это выражение равно нулю» следует, что
W\Wi-v М ПРИ каждом-/ есть якобиево поле.
Пусть теперь W't ? Л2: — такое поле, что
^ йрк/«1, 2..... k — l. Тогда

§ 14. Якобиевы поля 91
Следовательно, ..' не имеет скачков. Но решение W,
уравнения Якоби полностью определяется векторами Wl(jtt)
и —yr-(h)' Поэтому k якобневых полей Wx\[tl.v t,\.
/= 1 k. образуют вместе якобиево поле Wx класса С°°
на всем единичном интервале. Доказательство теоремы 14.1
закончено.
Из доказанной теоремы вытекает, что степень выро-
вырождения v гессиана Е„ всегда конечна, ибо существует
лишь конечное число линейно независимых якобиевых
полей вдоль т.
Замечание 14.2. В действительности 0<v<n. Так
как пространство якобиевых полей, обращающихся в нуль
при / — 0, имеет размерность в точности я, очевидно,
что v ^ л. Мы построим пример якобиева поля, обращаю-
обращающегося в нуль при / —0. но не при /=1. Отсюда будет
следовать, что v < л. Пусть Jt = tVt, где V = ^| — вектор-
векторное поле скорости. Тогда
(так как -^- = 0J; следовательно, —р- = 0. Далее,
R(V. J)Vs=tR(V, V)V==0 рчиду кососимметричности R
по первым двум переменным. Итак, J удовлетворяет'урав-
удовлетворяет'уравнению Якоби. Так как У0=я0, У, Ф0, доказательство
закончено.
Пример 1. Предположим, что М .плоско* в том
смысле, что' тензор кривизны тождественно обращается
в нуль. Тогда уравнение Якоби принимает вид —ж — 0.
Полагая У(О= S/'@Л@> где Р( параллельны, нахо-
l
d*fl
дим -^г^О- Очевидно, якобиево поле вдоль y может.
иметь не более одного нуля. Поэтому сопряженных
точек нет и гессиан ?„ невырожден.
Пример 2; Пусть р и q— противоположные
почки единичной сферы S" и"[ — дуга большого круга.

93 Гл III Нариационтн исчисление
соединяющая р и q. Мы увидим, что р и q — сопря-
женные точки кратности п I. Следовательно, в этом
примере степень вырождения v формы ?„ принимает наи-
наибольшее возможное значение. Доказательство основано на
следующих рассуждениях.
Пусть а — однонараметричсская вариация т. не обяза-
обязательно оставляющая концы неподвижными и такая, что
каждая вариация а (и) является геодезической. Мы назовем
геодезической вариацией
М-«. «)Х10. Ц-+М
отображение класса С", такое, что о@. /) = т(/) и каж-
каждая кривая а (а) (определенная формулой а (и)(*) = * t«. /)]
геодезической.
Лемма 14.3. Если в— геодезическая вариация
пути ft мо векторное поле зариации 1Г;0.--<~@, t)
шшляется якобигшым полем edo.t* 7.
Доказательство. Если я — геодезическая вариация т.
То -gj-п- тождественно оораииется в нуль. Поэтому
л О ОЛ D D th , п , с>1 «Ь \ «>а
*Л «I ~ Л (С rt т V •»/ f <>и ' (« -
<«' 7>м г \.'«г ' vu I ot
(ср. A3.3)]. Следовательно, векторное иоле вариации -г-
яхооиево-
Таким образом, один из способов получить якобнево
поле—передвигать геодезические.
Вернемся к примеру противоположных точек на сяи-
rt-ысриой сфере. Вращения сферы, оставляющие р

§ 14 Ячобш-вы поля 93
и q неподвижными, определяют векторные поля вариаций,
которые являются иьобнеными полями вдоль f и обра-
шаются в нуль и точках р и д. Вращая по л — 1 незави-
незавинаправлениям, мы получим я — 1 линейно независи-
независимых якобиевых полей. Итак, р я f.—сопряженные точки
вдоль 1 кратности я— 1.
Лемма 14.4. Kaxcdot якобтево пом 9дом ito&e-
заческой у. [0. 1|-*Л1 можно получат* a&dtxawcKvt
вариацией f.
Доказательство. Выберем окрестность V точки
^@) так. чтобы любые две точки в V соединяла «дни»
ствеиная минимальная геодезическая, дифференцируемо
зависящая от концов. Предположим, что 7(<)?t/ щрт
0 < I 3- Построим сначала якобиево поле W вдоль
"Г|[0, Ц с произвольными заданными значениями пр«7&=0
и при (=4. Выберем кривую в:(— *, t)-+U, такую, что
о@) — 1 @) м у-@) — любой заданный вектор «з TMt(Of.
Аналогично выберем Ь; <— i,t)-+U такяя, что * (О) = i (I)
и ^-@) произвольно. Построим теперь ъариацяю
определив «<в): @. t| -» М как единственную митгаалыгу»
геодезическую. со«дитмошую а (в) с Ь(и). Тогда формула
'->^@. 0 даст якобяево поле с данными граничными'
условиями.

94 Гл. III. Вариационное исчисление
Любое якобиево поле пдоль f | [О, Ь] можно получить
таким способом: если ff (¦*¦) — приторное пространство всех
якобиевых полей W вдоль ¦{, то формула W ->(\Х/ @), W(b))
определяет линейное отображение
Мы показали, что / — отображение на. Так как оба
векторных пространства имеют одну' и ту же размер-
размерность In, то / — изоморфизм, т. е. якобиево поле опре-
определяется своими значениями в двух точках f @), т ф).
(Вообще, якобиево поле определяется своими значениями
в двух любых несопряжеиных точках.) Итак, наше построе-
построение дает все якобиевы поля вдоль f |[0, Sj.
Ограничение геодезической а (а) на интервал [0. 8] не
существенно. Если и достаточно мало, то ввиду компакт-
компактности отрезка [0, 1) а (и) продолжается до геодезической,
определенной на всем единичном интервале [0, 1]. Полу-
Получаем геодезическую вариацию
«':(-?'. е')Х[0, \\-»М
с любым заданным якобиевым полем в качестве вектор-
векторного поля вариации.
Замечание 14.5. Эти рассуждения показывают, что
в любой такой окрестности U якобиево поле вдоль отрезка
геодезической, лежащего в U, однозначно определено
своими значениями в концах этого отрезка.
Замечание 14.6. Доказательство показывает также,
что существует окрестность нуля (— 8, 8), такая, что 7 @
не сопряжено с 7 @) вдоль т. если /?;(—8, 8). Мы уви-
увидим в § 15, что множество точек, сопряженных с к@)
вдоль всей геодезической f ¦ не имеет предельных точек.
§ 15. Теорема об индексе
Индекс X гессиана
' определяется как максимальная размерность подпространств
7*2.,, на которых форма Ем отрицательно определена.
Мы докажем следующее утверждение.

/5. Теорема об индексе 95
Теорема 15.1 (Морс). Индекс л формы Ett равен
числу точек "\{t). !<>е 0<f< 1, таких, что f(/) со-
сопряжена с 1 @) вдоль f. если считать каждую сопря-
сопряженную точку столько раз, какова ее кратность.
Индекс X всегда конечен ').
Отсюда немедленно вытекает
Следствие 15.2. Отрезок геодезической у. [0, 1 ]—»• Af
может содержать .шшь конечное число точек, сопря-
женных с •[ @) вдоль ?.
Для доказательства теоремы 15.1 мы сначала оценим X.
разложив векторное пространство 7~2, на два ортогональ-
ортогональных подпространства, на одном из которых форма Я„,
положительно определена.
Каждая точка -\ (/) принадлежит некоторому открытому
множеству U, в котором любые две точки соединяет един-
единственная минимальная геодезическая, гладко заиисящая от
кониов (см. § 10). Выберем поаразделенис 0 = /0 <>')<..,
... < tk — 1 единичного интервала столь мелким, чтобы
каждый отрезок f UA-i- tt\ лежал в таком открытом мно-
множестве U; тогда каждый отрезок t!Uj-i> ^d минимален.
Пусть Г2т(/0. /,, t2 tk)сП2Т — векторное про-
пространство, состоящее из всех векторных полей W вдоль f,
таких, что
1) ^\Vi-u (i\ — якобиево поле вдоль f!l'/-i» '/1 ПРИ
любом /;
2) V/ обращается в нуль в концевых точках ? = 0,
/==1.
Итак, TQ1 (t0, /,,.. ч, tk) — конечномерное векторное про-
пространство! состоящее из ломаных якобиевых полей вдоль f.
Пусть Т'сТЯ^ — векторное пространство, состоящее
из всех векторных полей W ? TQV для которых 1^(/0)«=: 0.
Лемма 15.3> Векторное пространство Г2Т раз-
разлагается S прямую сумму Г2, (t0, /j *ц)®Т'-
Эти два подпространства взаимно перпендикулярны
отне ительно скалярного произведения ?„,. Кроме
того, ограничение Ett на Т' положительно определено.
') Обобщение этого результата дано в работе [1].

96 Гл. HI. Вариационно* исчиаение
Доказательство. Пусть дано векторное ноле
W?Т*2у Обозначим через W, то единственное .ломаное
якоЛиено поле" из 7"Ut(f0 /,). для которого И")^K"
=stt/(/() при / = 0, 1 Л. Из замечания 14.5 следует,
что 1Г( существует и единственно. Оченндно, 1Р--№|
принадлежит Т'. Итак, дна подпространства ГЦ} (/0. f, /»)
и V порождают ГУ, и имеют пересечением лишь нуле-
нулевое векторное поле.
Если U', принадлежит Tll,(t0. f, tk) и №, при-
принадлежит Г', то формула второй вариации A3.1) прини-
принимает вил
Итак, наши подпространства взаимно ортогональны отно-
относит» льво ?,,-
И/и любом W^riJT гессиан ?ф# (W. W) можно интер-
еР Е ¦«
прстировать как вторую производную —-^-у @), где
а: (—t. «)-»Q — любая вариация пути -j с векторным
полем вариации тг.@)> равным W (ср. 13.5). Если W при*
надлежит Т. то мы можем считать, что а оставляет точки
i(t0). i(tt) i(tt) неподвижными. Иными словами, мы
можем предполагать, что а (и) (/()=^= •[(/,) при/= 0. 1 к.
Докажем, что ?„(Г, W)>0 при ЧУ?Г. Каждая
вариация а (и) ?2 представляет собой кусочно-гладкий
путь из 1@) в т(/,) в тA). Но каждый путь чЦ/,.,. f4|
минимален, и поэтому имеет меньшее действие, чем любой
другой путь с теми же концами. Это доказывает нера-
неравенство
Следовательно, вторая производная, вычисленная при л ¦* О,
неотрицательна.
Докажем, что Е„ (W. W) > 0 при W ? Г. W + 0. Пред.
положим, что ?„(\Р, W) равно иулю. Тогда W лежало
бы в нулевом пространстве гессиана Еш. В самом
деле, мы уже видели, что Bm{Wv W)**Q при любом

§ /5. Теорема об индексе 97
ИР, ? Г2, (/0, /j *А). При любом W2 ? 7" из неравенства
О < Е„ (W + cWv W + сГ2) =
справедлипого при всех с, вытекает, что ?,. (Wv W)~0.
Итак, W принадлежит этому нулевому пространству. Но
это нулевое пространство состоит из якобиевых полей.
'Так как Т' не содержит якобиевых полей, отличных от
нулевого, получаем, что W — 0.
Итак, квадратичная форма /?„ положительно опреде-
определена на Т'. Доказательство леммы 15.3 закончено.
Отсюда непосредственно следует
Лемма 15.4. Индекс (или степень вырождения)
гессиана /?м равен индексу (или степени вирожденая)
ограничения ?,, на пространство TQ^(tQ, tx, .... /t)
ломаных якобиевых полей. В частности (так как
ГЙ7(^0, /р .... tk) — конечномерное векторное про-
пространство), этот индекс X всегда конечен.
Пусть iYt — ограничение f на интервал [0, т]. Тогда
¦г,: [0, tj -> М есть геодезическая из f @) в f (т). Обозна-
Обозначим через Х(т) индекс гессиана {Во)„. связанного с этой
геодезической. Тогда ХA) — индекс, который мы стараемся
подсчитать. Заметим прежде всего, что справедливо
Утверждение A). Х(т) — монотонная функция х.
В самом деле, если t<'t/t то существует Х(х)-мерное
пространство У векторных полей вдоль ft- обращающихся
в нуль в 7@) и f(t) и таких, что гессиан (?о)« на 9ТОМ
пространстве отрицательно определен. Каждое векторное
поле из У* продолжается до векторного поля вдоль fv.
тождественно равного нулю между ^(т) и ?(•?')• Итак, мы
получили Х(-с)-мерное векторное пространство полей
вдоль -(,•, на котором форма (?5)„ отрицательно опре-
определена. Поэтому X(t)<X(t').
Утверждение B). Х(х) = 0 при малых х.
В самом деле, если х достаточно мало, то т,
— минимальная геодезическая, поэтому X (t) = 0. согласно
лемме 13.6.
Исследуем теперь разрывы функции X(t). Заметим
сначала, что Х(т) непрерывна слева.
7 Дж. Милиор

Гл. III. Вариационное исчисление
Утверждение C). При всех достаточно малых
е>0 имеем X(т — е) = X(т).
Доказательство. В соответствии с леммой 15.3.
число ХA) можно рассматривать как индекс квадратич-
квадратичной формы на конечномерном. векторном пространстве
TQx(t0, /, tk). Mu можем предполагать, что под-
подразделение выбрано так, что 'j<t<//+1. Тогда индекс
Х(т) можно рассматривать как индекс соответствующей
квадратичной формы Я, на соответстьующем векторном
пространстве ломаных якобиепых полей вдоль ^,. Это
векторное пространство нужно строить с помощью под-
подразделения 0 < t, < t2 < • ¦ - < tt < -с отрезка [0. -с]. Так
как ломаное якобиево поле однозначно определено своими
значениями в точках деления f(//). это векторное про-
пространство изоморфно прямой сумме
Заметим, что это векторное пространство Е не зависит
от х. Очевидно, что. квадратичная форма Нх на 2 не-
непрерывно зависит от т.
Но форма Л/, отрицательно определена на подпростран-
подпространстве У с; S размерности Х(т). Следовательно, при всех t',
достаточно близких к т. Нг отрицательно определена
на 1*. Поэтому X (t') >• X (t). Но если t' = т — в < %, то,
согласно утверждению A), имеем также Х(т — e)<[^(t).
Итак, X(t — е) = X (t).
Утверждение D). Пусть v — степень вырожде-
вырождения гессиана (?о)««. Тогда при всех достаточно
л-алых а > 0 имеем
Итак, функция \(t) испытывает скачок v, когда пере*
менная t проходит через сопряженную точку кратности v.
и.непрерывна в остальных точках. Очевидно, из этого
утверждения вытекает теорема об индексе. ,
Доказательство того, что X(t-f-e)^X(t)-f-v.
Русть Я, н S —те же, что и в доказательстве утвер-
утверждения C). Так как dim 2 = л/, то Н% положительно

§ 15. Теорема об индексе 93
¦
определена на некотором подпространстве Т"с? раз-
размерности nl— Х(т) — v. При всех t', достаточно близких
к 1, Нх< положительно определена на У". Следовательно,
X(х')<dim2 — dim7" <X(t)-+¦ v.
Доказательство того, что X(j-t-«)^.X()
Пусть W, W\^—X(t) векторных полей вдоль
равных нулю в концевых точках и таких, что матрица
отрицательно определена. Пусть У,, .... У, —ч линейно
независимых якобисвых полей вдоль f,, также равных
нулю в концевых точках. Заметим, что v векторов
линейно независимы. Поэтому можно выбрать v векторных
полей Хх X, вдоль 7i+, так, чтобы матрица
(**.«»
равнялась единичной (v X ^-матрице. Продолжим вектор-
векторные поля Wt и JH на 7x+f полагая их равными нулю при
*<*<* + «•
С помощью формулы второй вариации мы легко убеж-
убеждаемся в том, что
(?о+')« (Л. Хн) — 28ft* (8A* — символ Кронекера).
Пусть теперь с — некоторое малое число. Рассмотрим
X(t) + v векторных полей '"
Wx Wxw. с Л•— cA"i, .... с У, — сХ,
вдоль fT+,. Мы утверждаем, что эти векторные поля
порождают векторное пространство размерности X(t)-f-v,
на котором квадратичная форма (Ео+1)„ отрицательно
определена. Действительно, матрица (?о+')« в "О* ба-
базисе имеет вид
(
\ сА1
1*

100 Гл. III. Вариационное исчисление
где А и В — фиксированные матрицы. Если с достаточно
мало, то эта составная матрица, конечно, отрицательно
определена, Утверждение D) доказано.
Теорема об индексе 15.1, очевидно, вытекает из
утверждений B), C). D).
§ 16. Конечномерная аппроксимация множества й*
Пусть М — связное рнманово многообразие и p. q —
дзе (не обязательно различные) точки М. В множество
2 = 2(Л1; р. д) кусочно-гладких путей класса С™ из р
в q можно ввести топологию следующим образом. Пусть
р — топологическая метрика М, порожденная его римано-
вой метрикой. Определим расстояние d(u>, и>') между
двумя путями о>, <о'?2 с длинами дуг соответственно
<(*), «'(/) формулой
(Второе слагаемое добавлено для того, чтобы функция
действия '
была непрерывной функцией на п.) Введенная метрика
определяет искомую топологию в 2.
Пусть с > 0. Обозначим через 2е замкнутое подмно-
подмножество ?"'(@, с])с2 и через Int 2е — открытое под-
подмножество Е~л ([0, с)) (где Е = ?о: 2 ~* R — функция
действия). Мы изучим топологию множества 2е. построив
его конечномерные аппроксимации.
Выберем подразделение единичного интервала 0 =/0 <
<fs< ..» </As=l. Обозначим через С(/о. tx tk)
подпространство в 2. состоящее из таких путей ш: @. I]-*-
—+М, ЧТО . ¦ ; .
\) <e(O)e=*Jt» Й О>A)^=^;
2)»H'i-t*Al ectb геодезическая при каждом /с»

§ 16. Конечномерная аппроксимация множества Q" 101
Наконец, определим подпространства
/j /Л) = Aп!О')П2(/0. '» '*)¦
Лемма 16.1. Пусть М — полное риманово много-
многообразие а с — фиксированное положительное число.
такое, что 2е Ф 0. Тогда для всех достаточно мел-
мелких подразделений (/0. tl tk) отрезка @. 1] л«0-
жество Int2c(f0, tlt .... t^) можно естественным
образом снабдить структурой гладкого конечно'
мерного многообразия.
Доказательство. Обозначим через 5 шар
Заметим, что каждый путь ш ? Qc лежит внутри этого
подмножества ScM', это видно из неравенства L? <? < с.
Так как М полно, 5 — компактное множество. Следо-
Следовательно (см. следствие 10.8), существует «> 0, такое,
что если х, y?S и р(х, у)<е, то имеется лишь одна
геодезическая из х в у длины меньше е и эта геодези-
геодезическая дифференцируемо зависит от х и у.
Выберем подразделение (t0. /t tk) отрезка [0, 1]
так. чтобы каждая разность t{ — tt^x была меньше ег/с.
Тогда для каждой ломаной геодезической
о>^'D>. 'i h)
имеем
Итак, геодезическая шЦ/^,. /,] однозначно и дифферен-
дифференцируемо определяется двумя своими концами.
Ломаная геодезическая ш однозначно определяется на-
набором А— 1 точек
• (Л). «('2) •tf*-i)€A»XAfXi...XA'->
Очевидно, соответствие

102 Гл. III. Вариационное исчисление
определяет гомеоморфизм между Int Qe (t0, t^ tk) и
некоторым открытым подмножеством (it — 1)-кратного
произведения М X М X • • • X М. Перенося дифферен-
дифференцируемую структуру с этого произведения, получаем
утверждение 16.1.
Для сокращения записи обозначим многообразие
Int Qe (t0, /i tk) ломаных геодезических через В.
Пусть
E':B->R
— ограничение функциии действия Е: 2 -> R на В.
Теорема 16.2. Фу нация f:fi-*R— гладкая.
Далее, при каждом а < с множество В" = (?')"' [О.а]
компактно и является деформационным ретрак-
том х) соответствующего множества 2е. Критиче-
Критические точки ?' в точности совпадают с критическими
точками Е в Int Qc: это целые геодезические из р в q
длины, меньшей Yc • Индекс (или степень вырождения)
гессиана Е'п в каждой такой критической точке •(
равен индексу (или степени вырождения) ?„ в т.
Итак, конечномерное многообразие В оказывается точ-
точной моделью бесконечномерного пространства путей Int 2е.
В качестве непосредственного следствия мы получаем
следующий основной результат.
Теорема 16.3. Пусть М — полное риманово
многообразие и р, q?M — две точки, которые не
являются сопряженными ни вдоль какой геодезиче-
геодезической длины, не превосходящей У~а~. Тогда 2" имеет
гомотопический тип конечного клеточного комплекса,
с одной клеткой размерности X на каждую геоде-
геодезическую 2", на которой ?м имеет индекс X.
(В частности, эта теорема утверждает, что 2е содержит
лишь конечное число геодезических.)
Доказательство теоремы 16.3. Утверждение сле-
следует из теорем 16.2 и 3.5.
') Точно так же в—деформационный ретракт множества
Int Sr.

§ 1С. Конечномерная аппроксимация множества п° 103
Доказательство теоремы 16.2. Так как ломаная-
геодезическая ш ? В гладко зависит от набора
ясно, что действие Е'(ш) также гладко зависит от этого
набора. Действительно, справедлива явная формула
е о») = S р2 (ш Ci-i). »
При а < с множество В" гомеоморфно множеству всех
(А— 1)-наборов (/?! Pt-JZSXSX ... X 5. та-
таких, что
*
2р2(Л-!. Л)/('|~/ц)<в
(=1
(подразумевается, что р0 —р, Рь—Ч)> Как замкнутое
подмножество компактного множества, оно компактно.
Ретракцию г : Int Qc-> В определим так. Пусть г(ш) —
единственная ломаная геодезическая из В, такая, что ка-
каждый путь г(ю)|(/(-1, /J представляет собой геодезиче-
геодезическую длины меньше « из «(/^j) в <о(//). Из неравенств
вытекает.- что «>@, !)cS. Поэтому из неравенств
Р2(«о (/|-i). - (/,)) < С, - f,-i) (fi!{_ ,(•)) < -f • е -= «а
следует, что r(v>) существует.
Очевидно, Е(г(<о)) <?(«)<с. Эта ретракция л вклю-
включается з однопараметрическое семейство отображений
re:!ntQ'->lnt2*
следующим образом. При //_1 < и < /, пусть
-1-  — минимальная геодезическая
из »(/,«,) в ш(й);

104 Гл. III. Вариационное исчисление
Тогда г0 — тождественное отображение множества Int 2*
и гх~г. Легко проверить, что функция ги(ш) непрерывна
как функция двух переменных. Это доказывает, что В —
деформационный ретракт множестиа Int Gc.
Так как Е(ги(ш)) *?Е(ш). ясно, что каждое В" также
есть деформационный ретракт 2".
Каждая геодезическая является также и ломаной гео-
геодезической, поэтому ясно, что каждая „критическая точка'
Е в Int Qc автоматически принадлежит подмногообразию В.
Из формулы перной илриации (теорема 12.2) ясно, что
критическими точками функции ?' являются целые геоде-
геодезические И ТОЛ!.КО ОНИ.
Рассмотрим касательное пространство ТВ^ к многооб-
многообразию В в геодезической f. О отождествляется с про-
пространством 7'!^ (/0, /,, .... tk) ломаных якобиевых полей
вдоль y, кпк описано в § 15. Это отождествление можно
оправдать так. Пусть
а:(—е, t)->B
— любая вариация т в ломаные геодезические. Тогда со-
соответствующее векторное поле вариации -у- @, t) вдоль
Т — ломаное якобнево поле [ср. с леммой 14.3].
Теперь утверждение, что индекс (или степень выро-
вырождения) гессиана Е„ в т равен индексу (или степени
вырождения) Ett в f немедленно следует из леммы 15.4.
Это завершает доказательство теоремы 16.2.
Замечание. Как одно из следствий этой теоремы
мы получаем новое доказательство существования мини-
минимальной геодезической, соединяющей две данные точки р, q
полного многообразия. В самом деле, если Qa(p, q) не-
непусто, то соответствующее множество В* компактно и
непусто. Следовательно, непрерывная функция С : B°->R
достигает минимума в некоторой точке -\ ? В". Эта т —
искомая минимальная геодезическая.
§ 17. Топология полного пространства путей
Пусть М — риманово многообразие с римановой метри-
метрикой g. и пусть р — индуцированная топологическая метрика..
Пусть р и щ — две (не обязательно различДые) точки М.

f 17. Топология полкою пространства путей 108
В теории гомотопий изучают пространство С* всех
непрерывных путей
на р в в с компактно-открытой топологией. Эта тополо-
топология может быть также описана как индуцированная мет-
метрикой
<Г(ш, •') — тахр(.«). •'
С другой стороны, мы изучали пространство С кусочно»
гладких путей класса С из р a q с метрикой
]
Так как d > rf*. естественное отобр«жени«
непрерывно.
Теорема 17.1. Естественное отображение t
устанавливает гомотопическую $к$илалентностъ В
« U*.
Докааательстао. Сначала мы определим непре-
непрерывную функцию М:&*-*»@, 1|, обладающую следующим
свойством: иа \t — t'\ <2/4(e) вытекает, что m{t)*m(t/)
соединены единственной минимальной геодезической, гладко
зависящей от своих концов.
Пусть /.М-*[0, оо)~ такая непрерывная функция,
что множество/~'(|0, г\) компактно прм любом ??
(@, оо). Пусть •,(/•)<со — иаибольюм действктельмов
«меле, пкос. что дюбьм дм точки с расстсижнем
•кмыи »,(г) ¦ мможестм /"'(|0, г|) емдтииы «дяи-
етвеиной мииимадьиоЯ геодемческоа. гмдк« мвисещея
«г своих концов. Так как «, — вюложитсмиав моиотоммо
убывающая функция, момн* выбрать
тек, что t| мпрерммю ¦

106 Гл. III. Вариационное исчисление
Теперь определим
«:2#->R
формулой
• (•)*.?.. j max/(*(/))}.
Итак, с непрерывно и любые две точки из «и([0. 1])
с расстоянием, не превосходящим t (ш), соединены един-
единственной минимальной геодезической.
Определим непрерывную функцию
соотношением
/*(«. а)*»(а— 1)«(«)+ max р (*(/), «о (/'))•
Тогда Г\ рассматриваемая как функция от л, строго
монотонна и
/?(ш, 0)<0
Поэтому для каждого ш ? 2* существует единственное
а?@, Jj, такое, что /="(ш, а) = 0. Положим «з=2Д(а»),
Так как F непрерывна, непосредственные эпсилон-дельта
рассуждения «оказывают, что функция A;it*->@, 1] не-
непрерывна. Если \t —1'\ <а = 2/1(ш), то р(«о(/}). ш(^'))<
< A —»)«(«) »>*(«>); следовательно, w(/) и <a(t') соеди-
соединены единственной минимальной геодезической.
Определим теперь Л:2'-»2 следующим образом.
Пусть А («) — единственный путь, такой, что
1) А(ш) сосладает с о при f = 0. А(ш). 2Д(ш). ...
.,,, НА{ш) и при. /=sl. где Л— целая часть 1/Л(«);
2) /цад) язлпе-гсг! геодезической а каждом промежу-
точном интервале.
Ясно, что отображение А непрерывно.
Соображения, аналогичные использованным в § 16,
показывают, что композиция ¦..
гомотопна тождестаенному отображению S. Точно так же
композиция , .
' ' '
гоыотоцна тождественному отображению. Теорема 17.1
доказана.

§ П. Топология полного пространства путей ЮТ
Известно, что пространство 2* имеет гомотопический
тип клеточного комплекса (см, [24|). Отсюда получаем
Следствие !7.2. Пространство Q имеет гомс~
топический тип клеточного комплекса.
Это утверждение допускает следующее усиление.
Теорема 17.3. (Основная теорема теории Морса.)
Пусть М—полное риманодо многообразие и р,q? M —
две точки, не являющиеся сопряженными ни вдоль
какой геодезической. Тогда Q(M; p. q) или Q*(M; p, q)
имеет гомотопический тип счетного клеточного комп-
комплекса, в котором каждой геодезической, из р в q
е индексом X отвечает одна клетка размерности к.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.5.
Выберем последовательность ао<Сах<.а,г<С_... действитель-
действительных чисел, которые не являются критическими значениями
функции действия В, так что каждый интервал (a,.,, с,)
содержит в точности одно критическое значение. Рассмот-
Рассмотрим последовательность
где мы можем предполагать, что Q* пусто. Из теоремы 16.2,
замечания 3.3 к леммы 3.7 следует, что каждое Q ' имеет
гомотопический тип С '"' с конечным числом приклеен-
приклеенных клеток, по одной клетке размерности X на каждую
геодезическую индекса \ на E~l(,a,.v а,). Теперь, как
о доказательстве теоремы 3.6, строим последовательность
/Сос/С|САГ]С ... клеточных комплексов, и летки который
описаны выше, и последовательность
¦ Йв»свв«свв»е..,
К, еК, с Kt
гомотопических мвивалеитиостей. Обозначая через/: Q-+K
прямой предел отображений, мы видим, что / индуцирует'
изоморфизмы гомотопических групп всех размерностей. Но
так как известно, что 8 пмеет гомотопический тип кле-
клеточного комплекса (см. следствие 17.2), то из теоремы
Уайтхеда следует, что / — гомотопическая эквивалентность.

106 Гл. HI. Вариационное исчисление
Доказательство закончено. (Другое доказательство, «с ис-
использующее теоремы 17.1, см. на стр. 161.)
Пример. Пространство путей сферы S*. Пред-
Предположим, что р и q — не сопряженные точки S\ Иначе
говоря, что q + p, р', где р' — точка, противоположная р.
Тогда имеется счетное множество геодезических, соединяю-
шнх р с q: т0, т,, т,. .... А именно, т0 — кратчайшая
дуга большого круга, соединяющая р с q: т, — большая
дуга большого круга pq'p'q; Т| — дуга ряр'я'РЯ и т. д.
Индекс k указывает, сколько раз р или р' встречается
•нутри геодезической т».
Индекс X(t»)-=»I*»-b ••• 4-1** ра»ен *(* — 1). так
как каждая внутренняя точка р или р' является сопряжен-
сопряженной с р кратности л — I. Таким образом, получаем
Следствие 17.4. Пространство петель Q(Sm)
имеет гомотопический тил клеточного комплекса
с одной клеткой каждой из размерностей 0. л —1.
2 3
< )
При я>2 эта информация позволяет немедленно вы-
вычислить гомологии пространства 2(.S*). Так как 2(S*)
имеет нетривиальные группы гомологии • бесконечном числе
размерностей, справедливо ,
Следствие 17.5. Пусть Мимеет гомотопический
man S\ где я > 2. Тогда любые дм несопряженные
точки § М соединены бесконечным числом геодезических.

$ 18. Существование нееопряженных точек 109
Это вытекает из того, что гомотопический тип Q*(M)
(и, следовательно. 2(.И)) зависит лишь от гомотопического
типа М. В 2 (/И) должна найтись по крайней мере одна
геодезическая с индексом 0, по крайней мере одна с ин-
индексом п — 1, 2(я — I). 3(и — 1) и т. д.
Замечание. Вообще, если М — любое полное не»
стягиваемое многообразие, то любые две несопряженные
Точки в М соединены бесконечным числом геодезических
(см. 131|).
В качестве другого приложения следствия 17.4 можно
упомянуть доказательство теоремы Фрепденталя о над-
стройке (см. следствие 22.3).
§ 18. Существование несопряженных точек
Теорема 17.3 дает хорошее описание пространства
2(Л1; р, q) в предположении, что вдоль любой геодези-
геодезической точки р и q не являются сопряженными. В настоя-
настоящем параграфе мы, в обоснование этого результата, пока-
покажем, что такие несопряженные точки всегда существуют.
Напомним, что гладкое отображение fiN-*M много-
многообразий одинаковой размерности называется критическим
# точке x?N. если индуцированное отображение касатель*
ных пространств
не является взаимно однозначным. Мы применим это опре-
определение к экспоненциальному отображению
ехрааехр, :ТМР~*М.
(Мы предполагаем, что М полно, так что ехр определена
•езде; от этого предположения легко избавиться.)
Теорема 18.1. Точка txpvсопряжена с р вдоль
геодезической т. аз р ш expt» тогда и только тогда,
когда отображение ехр является критическим
t точке v.
Доказательство. Предположим, что отображение
ехр критическое ¦ точке v. Тогда ехр,(А*1 = 0 при неко-
некоторой ненулевоы Х?Т {ТМр)р, где Т (Т М - касательное

ПО Гл. III. Вариационное исчисление
пространство в точке v к пространству ТМр. рассматри-
рассматриваемому как многообразие. Пусть «-*•«(«) — "уть в ТМр,
такой, что v@) = v и -r-@) = .Y. Тогда отображение а.
определенное формулой а(«, t) = exp tv (и), будет геоде-
геодезической вариацией геодезической fp: /->exptv. Следова-
Следовательно, векторное поле №, определенное формулой
t->-T-(exptv{u))\u,0, представляет собой якобиево поле
вдоль "г„. Очевидно. №@) = 0. Имеем также
Но это поле не обращается в нуль тождественно, так как
Итак, существует ненулевое якобиево поле вдоль т„ от р
до ехри. равное нулю в этих точках. Следовательно, р
и exp v сопряжены вдоль -\v.
Теперь предположим, что отображение ехр. невырож-
невырождено в v. Выберем л независимых векторов Х1 Х„
в T(TMp)v. Тогда векторы exp, (A',) exp.(^B) ли*
нейно независимы. В ТМр выберем пути u~*vx(u), ....
в), где о,@)-в и -^1@) = ^.
Тогда а,, .... ав, построенные, как указано выше,
будут якобиевыми полями Wv ..., Wn вдоль -jf^, равными
нулю в р. Так как 1^,A) = ехр, (Л";) независимы, никакая
нетривиальная линейная комбинация векторов Wl не может
обращаться в нудь в точке expt». Так как а — размер-
размерность пространства якобиевых полей вдоль т„, равных нулю
о р, то не существует нетривиального якобиева поле
вдоль iv, равного нулю и в р, и в expo. Это завершает
доказательство.
Следствие 18.2. Пусть р?М. Тогда для почти
всех q?M точка р не является сопряженной с q
ни вдоль какой геодезической.
Доказательство. Это вытекает на теоремы 18Л
и теоремы Сарда 6.1.

$ 19. Соотношения между топологией и новизной 111
§ 19. Некоторые соотношения между топологией
и кривизной
В этом параграфе мы опишем поведение геодезических
на многообразиях .отрицательной кривизны* и .положи*
телыюН кривизны*.
Лемма 19.1. Предположим, что {R(A, В) A. )
для любой пары векторов А, В касательного про-
пространства ТМр е любой точке р?М. Тогда ника-
никакие две точки М не сопряжены ни вдоль какой гео-
геодезической.
Доказательство. Пусть f — геодезическая с век-
векторным полем скорости V. Пусть У—якобиево поле вдоль f.
Тогда
так что
Следовательно,
Итак, функция \~3fi J) Монотонно возрастает, причем
строго, если -jj-^-O.
Если 3 обращается в нуль и при ' = 0, и при * = 1 > О,
то функция (-JP У) тоже равна нулю при * *= 0 и /0 и, сле-
следовательно, должна обращаться я нуль тождественно на
отрезке [О, /О]. Отсюда вытекает, что
Таким образом, /—тождественный нуль, что и требова-
требовалось доказать.
Замечание. Если А и В — ортогональные единиц-
ные векторы в точке р, то величина {R {А, В) А, В)

112 Гл. III. Вариационное исчисление
называется кривизной по двумерному направлению,
определенному Ли В. Она равна гауссовой кривизне
поверхности
(и,. «j)-*.expp(«,/l-f ":>#).
образованной геодезическими, проходящими через р со ско-
скоростью, принадлежащей натянутому на А и В подпро-
подпространству (см., например, A91).
[Интуитивно кривизну многообразия можно описать в тер*
минах .оптики* внутри многообразия следующим образом. Бу-
Будем представлять себе геодезические как пути лучей света.
Рассмотрим наблюдателя в р, смотрящего по направлению
единичного вектора U в точку ^ = ехр(г?/). Маленький
отрезок длины L, выходящий из точки q no направлению
единичного вектора W?TMp, будет казаться наблюдателю
отрезком длины
JL Гt —|—^-</?(ty. W)U. 1У)-Нлеиывысших степеней по г).
Итак, если кривизна по всем двумерным направлениям от-
отрицательна, то каждый предмет будет казаться меньшим, чем
он есть на самом деле. Маленькая сфера радиуса i вокруг q
будет казаться эллипсоидом с главными полуосями
? 4
( )( )
Kv • •., К„ — собственные числа линейного преобразова-
преобразования W -* R (U. W) U. Каждый маленький предмет объема v
будет каватъся имеющим об>ем v(l -f -у (tfi-r-K"i+•..
..,-{- К„)-+- • •. j, где /f, -f-... -{-Кя—.кривизна Рмччн*
K(U, if), определенная ниже.]
Вот несколько обычных примеров многообразий непо-
неположительной кривизны.
A) Евклидово пространство с кривизной нуль.
B) Параболоид ж ¦«= х* — у* с кривизной меньше иуля.
C) Гиперболоид вращения х*-\-у* — i»«l с кривм-
ной меньше нуля.
D) Геликоид х co««-r-yfln*-«0 с кривианош меньше
нуля.
Замечание. Во всех этих примерах кривизна ври-
ниммт значения, сколь угодно близкие к нуле. Неизвестно,

I 19. Соотношения между топологией и кривизной 113
существует ли в трехмерном пространстве полная поверх-
поверхность отрицательной кривизны, отграниченной сверху от
нуля •)•
Знаменитым примером многообразия всюду отрицатель-
отрицательной кривизны является псевдосфера
Ух* + у*. *>0.
с римановой метрикой, индуцированной из R3, Здесь гаус-
гауссова кривизн* имеет постоянное значение — 1.
Никакая геодезическая на этой поверхности не имеет
сопряженных точек, хотя две геодезические могут пере*
секаться более чем в одной точке. На псевдосфере реалн-
вуется неевклидова геометрия, в которой сумма углов
треугольника меньше «. Это многообразие неполное. В са-
самом деле, теорема Гильберта гласит, что никакая полная
поверхность постоянной отрицательной кривизны не мо-
может быть вложена в R3 (см.. например, {38, стр. 137)).
Существуют, однако/ я полны* риманови иногообра*
•на постоянной отрицательно* кривизны (см.. например,
A9. стр. 114—117)). Такое многообразие может быть даже
') Н. В. Ефимов доквам недавно, что такой поверхности,
масса С* не существует. (Си. Ефимов Н. В., Невоаможяость
• трехмерном евклидовом пространств* полной регулярной по°
верхности с отрицательно*! верхней гранью гауссовой кривизны.
Докл. АН СССР, 190. J* 6A963). 1206-1209; Возникновение
особенностей на поверхностях отрицательно! кривимы, MamtM»
сб.. 64A06), 2A964). Ш-Ш.\ -Прим. мрн

114 Гл. III. Вариационное исчисление
компактным, например поверхностью рола не меньше 2
(ср. |8. стр. 263|).
Теорема 19.2 (Картам ')). Предположим, что М-—
одмосвязное полное риманово многообразие и что
кривизна {R(A, H) А, В) двумерных сечений всюду не-
неположительна. Тогда любые две точки из М соеди-
соединены единственной геодезической. Кроме того,
М диффеоморфно евклидову пространству R".
Доказательство. Поскольку сопряженных точек
нет, из теоремы об индексе вытекает, что каждая геоде-
геодезическая из р в q имеет индекс X = 0. Таким образом,
георема 17.3 в этом случае утверждает, что пространство
Путей 2 (Ж; р, q) имеет гомотопический тип нульмерного
клеточного комплекса с одной вершиной для каждой гео-
геодезической.
Из предположения односвязности At вытекает связность
Q(M; p, q) Так как связный нульмерный клеточный
комплекс состоит из одной точки, существует ровно одна
геодезическая, соединяющая р с q.
Следовательно, , экспоненциальное отображение
ехрр : ТМР -г* М взаимно однозначно и является отображе-
отображением на. Из теоремы 18.1 следует, что оно всюду невы-
невырождено, так что ехрр—локальный диффеоморфизм. Объеди-
Объединяя эти лва факта, видим, что ехр^,—диффеоморфизм в це-.
лом. Утверждение 19.2 доказано.
Пусть теперь М ьеодносвязно, но полно, и все его
двумерные кривизны неположительны. (Например, М мо-
может быть плоским тором S1 X 51 или компактной поверх-
„костью рода не меньше 2 с постоянной отрицательной
кривизной.) Тогда теорема 19.2 применима к универсаль-
универсальному накрывающему пространству М многообразия М. Ибо
ясно, что на М переносится рнманова метрика многообра-
многообразия М, которое полно и имеет неположительные двумер-
двумерные кривизны. Отсюда следует, что в каждой гомотопи-
гомотопическом классе путей с фиксированными концами р, q?M
имеется ровно одна геодезическая. <
Стягиваемость М налагает сильные ограничения на то-
топологию М. Например, справедливо . ' '

§ 19. Соотношения между топологией и кривизной 115
Следствие 19.3. Если М полно и {R (А. В) А. В) <0.
то гомотопические группы к((М) равны нулю при
/> 1, а к,(Л1) не содержит элементов конечного по-
порядка, отличных от единицы.
Доказательство. Очевидно, it,(Л1) = «ДЛ1) = 0
при / > 1. Так как М стягиваемо, группа когомологий Я* (Л!)
может быть отождествлена с группой когомологий W* (it, (/И))
группы л, (Л!) (см., например, [43р. Предположим теперь,
что it, (M) имеет нетривиальную конечную циклическую под-
подгруппу О. Тогда для подходящего накрывающего М про-
пространства М имеем it, (M) ~ О; следовательно.
Н*(О) = //*(Л!) = 0 при к > я.
Но группы когомологий конечной циклической группы не-
нетривиальны в произвольно больших размерностях. Это про-
противоречие завершает доказательство.
Теперь мы рассмотрим многообразия .положительной
кривизны". Вместо кривизн по двумерным направлениям
в этом случае для получения более точных результатов
удобно ввести тензор Риччи (иногда называемый .тензором
средней кривизны").
Определение. Тензор Риччи в точке р риманова
многообразия М есть билинейное спаривание
определяемое следующим образом. Пусть К {Ux, t/j)—след
линейного преобразования
не ТМръ TMf. (По классической терминологии тензор Л
получается из R свертыванием.) Из леммы 9.3 легко вы-
вытекает, что К симметричен: K(Uit U^^K{VV i/,).
Тензор Риччи следующим образом связан с кривизной
по двумерным направлениям. Пусть {/,, ?/,,..., ?/„—•
ортонормированный базис в касательном пространстве ТМ^
Утверждение. Значение К(Уя. ?/,) равно сумме
кривизн по двумерным направлениям {RiU^, (/()С/Я. Ut),
где f«s 1. 2 it— 1.
8*

116 Гл. ///. Вариационно* исчисление
Доказательство. По определению. K(Un, 1/я)
равно следу матрицы ({R(Un. U,)Um. Uj)). Так как п-и
диагональный член этой матрицы равен нулю, получаем
сумму п — 1 двумерных кривизн, что и утверждалось.
Теорема 19.4 (Майерс [21]). Предположим, что
кривизна Риччи К удовлетворяет условию
для любого единичного вектора U в любой точке из М-,
здесь г — положительная постоянной. Тогда каждая
геодезическая на М длины больше кг содержит со-
сопряженные точки и поэтому не является мини-
минимальной.
Доказательство. Пусть f : [0.1J —»> AI — геодези-
геодезическая длины L Выберем вдоль т параллельные вектор*
иые поля ЯР .... Я,, ортонормальные в одной точке
я, следовательно, всюду вдоль т. Можно считать, что полеЯя
направлено вдоль *(, так что
Пусть У,(/)« (sin к/) P,(t). Тогда
i
I г? /Wf
f (Sir.
0
I
„. Pt)Pa, Pt))dt.
0
Суммируя по «'el, .... «--1, получаем
Л-1 1
i, e . ,/
Если К{Р„. Р„)>{*- 1)/г* и ?>«г, то это выра-
выражение отрицательно. Поэтому ?„0^, 1Г,)<0 при не-
некотором /. Отсюда вытекает положительность индекса f.
Следовательно, по теореме об индексе ? содержит сопря-
сопряженные точки.
Отсюда следует также, что f не является минимальной
геодезической. В самом деле, если а:(—е, t)->2—

§ 19. Соотношения между топологией и кривизной 117
вариация с векторным полем вариации W,, то
при и = 0. Поэтому ? (а (и) )<?(?) при малых ифО.
Доказательство закончено.
Пример. Если М — сфера радиуса г, то кривизна
по любому двумерному направлению равна 1/г2. Поэтому
K(U. U) имеет постоянное значение (л—1 )//¦*. Тео-
Теорема 19.4 утверждает, что каждая геодезическая длины
больше т.г имеет сопряженные точки; константа кг — наи-
наилучшая возможная.
Следствие 19.5. Если М полно и K(U. <У)>
^(л— 1)/г2>0 для всех единичных векторов U,
то М компактно и диаметр М не превосходит кг.
Доказательство. Пусть p. q?M и т — мини-
минимальная геодезическая из р в q. Тогда длина т должна
быть не больше -кг. Следовательно, все точки М попарно
удалены друг от друга не более чем на кг. Так как
замкнутое ограниченное подмножество полного много-
многообразия компактно, отсюда следует, что само М компактно.
Это следствие применимо, в частности, к универсаль-
универсальному накрывающему пространству М многообразия М.
Так как М компактно, фундаментальная группа щ(М)
оказывается конечной. Это утверждение можно усилить
следующим образом.
Теорема 19.6. Если М — компактное много-
многообразие и тензор Риччи К на М всюду положи-
положительно определен, то пространство путей Q(M; p. q)
имеет гомотопический тип клеточного комплекса
с конечным числом клеток каждой размерности.
Доказательство. Так как пространство, состоящее
из всех единичных векторов U, касательных к М, ком-
компактно, то непрерывная функция K(U, C/)>0 дости-
достигает минимума, который мы можем обозначить через
(я — \)/г3 > 0. Тогда каждая геодезическая т ? 2(М; р, q)
длины больше кг имеет индекс Х^1

118 Гл. III. Вариационное исчисление
Рассмотрим теперь геодезическую т длины больше kur.
Аналогичные рассуждения показывают, что -[ имеет
индекс X^-ft. Действительно, для каждого 1=1, 2 k
можно построить векторное поле Х1 вдоль т. равное
нулю вне интервала I -, -н и такое, чтоЯ,,{Xt, Xt)<^0.
Очевидно, E,,(Xt,X j) — Q при 1Ф j, так что А',, .... Хк
порождают Л-мерное подпространство в TQV на котором
форма Ett отрицательно определена.
Предположим теперь, что точки р и q не сопряжены
ни вдоль какой геодезической. Тогда, согласно тео-
теореме 16.3, существует лишь конечное число геодезических,
соединяющих р с q и имеющих длину, не превосходя-
превосходящую k-кг. Следовательно, существует лишь конечное число
геодезических с индексом меньше к; вместе с теоремой 17.3
это завершает доказательство теоремы 19.6.
Замечание. Автору неизвестно, останется ли вер-
верной эта теорема, если предполагать, что М полно, но
не компактно. Приведенное доказательство, очевидно,
не проходит, ибо на многообразиях, подобных параболоиду
z = jc2-f-y2. кривизна К@, U) не отграничена от нуля.
Было бы интересно выяснить, какие многообразия допу-
допускают метрику, в которой кривизны по всем двумерным на-
направлениям положительны. Поучительным примером оказы-
оказывается произведение Sm X 5* двух сфер размерностей
т, к !> 2. Для этих многообразий тензор Риччи всюду поло-
положительно определен. Однако кривизны по некоторым дву-
двумерным направлениям (соответствующим плоским торам
51 Х«51<=5тХ5*) равны нулю. Неизвестно, можно ли из-
изменить метрику в SmX.S* так, чтобы все двумерные кри-
кривизны стали положительны. Известен следующий частный
результат: если такая метрика существует, она не может
сохраняться при инволюции (х, у)~*{—х, —у) многооб-
многообразия Sm X S". Это следует из теоремы Сайнджа [32].
Другие теоремы о связи топологии и кривизны можно
найти в работах C, 9. 44, 47]»).
') См. также В е г g е г М., Les varletes Rlemannlennee dont
la courbure saflsfalt certalnes condition, Proceed. Internal. Con*
grew Math* \%2. — Прим. ntpte.

Глава IV
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРУППАМ ЛИ И СИММЕТРИЧЕСКИМ
ПРОСТРАНСТВАМ
§ 20. Симметрические пространства
Симметрическим пространством называется связ-
связное риманово многообразие М, такое, что для любой
точки /? ^ .41 существует нзометрня 1р : Л1-*М, оставляю-
оставляющая р на месте и переворачивающая проходящие через р
геодезические; . иными словами, если f — некоторая гео-
геодезическая и ч(О) = р, то /,, (f @) = ТГ (—t).
Лемма 20.1. Пусть ?— геодезическая в М и
/>*=Т(О). a ?*=if(e). Тогда //„<? @)**Т(* + 2«)
(в предположении, что f (/) и f(t-\-2c) определены),
кроме того. /q/p сохраняет параллельные вектор*
ные полл вдоль т-
Доказательство. Пусть Y(t) = т(t + с). Тогда
Y — геодезическая и ff @)=^. Следовательно. /?/р (f (t) )=
<?G@) <,G()) T( + ) T( + )
Если векторное поле V параллельно вдоль у, то
Ipt{V) параллельно (ибо 1Р — иэометрия) и Ip,V(Q)=*
— V@); поэтому 1р,У(() = — Vr(— t). Следовательно,
(V(/)) ^(/ + 2)
Следствие 20.2. Многообразие М полно,
В самом деле, лемма 20.1 показывает, что каждую
геодезическую можно продолжать неограниченно.
Следствие 20.3 Изометрия 1р единственна.
Действительно, каждая точка соединена с р геоде-
геодезической.
Следствие 20.4. Если U.V и W — параллельные
векторные поля вдоль -j, то R(U,V)W'-г-тоже парал-
параллельное поле вдоль 1* ¦

120 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Доказательство. Заметим, что если X —• четвер-
четвертое параллельное вдоль ¦{ векторное поле, то величина
{R(U, V)W, X) вдоль т постоянна. В самом деле, рас-
рассмотрим изометрию r = /t(f/2)/p. переводящую р = "Г@)
Согласно лемме 20.1,
,)Wr Xq) = {R(TtUp. T.Vp)T,Wp, T,Xr).
Так как Г—изометрия, это равно {R(UP. Vp)Wp, Хр}.
Итак. {R(U. V) W, X) принимает постоянное значение
для каждого параллельного векторного поля Л\ Отсюда,
очевидно, вытекает параллельность поля R(U, V)W.
Многообразия, обладающие свойством 20.4, называются
локально симметрическими. (Классическая теорема,
принадлежащая Картану, гласит, что каждое полное одно-
связное локально симметрическое многообразие является
симметрическим ').)
Ураонения Якоби для любого локально симметрического
многообразия имеют простое явное решение. Пусть
1 : R -*¦ М — геодезическая локально симметрического
многообразия. Пусть V = ~ @) — вектор скорости в точке
р = 1 @). Определим линейное преобразование
Kv:TMp-+TMp
формулой *) К у (W) = Я (V. W) V. Пусть *, «„ —
собственные значения Ку.
Теорема 20.5. Точками, сопряженными е р
вдоль ?, являются точки ? (кД/уТ]), где к — любое
целое число, отличное от нуля, и ех —любое поло-
положительное собственное значение Кч. Кратность т (/)
как сопряженной точки равна числу значений tt,
для которых t кратно Т
Доказательство. Заметим сначала, что преобра-
преобразование К у является самосопряженным:
{W. KV(W')).
См. [41]. —Прим. ntpta.
Ку не следует путать с тензором Риччн из | 19.

g 21. Группы Ли как симметрические пространства 121
Это немедленно вытекает из соотношения симметрии
Следовательно, можно выбрать в ТМр ортонормирован-
ный базис Ux Ua так, что
где tv .... «„ — собственные значения. Продолжим U,
до векторного поля вдоль -f с помощью параллельного
перенесения. Тогда, ввиду локальной симметричности М,
соотношение
останется справедливым всюду вдоль -г. Каждое вектор»
ное поле W вдоль т единственным образом представляется
в виде
=«,(<) ОД + ... +«
Тогда уравнение Якоби —ур—i-/f/(W)e0 принимает вид
Так как векторы U, всюду линейно независимы, это урав-
уравнение эквивалентно системе л уравнений
Нас интересуют решения, равные нулю при /«=0. Если
в, > 0, то t», (/) в с, sin (V^*»0« ci — некоторая постоянная.
Тогда нули решения w, (/) являются кратными / «в ic/yTJ.
/ Если »,в0, то w, (t) ¦ с,/, и если «, < 0, то t», (/) =»
ssb с, eh (/fejf) ¦ при некотором постоянном с,. Итак,
если г, < 0, то w,(/) обращается в нуль только при U0,
Теорема 20.5 доказана.
§ 21. Группы Ля как симметрические пространств*
В этом параграфе мы рассматриваем группу Ли О
с римановой метрикой, инвариантной как относительно
левых сдвигов

122 Гл. IV. Приложения к группам Ли
так и относительно правых сднигов Л>, (о) — от. Такая
метрика заведомо существует, если группа О коммута-
коммутативна. Если О компактна, то такая метрика может быть
построена с помощью посторонне инвариантной меры
Хаара {*. Пусть (,) — любая рнманова метрика на О.
Определим ноиое скалярное произведение ((. )) формулой
{{V. W)) = [ (?,./?„ (V). L..A?,. (W)) ф (о) </(л (t).
ОХО
Это произведение двусторонне itimapiiaiiTiio.
Лемма 21.1. Если О — группа Ли с двусторонне
инвариантной метрикой, то О — симметрическое
пространство. Отражение /, в произвольной точке
i?Q определяется формулой /, (а)-- то~Ч.
Доказательство. По условию, Ц и А?, — нзоме-
трии. Определим отображение lt\Q-+G соотношением
Тогда /„:.ТОе-+ТОе переворачивает касательные век-
векторы в е, так что Л» — иэометрня касательного прост-
пространства. Тождество
показывает, что /м : Т0в -*¦ ТОа^ есть изометрия при
любом о ? О. Таг. как /, переворачивает касательное про-
пространство в е, оно переворачивает проходящие через в
геодезические.
Положим, наконец, /t(o) = t3';; тогда тождество
lx = RxfeRv% показывает, что каждое /t есть изометрия,
переворачивающая геодезические, проходящие через т.
Однопараметрической подгруппой в О называется
гомоморфизм класса. С00 группы R в О. Хорошо известно,
что однопараметрическая подгруппа в О определяется
своим касательным вектором в е (см. [45]).
Лемма 21.2. Однопа рамет рическими подгруп-
подгруппам» О являются геодезические 1 в О, такие, что
#, а только она.

$ 21. Группы Ли как симметрические пространства 123
Доказательство. Пусть т :R-*¦ О — геодезиче-
геодезическая, причем f@) = *. По лемме 20.1 отображение/т(()/#
переводит f(«) в -j(a-f-2/). Тогда /,„>/,(«) = Tf(OeT (')•
следовательно, -у @ -j (и) f (/) =-- f (и -f- 2/). По индукции
для любого целого а получаем i (л/) = (т (<))"• Если fV"
рационально, так что /' = п'/ и /" = n"t прк некотором /
и некоторых целых п' и п". то f (/' + О — ("I О)" +"* =¦
= f('')T('")- По непрерывности f является гомоморфизмом.
Пусть теперь ^ : R -> О — однопараметрическая под-
подгруппа. Пусть f' — геодезическая, имеющая тот же каса-
касательный вектор в е, что и f Как мы видели, f' есть
однопараметрическая подгруппа. Следовательно, 7'Я=Т>
Доказательство закончено.
Векторное поле X на группе Ли О называется лево-
инвариантным, если (La),(Xt,)~ Xa.t, при любых в,
b из О. Если поля X л Y левоинвариантны, то поле [A", Y]
тоже левоинвариантно. Алгебра Ли й группы О есть век-
векторное пространство левоинвариантных векторных пилей,
превращенное в алгебру операцией [ ).
Алгебра g есть действительно алгебра Ли, так как
тождество Якоби
ЦХ, Ki.Zl + liK. 21. X\ + UZ. Х\. К)«О
выполняется для любых (не обязательно левоинвариантных)
векторных полей X. У и Z.
Теорема 21.3. Пусть О — группа Ли с дшуспо-
ронне инвариантной римановой метрикой. Если X,
Y. Z и W — левоинвариантные векторные поля
на О, то
(«) <I*.K|.Z)«<A\ [К. Z\).
(б) R(X, Y)Z-\llX, Y), Z\,
(•) (R (X. У) Z. W)
Доказательство. В § 8 мы ввели обозначение'
-V f— К для ковариантной производной К в направлении X.
Для любого левоинвариантного поля X выполняется
тождество

124 Гл. IV. Приложения к группам Ли
так как интегральные кривые поля X являются левыми
сдвигами однолараметрических подгрупп и, следовательно,
геодезическими. Поэтому
равно кулю; следовательно.
С другой стороны.
{X\-Y)-(Y\-X) = \X. Y\.
согласно определению 8.5. Складывая эти два уравнения,
.получаем
(г) 2(*|~П-1А'. П-
Напомним тождество из § 8
Y{X. Z) = {Y[-X, Z) + {X, Y\-Z)
(см. следствие 8.4). Левая часть равна нулю, так как
(X, Z) постоянно. Подставляя формулу (г) & это урапне-
ние. получаем
0 = <[К, X]. Z) + {X. IK. Z)>.
Наконец, используя кососимметричность [К, X], получаем
искомую формулу ')
(a) <l*. Y]. Z>=-<*. IK. Z]>.
По определению, R(X, Y)Z равно
~(X\-{YV-Z)) + KYb-{X\-Z)) + {[X. Y\\-Z).
При подстанопке формулы (г) это выражение принимает вид
~-\[Х. [У. Zjl-j-i{K. l^. Z\)-1-±UX, К]. Z).
Отсюда, используя тождество Якогш, выводим искомую
формулу
(Q) ЩХ, K)Z = 4lLY, П. А-
формула (в) вытекает из (а) и (б).
') Трилинейная функция X,Y, Z<+ (\X, У], 2) оказывается,
таким образом, кососимметричной по всем трем переменным.
Получается леаоинварг.антная дифференциальная 3-форма на О,
представляющая элемент группы когомодогий де Рама ti~*(O),
Таким путем Картан доказал, что H*(G) Ф О для любой яеабе*
левой комаахтной связной группы Ли (см. [15]).

§ 21. Группы Ли как симметрические пространства 125
Следствие 21.4. Кривизна по любому двумер-
двумерному направлению (R(X. Y)X, Y) = j([X, У], [X, У\)
неотрицательна и обращается в нуль тогда и
только тогда, когда [Л\ И] = 0.
Напомним, что центр с алгебру Ли я определяется
как множество тех Х?$, для которых [X, К} ас 0 при
всех Y ?д.
Следствие 21.5. Если О имеет двусторопн*
инвариантную метрику, а центр ее алгебры Ли
g тривиален, то G компактна и фундаментальная
группа G конечна.
Доказательство. Это вытекает из теоремы
Майерса (§ 19), Пусть Я\-—любой единичный вектор
из д; построим ортонормированный базис Хх Хя>
Кривизна Риччи
должна быть строго положительной, так как {Х\> Х(\ Ф О
При некотором /. Кроме того, величина К (Xt, Хг) отгра'
ничена от нуля снизу, так как единичная сфера в g ком-
компактна. Поэтому, согласно следствию 19.5. многообразие О
компактно.
Этот результат можно несколько усилить. Справедливо
Следствие 21.6. Односвязная группа Ли О с дву-
сторонне инвариантной метрикой распадается в де-
декартово произведение (У X R*. где Q* — компактная
группа и R* — евклидово пространство, рассматри-
рассматриваемое как аддитивная группа Ли./ Центр алгебра
Ли группы (У тривиален.
Обратно» очевидно, что каждое такое произведение
(У X R* обладает двусторонне инвариантной метрикой.
Доказательство. Пусть е — центр алгебры Ли g,
и пусть
{Х. С>=»0 пра всех

126 Гл. IV. Приложения к группам Ли
— ортогональное дополнение к с. Тогда д' является под-
подалгеброй Ли. В самом деле, если X, У?$' и С?с. то
{{X, Y).C) = (X. |K. С]> = 0.
следовательно. \Х, Y] ? ij'. Поэтому алгебра \\ распадается
в прямую сумму й'фс алгебр Ли. Значит. О распадается
в декартово произведение С X О", где О' компактна, со-
согласно 21.5. а О" односвязна и абелева и, следовательно,
изоморфна некоторому R* (см. [45]). Доказательств за-
закончено.
Теорема 21.7 (Вотт). Пусть О — компактная
односвязная группа Ли. Тогда пространство петель
Q(G) имеет гомотопический тип клеточного ком-
комплекса без нечетно мерных клеток с конечным числом
клеток любой четной размерности X. ¦
Итак, Х-я группа гомологии пространства 2@) есть
нуль, если X нечетно, и свободная абелева группа конеч-
конечного ранга, если X четно.
Замечание 1. Указанный в теореме клеточный ком-
комплекс будет всегда бесконечномерным. Например, если
О — группа S3, состоящая из единичных кватернионов, то,
как мы видели, группы гомологии Ht(Q(S3)) являются
бесконечными циклическими при всех четных I.
Замечание 2. Теорема остается справедливой и для
некомпактных групп. Действительно, каждая связная группа
Ли содержит в качестве деформационного ретракта ком-
компактную подгруппу (см. [131).
Доказательство теоремы 21.7. Выберем две
точки р и q в О, не сопряженные ни вдоль какой геоде-
геодезической. По теореме 17.3 2@; p. q) имеет гомотопи-
гомотопический тнл клеточного комплекса, в котором каждой гео-
геодезической индекса X, соединяющей р с q, отвечает одна
клетка размерности X. Согласно теореме 19.4, число кле-
клеток каждой размерности X конечно. Остается только до-
доказать, что любая геодезическая имеет четный индекс X.
Рассмотрим геодезическую f, выходящую из р с век-
вектором скорости

§ 21. Группы Ли кок симметрические пространства 127
В соответствии с теоремой 20.5, сопряженные с р точки f
определяются собственными числами линейного преобра-
преобразования
Ky-.TO^TG,,,
где
К у (№) = R (V. W) V = j [[V, Щ, V].
Определив присоединенный гомоморфизм
соотношением
A
найдем
Линейное преобразование Ad V кососнмметрично, т. е.
Это немедленно следует из 21.3. (а). Поэтому можно вы-
выбрать в д такой ортонормированный базис, в котором
матрица AdV имеет вид
•я, О
— а2
а2
0
Следовательно, произведение линейных преобразований
имеет матрицу
— а*

128 ' Гл. IV. Приложения к группам Ли
Поэтому ненулевые собственные числа преобразования
Ку — — -T-(AdVJ положительны и имеют четную крат-
кратность.
Из теоремы 20.5 следует, что точки, сопряженные
с р вдоль 7- также имеют четную кратность. Вместе с тео-
теоремой об индексе это показывает, что каждая геодези-
геодезическая, ведущая из р в q, имеет четный индекс X, что и
требовалось доказать.
§ 22. Многообразия, составленные
из минимальных геодезических
До сих пор мы рассматривали пространство путей
2(/И; р, q), связанное с двумя точками p. q?M «общего
положения*. Однако, как указал Ботт. можно получить
очень полезные результаты, рассматривая пары точек р, q,
расположенных некоторым специальным образом. Напри-
Например, пусть М — единичная сфера Sa+1 и р, q — противо-
противоположные точки. Тогда минимальных геодезических, со-
соединяющих р с q. бесконечно много. Действительно, про-
пространство минимальных геодезических Q*' является гладким
л-мерным многообразием, которое можно отождествить
с экватором SncSn+l. Мы увидим, что это пространство
минимальных геодезических оказывается хорошей аппро-
аппроксимацией всего пространства петель 2(S"+i).
Ч
Пусть М — полное риманово многообразие и р, q ? М—
две точки на расстоянии f(p, q) — Y^ друг от друга.

§ 22. Многообразия «.i минимальных геодезических 129
Теорема 22.1. Если пространство 2** минималь-
минимальных геодезических из р в q является топологическим
многообразием и если каждая неминимальная гео-
геодезическая из р в q имеет индекс не меньше Х„, то
относительные гомотопические группы лД2, Я?) три-
тривиальны при 0 v / < \).
Следовательно, при i CK — 2 гомоморфизм включения
является изоморфизмом. Но хорошо известно, что гомо-
гомотопическая группа в,(S2) изоморфна ni+1(M) при лю-
любом I D3]. Таким образом, мы получаем
Следствие 22.2. В тех же предположениях
$руппа «/(О4) изоморфна «m(M) при 0</<Х„ — 2.
Применим это следствие к случаю противоположных
точек сферы S"+i. Очевидно, предположения выполнены
при Хо = 2«. В самом деле, каждая неминимальная геоде-
геодевическая должна обойти по крайней мере полтора раза
вокруг S"+l и содержать внутри две сопряженные точки,
каждая кратности п. Мы доказали
Следствие 22.3. (Теорема Фрейденталя о надстройке.)
Гомотопическая группа «,E*) изоморфна «<+j(S')
ара <<2rt--2.
Из теоремы 22.1 вытекает также изоморфизм групп
гомологии пространства петель Q и многообразия Q* в раз»
иермостях, не превосходящих \—2. дто получается из
теореиы 22.1 с помощью относительной теоремы Гуре-
вича (си., например [43. стр. 416) и |Э5|).
Остальную часть § 22 ыы посветим доказательству
теоремы 22Л. Это доквзательство будет основано на сле-
следующей лемме, утверждающей, что условие — .все критик
ческне точки имеют индекс не меньше ^• — сохраняется
при малом шевелении заданной функции.
Пусть К — компактное подмножество евклидова про-
пространства R* и U — окрестность К; tftrk, ; , , :J;
•—гладкая функция, все
шм в К. имеют индекс т

130 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Лемма 22.4. Если g : U -*¦ R — любая гладкая
функция, ^близкая* к / в том смысле, что для не-
некоторого достаточно малого е
I A»! Ac,
равномерно в К. то все критические точки g в К
имеют индекс не меньше V
(Заметим, что у / допускаются вырожденные крити-
критические тачки. В приложениях g — близкая функция без
вырожденных критических точек.)
Доказательство леммы 22.4. Первые производ-
производные функции g грубо описываются одной действительной
функцией
на U, равной нулю в критических точках g и только
в них. Вторые производные g можно грубо описать с по*
мощью п непрерывных функций
#;.'..., e'-.U-^R,
где
обозначают а собственных чисел патрицы (.. ^Л. Итак,
критическая точна х функции g имеет индекс не меньше X
тогда и только тогда, когда число е\ (х) отрицательно,
Непрерывность функций е1 вытекает из непрерывной
зависимости Х-го собственного значения симметрической
матрицы от элементов матрицы *). Это. в свою очередь,
«ытекает из непрерывной зависимости корней многочлена
от его коэффициентов. (См. § 14 книги {17].)
¦) Это утверждение допускает следующее уточнение. Рассмо-
Рассмотрим две симметрические матрицы лХ л. Если соответствующие
элементы этих матриц различаются не более чем на «, то соот-
соответствующие собственные значения отличаются, самое большее,
иа at. Это можно доказать с помощью минимаксного определе-
определение собственных чисел, предложенного Кураитам (см. § 1 статьи
Куранта J18J). "^

§ 22. Многообразия из ячяпжамнш* *eodeat<*tmu Ш
Пусть mg(x) — большее из двух чисел kg(x) и — е^(х).
Аналогично пусть tnf{x) — большее из соответствующих
чисел А/(дг) и —е*р(х). Из предположения, что все кри-
критические точки / в К имеют индекс не меньше Х„. вы-
вытекает, что—e^(jr)>0 при kf(x)==Q. Иначе говоря,
|*у(х)>0 при всех х?К-
Обозначим через 8 > 0 минимум mf на К. Предполо-
Предположим, что функция g столь близка к /, что при всех х?К
\kg(x)-k,(x) К 8. \е^(х) -е}(х)\< 8. (¦)
Тогда величина mg(x) положительна при *?/( и. следо-
следовательно, каждая критическая точка g в К имеет индекс
не меньше X<>.
Чтобы закончить доказательство леммы 22.4, нужно
только показать, что неравенства (*) вытекают из нера-
неравенств.
при достаточно малом е. Это следует из соображений
равномерной непрерывности (мы предоставляем читателю
провести соответствующие рассуждения) или из предыду-
предыдущего примечания.
Докажем теперь аналог теоремы 22.1 для действитель-
действительных функций, заданных на многообразии.
Пусть /:M-»R — гладкая действительная функция,
минимум которой равен нулю, такая, что каждое множе-
множество Меш* /"' {0, .с] компактно. . , '
Лемма 22.5. Если множгстло М? точек минимума
является многообразием и каждая критическая
точка $ М — АГ имеет индекс не меньше i^, то
к,(М. М°)~Ъ при 0<г < V
Доказательство» Заметим сначала, что М*
является ретрактом некоторой своей окрестности UcM.
Действительно. Ханнер доказал, что каждое многообра--
вие М° есть абсолютный окрестностный ретракт (тео-
(теорема 3.3 в статье [40]), Заменяя U меньшей окрестностью
(если это потребуется), мы можем считать, что каж-
каждая точка из U соединена с соответствующей точкой в М*
0*

132 Гл. IV. Приложения к группам Ли
единственной минимальной геодезической. Итак. U можно
продеформиропать в № внутри М.
Обозначим через /' единичный куб размеряет» г < X,,,
и пусть
А: (Г. А) ->{М, М°)
— любое непрерывное отображение. Мы должны показать,
что h гомотопно отображению А', для которого ft' {lr)<s.M\
Пусть с есть максимум / на А (/'). Пусть 38 > О есть
минимум / на множестве М — U ^функция / имеет мини»
мум ма множестве М — V, так как каждое М" — U ком*
паю но).
Выберем теперь гладкую функцию
близкую к / и tre имеющую вырожденных критических
точек. Такая функция существует, согласно следствию 6.8.
Близость g к / здесь понимается в следующем смысле:
A) \/W-g{x)}<b при всех x$Mc**'t
B) с.ндекс g больше или равен >.о в каждой крити-
критической точке компактного множества /~'l^. с-)-2ё}.
Из .^еммы 22.4 вытекает, что условие B) будет вы-
выполнено, если функция g достаточно хорошо аппрокси-,
мирует / я при этом аппроксимируются также первые и
вторые производные. 8 самом деле, компакт'/"*' {5, с -4* Щ
ыожно покрыть конечным числом компактов Kt, каждый
кг которых лежит в одной координатной окрестности.
Лемма 22.4 применима тогда к «аждому:/(<¦
Доказательство леммы 22.5 проводится теперь следую*
шин' образом. Функция g — гладкая в компактной области
g~x\2b, c-t-JJc/*^, с -f- 2S1, все ее критические точки
невырождены и имеют индекс не меньше \. Следова-
Следовательно, многообразие g"l{—cc. c-f-8) имеет гомотопи-
-ческий тип g^i—co. 28J с приклеенными клетками раз-,
мерностей не меньше i^. . *.\ :
Рассмотрим теперь отображение , '^; • . .:'-. ¦''

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 133
Так как r<i0, отображение А в (g~l(—оо, е-\-Ь], М°)
гомотопно отображению
*':</'. /')-ng-i(—oa, 28}. М°).
Но последняя пара содержится в (?/, М°), и U внутри М
деформируется в Ж0. Следовательно, А' гомотопно внутри
(М. М°) отображена» *":(/'. Jr)-*(M\ M% Доказатель-
Доказательство леммы 22.5 закончено.
Исходная теорема 22.1 доказывается теперь следую»
шнм образом. Очевидно, достаточно доказать, что
при произвольно больших значениях с Как в § 16,
пространство Int8c содержит гладкое многообразие
Int He(t0. /,, ... k tk) в качестве деформационного ретракта.
Пространство минимальных геодезических 0^ содержится
в этом гладком многообразии.
Ограничение функции действия ?:?-*> R на
Int42е(г0, /,...., 1А) почти удовлетворяет условиям 22.S.
Единственное затруднение состоит в том, что значения
Е(ш) пробегают интервал d <?< с вместо требуемого
интервала {0, оо). Для исправления этого несоответствия
рассмотрим любой диффеоморфизм
F.ld, с)-Ч0, оо).
Тогда
/*•?": IntSr*(/0. /,. .... *»)-*R
удовлетворяет всей предположениям леммы 22.9. Следа»
вательно, груипа
«,AпЮ*{/0. .... tk)t ^^(M&.Q*)
тривиальна при /<Х0. Доказательство закончено.
§ 28. Теорема Ботта о периодвчноств
дм унитарной группы
Начнем в обзора известных фактов, касающихся уни-
унитарной группы. Пусть С* — пространство наборов и ком-
комплексных чисел с обычным эрмитовым скалярным произ-
произведением. По определению унитарной группой U(i)

134 Гл. IV. Приложения к ердяяям Л»
называется группа всех линейных преобразований S : С" ->
->С", сохраняющих это скалярное произведение. Пред-
Представляя преобразования матрицами, можно сказать, что
U (я) есть группа всех комплексных (я X я)-матриц 5,
таких, что SS* = I, где S* — матрица, сопряженная (транс-
(транспонированная комплексно-сопряженная) с 5.
Для любой комплексной (я X я)-матрицы А экспо-
экспонента Л определяется сходящимся степенным рядом
ехр А = / + Л-f-jr ** + ¦% Л*+ • • • •
Легко проверяются следующие свойства экспоненты:
A) ехр (Л*)=(ехр Л)'; ехр(Г-АГ~1)==Г(ехр«А)Г;
B) если А и В коммутируют, то
ехр (А + В) = (ехр А) (ехр В):
В частности,
C) (ехр Л) (ехр (— Л)) = /;
D) функция ехр отображает окрестность нули
9 пространстве (п X п)-матриц, диффеоморфно на
окрестность матрицы I.
Если матрица А косоэрмитова (т. е. Л-{-Л* = 0), тб
из A) и C) вытекает, что ехр А унитарна. Обратно, если
ехр Л унитарна и А достаточно близка к 0, то из A), C)
и D) вытекает, что /l-f-v4* = 0. Пользуясь этим, легко
доказать свойства
E) U (п) есть гладкое подмногообразие простран-
пространства (п У, п)-матриц; -
F) касательное пространство TV (я); можно ото-
отождествить е пространством косоармитошх (я X «)-
Матриц.
Следовательно, алгебра Ли fl группы U(/t) тоже может
быть отождествлена с пространством косоэрмитовых матриц.
В самом деле, любой касательный вектор в / единствен-
единственным образом продолжается до левоинвариантного вектор*
ного поля на U(/i). Вычисление показывает, что скобке
Пуассона левоинвариантных векторных полей соответ-
соответствует коммутатор матриц [А, В]=*АВ — В А.
Так как группа U(/i) компактна, она обладает дву-
сторонне инвариантной римановой метрикой. Заметим, что

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 135
функция
определенная с помощью экспонент матриц, совпадает.
с функцией ехр, определенное в § 10 при помощи геоде-
геодезических на полученном римановом многообразии. В самом
деле, для любой косоэрмитовой матрицы А соответствие
/-vexp(M)
определяет однопараметрическую подгруппу группы U(«i
(согласно свойству B), приведенному выше), а значит,
геодезическую.
Специальная риманова метрика на U(«) может быть
определена следующим образом. Для данных матриц
A, S?<J обозначим через {А, В) действительную часть
комплексного числа . .
Очевидно, это скалярное произведение положительно опре-
определено на g.
Скалярное произведение на g определяет на U(n)
единственную левоинвариантную риманову метрику. Чтобы
проверить, что эта метрика также правоинвариантна,
нужно убедиться в том, что скалярное произведение инва-'
риантно относительно присоединенного действия U (а) на д.
; Определение присоединенного действия AdE).
Каждый элемент S?U(n) определяет внутренний авто-
автоморфизм .
группы U (л). Индуцированное линейное преобразование
I (L5Rs\:TU(n)t-*TV(n)t
обозначается Ad E). Таким образом. Ad E) есть авто-
автоморфизм алгебры Ли группы U(n). Утверждение A) (см.
выше) позволяет написать явную формулу
где

1Ж
Гл. fV.
Д*.
Скалярное произведение {А, В) сохраняется при лю-
любом таком автоморфизме Ad (S). Действительно, если
Л, = Ad (S) A, fl,==Ad(SH. то из тождества
АХВ\ = SAS~' (SBS'1)* = 5 AB*S
вытекает, что
Tf (/4,fiO = Tr (SAB'S'1) = Tr
и, следовательно.
Поэтому соответствующая девоинварнантная «етрика на
U(n) также и праооинвариаитна.
( Из обычной теории матриц известно, что для любой
матрицы Л?в существует такое 7^U(ff). что матрица
1 диагональпа:
/а,
ТАТ'1
TAT'1:
la.
где а„ действительны. Точно так же дли любого
существует такое Г $ U (»), что
где ак снова действительны. Таким образом, uv непосред-
непосредственно убеждаемся в том, что отображение ехр : g-vU(n)
является отображением на.
Аналогичным образом можно рассмотреть специальную
унитарную группу SU(»)< По определению, SU(«) есть
подгруппа U (а), состоящая из всех матриц с определит
телек 1. Рассматривая ехр как обычную экспоненту матрицы
и используя диагональную форму, легко показать, что \
det(expA)»

§ 23. Теорема Ботта о периодичности
137
Из этого соотношения можно усмотреть, что алгебра Ли а/
группы SU(n)ecTi. множество всех матриц А, для которых
A -f- А' =в 0 и след А равен нулю.
Чтобы применить теорию Морса к изучению тополо-
топологии U(n) и SU(n), мы начнем с рассмотрения мно.кества
всех геодезических в 11(я). соединяющих /и —/. Иными
словами, мы будем искать Л ? TU A), = g, для которых
ехрД = —/. Пусть А — такая матрица; если она не
диагональна, то пусть F?U(n) — такое, что ТАТ~% диа-
гональна. Тогда
ехрГДГ = Т (ехр А) Г = Т (— /)Т"' аа — /.
Поэтому достаточно отыскать диагональные матрицы
/а,
В этом случае
/а.
так что ехр
вид
— / тогда и только тогда, когда А имеет
с нечетными целыми А,, к7 *„.
Так как длина геодезической t-+txptA от /»0
до <=1 равна |>4| = YltAA*. то длина геодезической..
определенной матрицей А. раина it V ** -+- ... •+-*«• Итак,
Л определяет минимальную геодезическую тогда и только
тогда, когда каждое к, равно ±1. и • этом случае длина
геодезической равна %У~п. Рассматривая такое А как

138 Гл. IV. Приложения к группам Ли
линейное отображение С на С. замечаем, что А пол-
ностью определяется своими собственными подпростран-
подпространствами Elgen (/it) (состоящим из всех векторов v ? С,
для которых Av = tin>) и Eigen(—In) (состоящим из
всех v?C", для которых Ava=--titv). Так как С раз-
разлагается в ортогональную сумму Elgen (/л) © Elgen (—/я),
матрица А полностью определвется пространством Elgen (/it),
которым может быть произвольное подпространство в С.
Итак, пространство всех минимальных геодезических U (я),
соединяющих /с —/, можно отождествить с простран-
пространством всех векторных подпространств в С".
К несчастью, этим пространством несколько неудобно
пользоваться, так как его компоненты имеют разные раз-
мерности. Этого затруднения можно избежать, заменив О (в)
пространством SU (я) и положив л = 2м. В этом случае
все предыдущие рйссужленкя сохраняются, но дополнитель-
дополнительное условие flj -4- ... + °tn ~ 0' 'де ait== — *• вынуждает
пространство Eigcn(/«) быть т-мерным (в остальном —
произвольным) векторным подпространстиом в С2*. Это
доказывает следующую лемму.
Лемме. 23.1. Пространство минимальных геоде-
геодезических, соедилчющиг I с —/ в специальной у««-
тарной группе SUBm), гомеоморфно комплексному
многообразию Гроссмана От(Сгя|). состоящему аз
всех т-мер них векторных подпространств прост'
ранете а Сгт.
В конце этого параграфа будет доказана
Лемма 23 2. Каждая неминимальная геодезиче-
геодезическая, соединяющая f с—/ в SUB/n), имеет индекс
не меньше 2m-f-2.
Объединяя эти две лгмяы с результатами, изложен-
изложенными, в § 22, получаем следующее утверждение.
Теорема 23.3 (Ботт). Отображение включения
От (Cim) -* 2 (SU B/м); /. — /) индуцирует изоморфизмы
гомотопических групп в размерностях^ не прево-
превосходящих 2т. Поэтому при I < 2т имеем

§ 23. Теорема Ботта о периодичности 139
С другой стороны, стандартные методы теории гомо»
топий приводят к некоторым другим изоморфизмам.
Лемма 23.4. Группа Tc(Om(C2m) изоморфна «,_iU(m)
при I < 2т. Далее, при I ^ 2т
и при j Ф\
Доказательство. Заметим сначала, что при
любом т существует расслоение
Из точной гомотопической последовательности этого рас-
расслоения
видно, что
(См. [34].) Следовательно, гомоморфизмы включения
все являются изоморфизмами, если / < 2т. Эти изоморф-
изоморфные друг другу группы коротко обозначаются через itj_iU
и называются (/—1)-й стабильной гомотопической
группой соответствующей унитарной группы.
Та же точная последовательность, показывает, что при
/зв2т-|~1 гомоморфизм
-» «^,1) (т-f 1) ^
авляется отображением на.
Комплексным многообразием Штифеля называется про-
пространство классов смежности UBm)/U(m). Точная после-
последовательность расслоения
U (m) -¦ U Bт) -* U Bт)/1) (т)'
показывает, что тс, (U Bm)/U (m)) = 0 при / < 2т.
Комплексное многообразие Грассмана можно отожде-
отождествить с пространством классов смежности От(С2м) =

140 Га. IV. Приложения к группам Ли
— UBm)/U(m)XU(m) (см. Стинрод |34. § 71). Из точ-
точной последовательности расслоения
. U (m) -* U B«)/U (т) -¦ От (С*и)
получаем при t <' 2т изоморфизм
Наконец, иэ точной последовательности расслоения
SU(m)-
видно, что при ] ф I
Лемма 23.4 доказана.
Объединяя лемму 23.4 с теоремой 23.3, находим
при 1<1<2/к. Таким образом, доказана
Теорема периодичности. «^и^Ёя^и я/>«/>1.
Для вычисления этих групп достаточно заметить, что U (I)
есть окружность, так что
it,U — k,UA)^Z (бесконечная циклическая).
В качестве проверки рассмотрим трехмерную сферу SUB).
Имеем
Итак, доказана следующая '¦¦
Теорема 23.5 (Ботт). Стабильные гомотопически*
tpynnu «jU унитарных групп периодичны с перио-
периодом 2. А именно группы
равны ну.»до. а группы
—бесконечные циклические.

§ 23. Теорема Ботта о периодичности
141
Остальная часть § 23 посвящена доказательству
леммы 23.2. Мы должны сосчитать индексы всех немини-
неминимальных геодезических, соединяющих /с —/в SU(n),
где л четно. Напомним, что алгебра Ли
состоит из всех косоэрмитовых (л X л)-матриц со следом
нуль. Заданной матрице А?$' соответствует геодезиче-
геодезическая из / в — / тогда и только тогда, когда собственные
числа А имеют вид /кЛ, /«*„. где Л,, .... к„ — не-
нечетные целые числа, дающие в сумме нуль.
Мы должны найти точки, сопряженные с / вдоль
геодезической
/-*ехр(/.4).
Согласно теореме 20.5, они определяются положитель-
положительными собственными числами линейного преобразования
где
т\ л Lit A UJ'l A\
(см. теорему 21.7).
Можно предположить, что матрица А диагональна:
А ==
/тс*.
где *i>*,>... >А„. Положим П7==(«л). Коротко*
вычисление показывает, что
[А. Г1 = (/*(Ау-А,)«у/). )
следовательно, ..
[А. [А, Щ) = (— «> (к, — kj* wJt).
Укажем теперь базис в $'. состоящий из собственных
векторов преобразования КА, а именно:

142 Гл. IV. Приложения к группам Ли
1) при любом j<ll матрица Ец (с элементами е^ = 1,
е1} = — 1, остальные нули) принадлежит fl' и является
собственным вектором с собственным значением
2) точно такими же свойствами обладает матрица Ец.
У</ (с элементами eJl = e[jT=-^-l, остальные нули);
3) каждая диагональная матрица из fl' — собственная,
с собственным значением нуль.
Итак, ненулевые собственные значения преобразования
КА равны ~ (kj — А,J, где kj > *,, причем каждое из них
двукратное.
Рассмотрим теперь геодезическую у (г) = ехр (А. Каждое
собственное значение е = -^- (kj—k^2 > 0 пброждает серию
сопряженных вдоль f точек, соответствующих значениям
п 2к Зк
(см, теорему 20.5). Подставляя вместо е его значение,
находим
, 2 4 6
* " •
Число таких значений t в открытом интервале @, 1), оче-
Rj — Л(
видно, равно ——^—— Г.
Теперь применим теорему об индексе. Для любых J, I,
таких, что kj > kt, мы получим двукратное собственное
значение -^-(*/ — kt)! и, соответственно, двойной вклад
в индекс .
Суммируя по всем J, I, получаем для индекса геодези-
геодезической f формулу
* >*/

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 143
Например, если ? — минимальная геодезическая, то
все kj равны ± 1. Поэтому Х = 0, как и следовало ожидать.
Теперь рассмотрим неминимальные геодезические. Пусть
п = 2т.
Случай 1. По меньшее, мере т +1 из чисел kt
имеют один знак, скажем отрицательны. В этом случае
хотя бы одно из положительных чисел kt должно быть
не меньше 3. Имеем
m + l
Случай 2. Среди чисел k, ровно т положительных
и т отрицательных, но не все они равны ±1. Тогда одно
из них не меньше 3 и одно не больше:— 3, так что
X > И2 C - (-1) - 2) + 2 A - (-3) _ 2)+.
4-C-(-3)-2) = 4«>2(«-f 1).
Итак, в обоих случаях К ^- 2ж -f- 2. Это доказывает
лемму 23.2 и тем самым завершает доказательство тео-
теоремы 23.3.
§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группа
В этом параграфе приводится аналогичное изучение
итерированного пространства петель ортогональной груп-
группы. Это исследование будет несколько конспективным;
мы опустим многие детали. Наша точка зрения навеяна
статьей {?Ь связывающей теорему периодичности со струк-
структурой некоторых кдиффордовых алгебр.
Рассмотрим векторное пространство R" с обычным
скалярным произведением. Ортогональная группа О(л) со-
состоит из всех линейных преобразований
сохраняющих это скалярное, произведение. Иначе говоря,
О(«) состоит из всех-действительных (л X п)-матриц Г,
таких, что ТТ***(. Эта группа О (я) вкладывается
в унитарную группу U{«) в качестве гладкой подгруппы;
поэтому она наследует двусторонне инвариантную риманову
метрику.

144
Гл. IV. Приложения к группам Ли
Предположим теперь, что л четно. *
Определение. Комплексной структурой J в R"
называется линейное преобразование J: Rn — > R", принадле-
принадлежащее ортогональной группе и удовлетворяющее тож-
тождеству У2 — — /. Пространство всех таких комплексных
структур в R" будет обозначаться через ii, (я).
Мы вскоре увидим, что i&i(n) есть гладкое подмного-
подмногообразие ортогональной группы О (л) (лемма 24.4).
Замечание. Зафиксируем структуру У, ? 12, (л).
Пусть U (л/2) — подгруппа в О (л), состоящая из всех
ортогональных преобразований, перестановочных с Jl.
Тогда Ц,(я) можно отождествить с факторпростран-
ством О(я)/и(л/2).
Лемма 24.1. Пространство минимальных геоде-
геодезических в О (л), соединяющих I с —/, гомеоморфно
пространству i2x (л) комплексных структур в R".
Доказательство. Пространство О (л) можно отож-
отождествить с группой ортогональных (л X л)-матриц. Ее ка-
касательное пространство g = ГО (л), отождествляется с про-
пространством кососимметрических (л X л)-матриц. Каждая
геодезическая f, для которой т@) = /, единственным обра-
образом записывается в виде
с некоторой матрицей ?$
Пусть л = 2т. Так как матрица А кососимметриче*
екая, существует такав матрица Г?О(д), что
TAT'1 :
•в, О
О аа
— а, О

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы I4&
где л,. аг am >0. Простое вычисление показывает,
что матрица Т(ехркА)Т~1 имеет вид
О
О
cos ite3
— SlllKOj
costcet ftnsu,
— Sin КО, COSSO|
О О
О
О
Итак, ехр(п/4) = —/ тогда и только тогда, когда
»!• '
em — нечетные целые числа.
Как легко проверить, скалярное произведение {А. А}
равно 2 (а* -+- а\ + ... -+- ej,). Следовательно, геодези-
геодезическая 7@ — ехр(«//4). соединяющая / с — /, минимальна,
ТОГДа И ТОЛЬКО ТОГДа, КОГДа at=*3a3aac ... каамаех1.
Бели y минимальна, то
Г.-1
О
-1
1
О
О i
— 1 О
г--/.
поэтому А есть комплексная структура. . . .
Обратно, пусть У—любая комплексная структура. Так
как матрица J ортогональна, имеем
где /* означает транспонированную матрицу J. Это обстоя*
тельстао, вместе с тождеством //«¦ — /, показывает»
что J*r=s—J. Итак, матрица У косоеммметрическая. Сле-
Следовательно,
О *х
ГУГ
-I
19 Дж.

146
Л*. IV. Приложения к группам Ли
для некоторых в,, в, а,„ >• 0 и некоторой матрицы Т.
Из тождества Л ~ — / вытекает теперь, что а, <= ...
...=em=! и. значит, е.хряУ = — /. Лемма 24.1 до-
доказана.
Лемма 24.2. Каждая неминимальная геодези-
геодезическая в О Bт), соединяющая I с —/, имеет индекс
не меньше 2т — 2.
Доказательство аналогично доказательству леммы 23.2.
Пусть геодезическая имеет вид /~»>exp(i?M), где
О а,
— а, О
О аг
— а. О
причем а, > аг > ... >"em > 0 — нечетные целые числа.
В что кгиулевымн собственными
— ~r (Ad ДJ
р ,
Вычисление показывает,
аначемияма линейного преобразования
являются
1) при каждом /</ число («<Ч-в^
2) прн каждом ^<У и а^ау число (а4 —
Каждое из s-их собственных значений двукратное.
приводит к формуле
)/
Это
•2) +
(в,-ву_2).
Для минимальной геодезической имеем
= аг =
j г
l. так что Х = 0, как и следовало ожидать.
m
Для,неминимальной геодезической
и поэтому
— 2)-f 0 = 2« — 2.
Доказательство леммы 24.2 закончено.
Воспользуемся теперь теоремой 22.1. Две предыдущие
леммы и тот факт, что С, (л)—многообразие, приводят
к следующему результату.

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 14?
Теорема 24.3 (Ботт). Отображение включения
Q, (я)-»20(я) индуцирует изоморфизм гомотопи-
гомотопических групп в размерностях, не превосходящих «—4.
Поэтому при I .-^ п — 4
Теперь мм повторим проведенные рассуждения и изу-
изучим пространство геодезических, соединяющих Ус —У
в Q{(n). и т. д. Предположим, что п делится на 2
в некоторой высокой степени.
Пусть У, У»., — фиксиронаннме комплексные
структуры в R". антнкоммутируюшис() друг с другом:
при г ф s. Предположим, что существует еще хотя бы
одна комплексная структура У, антикоммутирующая
с А Д^-
Определение. Обозначим через Uk(a) множество
всех комплексных структур в R". антиком мутирующих
с фиксированными структурами У,, .... Ук_(.
Итак, имеем
fi» (я)св,_, (я)с ...cU,(«)cO {«).
Очевйно, каждое из множеств Qk(a) компактно. Для
единообразия обозначений естественно положить 20(п)=е
О()
Лемма 24.4. Каждое множество С*(«) является
гладким вполне геодезическим3) подмногообразием
ш О (я). Пространство минимальных геодезических,
соединяющих У,с —У» в 11, (я), гомеоморфпо iil+x(n)
при 0<2 <Л. "
Таким образом, каждая компонента fift(/t) является
симметрическим пространством. В самом деле, изометри-
изометрическое отражение О (я) относительно точки, принадлежа"
щей fit (я), автоматически переводит 04(я) в себя.
') Эти структуры превращают й" в модуль над соответствую-
соответствующей клнффордовой алгеброй. Однако в последующем изложении
клиффордовы алгебры употреблятъеа ив будут.
») Подмногоо*р«не риманова многообразия иаэываетса
вполне геодезическим, если каждая геодезическая в подмного-
подмногообразии остается геодезической и в объемлющем многообразии.

148 Гл. IV. При.южения к группам Ли
Доказательство леммы 24.4. Каждая точка
• О (я), достаточно близкая к единице, единственным обра-
образом записывается в виде ехр А, где А — .малая" кососим-
метрическая матрица. Пегому каждая точка в О (я), близ-
мая к комплексной структуре J, записывается однозначно
¦ виде У ехр А, где А — снова малая кососнмметрическая
матрица.
Утверждение I. JtxpA шляется комплексной
структурой тогда а только тогда, когда А анти-
колму тирует с J.
Доказательство. Если А антикоммутнрует с J,
то J~lAJ=^~- А, и потому
Следовятельно, (УехрЛJ»— /, Обратно, если (p
¦а — /, то предыдущее вычисление показывает, что
exp(j~"lAj)exp A «= /.
Так как матрица А мала, отсюда вытекает равенство
так что А антиком мутирует с У.
Утверждение 2. JtxpA антикоммутирует.
С комплексными структурами ^,...J,., тогда
а только тогда, когда А коммутирует с Jx Л-г
Доказательство аналогично предыдущему.
Заметим, что оба утверждения 1 и 2 налагают на А
линейные уело»;.я. Итак, окрестность ./ в Qk{n) состоит
на всех точек У ехр Л, где А пробегает все малые мат-
матрицы из некоторого линейного подпространства алгебры
Ли й- Отсюда, очевидно, вытекает, что 2* (я) — вполне
геодезическое подмногообразие в О (а).
Теперь зафиксируем з О» (л) точку Jk и предположим.
что существует комплексная структура J, антикоммути-
рующгя с J,, .... Jk. Полагая J~=JkA, мы легко убе-
убедимся я том, что А та.«-же есть комплексная структура,
амтикоммутнруюшяя с Jk. Однако А коммутирует с Jv ...
•••» J*-v Поэтому формула

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 149
определяет в Qk (л) геодезическую, соединяющую Jk с — Jk,
Так как эта геодезическая минимальна в О (л), она заве»
домо минимальна в пк (л).
Обратно, пусть ? — любая минимальная геодезическая,
соединяющая Jk с — Jk в Qk (я). Полагая f @ =»
— У4ехр(*М), находим из 24.1, что А— комплексная
структура, а из утверждений 1 и 2, — что А коммути-
коммутирует с У,. .... У*_, и антикоммутнрует с Jk. Отсюда
легко следует, что JkA принадлежит O*+J(n). Лемма
24.4 доказана.
Замечание. Точка JkA^Qk+1(n). соответствующая
данной геодезической f, имеет очень простой смысл: это
середина геодезической, tIo")"
Чтобы перейти к стабильной ситуации, заметим, что
Ф„(п) можно следующим образом погрузить в Ол («+*')•
Зафиксируем антнкоммутирующне комплексные структуры
J\, .... j'n в R"'. Тогда каждая структура 7^ Q4 (л) опре-
определяет комплексную структуру Уф/ц в R"®R*. антя-
.коммутирующую с ЛфЛ при а = 1, .... к—1.
Определение. Обозначим через fit прямой предел
Цри я->оо пространств Qk(n) с топологией прямого,
ripe дел а (т. е. сильнейшей топологией). Пространство
Crs=i20 назовем бесконечной ортогональной группой.
Нетрудно видеть, что включения Qk +. (я) -> 2Qft (я) по-
порождают в Пределе включения QA+,-*22t.
Теорема 24.5. При любом А>0 предельное
отображение
ЯёЛЯётся гомотопической эквивалентностью. Имеют
место изоморфизмы
Доказательство будет дано несколько ниже.
Сначала мы опишем каждое из многообразий С4(л)
для * = 0. 1, 2 8.
V0(rt) есть ортогональная группа.
{?,(л) есть множество всех комплексных структур в R.

150 Гл. IV. Приложения к группам Ли
При фнксиронаиной комплексной структуре ./, можно рас-
рассматривать R" как комплексное векторное простран-
пространство Ся/2.
И^(п) можно описать как множество „кпатернмонных
структур" в комплексном векторном пространстве СпЯ.
При фиксированном 72 из ii2(n) можно рассматривать С"п
как векторное пространство Н над кпатерниоиамн Н.
Пусть Sp(n/4) — группа изометрий этого векторного
пространства на себя. Тогда 22{л) можно отождествить
с факторпространством U (n/2)/Sp (rt/4).
Прежде чем двигаться дальше, удобно положить
Лемма 24.6-C). Пространство QaA6r) можно
отождествить с ыватернионным многообразием
Грассмани, состоящим из всех кватерайонных под-
подпространств пространства Н4'.
Доказательство. Каждая комплексная структура
J3?Q3(l6r) определяет разложение пространства Н4' =
R16rna два взаимно ортогональных подпространства V,
б J^J
и V2, как это объяснено ниже. Заметим, что J^jJj —
тональное преобразование, квадрат которого J^J^^^
равен -f- /. Поэтому собственные числа )^3 Р^вны ± 1.
Пусть ^cR11" — подпространство, на котором J\J^z со-
совпадает с -f- /, a Vj — ортогональное подпространство,
на котором JiJjJ3 совпадает с —/. Тогда,' очевидно,
R16rr=V,@V2. Так как У,У2У3 коммутирует с /, и /а.
ясно, что V\ и V, инвариантны относительно /j и J,.
Обратно, пусть дано разложение пространства Н47»»
—У,фУ2 на два взаимно ортогональных кватернионных
подпространства. Тогда можно определить ^й
соотношениями
WtVal,
Лемма 24.6-C) доказана.
Пространство О3A6г) неудобно тем, что Оно содер-
содержит компоненты разных размерностей. Удобно сосредо-
сосредоточить внимание на компоненте наибольшей размерности,
а именно на пространстве 2г-мерных кватерниокных под-

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 151
пространств Н4'. Далее мы будем считать У3 выбранным
так, что dimH Vj^dim,, Vj = 2f.
Лемма 24.6-D). Пространство О4A6г) можно
отождествить с множеством всех кватернионних
изометрий Vx на Vr Таким образом, Й4A6г) диф-
феоморфно симплектической группе SpBf).
# Доказательство. Пусть У4?Q4A6г). Произведе-
Произведение У3УЧ антикоммутирует с JXJ^. Поэтому У3У4 отобра-
отображает Vx на Vt (и V2 на V,). Так как J^ коммутирует
с У, и Jv отображение
представляет собой кватернионный изоморфизм. Обратно,
пусть дан любой такой изоморфизм Г: V'j -> VY Легко
видеть, что J4 однозначно определяется соотношениями
Лемма 24.6-D) доказана.
Лемма 24.6-E). Пространство S>sA6r) можно
отождествить с множеством всех векторных про-
пространств W czVv таких, что
A) W инвариантно относительно У, (т. е. W~—
комплексное векторное пространство),
B) V, разлагается в ортогональную сумму
J
Доказательство. Пусть У5?95A6г). Заметим,
что преобразование JWs коммутирует с JiJjJ3 и имеет
квадрат -}-/. Итак, У^Уз отображает Vx на себя и опре-
определяет разложение V, на два взаимно ортогональных под-
подпространства. Пусть WczVx — подпространство, на ко-
котором JyJJs совпадает с -\-1. Так как Уа антикоммул-ирует
с ^У^Уз. мы видим, что ^WcHj есть в точности орто-
ортогональное W подпространство, где У,/^ совпадает с —/.
Очевидно, JXW*=W.
Обратно, нетрудно показать, что подпространство W
однозначно определяет некоторое У5.

152 Гл. IV. Приложения к группам »'/«
Замечание. Если UBr) с SpBr) — группа кватср«
ниокных автоморфизмов V,, оставляющих U7 неподвиж-
неподвижным, то факторпростраиство Sp Br)/U Bг) можно отожде-
отождествить с И5(\Ьг).
Лемма 24.6-F). Пространство Й6A6/-) можно
отождествить с множеством всех действительных
подпространств X с W, таких, что W разлагается
в ортогональную сумму XGjJ^X.
Доказательство. Пусть У6?26A6г). Заметим,
что преобразование JJ4J6 коммутирует и с J^^y к
с J\jjy Следовательно, Уу/4Ув отображает W в себя.
Так как (Уу/476J —/, отсюда следует, что J^J6 опре-
определяет разложение № на два взаимно ортогональных под-
Пространства. Пусть X cW есть то подпространство, на
ттором ./?Vo совпадает с +/. Тогда У,А' — ортогональ-
ортогональное подпространство, на котором J^/^ совпадает с — /.
Обратно, пусть дано X с W. Нетрудно видеть, что
J6 однозначно определяется.
Замечание. Обозначим через О Bг) с U Bг) группу
комплексных автоморфизмов U^, оставляющих А' непод-
тшнии. Тогда факторпространство UBr)/OBr) можно
отождествить с U6A6r).
Лемма 24.6-G). Пространство Q;A6r) можно
отождествить с действительным многообразием
Грасемана, состоящим из всех действительных
подпространств в A'^R2r.
Доказательство. Пусть Уг антикоммутнрует
? /,, .... У4. Заметим, что JiJ^fj коммутирует с J^Jy
JJth и ^tV<> а в квадрате дает -f-/. Итак, У,У»/7 опре-
определяет разложение X на два взаимно ортогональных под-
пространства А", (где JXJ^7 совпадает с -\-1) и Xt (где
/|/д/7 'совпадает с —/). Обратно, можно показать, что
Х%сК однозначно определяет Jv
Пространство ЦA6г). подобно Q306r)- имеет ком*
яомемгы разной размерности. Мы снова ограничимся ком-
йоиентой наибольшей размерности, предполагая, что
dim A'j = dim X^ = t.

$ 24, Теорема периодичности для ортогональной группы 153
Итак, мы получаем
Утверждение. Наибольшая компонента про-
пространства Sl7A6r) диффеоморфна многообразию
Гроссмана, состоящему из г-мерных плоскостей
• е.
Лемме 24.6-(8). Пространство tt,(I6r) можно
отождествить с множеством всех действительных
изометрий Л', на Xv
Доказательство. Пусть У8?О8A6г). Тогда орто-
ортогональное-преобразование J7Jb коммутирует с JxJjJ3. J\JJ$
и JjJ4J6, но антикоммутирует с JiJ6Jj. Поэтому J7Jt ото-
отображает Х1 изоморфно на Хг Очевидно, этот изомор-
изоморфизм определяет У8 однозначно.
Итак, мы видим, что QgA6r) диффеоморфно орто-
ортогональной группе1) О (г).
Рассмотрим полученный диффеоморфизм Q8A6r)->O(r)
и перейдем к пределу при г -> оо. Тогда окажется, что
Q, гомеоморфно бесконечной ортогональной группе О.
Объединяя этот факт с теоремой 24.5, получаем следую-
следующий результат.
Теорема 24.7 (Ботт). Бесконечная ортогональ-
ортогональная группа О имеет тот же гомотопический тип,
что а ее восьмикратное пространство петель. По-
Шому гомотопическая группа *,0 изоморфна *1+ьО
при {>0.
Вели обозначить через Sp = fl4 бесконечную снмплек-
тическую группу, то вышеприведенные рассуждения
показывают, что О имеет гомотопический тип четырезу<рат-
иого пространства петель Q82QSp и что Sp имеет гомо^
топический тип четырехкратного пространства петель
Q2220. В действительности гомотопические группы
определяются следующей таблицей
>) Можно показать, что при k > В многообразие Q* Aвг)-
диффеоморфно Q»_,(r). Действительно, любые дополнительные
комплексные структуры /*, Jt9t.... У» в R1<r порождают в X,
штиконмутирующие компмкеные структуры JJ* /t/|«, J*f,
••-./*/ь • следовательно, определяют мемеит О(г) В
чем, для наших целей достаточно остановиться
11 Дж. Мвлвор
* /t/|«, J*f,
О».,(г). Впро-
Впрона * «¦ в.

154
Гл. IV. Приложения к группам Ли
I (muJ в)
0
1
2
3
4
5
6
7
«1°
Z,
Z,
0
Z
0
0
0
Z
0 .
0
0
Z
z,
z,
0
Z
Проверка правильности этой таблицы предоставляется
читателю. (Заметим, что Sp(l) — трехмерная сфера,
a SO C) — трехмерное проективное пространство.)
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказа-
доказательству теоремы 24.5. Сначала докажем одну алгебраи»
ческую лемму. Рассмотрим епклидово векторное простран-
пространство V с аитикомму/нрующими комплексными структурами
Л Л-
Определение. V называется минимальным
(./j J^-пространством, если оно не имеет соб-
собственного нетривиального подпространства, инвариантного
относительно действия Jx Jk. Два таких минималь-
минимальных пространства изоморфны, если существует изометрия
между ними, коммутирующая с действием 7j 7ft.
Лемма 24.8 (Ботт и Шапиро). При кфЪ (mod 4)
каждые два минимальных (У,, .... J^-пространства
изоморфны.
Доказательство следует схеме доказательства
леммы 24.6. При А = 0. 1 и 2 минимальным простран-
ством является в точности одномерное векторное про*
стрянство над действительными или комплексными числамц
или ;:зд кватернионами. Очевидно, такие пространств)
изоморфны. ,
При А = 3 минимальным пространством по-прежнему
является одномерное векторное пространство над кватер»
нионамн. Здесь, однако, имеются две возможности, в за»
внеимостн от того, равно ли J3 произведению -ЬЛЛ Ил#
— J^Jy Это дает два неизоморфных минимальных про»
странства, оба размерности 4. Обозначим их Н и Н%
При А-=4 минимальное пространство должно быт|

§ 24, Теорема периодичности для ортогональной группы 155
изоморфно И 0} И', причем Jgf4 отображает И на #'.
Размерность его равна 8.
При к = 5, 6 получается то же самое минимальное
пространство И ф //'. Комплексные структуры У5. Ув
определяют выделенные действительные и комплексные
полпространства. При Л = 7 мы вновь приходим к тому же
пространству, но здесь есть две возможности, соответ-
соответствующие У, = 4- ЛЛЛЛЛЛ или ^7=* — ЛЛЛЛЛЛ- Итак,
в этом случае имеются два неизоморфных минимальных
векторных пространства; обозначим их L и V.
При k — % минимальное векторное пространство долж-
должно быть изоморфно ? © L', причем J1Ji отображает L на U.
Размерность этого минимального пространства равна 16.
При к > 8 ситуация повторяется более или менее пери-
периодически, но мы не будем на этом останавливаться, так
как для наших целей достаточно рассмотреть случаи к < 8.
Обозначим через тп„ размерность минимального
(У, У»)-пространства. Предыдущие рассуждения пока-
показывают, что
/йц «я 1 ¦ /К| = 2, fftj ¦¦ /Bj = 4,
ttt4 ва fftg S3 flt^ r= Ittj = 8, fftg bs ib.
Можно показать, что при At>8 имеем т„ = 16mft_gi
Замечание. Числа тк тесно связаны с проблемой
построения линейно независимых векторных полей на
сферах. Предположим, например, что У, Jk — анги-
коммутирующие комплексные структуры в векторном
пространстве V размерности гтк (где г — любое нату-
натуральное число). Тогда для любого единичного вектора
u?V все ft векторов У,и, У2«, ..., УА« перпендикулярны
друг к другу и,к и. Итак, мы получаем к линейно не-
независимых векторных полей на (/¦«» — 1)-мерной сфере.
Например, на Dг— 1)-мерной сфере мы получаем 3 век*
торных поля, на (8г — !)-мерной сфере — 7 векторных
полей, на A6г — 1)-мерной сфере —8 векторных полей
и т. д. Эти результаты принадлежат Гурвицу и Радону,
(см. [461 )• Недавно Дж. Ф. Адаме доказал ')• что *гн
оценки — наилучшие возможные.
') Адаме Дж. Ф., Векторные вом на сфера!, сб. Мате-
Математика 7:6 A963), стр. 49—П.—Прим. мри.
It»

156 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Доказательство теоремы 24.5 при km2 (mod4>.
Мы должны изучить неминимальные геодезические, соеди-
соединяющие У и —У в Q»(n). Напомним, что касательное
пространство к Ut (л) о У состоит из всех матриц JA, где
1) А кососимметричиа,
2) А антикоммутирует с У.
3) А коммутирует с У( У»_,.
Обозначим через Т векторное пространство всех таких
матриц А. Матрице А?Т соетлетствует геодезическая
1-WexpOcM), соединяющая J с —У. тогда и только
тогда, когда все ее собственные числа являются нечет*
иыми кратными /.
Каждая такая матрица А?Т определяет самосопря-
самосопряженное преобразование Кл : Т-*Т. Так как Q*'(it) является
вполне геодезическим подмногообразием в О(д), можно
вычислить КА по формуле
Клр — — -j [А. \А, В\ ] — -J- (— /1*5 4- ЪАВА - В А*).
как мы это уже делали раньше. Теперь остается найти
некоторые ненулевые- собственные значения преобразова-
преобразования КА. чтобы можно было оценить снизу индекс соот-
соответствующая геодезической
Разложим векторное пространство R" а прямую сумму
М| ф Л<3 ф • • - © Mt взаимно ортогональных подпро-
подпространств, инвариантных и минимальных относительно деЯ-
стоия У,, .... У*.], J я А. Тогда все собственные значе-
значения А в Mk должны быть, с точностью до знака ')•
одинаковыми. В противном случае Мк разлагалось бы
9 сумму собственных подпространств матрицы А и не
было бы минимальным. Пусть ± 1ал — два собственных
вначвния А\ М„ (а1( .... а, — нечетные положительные
целые числа).
Заметим теперь, что / в» o^lJA j Мл есть комплексная
структура в Mh. которая антикоммутирует с У1( .... i,_i
') Речь идет о комплексных собственных значениях действи-
действительного кососимметрнческого преобразования. Поэтому эти
собственные значения чисто мнимые и разбиваются на пары
комплексно-сопряженных.

f 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 157
И У. Итак, Мн минимально относительно (У, •/*-!• J» <?)»
Поэтому размерность Мк равна mk+l. Так как к+1ф
9^3 (mod 4), мы видим, что Л!,. Af2, .... Ms изоморфны
друг другу.
Для любой пары Л, /, где А Ф /. можно построить
следующий собственный вектор B:R"->R* линейного
преобразования КА:Т-*Т, Пусть В|AJ, есть нуль при
1ФН, J. Пусть В| /Ид — изометрия Л1Л на M)t удовле-
удовлетворяющая условиям
BJa — JtB при lal A—lj
BJ — — JB и Bf
Иными словами, 5|МД есть изоморфизм Мь на ЛТ;, где
черточка указывает на изменение знака J в М}. Такой
изоморфизм существует, согласно лемме 24.3. Наконец,
пусть B\Mj — сопряженное к В\Мк преобразование,
взятое со знаком минус.
Докажем, что В принадлежит векторному простран-
пространству Т. Так как {Bv. ««) = (v. — Bv») при v ? Мк.
w?Mf, преобразование В кососимметрично. Ясно также,
что B\Mh коммутирует с У, Jk_x и антнкоммутирует
с J. Отсюда легко вытекает, что взятое со знаком минус
сопряженное преобразование В\ М{ также коммутирует
с Jx ./*_, и антикоммутнрует с У. Итак, В?Т.
Мы утверждаем, что В — собственный вектор пре-
преобразования КА, отвечающий собственному значению
. Например, если v?Mh, то
(КАВ) v = j (— А*В + 2 ABA — ВА2) v =
«в j (a*Bv -+- 2в;ВвЛ
в случае v?Mj вычисления аналогичны.
Теперь перейдем к подсчету индекса. Число мини-
минимальных пространств МксК* равно *«вй/я»А+1. По
крайней мере для одного из них целое число ал должно
быть не меньше 3. В противном случае геодезическая
была бы минимальной. Итак, доказано [по-прежнему
в предположении А ^2 (mod 4)J следующее

158 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Утверждение. Преобразование КА имеет по
меньшей мере s—1 собственных значений, кото-
которые больше или равны C -)- 1 J/4 = 4. Целые числа
s — п/тк + } стремятся к бесконечности, когда п стре-
стремится к бесконечности.
Рассмотрим теперь геодезическую f—>ехр(яМ). Ка-
Каждое собственное значение е2 преобразования КА поро-
порождает сопряженные вдоль этой геодезической точки
/ = *-', 1е~х, 3*->. ... (см. 20.5). Итак, если е2>4,
получается по меньшей мере одна внутренняя сопряжен-
сопряженная точка. По теореме об индексе справедливо
Утверждение. Индекс неминимальной геодези-
геодезической, соединяющей J с — J в И„ (я), не меньше, чем
+ 1
Следовательно, отображение включения'
индуцирует изоморфизм гомотопических групп в размер-
размерностях, не превосходящих 3. Это число стре-
стремится к бесконечности вместе с п. Поэтому, переходя
к прямому пределу при л->оо, получим изоморфизм
гомотопических групп всех размерностей, индуцированный
отображением включения /: Qk+i -*¦ QQ*> Но можно по-
показать, что и QQk. и Qk+X имеют гомотопический тип
клеточного комплекса. Отсюда,' по теореме Уайтхеда,
следует, что I есть гомотопическая эквивалентность. Это
завершает доказательств теоремы 24.5 в предположении,
что ft^2(mod4).
Доказательство теоремы 24.5 в случае Л==
г?2(тоо).Трудности, возникающие в этом случае, можно
приписать тому, что ?2* (л) имеет бесконечную циклическую
фундаментальную группу. Поэтому QQk(n) имеет беско-
бесконечно много компонент, тогда как аппроксимирующее под-
подпространство 2»+i(«) имеет лишь конечное число ком-
компонент.
Для описания фундаментальной группы к,12А(а) по-
построим отображение

§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 159
следующим образом. Пусть 7р..., 7t_,— фиксированные
антикоммутируюшие комплексные структуры в R". Пре-
Превратим R" в (я/2)-мерное комплексное векторное про-
пространство, положив
для «?R"; здесь t=Y^A?C. Условие к ==2 (mod 4)
обеспечивает выполнение равенства Р = —1 и коммути-
коммутирование ,/р 72. ..., Jk_l с /.
Выберем отмеченную точку J?Qk(n). Заметим, что
для любого 7'?12А(я) композиция 7"'7 коммутирует с I.
Итак, 7~'7 есть унитарное комплексное линеЙ1гое преоб-
преобразование; оно имеет однозначно определенный комплекс-
комплексный определитель, который мы обозначим через /(•/)-
Рассмотрим теперь геодезическую
f-s»7exp(«M),
соединяющую 7 с —7 в У „(л). Так как А коммутирует
с / = 7i72 ... 7л-| (ср. с утверждением 2 в доказательстве
леммы 24.4), мы можем считать А также комплексным
линейным преобразованием. Б действительности матрица А
косоэрмитова, и ее след — чисто мнимое число. Поэтому
/Gexp(itf/t)) = det (ехр(теМ)) = e«'TtA.
Итак. / отображает данную геодезическую в замкнутую
петлю на S1, которая полностью определяется следом Л.
Таким образом, этот след инвариантен при гомотопии
геодезической & пространстве путей 2(Qft(n); 7. —7).
Индекс этой геодезической \ можно оценить следую-
следующим образом. Как и раньше, разложим R" в ортогональ-
ортогональную сумму Мt © М2 ф ... © М,. где каждое Mh инва-
инвариантно относительно действия 7, Л-»> J н А »
минимально. Тогда при каждом h комплексное линейное
преобразование Л|./ИА может иметь лишь одно собствен-
собственное значение, скажем 1ак, ибо в противном случае Mh
распалось бы на собственные подпространства. Итак,
А \МН совпадает с оА7,72 ... Л-i I'wa- ^ак как ^л мини-
минимально относительно действия 7, 7t_i и 7, его ком-
комплексная размерность равна /яЛ/2. Поэтому след А равен
2

160 Гл. IV. Приложения к группам Ли
Теперь для любого h Ф j можно, как и раньше, по-
построить собственный вектор В линейного преобразования
. В -> КАВ = j(— А*В + 2 ABA — В А2).
Так как Mh и Mj минимальны относительно Ур ..,, </*_!• У,
из леммы 24.8 вытекает, что существует изометрия
B\Mh;Mh-»Mj.
коммутирующая с У,. .... У4_, и антикоммутнрующая с У.
Пусть fl|Afу —взятое со знаком минус преобразование,
сопряженное к B\Mh. и пусть В|/И,«0 при l4*h,j.
Тогда простое вычисление показывает, что
Таким образом, при любых ah > aj мы получаем соб-
собственное значение (ah — <ZyJ/4 преобразования Кл- Так как
каждое такое собственное значение дает в индекс X вклад
¦к-(ад — aj)—1, мы получаем неравенство
2Х> 2 (ah-a,-2).
°h>a)
Обратимся теперь к какой-нибудь фиксированной ком-
компоненте пространства Ш2д(а). Иначе говоря, рассмотрим
только те матрицы А, след которых равен lcmk/2, где
с — целая константа.
Соответствующие целые числа а,, .... а, удовлетво»
ряют условиям \
1) а1===а1,==...Еза,.==1 (mod2) (так как ехр(«/4)=*»—/){
2) o,-f-fl,+ ... -\-at**c\
3) тах|адОЗ (для неминимальной геодезической).
Предположим, например, что одно из ак равно —3.
Пусть р — сумма положительных ан и —q — сумма от-
отрицательных а„. Тогда p — qsac, р-^Ч^г* поэтому
2/> > г-|-с. Теперь
2Х> 2 (*»-«|-2)> S («*-(—3)-»)-=^.-
«А>в/ вА>°
следовательно. 4Х^-2/7>.г-}-<\ где г = п/т„ стремится
х бесконечности вместе с л. Таким образом, рассматри-
рассматриваемая компонента пространства QQfe(«) амрекашкруеки

Гомотопический тип монотонной суммы ИИ
с точностью до все больших и больших размерностей
соответствующими компонентами пространства SJt+1(rt),
когда /J-+--X». Переходя к прямому пределу, мы получаем
гомотопическую эквивалентность в каждой компоненте.
Доказательств теоремы 24.5 закончено.
Дополнение. Гомотопический тип монотонной суммы
В этом дополнении мы приведем новый вариант по-
последнего шага доказательства основной теоремы теории
Морса (теоремы 17.3). Пусть Q"'c2в>с2e'cz... —под-
—подмножества' пространства путей 2 = 2(Л!; р, д), и пусть
известно, что каждое 2 ' имеет гомотопический тип не-
некоторого клеточного комплекса. Мы хотим доказать, что
их объединение 2 также имеет гомотопический тип не-
некоторого клеточного комплекса.
Вообще, рассмотрим топологическое пространство X
и последовательность его подпространств X0czXxc:X3ci....
В какой мере гомотопический тип X определяется гомо-
гомотопическими типами Х,7
Удобно рассмотреть бесконечное объединение
XB. 3])U ....
Множество Xt снабжается топологией как подмножество
Определение. Мы скажем, что X есть гомотопи-
гомотопический прямой предел последовательности [Х,\, если
отображение проектирования р : Х% -+ X, определенное
формулой р(х. t)«x, является гомотопической эквива-
эквивалентностью.
Пример !. Предположим, что каждая точка из X
лежит внутри некоторого Xt и что Л" ларакомпактно.
Тогда,- используя разбиение единицы, легко построить
отображение
/,х-+ъ.
такое, что/(*)>*+1 при х?Х, и /(х)>0 при всех х,-
Соответствие х-*-(х, /(х)) отображает X гомеоморфно
на подмножество в Хг. которое, очевидно, является де-
деформационным ретрактом. Поэтому р есть гомотопическая
эквивалентность, а Л — гомотопический прямой предел.

162 Дополнение
Пример 2. Пусть X — клеточный комплекс и X, —
подкомплексы, сумма которых равна X. Так как р : Xt~* X
индуцирует изоморфизмы гомотопических групп во всех
размерностях, из теоремы Уайтхеда вытекает, что X*—
гомотопический прямой предел. ,.
Пример 3. Единичный интервал {0, 1 ] не является
гомотопическим прямым пределом последовательности
замкнутых подмножеств
Ц. 1].
Основной результат настоящего дополнения—следующая
Теорема А. Пусть X—гомотопический прямой
предел последовательности \Xt\, а У — гомотопи*
ческий прямой предел последовательности \Y(). Пусть
/: X-+Y — отображение, осуществляющее гомотопи-
гомотопическую эквивалентность каждого X, в Y]. Тогда само
отображение / — гомотопическая эквивалентность*
При помощи теоремы А легко доказать теорему 17.3;
Напомнив, что мы построили коммутативную диаграмму
гомотопический эквивалентностей
I 1 {
/Со с: /Cj сг A* j с ....
Так как 2 = IJ&"* и А* = ЦК, — гомотопические прямы#
пределы (см. примеры 1 и 2 выше), предельное отобра»
жеиие 2-+К также есть гомотопическая эквивалентность*
Доказательство теоремы А. Определим ft'.Xt-*Yx
соотношением /г{х, 0 = (/(•<)> 0< Очевидно, достаточно
доказать, что Д — гомотопическая эквивалентность.
Случая 1. Предположим, что XlsssYl и что каждое
отображение ft'.Xt-* Yt (полученное ограничением /)
гомотопно тождественному. Мы должны доказать, что
Д — гомотопическая эквивалентность. ''
Замечание.. Было бы естественно . предположить,
что в наших условиях отображение Д на самом делч

Гомотопический тип монотонной суммы
163
гомотопно тождественному. Однако можно построить при-
примеры, противоречащие этому предположению.
При каждом я определим
Ли . Л„ -*• Л„
как однопараметрнческос семейство отображений, для ко-
которого Ао = /„. А" — тождественное отображение. Опре-
Определим гомотопию
hm:Xt-*Xi
формулами
' '.(ж), п-г-21) при
*„(*.
+0
при
аГ«1з> и (х), п + 1) при -у < Г< 1.
где 0</< J. « — 0. 1. 2
При и = 0 предыдущая формула определяет отобра-
отображение Но: Xt-*XV которое, очевидно, гомотопно /х.
С другой стороны, отображение Нх'. Xi~+Xt обладает
следующими свойствами:
А,(дг. я-f /) = (*. я-f 2/) при^
1 при
Покажем теперь, что всякое такое отображение л,
должно быть гомотопической эквивалентностью. Действи-
Действительно, гомотопически обратное отображение gi Хг-+Х%
ыожно определить формулой ' .
g(X,
при
. . . ¦
Это определение корректно, так как
Ц*. я +-у)-А,(ж. л+1)«(х. я-f I).
Докажем, что композиция л,? гомотопна тождествен-

МИ Дополнение
ному отображению Ai. Заметим, что
(х. n + At) приО<*<~,
1 ^-л ^ 1
*»*<*.
Л,(х. л+20
А^дг. л Н--§- — f)
при
при
Определим гомотопию На: Xt-+Xt следующим образом.
При 0 < и < y пусть
при
А, (х, я -+¦! —и) при
Это определение корректно, так как ¦
_ , I
1-й
Далее, //0 равно hxg и Я7| определяется выражением
((*, п + 4/) при 0</<|.
Н,,,{х, я4/)-=! ,
!( +1) <* <!
Очевидно, это отображение гомотопно тождественному.
Итак, hyg гомотопно тождественному отображению.
Совершенно такие же рассуждения показывают, что ото-
отображение ghx тоже гомотопно тождественному. Доказа-
тельсдзо теоремы А в случае ! закончено.
Случай 2. Теперь пусть X н Y произвольны. При
любом я пусть gn : Yn -*¦ Xп — гомотопически обратно*
к /ж отображение. Заметим, что диаграмма
и*
'я+1

Гомотопический тип монотонной суммы 165
(где 1п и /„ — отображения включения) гомотопически
коммутативна. Действительно, имеем
lngn ~ gn+\fn+\lngu ~ gn i\Jnfngn gn+ln
Выберем определенную гомотопню hnu : Y„—»• Л"я+1, для
которой ho = ingn. hi—gn+Jn> и определим О: Yi-*-Xt
формулой
<g»(y)> n + 2t) при 0<.
(А?/-! (У). Я+0 При |<f<l.
iMu покажем, что композиция О/,: Хг->Xt является гомо-
гомотопической эквивалентностью. Обозначим через Хх. под-
подмножество в А'х. состоящее из всех пар (дс, ч). где т ^ п
(так что A"S = (A-0Xi0.11)U •-• U(*e-, Xl»~ 1. «1)U
U (А"я X 1Л1) )¦ Композиция О/г отображает Х\ в себя,
причем это отображение гомотопно тождественному. Дей-
Действительно. Хх содержит А*„ X («1 в качестве деформа-
деформационного ретракта; отображение О/х, ограниченное на
Х„ X (л)> можно отождествить с gnfn; следовательно,
оно гомотопно тождественному отображению. Итак, можно
применить к последовательности [Xt] результаты, полу»
ченные при рассмотрении случая 1. Мы заключаем, что
О/г — гомотопическая эквивалентность.
Это доказывает, что /? имеет левое гомотопнческн
обратное отображение. Аналогичные соображения пока-
показывают, что ft0\Yt~*Yt — гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, так что /, имеет правое гомотопически обратное
отображение. Отсюда следует, что /х — гомотопическая
эквивалентность (ср. с леммой 3.7). Доказательство тео-
теоремы А закончено.
Следствие. Предположим, что X —гомотопи-
—гомотопический прямой предел последовательности [X,]. Если
каждое Х{ имеет гомотопический тыл клеточного
комплекса, то и X имеет гомотопический men кле-
клеточного комплекса.
Доказательство несложно.

ПРИЛОЖЕНИЕ
§ I. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда
В этом параграфе под пространстиом всегда пони-
понимается хауслорфоио пространство, а под отображением
пространств — непрерывное отображение. Значок ~ обо-
обозначает гомотопню, а символ 1 х — тождественное ото-
отображение пространстиа А'; ?' есть замкнутый шар
п
II* II1 — Их] % '• а <^"~1 — ограничивающая его сфера;
/ = Ю. li
Подмножество е" пространства X называется п-мерной
клеткой, если существует такое отображение / :Еп-*-Х.
что внутренность шара /Г гомеоморфно отображается
на е", a S"'1 отображается (уже не обязательно гомео-
гомеоморфно) на множество де" = е" — е" (черта сверху обозна-
обозначает замыкание), называемое границей клетки е". Ото-
Отображение / называется характеристическим отобра-
отображением клетки е". Клеточным разбиением К называется
разбиение пространства X на (непересекающиеся) под-
подмножества, обладающее следующими свойствами.
1) Каждое из этих подмножеств является клеткой.
2) Граница каждой из п-мерных клеток разбиения К
содержится в объединении всех клеток разбиения К. раз-
размерность которых меньше п. Это объединение называется
(л— \)-мерным остовом клеточного разбиения К и
обозначается через /С"-
3) Подмножество пространства X замкнуто тогда и
только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыка*
нием любой клетки клеточного разбиения К.
4) Любая клетка содержится в замкнутом множестве,
являющемся объединением конечного числа клеток.
Клеточное разбиение называется конечным, если оно
состоит из конечного числа клеток. В этом случае уело-

§ I. Клеточные разбиения и теорема УаЛтхеОа 167
вия в) и 4) автоматически следуют из остальных условий.'
В случае же бесконечного числа клеток это не так. На-
Например, разбиение отрезка на бесконечное число клеток
не является клеточным разбиением, хотя Л), 2) и 4) вы-
выполняются. Пример, в котором выполняются 1). 2) и 3),
но разбиение не является клеточным, можно получить,
разбив круг *2-|-уг-«С 1 "* двумерную клетку хг-{-у2< 1
н бесконечное число клеток, лежащих на окружности
г 2
Из определения клетки следует, что топология ее
замыкания однозначно определяется характеристическим
отображением. Условие 3) означает, что топология про-
пространства X должна быть сильнейшей из всех топологий,
совместимых с топологиями клеток (т. е. должна иметь
больш" всего открытых и замкнутых множеств). Несмотря
на это. ее часто называют .слабой топологией". Условие
4) называют условием конечности замыкания. Вместе с 2)
оно означает, что граница любой клетки содержится
в конечном объединении клеток меньшей размерности.
Можно доказать, что любой компакт содержится в объе-
объединении конечного числа клеток и что отображение
/: X -+Y непрерывно, если для любой клетки е непре-
непрерывно ограничение /1 е отображения / на замыкание этой
клетки.
Пространство, допускающее клеточное разбиение, на-
называется клеточным полиэдром. Хотя, строго говоря,
термины .клеточное" разбиение* и .клеточный полиэдр*
имеют разный смысл, их нередко употребляют как синонимы;
говорят также о .клеточном комплексе". В зарубежной
литературе принят термин CW-complex (С и W — на-
начальные буквы Closure-finite и Weak topology).
Пусть X — клеточный полиэдр, К — его клеточное
разбиение, a L — некоторая совокупность клеток этого кле-
клеточного разбиения. Обозначим через У подмножество X,
являющееся объединением входящих в L клеток. Если
вместе С каждой клеткой множество У содержит и ее
замыкание, то совокупность клеток L называется под-
подкомплексом клеточного разбиения К (говорят также
о подразбиении, хотя в других разделах математики это
слово употребляете» в другом смысле), а У ¦— Нодполи»-
дром клеточного полиэдра X. Нетрудно проверить, что

168 Приложение
подполнэдр — замкнутое множество, подкомплекс сам яв-
является клеточным разбиением, подполиэдр сам является
клеточным полиэдром и что я-мерный остои К" клеточ-
клеточного разбиения К является подполиэдром.
С помощью характеристического отображения можно
ввести в клетках ориентацию. Имея ориентированные
клетки, можно попытаться обычным способом построить
теорию гомологии. При этом сразу же возникает вопрос,
как определить коэффициенты инцидентности. Для сим-
плициальных комплексов можно дать простое определение
коэффициентов инцидентности, поэтому построение теории
гомологии для симплициальных комплексов можно про-
произвести, не используя никаких предварительных сведений
из алгебраической топологии. Для произвольных же кле-
клеточных разбиений определение коэффициентов инцидент-
инцидентности предполагает использование какой-нибудь теории
гомологии или, по крайней мере, чего-нибудь в этом
роде (степень отображения).
Пусть е* и еп~1 — какие-нибудь две ориентированные
клетки клеточного разбиения /(• Пусть / — характеристи-
характеристическое отображение клетки е":
Стянув в комплексе Ка~1 в одну точку все (я — 0-мер-
0-мерные клетки, кроме е*~1, и весь (л — 2)-мерный остов,
построим отображение я :/Cn""I->Sn~1. Тогда коэффи-
коэффициент инцидентности [еп: «"->] можно определить как
степень отображения hf\Sn~x;S*~x-*Sn~x. Можно до-
доказать, что 2 Iе" : *"'"Ч I*": в"] = 0. После того как
„«-1
определены коэффициенты инцидентности, удовлетворяю-
удовлетворяющие этому соотношению, построение гомологии ком-
комплекса К производится по обычной схеме.
Удобство клеточных разбиений для гомотопической
топологии объясняется той простотой, с которой можно
осуществлять различные построения теории гомотопий,
имея дело с клеточными равбиениями. Рассмотрим, на-
например, часто встречающуюся в книге Милнора операцию
приклеивания клетки (см. § 1). При приклеивании клетки ?*
при помощи отображения f:S"~l-+K к клеточному

§ J. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда 159
разбиению Л' получится клеточное разбиение, если f{S"~l) с
С К"'1', но можно легко доказать, что для любого ото-
отображения f:S"~l-*K найдется гомотопное ему отобра-
отображение, образ которого содержится в Кп~х, а лемма 3.6
(стр. 3!) утверждает, что гомотопический тип простран-
пространства К[}/Еп не изменится, если / заменить гомотопным
отображением.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена теореме
УаЙтхеда.
Через Map(Z, X) обозначается совокупность гомо-
гомотопических классов отображений пространства Z в про-
пространство X. Любое отображение <р: А' -+ К порождает
отображение
9, :Map(Z. A")-*Map(Z. У)-
Отображение y.X-*Y называется славой, гомотопи-
гомотопической эквивалентностью, если для любого клеточного
полиэдра К отображение
<P.:Map(tf. A")-* Map (К, Y)
взаимно однозначно. Наконец, говорят, что пространство X
подчинено пространству К. если существуют такие ото-
отображения /:Х-*У и g: ?-*• X, что gf~lx,
Теорема УаЯтхеда. I) Если отображение
«р; X -*¦ Y индуцирует, изоморфизм гомотопических
групп, то оно является слабой гомотопической
эквивалентностью.
2) Если, кроме того, пространства X, У подчи-
подчинены клеточным полиэдрам К, L соответственно,
то отображение f является гомотопической экви-
эквивалентностью. '
Лемма Бор сука. Пусть L — произвольный под-
подкомплекс клеточного разбиения К. Тогда КХ0\}
ULXf — ретракт KXi-
Эта лемма, особенно в конечномерной случае, кото-
который только и нужен для дальнейшего, доказывается так же,
как обычно (см. D3)).
Прк доказательстве первой части теоремы УаЯтхеда
мы можем заменить У палиндром- отображения yiX-ьУ
U Ля. Ммиор

170 Приложение-
и считать X замкнутым подпространством Y (.дном* ци-
цилиндра), а отображение у : X —*Y — вложением (см. [43]).
Поскольку оно индуцирует изоморфизм гомотопических
групп, to относительные группы гсДК, Л", х) равны
нулю (х ? X).
Лемма 1. Пусть L с К — подкомплекс и пусть
имеется отображение h0: K"+l -*У, такое, что
Н0(К" U La+i)e:X, Тогда существует такая гомото-
пая А,, что /;, \К" U L° ч =h!)\K" U Ln+i при всех t и
Дтказатгльство. 11оскольку искомая гомотопия
лолжя;! быть постоянна на К", то на Л'"м —К" ее межно
crpoirv-. рпгематривая (// -f- 1)-мер!«ые клетки клкдую
в отдельности. По существу, надо доказать, что если имеется
отображение Д:(?"'+1, 5") -> (К, X), то сущестоует такая
гомотон;!П /г что /, i 5" = /u j .V при всех / н /, (И"*')с X.
Из опредрления я,1+3()'. X) следует, что существует го-
гомотопна ?,, при которой gu ~ /0, g,(S")c:X и g-, (?"+))c:X,
но #, не обязательно постоянна по t на 5й. Тогда гомо-
.топиа
e
обладает всеми требуемыми свойствами.
, «
Леыыа 2. Пусть 1с/С — подкомплекс и пусть
дано отображение g:K~*Y, причем g(L)<zX. Тогда
существуют гомотопии hi: К"~>У(п^0), обладаю»
щае следующими свойствами:
2) hnt\La~*g\L\ ,. ¦'¦¦ .
4) А?"ш= А? ^ри V> J_*- ^qjy. я

§ 1. Клеточные разбиения и теорема Уайтхеда 171
Доказательство. Построение А< очевидно. Пусть А*
уже построены для всех / .' п. Отображения
(О(х, t)=g(x) при
совпадают в тех точках, где определены какие-нибудь
два из них, поэтому определено (непрерывное) отображение
/с"+| хоокях[о: 1 —jj-L^ur*1 x[o. I—jj-J
которое по лемме Борсука можно продолжить до ото*
бражения
Введем обозначение hf+l(x) = HR*1(x, t). Отображение
Ля+11 обладает тени свойствами, какими в лемме 1 должно
обладать Ао. поэтому его можно продолжить до гомото
пииА?+1 (l— 7TT<'<1"
К* U 1*я+1 и такой, что
р
j постоянной на
При I — ¦jqry </< 1 полагаем А?+| постоянным по if.
Доказательство первой части теоремы Уайтхеда.
Из леммы 2 непосредственно следует, что для любого
отображения g:K-+Y, переводящего некоторый под-
полиэдр L в X, найдется гомотопия gt, такая, что go*=*g,
g,\L*=g\L и gx{K)cX (полагаем *,(*)«=*?(*) при
х?К* — К*~1\. Следовательно/индуцированное вложе-
вложением /: X с К отображение Мар(ДГ, Х)-*Шр(К, У)'
является отображением на {при этом можно взять ?.=*0).
Докажем, далее, что если для двух отображений
?<>• g\*'K-+X существует гомотопия ht:K-+-Y. соеди-
соединяющая /^0 и igx: ig^mmh^ Igt^fn, to существует м
12*

172 . Приложение
гомотопия gt'K~*X. соединяющая g0 и g{. Рассмотрим
отображение
М • If \S I wV И t * t\ —
«• . Л /\ I """* Г , /7 \JC, 1} ==: J
Оно отображает подкомплекс К X О U К X 1 комплекса
КУ.1 ь X. Следовательно, имеется гомотопия Ht:K X
XI-*-У. постоянная по / на .крышке" и «дне* цилиндра
(т. е. совпадающая там с tg0 и lgx соответственно) н
такая, что Их (АС X /) с X. Отображение Н{ и определяет
искомую гомотопию gr Тем самым первая часть теоремы
Уайтхеда доказана. >
Доказательство второй части теоремы Уайтхеда.
Рассмотрим диаграмму . .
kh x \Y.
в вертикальных строчках которой написаны отображения,
определяющие подчинение пространств X, Y полиэд-
полиэдрам К, L. По доказанному, отображение
?.: Map (L, X) -*• Map (?. Г)
взаимно однозначно. Следовательно, существует такое»
отображение a:L~+X, что чра~Л. Положим ^ ="'
*аай: )¦*-»¦ Л". Имеем
Сложнее обстоит дело с ^:Х-+Х. Докажет
нто <{кр ннду''.-4рует изоморфизи гомотопических групп-
Действительно.
откуда для индуцированных изоморфизмов гомотопических
групп аолучаем " „,„,
е так как ^,~иэоморфизы. то я («|»г)^& изоморфизм.
'¦'' Применим теперь .перву» часть теоремы Уайтхеда
^отображению ^<р;Jf-*.Af^ Рассуждая так же, как и

$ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 173
выше, построим такое отображение %:К~+Х, что
Л-zzg {см. диаграмму)
X
*/=*
Положим х?/ К
B)
Для завершения доказательства теоремы Уайтхеда до-
достаточно сослаться на утверждение, содержащееся на
стр. 33 книги Мнлнора, согласно которому из A) и B) .
следует, что tyfbz lx. ,
§ 2. Двойственность Пуанкаре н приклеивание ручек«
Двойственность Пуанкаре состоит в том, что для лю-
любого замкнутого многообразия V" имеет место изоморфизм
; О).
C)
Здесь группа коэффициентов О может быть любой, если
многообразие V ориентируемо; в противном случае по*
рядок каждого ненулевого элемента группы должен быть
равен двум. . .
Доказательство C) основано на том. что существуют
два клеточных разбиения К и К многообразия Vя, кото-
которые двойственны друг другу. Это значит, что любой
f-мерной клетке одного из этих клеточных разбиений, ска-
скажем клетке е'?К, поставлена во взаимно однозначное
соответствие некоторая (я — /)-мерная ^клетка второго
клеточного разбиения, скажем клетка е"~1?К, причем
для любых двух клеток е1, е'~1^К их коэффициент ии»
цидентности с точностью до знака, зависящего только от
размерности, равен коэффициенту инцидентности соответ»
ствующих им клеток разбиения К: ...

174 Приложение
(Если многообразие Vя не ориентируемо, то коэффициент
инцидентности берется по модулю два.) Такие два двой-
двойственных клеточных разбиения К и К можно устроить
двумя способами. В первом способе используются бари-
барицентрические звезды; см. [11, гл. 10]. Этот способ го-
годится не только для комбинаторных многообразий, но и
для более общих объектов—так называемых Л-многооб-
разий, частными случаями которых являютсяпсевдомного-
образия. В частности, комплексные алгебраические много-
многообразия и триангулируемые топологические многообразия
являются псевдомиогообраэиями. и поэтому для них имеет
место двойственность Пуанкаре.
Второй способ связан с теорией Морса и годится
только для гладких многообразий. Он основан на сравне-
сравнении критических точек функций / и —/ и будет изложен
ниже. Предварительно опишем, как можно' получить лю-
любое замкнутое многообразие из шара с помощью при-
приклеивания ручек.
п-мерной ручкой индекса \ мы будем называть
Пусть М" — некоторое гладкое многообразие с краем дМ",
и пусть задано гладкое вложение
/:^'1ХЕ*'х-*дМя (Sx-l = {jc:je6RX. ||*||«l}). D)
Отождествляя точки М" и Н, соответствующие друг
другу при отображений /, получим новое многообра-
многообразие N". Говорят, что N" получено из М" приклеива-
приклеиванием ручки И при помощи отображения /.
Собственно говоря, N* пока что является только топо-
топологическим, а не гладким многообразием, Гладкое вложе-
вложение D) позволяет рассматривать х и у как координаты
в / Eх X Б"~% подчиненные ограничению ||*|| = 1,
||у!1<1- Эти координаты можно продолжить в некото-
некоторую область U с М" таким образом, что в этой области
1 < 11*11 < » +«• ИУ11 <1 + **дМ*пи имеет уравне-
уравнение ||x|| = l. Таким образом, U диффеоморфно под-
подмножеству

§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 175
пространства R И} R"~ , а при приклеивании ручки И
к Мп получается множество U [)/Н> точки которого на-
находятся во взаимно однозначном соответствии с точками
множества V U Н с R* 0 R"~X< Множество V U И имеет
„угол" в точках Sx~l X S" '. Простейший способ ввести
гладкую структуру в N" — видоизменить определение Н
таким образом, чтобы этот „угол" пропал. Для этого
возьмем функцию <р@. определенную при O^/^l,
бесконечно дифференцируемую при / < 1, рапную 1/2
при 0 <]/ <! 1/2, возрастающую при 1/2 <;/-< 1, равную !
при ^—1 н такую, что обратная к iieil при 1/2<*<;1
функция ^(Л бесконечно дифференцируема при / > 1/2 и
обращается в нуль «месте со всеми своими производными
при /в=1. Будем понимать под ручкой // множество
{(-V, У):|И<1, |МК<?(||ДС||)}.
Тогда «угла* не будет. [В определении N" имеется прояз*
вол, связанный с продолжением координат х, у
с /Eх~'х^1к) в некоторую область на М" и с выбо-
выбором функции <р(/). Оказывается, что- этот произвол не
существен; многообразие N" определяется однозначно
с точностью до диффеоморфизма.]
Можно доказать, что если два гладких вложения
/, g : S*~l X E"~k ~*-дМ" изотопны (в классе гладких
вложений), то многообразия M"\)fH, M"[}gH диффео-
морфны.
Аналогичным образом определяется одновременное
Приклеивание к многообразию М" нескольких ручек
Нх Ик с индексами Xs ХЛ при помощи гладких
вложений
Нужно только, чтобы образы этих отображений не пере-
пересекались. Очевидно, что в таком случае ручки Нх И„
можно приклеивать и не одновременно, а в произвольном
порядке.
Пусть на гладком многообразии V задана гладкая
функция /, все критические точки которой невырожден-

176 Приложение
ные. Наряду с описанием множества M"=f~l(—оо. с}
С точностью до гомотопической эквивалентности для топо-
топологии имеет значение и описание этих множеств с точ-
точностью до диффеоморфизма. А именно, в § 3 книги Мил-
аора фактически доказано, что если на критическом
уровне f~l (с) имеется к невырожденных критических
точек pv .... pk с индексами \, .... \к, то Мс+' диф-
феоморфно Afe""U#iU ••• U#*. где ручка Ht имеет ин-
индекс X, и все ручки приклеиваются одновременно.
Следовательно, V представляется в виде некоторого
объединения ручек, приклеенных друг к другу таким об-
образом, что сначала берется несколько ручек с индексом 0.
т. е. шаров, затем к ним приклеивается несколько ручек,
затем к полученному многообразию с краем опять приклеи-
приклеивается несколько ручек, и т. д. Обратно, пусть V предста-
представлено в виде подобного объединения ручек. Тогда можно
построить гладкую функцию, которая имеет внутри каждой
ручки ровно одну критическую точку с индексом, равным
индексу ручки, и определяет, согласно сказанному выше,
представление Vя в виде данного объединения ручек.
Отныне многообразие V" предполагается замкнутый.
Можно считать, что в процессе последовательного при-
приклеивания ручек каждая ручка приклеивается к ручкам
меньшего индекса. Действительно, по индукции легко
доказать, что если на некотором шаге этого процесса
к некоторому многообразию М" (состоящему из ранее
приклеенных друг к другу ручек) приклеивается ручка Н
индекса X при помощи гладкого вложения /: 5х X ?"""*-+
-»дЛГ, то, используя гладкую изотопию, можно добиться,
чтобы /Eх X ?"~х) не пересекалось с границами ручек
индекса >Д. Из сказанного легко вывести, что на Vя
существует гладкая функция /, все критические точки
которой невырожденные и такие, что для любой критиче-
критической точки р индекса X имеем /(р)явХ. Функция «—/
тоже обладает этим свойством. .¦¦¦¦- >
Согласно § 3 книги Милнора; функциям / и *'— /
соответствуют некоторые клеточные разбиения КПК
многообразия Vя. Оказывается, что эти два клеточных
рсабвешм двойственны. •':;•¦;.¦.;¦' •\-.,.;'.":'>-' •-'• ¦ -.-¦¦'Ч ,-. '<*

§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 177
Прежде чем доказывать последнее утверждение, по*
рторнч применительно к нашему случаю некоторые по-
строения иэ § 3. Многообразие V и множество М 2=»
= /~ (— со, X-j--х- представляются в виде объединения
ручек
где//? = ?? X S?1 — ручка индекса |». приклеенная
к Ж1*"^ по некоторому гладкому вложению fl: S?~l X
X Ё1~*-+ дМ* 2. Если вместо функции / исходить на
п — /и учесть, что критическая точка функции / с ин-
индексом X является критической точкой функции п — /
с индексом л — X, то получим, что ручка Н) будет играть
роль ручки с индексом а — X; она приклеивается к
у ЯГ"
,»>х ffi
при помощи гладкого вложения / "~х: ?* X 5?"х"' -•>
-*. <Ш"~ХТ Обозначим # X 0. S? X 0. 0 X Я~р,
ОХ^""4 соответственно череа *J, ef1, tfj-f, Jj-i1-*
(мы рассматриваем эти множества как вложенные в
Остовы АГ1 клеточного разбиения К и гомотопич
х+1
а
Г
разбиения К и гомотопические
эквивалентности ^: М а ->КК можно построить по ин-
1
дукции. Множество Af? состоит из нескольких шаров,
которые стягиваются в точки, составляющие К0, Пусть
#Л и фц уже построены для р < X. Имеем

tft Приложение
Ручки Н) можно стянуть на e)u(S^t'lXEi~X) с помощью
гомотопии ^J. постоянной на «tuGS**1 Xtf'*) * диф-
фсоморфно отображающей н\ в Н) при /< I. Получаем
гомотопическую эквивалентность
x+4 ..*-«
... U х «i
1^ *»
По предположению индукции, уже имеется гомотопическая
эквивалентность фх_,: М ~*-+ К1'1, которую, согласно
лемме 3.7, можно продолжить до гомотопической экви-
эквивалентности
х
'
x*> *
Стоящий справа клеточный комплекс и есть К1. « "К —
При построении К вместо деформации <?) надо ис-
использовать деформацию tf~k, стягивающую н) на
Займемся теперь коэффициентом инцидентности
jr*:*^-J]. On равен степени отображения s)-*-^,
которое является композицией вложения Xj- гомотопиче-
гомотопической эквивалентности ^.j я отображения pjiK*'1-*
0*5*.'*, получающегося стягиванием .в точку /С* и
|J if*. Но />Д_Л1-Р^. ГД« ^ : Л!1-1*-*^-1 полу-
чается, если A?~'h и II Я» стянуть в точку, а к И)~1
применить tf~x. Итак, коэффициент [*J: «у] равен сте-
степени отображения P^xJ: s)'1-*^.

§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек 179
Легко видеть, что это число равно индексу пересече-
пересечения сферы 9^-|«^ @<f < I) я клетки е)"х. А это
есть коэффициент зацепления ^(fj-'sj, •""*)• Поскольку
при 0 < t < 1 сферы ^"'«J и 9?-4*J~* не пересекаются,
то окончательно мы можем написать
Аналогично
Сравнивая E) и (б), мы видим, что комплексы К и ft
двойственны.
Примечание к стр. 61.
На стр. 51 Милнор упоминает теорему двойственности
Лефшеца. Эта т*орема утверждает, что если (V, W) есть
«-мерное относительное многообразие, т. е. если
V э W и V — W есть А-мерное многообразие, то
Н,(У. W; О)^Н-'<У — W.O). G)
(О—любая группа коэффициентов с обычной оговоркой
в случае неориентируемости; в правой части нужно брать
когомологин с компактными носителями.) Когда Непусто,
то утверждение ,(V. ft7)—относительное многообразие'
означает, что V—многообразие (как говорят иногда а по-
подобной ситуации, «абсолютное' многообразие). В «том
случае G) есть обычная двойственность Пуанкаре. .
Если V и W — алгебраические многообразия, то V
является конечным полиэдром и IP—• его подполиэдром.
В такой случае G) можно доказать с помощью барицен-
барицентрических авезд так же. как доказывается двойственность
'Пуанкаре для абсолютных многообразий в цитированной
книге Зейферта и Трельфалля.
Лносош Д. В.,

ЛИТЕРАТУРА
Амброуз (Ambrose W.)
(II The index theorem In Rlfmannlan geometry. Ann. Math-
73 A961), 49—86.
Андреотти, франке л (Andreottl A., Prankel T.)
Й The Lefsche:: theorem on hyperplane sections, Ann. Math.,
69 A958), 713—717.
В e p ж с (В e r g e г М.)
C] Sur certalnes varletis Rfetmnnlennes a courbure positive,
С. Я, Acad. Scl, Paris, 247 A958), 1165—H68.
Внркгоф и M а к л е й н (Blrkhoff, M а с L a n с)
Dj A survey oi modern algetua.
ротт (Bott R.)
{51 the s>-ibJe homotopy of the classical croups, Ann, Maifu,
70 (u.w). 3i3-aw.
[6] Morscf Theory and Its appiif.ation to horaotopy theory.
Lecture notes by A. van «is Ven (mimeographed), Univer-
University of Bonn, 1960.
Jjott и Шапиро (Bott R., Shapiro A.)
[7] On Clifford modules (в печати).
Гильберт Д. и Ко н-Ф о с с е н С ' ¦
[8] Наглядная геометрия. М. — Л.. 1951.
Годьдберг (Ooidbtfrg S. i.)
J9j Curvature and Homology, Academic Press, 1962.
Г p e ft в з (O r a v e s)
110] The theory of Functions of Real Variables.
ЗейфертГ, ТрельфалльН.
ПЦ Топология, М. —Л., 1938.
{12} Вариационное исчисление а целом, ИЛ, М., 1S47.
Ивасава (Iwasawa К.)
[131 On some types of topologlcal groups, Ann. Math,, 50
A949).
Иле, Кёйпср (Ells J., Kuiper N.)
A4] Closed manifolds which admit nondegenerate functions
with three critical points, Proc. RonikL Nederl. Acad.
wet, ser. A, 64 A961), 411—417. .

Литература 181
К а р т а н Э. (С a r t a n E.)
[15] La topologle des espaces representatives des groups
de Lie, Paris, Hermann, 1936.
[16] Геометрия римановых пространств, М., 1936.
К н о п (К п о р р К.)
[17] Theory of functions, part II, Dover, 1947.
Курант (СourantR.)
[18] Ober die Abhanglgkcit der Schwtngungszahlen elner
Membran .... Nachr. Kfintg. Qesellsch. wiss. ОбШпееп,
Maih.-Phys. K!.. 1919, 255—264.
Лаугвитц^а^игНг)
[19] Differential-Geometrle, Teubner, 1960.
Лефшец (Lefschelz S.)
[20] L'anatysts situs et la geometrie algebrlque, Paris, 1924.
M а Й е р с (М у e r s S. B.)
[21] Riemamt manifolds with positive mean curvature. Duke
Math. J., 8 A941), 401-404.
Милн oo (M11 n о r J.)
[22] Sommes de varietes dlfterentiables et structures dlfferen-
tiables des spheres, Bull. Soc. Math, de France, 87 A959),
439—444.
[23] On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. Math.,
64 A956) 399—405. [Перевод в сб. Математика, t:3
A957), 35-42.]
[24] On spaces having the homotopy type of a CW-complexi
Trans. Amer. Math. Soc, 90 A959). 272—280.
Mope (Morse M.)
[25] The calculus of variations in the large, New York, 1934.
[26] The critical points of a function of n variables, Trans,
Amer. Math. Soc, 33 A931), 71—91.
H о м и д з у К.
[27] Группы Ли и дифференциальная геометрия, ИЛ, М., 1960.
Де Рам Ж. (De Rham О.)
[28] Дифференцируемые многообразия. ИЛ, М., 1956.
[29] Sur la reductlblllte d'un espace de Rlemann, Comm.
Math. Helv., 26 A952)
Розен (Rosen R.)
[30] A weak form of the star conjecture for manifolds, Abstract
570—28. Notices Amer. Math. Soc, 7 A960), 380.
Cepp (Serre J. P.)
[31] Homologie slnguliere des espaces fibres, Ann. Math.,
54 A951), 425—505. (Перевод в сб. .Расслоенные про-
пространства", ИЛ, М., 1958, стр. 9—Н4.)

182 Литература
Сайндж (Synge J. L.)
[321 On the connectivity of spaces of positive curvature.
Quart. J. Math. (Oxford). 7 A936), 316—320.
Смей л (Smale S.)
[33] Generalized Polncare's conjecture In dimensions greater
than four, Ann. Math.. 74 A961). 391—406. (Перевод в сб.
Математика, 6:3 A962), 139—155.]
Стинрод Н.
[34] Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953.
Уайтхед (Whltehead J. H. С.)
[35] Combinatorial Homotopy I, Bull. Amer. Math. Soe., 55
A949). 213—245.
[36] On Simply Connected 4-dlmenslonal Polyhedra, Comm.
Math. Helv., 22 A949), 48—92.
[37] Convex regions in the geometry of paths, Quart. J. Math.,
3 A932), з?-42.
Ун л мор (Willmore)
[38] Differential Oeometry.
Уитни Х.
[39] Геометрическая теория интегрирования, ИЛ, М., I960
Ханнер (Hanner О)
[401 Some theorems on absolute neighborhood retracts, Ark.
Math., 1 A950), 389—408.
Хелгасон С
[41] Дифференциальная геометрия и симметрические про-
странства, М., 1964. . .
Хопф, Ринов (Hopf H., Rlnow W.)
[42] Ober den Begrlff der vollstandlgen dlfferentialgeomet-
rischen Fliche, Comm. Math., Helv., 3 A031). 209-225
Xy Сы-цзян -
[43] Теория гомотетий, M, 1964. ,
Чжэнь Ш9н*ш»нь (Chern S. S.)
[44] On curvature and characteristic classes of a Rlemann
manifold, Abh. Math, Sem., Hamburg, 20 A955), 117—120.
Шевалле К. . ,
[45] Теория групп Ли, М., 1948; 1958.
Экнаи (Eckmann В.)
D6) Orappentheoretltcher Bewete det SaUes von HnrwIU—
Radon, Comm. Math. Hetv., 15 A943), 358—366.
Яно К. и Бохнер С ~'~
D7] Кривизна и числа Бетти, ИЛ, М, 1957.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава L Невырожденные гладкие функции на много-
многообразии 9
§ 1. Введение 9
§ 2. Определения и леммы 12
§ '3. Описание гомотопического типа с помощью кри-
критических значений 21
§ 4. Примеры 35
§ 5. Неравенства Морса 38
§ 6. Многообразна в евклидовом пространстве .... 42
§ 7. Теорема Лефшсцз о гилерплоских сечениях ... 49
Глава II. Краткий курс ринановой геометрии ..... 63
§ 8. Ковариантное дифференцирование S3
§ 9. Тензор кривизны 61
§ 10. Геодезические и полнота 65
Глава III. Вариационное исчисление в применении
к геодезическим 78
§ 11. Пространство путей гладкого многообразия . . .¦ 78
§ 12. Функция действия 81
§ 13. Гессиан функции действия на критическом пути 85
§ 14. Якобиевы поля 89
§ 15. Теорема об индексе 94
§ 16. Конечномерная аппроксимация множества & . . .* 100
§ 17. Топология полного пространства путей 104
§ 18. Существование несопряжениых точек ...... 109
§ 19. Некоторые соотношения между топологий н кри-
кривизной Ш
Глава IV. Приложения к группам Ли в симметриче-
симметрическим пространствам - . 119
§ 20. Симметрические пространства 119
§21. Группы Ли как симметрические пространства . . 121

184 Оглавление
§ 22. Многообразия, составленные из минимальных гео-
геодезических 128
§ 23. Теорема Ботта о периодичности для унитарной
группы C3
§ 24. Теорема периодичности для ортогональной группы 143
Дополнение. Гомотопический тип монотонной суммы . . 161
Приложение. Л. В. Аносов 166
¦ § 1, Клеточные разбиения н теорема Уайтхеда .... 166
§ 2. Двойственность Пуанкаре и приклеивание ручек . 173
Литература 180