ANNALS OF MATHEMATICS STUDIES
Number 61
SINGULAR POINTS
of
COMPLEX HYPERSURFACES
by
JOHN MILNOR
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
and the
UNIVERSITY OF TOKYO PRESS
PRINCETON, NEW JERSEY
1968

дж. ми л hop
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
КОМПЛЕКСНЫХ
ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
Перевод с английского
В. М. БУХШТАБЕРА
С предисловием
В. И. АРНОЛЬДА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1971

УДК 61.949
Автор, известный американский математик, уже
знаком советскому читателю по переводам книг
«Теория Морса» и «Теорема об fr-кобордизме»
(«Мир», 1965 и 1969). Его новая книга посвящена
изучению топологической структуры поверхностей
уровня аналитической функции нескольких
комплексных переменных в окрестности точки, в которой
градиент функции обращается в нуль. Такая задача
возникает в различных областях математики, а
также в теоретической физике.
Обилие примеров, наличие рисунков,
наглядность и геометричность изложения делают книгу
доступной студентам старших курсов.
Редакция литературы по математическим наикам
2-2-1
•"2T7J

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Существует замечательная связь между теорией
особых точек плоских алгебраических кривых, с одной
стороны, и теорией узлов, зацеплений и кос — с другой.
Узлы и зацепления возникают в трехмерной сфере,
ограничивающей маленькую окрестность особой
точки, при пересечении с (вещественно двумерной)
поверхностью, образованной комплексными точками
кривой. Алгебраические инварианты кривой
(показатели Пюизё и т. п.) оказываются при этом связанными
с топологическими инвариантами получающегося узла
или зацепления.
Изучение этой связи и соответствующих
многомерных обобщений и составляет предмет настоящей
книги. Примером имеющихся здесь достижений может
служить теорема Э. Брискорна, согласно которой
28 многообразий
sff-l + z* + 4 + *l + 3%-09
\4\+ ••• +И| = 1>' *-1, 2, ..., 28,
представляют 28 сфер Милнора (которые все гомео-
морфны обычной семимерной сфере, но попарно не
диффеоморфны).
В качестве другого примера можно указать
следующую конструкцию несглаживаемого
топологического многообразия (Кервэр, Брискорн, Кейпер).
Рассмотрим подмножество 7-мерного комплексного
пространства, заданное условиями
2»+...+*f + 2g + 2? = e, 2I*A<L
где е достаточно мало. Это множество является
12-мерным гладким многообразием с краем, гомео-

6
Предисловие к русскому изданию
морфным топологической И-мерной сфере. Стянув
край в точку, получим 12-мерное топологическое
многообразие без края. Оно не допускает ни одной
дифференцируемой структуры.
Из совсем недавних результатов можно отметить
работу Хамма, который перенес результаты Милнора
и Брискорна на изолированные особенности полных
пересечений.
Особенностью книги Милнора является то, что
алгебраическая геометрия выступает в ней не как
ветвь алгебры или теории чисел, а как глава
геометрии и анализа. Эта книга является одной из
первых в мировой литературе попыток современного
геометрического изложения ряда основных понятий
алгебраической геометрии.
Следует отметить, что повышение интереса к
геометрии особенностей алгебраических многообразий в
последние годы связано не только с математической
привлекательностью этой проблематики, но и с
приложениями в физике (ветвление интегралов,
особенности, связанные с диаграммами Фейнмана, и т. п.).
В частности, указанная выше теорема Брискорна
опирается на вычисления французского физика
Ф. Фама.
По характеру изложения книга Милнора может
служить учебником для начинающих: обилие
примеров, наличие рисунков, наглядность и геометричность
рассуждений автора делают ее доступной для
широких кругов математиков всех специальностей.
В. Арнольд

Моей матери
ПРЕДИСЛОВИЕ
Топологические задачи, возникающие при изучении
особых точек комплексной кривой, привлекли
внимание многих геометров, после того как К. Браунер
доказал в 1928 г., что каждую такую особую точку
можно описать с помощью некоторой ассоциированной
с ней заузленной кривой на трехмерной сфере.
Недавно Э. Брискорн возбудил новый интерес к этой
тематике, установив аналогичные факты для случая
более высоких размерностей и связав тем самым
алгебраическую геометрию с теорией узлов высоких
размерностей и теорией экзотических сфер.
В этой книге для исследования особых точек
комплексных гиперповерхностей вводится некоторое
расслоение, сопоставляемое каждой особой^точке.
От читателя требуется знакомство с основами
алгебры и топологии, в объеме, например, «Алгебры»
Ленга или «Современной алгебры» Ван дер Вардена
и «Алгебраической топологии» Спеньера *).
Я хочу поблагодарить Э. Брискорна, В. Кассель-
мана, X. Хиронаку и Дж. Нэша за полезные
обсуждения и Э. Тернера за подготовку предварительного
варианта рукописи. Я также благодарен Национальному
научному фонду за его поддержку. Работа по
написанию этой книги осуществлялась в Принстонском
университете, Институте перспективных исследований,
Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе и в
Университете штата Невада.
1) См. список литературы в конце книги.

§ 1 Введение
Пусть f(zu ..., Zn-и)—- многочлен ненулевой
степени от п + 1 комплексных переменных, и пусть V —
алгебраическое множество, состоящее из всех наборов
z^(z{, ..., zn+i)
из п + 1 комплексных чисел, для которых f(z) = 0.
(Такое множество называется комплексной
гиперповерхностью.) Наша задача — изучить топологию
гиперповерхности V в окрестности некоторой точки z.
Мы будем использовать следующую конструкцию
Браунера. Пересечем гиперповерхность V сферой Se
малого радиуса с центром в заданной точке z°. Тогда
топология части гиперповерхности V\ заключенной
внутри диска, ограниченного сферой SB> тесно связана
с топологией множества
K = V()SS
(см. теорему 2.10 и примечание 2.11).
Например, если z° является регулярной точкой
многочлена f (т. е. если некоторая частная
производная df/dZj не обращается в нуль в точке z), то
гиперповерхность. V вблизи точки z° является гладким
многообразием вещественной размерности 2я. В этом
случае пересечение К = V П S8 является гладким
(2п— 1)-мерным многообразием, диффеоморфным
(2п—1)-мерной сфере, причем К незаузленно
вложено в (2п + 1)-мерную сферу SB (см. лемму 2.12).
Рассмотрим для сравнения с предыдущим случаем
многочлен
f(zv z2) = z? + z$

10 § 1. Введение
от двух переменных с критической точкой (df/dzi =
= df/dz2 — 0) в начале координат. Предположим, что
целые числа р и q взаимно просты и > 2.
Утверждение (Браунер). Пересечение
гиперповерхности K = f~1(0) со сферой S8 с центром в
начале координат является заузленной окружностью, а
Рис. 1. Торический узел типа (2,3).
именно так называемым дорическим узлом типа
(p,q)» в трехмерной сфере Se.
[Доказательство. Нетрудно проверить, что
пересечение К = V П S8 лежит на торе, состоящем из
всех пар (zu z2), для которых \г{\ = £, \z2\ =-- т), где
| и г) — положительные постоянные. А именно, К
состоит из всех пар вида (£е*'е, цер'е+я//^), где параметр
6 изменяется от 0 до 2я. Таким образом, К обвивает
тор q раз в одном координатном направлении и р раз
в другом.]
Для примера на рис. 1 показан торический узел
типа (2, 3).

§ L Введение 11
Разумеется, используя более сложные многочлены,
можно получить значительно более сложные узлы (см.
замечание 10.11).
Аналоги торических узлов для случая высоких
размерностей были изучены Брискорном. Например,
пусть У(3, 2, 2, ..., 2) -—геометрическое место нулей
многочлена
f{zv ..., *n+i) = *? + *!+ ••• +4+г
Для всех нечетных п эта гиперповерхность пересекает
сферу S8 по гладкому многообразию /С, гомеоморф-
ному сфере S2n_1. В некоторых случаях (например, в
случае п = 3) К диффеоморфно стандартной (2п — 1)-
мерной сфере, тогда как в других случаях (например,
в случае п = 5) К является «экзотической» сферой.
Но во всех случаях К вложено заузленным образом в
(2п + 1)-мерную сферу S8.
Эти сферы Брискорна будут рассмотрены бол^е
подробно в § 9.
Цель этой работы — ввести некоторое расслоение,
которое полезно для описания топологии таких
пересечений
K = V(]SeaSe.
Сформулируем некоторые основные результаты,
доказательство которых будет дано в § 4—7.
Теорема о расслоении. Пусть z° —
произвольная точка комплексной гиперповерхности К =
= /_1(0) и S8— сфера достаточно малого радиуса г
центром в z°. Тогда отображение
q>: S,\K-»S\ Ф(х)-1МТ
множества SB\ К в единичную окружность S1
является проекцией некоторого гладкого расслоения1).
Каждый слой
1) Под расслоением мы будем понимать локально
тривиальное расслоение.

12 § L Введение
является гладким параллелизуемым 2п-мерным
многообразием.
В случае когда многочлен f не имеет других
критических точек вблизи z°, кроме самой точки z°, можно
доказать значительно более точный результат.
Теорема. Если z° — изолированная критическая
точка многочлена f, то каждый слой FQ имеет,
гомотопический тип букета Sn V Sn V...'V Sn n-мерных
сфер, причем число сфер в этом букете (т. е. среднее
число Бетти слоя FQ) строго положительно. Каждый
слой является внутренней частью гладкого
компактного многообразия с границей, а именно многообразия
{замыкание Fe) = FQ\JK,
причем общая граница К этих многообразий является
(п — 2)-связным многообразием.
Таким образом, все слои FQ подходят к одной и той
же общей границе К на манер, показанный на рис. 2.
Гладкое многообразие К является связным, если
я>2, и односвязным, если Л^.З.

§ 2. Элементарные факты 13
Опишем теперь более подробно содержание этой
книги. В § 2 мы приводим, следуя Уитни,
элементарные свойства вещественных алгебраических множеств.
В § 3 устанавливается основная лемма о
существовании вещественных аналитических кривых на
вещественных алгебраических множествах. Доказательства
всех последующих результатов существенно
опираются на эту лемму. В § 4 доказывается основная теорема
о расслоении, а § 5 посвящен изложению ряда
дополнительных результатов о топологии множеств К
и />
Затем мы рассматриваем случай, когда начало
координат является изрлированной критической точкой
многочлена /. В этом случае можно дать значительно
более точное описание слоя (§ 6) и, в частности,
получить явную формулу для среднего числа Бетти слоя
(§ 7). Топологию нашего пересечения К можно при
этом описать с помощью некоторого многочлена A (t)
с целыми коэффициентами, который служит
обобщением многочлена узла Александера (§ 8).
В § 9 приведены принадлежащие Брискорну
примеры особых алгебраических многообразий,
являющихся топологическими многообразиями. В § 10
изложена классическая теория особых точек
комплексных кривых. В последнем параграфе доказано
обобщение теоремы о расслоении на случай
некоторых систем вещественных многочленов. В качестве
примера дается многочленное описание расслоений
Хопфа.
В конце книги приведены два дополнения.
§ 2. Элементарные факты о вещественных
и комплексных алгебраических множествах
Пусть Ф — некоторое бесконечное поле и Фт — ко*
ординатное пространство, состоящее из наборов х =
= (хи ..., хт) из т элементов поля Ф. (Нас
интересует главным образом случай, когда Ф — это поле R
вещественных чисел или поле С комплексных чисел.)

14
§ 2. Элементарные факты
Определение. Подмножество Vcz(bm
называется алгебраическим множеством1), если V
является геометрическим местом общих нулей некоторой
совокупности полиномиальных функций на Фт.
Кольцо всех полиномиальных функций на Фт со
значениями в Ф будем обозначать символом Ф[хи ...
.,., хш]. Пусть
I{V)czQ>[xlt...t xm]
— идеал, состоящий из многочленов, обращающихся
в нуль на всем V. Теорема Гильберта о базисе
утверждает, что каждый идеал порождается (как Ф[хи ...
..., А:ж]-модуль) некоторой конечной совокупностью
многочленов. Отсюда следует, что каждое
алгебраическое множество V может быть определено с помощью
конечной совокупности полиномиальных уравнений.
Важным следствием теоремы Гильберта о базисе
является следующее
Утверждение 2.1. Условие обрыва убывающей
цепочки. Всякая вложенная последовательность Vi :э
zd V2 ^> Vz =>... алгебраических множеств либо
обрывается, либо стабилизируется (г. е. Vi = Кг+i = Vi+% =
= ...) после конечного числа шагов.
Заметим, что объединение V LT К7 любых двух
алгебраических множеств V и V в Фт также является
алгебраическим множеством.
Непустое алгебраическое множество V называется
алгебраическим многообразием, или неприводимым
алгебраическим множеством, если его нельзя
представить в виде объединения двух его собственных
алгебраических подмножеств. Заметим, что множество V
неприводимо тогда и только тогда, когда I(V) —
простой идеал. Если V неприводимо, то поле частных вида
flg> где f и g принадлежат области целостности
Ф[*1, ...,xmyi(V)9
1) В алгебраической геометрии принято допускать в качестве
точек алгебраического множества V также наборы из m
элементов, принадлежащих некоторому фиксированному алгебраически
замкнутому расширению поля Ф; но я не хочу делать этого.

§ 2. Элементарные факты 15
называется полем рациональных функций на V. Его
степень трансцендентности над Ф называется
алгебраической размерностью множества V над Ф.
Отметим, что если W—собственное алгебраическое
подмногообразие многообразия V, то размерность
алгебраического многообразия W меньше размерности
многообразия V (см., например, Ленг [1], стр. 29).
Пусть теперь Va Фт — произвольное непустое
алгебраическое множество. Выберем конечное
множество многочленов fu ..., fft, порождающее идеал I(V),
и для каждого xgI/ рассмотрим (k X m)-матрицу
(dfi/dxj), вычисленную в точке х. Пусть р —
наибольший ранг, которого достигает эта матрица в точках
множества V.
Определение1). Точка xgV называется
неособой, или простой, если ранг матрицы (dfjdxj)
достигает в этой точке своего максимального значения р, и
особой, или сингулярной, если
rank(d/j(x)/d*/)<p.
Заметим, что это определение не зависит от выбора
образующих {/ь ..., fk} идеала I{V) (ибо если мы
добавим еще один многочлен fk+i = gifr + ... + gkfh, то
новая строка нашей матрицы будет линейной
комбинацией старых строк).
Лемма 2.2. Множество 2(V) всех особых точек
множества V образует собственное алгебраическое
подмножество (возможно, пустое) множества V.
Доказательство. Точка х множества V
принадлежит подмножеству 2(V) тогда и только тогда,
когда каждый (р X р) -минор матрицы (dfi/dxj)
обращается в нуль в точке х. Таким образом, 2(V)
определяется системой полиномиальных уравнений.
- х) Это определение хорошо согласуется с интуитивным
понятием особой точки только в тех случаях, когда V —
алгебраическое многообразие или объединение алгебраических
многообразий одинаковой размерности, а в других случаях — плохо.
Например, если V —- объединение некоторой точки и прямой, то
неособой будет одна лишь эта точка.

16 § 2. Элементарные факты
Рассмотрим теперь случай вещественного или ком* II
плексного алгебраического множества. |
it
Теорема 2.3 (Уитни). Если Ф — поле веществен- |
них (соотв. комплексных) чисел, то множество |
V \ 2 (V) неособых точек множества V образует глад- II
кое непустое многообразие. Это многообразие являет- |
ся вещественным (соотв. комплексным) аналитиче- 1
ским многообразием и имеет размерность m — р над ф. |
Изящное доказательство этой теоремы читатель 1
может найти в работе Уитни [1]. 1
Уитни показал, что в случае неприводимого мно- ]|
жества V размерность аналитического многообразия 1
У \ 2 (К) над Ф в точности равна алгебраической раз- 1
мерности множества V над Ф. I
Сформулируем еще один важный результат. ||
Теорема 2.4 (Уитни). Для любой пары VzzW я
алгебраических множеств в вещественном или комп- II
лексном координатном пространстве разность V\W ||
имеет самое большее конечное число топологических ]|
компонент. 1
Например, само множество V имеет лишь конечное ||
число компонент; гладкое многообразие К\2(К) |
также имеет лишь конечное число компонент. !|
Доказательство теоремы 2.4, лишь незначительно 1
отличающееся от доказательства Уитни, приведено II
в дополнении А. ||
Рассмотрим три примера (см. рис. 3) кривых в ве- ]|
щественной плоскости, каждая из которых имеет ||
единственную особую точку в начале координат. ||
Пример А. Алгебраическое многообразие, состоя- 11
щее из всех пар (х, y)&R2, удовлетворяющих урав- Я
нению Я
*/2-*2(1-*2) = 0 1
(см. рис. 3,А), дает пример особой точки наиболее ]|
простого и интуитивно ясного типа, а именно так на- ]|
зываемой «двойной точки», в которой пересекаются И
|
I

§ 2. Элементарные факты
П
+ (
I 8 \
С
А. Кривая y=±xV\—x2.
Рис. 3. В. Кривая у = ±xVx — 1.
С. Кривая x* = y(\+Vl+y)-
две вещественные аналитические ветви с различными
касательными (а именно y = xYl — х2 и {/=—
— xYl—x2)l). (Определение «ветви» см. в лемме 3.3.)
Пример В. Кубическая кривая
(/2-х2(*-1) = 0
(см. рис. 3, В) имеет в начале координат
изолированную точку и тем не менее является неприводимой.
Замечание. Над полем комплексных чисел
примеры такого рода не могут иметь места, так как,
согласно теореме Ритта, многообразие простых точек
неприводимого комплексного алгебраического
многообразия V всюду плотно в V (ср. Ван дер Варден [1],
стр. 134).
Пример С. Уравнение у3 = xmt будучи
разрешено относительно у, дает 33 раза дифференцируемую
х) Это"легко видно из параметрического представления х =
-= sin 0, 2у = sin 20 (которое показывает, что наша кривая
является «кривой Лиссажу»),

18
§ 2. Элементарные факты
функцию от я, и тем не менее это уравнение
определяет неприводимое алгебраическое многообразие
V a R2, которое имеет особую точку в начале
координат. Уравнение yz + 2х2у — xk = 0 (см. рис. 3, С),
будучи разрешено относительно у> дает вещественную
аналитическую функцию от xl)t но и это уравнение
определяет неприводимое алгебраическое
многообразие, имеющее особую точку в начале координат.
Это явление станет более понятным, если мы
позволим переменным х и у пробегать все комплексные
числа. Действительно, комплексная кривая у3 = хт
является «заузленной» вблизи начала координат (см.
§ 1), а комплексная кривая уг + 2х2у = хА имеет три
различные неособые ветви, проходящие через начало
координат.
Замечание. Комплексное алгебраическое
многообразие в окрестности особой точки не может быть
гладким многообразием.
Доказательство. Предположим, что
комплексное алгебраическое многообразие V является гладким
многообразием класса V1 всюду в некоторой
окрестности U начала координат в О. Касательное
пространство в каждой простой точке этого гладкого
многообразия U О V является, очевидно, векторным
пространством над полем комплексных чисел. Так как
простые точки всюду плотны (см. замечание выше),
отсюда следует по непрерывности, что (вещественное)
касательное пространство Тг d Ст многообразия
U П V в произвольной точке z является фактически
комплексным векторным пространством (т. е. Tz —
= iTz). В силу теоремы о неявной функции, мы видим,
заменяя U некоторой меньшей окрестностью Uf и
перенумеровывая, если надо, координаты, что
многообразие U' П V можно рассматривать как график
некоторого ^-гладкого отбражения F открытого
подмножества координатного пространства (zu ..., zn)
1) Действительно, разрешая это уравнение относительно х2,
получаем х2«<р (у) « у + у V\ + у; функция же ф"1 определена
и аналитична всюду в интервале [0, оо).

§ 2. Элементарные факты
19
в координатное пространство (zn+i, ..., zm).
Дифференциал отображения F в каждой точке является
комплексно линейным отображением, следовательно,
удовлетворяются уравнения Коши — Римана, и F является
комплексно аналитическим отображением. Этим
доказано, что U' Л V является комплексным многообразием.
Пусть, далее h(z)—произвольная комплексная
аналитическая функция, определенная в окрестности
начала координат и обращающаяся в нуль на V, и
пусть f 1, ..., fk — многочлены, порождающие простой
идеал I{V) с C[zu ..., zw]. Согласно локально
аналитическому варианту теоремы о нулях (см., например,
Ганнинг и Росси [1]), некоторая степень hs может
быть представлена в виде линейной комбинации
ciifi + ... Л-uhfh, где аи ..., ak — ростки
аналитических функций. Переходя к большему кольцу С [[z]].
состоящему из всех формальных степенных рядов в
начале координат, получаем отсюда, что hs заведомо
принадлежит идеалу C[[z]]/(K). Но этот идеал можно
представить как пересечение простых идеалов (см.
Лефшец [1], стр. 91). Следовательно, и сама функция
h должна принадлежать идеалу C[[z]]/(V), который
порождается многочленами fiy ..., fk в C[[z]]. Беря
производные, видим, что ковектор dh(0) можно
записать в виде комплексной линейной комбинации ковек-
торов df\(0), ..., dfk(0). В этом случае, очевидно,
матрица (dfjdzj) имеет ранг m — п в начале
координат; следовательно, начало координат не может быть
особой точкой алгебраического многообразия V.
Используя следующий результат, читатель легко
проверит^ все утверждения о кривых из примеров
А, В и С.
Лемма 2.5. Пусть V — вещественное или
комплексное алгебраическое множество, определяемое
одним неприводимым полиномиальным уравнением
f(x) = 0. В вещественном случае дополнительно
требуется^, чтобы множество V содержало регулярную
точку многочлена f. Тогда каждый многочлен,
обращающийся в нуль на V, кратен многочлену f.
1) Для исключения таких примеров, как х2 + у2 + г2 = 0.

20 § 2. Элементарные факты
Следовательно, множество V неприводимо, и мно- |
жество особых точек 2(У) является в точности пере- Ц
сечением множества V с множеством критических то- 1
чек многочлена f. II
Доказательство. В комплексном случае это I
непосредственно вытекает из теоремы Гильберта о ?[
нулях. В вещественном случае представим V cz Rm в J
виде объединения V\ U . . U Vu конечного числа алге- ||
браических многообразий. Так как окрестность регу- 1
лярной точки из V есть (т— 1)-мерное многообразие, 1
то стандартные топологические рассуждения показы- I
вают, что по крайней мере одно из многообразий Vj I
должно иметь размерность m—1. Следовательно, со- И
гласно упомянутому выше результату Уитни, поле ча- ||
стных R[xu ... , xm]/I(Vj) имеет над/? степень транс- ||
цендентности m— 1. С другой стороны, ясно, что фак- II
торкольцо кольца R[xu ..., xm] по главному простому I
идеалу (/) имеет над R степень трансцендентности I
m— 1. Так как ||
(f)^I(Vf), I
то с помощью обычных рассуждений получаем, что |
(/) = /(]/;) (см., например, Ленг [1], стр. 29). |
Следовательно, множество нулей многочлена f сов- |
падает с алгебраическим многообразием Vj. Таким л
образом, V = Vj и, значит, идеал I(V) совпадает с ||
главным идеалом (/). л
Замечание. Утверждение леммы 2.5 верно для |
любого локально компактного поля, но для произ- Я
вольного поля уже неверно. Например, неприводи- ц
мый многочлен х2 — у — ув над полем рациональных I
чисел не имеет критических точек в рациональной J
плоскости и имеет в точности один рациональный ко- ||
рень. ||
Перейдем теперь к следствиям из двух теорем §1
Уитни. Я
Следствие 2.6. Любое вещественное или комп- \
лексное алгебраическое множество V может быть I

. § 2. Элементарные факты
21
представлено в виде конечного дизъюнктного
объединения
'V = Ml[)M2U ... [)МР,
где каждое Mj является гладким многообразием с
конечным числом компонент. Аналогично, любая
разность V\W алгебраических многообразий может
быть представлена в виде такого конечного
объединения. ~
Доказательство. Пусть M1=K\2(V) —
множество простых точек алгебраического
множества V, М2 = S (V) \ S (S (V)) — множество простых
точек алгебраического множества 2(V) и т. д. Это
построение должно оборваться после конечного числа
шагов, так как, согласно утверждению 2.1,
последовательность
VdS(F)=)S(S(K))=) ...
стабилизируется. Ясно, что V является
дизъюнктным объединением многообразий М*
Аналогично разность V\W может быть
представлена в виде дизъюнктного объединения М[ U М'2 U •..
... U Мр, где каждое
по теореме 2.4, является гладким многообразием с
конечным числом компонент.
Часто оказывается полезной следующая лемма.
Пусть, как обычно, Ф — поле вещественных или
комплексных чисел, Mi = К\2(У)— многообразие
простых точек алгебраического множества Vcz(Dm и g —
полиномиальная функция на Фт.
Лемма 2.7. Множество критических точек4)
ограничения g\Mi функции g на Mi равно пересечению
многообразия М{ с алгебраическим множеством W,
1) Критической точкой гладкого отображения одного
гладкого многообразия в другое называется точка первого
многообразия, для которой индуцированное линейное отображение
касательных пространств не сюръективно.

22
§ 2. Элементарные факты
состоящим из всех точек xel^, для которых матрица
Г dg
dxi
L d*i
dg
dxm
dh
dxm
dfk
' dxm
имеет ранг *C р, где /i, ..., fk — многочлены,
порождающие идеал I(V).
Доказательство. В окрестности любой точки
многообразия Mi можно выбрать такую
(вещественную или комплексную) аналитическую систему
локальных координат «ь ..., ит в Фт, в которой М\
задается уравнениями и\ = ... = и9 = 0. В этом случае
ttp+i, • •> и>т можно взять в качестве локальных
координат на Мь Заметим, что производная dfjduj,
вычисленная в точке многообразия Мь равна нулю для
/>р + 1 (так как fi равняется нулю на Mi).
Поскольку матрица (dfi/dUj) эквивалентна «по
столбцам» матрице (dfiJdxi) и, следовательно, имеет ранг р,
то первые р столбцов матрицы (dfi/duj) должны быть
линейно независимы.
Далее, расширенная матрица
Г dg dg "J
dU\ дит
ML A.
дах ' ' ' дит
L dtix ' ' ' дит J.
будет иметь тот же самый ранг р тогда и только
тогда, когда

§ 2. Элементарные факты
23
другими словами, тогда и только тогда, когда данная
точка является критической точкой отображения
g\M\. Так как новая матрица эквивалентна «по
столбцам» матрице из леммы 2.7, этим доказательство
завершается.
Следствие 2.8. Полиномиальная функция g на
М\ = У\2(У) может принимать самое большее
конечное число критических значений.
(Критическим значением g(x) еФ называется
образ при отображении g критической точки х.)
Доказательство. Множество критических
точек отображения g\M\ можно представить в виде
разности №\2(У) алгебраических множеств;
следовательно, оно представимо в виде конечного
объединения гладких многообразий
W\2(V) = M'lU ... 1Шр,
где каждое многообразие M'i имеет не более
конечного числа компонент.
Каждая точка х е М\ является критической
точкой гладкой функции g\Mu поэтому и подавно она
является критической точкой функции g\M\. Так как
все точки многообразия М\ критические, отсюда
следует, что функция g постоянна на каждой компоненте
многообразия М\. Следовательно, образ g{M'i)
является конечным множеством. Но объединение
ё{м[)\] ... Vg(M'p)
— это в точности множество всех критических
значений функции g|Mb чем и завершается
доказательство.
Пусть опять V — произвольное вещественное или
комплексное алгебраическое множество, и пусть х° —
либо простая точка множества I/, либо изолированная
точка множества особых точек 2(К).

24 § 2. Элементарные факты
Следствие 2.9. Каждая достаточно малая
сфера S8 с центром в точке х° пересекается с V по
гладкому многообразию (возможно, пустому) 1).
Доказательство. Для доказательства в
вещественном случае применим следствие 2.8, взяв в
качестве g полиномиальную функцию
г(х)Ч|х-х°|р.
Если е2 меньше любого положительного критического
значения функции г| (V\ 2 (V)), то е2 является
регулярным значением, и, следовательно, его прообраз
r-He')(](V\2(V))^Se(](V\Il(V))
есть некоторое гладкое многообразие /С. Но если е
достаточно мало, то сфера S8 не будет пересекать
2(F) и, следовательно, К будет совпадать с Se П V.
Отсюда сразу следует утверждение для
комплексного случая, ибо каждое комплексное алгебраическое
многообразие в О можно рассматривать как
вещественное алгебраическое многообразие в R2m.
Обозначим через йг замкнутый диск, состоящий из
всех точек х, для которых ||х — х°||-<е. Пусть опять
х° — либо простая точка, либо изолированная особая
точка алгебраического многообразия V.
Теорема 2.10. Для достаточно малых е
пересечение многообразия V с йг гомеоморфно конусу над
К = V П Se. Фактически пара (D8, V П De) гомео-
морфна паре, состоящей из конуса над S8 и конуса
над К.
Здесь под конусом над К (обозначение cone (К))
мы понимаем объединение всех прямолинейных
отрезков
*к + (1-*)х°, 0</<1,
1) Фактически из доказательства будет следовать, что
пересечение V с SB является трансверсальным, т. е. что каждый
вектор с началом в точке многообразия V П S8 может быть
представлен в виде суммы вектора, касательного к Vt и вектора,
касательного к 5е.

§ 2. Элементарные факты
25
соединяющих точки ке/( с фиксированной точкой х°.
Множество cone (Se), определяемое аналогично,
очевидно, совпадает с D8.
Таким образом, если мы сможем описать
многообразие К и то, каким способом К вложено в Se, то мы
будем иметь полное описание топологии
алгебраического многообразия V и вложения многообразия V
в его координатное пространство во всей окрестности
точки х°. Например, если К — топологическая сфера,
то V в окрестности точки х° должно быть
топологическим многообразием.
Мы дадим подробное доказательство теоремы 2.10,
так как аналогичные методы будут играть важную
роль и далее, в § 4, 5 и 11.
Доказательство теоремы 2.10. Как и
ранее, достаточно рассмотреть лишь вещественный
случай. Пусть опять е настолько мало, что диск Dz не
содержит ни особых точек алгебраического
многообразия V, ни критических точек функции г|(У\2(К)),
за исключением самой точки х°.
Построим гладкое векторное поле v(x) на
проколотом диске Z)8\x°, обладающее следующими двумя
свойствами: во-первых, для всех х вектор v(x)
направлен «прочь» от точки х°, т. е. евклидово скалярное
произведение
(v(x), х~х°>
строго положительно; во-вторых, вектор v(x) касате-
лен к многообразию М\ == У\2(У) всякий раз, как
точка х принадлежит М\.
Построим сначала такое векторное поле локально.
Для любой точки ха е Ог\х0 построим векторное
поле va(x) в окрестности Ua точки ха так, чтобы
выполнялись указанные два свойства.
Если ха не принадлежит многообразию V, то мы
можем просто положить
va (х) = х ~ х°
для всех х из некоторой окрестности Ua cz Rm\V<

26
§ 2. Элементарные факты
Если ха принадлежит многообразию V и,
следовательно, принадлежит многообразию Мь то выберем
систему локальных координат и\9 ..., um в
окрестности точки ха так, чтобы Mi задавалось уравнениями
и\ = ... = Up = 0. Поскольку ха не является
критической точкой функции г|Мь где г(х) = ||х—- х°||2,
отсюда следует, что по крайней мере одна из частных
производных
дг дг
дир+1 ' •••' дит
должна быть отлична от нуля в точке х06 (ср.
Доказательство леммы 2.7). Пусть, например, производная
dr/duh отлична от нуля в ха, и пусть Ua — малая
связная окрестность, в любой точке которой dr/duh Ф 0.
Возьмем в качестве va(x) вектор
»•«-*(& ш
касательный к %-координатной кривой, проходящей
через точку х; знак плюс или минус выберем в
зависимости от знака производной dr/duh. Этот вектор
va(x) является, очевидно, касательным к М{ для
любой точки х^Мь так как вся ^-координатная
кривая лежит в Mi. Далее, скалярное произведение
2<V(x),x-x»>-S2(xl-*»)o?-2(-^)(±-^)
равно ±dr/duh и, следовательно, больше нуля для
всех х е £/а.
Выберем теперь гладкое разбиение единицы 1) {АЛ}
на D8\x°, такое, что (носитель Ка) cz Ua. Тогда
векторное поле
v(x) = 2xa(x)va(x)
1) То есть такие гладкие вещественные функции \а на
Z)e\x°, что
Яа(х)>0, 2^Wal»
а
причем каждая точка х е De\x° имеет окрестность, в которой
лишь конечное число функций Ха отлично от нуля (см., например,
де Рам [1] или Ленг [2]).

§ 2. Элементарные факты
27
на £>8\х°, очевидно, обладает требуемыми
свойствами.
Нормализуем наше векторное поле, положив
WW" (2(x-x°), v(x)) »
и рассмотрим дифференциальное уравнение
-jT = w(x).
Найдем гладкие кривые х = р(^), определенные,
скажем, для а < t < p, которые удовлетворяют
уравнению
^F-w(p(0).
Заметим, что для любого данного решения p(t)
производная от композиции r(p(t)) задается формулой
где х = р(/). Поэтому функция r(p(t)) должна иметь
вид / + const. Таким образом, вычтя, если надо,
постоянную из параметра t, мы можем считать, что
r(pW)-llpW-x°|p-f.
Это решение р(/) можно продолжить на весь
интервал 0 < t *С е2.
[Доказательство. Можно считать, что
векторное поле w(x) построено на открытом множестве,
несколько .большем, чем Dz \ х°, так что граничные
точки диска DB не будут вызывать каких-либо
дополнительных трудностей, flo лемме Цорна 4) данное
решение р(/) можно продолжить на некоторый
максимальный открытый интервал а' < t < Р'. Пусть, например,
Р'<1е2; покажем, что решение p(t) можно
продолжить на несколько больший интервал, в противоречие
с определением р'. Так как точки р (t) для а! < / < р'
принадлежат все компактному множеству D8, то
[) В этом месте можно обойтись и без леммы Цорна.

28 § 2. Элементарные факты
при f-*p' существует по крайней мере одна
предельная точка Xх е {p{t)}\ ясно, что г(х') = р' Ф О, т. е. х'е
eDe\x°. Применим теперь теорему локального
существования, единственности и гладкости *) для
дифференциального уравнения dx/dt = w(x) в окрестности
точки х'. Эта теорема утверждает, что для каждой
точки х" в некоторой окрестности U точки х' и любого
¥' в некотором достаточно малом открытом
интервале /, содержащем р', существует единственное решение
x = q(/), *€=/,
удовлетворяющее начальным условиям q (/") = х",
причем это решение q(/) является гладкой функцией
от х", t" и L Чтобы применить эту теорему, выберем
V ^(а', р') П / и возьмем х" = p(t"). По теореме
локальной единственности р(/)=Ч(0 для всех / в
общей области определения (а', р') П /. Таким образом,
решения р и q можно объединить и тем самым
получить решение, которое определено для всех t в
большем интервале (а', р') U /. Мы пришли к
противоречию; следовательно, Р' > е2. Аналогичные
рассуждения показывают, что а' = 0.]
Заметим, далее, что решение р(/), 0</<е2
однозначно определяется начальным значением
P(82)6S,
Для каждого aGS8 обозначим через
Р(а, t), 0</<е2,
единственное решение p(t), удовлетворяющее
начальному условию
р(е2) = Р(а, е2) = а.
Очевидно, что так определенная функция Р диф-
феоморфно отображает произведение S8 X (0, е2] на
проколотый диск De\x°. Кроме того, поскольку
векторное поле w(x) является касательным к М{ для всех
xeAfi, отсюда следует, что каждая кривая-реше-
1) См., например, Грэйвс [1] или Ленг [2].

§ 2. Элементарные факты
29
ние, соприкасающаяся с многообразием Мь должна
лежать в М\. Значит, Р диффеоморфно отображает
произведение
* Х(0, е2] на V()(De\x0).
Наконец, заметим, что Р(а, t) равномерно по а
стремится к х° при t->0. Следовательно,
отображение
*а + (1-/)х°н-*Р(а, te2)9
определенное для 0 < t ^ 1, однозначно продолжается
до гомеоморфизма конуса cone (S8) в диск D8. Более
того, этот гомеоморфизм отображает cone (К) на
V П De. Этим завершается доказательство теоремы
2.10.
Замечание 2.11. По-видимому, теорема 2.10
остается верной даже в том случае, когда х° не
является изолированной особой точкой алгебраического
множества V. Известно, что каждое алгебраическое
множество триангулируемо, так что надлежащим
образом выбранная окрестность любой точки гомео-
морфна конусу над некоторым комплексом (см.,
например, Лоясевич [2]).
В оставшейся части этого параграфа мы
исследуем до конца довольно скучный случай неособой
точки множества V, только для того, чтобы
удостовериться, что ничего неожиданного здесь не происходит.
Лемма 2.12. Если х° — простая точка
алгебраического множества V, то пересечение К = V П SB
является незаузленной сферой в Se для всех достаточно
малых е.
Доказательство. Очевидно, что гладкая
функция г(х)= ||х—-х°||2, ограниченная на Mi = F\2(V),
имеет невырожденную критическую точку в х°.
Следовательно, по лемме Марстона Морса, существует
система локальных координат и\> ..., uh в Mi вблизи х°,
такая, что
г(х)=»^+ ... +и\

30
§ 2. Элементарные факты
(см., например, Милнор [2], § 2.2). Отсюда немедленно
следует, что многообразие К = V П Se диффеоморфно
сфере, состоящей из всех точек (ии ..., afe), для
которых и\ + ... + и\ = е2.
Но рассуждения Морса можно применить также
к паре многообразий Mi с Rm. А именно, существуют
локальные координаты и\, ... t um в Rm вблизи точки
х°, такие, что
г(х) = «2+ ... +*4,
причем V в этой окрестности задается уравнениями
Uk+\ = ... = ит = 0. Доказательство этого усиленного
варианта леммы Морса получается непосредственным
обобщением, и мы предоставляем читателю самому
провести его.
Таким образом, пара (SB, К) диффеоморфна паре,
состоящей из сферы и экваториальной подсферы
в w-координатном пространстве. Тем самым лемма 2.12
доказана.
Рассмотрим теперь частный случай простой точки
z° комплексной гиперповерхности
V = rl(0)c:Cn+l
(ср. § 1). Мы хотим изучить множество
/7о = ф"1(1) = Г1(^+)П5е,
где отображение <p:Sz\K—>Sl задается формулой
cp(z) -f(z)/|f(z)|.
Лемма 2.13. Если центр z° сферы Se является
регулярной точкой многочлена /, то «слой» F0 диффео-
морфен R2n.
Доказательство. Применяя стандартные
рассуждения теории Морса к паре многообразий V с
erf"1 (7?) вблизи точки z°, получаем, что существуют
локальные координаты ии ..., «2n+i для f"l(/?), такие,
что
||z-z°|p=^ + ... +I&+P

§ 3. Лемма об отборе кривых
31
причем V задается уравнением и\ = 0. Множеству
9"J(D = r1(/?+)nSe
отвечает при этом открытая полусфера
±и1>0, и\ + и\ + ... +<+1 = е2,
которая, очевидно, диффеоморфна R2n, чем и завер-
шается доказательство.
Из теоремы о расслоении (см. § 4) следует, что
отображение
<р: Se\K^Sl
является проекцией некоторого тривиального
расслоения, так как по теореме Стюарта любое гладкое ориу
ентируемое расслоение над S1 со слоем, диффеоморф-
ным евклидову пространству, тривиально (см. Стюарт
[1], следствие 1). Можно также заметить, что любое
гладкое расслоение над S1 характеризуется некоторым
диффеоморфизмом слоя (см. лемму 8.4), а любой диф»
феоморфизм евклидовых пространств гладко изотопен
либо тождественному отображению, либо отражению
(см. Стюарт [1], теорема 1, или Милнор [4]).
Этим мы завершаем обсуждение случая
регулярной точки.
§ 3. Лемма об отборе кривых
Цель этого параграфа — доказать следующий
результат.
Пусть V <r Rm — вещественное алгебраическое
множество и UaRm — открытое множество,
определенное конечным числом полиномиальных неравенств}
[/ = {xerig!(x)>0, ..., gt(x)>0}. j
Лемма 3.1 (об отборе кривых). Если UП V
содержит точки, сколь угодно близкие к началу
координат (т. е. если начало координат принадлежит

32 § 3. Лемма об отборе кривых
замыканию множества U П V), то существует
вещественная аналитическая кривая
р: [0, е)->/Г,
такая, что р (0) = О й р (*) е £/ П V для всех * > О.
(Ср. Брюа и Картан [1], а также Уоллес [2].)
Доказательство. Предположим сначала, что
размерность алгебраического множества V больше
или равна 2. Мы построим собственное
алгебраическое подмножество V\ с V, такое, что начало
координат принадлежит замыканию множества U П V\. Этот
процесс можно будет затем повторять до тех пор, пока
мы не найдем алгебраическое подмножество Vq
размерности <^ 1, такое, что начало координат
принадлежит замыканию множества U П Vq.
ж* Можно считать, что V неприводимо, ибо если V
есть объединение двух собственных алгебраических
подмножеств, то в качестве Vi можно взять одно из
этих подмножеств.
Мы можем также считать, что открытое
множество U не содержит ни одной точки из части
множества особенностей 2(У), заключенной внутри
некоторой окрестности D^ начала координат, ибо в
противном случае мы можем в качестве Vi взять 2(У).
Будет удобно использовать язык дифференциалов.
По определению дифференциалом df(x) многочлена!
в точке х называется элемент двойственного
векторного пространства
Нот* (/Г, Л),
который соответствует вектор-строке
' (JL df \
\дхг » •'•' дхт)*
•вычисленной в точке х.
Пусть fu ..., fk — образующие идеала /(V).
Напомним, что множеством особенностей 2(V)
алгебраического многообразия V называется множество всех
хеУ, для которых ^
. < rank{dfx(x), ..., d/*(x)}<p,

§ 3. Лемма об отборе кривых
33
где размерность алгебраического многообразия V
равна пг — р.
Нам понадобятся две вспомогательные функции
г (х) = || х |р, fif(x)-ft(x)ft(x).:.ft(x).
Пусть V — множество всех точек хеК, для которых
rank {dfx (x), ..., dfk\x)9 dr (x), dg (x)} < р + 1.
Докажем следующую лемму:
Лемма 3.2. Пересечение U Л V также содержит
точки, сколь угодно близкие к началу координат.
Доказательство. По предположению
существуют сколь угодно малые сферы 58 с центром в
начале координат, внутри которых содержатся точки
множества U П V. Возьмем какую-нибудь такую
сферу S8 и рассмотрим компактное множество,
состоящее из всех точек х е К f| Se, для которых
£,(х)>0, ..., ft(x)>0.
Непрерывная функция g" должна достичь максимума
в некоторой точке х' этого компактного множества;
ясно, что x'st/.
Покажем, что х' е V.
Заметим сначала, что сфера Se пересекает
множество U [) V по гладкому многообразию размерности
m — р — 1 и что
rank {dfx (x), ..., dfk (x), dr (x)} = р + 1
в любой точке х е U Л V Л 5е. Это непосредственно
вытекает из доказательств леммы 2.7 и следствия 2.9
и того факта, что при достаточно малом е множество
U П Se не содержит особых точек алгебраического
многообразия У.
Теперь, рассуждая как и при доказательстве
леммы 2.7, мы получаем, что множество критических
точек функции g\ U П V П S8 совпадает в точности с
множеством тех точек из U (] V Л Se, которые лежат в V.
Но функция g" 11/ П V П Se достигает своего
максимума в точке х'. Поэтому х' является критической
2 Дж. Милнор

34 § 3. Лемма об отборе кривых
точкой и, следовательно, принадлежит множеству V7.
Этим доказательство леммы 3.2 завершено.
Таким образом, если V является собственным
подмножеством множества У, то оно удовлетворяет
нашим требованиям. Остается невыясненным вопрос,
как быть в случае V = V.
Мы можем опять проделать указанное выше
построение, используя вместо функции g функцию
(#!, . . ., Хт) Н-> Xtg (#!, . . ., Хт).
Пусть V\ — множество всех хеУ, для которых
rank {dfx (x), ..., dfh (x), dr (x), d {xtg) (x)} < р + 1.
Рассуждения, аналогичные проведенным выше,
показывают, что начало координат принадлежит
замыканию множества U П Vt.
Таким образом, мы нашли требуемое
алгебраическое подмножество V\ с: V для всех случаев, за
исключением случая
v-v'-tf- ... =v'm.
Утверждение. Случай V = V' = V\ = ... = V'm
может встретиться только тогда, когда размерность
m — р алгебраического многообразия V равна
единице. .
Доказ а тел ьство. Мы можем, очевидно,
выбрать точку х' е U П V так, чтобы
rank{dfx(x'), ...9dfh(x')f dr(x')}-p + 1
(ср. доказательство леммы 3.2). Если V = l/'f то
x'e V и, следовательно, дифференциал dg(x')
должен принадлежать (р + 1)-мерному векторному
пространству, натянутому на векторы " ^
{dfx(x^...ydfk(x^dr(x%

§ 3. Лемма об отборе кривых 35
Аналогично, если V = V'iy то дифференциал d(x{g) (x')
должен принадлежать этому векторному
пространству. Используя тождество
d(xig) = (dxi)g + xi(dg)
и тот факт, что g(x') ФО (так как х'е t/), мы
получаем отсюда, что дифференциал dxi(x/) также
принадлежит этому (р + 1)-мерному векторному
пространству. Но дифференциалы dxu ..., dxm образуют
базис для всего m-мерного векторного пространства
дифференциалов в точке х'. Поэтому подмножество,
натянутое на dfi(x'), ..., d/&(x') и dr(x'), должно
совпадать со всем пространством, а размерность р + 1
его должна равняться т. Это показывает, что
размерность т — р алгебраического многообразия V равна 1.
Теперь мы можем воспользоваться классическим
локальным описанием 1-мерных алгебраических
многообразий:
Лемма 3.3. Пусть х° — неизолированная точка
вещественного (соотв. комплексного) одномерного
алгебраического многообразия V. Тогда надлежащим
образом выбранная окрестность точки х° в V является
объединением конечного числа «ветвей», которые
пересекаются только в точке х°. Каждая такая ветвь го-
меоморфна открытому интервалу вещественных чисел
(соотв. открытому диску комплексных чисел)
относительно гомеоморфизма x = p(t), который задается
степенным рядом
р(0 = х° + а1г + а2г2 + а3/3+ ...,
сходящимся при \t\ < е.
Замечание. Пусть k — наименьший индекс,
такой, что V не содержится в координатной
гиперплоскости Xk = const. Тогда параметризацию р можно
всегда выбрать таким образом, чтобы xk = ph(t) было
полиномиальной функцией вида
pk (t) = const ± Л
2*

36
§ 3. Лемма об отборе кривых
где |i > 1 1. Более того, р можно всегда выбрать так,
чтобы совокупность {/|аг- Ф 0} показателей имела
наибольшим общим делителем единицу. В этом случае
степенной ряд р определен однозначно с точностью
до знака параметра t (соотв. с точностью до
умножения t на корни из единицы в комплексном случае).
Доказательство. Для комплексной кривой
в С2 это доказано, например, у Ван дер Вардена [2],
§ 14. Случай комплексной кривой в Cm, m > 2,
может быть рассмотрен точно таким же способом.
К случаю вещественного одномерного
алгебраического многообразия V с Rm можно подойти
следующим образом. Пусть Vc — наименьшее комплексное
алгебраическое множество в О, содержащее V.
Легко проверить, что Vc неприводимо и имеет
комплексную размерность 1 и что множество Rm Л Vc
вещественных точек в Vc совпадает с множеством V.
Для каждой ветви множества Vc мы можем выбрать
комплексную параметризацию
х = р(0 = х° + (0,..., 0,Л 2а*+Ь1Л .... SW1).
Поставим вопрос, для каких значений комплексного
параметра t вектор p(t) будет вещественным.
Очевидно, что &-я компонента Р вещественна тогда и
только тогда, когда / можно представить в виде
произведения 2ц,-го корня £ из единицы и вещественного
числа s. Но для любого такого корня |, подставив
t = |s в степенной ряд, мы получим новый
комплексный степенной ряд х° + 2(ai|i)si от вещественной
переменной s. Если коэффициенты этого ряда а<£*
вещественны, то, очевидно, p(£s)e Rm. Но если некоторый
вектор-коэффициент atg* не является вещественным,
то p(%s)^Rm для всех малых ненулевых значений 5.
Следовательно, любая ветвь алгебраического
множества Vc пересекает в Rm не более чем конечное число
ветвей (фактически не более одной ветви) веществен-
1) Это тесно связано с разложением в дробно степенной ряд
Пюизо x = p((±(*ft-*0))1M).

§ 3. Лемма об отборе кривых
37
ного алгебраического многообразия V, чем лемма 3.3
и доказана.
Замечание. По-видимому, утверждение
леммы 3.3 остается верным над любым локально
компактным полем, хотя приведенное доказательство
в этом случае неприменимо.
Теперь мы готовы завершить доказательство
леммы 3.1 об отборе кривых. Предположим, что V
содержит точки х, сколь угодно близкие к началу
координат и принадлежащие U, т. е. такие, что
&(х)>0, ..., Ых)>0;
предположим также, что V имеет размерность 1.
Тогда одна из конечного числа ветвей множества V,
проходящих через начало координат, должна
содержать точки множества (/, сколь угодно близкие к
началу координат. Пусть
х-р(*), Ш<е,
— вещественная аналитическая параметризация этой
ветви. Заметим, что для каждого g{ вещественная
аналитическая функция gi{p(t)) либо >0 для всех t из
некоторого интервала 0 < / < е', либо <0 для всех t
из интервала 0 < t < е'. Поэтому полуветвь р(0, е')
либо принадлежит множеству £/, либо не пересекается
с U для достаточно малых я'. Аналогично, полуветвь
р(—е', 0) либо принадлежит множеству (/, либо не
пересекается с ним.
Но мы предположили, что ветвь р(—е, е)
содержит точки множества U, сколь угодно близкие к
началу координат, поэтому по крайней мере одна из
этих двух полуветвей должна принадлежать
множеству U. Этим завершается доказательство леммы 3.1.
В заключение этого параграфа дадим одно
типичное применение леммы 3.1, которое понадобится нам
в§ И.
Следствие 3.4. Если />0wg>0—
неотрицательные полиномиальные функции на /?т,
обращающиеся в нуль в точке х°, то для точек х, принадлежа-

38
§ 3. Лемма об отборе кривых
щих некоторой окрестности De точки х°, два
дифференциала df(x) и dg(x) не могут иметь строго
противоположных направлений, за исключением того
тривиального случая, когда по крайней мере один из них
равен нулю.
Доказательство. Пусть U — открытое
множество, состоящее из всех точек х, для которых
скалярное произведение
Sdfjx) dg(x)
dxi dxi
отрицательно, V — алгебраическое множество,
состоящее из всех таких точек х, для которых
rank{df(x), dg(x)}<l.
Таким образом, U П V является множеством тех х,
для которых дифференциалы df(x) и dg(x)
направлены в точно противоположные стороны.
Если множество U (] V содержит точки, сколь
угодно близкие к точке х°, то должна существовать
целая вещественная аналитическая кривая
х = р(*), 0<*<е,
которая вся состоит из таких точек, за исключением
точки х° == р(0).
Заметим теперь, что для любой точки xgU
справедливы неравенства f (х) > 0 и g(x) > 0, ибо если
неотрицательная функция / обращается в нуль в точке х,
то дифференциал df(x) также должен обращаться
в нуль, и, значит, точка х не может принадлежать
множеству U.
Следовательно,
f(р(0)>0 для />0,
а так как функция /©р вещественна и аналитична,
отсюда следует, что и дифференциал df(p(t))/dt > 0 для
малых положительных значений параметра t. Анало-

§ 4. Теорема о расслоении 39
гично, дифференциал dg(p(t))/dt положителен для
малых положительных значений параметра t. Но
df _ yp-J^_ dPj d8 __\ д& dPj
dt ~~ 2d~dx7~dr> It""" 2А~дГ{~аТ''
где вектор-строка (df/dxu ..., df/dxm) для всех / > О
отличается от (dg/dxu ..., dg/dxm) лишь на
отрицательный множитель. Следовательно, dfldt и dgldt
должны иметь противоположный знак.
Это противоречие показывает, что исходная
предпосылка неверна, т. е. что х° не может быть
предельной точкой множества U Л V.
§ 4. Теорема о расслоении
Определим градиент аналитической функции
f(zu •••> zm) от m комплексных переменных как
m-мерный вектор
—ИИ) Ш)- -
/-я, компонента которого комплексно сопряжена
частной производной df/dZj. Это определение выбрано так,
чтобы формула дифференцирования сложной функции
для случая производной от функции / вдоль путл z я
= p(t) имела вид
где
(а, Ь) = 2 ajbf
— эрмитово скалярное произведение. Другими
словами, производная по направлению от функции / вдоль
вектора v в точке z равна скалярному произведению
(v,gradf(z)).
Обозначим теперь через К пересечение множества
нулей функции / со сферой S8, состоящей из всех

40
§ 4. Теорема о расслоении
точек z е О, для которых ||z|| = е. Отобразим
дополнение Se \ К в единичную окружность S1 по формуле
Лемм а 4.1. Критические точки отображения ср:
SeX/C^S1 — это в, точности те точки zgS8\/(, для
которых вектор igradlogf(z) является вещественным
кратным вектора z (г. е. отличается от вектора г
лишь на вещественный числовой множитель).
(Логарифм функции f является, конечно,
многозначной функцией, но локально логарифм можно
определить как однозначную функцию; градиент же
логарифма
gradlogf(z) = J££i^-
f (z)
корректно определен уже всюду. Аналогичные
замечания применимы и к функции 6(z), рассматриваемой
ниже.)
Доказательство леммы 4.1. Положим
f(z)l\f(z) | = e'0<z) и заметим, что угол 0(z) можно
отождествить с вещественной частью выражения
—t'logf(z). [Чтобы убедиться в этом, умножим
равенство
i9 = log(T[T) = logf-log|f|
на —i и приравняем вещественные части в обеих
сторонах равенства.] Дифференцируя равенство
9 = Re(-nog/)
вдоль кривой z = p(/), получаем
dQ(p(t)) _ р d (-/log/) _
Ш ""ке dt
= Re(^,grad(-nogf))==
= Re(^-, /gradlogf).

§ 4. Теорема о расслоении 41
Другими словами, производная функции 0(z) по
направлению v = dp/dt равна
Re(v, /gradlogf(z)).
Заметим теперь, что эрмитово векторное
пространство О можно рассматривать также как евклидово
векторное пространство (размерности 2т) над полем
вещественных чисел, где евклидово скалярное
произведение двух векторов а и b равно вещественной части
комплексного скалярного произведения
Re (a, b) = Re(b, a).
Например, вектор v является касательным к сфере S8
в точке z тогда и только тогда, когда вещественное
скалярное произведение Re(v, z) равно нулю.
Далее, если вектор i grad(log/(z)) вещественно
кратен вектору z (другими словами, если этот вектор
нормален к сфере S8), то для каждого вектора v,
касательного к сфере S8 в точке z, производная
Re(v, /gradlogf(z))
функции 8 по направлению вектора v, очевидно, равна
нулю и, следовательно, z является критической точкой
отображения ф.
С другой стороны, если векторы I gradlogf(z) и z
линейно независимы над полем вещественных чисел,
то в нашем евклидовом векторном пространстве
существует такой вектор v, что
Re <v, z) = О,
Re(v, *gradlogf(z)) = l.
Таким образом, вектор v является касательным
к сфере S8 и производная функция 9 по направлению
вектора v отлична от нуля; следовательно, z не
является критической точкой отображения <р. Лемма 4Л
доказана.
Предположим теперь, что f — многочлен, обращаю*
щийся в нуль в начале кдординат.

42
§ 4. Теорема о расслоении
Мы хотим доказать, что ассоциированное с ним
отображение
Ф: Se\K-+Sl
вообще не имеет критических точек для достаточно
малых е. Согласно лемме 4.1, нам надо доказать
следующее.
Пусть V — гиперповерхность f-1 (0) с= Ст.
Лемма 4.2. Для каждой точки z^Cm\V, до-
статочно близкой к началу координат, векторы г и
i grad log(z) линейно независимы над R.
Фактически мы докажем несколько более сильное
утверждение.
Лемма 4.3. Для любого многочлена f,
обращающегося в нуль в начале координат, существует такое
8о > 0, что для всех точек ZECm\]/c ||z|| < ео либо
векторы z и grad log/(z) линейно, независимы над
полем комплексных чисел, либо
grad log /(z) = Яг,
где X — ненулевое комплексное число, аргумент^
которого по абсолютной величине меньше, скажем, я/4.
Другими словами, % лежит в открытом квадранте
комплексной плоскости, разделяемом пополам
положительной вещественной осью. Следовательно,
Re(X)>0,
так что X не может быть чисто мнимым. Таким
образом, лемма 4.2 вытекает из ле^мы 4.3,
Доказательство леммы 4.3 основано на лемме § 3
об отборе кривых и на следующем результате.
Лемма 4.4. Пусть р: [0, е) -► Ст —- вещественно
аналитический путь с р(0) = 0, такой, что для каждого
t > 0 число f(p(t)) отлично от нуля и grad log f(p(t)) =
1) Под аргументом комплексного числа КфО мы понимаем
(однозначно определенное) число 6 е (—я, я], такое, что

§ 4. Теорема о расслоении 43
= Ц/)"р(/). Тогда аргумент комплексного числа %(t)
стремится к нулю при t —► 0.
Другими словами, %(t) отлично от нуля для малых
положительных значений параметра t и
Пт(Я(0/1 Я(0 I) = 1.
Доказательство. Рассмотрим разложения
в ряд Тэйлора
р(/) = а/а + а/+1 + а2/а+2+ ...,
f(p(t)) = bt* + b/+l + b/+2 + '...,
grad f (p (t)) = c/Y + c/+1 + c2/Y+2 + ...,
где старшие коэффициенты а, 6, с отличны от нуля.
(Формула df/dt = {dp/dt^gradf) показывает, что
grad/(p(/)) не может тождественно равняться нулю.)
Показатели а, р, у в старших членах разложения
являются целыми числами, а>1, р<^1, y^O. Все три
ряда сходятся, скажем, для И<е'.
Для любого / > 0 имеем
grad log/(p(*))-M/)p(f),
следовательно,
grad f(p(t)) = X(t)p (iff (p(t)).
Таким образом,
(cty + ...) = X(t)(&6ta+*+ ...).
Сравнивая соответствующие компоненты этих двух
векторнозначных функций, мы видим, что %(t)
является отношением вещественных аналитических
функций, и следовательно, разлагается в ряд Лорана
вида
A(/)-Vv~a-4l+M + M*+ •••)•
Кроме того, коэффициент при старшем члене этого
ряда должен удовлетворять уравнению ^ -- -
с = Я0а5.

44
§ 4. Теорема о расслоении
Подставляя это уравнение в формулу, получающуюся
разложением в степенной ряд равенства
§-<£, vut),
получаем
(рб^"1 + ...) = (аа^1 + ..., Аоаб*7 + .. •> =
= а||а||2Я06/а"1+7+ ....
Из сравнения коэффициентов при старших членах
следует, что
Р = а||а|рХ0,
т. е. что Хо — положительное вещественное число.
Следовательно,
limargA(*) = 0,
чем и завершается доказательство леммы 4.4.
Доказательство леммы 4.3. Предположим
сначала, что существуют точки z e Ст\ V, сколь
угодно близкие к началу координат, для которых
gradlog/(z) = A,z=7^0,
где | arg Я| строго больше, чем я/4. Другими словами,
мы предполагаем, что Я лежит в открытой
полуплоскости
Re((l+*n)<0
или в открытой полуплоскости
Re((l-/H)<0.
Мы хотим выразить эти условия с помощью
полиномиальных уравнений и неравенств, с тем чтобы
применить лемму § 3 об отборе кривых.
Пусть W—множество всех точек z^Cm, для
которых векторы grad(z) и z линейно независимы. Та- *
ким образом, zef тогда и только тогда, когда для
всех пар (/, к) удовлетворяются уравнения

§ 4. Теорема о расслоении 45
Полагая Zj = Xj + iyj и приравнивая^ вещественные и
мнимые части, мы получаем совокупность
вещественных полиномиальных уравнений от вещественных
переменных Xj и #j. Это показывает, что W а Ст
является вещественным алгебраическим множеством.
Заметим, что точка zsCm\V принадлежит
множеству W тогда и только тогда, когда
gradf(z) =дд
7(z)
для некоторого комплексного числа X. Умножая обе
части равенства на /(z) и беря скалярное
произведение с J(z)zy получаем уравнение
<grad/(z),7(z)z) = ^||J(z)z|p.
Другими словами, число К умноженное на некоторое
положительное вещественное число, равно
комплексному числу
V(z)«(grad/(z),7(z)z).
Следовательно,
arg Я = argA'.
Ясно, что %' является (комплексной) полиномиальной
функцией от вещественных переменных Xj и t/j.
Обозначим теперь через £/+ (соотв. через UJ)
открытое множество, состоящее из всех точек z,
удовлетворяющих вещественному полиномиальному
неравенству
Re((l+*H'(z))<0 (*)
(соотв. j
Re((l-*n'(z))<0).
Мы предположили, что существуют точки zgH^D
D(£/+U #-), сколь угодно близкие к началу
координат. Следовательно, по лемме 3.1 должен существовать
вещественный аналитический путь
p:[0,e)-+C*,

46 § 4. Теорема о расслоении
такой, что р (0) = 0, причем либо
для всех t > 0, либо
для всех t > 0. В любом случае для каждого t> 0
получаем
gradlogf(p(*))-M0p(').
|argX(/)|>-5-t
что противоречит лемме 4.4.
Это противоречие не дает, однако, полного
доказательства леммы 4.3. Возможен еще случай, когда
множество W\(Fd W) содержит точки z, сколь угодно
близкие к началу координат и такие, что либо A/(z) =
= 0, либо
largVWI-i.
Но в этом случае мы можем воспользоваться по
существу теми же самыми рассуждениями, с заменой
неравенства (*) на полиномиальное уравнение
Re((l+0V(z))Re((l-/)V(z))-0
в совокупности с полиномиальным неравенством
||/(z)|f>0.
Мы получим опять путь p(t)t существование которого
противоречит лемме 4.4. Этим противоречием
завершается доказательство лемм 4.3 и 4.2.
Комбинируя леммы 4.1 и 4,2, получаем
Следствие 4.5. Для е<ео отображение
y:Se\K->Sl
не имеет ни одной критической точки.

§ 4. Теорема о расслоении 47
Отсюда следует, что для любой точки eiQ e S i
прообраз
Fe = y-l(e*)^S&\K
является гладким (2т — 2)-мерным многообразием.
Для того чтобы доказать, что ср является
фактически проекцией некоторого локально тривиального
расслоения, надо более тонко использовать лемму 4.3,
чтобы получить более точное описание поведения
cp(z) при z, стремящемся к множеству /С, на котором
функция ф не определена.
Лемма 4.6. Для е •< ео на Se\ К существует
гладкое касательное векторное поле v(z), такое, что
для любой точки z&St\K комплексное скалярное
произведение
(v(z), /grad log f(z)>
отлично от нуля и имеет аргумент по абсолютной ее-
личине меньший я/4.
Доказательство. Как и при доказательстве
теоремы 2.10, достаточно построить требуемое
векторное поле локально, в окрестности некоторой
фиксированной точки z06.
Случай 1. Если векторы га и grad log/(za)
линейно независимы над С, то линейные уравнения
(v, za) « 0
и
<v, / grad log /(za))=l
имеют совместное решение v. Первое уравнение
гарантирует, что Re(v, za) = 0, т. е. что вектор v
является касательным к сфере SB в точке za.
Случай 2. Если grad log (za) = Xzat то
положим v = iza. Ясно, что
Re(*za, za) = 0.

48
§4. Теорема о расслоении
Согласно лемме 4.3, аргумент числа
</z«, /gradlog/(z<*)) = U||z<4P
по абсолютной величине меньше я/4.
Таким образом, в любом случае можно выбрать
локальное касательное векторное поле va(z),
которое принимает в точке za значение v. Условие
|arg(va(z), /gradlog/(z))|<-J-
будет тогда выполняться во всей окрестности точки
za. Используя разбиение единицы, строим глобальное
векторное поле v(z), обладающее тем же свойством.
Лемма 4.6 доказана.
Нормируем теперь векторное поле v(z), положив
WW~ Re(v(z), /gradlog/(z)> '
Таким образом, мы получили гладкое касательное
векторное поле w на Sg\ /С, удовлетворяющее
следующему условию:
Вещественная часть скалярного произведения
(w(z), /gradlog/(z)>
тождественно равна единице, а мнимая его часть удов-
летворяет условию
IRe(w(z), gradlog/(z))|<l.
Рассмотрим траектории дифференциального
уравнения dz/dt = w(z).
Лемма 4.7. Для любой данной точки z° e 58 \ К
существует однозначно определенный гладкий путь
р: R-»Se\K,
удовлетворяющий дифференциальному уравнению
-Sf-w(p»)
с начальным условием р (0) = z°.

§ 4. Теорема о расслоении 49
Доказательство. Очевидно, что искомое
решение г = р (t) существует локально и может быть
продолжено до решения на некотором максимальном
открытом интервале вещественных чисел.
Единственная задача, возникающая в связи с некомпактностью
многообразия Se\K, — это показать, что путь р(/)
не может стремиться к /С, когда t стремится к
некоторому конечному пределу U (ср. доказательство
теоремы 2.10). Итак, мы должны показать, что при
t-+to функция /(р(0) не стремится к нулю или что
Relogf(p(*))
не стремится к —оо при /->/о. Но производная
^£l.Re(^.,8rad,„gf)_
= Re(w(p(/)), gradlogf)
по абсолютной величине меньше 1. Следовательно,
значения функции |/(р(/)) | отделены от нуля, когда t
стремится к любому конечному пределу, чем
лемма 4.7 и доказана.
Положим cp(z) = eie(z\ Заметим, что, как и при
доказательстве леммы 4.1, производная
тождественно равна единице. Следовательно,
9(р (/)) = / +const.
Другими словами, путь p(t) проектируется при
отображении ф в путь, который наматывается вокруг
единичной окружности в положительном направлении
с единичной скоростью.
Очевидно, точка р(/) является гладкой функцией
как от /, так и от начального значения
z°=p(0).
Выразим эту зависимость, положив
p(t) = ht(z°).

50 §5. Топология слоя и топология К
Для каждого t функция ht является
диффеоморфизмом, отображающим S8 \ К в себя, и отображающим
каждый слой FQ — <fl (eie) на слой F^.t- Суммируя
полученные результаты, мы можем теперь без труда
доказать теорему о расслоении:
Теорема 4.8 (о расслоении). Для г К го
пространство Se\ К является гладким расслоением над
Si с проекцией ф (z) = f (z) /1 f (z) |.
Доказательство. Пусть U—малая
окрестность некоторой точки eiQ e S1. Отображение
для |/| < const и zeF9 диффеоморфно отображает
произведение UxFQ на ф_1((/). Теорема 4.8
доказана.
§ 5. Топология слоя и топология К
Продолжим изучение локально тривиального
расслоения
q>: SB\K-+S\
связанного с комплексным многочленом f(z\, . ••
...,Zm), обращающимся в нуль в начале координат.
Положим m = п + 1 > 1. Как показано в § 4, каждый
слой
является гладким многообразием (вещественной)
размерности 2п. В этом параграфе мы применим
теорию Морса для изучения топологии слоя FQ и
пересечения /С = Se П f"1 (0). Сформулируем два основных
результата этого параграфа.
Теорема 5.1. Каждый слой FQ является парал-
лелизуемым многообразием и имеет гомотопический
тип конечного клеточного комплекса размерности п.
Теорема 5.2. Пространство К = V П S8 является
(п — 2)-связным.
Таким образом, для п^-2 пространство К связно,
а для п > 3 односвязно. (Для п = 1 соответствующие

§ 5. Топология слоя и топология К 61
рассуждения показывают только, что пространство К
непусто.)
Заканчивается параграф еще одним описанием
слоев:
Каждый слой FQ диффеоморфен открытому
подмножеству v неособой комплексной гиперповерхности,
состоящей из всех точек z, для которых \\z\\ < e и
/(z) = const.
Доказательство теоремы 5.1 существенно
использует теорию Морса применительно к гладкой
вещественной функции |f| на FQ. Доказательство теоремы
5.2 основано, кроме того, на одновременном изучении
поведения гладкой функции |f| на всем
многообразии 58 \ /С. Мы покажем, что как в том, так и в
другом случае индекс Морса1) функции |f| в любой
критической точке >л.
Прежде всего установим идентичность
критических точек для некоторых важных функций. Нам
будет удобнее работать с гладкими функциями
aQ:FQ-+R и a:SB\K-+R, определяемыми
формулами
ae(z) = a(z) = log|/(z)|.
Ясно, что критические точки функции а те же самые,
что и критические точки функции |f| на 5е\/С;
аналогично критические точки функции ae те же самые,
что и критические точки функции |/|, ограниченной
на FQ.
Лемма 5.3. Критические точки гладкой веще-
ственной функции a0(z) = log |f(z) | на FQ — это
в точности те точки z е FQ, для которых вектор
gradlogf(z) есть комплексное кратное вектора z.
Доказательство. Как и при доказательстве
леммы 4.1, замечаем, что производная функции
log|/(z)|-Relog/(z)
1) См., например, Милнор [2], § 2.

52 § 5. Топология слоя и топология К
по любому направлению v равна вещественному
скалярному произведению
Re(v, grad log/(z)).
Таким образом, z тогда и только тогда будет
критической точкой этой функции, ограниченной на FQy
когда вектор grad log f(z) нормален к FQ в точке z.
(Здесь «нормальный» означает «ортогональный ко
всем касательным векторам» в смысле вещественного
скалярного произведения.)
Как следует из доказательства леммы 4.1,
пространство нормальных векторов к подмногообразию
FQ cz Cm вещественной коразмерности 2 натянуто на
два линейно независимых вектора z и i grad log / (z).
Таким образом, z тогда и только тогда является
критической точкой функции а9, когда существует
вещественная линейная зависимость между векторами
grad log f(z), z и tgrad logf (z), чем» очевидно, и
завершается доказательство леммы 5.3.
Замечание 5.4. Отметим, что касательное
пространство к слою FQ в критической точке z функции
ае является фактически комплексным векторным
пространством, состоящим из всех векторов v, таких, что
(v, z) = 0. Действительно, если вектор I grad log /(z)
есть комплексное кратное вектора z, то вектор v
тогда и только тогда вещественно ортогонален к
векторам z и i grad log /(z), когда он комплексно ортого-
нален вектору z.
Теперь займемся гессианом гладкой функции д0
в критической точке, для того чтобы вычислить
индекс Морса. Мы будем использовать следующую
интерпретацию гессиана. Для данного касательного
вектора v в критической точке z выберем гладкий путь
р: /?-»/V
со скоростью dp/dt = v в точке р (0) — z. Тогда
вторая производная
.. <Рде(р(0)
ae- IT*

§ 5. Топология слоя и топология К 53
в точке t = О может быть представлена в виде
квадратичной формы от вектора v. Эта квадратичная
форма и есть гессиан.
Лемма 5.5. Вторая производная от aQ (p (t))
в точке t = О задается формулой вида
aQ = ^Re{bJkVfVk)-c\\yf9
где bjk — матрица комплексных чисел и с —
положительное вещественное число.
Доказательство. Заметим прежде всего, что
наш путь р(^) лежит внутри многообразия FQf на
котором функция /У|/| = eiQ постоянна. Дифференцируя
равенство
,?e(p(0)-log!/(pW)l-logf(pW)-/e,
получаем
. _ d log / __ ^ д log f dpf
ав- dt "^ dzj dt '
Дифференцируя еще раз, находим
.. __ у dbg/ d2Pj у д2 bg f dPj dpk
а*~ Zi dzf dt2 + Za dz]dzk dt dt '
Беря / = 0, полагая
gradlog/(z) = A,z
(согласно лемме 5.3) и вводя обозначение
л _ d*logf
Uik " dzf dzk »
получаем для ае формулу
aQ = (p, Xz) + %DJkViVk.
Левая часть этого равенства, очевидно, вещественна.
Умножая равенство на К и приравнивая веществен*
ные части, получаем
й0 Re (*) = U I2 Re (p, z) + 2 Re (KDikVjVk).

54 § 5. Топология слоя и топология К
Подставляя сюда равенство
Re<p, *> ||v|p,
получающееся двукратным дифференцированием
соотношения
(Р(')э Р(0> = const,
находим
йе Re (Я) = 2 Re (kDikv,vJ -1| Яу |р.
Остается только разделить обе части равенства на
число Re (Я), которое положительно согласно
лемме 4.3. Лемма 5.5 доказана.
Теперь мы легко можем вычислить индекс Морса
функции aQ.
Лемма 5.6. Индекс Морса функции aQ : FQ —► R
в критической точке >м. Следовательно, индекс
Морса функции a:St\ K-+R в любой критической
точке также >я.
Доказательство. Индекс Морса /
квадратичной формы
// (v) = Re (2&мс1ус;л) - с || v |p,
где v пробегает касательное пространство к слою F0
в точке z, определяется как максимальная
размерность линейного подпространства, на котором форма
Н отрицательно определена.
Заметим, что если tf (v) >0 для некоторого
ненулевого вектора v, то H{i\) <0, так как при
подстановке i\ вместо v первое слагаемое в нашем
выражении меняет знак, а второе остается
отрицательным. Заметим еще, что, согласно замечанию 5.4,
вектор iv также является касательным к FQ.
Теперь представим касательное пространство
в точке z в виде прямой суммы двух вещественных
подпространств Г0 ф 7\ так, чтобы гессиан Я был
отрицательно определен на Г0 и положительно
полуопределен на Т\. По определению размерность
пространства Го и есть индекс Морса /,

§ 5. Топология слоя и топология К 55
Но форма Я отрицательно определена и на
пространстве iTi. Следовательно,
/ > dim (iTx) = dim Тг = 2п - /.
Таким образом, />п, чем доказана первая половина
леммы.
Соответствующее утверждение для функции
a:Se\ K-+R вытекает отсюда немедленно. Каждая
критическая точка функции а является также
критической точкой функции ае, а индекс функции а в
точке z, очевидно, не меньше индекса функции ае в точке
z. Лемма 5.6 полностью доказана.
Теперь нам надо убедиться в том, что все
критические точки функции ае (соотв. а) лежат внутри
некоторого компактного подмножества слоя FQ (соотв.
многообразия 58 \ К).
Лемма 5.7. Существует такое вещественное
число k)q > О, что все критические точки г функции aQ
лежат внутри компактного подмножества {|f(z)|>
>т]е) слоя FQ. Аналогично существует такое
вещественное число х\ > 0, что все критические точки г
функции а удовлетворяют неравенству \f(z)\ >rj.
Эту лемму можно доказать, используя либо
следствие 2.8, либо лемму 3.1. Например, если на FQ
существуют критические точки z функции «0 = log | /1 >
для которых значения |/(z)| сколь угодно близки
к нулю, то эти критические точки должны иметь
предельную точку z° в компактном множестве Se.
Используя лемму 3.1 об отборе кривых, мы получаем,
что должен существовать гладкий путь
р: (0, e')-*Fe.
состоящий весь из критических точек и такой, что
p(/)-*z° при /-*().
Очевидно, функция ав постоянна вдоль этого пути,
следовательно, и функция |/| постоянна вдоль него
и не может стремиться к значению \f (z°) | = 0.
Полученное противоречие доказывает нашу лемму.

66 § 5. Топология слоя и топология К
Лемма 5.8. Существует гладкое отображение
5е: FQ->R+
(где R+ — множество положительных вещественных
чисел), такое, что все его критические точки
невырождены и имеют индекс Морса >я, причем если для
точки г значение \\(z) | достаточно близко к нулю, то
5e(z) = |f(z)|.
Аналогично существует гладкое отображение s : SB N?
\ К -* /?+, такое, что все его критические точки
невырождены и имеют индекс Морса >д, причем если для
точки z значение \f (z) | достаточно близко к нулю, то
s(z) = |f(z)|.
Доказательство. Существует (Морс [1],
стр. 178, теорема 8.7) функция sQ (соотв. 5), которая
совпадает с |/| всюду, за исключением некоторой
компактной окрестности множества критических точек,
имеет лишь невырожденные критические точки и пер-~
вые две производные которой на любой компактной
координатной окрестности равномерно
аппроксимируют соответствующие производные функции |f|. Так
как у всех критических точек функции \f\ индекс
Морса >п, то для всех достаточно хороших
аппроксимаций критические точки функции sQ также имеют
индекс Морса >п (см., например, Милнор [2], § 22.4).
Лемма доказана.
Заметим, что критические точки функции $0
изолированы и лежат все внутри некоторого компактного
множества. Следовательно, у функции sQ лишь
конечное число критических точек.
Теперь мы готовы к доказательству теорем 5.1
и 5.2.
Доказательство теоремы 5.1. Чтобы
применять теорию Морса в ее обычном виде, нам нужна
невырожденная функция g : F0 -* #, такая, что
множество точек z, для которых g(z) <c, компактно для
любого c^R (другими словами, функция g должна

§ 5. Топология слоя и топология К 67
быть собственной и ограниченной снизу). Ясно, что
функция
g(z) logse(z)
удовлетворяет этим условиям.
Индекс Морса / функции se или функции logs9
в критической точке не меньше п. Следовательно,
индекс Морса функции — logs0 равен 2п — /<п.
Согласно основной теореме теории Морса (см. Милнор
[2], § 3.5), многообразие FQ имеет гомотопический тип
клеточного комплекса размерности Кп, причем
каждой критической точке функции g соответствует
ровно одна клетка. Этим доказана половина
теоремы 5.1.
В частности, если п>1, то отсюда уже следует,
что группа гомологии Н2п (FQ\ z2) равна нулю.
Поэтому 2м-мерное многообразие FQ не может иметь
компактных компонент.
Для завершения доказательства теоремы 5.1
остается лишь проверить, что многообразие FQ па-
раллелизуемо. Но FQ вложено в сферу Se и,
следовательно, вложено в координатное пространство Cn+1
с тривиальны.м нормальным расслоением. Так как
многообразие FQ не имеет компактных компонент,
отсюда следует, что FQ параллелизуемо (см. Кервэр и
Милнор [1], § 3.4). Этим завершается доказательство
теоремы 5.1.
Замечание. Аналогичные рассуждения
показывают, что и пространство S8 \ К имеет
гомотопический тип конечного комплекса размерности п+1.
Доказательство теоремы 5.2. Обозначим
через NniK) окрестность множества К, состоящую из
всех точек zeS8) для которых |f(z)|-<T|. Из
леммы 5.7 следует, что ЫЦ(К) для достаточно малых х\
является гладким многообразием с границей.
Используя гладкую невырожденную вещественную функцию s
на множестве SB \(внутренность ЫЦ(К)), мы видим,
что сфера SB имеет гомотопический тип клеточного
комплекса, получаемого из N^K) присоединением

58 § 5. Топология слоя и топология К
конечного числа клеток размерности >я, по одной
/-мерной клетке на каждую критическую точку
функции s индекса /. (Ср. Милнор [2], § 3. Фактически,
как показал Смейл, имеет место более точное
утверждение, а именно гладкое многообразие Se может быть
получено из Nn(K) присоединением конечного числа
«ручек», каждая из которых имеет индекс Морса
>п.)
Ясно, что присоединение клетки размерности >"/г
не может изменить гомотопические группы в
размерностях -<л — 2. Следовательно,
n,(^(/C))-^(S8) = 0
для iKn — 2.
Для завершения доказательства используем тот
факт, что К является абсолютным окрестностным
ретрактом. Действительно, множество К является
вещественным алгебраическим множеством и,
следовательно, согласно Лоясевичу, триангулируемо.
Таким образом, множество К является
окрестностным ретрактом многообразия //ц(/С) при достаточно
малых т]1). Следовательно, группы т(К) также
тривиальны для i^Cn — 2, чем и завершается
доказательство теоремы 5.2.
В заключение этого параграфа дадим еще одно
описание слоев FQ. Докажем сначала две леммы.
Пусть DB — замкнутый диск, ограниченный сферой S8.
Лемма 5.9. Существует гладкое векторное поле v
на DB \ V, такое, что скалярное произведение
<v(z), gradlogf(z))
вещественно и положительно для всех г е De \ V,
а скалярное произведение {\(г), г) имеет
положительную вещественную часть.
Доказательство этой леммы, аналогичное
доказательству леммы 4.6, мы предоЬтавляем
читателю.
*) См., например, Ху Сы-цзян [1].

§ 5. Топология слоя и топология К 59
Рассмотрим теперь решения дифференциального
уравнения
на Dz \ V. Из того условия, что
(■4J-, gradlogf(P(0)>
вещественно и положительно, следует, что аргумент
функции f{p{t)) постоянен и что \f (p{t)) \ есть строго
монотонная функция от t. Из условия
следует, что Ир (О II является строго монотонной
функцией от t.
Таким образом, отправляясь от любой внутренней
точки z множества De \ V и следуя по траектории,
проходящей через эту точку z, мы движемся «прочь»
от начала координат в направлении возрастания
функции |f|, пока мы не достигнем точки г'gS6\ /С,
удовлетворяющей равенству
f(g') = /(z)
If(«01 IfWI '
Используя это соответствие z\—>z\ легко доказать
следующее утверждение. Пусть с — малое
комплексное число, и пусть с/\с\ = eiQ (см. рис. 4).
Лемма 5Л0. Пересечение гиперповерхности f~{(c)
с открытым г-диском диффеоморфно части слоя FQi
определяемой неравенством |f(z)| > \с\.
Но из леммы 5.7 следует, что для достаточно
малых \с\ указанная часть слоя FQ диффеоморфна
всему слою FQ (ср. Милнор [2], § 3.1). Таким образом,
нами доказана
Теорема 5.11. Если комплексное число сфО
достаточно близко к нулю, то комплексная
гиперповерхность f~l (с) пересекается открытым г-диском по
гладкому многообразию, диффеоморфному слою FQ.

60 § 6. Случай изолированной критической точки
Замечание. Комбинируя теорему 5.11 с
результатами Андреотти и Франкеля [1] по теории Морса
применительно к гладкой вещественной функции
||z||2 на !~~{(с)> можно получить другое доказательство
теоремы 5.1.
§ 6. Случай изолированной критической точки
Введем теперь дополнительное предположение, что
многочлен f(zu ..., zn+i) не имеет критических точек
в некоторой окрестности начала координат, за
исключением, быть может, самого начала координат:
Таким образом, начало координат является либо изоли-

§ 6. Случай изолированной критической точки 61
рованной особой точкой, либо неособой точкой
гиперповерхности У == f-1 (0) (см. лемму 2.5).
Предположим также, что п> 1.
Согласно следствию 2.9, пересечение К = V П Se
при достаточно малых е является гладким (2п— 1)-
мерным многообразием. Это утверждение можно
уточнить следующим образом.
Лемма 6.1. Для достаточно малых е замыкание
любого слоя FQ в S8 является гладким 2п-мерным
многообразием с границей, внутренней частью
которого является Fe, а границей /С.
Доказательство. Заметим сначала, что для
достаточно малых г комплексная функция f\Se не
имеет критических точек на /С. (Другими словами,
число нуль есть регулярное значение функции f|S8.)
Это можно вывести из доказательства следствия 2.9
или доказать с использованием леммы 3.1 об отборе
кривых следующим образом. Критические точки
функции f|S8 — это, очевидно, те самые точки zeS8, в
которых (ненулевой) вектор gradf(z) является
комплексным кратным вектора z. Для данного
негладкого пути
р: [0, e')-*C+1f
Р(0) = 0, f(p(<))-0,
состоящего исключительно из таких точек, имеем
<t.«"d/)=i!M>i-o,
так что
и, следовательно, р (t) ss 0, что противоречит нашему
предположению.
Пусть теперь z°—произвольная точка
многообразия К. Выберем (вещественные) локальные
координаты ии ..., w2n+i для 5е в окрестности U точки z°
так, чтобы для всех zgC/
f{z)*=ux(z) + iu2(z).

62 § 6. Случай изолированной критической точки
Заметим, что точка окрестности U принадлежит слою
F0 = ф_1(1) тогда и только тогда, когда
и{ > 0, и2 = 0.
Следовательно, замыкание Fo пересекается с U по
множеству
щ ^0, и2 = 0.
Очевидно, таким образом определяется гладкое 2п-
мерное многообразие, внутренностью которого
является Fo П £/, а границей КС\ U.
Для других слоев FQ рассуждения аналогичны.
Лемма доказана.
Следствие 6.2. Компактное многообразие FQ
с границей вложено в Se таким образом, что оно имеет
тот же самый гомотопический тип, что и его
дополнение Se \ FQ.
Действительно, дополнение Se \ FQ является
локально тривиальным расслоением над стягиваемым
многообразием S4\ (eie). Следовательно, любой слой
FQ, этого расслоения является деформационным ре-
трактом пространства Se\FQ. Но слой /fy диффео-
морфен слою FQ и потому имеет тот же самый гомо:
топический тип, что и FQ.
Следствие 6.3. #t(Fe) = 0, 0 < i < п.
(Ср. Фари [1], стр. 31.)
Это следует из теоремы двойственности Алексан-
дера, которая утверждает, что приведенная группа
гомологии1) Bi{Se\FQ) ^зоморфна приведенной
группе когомологий В2п~{ (FQ), а согласно теореме 5.1,
группа Й2п-{^&) равна нулю для 2п — i > п.
Последнее утверждение можно уточнить
следующим образом.
Лемма 6.4. Слой FQ является (п — 1)-связным.
1) Приведенной группой гомологии НгХ называется ядро
естественного гомоморфизма ЯД-> Яг (точка). Аналогично,
группа Н*Х есть коядро гомоморфизма Яi (точка) -> Н{Х.

§ 6. Случай изолированной критической точки 63
Доказательство. Ввиду следствия 6.3 нам
достаточно проверить, что для п>-2 пространство Fq
односвязно.
В случае п^>3 можно воспользоваться л_еммой 5.8.
Из существования гладкой функции se на F$ следует,
что многообразие FQ может быть получено из
некоторой окрестности К X [0, г\] его границы
присоединением ручек индекса ^-п, по одной ручке на каждую
критическую точку функции sQ (см. доказательство
теоремы 5.2). Так как присоединение таких ручек не
меняет гомотопических групп в размерностях *Сп — 2,
отсюда следует, что
щ(Ре)*щ(КХ[0, г]]) = 0
Для i-*Cn — 2 (см. теорему 5.2).
Вот несколько лучшее доказательство,
пригодное _й в случае п = 2. Используя функцию Морса —s9
на FQt видим, что многообразие FQ можно получить
из диска Dtn присоединением ручек индекса ^ п. Все
эти ручки могут быть присоединены внутри
объемлющего пространства S8. Но дополнение S8 \ Dtn,
очевидно, односвязно, а присоединение ручек индекса
:<dirn (Se) —3 — 2я^-2 не изменяет
фундаментальной группы дополнения. Таким образом, рассуждая
по индукции, получаем, что дополнение Se \ FQ также
односвязно, при п^2п — 2, чем с учетом следствия
6.2 и завершается доказательство.
Теорема 6.5. Каждый слой имеет гомотопический
тип букета сфер Sn V Sn V ... VSn.
Доказательство. Группа гомологии *) Нп (FQ)
должна быть свободной абелевой, так как любые
элементы кручения порождали бы ненулевые элементы
в группе когомологий размерности п+ 1, что
противоречило бы теореме 5.1. Согласно теореме Гуревича,
для м>2 имеет место изоморфизм nn(FQ) ^Hn(FQ);
1) Если не оговорено специально, все группы гомологии
рассматриваются с целыми коэффициентами.

64
§ 7. Среднее число Бетти слоя
следовательно, nn(Fe)—свободная абелева группа,
и мы можем выбрать конечное число отображений
(Sn отмеченная точка) —► (FQ, отмеченная точка),
образующих базис группы Яп^е)- Объединение этих
отображений дает отображение
- SnV ... VSft->4
индуцирующее изоморфизм групп гомологии и,
следовательно, по теореме Уайтхеда, являющееся
гомотопической эквивалентностью. Этим завершается
доказательство для случая п > 2. Доказательство для
случая п = 1 мы предоставляем читателю.
Как мы увидим в § 7, число сфер в этом букете
всегда отлично от нуля, если начало координат не
является регулярной точкой функции f.
Для п ф 2 имеет место еще более точное
утверждение.
Теорема 6.6. Для пф2 многообразие FQ диффео-
морфно телу с ручками, получаемому из диска D2n
одновременным присоединением конечного числа
ручек индекса п.
Это следует из результатов § 1.2 работы Смейла [2]
в сочетании с нашими теоремой 5.2 и следствием 6.4.
Подробное обсуждение таких тел читатель может
найти в работе Уолла [1].
Есть основания предполагать, что теорема 6.6
верна и для п = 2.
§ 7. Среднее число Бетти слоя
Изолированная критическая точка z° комплексного
многочлена f(zu ..., zm) называется невырожденной,
если матрица Гессе (d2f/dZjdZh) невырождена в
точке z°, в противном случае точка z° называется
вырожденной критической точкой.
Введем положительное целое число \х, которое
служит мерой степени вырождения в критической точке

§ 7. Среднее число Бетти слоя
65
z°. Это целое число \i мы определим как кратность
точки z° как решения системы полиномиальных
уравнений
df = = df ^Q
dz, ' * ' dzm
Рассмотрим сначала несколько более общую
ситуацию. Пусть
— произвольные аналитические функции от m
комплексных переменных, и пусть z° — изолированное
решение системы уравнений
£i(z)= ... =gm(z) = 0.
Мы будем говорить для краткости, что z° является
изолированным «нулем» отображения g:Cm—*Cm.
Определение. Кратностью \х изолированного
нуля z° называется степень отображения
, . gfr)
llg(z)||
малой сферы S8 с центром в точке z° в единичную
сферу пространства Сш.
По-видимому, это определение согласуется с
различными определениями, используемыми
алгебраическими геометрами (см., например, Ван дер Варден
[2], § 38, или Ходж и Пидо [1]). Топологическое
определение более удобно для наших целей.
Следующий результат служит оправданием
нашего определения.
Теорема 7.1 (Лефшец). Кратность \х всегда
является целым положительным числом.
Доказательство теоремы 7.1, а также дальнейшее
обсуждение кратности \х приведены в дополнении В
(см. также Лефшец [2]).
3 Дж. Милнор

66 § 7. Среднее число Бетти слоя
Вернемся теперь к ситуации, рассмотренной в § 6.
Пусть начало координат является изолированной
критической точкой и нулем многочлена f(zt, ..., zn+i).
Таким образом, уравнения
JL= =_£-== о
имеют изолированное решение z = 0. Пусть \х —
кратность этого решения. Как и в предыдущем параграфе,
рассмотрим связанное с / расслоение, типичным слоем
которого является 2п-мерное многообразие
F0 = {ze=Se|f(z)>0}.
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 7.2. Среднее число Бетти слоя F0 равно
кратности \i. Следовательно, средняя группа
гомологии HnFo является свободной абелевой группой
ранга \i.
(Замечание. Недавно Брискорн дал простое
доказательство теоремы 7.2, совершенно отличное от
доказательства, приводимого ниже.)
Так как \i > 0, то по теореме 7.1 отсюда вытекает
Следствие 7.3. Если начало координат является
изолированной критической точкой многочлена f, то
слои Fq нестягиваемы и многообразие К = V Л SB
является заузленной сферой в Se.
(Этот результат стоит сопоставить с леммами 2.12
и 2.13, утверждающими, что если начало координат
является регулярной точкой многочлена /, то слои FQ
стягиваемы, а многообразие KczSe является незауз-
ленной сферой.)
Действительно, если К — топологически незаузлен-
ная сфера в S8, то Se \ К имеет гомотопический тип
окружности. Но в этом случае гомотопическая
точная последовательность нашего расслоения
... -+nn+l(Sl)-+nn(Fo)-+nn(SB\K)-+ ..>
приводит к противоречию (даже при п = 1).

§ 7. Среднее число Бетти слоя 67
Для доказательства теоремы 7.2 нам нужен ка-
кой-нибудь способ подсчета степени гладкого
отображения
' v: Sk->Sk
сферы в себя, использующий неподвижные точки
отображения v. Пусть М — компактная область с
гладкой границей на сфере Sk с Rk+i. Для каждой
граничной точки хеМ обозначим через п(х) внутренний
нормальный вектор — единственный единичный
вектор, касательный к S\ нормальный к дМ в точке х
и направленный внутрь области М.
Лемма 7.4. Если (1) каждая неподвижная точка
отображения \:Sk->Sk лежит внутри области М,
(2) никакая:из точек хеМ не переходит при
отображении v в диаметрально противоположную точку
—х и (3) евклидово скалярное произведение (v(x),
п(х)) положительно для любой точки vedAf, то
эйлерово число %{М) связано со степенью d
отображения v равенством
x(Af)-l+(-l)*d.
Доказательство. Малым шевелением
отображения v можно добиться, чтобы все его
неподвижные точки были изолированными. Согласно теореме
Лефшеца о неподвижной точке, каждой неподвижной
точке х можно сопоставить индекс i(x) так, чтобы
сумма индексов по всем неподвижным точкам
равнялась числу Лефшеца
2(-1)У trace (v.: Hf(Sk)-+Hf(Sk)) = 1 +(-!)* d.
(Ср. Александров и Хопф [1].)
Рассмотрим однопараметрическое семейство
отображений
v,: M->Sk,
определяемое формулой
( ч (i~Qx + /v(x)
V'W ||(l-0x + *v(x)ir
3*

68 §7. Среднее число Бетти слоя
Эта формула корректна, так как v(x) Ф— х для хе
еМ. Очевидно, что v0 есть тождественное
отображение, a \t для малых значений параметра t является
отображением М в себя, гомотопным тождественному.
Поэтому для, скажем, (Х^-Се число Лефшеца
отображения
v,: М~*М
должно быть равно эйлерову числу %{М).
Но для t > О неподвижные точки у отображения
V/ в точности те же, что и у отображения v:Sh-+Sh.
Поскольку индекс Лефшеца неподвижной точки х
отображения \t есть целое числЬ, непрерывно
зависящее от /, отсюда следует, что число Лефшеца %{М)
отображения v8 должно равняться числу Лефшеца
1 + (— \)hd отображения v. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 7.2. Пусть М —
область, состоящая из всех точек zGSe,
удовлетворяющих неравенству
Ref(z)>0.
Другими словами, М есть объединение слоев F0,
9е[-л/2,я/2], а также их общей границы /С.
Очевидно, что
является гладким многообразием (см. доказательство
леммы 6.1).
Заметим, что М имеет гомотопический тип слоя
Fq, ибо внутренность области М расслоена над
открытой полуокружностью со слоем FQ.
Рассмотрим гладкое отображение
V(Z) = 8 llgradf(z)|| *
сферы 58 в себя. Мы утверждаем, что отображение v
удовлетворяет трем условиям леммы 7.4.
Условие (1). Очевидно, z является неподвижной
точкой отображения v = egrad//||gradf|| тогда и

§ 7. Среднее число Бетти слоя 69
только тогда, когда вектор gradf(z) является
положительным кратным вектора z. Но если
grad / (z) = cz, с > О,
то f{z) ФО (ср. с доказательством леммы 6.1), и
grad log f{z) = y—z,
где коэффициент cjf(z)y согласно лемме 4.3, имеет
положительную вещественную часть. Следовательно,
Re/(z) > 0, и точка z является внутренней точкой
области М.
Условие (2) проверяется аналогично.
Условие (3). Для любой данной граничной
точки z области М можно выбрать гладкий путь р(0>
идущий внутрь М со скоростью dp/d/ = n(z) в точке
р(0) = z. Из определения области М легко следует,
что производная от функции Ref(p(/)) положительна
в точке t = 0. Поэтому равенство
m-ъШ-. Srad/)
dt v \ dt
показывает, что евклидово скалярное произведение
Re(n(z), v(z)) положительно.
Следовательно, можно применить лемму 7.4, и мы
получаем формулу
ТС^еНхМ- 1- degree (v), (l)
ибо размерность 2п + 1 сферы Se нечетна.
Но степень отображения v равна произведению
(—l)n+i на кратность \х начала координат как
решения системы полиномиальных уравнений
JL- - У
0.
дгх " ' дгп+1
Действительно, кратность \х по определению равна
степени отображения
Я1 , g(»)
Z III «II

70 § 8. Является ли К топологической сферой?
на 58, где g(z)—вектор, комплексно сопряженный
вектору grad/(z), а отображение комплексного
сопряжения
(gu •••> gn+i)*-*(gu •••> gn+i)>
очевидно, переводит сферу 5е в себя, и притом со
степенью (—l)n+1.
Подставляя все это в формулу (1), получаем
х(/7е)= 1 +(-DV
Но по определению эйлерово число х(^е) равно
2(-l)!rankH,(Fe)~ l+(-l)nrankHn{Fe).
Следовательно,
ц = гапк#„(^б)>
чем и завершается доказательство теоремы 7.2.
§ 8. Является ли К топологической сферой?
Предположим опять, что начало координат
является изолированной критической точкой
многочлена f(zu ..., 2n+i), где п>1. Как можно решить,
является компактное (2/г— 1)-мерное многообразие К =
= /_1 (0) П Se топологической сферой или нет?
Лемма 8.1. Если пФ2, то многообразие К го-
меоморфно сфере S271-1 тогда и только тогда, когда К
является гомологической сферой.
Доказательство. Для п = 1 утверждение
леммы очевидно. Если п > 3, то, согласно теореме 5.2,
многообразие К односвязно. Таким образом, для п >
> 3 многообразие К является гомотопической сферой
размерности >5, и потому утверждение леммы
следует из доказанной Смейлом и Столлингсом
обобщенной гипотезой Пуанкаре. Лемма доказана.
Замечание. Для п = 2 соответствующее
утверждение неверно. Действительно, как показал Мам-
с|:орд, в этом случае фундаментальная группа п\{К)

§ 8. Является ли К топологической сферой? 71
никогда не бывает тривиальной (см. также Хирце-
брух [1]). Например, рассмотрим многочлен
/ [zv zv z3j = zx + z2 + z3
изученного Брискорном типа. Как показал Хирцебрух,
соответствующее этому многочлену трехмерное
многообразие К является гомологической сферой, но
rti(K) является совершенной группой из 120
элементов, изоморфной группе SL(2, z5) (ср. пример 9.8).
Это многообразие Пуанкаре К хорошо известно
специалистам по теории узлов как р-кратное
разветвленное покрытие трехмерной сферы, разветвленное вдоль
торического узла типа (q,r), где /?, q9 r — любая
перестановка чисел 2, 3, 5.
Лемму 8.1 можно уточнить следующим образом.
Лемма 8.2. Для пф2 многообразие К является
топологической сферой тогда и только тогда, когда
приведенная группа гомологии Hn-iK тривиальна.
Действительно, если группа ffn-t(K) тривиальна,
то, используя двойственность Пуанкаре и тот факт,
что многообразие К(п — 2)-связно, мы легко
получаем, что К является гомологической сферой.
Фиксируем теперь какую-нибудь ориентацию 2/г-
мерного ориентируемого многообразия FQ и заметим,
что для любых двух м-мерных классов гомологии а,
Р многообразия F$ корректно определен индекс
пересечения 5 (а, р).
Лемма 8.3. Многообразие К является
гомологической сферой тогда и только тогда, когда спаривание
s: HnFe®HnFQ~*Z,
определяемое пересечением циклов, имеет
определитель ±1.
Доказательство. Это следует из точности
гомологической последовательности пары (FQ, д)
HnFQ -i* Hn (FQi К) ^> Я,-!* - 0,

72 § 8. Является ли К топологической сферой?
где первая группа, как известно, является свободной
абелевой группой ранга \х. Из ^еоремы
двойственности Пуанкаре следует, что Нп (FQ) К) также является
свободной абелевой группой ранга \i и что
определяемое пересечением циклов спаривание
s*:Hn(Fe, K)®HnFQ->Z
имеет определитель ±1. Используя равенство
5 (a, p) = s'(/.<x, P),
мы получаем, что /* является изоморфизмом тогда и
только тогда, когда 5 имеет определитель ±1. Лемма
доказана.
Имеется другой подход к вычислению группы
ffn-iK. Для данного расслоения
ф: E-+S1
над окружностью естественное действие образующего
элемента группы ^(S1) на гомологиях слоя
описывается автоморфизмом
Здесь символом h обозначен характеристический
гомеоморфизм слоя ^0 = ф-1(1). Чтобы его получить,
нужно, используя теорему о накрывающей гомотопии,
выбрать какое-нибудь непрерывное однопараметриче-
ское семейство гомеоморфизмов
h,: F0->Ft, 0<*<2я,
где h0 — тождественное отображение; тогда h = h2jt и
будет характеристическим гомеоморфизмом.
Лемма 8.4 (Ван). Для любого расслоения над
окружностью имеет место точная последовательность
вида
... ->Я/+l£->Я/FoJ!^>Я/F0^Я/£-^ ...,
где I — тождественное отображение слоя Fq и h —
характеристический гомеоморфизм.

§ 8, Является ли К топологической сферой? 73
Доказательство. Идея доказательства
заключается в следующем. Накрывающая гомотопия {hj
определяет отображение
F0X[0, 2я]-*£,
которое индуцирует изоморфизм относительных групп
гомологии
H,{F0 X [0, 2я], F0 X [0] U F0 X [2я])-^» #,(£, f 0).
Отождествляя группу, стоящую слева, с группой
Hj-iFo и подставляя ее вместо группы Hj(E, F°) в
точную гомологическую последовательность пары (E,F0),
мы и получаем последовательность Вана.
Рассмотрим теперь расслоение ср: Se\/C->S4,
введенное в § 4. Обозначим через Д(/)
характеристический многочлен
A(*)-det(fl.-h.)
линейного преобразования
h*: HnF0-+ HnFQ.
Таким образом, A(f) —это многочлен с целыми
коэффициентами вдца
/n + aifn-i+ ... +а^± 1.
Теорема 8.5. Для пФ2 многообразие К
является топологической сферой тогда и только тогда, когда
целое число
A(I) = det(I.-h.)
равно ±1.
Доказательство. Для п > 1 утверждение
теоремы следует непосредственно из точности
последовательности Вана
ВД Jb=h+ HnF0 -> Hn (S. \ К) -> 0
с учетом изоморфизма двойственности Александера

74 § 8. Является ли К топологической сферой?
и изоморфизма двойственности Пуанкаре
НпК s Нп^К
(ср. с леммой 8.2). Для п = 1 доказательство следует
из аналогичных соображений.
Замечание 8.6. Многочлен Д(/) можно
получить и другим способом. Вместо автоморфизма h
слоя F0 можно использовать накрывающее
преобразование в бесконечном циклическом накрывающем
пространстве Е дополнения E = SB\K (см. Левин [1]).
Легко проверить, что существует гомеоморфизм
пространства Е на пространство F0 X R> при котором
некоторой образующей группы накрывающих
преобразований соответствует гомеоморфизм
(z, г)н-^(h(z), г —2л)
пространства F0XR. Это показывает, что k(t)
является топологическим инвариантом пространства
S8 \ К, по крайней мере для связных К. Этот
инвариант представляет собой n-мерное обобщение
многочлена Александера узла (см. лемму 10.1).
Замечание 8.7. В случае когда К является
топологической сферой, встает вопрос, какую
дифференцируемую структуру имеет эта сфера? Так как К
ограничивает (п— 1)-связное параллелизуемое
многообразие Fo, класс диффеоморфизма многообразия К
полностью определяется для четных п сигнатурой
определяемого пересечением циклов спаривания
HnF0®HnFQ->Zy
а для нечетных п — инвариантом Кервэра
c(F0)e=Z2
(см. Кервэр и Милнор [1], § 7.5 и 8.5). Здесь тоже
случай п = 2 надо исключить.
Замечательная теорема Левина утверждает, что
для нечетных п инвариант Кервэра задается форму-

§ 9. Многообразия Брискорна
75
лами
с (F0) = 0, если Д (-1) = ± 1 (mod 8);
c(F0)=l, если А (-1)= ±3 (mod 8).
Таким образом, для нечетных п характеристический
многочлен Д(/) полностью определяет
дифференциальную структуру многообразия /С, по крайней мере
в случае, когда К является топологической сферой.
§ 9. Многообразия Брискорна и взвешенные
однородные многочлены
Пусть даны целые числа аи ..., an+i ^ 2.
Рассмотрим многочлен
Нг» .... гя+1)-(г,)в« + (z2p + ... + (*„+,)«»+•.
Очевидно, начало координат является единственной
критической точкой функции f, поэтому пересечение
K==f_1(0) со сферой Se является гладким
многообразием К размерности 2п—1. Рассмотрим расслоение
ф: Se\K-+Si со слоем FQ размерности 2п, связанное
с многочленом /.
Теорема 9.1 (Брискорн — Фам). Группа
гомологии Hn(Fe) является свободной абелевой группой
ранга
ц = (а1-1)(а2-1) ... (ал+1-1).
Характеристическими корнями линейного
преобразования
К: Hn(FQ;C)-»Hn(F0iC)
являются произведения coico2... con+i, где каждое coj
пробегает все а$-е корни из единицы, отличные от 1.
Следовательно, характеристический многочлен
задается формулой
Другое выражение для многочлена Д (t) будет дано
в теореме 9.6.

76 § 9. Многообразия Врискорна
В качестве примера рассмотрим обобщенный три-
листный узел К с Se, соответствующий набору
показателей
о>\ — • • • = ctn = 2, Qn+i = 3.
Тогда
, -1 ± /^з"
©Is • • • = ©п = - If «n+1 = 2
и, значит,
А (/) = /2 — f + 1 для нечетных /г,
А (/) = Р +J + 1 для четных п.
Таким образом, для нечетных п мы имеем А(1) = 1,
так что К является топологической сферой
размерности 2п— 1 = 1, 5, 9, 13, ... . Если размерность
многообразия К равна 1 или 5, то К диффеоморфно
стандартной сфере, так как в этих размерностях не
существует экзотических сфер. Но в случае 2п—1=9
многообразие К диффеоморфно экзотической 9-мерной
сфере Кервэра (ср. замечание 8.7).
Аналогичные примеры экзотических и
неэкзотических сфер в размерностях 7, 11, 15,... были даны Хир-
цебрухом и Брискорном. Любая экзотическая сфера,
которую можно с коразмерностью 2 вложить в
евклидово пространство, может быть получена этим
способом.
В связи с теоремой 9.1 возникает несколько
вопросов. Существует ли алгоритм для вычисления
характеристических многочленов А (0, ассоциированных с
произвольной изолированной критической точкой?
Всегда ли А(/) является произведением
циклотомических многочленов?*) Всегда ли можно структурную
группу расслоения ср: Se\K->Sl свести к конечной
группе (или по крайней мере к компактной группе)?
(В классическом случае п = 1 многочлен Алексан-
дера был вычислен Зарисским для случая, когда
1) Доказательство того, что Д(0 всегда является
произведением циклотомических многочленов, было недавно получено
Гротендиком. Относящиеся сюда результаты изложены Гротен-
диком в [1J.

§ 9. Многообразия Брискорна
77
узел К связен, и Бурау для случая, когда К имеет не
более двух компонент.)
Доказательство теоремы 9.1. Положим
для удобства т = п + 1.
Заметим прежде всего, что (в силу специального
вида многочлена /) расслоение ф: Se\K-j>Si
продолжается до локально тривиального расслоения
^:'Cm\V^S\
где отображение i|), как и отображение ф, определяется
формулой
Используя однопараметрическую группу
диффеоморфизмов
ly. Cm\V^Cm\Vy
определяемых формулой
ht(zl,...,zm) = (ett'a>zl,...,eitla>nzm),
легко проверить, что отображение tf является
локально тривиальным расслоением. Заметим, что h* диффео-
морфно переводит каждый слой $~{(у) на слой
^-*(е{*у). Особенно интересует нас
характеристический гомеоморфизм Ь2я.
Заметим также, что отображение
(z, г)^\еа*ги ..., eamzm), ze=:Se\K, re=R,
диффеоморфно переводит ф^(у) X R в слой ^(у).
Таким образом, новое расслоение г|э имеет тот же
самый послойный гомотопический тип, что и
прежнее расслоение ф.
Обозначим через Qa конечную циклическую группу,
состоящую из всех а-х корней из единицы, и через / —
соединение
/ = Qa * Q * ,.. * Qa с: Cm,

78 § 9. Многообразия Врискорна
состоящее из всех линейных комбинаций векторов
ft©!, t2(i>2> - . ., tm®m)>
где
tX>0, ..., tm>Of t{+ ... +/m=l
и (0/eQfl.. Отметим, что / содержится в слое гр"1^).
Лемма 9.2 (Фам). Соединение J является
деформационным ретрактом слоя г|)-1(1).
Доказательство. Рассмотрим произвольную
точку zet|5_1(l). Будем двигать каждую
координату Zj вдоль пути в С, выбранного так, чтобы а^-я
степень координаты Zj передвигалась по прямой линии в
ближайшую точку Re'(z^) вещественной оси. При
этом вектор z движется к вектору z', у которого
(z'jfJ e R для всех /. Очевидно, значение функции
f(z)>0 не меняется в процессе этой деформации;
поэтому мы остаемся все время внутри слоя ip-^l).
Далее, для каждого /, такого, что (z'jfi < О, «стянем»
координату г'} по прямой линии в нуль; если (ztfJ^Q,
оставим Z\ неизменным. В результате вектор г'
перейдет по прямой линии в вектор z" e tl)"1 (1), у
которого (г")а/ ^ 0 для всех /, так что каждая
координата z" имеет вид ^(Oj, где /j>0 и cojS Qa . Наконец,
сдвинем z" по прямой линии в точку
г"
*1+ .^ + */!+! ^/#
Так как точки соединения / остаются неподвижными
в процессе всей деформации, этим завершается
доказательство леммы 9.2.
Группы гомологии любого соединения А*ВУ
естественно, изоморфны прямой сумме тензорных
произведений
#*+1(Л*5)^ 2 HiAQHjB

§ 9. Многообразия Брискорна
79
при условии, что #*Л не имеет кручения (см.,
например, Милнор [1]). Так как каждое пространство Qaj
имеет нетривиальную группу гомологии лишь в
размерности нуль, то рассуждением по индукции мы
получаем, что
и что приведенные группы гомологии соединения /
тривиальны во всех других размерностях.
Напомним теперь, что характеристический
гомеоморфизм
h = h2jl: ♦-I(l)->+"1(D
задается формулой
h2jt(z) = U a{zu ..., eamzj.
Очевидно, этот гомеоморфизм переводит / в себя, и
отображение Ь2Я|/ можно представить в виде
соединения отображений
Ч* •• • *Чп: J~*J>
где га обозначает поворот пространства Qa на угол
2я/а, задаваемый формулой
г а (со) = е2п1Ы.
Рассмотрим индуцированный гомоморфизм
(О.: H0(Qa;C)->H0(Qa;C)
приведенных групп гомологии. Очевидно,
собственными значениями преобразования (ra)* являются
корни a-й степени из единицы, отличные от 1.
[Доказательство: для любого целого числа v, расположенного
между 1 и а— 1, класс гомологии из группы BQ(Qa\ С),
имеющий коэффициенты (oveC при каждой точке
со е Qa, является собственным вектором
преобразования (ra)*, соответствующим значению e~2nivla.]

80
§ 9. Многообразия Брискорна
Следовательно, собственными значениями
тензорного произведения преобразований
(hai|/). = (rei),® ... ®(ЧгХ
являются произведения coiO)2 .. • com, где каждое (Oj
пробегает все а^е корни из единицы, отличные от 1.
Этим завершается доказательство теоремы 9.1.
Существует значительно более широкий класс
многочленов, работать с которыми почти так же просто,
как с многочленами Брискорна. Пусть аи ..., ат —
положительные числа.
Определение 9.3. Многочлен f(zu ..., zm)
называется взвешенным однородным многочленом типа
(fli, ..., ат), если его можно представить в виде
линейной комбинации одночленов zj» ... z*j»f таких, что
■4-+ ... +-^- = 1.
а, ат
Это эквивалентно требованию, что
f(ec/a^l,...,ecla'nzj = ecf(zl zm)
для любого комплексного числа с.
Лемма 9.4. Если многочлен f является
взвешенным однородным, то слой F расслоения из § 4 диф-
. феоморфен неособой гиперповерхности
F' = {z€=Cm|f(z)=l}.
В качестве характеристического гомеоморфизма Ff
(или F) на себя можно взять периодическое унитарное
преобразование
h(zl,...,zm) = (e2»,/a>zu...,e2«ila>nzm).
Доказательство очевидно.
Обозначим через Ы: F' ->F' композицию
отображения h с самим собой / раз. Множеством
неподвижных точек отображения h' является, очевидно,
пересечение гиперповерхности Ff с линейным подпростран-

§ 9. Многообразия Брискорна
81
ством Lj пространства Cw, определяемым
уравнениями вида Zix = ... = zik = 0. Нетрудно проверить, что
это множество неподвижных точек F' П Lj само
является неособой гиперповерхностью в пространстве Lj.
Лемма 9.5. Число Лефшеца отображения h^:
F' -* Fr равно эйлерову числу многообразия
неподвижных точек отображения Ьк
Мы будем обозначать это эйлерово (или лефше-
цево) число символом %j.
Доказательство. Сначала отметим тот более
общий факт, что число Лефшеца любой изометрии
компактного риманова многообразия равно эйлерову
числу многообразия ее неподвижных точек (ср. Ко-
баяси [1]). Действительно, число Лефшеца любого
отображения / компактного многообразия в себя зависит
лишь от поведения отображения f в окрестности
множества неподвижных точек. Следовательно, в частном
случае изометрии мы можем сначала заменить все
многообразие трубчатой окрестностью Т множества
неподвижных точек, а затем уже применять формулу
Лефшеца к ограничению отображения / на трубчатую
окрестность Г.
Теперь доказательство леммы проводится
следующим образом. В качестве компактного многообразия
возьмем пересечение гиперповерхности F' с некоторым
достаточно большим диском D с центром в начале
координат1). Используя следствие 2.8, можно показать,
что многообразие D П Fr является деформационным
ретрактом гиперповерхности F'. Аналогично
множество неподвижных точек D П F' П Lj является
деформационным ретрактом множества Fr Л Lj. Из этих
замечаний легко следует утверждение леммы.
Рассмотрим теперь дзета-функцию А. Вейля
/-1
1) При этом получается, очевидно, многообразие с границей.
Но более подробный анализ показывает, что существование
граничных точек не вызывает никаких затруднений.

82 § 9. Многообразия Брискорна
отображения h (см. Милнор [5]). Так как отображение
h является периодическим с периодом, скажем, р, то
прямое вычисление показывает, что функцию l(t)
можно представить в виде произведения
С(/НП(1-*ТЧ
dip
где показатели —га вычисляются рекурсивно по
формуле
%, = 2dr,
(Оказывается, что га является целым числом,
отличным от нуля, только если d является делителем
периода р.)
Согласно А. Вейлю, дзету-функцию можно
представить в виде «знакопеременного» произведения
многочленов
где Pi(t)—определитесь линейного преобразования
^-A.): HtF'-+H,F'.
Предположим, что начало координат является
изолированной критической точкой многочлена /, так чтсг
слой F' имеет ненулевые гомологии только в
размерностях 0 и т — 1. Ясно, что Po(t) = 1. — /, а Рт-{(t)
совпадает с точностью до знака с характеристическим
многочленом Д(*), рассмотренным в § 8. (Это следует
из того, что коэффициенты многочлена Д(/)
симметричны; последнее видно из того, что Д(/) есть
характеристический многочлен периодического
линейного преобразования.) Таким образом, справедлива
Теорема 9.6. Числа Эйлера %<* многообразий
неподвижных точек различных итераций hd: F'—*F'
связаны с характеристическим многочленом Д(/)
формулой
A(<M'-ir'I]>-i)4
dip

§ 9. Многообразия Брискорна 83
если т нечетно, или формулой
М0 = ('-1)П(^-1ГЧ
если m четно, где %t = 2 drd.
d\(
Рассмотрим два примера.
Пример 9.7. Многочлен
^1^2 "•" ^2 == (^1 ^2/ ^2
является взвешенным однородным типа (8/3, 4).
Положим и = е2яг/8. Линейное преобразование
имеет период 8. Заметим, что у отображений h и h2
нет нетривиальных неподвижных точек, а
отображение h4 имеет четыре неподвижные точки на г' (четыре
решения системы уравнений zf22 + z*=l, ^1 = 0).
Вычисления показывают, что |л = 5, поэтому число
Эйлера 1 — |л множества неподвижных точек
отображения h8: F'-+F' равно —4. Следовательно,
Х1 = 0, &> = 0, X4 = 4, %8=-4
и
П = 0, г2 = 0, г4=1, г8==-1,
а значит,
А(0-(/-1)(<4-1Г1(/вв1)11и(^1)(<4+1)>
Замечание. Многообразие /С, состоящее из всех
нулей многочлена z\z2 + z\, лежащих на сфере Se,
представляет собой трилистный узел, зацепленный с
окружностью с числом зацепления, равным двум.
Многочлен Алекеандера этого зацепления равен
&2 + 1 (см. лемму 10.1).
Пример 9.8 (ср. Клейн [1], Хирцебрух [1]—{3],
Картан [1]). Пусть О — некоторая конечная подгруппа
специальной унитарной группы St/(2). Тогда G
действует на координатном пространстве С2, причем

84 § 9. Многообразия Брискорна
единственной неподвижной точкой является начало
координат.
Утверждение. Кольцо, состоящее из всех
многочленов от двух переменных, инвариантных относительно
действия группы G, порождается тремя однородными
многочленами, скажем ри Рг, Рз, различных степеней.
Эти многочлены связаны единственным
полиномиальным, уравнением
f(Pu Ръ Рз) = 0,
где / — взвешенная однородная функция.
Отображение р — (ри Рг, Рз): С2-* С3 есть гомеоморфизм
пространства орбит C2/G на гиперповерхность V =
-f-^OJczC3.
Отсюда легко следует, что трехмерное
многообразие S3/G с фундаментальной группой, изоморфной
группе G, гомеоморфно отображается на
подмногообразие многообразия V, диффеоморфное пересечению
К = V П Se.
Например, если G является бинарной группой
икосаэдра при эпиморфизме SU(2) ~*SO(3), то
многочлены ри Р2у Рз являются однородными многочленами
степеней 30, 20 и 12 соответственно. Нули
многочлена рз в проективном пространстве, состоящем из всех
прямых, проходящих через начало координат в С2,
образуют двенадцать вершин правильного икосаэдра,
нули многочлена р2 образуют средние точки двадцати
граней этого икосаэдра, а нули многочлена pi
образуют средние точки тридцати ребер этого икосаэдра.
Эти три многочлена связаны между собой уравнением
р\ + р1 + р1 = ъ.
Следовательно, пространство орбит C^/G изоморфно
алгебраическому многообразию Брискорна К(2, 3, 5)
и многообразие Пуанкаре S3/G диффеоморфно
пересечению К = V(2, 3, 5) П S8 (ср. § 8).
(Интересно отметить, что каждая нетривиальная
орбита группы G в С2 может быть представлена в
виде множества вершин некоторого правильного
многогранника с шестьюстами гранями, каждая из которых
является правильным тетраэдром (см. Коксетер[1]).)

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 85
Аналогично, если G— циклическая группа
порядка й, то линзовое пространство Ss/G диффеоморфно
многообразию 1/(2, 2, ft)flSe; если G — группа
кватернионов, то Ss/G £ё 1/(2, 3, 3)П S8; если G — бинарная
группа тетраэдра, то S3/G ^ 1/(2, 3,4) П S8.
Для бинарной группы октаэдра с 48 элементами
пространство орбит C2/G изоморфно алгебраическому
многообразию, определяемому взвешенным
однородным уравнением
z\ + z\ + z2z\ = Q.
Наконец, для бинарной группы диэдра с 4k
элементами мы получаем алгебраическое многообразие
(Отметим, что в частном случае k = 2 это
алгебраическое многообразие изоморфно многообразию 1/(2,3,3).)
Мы рассмотрели все примеры (которые можно
получить с помощью конечных подгрупп группы SU(2)).
Замечание. Отметим, что все перечисленные
выше взвешенные однородные многочлены имеют тип
(аи #2, Яз), удовлетворяющий условию (1/а4) + (1/а2) +
+ (1/яз)>1- Предполагают, что при (1/ai) + (1/а2)+
+ (1/а3)^1 фундаментальная группа трехмерного
многообразия К = V Л Se бесконечна, а
универсальным накрывающим пространством этого многообразия
служит некоторая открытая трехмерная клетка.
Предполагают, кроме того, что эта бесконечная группа
является нильпотентной лишь при (l/#i) + (IMO +
+ (1/а3)=1. Для алгебраических многообразий Бри-
скорна 1/(3,3,3), 1/(2,4,4) и 1/(2,3,6) это имеет
место (см. Брискорн [3]).
§ 10. Классический случай.
Кривые в пространстве С2
В этом параграфе будет проведено сравнение
результатов алгебраической геометрии, касающихся
особых точек комплексной кривой,. с
соответствующими результатами теории узлов (см. Браунер [1],

86 $ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С-
Кэлер [1], Зарисский [1], Бурау [1] —[2], Рив [1]).
В частности, мы сравним многочлен Александера
зацепления К = V П 8г с характеристическим
многочленом Д(0> определенным в § 8, и докажем
равенство
26 = ц + г~ 1,
связывающее «число двойных точек» б в начале
координат с кратностью |л, изучавшейся в § 7, и
числом г ветвей кривой V, проходящих через начало
координат.
Пусть многочлен f (zb <г2) от двух комплексных
переменных, обращающийся в нуль в начале координат,
либо неприводим, либо является произведением
различных неприводимых многочленов. Множество
особенностей 2(У) кривой V = f"{(0) состоит из всех
точек кривой V, в которых
dZi 0*2
(см. лемму 2.5). Так как каждая неприводимая
составляющая кривой V содержит по крайней мере
одну простую точку, не лежащую ни на какой другой
неприводимой составляющей, отсюда следует, что
размерность множества особенностей 2(К) меньше
единицы и, следовательно, это множество конечно.
Поэтому начало координат является либо простой
точкой, либо изолированной особой точкой и, значит,
применимы результаты § 6—8.
Пусть г — число локально аналитических ветвей
кривой V, проходящих через начало координат (см.
лемму 3.3). Тогда пересечение K^Vf]S^ является
гладким компактным одномерным многообразием с г
компонентами, другими словами, является
зацеплением в трехмерной сфере Se (caj. следствие 2.9 и
теорему 2.10; зацепление £ одной компонентой
называется узлом).
Лемма 10.1. Если г=1, то характеристический
многочлен А (0» определенный в § 8, совпадает с
многочленом Александера узла К. Если г>2, то много-

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 87
член Д(?) связан с многочленом Александера Д(?1, ...
.,., tr) зацепления К равенством
±*'Д(*И(/-1)Д(*, ..., /)•
Наличие множителя ±t* объясняется тем, что
многочлен Д(^1, ..., tr) определен только с точностью до
множителя ± t\x ... i\T.
Доказательство леммы 10.1 будет дано в конце
параграфа.
Пример. Алгебраическое множество
г\ + zf - 0
состоит из р неособых ветвей, любые две из которых
пересекаются в начале координат, причем кратность
Рис. 5. Узел /С, отвечающий уравнению z\ + z\ = 0.
пересечения равна q. (Каждую ветвь можно
определить полиномиальным уравнением вида гх = ео<г|, где
о)р = —1.) Соответственно пересечение К = V П Se
является торическим зацеплением, состоящим из р
незаузленных окружностей, любые две из которых

88 § 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2
имеют индекс зацепления q (см. рис. 5, где изображен
случай р = 3, 9 = 2). Вычисления показывают, что
м* ,ч_ (('i--'p)«-i)p-1
А 1*1. •••■ lp)- (tl _ tp_X)
при условии, что /?^2. Следовательно,
д^" (V=T) *
и степень ц многочлена A(t) равна (р—1) (рд —1).
Это согласуется, конечно, с теоремами 9.1 и 9.6.
Расслоения дополнения узла были досконально
изучены Столлингсом и Нойвиртом1). Они
установили следующий результат.
Теорема Нойвирта — СтсУллингса. Для
ручного узла К в трехмерной сфере следующие три
условия эквивалентны:
(1) дополнение S3 \ К есть пространство
расслоения над окружностью, причем слой F является
связной поверхностью-,
(2) коммутант G' группы узла G = m{S3\K)
является свободной группой;
(3) коммутант G' является конечно порожденной
группой.
Далее, если узел К удовлетворяет этим условиям, то
(4) коэффициент при старшем члене многочлена
Александера узла К равен ±1, а степень этого
многочлена, скажем \х, равна рангу свободной группы G'\
(5) слой F является ориентируемой поверхностью
рода |х/2 с ровно одним краем2);
1) Аналогичные результаты для более высоких размерностей
были получены Браудером и Левином.
2) Другими словами, поверхность F можно получить из
компактной поверхности рода |л/2 удалением одной точки.
Доказательство того, что F,имеет только один край, основано на том
факте, что в противном случае надлежащим образом выбранное
конечное циклическое накрытие пространства S3\/C также
должно было бы иметь больще одного края, что невозможно.

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 89
(6) целое число \\J2 равно роду узла.
(По определению родом узла К называется
наименьший род, который может иметь ориентируемая
поверхность, натягиваемая на Л' в S3.)
Применяя теорему Нойвирта — Столлингса к
нашему расслоению, получаем
Следствие 10.2. Если только одна ветвь
комплексной кривой, V проходит через начало координат,
то К = УГ\ S8 является узлом
Нойвирта—Столлингса. Коммутант группы jti (S8 \ К) является свободной
группой ранга \it и род узла К равен роду jut/2
поверхности FQt натянутой на узел /С
(Отсюда немедленно вытекает, что это целое
число |л совпадает с кратностью нуля \х из теоремы 7.2.)
Замечание. Не каждый узел Нойвирта —
Столлингса можно получить таким способом. Например,
«восьмерка» *) (4i в таблице Александера — Бригга)
является узлом Нойвирта — Столлингса, но не может
быть получена как узел V П Se комплексной
особенности, так как его многочлен Александера t2 — 3/ + 1
не является произведением циклотомических
многочленов (ср. со сказанным в § 9).
Не пытаясь доказывать здесь теорему Нойвирта —
Столлингса, я только намечу ход рассуждений в
легкой части ее доказательства, а именно в
доказательстве того, что
(1)=>(2)=МЗ), (4).
Если SZ\K расслаивается над S1 со связным слоем F,
то из точной последовательности
я2 (S1) -> щ (F) -* щ (S3 \ К) -> Щ (S1) -* 1
следует, что группу Ui(F) можно отождествить с
коммутантом G' группы G = m(S3\K). Поскольку
фундаментальная группа любой открытой поверхности
свободна, тем самым доказана импликация (1) г^ (2).
Пусть G"— коммутант группы G'. Согласно Рапа-
1) Этот узел называют также узлом Листинга или
четырехкратным узлом. — Прим. перевг

90 § 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2
порту и Кроуэллу, для коммутанта G' группы узла G
группа G'\G,r является свободной абелевой группой
конечного ранга1). Следовательно, (2) :ф (3).
Фактически Рапапорт и Кроуэлл показали, что ранг
группы Q'tQ" равен степени многочлена Александера; но
группа G'jG" является конечно порожденной, только
если коэффициент при старшем члене многочлена
Александера равен ±1. Следовательно, (2) гф (4).
Посмотрим теперь на нашу особую точку с точки
зрения алгебраической геометрии. Любой особой
точке z кривой V а С2 соответствует целое число 6Z>0,
которое интуитивно есть число двойных точек
кривой V вблизи точки z (см. замечание 10.9). Точное
определение числа 6Z читатель может -найти в книге
Серра [1], стр.84.
Для наших целей это целое число 6Z можно
охарактеризовать следующими двумя свойствами.
Свойство 10.3. Целое число 6Z является
локально аналитическим инвариантом. Другими словами,
если комплексный аналитический гомеоморфизм,
определенный в некоторой открытой окрестности точки z,
переводит кривую V локально в некоторую другую
алгебраическую кривую V, а точку z переводит в
точку z', то число б2 (V) равняемся числу б2/ (У7)-£>ак™-
чески то же самое верно, если кривая V получена из
V с помощью замены координат, задаваемой
формальными степенными рядами.
Свойство 10.4. Если Г—неприводимая кривая
степени d и рода g в комплексной проективной
плоскости, то
■£-(*-1)0-2)-* +Ж,
где суммирование производится по всем особым
точкам z кривой Г.
Эти два свойства доказаны Серром ([1], стр. 84
и 92 соответственно).
" i
1) Рангом свободной абелевой группы называется
максимальное число независимых элементов.

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 91
Замечание. «Род» кривой в смысле
алгебраической геометрии — это некоторый инвариант поля
рациональных функций, который на первый взгляд
совершенно отличен от топологического «рода». Но
известная классическая теорема утверждает, что эти
два определения совпадают в случае неособых
комплексных кривых (см., например, Спрингер [1] или
Шевалле [1]).
Теорема 10.5. Предположим, что через начало
координат проходит г ветвей кривой V. Тогда целое
число б = бо (V) связано с кратностью \х,
определенной в § 7, равенством
26 = ц + г— 1.
В частности, при г = 1 имеем 26 = ji, т. е. б
равняется роду узла К = V Л S8.
Замечание. Утверждение теоремы 10.5 чисто
алгебраическое и, несомненно, является верным для
кривых над другими полями характеристики нуль. Но
мы приведем ниже топологическое доказательство,
применимое лишь к случаю поля комплексных чисел.
Доказательство теоремы 10.5. Пусть
f(zi> zz)—образующая идеала многочленов,
обращающихся в нуль на V. Если степень многочлена
f(zu z2) равна d, то соответствующее однородное
уравнение
«'(*-• I-)-0
определяет кривую V в комплексной ^проективной
плоскости, причем пересечение кривой V с конечной
плоскостью С2 совпадает с кривой V.
Случай 1. Предположим, что пополненная
кривая F является неприводимой и не имеет других
особых точек, кроме первоначальной особой точки Ое^
Согласно формуле Плюккера (см. свойство 10.4),
j(d-l)(d-2) = £ + 6, (I)
где gf — род кривой V и б = бо(У).

92 § 10. Классический случай. Кривые в пространстве С
Выберем теперь малое число с и обозначим через
Vc алгебраическое многообразие
{(Zl, 22)1/(2!, Z2) = C}.
Из теоремы Сарда или из теоремы Бертини следует,
что кривая Vc не имеет ни одной особой точки для
почти всех с. Ясно, что пополненное алгебраическое
многообразие Vc также не имеет особых точек и,
следовательно,
l(d-l)(d-2)-gc. (2)
где gc— род алгебраического многообразия Fc.
Вычитая (1) из (2), получаем
6 = gc-£. (3)
Посмотрим теперь на топологию нашей ситуации.
Напомним, что кривая V трансверсально пересекает
некоторую подходящую сферу S8 по гладкому
многообразию /С, состоящему из г непересекающихся
окружностей. Если с достаточно мало, то очевидно,
что Vc также трансверсально пересекает сферу Se,
причем их пересечение Кс также состоит из г
непересекающихся окружностей.
Напомним (см. теорему 5.11), что пересечение
кривой Vc с открытым е-диском диффеоморфно
слою FQ. Таким образом, многообразие с границей
Vc П De связно и его первое число Бетти равно |л,
а эйлерово число равно
Х(УсПЯе)-1-|А.
Так как объединение многообразий Vc П D8 и
Fc\intDe совпадает с Vc, а пересечение совпадает
с Кс, то эйлерово число 2 — 2gc многообразия Vc
должно равняться числу
% {Ус П Я.) + % (Vc \ int De) - х Ю.
Следовательно,
2-2gc=l-\x + %(Vc\intDe). (4)
Прежде чем_делать аналогичные вычисления для
рода g кривой V, нам надо выбрать какую-нибудь нз-

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 93
особую модель, скажем Г, для особой кривой V.
Таким образом, Г является неособой проективной
кривой (быть может, в проективном пространстве более
высокой размерности), для которой существует
отображение Г—»7, являющееся взаимно однозначным
всюду, за исключением г различных точек кривой Г,
которые переходят в одну особую точку кривой V.
Следовательно,
2-2g-x<T)-%{V) + r-l.
Представляя V в виде объединения двух
подмножеств VHDe и F\in^De с пересечением К и
замечая, что пространство V П Ог стягиваемо согласно
теореме 2.10, мы получаем, что
x(V)=l+%(V\intD&)
и, значит,
2-2g = %(V\MDs) + r. (5)
Очевидно, многообразие (F\intZ)8) диффеоморфно
многообразию (Fc\intZ)e), если с достаточно мало.
Поэтому, вычитая (4) из (5) и сравнивая результат
с (3), мы приходим к исходной формуле
26 = 2(ge~g)~\i + r-l9
чем и завершается рассмотрение случая 1.
С_лучай 2. Предположим что проективная
кривая V приводима или имеет другие особые точки,
кроме начала координат 0 = (0, 0, z0).
Модифицируем многочлен f(zu z2), добавив к нему
однородный многочлен
h (z) = c0ze{ + cxz\'xz2 + ... + cez\
степени^ > d. Пусть V— кривая f{zu z2) + h(zuz2)=0
в С2 и V — соответствующая проективная кривая
*${z\lzv z2lzo) + h(zi> z2)==0-
Докажем две леммы.

94 § 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2
Лемма 10.6. Если степень е поправочного члена h
достаточно велика, то целые числа 6', \х\ г',
отвечающие особой точке 0 кривой V, равны
соответственно целым числам б, \х, г, отвечающим особой точке О
кривой V.
Лемма 10.7. Если е достаточно велико, то почти
для каждого выбора комплекснььх коэффициентов с0,
си ... , се проективная кривая V неприводима и не
имеет никаких других особых точек, кроме начала
координат z\ = z2 = 0.
Комбинируя эти леммы, мы, очевидно, получаем
доказательство теоремы 10.5. Действительно,
согласно случаю 1, имеет место равенство
26' = |i' + r'-l,
откуда, очевидно, вытекает равенство
26 = н, + г- 1.
Доказательства лемм 10.6 и 10.7 основаны в свою
очередь на следующей лемме.
Лемма 10.8. Пусть f и g— комплексные1)
аналитические функции от m переменных. Если f имеет
изолированную критическую точку в ндчале
координат и если функция g — / имеет в начале координат
нуль достаточно высокого порядка, то существует
формальный степенной ряд вида
w(z) = z + ^&jkZjZk + (члены высших порядков),
такой, что
/(w(z)) = g(z).
Замечание. Джон Мезер доказал намного
более сильное утверждение, что ряд w(z) можно
выбрать сходящимся (неопубликовано). Этот результат
1) Соответствующее утверждение для вещественных функций
неверно, например для / {х{) Х2) = {х2{ + л|)2.

§ JO, Классический случай. Кривые в пространстве С2
95
гораздо более подходил бы для наших *) целей, но я
докажу лишь более слабое утверждение,
сформулированное выше.
Доказательство леммы 10.8. Так как
аналитические уравнения
дгх ' ' dzm
определяют аналитическое множество с
изолированной точкой в начале координат, то из локально
аналитического варианта теоремы о нулях следует, что
некоторые степени zkJ /-й координатной функции zj
принадлежат идеалу, натянутому на df/dziy ..., df/dzm
в кольце локально сходящихся степенных рядов
(см. Ганнинг и Росси [1]). Полагая k = ki + ... + kmy
мы видим, что любой одночлен z[l ... zfy степени
i\ + ... + tm>^ принадлежит этому идеалу.
Перейдем теперь к кольцу С [[zu ... zw]]
формальных степенных рядов. Элементы этого кольца будем
обозначать символами f = /(z). Пусть / —
максимальный идеал, натянутый на zb ..., zm. Из предыдущих
рассуждений вытекает следующее
Утверждение. Если е>k, то любой элемент
идеала Iе можно представить в виде линейной
комбинации df „
й1Ж+ ••'+am~o4Z
*)# Примечание В. И. Арнольда. Вероятно, первое
доказательство этого факта принадлежит Тужрону. Сейчас известно по
меньшей мере 5 разных доказательств (в аналитическом и в
бесконечно дифференцируемом вариантах):
Tougeron J. CI. Ideaux de fonctions differentiables, These,
Universite de Rennes, 1967.
Арнольд В. И., Особенности гладких отображений, УМН%
23 (1968), Щ 1,3-44.
С а м о й л е н к о А. М., Об эквивалентности гладкой функции
полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного
типа, Функц. анализ и его приложения, 2 (1968), №_ 4, 63—69.
Mather J., Stability of C*> mappings, III. Finitely
determined map-germs, Publ. Math. Inst Hautes Ft. §cL, № 35, 1968.
[Русский перевод: Математика, 14:1 (1970), 146—175.]
A r t i n M., On the solutions of analytic equations, Inventions
Math., 5 (1968), 277—291. - ~

96 § 10. Классический случай. Кривые в пространстве С
с коэффициентами
Допустим, что f = g mod /2ft+1. Положим
где ale=/fe+1, и рассмотрим ряд Тэйлора функции
/(z + sl1{z)) в точке z:
f (z + а1 (z)) = f (z) + 2a) (z) df/d*, +
+ \Ъа\ (z)a) (z) а2^ <Эг7 + ... = g (z) mod /2*+2.
Будем рассуждать по индукции. Предположим,
что мы нашли элементы
такие, что
f (z + а1 (z) + ... + а' (z))» g (z) mod Л*+*+1.
Обозначим левую часть этого равенства через f (z).
Рассуждая, как и выше, получаем, что существуют
элементы &/e/fe+s+1, такие, что
Р (Z + Ь (Z)) в g (Z) mod /2fe+25+2e
Полагая
a5+1(z) = b(z)+ S (aHz + b(z))-av(z)),
находим, что
f (z+a4z)+ ... +as+1(z)W((z+b(z))+a1 (z+b(z))+ ...
... + a* (z + b (z))) - p (z + b (z)) - g (z) mod Я*+*+2#
Поскольку"а?+1^)^ /fe+s+1, индуктивный шаг завершен.
Переходя теперь к пределу при s-*oo, получаем
искомое равенство
f(z + a1(z) + a2(z)+...)-g(z).
Лемма 10.8 доказана.

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С* 97
Доказательство леммы 10.6. Равенство 6' =
= б вытекает непосредственно из леммы 10.8 и
свойства 10.3. Равенство г' = г также следует из леммы
10.8, ибо «ветви» алгебраической кривой можно
определить в терминах параметризаций, задаваемых
формальными степенными рядами (см., например, Ван
дер Варден [2], стр. 52).
Для доказательства равенства \l' = \i мы
привлечем несколько иные соображения. Мы проведем
доказательство для функций от m переменных, так как
это не вносит дополнительных трудностей. Поскольку
вещественная алгебраическая функция ||grad/||2 имеет
изолированный нуль в начале координат, то из
неравенства Хёрмандера и Лоясевича следует, что эта
функция отделена от нуля некоторой степенью
функции ||z||, скажем
||gred/(z)||>£?||z|f>0f
где 0 < ||z|] -^e. (Последнее неравенство можно также
получить с помощью локально аналитического
варианта теоремы о нулях.)
Далее, если степень однородного многочлена h не
меньше г + 2, то
II pad Л (*) К'II* If
для достаточно малых z. Используя принцип Руше,
отсюда легко вывести, что степень \х' отображения
ld(f + h) d(f + h)\
\ бгх dzm )
на сфере Se равна степени ц отображения
(4L JL)
IIU*i dzj\\
4 Дж5 Милн op

98 § 10г Классический случай. Кривые в пространстве С
на сфере 5е (см. дополнение В), чем и завершается
доказательство леммы 10.6.
Доказательство леммы 10.7. Если степень е
однородного поправочного многочлена >d, то из
теоремы Бертини непосредственно вытекает, что
видоизмененная кривая V' не имеет других особых
точек, кроме начала координат, для почти всех
наборов коэффициентов (ср. Ван дер Варден [2],
стр. 201).
Предположим, что модифицированный многочлен
f(zi, £2) + h{zu z2) приводим и разлагается в
произведение двух сомножителей степеней di и d2, d\ + d2 =
= <?. По теореме Безу две соответствующие
проективные кривые должны пересекаться, с полной кратностью
пересечения, равной d{d2.
Эти кривые могут пересечься л^шь в начале
координат, так как их объединение V не имеет других
особых точек, кроме начала координат. Но кратности
пересечения в 0, очевидно, являются инвариантами
при замене координат, задаваемой формальными
степенными рядами. Поэтому из леммы 10.8 следует, что
г ветвей кривой V, проходящие через начало
координат, можно разделить на два подмножества с
кратностью пересечения, равной did2>e—1. Для
достаточно больших е это, очевидно, невозможно; значит,
многочлен f(Zi, z2) + h(zu z2) должен быть
неприводимым. Этим завершается доказательство леммы 10.7
и теоремы 10.5.
Замечание 10.9. Было бы хорошо иметь
лучшую топологическую интерпретацию целого числа б.
Можно показать, что зацепление К = V П Se
ограничивает набор г гладких двумерных клеток в диске Z)8,
не имеющих других особенностей, кроме б обычных,
двойных точек. Вопрос: не равняется ли б числу пере*
сечений зацепления К, т. е. наименьшему возможному
числу самопересечений зацепления К в процессе
гладкой деформации, переводящей К в набор г неза-
цепленных и незаузленных окружностей (ср. Вендт

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 99
Замечание 10.10. В случае г= 1 имеется явная
формула для б. Запишем кривую V локально с
помощью степенных рядов относительно параметра w:
z2 = Л^0» + %2wa2 + X3wa* + ... ,
где показатели а;- — положительные целые числа с
наибольшим общим делителем единица, причем at <
< 02 < #з < ... и ни один из коэффициентов Xj не
равен нулю (см. лемму 3.3). Обозначим через Dj
наибольший общий делитель чисел {а0, аи ... , яы), так
что а0 = D{ > D<^ ... ^Dk = 1 для достаточно
больших k. Тогда
11 = 2б=2(а/-1)ф/-/)/+1).
Доказательство этой формулы мы опустим.
В случае г > 0 целое число б может быть
представлено в виде суммы
б в 6(1) + • . . + б(г) + 2 &ih
где 6(1)^0 — целое число б, соответствующее i-и
ветви, а 6ц— кратность пересечения 1-й и /-й ветвей.
(Таким образом, б > г (г — 1) /2 и, следовательно,
[Х = 28-г+ 1> (г—I)*.)
Замечание 10.11. Следуя Бурау и Кэлеру,
дадим несколько более точное описание узла /С.
Указанную выше параметризацию кривой V всегда можно
выбрать так, чтобы ао < а4. Поэтому К является так
называемым сложным кабельным узлом, который
может быть построен следующим образом. Начиная с не-
заузленной окружности Ко, выберем какой-нибудь
узел Ki в границе трубчатой окрестности
окружности /(о, затем выберем какой-нибудь узел Кг в границе
трубчатой окрестности узла Ki, и т. д.; построение
повторяется столько раз, сколько имеется ненулевых
слагаемых в приведенной выше формуле для \х = 26.
4*

ICO § 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2
В заключение параграфа приведем доказательство
леммы 10.1. Напомним сначала определение
многочлена Александера зацепления. (Для г>2 это
определение введено Фоксом.)
Пусть G — некоторая группа и X — связный
комплекс с фундаментальной группой G. Любая
нормальная подгруппа N czG определяет регулярное
накрытие X с щ{Х) = N. Пусть Х° — отмеченная точка в X
и Хо — ее полный прообраз в X. Тогда группу
гомологии Ht(X, Х°) можно рассматривать как модуль над
целочисленным групповым кольцом Z[GjN] группы
преобразований накрытия. С точностью до
изоморфизма этот модуль зависит только от G и N.
В частности, если G — группа с р образующими
и q соотношениями, то мы можем взять в качестве X
двумерный комплекс с одной вершиной, имеющий
ровно р одномерных клеток, по одной на каждую
образующую, и ровно q дзумерных клеток, по одной на
каждое соотношение. Точная последовательность
Я2(Х, Р)->НХ(Х\ X°)-*#i\X, Х°)-*0,
где первые два модуля свободны, показывает тогда,
что модуль Hi(X,X°) может быть представлен как
модуль с р образующими и q соотношениями. (Здесь
через Xх обозначен одномерный остов комплекса X.)
Если группа преобразований накрытия G/N
коммутативна, то (р — i)X(p — 0 -миноры
соответствующей матрицы соотношений порождают идеал
9^ czZ[G/N]9 который является инвариантом модуля
Hi(X, XQ) (см. Цассенхауз [1]). В частности,
определены идеалы %Т> где G' — коммутант группы G.
Если G — группа узла и N =* G', то порядковый
идеал <%о' равен нулю, &f является главным
идеалом. Образующая идеала Sf называется
многочленом Александера узла.
Если G — группа зацепления сг>2
ориентированными компонентами, то группа GjGr является
свободной абелевой группой с образующими tu ... , tr,
соответствующими различным компонентам. В этом слу-

§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 101
чае идеал 8%' также равен нулю, а идеал #р' равен
основному идеалу (U—1, ... , tr—1),
помноженному на некоторый главный идеал. И в этом случае
образующая главного идеала называется
многочленом Александера.
Чтобы доказать лемму 10.1, нам надо изучить
бесконечное циклическое накрытие Е дополнения Е =
= S8 \ К, определяемое универсальным накрытием
базы S1. Это накрытие отвечает некоторой
нормальной подгруппе N группы G = jti(S8\/(). Очевидно,
естественный гомоморфизм
Z[G/G']-*Z[G/N]
отображает все образующие tu ... , U группы G/G'
в одну-единственную образующую, скажем t,
группы GJN. Ясно, что идеалы
g?c:Z[G/N]
являются образами при этом гомоморфизме
соответствующих идеалов #?_. В частности, при г > 2 идеал
должен отображаться на &\, следовательно,
*?-((<-1)Д0, ..., 0).
Рассмотрим теперь точную последовательность
0 -> Н{Ё -> Нг (Ё ,£г°) —* Н0Ё° -* Н0Ё -> 0
(см. Кроуэлл [1]). Легко проверить, что Н0Е°
является свободным ZtG/Afl-модулем с одной
образующей, скажем |, a dH{ (Е, Е°) — свободным
подмодулем, порожденным элементом (t—-1)£.
Следовательно,
НХ(Ё9 &)^HXE®Z[QIN\.
Отсюда видно, что первый элементарный идеал
8?{Нг(Ё, Я°))-((*-1)А(/, ..., 0)
равен порядковому идеалу &q (#i£)«

102 § //. Теорема о расслоении для вещественных особенностей
Но этот порядковый идеал, очевидно, натянут на
характеристический многочлен А(0 линейного
преобразования, переводящего каждый элемент а свободной
абелевой группы #i2?£E#iFe в *#(<*) (см. замечание
8.6). Таким образом, мы получаем искомую формулу
((/-1)Д(*, ..., *))-(Д(*))
для случая г>2.
Случай г s= 1 совершенно аналогичен.
§11. Теорема о расслоении
для вещественных особенностей
- Пусть t:Rm^Rk — полиномиальное отображение,
переводящее начало координат в начало координат
и удовлетворяющее следующему условию:
Условие 11.1. Существует окрестность U начала
координат в Rm, такая, что матрица (dfi/dxj) имеет
ранг k во всех точках xg[/, кроме точки х = 0.
Отсюда следует, что уравнения
Мх)-...-МхН0
определяют алгебраическое множество V, являющееся
гладким многообразием размерности m — k всюду в
£/П (У\ {0}). Далее, для малых е пересечение
д; == у [\ s™~{ является гладким многообразием
размерности m — k—1 (см. следствие 2.9; заметим, что К
может быть пустым).
Предположим теперь, что k > 2.
Теорема 11.2. Дополнением открытой трубчатой
окрестности многообразия К в S™~~] является
пространство гладкого расслоения над сферой S*-1,
каждый слой F которого есть гладкое компактное (т —
— k) -мерное многообразие с границей, диффеоморф-
ной многообразию К.
Доказательство. Используя следствие 2.9
или лемму 3.1, можно проверить, что начало коорди-

§ П. Теорема о расслоении для вещественных особенностей 103
нат в Rk является регулярным значением
отображения
i\S?~l: S?-*->Rk.
Следовательно, существует малый диск D^czRk, со*
стоящий исключительно из регулярных значений.
Отсюда вытекает, что прообраз
r-freSr'lllftolKtf
расслаивается над D\ с общим слоем К (см. Эрес-
манн [1]). Так как базисное пространство расслоения
стягиваемо, отсюда следует, что многообразие Т диф-
феоморфно произведению К X D\. Далее мы будем
отождествлять многообразие Т с трубчатой
окрестностью многообразия К в Sf"1.
Рассмотрим теперь множество Е = D?(]t~l(S^1)
(см. рис. 6), Заметим, что Е . является гладким

104 § 11. Теорема о расслоении для вещественных особенностей
многообразием с дЕ = дТ. Рассуждения, сходные
. с рассуждениями Эресманна, показывают, что
отображение
f|£: E-^S^1
также является проекцией гладкого расслоения,
общий слой
Fy-D?nr!(y)
которого является компактным многообразием с
границей
dFy^sr'fir'M,
диффеоморфной многообразию К (поскольку К
является слоем расслоения T->D^).
Лемма 11.3. Пространство E = D?(\rl (sjf1)
расслоения f: E-+S\~l диффеоморфно дополнению
{S?~l \intf) открытой трубчатой окрестности.
Другими словами, Е диффеоморфно
многообразию £', состоящему из тех точек х е Sf~ , для
которых l|f(x)||><n.
Доказательство леммы 11.3 аналогично
доказательству леммы 5.10. Сначала нужно построить
векторное поле v(x) на D™\ V так, чтобы евклидовы
скалярные произведения (v(x),x) и (v(x), grad||f(x)||2)
были оба положительными. Это возможно, так как
векторные поля
grad || ff (x) |р и 2x = grad||x|p
отличны от нуля всюду в Df \V и по следствию 3.4
ни в одной точке не имеют противоположных
направлений.
Двигаясь теперь вдоль траекторий векторного
поля v, мы диффеоморфно отобразим Е на Ег, чем
лемма 11.3 и доказана.
Таким образом, дополнение Е' открытой трубчатой
окрестности многообразия К в Sf""1 также может
быть расслоено над StT • Этим завершается
доказательство теоремы 11.2.

§ 11. Теорема о расслоении для вещественных особенностей 105
Замечание. Несколько больше постаравшись,
можно доказать, что и.все дополнение Sf~ \K
также расслаивается над S*"1, причем каждый слой
этого расслоения является внутренностью компактного
многообразия с границей К.
Однако утверждение о том, что естественное
отображение
f(x)
Х II f (х) ||
из Sf-1 \ К в Sft_1 является проекцией некоторого
расслоения, уже неверно. [Это непосредственно видно
на примере отображения
f(xp x2j=(x{y x\ + x2(x\ + xl))]
Заметим, что по любому полиномиальному
отображению Rm — Rh, удовлетворяющему условию 11.1,
можно, взяв его композицию с проекцией /?ft—>/?ft~1,
построить новое отображение Rm -* /?Л-1, очевидно,
также удовлетворяющее условию 11.1.
Гипотеза. Слой расслоения, связанного с этим
новым отображением, гомеоморфен произведению
старого слоя на единичный отрезок.
Основным недостатком теоремы 11.2 является то,
что ее предположения настолько сильны, что очень
трудно найти примеры, им удовлетворяющие.
Задача. Для каких размерностей т>#>2
существуют нетривиальные примеры?
Не совсем ясно, что надо здесь понимать под
словом «нетривиальный». Несомненно, что
проекция f(*i, ..., xm) = (xu ..., xm) — это тривиальный
пример. Вот пробное определение: будем называть
пример тривиальным тогда и только тогда, когда
слой F расслоения Ef-*Sk^i диффеоморфен
диску Dm~fe. (Отсюда вытекает, что многообразие К,
изотопное dF в Sf~\ должно быть незаузленной
сферой.)

1C6 § 11. Теорема о расслоении для вещественных особенностей
. Много нетривиальных примеров имеется для k =
== 2. Действительно, каждое расслоение из § 6 дает
такой пример: всякий комплексный многочлен f(zu ...
..., zm) с изолированной критической точкой в
начале координат определяет полиномиальное
отображение R2*™-> R?, очевидно удовлетворяющее уело*
вию 11.1.
Задача. Существуют ли другие, принципиально
отличные примеры для k = 2? Можно ли, например,
восьмерку (узел Листинга) рассматривать как
пересечение V П 5е, связанное с полиномиальным
отображением Rb-+R2? Имеются ли нетривиальные примеры
для нечетных m и k = 2?
Можно предположить, что если m < 2 (k — 1), то
все примеры тривиальны. (В противоположность
этому для m = 2{k— 1) = 4, 8 и 16 мы приведем ниже
нетривиальные примеры, принадлежащие Кюиперу.)
Лемма 11.4. Если m<2(k—1), то слой F
стягиваем.
Доказательство. Сферу Se1""1 можно
получить из подпространства E' = S™~{ \ int T
присоединением ряда клеток размерности > k, по одной
(k + i) -мерной клетке на каждую t-мерную клетку
многообразия К. Следовательно,
для i^k — 2.
Так как расслоение E'-^S4"-1 имеет сечение
5ft_1 -> dEr cz E\ отсюда следует, что точная
последовательность
О -> ntF -> щЕ' -* ntSk-1 -> О
расщепляется. Следовательно, слой F также (k — 2)-
связен.
Предположим, что m<2(k—1). Тогда &>3 и,
следовательно, слой Е односвязен. Как и з след-

§ 11. Теорема о расслоении для вещественных особенностей 107
ствии 6.2, существует изоморфизм двойственности
Александера
Отсюда следует, что если размерность m — k слоя F
меньше (т — 2)/2, то слой F имеет гомологии точки.
А односвязное пространство с гомологиями точки
стягиваемо.
Поскольку условие m — k<(m — 2)/2
эквивалентно условию т< 2(&—1) леммы 11.4, наше
доказательство завершено.
Таким образом, если т< 2(&—1), то слой ^стя-
гиваем, а отсюда легко следует, что К является
гомологической сферой. Если размерность m — k слоя F
не превосходит двух, то слой F является фактически
клеткой, и расслоение E/-^Sk~i в этом случае
является тривиальным примером. Но для m — k > 3 я
уже не могу доказать, что F является клеткой, а для
m — k > 4 я не могу доказать, что многообразие К
является односвязным.
Далее я покажу, что К не может быть
экзотической или заузленной сферой, если k > 3, a m — k > 6.
Лемма 11.5. Если коразмерность &>3 и К
является гомологической сферой, то слой F стягиваем.
Таким образом, действительно, если К является
гомологической сферой размерности пг — k — 1 > 5,
то, как следует из работ Смейла, слой F диффеомор-
фен диску, и, следовательно, мы опять получаем
тривиальный пример расслоения. Не знаю, верно ли это
для m — k — 1 = 2, 3, 4.
Доказательство. Как было показано при
доказательстве леммы 11.4, слой F является (k — 2)-
связным. Поскольку К является гомологической
{пг— k— 1)-мерной сферой, отсюда в силу
двойственности Александера следует, что пространство Е'
является гомологической (k —- 1) -мерной сферой.
Используя последовательность Вана
...Hf-* Hk^F -> Н^Е' -* HQF ->Hb-2F-+...

108 § П. Теорема о расслоении для вещественных особенностей
нашего расслоения, легко теперь показать, что слой F
имеет гомологии точки, чем и завершается
доказательство.
В заключение параграфа я приведу некоторые
примеры, принадлежащие Кюиперу. Прежде всего
покажем, что расслоения Хопфа S2?-1-^?, p — 2, 4, 8,
могут быть получены с помощью теоремы 11.2 (ср.
Баум [1]).
Пусть А — множество комплексных чисел,
кватернионов или чисел Кэли. Определим отображение
/: АХА-+А XR
формулой
f(xyy) = (2xy, Ы2-|*|2)."
Лемма 11.6. Отображение f переводит единичную
сферу пространства А X А в единичную сферу про-
странства А X R, и ограничение этого отображения на
единичную сферу пространства А X А совпадает с
классическим расслоением Хопфа.
Доказательство. Тождество
||/(A:,y)|p = |2^|2 + (|t/|2-U|2)2 = (U|2 + |f/|2)2
показывает, что f переводит единичную сферу
пространства Ах А в единичную сферу пространства
А X R. Рассмотрим теперь композицию отображения f
со стереографической проекцией
которая диффеоморфно переводит единичную сферу
пространства Лх^с выколотой точкой (0,-1) на А.
Имеем
г/ ч 2xg 2ху _ j
(при условии, что |#|2+ |{/|2= 1).
Сравнивая эту формулу с явным определением
расслоения Хопфа (см. Стинрод [1], стр. 128—134), мы

§ 11. Теорема о расслоении для вещественных особенностей 109
видим, что ограничение отображения f на единичную
сферу совпадает с расслоением Хопфа.
Теперь можно описать примеры Кюипера. Пусть А
определено, как выше. Зададим отображение
/: АпХ Ап~*А XR
формулой
f(x?y) = (2(x,y), II у IP - II х |р),
где скобки обозначают эрмитово скалярное
произведение в Ап. Для того чтобы проверить, что матрица
первых (вещественных) производных имеет
максимальный ранг в каждой точке, отличной от начала
координат (0, 0), достаточно, очевидно, рассмотреть случай
л=1. Но для п = 1 это утверждение легко вытекает
из леммы 11.6 и того факта, что отображение f
однородно (степени 2) над вещественными числами.
Таким образом отображение f удовлетворяет
условию 11.1. Заметим теперь, что f отображает векторное
пространство вещественной размерности 4/г, 8п или
Ion в векторное пространство размерности 3, 5 или 9
соответственно. База соответствующего расслоения
является сферой размерности соответственно 2, 4 или 8,
Многообразие К в этом примере Кюипера является
многообразием Штифеля 2-реперов в Ап, а слой F
диффеоморфен пространству расслоения на диски
над единичной сферой пространства Л71, состоящему
из всех пар (х, у)еЛпХЛп, таких, что
11х||=1, ||у||<1 и (х,у> = 0.

ДОПОЛНЕНИЕ А
ТЕОРЕМА КОНЕЧНОСТИ УИТНИ
ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ
В этом дополнении дается доказательство (лишь
незначительно отличающееся от доказательства
самого Уитни) теоремы 2.4, которая утверждает, что
разность V \ W вещественных или комплексных
алгебраических множеств имеет самое большее конечное
число топологических компонент.
Достаточно будет рассмотреть вещественный
случай, так как любое комплексное алгебраическое
множество в Ст можно представить как вещественное
алгебраическое множество в /?2т.
Замечание. Если V — комплексное
неприводимое множество, то имеет место более сильное
утверждение, а именно что множество V\W связно (см.
Лефшец [1], стр. 97).
Доказательство основано на следующем. Пусть
V—алгебраическое множество в m-мерном
координатном пространстве над любым бесконечным полем,
и пусть fu ..., fm — многочлены, обращающиеся в
нуль всюду на V.
Лемма А. 1. Если матрица (dfi/dxj) невырождена
в точке х° е V, то дополнение V \ {х0} является
алгебраическим множеством.
В вещественном случае отсюда следует, конечно,
что х° есть изолированная точка множества V.
(Однако обратное неверно: см. пример 2 из § 2.)
Доказательство. Мы можем предположить,
что х° = 0. Так как многочлен fj обращается в нуль в
начале координат, то нетрудно подобрать многочлены
gjk, такие, что
// W - itl W *!+.... + 8lm (х) *«•

Дополнение А. Теорема конечности Уитни 111
Обозначим через W алгебраическое множество,
состоящее из всех точек хеУ, удовлетворяющих поли-
номиальному уравнению
det(erM(x))-0.
Начало координат не принадлежит множеству W, так.
как матрица
(^)-to,*.»
невырождена. Но, как показывает соотношение
линейной независимости
0\ /£ц(х)\ /glmto
gml(x)/ \ gmm{*)>
det (gfjft (x)) = О в любой точке х Ф О множества V.
Таким образом, V\{0} = W, и следовательно, V\{0}
является алгебраическим множеством.
Ограничимся теперь случаем поля вещественных
чисел R.
Следствие А.2. Если алгебраическое множество
V с Rm имеет топологическую размерность нуль
(например, если V состоит лишь из изолированных точек),
то V является конечным множеством.
Доказательство. Пусть fu ..., /^ —
образующие идеала I{V). Достаточно показать, что каждое
нульмерное алгебраическое множество V содержит по
крайней мере одну точку х°, в которой матрица
(ofi/dxj) имеет ранг т. Действительно, тогда согласно
лемме АЛ точку х° можно выбросить, в результате
чего мы получим собственное алгебраическое
подмножество Vt = V\{x0}. Повторяя этот процесс, мы
построим цепь
вложенных алгебраических подмножеств. Поскольку,
согласно утверждению 2Л, каждая такая цепь должна

112 Дополнение А. Теорема конечности Уитни
оборваться, отсюда и будет следовать, что
множество V конечно.
Но если матрица (dfi/dxj) имеет ранг самое
большее р «< m — 1 во всех точках множества V, то по
теореме 2.3 множество V содержит гладкое
многообразие К\2(К) размерности m — р>1, а это
противоречит предположению, что V имеет топологическую
размерность нуль, чем и завершается доказательство
следствия А.2.
Лемма А.З. Всякое неособое алгебраическое
множество VczRm имеет гомотопический тип конечного
комплекса.
Доказательство. Для любой фиксированной
точки aei?m обозначим через
функцию, сопоставляющую точке х квадрат ее
расстояния от точки а:
га(х)Ч1х-а|р.
Лемма Андреотти и Франкеля утверждает, что для
почти всех точек а функция га на V имеет лишь
невырожденные критические точки.
Пусть Г cz V — множество всех критических точек
функции г а. Согласно лемме 2.7, Г является
алгебраическим множеством. Но невырожденные критические
точки, очевидно, изолированы, поэтому, согласно
следствию А.2, Г есть конечное множество.
Элементарные рассуждения показывают теперь,
что множество V имеет лишь конечное число
компонент. Действительно, каждая компонента V<»)
множества V должна пересекаться с множеством
критических точек Г, ибо расстояние от точки а до точек
замкнутого множества VW достигает минимума в
некоторой точке х и очевидно, что эта ближайшая
точка х принадлежит множеству Г.
Итак, множество V может иметь лишь конечное
число компонент.
С другой стороны, согласно основной теореме
теории Морса, многообразие V гомотопически эквива-

Дополнение А. Теорема конечности Уитни 113
лентно клеточному комплексу, у которого имеется по
одной клетке на каждую критическую точку
невырожденной собственной неотрицательной функции г а
(см. Милнор [2], § 3.5 и 6.6). Таким образом,
конечность множества Г влечет за собой значительно более
сильное утверждение, что V имеет гомотопический тип
конечного комплекса. Лемма доказана.
Следствие А.4. Пусть W — алгебраическое
подмножество, содержащее множество особых точек 2(F).
Тогда для любого вещественного алгебраического
множества V множество V \ W имеет гомотопический
тип конечного комплекса.
Доказательство. Пусть подмножество W
определяется полиномиальными уравнениями /i(x) = ...
... = fh(x) = 0. Полагая
5(хНА(х)2+...+Мх)2,
мы видим, что W может быть также определено од-
ним-единственным *) полиномиальным уравнением
5(х)-0.
Пусть теперь G — график вещественной
рациональной функции 1/5, определенной на V. Другими
словами, G — это множество всех пар
{x,y)eVxRc:Rm+l,
для которых s(x)y = 1.
Очевидно, G является алгебраическим множеством,
гомеоморфным множеству V\W. Несложные
вычисления показывают, что G не имеет особых точек, чем
наше утверждение и доказано.
Теорема. Для любой пары V => W вещественных
алгебраических множеств разность V\W имеет не
более конечного числа компонент линейной связности.
Доказательство. Согласно следствию 2.6,
множество V можно представить в виде конечного
объединения многообразий Mi U ... 1ШР, где Mt есть
1) В этом месте доказательства существенно, что мы
работаем над полем вещественных чисел..

114 Дополнение В. Кратность изолированных решений
множество неособых точек алгебраического множества
Vi = У; М2 — множество неособых точек
алгебраического множества Vz = 2(Vi) и т. д. Следовательно,
V\W = (Ml\W)[)...[)(Mp\W),
где
MiWr^VtWiVAUW)
является многообразием, имеющим, согласно
следствию А.4, не более конечного числа компонент
линейной связности.
Отсюда, очевидно, следует, что и их объединение
V\W имеет также не более конечного числа
компонент линейной связности. Этим завершается
доказательство теоремы 2.4.
Замечание 1. Более точная оценка связности
алгебраического множества получена в работах Том
[1] и Милнор [З].1)
Значение 2. Представляется естественным
предположение, что любая разность V\W имеет
гомотопический тип конечного комплекса.
ДОПОЛНЕНИЕ В
КРАТНОСТЬ* ИЗОЛИРОВАННЫХ РЕШЕНИЙ
АНАЛИТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Пусть даны аналитические функции gu ..., gm от
m комплексных переменных с изолированным общим
нулем в точке z°. Мы определили кратность \х как
степень соответствующего отображения
g(z)
Zh^ llg(z)||
1) Примечание В. И. Арнольда. Еще более точные оценки
для неособых многообразий имеются в работе.
О л е й н и к О. А., Оценки чисел Бетти действительных
алгебраических гиперповерхностей, Мат, сб.% 28 (1951), N° 3, 635—640,

Дополнение В. Кратность изолированных решений 115
е-сферы с центром в z° в единичную сферу (см. § 7).
В этом дополнении мы постараемся оправдать наше
определение, доказав ряд элементарных свойств
кратности (д. Первое из них таково:
Лемма В.1. Если якобиан (dgj/dZk) невырожден
в точке z°, то \х = 1.
Доказательство. Рассмотрим разложение
в ряд Тэйлора с остаточным членом
g(z) = L(z-z°) + r(z),
где линейное преобразование L по предположению
невырождено, а функция
II Г (Z)H
Уж —х«в
стремится к нулю при z~>z°. Выберем е настолько
малым, чтобы
||r(z)||<||L(z-z°)||
при ||z — z°|| = е. Из существования однопараметриче-
ского семейства отображений
L(z-z°) + /r(z)
h^Z)S=s||L(z-zO) + ^r(z)ir °<*<1'
сферы 5e(z°) в единичную сферу следует, что
степень \i отображения ht равна степени отображения
L/||L|| на S8(z°).
Замечание. Тот факт, что степень отображения
(L + r)/||L + г|| на Se равна степени отображения
L/||L||, если ||r|| < ||L|| для всех точек сферы 58, далее
будет несколько раз использоваться. Мы будем
ссылаться на-него, как на принцип Руше.
Продеформируем отображение L в тождественное
отображение по. группе GL{my С), образованной
всеми невырожденными линейными преобразованиями.
Это возможно, так как группа Ли GL{m% С) связна.

116 Дополнение В. Кратность изолированных решений
Отсюда легко следует, что степень отображения
L/||L|| на Se(z°) равна +1. Лемма доказана.
Рассмотрим теперь компактную область D с
гладкой границей в О и предположим, что g имеет лишь
конечное число нулей в области D и не имеет нулей
на ее границе.
Лемма В.2. Число нулей отображения g внутри
области D, подсчитанное с учетом кратности, равно
степени отображения
Z llg(z)||
границы dD в единичную сферу.
Замечание. Для функций одной комплексной
переменной это утверждение называется принципом
аргумента (см., например, Хилле [1], § 9.2.2).
Доказательство. Выбросим из области D
малые открытые диски с центрами в нулях
отображения g. Тогда функция g/||g|| будет определена и
непрерывна всюду в оставшейся области Ь0. Так как
граница dD гомологична сумме маленьких граничных
сфер, расположенных внутри D0, отсюда следует, что
степень отображения g/||g|| на dD равна сумме Ejm
степеней \х ограничений отображений g/||g|| на эти
маленькие сферы (см. Милнор [4], стр. 28, 36).
Лемма доказана.
Пусть опять точка z° является изолированным
нулем отображения g кратности \х.
Лемма В.З. Если De — диск с центром в z°, не
содержащий других нулей отображения g, то для
почти всех точек а е О, достаточно близких к началу
координат, уравнение g (z) = а имеет ровно \i
решений г внутри D8.
Отсюда, в частности, вытекает такое
Следствие В.4. В условиях леммы В.З всегда
|л>0.
Доказательство леммы В.З. Согласно
теореме Сарда, почти все точки asCm являются регу-

Дополнение В. Кратность изолированных решений 117
лярными значениями дифференцируемого
отображения
g. С ->С
(см. де Рам [1]). Другими словами, для всех а, не
принадлежащих некоторому множеству лебеговой
меры нуль, матрица (dgj/dzk) невырождена в каждой
точке z прообраза g_1(a).
Заметим, что для каждого такого регулярного
значения а все решения z системы аналитических
уравнений g(z).—а = 0 являются изолированными
решениями с кратностью + 1 (лемма В.1).
Выберем некоторое регулярное значение а
отображения g, достаточно близкое к началу координат и
такое, что
l|a||<||g(z)||
для всех z e dDz. Тогда, согласно лемме В.2, число
решений уравнения g(z) —а = О внутри DB равно
степени отображения (g — a)/||g — a|| на <3D8. (Каждое
решение должно быть подсчитано с учетом кратности,
но, как мы уже доказали, все эти кратности
равны + 1.)
Согласно принципу Руше, степень отображения
(g — a)/||g — a|| равна степени \i отображения g/||g||,
чем и завершается доказательство леммы В.З.
Замечание. Наверное, небесполезна будет
следующая интерпретация этих лемм для частного
случая gj(z) = df/dzj, рассмотренного в § 7. Лемма В.1
утверждает, что в случае невырожденной критической
точки отображения /, в которой матрица (d2f/dzjdzk)
невырождена, целое число \х равно +1, а лемма В.З
утверждает, что если мы пошевелим функцию f, вычтя
из нее почти любой «малый» линейный многочлен
ciiZi + ... + amzm, то изолированная критическая
точка z° распадается на множество, состоящее из \х
близких критических точек, каждая из которых уже
невырождена.
Теперь мы готовы к доказательству теоремы 7.1.

118 Дополнение В. Кратность изолированных решений
Теорема. Кратность |л изолированного решения
Ъистемы m полиномиальных уравнений от m
переменных всегда является положительным целым числом.
Доказательство. Пусть дан диск D8 с центром
в точке z°, не содержащий других нулей
отображения g. Выберем число х\ настолько малым, чтобы
hl<||g(z)||/e
для всех z^dDz, и отличным от всех собственных
значений матрицы {dgj(z°)/dzh). Тогда возмущенное
отображение
g'(z) = g(z)-ri(z-z0)
имеет нуль кратности +1 в -точке z°, ибо матрица
невырождена в точке z°. Следовательно, в
предположении, что g' имеет лишь конечное число нулей
внутри De, мы получаем, что число 2ц' нулей
отображения g' внутри Dt заведомо > 1 (все слагаемые в сумме
согласно следствию В.4 неотрицательны). Эта
сумма равна степени ограничения отображения g'/llg'll на
dDSi которая, согласно принципу Руше, равна
степени li отображения g/)|g|| на dDe. Следовательно, |i> 1.
Остается, по крайней мере теоретически, случай,
когда отображение g' имеет бесконечно много нулей
внутри De (см. задачу 1 ниже). Но в этом случае мы
можем вычесть из g' маленький постоянный вектор
а — какое-нибудь регулярное значение отображения
g' (см. лемму В.З). Нули отображения g'— а
изолированы, следовательно, существует лишь конечное
число нулей отображения g'— а внутри De. Чтобы
гарантировать, что g'— а имеет по крайней мере один
нуль, мы, используя теорему об обратной функции,
выберем окрестность U точки z° в De так, чтобы g'
диффеоморфно отображало V на открытую
окрестность начала координат. Выбирая а внутри g'(t/)>Mbi
получаем, что уравнение g'(z) — a = 0 обязательно
имеет решение z внутри UczDei чем и завершается
доказательство того, что \х^\.

Дополнение В. Кратность изолированных решений 119
В заключение сформулируем три задачи для
читателя. Первые две из них можно решить, используя
методы, описанные выше, третья задача — более
сложная.
Задача 1. Доказать, что если отображение g не
имеет нулей на &D, то оно имеет лишь конечное число
нулей внутри D.
Задача 2. Доказать, что если матрица (dgj/dzh)
вырождена в точке z°, то |л^2.
Задача 3. Кольцо C[[z — z0]] формальных
степенных рядов от переменных Zj— z® можно
рассматривать как модуль над подкольцом C[[gu ..., gm]].
Доказать, что этот модуль является свободным модулем
ранга |л. Следовательно, если обозначить через /
идеал, натянутый на gu ..., gm в C[[z — z0]], то фак-
торкольцо Cjjz — z0]]// имеет размерность \л над С.
(Мне сказали, что это можно доказать следующим
образом: показать сначала, что отображение g: Cm->
-*Ст индуцирует собственное плоское отображение
некоторой малой окрестности U начала координат
в малую окрестность V начала координат, а затем
показать, что прямой образ при отображении g
пучка Си ростков голоморфных функций на [/локально
свободен над соответствующим пучком Су)1)
1) Примечание В. И. Арнольда. См. статью
Паламодов В. П., О кратности голоморфного
отображения, Функц. анализ и его приложения, 1 (1967), № 3, 54—65,

ЛИТЕРАТУРА
Александер (Alexander J. W.)
[1] Topological invariants of knots and links, Trans. Amer.
Math. Soc, 30 (1928), 275—306.
Александер и Бриггс (Alexander J. W., Briffgs G. B.)
[1] On types of knotted curves, Ann. Math., 28 (1927), 562—
586.
Александров П. С. иХопф (HopIH.)
[1] Topologie, Springer, 1935.
Альфан (Halphen G.-H.)
[1] Etude sur les points singuliers des courbes algebriques
planes, Oeuvres, tome 4, 1—93.
Андреотти и Франкель (Andreotti A., Frankel T.)
[1] The Lefschetsz thorem on hyperplane sections, Ann. Math.t
69 (1959), 713—717.
Баум (В aum P.)
[1] Quadratic maps and stable homotopy groups of sphere,
Illinois J. Math., 11 (1967), 586—595.
Браудер и Левин (Browder W., Levine J.)
[1] Fibering manifolds over a circle, Comment Math. Helv.t
40 (1965/66), 153—160.
Браунер (Brauner К.)
[1] Zur Geometrie der Funktionen zweier komplexen Verander-
lichen III, IV, Abh. Math. Sem. Hamburg, 6 (1928), 8—54.
Брискорн (BrieskornE.)
[1] Examples of singular normal comlex spaces which are
topological manifolds, Proc. Nat. Acad. USA, 55 (1966),
1395—1397.
[2] Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitaten, In»
ventiones Math., 2 (1966), 1—14. [Русский перевод:
Примеры из дифференциальной топологии многообразий с
особенностями, Математика, 11:6 (1967), 132—143.]
[3] Rationale Singularitaten Komplexer Flachen, Inventiones
Math., 4 (1968), 336—358.
Брюа и Картан (BruhatF., CartanH.)
[1] Sur la structure des sous-ensembles analitiques reels,
С R., 244 (1957), 988—990.
Бур ay (Burau W.)
[1] Kennzeichnung der Schlauchknoten, Abh. Math. Sem.
Hamburg, 9 (1932), 125—133,

Литература 121
[2] Kennzeichnung der Schlauchverkettungen, Abh. Math. Sent.
Hamburg, 10 (1934), 285—397.
Ван (WangH^C.)
[1] The homology groups of the fibre bundles over a sphere,
Duke Math. /., 16 (1949), 33—38.
Ван дер Варден (van der Waerden B. L.)
[1] Zur algebraische Geometrie III; Uber irreduzible algebrai-
sche Mannigfaltigkeiten, Math. Ann., 108 (1933), 694—698.
[2] Einfuhrung in die algebraische Geometrie, Springer, 1939.
[3] Современная алгебра, т. 1 и 2, Гостехиздат, М. — Л.,
1947.
В ей ль (Weil А.)
[1] Numbers of solutions of equations in finite fields, Bull.
Amer. Math. Soc, 55 (1949), 497—508.
Вендт (Wendt H.)
[1] Die gordische Auflosung von Knoten, Math. Zeitschr., 42
(1937), 680—696.
Ганнинг и Росси (Ganning R., Rossi H.)
[1] Аналитические функции многих комплексных переменных,
«Мир», М., 1969.
Гротендик (GrothendieckA.)
[1] On monodromy theorem, CGA IHES, 1968.
Грэйвс (Graves L. M.)
[1] The Theory of Functions of Real Variables, 2d ed.,
McGraw-Hill Book Co, Inc., N. Y., 1956.
Дюваль (Du Val P.)
[1] On isolated singularities of surfaces which do not affect
the conditions of adjunction, Proc. Cambridge Phil. Soc,
30 (1934), 453—459.
Зарисский (Zariski O.)
[1] On the topology of algebroid singularities, Amer. J. Math.,
54 (1932), 453—465.
Картан (CartanH.)
[1] Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automor-
phismes, Algebraic Geometry and Topology (Lefschetz
symposium volume), Princeton Univ. Press, 1957, 90—102.
Кервэр (Kervaire M.)
[1] A manifold which does not admit any differentiable
structure, Comment. Math. Helv., 34 (I960), 257—270.
Кервэр и Милнор (Kervaire M., Mil no r J.)
[1] Groups of homotopy spheres I, Ann. Math., 77 (1963),
504—537.
Клейн (Klein F.)
[1] Lectures on the icosahedron and the solution of equations
of the fifth degree, Dover, 1956.
Кобаяси (Kobayashi S.)
[1] Fixed points of isometries, Nagoya Math. /., 13 (1958),
63—68.
Коксетер (Coxeter)
[1] Regular Polytopes, N. Y., 1963, Вклейки IV, VII.

122
Литература
Кроу элл (С г о we II R. Н.)
[1] Corresponding group and module sequences, Nagoua Math.
J., 19 (1961), 27—40.
[2] The group G'/G" of a knot group G, Duke Math. /., 30
(1963), 349—354.
Кроуэлл и Фокс (Crowell R. H., Fox R. H.)
[1] Введение в теорию узлов, «Мир», М., 1966.
Кэлер (Kahler К.)
[1] Ober die Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier
Veranderlichen in der Umgebung einen singularen Stelle,
Math. Zeit., 30 (1929), 188—204.
Левин (Levine J.)
[1] Polynomial invariants of knots of codimension two, Ann.
Math., 84 (1966), 537—554.
Ленг (Lang S.)
[1] Introduction to Algebraic Geometry, Interscience, 1958.
[2] Введение в теорию дифференцируемых многообразий,
«Мир», М., 1967.
[3] Алгебра, «Мир», М., 1968.
Лефшец (Lefschetz S.)
[1] Algebraic Geometry, Princeton Univ. Press, 1953.
[2] Алгебраическая топология, ИЛ, М., 1949.
Лоясевич (Lojasiewicz S.)
[L] Sur le probleme de la division, Rozprawy Math., 22 (1961),
57 pp., или Studia Math. 18 (1959), 87—136.
[2] Triangulation of semi-analitic sets, Annali Scu. Norm. Sup.
Pisa, Sc. Fis. Mat. Ser. 3, 18 (1964), № 4, 449—474.
Мамфорд (MumfordD.)
[1] The topology of normal singularities of an algebraic
surface and a criterion for simplicity, Publ. math. № 9 l'lnst
des hautes etudes sci, Paris, 1961. [Русский перевод:
Топология нормальных особенностей алгебраической
поверхности и критерий простоты, Математика, 10; 6 (1966),,
3-24.]
Милнор (Mi Inor J.)
[1] Construction of universal boundles II, Ann. Math., 63
(1956), 430-436.
[2] Теория Морса, «Мир», М., 1965.
- [3] Oh the Betti numbers of real varieties, Proc. Amer. Math.
Soc, 15 (1964), 275—280.
[4] Topology from the Differentiable Viewpoint, Univ. Virginia
Press, 1965. *
[5] Infinite cyclic coverings, в печати.
Морс (Morse M.)
[1] The calcules of variations in the large, Amer. Math. Soc
Collog. Publ., 18, 1934.
Нойвирт (Neuwirth L)
[1] Tbe algebraic determination of the genus of knots, Amer.
J. Math., 82 (1962), 791—798.
[2] On Stallings fibrations, Proc. Amen Math. Soc, 14 (1963),
380—381.

Литература 123
Рам (de Rham G.)
[1] Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
Рапапорт (Rapaport E. S.)
[Г] On the commutator subgroup of a knot group, Ann. Math.,
71 (1960), 157—162.
Рив (Reeve J. E.)
[1] A summary of results in the topological classification of
plane algebroic singularities, Rend. Sem. Mat. Torino, 14
(1954/55), 159—187.
Ритт (Ritt J. F.)
[1] Differential equations from the algebraic standpoint, Amer.
Math. Soc. Colloq. Publ., 14, N. Y., 1932.
Сард (Sard A.)
[1] The measure of the critical values of differentiable maps,
Bull. Amer. Math. Soc, 48 (1942), 883—897.
Cepp (Serre J.-P.)
[1] Алгебраические группы и поля классов, «Мир», М., 1968.
Смейл (Smale S.)
[1] Generalized Poincare's conjecture in dimensions greater
than four, Ann. Math., 74 (1961), 391—406.
[2] On the structure of 5-manifolds, Ann. Math., 75 (1962),
38—46.
Спеньер (Spanier E.)
[1] Алгебраическая топология, «Мир», М., 1971.
Спрингер (Springer G.)
[I] Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ, М.,
1960.
С/г и н р о д (S t e e n r о d N.)
[1] Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953.
Столлингс (S tailings J.)
[1] Polyhedral homotopy spheres, Bull. Amer. Math. Soc, 66
(1960), 485-488.
Стюарт (Stewart Т. Е.)
[1] On groups of diffeomorphisms, Proc Amer. Math. Soc, 11
(1960), 559-563.
Tom (Thorn R.)
[1] Sur rhomologie des varietes algebriques reels, Differential
and Combinatorial Topology (Morse symposium, S. Cairns
ed.), Princeton Univ. Press, 1965, 255—265.
Уитни (Whitney H.)
[1] Elementary Structure of Real Algebraic Varieties.
Уолл (Wall С. Т. С.)
[1] Classifications of (я — 1)-connected 2n-manifolds, Ann.
Math., 75 (1962), 163—198.
Уоллес (W a 11 а с е А. Н.)
[1] Homology Theory of Algebraic Varieties, Pergamon Press,
1958.
[2] Algebraic 'ripproximation of curves, Canad. /. Math., 10
(1958), 242—278.

124
Литература
Ф а м (PhamF.)
[1] Formules de Picard — Lefschetz generalisees et ramification
des integrates, Bull Soc. Math. France, 93.(1965), 333—
367. [Русский перевод: Обобщенные формулы Пикара —
1 Лефшеца и ветвление интегралов, Математика, 13:4
(1969), 61—93.]
Ф а ри (Fa r у I.)
[1] Cohomologie des varietes algebriques, Ann. Math., 65
(1957), 21—73.
Фокс (Fox R. H.)
[1] Free differential calculus, II. The isomorphism problem,
Ann. Math., 59 (1954), 196—210.
Хёрмандер (Hormander L)
[1] On the division of distributions by polynomials, Ark. Mat.,
3 (1958), 555—568.
Хилле (Hi lie E.)
[1] Analytic Function Theory, v. 1, Ginn, 1959.
Хирцебрух (Hirzebruch F.)
[1] The topology of normal singularities of an algebraic
surface (d'apres Mumford), Seminaire Bourbaki, 15е annee,
1962/63, № 250.
[2] Singularities and exotic spheres, Seminaire Bourbaki, 19е an-
nee, 1966/67, Я° 314.
[3] 0(rt)-Mannigfaltigkeiten, exotische Spharen, kuriose Invo*
lutionen (preliminary draft), March 1966.
Хирцебрух и Майер (Hirzebruch F., Mayer К. Н.)
[1] 0(n)-Mannigfaltigkeiten, exotische Spharen und Singu-
laritaten, Springer Lecture Notes in Mathematics, 57, 1968.
X о д ж и П и д о (Н о d g e W. V. D., P e d о е D.)
[1] Методы алгебраической геометрии, т. 2, ИЛ, М., 1954.
Ху Сы-цзян (Ни S. Т.)
[1] Theory of Retracts, Wayne State Univ. Press, 1965.
Цассенхауз (ZassenhausH.)
[1] The Theory of Groups, Chelsea, 1958.
Шевалле (Cheva 1 ley С.)
[1] Introduction to the theory of algebraic functions of one
variable, Amer. Math. Soc. Surveys, № 6, 1951.
Эресманн (EhresmannC.)
[1] Sur les espaces fibres differentiables, С /?., 224 (1947),
1611-1612.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Александер (Alexander J. W.) 120
Александров П. С. 67, 120
Альфан (Halphen G.-H.) 120
Андреотти (Andreotti A.) 60, 120
Арнольд В. И. 95
Артин (Artin E.) 95
Баум (Baum P.) 108, 120
Браудер (Browder W.) 87, 120
Браунер (Brauner К.) 7, 9, 85, 120
Бриггс (Briggs G. В.) 120
Брискорн (Brieskorn E.) 5, 7, 11,
13, 66, 71, 76, 85, 120
Брюа (Bruhat F.) 32, 120
Бурау (Burau W.) 77, 86, 99, 120
Ван (Wang H.C.) 121
Ван дер Варден (van der Weer-
den B. L.) 7 17, 36, 65, 97, 98, 121
Вейль (Weil A.) 82, 121
Вендт (Wendt H.) 98, 121
Ганнинг (Ganning R.) 19, 95, 121
Гротендик (Grothendieck A.) 76, 121
Грэйвс (Graves L. M.) 28, 121
Дюваль (Du Val P.) 121
Зарисский (Zariski O.) 76, 86, 121
Картан (Cartan H.) 32, 83, 120, 121
Кассельман (Casselman W.) 7
Кейпер (Kevper) 5
Кервэр (Kefvaire M.) 5, 57, 74, 121
Клейн (Klein F.) 83, 121
Кобаяси (Kobayashi S.) 81, 121
Коксетер (Coxeter) 84, 121
Кроуэлл (Crowell R. H.) 90, 101,
121, 122
Кэлер (Kahler K.) 86, 99, 122
Кюипер (Kuiper N.) 106, 108, 109
Левин (Levine J.) 74, 87, 120, 122
Ленг (Lang S.) 7, 15, 20, 26, 28, 122
Лефшец (Lefschetz S.) 19, 65, 110,
122
Лоясевич (Lojasiewicz S.) 29, 58, 122
Майер (Mayer К. Н.) 124
Мамфорд (Mumford D.) 70, 122
Мезер (Mather J.) 94, 95
Милнор (Milnor J.) 5, 30, 31, 51,
56, 57, 58, 59, 74, 79, 82, 113, 114,
116, 121, 122
Mope (Morse M.) 56, 122
Нойвирт (Neuwirth L.) 88, 122
Нэш (Nash J.) 7
Олейник О. А. 114
Паламодов В. П. 119
Пидо (Pedoe D.) 65, 124
Рам (de Rham G.) 26, 117, 122
Рапапорт (Rapaport E. S.) 90, 123
Риз (Reeve J. E.) 86, 123
Ритт (Ritt J. F.) 123
Росси (Rossi H.) 19, 95, 121
Самойленко А. М. 95
Сард (Sard A.) 123
Cepp (Serre J.-P.) 90, 91, 123
Смейл (Smale S.) 64, 70, 107, 123
Спеньер (Spanier E.) 7, 123 *
Спрингер (Springer G.) 91, 123
Стинрод (Steenrod N.) 108, 123
Столлингс (Stallings J.) 70, 87, 123
Стюарт (Stewart Т. Е.) 31, 123
Тернер (Turner E.) 7
Tom (Thorn R.) 114, 123
Тужрон» (Tougeron J. CI.) 95
Уитни (Whitney H.) 13, 16, 110, 123
Уолл (Wall С. Т. С. ) 64, 123
Уоллес (Wallace A. H.) 32, 12&
Фам (Pham F.) 6, 123
Фари (F2ry I.) 62, 124
Фокс (Fox R. Н.) 100, 122, 124
Франкель (Frankel Т.) 60, 120
Хамм (Humm) 5
Хёрмандер (Hormander L.) 124
Хилле (Hille E.) 116, 124
Хиронака (Hironaka H.) 7
Хирцебрух (Hirzebruch F.) 71, 76,
83, 124
Ходж (Hodge W. V. D.) 65, 124
Хопф (Hopf H.) 67, 120
Ху Сы-цзян (Ни S. Т.) 58, 124
Цассенхауз (Zassenhaus H.) 100, 124
Шевалле (Chevalley С.) 91, 124
Эресманн (Ehresmann С.) 104, 124

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
алгебраическая размерность 15
алгебраическое многообразие 14
~ множество 14
— — неприводимое 14
аргумент 42
ветвь 35
взвешенный однородный многочлен
80
восьмерка 89
вырожденная критическая точка 64
гессиан 52
градиент 39 __
дифференциал 32
зацепление 86
изолированный нуль 65
инвариант Кервэра
индекс Морса 51
комплексная гиперповерхность 9
конус 24
кратность 114
— изолированного нуля 65
критическая точка 10, 21
— — вырожденная 64
— — невырожденная 64
критическое значение 23
лемма Вана 72
— об отборе кривых 31
— Фама 78
многочлен Александера 101
— — зацепления 100
узла 74, 100, 101
-* взвешенный однородный 80
множество особенностей 32
невырожденная критическая точка
64
неособая точка 15
неприводимое алгебраическое
множество 14
нуль изолированный 65
особая точка 15
поле рациональных функций 15
порядковый идеал 100
принцип аргумента 116
— Руше 115
производная по направлению 39
простая точка 15
ранг свободной абелевой группы 90
расслоение 11
регулярная точка 9
род узла 89
сингулярная точка 15
сложный кабельный узел 99
среднее число Бетти 12
теорема Браунера 10
— Брискорна — Фама 75
— Левина 74
— Лефшеца 65
«— Нойвирта — Столлингса 88
— о расслоении И, 50
— Уитни 16
торический узел 10
точка критическая вырожденная 64
невырожденная 64
— неособая 15
— особая 15
— простая 15
— сингулярная 15
узел 85
— Листинга 89
— Нойвирта -г Столлингса 89
— сложный кабельный 99
— четырехкратный 89
формула Плюккера 92
характеристический гомеоморфизм
слоя 72
четырехкратный узел 89
число Лефшеца 67
— пересечений зацепления 98
экзотическая сфера Ц
Кервэра 76

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию ' б
Предисловие 7
§ 1. Введение 9
§ 2. Элементарные факты о вещественных и
комплексных алгебраических множествах 13
§ 3. Лемма об отборе кривых 31
§ 4. Теорема о расслоении 39
§ 5. Топология слоя и топология К 50
§ 6. Случай изолированной критической точки 60
§ 7. Среднее число Бетти слоя 64
§ 8. Является ли К топологической сферой? 70
§ 9. Многообразия Брискорна и взвешенные однородные
многочлены 75
§ 10. Классический случай. Кривые в пространстве С2 85
§ 11. Теорема о расслоении для вещественных
особенностей 102
Дополнение А. Теорема конечности Уитни для
алгебраических множеств ПО
Дополнение.В. Кратность изолированных решений
аналитических уравнений 114
Литература 120
Именной указатель 125
Предметный указатель , , 126

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие, просим
присылать по адресу: 129820, Москва И-110, ГСП.
1-й Рижский пер., дом 2, издательство «Мир»,
Дж. Милнор
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
Редактор В. #. Авербух
Художник Н. А. Филъчагина
Художественный редактор В, И. Шаповалов
Технический редактор В. Я. Сизова
Корректор О. К. Румянцева
Сдано в набор 31/III 1971 г. Подписано к печати 18/VIII1971 г.
Бумага 84X108732 = 2 бум. л. 6,72 печ. л. Уч.-изд. л. 5,24/ Изд. № 1/5773
Цена 36 к. Зак. 1053
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного ЗнамениЛенинградская типография № 2
Имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29л