Author: Милнор Дж.  

Tags: математика  

Year: 1974

Text
                    INTRODUCTION TO
ALGEBRAIC /(-THEORY
¦ by - y.
JOHN MILNOR,
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
and
UNIVERSITY OF TOKYO PRESS
PRINCETON, NEW JERSEY
1971


Дж. МИЛНОР ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ Я-ТЕОРИЮ -Перевод с английского Ю. И.МАНИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО • «МИР» • МОСКВА -1974
УДК 619.4 Автор книги хорошо зиаком-советскому читателю. В переводе на русский язык уже выходили его кни- книги «Теория Морса» («Мир», 1965), «Теорема об Л-ко- ¦ бордизме» («Мир», 1969), «Особые точки комплексных гиперповерхностей» («Мир», 1971) и др. Ои зареко- зарекомендовал себя не только как крупный ученый/но и как мастер исключительно наглядного и ясного изло- изложения новых идей в математике. Данная книга посвящена новой ветви алгебры, в которой вводятся н изучаются алгебраические ана- аналоги функторов Ki, сыгравших столь большую роль в алгебраической топологии. Прослежены связи этих конструкций с теорией чисел и топологией. Книга интересна математикам различных специ- специальностей, особенно алгебраистам и топологам. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов. Редакция литературы по математическим наукам © Перевод на русский язык, «Мир», 1974 20203-007 041@1)-74
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА /С-функтор был впервые определен Гротендиком в 1957 году в его рукописи, которая содержала первое алгебраическое доказательство (и значительное обобще- обобщение) теоремы Римана —Роха —Хирцебруха. По Гротен- дику К (X) — это группа значений универсальной адди- аддитивной функции, определенной на когерентных пучках на гладком алгебраическом многообразии X. Впрочем, было очевидно, что хорошо известные ранее кольца представлений, кольца Витта классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Функтор К был затем быстро перенесен в топологию и в работах многих авторов, в особенности Атьи, Хир- Хирцебруха, Адамса, получил очень сильные приложения, сделав возможным решение недоступных ранее задач. Кроме того, стало очевидным, что эта поразительная по простоте конструкция' открывает новые горизонты в понимании старых проблем анализа (индекс эллипти- эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологии), теории представлений групп и др. Между тем изучение алгебраических аналогов /(-тео- /(-теории шло медленнее и с гораздо меньшим эффектом. Одним из главных препятствий, не преодоленным пол: ноЛъю, до недавнего времени было следующее обстоя- обстоятельство. Для топологии очень важно, что наряду с обычной группой К(Х) = К"(Х) можно ввести группы К~п{Х) для всех л^О как (несколько уменьшенные) группы /(* для я-кратной надстройки X. Между тем в алгебре (точнее в категориях колец или аффинных схем, или схем) до сих пор не найдено адэкватного аналога надстройки, что делает задачу построения функторов /С* (или, в обозначениях этой работы, К„) и доказа-
От переводчика тельства их свойств высоко нетривиальной. До послед- последнего времени не было общепринятого . определения всех Кп> разные предложенные определения не были согласованы; часть определений ограничивалась лишь некоторыми значениями п; в иных вариантах (в том числе в приведенном в этой книге) для каждого п нужно было давать собственное определение. X. Басе взял' на себя труд- подвести итоги этого этапа развития теории в обширной монографий, русский перевод которой вышел в издательстве «Мир», Проясняющие ситуацию результаты- Д. Квиллена подррбно еще не опубликованы. Однако ясно, что в алгебраической /(-теории наступил переломный момент, когда объем накопленнбй информации и уже обнару- обнаруженное богатство связей с топологией и арифметикой привлекают к ней все больше внимания и помогают осознать правильные постановки задач и пути. их решенияг): В этих условиях выход книги Милнора, налисанной лаконично, вводящей читателя в /(-теорию с азов и. показывающей стиль и дух алгебраических аспектов теории— на очень содержательных образцах, следует считать весьма своевременным. Особенно ценна эта книга для молодых математиков, которые, имея мини- минимальную общую подготовку, смогут ощутить себя в самой гуще исследований сегодняшнего дня. . Ю. Манин 1) Осенью 1972 г. в Сиэттле состоялась' конференция по ал- алгебраической /(-теории. Ее труды в трех больших томах опубли- опубликованы, издательством Шпрингер (Lecture Notes in4Math., vol. 34i, 342, 343, Springer, Berlin, 1973). В частности, в первом томе со- содержится фундаментальная работа Квиллена. Большое внимание уделено сравнению разных определений Кп, приложениям и вы- вычислениям, обзору литературы, задачам. — Прим. перев. .
Посвящается Норману Стинроду ПРЕДИСЛОВИЕ И ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ЛИТЕРАТУРЕ . Название «алгебраическая /(-теория» относится к то- тому разделу алгебры, который занимается изучением двух функторов /Со и /Ci, сопоставляющих ассоциатив- ассоциативному кольцу А . абелевы группы К0А и /СИ соответ- соответственно. Многие авторы развивали эту теорию, но осо- особенно значительным был вклад. X. Басса, книга кото- которого Algebraic./C-theory {Benjamin, 1968I) остается ос-> новным источником информации. Вот подборка еще некоторых работ: Rim D." S., Modules over finite groups, Ann. of Math., 69 A955), 700-712. " - . Swan R., Projective modules over tiaHe groups, Bull. Amer. Math. Soc., 65A959), 365-367. . Bass H., /C-theory and stable algebra, Publ. Math. IHES, 22 A964), 5-60. . . Bass H., Heller A., Swan R., The Whitehead group.of a poly- polynomial extension, Publ. Math. IHES, 22A964), 61—79. Bass H... The Dirichlet unit theorem, induced characters, and Whitehead groups of finite groups; Topology, 4A966), 391—410. Bass H. (with Roy A.), Lectures on topics in algebraic /C-theory, Tata Instftute, Bombay, 1967. Bass H., Murthy M.. P., Grothendieck . groups and Picard groups of abelian group rings, Ann. of Math., 86A967), 16—73. Swan R., Algebraic ^-theory, Lecture Notes in Math., 76, Springer, 1968. Swan R. (with Evans Ё. G.), • /C-theory of finite groups and orders, Lecture Notes in Math., 149, Springer, 1970; Вассерштейн Л. Н., О стабилизации общей линейной группы над кольцом, Мат. сб., 79 A21), A969) 405—424. *) Русский перевод: Басе X., Алгебраическая ^-теория, «Мир», М., 1373. В дальнейшем все ссылки даются на это издание. — Прим. перев. ¦ '. ".
8 Предисловие и путеводитель по литературе Основная цель этих записок — ввести и изучить аналогичный функтор /С2 на ассоциативных кольцах со значениями в абелевых группах. Его определение подсказано работами Р. Стейнберга. С функторами /Са и Ко он связан, например, через точную последователь- последовательность К2& -*- КгЛ -* К* (Л/а) -* Кгл ->¦ KA-+K! (Л/а) -> которую можно построить для всякого двустороннего идеала а в кольце Л, где /С2<*, Ki& и /Соа — надлежа- надлежащим образом определенные- относительные группы. Ни- Ниже следует список работ о /С2: Steinberg R., Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques, Colloq. Theorie des groupes algebriques, Bruxelles, 1962, 113-127. Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле, «Мир», М., 1974. Мооге С», Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Publ. Math. IHES, 35A969), 5-74.4 Matsflmoto H., Sur les sous-groupies arithmetiques des groupes semi-semples deployes, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 4e serie, 2 A969), 1—62. • Bass H., Ki and symbols, pp. 1—11 of Lecture Notes in Math., 108, Springer, 1969. " Kerv^ire M., Multiplicateurs de Schur et /C-theorie, pp. 212—225 of Essays on Topology and Related Topics, dedicated to G. de Rham (ed. Haefliger A. and Narasimhan R.), Springer, 1970. Wagoner J., On /t2 of the Laurent polynomial ring, Amer. J. Math,, 93 A971), 123—138. Birch B. J., K» of global fields, Proc. Symp. in Pure Math., 20, AMS, 1970. Tate J., Symbols in arithmetic, Proc. Int. Congr. Math. Nice, v. I, Paris, 1971. Stein M., Chevalley groups Over commutative rings, Bull. Amer. Math. Soc., 77 A971), 247—252. Следует заметить; что разными авторами были пред- предложены также определения Кп для всех я^О; см. следующие работы: ¦ N6bile A., Villamayor О., Sur la /C-theorie algebrique, Ann. $cl. Ec. Norm. Sup., 4e serie, 1 A968), 581—616. Swan R.; Ncn-abelian homological algebra and /C-theory, Proc. Symp. in Pure Math., 17, 88—123, AMS, 1970.
- Предисловие и путеводитель по литературе 9 Karoubi M., Villamayor О., Foncteurs Kn en algebre et en topologie, С. R. Acad. Sci. Paris, 269 A969), 416—419. Gersteri S., Stable /C-theory of discrete rings, I, II, в печати. Milnor J., Algebraic /f-theory and guadratic forms, Invent. Math., 9 A970), 318-344. Quillen D., The /f-theory associated to a finite field, I (mimeographed), 1970. . • " Swan. R., Some relations between hjgher /C-functors, J. Algebra, 21 A972), 113—136. Вообще говоря, эти определения попарно не сов- совпадают.' Остается еще многое сделать, чтобы выяснить отношения между' разными определениями. Отметим также, что .фУнкт0Ры Яя ДЛЯ л<0 были определены Бассо'м (Алгебраическая/Г-теория, стр. 501—507). Оба функтора Ко и Кг важны для топологов. В то- топологических приложениях в качестве Л всегда фигу- фигурирует групповое кольцо над целыми числами Zn, где я — фундаментальная группа изучаемого объекта. Ис- Исходным пунктом этой теории было предложенное Дж. Уайтхедом определение кручения, связанного с гомото- гомотопической эквивалентностью конечных комплексов. Кру- Кручение Уайтхеда лежит в некоторой факторгруппе груп- группы KiZn. Следующий- важный шаг был сделан Уоллом. Рассмотрим топологическое пространство Л, доминиру- доминируемое конечным комплексом. Тогда можно определить обобщенную эйлерову характеристику %(А), лежащую в /C0Zrt. Уолл показал, что А имеет гомотопический тип конечного комплекса в том и: только том случае, когда х (А) "* целое число. Зибенман и В. Л. Голо построили аналогичные препятствия в задаче добавле- добавления границы к открытому многообразию. Недавние работы Вагонера и Хэтчера показывают, что функтор /Са имеет топологические приложения та- такого же типа. Если задана псевдоизотопия замкнутого многообразия, то препятствие для деформации ее в изо- товню лежит в некоторой факторгруппе группы /C2Zn. Вот список работ на эту тему: Wall С. Т. С, Finiteness conditions for CW-compIexes I, Ann - of Math., 81A965), 56—59, II, Proc. Royal. Soc. A, 295A966). 129—139.
10 Предисловие и путеводитель по литературе Siebenmann L., The structure of tame ends, Notices Amer. Math. Soc., 13 A966), 862. Milnor J., Whitehead torsion, Bull. Amer. Math. Soc, 72A9бЪ), 358—426. de Rham.G., Maumary S., Kervaire M,, Torsion et type simple d'homotopie, Lecture notes in Math., 48, Springer, 1967. Голо В. Л., Об одном инварианте открытых многообразий, И АН СССР, сер. мат., 31 A967), 1091—1104. - Siebenmann L., Torsion invariants for pseudo-isotopies on* closed manifolds, Notices Amer. Math. Soc., 14 A967), 942. Moss R. M. F., Thomas С. б. (editors), Algebraic K-theory and Its geometric applications, Lecture Notes in Math., 108, Springer, 1969. Wagoner J., Algebraic invariants for pseudo-isotopies, Pro- Proceedings of Liverpool'SinguIarities Symposium II, Lecture Notes in Math., 209, Springer, 1.971. Существенный толчок развитию алгебраической /С'-теории дали работы по проблеме конгруэнц-подгрупп. Это задача о том, каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметической группе (например, SL(n, A), где Л — кольцо целых чисел в числовом поле), содержит некоторую конгруэнц-подгруппу. Вопрос тесно связан С проблемой вычисления /Сха для как угодно малых идеалов" а с= Л. По этому поводу, кроме указанных выше етатей Мура и Мацумото, см. следующие рабе ты: Mennicke J., Finite lector groups of-the imimodular group, Ann. of Math., 81 A965), 31-37. Serre J.-P., Groupes de congruence, Seminaire Bourbaki, 19 annee, 1966^67, n° 330. Bass H., The congruence subgroup problem^ pp. 16—22 of Local fields, Springer, 1967. _ Bass H., Milnor J., Serre J.-P., Solution of the congruence subgroup problem for SLn(n^3) and Spin(nЭ= 2), Publ. Math. WES, 33 A967). Вассерштейн Л. Н., /^-теория н конгруэнцпроблема, Мат. заметки, 5 A969), 233—244. Serre J.-P., Le probleme des groupes de congruence pour SLrf Ann. Of Math., 92 A970), 487-527,
e^u путеводитель по литературе - ll Я хочу поблагодарить X. Басса, Р. Стейнберга4 и Дж. Тэйта за многочисленные полезные беседы и в осо- особенности за возможность доступа к их неопубликован- неопубликованным работам, Я хочу поблагодарить также Дж. Джоэля за ряд предложений и за предоставление записок лек- лекций (Принстон, 1967), послуживших началом работы над этой рукописью.
§ 1. ПРОЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ И Слово кольцо всегда обозначает ассоциативное кольцо с единицей 1. Рассмотрим левые модули над некоторым кольцом Л. Напомним, что модуль М называется свободным, если у него существует такая система -образующих {та}, что каждый элемент из М однозначно представляется в виде конечной суммы %ката. Модуль М называется проективным, если существует такой модуль N, -что прямая сумма М ф N свободна. Равносильное требова- требование: любая точная последовательность 0-*-X-*-Y-+M-*- -»-0.расщепляется, так что Y = X@M. Группой проективных модулей /С0Л называется адди- аддитивная группа, которая описывается следующими обра- образующими и соотношениями. Каждому классу изоморф- изоморфных конечно порожденных проективных модулей Р над Л отвечает образующая [/>]; каждой паре таких модулей Р, Q отвечает соотношение (ср. доказательство леммы 1.1 ниже). Ясно, что всякий элемент из /С0Л можно представить в виде разности [Pi] — [P2] двух образующих. (Можно даже добиться,' чтобы Рг стал свободен, добавив к Рг и Рг один и тот же модуль в случае необходимости.) Мы укажем некоторыТн критерий равенства двух таких разностей. Нам понадобится еще одно, определение. Пусть Лг — свободный модуль r-векторов над Л. Модули М и ЛГ называются стабильно изоморфными, если существует такое г, что Лемма 1 Л.Образующие[Р] и [Q\apynnuКо тогда и только тогда, когда модули Р и Q стабильно изоморфны. Следовательно, разности [Pi] — [P%] и [Qi\ — [Qi] совпадают тогда и только тогда, когда модули Рг 0 Q2 P®Q стабильно изоморфны.
14 § 1. Проективные модули и #0Л Доказательство. Более формальное определе- определение АГоЛ таково: это факторгруппа FIR, где F — сво- свободная абелева группа, порожденная образующими (Р), по одной для каждого класса изоморфных проективных конечно порожденных модулей Р, а /? —подгруппа, порожденная элементами (Р) + (Q) — (Р ® Q). (Символ [Р] тем самым означает класс (Р) mod R.) Заметим, что сумма </»?>+..: + </»*> в F совпадает с <&)+...+.<Q*)' тогда и только тогда, когда существует такая переста- перестановка я индексов {1 k), что Отсюда, в частности, следует изоморфизм Предположим теперь, что (М) ss (N) mod /?. Это означает, что для некоторых модулей Р(, Qi( P/, Q/. Перенесем теперь все члены с минусами по другую сторону от знака равенства. Учитывая предыдущее замечание, получим, что или, короче, МфХе^ЛГфХ, ибо модули в длинных скобках, очевидно-, изоморфны. Теперь подберем модуль У так, чтобы X © Y был свободен, X®Y^Ar. Добав- Добавляя У к обеим частям, получим, М 0 Аг ^ N ф Л\ Значит, Л1 и Л^ стабильно изоморфны. Оставшаяся часть доказательства очевидна. ¦ Если кольцо Д коммутативно, то тензорное Произ- Произведение над Л (конечно порожденных проективных) левых Л-модулей снова является (конечно порожденным) проективным левым Л-модулем. Положив ] мы превращаем аддитивную группу /С<Д в коммутатив- коммутативное кольцо. Единицей этого кольца -является класс {Л1] свободного модуля с одной образующей.
§ I. Проективные модули а Ка\ 15 Начав вычислять группу /СоЛ, необходимо задаться двумя вопросами. Вопрос 1. Является ли каждый конечно порож- порожденный проективный Л-модуль свободным (или хотя бы стабильно свободным)? Вопрос 2. Является ли число элементов в неко- некотором базисе свободного модуля' инвариантом этого мо- модуля? Иными словами, если Ar^As, верно, ли, что Если ответы на оба вопроса положительны, то о очевидно, является свободной абемвой группой с образую- образующей [Л1]. Это так, например, если Л — поле, тело или область главных идеалов. Разумеется, ответы на оба вопроса могут быть отри- отрицательными. Например, если Л —кольцо эндоморфизмов конечно- конечномерного векторного пространства размерности, большей - единицы, то ответ на первый вопрос отрицателен. Для колец эндоморфизмов бесконечномерных пространств ответ на второй вопрос отрицателен. (В первом случае /С0Л — бесконечная циклическая группа, но не порож- порождается [Л1]; во втором случае группа /СоЛ нулевая.) Вот важный пример, когда /СоЛ — свободная цикли- циклическая группа. - ... Лемма 1.2. Если А.— локальное кольцо, то любой конеч- конечно-порожденный *) проективный модуль свободен и /С0Л — свободная циклическая группа, порожденная классом [Л1]. Сначала напомним относящиеся сюда определения. Элемент кольца и называется единицей, ерш сущест- существует такой элемент v, что uv = vu=\. Множество Л' всех единиц Л, очевидно, образует мультипликативную группу. ¦ ¦ . . Кольцо Л называется локальным, если множество m = Л\Л* всех неединиц является левым идеалом. В. I) Ср. Kaplansky I.. Projective modules, Ann. of Math., 68A958), 372-377.
16 § I. Проективные модули и Ко\ этом случае оно является также правым идеалом. Действительно, допустим, что некоторое произведение т%, mem, ХеЛ, является единицей. Тогда т имеет правый обратный элемент v, mv=l. Очевидно, v не мо- может принадлежать левому идеалу т. Но v также не может быть единицей, иначе формула т = т (vir1) = (mv) ir1 = xr1 показала бы, что т — также единица. Это противоречие показывает, что nt—действительно двусторонний идеал. Факторкольцо Л/m, очевидно, является полем или .телом. Заметим, что квадратная матрица над Л обратима тогда и только тогда, когда ее редукция modm обрати- обратима. Для доказательства нужно умножить эту матрицу слева на такую, которая представляет обратную к ней по модулю т', затем диагонализировать произведение элемен- элементарными преобразованиями строк. Таким образом, мат- матрица имеет левую обратную; аналогичным рассужде- рассуждением строится правая обратная матрица. Теперь мы можем приступить к доказательству лем- леммы 1.2. Если модуль Р конечно порожден и проекти- вен над Л, можно найти такой модуль Q, что Р ф Q ^ ^Лг. Выберем базисы в Р/тР й Q/mQ (как в прост- пространствах над телом Л/m). Каждый элемент базисов под- поднимем соответственно в Р или Q. Согласно сделанному выше замечанию, полученное множество элементов соста- составит базис .модуля P@Q. Очевидно, отсюда следует, что Р и Q свободны. Так как размерность простран- пространства Р/тР является инвариантом Р, это завершает доказательство. Щ . Рассмотрим теперь некоторый гомоморфизм колец /: Л^Л' (всегда предполагается, что f(l) = l). Он позволяет построить по любому Л-модулю М модуль ' над Л'. Ясно, что если М конечно порожден или сво- свободен, или проективен, или распадается в прямую сум-
§ 1. Проективные модули и /?оЛ 17 му над Л, то /#М соответственно конечно порожден, свободен, проективен, распадается в прямую сумму над Л'. Это определяет соответствие которое продолжается до гомоморфизма абелевых групп Отметим функториальные свойства: (identity),, = identity, tf •?)« = /*•?*. Пример 1. Пусть Z — кольцо целых чисел. Для любого кольца Л однозначно определен гомоморфизм ft Z->A\ Образом l*KoZ с /С0Л служит подгруппа, порожденгат классом свободного модуля [Л1]. Коядро /СъЛ/(подгруппа, порожденная [Лх]) = /СрЛ/^/Со2 называется группой проективных классов кольца Л. Пример 2, Предположим, что у Л есть гомомор- гомоморфизм в поле или тело F. Это всегда так, например, если Л коммутативно. Тогда мы получим гомоморфизм /V K0A-*K0F = Z. В коммутативном случае этот гомоморфизм, очевид- очевидно, определяется ядром гомоморфизма /, которое явля- является простым идеалом Л. Поэтому можно говорить о ранге проективного модуля над простым идеалом р. Если р з р', то ранги над р и р'- совпадают. Действи- Действительно, локализуя область целостности Л/р' по идеалу, отвечающему р (т. е. присоединив обратные элементы дополнения р), мы получим локальное подкольцо поля частных кольца А/р', которое гомоморфно отображается в поле частных кольца Л/р. Лемма 1.2 показывает,- что ранги модулей равны. В частности, если А —область
18 § I. Проективные модули и К0Л целостности, то ранг проективного модуля над Л не зависит от выбора простого идеала. ¦ В общем случае, фиксировав гомоморфизм /: A-+-F и пользуясь тем, что jj* — изоморфизм, получаем раз- разложение в прямую сумму: Первое слагаемое есть свободная циклическая групг па, а второе изоморфно группе проективных классов кольца Л. Заметим, что* в коммутативном случае Кег /«, явля- является идеалом в кольце К<Л. Мы будем обозначать этот идеал символом К(А и писать Пр и мер 3. Предположим, что Л разлагается в пря- прямое произведение колец Гомоморфизмы проекции КоЛ + КоЛ, определяют разложение /С„Л з* /СОЛХ X /СоЛа X... X /С0Л*. Доказательство не представляет трудностей. Такое разложение существует, например, у комму- коммутативных артиновыхх) колец, которые не локальны. Действительно, так как Л коммутативно, все нильпо- тентиые элементы образуют идеал. Если Л не локально,' должен существовать элемент X, который не'обратим и не нильпотентен. Из артиновости Л следует, что по- последовательность главных идеалов. ' . " (X) =>(*«) =>¦(*•)=>... стабилизируется., Если, скажем^ (ХЯ) = (Х№?1)—..., то Хп = р№п для некоторого р. Это значит, что е = рХп — !) Кольцо называется артиновым, если любая убывающая последовательность идеалов стабилизируется.
$ 1. Проективные модули и ЛГ0Л 19 идемпотент (ее = е), так что Л разлагается в произведе- произведение Ад*А/{е)хА/{1-е). Это разложение нетривиально — из того, что X не об- обратим и не нильпотентен, вытекает, что е#% 0. Про- Продолжая этот процесс, получим в конце концов разло- разложение Л в произведение локальных колец. Поэтому 4 Дедекиндовы кольца Важные примеры колец /СоА более интересной струк-' туры доставляют дедекиндовы кольца. Мы обсудим их до- довольно подробно, исходя из несколько нестандартного определения. Определение. Дедекиндовым кольцом (или дедекиндо- вой областью) называется такое коммутативное кольцо без делителей нуля, что для любой пары идеалов (tcb существует идеал с с условием а = Ьс. (Разумеется, обычное определение равносильно это- этому. Дальнейшие сведения можно найти в книгах: За- рисский О. и Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. I, ИЛ, 1963, Lang S., Algebraic Number .Theory, Ad- dison-Wesley, 1970, и Картан Э. и Эйленберг С, Гомологическая алгебра, ИЛ, 1960.) Замечание 1.3. Кроме тривиального случая а = 6 — 0, идеал с определен однозначно. В самом деле, пусть bc = bc\ Выбрар ненулевой главный идеал 60Ас:Ь, мы можем представить Ь0А в виде хЬ и. заключить, что ifcc=rbc\ откуда bo( = b^' и, наконец, с = с\ Определение. Ненулевые идеалы а, 6 в дедекиндовой области принадлежат одному и тому же классу идеалов, если существуют такие ненулевые элементы кольца х и у, что xa = yb. ¦ Очевидно, классы идеалов кольца А образуют абе- леву группу относительно умножения,- единицей -кото- -которой служит класс главных идеалов. Символом'С (Л) мы
20 § /. Проективные модули и АГоЛ * будем обозначать эту группу, а символом {а} еС(Л) — класс идеала а. Заметим, что {а} = {Ь} в том и только .том случае,, когда Л-модули а и b изоморфны. Действительно, пусть ф: л-*-Ь — некоторый изоморфизм. Выбирая а0е а и замечая, что аоф (а) = ф {c^a) = ф (а0) а, получаем сф = = ф(ао)а. . Важные примеры дедекиндовых областей строятся так. Пусть F — конечное расширение поля рациональ- рациональных чисел Q. Элемент поля F называется целым алге- алгебраическим числом, если он является корнем многочлена с коэффициентами d,eZ. Теорема 1.4. Множество A = A(F) всех целых алгебра- алгебраических чисел из F является дедекиндовым кольцом с полем частных F. Доказательство этой классической теоремы будет отложено до конца параграфа. . Группа классов идеалов С (Л (/•)) такого кольца ал- алгебраических целых чисел конечна (см., например, Гек- ке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, Гос- техиздат, М.-Л., 1940, или Боревич 3. И., Шафаре- Ъич И. Р., Теория чисел, «Наука», 1972), например, у областей Z[i\, Z[Y~^b\ и Z[(l +j/^23)/2] поряд- порядки группы классов идеалов равны 1, 2 и 3 соответст- соответственно. Дальнейшие примеры приведены в замечании 3.4. Проективные модули над дедекиндовыми кольцами допускают следующую классификацию. Лемма 1.5. Любой идеал дедекиндова кольца Л имеет конечное чист образующих и проективен над Л. Любой конечно порожденный проективный модуль над Л изо- изоморфен прямой сумме идеалов (ti 0... 0 а*. Доказательство. Пусть Ь — ненулевой идеал. Выберем элемент Офа^^Ь, так что а^Л с: Ь, и найдем с из'равенства flo^ = bc. Образующую flo тогда можно выразить в вще-bjCj^-.. .-{• b/fiht где h eb, c(? с. Опре- Определим Л-линейные отображения Ь-»-Л*, Л*->Ь
/. Проективные модули и /С0Л формулами b •—• фсг1а0, .... bckla^ и (дг1( ..., xk) t—»¦ |—*b1Xi+... + bkxk. Так как их композиция тождест- тождественна на Ь, последний конечно порожден и проективен. Любой конечно порожденный проективный модуль Р погружается, в свободный модуль Л* для некоторого k, Проектируя иа k-e слагаемое, получаем гомоморфизм ф: Р -у А с ядром Кег ср с= Л*. Его образ ф (Р) = ak есть идеал и потому проективен; значит, Р ^ Кег ср ф а*. Индукция по k завершает доказательство. ¦ Замечание. Вообще любой конечно порожденный мо- модуль без кручения погружается в'Л* для некоторого k; то же рассуждение показывает тогда, что ои проективен. Теорема 1.6 (Штейниц). Две прямые суммы ненуле- ненулевых идеалов аг ф ... ® аг и Ьх ф ... ф Ь, изоморфны как А-модули в том и только том случае, когда r=*=s и классы идеалов {ах ... аг} и {f>i... bs} совпадают. (Ср. Kaplansky I., Modules over Dedekind rings and valuation rings, Trans. Amer. Math. Soc, 72 A952), 327-340.) В ^первой части доказательства можно считать, что Л — любая область целостности. Заметим сначала, что если а с Л — ненулевой идеал, то любое Л-линейное отображение <р: а -г>- Ъ с Л определяет единственный эле- элемент q поля частных кольца Л с условием Ф(°) =Яа Для всех ого. Чтобы установить это, запишем аоср (а) = ф (р^а) = ф {а0) а и разделим на uq, это даст q — ф (ао)/ао. Аналогично для любого Л-линейного отображения ф: &\ Ф .. • ф. Яг -*¦ К Ф • •. ф bs существует единственная (s х г)-матрица Q = (gij) с эле- элементами из поля частных, такая* что t'-я компонента вектора ф(аи ..., аг) = ф1г ..., bs) имеет вид для всех (аи ..., or)e«i0 ...фа,. Если ф — изо- изоморфизм, эта матрица должна быть обратима, так что
22 $ /. Проективные модули и /С0А r = s. Теперь мы утверждаем, что bi ••• b, = (detQ)ai... лг. В самом деле, для любой образующей аг ... аг идеала at-... аг .произведение (detQ)flx ... аг можно предста- представить в виде определителя произведения матриц 0 ... 0\ О а, ... О О ... 1-я строка которого состоит из элементов #;О/ идеала bt. Это показывает, что > (detQ) ai ... circzbx ... b,-. Аналогично (detQ-1)^ ..". 'brcza! ... ar. Умножая эту последнюю формулу на detQ и сравни- сравнивая ее с предыдущей, находим bi... b, = (detQ) ax... a,. Значит, классы идеалов {cti... аг) и {bx... br} совпадают, что доказывает первую часть теоремы 1.6. Чтобы установить теперь, что г и класс идеалов {cti ..-. ar} составляют полную систему инвариантов мо- модуля cti ф ... 0 а„ очевидно, достаточно доказать сле- следующий факт. Лемма 1.7. Пусть а, Ь — ненулевые идеалы дедекин- дова кольца Л. Тогда модуль а ф b изоморфен Л10 (ab). Если а и b взаимно просты (a + b = Л), это можно до- доказать так. Отобразим афЬ на Л1: афбн-*-а-\-Ъ. Ядро, очевидно, изоморфно а[\Ь. Из проективности Л1 следует, что точная последовательность 0 -*• а П Ь -*• -*- а Ф b -*¦Л1 '-*¦ 0 расщепляется, откуда а ф b ^ ^Л1ф(аГ)Ь). Но пересечение afjb совпадаете произ- произведением идеалов ab. Действительно, включение ab с: с: а П b очевидно; кррме того, если 1 =Оо + 60> т0 любой элементаs af)b можно представить в виде x=aox-\-xbQ, так что х s ab. Тем самым • а ф b ^ Л1 ф ab, что и тре- требовалось. В общем случаемы воспользуемся дедекиндовостью Л, чтобы заменить а идеалом,, взаимно простым с Ь. Оче- Очевидно, достаточно установить следующее.
§ I. Проективные модули и КаЛ 23 Лемма 1.Й. Пусть а, $' — ненулевые идеалы дедекин- дова кольца А. Тогда существует идеал а'', принадлежа- принадлежащий классу {а} и взаимно простой с Ь. Для доказательства нам понадобятся два стандарт- стандартных свойства дедекиндовых колец. Лемма 1.9. Любой ненулевой идеал дедекиндовой области А однозначно представляется в виде произведе- произведения максимальных идеалов. В самом деле, пусть шх гэ а максимален; тогда а = ш1а1 для некоторого идеала <i1( затем, аналогично, а! = ш2а2 и так далее! где «c^citjC Эта после- последовательность должна стабилизироваться, потому что Л нётерово в силу леммы 1.5. Получившееся разложение однозначно.Действительно, еслиmt..7mk — хл\... mi, то mj zs- mi... mk; пользуясь простотой mj, получаем отсюда, что jnj содержит одиГн из идеалов т* и потому совпа- совпадает с ним. Индукция по max (k, I) с использованием замечания 1.3 доказывает единственность. ¦ Лемма 1.10. Для любого ненулевого идеала а деде- киндова кольца А факторкальцо Л/а является кольцом главных идеалов {обычно с делителями нуля). Доказательство. Пусть mlf.... mk — различные простые идеалы, содержащие а, Покажем сначала, что каждый из т< по модулю а становится главным. Пусть ^i —элемент кольца, принадлежащий ть ио не mi. Так как идеалы mf, т2, ..., тк попарно взаимно просты (использовать 1.9), существует такой элемент кольца уи что #!=*! mod m|, . • «/i==l mod щ при />Г (китайская теорема об остатках; см., например, Ленг С, Алгебра, «Мир», М., 1968). Значит, идеал, порожденный yi и а, содержится в ть но не в т{ и не в других мак- максимальных идеалах. Из леммы 1.9 следует, что он дол- должен совпадать с т^ . Это показывает, что % — главный идеал по модулю л. Но любой идеал в А/а разлагается в произведение
24 § I. Проешидные модули максимальных идеалов. Это завершает доказательство леммы 1.10, ¦ Теперь мы готовы к доказательству леммы 1.8. Для данных ненулевых идеалов д и b выберем ненулевой элемент Oq^ а и определим г из уравнения га = а0Л. Применив 1.10 к идеалу rmodbr, получаем, что г по- порожден Ьх и некоторым элементом х0. Умножая на а и деля на а0 равенство находим Поскольку- идеал ахо/а0, очевидно, принадлежит классу {а}, это доказывает лемму 1.8 и завершает до- доказательство теоремы 1.6. ¦ • Следствие 1.11 Если А — дедекиндово кольцо,^ то /СоЛ = Z 0 /С0Л. Аддитивная группа идеала KaS- — кано* нически изоморфна группе классов идеалов С (Л), а произ- произведение любых двух элементов этого идеала равно нулю. Действительно, соответствие .. ©а,]>-~(г, {аг ... аг}) определяет изоморфизм /СоЛ. с Z0C(Л). Напомним, Что /СоЛ можно отождествить с множеством разностей [Р] — [Ql> Аля которых (ранг Р) = (ранг Q). Поэтому каждый элемент /С0Л можно. записать в виде [а] — [Л1]. Остается доказать, что Но произведение [а] [Ь] = [а (х) Ь] равно [аЬ]. Действи- Действительно, проективные модули а®Ь и аЬ оба имеют ранг Г, так что естественное отображение тензорного произведения на произведение идеалов является изо- изоморфизмом. Теперь требуемое следует из 1.7. ¦ Замечания. Группа классов идеалов С (Л) естественно отождествляется с мультипликативной группой 1 -)- /С0Л единиц кольца /(„Л. Нечто подобное верно и для лю-
§ 1. Проективные модули и 7@Л 25 бого коммутативного кольца. Назовем модуль М над коммутативным кольцом Л обратимым, если существует такой модуль N, что М (х) N — свободный модуль с одной образующей. Множество классов с точностью до изо- изоморфизма обратимых модулей, очевидно, образует группу относительно тензорного произведения. Это — группа Пикара Pic (Л). Можно показать, что модуль обратим тогда и только тогда, когда он проективен, конечно порожден и имеет ранг 1 .над каждым простым идеалом (ср. Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, «Мир», М., 1971, гл. 2, стр. 164). Далее, внешний квадрат Е%М обратимого модуля равен нулю, ибо это — проективный модуль ну- нулевого ранга над каждым простым идеалом (там же, стр. 124). Поэтому Pic (Л) вкладывается в группу еди- единиц. /@Л. В самом деле, если два обратимых модуля ~М и М' стабильно изоморфны, М 0Лг^ёЛГ фЛг, то, вычислив (г-(-1)-ю внешнюю степень обеих частей, на- находим М = М' (Басе доказывает более сильное утверж- утверждение,: -существует каноническая проекция аддитивной группы KqA на мультипликативную подгруппу Pic (Л) с: с К0Л). В случае дедекиндова кольца Л ясно, что Pic (Л) канонически изоморфна группе классов идеалов С (Л). В заключение § 1 докажем теорему-1.4. Пусть/7 — конечное расширение поля рациональных чисел. Мы хотим установить, что множество Л всех целых алгеб- алгебраических чисел-в F является дедекиндовым кольцом. Пусть л —степень F над Q. Удобно называть адди- аддитивную подгруппу с конечным базисом, в F решеткой. Любая решетка L является свободной аддитивной абе- левой группой ранга ^л. Произведение LL' двух ре- решеток в F — это решетка, порожденная всеми произве- произведениями //' с /еL иГеV. Лемма 1.12. Элемент /ef является целым алгебраи- алгебраическим числом в том и только том случае, когда сущест- существует ненулевая решетка LcF с условием fLaL. Действительно, если / — корень многочлена xk + кг + ... + ak с коэффициентами в Z, .то элементы
26 § 1. Проективные модули и /?0Л поля I, f, Р Z* порождают решетку L = Z\f], для которой /L с: L. Обратно, если fLczL, где/, порож- порождена элементами blt ..., bk, то i где [flij) — некоторая целочисленная матрица. Записав эти уравнения в виде I где (8tj) — единичная матрица &-го порядка, мы полу- получаем, что столбцы матрицы -(fbtj — atj) линейно зави- зависимы. Значит, / удовлетворяет уравнению над Z со старшим коэффициентом 1 что доказывает 1.12. ¦ Отсюда видно, что множество Л целых алгебраических чисел в F замкнуто' относительно сложения и умноже- умножения. Действительно, если А,, цеЛ и L и L' — такие решетки, что , KL <=. L, \iL' с V, то произведение L"—LV удовлетворяет условиям (A,-fp,)L' aL' и AfiL' aL'. Тем самым Л является кольцом. ., ' Лемма 1.13. Кольцо А является решеткой ранга пв F. Для доказательства используем- свойства следа F над Q. Напомним, что если F' zd F — расширение Галуа поля Q, то аддитивный гомоморфизм : F-+Q можно определить формулой где оь ..., ап — разные погружения F в F (см., напри- например, Ленг С, Алгебра). Заметим, что множество целых алгебраических чисел в Q совпадает с Z. Действительно, если дробь ajb
§ 1. Проективные модули и КЛЛ > 27 является корнем многочлена со старшим коэффициентом. 1 над Z, то, освобождаясь от знаменателей, нахо- находим, что любой простой делитель Ь должен также делить а. Стало быть, след из F в Q отображает Л в" Z. В самом деле, след целого алгебраического числа из F одновременно цел (в F') и принадлежит Q. Теперь заметим,. что у каждого элемента / поля F есть целое кратное- /+/+... + f = mf, которое является целым алгебраическим числом, Действительно, предста- представив / в виде корня многочлена с целыми коэффициен- коэффициентами, мы можем взять в качестве т модуль старшего коэффициента.. По этой причине поле частных кольца Л совпадает с F. Рассмотрим теперь Q-бияинейное спаривание из FxF в Q. Оно невырожденно, и0о для каждого ?ФО можно взять/' = 1// и получить trace (ff) Ф0. Выберем целые алгебраические числа Хи ..:¦, Хп, обра- образующие базис F иад Q. Тогда Q-линейная функция /1-* (tracer (Я,/), .... tracer (Xnf)) из F в Q 0 ... 0 Q биективна и v погружает Л в прямую' сумму Z© ... (&Z. Значит, аддитивная группа Л конечно порождена. Это доказывает лемму 1.13. ¦ Отсюда вытекает, что любой ненулевой идеал ad A также является решеткой ранга п в F. Вот еще три важных следствия леммы 1.13. A) Кольцо Л нётерово. В самом деле, если а — ненулевоД идеал, то кольцо Л/а конечно, так что а содержится лишь в конечном числе идеалов'. B) Любой ненулевой простой идеал в Л максимален. Действительно, факторкольцо Л/р конечно, не имеет делителей нуля и, значит, является полем. C) Если элемент f в поле частных кольца Л удовлет- удовлетворяет условию facia, где Ъ — некоторый ненулевой идеал Л, то f е Л.
28 § 1. Проективные модули и /@Л .Иными словами, Л делозамкнуто в своем поле частных. Это следует из 1.12. . Теперь мы докажем, что любое кольцо без делителей нуля, удовлетворяющее условиям A), B) и C), является дедекиндовым кольцом. Доказательство, принадлежащее Ван-дер-Вардену, исходит из следующего наблю- наблюдения: ; любой ненулевой идеал а в коммутативном не'теро- вом кольце содержит некоторое произведение ненулевых простых идеалов. . ~ . Действительно, если а прост, доказывать нечего. В противном случае выберем два элемента в кольце, А, и (д., такие, что X, \i ф а, но Ацеа. Тогда идеалы d-fUn a-ffiA строго больше а, но их произведение содержится в а. Теперь, предполагая по индукции, что наше наблюдение верно для этих двух больших идеа- идеалов, получаем, что оно верно и для а. (Имеется в виду «нётерова- индукция»; учесть, что Л — нётерово кольцо.) Пусть теперь даны кольцо Л, удовлетворяющее условиям A), B) и C), и ненулевые идеалы net. Мы хотим показать, что a = bc для некоторого идеала с. Примем индуктивное предположение, что этот факт ве- верен для любого идеала Ь', строго большего, чем Ь, и для любого идеала а' сг Ь'. Индукция начинается с три- тривиального случая Ь = Л. Выберем в b ненулевой элемент Ь и рассмотрим произведение максимальных идеалов рх ... рг с: АЬ с наименьшим возможным г. Выберем также максималь- максимальный идеал р гэ Ь. Так как р содержит \\ ... pr, р содер- содержит один из ph так что ? = р;. Пусть для конкретности р = j.v Так как г минимально, произведение у2 ... рг не содержится в ЛЬ. Значит, существует такой элемент сер2 ••• Рп что сфЛЬ. Очевидно, сЪ cz ср cz р2 ... ргр = р! ... pr cz АЬ. Поэтому (с/Ь)ЬаА, хотя элемент c/b eF и не лежит в Л. Рассмотрим идеал Ь' = Ь~1 (АЬ + Ас) Ь = Ь + (Ф) Ь
§ I. Проективные модули и f@A 29 в Л. Так как ф ф Л, из C) следует, что Ь' строго больше Ь. Согласно индуктивному предположению, для любого aczb уравнение а = Ь'с' имеет решение с'. Полагая c = b-1(Ab + Ac)c'<=.F, получим Ьс = Ь-1 (ЛЬ + Ас) ЬС = Ь'с' = а, что и требовалось. Это множество с содержится в Л, потому что Ьс с: b [ср. C)]. Это показывает, что Л — дедекиндова область, и завершает доказательство тео- теоремы 1.4. ¦
§ 2. КОНСТРУКЦИЯ ПРОЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ Рассмотрим некоторый коммутативный квадрат гомо- гомоморфизмов колец Л 4. Л! . h -Ы- удовлетворяющий следующим двум условиям. Условие 1, Л является произведением Л] и Л, над Л'. Иными словами, для любых двух элементов А,! е Аг и А,г е Лг с общим обрезом jx (А^ = /а (А,2) е Л' существует единственный элемент АеЛ, для которого *i(X)-=X, и *,(Л) = Ъ- Условие 2. По крайней мере один из двух гомо- гомоморфизмов /lt /, сюръективен. В этой ситуации мы покажем, как строить проек- проективные модули над Л, пользуясь проективными моду- модулями над Aj и Л2 как строительными блоками. Обозначения. Пусть /: Л -*¦ Лх — гомоморфизм колец, а М — левый Л-модуль. Напомним, что через f#M обо- обозначается индуцированный левый Агмодуль Аг^)М. А Существует каноническое А-лилейное отображение Например, если М — свободный модуль над А с бази- базисом {Ьа\, то f#M — свободный, модуль"над At с бази- базисом {f*ba}. ¦ ¦ . Вернемся теперь к коммутативному квадрату колец, подчиненному условиям 1 и 2, Основная конструкция. Предположим, что заданы проективный Ax-модуль Plt проективный Aj-mo- дуль Р% и изоморфизм А'-модулей
§ 2. Конструкция проективных модулей Ц Обозначим через М = М(Ри Pt,h) подгруппу произ- произведения PiXPit состоящую из всуе пар (plt pj с усло- условием л/ц, _(ро=/2* (р2). Таким образом, мы получаем коммутативный квадрат аддитивных групп МР удовлетворяющий аналогам условий-1 и 2. Превратим М в левый.Л-модуль, положив Л-(Л, />2) = (ti(X)-plf ta(*)-p2). Теорема 2.1. Модуль М = М(Ри Р2, И) проективен над Л. Кроме того, он конечно порожден над Л, если Pi и Р2 конечно порождены над At и Aj соответственно. Теорема 2.2. Любой проективный А-модуль изоморфен М(Рг, Pz, h) для.подходящих Ри Р2 и А. Теорема 2.3. Модули Pt и Р2 естественно изоморфны модулям ii#M и i2#M соответственно. Остаток § 2 посвящеи доказательствам. Прежде чем доказывать теорему 2.1 в общем случае, мы рассмотрим ситуацию, в которой Рх и Р2 свободны. Выберем базис {ха} для Pt над Ах и базис {у$} для Рг над Aj. Они определяют базисы \JuXa] модуля »i #^i и {/г*#э} модуля fa#Pi над Л'. Изоморфизм A: /i#Pi-»-/2#Pt полностью описывается матрицейх) иад Л', для которой х) Нас^в основной будут интересовать случаи, когда множе- множества индексов {а} и {0} конечны. Однако рассуждения проходят и для "бесконечных множеств, если условиться, -что у бесконечных «матриц» а каждой строке число ненулевых элементов конечно.
32 § 2. Конструкция проективных модулей Матрица (а^р) может возникнуть в этой конструкции тогда и только тогда, когда она обратима, то есть имеет левую и правую обратную (Ь) Лемма 2.4. Предположим, что А = (й^р) является ^-образом некоторой обратимой матрицы над Л2. Тогда модуль M = M(Pi, Рг, h) свободен. Доказательство. Положим аар = /2сар, гДе (с«р) обратима. Пусть, далее, ' Очевидно элементы {у'а} образуют базис модуля Р2. Тождество показывает тогда, что пара принадлежит подмодулю М(Ри Рг, h) сРхХР^ Теперь легко проверить, что М {Р\, Р2, h) свободен над Л с базисом {га}. Щ -- Лемма 2.5. Если Рг и Рг свободны, a j3 сюръективен, то М {Ри Р2» А) проективен. Доказательство. Пусть Qx — свободный Лгмо- дуль с базисом {«р}, находящимся во взаимно однознач- ном соответствии с базисом {у$} модуля Р2. Аналогично пусть Q2 — свободный Л2-модуль с базисом {va}, нахо- находящимся во взаимно однозначном соответствий с бази- базисом {ха} модуля Pi. Рассмотрим изоморфизм 8м- /i#Qi-*/2#Qi о матрицей Л, где А =¦ (aaP) — матрица h. Тогда М (Plt Pt, h)®M (Qj, Q2, g) s где ft®g имеет матрицу вида (A 0 ,0 А-
§ 2. Конструкция проективных модулей 33 над Л'. Мы докажем, что эта составная матрица удов- удовлетворяет условию леммы 2.4. Отсюда будет следовать, что модуль M(Pt(&Qi, P2®Q2, h®g) свободен и, значит, М (Рг, Р2, Н) проективен. Начнем с тождества IA i\J!A\r I уЛ/0~'1 \0 А-1/ \0 IJX—A-1 /До /Д/ О/ Так как /а сюръективен, первый множитель справа, очевидно, поднимается до матрицы вида [ ) в Л2. Но любая матрица такого вида обратима. Остальные множители поднимаются аналогично. Это доказывает 2.5. ¦ Теперь рассмотрим общий случай теоремы 2.1, где модули Plt P2 предполагаются только проективными и задан изоморфизм Лемма 2.6. Существуют такие проективные модули Qt Ai и Q2 над Л2, что Рг © Qx и Р2 © Q2 свободны и Доказательство. Поскольку Pi проективен, во всяком случае можно подобрать такой Лх-модуль Aflt что Ях ф Л^! свободен ранга г. Здесь г — любое карди- кардинальное число; если Pi конечно порожден, можно счи- считать, что г конечно. Положим Аналогично подберем Ыг так, чтобы />,еЛГ,^(Л,)'. Применяя /i# и /г# соответственно и полагая - P' = jl#Pi получим
34 § 2. Конструкция проективных модулей Положив теперь найдем, что /i#Qi = /2#Q2, а это и требовалось, щ Доказательство'теоремы 2.1. Выберем Qx и Q2, как выше, , и фиксируем некоторый изоморфизм Из сюръективности '/2 следует, что модуль (Qlt Q2, k) ^ проективен в силу леммы 2.5. Значит, модуль М (Plt Рг, h) проективен. В случае когда Pi, P2 конечно порождены, мы должны доказать то же для М (Ри Рг, h). Модули Qu Q2 можно тогда считать конечно порожденными. Про- Просматривая доказательства лемм 2.4 и 2.5, мы убежда- убеждаемся, что все конструкции в них сохраняют конечную порожденность. Значит, М (Ри Р2, h) является прямым слагаемым конечно порожденного модуля и потому конечно порожден. Это завершает доказательство тео- теоремы 2.1. || Доказательство теоремы 2.2. Если Р про- проективен над Л, положим Так как /iii = /Va> существует канонический изомор- изоморфизм Л: ji#Pi-+J2#Pi. Диаграмма р 1м р1 очевидно, удовлетворяет аналогам условий 1 и 2. В частности, Р является произведением Рх и Pi наД P* Поэтому P=zM(Plt Pt, h). щ
§ 2. Конструкция проективных модулей ¦ 33 Доказательство теоремы 2.3. Для любого модуля М = М (Pi, Р2> h) естественное Л-линейное ото- отображение M-^-Pi порождает Л-линейное отображение Мы должны показать, что это изоморфизм. Частный случай. В условиях леммы 2.4 модули i\#M и Pi свободны над Лх и их базисы отображаются взаимно однозначно посредством /. Значит, / — изо- изоморфизм. Общий случай. Доказательство теоремы 2.1 состояло в проверке того, что каждый из модулей M_(Plt P2,_h) является прямым слагаемым модуля М (Pi©Pi, Р2ФР2. h©А), удовлетворяющего условиям леммы 2.4. Значит,, связанное с ним отображение /©/ является изомор- изоморфизмом. Потому и / — изоморфизм, что завершает дока- доказательство. ¦
§ 3. ГРУППА УАЙТХЕДА Кг Пусть GL (п, Л) — полная линейная группа, состоящая из обратимых (яхя)гматриц над кольцом Л, и пусть GL (Л) — прямой предел (т. е. объединение) последова- последовательности GL(l, A)cGLB, A)crGLC, A)c..f где погружение GL(n, Л) в GL(n-\-l, Л) определяется так: ¦ М 0 ' 0 Матрица из GL(A) называется элементарной, если она отличается от единичной матрицы в одном-единственном не диагональном члене. Лемма Уайтхеда 3.1. Подгруппа Е (A) cr GL (А), по- порожденная всеми элементарными матрицами, совпадает с коммутантом группы GL(A). Доказательство. Легко проверить, что каждая элементарная матрица является коммутатором двух дру- других элементарных матриц (ср. § 5). Наоборот, любой коммутатор АВА'Ч}'1 в GL (п, А) представляется в виде IA О \1В 0 \HBAy1 0 \ '¦ \0 Л']/\0 ?"V\ О ВAJ в GLBn, А). В доказательстве леммы 2.5ч показано, как каждый из этих множителей можно разложить в произведение элементарных (ср. лемму 4.3). ц Таким образом, Е (А) — нормальная подгруппа в GL (А), а фактор GL (А)/Е (А) является корректно определенной абелевой группой. Определение. Факторгруппа GL (А)/Е (А) называется группой Уайтхеда KiA. Мы будем записывать KiA иногда аддитивно, а иногда мультипликативно. Ясно, что любой гомоморфизм колец /: Л-> Л' инду- индуцирует гомоморфизм групп /*: KiA-^KiA'. Таким образом, Ki — ковариантный функтор.
§ 3. Группа Уайтхеда ^Л 37 Замечание. Пусть Я — любой конечно порожденный проективный модуль над Л, a Aut (Я) — группа его Л-автоморфизмов. Интересно заметить, что существует канонический гомоморфизм Aut(F)-»-KiA. В классическом случае линейных преобразований век- векторного пространства это просто определитель. Он строится так. Выберем такой конечно порожден- порожденный проективный модуль Q, что Я 0 Q свободен. Пусть bi br — его базис над Л. Каждый автоморфизм а модуля Я определяет автоморфизм а 0 10 модуля Р ®Q. В выбранном базисе последний представлен некоторой матрицей из GL (г, Л). Лемма 3.2. Описанное вложение Aut (Я) с Aut (P®Q)g^ GL (г, A) a GL (А) определено с точностью до внутреннего автоморфизма группы GL (А) и, значит, определяет канонический гомо- гомоморфизм Aut (Я) ->-/CiA. Доказательство. Пусть Ь[ Ь[ — другой базис Я0(?. (Мы должны учесть возможность того, что s^г.) Тогда Ь1 = ^сцЬ}; где (вх^-матрица С = = (сф обратима. Пусть Л —матрица автоморфизма а 0 10 в первоначальном базисе {6,}. Матрица, сопря- сопряженная с А в GL(r-\-s, А) посредством квадратной матрицы . 1С О о с- имеет вид С AC'1 e GL (s,A) и, значит, описывает автомор- автоморфизм а 0 10 в новом базисе. Таким образом, замена базиса меняет наше вложение только на внутренний автомор- автоморфизм GL(A). • Кроме того, если заменить Q другим модулем Q.', так что, скажем, Я ф Q' ^ А', то Q 0 А' ^ Q' ф Аг. Значит, и другой выбор Q действует на вложение как внутренний автоморфизм. Это завершает доказатель- доказательство. ¦
38 §8. Группа Уайтхеда Предположим теперь, что кольцо Л коммутативно. Тогда можно дать следующее определение умножения Пусть [Я] —любая образующая группы /С<Д. Соответ- ствие си-*1р®а определяет некоторый гомоморфизм группы автомор- автоморфизмов Aut(A") ^GL(n, Л) в Aut(P<g)A"). (Здесь сим- символ (g) означает тензорное произведение над Л.) Комби- Комбинируя эту конструкцию с гомоморфизмом из леммы 3.2, мы получаем сквозное отображение GL (п, Л) ->- Aut (Р ® Ля) •-». /CiA, которое будет обозначаться через h(P). Тождество ') = А(Р)+А(Р') показывает, что гомоморфизм h(P) зависит только от класса Р с точностью до стабильного изоморфизма и, значит, только от элемента [Р] е К0А. Перейдем теперь к прямому пределу при я-»-со и затем к фактору по коммутанту. По определению получившийся гомомор- гомоморфизм из /CiA в /CiA переводит каждый элемент k в произведение [P]k. Это и дает умножение /С0Л® (g)/CiA-*-/CiA, превращающее /CiA в модуль над коль- кольцом /СоЛ. Другая характерная черта коммутативного случая состоит в том, что существует обычный определитель, который позволяет расщепить /CiA в прямую сумму. Пусть Л'— мультипликативная группа всех единиц Л. Тогда сквозное отображение A- = GL(\, A)c^ очевидно, является тождественным. Поэтому, обозначая через SL (Л) с GL (Л) ядро определителя, мы получаем разложение в прямую сумму: Второе слагаемое иногда обозначается через i Во многих интересных случаях специальная линейная группа SL(A) порождена элементарными матрицами, так
§ 3. Группа Уайтхеда /CjA 39 что KiAs^A*. Так, например, обстоят дела для полей, локальных колец, колец с алгоритмом Евклида и колец целых чисел в конечных расширениях поля рациональ- рациональных чисел (ср. п. 16.3). Дальнейшую информацию и ссылки можно найти в работах Milnor J., Whitehead torsion, Bull. Amer. Math. Soc., 72 A966), 358—426; Keryaire M., Le groupe de Whitehead (notes by J. M. Arnaudies, mimeographed), Ecole Norm. Sup. Paris, 1966; de Rham G., Maumary S., Kervaire M., Torsion et type simple d'homotopie, Lecture Notes in Math., 48, Springer, 1967. Точная последовательность „Майера — Виеториса" Рассмотрим теперь квадрат гомоморфизмов колец, удовлетворяющий условиям 1 и 2 из § 2. Мы построим шестичленную точную последовательность: KiA -* KiAi 0 KiA2 -> К А' -+ -у КоА -> Кo^i 0 /С0Ла -> К0Л\ Определим гомоморфизмы полагая (У, z)*-*ii*y-h*z соответственно. Гомоморфизм d:/dA'-»-/<oA определим следующим образом. Представим элемент х е К\Л' неко- некоторой матрицей в GL (п, Л'). Эта матрица определяет не- некоторый изоморфизм/i между свободным Л'-модулем /i#A? и свободным Л'-модулем /2#Л^. Пользуясь обозначениями §.2, мы можем построить проективный модуль М — = М (Л?, Ag, h) над кольцом Л. Положим Нетрудно проверить, что д — корректно определенный гомоморфизм, Теорема 3.3. Построенная шестичленная последова- последовательность точна.
40 § S. Группа Уайтхеда Доказательство нетрудно, и мы опускаем подроб- подробности. Существует очевидная аналогия между этой после- последовательностью и последовательностью Майера — Вието- риса в алгебраической топологии. По этой причине мы назовем и нашу последовательность так же. Пример. Пусть П — циклическая группа простого порядка р с образующей /, и пусть Известно, что _Z[l] совпадает с целым замыканием Z в круговом поле Q [?] и потому является дедекиндовым кольцом. (См. п. 1,4, ср. Lang S., Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970, стр. 75.) Определим квадрат гомоморфизмов Z A F, в котором МО = 6, Л (Б) = Mi @ = 1. Здесь ZU означает целочисленное групповое кольцо циклической группы П, a Fp — поле ZIpZ классов выче- вычетов mod p. Нетрудно проверить," что условия 1 и 2 выполнены. Поэтому существует точная последователь- последовательность Мы докажем следующий факт. Теорема Рима. Гомоморфизм t^ :/С02П->-/C0Z [?] является изоморфизмом. Поэтому вычисление группы KqZU сведется к изу- изучению группы классов идеалов дедекиндова кольца Z($], где 1=^я1/р (см. п. 1.11). Замечание 3.4. Точная структура этой группы клас- классов идеалов известна лишь для простых р < 50. Теория
? 3. Группа Уайтхеда КХА 41 полей классов показывает, что норменный гомоморфизм группа классов идеалов (Z [!])-»¦ -*¦ группа классов идеалов (Z [? +1-1]) всегда сюръективен. (Ср. Chevalley С, С. R. Acad. Sci. Paris, 192 A931), 257-258, или Iwasawa К., Abh. Math., Sent. Hamburg, 20 A956), 257—258.) Кольцо Zfl-j-^1] совпадает с кольцом целых чисел в максимальном вещественном подполе поля Q (?). Порядок ядра этого норменного гомоморфизма называется, от- относительным числом классов Ах (р), а порядок образа принято обозначать через А2(р). Куммер около 120 лет назад указал явную формулу для относительного числа классов, провел явные вычисле- вычисления для р <. 100 и привел некоторые подробности о струк- структуре ядра в нескольких частных случаях. (Прекрасное изложение классической теории можно найти в книге: БоревичЗ. И. и ШафаревичИ.чР., Теория чисел, «Наука», 1972; дальнейшие ссылки см. Whitehead J., Torsion, Bull. Amer. Math. Soc, 72,413, 419.) Второй множитель числа классов Л2 (р) гораздо труднее вычислить.1 Однако Бауэр показал недавно,- что h2(p)=\ при р<50 (Bauer H., Numerische Bestimmung von Klassenzahlen zeeller, zyklischer Zahlkorpern, Journ. of Number theory, 1 A969), №2, 161-162). Объединяя результат Бауэра с явными вычислениями. Куммера, мы получаем следу- следующую таблицу, в которой (т) обозначает циклическую группу Z/mZ. p ==?19 23 29 31 37 41 43 47 Группа классов идеалов 8i BHBHB) C7) (ПHA1) B11) E) 0 A39)
42 § 3. Грдппа Уайтхеда Относительное число классов /ix (р) растет очень быстро с ростом р. Например, Лх (97) = 411322 824 001. Куммер в 1851 г. высказал утверждение, что Ах (р) асимптотически ведет себя как функция G(p) = 2p(p/4na)<p-1)/4 при р-уоо. Энкени и Чоула (Ankeny N. С, Chowla S., The class number of the cyclotomic fields, Canad. J. Math, 3A951), № 4, 486 — 494) доказали более слабое утверж- ДеНИ6 log fa (p)lG(p)) = о (log p) при р-уоо. (См. также Siegel С, Zu zwei Bemerkun-" gen Kummers, Gesam. Abh., Ill, 440.) Отсюда следует, что для больших значений р функция /ix (p) становится строго возрастающей. Доказательство основано на тож- log (Ax (p)/G (р)) = ^= где суммирование производится по' всем степеням прос- простых чисел qn, сравнимым с ± 1 по модулю р, а знак сла- слагаемого совпадает со знаком в сравнении. Гораздо меньше известно о втором множителе Н2(р). Среди простых чисел < 197 есть ровно одно, 163, для которого h2(p) четно. (См. Kummef E., Monatsber. К. Akad. Wiss. Berlin, 1870, 855-880.) Было высказано предположение о том, что /i2(p)=l при р<97, но что Л2 (97) ^ 1 (Schrutka v. Rechtenstamm G., Abh. D. Akad. Wiss. Berlin, 2 A964), 4). Дальнейшие сведения можно найти в статьях" Ankeny N. С, Chowla S., Hasse H., On the class number of the maximal real subfield of a cyclotomic field, Journ. reine angew. Math., 217 A965), 217-220, а также Giffen C, Diffeotopically trivial pe- periodic diffeomorphisms, Invent.math., 11 A970), 340-343. Доказательство теоремы Рима. Так как /2# : K^Z-yKoFp, очевидно, является изоморфизмом, дос- достаточно проверить, что гомоморфизм Д, : K\Z FJ-] ->¦ KiFp сюръективен. Но KiFp совпадает с группой ненулевых элементов поля Fp, т. е. с группой классов вычетов mod p, взаимно простых с р.
§ 3. Группа Уайтхеда /CjA 43 Для каждого простого числа k с 1 <; k «S р — 1 рас- рассмотрим элемент «=»(?*- 1)/(S-O = 1+6+.. -+6М из кольца" Z[|]. Положив ?* = т] и т]' = ^, мы можем рассмотреть также элемент этого кольца. Очевидно, uv—\, так что и — единица в Z[l]. Так как Д (ы) совпадает с классом вычетов k mod p, это показывает, что гомоморфизм /1# сюръекти- вен, что завершает доказательство теоремы Рима (ср. Басе X., Алгебраическая ^-теория, «Мир»,М., стр. 461).¦ Замечание. Аналогичную технику можно применить для вычисления группы KiZIl, если воспользоваться резуль- результатами, которые будут доказаны позже, в пп. 6.4, 9.13 и 16.3. Действительно, нашу последовательность Май- ера — В иеториса можно продолжить влево следующим образом: ... -> 0 -> KxZH -> KiZ [t] 0 /CiZ ^ KJp Л /cozn -> .... Далее группу KiZ [I] можно отождествить с группой единиц кольца Z [|]. Отсюда легко следует, что KiZTL отождествляется с группой единиц кольца ZTL, которая является прямой суммой конечной группы ± П порядка 2р и свободной абелевой группы. Согласно теореме Дирихле об единицах, ранг этой свободной абелевой группы равен нулю для р — 2,3 и (р — 3)/2>0 при р>3. (Дальнейшие сведения и ссылки можно найти в книге: Басе X., Алгебраическая /(-теория, стр.472 — 477.)
§ 4. ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, СВЯЗАННАЯ С ИДЕАЛОМ Пусть а — двусторонний идеал в кольце Л. Мы опреде- определим группы /Соа и /da и докажем следующий факт. Лемма 4.1. Каждый двусторонний идеал а с: А дос- доставляет точную последовательность из шести членов Группы /С<а определяются так. Назовем дублем D = D(A,"a) кольца Л вдоль иде- идеала а подкольцо Ах Л, состоящее из всех пар (А., А,') с Х = к' mod a. Обозначим через рг: D -*¦ Л и ра: D -»- Л два гомоморфизма проекций Определение (Басе, Штейн). Группа /СгД определя- определяется как ядро гомоморфизма р^* : KiD -*¦ /С;А, индуци- индуцированного проекцией рх. Здесь t = 0 или 1. Теперь рассмотрим коммутативный квадрат гомомор- гомоморфизмов колец п л( )а Очевидно, он удовлетворяет условиям § 2 и потому дос- доставляет точную последовательность Майера — Виеториса (п. 3.3). Нужную нам точную последовательность можно теперь извлечь из последовательности Майера — Вието- Виеториса. (Например, в качестве . гомоморфизма /С,-а->/С<Л берется ограничение гомоморфизма р2* : KiD -> /С;Л на подгруппу Кег ри.) Это завершает доказательство лем- леммы 4.1. ¦ Замечание 1. Если кольцо Л коммутативно, то су- существует операция умножения превращающая /С/Л в модуль над кольцом /С0Л. Анало- Аналогично можно определить умножение
§ 4. Точная последовательность, связанная с идеалом 45 В самом деле, если даны элементы с i + / < 11 то можно иетюльзовать диагональное вло- вложение A: A-+D, чтобы определить произведение и нетрудно убедиться, что это произведение лежит в подгруппе Ki+ja. Замечание 2. Группа KiD изоморфна прямой сумме /Ci-Лф /С.а. Для доказательства рассмотрим коммутатив- коммутативный треугольник Замечание 3. В случае когда идеал а совпадает со всем кольцом Л, наше обозначение может показаться на первый взгляд двусмысленным, но тогда /С/а -*¦ /С/Л — изоморфизм, так что никаких проблем не возникает. В другом крайнем случае, когда а = 0, имеем /С,-а = О. Замечание 4. Более серьезная двусмысленность воз- возникает в случае, когда а естественно рассматривать как идеал более чем в одном кольце. На самом деле можно показать, что группа /СоЛ зависит только от структуры а как кольца (без единицы), так что она не зависит от объемлющего кольца Л. Однако для /da это уже неверно. (См. Swan R., Excision in algebraic /(-theory, J. Pure Appt. Algebra, 1 A971), а также п. 6.3.) Здесь следует соблюдать должную осторожность. Басе пользуется обозначением /Ci (Л, а) вместо нашего /da, чтобы подчеркнуть зависимость от Л. (Ср. Басе X., Алгебраическая /(-теория, стр. 349, а также гл. VII, § 5.) Конгруэнц-подгруппы Посмотрим теперь на группу /CiCt с совершенно дру- другой точки зрения. Обозначим через GL(n, а) и назовем конгруэнц-подгруппой, определенной идеалом а, ядро естественного гомоморфизма GL(n, A)-+GL{n, Л/а).
46 § 4. Точная последовательность, связанная с идеалом Оно состоит из всех обратимых (п X п)-матриц вида IxA, где А— матрица с элементами из.а. Следуя Бассу, рассмотрим подгруппу в GL (п, а), порожденную элементами вида STS1, где Т — элемен- элементарная матрица из GL(n, a), a S — любой элемент груп- группы Е (п, Л), порожденный элементарными матрицами порядка п. Эту подгруппу мы будем обозначать симво- символом Е (п, а). По определению это наименьшая нормаль- нормальная подгруппа в Е (п, Л), содержащая все элементар- элементарные матрицы, недиагональные элементы которых при- принадлежат идеалу а. Переходя к прямому пределу при п->-оо, мы получаем соответствующие группы Е (а) с: czGL(a). Леммэ 4.2. Подгруппа ?(a)c=GL(a) является нор- нормальной подгруппой, фактор по которой канонически изоморфен Доказательство. Пусть по-прежнему D — дубль кольца Л вдоль а. Очевидно, группу GL (D) можно отождествить с подгруппой в GL (Л) х GL (Л), состоящей из всех пар обратимых матриц, сравнимых по модулю GL(a). Заметим, что подгруппа IxGL(a)=>GL(D), , где / — единичная матрица, является ядром гомомор- Физма p^ Аналогично подгруппа 1хЕ(а) является ядром гомо- гомоморфизма Pl,:E(D)-+E(A). В самом деле, для любой образующей STS'1 группы Ё (а) пару (/, STS) можно записать в виде (S, S) (/, Т) (S, S), так что она принадлежит Е {D). Наоборот, если (/, X) является произведением элементар- элементарных матриц из GL (D), скажем, (/, X) = (Sb SiTO ... (Sk, SkTk), то X равна произведению (SxTYSr'MSATVVSr1) .••• (Si ... SkTkS-kl ... V) и, значит, лежит в Е (а).
§ 4. Точная последовательность, связанная с идеалом 47 Рассматривая теперь коммутативную диаграмму 1 ->? (a)->GI(a)-*-...-»»/r1a-»-...-> 1 [IX [IX [ ' l-+E(D)-+GL (D) >KiD-+ I I I I 1 _> E (Л) -> GL (Л) ¦ffiA-* 1 мы без труда убеждаемся, что факторгруппа GL (а)/? (а) определена и изоморфна /Ci ct. (Заметим, что Е (D) ото- отображается на Е (Л).) Это доказывает лемму 4.2. ¦ Оставшаяся часть § 4 посвящена различным замеча- замечаниям, которые не будут использоваться впоследствии. Вот другое описание группы Е (а). Лемма 4.3 (Басе). Группа Е (а) совпадает с [Е (Л), Е (а)] = [GL (Л), GL (а)] и, следовательно, является нор- нормальной подгруппой в GL(A). Центр факторгруппы GL (А)/Е (а) совпадает с GL (a)/E (a) g^/d Здесь [GlF G2] —группа, порожденная всевозможными коммутаторами giftgf1^1, где gt e G1( g2 e GB. Доказательство. Включение [Е (Л), E(a)]cz <= Е (а) следует из того, что Е (а) является нормальной подгруппой в Е (Л). Равенство можно установить, если учесть, что Е (а) порождена выражениями вида iji о = [о, 1 J I , где Т1 — элементарная матрица, которая в свою очередь представляется в виде коммутатора [5', 7"] элементар- элементарной матрицы и элементарной матрицы из GL(a) (ср. § 5). Любая матрица Х = 1 + А из GL{n, а) удовлетво- удовлетворяет тождеству \о x-v \o //U /До // \о / Д-хл /у* которое показывает, что
48 § 4. Точная последовательность, связанная с идеалом Так как любая образующая [Y, X] группы [GL(n,A), GL(n, а)] представляется в виде коммутатора матриц га и, значит, лежит в [Е (Зл, Л), Е (Зя, а)], мы получаем [GL(n, Л), GL(n, а)]с[?Cл, Л), Е (Зга, а)]. Переходя к пределу при л->-оо, находим Я (a)]. Следовательно, Е (a) — [GL(A), GL(a)], что показы- показывает нормальность Е (а) в GL(A) и принадлежность фактора GL(n)/?(a) центру GL(A)/E(a). Но любой эле- элемент с центра GL (А)/Е (а) отображается в элемент с' центра группы GL(A)!GL(a)czGL(A!a). Образ с' коммутирует со всеми элементарными матри- матрицами в GL(Ajo) и потому должен быть равен 1. Сле- Следовательно, c^.GL(a)/E (а), что завершает доказатель- доказательство леммы 4.3. ¦ Заметим, что проблема вычисления групп /da равносильна задаче определения всех нормальных под- подгрупп в GL (Л). В самом деле, как показал Басе, для любой нормальной подгруппы N czGL (Л) существует ровно один двусторонний идеал а, такой, что Е (a) cz czNczGL(a) (См. Bass H,. /C-theory and stable algebra, РиЫ. Math. IHES, 22 A964), § 3.1.) Следовательно, ЛГ определяет некоторую подгруппу NIE (а) с: /da. Обрат- Обратно, ясно, что для любого идеала а всякая подгруппа в Ki л определяет соответствующую подгруппу N с czGL(a), нормальную в GL(A). Предположим теперь, что Л — коммутативное кольцо. Тогда существует гомоморфизм «определитель» GL (Л) -> -»>Л\ который дает - разложение в прямую сумму Кха = U (a) 0 SKia. Здесь U (а) означает группу единиц, сравнимых с 1 по модулю а, и 5/C;a = SL
§ 4. Точная последовательность, связанная с идеалом 49 где SL (а) — группа матриц с единичным определителем в конгруэнц-подгруппе GL(a). Если Л — дедекиндово кольцо, можно показать, что группа SKi& мало зависит от а в том смысле, что для любого меньшего ненулевого идеала b с: а естественный гомоморфизм всегда сюръективен (ср. п. 6.6). Примеры. Если S.— Z, то S/da = 0 для всех идеалов а. (См. Mennicke J., Finite factor groups of the unimodular group, Ann. of Math., 81 A965), 31—37, или Bass H., Lazard M., Serre J.-P., Sous-groupes d'indice fini dans SL(n, Z), Bull. Atner. Math. Soc., 70 A964), 385 — 392.) To же верно для кольца.целых алгебраических чисел в любом конечном расширении поля рациональных чисел, которое можно погрузить в вещественное поле. С другой стороны, если Л — кольцо целых чисел вполне мнимого числового поля, а идеал а достаточно мал, то S/Ci а является нетриви- нетривиальной конечной циклической группой, которая изоморф- изоморфна группе всех корней из единицы в Л. Дальнейшие сведения читатель может получить из литературы, спи- список которой дан в конце введения.
§ 5. ГРУППЫ СТЕЙНБЕРГА И ФУНКТОР Этот параграф посвящен соотношениям между элемен- элементарными матрицами над кольцом Л. Обозначим через efy. e GL (га, Л) элементарную мат- матрицу с элементом К на (i, /)-м месте. Здесь /, / — любые разные целые числа между 1 и га, а Я —любой элемент кольца. В этих обозначениях (Заметим, в частности, что (А) == ezl,) Коммутатор [a, b] = aba1b'^ двух элементарных мат- матриц вычисляется так: 1 ПрИ / ф k, гф I, ^ при /=*' 1ф1' при \-фк, / = /. (Обратите внимание, что.случай j = k, i = l отсут- отсутствует в этом списке. Дело в том, что простой фор- формулы для je*-., ett] нет.) Следуя работе Стейнберга (Steinberg R., Generateurs, relations et revetements de grdupes algebriques, Colloq. Theorie des groupes algebriques, Bruxelles, 1962,113—127), мы введем абстрактную группу, определенную образую- образующими и соотношениями, которые призваны имитиро- имитировать поведение элементарных матриц. Пусть снова i, j пробегают все пары разных целых чисел между 1 и га, а X, [х — элементы из Л. Определение. При га ^ 3 группа Стейнберга S (га, Л) порождена образующими xh. с соотношениями (Г) Иг x?i\ = B) Иг (Иными словами, St (n, Л) — это факторгруппа где «^" — свободная группа, порожденная символами
§ 5. Группы Стейнберга и функтор К$ 51 а <М — наименьшая нормальная подгруппа, в факторе по которой выполнены приведенные выше соотношения.) Ограничение «2зЗ наложено потому, что при п — 2 соотношения становятся ^совершенно неадэкватными. Определим канонический гомоморфизм ф: St(n, A)->GL(n, Л) формулой ф (х^.) = е^. Это отображение действительно определяет гомоморфизм, потому что каждое из опре- определяющих соотношений между образующими группы St (n, Л) превращается в тождество между элементар- элементарными матрицами. Образ ф(81:(га, A))cGL(ra, Л), разу- разумеется, совпадает с подгруппой Е (п, Л), порожденной элементарными матрицами. Перейдем теперь к прямому пределу при п-+оо. Это определит группы и гомоморфизм <р: St (A)->GL (Л). Заметим, что образ ф (St ( Л)) = Е (Л) совпадает с ком- коммутантом группы GL(A) (ср. 3.1). Определение. Ядро гомоморфизма ф: St (Л) ->- GL (Л) обозначается /С2Л. Мы докажем следующий факт. Теорема 5.1. Группа /С2Л = Кегф совпадает с цент- центром группы Стейнберга St(A). Группа /С2Л, таким "образом, абелева и входит в точную последовательность l-*./C,A-*.St(A)-*GL(A)-*/CiA-*l. Интуитивно /С2А можно представлять себе как группу всех нетривиальных соотношений между элементарными матрицами (ср. Gersten S., Thesis, Cambridge, 1965) по модулю «тривиальных» — следствий из A), B) и C). Действительно, любое соотношение exi e\ A _/ li'i Va . V/- между элементарными матрицами определяет некоторый элемент х\х)\ ...х)г. группы /С2А, и любой элемент /С2А получается так.
52 § 5. Группы Стейнберга и функтор Вот пример: матрица в Е B, Z) представляет поворот на 90° и потому имеет период 4. Соотношение в Е (Z) определяет некоторый элемент (лг}^1*}^4 в K2Z. В § 10 мы увидим, ¦ что KZZ — циклическая группа порядка 2 и лорождена как раз этим элементом (Д^й'л:}»)*. Заметим, что К2 — ковариантный, функтор на коль- кольцах со значениями в абелевых группах. Действительно, любой гомоморфизм колец Л->Л', очевидно, опреде- определяет коммутативную диаграмму 1 ^КЛ -+ St (Л) -> GL (Л) -> КЛ -+ 1 III I 1 ^КЛ' -* St (Л') -> GL (Л') ->/dA' -v 1. Доказательство теоремы 5.1. Сначала напом- напомним хорошо известный факт, что (п X я)-матрица (а,у) коммутирует со всеми элементарными (пхп)-матрицами в том и только том случае, когда (atj) диагональна, Оц = Огг = • • • = о-пп и эти элементы лежат в центре кольца Л. Действительно, прямое вычисление показы- показывает, что если (flij) коммутирует с eh, то ац, — 0 и akk = ац. В частности, никакой элемент подгруппы Е(п-\, A)czE{n, Л), кррме единичного, не лежит в центре группы Е (п, Л). Переходя к прямому пределу при п~*-оо, получаем, что центр предельной группы Е (Л) тривиален. Значит, элементы центра группы St(A) должны переходить в центр Е (Л), т. е. в единицу, при гомомор- гомоморфизме чр. Обратно, пусть ф(^) = /. Мы должны установить, что у коммутирует с любой образующей xjy группы Стейнберга. Выберем такое достаточно большое целое число п, что у представляется в виде произведения образующих x\t с i<^n и /<«¦ Обозначим через Рп
§ 5. Группы Стейнберга и функтор Ki 53 подгруппу St (Л), порождённую образующими *•*,, х?п,... •••> *?_i п» гДе Р пробегает элементы Л. В силу соот- соотношений A) эта группа коммутативна. Лемма 5.2. Любой элемент группы Рп однозначно записывается в виде произведения Следовательно, канонический гомоморфизм ф отображает Рп изоморфно в группу Е (Л). Доказательство получается непосредственно. Заметим теперь, что ^Рпхг.кс1Рп, если /, /<л. Действительно, любой элемент 'rfjtfaxf\ сопряженный с образующей группы Р„, равен либо х%п, либо х*;*х%п в соответствии с тем, / ^ k или j = k. Но оба этих выражения сами лежат в Р„. Учитывая теперь, что у является произведением образующих л* с /, /<п, получаем yPny-lczPn. Но поскольку ф (у) = /, у на самом деле коммутирует со всеми элементами р е Р„. Действительно, Ф (УРУГ1) = Ф (У) Ф (Р) Ф (Г1) - Ф (Р). так что ypyl — p в силу 5.2. Таким , образом, у коммутирует с любой образую- образующей x?n, k<^n. Совершенно аналогичное рассуждение показывает, что у коммутирует со всеми х*г /<л. Значит, у коммутирует и с коммутатором для всех k^l, k, 1<^п. Это завершает доказательство 5.1, потому что п можно взять как угодно большим. ¦ Универсальные центральные расширения Существует более инвариантная характеризация группы Стейнберга St (Л) как «универсального цент- центрального расширения» группы Е (Л) = [GL (Л), GL (А)].
54 § 5. Группы Стейнберга и функтор К$ Это описание было дано Стейнбергом и Кервером. Нач- Начнем с необходимых определений. - Центральным расширением группы G называется пара (X, ф), состоящая из группы, X и гомоморфизма ф из X на G, ядро которого принадлежит центру X. (Если из контекста ясно, какой гомоморфизм имеется в виду, то мы для краткости будем называть цент- центральным расширением G просто X.) Центральное расширение (U, о) группы G назы- называется универсальным, если для любого центрального расширения (X, ф) группы G существует единственный гомоморфизм U на X над G (т. е. гомоморфизм h: U -»- X со свойством (p»/i = u). Ясно, что если такое универсальное центральное расширение существует, то оно определено однозначно с точностью до изоморфизма над G. Чтобы описывать универсальные центральные расширения, нам понадо- понадобятся еще два понятия. Центральное расширение (X, ф) группы G расщеп- расщепляется, если у него есть сечение, т. е. гомоморфизм s: G^>-X над G. Ясно, что если (X, ф) расщепляется, то X изоморфно прямому произведению ОхКегф. Группа G называется совершенной, если она совпа- совпадает со своим коммутантом [G, G]. Теорема 5.3. Центральное расширение (U, и) группы G является универсальным в том и только в том случае, когда U совершенна, а любое центральное расширение группы U расщепляется. Доказательство. Предположим сначала, что любое центральное расширение группы U расщепляется. Тогда для любого центрального расширения (X, ф) группы G можно следующим образом построить гомо- гомоморфизм из U в X над G. Обозначим через UxX под- в группу в UxX, состоящую из всех пар (и, х) с и(ы) =» = Ф (х), и положим я (и, х) = и. Таким образом (UxX, n) является центральным а расширением U, значит, существует сечение s:U -*-UxX. G Полагая s(u) — (u, h(u)), мы получим требуемый гомо- гомоморфизм h из U в X над G.
§ 5. Группы Стейнберга и функтор /B 65 Доказательство единственности h основано на сле- следующих соображениях. Пусть (X, ф) и (Y, ty) — цент- центральные расширения группы G. Лемма 5.4. Если группа Y совершенна, то существует не больше одного гомоморфизма из Y в X над G. Доказательство. Пусть flf /2 — гомоморфизмы из Y в X над G,- Тогда для всех у, геКмы можем записать ЛДО=/.ДОе, /iB)=/2(z)c',. где элементы сне' принадлежат ядру <р и, значит, центру X. Поэтому Так как Y порождена коммутаторами, это показывает, что /i = /2. ¦ Итак, мы доказали, что если [/ — совершенная группа и любое ее центральное расширение расщепляется, то (U, и) — универсальное центральное расширение G. Для доказательства обратного утверждения начнем с обращения леммы 5.4.. Пусть снова (Y, ty) — некоторое центральное рас- расширение группы G. Лемма 5.5. Если Y не совершенна, то для подходя- подходящего расширения (X, ф) существует больше одного гомоморфизма из Y в X над G. Доказательство. Действительно, если Y — не совершенная группа, то существует ненулевой гомо- гомоморфизм h из Y в некоторую абелеву группу А. Пусть (X, ф) — расщепляющееся расширение GxA^>-G, Ф (ё> а) — ё- Положив ). 1),/.(?) мы получим два разных гомоморфизма из Y в GxA над G, что доказывает 5.5. Щ Нам понадобится также следующая Лемма 5.6. Если (X, ф) — центральное расширение совершенной группы Р, то коммутант X'= [Х, X]
56 § 5. Группы Стейнберга и функтор Kt является совершенной группой, которая отображается на всю группу Р. Таким образом, (X', ф | X') является совершенным центральным расширением Р. Доказательство. Так как Р порождена ком- коммутаторами, ясно, что ф отображает X' на всю Р. Значит, любой элемент х из Хчможно записать в виде произведения х'с, где х' s X', а с лежит в центре. Значит, каждая образующая X' вида [хъ х2] равна [x[ci, x'ic2] = [x'1, x'i] для некоторых х[ и х'9 из X'. Следовательно, Х' = [Х', X'], что доказывает 5.6. щ Вернемся теперь к доказательству теоремы 5.3. Пусть (U, о) — универсальное центральное расширение группы G. Из леммы 5.5 следует, что U совершенна. Мы должны показать, что любое центральное расши- расширение группы U расщепляется. Мы покажем, что для любого центрального расши- расширения (X, ф) группы U композиция X-^U-^G ¦ является центральным расширением G. Действительно, пусть о (ф (х0)) = 1; тогда ф (д:0) принадлежит центру группы U, поэтому отображение X >— является автоморфизмом X над U. Ограничивая его на коммутант X' и пользуясь леммами 5.4 и 5.6; мы находим, что соответствующий автоморфизм X' над U тождествен. Значит, х0 коммутирует с элементами из X'. Но X порождена подгруппой X' и центральной подгруппой Кегф; поэтому х0 коммутирует со всеми элементами из X. Итак, (X, и - ф) — центральное расширение G. По- Поскольку расширение (U, и) универсально, существует гомоморфизм s: U-+X над G. Композиция ф - s является гомоморфизмом из U в U над G; этот гомоморфизм может быть только тождественным. Значит, s — сечение (X, ф). Это показывает, что каждое центральное рас- расширение группы U расщепляется, и завершает доказа- доказательство 5.3. ¦
§ 5. Группы Стейнберга и функтор К* 67 Теорема 5.7. Универсальное центральное расширение группы G существует^ в том и только том случае, когда G совершенна. В самом деле, если универсальное центральное рас- расширение ([/, и) существует, то группа U совершенна, и G как ее гомоморфный образ тоже должна быть совершенной. Обратно, если G совершенна, выберем гомоморфизм свободной группы F на G и обозначим через R его ядро. Тогда [R, F] — нормальная подгруппа в F, и сущест- существует естественная сюръекция <р: F/[R, F]-+F/Rg*G. Очевидно, ядро ф центрально. Из 5.6 тогда следует, что коммутант является совершенным центральным расширением группы G. Покажем, что это центральное расширение [F, F]/[R, F]-+G универсально. Действительно, пусть (X, ij)) —любое центральное расширение группы G. Так как F свободна, существует некоторый гомоморфизм h: F^-X над G. Далее, h([R, F]) = \, потому что (X, "ф) — центральное расширение. Значит, h индуци- индуцирует некоторый гомоморфизм из F/[R, F] в X над G. Ограничивая его на [F, F]I[R, F], мы получаем нужный гомоморфизм из [F, F]/[R, F] в X над G; он единствен в силу 5.4. | Следствие 5.8. fldpo универсального центрального расширения [F, F]/[R, F]^-G канонически изоморфно двумерной группе гомологии Н2 (G; Z). . Доказательство. Это ядро является централь- центральной подгруппой (ЯП[Л ПШ П группы [F, F]/[R, F]. Именно так Хопф и определял двумерную группу гомологии группы G в статье, ука- указавшей путь к современной гомологической алгебре. (См. Hopf H., Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment.. Math. Helv., 14 A941-1942),
58 . §5. Группы Стейнберга и функтор /С2 257 — 309.) По нынешним временам следует начать с гомологической спектральной последовательности для расширения групп 1 -»-/?->- F-+G-+-1, которая достав- доставляет точную последовательность Hf-+HJj-+H9<fj\ H1R) + H1F-+HlG->0, 0^H2G^R/[R,f]->F/[F,F]^0^0, откуда и следует наше заключение. (Этот вариант доказательства сообщил мне Тэйт.) Здесь и ниже H2G всегда означает Н2 (G; Z), где G действует на Z три- тривиально, щ Замечание. Впервые универсальные центральные рас- расширения конечных групп ввел Шур (Schur J., Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen, J. reine angew. Math., 127 A904), 20 — 40). Поэтому центральная подгруппа (R(\[F, F])/[R, F]^H2G часто называется мультипликатором Шура группы G. Вот список ее стандартных свойств. Лемма 5.9. Любой гомоморфизм h: Gt -> G2 совершен- совершенных групп индуцирует некоторый гомоморфизм h%\ H2Gi^>-H2G2 их мультипликаторов Шура. Если h — внутренний автоморфизм группы G, то h* — тождест- тождественное отображение H2G. Если G — прямой предел после- последовательности Gx-)-G2-)-G3-»-... совершенных групп, то H2G — прямой предел последовательности H2Gi -*¦ -*¦ H2G2 -*¦ H2G3 -)-.... Доказательства несложны. Рассмотрим теперь группу Стейнберга St (Л) кольца Л. Из вида определяющих соотношений ясно, что St (Л) — совершенная группа. Из теоремы 5.1 сле- следует, что она является центральным расширением Е (Л). Теорема 5.10. Группа Стейнберга St(A) является универсальным центральным расширением группы Е (Л). Следовательно, ядро К2А канонического отображения ф: St (Л) -»- Е (Л) можно отождествить с мультипли- мультипликатором Шура Яа?(Л).
§ 5. Группы Стейнберга и функтор Ki 59 (См. Стейберг Р., Лекции о группах Шевалле, § 7, Kervaire M., Multiplicateurs de Schur et /C-theorie, а также Swan R., Algebraic /(-theory, стр. 208.) Опишем сначала план доказательства. Рассмотрим любое центральное расширение D) l-»-C-»-K-2.St(A)-»-l. Его сечение s: St(A)-»-F строится следующим спо- способом. Для любой образующей л* группы St (Л) выбе- выберем индекс h, отличный от I, /, и два элемента У' е= ф;1 и построим коммутатор Очевидно, он не зависит от выбора г/ и у'. (Ср. § 8.) Мы докажем, что он не зависит и от выбора h и что элементы s^ удовлетворяют всем соотношениям Стейн- Стейнберга. Таким образом, отображение х^. >—». s^ продол- продолжается до нужного гомоморфизма s: St(A)->-V. Тем самым всякое центральное расширение группы St(A) расщепляется. Из теоремы 5.3 тогда следует, что (St (Л), ф) — универсальное центральное расширение группы Е (Л). Замечание. Наше доказательство будет применимо также к центральным расширениям группы St (га, Л) при условии, что га ^5. Таким образом, если ядро гомоморфизма St (п, Л) -»- Е (га, Л) лежит в центре и если п ;з= 5, то St (n, Л) — универсальное центральное расширение группы Е (п, Л). Это так, например, для полей и тел. (Ср. п. 9.12.) Стейнберг показал, что если Л — поле, то St (n, Л) является универсальным центральным расширением группы Е (п, Л) даже для и = 3 и и = 4, за исключением ровно трех случаев: группы St C, F2), StC, F4) и StD, F2) имеют нетри- нетривиальные мультипликаторы Шура. (Здесь Fq — поле из q элементов.) Начнем доказательство теоремы 5.10 с рассмотрения произвольного центрального расширения
60 §5. Группы Стейнберга и функтор где п^5. Если х, ;t'eSt(/z, Л), символ будет обозначать коммутатор [у, у'], вычисленный для любых двух элементов i/ef'fJt), j/'eip'1^'). Оче- Очевидно, от их выбора результат не зависит. Нас будут особенно интересовать коммутаторы вида [1^ 1] Лемма 5.11. Если ]фк и 1ф1, то коммутатор [ф-1**, ф^] тривиален. Доказательство. Так как п&*5, мы можем выбрать индекс Л, отличный от /, /', k, l. Выбрав эле- элементы у е ф-1 (xh), у' е ф-1 D), у" е ф (д^,), получаем [(/,/] ^ Ф (^)- Но коммутаторы у с у" я у' с у" лежат в центре. Отсюда легко следует, что \у, у'] коммутирует cry". Таким образом, как и утверждалось. Ц Дальше по ходу доказательства нам понадобятся несколько тождеств между коммутаторами, которые справедливы в любой группе G. Напомним определение: [и, v] = uvu^v1 = [v, и]'1. Равенство E) [и, v][u, w] = [u, vw][v, [w, и]] проверяется без усилий. Пользуясь им, докажем тож- тождество Якоби F) [и, [v, w]][v, [w, u]][w, [и, у]]si modG", где G" = [[G, G], [G; G]] — второй коммутант. Действи- Действительно, если переписать E) в виде [о, [w, и]] = = [vw, u][u, v][u, w], то левая часть F) переписы- переписывается так: [UV, W][W, U][W, V][VW, U][U,V][U, W][WU, V][V, W][V, U] S3 s[uv, w][wu, v\[vw, u\=\ modG\
§ 5. Группы Стейнберга и функтор Kt 81 В случае когда и, w коммутируют, тождество Якоби превращается в ассоциативный закон G) [[и, v], w] = [u, [v, w]]modG". Теперь вернемся к доказательству теоремы 5.10. Выберем четыре разных индекса h, i, j, k и три эле- элемента Из 5.11 следует, что [и, w]=\. Пусть, далее,- G обо- обозначает подгруппу группы Y, порожденную и, v и хю. Тогда коммутатор С порожден элементами, лежащими в Ф^К/)' Ф^*1) и Ф^К?)» откУДа следует, что G" =\. Следовательно, [[и, v], w] = [u, [v, w]], т. е. (8) [Ф"Ч. ф-М^Ч^Ч'. ф-1^1']. Полагая здесь Я,= 1, убеждаемся, что элемент не зависит от выбора /. Доказательство того, что элементы s^k удовлетворяют трем соотношениям Стейнберга. Учитывая, что sj*ft s е Ф (х%Л, мы можем переписать тождество (8) в виде [slp sj^] = sh? для Различных h, }, k. Чтобы проверить первое соотношение Стейнберга, мы применим тождество E) [и, v][u, w\ = [u, vw][v, [w, и]] к элементам и е= ф-1 (xlhj), V e ф-1 {x)k), a» e Ф (xfk). Тогда [v, [w, «]] = [9-^V Ф
62 § 5. Группы Стейнберга и функтор К2 что и дает нужное соотношение Так как третье соотношение Стейнберга следует из 5.11, мы проверили все три. Итак, любое центральное расширение группы St (п, Л) расщепляется при п ^ 5. Это завершает доказательство 5.10. щ Одна операция умножения Предположим теперь, что Л — коммутативное кольцо. Пользуясь представлением /С2Л^#2?(Л), покажем, что /BЛ —модуль над кольцом /С0Л. Конструкция, описанная после Леммы 3.2, доставляет для каждого проективного модуля Р с Рф(?^Лг гомоморфизм hPi GL (п, Л) -+ GL (rn, \)cGL (Л), определенный с точностью до внутреннего автоморфизма группы GL (Л). Очевидно, hP переводит группу Е (п, Л), л5=3, в коммутант Е(Л), и гомоморфизм. ? (я, Л)->?(Л) определен с точностью до внутреннего автоморфизма труппы Я (Л). Следовательно, индуцированное отобра- отображение Лр*: Н?Е{п, Л)->Я2?(Л) определено однозначно. Далее можно проверить, что ¦h(P®Q)*-hp*-\-hQ*. Переходя к пределу при п-усо, мы получаем искомый гомоморфизм «умножение на [Р]» из /С2Л в /С2Л. Как в § 4, можно определить группу /02а идеала а и построить умножения
§ 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ ТОЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В этом параграфе мы продолжим точные последователь- последовательности из § 3 и 4, добавив к ним соответствующие /С2-члены. Единственное изменение, которое заслужи- заслуживает быть отмеченным, состоит в том, что для продол- продолжения последовательности Майера — Виеториса из § 3 нам понадобится условие, чтобы все гомоморфизмы ко- колец в диаграмме были сюръективными. Начнем с после- последовательности из § 4. Пусть а — двусторонний идеал в кольце Л. Как в § 4, рассмотрим проекцию рх: D->A на первую координату, где D состоит из пар (Я, Я'), Я = Я'mod a. Определение. St (а) — это ядро индуцированного гомо- гомоморфизма ри : St (D) ->¦ St (Л). Лемма 6.1. Гомоморфизм p2% : St (a) ->• St (Л) дает точную последовательность St (а) ->¦ St (Л) -> St (Л/а) ->¦ 1. Доказательство. Заметим прежде всего, что St (а) совпадает с подгруппой в St(D), порожденной всеми выражениями вида A* (s)xfj-a'>A^ (s)» где ss е St(A) и а^а, так что @, а) является элементом кольца D. Здесь А: Л->D — диагональное отображение. Доказательство этого утверждения аналогично доказа- доказательству леммы 4.2, и мы оставим его читателю. Следовательно, образ р2* St (а) совпадает с подгруп- подгруппой St(A), порожденной элементами вида srfs'1, т. е. с наименьшей нормальной подгруппой, содержащей все *?. с аея. Но если мы присоединим к образующим и соотношениям группы St(A) новые соотношения х?;.= = 1 и, значит, x)j = xb'i при Я = Я' mod а, то мы как раз получим образующие и соотношения для группы St(A/a). Это завершает доказательство леммы 6.1. Щ Отождествим конгруэнц-подгруппу GL (а) с ядром гомоморфизма p^:GL{D)->GL{S). Отображая точную последовательность 1 _> KJ) ^ St (D) -> GL (D) -> KxD -*¦ 1
64 § 6. Продолжение точных последовательностей посредством ры на соответствующую последовательность для Л, мы получаем точную последовательность ядер 1 _>. /e2ct -> St (а) ->- GL (а) ->- /da ->- 1. Здесь /Can определена, как в начале § 4. Рассматривая коммутативную диаграмму I 1->/С2а ->St (а) ->GL (а) -^ /Сха -^ 1 I \ \- ¦ \ 1 -^ /С2Л -^ St (Л) ->GL(A) -^КЛ-^1 | | 4 I 1 -* /С2Л' -> St (Л') ¦-». GL (Л') -»¦ /CjA' -> 1 в которой Л' = Л/а, мы можем доказать следующий ре- результат. Теорема 6.2. Существует точная последовательность К& -*- КЛ -*- КЛ' — Кха -> КХЛ -^..., продолжающая точную последовательность из § А. Здесь гомоморфизм д строится как композиция пере- переходов из /С2Л' в St(A'), затем в St (Л), GL(A), GL(a) (этот шаг однозначен) и, наконец, в /da. Результат не зависит от произвольных выборов, ибо любые два элемента из St (Л) с общим образом в St (Л') отлича- отличаются на элемент из. St (a), который переходит в 1 в /da. Дальнейшие детали мы оставляем читателю. Рассмотрим теперь некоторый гомоморфизм колец /: Л->- Г. Пусть а с: Л и b cz Г — двусторонние идеалы с / (а) с: Ь. По этим данным определена коммутативная диаграмма _ ( 1 _^ /e2ct -*¦ St (a) -^GL (a) -*¦ Ki a -> 1 1 _* /<-2Ь -> St (b) -^ GL (b) -^ Kib -> 1 Лемма о вырезании 6.3. Если гомоморфизм /:Л-*--Г сюръективен и взаимно однозначно отображает а на Ь, то индуцированный гомоморфизм Д.: /Qn -¦¦ К2Ь сюръек- сюръективен, a/*: /da-^-Kib является изоморфизмом.
§ 6. Продолжение тонких последовательностей 65 Доказательство. Так как а взаимно однозначно отображается на Ь, ясно, • что GL (а) изоморфно отобра- отображается на GL(b). Напомним, далее, что, согласно 6.1, группа St (Ь) порождена, выражениями Д# (s) л$'*'Д„, (s), где seSt(F). Так как, кроме того, St(A) отобража- отображается на St (Г), а а [отображается на Ь, ясно, что St (a) отображается на St(b). Отсюда легко следует лемма. (Ср. Басе X., Алгебраическая /С-теория, стр. 304.) щ По-прежнему предполагая, что / сюръектйвно и ото- отображает изоморфно а на Ь, мы получаем следующую коммутативную диаграмму: »- Кга -+ KiA^r /СХЛ' Здесь А! = А[& и Г' = Г/6. Из нее легко извлекается точназ последовательность " Итак, -мы доказали следующий .результат. Теорема 6.4. Ясли коммутативный квадрат сюръек- тивных гомоморфизмов колец удовлетворяет условиям § 2, то точная последователь- последовательность Майера — Виеториса из § 3 может быть дополнена членами КЛ а 0 2 2 i В самом-деле,, условия. § 2 означают, что Л совпа- совпадает с произведением Г и Д' над Г и что хоть.один из гомоморфизмов в Г' сюръективен. Но если Л' = Л/а и Г" = Г/Ь, то первое условие, очевидно, равносильно требованию, чтобы идеал а взаимно однозначно отобра- отображался на 6. Я Замечание 6.5. Суон недавно показал, что невоз- невозможно определить функтор Ка таким образом, чтобы ' 3 Дж, Милио;
66 §6. Продолжение точных последовательностей последовательности 6.2 и 6.4 дополнялись соответствую- соответствующими /Сз-членами. (См. Swan R., Excision in algebraic /(-theory, /. Pure Appl. Algebra, 1 A971).) Этот резуль- результат наводит на мысль, что наше определение /Bа не слишком полезно. Замечание 6.6. В заключение этого параграфа рас- рассмотрим пару двусторонних идеалов йаЬ в одном и том же кольце Л. Образ Ь в факторкольце Л/а обо- обозначим через Ь/а. Тогда нетрудно построить гомомор- гомоморфизмы (•) композиция двух последовательных стрелок нулевая. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: л /\ Из нее можно извлечь, что по крайней мере следующая часть последовательности (*) точна: Вот типичное приложение, указанное Бассом. Если Л—дедекиндово кольцо и а Ф 0, то, как нетрудно видеть, S/Cib/a = 0. Значит, гомоморфизм SKfl -> SKib должен быть сюръективен. Я не знаю, точен ли начальный отрезок последова- последовательности (*).
§ 7. СЛУЧАЙ КОММУТАТИВНОЙ БАНАХОВОЙ АЛГЕБРЫ Пусть Л — коммутативная банахова алгебра над вещест- вещественными или комплексными числами. Например, в ка- качестве Л можно взять кольцо Rx непрерывных вещест- вещественных функций на компактном пространстве X, В этом параграфе мы используем топологию на GL(n, Л) для вычисления /CjA и оценки К2А. Лемма 7.1. Группа Е (п, А)—открытая линейно связная подгруппа специальной линейной группы SL (п, Л). Следовательно, Е (п, Л) является связной компонен- компонентой единицы в SL(n, Л), так что факторгруппу SL (п, А)/Е (п, Л) можно отождествить с группой n0SL (n, Л) линейно связных компонент. Напомним теперь, что КД расщепляется в прямую сумму группы Л* единиц и группы = Hm SL (n, A)IE (n, Л) = lim n0SL (п,Л). Если снабдить группу SL (Л) топологией индуктивного предела, то группа щ-SL (Л), очевидно, отождествляется с limn^SL(n, Л). Таким образом, мы получаем Следствие 7.2. Группа КгА расщепляется в прямую сумму группы А' единиц кольца А и группы. SKXA^ ^ n0SL (А) линейно связных компонент группы SL (А). В частном случае A = RX это-описание поддается дальнейшему упрощению. Так как мультипликативная группа R' топологически изоморфна аддитивной группе F2 ф R, мы имеем Кроме того, группа вращений SO (п) содержится в специальной линейной группе и является ее деформа- деформационным ретрактом (это можно доказать, например, с помощью процесса ортонормализации Грама — Шмидта). 3*
68 § 7. Случай коммутативной баках вой, алгебры Следовательно, пространство SL(n,Rx)g*SL(n, R)x - содержит пространство SO (п)х в качестве деформацион- деформационного ретракта. Переходя к пределу при п-*-оо, получаем Следствие 7.3. Группа KiRx расщепляется в прямую сумму группы {R')x единиц и группы я0 (SOX) гомото- гомотопических классов отображений пространства X в бес- бесконечномерную группу вращений SO. Аналогично для кольца Сх непрерывных комплекс- комплексных функций мы находим где SU — бесконечномерная специальная унитарная группа. Докажем теперь лемму 7.1. Так как любую элемен- элементарную матрицу е\. "можно соединить с единичной путем группа Е (п, А) линейно связна. Чтобы установить, что Е (п, Л) открыта (и, значит, замкнута), мы докажем более сильное утверждение. Пусть / -j- А — некоторая (пхп)-матрица с определителем 1. Лемма 7.4. Если каждый элемент щ матрицы А удовлетворяет неравенству |а;у|< 1/(п— 1), то мат- матрица 1-\-А канонически представляется в виде произве- произведения /г2 + 5/г — 6 элементарных матриц, непрерывно зависящих от А. Доказательство. Обратный к элементу l-fau элемент и удовлетворяет неравенству Вычитая из &-й строки первую, умноженную на uakl, для всех k = 2, 3, ..., п, мы получим матрицу I-\-{a'kj), у которой a« = fl!3i=... = ani=0 и 14/ Ща^ЦиапОуК-— + ?= J^ Ь — + ?=5 J-^
§ 7. Случай коммутативной банаховой алгебры 69 Продолжая по индукции, мы приведем матрицу к диаго- диагональному виду, сделав л (л — 1) элементарных опера- операций над строками. Пусть и, utr1, миг1, ... — диагональные элементы. Умножив матрицу на e«r»>rVr'=f"° " " и " " " \0 и мы заменим и на 1. Продолжая по индукции, мы пре- превратим диагональную матрицу в единичную после 6(л—1) операций над строками. Это доказывает леммы 7.4 и 7.1. Щ Заметим теперь, что связная топологическая группа Е (л, Л) локально стягиваема (это нетрудно показать, например, с помощью экспоненциального отображения). Поэтому у нее существует универсальная накрывающая группа Ё. Она является центральным расширением 1 -*.jh?(«, Л)-* ?->?(л, Л)-* 1. Для каждой элементарной матрицы " eft e E (л, Л) можно выбрать в Ё представитель е\, который непре- непрерывно зависит от Я и стремитс'я к единице, когда Я -> 0. Действительно, достаточно поднять путь ?•—*-е*ц в Ё. так, чтобы он начинался в единице. Эти элементы е\ удовлетворяют соотношениям Стейн- берга ~e^efi= e^+|i и [е?), ё&]=1 или е«* в зависи- зависимости от того, ]фк или \ — k при 1ф1. Для доказа- доказательства нужно поднять пути etftefft = е^+"* и ^, e^J соответственно. Поэтому отображение ф : mj *-*¦ Sii определяет гомоморфизм группы Стейнберга St (л, Л) в Ё. . Лемма 7.5. Гомоморфизм <р: St (л, Л) -¦- Ё сюръек- тивен и отображает ядро гомоморфизма го: St (л, Л) -> -»- GL (л, Л) на фундаментальную группу пхЕ (п, Л) = nj.SL (л, Л).
70 § 7. Случай коммутативной банаховой алгебры Доказательство. С помощью явной конструкции из леммы 7.4 мы можем непрерывно поднять некоторую окрестность элемента / из Е (п, Л) в Ё, просто заменив все efj на efr Так как любое открытое подмножество связной группы Е порождает всю группу, это показы- показывает, что гомоморфизм ф сюръективен. Остальное ясно.§| Переходя теперь к прямому пределу при п->оо, мы получаем Следствие 7.6. Предельный гомоморфизм ф отобра- отображает /BЛ на ntSK (Л). Например, если Л —банахова алгебра вещественных чисел R, то фундаментальная группа — циклическая группа второго порядка. Отсюда сле- следует, что KiR состоит по крайней мере из двух эле- элементов. , Позже мы^ установим, что K%R на самом деле есть прямая сумма циклической группы второго порядка, пришедшей из K?Z и ядра ф, которое несчетно и яв- является делимой группой. (Ср. п. 8.4. 10.2, 11.10.) В част- частности, сюръекция ф: K%A->n\SL(A), безусловно, не является изоморфизмом для Л = /?. Вернемся теперь к кольцу A = RX непрерывных вещественных функций на компакте X. В этом слу- случае группу n^L (n, Rx) ==щ {SL (n, R)x) = пг (SO (n)x) можно отождествить с группой линейно связных компо- компонент пространства петель ?> (SO (n)x) = (QSO (п))х. Сле- Следовательно, группа niSL (n, Rx) изоморфна группе гомо- гомотопических классов отображений из X в QSO(n). Переходя к пределу при п->-оо, получаем Следствие 7.7. Группа К% (Rx) гомоморфно отобра- отображается на группу всех гомотопических классов отобра- отображений X в QSO. Пример. Если X есть 2-сфера, то эта гомотопи- гомотопическая группа является суммой циклической группы второго порядка (поскольку QSO состоит из двух ком-
§ 7. Случай коммутагпивной банаховой алгебры f{ понент) и бесконечной циклической группы (потому что n2QSO^n3SO^Z). Таким образом, в этом случае K2RX отображается на бесконечную циклическую группу. Топологическая АГ-теория Функтор KoRx допускает аналогичную топологи- топологическую интерпретацию. Если | — вещественное вектор- векторное расслоение над компактным пространством X, то множество его непрерывных сечений Г (|) является мо- модулем над кольцом Rx. Подберем г] так, чтобы прямая сумма ?0 г] была тривиальным расслоением. Тогда модуль Г(?)фГ(т]) свободен над Rx. Следовательно, Г (?) конечно порожден и проективен. Обратно, всякий конечно порожденный проективный модуль над Rx изо- изоморфен Г (|), где векторное расслоение ? определено, по существу, однозначно. См-. Swan R., Vector bundles and projective modules, Trans. Amer. Math. Soc, 105 A962), 264—277. Рассмотрим теперь градуированное кольцо КО* (X) топологической /(-теории (см. Атья М., Лекции по /(-теории, «Мир», М., 1969). Очевидно, KORX канони- канонически изоморфно кольцу КО0 (X) ^я0 ((Z 0 В0)х) вир- виртуальных вещественных векторных расслоений над X. Результаты этого параграфа можно кратко описать с помощью следующей точной последовательности: K2RX->KO-*X-±RX^?KyRx '- третий гомоморфизм которой переводит каждую функ- функцию /: X-*-R в композицию ехр»/е (R")x c= KiRx. Для кольца Сх непрерывных комплексных функций над X существует аналогичная точная последователь- последовательность: -*¦ КгХ А Сх 2Ш КХСХ -*¦ К^Х -*¦ 0 -*¦ Здесь гомоморфизм h можно определить как компози- композицию естественной сюръекции K*X^K°X->ZX с вложением Zx ^ BniZ)x с с\
§ 8. УМНОЖЕНИЕ Опишем одни способ построения элементов группы /С2Л. Предположим, что даны две коммутирующие матрицы А, Ве?(Л). Выберем их представители a, b e St (Л), Коммутатор [a, b] = abar1b~1 является тогда элементом группы /С2Л (ср. п. 5.10). Этот. коммутатор мы будем обозначать символом Заметим, что А * В не зависит от выбора предста- представителей а и Ъ. Если, например, ф(з) тоже равно А, то а*~ас для некоторого элемента с из центра St(A), так что -к** a (cbcr1) сгЩ-1 - аЬсгЧг*. Лемма 8.1. Описанная операция кососимштрична: бимультипликативна: и инвариантна относительно внутренних автоморфиз- автоморфизмов Е (Л): Доказательство. Эти утверждения немедленно следуют из тождеств [Ь, а]-1а,'Ыг\. [CiOj, Ь] = [аъ [а%, b]][ait, b][au b] и [pap-1, pbp-^pla, b]p~l соответственно. ¦
§ 8. Умножение Кх Л <g> ATt Л-+ Kt Л 73 Предположим теперь, что Л — коммутативное кольцо. Пусть и, V — любые две его единицы. Тогда диагональ- диагональные матрицы /и 0 0\ /о О О О и 0], DS-IO 1 О \0 0 1/ \0 0 о- коммутируют и лежат в ЯC, Л). Определение. Коммутатор DU*D'V^. /СаЛ будет обо- обозначаться символом {и, v}. Лемма 8.2. Символ {и, v} также кососимметричен: {и, v} = {v, a}-1 и бимультипликативен: • Доказательство. Рассмотрим в ЕC, Л) матрицу /-1 О 0 0 1 \ О I 0) Имеем Поэтому {и, о}-»-.^. , - (PD^P-1) * (PD.P-1) - DB *?>„=- {v, и}. Оставшаяся часть доказательства очевидна, щ Теперь мы в состоянии полностью описать D*U для любой пары диагональных матриц в SL (п, Л). Пусть diag (и1г .... ия)— диагональная матрица с эле- элементами «ь ¦•¦, иа на диагонали. Лемма 8.3. Если UiU2... un=*ViV2... »я= 1, то diag (их ия) * diag (оь .... ол) совпадает с произведением {«1. fiH«2. ya} • • • {и». »»}• Доказательство оставляем читателю в качестве упраж- упражнения.
74 § 8. Умножение АГХЛ® АГХ Л-> К4Л Приведем примеры, показывающие, что символ {и, v} не равен тождественно 1. Напомним, что в § 7 был построен естественный гомоморфизм ф из /Са# в фунда- фундаментальную группу nxSL (R), которую мы отождествим с {±1}. Лемма 8.4. Если А = R — поле вещественных чисел, то Отсюда легко следует, что ф{ы, v} =—1, если ы<0 и и<0, ф{и, о} = 4-1, если ы>0 или и>0. Замечания. Отсюда следует, 'что {—1, —1} Ф 1, если Л можно гомоморфно отобразить в вещественные числа. Более тога, если Л можно отобразить в R несколькими разными способами, то получающиеся значения {и, и} е е /С2Л обычно оказываются линейно независимыми по модулю 2. Например, если A = Z[l/2], то {1+1/2, 1+]/2} и {—1, —1} независимы. А если A — Zn, где я — циклическая группа второго порядка с образующей t, то {t, t) н {—1, —1} независимы. Доказательство леммы 8.4. Группа SL(n, R) содержит группу вращений SQ(n) в качестве деформа- деформационного ретракта. Напомним, что универсальное накры- накрытие группы SO C) можно отождествить с группой S3 кватернионов с нормой единица. В самом деле, пусть R'o — вещественное векторное пространство, порожденное кватерниоииыми единицами i, /, k. Тогда любой элемент | е S3 определяет вращение этого пространства и только ±leS9 дают тождественное вращение. За- Заметим, в частности, что кватернионные единицы k н / определяют вращения с матрицами (—\ 0 0\ /—1 0 0\ _! = [ 0 -1 0 ,01,= 0 1 О 0 0 1/ \ 00 4
§ 8. Умножение Hi Л <g) ^ Л -» /Са А 75 соответственно. Следовательно, что и завершает доказательство. Щ Приведем теперь более тонкий пример, пользуясь техникой § 7. Пусть Л — любое коммутативное кольцо, которое можно отобразить в комплексные числа, и пусть и, у —некоторые переменные. Построим кольцо Л [и, v, и~х, иг1] многочленов от и, у и обратных к ним эле- элементов над Л. (Такие многочлены от и и иг1 иногда называются «I-многочленами» в честь Лорана.) Лемма 8.5. Элемент {и, v} порождает бесконечное циклическое прямое слагаемое группы /С2А[н, v, w1, v1]. Вот набросок доказательства. Очевидно, достаточно рассмотреть случай Л = С. Пусть Т- тор, состоящий из всевозможных пар (г1( г2) комплексных чисел с | гг | = = |221 = 1. Отобразим С [и, v, ur1, tr1] в кольцо Ст непрерывных функций на Т, поставив в соответствие элементам и, v непрерывные функции и (ги г2) = г± и v (zi, г2) = гг. Дальнейшее доказательство основано на существовании гомоморфизма ф: К%Ст-+щ{8ит) из § 7. Группа nl(SUT)^n1(SUB)T) является беско- бесконечной циклической, и прямое геометрическое рассуж- рассуждение показывает, что <р переводит элемент {и, и] группы К2СТ в образующую этой бесконечной циклической группы. Я не буду приводить подробности этого доказа- доказательства, потому что этот метод довольно груб и более точные результаты можно получить с помощью методов Мацумото (ср. п. 11. 4). Можно высказать предположение, что гомоморфизм из алгебраической в топологическую /С-теорию, опи« санный в § 7, совместим с умножениями в обеих тео- теориях. Если это так, можно было бы дать очень прямое доказательство 8.5.
76 § 8. Умножение /Сх Л <g) /Сх Л -> /С, Л Определим теперь умножение /CiA(g)/CiA-»-/CaA. Мы продолжаем считать, что Л — коммутативное кольцо. Если дан автоморфизм а свободного модуля Лст и автоморфизм р свободного модуля Лл, мы можем построить автоморфизм a (g) р* модуля Лст (g) Лл. Чтобы написать его матрицу, упорядочим как-нибудь канони- канонический базис Лст (g) Л". Тогда паре матриц A^GL (m, Л) и В е GI (п. Л) отвечает матрица Л (g) В е <?L (mn, Л). Пользуясь этим обозначением, мы построим бимульти- пликативный символ {А, В} <= КЛ, который служит обобщением символа {и, v}. Пусть / — единичная матрица порядка тхт, а /' — порядка пхп. Заметим, что матрицы 4(g)/' и /(g)B из группы GL(mn, Л) "коммутируют. Поэтому матрицы diagH®/', Л®/', /<g>/') diag(I®B, /(g)/', из ЕCтп, Л) тоже коммутируют. Определим {А, В} как элемент diagD®/', Л-i®/', / ®/') * diag (> ® В, /®/', /®fi"i) группы /С»Л. Заметим, что в частном случае /л = л= 1 этот символ совпадает с {ы, у|. Лемма 8.6. Операция {А, В} корректно определена, бимультиплйкативна и кососимметрична. Кроме того, если B = diag(?i, Ba), где Bi e GL{nit Л), то символ {А, В} совпадает с {А, В,} {А, В%}. Доказательство. Единственная неоднозначность в конструкции {А, В} состояла в выборе упорядочения на базисе модуля Лот®Лл. Если изменить выбор, полу- получившаяся матрица будет сопряжена со старой посред- посредством некоторого элемента Р, перестановочной матрицы, в группе E(Zmn, Л). В большей группе Е(Зтп+1, Л)
§ 8. Умножены Ki Л <g> Кх Л -> Кг Л 77 тот же результат достигается сопряжением с помощью матрицы diag (Р,.±1), которая принадлежит Е 0тп+ + 1, Л). Пользуясь леммой 8.1, находим, что элемент {А, В} однозначно определен. Аналогично проверяется кососимметричность. Чтобы доказать мультипликативность по обеим аргу- аргументам, нам понадобится следующая Лемма 8.7. Если матрицы X,Y е ?: (г, Л) коммути- коммутируют друг с другом и матрицы X', Y' е Е (г',. Л) коммутируют друг е другом, то символ diag(X, X')* diag (К, Y')<=s K2A совпадает с произведением элементов X*Y и X'*Y\ Это устанавливается без труда, если учесть, что любая образующая х^ группы Стейнберга с I, ]^.г коммутирует со всеми xfo, для которых k, l>r. щ Предположим теперь, что матрица В совпадает с ВхВа. Тогда -матрица diag (/ <g) В, I (g) /', / (g) В-1) равна произведению трех матриц diag (/®Вь /®/', ШВт1), diag(/jg).B2, 7(g)/', I &B71) и diag G<g>/\ 101% /®[^21 Bt]). Значит, согласно 8.1* символ {А, В] равен произведению трех символов {А, ВЛ}, {A,-Bj и . diag (Л (S) 1% А-1 ®Г,1® /•') * diag (/ ®И, / ® /', / {В2, SJ). Но третий множитель равен 1. Действительно, поль- пользуясь 8.7 и переходя к большей группе Е Dmn, Л), мы можем представить его в виде произведения матриц , A-1 ®/)*diag(/(g)/', /,(g)/') = l diag (/ ®7', / (g) /')• diag (/ (g) [Sa, BJ, / (g) /}-1. Это доказывает бнмультипликативность. Формула для {A, diag(Bb B^} легко проверяется с помощью 8.7, чем н завершается доказательство леммы 8.6. ¦
78 § 8. Умножение Ki Л (g> К\ Л -> Kt Л Теорема 8.8. Символ {А, В} определяет кососиммет- ричное бимультипликативное спаривание из /dA/CA Доказательство почти очевидно. Правило {A, diag(B, 1)} = {Л, 5}{Л, 1}-{Л, В} вместе с соответствующим тождеством для А показы- показывает, что символ {А, В} определяет бимультипликатив- ную функцию Так как ее значения лежат в абелевой группе, мы можем перейти к факторам по коммутанту слева. Если перейти к аддитивной записи KiA и /СаА, это спаривание можно обозначить так: /CiA ® KiA -*¦ /С2А. Как в § 4, оно определяет умножений для любого двустороннего идеала о с: А. Заметим, что отображение /CiA ® /CiA -*¦ /СаА не всегда сюрьективно: Пример. Пусть X — сфера S2. Рассмотрим кольцо непрерывных вещественных функций Rx. Из результа- результатов § 7 следует, .что KiRx совпадает с группой еди- единиц (/?*)х, распадающейся в прямую сумму цикличес- циклической группы второго порядка и делимой группы. С другой стороны, у KtRx есть бесконечное циклическое пря- прямое слагаемое, согласно 7.7. Ясно поэтому, что гомо- гомоморфизм не может быть сюръективным. В заключение этого параграфа отметим, что различ- различные введенные нами умножения согласованы друг с другом. Лемма 8.9. Умножения ассоциативны: >CiA <8» А>А <g» #C*A -* /С«.У4*А при i -f j + k < 2. В частности, умножение /CiA (g) /СХЛ ->-
§ 8. Умножение К1\®К1А-*КаА 79 ->/С2Л билинейно относительно действия К0А на KiA и К2А. Мы оставляем доказательство читателю. Ключевой шаг состоит в проверке того, что гомоморфизм' hP: GL(n, A)-+GL(A), используемый для определения действия КоА на KiA и КЪА, удовлетворяет тождеству (АрА) * (hpB) = Ар* (А * В), если матрицы Л, Ве?(п, А) коммутируют (ср. конец §5).
§9. ВЫЧИСЛЕНИЯ В ГРУППЕ СТЕЙНБЕРГ.А. Все результаты этого параграфа принадлежат Стейн- бергу. Мы будем работать в группе St(n, Л), п^З. Для любой единицы и кольца Л рассмотрим эле- элементы Wtj (U) = X^JC'" *ЛС», Ы] (и) = Wif (U) W,j (— 1). (Обратите внимание на тождества wif (и) г% (— и) = 1 и htj A)=1.) Пусть WcrSt(n, Л) — подгруппа, порож- порожденная всеми Wij (U). Матрица из GL (п, Л) называется мономиальной, если она равна произведению PD перестановочной и диагональной матриц. Лемма 9.1. Если А коммутативно, то образ <р (W) сг <z.GL{n, Л) совпадает с множеством всех мономиаль- ных матриц с определителем единица. Доказательство. Проверяется, что <ри>ц(и) — мономиальная матрица с элементом и иа месте (/, /) и элементом — и на месте (/, /), а <рйгу (и) — диаго- диагональная матрица с элементом и на месте (i, i) и эле- элементом W1 на месте (/, /). Очевидно, такие матрицы порождают описанную группу, щ Лемма Д.2. Сопряжение с помощью элемента из W переводит каждую образующую х)} группы St (n, Л) в некоторую образующую дс& группы St(n, Л). Прежде чем доказывать эту лемму, выведем два следствия. Следствие 9.3. Ядро Сп гомоморфизма <p\W:W-+GL{n, A) лежит в центре группы St (n, Л). Действительно, если q>(w) = I с w e W, то, при- применяя ф к формуле
& Вычисления в группе Стейнберга , 81 мы получим соотношение в группе GL (п, Л), откуда, очевидно, следует, что *& = *!&•¦¦ Другое следствие является просто уточненной форму- формулировкой леммы 9.2. Для данного до'е W представим <р (w) как произведение PD, где Р — перестановочная матрица, отвечающая некоторой перестановке я целых чисел между 1. и п, a D — диагональная матрица diagfo, t»2....'., о«>. -..-.-¦ .. '• . Следствие 9.4. Элемент wxb.w1 равен rf^fif , Ана- Аналогично сопряжение посредством w переводит wtj (и) в WnvDtViUVj1), a h,j(u) в hi^fi*I Здесь я (ij)r~ сокращенная запись пары я(/), я(/). Доказательство. Чтобы установить первую формулу, заметим, что "^е*-- и затем применим 9.4. Остальные две формулы прове- проверяются немедленно. Щ Доказательство леммы 9.2. Очевидно, доста- достаточно вычислить wx^xir1 в случае, когда w — образую- "щая wM(u) группы W. Доказательство требует перебора семи случаев в соответствии с тем, какое из чисел i, / с каким из чисел k, I совпадает. Например, если i = k, но / Ф I, то, полагая uv=\, получаем wu (и) х)ра (- и) = xfr —.yU/jj—VyX yV \ v—U __ yU у— vK IyK x—U\ (yU y—v\y—U\ у\ /у—Я,у—РЯ,\ уА ХИХЦ Х11 ) «/ ~ \ «/ Х1/ )хи~ Подобные же вычисления проходят в случае когда
82 § 9. Вычисления в группе Стейнберга по крайней мере трн нз четырех индексов i, j, k, I разные. Наконец, если i = k и /" = /, то . wu (и) x)jwlj (- и) - в>„ (и) [x)q, x\t] wtj (- и) = н аналогично Это завершает доказательство, щ Вот некоторые примеры к 9.4. Положим сначала w = Wij(u), так что соответствующая перестановка п меняет местами / и / и, кроме того, vt = — ur1, vj = и. Сопряжение w с помощью самого себя дает WWif (U) ОТ1 = Wji (— U~lUU~l) или, иными словами, следующий результат: Лемма 9.5. wtj (и) = wtj (— U). Для следующегб примера положим w=hi2(u), так что л — тождественная перестановка, и vx — u, v2 = u-1. Тогда элемент wh13 (и)йу-1 = w (w13 (v) w13 (— 1)) or1 совпадает с a>u (uv) wn (— и) = Ац (uv) hla (u)~\ Умножая это равенство справа нз Aia(w), получаем такое утверждение: Лемма 9.6. Коммутатор [hu (и), /гц (v)] из п. 8.2 совпадает с (и)-1 hu (у)-1. В коммутативном случае это выражение описывает, в какой мере отображение и <-¦ А1а (и) отклоняется от гомоморфизма. Если Л коммутативно, то эти выражения, очевидно, лежат в центральной подгруппе Сл = №ПКегср. Как в § 8, мы можем доказать следующий факт:
$ 9. Вычисления в группе Стейнбергй 83 Лемма 9.7. Если кольцо Л коммутативно, то символ {и, v} = [hlj(u), hik(v)]=* кососимметринен, бимультиплиштивен и принимает значения в коммутативной группе Сп. Приписывание символу {н, v] нового, более точного значения не может привести к недоразумениям, потому что при естественном гомоморфнзме С„-ИипС„с=/<С2Л этот новый символ, очевидно, переходит в старый. Ясно, что символ {и, v] не зависит от выбора индексов 1ф j фИФ i. Следующая фундаментальная лемма связывает сим- символ {и, v) с аддитивной структурой кольца Л. Лемма 9.8. Если и и 1 — и —единицы, то {и, 1 — н} = = 1. Далее {и, — и} = 1 для любой единицы и. Доказательство. Беря в качестве v либо 1 — и, либо — и, мы должны проверить тождество A) Au(«)Ai2(f) = Aia(«f). Подставив в A) определение hM(x) = w12{x)w12(—1), мы убеждаемся, что достаточно проверить равенство B) w12 (и) w12 (— 1) w12 (v) = -w12 (uv). Если у=1— и, это можно проверить, подставив в B) тождество . ^12 (— О = ^21 A) =41*12X21 (ср. 9.5). Далее, подставляя в левую чаСть B) формулы из 9.4, получаем B') xr
S4 § 9. Вычисления в группе Стейнберга Подставив сюда определения wn{u) и w12{v) и поль- пользуясь тождествами —иг +и = ии, и — l-)-w = 0, v —хР= =ш> и, наконец,— и 1—tr1 = —(ыг)-1, получаем из B') соотношение что и требовалось. Доказательство тождества проще. Переписав его левую часть в виде van {u)w12 (— 1)а>12.(и)~Д1 получаем, что она равна w21 (иг2)- в силу 9.4 и, значит, w1%(— и2) в силу 9.5. Это завер- завершает доказательство леммы 9.8. (Я обязан этим вариан- вариантом доказательства Стейнбергу.) || Следствие 9.9. Если Л — конечное поле или кольцо целых чисел по модулю степени нечетного простого числа (ср. конец § 10), то {и, v} = 1 для всех и, v. Д ох а з а т е л ь с т в о. Допустим сначала,, что Л — поле из q элементов, q нечетно. Тогда.группа единиц Л* — циклическая группа порядка q— 1. Одна половина ее элементов — квадраты, другая половина — неквадраты. Заметим, что можно найти иеквадрат ы0, такой», нто 1 — «о-— тоже неквадрат;: Действительно, иначе отображе- отображение Ы(—»- 1-й из Л*\{1} в себя перевело бы каждый из (q— l)/2 неквадратов в квадрат. Тогда в Л' было бы (q— l)/2 квадратов, кроме 1, что неверно; Пусть V — некоторая образующая группы А". Тогда ы0 = v', 1 — «о = vf, где i, j нечетны, откуда следует, что {о, о}'/=1. Так как из кососимметричности следует, что {у, v}2=:\; элемент {v, v) тривиален.. ; Если же A = Z/p"Z, где р нечетно, то применимо аналогичное рассуждение, ибо группа Л* циклична, а число является квадратичным вычетом по модулю рп в том и только том случае, когда это так по модулю р. Наконец, если Л —поле порядка q — 2k, то уравнения 1v, v}9'1=\ и {v, v}%='\ вместе Показывают, что v, v} = l. Это доказывает следствие. Щ
$ 9. Вычисления в группе Стгйнберга ' .85 Покажем теперь, что группа С„ порождена сим- символами {u, v\. Первым шагом будет доказательство следующей леммы. Лемма 9.10. Все символы hik{u) можно выразить через hlk(u) (с /=1). В самом деле, эти символы удов- удовлетворяют тождествам hJk{u)hkJ{u)=\, hu{u)-%k{uy4M{u)-i=\. ^ Доказательство. Упрощая первые три мно- множителя коммутатора hik (u)wjk{\)hlk (u)-1^* (— 1) с помощью 9.4, мы можем привести его к виду wih(u)wjk{—1)= A/ft (и). С другой стороны, упрощая последние три его сомножителя с помощью 9.4, мы получаем ftift (и)Ау(и)-1. Тем самым Полагая i = 1, находим первое из утверждений леммы 9.10 (по .крайней мере для /, й>1). Умножив тож- тождество (*) на такое же тождество с переставленными /, k, мы получим второе утверждение 9.10. Наконец, подставив hki (и) вместо hlk (и), находим третье. Щ Замечание. По-видимому, с символами Лу (и) было бы немного легче работать, чем с hy(u). Пусть Л — любое коммутативное кольцо. Теорема 9.11. Центральная подгруппа C«=IFnKer<pc:St(nr Л) порождена символами {и, v}; Доказательство. Пусть Я с W — подгруппа, порожденная всеми элементами hu(u). Из 9.4 следует, что она нормальна. Покажем сначала, что СпсН. По модулю Н имеют место соотношения Обозначив этот общий класс через wii% заметим, что WyssWji mod Я. Пусть теперь дан некоторый элемент
§ 9. вычисления в группе бтейнбергй группы С„. Воспользуемся соотношеннямн w,jwu =5 и>ятЩ/ (mod Я) прн I, /> 1, чтобы перебросить все вхождення wlt налево. (Здесь я переставляет i с /.) Затем применим соотношения и при \ф1 с тем, чтобы исключить wlt, по одному или по два за одни прием. В конце концов слева может остаться разве лишь одни wlt, но и это невозможно, потому что тогда ф (с) не мог бы отвечать единичной переста- перестановке. Аналогично можно нсключнть все вхождення wit и так далее, получив в конце концов ess I mod Я. Там самым с можно записать в виде произведения символов htj(u). Пользуясь 9.10, получаем, что смежно записать в виде произведения символов hu (и) н обрат- обратных к ним. Обозначив теперь через С* подгруппу С„, порож- порожденную символами {и, Ь), заметим, что hu (uv) зв hu (и) hu (v) mod C* и hij (u) hu (v) = hlt (v) hy (и) mod C*. Отсюда легко следует, что элемент с можно пред- представить в виде произведения с s hn (ыа) Л18 (и3)... hln (и„) mod С*. Стало быть, ф(с) является диагональной матрицей diag (ыг... ип, ищ1 tin1). Но по предположению Ф(с) = /, значит, и2 = "з = -•• = "«= 1> так что сг= = lmodC*. Этим завершается доказательство 9.11. щ Теорема 9.12. Если А —поле или тело, то ядро гомоморфизма Ф: St(n, A)->GL(/i, A) содержится в W и, значит, совпадает с С„. Поэтому группа Стейнберга St (n, Л) является центральным рас- расширением Е {п, Л) для всех п ^ 3.
§ 9. Вычисления в группе Стейнберга 87 В сочетании с 9.11, 9.12 и 9.9 переходом к прямому пределу при и->оо находим Следствие 9.13. Если К —поле, то группа КгЛ порож- порождена символами {и, v). В частности, если Л конечное поле, то /(аЛ = 1. Замечание. М. Штейн недавно обобщил этот резуль- результат, показав, что группа К2Л порождена символами {и, v) для любого 'полулокального кольца Л, аддитивно порожденного своим множеством единиц Л'. Доказательство теоремы 9.12 основано на двух леммах. Пусть 71 —подгруппа St(«, Л), порожденная всеми хЬ., для которых i</. Лемма 9.14. Любой элемент группы Т можно запи- записать в виде произведения в котором множители расположены в лексикографическом порядке. Следовательно, <р изоморфно отображает Т на нильпотентную группу, состоящую из всех верхних, тре- треугольных матриц с единицами 1 на диагонали. Доказательство не представляет труда. Лемма 9.15. Если А —поле или тело, то любой эле- элемент из St (и, Л) содержится в произведении TWT. Доказательство. Очевидно, St (n, Л) порождена теми х^., у которых / = / = ± 1. Так как группа St(n, Л) порождена Т и wttM(l). Поэтому для доказательства 9.15 достаточно проверить, что мно- множество TWT инвариантно относительно правого умно- умножения на wlft+i(\). Чтобы упростить обозначения, положим /=?/-fl. Выбрав любой элемент ггхюг% из TWT, запишем t%
88' § 9. Вычисления в группе Стейнберга в виде произведения хУ', где /' является произведением элементов xfc с k<.l и (k, 1)фA, /). Тогда где элемент t" = wu(-\)t'wu(l), очеввдно, принадлежит Т. Таким образом, достаточно проверить, что Пусть л — перестановка, соответствующая w. Случай 1. Если то A) ^x^wwu A) Случай 2. Если я(t)>я(/) и Я —единица, то откуда Случай 3. Если Я — не единица, то Я = 0, и утверж- утверждение очевидно. Это доказывает лемму 9.15. щ Доказательство теоремы 9.12. Если Ф {tiWt2) = I, то мономиальная матрица ф(ш) равна верхней треугольной матрице Ф (/i) Ф (^г)- Следова- Следовательно, 7 откуда вытекает, что юеС, и tz = t\l, значит, что и требовалось. Это завершает доказательство, щ Обсуждение группы К$ для поля мы продолжим в | 11.
§ 10. ВЫЧИСЛЕНИЕ K2Z В этом параграфе будет доказана следующая Теорема 10.1. При nS*3 группа St(«, Z) является центральным расширением вида 1 _>. с„ -> St (л, Z) -+ Е (п, Z) -*¦ 1, где С„ — циклическая группа второго порядка, порожден- порожденная символом {-1, -I) = WA'4)J (ср. пп. 9.3, 9.7 и-9.11). Отсюда непосредственно вы- вытекает Следствие 10.2, Группа /C2Z является циклической группой второго порядка, порожденной символом {-1,-1}. Действительно, K%Z является прямым пределом групп Сп. . Следующее утверждение эквивалентно 10.1. Пусть еи = Ч>(хЬ) — элементарная матрица, у которой на (/, /)-м месте стоит +1, гф /. Следствие 10.3. При п^Ъ группа S?(/i, Z)=E\ti, Z) порождена п(п— 1) образующими е1)% .которые связаны только соотношениями Стейнберга [*ij, e«]=l, если ]фк,Нф1, fa/, eJk]=-eik, если /, /, k различны, и еще одним соотношением {е12ё^11еп)* = 1. Доказательство 10.3. Введя е). как Х,-ю сте- степень вф. мы находим, что все соотношения Стейнберга непосредственно следуют из выписанных. Вместе с 10.1 это" завершает доказательство. ¦ Доказательство теоремы 10.1 основано на классиче- классических работах Нильсона и Магнуса. В самом деле, 10.1 можно вывести из статьи Магнуса (Magnus W., Ober n-di- mensionateGittertransformfctionen, Ada Math., 64A935), 353-367).
90 § 10. Вычисление RaZ Мы приведем упрощенное доказательство, основан-^ ное на недавней работе Сильвестера (Silvester J. R.,' A presentation of GLn(Z) and GLn(k[X]), в печати). Следует отметить, что Сильвестер, а также Деннис с помощью этого же метода установили изоморфизм K2F[x]^K2F, где F[x] — кольцо многочленов одной пе- переменной над полем F. Деннис распространил это 'вычис- 'вычисление на случай тела коэффициентов. Доказательства Сильвестера индуктивные, так что нам придется начать со случаев п=\, 2. Для п= 1 мы просто положим St(l, Л) равной тривиальной группе. Для п = 2 правильное определение, согласно Стейнбергу, таково (ср. конец доказательства леммы 9.2): Определение 10.4. Для любого кольца Л (ассоциатив- (ассоциативного с единицей) обозначим через St B, Л) группу с обра- образующими xjj и лг^ (где к пробегает элементы кольца), которые подчинены следующим соотношениям: * wij{u)x)iwij{-u)=xT.'*-» для иеЛ', где Wy(u) определяется как //7 Аналог теоремы 10.1 имеет следующую форму. Будем писать Xij вместо образующей Стейнберга х1ц. Теорема 10.5. Группа St B, Z) является централь- центральным расширением \->Ci->StB, Z)->EB, Z)->1, где Са — свободная циклическая группа, порожденная эле- элементом (*12*21*12L. Следовательно, группа SL B, Z) = =Е B, Z) определена образующими е12, e2i и 'соотноше- ниями Второе утверждение (конечно, классическое) следует из первого, потому что проверяется, что образующие Хц и лгм группы St B, Z) подчинены только соотношению
§ 10. Вычисление KaZ 91 Разные замечания. Группа с двумя образую- образующими ос = *1а и P=*2i и одним соотношением ара = = 0аР известна в теории узлов как фундаментальная группа дополнения к трилистнику К с: S3. (Эту же группу можно задать образующими ?, со с соотноше- соотношениями ?3 = соа, здесь ? = осР и © = ара.) Этот любопытный изоморфизм St B, Z) ^ ях (S3 \ К) имеет геометрическое объяснение. Рассмотрим Ё B, Z) =» = 5L B, Z) как дискретную подгруппу связной группы Ли Е B, /?) = SL B, Я). Универсальное накрытие Ё B, Я) является центральным расширением 1_*П-^?B, /?)->?B, Я)-*1, где П — фундаментальная группа Обозначим через ? B, Z) прообраз подгруппы ? B, Z) с: ? B, #) в Ё B, Я). Очевидно, последователь- последовательность точна, и П — центральная подгруппа в ?B, Z). Не- Нетрудно показать, что эту последовательность можно отождествить с последовательностью из 10.5, так что ?B, Z)^StB, Z). Группу 2: B, Z) можно также отождествить с фун- фундаментальной группой однородного пространства М* = ЕB, R)/EB, Z). Действительно, композиция двух накрытий Ё{2, R)-+EB, R)^M3 является универсальным накрытием М3, а группа этого накрытия совпадает с ? B, Z), действующей на ? B, R) левыми сдвигами.. Утверждение. Однородное пространство М* = SL B, R)/SL B, Z) диффеоморфно дополнению к узлу трили- трилистника в сфере S3,
92 § 10. Вычисление Следующее остроумное доказательство принадлежит Квиллену. Заметим прежде всего, что М* можно отож- отождествить с множеством решеток (дискретных подгрупп ранга 2) в R2, для которых площадь фактора R2/L равна единице. Действительно, группа* SLB, R) тран- зитивна иа множестве таких решеток, а стационарная подгруппа стандартной решетки Z2 совпадает с SL B, Z). Заменим теперь R* плоскостью комплексных чисел С. Сопоставим с любой решеткой LaC функцию Вейер- штрасса I3(г)—дважды периодическую мероморфную функцию с решеткой периодов L и с полюсами вида во всех точках решетки X и только' в иих. Эта функ- функция ff>(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида где комплексные константы g2 и g9 можно определить посредством формул в которых суммирование производится по всём точкам решетки, кроме нуля. Эти константы g2 и g3 однозначно определяют функцию |> и решётку L. Пара (g2, ga) получается таким способом в том и только в том слу- случае, когда 27 (g3J — (ёг)в Ф 0, (Это выражение является дискриминантом многочлена 4ш8—^аш —^s. Его необ- необращение в нуль равносильно геометрическому требова- требованию, чтобы отображение CIL^-C U оо степени 2, опре- определенное функцией #*, имело ровно четыре разных точки ветвления.) Значит, пространство GLB, R)/GLB, Z), состоящее из всех решеток в С, диффеоморфно дополне- дополнению к множеству ' в.С2. Обозначим через К узел трилистника, который получается при пересечении этого множества с единич- единичной сферой S3 в С2. Искомый диффеоморфизм М3-> -*-S3\K теперь строится так. Для каждой решетки L,
§ 10. Вычисление K^Z 93 представляющей элемент М9, можно построить един- единственную подобную ей решетку tL с /]>0, инварианты которой (t~4g2, ^~в?з) лежат на единичной сфере. Соот- Соответствие L у—*- (t~4g2, t-*g3) и определяет требуемый диф- диффеоморфизм. ¦ Приступим теперь к доказательству теорем 10.1 и 10.5. Пусть группа St(«, Z) действует справа на модуле Z" целочисленных «-векторов посредством есте- естественного гомоморфизма St(«, Z)-*-E(n, Z). Например, при /г = 2 это действие задается формулами (a, fc)*i2 = (a, a + b), (a, b)xa = (a + b, b). Введем в Z" «норму» \(аъ .... an)|Hfli| + ... + K|. Пусть ±Р —один из стандартных базисных векторов в Z", так что ||Р |=1. Как в § 9, обозначим через W=Wn подгруппу St (n, Z), порожденную элементами Заметим, что действие W на Z" сохраняет норму. Лемма 10.6 (Сильвестер). Любой элемент из St {n, Z) при п^2 можно записать в виде произведения таким образом, что w^W, каждый из элементов ga есть один из образующих Стейнберга xfj1 и выполнены условия Доказательство. Любой последовательностиglf gz, ••- > gr образующих Стейнберга поставим в соответ- соответствие последовательность 1 = ст0, оъ а2, ..., вг положи- положительных целых чисел, определенную формулами Грубой мерой отклонения этой последовательности от монотонности может служить пара положительных Целых чисел (X, ji), которая определяется так. Если последо-
94 '§10. Вычисление вательность монотонная A ^o1^ot^...^:(xr), мы по- полагаем X = {г = 1. В противном случае существует индекс а, для которого аа > Ощ.!. Положим Ха со свойством < Так как этот максимум может достигаться при несколь- нескольких разных значениях а, мы положим ^ = max {а со свойством ^а = Х>»ста+1}. Пары (X, ц) мы упорядочим лексикографически, так что (X, ft) > (А/, ц') в том и только том случае, когда либо \>\', либо Х = Х' и fi>p/. Доказательство леммы -10.6 будет состоять в про- проверке того, что каждое слово gi...grw с (X, ц)>A, 1) можно изменить, пользуясь соотношениями Стейнберга, так, что пара (X, \i) уменьшится. Повторив эту проце- процедуру конечное число раз, мы придем к слову, для ко- которого (К, (А) = A-, 1). Итак, предположим, что (К, ц)>A, 1). В этом случае Заметим, что |д, ^ 1 (при ц = 0 мы имели бы 1 = сто> <ть а это невозможно) и a^i^a^. Чтобы упростить обозначения и для определенности предположим, что ^ = jfi2. (Общий случай легко сво- сводится к этому так. Если gv.=xij, перенумеруем коор- координаты так, чтобы I, j превратились в 1, 2 соответст- соответственно. Если же gfi^xjl, применим к каждому ga сопря- сопряжение посредством шц, затем заменим р на {$доу1 и до на WijW. Мы получим задачу, эквивалентную прежней, в которой gp превратился в xJt. После этого применим уже описанную перенумерацию координат.) Итак, пусть йГц = дек- Положим ..Д1=»(в. Ь, с, ...)eZ», тогда -gn-i^ia, Ь-а, с, ...). Следовательно, неравенство о^х^а^ примет вид
§ 10. Вычисление /C2Z 95 i Очевидно, это утверждение равносильно следующему: A) |д|<2|6|, и если а^О, то ab>0. Доказательство леммы 10.6 требует перебора семи случаев в зависимости от свойств g^. Рассмотрим сначала четыре случая, в которых g^+г коммутирует с gVL = xn. Случай 1. Предположим, что g^\ = x\i, где/^3. Не уменьшая общности, можно ограничиться случаями / = 3 и я = 3. Тогда gp+x переводит (а, Ь, с) в (а, Ь, ва-\-с), причем |с|>|ео+с|. Теперь изменим слово gi.:.grw, заменив произведение = дг12дг?3 на *«#12. Тогда преобразование (а, Ь — а, c)i—>(а, Ь, с) у-* (а, Ь, а-\-с) заменится на (a, b — a, c)i—>(а, Ь — а, еа + с)>—*(а, Ь, га-\-с). При этом числа аа не изменятся, за исключением того, что а,! = || (а, Ь, с) || перейдет в ст^ = f (а, Ь — а, еа + с) | и Проверяется, что пара (Я', ц'), связанная с новой после- последовательностью, меньше, чем (Я, р.). Случай 2. Если ?,!+! = *?/, где i, } больше двух, то доказательство проходит в точности так же, как в случае 1. Случай 3. Предположим, что ^+1 = g? = x\t. Если е = —1, то множитель g^+i сокращается и пара (Я,, р.) уменьшается. Равенство е =+1 невозможно, потому что тогда (a, b, c)gi+1 = (a, b + a, с) и чего не может быть.
§ 10. Вычисление Случай 4. Если gllH = ^i (или j& при t'S=3), рассуждение заметно усложняется. Отметим, что элемент * в группе Стейнберга можно записать также в виде или д&*з8*ГЛ или х^ХцХ^'. (Все эти тождества доказываются очевидным образом.) Это означает, что преобразование (а, Ь-а, с)у-*(а, Ь, с)^*(а, b + ес, с), отвечающее произведению хпх1г, можно заменить либр на (а, Ь — а, c)i-+(a, Ь-а-\-гс, е)>-+(а, Ь-\-ес, с), либо на (с, Ь-а, с)>-*(а, b — a, с + га)*-*- *~-»(а, Ь-\-гс, с + еа)т-*(а, b+гс, с), . либо же на (с-, Ь — а, С)у—*(а-\-ес, Ь — а, с)*—* ь-+(а+ес, b + ес, с)ь-*(а, b + ес, с). Проверяется, что первая замена уменьшит (X, ц), если B) \Ь — в.|>|& — а-+ес\. Аналогично вторая уменьшит (Я, pi), если C) - \с\>\с+еа\, а третья —если . D) . )а\>\ ' " : ¦ Покажем, что хоть одно из этих неравенств выполняется. Заметим сначала, что из неравенства стA>(Тц+1 выте- вытекает, что . Следовательно, Ь и ее должны иметь противоположные 'знаки. Если а^О, то из A) следует, что а и ее имеют противоположные знаки и, стало быть, выполняются либо C), либо D). Если же я = 0, то выполняется B). Этим завершается обсуждение случая 4. Остается рассмотреть разные случаи, в которых g^ и ?,1+1 не коммутируют.
§ 10. Вычисление KtZ 97 Случай 5. Если glM = xl1, то произведение отвечай1 преобразованию E) (а, * - с) •— (а, Ь) •— (а + ей, Ь), для которого Если е= + 1| то а и Ь должны иметь разные знаки в противоречие с A). Поэтому можно считать, что е = т-1. Заменим произведение *12*j/ на x2iWn(—1)^и вспомним, что элемент wtl(—1) можно вынести через giL+iSw-gr с помощью п. 9.4 или п. 10.4. Тогда пре- преобразование E) заменится на (а, Ъ — а) •—*(&, Ь — а). Очевидно, это уменьшает (X, ц). г Случай 6. Предположим, что ?ц+1 = *!з (или xl) с/5s3). В этом случае слово xltxe^. можно заменить либо на х\гх\3хп, либо на' х\ьх\гХц, либо же на x21*ia#fgi0i2. Соответственно преобразование (a, b — a, c)i—>(а, Ь, с) i—*¦ (а, Ь, заменяется на одно из следующих: (а, Ь — а, с)>-~*(а, b — a, c + ea)i |—»(а, Ь — а, с v (а, Ь — а, с) »-*" (а, & — а, с+ еб — еа) ь-* I—*¦ (а, Ь — а, с-\-вЬ) ь-*- (а, Ь, с + еЬ) или (а, Ь-а, с)н->(&, &_а,с)н^ с->(Ь, Ь — а, с + eb)>-~*(Ь, —a, c.+ eb). Таким образом, (Я, \i) уменьшается, если соответственно F) |e G) |с| или (8) . 4 Д.ж. Милнор
§ 10. Вычисление (использовать неравенство | Ь — а | ^ | b |). Из неравенства <*n>Vi следует, что , , \е\>\с+гЬ\, так что с и eb имеют противоположные знаки, и - • |*|<2|с]. Если а = 0, то выполнено неравенство G), Если же афО, так что ab~>0 в силу A), то еа и с имеют раз- разные знаки. Но тогда либо | а |< 21 с |, откуда следует F), либо |а|з=2|с|, откуда следует (8). Случай 7. Если ^+1 = дгз1 (или лг^ с /^=3), то ХцХц совпадает с ХиХпх^е и с х\хх^х^х\г. Следова- Следовательно, преобразование (а, Ь — а, с)>—*(а, Ь, с)<-^-(а-{-гс, Ь, с) можно заменить либо на {а, Ь — а, с)*-+{а-{-гс, Ь — а, с)*-*- I—*(а-\-ес, Ь + ес, с)>—*{а-{-гс, Ъ, с), либо на (а, Ь — а, с)ь-*(а + ес, b — a,c)t—*-(a-\-ec, b — a, — еа)ь-* |—>(а + ес, b, — ea)i—+{a-\-ec, b, с). Пара (к, \i) уменьшится, если соответственно (9) или В этом случае из неравенства (Тц><тA+1 следует, что \а\>\а+ес\, так что знаки а и ее разные, и Поэтому знаки Ъ и ее разные в силу A), так что либо |c|<2|&!, откуда следует (9), либо же |с|^2|Ь|,что вместе с A) влечет за собой A0). Это завершает [доказа- [доказательство леммы Сильвестера; Щ
§ 10. Вычисление /CaZ 99 Следующий шаг в доказательстве 10.1 и 10.5 таков: Лемма 10.7. При га ^=2 ядро естественного гомомор- гомоморфизма ф: St (га, Z)-+E (n, Z) содержится в подгруппе Wn. Доказательство индукцией по га. Так как при га= 1 утверждение, очевидно, справедливо, мы можем считать, что га ^ 2. В качестве стандартного век- вектора Р в Z" возьмем @, 0, ..., 0, 1). По лемме Силь- вестера любой элемент в ядре ф можно записать в виде произведения gi...grw со свойством Из уравнения ||Pgi||=l следует, что образующая Стейн- берга gi должна оставлять р на месте. Индукция пока- показывает, что то же должно быть верным для всех ga. Далее, поскольку Ф (gi... g/-®) = 1. элемент w^Wn также должен оставлять Р на месте. Следовательно, слово gi-..gr не может содержать ни одну образующую Стейнберга xf, с i — n. Оно может содержать образующую х6^ с / = га, но в этом случае с помощью соотношений Стейнберга все эти образующие можно сдвинуть в левый конец. Обозначив через х про- произведение всех таких образующих, мы сможем записать gi...gr(v в виде произведения xi (у) w, где i обозначает естественный гомоморфизм i: St(ra-1, Z)^St(ra, Z). Проиллюстрируем ситуацию на примере га = 4: матрицы Ф (х) и ф (i (у) w) должны иметь вид 1\ 0 0 *\ /* * * 0\ 010*1 /***0 001*1 И 1***0 \0 0 0 1/ ¦ \0 0 0 соответственно. Но произведение этих матриц равно /. 4*
100 § 10. Вычисление Следовательно, и из леммы 5.2 тогда вытекает, что х=\. Теперь запишем до в виде произведения i (до') с с условиями Отсюда следует, что рассмотренный в самом начале элемент gx... grw ядра гомоморфизма <р может быть пред- представлен в виде произведения i {yw') с. Но yw' лежит в ядре гомоморфизма St(n— I, Z)-*E(n-\,Z), значит, yw' e W^ по индуктивному предположению. Поэтому i (yw') e Wn, что доказывает лемму 10.7. щ Теперь основные теоремы получаются без труда. Доказательство 10.1. Так как ядро гомомор- гомоморфизма ф содержится в Wn, из 9.3 и 9.11 следует, что это ядро лежит в центре и порождено {—1, —1}. Но, сог- согласно 9.7 н 8.4, порядок элемента {—1,—l}eSt(n, Z) в точности равен двум. Щ Доказательство 10.5. Соотношение до12до21 = 1 в StB, Z) показывает, что группа W2 циклична. Так как порядок ф (wn) равен 4, ядро ф порождено элемен- элементом (дох2L. Как в п. 9.3, ядро лежит в центре. Тот факт, что никакая степень wn не равна единице в St B, Z), можно установить, построив гомо- гомоморфизм ф: StB, R)-*EB, R), как в п. 7.5. щ Вот еще одно следствие из 10.1. Для любого целого числа т~> 1 рассмотрим точную последовательность (§ 6-2) Пользуясь теоремой Менникке, Басса, Лазара и Серра о том, что SKi(tnZ) — \t мы заключаем, что группа
§ 10. Вычисление K3Z 101 Kt(Z/mZ) также порождена элементом {—1, —1). Если т — степень нечетного, простого числа, из п. 9.9 следует, что /Са (Z/mZ) = 1. Более общо, изоморфизм и китайская теорема об остатках вместе влекут за собой следующий результат: Следствие 10.8. Если т ф Omod'4, то /Са (Z/mZ) = 1. Деннис недавно показал, что если m==0mod4, то
§ 11. ВЫЧИСЛЕНИЕ К2 ДЛЯ ПОЛЯ ПО МАЦУМОТО Группа K2F для любого поля F. была описана обра- образующими и соотношениями в диссертации Мацумото, основанной на более ранней работе Мура (см. литера- литературу, цитированную во введении). , В этом параграфе мы сформулируем теорему Мацу- Мацумото и затем выведем из нее некоторые следствия. В частности, мы полностью вычислим группу K2Q> сле- следуя одному письму Джона Тэйта; здесь Q — поле рацио- рациональных чисел. В § 9 мы видели, что группа K2F для поля F порождена некоторыми символами {х, у}. Здесь х и у пробегают элементы мультипликативной группы F' = F\{0} Теорема 11.1 (Мацумото). Абелева группа K2F имеет следующее представление образующими и соотноше- соотношениями. Образующие {х, у] с х, у в F' подчинены только следствиям соотношений из списка: A) {*, 1-Jt}=l при хфО, 1, B) {*i*2, у}-[хи у}{х2, У}, C) {х, У1У2} = {х, г/,}{дг, у2}. Доказательство будет дано в § 12. Так как ядро С„ центрального расширения St (n,F)-*- ->-SL(«, F) порождено аналогичными символами {х, у}, которые удовлетворяют тем же соотношениям (см. пп. 9.7, 9.8, 9.11 и 9.12), существует каноническая сюръекция K.i,F-*-Cn. Отсюда немедленно вытекает Следствие 11.2. Для любого поля F группы С $ —>• С4 —*¦ Сь —*¦... канонически изоморфны друг другу и своему прямому пределу K%F. Стало быть, мультипликатор Шура Я251(«, F) также изоморфен K2F Для всех /ts=3, за исключением особых случаев га = 3 и \F\ = 2 или 4 и п = 4, |F[ = 2. (Ср. замечание к теореме 5.10.)
§ И. Вычисление К» для поля по Мацу мот 103 Символы Стейнберга * - Вот переформулировка теоремы 11.1. Следствие 11.3. Для любого бимультиплпкативного символа х,у~с(х, у) на F' со значениями в мультипликативной абелевой группе А, который удовлетворяет условию с(х, 1-х) = 1, существует единственный гомоморфизм из K^F в А, при котором {х, у} переходит в с (х, у) для всех х и у. Любое такое бимультипликативное спаривание с: F'xF'-^A со значениями в абелевой группе А, удов- удовлетворяющее услевиям с [х, 1 — х) = 1, будет назы- называться символом Стейнберга для поля F. Классическим примером символа/ Стейнберга явля- является символ Гильберта квадратичного вычета в ло- локальном поле: с (а, Ъ) — + 1 или — 1 в соответствии с тем, имеет ли уравнение ах2-}-Ьуг— 1 решение в поле или нет. (См., например, О'Меага О., Introduction to Quadratic Forms, Berlin, Springer, 1963, стр. 164.) Более общо, если F — локальное поле, содержащее корни из единицы степени п, то можно определить символ норменного вычета степени п, принимающий значения в группе корней я-й степени (см. п. 15.9). Заметим, что любой символ Стейнберга обязательно кососимметричен, с(х, У)=с(у, ж), и удовлетворяет тождеству с(х, -х) = 1. Действительно, так как — х — A — хI[\ — х~1), тож- тождество с(х, — лг) = 1 можно установить, разделив равен- равенство с (х, 1 —х) — К нас (х, 1 — л-1)=с(дг1, 1—дг1)~1 = 1. Умножив теперь с(х, у) на с(х, —х), разделив на с (ху, —ху) и затем снова умножив на с {if1, —IT1), мы получим уравнение с{х,у)=с{х, -ху)=с(у\ -ху)=с(у-\х),
104 ,§ П. Вычисление Кг для паля по Мацумото которое доказывает кососимметричность. Мы будем часто пользоваться этими символами в § 12. Замечание. Важное следствие из П.2 и 11.3 таково. Существует взаимно однозначное соответствие между символами Стейнберга для F со значениями в А и цент- центральными расширениями группы SL(n, F) с ядром А. (Здесь мы предполагаем, что п^З, и исключаем трн особых случая SLC, Fa), SLC, Ft) и SLD, F2).) Дей- Действительно, любое центральное расширение определяет символ Стейнберга (и 0 0\ /о 0 0 с (и, о). фГ1 ( 0 и-1 0 ), ife-11 0 1 0 V0 0 1/ \0 0 г1/ = ?({«. v}), где v означает единственный гомоморфизм из St(n, F) в G иад SL(n, F) v(cp. доказательствб теоремы 5.10). Обратно, пусть дан символ Стейнберга с. Обозначим через tfC4:St(rt, F)xA график гомоморфизма {и, v}*-~c(u, о)-1 из 'С„ в А. Тогда O-(St(«, F)XA)/N дает требуемое центральное расширение На языке гомологической алгебры множество всех таких классов центральных расширений (с точностью до изо- изоморфизма) с ядром А образует группу Я2 (SL (п, Ру, А) е* Нот (Я2 SL(n, F), А) ^Нот (KaF, A), которая изоморфна группе символов Стейнберга со зна- значениями в Л. Если поле F снабжено некоторой топологией, так что SL{n, /^ — топологическая группа, то естественно
§ II. Вычисление K.t для поля по Мацумото _ 105 рассмотреть те центральные расширения, которые также являются топологическими группами. Определение. Пусть S — хаусдорфова топологическая группа. Тогда топологическим расширением групп будет называться точная последовательность в которой А и G — хауедорфовы топологические группы, гомоморфизм i непрерывен и замкнут, а гомоморфизм г|з непрерывен и открыт. (Эти условия равносильны тре- требованию, чтобы А гомеоморфна погружалась в G в качестве замкнутой подгруппы, а 01А гомеоморфно отображалась на 5.) Мацумото доказывает следующий" результат. Пред- Предположим, что F — хаусдорфово поле с непрерывными сложением, умножением н делением и что А — комму- коммутативная хаусдорфова топологическая группа. Утверждение 11.4. Символ Стейнберга с для поля F со значениями в группе А порождает центральное топо- топологическое расширение группы SL{n, F) в том и только том. случае, когда он является непрерывной функцией двух переменных и удовлетворяет условию lim с (а, \+аЪ) — 1. а, Ь ^»0 За доказательством достаточности этих условий мы отсылаем читателя к работе Мацумото. Вот набросок доказательства их необходимости. Предположим, что дано центральное топологическое расширение. Пусть у — единственный гомоморфизм из St (л, F) в G над SL (n, F). Покажем сначала, что. гомоморфизм из F в G непрерывен. Очевидно, достаточно проверить непрерывность при Ь, стремящемся к нулю. Функция на G со значениями в G g->[vD>); g], очевидно, непрерывна. Следовательно, для любой окрест- окрестности единицы U Ь G существует такая окрестность
106 § II. Вычисление Къ для поля по Мацу мот единицы V, что [у (х\3), g] e U, когда g e V. Поскольку функция ft? из F в SL (я, F), очевидно, непрерывна, a i|> (V) явля- является открытым подмножеством в SL(n, F), существует такая окрестность N нуля в F, что e&3ei|j(V), когда b&N. Теперь для любого элемента Ь eN выберем geV так, чтобы ty(g)—ebr Тогда коммутатор лежит в t/. Значит, vW») непрерывно зависит от Ь. Отсюда немедленно следует, что элементы группы ,y(wtj («)) и у(Ы](и) непрерывно зависят от параметра и. Поэтому символ с (и, i>) = v({". »}) = V (fAi2 («)» А18(и)]) непрерывен как функция двух переменных. В этом месте Мацумото привлекает следующее тож- тождество. Допустим, мы хотим записать элемент -f^*^ e е St (n, F) в виде произведения x^wx^. Пользуясь методами п. 9.15 и повозившись немного, мы придем к формуле . где d = (l+o*)- Таким образом, если а и b стремятся ж нулю в F, то d стремится к 1 в F и элементы группы vWs^i) и V (?i\i (Ф *$) стремятся к 1 в G. Следо- Следовательно, символ у ({a, d-l}) = c{a, d-l)=c(a, l+ab) также должен стремиться к единице. Это завершает наше обсуждение 11.4. , Вот, один простой способ строить символы Стейн- берга. Напомним, что дискретным нормированием, v поля F называется гомоморфизм мультипликативной группы F' на аддитивную группу целых чисел, удов- удовлетворяющий условию v(x-\-y)^m\n (v(x), v(y)). Соот- Соответствующее кольцо нормирования Лс? состоит из всех х с v{x)^Q н нуля. В этом кольце существует
§ 11. Вычисление Kt для поля по Мацумото 107 единственный максимальный идеал ф с~ Л; фактор- кольцо Л/ф называется полем классов вычетов F. Лемма 11.5. Формула dv (л-, у) = (- 1)" w * (v)xv w/y" <*> mod ф определяет непрерывный символ Стейнберга dv на F со значениями в дискретной группе F' = (Л/ф)'. (Ср. Serre J.-P., Corps locaux, Paris, Hermann, 1968, стр. 217.) Этот символ dv называется ручным символом, ассоциированным с нормированием v. Очевидно, d индуцирует некоторый- гомоморфизм из K%F на группу РКР) v Доказательство 11.5. Элемент ±хПуIуЧх) является единицей в Л, потому что хЧу) и уПх> имеют один и тот же образ относительно t\. Ясно, что символ dv бимультипликативен и непрерывен в и-топологии. Доказательство тождества dv{l— x, х) — 1 потребует разбора нескольких случаев. Если v (х) > 0, то х е ф, так что 1— *=lmod$ и с A — дг) = 0, откуда Аналогично проходит доказательство в случае v A — дг) >0. Предположим теперь, что v(x)<.0. Тогда х'1 еф, так что частное A -х)/х = — 1+ЛГ-1 = - 1 mod ф является единицей. Поэтому v(l—x)=v(x) и A -x)nx)lxvA-x) = (A - х) /x)v^ sa (- l)'i*> mod ф. Умножая это на (—l)v<.i-xmx)=-(_\y{x)t мы П0ЛуЧаем l.mod^, что и требовалось. Случай иA—дг)<0 раз- разбирается аналогично. Так как последний оставшийся' случай v (х) = v A — а:) = 0 тривиален, это доказывает 11.5. ¦ Квадратичный закон взаимности по Гауссу Чтобы проиллюстрировать все эти понятия, рассмот- рассмотрим поле рациональных чисел Q. Какие символы Стейн- Стейнберга с (х, у) можно определить для него?
108 § Л. Вычислеиие Къ для поля по Мацумото Для любого простого числа р р-адическое норми- нормирование vp на Q определяет символ Стейнберга dv (х, у) со значениями в циклической группе (Z)pZ)' порядка р — 1. Если- р нечетно, то мы будем обозначать этот символ просто (х, у)р, а его группу значений {Z/pZ)' через Ар. При р = 2 эта конструкция бесполезна. Однако 2-адический символ (х, уJ можно определить следую- следующим способом. -Любое ненулевое рациональное число можно однозначно записать в виде ±2/5*«, где & = 0 или 1, а «—отношение целых чисел, сравнимых с 1 mod 8. Пусть теперь ' ж=(-1 Тогда (х, Таким образом, группой, значений А2 является цикли- циклическая группа {±1}. Мы оставим читателю в качестве упражнения проверку того, что это действительно сим- символ Стейнберга. Замечание. Следующее утверждение может служить некоторой мотивировкой определения символа (х, у)р. Предположим, что некоторый символ Стейнберга с: Q;xQ'-*-A со значениями в хаусдорфовой топологической группе \А непрерывен в р-адической топологии группы Q* для некоторого р. Тогда существует единственный гомо- гомоморфизм из Ар в А, переводящий символ (х, у)р в с (х, у) для всех х и у. Короче говоря, (дг, у)р — «универсальный непрерыв- непрерывный символ Стейнберга» относительно р-адической топо- топологии на Q". Это утверждение является частным слу- случаем гораздо более общей теоремы Мура, .которая будет доказана в приложении. Вот набросок его доказательства. Пусть рп — степень простого числа, большая двух. Тогда сравнение D) A - гр»)р ~ 1 - rp"*1 (mod p"+2) легко следует из биномиальной формулы. Предположим теперь, что р — нечетное число и что г взаимно просто с р. Пусть «! — любое рациональное" число вида sit,
§ И. Вычисление Kt для поля по Мацумото 109 где s==/== I (modp). Из D) видно, что щ можно как угодно хорошо приблизить степенями числа 1 — гр в р-адической топологии. Действительно, сначала выбе- выберем i так, чтобы затем / так, чтобы . (l-rp)i+lpt = s (modp8) и так далее. Поскольку с {гр, A — гр)') — 1 для любого i, по непре- непрерывности получаем, что с (гр, «i) = 1 для любого такого числа Ui = s/t. Учтем теперь, что вся мультипликатив- мультипликативная группа Q' порождена произведениями гр, где г взаимно просто с фиксированным простым числом р. Тем самым мы показали, что E) с(х, «i) = l для всех *gQ'. Если г, г' — целые числа4 взаимно простые с р, то из E) видно, что с (г, г') зависит только • от классов вычетрв г и г' по .модулю р. Применив теперь теорему Стейнберга о том, что любой символ для конечного поля тривиален (п. 9.9), мы получаем F) . с(г, гО-1. ¦ Пусть % — представитель первообразного класса выче- вычетов по модулю р. Тогда любой элемент х, у в Q" более или менее однозначно записывается в виде откуда следует, что - с(х, у) = с(р, р)"с(к, рI'~". Так как равенства • с (К, р)р^=с(Хр-\ р)=1 и • С (Р, Р) = С (- 1, р) = С (X, р)(Р~ D/2 следуют из E), доказательство для нечетных р теперь легко завершается.
110 § 11. Вычисление Kt для поля по Мацумото Для р — 2 аналогичное рассуждение показывает, что любое число и, представимое в виде • отношения s/t с s = /=l (mod8), можно приблизить как угодно хорошо в 2-адической топологии степенью 9. Поль- Пользуясь равенствами с (9, 3) = с(— 3, 3J=1, мы по непрерывности заключаем, что с(и,-1) = с(и,-2) = с(и, 3) = 1 для каждого такого значения и. Так как числа—1,-2 и 3 порождают всюду плотную подгруппу в Q', это доказывает, что G) с (и, х) = 1 для всех х. Рассмотрим для примера и — — 5/3, тогда с E, х)=с(— 3, -х). Положив здесь дг = 4, мы "находим с E, 4) = 1, откуда сE, — 1)=сE, — 4)= 1, так что (8) сE, 5) = сE,-1)=1. Аналогично уравнение с (— 5, — 1) =с C, х) для х = -т-2 даст с (— 5, — 2) = 1, откуда (9) ' сE, 2)=с(—1,-1). Комбинируя G), (8) и (9) с очевидным, уравнением с B, 2) = с B, — 1) = 1, получаем с((— 1)'2/5»и, (— \y2Wu') =с (— 1, - 1)" + /*+*./, что, очевидно, завершает доказательство. Щ Пользуясь этими символами Стейнберга (х, у)р, мы готовы теперь вычислить группу /C2Q. Теорема 11.6 (Тэйт). Группа K2Q канонически изо- изоморфна прямой сумме Л2фЛзфЛвф..., где Аг — циклическая группа {±Ц и Ap~(Z/pZ)' при нечет- нечетных р.
§ 11. Вычисление Кг для поля по Мацумото III Этот изоморфизм будет индуцирован отображением {х, у} •— (х, у), ф (х, уK ф (х, у), ф... для всех х, у в Q', Тэйт замечает, что его доказательство этой теоремы является непосредственным видоизменением метода, который Гаусс избрал для своего первого доказатель- доказательства квадратичного закона взаимности (ср. Гаусс К. Ф.( Арифметические исследования, «Труды по теории чисел», Изд-во АН СССР, М., 1959). Начнем с того, что символом Lm для каждого целого положительного 'числа т обозначим подгруппу KiQ, порожденную всеми элементами {х, у}, где х, у — целые числа, по модулю не превосходящие т. Очевидно, Z-x сг ?2 с L3 с:... и объединение этих групп равно /C2Q. Заметим, что Lm — Lm-i, если т — не простое число. Лемма 11.7. Для каждого простого числа р фактор- факторгруппа Lp/Lp-х циклична порядка р — \. В частности, факторгруппа l^jhi тривиальна. Если' принять эту лемму, доказательство без труда заверша- завершается следующим образом. Для каждого простого числа р соответствие {х, у} >—*¦ i—*-(x, у)р определяет некоторый гомоморфизм из KiQ в Ар. Ясно, что если р нечетно, то этот гомоморфизм аннулирует Lp-U но отображает Lp на циклическую группу Ap — (Z/pZy. Следовательно, он индуцирует изоморфизм Lp/Lp-i ^ Ар. С другой стороны, при р = 2 этот гомоморфизм отображает образующую {—1,-1} группы Li на элемент (—1,—1J = —1 и, следова- следовательно, индуцирует некоторый изоморфизм группы Li —Ьг на Л2. Теперь легкая индукция показывает, что для каждого простого числа р соответствие {х, у}*-+(х, у)г®{х, г/Kф ... ®(х, у)р отображает группу Lp изоморфно на прямую сумму ^2©^з© ••• © Ар- Переходя к прямому пределу при р-уоо, получаем теорему.
112 g //• Вычисление Kt для поля по Мщдмото Чтобы доказать лемму 11.7, рассмотрим соответствие <р: (Z/pZ) - определенное формулой Здесь х пробегает все нулевые целые числа, по модулю меньшие р, Чтобы показать, что ф определяет гомомор- гомоморфизм, рассмотрим соотношение xysszmodp, где х, у, г—ненулевые целые числа, по модулю мень- меньшие р. Тогда xy=*z+pr, где \pr\=s^\xy\ + |z|=ss. «?(р — 1)8+р— 1, и, значит, \г\<р. В этих условиях так что Поэтому {г, p}*s[xy, так что q> — гомоморфизм, притом корректно определен- определенный (положить у <= 1). Чтобы доказать, что tp сюръективен, заметим, что группа Lp порождена символами {х, rtp}, {dtp, x] и {±р, ±/)} и подгруппой Lp-!. Тождества {— р, -р}*& {р, р] в.ф (— 1) mod Lp_b {± р, х}-1 = {х, ± р) = ф (х) mod Lp-i и {— Р, р\-{р,-р} = \ показывают, что ф сюръективен. Это доказывает, что в группе Lp/Lp^i не- больше р — 1 элементов. Пользуясь символом (дг, у)р, мы уже проверили, что LP\LP-X состоит по меньшей мере из р — 1 элементов. Это завер- завершает доказательство. Щ Вот другая формулировка нашего результата. Следствие 11.8. Для любого символа Стейнберга с (дг, у) на поле рациональных чисел со значениями
§ П. Вычисление Kt для поля по Мацдмото 113 в абелевой группе А существуют однозначно определен- определенные гомоморфизмы ' ФР: Ар-+А, такие, что с(х, у) = ТЬ>Р((х> У)р)> где произведение распространено на все простые числа р. Результат в этой формулировке можно било бы доказать непосредственно, даже не упоминая /С?. Чтобы проиллюстрировать это следствие,! рассмот- рассмотрим локальный символ (х, ,у)ю, определенный формулой f -4-1» если *>0 или у>0, (ДГ, ^ = (_1если,>у<0> который индуцирован вложением рациональных чисел в вещественные. (Ср. п.8.4.) Это «универсальный непре- непрерывный символ Стеинберга» относительно архимедовой топологии поля Q. Согласно 11.8, должно существовать соотношение вида (х, yU=H<PP{(x, y)p). Действительно, Имеет место следующий Квадратичный закон взаимности. Символ (х, yfa, совпа- совпадает с произведением по всем простым числам р симво- символов ((х, у))р. Символ Гильберта ((дг, у))р = ± 1 по опре- определению равен (х, y)i при р = 2 и для нечетных р. Доказательство. Из следствия 11.8 ясно, что существует соотношение вида где показатели еа, е8, е5, ... должны быть нулями или единицами. Положив х = у= — 1, обнаруживаем, что показатель е2 должен быть единицей. Если р — простое число вида 8&±3, то из равенств B, р)от=1, B, р)а--1
114 § 11. Вычисление К2 для поля по Мацумото ВИДНО, ЧТО (B, р))>=-1, так что вр не может быть нулем. Аналогично если р — простое число вида 8& + 7 (или 8k-\-3), то уравнения (- 1, р)оо=1, (-1, р)г= -1 показывают, что ер не может быть нулем. Остается только случай простого числа вида8&+1. Следуя Гауссу, докажем такой результат. Лемма 11.9. Если р — простое число вида 8&+1, то существует такое простое число q ¦< Ур , что р не является квадратичным вычетом mod q. (Примеры типа 109 = 22 mod 3-5-7 показывают, что по крайней мере для небольших р условие р=з 1 mod 8 существенно.) Доказательство (по .Тэйту). Рассмотрим про- произведение м-Р-12 Р-32 Р-5* р-т* Здесь т должно быть наибольшим нечетным числом, не превосходящим У~Р г так что т?<.р<.{т-\-2)г. Тогда для любого сомножителя (р —1)/4 этого произ- произведения имеем неравенство р_Р (m+^-P m+2 + i m+2-i v<^—?-<^ ^ = 2 2 • откуда 0<W<(m+l)! . . Предположим теперь, что р является квадратичным вычетом по модулю каждого простого числа, меньшего докажем, что тогда что ведет к противоречию. Обозначим символом [|] наибольшее целое число sg \. Прежде всего, следуя Гауссу, заметим, что для доказательства сравнения а^Оз ... ak==0 mod га! доста- достаточно проверить, что для каждой степени простого
§ И. Вычисление К2 для поля по Мацумото 115 числа qs=^n по крайней мере [n/qs] сомножителей О/ делятся на qs. Действительно, это видно из тождества я!=1 Ц qW). Таким образом, в нашем случае следует доказать, что для каждой степени простого числа qs <; т + 1 по крайней мере l(m-\-l)/qs] из чисел (р —t'2)/4 делятся на q$. Иными словами, нужно установить, что сравнение р == t2 mod 4qs имеет не меньше [(m-\-\)/qs] решений в интервале 0<Кт+\. Прежде всего покажем, что р действительно явля- является квадратичным вычетом по модулю 4qs. Так как р == 1 mod 8, известно, что р является квадратичным вычетом по модулю любой степени двойки. Значит, достаточно рассмотреть нечетные ^для которых заве- заведомо qs Ф т + 1. Тогда так что р является квадратичным вычетом по модулю q, откуда легко следует, что р является вычетом и по модулю 4<7S. Стало быть, сравнение /j = t2mod4<7s имеет по край- крайней мере одно решение i. Изменив в случае необходи- необходимости его знак и добавив некоторое кратное 2qs, мы получим решение i0, лежащее в интервале 0<.i0<.qs. (Это можно делать, потому что (i + 2<7sJ = i2mod4<7s.) Аналогично можно получить решение 2qs — i0, лежащее между ^ и 2qs, решение io + 2qs между 2qs и 3<7S и так далее. Значит, для каждого положительного числа п существует по крайней мере [n/qs] решений между О и п. Полагая п=т-{-1, получаем доказательство леммы 11.9. ¦ Теперь доказательство квадратичного закона Взаим- Взаимности по Гауссу и Тэйту можно завершить следующим образом. Предположим, что р — квадратичный невычет по модулю q, где q < р и р = 1 mod 8. Рассуждая по индукции, можно считать, что е?=1. Тогда (р, д)оо = ~{(Р, <7))а=1| но ((p,.q))g= -1. Отсюда следует, что
116 §11: Вычисление К2 для поля по Мацу люто ((Р> <7))|р== — 1 и„ значит, гРу?О. Это завершает дока- доказательство. ¦ Замечание. Пусть F (х) — поле рациональных функций от одной переменной над F. Удобно положить deg / = п — т, ст. коэфф. / = ajbo.Л Техника, использованная' выше для вычисления /С2<3.' применима также к группе KJ? (х) и доставляет рас-; щепнмую точную последовательность j В прямой сумме р пробегает все ненулевые простые^ идеалы в кольце многочленов (для доказательства того,} что последовательность расщепляется, можно исполь-1 зовать символ с (ft ?) = {ст. кеэфф. /, ст. коэфф. g} со] значениями в KjF). -] В точности как для поля рациональных чисел, в доказательстве используются символы (/, g)^, связан-, ные с различными р-адическими нормированиями на' F (х). И так же, как в поле рациональных чисел, бросается в глаза отсутствие одного нормирования в списке.' Здесь это. нормирование связанное с бесконечно удаленной точкой. Поэтому;; в точности так же, как и выше, мы можем вывести формулу, которая выражает соответствующий сим- символ Стейнберга ; (/, gH0 = (_l)deg/degS(CT< коэфф. g)deSf/(CT. КОЭфф./)dee« через (f, g)p. Формула, открытая А. Вейлем, имеет вид где произведение берется по всем ненулевым простым идеалам р, а норма относится к расширению (F [х]/р)ш над F'. (Ср. Басе X., Алгебраическая /С-теория, «Мир», 1973, гл. 6, § 8). Если f, g — взаимно простые
§11. Вычисление Кг для поля по Мацу мот 117 многочлены, то правую часть этого уравнения можно записать в виде П >«)/ П г (л). где | и г] пробегают алгебраическое замыкание поля F и нули считаются с их кратностями. Несчетные поля В заключение этого параграфа мы укажем еще одно приложение леммы 11.5. Теорема 11.10. Если поле F несчетно, то и группа несчетна. Доказательство. Пусть П с: F — простое поле и Х — {ха}—-некоторое.максимальное множество алгеб- алгебраически независимых над П элементов. Таким образом, F — алгебраическое расширение несчетного функциональ- .ного поля ЩХ). Выбрав одну переменную х0 е X и положив X'^XXl^o}, мы получим дискретное норми- нормирование на П (X) с полем классов вычетов П(Х'), отвечающее гомоморфизму / (#0) *-*• f @) кольца много- многочленов от х0 с коэффициентами в П(Х'). Продолжим этот гомоморфизм до точки поля F со значениями в алгебраическом замыкании поля П (X'). (Ср. Lang S., Introduction to Algebraic Geometry, N. Y. — London, 1968, стр. 8.) Тогда на каждом конечном расширении Е поля П (X) в F индуцируется дискретное нормирование, поле классов вычетов которого Е является конечным расширением поля П (X'). Отобразим К2Е в ?^ с по- помощью 11.5. Пусть Ех — расширение поля Е с индексом ветвления г. Нетрудно проверить, что следующая диаг-, рамма коммутативна К»Е - где г Означает гомоморфизм е*—*-ег. Чтобы сделать нижнюю стрелку вложением, профакторизуем по счетной
1U § 11. Вычисление Kt для поля по Мацумото подгруппе всех корней из единицы в Е\ Мы получим диаграмму К I I 2?7(корни из 1) -*¦ ^/(корни из 1) в которой нижняя стрелка является уже вложением. Переходя теперь к прямому пределу по конечным расширениям Е поля П (X) в F, мы получим гомо- гомоморфизм из KiF на некоторую предельную группу, содержащую ?'/(корни из 1) для всех таких Е. Окон- Окончательно, группа KtF несчетна. ¦
§ 12. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МАЦУМОТО Пусть с—'некоторый символ Стейнберга для поля F со значениями в мультипликативной абелевой группе А (ср. п. 11.3). Воспользуемся символом с для построения центрального расширения Здесь п может быть любым целым числом, но. для про- простоты мы ограничимся случаем л 5*3. Нужное нам рас- расширение будет сначала построено над подгруппой D диагональных матриц, затем над большей группой М мономиальных матриц и, наконец, над всей группой SL (л, F). Чтобы построить первое расширение обозначим через Я множество D х А со следующей опе- операцией умножения. Если d = diag (% ,,.., а„) и d' = diag(y! vn), то (d, a)(d', d) = [dd', т'Ц с (и,, Vj)\ ' Легко проверить, что это произведение ассоциативно и, следовательно, превращает Н в группу. Обозначим через ф: H^D ее проекцию на первый сомножитель. Это гомоморфизм с ядром I X А, содержащимся в центре Н, Отождествим это ядро с А. Коммутаторы в Я можно вычислять в точности, как в п. 8.3. Лемма 12.1. Если <p(/O = diag (ult .... ип) и <p(k) = = diag (vi, ..., vn), mo hkh^k'1 совпадает с произведе- произведением . c(ult yj с(и2, v^ ... с{ип, va). Доказательство. Легкое вычисление с исполь- использованием кососимметричности с и уравнения Ui...un~
120 § 12. Доказательство теоремы Мацумото Теперь для данных целых чисел i-ф \ между 1 и п определим символы h,j(u)^.H. Если' t</, обозначим через htJ(u) элемент (rf^(«), 1) в D х А — Н, (Где di} (ы) есть матрица dlag(l,...., 1, и, 1, .... 1, ы-\ 1, .."., 1) с элементом и на i-м месте и ыЧ'на /-м месте. Если же i>], в.. качестве Ау(м) возьмем (dy (ы), с (и,, ы)). \ Лемма 12.2. Символы Ау'(м) удовлетворяют тожде- тождествам hlM =Ау(«I=Л«(«IЛ*/(и)-1 как в § 9. Доказательство получается непосредственно. Теперь мы построим группу W, содержащую Я и отображающуюся на группу М мономиальных матриц. В качестве первого шага построим подгруппу Wo, порож- порожденную некоторыми символами хюц (± 1). Разберем две возможности. Случай 1. Если с(—1, —1) = 1, мы определим Wo как группу Мо, состоящую из мономиальных матриц в SL(n, F), ненулевые элементы которых равны ±1. Определим элемент ш,7A) = пу/г(— 1) как мономиальную матрицу с 1 иа месте (/, f), — 1 на месте (/, $) и единицами, где можно, иа диагонали; остальные ее элементы нуле- нулевые. Обозначим через <р0: Wo^>-Mo тождественное ото- отображение. Случай 2. Если с(— 1,— 1) Ф 1, то/7 должно быть полем характеристики нуль в силу 9.9. Значит, F со- содержит кольцо целых Z, и мы можем отождествить Мо с группой всех мономиальных матриц в SL (n, Z). Обо- Обозначим через Wo прообраз группы Мо в двукратном центральном расширении St(n, Z)-*-SL(n, Z). Тогда определены естественное отображение щ: Wo-+Mo и элементы о>*/(± 1) е Wo, как в § 10. Замечание. Можно было бы действовать иначе, отож- отождествив Мо с некоторой подгруппой группы вращеннй,
§ 12. Доказательство теоремы Мщумото 121 SO (л), a Wo с соответствующей подгруппой ее двули- двулистного накрытия Spin (л). Теперь мы определим действие группы Wo на Я. Так как действие элемента w0 будет зависеть только от <р0 (w0), займемся сначала мономиальными матрицами. . Для каждой перестановки л чисел {1, ..., п} обо- обозначим через рп соответствующую перестановочную мат- матрицу. Любую мономиальную матрицу можно однозначно записать в виде произведения р„ diag (ыь ..., ип) в GL{n, F). Лемма 12.3. Каждая мономиальная матрица т = »= Ря diag («1 ..... и„) определяет единственный автомар^ физм а (т) группы Н, который тождественно действует на А и переводит каждый элемент Нц (у) в элемент с{щЩ\ v) ппщ) (у). Этот автоморфизм а (т) мультипли- мультипликативен по т, и совпадает с внутренним автоморфиз- автоморфизмом h I—* ftift/171 в случае, когда т = <р (fti) — диагональная матрица. ' ; • Доказательство. Если ых ... ип= + 1, из 12.1 видно, что соответствие определяет внутренний автоморфизм Н. Если их...ип = = — 1, то это соответствие продолжается до некоторого внутреннего автоморфизма большей группы Я (п+ 1), связанной с SL(n-\-l, F). Значит, и в этом случае оно определяет автоморфизм Я. Временно'обозначим его символом Р(«ь .'.., ип). Для любой перестановки я чисел {] п] соот- соответствие Пц (у) н-* hn(i[) (у) сохраняет все соотношения из 12.2 между элементами hy (у) и формулу для ком- коммутатора 12.1. Следовательно, оно определяет некото- некоторый автоморфизм Н, тривиальный на Л. Обозначим его через Р„ и.положим a(m) = pn§(«i, .... ип). Теперь доказательство без труда завершается с по- помощью соотношения ... и„) ря = ЄР(ия( В частном случае т = <р0 (w0) мы будем обозначать этот автоморфизм a (m) так: h у-*- j1
122 § 12. Доказательство теоремы Мацумото Чтобы построить группу W, порожденную Я и Wo, нам нужно описать пересечение Я П Wo. Обозначим через НоаН подгруппу, порожденную символами hy (—1). Ее можно отождествить с подгруппой Wo, порожденной соответствующими символами dt/(— 1) в случае Wo s Mo или символами Ы](—') в случае WoczSt(n, Z). Определение W: Обозначим через W фактор- пространство Я х Wo, которое получается после отож- отождествления (hh0, w0) с, (h, how0) для всех /гоеЯо; Определим умножение в W формулой (h, wo)(h', «0 = (hiwji'w-1), w0 w0'), в которой используется действие Wo на Я, Описанное в лемме 12.3. Лемма 12.4. Это умножение совместимо с отождест- отождествлениями и превращает множество W в группу. Ото- Отображение q:W-+m, xp(h, Wo) = y(h)y0(wo), превра-, щает W в центральное расширение группы М с ядром^ изоморфным А. Доказательство получается непосредственно. Мы будем отождествлять группы А с: Я и Wo с их изоморфными образами в W. Заметим, что Я fl W0 = H0. Чтобы эффективно работать с этой группой W, нам понадобится явное описание ее внутренних автоморфиз- автоморфизмов. Лемма 12.5. Пусть <р (w) = ?>я diag(«b..., ип). Тогда whijtyw-^ciUiUj-1, v)hrt[U)(v) wwu A) ay-1 = hnm {щи,') wmj) A). Доказательство. Мы уже знаем, как вычис- вычислять whij (v) w1 в том частном случае, когда w при- принадлежит либо Wo, либо Я. Так как группа W порож- порождена Wo и Я, нетрудно проверить первую формулу для всех w. - ;
§ 12. Доказательство теоремы Мацумото 123 Теперь вычислим результат сопряжения г%A) эле- элементом п, для которого ф(Л) = diag (ulf ..., ы„). Пред- Представим h в виде произведения fl = hir(U,)hjr(Uj)ll' для некоторого г, в котором К коммутирует с wf/(\), и заметим, что W,j A) hwu (- 1) = hJr(U,) С (- 1, Щ) К (Ну) К. Следовательно, коммутатор [h, wtj(\)] равен К («/) Ла ("/) К («у) с (— 1, и,) hJr (uijr*. С помощью лемм 12.1 и 12.2 при некотором терпении можно преобразовать это выражение в- hijiiiiUf1). Зна- Значит, /шг/ (\)h'1 = hij {UiUjl)wij A), как и утверждалось. Так как мы можем вычислить результат сопряжения Wij A) посредством элемента из Wo с помощью 9.4, доказательство завершается без труда. ¦ Чтобы перейти от подгруппы М мономиальных мат- матриц к полной группе SL (л, F), мы используем некото- некоторый вариант нормальной формы Брюа для матрицы (ср. п. 9.15). Пусть Т — группа верхних треугольных матриц с нулями ниже диагонали и единицами на диа- диагонали. Лемма 12.6. Любую матрицу s из SL(n, F) можно записать в виде произведения tmf, adet,f^Tum^M. Хотя t и f могут меняться, мономиальная матрица т однозначно определяется по s. Таким образом, сущест- существует корректно определенная ретракция р: SL(n, F)-*- M(tf) (Разумеется, р не является гомоморфизмом.) Доказательство 12.6. Первое утверждение не- немедленно следует из 9.15 или может быть доказано не- независимо с помощью подходящих элементарных опера- операций над строками и столбцами. Для доказательства второго предположим, что
124 § 12. Доказательство теоремы Мацдмото Умножая на /7*1 слева и иа ^'справа, находим* ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ t, t'. _ Пусть. (еи ..., еп) — такой базис, что met = ъе^ rti'd^ale^^, где.ц и ц/ —перестановки. Будем доказы-ч вать индукцией вниз по k, что \i(k) = \k' (k), ak = a'k. i Имеем Г (еЛ) = еп; поэтому m'fea = <^fi»'(n). Но tm (еп) = tia^n)) = а„ецЧ„) + 21 <ъЬ*$ь Так как a»^ri 9s3 0, обязательно ая'= ai, ц (п) == ц' (п) и Ьд< = 0 для ()+l Аналогично делается индуктивный переход. МцГ считаем, что |i.(/) = р.*(/) для всех l^k+\. Тогда ^ m'f{ek)*=m'(ek+ 2 %еЛ = аАем.'(*)+ 21 ' \ />*+!. / <>*+! 21 ) Так как (I (Л) не равно ц, (/) ни для какого / 3? А +1? совпадение возможно лишь при \i (k) = ц,' (&)j a* = а^.х) 0 Чтобы упростить обозначения, удобно будет обозна- обозначать пару последовательных индексов (/, /+1) одной: буквой а. Обращенную пару (/+1, 0 мы будем обо- обозначать—а. Таким образом, da (и) обозначает диаго- диагональную матрицу с элементом и иа t-м месте, иг1 иа (/+1)-м месте и единицами на диагонали в остальных местах. Аналогично та(и) означает мономиальную' матрицу с Элементом и на а-м месте, — и на (— а)-м месте и 1 на диагонали в остальных местах. Хотя функция р: SL(n, F)->M не является гомо-, морфизмом, заметим, что она удовлетворяет соотноше-" ниям ¦ I для любой диагональной матрицы d в SL(n, F). Сле-.; дующие свойства р будут особеино важны для иас. !) Рассуждение в оригинале некорректно и было изменено при переводе.—Ярил, перев. . . ,
§ 12. Доказательство теоремы Мацумото 128 Лемма 12.7. Для любого элемента s из SL (я, F) выра- выражение p(ftia,(l)s) совпадает либо с ma(l)p(s), либо с daiu^pls) для некоторого однозначно определенного элемента и из F. Аналогично p(smp(—1)) совпадает либо с р (s) mp (—1), либо с р (s) dp (v) для некоторого v. Замечание. Мы постарались написать эти формулы в таком виде, чтобы они остались справедливыми в группе Стейнберга, если заменить в них та на wa и а\ на ha. Доказательство 12.7. (Ср. п. 9.15.) В выра- выражении s = tmf мы можем однозначно представить f в виде произведения efa, где eg означает элементарную матрицу с элементом v на месте р\ а /р означает любую матрицу из Т с нулем на месте р\ Тогда A) для некоторой матрицы t'p. Если и = 0, это уже пока- показывает, что р(8Щ-(— I)) = p(s)m3(— 1). Предположим теперь, что и^=0. Пусть я —переста- —перестановка, связанная с мономиальной матрицей тп, и пусть р = (/, /+1). Если я(/)<«(/+¦!)» так что элемент me^mr1 также принадлежит Т, то мы можем в уравнении A) сдвинуть множитель el влево и снова [заключить, что р (smp (— 1)) = р (s) mp (— 1). Если же я(/)>я(/+1), подставим в A) тождество и передвинем множитель' е^ налево, а множитель направо. Мы получим Шр (— 1) * f mfhi (v) mp (— 1) /'". Так как mp(t»)mp(— l) = dp(t»), это доказывает, что p(smp(— l))=p(s)dp(w) в этом случае. Аналогично вычисляется p(ma(l)s). Положим s =• = ta^mt', так что '
126 § 12. Доказательство теоремы Мацумото Тогда в случае я@<"~1 (' +1) мы .можем передви- передвинуть множительс^-" направо и заключить, 4Top(ma(l)s) = — ma(l)pfe). С другой стороны, если ифЬтл л-1(/)> > it (t+ l)i то, подставив е^" = та(—и)е?е-_?~1 и передвинув две элементарные матрицы соответственно налево и направо, мы получим та A) s = t"та A) та (— и) mt'". Так как та(\)та(— u) = da(u)-1, это завершает дока- доказательство леммы 12.7. Щ Замечание. Для дальнейших нужд нам будут полезны приведенные выше уравнения в несколько более явном виде. Поставим в соответствие каждой мономиальной матрице т и каждой паре индексов Р элемент поля /(р\ т), .определенный уравнением \ е Тогда если ф(ш) = т, то wh^(v)w~1 = c(f(fi\ m), )n(^{ (Ср. п. 9.4, 12.5.) Заметим, что / (— р\ т)==/(р, т) Если теперь s = tmefo и v Ф 0, то либо B) »пр (-1) = К%т^тт& (-1) Г, либо х<е C) snip (-1) = ^|-)«>"-1яЦ» (v) Г. Это и есть одно из нужных соотношений. Аналогично если s — tafi-^mt с ифО и если а = п(у), то либо D) либо E) Это второе соотношение. Теперь мы в состоянии описать остроумную кон- конструкцию центрального расширения группы SL(n, F) по Мацумото. Обозначим через n, F)XW
jr $ 12. Доказательство теоремы Мацдмото 127 множество всех пар (s, w), удовлетворяющих условию f P(s) $Гак как нет никакого очевидного способа превратить §то множество в группу, мы поступим иначе. Пусть Ь— группа перестановок множества X, порожденная перестановками i(h), \i (t) и г\а, которые определены следующим образом. ? Для каждого элемента h e Я обозначим через Я, (Л) Перестановку ' s, kw) множества X. Ясно, что это отображение сохраняет тождество p(s) = q>(a)) и что Я, вкладывает группу Я в группу всех перестановок множества X. Для каждого элемента ^еТ обозначим через ц(f) перестановку H@(s, w) = (ts, w). Очевидно, ц вкладывает Т в группу перестановок X. Наконец, для каждой пары a = (i, f+1) обозначим через т)а перестановку, которая переводит пару (s, a») либо в пару (ma(])s, wa(l)w), Либо в пару (т„A)8, /^(и)-1^) в соответствии с тем, равен p(ma(l)s) эле- элементу ma(l)p(s) или же daiu^pis). ЯСН9, что это определение построено так, чтобы сохранялось условие p(s) = (p(jiy). Нетрудно проверить, что (—1)), откуда следует, что г\а — перестановка. (Здесь исполь- используется тождество с (и, — и) = 1.) Все эти перестановки Я (Л), \i(f) и т)а порождают некоторую подгруппу G группы всех перестановок мно- множества X. Ключевая лемма такова: Лемма 12.8. Группа G просто транзитивна на X. Иными словами, для любых двух пар (s, w) и (s', w') в G существует единственный элемент g, такой, что g(s, a»)»(s', to'). Доказательство транзитивности проводится довольно легко. Как в доказательстве 9.15, заметим, что SL(n, F)
128 § 12. Доказательство теоремы Яацдяото порождена группой Т и элементами гй«A). Поэтому, действуя на (s, w) некоторой последовательностью пере-; Становок ц. (f) н %, мы можем перевести первую компоненту s в s'. Иными словами, можно найти такой влемент goeG, что go(s, w)=(s', о»*). Так как обе пары (s', w') и (s', w*) принадлежат X, мы заключаем, что w'ssw* по модулю подгруппы А группы W. Поэтому, действуя на (s',.w*) подходящим отображе- отображением Я (а), мы. приходим к (s', w'). Это приводит к доказательству существования д с условием g(s, w) = (s', w'). Доказательство единствен- единственности труднее, и мы дадим его позже. Временно приняв лемму 12.8, мы без труда при- приходим к следующему результату: Теорема 12.9, Группа G является центральным, рас- расширением группы SL(n, F) с ядром %(А)А Доказательство. Заметим сначала, что дейст- действие любого элемента группы g на первой компоненте любой пары (s, w) e X. является просто, умножением слева на некоторый элемент W^&SLin, F). Этот факт верен для образующих группы G и тем самым для всех ее элементов. Это определяет некоторый гомо- гомоморфизм Ч': p-*-SL(n, F). Так как G транзитивно действует на X, отсюда следует, чСго Y сюръективен. Ядро Y можно вычислить так. Если ?(g)=l, то элемент g(s, w) должен быть парой (s, w'). Уравнение р (s) = ф (w) = ф (w') показывает, что w' = aw для неко- некоторого элемент аеЛ. Таким образом,, . g(s, w) = %(a)(s, w). Так как действие G просто транзитивно, отсюда сле- следует, что gs=h(a). Поэтому последовательность точна. Проверяется, что каждая перестановка к (а) комму- коммутирует с образующими группы О. Это завершает вывод теоремы 12.9 из леммы 12.8. Для завершения доказательства, однако, мы должны проверить лемму. Эта проверка основана на следующей
§ 12. Доказательство теоремы Мацумото 129 конструкции. Пусть-G* — группа перестановок, действу- действующая справа на множестве X, которая порождена некоторыми перестановками X* (h), \i* (t), т$, опреде- определенными ниже. . • , Для каждого элемента АеЯ положим (s, ю)Х*(А) = (яф(А),.вА). Для каждого элемента t&T положим (s, w)]i.*(t) = (st, w). ^Наконец, для каждой пары р = (/, /+1) определим is, w) ц% как (smp (—1), ww^ (—1)) или (sm$ (—1), юАр (v)) \В зависимости от совпадения р (smg (—1)) с р (s) mp (—1) Шв p(s)dp(y) (ср. п. 12.7). Очевидно, перестановки X* (h), |i* (i) и т$ порождают транзитивную группу G* перестановок, действующую справа на множестве X. Лемма 12.10. Каждый элемент группы G коммути- коммутирует с каждым элементом группы G*. ;: Иными словами, «ассоциативный закон» ; (gx)g*~g(xg*) имеет место для всех ged, xеХ и j*eO*, Чтобы доказать это, очевидно, достаточно рассмотреть частный случай, в котором g — одна из образующих G, a g* — одна из образующих G*. Если g имеет вид Я, (А) или ц (t) или если g* имеет вид Я,* (Л) или ц* (t), ассоциативность проверяется без затруднений. Поэтому мы сосредоточим внимание на случаях g = Tja и g*=Tjg. - ' Заметим, что первая компонента пары v\a (s, w) tj^ при любом размещении скобок, очевидно, равна ma(l)smp(—1). Поэтому мы можем заниматься только второй ее компонентой. Положим x = (s, w), пусть s — tae^umev^ и обозна- обозначим через я перестановку, ассоциированную с мрно- миальной матрицей m — y(w). Случай 1. Если я (Р) ф ± а, то вторая компонента пары r|a(s, w)r\l равна либо шаA)аушр(—1) wuhbWiwwpi—1), Q Дж, Милнор
130 §12. Доказательство теоремы Мацумото если у = 0 или n(j) <п (/ + 1), либо wa0)wh(i{v) или haiu если уфО и я(/)>я(/+1). При всех возможностях результат не зависит от расстановки скобок. Случай 2. Если п(р)=а, из уравнения B) сле- следует, что вторая компонента пары % (хтф равна F) A«(«-/(P,/n)o)-1awp(-l) при условии, что и=^/(р, /и) у. С другой стороны, пользуясь |4), получаем, что вторая компонента пары Oi<x*)ilB равна G) .wa(})wht(v-f<$,m)-*u), если иф?ф, m)u. Проверку равенства F) = G) в группе W мы оставляем неустрашимому читателю. Если u = f(f>,m)v, то вторая компонента пары T)aXT]fs равна а>аA)а>Шр(—1) при любой расстановке скобок. Случай 3. Предположим, что я(р) = — а. Поль- Пользуясь уравнением C), находим, что вторая компонента пары T|a(rng) равна (8) Аа(и-/(-Р.,«)«г1)-1иЛэ(») при условии, что тФК—Р, т) и ьфЪ. Аналогично, пользуясь E), находим, что вторая компонента пары (VO^P Равна (9) ha(u)-*wfb(v-f{-$, т)иг>) при условии, дто ифО и иу#/(—р, т). Чтобы про- проверить равенство (8) = (9), передвинем сомножитель w в обоих выражениях направо с помощью 12.5, затем заменим fta1 на h^ в первом множителе каждого выра- выражения. Положив / = /(—р, т), мы получаем, что достаточно проверить равенство = А-в (Н) А_. (V - flu) С if'1, V - flu) или, иначе, с (и-//о, о)^-1, у)=с(«, v-f/u)ct\ v-flu).
§ 12. Доказательство теоремы. Мацумото 131 Подставим сюда z = fluv и сократим сомножители с (и, и) и elf'1, v) из левой и правой частей. Дело сведется к проверке сA — г, о)-с (и, l-z)c(t\ 1-г). Но это равенство легко выводится из c(z, 1 — z) = 1. Замечание. Это единственное место во всем доказа- доказательстве, где уравнение с (г, 1 — z) = 1 используется в полную силу. Остается посмотреть, что происходит в случаях и = О или у = 0, или ии = /(—0, /и). Чтобы разобраться с ними, мы должны проверить равенства (v) = wa A) twp (-1) или ©а A) ГШр (-1) = Ла («Г1 ^Лр (-/ (- Р, IB) М или ш соответственно. Доказательства хотя и кропотливы, но не содержат никаких особенных трудностей. Это завер- завершает доказательство 12.10. ¦ Доказательство того, что действие G на X просто транзитивно (лемма 12.8). Если g1x = gix, то для всех g* в G*. Но G* действует транзитивно и, значит, это доказывает, что gxx' = g2x' для всех х' в X. Поэтому gi = g2, что доказывает 12.8 и завершает до- доказательство 12.9. ¦ Теперь мы готовы доказать теорему Мацумото 11.1. Рассмотрим универсальный символ Стейнберга с\ F'X XF'-^A для поля F. Иными словами, пусть А — абе- лева группа, заданная образующими с (и, v), которые подчинены, только соотношениям с fails, v) = c(ult v)c(u2, v), с (и, v1vj=c(u, Ух)с(«, i>g), с (и, 1 — и) = 1 и их следствиям.
132 § И. Доказательство теоремы Мацдмото Пусть [и, v] gKiF- символ, определенный § 8 и 9. Так как он бимультипликативен и удовлетворяет урав- уравнению {и, \-и} = 1, существует единственный гомо-. морфизм переводящий с (и, v) в [и, у\ для всех и и v из F. Мы должны доказать, что это изоморфизм. Обозначим через 1 -* А -> Gn -+ SL (я, F) -> 1 цент- центральное расширение, о котором шла речь в теореме 12.9. Нетрудно перейти к прямому пределу при п -> оо, по- получив центральное расширение Но, согласно п. 5.10, расширение является универсальным центральным расширением группы SL (F). Поэтому существует единственный гомо- гомоморфизм • \: над тождественным отображением группы SL(F). Оче- Очевидно, I отображает /(/в А. Сравнивая п. 8.3 с п. 12.1 и вспоминая, что Я^Х(Я)сй, мы видим, что | пе- переводит {«, v) в с (и, v) для всех и и v, Но т] перево- переводит с (и, v) в {и, v} для всех и, v. Так как группа /у порождена символами {и, о), а группа- Л порождена символами с (и, о), это завершает доказательство того, что KiF^L А. И
§ 13. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДЕДЕКИНДОВЫХ КОЛЬЦАХ Пусть Л — дедекиндово кольцо с полем частных F. Мы докажем следующий результат: Теорема 13.1 (Басе, Тэйт). Существует точная после- последовательность 0 КхА/р -* /СХД - fcde обе прямые суммы распространены на все ненулевые простые идеалы р. кольца Л. Ср. Басе X., Алгебраическая /С-теория, стр. 633. Мы приведём здесь большую часть доказательства,-но один ключевой шаг будет зависеть от ссылки на Басса. Замечание. Конечно, существует естественный гомо- гомоморфизм KiA-+K*P. Если множество идеалов кольца Л счетно, то, как недавно показал Басе,' дополненная последовательность 7С2Л->/!С2/?->0/С1Л/р также точ- точна. Хотелось бы продолжить ее еще дальше влево. Например, если F — числовое поле, так что /СаД/^ = О» можно предположить, что /С8Л вкладывается в KJ*. Но до сих пор это известно только в частном случае A = Z (ср.-п. 10.2 и п. 8.4). Для общего дедекиндова кольца никто не сумел предложить подходящего гомо- гомоморфизма ф КаЛ/р -»- /С2Л. Начнем доказательство теоремы 13.1 с определения гомоморфизма Он отображает стандартную образующую [Л/р] в раз- разность [Л1] - [р] е RqA. Пусть, далее, — гомоморфизм, который переводит ненулевой элемент поля х в сумму
134 § 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах Здесь Vp обозначает р-адическое нормирование поля F, а [А/р] — стандартная образующая (единичный элемент) в /СоЛ/р. Точность последовательности проверяется без труда. (Замечание. Группу ф/С<>ЛД> можно, конечно, отож- отождествить с группой «дивизиров» кольца Л; она же кано- канонически изоморфна группе дробных идеалов Л.) Чтобы определить гомоморфизм мы применим одну конструкцию Менникке. Пусть а, Ъ — взаимно простые элементы кольца Л, Тогда существуют такие элементы end, что ad — bc — = 1. Рассмотрим матрицу По модулю нормальной подгруппы ?(Л) эта матрица зависит только от а и Ъ, так как если ad — bd тоже равно 1, то вычисление показывает, что (а Ь\1а &\-* /1 0\ [с d)\d а] -\х I) для подходящего х, откуда (а Ь\ la b, JmodE(A). cdj \, Определение. Символом Менникке I называется элемент подгруппы SL (А)/Е (Л) с /СхЛ, который пред- ставлен унимодулярной матрицей ¦ \с dj Лемма 13.2. Символ е KiK определенный для вза- имно простых а и Ь, симметричен, бимультиплищти-
§13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах 135 ' * вен и не меняется, если к Ь прибавить элемент, деля- делящийся на. а, или к а прибавить элемент, делящийся ена Ь. Здесь мы рассматриваем KtA как мультипликатив- ;ную группу. Доказательство. Свойства V ь \ьг\ь+ьп pi г \а\ L а \' [a] [a , потому что элементарные операции над столбцами |матрицы отвечают умножению справа на элементарные |матрицы. Отсюда следует, что | Кроме того, если и —единица Л, то и- ^потому что символ ;¦ матрице. f: Чтобы доказать, что ? иста •мы должны проверить сравнение J. la b очевидно, отвечает единичной \с d 1,Оно следует из матричного тождества '1 0 0\ fa bO\fO 0 1\ fa b' 0 cdOlOOIc'd'O \0 0 1/ \0 1 0/ \0 0 1 fa W 0\ fa bb' 0\ * * = * * 0 mod?(A), * 1/ \0 0 1/
136 § 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах потому что, как легко проверяется, первая, третья и пятая матрицы в пятикратном произведении лежат в Е (Л). Комбинируя теперь A), B) и C), получаем Так как бимультипликативность следует из- C) и D), это доказывает лемму 13.2. Щ Рассмотрим теперь ненулевой идеал исЛи элемент кольца Ь, взаимно простой с а. Лемма 13.3. Существует единственный бимультипли- кативный символ ¦jyjeSI(A)/E(A), который определен для всех пар, состоящих из элемен- элемента b и ненулевого идеала а, взаимно простых между собой, со следующими свойствами. Он зависит только от класса вычетов Ь mod а и совпадает с символом Мен- никкеЛ в- случае, когда а—главный идеал, порожден- порожденный элементом а. ~ ', Доказательство. (Ср. Басе X., Алгебраическая /С-теория, стр. 249.) Для любого ненулевого идеала а можно выбрать взаимно простой с ним идеал г в классе {а} (ср. п. 1.8). Тогда произведение ау является глав- главным идеалом; пусть с —его образующая. По китайской теореме об остатках существует такой элемент Ь' кольца Л, что ь, = удовлетво- Предположим теперь, что задан символ ряюший описанным условиям. Тогда должен быть Это доказывает^ единственность.
§ 13. Дополнительные сведения о дедекиндошх кольцах 137 Чтобы установить существование, положим | ГЬ'1 W равным по определению е SK%\ где элементы Ь' LCJ ' и с были определены выше. Определение не зависит от выбора Ь', потому что если Ь" также удовлетворяет условиям то b" =&b' (mode), откуда = . Далее это опре- определение не зависит от выбора с. Действительно, если ые-другая образующая идеала ах, то в силу B) (см. выше). Наконец, определение не зависит от'выбора х. Действительно, если г'—другой идеал, взаимно простой си, в ах' — Ас', то выбрав идеал^ из того же класса, что и а, но взаимно простой с ним, -мы получим для некоторых элементов^ d и d'. Заметим, что отноше- отношение (cd')l(c'd) является единицей в Л, потому что cd' и c'd порождают один и тот же идеал axx'ty. Выбрав теперь Ь' так, чтобы v Ь'гг b mod a, &'== 1 mod rr'ip, мы получим b'ss\(modd) и &'== 1 (mod d')> так что а это и требовалось. Теперь нетрудно поверить, что символ бимуль- • Ьи типликативен, зависит только от класса вычетов b mod a и совпадает с в случае, когда а = Аа. Это завер- завершает, доказательство леммы .13.3. ¦ . .
138 § 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах Замечание. Если и —единица кольца Л, то обобщен- обобщенный символ Менникке может быть нетривиальным (ср. п. 13.5). Его можно вычислить следующим обра- образом. Пусть (и) —элемент группы Ki\ отвечающий и. Утверждение 13.4. Символ] е/СхЛ равен произее- LaJ дению (и) е: /СхЛ на элемент Т — [а] е /(„Л. Иными словами, композиция /CiA -> i j совпадает с умножением на 1—[а] (ср. с поведением гомоморфизма «переноса» в п. 14.1). Доказательство. Выбрав идеал г с а+* = Л и аг = Лс, находим из точной последовательности что прямая сумма а ф х свободна. Чтобы вычислить произ^ ведение (и) [а] е /СхЛ, мы должны изучить автоморфизм T:a0r->a0r, который является тождественным на втором слагаемом и совпадает с умножением на первом слагаемом (см. обсуждение после леммы 3.2). Выберем такой элемент se a, что 1-aer. В ка- качестве базиса модуля a 0 г мы выберем два вектора &! = (а, 1-а), Ь2 = (с, -с). Вычисление показывает, что Т(Ь2) = с(и- I)bi + (u + a-ua) b%, так что матрица Т имеет вид , s GL B, Л). — uaj v ' Чтобы вычислить («)A— [а]), мы должны перейти к матрице 1 0\ /* с (и — 1) \-1_(и + а-иа с(\-и) О и) \* и -f а — ш/ ~~ \ * *
§ 13. Дополнительные сведения о дедекиндозых кольцах 139 в SL B, Л). Соответствующий символ Менникке, очевидно, удовлетворяет соотношению Г сA — и) ]_Г« + а — исПГи + а — иа\ [и-f-a — иа\ L а Л хA — ы) J" Но и -f о, — иа 5= и mod а, и + а — иа = 1 mod г A — и), так что произведение в правой части равно , что и требовалось, щ Вот пример, иллюстрирующий эти конструкции. Пример 13.5. Пусть Л —кольцо, которое получается присоединением к кольцу вещественных многочленов R [х] элемента у, удовлетворяющего уравнению дг24-#2=1. Тогда матрица представляет нетривиальный элемент из /СаЛ. Мы до- докажем это, пользуясь техникой § 7. Заметим, что Л можно отождествить с кольцом, состоящим из всех ве- вещественных полиномиальных функций" на единичной окружности. Поэтому каждая матрица из SL (п, Л) определяет полиномиальное отображение единичной окружности в SL(n, R). Так как элементарные матрицы отвечают отображениям, гомотопным нулю,- эта .конст- .конструкция определяет отображение KiA->jtxSL (R)^Z/2Z. Но матрица I J соответствует образующей группы niSLB, R) и, значит/отображается в нетривиальный элемент группы niSL(R).' Таким образом, символ Менникке нетривиален. Так как главный идеал Ах представляется в виде про- произведения pq, где у as I modp, у s — 1 mod q,
140 § 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах находим отсюда (Здесь р (соответственно q) —идеал, состоящий из поли- полиномиальных функций, обращающихся в нуль в точке @, 1) (соответственно @, —1)) единичной окружности.) Поэтому элемент нетривиален. (На самом деле нетрудно показать, что S/dA—циклическая группа порядка 2 с образующей f. (Ср. Басе X., Алгебраическая /(-теория, стр. 542.)) qj . . - Пусть R (х, у) — поле частных кольца Л. Любопытно, каково ядро естественного гомоморфизма /(ЯЛ -> KiR{x, у) и совпадает ли оно с образом подходящего гомоморфизма кольца 0 /CjA/q. Если такой гомоморфизм существует, то. композиция /С2Л-»-/С2Л/<[->/BЛ должна совпадать с умножением на 1 — [q]. Поэтому элемент {—1, —1} s 7(A/ должен переходить в произведение {-1, -l}(i-[q]) = (-lJ(l-W)==(- лежащее в ядре /С2Л->КЛ (х, у). Вопрос о том, три- тривиален ли элемент (—1) , представляется очень трудным. ' ¦ { Вернемся теперь к доказательству теоремы 13.1. Пусть Л —дедекиндово кольцо, р — ненулевой простой идеал; Тогда соответствие определяет гомоморфизм группы (Л/р)' = /CiA/p в ^Л. Образовав прямую сумму по ненулевым простым иде- идеалам, мы-получаем требуемый гомоморфизм ф/СЛ/ A
• § 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах 141 Чтобы установить точность получившейся последо- последовательности т мы используем следующую лемму: Лемма 13.6 (Басе). Каждую матрицу из SL (Л) можно перевести элементарными операциями над стро- строками и столбцами & матрицу из подгруппы SL B, Л), Следующее доказательство годится для любого ком- коммутативного кольца Л, в котором каждый ненулевой элемент содержится лишь в конечном числе максималь- максимальных идеалов. Доказательство 13.6. Пусть (а1г ..., ап)~по- ап)~последняя строка любой матрицы А из группы SL (п, А), где л^З. Очевидно, Случай 1. Если идеал, порожденный элементами аъ а2, .!., ап-ъ уже совпадает со всем кольцом Л, то с помощью элементарных операций над столбцами можно, превратить последний элемент ап в 1. После этого под- подходящими операциями над строками и столбцами ма- матрицы А ее можно превратить в матрицу вида diag (A', 1), принадлежащую подгруппе SL(n— 1, Л). Случай 2. Если а2 = 0,^то элементарными опера- операциями над столбцами можно превратить % в 1, и мы сможем продолжать, как в случае 1. С л у ч а й 3. Если а2 -ф 0, то существует только конечное число максимальных идеалов, содержащих эле* менты аг, а3, ... и an-t. Пусть это будет nti, ..., ms, и пусть первые г из них содержат alt а остальные s — г не содержат. Выберем такой элемент е из Л, что esl mod nti, m2 mn es=0 mod mr+1, ..,-, nts. Добавляя к первому столбцу последний, умноженный на- е, мы. заменим аг на аг-\-еап. Очевидно, идеал, по- порожденный элементами ait a3, ;¦•! а»-»,
142 § 13. Дополни/пельные сведения о дедекиндовых кольцах совпадает со всем кольцом Л. После этого мы можем продолжать, как в случае 1. Таким образом, данная матрица сравнима по мо- модулю ?(Л) с матрицей из SL(n— 1, Л). Продолжая по индукции, получаем утверждение леммы. | Доказательство точности последова- последовательности ф /CiA/p -»- KiA -»- KiF. Образом первого гомоморфизма, очевидно, является подгруппа KiK по- Г61 рожденная всеми символами Менникке , которая сов- падает с образом SL B, Л) в KiA. С другой сто.роны, ядро второго гомоморфизма, очевидно, совпадает с под- подгруппой SL (А)/Е (Л) группы KiA. Но, согласно 13.6, образ SLB, Л) в точности совпадает с SL{A)/E(A). Это доказывает, что написанная последовательность точна. . Докажем теперь следующий факт. Пусть Л—по-преж- Л—по-прежнему дедекиндово кольцо с полем частных F, Лемма 13.7 (Тэйт). Группа K^F порождена теми сим- символами [а, Ь), для которых а и b являются взаимно простыми элементами кольца А. Доказательство. Обозначим через L подгруппу в KiF, порожденную теми символами [а, Ь}, для кото- которых а и b взаимно просты в Л. Мы должны устано- установить для любых х, у в F', что {*, у) е L. Проведем доказательство индукцией' по числу тех максимальных идеалов р, для которых одновремен.ю vp(х)фОп Vp (у)ф (здесь и„ есть р-адическое нормирование). Случай 1, Предположим, что вообще нет простых идеалов у, для которых ^(лс) vp(y) Ф 0. В группе дроб- дробных идеалов кольца Л "дробный идеал Ах однозначно представляется в виде отношения а/6 двух взаимно про- простых идеалов, содержащихся в Д. Аналогично мы можем написать Л# = с/Ь, причем по предположению лЬ и с!) взаимно просты.
§ 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах 143 Согласно лемме 1.8, существует такой идеал е, ко- который принадлежит классу Ъ-1 и взаимно нрост с cb. Положив Ь( = АЬ, а = Ьх, мы представим х в виде отношения alb, где а и Ь вза- взаимно просты с cb. Аналогично у можно записать в виде eld, где с и d взаимно просты саиб одновременно. Тогда {х, у} = {а, с}{Ь, d}{a, d\-*{b, c}~\ 'откуда следует, что {х, y}e.L. Случай 2. Предположим, что существует ровно один простой идеал р с v^ (x) v^ (у) Ф 0. Выберем такой O, о, (г) »,.(»)= 0 элемент z^F, что но в то же время для всех простых q#)j. (To есть Лг = р-1г, где идеал г е {^} взаимно прост со всеми такими q, для которых Уц(у)фО.) Положим и заметим, что {z'x, y}^L по результату случая 1. Следовательно, A) {х, y}^{z, y}-'modL. Несложное рассуждение показывает, что элемент уA—гУ удовлетворяет условию о, (г) о, (У A-2H-О для всех простых q. Поэтому {г, y(l-z)f}<=L снова по результату случая 1. Так как {г, 1—г} = 1, это доказывает, что {г, у} е L, Пользуясь сравнением A), получаем {х, y}<=L.
144 § 13. Дополнительны* сведения о дедекиндовых кольцах Случай 3. Предположим, наконец, что существует п> 1 различных простых идеалов pi, ..., ?„, для кото- рых V*)pftfe&*0, Выберем такой элемент w^F', для которого %?) = — v9i(x), . но при q^Pi. Тогда ' {xw, y}e=L, \w, y\(=L по индуктивному предположению. Поэтому снова {х, #}е е L. Это завершает доказательство 13.7. ¦ Определим теперь гомоморфизм следующим способом. Каждая образующая {х, у} группы K*F перейдет в такой элемент прямой суммы, v-й коор- координатой которого является ручной символ d$(x, у) из п. 11.5. Мы докажем следующую лемму: Лемма 13.3: Композиция гомоморфизмов '¦' равна нулю. Доказательство. В силу 13.7 достаточно пока- показать, что в нуль в /CiA переходят те элементы {а, Ь) из K2F, для которых аи ft являются взаимно простыми элементами кольца Л. Положив мы видим, что образ {а, Ь) в KiA/cfj равен классу вы- вычетов ап/то<1.сц. Аналогично, образ {а, Ь) в KiN^i обратен классу вычетов fem'modfy. Поэтому образ {а, Ь] в /CiA равен отношению элементов
§ 13.. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах 145 Так как = в силу 13.2, это завершает доказа- доказательство?леммы Ц Проверка того, что последовательность в 13.8 на самом деле точна,- основана на очень красивом резуль- результате, который мы оставим без доказательства. Начнем с определения. Введенный выше «символ Менникке» можно обобщить следующим образом. Пусть. №Л сЛх хЛ-*~множество, состоящее из всех пар взаимно про- простых элементов кольца Л. Определение. Функцией Менникке^ на кольце Л со значениями в коммутативной группе С называется бимультипликативная функция ц: №А->С, {х, у)у-*ц{х, у), которая не меняется, если к х добавить кратное у или к у добавить кратное х. Обозначим через N ядро естественного сюръектив- ного гомоморфизма GL{2, A)-*-KiA (ср. 13.6). Теорема Куботы — Басса. Пусть ц: WA -> С — любая функция Менникке на дедекиндовом кольце Л. Тогда соответствие определяет гомоморфизм из GL B, А) в С, в ядре кото- которого лежит N. - . Таким образом, существует единственный гомомор- гомоморфизм ц группы KiA^GL{2, A)/N в С, который входит в коммутативную диаграмму - • Ql ^ д^ первая строка де,д
146 ¦§ 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах За доказательством этой теоремы мы отсылаем чита- читателя к книге: Басе X., Алгебраическая /(-теория, стр. 242, или статье: Bass H., Milnor J., Serre J.-P., Solution of the congruence subgroup problem for SLn (ns-аЗ) and Sp2n(n^2), Publ. Math. INES, 33 A967), 59—137. Мы применим теорему Куботы — Басса следующим образом. Пусть — коядро гомоморфизма d. Построим некоторую функцию Менникке на Л со значениями в С. Для каждой пары (a, b) e WA обозначим через Ч> (а, Ь) е= © КЛ/р элемент, р-я координата которого равна если р делит а, и 1 в противном случае. Очевидно, функция i|> бимультипликативна, и ф (а, Ь) не меняется, если к Ь добавить кратное а. Далее отметим сравнение ф(а, Ь)=Ц(Ь, a)modd(K2F). Действительно, как показывает прямое вычисление, Ч>(Ь, o)/i|»(fl, b) = d{a, Ь). Поэтому, определив ц(а, Ь)е.С как класс г|з(а, Ь) по модулю d (KzF), мы получаем некоторую функцию Мен- Менникке ц: WA-*C. Стало быть, по теореме Куботы — Басса существует единственный гомоморфизм [i: KiA-y ->С, переводящий класс ( ) в |х (а, Ъ). \с dj Заметим теперь, что композиция ф KiN^ -*¦ К%А -^ С совпадает с естественным гомоморфизмом проекции (редукция по модулю d(KzF)). В самом деле, образ данного элемента Ь mod p в р-м слагаемом можно вычис- вычислить следующим способом. По определению образ в /CiA равен , где рх = Ла, Ь'' ==b mod р, Ь' = 1 mod x
§ 13. Дополнительные сведения о дедекиндовых кольцах 147 для некоторого идеала г. Следовательно, , Проверяется, что р-я компонента г|з (а, Ь') равна (bmodp), а остальные компоненты тривиальны. [ Итак, если элемент из ф Ki^/P переходит в единицу 'ъ /CiA и, значит, в С, то он должен лежать в diK^F). Это показывает точность последовательности 13.8 и Завершает доказательство теоремы 13.1. Щ
§ 14. ГОМОМОРФИЗМ ПЕРЕНОСА Результаты этого параграфа принадлежат, в основном Бассу и Тэйту. Обозначим через Л некоторое кольцо (всегда ассо- ассоциативное и с единицей). Пусть Г г> Л — некоторое большее кольцо, которое как левый Л-модуль является конечно порожденным и проективным. Гомоморфизм вложения обозначается символом /: А->Г. Разумеется, мы считаем, что /A) = 1. г~ В этом параграфе мы определим гомоморфизм пере- переноса для / = 0, 1, 2 и докажем следующее его свойство. Теорема 14.1. Если кольцо. Г коммутативно и I, \ *s 2, то для любых х е /С*Г и у е /СуЛ выполняется тождество Иными словами, гомоморфизм переноса /(*Л-линеен. Например, взяв в качестве х единицу 1=[Г].еКоГ, мы получаем формулу f*(f*(y))=f*O)-y (ср. п. 13.4). Замечание 1. Басе определяет гомоморфизмы переноса /(оГ->/(<Д и ^KiT -+- /CiA, предполагая только, что существует конечная Л-линейная резольвента состоящая из проективных над Л конечно порожденных модулей Pk (Алгебраическая /(-теория, стр. 352). В этой общности гомоморфизмы /<оА/а -> /С<Л и /dA/а -> ->/CiA из § 13 также становятся гомоморфизмами пере- переноса. Было бы очень интересно выяснить, можно ли определить в этой более общей ситуации также гомо- гомоморфизм переноса для К2- Замечание 2. Иногда гомоморфизм переноса назы- называют «нормой» или «ограничением кольца». О0а назва*
§ 14. Гомоморфизм переноса 149" ния, безусловно, достаточно образные. Название «гомо- «гомоморфизм переноса»' кажется мне удобным по той причине,, что оно употребительно для аналогичных ото- отображений в гомологической алгебре и топологии. Так, если П —Некоторая группа, a IT —ее подгруппа конеч- конечного индекса, то классический гомоморфизм переноса - ¦ * • Я,(П)->Яг(П') , связан с нашим гомоморфизмом n ' и является частным случаем «топологического гомомор- гомоморфизма переноса» из группы гомологии некоторого пр<Г- странства В в группу гомологии некоторого его конеч- конечного накрытия Е. Аналогичный гомоморфизм К* {Е)-*- ->К* {В) топологической /С-теории тесно связан с нашим гомоморфизмом переноса /С* (С?)-*/(# (Св), где СЕ— кольцо непрерывных комплексных функций на Е (ср. § 7). Определение гомоморфизма переноса. Любой конечно порожденный проективный модуль Р над Г можно рассматривать также как конечно порож- порожденный проективный модуль над подкольцом Л. Этот Л-модуль мы будем обозначать символом Рл в тех случаях, когда его будет необходимо отличать от Р.. Очевидно, существует единственный гомоморфизм переводящий каждую образующую [Р] группы /<Г в образующую [РА] группы К0А. Чтобы ввести перенос на Ki и на Kt, определим сначала вложение - 7#: G?(n, T)-+GL{A), Любая матрица X^GL{n, Г) определяет Г-линейный автоморфизм свободного модуля Г", который мы тоже обозначим через X. Выберем проективный Л-модуль Q, такой, что прямая сумма T®Q свободна, скажем, с г образующими над Д. Тогда модуль Г"ф<2" также Л-свободен, и мы можем построить Л-линейный авто- автоморфизм Х0 (identity Q").
150 § 14. Гомоморфизм, переноса' Выбрав некоторый Л-базис этой прямой суммы, мы представим автоморфизм X© (identity).матрицей, кото- которую мы обозначим символом /# (X) <= GL (пг, Л)сбГ(Л). Как в п. 3.2, проверяется, что этот гомоморфизм /# определен с точностью до внутреннего автоморфизма группы GL (Л). Переходя теперь к фактору по коммутанту и беря предел при п-+со, мы получаем гомоморфизм переноса из /CiF в /CiA. Аналогично, построив мультипликатор Шура гомоморфизма Е(п, Г)->?(Л) и перейдя к пределу при п->оо, мы получим гомо- гомоморфизм переноса из /С2Г в /С2Л. Детали мы оставляем читателю. Определение 14.2. Предположим, что кольцо Л ком- коммутативно. Тогда композиция естественных гомомор- гомоморфизмов Г'-^Г-^/аЛ^Л- называется гомоморфизмом нормы Г#->Л". В каче- качестве примера рассмотрим случай, когда Г — сво- свободный Л-модуль с базисом Ьг Ьп. Положим ybt^^kybj. бчевидно, норма у совпадает с определи- определителем матрицы (ку). Ср. трактовку Ван-дер-Вардена (Ван-дер-Варден Б., Современная алгебра, т. I, Гос- техиздат, М., 1947). Доказательство теоремы 14.1 будет основано на следующем ассоциативном законе. Пусть М — некоторый Г-модуль, a N — некоторый Л-модуль, и оба кольца Г Z5 Л коммутативны. Тогда модуль канонически изоморфен М 0 (Г (g) N). Чтобы упростить обозначения, мы будем обозначать эти модули просто через М (S$) АЛ Таким образом, сим- символ ® здесь относится к тензорному произведению
§ 14. Гомоморфизм переноса 15,1 над Л, но если М является Г-модулем, то М (х) N также имеет структуру Г-модуля. Доказательство теоремы 14.1 в случае i = / = 1. Пусть даны элементы Выберем представитель X &GL (т, Г) элемента х и представитель Y sGL(n, Л) элемента у. Мы будем рассматривать X и Y как автоморфизмы свободных модулей Гт и Л" соответственно. Пусть /, /' — их тож- тождественные автоморфизмы. Построим прямую сумму трех экземпляров модуля Гт (х) Лл и построим Г-линей- ные автоморфизмы I = (X ® /') 0 (X ® 7') © (/ ® /') Л = (/(х) У) ф (/(х)/') 0 (/(х) У)-1 этой прямой суммы. Взяв прообразы ? и tj в группе Стейнберга, мы можем образовать коммутатор По определению это и есть произведение f^y Чтобы перенести* этот элемент в /С2Л, очевидно, достаточно применить к ? и ц гомоморфизм /#: GLCmn, T)-+GL(A). Выберем Q так, чтобы модуль Г ф Q был Л-свободен, и обозначим через i тождественное отображение мо- модуля Q3mn. Тогда элемент f*(x-f*y) совпадает с ком- мутатором Теперь мы должны вычислить f*(x)-y. Элемент /* (х) е /CiA представлен Л-линейным автоморфизмом X © /* прямой суммы Гт © Qm, где /* — тождественное отображение Qm. Построим прямую сумму трех экземп- экземпляров модуля (Гт ф Qm) (х) Л". Положив . Ei = (X ф Г) (х) /' ф (X ф /Г1 ® /' ® (/ ® /*) ® Г ' ф (/ ф
152 - § 14. Гомоморфизм переноса находим, что ' Чтобы привести эти выражения к более удобному виду, заменим каждое слагаемое (Гт ф Qm) ® Л" на (Гт ® Л") ф Qmn и затем перенесем все слагаемые Qmn направо. Тогда ?х перейдет в g®i, а х\х примет вид Л Ф С- Поэтому . . Учитывая, что коммутатор бимультипликативен (п. 8.1), мы получаем,, что это выражение равно произведению на элемент который, очевидно, равен 1. Это завершает доказательство в случае /=/=1. Разбор остальных случаев теоремы 14.1 мы оставляем читателю. ¦ , ¦Одно приложение к случаю полей Пусть F — некоторое поле, F[x] — кольцо многочле- многочленов от одной переменной, а и р —элементы группы F'^KiF. Для любого положительного целого числа п мы можем рассмотреть главный идеал и соответствующее факторкольцо размерности п над F. - . ¦ Замечание. Если многочлен хп — Р неприводим, то Г является полем. В более общем случае, когда хп — ф распадается над F в произведение k неприводимых со- сомножителей, то Г распадается в прямое произведение k- полей, расширений поля F, каждое из которых содер- содержит по крайней мере один корень й-й степени из р.
§ 14. Гомоморфизм переноса 153 Следствие 14.3. Если а принадлежит образу нор- менного гомоморфизма norm: T'-+F', где r = F[x]/(xn —P), то элемент {a, W&Kj является п-й степенью в (мультипликативной группе) KtF. . Иными словами, {а, р} м 1 mod где (KiFI1 — подгруппа, состоящая из всех я-х степе- степеней в KiF. Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что,- согласно 14.2, норменный гомоморфизм norm: Y'-+F' можно отождествить с гомоморфизмом переноса KiT-*- -+KiF. (Группа KiT, очевидно, изоморфна F*, где Г — прямое произведение полей или * локальных колец). Поэтому теорему 14.1 можно записать в виде /* {Y./(P)}« {norm y, P} для y e F*> pe F'. Предположим, что а является нор- нормой некоторого элемента щ-е Г*. Так как элемент /(Р) = Р является «-степенью в /С2Г, отсюда следует, что {Y,/(Р)}является «-степенью в fBT и, стало быть, /•{V./(?)} = {«,. Р} является л-й степенью в K^F} Это завершает доказа- доказательство. ¦ В следующем § 15 мы изучим обратную задачу: Если {а, Р} s= I mod (K^F)", следует ли отсюда, что а является нормой элемента из F [х\1(хп — Р)? Мы обнаружим, что это так, например, когда п не делится на квадрат и взаимно просто с характе- характеристикой поля F. Однако обратное утверждение не мо- может быть справедливо без ограничений на п:
154 f H Гомомрфт мрш Пример 14.4, Рассмотрим элементы 5 и -1 в поле 2-адических чисел ft и положим л=4. Тогда .и все же 5 не является нормой из биквадратного рас- расширения ft (f^l). Доказательство, Сравнение {5, -1}а г mod (Щ можно доказать, установив, что *-1 является нормой из ft (f 5). Можно также проверить его непосредственно, заметив, что {5, —1}={5, —1}{5, —4}{—3,4}= «IMR4M-M} и что -15 является 4-й степенью в ft, Чтобы показать, что 5 не является нормой, доста- достаточно заметить, что поле ft(/-l) содержит подполе ft(l/*2). Но 5 не может быть нормой из ft(l/*2), потому что символ Гильберта E,2J нетривиален, |
§ 15. СИМВОЛЫ НОРМЕННЫХ ВЫЧЕТОВ В этом параграфе в основном излагается классический материал.. Пусть F — поле, содержащее примитивный корень п-й степени из единицы <о. (Иными словами, <а — элемент точно я-го порядка в F'.) Мы построим некоторый сим- символ Стейнберга аа для F со значениями в группе Брауэра поля F. (Ср. Serre J.-P., Corps Locaux, Her- imann, 1968.) Наше изложение подсказано способом, который в случае я = 2 использует О'Мира (О'Меага О., кIntroduction to Quadratic Forms, Springer, 1963). Вот основная конструкция. Пусть даны элементы а и Р в группе F'. Обозначим через "ассоциативную алгебру с единицей размерности я2 над F, порожденную двумя элементами х, у, которые подчи- подчинены соотношениям x" = al, уп = §\, ух = соху, ,;где 1 означает единичный элемент А. Тем самым одно- одночлены хУ с 0<(<п, 0^/'<« составляют.базис А над F. Доказательство существования такой алгебры не- несложно, и мы оставим его читателю. Напомним теперь определение группы Брауэра поля F. Алгебра А над F (ассоциативная с единицей) называется простой, если у нее нет двусторонних идеа- идеалов, кроме 0 и Л, и центральной, если ее центр совпа- совпадает с F\ ^F. Согласно теореме Веддерберна, любая" конечномер- конечномерная простая алгебра А над F изоморфна алгебре М* (D) (йхЛ)-матриц над некоторым телом1) D. Далее целое число k 5= 1 и класс тела D с точностью до изомор- изоморфизма однозначно определяются по А. Поэтому мы мо- можем определить отношение подобия алгебр: соответ- !) Белее общо, всякое простое артиново кольцо является мат- .ричной алгеброй над телом. Вот краткое доказательство этого результата. Обозначим через ш с А некоторый минимальный Пра-
156 § 15. Символы нормекных вычетов: ' "~ ~ ' ствующие им тела изоморфны над F. Группой Брауэра Br(F) называется абелева группа, состоящая из всех классов конечномерных центральных простых алгебр над F с точностью до подобия, с групповой операцией, которая индуцирована тензорным умножением над F. Дальнейшие детали можно найти в книгах: О'Мира О., Introduction to Quadratic Forms, или Ван-дер-Варден Б., Современная алгебра, или же Вейль А., Основы тео- теории чисел, «Мир», М., 1972. Теорема 15.1. А лгебра А*=Аа(а, $) центральная и простая, поэтому она представляет некоторый элемент в группе Брауэра. Функция ae>:F'xF--+Br(F) является символом Стейнберга для F. Доказательство. Рассмотрим F-линейные ото- отображения А в себя вида Гх(а)=хах-1, Гу(а) = уау-1. Любой базисный одночлен х'у' является собственным вектором как отображения Тх, так и Гу с собствен- собственными значениями а>-' и и' соответственно. Отсюда не- вый идеал. Из простоты А следует, что двусторонний идеал Am должен совпадать с А. Поэтому 1 можно представить в виде 1 е «jin +' Ojin+• • • + akm- Выберем такое представление с наименьшим возможным k. Тогда k-кратная прямая сумма m0...0m как правый А-модуль изо- изоморфна А. Действительно, соответствие очевидно, Л-лииейно справа и сюръективно. Если бы существо- существовало соотношение вида агщ +... + <*kmk — Oi в котором, скажем, фЧ и,, значит, тьА=т, то включение означало бы, что 1 ealm-{-..,+fl*-is»» B противоречие с выборомk. Отсюда вытекает, что кольцо Епо*л(т0...0т), состоящее из всех Л-линейиых справа отображений тф...0т в себя, изо- изоморфно кольцу Епо*^(Л) ^ А. С другой стороны, End^ (m0...0m) можно отождествить с кольцом (k x й)-матриц над телом End^ (m). Это завершает доказательство. ¦
-?- § 15, Символы нормгнных вычетов 157 Медленно вытекает, что центр алгебры Л как простран- пространство над F порожден единственным элементом х°у°=П. &\ Чтобы установить простоту А, рассмотрим ненуле- ненулевой двусторонний идеал 6 и выберем элемент/ I Пусть, скажем, фр? ^ 0. Тогда элемент южно записать в виде j W^y1, где ?00 Ф 0. После гого построим элемент | Ь. = (Г,та>)G1,-а>«),..G1,-шв-1)Ь1 , еала Ь. Вычисление показывает, что он равен Аналогично элемент : Ь3 = (Гу-ю)Gу-й>а)...G'у-сйп-1)Ьа идеала Ь равен A -ю)аA -ю2)а...A -(x>n-yW0Ol. Ta- образом, bs является единицей и, значит, Ь== А, доказывает простоту алгебры А. Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма. Лемма 15.2. Пусть А—простая алгебра размерно- па над F, и пусть х е А — элемент, который удов- 'мтворяет полиномиальному уравнению вида . t не удовлетворяет никакому уравнению, меньшей сте- ни. Если f(x) разлагается в произведение различных ^инейных-множителей над F, то А изоморфна матриц,- Ной алгебре Mn(F). Доказательство. Подалгебра Л, порожденная степенями х, очевидно, изоморфна факторкольцу lF[x]/(f(x)). Китайская теорема об.остатках показывает, : что оно распадается в прямое произведение л экземп- экземпляров поля F. Следовательно, А содержит п попарно ортогональных идемпотентов efii = е{, etej = 0 при 1ф]
158 ' § 15. Символы норменных вычетов с 0i-у-.••+*«= 1. Значит, А распадается в прямую сумму ехА ф.. • ф е„А правых идеалов, нз которых по крайней мере один имеет над F размерность <;«. Сравнение .с любым доказательством теоремы Веддер- берна теперь показывает, что А — матричная алгебра над F. щ Пример 15.3. Снова предположим, что F содержит примитивный корень из 1 степени п. Если а является л-й степенью в F, то многочлен У —а разлагается на разные линейные множители, откуда следует, что аш (а, Р)= 1. В частности, это означает, что ашA,-р)= 1. Доказательство бнмультипликативно- сти символа Ов>(а, Р). Тензорное произведение ш(а, Y) порождено образующими х, у, X, Y, которые связаны соотношениями A) x" = al, уя=р1, ух = иху, B) Хя = а1, Yn = Yb YX^coXY, C) хХ = Хх, xY = Yx, yX = Xy, yY = Yy. Обозначим через В' подалгебру, порожденную х и yY, а через В' — подалгебру, порожденную х-1Х и Y. Тогда, очевидно, В'о*Аа(а, Py), В*ёЛ.A,у). Заметим также, что все образующие подалгебры В' коммутируют со всеми образующими В". Из простоты В' (g) В' следует, что естественное отображение является изоморфизмом. Это доказывает, что A* (a, Py) (8) Аа A, y) 3* Аш (а, р) <g> Аш (а, у) или, иначе, Но ЯшA, y)=1 в снлУ ^5.3, поэтому символ ат муль- мультипликативен по второму аргументу. Мультипликатив-
§ 15. Символы норменных вычетов 159 ность по первому аргументу немедленно следует отсюда с помощью тождества ат(а, Р) = аш-|(Р, а). Доказательство тождества Стейнберга Яш0 ~Р> Р) = !• Назовем «некоммутативным биномиаль- биномиальным коэффициентом» многочлен Ь1 (с) = /„ (c)/fi (с) h-i (с) = с1ЬГХ {с) + bill (с), ГДе /п(с)=(с Нетрудно проверить, что это действительно многочлен. Далее пусть х и у —элементы любого кольца, удовлет- удовлетворяющие соотношению ух = хус, где с —элемент центра. Индукция по л показывает тогда, что В частности, образующие х и у кольца Аш (а, (}) в силу соотношений bnt \w) = 0 при 0 < i < п. удовлетворяют тождеству Применив 15.2 к элементу x-fy, мы получаем, что Ой (а, Р).= 1, если а + р=1. Это завершает доказатель- доказательство теоремы 15.1. ¦ Напомним, что (K^F)" обозначает подгруппу K^F, состоящую из всех п-х степеней. Следствие 15.4. Символ Стейнберга Оф(а, (}) ин- индуцирует гомоморфизм в ядре которого содержится группа (K^F)*. Доказательство. Как в п. 11.3, определим этот гомоморфизм с помощью соответствия {а, р}» Так как тождество а»(а, Р)п = следует из 15.3, это завершает доказательство.
160 § 15. Символы норменных вычетов Замечание. Возможно, что ядро этого гомоморфизма аа: KiF -*¦ Br (F) всегда совпадает с (/С/)". Я не знаю, как приступить к этой задаче. Зависимость -символов аа от, выбора корня нз еди- единицы (о несколько необычная. Ее можно описать так: Лемма 15.5 Если ? = сог, где i взаимно просто с п {так что \ —другой примитивный корень п-й степени из \), то ¦ "Об (а, р)' = аш(а, р). С другой стороны, если j — делитель п, так что 5==ау — примитивный корень из единицы степени n/j, то 01 (а, р) = аш(а, РУ. Доказательство. Если i взаимно просто с л, то можно использовать элементы х' и у (вместо х и у) в качестве образующих алгебры Лш(а, Р). Тогда по- получаем Аш(а, р)й^(я', р), откуда следует первое равенство. Доказательство второго равенства можно провести так. Замена переменных, аналогичная той, которая использовалась в доказательстве бимультипликатив- ности, показывает, что тензорное произведение Ai (a, A)® ®Ае,ф, а') изоморфно А\(а, 1)(S)^cb(P, 1). Поэтому , аъ(а, р)аш(р, <z)f =-al(a, 1)аш(р, 1) = 1, что и требовалось. ¦ Замечание 15.6. Зафиксировав целое число п, мы можем построить такой символ Стейнберга, который не зависит от выбора и. Пусть Brn (F) — подгруппа Br (F), состоящая из элементов периода п, \in — группа корней из единицы степени п в F. Тогда символ (а, р) ецп® Вг„(F) ч '_ не зависит от выбора и,- Это следует из вычисления «>' <S) aat («, Р) = и ® %> (а. Р)' - «> ® ат («, Р) для t,. взаимно простых ел..-
§ IS. Символы норменных вычетов ' 161 Таким образом, существует канонически определен- определенный гомоморфизм со(?)аш: /Са^-^ЦяС^Вг,,^). Заметим, что группу его значений ц„ (g) Вг „ (F) можно отождествить с Тог (ц.„, Вг (/•")). . Теперь мы докажем основное свойство, оправдываю- оправдывающее название «символ норменного вычета степени^п» ДЛЯ Оф. Теорема 15.7. Символ а^ (а, р1) равен I в том и только том случае, когда а является нормой из поля F(y§) или же из кольца F[y]/(yn — $). Оба условия эквивалентны. Действительно, если мне- гочлен у" — р разлагается в произведение d неприводи- неприводимых сомножителей, то кольцо F [#]/(#" — Р) распадается в прямое произведение d полей, каждое, из которых, очевидно, изоморфно F (>/^Р). Доказательство. (Ср. Ван-дер-Варден Б., Сов- Современная алгебра, т. II.) Если аш(ос, §) = 1, то алгебра Лш((х, $)^Mn(F) изоморфна кольцу Homf(V, V), где V есть л-мерное векторное пространство. Стало быть, образующие х и у кольца Лш (а, Р) соответствуют линейным преобразованиям X и У пространства V. Сте- Степень минимального многочлена у" — р преобразования У равна л, поэтому можно выбрать такой базис 1>ь ...,«„ пространства V, что У приведется к нормальной форме следующего вида: У (г><).«¦ vi+i при i<n, У(»„) = р1>1. Рассмотрим теперь /^-линейное отображение Z^*TY(Z)^YZY-X кольца Homf (V, V). Элемент Z, определенный условием ' очевидно, является собственным вектором отображения TY с собственным значением «г1. Так как все пространство, отвечающее собственному значению or1, натянуто на элементы X, Х^У, ..., Х^У, отсюда следует, что в Д». Мндаор
162 § 15. Символы нормештх вычетов где / — некоторый многочлен. Следовательно, элемент Z"=/ равен в то же время Х-1/ (У) Х-1/ (К) ... Х-1/ (У) -/ (соГ)/(со2К),../(соТ) Х*. Значит, произведение п членов П/(ю'У) равноХ"=»а/. Теперь рассмотрим некоторое расширение F(v\), где т)л = р. Отобразив У в т), находим, что Если степень F(ti) над F равна п, то, очевидно, это произведение равно норме / (т)). В общем случае, когда F (т)) имеет степень d над F, легко убедиться, что а совпадает с нормой произведения n/d членов Поэтому а является нормой элемента из F(r\). Обратное утверждение можно доказать непосредст- непосредственно или же вывести из § 14 следующим способом. Если а является нормой из F \у]/(уп — Р), то {а, Р} = 1 mod (KiF)" в силу 14.3, откуда аш (а, р) = 1 по 15.4. Это завер- завершает доказательство. ¦ Случай локального поля Чтобы проиллюстрировать эти конструкции, рассмот- рассмотрим случай локального поля F. Иными словами, пред- предположим, что F полно относительно дискретного норми- нормирования v и имеет конечное поле классов вычетов. Лемма 15.8. Предположим, что F —локальное поле, содержащее примитивный корень из единицы со степени п. Тогда существуют такие элементы поля и и у, что эле- элемент группы Брауэра аш{п, у) имеет период в точно- точности п. Доказательство. Обозначим через EzzF един- единственное неразветвленное расширение степени п. Так как это расширение Галуа, группа которого циклична порядка л, и так как F содержит корни из
§ 15. Символы норменных вычетов 163 единицы степени п, из теории Куммера следует, что E = F(y/ry) для подходящего элемента y&F'. (Теорема Куммера изложена в «Алгебре» Ленга. Нуж- Нужные здесь свойства локальных полей изложены в запи- записках Артина (Artin E., Algebraic Numbers and Algeb- Algebraic Functions, Gordon and Breach, 1967, стр. 127— 130).) Так как это расширение не разветвлено, образ нор- менного гомоморфизма E'-*~F' должен состоять цели- целиком из элементов а, удовлетворяющих условию «(a)sO(mod л). Следовательно, если я — любой элемент из F' с v (я) = 1, то его степени я, яа,..., я"-1 не могут быть нормами из Z ("/?)• Из 15.7 тогда следует, что порядок элемента аа(п, Y)sBr(F) равен в точности п. Это- завершает доказательство. ¦ Замечание 15.9. Обычный символ йорменного вычета степени п для локального поля F принимает -значения в группе ця корней из единицы степени п в F. Эту конструкцию можно связать с нашими определениями следующим способом. Группа Брауэра Br(F) локаль- локального поля канонически изоморфна группе Q/Z фацио- нальных чисел по модулю 1 (см., например, обзор Серра в книге: Алгебраическая теория чисел, под ред. Дж. Касселса и А. Фрёлиха, «Мир», М. 1969, стр. 200). Следовательно, подгруппа Вг„ (F), определенная в заме- замечании 15.6, циклична порядка п и имеет отмеченную образующую Ьо. Символ (а,. Р)/? со значениями в fi« можно теперь определить следующим способом. Обозначим через (а, $)Р тот корень из единицы, для которого соотношение (oxaffl(a, P) = (a, $)Pxb0 справедливо в группе pnxBrn(F). Из 15.6 следует, что этот символ Стейнберга (a, p)f определен корректно. [Если принять, что группа Brn(F) циклична, то отмеченную образующую Ьо можно построить следую- следующим образом. в*
164 §15. Символы норменных вычетов Пусть Е — F\y/y) — единственное неразветвленное расширение степени п, как в 15.8. Автоморфизм Фро~ бениуса <р поля Е над F определен тем, что он инду- индуцирует автоморфизм ё *-*¦ ёч на поле классов вычетов Ё; здесь q означает число элементов в F. Положив мы получим некоторый примитивный корень из еди- единицы степени п. Положим теперь , у). ¦ Этот элемент порождает группу Brn(F) в силу леммы 15.8. Он не зависит от у в силу 15.5. Чтобы устано- установить его независимость от я, нужно прежде всего пока- показать, что любой элемент «eF со свойством к(и)=0 является нормой из Е. Это можно проверить с помощью элементарного рассуждения, пользуясь тем обстоятель- обстоятельством, что норма и след из Е в F сюръективны. Нуж- Нужное уравнение аш^ (пи, у)=аа>(\) (Я1 V) следует после этого из теоремы 15.7.] Замечание 15.10. Вот набросок более обычного опре- определения символа норменного вычета /г-й степени в ло- локальном поле F. Пусть К id F — расширение Куммера, которое получается присоединением корней степени п из всех элементов F'. Это конечное расширение, потому что (F')n — подгруппа конечного индекса в F'. Согласно теории Куммера, группа Галуа G поля К. над F канонически изоморфна Нот (F', |а„). (Каждый автоморфизм а из G соответствует гомоморфизму ?¦—»¦ I—*- a (i/"p) / у^р группы F' в |х„.) Композиция этого изоморфизма Куммера с изоморфизмом норменного вычета F-/normK'-+G Локальной теории полей классов дает гомоморфизм ассоциированный с требуемым бимультипликативным спариванием
§ IS. Символы норменных вынется 165 Тождество Стейнберга A — Р, Р) >-* 1 устанавливается с помощью замечания, что 1 — Р является нормой из поля E = F{)/§), и коммутативной диаграммы F' -*¦ F'/norm kifK' -*¦ Qk/f FVnorm в//гЯ* -»• Gb/f По поводу дальнейших деталей мы отсылаем читателя к следующим источникам: Artin E., Tate J., Class field theory, Benjamin, 1968; Алгебраическая теория чисел, под ред. Дж. Кае- селся и А. Фрелнха, «Мир», М., 1969; Serre J.-P., Corps locaux. Hermann, 1968; x Вейль А., Основы теории чисел, «Мир», Мм 1972. , Факторгруппа Вернемся теперь к вопросу, поставленному в п. 14.3- и 14.4. _ Следствие 15.11. Если F содержит корни из единицы степени п, то {а, р} я 1 mod {KJF)n в том и только том случае, когда а является нормой элемента из кольца Ftyydp — ft). Доказательство. Если {а, р} =s I mod {K^F)", то ай(а, Р)я«1 в силу 15.4, так что а является нор- нормой, согласно 15.7. Так как обратное утверждение было доказан^ в п. 14.3, это завершает доказательство. Щ Теорема 15.12 (Басе, Тэйт). Пусть п — любое целое число, не делящееся на квадрат и на характеристику noA*F.T6eda {«, р} я 1 mod (i(8f)» в том и только том случае, когда а является нормой из кольца F [у]/(уп — р). (Ср. п. 14.4.) Доказательство. Пусть р — простой делитель числа п. Если {а, Р} =s I mod (KiF)n, то обязательно {a, PJ эз 1 mod (K^F)P> Мы покажем, что а является нормой элемента из F{r\'), где ц' — подходящий корень
1в6 § 16. Символы норменных вычйтощ р-й степени из р. Пусть г\ — любой такой корень (эле- (элементы г\, г\' лежат в некотором фиксированном поле разложения многочлена у" — р). Случай 1. Если степень F(r\) над F равна d<.p, мы покажем, что в F уже есть некоторый корень г\' степени р из р. Действительно, положив ip + jd=l, выберем T,'-P'norm,D)/,(ri0. Подсчет р'Р norm t/p = P'p norm р/=р'р+'* = р показывает, что г\' — действительно корень из р сте- степени р. Очевидно, а является нормой элемента из поля •"Случай 2. Если степень F (г\) над F равна р, мы воспользуемся полем Е, которое получается присоеди- присоединением к F корней из единицы степени р. Пусть d<p— степень Е над F. Так как из {а, р} извлекается корень степени р в группе K^F, образ этого элемента в К2Е тоже яв- является р-й степенью. Пользуясь 15.11, находим, что а является нормой из Е (г\) в Е. Следовательно, комму- коммутативная диаграмма норменных гомоморфизмов ( + E ^F- показывает, что norm?/Fa = ad является нормой неко- некоторого элемента l^F(n\)'. Полагая ip-\-jd=l, нахо- находим, что а является нормой элемента a'g eF(r\)'. Таким образом, для каждого простого числа рь, делящего п, мы можем найти корень степени pk из Р, скажем, r\k, такой, что а является нормой из F (г}*). Степень F{y\k) над F равна либо 1, либо pk. Поскольку чти степени взаимно простые, отсюда легко следует, что а является нормой некоторого элемента из компо- композита полей F(r\u ..., Tjr) = F(Tji...Tjr). Но этот компо- композит является прямым слагаемым кольца F[y]/(yn — p). Следовательно, а является нормой элемента из кольца FUvaP) ак как обратное утверждение было доказано в § 14, это завершает доказательство теоремы 15.12. щ
§ 16. ЧИСЛОВЫЕ ПОЛЯ Пусть F — конечное расширение поля рациональных чисел, и пусть т — число корней из единицы в поле F. Это означает, что группа ц (F) всех корней из единицы b.F циклична порядка т. Мур доказал некоторую теорему единственности для формулы взаимности m-й степени. В этом пара- параграфе мы приведем формулу взаимности и сформу- сформулируем теорему Мура без доказательства. (См. 16.1.) В качестве следствия из теоремы Мура мы выведем, что группа SL(A), где Л—кольцо целых чисел в F, порождена элементарными матрицами. (Мы дадим также набросок более прямого доказательства этого факта.) Поэтому точная последовательность из § 13 содержит нулевой морфизм: Замечание. Басе и Тэйт, а позже Гарланд получили дальнейшую информацию об этой последовательности. Гарланд установил, что если п достаточно велико, то мультипликатор Шура H2SL{n, А) конечен. Переходя к прямому пределу при и-voo, находим, что /С2Л — периодическая группа. (Деннис недавно установил, что H2SL (n, Л) отображается на всю группу H2SL {n+ 1, Л) при и5г5, так что группа /BЛ на самом деле ко- конечна.) Далее Гарланд показал, что в точной последовательности /С2Л -*¦ /C2F -*~ ф KiA/p -^... образ группы /С2Л конечен. В случае вполне вещественного поля Берч и Тэйт предположили, что порядок этого конечного образа совпадает со значением дзета-функции поля F в точке —1, умноженным на количество корней из единицы в расширении F(y~F), которое получается присоединением к F квадратных корней из всех эле- элементов поля F. Ср. доклад Тэйта на Международном конгрессе математиков в Ницце (Tate J., Symbols in arithmetic, Actes du Congres Int. Math., vol. I, Gaut- .hier Villars, Paris, 1971, 201—211). Начнем теперь обсуждать теорему Мура. Пусть v — либо дискретное нормирование поля F (как § 11), либо
168 § 16. Числовые поля одно из архимедовых нормирований, которое продол- продолжает классический модуль | q | = max (q, —q) на поле рациональных чисел. Тогда пополнение Fv является либо-локальным полем, либо вещественным, либо ком- комплексным. В локальном и вещественном случаях группа ц (Fv) всех корней из единицы в пополнении Fv является конечной циклической. Но в комплексном случае группа ц.(/\,) = ц(С), разумеется, бесконечна. Начиная с этого места, мы будем систематически исключать из рассмот- рассмотрения комплексный случай и считать, что /'„ — либо локальное, либо вещественное поле. Пусть т (l>) — порядок конечной циклической группы A (F„). Символ нор пленного вычета {х, y)v степени т (о) — это непрерывный символ Стейнберга для Fv со значе-. ниямн в (A (f^. Определение этого символа можно найти в пп. 15.9, 15.10 и в цитированной там литературе. Исключение комплексного случая существенно: Мур доказал, что любой' непрерывный символ Стейнберга для комплексного поля тождественно равен 1. (См. при- приложение.) Пусть теперь х и у — ненулевые элементы поля F с= с: Fv. Чтобы поместить значения всех символов (х, y)v в общую группу, применим сюръектнвное отображение которое переводит любой корень нз единицы g в его степень gn»(t>)/'»»# Закон взаимности степени т тогда утверждает, что (См., например, Artin E., Tate J., Class field theory, Benjamin, 1969, стр. 171, и Алгебраическая теория чисел, под ред. Дж. Касселса и А. Фрелиха, «Мир», М. 1969, стр. 401, 457.) Здесь произведение берется по всем дискретным, нормированиям поля F н всем архи- архимедовым нормированиям с Fv = R. Теорема единственности Мура формулируется так. Пусть S1 —единичная окружность в комплексной пло- плоскости.
§ 16. Числовые поля 169 Пусть Л„ — некоторые гомоморфизмы из ц (Fv) в S1. Предположим, что символы (х, y)v удовлетворяют соот- соотношению вида для всех х и у в F. Тогда существует такой гомомор- гомоморфизм hv из ц (Fv) в S1, что А, (В = А (Б» <«>/») для всех v. За доказательством мы отсылаем читателя к работе Мооге С., Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Publ. Math. IHES, 35, Theorem 7.4. Разумеется, верно и обратное: для всякого гомо- М9рфизма А: ц (F) -*- S1, если мы положим Л„ (|) = = h (|т(")/ш), ясно, что произведение всех hv((x, y)v) равно единице. Поэтому, пользуясь леммой 11.3, мы можем коротко сформулировать утверждение Мура как доказательство точности последовательности A) Нот (ц (F), S1)-^ Нот (фц (F,), S1) -> (K,F, S1). Другая совершенно эквивалентная формулировка та- такова: Теорема единственности 16.1. Последовательность тонна. Здесь первый гомоморфизм переводит каждую образующую {х, у} группы KZF в элемент, v-я компо- компонента которого равна символу норменного вычета (х, y)i степени m(v). Второй гомоморфизм переводит каждый элемент {?„} в произведение Y[ %™w/m. Здесь v пробе- V гает все дискретные нормирования и все архимедовы нор- нормирования с FV^R. Доказательство. Так как группа S1 инъек- тивна и содержит элементы всех порядков, точность этой последовательности вполне эквивалентна точности двойственной последовательности A). Это завершает доказательство, щ 7 Дж. Милнор "
170 § 16. Числовые поля Вот .одно приложение теоремы 16.1. - Следствие 16.2. Пусть Л — любое дедекиндоео кольцо, поле частных которого является конечным расширением поля рациональных чисел. Тогда гомоморфизм ' d: ' из леммы 13.8 сюръективен. Например, Л здесь можно быть кольцом алгеб- алгебраических чисел в F. Доказательство. Заметим, что любой ненуле- ненулевой простой идеал, р с: Л индуцирует вполне определен- определенное р-адическое нормирование поля F. Пусть F^ есть р-адическое пополнение, а т (р) — порядок группы ц (Fp). Ручной символ, определенный в п. 11.5, который мы использовали для определения гомоморфизма K^F-*- o-ZdA/p, можно представить в виде образа символа норменного вычета (х, г/)р степени т (р) при подходящем сюръективном отображении (Cp.'Serre, J.-P., Corps Locaux, стр. 247, или Artin E., Tate J., стр. 170. В приложении будет доказано, что на самом деле любой непрерывный символ Стейнберга для локального поля является образом символа нормен- ного вычета при подходящем гомоморфизме.) Доказа- Доказательство 16.2 проводится теперь так. С'л у ч а й 1. Предположим, что никакое рациональ- рациональное простое число не обратимо в Л. (Например, это- так, если Л совпадает с кольцом целых чисел в F.) Начнем с произвольного элемента {х^} прямой суммы © /CiA/p. Выберем набор корней из единицы gp в ц (Fp), из которых почти все равны 1, с условием фр (!p) = #p# Он составляет элемент прямой суммы ||pj е®ц (Fp)# Рассмотрим произведение ЧР)/т~
§ 16. Числовые паля 171 в [l(F). Мы постараемся превратить g в 1, меняя выбор ?р в случае нужды. Пусть <7—-любое рациональное простое число, делящее m= |(t(f)!, и пусть q — любой простой идеал кольца Л, содержащий q. Тогда порядок циклической группы KiA/(\ взаимно прост с q, так что сюръекция обращает в нуль ^-примерную компоненту'циклической группы.(i(fq). Но \x{F^ отображается на ц (F). Поэтому изменив ^-примерную компоненту ?<,, мы можем уни- уничтожить ^-примарную компоненту произведения ? = = JJg™frVm, не изменив остальных примарных компонент. Повторяя эту процедуру. для каждого простого делителя числа т, мы обнаруживаем, что любой эле- элемент \.хЛ группы ф/^Л/р можно поднять до элемента {1р} грУппы Ф{*(^)> удовлетворяющего условию Следовательно, пользуясь 16,1, мы можем поднять !хЛ до некоторого элемента группы X«F. Это завершает доказательств в случае 1. . Случай 2. Предположим, что некоторое дискрет- дискретное нормирование v0 поля F не является р-аднческим нормированием ни для какого простого идеала ))сЛ, Выбрав |?Л, как выше, мы можем затем подобрать элемент |о„ группы ц (FVt) так, чтобы произведение было равно 1.-Доказательство затем продолжается, как в случае 1. Ясно, что случаи 1 и 2 исчерпывают все возможности. Действительно, если некоторое рациональное простое число р является единицей в Л, то р-адическое норми- нормирование поля рациональных чисел продолжается до нормирования v0, которое упомянуто в случае 2. Это завершает доказательство следствия 16.2. Ш
172 § 16. Числовые пом Рассмотрим теперь последовательность из § 13. Мы показали, что первый гомоморфизм сюръек- тивен, если F— числовое поле. Так как композиция первых двух гомоморфизмов является нулевой в силу 13.8, это показывает, что второй гомоморфизм после- последовательности нулевой. Но образом второго гомомор- гомоморфизма является подгруппа Это доказывает Следствие 16.3. Если А — дедекиндово кольцо, поле ¦частных которого конечно над полем рациональных чисел, то SKiA = 0. Иными словами, бесконечномерная специальная линейная группа SL (Л) порождена элемен- элементарными матрицами. Замечание. Отсюда следует, что SL (п, Л) порожДе- на элементарными матрицами для всех /г^З. Дейст- Действительно, в работах: Bass H., Milnor J., Serre J.-P., Solution of the congruence subgroup problem for SLn {n ^ 3) and Spin(n^2), Publ. Math. IHES, 33 A967), 50—137; Басе X., Алгебраическая /(-теория, «Мир», М., 1973, стр. 190—197, и Вассерштейн Л. Н., О стабилизации общей линейной группы над кольцом, Мат. сб., 79, в. 3 A969), 405—424, стр. 409, доказано, что для любого дедекиндова кольца Л и любого целого числа /г^З подгруппа Е (п, А) с: SL (п, А) нормальна, а факторгруппа по ней изоморфна SKiA. (Соответствующий результат для п = 2 неверен. Напри- Например, если A = Z[y"—5], то, как показал Суон, подгруппа Е B, Л) cz SL B, А) не является нормальной, а порож- порожденная ею нормальная подгруппа имеет бесконечный индекс в SLB, А). (См. Swan R. G., Generators and relations for certain special linear groups, Bull. Amer. Math. Soc, 74 A968), 576—582, или Prospects in Mathematics, Annals of Math. Studies, 70, Princeton University Press, 1971).
§ 16. Числовые поля 173 Если Л совпадает с кольцом целых алгебраических чисел в F, то можно дать следующее прямое доказа- доказательство следствия 16.3. (Ср. цитированную выше работу Басса, Милнора и Серра, стр. 77.) Другое доказательство. Мы воспользуемся классической теоремой Гурвица» о том, что группа SLB, Л) конечно порождена, если Л —кольцо целых чисел в числовом поле F. (См. Hurwitz A., Die unimo- dularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkorper, Math. Werke, Bd. 2, Basel, Burkhausen 1933, 244—268.) Так как SL B, Л) отображается на всю группу SL (Л)/?(Л) = S/СхЛ в силу п. 13.6, отсюда следует, что абелева группа $KiA конечно порождена. На самом деле S/CiA конечна; Действительно, для любой обра- образующей мы можем выбрать такое целое число г > О, что br == 1 mod а, откуда II = 1 (воспользоваться п. 13.2). Предположим 'сначала, что Л содержит р-е корни' из единицы, где р — некоторое простое число. Мы пока- покажем, что у конечной группы SKiA нет р-кручения. Очевидно, достаточно проверить, что каждый символ Менникке является р-й степенью в SKiA. В силу китайской теоремы об остатках элемент а сравним mod ЛЬ с некоторым элементом alt взаимно простым с р. Действительно, достаточно выбрать аг так, чтобы ах == a mod Ъ и ах = 1 mod p для всех простых идеалов р, делящих р, но не Ь: Тогда = • Мы воспользуемся символами норменных вычетов (х, y)v е [Хр степени р и формулой взаимности]^(х, y)vz= 1. Выбрав некоторый простой идеал q, делящий р, отметим следующий факт. Утверждение. В ц-адическом пополнении кольца Л существуют такие две единицы и0 и w0, что символ норшнного вычета (щ, Wq), степени р нетривиален.
174 § 16. Числовые поля Доказательство. Пусть ?/=Л^ — группа единиц этого пополнения. Так как U содержит корни из еди- единицы степени р, а р совпадает с характеристикой поля классов вычетов, индекс подгруппы Up a U не меньше р2. (См. П. 5 приложения или Lang S., Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, стр. 47.) Обозначим через я некоторый йростой элемент кольца Д^ (т. е. уч(я) = 1). Индекс подгруппы UoczU, состоящей из всех элементов и с (и, n)q = l, не больше р. Поэтому существует элемент и0 е Uo, из которого не извлекается корень степени р в /•"<,. Отсюда следует, что («о, У\ Ф 1 для некоторого элемента (/еР,. (Ср. Serre J.-P., Corps, Locaux, стр. 215. Это утверждение легко вытекает из следствия 15.10 или из П. 13.) Положив y = n'w0, находим («о» Щ\ ф\. Другое доказательство следствия 16.3 проходит теперь# так. В силу китайской теоремы об остатках- сущест'вует элемент Ь%, для которого Ь2&2 w0mo6 <\N, Ьг as I mod i)w для всех р | р с }> Ф q. Здесь' целое число # должно быть настолько большим, чтобы элемент b^Wo был р-й степенью в пополнении/1', и чтобы Ь2 был р-й степенью в Fp для всех р ф q, делящих р. (Ср. П. 4.)" Теперь мы используем следующее обобщение теоремы Дирихле. Арифметическая прогрессия, состоящая из всех bz, удовлетворяющих указанным сравнениям, содер- содержит «простой» элемент в том смысле, что порожден- порожденный им идеал ЛЬ2 прост. (См., например, Hasse H.", Zahlbericht, Jahresberichte Deut. Math. Ver., 35 A926), § 8.) Далее, этот простой элемент &2 можно выбрать так, что он будет положителен в любом вещественном пополнении поля F,
§ 16. Числовые поля 175 Заметим теперь, что символ норменного вычета («о. &a)q степени р равен (ы0, o>o)<j Ф Ь Следовательно, существует такая степень и = (ы0)', что удовлетворяется равенство (аи &2)Л6, ("» &*),-1. Выберем «простой элемент» а8 так, чтобд а8 шв ах mod &2, а8 s= ы mod qw с тем же ЛГ, что и выше. Тогда Рассмотрим теперь формулу взаимности Символы (а3, &2)г» отвечающие вещественным пополнениям или простым р Ф ^, которые делят р, тривиальны в силу выбора &2. Для любого простого t, не делящего р, символ (а3, &2)г является гомоморфным образом ручного символа из п. 11.5 (ср. П. 8 или Corps Locaux, стр. 217). Следовательно, он может быть нетривиален, только если t делит ая или Ьг. Таким образом, формула взаим- взаимности сводится к следующей: К» &а)ла3 (а3, &8)а6, (аз. «a)q = Ь Но* последние два множителя этого произведения равны (Яъ Ьг)\ь, и (ы, &2)<| соответственно, и их произведение равно 1. Поэтому (Яз. а это означает, что &2 сравним с р-й степенью по модулю а3. Пусть 6js xp mod a8, тогда- 14
176 § 16. Числовые поля Таким образом, если . F содержит р-е корни из единицы, то каждый символ Менникке' является р-й степенью, так что SKA не имеет р-кручения. Предпо- Предположим теперь, что F не содержит р-х корней из еди- единицы. Пусть Г —кольцо целых чисел в расширении Р(еы/Р). Рассмотрим гомоморфизму: КЛ-+ К^, индуци- рованный-.вложением, и гомоморфизм переноса i*: /CiF-*- ->/(iX и напомним, что композиция отвечает умножению на элемент Очевидно, i*[F] = d + Y> где d- степень F(e™lP) над F, а у^Кок — проективный класс Г над Л. Таким образом, если мы начнем с элемента а порядка р в S/(iA, то ц (а) имеет порядок р в S/CJ\ так что ц (а) = 0. Следовательно, (d + у) а = 0, откуда (использовать п. 1.11). Но d взаимно просто с р. По- Поэтому а = 0. Следовательно, конечная группа S/CiA не имеет р-кручения ни для какого простого числа р. Таким обра- образом, S/CiA = O. Это завершает наше второе дока- доказательство, ¦ ¦
ПРИЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИМВОЛЫ СТЕЙНБЕРГА Кэлвин Мур дал полное описание непрерывных симво- символов Стейнберга для классических локально компактных полей. Если F — либо локальное поле, либо поле вещест- вещественных чисел, то любой непрерывный символ Стейнберга на F является гомоморфным образом символа нормен- ного вычета степени т, гдет — число корней из единицы в F. С другой стороны, для поля комплексных чисел С любой непрерывный символ Стейнберга тривиален. В приложении мы докажем эти- факты. Следующего условия непрерывности нам будет достаточно. Определение. Символ Стейнберга с для топологиче- топологического, поля F называется слабо непрерывным, если для каждого Ре/7* его аннулятор, состоящий из всех а с с(а, Р) = 1, замкнут в F'. , Топология группы значений А никак в этом опре- определении не участвует. Однако если А — хаусдорфово пространство и. функция c:F' XF--+A непрерывна., символ с, очевидно, слабо непрерывен. Вещественные и комплексные поля Рассмотрим сначала некоторый символ Стейнберга с (Л, Р) для поля R вещественных чисел. Тождества сC,-2)=;сC,-3)=1 ¦ показывают, что с C, Р) = 1 для любого рационального числа Р вида ( — 2)'( — 3)Л Но множество всех таких рациональных чисел, очевидно, является плотной под- подгруппой в /?'. Поэтому из слабой непрерывности сим- символа Стейнберга с следует, что сC, Р)=1 для всех Р е R\ Аналогично тождества
178 . Приложение показывают, что с D, Р) = 1 для всех р. Но любое поло- положительное вещественное число можнокак угодно хорошо приблизить произведением 3'4Л Отсюда следует, что с (а, Р) = 1 для всех а > 0. Очевидно, это доказывает следующий факт. Теорема П.1. Пусть с (а,, Р) — слабо непрерывный символ. Стейнберга для поля R вещественных чисел. Тогда'с (а, Р)= 1, если а, или Р положительны^ а поря- порядок элемента . " .. ' с(а, р)-с(-1,-1) не больше 2, если а ц р оба отрицательны. Иными словами, с (и, v) является образом квадра-^ тачного символа норменного вычета (и, v)r относитель- относительно гомоморфизма {±1}-*А, который переводит (—1,-1)* в сД—1,-1). Следствие П.2. Любой слабо непрерывный символ Стейнберга для комплексного поля тривиален. Действительно; пусть ю —некоторый корень из еди- единицы, скажем ю" = 1. Тогда из любого элемента 0 е С* можно извлечь корень га-й степени, P = y". и заклю- заключить, что с (со, Р) = с (<о, у") = с (<оп, у) = 1. Слабая непрерывность показывает, что тогда с (<о', Р) = = 1 для любого числа w' на единичной окружности. Значит, для всех а (воспользоваться П. 1), что завершает доказательство. Щ Локальные поля Предположим теперь, что поле F полно относительно дискретного нормирования v с полем классов вычетов р. Пусть Л — кольцо нормирования поля F, a 5J3 = Л\Л* — простой идеал. Число элементов в F = A/5J3 обозначим символом q = pf, где р — простое число. 'Если характе- характеристика поля F равна нулю, обозначим через е = V (р)
Непрерывные символы Стейнберга 179 индекс ветвления F над полем р-аднческих чисел. В случае когда F имеет характеристику р, мы полага- полагаем е = v @) = -f оо. Начнем с некоторых хорошо известных свойств мультипликативной группы F'. Для каждого / ^ 1 по- положим ' : у4=' Это подгруппа группы F', состоящая из всех элемен- элементов, сравнимых с единицей mod 5)}'. Заметим, что фак- факторгруппа Ui/Ut+i изоморфна аддитивной группе поля классов вычетов. Обозначим через fi?_x с Л' цикличес- циклическую группу, состоящую из всех корней из .единицы степени д—\. Пусть я —некоторая образующая прос- простого идеала Щ . (Иными словами, f (п)= 1.) Лемма П.З. Каждый элемент группы F' однозначно записывается в виде 'произведения n{r\Ui, где т] лежит в циклической группе \iq-i порядка q—l, а их лежит в Ui. Если п взаимно просто с р, то из любого эле- элемента Щ однозначно извлекается корень степени п в Ut. ' ¦ Доказательство. Последнее утверждеиие сле- следует из того, что Ut — «про-р-группа», т. е. проектив- проективный предел последовательности конечных р-групп. В частности, отсюда видно, что из каждого элемента Ux однозначно извлекается корень степени ^—1. Значит, точная последовательность однозначно• расщепляется. Оставшаяся часть доказа- доказательства очевидна. Вопрос о-корнях степени р труднее. Удобно поло- положить ео = е/(р— 1). Мы будем говорить, что F содер- содержит р-е корни из единицы, если F содержит р разных таких корней. Лемма П.4. Отображение и-*~и* индуцирует неко- некоторый изоморфизм Ui-^пце для »>е0. Если i=e0, то этот гомоморфизм
180 Приложение либо имеет ядро и коядро порядка р, либо является изоморфизмом в соответствии с тем, содержит F р-е корни из единицы или нет. Наконец, при t<e0 отоб- отображение и-+ир индуцирует изоморфизм Доказательство. Выберем некоторую обра- образующую я простого идеала ty. Если i>e0, так что pi>i-\-e, то биномиальное разложение доставляет срав- сравнение A + л'а)? = 1 + рл'а mod Следовательно, возведение в степень р индуцирует изо- изоморфизм Несложное рассуждение методом последовательных приб- приближений показывает, что из любого элемента группы U^e однозначно извлекается корень степени р в Uh Замечание П. 5. Сравнивая гомоморфизм р-й сте- степени Ui->Ui с соответствующим гомоморфизмом Ui/Ui ->- Ui/Ui+e для больших i, мы заключаем, что коядро Ui/Щ имеет порядок либо pef+1, либо p*f в зави- зависимости от того, содержит F р-е корни из единицы или нет, (Ср. Lang S., Algebraic Number Theory, стр. ,47.) Если характеристика поля F равна р, то коядро бесконечно. Продолжим доказательство П.4. Цели i<.e0, то A + п'а)р == 1 + л*"аР mod Upi+1. Так как отображение а->ар индуцирует некоторый автоморфизм поля классов вычетов, мы получаем инду- индуцированный изоморфизм Пусть, наконец, i = e0. Ядро и коядро гомомор- гомоморфизма р-й степени Ueo->Uetl+e можно отождествить с ядром и коядром индуцированного гомоморфизма Но это конечные группы одинакового порядка, поэтому
Непрерывные символы Стейнберга Ш ядро и коядро тоже имеют равные порядки. Так как "ядро состоит нз корней р-й степени из единицы в Ue,, оно, очевидно, не может иметь порядок, больший р. Чтобы завершить доказательство, мы должны уста- установить, что примитивный корень из единицы, если он вообще лежит в F, должен принадлежать Ue,. Но иначе он представлял бы элемент, лежащий в ядре отображения для некоторого i<ie0, что невозможно. Это доказывает П.4.И . . Удобно. будет связать с каждым локальным полем F с полем классов вычетов характеристики р некото- некоторое целое число р*. Определение. Если F содержит р-е корни из единицы, то ps — высшая степень р, делящая р«„. Если F содер- содержит только тривиальный корень степени р, мы пола- полагаем ps = 1. ' Мы будем изучать символы Стейнберга для F с помощью следующего результата, который мы устано- установим. Фиксируем простой элемент п и любое натураль- натуральное число п. Основная лемма П.6. Для каждого элемента ип ё Un существует такой элемент u,+1e(/,tl, что {Л, «„}"*= К "n + lK. Поэтому, начав с любого элемента uv мы можем индуктивно построить последовательно элементы и\, и2, и3 для которых " - {я, «хК = {л, u2}ps =...=.{п, «„}**. Иными словами, любой элемент их можно как угодно хорошо приблизить элементами вида Ui/un, которые ортогональны к npS относительно спаривания { , }. Пусть теперь с (а, Р) — некоторый слабо непрерыв- непрерывный символ Стейнберга для F. Так как ujun сходится к их при п-+оо и так как \ u-Jun)=\,
Ш Приложение из слабой непрерывности вытекает, что.. Теперь учтем, что в .этом рассуждении можно было бы пользоваться любым простым элементом пи вместо я. Так как мультипликативная группа F' порождена мно- множеством всех таких простых элементов, отсюда выте- вытекает Следствие П.7. Если символ с слабо непрерывен, то с (a, «i)pS== 1 для всех а е F' и всех их е Ux. Теперь мы в состоянии дать хорошее качественное описание символа с: F'xF'-+A. Удобно обозначать символом c{F'(g)F') ту подгруппу группы А, которая порождена элементами с (а, Р) для всех а и р из F'. Следствие П.8. Если с слабо непрерывен, то образ c(F'0F') расщепляется в прямую сумму конечной цикли- циклической группы Лц порядок который делит q — 1, и конечной группы Аг экспоненты ps (т. е.. a?s — 1 для всех а <= Аг; определение ps предшествует П. 6). Суще- Существует единственный гомоморфизм (А/Щ' ¦^>-А1, который переводит ручной символ dv (a, P) из п. 11.5 в А^-компо- ненту элемента с (а, Р). Вывод П.8 из П.6. Введем вспомогательный сим- символ Стейнберга d: . Из П.7 следует, что для любых и и у из Л* символ d(u,v) зависит только от образов и и v в поле классов вычетов. Но, согласно 9.9, любой символ Стейнберга для конечного поля тривиален, поэтому dlu, v) = \. Пусть теперь аир — элементы из F'. Положим а = = я'т)»! и р = jt/t)'«i (ср. П.З); тогда значение d (а, р) = d (я, n)Vd(i\, tifd (я, ц')с равно (Заметим, что (—\)if лежит в ц,?_! или Ux в зависи- зависимости от того, нечетно q или четно.) Следовательно,
Непрерывные символы Стейнберга 183 d(a, Р) является образом ручного символа dv(a, Р) при гомоморфизме (л mod зд ^ rf (л> я) из (Л/ф)* в Л. В частности, образ группы d(F'(g)F') цикличен и его порядок делит q — 1. Положим N=p'Jq- 1). Тогда с (a, $)N=d(a, р)*-1 = = 1 для всех а, р. Так как, согласно П.З и П.4, индекс подгруппы (F')N с: F' конечен, мы получаем, что с (F'®F) — конечная группа, откуда уже без труда следуют утверждения П.8. Щ * Доказательство П.6 будет основано на следующем элементарном замечании. ' Лемма П.9. Равенство {я, A — я"г]п)} = 1 выполняется для всех r\ e \ig-i и всех п^ 1. Действительно, элемент 1 — n"j\ является (q — 1)-й степенью до8" в Un; поэтому {r\il—nnr\}=={i\,xtfl-1}=={i\*-1,w}=*\, откуда . ¦ {л,A—ппц)п} = {пп, 1—n"Tj} = {nnTj, 1 —n»Ti} = l.B Доказательство леммы П.6. Нам будет удоб- удобно работать с символом Стейнберга с, который опреде- определен равенством Мы должны проверить следующее утверждение. Любой элемент ип е Un сравним, по модулю t/n+i с таким эле- элементом у, что с (л, у)=1. Доказательство использует индукцию по л н перебор четырех случаев. Случай 1. Если п взаимно просто с р, .то из ип однозначно извлекается корень я-й степени w в ?/„. Мы можем считать, что ш ф ?/п+1. (Если w e f/n+i» то ы„ е t/n+i» так чт0 можно просто положить у == 1.) Записав 1 — w в виде произведения с помощью П.З, находим «> == 1 - ялт| mod
184 Приложение и, значит, ип = wn == A — Jt"ri)n mod ?/n+1. Положим y= U — n"T])n. Равенство с(я, у) = 1 следует из П.9. Случай 2. Если и = О mod р и и < рео> то мы мо" жем выбрать элемент w e i/n/P со свойством дар = и„ mod Un^i. По индуктивному предположению существует элемент у == шmod t/(n/P)+i, для которого с(я/у) = 1. Тогда эле- элемент ур обладает нужными свойствами: ур = ип mod ?/n+1 и с(я,ур)=1. Случай 3. Прип>ре0 доказательство аналогично. Нужно только выбрать элемент w e Un_e с wP — un и затем элемент у з= w mod t/n_e+i с с (я, у) = 1. Снова име- имеем тогда уР = и„ mod t/n+i и с (я, ур) =¦ 1 ¦ - Случай 4. При п = ре0 коядро гомоморфизма р-й степени п _^n или тривиально, или является циклической группой порядка р. Если ядро тривиально, мы можем действо- действовать точно как в случаях 2 и 3. Предположим, что F содержит корни р-й степени из единицы, так что ко- коядро нетривиально. Представим п = ре0 в виде psnlt где их взаимно просто с р. Выберем образующую коядра и представим ее элементом бя е Un вида где т} <= ng_v Тогда с (я, 6я) = {я, 6Я}"' = 1 в силу П.9. Теперь для данного и„ мы можем выбрать такую степень 6^,, что ип = б^ mod (Uey. Положив ы„ = wp8ln с гве(/е, и отыскав v с с (я, у) — *= 1 и Ky = ymodt/eg-(-i,
Непрерывные символы Стейнберга 185 как в случаях 2 и 3, мы получим и с(л,ур8п)— 1, как и требовалось. Это завершает доказательство леммы П.6. Щ Чтобы получить более точное описание слабо непре- непрерывных символов Стейнберга, нам понадобится несколько лемм о структуре группы K^KKiF)". Предположим, что F содержит р-е корни из • ницы, так что гомоморфизм р-й степени имеет коядро порядка р. Определение. Любой элемент б е UpSo, из которого не извлекается корень р-й степени в Ueo (и, значит, в F'), будет называться отмененной единицей в F. Лемма П. 10. Пусть л — простой элемент, аЬ — отме- отмеченная единица. Тогда для любого элемента их е ?/х символ {л, Ui} сравним с некоторой степенью {л, 6} по модулю (KiF)p. Доказательство. В точности как в доказа- доказательстве П.'б, начиная с. ии можно индуктивно построить последовательность иъ иг, ..., ирч так, что {л, W!}=*{n. и2\=... = {л, ире,}. Но upSo сравним с некоторой степенью б по модулю (F')p, откуда следует требуемое, щ Лемма П. 11. Если б — отмеченная единица, то {и, 6} == е= 1 mod (/Сг^)" для всех «еЛ1, Доказательство. (Ср. О'Меага О., Introduction to Quadratic Forms, стр. 165.) Мы покажем, что урав- уравнение 6 имеет решение х, i/еЛ. Отсюда будет следовать, что {и, 8} = {х, и}Р{Ь, у}Р{х, у}^\, как и требовалось.
186 Приложение Положив 6=1 — npe»v, выберем шеЛ' так, чтобы wp зев vfu mod ф, и положим г = я'°до. Тогда, Пользуясь П.4, находим, что уравнение F -J-..UZP) ХР = 1 имеет решение х. Положив теперь у = гх, мы получим Ьхр -\- иур = 1, что завершает доказательство. Комбинируя эти две леммы, получаем Следствие П. 12. Если F содержит р-е корни . из единицы, то группа KzFKKzF)*' циклична порядка р и порождена классом элемента {я, 6} mod (KiF)p. Доказательство. Существование символа нор- менного вычета степени р (п. 15.8) влечет нетривиаль- нетривиальность группы: K.iFl{KiF)p- Для доказательства циклич- цикличности выберем некоторый простой элемент я и рассмо- рассмотрим любую образующую {а,Р} группы К.^, Положив Р = (—n)'t)Ui, как в П.З, мы получим, что символ {я, р} = {я, TjUl}={n, Ul) mod (/CjF)" сравним с некоторой степенью [п,Ц по П. 10. Пусть а = я/и; взяв пи вместо я в предыдущем рассуждении, мы получим, что {пи, Р} сравним с некоторой степенью {пи, б}. Но {пи, 6}== {я, 6} в силу П. 11. Отсюда легко следует заключение. Щ По-прежнему предполагая, что F содержит р-е корни из единицы, мы докажем следующий факт: Лемма П. 13. Если р не является р-й степенью в F', то в F' существует такой элемент а, что {а, Р} ф. ф1д{КЛ" Доказательство. Это утверждение немедленно следует из стандартных свойств символа норменного вычета степени р, описанных в п. 15.10. (Ср. Serre J.-P., Corps locaux, стр. 215.) Можно также дать следующее
Непрерывные символы Стейнберга " 187 прямое доказательство. (Ср. цитированную выше книгу О'Миры, стр. 166.) Положим р = я'м с аеЛ1. Случай 1. Если значение а(Р) = / не делится на р, то {6, р} = {6, п<}ф\ в силу П.11 и П.12. Случай 2. Если /==0modp, то р s= и mod {F')p. Действительно, полагая и = 'х\ии имеем Обозначим через п наибольшее целое число, которое обладает следующим свойством: Р 3s un mod (F')p для некоторого и„ в Un. Такое число существует и удовлетворяет неравенству п^ре0. Действительно, если бы написанное сравнение удовлетворялось для какого-то п > ре0, из П.4 следовало бы, что р является р-Л сте- степенью, что противоречит предположению. Если п = ре0, то ип должно быть. отмеченной едини- единицей. Положив а = п, находим {я, P}ss{n, ип}ф\, что и требовалось. Итак, пусть 0<и<ре0. Число п не может делиться на р, ибо иначе в силу П.4 элемент и„ был бы сравним с некоторым м„+1 по модулю (F')p. Положим а = Г—ы„/8. Тогда {а, «„/6} = 1 и v (а) = пфО mod p, откуда следует, что {а, р}-{«, «„} = {«, 6} = {я«, 6}=?1, как в случае 1. Это доказывает лемму П. 13. Щ Пусть теперь F — любое локальное поле, а т —число корней из единицы в F.
188 Приложение Теорема П. 14 (Мур). Группа K%F является пря- прямой суммой циклической группы, порядок которой равен т, и делимой группы {KzF)m. Символ Стейнберга с: F'xF'-^-A слабо непрерывен в том и только том случае, когда соответствующий гомоморфизм K%F-^-A аннулирует подгруппу (KzF)m. Таким образом, если с слабо непрерывен, то образ c(F'(g)F') является циклической группой, порядок кото- которой делит т. Обратно, если группа c(F'®F') конечна, то с слабо непрерывен. Символ норменного вычета (a, Р)/? e цт степени т, очевидно, индуцирует сюръективный гомоморфизм K4.FI(KzF)m-+\\,m. Поэтому любой слабо непрерывный символ является гомоморфным образом символа (а, §)р. Доказательство П. 14. Пусть с (а, Р) слабо непрерывен. Согласно П.8, образ с (А ® А) расщепляется в прямую, сумму Ах © /42> где Ах циклична порядка q—\, а Аг конечна'экспоненты ps. Эта р-примарная компонента Аг ненулевая лишь в том случае, когда F содержит корни р-й степени из единицы. Но в этом случае K.iFl{K.iF)p циклична в силу П. 12. Отсюда, очевидно, следует, что и K%Fl{K%Fy> циклична, так что ее гомоморфный образ Аг цикличен. Тем самым образ c(F'(g)F') является конечной циклической груп- группой порядка, делящего ps(^^l). Чтобы получить более точную верхнюю границу для порядка в случае рх^=1, поступим следующим образом. Пусть | — примитивный корень из единицы степени т. Предположим, что р\т, так что ? не может быть р-й степенью в F'. В силу П. 13 существует такой элемент а0, что Из П. 12 следует, что символ {а0, |} должен порождать K%F по модулю (KzF)p. Отсюда немедленно вытекает, что {а0, 1} порождает K^F по модулю {KJ^p" . Значит, р-примарная компонента с(а0, |) порождает группу AtCzc(F-<2)F'). Так как с (а0, ?)™ = с (а0, ?"•) = 1, отсюда вытекает, что (А%)т = 1 и, значит, с (а, Р)т = 1 для всех а и р. '
Непрерывные символы Стейнберга 189 Доказательство делимости группы {К%Р)т. Пусть сначала г — любое простое число, отличное от характеристики F. (Если характеристика F равиа иулю, то г может быть любым простым числом.) В силу П.З и П.4 подгруппа (F')rmczF' открыта. Поэтому символ {а, Р} mod (K^FI™ локально постоянен как функция от а и Р и потому слабо непрерывен. Приведенные выше рассуждения тогда показывают, что {а, $}т я* 1 mod (/C2F)rm. Тем самым любая образующая {а, Р}т группы (KiF)m является r-й степенью в {KiF)m. Предположим теперь, что характеристика поля F равиа р. Мы должны доказать, что тогда любой эле- элемент из KtF является р-й степенью. Поле F изоморфно полю формальных степенных рядов от одной перемен- переменной л над конечным полем. Рассмотрим несепарабель- ное расширение Е = F (iAi) степени р над F. Очевидно, у каждого элемента из F есть ровно один корень сте- степени р в Е. Иными словами, нормениый гомоморфизм из ?* в F; norm (e) = г", биективен. Рассмотрим любую образующую {а, Р} группы K%F: Если Р является р-й степенью в F, то, конечно, {а, Р} =s I mod (/Сг^)р. Но поле F\y/".fi) изо- изоморфно Е. Поэтому а является нормой из F(v^p) и из п. 14.3 следует, что {а, Р} ss I mod (K2F)P. Таким образом, каждая образующая группы K^F является р-й степенью, откуда следует, что каждый элемент группы (KtF)m является р-й степенью. • Итак, группа {KiF)m делима и точная последова- последовательность • очевидно, расщепляется. Последняя группа циклична, так как символ {a, P}mod(/C2^)m слабо непрерывен. Пользуясь символом нормениого вычета степени т, убеждаемся, что его порядок точно равен т. Это завер- завершает доказательство. ¦
190 Приложение Следствие П. 15 (Басе, Тэйт). Если E^F — локалЬ' ные поля, то гомоморфизм переноса i*: К^Е-^К^Р сюръективен. (Заметим по контрасту, что перенос /С2С-»¦/С2/? заведомо не сюръективен.) • Доказательство. Сначала предположим, что расширение EzzF вполне неабелево, т. е. что никакое промежуточное поле, кроме F, не является полем Галуа над F с абелевой группой Галуа. Из локальной теории полей классов тогда следует, что норменный гомомор- гомоморфизм E'-^-F' сюръективен. (См., например, Serre J.-P., Corps locaux, стр. , 180, Алгебраическая теория чисел, под ред. Касселса и Фрёлиха, стр. 222.) Пользуясь тождеством i*{e, i(P)} = {norm(e), р}, доказанным в § 14, получаем, что гомоморфизм i*: KJi-+KiF также сюръективен. Предположим теперь, что Е — абелево расширение поля F простой степени г, где г делит число корней из единицы в F. Тогда факторгруппа F'/(F')r содержит не меньше г2 различных элементов. Но, согласно локаль- локальной теории полей классов, факторгруппа /'•/norm (?') циклична порядка г. Следовательно, существует такая норма norm(e), которая не является r-й степенью в F". Выберем Р так, чтобы -{norm(г), Р}=?1тос1(адг- (Если г совпадает с характеристикой поля классов вычетов, это возможно в силу П. 13; в противном случае существование такого Р следует без труда, из* 11.5.) Тождество I* {e, i (Р)} = {norm (e), P} показывает, что перенос сюръективен по модулю {К^РI", а тождество • I* {I (a), i-(P)} = {norm i (а), Р} = {а, р}' показывает, что любой элемент группы (КгРI" лежит в образе 1*КгЕ. • Предположим, наконец, что степень А поля Е над F взаимно проста с- числом корней из единицы в F.
Непрерывные символы Стейнберга 191 Приведенное выше рассуждение показывает, что любой элемент группы {KiF)d принадлежит i*/C2?. Но К,гЕ = = (KiFf. в силу П. 14. Остается учесть, что любое конечное расширение поля F может быть представлено в виде башни F = = FoczF1cz..:c:Fit — Е, каждый этаж F;+1 гэFt кото- которой удовлетворяет одному из трех разобранных усло- условий. Это завершает доказательство. Щ Функтор /С',ор Предыдущие результаты можно изложить более сжато, если ввести группу К\орА, связанную с топо- топологическим кольцом Л. К сожалению, не вполне ясно, в какой общности эту группу естественно определять. Пусть G — хаусдорфова топологическая,, группа. На- Напомним (п. 11.4), что центральное расширение называется топологическим, если С и, X —-хаусдорфовы топологические группы, гомоморфизм i непрерывен и замкнут, а гомоморфизм т|> непрерывен и открыт. Такое центральное топологическое расширение называется универсальным, если для любого другого топологического центрального расширения 1 ->- С' ->- X' ->- G ->¦ 1 суще- существует единственный непрерывный, гомоморфизм из X в X' над G. Если универсальное центральное топологи- топологическое расширение существует, то его ядро С мы будем обозначать через Пхб и говорить просто, что I^G существует. Очевидно, если группа IlxG существует, она является хаусдорфовой топологической коммутатив- коммутативной группой. (Ср. Moore С. С, Group extensions of p-adic and adelic linear groups, Pubt. Math. IHES, 35 A968), 5—70, стр-. 1!3."Я не знаю, совпадает ли группа Мура ni.c нашей Пх.) Если группа n2G определена, то рассуждение, подобное приведенному в п. 5.5, показывает, что ком- коммутант [G, G] должен быть плотен в G. Мы хотели бы определить К\орА для любого топо- топологического кольца Л как прямой предел при п-*оо групп IIjE (n, А). Здесь топология на Е (п, А) инду-
192 Приложение цирована топологией на GL(n, Л), которая в свою очередь топологизирована как множество пар всех матриц А, В размера пхп с условием АВ = ВА = 1. Вот один случай, когда этот подход разумен. Лемма П. 16. Пусть А коммутативное хаусдорфово топологическое кольцо (т, е. с непрерывным сложением и умножением). Предположим также, что группа единиц К' является открытым подмножеством кольца Л с не- непрерывным делением. Тогда при п^Ъ группа Е (п, Л) обладает универсальным топологическим центральным расширением. Таким образом, определена топологическая группа UiE (n, Л) и определен прямой предел этих групп Я*орЛ = ||тП1?(П, Л). Можно надеяться, что К\ор& с топологией прямого предела является хаусдорфовой топологической группой. Доказательство П. 16. Действуя, как в-п. 7.4, нетрудно построить такую окрестность N единицы / в SL(n, Л), что любой ее элемент А представляется в виде произведения пг-\-Ъп — 6 элементарных матриц, каждая из которых непрерывно зависит от А. Пусть Ё — универсальное центральное расширение группы Е (п, Л). Подняв каждую элементарную матрицу в Ё, как в п. 5.10 и п. 11.4, мы получим сечение s: N-+E. Обозначим через <#" слабейшую топологию, на Ё, в которой A) сечение s непрерывно; B) умножение ЁхЁ-^-Ё непрерывно; C) обращение е\—+е~х на Ё непрерывно. ' Точнее, возьмем в качестве базы для <?Г всевозможные конечные пересечения ^7Х П П Ukt гДе Ut ~ множество, открытое в некоторой топологии, удовлетворяющей A|, B) и C). Нетрудно проверить, что и топология тогда удовлетворяет этим условиям.
Непрерывные символы Стейнберга 193 Разумеется, топология dT, вообще говоря, не хаус- дорфова. Чтобы поправить дело, перейдем к фактор- факторгруппе X = ?/(замыкание 1).-Тогда X становится хаус- дорфовой топологической группой. (Ср. Бурбаки Н., Общая топология, «Наука», 1969, гл. III, § 2, п. 6. Сюръективное отображение Х->Е(п, Л) и будет нужным универсальным топологическим цен- центральным расширением. Остальные детали мы оставляем читателю. Щ- В случае топологического поля F данное выше опре- определение K\opF приобретает Дополнительное оправдание. Назовем символ Стейнберга с: F'xF'-*-A строго непре- непрерывным, если с непрерывен как функция от двух пере- переменных и удовлетворяет условию Мацумото Игл с (и, и, V-+0 \-\-uv)=l и если группа значений А является хаус- дорфовой коммутативной топологической группой-. (В изученнрм ранее случае локально компактных полей слабая непрерывность, очевидно, влечет за собой стро- строгую непрерывность, если А снабдить дискретной топо- топологией.) Лемма П. 17. Пусть F — хаусдорфово топологическое поле (с непрерывным сложением, умножением и делением). Тогда топологические группы П^ (п, А) канонически изоморфны друг другу (при всех п^Ь) и своему прямому пределу K\opF. Естественное спаривание U, IH-»{tt, у}'°Р из F'xF' в K\opF строго непрерывно. Любой другой строго непрерывный символ Стейнберга с: F'xF'-*~A является образом символа {и, v}iop при непрерывном гомоморфизме KtopF->A. Доказательство. Это немедленное следствие теоремы Мацумото 11,4. Щ Таким образом, если F — локальное поле или поле вещественных чисел, содержащее т корней из единицы,
194 Приложение то символ норменного вычета (и, v)p степени т опре- определяет изоморфизм (Ср. П. 1 и П. 14'.) С другой стороны, мы видим, что для -поля С комплексных чисел группа К\орС триви- тривиальна. Эти утверждения можно несколько усилить, вое- пользовавшись следующей леммой. Лемма П. 18. Пусть Fo — плотное подполе, топологи» ческого поля F. Тогда K\°vF0—плотная подгруппа в KiopF. ' , . ¦ Если теперь F локально компактно, то группа K\opF дискретна, откуда следует, что KtopF0=iK\oi>F. Доказательство. Согласно Бурбаки Н., Общая топология, гл. III, § 6, п. 5, спаривание и, v*-+ {и, о}'°р mFixFi в K\opF0 продолжается до непрерывного били- билинейного спаривания* с: F-XF--+A, где А означает «пополнение» топологической группы КаорЛ>- Так как хаусдорфова топологическая группа обязательно регулярна, нетрудно проверить, что с — строго непрерывный символ Стейнберга. Следовательно, с определяет непрерывный гомоморфизм с': KlopF-*-A. Продолжим теперь с' на пополнение В группы /C*°pF. Так как композиция А ->- В -> А является тождествен- тождественным отображением, а образ А, очевидно, плотен в В, отсюда следует, что А = В, чем н завершается доказа» тельство. ¦
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоморфизм Фробеннуса 164 Артицово кольцо 18 Банахова алгебра 67 Брауэра группа 156 Брюа нормальная форма 87, 123 Веддерберна теорема 155, 156 Вейерштрасса функция 92 Векторное расслоение 71 Ветвления индекс 178, 179 - Взаимности законы 113, 115, 168 Вырезание 64—66 Гильберта символ 103, 119 Гомологии группа Ht 57 Гомоморфизм переноса 148, 190 Группа Брауэра 156 — гомологии Нг 57 — классов идеалов 19,20, 24, 41 —^Пнкара 25 — проективных модулей 13 — совершенная 54 — Стейиберга St 50, 51, 58, 63, 90 — Уайтхеда 36 Дедекиидово кольцо (область) 19, 28, 49, 66, 133 Дирихле теорема обобщенная . 174 Дискретное нормирование Ю6 Дубль кольца 44 Единицы 15 Законы взаимности 113, 115, 168 Индекс ветвления 178, 179 Китайская теорема об остатках 23 Класс проективных модулей 17 Классов идеалов группа 19, 20, 24, 41 Коммутатор 36, 47, 50, 59, 72 Кольцо нормирования 106 Коигруэнц-подгруопа 10,11, 45, 48, 49 Круговое поле 40—43 Куботы — Басса теорема 145 Локальное кольцо 15 — поле 162, 178, 187—190 Менникке символ 134 — функция 145 Модуль обратимый 25 — проективный 13 Мономиальная матрица 80 Мультипликатор Шура 58 Несчетное поле 117 Норма 148 Нормальней форма Брюа 87, 123 : Нормеиного вычета символ 103, 162—165, 188 Нормирование 106 Нормирования кольцо 106 Ограничение кольца 148 Отмеченная единица 185 ., Относительное число классов 41 Переноса гомоморфизм 148, 190 Пикара группа 25 Поле классов вычетов 107 Представления конкретных групп образующими и соот- соотношениями 50, 89, 102 Примитивный корень из еди- ' ницы 155 Проективный модуль 13 Проективных модулей группа 13 класс 17 Произведения в ^-теории 14, 38, 44, 62, 76 . Просто транзитивное действие 127
196 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Ранг проективного модуля 17 Расщепимое расширение 54 Решетка 25, 92 Ручной символ 107 Символ Гильберта 103, 113 — Менникке 134 — норменного вычета ЮЗ, 162— 165, 188 — Стейнберга 73, 83, 103, 106, 156, 177 ¦ Совершенная группа 54 Стабильный изоморфизм 13 Стейнберга группа 50, 51, 58, 63,90 — символ 73, 83, 103, 106, 156, 177 слабо непрерывный 177 строго непрерывный 193 универсальный непре- непрерывный 108 Теорема Веддерберна 155, 156 — Дирихле обобщенная 174 — единственности 169 — Куботы — Басса 145 Тождество Якоби 60 Топологическое. расширение групп 105, 191 Точные последовательности в /(•теории 8,39,44,64—66,133 Уайтхеда группа 36 Узел трилистника 91—93 Универсальное топологическое центральное ^расширение 191 — центральное расширение 54 Универсальный непрерывный символ Стейнберга 99, 608 Фробениуса автоморфизм 164 Функция Вейерштрасса 92 Целое алгебраическое число 20, 25 Центральная простая алгебра Центральное расширение 54,104 Центры (конкретных групп) 47, 51 Шура мультипликатор 58 Элементарная матрица 36, 50, 125 Якобн тождество 60
ОГЛАВЛЕНИЕ От переводчика б Предисловие и путеводитель по литературе 7 § 1. Проективные модули и К0Л 13 § 2. Конструкция проективных модулей 30 § 3. Группа Уайтхеда КгЛ. 36 § 4. Точная последовательность, связанная с идеалом ... 44 § б. Группы Стейнберга и функтор К% 50 § 6. Продолжение точных последовательностей 63 § 7. Случай коммутативной банаховой алгебры 67 § 8. Умножение Кх Л ® Ki Л -> К* Л '. 72 § 9. Вычисления в группе Стейнберга 80 § 10. Вычисление KtZ 89 § 11. Вычисление Ка для поля по Мацумото 102 § 12. Доказательство теоремы Мацумото 119 § 13. Дополнительные сведения о дедекиидовых кольцах. . 133 § 14. Гомоморфизм переноса 148 § 16. Символы норменных вычетов 156 § 16. Числовые поля 167 Приложение. Непрерывные символы Стейнберга 177 Предметный указатель • 195
Уважаемый читатель! Ваши .замечания о содержании книги, ее оформ- оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский вер., д. 2, издательство «Мир».
ДЖ. МИЛНОР ВВВДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ /С-ТЕОВИЮ Редактор Г. М. Цукермая Художник А. Г. Антонова Художественный редактор В. И. Шаповалов Технические редактор А. Д. Хомяков Сдано в набор 7/VI 1974 г. Подписано к печати 26/XI 1974 г. Буи. тип. № 3 84X108'/«=3,13 бумг л. 10,5 усл. печ. л. Уч..изд. л. 7.61. Изд. N» 1/7380 Цена 54 коп. Зак. 227 ИЗДАТЕЛЬСТВО сМИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2 Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии№2 имени Евгении Со- Соколовой Союзполиграфпрома" при Государствен- Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29, с матриц ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского производственно-технического объединения «Печатный Двор> имени А. М. Горь- Горького Союзполнграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по Делам издательств, полнграфнн н «книжной торговли. 197136, Ленинград, Ц-№, Гатчинская ул., 26