Рациональная теория гомотопий и дифференциальные формы - Гриффите Ф.А., Морган Д.В.

Author: Гриффите Ф.А. Морган Д.В.
Tags: топология геометрия математика
ISBN: 5-O2-O13912-2
Year: 1990
Similar
Уравнения Максвелла и дифференциальные формы
Алгебраический кобордизм и К-теория
Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии
Введение в топологию
Text
                    Ф.А. ГРИФФИТС, Д.В. МОРГАН
РАЦИОНАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ФОРМЫ
Перевод с английского
А.В. ПАЖИТНОВА
Под редакцией
А.С. МИЩЕНКО
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990

ББК 22.152
Г85
УДК 515.14
Phillip A. Griffiths
John W. Morgan
Rational Homotopy Theory'
and Differential Forms
BirkhSuser
Boston - Basel - Stuttgart
1981
Гриффите Ф.А., Морган Д.В. Рациональная теория гомо-
топий и дифференциальные формы: Пер. с англ. / Под ред. А.С. Ми-
Мищенко. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 184 с. -
ISBN 5-O2-O13912-2.
Излагается теория рационального гомотопического типа (подход де Ра-
Рама — Сулливана). При этом авторы придерживаются первоначального метода
Сулливана, использующего минимум технических средств. Первая половина
книги содержит введение в элементарную алгебраическую топологию (вклю-
(включая спектральные последовательности). В приложении, написанном А.В. Па-
Пажитновым, излагаются: рационально-гомотопическая теория Квиллена, цикли-
циклические гомотопии и их приложения к задачам геометрии и топологии.
Для студентов, аспирантов и научных работников в области геометрии
и топологии.
Научное издание
ГРИФФИТС Филипп А., МОРГАН Джон В.
РАЦИОНАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ГОМОТОПИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Заведующий редакцией СИ. Зеленский. Редактор Т.А. Панькова
Художественный редактор Г.М. Коровина
Технические редакторы О.Б. Черняк, В.Н. Никитина
Корректоры Н.П. Круглова, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 12925 -.
Сдано в набор 15.06.90. Подписано к печати 09.10.90. Формат 60 X 90/16
Бумага книжно-журнальная . Гарнитура Вресс-Роман. Печать офсетная
Усл.печ.л. 11,5. Усл.кр.-отт. 11,75. Уч.-издл1.10,94
Тираж 2600 экз. Тип. зак. 32( • Цена 2 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25
1602060000-124 ,,„„ ^
053 @2)-90 ® BirJ*a«ser Boston, 1981
© "Наука". Физматлит, перевод
ISBN 5-O2-O13912-2 на русский язык, 1990

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 0. Введение
Глава 1. Основные понятия
CW-комплексы; операция приклеивания клетки; примеры; про-
продолжение гомотопии; расслоения; пространства путей и петель;
слои расслоений; замена отображений от расслоения; категории
и функторы.
Глава 2. Теорема о СЙ'-гомологиях
Определение CW-цепей и граничного гомоморфизма; доказательст-
. во изоморфности CTf-гомологий и сингулярных гомологии; гео-
геометрическое описание граничного гомоморфизма; примеры.
Глава 3. Теоремы Уайтхеда и Гуревича .
Определение гомотопических групп; теорема Брауэра; 7г3E2);
длинная точная последовательность гомотопических групп для рас-
расслоения; отсутствие свойства вырезания для гомотопических
групп; доказательство теоремы Уайтхеда; доказательство теоре-
теоремы Брауэра; доказательство теоремы Гуревича; относительный
вариант теоремы Гуревича, приложения; гомотопическая теория
расслоений, приложения.
Глава 4. Спектральная последовательность расслоения
Вычисление групп #*(я 1(в'р'),я '(j'p *')); определение
спектральных последовательностей; терминология; спектральная
последовательность Лере-Серра (построение с помощью СИ'-фильт-
рации); С°°-вариант и сингулярный вариант спектральной после-
последовательности Серра; вычисления; кольца Я*(СР"),#*(.?B, и), О) ;.
кольца когомологий грассманианов.
Глава 5. Теория препятствий
Определение коцикла, препятствующего распространению отобра-
отображения; основные свойства; препятствие к построению гомотопии;
препятствие для построения сечения или гомотопии между сече-
сечениями; примеры - класс Эйлера; существование и единственность
пространств Эйленберга - Маклейна; корректная определенность
и естественность первого ненулевого препятствия.
5
7
10
20
27
40
50
Глава 6. Когомологий, пространства Эйленберга — Маклейна и главные рас-
расслоения
Доказательство того, что пространство А'(я, п) классифицирует
#"( ¦, я) и множество главных расслоений со слоем К (ж, п — 1).
Глава 7. Башни Постникова и рациональная теория гомотопии.
Определение башни Постникова; доказательство ее существова-
существования; примеры; S 2; локальные пространства: два определения и нх
эквивалентность; конструкция локализации односвязного прост-
пространства с использованием башни Постникова, вычисления.
1*
59
62

Глава 8. Теорема де Рама для симплициальных комплексов ' 74
Определение кусочно-линейных форм; формулировка кусочно-
линейного варианта теоремы де Рама; лемма Пуанкаре для кону-
конусов; доказательство теоремы де Рама (аддитивная часть); естест-
естественность относительно подразделений; мультипликативность изо-
изоморфизма де Рама; связь с С -вариантом теоремы де Рама.
Глава 9. Дифференциальные градуированные алгебры 85
Определение; минимальные д.г. алгебры; расширения Хирша;
классификация расширений Хирша; расширения Хирша и минималь-
минимальные д.г. алгебры; определение относительных когомологий; построе-
построение минимальной модели для односвязной д.г. алгебры.
Глава 10. Теория гомотопнй в категории д.г. алгебр 92
Определение гомотопии; некоторые формулы; препятствие к про-
продолжению гомотетии на расширение Хирша; относительный ва-
вариант; гомотопия - отношение эквивалентности; -слабая эквива-
эквивалентность д.г. алгебр влечет взаимно однозначное соответствие
между гомотопическими классами отображений из минимальной
алгебры в данные; единственность минимальных моделей, функ-
ториальность.
Глава 11. Связь между гомотопической теорией д.г. алгебр и рациональной
теорией гомотопии, 100
Трансгрессия в спектральной последовательности Серра; двойствен-
двойственность, связывающая главные расслоения с базой В и расширения
Хирша д.г. алгебры А *(В); двойственность между минимальной мо-
моделью алгебры А*(Х) и О-башней Постникова пространства X;
С ""-вариант.
Глава 12. Фундаментальная группа 107
1-минимальные модели; существование и единственность; С-ниль-
потентное пополнение группы; связь 1-минимальной модели для
алгебры А *(Х) с О-нильпотентным пополнением группы я, (ДО;
функториальность; примеры: букет 5' v 51 и группа Гейзенберга.
Глава 13. Примеры и вычисления 114
Сферы и проективные пространства; градуированные алгебры Ли
и д.г. алгебры; букет S * vS2; букеты сфер; кольца Борромео;
симметрические пространства и формальность; группа яэ для од-
одно связных пространств; теория гомотопии для некоторых 4-комп-
лексов; рациональный гомотопический тип пространств BUn и Un ;
произведения; произведения Масси; произведения Масси для ком-
компактных кэлеровых многообразий.
Глава 14. Функториальность 127
Соответствие [X, Y] -* [ Мх, ^у ]; взаимно однозначность этого
соответствия для локальных пространств.
Приложение А1. Доказательство леммы Хирша 135
Приложение А2. Функториальное соответствие С -полиномиальной и 8 °°-
минимальной моделей 140
Упражнения. 144
Добавление. Функтор Квиллена (А.В. Пажитнов) 172
4

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта монография возникла из записок лекционного курса, прочитанного
авторами и Эриком Фридлендером в Институте математики "Улисс Дини"
во Флоренции летом 1972 г. Хотя впоследствии появились более формали-
формализованные изложения теории Сулливана, в частности, основополагающая ра-
работа*), флорентийские записки пользовались непрекращающимся спро-
спросом. Кроме того, один из авторов Д. Морган читал лекции об этой теории
в университете штата Ута в январе 1980 г. и занимался вместе с Джейм-
Джеймсом Карлсоном и Эрбом Клеменсом новыми приложениями ее к алгебраи-
алгебраической геометрии и таким образом оказался снова вовлечен в занятия
рациональными гомотетиями.
Точка зрения на предмет, представленная во флорентийских записках,
не отражена в литературе. Все это побудило нас издать предлагаемый чи-
читателю переработанный и расширенный вариант наших флорентийских
лекций.
Содержание монографии суммировано в оглавлении и обсуждается
на неформальном уровне во Введении. Здесь мы хотели бы отметить, что
текст делится на две части. Первые семь глав представляют собой введе-
введение в алгебраическую топологию, причем мы делаем упор на теорию гомо-
топий. Предполагается, что читатель в какой-то степени знаком с сим-
плициальными гомологиями, накрытиями и CW-комплексами.
В главах 8—14 трактуется основной предмет книги: дифференциальные
формы и теория гомотопий. Мы особенно выделяем гомотопические и
функгориальные свойства дифференциальных градуированных алгебр
и минимальных моделей (эта тема нигде в литературе подробно не обсуж-
обсуждалась) . Обширный набор упражнений (часто с подробными указаниями)
существенным образом дополняет текст.
Мы хотим выразить признательность коллегам за неоценимую помощь
в процессе работы. Первым среди них является Деннис Сулливан. Он
объяснил нам связь между теорией гомотопий и дифференциальными фор-
формами, а также свою теорию, которая служит основой предлагаемой книги.
Далее, мы благодарны Франческо Герарделли, организовавшему лет-
летние курсы во Флоренции, Институту математики "Улисс Дини" и вообще
*) S u 11 i v a n D. Infinitesimal Calculations in Topology // Publ. I.H.E.S. 1978. V. 47.
P. 269-331.

Флоренции за предоставленные нам превосходные условия для работы и,
.в частности, для записи лекций.
Во время пребывания во Флоренции нам были очень полезны беседы
с Нго Ван Куе, Джимом Карлсоном и Марком Грином. Мойше Брейнер
сделал прекрасные записи нашего курса — они составили первоначальный
вариант этой монографии.
Мы хотим поблагодарить университет штата Ута и вышеуказанных
сотрудников Д. Моргана за поддержку и поощрение, с помощью кото-
которых появилась эта книга.
И, наконец, мы хотим указать на двух предшественников излагаемой
теории. Первым из них является X. Уитни. Его книга "Геометрическая
теория интегрирования" (Изд-во Принстонского университета, 1957),
как объяснил нам Сулливан, содержит идею использования дифферен-
дифференциальных форм для решения проблемы коммутативных коцепей и для
описания гомотопического типа пространств.
Основной пробел в теории Уитни, с сегодняшней точки зрения, — от-
отсутствие О-структуры.
Связь между дифференциальными формами и теорией гомотопий бы-
была замечена К.Т. Ченем (см. его недавно вышедшую обзорную статью:
Iterated Path Integrals // Bull. Amer. Math. Soc. September 1977. V. 83. P. 831-
879) *). Многие из результатов, рассмотренных нами с общей точки зре-
зрения, были установлены К.Т. Ченем с использованием итерированных ин-
интегралов.
*) См. также книгу P.M. Хейна "Итерированные интегралы и проблема гомото-
гомотопических периодов" (М.: Наука, 1988). -Примеч. пер.

Глава О
ВВЕДЕНИЕ
Главная цель этого курса — связать С°°-дифференциальные формы на
многообразиях с алгебро-топологическими инвариантами. Модельным
результатом в этом направлении является теорема де Рама, утверждающая,
что когомологии дифференциальной градуированной алгебры С°°-форм на
многообразии изоморфны сингулярным когомологиям с вещественны-
вещественными коэффициентами, т.е.
H*DR (M) st Н*(М, И) (С~-теорема де Рама).
Основной результат нашего курса состоит в том, что исходя из диф-
дифференциальной градуированной алгебры С°°-форм можно вычислить все
вещественные алгебро-топологические инварианты многообразия. Точнее,
мы сможем, используя формы, получить башню Постникова многообра-
многообразия М, тензорно умноженную на рациональные числа.
В первых семи главах мы обсуждаем стандартную терминологию
и теоремы элементарной теории гомотопий, здесь наша цель — башни
Постникова для пространств. После этого мы определяем локализацию
CW-комплекса в рациональных числах; это позволяет нам заменять дан-
данный CW-комплекс на такой, у которого отсутствует кручение и все опера-
операции деления на целые числа выполнимы (это позволяет нам сосредото-
сосредоточиться на рациональной информации о данном пространстве). Башня Пост-
Постникова для локализации данного пространства получается из башни Пост-
Постникова исходного пространства тензорным умножением всех входящих
компонент (группы гомологии и гомотопий, Аг-инварианты) на рациональ-
рациональные числа.
Изложив эти основные факты, мы переходим к основному результату
в том виде, как его сформулировал Сулливан. Сначала мы введем рацио-
рациональные .PL-формы на симплициальных комплексах. Эти формы опреде-
определяют (интегрированием) рациональнозначные коцепи. Рациональные PL -
формы образуют дифференциальную градуированную алгебру над С,
когомологии которой оказываются изоморфными когомологиям само-
самого пространства:
ЩЬ(К) a H'(K,Q) (i>L-теорема де Рама).
Отметим два очень важных обстоятельства. Во-первых, мы работаем
здесь с рациональными числами, а не с вещественными, как в случае С°°-

форм на многообразии. Во-вторых, .PL-формы образуют дифференциаль-
дифференциальную градуированно-коммутативную алгебру (алгебра симплициальных ко-
коцепей и алгебра сингулярных коцепей над О не являются градуированно-
коммутативными!). И то и другое свойство нашей алгебры весьма су-
существенно .
Далее мы переходим к теории гомотопий для дифференциальных
градуированных алгебр (дх. алгебр). Для данной д.г. алгебры А мы пока-
показываем, как построить для нее минимальную модель, т.е. д.г. алгебру
JC (А), обладающую некоторыми предписанными свойствами, вместе
с отображением д.г. алгебр:
Ра- Ла ¦+А,
индуцирующим изоморфизм в когомологиях.
В случае Н1 (А) = О упомянутые выше свойства алгебры, МА таковы:
1) эта алгебра является свободной градуированно-коммутативной
алгеброй, все образующие которой имеют размерность > 2.
2) Для всех элементов х € ЛА элемент dx алгебры МА разложим.
Оказывается, что (для данной алгебры А) эти свойства характери-
характеризуют алгебру МА с точностью до изоморфизма.
Мы покажем, кроме того, что если алгебра А есть алгебра форм на од-
носвязном симплициальном комплексе X, то алгебра JCA в некотором
смысле двойственна рациональной башне Постникова пространства X.
Эта двойственность описана в гл. 11; в общих чертах ее можно предста-
представить следующей "коммутативной диаграммой".
| Симплициальные \
\ комплексы J
4- локализация в С
{ ©-про стран ства }
4- башни Постникова
{Башни Постникова}
PL-формы
к
i
lPL
i
| Д.г. алгебры 1
t над С ]
минимальные
модели
| Минимальные 1
I д.г. алгебры над С J
4- и
*@K
4- и
Л B)
Если дано гладкое многообразие М, мы можем гладко триангули-
триангулировать его и рассмотреть на нем одновременно С°°- и .PL-формы. И те

и другие содержатся в дт. алгебре А*р c~(Af) "кусочно гладких форм'
и включения
AM)
A*pL{M) l К
индуцируют изоморфизмы в когомологиях. Отсюда легко вывести, что
для соответствующих минимальных моделей выполнено
Это утверждение является уточнением сформулированного выше утверж-
утверждения о том, что комплекс де Рама содержит всю вещественную алгебро-
топологическую информацию о многообразии М. Таким образом, "схема"
нашей теории такова:
| Многообразия j
I
I Триангулнронаниые
) многообразия
(ими. пищальные
комплексы
С - формы
р. С- формы J ,.
PL-формы f—*|Р/.-формы ® RJ-
(-пространства
I Минимальные!
| модели/ Ц J
Минимальные!
I модели/Ж I
Q-башни
Постникона
В этой книге мы занимаемся в основном односвязными пространства-
пространствами, однако существуют обобщения этой теории и на неодносвязный случай.
Чисто алгебраическая сторона дела по большей части здесь аналогична
предыдущему, но результаты о гомотопиях, которые мы можем получить,
значительно более слабые. В основном та топологическая информация,
которую можно извлечь из алгебры форм, относится к фундаментальной
группе. Это обсуждается в главе 12.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Для целей нашего курса (как и во многих других случаях) достаточ-
достаточно развивать теорию гомотопии в весьма ограниченном классе пространств,
а именно в классе пространств, гомотопически эквивалентных CW-комп-
лексам. Все наиболее часто встречающиеся пространства (гладкие много-
многообразия, алгебраические многообразия, пространства петель на CW-комп-
лексах, пространства К(п, и) и др.) принадлежат этому классу. Далее,
для этих пространств справедлива теорема Уайтхеда (отображение /: X-+Y
тогда и только тогда является гомотопической эквивалентностью, когда
/ индуцирует изоморфизм в гомотопических группах; см. доказательство
в гл. 2). Это означает, что функтор гомотопических групп является доста-
достаточно мощным средством для того, чтобы выяснить, являются ли два CW-
комплекса гомотопически эквивалентными.
Мы начнем с определения CW-комплекса.
Пусть D" — единичный и-диск, т.е. D" = {jc={jc1( ... ,xn}G \Rn,
||jc||2<1}, S"~1 - единичная сфера (граница bD" диска D"). Заме-
Замечание. В этих лекциях мы называем диск D" и-клеткой и обозначаем
его в этом случае через е".
Для данных пространства X и непрерывного отображения /: S"~ 1 -»•
-*Х обозначим через
XUD"
Г
пространство, полученное приклеиванием и-клетки к пространству X,
т.е. факторпространство дизъюнктного объединения X U D по отношению
эквивалентности, при котором каждая точка jc G bD" отождествляется
с точкой /(jc) GX. (Замечание. В этом определении требуется, чтобы
отображение / было непрерывно. В дальнейшем мы будем опускать прила-
прилагательное "непрерывный", считая что термин "отображение" означает
"непрерывное отображение".) Операция присоединения клетки изобра-
изображена на следующем рисунке:
10

Мы говорим, что на пространстве X задана структура CW-комплекса,
если пространство X представлено в виде результата последовательного
приклеивания клеток, начиная с точки. Это означает, что заданы такие
пространства Х^СХ, для которых
причем A) каждое пространство Х^1+1^ получено из Х^ приклейкой
(/+ 1)-мерных клеток, B) если X не равно Х^ ни для какого п
(т.е. пространство X бесконечномерно), то топология на пространстве X
является слабейшей топологией среди тех, для которых вложения Х^ С
С X непрерывны. (Условие B) равносильно такому условию: множест-
множество U С X является открытым тогда и только тогда, когда множество
U О Х^") открыто в пространстве Х^ для каждого и.) Мы говорим,
что пространство Х^ является и-мерным остовом пространства X. C а-
м е ч а н и е. Бесконечномерные CW-комплексы — например, бесконечно-
бесконечномерные грассманианы, бесконечномерная сфера и другие — весьма полез-
полезны в гомотопической теории.) Сформулированное выше условие B)
гарантирует, что бесконечномерный CW-комплекс Х хорошо приближает-
приближается "своим и-мерным остовом Х^ при достаточно больших и". Напри-
Например, любое отображение компактного множества в бесконечномерную
сферу 5°° (являющуюся по определению объединением US"; мы пред-
п
полагаем, что для каждого п сфера S" является экватором сферы S"+1)
является отображением в конечномерную сферу SN для некоторого доста-
достаточно большого N.
Примеры СШкомплексов.
1. Сфера S" может быть представлена в виде {pt} UD", где /: ЪБ" -*
-*¦ {pt} — постоянное отображение.
2. Комплексное проективное пространство СП1" может быть наделе-
наделено CW-структурой по индукции:
СРИ = СР" (JD2n,
f
где /: S2n~ * -»• СР"~ х — отображениеХопфа. ОтображениеХопфа может
быть описано следующим образом. Будем рассматривать СР" как прост-
пространство всех комплексных прямых в пространстве Си+1, проходящих
через начало координат, а диск D2" — как единичный диск в С". Приклеи-
Приклеивающее отображение /: 3D2" -»• СР" ставит в соответствие каждой
точке единичной сферы 3D2" прямую, соединяющую эту точку с началом
координат:
f(z > = О/. € €Р"
11

3. Бесконечномерное проективное пространство
CIP" = lim CP"
представляет собой бесконечномерный СН^-комплекс, имеющий по одной
2и-клетке для каждого и е Z+. Отображения приклейки описаны
выше.
4. Всякий симплициальный комплекс К имеет естественную структу-
структуру CW-комплекса: его и-мерными клетками являются и-симплексы комп-
комплекса К. Обратно, если X является CW-комплексом, то существуют симпли-
симплициальный комплекс К и гомотопическая эквивалентность К -*¦ X (см.
упр.13).
5. Мы назовем пару пространств (X, А) CW-парой, если пространст-
пространство X получено из подпространства А приклейкой клеток (при этом само
пространство А обязательно является С^-комплексом). При этом требу-
требуется, чтобы топология в пространстве X обладала свойством, аналогич-
аналогичным сформулированному выше свойству B), если число приклеиваемых
клеток бесконечно. Пусть задана CW-napa (X, А). Обозначим через
Х^") U А объединение пространства А и всех клеток CW-пары (Х, А),
имеющих размерность не более п. Если X является CW-комплексом,
а А С X — его подкомплекс, то пара {X, А) является CW-парой.
Понятие CW-комплекса по самому определению приспособлено к ин-
индуктивным построениям и рассуждениям. В качестве иллюстрации мы
приведем теорему о продолжении гомотопии для CW-nap.
Теорема 1.1. Пусть (У, Х)является CW-парой, /: Y -»• Z - отобра-
отображение, F: X X / -*Z — гомотопия отображения f\X к отображению /':
X -*¦ Z. Тогда найдется такое продолжение G: Y X 1-+Z гомотопии F,
что G(y,O) = f(y).
Доказательство. Шаг 1. Пусть задано отображение/: D" -+Z
и гомотопия F: S"~ х X / -+Z, причем отображениеF \ S"~ х X {0 }совпа-
дает с отображением /| 3D". Построим такую гомотопию G: D" X I-+Z,
продолжающую гомотопию F, что G \ D" X {0} =/.
Эта ситуация изображена на следующем рисунке:
Отображение G уже задано на "нижнем основании" цилиндра/)" X {0}
и на его "боковых поверхностях" dD" X [0,1].
Мы хотим продолжить это отображение на весь цилиндр D" X /. Для
этого рассмотрим проекцию р цилиндра D" X / на подпространство
12

(?>" X{0})UE-1 X {1» из точки {(центр диска?>")Х B)}
П"х {2}
П"х {0}
и положим G(y,t) = G(p(y,t)).
Замечание. В приведенном вьпие рассуждении, как и вообще
во всей теории гомотопий, доказательство на 99 % определяется правиль-
правильно нарисованной "картинкой". После того как "картинки" нарисованы,
обычно остается нетрудное геометрическое рассуждение (хотя могут
потребоваться кропотливые алгебраические вычисления).
Шаг 2. Пусть даны отображение /: Y-»• Zи гомотопияF: XX1-+Z.
Индукцией по размерности остова (обозначаемой далее через i) по-
построим отображения
(УХ{0}) U ((XUY{)XI)-*Z.
Предположим, что отображение G^'* уже построено. Рассмотрим
клетку Di и приклеивающее отображение bDla -*¦ Y^'~ г\ Отображение *)
можно продолжить, используя шаг 1, до отображения G^\ определенно-
определенного на D^ X /. Проведя выше приведенное построение для каждой /-мер-
/-мерной клетки, получим отображение G W. Определим теперь отображение G
на всем Y как объединение отображений G ^. Другими словами, рассмот-
рассмотрим такое отображение G, что G\Y^ = G^'\ Требования на топологию
CW-пары обеспечивают непрерывность отображения G. Таким образом,
гомотопия G обладает искомыми свойствами.
Определим понятие гомотопической эквивалентности СИ'-комплексов.
Обычно мы будем отождествлять гомотопически эквивалентные CW-комп-
лексы. Два отображения /0, /,: X -*¦ Y называются гомотопными, если
существует такое отображение F: X X I -* Y, что F(x, 0) = /0 0е), F(x, 1) =
= /i(jc). Положив ft (jc) = F(x, t), можно рассматривать семейство ft как
непрерывную деформацию отображения /0 в отображение Д. Отображе-
Отображения/: X -*¦ Y и^: Y-*¦ X называются гомотопически обратными друг
*) Здесь, по-видимому, через /„ обозначено приклеивающее отображение ЬО„ =
^1 бозн
(Y(t~ ^Xl)V(Y'x {0}).
)
?~ -*У^-'~1',л через (/„ X /) обозначено отображение
- Примеч. ред.
13

другу, если fg ~ id^, gf ~ id у (знак ~ обозначает отношение гомотоп-
гомотопности, a idjr — тождественное отображение X -> X). Отображение/: JT-» У
называется гомотопической эквивалентностью, если у него есть гомото-
гомотопически обратное. Пространства X и У называются гомотопически экви-
эквивалентными, если существует гомотопическая эквивалентность/: JT -»¦ У.
Гомотопическая эквивалентность является отношением эквивалентности
на множестве всех СДО-комплексов. В теории гомотопий мы не различаем
гомотопические эквивалентные пространства (отметим, что понятие топо-
топологической размерности не инвариантно относительно гомотопической
эквивалентности). В нашем курсе, говоря о пространствах, мы имеем
в виду CW-KOMimeiccbi; единственным исключением из этого правила бу-
будут пространства петель и пространства путей на CW-комплексах (опреде-
(определения см. ниже), которые, вообще говоря, не являются CW-комплексами.
Однако они имеют гомотопический тип*) CW-комплексов (см. Mil-
no г' i. II Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 50. P. 272-280), и таким об-
образом мы и их можем рассматривать как CW-комплексы.
Во многих задачах теории гомотопий приходится применять различ-
различные конструкции к заданному отображению /: X -»• У. При этом часто
бывает удобнее иметь дело не с произвольным отображением, а с вклю-
включением. Оказывается, что это рассмотрение только включения с точностью
до гомотопической эквивалентности не ограничивает общности.
Теорема 1.2. Пусть задано отображение /: X -*¦ У. Тогда найдет-
найдется такое пространство Mf (а именно цилиндр отображения /), что в диа-
диаграмме
Y
¦nuj гомотопически обратны друг другу, и и«/=/ {Таким образом,
пространство Y можно заменить на гомотопически ему эквивалентное
пространство Мf, а отображение / заменить на включение)
Доказательство. Положим **) Mf= (X X /) U Y
*)То есть гомотопически эквивалентны некоторым СРС-комплексам. (Опреде-
(Определение гомотопического типа дано ниже на с. IS.) - Примеч. ред.
**) Точнее, знак и обозначает факторпространство, объединения по отноше-
отношению эквивалентности, задаваемому последующим отождествлением точек. - Примеч.
ред.
14

где точка (лс, 1) отождествляется с точкой f(x) e У. Зададим отображе-
отображение п: Mf -* У формулами п(х, t) = f(x), n(y) = у. Легко видеть, что ото-
отображение я является ретракцией *) Mf на У.
Замечание. Если X и Y — два CW-комплекса, а /: X -*¦ Y - кле-
клеточное отображение (т.е. такое отображение, что/(Х^) С У*')), то ци-
цилиндр Mf наделяется естественной структурой CW-комплекса. Далее,
любое отображение / С^-комплекса гомотопно клеточному отображе-
отображению /' (основные моменты доказательства намечены в упр. 32).
Гомотопность / и /' позволит определить гомотопическую эквивалент-
эквивалентность *•) Mf ~ Mf, причем Mf является CW-комплексом (символ
А ~ В означает, что А гомотопически эквивалентно В). Множество всех
пространств, гомотопически эквивалентных некоторому пространству,
называется гомотопическим типом. Таким образом мы можем заменить
каждое отображение на включение***), не выходя из категории CW-комп-
лексов.
Выше мы обсуждали свойство продолжения гомотопии и доказали,
что любой подкомплекс CW-комплекса обладает этим свойством. Можно
сформулировать свойство, двойственное к свойству продолжения гомото-
гомотопии, называемое "свойством поднятия гомотопии" или "свойством накры-
Бающей гомотопии".
Пусть заданы пространства Е,В и отображение п: Е -* В- Скажем, что
отображение я обладает свойством накрывающей гомотопии, если для
любого пространства Y, любого отображения /: У -> Е и любой гомото-
гомотопии gt отображения g= n о / существует такая гомотопия ft отображе-
отображения /, что я о ft = gt (т.е. гомотопия ft "накрывает" гомотопию gt:
В описанной выше ситуации говорят, что отображение / является
поднятием *)отображения#. Свойство накрывающей гомотопии утверж-
утверждает, что если у отображения имеется поднятие g, то у любой его гомото-
гомотопии тоже имеется поднятие. Не все отображения обладают свойством
'*) Ретракция /: X -» Y С X пространства X на свое подпространство Y есть ото-
отображение, тождественное на подпространстве Y. — Примеч. ред.
**) Перепутана последовательность изложения. Из текста может сложиться впе-
впечатление, что пространства Mf и Mf' гомотопически эквивалентны потому, что /'
является клеточным отображением. В действительности же, если / и /' гомотопны,
то цилиндры Mf и Mf' гомотопически эквивалентны независимо от того, являет-
является ли /' клеточным отображением или нет. — Примеч. ред.
• **) в том же смысле, как и в замечании к теореме 1.2. -Примеч. ред.
**** ) Относительно отображения п. Обычно говорят, что /есть накрывающее отобра-
отображение, или, что / накрывает отображение g. — Примеч. ред.
15

накрывающей гомотопии, например, если база *) В связна, то все
отображения, обладающие этим свойством, являются сюръективными.
Отображение тг: Е -*¦ В называется расслоением, если оно обладает
свойством накрывающей гомотопии (сл.г). Прообраз 7Г-1(Ь) точки Ъ е В
называется слоем и обозначается Fb. Если база 5-связна, то любые два слоя
гомотопически эквивалентны (см. гл. 3). Через F будем обозначать любое
пространство гомотопически эквивалентное пространству Fb (F при этом
также называют слоем). Расслоения обычно изображают диаграммой:
F -» Е
и
В,
мысленно представляя себе следующую картинку:
Примеры расслоений.
1. Локально тривиальные расслоения, векторные расслоения и ассо-
ассоциированные с ними сферические расслоения, накрывающие пространство
(все они обсуждаются в книге А. Стинрода 'Топология косых произве-
произведений" (М.: ИЛ, 1953)) **).
2. Пусть X — пространство. Обозначим через &>(Х) пространство путей
в пространстве X, начинающихся в фиксированной точке х0 ?Х (т.е. прост-
пространство отображений со: / -» X, для которых со@) = х0). Мы наделяем это
пространство компактно открытой топологией. Это значит, что предбазой
открытых множеств в 9>{Х) является семейство всевозможных множеств
{К, U) {К С / — компакт, a U С X — открытое множество), состоящих
из всех путей аз: I-+X, обладающих свойством ш{К) С U. Через я: 9>(Х) -*¦
¦+Х обозначим проекцию, заданную формулой тг(со)= соA).
Предложение 1.3. Отображение п: &(Х) -* X является рас-
расслоением .
Доказательство. Пусть задан путь g: I -*¦ X и такой элемент
?0 е ^{Х), что тт(?о) - g @). Другими словами, заданы путь g в прост-
пространстве X и путь g0, начинающийся в точке х0 и кончающийся в точ-
*)Термин "база" обычно применяют к расслоениям (см., ниже по тексту). —
Примеч. ред.
**) Имеются и более доступные для читателя руководства: М и л н о р Дж., С т а-
шеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979. §2; Хьюзмоллер Д.
Расслоенные пространства. М.: Мир, 1981; Каруби М. А-теория. М.: Мир, 1981;
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. М.: Наука, 1984. — При-
Примеч. ред.
16

ке g @). Определим семейство g t e 9>(Х) формулой
~ ()_ f *<>(»• 0+0).
Легко видеть, что it(gt) - gt и что соответствие / -*gt является непре-
непрерывным отображением отрезка / в &(Х). Таким образом доказано выпол-
выполнение свойства накрывающей гомотопии для точек *). Можно проверить,
что приведенная выше конструкция непрерывно зависит от исходных дан-
данных, и таким обрезом свойство накрывающей гомотопии выполнено для
отображения п по отношению ко всем пространствам.
Определение. Слой тГ^Хо) С 5"(ЛГ, х0) обозначается П(Х, х0)
и называется пространством петель пространства X в точке х0.
Лемма 1.4. Пространство &(Х,х0) стягиваемо (т.е. гомотопичес-
ки эквивалентно точке).
Доказательство. Определим гомотопию с: &(Х, х0) X I-*
-*9ЧХ,х0) формулой
с(со, t) = a>(t- s).
Ясно, что для любого пути со G 5*(Х, х0) путь с (со, 0) есть постоянный
путь/ -* {х0 }, а с (со, 1) -оз.
Выше мы показали, что каждое отображение может быть заменено
включением с точностью до гомотопии. С точностью до гомотопии мож-
можно также заменить любое отображение на расслоение**). В самом деле,
пусть /: X -*¦ Y - произвольное отображение. Рассмотрим множество
{(jc, оз) | cj@) =/(*)} С X X & (У), где через 5й (У) обозначено множест-
множество всех путей в пространстве Y (таким образом &(Y) есть Y1 с компакт-
компактно открытой топологией). Обозначим это пространство через X и опреде-
определим отображение п: X¦-*¦ Y и вложение /: X -*Х формулами я (jc, оз) =
= со A), / (х) = {х, постоянный путь/->{/(jc)}} . Легко видеть, что п о j =/,
отображение i: X -*¦ X есть гомотопическая эквивалентность, а отображе-
отображение п: X -*¦ Y является расслоением.
Легкость, е которой в гомотопической категории можно превращать
отображения во вложения или расслоения, показывает, насколько "эластич-
"эластична" эта категория. Эти удобства извращенная природа уравновесила тем,
что гомотопические группы сфер, т.е. самых простых пространств-сфер —
так сложны, что до сих пор не вычислены.
Мы будем использовать язык категорий и функторов, который бук-
буквально заполонил всю сегодняшнюю математику. Мы делаем это по двум
причинам. Во-первых, этот язык нужно знать, так как он используется
в работах, на которые мы ссылаемся. Во-вторых, с его помощью удобно
формулировать и запоминать многие из результатов, содержащихся в этой
книге. Мы не всегда будем приводить категорную переформулировку ре-
результатов; иногда мы будем оставлять ее читателю в качестве упражнения.
Мы говорим, что задана категория %, если задан набор объектов
Obj(#) и для каждой пары объектов А, В задано множество Ноте D> В)
*)То есть доказано, что свойство накрывающей гомотопии выполняется для
отображений и гомотопии одноточечного пространства Y. — Примеч. ред.
**) В том же смысле, т.е. при такой замене необходимо одно из пространств за-
заменить на ему гомотопически эквивалентное. — Примеч. ред.
17

морфизмов между объектами А и В. Это множество мы будем обозначать
также через Нот (Л, В), опуская индекс С. При этом должны выполняться
следующие аксиомы:
1. Нот (А, А) всегда содержит выделенный элемент/^, называемый
тождественным морфизмом объекта А в себя.
2. Для любых объектов А, В, С категории % имеется "закон компози-
композиции" - отображение Нот (А, В) X Нот (А С) ->Нот(А,С), причем выпол-
выполнено условие ассоциативности (f ° g) ° h = f о (g о ft), а морфизм 1А
является единицей, т.е. / ° 1А = /, /д ° / = / для всех / S Нот {А, В).
Замечание. Объекты категории 48 не обязательно должны быть
множествами, а морфизмы — отображениями множеств. Морфизм - это
просто стрелка А -+В.
Примеры. 1. Абелевы группы. Объекты этой категории суть абеле-
вы группы, а морфизмы - гомоморфизмы групп.
2. Топологические пространства. Объекты - топологические простран-
пространства, морфизмы - непрерывные отображения.
3. Гомотопическая категория. Объекты - пространства, гомотопи-
чески эквивалентные CW-комплексам, морфизмы — гомотопические
классы отображений.
4. Имеются категории групп, полей, колец, векторных пространств
над полем, модулей над кольцом и т.д., аналогичные категории, рассмот-
рассмотренной в примере 1.
Изоморфизм в категории - это морфизм, у которого есть обратный.
Другими словами /: А -*¦ В является изоморфизмом, если существует
морфизм g: В -*А, удовлетворяющий условию
В примерах 1-3 изоморфизмами являются соответственно изомор-
изоморфизмы групп, гомеоморфизмы и гомотопические эквивалентности.
Функтором*) $: % -*¦<&' из категории % в категорию %' называет-
называется соответствие §', при котором каждому объекту А категории % соот-
соответствует объект А' - & (А) категории Ч@\ а каждому морфйзму / S
€ Ноту (А, В) категории" $ соответствует морфизм /' = ?"(/) €
€ Honigf (?"(Л), ^(В)). При этом требуется, чтобы тождественные морфиз-
морфизмы переходили в тождественные морфизмы, а композиции морфизмов
переходили в композиции образов.
Гомотопический функтор — это функтор из гомотопической катего-
категории в какую-либо категорию.
Алгебраическая топология изучает гомотопические функторы со зна-
значениями в алгебраических категориях, т.е. категориях групп, полей, цеп-
цепных комплексов, векторных пространств и т.д. Гомотопический функтор
ставит в соответствие гомотопически эквивалентным пространствам изо-
изоморфные объекты соответствующей алгебраической категории. Поэтому
в теории гомотопий вполне допустимо отождествлять гомотопические
эквивалентные объекты.
*) Автор имеет в виду здесь ковариантный функтор, сохраняющий направление
стрелок. В дальнейшем используются и контравариантные функторы, меняющие
направление стрелок на противоположные. - Примеч. ред.
18

В качестве примера гомотопического функтора приведем функтор
гомологии.
Функтор гомологии сопоставляет каждому пространству X градуи-
градуированную группу гомологии Ht(X), а непрерывному отображению /:
ЯГ -»¦ Y пространств — индуцированное отображение ft: Я» (ЯГ) -»Я,(У)
групп гомологии. Если f~g, то /„ = g „ так что функтор гомологии дей-
действительно является гомотопическим функтором.
Группы сингулярных гомологии пространства ЯГ строятся следующим
образом.Рассмотрим цепной комплекс
^-> Сп{Х) -^-> С„_!(ЯГ) ^- ... _!i> Со(Х),
где С„ (ЯГ) — свободная абелева группа, порожденная всеми непрерывными
отображениями/: Д" ->ЯГ стандартного и-симплекса Д" в пространство X,
а гомоморфизм Э„ определен формулой
Э„(/)= 2(-1)'-/ (/-я грань симплекса Д").
Простой подсчет показывает, что ЭЭ = 0. Положим Я„ (ЯГ) = Кег Э„/1т Э„+1.
Можно определить также гомологии с коэффициентами в абелевой
группе G, рассматривая комплекс
...->• С„(Х) ® G — > С„_!(Х) ® G -*¦.. . -*C0(X)®G.
Соответствующие группы обозначаются Я„(ЯТ, G). Если мы опускаем
коэффициенты в обозначении группы гомологии, то подразумеваются
гомологии с коэффициентами в группе целых чисел Z.
Имеются также когомологические функторы. Когомологии простран-
пространства X получаются из сингулярного коцепного комплекса
*-^ilHoin(Cl,(Jr),G)-^Hoin(CI,_1(Jr),G)*-- ¦ • ^Нот(Со(ЯГ),G),
как факторгруппы Я"(ЯГ, G) = Кег 5„+1/1т 8„. Как и раньше, запись
Я" (ЯГ) без указания группы G обозначает целочисленные когомологии.
Когомологии Н"(Х) обладают структурой градуированно-коммута-
и
тивного кольца. Это означает, что имеется умножение Я" (X) ® Нт (X) *¦
^яи+т(ЯГ), причем a U/3 = (_i) «"ma-dim/J/j и а. Это умножение инду-
индуцировано из умножения коцепей, задаваемого формулой
< ар U fiq, Др+Ч > = < ар, передняяр-грань симплекса Ар+Я > X
X <j3(j, задняя q-гряиь).
На уровне коцепей соотношение ар и ря = (-1)РЯРЯ U ар не имеет
места. Однако можно показать, что умножение коцепей индуцирует в ко-
гомологиях градуированно-коммутативное умножение.
Хорошим введением в теорию СК'-комплексов, гомологии и когомо-
когомологии является книга Greenberg "Lectures on Algebraic Topology". Более
энциклопедичен трактат Спеньера "Алгебраическая топология" (М.: Мир,
1971): в нем, в частности, изложен весь теоретико-гомотопический мате-
материал нашего курса (кроме локализации). Другое изложение некоторых
тем нашего курса, например теории препятствий, см. в книге Ху Сы-Цзяня
"Теория гомотопий" (М.: Мир, 1964).
1»

Глава 2
ТЕОРЕМА О CW-ГОМОЛОГИЯХ*)
Пусть X - пространство. Обозначим через Н„ (X) группу сингулярных
гомологии пространства X с 2?-коэффициентами. Напомним вкратце кон-
конструкцию и основные свойства групп Н,(Х).
Обозначим через Д" стандартный и-комплекс в |R"+1. Через Sing,, (X)
мы обозначим свободную абелеву группу, порожденную сингулярными
и-симплексами.
т.е. непрерывными отображениями симплекса Д" в пространство X. Гра-
Граничный оператор
n
О,---, _= ^
X2
индуцирует гомоморфизм
э
Singn(X)—¦*¦ Singn.(X),
л
. • • • ,*i, •
j
x /
• • , *n)
Л
для которого Э о Э = 0.
Подгруппа циклов Zn(X) есть, по определению, подгруппа тех цепей
с е Singn (X), для которых Ьс = 0.
Группа гомологии определяется теперь как факторгруппа
Перечислим основные свойства групп гомологии:
1) Отображение /: X -»• У индуцирует гомоморфизм групп гомологии
зависящий только от гомотопического класса отображения/.
*) В русской литературе эти гомологии имеют название клеточных гомологии. -
Примеч. ред.
20

2) Ориентация сферы S" определяет изоморфизм #„(?") = Z. Если
заменить ориентацию на обратную, то этот изоморфизм умножится на -1.
Цикл, представляющий образующую группы #„(?"), которая соответ-
соответствует числу 1 S Z на этом изоморфизме, определяется сбхраняющим
ориентацию гомеоморфизмом*) Э Д" +! -+S ".
3) Пусть Y С X является подпространством в пространстве X. В этой
ситуации можно определить относительные группы гомологии Нт (X, Y).
При этом имеется точная последовательность гомологии:
Нп(Х) - Нп(Х. У)-^-> ЯЯ_,(У)- • • •
4) Пусть задана тройка пространств U С Y С X, причем замыкание
пространства U принадлежит внутренности пространства Y. Тогда выпол-
выполняется свойство вырезания:
Н,(Х - U, Y - U) = Н,(Х, Y).
5) Любая теория гомологии, т.е. функтор из гомотопической катего-
категории в категорию абелевых групп, удовлетворяющий свойствам 2) - 4),
совпадает с сингулярными гомологиями (см. упр. 10). Наиболее сущест-
существенна, видно, аксиома вырезания, означающая примерно то же самое, что
и свойство Майера - Вьеториса.
Пусть X является CW-комплексом. Обозначим через X *"* его и-остов.
Тогда (и + 1)-остов A"*" + 1) получается-из остова X^ приклеиванием
(и + 1)-клеток по отображениям
деп+1 -^ АГ(").
Обозначим через С'„ (X) свободную абелеву группу, порожденную ориен-
ориентированными и-клетками CW-комплекса Х. Поскольку у каждой клетки
возможны две ориентации, группа С'„ (AT) имеет две свободные образую-
образующие для каждой и-клетки. Введем соотношения, согласно которым две
образующие, соответствующие одной клетке, отличаются друг от друга
только знаком. Факторгруппу по этим соотношениям обозначим Сп (X).
Группа С„ (X) является свободной группой, ранг которой равен числу
и-к леток.
Пусть задана и-клетка е" комплекса X с ее фиксированной ориента-
ориентацией. Выбрав сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Д" -*е",мы полу-
получаем элемент в группеН„ (Х^ ,Х^"~^).
Этот элемент зависит только**) от ориентации клетки е", и меняет
знак при изменении ориентации. Таким образом, эта конструкция опреде-
определяет гомоморфизм <р„: С„(Х) -*Н„(Х^"\ АГ*"*). Из свойства выре-
вырезания легко вывести (см. ниже), что это отображение является изомор-
изоморфизмом. Примем пока этот факт на веру и определим граничный гомо-
*) Имеется в виду, что граница стандартного симплекса ди+1 есть объединение
своих «-мерных граней, каждая из которых линейно гомеоморфна стандартному сим-
симплексу д" с надлежаще выбранной ориентацией. - Примеч. ред.
) То есть не зависит от выбора гомеоморфизма Дп -<• е", сохраняющего (или ме-
меняющего) ориентацию. - Примеч. ред.
24

морфизм Э: С„ (ЛГ) -»-C,,_i (X) как композицию
Теорема 2.1 (теорема о CW-гомологиях). Последовательность
групп и гомоморфизмов (С„ (X), Э) является цепным комплексом. Го-
Гомологии этого цепного комплекса естественно изоморфны сингулярным
гомологиям пространства X.
Замечания. 1. Если у пространства X в каждой размерности чис-
число клеток конечное, группы С„ (X) являются конечнопорожденными сво-
свободными абелевыми группами. Таким образом, эта теорема доставляет
весьма эффективное средство вычисления групп гомологии.
2. Пусть (X, А) является CW-парой, т.е. пространство X получено из А
путем приклейки клеток. В этом случае тем же способом можно построить
цепной комплекс (С„(ЛГ, А), Э), гомологии которого изоморфны сингу-
сингулярным гомологиям пары (X, А).
Доказательство теоремы 2.1 мы начнем с пары простых лемм.
Лемма 2.2. Пусть X = Y U е". Тогда
f
Щ(Х, Г) = 0 при
Доказательство.
ке e"nU = YUN
f
2
X
Пусть N — окрестность границы де" в клет-
клетТогда имеется деформационная ретракция пространства U на про-
пространство Y (см. рисунок). Применяя аксиому вырезания и аксиому
гомотопии, получаем
Н,(Х, Y) а
аксиома
гомотопии
аксиома
вырезания
аксиома
гомотопии
Щ{Х, U)
- N,
Hi(em,dem).
Заметим, что для / > 0 группы Н^е™) являются нулевыми. Группы
гомологии сферы Sm~l - Ъет известны. Отсюда, применяя точную после-
последовательность, гомологии, получаем
Н,(ет,
О, гФт.
22

3 амечание. Аналогичным образом можно доказать следующий
полезный результат.
Предложение 2.3. Пусть (X, А) является CW-парой. Обозначим
через Х/А комплекс, полученный стягиванием подпространства А в точку.
Тогда группы Щ (X, А) и Д- (X, А) изоморфны (где Нп обозначает приве-
приведенные гомологии *) ).
Доказательство проводится аналогично доказательству предложе-
предложения 2.2 с помощью индукции по размерности клеток. Подробности мы
оставляем читателю.
Именно благодаря аксиоме вырезания группы гомологии легче вы-
вычислять, чем другие гомотопические функторы, скажем, чем гомотопи-
гомотопические группы.
Лемма 2.4. Имеют мест равенства
HtiX.X^"-^) = 0, 1<л — 1;
Hi(Xin),X(n~l)) = 0, 1Фп.
Кроме того, отображение <р„: С„(Х) -*¦ Н„(Х^п), Х^"~1)) является
изоморфизмом.
Доказательство. Все эти утверждения доказываются с по-
помощью леммы 2.2 индукцией по числу клеток. В случае, когда у простран-
пространства X бесконечно много клеток, нужны некоторые дополнительные рас-
рассуждения, связанные с переходом к прямому пределу.
Доказательство теоремы 2.1. Имеется изоморфизм
Граничный оператор Э: С„(Х) -* С„_х(Х) равен ip~J~i ° Ъ ° $„, где Э:
#„(ЛТ(П), ЛГ*"-1*) -* #„_1(ЛГ(п-1), Х<"-2)) представляет собой оператор
границы в длинной точной последовательности гомологии тройки X 1"~2) С
с x{n-i) с х{п) поскольку **)9n_! о Э„ = 0, легко видеть, что гомо-
гомоморфизм ЭЭ: С„(Х) -*-С„_2(ЛТ) нулевой. Поэтому (С,(Х), Э) действи-
действительно является цепным комплексом. Применяя теперь лемму 2.2,получаем
точную последовательность
0 ¦+ Нп(Х(п\ ^("-2))^Я„(Х(п), АГ("-1))-^Я„_1(АГ("-1>,^"-2))
« I» №
0¦-> Нп(Х^) ¦— С„(Х) -¦ Cn_,(J).
Таким образом, группа Н„(Х^) отождествляется с подгруппой
циклов в группе С„ (ЛГ).
*) То есть Я, (X) = Кег (Я, (X) -> Я» (pt)), где X -* pt - отображение пространства X
в точку. - Примеч. пер.
**) Здесь может возникнуть некоторая путаница. Автор не ввел своевременно
конструкцию граничного оператора Ъ„ как гомоморфизма в сингулярных гомоло-
гиях, и создал иллюзию, что группы гомологии Н„ (X, Y), которые он использует,
есть гомотопический функтор, удовлетворяющий аксиомам J2) - D)__. Если отправ-
отправляться от сингулярных гомологии, то проверка соотношения Эп_1 о Эп= 0 тривиаль-
тривиальна. В общем случае требуется тщательный анализ коммутативных диаграмм. - При-
Примеч. ред.
23

Аналогично можно построить коммутативную диаграмму
С помощью этой диаграммы мы можем отождествить подгруппу
дСп+, (Г) CZn(Cm(X)) с ее образом Ь(НП+1(Х, X(">)) С #„(X<">).
Применяя снова леммы 2.2 и 2.4, получаем, что последовательность
Я+1(ЛГ,^{П))-^ ЯЯ(ЛГ<">) - Я„(ДГ)-0
является точной.
Отсюда следует, что
Zn{Ct(Х))/ЬСП+, (X) = Я„(ЛГ<">)/Э(Я„+, (X, X™) = Н„(Х).
Любое непрерывное отображение /: X -* Y CW-комплексов гомотоп-
гомотопно клеточному отображению. Клеточное отображение индуцирует гомо-
гомоморфизмы всех относительных групп гомологии, использованных при
доказательстве изоморфизма Я» (С. (X)) = Я, (X). Поэтому последний
изоморфизм функториален.
Замечание. Пусть фиксированы ориентации всех и-клеток и всех
(и + 1)-клеток пространства X. Если е?+1 - произвольная (и + 1)-клетка,
то
где сар — целые числа. Обозначим через /»: де?+ 1 -*¦ Х^ при-
приклеивающее отображение для клетки е" '. Существует такая
сингулярная цепь с в пространстве X(л~*), что Эе?+1 - S саре" - с - син-
сингулярная граница в пространстве X ^ .
Если отображения приклейки находятся в общем положении, то можно
предложить привлекательное геометрическое описание граничного гомомор-
гомоморфизма Э: С„ (X) -*С„_1 (X). Выберем ориентированную и-клетку (е",Ое)
и ориентированную (и - 1)-клетку (о", 0о)- Покажем, как вычислить
коэффициент, с которым клетка (а" ~1, Оа) входит в выражение для
границы д(е",Ое). Рассмотрим отображение приклейки Ъе" -Z Х^"~1^.
В случае общего положения это отображение будет трансверсально к неко-
некоторой точке ра в клетке а" ~!. Сравнение ориентации позволяет нам при-
приписать знак ±1 каждой точке прообраза i^J1 (po). Сумма этих знаков и
есть искомый коэффициент.
24

Примеры. 1. Представим пространство
IRP2 =Sl UZ>2,
где D2 — единичный диск в плоскости С
Граничное отображение переводит клетку [D2, 0ог] в 2[el, Ogt].
2. Двумерный тор получается приклеиванием диска D1 к букету
S' MS1 по отображению аЪа~1Ъ~х
Здесь прообраз ц>~1 (ра) (так же, как и прообраз у 1 фь)) состоит
из двух точек с противоположными знаками, и поэтому
3. Клеточное разбиение и-мерной сферы S" состоит из двух клеток:
х0, е". При этом
Ht(S") =0для|- Ф0,п; Я„E")=7.
4. Комплексное проективное пространство СР" получается из про-
пространства СР" ~г приклеиванием 2и-мерной клетки. Поэтому пространство
СР" имеет в каждой размерности 0, 2, . . . , 2и одну клетку. В комплексе
C.(dPn) все граничные гомоморфизмы являются нулевыми, и, стало быть,
#2/(dP") = г для всех 0<1 <и;
а остальные группы гомологии являются нулевыми.
5. Рассмотрим отображение /„ : S1 -*¦ 51, заданное формулой
е'в к е'пв(пеТ).
Пусть Х„ = S1 U е2. Тогда
/и
так как Ъе2 = и5'. Случай и = 2 разобран в примере 1.
6. Как мы видели в гл. 1, любой симплициальный комплекс естествен-
естественным образом наделяется структурой СЙ/-комплекса. Теорема о CW-тоыо-
логиях доставляет чисто комбинаторный способ вычисления групп
25

Н„(| К\ ). (Здесь*) через | К| обозначено топологическое пространство,
ассоциированное с комплексом К.) Комплекс (С, (\К\), Э) совпадает
с комплексом симплициальных цепей.
7. Для CW-пары (X, А) аналогичным.образом можно определить комп-
комплекс (С, (X, А), Э). Группа С„ (X, А) является свободной абелевой груп-
группой, образующие которой находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии с л-клетками в пространстве X — А.
Можно показать, что гомологии этого комплекса естественно отождест-
отождествляются с гомологиями Я, (X, А).
*) Поскольку ранее понятие симплициального комплекса не определялось, то
следует сделать следующее разъяснение. Обычно под симплициальным комплексом
(или симплициальным пространством) понимается такое топологическое пространст-
пространство, которое гомеоморфно замкнутому подполиэдру в симплексе некоторой раз-
размерности, вместе со структурой его разбиения на симплексы. Тогда I К | есть ни что
иное как само пространство, в котором забыта структура разбиения на симплексы.
Однако иногда под симплициальным комплексом понимается полусимплициальная
схема, т.е. только алгебраическая структура симплексов и операторов граней и вы-
вырождений. В этом случае .пространство | К[ следует дополнительно строить по задан-
заданной полусимплициальной схеме. — Примеч. ред.

Глава 3
ТЕОРЕМЫ УАЙТХЕДА И ГУРЕВИЧА
А. Определение и элементарные свойства гомотопических групп. Пусть
X, Y - пространства. Обозначим через [X. Y] множество гомотопических
классов отображений X -*¦ У. Пусть (X, А), (У, В) - пары. Обозначим через
[(Х, A), (Y, В)] множество гомотопических классов отображений пары
(X, А) в пару (У, В). (Здесь подразумевается, что соответствующие ото-
отображения и гомотопии так же переводят пространство А в пространство В.)
Для пунктированных пространств (X, х0), (У, у0) множество [(X, х0),
(Y,y0)] обозначается просто [X, У]о-
Напомним, что на множестве [S1, Х]о имеется групповая структура,
индуцированная композицией петель. Соответствующая группа называет-
называется фундаментальной группой пространства X и обозначается л^ (X, Xq)
(или просто Я] (X), если выбор отмеченной точки несуществен). Обозна-
Обозначим через л„(Х, х0) множество [5", Х]о (я > 0). Множество iro(X)
представляет собой множество компонент линейной связности простран-
пространства X. Мы покажем, как превратить множество тг„ (X) в абелеву группу
для и > 2.
Чтобы ввести структуру абелевой группы на множестве тг„ (X), нам
понадобится другое его описание. Обозначим и-мерный куб через/". Тогда
я„ (X) = [(/", Ы"); (X, х0) ] ¦ Закон композиции иллюстрируется следую-
следующим рисунком:
f
То, что полученная таким образом группа является абелевой, можно
проверить, пользуясь рисунком (пустые клетки переводятся в отмеченную
точку):
л
f
f
27

Пусть п > 2. Определим множество я„(Х А) следующим образом:
я„(Х А) = [(Л ЭЛ Ы" -1"'1 X {1 }), (ДГ. А, д0)].
Закон композиции задается так же, как и раньше. Рассуждение, подобное
приведенному выше, показывает, что группа тг„ (X, А) является абелевой
при л> 3.
Каждое отображение / G [(X, A), (Y, В)] индуцирует гомоморфизм
групп
Тем самым определен ковариантный функтор из гомотопической катего-
категории (пар) пространств в категорию групп.
Замечания. 1. Хотя определение гомотопических групп проще,
чем определения групп гомологии, группы гомологии гораздо труднее
вычислять. Одна из главных целей нашего курса - дать эффективный метод
вычисления групп я, ® (D .
2. Покажем, что nk(S") = О при Кии что п3 (S2) Ф 0. Пусть задано
отображение /: Sk -*¦ S", причем к < п. Деформируем*) отображение /
в клеточное. Так как fc-остов сферы S " состоит из одной точки, деформи-
деформированное отображение гомотопно нулю. (Тем же способом можно доказать
чуть более общий факт. Именно, можно установить, что группы лк (Х^т^)
и пк (X) изоморфны для fc<m- 1 и что отображение пк (X *** ) -»¦ -лк (X)
эпиморфно.)
Теперь займемся группой я3E2). Рассмотрим пространство CIP2 =
= (СР1) U е4. Заметим, что СР1 = S2. Гомотопический тип пространст-
пространства, полученного приклейкой клетки, определяется гомотопическим клас-
классом приклеивающего отображения. Поэтому, если бы группа я3E2)
была нулевой, то пространство СР4 была бы гомотопически эквивалент-
эквивалентно пространству S2 U е* = S2 V 54 **) (где /0 - отображение в точку).
/о
Отсюда следовало бы, что g U g = 0, где g обозначает образующую группы
#2(СР2). С другой стороны известно (это следует, например, из двой-
двойственности Пуанкаре), что 0 =?# U g € Я4(СР2).
Аналогично можно показать, что я4„_1E2") Ф 0.
Пусть /: S" -*¦ X - произвольное отображение. Рассмотрим индуциро-
индуцированный этим отображением гомоморфизм/»: Hn (S") -»¦#„ (X). Отождест-
Отождествим группу Hn(S") с группой Z. Это отождествление позволит опреде-
определить элемент /»A) S Н„(Х) и, таким образом, определено естественное
преобразование
Я: л„(Х) - Н„(Х),
которое называется гомоморфизмом Гуревича. Легко проверить, что
*) Ранее (с. 24) возможность такой деформации утверждалась, но не доказыва-
доказывалась. - Примеч. ред.
**) Знак V обозначает "букет" двух пунктированных пространств, т.е. их объе-
объединение с последующим отождествлением отмеченных точек. — Примеч. ред.
28

отображение Я действительно является гомоморфизмом. В случае X = Sп
мы получаем гомоморфизм
Я: тг„E")+ #„(?") = Z
Число #(/) называется степенью отображения / и иногда обозначается
deg/.
Теорема 3.1 (Брауэр). Гомоморфизм Я: itn(Sn) -* 2?является
изоморфизмом.
Поскольку Я(И и) = 1, эпиморфность очевидна. Труднее доказать
S
мономорфность, т.е. вывести соотношение / ~ g из условия deg / = deg g.
Мы сделаем это чуть позже в этой же главе.
Пусть Л - подпространство пространства X. Для любой точки х0 под-
подпространства А можно построить точную гомотопическую последователь-
последовательность э , .
... + *„+1(Х.А) > *п(А)—+ я„(ЛГ)— п„(Х.Л)-+ .. .
Используя точность этой последовательности и проделанное выше
вычисления, мы убедимся в том, что
Аксиома вырезания для гомотопических групп неверна.
Простейший пример. Так как вышеупомянутая последовательность
э
точна, группы я3 (р2, S1) -*Я2 (S1) являются нулевыми, агруппыя3E2,
D2) s тг3 (S2) изоморфны и отличны от 0. Если бы аксиома вырезания
выполнялась для гомотопических групп, они удовлетворяли бы всем
аксиомам теории гомологии. Тогда с помощью рассуждений, аналогичных
рассуждениям из гл. 2, которые устанавливали изоморфность сингулярных
и клеточных гомологии, мы получили бы, что изоморфность групп
Я, (С, (Х,А)) и гомотопическим группам я, (X, А). Отсюда следовало бы,
что группы гомотопий и группы гомологии изоморфны.
В. Теорема Уайтхеда.
Теорема*). Пусть X и Y — пунктированные CW-комплексы, у
которых отмеченные точки являются 0-клетками. Пусть отображение
/: (X, хо) -*¦ (Y, >'о) индуцирует биекции в гомотопических группах
Предположим также, что пространство Y связно. Тогда отображение /:
X -*¦ Yявляется гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Мы начнем с одного частного случая. Пусть
dimA" < оо и п„ (X) = 0 для всех и > 0. Мы покажем, что пространство
X стягиваемо. (В этом состоит утверждение теоремы для случая Y = х0 С
С X.) Поскольку п0 (X) — одноэлементное множество, нульмерный остов
может быть деформирован к точке х0 € X
*)В теореме имеется в виду, что гомоморфизм /„ является изоморфизмом
для каждого номера п > 1, а также, что связными являются оба пространства X и Y. -
Примеч. ред. „

Используя свойство продолжения (теорема 1.1), мы строим непрерыв-
непрерывное семейство отображений f t: X -+ X, 0 < ? < 1, для которого /о = Idjv и
(O)
)o
Рассмотрим теперь пространство Х( >. Образ любой 1-клетки е1
при отображении f1 есть петля, начинающаяся в точке х0. Поскольку
тг! (X) = 0, можно стянуть петлю /i (e1) в точку в классе петель с началом
в точке х0. Проделав это для каждой 1-клетки, мы получим гомотопию
(относительно Х^ ), соединяющую отображение fi\X^ с постоянным
отображением f2: X^ -*х0. Теперь, используя теорему о продолжении
гомотопии, найдем гомотопию ft:X^X, I < t < 2, для которой отобра-
отображение fi\X^ ПОСТОЯННО.
Будем теперь продолжать эту процедуру, используя тот факт, что
7г„ (X) = 0 для всех п. Проделав это, мы получим гомотопию, соединяю-
соединяющую отображение Ид- с постоянным отображением пространства X в
точку х0 ? X,
Замечания. 1. Аналогичное рассуждение показывает, что если
группы тг„ (ЛГ) равны нулю для всех п < к, то существует гомотопия
ft:X-*X, 0<Г<1,
для которой /о = Id и /i | (X^N~ ^) = х0.
Следствие. Группы Нк (X) являются нулевыми для всех к < N.
2. Пусть пространство X бесконечномерно. Будем строить гомотопии
таким образом, что первая из них была определена на отрезке [0, 1/2],
вторая — на отрезке [1/2, 3/4] и т.д. В качестве f\ возьмем постоянное
отображение X в Хо- Используя требование, связывающее топологию прост-
пространства X с топологиями в Х^"\ легко доказать непрерывность получаю-
получающейся гомотопии.
3. Справедлив следующий относительный вариант теоремы. Пусть
(X, А) является CW-парой и группы п„ (X, А) равны 0 для всех п. В этом
случае существует деформационная ретракция
т.е. существует гомотопия ft: X -*¦ X, 0 < f < 1, для которой /0 = id,
/i (X) С Л и ft| А является тождественным отображением. Доказатель-
Доказательство аналогично доказательству для абсолютного случая.
Общий случай. Рассмотрим цилиндр Mf отображения f:X-*-Y.
Так как пространство Mf ретрагируется на Y, то для всех к выполнено
соотношение nk(Mf) = т!к{У) и, стало быть, отображение тг^Л") -*-тгЛ(Л/у)
является изоморфизмом. Поэтому для всех к гомотопические группы
¦nk(Mf, X) равны нулю. Учитывая значение 3, мы заключаем, что сущест-
существует деформационная ретракция г: Mf -»¦ X. Теперь уже ясно, что компо-
композиция Y С Mf -+Х является искомым гомотопически обратным отображе-
отображением для отображения /.
Доказательство теоремы Уайтхеда закончено.
Пример. Рассмотрим сферу Sk и отождествим ее с пространством
1к/Ык. Имеется естественное отображение умножения:
/: /2/Э/2 5</2/Э/2 ^-/4/Э/4,
30

т.е. /: S2 XS2 -*¦ S4. Поскольку гомотопические группы тг^E2 XS2)
изоморфны группам nk(S2) ® я^E2), легко видеть, что гомоморфизм
/,: trk(S2 XS2) -+nk(S4) является нулевым для всех к. Тем не менее
отображение / не гомотопно постоянному. Простейший способ убедиться
в этом состоит в том, чтобы заметить, что /, : Я4 (S2 X 52) -*#4 (-S4) -
ненулевой гомоморфизм (в действительности он является изоморфиз-
изоморфизмом).
Для пространств, не являющихся CW-комплексами, отображение
/: X -*¦ Y может индуцировать изоморфизм гомотопических групп не
будучи гомотопической эквивалентностью. Такие отображения называются
слабыми гомотопическими эквивалентностями. Понятие слабой гомото-
гомотопической эквивалентности порождает новое отношение эквивалентности
между топологическими пространствами. На подкатегории CW-комплек-
CW-комплексов это отношение совпадает с отношением гомотопической эквивалент-
эквивалентности (теорема Уайтхеда). Если А является CW -комплексом, а /: Х-* Y -
слабая гомотопическая эквивалентность, то индуцированное отображение
f#: [А, X] -*¦ [A, Y] является биекцией.
С. Доказательство теоремы Брауэра. Мы доказали, что гомоморфизм
Н: тг„ (S") ->¦ Z является эпиморфизмом. Нам осталось показать, что если
#(/ ) = 0, то отображение / гомотопно постоянному отображению. Можно
считать, что отображение / является гладким отображением. Пусть р е
S S" — регулярное значение для отображения /
° О
ЛР) '-—-
О
В каждой точке xt G f~1{p), принадлежащей прообразу точки р,
определим степень отображения / так: степень равна+ 1, если / в этой
точке сохраняет ориентацию, и равна —1, если / обращает ориентацию.
Покажем, что deg/= 2 (степень / в точке xf). Простейший
*,-е/-'(Р)
способ убедиться в справедливости этого равенства заключается в следую-
следующем. Выберем С°° -форму ш степени п на сфере S" с носителем в малень-
маленьком шаре D" С 5", содержащем точку р, для которой f и - I. Ясно,
s"
что / / *w = deg/. С другой стороны, если выбрать шар D" достаточно
s"
малым, то прообраз f'1 (?>") будет состоять из стольких же компонент,
сколько точек в прообразе /"'(р). Если Q — компонента прообраза
/"' (?>"), содержащая точку хи то
ct d" '
Приведенное рассуждение использует теорему де Рама (см. гл. 8). При-
Приведем другой вариант рассуждения. Заметим, что
Н„ (S") = Я„ (S", р)*Н„ (S", D")szHn (Sn\D", dD")^Hn_1(S"-1).
31

Кроме того, имеют место следующие изоморфизмы:
Нп E")^Я„ (S", Г1 (/»))-#» (S"> Гх(Рп))<*
~ Н„ (S" \Г1 (D" ); Г1 CD")) С Ф Я„_ ,(ЭС,);
отсюда видно, что
deg/=2deg(//3Q).
Итак, нам осталось доказать, что если Z
(deg(/) в точке
ж,-) = 0, то отображение / гомотопно постоянному. Мы докажем это ин-
индукцией по п, начиная с п = 2 (случай п = 1 мы разберем позже). Предпо-
Предположим сначала, что f'1 (р) = {х} U {у} и что степень отображения /
равна 1 в точке х и равна —1 в точке у. Выберем дугу Л в цилиндре S" X/,
соединяющую точки х и у и трансверсальную к сфере S" X {0} в точках
х и .у*). Рассмотрим малую трубчатую окрестность ./V дуги А, пересекаю-
пересекающую S" X {О} трансверсально по дискам, окружающим точки хну
Эта окрестность диффеоморфна произведению с" X /
де"
Отображение / определено на дисках е" X {0} ие"Х A). Так
как степени отображения / в точках хну имеют противоположные зна-
знаки, степени ограничения отображения / на сферы 5"~1Х{0}и5"~1Х
X {1 } совпадают. Согласно предположению индукции отображение /
продолжается до отображения F: S" X / -*Э?>". Отображение F можно
продолжить до отображения F: е"Х1 -+1У (доказательство этого факта
мы оставляем в качестве упражнения для читателя). Таким образом,
отображение / продолжается до отображения / : S" X {0} UN, причем
образ границы ЭМ при отображении / содержится в множестве ЫТ. Про-
Пространство 5" \ int if1 стягиваемо, и мы можем продолжить отображение
/ до отображения всего пространства S" X /. У этого отображения точкар
* ) Имеется в виду, что точки х, у лежат в5"х {о}.— Примеч. ред.
32

является регулярным значением: ее прообраз совпадает с дугой А. Ограни-
Ограничение результирующего отображения на другом крае S" X {1 } не задевает
точку/? и поэтому гомотопно постоянному.
Пусть теперь прообраз f~l (p) состоит более чем из двух точек и
п > 2. В этом случае мы деформируем отображение / так, чтобы "сокра-
"сократить" какие-нибудь две точки с противоположными знаками. Продолжая
таким же образом, мы в конце концов (напомним, что deg/ = 0) получим
гомотопное отображению / отображение, образ которого не содержит
точки р.
Если и = 1, нужно действовать чуть более осторожно. Дело в том,
что дугу А, соединяющую две точки противоположного знака, надо вы-
выбирать так, чтобы она не пересекала других таких же дуг. Если п > 2,
этого всегда можно добиться, приводя дуги в общее положение. Если же
п — 1, мы должны найти пару точек х, у в прообразе /"' (/?), в которых
степень отображения имеет противоположный знак, причем между ними
нет других точек из прообраза f'1 (p).. (Точнее, требуется, чтобы одна
из двух дуг окружности S1 с концами в точках х и у не содержала других
точек прообраза /"'(р)-) Это всегда возможно, так как deg/= 0. Так
что мы можем "сокращать" пары точек и в случае и = 1.
Приведем одно обобщение теоремы Брауэра, которое нам понадо-
понадобиться в дальнейшем.
Теорема 3.2. ГомоморфизмГуревичаН = п„(\/ S") -+Hn(V S") Э?
i i
ss © Z является изоморфизмом.
i „
Доказательство аналогично доказательству теоремы Брауэра. Рас-
Рассмотрим произвольное отображение /: 5" -»¦ V S". Необходимо дефор-
i
мировать его таким образом, чтобы оно стало регулярным в точках /?,- GS"
(точки р/ отличны от точки х0, являющейся общей для всех сфер букета).
Применяя те же рассуждения, что и выше, найдем, что если сумма локаль-
локальных степеней в точках Ху S /""' (/?,) равна нулю, то отображение / гомо-
гомотопно отображению, образ которого не содержит точек р,- (здесь исполь-
используется, что п > 2). Если Я(/) = 0, то суммы 2 (deg/ в точке хц) равны
нулю для всех /. Таким образом, если H(f) = 0, то отображение / гомо-
гомотопно отображению, образ которого не содержит ни одной из точек pt G
е S". Пространство V (S? - р() стягиваемо, и мы получаем требуемое
утверждение.
D. Теорема Гуревича
Теорема. Пусть X является CW-комплексом. Если пк (X) = 0
для всех к<п,то
1) Hk(X) = 0 для всех k<n и
2) гомоморфизм Гуревича Н: пп{Х) -+Н„(Х) является изоморфиз-
изоморфизмом, если п > 1.
Доказательство. Первое утверждение уже доказано нами в
п.В. Докажем теперь второе утверждение.
Ш а г 1. Покажем сначала, что гомоморфизм эпиморфен. Так как
щ(Х) = 0 для всех / < и, то рассуждение, использованное при доказатель-
2. ф.а. Гриффите 33

стве теоремы Уайтхеда, показывает, что существует отображение /: Х-*- X,
для которого: 1) отображение / гомотопно тождественному, 2) образ
у (jf ("-О) есть {х0}. Пусть а е Нп(Х). Выберем клеточный цикл
2 Да ' (е"> О а) (где суммирование происходит по л-клеткам простран-
пространства X, а ориентация Оа выбрана для каждой клетки а произвольным
образом), представляющий класс а. Тогда образ /(Эе^) совпадает с точ-
точкой хо- Таким образом, отображение f\ e? представляет элемент группы
пп(Х, Хо). Отображение / гомотопно тождественному; поэтому элемента
равен ft (я), а также равен 2 да/„ («?)• Каждая из цепей /. (е") является
циклом и представлена отображением сферы в пространство X, поэтому
класс а лежит в образе гомоморфизма Гуревича.
Теперь покажем, что гомоморфизм Н: п„(Х) -*Н„(Х) инъективен
(напомним, что и > 1 и я,-(А") = 0 при i < п). Пусть /: S" -*Х — такое
отображение, что /»([5"]) =0в группе Н„(Х). Выберем в каждой и-
клетке е" точку рц, лежащую внутри е". Деформируем отображение /
так, чтобы образ f(S") принадлежал остову Х^"\и чтобы отображение /
было трансверсально регулярно к точкам р{.
Обозначим X,- сумму степеней отображения / по всем прообразам
точки pt. Цепь 2\{[е"] является циклом в С„(Х), представляющим
элемент /«E") G Н„(Х). Поскольку /»(S") = 0, этот цикл является
границей; таким образом, существуют такие числа ду, что 2Х,-[е"] =
= Э2м/е"+1. Добавив*) к отображению /: 5"->-ЛТ(") линейную комби-
комбинацию (— 21л1Ье"+1'), мы не изменим его гомотопического класса, а
у результата числа Л; станут равными нулю. Существует такое отобра-
отображение ф: X -*¦ X, что а) отображение ф гомотопно тождественному, б)
образ ф (Х^"~1)) состоит из одной точки. Это значит, что отображение
ф | X ("^ пропускается через букет сфер:
Все степени X,- у отображения /: 5" -*АГ^"^ нулевые, поэтому компо-
композиция р° /: 5" -»¦ V5" гомологична нулю, и, следовательно (см. теоре-
теорему 3.2) гомотопна нулю. Поэтому отображение g°p°f = ф°f гомотопно
постоянному. Отображение ф гомотопно тождественному, следовательно,
само отображение / гомотопно постоянному.
Замечание. Теорема Гуревича выполняется для всех пространств,
а не только для CW-комплексов. Чтобы доказать это, следует рассматри-
рассматривать циклы сами по себе, безотносительно к тем пространствам, куда
*) Автор имеет в виду под термином "добавить" конструкцию отображения
сферы Sn в пространстве Х^, реализующего сумму элементов в гомотопической
группе. Эта конструкция аналогична конструкции суммы отображений куба. — При-
Примеч. ред.
34

они отображены. Доказательство общего результата см. в книге Спеньера
"Алгебраическая топология".
Е. Следствия теоремы Гуревича. Начнем с относительного варианта
теоремы. Пусть АС X — CW-napa, и допустим, что
п((Х,А) = 0, i<n (я>2).
Тогда выполнено равенство Ht(X, А) = 0 для / < п и отображение Гуревича
н
л„(Х, А) -+Н„(Х, А) является изоморфизмом (доказательство сюръектив-
ности Н и равенства Hf(X, А) = 0 для / < п получается из теоремы Уайтхеда
так же, как и в абсолютном случае).
Переходим теперь к следствиям теоремы Гуревича.
Следствие 3.3. Пусть X, Y - односвязные CW-комплексы и
отображение f: X -*¦ Y индуцирует изоморфизм в гомологиях. Тогда ото-
отображение f является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Обозначим Mf цилиндр отображения /. Под-
Подпространство Y С Mf есть деформационный ретракт цилиндра Mf и имеют
место изоморфизмы
я, (У) as
Я, (Г) а
Рассмотрим точные последовательности пары (Mf, X):
((X) Л н((Y) + Ht(Mf,X)-+H,_dX) + ¦ ¦ ¦
t t t t
Отображение / индуцирует изоморфизм в гомологиях, поэтому
Ht(Mf, X) = 0 при / > 0. Из относительной теоремы Гуревича вытекает
n,(Mf,X) = 0 для i>0.
Отсюда следует, что подпространство X С Mf является деформационным
ретрактом (см. доказательство теоремы Уайтхеда).
Следствие 3.4. Если пространство X гомотопически эквивалентно
п-мерному CW-комплексу и л{(Х) = 0, то пространство X стягиваемо.
Доказательство. Поскольку тгДЛТ) = 0 для I <= п, то иЯ/(АГ) = 0
для / < п. С другой стороны, Hj{X) = 0 для i > n по соображениям размер-
размерности. Поэтому Я, (X) ~ 0 и, по теореме Гуревича, я, (X) = 0.
Следствие 3.5. Если пространство X гомотопически эквивалентно
п-мерному CW-комплексу и я,- (АГ) =0 для г < п - 1, то
X-VS".
В частности, если Н„(Х) = Z, то пространство гомотопически экви-
вален тно сфере S ".
(Таким образом, односвязная гомологическая сфера является гомо-
гомотопической сферой.)
2* 35

Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы Гуревича.
А именно: можно считать, что X = Х^ , и что имеется отображение
VS" ? X,
для которого гомоморфизм /,: #n(VS") ->Н„(Х) эпиморфен, а в груп-
группах #n(V5") as © Hn(S") и Н„(Х) можно выбрать такой базис, что гомо-
гомоморфизм /, задается матрицей
О
О
(здесь Ь = rank Н„(Х), с = rank #n(V S "), а, - ± 1 ? Z).
Поскольку я„(\/5") = Я„(Х/5И), существует такое отображение
h\ S" V .. .V Sn -*\l S", что матрица гомоморфизма А, имеет вид
/
\
V О
J
Отсюда следует, что отображение / = / ° h индуцирует изоморфизм в
гомологиях.
Следствие 3.6. Если пространство X односвязно и Я,(ЛГ) = О
для i > п, то пространство X гомотопически эквивалентно некоторому
(п + \)-комплексу У(" + ^.Если, кроме того, группа Н„(Х) свободна,
то X гомотопически эквивалентна п-мерному клеточному комплексу.
Доказательство. Из теоремы о CW -гомологиях следует, что
я, (*<">)" я, (П
Н„ (АГ(П)) -*¦ Н„ (X) - эпиморфизм.
Используя точную последовательность гомологии
Ht (Xм) ^Hi(X)^H, (X, ЛГ(">) ¦+ Щ_ i (X(n>),
получаем Ht{X, X^"') =0 для / Ф п + 1, кроме того, последовательность
0^Нп + 1(Х, Х<-**)-*Нн (Х(">) ^ Нп (ДГ)-^О
точна.
Используя относительную теорему Гуревича, получаем, что
36

Поэтому приклейкой (п + 1)-клеток к пространству Х^ можно убить
ядро гомоморфизма it. У полученного комплекса у("+1) гомологии
(во всех размерностях) изоморфны гомологиям X. Поэтому пространства
у(»+1) и х гомотопически эквивалентны. Второе утверждение леммы
мы оставим читателю в качестве упражнения.
Следствие 3.7. Пусть X - односвязное топологическое п-много-
образие. Тогда оно гомотопически эквивалентно п-мерному CW-комплексу.
Замечание. Ясно, что многообразие X имеет гомотопический
тип симплициального комплекса (см. упр. 13). Таким образом X может
быть триангулировано в гомотопической категории. Если X — гладкое
многообразие, то оно может быть гладко триангулировано (см. Cairns,
Н i r s с h // Ann. Math. 1940. V. 41. P. 796-808). Если X - топологическое
многообразие, то, как правило, его можно триангулировать некоторым
однородным образом (см. Kirby, Siebenmann// Ann. Math. Stud.
№ 88). He исключено, что все топологические многообразия могут быть
триангулированы в том смысле, что они могут быть гомеоморфны сим-
плициальным комплексам (Siebenmann // Topology of Manifolds / ed.
by i.C. Cantrell and C.H. Edwards. 1970. P. 74-84).
F. Гомотопическая теория расслоений. Пусть тг: Е -*¦ В — расслоение
(т.е. имеет место свойство накрывающей гомотопии). Пусть у: I -*¦ В —
путь, соединяющий точки b0 и Ъх. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Применяя свойство накрывающей гомотопии, находим отображение
п~х Фо) X / -*¦ Е, накрывающее отображение 7° Рг- Легко видеть, что
отображение тг'1 (b0) X {1 } -*¦ п~г (by) является гомотопической экви-
эквивалентностью. Таким образом, если база В линейно связна, то все слои
гомотопически эквивалентны.
Пусть у — петля с началом в точке Ьо. Тогда соответствующая гомо-
гомотопическая эквивалентность тг(й0)Х{1} -»¦ я (й0) является гомо-
гомотопическим автоморфизмом слоя тг (Ьо). Гомотопический класс ее
зависит только от гомотопического класса петли у. Таким образом, мы
получаем представление Пг (В, Ьо) -*¦ AutoGr (b0)), где Auto^r фо))
обозначает группу гомотопических классов гомотопических эквивалент-
ностей слоя тг^фо). Это представление можно рассматривать как дей-
действие группы Я! (В, b0) на слое. Соответственно возникают действия этой
группы на гомологиях и когомологиях слоя.
ТеоремаЗ.8. Пусть я: Е -* В - расслоение. Обозначим через F слой
п'1 фо)- Тогда имеется точная последовательность
д '« ".
¦* гг„+1(Д Ьо) -* я„ (F, е0) -* я„ (Е, е0) -* я„ (В, Ьо)-+,
где i: Ft-*E - вложение слоя в пространство расслоения.
37

Доказательство.
ность пары (Е, F):
Рассмотрим длинную точную последователь-
последовательnn (F)->;rn
яя (Е,
и гомоморфизм я» : тгп+1 (?", F) -^-тг„+1 (В, Ьо). Нам достаточно доказать,
что этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Построим обратный гомоморфизм для гомоморфизма тг*. Пусть
задано отображение /: (/", Ы") -»¦ (В, Ьо). Найдется накрывающее ото-
отображение
Е
— В
В самом деле, поскольку пространство /" стягиваемо, отображение /
гомотопно постоянному (при этом гомотопия, вообще говоря, сдвинет
границу Ып с точки Ьо). Но, согласно свойству накрывающей гомотопии,
любое отображение, гомотопное поднимаемому, само является подни-
поднимаемым.
Накрывающее отображение g: (/", Ы") -*¦ (Е, F) представляют эле-
элемент гомотопической группы л„(Е, F), переходящий при проекции п
в элемент / G тп(Д Ьо). Таким образом, эпиморфность гомоморфизма
я, доказана.
Чтобы доказать мономорфность, мы покажем, что если #0> ?1-' (/".
Ы") -* (Е, F) - два отображения, причем л° g0 ~ я° g\, то g0 ~ g\-
Применяя свойство накрывающей гомотопии, мы можем считать, что
яо^о = v°g\. Теперь требуемое утверждение легко вытекает из сле-
следующей леммы.
Лемма 3.9. Пусть задана гомотопия Н: XX 1^В и два ее накрытия
Яь Я2: XX I -*¦ Е, совпадающие на подпространстве XX {0}. Тогда су-
существует такая гомотопия между Я, и Н2, что в каждый момент времени
она является накрытием гомотопии Н и на подпространстве X X {0 } все
эти гомотопии совпадают.
Доказательство. Обозначим h сужение Н \Х X {0 }. Рассмот-
Рассмотрим коммутативную диаграмму
38

(здесь отображение J: XX IX / -*¦ В есть композиция проекции на прост-
пространство XX I и отображения Я). Поскольку пространство XX /X/дефор-
/X/деформируется на свое подпространство XX {0} XIUXX1X {0}UXX {1}Х
X /, мы можем продолжить отображение Н\ U h X I U #2 ДО накрытия
отображения J.
G. Применения точной гомотопической последовательности.
1) Покажем,что тг2 (СIP") = Z, тгДСЕР") =тг,E2и+1) при/^2.
Это немедленно вытекает из длинной точной последовательности
гомотопических групп для расслоения S1 -*¦ S2n+l-* СЕР" и из того об-
обстоятельства, что ЯД51) = 0 при / > 1.
Чтобы проверить последнее утверждение, рассмотрим универсальное
накрытие Я1 -+S1.
Вообще, если X -*¦ X - накрытие над пространством X, из точной гомо-
гомотопической последовательности немедленно вытекает, что irt(X) ss nt(X)
при i> 1. Поскольку R1 стягиваемо, мы получаем требуемое утверждение.
2
(
Это — частный случай (и= 1) предыдущего утверждения.
3) Обозначим через SIB пространство петель на пространстве В. Оно
является слоем расслоения 3" в -+В (где SfB — пространство путей на про-
пространстве В). Пространство 9" В стягиваемо, откуда следует, что

Глава 4
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ
Пусть задано расслоение
F--E
В.
В гл. 3 мы показали, что гомотопические группы пространств F,E и В
связаны точной последовательностью
... -> тг„ (F) -> я„ (Е) ¦* п„ (В)-* я„_, (F) ¦* ...
Теперь наша цель — установить связь между когомологиями этих прост-
пространств. Можно ожидать, что эта связь будет довольно сложной; в самом
деле, даже для простейшего случая прямого произведения Е = F ХВ форму-
формула Кюннета, выражающая когомологии Н*(Е) через когомологии Н*(В),
H*(F), гораздо сложнее, чем формула
Пространство расслоения над CW-комплексом фильтровано возрастаю-
возрастающей последовательностью прообразов различных остовов базы.
Если в пространстве задано подпространство, то когомологии всего
пространства вычисляются с помощью точной последовательности, свя-
связывающей когомологии подпространства, пары и всего пространства.
Для фильтраций более длинных существует более сложный алгебраический
формализм — спектральные последовательности, — который связывает
гомологии пар, возникающих из фильтрации, и гомологии всего прост-
пространства.
Предположим, что база В является CPV-комплексом, и обозначим через
^^ прообраз v~x{B^) остова базы. Пусть Ъо — отмеченная точка в
базе BuF — ее прообраз it'1^).
Предложение 4.1. Если база В связна и группа ttj(В, Ьо) дейст-
действует тривиально на когомологиях слоя H*(F),to существуют изоморфизмы
(произведение берется по всем р-клеткам базы В).
40

Доказательство. Рассмотрим дизъюнктное объединение i_iep
всех клеток базы и соответствующее отображение i_iep->В. Рассмотрим
индуцированное расслоение <р*Е. Поскольку отображение 0_*ер, i_i9ep) -*
->(Д*Р*, В^р~^) есть относительный гомеоморфизм, отображение
((^*?", <р*Е\ uj ЪеР) -*¦ (Е^, Е^'1^) тоже является относительным го-
гомеоморфизмом. Применяя аксиому вырезания, отсюда получаем изо-
изоморфизмы ~
Н* (?-(р\E^p-V)?#' &*Е, у*Е | и Ьер)з»
(произведение берется по всем р-клеткам).
Рассмотрим теперь расслоение Е1 над клеткой ер. Обозначим через Fo
слой it'1 @). Рассмотрим диаграмму
Югетка ер стягиваема, поэтому отображение Рг поднимается до отобра-
отображения р." Fq Хер-*-Е1, продолжающего включение F0CEl. Таким об-
образом определено послойное отображение р: (F0Xep, F0Xdep)-+
-*(ЕХ, Е1\дер). Сравнением точных гомотопических последовательностей
можно убедиться, что отображение р индуцирует изоморфизм относитель-
относительных гомотопических групп*), и, следовательно, является гомотопической
эквивалентностью пар.
Таким образом, мы получаем, что
Я* (fp'E| ер,<р*Е | Ъер)=*Н*(Fo)®Н* (ер, Ьер).
По любому пути из- точки bo в точку 0 G ер можно построить отождествле-
отождествление ti*(F0) 9iH*(F) когомологий двух экземпляров слоя, и если группа
^х(В,Ь0) действует тривиально на когомологиях слоя, то это отождест-
отождествление не зависит от выбранного пути. В этом случае мы можем отождест-
отождествить группы H*(F0) ®Н*(ер, Ъер) и H*(F) ®Я*(ер, дер). Отсюда полу-
получаем, что
Я* (?(р), Е^ "а>) э ПН' (ер, Ъер) • Н* (F) s С (В, Н*
(произведение берется по всем клеткам базы).
Наше предложение позволяет вычислять Н*{Е^, Е^р~ ^ ), а эта группа
является первым приближением к группе Н*(Е^). Следующими прибли-
приближениями служат группы Я*(?"(р), Е^р~2)), Н*(Е^ , Е&-*>) и т.д. До-
Довольно ясно, что эти приближения связаны между собой точными последо-
*) Здесь используется так называемая лемма о пяти изоморфизмах; см. с. бб. -
Примеч. пер.
41

вательностями, в которые входят еще члены, выписанные в предложе-
предложении 4.1. Таким образом можно ожидать, что существует цепочка точных
последовательностей, каждая из которых связана с предыдущей и из ко-
которых можно получать все более и более точную информацию о группах
Н *(Е). Для этого мы введем соответствующий алгебраический формализм.
Определение. Спектральной последовательностью (или, точнее,
спектральной последовательностью первого квадранта) называется такая
последовательность абелевых групп Ет = {Erp>4}, p, q > О, г> 0, и отобра-
отображений dr: Ep'q ->Erp*r'q + r~1, что df = O, а группа гомологии H(Er, dr)
изоморфна ?"г+1.
Подробнее можно написать в следующем виде:
г + 1
Замечание. В обращении со спектральными последовательностями
главное заключается в том, чтобы представлять себе следующую картинку.
Рассмотрим первый квадрант на плоскости с координатами (р, q).
Пусть г> 0. Для каждой пары натуральных чисел р, q "поместим" в точке
(р, q) нашей плоскости группу ЕгРгЧ. Действие дифференциала dr изобра-
изображено на рисунке:
{р+г,
Мы говорим, что элемент <xGEf'Q доживает до бесконечности, если
dra = 0 (и, стало быть, а определен как элемент группы Ep±q), dr+lct =
= 0,... и т.д. Мы говорим, что элемент /3 G Ef?'4 убивается, если
= ...=^_!0 = О и 0*
где
Мы говорим, что спектральная последовательность стабилизируется
в члене Ег, если Er = Er+l = ... Мы говорим, что спектральная последова-
последовательность вырождена, если Е2 = Ез = • • • Спектральные последователь-
последовательности — необходимый и полезный инструмент; не следует их переоцени-
переоценивать или недооценивать. Лучше всего изучать их на практике (как и вы-
вычисление интегралов в анализе).
В качестве упражнения на применение упомянутой картинки докажем
следующее утверждение.
Лемма 4.2.ЕслиN>p,q+l,ro Ep'q =
N
Доказательство. Нарисуем картинку:
'ЛГ+1"
(p-N,q+N-\)
(Р.Я)
(p+N,q-N+l)
42

Сразу видно, что dN = 0 в группе Eft q.
Определение. Положим Ep;q=Ep-q для N>p, q + l иЙ =
= © Etq.
p + q -n
Вот еще одно упражнение для понимания определений:
Лемма 4.3. Для любой спектральной последовательности {Ер>ч)
последовательность
точна.
Доказательство. См. рисунок
@,1)
A,0) B,0)
Для нас главным результатом о спектральных последовательностях
является
Теорема 4.3 (Лере—Серр). Пусть F-+E-+B - расслоение, где
база В связна и группа п^В) действует тривиально на когомологиях
слоя F. Тогда существует такая спектральная последовательность {Ep'q},
что
1) Ep'q$* СР(В, Нч (F)), причем дифференциал d\ совпадает с когра-
кограницей в коцепном комплексе C*(B,Hq (F));
кег(Я" +ч (Е)
Замечание. Обозначим через $PHp+q(E) ядро кег(Нр+Ч(?")->
->Яр+</(?'(р~1))). Ясно, что группы ?РН"(Е) определяют фильтрацию
в группе #"(?¦):
Н"(Е)= F°D Я D ...
Градуированный модуль, ассоциированный с этой фильтрацией совпа-
совпадает с © EJ?'4. Обычно это записывают следующим образом:
Ep'q =>ЯР + Ч(Е),
и говорят, что спектральная последовательность сходится к Н*(Е).
Доказательство теоремы 4.3. Обозначим Sing*(?") группу
сингулярных коцепей пространства Е. Определим в этой группе фильт-
фильтрацию:
Fp (Sing* (?¦)) = ker(Sing' (E) ->• Sing* (Eip~ 1>)).
Ясно, что 6FPC Fp. Таким образом, комплекс коцепей Sing*/? ока-
оказывается фильтрованным, причем дифференциал 8 сохраняет фильтрацию.
Чисто алгебраические рассуждения показывают, что в этой ситуации су-
43

ществует спектральная последовательность, сходящаяся к когомологиям
комплекса Sing ТЕ". Группы Ep'q определяются следующим образом:
где
Zp'q ={MGF" (Sing"+q (Е))\ 8n<ZFp+r(Singp+q+1 (Е))},
Bp'q=Zp>q DFp + 1 +5JFp-r+1(Singp + 4-1(?'))n^p--
Вычисления показывают, что когомологии Н*(ЕГ) относительно диффе-
дифференциала dr совпадают с Er+1. По определению группа ЕРгЧ есть
Fp(Singp+« (E))/Fp+»(SingP+« (?•)) a Sing?+« (F(p>, Я <""!)),
причем дифференциал d0 совпадает с обычной кограницей. Поэтому
Ер'4 = Нр+Ч (?¦<">, ^р-^). Согласно предложению 4.1 ?"f'4 s
szCp(B, Hq (F)). Легко видеть, что при этом отождествлении дифферен-
дифференциал di совпадает с дифференциалом 5В ® 1. Поэтому группа FP-'? изо-
изоморфна Нр (В, Нч (F)); теорема доказана.
В случае С°°-многообразий имеется другая разновидность спектраль-
спектральной последовательности Лере—Серра. Пустыг:?"->• В- гладкое отображение
С°° -многообразий, которое локально (по базе) является проекцией F X
X U~* U. Определим фильтрацию на пространстве С°° -дифференциальных
форм на многообразии Е. Форма ш лежит в F*, если для каждой точки
р S Е форма ш обращается в нуль на любом наборе т i (р), ..., тх (р) каса-
касательных векторов, из которых по крайней мере I — i+ 1 векторов лежат
в ядре отображения Dnp:
/i/ Л ... Л
Пояснение. Рассмотрим внешнюю форму ю1 (р) на касательном
пространстве ТЕр. Тогда, если Tt(p), ..., Т/ (р) - касательные векторы
к Е в точке р, то < со' (р), тх(р) Л ... Л Tt(p)) — вещественное число.
Утверждение. Векторное пространство
Fp(&p+4(E))
0 Fp+i(&p+"(E))
изоморфно векторному пространству гладких р-форм на базе В со зна-
значениями в пространстве гладких q-форм на слое (здесь & *(Е) обозна-
обозначает алгебру С°° -форм на многообразии Е).
Доказательство утверждения. Пусть <ор+ч — элемент
векторного пространства Fp(&p+q (?")). Пусть Т\(Ъ), . .., гр(р) — каса-
касательные векторы в базе В в точке Ъ = т(р). Пусть т,- — касательный вектор
к многообразию Е в точке р, проектирующийся на вектор т,F). Пусть
тр+1, ..., Tp+q — касательные векторы к слою ^(р) =FpCE. Тогда
число < cop+4i(р), ?i, ..., тр+ч) не зависит от выбора касательных векто-
векторов Tt, i> р+ 1. Поэтому корректно определено отображение Fp(&p+q) ->
->(р-формы на базе В с коэффициентами в &q (F)). Ясно, что это отобра-
отображение пропускается через факторпространство Fp(&p+q)[Fp+1 (йр+ч),
и можно легко усмотреть, что оно индуцирует изоморфизм
Fp(&p+q)/Fp+1 (&p+q) a (p-формы на базе В со значениями в «-формах
44

на слое F). При таком отождествлении дифференциал d0 переходит во
внешний дифференциал на слое. Поэтому
Таким образом векторное пространство iff*4 изоморфно пространству
всех р-форм на базе В с коэффициентами в векторном расслоении, слоем
которого над каждой точкой ?>0 е В служит векторное пространство
Я*(р~1(Ь0)) s#'(F). Можно показать, что при таком отождествлении
дифференциал di переходит в дифференциал dB ® \, т.е. во внешнее диф-
дифференцирование "в направлении векторов базы". Отсюда получим
(рассматриваются группы когомологий с вещественными коэффициентами).
Приведенная выше конструкция является вариантом спектральной
последовательности Лере—Серра.
Приведем еще одно (последнее в нашей книге) описание этой спект-
спектральной последовательности. Оно принадлежит Серру (см. оригинальную
работу в Ann. Math. V. 54).
Рассмотрим группу сингулярных кубических коцепей Cube *(Е). Этой
группе соответствуют обычные сингулярные гомологии*). Скажем, что
фильтрация коцепи а е Cube" (if) равна /, если коцепь а обращается в
нуль на любой кубической цепи <р: f-*-E, для которой проекция iro^:
I" -*B пропускается через проекцию
Тогда Ер<ч - Qp(В) ® Нч (F), где QP(B) обозначает группу невырож-
невырожденных коцепей, т.е. коцепей, обращающихся в нуль на вырожденных
кубах (сингулярный куб <р: I" -+В называется вырожденным, если отобра-
отображение у пропускается через проекцию 1Р -* Ip~1; (ti, ..., tp) *+
•-»•(? i, . .., tp_i)). Невырожденным кубическим коцепям соответствуют
сингулярные когомологий, и отсюда уже легко получается, что ЕР'4 at
= НР(В, H4(Fy). Подразумевается, что группы когомологий рассматри-
рассматриваются с целочисленными коэффициентами.
Замечания. 1. Имеется также гомологическая спектральная после-
последовательность расслоения {Ep>q}, где ЕгРгЧ =НР(В, Hq (F)). Если в качест-
качестве группы коэффициентов рассматриваются рациональные числа, то эти
две последовательности двойственны друг другу в очевидном смысле.
2. Существует вариант спектральной последовательности и для случая
нетривиального действия группы я^ на когомологиях cuioh#*F. В этом
случае группа Е^4 изоморфна когомологиям НР(В, Нч (F)) с коэффи-
коэффициентами в локальной системе, индуцированной действием группы тг,?
на когомологиях H*(F).
3. В когомологической спектральной последовательности существует
кольцевая структура, дифференциалы dr являются дифференцированиями
*)Точнее, следует рассматривать только невырожденные коцепи, т.е. обращаю-
обращающиеся в нуль на вырожденных кубах (см. ниже). - Примеч. пер.
AS

относительно нее. В случае рациональных коэффициентов имеем
Р'q =НР (В)® Нч
d2=d2
поскольку дифференциал с?2 равен 0 на группе Е%'°. Это можно доказать
стандартным способом, аккуратно выписывая формулы для и — произве-
произведения коцепей (подробности см. в книге Э. Спеньера "Алгебраическая
топология"). Если мы рассматриваем случай вещественных коэффициен-
коэффициентов (игнорируя тем самым все феномены кручения), мультипликативные
свойства можно проверить, используя С°° -вариант спектральной последо-
последовательности. Надо заметить, что наиболее изощренные вычисления со
спектральными последовательностями всегда используют кольцевую
структуру.
Примеры. 1. Комплексное проективное прост-
пространство. Мы вычислим кольцо когомологий пространства С DP", ис-
используя расслоениеХопфаSl -+S2n+l -+С1Р".
Член Е2 спектральной последовательности изоморфен H'iS1)»
®#*((№") (коэффициенты целочисленные). Поскольку группы Hq(S1)
тривиальны, для q > 1 имеем Е\>q = 0. Поэтому d3 = d4 = ... = 0, и спект-
спектральная последовательность вырождается в члене Ег. Таким образом,
"все происходит в члене Е2", и, в частности, группы Ей'4 = Е%'4 тривиаль-
тривиальны, если р + q не равно нулю или 2 и + 1.
Член? выглядит следующим образом:
0
Zct
о zp #*(ср"
ю группы Нl (S1).
, гомоморфизм
о zp #(ср)
Пусть а обозначает образующую группы Нl (S1).
Заметим,что Е21'° = 0, поскольку 0 = EL'° = Е\'°. Далее,
d:E°'1^E^'°
является изоморфизмом, поскольку ?>Р><? = 0 для 1 < р + q < 2. Положим
&=d2a. Таким образом, Е\л =Z(a®0). Имеем: d2{a® C) =C2 6 Е%'° =
= #4(ЮР") (ибо d2 есть дифференцирование).
Продолжая в том же духе, видим, что
Таким образом, кольцо целочисленных когомологий Я*(ФР",^) прост-
ранстваС О3" изоморфно усеченному кольцу полиномов Z [0] /0"+1.
2. Рациональные когомологий пространства
Z, п). В гл. 6 мы покажем, что для п> 1 существует пространство,
имеющее только одну нетривиальную гомотопическую группу тт„, изо-
изоморфную И. Мы покажем также, что это пространство единственно с точ-
точностью до гомотопической эквивалентности. Обозначим его К{2, и). До-
46

кажем следующий фундаментальный результат:
(полиномиальная алгебра от одной образующей а);
Z, 2*+ 1),Q)
(внешняя алгебра от одной образующей 0).
Доказательство этих результатов проводится индукцией по числу и.
Для и = 1 пространство К(&, и) гомотопически эквивалентно «S и резуль-
результат очевиден.
Произведем шаг индукции от 2к — 1 к 2к.
Рассмотрим расслоение
I
№,2k),
где 5й — пространство путей для пространства КB, 2к).
Поскольку пространство Э> стягиваемо, легко видеть, что слой этого
расслоения гомотопически эквивалентен K{~Z, 2k — Y), и, кроме того,
группы Eg,'4 тривиальны при (р, q) Ф (О, 0). Член Е2 выглядит следую-
следующим образом:
О
Н*[К (Z,2/: ); dl ) BЛ -1,*)
О
Ъ, 2 К ); Ц ) @, * )
Отсюда получаем
Е2 - Ез = . • . = Ег к _ 1, Е2к = Е°° ¦
Теперь ясно, что группа Н'(К(&, 2к), С) изоморфна 0 при /< 2к и
(D при i = 2k. Это вытекает также из теоремы Гуревича и формулы уни-
универсальных коэффициентов. Обозначим через /3 образующую группы
Н1к~1(К(Г,2к-1),ф) и положим a = d2 k0.
Тогда а является образующей группы Нгк(KGZ, 2к), Ш). Предполо-
Предположим теперь, что мы уже доказали, что отображение
является изоморфизмом при *<:t-2k. Тогда член ?2fc имеет

следующий вид:
р
1
0
0
0
Р ® а
0
а
0 р®а2
0 аг
... р®а'
0
...а* Н*(К(
Z.ZJt);
0).
(Это вытекает из того, что Е%'?+1 = 0 для всех (р, q) ф @, 0),
Н\К(*,2к), Ш) = 0для2А^< i< 2k(t + 1),агруппаЯ2*(г+1)(К(г,2Л),(П)
изоморфна ф и порождена элементом d2fc(P®af)- Дифференциал йъь
является дифференцированием, поэтому d2*(P®af) =ftf+1- Шаг индук-
индукции 2к — 1 -+2к закончен.
Теперь произведем шаг индукции 2к -*2к + 1. Здесь член Е2 выглядит
следующим образом:
1к
а
0
о
а
0
//*(JCB,2it+l);Q)
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показают, что
Егк+2 ~ ¦ • ¦ -Еоо,
E?>q =0 при
Отсюда вытекает, что дифференциал
Л+1- ?2*:+1 ?2t+l
является изоморфизмом. Положим /3 = йг &+1 (a). Поскольку дифферен-
дифференциал с?2*+1 является дифференцированием, то d2k+i (a2) = 2а®/3, и, стало
48

быть, di k+! определяет изоморфизм
с-0,4fc d2k+1 F2k+\,2
2к + 1 2к+1
(здесь мы используем тот факт, что коэффициенты рациональны). Отсюда
выводим, что Я4 2(ЛГ(г, 2к + 1), Ш) =0, и, продолжая дальше, по ин-
индукции доказываем требуемый результат.
3. Грассманианы. Обозначим через G(k, N) грассманиан, т.е.
множество всех Л-мерных комплексных плоскостей в TV-мерном комп-
комплексном пространстве (tN. Обозначим через G (к) предел lim G(k, N).
Покажем, что лг-«°
Hm(G(k))stZlct,:..,ck], CieH2J(G(k)).
Для к = 1 это уже нами доказано (поскольку СA) = С1Р°° = К{2, 2)).
Далее мы действуем индукцией по к. Пусть этот результат доказан для
к — 1. Рассмотрим два расслоения
S2k-l
I
G{k- l)*-F<-S°°
I
G(k)
(Здесь*) F = {(v, тг)|тг — плоскость в С°°, и — вектор в плоскости w}.)
Отображение F-*G(k — 1) задается следующим образом: пара (и, я)
переходит в (Л —1)-мерное подпространство в тг, ортогональное векто-
вектору и. Это отображение является расслоением со слоем 5°°. Поскольку
сфера 5°° стягиваема, пространство F гомотопически эквивалентно
G(k — 1). Расслоение F-+G(k) задается как отображение, при котором
пара (w, тг) переходит в п. Слоем этого расслоения является пространство
S . Рассмотрим соответствующую спектральную последователь-
последовательность ?",*• *:
ер,ч =нп (G(k),Hq (S12*-1)),
?"-.•=» Я'(G (Л-О).
Ясно, что Е2 =Е3 = ... = E2k-i и что Егк =ЕЖ. Обозначим через с*
элемент d2k+l (а), где а — образующая в Hlk~l (S2k~1). Из спектраль-
спектральной последовательности Е*<* можно извлечь точные последовательности:
^-> Hi+2k(G(k))->Ht+2k(G(k-l)).
По предположению индукции, алгебра H*(G(k -1), Z) является
полиномиальной алгеброй от образующих Ci, ..., cfc_ t, и все эти образую-
образующие поднимаются в Я * (G (к)). Отсюда следует, что отображение Я *(G (Л)) -»¦
-+H*(G(k — 1)) эпиморфно, и, следовательно, выписанная выше точная
последовательность на самом деле имеет следующий вид:
0 ¦+ Я1' (G (к)) -»• Я1+2Аг (С(к)) -> Я'+2к (G(*: - 1)) -»• 0.
Отсюда уже легко получается доказываемое утверждение.
'^Имеется в виду, что каждая плоскость F есть подпространство в CN для неко-
некоторого достаточно большого N. - Примеч. ред.
49

Глава 5
ТЕОРИЯ ПРЕПЯТСТВИЙ
При доказательстве теоремы Уайгхеда мы показали, что если X — CW-
комплекс, a Y — пространство с нулевыми гомотопическими группами,
то любое отображение f: X -+Y гомотопно постоянному. Это доказывается
индукцией по остовам пространства X.
Теория препятствий является обобщением этой техники на тот случай,
когда гомотопические группы пространства Y необязательно нулевые.
С помощью этой теории можно получить некоторое представление о
том, когда данное отображение f: X-+Y гомотопно постоянному (хотя пол-
полного ответа получить не удается).
Предметом теории препятствий является не только построение гомо-
топий между отображениями, но также и построение самих отображений.
И тот и другой вопрос изучаются индукцией по остовам пространства X.
В первом случае мы предполагаем, что задана гомотопия h: X*") X I-+Y
между отображениями fx \ Х^ и/2|Х^"^ (где Х^ обозначает л-остов
CW-комплекса Х) и интересуемся, можно ли распространить гомотопию h
на остов Х^п+1'. Во втором случае мы предполагаем, что задано отобра-
отображение /: Х^"* -*¦ Y, и постараемся узнать, можно ли распространить его
на остов АГ(л + 1).
Займемся сначала вторым случаем.
Лемма 5.1. Если пространство Y односвязно, то существует естест-
естественная биекция
где [S", Y] обозначает множество свободных гомотопических классов
отображений S" -> Y (т.е. не требуется, чтобы отображения сохраняли
отмеченную точку).
Доказательство. Существует естественное отображение
я.(У)-[5-, у]
("забывание" отмеченной точки).
Если яо(У) = 0, то это отображение эпиморфно. Это следует из тео-
теоремы о продолжении гомотопии, примененной к паре комплексов
(S" XI, S" X {0} и * X Г) (здесь * обозначает отмеченную точку в сфе-
сфере S"). Если, кроме того, я,(У) = 0, то это отображение взаимно одно-
50

значно. Это вытекает из той же теоремы, примененной к паре комплексов
(E"Х/)Х/, E"X{0U 1}и*Х/)Х/).
В остальной части этой главы мы предполагаем, что it! Y = 0.
Пусть (X, А) — произвольная CW-napa. Обозначим через Х^ и А
объединение подпространства А и всех клеток пространства Х\А размер-
размерности <и. Пусть задано отображение /„: Х^ U А -*¦ Y. Определим пре-
препятствующий коцикл O(fn) S С" + 1(Х, А; 7гя(У)) следующим образом.
Пусть е" — ориентированная (и + 1) -клетка пары (X, А). Композиция
отображения / и приклеивающего отображения са: S" -*¦ Х^"* U А опреде-
определяет отображение /о са: S" -*¦ Y, которое задает определенный элемент
группы тг„(У). Если обратить ориентацию клетки еа и соответственно
ориентацию ее границы, получится противоположный элемент в группе
тг„(У) . Таким образом, корректно определен гомоморфизм С„+1 (X, А) ->•
-> nn(Y) , Обозначим его через ©(/"„) и назовем препятствующей коцепью.
5.2. Свойства коцепи 0 (/"„).
1) Коцепь ©(/"„) зависит только от гомотопического класса отобра-
отображения/я;
2) она равна нулю тогда и только тогда, когда отображение /„ про-
продолжается до отображения/л+1: X(я+1) KJA -*Y;
3) коцепь O(fn) является коциклом, т.е. гомоморфизм
является нулевым;
4) если два отображения gn,fn: X^ U А -*¦ Y совпадают на подпрост-
подпространстве Х^"~1^ U А, то коцепь О (gn) ~ O(fn) является кограницей;
5) любая кограница в группе С"+2(Х, A; nn(Y)) имеет вид
0(gn) - O(fn)> для некоторых gn, /„, для которых gn = /„ на подпрост-
подпространстве X("-V UА (см.4)).
Доказательство. Свойства 1) и 2) немедленно следуют из
определений. Для того чтобы доказать 3) —5) , напомним здесь некоторые
определения, связанные с понятием когомологий и докажем одну лемму.
Пусть (С», Э) — цепной комплекс. Его группы гомологии по опре-
определению суть группы
н (с )= кегЭ»
ппЭ„
Пусть G — абелева группа. Определим коцепный комплекс с коэффи-
коэффициентами в G следующим образом:
Э* =5
... •«- Нош(С„, G) < Нош(С„ _ 1, G) <-...
Очевидно, что 5 о 6 = 0. Положим по определению
кег5„ коциклы
im 6„ _ 1 кограницы
51

Из этого определения сразу вытекает, что если а„ — л-коцепь,а т„+1 —
(и+ 1)-цепь, т°
>=<а„,Эт„+1>.
Таким образом, коцепь а„ является коциклом тогда и только тогда, когда
она аннулирует все границы-
Лемма 5.3. Пусть {Х,А) - односвязная CW-napa. Пусть /: S"*1 -*¦
_+х(п+1) у А _ оюбражение и цикл /, [5n + 1] гомологичен CW-циклу
Хаае"+1. Тогда отображение f гомотопно такому отображению /', у
ОС
которого прообраз /'"'(int^a ) является объединением в количестве,
равном \аа\, открытых непересекающихся шариков внутри сферы Sn+1,
каждый из которых гомеоморфно отображается на внутренность intea
Доказательство. Имеем:
Поскольку *,(*<"> U А) = и1(Х) = 0(п>2) ия,(ЛГ(я + 1> UA,X(-ri>UA) =
= 0 при i <и, из теоремы Гуревича вытекает, что
Так как граница Э [/] € ^„{Х^ U А) равна нулю, то сумма
2аа [Ъе" ] равна нулю в группе п„(Х^ U А). Поэтому цикл i-iaabe"
а
ограничивает в пространстве Х^"' U А сферу за вычетом некоторого числа,
равного 2|да|, дисков: U ->• Х^ U А. Ясно, что отображение g:
(i-jaae" ) U U -* Х^п+1) U А является элементом в группе тгл+1 X
а Э
X (ЛГ(и'+1) U А), образ которого в группе wn + i(X(n + 1> UA,Xin) U A)
равен образу элемента /. Отсюда следует, что разность \g] — [/] лежит
в образе группы тгл + 1 (X(л^ и А) в группе 7г„+1 (ЛГ(" + 1^ U А). Изменим
теперь g на пространстве U так, чтобы [#] — [/] = 0; лемма доказана.
Доказательство свойства 3: б(О(/„))= 0. Нам нужно
показать, что для лювой (и+ 2)-клетки уп+2 выполнено равенство
<О(/„), Э7„+2> = 0. Отображение приклейки ду„+2: Sn + 1 ->Ar("+1) UA
для клетки 7 гомологично CW-циклу 2ва [в"*1, Эе"*1] в группе
Яя+1 (Z(n+1) иЛД(л) ил). В доказательстве леммы 5,3 мы установили,
52

что 2 аа [д ва + ] = 0 в группе ^„(Х^ и А). Отсюда следует, что
a m a
Доказательство свойства 4. Для каждой л-клетки еа
комплекса Х\А имеем равенство /я | Э е" = gn I Э е„. Образуем "разность"
Таким образом, мы получаем коцепь "/„ — gn":
Утверждение. 6("/я - Д,") "jOf/») -0{gn).
Доказательство. .Пусть е" — какая-нибудь клетка из Х\А,
и пусть граница Э е„ = Ъаа р е".
Как мы уже видели,отображение Ье" : S" -*¦ Х^ и А я элементы
" равны как элементы группы ^„(Х^ UA,X^"~^ U А). Де-
Де+
формируем отображение Эе„+ так, чтобы оно удовлетворяло условиям
леммы 5.3. Тогда отображения /„ и gn совпадают на сфере S" везде, кроме
2|вая | дисков. На каждом из этих дисков эти отображения отличаются
0
на разность "/„ —gn", примененную к соответствующей и-клетке пары
(Х,А). Отсюда следует, что
= 2аа/3 < Kfn-gn",епе > = < % -gn",
Доказательство свойства 5. Фиксировав отображениеfn
на остове X ("~1) и Л и меняя его на остове Х^ иЛ, в качестве препятст-
препятствия можно получить любую кограницу в группе 6С" + 1 (.ЛГ, nn(Y)).
Пусть е" — и-клетка в паре (Л', A), a g -^элемент группы itn(Y). Изме-
Изменим отображение/„ так, чтобы препятствие О(/п) Для полученного отобра-
отображения отличалось от препятствия Q(fn) на кограницу 5(д), где <д , е0 > = g-
и < д, е" > = 0 для всех остальных клеток е".
Выберем маленький диск В" С int e0. Заменив при необходимости
отображение /„ на гомотопное ему отображение, можно считать, что
fn(B") = у0 G Y. Определим теперь отображение/^ следующим образом:
оно совпадает с отображением /„ на множестве X^\intB", а на шаре
В" определено так, чтобы полученное отображение/^: (В",дВп) -*¦ (Y,y0)
53

было гомотопно элементу g S 7г„(У, у0). Очевидно, что "f'n —/" = ц, и,
применяя предыдущий результат, получаем требуемое утверждение.
Соберем полученные результаты в одну теорему.
Теорема 5.4. Пусть задано отображение/„: Х^ U А -*¦ Y, и пусть
jti Y= 0. Тогда существует класс когомологий O(fn) 6Я"И (Х,А; irn(Y))
(представленный коциклом О (/„)), который обращается в нуль тогда и
только тогда, когда отображение fn\X(-"~1^ U A -+Y может быть продол-
продолжено на (и + 1) -остов Х(" + х) U А. Пусть даны два отображения f,g:X-+Y
и гомотопия Н: (Х(п) U А) X I -* Y между f |X("> UAug\Xм U А.
Препятствие к продолжению этой гомотопии на пространство
(Х(я + 1) Uy4) ХТлежитвгруппеНп+1(ХХ1,ХХ{0и1}иА XI; тг„(Т)).
Эта последняя группа отождествляется с помощью изоморфизма над-
надстройки с группой
Отсюда получаем утверждения
5.5. Препятствия к построению гомотопии между двумя отображения-
отображениями /: X -*¦ Y, g: X ->• Y при условии, что фиксирована некоторая гомотопия
между/1А и g | А, лежат в группах Н" (Х,А; тг„(К)).
Обсуждение препятствующих классов. Если груп-
группы Н'(Х, тг/(У)) тривиальны, никаких препятствий к построению гомо-
гомотопии между отображениями/,#: X -*¦ Y нет.
В противном случае рассмотрим первую ненулевую группу Я" (X, ъп(У)).
Легко показать, что для отображений f,g:X->Y корректно опреде-
определено первое препятствие О S Нп(Х, я„(У)) к построению гомотопии
между ними, т.е. оно не зависит от построения гомотопии на предыдущих
остовах (это оставляется читателю в качестве упражнения; нужно приме-
применять сформулированную теорему для каждого i < и). Приведенное обстоя-
обстоятельство иллюстрирует общее положение: препятствие, лежащее в первой
ненулевой группе, всегда корректно определено. Для того чтобы опреде-
определить высшие препятствия, следует сделать конкретные построения на пре-
предыдущих шагах. Препятствия не будут зависеть от этих построений.
Обсудим (не приводя доказательство) один пример.
Определим отображение у. СР2 -+S2 следующим образом: проектив-
проективную прямую СР1 отображение^ переводит в точку * (отмеченную точку
в сфере S2), а на четырехмерной клетке оно определено как ненулевой
элемент группы n4(S2) (возьмем, например, композицию 54—*iS3 -*S2,
где 2т? — надстройка над Отображением Хопфа т?: S3 -+S2). Препятствие
к продолжению постоянной гомотопии от отображения <р к постоянному
отображению с подпространства С1Р1 на все пространство СР2 лежит в
группеЯ4(СР2, тг4E2)) = тг4E2) и отлично от нуля в этой группе (груп-
(группа тг4E2) изоморфна 2/2).
Однако можно доказать, что отображение <р гомотопно нулю. (Заме-
(Заметим, что группа Я4(СР2, 7Г4E2)) не есть первая ненулевая группа пре-
препятствий; таковой является группа #2(СР2, я2E2).)
Таким образом, нельзя сказать, что теория гомотопии начинается
и кончается теорией препятствий. Сулливан как-то заметил, что ситуация
здесь очень похожа на путешествия по лабиринту. Нам нужно двигаться
54

вперед, а у нас — только шахтерская лампа на лбу. Света вполне доста-
достаточно, чтобы смотреть себе под ноги — можем ли мы сделать следующий
шаг — , но недостаточно, чтобы выбрать правильный путь на развилке.
И если путь, который мы выбрали, кончается тупиком, то отсюда
совсем не следует, что все пути тупиковые. Но тем не менее шахтер ни-
никогда не откажется от своей лампы, так же как и тополог не откажется
от теории препятствий.
Существует также теория препятствий для продолжения сечений в
расслоении. Пусть р: Е ->• В — расслоение и база В связна. Обозначим F
слой этого расслоения, F = р~1(Ь0)- Отображение а: В -*Е, удовлетво-
удовлетворяющее условию р о о = Ids, называется сечением расслоения р.
Мы будем предполагать, что база В является CW-комплексом, фунда-
фундаментальная группа iti(B) действует в слое тривиально и что слой односвя-
зен. При этих предположениях препятствие к построению сечения лежит
в группе Н (В, тг; _ j (F)) . Если заданы два сечения расслоения, то препят-
препятствие к построению гомотопии между ними лежит в группе Я1 (В, щ (F)).
Приведем определение препятствующего коцикла. Рассмотрим сече-
сечение а: В^"-1) -+Е над (и - 1)-остовом базы. Как мы видели в гл. 4, для
каждой и-клетки базы В имеется тривиализация расслоения р'1(е") -*еп.
Чтобы построить такую тривиализацию, нужно фиксировать некоторый
путь, соединяющий отмеченную точку Ъ с клеткой е". Поскольку фунда-
фундаментальная группа iTiB действует в слое тривиально, эта тривиализация не
зависит от выбора конкретного пути.
Сечение а расслояния.р над остовом В^"~1^ определяет сечение рас-
расслоения р~1(е") -*-е" над границей клетки Ье". Используя тривиализацию
этого расслоения, получаем отображение а: Ье" -»• e"XF. Проекция на
второй сомножитель определяет элемент в группе тг„ _ х (F). Этот элемент
и есть по определению значение коцепи Оп(р) на клетке е".
Такие же рассуждения, какие были приведены раньше, показывают,
что коцепьОп{о) является коциклом и что коцикл Оп(а) можно изменить
на любую кограницу, изменяя сечение на (л — 1)-остове базы (фиксиро-
(фиксировав его при этом на (л —2)-остове). Таким образом, класс когомологий
О nip) е Н"(В, nn_1(F)) является препятствием к распространению
сечения а | В(" ~2) на остов Д(л).
Пусть (В, А) — некоторая клеточная пара, а — некоторое сечение
расслоения над (В^"^ и А). Тогда препятствие к распространению.сечения
а\ (В*") U А) на остов В(и + 1) и А лежит в группеЯ" + 1 (B,A;nn(F)).
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример А. Класс Эйлера. Пусть Е" -*¦ В - и-мерное век-
векторное расслоение. Ненулевые сечения его находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с сечениями ассоциированного сферического рас-
расслоения <S"" ~1 {Е). Первое препятствие к построению такого сечения лежит
в группе Я"(В, Tin_1(S"~ )) = H"(fi, T) и называется классом Эйлера
расслоения Е" -*¦ В. Этот класс является нестабильным характеристичес-
характеристическим классом расслоения ^".Подробности см. в упражнениях.
Заметим, что отсюда немедленно вытекает, что если размерность базы В
меньше п, то «-мерное векторное расслоение всегда имеет ненулевое се-
сечение и, стало быть, разлагается в прямую сумму Е" = Е"~1 же1, где е1 —
тривиальное линейное расслоение.
55

Пример В. Пространство Эйленберга — Мак лейна
К (ж, я). Пусть п > 2 и я — абелева группа. Покажем, что существует ровно
один (с точностью до гомотопической эквивалентности) CW-комплекс
К(у, и), гомотопические группы которого имеют следующий вид:
f 0, гФп,
и)) =
[ я, г = п.
Предположим для простоты, что группа я конечно представлена, т.е.
имеется точная последовательность
О ->F(r,,... , г,) ->F(aj,... , <;*) ->я-* О,
где F (• •) — свободная абелева группа, порожденная образующими,
к п
выписанными внутри скобок. Рассмотрим пространство V Sa . Его и-я
/=i '
гомотопическая группа изоморфна F(at,..., <хк).
Таким образом, элементы rf определяют отображения yr.: S" -*¦
к ^
-*¦ V Sa . Приклеим по этим отображениям клетки е". и обозначим
полученный комплекс через Х^-п+1К Ясно, что 7in(X(-n+1^) - я и
7Tf (ЛТ*Я+1)) = 0 при / < и. Фиксируем набор образующих (ys)ses ДДЯ
группы п„+1 (Лг*л+1)), приклеим по этим элементам (и+2)-клетки и
обозначим полученный комплекс через Лг("+2). Заметим, что его гомото-
гомотопические группы имеют следующий вид:
Я, I = Л.
Продолжая таким же образом, мы получим последовательность вло-
вложенных комплексов: .:
причем я|(Х(и+к)) = 0 для/ < и + Л, i ^и.я^Л^""**) = я. Объединение
пространств Л' <"+к) дает искомый С ^-комплекс.
Аналогичная конструкция применима и в том случае, когда группа я
не является конечно представленной.
Если гомотопические группы CW-комплекса совпадают с группами
построенного нами комплекса X, то X ~ Y. Чтобы это доказать, построим
отображение f: X -*¦ Y, индуцирующее изоморфизм в гомотопических
группах. Начнем с отображения /„: V S^ -* Y, индуцирующего в размер-
* п
ности п гомоморфизм я„ ( V 5~ ) -*Y.
Это отображение продолжается на комплекс Х^п + 1', поскольку
отображения приклейки
к
V5"
56

определяют в гомотопической группе ffn(ViSa) элемент, переходящий
в тривиальный элемент в группе тг„(У). Любое такое продолжение fn+l:
XС"+О -> у индуцирует изоморфизм в гомотопических группах
Препятствия к продолжению отображения /„ +1 на весь комплекс X
лежат в группах Н*(Х, я,_! (Y)), где * > п+ 2. Эти группы тривиальны.
Поэтому отображение fn+l распространяется на все пространство X. По-
Полученное отображение /: X -> Y является гомотопической эквивалентно-
эквивалентностью, поскольку индуцирует изоморфизм в гомотопических группах.
Замечание. Мы видели, что КB,1) = S1 и K(Z, 2) = СР°°. Дру-
Другие пространства типа К(п, и) довольно редко встречаются в геометрии.
За простоту гомотопических групп приходится платить: гомологии
Ht(K(ir, и) , Z) этих пространств весьма сложны. Этого можно было ожи-
ожидать, исходя уже из самой конструкции, поскольку мы приклеивали клет-
клетки во всех размерностях в количествах, грубо говоря, соответствующих
группам як (S") , к > п.
Используя пространства К (я, л), можно построить пространства с
любыми наперед заданными гомотопическими группами (полагая X =
= П?(я;, nt)). Впоследствии мы покажем, что любой односвязный CW-
комплекс гомотопически эквивалентен итерированному расслоению
со слоями К (я,- ,п{).
Сейчас мы хотим отметить одну важную черту препятствующих клас-
классов: первое ненулевое препятствие корректно определено.и функториаль-
но. Это утверждение выполняется как для продолжения отображений,
так и для продолжения сечений.
Теорема 5.6. Пусть (X, А) — CW-napa uf: А -*¦ Y - произвольное
отображение. Предположим, что Н* {X, A; ¦nt_1(Y)) - 0 =
-Н'~1 (X, А; я/ _ 1 (У)) при i <п. Предположим также, что ях (У) = 0.
Тогда первое препятствие OGHn+l (X, А; я„(Г)) к продолжению отоб-
отображения f на пространство X корректно определено и функториально по
отношению к отображениям <р: (X', А') -> (X, А ).
Доказательство. Все препятствия к продолжению отображе-
отображения / на 1-й остов Х^ U А лежат в нулевых группах при i < п. Пусть
теперь/„ vif'n —два продолжения отображения /на остов Х^ U А. Тогда,
поскольку /Г (ЛГ, A; nt(Y)) = 0 при / <и — 1, отображения /„ lA^""^ U
U А и f'n I X^n ~^' U А гомотопны. Применяя теперь лемму 5.2, получаем,
что коциклы О(/п) иО(/п) отличаются на кограницу; это и доказывает,
что первое препятствие корректно определено.
Пусть задано отображение <р: {X ,А') •* (X, А), причем когомологии
Я* (X1, А'; я._1 (У)) равны нулю при * < п. Первое препятствие к
распространению отображения / о ^ на все пространство X' лежит в груп-
группе когомологии Н" (X', А'; я„(У)). Выше мы уже видели, что это
препятствие корректно определено. Для того чтобы показать его естест-
естественность, нам нужно установить, что <p*(Q{f)) равно О (/° v) B группе
Hn+l(X', A1; nn(Y)). Деформируем отображение \р относительно А'
к клеточному отображению <р . Пусть отображение /„: Х^ U А -*¦ Y —
57

продолжение отображения /: А -> Y. Тогда отображение /„ ° i/: Х/(л) и
U А -*¦ Y является продолжением отображения /° <р \А'. Мы утверждаем,
что препятствующий коцикл для отображения /„ ° <^>' совпадает с обрат-
обратным образом препятствующего коцикла для отображения ч>' при отобра-
отображении/и .
Х'<П>[ЗА
В самом деле, пусть
X UA
в группе С„ + 1 (X, А). Отсюда
i
получаем v>',(9ai) = Еа^-Эт,- в группе я„(ЛТ*и* и А). Отсюда получаем
{Q{fn о v>'), а,> = /„
= 2а„ <?(/„), т, > =
/„BаиЭт1) = 2а„/я(Эт,) =
= <?>(/„), v'. (ai)>= < (*>') '©(/„), а, >.
Примеры. 1. Пусть пространство X есть сфера 5". Тогда препятствие
к гомотопности нулю отображения f:S"-*X лежит в группе H"(S",irn(У))s
2. Обозначим через g: (СР2)^3^ -* S2 тождественное отображение.
Препятствие к продолжению отображения g на все пространство СР2
лежит в группе #4(СР2, тг3E2)) = тг3E2) и совпадает с отображением
Хопфа, т.е. с отображением приклейки 4-клетки в пространстве СР2.
Аналогичная ситуация имеет место и в общем случае: если пространст-
пространство X' получено из пространства X приклейкой клетки е" по отображе-
отображению S"~x -*¦ X, то препятствие к продолжению тождественного отобра-
отображения X -*¦ X на пространство X' совпадает с элементом [f] S я„ _ t (X).
3. Пусть заданы отображения f:SK-+Yng:S1-* Y. Рассмотрим их
букет fVg:Sk\/Sl-+Y. Единственное препятствие к продолжению отобра-
отображения fVg до отображения пространства SK X 5' в Y лежит в группе
Hk+l(Sk X S1, Sk V S'; як+,_!G)) s як + /_,(Г). Это препятствие
называется скобкой Уайтхеда отображений/иg.
Существует аналог теоремы 5.6 для расслоений:
Теорема 5.7. Пусть тг: 2? -»¦ X — расслоение со слоем F. Предпо-
Предположим, что фундаментальная группа тгхХ действует тривиально на слое F.
Пусть а: А -*¦ Е \ А - сечение расслоения Е над подпространством А С X
и пусть Н'(Х, А; Щ-iiF)) = 0 = Н1 (X, А; тг,(Г)) для i <n. Тогда пер-
первое препятствие к продолжению сечения а на все пространство X лежит
в группе Н"*1(Х, A; nn(F)). Это препятствие корректно определено
и функториально.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.6 и предостав-
предоставляется читателю.
58

Глава 6
КОГОМОЛОГИИ, ПРОСТРАНСТВА ЭЙЛЕНБЕРГА-МАКЛЕЙНА
И ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
А. Связь между когомологиями и пространствами Эйленберга—Мак-
лейна. В предыдущей главе мы построили естественное отображение
[(ЛГ, А), (К(п, и), *)] -*Нп(Х, А\ я), которое ставит в соответствие каждому
отображению /: (X, А) -*¦ (К(п, и), *) первое препятствие к его деформации
(неподвижной на подпространстве А) в точку. Здесь * обозначает отмечен-
отмеченную точку в пространстве K(ir, п). На самом деле, задача построения такой
гомотопии есть задача о продолжении для о тображения /UcUc: X X { 0 } U
DA X / U X X {1} -»¦ K(ir, ri), где с обозначает постоянное отображение.
Таким образом, первое препятствие корректно определено и лежит в
группе
1, XX{O}UAXIUXX{l}\Tr) ^Н"(Х,А\тг)-
Из теоремы Гуревича вытекает, чтоН„(К(тг, л)) = я и#„_ х (К(л, л)) = 0.
Применяя теорему об универсальных коэффициентах, получаем Н"(К(тт, и),
я) = Нот(я, я) (здесь нужно фиксировать отождествление и-й гомотопичес-
гомотопической группы пространства К(п, и) и группы я). Обозначим через i элемент
группы Нп(К(п, л); я), соответствующий тождественному гомоморфизму.
Отображение /: (ЛГ, А) -*¦ (К(тг, п), *)> порождает элемент /* i G Н„(Х, А; тг).
Таким образом, определено отображение
к [(X, А), (К(п, и), •)] - Н"(Х, Л\ тг).
Теорема 6.1. Класс /*i является первым препятствием к построе-
построению гомотопии от отображения f к постоянному, неподвижной на подпро-
подпространстве А. Соответствие [/] -* f*i является биекцией для всех CW-nap
(ХА).
Доказательство. Прежде всего мы покажем, что класс/*!
является первым препятствием к построению гомотопии / ~ *. Для случая
/ = id: K(n, и) -»¦ К(п, и) это очевидным образом следует из определений;
общий случай получается отсюда по индукции. Поскольку пространство
?(тг, и) имеет лишь одну нетривиальную гомотопическую группу, из равен-
равенства нулю класса /*t вытекает, что отображение/гомотопно (относительно
подпространства А) постоянному отображению. Поэтому прообраз Г1@)
является тривиальным отображением. Отсюда пока еще не вытекает, что
отображение i взаимно однозначно; для этого нужно еще снабдить множест-
множество [(Л", А), (К(п, и), *)] естественной групповой структурой и показать,
что отображение i является гомоморфизмом, что мы сделаем ниже.
59

Покажем теперь, что отображение i эпиморфно. Пусть a G Н"(Х, A; ir)
— произвольный класс когомологий, a S: С„(Х, А) -> тг — коцикл, пред-
представляющий класс а. Определим отображение /? на остове Х^п~1' U А,
задав его равным постоянному отображению. Продолжим это отображение
на остов Х^ U А, потребовав, чтобы отображение fs I e": е" -»¦ К(п, я)
определяло в группе п„(К(тг, я)) элемент й(е„). Поскольку а является
коциклом, композиция отображения /„ | X™ U А с отображением при-
приклейки любой (я + 1)-клетки гомотопически тривиальна. Следовательно,
f$; \ Х^"' U А может быть продолжено на остов ЛГ*Я+1* и А.
отображение f$; \ Х^"' U А может быть продолжено
Все остальные препятствия к продолжению этого отображения на все про-
пространство X лежат в нулевых группах, и поэтому существует отображение
/5": (X, А) -* {К(ж, я), *), продолжающее отображение /у | Х^ U А. Ясно,
что первое препятствие к построению гомотопии /« ~ * есть в точности
элементабНот(С„(Х, A), тг). Поэтому/~ t = a.
Покажем инъективность отображения i. Пусть/, g— отображения пар
(X, А) -*¦ (К(п, я), *), и пусть/*t = g*i. Первое и единственное препятствие
к построению гомотопии / ~g, постоянной на подпространстве А, лежит в
группе Н"(Х, А; тг). Легко видеть, что оно совпадает с разностью f*i - g*i,
т.е. равно 0, поэтому существует гомотопия f~g, постоянная на простран-
пространстве А
Применение. Существует такое отображение д: К(тг, и) X
X АГ(тг, и) -> К(п, я), что
M*i = 1 • i +1 • 1 GHn(K(v, и) X АГ(тг, и), тг) *
«[Н"(К(я, и), я) ®Н°(К(к, и), 2)] ©
• [H°(K(ir, я), Z) ®Н"(К(ж, л), тг)].
Это отображение корректно определено с точностью до гомотопии и
является с точностью до гомотопии коммутативным ассоциативным зако-
законом композиции, обладающим единицей и обратным элементом. Таким
образом, пространство ?(тг, я) является гомотопически коммутативным
и ассоциативным Я-пространством. Отображение ju индуцирует на множест-
множестве [(X, A); (K(ir, л), *)] структуру абелевой группы. Относительно этой
структуры отображение i является изоморфизмом групп. (Детали доказа-
доказательств мы оставим читателю в качестве упражнений.)
В. Главные К(п, л) •расслоения. Отображение р: Е -> В называется
АГ(я, я) -расслоением, если оно удовлетворяет свойству накрывающей гомо-
гомотопии и все его слои имеют гомотопический тип К {-и, я). В случае связной
базы достаточно потребовать, чтобы хотя бы один из слоев р'1^) имел
гомотопический тип К (я, я).
Если действие фундаментальной группы базы на слое с точностью до
гомотопии тривиально, то К(п, л)-расслоение называется главным рас-
расслоением.
Указанное действие фундаментальной группы задается следующим
образом.
Для каждой петли у в базе В с началом и концом в точке Ъ существует
гомотопическая эквивалентность 7»: Р~1Ф) -*Р~1(Р), определенная с точ-
точностью до гомотопии. Расслоение является главным, если все эти самоэкви-
самоэквивалентности гомотопны тождественным.
(Л

Лемма 6.2. Пусть (X, А) - CW-napa, ар.Е^-Х- главное К(п, п) -рас-
-расслоение. Пусть а: А -*¦ Е- некоторое сечение расслоения Е над простран-
пространством А. Тогда существует единственное препятствие 0(р, о) ? Нп+1(А, и)
к продолжению сечения она все пространство X. Любой класс когомолдгий
Оенп+1(Х, А; п)может быть реализован как препятствие 0(р, а) для не-
некоторого главного расслоения р: Е-*Хи некоторого сечения а: А-*-Е.
• Доказательство. Поскольку яу (слой) = 0 для i < n, то из
теоремы 5.7 выводим, что первое препятствие к продолжению сечения о
лежит в группе Нп+1(Х, А; п). Это препятствие корректно определено и
функториально. Поскольку все следующие гомотопические группы слоя
обращаются в нуль, класс О (р, о) является единственным препятствием
к продолжению сечения а на все пространство X. Для любого класса кого-
мологий О е Нп+1 (X, А; тг) существует такое отображение
что j? (t) = О. Над пространством К (и, п + 1) имеется главное расслоение
К(тг, и) s ШГ(ст, и + 1) -+ 9>К(тг, и + 1)
К(п, и + 1)
Пространство К(п, п + 1) односвязно, поэтому указанное расслоение яв-
является главным расслоением. Обратный образ этого расслоения при отобра-
отображении f9 является главным К (it, п + 1) -расслоением над пространством X,
а обратный образ любого сечения этого расслоения над отмеченной точкой *
определяет сечение обратного образа расслоения над пространством А.
Препятствие к распространению сечения расслоения (*), заданного над
отмеченной точкой, на всю базу К(п, и + 1) совпадает с фундаментальным
классом i еНп+\К(тг, и + 1), тг).
По соображениям естественности препятствие к продолжению инду-
индуцированного сечения с пространства А на все пространство X равно
fg (t) = 0. Это доказывает, что все классы когомологий реализуются в ка-
качестве соответствующих препятствий.
Результаты этой главы можно изобразить на следующей диаграмме
первое препятствие для
построения гомотетии к
постоянному
отображению
обратный образ
универсального
главного К(п,п)-
расслоеиия
[Главные К(п, п)-расслоения
I над пространством X с
1 заданным сечением над
[ подпространством А
Отображение в правом верхнем углу — биекция.
первое
препятствие
к продолжению
сечения

Глава 7
- БАШНИ ПОСТНИКОВА И РАЦИОНАЛЬНЯ ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ
Башня Постникова пространства X определяет разложение этого про-
пространства, двойственное к его разбиению на клетки. Атомами, из которых
строится пространство (мы можем рассматривать его как молекулу),
являются пространства типа К(п, п). Эти пространства являются атомарны-
атомарными с точки зрения гомотопических групп, так же как сферы являются ато-
атомарными с точки зрения групп гомологии. При этом "^-инварианты"
пространства определяют "пространственное расположение атомов в моле-
молекуле". Эти ^-инварианты содержат в себе информацию о том, каким обра-
образом пространства К(п, п), входящие в разложение пространства X, подогна-
подогнаны друг к другу. Мы докажем, что такие башни есть у всех CW-комплексов.
Пусть задано односвязное пространство X. Положим Хг = К(тг2(Х), 2)
и определим отображение /2: X -*¦ Х2 так, чтобы оно индуцировало изо-
изоморфизм в гомотопических группах 7г2. Предположим по индукции, что за-
задана коммутативная диаграмма
причем
1) v,(Xf) = 0 при i >/,
2) отображение X/ -*¦ Я)_ j является главным расслоением, индуциро-
индуцированным некоторым отображением
, / + 1),
62

3) отображение /,•: X -* X/ является изоморфизмом в группах я,- при
всех г</.
Будем считать отображение /„: X -*¦ Хп вложением. Относительные го-
гомологии Hj(Xn, X) тривиальны при i <и+1. Далее, Нп+2(Хп, X) as
= 7гп+2(Х„, X) = тгп+1(Х). Из формулы универсальных коэффициентов
получаем Н"+*(Х„,Х\пп+1 (X)) s НотGг„+j (X), тгп+1(Х)). Обозначим че-
через кп+1 элемент группы Нп+ (Хп, X; 7rn+i(X)), соответствующий тождест-
тождественному гомоморфизму. Построим по этому классу когомологий главное
расслоение и поднимем в пространство расслоения отображение
Лемма 7.1. Отображение /„+1: X-*¦ Хп+1 удовлетворяет условиям
1)-3).
Доказательство. Выполнение условий 1) и 2) очевидно. Кроме
того,отображение
является изоморфизмом при i < п.
Нам остается показать, что отображение
(fn+l)*: *n+l (Х)^Лп+1(Х„+1)
есть изоморфизм.
Рассмотрим отображение (Х„, X) -*¦ (Х„, Хп+1). Если это отображение
индуцирует изоморфизм тг„+2 (Хп, X) s ^„+2(Хп, Х„+,), то (/„+1 )* являет-
является изоморфизмом в группах пп+1. Заметим, что существует изоморфизм
группы п„+2(Х„, Хп+1) на группу тг„+1(ЛГGгп+1 (X)), п + 1) и композиция
отображения <р„ и этого изоморфизма совпадает с отображением ev:
зг„+2(Х„, X), которое каждому элементу а е пп+г(Хп, X) ставит в
соответствие Агл+1(в). По определению это отображение есть изомор-
изоморфизм.
Замечания. 1. Обозначим через Х'п СЙ'-комплекс, полученный из
комплекса X приклейкой клеток в размерностях > п + 1, убивающих все
гомотопические группы в размерностях > п + 1. Отображение X С Х'„
индуцирует изоморфизм в группах я,- при / < и. Простое рассуждение с
помощью теории препятствий показывает, что отображение /„: X -*¦ Х„
(я-я ступень башни Постникова) продолжается до отображения f'n- Х'„ ->Х
Это отображение индуцирует изоморфизм во всех гомотопических
группах.
63

Пусть gn: X -*¦ Yn - и-я ступень другой башни Постникова того же са-
самого пространства X. Имеется коммутативная диаграмма
причем обе вертикальные стрелки — слабые гомотопические эквивалент-
эквивалентности. Нетрудно видеть, что полученный с помощью этой диаграммы изо-
изоморфизм переводит ^-инвариант одной башни (элемент группы Ип+2(Х„, Х\
nn+i(X))) в ^-инвариант другой башни (элемент группы H"+2(Yn, X;
nn+i(X))). В этом смысле имеет место единственность башни Постникова.
2. Рассмотрим теперь пространство Шп(ЛГ,:), которое определяется
как подпространство в произведении П Xh состоящее из всех согласован-
'=i
ных последовательностей. Отображения{/„: X -*• Х„) определяют отобра-
отображение lim/n: X -* \imXi, индуцирующее изоморфизм во всех гомотопи-
гомотопических группах. Чтобы это доказать, достаточно усмотреть, что яу(шп.ЛГ„) =
= UtmrjiX,,) = ir,(XN) при N>j.
В общем случае неверно, что обратные пределы перестановочны с
функтором гомотопических групп. Однако в данном случае это верно и вы-
вытекает из того, что отображение Hj+i(XN) -*¦ n/+1(XN-i) эпиморфно для
всех /.
Пусть y-CW-комплекс и отображение «р: У -»• \\тХп индуцирует изо-
изоморфизм во всех гомотопических группах. Тогда препятствия к поднятию '
(с точностью до гомотопии) отображения/„: X -* lim^Tn до отображения
lim/n: X -> Y лежат в нулевой группе И*(Х, ^.(lim^n, У))) = 0- Поэтому
существует такое отображение ф: X-+Y, что у ° ф ~ lim/n.
В частности, отображение ф индуцирует изоморфизм во всех гомотопи-
гомотопических группах, и, следовательно, является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью.
Приведенная конструкция показывает, как восстановить пространство
X, зная его башню Постникова: пространство X является единственным
CW-комплексом, допускающим отображение X -*¦ lim^Tn, индуцирующее
изоморфизм во всех гомотопических группах.
3. Предположим, что CW-комплекс Х имеет размерность п. Если мы
уже построили башню Постникова для X вплоть до размерности и, дальше
построение идет чисто формально. А именно, рассмотрим и-ю ступень
/я
X—>.^Отображение /„ индуцирует изоморфизм в гомологиях в размер-
размерностях Кяи эпиморфизм в размерности г = и+ 1. ПоэтомуНп+1(Хп) = О,
64

но группа Н„+2(Х„) может быть ненулевой. Обозначим эту группу я; тогда
(и + 1)-я гомотопическая группа пространства X изоморфна я, а к-инва-
к-инвариант к"+2 е Нп+2(Х„, тг) совпадает с тождественным отображением. Из
спектральной последовательности Серра для расслоения
Х„
легко следует, что #„+2 (Х„+!) = 0.
Таким же образом мы действуем и дальше:
Hn + k+i(Xn+k) = 0, Н„+к+2(Х„+к) = Жп+к+i (X),
^-инвариант является тождественным отображением
Если башня Постникова пространства X, начиная с и-й ступени Хп, мо-
может быть построена, исходя только из пространства Хп (а не из X), мы го-
говорим, что после л-й ступени процесс становится формальным. В частности,
все односвязные пространства X гомологической размерности и формаль-
формальны, начиная с и-й ступени (в частности, есть алгоритм вычисления групп
7Г/(Х), i > п, исходя из пространства Хп).
Пример. Х = S2 .В этом случае
, 2) ~ С Р~, Я3 (а 0>~) = 0,
Я4(С Р°°) = Ж
Поэтому тгз (S2) = Ж Образуем теперь башню
СПР"
(здесь Л-инвариант задается изоморфизмом Я4 (СР°°) = Z). Имеем Я4(Х3) =
= 0, Я5 (Х3) = Z/2. Отсюда получаем n4(S2) = Z/2Z.
Продолжая таким же образом, мы можем вьиислить (весьма теорети-
теоретическая возможность!) все высшие гомотопические группы пространства S2.
Эти вычисления никто еще не проделывал: возникающие трудности, по-ви-
по-видимому, невозможно преодолеть. Э. Кэртис доказал изумительную теоре-
теорему: 7г,E2) Ф 0 для всех />2.
Рациональная теория гомотопий для односвязных пространств. Напом-
Напомним кое-что о группе С рациональных чисел и о О-векторных пространствах.
Пусть А — абелева группа (быть может, бесконечно порожденная);
А может быть снабжена структурой С -векторного пространства тогда и
только тогда, когда А = А ® ~Z- A ® С (это эквивалентно тому, что всякое
уравнение ах = Ъ, где а е Ж — {0}, Ь€^, имеет единственное решение).
Если О -> At -+ А2 -* Аъ -»-0— короткая точная последовательность,
то последовательность
0->Л, ®О -*А2 ®О ->ч4з ®О -* 0
также точна.
З.Ф.А. Гриффите 65

Лемма 7.2. а) Пусть Q-*Ax -*А2 -*• /1з "*¦ 0 - короткая точная после-
последовательность. Тогда если две из этих трех групп - Q-векторные простран-
пространства, то и третья - тоже Q-векторное пространство.
б) Пусть А - абелева группа и в ее композиционном ряде А = Ао Э
Э Ai э . . . Э Ап = О последовательные факторы являются Q-векторными
пространствами. Тогда сама группа А тоже является Q-векторным про-
пространством.
в) Н.(Х, О)??Я,(ЛГ)®О,
г
Н\Х, Q ) а Нотг(Я, (X), О) а [Я, (X, О)] *.
г) Пусть группы Н„(Х) являются й-векторными пространствами.
Тогда для любой абелевой группы G группы Ht(X, G) являются Q-вектор-
Q-векторными пространствами.
Доказательство, а) Рассмотрим коммутативную диаграмму
с точными строками:
О -> А1 > А2 -—> Л3—> О
I I J
0->v4i ®O ->Л2®О -*А3 ®О -*0.
По предположению две из трех вертикальных стрелок суть изоморфиз-
изоморфизмы. Теперь из 5-леммы (см. Дж. Клейсам "Сделай сам", 1980) вытекает,
что третья стрелка есть изоморфизм. Утверждение б) немедленно выте-
вытекает из а), а в) и г) предоставляются читателю в качестве упражнений.
Следствие 7.3. Группы Щ{Х, О) и Н\Х, О) являются Q-векторны-
Q-векторными пространствами.
Определение. Пространство X называется Q-пространством, если
1) оно гомотопически эквивалентно клеточному комплексу (быть мо-
может, с бесконечным числом клеток в каждой размерности),
2) я, (X) = 0,
3) пт(Х) является О-векторным пространством для всех * > 1.
Другое определение. Пространство X, удовлетворяющее
условиям 1) и 2), называется Q-пространством, если группы Н,(Х, ~Х)
являются Ю-векторными пространствами.
Теорема 7.4. Приведенные определения Q-векторных пространств
эквивалентны.
Доказательство. Нам потребуется следующая
Лемма 7.5. а) Группы Я,(К(О, и),2) являются Q-векторными
пространствами;
б) алгебра H*(K(Q, 2n), Q) изоморфна алгебре полиномов над Q
от одной образующей размерности 2и;
в) алгебра H*(K(Q, 2и + 1), Ш) изоморфна внешней алгебре над Q
от одной образующей в размерности 2и + 1.
Доказательство. Представим пространство K(Q, 1) в виде
бесконечного цилиндра:
х 2 X 3 Х4
s1

Функтор гомотопических групп перестановочен с прямыми пределами,
следовательно,
nt(X)= ton {Z; • и> = ©
тг,(ЛО= lim{0}=0,.i>l-
Следовательно, пространство X действительно имеет гомотопический тип
K(Q, 1). Гомологии также перестановочны с прямыми пределами, следо-
следовательно,
Г' * = 1'
О, *Ф1.
Предположим теперь, что мы доказали, что группы Hm(K(d, и - 1), Z)
являются ©-векторными пространствами и произведем шаг индукции.
Рассмотрим спектральную последовательность Серра для расслоения путей
, п - 1) -V &
, и)
для гомологии с целыми коэффициентами и для гомологии с рациональны-
рациональными коэффициентами.
Существует теорема о сравнении двух спектральных последователь-
последовательностей, утверждающая, что если заданы две спектральные последователь-
последовательности и отображение между ними, являющееся изоморфизмом в группах
Е^,• * при (*, *) Ф (О, 0) и в группах E®>q для всех q > 0, то оно является
изоморфизмом и в группах E%'q при (р, q) Ф @, 0). Это чисто алгебраичес-
алгебраический результат, доказываемый по индукции (см. упр. 42).
Применив эту теорему к нашим спектральным последовательностям,
получаем а).
Утверждения б) и в) леммы получаются тем же рассуждением по ин-
индукции, что и вычисление Н*(К(% п), О) в гл. 4.
Следствие 7.6. Отображение K(Z, и) -> K(Q, и) индуцирует изо-
изоморфизм в рациональных когомологиях и, следовательно, в рациональных
гомологиях.
Используя лемму 7.5, мы покажем, что если Ц\(Х) = 0 и для всех г
группы Я/ (X) являются ©'векторными пространствами, то и группы Hj(X)
являются_ддя всех / <П-векторными_пространств;1ми. Поскольку при *<и
группы Н,(Х) изоморфны группам Ht(Xn) (где Хп обозначает и-ю ступень
башни Постникова для пространства X), достаточно показать, что группы
Нт(Х„) являются ©-векторными пространствами. Это мы сделаем по
индукции. Поскольку Х2 ~ А"GГ2(ДО, 2) и 7г2(Д0 есть СЬвекторное про-
пространство, из леммы 7.5 сразу видно, что пространство Я»(Х2) является
©-векторным пространством. Предположим теперь, что Я„ (Х„) - ©-век-
©-векторное пространство, и рассмотрим спектральную последовательность
Серра для расслоения
i
3* 67

Группа Е^,'4 является Ю-векторным пространством для всех (р, q),
отличных от @, 0). Поэтому и группа Eg,'q является ©-векторным про-
пространством. Поэтому последовательные факторы композиционного ряда
для группы Н((Хп) являются Q-векторными пространствами. Таким обра-
образом, мы доказали, что Hi(Xn) суть О-векторные пространства для всех i.
Обратно, предположим, что пространство X односвязно и гомологии
Я» (X) являются О-векторным пространством.
Докажем по индукции, что группы щ(Х) являются О-векторными
пространствами. Предположим, что это уже известно для групп п„(Х„_1).
Рассмотрим гомологическую спектральную последовательность Серра для
расслоения
К(п„(Х), п)^Хп
Член Е2 этой спектральной последовательности выглядит следующим
образом:
0
0
Z
(X)
¦х- *
0
Q - векторное
*• • • • *¦
пространство
Обозначим Вп образ в подгруппе irn(X) дифференциала dn+l: ^+},0 "*
~*Ео*п = пп(Х). Поскольку Е^Ц 0 - ©-векторное пространство, таковым
же является и Вп. Теперь, рассмотрев композиционный ряд
0 -* п„(Х)/Вя -+Н„(Х„) -> Е2„,о -> 0,
для группы Н„(Х„) получаем (поскольку Ип(Х„) = Н„(Х)), что группа
¦пп(ХIВ„, а следовательно, и группа тг„(Х) является (D-векторным про-
пространством.
Теорема 7.7. Пусть X, Х@) - односвязные CW'-комплексы, при-
причем X^о) является ^.-пространством. Пусть /: X -> Х(Оу — некоторое
отображение. Следующие условия являются эквивалентными:
а) гомоморфизм/*: Н{Х. <D) -+Ht(X(Oy, <D) есть изоморфизм;
б) гомоморфизм /#: nt(X) ® О -*¦ -nt(X@)) ® О = тг,(^Г(о)) есть изо-
изоморфизм ;
в) отображение f: X -> -ЯГ(о) является универсальным для отображе-
отображений пространства X в рациональные пространства, т.е. для любого отобра-
отображения g: X-+ У (о), где F@) — ^-пространство, существует единственное
с точностью до гомотопии отображение А: Х(Оу -*¦ К(о). для которого
68

следующая диаграмма
коммутативна.
Доказательство. а)^в). Пусть отображение/удовлетворяет
условию а) и задано отображение g: X -* У@). Тогда препятствие к про-
продолжению отображения g на все пространство -ЯГ(о) (мы считаем, что
отображение / является вложением) лежит в группе Я*(^(о). Х\ 7Г*(^(о)))-
Поскольку отображение /*: Н*(Х, О) -+ Н„(Х(о)> ©) есть изоморфизм,
а группа я,(У@) ) является ©-векторным пространством, то Я**1(ЛГ@), X;
п*(У(о)У) = 0 Для всех *• Поэтому существует искомое отображение А.
Препятствия к построению гомотопии Н между двумя такими отображе-
отображениями h 1, h2, удовлетворяющей свойству Н° f = (постоянная гомотопия),
лежат в нулевой группе Я*(Х@), X; тг.,(У@))), что и доказывает импли-
импликацию а) ^в).
в) =» а). Применив наше условие к пространству К@) = К(Ф, и), по-
получаем, что существует взаимно однозначное соответствие
[Х,К(<й,п)] ?» [Х@),К(Ъ,п)]
Ф * Ф
Я"(ХС)С Яя(ЛГ@),О),
и, следовательно, отображение /* индуцирует изоморфизм в когомологиях
и гомологиях с рациональными коэффициентами.
Чтобы получить импликацию а) =* б), нам потребуется следующая
Л е м м а 7.8. Пусть X - односвязный CW-комплекс; тогда пл(Х) ® О -
= 0 тогда и только тогда, когда ЯД.У, О) = 0.
(Эта лемма есть вариант теоремы Гуревича по модулю класса Серра
абелевых групп кручения.)
Доказательство. Шаг 1. Если п = Z/k ~Я, то Я»(АТGг, и), О) = 0.
Рассмотрим расслоение
А'(тг, и) -* А'(?, я + 1) -* А'(^ и + 1).
Как было доказано выше, когомологии Н*(К(Т, п + 1), О) изоморфны
полиномиальной или внешней алгебре. Отсюда легко получить, что отобра-
отображение
(*)*: Н*(К(Ж,п + 1), О) -> Н'(К(Ж,п + 1), О)
является изоморфизмом. Теперь с помощью спектральной последователь-
последовательности Серра мы легко получаем, что Я*(А(тг, и), (D) = 0.
69

Ill а г 2. Если it ® О = 0, то Ht(K(n, и), С) = 0.
Для случая, когда группа тг есть сумма циклических групп, этот ре-
результат следует из шага 1. В общем случае группа п является пределом
таких групп. Теперь достаточно заметить, что гомологии коммутируют
с прямыми пределами, и шаг 2 тоже доказан.
Шаг 3. Если группы 7г,(Х) ® (Q тривиальные для всех i и ni(X) = 0,
тоиН,(Х, <D) = 0.
Мы будем доказывать это утверждение индукцией по ступеням башни
Постникова пространства X. Предположим, что мы уже доказали, что
#,(*„_!, ©) = 0.
Рассмотрим спектральную последовательность Серра для расслоения
К(пп(Х), h) -+Х„-*-Х„_1 (подразумеваются гомологии с рациональными
коэффициентами). Группы E2pq тривиальные для всех индексов (р, q),
отличных от @, 0). Поэтому и группы E^q тривиальны для (р, q) Ф
Ф @, 0), следовательно, Н{(Х„, Ш) = 0 для всех значений г. Учитывая, что
Н((Х„) =Н((Х) при / < и, мы получаем требуемое.
Ш а г 4. Если Vi(X) = 0 « Ht(X, ffi) =0 для всех i, то и щ(Х) ® (D = 0
для всех i.
Рассмотрим спектральную последовательность Серра с рациональны-
рациональными коэффициентами для расслоения
К(пп(Х),п) ¦* Хп
Член Е2 выглядит следующим образом:
Отсюда получаем ^(Л^ ® С = ?""„ =Нп(Х, Q).
Однако группа Н„(Х„, О) изоморфна группе Н„(Х, С), эта группа -
тривиальная по предположению. Отсюда следует, что тг„ (X) ® О = 0.
Доказательство леммы закончено.
Теперь мы можем доказать эквивалентность а) <=* б). Обозначим
через Ff теоретико-гомотопический слой отображения /: Х^Х@). Тогда
изоморфность отображения Д: тг, (X) ® О ->• п*(Х@) ) ® С эквивалентна
условию nt(Ff) ® (D = 0, что, в свою очередь, эквивалентно условию
H,(F/ , <D) = 0. Используя спектральную последовательность Серра, легко
получаем, что равенство H%(Ff, О) = 0 эквивалентно изоморфности отобра-
отображения/, : #,(ЛГ, С) ->ЯД*@), (Q).
Определение. Отображение /: X -*¦ -ЛТ(о). удовлетворяющее
условиям теоремы 7.7, называется локализацией пространства X в нуле.
70

Это название объясняется тем, что локализация кольца 71 в нуле совпа-
совпадает с кольцом (D.
В этом курсе мы рассматриваем только локализации в нуле. Существу-
Существуют также локализации пространств по отношению к любому простому
идеалу. Выполняется, кроме того, принцип Хассе — Минковского: про-
пространство X можно восстановить, зная все его локализации.
Теорема 7.9. Пусть у. X -*Х@), ч>: X '
пространства X. Тогда существует такая гомотопическая эквивалентность
А:Х@) -»-X@), что диаграмма
ц
Х'@) - локализации
коммутативна с точностью до гомотопии. Кроме того, такое отображе-
отображение h единственно с точностью до гомотопии.
Доказательство сразу получается из универсального свойства локали-
локализаций.
Построение локализации пространства. Построение локализации про-
происходит индукцией по башне Постникова данного пространства. Мы пред-
предполагаем, что пространство X является CW-комплексом и тг, (X) = 0. Идея
состоит в том, что нужно тензорно умножить все группы и все к-инварианты
на группу С рациональных чисел.
Предположим, что мы уже построили локализацию <рп_1: Хп_1 -*¦
~* -^(л-1)(о). Поскольку К(гтп(Х) ® С, и + 1) является О-пространством,
отображение / ° kn+1 (см. рисунок) пропускается единственным образом
через пространство ^T(n-i)(o) • Обозначим через Х„(Оу пространство рас-
расслоения над Jf(n-i)(o) .индуцированного посредством Л"*1:
JP ?>'
/1@)
*<r
л-1
Заметим, что обе композиции
71

гомотопны нулю. Поэтому существует поднятие <рп: Х„ -*Х„@). Из комму-
коммутативности диаграммы вытекает, что (?>„)»: 7г„(Х) ® О ->¦ яу,(Х„@)) -
изоморфизм, откуда и вытекает, что отображение ?>„: %п ~*%п(о) являет-
является локализацией пространства Хп в нуле. Чтобы окончить доказательство,
нам нужна следующая
Лемма 7.10. Пусть Y - топологическое пространство. Тогда сущест-
существует CW-комплекс Х и отображение ф: X -*• У, индуцирующее изоморфизм
всех гомотопических групп. Если ф': X' -*¦ Y - еще одно такое отображе-
отображение, то существует такая гомотопическая эквивалентность п: X -*¦ X',
что отображения ф и ф' ° h гомотопны.
Доказательство этой леммы предоставляется читателю в качестве
упражнения.
Применим теперь эту лемму, положив Y = limArn@). Пусть f:X^oy -+
-> Y — отображение, существование которого гарантировано леммой 7.10,
где -У(о) ~ CW-комплекс. Отображения Хп ~+Х„@) определяют отображе-
отображение НтХ„ -»• Нт1„@), и мы получаем диаграмму
Препятствия к поднятию отображения X -> ИтХ„@) до отображения
X -*¦ -У(о) лежат в группах Н*(Х, nt_1 (F)), где F - теоретико-гомотопи-
теоретико-гомотопический слой отображения ф. Однако поскольку отображение ф индуцирует
изоморфизм в гомотопических группах, группы -nt(F) тривиальны. Следо-
Следовательно, искомое поднятие существует и является локализацией простран-
пространства X в нуле.
Вычисления. 1) Поскольку группы Я»(А'(С, 2и — 1), 2) равны
( (D при *= 2и- 1,
отображение /: S 2 " ' -»¦ К (Ш, 2и - 1) является локали-
I 0 при *Ф2п- 1,
зацией. Отсюда следует
конечная группа, * w- 2и — 1.
2) Отображение S2n -> A'(<Q, 2и) индуцирует изоморфизм в рацио-
рациональных когомологиях в размерностях < 4и — 1. Ядро отображения
#4n(K(ffl, 2и), Ш) -+H4n(S2", (Q) порождено элементом i2. Рассмотрим
главное расслоение
А(О,4и - 1) -* Е -*¦ А'(Ш,2и),
задаваемое Л-инвариантом i2.
Нетрудные вычисления, использующие спектральную последователь-
последовательность Серра, показывают, что
Н*(Е,п) s H*(S2n,(u).
72

Кроме того, можно поднять отображение S2"-*K (Ctt , 2и) до отображе-
отображения S 2 " -*¦ Е. Отсюда следует
Г г; / = 2я;
nj(S2") = I ~Z® конечная группа, i = 4n — l;
I конечная группа, гФ2п, 4и — 1.
3) Существует отображение СП-* A'(<Q, 2), индуцирующее изомор-
изоморфизм в рациональных когомологиях вплоть до размерности 2и + 1.
Обозначим ?¦ -»• A'((D, 2) главное расслоение со слоем К(п, 2 и — 1) и
^-инвариантом t" + 1.
Аналогично предыдущему можно доказать, что отображение СО3" -+Е
индуцирует изоморфизм в рациональных когомологиях. Поэтому про-
пространство Е совпадает с локализацией ССР" ,.
4) Мы видели, что алгебра H*(BU(n), <D) изоморфна алгебре полино-
полиномов от образующих си ..., с„. Рассмотрим отображение
BU(n) > П АГ(<П,2Л).
(С,, ...,С„) fc= 1
Это отображение индуцирует изоморфизм в рациональных когомологи-
когомологиях. Поэтому
(BU(n)\0) ^ П К(<й,2к).
* = 1
Это показывает, что все Л-инварианты пространства BU(fi) обращаются
в нуль, будучи тензорно умноженными на группу О, и, следовательно,
они имеют конечный порядок. Отсюда также вытекает рациональная тео-
теорема периодичности Ботта: ?12BU(O) ~ BU@)-
Эти примеры иллюстрируют нашу постоянную тему: теория гомото-
пий "над С" гораздо проще, чем "над Ж\ Над (D у нас есть шанс полу-
получить полный ответ, в то время как над ~S это почти всегда невозможно
(пример: 7г,E")).
4, ФА. Гриффите

Глава 8
ТЕОРЕМА ДЕ РАМА ДЛЯ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ
В следующих четырех главах мы покажем, как можно вычислить
рациональный гомотопический тип пространства, используя дифферен-
дифференциальные формы определенного типа.
А. Кусочно-линейные формы (Р. ?.-формы). Мы будем рассматри-
рассматривать симплициальный комплекс К. Напомним, что симплициальный ком-
комплекс К является объединением л-симплексов А", где каждый симплекс
Д" можно представить себе как множество
Д" = {(/<>,.... Л.): О <t, < 1, Ь,= 1)
1= О
(числа tj называются барицентрическими координатами точки (/0> • • •. *„)).
Вот несколько простейших рисунков:
• 0 - симплекс
Л
1- симплекс
2-си мп леке
3 - симплекс
Заметим, что граница ЭД" симплекса Д" является объединением и — 1
симплексов. Границе ЭД" гомеоморфна сфере S"~l.
Рассмотрим дифференциальные формы в |Rn+*, имеющие вид
^4>ii.:.ikdtii Л ...Adt,k,
где y>tl.;.ik — полиномы с рациональными коэффициентами. Обозначим
через А*(&") алгебру, состоящую из сужений таких форм на симплексе Д".
п
Заметим, что в этой алгебре выполнены соотношения Б t, = 1 и, следо-
i = О
74

л
вательно, соотношения Б dtt = 0. Пусть Ак С А" является гранью симп-
1=0
лекса Д". Тогда имеется отображение сужения А*(А") -*А(Ак).
Пусть К — симплициальный комплекс. Положим
А*(К) ={(оза)аеК, со0еЛ*(о)со0 | т = сот, если т является гранью
симплекса а}.
Таким образом, каждый элемент множества А*(К) представляет
собой семейство дифференциальных форм, определенных на симплексах
комплекса А', и согласованных относительно операции сужения на грани.
Дня каждого симплекса А" комплекса К в алгебре А *(Д") определе-
определены операции высшего произведения и дифференцирования, индуцирую-
индуцирующих соответствующие операции в множестве А* (К). Эти операции превра-
превращают множество А*(К) в дифференциальную градуированную алгебру
(сокращенно дх. алгебру) над полем рациональных чисел.
Определим отображение
А*(К) -> С*(К; О)
р
формулой <р(со), А" > = / cj.
"
Отображение р коммутирует с дифференциалами. Это вытекает из
/^-варианта теоремы Стокса.
Теорема (PL-теорема де Рама). Гомоморфизм р индуцирует изо-
изоморфизм в алгебрах когомологий.
Мы выведем эту теорему из следующего предложения.
Предложение 8.1. (i) Пусть задана PL-форма у ? А"(К) на
комплексе К, причем d<p = 0, р(<р) = 0 (последнее означает, что / <р = О
А"
для всех симплексов А"). Тогда существует такая форма ф? Ап~1(К),
что d\p = <р,р(ф) = О.
(и) Отображениер: А*(К) ->С*(АГ) эпиморфно.
Покажем, как вывести аддитивную часть *) /^-теоремы де Рама из
предложения 8.1. Из утверждения (П) предложения 8.1 следует существо-
существование короткой точной последовательности
О -> В*(К) -* А*AС) Ъ-С*(К) -* О,
причем из утверждения (i) предложения 8.1 следует, что Н*(В*(К)) = О,
откуда и вытекает требуемое.
В. Леммы о PL-формах .
Лемма Пуанкаре 8.2. Пусть К - конечный комплекс и с(К) —
конус над ним. Пусть if' - замкнутая форма на комплексе с (К) степени
I >0. Тогда <pl =d\p'~1 для некоторой формы ф'-1 ?А*(с(К)).
*)Мы называем "аддитивной частью" теоремы де Рама утверждение о том, что
отображение р* - изоморфизм. Мультипликативность отображения р* мы докажем
позже. - Примеч. пер.
75

Доказательство. Конус с (К) представляет собой соединение
комплекса К и точки с, т.е. множество точек вида sk + A — s)c, где
О < s < 1, к е К. При этом мы полагаем по определению, что 0 • к + 1 • с = с
для всех к ? К. Определим отображение
ц: с(А')Х/-> с (К)
следующей формулой
A - s)c, t) = s(l - t)k + (s +1(\ - s))c.
Пусть X — форма на конусе с (К). Рассмотрим форму ц *(Х) на с (К) XI.
При этом на любом подкомплексе с(а) X /, где а — некоторый симплекс
комплекса К, форма М*(Х) является полиномиальной формой с рациональ-
рациональными коэффициентами. Мы предполагаем, что в качестве координат на
комплексе с(о) X / выбраны координаты s, t и барицентрические коорди-
координаты на симплексе о. Формы, соответствующие разным симплексам, согла-
согласованы между собой.
Утверждение. Пусть <р' - замкнутая форма на с (К) степени
t = 1
/>0; тогда имеет место равенство d(— / д*(<р')) = i/>'.
t = о
Пояснение. Форму ц *(</>') I с(о) X / можно представить в виде
N
S а/(о) Г1' + Pj(o)t'dt, где а,(а), ft (а) G А*(с(о}). Формы «,(а) и
i = 1
ft (а) определяют формы а,- и ft на всем комплексе с (К). Интеграл, фигу-
фигурирующий в формулировке нашего утверждения, определяется следую-
следующим образом. Пусть
N
V ' 'dt, где ahPfGА*(с(К)).
R.
-• —
Положим
t - 1
t = 0
Покажем,
0
i
ЧТО
N
Б
= 0
d
/+ 1
f = 1
•-/ д*ср) = «р.
г = о
Отображение м U = 0 является тождественным, поэтому <р = д VI (t =0,
Л = 0) = а0 • Отображение ц \t = 1 является постоянным отображением
в точку с, поэтому
1 = О
здесь (и только здесь) мы используем, что / > 0.
Далее, форма ^ замкнута, поэтому n*(dy) = dy*(^) = 0. Следователь-
Следовательно, выполнены равенства
f Л*, = 0, 1 > 0;
( (_l)de«effa* + dft_1 =0, / > 1.
76

Итак,
d( - f M*V)= 2 ( I d(!j = — 2 a,- = a0 = <j>.
t = о / = о \ / + 1 / i = i
Лемма о продолжении 8.3. Пусть <р' - форма на границе
ЭД" симплекса А". Тогда найдется такая форма $' на симплексе А", что
*>»/ I •* A ft I
ф \ ЭД = 0 ¦
Доказательство. Пусть а — одна из (и — 1)-мерных граней
симплекса Д", скажем, а={ (t0,... ,tn)\tn = O}.
Обозначим у вершину (tn = 1) и U — дополнение в симплексе о к этой
вершине. Рассмотрим отображение стереографической проекции п: U -*¦ а
из вершины v. Это отображение задается формулой:
-tn \~tn
Форма ?r*(a) на множестве Uявляется полиномиальной формой (с ра-
рациональными коэффи'щентами), содержащей координаты t0, . . . , tn,
1/A -fn) и дифференциалы dt0, ¦ ¦ ¦ ,dtn,d(lj(\ -tn)).
Так как ^A/A — tn)) = -A/A - tnJ)dtn, форма п*а является
полиномиальной формой, содержащей переменные t0,. ¦ ¦, tn_x, 1/A — tn)
и дифференциалы dt0, ¦ ¦ . , dtn. Поэтому для достаточно большого нату-
натурального числа Л^ форма а = A — tn) n*a является О-полиномиальной
формой на симплексе Д". Заметим, что если т — грань симплекса о и
air = 0, то сужение формы а на соединении грани г и вершины и равно
нулю.
Пусть теперь <р G А*(дА"). Обозначим через а0 грань {г0 = 0}, через
<Ро — сужение формы <р на грань о0. Рассмотрим форму ^0 на симплексе Д".
Сужение формы <р - (?>0 I ЭД") на симплексе а0 равно нулю.Обозначим
эту разность </>i. Рассмотрим сужение (Vi I ffi) формы </>j на грань ах =
= {t\ =0} и рассмотрим продолжение ?>] на весь симплекс Д" формы
(<Pila,). Известно, что (<?ilao) = 0. Таким образом, форма
V — ((?о + <?i) I ЭД") обращается в нуль на симплексе а0 и ах. Применив
такое же рассуждение несколько раз, получим, что
0=2 Й1ЭД".
1 = О
Лемма 8.4. (а„) Пусть <р1— замкнутая форма на симплексе А",
VI ? А*(А"), обращающаяся в нуль на границе 3Д". При I = и предположим
дополнительно, что f <р ~ 0. Тогда if1 =dtyl~x, где форма Ф1~1 обращает-
д"
ся в нуль на границе 3 Д" симплекса А".
77

(Ь„) Пусть у1 - замкнутая форма на симплексе А", ух е Л*(ЭД"),
/ > 0. При I = п — 1 предположим дополнительно, что / <р = 0. Тогда
9 Л
у =d\}> для некоторой формы ф ?А*(д&").
Доказательство. Ясно, что (а0). {bo), (bi) верны. Далее мы
будем действовать по индукции.
Докажем, что (ai) верно.
При k > п любая Л-форма на и-симплексе равна нулю, поэтому нам
достаточно рассматривать только 0- и 1-формы. Для 0-форм, т.е. функций,
утверждение (ai) очевидно.
Для 1-форм это утверждение вытекает из теоремы Ньютона — Лейб-
Лейбница. А именно, путь p(t)dt есть 1-форма на отрезке [0, 1]; рассмотрим
такой полином Q(t), что Q'(t)dt = p(t), Q@) = 0. Значение полинома
1
Q в точке 1 равно fp(t)dt = 0.
о
Докажем теперь импликацию (а„_ j) =* (bn).
Пусть <р — замкнутая форма на границе ЭД" симплекса Д", а а„ =
= {tn = 0} является гранью симплекса Д". Из леммы Пуанкаре следует,
что формам|FД"— int а„) равнаdi//, где ф ?А*(дАп — int а„).
По лемме о продолжении мы можем продолжить форму ф до фор-
формы ф ?Л*(ЭД"). Тогда форма ^ — d$ является замкнутой формой на
границе 9 Д", причем ее носитель содержится в грани а„ = {tn = 0}. Буду-
Будучи сужена на эту грань а„, форма у- dф обращается в нуль на подмно-
подмножестве Ъап. Кроме того, если / = и- 1, то /<р;= f (у1 - d\jj) =
{*п = о}
Применяя утверждение (an_i), получаем, что существует такая фор-
форма ц на симплексе ап = {tn = 0}, что <р — d\p = dn, причем (д | Эа„) =0.
Рассмотрим продолжение ц формы ц на оставшуюся часть границы ЭД".
Тогда <р = Ъ(ф+ ц).
Теперь докажем импликацию (Ьп) =>(а„).
Пусть у1 — замкнутая форма на симплексе Л", причем <р' | ЭД" = 0.
Из леммы Пуанкаре следует, что <р' = dфI~1, причем форма ф'~~1 может
не обращаться в нуль на границе ЭД". Форма ф'~1\ ЭД" замкнута. Если
/ = 1, и > 2, то функция ф1 постоянна на границе ЭД". Следовательно, не
ограничивая общности, можно сказать, что ф'-1\ ЭД" = 0. При / > 1 вы-
выполнено равенство ф'~1\дАп = э?~2, что вытекает из (Ьп))- (Если/ =и,
то / ф1~1 = / dф = / у = 0.) Рассмотрим продолжение формы ju на
_ . п п . п
ал л л
весь симплекс Д". Легко видеть, что <р = dQp - dp), (ф - d$)\ ЭД" = 0.
Теперь все требуемые леммы доказаны и мы можем вернуться к до-
доказательству предложения 8.1. Напомним формулировку (i):
(i) Пусть у — замкнутая форма на комплексе К. причем / ^ = 0
а"
для всех симплексов а" ? К. Тогда $ = с!ф для некоторой формы ф ?
& А"~1(К), причем / ф = 0 для всех симплексов т"~1?.К.
г"
78

Доказательство. Согласно лемме 8.4 для каждого
симплекса а" существует такая форма фа е А"(а"), что у \ а = d4>o и
фа | до" = 0. Формы фа определяют элемент в А"~1(К^), обращаю-
обращающийся в нуль на остове А'*"-'). Используя многократно лемму о про-
продолжении, мы можем продолжить эти формы до формы ф„ на всем
комплексе К. Разность форм <р - йф„ обращается в нуль на остове К(").
Для любого симплекса а"М форма (v>-<*//„) I о"+ 1 замкнута и обра-
обращается в нуль на границе Эа"+1. Поэтому существует такая форма ца&
е А"'1 \о"+1, что dna = (<p -d\pn)\a,uio\ban+1 = 0. Как и раньше, легко
видеть, что набор форм ца определяет форму на остове А'("+1) г обращую-
щуюся в нуль на К^пК Продолжив эту форму на весь комплекс А, получа-
получаем такую форму ф„+1 ? Л" (А), что фп+1\К^ = 0. Разность форм
V - <1(фп + Фп+i) обращается в нуль на остове А'("+1>. Продолжая таким
же образом, получаем такие формы ф„, фп+1, . . ¦ , ф{ е Ап~1 (К), что
ф{\К^~х) = 0 и (^ - dWt +.'.. + i//n+fc))|A'(n+fc) = 0. Так как
1) = 0, то бесконечная сумма Б ф„+к представляет собой
к = 0
определенный элемент алгебры А*(К). Этот элемент удовлетворяет всем
нашим требованиям.
Перейдем к доказательству (ii), утверждающего, что отображение р:
А*(К) ->С*(АГ) является эпиморфизмом.
Доказательство. Для данного симплекса а" е К форма со =
= (l/v0lo")dti л ... l\dtn является замкнутой и интеграл от этой формы
по симплексу а" равен 1.
Распространим форму cj на все остальные и-симплексы т" комплек-
комплекса К, положив <о | т" = 0.
По лемме о продолжении найдется такая и-форма у> на комплексе К,
что
"
= 1, а при т"Фап выполнено равенство / «р = 0.
Проведя то же рассуждение для всех симплексов комплекса, получим,
что отображение р является эпиморфным.
С Естественность относительно подразделений. Пусть К — линейный
клеточный комплекс. Это означает, что топологическое пространство К
представлено в виде объединения U?),-, где каждое множество ?>,- гомео-
морфно выпуклому многограннику, причем функции перехода, соответ-
соответствующие пересечениям Dt n Dj, линейны. Подразделение комплекса К —
это новая линейная клеточная структура на пространстве К, для которой
каждая клетка из нового разбиения вложена в некоторую клетку старо-
старого клеточного разбиения, причем это вложение линейно. Каждое такое
подразделение однозначно определяется набором новых вершин. Если в
каждой клетке комплекса К лежит ровно одна новая вершина подразбие-
подразбиения К', то подразделение К' называется барицентрическим подразделе-
подразделением комплекса К.
Барицентрическое подразделение любого комплекса К является сим-
плициальным комплексом.
79

Лемма 8.5. Пусть К - линейный клеточный комплекс, а К' - под-
подразделение комплекса К, являющееся симплициалъным комплексом.
Тогда отображение интегрирования
р: А*(К') •* С*(К,Ъ)
индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Доказательство. Отображение р определено с помощью опе-
операции интегрирования формы по клеткам комплекса К. Для завершения
доказательства осталось сослаться на теорему де Рама.
Пусть К — симплициальный комплекс и К' — подразделение комплек-
комплекса А', в котором каждая вершина имеет рациональные барицентрические
координаты. Рассмотрим отображение ограничения
А*(К) -> А*(К').
Это отображение является морфизмом дифференциальных алгебр,
индуцирующим (по теореме де Рама) изоморфизм в когомологиях. Пусть
/ — произвольное непрерывное отображение /: | К \ -*¦ | L | геометрических
реализаций симплициальных комплексов K,L- Отображение / может быть
приближено симплициальным отображением <р: К' -*¦ L, где К' — некото-
некоторое подразделение комплекса К. Отображению у в геометрических реали-
реализациях соответствует отображение | «р |: | К' \ -*¦ | L |, гомотопное отобра-
отображению /. В качестве подразделения К' можно взять любое достаточно
мелкое подразделение комплекса К. Мы будем считать, что вершины это-
этого подразделения имеют рациональные координаты. Отображению <р соот-
соответствует отображение <р*: А*(Ь) -* А*(К'). Конечно, отображение v>*
зависит не только от исходного отображения /, но и от конкретного выбо-
выбора подразделения К'и отображения у, но, как мы увидим ниже, в гомото-
гомотопической категории дифференциальных алгебр отображение <р* определе-
определено корректно.
D. Мультипликативность изоморфизма де Рама. Пусть К — симпли-
симплициальный комплекс, А*(К) — алгебра Р.1,.-форм на комплексе К,
H*DR{K) — группа когомологии алгебры А*(К). Мы показали, что отобра-
отображение интегрирования является изоморфизмом. Группы H^R (К) и
#*(|А'|, О) представляет собой градуированные кольца (умножение
в Hqr(K) индуцировано произведением форм, а в Я*(| К |, О) - умно-
умножением Александера — Уитни, определенным на коцепях).
Мы хотим доказать, что р* является изоморфизмом градуирован-
градуированных алгебр.
Прежде всего доказать это, указав описание произведения в кольце
сингулярных когомологии. Пусть К — симплициальный комплекс; | К | —
его геометрическая реализация. В пространстве |?| X |?| существует
естественная структура линейного клеточного комплекса. Его клетками
являются всевозможные произведения о X т, где а и т — симплексы комп-
комплекса А.'. Этот линейный клеточный комплекс не является симплициаль-
ным — именно поэтому на симплициальных коцепях не удается определить
умножения, которое было бы одновременно коммутативным и ассо-
ассоциативным. Пусть а и 0 — симплициальные коцепи на комплексе К. Опре-
Определим клеточную коцепь а ® 0 на линейном клеточном комплексе | К \ X
X | АГ | по формуле < а в |3, а X т > = < а, а >< ft, т >. Легко видеть, что 6 (а ® 0) =
80

= 5a® /3 + (— l)degaa ® 5/3. Отсюда следует, что если а и 0 являются коцик-
коциклами, то и а ® /3 — коцикл. Класс когомологий, индуцированный на комп-
комплексе К из коцикла а ® /3 при диагональном отображении Д: '\К\-+\К\Х
Х\К\ совпадает с классом [a] U [0] еН*( | ? |).
Умножение коцепей в смысле Александера — Уитни определяется
следующим образом. Подбирается специальное линейное отображение Д':
| К \ -*¦ | К | X | К | (так называемая "диагональная аппроксимация Алек-
Александера — Уитни"), гомотопное диагональному отображению, и вычисляет-
вычисляется прообраз Д' *(а® /3) коцикла а ® /3 при этом отображении.
Пусть теперь у0 и tpi являются элементами группы А*(К). Пусть
(| AT | X | К |) — произвольное подразделение комплекса | К | X | AT | с ра-
рациональными вершинами, являющееся симплициальным комплексом.
Определим форму y0 X ipi е.4*((|АТ| X |А'|)') следующим образом.
Любой симплекс т е (| К \ X | AT |)' лежит в произведении а0 X. ot, где
а0, ох е AT, причем вершины симплекса т имеют рациональные координаты.
Форма (tp0 I o0) ® ((p! j Oj) является полиномиальной формой с рациональ-
рациональными коэффициентами (относительно линейной структуры на произведе-
произведении \К \Х \ К |), поэтому на симплексе т возникает полиномиальная фор-
форма (tp0 ® t^i) | т. Семейство форм (tp0 X ipt) | т определяет форму на комп-
комплексе (I А' | X | AT |), которую мы обозначаем <pQ ®ipt еЛ*((|АТ| X |А'|)').
Отображение
р: уГ((|АТ|Х|АГ|)') ¦+ С*(\ К | X | AT |, С)
переводит форму ip0 ® <Pi в коцепь, принимающую на симплексе а0 X ал
значение ( / у0 ) • ( / ^ ).
Таким образом, если *р0 и i^i являются замкнутыми формами, то
образ p(tpo ® >Pi) формы t^o X 1^! совпадает с коциклом р(&о) ® P((Pi).
Рассмотрев сужение коцикла р(\р0) X p(ipi) на диагональ, легко уви-
увидеть, что р, — образ класса когомологий формы у0 Л <pi - совпадает с U-
произведением классов когомологий <р0 U t^. Это и доказывает мульти-
мультипликативность изоморфизма де Рама.
Е. Связь с С°° -теоремой де Рама. Пусть М является С°°-многообра-
зием.Вэтом случае определима алгебра (над IR) С°°-форм на М. Теорема,
доказанная де Рамом, утверждает, что когомологий этой алгебры естест-
естественно изоморфны сингулярным когомологиям с вещественными коэффи-
коэффициентами, причем изоморфизм сохраняет умножение. Отображение форм
в коцепи определяется с помощью интегрирования. В настоящее время
известно довольно много различных доказательств этой теоремы. Напри-
Например, можно использовать потоки (таково, по существу, доказательст-
доказательство де Рама).
Можно доказать, что когомологий де Рама удовлетворяют аксиомам
Стинрода — Эйленберга и, следовательно, должны совпадать с обычными
ко го мол огнями.
В духе нашей книги следовало бы применить индукцию по разложе-
разложению на ручки многообразия М, доказав предварительно лемму Пуанкаре.
Можно также использовать покрытия многообразия М выпуклыми под-
подмножествами пространства IR". Этот несколько более слржный подход,
апеллирует к "теории пучков".
81

Доказательств много, результат один: *)
Теорема 8.6. Пусть А*с°> (М) - алгебра С°°-форм на многообра-
многообразии М. Тогда отображение интегрирования
р: А*С-(М) -> С*(М, IR)
индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Установим теперь связь между С~-формами и Р.?,.-формами.
Любое С "-многообразие М обладает С°°-триангуляцией. Это означает,
что существует симплициальный комплекс Км и гомеоморфизм Км -*¦ М,
являющийся С "-гладким на каждом симплексе.
Рассмотрим д.г. алгебру А *{КМ ) полиномиальных-форм.
Введем следующие обозначения: через А*(М~) обозначим алгебру
/"./..-форм на многообразии М в данной триангуляции, через А*«>(М) ал-
алгебру С°°-форм. Через А *(М) обозначим множества, элементами кото-
которого являются такие наборы {<ра } форм на симплексах а данной триангу-
триангуляции, что:
1) для каждого симплекса а форма уа представляет собой гладкую
форму на симплексе а:
2) <ра \оПо' = фа' \аПа'.
Такие наборы называют кусочно гладкими формами.
Множество А *(М) также является дл\ алгеброй. Для кусочно глад-
гладких форм также выполнена теорема Стокса. Рассмотрим диаграмму
А*{М) |
Обозначим через Н* С°°(М) когомологии алгебры А *{М).
Отображение интегрирования индуцирует гомоморфизм Я* ~(Л/)
>Я*(Л/, IR). Получается диаграмма
H*(A*(M)) $ R' / >#(A*.(AO)
u \ e - / «
Предложение 8.7. Отображение интегрирования индуцирует
изоморфизм
•)См. У и т н и X. Геометрическая теория интегрирования. М.: ИЛ, 1960.
82

Следствие 8.8. Отображения вложения
А*(М) ® 1В ¦* А*(М),
о
индуцируют изоморфизм в когомологиях.
Доказательство предложения 8.7. Доказательство по
существу повторяет доказательство для P.L.-случая. Имеет место аналог
леммы Пуанкаре. Лемма о продолжении доказывается как и раньше —
с помощью стереографической проекции, но вместо умножения на много-
многочлен A — tn)N следует умножать на гладкую функцию переменной tn,
равную 1 при tn = 0 и тождественно нулевую в окрестности точки tn = 1.
В остальном доказательство воспроизводит (с соответствующими
изменениями) доказательство для случая P.L.-форм.
F. Обобщения. Предположим, что пространство X составлено некото-,
рым образом из "кусков", являющихся многообразиями. (Такой струк-
структурой обладают, например, все симплициальные комплексы.) Тогда можно
определить д.г. алгебру кусочно гладких форм на пространстве X, кого-
когомологии которой изоморфны алгебре когомологии пространства X. Мы не
будем осуществлять эту конструкцию в общем случае, рассмотрев лишь
один важный пример. Пусть D\, . . . , Dk — гладкие подмногообразия мно-
многообразия Y, причем все пересечения
k
трансверсальны *). Обозначим через А* „•*> ( U Д,) множество
рс /= 1
{со,- ел '-(О,), /=1,...,*|
Wj | Dt ПDj = coj I Dt ПDj для всех /, /}.
k
Мы утверждаем, что когомологии алгебры А* „°° ( U /),) изоморф-
р.с l= j
к
ны сингулярным когомологиям пространства U /),- с вещественными
<= 1
коэффициентами.
В самом деле, триангулируем объединение U Dt так, чтобы все
пересечения были подкомплексами и чтобы каждый комплекс был С1-глад-
С1-гладким. Обозначим через К возникающий симгшициальный комплекс.
Рассмотрим отображение интегрирования
*)Имеется в виду, что каждое подмногообразие D( п . . . п -О/л_ , трансвер-
сально пересекается с ?>,-., что позволяет определить трансверсальность пересечения
набора подмногообразий D^ ,... ,Df. индукцией по числу к. — Примеч. ред.
83

Мы утверждаем, что оно индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Это доказывается индукцией по к. Для к = 1 этот факт составляет утверж-
утверждение теоремы де Рама. Пусть мы доказали этот факт для всех К к.
к
Представим пространство D = U Dt в виде D = D' U Dk , где D' =
* - 1 * - 1
= U Dj. Заметим, что D'C\Dk= U (О,П?)Л). Рассмотрим комму-
i=i /= 1
тативную диаграмму коротких точных последовательностей:
О ¦* А*рС~ф) -* A^c-(P')9A^c-(pk)+ApmC-(p'nDk) - О
О -> С*ф, й) -»¦ C*(D', К)® С*фк, ЯЧ) -> C*(D'nDk, й) -* 0.
Применяя предположение индукции и 5-лемму» немедленно получаем
искомый результат.

Глава 9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ
А. Введение. В этой главе мы будем изучать дифференциальные ал-
алгебры. Нас будет интересовать гомотопическая теория этих алгебр. Для
каждой дифференциальной алгебры построим некоторый объект (мини-
(минимальную модель), являющийся аналогом башни Постникова.
Определение 9.1. Дифференциальная градуированная алгебра
(сокращенно: дифференциальная алгебра) Л * — это градуированное век-
векторное пространство над полем О, IR или С
Л* = ® Лр,
р > о
в котором заданы дополнительно:
1) дифференциал d: Л* ~+Л* + 1, причем выполнено соотношение
</2=0,
2) умножение Лр ® JL4 -*¦ Лр + Я, причем а/3 = (-1)р<? /За,и выполне-
выполнено равенство
d(a/3) = с?а-/} + (-1)ра- rf/3.
Для краткости мы будем писать "д.г. алгебра" вместо "дифференциаль-
"дифференциальная градуированная алгебра".
Примеры. 1. С°°-комплекс де Рама A *DR (M) гладкого многообра-
многообразия М и Р.?.-комплекс де Рама A *PL {К) симплициального комплекса К
являются as. алгебрами над IR и О соответственно.
2. Кольцо когомологий Н*(Х, О) пространства X является д.г. алгеб-
алгеброй (с нулевым дифференциалом). Сингулярный коцепной комплекс
С*(Х, С) не является д.г. алгеброй, поскольку не выполнено условие
коммутативности умножения.
3. Проблема коммутативных коцепей. Быть может, основным стиму-
стимулом к возникновению излагаемой здесь теории послужила проблема ком-
коммутативных коцепей. В абстрактной форме ее решил Квиллен *). Пытаясь
осилить его теорию, Сулливан пришел к рассмотрению PL -форм и уста-
установил связь между гомотопическим типом пространства и дифференциаль-
дифференциальными формами на нем. С нашей сегодняшней точки зрения значительная
часть этой теории уже содержалась в книге Уитни "Геометрическая теория
*)См. Приложение А1. - Примеч. пер.
85

интегрирования". Однако Уитни строит коммутативные коцепи только
над полем IR, а не над полем С Поскольку не существует башен Постни-
Постникова над IR, прямая связь теории Уитни и рационального гомотопическо-
гомотопического типа оказывается невозможной.
Пусть X — симплициальный комплекс. Обычное определение U-произ-
ведения ар U /Зч коцепи ар е Ср (X) и коцепи fiq G С4 (X) таково:
(9.1) (ар U /Зч, Ap + Q > = <ар, передняя р-грань симплекса Др +q > •
• </Зч, задняя «7-грань симплекса Ар + ч >.
Из этой формулы вытекает, что для U-умножения выполнены сле-
следующие свойства:
1) 5(apU/34) = 8OpU^+(-l)"opU8|J4;
2) epU(p4U7,)=(OpU/J,)Urr.
Более того, прямое вычисление показывает, что на уровне когомоло-
гий выполнено условие градуированной коммутативности:
Однако равенство
3) арид, = (-1)р%иар
на уровне коцепей неверно. Попытки изменить определение (9.1) таким
образом, чтобы были выполнены все три свойства 1) — 3), обречены на про-
провал. Тридцать пять лет назад Стинрод построил некоторые специальные
когомологические операции (квадраты Стинрода), с помощью которых
можно, в частности, показать, что проблема коммутативных коцепей
над Z неразрешима. Над полем О рациональных чисел это препятствие исче-
исчезает (мы фактически доказали это, вычислив группы H*{K(jS, я), О)),
поэтому в этом случае можно надеяться на положительное решение пробле-
проблемы коммутативных коцепей.
Сейчас мы определим точно, в чем состоит проблема коммутативных
коцепей.
Определение. Функтором коммутативных коцепей называется
любой функтор, сопоставляющий каждому симплициальному комплек-
комплексу X д.г. алгебру С(Х) над полем О, причем элементы этой алгебры об-
обладают свойствами, аналогичными свойствам 1) — 3), причем выполнены
также следующие свойства:
4) алгебра когомологии as. алгебры С*(Х) совпадает сН*(Х, О);
5) для подкомплекса Y С X отображение С * (X) -*¦ С *(Y) эпиморфно.
Проблема коммутативных коцепей состоит в том, чтобы построить
такой функтор.
Пример. Алгебра PL-форм ApL (X) определяет функтор комму-
коммутативных коцепей, а гомологии Н*(Х, О) — нет, поскольку не выполнено
условие 5).
Несколько позже в этой главе мы покажем следующее:
Теорема. Пусть С* - фуктор коммутативных коцепей. Тогда ми-
минимальная модель Л д.г. алгебры С*(Х) определяет п-гомотопический
тип пространства Х-
Круг замкнулся. Проблема коммутативных коцепей оказалась экви-
эквивалентной проблеме нахождения О-гомотопического типа пространства
86

по его коцепному комплексу. Понятие /*/,-формы доставляет решение
этой проблемы, и, более того, следствием этого решения является тот факт,
что С "-формы определяют Ft-гомотопический тип многообразия.
Интересно, что Уитни в своей книге на самом деле показал, что любой
функтор коммутативных коцепей (над полем Л, удовлетворяющий не
очень ограничительным условиям непрерывности, задается интегрирова-
интегрированием дифференциальных форм соответствующего типа (плоских форм)
по цепям. Только сейчас, спустя двадцать пять лет, мы наконец поняли,
к чему он клонил.
Обозначим через Н*(Л*) когомологии алгебры Л" относительно
дифференциала d. Эта алгебра также является д.г. алгеброй (с нулевым
дифференциалом).
Мы будем предполагать в дальнейшем, что векторное пространство
Н°(А*) изоморфно основному полю, а пространство НХ(А*) является
нулевым, т.е. алгебра Л* связна и односвязна.
Определение. Дх. алгебра Л* называется минимальной, если
выполнены следующие условия:
1) Л * является градуированно-коммутативной алгеброй,
2) Л1 =0,
3) (г(/)С^*Л^', где Л * = © Лк (т.е.дифференциалdраз-
к > о
ложим).
Условие 1) означает, что алгебра Л* является тензорным произведе-
произведением алгебр полиномов от четномерных образующих и внешних алгебр
от нечетномерных образующих. Существует также обобщение понятия
минимальной алгебры, в котором отказываются от условия 2).
Минимальной моделью алгебры Л* называется минимальная алгебра
Л* вместе с отображением Л(А*) -»¦ Л* > индуцирующим изомор-
изоморфизм в когомологиях. Одним из основных результатов этой главы являет-
является теорема, утверждающая, что для всякой односвязной д.г. алгебры су-
существует минимальная модель.
Замечание. Конструкция модели М{Л*) мотивирована конструк-
конструкцией башен Постникова. Этой аналогии может быть придан точный смысл,
как мы увидим в гл. 11.
В. Расширения Хирша. Основное свойство минимальной алгебры со-
состоит в том, что она представляет собой объединение возрастающей после-
последовательности подалгебр, каждая из которых простым образом получает-
получается из предыдущей. Мы сейчас опишем эту конструкцию.
Определение 9.2. Расширением Хирша д.г. алгебры А назы-
называется вложение
А*+ А 9 A(V)k.
d
Обозначение справа расшифровывается так:
1) V — (конечномерное) векторное пространство, сосредоточенное
в размерности к.
2) A(F)ft — свободная градуированно-коммутативная алгебра с еди-
единицей, порожденная векторным пространством V (т.е. полиномиальная
алгебра в случае четного к и внешняя алгебра в случае нечетного к).
87

3) dявляется отображением V-*Ak+1.
Продолжением дифференциала на всю алгебру А ® Л.(У)к опреде-
определяется однозначно по d \ V и d \A.
Мы используем следующие сокращения. Будем писать v вместо
1®!)(!)бГ),а также а вместо а ® 1 (а &А).
Два расширения Хирша А -+А ® A(V) и А -*¦ А ® A(V') называют-
d d
ся эквивалентными, если существует коммутативная диаграмма
А • Л (К)
А •, A(V')
а
где <р — изоморфизм.
Лемма 9.3. Два расширения Хирша А -*А ® A(V) и А -+А « A(V')
d d'
эквиваленты тогда и только тогда, когда существует такой изомор-
изоморфизм ф: V-+V', что диаграмма
коммутативна.
Доказательство. Если у: А ® A(V) -+ А ® A(F') — изомор-
d d'
физм, тождественный на алгебре А, то $(р) = аи + ф(р), причем ф - изо-
изоморфизм, так как у является изоморфизмом. Далее,
поэтому
Обратно, пусть ф: V-* V' — такой изоморфизм, что [dv] = №'ф(р)] е
S Я*+ !(А). Тогда dy - d^(v) = ^ди, где аи еА, причем можно счи-
считать, что аи линейно зависит от вектора и. Положим y(v) = аи +ф (р). Лег-
Легко видеть, что эта формула определяет изоморфизм <р: А ® A(V)-+A ®
® А(У'), коммутирующий с дифференциалами.
Можно также классифицировать расширения Хирша алгебры А с фик-
фиксированным векторным пространством V. Мы говорим, что два таких
расширения эквивалентны, если существует изоморфизм
<р: А ® A(V) -> А ® А(У'),
d d'
тождественный на алгебре А и переводящий вектор v G V в вектор у + аь-
88

Классы эквивалентных расширений находятся во взаимно однозначном
соответствии с отображениями
d: V ¦+ Hk+i(A),
или, что то же самое, с классами когомологий
[d]GHk+1(A,V).
Предложение 9.4. Пусть Л— минимальная алгебра. Обозна-
Обозначим через Л (п) подалгебру, порожденную образующими, степени которых
не превосходят числа п. Тогда -М@) = «^A) С ЛB) С . . . , причем
UjC{n) = Л, а каждое вложение Л(п) С Л(п + 1) - расширение Хирша.
Доказательство. Каждая алгебра Л(г) является свободной,
поэтому имеется изоморфизм алгебр
Дифференциал d в алгебре Л разложим, и, поскольку в алгебре Л
нет элементов размерности 1, элемент d(v) является суммой, слагаемые
которой являются произведением элементов, размерности не выше и.
Таким образом dv &Л{п). Это и означает, что Л(п) СЛ(п + 1) являет-
является расширением Хирша.
Обратно, если Л1 =G, Л= иЛ(п), где Л(п) С Л(п + 1) - расши-
п
рение Хирша размерности и + 1, а Л@) — основное поле, то алгебра Л
является минимальной дх. алгеброй (так же, как и все подалгебры Л(п))-
С. Относительные когомологий. Прежде чем привести конструкцию
минимальной модели М(Л')< мы изложим некоторые основные факты,
касающиеся относительных когомологий отображения двух коцепных
комплексов. Пусть /: С* ->/)*— отображение коцепных комплексов
степени 0 (это означает, что отображение / сохраняет степень). Положим
Щ = С" ® D" ~ l
и зададим отображение Ь: Mf -*¦ М* + 1 матрицей
/«с 0 \
v/ -w
Легко видеть, что S2 = 0. Когомологий H*(Mf) называются относитель-
относительными когомологиями пары (С, D) и обозначаются Н*(С, D). Отображе-
ния D* »¦ Mf > С * коммутируют с дифференциалами и порож-
порождают данную точную последовательность
... -* Н"(С) -^ Я"(?>) ¦$¦ ЯЛ + 1(С,?>)-^- Нп+1(С) -^* ...
Ясно, что эта точная последовательность функториальна относительно
пар отображений (<?,, <?2), включающихся в коммутативную диаграмму
Ci—+С2
Я1 I iq2
D,~* D2
fi яр
5.Ф.А. Гриффите w

D. Построение минимальной модели.
Теорема 9.5. Односвязная д.г. алгебра Л имеет минимальную
модель.
Доказательство. Построим возрастающую последователь-
последовательность расширений Хирша
Л(Р) CJC(l) СЛB) С ...
вместе с отображениями
для которых
Рп \Л(к) = рк, к < п.
Отображение р„: Л (л) -»¦ Л будет «-минимальной моделью. Это зна-
значит, что
1) алгебра Л (л) минимальна и порождена образующими в размер-
размерностях <л,
2) гомоморфизм р„ является изоморфизмом в размерностях <л и
3) р*п — мономорфизм в размерности л + 1.
Алгеброй Л @) будем считать,по определению, основное поле. Отобра-
Отображение ро переводит элемент 1 в элемент 1. Рассуждая по индукции, пред-
предположим, что мы уже построили алгебру Л (л) и отображения р„: Л (л) -»¦
-> Л > обладающие требуемыми свойствами. Заметим, что относитель-
относительные когомологии Н*(Л(п), Л ) обращаются в нуль при / < л + 1. Это
следует из длинной точной последовательности пары и свойств гомомор-
гомоморфизма рп. Обозначим через V пространство Н" (Л(п), Л )• Положим
Для того чтобы ввести дифференциал на этой алгебре, достаточно задать
его на образующих v G V, а затем продлить его по правилу Лейбница.
Чтобы определить отображение р„+1 :Л(п + 1) ~*Л , продолжающее
отображение рп, достаточно определить его на элементах и S V; при этом
должно выполняться следующее равенство:
pn(dv) = dpn+1(v), v G V.
Выберем теперь какое-либо расщепление s эпиморфного отображения
(Относительные коциклы) п+- •- #"* {оМ{п),в4)
Чтобы задать такое расщепление, необходимо для каждого и е V
выбрать пару (mv, д„) €.Л(п)п+г ®Л "+1, линейно зависящую от и и
представляющую класс когомологии v е V = Нп+2(Л(п), Л ). Условие
коцикличности сводится к следующим условиям:
dmv = 0, pn(mv) = dav.
Теперь определим дифференциал d и отображение рп+\ на элементах
и е V таким образом:
dv = mv, pn+l(v) = av.
90

При таком определении
d2v = d(mv) = 6, pn(dv) = pn(mv) = dav = d(pn+lv).
Это рассуждение показывает, что Л(п + 1) является дифференциаль-
дифференциальной алгеброй, a pn + i является отображением дифференциальных алгебр.
Теперь нам осталось показать, что
Н\Л{п + \),А) = 0 для / < я + 2.
Для этого нам понадобится следующая
Лемма 9.6. a) Л @) = JKA), г.е. в алгебре JC(ri) нет элементов
степени 1.
б)Нп+2(Л(п),Л(п + 1)) = V.
в) нп+3(л (и), лг(л +1)) = о.
Доказательство, а) Поскольку Н° (А) = 0, Н1(А) = 0, отно-
относительные когомологии Н2(Л@), Л ) обращаются в нуль. Поэтому
Jt(i) =М@). Так как алгебры^(л) и J?(l) совпадают в размерности 1,
то и в алгебре^ (л) нет элементов размерности 1.
б) Рассмотрим относительные коциклы степени л + 2, т.е. пары
(а, и + й),где (a, Z>)GJ0(n),ue F, da =0, a = dv+db.
Прибавив к элементу (a. v + b) кограницу d{—b, 0), получим эле-
элемент (а', и). Элемент (а , и) может быть точным, только если и = 0.
Обратно, пусть и ? V. Тогда пара (dv, и) является коциклом. При-
Приведенное рассуждение доказывает,что
Нп+2(Л(п), Л (и + 1)) = V.
в) Поскольку в алгебре Л(п) нет элементов степени 1, алгебры Л (л)
и Л (и + 1) совпадают в размерности л + 2. Отсюда легко следует, что
Нп+3(Л(п),Л(п + 1)) = 0.
Рассмотрим теперь отображение пар (id, р„+1): (^*(л), Л(п + 1)) -»•
А
Используя отображение длинных точных последовательностей, лем-
лемму 9.6 и 5-лемму,легко доказать, что отображение р?+1: Н"+1 (Л(п + 1)) -*
->Я"+1(«^) является изоморфизмом, а отображение р?+1: Нп+2(Л(п + 1)) -*
-* Я" +2 (JL) является мономорфизмом.
Таким образом, мы совершили индуктивный переход от и к и + 1.
Определим теперь алгебру J/L как объединение ил{п), а отображе-
п
ние р:Л~* «^зададим формулой р \Л{п) = р„. Так как когомологии
перестановочны с прямыми пределами, отображение р*: Н*(Л) ¦*
-*¦ Н*(ь4) является изоморфизмом. Поэтому Л является минимальной
моделью алгебры Л.
5*

Глава 10
ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ В КАТЕГОРИИ Д.Г. АЛГЕБР
В этой главе мы углубимся в гомотопическую теорию д.г. алгебр.
В качестве одного из следствий мы получим утверждение о единственно-
единственности минимальной модели.
А. Гомотопии.
Определение 10.1. Пусть f,g: А -+В — отображения д.г. алгебр.
Гомотопщ от отображения f к отображению g — это отображение
Я: А -* Я ® (г, dt),
удовлетворяющее условиям
Я|(г = 0, dt = Q) =/; Я|(г=1, dt=\) = g.
По яснение. Здесь (f, dt) обозначает тензорное произведение
алгебры полиномов от одной образующей t (степени 0) и внешней алгеб-
алгебры от одной образующей dt (степени 1). Эту алгебру следует представлять
себе как алгебру форм на вещественной прямой IR. Два условия в опре-
определении 10.1 соответствуют подстановке в формы точек 0,1. Это определе-
определение двойственно к обычному определению гомотопии для отображений
топологических пространств.
Для изучения гомотопии введем оператор
1
/: В ® (Г, dt) -*¦ В,
о
положив fb ® t' =0, fb ® t'dt = (-l)degbZ>/(i + 1). Определим также
о о
оператор
: B®(t,dt) -* B®{t,dt),
о
положив
t t f'+»
f'b*t' = 0, fbvt'dt = (-l)degbft e -
О О I
fb , fbtdt ()ft
О О I + 1
Следующие формулы легко следуют из определений.

10.2. Для любого элемента /3 ? В ® (f, dt) имеет место равенство
() Utf( ))
о о
10.3. Если А ->5® (J, Л) — гомотопия от отображения/ к отображе-
отображению^, то
djH(a) + fdH(a)=g(a)-f(a).
о о
(Заметим, что 10.3 следует из 10.2, если положить j3 =H(a) и подставить
значение t = 1.)
В. Теория препятствий. Основной результат гомотопической теории
расширений Хирша состоит в следующем.
Предложение 10.4. Пусть задана диаграмма
г
А -В
A f A(V)k-
и гомотопия Н: А -*¦ С ® (г, dt) от отображения <р ° g к отображению f\A.
Тогда существует класс когомологий О е Hk+1 (В, С, V*), который
обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует продолже-
продолжение g: A ® Л( V) -*¦ В отображения g и гомотопия Нот/ к<р °g, продолжаю-
продолжающее гомотопию Н.
Доказательство. Для каждого элемента и ? V определим
элемент О (и) G 5*+1® С* формулой
A0.5) о(») = (g(dv), f(v) + fH(dv)).
о
Этот элемент и будет коциклом, препятствующим продолжению
отображений g и Н. Сначала проверим, что он действительно является
коциклом:
dO(v) = (dg(dv), <p°g(dv)-df(v)-djH(dv)) =
о
= (g(d2v),$og(ftv)~f(ftu)-dSH(dv) - / dH(dv)) = @,0).
о о
Покажем теперь, что если элемент О (и) является кограницей, то искомые
продолжения существуют.
Обозначим через О гомоморфизм из пространства V в группу
Hk+1 (В, С), заданный формулой A0.5). Таким образом, о (v) =
= [О (и)]. Этот гомоморфизм можно рассматривать как элемент группы
Hk+l(B,C, V).
93

Предположим, что О (и) =0 для всех и. Тогда существуют такие от-
относительные коцепи (bv, cv) (зависящие линейно от элемента и), что
d(bv, с„) = О (и). Положим
= К,
tf(u) = f(v)
о
Проверим, что эти формулы определяют отображение g: A ® A(F)ft ->B
а
дифференциальных алгебр, продолжающее отображение g, и гомотопию
Н: A® A(F)^-»-C®(/,<i/), продолжающую гомотопию Я. Для этого нуж-
а ^
но проверить, что dg(v) = g(dv), dH{v) = H(dv). Первое равенство оче-
очевидно. Из предложения 10.2 следует, что dH(v) = df(v) + H(dv) -
- H(dv)\(t = 0), а так как Я — гомотопия от / к g, мы получаем, что
tf(rfu)|(r=O) =f(dv). Отсюда dH{v) =H(dv).
Осталось показать, что Н является гомотопией от отображения / к
отображению у <>g. Мы знаем, что Я(и)|(г = 0) =/(и). Кроме того,
H(v) | {f = 1) = f(v) + f H(dv) + dcu =
о
= /oo + SH<fiv) + u>(bo)-№ - JH(dv)) = ф9) = <pog(py
о о
Обратно, пусть задано продолжение g отображения g и гомотопия Н
от / к у о ?t продолжающая гомотопию Н. Положим ф(и) = (g(v),
1 ^
/Я(и)) S Вк © Ск~1. Таким образом, мы определили отображение
о .^
ф~ ff-У -*Вк © Ск~1. Легко проверить, что d$~ ff = ^(")-
Нам также понадобится относительный вариант этого предложения.
Лемма 10.5. Пусть задана диаграмма
JH ® A(V) ^=!-
причем выполнены следующие условия:
1) «"> /= Л,
2) д - эпиморфизм,
3) ц°<р = г>о ф \л,
4) композиция Л -*38 ® (г, Л) >-С ® (г, dr) является постоянной
гомотопией, т.е. (v ® l)H(m) = Cm ® 1 {здесь Н - гомотопия от f °y к
1\)
94

Тогда препятствие О е Я"+1 (А, В. V*) обращается в нуль тогда и
только тогда, когда существует продолжение $ отображения у и продолже-
продолжение Н: Л -*¦ S& ® (г, dt) гомотопии Н, обладающие следующими свойст-
свойствами:
1) Ц о ф = р^> ф,
2) (у ® 1) о я - постоянная гомотопия.
До к азательство. Определим гомоморфизм О : V -*•((« + 2)-ко-
циклы в (jl, SB) ) тем же способом, что и раньше, положив
O(v) = (<p(dv), ^(«)-+ fH(dv)):
о
Пусть v(v(v) ) = у (ви ), где ди е ^. Рассмотрим элемент
О (и) - </(«„, 0) = (jp(fiv) - dau, ф) - /(«„) + fH(du)).
о
Этот элемент группы С"+1(Кегц, Кег v) является коциклом. Если он
когомологичен нулю, то требуемые продолжения существуют.
В самом деле, пусть О (у) - d(av, 0) = rf(ou, ft,), где av G Kerц,
Определим теперь отображения $ я Н тем же способом, что и раньше,
используя коцепь (а„ + а„, ft,). Прямая проверка (см. формулы в пред-
предложении 1С.4) показывает, что ip и Н обладают требуемыми свойствами.
Нам осталось показать, что элемент О (и) — d(au, 0) когомологичен
нулю в группе Сл+1(Кегм, Кегр). Отображение и является эпимор-
эпиморфизмом. Поэтому из 5-леммы легко следует, что Н*(Кет ц, Ker v) «*«
* Н*(Л> S3). Так как коцикл О (и) — d(av, 0) равен нулю в группе
•W*(«/# > ^ )»мы получаем требуемое утверждение.
Следствие 10.6. Пусть задана коммутативная диаграмма
<М 9 A(V) >-<%
а "
причем отображение f является эпиморфизмом. Тогда элемент О :
V -*¦ Я"+1 {Л, $ ) является препятствием к продолжению отображения <р
до такого отображения ip:Jf®A( V)n-*A,чю f°!p = \p.
d
Доказательство. Применим лемму 10.5, положив С= 53, при
этом когомологии ядра Кег/ отождествляются с относительными кого-
мологиямиH*(jl, 3d).
С. Применения теории препятствий.
Следствие 10.7. Отношение гомотопности между отображения-
отображениями Л -*¦ Л, где Л - минимальная алгебра, является отношением экви-
эквивалентности.
95

Доказательство. Пусть Н: Л -+ Л® (tit dti) — гомотопия
от /о к /i, а /: Л -> А ® (r2, dt2) - гомотопия от /, к /2. Обозначим че-
через % дифференциальную алгебру
ituti.dtx.dtAHfiifx - 1) = 0, txdt2 =rfr2, t2dti =0).
Эта алгебра совпадает, с алгеброй форм на подмногообразии /2(f i — 1) = О
плоскости (tx,t2)
*г
Гомотопии Я и / определяют отображение "Я + /": Л? -> А ® ^ сле-
следующим образом.
Пусть
Н(т) = 'Satl»tl + bi<»t[dti,
J(m) = Xa'fti +Ь} ®tidt2;
так какЯ(т)|(Г! =1) =J(m)\(t2 =0),то S в,- = во. Положим
/ > о
"H+J"(m) = 2в,®*{ +&,er{dr, + 2 в.- ® r^ + S Ъ) ® t{dt2.
i> \ /> о '
Легко видеть, что "H+J" является морфизмом д.г. алгебр. Рассмот-
Рассмотрим теперь диаграмму
А ®('ь t2tdtudt2)
"Я + /": Л0->./4 ® "(?.
Препятствие к поднятию отображения "Я + /" лежит в группе
Кроме того, отображение р эпиморфно. Отсюда, применяя лемму 10.5,
получаем, что существует отображение р: JC-+ Л ® (t\, t2, dtit dt2),
удовлетворяющее условию р ор = "Н + /".
Ограничив отображение р на прямую ft = t2, получим гомотопию от
/0=Я|(г1=0)к/2=/|(Г2=1).
Отсюда следует, что отношение гомотопности транзитивно. Рефлек-
Рефлексивность и симметричность этого отношения очевидны.
Теорема 10.8, Пусть Jit — минимальная д.г, алгебра. Пусть отобра-
отображение (/>: В -*¦ С д.г. алгебр индуцирует изоморфизм в когомологиях. В этом
случае отображение у,: [Jf.BJ -> \J(,C] является биекцией.
Доказательство. Покажем, что ^» сюръективно. Если задано
отображение /: Л -*¦ С, то препятствия к его поднятию (с точностью до
гомотопии) в алгебру В лежат в группах Я"+1 (В, С, 1"(Л)*). (Мы ис-
96

пользуем естественную возрастающую фильтрацию в алгебре jft', значок *
обозначает переход к сопряженному векторному пространству.) По-
Поскольку отображение у: В -*¦ С индуцирует изоморфизм в когомологиях,
группы Н*(В, С, V) равны нулю для всех векторных пространств V, и,
следовательно, существует поднятие g: Л~* В и гомотопия от / к у ° g.
Теперь покажем иньективность отображения у,. Пусть заданы отобра-
жёния/o./i: Л~*В и гомотопия Н: Л + С ®(t,dt) OTip о/0 к<р oft.
Обозначим через Р ядро эпиморфного отображения
ц: [C®(t,dt)]®B®B -»• С®С,
для которого ц(у) =(т1(^ =0), y\(t = 1)) при у? C®(t,dt),u(b,b') =
= (/(&),/(&')) при *,*'ев.
Рассмотрим отображение
р: B»(t,dt) -*¦ Р,
переводящее элемент /3 в ((/ © И) (/3), 0 |(г = 0), /3 К' = !))• Отображе-
Отображение р индуцирует изоморфизм в когомологиях. В самом деле, рассмотрим
длинную точную последовательность
...-•' Н*(Р) -* Н*(С)®Н*(В)®Н*(В) "^ Н\С)®Н*(С) ¦+ ...
Отображение д* переводит элемент (с, Ьо, Ь%)'ъ элемент (с -f*b0,
с - f*bi). Поэтому ц* является эпиморфизмом, а образ группы Н*(Р)
в группе Н*(С) © Н*(В) ® Н*(В) состоит из всех троек вида (с, (/*)"'(*),
(/*)~ЧС))- Отсюда уже легко вытекает, что отображение р индуцирует
изоморфизм в когомологиях.
Отображения /0, /i: J6-+B вместе с отображением Я: Л-+С ®(t,dt)
определяют отображение
X: Л -* Р.
Применим лемму 10.5 к диаграмме
в® (t,at)
t-o, t -l)
В® В
Препятствия к поднятию отображения X до отображения Х^ Л -*В ®
® (t, dt), удовлетворяющего условиям X |(^ =0) = тг0 ° X =/0, X |(г = 1) =
= я1! о X = /i, лежат в нулевых группах. Поэтому отображения ^ и /i го-
гомотопны.
D. Единственность минимальной модели.
Теорема 10.9. Пусть Л - д.г, алгебра и
Pi
- две минимальные модели алгебры Л.
97

Тогда существует изоморфизм I: Л -*Л', для которого существует
гвмотопия от р' °1 к р. Изоморфизм I определен этим условием однознач-
однозначно с точностью до гомотопии.
До казательство. Применяя теорему 10.8, получаем, что сущест-
существует отображение 1:Л -*¦ Л1', для которого р' ° I = р, причем отображе-
отображение / определено этим условием однозначно с точностью до гомотопии.
Нам осталось доказать, что- любое такое отображение / является изомор-
изоморфизмом. Поскольку отображения р и р' индуцируют изоморфизмы в ко-
гомологиях, отображение / также индуцирует изоморфизм в когомоло-
гиях. Доказательство теоремы завершается следующей леммой.
Лемма 10.10. Если отображение Г. Л -*¦ Л' двух минимальных ал-
алгебр индуцирует изоморфизм в когомологиях, то оно само является
изоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим индуцированные отображения
/„: Л (я) -* Л '(и). Рассуждая по индукции, предположим, что отображе-
отображение /„ является изоморфизмом, и докажем, что /n+i является также
изоморфизмом. Рассмотрим точные последовательности когомологий
...-»¦ Нп+1(Л(п)) ¦* Нп+1(Л) ->
... -»> Нп+\Л'(п)) -* Нп+1(Л') •*
¦* Нп+2(Л(п), Л) ¦* Нп+2{Л(п)) ^Нп+2(Л) ¦* ...
4-(/„./)• 4./* И*
-> Нп+2(Л'(п),Л') ^Нп+2(Л'(п)) -+Нп+2(Л')
По предположению, вторая слева стрелка, а также самая правая стрел-
стрелка являются изоморфизмами. Согласно предположению индукции изо-
изоморфизмами являются первая слева и вторая справа стрелки. Отсюда
следует, что и средняя стрелка является изоморфизмом.
Заметим теперь, что Нп+2(Л (и), Л) = Нп+2(Л(п),Л (и + 1)). В са-
самом деле, мы видели, что Нп+2(Л(п), Л(п + 1))= Vn+1 (через Vn обо-
обозначаем векторное пространство образующих, добавленных при переходе
от алгебры Л (л) к алгебре Л (л + 1) ).
Кроме того, в размерностях <л + 2 группа относительных коцепей
пары ( Л (л), Л (л + 1) ) совпадает с группой относительных коцепей пары
(Л (и), Л), а в размерностях > и + 2 - вложена в нее. Отсюда и выте-
вытекает изоморфность рассматриваемых групп когомологий.
Все эти изоморфизмы являются естественными, и мы получаем ком-
коммутативную диаграмму
Нп+2{Л{п\ Л)^1^ Нп+2(Л'(п),Л')
ts - fa
Уп+1(Л) > Vn+1{Jf)
Поэтому отображение индуцирует изоморфизм в векторных простран-
пространствах (л + 1)-мерных образующих, и, следовательно, отабражение /п+1
является изоморфизмом.
Следствие 10.11. Пусть рА: Ла -*А и рв ¦ Лв~+В - минимальные
модели, а /: А -*¦ В - отображение д.г. алгебр. Тогда существует такое
98

/Л А
: Мл ~>Мв , что отображения рв ° f и f ° рА гомотопны. При
Л
этом отображение f определено этими условиями однозначно с точностью
до гомотопии.
Доказательство. Требуемое утверждение получается сразу,
если применить теорему 10.8 к следующей диаграмме:
А4
Ре
f.pA:MA -В
(напомним, что отображение рв индуцирует изоморфизм в когомологиях).
Пример. Минимальные модели алгебр определены однозначно с
точностью до изоморфизма. Однако, мы должны предупредить читателя,
что это не так для минимальных моделей отображений алгебр. Вот при-
пример ненулевого отображения р: Jf->JCppyx минимальных алгебр, гомо-
гомотопного нулевому.
Положим
JT* = (a2,?3,?4; da= 0 = dp, dy = а-Р},
р(а) = рф) = 0, р(у) = со • со.
Отображение р гомотопно нулю.
Можно убедиться в этом, явно указав гомотопию. Можно.также вос-
воспользовавшись связью между д.г. алгебрами и рациональной гомотопи-
гомотопической теорией, привести следующее геометрическое рассуждение. Ал-
Алгебра .Ж* соответствует пространству X = S2, а алгебра Ж* — расслоению
К(<0, 4) -»• Y
К(<й, 2) X К(<й, 3).
Отображение р можно реализовать отображением /: X -*Y. По теоре-
теореме Уайтхеда отображение / гомотопно постоянному, и, следовательно,
отображение / гомотопно отображению /' пространства X в слой выше
упомянутого расслоения. Это отображение /': X -+К(О., 4) задается четы-
четырехмерным классом когомологий р(у) = со • со = 0, поэтому/' ~ 0.

Глава 11
СВЯЗЬ МЕЖДУ ГОМОТОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ Д.Г. АЛГЕБР
И РАЦИОНАЛЬНОЙ ТЕОРИЕЙ ГОМОТОПИЙ
В первых семи главах мы занимались классической теорией гомото-
пий. При этом главным достижением было изучение рациональной баш-
башни Постникова односвязного пространства. В гл. 8 мы ввели алгебру диф-
дифференциальных форм на симплициальных комплексах. В гл. 9 и 1С мы
развили гомотопическую теорию дифференциальных градуированных ал-
алгебр. В настоящей главе мы соединим эти две теории и объясним, каким
образом рациональный гомотопический тип симплициального комплек-
комплекса определяется минимальной моделью алгебры PL-форм на нем. Мы уви-
увидим, что (П-башни Постникова и минимальные модели над © в точности
двойственны друг другу.
А. Трансгрессия в спектральной последовательности Серра и двойствен-
двойственность. Упомянутая выше двойственность основывается на двойственности
между главными расслоениями и расширениями Хирша, которая, в свою
очередь, связана с трансгрессией в спектральной последовательности Серра.
Рассмотрим главное расслоение р: Е -*В со слоем К(п, л).
Пусть {Ef!'q, dr} — спектральная последовательность этого расслое-
расслоения с коэффициентами в группе тг. Тогда E2'Q = 0 при 0 < q < л, Е%'п =
= Нп(К(тг, л), я) = Нот (я, я). Поэтому Е°>" = Е®'п для г <л. Первый
ненулевой дифференциал на группе Е,'" действует из группы Е„'" в груп-
Определенное таким образом отображение dn + 1: Нот (тг, тг) ->
-* #Л+1(Д тг) называется трансгрессией. При этом класс dn+1(i) e
S H"+l (В, тг) (здесь 1 — фундаментальный класс пространства К(п, и))
совпадает с ^-инвариантом расслоения р.
Рассматривая когомологии с рациональными коэффициентами, полу-
получаем отображение dn+l: Нот (тг, (Q) -> Нп+1(В, Q), двойственное эле-
элементу dn+i е Я"+1 (В, тг ® О). Если группа является конечномерным Q-
векторным пространством, то класс [</n+i] € Я"+1 (В, тг® Q) =H"+l (В, it)
является ^-инвариантом расслоения. Таким образом, главное расслоение,
слоем которого является локальное пространство Эйленберга—Маклей-
на (его гомотопическая группа представляет собой конечномерное <0-про-
странство и обозначается через тг), полностью определяется группой тг и
классом\dn+,] e#"+1 (Д тг).
100

С другой стороны, если задано конечномерное Q-векторное простран-
пространство тг и элемент [d] e Яи+1 (В, я), можно построить расширение Хирша
АЧВ) • Л(тг*)„,
й
где отображение d: и* -> {замкнутые (и + 1)-формы на базе В) инду-
индуцирует в когомологиях класс [d] € Hn+1 (В, и). Согласно лемме 9.3
это расширение Хирша корректно определено (с точностью до эквива-
эквивалентности) . Теперь ясно, что главные расслоения с базой В и локальным
пространством Эйленберга—Маклейна в качестве слоя находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с расширениями Хирша алгебры А * (В).
Пусть р: ё -+ В является расслоением, а В является симплициальным
комплексом. Симплициалъной моделью расслоения р называется отобра-
отображение f:E-*B, для которого
1) Е — симплициальный комплекс,
2) /: Е -*-В — симплициальное отображение,
3) существует такое отображение i :?"-»¦&, что р о i-f.
Теорема 11.1. Пусть р: &->/? - главное расслоение со слоем
K(V, и), где Vесть конечномерное векторное пространство над О.Пусть
/: Е -+В - симплициальная модель расслоения р. Пусть А* (В) ® A(V*)n -
а
соответствующее расширение Хирша. Тогда существует отображение
р: А*(В) ®A(F*)n ¦+А'ф),
й
для которого
\)p\A\B) = f\
2) отображение р индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Расширение Хирша, допускающее такое отображение р, единственно
• (с точностью до эквивалентности).
В теореме 11.1 устанавливается связь между главными К(п, и)-рас-
и)-расслоениями и расширениями Хирша. Она доказывается с использованием
спектральной последовательности Серра. Требуемые рассуждения, в сущ-
сущности, просты. Однако технические трудности оказьшаются очень больши-
большими, поскольку отображение /: Е.-* В не является расслоением. На самом
деле симплициальные отображения почти никогда не бывают расслоения-
расслоениями. В связи с этими техническими трудностями мы отложим доказатель-
доказательство теоремы 11.1 до приложения А1.
Легко доказать и обратное к теореме 11.1 утверждение.
Теорема 11.2. Пусть А*{В) ® A(V)n - расширение Хирша.где V
d
является конечномерным векторным пространством над С. Тогда существу-
существует главное расслоение р: & -> В со слоем K(V*, и) и его симплициальная
модель /: Е^-В, для которых существет отображение д.г. алгебр
р: А'(В) в A(V)n -у А*(Е),
d
продолжающее отображение /*: А*(В) -*¦ А*{Е) и индуцирующее изо-
изоморфизм в когомологиях.
Существует роено одно (с точностью до эквивалентности) главное
расслоение с локальным слоем, обладающее указанным свойством.
101

Доказательство. Когомологии Я* 04* (В)) отождествляются
с когомологиями Н*(В, Ш). Отображение V -»• Яга+1 (Д О) задает эле-
элемент fc G #n+1 (Д 7*). Этот элемент, в свою очередь, определяет главное
расслоение
K(V, и) -+ g
*
Трансгрессия в спектральной последовательности Серра этого рас-
расслоения
НотG*, ©) ¦* Яга+1(Д ©)
совпадает с отображением d: V-*-Hn + 1(B,O).
Согласно теореме 11.1 для симплициальной модели Е -> В расслое-
расслоения & -+.В существует расширение Хирша
А*(В) ® Л(И0„ -*А'(&,
продолжающее отображение/*: А*(В) ->А*(Е) и индуцирующее изомор-
изоморфизм в когомологиях. Мы хотим доказать, что это расширение изоморф-
изоморфно исходному. Ясно, что W «Яга+1 (В, Е, Q) «Яга+1 (В, S, О) «Я" (слой,
©), а отображение d: W -*Н"+1(В, О) совпадает с трансгрессией в спект-
спектральной последовательности расслоения. По построению пространство V
равно пространству Я" (слой, Q), а трансгрессия совпадает с отображе-
отображением d: V -* Hn+l (В, О). Отсюда следует, что существует отображение
р: А\В) • A(V) -* А*(Е),
а
индуцирующее изоморфизм в когомологиях.
Пусть В — симплицнальный комплекс. Рассмотрим множество клас-
классов эквивалентности главных расслоений над базой В, у которых слой
F является пространством Эйленберга — Маклейна, причем группа
Нот (irt(F), О) является конечномерным векторным пространством
над & Обозначим это множество через&$(В). Предположим теперь, что
гомотопические группы слоя сами являются векторными пространства-
пространствами над О. Соответствующее множество классов эквивалентности обо-
обозначим через 3° ^<ц (В). Множество классов эквивалентности конечномер-
конечномерных расширений Хирша алгебры А * (В) обозначим ЗС&(?). Все три функ-
функтора &> $, 9- #ю и ЗС? являются гомотопическими функторами. Упомя-
Упомянутые выше эквивалентности определяют естественные преобразования
К:
Композиция 9 о К является локализацией. Композиция Ж о $ совпада-
совпадает с тождественным отображением.
. Таким образом функторы 9, 3C|^#q(B) являются взаимно обрат-
обратными.
102

При этом степень расширения Хирша алгебры А*(В), соответствую-
F
щего главному расслоению р: Е -*¦ В, равна размерности нетривиальной
гомотопической группы слоя. Векторное пространство V, определяющее
расширение, двойственно к пространству гомотопических групп слоя F,
а Дг-инвариант расслоения совпадает с отображением, индуцированным
дифференциалом d расширения Хирша.
Лемма 11.3. Предположим, что отображение f:A->SB индуцирует
изоморфизм в когомологиях. Тогда отображение f индуцирует биекцию
Следствие 11.4. Пусть М^А*(Б) - минимальная модель. Тогда
имеется биекция
В. ©-башни Постникова и минимальные д.г. алгебры. Мы установи-
установили эквивалентность расширений Хирша и главных расслоений и обратим-
обратимся теперь к связи между Q-башнями Постникова и минимальными д.г.
алгебрами.
Пусть X — односвязный симплициальный комплекс. Пусть задана
рациональная башня Постникова
. I
pt
пространства X. Пусть задана симплициальная модель
этой башни расслоений. Обозначим через
je(o) с м{2) с... с иацп) = л
п
минимальную модель пространства X.
103

Теорема 11.5. Алгебра J((n) является минимальной моделью
пространства Х'„. Расширение ХиршаМ(п) С Л,(п + 1) соответствует глав-
главному расслоению Хп+1 -> Х„. Таким образом, H*(Jl(n)) = Н*(Хп, ©).
Пространство I"+ i неразложимых элементов алгебры JC (и), имеющих
размерность и + 1 совпадает с Нот Orn+i (X), О), а k-инвариант к"*2 е
+2 , тензорно умноженный на-Л, совпадает с дифферен-
дифферен+2
Нп+2 (Х„,
циалом d:In+1 -+Нп+2 (Л{п)).
Доказательство. Будем строить по индукции минимальную
модель для алгебр А * (Х'„). Предположим, что имеется отображение jK{n) ->
-+А*(Х„), являющееся минимальной моделью. Тогда минимальная модель
для алгебры А*(Х'п+1) является расширением Хщ>ш&Л(п) ® Л(К)„+1,
а
где V* = 1ти+1 (А") ® О, а дифференциал d: V -+Hn+2 (М(п)) соответству-
соответствует ^-инварианту. Таким образом, появляются коммутативные диаграммы:
. It, „/ ч 1Я + 1 и 1 — . Л \
?п
(л)
где отображение рк: М(к) -*¦ А*{Х'к) является минимальной моделью.
Обозначим через JL алгебру U JC (и). Оно представляет собой минималь-
минимально о
ную д.г. алгебру, соответствующую рациональной башне Постникова
пространства X. Для завершения доказательства нам осталось построить
отображение р: JC-*A*(X), индуцирующее изоморфизм в когомологиях.
Для каждого л мы имеем отображение /„: X -*Х'„. Существует рацио-
рациональное подразбиение Sn(X) пространства X, для которого отображение
/„ гомотопно симплициальному отображению gn: Sn(X) -*¦ Х'„. Можно
считать, что Sn(X) является измельчением разбиения Sn_1(X). Обозна-
Обозначим через А%(Х) алгебру (D-полиномиальных форм на комплексе Б„(Х).
Рассмотрим следующую гомотопическую коммутативную диаграмму:
Каждый квадрат гомотопически коммутативен и отображение
А?(Х) -*¦ А^+1(Х) индуцирует изоморфизм в когомологиях. Обозначим
А*р%и(X) алгебру limА%(X).
Отображения g? о pn:Jl(n) ¦+ А%(Х) С АрЛ_{Х) являются «-мини-
«-минимальными моделями. К несчастью, нет никаких причин к тому, чтобы
1 равнялось g* о рп. Однако эти два отображения
104

гомотопны, поскольку диаграмма, приведенная выше, гомотопически ком-
коммутативна. Обозначим через H:Jt(n) ->--Apj.(X) e (t, dt) гомотопию от
(t,dt)
Имеется коммутативная диаграмма
f-1
Г* ' О
Поскольку отображение H*(Apj.(X) ® (*, dt)) -> H*(Apj,(X))
является изоморфизмом, отображение Н можно продолжить на алгебру
Поскольку отображение (t = 1) является эпиморфизмом, продолже-
продолжение Н отображения можно выбрать таким образом, что композиция
(t = 1) о Н совпадает с g^\ о ри+1. Поэтому отображение g?+1 ° pn го-
гомотопно отображению v>n+i: JC(n + 1) -*¦ Apj.(X), причем >pn+i\J((n) =
= gn° Pn-
Из этого следует, что можно (рассуждая по индукции) заменить ото-
отображения #* о pn:j((n) -+Apj.(X) на гомотопные им отображения уп;
J((n) -> Apj_(X), причем будет выполнено <р„+1\Л(п) = >рп. Отображе-
Отображения у„ определяют отображение <р: М -* ApJm(X), являющееся и-экви-
валентностью для любого п > 0. Отображение *р индуцирует изоморфизм
в когомологиях, и, следовательно, JC является минимальной моделью
алгебры A*jjX). Поскольку вложение А'{Х) С Ар"л.(Х) индуцирует
изоморфизм в когомологиях, алгебра Jt является минимальной моделью
также и для А * (X).
Теорема 11.5 позволяет построить минимальную модель алгебры А * (X),
исходя из рациональной башни Постникова пространства X и наоборот.
Таким образом, вся теоретико-гомотопическая информация о пространстве
X содержится в минимальной модели алгебры форм А* (X).
Следствие 11.6. Минимальная модель Лс°° (М) алгебры С" -
форм на односвязном гладком многообразии М изоморфна алгебре
Мм ® !R (через Мм мы обозначаем алгебру, двойственную в смысле тео-
61
ремы 11.5 рациональной башне Постникова многообразия М).
Доказательство. Выберем некоторую С°° -триангуляцию мно-
многообразия М. Имеется диаграмма
А*(М) в IR ¦* А*(М) *• А?
в котором оба включения индуцируют изоморфизм в когомологиях.
Отсюда следует, что минимальные модели алгебр А*с-» (М) и А* (М) изо-
изоморфны, а тензорное произведение минимальной модели алгебры А * (М)
на IR изоморфно минимальной модели алгебры А * (М). Таким образом,
мы получаем корректно определенный (с точностью до гомотопии) изо-
105

морфизм
Л (А * (М))
Следствие 11.6 теперь немедленно вытекает из теоремы 11.5.
Следствие 11.7. Пусть Y - гладкое многообразие, D\ ,...,/?* С
С Y - его подмногообразия с трансверсальными пересечениями. Пусть
к
D = U Dt, и пусть А* „*> (D) - алгебра кусочно гладких форм на про-
i = 1 рС
странстве D [введенная в п. F гл. 8). Предположим, что ¦nlD = 0. Тогда
минимальная модель алгебры А* с*> (D) является минимальной моделью
тензорного произведения алгебры IR и алгебры, двойственной к рацио-
рациональной башне Постникова пространства D.
Доказательство. Пусть К является С "-триангуляцией про-
пространства D. Рассмотрим отображение включения А* с~ (D) -+А*С*> AС),
определяющее коммутативную диаграмму коцепных комплексов
Как мы знаем из п. F гл. 8 отображение интегрирования индуцирует
изоморфизм в когомологиях
Я*(А*,с"ФУ) ^ Н*(К, В).
Согласно теореме де Рама для кусочно гладких форм, отображение ин-
интегрирования индуцирует изоморфизм Н*(А*С°° (?>)) ^ Н*{К, IR). По-
Поэтому вложение А*с°°(р) -*А*С-(К) является гомотопической экви-
эквивалентностью д.г. алгебр. Теперь следствие 11.7 вытекает из теоремы 11.5.

Глава 12
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
До сих пор мы рассматривали только односвязные пространства. В
этой главе мы дадим более общие определения, позволяющие вовлечь в
рассмотрение информацию, касающуюся фундаментальной группы. Мы
покажем, что развитая в предыдущих главах теория допускает естественное
обобщение, связывающее дифференциальные формы и нильпотентную
часть фундаментальной группы.
А. 1-минимальные модели. Пусть Л — связная (но необязательно одно-
связная) дифференциальная алгебра. 1 -минимальной моделью алгебры .4
называется отображение
р: Jli '¦* Л,
индуцирующее изоморфизм в группах Я1 и мономорфизм в группах Я2,
для которого алгебра JI х является объединением возрастающей после-
последовательности расширений Хирша степени 1:
(основное поле) -Л1й ^-«^i,i <- ...,
оо
•*!= U Л1>п.
и = О
Теорема 12.1. Любая связная дифференциальная алгебра обладает
1-минимальной моделью. Любые две минимальные модели
алгебры Я связаны таким изоморфизмом I: М^Л^что отображения
рир о Iявляются гомотопными.
Доказательство. ПоложимЛ^^ = Л(Я* («<))• Определим
отображение P\.Jt\,\ -*Л-> потребовав, чтобы каждый класс когомоло-
гий Переходил в какой-нибудь свой представитель. Далее мы действуем
по индукции. Пусть задан гомоморфизм рп: Jli>n -*-jI , индуцирующий
107

изоморфизм в группах Я1. Положим Vn + 1 = Кег (р„: Я2 (.Mi ,л) -*
-* Нг(Л)) (заметим,что Vn + 1 =H2(jli,n,J))-
Выберем теперь какое-либо отображение s: Н2 {Л\,п, J, ) -*
-*¦ С2 (Jti>п,А), s(и) = (ш„, av), относящее каждому классу когомологий
представляющий его коцикл. Определим отображение d: Vn+i -+{MttnJ,
положив d(v) = mv. Определим отображение р: Vn + i -+А1, положив
p(v) = av. Как и раньше, легко видеть, что эти формулы определяют ото-
отображение
d
являющееся продолжением гомоморфизма р„. Можно проверить, что
Кег(р': Н\Мх,„)^
содержится в
где in обозначает вложение Jtltn С j?i>n + 1. Таким образом, построив
^i,n+i»MbI убили ядро гомоморфизма р„ в двумерных когомологиях.
Однако возможно, что отображение pn + i снова будет иметь нетривиаль-
нетривиальное ядро. Мы будем продолжать этот процесс до тех пор пока
Кег(р?: H2(jeltk) -*¦ Н2 (J,)) не станет тривиальным. Если этого
никогда не произойдет, мы построим алгебры U&j ^ для всех к ri положим
Mi - U Mi п- Гомоморфизм р: Mi -*А определим формулой р\Мх „ =
п= 1 . '
= р„. Легко видеть, что Кег(р*: Я2 (М) -*Н2 (А)) = 0. С другой стороны,
так как отображение р*п: Я1 (jei,n) -+Н1(Л) является изоморфизмом
для всех и, отображение р*: Н1(М) -* Нг(А) также является изомор-
изоморфизмом.
Доказательство существования отображения / и гомотопии Я проводит-
проводится точно так же, как и для односвязного случая (см. гл. 10).
В. 7Tj ® Ш . Пусть тг — конечнопредставленная группа. Мы хотим опре-
определить "тг ® С". Для этого мы заменим группу тг башней нильпотентных
групп {Nt (ст) } и умножим каждую из них тензорно на поле Ш. Таким
образом, " 7г ® Ш " — это башня рациональных нильпотентных групп.
Обозначим {Г,Gг)} нижний центральный ряд группы 7Г, т.е. Г2(тг) =
= [тг, 7г] и Г^ц (тг) ='• [Г„ Gг), тг]. Далее положим Nt (тг) = тг/Г, (тг). Каждая
группа TV,- (тг) является нильпотентной группой индекса нильпотентности
/ (это значит, что все /-кратные коммутаторы в группе ./V,- (тг) обращают-
обращаются в нуль). Группы Nf (тг) образуют башню
П
Имеются короткие точные последовательности (где Г„ = Г„(тг)):
О^ГП/Г„_! ^ЛГ„Gг) + ЛГ„_,Gг) •* 0
(здесь Yn_ilfn - центр группы Nn(ir)).
108

Указанные расширения соответствуют расслоениям
Vi/IV I) - K(Nn(n), 1)
.Поскольку группа Г„/Г„_х - центр группы Nn(ir), в этом расслое-
расслоении фундаментальная группа базы Hi (В) = #„_! (тг) действует тривиально
на фундаментальной группе слоя. (В общем случае это действие является
сопряжением вида х н-gxg ~l.)
Таким образом, центральные расширения соответствуют в точности
главным расслоениям, у которых база, слой и пространство расслоения
имеют только одну нетривиальную гомотопическую группу я^. Аналогом
"тензорного умножения" таких расслоений на поле Ш является "тензор-
"тензорное умножение" нильпотентных групп на поле Ш.
Пусть мы уже построили группу Лг„_1 Gг) ® Ш, причем отображение
K(Nn_, (тг), 0) - ВД,_, (тг) в О , 1)
индуцирует изоморфизм в рациональных когомологиях. Рассмотрим
отображение расслоений
При этом ^-инвариант расслоения, изображенного справа (он принадлежит
группе Н2{К(Ып_л{т1) в <В, 1); Тп_11Тп в Ш) * #«(*:(#,,_, (тг), 1);
rn_!/rn ® Ш)), равен к ® 1, где к обозначает ^-инвариант расслоения,
изображенного слева.
Таким образом, мы получаем отображение двух центральных расши-
расширений
0^Г„_,/Гп -»• Nn(n) ¦* Nn
I -1"Ги
0 ¦¦ rn_!/rn в О ¦* Nn(ir) в О ¦* JV
Класс эквивалентности нижнего расширения в группе Ext равен в
точности классу эквивалентности верхнего расширения, тензорно умно-
умноженному на поле ф . Индукцией по п (с использованием теоремы сравне-
сравнения для спектральных последовательностей) можно доказать, что отобра-
отображение 7л индуцирует изоморфизм в рациональных когомологиях.
Простое рассуждение показывает, что элементы конечного порядка
в нильпотентнои группе N образуют подгруппу Тог N. А.И. Мальцев по-
показал, что если N - нильпотентная группа, то группа NjTor N может быть
вложена в нильпотентную группу Jf, в которой операция деления выпол-
выполнима единственным образом. Последнее означает, что уравнение х" = а
имеет ровно одно решение для всех натуральных чисел п и всех элемен-
элементов а группы Jf. Если потребовать, чтобы группа Jf была минимально
возможной, то она определяется однозначно с точностью до изоморфизма.
Это и есть группа N ® (В .
109

Мальцев *) определял группу X следующим образом. Он построил по
группе N рациональную алгебру Ли ??f, а затем, используя формулу Бейке-
ра — Кемпбелла — Хаусдорфа **), определил структуру нилыготентной
группы Jf на алгебре Ли ?^. Заметим, что, поскольку алгебра Ли ?ff ниль-
потентна, ряды в формуле Бейкера - Кемпбелла - Хаусдорфа сводятся
к полиномам с рациональными коэффициентами. Таким образом возни-
возникает групповая структура на векторном пространстве.
Преимущество этого подхода в том состоит, что мы одновременно
доказываем, что О-нильпотентные группы обладают С-нильпотентными
алгебрами Ли и, стало быть, являются рациональными алгебраическими
группами. Таким образом, каждой конечнопредставленной группе п
можно сопоставить башню рациональных нильпотентных групп {!Vn (тг) ®
® О } и башню рациональных нильпотентных алгебр Ли{?„Gг)}. Эти две
башни определяют одна другую посредством формулы Бейкера—Кемп-
белла-Хаусдорфа и ее обращения.
Теорема \2.2.Пустъ X- симплициальный комплекс, арг: JH\ '-*
-*¦ А*(X) -его l-минимальная модель. Тогда алгебра Мх двойственна
башне алгебр Ли {^„^(Jf)}.
Доказательство. Алгебра Jl\ является возрастающим объе-
объединением дифференциальных алгебр Jl\,i ^ М\,г с • ¦ • Обозначим через
Vn пространство образующих алгебры Л\,п. Дифференциал в алгебре
Л1>п задает отображение (d\ Vn): Vn -> Vn AFn. На пространстве VJ,
существует структура алгебры Ли, двойственной к алгебре Л х (Л. Скобка
[ , ]= (У„У Л (У„У -* V*
двойственна к дифференциалу d\Vn.
Тождество Якоби для скобки [ , ] двойственно к тождеству d2 = О
для дифференциала d. Эту алгебру Ли мы будем обозначать ?„. Вложение
' • *^i,n ^- -^i,n+i определяет вложение Vn С Vn+l. Двойственные объек-
объекты включаются в точную последовательность
о - кп+1 ¦* n+i-^ v*n ¦* о.
Отображение / является отображением д.г. алгебр, поэтому / * являет-
является отображением алгебр Ли.
Поскольку дифференциал d\ Vn+i имеет только квадратичную часть
d\ Vn+x: Vn + x -+Vn Л Vn, алгебра К„+1 лежит в центре алгебры Ли ?„+х.
Алгебра Ли ?0 является тривиальной. Отсюда следует, что все алгебры
<?„ нильпотентны.
Таким образом, имеет место двойственность между 1-минимальными
моделями и башнями нильпотентных алгебр Ли. Нам осталось показать,
что эта двойственность переводит 1-минимальную модель симплициального
комплекса в башню алгебр Ли, ассоциированную с его фундаментальной
группой. Сначала мы докажем это (по индукции) для башен главных рас-
расслоений со слоями типа К(п, 1). Это доказательство использует лемму Хир-
*) Мальцев А.И. Об одном классе однородньк пространств // Изв. АН СССР.
Сер. мат. 1949. Т. 13, № 1. С. 9-32.
**) См. Baumslag G. Lecture notes on nilpotent groups // Regional conference se-
series in Math. № 2.
110

ша и полностью аналогично доказательству теоремы 11.5. Для данного X
имеется диаграмма
9A,1)
Минимальная модель этой башни двойственна соответствующей баш-
башне алгебр Ли. С другой стороны, имеет место изоморфизм
в С, 1); u)SiH\X, О)
для всех /, кроме того, отображение
lim { Я2 (К(Щтг) » 0,1); О } ¦* Нг (X, О)
является мономорфизмом.
Таким образом, минимальная модель для указанной выше башни
определяет 1-минимальную модель пространствах.
С. Функториалыгость. При изучении функториальности оказывается
необходимым рассматривать отмеченные точки. Отмеченной точкой д.г.
алгебры А называется отображение А0 -*к (где к - основное,поле). Если
X - симплициальный комплекс, apGl- отмеченная точка (с рациональ-
рациональными барицентрическими координатами), то определим отображение,
подставив А0 {X) -> О.
Пусть Л -* к, 33 -*¦ к — дифференциальные алгебры с отмеченными точ-
точками. Мы говорим, что отображение <р:^1-*вЗ сохраняет отмеченные точки,
если оно коммутирует с входящими в определение алгебр с отмеченными
точками с отображениями в поле к. Мы говорим, что гомотогшя
Н:
(t.di)
сохраняет отмеченные точки, если диаграмма
(t.dt)
коммутативна. Если 33° = к и гомотопия Н сохраняет отмеченные точки,
то Н(а) = Бй' ® tl для всех aGJ,1. Нетрудно видеть, что при доказатель-
доказательстве теоремы 12.1 мы фактически доказали следующее утверждение.
Теорема 12.3. а) Пусть Л -> к - дифференциальная алгебра с отме-
отмеченной точкой. Тогда существует 1-минимальная модель Л i {no опреде-
определи

пению обладающая отмеченной точкой) и отображение р: М\ -*Л, сохра-
сохраняющее отмеченные точки и индуцирующее изоморфизм в группах Н1
и мономорфизм в группах Я2.
б) Если заданы две минимальных модели р: Jt\-* Ли р': Jl\ -+А ',
обладающие указанными в а) свойствами, то существуют изоморфизм
J:JC\ -+Л>\ (автоматически сохраняющий отмеченные точки) и гомото-
пия Н от р\ о / к р, сохраняющая отмеченные точки. Изоморфизм опре-
определен однозначно с точностью до гомотопии, сохраняющей отмеченные
точки.
По аналогии с теоремой 11.2 получаем следующее утверждение.
Теорема 12.4 Если отображение /: X -> У сохраняет отмеченные
точки, то оно индуцирует отображение /: JCy.i ~* Лх,\> определенное с
точностью до гомотопии.
Теперь мы обнаруживаем следующее удивительное обстоятельство.
Лемма 12.5. Пусть Н: Ж\ -*Jfb (t,dt) - гомотопия, сохраняющая
отмеченные точки. (Здесь JC\, Jf i — 1-минимальные алгебры.) Тогда
выполнено соотношение Н~Н0® 1.
Доказательство. Мы покажем (по индукции), что Н\ Jl\,k -
- (#о I Л\,ь) ® 1- Пусть мы уже доказали это для к < я, и пусть х - эле-
элемент алгебрыМ\,п- Тогда Н(х) = ?т/,- ® t' + wf ® t(dt. Так как гомото-
гомотопия Н сохраняет отмеченные точки, то все коэффициенты со,- равны 0.
Поэтому
Н(х) = 2т?,-® t\ H(dx) =
Но dx € Mitn и поэтому H(dx) = а ® 1. Отсюда следует, что it]t = 0, и,
следовательно, щ{ - 0 при / > 0. Таким образом, Н(х) = т/0 ® 1. Посколь-
Поскольку алгебра Л1 „ порождена одномерными образующими, мы видим, что
Н\Л\)
Итак, мы показали, что 1-минимальная модель с отмеченной точкой
определяет функтор из гомотопической категории пространств с отмечен-
отмеченной точкой в категорию 1-минимальных моделей и отображений между
ними. Двойственным образом мы получаем функтор в категории алгебр
Ли, который сопоставляет с каждым пространством X группу ttj (X) ® О,
а с каждым отображением/: {X, р) -*¦ (У, q) отображение /#: irx (X, р) ®
®С -+ tti (У, q) ®O. Таким образом, исходя из С-полиномиальных форм
на пространстве X, можно чисто алгебраически получить функтор "irt ® С".
Примеры. 1. S1 VS1.
Рассмотрим точную последовательность
^iS1) ¦+ Ш ¦* 0
(предпоследняя стрелка соответствует вложению в букет точки пересе-
пересечения окружностей). Мы можем вычислить "вещественную часть" группы
itiiS1 V S1), используя алгебру А*. Имеется отображение дифферен-
дифференциальных алгебр
{Н'ф1 VS1, И), d = 0}Q Аф,
индуцирующее изоморфизм в когомологиях. Поэтому для построения
1-минимальной модели алгебры А*, достаточно построить 1-минимальную
112

модель алгебры
A'iS1 VS\ Й).
Шаг 1. Рассмотрим отображение
A«x.jr))-tf'(.S1 VS1);
здесь х, у образуют базис в группе H\Sl V S1).
Это отображение индуцирует изоморфизм в группе Я1 (S1 V S'),
но имеет ядро в размерности 2. Это ядро порождено элементом х Л у.
Шаг 2. Рассмотрим отображение
р2: Л({х,>-, п}) ¦* Я'р1 VS1)
(здесь dq = х /\у, р2 (tj) = 0). Ядро этого отображения в размерности 2
порождено элементами х Л т/ и у Л т/. При построении следующих при-
приближений их ядра будут возрастать и конструкцию придется продолжать
до бесконечности. В результате мы построим возрастающую последователь-
последовательность вложенных алгебр, двойственную свободной нильпотентной алгебре
Ли от двух образующих. (Эта башня ассоциирована со свободной группой
от двух образующих.)
В общем случае, если Я2(Х О) = 0, получающаяся башня алгебр Ли
является башней свободных нильпотентных алгебр.
2. Пусть ./V — нильмногообразие, полученное, факторизацией группы
верхнетреугольных матриц
по решетке целочисленных матриц. Это многообразие компактно и кольцо
его когомологий совпадает с кольцом когомологий пространства S1 X
X S2 # S1 X S2. Для построения 1-минимальной модели пространства
S1 X S2 # S1 X S2 нужно применить тот же бесконечный процесс, что и
в примере 1.
Ьминимальная модель пространства N имеет вид
л({*.У)) ® Мп)> dn = xAy.
d
Поэтому группа Я2(ЛГ) порождена "произведениями Масси" [х Л т/] и
[у Л v] ¦ Можно доказать, что Ьминимальная модель пространства N
является его минимальной моделью.

Глава 13
ПРИМЕРЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ
А. Сферы и проективные пространства. Рассмотрим нечетномерную
сферу S2n . В качестве первого шага при построении минимальной моде-
модели рассмотрим внешнюю алгебру Л(е) от одной образующей, имеющей
размерность 2и + 1. Рассмотрим отображение р: Л(е) -*A*(S2n+1), пере-
переводящее образующую е в какой-либо нетривиальный цикл. Это отобра-
отображение индуцирует изоморфизм в когомологиях, следовательно, является
минимальной моделью алгебры A*(S2n+1).
Из теоремы 11.5 вытекает, что гомотопические группы irt(S2n+l) ®
® О равны нулю при i Ф 2л + 1 и тг2ге+1 (S2n+1) »€l = п.
В качестве первого шага при построении минимальной модели алгебры
A*(S2n) возьмем полиномиальную алгебру P(xin) с одной образующей
х2п, имеющей размерность 2и. Ясно, что элемент х\п когомологичен нулю
в алгебре A* (S 2п).
Рассмотрим теперь алгебру Р(х2п) ® Л(^4л-1). гДе dy =х2. Эта алгеб-
d
pa является минимальной моделью алгебры A*(S2n): Отсюда следует,
что имеют место следующие изоморфизмы
О, /#2и, 4и - 1.
Пусть /: S" -*¦ X — симшшциальное отображение (и > 1, пространст-
пространство X односвязно). Рассмотрим соответствующее отображение /: Мх -*¦
-*¦ JH п (определенное с точностью до гомотопии). Оно определяет ото-
s
бражение
Jn(JCxy ¦* /я(^„)^-> О
(последний изоморфизм индуцирован интегрированием форм по фунда-
фундаментальному циклу в сфере S "). Индуцированное отображение /" (Мх) * "*
-»О зависит только от гомотопического класса отображения/.
Таким образом мы получаем отображение
. пп(Х) ¦* НотсA"{Лх), С)
и, следовательно, отображение
114

В гл. 14 мы увидим, что это отображение является изоморфизмом и сов-
совпадает с двойственностью, существующей в силу теоремы 11.5.
Построим теперь минимальную модель пространства СР". Первым
приближением здесь является алгебра Р(х2)- Ядро отображения Р(х2) -*¦
->Я*(СР", С) порождено элементом x"+l- Минимальная модель прост-
пространства СР" совпадает с алгебройР(х{) ®A(y2n+i), где dy =x"+1.
d
Отсюда следует такое утверждение
0,
, » = 2,2и+1.
Его можно также вывести из точной последовательности для рас-
расслоения
В. Градуированные алгебры Ли. Пусть ? = ® ?„ - градуированное
и
векторное пространство над полем характеристики О. Пусть [ , ]: ? ® ? -*¦
¦+? — отображение, сохраняющее градуировку. Мы говорим, что (?,[»])~
градуированная алгебра Ли, если выполнены такие условия:
1) [х,у] =(-1)<"+1>(«+1)[**] при х&?р, у<Е?я,
2) [х, [y.z]] = [[x,y],z] +(-l)P4[y, [X,Z]] при xGJ^.yej^ (тож-
(тождество Якоби).
Любая алгебра Ли L может быть превращена в градуированную, если
положить ?0=L, ?{ = 0 при i>0.
Пусть X — односвязное пространство. Тогда произведение Уайтхеда
(см. упр. 34) превращает алгебру ? = ® ?„, ?„= 7Г„(ДГ) ® (Q в гра-
п>\
дуированную алгебру Ли.
Другие примеры градуированных алгебр Ли возникают в теории д.г.
алгебр. Пусть JC — д.г. алгебра, являющаяся свободной градуированно-
коммутативной алгеброй от образующих в положительных размерностях.
Положим 1(Л) =Л+/Л+ Л Л + ,где Л* — идеал элементов положитель-
положительной степени. Обозначим через (Л*)к к-ю степень этого идеала. (Таким
образом, (Л*)к = {со | со = 2дд Л ... Л a<fc, ay G Л+}.) Если диф-
дифференциал d: Л-* Л разложим, то образ d{Лk) лежит в Лк + 1. Поэтому
возникает диаграмма
Из равенства с?2 = 0 легко вывести, что композиция
равна нулю. Обозначим через ?„ векторное пространство (In+1 (Л))".
Рассмотрев отображение, двойственное к дифференциалу d, получаем
отображение [ , ]: ? ® ? -*¦ ?, сохраняющее градуировки.
115

Свойство симметрии для скобки [ , ] следует из того, что дифферен-
дифференциал d отображает пространство /(Jt) в пространство 1(М) Л I(J().
Свойство Якоби следует из (*).
Два примера, рассмотренных нами, связаны между собой.
Пусть X — односвязное пространство, а Л>х ~ его минимальная мо-
модель. Тогда градуированные алгебры Ли nt + l(X) ® (Q (коммутатор оп-
определяется на основе скобкиУайтхеда) и (e/"+i (Jtx)*>d*) изоморфны.
Изоморфизм индуцируется описанным выше отображением
В качестве иллюстрации рассмотрим пространство S2V S2. Его мини-
минимальная модель содержит две образущие ? i, |2 степени 2. Затем мы до-
добавляем трехмерные образующие с тем, чтобы убить все четырехмерные
когомологии, и т.д.
Двойственная алгебра Ли является свободной градуированной ал-
алгеброй Ли от двух двумерных образующих ?*,!?•
Аналогичным образом рациональные гомотопические группы прост-
пространства S V ... V S * образуют свободную алгебру Ли, натянутую
на образующие размерностей (Pi — 1),...,(р* — 1).
С. Кольца Борромео. Двойственность Пуанкаре может быть интерпре-
интерпретирована геометрически. Это позволяет строить минимальные модели
многообразий, используя не дифференциальные формы, а многообразия.
Двойственность Пуанкаре описана следующим образом. Пусть М С N" —
вложение многообразий, причем Nn и_Мк — замкнутые ориентированные
многообразия. По теореме о трубчатой окрестности найдется трубка v (MC
С N) вокруг многообразия М, диффеоморфная расслоению на диски
с базой М:
N
Обозначим через D% слой- над точкой т0 ? М. Многообразия М viN
ориентированы, поэтому диск D"~k тоже ориентирован. Применяя изо-
изоморфизм Тома (см. упр. 25), получаем, что существует и единствен такой
класс UM S H"-k(v(M С ЛО, bv{M С N); Z), что / UM = 1 (мыпред-
(мыпредполагаем, что М связно). Рассмотрим дифференциальную форму класса
С°°, представляющую класс U и обращающуюся тождественно в нуль
около границы bv(M С N). Продолжив эту форму на дополнении N —
— v(M С N) нулем, получаем замнутую С°° -форму UM, определенную
*) Здесь (и в аналогичных местах в дальнейшем) необходимо предполагать,
что пространства п„ {X) * <П конечномерны для всех и. Для этого достаточно, чтобы
все остовы пространства X были конечными CW-комплексами. — Примеч. пер.
116

на всем многообразии N. Класс когомологий этой формы двойствен по
Пуанкаре к классу [М] е Нк (N).
Для многообразий с краем существует аналог этой двойственности.
Пусть (М, ЪМ) — подмногообразие в многообразии (N, ЪМ), причем М
трансверсально подходит к краю Э N и пересекает его по краю ЪМ. Та же
конструкция, что и выше, позволяет построить класс когомологий U^ €
е Hn~k{N), двойственный по Лефшецу классу [М, ЪМ] € Hk(N, ЭЛГ).
При соответствии М -*¦ UM трансверсальное пересечение подмногооб-
подмногообразий соответствует внешнему произведению форм. Это означает, что
если Мк и Mi — подмногообразия в многообразии N, пересекающиеся
трансверсально по подмногообразиюМо\'~п,aU0,Ui — соответствующие
дифференциальные формы (носители которых содержатся в достаточно
малых трубках около Мо и Mi), то форма Uq Л U1 является двойствен-
двойственной многообразию Мо>1, т.е. ее носитель лежит в достаточно малой трубке
около Mo,i и интеграл от Uo Л XJ\ по любому слою этой трубки равен 1.
Многообразия L, затягивающие многообразие М С N, соответствуют
формам г), для которых dn =. UM. Это значит, что если Мк = 9Z,*+1, то
существует форма UL с носителем в малой трубке около многообразия
L, замкнутая вне некоторой окружающей М трубки, причем dUL = Um и
интеграл формы U^ по любому слою трубки равен 1:
Теперь мы рассмотрим конкретный пример построения минимальной
модели с использованием этой техники. А именно, мы рассмотрим про-
пространство S 3 - (кольца Борромео)
S
Это пространство можно рассматривать как многообразие с краем
(выбросив вместе с кольцами малые трубки вокруг них).
В наших рассуждениях мы будем пользоваться обычными когомо-
логиями и собственными подмногообразиями.
Группа Н1 (S3 — 33) имеет ранг 3 и порождена классами, являющи-
являющимися двойственными к 2-дискам, затягивающим кольца. Мы выберем
117

эти диски так, как показано на рисунке
Пусть ?/j, U2, U3 — двойственные классы Тома в когомологиях
Н1 (S — 59). В качестве первого приближения к искомой минимальной
модели рассмотрим алгебру Л(?/\, U2, U3). Индекс зацепления любых
двух колец равен 0 (см. рисунок), поэтому Ut Л Uj = 0 для i Ф j. Кроме
того, форма U2 Л U3 равна нулю, ибо диски D2 и D3 не пересекаются.
Форма Ul Л U2 является формой Тома, двойственной интервалу 1\2.
Для того чтобы найти форму ?, для которой d% = Ux Л ц2) нам нужно
найти собственное двумерное подмногообразие с границей 112. Мы возь-
возьмем в качестве такого многообразия ту половину С12 диска Dx, которая
лежит выше отрезка /12 (см. рисунок). Перейдем теперь к вычислению
произведения Масси
< Ui, XJ2, U3 ).
Пусть drifj = Ut Л Щ. В нашем случае rj23 =0, носитель формы т/12
сосредоточен около С12- Поэтому произведение Масси (Ui, U2, U$ > (т.е.
коцикл т/12 Л U3 + Ui Л т/2з) представляется формой Тома, двойственной
к С!2 Л ZK. Обозначим это пересечение 1\23. Она является дугой, концы
которой лежат на разных компонентах пространства S3. Поэтому класс
когомологий [/123] е Н1 (S3 - S3) не равен нулю, и, следовательно,
Заметим, что для случая трех незацепленных окружностей (их объеди-
объединение обозначим через Ж)') все произведения Масси вида < Uti, Ui}, Ui3 )
равны нулю. Таким образом, минимальные модели пространств S3 — 53
и S3 - 33' различаются на третьем шаге построения. Отсюда вытекает,
что зацепления SB и 53' не изотопны. Их различия минимальных моделей
на третьем шаге построения следует, что группы ttj (S3 - 53)/Г5 и tti (S3 —
- S3')/rs не изоморфны. Группа ttj (S3- 53 ) является свободной. Поэтому
группа tti (iS3 - 53) не является свободной.
D. Симметрические пространства и формальность. Пространство X
называется формальным, если д.г. алгебры А* (X) и Н* (X, Ш) гомотопи-
чески эквивалентны. Таким образом, если пространство X формально и
Лх — его минимальная модель, то существует отображение Лх -* {Н* (X),
d = 0), индуцирующее изоморфизм в когомологиях.
118

Отображение
(*) (H
индуцирующее тождественное отображение в когомологиях, существует
всегда. Однако это отображение, вообще говоря, не будет мультиплика-
мультипликативным. Если можно выбрать это отображение так, чтобы оно было муль-
мультипликативным, то алгебры (Я* (X), d = 0), А* (X) имеют одну и ту же
минимальную модель. Таким образом, существование мультипликативного
отображения (*) накладывает некоторые алгебро-топологические ограни-
ограничения на пространство X.
Если X — риманово многообразие, существует каноническое отобра-
отображение (*), ставящее в соответствие каждому классу когомологий ту
единственную гармоническую форму, которая его представляет. Таким
образом, если многообразие X допускает риманову метрику, для которой
произведение гармонических форм является гармонической формой,
то пространство X формально.
Существует целый класс таких римановых многообразий. Это — ри-
мановы локально симметрические пространства.
Е. Третья гомотопическая группа односвязного пространства. Пусть
А* — д.г. алгебра, для которой Я1 (А* ) -¦ О. Первой ступенью при построе-
построении минимальной модели для алгебры А* является алгебра (Р[Н2], d = 0)
полиномов на векторном пространстве Я2 (А*). Следующая ступень полу-
получается при умножении этой алгебры на внешнюю алгебру, порожденную
векторным пространством Я4 (Р[Н2], А*). Если X — односвязное прост-
пространство, то группа 7Гз {X) ® (Q двойственна векторному пространству
Я4(Р [Я2], А * (ЯГ)). Из длинной точной последовательности пары (Р[Н2],
А* (X)) получаем точную последовательность
0-+Н3(Х)^ НотGг3(;О, <D)^P2[H2(X)] ^ Я4(Х);
здесь А* — отображение, двойственное гомоморфизму Гуревича,
/*2 (Я2 (X)) — векторное пространство однородных полиномов второй
степени над векторным пространством Н2(Х), a U обозначает умножение
Александера — Уитни.
Пусть /: S3 -+ X — непрерывное отображение. Заменив его в случае
надобности на гомотопное, можно считать, что оно симплициально, и,
следовательно, индуцирует отображение f *: А* (X) ~+A*(S3) и соответ-
соответствующее ему отображение
/: Мх^ М5Ъ =Л(е)
минимальных моделей. Рассмотрим отображение /: Jf.s -> (D, сопостав-
сопоставляющее с каждой формой w? .^^з интеграл / со € (D. Мы видели в п. В
настоящей главы, что отображение /° /: я3 (X) -> [I3 (Лх)]* задает
изоморфизм между векторными пространствами
I3(Jtx).
Пусть coi,... , Wfc — базис в векторном пространстве Я2 (X) над Ш.
Выберем в каждом классе когомологий o)t по представителю и>{ е А2 (X).
119

Предположим, что пара
B ац и, Л и>,, v) G Р2 [Н 2 ] ® Л3 (ЛГ)
задает относительный коцикл (т.е. dt] = Б д# Wf Л со;). Сейчас мы предъя-
предъявим формулу, позволяющую вычислить значение класса
4
на элементе [/] € тгз (X). Для того чтобы это сделать, нам придется так
деформировать отображение
РХ f*
чтобы оно пропускалось через алгебру М8з =Л(е). Определим гомотопию
Н:Р[Н2] -+A*(S3) ® (t,dt) таким образом.
Пусть со/ ? Н2. Тогда для некоторой 1-формы Ц( &А* E3) выполнено
равенство / * (cjj) =d^f.
Положим Н (w,) = / * (со/) ® 1 - d(ju, ® t).
Следующая диаграмма гомотопически коммутативна:
А* (Х)^ A* (S3)
]РХ |Ряз
{•Mxh " Л(е)
Мы хотим заменить в этой диаграмме алгебру (.JCx)z на алгебру
Отображение /: (МхK -> Л(е) должно переводить класс ко гомо-
гомологии (S в^со/Л coy, tj) в элемент Хе для некоторого X € (D (мы пред-
предполагаем, что элемент е выбран так, что / р 3 (е) = 1)- Для того чтобы
s3
существовало распространение гомотопии Н на алгебру (^х)з> число
X должно быть равно
ff'v-f f
s3 о js
„} f (rebel-
(rebel° я3
®dt) Л(/* ?у® \
Единственные члены во втором слагаемом, делающие ненулевой вклад
в интеграл, суть
/* (со/) ® 1 Л щ ® dt - dуц® г Л ty ® Л + ju,® Л Л /* w/ ® 1 -
- /и,- ® Л Л cf д,- ® Г =
= /* со/ Л д,- ® Л - с?м,- Л щ ® rd/ +
+ Ш Л / * "у <# - ju,- Л с?^ в tdt.
120

VI
Следовательно,
Х= ff*r)-Zatf Д/*ш,
S3 S*
+ 1,а{/ - f (d/i/Л щ +М/ Л dnj)
2 5Э
s3
l
Эта формула является обобщением известной формулы для инва-
инварианта Хопфа, принадлежащей Дж.Г.К. Уайтхеду. Уайтхед показал, что
инвариант Хопфа #(/ ) гладкого отображения /: S3 -+S2 равен
S3
где / а> = 1, a d/i =/ *ш. Напомним, что тг3 (S12) =?и инвариант Хопфа
данного отображения есть его образ при этом изоморфизме.
F. Теория гомотопий некоторых четырехмерных комплексов. Пусть
г
X — пространство, гомотопически эквивалентное пространству (V 52) U
т •"¦ '=i v
и е4, где ?? - отображение сферы 53 в букет V S2. Например, таким
ч> t=i
пространством является любое односвязное четырехмерное многообразие.
Гомотопический тип пространства определяется элементом [<^] гомото-
т
пической группы п3 ( V S2 ). Эта группа является свободной абелевой
j=i
группой с образующими [х,-, х;- ], / < /, где xt — тождественное отображение
сферы S2 на /-е слагаемое букета. (Здесь [ , ] обозначает произведение
Уайтхеда.) Элемент [<р] может быть также описан с помощью кольца
кого мол огий. Кольцо когомологий пространства X определяется сим-
симметрической билинейной формой
Поскольку в группе Я2 (X) имеется естественный базис, двойственный
сферическим образующим группы Я2 (X), отображение U задается сим-
симметрической целочисленной матрицей \ц. Можно показать, что [<р] равно
2 Х,у [*/,ху].
Таким образом, гомотопические типы пространств, обладающие ука-
указанным в начале этого пункта свойством, находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с классами эквивалентности целочисленных симметрич-
6.Ф.А. Гриффите 121

ных билинейных форм. Пространства, обладающие свойством двойствен-
двойственности Пуанкаре, соответствуют при этом цилиндрическим формам.
Неизвестно, какие именно унимодулярные формы реализуются зам-
замкнутыми односвязными 4-многообразиями. Неизвестно также, являются
ли диффеоморфными два многообразия, эквивалентные формы *).
Классификация рассматриваемых комплексов с точностью до рацио-
рациональной гомотопической эквивалентности сводится к классификации
соответствующих форм с точностью до рациональной эквивалентности
(причем формы, получающиеся друг из друга умножением на константу,
отождествляются). Таким образом, если X и Y — два симплициальных
комплекса указанного вида (см. в начале параграфа), то алгебры JHx и
М Y изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие формы
рационально эквивалентны.
Алгебры кусочно гладких форм на пространствах X и Y имеют изо-
изоморфные минимальные модели тогда и только тогда, когда соответствую-
соответствующие формы эквивалентны над полем вещественных чисел (формы со и
Хш, где X ? (Q, X Ф 0 отождествляются). Это, в свою очередь, равносильно
тому, что эти формы имеют одинаковый ранг, одинаковые сигнатуры
и одинаковые размерности нуль-пространств.
G. ©-гомотопический тип пространств BUn и Un (см. упражнения).
Грассманиан BUn — это множество л-мерных плоскостей в <П°° (i.e.BUn =
= lim G(n, N)). Напомним, что
где ct ? H2l(BUn, Z") — класс Чжэня универсального векторного расслое-
расслоения. Таким образом, мы получаем отображение
BUn ? П К(?,21),
1 = 0
индуцирующее изоморфизм в рациональных когомологиях. Так как
К G?, 2fc)@) =?(©, 2 к), отображение
/(О) я
является гомотопической эквивалентностью.
Замечание. Таким образом мы доказали, что
Это — один из вариантов теоремы периодичности Ботта (касающийся
рациональных гомотопических групп и нестабильных грассманианов).
*)В 1981 г. М. Фридман доказал, что любая целочисленная унимодулярная форма
реализуется односвязным замкнутым топологическим 4-многообразием. При этом
если форма четна, то это многообразие определено однозначно, а если нечетна, то
существует ровно два таких многообразия.
В 1982 г. С. Дональдсон доказал, что если у гладкого односвязного замкнутого
4-многообразия М форма <¦ •, • > м положительно определена, то она приводится к
сумме квадратов. — Примеч. пер.
122

Обозначим через BU предел
lim G(n,2n).
п-юо
Мы имеем Н* (BU, 2?) =? ~Z\c±, c2,- ¦ ¦]¦ То же рассуждение, что и раньше,
показывает, что
ВЩ0)~ П К ((й, 21).
1=0
Отсюда следует, что
n2i (BU) ® <Q « Q,
(рациональная периодичность Ботта).
"Настоящая" (целочисленная) теорема периодичности Ботта утвержда-
утверждает, что
(n-iyGH E '^ l (И)
для всех отображений f:S2n-*BU.
Быть может, с помощью свойства делимости (ii) было бы можно вывести
целочисленную периодичность Ботта из рациональной.
Пусть Un — унитарная группа. Напомним, что H*(Un, Ж) = Z'fci,
х3, •. ., Хгп-1) (внешняя алгебра от нечетномерных образующих). Отсюда
следует, что гомотопический тип пространства (t/n)(o) совпадает с типом
л
пространства П S ^ * (произведение нечетномерных локальных сфер).
Отсюда следует, что
Определим стабильную унитарную группу U, положив U = lim Un.
я->°°
При этом
(Это утверждение эквивалентно теореме периодичности Ботта, что выте-
вытекает из точности гомотопической последовательности расслоения
I
G(n,2n),
где число п велико по сравнению с /, a St (и, 2и) обозначает многообразие
Штифеля; см. упражнения.)
6* - 123

Н. Произведения. Пусть А* и В* — д.г, алгебры. Тензорное произве-
произведение Л* ®5* обладает естественной структурой д.г. алгебры.
Если ЛА и -Мв — минимальные модели алгебр А* и В*, то МА ®
® »ЛВ — минимальная модель алгебры /4* ® 5*. ЕслиЛГ, К- С°°-многооб-
разия, отображение ^«(Я") ® ^4^(У) -* A*Cvo(X X У) индуцирует (по
теореме Кюннета) изоморфизм в когомологиях. Если X, Y — симплици-
альные комплексы и (X X Y)' — триангуляция их произведения, то су-
существует отображение
А*(Х) в A*(Y) -+ A*((XX Y)'),
индуцирующее изоморфизм в когомологиях.
Следовательно, МХу. Y — Мх ® Лу- Это утверждение представляет
собой обобщение теоремы Кюннета. Отсюда можно вывести теорему Кюн-
Кюннета, перейдя к гомологии. Отсюда можно вести также формулу для рацио-
рациональных (или вещественных) гомотопических групп произведения X X У,
согласно которой 7г,- (X X Y) ® С а я, (А") ® п ® тг; (К) ® С (для доказа-
доказательства достаточно заметить,что I(Jlx® jUy)~I(Лх)ф1(Лг))-
I. Произведения Масси. Рассмотрим пространство X. Пусть классы
когомологий
осенях), рен"(Х), уенг(Х)
удовлетворяют тождествам
Тогда можно определить тройное произведение Масси
< а,0, у > енр + ч + г ~ 1(Х)/(а• Hq + r ~ г(Х) + у ¦ Нр + " "
Представив а, /3, у дифференциальными формами а, Ь, с, запишем
(*) aJ\b = dg,
где g,h —формыстепеней р +q — 1, q+r—l.
Форма к =gAc + (— l)p~ 1aAb (степень формы Л равна p + q +r — 1)
замкнута. Ее класс когомологий корректно определен по модулю группы
Это можно проверить явно, подставив в формулу (*) другие значения;
и h. Таким образом произведение Масси корректно определено как эле-
элемент группы
J. Тройные произведения Масси для компактных кэлеровых много-
многообразий.
Определение. Структурой Ходжа веса m называется О-век-
торное пространство Я©, для которого фиксировано разложение комплек-
сификации Яд; = Я© ® С в прямую сумму
с
Яе = « Нр-4,
р + q = m
причем Н-р'ч = Нч'р (называемое разложением Ходжа).
124

Пусть М - компактное кэлерово многообразие (см. главу 7 части О
в книге: Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической
геометрии. М.: Мир, 1982). Обозначим через АР'Ч(М) векторное прост-
пространство комплекснозначных С°°-форм типа (р, q) на многообразии М.
Положим
Нр> q(M) =
Подпространства
Hp'q(M)CHm(M), p+q = m,
определяют разложение Ходжа в когомологиях Нт (М) = Нт (М, С) ® С.
Таким образом, когомологии Нт(М) компактного кэлерова много-
многообразия наделяются функториальной структурой Ходжа веса т (смысл
слова "функториальность" в данном контексте уточнить легко и мы оста-
оставим это читателю).
Это утверждение вытекает из следующей леммы (см. например, Гриф-
Гриффите Ф., Делинь П., МорганД., Сулливан Д. Гомотопическая
теория кэлеровых многообразий // УМН. 1977. Т. 332, вып. 3. С. 144).
Лемма (принцип двух типов). Пусть М - компактов кэлерово
многообразие и \р SA Р'Ч(М) — форма,для которой
Тогда существуют такие формы т\ и rj", что
Сейчас мы покажем, что из этой леммы вытекает равенство нулю
всех тройных произведений Масси на компактных кэлеровых много-
многообразиях.
Заметим прежде всего, что U-произведение
сохраняет разложение Ходжа
Поэтому достаточно рассмотреть только произведения Масси вида
, 0, 7 )> где формы а, /3, у однородны по отношению к разложению Ход-
Ходте
жа, т.е
аен*-\х), рен'>'(Х), у&ни'\х).
Мы построим две замкнутые когомологичные формы <?i, <?2 > представляю-
представляющие класс когомологии < а, 0, у >, причем
„1ел'+'+и-'+/+»-1(лг),
<p2eAt+t+u- 1'#+' + в(лг).
Различные слагаемые разложения Ходжа не пересекаются, поэтому
формы ??i, <р2 точны, и, следовательно, <а, 0, у > = 0.
125

Выберем замкнутые формы
aGA*'s(X), beAiJ(X), ceAu-v(X),
представляющие соответственно классы ос, fi, у. Нам известно, что форма
а ЛЬ точна.
Выберем такие формы
что dy = dy' = ahb. Форма у -у' замкнута.
Используя разложение Ходжа пространства ^'+s+I + /-1j можно
подобрать такие формы у,у', чтобы форма у-у' была точна. Аналогич-
Аналогичным образом можно выбрать такие формы z s Ai+u'J + v~ 1(Х), z G
G Ai+U~ 1>/+и(ДГ), что dz = dz' = ЬЛс и форма z-z точна. Каждая
из форм у Ас + (—l)t + s~ laJ\z, y'J\ с + (- l)f+s~ 1aAz' представляет
класс <а, /3, у).
Первая из этих форм имеет тип (t + i + и, s+/ + u — 1), вторая имеет
вид (t + / + и — 1, s +/ + и), и они когомологичны.
Замечание. Доказанный нами факт представляет собой частный
случай теоремы из цитированной выше статьи. Эта теорема утверждает,
что вещественный гомотопический тип кэлерова многообразия является
формальным следствием его кольца когомологий (определение формаль-
формальности см. выше в п. D). Этот результат можно обобщить на некомпакт-
некомпактные алгебраические многообразия; см. Morgan J. The Algebraic Topo-
Topology of Smooth Algebraic Varieties // Publ. IHES. 1978. V. 48.

Глава 14
ФУНКТОРИАЛЬНОСТЬ
В гл. 11 мы установили двойственность между минимальными д.г.
алгебрами и рациональными башнями Постникова. Мы показали, что
минимальная модель алегбры А*(Х) двойственна рациональной башне
Постникова пространства X. В этой главе мы обсудим функториальные
свойства этой двойственности.
А. Функториальное соответствие. Пусть В, С — односвязные симпли-
циальные комплексы, а /: В -*¦ С — непрерывное отображение. Пусть и -
вершины триангуляции комплекса С. Обозначим через stv открытую
звезду вершины v, т.е. объединение всех открытых симплексов комплек-
комплекса С, для которых v — вершина. Таким образом, получаем открытое покры-
покрытие пространства С множествами { stv). Здесь и пробегает все вершины
комплекса. Пусть В' — подразбиение комплекса В, каждый симплекс
которого лежит в прообразе f~1(stv) для некоторой вершины v комп-
комплекса С. Тогда существует симплициальное отображение у. В' -*¦ С, го-
гомотопное отображению /. Точки с рациональными барицентрическими
координатами всюду плотны в симплексе, поэтому можно считать, что
В' — рациональное подразбиение. Вложение /: В'-*В индуцирует отобра-
отображение А •(?)—* А *(В').
Пусть рв. Лв -*¦ А*(В), Рс'. JHC -*• А*(С) — минимальные модели.
Композиция /*'о рв: JCB -*¦ А*(В') также является минимальной мо-
л
делью по теореме 10.8. Существует такое отображение /: Мс—>• JtB',
что диаграмма
А*(С) -^-^ А'(В')
* °Рв
коммутативна с точностью до гомотопии (требование гомотопической
коммутативности этой диаграммы задает отображение / с точностью
до гомотопии).
127

Теорема 14.1. Сопоставление f **f определяет функтор [В, С]
Доказательство. Прежде всего, нам нужно показать, что гомо-
Л
топический класс отображения /: Jtc-*JHB зависит только от гомотопи-
гомотопического отображения /: В -*¦ С. Пусть есть две симплициальные аппрок-
аппроксимации /': В' -*¦ С, /": В" -*¦ С, причем В' я.В" - рациональные под-
подразбиения комплекса В.
Рассмотрим линейный клеточный комплекс В X I. Можно подобрать
такое подразбиение линейной клеточной структуры произведения на прост-
пространстве В X J, чтобы оно на одном конце совпадало с разбиением в', а на
другом — с разбиением В". Если это подразбиение является достаточно
мелким, существует гомотопия Н: В X 1 -* С, продолжающая отображе-
отображение /' U/". Таким образом, существует коммутативная диаграмма
А*(В')
А*(В")
Найдется такое отображение у. Jtc -* ,МВ, для которого отображение
я* о рв о if> гомотопно отображению Н* « Рс- Поэтому рв ° <fi ~ (/')* ° Рс
и Рв" ° <fi ~ (/")* ° Рс- Отсюда, применяя теорему 10.8, получаем, что
Ч> ~ /', У ~ / "• Тем самым доказано, что отображение [В, С] -*¦ \.М>с, Мв \
определено корректно.
Ясно, что отображение [В, В] -*¦ [ЛСВ, -Мв\ переводит тождественное
отображение в тождественное.
Осталось доказать, что композиции переходят в композиции.
Рассмотрим диаграмму
\ Pd |Рс \Рв
в которой оба квадрата коммутативны с точностью до гомотопии. Гомо-
Гомотопия является отношением эквивалентности на множестве отображений
из минимальной д.г. алгебры в любую д.г. алгебру, поэтому
PB°f°g ~ /* °Рс°8 ~ f*°g* °Pd-
Отсюда следует, что отбражение /° g соответствует отображению f* °g*,
и, следовательно, композиции сохраняются.
Отображение f:M^JT минимальных д.г. алгебр индуцирует отобра-
отображение в пространствах образующих: /(/): 1{М) -*¦ I(JT). Отображение
/(/) зависит только от гомотопического класса отображения /, и,
128

таким образом, корректно определено отображение [М, Ж] -*¦
-+Hom(I(Jt),I(JV)).
Применим теорему 14.1 к случаю В = S". В этом случае имеется
отображение
[S",X] = *n(X)-+[JCx, Msn\ s НотA(Лх), I{Msn)).
Имеется также изоморфизм 1(Л„п) -*¦ С, заданный формулой а и-
>-*¦ / а G Q. Таким образом, определено отображение
Q — НотAп(Лх),п) = \1п{Лх)]\
Л
Пусть задано отображение/: Х-+ Y и пусть /: Jlx -* -My — соответствую-
соответствующее отображение минимальных моделей. Тогда следующая диаграмма
коммутативна:
Q —1* j
(это немедленно следует из того, что соответствие, установленное в теоре-
теореме 14.1, функториально и сохраняет композиции). В настоящей главе мы
покажем, что \х является изоморфизмом для любого односвязного прост-
пространства X.
В. Эквивалентность гомотопической категории дх. алгебр и рациональ-
рациональной гомотопической категории пространств. Мы докажем,.что для локаль-
локального пространства существует естественное взаимно однозначное соответ-
соответствие между множеством [В, С] и множеством [Лс, Лв ]. В доказательст-
доказательстве используется индукция по ступеням башни Постникова пространства С.
Для осуществления шага индукции нужно будет разобраться во всех под-
подробностях с длинными точными последовательностями. Ближайшие пять
предложений этому и посвящены.
Предложение 14.2. Пусть р: Е -*¦ В - симплициальное отобра-
отображение, теоретико-гомотопический слой которого есть К(п, и). Пусть
iti(B) = le). Пусть рв: Лв -*¦ А''(В) - минимальная модель. Положим
Л'= Жв ® A(V)n. Пусть существуеттакое отображение р: Л' -*¦ А*(Е),
а
что
1) р \ЛВ= р* орв;
2) отображение р индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Тогда следующая диаграмма коммутативна:
препятствие .
[X, В] > Нп + \Х, я)
к поднятию
[лв, лх]
Н"+1(Х, V*)
[Ох
препятствие
к продолжению
129

Доказательство. Препятствие к поднятию отображения /:
X -*¦ В до отображения из пространства X в пространство Е равно f*(k),
где к G Hn + l (В, тг) является ^-инвариантом расслоения р. Препятствие
к продолжению отображения^: JtB -*¦ Лх на алгебру -М' равно y*(\d\)&
е Нп+1(ЛХ, V*). Доказывая теорему 115, мы видели, что элемент [d]
совпадает с классом к ® 1 S H" + 1(B, я) ® Q при отождествлениях
Рв
Н*(ЛВ) —> Н*(В), V* я» Нот(я, Q). Если отображения / и \р соответ-
соответствуют друг другу, то /* = \р* (мы подразумеваем, что алгебры Я *(
Н*(ЛХ) отождествлены с Н*(В) и Н*(Х) соответственно). Отсюда лег-
легко вытекает утверждение предложения 142.
Предложение 143. Пусть р: С„ + х -»• С„ является главным
расслоением со слоем К(п, п + 1). Для любого CW-комплекса Х сущест-
существует точная последовательность
Нп+1(Х,п) - [Х,Сп+1]-^ [Х,С„]-^ Нп + 2(Х,п).
Заметим, что множества [X, С„\ и [X, С„+1] не являются вообще гово-
говоря, группами, поэтому необходимо уточнить, что мы понимаем под точ-
точностью выписанной последовательности. Точность этой последовательнос-
последовательности означает по определению, что 1трф = О'1 (Of) и что имеется действие
группы Нп+1(Х, 7г) на множестве [Х,Сп+\\, причем два элемента мно-
множества [X, Сп+1] лежат в одной орбите этого действия тогда и только
тогда, когда их образы при отображении pt совпадают. Стационарная под-
подгруппа, соответствующая элементу /е [X, Сп + 1], совпадает с подгруп-
подгруппой Hf С Н" + 1(Х, п), состоящей из тех элементов а, для которых су-
ществует такое отображение X X S —*¦ С„, что у\Х X {0} = р ° f и
препятствие к поднятию отображения у в пространство Сп+1 равно
a®ieHn + 2(XXS1,n), где ieH1^1)- образующая.
Доказательство. Так как О есть препятствие к поднятию,
ясно,что ©^(О) = Ьпр».
Определим теперь действие группы Н" + 1(Х, тг) на множестве
[Х,Сп+1]. Пусть аеНп + 1(Х,7г) = Нп+2(ХХ1,ХХд1,тг) и /-отобра-
/-отображение X -*¦ С„ + 1. Отображение а • /: X -*¦ С„ + t определяется так, что-
чтобы р о а • f равнялось р о f и препятствие к построению гомотопии от /
к а. f, накрывающей тождественную гомотопию, было равно а.
Легко проверить, что сказанное действительно определяет действие
группы Нп + 1 (X, тг) на множестве [X, С„ + i ]. Ясно, что ро/= р о g
тогда и только тогда, когда [/] = а • [g] для некоторого а е#" + * (X, 7г).
Пусть а • / равна / в группе [Х,С„+ i] и Н: XX 1^-С„+ i является
гомотопией от / к а • f. Так как р о /= р о а • /, отображение р о Н опре-
определяет отображение у: X X S1 -*¦ С„, причем у \ X X {0} = р « /. Заме-
Заметим, что препятствие к поднятию отображения <р в пространство С„ + j
равно а 9 i G Нп + 2(Х X S1, я). В самом деле, у нас уже есть
поднятие Н: X X / -*¦ С„ + i, поэтому препятствие к поднятию отображе-
130

ния <{> в пространство Сп +1 лежит в группе
Hn+1(X,it)9Hl(Sl, 7?)CHn+2(XXSl,TT).
Легко видеть, что оно равно а ® /.
Сейчас мы докажем аналог этого предложения для расширений Хир-
ша. Пусть Л' = Л ® А(УУ„+1 — расширение Хирша, Л - д.г. алгебра.
а
Предложение 14.4. Существует точная последовательность
Hn + l(A,V) -+ [Л',Л]-^* [Л,А]-^+ Нп + 2(А, V*).
Точность этой последовательности нужно понимать в том же смысле, что
и раньше. А именно, точность ее означает, что О~1@) = Ьш* и что груп-
группа Нп+1(А, V*) действует на множестве [Л1, А], причем два элемен-
элемента этого множества лежат в одной и той же орбите тогда и только тогда,
когда их образы в [Л, Л ] одинаковы. Стационарная подгруппа, соот-
соответствующая элементу у е[Л',А], совпадает с подгруппой тех элемен-
элементов a GHn + 1{Л, V*), для которых существует такое отображение тр:
JC -*¦ А ® Л(е), что Hj, о ф = <р \jl и препятствие к продолжению отобра-
отображения ф наалгебру Л' совпадаете а»е6йя+2(^»Л(е), К')>
Доказательство. Так как элемент О является препятствием
к распространению отображений на алгебру Л', имеем
Определим теперь действие группыН" + 1(Jl, V*) = Bom(V,Hn+l(J.))
на множестве [Л1, Л]. Пусть заданы отображения а: V -*¦ Н"+ г(Л),
tf>: Л' -*¦ Л', определим отображение а ¦ \р. Для элементов подалгебры
Л аЛ' положим а ¦ ц> = у. Выберем какое-либо поднятие а : К-*((л + 1)-
коциклы алгебры Л) отображения а. Определим теперь отображение
а •$: У-+Л формулой а • <р(р) = <р(и) + а (и).
Легко видеть, что таким образом определили отображение д.г. алгебр,
причем гомотопический класс этого отображения зависит только от гомо-
гомотопических классов отображений а и <?. Покажем теперь, что если /*(^i) =
= f*QP2) для некоторых элементов ф1г <р2 G [Л', Л], то найдется такой
элемент a G Н" + i (Л, V*), что а ¦ <pt = <p2 (обратное утверждение оче-
очевидно). Итак, пусть отображения ч>\\М и ifr | Л гомотопны. Рассмот-
Рассмотрим диаграмму
а
л<П,.,—
являющуюся коммутативной с точностью до гомотопии. Поскольку
Н*(А, Л) = 0, никаких препятствий к существованию отображения [р'2 :
Л ' -> Л, гомотопного (^ и совпадающего c\pi на алгебре Л, нет.
131

Поэтому можно считать, что \рг \ Л = <р2 I ** • Пусть и S V. Рассмот-
Рассмотрим элемент <pi(v) — $2(v), принадлежащий Ап + 1. Так как dVGЛ , мы
имеем difi (и) = <pt (dv) = <р2 (dv) = d<p2 (v). Поэтому элемент ^ (и) - ^ (v)
замкнут. Положим a(v) равным [^i(u) — V2OO] Sff"+1(i). Ясно, что
р2рх
Теперь нам осталось вычислить стационарные подгруппы этого дейст-
действия. Рассмотрим поднятие а: V-*¦ ((л + 1)-коциклы алгебры А) отобра-
отображения а: V^Hn+l(A). Пусть а • <р = <р, где <р -отображение Л'-* А;
тогда найдется гомотопия Н: JC' -*¦ Л ® (t, dt) от <р к а • <р. Ограниче-
Ограничение гомотопии Н на алгебру Л является гомотопией от <р | Л к <р | Л ¦.
Обозначим через К д.г. подалгебру в алгебре (/, dt), состоящую из
всех форм 2а,/1 + bft'dt, для которых 2 а{ = 0. Алгебра А ® К С А ®
'? х
® (Г, с/Г) является ядром отображения г| - г0: X ® (/, df) ¦+ ^, где г0
и rt — отображения А ® (f, Л) -> ^ , получаемые, если положить t рав-
равным 0 или 1.
Лемма 14.5. Отображение A(dt) С К индуцирует изоморфизм
в когомологиях.
Это утверждение проверяется прямым вычислением.
В качестве следствия леммы 14.5 мы получаем, что отображение /':
А 9 Л(е) -»• А 9 К, определенное формулой р -* dt, индуцирует изомор-
изоморфизм в когомологиях. Рассмотрим диаграмму
где г: А® К.-* А — отображение, получаемое, если положить t равным 0,
отображение д тождественно на алгебре А, д(е) = 0. Препятствия к по-
построению поднятия отображения Н равны нулю. Поэтому существует
отображениеН': Л-* А® Л(е), для которого д «Н' = <р, /оЯ'~й.
Отображение Н' можно продолжить до такой гомотопии /': JC ->¦
-»• A ®(t, dt), что
1) Г\Л =Я',
2) /' является гомотопией от <р к 5 • \р (так как соответствующие
препятствия обращаются в нуль).
Мы утверждаем, что препятствие к продолжению отображения #' до
отображения "*'-»¦ Л ®Л(е) совпадает с гомоморфизмом v •-»¦ [а(р)®е] в
?Нп + 2(А® А(е)). В самом деле, препятствие к продолжению отображе-
отображения Н' переводит элемент и € V в класс H'(dv) бЯ" + 2(^« Л(е)).
Так как отображение /': *#' -»• ^® (J,dt) является продолжением отобра-
отображения / о Н' \ Л, то выполнено равенство H'(dv) = J '(dv) = dJ '(v). Поэто-
Поэтому j°H'(dv) = av®l +Ь„®Л.Пусть /'(и)= 2аи><® /' + bvJ<stidt.
132

Получаем, что
Отсюда следует, чтови -dav>o, т.е. коцикл аи является кограницей.
Так как
d / H(v) + '/ Я(Уи) =
Г = О t = О
= [Я | (; = 1)] (и) - [Я | (г = 0)] (и) = 5 (и),
получаем, что
(-1)«п*„Ь|> = 5(и) - d( 7 'яф)).
* = о
поэтому класс когомологий элемента H'(dv) равен (—l)degb«(a(u)® e).
Отсюда следует, что с точностью до знака препятствие к продолжению
отображения Н' совпадает с точностью до знака с гомоморфизмом
2
v
Пусть р: С„ +1 -»• С„ — симплициальная модель главного расслоения
со слоем К(п, п + 1), р„: ^„ -»• А *(СИ) — минимальная модель пространст-
пространства С„.
Положим М„+1 равным Мп ® Л(К)П+ 1; и обозначим через рп+ х:
d
Лп+1 -*¦ U*(Cn+i) отображение, продолжающее отображение р* о р„
и индуцирующее изоморфизм в когомологиях. Пусть X — симплициальный
комплекс, рх: Лх -*¦ А *(Х) — его минимальная модель. Рассмотрим ком-
коммутативную диаграмму точных последовательностей:
Нп+1(Х,п) - [X,Cn+i] -*
A4.6) iPx I
irPX
Нам осталось проверить, что действие группы Нп + 1(Х, я) на мно-
множестве [X, Сп+1] согласовано с действием группы Hn + i(jKx,V*) на
множестве [ Jtn+1 ,jfx] ¦
Пусть заданы элемент а е Нп + 1(Х, я) и отображение/: X -*С„+1.
Сужения отображений
Рп+1
133

на алгебруЛп являются гомотопными. Препятствие к продолжению этой
гомотопии на алгебру^л+1 совпадает с классом а & Нп + 1(Х, 7г®С).
Поэтому если уу и <pa.f суть отображенияЛп+Х -*Лх, соответствующие
отображениям /, а •/: X -*¦ Сп+1, то i^y \Jtn ~ <fia.f \Л„, а препятствие
к распространению гомотопии на алгебруМп + \ равно а. Следовательно,
f
Теорема 14.7. Пусть С - локальное пространство. Тогда отобра-
отображение [X, С] -*¦ [Лс> Л>х\ является биекцией.
Доказательство. Мы докажем это индукцией по построению
башни Постникова для пространства С. Именно, мы покажем, что отобра-
отображение [X, С„] -+[Лс(п),Лх] является биекцией для всех п (здесь С„
обозначает и-ю ступень башни Постникова пространства С, а^с(и) —
подалгебру алгебрыивс, порожденную всеми образующими степеней <и):
Шаг индукции использует 5-лемму, примененную к точной последователь-
Рх
ности A4.6)с учетом того,чтоотождествлениеНп+1(Х, п) —*Нп+\Лх, У*)
индуцирует изоморфизмы соответствующих стационарных подгрупп.
Следствие 14.8. Отображение
Хх:
является изоморфизмом для всех односвязных пространств.
Доказательство. Покажем, что это отображение является
эпиморфизмом. Пусть задан гомоморфизм \р: /n(^^)-»-Q. Тогда сущест-
существует отображение д.г. алгебр <р:Лх ~*Л п, реализующее гомоморфизм
ip (в самом деле, легко определить отображение у? в размерностях не
выше и, а препятствий к продолжению на более высокие размерности
нет, поскольку Я* (Л л) = 0 при * > и). Теперь найдем отображение yj:
S" -*¦ X,q. , реализующее (р (см. теорему 14.7). Таким образом, отобра-
отображение
эпиморфно, откуда немедленно следует эпиморфность отображения Х^"-
Теперь покажем, что отображение \х мономорфно.
Пусть Xx(f) - 0- Тогда отображение f:Mx ~*Л п является нуле-
нулевым в размерности и и из теории препятствий легко следует, что оно го-
гомотопно нулю. Отсюда, применяя теорему 14.7, получаем, что отображе-
отображение S" -*ЛгС>-Л'@) гомотопно нулю. Следовательно, класс [/] ? лп(Х)
обращается в нуль после тензорного умножения на С.
Следствие 14.9. Пусть X, Y - односвязные пространства и f:
X -*¦ Y — непрерывное отображение. Исходя из минимальных моделей
Лх иЛу можно построить локализации ЛГ@) и К@) пространств X и Y.
Исходя из элемента f & [Лу, Лх] можно построить отображение /@):
ДГ@) -»• К@), являющееся представителем (с точностью до гомотопии)
локализации отображения /.

Приложение А1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ ХИРША
Пусть X — топологическое пространство. Обозначим через Cube, (X)
комплекс кубических цепей пространства X, а через Q*(X) — комплекс
невырожденных кубических цепей: QnW) = Cuben{X)IDn(X), где
Dn(X) — свободная абелева группа, порожденная отображениями </>:
/" -*¦ X, которые пропускаются через проекцию р: I" -* In~~l (здесь
Легко видеть, что имеет место изоморфизм
Я. (G. С*)) а Я. (Stag. (Г)).
Обозначим через С*{Х) д.г. алгебру Q-полиномиальных форм на
невырожденных кубах пространства X. Элементами этой алгебры яв-
являются наборы {cj(J}(jecube,(A"), где ыа является Р. Х-формой на кубе а,
причем выполнены такие условия:
1) если куб т является гранью куба а, то соа \ т = шт,
2) если а — вырожденный куб, то шст = 0.
Для этой алгебры выполнен аналог теоремы де Рама.
Теорема. Отображение интегрирования
индуцирует изоморфизм в когомологиях.
Следствие. Если X — симплициальный комплекс, то сущест-
существует изоморфизм, между минимальными моделями алгебры С*(Х) и
алгебры А*(Х), определенный однозначно с точностью до гомотопии.
Доказательство. Положим
A •(Sing.C*)) = {шст е А * (а) | г < а => сот = (соа | т) }
(здесь запись г < а означает, что симплекс г является гранью симплек-
симплекса о), где ант пробегают все сингулярные симплексы пространства X.
Символ А*(а) обозначает алгебру (D-полиномиальных форм на симплек-
симплексе о. Положим
где с я с пробегают все сингулярные кубы пространства X, а А * (с) обоз-
обозначает алгебру О-полиномиальных форм на симплексе с. Положим
(pi С)*(Х) = {сос &В*(р) \с <с ^ со , = (сос \с')},
135

где сне' пробегают все сингулярные кубы пространства X. Символ В* (с)
обозначает дх. алгебру всех дифференциальных форм, являющихся
Q-полиномиальными для некоторого рационального подразбиения симп-
симплекса с.
Барицентрическое подразбиение относит каждому сингулярному кубу
пространства X сумму соответствующих сингулярных симплексов прост-
пространства X и индуцирует отображение д.г. алгебр
Л •(Sing.(Jr))^(Pl С)* (X).
Симплексы пространства X можно рассматривать как сингулярные. Та-
Таким образом мы получаем эпиморфное отображение
Имеется включение
С*(Х)<^(р1СГ
Наконец, имеется проекция д.г. алгебр
Все эти отображения индуцируют изоморфизмы в когомологиях. Поэто-
Поэтому алгебры А*(Х), С*(Х) имеют изоморфные минимальные модели.
Изоморфизм этих моделей определен однозначно с точностью до гомо-
топии.
Пусть р: Е -*¦ В — расслоение, а а: Iя -*Е — сингулярный куб. Компо-
Композиция р о а: Iя -* В может быть единственным образом представлена как
*<7° "*> где пк: Iя -*1к — проекция, задаваемая формулой (ft,..., tn) •->
¦->• (fi,... , tk), ba: Ik -*¦ В — невырожденный сингулярный куб. Обозна-
Обозначим через Aq алгебру О -полиномиальных форм на симплексе а. Куб /"
является произведением кубов 1к Х1"~к.
Рассмотрим соответствующее разложение А*а=А%а ® Aj- , где .4^ =
= А*Aк X {0}) и A*fg = А*({0 } X /"-*). Зададим убывающую фильтра-
фильтрацию F (Л J) формулой
Ясно, что дифференциал d сохраняет фильтрацию (хотя и не сохра-
сохраняет компоненты тензорного произведения). Введем теперь фильтра-
фильтрацию F(C*(?)) в алгебре С*(Е). Именно положим
Дифференциал сохраняет фильтрацию и, стало быть, возникает спект-
спектральная последовательность. Внешнее умножение
Л: Fp(C(E))z
индуцирует мультипликативную структуру в этой спектральной после-
последовательности.
Вычислим теперь группу Ео и дифференциал d0 для каждого симплек-
симплекса о ? Q(E). Заметим прежде всего, что
136

При этом отождествлении дифференциал d0 переходит в отображение
Лемма. Обозначим через F слой р (Ьо). Пусть ni(B, b0) дейст-
действует тривиально в когомологиях H*(F). Тогда имеется изоморфизм
Доказательство. Пусть а ? Ер>ч. Для каждого куба а: /" -*Е
Р Я А.
форма аа лежит в А* ® Af . Если форма ос является с10-когщклом, то
форма аа лежит в группе Apb(j ® Z? , где Z4. С A J — пространство замкну-
замкнутых форм. Пусть х ? Hq(F). Определим коцепь <а, х) S СР(В) таким
образом: для каждого невырожденного куба т ? Q(B) слой над точкой
т@,..., 0) обозначим FT. Из свойства накрывающей гомотопии сле-
следует существование коммутативной диаграммы
InXFT ¦* Е .
4- Р\ 4-р
/" -»¦ В
Так как действие ttiE, b0) на слое F тривиально, то слой F мож-
можно отождествить со слоем FT единственным с точностью до гомотопии
образом (выбрав путь из точки Ьо в точку г). Таким образом получаем
диаграмму
/" X F Т-> Е
/" т-* в
Представим класс х е Hq(F) невырожденным кубическим циклом
fUf, ц{: Iя -*¦ F. Каждый куб ц( определяет куб щ: 1п X /* -*-Е, для
которой ЬО{ = т, U. = (it. Пусть а^ = X0tJ ® fu, где 0и S Ap,fueA^{,
dfitj = 0. Определим значение элемента а на цикле х с помощью формулы
Утверждение. Последняя формула корректно определяет отобра-
отображение
обращаю щееся в нуль на образе lmd0.
Доказательство. Выше мы определили Ф(а) как гомоморфизм
Hq(F) -*CP(B). Теперь отождествим Ф(а) с соответствующим элемен-
элементом группы СР{В) ® Hq(F). Нам нужно проверить корректность опреде-
определения отображения Ф.
При определении {а,х > мы выбирали произвольным образом следую-
следующие объекты:
137

1) отображение I" X F -*-E, накрывающее куб т и индуцирующее гомо-
гомотопическую эквивалентность на каждом слое,
2) цикл, представляющий класс гомологии х.
Заметим, что другое поднятие куба т послойно гомотопно выбран-
выбранному, поэтому значение < а,х > не зависит от выбранного поднятия.
Ясно также, что если a G Im d0, то < а, х > = 0, поскольку формы Д/
точны.
Теперь у нас есть корректно определенное отображение
Легко видеть, что оно является изоморфизмом, что dt = dB ® 1 и что
EP'q=zHp(B,Hq(F)).
Предположим теперь, что р: Е -* В — расслоение со слоем К(-п, и).
Мы утверждаем,что существует отображение д.г. алгебр
С(В)ч> Л(тг*) -+С*(Е),
d
индуцирующее изоморфизм в когомологиях. Отсюда уже легко вывести
утверждение теоремы 11.2, используя приведенное выше следствие. Сна-
Сначала заметим, что отображение р индуцирует отображение Q(E) ->¦ Q(B),
и, следовательно, отображениер*: С*(В) -+С*(Е).
Поскольку слой расслоения р имеет гомотопический тип К(тг, и),
относительные когомологии Н*(С*(В), С*(Е)) равны нулю в размернос-
размерностях не выше л, а группа Нп + 1(С*(В), С*(Е)) изоморфна группе
Нот(тг, С) э-тг*.
Выберем отображение /: зг* -»• Сп+1 (В) © С"(Е), для которого образ
Im зг лежит в пространстве относительных (л + 1) -коциклов, после пере-
перехода к когомологиям отображение/становится тождеством.
Мы получаем отображение С*(В) ® Л(зг*) ¦*¦ С*(Е), продолжающее
d
отображение р*: С (В) ® Л(тг*). Определим на алгебре С* (В) ® Л(я*)
d d
фильтрацию, положив
Fp (С* (В) 9 Л(тг*)) = * С\В) « Л(тг*) .
1> d
Отображение С*{В) ® Л(зг*) -»• С*{Е) сохраняет фильтрации и, следова-
d
тельно, индуцирует отображение спектральных последовательностей.
Ясно,что
ЕР'Ч(С*(В) ® A(Tr*))S?Hp(B,A(Tr*L)*Hp(B,Hq(F)).
d
Отображение построенных спектральных последовательностей сохра-
сохраняет умножение в членах Е%, совпадает с тождественным в группах ЕР' =
= НР(В) и является изоморфизмом в группах Е2'" = тг*. Как доказано в
одном из упражнений, из этого следует биективность нашего отображения
в члене Е2. Поэтому отображение С* (В) ® Л(тг*) -+С*(Е) индуцирует
а
изоморфизм в когомологиях.
138

Следствие. Пусть Мв - минимальная модель пространства В.
Тогда существует отображение JCB ® Л(я*) -*¦ С*(Е), индуцирующее изо-
d
морфизм в когомологиях.
Следствие. Пусть р: Е -* В — симплицшлъная модель расслоения
со слоем К (п, л), а Мв - минимальная модель алгебры А * (В).
Тогда существует отображениеJCB ®Л(тг*) -*А*{Е), индуцирующее
d
изоморфизм в когомологиях.
Доказательство. Требуемое утверждение немедленно вытекает
из предьщущего следствия, если заметить, что алгебры А*{Х), С*(Х)
имеют одинаковые минимальные модели.

Приложение А2
ФУНКТОРИАЛЬНОЕ СООТВЕТСТВИЕ Ф-ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ
И С°°-МИНИМАЛЬНОЙ МОДЕЛЕЙ
Пусть М является С°°-многообразием, снабженным С°°-триангуляцией.
В этом случае диаграмма
С с
причем оба включения индуцируют изоморфизмы в когомологиях. Обозна-
Обозначим^© (М),Л(М),ЛС «о (М) минимальные модели алгебр Л *(M),^* (M),
А* „, (М) соответственно. Имеются определенные с точностью до гомотопии
изоморфизмы
В настоящем приложении мы покажем, что эти изоморфизмы функто-
риальны. А именно докажем, что если /: М -+N — гладкое отображение и
g: M -+N— его симплициальная аппроксимация по отношению к некоторой
С°° -триангуляции, то индуцированные отображения/:^ « (Л^) -*Л „ (М),
g'-Jtn{N) -*Лъ(М) согласованы с этими отождествлениями, т.е. отобра-
жение; ® 1р гомотопно отображению/.
Чтобы доказать это, нам понадобится следующий геометрический факт.
Теорема. Пусть f:M-*N- гладкое отображение. Тогда сущест-
вуют такая С°°-триангуляция Кн многообразия Nu такая С°°-триангуля-
С°°-триангуляция Км многообразия М, что образ /(а) любого симплекса а триангуля-
триангуляции Кмсодержится в замкнутом симплексе триангуляции KN. Кроме того
существует такая гомотопия Н: М X I -> N от отображения f к симпли-
циальному отображению, что для любого симплекса а ? Кмобраз Н(оХ Г)
содержится в замкнутом симплексе разбиения KN и отображение Н.\ (а X /)
является гладким.
Доказательство. Выберем любую С°°-триангуляцию много-
многообразия N. С помощью малого шевеления триангуляции можно добиться,
чтобы отображение / бьуто ей трансверсально. Для каждого замкнутого
симплекса т комплекса Км прообраз Хт =/~1(т) является "многообра-
"многообразием с углами". При этом граница ЪХТ равна объединению U Хт>, где
, т'<т
dim т = dim т — 1 и грани Хт> пересекаются таким же образом, как и грани
г' в симплексе т. Триангулируем теперь многообразие М таким образом,
140

чтобы каждый симплекс Хт стал подкомплексом. Обозначим эту триангу-
триангуляцию через Км. Если а € Км, то а € Хт для некоторого т, и поэтому
fip) Ст.
Рассмотрим теперь какое-либо отображение <р из множества вершин
комплекса Км в множество вершин комплекса Кр/, обладающее таким
свойством: если вершина и комплекса Км лежит в множестве Хт, то <р(и)
является вершиной симплекса т. Отображение у определяет линейное
отображение g: KM ~* KN. (В самом деле, так как любой симплекс а -
= {«!,..., vk } комплекса Км содержится в некотором множестве Хт,
то точки y(Vj) являются вершинами симплекса т, и, следовательно,
l(t>i) l(i>fc) являются вершинами некоторого симплекса.)
Теперь мы построим гомотопиюH.MXI-+N, для которой
l)tfo = Id, H,=g,
2) Н(ХТ X Г) С т,
3) Я | (а X I) — гладкое отображение (здесь а — любой симплекс комп-
комплекса Км) ¦
Построение этой гомотопии мы осуществим индукцией по остовам.
Пусть мы уже построили гомотопию Я, обладающую требуемыми свойст-
свойствами, на множестве (Udim T»< SXT>) XI.
Пусть т — симплекс комплекса KN, dim т = s. Гомотопия Я уже опре-
определена на множестве ЪХТ X /. Продолжим ее теперь на все множество
Хт X /. Проделав это для всех симплексов т размерности s, мы завершим
шаг индукции.
Рассмотрим множество Хт. Предположим, что мы уже продолжили
гомотопию Я до отображения (ЬХТ U {_ХГ)Г~1) X / •* N (которое мы
тоже будем обозначать Я). Обозначим через <f произвольный г-симплекс
комплекса Хт, не лежащий в границе ЪХТ.
У нас уже есть отображение / U Я U g: д(аг X /) -+т, гладкое на каж-
каждой грани. Предположим, что такое отображение может быть продолжено
до гладкого отображения Но: &" X / -*¦ т. Выбрав такие продолжения для
каждого симплекса </ в комплексе Хт>, мы построим гомотопию Я на
множестве ЪХТ U (Хт)''. С помощью индукции по г мы можем построить
гомотопию на всем множестве Хт>.
Лемма. Пусть заданы С°°-функции f\,.'..,fn на координатных
гиперплоскостях {х\ = 0},..., {х„ = 0}, причем функции /,- и /у совпа-
совпадают на пересечении {xt = X/ = 0}. Тогда найдется такая С°°-функция f
на пространстве JB", что (f\{xt = 0» =ft.
Доказательство. Обозначим через / мультииндекс (/0, ¦.., /г),
где /0 < i'i < ... < /,, и обозначим через |/| число г компонент мульти-
индекса /, т.е. пусть п1: IR" -+ (R"—проекция пространства 1Л"на подпрост-
подпространство размерности и - | /|— 1, натянутое на базисные векторы, индексы
которых отличны от /0»• • •» 'V • Теперь зададим функцию / формулой
/(*) = - 2 S (-lI71
г=0/, |/| = r
Следствие. Пусть задано отображение f U Я U g: д(аг XI) -*г,
сужение которого на каждую грань гладко. Тогда существует С°°-про-
С°°-продолжение гомотопии На до отображения На: аХ1-*т.
. 141'

Доказательство. Используя предыдущую лемму и компакт-
компактность множества Ъ(а X /), можно найти конечный набор открытых мно-
множеств (f/j,..., Us) в симплексе аХ1, покрывающих границу Э(а X /),
причем на каждом множестве Ut задано С°° -отображение Ht: Ut -* т, яв-
являющееся продолжением заданного на Uf П (Э(а X /)) отображения. По-
Положим Uo = int (а X /) и рассмотрим постоянное отображение Яо: Uo -*т
(т — барицентр симплекса т).
Выберем С°° -разбиение единицы { X,-}, подчиненное покрытию
(Uo,.. ., Us). Определим гомотопию
Н: оХ1-+т
формулой
H(p,t)= 2 Xj&fiHiip, t)
(сумма в правой части действительно определяет точку в симплексе т,
п
так как 2 Xt(p,t) = l,\t(p,t)>0).
i=0 _
Ясно, что Н является С°° -функцией. Если (р, t) € Э(а X /), то для
тех г, для которых Х{ (р, t) Ф 0, имеет место равенство Ht (p, t) = f U H U
и g (P, 0 • Отсюда следует, что Н(р, t) =f KJHKJg(p,t).
Доказательство теоремы закончено.
Поскольку гомотопия Н: а X / -> т является гладкой, она индуци-
индуцирует отображение
Н*. A*'(N)-+ A'(MX I)
(мы предполагаем, что фиксированы триангуляции KN и Км многообра-
многообразий N, М и соответствующая клеточно-линейная структура на многообра-
многообразии MX Г). Мы получаем коммутативные диаграммы:
А».(Н) ——— Л'.Ш)
I
A*(M)
A*(N) - ~?
A*W) ® R ^~A'(M) ® R
Q Ц
Г
А*Ш)
A*{N) " ' А* (М*1)
142

Отображения ограничения (t = 0) и (t = 1) индуцируют изоморфиз-
изоморфизмы в когомологиях, поэтому они задают изоморфизмы
Jta(M) в (R % UK(MX /) 5 ЛГ »(М),
о с
определенные с точностью до гомотопии.
Ясно, что с учетом этих отождествлений, а также отождествлений
Мо(Ю ®Ь%ЖЮ?- JCr~(N)
о с
отображения /*, Н*, g* индуцируют гомотопные отображения. Это завер-
завершает доказательство теоремы, сформулированной в начале этого при-
приложения.

УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть X, У — конечные OV-комплексы. Докажите, что X X У также
является CW-комплексом. Покажите, что
(XX У)(к) « U Х(пХ У(/).
i + / = к
Выведите отсюда, что для групп клеточных цепей имеется изоморфизм
С.ОГХ У) г C,(.X)®cUy),
при котором граничный оператор совпадает с
Используя это, докажите теорему Кюннета. Почему трудно доказать
теорему Кюннета для сингулярных или симплициальных гомологии?
2. Пусть (X, А) является CW-парой, А — конечный подкомплекс. По-
Покажите, что пространство Х/А (пространство X со стянутым в точку под-
подпространством А) снова является СИ^-комплексом. Верно ли это для бес-
бесконечных подкомплексов?
Покажите, что Ht(X, А)= НГ(Х/А) (используйте аксиому вырезания),
но, вообще говоря, тт„(X, А) Ф 7Г„{Х/А),
Подсказка. Возьмем 2-диск в качестве пространства его границы,
51 в качестве подпространства А. Тогда Х/А = S , поэтому ттз(Х/А) Ф О,
Что можно сказать о Пз(Х, АI
3. а) Покажите, что ло(Х) совпадает с множеством компонент линей-
линейной связности пространства X.
б) Пусть ?1Х — пространство петель на пространстве X. Покажите,
ЧТО Я0(ЮХ) 35 7^C0.
в) Докажите, что
*«-!("*) а пн(Х),
при всех и и выведите отсюда, что
тто(ПпХ) = тт„(Х)
(здесь О.пХ определено по индукции формулой П"Х = Q.(Q."~iX)).
4. Пусть X является СИ^-комплексом, /: S" -*¦ Х^ — произвольное
отображение. Рассмотрим комплекс У = X U e"+1, полученный приклей-
/
144

кой (и + 1)-клетки к комплексу Xпо отображению/. Покажите, что гомо-
гомотопический класс пространства Y зависит только от гомотопического
класса
[/] е *„(*<">).
Замечание. Мы не рассматриваем класс отображения / в группе
rin(X). Почему?
5. Определим букет X V Y двух пространств X. Y так:
X V Y = (Л-Х.уо) U (х0 X У) СXX Y.
Вычислите кольцо когомологий пространства СР" V S2". Совпадает
ли оно с кольцом когомологий #*(<ЕРП)?
6. Используя предыдущее упражнение, покажите, что
W1-1) * о.
7. Используя точную последовательность гомотопических групп, по-
покажите, что
8. Пусть X — пространство, X -*Х — его универсальное накрытие. Ис-
Используя свойство накрывающей гомотопии, покажите, что
является изоморфизмом при и > 2.
Пусть X-S1 V 52 (двумерная сфера с приделанным ободом):
Покажите, что v2(X) а 1 ® Я ® . . . (бесконечное число слагаемых). Та-
Таким образом гомотопические группы конечного комплекса могут оказать-
оказаться бесконечно порожденными. (Всегда ли является фундаментальная
группа конечного комплекса конечнопорожденной?)
9. Рассмотрим подпространство X = {х = 0} и {у = sin (I/jc) } плоско-
плоскости (jc, у). Покажите, что iro{X) состоит из двух элементов, хотя X явля-
является связным топологическим пространством. Пусть У = {a}U {b} — про-
пространство, состоящее из двух разных точек. Рассмотрим отображение /:
{a} U {Ь)-*Х, изображенное на рисунке:
145

Покажите, что отображение / индуцирует изоморфизм гомотопических
групп, но в гомотопической категории не существует обратного отображе-
отображения. Таким образом, утверждение теоремы Уайтхеда неверно для про-
пространств, не являющихся ОС-комплексами.
10. а) Покажите, что включение
5" V5"C SnXSn
индуцирует изоморфизм
Подсказка. Эпиморфность следует из упр. 7. Мономорф-
ность доказывается следующим образом. Пусть диаграмма
коммутативна, причем А ~ *. Так как dim(S" X 5") = 2« > и + 1, можно
считать, что гомотопия не задевает точки р G S"XS" (Почему? Используй-
Используйте теорему о симплициальной аппроксимации). Таким образом, осталось
доказать следующую лемму.
Лемма. SnXSn-p стягивается на букет S" V S".
Чтобы доказать эту лемму, представим сферу S" как куб со стянутой
границей Ып и рассмотрим рисунок
г- /7*/'
in/ain
б) Вычислите группу я 1 EJ V S1) (рисунок= ОО )-
П. а) Проведите полностью доказательство теоремы 3.2.
б) Почему то же доказательство не проходит для случая и = 1 ?
12. Пусть A=BUen+1. Покажите, что
/
щ(В) as щ(А) при / < п
и что
— эпиморфизм.
Подсказка. Достаточно проверить, что любое отображение /:
'А из «-мерного комплекса Х^ в простраство А гомотопно отобра-
отображению, не задевающему некоторой точки в клетке еп+1. Почему это так?
См. упр. 10,
146

13. Используя упр. 4 и теорему о симплициальной аппроксимации, по-
покажите, что всякий (конечный) СИ^-комплекс имеет гомотопический тип
симплициального комплекса.
Подсказка. Пусть заданы комплекс X, и-мерный комплекс
-и гомотопическая эквивалентность X -*¦ У*"*. Рассмотрим пространство
у(") и ел+1. Выберем симплициальную аппроксимацию h отображения
g ° f. Проверьте, что пространство У*"* Ue"+1 является симплициальным
h
комплексом и что существует гомотопическая эквивалентность
X Ue"+1 ~ У{л) U en+1.
Т h
Следующие клетки добавляются тем же способом.
14. Говорят, что пространство Y имеет категорию 2, если
X = Х+ U Х_, Х+, Х_
— открытые множества в X, стягиваемы по себе в точку. Покажите, что
для любого пространства Y его надстройка SY имеет категорию 2. В част-
частности, сфера имеет категорию 2.
15. Пусть X имеет категорию 2. Положим У = Х+ П Х_. Покажите,
что множества
Vectr(*), [Y, GL(r, С)]
находятся во взаимно однозначном соответствии (здесь Vectr (X) обозна-
обозначает множество классов изоморфных векторных расслоений над базой X
со слоем Сг).
Подсказка. Положим Е+ = Е\ Х+, Е_ = Е \ Х_. Оба расслоения
Е+, Е_ тривиальны (почему?). Теперь сравните полученные тривиализации
над пространством У.
16. Назовем /--репером в пространстве С" ортонормированную систе-
систему векторов (ei,..., ег).
Множество всех r-реперов в С^ называется многообразием Штифеля
и обозначается через S(r,N).
Покажите, что
тг,E(г, АО) = 0, i <2N-2r+l
и что
Подсказка. Заметим прежде всего, что пространство 5A, iV)
совпадает со сферой SN~l, так что для г = 1 результат верен. Теперь ис-
используйте расслоение
s2N-2r+l -+S{r>N)
I*
S(r-l,N)
(где 7г(еь .... er) = (еь .... er_l)) и действуйте по индукции.
147

17. Покажите, что множество всех r-реперов в С совпадает с унитар-
унитарной группой U(r) (r-реперы в пространстве Сг — это в точности ортонор-
мированные базисы). Отсюда вытекает существование расслоения
?/(/•) ¦* S(r, N)
G(r,N),
где G(r, N) — это грассманиан г-мерных подпространств в пространстве
С^, a ir(eu . . . , ег) = ех Л . .. Л ег =/--мерное подпространство, порожден-
порожденное, векторами е\,...,ег.
Покажите, используя это расслоение, что
¦nt(G(r,N)) s& 7r,_i(?/(r)), / < 2N- 2г + 1.
18. Рассмотрим включение U(n) C> U(n + 1), задаваемое формулой
(А 0\
А ¦* ( ).
40 1/
где А — унитарная матрица размера и X и.
Покажите, что существует расслоение
U(n) -* U(n + 1)
S2n+l,
и выведите отсюда, что щ (U(n) ) = я; (?/(и + 1) ), i < 2и.
Отсюда следует, что гомотопические группы пространств ?/(и) стаби-
стабилизируются в том смысле, что
*i(U(n)) = 7Г,(С/(и + т)), i < п, т > 0.
Обозначим через U предел lim U(n). Знаменитая теорема периодич-
п -> °°
ности Ботта утверждает, что
тг2г+1(?/) = г, тг2,(?0 = 0.
В гл. 12 доказано, что 7Г2,- +1 (?/) ® (D = Ф и что n2i(U) ® (D= 0.
Замечание. Пусть С(и, 2 и) — грассманиан и-мерных плоскостей
в пространстве С2".
Используя упр. 17 и периодичность Ботта, мы видим, что
я2,(С(и,2и))а2; (и > 0,
W2/-i№2«)) s 0.
Отображение р: n2t(G(n, 2л)) ->• Z строится следующим образом.
Элемент гомотопической группы 7г2<(С(л, 2я)) задается отображением
/: 52' ->¦ G(n, 2и). Взяв обратный образ универсального расслоения f над
многообразием G (и, 2«), получаем расслоение
еп -* е -*¦ s2i.
Положим р(/) = Ct(E)/(i - 1)! G Я, где с,(?) G H2l(S2i) - класс
Чжёня расслоения ?", а группа H2l(S21) отождествлена с группой ^. Отме-
148

тим, что свойства делимости классов Чжэня являются весьма тонкими и
не могут быть получены в рамках рациональной теории гомотопий.
19. Закончите доказательство следствия 3.6 таким образом. Пусть
X — односвязный CW-комплекс, причем Щ(Х) = 0 при i > 0, а группа
Н„(Х) свободна. Рассмотрите остов Х^п~^. Используя изоморфизмы
• Я,(Г<я-О) а Н((Х), / < и -2,
и эпиморфизм
получите точную последовательность
О - Н„(Х) - Ип&хЬ-1*) ¦* Я,,.,^"-») ^Нп_г{Х) - 0.
Группа Я„_! (ЛГ*"*) свободна (почему?), а группа Н„(X) свободна
по предположению. Поэтому группа Н„(Х, Х^п~1^) свободна (почему?).
Покажите, наконец, что группы щ(Х, Х<-п ~!>) равны нулю при / <и - 1,
а группа 1гя(ДГ, ДГ^)) изоморфна группе Н„(Х, Х^-1)).
Теперь мы можем приклеить «-клетки { е?) к пространству Х^п~х^
и получить комплекс Y = Х^п~1^ U { е%) и отображение Y -+Х, индуци-
/а
руюшее изоморфизм в гомологиях.
20. Здесь мы приведем пример отображения /: X -+Y двух CW-комп-
лексов, индуцирующего изоморфизм в гомологиях, но не являющегося
гомотопической эквивалентностью. Рассмотрим пространство
Универсальное накрытие У\ изображено на следующем рисунке
10 12
Сферы S2 приклеены к прямой F, являющейся универсальным накры-
накрытием пространства S1, во всех целых точках. Рассмотрим отображение
сдвига на 1 Г: Yx -*¦ Yt пространства Y\. Оно является автоморфизмом
пространства Yx и Yx = Yt/{у = Ту).
Приклеим теперь к пространству Ух 3-клетку по отображению
S2 ' ?„
которое накрывает приклееную в точке 0 сферу со степенью 2, а приклеен-
приклеенную в точке 1 сферу со степенью —1
149

Положим / = я о / и обозначим через У пространство Yx U е3. Тогда
H,(Y) = 0, i Ф 1;
#,(У) = г (почему?)
и отображение включения X = S1 (^ У индуцирует изоморфизм в гомо-
логиях Я, (а также изоморфизм фундаментальных групп). Но я2 (X) = О,
а группа 7Г2(У), как мы сейчас покажем, отлична от нуля, так что
отображение / не может быть гомотопической эквивалентностью.
Заметим, что гомотопические группы j,-(?i) являются я^У^модуля-
ми так же, как и группы гомологии Н{{ух). Обозначим через g образую-
образующую группы я2(У1), соответствующую сфере S2, приклеенной в точке 0.
Тогда множество я2(У1) совпадает с множеством {Г"'gm) n>m 6 ar (поче-
(почему?), поэтому группы 7r2(?i) и ~2[г] изоморфны (почему?). Отсюда
следует, что
я2(У) а я2(У) a H2(Y) (почему?),
а Я2(У) а г[г] /Bг - 1) # 0, так как Эе3 = 25g - S].
Замечания. 1) Существует аналог следствия 3.3 для неодносвяз-
ных пространств. Он утверждает, что отображение /: X -*¦ У двух СИ^-комп-
лексов является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда,
когда выполнены два условия:
1) отображение /,: Т\(Х) -+Щ (У) является изоморфизмом,
И) отображение /,: Н,(Х, ^[п^Х)]) -* H,(Y, Zln^Y)]) является
изоморфизмом*).
(Дело в том, что группы Я»(X, Z[iti(X)]) изоморфны группам гомо-
гомологии универсального накрытия X. Поэтому условие ii) эквивалентно
тому, что отображение /: X -+Y индуцирует изоморфизм в гомологиях,
и, следовательно,в гомотопиях,поскольку Я1 (X) =tti(Y) =0.)
2) Известно, что группа симметрии додекаэдра G является совершен-
совершенной группой (т.е. группа G совпадает со своим коммутантом [G, G]) и
действует свободно на сфере 53. Таким образом, пространство X = S3/G
является трехмерным многообразием, гомологии которого отличны от 0
только в размерностях 0 и 3, причем Н0(Х) = Н3(Х) s Z. Таким образом,
пространство X является гомологической сферой и отображение
полученное стягиванием 2-остова пространства X в точку, индуцирует
изоморфизм в гомологиях. Эта конструкция, принадлежащая Пуанкаре,
дает пример, аналогичный рассмотренному в упр. 20, и показывает, что
гомологии недостаточно даже для того, чтобы определить гомотопический
тип 3-многообразия.
*) Здесь через Ht(X, Z[7r,(Ar) ]) обозначаются гомологии пространства X с коэф-
коэффициентами в локальной системе, порожденной я, ДО-модулем Z[ir, (X) ]. - Примеч.
пер.
150

21. Задача об эйлеровой характеристике. Напом-
Напомним, что рангом конечно порожденной абелевой группы G называется число
p(G) =dim(G®R).
Пусть (С„, Э) — цепной комплекс, группы С„ конечно порождены и
С„ = 0 для п < О, и > и0. Положим
с„ =
Ь„ = р(Нп(С,У) (Ь„ назьтается числом Бетти комплекса С, ).
Докажите, что
2 (~1)"с„ = 2 (-1ГЬ„
(Эйлер — Пуанкаре — Хопф).
Подсказка. Действуйте по индукции, используя тот факт, что
для такой последовательности
0-+G'-+G-+G"-+0
абелевых групп справедливо соотношение
p(G) = p(G') + p(G").
Пусть X является конечным CW-комплексом и с„ = (число и-клеток
пространства X), Ь„ - р(Нп(Х)) (и-е число Бетти пространства X),
х(Х) = 2 (-!)"?>„ — эйлерова характеристика пространства X.
п
Вы доказали, что
2(-1)"^л =х(^) (это равенство называют формулой Эйлера—Пуан-
п
каре).
Эйлерова характеристика и спектральные последовательности
22. Пусть F -*¦ Е -*¦ В — расслоение, причем группа тгх(В) действует
тривиально на когомологиях H*(F). Предположим, что группы
Н*{В), H*{F) конечно порождены. Докажите, что
1) группы Н*(Е) конечно порождены,
2) х(Е) =Х(Юх(.Р) (Xобозначает эйлерову характеристику).
Подсказка. Используя спектральную последовательность Серра,
докажите, что группы Н*(Е) не могут быть больше, чем группы Н*(В) ®
® H*(F) и поэтому являются конечно порожденными. Чтобы дока-
доказать 2), используйте результат упр. 21 и тот факт, что группа
Ег +1 изоморфна группе гомологии комплекса (Er, dr).
Формула х(Е) ~ x(B)x(F) показывает, что эйлерова характеристика
мультипликативна для расслоений.
23. Пусть F -*¦ Е -*¦ Sn - расслоение над сферой S" (п> 2). Построй-
Постройте точную последовательность
'* d '»
...-»• НР{Е) -* HP(F) -*Яр-" + 1(/г) -¦ НР+1(Е) -*...,
где i: F •* Е — вложение слоя и
D(u ¦ и) = D(u) -v±u- D(v).
151

Подсказка. Так как Hq E") = 0 при q Ф О, q Ф п, член Е2
спектральной последовательности выглядит таким образом:
О
H*(F)
о
о
о
Докажите, что единственным нетривиальным дифференциалом в этой
спектральной последовательности является дифференциал dn. Выведите
отсюда, что
а) Е2 = • • • = Е„_ 1, Еп+1 = Еп+2 = ... = Еоо,
б) имеет место коммутативная диаграмма точных последовательностей:
Нр(Е)
U
«I
и
** п п °°
Это упражнение иллюстрирует общий принцип: когда в члене Е2 боль-
большинство групп нулевые, спектральная последовательность сильно
упрощается.
24. Еще одна задача о спектральных последо-
последовательностях. Пусть S" -+Е -*В — расслоение, слоем которого явля-
является сфера, причем 7ГОE) = 0, а.группа -П\(В) действует тривиально на
когомологиях H*(Sn). Постройте точную когомологическую последова-
последовательность (последовательность Гизина):
.. .-^ Нр{Е) -* Нр~"(В) *-* И**\В)^+ Нр+1(Е) •*....
где ф обозначает U-произведение с эйлеровым классом с?Ял+1 (В) (см.
упр.27).
Подсказка. Член Е2 спектральной последовательности изображен
на рисунке
0
0^
0
*t—
*
\ d
—*
0
4*
0
v 0
о
при этом Е2 = . . . = Е„, Еп+2 = . . . = Ее, dn+l - единственный ненулевой
дифференциал. Класс Эйлера расслоения эт равен образу dn+l (i), где / —
фундаментальный класс сферы S". Далее рассуждение аналогично преды-
152

дущему упражнению и используется тот факт, что dn(a ® 0) = а ® dn(&)
длявсех а&Н\В), Q&H*(F).
25. Изоморфизм Тома. Пусть Е -*Х — ориентируемое вектор-
векторное расслоение размерности и. Выберем метрику на расслоении Е. Обозна-
Обозначим через D(E) расслоение на диски, соответствующее этой метрике, а
через S (Е) - расслоение на сферы. Получаем пару расслоений (D(E),
S(E)) -*¦ X; слоем этой пары является пара (D", S"~l). Применяя отно-
относительный вариант спектральной последовательности Серра
Ер,я = Hp(X,H('(Dn,Sn-1)) => H*(D(E),S(E)),
покажите, что существует класс U G H"(D(E), S(E)), индуцирующий
изоморфизм
Н'{Х) s H*{D{E)) > H'{D{E),S{E))
(изоморфизм Тома).
26. Еще одна задача о спектральных последова-
последовательностях. ПустьР " -+Е-+В — расслоение. Напомним, что Я*(Р") =
= Z[x]/(xn+1). Предположим, что существует такой класс ? &ti*(E),
что flP" ~ х (f IIP" обозначает сужение класса f на слой). Покажите, что
имеется изоморфизм колец
Н\Е) ^Я*(+1 " 1
где с,
Подсказка. Исходя из отображения тт* и кольцевой структуры
в когомологиях Н*(Е), постройте естественное отображение H*(B)[f] -*¦
•* Н*(Е). По предположению существует элемент f0 e Е^'2, соответст-
соответствующий классу х G Е*>2 «Я2(Р"). Поэтому
йгх = йгх - ... = 0.
Так как Е2 = Н*(В)[х]/хп+1, мы имеем Е2 = Еъ = . . . = Е„. Поэтому
отображение #*(Я)[?] -+Н*(Е) сюръективно. Кроме того, имеется адди-
аддитивный изоморфизм
Н\Е) s «•
0
п
и ядро отображения Я*(Е) ->• Н*(Р") равно подгруппе ф Н*(В)$Ч.
С другой стороны, f "+1 IP" = 0, и, таким образом, мы получаем следующее
соотношение в кольце Н* (Е):
f+i = "? ' (-1)»-яСч!;я+1-4. cq g нг<ЦВ).
Я ~ 1
Вьтедите отсюда, что отображение
1=1
является мономорфизмом.
7. ФА. Гриффите 153

Замечание. Классы cq G H2q (В, 2) совпадают с классами Чжэня
(см. упр. 30). Определение, приведенное выше, принадлежит Гро-
тендику. Это самое простое определение классов Чжэня.
27. Последняя задача о спектральных последова-
последовательностях. Напомним, что через Un обозначается унитарная труп-
па, состоящая из (и X л)-матриц А, удовлетворяющих условию А*А = I.
Докажите, что кольцо когомологий H*{Un) изоморфно внешней
алгебре Л(хь .. . ,*2n-i) с образующимив размерностях 1,3 2и — 1.
Таким образом, имеется изоморфизм колец
Н*(У„) a H*(Sl X 53 X ... X S2").
Подсказка. Запишем унитарную матрицу А в виде (в\,..., е„),
где е/ — столбцы, т.е. векторы в С". Условие унитарности означает, что ре-
репер (ei,. .., е„) является унитарным.
Отображение Un •* S2n~1, задаваемое формулой (ei, ..., е„) •-*¦ е1}
является расслоением со слоем Un_t. Согласно предположению индук-
индукции H*{Un_{) = A(xi,..., х2п-з)- Теперь нужно применить последо-
последовательность Вана (см. упр. 23) и доказать, что D(x2p-i) = 0 при 1
<1
Упражнения по теории препятствий
В этом разделе мы предполагаем, что F -*¦ Е -*¦ В — расслоение, при-
причем я0 {В) = 0 и группа 7Г! (В) действует тривиальной на когомологиях
слоя.
28. Эйлеровы классы и эйлеровы числа. Пусть зада-
н-
нно расслоение F -*¦ Е -*¦ В, и пусть яу {F) = 0 при всех i < п — 1. Обозна-
Обозначим через В^ Л-мерный остов базы В (мы предполагаем, что база яв-
является CW-комплексом).
Покажите что:
а) существует сечение а: В^п~^ -*¦ Е. (Напомним, что сечением а
расслоения р: Е -+В называется такое отображение а: В -+Е, что pa = id.)
Сечение нужно представлять себе как соответствие
х »-»• а(х) G Fx для всех х&В;
б) любые два сечения j?("~2) ' > Е гомотопны;
в) препятствие к построению сечения а: В^ -*¦ Е задается классом
когомологий с (Е) € Я" (В, Н„ _ t (F)).
Замечание, Из утверждений а)—в) вытекает, что для сферичес-
сферического расслоения S"~l ~* Е + В существует и единствен класс е(Е) G
G Н"(В, 7t) (класс Эйлера), для которого равенство е(Е) = 0 эквива-
эквивалентно существованию сечения над и-мерным остовом В^. Если база
является ориентированным л-мерным многообразием, можно опреде-
определить число Эйлера
е(Е) = (е(Е), В).
Равенство нулю этого числа необходимо и достаточно для существования
сечения. '
154

Выполняя это упражнение, полезно помнить, что для любой л-клет-
ки е" базы В имеет место изоморфизм рассслоений ? е„ ~ е„ X F.
29. Пусть В — компактное ориентированное л-многообразие и DR" ->
-> jE"o -*¦ В — ориентированное векторное расслоение (сформулируйте соот-
соответствующее определение!). Выберем метрику в расслоении IR" -> Ео -*
-*¦ В и обозначим через 5" •* Е -*¦ В соответствующее расслоение сфер.
Обозначим через е(Е) число Эйлера (см. предыдущее упражнение);
таким образом, расслоение R" -> Ео -*¦ В имеет не образующееся в нуль
сечение тогда и только тогда, когда е (Е) - 0.
а) Проверьте, что число е(Е) можно найти следующим образом. Вы-
берем ненулевое сечение В(п~ } -*¦ Е*, где Е* = Е — (нулевое сечение).
(Здесь мы предполагаем, что база В триангулирована.) Для каждой л-
клетки е% имеем Е\е" « е" XJR", поэтому сечение о определяет отобра-
а °а
жение deZ ^Ш" — {0}, или, что то же самое, отображение де"-+Sn~ .
Тогда е (Я) = Z deg (aj).
а
Почему здесь можно использовать любое сечение а?
б) Рассмотрим универсальное линейное расслоение
С -* Е -? tP1,
где я ([zo, zi]) — прямая в плоскости С2, проходящая через точку 0,
и имеющая наклон z 0/z i.
Введя евклидову метрику в С2, рассмотрим соответствующее сфери-
сферическое расслоение. Оно называется расслоением Хопфа
51 -»• 53 -^ IP1.
Построим сечение а над подпространством 0s' — {°°} , где °° = [0, 1],
задав его формулой
o([z0,zi]) = A, zjzo).
Покажите, используя это, что число Эйлера е{Е) равно —1.
30. Определение классов Чжэня с помощью теории
препятствий, а) Напомним, что гомотопические группы многооб-
многообразия Штифеля S (л- — к + 1, и) (см. упр. 16) вычисляются по формулам
? + 1,л)) = 0, j<2Jfc-l,
Пусть С" -*¦ Е -*¦ В — комплексное векторное расслоение над CW-kom-
плексом В.
Используя упр. 28, покажите, что существует класс ск (Е) &Н2к (В, 2),
для которого расслоение <СЛ ->¦ Е -*¦ В^2к^ обладает полем (и - к + ^-ре-
^-реперов тогда и только тогда, когда ск (Е) = 0. Покажите, что если имеет-
имеется коммутативная диаграмма
F
Е -* Е'
В -* В'
f
7* 155

в которой отображение F линейно в слоях, то / *ск (?¦') = ск (Е). Классы
с0 (Е) = 1, Ci (Е) с„ (Е) называются классами Чжэня расслоения С -*¦
-+Е-+В.
б) Используя упр. 29в), покажите, что для универсального
линейного расслоения G-+E-+ <С1Р1 выполнено
в) Пусть С -*Еп ->-<ЕР" — универсальное расслоение над проективным
пространством СР" (прообразом прямой является множество всех
векторов в С"+|, лежащих на этой прямой). Используя упр. ЗОа),
покажите, что сх (Е„) = —q, где q — образующая группы Я2 ((ЕР", Z).
3 амечание. Для данного векторного расслоения С -+Е -*В обо-
обозначим через Р{Е) расслоение всех прямых в расслоении Е. Таким об-
образом, слой Р(Е)Х = Р (Ех) есть множество всех прямых, проходящих
через нагчало координат в пространстве Ех. Будем записывать точки в
пространстве Р(Е) как пары (*, J-), где х G В, % - прямая в простран-
стве Ех. Рассмотрим линейное расслоение € ->/,(?) -+Р(Е) (прообраз
точки (х, ^) состоит из всех векторов, принадлежащих прямой %). Рас-
Рассмотрим также расслоение О5" •* Р(Е) -*¦ В. Первый класс Чжэня
С\(Ь(Е)) G Н2(Р(Е), Ж) расслоения 7Г при ограничении на слой IP"
расслоения р совпадает с образующей группы Н2 (Р", 7t) (см. упр. ЗОа)
ив)).
Отсюда следует, что расслоение Р" -+Р(Е) -+В удовлетворяет усло-
условиям упр. 25, Поэтому обозначив через f класс Ci(L(?")), получа-
получаем, что
q))
Классы cq(E) € H2q (В) совпадают с классами Чжзня, построенны-
построенными с помощью теории препятствий (доказательство этого факта нетри-
нетривиально) .
Классы Чжэня — это важнейшие инварианты, измеряющие нетривиаль-
нетривиальность векторного расслоения <Е" -*Е -*В.
31. Теорема Хопфа об особенностях векторного
Э
поля. Рассмотрим векторное поле в = 2 в{ , определенное в окрест-
/ Ъх(
ности начала координат в пространстве В" и имеющее в точке х = 0 изоли-
изолированный нуль. Определим целое число, называемое индексом ind0 (в)
векторного поля в в начале координат, таким образом
{индекс +1)
(индекс-1)
156

На малой сфере || * || = е функция в(х) = @i 6N) нигде не об-
обращается в нуль.
Рассмотрим отображение х *¦+ 0 (х)/|| 0 (х) || сферы S"~l в единич-
единичную сферу и определим ind0 @), положив ind0 @) = deg /.
Пусть В — компактное ориентированное л-мерное многообразие и
0' - векторное поле на нем.
Пример такого поля изображен на рисунке
Векторное поле 0 можно рассматривать как сечение касательного
расслоения Т~*В.
Докажите формулу
е(Г) = 2 indx@).
3 а мечание. Мохшо считать, что многообразие В является CW-
комплексом, имеющим только клетки размерностей < п (почему?), и
что нули векторного поля 0 расположены внутри и-клеток. Теперь по-
попробуйте применить упр. 29 а).
Это рассуждение доказывает, что число 2 indx@) = ind0 не
в(х) =о
зависит от выбора векторного поля в. Для того чтобы найти это число,
нужно рассмотреть какое-либо конкретное векторное поле.
Выберем какую-либо гладкую триангуляцию многообразия М. Исполь-
Используя второе барицентрическое подразделение этой триангуляции, можно
построить векторное поле в, для которого ind в = 2 (—1)р (число р-кле-
ток в клеточном разбиении многообразия В).
Из эти формул получаем, используя упр. 21:
еG) =
(знаменитая теорема Пуанкаре—Хопфа).
32. Д в е л е м м ы. а) Пусть пространство X' = X U e"+1 получает-
/
ся из пространства X приклеиванием (и + 1)-мерной клетки по отобра-
отображению /: Эе"+1 -*-Х. Покажите, что препятствие к продолжению тождест-
тождественного отображения id: X •* X на пространство X совпадает с элементом
[Л G тг„(Х).
б) Пусть задана пара пространств (X, А), класс когомологий а е
G Hq (X) и коцикл aeZ' (A), представляющий ограничение класса а
на пространство А. Покажите, что существует такой коцикл о?' ? Z4 (X),
что с?' \А = о? (имеются в виду клеточные коцепи) .
157

33. Теорема о клеточной аппроксимации. Пусть X,
Y — CW-комплексы и /: X -*¦ У — непрерывное отображение. Покажите,
что отображение / гомотопно клеточному отображению g: X -* У, т.е. та-
такому, которое переводит остов X *"* в остов Y^"K
Подсказка. Предположим сначала для простоты, что dim X < °°,
и будем действовать индукцией по остовам. Пусть мы построили такое
отображение /„ :X-*Y, для которого
1) fn ~f,
2) /„(*<">) С У<">.
Покажите, что отображение
эпиморфно, группа 7г„+1 (У(л+1>, У*"*) свободна. Пусть теперь en+1 -
клетка в пространстве X; отображение /„: (е"+1, Эе"+1) -> (Y, Y^)
определяет элемент в группе я„+1(У, Y^). Пользуясь предыдущим
замечанием, перетянем отображение /„ в отображение /„: (еп+1,деп*1) -*¦
Доказательство будет закончено, если мы покажем, что при этой гомо-
топии отображение /„ не изменится на границе Эеи+1 (почему это необ-
необходимо?) . Таким образом, нужно доказать следующее:
Лемма. Пусть заданы пространства А С В С Y. Если отображение
a: (en+i, S") -* (У, А) гомотопно отображению /3: (e"+1, S") •* (В, А),
то можно найти такое отображение у: (en+1, S") •* (В, А) и такую гомо-
топию yt от а к 7. чю гомотопия yt постоянна на границе S" = Ьеп+1.
Доказательство. Пусть задано отображение а
(Y,A)
и гомотопия at отображения а, причем
а0 = а, ал = 0, <*,(?") С А.
Рассмотрим "воротник" вокруг S" Q S" X / и определим гомотопию
yt с помощью следующего рисунка:
<xt на верхней части
ast(O*i s « 1 )
« воротничке »
Поступив таким образом со всеми (и + 1)-клетками пространства
X, получим' отображение /л+1: *("+1> -> У(п+1),/„+,U(n) =/„ и го-,
мотопию /„+1 ~ /„ на остове Х^п+1^. Согласно теореме о продолжении
158

гомотопии мы можем распространить отображение/„+1 на все простран-
пространство X.
Что нужно к этому добавить в случае dim X = °° ?
34. Произведения Уайтхеда (подготовительные
упражнения на букеты и произведения сфер).
а) Рассмотрим стандартное вложение Sp V Sq С Sp X Sq. Отождествим
сферу 5" с пространством S" = /"/Э/".
Покажите, что
1) SpXSq/SpVSq ~Sp+q,
2) Hl (Sp X Sq, Sp V Sq; G) a- #' (Sp+q, G) для любой группы коэф-
коэффициентов G; / >0.
Подсказка.
(Aр1Ыр) X *) U (* X Iqlblq)
2) Используйте утверждение 1) и аксиому вырезания.
Замечание. Из утверждения 1) следует, что
SpXS" = (SpVSq) Uep+q,
f
где отображение приклейки отображает сферу sp+4~1 в букет Sp V Sq.
б) Напомним определение произведения Уайтхеда. Обозначим ip и iq
гомотопические классы вложений Sp С Sp V Sq и соответственно <S? С
С Sp V Sq на первое (соответственно второе) слагаемое букета. Препят-
Препятствие к продолжению тождественного отображения id: Sp V Sq -*¦ Sp V 5?
на все пространство Sp X 5' согласно упр. 32а) определяет элемент wp>(?
в группе irp+q-i{Sp V 5?), который и назьшается произведением Уайт-
Уайтхеда элементов ip G тгEр V S4), i?G яEр V Sq). Покажите, что этот
элемент совпадает с гомотопическим классом отображения приклейки
(р + q) -клетки к (р + q - 1)-мерному остову Sp V Sq в произведении
SpXSq.
Рассмотрев кольца когомологий пространства Sp XSq и пространства
Sp V Sq, покажите, что wPi<J Ф 0.
Произведение Уайтхеда [а, 0] G 7гр+(?_1 (Z) двух элементов а G 7гр(^0,
/3 € 7ГЧ (ЛГ) есть по определению композиция
р
где о? и /3 — представителид-омотопических классов а и /3.
Таким образом, [<*, /3] = (а V /3), (wp>q).
Покажите, что произведения Уайтхеда обладает следующими свой-
свойствами:
a],
[а. [ftTl] = [[а,Д,7] + (-1)р<7№, [а, 7]] (тождество Якоби),
где ае пр(Х), /3 G ,
35. Тр ансгрессия. (Мы обсуждаем здесь весьма общую ситуа-
ситуацию, такая общность нужна не всегда. Наиболее важный частный случай
разобран в упр. 36.)
159

Пусть F -*Е -+В - расслоение, причем
7Г0E) = {0}, *!(?> = {0}, 7Г,(/9 = {0},
так что существует спектральная последовательность Серра для этого
расслоения. Рассмотрим когомологическую точную последовательность
Hq(E) -* Hq(F) -*¦ Hq+1(E, F) -* W+l(E)
tir» tw*
{q > 0).
Трансгрессия т есть, по определению, отображение подгруппы
1*1A?) = б~11т*Н'г+1(В) С Hq(F)
в факторгруппу
Gq+1(F) = Hq+l(B)IKerir*,
определенное с помощью равенства тFя*а) = а.
Это отображение играет важную роль в когомологической теории
расслоений. Используя спектральную последовательность Серра, пока-
покажите, что для q> \ выполнены такие свойства:
1) Tq(F) » E°'q С E°'q « H4(F),
2) G«+1(F) «+i^|-°= факторгруппа группы Е%+1-° = Hq+1(B),
Подсказка. Нужно внимательно разобраться в построении спект-
спектральной последовательности. Мы разберем случай q-\.
Так как тг\ (В) = 7га (Е, F) = 0, относительный изоморфизм Гуревича
дает Я2 (Е, F) 5 Я2 {В), из формулы универсальных коэффициентов вы-
вытекает, что Н2 {В) %lfi{E,F).
Равенство т = d2 в этом случае следует из определения дифференциа-
дифференциала d2 как кограницы в точной когомологической последовательности па-
пары E^л),5^")),где5(<г) =я(^(<г^)-
36. Некоторые примеры трансгрессии. (Для того чтобы
разобраться в этом упражнении, нужно по крайней мере внимательно
прочитать предыдущее; см. также обсуждение в начале гл. 11.
¦п
а) Предположим, что задано расслоение F -*¦ Е -*В, причем Vr (Е) = 0
при q > 0 (так будет, если пространство Е стягиваемо).
Покажите, что
(Я'СО =0 для 0 < i < q) <=> {Н'(Е) = 0 для 0 < / < q + 1}
и что трансгрессия является изоморфизмом
т: H"(F) ZHq+1(B).
Подсказка. Достаточно предположить, что Я1 (F) = 0 = Н' (В) при
0 < г < <?, 0 < / < ? + 1, и вывести отсюда, что
2)
160

3) отображение dq+1; Е0'^ X Eg+j'° является изоморфизмом.
Член Ei спектральной последовательности Серра выглядит так:
Ч 1
О
Отсюда следует, что dr | Е°'я = О при 2 <г < # и мы получаем 1) и 2).
Отображение dq+l: Е0'^ -*¦ ?ч*}'° должно быть изоморфизмом, по-
поскольку в противном случае в группе Е2>у<* или ES,+ *>0 нашелся бы нену-
ненулевой элемент, чего быть не может, поскольку Hq (Е) = 0.
б) Рассмотрим расслоение пространства путей
К(п,п-1) -> Э>
4-
К(п,п), п > 2. ¦
Покажите, что в спектральной последовательности Серра имеют место сле-
следующие изоморфизмы:
тг, п -1)),
Подсказка. Используйте часть а) настоящего упражнения, в) По-
Покажите, что трансгрессия функториальна по отношению к отображениям
расслоений, т.е. к коммутативным диаграммам вида
Этот факт вытекает из определения трансгрессии. Кроме того, это можно
получить с помощью спектральных последовательностей (см. упр. 35).
37. Классы Чжэня и трансгрессия. Напомним, что гомо-
гомотопические группы itq(S(ny) многообразия Штифеля (см. упр. 16)
обращаются в нуль при 0 < а < 2N — 2л + 1.
Используя вложения (С С <LN+ г, легко построить вложение
S(n,N) С
161

Объединение U S(n,N) обозначим через
п = 1
S(n) = "и-реперы в С°° ".
(i) Напомним, что nq E («)) = 0 при q > 0. (Если вам не нравится
бесконечномерный случай, можно рассмотреть многообразие S(n, N),
где N очень велико.)
Рассмотрим теперь грассманиан G(«) л-мерных подпространств в
пространстве <С°° и расслоение
U(n) ¦* S(n)
4-7Г
G(n)
¦п
(отображение тг переводит данный л-репер >->¦ (в л-мерную плоскость, по-
порожденную всеми векторами этого репера)).
(ii) Напомним, что алгебра
#•(?(«)) = Z[*i,..., *„]
является полиномиальной алгеброй от образующих xq, причем deg xq = 2q.
(iii) Напомним также, что когомологии унитарной группы
Н*(У(п)) at
у..., у„)
образуют внешнюю алгебру с образующими yq, для которых
= 2q-l.
Докажите, что все образующие yq трансгрессивны и что
r(yq) = xq mod (xj,... , xq_ О.
Подсказка. Из равенства nq (S (л)) = 0 следует, что Н4 E (л)) =
= 0 для всех q > 0. Член Е2 спектральной последовательности выглядит
следующим образом:
Уз
У,У2
У2
Щп))
Уг
Z
Z
Z
0
Z
zozo z©zo z©z©z
€ H2q(G(a))
162

Теперь будем рассуждать так. Мы знаем, что d2yi = xt (так как
/^^(и)) = 0), d2y2 = 0, dгуг = О (см. рисунок). Поэтому элементу
трансгрессивен и d4y2 = x2 mod (x\).
Далее, d2y3 = О, поскольку d2y2yiXx = х\у2 + ххх2у2 Ф 0, d3y3 =
= d4y3 = dsy3 = 0 (см. рисунок), элемент у3 трансгрессивен и d6y3 =
= X3mod (XiX2) и т.д.
Замечание. Можно доказать, что элемент х^ G H2q (G(n)) сов-
совпадает с 4-м классом Чжэня универсального векторного расслоения
€"-*•?¦
I
Таким образом, мы получаем второе определение- классов Чжэня
(третье, если учитывать определение из упр. 30). Все эти определения сов-
совпадают (с точностью до знаков). Каждое из этих определений имеет
свои Преимущества:
Определение 1:
с помощью тео-
теории препятствий
Определение 2:
с помощью про-
ективизации
Определение 3:
с использовани-
использованием трансгрессии
и кольца когомо-
логий грассманиана
( Полезно для "классической" алгеб-
| раической топологии: задачи о су-
I шествовании векторных полей и т.д..
( Наипростейший вариант; полезно
I для доказательства теоремы двой-
1 ственности и в алгебраической гео-
I метрик
Это определение полезно в алгеб-
алгебраической геометрии. Оно также
показывает, как выразить классы
Чжэня через кривизну расслоения
с помощью теоремы де Рама
38. Когомологии К(Т, 3) (с помощью спектральных последователь-
последовательностей) . Докажите, что
Z, q = 0,3;
Z/2Z, 4 = 6;
Подсказка. Примените спектральную последовательность Серра
расслоения
к (*, з).
Используйте то, что Нч(&>) = 0 при q > 0 и то, что
163

Член Е2 этой спектральной последовательности выглядит следующим
образом:
Л))
х2
X
0
Z
0
Z
0
Z 0
2ху
0
0 Z
Элемент у S H3(K{Z, 3)) является образующей группы Я3
Покажите, что d2 - 0 для малых размерностей и что d3x -у, d
= 2ху (почему?). Поэтому Ез'2/43Ез'* = Z/2Z" (образующая этой
пы — элемент ху).
Далее,Е$'2 = 0 (почему? используйте то, что Ej?'2 = 0), поэтому
2 _
груп-
Ker {El2 -^+Et>°) = Im (tf30'4 -^Я33>2),
следовательно, ?'° — ^/2^ (здесь нужно заметить, что НА {K{~Z, 3)) =
= 0). Отсюда следует, что Я6 (tf {Z, 3) ) s г/2Г.
39. Гомотопические группы сфер. Докажите, что
2/
()
Подсказка. Используйте башню Постникова для сферы S2.
Обозначим через (S2)n и-ю ступень башни Постникова. Напомним,
что существует отображение
задающее изоморфизм
я, (S2)-* ni((S2)n) при i<n и
Я, E2)
(/и).
Шаг 1. Заметим, что
Ш а г 2. Имеется расслоение
(E2)„) при 0 < / < п + 1.
=<СР°° (так как я2 E2) as Z).
(так как it3 (S2) s T). Далее, группа Я4 (E2K) равна нулю.Рассмотрим
спектральную последовательность этого расслоения. Член Е2 выглядит
164

следующим образом: (см. предыдущее упражнение):
Н*(К(Ъ,Ъ))
Z/2Z
О
О
Z
о
о
Z О Z О
п
Покажите, что d4 у - х2, и выведите отсюда, что при 0 < q < 6 имеем
Ж q = 0,2;
ZT2Z; q = 6;
О, ЯФ0,2,6. .
Подсказка. Используйте то, что d4(yx) = х3.
Ш а г 3. Обозначим через л группу тг4E 2).
Очередная ступень башни Постникова выглядит следующим образом:
(S2K,
причем Н ч (E 2 L ) = 0 при 2 < q < 5. Выведите отсюда, что
а) группа тг является конечной абелевой группой (быть может, равной
нулю),
б) H\K(n,4),Z) = 0,
в) Я5
Член Е2 спектральной последовательности выглядит следующим обра-
образом:
Н*(К(Я,4
к
О
О
О
Z О
О О О Z/2Z
165

Итак, EL'1 = 0 при 3 < s + t < 5. Используя это, докажите, что диф-
дифференциал
d6: Eg>5^Et°
является изоморфизмом. Следовательно, тг «Z/2Z.
40. Теорема о классификации комплексных век-
векторных расслоений. Пусть Л" является CW -комплексом размер-
размерности и. Обозначим через Vect^AT) множество классов эквивалентности
r-мерных векторных расслоений С -* Е -*Х. Обозначим G(r, N) грассма-
ниан r-мерных плоскостей в пространстве &N. Рассмотрим универсальное
векторное расслоение
4-7Г
G(r,N)
(прообраз при отображении я данной r-мерной плоскости X € G(r, N)
состоит из всех векторов, принадлежащих ей).
Покажите, что отображение [X, G(r, N)] -*¦ Vectr(X), заданное фор-
формулой /•-»¦/ * (Ur), является биекцией при 27V - 2г + 1 > п.
Доказательство. Напомним, что имеется расслоение U(r) -*¦
-*¦ S(r, N) -*¦ G(r, N), где S(r, N) — многообразие Штифеля г-реперов в
пространстве <П . Напомним, что
0, i<2N-2r+\.
Так как п < 2N - 2г + 1, то
щ (S(r,N))=Q при <п+ 1.
Покажем сначала, что любое расслоение <ПГ -*¦ Е -*¦ X имеет вид f*Ur
для некоторого отображения /: X -*¦ G(r, N). Обозначим через JT<*) к-
мерный остов пространства X. Предположим, что мы уже построили ото-
отображение
/<*>: X^^G(r,N)
и изоморфизм
Сужение расслоения Е на каждую (к + 1)-клетку тривиально (почему?).
У нас есть отображения
/<*>: dek+i -+G (г, N),
166

Таким образом отображение / (*) можно поднять в пространство
расслоения:
S(r,N)
G(r,N)
(при отображении g каждой точке х S Ъек соответствует координатный
репер в пространстве <ПГ, отвечающий этой точке при отождествлении^)).
Поскольку nk(S(r, N)) = О, отображение g продолжается на всю
клетку eic + i и> стало быть, можно распространить отображение f (к>
навесь (к+ 1)-остов (почему?). Следовательно,отображение
[X,G(r,N)\ ->Vecf(AT)
является эпиморфизмом. "Относительный" вариант того же рассуждения
показывает, что это отображение взаимно однозначно.
Замечание. Частным случаем этой теоремы является утвержде-
утверждение о существовании изоморфизма
Vecf E ") й тг„ (G (г, N)) - тг„ (BUr)
(где N велико по сравнению с г, п).
Назовем два векторных расслоения Е, Е' над пространством X ста-
стабильно изоморфными, если для которых / и /' имеет место изоморфизм
где t1 обозначает тривиальное расслоение ранга /. Множество классов ста-
стабильной изоморфности будет обозначаться К (X). Из доказанной выше
теоремы вытекает, что
K(X)=[X,BU].
Возвращаясь к и-мерным сферам, получаем, что
Таким образом, теорема периодичности Ботта позволяет вычислить группу
классов стабильно изоморфных расслоений над сферой 5".
41. А к сиомы теории гомологии. Пусть задан ковариант-
ный функтор
Х-*Х,(Х)= ® Жр(Х)
р>0
из категории конечных CW -комплексов в категорию абелевых групп,
причем известно, что:
1) Отображение /: X -> Y индуцирует отображение Ж, (X) ->ЭС, (Y),
зависящее только от гомотопического класса отображения /.
[У, * = 0;
2)ЗСЛр')=|о,.>о.
167

3) Продолжив Жt на пары X С Y по формуле
(что аксиома вырезания автоматически выполнена),мы получаем функ-
функтор, для которого имеет место точная последовательность пары.
Покажите, что функтор ЗС, (X) совпадает с обычными гомологиями
Я/ v iy\
Подсказка. Это верно, если dimX = 0. Предположим (действуя
по индукции), что это верно при dim X < л. Из A) следует, что
3, *Ф0,
где D" - л-мерный диск. По предположению индукции Я» En-1) »
« Kt E"). Теперь из точной последовательности пары (D", 3D") по-
получаем
(*) Ж„(Р", bD")^Ht(Pn,dD").
Пусть теперь X = У и е", где dim У < л - 1. Тогда имеются точные
последовательности
Нр {Y)-*Hp (Х)-»Нр (X, Y)^Hp.
й
(изоморфизм Жр(Х, Y) « Нр(Х, Y) построен выше). Положив р = п,
получаем отображение Ж„(Х) -*¦ Н„(Х), являющееся изоморфизмом.
Изоморфность групп ЖР(Х) иНр(Х) прир < и — 1 уже установлена (ка-
(каким образом?).
Остается провести индукцию по числу л-клеток пространства X.
Замечание. Аналогичная теорема верна и для когомологий, и
доказывается аналогичным образом. Назовем теорией когомологий контра-
вариантный функтор
из категории пространств в категорию абелевых групп, удовлетворяющий
когомологическим аналогам аксиом 1) и 3).
Введем ^-функтор, положив К"(Х) = K(S"X). Используя периодич-
периодичность Ботта, можно показать, что группы К* (X) образуют когомологи-
когомологический функтор (другими словами, экстраординарную теорию когомо-
когомологий) .
42. Задачи о фильтрациях.
1) Пусть А = AQ D Ах D .. . Э Ат = {0} и В = Во Э Вх D ... Э В„ =
= {0} - фильтрованные абелевы группы, /: А -*В — гомоморфизм, со-
сохраняющий фильтрацию и индуцирующий в факторгруппах изоморфизм
Ар/Ар+1 -*Вр/Вр+1, то само отображение / тоже является изоморфизмом.
2) Используя задачу 1) покажите, что отображение спектральных
последовательностей Серра, индуцирующее изоморфизм в группах ?"<«>,
является изоморфизмом в исходных группах.
168

3) Обратное неверно. Пусть X является CW-комплексом с отмеченной
id
точкой х0. Рассмотрим два тривиальных расслоения X -*¦ х0 и X—> X.
Тождественное отображение id: X -* X определяет отображение этих рас-
расслоений, индуцирующее изоморфизм в когомологиях пространств рас-
расслоений id: Я* (X) -*Н* (X). Покажите, что это отображение не является
изоморфизмом в группах Е„,, если только группы Я* (X) не обращаются
в нуль при * > 0.
43. Теорема сравнения для спектральных после-
последовательностей. Пусть Erpq, E'p,q — две гомологические спектраль-
спектральные последовательности (гомологические спектральные последователь-
последовательности отличаются от когомологических тем, что верхние и нижние индексы
поменялись местами и все стрелки действуют в обратную сторону. Имеет
место аналог спектральной последовательности Серра для гомологии;
это доказывается так же, как и для когомологий).
Предположим, что для всех г заданы ото браженйя
рг _». р'г
пр,ч пр,я >
коммутирующие с дифференциалами, причем эти отображения индуци-
индуцируют изоморфизмы
El,q = E'lq, E~q з?¦-,,' p,q>0.
Докажите, что Ept0 — Ер\0 для всех р> 0.
Замечание. Это означает, что для произвольного отображения
расслоений
Е
индуцирующего изоморфизм в гомологиях слоев Ht(F) -*Ht(F') и изо-
изоморфизм в гомологиях пространств расслоения Я, (Е) %¦ Я, (?"'), оно
индуцирует изоморфизм в гомологиях баз Н„(В) -* НЛ(В') (ср. с преды-
предыдущим упражнением).
Шаг 1. Покажите, что если г > 0 и если Ер0 -+Е'р2>0 для всех р < г,
то Eptq -*Е'р>ч для всех р < г и всех q.
Шаг 2. Докажите, что ?"о,о ^^0% и ^
Шаг 3. Проверьте, что E\tl ¦* ¦?*<>% (используйте информацию о
группе #0,1' Е'оЛ) и тот факт, что Е20>х %
зуйте информацию о группах ?, о) •
Рассмотрите точную последовательность
0-*Elt0 -*Е\,о ¦*Ker(ffS,i"*^o,i)-*0
и выведите отсюда, что E\>q -* Е'2,о-
'?и Е\<0 5- е'23<0 (исполь-
(исполь169

Шаг 4. Пусть число р произвольно. Мы будем доказывать изомор-
изоморфизм ErPtQ -*¦ Е'р0 нисходящей индукцией по г и при г = 2 получим тре-
требуемое.
Прежде всего ?р*(^ "* Epio1 (почему? используйте информацию о
группах О яЕ%*р1+1 ^КР,р-1 (почему?).
Используя изоморфизм Ео,р-1 -*• ?"о2,р—i (и нисходящую индук-
индукцию по г), покажите, что Е% р_1 -* E'opp_i. Выведите отсюда, что Е% 0 ~*
Шаг 5. Нисходящей индукцией по к покажите, что
Ep-r,s* S'p-r.,. 2<k<r, s>0.
В частности, Er_r -*¦ E'r . Используя это, покажите (нисходящая
индукция по к > 1), что Е?кг rl -*Ep'**r_l. В частности,
рг + 1 X Г'г-И
? р-г,г-1 а р-г,г-1-
Ш а г 6. Покажите, что
Im (dr: ErPy0 -»5;_1,|._1)" Im (dr: E'p\Q -+E'pr_Ur-i\
(Используйте то, что Erplr-r_i ^ Ep^1l)_l и что
Ker(dr:?•;_,,,_! -+Erp_2r>2r_2)~
Z Ket(dr: E'pr_rir_1 -»?';_2r#ar_2).)
Вью едите отсюда, что Егр 0 ^> Е'р 0 (примените изоморфизм ЕрУ 5.
ЯГо)
44. Гомотопические группы букета 2-мерных сфер. ПустьХ = Si V ...
... V S%, - букет 2-мерных сфер. Тогда группа тг2 (X) изоморфна группе
Ф 7Г2 (Sf ) s ~Zm. Покажите, что произведения Уайтхеда тг« = [Sj, Sf ] €
/=i
€ я3 {X) при 1 < у образуют базис свободной абелевой группы этз (-^) >
и, таким образом,
tt3(V 5? ) = Zm(m + 1>/2.
Подсказка. Это упражнение — упражнение на применение башен
т
Постникова. Так как я2 (X) = © тг2 E?), башня Постникова простран-
*=i
ства ДГ начинается со ступени
П А(Г, 2).
(т сомножителей)
170

Следующая ступень:
/С(л,3)
Мы хотим найти группу я. Из точной когомологической последова-
последовательности пары (Х2, X) получаем, что
Н3(Х, тт)-+Н4(Х2, X, я)-*#4<Х2,п)-+Н4(Х, я)
II II
О О
Так кгкщ(Х2, X) =0 при 0<i<3 (почему?), первые клетки пары
(Х2, X) имеют размерность 4, и поэтому
НА(Х2, X, я)з Нош (Н3(Х2, X), я) з Нот (я, я) (почему ?)
Таким образом, получаем изоморфизм Нот (я, я) з= Н*(Х2, я). Так
как группа Н,(Х2, Z") свободна, получаем изоморфизм
Нот (iT,ir)^ Horn (Я4 (ДГ2 ), я).
Отсюда следует, что группа я свободна и что имеют место изоморфизмы
Нот (я, 2) s Н 4 (Х2, 2) a Zm (т +»>'2.
Остается доказать, что произведения Уайтхеда [S*, Sj], i </, образуют
базис в группе я. Чтобы сделать это, заменим в башне Постникова прост-
пространство К(%, 2) пространством (ЕР2. (Это возможно, потому что я;((СР2 ) s
э* Я;(АГBГ, 2)) при 0 < i < 4.) Мы получаем диаграмму
X i П СР2
t t
V СР1 VffiP1 (VCP1 является 2-остовом пространства П СР2).
По определению fc-инвариант — это первое препятствие к построению
ретракции пространства П <СР2 на пространство VffiP1).
Это препятствие лежит в группе Я4(П<ЕР2, язО/Р1)). Напомним,
что произведение Уайтхеда образующих элементов групп я2 (So), я2 E2)
является препятствием к продолжению тождественного отображения
Si V S\ ->Sq V S\ на пространство Si X52.
Теперь для завершения доказательства, нам осталось убедиться в
том, что обычное отображение Хопфа S3 ->52 равно произведению Уайт-
Уайтхеда [id, id], где id — тождественное отображение сферы S2 на себя (про-
(проверьте!). Заметим также, что 4-остов пространства П СР2 совпадает с
пространством (V <СР2 ) и (П «СР1).
171

Добавление
ФУНКТОР КВИЛЛЕНА
А.В. Пажитнов
Введение
Теория Суллирана, изложенная в основном тексте книги, полностью
алгебраизирует теорию рационального гомотопического типа, сводя ее
к гомотопической теории дифференциальных алгебр.
Существует альтернативный вариант такой алгебраизации, предложен-
предложенный Д. Квилленом [1] в 1971 г. Конструкция Квиллена относит каждому
связному односвязному топологическому пространству X свободную диф-
. ференциальную градиурованную алгебру Ли Lx над полем С рациональ-
рациональных чисел. При этом векторное пространство Q,(Lx) образующих алгеб-
алгебры Ли Lx изоморфно пространству Ht+l(X, С), а гомологии Ht(Lx)
изоморфны гомотопическим группам 7г„ + 1(Х, О) (причем этот изомор-
изоморфизм сохраняет структуру алгебры Ли). Далее,гомотопическая теория
таких алгебр Ли L оказывается эквивалентной теории рациональных гомо-
гомотопических типов. Хотя теория Квиллена появилась раньше, чем теория
Сулливана, и работы Квиллена [1, 2] содержат полные доказательства,
квилленовский вариант рациональной теории менее популярен, чем сулли-
вановский. Это объясняется, по-видимому, большей простотой конструк-
конструкций Сулливана. Однако в последнее время интерес к теории Квиллена
оживился в связи, в частности, с ее применениями в теории циклических
гомологии и в /Г-теории.
Основная цель настоящего добавления — описать функтор X >-*¦ Lx-
В § 1 мы строим гомотопическую категорию дифференциальных гра-
градуированных алгебр Ли. Далее мы предъявляем конструкцию функто-
функтора Квиллена, исходя из теории Сулливана (§ 2), и приводим топологичес-
топологические мотивировки этой конструкции. Здесь мы следуем работам [3, 4].
Функтор Квиллена X ^ Lx представляется здесь как композиция функ-
функтора Сулливана X -* Лх и некоторого (чисто алгебраического) функто-
функтора ?„, действующего из гомотопической категории д.г. алгебр в гомото-
гомотопическую категорию д.г. алгебр Ли. Функтор ?t был введен Квилленом
[1] и представляет собой последнее звено длинной цепочки функторов,
ведущей от категории топологических пространств к категории гомотопи-
гомотопических типов дх. алгебр Ли. Использование функтора минимальных моде-
моделей Сулливана позволяет элиминировать всю эту цепочку, кроме ее послед-
последнего звена.
172

§ 1. Гомотопическая теория д.г. алгебр Ли
Прежде всего несколько определений и обозначений.
Определение 1.1. Градуированная алгебра Ли L ф — это градуи-
градуированное векторное пространство вместе с отображением коммутирования
[•,•]: Lp ® Lq -* Lp + q, заданным для всех p,q G 71 и удовлетворяю-
удовлетворяющим тождествам:
2) (-l)'*"z|[*, [y,z]] +(
X [z, [x,y] ] = 0 (| a | обозначает градуировку элемента а).
Примеры. 1) Ассоциативная градуированная алгебра Л превра-
превращается в алгебру Ли L *), если положить Lt = А{, [х, у] = ху -
2) Обозначим M(W) свободный градуированный моноид, натянутый
на элементы et базиса градуированного векторного пространства W
(т.е. множество слов вида el((e2e3)e4). . . с расставленными скобками).
Обозначим F(W) алгебру этого моноида, т.е. множество конечных фор-
формальных линейных комбинаций элементов моноида M(W) с рациональны-
рациональными коэффициентами. Рассмотрим факторалгебру алгебры F(W) по двусто-
двустороннему идеалу, порожденному элементами Wiw2 + (-l)'w« '
и (-I)'", "w
X w3(w2Wi). Получается алгебра Ли, которая обозначается L(W) и назы-
называется свободной алгеброй Ли, натянутой на векторное пространство W.
Замечание. Это определение не совпадает с определением, приве-
приведенным в основном тексте на с. 116. Алгебра Ли/, с коммутатором [ •, • ]
в смысле нашего определения превращается в алгебру Ли (L, Ц -, ¦ ])
в смысле определения Гриффитса—Моргана, если положить [x.j'] =
=(-i)"Wb
Для любого топологического пространства X векторное пространст-
пространство L » = тг» (ЛГ) ® С превращается в алгебру Ли, если определить комму-
коммутатор [а, Р] элементов a Gnp + l (X), fi 6j, + 1 (X), положив его равным
скобке Уайтхеда этих элементов, взятой со знаком (— 1)р.
Для двух свободных алгебр Ли L\ = L(Wi), L2 = L(W2) их свобод-
свободным произведением Li * L2 называется алгебра Ли L(^! ® W2).
Алгебра Ли L называется 1-приведенной, если Lt = 0 при i < 1.
Пространством Q(L) неразложимых элементов алгебры Ли L назы-
называется факторпространство L/[L,L] ¦ Для свободной алгебры Ли L - L(W)
это пространство изоморфно W. Все остальные элементы алгебры Ли L(W)
являются линейными комбинациями коммутаторов элементов из W.
Д.г. алгеброй Ли называется алгебра Ли вместе с дифференциалом Э,
понижающим градуировку на 1, и удовлетворяющим правилу Лейбница.
Свободная д.г. алгебра Ли L = (И-(ИО, 3) называется минимальной,
а дифференциал в ней - разложимым, если d(L(Wy) С [0_(IV), L(W)].
*)В дальнейшем мы будем опускать прилагательное "градуированная", посколь-
поскольку неградуированные алгебры Ли нам не встретятся.
173

Для краткости свободные 1-приведенные минимальные д.г. алгебры Ли
мы будем называть просто минимальными алгебрами Ли.
Для любой дх. алгебры Ли i с дифференциалом Э определено д.г.
векторное пространство Q(L) с дифференциалом Qd.
Теперь мы можем перейти к построению гомотопической теории д.г.
алгебр Ли. Прежде всего мы докажем, что всякая свободная 1-приведен-
ная дх. алгебра Ли изоморфна свободному произведению минимальной
алгебры Ли и некоторого количества дх. алгебр Ли вида L(x, у), где
Ъу = 0, дх = у (так называемых стягиваемых алгебр Ли). Для этого нам
потребуется одна техническая лемма.
Назовем отображение <р: Wi -* W2 двух д.г. векторных пространств
слабой эквивалентностью, если if индуцирует изоморфизм в гомологиях.
Лемма 1.2. Пусть f: (L(Wi),3,)-* (fL(W2),d2)- морфизм свобод-
свободных 1-приведенных д.г. алгебр Ли. Пусть соответствующий морфизм Qf:
Wi -*¦ W2 д.г. векторных пространств является слабой эквивалентностью.
Тогда морфизм f тоже является слабой эквивалентностью.
Доказательство. В любой свободной алгебре Ли fL(W) имеет-
имеется возрастающая фильтрация Lo С ?,, С . .. по длине коммутаторов (член
L{ этой фильтрации состоит из всех линейных комбинаций коммутаторов
длины <г, например Lo = W). Для 1-приведенных алгебр Ли эта фильтра-
фильтрация в каждой размерности конечна. Если (L(W), Э) — свободная д.г. ал-
алгебра Ли, то таким образом возникает функториальная спектральная по-
последовательность, член Ei которой изоморфен L(Ht(W)). Для 1-при-
1-приведенных алгебр Ли член Е„ этой спектральной последовательности при-
присоединен к пространству H,(L(W), Э). Теперь утверждение леммы очевид-
очевидно (морфизм / индуцирует гомоморфизм спектральных последователь-
последовательностей, являющийся изоморфизмом в члене Ei).
Любая свободная 1-приведенная дх. алгебра Ли может быть получена
(подобно минимальной дх. алгебре) посредством элементарных расшире-
расширений, т.е. последовательным присоединением образующих. На и-м шаге
мы присоединяем все образующие размерности п; при этом, поскольку
дифференциал имеет степень — 1, границы этих образующих лежат в сво-
свободной алгебре Ли, натянутой на предыдущие образующие. Таким обра-
образом, в категории свободных 1-приведенных дх. алгебр Ли возможны ин-
индуктивные построения (параллельные индуктивным построениям гл. 9, 10
основного текста).
Лемма 1.3. Всякая свободная 1-приведенная д.г. алгебра Ли изо-
изоморфна свободному произведению (L(W), Э) * П L(x,-, дх{), где диф-
ференциал Ъ разложим (a i пробегает некоторое множество индексов I) ¦
Доказательство. Рассмотрим пространство неразложимых QL.
Это — дх. векторное пространство надполем С. ОбозначимН„ его гомоло-
гомологии в размерности п. Как известно, векторное пространство QnL можно
разложить в прямую сумму QnL = С„ ® Н„ ® В„, где Нп состоит из циклов
дифференциала Qdn: QnL -*¦ Q.n-\L, В„ является образом дифференциа-
дифференциала Qbn + i, а дифференциал Qbn является изоморфизмом пространства С„
на пространство В„ _ i. Легко видеть, что для всех п найдутся элемен-
элементы х„ алгебры Ли L, имеющие степень п, и элементы Уа~ ** степени
174

(и — 1), образующие базисы соответственно в С„ и Вп_\, причем
Теперь нам осталось в каждой размерности т выбрать такие элемен-
элементы w*m) алгебры Ли L, образующие базис в Ня, чтобы Эи>/т) G
S L(uy m ~ l'). Предположим, что мы уже проделали это для т < п — 1,
и сделаем это для т = п. Выберем сначала любые элементы ujj SZ,,
I vp I = п> образующие базис в Н„. Границы этих элементов Эи^" в ал-
алгебре Ли L разложимы и принадлежат свободной подалгебре Ли, натяну-
натянутой на элементы х^, yf*~ 1), и>?*\ где к <и - 1. Каждый элемент ди^1* =
= z — цикл в этой алгебре, и из леммы 1.2 вытекает, что он гомологичен
в ней некоторому циклу, составленному только из элементов w^ и их
коммутаторов: z = а + dy, где а ? tL(wf\ к < и - 1), у G L(x^k\y^k ~ °),
fc < п — 1. При этом элемент у разложим и, заменив образующую v^
на образующую ui" - у, получаем требуемое.
Дальнейшее построение теории гомотопий в категории 1-приведен-
ных алгебр Ли полностью . параллельно построению теории гомотопий
в категории односвязных дифференциальных алгебр (гл. 9, 10 основного
текста). А именно, сейчас мы покажем, что у всякой 1-приведенной д.г.
алгебры Ли есть минимальная модель (теорема 1.5), введем отношение
гомотопности на множестве морфизмов свободной 1-приведенной не обя-
обязательно минимальной дх. алгебры Ли в любую дх. алгебру Ли (определе-
(определение 1.6), построим теорию препятствий к продолжению гомотопий (пред-
(предложения 1.7—1.9) и докажем, что гомотопность является отношением
эквивалентности (предложение 1.10). Далее мы установим, что минималь-
минимальная модель любой 1-приведенной дх. алгебры Ли определена с точностью
до изоморфизма (теорема 1.11), чем и завершается построение гомотопи-
гомотопической теории в категории 1-приведенных д.г. алгебр Ли. Большинство
доказательств мы опустим, поскольку они дословно повторяют соответ-
соответствующие рассуждения из основного текста.
Определение 1.4. Минимальной моделью д.г. алгебры Ли (L, 3)
называется минимальная дх. алгебра Ли (L(W), 3') вместе с отображе-
отображением (tL(W), Э') -> (L, Э), индуцирующим изоморфизм в когомологиях.
Теорема 15. Всякая 1-приведенная алгебра Ли ддпускает мини-
минимальную модель.
Доказательство. Согласно лемме 1.3 достаточно построить
(не обязательно минимальную) свободную дх. алгебру Ли (L(W), Э)
и морфизм /: (9-(W), 9) ->• (L, Э), индуцирующий изоморфизм в гомоло-
гиях.
Мы будем действовать по аналогии со случаем минимальных моделей
дифференциальных алгебр, разобранным в основном тексте книги: по-
построение алгебры Ли (L(W), 3) будет произведено последовательным
присоединением образующих. Пусть уже построена дх. алгебра Ли
(L(Wn), Э), порожденная образующими в размерностях <«, и отображе-
отображение /: (L(Wn), Э) -»• (L, Э), индуцирующее изоморфизм в гомологиях
175

в размерностях <и — 1 и эпиморфизм в размерности п. Добавим теперь
образующие w^" + (положив dw?n + ' = 0) и продолжим на них отобра-
отображение / так, чтобы получить эпиморфизм в группе Я„+i; кроме того,
добавим образующие w*" + , дифференциал на которых определим так,
чтобы 3iv^" + 1) e L(Wn), и при этом образ 3{w^"+ х) } порождал бы
в гомологиях Hn(L(Wn)) все пространство Кег(/„: Hn(fL(W), 3) ->
-*¦ Hn(L, 3)). Такими последовательными присоединениями мы построим
всю алгебру Ли (Ц^), 3).
Переходим к построению теории гомотопий в категории алгебр Ли.
С этой целью введем свободную косокоммутативную д.г. алгебру A(t,dt),
порожденную образующей / размерности 0 и ее границей bt размернос-
размерности — 1. Для любой дх. алгебры Ли L на дх. векторном пространстве L ®
® A(t, bt) можно определить структуру дх. алгебры Ли:
[и ® a, w ® Ь] = (-1I" ' ' w '[и, и>] ® аЪ.
Имеются два морфизма, дх. алгебр Ли р0, р\. L ® A(r, bt) -* L, опреде-
определяемые соотношениямиpo(t) = 0, Pi(t)= I, poCO = PiCO = 0.
Определение 1.6. Пусть (L(ft'), 3) — 1-приведенная свободная
дх. алгебра Ли. Пусть /0, /i: (L(W), 3) -* (Z, 3) — два морфизма д.г. ал-
алгебр Ли. Морфизм дх. алгебр Ли Я: (L(»0, 3) -> (L, Э) «A(f, bt) назы-
называется гомотопией между /0 и /i, если р0 °Я0 =/о, р^° H=fx.
Несмотря на то что это определение не имеет такой прямой геомет-
геометрической интерпретации, как его аналог для случая минимальных алгебр
(см. основной текст, гл. 10, п. А), вся гомотопическая теория алгебр,
изложенная в гл. 10 основного текста, переносится на случай алгебр Ли.
t
А именно, рассмотрим оператор интегрирования / : L ®A(r, bt) -*¦ L
о
(повышающий градуировку на 1), положив
о о п +1
Имеют место тождества:
t t
1) Э(/Х) + /ЭХ = Х-((Х|/ = 0)®1) (здесь X€Z,®A(r,30);
о о
1
2) если Я: Lx -+ L2 ® А(г, 30 — гомотопия от / к g, то 3/Я(д) +
о
+ fbH(a) = g(a)-f(a).
о
Тождество 2) показывает, что если Н — гомотопия от / к g, то fug,
рассматриваемые как отображения цепных комплексов, цепно гомотоп-
1
ны посредством цепной гомотопий / Я.
о
Любая свободная 1-приведенная дх. алгебра Ли строится, как мы отме-
отмечали выше, путем элементарных расширений. Построим теперь препят-
176

ствие к продолжению гомотопии на элементарное расширение,, дубли-
дублирующее соответствующее препятствие из гл.. 10 основного текста.
Предложение 1.7. Пусть имеется диаграмма
П
где (L(W), Э) - свободная д.г. алгебра Ли, \х | = к, д'(х) G L(W), и го-
мотопия Н: L(W) -* L2 ® Л(г, bt) от f к у ° g. Тогда имеется класс
o(g, <Л /, Ю гомологии комплекса Су в размерности к (где &р - конус
цепного отображения у), обращающийся в нуль тогда и только тогда,
когда существует продолжение g морфизма g на i.(W) * L(x) и про-
продолжение Н гомотопии от tp°g к f *). .. .
Доказательство полностью аналогично доказательству пред-
предложения 10.4 основного текста. Мы приведем только определение препят-
препятствующего цикла. Напомним, что конусом цепного отображения у назы-
называется комплекс (&p)q = {L1 )q _ 1 ® (L2 )q с дифференциалом (— (Э i )q _ j,
C))
Положим o(g,v, f,H) = (-g(dx), f(x) + / #(d*)).
0
Этот элемент комплекса (dp), и является искомым препятствием.
Предложение 1-8 (относительный вариант предыдущего). Пусть
задана диаграмма
(L(W),d)
(L(W)*L(x),d')
причем
1) |/о/= Ц,
2) м - эпиморфизм,
3) мо^ = "°^1И.(йО.
4) имеется гомотопия Н от ф к ч> о /, причем v ° H - постоянная
гомотопия, т.е. композиция (у ® id) ° Н имеет вид С® 1.
Тогда препятствие (*(#, f, ф, Н) обращается в нуль тогда и только
тогда, когда имеется продолжение морфизма <р на i.(W) * !_(*) и продол-
продолжение Н гомотопии Н на L(W) * L(x), причем ц°$ =v° ф и v°H -
постоянная гомотопия.
Доказательство. См. доказательство предложения 10.5.
*)Мы разбираем здесь случай присоединения одной образующей; читатель лег-
легко восстановит общий случай.
177

Предложение 1.9. Пусть задана коммутативная диграмма
П
морфизмов д.г. алгебр Ли, причем Э'(х) G L(K0 " <?- эпиморфизм. Тогда
элемент a(jg, tp, f, H) &Нк{Сф), соответствующий гомотопии H=f, равен
нулю тогда и только тогда, когда существует такое продолжение g '¦
L(W)* L(x)-*Z,i отображенияg, что <pg =f.
Доказательство. См. доказательство предложения 10.6.
Предложение 1.10. Гомотопность отображений из свободной
1-приведенной д.г. алгебры Ли (L(fV), 3) в любую д.г. алгебру Ли (L', 3')
является отношением эквивалентности.
Доказательство. Пусть Н: \L(W) -* L ® A(t, dt) — гомотопия
от /о к Л, /: L(W) -*¦ L ® A(s, 3s) — гомотопия от /i к /2. Рассмотрим
дх. алгебру С = A(t, s,bs,dt)/{s(t - 1), sdt), где jr I = i s I = 0, | 3s | =
= |ЭГ| = -1.
Так же как в доказательстве следствия 10.7, гомотопии Н и / опре-
определяют отображение НМ J: L(W) -* L®C, которое можно поднять в алгеб-
алгебру L ® A(t, s, dt, ds), и, положив t = s, получить требуемую гомотопию
от /о к /2 .
Таким образом, если (L, <f) — любая д.г. алгебра Ли, a (L(W), 3) —
свободная 1-приведенная алгебра Ли, то корректно определено фактор-
фактормножество множества всех морфизмов по отношению гомотопности
(обозначаемому далее ~). Это множество мы обозначаем [(L(^0, 3), (L, d)]
и называем множеством гомотопических классов морфизмов из (L(HO> 3)
в (L,d).
Теорема 1.11. Пусть у. L i -> L2 - морфизм д.г. алгебр Ли, инду-
индуцирующий изоморфизм в гомологиях. Пусть (L(W), 3) — свободная ал-
алгебра Ли. Тогда у,: [L(W),Li]-+[L(W),L2]- биекиия.
Доказательство. См. доказательство теоремы 10.8.
Теперь мы можем установить единственность минимальных моделей
для дх. алгебр Ли. Для этого нам нужна следующая лемма. (Напомним,
что свободные минимальные 1-приведенные д.г. алгебры Ли мы называем
просто минимальными алгебрами Ли.)
Лемма 1.12. Пусть L(K). i-(W) - минимальные алгебры Ли, f:
L(K) -> L(W) — гомоморфизм, индуцирующий изоморфизм в гомоло-
гомологиях. Тогда f - изоморфизм.
Доказательство. См. доказательство леммы 10.10.
Следствие 1.13. Пусть Lx = (L(W,), Ъх\ L-, = (L(W2), 32) -
свободные д.г. алгебры Ли и морфизм f: L\ -*¦ L2 индуцирует изомор-
изоморфизм в гомологиях. Тогда отображение Qf: H, Wi -+HtW2 - изоморфизм.
Доказательство немедленно получается, если воспользовать-
воспользоваться представлением L( = L(#»(W,)) * L(x^l), дх%\ i = 1,2 (построен-
(построенным в лемме 1.1), и леммой 1.12.
178

Теорема 1.14. Пусть L - 1-приведенная д.г. алгебра Ли, /:
-+Z,, g: i.(W)-+L - ее минимальные модели. Тогда существует изомор-
изоморфизм ip: i-(V) -*¦ L(W), делающий следующую диаграмму коммутативной
с точностью до гомотопии
L{V)
L(W)
Доказательство. Применяя предложение 1.4, получаем су-
существование морфизма tp, индуцирующего изоморфизм в гомологиях,
причем f~gy. По лемме 1.12 tp является изоморфизмом.
Замечание. Отсюда, в частности, следует, что в разложении сво-
свободной 1-приведенной алгебры Ли L в свободное произведение минималь-
минимальной L' и стягиваемой L," (лемма 12) минимальная алгебра Ли L' опреде-
определена однозначно.
Таким образом, мы располагаем теперь гомотопической теорией 1-при-
веденных дх. алгебр Ли, параллельной гомотопической теории д.г. алгебр.
А именно, для каждой 1-приведенной д.г. алгебры Ли L имеется минималь-
минимальная модель — минимальная алгебра Ли (L (W), Э) вместе с отображением/:
L(W) -*¦ L, индуцирующим изоморфизм в гомологиях и определенным
с точностью до изоморфизма. Морфизм/: Li-* L2 поднимается до отобра-
отображения минимальных моделей L(Wi) -* L(W2) единственным с точностью
до гомотопии образом.
Суммируя полученные результаты, можно сказать, что гомотопичес-
гомотопический тип 1-приведенной д.г. алгебры Ли — это минимальная алгебра Ли.
Два морфизма g, f: L\ -* L2 называются гомотопными, если гомо-
гомотопны соответствующие морфизмы минимальных моделей. Категория
1-приведенных дх. алгебр Ли и гомотопических классов их морфизмов
называется гомотопической категорией д.г. алгебр Ли.
§ 2. Построение функтора Квиллена
Вначале мы изложим некоторые дополнительные определения и ре-
результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем; см. [5, 6]. Напом-
Напомним, что основным полем везде является поле рациональных чисел О.
Коалгеброй называется векторное пространство С вместе с отображе-
отображением векторных пространств Д: С -* С ® С (называемым диагональю)
и отображением векторных пространств е: С -*¦ О (называемым коеди-
ницей), удовлетворяющими условиям:
1) диаграмма
С > С®С
4-id ® Д
С®С®С
Л в id
179

коммутативна (условие коассоциативности);
2) диаграммы
С
ее id ^ ~ ь id ее
коммутативны.
Градуированной коалгеброй называется градуированное векторное
пространство С, = Со ® Сг ® . . . , наделенное диагональю Д, являющейся
морфйзмом градуированных пространств (т.е. переводящей пространст-
р
во Ср в пространство © С{ ® Ср _у),. и коединицей е: С -> fc, e(C;) = О
f = о
при / # 0, удовлетворяющими условиям 1) и 2).
Дифференцированием градуированной коалгебры С называется отобра-
отображение Э: С -*¦ С степени —1, удовлетворяющее условию коммутативности
диаграммы
С »¦ С
•Д4- 4-Д
Э в id + id » Э
(здесь kf(x) = (-l)'*'*).
Дифференциальной градуированной коалгеброй (д.г. коалгеброй)
называется градуированная коалгебра С вместе с дифференцированием.
Понятия коалгебры, градуированной коалгебры и пр. очевидным
образом двойственны понятию алгебры. Так, например, если С =
ее оо
= © С/ - градуированная коалгебра, то пространствоН = © Hom(Q, О)
/ = о / = о i
естественным образом превращается в коалгебру.
Наоборот, если алгебра А, имеет конечный тип (напомним, что гра-
градуированное векторное пространство F, = Vo ® Vx ® . . . называется век-
векторным пространством конечного типа, если каждое пространство Vt
конечномерно), то векторное пространство {С,}, где С,-= НотD/, О),
стандартным образом можно превратить в коалгебру.
Градуированная коалгебра называется кокоммутативной, если Д =
= Х°Д, где |||Ь|
Пример градуированной коалгебры. Пусть F, =
оо
= Ф Vj — градуированное векторное пространство конечного типа.
i = о
Рассмотрим градуированное векторное пространство AVt внешних сте-
степеней пространства F,. Определим диагональ Д: ЛF, -* Л F, ® ЛF,, поло-
положив А(р) = v в 1 + 1 в и, где v G F,, и продолжив Д на всю алгебру AF,
180

по мультипликативности. Полученная коалгебра *) является кокомму-
тативной. Она двойственна свободной коммутативной алгебре, натянутой
оо
на V* = © Vt*, и называется свободной кокдммутативной коалгеброй-
Заметим для дальнейшего, что подобного тому как в свободной ком-
коммутативной алгебре дифференцирование достаточно задать на образую-
образующих элементах (продолжив дальше по правилу Лейбница), в свободной
э
коммутативной коалгебре достаточно задать композицию род: AVt -*
э р
-*¦ AV, -*¦ V, (где р — проекция на 1-векторы) и дифференцирование Э
будет определено однозначно.
Для любого пространства X гомологии Я, (X, О) с коэффициентами
в поле С образуют коалгебру, диагональ в которой индуцирована диаго-
диагональным отображением А: X -*¦ X X X. Алгебра, двойственная этой коал-
коалгебре, совпадает с когомологиями Я *{Х, О).
Коалгебра С, называется связной, если пространство Со одномерно
и можно выбрать в Со такой элемент 1,что ДA)= 1 ® 1, еA)= 1.
Связная коалгебра С, называется односвязной, если Ci = 0. Алгеб-
Алгебра А , называется связной, если Ао - к, и односвязной, если, кроме этого,
А,=0**).
Для связною топологического пространства X гомологии НФ(Х, О)
образуют связную кокоммутативную кодлгебру-
Элемент с Е С, связной коалгебры С, называется примитивным,
если Дс = с®1 + 1®с. Примитивные элементы связной коалгебры С,
образуют градуированное векторное пространство &>(СФ). Например,
пространство 5й(Л Vt) совпадает с V,.
Алгеброй Хопфа над полем О называется векторное пространство R,
снабженное одновременно структурой алгебры и коалгебры, т.е. ассоциа-
ассоциативным умножением ju с единицей 1 и коассоциативной диагональю с коеди-
ницей е, причем так, что диагональ Д: R -*¦ R ® R является гомоморфиз-
гомоморфизмом алгебр.
Определения градуированной алгебры Хопфа и дифференциальной
градуированной алгебры Хопфа читатель сформулирует сам.
Пример алгебры Хопфа. Свободная коммутативная алгеб-
алгебра, рассмотренная выше, становится алгеброй Хопфа, будучи наделена
обычным внешним умножением. Эта алгебра обозначается Л V,-
Градуированная алгебра Хопфа называется связной, если Со ** О и
коединица е: Со -*¦ О задается соотношением е(а • 1) = а.
Основной запас примеров связных алгебр Хопфа доставляют алгебры
гомологии (с коэффициентами в поле) ассоциативных Я-пространств
(определение ассоциативного коммутативного Я-пространства см. на с. 60
основного текста, определение ассоциативного некоммутативного Я-прост-
*)В дальнейшем прилагательное "градиуированный" мы будем опускать, так
как неградуированные объекты у нас встречаться не будут.
**Kдесь наши определения отличаются от определений, принятых в основном
тексте.
181

ранства аналогично). Коумножение здесь индуцируется диагональю (и всег-
всегда кокоммутативно), умножение — структурой Я-пространства.
Теперь мы может объяснить, как строится функтор Квиллена.
Классическая теорема Картана — Серра [7] утверждает, что для любо-
любого односвязного Я-пространства М конечного типа алгебра Хопфа Я, (М, О)
изоморфна как коалгебра алгебре Хопфа Л(пф(М) ® С), причем изомор-
изоморфизм индуцирован гомоморфизмом Гуревича п,(М) -*¦ Н,(М). (Более
привычная формулировка: алгебра когомологий Н *(М, О) — свобод-
свободная коммутативная алгебра, порожденная векторным пространством
Нот(пф(М)у О).) Этот факт является источником как теории Суллива-
на, так и теории Квиллена, вариант которой мы приводим в этом при-
приложении.
Для любого односвязного пространства X пространство петель SIX
является Я-пространством. Можно показать, что к пространству ИХ (хо-
(хотя оно, вообще говоря, не односвязно) применима теорема Картана—Сер-
Картана—Серра, и, стало быть, коалгебры Я,(ПХ, О) и A(ir,(SIX) ® О) « A(ir, + ц (X) ®
® О) изоморфны. Казалось бы, на этом сходство этих двух кокоммута-
тивных алгебр Хопфа кончается. Умножение в них совсем не обязано быть
одинаковым, алгебра Н,(?1Х, О) совсем не обязательно коммутативна,
а внешняя алгебра коммутативна всегда. Оказывается, однако, что сущест-
существуют более глубокие связи между ними.
Нетрудно проверить, что для любой связной алгебры Хопфа С, век-
векторное пространство примитивных элементов &(СФ) образует алгебру Ли
относительно коммутатора [х,у] =ху +(—1)|х ' |у *ух.
Вернемся теперь к пространствам петель.
Согласно результатам Самельсона и Милнора — Мура (см. [6, appen-
appendix]), алгебры Ли- &(Н,(?1Х, О)) (с только что определенной скобкой)
и!,ф = 1т,+1 (X) ® О (со скобкой, определенной в начале § 1) изоморфны.
Таким образом, алгебру Ли я, +1 (X) в О можно вычислять, исходя из го-
гомологии пространства петель ?2 X. Оказывается, что гомологии Н„ (ilX) ®
® О можно вычислить, исходя из минимальной модели Лх пространст-
пространства X (точнее, из двойственной к ней коалгебры), используя стандартный
алгебро-топологический инструмент: ко бар-конструкцию Адамса [8].
Напомним здесь эту конструкцию. Пусть С — односвязная д.г. алгеб-
оо
ра. Рассмотрим векторное пространство С= ® С,- и сдвинем градуиров-
i= 1
ки на единицу вниз: (s"'C)j = Ci+l. Рассмотрим тензорную алгебру
T(s~1C), натянутую на градуированное векторное пространство («"'С),.
Введем в этой алгебре два дифференциала степени — 1:
2 (
i= 1
^ 2 (
i = Г м = 1
. . .® S C,-_ i ® S ?/u ® S~ С-„ ® . . . ® S Cn.
182

Здесьт?@= 2 Is-'cfcl, Дс,= 2с',м®с^.
К — 1 Д
Явные вычисления показывают, что это — действительно дифферен-
дифференциалы, причем Ь/дЕ + Э?Э/ = 0; поэтому сумма d = Э/ + Э# также являет-
является дифференциалом.
На тензорной алгебре T(Vt) любого градуированного векторного
пространства V\ существует структура алгебры Хопфа, однозначно зада-
задаваемая требованием примитивности элементов v & ?я. Оказывается, что
если коалгебра С кокоммутативна, дифференциал d является дифферен-
дифференцированием алгебры Хопфа T(s~lC) и объект (Tis^C), d), таким об-
образом, представляет собой д.г. алгебру Хопфа.
Этот объект обозначается НС. Он является алгебраическим аналогом
пространства петель.
Можно показать, используя [8], что для коалгебры Сх, двойственной
минимальной алгебре ЛСх (мы предполагаем, что пространство X одно-
связно и имеет конечный тип), гомологии H,(S2CX) изоморфны, как ал-
алгебра Хопфа гомологиям Я, (flX, С).
Теперь уже ясно, как определить функтор Кв ил лена. А именно, рас-
рассмотрим д.г. алгебру Ли $Р{?1Сх) примитивных элементов в кобар-кон-
струкции коалгебры Сх- Алгебра Ли гомологии НЯ(&(ПСХ)) изоморф-
изоморфна алгебре Ли &'(Ht(f2Cx)) (это можно показать, используя стандартные
факты из теории обертывающих алгебр; см. [1, Appendix В]), а эта по-
последняя изоморфна алгебре Ли #(#, (ПХ, О)) « я, + j (X) ® О.
Определим функтор X -*¦ Lx как минимальную модель (в смысле
§ 1 Добавления) дт. алгебры Ли Sf(ilCx)- Из результатов § 1, а также
из единственности минимальной модели следует, что эта д.г. алгебра Ли
определена однозначно с точностью до изоморфизма. Этот функтор яв-
является композицией функтора X -*¦ Jtx минимальных моделей Суллива-
на и некоторого функтора jC,, действующего из категории односвязных
дх. алгебр конечного типа в категорию 1-приведенных д.г. алгебр Ли.
Значение функтора JC, на данной односвязной д.г. алгебре А конеч-
конечного типа определяется как минимальная модель д.г. алгебры Ли fr(il(A)*)
(где (А)* — двойственная к алгебре А коалгебра). Можно показать, что
гомотопным морфизмам f,g: A -*¦ В односвязных д.г. алгебр соответст-
соответствуют гомотопные морфизмы ?,(f), ?*(g)'- ?t(A)^?,(B) минимальных
алгебр Ли, так что функтор ?t определен и как функтор из гомотопичес-
гомотопической категории односвязных дт. алгебр конечного типа в гомотопическую
категорию 1-приведенных дх. алгебр Ли конечного типа. (Заметим, кста-
кстати, что в гомотопических категориях при построении функтора ?t необя-
необязательно переходить от алгебры Ли &(?1(АУ) к ее минимальной модели.)
Можно доказать, что функтор ?ф осуществляет эквивалентность этих
категорий. Это проделано в [1]; см. также [3, 4]. Мы не будем воспроиз-
воспроизводить здесь довольно сложное доказательство этого факта, а только
построим функтор С,, обратный функтору ? т.
Пусть L — 1-приведенная д.г. алгебра Ли конечного типа. Сдвинем
градуировку алгебры L вверх на единицу, положив (sL)s = Z,,_ x. Рас-
Рассмотрим внешнюю алгебру A(sL) над градуированным векторным прост-
183

ранством sL, которая, как мы видели выше, имеет естественную структур
ру связной алгебры Хопфа конечного типа. Сейчас мы введем в ней два;
дифференциала Э/, Э [ j, являющихся дифференцированиями коалгебры.1
Напомним (см. выше), что для того чтобы задать дифференцирование Э
коалгебры A(V), достаточно задать композицию Э отображения Э: Л(К) -»?
-*¦ Л(У) с проекцией коалгебры At(V) на пространство V. Для / GL поло-
положим 3/(s/) = —s8/, где / S L, а для всех поливекторов X = s/t Л. . . Л$/„,
где и > 1, положим 9/(s/) = —s8/. Далее,положим Э [ j (s/'As/") = s [/',/"],
а на векторах вида X = si или X = sly A.. .Asln, где п > 2,положим
?п(Х)-0.
Можно проверить, что это — действительно дифференциалы, что они]
антикоммутируют друг с другом и что дифференциал Э = Э/ = Э [ ] являет-
является дифференцированием коалгебры A(sL). Двойственный объект являет-
является односвязной д.г. алгеброй, которая и является значением функтора Ч§*
на дт. алгебре Ли L.
Построение преобразований функторов a: ?,4g* -*¦ id, /3: $* jC» -»¦ id
и доказательство того, что морфизмы аD): ?ФЧЦ>*(А) -*¦ А, Р(А):
4§'*?t(L) -*¦ L являются слабыми эквивалентностями, читатель найдет
в работах [3,4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ДОБАВЛЕНИЮ
1. QuttlenD. Rational Homotopy Theory //Ann. Math. 1969. V. 90. P. 205-295.
2. Quillen D. Homotopical Algebra // Lect. Notes in Math. V. 43. Berlin: Springer, 1967.
3. Neisendorfer J. Lie algebras, coalgebras and rational homotopy theory for nflpotent
spaces // Pacific J. Math. 1978. V. 74. P. 429-460.
4. Tanre D. Homotopies Rationnelle: Modeles de Chen, Quillen, Sullivan // Lect. Notes in
Math. V. 1025. Berlin: Springer, 1983.
5. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966.
6. Milnor J., Moore J.C. On the structure of Hopf algebras // Ann. Math. 1965. V. 81.
P. 211-264.
7. ФуксД.Б., Фоменко А.Т. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.
8. Adams J.F. On the Cobar construction // Proc. N.A.S. USA. 1956. V. 42. P. 409-412.