Методы граничных элементов в механике твердого тела - Крауч С., Старфилд А.

Author: Крауч С. Старфилд А.

Tags: вычислительная математика численный анализ механика деформируемых тел упругость деформация математика физика механика монография физика твердого тела теория упругости

Year: 1987

Similar

Метод граничных элементов в прикладных науках

Пространственные задачи линейной механики разрушения.

Интегральные уравнения теории упругости

Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии

Text

BOUNDARY ELEMENT METHODS IN
SOLID MECHANICS
with applications in rock mechanics
and geological engineering
S. L. Crouch, A. M. Starfield
Department of Civil and Mineral Engineering,
University of Minnesota,
Minneapolis, Minnesota 55455, USA
GEORGE ALLEN & UNWIN 1983
London • Boston • Sydney

С.Крауч, А.Старфилл
МЕТОДЫ
ГРАНИЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
В МЕХАНИКЕ
ТВЕРДОГО
ТЕЛА
Перевод с английского
М. А. ТЛЕУЖАНОВА
под редакцией
А. М. ЛИНЬКОВ А
Москва «Мир» 1987

ББК 22.193
К 78
УДК 519.63+539.3
Крауч С, Старфилд А.
К78 Методы граничных элементов в механике твердого тела:
Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 328 с, ил.
Монография учебного характера, иапнсаиная американскими специали-
специалистами и посвященная перспективному и быстро развивающемуся методу числен-
численного решения задач механики — методу граничных элементов. От имеющихся
иа эту тему книг она отличается простотой и доступностью изложения; особое
место в ней уделено практическим задачам теории упругости.
Для математиков-прикладников, инженеров-расчетчиков, аспирантов и
студентов технических вузов.
1702070000-030 ББК 22.193
Редакция литературы по математическим наукам
Монография
Стивен Крауч, А. Старфилд
МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ст. научи, редактор П. Я. Корсоюцкая
Мл. научи, редактор Э. И. Качулииа
Художник А. Я- Коршунов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор Н. А. Гиря
ИВ № 5939
Сдано в набор 07.02.86. Подписано к печати 26.08.86. Формат 60Х901/,,. Бумага
кииж.-журн. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 10,25 бум. л. Усл.
печ. л. 20,50. Усл. кр.-отт. 20,50. Уч.-изд л. 20,38. Изд. № 1/4618.
Тираж 10 000 экз. Заказ 2511. Цена 1р. 70 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», 129820, ГСП, Москва, И-100, Рижский пер., 2
Отпечатано с набора Ленинградской типографии № б ордена Трудового Красного Зна-
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 195144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10 в Ленинградской типо-
типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Тех-
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном коми-
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград,
Социалистическая ул.. 14.
This book was originally published in the
English language by George Allen
& Unwin (Publishers) Ltd. of London, England
© S. Crouch and A. Starfield 1983
© перевод на русский язык, с дополнением,
«Мир», 1987

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Эта книга посвящена перспективному методу численного решения
задач механики сплошных сред — методу граничных элементов
(МГЭ), называемому также методом граничных интегральных
уравнений. Он быстро завоевывает популярность, превосходя
по возможностям метод конечных элементов, и становится глав-
главным средством решения задач на ЭВМ благодаря двум его решаю-
решающим преимуществам — сокращению на единицу геометрической
размерности задачи (и соответствующему снижению затрат на
подготовку информации, память, время и стоимость вычислений)
и легкости исследования бесконечных областей. Кроме того,
МГЭ позволяет естественным образом отразить достаточно слож-
сложные условия взаимодействия на соприкасающихся границах тел.
Все это определило взрыв исследований по численной реализа-
реализации метода и быстрый рост интереса к нему специалистов-приклад-
специалистов-прикладников, о чем свидетельствует, с одной стороны, обилие журналь-
журнальных публикаций, а с другой — мгновенная распродажа перево-
переводов книг [1— 31, посвященных этому методу.
Нет нужды пересказывать содержание данной книги — оно
вполне ясно из оглавления и в достаточной мере прокомменти-
прокомментировано в предисловии авторов. Целесообразнее остановиться на
ее особенностях, которые одновременно составляют и важные
достоинства книги. Таких особенностей три.
Главная из них — прагматический характер книги. Она позво-
позволяет читателям сразу применять методы граничных элементов
на практике, прямо перенося приведенные в приложениях про-
программы на свои ЭВМ, комбинируя вычислительные модули для
создания новых программ и даже проводя сложные изменения
в модулях для повышения точности и (или) для решения нелиней-
нелинейных, динамических и т. п. задач. Таким образом, исследователи
и инженеры получают благоприятную возможность легко и
быстро включиться в процесс использования и развития МГЭ.
Все три приведенные в приложениях программы успешно опро-
опробованы на отечественных машинах серии ЕС.
Вторая особенность — чрезвычайная простота и доступность
изложения книги, ее высокий методический уровень. Ясность
и умелая подача материала, удачная, как бы «модульная», струк-
структура, акцент на физической стороне обсуждаемых вопросов,
обход математических трудностей, подробность необходимых вы-

6 От редактора перевода
кладок, представление всех главных формул в развернутом, год-
годном для прямого включения в программы виде, кажется, не остав-
оставляют места для каких-либо недоумений, логических провалов,
путаницы; читатель естественным образом овладевает идеями
МГЭ. Это не только делает книгу ценной для исследователей и
инженеров, но и позволяет ей служить полезным пособием в пре-
преподавании. Сейчас, когда отчетливо ощущается необходимость
в том, чтобы студенты технических вузов наряду с методом конеч-
конечных элементов овладевали и методом граничных элементов, дан-
данная книга может с успехом восполнить отсутствие учебной лите-
литературы по МГЭ.
Третья особенность — внимание, проявленное авторами в зак-
заключительной, восьмой, главе к сложным контактным задачам,
связанным с учетом не только упругого взаимодействия на сопри-
соприкасающихся границах тел, но и с необратимым деформированием
на контактах. Метод граничных элементов в варианте разрывных
смещений по самой своей природе идеально приспособлен к ре-
решению соответствующих проблем. Получаемые с его помощью
результаты окажутся интересными как для новичков, так и для
искушенных читателей, уже основательно знакомых с МГЭ.
Особый интерес восьмая глава представляет для специалистов
в области горной геомеханики и инженерной геологии.
Эти особенности книги — прямое отражение творческого лица
ее авторов, успешно сочетающих работу по приложению матема-
математических методов к задачам горного дела с лекционной и популя-
популяризаторской деятельностью и обучением молодежи. Для них
метод граничных элементов никогда не был самоцелью, а служил
удобным средством решения прикладных задач. Поэтому и к раз-
развитию его в форме варианта разрывных смещений их побуждала
прежде всего настоятельная нужда отразить специфику задач
горной геомеханики. Все это в сочетании с методическим мастер-
мастерством способствовало успеху в достижении поставленной авто-
авторами цели, отчетливо сформулированной ими в конце их предисло-
предисловия. Цель эта в известной мере локальна и отчасти ограничивает
круг вопросов, охватываемых в книге. Ограничен и список лите-
литературы. Дополнительные сведения и ссылки можно найти в кни-
книгах [1—3] и в дополнении, которым мы с любезного согласия
авторов снабдили этот перевод.
А. М. Линьков
ЛИТЕРАТУРА
1. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и при-
приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. — М.: Мир, 1978.
2. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. —
М.: Мир, 1982.
3. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных
науках. — М.: Мир, 1984.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Техника граничных элементов — вычислительная Золушка, кото-
которая выросла в тени методов конечных разностей и конечных эле-
элементов. Хотя методы граничных элементов по своей природе
просты в применении и очень гибки в приложениях ко многим
проблемам, до недавнего времени они не получали того внимания,
которого заслуживали, особенно в различных областях инженер-
инженерной практики, где властвовали родные дочери.
Причин такого положения несколько.
1. В то время как имеется целый ряд доступных общих про-
программ (или пакетов программ), реализующих методы конечных
разностей и конечных элементов, программы метода граничных
элементов написаны в основном для решения частных задач и
предназначены для определенных групп пользователей.
2. Авторы статей практического плана по методам граничных
элементов склонны описывать предмет в контексте частной науч-
научной или инженерной проблемы. Поэтому не всегда очевидно, что
метод, развитый для решения задач одного типа, применим также
и к иным задачам.
3. Наконец, теоретические работы по методам граничных
элементов воспринимаются многими исследователями и инжене-
инженерами как нечто весьма трудное для понимания. Математический
аппарат, применявшийся для построения этих методов, по-види-
по-видимому, помешал многим увидеть простоту и привлекательность
получаемого в конечном счете алгоритма.
Предлагаемая книга представляет попытку отчасти исправить
подобное положение. Мы намерены показать, как можно приспо-
приспособить методы граничных элементов для решения разнообразных
задач механики твердого тела. Книга предлагает читателю ско-
скорее гибкий структурный подход к решению задач, нежели общее
вычислительное оснащение. Математика также приспособлена
непосредственно к решению задач, и поэтому математические труд-
трудности указываются, но не исследуются; всюду в тексте основное
внимание уделяется физическим аспектам методов граничных
элементов.
Методы граничных элементов применяются в таких областях,
как электростатика, теплотехника, гидромеханика, теория упру-

Предисловие
гости и механика разрушения. В гл. 1 содержится обзор этих
методов в контексте общих краевых задач, которые могут отно-
относиться к любой из названных областей или к ним всем. Остальные
главы посвящены методам граничных элементов в механике твер-
твердого тела. В гл. 2 дается обзор сведений из теории упругости,
которые затем постоянно используются в остальной части книги.
В гл. 3 вводится решение Фламана для линии сосредоточенных
сил, действующих на границе полуплоскости, и для этого случая
разрабатывается простой метод граничных элементов. Цель со-
состоит в том, чтобы показать, как математическое решение эле-
элементарной задачи может быть преобразовано в вычислительную
технику для решения более сложных проблем. В гл. 4 и 5 по-
построены два «непрямых» метода граничных элементов для плоских
задач. Идея «прямых» методов (эта терминология разъясняется
в гл. 1) развивается в гл. 6 с помощью скорее физических, чем
математических соображений. В гл.7 иллюстрируются некоторые
обобщения методов граничных элементов и технические приемы,
позволяющие увеличить точность решения. Некоторые из этих
приемов общие, а другие специально созданы для определенных
классов задач. Особое внимание уделяется тому, как для решения
этих задач строятся вычислительные программы. И наконец,
в гл. 8 даны примеры приложений методов граничных элементов
в горной геомеханике и инженерной геологии. Эти примеры
подобраны таким образом, чтобы проиллюстрировать ту помощь,
которую оказывает метод граничных элементов, облегчая пони-
понимание физических процессов.
Тенденция всех глав — отчетливо показать, как конструи-
конструируются и используются методы граничных элементов. Для этого
математический и численный анализы проводятся предельно
просто. Однако ряд математических соотношений разъясняется
в деталях. Некоторые читатели предпочтут опустить эти детали,
тогда как другие будут рады найти и использовать все необхо-
необходимые формулы для построения своих собственных вычислитель-
вычислительных программ, реализующих методы граничных элементов.
Подобно тому как за последнее десятилетие стала более изощ-
изощренной техника конечных элементов, теперь конструируются и
применяются и более изощренные варианты методов граничных
элементов. Предмет стремительно развивается и в плане улучше-
улучшения численных процедур, и в направлении усложнения задач,
которые можно решать с помощью таких методов. Наша цель —
помочь читателям развить в себе ощущение столь близкого зна-
знакомства с методами граничных элементов, чтобы, отложив эту
книгу, они вдохновились на более глубокое изучение предмета.
Июль 1981 г. С. Крауч, А. Старфилд

1. ВВЕДЕНИЕ
Многие важные практические проблемы в науке и технике сво-
сводятся к математическим моделям, которые принадлежат классу
задач, известных как краевые задачи. Для любых краевых задач
характерно наличие некоторой области R, лежащей внутри гра-
границы С. Реальная задача в области R моделируется дифферен-
дифференциальным уравнением в частных производных, решение которого
отыскивается при определенных ограничениях — условиях, за-
заданных на границе области. Если область R трехмерная, то С
представляет собой ограничивающую ее поверхность; в двумер-
двумерных задачах R—плоская область, а С—ограничивающий ее контур.
Примеры краевых задач можно встретить во многих областях,
в таких, как тепло- и массоперенос, течение жидкости, элек-
электростатика и механика твердого тела. К примеру, установившееся
распределение тепла описывается дифференциальным уравнением
в частных производных (уравнением Лапласа) у2Т =0 , где Т —
температура, и в любой корректно поставленной задаче в каждой
точке границы С заданы либо температура, либо тепловой поток
(температурный градиент). В эластостатике дифференциальные
уравнения в частных производных —• это уравнения упругого
равновесия и в каждой точке границы С задаются нормальные
напряжения или смещения и касательные напряжения или сме-
смещения.
Следует заметить, что в любой краевой задаче в виде гранич-
граничных условий на С задается только часть параметров, тогда как
остальные параметры отыскиваются в ходе решения задачи.
Например, если в задаче линейной теории упругости на границе
заданы смещения, то напряжения на границе (как и напряжения
и смещения в любой точке области R) можно найти как часть ре-
решения задачи. Если на границе С задано достаточно условий, то
решение задачи определяется этими условиями единственным
образом.
Аналитические и численные решения
Аналитические решения краевых задач получаются наиболее
легко, когда область R однородная (т. е. свойства материала в R
не изменяются от точки к точке), когда геометрия проста, когда

10 /. Введение
граничные условия на контуре С сравнительно просты и, нако-
наконец, когда определяющие дифференциальные уравнения в част-
частных производных линейны, вследствие чего суммирование неко-
некоторых их решений дает новое решение в R. Во многих дисципли-
дисциплинах были найдены аналитические решения, отвечающие точеч-
точечному возмущению в бесконечной однородной среде. Это возмуще-
возмущение может представлять собой, например, тепловой источник или
сток в задачах теплопереноса или может соответствовать сосре-
сосредоточенной силе в упругом теле в задачах механики твердого
тела. Такие решения принято называть сингулярными решениями,
поскольку они хорошо ведут себя всюду в области R, за исключе-
исключением точки возмущения, где имеет место математическая анома-
аномалия — сингулярность. При наличии в теле нескольких точек
возмущения для отыскания решения (в линейных задачах) можно
суммировать отдельные решения.
Для «реальных задач» построить аналитическое решение за-
зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные
уравнения в частных производных линейны, область R может
оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные
условия — трудно описываемыми простыми математическими
функциями. В таких случаях, используя численные методы, при
помощи вычислительных машин можно найти приближенное
решение. Численные методы решения краевых задач можно раз-
разделить на два отчетливых класса: класс, который требует исполь-
использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который тре-
требует использования аппроксимаций только на границе С. В пер-
первый класс входят методы конечных разностей и конечных эле-
элементов, во второй — методы граничных элементов.
Конечные элементы и граничные элементы
Для иллюстрации различий между этими двумя типами вычисли-
вычислительных приемов сопоставим методы граничных элементов с ме-
методами конечных элементов. Для простоты представим R двумер-
двумерной плоской областью, ограниченной контуром С (рис. 1.1).
Метод конечных элементов требует, чтобы вся область R была
разбита, как показано на рис. 1.1 (а), на сетку элементов. При
этом цель состоит в отыскании решения задачи в узлах сетки,
решение же между узлами выражается в простой приближенной
форме через значения в узлах. Связывая эти приближенные вы-
выражения с исходными дифференциальными уравнениями в част-
частных производных, в конечном счете приходим к системе линейных
алгебраических уравнений, в которых неизвестные параметры—
узловые значения в R —• выражаются через известные величины
в узлах сетки, находящихся на границе области. Эта система
уравнений большая, но разряженная, т. е. хотя она и содержит

/. Введение 11
большое число неизвестных параметров и, следовательно, большое
число линейных уравнений, но каждое уравнение включает в яв-
явном виде только часть неизвестных параметров.
В методах граничных элементов на элементы разбивается только
граница С области, как показано на рис. 1.1 (Ь). Численное ре-
решение строится на основе полученных предварительно аналити-
аналитических решений для простых сингулярных задач таким образом,
чтобы удовлетворить приближенно заданным граничным усло-
Узловая точка
на границе
Внутренняя
узловая
точка
Граничный
элемент
Рис. 1.1. Конечно-элементная и граннчно-элементная аппроксимации: (а) ко-
конечные элементы; (Ь) граничные элементы.
виям на каждом элементе контура С. Поскольку каждое сингу-
сингулярное решение удовлетворяет в R определяющим дифференциаль-
дифференциальным уравнениям в частных производных, в этом случае нет необ-
необходимости делить саму область R на сетку элементов. Система
уравнений, подлежащих решению, оказывается значительно мень-
меньше, чем система, которую нужно решить в той же краевой задаче,
если использовать метод конечных элементов, однако, как будет
показано ниже, уравнения теперь не разряженные.
Техника граничных элементов
Технику граничных элементов можно пояснить более полно, если
воспользоваться рис. 1.2. Рис. 1.2 (а) представляет область R,
ограниченную контуром С, — это тот же тип краевой задачи,
который обсуждался выше в связи с рис. 1.1. Рис. 1.2 (Ь) пред-
представляет бесконечную плоскость, а пунктирная линия С отмечает
след контура С на этой плоскости. Зачастую легче находить ана-
аналитические решения соответствующих дифференциальных урав-
уравнений для неограниченной области (рис. 1.2 (Ь)), чем для фак-
фактической области R (рис. 1.2 (а)). В частности, мы в состоянии
найти сингулярное решение для точечного возмущения (например,
источника, стока или сосредоточенной силы) в некоторой точке р
в бесконечной области. Предположим на момент, что это сингу-
сингулярное решение воспроизводит на пунктирной линии С точно
те условия, какие заданы на границе С (рис. 1.2 (а)). Если бы

12 /. Введение
это было так, то, поскольку решение поставленной задачи един-
единственно, мы бы решили задачу рис. 1.2 (а), рассматривая задачу
рис. 1.2 (Ь).
Конечно, чрезвычайно маловероятно, что наше сингулярное
решение будет действительно удовлетворять нужным условиям
на С. Однако, признав, что, если бы оно им удовлетворяло, мы
решили бы задачу и смогли развить численную технику для отыс-
отыскания набора сингулярных решений, которые, будучи сложены,
с
(а) (Ь)~
Рис. 1.2. Контур С и вспомогательный контур С.
дадут приближенно верные условия на С. (Заметим, что сумми-
суммируя решения, мы предполагаем линейность дифференциальных
уравнений. Это допущение проходит через всю книгу). Такая
техника развивается следующим образом.
Разделим прежде всего С' на ряд элементов и примем, что нас
удовлетворит приближенное решение, которое отвечает задан-
заданным условиям на С только в средних точках элементов на С.
Если контур С разделен на N элементов, то надо иметь N сингу-
сингулярных решений, которые в сумме удовлетворят требуемым усло-
условиям в центре каждого элемента на С. Возникают два вопроса:
где следует поместить сингулярности и какова должна быть ин-
интенсивность каждой из них? Очевидный ответ на первый вопрос
заключается в размещении сингулярностей на С — по одной
в центре каждого элемента. Тогда суммарное воздействие всех N
сингулярностей на произвольный элемент можно выразить через
интенсивности сингулярностей. Хотя значения этих интенсивно-
стей не известны, но зато из граничных условий известно их
совместное влияние. Следовательно, можно записать систему N
линейных алгебраических уравнений относительно N неизвест-
неизвестных значений интенсивностей сингулярностей.
С вычислительной точки зрения метод граничных элементов
приводит к системе уравнений меньшего порядка, чем метод
конечных элементов при решении той же задачи. Вместе с тем
в соответствии с вышесказанным мы видим, что эта меньшая си-
система уравнений теперь ^же неразряженная (как в методе конеч-

/. Введение 13
ных элементов): каждая сингулярность вносит вклад в каждое
уравнение. Как только эти уравнения решены, можно построить
решение в любой точке области R. Таким образом, можно произ-
произвольно выбирать точки (и только эти точки), в которых желательно
получить решение, вместо автоматической привязки результа-
результатов к ряду фиксированных точек (внутренним узлам сетки), как
в методе конечных элементов. Поскольку в методе граничных
элементов используется аналитическое решение, которое спра-
справедливо всюду в области R, он потенциально более точен, чем
метод конечных элементов, в котором аппроксимации произво-
производятся в каждой подобласти R. Физические величины, связанные
с производными решения (такие, как тепловые потоки), можно
получить математически, дифференцируя сингулярные решения и
суммируя их. Это также способствует повышению точности.
Внутренняя и внешняя задачи
Вспомогательный контур С на рис. 1.2 (Ь) можно рассматривать
как границу для двух различных задач. В одной из них — в так
называемой внутренней задаче — рассматриваемая область R
есть конечная область внутри контура С (рис. 1.2 (а)). Другая
задача называется внешней задачей, и в этом случае R — неогра-
неограниченная область вне контура С.
Методы граничных элементов особенно привлекательны во
внешних задачах, когда контур С определяет границу полости
в бесконечном теле. Если основное сингулярное решение выбрано
так, что оно удовлетворяет соответствующим граничным условиям
на бесконечности, то линейная комбинация таких решений также
будет удовлетворять этим граничным условиям. Тогда при реше-
решении данной задачи достаточно поместить сингулярности только
вдоль вспомогательного контура С
С другой стороны, конечно-элементная модель задачи требует
чтобы сетка была распространена «достаточно далеко» от границы
полости, с тем чтобы условия, задаваемые на внешней границе
сетки, не оказывали существенного влияния на решение вблизи
полости. Элементы у внешней границы сетки можно принимать
достаточно большими, поскольку решение задачи мало изменяется
от точки к точке на больших расстояниях от полости. Вместе с тем
переход в сетке от внутренней границы к внешней должен быть
«достаточно гладким», чтобы в решении точнее представить гра-
градиенты.
Таким образом, при задании конечно-элементной сетки в за-
задаче о полости в бесконечном теле необходимо ответить на три
вопроса: Достаточно ли детальна сетка на внутренней границе?
Достаточно ли удалена внешняя граница сетки от внутренней?
И достаточно ли удачно осуществлен в сетке переход между ними?

14 /. Введение
Замечательное вычислительное преимущество метода граничных
элементов заключается в том, что в нем возникает только первый
вопрос. Соответственно в нем довольно легко исследовать влия-
влияние перехода ко все более мелким элементам с целью выяснить,
как результаты вычислений зависят от задания элементов на гра-
границе полости. Проводить подобный анализ в методе конечных
элементов очень утомительно, поскольку в каждом случае тре-
требуется полная перестройка конечно-элементной сетки.
Непрямые и прямые методы граничных элементов
Предыдущее описание техники граничных элементов было наме-
намеренно упрощено и дано скорее в физических, нежели в математи-
математических терминах. Исторически методы граничных элементов раз-
развивались в двух различных и параллельных направлениях.
Одно из них представляет интуитивный физический подход, по-
подобный описанному выше, а другое направление включает боль-
большую математическую проработку на основе классической теории
потенциалов.
Различие между физическими и математическими формули-
формулировками техники граничных элементов можно пояснить, напом-
напомнив, что в любой краевой задаче некоторые граничные параметры
заданы как условия на границе, тогда как прочие отыскиваются
при решении задачи в целом. В физическом подходе, как подчерк-
подчеркнуто выше, вначале отыскиваются сингулярности, которые удов-
удовлетворяют заданным граничным условиям, и только затем через
эти сингулярные решения вычисляются остальные граничные
параметры. Поскольку неизвестные граничные параметры не
определяются непосредственно, эта процедура носит название
непрямого метода граничных элементов. В математическом под-
подходе промежуточный этап исключается благодаря использованию
некоторых фундаментальных интегральных теорем, что ведет
к системе алгебраических уравнений, непосредственно связы-
связывающей неизвестные граничные параметры с параметрами, за-
заданными на каждом элементе контура. Соответственно эта про-
процедура называется прямым методом граничных элементов.
План книги; ссылки для последующего чтения
Методы граничных элементов можно использовать для решения
нестационарных задач, таких, как задачи о неустановившемся
тепловом потоке, задачи линейной вязкоупругости и динамиче-
динамические задачи теории упругости. Примеры подобных приложений
можно найти в статьях 19, 39] для теплового потока, [41] для вяз-
коупругости и [11, 16, 19] для эластодинамики.
В данной книге основное внимание будет уделено статическим
задачам, а конкретнее — статическим задачам линейной теории

/. Введение 15
упругости. Этому предмету посвящено множество статей, и мы
здесь не пытаемся отразить все. Читателю, который пожелает
разобраться в предмете более детально, послужит список харак-
характерных работ.
Литература по методам граничных элементов в теории упру-
упругости более или менее равно распределяется между непрямыми
и прямым подходами. Примеры непрямых методов даются в ра-
работах [1, 3, 6, 13, 311, а прямые методы разъясняются в [17, 37,
38, 40]. Кроме того, следует отметить труды трех специальных
конференций по методам граничных элементов, один под редак-
редакцией Круза и Риццо [20], а два других под редакцией Бреб-
бия [7, 8].
В последнее время наблюдается быстрый прогресс в улучше-
улучшении техники вычислений, используемой в методах граничных
элементов. Это улучшение аналогично введению изопараметри-
ческих элементов в методе конечных элементов. Статьи [28]
и [421 иллюстрируют эту тенденцию. В дополнение к этим вы-
вычислительным усовершенствованиям были разработаны про-
процедуры для решения определенных типов нелинейных задач. В [2,
33, 35, 511 обсуждаются методы, позволяющие рассматривать
упругопластическое поведение материала, а в [151 дана процедура
для моделирования нелинейных граничных условий, которые
возникают, когда на плоскости ослабления (например, на геологи-
геологическом нарушении) возможно скольжение или раскрытие трещины.
Описание методов граничных элементов проводится в этой
книге параллельно некоторым из вышеуказанных работ, но наш
подход останется в большей степени физическим и интуитивным,
нежели математическим. Везде, где только возможно, мы будем
стараться выделять физические аспекты различных методов и
показывать по мере возможности, как они соотносятся между
собой.
В приложениях к этой книге приведены три различные про-
программы на языке Фортран для решения двумерных краевых за-
задач линейной теории упругости. Две программы основаны на
непрямых методах граничных элементов, а третья — на прямом
методе. Эти программы имеют модульный характер, что свой-
свойственно гранично-элементному подходу. Будет показано (гл. 7),
что программы можно совершенствовать, используя различные
сингулярные решения (программные «модули»), точно удовлетво-
удовлетворяющие некоторым видам граничных условий. Фактически, ком-
комбинируя различные программные модули, можно легко сконструи-
сконструировать новые программы граничных элементов по принципу
ad hoc (для данного случая). Если читатели смогут построить
вычислительные программы, позволяющие решать задачи, по-
подобные тем, которые обсуждаются в гл. 7 и 8, они могут быть
уверены, что овладели гранично-элементным подходом.

2. СВЕДЕНИЯ
ИЗ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
В основе методов граничных элементов, рассматриваемых в этой
книге, лежат понятия напряжений, деформаций и линейной упру-
упругости. Мы будем полагать, что читатель знаком с этими понятиями,
которые излагаются, например, в курсах механики деформируе-
деформируемого твердого тела. Тем не менее для того, чтобы ввести приня-
принятые нами обозначения и правила знаков, дадим сводку этих све-
сведений.
2.2. НАПРЯЖЕНИЕ
Понятие напряжения используется для определения того, как
передаются нагрузки через сплошное твердое тело. Если мыс-
мысленно представить изолированный призматический элемент тела,
то можно считать, что на него воздействуют некоторые силы со
стороны окружающего материала. Если элемент достаточно мал,
эти силы распределены более или менее равномерно на каждой
из граней призмы. Тогда напряжение на отдельно взятой грани
определяется как отношение результирующей силы к площади
этой грани. Напряжение поэтому имеет единицу измерения нью-
ньютон на квадратный метр (Н/ма).
Напряжения на координатных плоскостях;
тензор напряжений
Напряжения, действующие на плоскостях с нормалями, парал-
параллельными координатным осям, известны как компоненты тен-
тензора напряжений. Эти напряжения обозначаются особым спосо-
способом, поясняемым рис. 2.1. Совокупность компонент напряжений,
изображенных на рисунке, можно обозначить символом ai},
подразумевая при этом, что в роли i и / может быть х, у иг либо хъ
х2 и х3 или просто 1, 2 и 3. Первый индекс (?) указывает на направ-
направление нормали к плоскости, на которой это напряжение действует.
Второй индекс (/) отмечает направление рассматриваемой компо-
компоненты напряжения. Так, например, компонента напряжения ayz
параллельна оси z и действует на плоскости с нормалью, парал-
параллельной оси у.

2.2. Напряжение 17
Правила знаков
Всюду в этой книге используется следующее правило знаков:
компонента Gti считается положительной, если она действует
в положительном (или отрицательном) направлении / на плос-
плоскости с внешней нормалью, совпадающей по направлению с по-
положительным (или отрицательным) направлением L При этом
соглашении все компоненты напряжения, показанные на рис. 2.1,
4>
Рис. 2.1. Компоненты тензора напряжений.
положительны. Это правило знаков означает, что нормальные
к граням призматического элемента напряжения (т. е. охх, ауу
и аа) положительны, если им отвечает растяжение.
Уравнения равновесия
Компоненты тензора напряжений в различных точках тела не
могут быть заданы произвольно. Требование, чтобы тело находи-
находилось в состоянии равновесия, накладывает на эти компоненты
определенные условия. Во-первых, из условий равновесия момен-
моментов вытекает, что тензор напряжений симметричен, т. е.
<*ц = <!» (i, /= 1. 2 или 3). B.2.1)
Это равенство означает, например, что если i = х (или 1), / = г
(или 3), то аю = агх (или а13 = в31).
Во-вторых, из условия равновесия сил следует, что компоненты
тензора напряжений должны удовлетворять уравнениям
дах
да.
ХУ
дх
догх
дг
-1пГ + -д7+ Р» = °»
B.2.2)

18 2. Сведения из линейной теории упругости
где Рж, §у и р2 — объемные силы, которые в конкретных задачах
заданы. Объемные силы рж, §у и f52 или кратко рь имеют размер-
размерности сила/объем (т. е. единица их измерения Н/м3). Они пред-
представляют компоненты вектора и положительны, если действуют
в положительных направлениях соответствующих координат.
Уравнения B.2.2) известны как дифференциальные уравнения
равновесия или просто как уравнения равновесия.
Тензор напряжений Gtj имеет девять компонент (см. рис. 2.1),
однако с учетом B.2.1) только шесть из них независимы: ахх,
°уу> azz> axy ~ GyX> °xz — azxi ayz = azy Уравнения равнове-
сия B.2.2) дают для этих шести неизвестных три уравнения. Сле-
Следовательно, в конкретной задаче для вычисления напряжений
одних уравнений равновесия недостаточно; необходимы три до-
дополнительных соотношения. Они будут найдены ниже, когда мы
рассмотрим деформации, связанные с напряжениями (см. §2.7)
Плоское напряженное состояние
Двумерное напряженное состояние, известное как плоское напря-
напряженное состояние, имеет место, когда все напряжения, связанные
с определенным координатным направлением, равны нулю. Ком-
Компоненты тензора напряжений в случае плоского напряженного
У
Рис. 2.2. Плоское напряженное состояние.
состояния в плоскости х, у показаны на рис. 2.2. Компоненты
напряжения azz, axz = azx и ayi = azy, как и компонента pz
массовой силы (см. рис. 2.1), равны нулю. Равенства B.2,1) и
уравнения B.2.2) применимы, конечно, и для случая плоского
напряженного состояния. Рассматривая только ненулевые вели-
величины, запишем
°и = Gn (». / = ! или 2), B.2.3)
до х
дх
i Vх | о п
=5 Г" 1'г = U»
да,.
B.2.4)
— О

2.2. Напряжение 19
Следовательно, в случае плоского напряженного состояния тен-
тензор напряжений имеет три независимые компоненты: ахх, оуу,
аух = сху. А уравнения равновесия B.2.4) дают для этих трех
неизвестных два уравнения.
Вектор усилия
В приложениях зачастую возникает необходимость вычислить
напряжения, действующие на плоскости, произвольно ориенти-
ориентированной по отношению к координатным осям х% = (х, у, z).
1л,. = sina
X
ixx)
Рис. 2.3. Вектор усилия t%; плоское напряженное состояние.
Эти напряжения можно представить как вектор, который назы-
называют вектором усилия и обозначают через tt = (tx, ty, tz), где tx,
ty a tz — компоненты вектора в направлениях координат Хи
Заметим, что компоненты вектора усилия обозначаются с по-
помощью только одного индекса. Это подчеркивает, что tt действует
на плоскости с произвольной ориентацией в отличие от напря-
напряжений (Xjy, действующих на плоскостях с нормалями, параллель-
параллельными координатным осям х%. Компоненты вектора усилия поло-
положительны, если они действуют в положительных направлениях
координат.
Компоненты усилия tt можно выразить через компоненты тен-
тензора напряжений atj и единичную нормаль щ = (пх, пу, пг)
к рассматриваемой плоскости. В случае плоского напряженного
состояния, когда nz = 0, вектор tt показан на рис. 2.3. Если
площадь ВС принять равной /, то площади АВ и СА равны соот-
соответственно I sm а и I cos а, где а — угол наклона щ к оси х.
Рассматривая условие равновесия сил, можно показать, что tx
и ty определяются выражениями
tx = ff.xx cos a -f- ayx sin a,
tu = axV cos a -\- ayy sin a,
B.2.5)

20 2. Сведения ив линейной теории упругости
или, замечая, что пх = cos a, пу = sin а, запишем
_ J пУ B.2.6)
Аналогичные выражения можно записать для произвольно ориен-
ориентированной плоскости в трехмерном случае:
tx = ОххПх + Oyafly + azxtl2,
ty = охупх -f- ОууПу + ozynz, B.2.7)
к = ОхгПх + аугПу + ОггПх.
В двумерном случае tx и ^ — компоненты усилия (в направ-
направлениях осей х а у), которое действует на площадке с внешней
нормалью nt — (пх, пу), образующей угол а с осью х. Зачастую
удобнее иметь дело с компонентами усилия в направлениях,
(а)
х
Рис. 2.4. Нормальные и касательные напряжения, плоское напряженное состоя-
состояние: (а) правило знаков; (Ь) разложение вектора t% на составляющие по направ-
направлениям s и п.
перпендикулярном и параллельном рассматриваемой площадке.
Эти компоненты называют нормальными и касательными напря-
напряжениями (рис. 2.4) х>.
На рис. 2.4 (а) показаны нормальные и касательные напря-
напряжения, заданные относительно координат sun. Эти координаты
выбраны так, чтобы направление п представляло внешнюю нор-
нормаль, a s было направлено вправо от п. Нормальное напряжение
действует в направлении п и обозначено через 0„; касательное
11 Подобное разложение вектора усилия можно проделать и в трехмерном
случае. В этом случае вектор усилия имеет две касательные компоиеиты, поэтому
для их описания следует выбрать направления локальных координат. Хотя
равнодействующая касательных компонент определяется однозначно, сами ком-
компоненты зависят от выбора локальной системы координат. Поэтому в трехмерном
случае разложение вектора усилия на нормальную и касательную компоненты
особых преимуществ не дает.

2.3. Деформация 21
напряжение действует в направлении s и обозначено через cs.
Эти напряжения положительны, если действуют в положитель-
положительных направлениях соответствующих координат (см. рис. 2.4).
Вектор усилия раскладывается по направлениям s и п с по-
помощью простых условий статики. Опуская детали вычислений,
из рис. 2.4 находим, что
ff« = tx sin a — tu cos a,
('2 2 8')
°n = tx cos a + ty sin a.
Комбинируя эти результаты с B.2.5), получаем следующие выра-
выражения для as и 0„ через напряжения с^:
о8 = (Охх - в»»)sin a cos a - oxy (cos2 a - sin2 a),
an = a^cos^a + 2стжу sin a cos a-j- <%sin2a. \ • ¦ )
2.3. ДЕФОРМАЦИЯ
Понятие о деформации используется для определения того, как
деформируется твердое сплошное тело, когда в нем действуют
напряжения. Деформация представляет собой изменение геомет-
геометрии и заключается в том, что различные точки тела смещаются
друг относительно друга. Такие геометрические изменения тела
характеризуются двумя типами деформаций — нормальной и
сдвиговой. Нормальная деформация есть изменение длины малого
линейного элемента, деленное на его первоначальную длину,
т. е. относительное изменение длины. Сдвиговая деформация
задает изменение угла (в радианах) между двумя малыми линей-
линейными элементами, которые первоначально были перпендику-
перпендикулярны друг другу. Следовательно, нормальные и сдвиговые де-
деформации являются безразмерными величинами.
Во многих практических задачах деформации очень малы по
сравнению с единицей. Поэтому произведениями двух и более
деформаций можно пренебречь по сравнению с самими деформа-
деформациями. В данной книге мы ограничимся рассмотрением дефор-
деформаций, которые удовлетворяют этому условию. Такие деформа-
деформации известны как бесконечно малые деформации. Преимущество,
возникающее при использовании малых деформаций, состоит
в том, что при определении компонент деформаций отпадает
необходимость в тонком учете различия между деформированной
и недеформированной формами тела. Как -следствие деформации,
вызванные в точке тела одной системой напряжений, можно
суммировать с деформациями, вызванными другой системой,
причем конечный результат не зависит от порядка, в котором
эти напряжения прикладываются. Это есть иллюстрация принципа
суперпозиции, который лежит в основе линейной теории упру-
упругости.

22 2. Сведения из линейной теории упругости
Тензор деформаций
Деформированное состояние в точке тела задается компонентами
тензора деформаций. Эти компоненты определяют нормальные
и сдвиговые деформации для бесконечно малых линейных эле-
элементов, первоначально параллельных осям координат xi. Они
определяются через компоненты смещений щ — (их, иу, uz) отно-
относительно рассматриваемой точки следующим образом:
хх ~дх ' уУ ду ' zz дг '
ду ^ дх )' вхг~ 2 V дг + дх
_ J_/^»,&fz\ _ __ _
€yz — 2 \ дг ' ду / ' у — ^ух> ^гх ~~ ^xz> бгу — Syz'
Компоненты нормальных деформаций ехх, еуу, ezz характери-
характеризуют относительные изменения длины бесконечно малых линей-
линейных элементов в направлениях осей х, у и z соответственно. Нор-
Нормальные деформации считаются положительными при удлинении
(т. е. при растяжении). Компоненты деформаций еху = еух,
exz ~ егх и eyz — e-y представляют собой сдвиговые деформации.
Они характеризуют половину изменения прямого угла между
двумя бесконечно малыми линейными элементами, первоначально
параллельными осям координат. Сдвиговые деформации счи-
считаются положительными при увеличении прямого угла между
любыми двумя положительными (или любыми двумя отрицатель-
отрицательными) осями координат.
Плоская деформация
Считается, что тело находится в состоянии плоской деформации,
параллельной плоскости х, у, если компонента uz вектора сме-
смещения ut равна нулю, а компоненты их и иу не зависят от коор-
координаты z [49, стр. 250]2). Из B.3.1) следует тогда, что компоненты
деформации ezz, exz = ezx и еуг = ezy равны нулю и что осталь-
остальные компоненты не зависят от г. Ненулевые компоненты дефор-
деформации даются следующими выражениями:
Ян &ии 1 Ida ди,.\
о аих „ У р р _±_ I оих I У \ /о Ч 91
e**~~~dx' еУУ~~ду~' е*у~еух- 2 \~Щ ' Ж}' ^бг>
Формулы B.3.2) определяют три компоненты деформации через
две компоненты смещения их и иу. Следовательно, компоненты
деформаций не могут быть заданы произвольно (независимо друг
Х) См. также, например, Амензаде Ю. А. Теория упругости. Изд. 3-е. —
М.: Высшая школа, 1976, с. 99. — Прим. ред.

2.4. Обобщенный закон Гука 23
от друга) и должны быть связаны некоторым соотношением. Это
соотношение легко получить из B.3.2):
Соотношение B.3.3) известно как условие совместности. Это назва-
название отражает тот факт, что B.3.3) является необходимым и до-
достаточным условием того, что смещения их и иу — непрерывные
и однозначные функции от х и у [49, стр. 28]*>. Непрерывность
и однозначность поля смещения исключает возможность появ-
появления зазоров и наложений внутри тела. Такое поле смещений
можно назвать совместным полем смещений. Если нам известно,
что их и иу — непрерывно дифференцируемые функции от л; и у,
то B.3.3) удовлетворяется автоматически.
Условие совместности можно записать также для трехмерных
задач. Можно показать [49, стр. 28]1), что в этом случае имеется
шесть соотношений, связывающих различные компоненты дефор-
деформаций, пять в дополнение к B.3.3). В данной книге эти соотно-
соотношения не используются, и поэтому они не приведены здесь.
2.4. ОБОБЩЕННЫМ ЗАКОН ГУКА
Поведение тела считается упругим, если после снятия нагрузки
его деформации полностью исчезают. Другими словами, поведе-
поведение считается упругим, если имеется взаимно однозначное соот-
соответствие между напряжениями и деформациями тела. Тогда неза-
независимо от истории нагружения любым заданным напряжениям
соответствуют вполне определенные деформации и наоборот.
Тело считается линейно-упругим, если каждая компонента напря-
напряжения может быть выражена как линейная комбинация всех ком-
компонент деформации.
Классическая теория упругости основана на обобщении закона
Гука, который вначале был сформулирован для пружины или
«пружинящего тела». Так называемый обобщенный закон Гука
устанавливает, что в каждой точке линейно-упругого трехмерного
тела шесть компонент тензора напряжений о^- = c}i линейно
связаны с шестью компонентами тензора деформаций е^ = еУ1.
Постоянные, связывающие компоненты напряжений и деформа-
деформаций, характеризуют упругие свойства тела. Пока предположим,
что эти свойства не зависят как от положения, так и от ориента-
ориентации, т. е. будем считать, что тело однородно и изотропно. Неко-
Некоторые аспекты линейной теории упругости для однородных ани-
анизотропных тел будут рассмотрены в дальнейшем.
11 См. также Амензаде Ю. А. Теория упругости. Изд. 3-е. — М.: Высшая
школа, 1976, с. 56. — Прим. ред.

24 2. Сведения из линейной теории упругости
Соотношения напряжение—деформация для изотропного ли-
линейно-упругого материала можно записать в следующем виде:
еХх = -g- №хх — v (ОуУ -f azz)],
evy — -jr 1°уу — v (°хх + °zz)h B.4.1)
*zz = -?- l°zz - v (axx + oyy)],
^xy = 2(j "*y> ^*z ~ 2G "*z' ^2 ~ 2G "J'z'
где E — модуль Юнга, называемый также модулем упругости,
v — коэффициент Пуассона, a G — модуль сдвига. Из первых
трех соотношений видно, что значение модуля упругости опре-
определяет величину нормальной деформации в направлении действия
нормального напряжения. К примеру, если оуу = ozz = 0, то
первое равенство принимает вид ехх = axjE; это — закон Гука
для простого растяжения или сжатия. Аналогично коэффициент
Пуассона определяет величину нормальной деформации в направ-
направлениях, перпендикулярных направлению приложенного нормаль-
нормального напряжения. Это следует из второго и третьего соотноше-
соотношений B.4.1) вновь при Oyy = azz = 0:
еуу — — vaxJE = — ve^, ezz — — vOja/E = — vexx.
Последние три соотношения в B.4.1) показывают, что нормаль-
нормальные напряжения не вызывают сдвиговых деформаций подобно
тому, как первые три из этих соотношений показывают, что каса-
касательные деформации не вызывают нормальных деформаций.
Более того, все касательные напряжения (и сдвиговые деформа-
деформации) независимы и каждая компонента сдвиговой деформации
связана с соответствующей компонентой касательного напряже-
напряжения модулем сдвига G. Модуль сдвига не является независимой
упругой постоянной; он связан с модулем Юнга и коэффициентом
Пуассона следующим образом [53, стр. 29]:
G = ?/[2A + v)]. B.4.2)
Форма соотношений B.4.1) удобна для вычисления деформа-
деформаций, когда напряжения известны. Если же известны деформации,
а напряжения нужно вычислить, эти соотношения следует обра-
обратить, т. е. разрешить их относительно напряжений. Результат
можно записать в виде
2G
°хх =* t_2v К1 - v) ехх + v (еуу + ezz)),
ОуУ = JZ^rK1 - v)ew + v(exx + ezz)], B.4.3)

2.5. Индексные обозначения 25
2G
°zz = |_2v 1A — v) ezz -f v (^ + eyy)},
axy — 2Gexy, a^ = 2Gexz, ayz = 2Geyz.
2.5. ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Мы уже упомянули о практике замены нижних значков или ин-
индексов х, у и г номерами 1, 2 и 3. Два дальнейших соглашения
при использовании, индексных обозначений позволяют записы-
записывать уравнения теории упругости в компактной форме. Первое
состоит в том, что по повторяющемуся буквенному индексу в лю-
любом члене выражения подразумевается суммирование. Например,
согласно этому «правилу суммирования», выражение ОцП< озна-
з
чает сумму а1}п} — Jj Оцп} = о1ЛПу -(- 0^0% + Огз^з. поскольку
индекс i повторяется. Второе соглашение состоит в том, что
запятая перед индексом означает частное дифференцирование по
переменной, представляемой этим индексом. Таким образом, напри-
например, utj означает du-Jdxj, а «г, # означает d2ujdxj dxk. Комбини-
Комбинируя оба соглашения, видим, что щ,^ представляет собой ком-
компактную форму записи выражения
дх\
Используя эти два соглашения, можно сократить запись
важных уравнений, введенных выше. Читатель может убедиться,
что уравнения равновесия B.2.2) записываются в виде
O, B.5.1)
компоненты вектора усилия B.2.7) суть
U = °пП}, B.5.2)
а тензор деформаций B.3.1) определяется формулой
eii=sl/«("i,i + "i.i). B-5-3)
где индексы i и j принимают значения 1, 2 или 3 в трехмерном и 1
или 2 в двумерном случаях.
Соотношения напряжение — деформация также можно запи-
записать в индексных обозначениях, используя специальный символ,
называемый дельтой Кронекера, который определяется так:
1, если t = /,
' . , . B.5.4)
0, если i=?] K '

26 2. Сведения из линейной теории упругости
Соотношения напряжение—деформация можно тогда представить
в форме
е
аи = 2G (е„ + т^г е**би) ¦ B.5.6)
В качестве простого упражнения можно убедиться, что B.5.5)
эквивалентно B.4.1) и B.5.6) эквивалентно B.4.3).
В этой книге нам будет удобно использовать как индексные
обозначения, так и развернутую форму записи, в которой х, у и z
относятся к конкретной системе декартовых координат. Из кон-
контекста всегда будет ясно, используются или нет индексные обо-
обозначения. Буквы х, у и z никогда не применяются в качестве ин-
индексов в индексных обозначениях. Так, например, охх всегда
будет обозначать только одну компоненту, а именно компоненту хх
тензора напряжений, тогда как ohh будет означать (согласно
соглашению о суммировании) ohh = ап + с22 + о33 или в дву-
двумерном случае akk = ап + о22.
2.6. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
И ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Многие инженерные задачи, связанные с теорией упругости,
по своей природе двумерные и могут быть отнесены либо к плос-
плоскому напряженному состоянию, либо к плоской деформации.
Плоское напряженное состояние означает, что напряжения дей-
действуют в некоторой одной плоскости, скажем в плоскости х, у.
В этом случае плоское напряженное состояние определяется
условиями azz = ахг = oyz = 0 (см. § 2.2). Плоская деформация
означает, что деформации происходят только в некоторой плос-
плоскости. Состояние плоской деформации для плоскости х, у задается
условиями ezz = exz = eyz = 0 (см. § 2.3).
Соотношения напряжения—деформации для плоского напря-
напряженного состояния и плоской деформации можно записать, ис-
используя приведенные выше определения в сочетании с общими
трехмерными соотношениями напряжение—деформация, данными
в§ 2.4. Для плоского напряженного состояния, подставляя в B.4.1)
условие azz = axz = oyz = 0, запишем

2.6. Плоское напряженное состояние и плоская деформация 27
егг — 2G 1 _|_ v \ахх Т~ ауу) = ~ ~g~ \°хх ~Г ауу)>
@xij ==z 2Q ху> @xz == ?уг == "•
Следовательно, в индексных обозначениях деформации в плос-
плоскости х, у можно записать так:
еч = Ж (ач ~" TqR a^8u) B-6.2)
(ср. B.5.5)). Обращение этого выражения дает
с„ - 2G (ef, + j^ ekh8i}) . B.6.3)
Аналогично в случае плоской деформации подставим в B.4.3)
условие ezz = exz — eyz = 0 и запишем
охх = 2G [ ехх -f -yZT27 (бк
(exx + e^yjj , B 6 4)
°гг = 2G t J^2v {ex
у y, axz — ayz = 0.
В индексных обозначениях напряжения в плоскости х, у прини-
принимают вид
оц = 2G (ew + -f-^- еЛЛву) B.6.5)
(ср. B.5.6)). Обращение этого выражения дает
eU = G" ("« ~ vakkSi})- B.6.6)
Как ясно из сравнения B.6.2) и B.6.6), а также B.6.3) и B.6.5),
условия плоского напряженного состояния и плоской деформа-
деформации приводят к совершенно различным результатам. Это неуди-
неудивительно, поскольку они отвечают различным физическим огра-
ограничениям. Плоское напряженное состояние можно представить,
рассматривая тонкую пластинку, нагруженную в своей плоско-
плоскости — плоскости х, у — и не стесненную в направлении оси г.
Деформация ezz в B.6.1) возникает потому, что отсутствует стес-
стеснение в направлении оси г, т. е. в направлении, перпендикулярном
плоскости пластинки. Плоскую деформацию можно представить,
рассматривая тонкую пластинку, нагруженную в своей плоско-
плоскости х, у, но стесненную в направлении оси г. В этом случае в на-

28 2. Сведения из линейной теории упругости
правлении стеснения возникает напряжение azz, определенное
формулой B.6.4).
Между плоским напряженным состоянием и плоской дефор-
деформацией, несмотря на их физическое различие, имеется тем не
менее формальная математическая эквивалентность в соотноше-
соотношениях напряжение—деформация для плоскости х, у. Эту эквива-
эквивалентность можно установить, заметив, что соотношения напря-
напряжение—деформация для плоского напряженного состояния могут
быть получены из соотношений напряжение—деформация для
плоской деформации путем замены G и v на G' и v'^l + v'I*.
Соотношения B.6.5) и B.6.6) тогда принимают вид равенств
at] = 2G' (еи + il.v>
которые, как утверждалось выше, формально эквивалентны соот-
соотношениям B.6.3) и B.6.2). Следовательно, нет нужды рассматри-
рассматривать отдельно задачи теории упругости для плоского напряжен-
напряженного состояния и для плоской деформации; можно переходить
от одного случая к другому, просто изменяя значения упругих
постоянных.
Следует, однако, подчеркнуть, что с физической точки зрения
условия плоского напряженного состояния и плоской деформации
не эквивалентны. Плоское напряженное состояние относится
только к тонким пластинкам, поскольку должна быть гарантия
того, что напряжения не изменяются по толщине пластинки
[53, стр. 34, 284—2861. Условия плоской деформации, как упо-
упоминалось выше, также применимы для тонких пластинок, но
только при условии, что они соответствующим образом стеснены.
Однако плоскую деформацию более привычно рассматривать для
случаев, когда геометрия тела и условия нагружения не изме-
изменяются в одном направлении на достаточно протяженном участке.
Примером такого случая может служить длинный туннель с по-
постоянным поперечным сечением. Если по длине туннеля условия
нагружения не изменяются, то при анализе задачи достаточно
рассмотреть перпендикулярный к оси туннеля слой единичной
толщины. Эта ситуация представляется условиями плоской де-
деформации [53, стр. 34—36].
1} Если использовать модуль Юнга, то в уравнениях для плоской деформации
надо заменить Е выражением A + 2v') Е'7A + v'J. Этот результат нетрудно
получить, используя B.4.2).

2.7. Постановка задач теории упругости 29
2.7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Цель решения задач теории упругости состоит в нахождении рас-
распределения напряжений и смещений в упругом теле, подвер-
подверженном действию заданной системы объемных сил и заданных
напряжений или смещений на границах. В общем трехмерном
случае это означает определение в точках тела шести компонент
напряжений щ} = a}i и трех компонент смещений щ как функ-
функций от координат этих точек. Уравнения равновесия B.5.1) и
соотношения напряжение—деформация B.5.6) дают для этих
девяти неизвестных девять уравнений:
or,, = a,t = 2G
Этих уравнений достаточно для определения девяти неизвестных
величин, если допустить, что смещения щ —непрерывные функ-
функции координат точек xt [49, стр. 86—87]*>. После того как сме-
смещения найдены, деформации определяются согласно B.5.3):
<?« = Vi(«m + «/,i). B-7.2)
В данной книге мы сосредоточим внимание преимущественно
на двумерных задачах. В них необходимо определить три напря-
напряжения Охх, ауу и аху = аух и две компоненты смещения их и иу
как функции от х и у. Уравнения B.7.1) и определения B.7.2)
применимы и для двумерных задач, но индексы в этом случае
принимают значения 1 и 2. Подчеркнем, однако, что это замеча-
замечание относится только к задачам о плоской деформации, когда связь
между напряжениями и деформациями имеет такой же вид, как
B.7.1) в трехмерном случае (ср. B.5.6) и B.6.5)). Задачи же о плос-
плоском напряженном состоянии следует решать, используя вместо
соотношений напряжение—деформация, входящих в B.7.1), соот-
соотношения B.6.3). С другой стороны, результаты для плоского
напряженного состояния можно получить из решения для плоской
деформации путем надлежащей модификации значений упругих
постоянных ? и v (ср. разд. 2.6). .Нам представляется удобным
использовать второй способ, получая все основные результаты
для условий плоской деформации.
Решение любой двумерной задачи о плоской деформации ли-
линейно-упругого изотропного тела должно удовлетворять во всех
точках рассматриваемой области уравнениям равновесия B.7.1)
При этом одна задача теории упругости отличается от другой
только граничными условиями. Именно граничные условия служат
1) См. также, например, Амензаде Ю. А. Теория упругости. Изд. 3-е. —
М.: Высшая школа, 1976, с. 75—76. — Прим. ред.

30 2. Сведения из линейной теории упругости
для формулировки конкретной задачи. Они говорят о том, какие
усилия или смещения приложены к границам тела. В зависимо-
зависимости от типа условий, заданных на границах, можно выделить
несколько разных видов краевых задач. Краевая задача в напря-
напряжениях — это задача, в которой во всех точках границы заданы
компоненты усилия tt; краевая задача в смещениях ¦— это задача,
в которой во всех точках границы заданы компоненты смеще-
смещения U{. Задача, представляющая собой комбинацию этих двух
«основных краевых задач», называется смешанной краевой задачей.
2.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
В приложениях часто приходится работать с двумя различными
декартовыми системами координат х-г и xt, показанными на рис. 2.5.
Например, мы можем знать смещения и напряжения относительно
системы координат xt и требуется вычислить эти величины отно-
относительно системы координат xt. Подобные вычисления можно
выполнить с помощью формул преобразования, которые приво-
приводятся ниже для двумерного случая.
UyCOSfi
Uy sin p
Рис. 2.5. Преобразование смещений.
Вначале рассмотрим формулы преобразования для смещений.
Из рис. 2.5 видно, что компоненты их и иу вычисляются путем
проектирования величин и% и щ на направления х и у. Из геомет-
геометрических соотношений, показанных на рисунке, получаем
Ux = и* COS P — Ug Sin
иу = HxSinp + «у cos p. \ • • )
Читатель может убедиться, что обращение этих формул преоб-
преобразования дает
Ug = — M*SinP -f- «j/COSp. V ¦ • /
Формулы преобразования для напряжений можно найти из
выражений для нормальных и касательных напряжений ап и ае,

2.8. Преобразование координат 31
действующих на площадке, внешняя нормаль которой составляет
с осью х угол а (рис. 2.6 (а)). Касательные и нормальные напря-
напряга)
Рис. 2.6. Преобразование напряжений.
жения на этой плоскости определяются, согласно B.2.9), в виде
о« = (<*хх — Оду) sin a cos а — а^д (cos2 а — sin2 а),
сгп = охх cos2 а -f 2<г5в sin а cos а + Одд sin2 а.
Теперь рассмотрим два частных случая ориентации площадки,
показанные на рис. 2.6 (Ь). В первом из них нормаль к плоскости
параллельна оси д:, а во втором она параллельна оси у.
B.8.3)

32 2. Сведения из линейной теории упругости
В первом случае, когда внешняя нормаль к произвольной пло-
площадке параллельна оси х (рис. 2.6 (Ь)), угол а равен —р. Эта
площадка на рисунке обозначена АВ. Сравнение рис. 2.2 и 2.6 (Ь)
показывает, что нормальные напряжения на площадке АВ равны
ахх, а касательные напряжения равны —аух. Таким образом,
(оп)а==_р = + ахх, (с5)а„р = — аху. B.8.4)
Объединяя B.8.3) и B.8.4) и замечая, что cos (—Р) = + cos р,
a sin (—Р) = —sin р, получаем
охх = охх cos2 р — 2ахд sin P cos p -\- osg sin2 p,
ОГад = {Охх - Ogg) Sin p COS p + OSg (COS2 p - Sin2 p). B'8)
Аналогично для площадки CD (рис. 2.6 (Ь)) угол а составляет
я/2 — р. На этой площадке нормальные и касательные напря-
напряжения равны ауу и аух, так что
(вп)а=П/2-$ — + <%> @rs)a=n/2-p = + Cfy*. B.8.6)
Замечая, что cos (л/2 — Р) = sin р и sin (я/2 — Р) = cos P, из
B.8.3) и B.8.6) находим
оУу = ахх sin2 Р + 2ахд sin p cos р + OgS cos2 p,
sin2p) ( ¦
Выражения B.8.5) и B.8.7) представляют формулы преобразо-
преобразования для напряжений. Читателю вновь следует убедиться, что
обращение формул преобразования дает
Охх = охх cos2 Р + 2аХу sin Р cos р + ауу sin2 p,
одд — аху sin2 Р — 2аху sin p cos р + ауу cos2 p, B.8.8)
охВ = оВх = — (ахх — Оуу) sin p cos р + аху (cos2 p — sin2 P).

3. ВВЕДЕНИЕ
В МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
3.1. НОРМАЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА ПОЛУПЛОСКОСТИ
(ЗАДАЧА ФЛАМАНА)
Задача о сосредоточенной силе, приложенной перпендикулярно
к поверхности упругой изотропной полуплоскости, известна как
задача Фламана. Ее решение можно найти во многих курсах
теории упругости (см., например, [53, стр. 112]). Оно представ-
представляет пример сингулярного решения в эластостатике (см. гл. 1).
В данной главе покажем, как это сингулярное решение можно
использовать при построении численного метода решения более
сложных задач, связанных с нагружением полуплоскости. Этот
пример послужит для выяснения ряда основных черт метода гра-
граничных элементов в механике деформируемых твердых тел.
Задача Фламана иллюстрируется на рис. 3.1. Нагрузка Fy,
изображенная на нем, представляет линию сил, приложенных
вдоль оси г; она имеет размерность силы, деленной на длину
(Н/м). Таким образом, имеем задачу о плоской деформации и,
следовательно, можно ограничиться рассмотрением типичного
поперечного сечения — оо<: х < оо и у « 0 с границей у = 0.
Напряжения в полуплоскости у < 0 определяются следую-
следующими выражениями:
2 *
2_
а
Смещения, связанные с этими напряжениями, даются формулами
где L — произвольная постоянная. Смысл этой постоянной об-
обсуждается в дальнейшем.
Компоненты вектора усилия tt — 0/,fy на границе полуплос-
полуплоскости определяются выражениями tx = оух = аху и ty = оуу,
поскольку единичная внешняя нормаль tij имеет компоненты
2 Крауч С, СтарфилД А.

34 3. Введение в методы граничных элементов
пх = О и пу = +1. Из C.1.1) ясно, что напряжения равны нулю
на границе полуплоскости, за исключением начала координат
х — у = 0, где они не определены. Говорят, что напряжения
в этой точке сингулярны. Можно показать, что эти напряжения
соответствуют сосредоточенной силе, приложенной в начале коор-
координат. (Для этого достаточно убедиться в том, что результирую-
результирующая нагрузка на внутренней по-
поверхности, окружающей точку
х = у = 0, равна Fy. Поскольку
известно, что компоненты усилия
равны нулю на границе полупло-
полуплоскости у = 0, за исключением точ-
точки х = у = 0, это по сути и озна-
означает, что напряжения C.1.1) вы-
вызваны сосредоточенной силой в
начале координат.)
Для того чтобы вычислить ком-
Рнс. 3.1. Задача Фламана. поненту смещения их В C.1.2),
необходимо определить функцию
обратного тангенса, arctg (у/х), которая задается следующим
образом:
arctg (у/х) = Arctg (ylx) + kn, C.1.3)
где Arctg {ylx) означает главное значение арктангенса, т. е.
—я/2 < Arctg {у/х) < +я/2.
Постоянная k в C.1.3) определяется в зависимости от знаков х
и у, а именно
[ 1 если х<0, у>0,
если х^О, C.1.4)
если *<0,
Эти условия требуют, чтобы значения функции arctg (ylx) нахо-
находились в интервале от —я до +я. Для полубесконечной области
у < О значения этой функции изменяются от —я до 0, т. е.
—я <: arctg (у/х) < 0, у < 0. C.1.5)
В частности, при у = 0 получаются следующие значения х>:
— я, если х<.0, у = 0,
у = 0 C.1.6)
1) Строго говоря, нужно заметить, что этот результат получается, когда у
стремится к нулю из области отрицательных значений, что обычно записывают
так: у -*~ 0_. Это уточнение нужно потому, что функция арктангенс разрывна
вдоль отрицательной оси х; она равна +я, если у=0+, и —я, если у = 0_. Мы
имеем дело исключительно с областью у ^ 0, и потому можно считать, что у = 0
означает то же, что у = 0_.

3.2. Распределенная нагрузка 35
Прилагая эти результаты к первому из выражений C.1.2), нахо-
находим
1 2v
т. е. компонента их смещения границы полуплоскости постоянна
по обе стороны от приложенной силы. Если Fy > О, как показано
на рис. 3.1, точки границы полуплоскости перемещаются от
начала координат.
И наконец, принимая у равным нулю, из второго выраже-
выражения C.1.2) получаем
^l-lnlLU; y = 0. C.1.8)
Это уравнение показывает, что смещение иу стремится к +°о
в «точке» приложения линейной силы Fy ?> 0 и к —оо на боль-
большом удалении от этой точки. Бесконечные смещения обусловлены
характером нагрузки на границе. Когда мы принимали условия
плоской деформации для плоскости х, у, подразумевалось, что
линия действия силы неограниченна в направлении оси г. (В про-
противном случае условие плоской деформации не будет выполнено
для произвольной плоскости, нормаль к которой параллельна
оси z, ср. §2.6.) Следовательно, суммарная приложенная сила
(т. е. сила, приходящаяся на единицу длины, умноженная на
длину линии) бесконечно велика, и потому ей отвечают неогра-
неограниченные смещения.
Постоянная L в C.1.2) была введена, чтобы конкретизировать
значения иу в задаче Фламана. Согласно C.1.8), иу равно нулю
при х = ±L, у = 0. Этот выбор произволен и означает, что мы
условились измерять иу относительно смещения произвольной
точки х = ±L границы полуплоскости.
3.2. РАСПРЕДЕЛЕННАЯ НАГРУЗКА
Решение задачи Фламана с помощью принципа суперпозиции
может быть обобщено для упругой полуплоскости у < 0 при
более сложном распределении напряжений на ее границе. Про-
Простейшим случаем является одновременное действие нескольких
линий сосредоточенных сил, величины которых могут быть раз-
разными. Тогда просто «сдвигаем» решение, данное выше, так, чтобы
оно соответствовало точке приложения нагрузки, и суммируем
любое число таких трансформированных решений. Например,
для решения задачи, изображенной на рис. 3.2, будем совмещать
два решения: одно, полученное заменой Fy на F], и х на х —1\

36 3. Введение в методы граничных элементов
и другое, полученное заменой Fy на Fy и х на х — |2. Иллюстра-
Иллюстрацией этой процедуры служит использование второго выраже-
выражения C.1.2) для записи компоненты смещения иу в задаче, изобра-
изображенной на рис. 3.2:
+ ¦
(х - I1K + У2
. C.2.1)
Заметим, что произвольная постоянная L в C.1.2) заменяется
в различных членах этого выражения на L — I1 и L — I2. Это
необходимо для того, чтобы в точке х = L, у = 0 значение иу
было равным нулю для обеих сил Fy и Fy.
Рис. 3.2. Суперпозиция сил.
Выражение C.2.1) можно записать в форме
иу = F\I
где, например, величина
- %\ у) + F*I (x - f, у),
определяет компоненту смещения иу от действия силы F\, пока-
показанной на рис. 3.2, и называется функцией влияния этой силы.
В случае непрерывного распределения нагрузки на границе
полуплоскости решение может быть найдено путем интегриро-
интегрирования. Предположим, что напряжения tx = оху и ty = о,
заданы следующим образом:
uv
Jxy
= 0, — оо
оо, у =
ру (х), bt<.x<b3, y = 0,
О в других точках при у =
C.2.2)

3.2. Распределенная нагрузка 37
Функция ру (х) может иметь вид, показанный для примера на
рис. 3.3. Результирующая сила (на единицу длины) Fy в преде-
пределах малого участка d| границы около точки х = % представляется
произведением напряжения в этой точке ру (?) на площадь d\,
в пределах которой оно действует, т. е.
Ру (Е) = Ру (Е) dt C.2.3)
Если рассмотреть большое число, например N. таких точек |'
(/ = 1, ..., N) вдоль границы, то можно просуммировать влияние
vw -,
уу~-Ру(Х<
РуЮ
Рис. 3.3. Распределенная нагрузка.
дискретных сил по способу, указанному выше. Смещение иу,
например, можно представить в виде1'
/—1
р„A')(&. C.2.4)
Переходя к пределу при d?,l->~0, заменим суммирование интегри-
интегрированием вдоль отрезка bt < х <; Ь2. В результате получим
C.2.5)
Аналогичные выражения можно написать для их, ахх, ауу и аху.
В каждом из них получается интеграл, аналогичный C.2.5), но
содержащий свою функцию влияния.
1} Заметим, что i в этом выражении обозначает номер, а не координатный
индекс.

38 3. Введение в методы граничных элементов
Постоянное нормальное напряжение вдоль полоски
конечной ширины
Как пример задачи о распределенной нагрузке рассмотрим случай,
когда напряжения ру (х) на границе у = О постоянны в пределах
полоски —а < х < а, у ¦— 0 и равны нулю вне ее. Этой задаче
отвечает рис. 3.4 и следующие граничные условия:
Ру, \х\<а, у = 0,
О |д
/о о с\
C2-6)
Рис. 3.4. Постоянные нормальные на- Рис. 3.5. Расстояния до крайних точек
пряжения вдоль полоски конечной ши- полоски и соответствующие углы,
рины.
Поступая, как указано выше, с учетом того, что ру (х) = Ру,
by = —а и 1), = | а, получаем
- а)в,
. C.2.7)
иу = + -? {- A - 2v)y(Qi - 92) + A - v) [(* - a) Inr2. -
— (* + а) In гг + (L + а) In (L + аJ - (L - а) In (L - аJ1),
= --%- [в, - 62 + у (а: - а)/г2 -у(х + а)/гЦ
? ft в ( а)//1» + У
C.2.8)
В этих выражениях использованы обозначения
8t = arctg (г//(д: — а)), 92 = arctg (y/(x + а)),
r\~{x-af
C.2.9)

3.2. Распределение нагрузки 39
Смысл введенных параметров поясняет рис. 3.5. Параметры гх
и г2 выражают расстояния от точек х = +а, У = 0 и х = —а,
у = 0 до произвольной точки (х, у); —6Ь —02—углы между
положительным направлением оси х и линиями гх и г2.
Нетрудно убедиться в том, что напряжения оху и ауу в C.2.8)
удовлетворяют граничным условиям C.2.6). Например, при
у = 0 выражение для ауу преобразуется к виду
ауу = —Ру (в, — 62)/я.
Согласно рис. 3.5, при у = 0 угол б! равен 92, за исключением
участка | х | <С а, где 83 = 0 и Bj = —л. Таким образом нахо-
находим, что при^—О ОуУ равно нулю, если \х\ >а, и ау|/ равно Ру,
если |* | < а, как и должно быть согласно заданным условиям.
Численное решение задачи о распределенной нагрузке
Для большинства распределений pv (x) нагрузок на границе ин-
интегралы типа C.2.5) не имеют аналитических выражений. Поэтому
может оказаться невозможным получение аналитического реше-
решения для конкретного распределения нагрузки. Однако, рассмат-
рассматривая дискретную аппроксимацию фактического распределения
Рис. 3.6. Дискретная аппроксимация распределения напряжений на границе.
напряжений на границе, всегда можно решить задачу численно.
На рис. 3.6 приведен пример. Дискретная аппроксимация на
рисунке выполнена путем разбиения нагруженной части гра-
границы полуплоскости на N участков. Эти участки называются
граничными элементами.
Нормальные напряжения на каждом граничном элементе
(рис. 3.6) приняты постоянными; для типичного элемента / эти
напряжения обозначаются через Р'у. Смещения и напряжения

40 3. Введение в методы граничных элементов
в произвольной точке (х, у) полуплоскости, вызванные напряже-
напряжением на/-м элементе, находятся путем замены Ру, L, х и а в C.2.7)—
C.2.9) на Р'у, L — х', х — х' и а1 соответственно, где х' — коор-
координата средней точки элемента, а 2а' — его длина. Тогда числен-
численное решение задачи находится как сумма N отдельных решений,
отвечающих всем номерам / от единицы до N.
Эта процедура эквивалентна простому численному интегри-
интегрированию функций, определяющих смещения и напряжения в полу-
полуплоскости у < 0 при произвольном распределении нормальных
напряжений, приложенных на границе. Очевидно, можно подойти
сколь угодно близко к точному решению, выбирая граничные
элементы все меньшей и меньшей длины.
3.3. ЗАДАЧА О ВДАВЛИВАНИИ ШТАМПА
Задачи, рассмотренные в § 3.2, относятся к случаям, в которых
на границе упругой полуплоскости у < 0 заданы напряжения
(tx = аху и ty = ауу). Согласно терминологии, принятой в § 2.7,
эти задачи известны как краевые задачи в напряжениях.
uv=-u0,
Ъ
бху'О
с Ь >
Рис. 3.7. Вдавливание жесткого штампа со смазкой.
Другой тип краевых задач для упругой полуплоскости отно-
относится к случаю, когда на границе заданы и смещения, и напря-
напряжения. Такие задачи известны как смешанные краевые задачи
(ср. §2.7). Пример смешанной краевой задачи иллюстрирует
рис. 3.7. Это задача о вдавливании в полуплоскость жесткого
штампа со «смазкой» на контакте. Граничные условия записы-
записываются следующим образом:
Uy = и0, | х I <: о, у — и,
<7ад = 0, |*|<оо, г/ = 0, C.3.1)
сг„„ = О, |х|>6, у = 0.

3.4. Численная процедура 41
Эти условия требуют, чтобы смещения иу непосредственно под
штампом, ¦ | х | <g b, у ~ О, были постоянными и равными
—и0 (и0 >0). Кроме того, касательные напряжения аху равны
нулю на всей границе, включая область | х \ <: Ь под штампом
(предполагается, что смазка обеспечивает условия, при которых
на контакте штампа с полуплоскостью не возникают касательные
усилия). И наконец, нормальные напряжения оуу равны нулю
при у —0 для | х | >Ь, т. е. в точках, где не заданы смещения иу.
Под штампом (| х \ < Ь, у = 0) нормальные напряжения неиз-
неизвестны.
Для решения смешанных краевых задач типа C.3.1) имеется
аналитический аппарат. Например, можно применить методы,
основанные на комплексных переменных [49, стр. 249—3271,
153, стр. 179—2281 или на интегральных преобразованиях [47,
стр. 445—509]. Однако объяснение соответствующей техники
выходит за рамки данной книги. Вместо этого опишем численную
процедуру решения задачи. Эта процедура служит простым при-
примером метода граничных элементов.
3.4. ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА
Вначале заметим, что задача о жестком штампе, определяемая
условиями C.3.1) и изображенная на рис. 3.7, может быть сфор-
сформулирована в виде следующего вопроса: какое распределение
нормальных напряжений ауу — ty (x) надо приложить на участке
| х | < Ь, у — 0 для того, чтобы смещение иу на этом участке было
постоянным и равным —и0? Для численного решения этой задачи
рассмотрим дискретную аппроксимацию непрерывно распреде-
распределенных напряжений, которые существуют в действительности.
Подобная дискретная аппроксимация представлена с помощью N
граничных элементов одинаковых размеров, расположенных на
участке | х | < Ь, у = 0.
Предположим, что граничные элементы настолько малы, что
нормальное напряжение ауу, действующее на каждый элемент,
может считаться постоянным. Это постоянное нормальное напря-
напряжение в типичном элементе / обозначим через Т'у. Тогда числен-
численное решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию таких
значений напряжений Т1У для всех / от единицы до N, при которых
смещение в центре каждого из элементов окажется равным по-
постоянной — и0. Как будет показано ниже, N неизвестных напря-
напряжений определяется из решения системы N линейных урав-
уравнений.
На рис. 3.8 иллюстрируется разбиение участка | х \ < Ь,
у — 0 на N граничных элементов длиной la каждый. Координаты х
центров.j-го и /-го элементов соответственно равны х1 и х>.

42 3. Введение в методы граничных элементов
Смещение иу произвольной точки границы полуплоскости,
вызванное действием нормальной нагрузки Ру на участке | х | < а,
и — О, находится из C.2.7):
+ (L-a) In (L - с) - (L + a) In (L + a)]. C.4.1)
Символы | x + a | и | х — а\ означают, что рассматриваются
только положительные значения величин х + а и х — а. Если
Рис. 3.8. Граничные элементы.
постоянная нагрузка действует на полоске шириной 2а с центром
в точке х = xi, у =0, то C.4.1) можно записать в виде
1—v
Tl,[(x-x1+a)ln\x-x
.1
nG ' yi
— (х — х1 — a) In | х — х1 — а \
+ (L - х1 - a) In (L - х1 - с) - (L - х' + a) In (L-x> + a)],
C.4.2)
где в соответствии с принятым ранее обозначением вместо Ру
подставлено Ту. Смещение иу, согласно C.4.2), обращается в нуль
при х = L по способу построения этой формулы.
Теперь смещение в центре t-ro элемента, вызванное действием
постоянной нагрузки в /-м элементе, находится подстановкой
х = х1 в C.4.2):
Щ {х\ 0)=
_ (х1 _ х1 - a) In | х1 - х> - а | + (L - х] - a) In (L - х1 - а) -
- (L - х' + a) In (L - jc'' + a)]. C.4.3)

3.5. Решение задачи о оюестком штампе 43
Смещение иу в центре i-го элемента, возникающее от действия
постоянной нагрузки во всех N элементах, определяется путем
суперпозиции:
< = иу(хс, 0) = S BliT{,, C.4.4)
где
*'' - х'+а)\п\хс -х* + а\-
_ (хс -х>-а) \п\х1' -xi-al + iL-x1- a) In (L - х1 -а)~
-(L-x' + a)ln(L-xl+a)l C.4.5)
Назовем коэффициент ВЧ коэффициентом влияния) он пред-
представляет смещение в центре t'-го элемента, возникающее от дей-
действия постоянной единичной нагрузки на f-м элементе. Коэффи-
Коэффициенты влияния зависят от упругих постоянных, размеров и
положения граничных элементов. Из C.4.5) следует, что коэф-
коэффициенты Б'' внутри интересующей нас области всегда конечны
и не равны нулю. (Мы требуем, чтобы произвольная постоянная
L была больше Ь, т. е. L >х> для всех / от 1 до N, ср. рис. 3.8.)
Предположим, что смещение и'у представляет собой смещение
на участке | х — х' \ < а, у = 0. Тогда численное решение за-
задачи о штампе дается следующей системой N линейных уравне-
уравнений с N неизвестными:
«4 = - цв = 2 ВЧТ1, i = 1, .... N. C.4.6)
Эти уравнения могут быть решены относительно Tly, i = 1, ..., N,
при помощи стандартных методов численного анализа.
3.5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ЖЕСТКОМ ШТАМПЕ
Аналитическое решение для напряжений tv (х) = ауу под жестким
штампом со смазкой (рис. 3.7) имеет вид [47, стр. 485]
° ^ \*\<Ь. C-5.1)
Компонента у смещения на границе равна г>
иу = —ы0, | х\ <: Ь, у =0,
In (xib + V#lb*~\)~\ . . , Л C.5.2)
11 Второе выражение получено путем преобразования из более общего ре-
результата, данного Снеддоном [47, стр. 432]. Выражение для иу при у= 0, \х \ ^Ь,
приведенное Снеддоном, содержит ошибку.

44 3. Введение в методы граничных элементов
отсюда следует, что смещение под штампом измеряется относи-
относительно смещения границы полуплоскости в точке х = L = 1,256.
Как иллюстрацию численной процедуры, описанной в преды-
предыдущем параграфе, приведем численное решение задачи о штампе
для случая, когда ио/Ь = 0,001 и v — 0,1. (При вычислениях по
программе на компьютере необходимо, конечно, задать также
конкретные значения для величин b и G. Эти величины не фигу-
фигурируют в решении, поскольку результаты можно представить
-0,002-
- 0,004 -
-0,006 -
х/Ъ
1,0
Аналитическое
решение
(а)
х/Ъ
1,0
Аналитическое
решение
(Ь)
Рис. 3.9. Численное и аналитическое решения для напряжения под штампом
со смазкой: (а) 10 элементов; (Ь) 20 элементов.
в безразмерной форме.) На рис. 3.9 показаны две численные
аппроксимации аналитического решения для напряжения ty (x)
под штампом. Результаты представлены в безразмерной форме,
пригодной для произвольных G и Ь. Первая аппроксимация
(рис. 3.9 (а)) была найдена путем разбиения штампа по ширине
2Ь на 10 граничных элементов; вторая (рис. 3.9 (Ь)) была найдена
путем разбиения на 20 элементов. Следовательно, эти аппроксима-
аппроксимации включали решение системы соответственно 10 и 20 линейных
уравнений. В обоих случаях численные результаты находятся
в хорошем согласии с аналитическим решением, за исключением
точек непосредственно у края штампа, где теоретически напряже-
напряжение бесконечно. Однако на практике бесконечные напряжения
не реализуются и численные решения, показанные на рисунке,
можно считать хорошими приближениями к тем усилиям под
штампом, которые возникают в реальности.
Смещения и напряжения в любой точке полуплоскости у < 0
выражаются как линейные комбинации нагрузок Ту, i — 1, ..., N.
Соответствующие коэффициенты влияния получаются из C.2.7)

3.6. Неравномерное расположение элементов 45
и C.2.8). В частности, смещение иу (х, 0) границы может быть
представлено суммой /V слагаемых вида C.4.2). Значения для
иу (х, 0), рассчитанные таким способом, сопоставляются на
рис. 3.10 с аналитическим решением C.5.2) для случая N = 20.
Результаты вновь даны в безразмерной форме и пригодны при
любых значениях и0 и Ь. Погрешность численной аппроксимации
1,0
Рис. 3.10. Численное и аналитическое решения для смещений границы полу-
полуплоскости в задаче о штампе.
при xlb = 3 составляет около 5 %. Ошибка уменьшается с умень-
уменьшением величины xlb и по способу построения уравнений равна
нулю в серединах элементов при xlb <г 1.
3.6. НЕРАВНОМЕРНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
Коэффициенты влияния ВЧ в C.4.5) получены для случая, когда
все граничные элементы имеют одинаковую длину 2а. Это условие
использовалось для простоты изложения и несущественно при
построении численного метода. Например, если напряжения Т'у
(/ = 1, ..., N) считать постоянными в пределах элементов дли-
длиной 2а/, т. е.
*и(х) = Т'и при (х-хЧ^а7', /= 1, ..., JV, C.6.1)
то из C.4.3) нетрудно видеть, что коэффициенты влияния B{i
определяются формулой
B'i = -
~ у
[(*' - xi + at) In | x1 - xi + ai | - (*' - x> - ai) x
X In | xl - xi - ai | + (L - x' - at) In (I - x> - a>) -
- (L - xi + fl/)ln(L - xi + a')] C.6.2)

46 3. Введение в методы граничных элементов
(ср. 3.4.5)). Численное решение задачи о жестком штампе при
неравномерном расположении элементов теперь можно найти,
используя для В1' в C.4.6) формулу C.6.2).
В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда участок
вдавливания длиной 2Ь разделен на 10 граничных элементов раз-
разных размеров, и, кроме того, так же как в § 3.5, положим, что
ujb = 0,001 и v = 0,1. Размеры элементов выражены на рис. 3.11
1,0
0,002
0,004
0,006
Рис. 3.11. Решение задачи о жестком штампе при неравномерном расположении
элементов (ср. рис. 3.9).
х/Ъ
шириной «ступенек», которые используются при численной аппрок-
аппроксимации для ty (x); ширина ступенек изменяется от 0,46 у осевой
линии штампа до 0,1Ь у его концов. Численные результаты, пред-
представленные на рис. 3.11, хорошо согласуются с результатами,
полученными ранее для элементов одинаковой длины (рис. 3.9 (Ь)),
но при вдвое большем их числе. К сожалению, не во всех случаях
неравномерная разбивка на элементы дает преимущество, подоб-
подобное тому, какое проявляется в этом примере. В целом же для
общих методов граничных элементов, рассматриваемых в после-
последующих главах книги, заметим, что обычно результаты полу-
получаются лучшими, когда все элементы имеют примерно одинаковые
размеры (но см. § 7.2).
Значения Ту, показанные на рис. 3.9 и 3.11, постоянны в пре-
пределах каждого элемента i по построению. Однако удобнее пред-

3.7. Учет условия симметрии 47
ставить, что эти значения соответствуют средним точкам элемен-
элементов х1. Тогда гладкую кривую, проходящую через эти точки,
можно рассматривать как аппроксимацию точного решения.
3.7. УЧЕТ УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ
Результаты, показанные на рис. 3.9—3.11, симметричны отно-
относительно линии х — 0. Условие симметрии такого рода встре-
встречается в практических задачах довольно часто, и его легко учесть
в методе граничных элементов. Полезно проследить, как это де-
делается в случае задачи о жестком штампе.
Прежде всего потребуем, чтобы граничные элементы распола-
располагались симметрично относительно линии х — 0. Отсюда следует,
Рис. 3.12. Включение условия симметрии для линии х = 0.
что значения Т'у (/ = 1, ..., N) в C.4.6) также симметричны отно-
относительно этой линии, и поэтому достаточно рассмотреть только
одну половину границы полуплоскости, скажем половину х $г 0
(рис. 3.12). На рисунке интервал 0 < х < b разделен на N12
граничных элементов.
Если напряжение на /-м граничном элементе равно Т[, то
априори известно, что такое же напряжение действует на отраже-
отражении этого элемента относительно линии х = 0. Координата х
центра /-го элемента равна х', следовательно, его отражение имеет
координату х центра, равную —х1. Смещение иу в центре ?-го
элемента зависит от напряжений на обоих элементах — на са-
самом /-м элементе и на его отражении. При этом нам известно, что

48 3. Введение в методы граничных элементов
напряжения на этих двух элементах равны, и потому из C.4.6)
и C.6.2) находим
и1 - Х-=^-
Ми — ^
_ (л:' - х> - a1) In | х< - х>~ - а11 + (L - х1 - а1) х
х In (L - х' _ а') - (L - х^ 4- a1) In (L - х> + ауI ^
Л//2
' — а1) х
(+ + OC + + ^n C-7.1)
для t = 1, ..., Л//2.
Первая группа слагаемых в C.7.1) определяет вклад N12
граничных элементов, расположенных справа от линии симме-
симметрии. Вторая группа дает вклад N12 отраженных элементов.
Члены второй группы получены из первых путем замены х' на
—х' (см. рис. 3.12). Эти две группы слагаемых можно объединить
и представить C.7.1) в виде
N12
4 = Е В'ЧТ'„, t - 1 N/2, C.7.2)
/=»
в которой новые коэффициенты влияния В'1' автоматически учи-
учитывают наличие линии симметрии х — 0.
Таким образом, мы установили, что наличие линии симметрии
можно использовать для сокращения вдвое числа искомых не-
неизвестных. Позже мы убедимся, что это обстоятельство справед-
справедливо и в общем случае, для всех методов граничных элементов.
В заключение отметим, что подобная процедура может быть
использована и в случае, когда центр какого-либо элемента ле-
лежит на линии симметрии. Единственное отличие заключается
в том, что при определении коэффициентов влияния с этим эле-
элементом не сопоставляется отраженный элемент. Система уравне-
уравнений при этом увеличивается на одно уравнение.
3.8. РЕЗЮМЕ
Хотя метод граничных элементов, описанный в этой главе, огра-
ограничен небольшим классом задач (а именно, задач о плоской де-
деформации полуплоскости у < 0 при произвольной нормальной
нагрузке на поверхности), он содержит те же характерные черты,
которые имеют и другие методы, рассматриваемые в этой книге.
Поэтому представляется необходимым суммировать основные мо-
моменты изложенного выше подхода.

3.8. Резюме 49
1. Мы начали с сингулярного решения для уравнений линей-
линейной теории упругости, — решения Фламана для сосредоточенной
силы, приложенной перпендикулярно к поверхности упругой
полуплоскости у < 0.
2. Затем мы проинтегрировали это решение с целью решить
задачу о действии постоянной нормальной нагрузки, приложенной
к малому элементу поверхности полуплоскости. По построению
это решение таково, что касательная компонента усилия tx =
= оух = аху равна нулю на всей поверхности | х\ <С °°, У = 0.
Нормальная компонента усилия ty — оуу равна постоянной Ру
в пределах элемента (| х | < а, у = 0) и равна нулю вне элемента
(| 0)
|| 0 )
3. Далее мы заметили, что интегральную форму решения
Фламана можно непосредственно использовать для нахождения
численного решения краевой задачи при заданных напряжениях,
когда рассматриваемая область — полуплоскость у «g 0. Произ-
Произвольное непрерывное распределение приложенной нормальной
нагрузки можно аппроксимировать дискретным распределением,
в котором разные постоянные нормальные напряжения Ру дей-
действуют на каждом из N элементов границы, называемых гранич-
граничными элементами.
4. Для правильной постановки задачи с неизвестными на части
границы нормальными усилиями ty (x) на этой части должны быть
заданы нормальные смещения. Примером может служить задача
о вдавливании жесткого штампа со смазкой (§ 3.3). В этом случае
интегральная форма решения Фламана используется для того,
чтобы выразить известные смещения в средних точках каждого
из граничных элементов через неизвестные (но предполагаемые
кусочно-постоянными) усилия на них. Следовательно, исходная
смешанная краевая задача сводится к системе N алгебраических
уравнений с N неизвестными. После решения этих уравнений мы
можем вычислить смещения и напряжения в любой интересующей
нас точке полуплоскости путем суперпозиции N решений того
вида, о котором шла речь в п. 2.
Аналитическое решение, на котором основан этот простой
метод граничных элементов, характеризуется тем, что напряже-
напряжения на концах элемента не определены (ср. C.2.8)). (Из C.2.7)
видно, что смещения их и иу определяются на концах элемента.
Тем не менее должны быть приняты специальные меры при раз-
разработке компьютерной программы, чтобы получить значения
смещений точно в этих точках и вблизи них.) Поэтому, оценивая
решение на границе, мы должны исключить эти точки и усло-
условиться считать, что значения напряжений (и смещений) в центре
элемента характерны для элемента в целом. Точно так же не сле-
следует пытаться вычислять смещения и напряжения внутри полу-

50 3. Введение в методы граничных элементов
плоскости в точках, близких к концам элемента, поскольку в этих
точках резко ухудшается качество численного решения. Для
общей ориентации можно считать установленным, что численное
решение надежно: на границе — в серединах элементов, а вне
границы — на расстояниях от центра граничного элемента, пре-
превышающих его длину.
3.9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
В заключение этого предварительного описания методов граничных
элементов заметим, что C.2.5) можно рассматривать как строгую
постановку задачи о вдавливании жесткого штампа. Если в C.2.5)
подставить Ьх = —Ъ, Ь2 = +Ъ, ру (?) = ty (?), получим следу-
следующее выражение:
+ь
-b
C.9.1)
В этом выражении граничные напряжения ty (х) неизвестны
при | х | < Ь. Подставляя в C.9.1) у = 0, приходим к уравнению
для определения иу на границе полуплоскости
+ь
Щ(х, 0) = - Ь^ j [In\x - 11 - In(L - I)}tv(I)<Ц. C.9.2)
В соответствии с C.3.1) имеем, что при | х \ < b смещение иу (х, 0)
равно постоянной —и0. Таким образом, левая часть C.9.2) из-
известна для всех х, лежащих на отрезке интегрирования.
Уравнение C.9.2) называется интегральным уравнением, по-
поскольку неизвестная величина находится под знаком интеграла.
Аналитическое решение этого уравнения дается формулой C.5.1),
а численное решение можно построить на основе идеализированного
представления об изменении напряжения ty (х) на отрезке | х \ <
< Ъ.
Прежде всего заметим, что C.9.2) можно записать относительно
произвольной точки х = х1 поверхности полуплоскости
+ь
иу (х', 0) = - 1^ j [In | xl - 11 - In (L - I)} ty (I) dl, C.9.3)
-b
что является точным результатом. Разделим теперь отрезок
| х | < b на N элементов длиной 2а каждый и предположим, что
в пределах каждого элемента напряжение ty (x) постоянно, т. е.
tu{x) = T!t при \х-х*\<а, /= 1, ...,N, C.9.4)

3.9. Интегральная формулировка 51
где х' — координата центра /-го элемента. Тогда, подставляя
C.9.4) в C.9.3), получаем приближенный результат
N xl+a
иу (хс, 0) = - ^ Yi Ту \ [In | х' - Е | - In (L - l)\ dl, C.9.5)
/=1 xl-a
в котором i изменяется от 1 до Л^. Записывая и1у вместо иу {х{, 0)
и вычисляя интеграл в C.9.5), получаем те же уравнения, какие
были найдены в § 3.4 на основе эвристического подхода (ср. C.4.4)
и C.4.5)). Следовательно, численная процедура, описанная в § 3.4,
эквивалентна численному решению интегрального уравнения.

4. МЕТОД
ФИКТИВНЫХ
НАГРУЗОК
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе было показано, как частное сингулярное
решение уравнения линейной теории упругости можно использо-
использовать при построении метода граничных элементов, позволяющего
находить численное решение более сложных задач. Этот вариант
метода граничных элементов очень прост и вместе с тем очень
ограничен, поскольку он применим лишь к узкому классу
задач.
В данной главе будет рассмотрено иное сингулярное решение—
и только в этом отличие от предыдущей главы. С помощью этого
решения тем же путем будет построен-еевершенно общий метод
граничных элементов для анализа плоских задач линейной теории
упругости. Сингулярное решение вытекает из рассмотрения за-
задачи о сосредоточенной силовой линии в бесконечной упругой
среде.
Задача о действии сосредоточенной силы в точке бесконечной
упругой среды известна как задача Кельвина [49, стр. 336—339 ] 1К
Эта задача в случае плоской деформации (т. е. линии сосредото-
сосредоточенной силы в бесконечной упругой среде) отчасти сходна с зада-
задачей Фламана (§ 3.1). Хотя задачу Кельвина для плоской деформа-
деформации физически труднее представить, чем задачу Фламана, в мате-
математическом отношении она имеет аналогичные свойства. Напри-
Например, можно трактовать решение Кельвина как функцию влияния
(ср. § 3.2) и получать из него аналитические решения для других
задач.
Наиболее полезное решение при этом относится к случаю,
когда на ограниченной полоске в бесконечной среде действуют
постоянные усилия tx = Рх и tu = Ру. В этой главе мы дадим
такое решение и используем его при построении метода граничных
элементов для решения общих смешанных краевых задач теории
упругости. Этот метод подобен методу, описанному в § 3.4 для
нагружения поверхности упругой полуплоскости, но теперь он
не столь очевиден. Он также более гибок, чем метод, описанный
ранее, и позволит нам рассматривать тела произвольной формы.
х> См. также, например, Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого
тела. — М.: Наука, 1979, с. 375—377. — Прим. ред.

4.2. Задача Кельвина для плоской деформации 53
По причинам, которые станут ясны в ходе изложения, мы будем
называть этот новый метод граничных элементов методом фиктив-
фиктивных нагрузок.
4.2. ЗАДАЧА КЕЛЬВИНА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Задача Кельвина для условий плоской деформации иллюстри-
иллюстрируется на рис. 4.1. Сила Ft = (Fx, Fy) на рисунке представляет
линию сосредоточенной силы, приложенной вдоль оси z в беско-
Рис. 4.1. Задача Кельвина, плоская деформация.
нечной упругой среде. Компоненты Fx > 0 и Fy >0 имеют раз-
размерность силы, деленной на длину (Н/м).
Решение этой задачи можно выразить через функцию g (x, у),
определяемую формулой
Sri W
v)
1п
Смещения, например, можно записать в виде
8-
-W
-W КЗ ~ 4v) g - yg,
D.2.1)
D.2.2)
где gtX и gtV означают dgldx и dg/ду (cp. § 2.5). Аналогично на-
напряжения для задачи Кельвина в случае плоской деформации
даются выражениями
= Fх [2 A - v) gt х - xg, хх] -|- Fy Bvg, „ - yg, xx),
= Fx Bvg, х - xg, уУ) + Fy [2 A _ V) ? в - yg, yy], D.2.3)
= Fx [A - 2v) g, у - xg, xx] + Fy[( 1 - 2v) g, x - yg, xy].

54 4. Метод фиктивных нагрузок
В приведенных выражениях производные функции g (х, у) на-
находятся непосредственно из D.2.1). Они равны
1
4яA —v)
4яA—v)
1 2ху_
4яA—v) (x2 + y
Ы,хх Н,уу 4яA — v) (х2+</2J'
Читатель может убедиться, что напряжения D.2.3) удовлетво-
удовлетворяют уравнениям равновесия без объемных сил, т. е. уравнениям
atui ~ 0- Как видно из D.2.4), напряжения в точке х — у = О
имеют особенность. Можно показать, что эти напряжения соот-
соответствуют сосредоточенной силе (силовой линии) в начале коорди-
координат (см., например, [53, стр. 142]).
Из формул D.2.2) следует, что смещения их и иу неограниченны
на больших расстояниях от начала координат из-за членов,
содержащих логарифмическую функцию g(x, у). Это вытекает из
природы сосредоточенной силы Ft — фактически она представ-
представляет силу, приходящуюся на единицу длины, в направлении
оси z, и чтобы отразить условия плоской деформации в плоскости х,
у, надо считать, что такие силы действуют вдоль всей бесконеч-
бесконечной линии, совпадающей с осью г.
Аналогичная ситуация наблюдалась в задаче Фламана (§ 3.1).
Там мы условились измерять смещение иу относительно некото-
некоторой точки границы нагруженной полуплоскости — точки, в ко-
которой мы приняли смещение равным нулю. Сходная процедура
может быть использована в задаче Кельвина, но, как выясняется
позже, необходимости в этом нет. Мы будем заниматься вычисле-
вычислением смещений (и напряжений), вызываемых системой сил, дей-
действующих в бесконечной среде. Во многих случаях их равнодей-
равнодействующая равна нулю, т. е. система сил самоуравновешенная.
Тогда логарифмические особенности взаимно уничтожают друг
друга, что дает нулевые смещения на бесконечности. В случае
же, когда равнодейстующая сила не равна нулю, при использова-
использовании D.2.2) необходимо помнить, что смещения определяются
только как относительные величины.
И наконец, заметим, что сосредоточенная сила Ft = (FK, Fy)
была помещена в начале координат лишь для упрощения записей.
Если эту силу расположить в точке х = сх, у — су, то можно
сразу получить решение, заменив в D.2.1)—D.2.4) координаты х
и у на преобразованные координаты х — сх я у — су. Используя
принцип суперпозиции, мы можем тогда решать задачи о беско-

4.3. Постоянные усилия вдоль отрезка 55
нечной упругой среде, в произвольных точках которой действует
система сосредоточенных сил. Непрерывное распределение таких
сил вдоль некоторой линии плоскости х, у позволяет рассматри-
рассматривать задачи, в которых на этой линии заданы усилия. Такой при-
пример обсуждается ниже.
4.3. ПОСТОЯННЫЕ УСИЛИЯ ВДОЛЬ ОТРЕЗКА
Задачу о постоянных усилиях tx = Рх и ty — Ру, приложенных
к отрезку | х | < а, у — 0 в бесконечной упругой среде, можно
решить, интегрируя решение задачи Кельвина. Поступая, как
Рис. 4.2. Интегрирование решения Кельвина.
описано в § 3.2, разделим отрезок на элементы длиной d? (рис. 4.2).
Тогда суммарная сила (на единицу длины в направлении, пер-
перпендикулярном к плоскости х, у), действующая на элемент с цен-
центром в точке х — I, у =0, равна
Ft F) = Pi
D.3.1)
где индекс i означает х или у. Решение рассматриваемой задачи
можно теперь найти, подставляя выражения для сил Fx (l) и
Fy (|) в D.2.2) и D.2.3), заменяя л: на л: — ? и интегрируя полу-
получающиеся выражения по ? на отрезке от —а до +а. Результаты
можно выразить через функцию / (х, у), определяемую формулой
D.3.2)

56 4. Метод фиктивных нагрузок
(ср. D.2.1)). Опуская детали вычислений, находим следующие
формулы для смещений:
Р р D-3.3)
"» = -25-(-УА*) + -|гК3-4*)/-#,Л
и напряжений:
охх = Ря [C - 2v) /, я + у/, х„) + Р, Bv/, „ + «f, в„),
ow = ^[-(l-2v)/jJC'-^>XJ,] + PB[2(l-v)/,p-^,VB], D.3.4)
оад = Я,[2 A - v)/,„ + yf, WJ + Ру[(\ - 2v)/,, - «//,зд].
Вычисление интеграла D.3.2) приводит к выражению
W [( )
— (х-a) In у/~(д: - аJ + г/2 + (* + а) In /(х + аJ + г/2] , D.3.5)
в котором опущена несущественная постоянная. (Это можно
сделать, поскольку смещения D.3.3) определяются как относи-
относительные величины, а напряжения D.3.4) содержат только произ-
производные функции /.) Производные функции / (х, у) до второго по-
порядка включительно даются формулами
A + 1>/(л:аJ + г/21п/(л: + а
4пA— v) L sac — а &х + а}' „оп
. _ ., D.3.6)
1 Г У У 1 *
4пA— v) [(х — aJ + i/a (* + аK + И '
f _| 1 Г JC — а х+а 1
/.»» ~г 4яA— v) L(^ — яJ + 1/3 (* + а)'+ «/'J '
Равенства D.3.3) и D.3.4) вместе с определениями D.3.5) и
D.3.6) дают смещения и напряжения в бесконечной упругой
среде в случае, когда вдоль отрезка | х | ¦<; а, у = 0 приложены
усилия tt — Pi = (Рх, Ру). Эти равенства составляют основу
метода граничных элементов, рассматриваемого в последующих
разделах данной главы. Прежде чем приступить к описанию этого
метода, необходимо упомянуть о некоторых важных особенностях
приведенного выше аналитического решения.
Во-первых, смещения их и иу вновь неограниченны на боль-
больших расстояних от начала координат из-за наличия логарифми-
логарифмических членов в функции / (х, у). Поэтому равенства D.3.3) задают
только относительные смещения. В любой частной задаче мы
должны выбирать точку отсчета и измерять смещения относи-
относительно этой точки.

4.3. Постоянные усилия вдоль отрезка 57
Во-вторых, из D.3.4) и D.3.6) видно, что компоненты напря-
напряжений определены всюду, за исключением крайних точек от-
отрезка (х = ±а, у = 0). Поэтому целесообразно исследовать зна-
Рис. 4.3. Углы, определяемые для концов отрезка.
чения указанных компонент на линии у = 0. Принимая у равным
нулю, из D.3.4) и D.3.6) находим эти значения:
a 3~2v p 1
4яA — v)
1 — 2v
8яA—v)
г Рц Hm ( arctg -^ arctg -Ц-) ,
Я* In
V
x + a\2
а\2
aj ~
D.3.7)
8n(l—v) y
Пределы, содержащиеся в этих выражениях, необходимы потому,
что функции арктангенса многозначны (ср. § 3.1 и 3.2). Эти функ-
функции определяют два угла 9Х и 92, показанные на рис. 4.3 и задан-
заданные соотношениями
D.3.8)
Вх = arctg [y/(x — аI,
и 62
92 = arctg [y/(x + а)].
Углы Bj и 62 изменяются в пределах от — л до +л и считаются
положительными, если отсчитываются так, как показано на
рисунке. При у, равном нулю, углы 6Х и 62 в зависимости от зна-
значения х могут быть равны —л, 0 или +л. При | х \ >а 6Х и 92
равны и члены, содержащие арктангенс в D.3.7), сокращаются.

58 4. Метод фиктивных нагрузок
При | х | <C а угол 62 равен нулю, а угол дг равен или —я, или
+я; он составляет +п на положительной стороне отрезка (т. е.
когда у -»-0+) и равен —л на отрицательной стороне (т. е. когда
у -»-0_). Следовательно, мы имеем
О, | х | > а, у = 0+ или у = 0_,
+ я, \> '
— Я, |Л
D.3.9)
и для оценки компонент напряжений вдоль линии у = 0 необхо-
необходимо рассмотреть три различных случая:
A) \х\ >а, у = 0±
„ {х> 0) = _ ,1\ Я. In
хуу- ' ' 8лA—v) v
B) | х |< а, у = 0+
ахи (х, 0+) = - 4-Я, - '\ Р, In
C) | * |< а, г/ = 0_
1п (х^ъУ + -г
Ру in
Ограничимся рассмотрением двух последних случаев. Из
D.3.11) и D.3.12) видно, что напряжения на двух «сторонах»
отрезка (т. е. на у — 0+ и у = 0_ при | х\ < а) имеют различные
значения. Другими словами, при переходе с одной стороны от-
отрезка на другую напряжения терпят разрывы. Величины разры-
разрывов можно определить, рассмотрев разность соответствующих
компонент напряжений на двух сторонах отрезка, а именно

4.3. Постоянные усилия вдоль отрезка 59
Оц(х, O_) — at](x, 0+). Тогда непосредственно из D.3.11) и D.3.12)
находим
о** (х, 0.) - ахх (х, 0+) = у-^ Py,
°Xy(x,0_)-oXy(x,0+) = Px.
Последние два уравнения показывают, что напряжения Рх и Ру
представляют собой постоянные по величине разрывы касатель-
касательных и нормальных напря-
напряжений вдоль отрезка | х | < а,
у = 0. Заметим, однако,
что подобная интерпретация
справедлива только для ком-
компонент аху и аУу тензора
напряжений: ниже будет по-
казано, что Рх и
Ру пред-
компонен-
компоненРис. 4.4. Линейная трещина в бесконечном
теле.
ставляют собой
ты tx и ty постоянного сум-
суммарного вектора усилия на
отрезке (см. рис. 4.2).
Физический смысл напря-
напряжений Рх и Ру можно уяс-
уяснить, если представить, что
отрезок | х | < а, у = 0
является линией трещины
в бесконечном упругом теле. Тогда можно считать, что отре-
отрезок имеет две отдельные поверхности (берега) у = 0+ и у —
= 0_, как показано на рис. 4.4. Эти поверхности в действитель-
действительности совпадают, а на рисунке они изображены отдельно лишь
для наглядности.
Внешняя нормаль к положительной стороне трещины (у =
= 0+) имеет компоненты nt = @, —1), а внешняя нормаль к от-
отрицательной стороне (у = 0_) имеет компоненты щ = @, +1).
Тогда компоненты усилия на двух поверхностях трещины равны
tx (х, 0+) = - аху (х, 0+), *„ (х, 0+) = - Оуу (х, 0+), D.3.14)
М*,0_) = +(г„(х,0_), M*.°+)=+*w(*.<U D-3-15)
Суммарные напряжения, действующие на трещину, получаются
сложением компонент усилий на двух поверхностях, т. е.
/, (х, 0) = t, (х, 0+) + U {х, 0_), * = х или у. D.3.16)
Объединяя D.3.13)—D.13.16), находим
U (х, 0) = Ph i = x или у. D.3.17)

60 4. Метод фиктивных нагрузок
Таким образом, в соответствии со сказанным выше, напряже-
напряжения Рх и Ру представляют постоянные по величине компоненты
вектора усилия на отрезке | х | <s а, у = 0.
Согласно D.3.14) и D.3.15), можно представить, что одну по-
поверхность трещины (у = 0+) «тянут», а другую (у = 0_) «толкают»,
поскольку нормальные и касательные напряжения на этих по-
поверхностях равны по величине, но противоположны по знаку.
Как следствие смещения их и иу непрерывны при переходе через
трещину, т. е. ut (х, 0_) — ut (х, 0+) = 0. Этот результат легко
следует из D.3.3) и означает, что противоположные поверхности
трещины не смещаются друг относительно друга.
4.4. ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА
Решение, данное в предыдущем разделе, составляет основу ме-
метода граничных элементов для нахождения численного решения
общей смешанной краевой задачи теории упругости. Ниже, на
примере частной задачи о полости в бесконечном теле, обсуж-
обсуждаются, физические аспекты этого метода. (Позже будет показано,
что метод применим также для краевых задач о конечных телах.)
Математические детали представлены в § 4.5 и 4.6.
Рис. 4.5. Иллюстрация метода граничных элементов для (задачи о полости: (а)
физическая задача; (Ь) численная модель.
Краевая задача в напряжениях для полости в бесконечном
упругом теле изображена на рис. 4.5 (а). Полость предполагается
очень длинной, настолько, чтобы в направлении оси z можно было
рассматривать характерный слой единичной толщины. Граница
отверстия на рис. 4.5 (а) обозначена через С. Локальные коорди-
координаты п и s направлены соответственно по перпендикуляру и по
касательной к кривой С, поэтому они изменяются вдоль границы
от точки к точке. Эти координаты выбираются таким образом, чтобы
направление п совпадало с направлением внешней нормали
к границе в этой точке, а направление s совпадало с направлением
обхода границы, в данном случае граница обходится против ча-

4.4. Численная процедура 61
совой стрелки. Предположим, что стенка полости всюду под-
подвержена действию одинакового нормального напряжения ап —
= —р (т. е. сжатию), а касательное напряжение as равно нулю.
Мы хотим найти смещения и напряжения в теле, вызванные этой
нагрузкой на границе.
Для численного решения этой задачи поступим следующим
образом. Аппроксимируем сначала границу С с помощью N
отрезков, примыкающих друг к другу. Длину характерного
t-ro граничного элемента обозначим через 2а' (рис. 4.5 (а)). Если
эти элементы малы, они достаточно близко будут воспроизводить
кривую С. Тогда можно считать, что каждый элемент по всей
его длине подвержен действию нормального напряжения оп =
= —р, но свободен от действия касательного напряжения. Гра-
Граничные условия задачи при этом принимают вид
о'п=-р, o's = 0 (t = l,...,yV). D.4.1)
Заданную этими условиями задачу можно решить численно
с помощью модели, изображенной на рис. 4.5 (Ь). Пунктирная
кривая С, показанная на рисунке, имеет такую же форму, как
кривая С, использованная для задания границы полости. Однако
кривая С не является границей; она только обозначает местопо-
местоположение отрезков в бесконечном теле, которые совпадают с гра-
граничными элементами на стенке полости, изображенной на
рис. 4.5 (а). Представим теперь, что на каждом из N отрезков
вдоль пунктирной кривой действуют постоянные нормальное и
касательное напряжения. На рис. 4.5 (Ь) для простоты показаны
только напряжения, приложенные к /-му отрезку. Эти касатель-
касательное и нормальное напряжения обозначены через P's и Р'п.
Далее подчеркнем тот принципиальный момент, что действи-
действительные нормальное и касательное напряжения на /-м отрезке
кривой С не равны Р[ и Р'п (если и на других элементах действуют
напряжения). Поэтому для каждого элемента кривой С' необхо-
необходимо различать две разные группы напряжений. Для /-го эле-
элемента, например, мы имеем приложенные напряжения P's и Pi,
и действительные напряжения а{ и а', которые вызваны действием
приложенных напряжений на всех N элементах кривой.
Используя в совокупности решение, данное в § 4.3, и фор-
формулы преобразования (для учета ориентации отрезков), можно
вычислить действительные напряжения ols и о'п в средней точке
каждого отрезка кривой С, i = 1, ..., N. Результаты имеют вид
V V , i=l, .... N, D.4.2)
о'„ = ? AgPi -f- ? A\laP'a
/¦-=1 /=1

62 4. Метод фиктивных нагрузок
где АН, ... — граничные коэффициенты влияния напряжений
для рассматриваемой задачи. Коэффициент AlJn, например, дает
действительное касательное напряжение в центре 1-го отрезка (с^),
вызванное постоянной единичной нормальной нагрузкой, прило-
приложенной в /-м отрезке (Р'п = 1).
Если теперь нам удастся найти такие значения приложенных
напряжений Ps и Р'п для у = 1, ..., N, что действительные напря-
напряжения Cs и о'п в D.4.2) окажутся равными значениям, заданным
условиями D.4.1), то мы получим приближенное решение физиче*
ской задачи, изображенной на рис. 4.5 (а). Следовательно, мы
требуем выполнения равенств
i=l,...,N, D.4.3)
образующих систему 2N линейных алгебраических уравнений
с таким же числом неизвестных.
Важно понимать, что напряжения Ps и Рп в этих уравнениях
являются фиктивными величинами. Они были введены как сред-
средство численного решения частной задачи и не имеют в ней физи-
физического смысла. Однако линейные комбинации фиктивных нагру-
нагрузок, заданные посредством D.4.2), в рассматриваемой задаче
уже имеют физический смысл. На этом и основано построение
системы алгебраических уравнений D.4.3). Решив эти уравнения,
мы сможем выразить смещения и напряжения в произвольной
точке тела через другие линейные комбинации фиктивных нагру-
нагрузок P's и PL у = 1, ..., N.
Мы будем называть описанный метод граничных элементов
методом фиктивных нагрузок. Дальнейшие детали этого метода
и некоторые примеры его использования обсуждаются в осталь-
остальных разделах данной главы.
4.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Метод фиктивных нагрузок основан на аналитическом решении
задачи о постоянной нормальной и касательной нагрузках, при-
приложенных на произвольно ориентированном отрезке в бесконеч-
бесконечной среде. Это решение можно найти непосредственно из резуль-
результатов § 4.3 с помощью простого преобразования координат. Рас-
Рассмотрим эту задачу в системе координат х, у, изображенной на
рис. 4.6. Тогда заданный отрезок определяется условиями | х | <:

4.5. Преобразование координат 63
< а, у = 0. Напряжения, действующие на нем, представляют
показанные на рисунке нормальное Рд и касательное Рх напря-
напряжения.
Локальная система коорди- У'
нат х, у на рис. 4.6 получена
путем переноса и поворота
«глобальной» системы х, у.
Компоненты переноса суть сх
в направлении оси х и су
в направлении оси у. Поворот
задается углом р, отсчитывае-
отсчитываемым, как показано, против ча-
часовой стрелки. Преобразование
координат определяется фор-
формулами
Рис. 4.6. Напряжения на отрезке про-
произвольной ориентации.
х = (х — сх) cos Р + (у — су) sin Р
д = —(х — сх) sin р + (у — су) cos
D.5.1)
(ср. B.8.2)).
Смещения и напряжения, обусловленные нагрузками Ря и Рд
на отрезке | х | < а, у — 0, можно записать в локальной системе
координат х, у, исходя из D.3.3) и D.3.4). Выполняя в этих фор-
формулах соответствующие изменения в обозначениях, запишем
выражения для смещений
, в)
li-1-yfA
D.5.2)
D.5.3)
и для напряжений
охх = Р-х [C - 2v) /, -х + yf, xv] + Рд Bv/,;
= Рх I— A - 2v)/,* - yf,xg] + Pgl2(l-v)f,g- yf.ggl
B = Px[2(l-v)f.i, + yf, gg] + Pg [(I - 2v) /, x - yf, xg\.
Функция / (х, у) в этих уравнениях дается формулой
/(х, у) = Fx(х, у) = - teA!_v) [у (arctg j^ - arctg j^
-(х-a) In /(jc - a)a + ^a + (x + a) In /(T+ fl)a + У2] D-5.4)
(cp. D.3.5)), а ее производные определяются следующим образом:

64 4. Метод фиктивных нагрузок
f, о = Fs (х, у) = —-г—п г ( arctg ~ arctg т-у-
1>у а\ > ?/ 4яA — v)\ аХ — п ь Л:+
f р (х й\ - I 1 Г 9 9 1
7
Функции Ft (Jc, у), ..., F& (x, у) введены в D.5.4) и D.5.5) для
удобства обозначений. Подставляя Fk вместо Fk (х, у), k = 1, ...,
5, можно переписать D.5.2) и D.5.3) в виде
К3 4v>T + F] +
otjcje = P-x [C - 2v) ?2 + yFJ + Ps BvF3 - yFt),
egg == Px- [— A - 2v) F2 - yFi] + Pj [2 A - v) F3 + yFb], D.5.7)
a^ = P? [2 A - v) Fs - PF5] + Pg [A - 2v) F2 - yfj.
Смещения и напряжения в произвольной точке (х, у) можно
найти, вычисляя координаты х, у этой точки по D.5.1) и исполь-
используя затем D.5.4)—D.5.7). Эти смещения и напряжения связаны
с локальной системой координат и потому неудобны для общих
вычислений. Однако, используя формулы преобразования, дан-
данные в § 2.8, результаты можно представить в глобальной системе
координат. Тогда подстановка D.5.6) в B.8.1) дает
Рг - - -
их = -?- [C — 4v) cos 6FX + у (sin pF2 + cos PF3)] +
P- _
+ g-1— C - 4v) sin pF2 - у (cos §F2 — sin pF3)],
P. _ D-58)
uv = -Лг [C — 4v) sin pFx — у (cos pF2 — sin pF3)] +
+ -g^- [C - 4v) cos p?x - p (sin pF2 + cos pf,)],
а подстановка D.5.7) в B.8.5) и B.8.7) приводит к формулам
охх = Р* [?я + 2 A - v) (cos 2pF2 - sin 2pF3) +
+ P§[F~n - A - 2v) (sin 2pf + cos 2PFS) + у (sin 2pF4 - cos 2pF5)],

4.6. Коэффициенты влияния 65
Оу„ = P*[F2 - 2 A - v) (cos 2pF2 - sin 2pf,) -
У D.5.9)
+ Py IF, + A - 2v) (sin 2pF2 + cos2pF3) -
-p(sin2pF4-cos2pF6)],
азд = РИ2 A - v) (sin 2pF2 + cos 2?F3) + 9 (sin 2pF4 - cos 2pF6)] +
+ Pg[(l- 2v) (cos 2pF2 - sin 2pF) - У (cos 2pF~4 + sin2pF)].
Эти формулы теперь можно использовать для вычисления общих
коэффициентов влияния в методе фиктивных нагрузок.
4.6. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ
Коэффициенты влияния для метода фиктивных нагрузок полу-
получаются из предыдущих результатов при рассмотрении бесконеч-
бесконечного тела, содержащего N отрезков, т. е. граничных элементов,
ориентированных произвольно относительно глобальных осей
координат х, у. Как видно из рис. 4.7, t-й и /-й элементы имеют
длины 2а{ и 2а1', координаты центров х1, у1 и х>\ у1 и ориенти-
ориентированы под углами р' и Р'. Эти элементы, как было указано в § 4.4,
лежат вдоль замкнутого контура С. Ориентации элементов опре-
определяются направлением обхода этой кривой. Локальная ось ко-
координат х для любого элемента положительна в направлении
обхода, а угол р задает направление этой оси относительно поло-
положительного направления оси х (см. рис. 4.6).
Фиктивные нагрузки на /-м элементе равны Р{ и Р'$. Смеще-
Смещения и напряжения в произвольной точке (х, у) тела, вызванные
фиктивными нагрузками Р j и Р'д, можно вычислить из D.5.8)
и D.5.9). Локальные координаты х и у в этих уравнениях теперь
представляют локальные координаты точки (х, у) относительно
центра /-го элемента, т. е.
х = (х- xl) cos p/ + (y- yi) sin p/,
у = _ (Х _ Xl) sm р/ + (у - yi) cos p/ ( '1)
(ср. D.5.1)). Тогда функции Fk (x, у), k — 1, ..., 5, в формулах
D.5.8) и D.5.9), используемые при подсчете коэффициентов влия-
влияния для точки (х, у), можно найти непосредственно из определе-
определений D.5.4) и D.5.5). Смещения и напряжения в этой точке, вы-
вызванные действием фиктивных нагрузок во всех iV элементах,
находятся суммированием вкладов индивидуальных элементов.
3 Крауч С, Старфилд А.

66 4. Метод фиктивных нагрузок
Граничные коэффициенты влияния для метода фиктивных
нагрузок получаются, если точку (х, у) выбрать центром j-ro
элемента, т. е. положить х — х1 и у = у{. Тогда формулы D.6.1)
принимают вид
х = (х' - xi) cos V + {у1 - yi) sin p/,
у = - (** - хО sin р/ + (у' - yi) cos p/ D62)
и определяют локальные координаты точки [I] относительно
точки [/] (см. рис. 4.7). Теперь отыскиваем выражения для нор-
Р'
Рис. 4.7. Положение н ориентация граничных элементов.
мальных и касательных смещений и напряжений в точке, [i],
обусловленных действием фиктивных нагрузок Р'х и Р'д, прило-
приложенных на /-м элементе. Эти выражения можно найти, используя
формулы преобразования, приведенные в- § 2.8.
Компоненты смещения и напряжения в точке Ш относительно
локальной системы координат в точке [/] (см. рис. 4.7) находятся
непосредственно из D.5.6) и D.5.7):
Р'-
20
- 4v) Рг + уР3] + ^г(~
Pi
^ - yPz],
- Pit [C - 2v) F2
P!g {2vF3 - yP6),
o'gg = P'xl-A -2v)F2 - yF,} + P'g[2(\~ v)F3 + 9Ft
i = Р'я [2 A - v) F, - yFb] + ^ [A - 2v) Fa - j?F4],
D.6.3)
D.6.4)

4.6. Коэффициенты влияния 67
где значения хну заданы формулами D.6.2), а функции Fh(x, у)
вычисляются по этим значениям. Нас также интересуют компо-
компоненты смещения и напряжения относительно показанной на
рис. 4.7 локальной системы координат х', у" в точке [: 1. Две ло-
локальные системы координат связаны преобразованием
х' — xcosy + у sinv, у'= — xs\ny-\-y<-osy, D.6.5)
где у = Р' — р/ (ср. B.8.2)). По аналогии с B.г' 2) и B.8.3) за-
запишем
и\, = 4 cos V + 4 sin v,
4< = _ 4 sin у + «4 cos у,
о я-я- = ok cos2y + 2а'-у sin Y cos y -f а^ sin у,
o'y-y- — ахх sin2 7 — 2аху sin 7 cos у + орй cos2 7, D.6.7)
оХ'у- — — (а 1Хх — а^р) sin 7 cos 7 + о^р (cos27 — sin2 7)-
, D.6.6)
cos у
Граничные коэффициенты влияния для смещений определяются
из D.6.3) и D.6.6) подстановкой Р{ = Р% и Р'п = Р'д с учетом
того, что их- эквивалентно uls, а щ- эквивалентно и1п:
Р' _
"* = 15" fC - 4v)cos V^i - «/ (sin V^« - cos 7
pi _
+ -2Г [C - 4v) sin 7/4 - у (cos yF2 + sin 7^,)],
P/ _
«n = -gg- [— C - 4v) sin 7/=\ - у (cos 7f2 + sin 7F3)] +
+ -§g-1C - 4v) cos v?! + ^(sin уТг - cos 7F3)].
Аналогично граничные коэффициенты влияния для напряжений
<?s = в я'у' и а„ = 0р.?' определяются путем объединения D.6.4)
и D.6.7):
ai = Р{ [— 2 A - v) (sin 2vF2 - cos 27F3) - ~У (sin 27F4 + cos 27^)] +
+ P'n[{\- 2v) (cos2y?2 + sin27F3) - i/(cos2yF^ - sin 2y~F5)],
_
- 2 A - v) (cos 2YF2 +
— F (cos 27^4 - sin 2yFb)] +
+ PlniF»-(l- 2v)(sin27?2 - cos2yFa)
3*

68 4. Метод фиктивных нагрузок
Смещения и напряжения в t-м элементе в общем случае пред-
представляют функции компонент Р{ и Р'п фиктивных нагрузок во
всех N элементах, т. е. / = 1, ..., N. Таким образом, согласно
D.6.8) и D.6.9), можно записать
N N
V V D-6.10)
N N
n' — V A'ipi Л- У A'>P>
«s — Zj ^iss~s ~Г Zj ™-sn"ni
4 tij 't ч ;. D-6.11)
вп == Zj f*ns's i Zj Ann* «•
Граничные коэффициенты влияния Bss, ... и Л^, ¦•• в этих урав-
уравнениях задаются выражениями в квадратных скобках в D.6.8)
и D.6.9) х>.
Собственные влияния элемента: диагональные члены
в матрице граничных коэффициентов влияния
Уравнения D.6.10) и D.6.11) определяют касательные и нор-
нормальные смещения и напряжения в t-м граничном элементе через
фиктивные нагрузки P's и Р{ во всех N элементах, т. е. / =
= 1, ..., N. Влияния фиктивных нагрузок Р\ и Р'п t-ro элемента
на смещения и напряжения самого t-ro элемента называют соб-
собственными влияниями элемента. Эти эффекты можно определить,
вычислив диагональные члены в матрице граничных коэффициен-
коэффициентов влияния, т. е. такие члены, для которых / = t.
Собственные влияния элемента получаются из D.6.8) и D.6.9),
когда х, у и у = р' — Р' равны нулю (см. рис. 4.7). В резуль-
результате находим
v)F3@, 0)Pj + (l-2v)F2@, 0)P'n,
, D.0.13)
о'п = - A - 2v) F2@, 0) Pi + 2A - v) F3@, 0) Pln.
x> Подразумевается, что усилия и напряжения нормированы на 2G. Если
этого не делать, то при подсчете коэффициентов B'JS, ... нужно в D.6.8) выраже-
выражения в квадратных скобках разделить на 2G. — Прим. ред.

4.6. Коэффициенты влияния 69
В соответствии с определениями D.5.4) и D.5.5) функции Flt F2
и F3 в этих уравнениях имеют следующие значения:
Fi @, 0) = - 4n(flv) In я\ F2 @, 0) = 0,
D.6.14)
(ср. D.3.9)). Тогда искомые собственные влияния элемента равны
3 —4v
и = —
4nG(l— v)
о. =
V./'i, y = o+)
У
D.6.15)
D.6.16)
а диагональные элементы матрицы коэффициентов влияния
даются следующими выражениями:
ns '— V, Ds$ — -D/tn —¦
fl''ln a''
= 4« = T V», У =
D.6.18)
Из D.6.18) видно, что значения коэффициентов A'sls и А'пп
зависят от направления обхода контура С. В соответствии с ана-
анализом, проведенным в §4.3»
можно считать, что каж- ^"
дый из N отрезков вдоль
кривой С имеет две сто-
стороны, положительную и
отрицательную, в данном
случае относительно ко-
координаты п. Таким обра-
образом, мы можем мысленно
сделать разрез вдоль кри-
кривой и задать две грани-
границы, обозначенные на
рис. 4.8 через С+ и С'-.
Кривые С+ и CL можно
Внешняя
область
Рис. 4.8. Внутренняя н внешняя области
контура С.
рассматривать как грани-
границы соответственно вну-
внутренней и внешней обла-
областей для контура С. Поэтому в зависимости от того, какая
область рассматривается, необходимо использовать различные
значения для коэффициентов А\{ и А"„.

70 4. Метод фиктивных нагрузок
Заметим, однако, что если обходить контур С по часовой
стрелке (а не против часовой стрелки, как показано на рис. 4.8),
то отрицательная сторона контура определит границу внутрен-
внутренней области. Следовательно, если договориться обходить контур
таким образом, чтобы внешняя нормаль в любой точке была
направлена вне рассматриваемой области, можно избежать ис-
использования различных значений коэффициентов A"s и А"п-
Поэтому принимаем следующее правило: граница конечного тела
обходится по часовой стрелке, а граница полости — против
часовой стрелки. Это правило приводит к упрощению вычисли-
вычислительных программ, поскольку означает, что коэффициенты A'si
и Am равны +1/2 для обоих видов задач (внутренней и внешней).
Вычисление тангенциальных напряжений вдоль границы
Коэффициенты АЦ и т. д. в D.6.11) определяют касательные и
нормальные напряжения в t-м граничном элементе через фиктив-
фиктивные нагрузки на N элементах границы. При этом напряжения als
и а'п представляют для нас инте-
интерес в основном тем, что они ис-
используются при задании гранич-
граничных условий для t-ro элемента.
Эти напряжения соответственно эк-
эквивалентны компонентам тензора
ву'х' == Qx'v' и olg'у', измеряемым в
локальных координатах х и у,
показанных на рис. 4.9. Компонен-
Компоненту а'х'х' тензора называют танген-
тангенциальным напряжением. На рис. 4.9
она обозначена через а'. Определе-
Определение тангенциального напряжения
вдоль границы зачастую предста-
представляет одну из главных целей при
решении задачи теории упругости. Необходимые для этого коэф-
коэффициенты влияния можно найти из D.6.4) и D.6.7):
о\ = РШ» + 2 A - v) (cos 2yF2 + sin 2yF3) +
-f- у (cos 2yFi - sin 2yF6)\ + РШв + A - 2v) (sin 2yF2 -
— cos 2yF3) —~y(sin 2y^4 + cos2yFb)\. D.6.19)
Тогда можно записать, например,
Рис. 4.9. Касательное, нормаль-
нормальное и тангенциальное напряже-
напряжения.
D.6.20)

4.7. Внутренняя и внешняя задачи 71
где А\{ и At'n — коэффициенты влияния для тангенциальных
напряжений.
Диагональные элементы матрицы влияния в D.6.20) опре-
определяются, как и ранее, подстановкой нулевых значений для х, у
и у. Тогда уравнения D.6.14) и D.6.19) дают
D-6.21)
так что
Л,* . П Л , ¦ - "~П пнд ji А , (Л А 00^
Используя вновь данное выше правило обхода контура, исклю-
исключаем необходимость рассматривать два разных значения для
коэффициента А"п. При этом рассматриваемый коэффициент имеет
единственное значение +1/2v/(l —v).
4.7. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧИ
Уравнения D.6.10) и D.6.11) составляют основу общей численной
процедуры решения краевых задач теории упругости для плоских
областей. В этой процедуре — методе фиктивных нагрузок —
мы делим границу рассматриваемой области на N элементов и
каждому элементу сопоставляем фиктивные нагрузки Ps и Рп.
Далее строим и решаем систему алгебраических уравнений, чтобы
найти такие фиктивные нагрузки, которые обеспечивают заданные
на границе смещения или напряжения. Смещения и напряжения
в прочих точках тела можно вычислить, суммируя влияния фик-
фиктивных нагрузок на N граничных элементах.
Как упоминалось в § 2.7, краевая задача теории упругости
может быть поставлена в напряжениях, в смещениях или при
смешанных граничных условиях. Конкретные типы граничных
условий, заданных для любой конкретной задачи, определяют
форму системы алгебраических уравнений, подлежащей решению.
Например, если на t-м граничном элементе заданы напряжения
tfs — @s)o и On = (оп)о, то 1-е уравнение системы, согласно D.6.11),
имеет вид
N N
- е а!>р> + s
/i /i

72 4. Метод фиктивных нагрузок
Аналогично если заданы смещения и[ = (uiH и и'п = {и{пH, то
1-е уравнение, согласно D.6.10), имеет вид
[(«Оо = S вйлЧ 2 ДМ,
V V D-7.2)
N N
_I_ V
Смешанные постановки, включающие величины и\ и о1п или «^
и а\, осуществляются путем выделения соответствующих уравне-
уравнений из D.7.1) и D.7.2). Поступая таким образом для всех i =
= 1, ..., N, получаем систему 2N алгебраических уравнений
с 2N неизвестными компонентами фиктивных нагрузок. Пред-
Представим эту систему уравнений следующим образом:
i=l,..., iV. D.7.3)
1=1 У=1
Величины b\ и Ь1п обозначают известные граничные значения ком-
компонент усилий или смещений (в зависимости от того, что именно
задано), а С1„{, ... — надлежащие коэффициенты влияния из
D.7.1) или D.7.2).
Уравнения D.7.3) применимы как для внутренней (конечное
тело), так и для внешней (полость) задач. Вычислительная про-
программа TWOFS а> для решения таких задач представлена в при-
приложении А. Эта программа требует, чтобы граница (или границы)
тела обходилась в соответствии с правилом, приведенным в § 4.6,
т. е. чтобы внешняя нормаль в любой точке границы была направ-
направлена вне тела. Три примера использования этого правила пока-
показаны на рис. 4.10.
Первые два примера (рис. 4.10 (а) и (Ь)) отвечают круговым
границам для полости в бесконечном теле и диска соответственно.
В первом случае границу следует обходить против часовой стрелки,
тогда как во втором случае обход совершается по часовой стрелке.
Третий пример (рис. 4.10 (с)) представляет круглый диск с кон-
концентрическим круглым отверстием. Внутренняя и внешняя гра-
границы этой области должны обходиться в противоположных на-
направлениях.
И наконец, заметим, что для внутренних задач, чтобы исклю-
исключить смещение конечного тела как жесткого целого, следует при-
lj TWO dimensional Fictitious Stress program.

4.8. Условия симметрии 73
нять некоторые меры. Этого можно добиться, если задать по
меньшей мере три компоненты смещений в двух точках границы
тела. Учет симметрии также может служить для устранения же-
жестких смещений. Процедура, позволяющая учесть условия сим-
симметрии в методе фиктивных нагрузок, обсуждается в следующем
(а) (Ъ) (с)
Рис. 4.10. Правило обхода границ: (а) полость; (Ь) сплошной диск; (с) диск с от-
отверстием.
разделе. Условия симметрии довольно часто встречаются в прак-
практических задачах (как во внутренних, так и во внешних), и по-
потому желательно уметь их использовать.
4.8. УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ
В некоторой задаче имеется линия симметрии, если упругие
свойства материала, геометрическая конфигурация границ и
условия нагружения симметричны относительно этой линии.
Упругие свойства однородного изотропного тела одинаковы во
всех точках и по всем направлениям, поэтому остается только
проследить за выполнением двух последних требований. Наличие
линии симметрии влечет два физических следствия. Во-первых,
на ней отсутствуют нормальные (по отношению к линии) смеще-
смещения, и, во-вторых, вдоль нее отсутствуют касательные напряжения.
Линию симметрии для заданного граничного элемента можно
ввести, поставив ему в соответствие воображаемый (отраженный)
элемент и поместив его в надлежащее место плоскости. Линия
симметрии играет роль «зеркала», а компоненты фиктивной на-
нагрузки на воображаемом элементе находятся как отражения
в этом зеркале нагрузок на фактическом элементе. В результате
такого отражения касательные компоненты фиктивных напряже-
напряжений реального и воображаемого граничных элементов всегда
равны по величине, но противоположны по знаку. Нормальные
компоненты всегда равны.
В методе фиктивных нагрузок можно учесть наличие линии
симметрии, включив в коэффициенты влияния воздействия отра-

74 4. Метод фиктивных нагрузок
женных граничных элементов. На практике это достигается авто-
автоматическим — внутри вычислительной программы — генерирова-
генерированием отраженных элементов и вычислением их влияния. Чтобы
разъяснить эту процедуру, рассмотрим в деталях конкретный
случай, в котором осью симметрии служит линия х = х*. Этот
случай изображен на рис. 4.11. Для простоты обсудим только
yLy'J
p'U-pi j
4
Отражение
I x'J=2x*-xl
P'J'Pi
|Цг-7'"
У'/
x* _!^ xJ-x*
Рис. 4.11. Условие симметрии для линии *= х*.
процедуру вычисления граничных коэффициентов влияния. Коэф-
Коэффициенты для произвольных точек внутри тела находятся ана-
аналогичным образом.
Пусть центр реального граничного элемента находится в точке
х = х>, у = у', где xi >#*, и пусть этот элемент расположен
под углом р/ к положительному направлению оси х. Фиктивные
нагрузки на этом элементе равны + Р[ и +Р'п, как показано на
рис. 4.11. Центр отраженного элемента расположен в точке х =
= х'1, у = y'l. Этот элемент ориентирован под углом f>'! = —р'\
а фиктивные нагрузки на нем равны P'J — —Р{ и P'J = Р'п-
Координаты у двух элементов равны, т. е. у'> = yi. Координата х
отраженного элемента определяется с учетом того, что он и реаль-
реальный элемент равно отстоят от линии симметрии, т.е. х = х*.
Исходя из рис. 4.11, запишем
= х* — (xi — х*) = 2х* — xi, y
'l = yl
D.8.1)

4.8. Условия симметрии 75
Граничные смещения us и исп и напряжения als, а, и о' в точке
х = хс, у = гД обусловленные фиктивными нагрузками P'J и P'J
отраженного элемента, теперь можно выразить по D.5.4) и D.5.5)
через локальные координаты
х' = (х1 - x'l) cos р'/ + (у1 - y'l) sin р'' =
= (*' - 2х* + *0 cos (— р/) + (*/< - yi) sin (- рО,
D.8.2)
д-=- (Xi _ *7) sin р'/ + (#< - */'/) cos р'/ =
= - (** - 2х* + дс/) sin (— pi) + (^ - у/) cos (— р/)
и функции Fft (Зё', р'). Локальные координаты х' и |/' определяют
положение точки х = х1, у = у1 относительно центра воображае-
воображаемого элемента, как показано на рис. 4.11. Вычисляя в этой точке
смещения и напряжения на основе результатов § 4.6, следует
изменить знак у касательной компоненты фиктивной нагрузки
на отраженном элементе. Тогда выражения для коэффициентов
влияния ВЦ, ... в D.6.10), А% ... в D.6.11) и A'L ... в D.6.20),
автоматически учитывающие воздействие отраженного элемента,
получаются из D.u.d), D.6.9) и D.6.19). Необходимо только
в этих соотношениях использовать смещения «' и и{п и напря-
напряжения as, а„ и a't, обусловленные как реальным, так и отражен-
отраженным граничными элементами.
Аналогичной процедуре можно следовать и в случае, когда
осью симметрии служит линия у = у*. Этот случай изображен
на рис. 4.12 Координаты* и у центра отраженного элемента равны
х'1 = xi, уЧ = у'- {yi - у*) = 2и* - yi. D.8.3)
Отраженнь & элемент ориентирован под углом р' + я
относительно положительного направления оси х, а фиктивные
нагрузки на нем равны P'J = —Р{ и Pj = Р'п. Локальные
координаты точки х = х?, у = у1 относительно этого элемента
таковы:
х- =. (** - xi) cos (я - рО + (yi - 2у* + W) sin (я - Р0,
у- = - (хс - xi) sin (я - РО + {у1 - 2уп + УП cos (я - р). [ - " }
Теперь, следуя процедуре, описанной выше, можно вычислить
коэффициенты влияния.
Если обе линии х = х* и у = у* служат осями симметрии,
коэффициенты влияния вычисляются с помощью привлечения
трех отраженных элементов. Эта ситуация изображена на рис. 4.13.
Локальные координаты, связанные с каждым отраженным эле-
элементом, можно записать точно так же, как описано выше.

76 4. Метод фиктивных нагрузок
У
у/
У*
yV
\
1
1
\x'
Отражение
Рис. 4.12. Условие симметрии для линии у = у*.
К
Отражение \/f^\\ " J-p'
T i /
Отражение 2 \
<
Рис. 4.13. Условия симметрии для линий х = х* и у = у*.

4.9. Примеры 77
Рисунки 4.11—4.13 отвечают случаю, когда контур обходится
против часовой стрелки. Легко убедиться, что такие же резуль-
результаты получаются и в случае обхода контура по часовой стрелке.
Поэтому процедура, описанная выше, охватывает и внутреннюю,
и внешнюю задачи.
4.9. ПРИМЕРЫ
Ниже даны два примера использования метода фиктивных на-
нагрузок. Первый связан с внутренней задачей о круглом диске, сжа-
сжатом по диаметру, а второй относится к внешней задаче о растя-
растяжении бесконечной пластины с круглым отверстием. Для обеих
задач имеются аналитические решения, поэтому полученные чис-
численные результаты можно сравнить с точными значениями. Не-
Некоторые дополнительные примеры использования метода фиктив-
фиктивных нагрузок при более сложных геометрических конфигура-
конфигурациях представлены в гл. 7 и 8.
Круглый диск, сжатый по диаметру (внутренняя задача)
В этой задаче круглый диск радиуса R нагружен нормальной
нагрузкой ап — —р (сжатие) вдоль двух диаметрально располо-
расположенных дуг длиной 2aR каждая. Геометрическая схема и условия
нагружения показаны на рис. 4.14,
из которого видно, что обе ли-
линии х = 0 и у = 0 служат осями
симметрии.
Аналитическое решение этой за-
задачи известно [26 ]. С помощью вы-
вычислительной программы TWOFS,
приведенной в приложении А и
основанной на методе фиктив-
фиктивных нагрузок, было получено два
численных решения этой задачи.
В первом случае четверть кру-
круговой границы диска была раз-
разделена на 25 прямолинейных эле-
элементов длиной nR/50 каждый, а
нормальная нагрузка <тп = —р
прикладывалась вдоль одного из элементов. Во втором случае
та же часть границы делилась на 50 элементов, длина каждого
из которых была вдвое меньшей, чем в первом случае, а нормаль-
нормальная нагрузка <тп = —р прикладывалась вдоль двух элементов.
Следовательно, эти два численных приближения содержали соот-
соответственно 50 и 100 линейных уравнений с таким же числом
неизвестных.
На рис. 4.15 приведено сравнение приближенных и точных
значений напряжений ахх и ауу в точках вдоль оси у диска. Чис-
Рис. 4.14. Круглый диск, сжатый
по диаметру.

78 4. Метод фиктивных нагрузок
лениые результаты около центра диска при обоих уровнях аппрок-
аппроксимации N — 25 и N = 50 в пределах точности рисунка совпа-
совпадают с аналитическим решением. Вычисленные напряжения не-
несколько отклоняются от точных значений, когда ylR находится
в пределах от 0,6 до 1,0. Например, при y/R = 0,95 ошибка
-Р
Аналитическое
решение
-1,0
0,5
0,5
о TWOFS,Ar=25
• TWOFS,yV=5O
Рис. 4.15. Напряжения вдоль оси у диска.
вычислений оуу составляет около 9 % для N = 25 и 4,5 % для
N = 50.
Дополнительное сопоставление результатов численного и ана-
аналитического решений задачи о диске приведено в табл. 4.1. В ней
значения напряжений даны для точек, выбранных на оси х,
перпендикулярной нагруженному диаметру диска. Численные
результаты обнаруживают хорошее согласие с точным решением.
На рис. 4.15 и в табл. 4.1 вычисленные значения напряжений
указаны для точек, расположенных через равные интервалы вдоль
координатных осей, только для удобства. Точно так же могут
быть найдены результаты для других точек диска при условии, что
они не будут лежать «слишком близко» к границе. Эмпирически

4.9. Примеры 79
x/R
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Таблица
расчет
N — 25
0,0393
0,0378
0,0335
0,0274
0,0206
0,0141
0,0086
0,0044
0,0016
0,0000
—
4.1. Напряжения вдоль оси х диска (TWOFS)
ахх/Р
расчет
N = 50
0,0396
0,0380
0,0337
0,0276
0,0208
0,0142
0,0087
0,0045
0,0018
0,0002
—
аналити-
аналитическое
решение
0,0398
0,0382
0,0339
0,0278
0,0209
0,0144
0,0089
0,0047
0,0019
0,0004
0,0
расчет
N = 25
—0,1203
—0,1172
—0,1085
-0,0955
—0,0801
—0,0639
—0,0483
—0,0341
—0,0217
—0,0111
.—
расчет
N = 50
—0,1201
—0,1170
—0,1082
—0,0951
—0,0795
—0,0632
—0,0474
—0,0331
—0,0206
—0,0100
—
аналити-
аналитическое
решение
—0,1198
—0,1167
—0,1078
—0,0946
—0,0789
—0,0624
—0,0465
—0,0321
—0,0195
—0,0089
0,0 '
установлено, что численное решение становится в целом ненадеж-
ненадежным в точках внутри круга с радиусом, равным длине 2а одного
элемента, с центром в средней точке граничного элемента, за исклю-
исключением, конечно, самой этой средней точки.
Круглое отверстие в бесконечной пластине
при одноосном растяжении на бесконечности
(внешняя задача)
Внешние задачи с заданными на бесконечности ненулевыми на-
напряжениями можно решать в терминах дополнительных напряже-
напряжений и смещений. Это означает, что мы удовлетворяем граничным
условиям, прикладывая к границе круглого отверстия взятые со
знаком «минус» усилия, которые имели бы место в сплошной пла-
пластине. Тогда полное решение дается суммой дополнительных (инду-
(индуцированных) напряжений и смещений и «начальных» величин.
При этом начальные напряжения равны напряжениям, заданным
на бесконечности, а начальные смещения всюду полагаются
равными нулю. В итоге на контуре отверстия суммарные усилия
(т. е. нормальные и касательные напряжения) будут равны нулю.
Заметим, кроме того, что дополнительные смещения равны нулю
на бесконечности.
Программа TWOFS устроена так, чтобы автоматически форми-
формировать граничные условия в дополнительных напряжениях при
заданных на бесконечности значениях компонент напряжений.
Для рассматриваемой задачи эти напряжения таковы: ахх =
= р (р>0) и avy = аху — 0 на со. Численное решение найдено
при разделении четверти круговой границы на 25 элементов.

80 4. Метод фиктивных нагрузок
Аналитическое решение для тангенциальных напряжений
(at = оее) вдоль границы круглого отверстия, согласно [49,
стр. 291 ] х>, имеет вид
аев = р A — 2 cos 28) при г = R, D.9.1)
где угол 8 отсчитывается от оси х. Эта функция изображена на
рис. 4.16 вместе с численными результатами, полученными по
90
Рис. 4.16. Тангенциальное напряжение на границе отверстия.
программе TWOFS. Очевидно, численное решение хорошо согла-
согласуется с выражением D.9.1) для всех элементов границы.
Точные выражения для радиальных и тангенциальных сме-
смещений границы отверстия также известны [49, стр. 291 ] х>.
В случае плоской деформации дополнительные смещения (т. е.
смещения, вызванные образованием отверстия) при г = R равны
D.9.2)
Нормальные и касательные смещения ип и us, вычисленные с по-
помощью программы TWOFS, связаны с радиальными и танген-
Х) См. такжэ, например, Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи
математической теории упругости. Изд. 5-е. — М.: Наука, 1966, с. 194. — Прим.
ред.

4.10. Структура программы 81
циальными смещениями иг и ые следующим образом:
ип= ~ иТ, us = -f "е-'
D.9.3)
Эти соотношения следуют из принятого выше правила обхода
границы; локальная координата s направлена в сторону увеличе-
увеличения угла 6, а локальная координата п направлена к центру, т. е.
в сторону, противоположную направлению г.
Вычисленные и точные значения радиальных и тангенциаль-
тангенциальных смещений в разных точках границы отверстия даны в табл. 4.2
для случая, когда v = 0,1 и plG = 10~3. Вновь численное решение
представляет хорошее приближение к точному решению.
Таблица 4.2. Радиальные и тангенциальные смещения
границы отверстия (TWOFS)
е
<в долях Я/2)
0,02
0,06
0,10
0,46
0,50
0,54
0,90
0,94
0,98
расчет
N = 25
910
899
879
336
253
171
—372
—393
—403
? A0"')
аналитическое
решение
899
888
868
331
250
169
—368
—388
—399
расчет
N = 25
—42
— 124
—203
—655
—660
—655
—204
—124
—42
МИГ,
аналитическое
решение
—41
— 122
• —201
—645
—650
—645
—201
—122
—41
4.10. СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ
В приложении А приведена вычислительная программа метода
фиктивных нагрузок (TWOFS). Эта программа, подобно всем
вычислительным программам методов граничных элементов, имеет
очень простую структуру. Вычисления в ней выполняются за
пять отдельных шагов.
A) Определение местоположений всех граничных элементов
и задание для каждого из них граничных условий в смещениях
или напряжениях.
B) Вычисление граничных коэффициентов влияния и построе-
построение соответствующей системы линейных уравнений с учетом гра-
граничных условий на каждом элементе.
C) Решение системы уравнений, построенной на втором шаге.
D) Вычисление смещений и напряжений на каждом гранич-
граничном элементе.

82 4. Метод фиктивных нагрузок
E) Вычисление коэффициентов влияния для заданных внутри
рассматриваемой области точек и, следовательно, вычисление
смещений и напряжений в этих точках.
Шаг I является обычно входной операцией, вводящей геометри-
геометрические параметры, а шаг 3 можно осуществить с помощью стан-
стандартных методов численного анализа. Шаги 2, 4 и 5 сходны между
собой тем, что каждый из них включает вычисление набора коэф-
коэффициентов влияния. В программе TWOFS коэффициенты влия-
влияния для точек границы (шаги 2 и 4) и для внутренних точек рас-
рассматриваемой области (шаг 5) определяются по аналитическим
выражениям D.5.8) и D.5.9), полученным в § 4.5.
Вычисление коэффициентов влияния смещений и напряжений
составляет «сердце» гранично-элементной вычислительной про-
программы. В разных методах граничных элементов для этой цели
могут использоваться различные аналитические выражения,
но структура любой гранично-элементной программы по существу
такая же, как у описанной выше программы TWOFS.
Вследствие этого вычислительная программа для какого-либо
одного метода граничных элементов очень близко воспроизводит
программу для любого другого метода. Основные отличия ка-
касаются только подпрограммы, используемой для вычислений по
тем или иным аналитическим выражениям, отвечающим рассма-
рассматриваемому методу. Как следствие гранично-элементные про-
программы имеют модульный характер, и это позволяет переходить
от одного метода к другому путем простого изменения модулей
и, возможно, введения нескольких новых параметров в головную
программу.
Пока мы имели дело с двумя различными программными мо-
модулями: один —для упругой изотропной полуплоскости, на по-
поверхности которой в пределах полоски конечной ширины при-
приложены постоянные нормальные нагрузки, а другой-—для по-
постоянных усилий вдоль конечного отрезка в бесконечной изо-
изотропной упругой среде. В последующих главах будут введены
другие модули. В частности, в гл. 7 и 8 будет продемонстрировано,
как подбором разных программных модулей можно решать разно-
разнообразные задачи механики твердого тела.

5. МЕТОД
РАЗРЫВНЫХ
СМЕЩЕНИЙ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Многие практические задачи механики твердого тела касаются тел,
содержащих узкие щелеподобные вырезы или трещины. Трещина
имеет две поверхности, или два берега, фактически совпадающие
друг с другом. Метод фиктивных нагрузок непригоден для реше-
решения таких задач, поскольку влияние элементов, принадлежащих
одной поверхности, неотличимо от влияния элементов другой
поверхности. Однако для решения задач этого типа можно по-
построить другой метод граничных элементов. Этот метод назы-
называется методом разрывных смещений и основан на аналитическом
решении задачи о бесконечной плоскости~У, у, смещения в которой
терпят постоянный по величине разрыв в пределах конечного
отрезка. В соответствии с терминологией § 4.10 можно рассма-
рассматривать это решение как специальный модуль гранично-элемент-
гранично-элементной вычислительной программы.
Физически разрыв смещений можно представить как линейную
трещину, противоположные поверхности которой смещены друг
относительно друга. В данном случае поверхности смещены на
постоянную вдоль всей трещины величину. В общем случае,
конечно, можно рассматривать произвольное распределение отно-
относительного смещения.
Метод разрывных смещений основан на представлении, что
непрерывно распределенные вдоль трещины разрывы смещений
можно заменить дискретной аппроксимацией. При этом проце-
процедура напоминает способ решения задачи о полуплоскости с рас-
распределенными на границе усилиями (ср. рис. 3.6), изложенный
выше в § 3.2. А именно, разбиваем трещину на N (граничных)
элементов и в пределах каждого элемента разрывы смещений
полагаем постоянными. Зная аналитическое решение для одного
постоянного разрыва смещений и суммируя влияния всех N эле-
элементов, находим численное решение задачи.
Наиболее интересные ситуации возникают, когда распределе-
распределение разрывов смещений вдоль трещины неизвестно. В таких слу-
случаях, однако, для правильной постановки задачи нужно знать
распределение усилий, приложенных на контуре трещины. Тогда
мы отыскиваем значения элементарных разрывов смещений на
каждый из элементов, которые необходимы, чтобы вызвать такие

84 5. Метод разрывных смещений
усилия. Это достигается путем решения системы алгебраических
уравнений, как и в описанных выше методах граничных элемен-
элементов. Прежде чем перейти к детальному описанию подхода, рас-
рассмотрим некоторые важные аспекты аналитического решения
задачи для элементарного разрыва смещений. Будет установлено,
что метод разрывных смещений в действительности гораздо более
гибок, чем может показаться, если судить по этому упрощенному
описанию. Метод на самом деле может прилагаться к общим
краевым задачам линейной теории упругости, а его результаты
сравнимы по точности с результатами, получаемыми методом
фиктивных нагрузок.
5.2. РАЗРЫВ СМЕЩЕНИЯ
В БЕСКОНЕЧНОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Задача о постоянном разрыве смещения на конечном отрезке пло-
плоскости х, у бесконечной упругой сплошной среды задается усло-
условием, что смещения непрерывны всюду, кроме рассматриваемого
отрезка. Отрезок можно выбрать так, чтобы он составлял некото-
некоторый участок оси х, скажем участок | х | < а, у = 0. Если этот
отрезок считать прямоли-
прямолинейной трещиной, то на нем
можно выделить две его по-
поверхности (см. рис. 4.4),
полагая, что одна поверх-
поверхность находится на положи-
положительной стороне оси у = 0
(обозначим ее через у =0+),
а другая — на отрицатель-
отрицательной стороне (обозначим ее
через у — 0_). При переходе
с одной стороны отрезка на
другую смещения испыты-
испытывают постоянное заданное
изменение Dt = (Dx, Dv).
Разрыв смещений D, будем определять как разность смещений
двух сторон отрезка
E.2.1)
E.2.2)
Рис. 5.1. Компоненты Dx и Dy постоян
ного разрыва смещения.
или
Dt = ut (хъ 0_) - щ (лгь
Dx = ux{x, 0_)-ux(x,
Dv = иу (х, 0_) — иу (х,
Поскольку их и иу положительны в положительных направле-
направлениях координатных осей х и у, величины Dx и Dy также положи-
положительны в случае, показанном на рис. 5.1. Заметим, что положи-

5.2. Разрыв смещения в бесконечной сплошной среде 85
тельному значению Dy отвечает наложение противоположных
сторон трещины. Такой эффект не создает математических труд-
трудностей, хотя физически он невозможен. Это концептуальное
затруднение можно обойти, если оговорить, что трещина имеет
конечную толщину, малую сравнительно с ее длиной, и что ком-
компонента Dy разрыва смещения всегда меньше толщины трещины.
Решение обсуждаемой задачи получено Краучем [13, 14].
Смещения и напряжения даются выражениями
их = ДЛ2A - v)/, у - yf,xx) + Dy [-(I - 2v)f,x - yf,xy],
v)fyf) ( ¦ ¦ '
axx = 2GDX (+ 2f, xy + yf, xyy) + 2GDy (f, yy + yf, yyy),
ayy = 2GDX (- yf, xyy) + 2GDy (f, yy - yft yyy), E.2.4)
axy = 2GDX (f, yv + yf, yyy) + 2GDy (- yf, xyy).
Функция / (х, у) в этих уравнениях та же функция, которая
введена в § 4.3 формулой D.3.5):
f (х, у) = —-г--J—г- Гг/ (arc tg— arctg—%—\ —
' v ' tu 4n(l— v) lu \ sx — a bx + a/
-(x-a) In V(x-af + y* + (x + a) In y> + aJ + y2] . E.2.5)
Ее производные до второго порядка определяются с помощью
D.3.6). Согласно E.2.4), для оценки напряжения в данной задаче
необходимо знать производные функции f (x, у) третьего порядка.
Эти производные даются следующими формулами:
f __f I
I, xyy- Lxxx-4n{l_v)l[{x_a)i+yi? l(x +a)*+ !/»]*}'
(o.z.b)
, yyy — I, xxy — 4jt A_v) у [(JC _ flJ
x-a x + a
Нетрудно убедиться, что смещения E.2.3) непрерывны всюду
в бесконечном теле, за исключением отрезка | х | < а, у = 0, на
котором они в соответствии с определениями E.2.2) терпят раз-
разрыв. Например, смещения на линии у — 0 таковы:
—2v
4яA—v)
I —2v ~
A, In
x — a
x + a
E.2.7)
x — a
x + a
arctg —^—— arete
u±

86 5. Метод разрывных смещений
Предельные значения членов, содержащих арктангенс, определены
в D.3.9). Используя эти результаты, получаем, что для нахожде-
нахождения компонент смещении вдоль линии у = 0 необходимо рас-
рассмотреть три следующих различных случая:
A) \х\>а, у = 0±
«*(*.°)--15^Г^1п
B) |х|<а, у = 0+
их{х, 0+) = — ¦
In
х—а
х + а
иу(х, 0+) =
, \72\ вх\п
4п A — v) x
х — а
E.2.8)
E.2.9)
C)
,1п
х — а
х-\-а
E.2.10)
Следовательно, на оси у = 0 смещения ия и иу непрерывны при
I х \ >> а, но, как и должно быть, имеют постоянные разрывы Dx
и Dv при | х | < а.
Напряжения на линии у — 0 нетрудно получить из E.2.4).
Они равны
охх(х, °) = — 2 D
2n(l-v)
ОуУ (х, 0) = —
аху(х, 0) = —
aG
/>„
E.2.11)
n(l-v)
—^—D
яA— v)| *'
— a» "
Таким образом, на линии у = 0 нормальные напряжения ожзс
и о^у зависят только от нормальной компоненты разрыва смеще-
смещения Dy, а касательное напряжения аху = аух зависит только от
касательной компоненты Dx. Из приведенных выражений видно,
что напряжения бесконечны и разрывны при х — ±а, но, за
исключением этих точек, они конечны и непрерывны всюду на
оси у = 0.
На рис. 5.2 показаны направления компонент вектора усилия
на двух поверхностях трещины при условии, что D^ >> 0 и Dy >> 0
(см. рис. 5.1). Из D.3.14), D.3.15) и E.2.11) следует, что U (х, 0+) =

5.3. Задача о трещине под внутренним давлением 87
= —U (х> 0_), поэтому суммарные усилия U {х, 0) = U {х, 0+) +
+ U (x, 0_), действующие на трещину, равны нулю.
Предыдущие результаты находятся в контрасте с резуль-
результатами, полученными в § 4.3 для бесконечного упругого тела с по-
постоянными вдоль отрезка напряжениями. В рассматриваемом
случае смещения разрывны по построению, тогда как напряжения
непрерывны. В предыдущей же задаче, если в ней отрезок тоже
рассматривать как трещину, имеет место обратное. Интересно
заметить, что в обоих решениях фигурирует одна и та же функ-
функция f (x, у), но при вычислении напряжений и смещений в этих
двух задачах используются различные комбинации производных
этой функции разного порядка.
5.3. ЗАДАЧА О ТРЕЩИНЕ ПОД ВНУТРЕННИМ
ДАВЛЕНИЕМ
Результаты предыдущего раздела можно использовать для раз-
развития численной процедуры, позволяющей решать краевые за-
задачи теории упругости. Эта процедура, метод разрывных смеще-
смещений, в общем виде будет описана в § 5.4. В данном же разделе
в качестве иллюстрации метода рассмотрим простой пример;
задачу о бесконечном те-
теле с трещиной, испыты-
испытывающей внутреннее давле-
давление. Эта задача опреде-
определяется следующими уело-
виями:
Оху — 0,
а,у = —р
— оо <;.
', \х\<Ь,
х<
У-
E.
= о,
.3.1)
Кпомр тот ня бргкпнри Рис' 52' Напряжения, приложенные на по-
погроме того, на Оесконеч- верхиостях трещины.
ноет и все смещения и на-
напряжения равны нулю. Аналитическое решение этой задачи
для распределения относительных нормальных смещений вдоль
трещины (т. е. для суммарного раскрытия) определяется фор-
формулой
йу (х) = иу (х, 0_) — иу (х, 0+) = — 2A~v) pb{\— x2/b2y/2 E.3.2)
(см., например, [47, стр. 478]).
Для численного решения рассматриваемой задачи разделим
трещину на N отрезков, или граничных элементов, каждый из
которых представляется как элементарный разрыв смещения.

88 5. Метод разрывных смещений
Компонента смещения в направлении оси у разрывна на каждом
элементе, а компонента смещения в направлении оси х в силу
условия симметрии оказывается непрерывной. Предположим, что
элементы настолько малы, что разрыв смещения в направлении
оси у в пределах каждого элемента можно считать постоянным.
Тогда численная аппроксимация решения задачи E.3.1) может
быть представлена N дискретными разрывами смещений
Dy (i = 1, ..., N). Значения этих N разрывов определяются при
решении системы N линейных алгебраических уравнений с N
неизвестными. Как показывается ниже, эти уравнения можно
получить из второго выражения E.2.11).
Нормальное напряжение вуу в точке х, у = О, вызванное
постоянным вдоль отрезка | х | << а, у = 0 разрывом смещения Dv,
дается формулой (см. E.2.11))
Если разрыв имеет место на отрезке длиной 2а' с центром в точке
х = х , у = О, то E.3.3) переписывается следующим образом:
°»<*. °)—zv=wD'' ь-w-w ' E'3-4)
где Dy — разрыв смещений на отрезке \х — х1 \ ^ а1, у =0.
Напряжение в центре i-ro элемента, вызванное разрывом смеще-
смещений в /-м элементе, находится путем подстановки х1 вместо х:
°уу (х\ 0) = — „A_v) D'y (х1_хГр_(ау vo.3.5)
Согласно принципу суперпозиции, напряжение в центре г-го
элемента, вызванное разрывами смещений во всех N элементах,
равно
N
Оуу (х1, 0) = о'уу = 2 A"DL E.3.6)
/=i
где А1' — коэффициенты влияния:
лЧ Gа' /со7ч
n(l-v) (je' — xO2 —(аО2 * ( '
Предположим, что &уу — нормальное напряжение на отрезке
х — х11 < а1, у = 0. Тогда численное решение задачи о тре"
щине под действием внутреннего давления определяется из реше-
решения системы N линейных алгебраических уравнений с N неиз-
неизвестными:
N
i! E.3.8)

5.4. Численная процедура 89
Эти уравнения можно решить относительно Dly (i = 1, ..., N)
стандартными методами численного анализа. Заметим, что син-
сингулярное решение, использованное при построении этих уравне-
уравнений, автоматически удовлетворяет требованию, чтобы смещения
на бесконечности равнялись нулю. Оно также удовлетворяет
первому и третьему условиям E.3.1).
В качестве иллюстрации численной процедуры, описанной
выше, рассмотрим конкретный пример при v = 0,1, pIG = 10"s.
Xlb
, -0,001 -
-0,002
(W
Рис. 5.3. Численное и аналитическое решения для распределения разрывов
смещения (v = 0,1, p/G= 10).
Точное распределение разрывов смещений вдоль трещины опре-
определяется согласно E.3.2). На рис. 5.3 изображены две численные
аппроксимации точного решения. Эти результаты представлены
в безразмерной форме, пригодной для любых значений Ь и С.
Первая аппроксимация (рис. 5.3 (а)) найдена при разделении
длины трещины на 10 одинаковых граничных элементов, а вторая
(рис. 5.3 (Ь)) — делением на 20 граничных элементов. По способу
построения, разрывы Dy постоянны вдоль каждого элемента.
На практике, однако, удобно представлять, что они относятся
к дискретным точкам xl (i = 1, ..., N). Тогда можно соединить
их плавной кривой, аппроксимирующей точное решение. Про-
Проделав мысленно эту операцию, из рис. 5.3 можно заключить, что
метод разрывных смещений завышает значения относительных
смещений поверхностей трещины, но результаты приближаются
к точному решению по мере увеличения N.
5.4. ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА
Обобщение описанной выше численной процедуры для задачи
о трещине под внутренним давлением показано на рис. 5.4. В этом
случае трещина может быть криволинейной, но мы полагаем, что
с достаточной точностью ее можно представить набором N элемен-
элементов, примыкающих друг к другу. Местоположения и ориентации
этих отрезков определяются по отношению к общей системе

90 5. Метод разрывных смещений
координат х, у, показанной на рисунке. Если к берегам трещины
приложена нагрузка (например, равномерное давление жидко-
жидкости —р), они смещаются друг относительно друга. Метод разрыв-
разрывных смещений позволяет найти дискретное приближение к тому
гладкому распределению относительных смещений (т. е, разрывов
смещений), которое возникает в действительности *>. Это дискрет-
дискретное приближение находится по отношению к N подобластям
Г']
Рис. 5.4. Представление трещины с помощью N элементарных разрывов сме-
смещений.
трещины, изображенной на рис. 5.4 (а). Каждая из этих подобла-
подобластей есть граничный элемент и характеризуется элементарным
разрывом смещения.
Элементарные разрывы смещений определяются в локальных
координатах п и s, показанных на рис. 5.4. На рис. 5.4 (Ь) выде-
выделен элементарный разрыв смещения /-го отрезка трещины. Компо-
Компоненты разрывов в этом элементе в направлениях s и п обозна-
обозначены через D{ и D!n. Эти величины определяются следующим об-
образом:
D{ = u-S''~u:', DIn = Unl-u*1. E.4.1)
В этих определениях и{ и и'п — касательные (s) и нормальные (п)
смещения /-го элемента трещины. Индексами + и — обозначены
положительная и отрицательная поверхности трещины по отно-
отношению к локальной координате п.
lj Мы предполагаем, что движение поверхности трещины ничем не ограни-
ограничивается. В некоторых задачах необходимо накладывать физическое условие,
исключающее возможность перекрытия поверхностей трещины. Такие задачи
являются нелинейными и должны решаться в инкрементальной постановке, т. е.
путем пошаговых изменений нагрузки. Обсуждение нелинейных задач такого
рода содержится в гл. 8.

5.4. Численная процедура 91
Локальные смещения и{ и ы' представляют собой две компо-
компоненты вектора. Они положительны в положительных направле-
направлениях s и п, независимо от того, какая поверхность трещины (поло-
(положительная или отрицательная) рассматривается. Как следствие
из E.4.1) имеем, что нормальная компонента разрыва смещения
D!n положительна, если противоположные берега трещины сбли-
сближаются. Аналогично заключаем, что касательная компонента D{
положительна, если положительная поверхность перемещается
относительно отрицательной поверхности влево (см. рис. 5.4 (Ь)).
Влияние отдельного элементарного разрыва смещения на сме-
смещения и напряжения произвольной точки бесконечного твердого
тела можно определить, исходя из результатов § 5.2 путем над-
надлежащего преобразования уравнений с целью учета положения
и ориентации элемента. Например, касательное и нормальное
напряжения в центре t-ro элемента (рис. 5.4 (Ь)) могут быть
выражены через компоненты разрыва смещения /-го элемента
следующим образом:
On — rlnsUs
где AlJs, ...—граничные коэффициенты влияния для напря-
напряжений х>. Например, коэффициент Anl дает нормальное напряже-
напряжение в центре г-го элемента (т. е. а1п), вызванное постоянным еди-
единичным разрывом смещения в касательном направлении вдоль
/-го элемента (т. е. D{ — l).
Возвращаясь теперь к задаче о трещине, изображенной на
рис. 5.4 (а), поместим элементарный разрыв смещений на каждом
из N отрезков вдоль трещины и, используя E.4.2), запишем
N N '
E.4.3)
/=i /=i
Если значения напряжений о[ и оп задать для каждого элемента
трещины, то соотношения E.4.3) образуют систему 2N линейных
уравнений с 2JV неизвестными, а именно с неизвестными компо-
компонентами Dls и Dcn (i = 1, ..., N) элементарных разрывов смещений.
После нахождения решения для Dls и Dn можно, используя
принцип суперпозиции, определить смещения и напряжения в про-
1} Удобно использовать те же символы для этих коэффициентов, которые
ранее применялись в методе фиктивных нагрузок. Естественно, выражения
для подсчета коэффициентов в этих двух случаях различны.

92 5. Метод разрывных смещений
извольной точке тела. В частности, смещения вдоль трещины,
показанной на рис. 5.4 (а), даются выражениями вида
i =!,...,#, E.4.4)
где Bss, ... — граничные коэффициенты влияния для смещений.
Поскольку переход с одной стороны t-ro элемента на другую его
сторону сопровождается разрывом смещения, эти две стороны
необходимо различать при нахождении из E.4.4) коэффициентов
влияния. В § 5.6 будет показано, что диагональные элементы
матрицы коэффициентов влияния в этих соотношениях имеют
следующие значения:
t>sn = tsns = и,
nil nil
Г»«я = Ппп ~
— 1/2 при л
E.4.5)
1/2 при п^0_.
Прочие коэффициенты (т. е. те коэффициенты, для которых i Ф j)
непрерывны, поэтому смещения и{ и и1п в E.4.4), как и должно
быть, испытывают постоянные разрывы смещений Ds и D'n.
Уравнения E.4.3) имеют такой же вид, как уравнения D.4.2),
но между ними есть важное различие: величины Р{ и Р'п в урав-
уравнениях D.4.2) фиктивны, а
величины D{ и D'n в уравне-
уравнениях E.4.3) имеют вполне
определенный физический
смысл. Заметим, однако, что
последнее утверждение спра-
справедливо только в задачах
типа задач о трещинах, в ко-
которых граница изучаемой
области представляется в ви-
виде разомкнутой линии. Если
же рассматриваются ситуа-
ситуации, в которых все элементар-
элементарные разрывы смещений свя-
связаны так, что образуется замкнутый контур в бесконечном теле,
как показано на рис. 5.5, то граница состоит из двух линий. Одна
линия (п = 0_) определяет границу полости в бесконечном теле,
а другая (п = 0+) определяет границу конечного тела. Компо-
Компоненты разрывов смещений Ds и Dln (i = 1, ..., Af) характеризуют
относительные смещения этих двух границ в направлениях s и п
Рис. 5.5. Представление замкнутого кон
тура.

5.5. Преобразование координат. 93
соответственно. Однако если только обе области действительно
не фигурируют в одной и той же задаче, то эти величины оказы-
оказываются фиктивными. Тем не менее они могут использоваться
при решении внутренней и внешней задач точно так же, как фик-
фиктивные нагрузки. Поскольку фактически решения этих двух
задач отыскиваются одновременно, в общем случае необходимо
надлежащим образом зафиксировать смещения некоторых точек
внутренней области, чтобы предотвратить ее перенос и вращение
как жесткого целого (способ, обеспечивающий это в случае общей
краевой задачи, описан в § 5.7). Смещения во внутренней об-
области определяются относительно этих фиксированных точек,
а во внешней области они находятся относительно фиксированных
(нулевых) смещений на бесконечности.
5.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Коэффициенты влияния в E.4.3) и E.4.4) получены из аналити-
аналитического решения задачи о постоянном разрыве смещений вдоль
произвольно ориентированного конечного отрезка в бесконечном
сх х
Рис. 5.6. Разрыв смещения на произвольно ориентированном отрезке.
теле. Это решение можно получить, основываясь на результатах
§ 5.2, путем простого преобразования координат. Ниже это реше-
решение приводится для схемы, изображенной на рис. 5.6. Компоненты
Dx и Dg разрыва смещений постоянны вдоль отрезка | х | <g a,
Координаты х, у связаны с глобальными координатами х, у
формулами преобразования D.5.1). Смещения и напряжения,
вызванные компонентами D*, Dg разрыва смещения вдоль отрезка
| х | <¦ а, у = 0, можно сразу получить из результатов § 5.2,

94 5. Метод разрывных смещений
введя надлежащие изменения в обозначениях. Используя опре-
определения D.5.5) для функций F2(x, у), ..., Fb(x, у) и две дополни-
дополнительные фуНКЦИИ Fe (х, у) = ftxSg И F, [X, у) = /, ggg (CM. E.2.6)),
представим решение в следующем виде:
y4])
F5),
<т„ = 2GDX- BF4 + yF6) + 2GDB (— F5 +~yF7),
<yB9 = 2GDX (— #?6) + 2GDS (- Fs - yF7), E.5.2)
a,g = 2OZ?x (- ^s -f ^/7) + 2GZ?9- (— yF6).
Функции Fe и F7 получены с помощью преобразования E.2.6)
и равны
F*Cx~u\-f 1 ( (х-а)»-у» {Я + а)*-у» )
Гб№ у>~ I'*™— 4яA—v) \[(х — вJ + У2]2 [(* + аJ + Р2]2 )'
E.5.3)
„,__. , 2у ( х — а х -\- а }
г'7 (*> У) — Г, ууу — 4я(Г—v) \ [(ж— а)^ -)- у2]2 [(* + аJ + Р2]2 I '
Смещения и напряжения в системе координат хну можно
теперь найти, подставив E.5.1) в B.8.1), а E.5.2) в B.8.5) и B.8.7).
Поступая таким образом, получаем искомое решение
их = Ds [— A - 2v) sin p?2 + 2 A - v) cos f,F3 -\-
+ у (sin pF4 — cos $F5)] + D5 [— A — 2v) cos 6F2 -
- 2 A - v) sin pF3 - У (cos pF4 + sin PF8)], E 5 4)
uy = D? [A - 2v) cos $F2 + 2 A - v) sto'pf3 -
- у (cos p?4 + sin pF6)] + Dp [— A - 2v) sin pF2 +
+ 2 A - v) cos p?3 - у (sin p^. - cos pF8)],
a^ = 2GDx [2 cos2 PF4 + sin 2$F5 + у (cos 2pF6 — sin 2$F7)] +
+ 2GDg [— Fs + F(sin 2f>F6 + cos 2pF7)],
aw = 2GDx [2 sin2 $F4 - sin 2$F5 - у (cos 2$F6 - sin 2$F7)] +
S l-Fs-y (sin 2рДe + cos 2р?)] E'5)
axy = 2GD^ [sin 2pF4 - cos 26F5 + F(sin 26?6 + cos
S \—y(cos2p?6 - sin26F7)J.

5.6. Коэффициенты влияния 95
Эти формулы теперь можно использовать при вычислении
общих коэффициентов влияния в методе разрывных сме-
смещений.
5.6. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ
Коэффициенты влияния в методе разрывных смещений получаются
из предыдущих результатов с помощью рассмотрения бесконечного
тела, включающего N отрезков, произвольным образом ориенти-
ориентированных относительно глобальной системы координат х, у.
Каждый из этих отрезков имеет свою локальную систему коор-
координат, и каждый из них представляет элементарный разрыв сме-
смещения. Влияния касательной и нормальной компонент разрыва
смещения /-го элемента (т. е. D's и Dh) на смещения и напряжения
произвольной точки (х, у) тела можно вычислить исходя из E.5.4)
и E.5.5). Влияние этих величин на касательные и нормальные
смещения и напряжения средней точки t-го элемента задаются
граничными коэффициентами влияния BlJs, ... в E.4.4) и Als{, ...
в E.4.3). Процедура вычисления этих коэффициентов в точности
совпадает с процедурой метода фиктивных нагрузок, описанной
выше в § 4.6, поэтому здесь она детально не обсуждается.
Необходимые граничные коэффициенты влияния получаем из
D.6.6), D.6.7), E.5.1) и E.5.2). Коэффициенты для смещений
и напряжений определяются соотношениями
- у (sin yF4 + cos yF5)] + D^ [- A - 2v) cos yF2 +
+ 2 A - v) sin yF3 - у (cos yF4 - sin yFb)], 6
i4 = Z^f(l-2v)cosvF2-2(l-v)sinvF8-
- у (cos yFt - sin yP5)] + Djn [A - 2v) sin yF2 +
+ 2 A - v) cos yFз + у (cos yFb + sin yF,)),
a[ = 2GD{ [— sin 2yF4 - cos 2yF5 - у (sin 2yF6 — cos 2y~F7)} +
-f 2GD'n [- у (cos 2yF6 + sin 2yF7)}, (g
On = 2GD[ [2 sin2 v?4 + sin 2yFs - у (cos 2yF6 + sin 2yF7)] +
+ 2GD'n [— F5 + у (sin 2yF6 - cos 2yF7)],
где у = p' — P' —• наклон t-го элемента относительно /-го эле-
элемента (ср. рис. 4.7).

96 5. Метод разрывных смещений
Нетрудно показать, что диагональные члены матрицы гранич-
граничных коэффициентов влияния (собственные влияния элементов)
в рассматриваемой задаче таковы:
В'Г= В". - 0; ВЦ = fi? = =f 1/2 при у = 0±, E.6.3)
Л^ = Л^ = 0; JU = Л?, = + [G t . E.6.4)
л A —v) a
Из E.6.3) следует, что коэффициенты смещения ВЦ и В'пП
принимают на разных сторонах линии у = 0 различные значения,
т. е. указанные коэффициенты вдоль этой линии разрывны. Вместе
с тем коэффициенты АЦ и А1„п для напряжений непрерывны.
Напомним, что в методе фиктивных нагрузок имела место обратная
ситуация (см. D.6.17) и D.6.18)).
Примем такой же порядок обхода контура, какой был принят
в методе фиктивных нагрузок, а именно внешняя нормаль для
любого замкнутого контура должна быть направлена из тела
(см. рис. 4.10). Тогда коэффициенты В" и Б"„ для обеих задач,
внешней и внутренней, принимают одно и то же значение +1/2.
В общем случае тем не менее будет возникать необходимость вы-
вычислять смещения на обеих сторонах граничного элемента, по-
поскольку любой конкретный элемент физически легче представить
как часть трещины, чем как часть замкнутого контура. Вычислив
значения u~sl и и~п1 и используя определения E.4.1), можно найти
и? и и".
5.7. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧИ
Численная процедура метода разрывных смещений во всех отно-
отношениях подобна описанной ранее процедуре метода фиктивных
нагрузок. В данном случае границу рассматриваемой области
разбиваем на N элементов и каждому элементу сопоставляем
компоненты разрыва смещения Ds и Dn. Затем строим и решаем
систему алгебраических уравнений для нахождения таких раз-
разрывов смещений, которые обеспечивают заданные граничные сме-
смещения или напряжения. Смещения и напряжения в произ-
произвольной точке тела можно затем вычислить, суммируя влия-
влияния в этой точке разрывов смещений во всех N граничных эле-
элементах.
Система алгебраических уравнений строится путем рассмотре-
рассмотрения граничных условий для каждого элемента. Если на t-м гра-
граничном элементе заданы напряжения als = (alsH и aln = (а^H,

6.7. Внутренняя и внешняя задачи 97
то j'-e уравнения системы имеют вид
'=' '=' E.7.1)
Аналогично если заданы смещения «' = (и')о и ип = («?H, то
i-e уравнения таковы:
E.7.2)
В смешанных задачах, когда заданы или и\ и а1п, или а[ и ип,
из E.7.1) и E.7.2) выбираются соответствующие уравнения.
Поступая таким образом для i = 1, ..., N, получаем систему
2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными компонентами
разрывов смещений. Эту систему, как и в методе фиктивных
нагрузок, представим следующим образом:
N N
i=\,...,N. E.7.3)
Вновь величины bls и bln обозначают известные граничные значения
напряжений или смещений, a Cls{, ... — соответствующие коэффи-
коэффициенты влияния из E.7.1) или E.7.2).
Задачи, связанные с неограниченными областями, содержа-
содержащими трещины, даже криволинейные или пересекающиеся, доста-
достаточно легко решаются с помощью метода разрывных смещений.
Граничные элементы при этом не образуют замкнутый контур,
но все же при решении задачи мы должны различать положи-
положительную и отрицательную стороны каждого из них. Это необхо-
необходимо для интерпретации значений смещений и* и и*, вычисленных
для каждого элемента. Более того, вычислительная программа
TWODD Х), приведенная в приложении В, требует, чтобы любые
заданные смещения относились к отрицательной стороне эле-
элемента. (Это требование — следствие принятого ранее правила
обхода контура для случая, когда элементы расположены вдоль
замкнутого контура.) Поэтому, если мы хотим задать смещения
1> TWODD — TWO dimensional Displacement Discontinuity program.
4 Крауч С, Старфилд А.

98 5. Метод разрывных смещений
лишь на одной стороне t-ro элемента трещины, мы должны по-
позаботиться, чтобы эта сторона была отрицательной. После решения
задачи можно вычислить касательные и нормальные напряжения
als и а1п, которые должны быть приложены к г-му элементу для
того, чтобы вызвать заданные смещения и~&1 и и~п1 • Эти напряжения
действуют одновременно на обеих сторонах элемента. Смещения
на положительной его стороне
определяются из соотношений
и? = uf — Dcs и и? = и~п1 —
-Dln (см. E.4.1)).
Если граничные элементы
связаны так, что образуют зам-
замкнутый контур, то краевые за-
задачи можно рассматривать и
для внутренней, и для внешней
по отношению к контуру обла-
области. Решения внутренних задач
~~х "* (тело конечно) находятся таким
Рис. 15.7. Предотвращение Гдвижения Же способом, как В методе фик-
тела как жесткого целого для внеш- тивных нагрузок. Смещения
ней задачи. тела как жесткого целого пре-
предотвращаются заданием по
крайней мере трех компонент смещений в двух точках границы.
Альтернативный способ достижения той же цели состоит в ис-
использовании условий симметрии, если они имеют место в рас-
рассматриваемой задаче (см. § 5.8).
С другой стороны, внешние задачи (о полостях в бесконечных
телах) при использовании метода разрывных смещений требуют
несколько иного подхода. Как объяснено в § 5.4, внутренняя
задача связана с соответствующей внешней задачей, а решения
для них ртыскиваются одновременно. Поэтому необходимо задать
условия, предотвращающие смещение внутренней области контура
как жесткого целого, даже если нас интересует только внешняя
задача. Если в рассматриваемой задаче есть две линии симметрии,
то внутренняя область фиксируется относительно этих линий
автоматически. Таким образом, (фиктивные) компоненты разры-
разрывов смещений определяются однозначно вдоль всего замкнутого
контура, а смещения и напряжения для внешней области можно
представить линейной комбинацией компонент разрывов смеще-
смещений. Если же рассматриваемая задача не симметрична, тогда
смещение внутренней области как жесткого целого предупре-
предупреждается путем фиксирования смещений определенных точек
внутри замкнутого контура, как показано на рис. 5.7. Это дости-
достигается введением в этих точках дополнительных «граничных»
элементов и заданием смещений на их отрицательных сторонах,

5.9. Примеры 99
скажем u'J — unl = 0. Чтобы исключить вращение и смещение
внутренней области, необходимо ввести как минимум два элемента
разной ориентации. Получив решение задачи, находим, что вну-
внутренние элементы подвержены некоторым касательным и нормаль-
нормальным напряжениям. Эмпирически установлено, что эти напряже-
напряжения не оказывают влияния на качество решения внешней задачи.
5.8. УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ
Условия симметрии в методе разрывных смещений учитываются
тем же способом, который описан в § 4.8 для метода фиктивных
нагрузок. А именно, мы вводим линию симметрии относительно
Рис. 5.8. Условия симметрии для линий х = х* и у = у*.
данного граничного элемента, добавляя в надлежащем месте
воображаемый (отраженный) элемент. Это показано на рис. 5.8
для случая, когда обе линии х = х* и у = у* служат линиями
симметрии. Нормальные компоненты разрывов смещений для
действительного и отраженного элементов равны, а касательные
компоненты меняют знак при каждом переходе через линию
симметрии.
5.9. ПРИМЕРЫ
В качестве иллюстраций метода разрывных смещений представим
численные решения двух задач, рассмотренных в § 4.9 методом
фиктивных нагрузок: задачи о круглом диске, сжимаемом по диа-
4*

100 5. Метод разрывных смещений
метру, и задачи о бесконечной пластине с круглым отверстием при
одноосном растяжении на бесконечности. Более сложные примеры
метода разрывных смещений рассматриваются в гл. 7 и 8.
Круглый диск, сжимаемый по диаметру (внутренняя задача)
Эта задача (см. рис. 4.14) решена численно с помощью вычисли-
вычислительной программы метода разрывных смещений (TWODD),
приведенной в приложении В. Вновь были рассмотрены две чис-
0,5
о TWODD, ,/V=25
• TWODD, #=50
-1.0
-0,5
Охх/р и буу/р
Рис. 5.9. Напряжения вдоль оси у диска.
ленные аппроксимации аналитического решения [26]: одна с ис-
использованием 25 граничных элементов для представления чет-
четверти круговой границы, а другая с использованием 50 граничных
элементов. В данном случае не было необходимости задавать
какие-либо смещения вдоль границы, поскольку условия сим-
симметрии автоматически фиксировали положение диска относи-
относительно его центра.

5.9. Примеры 101
На рис. 5.9 представлены результаты сравнения приближен-
приближенных и точных значений напряжений ахх и оуу в точках вдоль оси у
диска. В обоих случаях — при N — 2Ъ и N — 50 — численные
результаты находятся в хорошем согласии с аналитическим
решением. Выясняется, что метод разрывных смещений дает
более точные результаты вдоль оси у диска, чем метод фиктивных
нагрузок (см. рис. 4.15). Напряжения, вычисленные вдоль оси х
диска, сравниваются с аналитическим решением в табл. 5.1.
Численные результаты получены примерно с такой же точностью,
как ранее в методе фиктивных нагрузок (ср. табл. 4.1).
Таблица 5.1. Напряжения вдоль оси х диска (TWODD)
x/R
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
расчет
N = 25
0,0385
0,0371
0,0330
0,0271
0,0205
0,0141
0,0087
0,0046
0,0018
0,0003
—
axxf>
расчет
N = 50
0,0392
0,0376
0,0334
0,0274
0,0207
0,0143
0,0088
0,0046
0,0019
0,0003
—
аналити-
аналитическое
решение
0,0398
0,0382
0,0339
0,0278
0,0209
0,0144
0,0089
0,0047
0,0019
0,0004
0,0
расчет
N — 25
—0,1177
—0,1147
—0,1063
—0,0937
-0,0786
—0,0628
—0,0474
—0,0334
—0,0212
—0,0107
—
ауу1р
расчет
N = 50
—0,1187
—0,1157
—0,1070
—0,0941
—0,0788
—0,0626
—0,0470
—0,0328
—0,0204
—0,0098
—
аналити-
аналитическое
решение
—0,1198
—0,1167
—0,1078
—0,0946
—0,0789
—0,0624
—0,0465
—0,0321
—0,0195
—0,0089
0,0
Следует заметить, что те же самые фиктивные элементарные
компоненты разрывов смещений, какие использованы при вычис-
вычислении результатов, данных выше для круглого диска, служат
также для нахождения численного решения аналогичной задачи
для внешней области. Это задача о бесконечном теле с круглым
отверстием, находящемся под действием нормальных усилий
сг„ = —р на двух диаметрально расположенных дугах границы
и свободном от нагрузок на остальной части границы. Напряже-
Напряжения и смещения в неограниченной области можно вычислить
и для этой задачи с помощью программы TWODD, если выбрать
точки вне круговой границы.
Неограниченная пластина с круглым отверстием
при одноосном растяжении на бесконечности (внешняя задача)
Эта задача решена с помощью программы TWODD при аппро-
аппроксимации четверти круговой границы 25 элементами. В примене-
применении специальных приемов для фиксации смещений внутренней

102 5. Метод разрывных смещений
Таблица 5.2. Радиальные н тангенциальные смещения
границы отверстия (TWODD)
е
(в долях я/2)
0,02
0,06
0,10
0,46
0,50
0,54
0,90
0,94
0,98
ur/R
расчет
N = 25
898
888
868
336
255
174
—359
—379
—389
,о-.
аналитическое
решение
899
888
868
331
250
169
—368
—388
—399
V* <
расчет
/V = 25
—41
— 121
—200
—644
—649
—644
—200
—121
41
ю-)
аналитическое
решение
—41
—122
—201
—645
—650
—645
—201
— 122
—41
Рис. 5.10. Тангенциальные напряжения на границе отверстия.
области не было необходимости, поскольку условия симметрии
фиксировали положение этой области относительно ее центра.
В табл. 5.2 для сравнения приведены результаты вычисленных
радиальных и тангенциальных смещений границы отверэтия
с аналитическим решением D.9.2), полученные для случая v =
= 0,1, pIG = 1СП3. Как и в § 4.9, р — значение растягивающего
напряжения стжж на бесконечности. Сравнение данных табл. 5.2
с результатами табл. 4.2 обнаруживает, что метод разрывных
смещений вновь достигает приблизительно того же уровня точ-
точности, который характерен для метода фиктивных нагрузок.

5.10. Расчет тангенциальных напряжений вдоль границы 103
С помощью метода разрывных смещений можно также вычис-
вычислить тангенциальные напряжения аее вдоль границы отверстия.
В следующем параграфе устанавливается, что для этого прихо-
приходится использовать коэффициенты влияния, содержащие каса-
касательные производные смещений вдоль границы. Если граничные
смещения уже найдены, то для вычисления их производных можно
воспользоваться формулами численного дифференцирования и
найти, таким образом, тангенциальное напряжение at — от.
Результаты подобного расчета для рассматриваемой задачи
даны на рис. 5.10.
5.10. РАСЧЕТ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ
В § 4.6 был указан достаточно прямой путь для нахождения
тангенциальных напряжений at вдоль границы при использова-
использовании метода фиктивных нагрузок. При этом коэффициенты вли-
влияния (включая диагональные элементы) определялись непосред-
непосредственно тем же основным решением задачи теории упругости,
которое применялось для построения самого численного метода,
а именно решением задачи о постоянных усилиях, приложенных
на отрезке в бесконечной плоскости х, у. Это решение характери-
характеризуется тем, что все компоненты напряжения разрывны в средней
точке рассматриваемого отрезка.
В методе разрывных смещений ситуация несколько иная.
В этом случае основное решение, используемое для построения
численного метода, характеризуется тем, что все компоненты
напряжения непрерывны в центре отрезка, на котором имеет место
постоянный разрыв смещения (см. E.2.11)). Следовательно, если
мы наложим несколько таких решений, как изображено на рис. 5.4
и 5.5, то на каждом граничном элементе все напряжения будут
непрерывны.
Однако из физических соображений ясно, что тангенциальные
напряжения в общем случае должны испытывать разрыв при
переходе через каждый элемент границы. Рассмотрим, например,
задачу о двух параллельных трещинах, изображенную на
рис. 5.11. Из условий равновесия следует, что на поверхностях
трещин нормальные и касательные напряжения равны, т. е.
эти величины непрерывны. Численное решение для деформиро-
деформированных форм трещин, найденное с помощью программы TWODD
и показанное на рис. 5.11, обнаруживает, что противоположные
стороны каждой трещины деформируются по-разному. Как след-
следствие можно ожидать, что тангенциальные деформации е^ и
тангенциальные напряжения ot = ахх будут испытывать разрыв
при переходе с одной стороны трещины на другую. Ниже пока-
показывается, что это действительно так; разрыв тангенциальных

104 5. Метод разрывных смещений
напряжений в произвольной точке трещины пропорционален
касательной производной сдвиговой составляющей разрыва сме-
смещения в этой точке.
Масштаб смещений
Рис. 5.11. Деформированные формы двух параллельных трещин под внутренним
давлением в бесконечном теле.
Этот результат легко установить на основе закона Гука для
плоской деформации. Первые два выражения B.6.4) можно запи-
записать в виде
"~'»*'I In ,' <6101)
ауу = 2 [vexs -j- (I — v) eyy].
Разрешая второе уравнение относительно еуу и подставляя полу-
получающееся выражение в первую формулу, находим
2G _ , v _
1
E.10.2)
Это выражение дает удобный способ находить тангенциальные
напряжения вдоль двух трещин, изображенных на рис. 5.11.

5.10. Расчет тангенциальных напряжений вдоль границы 105
Для положительной и отрицательной сторон каждой из трещин
запишем
°хх = ~1 Z~exx i %
1 v %i
"г
или, используя определения е^ = диУдх, ехх = ди~х1дх,
а* - 2G dU+x M v „+
x~v dx ' v E.10.4)
„. 2G *«; , v „_
0 + 0
Уравнения E.10.4) можно применять для вычисления танген-
тангенциальных напряжений вдоль трещины. Напряжения ву~у и а~уу
равны между собой во всех точках каждой из трещин, и остается
только вычислить касательные производные сдвиговых смещений
и\ и их. Метод разрывных смещений определяет эти величины
в системе дискретных точек вдоль трещин, поэтому необходимые
производные приходится находить по формулам численного диф-
дифференцирования. Проиллюстрируем такой расчет ниже на примере
задачи, изображенной на рис. 5.11. Однако прежде заметим, что
разрывы тангенциального напряжения вдоль каждой трещины
равны
+ 2G / 3tq ди+
Qхх ~~~ @хх ~—' С —а — —5
или
Величина их — ut Дает касательную компоненту разрыва смеще-
смещения в произвольной точке вдоль трещины. Касательная производ-
производная этой величины определяет, как и следовало ожидать, значение
разрыва тангенциального напряжения.
Численные результаты
Смещения контуров трещин на рис. 5.11 получены для случая
v == 0,1 и pIG = 10"а. Каждая трещина делилась на 21 элемент
разрывов смещений; элементы приняты одинаковой длины и про-
пронумерованы слева направо. Вычисленные касательные смещения
каждой из двух сторон правой половины верхней трещины при-
приведены в табл. 5.3. Смещения левой половины трещины (т. е.
элементов 1—10) можно найти из этих результатов, учтя, что ли-
линия х = 0 служит осью симметрии.
Для того чтобы найти тангенциальные напряжения ах'х и ахх
в {-м элементе трещины, необходимо вычислить производные

106 5. Метод разрывных смещений
Таблица 5.3. Смещения вдоль правой половины верхней трещины
(см. рис. 5.11)
Элемент
@
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
хЧь
0
2/21
4/21
6/21
8/21
10/21
12/21
14/21
16/21
18/21
20/21
0
—0,320
—0,640
—0,957
— 1,271
—1,580
— 1,881
—2,170
—2,439
—2,667
—2,796
и-'/ь (Ю-")
0
—0,110
—0,220
—0,329
—0,439
—0,550
—0,670
—0,813
—1,010
—1,308
— 1,763
0
0,210
0,420
0,628
0,832
1,030
1,211
1,357
1,429
1,359
1,033
ди$/дх и дих/дх на этом элементе. Это осуществляется с помощью
стандартных конечно-разностных аппроксимаций. Полагая,
что/ (х) означает или ui, или их, приведем три различные конечно-
разностные формулы для df (хIдх в точке х = х{
дх
df
хм —х1
(JL\
\ дх /,=,<
(JL\
\ дх )x=xi
-fix*-1)
J-\
(прямая разность),
(обратная разность), E.10.6)
(центральная разность).
Формулы прямой и обратной разностей используются для первого
и последнего элементов трещины, а формула центральной раз-
разности применяется для всех прочих элементов. Например, произ-
производные диУдх и дих1дх центрального элемента, i — 11, вычислен-
вычисленные по формуле центральной разности, даются следующими вы-
выражениями:
"*12~ "*10 0,640-10
йГ/,=,.. ~ *"-*" ~ 4/21
ди~ \ Ц~12 — а;10 _ 0,220-10-4
дх )х=Х1х^ х™~- х™ ~~ 4/21
Тогда формулы E.10.4) принимают вид
1 - v
= -0,116-КГ3.
ди+
дх
0+11
УУ
(J-11
._ 2 (ди'Л , у
1—v \ дх I х=хч 1—v
— v G
(Г11
УУ

5.10. Расчет ШнгенцаальнЫх напряо/дений вдоль границы 107
или, поскольку OyyIG = o'yyIG = 10~3,
atV/G = - 0,858• IO, a^/G = - 0,369• 10.
Следовательно, разрыв тангенциальных напряжений в точке
х = х11 равен (<ГХ\Х — a%?)IG = +0,489-10'3. Этот результат
можно было бы получить, используя E.10.5) и применяя формулу
центральной разности к приведенным в табл. 5.3 значениям
касательных составляющих разрывов смещений.
Обобщение
Аналогичным способом можно вычислить тангенциальные напря-
напряжения в элементе, произвольно ориентированном относительно
глобальной системы координат х, у. В этом случае выражения
E.10.4) записываются в локальной системе координат х, у:
E.10.7)
а*«- i_v die "•" 1-v ayif-
Мы уже знаем напряжения a^ = a^ = aj, в типичном i-м эле-
элементе и, как прежде, находим тангенциальные напряжения а\\ =
= ар и о'*1* — о7' в этом элементе путем вычисления производ-
производных
да? duf ,_ да? ди-1
И
дх ds дх ds
Для этой цели можно использовать формулы центральных раз-
разностей
при условии, что элементы о номерами i — 1 и i + 1, примыка-
примыкающие к i-му элементу, имеют такой же угол наклона, как эле-
элемент i. Это изображено на рис. 5.12, на котором для простоты
показаны смещения только на положительной стороне линии
9 = 0.
Однако достаточно часто мы сталкиваемся с задачей вычисле-
вычисления производных
duf ди? ди~^ ди:1
дх ~ ds и дх ~ ds

108 5. Метод разрывных смещений
для случаев, когда соседние элементы имеют различные ориента-
ориентации. Такой пример показан на рис. 5.13. Опять-таки для простоты
здесь представлены смещения только на положительных сторонах
элементов. В этом случае искомые производные в точке х = у = 0
U 1 "'•'),( 1* <"»
х=$
Рис. 5.12. Элементы с одинаковыми углами наклона.
У-п
Рис. 5.13. Элементы с разными углами наклона.
выражаются через смещения примыкающих элементов по напра-
направлению х = sl. На рис. 5.13 эти смещения для элементов i — 1
и i + 1 выделены толстыми стрелками и обозначены через
(u?l~l))s=si и (m^('+1))s=s». Рассматривая геометрические по-
построения рисунка, находим
(«s+(/+I))s=s.- = «
cos ({}' - Р'1) + «:('I) sin
cos (p'41 - p() - «:(t+l) sm
ш

5.10. Расчет тангенциальных напряжений вдоль границы 109
Аналогичные выражения можно записать для соответствующих
смещений на отрицательных сторонах элементов. Применяя далее
формулу центральной разности, запишем
cos (p'+1 - рО - и*'"» cos (р' - p'
-? = ^ » [«I
- [ы„+«Ч1) sin (p'+1 - pO + «„+('M) sin (р p)],
E.10.10)
^ = ^ «[«j«+1> cos (p'+1 - p') - и;«-» cos (p' - p'-«)]/As' -
- [u-"+l> cos (p'41 - p') + иТЛ) sin (p' - p'-')]/As',
где величина
As' = a'-1cos(P'-P'-1) + 2flf + fll+Icos(P'+1- p') E.10.11)
представляет собой проекцию расстояния между центрами эле-
элементов i — 1 и t + 1 на направляющие х = s'. В случае когда
ориентации элементов совпадают, т. е. f>i+1 — Р' = 0 и р* —
_ p;-i =0, выражения E.10.10) сводятся к формулам E.10.8).
Альтернативная формулировка
Совокупность формул E.10.7) и E.10.10) позволяет вычислить
тангенциальные напряжения в элементе с произвольной ориен-
ориентацией через нормальные напряжения, действующие на этом эле-
элементе, и сдвиговые и нормальные смещения средних точек сосед-
соседних элементов. Альтернативный путь вычисления тангенциальных
напряжений можно найти, если выразить результаты через ком-
компоненты разрывов смещений. Этот подход во многих случаях более
удобен, поскольку он не требует раздельного нахождения сме-
смещений на каждой из двух сторон граничных элементов.
По аналогии с E.10.5) разрыв тангенциальных напряжений
в t-м элементе равен
„-J. а« 2G ( ди
Охх Охх-
у djt дх
ИЛИ
Теперь, используя E.10.10) и определения E.4.1), имеем
о? - of «-^ №+i cos (p'-+1 - р') - Dj-'cosfe' - Pw)]/As'-
- [D™ sin(p'+l - P') + DJT1 sin(p' - p'-^l/As'}. E.10.13)

ilO 5. Метод разрывных смещений
Тангенциальные напряжения на двух сторонах t-ro элемента
получаются из тождеств
of = V, (of + of) - V, (of - of), E ш И)
в которых член г12 (fy' + of) непрерывен. Этот член отражает
суммарное влияние N элементарных разрывов смещений вдоль
границы и находится с использованием D.6.7) и E.5.2):
-у-(of + of) = 2G S [2 cos2yF4 - sin2yF5 + y(cos2yf6 +
N — - -
I D{ + 2G S [— F5 - «/(sin 27^6 -
E.10.15)
Следовательно, имеем
N N
'=' '=' E.Ю.16)
a^ = 2j ^^?>s + 2j ^^^n + -у- \Gt — ot ),
где коэффициенты А% и Л^ даны в E.10.15). Выражения E.10.16)
вместе с E.10.13) представляют искомые формулы.
В заключение заметим, что все напряжения, входящие в фор-
формулы этого раздела, это дополнительные (индуцированные) напря-
напряжения, называемые также изменениями напряжений. Если в кон-
конкретной задаче имеются начальные напряжения (см. § 4.9), то для
получения полных напряжений любого граничного элемента их
нужно сложить с изменениями напряжений.

6. ПРЯМОЙ
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Методы граничных элементов, рассмотренные в предыдущих
двух главах, предназначены для решения общих краевых задач
теории упругости в плоской постановке. Как известно, такие
задачи характеризуются плоской областью R, ограниченной кон-
контуром С. Область R может быть либо конечной (область внутри
контура С), либо бесконечной (область вне контура С), как пока-
показано на рис. 6.1. В любом случае, с каждой точкой Q контура С
мы связываем касательные и нормальные смещения us и ип и каса-
касательные и нормальные напряжения (или усилия) as и оп. Эти
величины задаются, как обычно, относительно локальной системы
координат s, n точки Q
(а)
Рис 6.1. Две области R для контура С: (а) внутренняя область; (Ь) внешняя
область.
Если плоская задача теории упругости поставлена правильно,
то в каждой точке контура заданы касательное напряжение или
касательное смещение и нормальное напряжение или нормальное
смещение, т. е. две из четырех величин us, as, un и оп должны
быть заранее известны. Оставшиеся две величины могут быть
найдены как часть решения задачи. Несколько подобных примеров
мы рассмотрели в предыдущих главах книги. В частности, в за-
задачах, рассмотренных в гл. 4 и 5, мы сначала находили либо фик-
фиктивные напряжения, либо разрывы смещений, которые обеспечи-

112 6. Прямой метод граничных интегралов
вали выполнение заданных граничных условий, а уже затем
по ним подсчитывали неизвестные граничные смещения или напря-
напряжения.
В этой главе мы используем несколько другой подход, изве-
известный как прямой метод граничных интегралов, который позво-
позволяет находить неизвестные смещения и напряжения на границе
прямо через заданные граничные условия. В основе этого подхода
лежит теорема линейной теории упругости, называемая теоремой
взаимности [49, стр. 390—3911 и.
6.2. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Теорема взаимности связывает решения двух различных краевых
задач для одной и той же области R. Теорема представляет прямое
следствие линейности уравнения равновесия и обобщенного за-
закона Гука. Читатель, интересующийся доказательством теоремы,
может обратиться к книге [49 ] 1Г.
Предположим, что одна краевая задача характеризуется сме-
смещениями «s, «п и напряжениями as, an на контуре С области R.
Предположим далее, что другая задача характеризуется сме-
смещениями «s, и'п и напряжениями a's, a'n на том же контуре С об-
области R. Тогда теорема взаимности утверждает, что работа,
производимая первой системой сил (as и оп) на перемещениях
второй системы (us и и'„) равна работе, производимой второй си-
системой сил (a's и а'п) на перемещениях первой системы (us и ип).
Математически это можно записать в виде
| (asu's + onu'n) ds= | (a'sUs + CTn«n) ds, F.2.1)
с с
где интегрирование выполняется по всему контуру С.
Если первая (нештрихованная) задача та, которую мы пытаемся
решить, а для второй (штрихованной) задачи мы уже знаем ре-
решение, то F.2.1) представляет собой интегральное уравнение,
связывающее неизвестные граничные параметры рассматриваемой
задачи с заданными граничными параметрами и с решением дру-
другой задачи для той же области R. Решение этой второй задачи
будем называть контрольным, или тестовым, решением.
Предположим теперь, как и в ранее обсуждавшихся методах
граничных элементов, что контур С можно аппроксимировать
с помощью N примыкающих друг к другу прямолинейных отрез-
отрезков. Тогда уравнения F.2.1) можно представить в виде
N N
^ J (asu's + о„и'„) ds=^ \ (a'sus + a'nun)ds, F.2.2)
/=1 Asi /=1 As/
11 См. также, например, Амензаде Ю. А. Теория упругости. Изд, '3-е. —
М.: Высшая школа, 1976, с. 210 — Прим. ред-

6.2. Теорема взаимности и ее следствия 113
где As' есть /-й отрезок, длина которого составляет 2а1. Если
предположить далее, что для рассматриваемой задачи смещения
и напряжения на границе в пределах каждого отрезка постоянны,
выражение F.2.2) принимает вид
N N
o's J usds + 2j а" J Un"-S ~
/=1 As/ /=1 As/
~2jU's j as ds + 2j u" j a«^s> F.2.3)
/=1 As/ /=1 As/
где ai, а^, и u{, u'n ¦— значения напряжений и смещений в центре
/-го отрезка.
Поскольку число отрезков (граничных элементов) равно N,
в итоге мы имеем AN граничных параметров и{, и!п, о{ и с„. Поло-
Половина из них задана граничными условиями, которым мы пытаемся
удовлетворить, а другая половина — неизвестные, которые мы
стараемся найти. Предполагая пока, что нам также известно реше-
решение тестовой задачи (u's, u'n, o's и оп), видим, что уравнение F.2.3)
содержит 2N неизвестных. Следовательно, для отыскания этих
неизвестных необходимо иметь еще 2N — 1 уравнений, аналогич-
аналогичных F.2.3). Другими словами, в целом для заданной области R
необходимо иметь 2N различных контрольных решений.
В следующем параграфе будет показано, что нужную систему
2N контрольных решений можно найти, прикладывая на границе
в центре каждого г-го элемента сосредоточенную касательную
и нормальную силу Fs и Fn- Считая сначала, что N контрольных
решений отвечают сосредоточенным касательным силам Fls, i =
= 1, ..., N, запишем F.2.3) в виде
N N
/=1 As/ /=1 As/
N N
= S"s jo;(Fj)ds + S"i \o'n(Fi)ds. F.2.4)
/=1 As/ /=! As/
Аналогично для Af контрольных решений, отвечающих сосредото-
сосредоточенным нормальным силам Fln, i = 1, ..., N, имеем
N N
/=1 As/ /=1 As/
N N
= Уи{ [osiF'Jds + 'Eul, \а'п(Р1п)йз. F.2.5)
/=1 As' /=1 4s'

114 6. Прямой метод граничных интегралов
Уравнения F.2.4) и F.2.5) можно представить в форме
.Е Bad + s biu = s аы + 2 л&?,
/=i /=i /-i /=i F26)
E b»W + E B^i= E 4?«.' + E ^U,
/=i /=i /=.i /=i
где t принимает значения от 1 до N, а граничные коэффициенты
влияния Х)
Ц= ju's(Fi)ds, ...
можно точно вычислить по контрольным решениям (см. § 6.4).
Уравнения F.2.6) можно преобразовать таким образом, чтобы
2N неизвестных граничных параметров остались в одной стороне
равенств, а известные граничные параметры перешли в другую
сторону. Если эти уравнения линейно независимы, они могут быть
разрешены относительно неизвестных граничных параметров точно
так же, как решались системы уравнений в обсуждавшихся ранее
методах граничных элементов. Единственное отличие состоит
в том, что F.2.6) позволяет нам найти неизвестные граничные
смещения и напряжения прямо по заданным граничным условиям.
6.3. ВЫБОР КОНТРОЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Представим бесконечную плоскость с контуром С на ней (рис. 6.1).
Если в некоторой точке р приложить силу, то используя резуль-
результаты § 4.2, можно вычислить смещения и напряжения в любой
точке плоскости. В частности, можно вычислить касательные и
нормальные смещения и напряжения во всех точках контура С.
В случае когда область R внутренняя, а точка р лежит вне кон-
контура С, из способа определения напряжений следует, что если
удалить область, внешнюю по отношению к С, то оставшаяся
область, т. е. область R, будет находиться в равновесии под дей-
действием напряжений, которые мы вычислили на С. Следовательно,
эти напряжения и соответствующие им смещения образуют воз-
возможное для рассматриваемой задачи контрольное решение.
Это рассуждение не справедливо, если точка р лежит внутри
контура С. Вводя в тело сосредоточенную силу, мы должны
представить вокруг точки малое отверстие и считать, что сила
действует на контуре этого отверстия. Тогда область R имеет две
границы — контур С и границу отверстия вокруг точки р. По-
1( При обозначении коэффициентов влияния используются для удобства
такие же символы, как в методах фиктивных нагрузок и разрывных смещений.
Конечно, величины этих коэффициентов в каждом случае различны.

6.4. Коэффициенты влияния 115
этому, если рассматривать только напряжения, приложенные
на границе С, они не будут уравновешены и не будут давать
приемлемого контрольного решения.
Проведенные рассуждения остаются в силе и в случае, когда
рассматриваемая область R представляет неограниченную об-
область вне контура С. Следовательно, для обеих задач — и внешней
и внутренней (рис. 6.1) — необходимо, чтобы при отыскании
контрольного решения сосредоточенная сила была приложена
в точке р вне области R.
Фактически сосредоточенная сила обеспечивает два контроль-
контрольных решения, поскольку она разлагается на две составляющие,
образующие между собой прямой угол. Каждая составляющая
обеспечивает решение для смещений u's, un и напряжений a's, o'n,
которые, будучи проинтегрированы согласно F.2.3), дают коэф-
коэффициенты в системе F.2.4) и F.2.5). Для получения коэффициен-
коэффициентов 2N уравнений мы вводим N сил в JV различных точках неогра-
неограниченной плоскости, но не в самой области R. За исключением
этого единственного ограничения, точки N могут быть выбраны
произвольно, но при этом нет гарантии, что полученная система
уравнений будет хорошо обусловленной или даже линейно неза-
независимой. Последовательный подход, который, как установлено,
приводит к хорошо обусловленным уравнениям, заключается
в выборе N контрольных точек в серединах N отрезков контура С.
Точнее, мы прикладываем сосредоточенные силы к серединам N
отрезков снаружи области R.
6.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ
В прямом методе граничных интегралов граничные коэффици-
коэффициенты влияния получают путем приложения сосредоточенной силы
(с компонентами Fls и Fln) в средней точке г'-го отрезка контура С
и интегрирования смещений и напряжений, вызванных этими
силами, вдоль /-го отрезка в соответствии с F.2.4) и F.2.5). Изме-
Изменяя I от 1 до N, т. е. прикладывая поочередно N сосредоточенных
сил по контуру, получаем необходимую систему алгебраических
уравнений F.2.6).
При вычислении коэффициентов влияния В${, ... в F.2.6)
для удобства воспользуемся локальной системой координат Jc, у
с началом в центре /-го отрезка контура С (рис. 6.2). Эти коор-
координаты соответствуют обычным локальным координатам s1 и п1,
причем ось х (или s>) направлена по направлению обхода контура,
а ось у (или п') направлена вне рассматриваемой области (ср.
рис. 6.1). Мы хотим вычислить смещения и напряжения на /-м
отрезке, вызванные действием сосредоточенной силы, приложен-
приложенной в центре t-ro отрезка (в точке [i] на рис. 6.2). Компоненты

116 6. Прямой метод граничных ишпегральв
этой силы, параллельная и перпендикулярная i-му отрезку,
равны F\ и Fln соответственно. Из рис. 6.2 легко видеть, что
компоненты силы в направлениях х = s> и у = п> определяются
следующими выражениями:
Fg = Flss\ny + Fln<:osy,
где y = Э* — Р;.
i~2a<>
X
Рис. 6.2. Определение локальных координат для граничных коэффициентов.
Используя результаты § 4.2, можно записать выражения для
смещений и напряжений, вызванных силой F%, Fg, приложенной
в точке х = ся, У —eg, т. е. в точке [i] (рис. 6.2). Это осуще-
осуществляется просто путем замены х и у в D.2.1)—D.2.4) на х — с*
и у — Сд и, конечно, изменением координатных индексов х и у
на х и у. Тогда,, смещения u's = ы^, ы„ = ы§ и напряжения а^ =
= Ожр> о'п = egg на /-м отрезке (наше контрольное решение) на-
находим из полученных выражений, подставляя в них у — 0. Ис-
Используя величины Fx и Fg из F.4.1), находим смещения для
контрольного решения
pi
u's = -^g" [C — 4v) я cos v 1^ (x — c^) cos v + -||- cp sin v] +
],
F.4.2)

6.4. Коэффициенты влияния 1 if
sinV -
~W [C 4v^gcos Y + "ад" (* ~ Cje) sin v + "Ж c*cos v
и напряжения
^ = Fi [A - 2v)-§-sinv + A - 2v) -|~cosV
F.4.3)
где функция g (x, у) имеет вид
e(*> у)=- faj-v) ln K* -c-J + (» ~ C5J11/2 F-4.4)
(cp. D.2.1)). Сама функция и ее производные определяются
в F.4.2) и F.4.3) при у=0.
Как отмечалось ранее, выражения F.4.2) и F.4.3) дают фак-
фактически два контрольных решения для каждого элемента i: одно
для касательной силы F\, а другое для нормальной силы Fn-
Коэффициенты влияния Bs's, ¦¦¦ в F.2.6) получаются путем по-
поочередного выбора этих решений (т. е. F's Ф 0, Fln = 0 и Fi ¦= 0,
Fln ф 0), подстановки F.4.2) и F.4.3) в F.2.4) и F.2.5) и выполне-
выполнения необходимого интегрирования вдоль As/, т. е. интегрирования
по х в пределах от —а'до +а'. Выполнив указанные операции, ви-
видим, что нет нужды в определении величин Fi и Fln, поскольку они
входят как сомножители в обе части уравнений. Следовательно,

118 6. Прямой метод граничных интегралов
можно считать, что Fls и Fn равны +1. Поступая таким образом,
приходим к следующим результатам:
Bsl = j и. (Fls) dx = -!%- [C - 4v) Tl cos у + cg (T2 sin у-ТЛ cos?)],
-ai
+ai
ВЦ = j un (F{) dx = ^- [C - 4v) Ti sin у + c9 (T2 cos 7 + T3sin y)],
В{п[= J u'Mdx- F45)
-a/
= S" I— C - 4v) ^1sin V + eg (f% cos v + fз sin 7)],
Bn'n = j «; (Fi) dx = ± [C - 4v) Г, cos у - cg (T2 sin у - T3 cos y)],
й= j o.(Fi)dx =
= [A -
-ai
= [—A -2v)f2cosY + 2(l - v)f3 siny+cB(ficosy -r8sta7)],
F.4.6)
+al
= J as(Fin)dx =
i
ai
= [A -2v)f2cosv-2(l - v)T3siny~\-c9(T4COsy-f5siny)],
+ai
{L= J o'n(F{n)dx =
—ai
= [A -2v)T2sinV + 2(l - v)f3cos v - c,(f4sin Y + T"8 cosy)].

6.4. Коэффициенты влияния 119
В этих формулах величины 7\, ..., Ть представляют собой
определенные интегралы от функции g (x, у) и ее производных
(вычисленных при у = 0). Они равны
= — 4n(l-v) [Св[
- (cx - я/) In
+ (сг + я/Iп
4яA—v) 1*"г ^х " > ' "»
—y—j- - arctg •
F-4.7)
Гд = ' i cs cl
(l-v)
1 f с*-«' cx+gl ]
Выше при обсуждении мы неявно предполагали, что точки [i]
и [/] на рис. 6.2 не совпадают, т. е. величины сх и с§ одновременно
в нуль не обращаются. Однако равенства F.4.5) с учетом F.4.7)
приемлемы и в случае совпадения точек, если при вычислении
многозначной функции арктангенса использовать обычную про-
процедуру предельного перехода. Подставляя с* — 0 и переходя
к пределу при сд, стремящемся к нулю со стороны положительных
значений у (т. е. извне области R, как описано в § 6.3), находим,
что в F.4.7) отличны от нуля только величины Tlt T3 и Ть. Эти
величины определяются выражениями
7р _ al In al a1 In a1
1 ~~ ~ 2яA—v) 2яA—v)
Т3 = 1/[4 A — v)} \ с* = 0, сд = 0+.
Т5 = —1/[2ля/A - v)] = — 1/[2пя'A - v)]
F.4.8)
Диагональные члены коэффициентов влияния, отражающие соб-
собственные воздействия элементов, получаются использованием
этих результатов в F.4.5) и F.4.6) с учетом того, что у = р' —
— р' = 0:
В» = ВЦ. = 0, ВЦ = BiL = - J,-* а11па{; F.4.9)
= ^«s = 0, A'.*. = A\in=+1/2. F.4.10)

120 6. Прямой метод граничных интегралов
Сравнивая эти результаты с D.6.17) и D.6.18), видим, что диаго-
диагональные члены матрицы коэффициентов влияния для метода фик-
фиктивных нагрузок и для рассматриваемого прямого метода гранич-
граничных интегралов совпадают.
Однако, за исключением диагональных членов, формулы для
коэффициентов влияния F.4.5) и F.4.6) слегка отличаются от
соответствующих формул для метода фиктивных нагрузок (ср.
D.6.8) и D.6.11)), хотя оба метода основаны на решении задачи
Кельвина для случая плоской деформации. В методе фиктивных
нагрузок мы вычисляем смещения и напряжения в средней точке
г-го элемента, вызванные постоянными (фиктивными) напряже-
напряжениями, приложенными на /-м элементе. Этот процесс эквивалентен
интегрированию влияний сосредоточенной силы, приложенной
на /-м элементе, вдоль самого этого элемента. В прямом методе
граничных интегралов сосредоточенную силу мы прикладываем
в центре г-го элемента и интегрируем смещения и напряжения,
вызванные этой силой на /-м элементе. Эти два метода подсчета
коэффициентов влияния в общем случае приводят к разным
результатам, хотя в частных случаях (например, для диагональ-
диагональных членов) они эквивалентны. Согласно терминологии теории
интегральных уравнений, метод фиктивных нагрузок оказывается
«сопряженным» прямому методу граничных интегралов.
6.5. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Уравнения F.2.6) составляют основу прямого метода граничных
интегралов. Для любой краевой задачи половина из 4ЛГ параме-
параметров этих уравнений (т. е. и{, tin, a{, а1п для i = 1, ..., N) задается
как граничные условия, в то время как другая половина соответ-
соответствует неизвестным. Коэффициенты влияния определяются в соот-
соответствии с геометрией задачи по формулам F.4.5) и F.4.6). Следо-
Следовательно, уравнения F.2.6) можно использовать для записи си-
системы 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными точно
так же, как это делалось в рассмотренных выше методах гранич-
граничных элементов. Неизвестными в этой системе уравнений являются
фактические граничные смещения или напряжения, которые
не заданы как граничные условия.
В краевой задаче в напряжениях, например, для всех N эле-
элементов известны величины о\ = (ст')о и а'п — (а'п)о- Тогда левая
часть уравнений
S вй(°О„+ S BiUoin)Q= S аЫ+ S а'М,
'=• '=' '=' '¦=' F.5.1)
S B'JS (aiH + S B'jn U)o = S АЫ + E A'lu'n
/1 /1 /1 /1

6.5. Построение системы уравнений 12i
(ср. F.2.6)) оказывается известной, а смещения и\ и ип, i =
= 1, ..., N, можно найти обычным способом, решая эти уравне-
уравнения. Аналогичную систему уравнений можно построить и в слу-
случае, когда на всех N элементах известны смещения us = (ы')о
и ип = (ылH; тогда роль неизвестных играют напряжения as
и а{ (i = I АО-
Для смешанной краевой задачи система уравнений строится
путем преобразования F.2.6) таким образом, чтобы 2N известных
граничных параметров были в одной части равенств, a 2N неизве-
неизвестных параметров — в другой. Например, если на всех N гранич-
граничных элементах заданы нормальные напряжения оп = (olnH и каса-
касательные смещения us = (uls)Q, систему уравнений можно за-
записать в виде
- 2 аЦ («Оо + 2 вй (**). = - 2 вЫ + ?
- S ^й («Оо + 2 вй, (оОв = - 2 вйо{ +
/ i / /
В этой системе неизвестными теперь служат касательные напря-
напряжения а[ и нормальные смещения ип для i = 1, ..., N. Следует
также заметить, что запись F.5.2) неудобна, поскольку коэффи-
коэффициенты влияния (ВЦ и Bni) содержат множитель BG) и, следо-
следовательно, они обычно на несколько порядков меньше, чем коэф-
коэффициенты смещений {Aln и АпП) (ср. F.4.5) и F.4.6)). Если коэф-
коэффициенты при напряжениях умножить на постоянную 2G, а сами
напряжения разделить на ту же постоянную, уравнение F.5.2)
можно переписать в виде
«Оо + 2 Bi> (oi). = -2G 2 B°'W + 2
1 ' t F-5-3)
где теперь все коэффициенты влияния имеют одинаковый порядок.
Аналогичный способ можно использовать для других типов сме-
смешанных краевых задач, включая те, в которых на одной части
границы заданы напряжения, а на другой — смещения.

122 6. Прямой метод граничных интегралов
Согласно предыдущим рассуждениям, основную систему алгеб-
алгебраических уравнений для всех типов краевых задач можно пред-
представить в виде
N N
Ys = 2j Cs$Xs -f- 2j CsnXn,
<_'" ., / "" ., , Fб'4)
В этих уравнениях Yls и Yln, i = 1, ..., Nt суть определенные
линейные комбинации известных граничных параметров, a Css>
... — коэффициенты влияния при неизвестных граничных пара-
параметрах X's и Х'„. Например, коэффициент Cls{ равен АЦ, если
на /-м элементе неизвестно касательное смещение и{(= X's),
но он равен —BG) В\{, если на этом элементе неизвестно каса-
касательное напряжение BG)'WS(= X's).
Уравнения F.5.4) применимы как для внутренней (конечное
тело), так и для внешней (полость) задач. Машинная про-
программа TWOBI1;, позволяющая решать такие задачи, приведена
в приложении С. В этой программе принято такое же правило
обхода контура, как в программах для метода фиктивных нагрузок
(TWOFS) и метода разрывных смещений (TWODD), а именно
внешняя нормаль в любой точке границы должна быть направлена
вне тела (ср. рис. 4.10 и 6.1). Программа TWOBI позволяет также
учитывать условия симметрии в рассматриваемой задаче. Числен-
Численная процедура, учитывающая наличие оси симметрии в прямом
методе граничных интегралов, точно такая же, какая описана
ранее в методе фиктивных нагрузок (см. § 4.8). Поэтому здесь она
не обсуждается.
6.6. ПРИМЕР
Для иллюстрации прямого метода граничных интегралов вновь
рассмотрим задачу о круглом отверстии в бесконечной пластинке,
находящейся в условиях одноосного растяжения на бесконечности
(см. § 4.9 и 5.9). Другие примеры использования этого метода
даются в гл. 7.
Задача о круглом отверстии была решена с использованием
программы TWOBI (приложение С) при 25 граничных элементах,
аппроксимирующих четверть круговой границы. Кроме того,
было принято, что v = 0,1, pIG = 10~3, где р — значение растя-
растягивающего напряжения на бесконечности. Поскольку эта задача —
краевая задача в напряжениях (в TWOBI силовые граничные
условия для дополнительных напряжений формируются авто-
х> TWO dimensional direct Boundary Integral program.

6.6. Пример 123
матически), неизвестными в системе F.5.4) оказываются действи-
действительные смещения «'(= «е) и «„(= —«') границы. В табл. 6.1
дано сравнение расчетных значений этих величин в выбранных
точках границы с аналитическим решением D.9.2). Численные
результаты находятся в хорошем согласии с точным решением
и обеспечивают примерно тот же уровень точности, какой дают
метод фиктивных нагрузок (табл. 4.2) и метод разрывных смеще-
смещений (табл. 5.2).
Таблица 6.1. Радиальные и тангенциальные смещения
границы отверстия (TWOBI)
в
(в долях я/2)
0,02
0,06
0,10
0,46
0,50
0,54
0,90
0,94
0,98
-гР
расчет
N = 25
894
883
863
333
252
171
—360
—380
—390
? (Ю~§)
аналитическое
решение
899
888
868
331
250
169
—368
—388
—399
Hi
расчет
N = 25
—41
—120
—198
—638
—643
—638
—198
—120
—41
IR A0-«)
аналитическое
решение
—41
— 122
—201
—605
—650
—645
—201
— 122
—41
Тангенциальные напряжения вдоль границы отверстия в пря-
прямом методе граничных интегралов можно'подсчитать так же, как
описано в §*5.10 для метода"^азрывныхсмещений. Изменения
тангенциального напряжения в характерном i-u элементе, со-
согласно E.10.7), даются выражением
2G
¦ol
где теперь о1п — изменение нормального напряжения (т. е. допол-
дополнительное нормальное напряжение, которое известно из гранич-
граничных условий), a duls/ds — производная касательных смещений
вдоль элемента. Последняя величина определяется из конечно-
разностной формулы
3s
где
cos (p'+> - р<) - и' cos (pf - р'
[и!*1 sin (P'+1 - р') + и' sin (p' - Р'-'
As1 = a'" cos
(см. E.10.10) и E.10.11)).
l+i
cos (p
'+1
F.6.2)
F.6.3)

124 6. Прямой метод граничных интегралов
Значения величин us и ип, найденные для задачи о круглом
отверстии прямым методом граничных интегралов, почти такие же,
какие получены методом разрывных смещений. Следовательно,
и тангенциальные напряжения, определяемые по формуле F.6.1),
в обоих случаях близки (ср. рис. 5.10).
6.7. ФОРМУЛЫ СОМИЛЬЯНЫ
До сих пор прямой метод граничных интегралов мы привлекали
только для вычисления неизвестных смещений или усилий на
границе С произвольной области R. Если же мы хотим найти
решение внутри рассматриваемой области R, можно воспользо-
воспользоваться интегральными тождествами, известными как формулы
Сомильяны [30, стр. 245—247]. Для плоской задачи эти фор-
формулы дают смещения внутренней точки р области R в виде
их (Р) = — } [usa's (Fx) -f uno'n (Fx)] ds
с
! F.7.1)
uy (p) — — J [usa's (Fy) + uno'n (Fy)] ds +
где us, un и as, orn — граничные смещения и напряжения для
задачи, решение которой мы уже имеем, a us (Fi), u'n (Ft) и a's (Ft),
G'n (Fi) — нормальные и касательные смещения и напряжения
на границе С, вызванные действием сосредоточенной силы Fi =
— (Fx> Fy) = (+1, +1) в точке р. (У читателя может возникнуть
искушение приравнять правые части F.7.1) нулю на основании
теоремы взаимности. Этого нельзя делать, поскольку теперь мы
приложили сосредоточенную силу в точке, лежащей внутри
области R. Поэтому из тех рассуждений, которые приводились
в § 6.3, следует, что теорема взаимности применима не к границе С,
а к границе, которая, помимо С, включает малый контур вокруг
точки р. Формулы Сомильяны действительно получают, используя
теорему взаимности для такой границы и стягивая точку в малый
контур вокруг р.)
Уравнения F.7.1) можно разрешить численно, разбивая гра-
границу С па N элементов и предполагая, как и ранее, что us, un,

6.7. Формулы Сомильяны 125
as и ап постоянны в пределах каждого элемента. Это дает
N
их (р) = — J \u{ J a's(Fx) ds + u? j a;<F,) ds] +
/=1 L As' As/ J
i j u'n (Fx) ds],
W J
F.7.2,
Б Ы
\
j
/=l
J u's
As/
где теперь все граничные параметры и{, и!п
И 62) фф
a'n f un(Fv)t
As/
Os и о4 известны.
Интегралы в F.7.2) являются коэффициентами, которые необ-
необходимо вычислить для каждой точки р, где отыскиваются значения
смещений их (р) и иу [р). Дифференцируя выражение для сме-
смещений в этих точках, находим деформации. Далее, используя
соответствующую форму обобщенного закона Гука, определяем
напряжения в точке р. Выражения для «внеграничных» коэффи-
коэффициентов влияния смещений и напряжений даются ниже.
Коэффициенты смещений
Интегралы в F.7.2) вычисляются в локальной системе координат
х, у с началом в центре /-го элемента, как показано на рис. 6.3.
у (nj)
Рис. 6.3. Определение локальных координат для коэффициентов в точках вне
границы.
Точка р на рисунке является произвольной точкой с координа-
координатами х = са, У = сд, не лежащей на границе С.

126 6. Прямой метод граничных интегралов
Штрихованные величины в F.7.2) представляют смещения
u's = Ux, и'п = ug и напряжения a's — оХу, с„ = щд, возникающие
в j'-m граничном элементе под действием сосредоточенных сил
Fx— +1 и Fy = +1, приложенных в точке р. Выражения для
этих величин можно получить непосредственно из F.4.2) и F.4.3),
полагая у = —ру (т. е. р' = 0) и F\ = Fx, Fln = Fy. В F.7.2)
необходимые интегралы находятся точно так же, как ранее,
путем рассмотрения в отдельности случаев Fx = +1, Fy = 0
и Fx = О, Fy = +1. Уравнения F.7.2) тогда можно записать
в виде
N
их(р) = 2lA ~ 2v)r2sinP] - 2A - v)T8tospJ +
+ cs (f 4 sin py - Ть cos рО] ы/ +
N
+ J] [A — 2v)T2cosp/ + 2(l -v)f3sinP/-
- cs (Г4 cos p'' + f5 sin pOl «n +
3 ¦v) fi cos p/ ~ cb {f2 sin p/+Тз cos p/)l
N i
+ 2 t— C - 4v) Ti sin p' + eg (f г cos p/ - T3 sin p/)J -J-,
n'~ _ F.7.3)
uy (p) = 2 [— A - 2v) f2 cos p/ - 2 A - v) f3 sin p/ -
- cB (fi cos p' + f5 sin p')] ui +
N
[A — 2v)T2sinP'~ 2A — v)T3cosP' —
- сg (fi sin p7' - TB cos p')] u'n +
N j
+ J [C - 4v) Л sin p/ + cs (T2 cos pi - Г3 sin p/)J A- +
N 1
| [C - 4v) Ti cos p/ + cg (T2 sin p/ + Г3 cos p/)j -gg-,
где Тх и другие коэффициенты определяются по F.4.7).

6.7. Формулы Сомильяны 127
Коэффициенты напряжений
Формулы для напряжений в точке р можно найти, подсчитав
деформации, отвечающие смещениям F.7.3), и используя далее
обобщенный закон Гука для случая плоской деформации B.6.4).
Деформации даются соотношениями
диу (р)
дсу дсх J
(ср. B.3.2)), где сх и су — компоненты х и у вектора, соединяющего
центр /-го граничного элемента с точкой р (см. рис. 6.3). Исполь-
Используя формулы преобразования
сх = сх cos Р' + су sin Р', сд — —сх sin Р' + су cos p', F.7.5)
находим по цепному правилу частного дифференцирования
д дсх а
дсх дсх dcf
дс " " '" FJ-6)
асх
д
дсд
= cosf
м д
X
sin pJ
г д
дСд
дсу дсу дсл ' дсу дед ^ дся ' к 5с^ '
и, следовательно, деформации F.7.4) можно записать в виде
F.7.7)
Подставляя F.7.3) в F.7.7) и используя затем B.6.4), находим
искомые формулы для напряжений. Окончательные выражения
имеют вид
N
охх (р) = 2G ? [27*4 cos2 р/ + Ть sin 2p' -
- сд (Т6 sin 2р' - Т7 sin 2р')] и[ +
N _ _
+ 2G ? [—ТБ - cs (Г6 sin 2P'" + Т7 cos 2p')] и'п +
+ J [-T. - 2 A - v) (Г, cos 2р/ - ft sin2p/) +

128 6. Прямой метод граничных интегралов
+ с9 (Т4 cos 2р; + Т5 sin 2P01 о{ +
л/ _ _ __
+ 2 [—7, + A - 2v) (Г2 sin 2р> + 73 cos 2P') +
/=i _ _
+ eg (T4 sin 2р; - Г6 cos2pO] <г?,
а„„ (/>) = 2G 2 [274 sin2 P' - f5 sin 2p/ +
+ су (Т, cos 2Р' - Т, sin 2Р0] ms +
+ 2G g [-Т6 + eg (f6 sin 2py + f7 cos 2p')] «Л +
N __ _ _
+ JS [~^2 + 2 A - v) (Т, cos 2р/ - Т3 sin 2P0 - F.7.8)
- св (f4 cos 2р' + Т5 sin 2рО] о[ +
N _ _ _
+ 2 [—^з - A - 2v) (T, sin 2P' + Т3 cos 2P0 -
- cg (f4 sin 2p; - f5 cos 2p0l oL
N _ _
axy(p) = 2G 2 [T4sin2P' — T5cos2p/ -
съ (f 6 sin 2p' + T7 sin 2pO] ul
2G 2 bB (f6 cos 2P' - T7 sin 2p0l«;;
+ 2 [-2A - v)(T,sin2p' +T,cos2P0 +
+ cy (f4 sinp7 - f5 cos 2pO] o{ +
+ 2 [— A - 2v) (f2 cos 2p; - f, sin 2pO -
- cs (f4 cos 2py + T5 sin 2p'K oL-
В этих выражениях функции Т1( ..., Т5 даются формулами F.4.7),
а функции Гв и Т, определяются выражениями
(««-«О2-4 (ч+«08-4
-V)
F.7.9)
4яA—v)

6.8. Преобразование координат 129
Приложения полученных формул
Равенства F.7.3) и F.7.8) иллюстрируют то высказанное выше
положение, что решение задачи линейной теории упругости
полностью определяется значениями смещений и напряжений
(усилий) на границах рассматриваемой области. Для нахождения
этих величин мы теперь имеем три разных численных способа:
метод фиктивных нагрузок (гл. 4), метод разрывных смещений
(гл. 5) и прямой метод граничных интегралов (гл. 6). Хотя фор-
формулы F.7.3) и F.7.8) можно использовать во всех трех способах,
они не требуются для методов фиктивных нагрузок и разрывных
смещений. Для этих двух методов, как мы видели, смещения
и напряжения в точках внутри области R можно выразить как
линейные комбинации фиктивных величин (либо напряжений,
либо разрывов смещений) на границе С этой области. Действи-
Действительно, получение результатов для внутренних точек с помощью
подобных «непрямых» методов вдвое дешевле по сравнению с их
получением непосредственно по F.7.3) и F.7.8).
6.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
До сих пор в данной книге все результаты выражались через
локальные касательные и нормальные компоненты смещений и
усилий вдоль заданной границы. Однако в большей части лите-
литературы методы граничных элементов формулируются в терминах
глобальных компонент х, у этих величин, т. е. щ = (их, иу) и tt =
= (tx, ty). Связь между локальной и глобальной формулировками
метода граничных элементов легко установить, используя простые
формулы преобразования координат. Например, используя соот-
соотношения
ui= aicosp'+ajsinp',
i i i (D.O.I)
u'n = — u'x sin p' + u'ycos p',
a's = 4cosp'+ ^sinp',
i • , , F.8.2)
a'n = — 4sinp'+ ^cosp',
F.2.6) можно представить в виде
2! вЫ + s bU = 23 а'Ы + 22 AiM,
1=1 /=1 /=1 /=l /r a q\
N N N N @.6..5J
E b'JA + E B'Jtl - ? А%и1 + S tiWy,
/=i /=i /=i /=i
где «глобальные» коэффициенты влияния Вгх!х, ... связаны с локаль-
локальными коэффициентами выражениями вида
Вхх = ВЦ cos p; - ВЦ sin р; F.8.4)
5 Крауч С., Старфилд А.

130 6. Прямой метод граничных интегралов
Необходимые результаты можно также получить, не обращаясь
к локальным координатам. Проиллюстрируем это ниже для пря-
прямого метода граничных интегралов. С целью ознакомления чита-
читателя с терминологией, используемой в литературе, часть вывода
проведем в индексных обозначениях (см. § 2.5).
Начнем с записи теоремы взаимности F.2.1) в виде
J (txu'x + tyu'y) ds = f (ujx + Uyt'y) ds, F.8.5)
с с
где, как и прежде, штрихованные величины относятся к нашему
контрольному решению. В индексных обозначениях это соотно-
соотношение имеет вид
\tiu\ds = [ uit'tds, F.8.6)
с с
где по повторяющемуся координатному индексу производится
суммирование (см. § 2.5).
Следуя далее Риццо [37] и Крузу [17], рассмотрим две произ-
произвольные точки на контуре С. Одну из этих точек назовем «точкой
поля», а другую — «точкой нагружения». Наше контрольное
решение отыскивается путем рассмотрения смещений и усилий
в точке поля, вызванных действием сосредоточенной силы в точке
нагружения. (Предположим пока, что эти точки не совпадают.)
Как и ранее, заметим, что сосредоточенная сила в точке нагруже-
нагружения порождает два контрольных решения, по одному для каждой
компоненты силы. Это позволяет получить выражения для обоих
решений одновременно.
Если точка нагружения имеет относительно точки поля коор-
координаты Xi — Ci, то смещения для контрольного решения можно
записать в виде
F.8.7)
где g (хъ х2) дается формулой
g (xlt xt) = - 4n{ll_v) In [(* - cxf + (jf, - caf\m F-8.8)
(cp. D.2.1) и D.2.2)). Используя индексные обозначения, уравне-
уравнения F.8.7) можно записать в компактной форме:
и\ = U,tFh F.8.9)
где Uji — «тензорное поле», определяемое по формуле
to-cji-jgL]. F.8.10)

6.8. Преобразование координат 131
Усилия t'i для контрольных решений получаем из соотношений
t't = a'jitij F.8.11)
(см. B.5.2)), где п) задает компоненты единичной внешней нормали
к границе С в точке поля. Напряжения а'ц = a'tj в свою очередь
находим, используя соотношения
где деформации е'ц связаны со смещениями F.8.9) определениями
е'и — 1U ("<¦. / + Щ. <)• Читателю следует убедиться, что резуль-
результаты этого вычисления можно представить в виде
а'ц - SiikFk, F.8.12)
где
F.8.13)
Подстановка F.8.12) в F.8.11) дает
fi = SlikFknh F.8.14)
или после суммирования по повторяющемуся индексу
t't = (Sukfit + Smn2) Fk. F.8.15)
В этом выражении повторяющийся индекс k действует как немой
и может быть заменен любым символом без изменения смысла
выражения. В частности, F.8.15) можно записать в виде
t'i = Tt,Fit F.8.16)'
где Тл — «тензорное поле»:
Tjt^Sufa + Smrb. F.8.17)
Если точка Q границы С есть точка поля, а Р —¦ точка нагру-
жения (ср. [17, 37]), то F.8.9) и F.8.16) можно записать следу-
следующим образом:
ul(Q) = Uii(P, Q)F,(P),
tHQ) = T,,(P.Q)Fj(P). F818)
Рассматривая отдельно два контрольных решения, представлен-
представленных условиями
F, (Р) ф О, F2 (Р) = 0 и /ч (Р) = О, F2 (Р) Ф О,
воспользуемся выражениями F.8.18) и соотношением взаимности
F.8.6) для получения следующих двух уравнений:
\tt(Q)Uu(P, Q)F1(P)ds(Q) = \ut(Q)Tu(P, Q)F1(P)ds(Q),
с с
\ti(Q)U2i(P, Q)F2(P)ds(Q)= \ut(Q)Ttl(P, Q)F,(P)ds(Q),
F.8.19)
5*

132 6. Прямой метод граничных интегралов
или, поскольку F1 (P) и F2 (P) произвольны,
\ti(Q)Ult(P, Q)ds(Q)= 1щ@)Ти(Р, Q)ds(Q),
с с F.8.20)
J U (Q) Uu (Р, Q) ds (Q) = J и, (Q) T2i (P, Q) ds (Q).
с с
Заметим, что оба этих соотношения можно получить из равенства
\ti(Q)Un(P, Q)ds(Q) = \ut(Q)Tn(P, Q)ds(Q), F.8.21)
с с
принимая / = 1 и / = 2. В случае когда точка поля Q и точка
нагружения Р совпадают, необходимо рассматривать предельный
переход, в котором сосредоточенные силы Fx (P) и F2 (P) прило-
приложены к границе извне рассматриваемой области R (см. § 6.3).
Численное решение
Соотношения F.8.20) можно записать в развернутой форме
(P, Q) + ty(Q)Uxy(P, Q)]ds(Q) =
= j [ux(Q) Txx (P, Q) + uy (Q) Txy (P, Q)) ds (Q),
. C F.8.22)
}[tx(Q)Uvx(P, Q)-yty{Q)Uvy{P, Q)]ds(Q) =
с
= \[ux(Q)Tvx(P, Q) + uy(Q)Tyy(P, .Q))ds(Q).
с
При численном решении этих уравнений граница области С, как
и ранее, аппроксимируется N прямолинейными отрезками, при-
примыкающими друг к другу, и предполагается, что смещения и
усилия в пределах каждого отрезка постоянны. Поступая так же,
как и в § 6.2, получаем
N N
S t*№ J f«OP'. Q')ds + S tg№ J uxy (P't Qi) ds =
/=1 Asi i=x As/
N N
t +%uy(Qi) \ Txy(Pl. Q')ds.
1 /
I 2 1
As/ /=1 As/
f TyX(P'
/

6.9. Другие формулировки метода 133
В этих уравнениях верхние индексы i и / относятся к номерам
граничных элементов, и их не следует путать с аналогичными
символами, использованными ранее в качестве координатных
индексов. Если не обращать внимания на очевидные различия
в обозначениях, то F.8.23) по существу совпадает с F.8.3).
Формулы Сомильяны
В заключение этого раздела заметим, что формулы Сомильяны
F.7.1) также можно записать через компоненты х и у граничных
смещений и усилий. Точка нагружения р в этом случае лежит
внутри рассматриваемой области. Используя обозначения, при-
принятые ранее, имеем
u1(p)=-\ui(Q)Tli(p, Q)ds(Q) + \ti(Q)Uli(p, Q)ds(Q),
с с F.8.24)
(/>)=- J "* (Q) T2l (p, Q) ds (Q) + J U (Q) Uи (р, Q) ds (Q),
с с
или кратко
и, (/>) = -( Щ (Q) T}i (p, Q) ds (Q) + f U (Q) Uл (р, Q) ds (Q), F.8.25)
с с
где i и / принимают значения 1 или 2,
Расчеты по F.8.24) можно выполнить численно, разбивая
границу С на N элементов и считая, что смещения иь и усилия tt
в пределах каждого элемента постоянны. Тогда функции Т1г (р, Q)
и Ujt (p, Q) можно проинтегрировать для элементов, определяя
тем самым граничные коэффициенты влияния для смещений
в точке р. Напряжения в этой точке находятся с помощью про-
процедуры, описанной в § 6.7.
6.9. ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ МЕТОДА
Приведенное выше описание прямого метода граничных интегра-
интегралов несколько отличается от трактовки, используемой обычно
в литературе. Общепринятый подход был здесь упрощен с целью
дать физическую интерпретацию метода. Преимущества, достига-
достигаемые при этом, уравновешиваются, однако, потерей математи-
математического понимания, присущего более строгим формулировкам.
Чтобы вдохновить читателя более глубоко вникнуть в обсужда-
обсуждаемую тему, мы завершим эту главу разъяснением, чем наше физи-
физическое описание прямого метода граничных интегралов отличается
от математического подхода, развиваемого и используемого Риццо
[37] и Крузом [17] наряду с другими авторами.

134 6. Прямой метод граничных интегралов
С точки зрения вычислений ключевым моментом любого метода
граничных элементов является определение диагональных членов
матрицы граничных коэффициентов влияния (собственного вли-
влияния элементов). Как мы видели, во всех методах граничных
элементов, рассмотренных в книге, некоторые из этих членов
терпят разрыв, или «скачок», при переходе с одной стороны гра-
граничного контура на другую. Мы всегда подготавливали опре-
определение разрывных членов предварительным интегрированием
сингулярности вдоль отрезка и затем переходили к пределу,
приближаясь к отрезку по соответствующему направлению. В ча-
частности, в нашем изложении прямого метода граничных интегра-
интегралов вначале мы интегрируем влияния от действия сосредоточенной
силы в точке Р (точке нагружения) по отрезку с центром в другой
точке Q (точка поля) и затем находим пределы результирующих
выражений, когда Р приближается к Q извне рассматриваемой
области R. Пределы необходимо брать именно таким образом,
поскольку мы использовали форму теоремы взаимности, которая
несправедлива, если точка нагружения лежит внутри области R
(см. § 6.3).
При обычной формулировке прямого метода граничных ин-
интегралов необходимые пределы берутся до выполнения какого-
либо интегрирования. Подходящая форма теоремы взаимности
в этом случае задается с помощью формулы Сомильяны F.8.25),
которая справедлива для сосредоточенной силы, приложенной
в точке внутри области R. В пределе, когда внутренняя точка р
переходит в точку Р на границе, F.8.25) принимает вид
Q), F.9.1)
при условии, что граничный контур С имеет в точке Р единствен-
единственную касательную (т.е. при условии, что эта точка не принадлежит
«углу»). Читатель, интересующийся обсуждением этого резуль-
результата, может обратиться к статьям Риццо [37] и Круза [171.
Когда точки Р и Q совпадают, интегрирование в F.9.1) должно
выполняться специальным методом, поскольку в этом случае
функции Тл (Р, Q) и Uji (P, Q) сингулярны. Такие интегралы
называются несобственными и вычисляются с помощью исключе-
исключения из области интегрирования малого отрезка длиной 2е с цен-
центром в сингулярной точке и последующего нахождения пределов
при е, стремящемся к нулю. Значение интеграла, вычисленное
таким способом, называется главным значением Коши 1}.
11 Строго говоря, интеграл в смысле главного значения нужно вычислять
только от функции Tji, тогда как интеграл от функции Uji, имеющей интегриру-
интегрируемую особенность, — обычный несобственный интеграл. — Прим. ред.

6.9. Другие формулировки метода 135
Уравнения F.9.1) можно записать в развернутой форме
[tx(Q)Uxx(P, Q)i-ty{Q)Uxy(P, Q)]ds(Q) =
ix(Q)Txx(P, Q) + uy{Q)Txv(P,Q)]ds{Q),
G F.9.2)
[tx{Q)Uvs{P, Q)-\-ty{Q)Uyy(P, Q)]ds(Q) =
с
i r
= -z-Uy(P) -f [ux(Q)Tyx(P, Q) -\- Uy{Q)Tyy\r> Q)]ds(Q).
с
Вводя такие же численные аппроксимации, какие были исполь-
использованы ранее, заменим эти интегральные уравнения алгебраиче-
алгебраической системой
Л/ N
As/ /=I As/
Л/
= \ux (P') -f J ux (Qi) J TXX(P', Qi)ds f
/=1 As/
N
-f У Wj, (Q/) | TXy(Pl, Qi)ds,
2 ^
/=1 As/ /=1 As'
As/
Л/
/=1 As/
Уравнения F.9.3) теперь следует сравнить с аналогичной
системой уравнений F.8.23), полученной ранее из физической
формулировки прямого метода граничных интегралов. Можно
видеть, что две системы уравнений идентичны для всех недиаго-
недиагональных коэффициентов (Р1 Ф Q') и различаются только диаго-
диагональными членами коэффициентов для граничных параметров
их (Р') и иу (/")• Фактически эти коэффициенты в обеих системах
уравнений одинаковы, так как сингулярные интегралы должны

136 6. Прямой метод граничных интегралов
подсчитываться в этих двух случаях по-разному1'. Поэтому
при любой формулировке прямого метода граничных интегралов
мы приходим к одной и той же системе алгебраических уравнений,
дающей приближенное решение общей краевой задачи линейной
теории упругости. Эти уравнения имеют вид F.8.3).
И наконец, заметим, что F.9.3) представляет очень простую
численную аппроксимацию системы интегральных уравнений
F.9.2). Признав это, можно поставить вопрос о том, как повысить
точность аппроксимации. Уравнения F.9.3) фактически включают
два различных типа аппроксимации. Первый относится к аппро-
аппроксимации граничного контура С набором прямолинейных отрез-
отрезков. Здесь улучшения можно добиться, если использовать криво-
криволинейные сегменты, более близко описывающие действительную
форму контура. Это приведет к заметному сокращению числа
необходимых участков разбиения, например, при описании круго-
круговой границы. Второй тип аппроксимации в F.9.3) состоит в пред-
предположении, что граничные смещения и усилия в пределах каждого
сегмента постоянны. Более реалистическая аппроксимация до-
допускает для них по крайней мере линейное изменение в пределах
сегментов.
Обсуждение этих более сложных и точных аппроксимаций
можно найти в работах [18, 28, 35, 42]. Подобные концепции
ставят гранично-элементный анализ в один ряд с современными
работами по конечно-элементному анализу. Преимущество пря-
прямого метода граничных интегралов состоит в том, что пока что
он проявил себя как более подходящий для развития этого напра-
направления по сравнению с непрямыми методами граничных элементов.
*> В F.8.23) обсуждаемый интеграл вычисляется путем перехода к пределу
в выражении, отвечающем помещению «точки поля» Q вне контура, когда эта точка
устремляется на коитур. В F.9.3) точка сразу находится иа контуре, а интеграл
вычисляется в смысле главного значения. — Прим. ред.

7. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ
И ОБОБЩЕНИЯ
7.1. ВВЕДЕНИЕ
В трех предыдущих главах были рассмотрены три разных метода
граничных элементов. Каждый из них представлен в простейшей
форме, и все они могут быть использованы для решения задач
механики деформируемого твердого тела. Однако, как указано
в конце гл. 6, эти методы можно усовершенствовать и обобщить.
В данной главе покажем, что во многих случаях имеется воз-
возможность увеличить точность или обеспечить ту же точность при
меньшем числе элементов, развить специальные методы для
определенных классов задач и обобщить существующие методы
для решения задач при более сложных свойствах материалов.
В конце гл. 4 была описана основная структура гранично-
элементной вычислительной программы. Напомним, что типичная
программа включает в себя пять частей, или модулей.
Модуль 1 определяет местоположения граничных элементов
и задает граничные условия на каждом элементе.
Модуль 2 вычисляет граничные коэффициенты влияния и
строит соответствующую систему алгебраических уравнений на
основе граничных условий.
Модуль 3 решает систему уравнений.
Модуль 4 вычисляет неизвестные компоненты смещений или
напряжений на каждом граничном элементе.
Модуль 5 обеспечивает вычисление коэффициентов влияния
для заданных внутри рассматриваемой области точек и, следова-
следовательно, вычисление смещений и напряжений в этих точках.
Эта программная структура не зависит от используемого ме-
метода граничных элементов. Фактически при переходе от одного
метода к другому изменяются только модули 2 и 5. Модульную
структуру сохраним и в рамках усовершенствований и обобщений,
описываемых в данной главе Мы увидим, что необходимые моди-
модификации внутри модулей могут быть сделаны достаточно легко,
даже если вывод соответствующих формул не очень прост.
Из этого следует, что метод граничных элементов обеспечи-
обеспечивает очень гибкий аппарат для решения задач, который при
разумном использовании позволяет поднять уровень разработки
настолько, чтобы рассмотреть любую частную ситуацию. В не-
некоторых случаях для того, чтобы обеспечить более удовлетвори-

138 7. Усовершенствования и обобщения
тельное решение специальных классов задач, можно использовать
математические решения подходящих сингулярных задач теории
упругости. Примерами таких решений являются решения для
полуплоскости и связанных полуплоскостей, приведенные в § 7.4
и 7.6. В других случаях можно построить специальные элементы
для решения частной задачи. Пример такого рода, связанный
с вычислением коэффициента интенсивности напряжений на краю
трещины, приводится в § 7.3. И наконец, во многих случаях по-
понимание физики явления и интуиция могут обеспечить успех
при создании подходящей численной техники, а численная техника
в свою очередь часто допускает интерпретацию в физических
терминах. Несколько таких примеров из области горной гео-
геомеханики и инженерной геологии будет дано в следующей главе.
7.2. АППРОКСИМАЦИИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
В ПРЯМОМ МЕТОДЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В конце гл. 6 мы упомянули, что прямой метод граничных интег-
интегралов легко совершенствуется с помощью численных аппроксима-
аппроксимаций, включающих «элементы высшего порядка». Как иллюстра-
иллюстрацию формулировки метода с элементами высшего порядка рассмо-
рассмотрим случай, в котором предполагается, что фактические смеще-
смещения и усилия между узловыми точками N прямолинейных сегмен-
сегментов на контуре С изменяются линейно. Преимущество в исполь-
использовании прямолинейных граничных сегментов (отрезков) состоит
в том, что для них все интегралы можно вычислить аналитически
[35]. Если допускается криволинейность сегментов, интегрирова-
интегрирование в общем случае должно выполняться численно [28].
Замкнутый контур, разделенный на N отрезков, имеет N
узловых точек. Следовательно, численное решение данной краевой
задачи, как и прежде, сводится к системе 2N алгебраических
уравнений с 2N неизвестными. Неизвестными в системе теперь
выступают смещения или усилия в узловых точках. Эти величины
в рамках данного анализа удобно представлять так же, как в § 6.8,
через их составляющие по осям хну.
Дискретизация граничных интегральных уравнений
В нашем анализе мы будем исходить из граничных уравнений
F.8.22). Напомним, что в этих уравнениях тензорные поля
ип (Р, Q) и Тп (Р, Q) определяют контрольные смещения и\ (Q)
и усилия t't (Q) в точке поля Q от действия единичной силы Fj (P) =
= A, 1) в точке нагружения Р. Напомним также, что формулы
F.8.10) и F.8.17) для Uл (Р, Q) и Тп (Р, Q) записаны относи-
относительно системы координат х, у с началом в точке поля Q. Тогда
точка нагружения Р имеет координаты х — сх, у = си.

7.2. Аппроксимации высшего порядка 139
Разделив граничный контур С na N отрезков, выбираем точку
поля Q в центре граничного элемента ./. Как показано на рис. 7.1,
этот элемент лежит между узлами / и / + 1. (Заметим, что пропис-
прописная буква ./ относится к элементу, а строчная буква / — к одному
из его двух узлов.) Точка нагружения Р расположена в граничном
узле i, который пока что полагается не совпадающим ни с узлом /,
Элемент Э
Элемент J-1
Рис. 7.1. Дискретизированный граничный контур.
ни с узлом / + 1. Локальная система координат х, у на рис. 7.1
определяется следующими формулами преобразования:
G.2.1)
х — сх = (х — сх) cos $J + {У — Су) sin Py.
У ~Сд = — (X - Сж) Sin §J -f («/ - Су) COS 0Л
В этих переменных точка нагружения Р (узел i) имеет коорди-
координаты х = Сх, У = Сд, а граничный элемент ./ представляет отрезок
—aJ < д: < +aJ, ^ = 0.
Используя введенные выше определения, запишем F.8.22)
для дискретизированного граничного контура в виде
N +aJ
|
c/(x
N +aJ
j
tJx(x)Uc/x(x -c,cy
N +4
Х-СЯ, Cg)dX-\-
N +a.J
J.-=l ' / XIJ
-~-nJ
-ся, cg)dx,

140 7.Усовершенствования и обобщения
ЛГ +f
ti(x)Uyi(x~Cx, Cg)dx+ ? j tJy(x)UyJy(x-Ct, Cg
" +f J U ¦ N +aJ j
G.2.2)
Величины U\x (x —cx, cy), ... в этих уравнениях эквивалентны
Uxx (P, Q), ¦•¦ в F.8.22). Они получаются из выражений F.8.10),
F.8.13) и F.8.17) с помощью формул преобразования координат
G.2.1) и могут быть записаны в виде
G.2.3)
iilJ __ iilJ
и ху — и ух >
(||coS
Ш
где функция g (x,y) определяется так же, как в F.4.4). Эта функ-
функция и все ее производные в G.2.3) и G.2.4) находятся при у = 0.
Построение системы алгебраических уравнений
Предположим теперь, что фактические смещения и усилия изме-
изменяются между узлами граничных элементов линейно. Тогда
смещения и{ (х) и uJy (x) в G.2.2) можно представить в виде
uJx(x) = i- (I - x/aJ) (u'xh + \ A + x/aJ) D+1)j,
ui (x) = 4- A - xlaJ) {uy)j + 4- 0 + (?'2'5)

7.2. Аппроксимации высшего порядка 141
а усилия tJx (x) и ty (x) можно записать так:
1 I
ty (х) = -у О — */а ) (^)у + -7Г О + */<
Символы (')у и (/+1)j выражают, что рассматриваются значения
смещения и усилия в узлах / и / + 1 элемента с номером J. Такое
обозначение необходимо, поскольку каждый узел относится
к двум элементам J — 1 и J (см. рис. 7.1). В общем случае вслед-
вследствие различия в ориентации элементов усилия в узле /' элемента
J — 1 отличаются от усилий в узле / элемента J, т. е.
к G.2.7)
Хотя смещения узла / однозначны,
(«i)y-i = Dh = 4, {K)j-i = (u'y)j = < G.2.8)
указанные пометки узлов и отрезков полезно сохранить и для
них, чтобы различать влияния соседних элементов.
Комбинируя G.2.2), G.2.5) и G.2.6), получим следующий
набор алгебраических выражений:
G.2.9)
где
Uxx(x — СЯ, Cg)dx,
- 4 J
-УУ G.2.10)
==4 j 0

142 7. Усовершенствования и обобщения
и т. д. для коэффициентов усилий и
(Axx)j = \ J A - x/aJ) T'XJX (x - сх, cg)dx,
+„°у G-211)
{AcJ^)j = ~ j A + xlaJ) TCXJX (x - cx, cy) dx
и т. д. для коэффициентов смещений.
Заметим, наконец, что G.2.9) можно преобразовать так, чтобы
суммирование выполнялось по узловым точкам, а не по элемен-
элементам:
|]
= Jj [(ЛИ)у-, (u'x)j-i -Г
= J;
По структуре эти уравнения сопоставимы с уравнениями F.8.3).
Численное решение конкретной краевой задачи осуществляется
точно так же, как описано в § 6.5. Заметим, однако, что в данном
случае мы имеем шесть граничных параметров, связанных с каж-
каждой узловой точкой: две компоненты смещений и четыре компо-
компоненты усилий (см. G.2.7) и G.2.8)). Для получения из G.2.12)
системы 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными необ-
необходимо иметь в каждом узле только четыре параметра. Вопрос
разрешается просто в случае краевой задачи в напряжениях,
когда с обеих «сторон» каждой узловой точки заданы компоненты
усилий. Тогда уравнения G.2.12) можно непосредственно решить
относительно 2N неизвестных компонент смещений и1х и иу
(х = 1, -.., N).
Аналогичным образом поступаем, если для какого-нибудь
конкретного узла заданы смешанные граничные условия. Напри-
Например, пусть в узловой точке i заданы смещения их и иу и по одну

7.2. Аппроксимации высшего порядка 143
сторону этого узла заданы, кроме того, усилия (txJ и (tly)h тогда
неизвестными служат усилия (tlx)i-i и (^)/_i по другую сторону
узла. В случае же, когда все усилия, связанные с узловой точкой,
неизвестны, решение тем не менее можно найти, предполагая,
что эти усилия непрерывны, т. е. (tx)i-i = (tx)i и (^)/_i =
= {tly)i [18]. Однако это допущение все же остается спорным,
если элементы / и / — 1 имеют различные наклоны.
Шодоннре [10] дал альтернативный способ учета граничных
условий в смещениях, не предполагающий непрерывности усилий
в узловой точке (см. также [54]). При таком подходе считается,
что компоненты тензора напряжений однозначно определяются
в узле. Тогда для исключения из системы G.2.12) двух неизвестных
компонент усилий используются следующие соотношения:
— (?)/ sin р' + D)/ cos р'-1 = - (*?),_, sin р' + ($/_, cos р',
G.2.13)
- (*?)/ sin p' + (t'u), cos р' 4- (G/a1) [(ulx+1), - (и?)/1 cos p' +
4- (G/a') [(«?+')/ - (K),] sin p' = - 0i)/-i sin p' +
4- D)/-i cos p'-1 + (G/a'-1) [D)/-, - (u?-')/-i] cos p'^1 +
+ (G/a') [(«4)/_, - D)/-,] sin p'-1. G.2.14)
Уравнение G.2.13) получается применением B.2.5) для того,
чтобы выразить усилия на элементах / и / — 1 через компоненты
тензора напряжений в узловой точке i. Тогда указанное соотно-
соотношение можно получить, предполагая, что компоненты тензора
напряжений однозначны в узле. Уравнение G.2.14) получается,
если первый инвариант тензора напряжений ахх -\- оуу = а** +
+ Оуу записать в локальных системах координат элементов /
и / — 1 и приравнять два таких выражения. В окончательных
формулах содержатся конечно-разностные аппроксимации, по-
поскольку тангенциальные напряжения (Oxx)i и (oXx)i-i вычис-
вычисляются через тангенциальные деформации (eXx)i и (exx)/_i с по-
помощью процедуры, разъясненной в § 5.10. Поскольку по предпо-
предположению смещения между узлами изменяются линейно, танген-
тангенциальные деформации в пределах каждого элемента постоянны.
Поэтому уравнение G.2.14) нужно рассматривать как приближен-
приближенный результат. Понятно тем не менее, что комбинацию G.2.13)
и G.2.14) можно использовать на практике для преодоления вы-
вычислительных трудностей, связанных с краевыми задачами в сме-
смещениях [10, 54].

144 7. Усовершенствования и обобщения
Коэффициенты влияния
Уравнения G.2.12) содержат две группы граничных коэффициен-
коэффициентов влияния: одну, включающую интегрирование по элементу
J — 1, и другую, включающую интегрирование по элементу /.
Учитывая, что эти элементы связаны с двумя различными локаль-
локальными системами координат, представим обе группы коэффициентов
с помощью обозначения ((/)*> где * означает либо J — 1, либо /.
Тогда, используя G.2.3) и G.2.4) и терминологию, принятую в
G.2.10) и G.2.11), получаем следующие выражения для коэффи-
коэффициентов В и Л:
(Вх'х), = -%q [C - 4v) T\ - 4 (Хг sin Ц* + ^з cos 2P*)],
(В'ух). = 4г 14 (Tl cos 2р* - Tl sin 20*)],
i a G.2.15)
. (В'Л,). = -^- [C - 4v) Т[ + 4 (Т'2 sin 2$* + Т*г cos 2p*)];
(Ах'х), = 2A -v)Ta-c*g(TUin2^ ~Ttcos2$'),
, = (-1 — zv) / 2 + Cn I / 4 COS Za 4-J5 sin 2E J, ,_ _ , „.
• . у • * .»v G.2.1b)
, = — A - 2v) Tj!+ cg(T\I cos 2P + T5 sin 2p ),
(А%), =2(\-\)Tl + c*g {Tlsin2p* - Г5*cos 20*).
Величины 7Т, 71!, ... в этих формулах представляют собой опре-
определенные интегралы функции g (x, у) и ее производных по эле-
Рис. 7.2. Параметры для интегрирования формул, элемент У.
ментам / — 1 и /. Поскольку, как отмечено выше, эти элементы
имеют различные локальные системы координат, формулы инте-
интегрирования должны быть даны отдельно.
Значения величин Т{, k — 1, .... 5, можно выразить через

7.2. Аппроксимации высшего порядка 145
параметры, показанные на рис. 7.2. Определения Ти и резуль-
результаты интегрирования суммируются следующим образом:
+aJ
ilri) - (d - aJ)] ,
1 ' -4-(8/-8Л+ {4 /Ьп
1 f /¦} y/r.^'i ^g (т. J rJ\rli' П 9 M\
2 j v ' ' dy y y/ K '
8я A — v) I q/ q? J
t" ln (rM + 2 (ci + aJ)l{rif] ¦
Аналогично значения величин Т{~1, k = 1, ..., 5, можно
выразить через параметры, показанные на рис. 7.3. В результате
имеем
1 Ггу' а-7
1 [ ~'
8яA —v)

146 7. Усовершенствования и обобщения
_ (ct1 - aJ~l) In rt1 + (ct1 + aJ~l) in rJ2
-Г-D-]J + (а'-}J]1п(/Г
„/-i
T j
_л/-1
8яA—v)
/—1 i „7—1\
;—j Ш (Л 1Г2 I + I ,
T j
-a7-l
A + ya'-^-gL-ix - d-\ ct1) dx =
По формулам G.2.17) для Т{, ..., Tl можно непосредственно
проводить расчеты, используя их в вычислительной программе,

7.2. Аппроксимации высшего порядка 147
в тех случаях, когда узел i не совпадает ни с узлом /, ни с узлом
/.+ 1 (см. рис. 7.2). В этих же двух узлах для того, чтобы полу-
получить правильные выражения, нужно выполнить предельные пере-
переходы. Подобные предельные переходы требуются и в формулах
G.2.18) для Т\~\ ..., Т(~х, когда узел / совпадает либо с узлом
/— 1, либо с узлом / (см. рис. 7.3).
2а
Рис. 7.3. Параметры для интегрирования формул, элемент J — 1.
Рассматривая сначала случай, когда i ~ j +1, из рис. 7.2
aJ, eg = 0, и, следовательно, формулы G.2.17)
ci =
видим, что
принимают вид
Ti
4л A
1
v)
In BaJ)
4л A —v)
CJgT( = О
cJ9T( = О
G.2.19)
Заметим, что мы привели предельные значения произведений
СдТ4 и СдТ(. Сами же члены Т{ и Т( в рассматриваемой точке
не определены, но это не имеет значения, поскольку, как следует
из G.2.16), эти величины входят только в виде произведений с cJg-
Аналогичные соотношения для величин Т\"\ ..., Т(~х по-
получаем из G.2.18) в случае, когда i = / — 1. Обращаясь к рис. 7.3,
видим, что для этого узла cJf = —а , сд~ = 0 и, следовательно,

148 7. Усовершенствования и обобщения
1 =
Ttl = О
ci-'Ti-' = о
a'~l In Ba'I
4яA—v)
1
4яA—v)
G.2.20)
cyTi ' = о
Случай, в котором узлы i и / совпадают, рассматривается с по-
помощью перехода к пределу при стремлении точки нагружения
V J
Точка приложен \
ния нагрузки
PJ
Рис. 7.4. Геометрия, используемая при оценке собственного влияния узловой
точки.
(узла t) к узлу / извне рассматриваемой области, как объяснено
в § 6.3. Предельный переход поясняется на рис. 7.4, где для
удобства показано приближение к узлу / вдоль биссектрисы угла
между элементами J — 1 и /. Эта биссектриса составляет с го-
горизонталью угол а = (К + V2 (л — у), где у —$J ¦— $J~l раз-
разность между углами наклона элементов / и J — 1. Расстояние
до узла / равно е, и мы отыскиваем предельные значения G.2.17)
и G.2.18), когда е стремится к нулю (е —» 0).
Сравнивая рис. 7.2 и 7.4, видим, что
ci-\- aJ = е cos 62 = е cos I -| 1-j = e sin -|-,
cJy — ъ sin 82 = esin f-
и для e = 0 получаем
9f = я, rf = 2ay
G.2.21)
-| |Л = е cos -|-,
- а-' = — 2а-/.
G.2.22)

7.2. Аппроксимации высшего порядка 149
Подставляя эти результаты в G.2.17) и беря предел при е -*- О,
находим
1п е-
T=
Все эти величины конечны, за исключением сингулярного члена
In e в выражении для Т(. Однако из G.2.15) видно, что коэффи-
коэффициенты влияния В содержат величину TJ2 только множителем при
cj (= е cos G/2)), а член е In e стремится к нулю при е ->¦ 0. Из
уравнения G.2.16) следует, что Т\ фигурирует только в двух вы-
выражениях для коэффициентов влияния А. Это не создает вычисли-
вычислительных трудностей, поскольку, как увидим далее, сингулярный
член, отвечающий элементу /, сокращается с соответствующим
членом, отвечающим элементу J — 1.
Предельные значения величин Т{~\ ..., TJfl в G.2.18)
устанавливаются аналогичным образом. В результате имеем
Собственное влияние узловых точек: диагональные
члены матрицы граничных коэффициентов влияния
Теперь, комбинируя G.2.15), G.2.16), G.2.23) и G.2.24), можно
найти диагональные члены матрицы граничных коэффициентов

150 7. Усовершенствования и обобщения
влияния. Для элемента J — 1 коэффициенты В выражаются в виде
G 2 25)
\BxyJJ-l = \Byx)j-\ = 0,
а для элемента J —-в виде
.'_«; On Ba ) — 1],
G.2.26)
(Bii)y = {B&h = 0.
Из G.2.12) и G.2.8) следует, что коэффициенты А всегда присут-
присутствуют в анализе как суммы воздействий элементов J — 1 и J.
Используя обозначения AlJx = (A1Jx)j-i + (AlJx)j, ..., находим
—v) si
G 2 27)
где a = py + V2 (я — у) (см. рис. 7.4). Заметим, в частности,
что сингулярный член In e в этих выражениях отсутствует. С точ-
точностью до обозначений G.2.27) совпадает с результатами, приве-
приведенными Рикарделлой [35].
Примеры
Приведенная выше формулировка прямого метода граничных ин-
интегралов обеспечивает большую точность, чем предыдущие под-
подходы в случаях, когда происходят скачки в усилиях или резкие
изменения нагрузок на границе. Хотя мы привели выражения
только для граничных коэффициентов влияния, можно получить
аналогичные коэффициенты, определяющие смещения и напряже-
напряжения во внутренних точках, если воспользоваться формулами
Сомильяны F.8.25). Процедура остается той же, что и в § 6.7,
за тем исключением, что теперь все интегрирования должны про-
проводиться для случая линейного изменения смещений и усилий
между узловыми точками контура С, определяемого формулами
G.2.5) и G.2.6).
Как иллюстрацию применения элементов высшего порядка рас-
рассмотрим вновь задачу о круглом диске радиуса R, нагруженном

7.2. Аппроксимации высшего порядка 151
равномерной нормальной нагрузкой оп = —р вдоль двух дуг
длиной nR/25 каждая (см. рис. 4.14). Эта задача была решена чис-
численно в § 4.9 и 5.9, и теперь решается вновь с использованием
модифицированного варианта вычислительной программы
=-/?sm и/so
= ~pcasn/50
Элемент 2
Рис. 7.5. Гранично-элементная сетка для диска.
TWOBI. На рис. 7.5 изображена гранично-элементная сетка, ис-
использованная при анализе. Она покрывает четверть границы и
содержит 25 элементов (длиной я^/50) и 26 узловых точек. Из
рисунка видно, что усилия в узловой точке 2 терпят разрыв:
(tx)i = — Р sin (я/50), (fyI = —р cos (я/50), но (g)a = 0 и (§)я =
= 0. Преимущество метода граничных элементов высшего по-
порядка состоит в том, что разрывы усилий такого рода можно моде-
моделировать непосредственно: из G.2.12) видно, что с каждой узловой
точкой связаны два значения каждой компоненты усилия и эти
значения не обязаны быть одинаковыми.
На рис. 7.6 представлены результаты сравнения приближенного
и точного распределения напряжений охх и avy в диске вдоль
оси у. Численные результаты даны как для обычного прямого ме-
метода граничных интегралов, так и для прямого метода граничных
интегралов, основанного на элементах высшего порядка и опи-
описанного в этом параграфе. Как видно из рисунка, в данном част-
частном случае применение кусочно-линейной аппроксимации смеще-
смещений и усилий вдоль границы приводит лишь к небольшому по-
повышению точности.
Рикарделла [35 ] и Круз [18 ] полагают, что преимущества под-
подхода, использующего элементы высшего порядка, более отчетливо
проявляются в задачах изгиба. На рис. 7.7 показан пример сво-
свободно опертой балки, находящейся под действием равномерно рас-
распределенной нагрузки. Балка имеет единичную толщину и от-
отношение длины к высоте 10 : 1. На рисунке изображена гранично-

152 7. Усовершенствования и обобщения
элементная сетка для правой половины балки. Она содержит 55
элементов, длиной по 0,2 м каждый, и 56 узловых точек. Верхняя
2а=тт/25
о Обычные элементы1!
д Элементы высшего^
порядка
-1,0
-0,5
бкх/Р и буу//>
Рис. 7.6. Напряжения вдоль оси у диска.
поверхность балки (элементы 1—25) находится под действием
нормального усилия ty = —10 кН/м2; усилие в элементе 31
(ty = +250 кН/м2) выбрано так, чтобы обеспечить полное силовое
равновесие балки. Жесткое смещение балки предотвращено за-
закреплением узловой точки 29, исключающем ее смещение в на-
направлении оси у (заметим, что вдоль линии симметрии х — 0
смещения точек в направлении оси х равны нулю).
На рис. 7.8 для центральной части балки приведены расчетные
значения напряжений изгиба ахх и решение, полученное по эле-
элементарной теории балок. В этом случае прямой метод граничных
интегралов, основанный на элементах высшего порядка, дает
существенно более точные результаты, чем любой другой метод,

7.2. Аппроксимации высшего порядка 153
0,5 м
Э,5м
Рис. 7.7. Гранично-элементная сетка для свободно опертой балкв.
На правой грани tx = 0, иу = 0.
У.м
-800 -600 -400 -200
Рис. 7.8. Изгибающие напряжения в свободно опертой балке;
элементар-
элементарная теория балок; X прямой метод граничных интегралов при линейном измене-
изменении между узлами; О TWOBI; д TWOFS; • TWODD.
описанный в данной книге. Для модели с элементами высшего
порядка отличие расчетных значений максимальных напряжений
изгиба от решения по теории балок составляет 3 %. При обычной
же формулировке прямого метода граничных интегралов (про-
(программа TWOBI) ошибка составляет около 57 %. Она также со-
составляет 57 % для метода фиктивных нагрузок (программа
TWOFS) и 20 % для метода разрывных смещений (программа
TWODD). Если удвоить число элементов (взять 110 элементов

154 7. Усовершенствования и обобщения
вместо 55), ошибки результатов, получаемых по программам
TWOBI, TWOFS и TWODD, составляют соответственно 43, 43
и 10 %. Эти результаты подтверждают заключение о том, что
метод граничных элементов высшего порядка следует использовать
для правильного отражения особенностей изгиба.
В целом элементы высшего порядка обеспечивают и другие пре-
преимущества. Одно из них состоит в том, что смещения и напряжения
во внутренних точках рассматриваемой области вблизи границы
можно вычислить более точно, чем при использовании обычных
методов граничных элементов, рассмотренных ранее. Например,
в прямом методе граничных интегралов с кусочно-постоянными
смещениями и усилиями на границе (гл. 6) численное решение
обычно ненадежно в точках внутри круга радиуса, равного длине
одного элемента, и с центром в средней точке граничного элемента,
за исключением самой этой точки. Если смещения и усилия между
граничными узлами изменяются по линейному закону (как при-
принято в этом разделе), получаемое решение оказывается надежным
вплоть до расстояний, составляющих по крайней мере одну деся-
десятую часть расстояния между узлами (ср. [35]). Вместе с тем, как
отмечено ранее, линейные изменения смещений между двумя со-
соседними граничными узлами вызывают постоянные тангенциальные
деформации (и, следовательно, постоянные касательные напряже-
напряжения) между этими узлами. Если принять квадратичное изменение
граничных смещений и усилий, то можно получить более деталь-
детальное распределение тангенциальных напряжений вдоль границы
(см. [5]).
Другое преимущество метода граничных элементов высшего
порядка состоит в том, что он обеспечивает большую гибкость
при дискретизации границы. В рамках упрощенного метода гра-
граничных элементов для того, чтобы избежать неверных результа-
результатов при дискретизации какой-либо одной стороны границы, обы-
обычно рекомендуется использовать элементы одинаковых размеров.
В методе, основанном на элементах высшего порядка, для полу-
получения более точного решения в областях с высокой концентрацией
напряжений можно зачастую использовать неравномерное рас-
расположение узловых точек. Это в значительной мере подобно
сгущению сетки, применяемому в методе конечных элементов для
таких областей.
7.3. ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ КОНЦОВ ТРЕЩИНЫ
В § 5.3 мы использовали метод разрывных смещений при отыс-
отыскании численного приближения к аналитическому решению в за-
задаче о раскрытии трещины под действием внутреннего давления.
Из рис. 5.3 видно, что достаточно хорошее решение можно по-
получить, если разделить трещину на 10 или 20 элементов. Однако

7.3. Элементы для концов трещины 155
вблизи концов трещины результаты получаются менее точными.
В задачах механики разрушения важно знать точное реше-
решение у края трещины и потому требуется более углубленный
подход.
Понятно, что это та ситуация, которая требует построения
элементов с разрывами смещений высшего порядка, быть может,
подобных элементам с линейным изменением между узлами, опи-
описанными в предыдущем параграфе. Однако можно показать, что
напряжения в узле между двумя элементами с разрывом смещений
оказываются неопределенными, если только не остаются непрерыв-
непрерывными в этом узле как функция, описывающая разрыв смещений,
так и ее производная по направлению трещины. Другими словами,
«наклон» разрыва смещений также должен быть непрерывной
функцией. Если для каждого элемента задать линейное изменение
разрыва смещений, то наклоны в узлах будут резко изменяться
и напряжения в этих точках окажутся сингулярными. Простейший
элемент еще более высокого порядка, который можно использовать,
имеет квадратичное изменение разрывов смещений и должен
удовлетворять ограничению, состоящему в требовании, чтобы на-
наклоны разрывов смещений были равны в узлах смежных эле-
элементов. Мы не будем обсуждать этот метод детально, поскольку
квадратичные элементы ведут только к частичному улучшению
численного решения задачи о трещине под воздействием внутрен-
внутреннего давления. Вместо этого рассмотрим специальные элементы
высшего порядка, которые учитывают природу сингулярности на-
напряжений в конце трещины.
«Коэффициент интенсивности напряжений» — важное понятие
в механике разрушения. Аналитические решения задач о тре-
трещине при различных условиях нагружения показывают, что на-
напряжения на расстоянии г от конца трещины всегда изменяются
как г'2, если г мало (см., например, [36]). Если записать напря-
напряжения вблизи от конца трещины в виде о = k Bлг)~1/2, то k
называется коэффициентом интенсивности напряжений. Выра-
Выражения для k были получены в различных задачах о трещинах при
разных условиях нагружения. Наш пример трещины в условиях
внутреннего давления соответствует так называемой моде I, и
для трещины длиной 26, подверженной внутреннему давлению р,
можно показать, что J)
h= p (л6)'/2. G.3.1)
Х) Индекс I используется для обозначения моды иагружеиия; k\ известно
как коэффициент интенсивности напряжений «разрывной моды». Можно опреде-
определить и два упругих коэффициента интенсивности кц и km в задаче о трещине.
В двумерном случае мода II соответствует сдвигу вдоль длины трещины в пло-
плоскости х, у («мода скольжения»), а мода III отвечает сдвигу в направлении, пер-
перпендикулярном этой плоскости («мода антиплоского сдвига»).

156 7. Усовершенствования и обобщения
Коэффициенты интенсивности напряжений в более сложных си-
ситуациях зачастую должны находиться численно; отсюда вытекает
требование механики разрушения добиваться повышенной точ-
точности вблизи конца трещины.
Из того, что напряжения у вершины трещины изменяются как
г/2, вытекает, что раскрытие трещины вблизи ее вершины ока-
оказывается пропорциональным х1/2, где х — расстояние, измеряе-
измеряемое от вершины вдоль трещины. Для задачи о трещине под дав-
давлением это позволяет разработать специальный элемент для конца
трещины (концевой элемент), в котором относительное нормальное
смещение берегов йу задается формулой йу (х) = Dy (x/aI/2,
где 2а — длина концевого элемента, a D,- разрыв смещений
в его центре. Мы можем тогда развить численный подход, в кото-
котором трещина делится на обыкновенные элементы разрывов сме-
смещений в соответствии с § 5.3, за исключением двух специальных
концевых элементов — по одному у каждого края трещины. Цель
такой модификации — улучшить точность нашего решения около
концов трещины. Преимущество этого специального приема за-
заключается в том, что напряжения по-прежнему подсчитываются
в центрах элементов и тем самым обходятся трудности, возни-
возникающие для узлов между прилежащими элементами. Для реали-
реализации такого подхода нам нужны в дополнение к равенствам
§ 5.3 граничные коэффициенты влияния для концевых элементов.
Они получаются следующим образом.
Напряжение ауу в точке х, у = 0, возникающее от постоянного
разрыва смещений Dy на отрезке | х | < а, у — О, определяется
соотношением E.3.3):
Читатель может убедиться, что это выражение получается при
подстановке постоянной йу (I) = Dy в интеграл
+а
Специальный концевой элемент для левого конца трещины изоб-
изображен на рис. 7.9 (заметим, что в соответствии с правилом, при-
принятым в гл. 5, разрывы смещений, показанные на рис. 7.9, отри-
отрицательны). Для этого элемента имеем йу (I) = Dy (l/a)l/2 при
О < I < 2а, и G.3.3) можно записать в виде

7.3. Элементы для концов трещины 157
Вычисляя интеграл, получаем при х > О
(
2jrA_v) \^х^
¦In
Ух —
У'2а
, G.3.5)
а при
где написано г вместо — х (ср. рис. 7.9). Аналогичные выражения
можно получить для специального концевого элемента на правом
краю трещины.
Рис. 7.9. Концевой элемент трещины.
Поступая, как в § 5.3, разобъем теперь трещину на N элемен-
элементов так,чтобы центр элемента i длиной 2а1 лежал в точке х = хь,
у = 0. Если первый и последний элементы есть наши концевые
элементы, то из G.3.2) и G.3.5) получаем следующие выражения
для граничных коэффициентов влияния:
А*' = -
а'
л A — v)
при условии j ф 1 и / Ф N и
2kA-v) S_2a/
1
/5
+ У 2a'
для j = 1 и j — N. В G.3.8) принято S = a' +
Решая систему N уравнений
G.3.7)
G.3.8)
— х' |.
G.3.9)
(см. E.3.8)), получаем численное решение задачи о трещине под
внутренним давлением.
Проиллюстрируем результаты, получаемые этим способом. Для
этого рассмотрим, как и в § 5.3, трещину длиной 2Ь, разделенную

158 7. Усовершенствования и обобщения
на N равных граничных элементов для случая v = 0,1 и plG =
= 10~3. В табл. 7.1 приведены для сравнения значения разрывов
смещений в средней точке первого элемента, полученные этим ме-
методом, аналитически по формуле E.3.2) и методом, описанным
в § 5.3. Видно, что введение специальных концевых элементов сни-
снижает ошибку примерно втрое, причем изменение заключается
лишь в том, что при подсчете некоторых коэффициентов влияния
вместо G.3.7) используется G.3.8).
Таблица 7.1. Разрыв смещения йу (а) в центре х = а
концевого элемента трещины
Число
элементов
JV
Расстояние
от конца
трещины
а/Ъ
йу (а)/Ь A0-»)
аналитическое
решение
обычные
элементы
специальные
элементы
3
4
5
10
20
40
0,3333
0,2500
0,2000
0,1000
0,0500
0,0250
—1,3416
— 1,1906
— 1,0800
—0,7846
-0,5621
—0,4000
— 1,7671
— 1,5463
-1,3916
-0,9964
-0,7089
—0,5029
—1,5177
— 1,3275
— 1,1951
—0,8569
—0,6104
—0,4332
Как только элементарные разрывы смещений Dy (i = 1, ..., Л0
определены, можно использовать выражения G.3.2) и G.3.6)
для нахождения напряжений ауу в точке —х = г, у = 0 вблизи
конца трещины (см. рис. 7.9). Если г достаточно мало, произведе-
произведение напряжения на Bл'гI/2 должно дать оценку коэффициента
интенсивности напряжений k\. Полагая rib = 10~7 и N = 7,
получаем kj = 1,059/? (itbI/2 с погрешностью 6 % (ср. G.3.1)).
Стандартный метод § 5.3 для оценки значения kx таким способом
непригоден, поскольку напряжения, вычисленные столь близко
от конца трещины, оказываются совершенно ненадежными.
Невозможно также повысить точность вычисления коэффици-
коэффициентов интенсивности при использовании специальных элементов
в конце трещины за счет увеличения N, поскольку рост общего
числа элементов снижает размер и относительную роль специаль-
специальных элементов. Увеличения точности тем не менее можно достичь,
используя для йу (|) в окрестности конца трещины более сложные
аппроксимирующие формулы. Например, если йу (?) = со?1/2 +
+ са|3/2 на двух первых (и двух последних) элементах, то посто-
постоянные с0 и сх можно связать с разрывами смещений D\ и D\ (или Dy
и Dy) в средних точках этих элементов, а соответствующие гра-
граничные коэффициенты влияния можно получить так же, как G.3.5)
и G.3.6). Поступая таким образом и вычисляя ауу при rib = 10~e

7.3. Элементы для концов трещины 159
для N = 7, приходим к результату k\ — 1,025р (nb)l/2. Добав-
Добавляя в йу (|) член |5/2, можно еще более повысить точность.
Другой способ оценки коэффициента интенсивности напряже-
напряжений дает подсчет энергии деформации, связанной с трещиной.
1.8
1.6
1,4
1,2
A,4137)
10 15 20 25
Число элементов N
30
Рис. 7.10. Энергия деформации трещины под внутренним давлением, вычисленная
при использовании различных типов граничных элементов. 1 — аналитическое
решение; 2 — обычные элементы; 3 — специальные элементы на концах трещины;
4 — квадратичные элементы.
Для задачи о трещине под действием внутреннего давления энер-
энергия деформации равна
+b N
4 ^
-ь y
На рис. 7.10 приведены значения W, вычисленные тремя различ-
различными способами: с использованием обычных элементов разрыва
смещений, с применением специальных концевых элементов в каж-
каждом из концов трещины и с использованием элементов высшего
порядка с квадратичным изменением разрыва смещений, упоми-
упоминавшимся в начале этого параграфа. Связь между энергией дефор-

160 7. Усовершенствования и обобщения
мацйи и коэффициентом интенсивности напряжения для моды I
дается выражением [36]
-§?--—Q-h- G.3.10)
Вычисляя W при близких значениях длины трещины, можно
оценить dW/db численно:
^ W(b- АЬ)У2 Aft,
следовательно, решить G.3.10) относительно ki. Результаты
расчетов для N = 19 и N = 21 дают ki — 1,012/7 (nbI/2 при ис-
использовании только обычных элементов и кг = 1,007/7 (лЬI/2
при использовании специальных концевых элементов. Любопытно,
что оценки для kj получаются более точными, чем значения W,
используемые для их вычисления (см. рис. 7.10). Какова бы ни
была причина этого, ясно, что применение специальных концевых
элементов позволяет вычислять W и ki примерно с такой же точ-
точностью, но при вдвое меньшем числе элементов по сравнению со
стандартным методом разрывных смещений.
Всюду в этом разделе для иллюстрации подходов к задачам
о трещинах использовался пример трещины в бесконечном теле
под действием внутреннего давления. Аналогичным образом можно
рассмотреть и другие задачи о трещинах. Например, можно раз-
развить методы для определения направления роста трещины в неод-
неоднородных полях напряжений [12]. Суть подхода состоит в стрем-
стремлении использовать то, что нам уже известно о характере решения
вместо механических попыток улучшать точность путем приме-
применения стандартных элементов высшего порядка. Этот принцип
иллюстрируется сравнением результатов для энергии деформации,
полученных с использованием специальных концевых элементов
и элементов высшего порядка (рис. 7.10). Статья Снайдера и Круза
[48], в которой аналитическое решение для неограниченной плас-
пластины используется при построении численного решения для тре-
трещины в конечной пластине посредством прямой формулировки
граничных интегралов, также превосходно иллюстрирует этот
принцип.
7.4. ПРОГРАММНЫЕ МОДУЛИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Многие практические задачи механики твердого тела связаны с те-
телами, которые можно идеализировать как упругие полуплоскости.
Например, таким образом можно трактовать задачу с краевой тре-
трещиной в большой упругой полосе, находящейся в условиях рас-
растяжения. Так же можно рассматривать некоторые задачи горной
механики и инженерной геологии, в которых граница полупло-
полуплоскости обычно соответствует поверхности Земли. Например, длин-

7.4. Программные модули для полуплоскости 161
ные на небольшой глубине туннели, параллельные земной поверх-
поверхности, можно зачастую изучать в рамках задачи о плоской дефор-
деформации полуплоскости с отверстием около ее границы.
Задачи о полуплоскости можно решать любым из методов гра-
граничных элементов, описанных в книге. Поверхность полуплоско-
полуплоскости при этом следует рассматривать как любую другую границу
и разбивать ее на элементы обычным способом. Тогда соответству-
соответствующие уравнения можно строить так, чтобы на этих элементах на-
напряжения и смещения удовлетворяли заданным условиям. По-
Понятно, что разбить на граничные элементы всю поверхность невоз-
невозможно, и поэтому должна рассматриваться «достаточно длинная»
часть поверхности. Во многих случаях для удовлетворительного
представления поверхностных эффектов требуется очень большое
количество элементов.
Можно построить более точный и экономичный способ решения
задач о полуплоскости, если воспользоваться специальными син-
сингулярными решениями, которые автоматически удовлетворяют
заданным на поверхности граничным условиям. Для наших целей
особенно пригодны два таких решения для однородной изотроп-
изотропной линейно-упругой полуплоскости, свободной от усилий на
границе: одно — для линии сосредоточенной силы, а другое —
для разрыва смещений в полуплоскости. Эти решения можно
непосредственно использовать для создания новых программных
модулей в методе фиктивных нагрузок, прямом методе граничных
интегралов и методе разрывных смещений. При использовании
этих программных модулей граничные условия в напряжениях
точно удовлетворяются на всей поверхности полуплоскости, и
потому граничные элементы нужно располагать только на вну-
внутренних контурах (например, на границах отверстий или вырабо-
выработок в полуплоскости).
Для обоих упомянутых выше решений имеются аналитические
выражения. Решение для сосредоточенной силы в полуплоскости
дано Меланом [32], а решение для постоянного разрыва смещений
вдоль произвольно ориентированного отрезка дано Краучем [13].
Далее мы представим решение Крауча и используем его при рас-
рассмотрении некоторых краевых задач для упругой полуплоскости
с помощью метода разрывных смещений. Коэффициенты влияния
полуплоскости для метода фиктивных нагрузок и прямого метода
граничных интегралов можно получить из решения Мелана, но
здесь мы эту тему обсуждать не будем.
Разрыв смещений в полуплоскости
Задача о постоянном разрыве смещений на отрезке | х | <: а,
у = 0, в полубесконечной области у < 0 изображена на рис. 7.11.
Начало локальной системы координат х, у расположено в точке
6 Крауч С, Старфилд А.

162 7. Усовершенствования и обобщения
х — сх, у — Су (причем Су < 0). Компоненты разрыва смещения
Dx > 0 и Dg > 0 определяются так же, как в § 5.4 и 5.5. Ана-
Аналитическое решение этой задачи можно найти, используя про-
процедуру, известную как метод отражения. Здесь мы не даем деталь-
детального вывода формул, но приведем краткое описание метода отра-
отражения с тем, чтобы помочь читателю понять основные результаты.
Метод отражения основан на принципе суперпозиции. Решение
задачи, показанной на рис. 7.11, при использовании метода отра-
Рис. 7.11. Разрыв смещения в полуплоскости у <; 0.
жения отыскивается в два этапа. На первом этапе рассматривается
неограниченная область, включающая два отрезка с постоянными
разрывами смещений (рис. 7.12). Один из них, лежащий в области
у < 0, представляет «действительный» разрыв, тогда как другой,
в области у > 0, представляет «образ», отраженный относительно
линии у = 0. По симметрии касательные усилия на линии у = 0
отсутствуют. Нормальные усилия, однако, не равны нулю, и вто-
второй этап анализа состоит в определении дополнительного решения,
снимающего их. Следовательно, дополнительное решение от-
относится к упругой полуплоскости у < 0 при заданных на ее по-
поверхности усилиях tx — 0, ty ф 0.
Смещения и напряжения, вызванные действительным (actual)
разрывом смещений, обозначим через ш и а,/, те, которые
вызваны его отражением (image), обозначим через и[ и ст/у, а
те, которые получаются в результате дополнительного (supple-
(supplementary) решения, обозначим через т и ац. Тогда суммарное
решение для полуплоскости у « 0 можно записать в виде
ut = и? + и[ + uf,
а и = of/ + а'и
а?/.
G.4.1)

7.4. Программные модули для полуплоскости 163
Выражения для каждого члена в этих равенствах приводятся
ниже.
Смещения и напряжения, вызванные действительным разры-
разрывом смещения, можно записать непосредственно по результатам
§ 5.5, вводя незначительные изменения в обозначения. Локальные
Рис. 7.12. Действительный и воображаемый разрывы смещения.
координаты х, у связаны с глобальными координатами х, у
формулами преобразования D.5.1):
х = (х — сх) cos р + (у — Су) sin р,
у = — (х — сх) sin р + (у — су) cos р,
и решение рассматриваемой задачи можно выразить с помощью
функции / (х, у), определенной формулой D.5.4). Обозначим эту
функцию через fA (x, у), чтобы подчеркнуть, что она связана с дей-
действительным разрывом. Кроме того, производные функции
fA (х, у) обозначим через д\А (х, уIдх = F? (x, у), ... подобно
тому, как обозначено в D.5.5) и E.5.3). Тогда искомое решение
можно записать в виде
cos
=-Dx [- A - 2v) F4 sin p + 2 A - v) F
+ у (Ft sin p - Ft cos p)] + DB[- A - 2v) F? cos P -
- 2 A - v) Ff sin p - у (Ft cos p + Ft sin p)],
G.4.3)

164 7. Усовершенствования и обобщения
u? = Dx[(l -2v)F?cosp+2(l - v)F^slnp-
- у (Ft cos p + Ft sin p)] + Dg[- A - 2v) F? sin p +
+ 2 A - v) /tf cos p - у {Ft sin p - F 6Л cos p)].
O& = 2GDX {2F? cos2 p + F$ sin2 p +
+ у {F$ cos 2p - Ff sin 2p)] + 2GDB [— /?л +
Oyy = 2GDt [2F? sin2 $-F? sin 2p - у (f?cos 2p - F* sin 2p)] +
+ 2GDg [- /^5Л - j (F? sin 2p + ^7Л cos 2p)]f
G.4.4)
o% = 2GD-X [Ft sin 2p - F? cos 2p + у (^6Л sin 2p + F7A cos 2p)] +
+ 2GDB [— з (F$ cos2p - Ft1 sin 2p)].
Аналогично из результатов § 5.5 можно найти смещения и
напряжения, вызванные отраженным разрывом смещений. В
этом случае решение выражается через функцию /; (х, у"), опре-
определенную для отраженной локальной системы координат х', у'
(рис. 7.12) следующим образом:
у') = - -J—^ г \у'(
- (*' - a) In /(*' - af + (y'f + (х' + a) In /(*' + а? +_($'
G.4.5)
(ср. D.5.4)). Координаты х', у' и х, у связаны следующими фор-
формулами преобразования:
*'=(* — сх) cos р — {у + су) sin p,
У' = (х - сх) sin р + (у + су) cos p, (Л4>Ь)
которые получаются из G.4.2) путем замены су и р на —св и —р.
Теперь можно показать [13, 14], что смещения и напряжения для
дополнительного решения также выражаются с помощью функции
f (*'. У'), определенной согласно G.4.5). Следовательно, можно
привести окончательные результаты для совокупности смещений

7.4. Программные модули для полуплоскости 165
т + щ и напряжений o't,- + of/. Вводя обозначения для произ-
производных функции /; (х', у')
*f'(*', в') Р1(-' в-\ df'(i',s') -pit*' й)
gp = Г2\Х , У ), щ, = Г3 (X , у ),
*'. В')
ду'
#('(*'. У')
дх'ду'*
dif'(x',g')
(*. В) р>(-' г/\ дУ(х,у) &{'(*, 9) ...Fi {i, Г,Л
дх> ду' =r*\x>yh ЩЧ = ЩЧ -F5(x,y),
{1ЛЛ)
находим, что смещения м,- + "f в глобальной системе координат
определяются выражениями
+ [C - tv) (у sin 2р - у sin Р) + 2у sin 2p] Fi +
+ [C - 4v) (у cos 2p - у cos Р) - у A - 2 cos 2p)]
+ D5 |A - 2v) Fi cos p + 2 A - v) F{ sin p -
- [C - 4v) (y cos 2p - у cos p) - y] Fi +
+ C - 4v) (y sin 2p - g sin p) F57 -
G.4.8)
- [C~4v)(^cos2p —
+ [C — 4v) (г/ sin 2p - p sin P) - 2y sin 2p] F'5 +
+ D^ {A - 2v) F27 sin p - 2 A - v) F3; cos p -
- C - 4v) (y sin 2p - у sin P) Fi -
- [C - 4v) (y cos 2p - g cos p) + г/] F/ +
+ 2г/ (г/ sin 3p - у sin 2p) F67 - 2г/ («/ cos 3p - у cos 2P) F/1

166 7. Усовершенствования и обобщения
И наконец, напряжения о,-,- -+• а(/- связаны с этими смещениями
выражениями вида
аЬ + of, = 2GD* {Fi - 3 (Fl cos 2p - F!5 sin 2p) +
-f [2y (cos p - 3 cos 3P) + 3y cos 2p] Fe +
+ [2y (sin p - 3 cos 3p) + 3y sin 2p] F{ -
a
asyy
+ 2GDg [Fs + [2y (sin p - 2 sin 3p) + 3y sin 2p] Fe -
- [2y (cos p - 2 cos 3P) + 3у cos 2p] F77 -
n4p- ysin3p)F8' +2«/(«/cos4p - pcos3p)FgJ,
G.4.9)
^ [F4' - (Fi cos 2p - F57 sin 2p) -
- Dy sin p sin 2p - у cos 2P) Fe +
+ Dy sin p cos 2p + у sin 2P) F? +
+ 2GDS [Fi - {2y sin p - у sin 2P) F!6 +
+ By cos p - у cos 2p) Fr + 2y (y sin 4p - у sin 3P) F87 -
'xy + o^ = 2GD^ Ifi sin 2p + F{ cos 2p +
+ [2y sin p A + 4 cos 2P) - у sin 2pJ F67 +
+ [2y cos p C - 4 cos 2P) + у cos 2p] F77 +
P [Dy sin p sin 2p + у cos 2p) F| -
Dy sin p cos 2p - у sin 2p)F \ -
n4p - psin3P)F9].
Суммируя G.4.3) с G.4.8), a G.4.4) с G.4.9) в соответствии
с определением G.4.1), получаем решение задачи, изображенной
на рис. 7.11. Читателю остается в качестве упражнения убедиться,
что результирующие усилия
tx = <*ху (= <*ху + о'ху + <*ху),

7.4. Программные модули для полуплоскости 167
действительно равны нулю на поверхности полуплоскости. По-
Поэтому необходимые коэффициенты влияния полуплоскости для ме-
метода разрывных смещений можно получить из приведенных ре-
результатов, следуя процедуре, описанной в § 4.6 и 5.6. Заметим
в этой связи, что функция f (х', у') и все ее производные конечны
и однозначны всюду в рассматриваемой области, у < 0, поскольку
постоянная су отрицательна (ср. рис. 7.11)). Однако читатель
должен сознавать, что, хотя решение дано для случая, когда
разрыв смещений имеет место в «нижней полуплоскости» {у < 0),
результаты останутся неизменными, если разрыв смещений имеет
место в «верхней полуплоскости», у ^ 0. В этом случае постоянная
су положительна и вновь всюду в рассматриваемой области функ-
функция {' (х', у') и все ее производные конечны и однозначны.
Примеры
Для иллюстрации предшествующих результатов с использованием
метода разрывных смещений рассмотрена задача об однородном
\
V 1
i 20
N
1 25
К
1 30
V5
V
50
Л о 5-нгл
/ Масштаб
1 смещении
/[/Дедюрмированная форма
А
Рис. 7.13. Профиль смещений для краевой трещины в полуплоскости; угол на-
наклона трещины а — я/2.
растяжении ахх = Т на бесконечности упругой полуплоскости
у <: 0 с прямолинейной трещиной длиной Ь, пересекающей по-
поверхность под углом а к оси х. Решения отыскивались для част-
частных случаев а = л/2, л/3 и л/6 при v = 0,1, TIG = 2,2. 10

168 7. Усовершенствования и обобщения
и Ь = 1 (единица длины произвольная). В каждом случае трещина
разделялась на 50 элементарных разрывов смещений.
На рис. 7.13—7.15 приведены профили смещений для трех зна-
значений угла наклона трещины. Эти результаты показывают харак-
0 5-10"J
Масштаб
смещений
Деформированная форма
Рис. 7.14. Профиль смещений для краевой трещины в полуплоскости; угол на-
наклона трещины а = я/3.
./X/
Деформированная
'форма
О 5-КГ3
Масштаб
смещений
Рис. 7.15. Профиль смещений для краевой трещины в полуплоскости; угол на-
наклона трещины а = я/6.
тер смещения берегов трещины по сравнению с начальным поло-
положением и свидетельствуют о том, что смещения правого берега
трещины меньше зависят от угла наклона, чем смещения левого.
Свободная граница оказывает существенное влияние на величины

7.5. Неоднородные тела 169
относительных смещений берегов трещины. Например, при а =
= л/2 максимальные относительные (нормальные) смещения при-
примерно на 45 % больше смещений для трещины с удвоенной дли-
длиной в бесконечном теле (ср. E.3.2)). Разница между вычисленным
значением раскрытия трещины 5,744. 10~3 (единица длины про-
произвольная) и аналитическим решением, равным 5,774. 10~3 [52],
составляет около 5 %.
7.5. НЕОДНОРОДНЫЕ ТЕЛА
Методы граничных элементов, рассмотренные выше, предназна-
предназначены для решения двумерных краевых задач в случае однородного
изотропного линейно-упру-
линейно-упругого тела. Теперь покажем,
как эти методы путем про-
простой перестройки имеющихся
программных модулей можно
распространить на задачи,
в которых рассматриваемая
область является неоднород-
неоднородной.
Предположим пока, что
рассматриваемая область со-
состоит из двух конечных
подобластей, как показано
на рис. 7.16. Каждая из
подобластей, обозначенных
на рисунке через Rx и R2,
считается однородной изо-
изотропной и линейно-упру-
линейно-упругой с упругими постоянны-
постоянными vlt Ех и v2, Ег. В соответствии с соглашением, принятым
выше, граничные контуры Сх подобласти Rx и С2 подобласти R2
обходятся по часовой стрелке. Тогда локальные системы коорди-
координат s, n связаны с контурами так, как показано на рисунке.
Общая часть двух граничных контуров определяет поверхность
контакта подобластей. На контакте локальные координаты s1}
п^ и s2, я2 имеют противоположные направления, т. е. sx = —^
и пх = —п%.
Краевая задача для неоднородного тела (рис. 7.16) формулиру-
формулируется заданием обычных условий для смещений и напряжений на
«свободной» части контуров С, и С2, а также условий непрерыв-
непрерывности смещений и усилий на поверхности контакта подобластей.
Условия непрерывности в точке Q этой поверхности можно запи-
записать в виде
o[J](Q) = o?](Q), o\!](Q) = ol;\Q) G.5.1)
Рис. 7.16. Неоднородное тело, состоящее
из двух изотропных линейно-упругих
подобластей.

170 7. Усовершенствования и обобщения
для напряжении и в виде
«i11 (Q) = - 421 (Q), "L1] (Q) = - "к21 (Q) G.5.2)
для смещений. Знак минус в G.5.2) есть следствие противополож-
противоположности направлений локальных координат slt пг и s2, п2 на по-
поверхности контакта.
Гранично-элементное решение рассматриваемой задачи можно
найти, разделяя контуры Сг и С2 на прямолинейные отрезки,
примыкающие друг к другу, и предполагая, что смещения и на-
напряжения в пределах каждого отрезка постоянны. С учетом ча-
частей контуров, которые представляют контакт, имеем Ыг гранич-
граничных элементов на контуре Сг и ЛГ2 граничных элементов на кон-
контуре С2. Элементы, расположенные на двух сторонах контакта,
должны полностью совпадать друг с другом. Тогда с каждым эле-
элементом на этой поверхности связаны четыре неизвестные величины:
две компоненты смещения us и ип и две компоненты усилия а,
и а„. Условия непрерывности G.5.1) и G.5.2) дают для каждого
элемента области контакта еще четыре соотношения, и таким об-
образом задача оказывается разрешимой.
При решении краевых задач для неоднородных упругих тел
можно использовать любой из рассмотренных выше методов гра-
граничных элементов. Однако для прямой и непрямой формулировок
имеются незначительные различия в численной процедуре, и по-
поэтому ниже они описываются отдельно.
Метод фиктивных нагрузок
Рассмотрим вначале численную процедуру метода фиктивных на-
нагрузок. Процедура метода разрывных смещений во всех отноше-
отношениях аналогична ей и здесь не обсуждается.
Задачу, изображенную на рис. 7.16, можно представить как
две отдельные краевые задачи, одну —для подобласти Rx и дру-
другую — для подобласти R%. Эти две задачи, конечно, связаны усло-
условиями непрерывности G.5.1) и G.5.2) на поверхности контакта.
Поступая, в сущности, таким же способом, как в § 4.4, свяжем
фиктивные нагрузки Ps и Рп с каждым элементом обоих конту-
контуров. Смещения и напряжения в подобласти Ri зависят только от
фиктивных нагрузок Р[^ и Р„ на Ыг элементах контура Сь
а смещения и напряжения в подобласти R2 — от фиктивных на-
нагрузок PPJ и Pfj2] на ЛГ2 элементах контура С2. Следовательно,
наша задача — найти фиктивные нагрузки на каждом из Nt +
+ А/2 = ЛГ граничных элементов так, чтобы удовлетворить гра-
граничным условиям и условиям непрерывности на контакте под-
подобластей.

7.5. Неоднородные тела 171
При построении системы алгебраических уравнений для состав-
составной задачи граничные элементы для подобластей удобно нумеро-
нумеровать последовательно, начиная с подобласти Rv Тогда элементы
с номерами от 1 до Л^ лежат на контуре Съ а элементы с номерами
от iVj + 1 до Ni + N2 = N — на контуре С2. Используя урав-
уравнения D.6.11), напряжения на границе подобласти R^ можно
записать в виде
„'['I _ V л'ПНpilD I V /i'7[i]p/[i]
i=l, ..., Л/ъ G.5.3)
а напряжения на границе подобласти R2 — в виде
N . N
N >-»п-1, .... N.
Л2] __ у лчтыт i у л'н*
>п — Zj nns 's ~Г Zj nnn
/=JV,+ 1 /=1
G.5.4)
Аналогичные выражения можно записать и для смещений us
и ип на границе двух подобластей. Используя D.6.10), пред-
представим их в виде
?
t=l, ..., Nl7 G.5.5)
I!
Е
, .... N.
G.5.6)
Граничные коэффициенты влияния в G.5.3)—G.5.6) вычисляются
точно так же, как в § 4.6. Необходимо только помнить, что для
каждой подобласти используются соответствующие ей упругие
постоянные.
Выражения G.5.3)—G.5.6) можно использовать для образова-
образования системы 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными
компонентами фиктивных нагрузок рассматриваемой задачи.

172 7. Усовершенствования и обобщения
Представим эту систему в виде
N N
1 = 1, .... N G.5.7)
(ср. D.7.3)), где первые Л^ компонент P's и Р'п представляют Nx
величин Р[1] и Р[п\ а последующие N2 компонент представляют
N% величин Р[2] и Р1Р. Прочие величины в G.5.7) получаются
для каждого элемента из G.5.3)—G.5.6) с учетом граничных усло-
условий непрерывности на контакте. Заметим, что типичный элемент t
должен располагаться либо на свободной части одного из гранич-
граничных контуров, либо на поверхности контакта двух подобластей.
В первом случае i-e уравнение в G.5.7) получается исходя из
граничных условий для рассматриваемого элемента — точно так
же, как в § 4.7, тогда как во втором случае они находятся путем
использования условий непрерывности на поверхности контакта.
Предположим сначала, что t-й элемент лежит на свободной ча-
части одного из граничных контуров, скажем контура Сх. Если
предположить далее, что на этом элементе заданы напряжения
о1[1] = (<4)о и о'п[1] = (а^H, то G.5.3) и G.5.4) можно использовать
для получения следующих выражений для величин bl, bln и Cls{, ...
в G.5.7):
К = (Os)o. bln = (oln)o,
l А1Р] ,j<Nu G.5.8)
ss~( o, yv! + i</<yv,
и аналогичных выражений для коэффициентов CsL Cln[ и ClJn.
С другой стороны, если t-й элемент лежит на свободной части
контура С2 и если на нем заданы смещения г4[2] = ("s)o и ы«[21 =
= \ui\, то G.5.5) и G.5.6) дают
0, }<NX, G.5.9)
bss = Dam Л/, J_ 1 ^ i ^ М
и аналогичные выражения для других коэффициентов в G.5.7).
Смешанные граничные условия для любого контура можно учесть
путем простого перераспределения параметров в G.5.8) и G.5.9)
(ср. § 4.7).
Рассмотрим, наконец, случай, когда t-й элемент лежит на по-
поверхности контакта двух подобластей. Как установлено ранее,

7.5. Неоднородные тела 173
элемент на поверхности контакта рассматривается фактически
как два совпадающих граничных элемента, один — для контура Clt
а другой —для контура С2. Таким образом, если t-й элемент при-
принадлежит одной стороне поверхности контакта, существует пар-
парный ему элемент, скажем t*-fi, на другой стороне. На каждом эле-
элементе, лежащем на поверхности контакта, должны также удов-
удовлетворяться четыре условия. Два из них можно использовать при
построении уравнений, относящихся к элементу на одной стороне
поверхности контакта, а два других можно аналогично исполь-
использовать для элемента на другой стороне. Например, если t-й эле-
элемент лежит на поверхности контакта со стороны контура Съ
два условия непрерывности напряжений G.5.1) можно записать
в виде
ill] <*[2] л «•'[!] ~'*[2] /ч /7 С im
E с — (У§ == U, (?я — Oft ^^ U. I/.O. IUI
Из G.5.3) и G.5.4) следует, что величины b{, Ь\х и С% ... в
G.5.7) равны
Ь\ = oi[U - аГ[2] =0, Ьса = а„[1] - а^[2] = 0,
i<Nu G.5.11)
и т. д. для коэффициентов С13'п, СЦ и С'п'п.
Условия непрерывности для смещений на поверхности раздела
удовлетворяются затем путем рассмотрения соответствующей си-
ситуации, когда i-й элемент лежит на поверхности раздела со сто-
стороны контура С2 (поскольку мы определяем коэффициенты для
i-ro уравнения), тогда как i*-ft элемент лежит со стороны контура
Сх. Условия G.5.2) в этом случае можно выразить следующим
образом:
«р] + «Г[1] = О, иад + «»'[11 = 0, G.5.12)
объединяя G.5.5) и G.5.6), можно записать
ъ[ «™ + «и" о ь1 и*™ + и
G.5.13)
опять-таки при аналогичных выражениях для других коэффици-
коэффициентов в G.5.7).
Читатель теперь в состоянии понять, что эти алгоритмы можно
достаточно легко ввести в программу фиктивных нагрузок
TWOFS (или в программу метода разрывных смещений TWODD).
Если пожелать сохранить в G.5.7) только ненулевые коэффици-

174 7. Усовершенствования и обобщения
енты СЦ, ..., то потребуется более существенная перестройка про-
программы. Однако это, в сущности, уже задача «шлифовки» про-
программы, и здесь она не изучается.
Прямой метод граничных интегралов
Численную процедуру решения задачи, изображенной на рис. 7.16,
прямым методом граничных интегралов можно построить анало-
аналогичным путем (см. [38]). Составную задачу вновь представим
как две отдельные краевые задачи, связанные условиями непре-
непрерывности G.5.1) и G.5.2). Если граничные элементы с номерами
от 1 до Л^ лежат на контуре Съ а элементы с номерами от Л^ + 1
до Ni -{- N2 — N — на С2, то на основе F.2.6) можно записать
следующие граничные уравнения для двух подобластей /?х и R2;
/7 5 14)
(/.0.14)
Л',
^j ?jss С
/=1
Л',
Л',
./[И | v й'ЯП,
h + Ъ "sn с
i=i
Л',
./[1] , v йгЯП,
fs т~ Zj -О (in t
Л •
Гп1 = S i4ssl л
/=1
Л',
Л',
V + И
'4[l] + S
где индекс i принимает значения от 1 до Nlt и
= E
/Л'
N G.5.15)
2]= Е 4W4
/=Л',+ 1 /=Л',+1 /=---Л', + 1
+ Е лЦ»,
/=Л',+ 1
где индекс t принимает значения от Л^ + 1 до N. В этих уравне-
уравнениях граничные коэффициенты влияния получаются по F.4.5)
и F.4.6) при значениях упругих постоянных vx и Gx для подоб-
подобласти /?! и v2, G2 для подобласти /?2.
Уравнения G.5.14) и G.5.15) содержат 2N соотношений,
включающих 4N граничных параметров: касательные и нормаль-
нормальные смещения (us и ип) и напряжения (os и 0„) на каждом из N
граничных элементов. Для элемента, принадлежащего свободной
части одного из граничных контуров, два параметра из четырех
задаются как граничные условия, а остальные два параметра
считаются неизвестными. Для элемента, принадлежащего по-
поверхности контакта, все четыре параметра неизвестны. Исполь-

7.5. Неоднородные тела 175
зуя, однако, условия непрерывности G.5.1) и G.5.2), можно свя-
связать два параметра с элементом, принадлежащим одной стороне
поверхности контакта, а другие два — с соответствующим эле-
элементом на другой стороне поверхности. Следовательно, уравнения
G.5.14) и G.5.15) можно использовать для построения следующей
системы 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными:
Л' л' .
/=л! ''t i=\, ..., N. G.5.16)
Величины Yl и Yn (i = 1, ..., N) в этих уравнениях, как объя-
объяснено в § 6.5, представляют собой линейные комбинации известных
граничных параметров, a Cls{, ...—соответствующие коэффици-
коэффициенты влияния, связанные с неизвестными граничными парамет-
параметрами Х{ и Х'п.
Для иллюстрации процедуры, используемой при построении
системы G.5.16) из граничных уравнений G.5.14) и G.5.15),
предположим, что на свободной части контура CL заданы напря-
напряжения a's[l] = (a'sH и ап[1] = (ап)о, а на свободной части контура
С2 — смещения u's[2t = (u'sH и unl2] = (ипH- Тогда, если смещения
«s[1] и «5,[1] считать неизвестными граничными параметрами на
поверхности контакта со стороны контура Съ а напряжения а'[2]
и оп12^ — неизвестными со стороны С2, то величины Х[ и Х'п
определяются следующим образом:
Напряжения а{[2] и а'п[2] (/ = Wx + 1, ..., Л^) нормированы
на модули сдвига для того, чтобы они были такого же порядка,
как смещения и{1П и и!пт (/ = 1, ..., N-^ (ср. § 6.5).
Если М — число граничных элементов на каждой стороне по-
поверхности контакта, то напряжения a|[U и а'п[1] известны для
/' = 1, ..., Ni — М, а смещения и{12] и и?[2] —для / = Nt +
+ М + 1, ..., N. Следовательно, используя G.5.14) для всех
элементов контура Сг (i = 1, ..., Nx), а G.5.15) для всех элемен-

176 7. Усовершенствования и обобщения
тов контура С2 (i =
ур 2 ( x ,
G.5.16) для Y\ и Yn в виде
1, ..., N), можно записать выражения
ЛГ,—Л1
У1. - S
и% -
К)„]
G.5.18)
.... ЛГ.
Коэффициенты Css, ¦¦¦ Для i-ro уравнения системы G.5.16)
находим теперь, учитывая граничные условия и условия непре-
непрерывности вдоль контуров Сц и С2. В соответствии с определени-
определениями G.5.17) смещения и\[1] и и1п1П — неизвестные граничные
параметры вдоль контура Сг (i «g JVj), а напряжения BG2)~1ats[2]
и BG2)~'a^[2] — неизвестные параметры вдоль контура С2
(где Ni + 1 < i < N). Поэтому, образуя систему G.5.16) из
G.5.14) и G.5.15), мы должны исключить напряжения af[1] и
°л111 Ц — Ni — М + 1, ..., Ыг) на поверхности контакта со
стороны контура Съ а также смещения u{l2i и ы„[2] (/ = Nt +
+ 1, ..., Ni -\- M) на поверхности контакта со стороны контура
С2. Это достигается использованием условий непрерывности на
контакте.
Как отмечено выше, элемент /, лежащий на контакте со стороны
контура Си необходимо связать с другим элементом /* на стороне
контура С2. Тогда условия непрерывности G.5.1) для напряжений
можно записать в виде
G.5.19)
Аналогично если элемент / лежит на стороне С2 контакта, а пар-
парный ему элемент /* — на стороне Сь то условия непрерывности
G.5.2) для смещений имеют вид
— **« *
G.5.20)

7.5. Неоднородные тела 177
Теперь нетрудно определить коэффициенты C's{, ... в G.5.16).
Объединяя G.5.14), G.5.17) и G.5.19), получаем для i <: Nt
)B^[n, ЛГ, + 1</<ЛГ1 + Л«, G.5.21)
0, Ni -f M + 1 ^ / < N,
с аналогичными выражениями для коэффициентов Cli, ClJs и ClJn.
Объединяя G.5.15), G.5.17) и G.5.20), находим значения коэффи-
коэффициентов для Nt + 1 <: i <: N
О, / < ^ - М,
Сй=
Ni-M+l<j<Ni, G.5.22)
— BО2)В,',Л21.
и т. д. для других коэффициентов в G.5.16).
Предшествующие алгоритмы можно достаточно легко ввести
в вычислительную программу для прямого метода граничных
интегралов TWOBI. Смещения и напряжения во внутренних точ-
точках обеих подобластей Rx и R2 можно получить, используя фор-
формулы Сомильяны F.7.3) и F.7.8) с упругими постоянными, соот-
соответствующими рассматриваемой подобласти.
Примеры
На рис. 7.17 приведен простой пример краевой задачи для неодно-
неоднородного тела. Рассматриваемая область состоит из кольца а <:
< г« Ьс упругими постоянными vx и Gx внутри круглого отвер-
отверстия радиуса г = Ьв большой пластине с упругими постоянными v2
и G2. Внутренняя поверхность кольца находится под действием
нормальных напряжений огг = —р, а пластина свободна от на-
напряжений на бесконечности. Решение этой задачи, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию непрерывности радиальных напряжений и смещений
на поверхности контакта г = Ь, можно получить по стандартным
формулам для толстостенных цилиндров (см., например, [27,
стр. 125—126]) 2). Радиальные и тангенциальные напряжения
определяются формулами
Х - Р') - (Р - Р')a*lr*} |
- р') + (р- р') а*/г*] (
G.5.23)
V) См. также, например, Амензаде Ю. А. Теория упругости. Изд. 3-е. —
М.: Высшая школа, 1976, с. 147—148. — Прим. ред.

178 7. Усовершенствования и обобщения
Рис. 7.17. Кольцо внутри круглого отверстия в пластине.
1,0 -
•Аналитическое
решение
о Числовые результаты
S-
Рис. 7.18. Радиальные и тангенциальные напряжения в кольце @,5 ^ r/b
г^ 1,0) и в пластине (г/6 ^ 1,0).

7.5. Неоднородные тела 179
где
р' =
2 A — vt) pa2/62
G.5.24)
Численное решение этой задачи получено методом фиктивных
нагрузок при следующих значениях параметров: alb = 1/2,
vi = V2 = 0.25, GXIG2 = 2 и plG = 10. Круговая граница г — а
и две стороны поверхности контакта г = b в промежутке между
углами 6 = 0 и 0 — я/2 (см. рис. 7.17) были разделены на 25 эле-
о Числовые
результаты
Рис. 7.19. Радиальные и тангенциальные напряжения в кольце @,5 ^ r/b ^ 1,0)
и в пластине (r/b 5s 1,0) в случае, когда наружный радиус кольца превышает
радиус отверстия, бг/6 = 0,5-10-*.
ментов каждая. Результаты вычислений сопоставляются с анали-
аналитическим решением на рис. 7.18.
Для области, изображенной на рис. 7.17, можно сформулиро-
сформулировать родственную задачу в случае, когда внешний радиус кольца
вначале больше Ь, скажем b + 8,, так что для посадки кольца
в отверстие пластины его необходимо сжать. Радиальные и тан-
тангенциальные напряжения для этой задачи вновь даются форму-
формулами G.5.23), но теперь р' имеет другое значение:
, _ 2 A - V
Р
Если внутреннее давление р равно нулю, это выражение дает ра-
радиальное напряжение на поверхности контакта, вызванное пре-
превышением бг внешнего радиуса кольца над радиусом отвер-
отверстия.

180 7. Усовершенствования и обобщения
Для численного решения этой задачи условия непрерывности
нормальных смещений G.5.2) на поверхности контакта заменим
следующим выражением:
В методе фиктивных нагрузок, например, это означает, что по-
постоянная bln в G.5.13) теперь имеет значение +бг. Принимая
ЬГ1Ь = 0,5-10~3 и оставляя неизменными остальные параметры
предыдущего примера, получаем результаты, показанные на рис.
7.19.
7.6. ПРОГРАММНЫЕ МОДУЛИ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ
ПОЛУПЛОСКОСТЕЙ
Численные процедуры, объясненные в предыдущем разделе, можно
применять к неоднородным телам произвольной конфигурации
Однако, если две подобласти разделены прямой линией, к решению
задачи можно подойти иначе. В этом случае можно построить спе-
специальные вычислительные программные модули, точно удовлет-
удовлетворяющие условиям непрерывности на поверхности контакта без
использования каких-либо граничных элементов на этой поверх-
поверхности. Ниже такой подход будет проиллюстрирован на примере
метода разрывных смещений. Программный модуль основан на
аналитическом решении для задачи о постоянном разрыве смеще-
смещений на произвольно ориентированном отрезке в упругой полу-
полуплоскости, которая связана с другой упругой полуплоскостью
вдоль прямолинейной границы. Соответствующие программные
модули для метода фиктивных нагрузок и прямого метода гранич-
граничных интегралов можно построить на основе решения для линии
сосредоточенной силы внутри одной из двух связанных полупло-
полуплоскостей [21].
Разрыв смещений в связанной полуплоскости
Геометрическая иллюстрация рассматриваемой задачи дана на
рис. 7.20. Нижняя полуплоскость у < 0 с упругими постоянными Е
и v содержит отрезок, вдоль которого смещения терпят разрыв.
Верхняя полуплоскость у ;з= 0 с упругими постоянными Е*, v*
связана с нижней полуплоскостью вдоль общей границы у = 0.
Смещения и напряжения в нижней полуплоскости обозначим
через ut и ai}, а в верхней полуплоскости — через u*t и а*ц.
Тогда условия непрерывности на поверхности раздела можно
записать в виде равенств
— оо<х<оо, у~0 G.6.1)

7.6. Программные модули для связанных полуплоскостей 181
для напряжений и в виде равенств
«5= и.
00
оо, у = О
G.6.2)
для смещений.
Вывод решения для задачи, определяемой этими условиями,
довольно длинный, и здесь мы не будем входить в детали. Однако
Рис. 7.20. Связанные полуплоскости.
для того, чтобы помочь читателю понять результаты, кратко опи-
опишем ход. решения.
Решение для нижней полуплоскости можно записать в виде
Of/ =
0м
G.6.3)
Члены в скобках представляют решение, данное в § 7.4, для раз-
разрыва смещений в упругой полуплоскости со свободной от усилий
границей. По определению это решение имеет непрерывные (фак-
(фактически нулевые) нормальные и касательные напряжения вдоль
поверхности раздела у = 0. Непрерывность смещений достига-
достигается путем наложения подходящего распределения нормальных
и касательных напряжений на поверхности раздела. Чтобы со-
сохранить непрерывность напряжений, к обеим сторонам границы

182 7. Усовершенствования и обобщения
у = О_иу = 0+ должны быть приложены одинаковые напряжения.
Величины ы|* и огЦ/ в G.6.3) представляют компоненты смещений
и напряжений в нижней полуплоскости, вызванные напряжениями,
приложенными к отрицательной стороне границы у — 0_.
Смещения и* и напряжения a*j представляют полное решение
для верхней полуплоскости. Эти величины зависят только от нор-
нормальных и касательных напряжений, приложенных к положи-
положительной стороне границы у = 0+.
Решение для нижней полуплоскости, у < О
Смещения и напряжения в нижней полуплоскости в соответствии
с определением G.6.3) получаем, комбинируя результаты § 7.4
со следующими выражениями для и]* и а*/:
X=Z ID*
sin P + ^ cos
^ [Di
cos p-Fi sinp)-
4A — v)
Величины и\ + щ и сг';- + af/ в этих уравнениях заданы выраже-
выражениями G.4.8) и G.4.9), а параметры К и L—следующими
комбинациями упругих постоянных, связанных с обеими полу-
полуплоскостями:
К = 2A —v) + 2A — v*)G/G*,
L = A — 2v) — A — 2v*)G/G*, G-6-6)
где 2G = ?/A + v), 2G* = E*/(l + v») (ср. рис. 7.20).
В приведенном выше решении заслуживают рассмотрения три
частных случая. Первый, когда обе полуплоскости имеют одина-
одинаковые упругие постоянные, т. е. когда Е = Е* и v = v*. Тогда
параметры К и L равны 4 A —v) и 0 соответственно, и из G.6.4)
и G.6.5) находим, что
и** = — (u'i -f us{) и or*/ = -

7.6. Программные модули для связанных полуплоскостей 183
В этом случае решение приводится к виду, полученному в § 5.5
для бесконечного упругого тела с постоянным разрывом смещений
вдоль отрезка.
Второй частный случай общего решения для связанных полу-
полуплоскостей имеет место, когда модуль Юнга верхней полуплоскости
равен нулю, т. е. Е* = 0. В этом случае G.6.6) приводит к равен-
равенству {К. + L)~1=0, так что и** = 0 и а** = 0. Следовательно,
решение сводится к виду, данному в § 7.4 для разрыва смещений
в упругой полуплоскости со свободной от нагрузок границей.
И наконец, если модуль Юнга верхней полуплоскости беско-
бесконечно большой, т. е. если Е* = оо, то G.6.6) дает К = 2 A — v)
и L = 1 — 2v и можно убедиться, что результирующие смещения
на поверхности равны нулю. В этом случае мы получаем решение
для разрыва смещений в упругой полуплоскости, поверхность
которой закреплена.
Решение для верхней полуплоскости, у ^ 0
Решение завершается записью следующих выражений для сме-
смещений и напряжений в верхней полуплоскости:
. 4A-у) G п ( r(l-2v«)X
"*- K + L ¦&°[[
у Ft sin p - (j^-L y + g cos p) Fi] +
K + L
G.6.7)
n У + У cos p) Ft - Ft У sin p},
u* _
- (j^Tl» + У cos P) ^ - Ft У sin

184 7. Усовершенствования и обобщения
cos
2p) Ft -
G.6.8)
c=t y cos P + ^cos 2
Теперь читателю следует убедиться, что условия непрерывности
G.6.1) и G.6.2) на границе полуплоскостей действительно удовлет-
удовлетворяются. В связи с этим полезно заметить, что для производных
функций fA (х, у) и f (х1, у') на поверхности у = 0 имеют место
следующие соотношения:

7.6. Программные модули для связанных полуплоскостей 185
Эти соотношения легко получить, используя определения D.5.5),
E.5.3) и G.4.7) и учитывая, что из G.4.2) и G.4.6) следует х' = х
и у' — —у на поверхности у = 0.
Разрыв смещений в верхней полуплоскости
В § 7.4 было упомянуто, что решение задачи о разрыве смещений
в полуплоскости со свободной от усилий границей пригодно как
для нижней, так и для верхней полуплоскостей. Местоположение
разрыва влияет только на знак постоянной су в формулах преоб-
преобразования координат (см. G.4.2) и G.4.6)): разрыв смещений имеет
место в области у <s 0, если су отрицательно, и в области у ^ 0,
если су положительно.
Аналогично, представленные результаты можно использовать
в случае, когда разрыв смещений имеет место на отрезке, лежащем
в верхней из двух связанных полуплоскостей. Тогда формулы
G.6.4) и G.6.5) пригодны для области у ^ 0, а формулы G.6.7)
и G.6.8) — для области у « 0. Однако в этих формулах в том
виде, как они записаны, надо теперь подразумевать, что верхняя
полуплоскость имеет упругие постоянные Е и v, тогда как ниж-
нижняя полуплоскость—упругие постоянные Е* и v*. Подобное
расположение обратно тому, которое показано на рис. 7.20. От-
Отсюда следует, что в формулах достаточно поменять местами зна-
значения упругих постоянных, если разрыв смещений имеет место
в верхней полуплоскости, т. е. когда су положительно. Операции
подобного рода легко осуществляются в вычислительной про-
программе.
Пример
В качестве иллюстрации метода разрывных смещений для связан-
связанных полуплоскостей рассмотрим задачу о прямолинейной трещине
под внутренним давлением длиной 2Ь; трещина расположена на
глубине —у = b от поверхности контакта и параллельно ему,
как показано на рис. 7.21. Если упругие постоянные этих полу-
полуплоскостей одинаковы, задача симметрична относительно линии
—у = b и распределение (нормальных) разрывов смещений вдоль
трещины дается формулой E.3.2). При произвольных значениях
упругих постоянных линия —у = b не является линией симмет-
симметрии, и разрыв смещений в любой точке вдоль трещины будет иметь
как нормальную (у), так и касательную (х) составляющие. Во
всех случаях энергия деформации, связанная с трещиной,
дается выражением
W = -j J [охуйх (х) + оиуйу (х)} dx, G.6.9)
—ь

186 7. Усовершенствования и обобщения
rrrm
Рис. 7.21. Трещина под внутренним давлением, параллельная поверхности
контакта.
@,797)
G*/G
Рис. 7.22. Энергия деформации как функция отношения касательных модулей G*
(для области у > 0) и G (для области у < 0).

7.7. Анизотропная упругость 187
где йх (х) и йу (х) — распределения разрывов смещений. В за-
задаче, изображенной на рис. 7.21, на поверхности трещины заданы
напряжения аху = 0 и ауу = —р и G.6.9) принимает вид
+ь
W = ~\р \ йу(х)йх. G.6.10)
—ь
Метод разрывных смещений был использован для вычисления
энергии деформации G.6.10) как функции отношения модулей
сдвига G*lG при условии v = v* = 0,1 и pIG — 10. Трещина
по длине 2Ь была разделена на 40 элементов с разрывами смещений,
и задача решалась при различных значениях G*IG — от 0 (сво-
(свободная от усилий граница) до 106 («жесткий» контакт). Результаты
вычислений суммированы на рис. 7.22.
Значения энергии деформации, приведенные на рисунке,
нормированы на величину Wo энергии деформации, вычисленной
при G* = G. (Различие между вычисленным значением Wo, рав-
равным 1,449162р, и аналитическим результатом, равным 1,4137й2р,
составляет около 2,5 %.) Максимальное значение энергии дефор-
деформации W = 1,693 Wo и достигается при G* = 0. Энергия деформа-
деформации для «жесткого» контакта (G*/G = 106) W = 0,797№0. Она
примерно на 4 % меньше значения энергии при G*IG = 10.
7.7. АНИЗОТРОПНАЯ УПРУГОСТЬ
Линейная теория упругости основана на предположении, что шесть
компонент тензора напряжений (а^ = а]г) в точке линейно свя-
связаны с шестью компонентами тензора деформаций (е^ = е^)
в этой же точке. Можно показать, что эти общие соотношения на-
напряжения— деформации симметричны и, следовательно, макси-
максимальное число независимых упругих постоянных для любого ма-
материала равно 21 (см., например, [49, стр. 58—61 ]) 1(.
О материале с 21 независимой упругой постоянной говорят,
что он обладает наиболее общей формой упругой анизотропии.
Однако многие реальные материалы обладают той или иной струк-
структурной симметрией, и потому для них определить соотношения на-
напряжения — деформации легче. Две простейшие формы анизо-
анизотропии известны как ортотропия и трансверсальная изотропия.
Такие условия возникают для материалов, имеющих предпочти-
предпочтительные направления упругой симметрии. Многие виды дерева,
композиционных материалов и горных пород можно рассматривать
как однородные ортотропные или трансверсально изотропные
тела.
1) См. также, например, [29, стр. 27]. — Прим. ред.

188 7. Усовершенствования и обобщения
Как мы увидим, ортотропный материал имеет девять незави-
независимых упругих постоянных, а трансверсально изотропный ма-
материал — пять. Более того, для плоских задач эти два типа ани-
анизотропии неразличимы, а соотношения напряжения — деформа-
деформации в плоскости х, у содержат только четыре постоянные.
В этом параграфе мы представим решение задачи Кельвина для
ортотропного (трансверсально изотропного) тела в случае плоской
деформации. Это решение для анизотропной теории упругости
составляет основу метода фиктивных нагрузок и прямого метода
граничных интегралов. Здесь мы рассмотрим только метод фик-
фиктивных нагрузок. Формулировка прямого метода граничных
интегралов для анизотропных упругих тел дана Риццо и Шиппи
[40].
Ортотропные и трансверсально изотропные тела
Ортотропное тело можно представить как призму, содержащую
решетку из трех взаимно перпендикулярных «стержней» различ-
различных размеров и расположенных вдоль координатных осей х, у и
г, как показано на рис. 7.23. Подобное представление ортотроп-
ортотропного континуума, конечно, условно; оно служит лишь удобной
формой наглядно представить материал, который имеет различ-
различные упругие свойства в различных направлениях. Из рисунка
ясно, что ортотропное тело будет по-разному реагировать на воз-
воздействия нормальных и касательных усилий, приложенных к
разным граням призмы — к граням с нормалями вдоль коорди-
координатных осей х, у, г. Например, деформация ezz, связанная с на-
напряжением ozz, будет заметно меньше деформации ехх, связанной
с напряжением ахх. Аналогично деформации сдвига eyz, вызван-
вызванные касательными напряжениями ayz, будут меньше, чем дефор-
деформации сдвига еху, вызванные касательными напряжениями аху.
Ортотропный материал имеет девять независимых упругих
постоянных. Три из этих постоянных связывают нормальные де-
деформации ехх, еуу и ezz с нормальными напряжениями ахх,
вуу и ozz. Эти постоянные называют модулями Юнга. Три дру-
другие независимые упругие постоянные называются коэффициен-
коэффициентами Пуассона. Они связывают нормальные деформации в одном
направлении, скажем ехх, с нормальными деформациями в другом
направлении, например ezz. Три упругие постоянные для орто-
ортотропного материала связывают деформации сдвига еху, ехг и еуг
с вызывающими их касательными напряжениями аху, ахг и ayz.
Эти постоянные называют модулями сдвига.
Трансверсально изотропный материал можно представить
таким же способом, как ортотропный, за тем исключением, что
взаимно перпендикулярная сетка стержней в двух координатных
направлениях имеет одинаковые размеры. Это показано на
рис. 7.24, из которого видно, что направления х и у эквивалентны.

7.7. Анизотропная упругость 189
Такая эквивалентность позволяет описать трансверсально изо-
изотропный материал с помощью пяти упругих постоянных вместо
девяти, необходимых для ортотропного материала. В число этих
пяти постоянных входят два модуля Юнга, два коэффициента Пуас-
Пуассона и один модуль сдвига. Фактически можно определить два
модуля сдвига, но один из них выражается через модуль Юнга
и коэффициент Пуассона и, следовательно, не является неза-
независимой величиной. Трансверсально изотропный материал иногда
(ХЪJ
Рис. 7.23. Ортотропное тело.
Рис. 7.24. Трансверсально изотропное
тело.
называют «изотропным в плоскости», в данном случае в плоскости
х, у, поскольку в ней его упругие свойства не зависят от направ-
направления.
Изотропный материал можно рассматривать как частный слу-
случай ортотропного и трансверсально изотропного материалов, ил-
иллюстрированных выше. Ему отвечает случай, когда три системы
стержней в решетке имеют одинаковые размеры. Как мы видели,
для описания поведения изотропного материала нужны только
две независимые упругие постоянные: модуль Юнга Е и коэффи-
коэффициент Пуассона v. Модуль сдвига G связан с постоянными Е и v
выражением B.4.2).
Соотношения напряжения — деформации
Соотношения напряжения — деформации для ортотропного упру-
упругого материала, изображенного на рис. 7.23, записываются сле-
следующим образом:
_ j_ _ vyx vzx
' \ ту ™ U11 л ™ 7.
G.7.1)

190 7. Усовершенствования и обобщения
__ 1 1_ _ 1
e«z ~~ 2Gyz °vz' e*z ~ 2GXZ °xz' e*y ~ 2G G*y
(cm. [29, стр. 28—29]). В этих выражениях Ех, Еу и Ez— мо-
модули Юнга в направлениях координат х, у и z (в направлениях
упругой симметрии); \ух, \1Х, ... — коэффициенты Пуассона;
<V< G*z и Gxy — три независимых модуля сдвига. Важно учесть,
что все эти величины — скаляры: индексы используются только
с целью их идентификации.
Физический смысл коэффициентов Пуассона в G.7.1) можно
понять, если рассмотреть способ их определения. Например, ко-
коэффициенты Пуассона v.^ и \xz связывают нормальные дефор-
деформации (еуу и ezz) в направлениях у и г с нормальными деформа-
деформациями (ехх) в направлении х при одноосном приложенном напря-
напряжении ахх. В этом случае уравнения G.7.1) дают
так что \ху — —еУу/ехх и vxz = —ezjexx. Постоянные vj;- и уп
в общем случае не равны. Однако соотношения напряжения —
деформации G.7.1) симметричны, v^lEi — чп1Е] (i Ф /), и, сле-
следовательно, в этих уравнениях только три коэффициента Пуас-
Пуассона являются независимыми величинами.
В литературе равенства G.7.1) часто записываются в форме
~Г S13°zz>
T~ S23°zzi
ezz — S3iOxx -f- Sa^Oyy -f-
eyz — /2s44°f{/z> exz = /г^вО'жг» еху —
yz — /2s44°f{/z> exz = /г^вОжг» еху
(см., например, [49, стр. 58—61])^. Соотношения между коэф-
коэффициентами stj = Sji и так называемыми техническими упругими
постоянными в G.7.1) легко устанавливаются сравнением фор-
формул.
Аналогичным образом можно записать соотношения напряже-
напряжения — деформации для трансверсально изотропного материала.
Однако эти результаты вытекают из G.7.1) как частный случай
и поэтому отдельно не рассматриваются.
1) См- также, например, [29, стр. 35]. — Прим. ред.

7.7. Анизотропная упругость 191
Плоское напряженное состояние
и плоская деформация (ср. § 2.6)
Соотношения напряжения — деформации для ортотропного мате-
материала в случае плоского напряженного состояния в плоскости х, у
получаются путем подстановки в G.7.2) условий azz = axz =
= ayz = 0. Это дает
ехх — SnOxx -f- s12ayy,
^УУ ~ S12°XX Г S22O!/!/> G.7.3)
еху — ^2s»6axy
и, кроме того, exz = eyz = 0 и ег2 = s13axx + 523ауг/. Эти ра-
равенства можно обратить; тогда
G.7.4)
Следовательно, соотношения напряжения — деформации для пло-
плоскости х, у включают только четыре упругие постоянные.
Состояние плоской деформации для плоскости х, у определя-
определяется условиями ezz = exz = eyz = 0. В этом случае из G.7.2)
находим, что
<*хг = ауг = 0,
azz = ~-(s13oxx -j- s23aVy)ls33;
eXX = («и — SI3/S33) Oxx 4" (S12 — Si3S23/S33) OVy,
evy = (si2 — S13S23/S33) o^ + (s22 — SI3/S33) Oyy, G.7.5)
Обращенную форму этих равенств можно записать в виде
ахх = с\\ехх ~\~ С12еуу>
4- с22ега, G.7.6)
где
С\\ = (S22 — 52з/S33J/ S0'
C12 = — (S12 — si3s23/s33)/so, G.7.7)
С22 = (Sn — Su/Ssd/So, C66 = I/See,
причем
«о = sns22 — sL 4- Bsi2si3s23 — sns23 — s22si3)/s33. G.7.8)
Точно так же, как в случае плоского напряженного состояния,
соотношения напряжения — деформации для плоскости х, у мо-
можно выразить через четыре постоянные, обозначенные здесь через

192 7. Усовершенствования и обобщения
си> с1г, с22 и см. Однако при вычислении этих постоянных в слу-
случае плоской деформации необходимо знать все девять независи-
независимых упругих постоянных материала.
Предшествующие результаты показывают, что в теории упру-
упругости ортотропного тела, так же как в теории для изотропного
тела, условия плоского напряженного состояния и плоской де-
деформации формально эквивалентны. Например, если в формулах
G.7.5) s13 и s23 принять равными нулю, то они формально стано-
становятся эквивалентными формулам G.7.3). Следовательно, нет
необходимости рассматривать задачи теории упругости для пло-
плоского напряженного состояния и плоской деформации отдельно;
можно перейти от одного случая к другому просто путем замены
значений упругих постоянных (см. § 2.6). На самом деле очевидно,
что результаты для обоих случаев можно представить в виде G.7.6).
Постоянные с1ъ с12 и с22 для случая плоского напряженного
состояния при этом можно получить из определений G.7.7) и
G.7.8) путем подстановки sn = s23 = 0 (ср. G.7.4)).
При построении соотношений напряжения — деформации для
трансвереально изотропного материала мы вправе выбрать лю-
любое из трех координатных направлений как ось упругой симмет-
симметрии. На рис. 7.24 для этого выбрано направление оси z. (Такой
выбор обычен для трехмерных задач.) Однако в этом случае усло-
условия плоского напряженного состояния и плоской деформации для
плоскости х, у не очень интересны, поскольку в этой плоскости
материал изотропен. Если же мы выберем в качестве оси симмет-
симметрии, например, направление оси у, то материал будет анизо-
анизотропным в плоскости х, у. При этом направления х и z будут эк-
эквивалентны. Это означает, что Ех = Ez и vxy = vzy. Тогда
из G.7.1) и G.7.2) находим, что для рассматриваемого трансвер-
сально изотропного материала su = s33 и s12 = s23. Как следствие
можно упростить G.7.7) и G.7.8), исключив постоянные $з3 и
s23. Однако предпочтительнее оставить уравнения в общей форме,
имея в виду, что они включают трансверсальную изотропную как
частный случай.
Задача Кельвина для плоской деформации
Решение задачи о сосредоточенной силе в ортотропной (трансвер-
сально изотропной) упругой среде дано Грином [23], а также
Риццо и Шиппи [40]. Результаты можно представить в следующей
форме:
__!__
* [arctg №¦*) - arctg <*«/*N' G-7-9)

7.7. Анизотропная упругость 193
2яс66 fa-ft) ^ [arCtg (^ ~ arCtg (^] ~
о г Г Ру Г— In (я2 + jtf) - ^ In (/ + ylI/2
, 2ncM(ft —ft) "|_Yi Ч ^ * ' 7г Ч ТУ/
* f П + ft x 1+ ft * •)
2л (^ — ft) * L Yift x2 + ^ v2ft x^ + yi J '
' + ft У1 1 + ft У2
Vl
Vi(l+ft)
<т,„ =
ft & + y\ ft
Fy [A +4i) X2+ 2 -A +?2)л.2^2у2]. G.7.10)
+ ft J/l 1 + ft J/2
ft ^+^2 ft *2
1 + ft * 1 + ft
где Fx и Fy —две компоненты силы (см. рис. 4.1), а уг и г/2 —
две нормированные координаты г/, определяемые следующим об-
образом:
yi = yhi, Уг = у1Ъ- G.7.11)
Параметры ^i* y2, qx, q2 в предыдущих формулах относятся
к определенным комбинациям упругих постоянных материала.
В частности, Yi и Тг — корни следующего квадратного (относи-
(относительно у2) уравнения:
4 +.[с12 (са + 2см) - сиса] f + c22ce(S ±= 0. G.7.12)
Постоянные qx и q2 связаны с у\ и у\ определениями
92 = (сп72 — ст)/(с12 + с66).
Можно показать, что постоянные у\ и у\, определяемые из
G.7.12), либо обе вещественные и положительные, либо комплексно
сопряженные с положительными вещественными частями (см.,
например, [46]). Однако формулы G.7.9) и G.7.10) записаны в пред-
предположении, что оба корня у\ и у\ вещественные и положитель-
положительные. Аналогичные формулы можно было записать и для случая,
когда обе эти постоянные комплексно сопряженные (ср. [23]),
но этот случай, по-видимому, не имеет существенного практиче-
практического значения и потому здесь не рассматривается. В случае когда
Yi и Y2 равны, скажем Yi = Y2 = У< Для получения решения из
G.7.9) и G.7.10) можно использовать предельный переход. Част-
Частному случаю изотропии отвечает Yi = Y2 = !• Тогда G.7.9) и
G.7.10) сводятся к D.2.2) и D.2.3). :
7 Крауч С, Старфилд А.

194 7. Усовершенствования и обобщения
Интегрирование формул: метод фиктивных нагрузок
Для построения метода фиктивных нагрузок в случае упругого
анизотропного тела нам нужно решение задачи о постоянных уси-
усилиях, приложенных к произвольно ориентированному прямоли-
прямолинейному отрезку в бесконечной среде. Такое решение получается
путем интегрирования приведенных выше результатов для вари-
варианта задачи Кельвина, отвечающего плоской деформации (или
Рис. 7.25. Постоянные напряжения на отрезке | х | ^ а, у = 0.
плоскому напряженному состоянию). На рис. 7.25 изображена
геометрическая схема, используемая при интегрировании. Две
системы координат на рисунке связаны формулами преобразования
х = Jccosp — г/ship1, у — Jc sinр + РcosР. G.7.14)
а рассматриваемый отрезок определяется условиями | х | < а,
у = 0. Напряжения, приложенные на этом отрезке, можно задать
относительно любой из двух систем координат, изображенных
на рисунке. Вначале мы зададим их относительно системы коор-
координат х, у, учитывая, что затем их можно записать относительно
системы координат х, у, используя соотношения
Рх = Ря cos Р — Рд sin р\ Ри = Ря sin р + Рд cos p. G.7.15)
Рассмотрение уравнений G.7.9) и G.7.10) показывает, что
смещения и напряжения в задаче Кельвина для случая плоской де-
деформации зависят от функций In (х2 + yY)l/2, arctg (yt/x), xi(x2 +
+ У2) и yil{x2 + у2), где i равно 1 или 2. Используя G.7.14) и
вспоминая, что yt = ylyt, выразим эти функции через координаты

7.7. Анизотропная упругость 195
In (/ + yW/2 = In {Aa2 + Bay + C{g2)l/2,
arete SL = arete — ^
arClg x arCls 7; *
L = arete —
x arCls 7; * cos p-? stop '
* __ * cos p — у sin p G.7.16)
f »
yt _ 1 i sin p + у cos p
где
^ = (T?cos2p-fsin2E)/v?,
G-7.17)
при i = 1 или 2.
Смещения и напряжения, вызванные действием постоянных
нагрузок Рх и Ру на отрезке | х | < а, у = 0, теперь можно
найти также, как в § 4.3. А именно, мы суммируем влияния «сил»
Fx = Pxdl и Fy = .Pj,di по бесконечно малым элементам отрезка.
Опуская промежуточные вычисления, определяем смещения
GJJ8)
и напряжения
з{ ' y> Tl)~~
, P,T2)]- G.7.19)
(ql-q%) Pv№+ 4l) 74 (*• У> Yl) -

196 7. Усовершенствования и обобщения
В этих выражениях функции 1г (х, у, уг), ..., /4 (х, у, -уО опре-
определяются следующими формулами:
h (х, У, V,) = -фг [Si (Yi) - в2 (Y,)] -
~ (* - а + "Ц) ln^i(Yi) + (* + а+ |^) 1пг,(т,). G.7.20)
/з (*, Р, Yi) = - ^тг ln ^ (Yi)/^. (Yi)l - З" Pi (TO - в2 (y,)],
h (х, д, ъ) = - -^!п ^f
в которых использованы обозначения
гг(Уд = [At(х - af + Bi(x-a)y + Ctff2,
r2(yi) = [Ai(x + af + Bi(x + a)y + Ciy2}m, G.7.21)
9 (v) - arctc S/{yiAi)
02 {Ъ)
где Ai, Bt и Ct даются формулами G.7.17).
И наконец, заметим, что, используя G.7.15), уравнения G.7.18)
и G.7.19) можно записать через напряжения Рх и Рд, действу-
действующие параллельно и перпендикулярно отрезку. В такой форме
эти уравнения сопоставимы с D.5.8) и D.5.9), и их можно исполь-
использовать при вычислении коэффициентов влияния метода фиктивных
нагрузок для упругих ортотропных тел. Процедура полностью
совпадает с процедурой, описанной в § 4.6 для случая изотропного
тела.
Пример
Решение задачи о растяжении на бесконечности неограниченной
упругой ортотропной пластины с круглым отверстием дано Грином
и Тейлором [24]. Метод фиктивных нагрузок был использован
для частного случая плоского напряженного состояния, в котором
принято
su = 15,5 • 10"* (кПа), s22 = 0,587 • 10 (кПа),
sJ2 = - 0,33.10-4 (кПа), see =11,5-10"* (кПа)

7.7. Анизотропная упругость 197
(ср. G.7.3)). Эти упругие постоянные даны Грином и Тейлором
124 ] для еловой доски с волокнами, параллельными оси у (т. е.
перпендикулярными направлению растяжения в задаче о круглом
отверстии, сформулированной выше). На рис. 7.26 значения
"¦Аналитическое
решение
2,04
45
6, град
5,14
90
о Числовые
результаты
О
о. -1
Ш
а
° -2
~3
-4
-5
Рис. 7.26. Тангенциальные напряжения на границе кругового отверстия в орто-
тропной пластине.
тангенциальных напряжений на границе, полученные численно,
сопоставляются с аналитическим решением. Численные резуль-
результаты получены с помощью разбиения четверти круговой границы
на 25 элементов и, как видно из рисунка, находятся в хорошем
согласии с аналитическим решением.

8. ПРИЛОЖЕНИЯ
К ГОРНОЙ ГЕОМЕХАНИКЕ
И ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОЛОГИИ
8.1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ГОРНОЙ ГЕОМЕХАНИКЕ
В предыдущих главах мы рассматривали задачи, которые были
достаточно хорошо определены: геометрия, свойства материала
и граничные условия были всегда точно известны. Методы гра-
граничных элементов использовались при этом как инструменты
для вычисления распределений и концентраций напряжений
(например, у концов трещин) с той точностью, какая была воз-
возможна. В некоторых задачах для оценки или улучшения точности
строилось несколько решений (с помощью использования большего
числа элементов или элементов высшего порядка).
В этой главе продемонстрируем возможности методов гранич-
граничных элементов при менее определенных условиях. Задачи горной
геомеханики и инженерной геологии не могут быть сформули-
сформулированы точно. К примеру, массив пород к моменту проведения
в нем выработки уже находится в напряженном состоянии, кото-
которое зависит от региональной геологической истории. Это напря-
напряженное состояние не может быть определено или даже задано
с высокой степенью надежности. Разрывы в массиве пород, такие,
как трещины, плоскости напластования и нарушения, могут
играть большую роль. Сверх того, сама применимость аппарата
линейной теории упругости не более чем предположение, которое
может быть приемлемым, а может и не быть таковым.
В связи с этим основная цель вычисления напряжений состоит
в получении физической картины, а смысл расчетов заключается
скорее в качественном моделировании, нежели в количественном
анализе. Постановка задачи (модель) имеет целью уловить только
наиболее важные особенности физической проблемы. Часто одна
и та же исходная задача решается несколько раз не для улучшения
точности, а для того чтобы увидеть, как изменяется решение
при возможном изменении одного или нескольких исходных
предположений. Этот подход иллюстрируется в § 8.2, где в зави-
зависимости от того, допускается или нет предварительное деформи-
деформирование трещины около выработки, получаются совершенно
различные решения.
В таких условиях требуется гибкий вычислительный инстру-
инструмент, который позволял бы легко модифицировать задачу, под-
подлежащую решению, а также обеспечивал бы достзгегчно быстрое

8.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок 199
нахождение ответов. Примеры в этой главе подобраны таким
образом, чтобы продемонстрировать возможности методов гранич-
граничных элементов, описанных в предыдущих главах, при выполнении
таких вычислений. Модульный подход, развитый в конце гл. 4,
позволяет комбинировать разные типы граничных элементов для
моделирования разных особенностей одной и той же задачи, как
показано в примерах о выработках в трещиноватой породе, при-
приведенных в § 8.3. Физическую интерпретацию самих граничных
элементов часто можно использовать при нахождении прибли-
приближенного решения задач, которые не в состоянии реалистически
отразить другие способы. Примером этому может служить исполь-
использование в разд. 8.5 и 8.7 пластовых элементов, созданных на
основе предшествующих работ [4, 25, 44, 45] для определенных
типов задач горного дела. Попытка оценить точность этих пласто-
пластовых элементов, предпринятая в § 8.5, проясняет разницу между
анализом и моделированием.
Напряженное состояние массива пород является, как правило,
состоянием сжатия и поэтому в горной механике обычно исполь-
используется правило знаков, при котором сжимающие напряжения
считаются положительными. Мы решили, однако, сохранить
правило знаков, введенное в гл. 2, т. е. считать положительными
растягивающие напряжения. Это приводит иногда к записи —а,
когда мы имеем дело со сжимающей компонентой напря-
напряжения. Поскольку горные породы сопротивляются растяжению
намного хуже, чем сжатию, растягивающие напряжения (когда
они появляются) обычно очень важны и потому при анализе
результатов решений, представленных в этой главе, зонам растя-
растяжения уделяется особое внимание.
8.2. НАПРЯЖЕНИЯ И СМЕЩЕНИЯ
ВОКРУГ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК
В ТРЕЩИНОВАТЫХ ПОРОДАХ
Во многих задачах прикладной механики рассматривается нагру-
жение тела, которое изначально свободно от напряжений. Однако
в задачах горного дела, связанных с подземными выработками,
необходимо прежде всего постулировать начальное напряженное
состояние массива горных пород. Это начальное напряженное
состояние нарушается после образования выработки; полные
напряжения ai} в любой точке горной породы тогда можно пред-
представить как сумму начальных напряжений (ОцH и изменений
напряжений а'ц в этой точке, обусловленных проведением вы-
выработки:
аИ = (ацH + а'ц. (8.2.1)

200 8. Приложениг к горной геомеханике и инженерной геологии
Изменения напряжений о*,- обычно называют дополнительными
напряжениями. Аналогичные соотношения можно записать и для
компонент смещений, а именно:
1- (8-2.2)
Обычно начальные смещения (щH полагают равными нулю,
поэтому полные смещения щ и дополнительные смещения щ
совпадают. (Заметим, что символы a't,- и щ, используемые здесь
и всюду далее в этой главе, относятся к дополнительным напря-
напряжениям и смещениям, а не к «контрольным» напряжениям и сме-
смещениям, как было принято в предыдущих главах.)
Задачи, касающиеся подземных выработок в горных породах,
можно решить в три этапа:
1) постулировать начальное напряженное состояние;
2) поставить и решить краевую задачу в дополнительных
напряжениях и смещениях;
3) сложить дополнительные напряжения с начальными напря-
напряжениями для нахождения полных напряжений в горной породе.
Постановка краевых задач в дополнительных напряжениях
упрощается, если ввести понятия начальных усилий (^H, допол-
дополнительных усилий fi и полных усилий tt. Для плоскости с внешней
нормалью п} соотношения между усилиями и напряжениями
имеют вид
U = Ojli],
(ti)o = (OjiHnj, (8.2.3)
Из (8.2.1) и (8.2.3) следует
U = (tt)o + t't (8.2.4)
и поэтому
U = U - (tiH. (8.2.5)
Равенство (8.2.5) используется при задании граничных условий
в дополнительных напряжениях. Например, если выработка не
содержит искусственных опор, полные (или суммарные) усилия t-t
на стенках выработки равны нулю. Тогда дополнительные усилия
равны t\ = ¦—(?jH = —iaji)unj и, следовательно, являются изве-
известными. (Начальные напряжения (atjH не обязательно должны
быть постоянными во всем массиве. Но, конечно, они должны
удовлетворять уравнениям равновесия B.5.1).)
Как только граничные условия определены, задача в допол-
дополнительных напряжениях может быть решена любым из методов,
описанных в книге. Модульный характер гранично-элементного
подхода можно использовать для разработки специальных вычис-
вычислительных программ, позволяющих моделировать задачи, отвеча-

S.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок 201
ющие специфическим геологическим условиям. Например, про-
программу для изучения выработок в большом изотропном упругом
включении (в мощном рудном теле), находящемся в бесконечно
анизотропном упругом массиве, можно построить, используя
программный модуль, описанный в § 7.7 для представления одной
из этих двух упругих подобластей при использовании результатов
§ 7.5. Аналогично, объединяя программные модули § 7.5 и 7.6,
можно рассмотреть задачу о включении, которое содержит выра-
выработки и находится внутри одной из двух связанных изотропных
упругих полуплоскостей.
Для изучения частных физических ситуаций в дополнение
к существующим программным модулям могут быть разработаны
новые модули. Простым примером этого служит использование
элементов разрывных смещений при моделировании влияний
геологических разрывов, т. е. трещин и разломов, в массиве пород.
Ниже основная идея этого подхода обсуждается для случая,
когда материал (заполнитель) внутри трещины деформируется
по линейно-упругому закону. Затем в последующих разделах
эти идеи обобщаются при создании модели, учитывающей не-
неупругие деформации контактов.
Упругие контактные элементы
Для вычислительных^целей реальный контакт можно рассматри-
рассматривать как длинную узкую трещину со сжимаемым заполнителем.
Тогда отрезок контакта можно моделировать элементарным раз-
разрывом смещений, отвечающим случаю, когда поверхности разрыва
связаны пружиной. Нормальная и касательная жесткости пру-
пружины выбираются таким образом, чтобы отразить свойства мате-
материала, заполняющего контакт. Следовательно, значения компо-
компонент разрыва смещений на контактном элементе могут быть свя-
связаны с действующими на нем нормальными и касательными напря-
напряжениями.
Эта модель предполагает, что поведение элемента описывается
простыми одномерными соотношениями напряжение — деформа-
деформация для сжатия и сдвига. Такие соотношения можно установить,
рассматривая элемент контакта, параллельный оси х, как пока-
показано на рис. 8.1. Случаи сжатия и сдвига для наглядности пока-
показаны отдельно. На рис. 8.1 (а) и 8.1 (Ь) представлен один кон-
контактный элемент с двумя степенями свободы. Предполагается, что
толщина элемента h мала по сравнению с его длиной.
Напряжения, показанные на рис. 8.1, —это полные напряже-
напряжения, и, следовательно, деформации контакта, как и смещения
в (8.2.2), должны состоять из двух частей. Предположим сперва,
что начальные деформации равны нулю и что контактный элемент
деформируется только под действием дополнительных напряже-

202 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
ний а'уу и о'ху. По определению дополнительные напряжения
(и смещения) представляют собой изменения, обусловленные
подземными выработками. Поэтому в последующем анализе под-
подразумевается, что контактный элемент расположен в окрестности
выработки. Прежде чем переходить к обсуждению взаимосвязи
между граничными элементами на стенках выработки и контакт-
контактными элементами, установим характеристики последних.
-б
'ху
(b) —
Рис. 8.1. Представление контактного элемента: (а) сжатие (Ь) сдвиг.
Компоненты дополнительных напряжений контактного эле-
элемента находятся из определений B.3.2):
ди' ..... .
е*и = -^ I -^ + -JL I. (8.2.6)
еуу —
Если предположить, что вдоль оси х обжатие элемента равно-
равномерно, то du'yldx = 0 и конечно-разностные аналоги формул
(8.2.6) можно записать в виде
иу(х, h!2)~uy(x, -Л/2)
Л
их(х, h/2) — ux(x, —Л/2)
2Л
(8.2.7)
При малых значениях h числители этих выражений эквивалентны
компонентам разрыва смещений —D'y и —ДНср. E.2.2)), так что
е'Уу да — D'yih, еху да — D'J2h. (8.2.8)
Если материал, заполняющий контакт, линейно-упругий с моду-
модулем Юнга Ео и модулем сдвига Go, то компоненты напряжения
и деформации связаны следующим образом:
о'уу = Еое'Уу = - EoD'yfh, 2 g
о'Ху = 2G0e'xy = — G0D'Jh.
Эти напряжения записываются в эквивалентной форме (в локаль-
локальной системе координат s, n)
а'я = - E0D'n/h, a't = - G0D'Jh, (8.2.10)

8.2. Напряжения и смещения вокруг подземпых выработок 203
ИЛИ
а'а = - KnD'n, a's = - КЛ, (8.2.11)
где Кп и /Cs — нормальная и касательная жесткости пружин,
показанных на рис.^8.1
Численная процедура
Приведенные выше результаты путем простого приспособления
существующих программных модулей можно включить в гранично-
элементные вычислительные программы. Рассмотрим для примера
Рис. 8.2. Выработка, пересеченная нарушением.
показанную на рис. 8.2 задачу о подземной выработке, пересечен-
пересеченной трещиной. Границу выработки можно моделировать, напри-
например, элементами фиктивных нагрузок, а трещину — специальными
сжимаемыми элементами разрывных смещений (контактными эле-
элементами), описанными выше. Если имеется N элементов, причем
М из них — элементы фиктивных нагрузок на границе выработки,
а N — М — элементы разрывных смещений вдоль трещины,
то дополнительные напряжения в произвольном элементе даются
формулами
а'.' = S (AilPi + A'JLP'n) + S (AilD'J + AiljD'J),
м n (b.Z.lZ)
o'n' = S (AiisPi + А'М) + S (AiLD'j + Aiijyj).
/=1 j=M+l
Граничные коэффициенты влияния Als{, ... в этих формулах
получаются из D.6.9) для 1^<: / < М и из E.6.2) для^ М +

204 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
+ 1 <: /^<: N. Равенства (8.2.12) можно переписать в виде
'J = I; (аЦх> + AiLxL)
N, (8.2.13)
где
:/<Af, (8.2.14)
= D'J
,. , M+ 1 <j<N< (8.2.15)
Суммируя начальные и дополнительные напряжения, получаем
полные напряжения в ?-м элементе
а1 = (а1)о+аЛ
Равенства (8.2.13) можно теперь использовать при построении
системы алгебраических уравнений для нахождения неизвестных
величин Xls и Xln (i = I, ..., N). В элементах, принадлежащих
границе'выработки A < i < М), полные напряжения (усилия) а'
и о1п равны нулю, поэтому первые 2УИ уравнений системы имеют
вид
-(о0о= S
-(ai)o= Z
(8.2.17)
Остальные 2(N — М) уравнений получаем путем объединения
(8.2.11) и (8.2.13), что дает
0
. (8.2.18)
Систему (8.2.17) и (8.2.18) можно решить стандартными числен-
численными методами.
Пример 8.1
Для иллюстрации приведенной выше численной процедуры рас-
рассмотрим задачу о двух выработках в окрестности нарушения,
изображенную на рис. 8.3. Предположим, что породный, массив

8.2. Напряжения и гмещения вокруг подземных выработок 205
является изотропным и линейно-упругим с модулем Юнга Е =
— 107 кПа и коэффициентом Пуассона v = 0,2 и что начальное
напряженное состояние области, представленной на рисунке,
имеет следующие компоненты: (аххH = —2500 кПа, (а„„H =
= —5000 кПа, (охуH = 0.
Если бы нарушения не было, тангенциальные напряжения
на границах выработок имели бы значения, указанные на рис. 8.4.
26 м
Рис. 8.3. Две выработки в окрестности нарушения.
Эти результаты получены при делении границы каждой из выра-
выработок на 32 элемента фиктивных нагрузок. Напряжения, изобра-
изображенные на рисунке, оказываются сжимающими. Их величины
в точках границы каждой из выработок отложены на рисунке
вдоль линии, соединяющей центр выработки с рассматриваемой
точкой. Заметим, что концентрация напряжений в угловых точках
не вычислялась. Значения концентрации упругих напряжений
в этих точках не имеют практического значения, поскольку углы
выработок в действительности сглажены (либо по проекту, либо
в результате локальных разрушений породы).
Аналогичные диаграммы тангенциальных напряжений даны
на рис. 8.5 и 8.6 для двух разных жесткостей нарушения: Ks =

О 10000 к Па
Рис. 8.4. Тангенциальные напряжения на контурах выработок в случае отсут-
отсутствия нарушения.
10000 «Па
Рис. 8.5. Тангенциальные напряжения на контурах выработок; коэффициенты
жесткости нарушения Ks— Kn~ Ю4 кПа/м. Заштрихованы зоны растягива-
растягивающих напряжений.

8.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок 207
= Кп = Ю4 кПа/м (рис. 8.5) и К* = Кп = Ю5 кПа/м (рис. 8.6).
Эти результаты получены путем деления нарушения на элементы
разрывных смещений такой же приблизительно длины, как эле-
элементы фиктивных нагрузок, использованные для моделирования
границ выработок.
Как и следовало ожидать, деформирование вдоль нарушения
устраняет симметрию решения. Тангенциальные сжимающие на-
10000 кПа
Рис. 8.6. Тангенциальные напряжения на контурах выработок; коэффициенты
жесткости нарушения Ks = Кп = Ю5 кПа/м. Заштрихованы зоны растягива-
растягивающих напряжений.
пряжения уменьшаются на боковых стенках первой выработки [11
(левая выработка на рис. 8.3) и увеличиваются на боковых стен-
стенках второй выработки [2 ]. Более интересным с практической точки
зрения является развитие зоны растягивающих напряжений
в кровле и подошве выработки [2]. Величины этих растягива-
растягивающих напряжений зависят от параметров жесткости нарушения;
в наихудшем случае, представленном на рис. 8.5, в почве выра-
выработки [1] также возникает небольшая зона растягивающих на-
напряжений.
Начальные деформации контакта
В примере, рассмотренном выше, предполагалось, что нарушение
не влияет на начальное поле напряжений, т. е. мы считали, что
до проведения выработок около нарушения оно не деформируется.

208 8. Прилооюения к горной геомеханике и инженерной геологии
Иное предположение состоит в том, что начальное поле напря-
напряжений считается искаженным еще до проведения выработки
вследствие деформирования нарушения за геологические эпохи
под влиянием поля напряжений, действующих на бесконечности.
Тогда начальные напряжения (otjH и смещения (ыгH в рассматри-
рассматриваемой задаче будут содержать дополнительные компоненты,
вызванные начальными деформациями нарушения.
В общем случае всякий раз, когда возможны начальные де-
деформации нарушения, контакта или любого другого типа раз-
разрыва, можно записать
(<*/)о = (<*/)$" + (о'ц)о, (8.2.19)
где (OijJo — напряжения вдали от рассматриваемой области
(на бесконечности); (стг;-H — напряжения, которые мы будем
называть начальными дополнительными напряжениями. Анало-
Аналогично начальные смещения можно представить в виде
(Ш)о = («<)о°° + ("Do. (8.2.20)
где (и!)о — начальные дополнительные смещения, вызванные
исходными деформациями нарушения или контакта. Величину
(ui)T будем считать, как и ранее, равной нулю.
Чтобы определить начальные дополнительные напряжения
и смещения, рассмотрим ненапряженный породный массив, содер-
содержащий в пределах интересующей нас области одно или несколько
нарушений. Нарушения разделяются на N элементов, как пока-
показано на рис. 8.1. Предположим теперь, что на бесконечности
«включаются» напряжения (o^)if Х), которые приводят к дефор-
деформациям (Ds)o и Фп)о A = 1. ••-. Ю контактных элементов. Тогда
полные начальные напряжения 1-го элемента даются выражениями
Х) Это серьезное допущение означает по существу пренебрежение реальной
геологической историей, в ходе которой имели место сложные пластические де-
деформации, деформации ползучести, изменения в строении массива, структурные
превращения в породах и т. п. процессы, приводящие, конечно, к напряжениям,
отличным от тех, которые получаются при расчетах для линейно-упругих пород
и контактов при мгновенном «включении» напряжений (aij)™ на бесконечности.
Тем не менее оно позволяет хоть как-то отразить искажения в поле начальных
напряжений, обусловленные- нарушениями, геометрическими и механическими
особенностями массива. Даже качественный учет таких искажений, как показы-
показывают авторы ниже, существенно влияет на практические выводы. Поэтому нена-
ненадежность теоретических расчетов при определении начальных напряжений за-
заставляет обращать особое внимание на результаты их непосредственных замеров
(например, методом разгрузки). Одновременно это замечание иллюстрирует
высказанную авторами в начале § 8.1 мысль о том, что «основная цель вычисления
напряжений состоит в получении физической картины, а смысл расчетов заклю-
заключается скорее в качественном моделировании, нежели в количественном ана-
анализе». — Прим. ред.

8.2. Напрятгния и смешения вокруг подземных выработок 209
(см. (8.2.11)). Точно так же начальные дополнительные напря-
напряжения t-ro элемента определяются в виде
1=\
\ . (8.2.22)
где коэффициенты влияния AlJs, ... даются в E.6.2). Используя
запись (8.2.19), начальные напряжения (a'sH и (о'пH представим
так:
(о9о = (о9о- + (аД, {8223)
(^п)о = ((Тп)о° + @Гл )о-
И наконец, подставляя (8.2.21), (8.2.22) в (8.2.23), получаем
(8.2.24)
для t = 1, ..., JV. Напряжения (as)o° и (a5,)S° известны или посту-
постулируются, и, следовательно, (8.2.24) представляет систему 2N
алгебраических уравнений, решение которой дает деформации
контакта (DlsH и (О„H для i—l, ,.;, N. Начальные дополнитель-
дополнительные напряжения и смещения в произвольных точках массива
пород можно тогда вычислить обычным образом по E.5.4) и E.5.5),
а (8.2.19) и (8.2.20) использовать для задания в этих точках вели-
величин (оиH и (щH.
Пример 8.2
Пример такого подхода приведен на рис. 8.7, на котором пока-
показаны главные напряжения и их направления в отдельных точках
массива пород, содержащего четыре параллельные равномерно
отстоящие трещины, выходящие на поверхность под углом 45°.
Эти результаты получены с помощью программного модуля для
полуплоскости (разд. 7.4), в котором коэффициенты влияния
вычисляются согласно (8.2.24). Массив горных пород рассматри-
рассматривался как изотропная линейно-упругая среда с модулем Юнга
Е = 107 кПа и коэффициентом Пуассона v = 0,2. В качества
параметров жесткости контактов принимались значения Ks ~ 0
и Кп = Ю7 кПа/м. Кроме того, начальные напряжения на беско-
бесконечности были заданы в виде
(<т**M° = 13,5у кПа, (ojy)o = 27,Оу кПа, (о>H°° = 0,

s
о.
3
1
к
s
я
<U
И
к
Cl,
E
(Я
x
I
Is
1
Cl,
С
M
аз
X
S
I
CL,
С
CO
x
<u
а
X
a
00
С)
S

8.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок 211
где (—у) есть глубина от поверхности в метрах. Следовательно,
вдали от трещин начальные напряжения на поверхности равны
нулю, а с глубиной они увеличиваются линейно. Направлениями
главных напряжений в данном случае служат вертикальное
и горизонтальное направления, причем горизонтальные напря-
напряжения вдвое меньше вертикальных.
На рис. 8.7 показана роль начальной деформации контактов
на поле напряжений вокруг трещин. Направления главных
-1!
-201-
Рис. 8.8. Нормальные и тангенциальные напряжения вдоль нарушения [2] (АВ)\
коэффициенты жесткости Ks = О, Кп= Ю' кПа/м.
напряжений поворачиваются так, что приближаются к направле-
направлениям трещин, отношение минимальных и максимальных сжима-
сжимающих напряжений возрастает, а в точках, принадлежащих по-
поверхности полуплоскости, возникают отличные от нуля танген-
тангенциальные напряжения. Эти результаты, конечно, столь отчетливы
потому, что сдвиговая жесткость контактов выбрана равной нулю.
В этом случае первое из соотношений (8.2.21) определяет равные
нулю полные касательные напряжения на трещинах, так что по
определению сами трещины лежат вдоль направлений главных
напряжений. В другом крайнем случае, если сдвиговая жесткость
очень большая, исходные деформации контактов окажутся незна-
незначительными и начальные напряжения в окрестности трещин не
будут отличаться от напряжений на бесконечности.

212 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
Из рис. 8.7 не вполне очевидно, что напряжения, направлен-
направленные параллельно трещинам, испытывают разрыв при переходе
через трещины. Однако такой разрыв должен происходить, по-
поскольку на контактах имеются начальные сдвиги. Разрывы напря-
напряжений можно вычислить с помощью метода, описанного в § 5.10;
результаты для трещины [2 ] (рис. 8.7) даны на рис. 8.8. В верхней
части трещины сжимающие тангенциальные напряжения на ее
отрицательной стороне (—aj) значительно больше, чем соответ-
соответствующие напряжения (—в+) на ее положительной стороне. Это
указывает на то, что порода между трещинами подвержена изгибу.
Результаты для нижней части трещины отчетливо обнаруживают
влияние на напряженное состояние конца трещины. При модели-
моделировании трещин в прикладной задаче важно умело ограничить
их длину или сделать их достаточно длинными, чтобы исключить
влияние концов.
Выработки в породах с начальными деформациями контактов
Описанную выше численную процедуру для подсчета напряжений
и смещений вокруг подземной выработки в породах с трещинами
следует пересмотреть в случае, когда контакты предварительно
деформированы. Рассматривая вновь ситуацию, изображенную
на рис. 8.2, получаем, что дополнительные напряжения в типичном
i:M элементе границы выработки A < t < М) либо трещины
(М + 1 < i <. N) определяются в виде
М N
(AiiD'J + AiiD'J), (8.2.25)
i
(„'я% + о* = E Ми (ЯОо + AiL (D'nH) +
/Л1+1
+ E WsP's + AgpL) + E (AlJsD'J + AUnD'J)
(cp. (8.2.12)). Вводя полные деформации контактов
Dr^+D-; (8.2.26,
D'n = (Dln)Q + Dnl '
и используя обозначения
ХуГРы\ l<i<M< (8-2-27)
X' = D's
v'_n/

Ь.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок 213
можно записать выражения (8.2.25) в виде
N
(оглОо + а'пс =
i=l, ... , N, (8.2.29)
И вновь коэффициенты A'si, ... в этих соотношениях получаются
из D.6.9) при 1 <: j < М и из E.6.2) при М + 1 < / < N.
Полные напряжения в t-м элементе даются выражениями
ffs = (<Ts)o + Os' = (Os)o° + (OsOo + °s'«
o1,, = (a'n)o + on = (о„)^° + (ог„')о + On-
(8.2.30)
Эти напряжения на границе выработки должны быть равны нулю,
и объединение (8.2.29) и (8.2.30) дает 2М линейных уравнений:
(8.2.31)
(ср. (8.2.17)). Полные напряжения на t-м элементе трещины
(М + 1 < i < N) связаны с полными деформациями контакта
соотношениями
tM+\<&i<N. (8.2.32)
Объединяя эти результаты с (8.2.29) и (8.2.30), получаем
N
М + 1 < i
(8.2.33)
(cp. (8.2.18)). Уравнения (8.2.31) и (8.2.33) являются искомой
системой алгебраических уравнений.
Заметим, что этот подход позволяет вычислить полные де-
деформации D\ и D'n контакта за один прием. Если же нужно знать
начальные дополнительные напряжения и смещения, то необ-
необходимо решить отдельную задачу, как в примере 8.2. Напряжения
и смещения, вызванные выработкой, могут быть определены путем
вычитания одной группы результатов из другой.

214 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
Пример 8.3
Теперь мы можем вернуться к примеру 8.1 и пересчитать резуль-
результаты с учетом начальных деформаций нарушения. Ка рис. 8.9
показаны тангенциальные напряжения вдоль границ двух вы-
выработок при условии Ks = Кп — Ю5 кПа/м. Соответствующие
результаты для случая, когда начальные деформации нарушения
отсутствуют, приведены на рис. 8.6. Сравнивая рис. 8.6 и 8.9,
10 000 кПа
Рис. 8.9. Тангенциальные напряжения на контурах выработок при наличии
начальных деформаций нарушения; коэффициенты жесткости нарушения Ks =
= Кп = 10^ кПа/м. Заштрихованы зоны растягивающих напряжений.
можно видеть, что начальные деформации вдоль нарушения при-
приводят к концентрации напряжения в местах, где нарушение
пересекает левую выработку. Кроме того, в этом случае в кровле
и подошве выработки возникают высокие растягивающие напря-
напряжения (порядка 6000 кПа).
Направления и значения главных напряжений в отдельных
точках вблизи выработок показаны на рис. 8.10 для случаев,
в которых начальные деформации (а) не учитываются и (Ь) учиты-
учитываются. Из рис. 8.10 (Ь) видно, что растягивающие напряжения,
вызванные начальными деформациями нарушения, распростра-
распространяются на несколько метров в глубь кровли и подошвы левой
выработки.
Этот частный пример показывает, какие важные вопросы могут
быть подняты при моделировании. Начальное деформированное

8.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок 215
О 5000
Масштаб
напряжении
О 5000 к(Та
Масштаб
напряжений
Рис. 8.10. Главные напряжения и нх| направления; коэффициенты жесткости
нарушения Ks = Кп = 105 кПа/м; без учета начальных деформаций наруше-
нарушения (верх); с учетом начальных деформаций нарушения (низ).

216 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
состояние нарушения изменяет характер вычисленных результа-
результатов и, следовательно, может приводить к различным заключениям
относительно физической задачи. Это означает, что зачастую
выгоднее исследовать несколько различных, но одинаково правдо-
правдоподобных моделей, чем рассматривать с высокой степенью точ-
точности какую-либо одну модель.
8.3. ВЫРАБОТКИ В СЛОИСТОЙ ГОРНОЙ ПОРОДЕ
В предыдущем разделе для моделирования задач, в которых основ-
основное значение имеет влияние одного или двух главных геологи-
геологических нарушений, были использованы специальные контактные
элементы. Однако если породная масса содержит большое число
близко расположенных поверхностей разрывов, такой подход
к моделированию разрывов нерационален. Приближенный способ
Рис. 8.11. Представление трещиноватого массива пород как упругой анизотроп-
анизотропной среды.
моделирования регулярной трещиноватости.или слоистости, гор-
горной массы состоит в представлении ее анизотропной упругой
средой [22, стр. 315]. Подобное представление вряд ли сохраняет
все характеристики слоистого массива пород, но в данном разделе
оно все же используется как рабочая гипотеза для исследования
эффектов анизотропии, порождаемой слоистостью.
Следуя Гудману [22], рассмотрим массив пород, содержащий
систему параллельных трещин, отстоящих друг от друга на рав-
равном расстоянии s0, как показано на рис. 8.11. Трещины накло-
наклонены под углом р к горизонтали и имеют нормальные и касатель-
касательные жесткости Кп и /С,. Порода между трещинами считается
изотропной и линейно-упругой. Такую трещиноватую среду будем

5.3. Выработки е слоистой горной породе 217
моделировать трансверсально изотропным континуумом (см. § 7.7)
С эффеКТИВНЫМИ уПруГИМИ ПОСТОЯННЫМИ Ех = Дг. Eg, Gxy, Vgx
и viz (ось z в плоскости изотропии направлена перпендикулярно
плоскости рисунка). Значения этих постоянных устанавливаются
путем рассмотрения характерного элемента А горной массы,
изображенного на рис. 8.11.
Модуль Юнга в направлении, перпендикулярном к трещине,
определяется как Eg = вуд/едд, где адд—одноосное напряжение,
а едд — соответствующая деформация. Деформацию едд можно
записать как сумму вкладов ненарушенной породы и трещины
следующим образом:
еду = {еуу)п + (едд)Т. (8.3.1)
По определению для (едд)^ шеем
(еуу)п = адд/Е, (8.3.2)
где Е — (изотропный) модуль Юнга породы. Деформацию тре-
трещины Dg (= Dn) можно выразить через нормальную жесткость
Кп и напряжение адд (= о„) согласно (8.2.11), т. е.
DB=-(l/Kn)ogy. (8.3.3)
Тогда деформация (едд)Т для элемента А (рис. 8.11) выражается
формулой
(едд), = - -^ = + Т^ °^- (8-3-4)
Объединяя эти результаты, получаем
и, следовательно,
или
E
Другие необходимые упругие постоянные для трещиноватой
породы находим аналогичным образом. Окончательные резуль-
результаты имеют вид [22]
С ГГ С С
*= г== ' Cu==\ + E/(saKn)'
°-*у = 1 + G%aKs) ' (8-3-8)
?й
Vxj/ = V, Vv-x = -~- VjEjj,
jc
Vfi. = V, VSj = ~Vf, = V.

218 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
Заметим, что при заданном расстоянии s0 влияние трещин незна-
незначительно, если значения параметров жесткости Ks и Кп очень
велики по сравнению с упругими постоянными G и Е ненарушен-
ненарушенной породы между трещинами.
Пример 8.4
В примере 8.1 мы рассмотрели две выработки в окрестности на-
нарушения (разлома). В данном примере мы исследуем такие же
две выработки, но нарушение теперь будет заменено системой
Рис. 8.12. Две выработки в слоистой горной породе.
трещин или контактов слоев, наклоненных под углом 45° к гори-
горизонтальной оси. Предположим, что нормальная жесткость этих
слоев настолько велика, что в (8.3.8) можно принять s0Kn -*¦ °°-
Отсюда следует, что эквивалентный анизотропный массив пород
таков, что для него Ех = Eg = Е и Vgx — v&t = v. Возьмем, как
и в примере 8.1, Е = 107 кПа и v = 0,2, тогда G = (V2) El{\ +
+ v) = 0,4167-107 кПа. Модуль сдвига Gxg для плоскости напла-
напластования зависит от расстояния s0 и жесткости Ks контактов слоев
(см. (8.3.8)). Значение произведения s0Ks выбираем таким, чтобы
в одном случае Gxg = G/10, а в другом Gxy = G/50. Начальные
напряжения в задаче приняты такими же, как в примере 8.1,
т. е. (сжзсH = —2500 кПа, (атH = —5000 кПа, (аяуH = 0.
Задача была решена с помощью метода фиктивных нагрузок,
описанного в § 7.7, с использованием простого преобразования
координат для представления плоскостей упругой симметрии,
наклоненных под углом 45° к оси х. Поскольку этот угол точно
равен 45°, обе оси х и у, показанные на рис. 8.12, оказываются
осями симметрии. Эту симметрию можно использовать и для
решения задачи, и для представления результатов решения. Так,

8.3. Выработки в слоистой горной породе 219
на рис. 8.13 и 8.14 показана только правая выработка, а решение
для анизотропного случая дано в верхней половине рисунка,
тогда как в нижней половине дано соответствующее решение
Рис. 8.13. Тангенциальные напряжения на контуре выработки: верхняя половина
отвечает случаю анизотропии при G^n = G/10; нижняя половина — случаю
изотропии.
для изотропного случая (G^g = G). На обоих рисунках показаны
тангенциальные напряжения вдоль границы выработки, изобра-
изображенные таким же способом, как на рис. 8.4. Анизотропная модель

220 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
приводит к уменьшению сжимающих напряжений в боковых
сторонах выработки и к высоким растягивающим напряжениям
в кровле (а в силу симметрии и в подошве).
Рис. 8.14. Тангенциальные напряжения на контуре выработки: верхняя Головина
отвечает случаю анизотропии при GXg = G/50; нижняя половина — случаю
изотропии.
Поскольку ось х — линия симметрии, вертикальные {ауу)
и горизонтальные (ахх) напряжения на ней — главные напряже-
напряжения. Уменьшение сжимающих напряжений —ауу на боковых
сторонах выработки служит указанием на то, что вертикальная

8.3. Выработки в слоистой горной породе 221
/\
я
С
2
с
«2
25
Рис. 8.15. Вертикальные и горизонтальные напряжения вдоль оси х (см. рис. 8.12)'.
[1] — изотропный случай, Gxg — G; [2] Gxg = G/10; [3] Gxg = G/50; (а) вер-
вертикальные напряжения, —Oyy; (b) горизонтальные напряжения, — ахх.

222 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
компонента напряжений где-то на оси х должна возрастать. На
рис. 8.15 представлены распределения напряжений—ауу и—ахх
вдоль оси х. Из рис. 8.15 (а) следует, что концентрация напряже-
напряжений, которая в обычных условиях имела бы место на боковой
стороне выработки, на самом деле сдвинута на некоторое рассто-
расстояние в глубь массива. Точнее, максимум вертикальных сжима-
сжимающих напряжений достигается в точке на оси х, которая пере-
пересекается плоскостью напластования, наклоненной под углом 45°
и проходящей через правый нижний угол выработки. Рис. 8.15 (Ь)
показывает, что в этой же точке имеет место высокое горизонталь-
горизонтальное сжимающее напряжение. Заметим также, что анизотропия
вызывает горизонтальные растягивающие напряжения в целике
между выработками.
И наконец, отметим, что колебания напряжений вблизи вы-
выработки в случае Gag = G/50 нереальны. Они связаны с разрывами
фиктивных напряжений на концах граничных элементов и могут
быть снижены или исключены путем использования более мелких
элементов.
8.4. КОНТАКТЫ СО СЦЕПЛЕНИЕМ И ТРЕНИЕМ
Модель контактного элемента, введенного в § 8.2, предполагает,
что материал, заполняющий контакт, является линейно-упругим.
Более реалистическая модель должна содержать ограничивающее
соотношение между нормальными и касательными напряжениями,
которые передаются через контакт, чтобы оказались возможными
и неупругие деформации. Подобное ограничение для типичного
i-ro элемента дается условием Кулона — Мора
|ai|<c' + (—a?)tgq>', (8.4.1)
где с1 и ф' — коэффициент сцепления и угол внутреннего трения
материала, заполняющего контакт. Заметим, что это соотношение
выражается через сжимающие нормальные напряжения (—а„).
Контактный или сдвиговой элемент, который отвечает огра-
ограничению (8.4.1), будем называть элементом Кулона — Мора.
Элемент Кулона — Мора ведет себя точно так же, как обычный
контактный элемент, с той лишь разницей, что полные касатель-
касательные напряжения на нем не могут превышать значения, заданного
правой частью условия (8.4,1). Выполнение этого условия в каком-
либо элементе требует, чтобы в этом элементе допускалась не-
некоторая неупругая деформация, или остаточный сдвиг, в попереч-
поперечном направлении. В этом параграфе мы обсудим, как вычислить
величину и направление этого остаточного сдвига.
Скольжение вдоль трещины представляет нелинейное завися-
зависящее от пути нагружения явление, которое должно моделироваться
с помощью инкрементального (поэтапного) процесса. Во многих

8.4. Контакты со сцеплением и трением 223
задачах прикладной механики инкрементальное нагружение мо-
модели обеспечивает реалистическое отражение способа, которым
нагрузки действительно прикладываются к реальному объекту.
Однако в горной механике мы очень часто сталкиваемся с зада-
задачами, в которых выработки проводятся в предварительно напря-
напряженном массиве пород. Следовательно, реалистическое воспроиз-
воспроизведение ситуации должно бы учитывать инкрементальные (по-
(поэтапные) изменения в геометрии выработок. В большинстве слу-
(а;
Рис. 8.16. Модель для моделирования процесса образования выработки путем
поэтапного уменьшения граничных усилий: (а) начальное условие; (Ь) &-й шаг.
чаев это требует трехмерного анализа, поскольку изменения
геометрии не могут быть адекватно отражены в двухмерных по-
постановках задач. (Исключение составляют некоторые задачи
горного дела, касающиеся пластообразных или жильных залежей,
для которых двумерное описание геометрических изменений
зачастую вполне реально. К этому вопросу обратимся в § 8.6.)
Рассмотрим здесь приближенный способ моделирования сколь-
скольжения вдоль трещины в плоском случае. Вместо того чтобы пы-
пытаться учесть инкрементальные изменения в геометрии выработки,
мы будем моделировать образование выработки путем постепен-
постепенного снижения граничных усилий от начального значения до нуля.
Эта процедура иллюстрируется на рис. 8.16.
Прежде всего заметим, что напряженное состояние вокруг
выработки не изменится по сравнению с начальным состоянием,
если на ее границе приложить усилия tiy эквивалентные тем,
которые существовали до образования выработки. Это по-
показано на рис. 8.16 (а), на котором отмечено, что полные усилия
на границе С составляют tt = (^H, а дополнительные усилия
равны нулю t't = 0. Конечному напряженному состоянию, как
описано в §8.2, соответствует свободная от усилий граница tt =
= 0, чему отвечают дополнительные усилия t't = —(ttH. Для мо-

224 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
делирования образования выработки представим, что конечное
состояние достигается в результате постепенного снижения усилий
на границе, как изображено на рис. 8.16 (Ь). Если начальные уси-
усилия разделить на К ступеней величиной А (ttH = {иH1К, то до-
дополнительные усилия для k-vo шага снижения нагрузок соста-
составляют
t't=-kA(ti)o=-k(tt)o/K,
а полные усилия равны
ti = (ti)o + ti = (ti)o(l-k/K).
Следовательно, последний шаг k = К дает, как и должно быть,
ft = -Wo и U = 0.
Численная процедура
Анализ § 8.2 теперь можно расширить путем учета возможности
неупругого деформирования контакта (трещины). Вновь рассмо-
рассмотрим задачу, представленную на рис. 8.2, но предполагая на этот
раз, что усилия на границе, как обсуждалось выше, постепенно
(по шагам) уменьшаются. Для простоты будем пренебрегать
начальными деформациями контакта.
Отправной точкой в> нашем анализе служат уравнения (8.2.13).
Напомним, что эти уравнения определяют дополнительные уси-
усилия а/ и а„' на элементе, лежащем либо на границе выработки
A < i < М), либо на контакте (М + 1 < i <: N), через фиктив-
фиктивные, напряжения на границе и разрывы смещений вдоль контакта.
Мы отыскиваем систему алгебраических уравнений, которой
следует удовлетворять на каждом шаге k (k = 0, ..., К) снижения
нагрузки на границе (см. рис. 8.16 (Ь)). Неизвестные в этой си-
системе на k-м uiare обозначим через X'<fe) и Xnlk), где
J(l <A> _ pi <*) 1
представляют фиктивные'нагрузки на границе выработки, а
X;<*> = DW} M+KKN (8-4.3)
— (дополнительные) разрывы смещений вдоль контакта.
Первые 2М уравнений в системе устанавливаются на основе
замечания, что дополнительные усилия а/ и а,/ в типичном t-м
элементе границы выработки для &-го шага равны
a'J = -k (aiH/K и о„* =-k (onH/K.

8.4. Контакты со сцеплением и трением 225
Тогда уравнения (8.2.13) приводятся к виду
и N
к, / i\ ел / л if у/ (к)
—— ¦ т* \0^s/0 —¦ ?j y^ss^s ~~
/—1
N
Y ( лНy/(*)
\<1<М. (8.4.4)
Оставшиеся 2 (Л^ — M) уравнений получаются путем рассмотре-
рассмотрения контактных элементов М + 1 < i « N.
Моделирование скольжения на контакте
Предположим, что (k — 1)-й шаг нагружения завершен, так что
текущие значения компонент разрывов смещений t-ro элемента
трещины при этом равны D'sl (й) = Xls(k~X) и D'J {k~l) =
= Х^(&~1}. Если в течение этого или любого предыдущего шага
не происходит неупругих деформаций, полному касательному
напряжению oi(k~i) и сдвиговой компоненте разрыва смещений
X[(k~l) будет отвечать некоторая точка, скажем точка А, на
начальном прямолинейном участке кривой «касательное напря-
напряжение— сдвиг» (рис. 8.17 (а)). Точка О начала этой кривой
представляет начальное состояние элемента; начальные каса-
касательные напряжения равны (olsH, а начальная деформация сдвига
равна нулю.
На следующем шаге нагружения t-й элемент может нагру-
нагружаться или разгружаться упруго, а может и перейти в состояние,
отвечающее условию (8.4.1). Случаи упругого нагружения и
разгрузки отмечены на рис. 8.17 (а) точками В и С. Два случая
утраты способности к дальнейшему повышению нагрузки и пере-
перехода к скольжению обозначены на рисунке точками D и Е.
Точка D соответствует случаю, когда полные нормальные сжима-
сжимающие напряжения больше или равны значениям, которые имели
место на предыдущем шаге нагружения k — 1; точка Е — слу-
случаю, когда нормальные сжимающие напряжения уменьшаются.
На рис. 8.17 (Ь) показаны напряженные состояния, соответству-
соответствующие точкам А, В, С, D и Е на диаграмме Мора.
Конкретный путь движения точки А зависит от значения
полных нормальных напряжений на &-м шаге нагружения. Эти
напряжения определяются как сумма o?(ft) = (о^H + o'nik\
откуда, используя (8.2.13), имеем
ai <*> = (о*„)о + L (ЛИХ' <*> + AUL W )• (8-4.5)
8 Крауч С.i Старфилд А.

226 8. Приложим к горной геомеханике и инженерной геологии
— Е
(а)
Г,'«с-1)
>>
'ctgcp'
¦
N
2c'
у
С !
-б»*-»
Зл tg <p"
ч
(b)
-6,
Рис. 8.17. Поведение элемента Кулона—Мора при разных изменениях напряже-
напряжений: (а) зависимость касательного напряжения от деформации сдвига; (Ь) дна-
грамма Мора, соответствующая (а).
Аналогично полные касательные напряжения даются формулой
i{k) = (o?)b +
(ft)
+
(8-4.6)
Используя (8.4.1) и (8.4.5), определяем предельное напряжение
для /г-го шага
o^'^^c'-oi**» tgq/. (8.4.7)

8.4. Контакты со сцеплением и трением 227
Величина касательного напряжения (8.4.6) должна быть ниже или
равна предельному напряжению (8.4.7). Следовательно, условие
скольжения для 1-го элемента можно записать так:
\ailk)\ = a;l(k). (8.4.8)
Если условие скольжения (8.4.8) не выполняется, т.е. если
crs I < as , элемент при сдвиге будет нагружаться и раз-
разгружаться упруго. В этом случае полное касательное напряжение
будет равно его значению на предыдущем шаге нагружения a* <fe~1)
плюс изменение Аа'(А;):
а'.м^о'.^ + Ьо1.™. (8.4.9)
Изменение полного касательного напряжения можно выразить
через изменение деформации сдвига:
Дет! <*> = ~Kl (Xl m - Х[ <*-'>) (8.4.10)
(см. (8.2.11)), так что
а{<*> = ai {k-l) - Kl <X(k) - Xl <*~I)). (8.4.11)
Тогда равенства (8.4.6) и (8.4.11) дают соотношение
(8.4.12)
которое можно рассматривать как уравнение для вычисления Xl{k)-
Заметим, что левая часть этого уравнения равна нулю, если ранее
элемент не испытывал скольжение. В этом случае элемент Ку-
Кулона—Мора эквивалентен упругому контактному элементу под
действием касательного напряжения, а (8.4.12) совпадает с пер-
первым из выражений (8.2.18).
Касательное напряжение aes{k), вычисленное по (8.4.6), не
может превышать значения предельного напряжения as ( '
(8.4.7). Следовательно, если элемент переходит в предельное со-
состояние, полное касательное напряжение должно быть равно
предельному напряжению, а поэтому
±a:'<"-(ai)o= ЯШХ'М + АЦХ^). (8.4.13)
Положительное значение предельного напряжения a"? <fc) исполь-
зуется, если полное касательное напряжение as * ' положительно,
а отрицательное значение используется, если a'{k) отрицательно.
Формулы (8.4.12) и (8.4.13) представляют соотношения для
сдвиговой деформации t'-ro элемента Кулона—Мора на любом
8*

228 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
(k-м) шаге нагружения. Соответствующее соотношение для нор-
нормальной деформации получается из (8.2.11) и (8.2.13):
0 = /cUi<fc)+ S да^Ч^)- (8-4.14)
Уравнения (8.4.12) (или (8.4.13)) и (8.4.14) применяются ко всем
элементам Кулона—Мора, М + 1 <t <: N. Эти уравнения вместе
с (8.4.4) приводят к решению задачи, изображенной на рис. 8.2.
Полная система может быть решена с помощью итераций [15].
Раскрытие контакта
До сих пор мы неявно предполагали в рассуждениях, что нор-
мальные напряжения о„ на контактном элементе сжимающие.
Если же эти напряжения растягивающие, то возможна другая
картина предельного деформирования, а именно раскрытие кон-
контакта или образование трещины растяжения. Согласно условию
Кулона—Мора (8.4.1), прочность на растяжение элемента кон-
контакта составляет а!п = с' ctg q>' (см. рис. 8.17 (Ь)). Растягива-
Растягивающее напряжение, передающееся через элемент, не может пре-
превышать этого значения, поэтому всюду, где ainik) = с' ctg <p',
должно происходить раскрытие трещины. С другой стороны, и,
возможно, более реалистично ввести предельное напряжение
отрыва, скажем а1п{к) = Тс0 (О < То < с' ctg q>'), и считать, что
i (k)
элемент раскрывается, как только выполнено равенство о„ =
= Т'о. В любом случае для раскрытого элемента полные нормаль-
нормальные и касательные напряжения равны нулю и вместо (8.4.14)
и либо (8.4.12), либо (8.4.13) необходимо использовать следу-
следующие равенства:
N
V (8-4.15)
V
(см. (8.4.5) и (8.4.6)). Эти условия можно включить в итерационный
процесс решения общей системы уравнений.
Пример 8.5
Ситуация, изображенная на рис. 8.18 (а), на первый взгляд напо-
напоминает элементарную задачу маханики. Квадратный блок, весом
которого можно пренебречь, покоится на поверхности полупло-
полуплоскости. На верхнюю грань блока действует вертикальная на-
нагрузка N. Спрашивается, что произойдет при увеличении гори-

8.4. Контакты со сцеплением и трением 229
зонтальной нагрузки Т при заданном равном 1,0 коэффициенте
трения между блоком и плоскостью. В этом примере, однако, мы
допускаем, что как блок, так и полуплоскость деформируются
N= 100 кПа
П ^-Элементы Кулона-Мора
Рис. 8.18. Нагруженный блок на поверхности упругой полуплоскости: (а) физи-
физическая задача; (Ь) гранично-элементная модель.
упруго (Е = 10* кПа и v = 0,2), и для решения задачи восполь-
воспользуемся граничными элементами.
Задача моделируется с помощью погружения системы в_ не-
неограниченную упругую плоскость, как показано на рис.8.18 (Ь).
Вдоль боковых сторон и верхней части блока, а также вдоль
границы плоскости слева и справа от блока введены элементы

230 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
разрывных смещений (по 11 элементов на каждой поверхности).
Линия контакта между основанием блока и полуплоскостью
представлена с помощью 11 элементов Кулона—Мора. Условия,
наложенные на граничные элементы (рис. 8.18 (Ь)), имеют вид
1. as = ап = 0 на всех элементах вдоль АВ, DE, EF.
2. as = ап = 0 на всех элементах вдоль CD, за исключением
центрального, на котором — оп = N = 100 кПа.
3. as = ап = 0 на всех элементах вдоль ВС, за исключением
одного элемента, на котором приложена нагрузка Т. На k-м
шаге нагружения нормальная нагрузка на этом элементе должна
быть —о^ = k AT = 10& кПа, если приращение Т на каждом
шаге составляет 10 кПа.
4. Элементы Кулона—Мора на BE имеют нулевое сцепление
и угол внутреннего трения ср = 45°. (Этот угол выбран так, чтобы
tg ф = 1,0.) Кроме того, параметры жесткости элементов состав-
составляют Ks = Кп = 1°5 кПа/м.
Следует выделить несколько моментов, касающихся способа
моделирования задачи. «Контактный заполнитель» не играет су-
существенной роли в рассматриваемой задаче и не влияет на ее ре-
решение, поскольку параметры жесткости Ks и Кп относительно
высоки. Начальные напряжения в блоке (и в полуплоскости)
вызваны только вертикальной нарузкой N, и поэтому способ,
которым мы изменяем Т, дает непосредственное представление
физической задачи. И наконец, поскольку блок окружен элемен-
элементами разрывных смещений, он может испытывать большие сме-
смещения, ие сопровождаемые большими деформациями внутри него
и в полуплоскости; эти смещения «поглощаются» разрывами сме-
смещений.
Модель^на рис. 8.18 (Ь) была использована для исследования
трех случаев нагружения (см. рис. 8.19), соответствующих раз-
различному расположению нагрузки Т на боковой стороне блока.
Нагрузка прикладывалась к нижней части боковой грани в слу-
случае (а), к ее центру в случае (Ь) и к верхней части в случае (с).
В каждом случае нагружения нагрузк.а Т увеличивалась до тех
пор, пока итерационный процесс решения системы уравнений не
расходился. Результаты суммированы на рис. 8.19; они показы-
показывают, что в данной частной задаче неустойчивость численного ре-
решения соответствует физической неустойчивости.
В случае (а) механизм потери устойчивости сводится только
к скольжению, а смещения незначительны до тех пор, пока Т не
достигнет значения 100 кПа, при котором, как и следовало ожи-
ожидать из элементарной механики твердого тела, блок начинает
скользить. Решения для случаев (Ь) и (с) более интересны. В этих
случаях некоторые элементы Кулона—Мора раскрываются, так
что блок частично теряет контакт с поверхностью и скользит по

8.4. Контакты со сцеплением и трением 231
плоскости одним углом. Конечным механизмом потери устойчи-
устойчивости является вращение. Рис. 8.20 в увеличенном масштабе пока-
О 0,005 0,010 0,015 0,020
Рис. 8.19. Горизонтальное смещение блока при различных нагрузках Т.
/00 кП'л
60 кПа
0 30 мм
Масштаб
смещений
Рис. 8.20. Деформированный контур блока при Т = 60 кПа, соответствующий
случаю (с) на рис. 8.19. Заметим, что все деформации изображены в увеличенном
отсительно размера блока масштабе.
зывает положение блока перед его опрокидыванием. Обратите
внимание на деформацию блока в области приложенных нагрузок
и на то, как передний угол блока вдавливается в поверхность.

232 8. Прилошния к горной геомеханике и инженерной геологии
Пример 8.6
В этом примере мы будем моделировать образование выработки
путем снижения по шагам граничных усилий, как изображено на
рис. 8.16. Размеры и форма выработки показаны на рис. 8.21.
Наша цель состоит в исследовании поведения горизонтальной тре-
трещины Е'Е в процессе образования выработки.
Рис. 8.21. Прямоугольная выработка с горизонтальной трещиной в кровле.
При моделировании этой задачи принято, что горная порода
имеет модуль Юнга 107 кПа и коэффициент Пуассона 0,2. Пара-
Параметры трещины взяты следующими: с = 0, q> = 30° и Ks = Кп —
= 108 кПа/м. Относительно высокие значения для жесткостей Ks
и /Сп выбраны для того, чтобы деформирование трещины до сколь-
скольжения или раскрытия было незначительным. Начальное напряжен-
напряженное состояние задано напряжениями: (аххH = —2500 кПа,
(°W)o = —5000 кПа, (oxvH = 0. При решении задачи учитыва-
учитывалась симметрия относительно оси у и для представления половины
границы выработки было использовано 60 элементов фиктивных
нагрузок, а для моделирования половины трещины были исполь-
использованы 30 элементов Кулона—Мора (местоположения некоторых
из контактных элементов показаны на рис. 8.21). Процесс образо-

8.4. Контакты со сцеплением и трением 233
вания выработки моделировался снижением граничных усилий от
начальных значений до нуля за десять шагов.
Поведение контактных элементов при переходе от одного шага
нагружения к следующему можно наглядно показать на диа-
\ о
D
I
-1
JSL
JTJ 5 -<5„,МПа
(а)
5 -б„,МПа
-1 -
с
-
1
3
-б
„,МПа
\
(г.)
1
4
И
д
Vw
\
\
6
-3 -
Рис. 8.22. Диаграмма Мора для отдельных контактных элементов (см. рис. 8.21);
числа в квадратных скобках обозначают этапы: (а) элемент 10; (Ь) элемент 15;
(с) элемент 20.
граммах Мора, как это делается на рис. 8.22. Здесь касательное
напряжение на контактном элементе дано в зависимости от соот-
соответствующего нормального (сжимающего) напряжения. Две на-
наклонные прямые линии на каждой диаграмме представляют уело-

234 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
вия скольжения (8.4.1); в этом примере эти линии проходят через
начало координат, поскольку трещина не имеет сцепления. Числа
в квадратных скобках относятся к номерам шагов, а стрелки по-
показывают направления из-
изменения напряженного со-
состояния на контакте при
совершении очередного шага.
Таким образом, из рис. 8.22
можно видеть, что до образо-
образования выработки касатель-
касательное напряжение на элемен-
элементе 10 (см. рис. 8.21) равно
нулю, а нормальное напря-
напряжение характеризуется точ-
точкой [0] на диаграмме Мо-
Мора. На первом шаге нор-
нормальное сжимающее напря-
напряжение снижается, а величина
касательного напряжения
возрастает, как показано
стрелкой, оканчивающейся
в точке [1]. Эта тенденция
сохраняется до шага [8],
на котором достигается пре-
предельное условие и происхо-
происходит скольжение. Скольжение
продолжается на шаге [9],
и, наконец, на шаге [10]
элемент раскрывается. Ана-
Аналогичные диаграммы полу-
получаются для элементов 15 и 20
(рис. 8.22 (Ь) и (с)). Эле-
Элемент 15 ведет себя точно так
же, как элемент 10, за ис-
исключением того," что он не
раскрывается. Элемент 20,
расположенный точно над
углом выработки, служит
примером роста нормального
сжатия в процессе обра-
8.23. Тангенциальные напряжения
(—а^ и (—aj") непосредственно над и под
трещиной соответственно. Тонкие кривые
соответствуют случаю, когда вдоль тре-
трещины допускается скольжение, но ис-
исключается раскрытие.
зования выработки, хотя
в итоге он также достигает состояния скольжения. Анализ
этих и аналогичных диаграмм показывает, что скольжение
имеет место на участке DD трещины (см. рис. 8.21), что
последующее раскрытие происходит вдоль участка В'В и
что нормальное сжимающее напряжение снижается в про-

8.4. Контакты со сцеплением и трением 235
цессе выемки на участке D'D, за исключением его концов у точек
D' и D.
На рис. 8.23 и 8.24 показаны тангенциальные напряжения
непосредственно над и под участком АЕ трещины (рис. 8.23) и
в кровле FG выработки (рис. 8.24) после окончания выемки.
В каждом случае напряжения сравниваются с напряжениями,
-1
-2L
Рис. 8.24. Тангенциальные напряжения в кровле выработки. Тонкая кривая
соответствует случаю, когда вдоль трещины допускается скольжение, а отрыв
исключается.
которые имели бы место при отсутствии скольжения или раскры-
раскрытия трещины. Можно было предполагать, что основное влияние
трещины отразится в том, что метровая перемычка в кровле будет
изгибаться подобно балке, и в таком случае следовало ожидать
возрастания тангенциального растяжения около точки F. В дей-
действительности же изгибающее действие перемычки компенсируется
высоким боковым давлением, и рост растягивающих тангенциаль-
тангенциальных напряжений наблюдается только выше трещины над середи-
серединой выработки и ниже трещины непосредственно над углом вы-
выработки. Зоны растягивающих напряжений вокруг выработки
показаны на рис. 8.25. (Заметим, что растягивающие напряжения
вдоль трещины соответствуют тангенциальным растягивающим
напряжениям, изображенным на рис. 8.23.) Растягивающие иапря-

236 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
жения в кровле выработки в целом ниже, чем в почве, за исключе-
исключением области повышенного растяжения в треугольнике CGD
(а следовательно, и в C'G'D', см. рис. 8.21). Обрушение кровли,
Рис. 8.25. Зоны растяжения вокруг выработки; напряжения в кПа.
если оно произойдет, не будет вызвано прорастанием трещины
в середине перемычки, а будет обусловлено разрушением у ее
концов.
Другие нелинейные эффекты на контактах
В примерах 8.5 и 8.6 рассматривались такие задачи, в которых
отсутствовала смена знака нагружения и, следовательно, сдвиго-
сдвиговые деформации на контактных элементах были всегда монотон-
монотонными. Процедура решения для элементов Кулона—Мора факти-
фактически применима и в случае, если имеет место перемена знака
нагрузки. Например, если в окрестности горизонтальной трещины
в примере 8.6 последовательно создать две подходящим образом
расположенные выработки, то в ходе образования второй выра-

8.5. Выработки в пластообразных рудных залежах 237
ботки можно проследить обратное скольжение и, возможно, даже
закрытие контактных элементов Кулона—Мора. Пример задачи,
в которой происходит обратное скольжение, представлен в § 8.6.
Условие закрытия для ранее раскрытого контактного элемента
Кулона—Мора можно включить в итерационную процедуру
решения, рассмотренную выше; если для некоторого элемента
имеет место его закрытие, то в последующих вычислениях, свя-
связанных с этим элементом [14, 15], выражение (8.4.15) должно
быть заменено на (8.4.14) и либо (8.4.12), либо (8.4.13).
Другая область, где нелинейные эффекты могут оказаться
важными, связана с поведением материала, заполняющего кон-
контакт (трещину). Используя (8.2.11), а именно a's = — KsD's,
о'п = —KnD'n, мы предполагаем, что материал заполнителя яв-
является линейно-упругим и его поведение при сжатии не связано
с поведением при сдвиге. В более общем случае мы можем счи-
считать, что напряжения зависят от обеих компонент разрыва сме-
смещений, например
o't = f.{D'., D'n), o'n = fn(D's, D'n),
где функции /s и /„ должны быть заданы. Характерным примером
такой зависимости служит эффект контактного разрыхления, опи-
санныйе Гудманом [22, стр. 176—192]. Вследствие этого эффекта
деформации сдвига вдоль контакта вызывают рост нормального
сжимающего напряжения. Любой эффект такого рода может быть
включен в модель контактного элемента; результирующие уравне-
уравнения при этом будут нелинейными, однако они могут быть решены
итерационным методом.
8.5. ВЫРАБОТКИ В ПЛАСТООБРАЗНЫХ РУДНЫХ
ЗАЛЕЖАХ
Важный класс задач горного дела связан с выработками в пласто-
образных или жильных залежах. Такие залежи характеризуются
тем, что один их размер мал по сравнению с двумя другими раз-
размерами. Если пластообразная залежь и выработка в ней не изме-
изменяются в горизонтальном направлении (вдоль простирания
залежи), то задачу можно изучать как двумерную, т. е. рассматри-
рассматривать случай плоской деформации.
Напряжения и смещения, вызванные проведением выработки
в пластообразной залежи, можно вычислить, используя методы
граничных элементов точно так же, как в других примерах этой
главы. Однако во многих случаях геометрия и масштаб задачи
затрудняют получение адекватного численного решения обычными
способами. Например, выработка может быть высотой в один или
два метра, а длиной в несколько десятков или даже сотен метров.
Если вдобавок учесть, что типичная планировка горных работ

238 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
может включать несколько таких выработок, расположенных
вблизи друг от друга, то становится ясным, что детальное описа-
описание геометрии выработок непрактично: для устойчивости числен-
численных результатов размеры граничных элементов, используемых
при моделировании поверхностей выработки, должны выбираться
порядка мощности залежи, что в итоге приведет к чрезвычайно
большой системе алгебраических уравнений.
К счастью, для целей проектирования зачастую нет необхо-
необходимости рассматривать детально каждую выработку. Обычно мы
имеем дело с крупномасштабной задачей оценки влияния одной
выработки на другую или влияния всех выработок на напряжения
и смещения некоторого участка массива (или залежи), в котором
планируется провести туннель или какую-либо другую вспомога-
вспомогательную выработку. В таких случаях наиболее важными оказы-
оказываются взаимные смещения верхней и нижней поверхностей пла-
пласта, а их можно моделировать с помощью единого элемента раз-
разрывных смещений, представляющего собой короткий отрезок,
включающий обе — и верхнюю, и нижнюю — поверхности пласто-
образного тела. Другими словами, мы пренебрегаем реальной
мощностью залежи и представляем ее как контакт, заполненный
сжимаемым материалом. Это аналогично способу, которым в § 8.2
две поверхности контакта (нарушения) моделировались с помощью
единого элемента разрывных смещений. В данном случае такие
элементы мы будем называть пластовыми элементами.
Численная процедура
Каждый пластовый элемент связан с постоянным разрывом сме-
смещений с компонентами Ds и Dn, представляющими взаимное нор-
нормальное и касательное смещения верхней и нижней поверхностей
пласта 1). Решение конкретной задачи определяется значениями
разрывов смещений во всех пластовых элементах. Их можно найти,
как обычно, путем решения системы алгебраических уравнений.
Вид этой системы зависит от того, допускается или нет начальное
деформирование пласта.
Считая, что начальные деформации пласта равны нулю, запи-
запишем выражения для дополнительных напряжений в типичном
пластовом элементе
N
V (8.5.1)
11 Термин seam, который в английском языке употребляется по отношению
к пластовым образованиям любой природы, переводится здесь как «пласт», хотя
в отечественной горной литературе это слово по отношению к рудным залежам
обычно не используется. — Прим. ред.

8.5. Выработки в пластоабразных рудных залежах 239
где Ds' и Dj — дополнительные деформации пласта, т. е. разрывы
смещений, вызванные выработками, в пласте или около него.
Если t-й элемент представляет вынутую часть пласта, то в нем
полные напряжение D = (ffs)o + °s и aln = (оп)о + ®п равны
нулю при условии, что поверхности выработок не соприкасаются,
т. е. что Dn меньше локальной мощности пласта hl. Для такого
элемента тогда имеем
(8.5.2)
Если же t-й пластовый элемент соответствует невынутой части
пласта, то дополнительные напряжения связаны с дополнитель-
дополнительными деформациями пласта следующими условиями:
п'1 — nin'J/fi1 == KlD'»,
'а' = -кМ, (85-3)
где Gj и El0 — упругие постоянные материала пласта. Объединяя
(8.5.1) и (8.5.3), для пластового элемента, принадлежащего не-
невынутой части, имеем
N
О = К[Р'» + 2 {Ai'sD'J + Ai'nD'J),
О = КЖ + 2 {AW + AlD'I).
Численное решение задачи определяется уравнениями (8.5.2) и
(8.5.4), поскольку для каждого из Af элементов применима одна
или другая пара уравнений.
Аналогичная процедура используется в случае, когда пласто-
пластовые элементы имеют начальные деформации {Dls)o и (DnH, i —
= 1, ..., N. Тогда в задаче неизвестными оказываются полные
деформации пласта Dls = (О% + D? ий1 = (?>«)о + D'nl, и урав-
уравнения, подобные (8.2.31) и (8.2.33), при необходимости могут
быть получены точно тем же путем, какой использован выше.
Оценка точности
Всякий раз, когда используются пластовые элементы, принимаются
два предположения. Первое — о том, что мощность пласта пре-
пренебрежимо мала по сравнению с его продольными размерами,
а второе — о том, что каждый пластовый элемент вне выработки
работает как пружина с заданными нормальной и сдвиговой же-

240 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
сткостями (см. (8.5.3)). Можно ожидать, что ошибки, обусловлен-
обусловленные этими предположениями, малы для тонких пластов. На-
Насколько это верно, можно проверить, сравнив решение, получен-
полученное с использованием пластовых элементов с гранично-элемент-
гранично-элементным решением, в котором учитывается мощность пласта и поверх-
поверхности его подошвы и кровли моделируются по отдельности.
)о°=Р
Рис. 8.26. Прямоугольная выработка в однородном массиве горных пород.
В качестве примера рассмотрим изолированную прямоуголь-
прямоугольную выработку шириной 2/ в пласте мощностью Л в бесконечном
массиве пород. Выработка вытянута вдоль оси х, как показано
на рис. 8.26, и предполагается, что на бесконечности имеет место
одноосное напряженное состояние (оуу)™ = —р- Используя ме-
метод, описанный в § 7.5, можно было бы получить гранично-эле-
гранично-элементное решение при произвольных упругих свойствах пласта,
но для простоты предположим, что он имеет такие же свойства,
как окружающий его массив.
Для этой задачи получены два численных решения. В первом
из них использован, прямой метод граничных интегралов (§ 7.2),
и прямоугольная выработка воспроизводилась детально для слу-
случая 2l/h = 10, v = 0,2 и plE = 10~3. Второе решение получено
с использованием модели пластового элемента, описанного выше,
при значении жесткости пласта Кп, равном Elh. В этой задаче
необходимо задать только нормальную жесткость.
Вычисленные распределения взаимного нормального смещения
противоположных поверхностей пласта (у = ±Л/2) даны на
рис. 8.27. Сплошная кривая представляет график разности сме-
смещений иу (х, —А/2) — uv (x, -f Л/2), определенной с помощью
прямого метода граничных интегралов, тогда как пунктирная

8.5. Выработки в пластообразных рудных залежах 241
линия дает непосредственно разрывы смещений, вычисленные
с использованием модели пластового элемента. Видно, что эти
два решения хорошо согласуются и отличие составляет только
около 3 % в центре выработки.
На рис. 8.28 сравниваются полные нормальные напряже-
напряжения —вуу/р в пластовых элементах вне выработки с напряже-
напряжениями, найденными с использованием прямого метода граничных
2,0
Рис. 8.27. Относительные нормальные смещения поверхностей пласта. / —
решение с использованием пластовых [элементов.
элементов при воспроизведении всей границы выработки. В реше-
решении, полученном с использованием пластовых элементов, пред-
предполагается, что напряжения постоянны по высоте пласта. В дей-
действительности же напряжения вдоль, например, линии у =
= ±/г/2 и у = 0 значительно отличаются у краев выработки.
При использовании модели с пластовыми элементами, вычислен-
вычисленные в этой области напряжения оказываются ближе к значениям
для линий у = ±hl2, чем для линии у = 0. В целом, однако, можно
заключить, что идеализация с пластовыми элементами дает доста-
достаточно точную картину распределения напряжений в пласте. Тем
не менее ясно, что если желательно найти детальные распределе-
распределения напряжений в точках внутри пласта вблизи края выработки,
необходимо применять другой подход (например, прямой метод
граничных интегралов).
В задаче, иллюстрируемой на рис. 8.26, предполагается, что
напряженное состояние на бесконечности одноосное. Это условие
было выбрано для того, чтобы упростить сравнение результатов,

242 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
полученных на основе модели пластового элемента и более точного
прямого метода граничных интегралов. Пластовый элемент чув-
чувствителен только к нормальным и касательным напряжениям,
действующим в нем, и, следовательно, решения, полученные на
основе модели пластового элемента (рис. 8.27 и 8.28), не изменятся,
если на поле напряжений (оУу)™ = —р (рис. 8.26) наложить
на бесконечности еще одно поле, скажем (охх)™ = —д. Влияние
20
Рис. 8.28. Нормальные напряжения в пласте (вне выработки). 1 — значения
на уровне у = 0; 2 — значения на уровне у = ±hl2; 3 — решение с использо-
использованием пластовых элементов.
двухосного поля напряжений на смещения и напряжения вблизи
выработки, конечно, могут быть вычислены детально с помощью
прямого метода граничных элементов. В целом сжимающие
напряжения, параллельные выработке, уменьшают величину
взаимного смещения линий кровли и подошвы у = ±hl2 и, сле-
следовательно, увеличивают ошибку связанную с представлением
пласта с помощью пластовых элементов (см. рис. 8.27). Уменьше-
Уменьшение взаимных смещений зависит от соотношений компонент поля
напряжений на бесконечности, а также от отношения ширины
выработки к ее высоте. Например, при (охх)™ = (вуу)™ и 2llh =
= 10 решения в центре выработки, полученные с использованием
пластовых элементов и прямым методом граничных интегралов,
отличаются примерно на 5 %.

8.5. Выработки в пластообразных рудных залежах 243
Подобные результаты для родственной задачи показаны на
рис. 8.29 и 8.30. В этом случае начальное напряженное состояние
представляет чистый сдвиг (оху)™ = —р без нормальных напря-
напряжений, действующих на «плоскости» пласта, у = 0. Распределение
сдвиговой компоненты разрыва смещения, полученное с исполь-
использованием пластовых элементов, в целом имеет такую же форму,
как распределение относительного сдвига их (х, —/г/2) — их (х,
+Я/2), найденное с помощью прямого метода граничных интегра-
интегралов (рис. 8.29), но соответствие между двумя этими решениями
20 -
15 -
* 10 -
а"
5 -
\ \
\\
\ \
\\
\
-
I
( \ ~{бху)°~Р
V 4
к \ . 1 „
\- ~
\
"¦
г 1
- I
--"¦
0,5
1.0
Х/1
1,5-
2,0
Рис. 8.29. Относительные касательные смещения поверхностей пласта. 1 — реше-
решение с использованием пластовых элементов.
не столь хорошее, как в предыдущем примере. Ошибки результатов
полученных на основе модели пластовых элементов, составляют
около 8 % в центре выработки и около 35 % вблизи ее края. Из
рис. 8.30 видно, что при определении касательных напряжений
—<зХу/р в пластовых элементах вне выработки также возникает
значительная погрешность, в особенности вблизи края выработки.
Результаты сравнения с прямым методом граничных интегралов
оказываются неблагоприятными на расстояниях от края выработки,
составляющих до одной-двух ее высот (т. е. х/1 = 1,2ч-1,4).
Эти ошибки обусловлены тем, что в модели, использующей пла-
пластовые элементы, нельзя учесть (дополнительные) касательные
напряжения на границах, отвечающих боковым стенкам выра-
выработки.

244 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
Из предшествующего анализа следует, что точность модели
с пластовыми элементами зависит от значений начальных нормаль-
нормальных и касательных напряжений, действующих в пласте, а также
от размеров и взаимного расположения выработок. Во многих
практических задачах начальное нормальное напряжение го-
гораздо больше, чем касательное напряжение, а смещения и напря-
напряжения, вызванные горными работами, прежде всего определяются
Рис. 8.30. Касательные напряжения в пласте. / — значения на уровне у = 0;
2 — значения на уровне у = ±Л/2; 3 — решение с использованием пластовых
элементов.
взаимными нормальными смещениями поверхностей выработок.
В таких случаях модель с пластовыми элементами обеспечивает
эффективный и экономичный способ решения задач, которые
может оказаться непрактично решать другими методами.
Пример 8.7
На рис. 8.31 изображен типичный пример использования пла-
пластовых элементов в задаче горного дела. Массив горных пород
состоит из двух связанных полуплоскостей с упругими постоян-
постоянными Е*, v* (для верхней полуплоскости, у Зг 0) и Е, v (для
нижней, у < 0). Пласт мощностью 2 м располагается на расстоя-
расстоянии 5 м над поверхностью контакта и содержит пять выработок
шириной 10 м каждая, разделенных четырьмя целиками шири-
шириной 5 м каждый. Начальные напряжения во всем массиве пред-
предполагаются одинаковыми и равными (охх)™ = —5 МПа и (сх^,,)^ =
= —10 МПа.

8.5. Выработки в пластообразных рудных валеоюах 245
Для этой задачи были рассмотрены три варианта: 1) Е — Е*,
2) Е = 5Е* и 3) Е = Е*1Ъ. Во всех случаях коэффициент
Пуассона v = v* = 0,2, а модуль Юнга для верхней полупло-
полуплоскости был принят равным Е* = 10* МПа. Параметры жесткости
для пласта равны Кп — E*lh = 0,5. 104 МПа/м и Ks = G*lh =
= 0,2083-10* МПа/м.
На рис. 8.32 показаны распределения горизонтальных напря-
напряжений ахх вдоль оси симметрии для первого варианта (одинако-
Рис. 8.31. Пласт, параллельный поверхности контакта двух различных типов
пород и содержащий пять отстоящих на равном расстоянии выработок.
вых полуплоскостей) и для второго варианта, когда нижняя полу-
полуплоскость является более жесткой, чем верхняя. (Решение для
неоднородной задачи было получено путем объединения уравнений
для пластовых элементов с программными модулями для связан-
связанных полуплоскостей (§ 7.6)). В случае когда массив горных пород
однороден, Е = Е*, распределение напряжений относительно
средней плоскости пласта является симметричным, а в кровле
и почве выработки возникают растягивающие напряжения, оди-
одинаковые по величине. В случае когда нижняя полуплоскость
жестче, чем верхняя, Е* — ?75, растягивающие напряжения
снижаются, особенно в почве выработки. Однако распределение
напряжения над выработкой остается практически таким же, как
в однородном случае.
На рис. 8.33 приведены аналогичные результаты для третьего
варианта, когда нижняя полуплоскость более податлива, чем
верхняя, Е = Е*/5. Распределение напряжений в области между
поверхностью контакта и пластом в данном случае заметно изме-
изменяется по сравнению с однородным случаем. Растягивающие
напряжения в почве выработок увеличиваются более чем вдвое,

ihJ

5. Выработки в пластообразных рудных залежах 247
50
Рис. 8.34. Распределения напряжений вдоль поверхности контакта двух связан-
связанных полуплоскостей (см. рис. 8.31). Тонкие кривые —¦ для однородного случая
(Е = ?*); сплошные кривые — для податливой нижней полуплоскости (Е =
= ?*/5): (а) нормальное напряжение ауу (х, 0); (Ь) тангенциальное напряжение
ахх (х, 0).
а сжимающие напряжения на уровне контакта (у = 0+) почти
утраиваются.
Эти напряжения обусловлены изгибом «балки» между выра-
выработкой и контактной поверхностью. Выпучивание этой балки
вверх под выработками компенсируется ее изгибом вниз под
целиками, что дает картины распределения напряжений на по-
поверхности контакта, изображенные на рис. 8.34. Изгибное дей-

248 8. Прилооюения к горной геомеханике и инженерной геологии
ствие приводит к тому, что сжимающее напряжение —ауу (х, 0),
передаваемое через контакт, возрастает под выработками и убы-
убывает под целиками (рис. 8.34 (а)). Более существенно то, что
большие сжимающие тангенциальные напряжения под выработ-
выработками (рис. 4 (Ь)) сопровождаются большими растягивающими
напряжениями под целиками. Действительно, как показано на
рис. 8.35, эти зоны растяжения связаны с зонами растяжения,
Рис. 8.35. Зоны растягивающих напряжений вокруг выработок (см. рис. 8.31)
в случае податливой нижней полуплоскости; интервал между изолиниями 2 МПа.
возникающими ниже почвы выработок, что делает вполне воз-
возможным глубокое распространение зоны разрушения горных пород
в форме отрыва. С точки зрения проектирования следует интере-
интересоваться тем, не станут ли зоны растяжения меньше, если сделать
выработки менее узкими.
8.6, МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОРНЫХ РАБОТ В ПОРОДЕ
С НАРУШЕНИЯМИ
Горные инженеры знают, что когда выработки приближаются
к большим геологическим нарушениям, таким, как разломы,
зачастую возникают серьезные осложнения. В тех ситуациях,
когда для моделирования рудной залежи можно использовать

8.6. Моделирование горных работ в породе с нарушениями 249
пластовые элементы, последовательную отработку легко непо-
непосредственно моделировать с помощью пошагового изменения гео-
геометрии выработок. Тогда, комбинируя пластовые элементы с эле-
элементами Кулона—Мора (§ 8.4), можно исследовать, вызовет ли
та или иная система отработки отрыв или сдвиг вдоль нару-
нарушения.
«Моделирование горных работ» в пластообразных залежах
достигается просто путем изменения по шагам граничных условий
на пластовом элементе так, чтобы если вначале он отвечал невы-
нутой части залежи, то потом он соответствовал вынутой части
(см. (8.5.4) и (8.5.2)). На каждом шаге система уравнений ре-
решается заново, причем в новом решении учитывается скольжение
(если оно имело место) вдоль нарушения, отвечающее предыду-
предыдущему шагу. Хотя на каждой стадии моделирования должна ре-
решаться новая система уравнений, решение для одного шага будет
служить хорошим приближением для следующего шага, и потому
необходимые результаты можно быстро находить с помощью
итераций.
Пример 8.8
Для иллюстрации изложенного выше подхода рассмотрим задачу,
показанную на рис. 8.36 (а), о вертикальной жиле, пересеченной
нарушением. В начальном состоянии жила не затронута горными
работами, мощность жилы постоянна и равна 3 м. Модуль Юнга
и коэффициент Пуассона горной породы и жилы одинаковы,
Е = 107 кПа и v = 0,2. Следовательно, параметры жесткости пла-
пластовых элементов, моделирующих жилу (рис. 8.36 (Ь)), состав-
составляют Кп = 0,333-107 кПа/м и Ks = 0,139-10'кПа/м. Нарушение
пересекает жилу под углом 30° на глубине 200 м от поверхности.
Параметры жесткости для нарушения приняты равными К3 =
= 0,139-108 кПа/м и Кп = 0,333-108 кПа/м, и считалось, что
нарушение имеет нулевое сцепление, а угол внутреннего трения
составляет 30°. И наконец, начальное напряженное состояние
массива пород задавалось напряжениями (оххH = @уу)о —
= 25у кПа (где —у есть глубина от поверхности в метрах) и
(°xV)o = °-
Нас интересует, что произойдет, если отработать часть
жилы ВС. Модель ситуации, изображенной на рис. 8.36 (а), пока-
показана на рис. 8.36 (Ь). В ней для представления участка жилы AD
используются пластовые элементы (с учетом деформаций нетро-
нетронутой части жилы от А до В и от С до D в конечном состоянии)
и элементы Кулона—Мора для представления нарушения. Уча-
Участок жилы AD разделен на 35 элементов (с номерами 1—35 на
рисунке), а нарушение разделено на 30 элементов (с номерами
36—65).Тогда выемка жилы на участке ВС может быть модели-
моделирована 15 шагами, начиная с 11-го элемента и кончая 25-ым.

250 8. Прилооеения к горной геомеханике и иноюенерной геологии
При обсуждении результатов этого анализа ограничимся рас-
рассмотрением поведения нарушения. На рис. 8.37 изображены
диаграммы Мора (как в § 8.4) для элементов с номерами 44, 47,
48, 49, 50 и 51, лежащих вдоль нарушения. Две наклонные пря-
прямые линии на каждой диаграмме представляют огибающие Ку-
Кулона—Мора для случая с = 0 и ф = 30°. Из рисунка видно, что
первыми предельного состояния достигают элементы 47 и 48. Это
происходит на шаге [9] развития горных работ, т. е. на этапе,
Рис, 8.36. Вертикальная жила, пересеченная нарушением: (а) физическая за-
задача; (Ь) численная модель.
непосредственно предшествующем пересечению нарушения. Эле-
Элементы 47 и 48 находятся в предельном состоянии также и на
этапе [10], когда элементы 44, 49 и 50 (а также элементы 45 и 46,
не показанные здесь) впервые испытывают скольжение. Элемент 51
ни на одном шаге не испытывает скольжения. После прохождения
через нарушение все элементы, достигшие предельного состоя-
состояния, за исключением элемента с номером 50, «разгружаются»,
чему отвечает смещение соответствующих точек с огибающих Ку-
Кулона—Мора. Элемент 50 отличается от прочих тем, что на этой
стадии он раскрывается (см. § 8.4).
Поведение элементов 48 и 49 также отличается от поведения
других элементов. Эти два элемента разгружаются настолько,
что они испытывают скольжение в обратном направлении. Это
происходит на шаге [14] для элемента 48 и на шаге [12] для

8.7. Плоские рудные залежи 251
элемента 49. На рис. 8.38 это явление иллюстрируется иначе.
Здесь представлена связь между полными касательными напря-
напряжениями —os и касательной компонентой разрыва смещения
для элемента 49. На рисунке числа в квадратных скобках обозна-
обозначают этапы горных работ, а стрелки — «путь» следования от
одного этапа к другому. Рисунок отчетливо показывает наличие
обратного скольжения.
И наконец, на рис. 8.39 изображена диаграмма Мора для эле-
элемента 49 в случае, когда принято условие, что скольжение отсут-
отсутствует всюду вдоль нарушения. Эта диаграмма идентична соответ-
соответствующей диаграмме на рис. 8.37 до этапа [9] развития горных
работ; после него напряженные состояния становятся совершенно
различными, что ясно показывает необходимость моделирования
скольжения, когда оно имеет место в действительности.
Без особых вычислительных усилий в рассмотренной задаче
можно исследовать влияние разных жесткостей нарушения,
разных начальных напряженных состояний, начальных деформа-
деформаций в жиле и в нарушении, разных порядков отработки жилы,
а также роль «закладки» в отработанной части жилы (при исполь-
использовании метода отработки с закладкой). Читатель, интересу-
интересующийся этими вопросами, может обратиться к работам Крауча
[14, 15].
8.7. ПЛОСКИЕ РУДНЫЕ ЗАЛЕЖИ;
ТРЕХМЕРНЫЕ ЭФФЕКТЫ
Рассмотрение задач горного дела в двумерной постановке (при
плоской деформации) пригодно, когда трехмерные эффекты либо
относительно незначительны, либо не играют решающей роли при
изучении конкретных проектов. Вместе с тем зачастую решение
вопроса о выборе системы отработки нельзя получить без обра-
обращения к трехмерному анализу.Концепция пластовых элементов,
введенная в § 8.5, сравнительно легко обобщается на важный
случай пласта или жилы, расположенной в одной плоскости —
случай так называемой плоской рудной залежи. Эта техника нашла
широкое использование при планировании горных работ для
выемки заглубленных плоских рудных тел. Здесь будут приве-
приведены необходимые в этом случае уравнения. Дальнейшие детали
даны в работах [34, 50].
Геометрия задачи показана на рис. 8.40. Предполагается, что
жила расположена на достаточно большой глубине и не испытывает
влияния земной поверхности. Плоскость жилы наклонена под
углом а, а ее мощность h считается достаточно малой по сравне-
сравнению с общим масштабом задачи.
Две системы координат, показанные на рис. 8.40, назовем
координатами массива и координатами плоскости жилы. Система
координат (х, у, z) для массива пород имеет начало на произволь-

\
\
\
\
\
ент
5 \
I \
о
о
-о
ч-
я
с
с
о
1
а
о
/
/
8
О

E[JM '
со
00

254 8. Прилооюения к горной геомеханике и инженерной геологии
1000-
wa
15]
№1
Элемент 49
»У} 0,002
11]
0,006
, j
0,012
[10]
1 >¦
[V]
-1000
Рис. 8.38. Касательное напряжение и соответствующая деформация сдвига
в элементе 49 на разных стадиях горных работ.
?000-
а
а
1
-2000-
Элемент 49
[15]//
^\
\[10]
1
2000 ^\
4000
W
\6000
/
Рис. 8.39. Диаграмма Мора для элемента 49 в случае отсутствия скольжения
вдоль нарушения.

8.7. Плоские рудные залежи 255
ной глубине и выбирается таким образом, чтобы ось г была вер-
вертикальной и направленной вверх. Координаты (х, у, г) выбираются
так, чтобы ось z была перпендикулярна плоскости жилы, ось у
направлена по восстанию, а ось х, — по простиранию. Жила
предполагается достаточно тонкой, чтобы ее можно было рассма-
тривась как плоскость в математическом смысле. Тогда жиле
соответствует плоскость 2=0. Верхняя сторона этой плоскости.
z —¦ 0+, представляет кро-
кровлю, а нижняя сторона,
2 = 0 — подошву.
Смещения и напряжения,
вызванные выемкой некото-
некоторых частей жилы, можно
описать относительно любой
из двух систем координат
(рис. 8.40). Однако вычис-
вычисления удобно выполнять
в системе координат, свя-
связанной с плоскостью жилы.
В этой системе смещения
и напряжения обозначаются
как пг и ati. В системе ко-
координат (х, у, г) эти вели-
величины обозначаются через щ
и atj, а их значения могут
быть тогда вычислены с по-
помощью стандартных формул
преобразования (например,
[49, стр. 42—44])*>.
Для ситуации, изображенной на рис. 8.40, возможно непо-
непосредственное обобщение двумерного метода разрывных смещений.
Интересующая нас в плоскости жилы область в этом случае раз-
разбивается на сетку квадратных (или прямоугольных) элементов
и с каждым элементом связывается постоянный разрыв смещения
с компонентами D'x, Dg и D'z. Компоненты разрыва смещения
представляют собой относительное смещение верхней (г = 0+)
и нижней B = 0_) границ жилы. Значения этих величин находятся,
как обычно, путем решения системы алгебраических уравнений
с удовлетворением соответствующих граничных условий. Смещения
и напряжения в произвольной точке массива пород, как и ранее,
вычисляются как линейные комбинации разрывов смещений во
всех элементах сетки в плоскости жилы.
Рис. 8.40. Плоское рудное тело.
г> См. также, например, Амензаде Ю. А. Теория упругости. Изд. 3-е. —М.:
Высшая школа, 1976, с. 7—8. — Прим. ред.

256 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
Квадратные элементы с постоянными разрывами смещений
Для выполнения изложенной выше процедуры необходимо ана-
аналитическое решение задачи о постоянном разрыве смещения на
квадратном элементе плоскости жилы. Это решение дано в работе
[43]. Используя индексные обозначения (§ 2.5), результаты ука-
указанной работы можно представить в следующей форме (ср. [45]):
«!= 2A — v)<pli3 — A — 2v)q>SI — *зФь,Ь1>
«2 = 2A -v)<p2K-(l -2v)<p3J -*3<f>ft)fta, (8.7.1)
«з = 2 A - v) фз, з + A - 2v){ylt x + ф2,2) - х3фк, из;
an = 2G [ф3, зз + 2<p!, 13 + 2vqp2i 23 + A - 2v) ф3,22 -
a22 = 2G[q3<33 + 2ф2,2з + 2vфз,1з + A - 2v)f3, u —
д33 = 2G[q>:u33 - x3yhi ft33],
д т (8.7.2)
o13 = 2G ^фх, зз f v -g^- (Ф1,2 — Фа, i) —
а2з = 2G ^ ф2) зз — v -gj- (фХ) 2 — ф2, i) —
ou = 2G [ A - v) -~ (фх, 2 -f фа, j) - A - 2v) ф,, u - ^зФй, *u] •
В этих уравнениях функции фг (i = 1, 2, 3) задаются формулой
в которой
+а +а
J {хи х2, х3) = J J [(*, - |02 + (х2 - f2J + jggj-1 d|, dfe, (8.7.4)
—a —a
где интегрирование проводится по ix, 12 в пределах квадратного
элемента | хх | « а, [ х21 <¦ а, х3 = 0. В пределах этого элемента
постоянный разрыв смещения Dt = (D^ Dit D8) определяется
разностью _ _
А = и( (дгх, *2. 0_) — н, (дгх, jf2. 0+).
Уравнения (8.7.1)—(8.7.4) являются трехмерными аналогами
уравнений E.5.1) и E.5.2).
При х3 = 0 напряжения а13, а23 и а3з представляют собой
усилия на плоскости жилы. Эти величины определяются в виде
G г/ дЧ , д*
" K+v
4яA—v)
D \
г/'

8.7. Плоские рудные залежи 257
где производные функции 1(х, у, г) следует находить при z = 0.
Заметим, что касательные усилия о*г и OgS зависят от обеих ка-
касательных компонент разрыва смещения Dx и Dg, тогда как нор-
нормальные усилия Огг — только от нормальной компоненты D^.
Исходя из (8.7.4), можно показать, что функции д21/дхду
и т. д. в (8.7.5) имеют следующие выражения:
/ дЧ \ _J L4- — —
\ дх ду /г=о ~ Pi P2 Рз h '
I дЧ \ ^ у —а 1 у — at Ц у + а 1 9 + а 1
V дх2 /г=о х — a pj 'х + а р2 j х+а р3 ' х — а р4 '
/ дЧ \ _ * —а 1 , * + а 1 * + a 1 , ^—а 1
У —а Pi Р —а Рг 2/ + аРз ' У + a Р(
(87)
\"dF" /г=о ~ (^ — а) (у ~ а) (х + а) (9 — а) "^
Рз Р4
(?* + а) Д^ —а)(р + а) '
(ij —aJ, oi_ = (x +-аJ+-(п — аJ,
, (8.7.7)
Численная процедура
Полученные выше результаты могут быть использованы для по-
построения системы алгебраических уравнений, из которой находится
приближенное распределение разрывов смещений в плоскости
жилы. Эта система строится для сетки квадратных элементов,
покрывающих интересующую нас область плоскости жилы, как
показано на рис. 8.41. Длина стороны каждого квадрата равна 2а,
а нумерация элементов производится таким образом, что их можно
задать матрицей положений по отношению к верхнему левому
углу сетки. Квадрат (i, j), например, обозначает положение
(строку, столбец) конкретного элемента в сетке: t-ro в направле-
направлении у и /-го в направлении х. Каждому элементу (г, /) сетки со-
соответствует постоянный разрыв смещения с компонентами D'%'1,
Dg1'1 и Di ''•
Из (8.7.5) следует, что дополнительные усилия в центре эле-
элемента (i, l) связаны с компонентами разрыва смещения во всех
элементах (k, l) сетки равенствами следующего вида:
М N
а-'-' = У, У, (А'-'-1: k' lD'-'' 4- A'-'-1''k> lD'-k'')
М N
П 1 — X1 X1 J'' /i «I 'Г) «I ' /Q 1-Г Q\
°гг — Zj Zj "гг i-'z » (о. 1.01
k=l 1=1
М N
ni._i у у ( Ai. i; k, 1 p/k, 1 , .1, /; k, ip,'k, i\
yz — Zj Zj \*~*xy *~*x i~ *iyu у /j
/j 9 Крауч С, Старфилд А.

258 8. Приложение к горной геомеханике и инженерной геологии
где Alx'xi; *''» • •• — коэффициенты матрицы влияния для плоскости
жилы. Коэффициенты влияния зависят от упругих постоянных
горной породы, размера элементов сетки и расстояний в направ-
направлениях осей х и у элемента (г, /) от элемента (k, /). Полные вы-
выражения для этих коэффициентов можно получить из (8.7.6)
(ср. [50]).
м
Рис. 8.41. Задание сетки на плоскости жилы S = 0.
Теперь каждый элемент (i, /) сетки принадлежит либо отрабо-
отработанной части жилы, либо неотработанной. Если элемент принад-
принадлежит отработанной части и кровля, и подошва не смыкаются,
то полные усилия а%1 = (о4')о + o'zi ', ¦¦¦ равны нулю и (8.7.8)
дает
усилия
М N
ft=l 1=1
М N
М N
*¦
jf, /; ft.
49
)
(8.7.9)

8.7. Плоские рудные залежи 259
С другой стороны, если элемент (/, /) принадлежит неотработан-
неотработанной части жилы, то дополнительные усилия связаны с компонен-
компонентами разрыва смещения следующими условиями:
oji i = -Gjy'-i- l/h = —KiD't'",
o'gi ' = -G0Dg' !lh = —KgD'g1''', (8.7.10)
o?l = -Efl'j- 4h = -КгО'г1- ',
где, как и в (8.5.3), Go и Еа — упругие постоянные материала
жилы. Объединяя (8.7.8) и (8.7.10), получаем
М N
0 = KzD'l M-ES (ЛУ; k- lD'tl + A'tf- k' lDkg- %
Л1 N
0 = /f^'' ЧП (AW- k' lD?-l + AW' k' lDf % (8.7.11)
0 = /CDs'-' + 2 ^AW'k-lD?'K
Уравнения (8.7.9) и (8.7.11) образуют систему ЗхЛ/XiV уравне-
уравнений относительно неизвестных компонент разрывов смещений.
Они могут быть решены итерационным методом (см., например,
1501).
Если жила очень тонкая и если выработка имеет большие про-
пролеты, то в элементе (i, /), принадлежащем выработанной части
жилы, возможно соприкосновение кровли и почвы и, следова-
следовательно, может происходить передача нагрузки через зону контак-
контакта. Эта ситуация относится к полному смыканию 1] и требует
модификации (8.7.9) всюду, где имеет место смыкание. Тогда
можно исключить последнее уравнение из (8.7.9), поскольку
нам известно, что в этом случае D'i'1' = h. Однако граничные
условия в направлениях х и у установить труднее. В качестве
одного предельного случая можно рассмотреть ситуацию, в ко-
которой значения касательных компонент разрывов смещений
«заморожены» — остаются равными значениям, которые имели
место перед тем, как почва и кровля вступили в контакт .Трудность
подобного подхода состоит в том, что задача должна моделирова-
моделироваться по шагам, поскольку ее решение будет зависеть от последо-
последовательности горных работ. Более простая процедура отвечает
другому крайнему случаю, в котором предполагается, что кровля
1( В контексте задач горного дела нормальную компоненту разрыва смещения
называют смыканием (или «конвергенцией»), а две касательные компоненты —
«сдвигами» [44].

260 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
и подошва «смазаны» и их способность скользить по друг другу
неограниченна. В этом случае вместо (8.7.9) имеем уравнения
М N
— Vs xy/0 — Zl Zl \Лхх Ux -f- Axy Vy )>
k=\ l=\
M N
(ni,i\ _ V у ( At. I; k, ln'k, I , ««. /; k, ln'k, l\ /07194
— \ayz /0 = Zj 2j \AxS L)x + Ayy Lfg f, (Й.7.12)
Эти условия могут быть удовлетворены в процессе итерационного
решения общей системы уравнений без учета последовательности
ведения горных работ.
Решение задач большого масштаба
В принципе численная процедура, описанная выше, может быть
использована для сетки в плоскости жилы произвольных раз-
размеров. Однако непосредственное ее применение ведет к вычисли-
вычислительным трудностям, так как приходится решать неразреженную
систему с большим числом алгебраических уравнений. Например,
для сетки элементов 60x60 первые два условия из (8.7.9) и (8.7.11)
дают систему, имеющую 2 X 60 X 60 = 7200 неизвестных, тогда
как третьи условия в (8.7.9), (8.7.11) дают независимую систему,
имеющую 60x60 = 3600 неизвестных. Легко привести примеры
из практики, в которых сетка 60x60 оказывается слишком грубой
для целей проектирования.
Для облегчения решения задач большого масштаба можно
использовать два разных способа численных приближений: спо-
способ «окна» и способ «рассмотрения в целом» (см. [34]). Способ
«окна» полезен, когда изучаемая область сравнительно невелика,
но на ее состояние оказывают влияние горные работы, которые
ведутся в прилежащих значительно больших областях жилы.
Тогда для анализа большой площади применяется грубая сетка,
а получаемое при этом решение служит уточнению начальных на-
напряжений и постановке граничных условий для «окна» в этой
сетке. Затем для окна строится детальное решение при более мел-
мелкой сетке в его пределах и при упомянутых модифицированных
начальных напряжениях и граничных условиях. «Рассмотрение
в целом» заключается в том, что в итерационном процессе решения
системы алгебраических уравнений одновременно используются
две (или более) разные сетки. Мелкая сетка считается погруженной
в грубую сетку. Очередная итерация строится для каждого эле-
элемента мелкой сетки с использованием самой этой сетки на неболь-
небольших расстояниях от рассматриваемого элемента и грубой сетки
для оставшейся площади жилы (см. [50]). Тем самым удается зна-
значительно сократить объем вычислений, не жертвуя деталями и
лишь немного теряя в точности решения.

8.7. Плоские рудные валеоюи 261
600 м
600 м
Рис. 8.42. Распределение сближения кровли и подошвы в пределах протяженной
нерегулярной выработанной области перед частичной отработкой целика и после
иее.
9 Крауч С, Старфилд А.

262 8. Приложения к горной геомеханике и инженерной геологии
600 И
600м
Рис. 8.43. Распределения нормальных напряжений в плоскости жилы перед
частичной отработкой целика и после нее.

8.7. Плоские рудные валеоюи 263
Пример 8.9
В качестве примера, иллюстрирующего решение горной задачи
большого масштаба, рассмотрим результаты, представленные на
рис. 8.42 и 8.43. Нас интересует, что произойдет, если отработать
часть BCDE невынутого целика ABCDEF, выступающего в боль-
большую отработанную область сложного очертания. Детали задачи и
ее решения таковы.
Жила мощностью 1 м имеет угол падения 30°. Рассматривается
область плоскости жилы размером 1800 мх 1800 м. Глубина в цен-
центре этой области составляет 2650 м. Вычисления выполнены с ис-
использованием сетки элементов 60x60 и способа «рассмотрения
в целом», описанного выше. Начальное состояние задано в системе
координат х, у, г (рис. 8.40) напряжениями (ozzH = —0,027 X
глубина (единица измерения МПа) и (аххH = {оуу)а = 0,5 (амH.
Все компоненты начальных касательных напряжений в системе
координат х, у, г равны нулю, поэтому главные начальные на-
напряжения направлены по вертикали и горизонтали. Модуль Юнга
и коэффициент Пуассона для массива горных пород приняты рав-
равными Е = 7-10* МПа и v = 0,2. Деформирование неотработан-
неотработанной части жилы для простоты не учитывалось.
На рис. 8.42 изображены изолинии сближения D'z кровли и
почвы в отработанной области жилы. При сближении, равном 1 м,
происходит полное смыкание кровли и почвы, т. е. они входят
в контакт. Зоны полного смыкания на рисунке затенены. Из
рисунка можно видеть, что наиболее явный эффект отработки уча-
участка BCDE заключается в значительном расширении зоны пол-
полного смыкания. Нагрузка, воспринимавшаяся прежде участком
BCDE целика, отчасти передается через возрастающую поверх-
поверхность контакта кровли и почвы, и потому нет существенной раз-
разницы между изолиниями нормальных напряжений Оц в неотра-
неотработанной части жилы (рис. 8.43).
9*

ДОПОЛНЕНИЕ.
О СТАНОВЛЕНИИ
И РАЗВИТИИ МЕТОДА
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А. М. Линьков
1. ИДЕЙНЫЕ ИСТОКИ МЕТОДА
Читатель, ознакомившийся с книгой, видимо, уже ясно сознает,
какое мощное и эффективное средство для решения прикладных
задач теории упругости представляет метод граничных элементов.
Нетрудно понять, что этот метод в полной мере применим и ко
многим другим задачам физики, электротехники, теплотехники,
гидромеханики, фильтрации — он пригоден во всех случаях, когда
целесообразно понизить геометрическую размерность задачи на
единицу. Если же учесть, что подобное понижение размерности
резко уменьшает расходы на подготовку исходной информации и
проведение вычислений уже в задачах о плоских областях, а для
пространственных объемов оказывается фактически единственным
перспективным путем решения проблем, то становится очевидным,
что использование МГЭ -— магистральное направление в разви-
развитии численных методов для широкого круга задач.
За счет чего же достигается столь значительный выигрыш?
Ответ на этот вопрос может оказаться неочевидным для чита-
читателя данной книги. Ее авторы сознательно фиксируют внимание
преимущественно на конструктивной стороне метода, чтобы сразу
приобщить читателя к практике разработки программ для вы-
вычислительных машин и сразу сделать его активным участником
бурного процесса развития МГЭ. Столь прагматический подход
составляет особенность и существенное достоинство книги —
в ней «математический и численный анализы проводятся предельно
просто» (стр. 8). По этой причине почти не обсуждается связь
результатов с граничными интегральными уравнениями (ГИУ)
и не всегда выписываются ГИУ, дискретные аналоги которых кон-
конструируются и рассматриваются. Естественность и неизбежность
создания метода граничных элементов как прямого следствия боль-
большой и глубокой теории, связанной с ГИУ, остаются вне поля зре-
зрения. Поэтому уместно дать некоторые пояснения.
Источник эффективности МГЭ выясняется при рассмотрении
идейной стороны этого метода. Его суть заключается в том, что
в полной мере используются фундаментальные свойства решений
дифференциальных уравнений с частными производными. Эти
свойства на протяжении полутора столетий были предметом ин-
интенсивных исследований выдающихся математиков, получивших
© «Мир», 1987

1. Идейные истоки метода 265
те результаты, которые легли в основу МГЭ. Можно сказать, что
эффективность МГЭ обеспечена плодотворными интеллектуаль-
интеллектуальными усилиями, затраченными предыдущими поколениями мате-
математиков на глубокое проникновение в свойства дифференциальных
уравнений с частными производными.
Главное в идейной стороне метода — зависимость между зна-
значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и их
значениями на границе. Эта зависимость устанавливается пере-
переходом от дифференциальных уравнений к следующим из них ин-
интегральным соотношениям. Последовательное использование этой
идеи приводит к замене дифференциальных уравнений, требую-
требующих нахождения неизвестных функций во всей области, на экви-
эквивалентные (в определенном смысле) интегральные уравнения,
в которые в качестве неизвестных входят значения функций только
на границе области. Такие уравнения и называются граничными
интегральными уравнениями Х). Поэтому метод граничных эле-
элементов, который по сути представляет собой численную реализа-
реализацию решения таких уравнений, часто называют методом граничных
интегральных уравнений. Оба названия в настоящее время равно-
равноправны и нередко используются специалистами как синонимы.
Хотя подобное обозначение одного понятия разными именами и
создает некоторые неудобства, призывы оставить только одно
из двух названий пока что успеха не имели. Впрочем, похоже,
что в последнее время название «метод граничных элементов»
становится более популярным, чем его двойник «метод граничных
интегральных уравнений» 2>.
J> В математической физике некоторые интегральные уравнения появляются
не как граничные. Так обстоит дело, например, в теории наследственной пол-
ползучести, где рассматриваются интегральные уравнения с переменным пределом
интегрирования (уравнения Вольтерры). В подобных случаях переменная инте-
интегрирования имеет обычно смысл и размерность времени в отличие от ГИУ, где
интегрирование осуществляется по геометрической поверхности (в трехмерном
случае) или по контуру области (в плоских задачах). Интегральные уравнения
появляются иногда и как следствие интегральных преобразований, например
преобразований Лапласа или Фурье. Каждый из этих классов имеет свои осо-
особенности, и все они наряду с ГИУ составляют предмет теории интегральных
уравнений.
а) По происхождению и смыслу название «метод граничных интегральных
уравнений», конечно, шире, чем «метод граничных элементов», поскольку преду-
предусматривает возможность решения уравнения любым из множества известных спо-
способов, а не только с помощью деления границы на элементы с аппроксимацией
функций на них постоянными, полиномами или другими приближенными вы-
выражениями. Можно, например, использовать последовательные приближения,
замену ядра уравнения иа близкое вырождеииое ядро, разложения искомых функ-
функций в ряды и другие способы [1, 2]. Однако практически любой способ решения
требует численного интегрирования, которое, как правило, выполняется с де-
делением границы иа элементы. Это, в частности, очень сближает два главных
способа, используемых для решения ГИУ, — метод последовательных приближе-
приближений и МГЭ в «каноническом виде», т. е. решение ГИУ, сведением к алгебраиче-

266 Дополнение. О становлении и развитии МГЭ
Название «метод граничных элементов», впрямую привязанное
к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли
могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных
задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения
родились и долгое время оставались не средством численного ре-
решения задач, а мощным орудием теоретического исследования про-
проблем математической физики. С их помощью доказывались тео-
теоремы существования и единственности решения краевых задач
в различных классах функций, выяснялся характер сингулярно-
стей в особых точках, изучались спектры операторов, соотно-
соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д.
Эта большая работа оставила заметный след в развитии матема-
математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гиль-
Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Ней-
Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почув-
почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории
интегральных уравнений.
Эти исследования продолжены на Западе в 20-е —30-е годы
Ж- Жиро, Т. Карлеманом, Ф. Нётером, Ф. Трикоми, но с начала
20-х годов центр интенсивных теоретических исследований инте-
интегральных уравнений постепенно перемещается в Советский Союз.
Здесь также в золотой фонд теории внесли вклад ученые, имена
которых с почтением произносятся нынешним поколением:
И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, Ф. Д. Гахов, В. Д. Купрадзе,
С. Г. Михлин, Н. И. Мусхелишвили, В. А. Фок, Д. И. Шерман.
Число оригинальных работ по теории интегральных уравнений
столь велико, что их список оказался бы больше, чем это допол-
дополнение, цель которого — прокомментировать лишь некоторые во-
вопросы истории численной реализации метода. Что же касается
математической теории интегральных уравнений в целом и гра-
граничных интегральных уравнений в частности, то исчерпывающие
данные о первоисточниках можно найти в монографиях [1, 3—10].
2. О СТАНОВЛЕНИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Как уже было отмечено, долгое время работы по ГИУ носили
преимущественно математический характер. Однако нельзя ска-
сказать, что сокращение геометрической размерности на единицу,
ской системе путем предварительного деления границы на куски (элементы)
с аппроксимацией функций на них. По сути в первом случае последовательными
приближениями решается некоторая алгебраическая система, отвечающая вто-
второму способу. Вероятно, отсюда и происходит расширительная трактовка метода
граничных элементов как понятия, эквивалентного методу граничных интеграль-
интегральных уравнений. Данное дополнение следует этой линнн, поскольку пока что
затруднительно предугадать будущие терминологические уточнении.

2. О становлении МГЗ 267
достигаемое переходом к граничным интегральным уравнениям,
не привлекало внимание своими прикладными возможностями.
Даже при отсутствии вычислительной техники, хотя бы отдаленно
сравнимой по возможностям с применяемыми сейчас компьюте-
компьютерами, это преимущество ясно сознавалось и время от времени сти-
стимулировало шаги, направленные на численное решение ГИУ.
Так, еще в 1926 г. Р. Мише [11] получил и рассмотрел в приклад-
прикладном плане ГИУ для плоской задачи теории упругости при задан-
заданных на границе усилиях. Он предложил решать уравнение после-
последовательными приближениями, разбивая при интегрировании
контур на конечное число элементов, и выполнил такое решение
для ряда примеров, иллюстрирующих точность и большие воз-
возможности метода. Несколько позднее, в 1931 г., Е. Вейнель [12],
поддерживая направление Р. Мише на использование ГИУ для
численного решения задач, распространил его результаты на слу-
случай задания на границе смещений и на изгиб пластин.
Отчетливое понимание тех перспектив, которые открывает
сокращение геометрической размерности задачи на единицу, и
предвидение того, что будущее расчетных методов неизбежно
связано с использованием ГИУ, ясно прослеживается и в конце
30-х—начале 40-х годов. Очень показательны в этом отношении
исследования Н. И. Мусхелишвили, который, написав серию ве-
великолепных статей по созданию и исследованию ГИУ для плоской
задачи теории упругости, завершил ее в 1937 г. работой [13],
специально посвященной численному решению задач с помощью
полученных им уравнений, и тут же вдохновил своих учеников
А. Я- Горгидзе и А. К. Рухадзе осуществить такое решение. Их
вышедшая в 1940 г. статья [14] содержит все компоненты того
метода, который ныне именуется «методом граничных элементов».
Используется разбиение границы на элементы, аппроксимация
функций в пределах этих граничных элементов, сведение к алгеб-
алгебраической системе, решение последней с нахождением неизвестных
значений функций на элементах границы, вычисление напряжений
в точках тела. Этим способом в работе решены две задачи — тесто-
тестовая для круглого диска и иллюстративная для лемнискаты. Убеди-
Убедительно показано, что ГИУ могут служить не только целям теоре-
теоретического анализа, но и универсальным средством решения разно-
разнообразных прикладных задач.
В том же 1940 г. вышла еще одна пионерская работа по числен-
численному решению ГИУ для плоской задачи теории упругости [15].
В ней Ц. О. Левина и С. Г. Михлин рассмотрели плоскость с двумя
вырезами. Эта область конформно отображается на круговое
кольцо, для которого известна функция Грина. В результате по-
получено ГИУ, решенное численно путем предварительного разло-
разложения его ядра в ряд и перехода к близкому уравнению с выро-
вырожденным ядром, а последнее решалось сведением к алгебраической

Дополнение. 6 становлений и развитии МГЭ
системе. Заметим, что только счет занял у авторов около полу-
полугода интенсивной работы.
Повторять подобные опыты в эпоху механических арифмомет-
арифмометров могли лишь редкие энтузиасты. Высокая трудоемкость таких
расчетов сильно сдерживала систематическую реализацию этого
направления на практике, но было ясно, что при острой необ-
необходимости решить ту или иную задачу это можно сделать с по-
помощью опробованного метода. Однако в ту пору трудоемкость
расчетов этим методом явно не соответствовала остроте проблем,
решаемых с его помощью.
Причина несоответствия заключалась в малой скорости вы-
выполнения арифметических операций, используемых при численном
интегрировании и при решении систем линейных алгебраических
уравнений. Поэтому были оправданы попытки обойти эти затруд-
затруднения. Так, представлялось целесообразным для повышения ско-
скорости вычисления интегралов использовать в плоских задачах
графомеханические приборы типа интеграторов. Если, кроме того,
не приводить ГИУ к системе алгебраических уравнений, а исполь-
использовать последовательные приближения, то можно исключить
и арифметические операции, необходимые для решения системы.
Такой способ предложен и реализован в 1948 г. Ш. Массоне, ко-
который подробно описал его в своей работе [161, вышедшей в 1949 г.
Это был первый конкретный шаг в постановке расчетов по теории
упругости «на поток». Однако начавшееся примерно в то же время
триумфальное наступление электронных вычислительных машин,
естественно, переключило внимание на эти гораздо более совершен-
совершенные счетные устройства.
Учитывая успехи в развитии машин дискретного действия,
Ш. Массоне в 1957 г. предложил решать с их помощью после-
последовательными приближениями полученное им ГИУ для простран-
пространственной задачи теории упругости [17]. Доминирующая идея
Массоне о необходимости перевода расчетов на индустриальные
рельсы сделала его пионером использования ЭВМ для системати-
систематического решения ГИУ в задачах теории упругости. Уже к 1960 г.
эта идея была им реализована: в докладе [18] детально описана
процедура численного решения ГИУ плоской задачи теории упру-
упругости на ЭВМ последовательными приближениями и приведены
примеры, иллюстрирующие высокую эффективность расчетов.
Обобщая предыдущие работы по численному решению ГИУ на
компьютерах, Ш. Массоне опубликовал в 1965 г. итоговую работу
[19], в которой сочетаются простота изложения, высокий теорети-
теоретический уровень и практическая направленность. Он рассмотрел
сходимость последовательных приближений, отчетливо выделил
алгоритмические черты метода граничных элементов в его «кано-
«каноническом» виде и ярко проиллюстрировал его на примерах задач
о кручении и плоской деформации. Любопытно, что в этой заме-

2. О становлении МГЭ 269
чательной по содержанию и форме работе Массоне, обсуждая
вопросы точности, впервые подметил и объяснил значительную
погрешность, возникающую при решении задачи об изгибе балки,
если использовать МГЭ в простейшем варианте — при кусочно-
линейной аппроксимации функций в пределах элементов1*.
Да и сам факт внимания к ограничениям и недостаткам выгодно
отличает статью |19] от многих последующих работ, в которых под-
подчас преобладает рекламная сторона и редко говорится о том, когда
использованные их авторами варианты МГЭ начинают отказывать.
Задача о кручении примерно тогда же — в начале 60-х годов —
решалась методом граничных элементов на ЭВМ М. Джесуоном
и А. Понтером [20]. В этой работе вопросам точности также уделе-
уделено серьезное внимание.
Появление качественно новой — электронной—вычислитель-
электронной—вычислительной техники устранило характерный для предыдущей эпохи
дисбаланс между трудоемкостью расчетов на основе ГИУ и прак-
практической нуждой в них. Однако, как отмечено, использование
ЭВМ для решения задач на основе теории упругости с помощью
ГИУ началось лишь в 60-х годах, а полный перевод метода гра-
граничных элементов «на поток» пришелся на конец 60-х — начало
70-х годов. Этот процесс был отмечен появлением замечательных
по ясности и глубине изложения работ М. Джесуона с соавторами,
Ф. Риццо, Т. Круза и Д. Шиппи [21—25], за которыми последо-
последовали обильные публикации. Дать их краткий обзор затрудни-
затруднительно, поскольку число работ велико и стремительно возрастает,
а исследования ведутся по многим направлениям. Среди них —
переход к вариантам повышенной точности и надежности, введение
специальных элементов и приемов для особых точек (углов, ребер,
вершин, точек возврата, точек смены граничных условий), овла-
овладение сложными контактными, вязкоупругими, динамическими
и нелинейными задачами, распространение МГЭ на все новые
и смежные области приложений, комбинирование МГЭ с другими
методами 2>.
Авторы монографии [26], подводящей итог первому этапу
развития МГЭ в прикладных науках, в разделе, посвященном исто-
историческому обзору, ограничиваются простым перечислением неко-
некоторых из последних (на 1981 г.) работ. Не повторяя содержащийся
в [26] список литературы, стоит привести данные о работах со-
советских ученых, не попавших в него, но заслуживающих быть от-
отмеченными среди публикаций, относящихся к началу становления
1> Эта задача в том же аспекте обсуждается в § 7.2 данной книги, где наглядно
демонстрируется недостаточность для ее решения простейшей кусочно-линейной
аппроксимации и существенное улучшение результатов при использовании
аппроксимаций высшего порядка.
2> Обсуждение некоторых из этих направлений и соответствующие ссылки
Содержатся в гл. 7 и 8 книги,

270 Пополнение. О становлении и развитии МГЭ
МГЭ как практического средства решения задач механики дефор-
деформируемых твердых тел [27—40]. Развитие этих работ привело
к созданию комплексов отечественных прикладных программ,
реализующих МГЭ применительно к проблемам строительства,
машиностроения, горного дела и механики разрушения.
3. СРАВНЕНИЕ МГЭ И МКЭ
Оглядываясь назад и вспоминая, что широкое использование ГИУ
началось лишь в 70-х годах, нужно признать, что развитие МГЭ
поначалу не было быстрым, особенно в сравнении с гораздо более
ранним и стремительным взлетом другого универсального рас-
расчетного метода, бывшего главным и преуспевающим конкурентом
МГЭ, — метода конечных элементов (МКЭI).
Причины задержки в развитии метода граничных элементов
интересны и поучительны.. Казалось бы, теоретическая оснащен-
оснащенность метода была столь велика, что оставалось немедленно пере-
переложить его на язык вычислительных машин и начать массовое про-
производство расчетов. Однако, как это ни покажется парадоксаль-
парадоксальным, именно очень высокий математический уровень работ по
ГИУ не способствовал росту его популярности. Дело в том, что,
как справедливо отмечено в [26, стр. 14 J, работы по теории ГИУ
написаны «на строгой математической основе, которая не вполне
знакома большинству ученых прикладников». Многим инженерам,
соприкасающимся с численной реализацией методов решения при-
прикладных задач, эти работы вовсе недоступны. Но ведь именно
инженеры и ученые-прикладники, а не математики-теоретики
сразу же оккупировали вычислительные машины с целью получить
на них ответы на практические вопросы. Большинство из них были
прекрасно знакомы с методами сопротивления материалов и стро-
строительной механики, в том числе и с матричными методами. Поэ-
Поэтому метод конечных элементов, возникший как переложение для
ЭВМ матричных методов, использовавшихся при расчетах стер-
стержневых и балочных систем, органично, быстро и легко вошел
в практику расчетов. Его первоочередное развитие и популярность
были предопределены профессиональной и психологической под-
подготовкой потребителей.
Метод граничных элементов оказался в совершенно ином
положении. Его идеи лежат в стороне от технических дисциплин,
изучаемых в вузах. Естественно, что они не могли сразу овладеть
массами и предпочтение при расчетах напряжений и деформаций
в твердых телах было отдано МКЭ. Поэтому широкая численная
Х) Сходство аббревиатур МГЭ и МКЭ не должно мешать пониманию прин-
принципиальной разницы между методами. В первом неизвестными служат значения
искомых функций только на границе области, а во втором — во всей области,

3. Сравнение МГЭ и МКЭ 271
реализация МГЭ началась примерно на десятилетие позже, чем
интенсивные работы по внедрению МКЭ. Инженеры к тому вре-
времени уже привыкли с помощью МКЭ систематически решать дву-
двумерные задачи, в полной мере оценили достоинства расчетов на
ЭВМ, почувствовали вкус к таким расчетам и главное ощутили
потребность проводить их и для трехмерных областей. А здесь
уже обходиться без использования метода граничных элементов,
снижающего геометрическую размерность задач на единицу, было
совершенно неразумно, и задержка в его развитии сменилась
бурным прогрессом, очевидцами которого мы являемся и
сейчас.
Конечно, можно привести и другие причины того, что на пер-
первых порах МКЭ развивался гораздо быстрее, чем МГЭ, — разре-
разреженность матриц, их симметричность, — но они не имели такого
влияния, как названная выше причина, суть которой можно вы-
выразить формулой: «Пользователь всегда прав». Подтверждением
этому служит не только очевидная важность в любом деле пред-
предварительной психологической и профессиональной подготовки,
но и косвенные свидетельства. Так, представляется закономер-
закономерным, что специалисты по гидромеханике, не испытавшие активного
воздействия идей строительной механики, занялись систематиче-
систематической численной реализацией метода граничных элементов (в част-
частности, в форме метода дискретных вихрей, подробно описанного
в [41 ]) несколько раньше, чем специалисты в области деформиру-
деформируемого твердого тела, и МКЭ не имел в гидромеханике столь зна-
значительного преимущества по сравнению с МГЭ, как это было, на-
например, в теории упругости.
Сейчас метод граничных элементов по своей популярности
почти догнал метод конечных элементов. Этому способствуют
следующие его преимущества:
— уменьшение, особенно в трехмерных задачах, объема вы-
вычислений, связанное с тем, что дискретизируется не вся рассматри-
рассматриваемая область, а только ее граница;
— значительное упрощение разбивки на элементы и сокраще-
сокращение времени на подготовку входной информации;
— возможность вычислять в линейных задачах значения иско-
искомых величин не только в узлах, но и в любой внутренней точке
области, не прибегая к аппроксимациям; это особенно важно для
зон с большими градиентами функций;
— простота решения задач для бесконечных областей;
— сравнительная простота и естественность решения разнооб-
разнообразных контактных задач, в том числе задач о трещинах, системах
слоев и блоков, обусловленная тем, что в прямых вариантах МГЭ
легко связывать усилия и разрывы смещений на контактах по-
подобно тому, как это делается в § 8.2 и 8.4.

272 Дополнение. О становлении и развитии МГЭ
Не следует, однако, думать, что МГЭ полностью вытеснит
МКЭ с арены расчетов. МКЭ в свою очередь имеет важные досто-
достоинства. Главными из них в сравнении с МГЭ являются
— разреженность и симметричность матрицы;
— естественный охват задач с непрерывными или частыми
изменениями свойств среды;
— больший набор средств для учета нелинейных эффектов в
элементах объема среды, что связано с возможностью использовать
для этого не только последовательные приближения — такая
возможность есть и при использовании МГЭ, — но и перестройку
локальных матриц жесткости (или податливости).
К этому нужно добавить уже упоминавшуюся легкость воспри-
восприятия МКЭ инженерами, его привычность, высокий уровень чис-
численного развития и хорошую оснащенность коммерческими про-
программами (в том числе программами с элементами высших поряд-
порядков).
Сказанное позволяет заключить, что разумным направлением
в развитии МКЭ и МГЭ должно быть не противопоставление
этих методов, а использование достоинств каждого из них. Это
можно делать, выбирая из арсенала имеющихся программ МКЭ
и МГЭ ту или те, которые лучше соответствуют особенностям кон-
конкретной проблемы, и применяя их в комбинациях при рассмотре-
рассмотрении разных аспектов задачи в разных масштабах. Другой очень
важный и перспективный способ объединять достоинства МКЭ
и МГЭ состоит в создании специальных гибридных алгоритмов,
совмещающих их идеи. Так появляются «суперэлементы», кото-
которые можно рассматривать как объединения граничных элементов,
а можно и трактовать как разновидности конечных элементов.
Подробное обсуждение подобных алгоритмов содержится в [26].
В целом в настоящее время программная оснащенность МГЭ
и МКЭ выравнивается и явственно изживает себя противопостав-
противопоставление этих замечательных средств решения задач, уступая место
более рациональной тенденции к объединению их достоинств.
4. О КЛАССИФИКАЦИИ ВАРИАНТОВ МГЭ
В данной книге варианты метода граничных элементов разделены
на три группы: прямой, непрямой и разрывных смещений. В пря-
прямом варианте, называемом в книге прямым методом граничных
уравнений (гл. 6), на границе непосредственно связываются ме-
механические величины — усилия и смещения. Часть этих величин
(например, усилия) задана, а значения энергетически сопряжен-
сопряженных переменных (в частности, смещений) определяются на элемен-
элементах границы при решении системы линейных алгебраических
уравнений, отвечающей приближенно граничному интегральному
уравнению. Последнее, как упоминалось, не всегда или не сразу

4. О классификации вариантов МГЭ 273
выписывается в явной форме. Отыскав значения неизвестных ве-
величин в точках границы, легко вычислить напряжения, деформа-
деформации и смещения в любой внутренней точке области.
В непрямом варианте, называемом в книге методом фиктивных
нагрузок (гл. 4), роль неизвестных играют уже не реальные сме-
смещения или усилия в точках границы, а некоторые функции, не
имеющие прямой физической интерпретации, называемые плот-
плотностями потенциалов или фиктивными нагрузками. Найдя их из
дискретного аналога ГИУ, как и в прямом методе, нетрудно под-
подсчитать величины, характеризующие напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние внутри области. Довольно просто восстанавлива-
восстанавливаются и значения не заданных на границе физических величин.
Вариант разрывных смещений (гл. 5), как подчеркивают авторы
книги в § 5.4, в зависимости от класса задач имеет разную трак-
трактовку. Он примыкает к непрямому варианту в том отношении, что
определяемые в нем «разрывы смещений» сами по себе в плоских
задачах, отличных от задач о трещинах, не реализуются и пред-
представляют собой некоторые фиктивные разрывы. Их можно трак-
трактовать как взаимные смещения границ двух изолированных друг
от друга тел: данного тела и тела с теми же упругими свойствами,
дополняющего его до бесконечной области без вырезов, причем
считается, что в соответствующих точках границ приложены рав-
равные по величине и противоположные по направлению усилия.
Конечно, при этом необходимо принять меры, чтобы исключить
жесткое взаимное смещение упомянутых тел, т. е. их поступатель-
поступательное движение и поворот, что достигается закреплением некоторых
точек (см. § 5.7). Реальные смещения границы данного тела на-
находятся по найденным при решении ГИУ разрывам с помощью
специальных вычислений.
С другой стороны, понятно, что вариант разрывных смещений
становится разновидностью прямого метода в задачах о трещинах
в бесконечном пространстве. Этому случаю отвечает полное сцеп-
сцепление двух упомянутых тел повсюду, за исключением участков,
соответствующих трещинам. Тогда разности смещений перестают
быть «фиктивными», а приобретают смысл фактических взаимных
смещений берегов трещин, т. е. отвечают физическим величинам,
реализующимся в изучаемой задаче.
Отчетливый физический смысл разрывы смещений приобретают
и в более общем случае системы тел, произвольным образом взаи-
взаимодействующих на границах. Границы соприкосновения (конта-
(контакты) можно рассматривать как трещины, полностью разделяющие
тела, а условия взаимодействия связывают одинаковые усилия
в общих точках границ с взаимными смещениями. Здесь вариант
разрывных смещений также оказывается разновидностью прямого
варианта МГЭ — все граничные значения имеют ясный физический
смысл.

274 Дополнение. О становлении и развитии МГЭ
Этот взгляд становится особенно ясным, если рассмотреть си-
систему взаимодействующих упругих тел с произвольными механи-
механическими свойствами [42]. Получающиеся при этом уравнения
представляют обобщение (в комплексной форме) соотношений для
случая одинаковых упругих свойств, используемых авторами дан-
данной книги. Как частные случаи они охватывают задачи о матрице
с включениями, об изолированных трещинах и, конечно, все вну-
внутренние и внешние, основные и смешанные задачи.
В классификации, принятой П. Бенерджи и Р. Баттерфилдом
126], вариант разрывных смещений не рассматривается, но наряду
с прямым и непрямым вариантами МГЭ выделяется полупрямой
вариант. Он занимает как бы промежуточное положение, поскольку
хотя в этом варианте в ГИУ входят величины, не реализующиеся
физически, они имеют смысл функций напряжений, по которым
сами напряжения определяются просто дифференцированием.
Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в прие-
приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений
и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника
же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов,
решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для вну-
внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и мно-
многие элементы программ, реализующих любой вариант, одина-
одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для
метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано
в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель
ощутил единый «модульный» характер вычислительных прог-
программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства
вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и
вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень при-
привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой —
тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязае-
осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится осо-
особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения
усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополни-
дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а та-
также в контактных задачах, подобных рассмотренным в § 8.2,
8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с вза-
взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С дру-
другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются
вычисления на заключительном этапе — при нахождении напря-
напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по
найденному решению ГИУ.
Каждый из вариантов в свою очередь может быть разделен на
подклассы в зависимости от вида используемого в нем решения
(как правило, сингулярного) системы дифференциальных урав-
уравнений рассматриваемой задачи. Сведения о подобном подразделе-

5. Состояние и перспективы МГЭ 275
нии приведены в дополнении Р. В. Гольдштейна к сборнику [43].
Там же кратко обсуждаются связи ГИУ и конечно-разностных
методов. Более подробно взаимные соотношения и связи этих
н других методов (Бубнова, Трефтца, конечных элементов, момен-
моментов) рассмотрены в [44 ] как следствия обобщенной трактовки
метода взвешенных остатков. На той же основе в [44 ] представлена
зависимость между прямым и непрямым вариантами. Некоторые
дополнительные сведения о связи с МКЗ приведены в [26].
5. СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ МГЭ
К настоящему времени закончен первый важный этап развития
метода граничных элементов как средства решения прикладных
задач на ЭВМ. Основные его итоги подведены в монографии [26].
Суммируя эти итоги, можно заметить, что он ознаменовался,
во-первых, систематизацией и представлением теоретических и
вычислительных основ МГЭ в форме, доступной для очень широкого
круга специалистов. Во-вторых, даны многочисленные яркие
примеры, иллюстрирующие большие возможности метода в са-
самых разных сферах приложений в плоских и пространственных,
линейных и нелинейных, статических и динамических задачах
для однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных тел.
В-третьих, достигнуто признание практиков, которые теперь
быстро овладевают методом, стремятся его использовать, расши-
расширяют его применение и не отдают уже безусловного предпочтения
методу конечных элементов. В-четвертых, начат переход к хорошо
организованным коммерческим программам второго поколения,
которые специально предназначены для инженеров-расчетчиков.
И наконец, что также немаловажно, на смену первоначальной
эйфории от успехов метода вместе с попытками применить его
к очень сложным задачам, ранее вовсе не поддававшимся решению,
пришло осознание необходимости усилить проработку его числен-
численных аспектов с тем, чтобы выявить и классифицировать условия,
в которых происходит падение точности и устойчивости счета, и
создать арсенал вычислительных приемов для преодоления типич-
типичных затруднений.
Современное состояние метода определяет и его перспективы.
Безусловно, он скоро станет для инженеров привычным средством
проведения расчетов. Появятся тщательно отработанные, простые
в использовании и доступные пакеты прикладных программ вто-
второго поколения. Одновременно, вероятно, будет продолжаться
расширение сферы применения МГЭ с охватом все более сложных
задач.
Усложнения порождаются двумя факторами. Первый заклю-
заключается в увеличении «объема» задач вследствие желания рассмат-
рассматривать тела сложных форм, состоящие из значительного числа

276 Дополнение. О становлении и развитии МГЭ
элементов (блоков). Даже такое чисто механическое увеличение
«объема» значительно осложняет задачу, поскольку растет число
неизвестных со всеми вытекающими последствиями: ростом раз-
размеров матрицы, увеличением времени счета, а главное накопле-
накоплением ошибок вычислений, снижением устойчивости и надежности
результатов. Второй фактор обусловлен стремлением использо-
использовать все более совершенные модели среды и контактного взаимо-
взаимодействия с тем, чтобы полнее отразить реальное поведение тел
и их систем. Здесь осложнения вызываются тем, что улучшенное
описание, как правило, не дается даром — растет сложность
определяющих соотношений и контактных условий.
Оба осложняющих фактора нередко выступают во взаимодей-
взаимодействии, и тогда задачи становятся особенно трудными. Среди них
следует прежде всего выделить контактные задачи о системах
блоков при сложных, нетрадиционных условиях на границах
взаимодействия, учитывающих необратимые контактные подвижки,
разупрочнение и уплотнение либо разуплотнение на контактах.
Подобные проблемы практически недоступны для других мето-
методов, тогда как с помощью МГЭ их можно пытаться решать, по-
поскольку МГЭ в прямом варианте разрывных смещений по самой
своей структуре подходит для их решения — в ГИУ входят
именно те величины, которые связываются контактными усло-
условиями. Поэтому можно ожидать прогресса в численном решении
этих проблем и задач смежного класса — так называемых «задач
приведения», состоящих в нахождении эффективных макроскопи-
макроскопических характеристик неоднородных сред по свойствам состав-
составляющих их элементов (блоков) и контактов. Вероятно также
продвижение в задачах о плоских и пространственных системах
блоков, лишь частично разделенных трещинами, в задачах о по-
потере устойчивости при разупрочнении материала внутри блоков
и при срывах сцепления на контактах — эти проблемы очень
важны для горной геомеханики и геотектоники. Вполне возмож-
возможным будет развитие МГЭ и в приложениях к задачам нелинейной
ползучести, распространения волн в нелинейных и неоднородных
средах, при исследовании разрушения с учетом микроструктуры
материала и в других областях. Для решения большинства этих
проблем окажется полезным упоминавшееся объединение МГЭ
и МКЭ.
Многие из читателей этой книги, по-видимому, будут пользо-
пользоваться методом граничных элементов в своей практической работе.
При этом важно самым внимательным образом относиться к воп-
вопросу о том, где исчерпываются возможности того или иного кон-
конкретного варианта решения с помощью МГЭ, как их расширить
и какие усовершенствования применять. Дать содержательные
ответы, гарантирующие успех в общем случае, конечно, нереально.
Однако уже приобретенный опыт диктует некоторые принципы,

Литература 277
пренебрежение которыми снижает шансы на успех. Они могут
показаться банальными, но их тем не менее нелишне повторить:
— вопросы точности при реализации МГЭ очень важны;
пренебрежение ими довольно скоро заставляет расплачиваться
за это;
— очень важно также тщательно прорабатывать математи-
математическую сторону, касающуюся собственных функций, асимптотик
и аппроксимаций; без этого решение нередко получается неудов-
неудовлетворительным;
— с другой стороны, не менее важно учитывать в алгоритме
физическую сторону рассматриваемой задачи; без этого также
оказывается невозможным получать полезные результаты в сколь-
сколько-нибудь сложных случаях; отсюда ясно, что не приходится
рассчитывать на одну универсальную программу МГЭ, способ-
способную решать все задачи; целесообразно создавать пакеты про-
программ, ориентированных на отдельные классы задач и учитываю-
учитывающих их физические особенности.
Можно отметить и частные рекомендации:
— все, что можно вычислить аналитически, как правило,
целесообразно вводить в программу в виде аналитических зави-
зависимостей;
— следует использовать арифметику повышенной точности;
— благоприятно сказывается переопределение систем с по-
помощью интегральных балансовых соотношений, подобных тем,
которые выражают равенство нулю главного вектора сил, прило-
приложенных к телу.
Конечно, эти советы носят общий характер, и надо немало по-
потрудиться и хорошо вникнуть в существо конкретных задач,
чтобы с успехом воспользоваться ими. Будем надеяться, что чи-
читатели данной книги, которым предстоит не только применять
на практике готовые программы, реализующие МГЭ, но и разви-
развивать сам метод, сумеют это сделать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михлин С. Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым пробле-
проблемам механики, математической физики и техники. —М.—Л.: Гостехиздат,
1947.
2. Канторович Л. В., Крылов В. Н. Приближенные методы высшего анализа.
Изд. 5-е. — М.: Физматгиз, 1962.
3. Lalescu T. Introducere la teoria ecuatiilor integrate. 2-е. Bucuresti, Editura
Academici Republicii Populare Romine, 1956. [Имеется перевод 1-го изд.:
Lalescu Т. Introduction a'la theorie des equations integrales. — Paris: Herrmann
et Fils, 1912.]
4. Vivanti G., Schwank F. Elemente der Theorie linearen Integralgleichungen.—
Hannover: Helwingsche Verlagsbuchhaundlung, 1929.
5. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные урав-
уравнения. — М.: Физматгиз, 1962.
6. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Изд. 3-е, —
М.: Наука, 1968.

278 Дополнение. О становлении и развитии МГЭ
7. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости. Изд. 5-е.—М.: Наука, 1966.
8. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые
граничные задачи. Изд. 2-е.—М.: Наука, 1970.
9. Купрадзе В. Д., Гегелия Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В.
Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.
Ред. В. Д. Купрадзе. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1976.
10. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. —
М.: Наука, 1981.
11. Miche R. Le calcul pratique de problemes elastiques a deux dimensions par
la methode des equations integrales. — In: Proc. Second Int. Congress Tech.
Mech. — Zurich, 1926, p. 126—130.
12. Weinel E. Die Integralgleichung des ebenen Spanungszustandes und der Pla-
ttentheorie. — ZAMM, 1931, Bd. 11, No. 5, S. 349—360.
13. Мусхелишвили Н. И. О численном решении задачи теории упругости. —
Труды Тбилисского математического института, 1937, т. 1, с. 83—87 (на
груз, яз., резюме на русском).
14. Горгидзе А. Я-, Рухадзе А. К. Об одном численном решении интегральных
уравнений плоской задачи теории упругости. — Сообщения Груз, филиала
АН СССР, 1940, т. 1, № 4, с. 255—258.
15. Левина Ц. О., Михлнн С. Г. К вопросу о расчете напряжений в междукамер-
иых целиках. — Труды Сейсмологического института АН СССР, 1940, № 94,
35 с.
16. Massormet Ch. Resolution graphomecanique des problemes generaux de l'elasti-
l'elasticite plane. — Bull. G. E. R. E. S. Liege, 1949, 4, No. 3, p. 3—183.
17. Massonnet Ch. Solution generate du probleme aux tensions de l'elasticite tri-
dimensionnelle. — In: Proc. Ninth Cong. Appl. Mech. — Brussels, 1957,
p. 168—180.
18. Massonnet Ch., Save M., Mazy G., Tubaux G. Application des machines a cal-
culer electroniques a la solution du probleme aux tensions de l'elasticite
plane. — Sixth Congr. of the Int. Assoc. for Bridge and Structural Eng.
Stockholm, 1960, Final report, Zurich, 1961, p. 95—104.
19. Massonnet Ch. Numerical use of integral procedures. — In: Stress Analysis,
ed. by О. С Zienkiewicz and G. S. Holister.—London: Wiley, 1965, p. 198—235.
20. Jaswon M. A., Ponter A. P. An integral equation method for a torsion pro-
problem. — Proc. Roy. Soc, Ser. A, 1963, 273, p. 237—246.
21. Jaswon M. A., Maiti M., Symm M. Numerical beharmonic analysis and some
applications. — Int. J. Solids and Structures, 1967, 3, p. 309—332.
22. Rizzo F. J. An integral equation approach to boundary value problems of classi-
classical elastostatics. — Quart. Appl. Math., 1967, 25, p. 83—95.
23. Rizzo F. J., Shippy D. J. A formulation and solution procedure for the general
non-homogeneous elastic inclusion problem. — Int. J. Solids and Structures,
1968, 4, p. 1161—1179.
24. Cruse T. A., Rizzo F. J. A direct formulation and numerical solution of the
general transient elastodynamic problem. Part I. — J. Math. Anal. Applic,
1968, 22, p. 244—259.
25. Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics. — Int.
J. Solids and Structures, 1969, 5, p. 1259—1274.
26. Benerjee P. K-, Butterfield R. Boundary element method in engineering
science. — London: McGraw-Hill, 1981. [Имеется перевод: Бенерджи П.,
Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. — М.:
Мир, 1984.]
27. Александров А. Я. Об одном приближенном методе решения плоских кон-
контактных задач теории упругости. — Труды Новосибирского института ин-
инженеров железнодорожного транспорта, 1955, вып. 11, с. 5—28.
28. Александров А. Я. Решение основных трехмерных задач теории упругости
для тел произвольной формы путем численной реализации метода интеграль-

Литратура 279
ных уравнений. — Труды Новосибирского института инженеров железно-
железнодорожного транспорта, 1972, вып. 137, с. 5—10; см. также: Докл. АН СССР,
1973, т. 208, № 2, с. 291—294.
29. Александров А. Я. Решение основных задач теории упругости путем числен-
численной реализации метода интегральных уравнений. — В кн.: Успехи механики
деформируемых сред. — М.: Наука, 1975, с. 3—24.
30. Верюжский Ю. В. Решение на ЭВМ интегральных уравнений изгиба пла-
пластин. — Аннот. докладов V Всес. конфер. по применению ЭЦВМ в строитель-
строительной механике. — Тбилиси, 1968.
31. Верюжский Ю. В. Применение метода потенциала для решения задач теории
упругости. — Киев, изд. Киевского инж.-строит, института, 1975.
32. Линьков А. М. Численное решение задачи об определении напряжений
в окрестности выработки в пласте. — В сб.: Исследования по упругости и
пластичности, 1968, вып. 7, с. 107—ПО.
33. Петухов И. М., Линьков А. М., Сидоров В. С, Фельдман И. А. Теория за-
защитных пластов. — М.: Недра, 1976.
34. Копейкин Ю. Д. Прямое решение краевых задач теории упругости для тел
вращения и плоских тел при использовании метода потенциала. — Проек-
Проектирование металлических конструкций ЦИНИС Госстроя СССР, 1970,
вып. 7B7), с. 62—70.
35. Копейкин Ю. Д., Садовская Р. А., Алеутдинов М. И. Расчет упругих эле-
элементов конструкций по методу бигармоиических потенциалов. — Проекти-
Проектирование металлических конструкций ЦИНИС Госстроя СССР, 1971,
вып. 12C2), с. 5—16.
36. Гольдштейн Р. В., Савова Л. Н. Об определении раскрытия и коэффициента
интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой
плоскости. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1972, № 2, с. 69—78.
37. Гольдштейн Р. В., Клейн И. С, Эскин Г. И. Вариационно-разностный метод
решения некоторых интегральных и интегральио-дифференциальиых урав-
уравнений трехмерных задач теории упругости. — М.: Институт проблем меха-
механики АН СССР, Препринт № 33, 1973.
38. Зиновьев Б. М. Один приближенный метод расчета тел с разрезами. — Труды
Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта, 1972,
вып. 137, с. 105—125.
39. Перлин П. И. Об одном методе вычисления сингулярных интегралов и его
применении к решению сингулярных интегральных уравнений пространствен-
пространственной теории упругости. — Всес. школа по теорет. исследованиям методом
механики сплошных сред. Тезисы докладов, 1973.
40. Перлин П. И. Численное решение сингулярных интегральных уравнений
основных задач теории упругости. — Изв. АН СССР. Механика твердого
тела, 1975, № 3, с. 109—111.
41. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных
интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упру-
упругости, электродинамике.—М.: Наука, 1985.
42. Линьков А. М. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однород-
кусочно-однородной линейно упругой среды. — Прикладная математика и механика, 1983,
т. 47, вып. 4, с. 644—651.
43. Boundary integral equation methods: computational applications in applied
mechanics. Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New-York, 1975. [Имеется
перевод: Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные ас-
аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо.—М.:
Мир, 1978.]
44. Brebbia С. A., Walker С. Boundary element techniques in engineering. — Lon-
London: Butterworth, 1980. [Имеется перевод: Бреббия К., Уокер С. Применение
метода граничных элементов в технике. — М.: Мир, 1982.]

ПРИЛОЖЕНИЕ А.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
ДЛЯ ДВУМЕРНОГО МЕТОДА
ФИКТИВНЫХ НАГРУЗОК (TWOFS)»
Это приложение дает описание вычислительной программы для
метода фиктивных нагрузок. Программа называется TWOFS
и основана на результатах гл. 4. Ниже даны рабочая инструкция
для TWOFS, распечатка программы на языке Фортран и пример
расчета.
АЛ. ТЕРМИНОЛОГИЯ ДЛЯ ЗАДАНИЯ ВХОДНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
1. Описание граничных контуров
Все граничные контуры аппроксимируются прямолинейными
отрезками, примыкающими друг к другу. Каждый отрезок гра-
границы (или часть отрезка) делится на NUM подотрезков — гранич-
граничных элементов. Места расположения элементов задаются путем
указания координат х, у начальной (XBEG, YBEG) и конечной
(XEND, YEND) точек отрезка, а также значения NUM (NUM ^
:зг 1). По этим данным в программе автоматически рассчитываются
координаты центров, длины и ориентации граничных элементов.
Число граничных отрезков обозначено через NUMBS. Про-
Программа TWOFS допускает использование не более 50 граничных
элементов; поэтому пользователь должен обеспечить, чтобы сум-
суммарное число элементов, связанных с NUMBS отрезков, не пре-
х> Все программы были опробованы на отечественных машинах серии ЕС
В. В. Зубковым и М. А. Тлеужановым, которые установили, что они безукориз-
безукоризненно работают при единственном небольшом изменении, связанном с особен-
особенностью наших трансляторов. В операторе условного перехода
GO TO A20, 150, 130, 140), KOD (N),
стоящем перед меткой 120, нужно заменить зависящую от индекса (N) перемен-
переменную KOD (N) на не зависящую от него переменную (обозначим ее KODEN).
Для этого упомянутый оператор заменяется двумя операторами — присвоения
и условного перехода:
KODEN = KOD (N),
GO TO A20, 150, 130, 140), KODEN.
Других изменений при использовании машин серии ЕС программы ие требуют. —
Прим. ред.

А.1. Терминология для задания входной информации 281
вышало 50. В целом лучшие результаты получаются, когда все
граничные элементы имеют приблизительно одинаковую длину.
При задании координат х, у концов граничного отрезка необ-
необходимо учитывать правило обхода границы (см. § 4.6): замкнутый
контур обходится против хода часовой стрелки, если рассматри-
рассматриваемая область лежит вне контура (задача о полости), и по ходу
часовой стрелки, если рассматриваемая область лежит внутри
контура (задача о конечном теле).
2. Задание «полевых точек»
Полевыми точками являются заданные внутри рассматриваемой
области точки (т. е. точки не на границе), в которых вычисляются
смещения и напряжения. Полевые точки, отстоящие друг от друга
на равном расстоянии вдоль прямой линии, задаются путем ука-
указания координат х, у начала (XBEG, YBEG) и конца (XEND,
YEND) этой линии, а также числа промежуточных точек (NUMPB)
вдоль линии. Число прямолинейных отрезков, используемых для
задания мест расположения полевых точек, обозначено как
NUMOS. Программа TWOFS не содержит каких-либо ограниче-
ограничений на число NUMOS, и, следовательно, число полевых точек
произвольно. Вместе с тем, программа устроена так, что в ней
пропускаются полевые точки, лежащие на расстояниях, мень-
меньших длины одного элемента от центра граничного элемента,
поскольку на таких расстояниях вычисленные результаты не-
неточны.
3. Симметрия
Если в рассматриваемой задаче имеются условия симметрии, то
объем входных данных, необходимых для этой задачи, может
быть сокращен. Для задания условий симметрии используется
параметр KSYM, который определяется исходя из рис. АЛ,
а именно:
KSYM = 1 означает, что условия симметрии отсутствуют или
не накладываются;
KSYM = 2 означает, что линия х = XSYM, параллельная
оси у, служит осью симметрии;
KSYM = 3 означает, что линия у = YSYM, параллельная
оси х, служит осью симметрии;
KSYM = 4 означает, что обе линии х = XSYM иг/ = YSYM
служат осями симметрии.
Если задача имеет одну ось симметрии (KSYM = 2 или KSYM=
= 3), граничные элементы должны быть определены только для
половины граничного контура; симметрично расположенные отра-
отраженные элементы порождаются и учитываются в программе
TWOFS автоматически в соответствии с процедурой, описанной

282 Приложение А. Вычислительная программа TWOFS
в § 4.8. Аналогично, если задача имеет две оси симметрии K.SYM =
= 4), элементы должны быть определены только для четверти
контура.
Программа TWOFS имеет два ограничения, связанные с рас-
расположением граничных элементов в задачах, обладающих сим-
KSYM = 1
KSYM=2
KSYM=3 x KSYM = 4 x
Рис. A.I. Задание условий симметрии при помощи параметра KSYM.
метрией: граничные элементы не могут лежать вдоль линии сим-
симметрии и не могут пересекать ее. Например, если один конец
элемента лежит на линии симметрии, то другой должен лежать
вне этой линии. Полевые точки, однако, могут быть выбраны
вдоль линии симметрии.
4. Единицы измерения
Программа TWOFS позволяет работать с любой последовательной
системой единиц измерения (например, в системе СИ). Входные
значения для граничных смещений (если они есть) должны быть
заданы в тех же единицах измерения, которые использовались
при задании координат точек, а входные значения напряжений

А.2. Обозначения входных данных 283
на границе и начальных напряжений (если они имеются) — в тех же
единицах, в которых задается модуль Юнга. Вычисленные зна-
значения смещений и напряжений тогда будут иметь соответствую-
соответствующие единицы измерения.
А.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ ВХОДНЫХ ДАННЫХ
Программа TWOFS построена таким образом, что все необходимые
входные данные вводятся через перфокарты. Необходимы сле-
следующие шесть групп перфокарт:
П. к. 1. FOPMAT свободный; на первых 80 позициях одной пер-
перфокарты задается необходимая информация, характе-
характеризующая рассматриваемую задачу.
П. к. 2. FOPMAT C14); на одной перфокарте необходимо задать
следующие контрольные параметры.
NUMBS — число прямолинейных граничных отрезков
(каждый из них содержит не менее одного
граничного элемента), используемых для за-
задания граничных контуров,
NUMOS—число других отрезков (не на границе),
вдоль которых вычисляются смещения и
напряжения:
1, условия симметрии не накладываются,
2, х — XSYM служит осью симметрии,
KSYM =
3, у = YSYM служит осью симметрии,
4, х = XSYM и у = YSYM служат осями
симметрии.
П. к. 3. FOPMAT (F6.2, El 1.4, 2F12.4); на одной перфокарте
необходимо задать упругие постоянные и положения
осей симметрии (если они имеются).
PR — коэффициент Пуассона (v),
Е—модуль Юнга (Е),
XSYM — положение оси симметрии, параллельной оси у
(XSYM игнорируется, если KSYM = 1 или 3
на перфокарте 2),
YSYM — положение оси симметрии, параллельной оси х
(YSYM игнорируется, если KSYM = 1 или 2
на перфокарте 2).
П. к. 4. FORMAT CE11.4); на одной перфокарте необходимо
задать начальные напряжения (если они имеются) в рас-
рассматриваемой области.
РХХ = (аххH,
PYY = (аууH,
PXY[= КД,.

284 Приложит А. Вычислительная программа TWOFS
П. карта (ы) 5. FORMAT A4, 4F12.4, 14, 2Е11.4); на NUMBS
перфокартах необходимо задать положения и
граничные условия на граничных элементах.
NUM — число равномерно расположенных гра-
граничных элементов вдоль прямолиней-
прямолинейного отрезка; все элементы в пределах
отрезка должны иметь одинаковые гра-
граничные условия,
XBEG — координата х начала отрезка,
YBEG —¦ координата у начала отрезка,
XEND — координата х конца отрезка,
YEND — координата у конца отрезка,
1, если заданы 0„ и ап,
KODF _ 2> если заданы м„ и ип,
^ 3, если заданы us и ап,
I 4, если заданы 0„ и «п,
BVS — полное касательное напряжение @S)
или касательное смещение («„),
BVN — полное нормальное напряжение @П)
или нормальное смещение (ип).
П. карта (ы) 6. FORMAT DF12.4, 14); на NUMOS перфокартах
необходимо задать положения внутренних точек
рассматриваемой области, в которых вычисляются
смещения и напряжения.
XBEG — координата х первой точки на линии,
YBEG — координата у первой точки на линии,
XEND — координата х последней точки на
линии,
YEND — координата у последней точки на
линии,
NUMPB — число равноотстоящих точек между
заданными первой и последней точ-
точками.
А.З. РАСПЕЧАТКА ПРОГРАММЫ TWOFS
НА ЯЗЫКЕ ФОРТРАН
Программа TWOFS содержит головную программу и три под-
подпрограммы. Головная программа управляет всеми входными
и выходными операциями, а также содержит логические опера-
операции, необходимые для определения положения граничного эле-
элемента, построения системы алгебраических уравнений и вычис-
вычисления неизвестных граничных параметров (смещений или усилий),
а также смещения и напряжения во всех внутренних точках через
компоненты фиктивных нагрузок на всех граничных элементах,
формулы D.5.8) и D.5.9) реализуются в подпрограмме COEFF,

А.3. Распечатка программы TWOFS на языке Фортран 285
а результаты используются в головной программе для'вычисле-
ния коэффициентов влияния смещений;и напряжений для гра-
граничных и внутренних (полевых) точек. Подпрограмма INITL
используется в начале этих вычислений в случаях, когда учиты-
учитываются условия симметрии, так что воображаемые граничные
элементы порождаются внутри программы. Операции с вообра-
воображаемыми элементами производятся путем последовательного об-
обращения к подпрограмме COEFF после соответствующего опре-
определения координат и ориентации воображаемых элементов. На-
Наконец, подпрограмма SOLVE решает систему алгебраических
уравнений, построенную в головной программе. Процедура реше-
решения построена на методе исключения Гаусса без выбора ведущего
элемента.
Обозначения переменных в программе выбраны так, чтобы по
возможности они приближались к символам, использованным
к тексте книги. Например, SINBET (I) и COSBET (I) обозна-
обозначают sin p4 и cos $', a SIGXX, SIGYY и SIGXY обозначают ахх,
оуУ и оху. Для того чтобы упростить логику подпрограммы SOLVE,
D.7.3) записывается как одна матрица размерности 2Nx2N,
а не в виде четырех отдельных матриц размерности NxN. Соот-
Соответствие между символами в D.7.3) и обозначениями переменных
в программе следующее:
/>{->PB*J-l); />?->PB*J).
bi-»-BB*I- 1); Ь^-^В B*1),
Й1- 1, 2*J- 1),
I- 1, 2*J),
I, 2*J_ 1),
I, 2*J).
Таким образом, нечетные индексы при Р, В и С в программе ас-
ассоциируются с касательными компонентами смещения или уси-
усилия, а четные индексы — с нормальными компонентами.
Приводимая ниже программа TWOFS требует около 42К
(восьмеричных) оперативной памяти. Первая команда нужна
только для машин CDC; эту команду нужно удалить, если про-
программа используется на других системах г>. Хотя первоначально
она была написана для машины CDC Cyber 74, TWOFS допускает
перенос. Иллюстративный расчет, выполненный для этого при-
приложения, был сделан на машине PDP 11/60.
11 Речь идет о команде, записанной на шестой карте, READ E, 1) (TITLE (I),
1=1, 20), связанной с текстовой информацией. Для отечественных машин се-
серии ЕС эту команду удалять не нужно. — Прим. ред.

2S6 ПрилооОение А. Вычислительная программа TWOFS
А.4. ПРИМЕР
Как пример работы с программой TWOFS рассмотрим задачу
о круглом отверстии в бесконечном теле при одноосном растяже-
растяжении на бесконечности (рис. А.2 (а)). Граничные элементы, аппрок-
аппроксимирующие четверть круга, показаны на рис. А.2 (Ь). Поскольку
при решении используется симметричность задачи, принимаем
(а)
(о; 1,о)
0,7071; 0,7071)
5 ч@,8660; 0,5000)
Рис. А.2. Бесконечное тело с круговым отверстием под действием одноосного
растяжения на бесконечности: (а) данные, используемые в задаче; (Ь) гранично-
элементная модель.
KSYM = 4 при XSYM = 0 и YSYM = 0. Граничный контур
описывается в первой четверти плоскости с помощью шести отрез-
отрезков, каждый из которых содержит по одному элементу. Следова-
Следовательно, NUMBS принимает значение, равное 6. Кроме того, вдоль
осей хну были выбраны две линии полевых точек, как показано
на рис. А.2 (а), и поэтому NUMOS = 2.
Обращаясь к § А.2, где даны обозначения входных данных,
видим, что первые четыре перфокарты можно подготовить исходя из
параметров, данных на рис. А.2. Следующие шесть отдельных

А.4. Пример 287
карт должны быть даны для описания граничного контура
(NUMBS = 6). Первая из них, например, содержит следующие
данные:
NUM = 1 (один элемент вдоль первого отрезка),
XBEG = 1,0, YBEG = 0,0,
XEND = 0,9659, YEND = 0,2588,
KODE = 1 (краевая задача в напряжениях),
BVS = 0,0, BVN = 0,0 (полные усилия равны нулю).
И наконец, для задания положения полевых точек необхо-
необходимы еще две перфокарты (NUMOS = 2). Линия полевых точек,
расположенных на оси х, например, может быть описана следую-
следующими числами:
XBEG = 1,0, YBEG = 0,0,
XEND = 4,0, YEND = 0,0,
NUMPB = 5.
В этом случае в программе вдоль оси х будет задано семь точек:
одна точка A,0; 0), другая D,0; 0) и между ними пять точек, от-
отстоящих на расстоянии 0,5 м друг от друга. Заметим, однако, что
одна из этих точек A,0; 0) лежит на граничном элементе и, следо-
следовательно, в процессе работы программы она будет пропущена.
Выходная информация программы TWOFS для этой задачи
приведена ниже. (Задача была решена на ^машине"; PDP 11/60
с длиной слова 16 бит.) Результаты в пояснениях не нуждаются.

Распечатка выходной информации программы TWOFS
PROGRAM TWOFSUNPUT,OUTPUT,TAPE5=INPUT,TAPE6=OUTPUT)
С
COMMON/S1/PI,PR,PR1,PR2,PR3,CON,COND
COMMON/S2/SXXS,SXXN,SYYS,SYYN,SXYS,SXYN,UXS,UXN,UYS,UYN
COMMON/S3/CA00,100),BA00),PA00)
С
DIMENSION XME0),YME0),AE0),COSBETE0),SINBETEO),KODE0)
DIMENSION TITLEB0)
С
READ E,1) (TITLE(I),I=1,20)
WRITE F,2) (TITLE(I),I=1,20)
REAP E,3) NUMBS,NUMOS.KSYM
READ E,1) PR,E,XSYM,YSYH
READ E,5) PXX.PYY.PXY
WRITE F,6) NUMBS,NUMOS
GO TO (80,85,90,95),KSYM
80 WRITE F,7)
GO TO 100
85 WRITE F,8) XSYM
GO TO 100
90 WRITE F,9) YSYM
GO TO 100
95 WRITE F,10) XSYM,YSYM,
С
100 CONTINUE
WRITE F,11) PR,E
WRITE F,12) PXX.PYY.PXY
С
PI=t.»ATANA.)
C0N=1./(t.»PI»A.-PR))
C0ND=A.+PR)/E
PR1=1.-2.»PR
PR2=2.»A.-PR)
PR3=3.-4.»PR
С
С DEFINE LOCATIONS, SIZES, ORIENTATIONS AMD BOUNDARY CONDITIONS OF
С BOUNDARY ELEMENTS.
С
NUMBE=0
DO 110 N=1,NUMBS
READ E,11) NUM,XBEG,YBEG,XEND,YEND,KODE,BVS,BVN
XD=(XEND-XBEG)/NUM
YD=(YEND-YBEG)/NUM
SW=SQRT(XD»XD+YD•YD)
С
do no ne=i,num
NUMBE=NUMBE+1
M=NUMBE
XM(M)=XBEG+0.5#B.»NE-1.)»XD
YM(M)=YBEG+0.5»B.»NE-1.)»YD
A(M)=0.5»SW
SINBET(M)=YD/SW
COSBET(M)=XD/SW
KOD(M)=KODE
MN=2»M
MS-MN-1
B(MS)*BVS
UO B(HX)*BVH

А. 4. Пример 289
WRITE F,13)
DO 115 M=1,NUMBE
SIZE=2.»A(H)
ASGLE=180.»ATAN2(SINBET(M),COSBET(M))/PI
WHITE F,15) M,KOD(M),XM(M),YM(M),SIZE,ANGLE,BB»M-1),BB»M)
115 CONTINUE
С
С ADJUST STRESS BOUNDARY VALUES TO ACCOUNT FOR INITIAL STRESSES.
С
DO 150 H=1,WMBE
NN=2»N
NS=NN-1
C0SB=C0SBET(H)
SINB=SINBET(N)
SIGS=(PYY-PXX)«SINB'COSB+PXY't C0SB»COSB-SINB«SINB"
SIGN=PXX»SINB»siNB-2.»PXY»SINB«COSB+PYY»C0SB»C0SB
GO TO A20,150,130,140),KQD(N)
120 B(NS)=B(NS)-SIGS
B(NN)=B(NN)-SIGN
GO TO 150
130 B(NN)=B(NN)-SIGN
GO TO 150
140 B(NS)=B(NS)-SIGS
150 CONTINUE
С
С COMPUTE INFLUENCE COEFFICIENTS AND SET UP SYSTEM OF ALGEBRAIC
С EQUATIONS.
С
DO 300 I=1,NUMBE
IN=2«I
IS=IN-1
XI=XM(I)
YI=YM(I)
COSBI=COSBET(I)
SINBI=SINBET(I)
KODE=KOD(I)
С
DO 300 J=1,NUMBE
JN=2»J
JS=JN-1
CALL INITL
XJ=XM(J)
YJ=YM(J)
COSBJ=COSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
AJ=A(J)
CALL C0EFF(XItYI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,SINBJ,+1)
GO TO B40,210,220,230),KSYM
С
210 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
GO TO 210
С
220 YJ=2.»YSYM-YM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
GO TO 240

290 Приложение А. Вычислительная программа TWOFS
С
230 XJ=2.*XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XH(J)
YJ=2.«YSYM-YM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
XJ=2.*XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,-SIMBJ,+1)
С
240 CONTINUE
GO TO B50,260,270,280),KODE
С
250 C(IS,JS)=(SYYS-SXXS)«SINBI«COSBI+SXYS»(C0SBI»C0SBI-SINBI«SINBI)
C(IS,JN)=(SYYN-SXXH)*SINBI»COSBI+SXYN#(COSBI«COSBI-SIHBI*SIHBI)
C(IM,JS)=SXXS»SI»BI«SIHBI-2.•SXYS»SIHBI»COSBI+SYYS»C0SBI*C0SBI
С(IN,JN)=SXXN»SINBI»SINBI-2.*SXYN*SINBI»COSBI+SYYN*COSBI»COSBI
GO TO 300
С
2bu C(IS,JS)=UXS»COSBI+UYS«SINBI
С(IS,JN)=UXN»COSBI+UYN*SIHBI
C(IN,JS)=-UXS*SINBI+UYS*COSBI
C(IH,JN)=-OXN»SINBI+UYN*COSBI
GO TO 300
С
270 C(IS,JS)=raCS»COSBI+UYS«SINBI
С(IS,JN)=OTN«COSBI+UYN»SIHBI
C(IN,JS)=SXXS»SIKBI»SINBI-2.«SXYS*SINBI«COSBI+SYYS»COSBI»COSBI
C(IN,JN)rSXXN#SINBI»SlNBI-2.»SXYN«SINBI«C0SBI+SYYK»C0SBI«C0SBI
GO TO 300
С
280 C(IS,JS) = (SnS-SXXS)«SINBIsCQSBI+SXYS»(COSBI*COSBI-SINBI»SIHBI)
C(IS,JN)=(SnN-SXXN)»SHiBI«COSBI+SXYK«(COSBI«COSBI-SINBI«SIHBI)
C(IN,JS)=-UXS»SINBI+UTS*COSBI
С (IN, JN) =-UXN»SINBI+UTN»COSBI
С
300 CONTINUE
С
С SOLVE SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS.
С
N=2«NUMBE
CALL SOLVE(N)
С
С COMPUTE BOUNDARY DISPLACEMENTS AND STRESSES.
С
WRITE F,16)
DO 600 I=1,NUMBE
XI=XM(I)
COSBI=COSBET(I)
SINBIsSINBET(I)
UX=0.
HY=0.
SIGXX=PXX
DO 570 J=1,NUMBE

А.4. Пример 291
JN=2»J
JS=JN-1
CALL IKITL
XJ=XM(J)
YJ=YM(J)
AJ=A(J)
COSBJsCOSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,COSBJ,SINBJ,+1)
GO TO E10,510,520,530),KSYM
С
510 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
GO TO 510
С
520 Ws2.»YSYM-YM(J)
CALL C0EFF(XI,n,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
GO TO 510
С
530 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XM(J)
rj=2.«YSYM-YM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SI»BJ,-1)
XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,-SINBJ,+1)
С
510 СОМТ11ГОЕ
С
UX=UX+UXS«P(JS)+UXN*P(JN)
UY=UY+UYS»P(JS)+UYM»P(JN)
SIGXX=SIGXX+SXXS»P(JS)+SXXH*P(JM)
SIGYY=SIGYY+SYYSep(JS)+SYYM»P(JM)
SIGXY=SIGXY+SXYSeP(JS)+SXYM«P(JM)
С
570 CONTIMUE
С
US=UX»COSBI+UY«SINBI
UN=-UX*SINBI+UY*COSBI
SIGM=SIGXX*SINBI*SINBI-2.»SIGXY»SINBI*C0SBI+SIGIY»CQSBI»C0SBI
SIGT=SIGXX»C0SBI*C0SBI+2.*SIGXY*SIHBI»COSBI+SIGYY*SINBI»SIHBI
С
«RITE F,17) I,UX,UY,US,UN,SIGXX,SIGYY,SIGXY,SIGS,SIGN,SIGT
С
600 CONTINUE
С
С COMPUTE DISPLACEMENTS AND STRESSES AT SPECIFIED POINTS IN BOD
С
IF (NUMOS.LE.O) GO TO 900
«RITE F,18)
NPOIHT=O
DO 890 N=1,NUMOS
READ E,19) XBEG,YBEG,XEND,YEND,NUMPB
NUMP=NUMPB+1
DELX=(XEND-XBEG)/HUMP
DELY=(YEND-YBEG)/NUMP
IF (NUMPB.GT.O) NUMP=NUMP+1

2§2 Приложение А. Вычислительная программа TWOFS
IF (D?LX»»2+DELY»»2.EQ.0.J (ГОМР=1
С
DO 890 NI=1,NUMP
XP=XBEG+(HI-1)«DELX
YP=YBEG+ (N1-1) »DEL?
С
UX=O.
UY=O.
SIGXX=PXX
SIGYYsPYY
SIGXYsPXY
С
- DO 880 J=1,NUMBE
JN=2»J
JS-JN-1
CALL INITL
XJ=XM(J)
YJ=YM(J)
AJ=A(J)
С
IF (SQBT((XP-XJ)«2*(YP-YJ)»»2).LT.2.»AJ) GO TO 890
С
COSBJ=COSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
CALL C0EFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,SINBJ,+1)
GO TO (840,810,820,830),KSYM
С
810 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XP,*P,XJ,YJ,AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
GO TO 840
С
820 YJ=2.»YSYM-YM(J)
CALL C0EFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
GO TO 840
С
830 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XM(J)
YJ=2.»YSYM-YM(J)
CALL C0EFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,-C0SBJ,-SINBJ,-f1)
С
840 CONTINUE
С
UX=UX-f(JXS»P( JS)-fUXN»P( JN)
OYrHY-fUYS»P(JS)-fOYN«P(JN)
SIGXX=SIGXX-fSXXS»P(JS)-fSXXN»P(JN)
SIGYY=SIGYY+SYYS»P(JS)+SYYN»P(JN)
SIGXY=SIGXY-fSXYS»P(JS)-fSXYN»P(JN;
С
880 CONTINUE
С
NP0INT=NP0INT+1
WRITE F,20) NPOINT,XP,YP,UX,OY,SIGXX,SIGYY,SIGXY
С
890 CONTINUE
С

А .4 Пример 293
900 CONTINUE
С
С FORMAT STATEMENTS.
С
1 FORMAT BОА4)
2 FORMAT AН1,/,25Х,20А4,/)
3 FORMAT C14)
4 FORMAT (F6.2,E11.4,2F12.4)
5 FORMAT CE11.4)
6 FORMAT (/,109H NUMBER OF STRAIGHT-LINE SEGMENTS (EACH CONTAINING A
1T LEAST ONE BOUNDARY ELEMENT) USED TO DEFINE BOUNDARIES =,I3i//.12
23H NUMBER OF STRAIGHT-LINE SEGMENTS USED TO SPECIFY OTHER LOCATION
3S (I.E., HOT ON A BOUNDARY) WHERE RESULTS ARE TO BE FOUND =,13)
7 FORMAT (/,32H NO SYMMETRY CONDITIONS IMPOSED.)
8 FORMAT (/,18H THE LINE X r"XS =,F12.4,23H IS A LINE OF SYMMETRY.)
9 FORMAT (/,18H THE LINE Y = YS =,F12.4,23H IS A LINE OF SYMMETRY.)
10 FORMAT (/,19H THE LINES X = XS =,F12.t-,13H AND Y = YS =,F12-4,
1 23H ARE LINES OF SYMMETRY.)
11 FORMAT (/,18H POISSON'S RATIO =,F6.2,//,18H YOUNG'S MODULUS =,E11.
14)
12 FORMAT (/,31H XX-COMPONENT OF FIELD STRESS = ,E11.4,//,31H YYtCOMPO
1NEHT OF FIELD STRESS =,E11.4,//,31H XY-COMPONENT OF FIELD STRESS =
2,E11.4)
13 FORMAT AH1,/,27H BOUNDARY ELEMENT DATA.,//,96H ELEMENT К
1ODE X (CENTER) Y (CENTER) LENGTH ANGLE US OR SIGMA-S
2 UN OR SIGMA-N,/)
14 FORMAT (I4,4F12.4,I4,2E11.4)
15 FORMAT BI9,3F12.4,F12.2,2E15.4)
16 FORMAT AH1,/,66H DISPLACEMENTS AND STRESSES AT MIDPOINTS OF В
1OUNDARY ELEMENTS.,//,40H ELEMENT UX UY OS,
2 60H UN SIGXX SIGYY SIGXY SIGMA-S SIGMA-H,
3 10H SIGMA-T,/)
17 FORMAT (I10,4F10.6,6F10.1)
18 FORMAT AH1./.64H DISPLACEMENTS ANB STRESSES AT SPECIFIED POIN
1TS IN THE BODY.,//,93H POINT X CO-ORD Y CO-ORD U
2X UY SIGXX SIGYY SIGXY,/)
19 FORMAT DF12.4.I4)
20 FORMAT (I9,2F12.4,2F12.6,3F12.1)
С
END
SUBROUTINE INITL
С
COMMON/S2/SXXS,SXXN,SYYS,SYYN,SXYS,SXYN,UXS,UXN,UYS,UYN
С
sxxs=o.
SXXN=0.
SYYS=O.
SYYN=0.
SXYS=0.
SXYN=O.
С
UXS=O.
UXN=O.
UYS=O.
UYN=O.

294 Приложение А. Вычислительная программа TWOFS
с
KETURN
END
SUBROUTINE COEFF(X,Y,CX,CY,A,COSB,SINB,MSrM)
COMHON/S1/PI,PR,PR1,PR2,PR3,CON,COND
COMMON/S2/SXXS,SXXN,SIYS,SYYN,SXYS,SXYN,UXS,UXN,UYS,UYN
C0S2BsCOSB«COSB-SINB«SINB
SIN2B=2.«SINB»COSB
XB=(X-CX)»COSB+(Y-CY)»SINB
YB=-(X-CX)«SINB+(Y-CY)«COSB
R1S=(XB-A)«(XB-A)+YB»YB
R2S=(XB+A)»(XB+A)+YB«YB
FL1=O.5eALOG(R1S)
FL2=0.5*AL0G(R2S)
FB2=C0N»(FL1-FL2)
IF (YB.NE.O.) GO TO 10
FB3=O.
IF (ABS(XB).LT.A) FB3=CON«PI
GO TO 20
10 FB3=-C0N»(ATAN((XB+A)/YB)-ATAN((XB-A)/YB)}
20 FB1=YB«FB3+C0N«((XB-A)»FL1-(XB+A)«FL2)
FBH=C0N«(YB/R1S-YB/R2S)
FB5=C0N«((XB-A)/R1S-(XB+A)/R2S)
UXPS=COND«(PR3«C0SB»FB1+YB«(SINB«FB2+C0SB»FB3))
UXPN=COND»(-PR3fSINB«FB1-YB«(C0SB»FB2-SINB«FB3))
UYPS=COND»( PR3 •SINB«FB1'-YB«(COSB«FB2-SINB«FB3))
UYPN=COND«(PR3«C0SB«FB1-YB«(SINB»FB2+COSB»FB3))
SXXPS=FB2+PR2»(COS2B«FB2-SIN2B»FB3)+YB«(C0S2B»FB4+SIN2B»FB5)
SXXPN=FB3-PR1•(SIN2B«FB2+C0S2B«FB3)+YB»(SIN2B«FB4-C0S2B«FB5)
SYYPS=FB2-PR2»(C0S2B»FB2-SIN2B«FB3)-YB«(C0S2B»FB4+SIN2B«FB5)
SYYPN=FB3+PR1»(SIN2B«FB2+C0S2B«FB3)-YB«(SIN2B»FB4-C0S2B«FB5)
SXYPS=PR2»(SIN2B«FB2+COS2B«FB3)+YB»(SIN2B»FBl(-C0S2B«FB5}
SXYPN=PR1•(COS2B«FB2-SIN2B«FB3)-YB#(C0S2B»FB4+SIN2B«FB5)
UXS=UXS+MSYM«UXPS
UXN=UXN+UXPN
UYS=UYS+MSrM»OYPS
UYN=UYN+OYPN
SXXS=SXXS+MSYM«SXXPS
SXXN=SXXN+SXXPN
SYYS=SYYS+MSrM#SYYPS
SYYN=SYYN+SYYPN
SXYS=SXYS+MSYM«SXYPS
SXYN=SXYN+SXYPN
RETURN
END

А.4. Пример 295
SUBROUTINE SOLVE(N)
COH4ON/S3/AA0O,100),BA00),XAOO)
NB=N-1
DO 20 J=1,NB
L=J+1
DO 20 JJ=L,N
XM=A(JJ,J)/A(J,J)
DO 10 I=J,N
10 A(JJ,I)=A(JJ,I)-A(J,I)«XM
20 B(JJ)=B(JJ)-B(J)«XM
X(N)=B(N)/A(N,N)
DO 40 J=1,NB
JJ=N-J
UJJ+1
SUM=O.
DO 30 I=L,N
30 SUM=SUM+A(JJ,I)»X(I)
40 X(JJ)r(B(JJ)-SUM)/A(JJ,JJ)
REWRN
END

в о « о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
to
1
n
о
g
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
S
о
о о
о о
§
о
о
о
о
о
о
о
о
о о
о о
о о
о
о
8
о
о
о
о
о
о
in tn m t
С*- СЧ С*- <\J С— <Ч
о «- о о *- о
l?y ^) \.ft ^Q ^Q fc^
см <\j ftj см (m cy
О О О О С О
Ж О^ и* (О Ю *О (О
Ed <ч t~ о со *- ао
ш о о о о о о
X
со
о
о
о
о
о
S
о
о
о
о
о
«
о
о
8
о
и
I
о о о о о о
IS
l-l
u

о о о
о о о
1 1
151.
О
о
<\J <NJ
О О
О О
В
н
и
оооооооооооо
оооооооооооо
о о о о о о
о о о о о о
О СУ С"» ON СУ
«- IT» CO <\J
О IVi ¦
m en moo
су f-co *n
I I I I
X
о
•- =t \O t— t"-
4
GO i
tn m j* <\j w> о
оч en w> ir» m
OOOOOOOvD Oivo 4
g
X \o »- ON IT» О «—
X
н i i «-ФОСО
t/i CM (M.
оооооооооооо
I I I I I I I
О ON •— ON ON ON
CO <nj =t ens* On
<\j <nj «- о О О
о о о о о о
о о о о о о
is
о
cu
a
м
X
1-4
CO
э
о
1
о
9>СО
о
.00
.00
??
t— t—
m m
о о
о о
о о
СО CTi
a it.
^ о
о о
о о
ё
о
OJ«-«-»-«— ООООООО
оооооооооооо
оооооооооооо
оооооооооооо
oooooot-MMmn»
on rn со со m on
о о о о о «-
о о о о о о
о о о о о о
VJ
Q
<¦?
э
-0.
о о
1 1
NN Фи) П
СО vo
CV f\i
О О
о о
CTv t- (\|
см
см
о
о
1- *-
о о
о о
о
1
о
о
о
о о о о о о
со
м
§ 8
о
А
о
ооооооооооо
ооооооооооо
«-<\j<\jpnm-=*oooooo
t— COONO*-<\J
10 Крауч С, Старфилд А.

ПРИЛОЖЕНИЕ В.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
ДЛЯ ДВУМЕРНОГО МЕТОДА
РАЗРЫВНЫХ СМЕЩЕНИЙ (TWODDI»
Это приложение содержит пример вычислительной программы
для метода разрывных смещений. Программа называется TWODD
и основана на результатах гл. 5. Терминология и обозначения
входных данных для этой программы такие же, как для про-
программы TWOFS (приложение А).
В.1. РАСПЕЧАТКА ПРОГРАММЫ TWODD
НА ЯЗЫКЕ ФОРТРАН
Структура программы TWODD точно такая же, как TWOFS
(§ А.З). Подпрограмма COEFF, однако, теперь используется для
реализации формул E.5.4) и E.5.5), а незначительные дополнения
в головной программе учитывают различия между программными
модулями методов разрывных смещений и фиктивных нагрузок.
TWODD тоже требует 42К. (восьмеричных) оперативной памяти
и подобно программе TWOFS допускает перенос.
В.2. ПРИМЕР
Выходная информация программы TWODD для задачи о круго-
круговом отверстии (рис. А.2) приведена ниже. Результаты были полу-
получены для тех же данных, которые приведены в § А.4, опять-таки
на машине PDP 11/60. Заметим, что первые две страницы распе-
распечатки выходных данных дублируют те, которые приведены для
программы TWOFS, а последняя страница (результаты для внут-
внутренних точек) является в основном такой же, как ранее. Третья
страница, на которой даны смещения и напряжения средних точек
граничных элементов, содержит печать значений смещений на
положительных и отрицательных сторонах элементов, а также
компонент разрыва смещения (Ds= DS и Dn = DN). Для этой
частной задачи разрывы смещений являются фиктивными и только
смещения на отрицательной стороне границы имеют физический
смысл. Эти смещения сопоставимы со смещениями, вычисленными
с помощью программы TWOFS.
Здесь мы не пытались вычислять тангенциальные напряжения
вдоль границы отверстия. Процедуру, описанную в § 5.10, можно
легко объединить с программой TWODD с тем, чтобы иметь такую
возможность.
См. примечание на стр. 280. — Прим. ред.

Распечатка выходной информации программы TWODD
PROGRAM TW0DD(INPUT,OUTPUT,TAPE5=INPUT,ТАРЕб =OUTPUT)
С
C0MM0N/S1/PI,PR,PR1,PR2,CON,CONS
COMMON/^/SXXSjSXXN.SYYS.SYYN.SXYS.SXYN.UXS.UXN.UYS.UYN
COMMOH/S3/CA00,100),BA00),DA00)
С
DIMENSION XME0),YME0),AE0),COSBETE0),SINBETE0),K0DE0)
DIMENSION TITLE{20)
С
READ E,1) (TITLE(I),I=1,20)
WRITE F,2) (TITLE(I),I=1,20)
READ E,3) NUMBS.NUMOS.KSYM
READ E,1) PR,E,XSYM,YSYM
BEAD E,5) PXX.PYY.PXY
WRITE F,6) NUMBS.HUMOS
GO TO (80,85,90,95),KS5M
80 WRITE F,7)
GO TO 100
85 WRITE F,8) XSYM
GO TO 100
90 WRITE F,9) КУМ
GO TO 100
95 WRITE F,10) XSYM.YSYM
С
100 CONTINUE
WRITE F,11) PR,E
WRITE F,12) PXX,PYY,'PXY
С
PI=4.«ATANA.)
C0NS=E/A.+PB)
PB1=1.-2.»PR
PR2=2.»A.-PR)
С
С DEFINE LOCATIONS, SIZES, ORIENTATIONS AKD BOUNDARY CONDITIOHS OP
С BOUNDARY ELEMENTS.
С
NUMBE=O
DO 110 N=1,NUMBS
READ E,11) NUH,XBEG,YBEG,XEND,YEND,KODE,BVS,BVN
XD-UEND-XBEG)/NUH
YD=(YEND-YBEG)/NUM
SW=SQRT(XD*XD+YD»YD)
С
DO 110 NE=1,(JUM
NUMBE=NUMBE+1
M=NUMBE
XH(H)=XBEG+O.5»B.»NE-1.)«XD
YM(M)=YBEG+0.5»B.»NE-1.)»YD
A(M)=0.5»S«
SINBET(M)=YD/SW
COSBET(M)=XD/SW
KOD(M)=KODE
HN=2»M
MS=MN-1
B(MS)=BVS
110 B(MN)=BVN
С
10*

300 Приложение В. Вычислительная программа!^'ODD
С
WRITE F,13)
DO 115 №1,NDMBE
SIZE=2.»A(M)
ANGLE*180.«ATAN2(SINBET(H),COSBET(H))/PI
WRITE F,15) M,K0D(M),XM(M),YM(M),SIZE,ANGLE,BB»M-1),BB»M)
115 CONTINUE
С
С ADJUST STRESS BOUNDARY VALUES TO ACCOUNT FOR INITIAL STRESSES.
С
DO 150 N=1,NUMBE
NN=2»N
NS=NN-1
COSBsCOSBET(N)
SINBsSINBET(N)
SIGS=(PYY-PXX)»SINB»COSB+PXY»(COSB»COSB-SINB»SINB)
SIGNsPXX»SINB»SINB-2.»PXY»SINB»C0SB+PYY»C0SB»C0SB
GO TO A20,150,130,110),KOD(N)
120 B(NS)=B(NS)-SIGS
B(NN)=B(NN)-SIGN
GO TO 150
130 B(NN)=B(NN)-SIGN
GO TO 150
110 B(NS)=B(NS)-SIGS
150 CONTINUE
С
С COMPOTE INFLUENCE COEFFICIENTS AND SET UP SYSTEM OF ALGEBRAIC
С EQUATIONS.
С
DO 300 I=1,NUMBE
IN=2»I
IS=IN-1
XI=XM(I)
YI=YM(I)
COSBI=COSBET(I)
SINBI=SINBET(I)
KODE=KOD(I)
С
DO 300 J=1,NUMBE
JN=2»J
JS=JN-1
CALL INITL
XJ=XM(J)
YJ=YM(J)
COSBJ=COSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
AJ=A(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,SINBJ,+1)
GO TO B10,210,220,230),KSTM
С
210 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,-SINBJ,-1)
GO TO 210
С
220 W=2.»YSYM-YM(J)
CALL C0EFF(II,YI,IJ,YJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
GO TO 240

В.2. Пример 301
230 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XM(J)
XJ=2.»YSYM-YM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,SINBJ,-1)
XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFFCXI.YI.XJ.yj.AJ.-COSBJ.-SINBJ.+i)
С
21H CONTINUE
GO TO B50,260,270,280),KODR
С
250 C(IS,JS)=(SYYS-SXXS)»SINBI»COSBI+SXYS»(COSBI»COSBI-SINBI«SINBI)
С (IS, JN) = (SYYN-SXXN) *SINBI«C0SBI+SX5fN« (COSBI»COSBI-SINBI»SINBI)
C(IN,JS)rSXXS»SINBI»SINBI-2.»SXYS»SINBI»C0SBI+SYYS«C0SBI»C0SBI
C(IN,JN)=SXXN»SINBI»SINBI-2.»SXYN»SINBI»COSBI+SYYN»COSBI»SOSBI
GO TO 300
С
26l> C(IS,JS)=UXS»COSBI+UYS»SINBI
С (IS,JN)=UXN»COSBI+UYN»SINBI
C(IN,JS)=-UXS»SINBI+UYS»COSBI
С(IN,JN)=-UXN«SINBI+UYN*COSBI
GO TO 300
С
270 C(IS,JS)=t;XS*COSBI+UYS»SINBI
C(IS,JN)=UXN»COSBI+UYN»SINBI
C(IN,JS)=SXXS»SINBI»SINBI-2.»SXYS«SINBI«COSBI+SYYS«COSBI»COSBI
C(IN,JN)=SXXN»SINBI»SINBI-2.»SXYN»SINBI»COSBI+SYYN»COSBI»COSBI
GO TO 300
С
28u C(IS,JS)=(SYYS-SXXS)»SINBI«COSBI+SXYS»(COSBI»C0SBI-SINBI»SINBI)
С(IS,JN)=(SYYN-SXXN)»SINBI»COSBI+SXYN»(COSBI»COSBI-SIKBI»SINBI)
С(IN,JS)=-UXS»SINBI+UYS»COSBI
C( IN, JN) =-UXN*SINBI+№N*COSBI
С
300 CONTINUE
С
С SOLVE SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS.
С
N=2»NUMBE
CALL SOLVE(N)
С
С COMPUTE BOUNDARY DISPLACEMENTS AND STRESSES.
С
WRITE F,16)
DO 600 I=1,NUMBE
IN=2»I
IS=IN-1
XI=XM(I)
YI=YM(I)
COSBI=COSBET(I)
SINBI=SINBET(I)
С
UXNEG=O.
UYNEG=0.
SIGXX=PXX
SIGYYsPYY
SI0XY=PXY

302 Прилооюение В. Вычислительная программа TWODD
DO 570 J=1,NUMBE
JN=2»J
JS=JN-1
CALL INITL
XJ=XM(J)
XJ=YM(J)
AJ=A(J)
COSBJ=COSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,SINBJ,+1)
GO TO E40,510,520,530),KSYM
С
510 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,-SINBJ,-1)
GO TO 540
С
520 YJ=2.*YSYM-YM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,SINBJ,-1)
GQ TO 510
С
530 XJ=2.*XSYM-XM(J)
CALL C0EFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,-SIHBJ,-1)
XJ=XM(J)
YJ=2.*YSYM-YM(J)
CALL COEFFCXI.YI.XJ.YJ.AJ.-COSBJ.SINBJ.-I)
XJ=2.*XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,-SINBJ,+1)
С
540 CONTINUE
C-
UXNEG=UXNEG+UXS«D(JS)+UXN*D(JN)
UYNEG=UYNEG+UYS»D(JS)+UYN»D(JN)
SIGXX=SIGXX+SXXS»D{JS)+SXXN»D(JN)
SIGYY=SIGYY+SYYS»D(JS)+SYYN»D(JN)
SIGXY=SIGXY+SXYS»D(JS)+SXYN»D(JN)
С
570 CONTINUE
С
USNEG=UXNEG»COSBI+UYNEG«SINBI
UNNEG=-UXNEG«SINBI+UYNEG«COSBI
USPOS=USNEG-D(IS)
UNPOS=:UNNEG-D(IN)
UXPOS=USPOS»COSBI-UNPOS*SINBI
0YPOS=USPOS*SINBI+UNPOS«COSBI
SIGS=(SIGYY-SIGXX)«SINBI«COSBI+SIGXY«(COSBI»COSBI-SINBI*SINBI)
SIGN=SIGXX»SINBI»SINBI-2.*SIGXY*SINBI*COSBI+SIGYY*COSBI*COSBI
С
WRITE F,17) I,D(IS),USNEG,USPOS,D(IN),UNNEG,UNPOS,UXNEG,UYNEG,
1 UXPOS,UYPOS,SIGS,SIGN
С
600 CONTINUE
С
С COMPUTE DISPLACEMENTS AND STRESSES AT SPECIFIED POINTS IN BODY.
С
IF (NUMOS.LE.O) GO TO 900
WRITE F,18)
NPOINT=0
DO 890 N=1,NUMOS

В.2. Пример 303
SEAD E,19) XBEG,YBEG,XEND,YEND,NUMPB
NUMP=NUMPB+1
DELX=(XEKD-XBEG)/NUMP
DELY=(YEMD-YBEG)/NUMP
IF (NUMPB.GT.O) NUMP=NUMP+1
IF (DELX»»2+DELY.EQ.O.) NUMP=1
С
DO 890 NI=1,NUMP
XP=XBEG+(NI-1)»DELX
YP=YBEG+(SI-1)»DELY
С
UX=O.
UY=O.
SIGXX=PXX
SIGYY=PYY
SIGXY=PXY
С
DO 880 J=1,fflJMBE
JN=2»J
JS=JS-1
CALL IHITL
XJ=XM(J)
YJ=YM(J)
AJ=A(J)
С
IF (SQRT((XP-XJ)»»2+(YP-YJ)).LT.2.»AJ) GO TO 890
С
C0SBJ=COSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
CALL C0EFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,C0SBJ,SINBJ,+1)
GO TO (840,810,820,830),KSYM
С
810 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,COSBJ,-SISBJ,-1)
GO TO 840
С
820 YJ=2.»YSYM-YM(J)
CALL COEFFUP,YP,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,SISBJ,-1)
GO TO 840
С
830 XJ=2.»XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XP,YP,XJ.YJ.AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XM(J)
YJ=2.«YSYM-YM(J)
CALL COEFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,SINBJ.-1)
XJ=2.«XSYM-XM(J)
CALL COEFF(XP,YP,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,-SISBJ,+1)
С
840 CONTINUE
С
UX=UX+UXS»D(JS)+UXN»D(JS)
UY=UY+UYS«D(JS)+UYN«D(JS)
SIGXX=SIGXX+SXXS»D(JS)+SXXS»D(JN)
SIGYY=SIGYY+SYYS»D(JS)+SYYN»D(JN)
SIGXY=SIGXY+SXYS»D(JS)+SXYS»D(JS)
С
880 CONTINUE
С

304 Приложение В. Вычислительная программа TWODD
NPOINT=NPOINT+r
WRITE F,20) NPOINT,XP,YP,UX,UY,SIGXX,SIGYY,SIGXY
С
890 CONTINUE
С
900 CONTINUE
С
С FORMAT STATEMENTS.
С
1 FORMAT B0А4)
2 FORMAT AН1,/,25Х,20А4,/)
3 FORMAT C11)
4 FORMAT (F6.2,E11.4,2F12.4)
5 FORMAT CE11.ll)
6 FORMAT (/,109H NUMBER OF STRAIGHT-LINE SEGMENTS (EACH CONTAINING A
IT LEAST ONE BOUNDARY ELEMENT) USED TO DEFINE BOUNDARIES = ,I3,//,12
23H NUMBER OF STRAIGHT-LINE SEGMENTS USED TO SPECIFY OTHER LOCATION
3S (I.E., NOT ON A BOUNDARY) WHERE RESULTS ARE TO BE FOUND =,13)
7 FORMAT (/,32H NO SYMMETRY CONDITIONS IMPOSED.)
8-FORMAT (/,18H THE LINE X = XS =,F12.4,23H IS A LINE OF SYMMETRY.)
9 FORMAT (/,18H THE LINE Y = YS =,F12.4,23H IS A LINE OF SYMMETRY.)
10 FORMAT (/,19H THE LINES X s XS =,F12.4,13H AND Y = YS =,F12.4,
1 23H ARE LINES OF SYMMETRY.)
11 FORMAT (/,18H POISSON»S RATIO =,P6.2,/7 ,18H YOUNG'S MODULUS =,E11.
11)
12 FORMAT (/,31H XX-COMPONENT OF FIELD STRESS =,E11.4,//,31H YY-COMPO
1NENT OF FIELD STRESS =,E11,4,//,31H XY-COMPONENT OF FIELD STRESS =
2.E11.4)
13 FORMAT AH1./.27H BOUNDARY ELEMENT DATA.,//,96H ELEMENT К
10DE X (CENTER) Y (CENTER) LENGTH ANGLE US OR SIGMA-S
2 UN OR SIGMA-N,/)
14 FORMAT (I4,4F12.4,I4,2E11.4)
15 FORMAT BI9,3F12.4,F12.2,2E15.4)
16 FORMAT AH1./.66H DISPLACEMENTS AND STRESSES AT MIDPOINTS OF В
10UNDARY ELEMENTS.,//,40H ELEMENT DS US(-) US(+),
2 60H DN UN(-) UN(+) UX(-) UY(-) UX(+),
3 ЗОН UY(+) SIGMA-S SIGMA-N,/)
17 FORMAT (I10,10F10.6,2F10.1)
18 FORMAT AH1,/,64H DISPLACEMENTS AND STRESSES AT SPECIFIED POIN
1TS IN THE BODY.,//,93H POINT X CO-ORD Y CO-ORD U
2X UY SIGXX SIGYY SIGXY,/)
19 FORMAT DF12.4.I4)
20 FORMAT (I9,2F12.4,2F12.6,3F12.1)
С
END
SUBROUTINE INITL
С
COMMON/S2/SXXS,SXXN,SYYS,SYYN,SXYS,SXYN,UXS,TON,UYS,OYN
С
SZXSsO.
SZXNsO.
SYYSsO.
SYINsO.
SXYS=0.
SXYN=O.

В.2. Пример 305
ШСЗ=0.
UXN=0.
0YS=0.
UYN=O.
RETURN
ENS
SUBROUTINE COEFF(X,Y,CX,CY,A,COSB,SINB,MSYM)
C0MM0N/S1/PI,PR,PR1,PR2,C0N,C0NS
C0MM0N/S2/SXXS,SXXN,SYYS,SYYN,SXYS,SXYN,UXS,UXN,UYS,UYN
C0S2B=COSB»COSB-SINB«SINB
SIN2B=2.*SINB«C0SB
C0SB2=C0SB»C0SB
SINB2=SINB»SINB
XB=(X-CX)«COSB+(Y-CY)»SINB
YB=-(X-CX)«SINB+(Y-CY)«COSB
H1S=(XB-A)»(XB-A)+YB»YB
R2S=(XB+A)•(XB+A)+YB«YB
FL1=0.5»AL0G(R1S)
FL2r0.5»AL0G(R2S)
FB2=C0N*(FL1-FL2)
IF (YB.NE.O.) GO TO 10
FB3=0.
IF (ABS(XB).LT.A) FB3=C0N»PI
GO TO 20
10 FB3=-C0N«(ATAN((XB+A)/YB)-ATAN((XB-A)/YB))
20 FBt=C0N»(YB/R1S-YB/R2S)
FB5=C0N»((XB-A)/R1S-(XB+A)/R2S)
FB6=C0N»(((XB-A)»«2-YB«YB)/R1S«2-((XB+A)»«2-YB»YB)/R2S)
FB7=2.»C0N»YB»((XB-A)/B1S»»2-(XB+A)?R2S»»2)
UXDS=-PR1«SINB»FB2+PR2»COSB*FB3+YB»(SINB»FB4-COSB»FB57
UXDN=-PR1»C0SB»FB2-PR2»SINB»FB3-YB»(C0SB»FB4+SINB»FB5)
UYDS=PR1»COSB»FB2+PR2»SINB»FB3-YB»(COSB»FB1|+SINB»FB5)
UYDN=-PR1 »SINB»FB'2+PR2»C0SB»FB3-YB»( SINB»FB4-C0SB*FB5)
SXXDS=CONS»B.*C0SB2»FM+SIN2B»FB5+XB»(C0S2B»FB6-SIN2B»FB7))
SXXDN=CONS»(-FB5+YB»(SIN2B»FB6+C0S2B»FB7))
SYYDS=CONS»B.»SINB2»FB4-SIN2B»FB5-YB*(COS2B»FB6-SIN2B»FB7))
SYYDN=CONS»(-FB5-YB»(SIN2B»FB6+COS2B»FB7))
SXYDS=C0N3»(SIN2B»FB4-C0S2B»FB5+YB»(SIN2B»FB6+C0S2B*FB7))
SXTDN=CONS»(-YB»(COS2B*FB6-SIN2B»FB7))
UXS=UXS+MSYM»UXDS
UXN=UXN+UXDN
UYS=UYS+HSYM»UYDS
UYN=UYN+UYDN
SXXS=SXXS+MSYM»SXXDS
SXXN=SXXN+SXXDN

306 Приложение В. Вычислительная программа TWODD
SYYSrSYYS+MSYM'SYYDS
SYYN=SYYN+SYYDN
SXYS=SXYS+MSYM*SXYDS
SXYN=SXYN+SXYDN
С
RETURN
END
SUBROUTINE SOLVE(N)
С
COMMON/S3/AA00,100),BA00),XA00)
С
NB=N-1
DO 20 J=1,NB
L=J+1
DO 20 JJ=L,N
XM=A(JJ,J)/A(J,J)
DO 10 I=J,N
10 A(JJ,I)=A(JJ,I)-A(J,I)»XM
20 B(JJ)=B(JJ)-B(J)«XM
С
X(N)=B(N)/A(N,N)
DO 1@ J=1,NB
L=JJ+1
SUMrO.
DO 30 I=L,N
30 SUM=SUM+A(JJ,I)»X(I)
Ц0 X(JJ)=(B(JJ)-SUM)/A(JJ,JJ)
RETURN
END

о
и
v v а> <и о щ
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
Z
14
со
g
о
о
ы
со
ы
S
о о о о о о
о о о о о о
V а> at щ 0) щ
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о
СО
о
ANGLE
0 0
<- 0
1Л 1П
с— СУ
ON »-
0
0
1Л
о
о
in
t~ су
гч я-
0 0
0 с
с— см
о г- а о »- о
s
о
z
5
о о о о о о
м
г
а:
м
ы
н
о
Z
о
о
и
а
и
Hi
Z
ш
о
со
ы
со
в
о
ид
со
о
W
i-
Z
ы
g
из
со
X
о
СО
ы
Z
О
о
ос
СО
Z
I
со
С5
ы
ее
(-
со
3
м
и.
[JL,
о
г
§
о
и
X
а>
о
о
о
СО
СО
ш
о
ш
Z
о
а
*Ю О
ON ON С*1 чО чО t^l
<м t-O» •- ео
*- ГПчО t— Оч СУ»
о о о о о о
000000

о о о о о о
32
о
О о о о о о
о о о о о о
VO Ь^Г СЛО О
о «— см си гп m
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
©ооооооооооо
ооооооооо
О О О О
-=t СП СП О t— VO
т \о «— со \о <у>
гп <м *— со tn «—
*- ¦*- *- о о о
о о о о о о
о о о о о о
о \o m ^ i
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
00inrt
О ^Г О ч— СО С—
t- tn см t— o m
см oj см i— г- о
о о о о о о
о о о о о о
т
и
sa
ш
ЕМ
ы
о
о
<а
о
:nts
r-f
«"¦"¦V
1
О
tn
гп
о
о
о
СГЧ
\О
f\i
о
о
о
СО
го
о
о
о
1
о
см
о
о
о
о
о
о
см
см
о
о
о
1
см
о
m
СП
Q
о
о
о
см
го
t-
о
о
о
о
со
со
гп
о
о
о
1
о
см
о
о
о
1
о
tn
о
СП
о
о
о
о
t
in
о
о
о
о
ко
ш
о
о
о
о
1
о о
tn CO
VO С—
о см
о сэ
о о
о о
о о
1 1
О СП
СП СО
о о
о о
о о
о о
in t—
см о
о «-
о о
о о
о о
тн:
ас
3j
м
о
о*
а
в
ы
W
t~>
и
TRE
со
OOOOOO S* h-ОУЗвО
О O0000»*v0[-Gifn
о oooooa^t-xoin^-^-
oooooooooooo
OOOOOOOOOOOO
oooooooooooo
OOOOOOOOOOOO
I I I I 1 I
:0\С0\?»ОС0ОООООО
"" " ^ О О О О
OOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOO
oooooomoinotfto
oooooo*-cvir\imrn.=r
см ко со со чо ги
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
CO
CO Ч
О
о *— t— c\i со
^t гп со со гп -=r
О i- r- *- t- О
о о о о о о
о о о о о о
о
1
,_
ги
ь-
о
о
о
о
1
СО
о о
t I
CTi СГ>
ЧО СО СО
о
о
КО КО
ги см
о о
о о
о
1
сг>
КО
о
о
о
1
,_
ги
г-
о
о
о

ПРИЛОЖЕНИЕ С.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ПРЯМОГО МЕТОДА
ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ (TWOBII'
Это приложение содержит пример вычислительной программы для
прямого метода граничных интегралов. Программа называется
TWOBI и основана на результатах гл. 6. Терминология и обозна-
обозначения входных данных для этой программы такие же, как для
программы TWOFS (приложение А) и TWODD (приложение В).
С.1. Распечатка программы TWOBI на языке Фортран
Структура программы TWOBI сходна со структурой программ
TWOFS и TWODD. Однако в этой программе при вычислении
коэффициентов влияния смещений и напряжений для граничных
точек и для внутренних точек используются отдельные подпро-
подпрограммы. Подпрограмма COEFF на основе формул F.4.5) и F.4.6)
непосредственно вычисляет граничные коэффициенты влияния,
а подпрограмма SOMIG реализует формулы Сомильяны F.7.3)
и F.7.8) для нахождения смещения и напряжений в полевых точ-
точках. Программа TWOBI, подобно TWOFS и TWODD, требует
42К (восьмеричных) оперативной памяти и допускает перенос
С.2. Пример
Выходная информация программы TWOBI для задачи о круговом
отверстии (рис. А.2) приведена ниже. Эти результаты были полу-
получены при тех же исходных данных, как ранее (§ А.4), на машине
PDP 11/60. Первые две страницы выходной информации дубли-
дублируют те, которые печатались для TWOFS и TWODD, а резуль-
результаты на последней странице в основном такие же, как ранее.
Граничные смещения (третья страница выходной распечатки)
подобны тем, которые получены по программам TWOFS и TWODD.
Вновь алгоритм для вычисления тангенциальных напряжений
на границе отверстия может быть введен в программу. Процедура
проста, и ее выполнение предоставляется читателю в качестве
упражнения.
11 См. примечание на стр. 280. — Прим. ред.

Распечатка выходной информации программы TWOBI
PROGRAM TWOBI(INPUT,OUTPUT,TAPE5=INPUT,TAPE6=OUTPUT)
С
COMMON/SI/PI.PR.PRI.PR^-.PRS.CON.COSBI.SINBI
C0MM0N/S2/ASS,ASN,ANS,ANN,BSS,BSN,BNS,BNN
COMMON/S3/CAOO,1OO),YAOO),XA00)
COMMON/S4/OXUS,UXUN,UXSS,UXSN,UYUS,UYUN,UYSS,UYSN,SXXUS,SXXUN,
1 SXXSS,SXXSN,SXYUS,SXYUN,SYYSS,SYУ CM,SXYUS,SXYUN,SXYSS,
2 SXYSN
С
DIMENSION XME0),YME0),AEO),COSBETE0),SINBETE0),KODE0),RAQO)
DIMENSION TITLEB0)
С
READ E,1) (TITLE(I),I=1,20)
WRITE F,2) (TITLE(I),I=1,2O)
READ E,3) NUMBS,NUMOS.KSYM
READ E,4) PR,E,XSYM,JSYM
READ E,5) PXX.PYY.PXY
WRITE F,6) NUMBS,NUMOS
GO TO (80,85,90,95),KSYM
80 WRITE F,7)
GO TO 100
85 WRITE F,8) XSYM
GO TO 100
90 WRITE F,9) YSYM
GO TO 100
95 WRITE F,10) XSYM.YSXM
С
100 CONTINUE
WRITE F,11) PR.E
WRITE F,12) PXX,PYY,PXY
С
PI=4.»ATANA.)
C0N=1./D.»PI«A.-PR))
G=0.5#E/A.+PR)
PR1=1.-2.«PR
PR2=2.«A.-PR)
PR3=3.-4.«PR
С
С DEFINE LOCATIONS, SIZES, ORIENTATIONS AND BOUNDARY CONDITIONS OP
С ALL BOUNDARY ELEMENTS.
С
NUMBEsO
DO 110 N=1,NUMBS
READ E,14) NUM,XBEG,YBEG,XEND,YEND,KODE,BVS,BVN
XD=(XEND-XBEG)/NUM
ra=(YEND-YBEG)/NUM
SWrSQRT(XD»XD+ra»TO)
С
DO 110 NE=1,NUM
NUMBE=NUMBE+1
MsNUMBE
XM(M)=XBEG+0.5»B.»NE-1.)«XD
YM(M)=YBEG+0.5#B.«NE-1.)»YD
A(M)=0.5*SW
SINBET(M)=YD/SW
COSBET(M)=XD/SW
KOD(M)=KODE
MNz2*M

С.2. Пример 311
MS=MN-i
R(MS)=BVS
110 R(MN)=BVN
С
WRITE F', 13)
DO 115 M=1,JTOMBE
SIZE=2.«A(M)
ANGLE=180.»ATAM2(SINBE.T(M),C0SBET(M))/PI
WRITE F,15) M,K0D(M)rXM(M),YM(M),SIZE,AHGLE,BB»M-1),B{2«M)
115 CONTINUE
С
С ADJUST STRESS BOUNDARY VALUES TO ACCOUNT FOR INITIAL STRESSES.
С
DO 150 N=1,NmffiE
NN=2»N
NS=NN-1
COSB=COSBET(N)
SINB=SINBET(N)
SIGS=(Pyy-PXX)»SINB«COSB+PXY«(COSB»COSB-SINB«SINB)
SIGN=PXX«SINB»SINB-2.•PXy«SINBiCOSB+Piy»COSB»COSB
GO TO A20,150,130,140),KOD(N)
120 R(NS)=0.5#(R(NS)-SIGS)/G
R(NN)=0.5*(B(NN)-SIGN)/G
GO TO 150
130 R(NN)=0.5#(R(lffl)-SIGN)/G
GO TO 150
14u R(NS)=0.5*(B(NS)-SIGS)/G
150 CONTINUE
С
С COMPUTE INFLUENCE COEFFICIENTS ABD SET OP SXSTEM Of ALGlfflRAiC
С EQUATIONS.
С -
DO 300 I=1,NUMBE
IN=2«I
IS=IN-1
Y(IN)=0.
XI=XM(I)
У1=УМA)
COSBI=COSBET(I)
SINBI=SINBET(D
С
DO 300 J=1 ,NUHBE-
JN=2»J
JS=JN-1
CALL INITL
XJ=XM(J)
YJ=YM(J)
COSBJ=COSBET(J)
SINBJ=SINBET(J)
AJ=A(J)
KODJ=KOD(J)
•CALL C0EFF(XI,yi,XJ,yj,AJ,COSBJ,SI)IBJ-,+1)
GO TO BП0,210,220,230),KSXM
С v
21O.XJ=2.«XSYM-XM(J)
CALL COEFFtXI.II.XJ.yj.AJ.COSBJ.-SlKBJ,-!)
GO TO 240

312 Приложение С. Вычислительная программа TWOBI
С
220 YJ=2.«YSYM-YM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,SINBJ,-1)
GO TO 240
С
230 XJ=2.»XSYM-XM(J).
CALL COEFF(XI,YI,XJ,IJ,AJ,COSBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XM(J)
YJ=2.»YSYM-YM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,SINBJ,-1)
XJ=2.»XSTM-XM(J)
CALL COEFF(XI,YI,XJ,YJ,AJ,-COSBJ,-SINBJ,+1)
С
240 CONTINUE
GO TO B50,260,270,280),KODJ
С
250 C(IS,JS)=ASS
C(IS,JN)=ASN
C(IN,JS)=ANS
C(IN,JH)=AKN
Y(IS)=y(IS)-fBSS»R(JS)+BSN»R(JN)
Y(IN)=Y(IN)+BNS»R(JS)+BNN»R(JN)
GO TO 300
С
26u C(IS,JS)=-BSS
C(IS,JN)=-BSN
C(IN,JS)=-BNS
C(IN,JN)=-BNN
Y(IS)=Y(IS)-ASS»R(JS)-ASN»RU«)
Y(IN)=Y(IN)-ANS*R(JS)-ANN*R(JN)
GO TO 300
С
270 C(IS,JS)=-BSS
C(IS,JN)=ASN
C(IN,JS)=-BNS
C(IN,JN)=ANN
Y(IS)=Y(IS)-ASS»R(JS)+BSN»R(JN)
Y(IN)=Y(IN)-ANS»R(JS)+BNN»R(JN)
GO TO 300
С
28u C(IS,JS)=ASS
C(IS,JN)=-BSN
C(IN,JS)=ANS
C(IN,JN)=-BNN
Y(IS)=Y(ISL-BSS»R(JS)-ASN»R(JN)
Y(IN)=Y(IN)+BNS»R(JS)-ANN»RCJN)
С
300 CONTINUE
С
С SOLVE SYSTEM OF ALGEBRAIC EQUATIONS.
С
N=2*NUMBE
CALL SOLVE(N)
С
С PRINT BOUNDARY DISPLACEMENTS AND STRESSES.
С
WRITE F,16)
DO. 600 I=1,NUMBE

С.2. Пример 313
1Я=2»1
COSBI=COSBET(I)
SI»BI=SI»BET(I)
KODI=KOD(I)
С
US=X(IS)
UN=X(IN)
SIGS=2.»G»R(IS)
SIGN=2.»G»R(I»)
GO TO E40,510,520,530),KODI
С
blO US=R(IS)
UN=R(IN)
SIGS=2.»G»X(IS)
SIGN=2.9G»X(IN)
GO TO 510
520 US=R(IS)
SIGS=2.9G9X(IS)
GO TO 510
530 UN=fi(IN)
SIGN=2.9G«X(IN)
С
510 CONTINUE
С
UX=US9COSBI-UN9SINBI
UYrUS«SINBI+UN9COSBI
SIGS=SIGS+(PYY-PXX)»SINBI«COSBI+PXX»(COSBI«COSBI-SHJBI*Smi)
SIGN=SIGN+PXX9SrNBI9SINBI-2.»PXY»SINBI»C0SBI-fPYY»C0SBI»C0SBI
С
WRITE F,17) I,HS,UN,UX,UY,SIGS,SIGN
С
600 CONTINUE
С
С COMPUTE DISPLACEMENTS AND STRESSES AT SPECIFIED POINTS IN BOD*.
С
IF (NUMOS.LE.0) GO TO 900
WRITE F,18)
NPOINT=0
DO 890 N=1,NUMOS
READ E,19) XBEG,YBEG,XEND,YEND,NUMPB
NUMP=NUMPB+1
DELX=(XEND-XBEG)/NUMP
DELY=(YEND-YBEG)/NUMP
IF (NUMPB.GT.O) NUMP=NUMP+1
IF (DELX»«2+DELY«2.EQ.O.) NUMP=1
С
DO 890 N1=1,NUMP
XP=XBEG+(NI-1)«DELX
YP=YBEG+(NI-1)«DELY
С
ux=o.
UY=0.
SIGXX=PXX
SKYY=PYY
SIGXI=PXY

314 Приложение С. Вычислительная программа TWOBI
DO 880 J*1,NUMBE
JN=2«J
JS=JN-1
еда initl
SJ=XH(J)
IJ=YM(J)
AJ=A(J)
С
IF (SQRT((XP-XJ)«2+UP-YJ)«2).LT.2.«AJ) GO TO 890
С
KODJ=KOD(J)
COSBJ=COSBET(J)
SINBJrSINBET(J)
ела sohig(xp,ip,xj,yj,aj,cosbj,sinbj,+i)
GO TO (840,810,820,830),ШМ
С
810 XJ=2.»XSIM-XM(J)
CALL S0MIG(XP,IP,XJ,YJ(AJ,C0SBJ,-SINBJ,-1)
GO TO 840
С
820 IJ=2.«YSYM-YM(J)
CALL S0MIG(XP,rP,XJ,IJ,AJ,-C0SBJ,SINBJ,-1)
GO TO 840
С
830 XJ=2.«XSYM-XM(J)
CALL S0MIG(XP,TP,XJ,IJ,AJ,C0SBJ,-SINBJ,-1)
XJ=XM(J)
IJ=2.«YSm-IM(J)
CALL SOMIGdP.IP.XJ.tJ^AJ.-COSBJ.SINBJ.-l)
«()
CALL SOMIG(XP,IP,XJ,IJ,AJ,-COSBJ,-SINBJ,+1)
С
640 CONTINUE
С
USJsX(JS)
UNJ=X(JN)
SSJ=B(JS)
SNJ=R(JN)
GO TO (860,845,850,855),KODJ
С
845 USJiR(JS)
UNJiR(JN)
SSJ.X(JS)
SNJ=X(JN)
GO TO 860
850 USJ=H(JS)
SSJ=X(JS)
GO TO 860
855 UNJsRCJN)
SNJ=X(JN)
С
860 CONTINUE
С
UX=UX+UXUS*USJ+UXUN«UNJ+UXSS«SSJ+UXSN«SNJ
int=inf+UTUS«USJ+UYUN«UNJ+UYSS«SSJ+UYSN«SNJ
SIGXX=SIQXX4-2.*G«(SXXUS*USJ+SXXUN*UNJ-»SXXSS*SSJ+SXXSN*SNJ)
SIGYY=SIGIY+2.«G«(SYTajS«USJ+SYYUN«UNJ+SIISS«SSJ+SYISN«SNJ)
SIGXtiSIGXI+2.#G«(SXIUS«USJ+SXTON#UNJ+SXYSS«SSJ+SXYSM«SNJ)

С.2. Пример 315
880 CONTINUE
С
NP0INT=NP0INT+1
WHITE F,20) NPOINT,XP,YP,UX,UY,SIGXX,SIGYY,SIGXY
С
890 CONTINUE
С
900 CONTINUE
С
С FORMAT STATEMENTS.
С
1 FORMAT B0All)
2 FORMAT AH1,/,25X,20A1,/)
3 FORMAT C11)
1 FORMAT (F6.2,E11.1,2F12.1)
5 FORMAT CE11.1)
6 FORMAT (/,109H NUMBER OF STRAIGHT-LINE SEGMENTS (EACH CONTAINING A
1T LEAST ONE BOUNDARY ELEMENT) USED TO DEFINE BOUNDARIES =, 13,/7,12
23H NUMBER OF STRAIGHT-LINE SEGMENTS USED TO SPECIFY OTHER LOCATION
3S (I.E., NOT ON A BOUNDARY) WHERE RESULTS ARE TO BE FOUND =,13)
7 FORMAT (/,32H NO SYMMETRY CONDITIONS IMPOSED.)
8 FORMAT (/,T8H THE LINE t = IS = ,F12.4,23H IS A LINE OF SYMMETRY.)
9 FORMAT (/,18H THE LINE Y = YS =,F12.t,23H IS A LINE OF SYMMETRY.)
10 FORMAT (/,19H THE LINES X = XS =,F12.t,13H AND Y = YS :=,F12.1,
123H ARE LINES OF SYMMETRY.)
11 FORMAT (/,18H POISSON'S RATIO =,F6.2,//,18H YOUNG'S MODULUS =,E11.
1.1)
12 FORMAT (/,31H XX-COMPONENT OF FIELD STRESS =,E11.1,//,31H YY-COMPO
- 1NENT OF FIELD STRESS =,E11 A,II ,31H XY-COMPONENT OF FIELD STRESS =
2,E1T.4)
13 FORMAT AH1,/,27H BOUNDARY ELEMENT DATA.,//,96H ELEMENT К
10DE X (CENTER) Y (CENTER) LENGTH ANGLE US OR SIGMA-S
2 UN OH SIGMA-N,/)
11 FORMAT (I1,4F12.1,I1|,2E11.1|)
15 FORMAT BI9,3F12.1,F12.2,2E15.1)
16 FORMAT AH1,/,66H DISPLACEMENTS AND STRESSES AT MIDPOINTS OF В
10UNDARY ELEMENTS.,//,1)OH ELEMENT US UN UX,
2 ЗОН UY SIGMA-S SIGMA-N,/)
17 FORMAT (I10,1F10.6,2F10.1)
18 FORMAT AH1,/,61H DISPLACEMENTS AND STRESSES AT SPECIFIED POIN
1TS IN THE BODY.,//,93H POINT X CO-ORD Y CO-ORD U
2X UY SIGXX SIGYY SIGXY,/)
19 FORMAT A|F12.U,I«)
20 FORMAT (I9,2F12.«,2F12.6,3F12.1)
С
END
SUBROUTINE INITL
COMMON/S2/ASS,ASM,ANS,ANN,BSS,BSN,BNS,BNN
COMMOK/St/UXUS,OXmJ,OISS,UXSH,UYUS,UTUNfUYSS,UYSH,SXXUS,SXXUN,
1 SXXSS,SXXSN,SinroS,SYYUN,SYYSS,SYYSN,SXYUS,SXYTOJ,SXYSS,
2 SXYSN

316 Приложение С. Вычислительная программа TWOBI
ASS=O.
ASN=O.
AHS=O.
AHN=O.
BSS=O.
BSNrO.
BNS=O.
BNN=O.
UXUS=O.
UXUN=O.
UXSS=O.
UXSN=O.
UYUSrO.
UYUN=O.
UYSS=O.
UYSN=O.
SXXUS=O.
SXXUNrO.
SXXSS=O.
SXXSN=O.
SYYUS=O.
SIYUN=O.
SYYSS=O.
SYYSN=O.
SXYUS=O.
SXYUN=O.
sxrss=o.
SXYSN=O.
RETURN
END
SUBROUTINE COEFF(XI,XI,XJ,YJ,AJ,COSB,SINB,MSIM)
COMMON/S1/PI,PR,PR1,PR2,PR3,CON,COSBI,SINBI
C0m0N/S2/ASS,ASN,ANS,ANN,BSS,BSNlBNS,BNN
CXB=(XI-XJ)»COSB+(YI-YJ)«SINB
CYB=-(XI-XJ)«SINB+(YI-YJ)«COSB
COSG=COSBI»COSB+SINBI»SINB
SING=SINBI»COSB-COSBI»SINB
R1S=(CXB-AJ)»(CXB-AJ)+CYB»CYB
R2S=(CXB+AJ)•(CXB+AJ)+CYB»CYB
FL1=O.5»ALOG(R1S)
FL2=0.5#ALOG(R2S)
TB2=-C0N»(FL1-FL2)
IF (CYB.NE.O.) GO TO 10
TB3=0.
IF (ABS(CXB).LT.AJ) TB3=C0N»PI
GO TO 20
10 TB3=C0N»(ATAN((CXB+AJ)/CYB)-ATAN((CXB-AJ)/CYB))
20 -TB1=-CYB»TB3+C0N»((CXB-AJ)»FL1-(CXB+AJ)«FL2)

С.2. Пример 317
TBt=C0N»(CYB/R1S-CYB/R2S)
TB5=CON«((CXB-AJ)/R1S-(CXB+AJ)/R2S)
ASST=PR2»COSG»TB3+PR1*SING»TB2+CYB»(SING«TBit+COSG»TB5)
ASNT=-PR1»C0SG»TB2+PR2»SING»TB3+CrB»(C0SG»TBi-SlNG»TB5)
ANST=-PR2»SING»TB3+PR1«C0SG»TB2+CYB»(C0SG»TB4-SING»TB5)
ANNT=PR1•SING#TB2+PR2»COSG«TB3-CYB»(SING»TB4+COSG«TB5)
BSST=PR3 »C0SG#TB1+CYB»(SIKG«TB2-COSG«TB3)
BSNT=PR3»SING»TB1+CrB»(COSG»TB2+SING»TB3)
BNST=-PR3eSING«TB1+CYB«(C0SG»TB2+SING*TB3)
BNNT=PR3 «COSG^TBI-CYB»(SING»TB2-COSG«TB3)
ASS=ASS+MSYM»ASST
ASN=ASN+AS»T
ANS=ANS+MSYM»UNST
AP=ANN+ANNT
BSS=BSS+MSYM»BSST
BSN=BSN+BSNT
BKS=BNS+MSYM»BNST
BNN=BNN+BNNT
RETORM
END
SUBROUTINE SOMIG(X,Y,XJ,YJ,A,COSB,SINB,MSYM)
С
COMMON/SI/PI,PR,PR1,PR2,PR3,CON,COSBI.SINBI
COMMON/S4/l«US,UXUN,UXSS,UXSN,UYUS,UYUN,UYSS,UYSN,SXXUS,SXXUN,
1 SXXSS.SXXSN.SYYUS.SSrYUN.SYYSS.SYYSN.SXYUS.SXYUN.SXYSS,
2 SXYSN
С
CXB=(X-XJ)«COSB+(Y-YJ)«SINB
CYBz-(X-XJ)«SINB+(Y-YJ)«COSB
C0SB2=C0SB»C0SB
SINB2=SINB«SINB
C0S2B=C0SB2-SINB2
SIN2B=2.»SINB»COSB
С
R1S=(CXB-A)*(CXB-A)+CYB«CYB
R2S=(CXB+A)•(CXB+A)+CYB»CYB
FL1=0.5«AL0G(R1S)
FL2=0.5»ALOG(R2S)
TB2=-C0N»(FL1-FL2)
IF (CYB.NE.O.) GO TO 10
IF (ABS(CXB).LT.A) TB3=-C0N»PI
GO TO 20
10 TB3=C0N»(ATAN((CXB+A)/CYB)-ATAN((CXB-A)/CYB))
20 TB1=-CYB»TB3+CON»((CXB-A)«FL1-(CXB+A)«FL2)
TB4=C0N»(CYB/R1S-CYB/R2S)
TB5=C0N»((CXB-A)/R1S-(CXB+A)/R2S)
TB6=-COM«(((CXB- A)»»2-CYB»»2)/R1S«2-((CXB+A)»«2-CYB»»2)/R2S»»2)
TB7=-C0N»2.»CYB»((CXB-A)/R1S«2-(CXB+A)/R2S«»2)
С

318 Приложение С. Вычислительная программа TWOBI
UXUST^PRI*SINB«TB2-PR2*C0SB*TB3+CYB«(SINB*TB4-C0SB«IB5)
UXUNT=PR1«C0SB*TB2+PR2«SINB»TB3-CYB*(C0SB*TB4+SINB«TB5)
UXSST=PR3«C0SB«TB1-CYB«(SINB«TB2+C0SB*TB3)
UXSNT=-PR3*SINB*TB1+CYB«(COSB»TB2-SINB»TB3)
UYUST=-PR1*C0SB«TB2-PR2«SIKB«TB3-CYB«(C0SB*TB4+SINB»TB5)
UYUNT=PR1 «SINB»TB2-PR2*COSB»TB3-CYB« ( SINB«TBH-C0SB*TB5)
UYSST=PR3«SINB«TB1+CYB*(COSB*TB2-SINB«TB3)
UYSNT=PR3*COSB*TB1+CYB*(SINB»TB2+COSB»TB3)
С
SXXUST=2.«C0SB2«TB4+SIN2B»TB5-CYB«(C0S2B«TB6-SIN2B*TB7)
SXXUNT=-TB5-CYB«(SIN2B*TB6+C0S2B«TB7)
• SXXSST=-TB2-PR2»(C0S2B«TB2-SIN2B»TB3)+CYB*(C0S2B*TBl|+SIN2B*TB5)
- SkXSMT=-TB3+PR1«(SIN2B«TB2+COS2B*TB3)+CYB«(SIN2B*TB4-C0S2B»TB5)
SYYUST=2.«SINB2 *TB4-SIN2B»TB5+CYB*(C0S2B«TB6-SIN2B«TB7)
SYYUNT=-TB5+CYB«(SIN2B«TB6+C0S2B*TB7)
SYYSST=-TB2+PR2«(C0S2B«TB2-SIN2B*TB3)-CYB«(C0S2B«TB4+SIK2B«rB5)
SYYSNT=-TB3-PR1«(SIN2B«TB2+C0S2B»TB3)-CYB*(SIN2B«TB4-C0S2B»TB5)
SXYUST=SIN2B»TB4-C0S2B»TB5-CYB»(SIN2B«TB6+C0S2B»TB7)
SXYaNT=CyB«(C0S2B«TB6-SIN2B«TB7)
SXYSST=-PR2»(SIN2B«TB2+C0S2B«TB3)+CTB*(SIN2B»TB4-C0S2B»TB5)
SXYSNTr-pR1«(C0S2B«TB2-SIN2B»TB3)-CYB«(C0S2B«TBt+SIN2B»TB5)
С
UXUS=UXUS+-MSYM»UXUST
UXUN=UXUM+UXUNT
UXSS=UXSS+MSYM»UXSST
UXSN=UXSN+UXSNT
UYUS=UYUStMSYM»UYUST
UYUS=UYUN+UYUNT
UYSS=UYSS+MSYM»UYSST
UYSN=UYSN+UYSNT
С
SXXUS=SXXUS+MSYM»SXXUST
SXXUN=SXXUN+SXXUNT
SXXSS=SXXSS+MSYM«SXXSST
SXXSN=SXXSN+SXXSNT
SYYUSsSYYUS+MSYM'SYYUST
SYYUN=SYYUN+SYYUNT
SYYSS=SYYSS+MSYM*SYYSST
SYYSN=SYYSN+SYYSNT
SXYUS=SXYUS+MSYM»SXYUST
SXYUNsSXYUN+SXYUNT
SXYSS=SXYSS+-MSYM«SXYSSX
SXYSNsSXYSN+SXYSNT
С
RETURN
END
SUBROUTINE SOLVE(N)
С
NB=N-1
DO 20 J=1,NB
L=J+1

С.2. Пример 319
DO 20 JJ=L,N
DO 10 I=J,N
10 A(JJ,I)=A(JJ,I)-A(J,I)»XM
20 B(JJ)=B(JJ)-B(J)«XM
X(N)=B(N)/A(N,N)
DO 40 J=1,NB
JJ=N-J
L=JJ+1
SUM=O.
DO 30 I=L,N
30 SUM=SUM+A(JJ,I)»X(I)
to X(JJ)=(B(JJ)-SUM)/A(JJ,JJ)
RETURN
END

й
CG
О
СО
О О О О О О
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
о о о о о о
Sh
ы
s
о
аз
со
о
со о о о о о о
I О О О О О О
S <Ы О) Ф Ф Ф Q)
о о о о о о о
м о о о о о о
со о о о о о о
о о о о о о
а: ......
о о о о о о о
со
Ы г- О О О О Оч
1_Д LTi L^ LO LO L^ ^"
SE f- (M C*- <\J C— <M
'Si O"i r- OJ =t IT\ b-
g о <- о о «~ о
О чо чО чо чО чО чО
г оа оа см oj oj оа
ад •¦•*••
>-Л О О О О О О
S
о
о
.-1
X
(-1
о
*-^ -Г^щ U1OO
Q^ O*i О1^ 0^ чО чО 00
Ы 0J [— О СО <~ СО
Q о о о о о о
е-"
Z
О
о
X
о
и
'^
со
Еч
Ы
Е
г
СО
ы
Z
J
1
ж
о
W
а:
н
о
т
ы
S
о
я
СО
8
и
со
to
Еч
г
S
со
ы
2
t
X
о
W
BS
со
о
Б
9
NU1
II
СО
Sh
н
Sh
<
О
О
О
О
О
11
со
X
н
X
со
и
LIN
X
Е-1
О
о
II
о
н
(С
со
SON
о
РО:
1Л
о
ф
о
о
о
ь-
о
II
со
а
о
г
G'S
г
о
Sh
о
ф
о
о
о
*~
о
II
со
ы
со
Q
и.
и.
о
н
ы
2
О
ОМР
о
X
X
о
о
0)
о
о
о
о
о
со
со
ы
в
со
Q
ы
ь.
ь.
о
2
О
ОМР
о
Й
о
о
О)
о
о
о
о
о
со
со
ы
в
СО
а
ы
ь.
ь.
о
г;
о
ОМР
о
Sh
X
а
E-i
ы
><
<i;
а
о
со
1
ft]
о
X
Q
О
и;
Е-4
Z
§
о о \Г\ \d =t =t
т \о \?у m оч ctn
со <— со о f- oj
<у\ <т> t— \?> m r~
о о о о о о

С.2. Пример 321
оооооооооооо
оооооооооооо
СО
2
ы
S
а
о
со
и
м
о
О*
S
«с
a
со
ы
со
g
<
:ЕМЕ
«с
о
М
со
со
$
SIG1
>ч
ЕЭ
ЕЭ
-*¦
со
z
о
о
о
о
t-
OJ
о
о
о
о
О\
со
OJ
о
о
о
о\
г*
vO
СУ
О
О
о
1
t—
с—
-=Т
О
о
о
о
1
*¦"
о
о
о
о
о
о
о
о
о
¦=г
ь~ со
го in
о о
о
о
<?
о
о
о
о
OJ
о
о
о
J
Сч
а
ГО
о
о
о
1
ГУ
о
о
о
1
vO
C\J
о
о
о
№
го
о
о
о
i
со
f-
о
о
о
1
со
о
о
о
о
_,.
S
о
о
о
о
о
о
о
t
со
о
о
о
о
о
о
о
о
,_
со
о
о
о
о
го со со
о
о
о
^г
.=г
о
о
о
о
1
со
с—
о
о
о
^
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
1
m
го
о
о
о
о
f-
со
о
о
о
о
о
о
о
о
1
1П \?>
>-•
о
о
со
ы
X
м
и
о
а>
ECI
СО
•s:
со
t-1
со
ы
ас
со
ЗЕ
<с
^
о
м
со
X
sig:
о
со-
>-t
Q
(X
о
Г 1
го
ЧО
1
SO
о
о
о
о
о
о
ГУ
о
о
©
о
о
о
Q
о
о
о
\о
го
с—
?
о
о
о
о
о
о
S
чО
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
<м
чО
о
о
о
о
о
о
?
го
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
m
Л1
со
го
ЧО
ГО ГО ГУ
t—
о
о
о
о
о
о
in
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
m
о,
о
со
о
о
о
о
о
о
CV
m
со
о
о
о
о
о
о
1
па
о ~
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
in
, on
о
о
о
о
С5
о
о
о
о
о
о
го
tn чо
СО ГУ
;*¦
tn
со
ГУ
го
О\
с*
*~
ЧО СО СО
о
о
о
о
»
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
»
g
о
о
о
о
о
о
о
о
tn о
г^
о
о
о
о
«—1
OJ
о
о
о
о
1—1
о
о
о
о
t
g
о
о
о
о
о
о
о
о
CNJ
о
о
о
о
OJ |
-=9"
о
Еп
о
о
о
о
t
g
о
о
о
о
о
о
о
о
о
гп
о
о
о
о
«—1
ею .
о <
,-
о
=t
со
ь-
о
ЧО СО
о
о
о
о
g
о
о
о
о
о
о
о
о
гп
о
о
о
о
(~1
о
о
о
о
1
g
о
о
о
о
о
о
о
о
о
=т
о
о
о
о
<->
§

ЛИТЕРАТУРА
1. Banerjee P. K. Integral equation methods for analysis of piece-wise non-homo-
non-homogeneous three-dimensional elastic solids of arbitrary shape. — Int. J. Mech.
Sci., 1976, 18, p. 293—303.
2. Banerjee P. K-, Mustoe G. G. The boundary element method for two-dimen-
two-dimensional problems of elastoplasticity. — In: Recent advances in boundary element
methods, С A. Brebbia (ed.). — London: Pentech., 1978, p. 283—300.
3. Benjumea R., Sikarskie D. L. On the solution of plane, orthotropic elasticity
problems by an integral method. — J. Appl. Mech., 1972, 39, p. 801—808.
1Имеется перевод: Прикладная механика. — М. Мир, 1972].
4. Berry D. S. An elastic treatment of ground movement due to mining. I. Isotropic
ground.— J. Mech. Phys. Solids, 1960, 8, p. 280—292.
5. Besuner P. M. The application of the boundary-integral equation method to the
solution of engineering stress analysis and fracture mechanics problems. —
Nucl. Engng Des., 1977, 43, p. 161—173.
6. Brady B. H. G., Bray J. W. The boundary element method for elastic analysis
of tabular orebody extraction, assuming complete plane strain. — Int. J. Rock
Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr., 1978, 15, p. 29—37.
7. Brebbia C. A. (ed.). Recent advances in boundary element methods. — London:
Pentech., 1978.
8. Brebbia C. A. (ed.). New developments in boundary element methods. —¦
Southampton: CML Publications, 1980.
9. Chang Y. P., KangC. S., Chen D. J. The use of fundamental Green's functions
for the solution of problems of heat conduction in anisotropic media. —- Int.
J. Heat Mass Transfer, 1973, 16, p. 1905—1918.
10. Chaudonneret M. On the discontinuity of the stress vector in the boundary
integral equation method for elastic analysis. ¦— In: Recent advances in boun-
boundary element methods. С A. Brebbia (ed.). — London: Pentech., 1978,
p. 185—194.
11. Cole D. M., Kosloff D. D., Minster J. B. A numerical boundary integral equation
method for elastodynamics.—Int. Bull. Seismol.Soc. Am., 1978,68, p. 1331—1357.
12. Cornet F. H. Comparative analysis by the displacement-discontinuity method
of two energy criteria of fracture. — J. Appl. Mech., 1979, 46, p. 349—355.
Also discussion, ibid. 1980, 47, p. 453—455.
13. Crouch S. L. Solution of plane elasticity problems by the displacement discon-
discontinuity method. — Int. J. Num. Methods Engng, 1976, 10, p. 301—343.
14. Crouch S. L. Analysis of stresses and displacements around underground exca-
excavations: an application of the displacement discontinuity method. — Geo-
mechanics report to the National Science Foundation. Minneapolis: University
of Minnesota, 1976.
15. Crouch S. L. Computer simulation of mining in faulted ground. — J. S. Afr.
Inst. Min. Metall., 1979, 79, p. 159—173.
16. Cruse T. A. A direct formulation and numerical solution of the general transient
elastodynamic problem. II. —J. Math. Anal. Applies, 1968, 22, p. 341—355.
17. Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics. — Int.
J. Solids Struct., 1969, 5, p. 1259—1274.

Литература 323
18. Cruse T. A. An improved boundary-integral equation method for three-dimen-
three-dimensional elastic stress analysis. — Comput. Struct., 1974, 4, p. 741—754.
19. Cruse T. A., Rizzo F. J. A direct formulation and numerical solution of the
general transient elastodynamic problem. — Int. J. Math. Anal Applies
1968, 22, p. 244—259. '
20. Cruse T. A., Rizzo F. J. (eds.) Boundary-integral equation method: computa-
computational applications in applied mechanics. AMD 11. — New York: Am Soc
Mech. Engrs, 1975.
21. Frasier J. Т., Rongved L. Force in the plane of two joined semi-infinite pia-
tes. — J. Appl. Mech., 1957, 24, p. 582—584.
22. Goodman R. E. Methods of geological engineering. — St. Paul: West, 1976.
23. Green A. E. A note on stress systems in aeolotropic materials. — Phil. Mag
1943, 34, p. 416—418.
24. Green A. E., Taylor G. I. Stress systems in aeolotropic plates, III. — Proc
R. Soc. Lond., A184, 1945, p. 181—195.
25. Hackett P. An elastic analysis of rock movements caused by mining. — Trans.
Inst. Min. Engng, 1959, 118, p. 421—433.
26. Hondros G. The evaluation of Poisson's ratio and the modulus of materials
of a low tensile resistance by the Brazilian (indirect tensile) test, with parti-
particular reference to concrete. — Aust. J. Appl. Sci., 1959, 10, p. 243—268.
27. Jaeger J. С Elasticity, fracture and flow, with engineering and geological
applications, 2nd edn., 1962. London: Methuen, 1962.
28. Lachat J. C, Watson J. O. Effective numerical treatment of boundary-in-
boundary-integral equations: a formulation for three-dimensional elastostatics. — Int.
J. Num. Methods Engng, 1976, 10, p. 991—1005.
29. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. —М.: Наука, 1973.
30. Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th edn.,
1944. New York: Dover. [Имеется перевод: Ляв А. Е. Математическая теория
упругости. — М.—Л., 1935].
31. Massonet С. Е. Numerical use of integral procedures. — In: Stress analysis —
recent developments in numerical and experimental methods, О. С Zienkiewicz
and G. S. Holister (eds.). — New York: Wiley, 1965, p. 198—235.
32. Melan E. Poinfforce at internal point in a semi-infinite plate.-—Z. Angew.
Math Mech., 1932, 12, p. 343—346.
33. Mukherjee S., Kumar V. Numerical analysis of time-dependent inelastic defor
mation in metallic media using the boundary-integral equation method. —
J. Appl. Mech., 1978 ,45, p. 785—790.
34. Plewman R. P., Deist F. H., Ortlepp W. D. The development and application
of a digital computer method for the solution of strata control problems. —
J. S. Afr. Inst. Mining Metall., 1969, 70, p. 33—44.
35. Riccardella P. С An implementation of the boundary-integral technique for
planar problems of elasticity and elasto-plasticity. — Ph. D. thesis, Carnegie
Mellon University, 1973.
36. Rice J. R. Mathematical analysis in the mechanics of fracture. — In: Fracture,
an advanced treatise Vol. II: Mathematical fundamentals, H. Liebowitz (ed.).
1968, 191—311, New YOrk: Academic Press, 1968, p. 191—311. [Имеется
перевод: Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. —
В кн.; Разрушение, т. 2, Г. Либовиц (ред.). — М.: Мир, 1975, с. 204—335.]
37. Rizzo F. J. An integral equation approach to boundary value problems of classi-
classical elastostatics. — Q. Appl. Math., 1967, 25, p. 83—95.
38. Rizzo F. J., Shippy D. J. A formulation and solution procedure for the general
non homogeneous elastic inclusion problem.— Int J. Solids Struct., 1968,
4, p. 1161—1179.
39. Rizzo F. J., Shippy D. J. A method of solution for certain problems of transi-
transient heat conduction. — Am. Inst. Aeronaut. Astron. J., 1970, 8, p. 2004—2009.
40. Rizzo F. J., Shippy D. J. A method for stress determination in plane anisotropic
elastic bodies. — J. Composite Materials, 1970b, 4, p. 36—61.

324 Литература
41. Rizzo F. J., Shippy D. J. An application of the correspondence principle of
linear viscoelasticity theory. — SIAM J. Appl. Math., 1971, 21, p. 321—330.
42. Rizzo F. J., Shippy D. J. An advanced boundary integral equation method
for three-dimensional thermoelasticity. — Int. J. Num. Methods Engng, 1977,
11, p. 1753—1768.
43. Rongved L. Dislocation over a bounded plane area in an infinite solid. —
J. Appl. Mech., 1957, 24, p. 252—254.
44. Salamon M. D. G. Elastic analysis of displacements and stresses induced by
the mining of seam or reef deposits, Part I. — J/S. Afr. Inst. Min. Metall,
1963, 64, p. 128—149.
45. Salamon M. D. G. Elastic analysis of displacements and stresses induced by
mining of seam or reef deposits, Part IV. — J. S. Afr. Inst. Min. Metall, 1964,
65, p. 319—338.
46. Shield R. T. Notes on problems in hexagonal aeolotropic materials. — Proc,
Camb. Phil. Soc, 1951, 47, p. 401—409.
47. Sneddon I. N. Fourier transforms, 1951. —New York: McGraw-Hill, 1951.
[Имеется перевод: Снеддон И. Н. Преобразование Фурье. — М.: ИЛ, 1955].
48. Snyder M. D., and T. A. Cruse. Boundary-integral equation analysis of cracked
anisotropic plates. — Int. J. Fracture,*» 1975, 11, p. 315—328.
49. Sokolnikoff I. S. Mathematical theory of elasticity, 1956, 2nd edn. — New
York: McGraw-Hill, 1956.
50. Starfield A. M., Crouch S. L. Elastic analysis of single seam extraction. —
In: New horizons in rock mechanics, H. R. Hardy, Jr. and R. Stefanko (eds.).—
New York: Am. Soc. Civil Engrs, 1973, p. 421—439.
51. Swedlow J. L., Cruse T. A. Formulation of boundary-integral equations for
three-dimensional elasto-plastic flow. — Int. J. Solids Struct., 1971, 7, p. 1673—
1683.
52. Tada H., Paris P. C, Irwin G. R. The stress analysis of cracksmandbook. Hel-
lertown, PA: Del Research Corporation, 1973.
53. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of elasticity, 3rd edn. New York:
McGraw-Hill, 1970. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория
упругости. — М.: Наука, 1975].
54. Wardle L. J., Crotty J. M. Two-dimensional boundary integral equation ana-
analysis for non-homogeneous mining applications. — In: Recent advances in
boundary element methods, С A. Brebbia (ed.) — London: Pentech., 1978,
p. 233—252.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропная упругость 187, 197,
216—222
Балка, свободно опертая 151—154
Вектор усилия 19
Внутренняя и внешняя задачи 13
Выработки в пластообразных рудных
залежах 237
слоистой горной породе 216—•
218
— подземные 199—201
Вязкоупругость линейная 14
Геологические разрывы 201
Граничные коэффициенты 66
Деформации 21
Диаграмма Мора 233—234, 250—251
Динамические задачи теории упруго-
упругости 14
Задача Кельвина для плоской дефор-
деформации 192—193
-— о вдавливании жесткого штампа
40—45
трещине под внутренним давле-
давлением 83—89, 101
— Фламана 33—35
Индексные обозначения 25—26, 130—
132
Интегральное уравнение 50—51, 112,
120, 133—136
• фиктивных нагрузок 65
прямом методе граничных ин-
интегралов 115
для элементов высшего порядка
144
— напряжений 127, 128
— Пуассона 188—189
— смещений 125—126
Краевая задача в дополнительных на-
напряжениях 200
напряжениях 30, 71—73 79,
120, 200
смещениях 30, 71—73 79,
96—99, 120
для неоднородного тела 169
Краевые задачи 9—14
Локальная система координат 66
Метод граничных элементов 264—270,
169—174, 177—180, 272—277
— конечных элементов 270—272
— отражения 162
— разрывных смещений 83—НО, 154—
169, 180—187, 251—
— фиктивных нагрузок 52—82, 203—
207
Моделирование геологических нару-
нарушений 201—203
— горных работ 248
— массива пород с начальной дефор-
деформацией 216—218
— скольжения на контакте 225
Модули сдвига 188—189
— скольжения на контакте 225—228
— Юнга 188—189
Квадратные элементы с постоянными
разрывами смещений 256—257
Контрольное решение 112—115
Коэффициент интенсивности напряже-
напряжений 155—160
Коэффициенты влияния в методе раз-
разрывных смещений 95
Напряжение 16
— дополнительные 79, 110, 208—209
— изгибающие 151—154, 212, 247—
248
— начальные 199—200, 208—216
— тангенциальные 70—71, 80, 102—
ПО, 122—123, 178—179, 197, 205—

326 Предметный указатель
207, 214, 218—322, 235—236, 244—
248 г
Начальные деформации контакта 207—
213
Нелинейное поведение контакта 222—
237, 248—251
Неограниченная пластина с круглым
отверстием 101
Непрямые методы граничных элемен-
элементов 14
Обобщенный закон Гука 23—24, 104,
187—192
Плоская деформация 22, 23, 26—28,
191—192
Плоские рудные залежи 251
Плоское напряженное состояние 18,
26
Полуплоскость 33—35, 38—40, 160—
169, 180—187, 244—248
Правила знаков 17, 19, 22, 70, 72,
84, 90, 96
Преобразование координат 30—32,
62—65, 93—95, 129—133, 139, 163—
164, 194
Приложения в горном деле 237—238,
244—263
Принцип суперпозиции сил 21, 35—
36, 162
Программа для Двумерного прямого
метода граничных интегралов 122,
309—321
метода разрывных смещений 97,
298—308
фиктивных нагрузок 72, 280—
297
Программные модули 15, 160—169,
180—187
Прямой метод граничных интегралов
111—112, 138—154, 174—177
элементов 14, 111—136, 138—
154, 174—177
Путь нагружения 223
Разрыв смещений в связанной полу-
полуплоскости 180—182
Раскрытие контакта 228
Расположение элементов 45—46, 153—
154. 280
Сингулярные решения 10, 15
Смешанная краевая задача 30, 40—41,
71—73, 120
Собственные влияния элементов 68,
95—96, 115—120, 134, 150
Соотношения напряжения — деформа-
деформации 189—190
Сосредоточенная сила 52—55, 160—
161
Специальный концевой элемент 156
Структура программы 81—82, 284—
285, 298
Тело неоднородное 169—187, 244—248
— однородное 187
¦— трансверсально изотропное 187, 192,
217
Тензор деформаций
— напряжений 16—59
Теорема взаимности 112, 124
Точность 13, 37, 49—50, 77—79, 84,
101—102, 122—123, 137, 150—154,
158, 198, 239—244, 263
Упругие контактные элементы 201—
203
Упругопластическое поведение 15
Уравнения равновесия 17
Условие Кулона—Мора 222, 228
Условия симметрии 47—48, 73—77,
¦99, 281
— совместности 23
Формулы Сомильяны 124—129, 133
Функция влияния силы 36
Численное решение задачи о распреде-
распределенной нагрузке 39
Элемент Кулона—Мора 222, 226—227,
230
Элементы высшего порядка 114—115,
136, 138—160
— конечные 10—13, 15, 154
— контактные 201—203
Энергия деформации 159

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВ.ОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
1. ВВЕДЕНИЕ 9
2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 16
2.1. Введение 16
2.2. Напряжение 16
2.3. Деформация 21
2.4. Обобщенный закон Гука 23
2.5. Индексные обозначения 25
2.6. Плоское напряженное состояние и плоская деформация. ... 26
2.7. Постановка задач теории упругости 29
2.8. Преобразование координат 30
3. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 33
3.1. Нормальная нагрузка на полуплоскость (задача Фламана). . . 33
3.2. Распределенная нагрузка 35
3.3. Задача о вдавливании штампа 40
3.4. Численная процедура , 41
3.5. Решение задачи о жестком штампе 43
3.6. Неравномерное расположение элементов 45
3.7. Учет условия симметрии 47
3.8. Резюме 48
3.9. Интегральная формулировка 50
4. МЕТОД ФИКТИВНЫХ НАГРУЗОК 52
4.1. Введение 52
4.2. Задача Кельвина для плоской деформации 53
4.3. Постоянные усилия вдоль отрезка 55
4.4. Численная процедура , 60
4.5. Преобразование координат. 62
4.6. Коэффициенты влияния 65
4.7. Внутренняя и внешняя задачи 71
4.8. Условия симметрии 73
4.9. Примеры 77
4.10. Структура программы 81
5. МЕТОД РАЗРЫВНЫХ СМЕЩЕНИЙ 83
5.1. Введение 83
5.2. Разрыв смещения в бесконечной сплошной среде 84

328 Оглавление
5.3. Задача о трещине под внутренним давлением 87
5.4. Численная процедура 89
5.5. Преобразование координат 93
5.6. Коэффициенты влияния 95
5.7. Внутренняя и внешняя задачи 96
5.8. Условия симметрии 99
5.9. Примеры 99
5.10. Расчет тангенциальных напряжений вдоль границы ..... 103
6. ПРЯМОЙ МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Ill
6.1. Введение 111
6.2. Теорема взаимности и ее следствия 112
6.3. Выбор контрольных решений 114
6.4. Коэффициенты влияния 110
6.5. Построение системы уравнений 120
6.6. Пример 122
6.7. Формулы Сомильяны 12jl
6.8. Преобразование координат 12?
6.9. Другие формулировки метода Ш
7. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ Щ
7.1. Введение 137
7.2. Аппроксимации высшего порядка в прямом методе граничных
интегралов 138
7.3. Элементы для концов трещины 154
7.4. Программные модули для полуплоскости 16D
7.5. Неоднородные тела \щ
7.6. Программные модули для связанных полуплоскостей \Щ
7.7. Анизотропная упругость \Щ
8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГОРНОЙ ГЕОМЕХАНИКЕ И ИНЖЕНЕРНОЙ
ГЕОЛОГИИ 19$
8.1. Численное моделирование в горной геомеханике 198
8.2. Напряжения и смещения вокруг подземных выработок в тре-
трещиноватых породах 199
8.3. Выработки в слоистой горной породе 216
8.4. Контакты со сцеплением и трением 222
8.5. Выработки в пластообразных рудных залежах 237
8.6. Моделирование горных работ в породе с нарушениями . .... 248
8.7. Плоские рудные залежи; трехмерные эффекты 251
ДОПОЛНЕНИЕ. О СТАНОВЛЕНИИ И РАЗВИТИИ МЕТОДА ГРА-
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ А. М. Линьков 264
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ "ДВУ-
"ДВУМЕРНОГО МЕТОДА ФИКТИВНЫХ НАГРУЗОК (TWOFS) 280
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ ДВУ-
ДВУМЕРНОГО, МЕТОДА РАЗРЫВНЫХ СМЕЩЕНИЙ (TW0DD) . ... 298
ПРИЛОЖЕНИЕ С. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ ДВУ-
ДВУМЕРНОГО,'ПРЯМОГО МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ TWOBI 309
ЛИТЕРАТУРА 322
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 325