/
Author: Бенерджи П. Баттерфилд Р.
Tags: математика физика инженерия интегральные уравнения издательство мир
Year: 1984
Text
Boundary Element
Methods in Engineering Science
P. K. Banerjee
Professor of Civil Engineering,
State University of New York at Buffalo
and
R. Butterfield
Professor and Head of the Department of
Civil Engineering, University of Southampton
McGRAW-HILL BOOK COMPANY (UK) LIMITED?
London • New York • St Louis • San Francisco • Auckland • Bogota • Guatemala
Hamburg • Johannesburg • Lisbon • Madrid • Mexico • Montreal • New Delhi
Panama • Paris • San Juan • Sao Paulo • Singapore • Sydney • Tokyo • Toronto
1981
П.БЕНЕРДЖИ • Р. БАТТЕРФИЛД
МЕТОДЫ
ГРАНИЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
В ПРИКЛАДНЫХ
НАУКАХ
Перевод с английского
А. Ф. ВАЗОВСКОГО, А. В. КАПЦОВА
и М. Л. ХОЛМЯНСКОГО
под редакцией
Р. В. ГОЛЬДШТЕЙНА
МОСКВА «МИР» 1984
ББК 22.193
Б 46
УДК 518.6
Бенерджи П., Баттерфилд Р.
Б 46 Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер.
с англ. — М.: Мир, 1984. — 494 с., ил.
В методах граничных элементов; задача сводится к решению дискретного
аналога граничного интегрального уравнения. Книга известных специалистов
П. Венерджи (США) и Р. Баттерфилда (Англия) содержит систематическое и
замкнутое изложение этих методов, ориентированное на непосредственных поль-
зователей-инженеров. Методы применяются к решению задач гидродинамики,
теории упругости и пластичности, теории фильтрации, механики разрушения
и т. д. и сопоставляются с другими численными методами.
Для математиков-прикладников, физиков, механиков, инженеров, аспирантов
и студентов вузов.
1703040060—035 ,
Б -------------- 41—84, ч. 1
041(01)—84
ББК 22.193
518.6
Редакция литературы по математическим наукам
© 1981 McGraw-Hill Book Company (UK) Limited
© Перевод на русские язык, «Мир», 1984
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
«Методы граничных элементов» (МГЭ) — нетрадиционный тер-
мин, который в последнее время появился в зарубежной литературе
для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно
применяемых универсальных численных методов решения теорети-
ческих и прикладных задач. Уже само название выделяет характер-
ную особенность МГЭ: возможность решения задачи с использо-
ванием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов
конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР),
применение которых требует дискретизации всей области). Естест-
венно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает
предварительный переход от исходной краевой задачи для диффе-. ,
ренциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соот-
ношениям, связывающим неизвестные функции на границе области j
(или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют
собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются неко-
торыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу
заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сво-
дятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во
Методам ГИУ посвящен сборник [1]; там же в дополнении рас-
смотрены и некоторые возможности применения вариационных
методов для понижения размерности краевых задач и их последую-
щего численного решения, а также даны ссылки на работы совет-
ских ученых в рассматриваемой области. Сборник был призван в
первую очередь стимулировать интерес инженеров, механиков и
физиков к этим методам.
Цель предлагаемой книги иная — научить непосредственных
пользователей применять методы граничных элементов на практи-
ке. Поэтому в ней дано последовательное замкнутое изложение,
всех аспектов МГЭ, связанных именно с применением к решению
задач Механики, физики и техники. Намеренно не затрагиваются
вопросы обоснования численных алгоритмов, зато детально изла-
гается физическая интуитивная основа МГЭ, подчеркивается бли-
зость этих методов традиционным представлениям об инженерном
подходе к решению задач (в этом смысле МГЭ так же близки инже-
неру, как, скажем, МКЭ) и подробно описывается техника их реа-
лизации на ЭВМ.
6 Предисловие редактора перевода
Привлекательная особенность книги состоит в том, что она сум-
мирует опыт применения МГЭ в самых разных разделах механики,
физики и инженерного дела с учетом новых результатов, получен-
ных самими авторами и другими учеными. С этой точки зрения
книга удачно сочетает черты учебника и научной монографии.
Содержание и структура книги ясны из подробного оглавления;
обратим внимание лишь на несколько моментов.
1. В книге систематически рассматриваются МГЭ трех типов:
прямые (составляется и решается ГИУ относительно функций,
имеющих смысл в содержательной постановке исходной задачи);
непрямые (строится решение ГИУ, записанного для вспомогатель-
ных функций (плотностей распределения), по которым неизвестные
исходной задачи находятся интегрированием); полупрямые (задача
сводится к ГИУ относительно некоторых вспомогательных функ-
ций, например относительно функции напряжений в теории упру-
гости или функции тока в гидродинамике). Разбираются особенности
методов каждой группы и приводятся результаты их примене-
ния к решению одних и тех же задач, чги позволив г суди го и пре-
имуществах и недостатках указанных методов применительно к
разным классам задач.
2. Изложение ведется параллельно-—для механики жидкостей
и газов и для механики деформируемого твердого тела. Построение
соответствующих глав однотипно: после изложения путей вывода
ГИУ рассматриваются способы дискретизации и описания границы,
способы -восполнения искомых функций, приемы вычисления ин-
тегралов, входящих в ГИУ и в формулы, позволяющие находить
по решению ГИУ поля внутри области, а также приводятся много-
численные примеры решения конкретных задач.
3. Некоторые важные методические вопросы рассматриваются
в специальных главах; например гл. 7 посвящена особенностям
алгоритмов МГЭ для областей с нерегулярной границей, а в гл. 8
подробно анализируются возможности описания геометрии гранич-
ных элементов и изменения в их пределах искомых функций.
В этих и других главах книги авторы показывают, что при разра-
ботке алгоритмов МГЭ в ряде случаев можно использовать технику
других методов, и в частности методов конечных элементов.
4. Особое внимание уделяется алгоритмам МГЭ для решения
нестационарных задач. Анализируются два пути, позволяющие
свести нестационарную задачу к статической задаче с параметром:
один связан с преобразованием Лапласа, другой — с реализацией
процедуры расчета шагами по времени. Алгоритмы второго типа
более универсальны и эффективны.
5. Специально рассматриваются возможности МГЭ в нелиней-
ных задачах трех видов: (а) часть границы, на которой реализуется
jo или иное краевое условие, не известна заранее; (б) имеется
внешнее воздействие, интенсивность которого зависит от текущих
Предисловие редактора перевода
7
значений неизвестных функций, т. е. нелинейны правые части диф-
ференциальных уравнений; (в) нелинейны определяющие соотно-
шения среды.
Общий подход здесь, как, скажем, и в МКЭ, состоит в примене-
нии итерационных алгоритмов, с тем чтобы на каждом шаге нужно
было строить решение соответствующей линейной задачи. Так, при
решении задачи типа (а) на каждом шаге итерационного процесса
сначала неизвестная граница считается условно заданной, затем
строится решение линейной задачи для фиксированной области,
находится невязка в граничных условиях и вычисляется поправка
к форме неизвестной границы, после чего процесс повторяется.
Как известно, подобного рода алгоритм достаточно эффективен
(особенно в трехмерных задачах) лишь при применении специаль-
ных процедур выбора шага итерационного процесса. В связи с
этим стоит обратить внимание на другую возможность решения
задач с неизвестной границей. В ряде случаев исходную задачу
можно привести к вариационной задаче минимизации функционала
по границе (или по ее части) с ограничениями в форме равенств и
неравенств или к решению вариационного неравенства {2]. В свою
очередь подобные вариационные задачи сводятся к задачам мате-
матического программирования, численные методы решения кото-
рых хорошо разработаны (см., например, [3]). В качестве примеров
применения такого подхода укажем работы [4, 5].
Нелинейные задачи типа (б) и (в) отличаются тем, что соответ-
ствующие им интегральные уравнения нельзя сделать полностью
граничными: эти уравнения содержат члены, в которые неизвестные
функции входят под знаком интеграла по всей области. В кни-
ге подробно исследуются нелинейные задачи упруговязкопластич-
urV'TlT /ооттоттт» ТЧТГЮ /пП /> П ОГГ’МЗ'ГПШХЛЛТРО ПЯЯ ПЫХТЦКТА ЫТАПЯППОИ-
х-..............- х_7/ - г-----г- , *, •
ные алгоритмы, для которых характерно сведение исходной нели-
нейной задачи на каждом шаге к линейной задаче с некоторым
специальным распределением объемных сил. Авторы приходят
к выводу о том, что в нелинейных задачах предпочтение следует
отдавать прямым МГЭ.
6. В книге систематически проводится сравнение эффективности
•МГЭ и других численных методов, в первую очередь МКЭ и МКР-
Для пользователей важно, что во многих случаях (которые указаны
в книге) уже существующие программы МГЭ оказываются более
эффективными, чем программы МКЭ и МКР- Анализ преимуществ
и недостатков обеих групп методов применительно к разным клас-
сам задач наводит на мысль о целесообразности разработки ком-
бинированных численных методов (гл. 14), которым сейчас уделя-
ется большое внимание. Симптоматично, что энтузиастом исследо-
ваний в этом направлении является один из ведущих специалистов
по методам конечных элементов — профессор О. Зенкевич. В част-
ности, им и его коллегами успешно применяются некоторые (на-
шедшие отражение и в гл. 14) вариационные способы получения
8 Предисловие редактора перевода
соотношений МГЭ, приводящие при комбинировании МГЭ и МКЭ
к системам линейных алгебраических уравнений с симметричными
матрицами.
Из сказанного видно, что предлагаемая книга поможет тем,
кто занимается (или хочет заняться) решением на ЭВМ исследова-
тельских и технических задач, практически освоить методы гранич-
ных элементов; она послужит стимулом к дальнейшему совершен-
ствованию и внедрению этих методов. С результатами в области
методов граничных элементов, полученными после выхода англий-
ского издания книги, можно познакомиться по серии сборников
(6—9] (содержание сборника [9] этой серии в книге отражено).
Работа по переводу была распределена следующим образом:
А. Ф. Зазовский перевел предисловие и гл. 2, 3, 5, 8, 9, 13—15,
А. В. Капцов — гл. 4, 6, 10, 11 и приложения, М. Л. Холмян-
ский — гл. 1, 7 и 12. В процессе перевода и редактирования книги
в авторском тексте были обнаружены отдельные опечатки и неточ-
ности; специально соответствующие исправления не отмечались.
d uul'iojjdwi, v-Ajr . u профессора
П. Бенерджи за содействие изданию перевода.
Р. В. Гольдштейн
Литература
[11 Метод граничных интегральных, уравнений. Вычислительные аспек-
ты и приложения в механике. Ред. Т. Круз, Ф. Риццо. —М.: Мир,
197В
[2] Дюво Г., Лионе Ж-Л. Неравенства в механике и физике. —М.: Наука,
1980.
[31 Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управле-
ния. — М.: Наука, 1978.
[4] Федоренко Р- П. Метод численного решения пространственных задач
качения с проскальзыванием и сцеплением. — Препринт № 158 Ин-та
прикладной математики АН СССР им. М. В. Келдыша, М., 1979.
[5J Гольдштейн Р. В.-, Зазовский А. Ф., Спектор А- А., Федоренко Р. П.
Решение пространственных контактных задач качения с проскальзыва-
нием и сцеплением вариационным методом. — Препринт № 134 Ин-та
проблем механики АН СССР, М., 1979.
[6] Developments in boundary element methods. Ed. P. K. Banerjee,
R. Shaw. Vol. II. — London: Applied Science Publishers, 1982.
[7] Developments in boundary element methods. Ed P. K- Banerjee, S. Mu-
kherjee. Vol. III. — London: Applied Science Publishers, 1983 (в печати).
[8] Developments in boundary element methods. Ed. P. K. Banerjee,
J. O- Watson. Vol. IV. — London: Applied Science Publishers, 1984
(в печати).
[91 Developments in boundary element methods. Ed. P. K. Banerjee,
R. Butterfield. VoL I. — London: Applied Science Publishers, 1979.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Подавляющему большинству практических задач, возникающих
в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная
нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам,
так что при их количественном исследовании Трудно рассчитывать
на получение аналитических результатов и решения, как правило,
приходится так или иначе искать численно. Наиболее распростра-
ненные численные методы основываются на достаточно мелком
подразделении изучаемой области либо путем введения линейных
сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конеч-
но-разностных методах, либо путем разбиения области на большое
число дискретных элементов простой структуры, как в методах
конечных элементов.
Последние в настоящее время достигли такой стадии развития
и популярности, что невольно возникает сомнение, существует ли
какой-либо другой подход, способный конкурировать с ними по
возможностям и простоте реализации.
Настоящая книга посвящена такому альтернативному методу,
в равной степени универсальному и основанному на изучении не
самих лиффсприттияльных уравнений, описывающих конкретную
задачу, а соответствующих этой задаче граничных интегральных
уравнений. Самая замечательная особенность методов граничных
интегральных уравнений состоит в том, что при их реализации
дискретизации подлежат в принципе лишь границы изучаемых об-
ластей; это естественно ведет к существенному уменьшению числа
дискретных элементов по сравнению с методами, требующими внут-
ренней дискретизации всего рассматриваемого тела. Следовательно,
для того чтобы найти окончательное решение этими методами, нуж-
но решить систему алгебраических уравнений более низкого поряд-
ка, чем при использовании других методов.
Следует отметить, что,' в то время как метод конечных элемен-
тов, первоначально возникший из естественных физических сооб-
ражений, успешно развивался и был доведен до высокой степени
совершенства, методы граничных интегральных уравнений в зна-
чительной мере относились к сфере деятельности математиков,
и посвященная им литература (хотя и обширная) в большинстве
своем написана в форме, не представляющей непосредственного
интереса для инженеров-расчетчиков.
10’
Предисловие
Настоящая книга представляет собой попытку восстановить
равновесие. Ее название «Методы граничных элементов в приклад-
ных науках» призвано подчеркнуть, что основным процессом явля-
ется тот или иной способ разбиения границ на надлежащим образом
выбранные элементы (граничные элементы). Все понятия первона-
чально поясняются на уровне физических и интуитивных сообра-
жений, и лишь затем приводятся более строгие формулировки;
это позволяет надеяться, что их принципиальная простота произ-
ведет должное впечатление на читателя. Те же, кто знаком с поня-
тием линий влияния, или с матричными методами строительной
механики, или с методами суперпозиции фундаментальных решений
(функция Грина и пр.), убедятся, что идеи, лежащие в основе МГЭ,
им уже хорошо известны.
Изложение построено таким образом, что при последовательном
изучении книги не требуется обращения к дополнительным источ-
никам. Отдельные математические вопросы, выходящие за рамки
программы средних курсов технических и прикладных специально-
стей высших учебных заведений, поясняются в приложениях. Каж-
ТТ«1 ГТ т»ттг»п ПЛПОЛПГППтЛГГ r\ff\r>rrr^rrrr^ry ТТТ ТТТ т» я ПТТТТЛТГЛ»» ггTfmAг
--- -----------------жж~ж ««ж.* ЖЖ' ~ жжхлж.ж —
связано с тем, что, хотя методы граничных интегральных уравне-
ний уже применялись к широкому кругу проблем, лишь недавно
было замечено, что большая часть посвященных им работ имеет
общую теоретическую основу и их практическая реализация на
ЭВМ требует одинакового математического обеспечения. Это об-
стоятельство привело к возрастанию интереса к методам граничных
интегральных уравнений со стороны специалистов, работающих
в различных областях.
Круг вопросов, рассматриваемых в книге, чрезвычайно разно-
образен и включает методы решения линейных и нелинейных, ста-
ционарных и нестационарных задач механики деформируемого
твердого тела и механики жидкости, а также комбинированные
методы, использующие МГЭ вместе с другими численными методами.
Многочисленные примеры решенных задач позволяют убедить-
ся в том, что МГЭ фактически уже применяется во всех областях
техники.
Нам бы хотелось также упомянуть о том, что один из алгоритмов
метода граничных элементов -для однородной области по своей
форме эквивалентен методу конечных элементов с единственным
«конечным элементом», совпадающим со всей областью. Такой
«суперэлемент» может быть добавлен к обычному набору конечных
элементов, формирующемуся по стандартным правилам, для полу-
чения решения комбинированным методом. Одно из очевидных до-
стоинств комбинированного подхода, присущее исключительно МГЭ,
состоит в возможности простого и точного учета бесконечно удален-
ных границ.
Предисловие
11
Благодарности
Многие примеры, используемые в данной книге, и некоторые
вычислительные идеи принадлежат нашим коллегам, в том числе
докторам Дж. Томлину, Дж. Уотсону, Р. Дрисколлу, Т. Девису,
Д. Н. Кейзи и Дж. Му сто, возможность работать с которыми была
одной из наших привилегий. Кроме того, мы находимся в долгу
перед рядом других ведущих специалистов, любезно позволивших
нам включить в книгу многочисленные примеры из их работ, а так-
же перед докторами Т. Крузом, Р. Шоу, Дж. Уотсоно и Р. Уил-
соном за многочисленные дискуссии и критические замечания.
За разрешение использовать материалы публикаций мы благо-
дарны институту American Institute of Physics, издательствам App-
lied Science Publishers и Cambridge University Press, фирме Doug-
las Aircraft Company, обществу Institution of Electrical Engineers,
издательствам Pergamon Press, Plenum Press Company и Prentice-
Hall Inc., обществу the Society of Naval Architects and Marine En-
gineers, Университету штата Нью-Йорк, издательствам Thomas
Telford Ltd. и John Wiley and Sons; мы чрезвычайно признательны
им также за помощь и содействие. Хотя для установления обла-
дателей авторских прав на диаграммы и таблицы были приложены
все усилия, сделать это абсолют но точно не всегда оказывалось воз-
можным, так что мы приносим наши извинения за любые ошибки
и неточности в этом отношении.
Наконец, нам бы хотелось поблагодарить Отделения строитель-
ной механики Саутгемптонского университета и Университетского
колледжа в Кардиффе за предоставленные нам вычислительные
средства, а ведомства Military Vehicles Experimental Establishment
(Christchurh), Science Research Council and the Department of the
Environment (London) и Depar lament ui Ocean Eiigineei lug, Liuyu’s
Register of Shipping за финансовую поддержку. Этот список отчасти
объясняет отчетливо прослеживаемую связь приведенных в книге
примеров со строительной механикой. Ввиду того что наши собст-
венные научные интересы тесно связаны с геотехникой, мы подо-
брали также ряд примеров, особенно показательных для этой об-
ласти.
77. К. Бенерджи
Р. Баттерфилд
Глава 1
введение в Методы
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
1.1. Общие положения
Когда инженер или ученый строит количественную математи-
ческую модель системы практически любого рода, он обычно начи-
нает с установления поведения бесконечно малого (дифференциаль-
ного) ее элемента на основании предполагаемых соотношений меж-
ду главными переменными, характеризующими систему. Это при-
водит к описанию системы при помощи дифференциальных урав-
нений. Как только построена основная модель и выяснены свойства
конкретного дифференциального уравнения, дальнейшие усилия
направляются на получение решения уравнений в конкретной
области, которая часто имеет очень сложную форму и состоит из
различных сред, имеющих сложные свойства. На границах области
задаются различные условия; они могут быть постоянными или
меняться со временем и т. д. Поэтому не удивительно, что решение
таких дифференциальных уравнений было основным делом анали-
тиков в течение более двух столетий.
Наличие нерегулярных границ в большинстве практических
задач не позволяет построить аналитическое решение дифферен-
циальных уравнений, и численные методы стали единственным воз-
можным средством получения достаточно точных и подробных ре-
зультатов.
Наиболее широко используемые в настоящее время численные
методы рассматривают дифференциальные уравнения непосредст-
венно в той форме, в которой они были выведены (без каких-либо
дальнейших математических манипуляций), при помощи одного
из двух подходов: или при помощи аппроксимации дифференциаль-
ных операторов в уравнениях более простыми локализованными
алгебраическими операторами, действующими в последовательно-
стях узлов, находящихся в области, или при помощи представле-
ния самой области элементами среды, не являющимися бесконечно
малыми (т. е. конечными элементами), которые в совокупности
аппроксимируют реальную систему.
Метод конечных разностей П] — родоначальник первого под-
хода, и до последних пятнадцати лет, когда его стали заменять
методами второго рода, он наиболее широко использовался. Мето-
ды конечных разностей привлекательны тем, что их в принципе
можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений,
но, к несчастью, учет граничных условий задачи очень часто явля-
1.2. Альтернативный подход 13
ется громоздкой и трудно программируемой операцией. Точность
полученного численного решения полностью зависит от степени
измельчения сетки, определяющей узловые точки, и, следовательно,
в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с систе-
мами алгебраических уравнений очень высокого порядка.
В настоящее время наиболее популярным, безусловно, является
иной подход, состоящий в возвращении к характерному для физики
разбиению тела на элементы конечных размеров; чем больше эти
элементы, тем лучше с точки зрения минимизации числа получаю-
щихся уравнений. Поведение каждого элемента приближенно вос-
производит поведение малой области тела, которую он представ-
ляет, но условие полной непрерывности между элементами налага-
ется только в общем смысле (обычно в узлах), а не на всем протя-
жении границ раздела (т. е. такие методы, в сущности, аппрокси-
мируют тело и задают способ его составления).
Метод конечных элементов [2] воплощает этот подход и в по-
следние годы достиг такого уровня развития, что многие часто
сомневаются — может ли появиться хоть когда-нибудь равносиль-
ный метод, не говоря уже о лучшем. Диапазон применимости мето-
дов конечных элементов, их эффективность и сравнительная лег-
кость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия,
действительно делают их весьма серьезными соперниками для
любого конкурирующего метода. Самая слабая его сторона состоит
в том, чго он, во-первых, по идее представляет собой схему дискре-
тизации всего тела, а это неизбежно ведет к очень большому коли-
честву конечных элементов, особенно в трехмерных задачах с уда-
ленными границами, в пределах каждой из которых не все неизвест-
ные переменные изменяются непрерывно, и, во-вторых, часто
приводит к нереальным разрывам значений физических величин
МСЖДу CMtMtlbiMH злсмсп 1 cuvir*
1.2. Альтернативный подход
Очевидным альтернативным подходом к системе дифференциаль-
ных уравнений была бы попытка аналитически проинтегрировать
их каким-нибудь способом или перед переходом к какой-либо схеме '
дискретизаций, или перед введением какой-либо аппроксимации.
Конечно, мы пытаемся проинтегрировать дифференциальные урав-
нения, чтобы найти решение, какой бы метод мы ни использовали,-^
но сущность методов граничных интегральных уравнений состоит
в преобразовании дифференциальных уравнений в эквивалентную^
систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения
задачи. Интуитивно можно ожидать, что такая операция (если
она окажется успешной) даст систему уравнений? включающую
только значения переменных на границах области.
Отсюда в свою очередь должно следовать, что любая схема дис-
кретизации, которая понадобится впоследствии, будет приводить
14
Гл. 1. Введение в методы граничных элементов
лишь к разбиениям поверхности, ограничивающей область. Так и
происходит; поэтому в любой однородной области требуется диск-
ретизировать только поверхность, а не всю облас1ь (отсюда и на-
звание — «метод граничных элементов»), так что область стано-
вится одним большим сложным «элементом» в смысле метода конеч-
ных элементов. Тогда переменные, описывающие решение, будут
изменяться непрерывно в этой области и все аппроксимации гео-
метрии и т. д. будут иметь место только «а ее внешних границах.
Интуитивно можно ожидать и другое, а именно, что вывод гра-
ничных интегральных уравнений и их решение могут оказаться
более сложными математически, чем прочие упомянутые выше
методы. К счастью, это верно лишь отчасти, несмотря на то что
методы граничных интегральных уравнений в прошлом развива-
лись в основном математиками. Существующая литература, хотя
и обширна, имеет очевидный математический уклон. При этом
отсутствует конечное «вознаграждение», состоящее в том, что в
итоге получается универсальный метод, который можно единооб-
разно использовать. Однако с практической точки зрения за по-
следние несколько лет ситуация улучшилась. Теперь доступны
методы граничных элементов (МГЭ), развитые, по существу, на
основе идей интегральных уравнений. Эти методы широко приме-
нимы без использования доказательств существования и единствен-
ности для каждого отдельного решения. В результате они становят-
ся теперь чрезвычайно популярными и реализуются в алгоритмах
для быстродействующих ЭВМ, непосредственно используемых прак-
тиками.
1.3. Исторический обзор развития методов
граничных элементов
В то время как главные свойства дифференциальных уравнений
были хорошо уяснены в девятнадцатом веке, первое строгое иссле-
дование интегральных уравнений классических видов было опуб-
ликовано Фредгольмом только в 1905 г. С тех пор они интенсивно
изучались, особенно в связи с теорией поля, и имеется много учеб-
ников, излагающих эти результаты [3, 4]; впрочем, нам нет необхо-
ходимости часто обращаться к ним.
Значительный вклад в формальное понимание интегральных
уравнений был сделан позднее С. Г. Михлиным [5—7], который
обсуждает такие уравнения как со скалярными, так и с векторными
(многомерными) подынтегральными выражениями, и в частности
с особенностями и разрывами в области интегрирования. Все это
излагается на строгой математической основе, которая не вполне
знакома большинству ученых-прикладников. Несмотря на боль-
шие успехи, достигнутые в классификации и анализе свойств ин-
тегральных уравнений, оказалось, что никто из крупных авторов,
по-видимому, не рассматривал возможности построения основан-
1.3. Исторический обзор
15
ного на этих уравнениях общего численного алгоритма решения
широкого класса практических задач. Толчок этому развитию был
дан созданием быстродействующих ЭВМ, и результатом было по-
явление метода граничных элементов.
Хотя все МГЭ имеют общее происхождение, они естественным
образом делятся на три различные, но тесно связанные между собой
категории.
1. Прямой вариант МГЭ. В этом варианте неизвестные функ-
ции, входящие в интегральные уравнения, являются реальными,
имеющими физический смысл переменными задачи. Так, напри-
мер, в задачах теории упругости такое решение интегрального
уравнения должно сразу давать все усилия и смещения на границе,
а внутри тела они должны быть получены из граничных значений
численным интегрированием. Некоторые из недавно разработанных
алгоритмов, основанных на этом подходе; описаны Крузом, Лаша,
Риццо, Шоу, Уотсоном и другими 18—23] и названы ими методами
граничных интегральных уравнений.
2. Полупрямые варианты МГЭ. В качестве альтернативы мож-
но составлять интегральные уравнения для неизвестных функций,
аналогичных функциям напряжений в теории упругости или функ-
циям тока при потенциальном течении. Когда получено решение
для этих функций, простое дифференцирование даст, например,
распределение внутренних напряжений. Этот подход, известный
под названием полу прямого метода, был развит Генри, Джесуоном,
Понтером, Римом и Симмом [24—28].
3. Непрямые варианты МГЭ. В непрямом варианте интеграль-
ные уравнения полностью выражаются через фундаментальное
сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений,
распределенное с неизвестной плотностью по границам рассматри-
ваемой ооласти. (Фундаментальное сингулярное решение дифферен-
циальных уравнений может быть, например, функцией Грина для
неограниченной области; отсюда следует, что МГЭ и так называе-
мые методы функций Грина тесно связаны.) Сами по себе функции
плотности не имеют определенного физического смысла, но, когда
они найдены (численным решением интегральных уравнений),
значения параметров решения везде внутри тела могут быть полу-
чены из них простым интегрированием. Недавно развитые алгорит-
мы, основанные на таком подходе, описаны Бенерджи, Баттерфил-
дом, Хессом, Джесуоном, Массоне, Оливейрой, Симмом, Томлином,
Уотсоном и другими [29—43], использовавшими их для решения
широкого круга технических задач.
Настоящая книга целиком посвящена всесторонней демонстра-
ции мощи и простоты этих методов при достаточном, но не формаль-
но строгом освещении математической основы. Мы будем иметь
дело преимущественно с прямым и непрямым вариантами МГЭ,
так как, по нашему мнению, в общем случае они оказываются зна-
чительно полезнее полупрямого подхода. Непрямой МГЭ особенно
16 Гл. 1. Введение в методы граничных элементов
ясно и просто с физической точки зрения иллюстрирует основную
процедуру решения, и поэтому в следующих главах мы будем начи-
нать с описания этого метода.
Сделанные выше ссылки относятся только к последним публика-
циям, которые используют МГЭ и на основе которых были получены
весьма общие алгоритмы решения задач; многие другие иссле-
дователи решали частные задачи при помощи очень сходных ме-
тодов (см. список дополнительной литературы в конце настоящей
главы). Большинство одно-, дву- и трехмерных задач механики
сплошной среды (с учетом анизотропии, неоднородности и нели-
нейности), описываемых дифференциальными уравнениями в част-
ных производных, успешно решались при помощи МГЭ.
1.4. Область применения
В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче,
для которой дифференциальное уравнение или линейно, или ли-
нейно относительно приращений (44—49]. В задачах, сводящихся
к эллиптическим дифференциальным уравнениям, решения полу-
чаются сразу, в то время как для параболических и гиперболиче-
ских систем уравнений должны быть введены процессы продвиже-
ния во времени. Таким образом, охватывается очень широкий класс
физических задач; при помощи прямых или непрямых формулиро-
вок МГЭ могут быть решены, например, задачи об установившемся
и неустановившемся потенциальных течениях, задачи статической
и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики
и т. д. )8—49]. МГЭ может также быть использован в сочетании
с другими численными методами (44], такими, как методы конечных
элементов или конечных разностей, т. е. в смешанных формулиров-
ках. Соответствующие комбинированные решения почти неограни-
ченно расширяют область применения методов, ибо МГЭ обладает
четко выраженными преимуществами для областей больших разме-
ров, в то время как методы конечных элементов являются удобным
средством включения в такие системы объектов конечного размера
или уточнения поведения решения в зонах быстрого изменения
свойств. Более подробное сравнение особенностей этих методов
будет дано в следующем параграфе.
1.5. Сравнение особенностей методов конечных
элементов и граничных элементов
1.5.1. Применимость
Все методы граничных интегральных уравнений используют
принцип суперпозиции и поэтому применимы или к полностью
линейным системам, или к тем, которые линейны относительно при-
ращений либо могут быть аппроксимированы таковыми. Таким
1.5. Сравнение особенностей МКЭ и МГЭ 17
образом, последняя категория расширяет область применимости
методов на очень многие интересные для технических наук задачи.
Представляется, что существует очень мало задач, поддающихся
решению при помощи методов конечных элементов, которые нельзя
было бы по меньшей мере столь же эффективно решить при помощи
МГЭ. Это или задачи, в которых почти каждый отдельный-элемент
среды обладает различными свойствами, или задачи, геометрия
которых такова, что один или два пространственных размера не-
пропорционально малы по сравнению с другими, однако не на-
столько, чтобы по-настоящему уменьшить действительную размер-,
ность задачи (например, задачи о плитах и оболочках умеренной
толщины, узких тонких полосах и т. п.).
1.5.2. Размерность задачи
МГЭ уменьшает размерность исходной задачи на единицу, т. е.
для двумерных задач получается одномерное граничное интеграль-
ное уравнение, а для трехмерных задач — всего лишь двумерные
интегральные уравнения по поверхности.
Каждая отдельная ограниченная подобласть в МГЭ должна рас-
сматриваться как однородная, и поэтому для задач, в которых не-
однородность столь велика, что для адекватного ее моделирования
требуется большое количество малых однородных подобластей,
расчетная схема МГЭ с разбиением на подобласти, в сущности,
вырождается в расчетную схему с дискретизацией всей области.
В этом случае схемы МГЭ и методов конечных элементов становятся
фактически неотличимы друг от друга.
Если в задаче для однородной области или должны быть учтены
распоелеленные объемные силы или оснппиы₽ дифференциальные
уравнения лишь квазилинейны (как, например, в задачах упруго-
пластичности), то к граничйым интегралам следует добавить объем-
ный интеграл, включающий произвольные подразделения внутрен-
ней части тела. В этих случаях, однако, разбиение внутренней час-
ти на подобласти не приводит к какому-либо увеличению порядка
окончательной системы алгебраических уравнений, подлежащей
решению, и преимущества МГЭ сохраняются; Читатель должен
обратить внимание на отличие последней ситуации, когда разбиения
внутренней части тела происходят из-за необходимости учета из-
вестного распределения объемных сил*) (или псевдоинкременталь-
ных объемных сил в задачах пластичности) в однородных в осталь-
ных отношениях подобластях, от предыдущей ситуации, которая
отражает фундаментальную начальную неоднородность задачи.
Итак, для подавляющего большинства практических случаев
о Объемные интегралы от непрерывно распределенных консервативных
объемных сил очень часто могут быть преобразованы в эквивалентные гра-
ничные интегралы при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (см. гл. 6).
18 Гл. 1. Введение в методы граничных элементов
простая граничная дискретизация обязательно ведет к значительно
меньшей системе уравнений, чем любая схема дискретизации всего
тела. С другой стороны, матрицы порождаемых при помощи МГЭ
систем являются заполненными для однородной области и блочно-
ленточными, когда имеется более одной подобласти, в то время как
значительно большие матрицы, которые получаются при примене-
нии методов конечных элементов, относительно редко заполнены.
Вычисление каждого элемента матриц при решении МГЭ при-
водит, однако, к значительно большим арифметическим вычисле-
ниям, чем в методе конечных элементов, что компенсирует некото-
рое количество машинного времени, сэкономленного при решении
системы. Тем не менее это означает еще и следующее. По мере того
как рассматриваются все большие и большие задачи, совокупные
расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значи-
тельно менее резко в зависимости от размера задачи, чем для схем
метода конечных элементов. Из предпринятых различными авто-
рами исследований [13, 29] можно заключить, что сопоставляемые
времена решения трехмерных задач методом конечных элементов
и методом грапичпых олсмсптоп при близкой точности лбыиил ока-
зываются в четыре—десять раз меньше для последнего метода.
Эта разница могла бы быть гораздо больше для определенных клас-
сов задач, которые особенно благоприятны для МГЭ, например для
следующих.
1. Системы, границы которых частично находятся в бесконеч-
ности. Поскольку процедура решения МГЭ автоматически удовлет-
воряет допустимым граничным условиям на бесконечности, разбие-
ние этих границ не требуется, в то время как в методе конечных
элементов границы в бесконечности должны быть аппроксимиро-
ваны значительным количеством удаленных элементов.
2. Системы, содержащие полубесконечные области с «ненагру-
женными» участками свободной границы. И в этом случае вообще
нет необходимости дискретизировать «ненагруженные области»,
обычно составляющие большую часть свободной поверхности, если
использовать возможность выбора в МГЭ подходящего сингуляр-
ного решения [32].
1.5.3. Непрерывное моделирование полей внутри области
МГЭ включает моделирование только граничной геометрии
системы. Как только получена необходимая информация о границе,
могут быть вычислены значения переменных, описывающих реше-
ние, в< любых последовательно выбираемых внутренних точках.
Более того, решение полностью непрерывно всюду внутри тела.
Оказывается, что обе эти особенности присущи только МГЭ и выде-
ляют его среди возможных альтернатив. В силу непрерывности
решения исследователь может найти значения переменных в любой
заданной внутренней точке, о выборе которой он может позаботить-
1.6. Заключительные замечания
19
ся после основного анализа, причем с очень высокой точностью,
например в областях концентрации-напряжений в упругих или
упругопластических телах.
1.5.4. Точность и распределение погрешности
Само по себе граничное интегральное уравнение является форму-
лировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению,
и погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксима-
ций возникают только на границах и рядом с ними из-за невозмож-
ности выполнить численное интегрирование в замкнутой форме.
Если процедура численного интегрирования сделана достаточно
сложной (при использовании, например, криволинейных гранич-
ных элементов и непрерывно изменяющихся распределений функ-
ций на границе), то привносимые таким образом погрешности могут
быть действительно очень малыми. Конечно же, численное интегри-
рование всегда представляет собой более устойчивый и точный про-
цесс, чем численное дифференцирование, и ни прямой, ни непрямой
МГЭ не требуют никакого дифференцирования численных величин.
Теперь уже должно быть вполне ясно, что при отсутствии объ-
емных сил исследователь должен задать только информацию о
геометрии границ области (в дополнение к граничным условиям,
свойствам материала и прочим данным, общим для всех методов
решения). Таким образом, усилия, направленные на подготовку
данных, существенно меньше, чем требуется для любого метода,
включающего геометрическое моделирование внутренней части те-
ла. Поэтому для подавляющего большинства практических задач
МГЭ обладает очень существенными преимуществами по сравнению
с методами конечных элементов.
1.6. Заключительные замечания
В этой главе мы описали историческое развитие МГЭ как прак-
тического инструмента для решения задач и обсудили их полез-
ность по сравнению с другими популярными в настоящее время
методами. На основании этих сравнений мы заключили, что МГЭ
имеет перед другими методами значительные потенциальные пре-
имущества, которые теперь частично реализованы. Мы надеемся,
что последующие главы книги помогут ускорить этот процесс, как
иллюстрируя мощь МГЭ на примере решения широкого круга
практических задач, так и подчеркивая те уже знакомые большин-
ству инженеров и ученых-прикладников простые физические идеи,
на которых они основаны.
20
Гл. 1. Введение в методы граничных элементов
1.7. Литература
[1] Southwell R. V. Relaxation methods in theoretical physics. —• Oxford
Univ. Press, 1946.
[2] Zienkiewicz О. C. The finite element method in engineering science. —
London: McGraw-Hill, 1971. (Имеется перевод: Зенкевич О. Метод ко-
нечных элементов в технике.—М.: Мнр, 1975.]
(3] Kellog О. D. Foundations of potential theory. — Berlin: Springer, 1929;
New York: Dover, 1953.
[4] Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. — М.: Физ-
матгнз, 1963.
[5] Михлин С. Г. Интегральные уравнения. —М.—Л.: Гостехиздат, 1947.
[6] Мнхлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.
(71 Mikhlin S. G. Approximate solutions of differential and integral equa-
tions. — Oxford: Pergamon Press, 1965.
(8] Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics. —
Int. J. Solids Structs, 1969, v- 5, p. 1259—1274.
(9] Cruse T. A. Application of the boundary integral equation method in solid
mechanics. — In: Proc. Int. Conf. Southampton Univ. Ed. by H. Totten-
ham, C. Brebbia. Vol. 2, 1972.
[10] Cruse T. A. An improved boundary integral equation method for three-
<Нп1апс<лпя1 ctrpee analvcic — Cnmnijters and Structures. 1974. v. 4.
p. 741—757.
(Ill Cruse T. A., Rizzo F. J. A direct formulation and numerical solution of
the general transient elasto-dynamic problem. —J. Math. Anal. Appl.,
1968, v. 22, p. 244—259.
[12] Boundary integral equation methods: computational applications in applied
mechanics. Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975.
[Имеется Перевод: Метод граничных интегральных уравнений. Вычис-
лительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т- Круза и
Ф.-Риццо.—М.: Мир, 1978.]
[13] Lachat J. С. Further developments of the boundary integral techniques
for elasto-statics. — Ph. D. thes. — Southampton Univ., 1975.
[14] Lachat J. C., Watson J. O. A second generation boundary integral equa-
tion program for three-dimensional elastic analysis. — In: [12]. [Имеется
перевод: В кн. [12].]
[15] Shaw R. P., Friedman M. B. Diffraction of a plane shock wave by a free
cylindrical obstacle at a free surface.—In: Proc. Fourth U. S. Nat. Congr.
of Appl. Meeh., 1962, p. 371—379.
[16] Friedman M. B., Shaw R. P. Diffraction of a plane shock wave by an ar-
bitrary rigid cylindrical obstacle. — J. Appl. Meeh., 1962, v. 29, No. 1,
p. 40—46. [Имеется перевод: Прикладная механика. — Мнр, 1962, т.
29, №1.]
[17] Banaugh R. Р., Goldsmith W. Diffraction of steady acoustic waves by
surfaces of arbitrary shape. —J. Acoust. Soc. Amer., 1963, v. 35, No. 10,
p. 1590—1601.
[18] Mitzner К. M. Numerical solution for transient scattering from a hard
surface of arbitrary shape — retarded potential technique. — J. Acoust.
Soc. Amer., 1967, v. 42, No. 2, p. 391—397.
[19] Shaw R. P. Diffraction of acoustic pulses by obstacles of arbitrary shape
with-a Robin boundary condition—Part A. —J. Acoust. Soc. Amer.,
1966, v. 41, No. 4, p. 855—859.
[20] Shaw R. P. Diffraction of pulses by obstacles of arbitrary shape with
an impedance boundary condition. —J. Acoust. Soc. Amer., 1969, v. 44,
No. 4, p. 1962—1968.
[21] Rizzo F. J., Shippy D. J. An advanced boundary integral equation method
1.7. Литература
21
for three-dimensional thermo-elasticity. — Int. J. Num. Meth, in Engng,
1977, v. 11, p. 1753.
[22] Rizzo F. J., Shippy D. J. Recent advances of the boundary element me-
thod in thermoelasticity. — In: Developments in boundary element me-
thods. Ed. by P. K- Banerjee, R- Butterfield. Vol. 1, Ch. VI. —London:
Applied Science Publishers, 1979.
[23] Lachat J. C., Watson J. O. Effective numerical treatment of boundary
integral equations: a formulation for three-dimensional elasto-statics. —
Int. J. Num. Meth, in Engng, 1976, v. 10, p. 991—1005.
[24] Jaswon M. А» Integral equation method in potential theory. — I. — Proc.
Roy. Soc., Ser. A, 1963, v. 273, p. 23—32.
[25] Jaswon M. A., Ponter A. R. An integral equation method for a torsion
problem. — Proc. Roy. Soc., Ser. A, 1963, v. 273, p. 237—246.
[26] Rim K-, Henry A. S. An integral equation method in plane elasticity. —
NASA Rep. No. CR-779-1967, 1967.
[27] Symm G. T. Integral equation methods in potential theory. — Proc. Roy.
Soc., Ser. A, 1963, v. 275, p. 33—46.
[28] Symm G. T. Integral equation methods in elasticity and potential theo-
ry. — Ph. D- thes. — London Univ., 1964.
[29] Banerjee P. K- Integral equation methods for analysis of piece-wise non-
homogeneous three-dimensional elastic solids of arbitrary shape. — Int.
J. Meeh. ScL, 1976, v. 18, p. 293—303.
[30] Banerjee P. K-, Butterfield R. Boundary element methods in geomecha-
nics. — In: Finite elements in geomechanics. Ed. by G. Gudehus. — Lon-
don: Wiley, 1977.
[31] Tomlin G. R., Butterfield R. Elastic analysis of zoned orthotropic conti-
nue. — Proc. ASCE, Engng Meeh. Div., 1974, v. EM3, p. 511—529.
[32] Butterfield R., Banerjee P. K. The problem of pile-cap pile-groiip interac-
tion. — Geotechnique, 1971, t. 21, No. 2, p. 135—142.
[33] Massonnet С. E. Numerical use of integral procedures. — In: Stress ana-
lysis. Ed. by О- C. Zienkiewicz, G. S. Holister, — London: Wiley, 1965.
[34] Oliveira E. R. A. Plane stress analysis by a general integral method. —
J. ASCE, Eng. Meeh. Div., 1968, Febr., p. 79—85.
[35] Watson J. O. Analysis of thick shells with holes by using integral equation
method. —Ph. D. thes. —Southampton Univ., 1973.
[36] Banerjee P. K-,_ Driscoll R. M. C. Three-dimensional analysis of raked
piie groups. — rroc. inst. civ. nng., Kes. ana ineory, 1У/О, v. У1,
No. 2, p. 653—671.
[37] Chen L. H., Schweikert J. Sound radiation from an arbitrary body. —
J. Acoust. Soc. Amer., 1963, v. 35, p. 1626—1632.
[38] Banerjee P. K- Foundations within a finite elastic layer — application
of the integral equation method. —Civ. Engng, 1971, Novem., p. 1197—
1202.
[39] Hess J. L., Smith A. M. O. Calculations of nonlifting potential flow about
arbitrary three-dimensional bodies. —J. Ship Res., 1964, v. 8, No. 2,
p. 22—44.
[40] Jaswon M. A., Symm G. T. Integral equation methods in potential theory
and elastostatics. — London: Academic Press, 1977.
[41] Hess J. L., Smith A. M. O. Calculations of potential flow about arbitrary
bodies. — In: Progress in aeronautical sciences. Vol. 8. — New York:
Pergamon Press, 1966, jj. 1—138.
[42] Hess J. L. The problem of three-dimensional lifting potential flow and its
solution by means of surface singularity distributions. — Computer Meth,
in Appl. Meeh. Engng, 1974, v. 4, p. 283—319.
[43] Hess J. L. Improved solution for potential flow about arbitrary axi-sym-
metric bodies by the use of a higher order surface source method. — Com-
puter Meth, in Appl. Meeh. Engng, 1975, v. 5, p. 297—308.
144] Zienkiewicz О- C. The finite element method. — 3rd ed. — London:
McGraw-Hill, 1978.
22 Гл. 1. Введение в методы граничных элементов
[45] Banerjee Р. К., Davies Т. G. Analysis of some case histories of laterally
loaded pile groups. — In: Proc. Int. Conf, on Num. Meth, in Offshore
Piling. — London: Institute of Civil Engineers, 1979.
. [46] Davies T. G. Linear and nonlinear analysis of pile groups.—Ph. D. thes.—
Univ, of Wales, University College, Cardiff, 1979.
[47] Swedlow J. L., Cruse T. A. Formulation of boundary integral equations
for three-dimensional elasto-plastic flow. — Int. J. Solids and Structs,
1971, v. 7, p. 144—151.
[48] Marjaria M., Mukherjee S. Improved boundary integral equation method
for time-dependent inelastic deformation in metals. — Int. J. Num.
Meth, in Engng, 1980, v. 15, No. 1, p. 97—112.
[49] Chaudonneret M. Boundary integral equation method for visco-plasticity
analysis (на французском). —J. de Meeh. Appliq., 1977, t. 1, No. 2,
p. 113—131.
1.8. Дополнительная литература
Chicurel R., Suppiger E. W. The reflection method in elasticity and bending
of plates. — ZAMP, 1964, Bd 15, S. 629—638.
Gruters H. Berechnung des Spannungszustandes in homogenen anisotropen
Scheiben mit Hilfe einer Integralgleichungsmethode. — Thes. — Aachen,
1971.
TT . TT T-* T-i---i --------— — T A~~
ircioc V>. J incgl Oigiviuu uiigomvmvMv 4 V.4 4 4 4 - 4 4.4
mit gemischten Randbedingungen. — Thes. — Aachen, 1969.
Heise U. The calculations of Cauchy principal .values in integral equations for
boundary value problems of the plane and three-dimensional theory of elasti-
city. — J. Elasticity, 1975, v. 5, p. 99—110.
Heise U. Non-integral terms in integral equations in the plane and three-di- -
mensional theory of elasticity. — Meeh. Res. Comm., 1976, v. 3, p. 119—124.
Heise U. The spectra of some integral operators for plane elastostatical boundary
value problems. — J. Elasticity, 1978, v. 8, p. 47—49.
Heise U; Numerical properties of integral equations in which the given boundary
values and the sought solutions are defined on different curves. — Computers
and Structs, 1978, v. 8, p. 199—205.
Herrera L Theory of connectivity: a systematic formulation of boundary ele-
ment methods. — In: Proc.. Int. Conf, on Boundary Element Methods,
Southampton Univ. — Pentech Press, 1978.
Herrera I., Sabina F. J. Connectivity as an alternative to boundary integral
equations. — Proc. Natn. Acad. Sci. USA, 1978, v. 75, p. 5.
Rompis V. Integralgleichungsverfahren zur Losung der ersten Randwertauf-
gabe der ebenen Elastizitatstheorie. — Thes. — Aachen, 1970.
Massonet Ch. Resolution graphomecanique des problemes generaux de 1’elasti-
cite plane. — Bull. CERES Liege, 1949, t. 4, p. 3—183.
Massonet Ch. Solution generale du probleme aux tensions de I’elasticite tridi-
mensionnelle- — In: Proc. Ninth Congr. Appl. Meeh. — Brussels, 1956,
p. 168—180.
Miche R. Le calcul pratique de problemes elastiques a deux dimensions par la
methode des equations integrates. — In: Proc. Second Int. Congr. Tech.
Meeh. —Zurich, 1926, p. 126—130.
Rieder G. Iterationsverfahren und Operatorgleichungen in der Elastizitats-
theorie. — Abh. Braunschweig Wiss. Ges., 1962, Bd 14, S. 109—343.
Rieder G. Mechanische Deutung und Klassifizierung einiger Integralverfahren
der ebenen Elastizitatstheorie. I, II. — Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. ScL Tech-
nol., 1968, t. 16, p. 101—114.
Rieder G. Eine Variante zur Integralgleichung von Windisch fur das Torsion-
problem. — ZAMM, 1969, Bd 49, S. 351—358.
Rieder G. Ober Eingrenzungsverfahren und Integralgleichungsmethoden fur
elastiche Scheiben, Platten und verwandte Probleme. — Wiss. Z. der x
1.8. Дополнительная литература 23
Hochsch. fiir Archit. und Bauwesen Weimar, 1972, Bd 19/2, S. 217—222.
Rieder G. On Kupradze’s generalised stress — its applications to certain in-
tegral operators of plane elasticity. — Anniversary volume H. Parkus. —
Vienna, 1974.
Rieder G. Adjoint integral equations in elasticity. — In: Schiffstechnisches
Symposium, Experimentelle und mathematische Methoden der Grunlagen-
forschung in der Schiffstechnik. —Rostock, 1975, p. 141—151.
Weinel E. Die Integralgleichung des ebenen Spannungszustandes und der Plat-
ten Theorie. — ZAMM, 1931, Bd 11, S. 349—360.
Глава 2
НЕКОТОРЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
2.1. Введение
Чтобы ввести читателя в круг идей, лежащих в основе примене-
ния МГЭ, и продемонстрировать свойства фундаментальных ре-
шений получающихся при этом дифференциальных уравнений,
в следующих параграфах достаточно подробно описываются реше-
ния ряда одномерных задач. На данной стадии опускается строгое
математическое обоснование используемых методов, решения стро-
ятся с привлечением главным образом интуитивных соображений
и основное внимание концентрируется на физической сущности
ОТТММ ОЛоЛлттттгч т> г*тт\тгт*ю тюппт«лгл пплттттттгтт vv
тов.
Мы должны отметить, что ни в коей мере не рекомендуем МГЭ
как аппарат, предназначенный для решения столь простых задач,
ибо применение МГЭ к одномерным системам вообще не являете»
эффективным. Однако уже на одномерных примерах прослежива-
ется последовательность стандартных действий, составляющая
алгоритм решения и иллюстрирующая характерные особенности
процедур, которые почти без изменений могут быть использованы
при решении существенно более сложных двумерных и трехмерных
задач. В связи с этим советуем читателю последовательно шаг за
шагом разобрать каждый из приведенных простых примеров и
тщательно изучить систему обозначений, применяемых в сходных
ситуациях на протяжении всей книги.
2.2. Метод функций влияния
Для ознакомления с основными идеями суперпозиции решений
мы сначала исследуем сходство и различие между МГЭ и уже хоро-
шо обоснованным методом функций влияния (или методом функций
Грина) и рассмотрим в одномерной постановке задачу о потенциаль-
ном течении.
2.2.1. Одномерное потенциальное течение
На рис. 2.1 показан однородный линейный континуум длиной
L с единичным поперечным сечением. Границами системы явля-
ются просто две крайние точки Р и Q, в каждую из которых можно
поместить лишь по одному «граничному элементу». В этих точках
2.2. Метод функций, влияния 25
поддерживаются нулевые значения потенциала: p(Q) = р(Р) = 0.
В некоторой точке В, имеющей координату £ и называемой в даль-
нейшем точкой приложения нагрузки, находится точечный источ-
ник интенсивности ip. Положение произвольной точки Р' внутри
тела, называемой далее точкой наблюдения (или точкой поля),
задается координатой х.
Мы могли бы рассмотреть здесь такие вопросы, как течение
электрического тока или теплоперенос в однородном проводнике,
а также течение идеальной несжимаемой жидкости в трубе постоян-
ного сечения. Во всех этих случаях потенциал р(х), являющийся
соответственно напряжением, температурой или полным напором,
будет удовлетворять уравнению Лапласа во всех внутренних точ-
--- ----- r-i „ ГЧ -------г» Т*----- -----—------
ПОЛ VlA/iaVin------------------------------------------------Л П Vl»)in*inXMA VI А <2ГкГ11*1 wpaovwxT JO V/4,XIW
мерном приближении
dap/dx2 = 0. (2.1)
Если k — проводимость среды, то для интейсивности электри-
ческого тока, потока тепла или скорости потока жидкости v(x)
будем иметь
v = —kdpldx. (2.2)
Уравнениям (2.1) и (2.2) удовлетворяют также отклонение р(х)
и угловой коэффициент v(x) туго натянутой невесомой нити, на ко-
торую действуют большое продольное натяжение k и малая верти-
кальная нагрузка ф, как показано на рис. 2.2. Решение уравнений
(2.1) и (2.2) при заданных граничных условиях на концах Р и Q
находится элементарно [1]:
Р (х) = ф 1(£ — tyL] xlk, v (х) = — ф (L — Е)/Е при 0 < х < Е; (2.3а)
Р (х) — Ф [(Ь —x)/L] E/Аг, v (х) = фЕ/L при Е <х < L. (2.36)
26 Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
При х = | р(х) однозначно определяется любым из соотношений
(2.3а) или (2.36), a v(x) меняется скачком, равным по величине
ф, при переходе точки Р' через точку В (т. е. при возрастании х
от | — 8 до g + 8, где 8—>0). Такое скачкообразное изменение
одной из зависимых переменных при совпадении точки приложе-
Рнс. 2.2. p(Q) = р(0) = 0, р(Р) = р(£) = 0.
ния нагрузки и точки наблюдения присуще всем МГЭ и вообще ме-
тодам интегральных уравнений. Поэтому предельно важно, чтобы
последующие математические манипуляции с такими величинами
выполнялись при ясном понимании физического смысла, состоя-
щего в данном случае в разделении потока от источника с интенсив-
ностью ф на две части — к каждому из концов Р и Q.
Если в- уравнения (2.3) подставить ф = 1, то при указанных
граничных условиях для системы, изображенной на рис. 2.1 и 2.2,
они будут определять «функции влияния» р(х) и v(x). Так как по-
следние линейны относительно интенсивности источника ф, то мы
можем использовать их вместе с принципом суперпозиции для ре-
шения задач такого типа, как на рис. 2.3. Здесь показана анало-
гичная система при тех же самых граничных условиях, но при на-
Рис. 2.3. p(Q) = р(0) = 0, р(Р) = р(£) = 0.
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов
27
личии множества источников фъ ф2> • ••, действующих в точках
£i> ••• •
Суммирование соответствующих величин, определяемых урав-
нениями (2.3) для каждой из пар (ярg,), будет давать искомые
значения р(х) и v(x) всюду на отрезке PQ. В этом и состоит прин-
цип применения функций влияния и функций Грина всех типов.
Для задачи, сходной с представленной на рис. 2.1 и 2.2, но при
простейшей замене граничных условий, например на p(Q) = р*
и о(/>) = v*t решения уравнений (2.1) и (2.2) имеют несколько бо-
лее сложный вид:
р (х) = (р* —v*x/k) + tyx/k,
Р (х) = (р* —v*x/k) + tyt/k,
v(x) = v* —ф
v(x) = v*
К сожалению, обычная суперпозиция
этих соотношений уже не позволяет по-
лучить решение задачи, аналогичной
показанной на рис. 2.3, при изменен-
ных граничных условиях, а именно при
условиях р(0) = р* и v(L) = v*. Од-
нако, используя подходящие комбина-
ции уравнений (2.3), решение, безуслов-
но, можно получить даже для задачи со
«смешанными» "граничными условиями
указанного выше типа.
В более общей ситуации, изображен-
ной на рис. 2.4 и являющейся аналогом
задач для областей нерегулярной фор-
мы, не так просто -найти даже основные
Функции влияния, и поэтому построе-
ние решения посредством указанной
выше техники обычно оказывается не-
при (2.4а)
при Е < х < Ь. (2.46)
Рис. 2.4. а — граничный
элемент, соответствующий
точке О: 6 — граничный
элемент, соответствующий
точке Р.
удобным. Эффективные методы решения
более сложных проблем, использующие подобные концепции,
должны опираться на иной подход.
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов
Отправной точкой любого варианта МГЭ является осознание
того, что фактически для всех классических уравнений механики
сплошных сред в нашем распоряжении имеются решения, отвечаю-
щие единичным возмущениям, приложенным во внутренних точках
однородной неограниченной области. Это так называемые единич-
ные (фундаментальные) сингулярные решения, или функции Грина
Для неограниченных областей, или пространственные функции
Грина и т. д. МГЭ позволяет объединить такие решения посредст-
вом использования принципа суперпозиции в высокоэффективную
вычислительную схему большой гибкости.
28
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
2.3.1. Одномерное потенциальное течение
Если мы вернемся к нашей задаче об одномерном потенциаль-
ном течении и рассмотрим область неограниченной протяженности,
V
ос
Рис. 2.5.
как показано на рис. 2.5, то немедленно сможем записать соответ-
ствующие данному случаю решения уравнений (2.1) и (2.2):
Р (г) = [<р/(2£)] (/ — | г |), V (г) = kdpldx = (ф/2) sgn г. (2.5а, б)
Координата г в этом простейшем решении для неограниченной
области равна расстоянию между точкой приложения нагрузки
Р и точкой наблюдения Р'. Если О — начало абсолютной системы
координат (рис. 2.5), то г — х — g. В неограниченных системах
можно определить не функцию р(г), а лишь ее отклонения от неко-
торого фиксированного значения, например от р(г0) = 0; в данном
случае мы выбрали re = +1. Для систем неограниченной протяжен-
ности, играющих основную роль во всех МГЭ, мы будем пользо-
ваться символом <р для обозначения источников вообще (как на
рис. 2.5), сохраняя символ ф для источников известной интенсив-
ности, сосредоточенных в заданных внутренних точках системы.
Перепишем теперь уравнения (2.5а, б), введя две формы общих
обозначений, которые часто будут использоваться при символи-
ческом представлении решений более сложных задач:
Р(Р') = Ф (Я) G (Р', Р), или р (х) = ф (Е) G (х, Е), (2.5в)
V (Р') = <p(P)F (Р'г Р), или V (х) = Ф (Е) F (х, Е). (2.5г)
.. .Первая формула в (2.5в) выражает функциональное соотноше-
ние между величиной ф в точке Р и некоторым объектом G, завися-
щим от упорядоченной пары точек (Р', Р), такое, что произведение
<p(P)G(P',P) дает значение некоторого параметра в точке Р', в дан-
ном случае р(г) = р(Р'). Второй вариант этого соотношения явля-
ется его точным эквивалентом, выраженным через абсолютные ко-
ординаты точек Р и Р', т. е. х и
Точно так же F(P',P)== F(x, g) есть функция, умножение ко-
торой на ф(/?) == ф(£) дает скорость потока в точке Р'-. V(r) s
= V(P') = V(x).
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов 29
Функция sgn г, использованная
следующими свойствами:
в уравнении (2.56), обладает
sgn г = — 1
для
для
не определена для
г>0,
г<0,
г = О,
х>Е,
х<Е,
х = 5,
но г sgn г = 0 при г — 0.
Использование этой функции не только гарантирует (как это
и должно быть) изменение знака V(r) вместе со знаком г, но при-
водит также к необходимости различать г = +е, где е->0, и тем
самым позволяет автоматически учесть скачкообразное изменение
V(r) при г 0 (т. е. позволяет оперировать с многозначной при
г = 0 функцией К(г)). Введение |г| в уравнение (2.5а), напротив,
обеспечивает неизменность знака р(г) (т. е. сохраняет естественную
однозначность р(0)).
Следующие шаги иллюстрируют метод решения, основанный
на уравнениях (2.5) и фактически являющийся примером примене-
ния непрямого МГЭ. В результате получается алгоритм, применяе-
мый без изменений к любым одномерным задачам о стационарном
потенциальном течении. Для большей ясности мы продемонстриру-
ем его на смешанной граничной задаче, представленной на рис. 2.6.
Ключевой методический прием состоит в помещении «реальной»
системы (рис. 2.6) в неограниченную область для построения фик-
тивной системы, изображенной на рис. 2.7. Причина добавления
Рис. 2.7.
30
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
звездочек ко всем символам «реальной» системы на рис. 2.6 далее
становится понятной, так как те же самые символы без звездочек
используются в «фиктивной» системе при разработке процедуры
построения решения.
Границами одномерной области (QP) являются просто две ее
крайние точки (Р, Q), и, следовательно, достаточно ввести два
«граничных элемента»: один в точке Р, другой в точке Q. Решаю-
щий шаг состоит во введении фиктивной системы источников, по-
мещенных в обоих граничных элементах и называемых далее фик-
тивными источниками. Их интенсивности <p(Q) и ф(Р) заранее не
известны, однако влияние этих источников на каждую внутрен-
нюю точку Р' может быть выражено в виде (2.5). Нас будет интере-
совать главным образом одновременное влияние на точки Р и Q
фиктивных источников <p(Q), ф(Р) и источника ф(.В), находящегося
в точке В. Выбирая для удобства произвольный размер I = L и
пользуясь соотношениями (2.5а, б), мы можем написать следующие
выражения для потенциалов и скоростей в точке Р' фиктивной сис-
темы:
Р (х) = G (х, 0) <р (Q) + G (х, £) ф (Р) + G (х, Е) ф (В), (2.6а)
V (х) = F (х, 0) ф (Q) + F (х, L) q(P) + F (х, Е) ф (В). (2.66)
Здесь использована смешанная форма обозначений. Различие
между символами фиф, применяемыми нами для обозначения
источников, состоит в том, что ф относится к источникам заданной,
вполне определенной интенсивности, как указывалось выше, тогда
как ф сохраняется исключительно для «фиктивных источников»
(здесь это ф(Р) и ф(0), приложенных к границам «фиктивной»
системы.
Если теперь в качестве точки наблюдения Р' мы выберем точки,
находящиеся на расстоянии е -> 0 от Р и Q (т. е. точки, совпадаю-
щие с P(L — в) и Q(0 + е) при е —0), то сможем записать
в точке Q: [ 1 /(2k)] [£ф (Q) + 0 - ф (Р) + (L - Е) ф (В)] - р (Q), (2.7а)
в точке Р: [ 1/(2&)] [0 • ф (Q) + Еф (Р) + Еф (В)] = Р (Р)> (2.76)
в точке Q: (1 /2) [ф (Q) — ф (Р) —ф (В)] = V (Q), (2.7в)
в точке Р: (1/2)[ф((?) — ф(Р) + Ф(Р)1 = V(P). (2.7г)
Особенно важно убедиться, что точка наблюдения стремится
к граничным элементам, т. е. к точкам Р и Q, с внутренней стороны
интересующей нас области, где p(Q), р(Р), V(P), V(Q) вычисляются
внутри малой е-окрестности точек Q и Р при е -> 0. Знак минус
перед ф(Р) в уравнении (2.7г) для V(P) и, наоборот, знак плюс
перед ф(<2) в уравнении (2.7в) должны быть тщательно выверены.
В то время как значения р определяются однозначно даже при
совпадении точек приложения нагрузки Р и наблюдения Р', функ-
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов
31
ция V, как было указано выше, в этой ситуации является много-
значной, и значение V(0) в уравнении (2.56) не определено. Неоп-
ределенность V(0) снимается нашим условием, что точка наблюде-
ния Р' всегда лежит внутри PQ (т. е. мы считаем интервал PQ
замкнутым) и стремится к Р или Q с внутренней стороны PQ всегда,
когда мы имеем дело с внутренней частью области PQ. Правильные
знаки перед <р(Р) в (2.7г) и <p(Q) в (2.7в) тогда получаются авто-
матически, так как г в указанных двух случаях принимает соот-
ветственно значения —8 и +е. Если бы нас, наоборот, интересо-
вала «внешняя задача» (т. е. область простиралась бы неограничен-
но вне PQ), то г принимало бы значения 4-8 и —8 при стремлении
Р' соответственно к Р и Q.
Потребуем теперь, чтобы граничные условия в точках Р и Q
фиктивной системы в точности совпадали с условиями реальной
задачи; отсюда следует, что в уравнениях (2.7а) и (2.7г) соответст-
венно p(Q) = р* и V(P) = V*, т. е. получаются два уравнения:
£<р (Q) 4- 0 • <р (Р) 4- (L — 5) Ф (В) = 2kp*, (2.8а)
Ф«2)-Ф(^)4-Ф(В) = 2Г, (2.86)
из которых в принципе могут быть найдены обе неизвестные вели-
чины ф(О и ф(Р). Их значения могут затем быть использованы в
(2.6) для вычисления р(х) и V(x) в любой интересующей нас внут-
ренней точке х отрезка PQ.
Прежде чем подробно описывать этот шаг, необходимо отметить,
что из системы четырех уравнений (2.7) мы использовали лишь
два уравнения (2.7а, г), соответствующие двум заданным гранич-
ным значениям р* и V*. (В корректно поставленной задаче для ли-
нейного дифференциального уравнения второго порядка мы всегда
будем иметь те или иные параметры р, V или их линейные комбина-
ции заданными в каждой точке границы.) Мы намеренно выбрали
в качестве нашего примера более сложную «задачу со смешанными
граничными условиями» при р*, заданном в точке Q, и V*, задан-
ном в точке Р. Если бы мы обратились к задаче, подобной представ-
ленной на рис. 2.1, с заданными значениями p*(Q) и р*(Р), то полу-
чили бы уравнения, сходные с (2.8), потребовав эквивалентности
Р«2) с p*(Q) и р(Р) с р*(Р) в уравнениях (2.7а, б). Мы увидим, что
даже в более сложных задачах из системы, очень похожей на (2.7),
фактически всегда можно выбрать нужные уравнения, образующие
разрешимую систему (2.8), из которой можно найти соответствую-
щие значения ф.
Более удивительным оказывается (это будет установлено в даль-
нейшем), что подобные (2.8) уравнения получаются непосредствен-
но при введении фиктивных источников во всех трехмерных обла-
стях, тогда как в большинстве одномерных и двумерных задач
они требуют некоторых преобразований. Дополнительные измене-
ния связаны с тем, что в уравнении (2.5а) фигурируют, как уже
32
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
отмечалось, лишь относительные значения потенциалов. Во всех
случаях, когда могут быть вычислены лишь относительные значе-
ния переменных,' необходима некоторая модификация уравнений.
Как легко видеть из уравнений (2.5), при неограниченном увели-
чении г р(г) также неограниченно возрастает, но для того, чтобы
<р(Р), ф(О и Ф давали единственное решение нашей задачи, их
суммарный эффект должен сводиться к обращению в нуль полного
потока через бесконечно удаленные границы.
Это физически оправданное требование [2] будет обсуждаться
более подробно ниже. Пока же мы заметим, что это условие экви-
валентно требованию обращения в нуль суммы интенсивностей
всех приложенных источников ф(Р), ф(<2) и ф. Так как данные, по
которым могут быть измерены потенциалы, весьма неопределенны
(как, например, выбор I в уравнении (2.5а)), мы можем привести
их к некоторой константе С (заранее не известной), одинаковой во
всей неограниченной области, точно так же, как величины, исполь-
зуемые в качестве гидравлических потенциалов, или значения
потенциала земли при рассмотрении электрических потенциалов
млгит ОТРЧИТЫИ?.ТЬРЧ ПТ л,п^пгп ПЫ^*??ННПРО vnnnwff.
Такое приведение исходных данных просто изменит значения
всех потенциалов на константу С, не влияя на величину V(x) =
= —k dp/dx. Если мы введем модифицированные источники ф' в
уравнение (2.5а), такие, что Ф = ф' + 2kC, и потребуем, чтобы
С принимало значение, при котором сумма интенсивностей всех
источников обращается в нуль, то уравнение (2.5а) превратится
в равенство р(г) = [ф7(2А)](/ — |г|) + С, и уравнения (2.8), сле-
довательно, можно будет переписать в виде системы относительно
Ф'(Р), <₽'(<?) и С:
L<p' (Q) + 0 • ф' (Р) + (L — Е) ф (В) + 2kC = 2kp*, (2.9а)
ф' (Q) - ф' (Р) + ф (В) = 2V*, (2.96)
Ф'(3) + <Р'(^) + Ф(Я) = 0. (2.9в)
или в матричной форме:
L 0 2k 1 —1 0 («₽' (Q)l ф'(Р) . = 2kp* 2V* L — Г 1 ф(В)
1 1 0 с 0 > « 1
(2.9г)
где последнее уравнение является следствием условия обращения
в нуль суммы интенсивностей источников. Так как величины ф
и р* численно заданы, то они должны остаться неизменными после
указанной выше процедуры приведения. Хотя предшествующее
объяснение приведения значений потенциалов к константе С, воз-
можно, было несколько многословным, читатель должен заметить,
что соответствующие изменения в уравнениях (2.8) при переходе
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов 33
к (2.9) оказываются достаточно тривиальными и могут быть выпол-
нены сразу же после их получения.
Решение уравнений (2.9) находится элементарно:
<р' (Q) = у* — ф, <р'(Р) = —у*, 2kC = 2kp* — LV* + ty.
Снова подставив эти значения в уравнения (2.6), мы можем
вычислить р (х) и V (х) в любой точке Р' (х) внутри PQ. Так, при
О < х<£
р (X) = [ 1 /(2fe)] [(L -X) (V* - ф) + (L - S + х) ф - V*x] + С;
следовательно,
р(х) =р* — (x/k) V* + (x/k) ф, V (х) = (1 /2) (V* — + V* — ф) =
= V* — Ч>, (2.10а)
и аналогично при £ <; х < L
р (х) = р* — (x/k) V* + (l/k) ф, V (х) = V*. (2.1 Об)
Соотношения (2.10), очевидно, совпадают с предыдущим реше-
нием той же самой задачи в виде (2.4).
Перед тем как перейти к следующим иллюстративным примерам,
напомним элементарные действия, составляющие рассмотренную
выше процедуру построения решения, так как они не могли не
«утонуть» в сопровождающих их объяснениях. Эти действия пред-
ставляют собой последовательность из пяти шагов.
1. Получение фундаментальных решений для неограниченной
области (2.5).
2. Вывод непосредственно из (2.5) требуемой системы соотно-
шений (2.8). связывающей неизвестные фиктивные интенсивности
граничных потенциалов <р и известные интенсивности внутренних
источников ф с заданными условиями на границах.
3. Дополнение этих соотношений до (2.9) путем приведения
величин потенциалов к некоторой константе С, определяемой из
условия равенства нулю суммарного потока.
4. Решение системы (2.9) для определения всех <р' и С.
5. Подстановка ср' и С в (2.6) для получения значений р(х) и
Р(х) в каждой точке Р'(х) области.
Необходимо отметить, что изложенный выше алгоритм может
быть без изменений применен к задачам о двумерных и трехмерных
потенциальных течениях, причем в трехмерном случае необходи-
мость в третьем шаге отпадает.
Анализ этого решения показывает также, что увеличение числа
внутренних источников фь ф2, •••> ф9 приводит лишь к появлению
Дополнительных слагаемых в компонентах второго вектора в пра-
вой части системы (2.9г); при этом число неизвестных, подлежащих
определению, не меняется, оставаясь на единицу большим числа
граничных элементов. Наличие члена, равного нулю, на диагонали
2—356
34
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
матрицы в левой 4асти (2.9г) не приводит к ее вырождению, и при
соблюдении надлежащей осторожности эта матрица может быть
обращена одним из стандартных методов.
2.3.2. Задача о балке
В качестве примера применения непрямого МГЭ к системе,
описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением чет-
вертого порядка, рассмотрим задачу об обычной однородной балке,
Рис. 2.8. = 0, (tte*/dx)Q. = 6*(Q*) =0; w*(P*) = w*.
~EI^w*ldx2)p, = m‘(P‘) = 0.
находящейся под действием сосредоточенных сил и моментов, как
показано на рис. 2.8. Длина балки равна /./момент инерции сече-
ния в плоскости изгиба равен I, а модуль Юнга материала, из ко-
торого она изготовлена, равен Е. Один конец Q* балки заделан,
и, следовательно, в нем прогиб m*(Q*) и угол поворота 6*(Q*) =
= (dw*!dx)(Q*) одновременно равны нулю. Другой конец Р*
свободно оперт (т. е. в нем изгибающий момент т(Р*) =
= —EHcPw*ldx2) (Р*) = 0) и относительно Q* смещен вниз на рас-
стояние w*(P*) = w*.
Такая задача о балке со смешанными граничными условиями
относится к классу статически неопределимых. Прогиб w должен
удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению чет-
вертого порядка
d^wldx? = 0 (2.11)
всюду, за исключением точек приложения нагрузок В*, В* и
т. д. В данном случае имеется только два граничных элемента
(один в точке Q*, другой в точке Р*), и поэтому в корректно постав-
ленной задаче для линейного дифференциального уравнения чет-
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов 35
вертого порядка в каждом из них должно быть задано по два гра-
ничных условия. Приложенные нагрузки могут быть либо сосре-
доточенными силами, как либо сосредоточенными моментами,
как ф2 (рис. 2.8).
Следуя описанной в разд. 2.3.1 процедуре построения решения,
поместим нашу балку в такую же одномерную неограниченную
Рис. 2.9.
область и рассмотрим реакцию системы в некоторой точке наблю-
дения Р' на фиктивные нагрузки двух типов (<р1ч <р2), приложенные
в точке R (рис. 2.9). "В неограниченной системе снова некоторые
параметры, такие, как смещения w(r) и углы поворота б (г), прини-
мают лишь относительные значения, и поэтому мы будем считать
их равными нулю при |r| = I. Полагая для удобства X = 1/(12£7)
и р = r/Z, где г = х — g, для неограниченной системы, на которую
действуют ср< и ©•>. найдем фундаментальные решения уравнения
(2.11), имеющие, как легко показать, следующий вид [3]:
в случае сосредоточенной силы <рх
w(х) = Ф1Х/3(2 + | Р|3-3 I p|2) = <P1(e)G(x, ?), (2.12а)
6 (х) = dwldx = Ф1 • ЗА,/2 | р | ( | р | — 2) sgn р = Ф1 (?) F (х,?),
(2.126)
m(x) == —EId2wldx2 =Ф1(//2)(1 — | р | )=Ф1(?)Е(х,?), (2.12в)
s (х) = — EId?wldx9 = — Ф1 sgn р/2 = Ф1 (?) D (x, £); (2.12г)
в случае сосредоточенного момента <р2
w (х) = - <p2XZ21 р| (|р|2 - 3 I р I +2)sgnp=<p2(£)K(x,$), (2.13а)
6 (х) = dwldx = — <р2А/ (3 | р |2 — 6 | р | + 2) = <р2 (?) L (х, ?),
(2.136)
m (х) = — EId2w!dx2 — — Фа (1 — | Р | ) (sgn р)/2 —
2**
36 ' Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
= <р2(£) Л4(х, £), (2.1 Зв
S (х) = — EId3wldx9 = ч2/(21) = <р2 (В) N (х, £). (2.1 Зг
Как и ранее, мы выписали полный набор решений, хотя не все
из них обязательно потребуются в любой конкретной задаче. Вы
ражения (2.12г) и (2.13в), содержащие члены csgnp, опять-такь
являются многозначными при р = 0 (т. е. при совпадении точек
приложения нагрузки 7? с точкой наблюдения Р') и, следовательно,
должны находиться как пределы при стремлении точки R к точке
Р' (обычно на границе) изнутри интересующей нас области (здесь
со-
считан заданными по два граничных условия в каждом конце-
вом (граничном) элементе, мы приложим к каждому из них по две
нагрузки, как показано на рис. 2.9, являющиеся компонентами двух
двумерных векторов у, а именно
(Ф1(О) .р, (<Р1(С)1
T(<3)“Uw)i" »(P,-k.<4
Второй шаг процедуры построения решения состоит в получе-
нии уравнений, связывающих фиктивные у(Р), y(Q) и все заданные
нагрузки вида
(О)
и осуществляется путем подстановки в уравнения (2.12) и (2.13)
известных граничных значений, в данном случае w*(Q), 6*(Q),
w*(P), m*(P). Так как I произвольно, мы снова для простоты по-
ложим I — L. Прежде чем сделать это, мы можем записать (в симво-
лических обозначениях) для каждой внутренней точки Р’ следую-
щие уравнения:
w (.х) = <Pi (Q) G (x, 0) + <p2 (Q) K(x, 0) + Ti (P) G (x, L) 4-
+ Ф2 (С) К (X, L) 4- (B) G (X, EJ + ф2 (В) К (X, у,
e (x) = Ф1 (Q) F (x, 0) -}- <p2 (Q) L (x, 0) 4- <Pi (C) F (x, L) 4~
4- Ф2 (C) L (x, L) 4- Ф1 (B) F (x, ^) 4- ф2 (В) L (x, у,
m (x) = <px (Q) E (x, 0) 4- Ф2 (Q) M (x, 0) 4- <рх (P) E (x, L) 4-
4- <p2 (P) M (x, L) 4- ih (В) E (x, EJ 4- ф2 (В) M (x, у,
s (x) = (Q) D (x, 0) 4- ф2 (Q) N (x, 0) 4- Фь (C) D (x, L) 4-
4- ф2 (C) N (x, L) 4- Ф1 (B) D (x, 4- ф2 (В) N (x, SJ.
В таком виде эти уравнения выглядят крайне непривлекатель-
но, однако при внимательном их изучении обнаруживается скрытая
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов
37
простота их формы, состоящая в том, что коэффициенты при всех
членах <р и ф при численном решении могут быть получены простой
подстанЬвкой_значений координат в известные функции (ядра D,
Е, F, G, К, L, М, N), выписанные в (2.12) и (2.13) и являющиеся
решениями в случае сосредоточенной силы и сосредоточенного
момента для бесконечной балки.
В матричных обозначениях эти уравнения могут быть записаны
компактно:
О)(х) е(х) т(х) = ~G(x, 0) F(x, 0) Е(х, 0) К (х, 0) L(x, 0) М(х, 0) G(x, L) F (x, L) EJx, L) K(x, L)~ L (x, L) M(x,L) fPi(Q) ф2(<2) Ф1(^) +
s(x) __D(x, 0) N(x, 0) + d ‘(x, L) ~G (x, EJ F(x, EJ E(x,Q У N (x, L) K(x, EJ - Цх, EJ M(x, EJ AZ(x, EJ _ 1Ф2(Л) №1(5) 1ф2(5) }• (2.14)
Помещая, как и ранее, точку наблюдения х последовательно
в граничные элементы Q и Р так, что х = 0 + ей х = L — е
(е —>- 0) соответственно, и используя лишь те уравнения, левые час-
ти которых заданы на границах, получаем
u>(Q) "2XL3 0 0 0 "
6(0 0 — 21L 3Z£2 ZL
w(P) — 0 0 2ZL3 0
0 0 L/2 1/2
Ф1 (Q)
Ф2(0
Ф1(Л
Ф2 {р)
Z£3 (3 + pi — 3pf)
— 3ZL2p! (рх — 2)
ZL3 (2 + vf — 3vf)
L(1 — vx)/2
Z£2p2 (pi — 3p2 + 2)
— ZL (3pl — 6p2 + 2)
— ZL2v2 ( >2 — 3va)
-(I -v2)/2
(фг)
w- <215’
где
{ш(0, 6(Q), w(P), tn(P)} = {0, 0, щ*. 0}
и [4 = £i/L, Рг = h/L, Vi = 1 — gi/£, v2 = 1 — E2/L. Читателю
рекомендуется проверить все члены уравнений (2.15), обращая
особое внимание на знаки каждого из них.
Излагаемая процедура предназначена прежде всего для созда-
ния совершенно общего алгоритма, который может быть запрограм-
мирован для решения сложных задач. Почти неизбежно при этом,
что операции, обычно выполняемые численно, оказываются чрез-
вычайно громоздкими при попытке выполнить их алгебраически
для получения ответа в замкнутом виде даже в случае такой про-
38 Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
стой задачи, как наша. Тем не менее мы считаем, что переходу к
решению усложненных задач должно предшествовать ясное пони-
мание физического смысла различных операций, и поэтому мы
найдем алгебраическое решение нашей задачи о подпертой кон-
соли, но при упрощенных условиях, а именно при отсутствии внеш-
них нагрузок (т. е. при ф1 = ф2 = 0).
Таким образом можно разрешить полученные уравнения (2.15)
относительно четырехмерного вектора у, а затем подставить компо-
ненты ф в соответствующие уравнения (2.12) и (2.13) или (2.14)
для вычисления, скажем, изгибающего момента m(Q) в точке Q
или перерезывающей силы s(P) в точке Р. Например, m(Q) находит-
ся из (2.14) путем перехода к пределу при е-> 0 в выражении
m(Q) = £(0-)-e, ОИЛф + ЛЦО + е, 0)<p2(Q) +
+ Е (0, L) Ф1 (Р) + М (0, L) <р2 (Р). . (2.16)
Если подставить сюда значения <р, найденные из уравнений
(2.1bj, то получится m(Q) =—ay*/(8A.L2)— неверный результат!
Правильный ответ, как легко показать, должен быть т(О} =
= — w*/(4KLz).
Ошибка возникает из-за того, что при удалении точки Р в бес-
конечность различные параметры, вычисляемые по формулам (2.12)
и (2.13), не стремятся к постоянным значениям, а непрерывно воз-
растают. В результате решение на бесконечно удаленной границе
не всегда определяется только суммарным вкладом всех <р и ф,
как это должно быть при правильном решении задачи. Указанное
затруднение, к счастью, легко преодолеть с помощью приема, сход-
ного, по существу, с использованным в примере о потенциальном
течении. Наша неограниченная система снова допускает некоторый
произвол, обусловленный на этот раз возможностью перемещения
всей области как абсолютно жесткого тела (в направлении оси г).
Величина этого перемещения, скажем должна быть выбрана
так, чтобы выполнялось соотношение
4*1 (Q) + Фх V3) + (^i) — S *₽i + 2 4’1 = о.
Это, по существу, уравнение равновесия системы в целом в
проекции на ось г, которому иначе можно было бы удовлетворить
только приложением некоторых воздействий на бесконечно удален-
ной границе. Мы можем определить также еще одну константу,
скажем С2, совпадающую с величиной угла поворота всей области
как абсолютно жесткого тела и выбранную таким образом, что
выполняется соотношение
<Р2 (<2) + <р2 (Р) +(В2) = 2 <р2+2 ф2 = о,
являющееся формой уравнения равновесия относительно пово-
рота. Согласно принципу Сен-Венана, на бесконечно удаленной
границе .результирующее влияние внешних воздействий, при ко-
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов
39
торых две указанные выше суммы обращаются в нуль, также
равно нулю. Далее, так как перемещение С\ и угол поворота С2
тела как абсолютно жесткого независимы, их частные производ-
ные равны нулю, и расширенная система уравнений, которой сле-
дует заменить (2.14), может быть выписана непосредственно в виде
где заштрихованные блоки тождественны соответствующим бло-
кам в системе (2.14). Решение этой системы дает уже единственные
значения у, и С2, удовлетворяющие условиям нашей задачи.
В качестве упражнения предоставляем читателю убедиться в том,
что при ipi = ip2 = О
— <Pi(Q) = <Pi(P) = -^r, ф2(<2) = — ф2(Р)
4ЛХ/
К1*
4XL2 ’
(2.18)
сх = —, с2 = о,
1 2 2
откуда, используя уравнение (2.16), находим правильные значения
m(Q) и s(P):
_____=_____________________?£_
" 2 4XL3 2 4XL2 1 ‘ 4Х£2 '
1 I w* , w* w* 1 . w* IX w*
' 2 \ 4Х£3 4Х£3 4Х£2 L 4Х£2 L ) 41L3
Стоит отметить, что матрица размером 6 X 6 в уравнении (2.17)
по-прежнему не зависит ни от одной из величин, заданных гранич-
ными условиями и являющихся компонентами вектора в левой
части и вектора нагрузок ф. Последний, очевидно, может содер-
жать любое число компонент, отвечающих сосредоточенным на-
грузкам, что не будет приводить к ощутимому усложнению реше-
ния. Кроме того, мы уввдим, что в двумерных задачах, где число
граничных элементов, а следовательно, и компонент вектора у
значительно возрастает, должен быть введен лишь один параметр
С в случае потенциального течения и два параметра (Сь С2) для
плоских задач теории упругости. Поэтому общее число уравнений,
которое в данном случае становится сравнительно большим, при
удовлетворении условий на бесконечности возрастает незначитель-
но — лишь на одно или два соответственно.
40
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
Типичное граничное условие другого типа, скажем в точке Р,
возникающее в случае упругой опоры (пружины), имеет вид s(P) =
= K(P)w(P), где К(Р) — жесткость опоры в точке Р. Рекоменду-
ем читателю получить выражение для s(P) через <р и ф, дополнить
им уравнения (2.17) и убедиться, что этих уравнений вместе с при-
веденным выше соотношением s(P) = K(P)w(P) также достаточно
для решения задачи.
Теперь мы воспользуемся теми же простыми примерами для
демонстрации иного варианта МГЭ.
2.4. Применение прямого метода граничных элементов
В прямом варианте МГЭ используются точно те же фундамен-
тальные решения исходных дифференциальных уравнений, что
и в прямом методе. И используются они совершенно аналогично,
только само решение выписывается непосредственно в физических
переменных задачи (фиктивные распределения потенциалов, сил
м т. п. здесь не вводятся). Приятным обстоятельством при этом
тл ГЧ-» л TIГ«tTtтт тл HTV nrrntrurr rrtirrirlTST ЛА
IV, Tiv 11VI1KJUW1 XXXZXV- X xxxxzxv» WXXu x^xxxxzx xx£Z zxxixwx»» — —'
получаются непосредственно в процессе решения, однако построе-
ние решения во внутренних точках становится более трудоемким,
чем при использовании непрямого метода.
В следующих разделах мы снова найдем решения уже рассмот-
ренных выше одномерных задач, используя на этот раз прямой
метод. При этом для простоты, насколько это возможно не в ущерб
ясности, значения k.H EI будем считать равными единице, a L —
по-прежнему длиной балки.
При численном решении задач удобнее сразу перейти, к безраз-
мерным переменным в исходном .уравнении посредством замены:
для потенциального течения р -> р/р0: х -> x/L, откуда
ф ->• L^/(kp0) и т. д.;
для балки w-\w/L: х -> x/L, откуда ф -> LS^(EI) и т. д.,
где р0 — некоторый подходящим образом выбранный произвольный
потенциал, a L—характерный размер системы.
2.4.1. Одномерное потенциальное течение
Основное дифференциальное уравнение задачи можно записать
в виде
с?р (х)/дхй — — ф (х), (2.19)
где теперь ф — заданное распределение интенсивности источников
вдоль оси х, а скорость v(x) есть просто —dp(x)/dx. Чтобы выяснить
возможность интегрирования уравнения (2.19) на отрезке 0 х
С L, введем функцию G(x, Е), от которой потребуем пока лишь
непрерывности и дифференцируемости нужное число раз.
2.4. Применение прямого метода граничных элементов 41
Если мы умножим обе части (2.19) на G и дважды проинтегри-
руем по частям, то получим [4]
L L
J (d2p (x)/dx2) Gdx — [Gdp (x)/dx]° — J (dGIdx) (dp (x)/dx) dx =
о 0
L L
= [Gdp (x)/dx — p (x) dG!dx]% + J p (x) (d^/dx2) dx = — J ф (x) Gdx.
о 0
(2.20)
Предположим теперь, что G является решением уравнения
d2G (х, t)/dx2 = — 8 (х, Е), (2.21)
где 6(хЛ) — дельта-функция Дирака (или импульсная функция),
которая здесь соответствует сосредоточенному источнику единичной
интенсивности, помещенному в точку Основное свойство дельта-
функции заключается в том, что она равна всюду нулю, за исклю-
чением окрестности точки х = £, где она становится неограниченно
большой таким образом, что [4, 5]
J 8 (х, £) dx = J 8 (х, £) dx = 1 (5).
—оо О
Дельта-функция, следо-
вательно, является опера-
тором со свойством «изби-
рательности», «иглой»(рис.
2.10), выкалывающей оп-
ределенные значения, ска-
Л...1Г7Г.Г.Г1 •">/
---- .J. J .. .1...... д. .у ,
что выражается соотноше-
нием
£
J р (х) 8 (х, 5)’dx = р (£).
о
Если мы подставим пра-
вую часть уравнения (2.21)
в (2.20), то получим
л5(л:,4)
Рис. 2.10.
L L
— J Ф (х) Gdx — [Gdp (x)ldx — р (х) dC/dx]^ — J р (х) 8 (х, £) dx,
о о
что с учетом указанного выше свойства оператора 6 упрощается!
L
— J Ф (х) Gdx' — [Gdp (x)ldx — р (х) dGIdx}^ — р (Е). (2.22)
о
42
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
Наша функция G, являющаяся решением уравнения (2.21),
в точности совпадает с заданной выше уравнением (2.5а) при <р =
= 1 (т. е. фундаментальным сингулярным решением основного
дифференциального уравнения); таким образом,
G(x, s) = 0,5(/ — | rl), Л = 1, (2.23а)
и
— dG (х, 1)1 dx = F (х, 0 = 0,5 sgn г, k = 1, (2.236)
где, как и ранее, г — расстояние х — 5 и G = 0 при г = ±1. Если
мы выберем произвольный , размер I = L и вспомним, что скорость
t»(x) = —dp(x))dx, то сможем переписать уравнение (2.22) в виде
L
р (£) = — lG (х» £)v (х) — Г (х» £) Р (x)lf + J Ф (х)G (х> £) dx,
о
или
p($)=-[G(L, l)v(L)-G(0, t)v(O)]+[F(L, $)p(L)-F(0, 5)p(0))+
+ J ф (x) G (x, $) dx. (2.24)
о
Уравнение (2.24) связывает значение потенциала р(В) в произ-
вольной внутренней точке области $ с заданным распределением
внутренних источников ф(х) и граничными значениями потенциала
(р(0), p(L)) и скорости (к(0), v(L)). В случае одного точечного источ-
ника ф(х0), расположенного в точке х0 рассматриваемой области,
интеграл в правой части уравнения (2.24) превращается в произ-
ведение ф(х0)С(х0Л).
Дифференцируя р($) по 5, получаем
_ = .(п = (Ь, 9 р(£) dG(W I
di |_ dt dt
-[ио “-И0) M] -|<1>(х)
или в символической форме
v (I) = [G' (L, ;) v (L) - G' (0, s) v (0)] - [д (L) F' (L, s) -
L
—р (0) F' (0, £)] — J ф (х) G' (х, 5) dx, (2.25)
о
где G'(L, £)» F'(L, !;) и т. д. — производные от G(L, $), F(L, £) и
т. д. по Уравнение (2.25) связывает скорость u(!j) в произвольной
точке наблюдения $ с Граничными значениями потенциала и ско-
рости и известным распределением внутренних источников.
2.4. Применение прямого метода граничных элементов
43
Совмещая теперь точку наблюдения £ с граничными точками
Р и Q (см. рис. 2.3), так что £ = L — е для Р и £ = 0 -f- е для Q,
мы можем использовать уравнение (2.24) и записать
|p(L—е)1 _ G(L, L — е)
Ь(О + Ю/ [G(L, 0 + е)
— G(0, L — е)
— G(0, 0 4-е)
U>(0)
F(L, L — е)
F(L, 0 4-е)
— F(0, L —е)1 fp(L)L
-Г(О, 0 4-е)] (р(0) ]“
J яр (х) G (х, L — e.)dx
о
L
J яр (х) G (х, 0 4- е) dx
о
(2.26а)
Подставляя сюда значения G и F из уравнений (2.23) и пере-
ходя к пределу при е 0, получаем
(p(L)l p.5L 0 l(i>(L)l Г0.5
\р (0) J ~[о — 0.5L (о (0) J + [0.5
0.51 (р(£)
0.5 ] (р(0)
xp(x)G(x, L) dx
яр (х) G (х, 0) dx
0. 5L 0 (i>(L)|
О —0.5L; (i>(0)/
0.5 — 0.51 (р(£)
— 0.5 0.5]1р(0)
ь
У яр (х) G (х, L) dx
о
= 0. (2.266) •
У яр (х) G (х, 0) dx
о
Уравнения (2.266) позволяют вычислить первоначально неиз-
вестные граничные значения р и (или) v для нашей одномерной
области по их известным значениям и яр(х), например
1) при заданных v(L), и(0) и яр(х) из уравнений (2.266) находятся
неизвестные значения р(£)и р(0);
2) при заданных p(L), р(0) и яр(х) находятся неизвестные зна-
чения v(L) и и(0); s.
44
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
3) при заданных v(L), р(0), ф(х) или о(0), p(L), ф(х) находятся
неизвестные значения о(0), p(L) или v(L), р(0) соответственно.
Если теперь мы обратимся к нашей исходной задаче, представ-
ленной на рис. 2.1 (здесь p(L) = р(0) = 0 и точечный источник
интенсивности ф находится на расстоянии от левого конца), то
уравнения (2.26) примут вид
'0.5L 0 l[o(L)|
О — O.5LjU(O)J bpWi, 0)J (ф(£—Sx)
или
i> (L) = ф|х, V (0) = — Ф (L — ’1)’
что согласуется с уравнениями (2.3). Значения потенциала и ско-
рости в выделенных внутренних точках можно найти по формулам
(2.24) и (2.25) соответственно после подстановки в них значений
р(£), р(0), v(L) и и(0).
С другой стороны, для задачи со смешанными граничными усло-
виями, представленной на рис. 2.6 (а именно когда р(0) = р*,
v(L) = v* и точечный источник интенсивности ф находится на рас-
стоянии от левого конца), уравнение (2.266) можно записать в
виде
0.5L 0 (о* 1 ' 0.5 — 0.5‘ (р (L)l (ф£х 1
0 — 0.5L|(t>(0)) + [—0.5 О.б] |р* } = °'51ф(£—'J ’
решение этой системы
/?(£)= ф;х—Lv* + р*, ц(0) = 1>*—ф
совпадает с результатом, полученным ранее непрямым методом.
Формулы (2.24) и (2.25) снова могут быть использованы для вычис-
ления значений потенциала и скорости в произвольной внутренней
точке £ путем подстановки в них найденных граничных значений.
2.4.2. Задача о балке
Основное дифференциальное уравнение задачи при EI — 1
имеет вид
dlw/dx* = фх (х), (2.27)
где ш(х) — вертикальное отклонение (прогиб) продольной оси бал-
ки, а ф, — интенсивность распределенных вертикальных нагрузок.
Как и ранее, умножим обе части уравнения (2.27) на достаточно
гладкую функцию G и проинтегрируем по частям; имеем
L L
(d4te> (x)/dx*) Gdx = фх (xffldx
о о
2.4. Применение прямого метода граничных элементов
45
и, следовательно,
L
[Gd3w (xj/dx3]^ — J (dGIdx) (dsw (x)/dx?) dx —
о
= [Gd3w (x)Zdx3 — (dG/dx) d2w (x)/dx2]o +
+ J (d^G/dx2) (d2w (x)/dx2) dx = фх (x) Gdx.
- о b
(2.28)
В прямом варианте МГЭ снова требуется, чтобы функция G
была решением основного дифференциального уравнения для неог-
раниченной области (на этот раз для бесконечно длинной балки)
при единичной нагрузке (т. е. при единичной сосредоточенной
силе, приложенной в точке«). Таким образом, G(x, Е) является реше-
нием уравнения
rf4G/dx4 = 8(x,S). (2.29)
Ясно, что вид функции G совершенно аналогичен виду смещения
w, поэтому далее мы отождествим G с некоторым (вертикальным)
смещением w* = G и будем использовать для соответствующих
величин угла поворота, изгибающего момента и т. д. обозначения
G*, пг* и т. д., где G* ss dGIdx, m* = —d2G/dx2, s* = ~d3G/dx?.
Уравнение (2.28) в этих обозначениях принимает вид
L
[—w*(х, £)s(x) 4- 0* (х, Z)tn (х)]° 4- Jm*(x, ^)m(x)dx =
о
= Ф1(х) w*(x, tydx (2.28а)
о
и фактически является записью принципа виртуальных переме-
щений для нагруженной балки.
Интегрирование уравнения (2.28) еще два раза по частям дает
Г q d3w dG
L dx3 dx
d2w
~d^~
dzG dw
dxz dx
d3G
dx3
d*G
dx*
w (x) dx =
L
= J ф1 (x) Gdx, (2.30)
о
или в других обозначениях, основанных на тождестве G(x,£) =
[— w* (х) s (х) 4- 6* (х) m (х) — m* (х) G (х) 4- s* (х) w (х)]о +
46
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
L L
+ J Ф* (х)w (х) dx = J фх (х) w* (х) dx,
о о
L
[— w* (х) s (х) + е* (х) пг (х)]° — J фх (х) w* (х) dx —
и
L
— [— w (х) s* (х) -г 0 (х) т* (х)]^ — J ф* (х) w (х) dx. (2.31)
о
Уравнение (2.31) означает, что работа сил системы 1 (реальной
системы)'на перемещениях системы 2 (некоторой другой допусти-
мой системы, которой соответствуют переменные, отмеченные звез-
дочкой) равна работе сил системы 2 на перемещениях системы 1
(этот результат хорошо известен как теорема взаимности, принад-
лежащая Бетти [6]). Мы могли бы воспользоваться этой теоремой
или принципом виртуальных перемещений в качестве отправной
точки для получения нашего решения, однако более общий подход,
ПГТЯШТТШЙГСТ ппинякпвым КП RCPY ПЯСГМЯТПиПЯРМИУ чяпяияу ЛГЫПпяп
на использовании уравнений типа (2.27) и (2.29). Уравнение (2.31)
с учетом (2.29) и основного интегрального свойства дельта-функций
переходит в уравнение
dG d?w . dzG dw <PG
— w (?) == IG-----------------1-----------------w —
[ dx3 dx dx? dx2 dx dx3 Jo
L
—J Ф1 (x) Gdx> (2.32)
о ~~
аналогичное (2.22).
Заметим теперь, что, согласно нашему требованию, выражение
(2.12а) при <р = 1 является решением уравнения (2.29), т. е.
G (х, Q = X/3 (2 + | р |3 — 3 | р |2). (2.33а)
Дифференцирование (2.33а) по х дает
dG (х, tydx = F (х, В) = ЗМ3 | р | ( | р ] — 2), (2.336)
— d*G(x, ty/dx2 = E(x, £) = 0.5/(1 — | Р|), . (2.33в)
— dsG (х, = D(x, $) = — 0.5 sgn р, (2.33г)
где р = г//, г = х — $ и I — некоторое расстояние, выбранное
так, что при r=l G(x, $)=0 (ср. с уравнениями (2.12)). Для удоб-
ства мы снова положим I = L. Нам потребуются также функции
О', F', Е' и D' — производные G, F, Е и D по t Имеем
G' (х, $) = dGId’i — — ЗМ2 | р | ( | р | — 2) sgn р, (2.34а)
2.4. Применение прямого метода граничных элементов 47
F' (х, Е) = dF/dl = 6М (1 — | р |) = 0.5/ (1 — | р |), (2.346)
Е' (х, 5) = dE/di = 0.5sgnp, D' (х, l)=dD/dt = 0. (2.34в, г)
Подставляя выражения (2.33а) — (2.33г) в уравнение (2.32),
получаем
— w (?) = [— G (х, 5) s (х) + F (х, t) /п (х) — Е (х, $) 6 (х) 4-
+ D (х, £) w (х)]о — J G (х, £) (х) dx,
о
или
_w(£) = [—G(L, i)s(L) + G(O, l)s(0)+F(L, —
— F(0, $)/77(0)]+ [—£(£, £) 0 (£) + E (0Д) 6 (0) + jD (£, t)w(L) —
L
— D (0, ?) w (0)] — J G (x, $) ih (x) dx. (2.35)
о
Уравнение (2.35) связывает поперечное смещение в произволь-
ной внутренней точке $ с граничными значениями перерезывающей
силы, изгибающего момента, угла поворота и перемещения при
заданном распределении интенсивности внутренних нагрузок ф^х).
Дифференцируя уравнение (2.35) по $ и используя уравнения
(2.34а) — (2.34г), находим
— е(е) = [—G'(L, £)S(L) + G'(O, l)s(0) + F'(L, —
- F' (0, E) /77 (0)] + [- E' (L, 5) 6 (L) + E' (0, $) e (0) +
L
-4- D'(I. П ГО> (IA — ГУ /0. n w /0)1 — f G' (x, £) Ф, (x) dx, (2.36)
............... ....
о
где G'(£, .$), G'(O,S) и т. д. —производные по $ функций G(L, !;)»
G(0, £) и т. д.
Если бы мы захотели поместить в точку х0 сосредоточенный мо-
мент интенсивности ф2(х0), то проще всего было бы воспользовать-
ся предельным представлением этого момента в виде пары попереч-
ных сосредоточенных сил, как показано на рис. 2.11. Выбирая,
как и ранее, точку наблюдения ? на границах таким образом, что
Рис. 2.11. ф2(х0) = lim <|>i(x0)a.
а->0
48
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
5 = 0 + е и ? = L — е, с помощью уравнений (2.35) и (2.36) мы
можем найти связь между всеми граничными значениями и при-
ложенными нагрузками в виде
w (L — е)
W (0 + е)
9(L—е)
6(0 4- е)
= —G (L,L—е) —G(L,0-H) -G'(L,L-e) —G'(L,04-e) G(0,L—e) G(0,0-H) G' (0,L—e) G' (0,0-H) F(L,L~ e) F (£,0+e) F'(L,L—a) F'(L,L+e) —F(0,L—в)" —F(0,0+e) —F'(G,L—e) —f'(O.O-H) s(L) s(0) m(L) m(0) +
D(L.,L s) —D(0,L—e) —E(L,L—e.) E(0,L—e)- w(L)
jD(L,O-J-e) —D(0,0+e) —E(L,0+e) E(0,0-H) a;(0)
+ D'(L,L—e) —D'(0,L—s) —E'(L,L—s) E'(0,L—s) e(L)
D'(L.0+e\ —D/(0.0-l-₽.) F'(f \ • / P'/O (Ll -I - к-.- . fi trxx Г x-r )
L
[ G (х, L — е) (х) dx
о
L
(' G (х, 0 + е) яр! (х) dx
°ь
| G' (х, L — е) яр! (х) dx
о
J G' (х, 0-{-е) яр! (х) dx)
.о
(2.37)
Матричное уравнение (2.37) объединяет четыре уравнения,
связывающих восемь граничных значений параметров задачи (w,
6, m, s при х = 0 и х = L) и известную интенсивность яр^х) прило-
женной нагрузки. В корректно поставленной задаче четыре из этих
граничных значений должны быть заданы, и тогда уравнение (2.37)
позволяет найти остальные.
Снова советуем читателю внимательно изучить вид уравнения
(2.37). Хотя применительно к простым одномерным задачам вся про-
цедура получения решения выглядит весьма непривлекательно, важ-
но убедиться в том, что уравнения типа (2.37) и (2.26а) могут быть
получены стандартным образом и что элементы матриц являются
всего лишь числами, полученными простой подстановкой коорди-
наты в различные сингулярные решения (£, F, ...; Е’, F', ...). Од-
но из основных достоинств МГЭ состоит в том, что независимо от
сложности геометрии задачи граничные условия в каждом гранич-
ном элементе можно связать набором уравнений указанного типа,
2.4. Применение прямого метода граничных элементов
49
получаемых с помощью унифицированной процедуры с использо-
ванием фундаментальных решений, так что даже значительное
усложнение задачи не приводит к усложнению алгоритма построе-
ния решения.
Теперь, возвращаясь к нашей-задаче о подпертой консоли, для
которой внешние нагрузки равны нулю и ьу(О) — 6(0) = 0, w(L) —
= w*, m(L) = 0, перепишем уравнение (2.37) так:
—G(L,L—б) G(0,L—б) —F(0,L—е)
—G(L,04-е) G(0,04-e) —.F (0,04-е)
— G'(L,L—s) G'(0,L—s) — F'(0,L—е)
—G^L,О-Н) G'(0,04-e) — £'(0,04-6)
—E(L,L—е)”
—E(L,0-H)
1— E'(L,L—s)
—E'(L,0—e)
s(L)
s(0)
m(0)
6(b)
[1 -f- D(L, L —e)J w*
D(L, 0 4- e) w*
D'(L,L — z)w*
D' (L, 0 4- e) w*
Подставляя сюда выражения (2.33a) — (2.33г) и (2.34а) —
(2.34г), получаем уравнение
“—2XL3 0 — 3XL2 — 0.5L" s(L) — 0.5а>*
0 — 2U3 0 0 s(0) 0.5u>*
0 — 3XL2 0 0.5 m(0) 0
— 3XL2 0 — 0.5L — 0.5 0(1) 0
которое может быть преобразовано таким образом, что его матрица
не будет содержать нулевых диагональных элементов:
2U3 0 — 3XL2 — 0.5L“ fs(L) — 0.5w*
0 — 2U3 0 0 s(0) 0.5®*
— 3ZL2 0 — 0.5L — 0.5 m(0) 0 •
0 -3U2 0 0.5 0(L) 0
Решение этого уравнения имеет вид
s(L) = w*/(4W), s (0) = w*/(4KLs), m(0) = — ®*/(4ZL2),
6 (L) = Зш*/(2Е)
и совпадает, естественно, с решением, полученным непрямым мето-
дом.
Как только вычислены все восемь граничных значений пара-
метров, смещения и углы поворота в любой внутренней точке Е
находятся обратной подстановкой их в выражения (2.35) и (2.36).
Значения изгибающего момента т(£) и перерезывающей силы s(£)
в той же точке 5 также могут быть найдены подстановкой гранич-
50
Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
ных значений в выражения, сходные с (2.36) и получаемые из (2.36)
дальнейшим дифференцированием по $ (т. е. /л($) = d6 ($)/$• и
s($) = dm(t)/dt).
2.5. Сравнение прямого и непрямого методов
граничных элементов
Читателю теперь, вероятно^, должно быть ясно, что, хотя основ-
ные решения, используемые в прямом и непрямом вариантах мето-
да (т. е. решения,, отвечающие сосредоточенным возмущениям в
бесконечной области), совпадают, между двумя подходами имеются
существенные различия. Эти различия суммируются ниже.
1. Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам до-
статочно было воспользоваться простыми физическими соображени-
ями и приемом введения «фиктивной» системы в неограниченной
области, то прямой метод требует более изощренного подхода,
который оказывается тесно связанным с использованием интеграль-
ных тождеств [7], например второй формулы Грина—уравнение
(2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не
менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер
в окончательных системах уравнений используются те же самые
фундаментальные решения для неограниченной области.
Если, однако, читатель тщательно проследит за преобразования-
ми, то обнаружит, что в двух указанных реализациях МГЭ пере-
менные х и £ меняются местами. Так, в непрямом варианте должны
быть найдены р(х), w(x) и т. д., тогда как в прямом варианте в силу
соотношения типа
L
J р (х) 8 (х, £) dx = р (£)
о
окончательное решение должно быть выражено через р(£), ш($)
и т. д. Поскольку такие выражения, как, например, dGIdx и dGIdb,
могут быть, вообще говоря, совершенно различными, эти два мето-
да, как будет пбказано ниже, видимо, должны различаться гораздо
существеннее, чем это может показаться на первый взгляд.
2. Дальнейшим следствием этого является то, что получение
окончательной системы уравнений прямым МГЭ требует, как пра-
вило, значительно больше вычислений. Решение при этом обладает
тем преимуществом, что в результате получаются реальные, а не
фиктивные граничные значения, но за это приходится отчасти рас-
плачиваться увеличением объема вычислений, требующихся для
нахождения решений во внутренних точках.
3. Прямой метод не требует специального анализа ситуации,
когда G(x, £) не удовлетворяет «условию нулевого излучения» на
бесконечно удаленной границе, но и в непрямом методе необходи-
2.6. Заключительные замечания
51
мость в таком незначительном видоизменении алгоритма никогда
не возникает в трехмерных задачах, а также не является обяза-
тельной для всех одно- и двумерных задач. Например, фунда-
ментальное решение в случае одномерных балочных систем на упру-
гом основании [8] непосредственно удовлетворяет условиям равно-
весия на бесконечности, и поэтому в непрямом методе для этих
задач не требуется введения дополнительных уравнений.
4. На этой стадии возникает естественный вопрос, являются
ли непрямой (НМГЭ) и прямой (ПМГЭ) методы одинаково строгими:
ведь первый из них обычно вводится путем привлечения лишь ин-
туитивных соображений. В гл. 3 надлежащим образом будет пока-
зано, что соответствующие им процедуры действительно являются
формально эквивалентными.
2.6. Заключительные замечания
В этой главе мы продемонстрировали точные решения двух одно-
мерных задач посредством как прямого, так и непрямого МГЭ.
Наша цель состояла в том, чтобы показать, что основные идеи ме-
тодов, тесно связанные с аппаратом функций влияния и функций
Грина, достаточно просты и хорошо известны. Каждый этап, вклю-
чающий упорядоченную последовательность стандартных шагов,
снова и снова будет повторяться на протяжении всей книги, так
что читателю настоятельно рекомендуется овладеть изложенным
выше, прежде чем двигаться дальше.
Наше естественное намерение заключается в том, чтобы пока-
зать в следующих главах, как эти основные идеи (с удивительно
небольшими модификациями) могут быть поименены к оешению
задач возрастающей сложности. В результате мы придем к эле-
гантной мощной и гибкой технике построения решений, которая
уже успешно используется в задачах о стационарных и нестацио-
нарных потенциальных течениях, а также в задачах статической
и динамической теории упругости, упругопластичности, механики
жидкости и т. д. для областей произвольной размерности.
Хотя задачи, решенные в этой главе, выбирались исключитель-
но для иллюстрации основных особенностей двух альтернативных
подходов, мы отчетливо сознаем, что оба метода не допускают вве-
дения ни неоднородностей, ни анизотропии. Это положение будет
исправлено в следующей главе на примере решения общих двумер-
ных задач о стационарных потенциальных течениях. В то же самое
время мы надеемся, что настоящая глава ободрила читателя, проде-
монстрировав принципиальную простоту МГЭ, и дала ему хорошее
представление о физической сущности процедуры построения
решений.
52 Гл. 2. Некоторые одномерные задачи
2.7. Литература
(1] Михлин С. Г. Приложения интегральных уравнений. —М.—Л.: ОГИЗ,
1947.
[2] Sommerfield A. Partielle Differentialgleichungen der Physik. — Leipzig,
1948. [Имеется перевод: Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения
в частных производных физики. —М.: ИЛ, I960.]
[3] Hughes W. F., Gaylord W. Basic equations of engineering science. —
New York: McGraw-Hill, 1964.
[4] Greenberg M. D. Application of Green’s function in science and engineering.—
Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.
[5] Wylie G R., Jr. Advanced engineering mathematics.—3rd ed. — New York:
McGraw-Hill, 1960.
[6] Betti E. Teoria della elasticita. — Il Nuovo Cimento, 1872, t. 7—10.
[7] Malvern L. E. Introduction to the mechanics of continuous medium. —
Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1969.
[8] Hetenyi M. Beams on elastic foundation. — Univ, of Michigan Press, 1946.
Глава 3
ДВУМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
О ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
3.1. Введение
Главная цель нашей книги — ввести читателя в круг важней-
ших задач (в порядке возрастания их сложности), которые могут
быть эффективно решены с помощью МГЭ. Усложнения обуслов-
лены либо размерностью задач и видом основных уравнений, либо
использованием при численной реализации метода дискретизации
более высокого порядка.
Данная глава представляет собой первый шаг в этом направле-
нии и посвящена анализу линейных двумерных задач теории ста-
ционарных потенциальных течений, т. е. течений с неизменными
во времени характеристиками, удовлетворяющими в двумерной
области линейным уравнениям. Основные дифференциальные урав-
нения в частных производных для таких задач являются-эллипти-
ческими (уравнение Лапласа или уравнение Пуассона) и относятся
к простейшим математическим моделям гидравлики, электро- и
теплопроводности и т. д. В каждой из этих задач дифференциально-
му уравнению удовлетворяет потенциальная функция р (электри-
ческий или гидравлический потенциал либо температура), прост-
ранственный градиент которой через параметр проводимости или
поонипаемости линейно связан с потоком или пясхопом ^соответ-
ственно плотностью электрического тока, скоростью течения жид-
кости или потоком тепла).
Хотя в этой и в следующей главах сингулярные решения стано-
вятся все более сложными алгебраически, основные этапы проце-
дуры построения решения в точности совпадают с подробно рас-
смотренными в гл. 2.
Идея сведения задач теории потенциала к решению интеграль-
ных уравнений не нова [1], но лишь совсем недавно она была реа-
лизована в виде достаточно общей вычислительной процедуры.
Джесуон [2] и Симм [3] опубликовали полупрямой алгоритм МГЭ
для двумерных задач о потенциальных течениях, а Джесуон и
Понтер [4] — аналогичный алгоритм применительно к задачам кру-
чения стержней. Эти вопросы в плане прямого, полупрямого и
непрямого методов граничных элементов более полно обсуждались
Мендельсоном [5]. Непрямой метод впервые распространен на зо-
нально-анизотропные среды Баттерфилдом и Томлином [6—8],
тогда как Нива, Кобаяси и Фукуи [9] опубликовали прямой МГЭ
для решения задач фильтрации со свободными границами. В то
54
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
же самое время аналогичные исследования были выполнены неза-
висимо, но параллельно в области теории теплопроводности (см.,
например, Чжан, Ган и Чжень [10]). Все эти приложения уклады-
ваются в рассматриваемые в данной главе общие алгоритмы пря-
мого и непрямого МГЭ.
3.2. Основные уравнения
Основная задача, которую мы должны решить, может бытыпо-
ставлена следующим образом (рис. 3.1). Двумерная однородная
область А* с изотропной проницаемостью k ограничена поверхно-
Рис. 3.1.
стью S*, на одной части которой заданы граничные значения ^по-
тенциала р*, а на остальной части — значения нормальной ком-
поненты скорости (потока) и*. Внутри области А* могут находить-
ся источники или стоки определенной интенсивности чр в расчете
на единицу площади. Требуется найти скорость течения и потен-
циал во всех внутренних точках области А* и на ее границе S*.
В прямоугольной декартовой системе координат (xit х2 или
х(, (=1, 2) уравнение неразрывности потока является уравне-
нием Лапласа относительно потенциала
д2р (х)/дХ1 + д2р (х)/дх2 = д2р (xj/dx^X; = 0 (3.1)
и должно выполняться, во всех точках, за исключением тех, в кото-
рых находятся источники и стоки.
Здесь мы воспользовались правилом Эйнштейна о суммировании
по повторяющимся индексам. Это правило будет регулярно исполь-
зоваться на протяжении всей книги для сокращения записи раз-
личных выражений. Тот, кто не знаком с этим правилом, может
найти краткое объяснение в приложении А.
3.2. Основные уравнения 55
Соответствующие компоненты вектора «скорости» течения v i(x)
выражаются в виде
vt (х) = — kdp (x)/dxir (3.2)
отвечающем закону Дарси,, закону Ома и т. п.
Мы должны решить уравнение (3.1) внутри области А* при за-
данных условиях на ее границе S*. Так, если бы на всей границе
5* был задан потенциал (задача Дирихле), то мы имели бы
р* (х0) = g (х0), х0 принадлежит 3% (3.3а)
а если бы была задана нормальная компонента скорости (задача
Неймана), то
и* (х0) = h (х0), х0 принадлежит S*, (3.36)
где
И* (*о) = V1 (*о) «1 (*о) + (*о) «2 (*о) = Vi (Хо) nt (х0),
причем nj(x0) являются компонентами единичного вектора внешней
нормали в точке х0. В более общем случае смешанной граничной
задачи на каждой части границы 3* задается либо р*, либо и*.
Прежде чем переходить к рассмотрению фундаментальных ре-
шений уравнения (3.1), заметим, что весь последующий анализ
непосредственно применим к однородным анизотропным областям,
для которых проницаемость задается тензором второго ранга ki}
(см. приложение А). Соответствующее обобщение уравнения для
потока записывается так:
vt (х) = —kijdp (x)ldxj,
в силу чего уравнение неразрывности dvJdXi — 0, принимает вид
kijd^pix^dxidxt = О
с пространственно постоянными величинами ki}.
Однако если оси хг совпадают с направлениями главных осей
тензора kti (т. е. ki} приводится в них к диагональному виду с
главными значениями проницаемости и /г2)> то это уравнение .
упрощается:.
ky&p (х)/дх? + k^cPp (x)/dxl = О
и путем введения нормированных координат т]г (1^= хь т>2 =
= ХгК^/^г) преобразуется к виду (3.1): d2/?(t])/dr] idr^ = О, так
что задача сводится к задаче для изотропной среды при k = 7/ ktk2-
Таким образом, последующий анализ, проводимый при условии,
что указанные выше преобразования выполнены, относится одно-
временно к задачам для изотропных и анизотропных областей.
56 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
3.3. Сингулярные решения
Фундаментальные решения уравнения (3.1), составляющие ос-
нову всего последующего анализа, представляют собой значения
потенциала р(х) в произвольной точке наблюдения хг, обусловлен-
ные единичным источником интенсивности е(£), помещенным в точ-
ку приложения нагрузки Хотя начала координат систем 5 г и
х ъ совпадают, за каждой из них совершенно необходимо сохранить
ее специальное назначение. Таким образом, классическое сингуляр-
ное решение может быть записано в виде
p(x)=G(x, В)е(Е), (3.4)
где
G(x, В) = — [l/(2dfe)l In | r/r0 | ,
а константа r0 такова, что G = 0 при г — г0 и
Г* = (Xt — ^)2 + (х2 — Е2)2 = (X — 5){ (X — Of = У1У1> У1=(Х — $);.
Функция и(х,с) является «двухточечной» функцией, зависящем
от координат х, | двух точек, а так как нам потребуется дифферен -
цировать или интегрировать G по х или по $, то различие между
двумя аргументами должно быть сохранено.
Выражение (3.4) определяет потенциал р(х) относительно его
нулевого значения при г = г0, и, следовательно, р не стремится
к нулю, когда г-> оо. Такое «логарифмическое поведение на бес-
конечности» означает, что при использовании непрямого МГЭ по-
требуются дополнительные уравнения (см. разд. 2.3.1).
Дифференцируя (3.3) по х г, мы получим компоненты v t(x) век-
тора потока (скорости)
Vi (х) = -kdp (х)/дх, = [1 /(2п)] (уг/г2) е (В). (3.5)
Если п г(х) — компоненты единичного вектора внешней нормали
к линейному элементу, проходящему через точку xh то скорость
и(х) вдоль п равна
и (х) = vyii == [угЩК^пг2)} е (?) = [(п^ + н2у2)/(2тгг2)] е (?), (3.6а)
или
u=F(x, В)е(В),
где
F (х, 0 = (х — $)гпг (х)/(2пг2) = (х)/(2№). (3.66)
Стоит отметить, что функция Г(х, £) является антисимметричной
и меняет знак при замене х на тогда как G(x, 0 симметрична по
своим аргументам х и tj. При этом оба сингулярных выражения
(3.4) и (3.6) для р и и соответственно неограниченно возрастают
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области
57
при х t -> с; (т. е. когда точки наблюдения и приложения нагрузки
совпадают). Первое выражение, содержащее 1пг, является лишь
«слабо сингулярным» и интегрируется обычным образом вдоль ли-
нейного элемента, проходящего через особую точку xt = при-
чем особенность у этой функции, как будет показано, после интег-
рирования вообще пропадает. Второе выражение, F(x, £), содержа-
щее особенность порядка 1/г, является «сильно сингулярным» и
уже не может быть проинтегрировано в обычном смысле вдоль
линейного элемента, проходящего через Особую точку. Такие син-
гулярные функции играют главную роль во всех МГЭ и, как мы
увидим в дальнейшем, обеспечивают диагональное преобладание
матрицы получаемых в результате уравнений.
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области
Чтобы дать ясное представление о рассматриваемой модели,
на рис. 3.2 воспроизведена соответствующая реальной системе
«фиктивная» система (для нее область А и ее граница S отличаются
от А* и S* лишь тем, что помещены в двумерную неограниченную
область из того же материала). Будем обозначать точки наблюде-
ния на границе S через (х0)г и снова потребуем, чтобы граничные
значения потенциала р и скорости v на S в точности совпадали с
заданными на S*, т. е.
Р* (*о) = Р (*о) « (*о) = « Ю-
Чтобы завершить постановку задачи, следует, как и ранее,
учесть заданное распределение источников ф(г) на единицу пло-
щади в области А (или А*). Для большей ясности при указании
их местоположения внутри области используются новые коорди-
наты zit аналогичные $, причем начало координат системы z совпа-
58 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
дает с началом координат х и £. Теперь мы введем фиктивные источ-
ники неизвестной заранее интенсивности ф(В) в расчете на единицу
длины S, используя координаты £гдля соответствующих точек при
ложения нагрузки (источников) на границе S. Реакции системы
в некоторой точке наблюдения х t на оба распределения источников
Ф и ф (т. е. значения в ней потенциала р и потока и по любому на-
правлению) находятся интегрированием единичных решений по
S и А соответственно. Т^к, для получения р(х) надо подставить
ф(Е) вместо е(В) в уравнение (3.4), проинтегрировать по S и доба-
вить результат интегрирования по области А уравнения (3.4), в
котором е(В) заменена на ф(г). В итоге получим
р (х) = f G (х, В) <р (?) dS (?) + У G (х, z) ф (z) dA (z) + С, (3.7)
S А
где появление постоянной С связано со вторым членом G(x, £) в
уравнении (3.4). Как и в одномерном случае в разд. 2.2.1, значение
С окончательно будет выбрано таким образом, чтобы суммарное
«пчпупамка» upnpQ vnanAwwvsn rnaminv пбпятпппгк к
нуль, что в свою очередь будет гарантировать единственность
нашего решения. Это приводит к условию
У <P(?)dS(?) + ]* ф(г)<М(г) = 0.
S А
Те же самые операции, выполненные с F(x, £), дают нормальную
составляющую скорости вдоль S в виде
и (х) = J F (х, О ф (?) dS (?) + J F (х, г) ф (г) dA (г). (3.8)
S А
В принципе последний формальный шаг для получения реше-
ния задачи состоит в помещении точки х г на границу S (т. е. х ->
—>х0); тогда уравнения (3.7) и (3.8) принимают вид
Р (х0) = J G (х0, В) Ф (?) dS (?) + У G(х0, z) ф (z) dA (z) + С, (3.9)
S А
«(*о) = f * F (х0, £) ф (В) dS (В) + У F (х0, z) ф (z) dA (z), (3.10)
S А
где J* обозначает несобственный интеграл, обусловленный осо-
бенностью в F при £ -+ х0. Более полное обсуждение этого обстоя,
тельства будет проведено позднее.
В «корректно поставленной» задаче одна из функций р(х0) или
и(х0) должна быть известна в каждой точке границы, поэтому урав-
нения (3.10) и (3.9) образуют систему двух интегральных уравне-
ний, которая может быть разрешена относительно единственной
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области 59
неизвестной функции <р(В). После отыскания <р(В) значения р(х)
или и(х) в произвольной интересующей нас внутренней точке
находятся подстановкой <р(£) в соотношение (3.7) или (3.8) соответ-
ственно. Перед тем как перейти к описанию численной аппрокси-
мации уравнений (3.9) и (3.10) системой алгебраических уравнений
(которая может быть решена непосредственно относительно <р(В)),
полезно чуть пристальнее рассмотреть эти уравнения.
Прежде всего они являются скалярными интегральными урав-
нениями, так как все ядра (G, F), интенсивности источников (<р, ф)
и, следовательно, также р и и являются скалярными величинами.
В противоположность этому, если бы мы захотели вычислить ком-
поненты вектора скорости vt{x), то записали бы уравнение (3.5)
в виде
vt (х) = [уг/(2№)] е (В) = (х, Q е (В),
что после интегрирования по S и А снова дает
Vi (х) = J Hi (х, В) <Р (E)rfS (Е) + f Hi (х, z) ф (г) АА (г). (3.11)
S л
Поскольку <р(В) найдена, то v t(x) могут быть вычислены в любой
точке путем интегрирования. Уравнение (3.11) уже должно иметь
векторное ядро Ht, чтобы давать значения компонент вектора
Vi, и, следовательно, будет многомерным интегральным уравне-
нием первого ранга. Интегральные уравнения, получающиеся в
задачах теории упругости, содержат ядра более высокого ранга,
в частности ядра второго ранга вида Go(x, В) и т. д.
Кроме того, интегральные уравнения (3.9) и (3.10) сингулярны
в том емкге.пА итл K-nwnnA ич пгтрп (G Г\ становится ыаогпяничрнным
в определенных точках внутри областей интегрирования (т. е. S
и А). Интегрирование по области А членов, содержащих особенно-
сти при z = х0, не вызывает серьезных затруднений. Действитель-
но, хотя особенность типа 1/г является сильной, после интегриро-
вания вдоль линейного элемента S она, как будет показано ниже,
становится «слабой», и, следовательно, проблем с интегрированием
по области А, например в уравнении (3.10), не возникает.
На этом основании мы можем заранее ожидать, что все интегра-
лы (или соответствующие им численные суммы) в уравнениях (3.9)
и (3.10) могут быть вычислены в обычном смысле (в смысле интегра-
ла Лебега), за исключением первого одномерного интеграла в урав-
нении (3.10), имеющего сильную особенность ' (типа 1/г) при £ =
= х0. Этот интеграл, следовательно, нужно понимать в смысле
главного значения интеграла по Коши с дополнительным «свобод-
ным членом», обусловленным особенностью.
По существу, это означает, что всюду, за исключением малой
окрестности + е (вдоль S) точки х0, должно быть выполнено обыч-
ное интегрирование; получаемое же в пределе при s —0 значение
60 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
и является главным значением интеграла по Коши. В некоторых
случаях значение свободного члена фактически очевидно из физи-
ческих соображений. Например, в нашей задаче при В = х0 поток,
обусловленный действием точечного источника <р(В), делится
пополам между внутренней А и внешней А областями, и поэто-
му его вклад в и(х) при приближении х к х 0 изнутри области
А должен соответствовать —(1/2)<р(х0), если х0 не находится
в угловой точке S (т. е. если в точке х 0 имеется единственное на-
правление, касательное к S). Значения «свободного члена» в угло-
вых точках обсуждаются ниже. Заменив теперь особый интеграл
J* интегралом типа Коши по S с дополнительным членом
—(1/2)<р(х0), мы можем переписать уравнение (3.10) в виде
«(*о) = ~ (1 /2) <Р (х0) + ,f F (х<р 5) <Р (В) dS (В) + f F (х0, z) ф (z)dA (z),
S А
(3.12)
где первый интеграл должен пониматься в смысле Коши, а вто-
пой — в обычном смысле.
Чтобы выполнить интегрирование и получить численное реше-
ние нашей задачи, сводящееся в основном к определению <р(В) из
уравнений (3.9) и (3.12), мы должны дискретизировать поверхность
S области, а при наличии внутренних источников ф и всю внутрен-
нюю площадь А.
3.4.1. Дискретизация поверхностных
и объемных интегралов
Если бы мы могли проинтегрировать уравнения (3.9) и (3.12)
в явном виде и разрешить их относительно <р(£), то наше решение
было бы точным; на самом деле, однако, в практических задачах
это оказывается невозможным и приходится пользоваться при-
ближенными методами.
Таким образом, неточности, возникающие в процессе примене-
ния МГЭ, обусловлены исключительно процедурами численной
дискретизации и интегрирования, и поэтому совершенствование
методов аппроксимации теоретически позволяет достигнуть любой
степени точности. На практике же, однако, должен быть достигнут
некий компромисс между затратами времени и сил на вычисление
и точностью решения. Приведенный ниже алгоритм является,
вероятно, простейшим из всех, обеспечивающих получение важных
практических результатов. С его помощью были пблучены точные
решения ряда теоретических тестовых задач; кроме того, он был
использован для решения весьма сложных задач подземной гидро-
механики (§ 3.9).
В данном методе дискретизации используются линейные гра-
ничные элементы, характеризуемые координатами их средних
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области
61
точек, вдоль каждого из которых, скажем q-ro элемента, интенсив-
ность фиктивных источников <р($’) постоянна. Для простоты мы
будем считать источники ф также распределенными равномерно
по треугольным ячейкам (некоторого подходящего размера) и обо-
значим их интенсивность в ячейке с номером I через ф(гЛ). Если
мы аппроксимируем S и A N граничными отрезками и М треуголь-
ными внутренними ячейками, как показано на рис. 3.3, то сможем
записать дискретные аналоги выражений (3.9) и (3.12) для р(х%)
и u(xq) — потенциала и нормальной составляющей скорости на р-м
граничном элементе — в виде
N
p(xS)=
tf=l AS
М
+ f G<*°’ z')<M(zr) + C, (3.13)
/=1 АД
«(xg)=-(l/2)<p(x?)+ 2<Р(^) ^)dS(^) +
1 AS
M
+ \F{x?Q,z‘)dA(zl), (3.14)
1=1 АД
где (%o) t — координаты средней точки p-ro граничного элемента,
AS — длина q-ro граничного элемента и АЛ — площадь /-й внутрен-
ней ячейки.
62 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
3.4.2. Формирование матриц системы,
Выражение (3.13) определяет потенциал в средней точке (центре
масс) граничного элемента с номером р, обусловленный действием
всех источников <р и ф. Выражение (3.14) дает соответствующие
значения нормальной к р-му элементу составляющей скорости,
направленной вне области. Мы намеренно допускаем столь значи-
тельное усложнение обозначений, чтобы избежать двусмысленности
при определении роли различных координат, местоположений то-
чек наблюдения и приложения нагрузки и т. д. В частности, это
позволяет переписать соотношения (3.13) и (3.14) в более удобном
матричном виде:
рр = I f GP<>dS\ + ( f Gp'aM^ 1|/ + С, (3.15)
\ As ] ( м /
uP^—llWqP+f^FPidSy^ + f^FP’dAyty1, (3.16)
1дс ijp-* — вскюр-сюлиец размерности Л’, ф‘ — вектор-столбец раз-
мерности М, а члены в скобках — вектор-строки соответствую-
щих размерностей. Каждый элемент этих вектор-строк получается
в результате интегрирования, например, ядра^б по AS и т. д. Таким
образом, первым элементом первой вектор-строки в соотношении
(3.15) будет
Gpl = J G(xg, ^)dS(^).
AS,
Вычисление этих промежуточных интегралов будет подробно
рассмотрено ниже; сейчас мы заметим лишь, что окончательная
форма соотношений (3.15) и (3.16) всегда будет эквивалентна сле-
дующей:
pp==(GP«)<p?-|-(G^)4'-|-C, (3.17)
ир = (F₽?) <р? _|_ (fpi) ф', (3.18)
где член —(1/2)<р₽, входящий в (3.16), включен в Fp? (при р = q).
Если совершенно аналогичные операции проделать для всех
граничных элементов (р = 1, 2, ..., N), то полученную в результате
полную систему уравнений для р и и можно будет представить в
простом виде:
р = Gs ср + Ga ф + IC, (3.19)
u = Fs? + F% (3.20)
где, очевидно, р, и и ср суть TV-мерные векторы граничных значений,
а ф есть ТИ-мерный вектор интенсивностей источников внутри
области А.
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области
63
Матрицы Gs , Fs размером N X N, составленные из интегралов
типа GP9 по границе S, отличаются индексом S от матриц GA, Fz
размером N X М с индексом А, означающим, что они получаются
из интегралов типа Gpl по площади элементов ДЛ; I — единичный
Д'-мерный вектор-столбец.
Прежде чем составить из уравнений (3.19) и (3.20) общую сис-
тему, мы снова должны вернуться к нашей дискуссии о константе
С. Как упоминалось выше, появление произвольной постоянной
С связано с произволом в выборе начала отсчета для измерения
потенциала. Если мы выберем С таким образом, чтобы алгебраи-
ческая сумма интенсивностей всех источников <р и яр внутри области
Л и на ее границе S была равна нулю, то сможем избавиться от
присущего задаче логарифмического поведения ядра G при г-> оо.
Это приводит к вспомогательному уравнению
N М N
2 J ф 09 dS 09 + 2 f W dA (*') = 2(ф ?Д5) +
9=1 AS 1=1 ДЛ 9=1
м
+ 2(ф^)=о»
1=1
которое при однородности распределений <р и яр по каждому из гра-
ничных элементов и внутренним ячейкам упрощается и принимает
вид
М + М = 0, ' (3.21)
где Ьп и bm — вектор-строки размерности соответственно N и М,
компонентами которых являются просто длины элементов в Ьп
п гт плтдятти ЧЧВВК В Ь,
Для решения поставленной задачи не требуется использовать
каждое из уравнений общей системы, образованной уравнениями
(3.19) — (3.21). Действительно, из полного набора р граничных
значений лотенциала может быть задана лишь некоторая часть,
скажем ps, и аналогично из всех значений и нормальной составляю-
щей скорости могут быть заданы лишь us. Однако суммарное число
компонент р5 и us всегда должно быть равно N. Следовательно,
мы должны выбрать из (3.19) и (3.20) только N уравнений, отвечаю-
щих заданным граничным условиям, и объединить их с (3.21) в
общую систему вида
aps
us
. о
м+1
0
0
ГаС5л|
Fsx {Ч>}.
_ ьт .
(W+1)X(W+1) м+1 (jy+l)XM М+1
(3.22)
где блоки Gss и GSj4, выбранные из полных матриц Gs и GA, соответ-
ствуют ps , а блоки Fss и F5-4, выбранные аналогичным образом из
64 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
Fs и F-4 , соответствуют us; 10 и 0 — единичный и нулевой вектор-
столбцы с числом компонент, равным соответственно размерности
ps и us, а а — масштабный множитель, необходимый для того, что-
бы все элементы матрицы были величинами одного порядка (а « k).
3.4.3. Вычисление значений потенциала и скорости
во внутренних точках
Единственное неизвестное в уравнении (3.22) у может быть най-
дено обычными методами матричной алгебры путем обращения мат-
рицы размером (N + 1) X (N + 1). Подставляя затем ф в неис-
пользованные уравнения системы (3.19), (3.20), мы сможем опреде-
лить, если потребуется, остальные граничные значения потенциала
и потока. Если же этого не требуется, то из всех уравнений (3.19)
и (3.20) используются лишь выражения для компонент ps и us гра-
ничных значений р и и.
Значения потенциала во внутренних узлах хг вычисляются по
известным значениям ф с помощью дискретных выражений вида
(3.17), которые совпадают с соотношениями (3.15). за тем липп»
исключением, что индекс р относится к интересующим нас внутрен-
ним точкам хр. Компоненты скорости в тех же самых точках в неко-
тором направлении д,(х₽) могут быть найдены сходным образом
по формулам (3.16).
Здесь следует сделать два важных замечания.
1. При решении уравнения (3.22) относительно ф обращается
только, матрица размером (N -J- 1) X (N + 1) (т. е. размер мат-
рицы определяется исключительно числом граничных элементов N
и совершенно не зависит от числа внутренних дискретных элемен-
тов М, используемых внутри тела). Это, как будет установлено
ниже, остается справедливым в случае любых заданных источников
и стоков, а также вообще для всех объемных сил при произвольной
размерности пространства. Тот факт, что для получения решений
при других значениях ф не требуется повторения операции обра-
щения, будет играть главную роль в следующих главах, где учет
нелинейных эффектов, подобных возникающим, например, в
упругопластичности, будет осуществляться путем введения «псев-
дообъемных» сил.
2. После отыскания tp для вычисления в выбранных внутрен-
них точках р(хг) и и(хг) используется в точности тот же самый ал-
горитм, что и при нахождении всех членов уравнения (3.22), содер-
жащих F и G.
Теперь мы снова обратимся к алгоритму решения прямым МГЭ.
При этом опять будет выполнено интегрирование сингулярных
решений по S и А, приводящее в конце концов к матричным урав-
нениям, связывающим граничные значения, однако последующее
вычисление u(xt) будет проводиться уже не столь непосредственно,
как было указано выше в замечании 2.
3.5. Прямой МГЭ для однородной области
65
3.5. Прямой метод граничных элементов
для однородной области
Начнем мы снова с основного дифференциального уравнения,
эквивалентного (2.19) и имеющего в двумерном случае вид
kd2p (x)/dXidXi = — ф (х), (3.23)
где теперь ф(х) — заданное распределение интенсивностей источни-
ков в области А, отвечающей нашей задаче. Поток в произвольной
точке снова находится как vt(x) = —kdpldxt, т. е. мы считаем,
что исходная анизотропная область уже переведена при помощи
геометрических преобразований (§ 3.2) в эквивалентную изотроп-
ную область с проницаемостью k.
Последующий анализ является обобщением проведенного в разд.
2.4.1 с той лишь разницей, что теперь G(x, В)—двухточечная
функция, удовлетворяющая уравнению
k&G(x, q/dxtdxi =1—Щх, В). (3.24)
Здесь 8(х, В) — двумерная дельта-функция Дирака, равная
нулю, если не совпадают все соответствующие компоненты хг и
В-. При Х; = $( 8(х,В) обладает свойством «избирательности»,
так что, например,
f Р (х) 8 (х, В) dA (х) = р (В), Bf G А, (3.25)
А
т. е. при интегрировании по А произведения в левой части этого
уравнения в качестве единственного ненулевого слагаемого «выби-
рается» значение р(В) в заданной точке хг = Вг- Функция G, удов-
TTCVT’DOT-» «ТТОТТТОСГ ТТГЛ О Г>ТТОТТТХТТЛ 0/1 Л СТЪПСТОТОП ТЖОППП’ГЧТТ.ТХХ Г’ТДТЛГ'ХТ ТТППТШМ
AA---AAAA^.A --AA J .-f-
решением для потенциала, создаваемого в точке xt единичным
точечным источником, находящимся в точке В, неограниченного
двумерного тела (см. уравнение (3.4), воспроизведенное ниже):
G (х, В) = — [1/(2^)] in | r/r0 | , г2 = (х — В)г(х—£)г. (3.4а)
Для определения обусловленной потенциалом G составляющей
и(х) скорости в направлении единичного, вектора с компонентами
п i(x) в точке Xt нам потребуется также функция F (см. уравнение
(3.66))
F (х, В) = пг (х) (х — В)г/(2кг2)’ = — knt (х) dG (х, В)/дхг.
Умножим теперь обе части уравнения (3.23) на G и проинтегри-
руем дважды по частям по области А (ср. с разд. 2.4.1). При этом
снова получится выражение для р(В) через величины, заданные
на границе X, и производные функции G. Так как операции такого
типа являются неотъемлемой частью основных преобразований
при построении всех решений прямым МГЭ, мы выполним их в дан-
3—356
Рис. 3.4.
ном случае подробно,, фиксируя каждый шаг, и рассмотрим отдель-
но два члена, возникающие в левой части нашего уравнения. Итак,
имеем сначала
A
(3.26)
CG(-^- + ^-}dA(x) =
J \0Xidx! dx2dx2]
A
где dA(x) = dXidx2 — бесконечно малый элемент площади А. Ин-
тегрируя дважды по частям лишь член Gd^pIdXidXi и подставляя
пределы интегрирования, показанные на рис. 3.4, получаем следу-
ющую последовательность соотношений: ''
(Gd^/dXjdx^dA =|J J (Gd^pldx^dx^dx^dx^
A ,1 ,1
x2 xl
4 c
i
Gdp!dx1
xi
— (dG/dx1)(dp/dx1)dxl dx2=
x2
4
,i
i
.1
i
(dGfdx^ p
I
i
4
3.5. Прямой МГЭ для однородной области
67
+ J (дШ/дх^дх^ pdxt dx2.
*1
(3.27)
Второй интеграл в (3.27), очевидно, равен
J р (дЮ/дх^дхх) dA,
А
а первый с учетом того, что в точке (х{, х?) на S dx2 = nrdS
(рис. 3.4), фактически является интегралом по границе S.
Уравнение (3.27), следовательно, можно переписать в виде
nxdS + С р (-д G dA.
J VJxj dxj
A
Если мы проделаем то же самое с членом дЮ1дх2дх2 и сложим
результаты, то, очевидно, получим
. [ fa dA = f (G ---------р —) ntdS + f (р dA, (3.28)
Л dxidxi) Л dXi Н dxt ‘ Л dXidXi '
aS а
где последний член, согласно уравнениям (3.24) и (3.25), равен
~P&/k.
Приравнивая (3.26) и (3.28), получаем в развернутом виде
р (?) = k J [G (х, 5) - р (х) пг (х) dS (х) 4-
S
+ J G (х, В) ф (х) dA (х). (3.29)
А
Если, как.и ранее, обозначить
F (х, $) = —k [dG(x, £)/dxf] nf (x),
и вспомнить, что поток в направлении п г равен
и (х) = — k [др (х)/дхг] пг (х),
то уравнение (3.29) можно будет записать более компактно:
Р Ю = У [р (х) F (х, £) — и (х) G (х, $)] dS (х) +
s
+ У Ф (х) G (х, В) dA (х). (3.30)
3**
68 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
Это соотношение позволяет находить значения потенциала в
произвольной точке $ по известным значениям потенциала и потока
во всех точках границы S и заданному распределению интенсивно-
стей внутренних источников.
Уравнения (3.29) и (3.30), по существу, являются двумерными
аналогами уравнения (2.22), и читатель, таким образом, может
справедливо предположить, что трехмерные задачи также будут
приводить к уравнению, совпадающему с (3.30), в котором индек-
сы принимают значения 1, 2 и 3, S становится площадью поверхно-
сти, а А — объемом V.
Уравнение (3.30) имеет ряд особенностей, которые необходимо
обсудить до того, как оно будет использовано в своей граничной
форме для решения общей двумерной задачи. Эти особенности
связаны с тем, что член р(В). стоящий в левой части, зависит уже
от аргумента В, а не от х, как это обычно было в непрямом МГЭ,
и, следовательно, потенциал должен вычисляться в точке $ t (т. е.
х и В поменялись местами). Как следствие этого интегрирование
теперь проводится по х, и потому единичная нормаль п(х) должна
выбираться, в каждой точке границы, а «е в выделенной точке на-
блюдения, как в случае НМГЭ. Подчеркивавшаяся выше идея
различения точек приложения нагрузки и точек наблюдения фак-
тически уже не приносит пользы, и уравнение ПМГЭ лучше всего
рассматривать как уравнение, определяющее потенциал р(В) в
любой точке В суммированием эффектов от других точек х на гра-
нице S и внутри области А.
Если теперь мы устремим точку В, к границе S изнутри А (ска-
жем, В Во, Во £ S), то из уравнения (3.30) получим предельное
значение потенциала при В —Во:
Р (U = ,f Р (х) F (х, Во) dS (х) — J и (х) G (х, Во) dS (х) +
3 S
4- J ф(х)б(х, Bo)dA(x). (3.31)
А
F*. Это уравнение снова является сингулярным скалярным инте-
гральным уравнением рассмотренного в § 3.4 типа, связывающим
все граничные значения потенциала р(х) и потока ц(х) с заданным
распределением внутренних источников ф(х). Все интегралы имеют
особенности при х = Во, однако, как будет показано в дальнейшем,
интегралы, содержащие функцию G, имеющую логарифмическую
особенность, могут быть вычислены (аналитически или численно)
без дополнительных трудностей. Двумерные интегралы по границе,
содержащие функцию F, напротив, имеют сильную особенность
порядка 1/г и должны вычисляться по формуле
f* Р (х)F (х, Во) dS (х) = (1 /2)р (Во) ч- f р (х) F (х, Во) dS (х), (3.32)
3.5. Прямой МГЭ для однородной области
69
где последний интеграл понимается в смысле главного значения
по Коши. «Свободный член» в (3.32) всегда будет иметь знак «плюс»
как для внутренних, так и для внешних задач, если потребовать,
чтобы В ->• Во изнутри интересующей нас области и знак и(В0) со-
ответствовал направлению «внешней» нормали к S.
Проведенный ниже простой вывод формулы для «свободного
члена» [11] (1/2)р(В0) в уравнении (3.32) может помочь читателю
Рис. 3.5.
понять, почему интеграл от F должен трактоваться именно таким
образом. На рис. 3.5, а показана гладкая часть границы S в окрест-
ности граничной точки Во> дополненная полуокружностью мало-
го радиуса е -> 0 с центром в Во- Вычислим сингулярную часть
интеграла от р(В0)/?(х, Во) по х, когда В -> Во на границе S изнутри
А. Выбирая Во в качестве начала локальной системы координат,
подставляя В = Во в уравнение (3.66) вдоль S
F (х, Во) = [(х -ЩМ nt (х), F (х, Во) = xini/(2^)= 1 /(2кб)
и учитывая, что dS (х) = eJ6, получаем
p(l0)F(x,t0) dS(x)=p(H0) J [1/(2те)Ме = (1/2)р(Во),
AS О
где знаку плюс в правой части отвечает выбор направления «внеш-
ней» нормали п из А в А. Уравнение (3.33) объясняет появление
«свободного члена» в (3.32); при этом интеграл по оставшейся части
границы S, где х =/= Во, превращается в интеграл в смысле главного
значения по Коши. Отметим попутно, что при отсутствии единст-
венной касательной к S в точке Во (рис. 3.5, б) пределы интегриро-
вания при вычислении свободного члена уже не будут равны О
и л, и "поэтому коэффициент при р(В0) уже не будет равен х/2. По-
добная ситуация может возникать в углах или в местах соединения
(3.33)
70
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях.
линейных элементов, аппроксимирующих границу; например, в
случае, показанном на рис. 3.5, б, пределы интегрирования равны
0 и <о, а «свободный член» равен [<о/(2л)] р(В0). Здесь, может быть,
уместно отметить, что для трехмерных задач теории потенциала
вычисление «свободного члена» осуществляется точно таким же
образом путем интегрирования по полусфере радиусом е -> 0 с
центром в go- При этом G(x, |) = 1/(4л/гг) (см. гл. 5) и, следова-
тельно, F(xJ-) = yini(x)/(4nrs), так что при £
{Д(х, ^0Й=|[хгпг/(4ле3) = 1/(4пе2) и dS = 2ге2 cosJ0d6,
откуда снова^получаем
п/2
И Л(и F(x, UrfS(x) =p(U f (1/2) cos Ш = (l/2)p(B0). (3.34)
[is о
Для угловой точки, показанной на рис. 3.5, б, «свободный член»
равен [<о/(4л)]р(£0), где to — величина соответствующего телесного
угла.
Подстановка (3.32) в (3.31) приводит к граничному интегрально-
му уравнению требуемого вида:
(1/адЦ = ( [p(x)F(x, U-u (x)G(x, £0)1 dS(x) +
s
+ f ф (x) G (x, £0) dA (x). (3.35)
A
Это тождество в принципе позволяет нам по заданным гранич-
ным значениям и распределению внутренних источников вычислить
все остальные не заданные на границе характеристики. После того,
как все данные на границе (т. е. значения р и и на S) будут из-
вестны, ими можно воспользоваться для вычисления р(Е) по фор-
муле (3.30) в любой точке внутри А.
Для того чтобы вычислить ы(Е), вспомним, что и(£) =
=—kldpf^ld^n^); поэтому, дифференцируя в (3.30) под знаком
интеграла, получаем соотношение
и (£) = f \р (х) Н (х, В) — и (х) F (х, £)] dS (х) +
s
+ f фн(х)/Дх, Z)dA(x), (3.36)
А
содержащее новое выражение — производную F(x, Н) по Ег —
Я(х, В) = — k(dF(x, ^)/Э;7-)пД0 = fc2(d2G(x, l)/dXid-j) пг (х)пД5),
или
3.5. Прямой МГЭ для однородной области
71
И (х, е) = [Л/(2«г»)] (2ум/г* -8„) п, (х) п}($), (3.37)
где уг = (х— $)г и 8г/ — символ Кронекера. Формула (3.37) полу-
чается путем дифференцирования F(x,,£) =—у^Ц^кг2) следую-
щим-образом:
Н (х, В) ------- пг (х) п, (В) -d (yi,r2) =-- пг (х) п, (В) (— —
' 2к dtj 2г. м ' 1У,\г2 dtj
2yt дг \ .
/* /’
но дуфд^ — —Ъи, и поскольку г2 = у^, то drldyk = pft/r. Следо-
вательно,
dr/d^j = (dr/dyh)(dyh/dlj) = —(yk/r)t]h = —уJr
и
Н(х, В) = [k/&r*)] nt (х) П] (В) (2^/г2 -8у), (3.38)
Проведение подобных выкладок без использования индексных
обозначений чрезвычайно утомительно; так, в развернутой записи
уравнение (3.38) содержит восемь отдельных членов-произведений
(два из которых оказываются равными нулю). Поэтому читателю
настоятельно рекомендуется овладеть несколькими простыми пра-
вилами (см. приложение А), требующимися уже на данной стадии,
чтобы быть готовым к существенно более широкому использованию
подобных обозначений, например в теории упругости.
3.5.1. Дискретизация поверхностных и объемных интегралов
и формирование матриц систем
Дальнейшие преобразования почти в точности совпадают с
подробно описанными в разд. 3.4.1 применительно к непрямому
методу, поэтому ниже мы ограничимся лишь упоминанием основных
моментов.
Главная задача состоит в решении уравнения (3.35), т. е. в
вычислении по заданным граничным условиям остальных перво-
начально неизвестных граничных значений р и и.
Для этого мы снова воспользуемся простейшей схемой дискре-
тизации границы линейными элементами с постоянными распреде-
лениями переменных по элементам и постоянными распределениями
интенсивностей источников ф по каждой отдельной внутренней
ячейке. Если число граничных элементов равно N, число ячеек
внутри области равно М, a q и I — номера их типичных представи-
телей соответственно, то тождество (3.35) для р-го элемента на гра-
нице можно записать в виде
N
(i/2)p($ = 2 рfFФdS^ -
9=1 AS
72
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
-------------------у- ----1 -
N М
- 2 °(^) J G С ) (№) + J ф (z‘) J G (z', Eg) dA (z‘).
9=1 AS 2=1 ал
(3.^9)
Как и в разд. 3.4, в уравнении (3.39) используются координаты
z для обозначения центров внутренних ячеек, чтобы сохранить
за х обозначение координат точек границы. Уравнение (3.39) в
матричной форме принимает вид
[(1/2)рР{=;/ J ( J [G^dsk* + ( J G'wh ф', (3.40)
\ as I \ as ' I \ дл /
где р9 и и’ — вект.ор-столбцы размерности N, — вектор-
столбец размерности М, а члены в скобках — вектор-строки соот-
ветствующих размерностей. Сравнивая уравнение (3.40) с уравне-
ниями (3.15) и (3.16), видим, что порядок индексов pq и pl, соответст-
вующий непрямому МГЭ, в прямом МГЭ заменяется на обратный:
qp и 1р. Это изменение в матричной записи уравнений является
следствием перемены ролей аргументов х и £, подробно рассмотрен-
ной в начале данного параграфа. В силу симметричности G(x, Е)
имеем — GQp, тогда как Fpi и FQP совершенно различны.
Интегральные члены в вектор-строках снова могут быть най-
дены либо численно (во всех случаях), либо аналитически (для про-
стейших функций F и G; см. § 3.6). После выполнения суммирова-
ния матричное уравнение можно переписать в виде,г
(1/2) рр = (F™) р'-"— (Gw) uv + (G/p)|4»', (3.41)
или
(F9P) Р9 _i(G«>) u9 +»(G*) V = 0, (3.42)
где член (1/2)рр включен в диагональные элементы матрицы F (р =
= q). Варьируя р от 1 до N, мы получим полную систему уравнений
вида (3.42)
Fsp — Gsu + Слф = 0. (3.43)
(NXN) (NXN) (NXM)
Здесь опять индексом S обозначены матрицы, состоящие из линей-
ных интегралов, содержащих F и G, индексом А — матрица, со-
стоящая из содержащих-G интегралов по элементарным площадкам,
арии — векторы граничных значений потенциала и потока, сов-
падающие с р® и и® соответственно.
В простейших граничных задачах во всех точках границы за-
даются значения либо потенциала (и, следовательно, известен век-
тор р), либо потока (и тогда известен вектор и). В обоих случаях
не заданные на границе значения и или р соответственно могут быть
найдены непосредственно из уравнения (3.43). В общем случае
3.5. Прямой МГЭ для однородной области 73
смешанной граничной задачи потенциал может быть задан на
части Sp, а поток — на части S“ границы S, причем в корректно
поставленной задаче всегда + S“ ss S. Уравнение (3.43) целе-
сообразно нормировать на а « k для того, чтобы элементы матрич-
ных коэффициентов при р и и были величинами одного порядка,
а имение
— ((1/а) FS) (ар)|+ GSU = СЛф. (3.44)
Подобная нормировка выполняется автоматически путем введения
безразмерных переменных.
Уравнение (3.44) очень просто преобразовать таким образом,
чтобы известные значения р и и были компонентами одного N-
мерного вектора Y, а неизвестные значения р и и — другого N-
мерного вектора X, так что уравнение (3.44) можно переписать
в виде
КХ + 1Л = Слф (3.45)
и разрешить относительно X, после чего все компоненты и и р на
границе S (т. е. значения р и и на каждом граничном элементе)
будут известны.
Как упоминалось ранее, если в некоторой точке границы, где
должна быть вычислена функция F(x, |0), не существует единствен-
ного касательного направленйя, то коэффициент в свободном члене
уравнения (3.30) уже будет равен не х/2, а некоторой заранее не-
известной величине, скажем 0. Уравнение (3.41) в этом случае из-
менится:
LPPp = (Fffp) — (Gffp) (G/p) Ф'г> (3.4G)
но если член 0p₽ включить в элементы матрицы F’₽, лежащие
на главной диагонали, то мы снова придем к уравнению (3.43),
из которого значения 0 можно найти 112] непосредственно, рас-
сматривая решение, соответствующее равномерно распределенному
по всей границе единичному потенциалу р = I при ф = 0. Ясно,
что при этом поток через границу обращается в нуль (и? =
= 0) и уравнение (3.43) сводится к уравнению Fs I = 0, из
которого следует, что сумма элементов каждой отдельной строки
Fs должна быть равна нулю (см., например, уравнение (2.266)).
Последнее требование позволяет непосредственно найти значения
0, входящие лишь во внедиагональные элементы F?₽, и, следо-
вательно, если ошибки округления невелики, исключает необхо-
димость отдельного вычисления интегралов по окрестностям уг-
ловых точек. '
74
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
3.5.2. Вычисление значений потенциала и скорости
во внутренних точках
Пусть все компоненты р и м (на границе) известны; тогда,
снова подставив их в уравнение (3.30) или (3.36), мы получим зна-
чения потенциала p(Q или потока и(В) в направлении п в некото-
рых последовательно выбираемых точках внутри А. Эти уравне-
ния тоже полезно представить в дискретной форме. В соответствии
с описанной выше процедурой дискретизаций уравнение (3.30)
для некоторой внутренней точки принимает вид
N N
P0r)i= jp (^ J F(x9, lr)dS(x9)—2U(X<7)’ J G(xS Er)dS(№) +
a=i &s <j=ij as,;
м
i=i
т, e.
pr = (F?r) p-? - (G^) и* + (G,r) 4/, (3.47)
оде p« = p, u’ == u и все элементы матриц F и G могут быть вы-
числены путем обычного интегрирования, поскольку единствен-
ная особенность, возникающая в содержащих Glr интегралах по
ячейке, в которой лежит точка £г, является слабой.
Аналогичным образом уравнение (3.36) преобразуется к виду
u'-‘=(H'-’)p«—(F^)u’ + (Frf)4>/.| (3.48)
Особенности, возникающие в содержащих Fr/ интегралах по
внутренней ячейке, в которой лежит точка Нг, снова оказываются
слабыми (порядка 1/г), и, следовательно, компоненты векторов
F или Н в уравнении (3.48) не содержат интегралов в смысле глав-
ного значения.
.Таким образом, мы завершили описание прямого МГЭ приме-
нительно к типичной двумерной задаче о потенциальном течении
в однородной области, и читателю рекомендуется теперь парал-
лельно проанализировать оба метода решения — прямой и непря-
мой. На основе этого анализа, вероятно, можно прийти к спра-
ведливому выводу, что затраты на вычисление <р в непрямом МГЭ
фактически совпадают с требуемыми в прямом методе для нахож-
дения первоначально неизвестных значений на границе. Однако
в дальнейшем в связи с формированием в прямом методе допол-
нительной матрицы Н затраты на вычисление этим методом зна-
чений ur(x) во внутренних точках существенно возрастают и могут
конкурировать с затратами, которые обусловлены дополнительны-
ми операциями с вектором <р в непрямом методе, необходимыми
для нахождения остальных граничных значений.
Еще одно интересное обстоятельство связано с уравнением (3.44),
3.6. Эквивалентность НМГЭ и ПМГЭ 75
которое при отсутствии каких бы то ни было источников (ф = 0)
можно переписать в следующем виде:
u = [Gsr1FsP = [K]p. (3.49)
Уравнение (3.49) связывает граничные значения потока и по-
тенциала подобно тому, как это обычно получается в методе конеч-
ных элементов, хотя в данном случае мы имеем лишь один «супер-
элемент», представляющий собой всю нашу однородную область
независимо от ее формы. В § 3.8 мы покажем, каким образом фор-
мируются подобные зональные суперэлементы при решении с по-
мощью МГЭ задач для кусочно-однородных тел.
Однако, прежде чем перейти к этому, мы установим, в § 3.6
эквивалентность прямого и непрямого вариантов МГЭ, а затем
рассмотрим в § 3.7 технику вычисления всех промежуточных ин-
тегралов вида fGwrfS и др., входящих в уравнения (3.15) — (3.22)
дэ
и (3.40) — (3.49). При этом мы воспользуемся аналитическими ре-
шениями для линейных и плоских элементов с равномерно рас-
пределенными на них источниками.
3.6. Эквивалентность непрямого и прямого методов
граничных элементов
Для удобства снова выпишем основное соотношение (3.30) § 3.5,
в случае ПМГЭ дающее выражение для р(х) в некоторой точке х t
внутри А, но теперь поменяем местами символы х и
f Р (Е) 8 (Е, х) dA (?) = р (х) = f [pl(E) F (Е. х) - и (Е) G (Е, х)] dS (Е) +
A S
+ |ф(Е)С(Е, х)Л4(Е). (3.30а)
А
Рассмотрим область А с границей S, внешнюю по отношению
к Л, в которой отсутствуют источники, и предположим, что р(х)
является решением уравнения Лапласа d^pldxidxt = 0 в области
А. Точное повторение выкладок, приводящих к уравнению (3.31)
и состоящих в интегрировании по S и Л, но уже с точкой наблю-
дения X, внутри Л, дает эквивалентное уравнение
f [—Р (Е) F (Е, х) — и (Е) G (Е, х)] dS (Е) = 0,
s
где в отличие от уравнения (3.30)
1) последний член равен нулю, так как ф(х) = 0;
2) знак члена, содержащего Р(£, х), изменен на противополож-
ный в связи с изменением направления внешней нормали при пере-
ходе от области Л к Л;
76
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
3)_правая часть равна нулю, так как точка xf, теперь лежит
вне А (т. е. Jp©6(g,x)iL4(g) = 0).
_ Л _
Если р(х) является решением в Л и принимает на S те же самые
граничные значения, что и р(х) в нашей исходной задаче для внут-
ренней области (т. е. р(1-) = р(Е), g £ S), то, подставив в наше вто-
рое уравнение p(g) вместо р(£) и складывая результат с (3.30), по-
лучим
р (х) = - J [u (Е) + и (Е)] G (Е, х) dS (Е) + f ф(Е) G (Е, х) dA (Е).
S А
Таким образом,
р (х) = J <р (Е) G (х, Е) dS (Е) + J ф (Е) G (х, Е) dA (Е), (3.7а)
3 А
где <₽(£) = —[« (Е) + «(Е)].
Это соотношение отличается от уравнения (3.7), используемого в
НМГЭ, лишь отсутствием произвольной постоянной С. Все после-
дующие операции НМГЭ, связанные с вычислением потока, пере-
мещением точек наблюдения на границу и т. д., теперь формально
следуют из уравнения (3.7), и поэтому НМГЭ можно считать столь
же строго обоснованным, как и ПМГЭ. Интересующемуся' читателю
можно порекомендовать обратиться к книге Л амба [13], в которой
используются почти идентичные приведенным выше доводы.
В этой книге мы везде будем излагать наши формулировки
НМГЭ в простой, физически понятной форме, использованной в
гл. 2 и в настоящей главе, хотя во всех до единого случаях они
могут быть формально обоснованы так же, как это только что было
сделано выше. Интересно отметить, что, считая и решением внут-
ри А, совпадающим на границе S с и, мы сразу же получаем вторую
формулировку основного соотношения непрямого метода:
* р (к) = С F (х, Е)[р (Е) dS[(E) + j Ф (Е) G (х, Е) dA (Е), (3.306)
S А
где у. (Е) = р (Е) + р (Е). К сожалению, последующее использование
соотношения (3.306) связано со значительными вычислительными
трудностями, поэтому подобный альтернативный подход не бу-
дет рассматриваться в дальнейшем.
3.7. Вспомогательные интегралы по граничным элементам
и внутренним ячейкам
После дискретизации границы S и внутренней области, отве-
чающих некоторой задаче, все готово для матричной аппроксима-
3.7. Вспомогательные интегралы 77
ции определяющих интегральных уравнений, и остается только
проинтегрировать фундаментальное решение G и его производные
Т7, И вдоль отдельных граничных элементов и по внутренним ячей-
кам. Ниже выписаны вспомогательные интегралы, появляющие-
ся при применении каждого из рассматриваемых методов.
1 . Непрямой МГЭ (уравнения (3.15) и (3.16)):
J GwdS,[ f FPQ dS, \GpldA, J FpldA.
is AS ЬА АЛ
2 .|Прямой|'МГЭ|](уравнения|(3.41) и (3.48)):
J G»PdS, J F9PdS, J GlpdA, J IH^dS.}
AS AS АД AS
Два одномерных интеграла от G и два интеграла от G по пло-
щади совпадают в силу симметричности G(x, g). Интегралы от F
и от Н имеют сильные особенности при xt = £г, тогда как все
остальные являются интегралами от функций со слабой особен-
ностью в тех же точкдх.
Для простых дифференциальных уравнений и простых схем
.дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала
и интенсивностей источников по линейным граничным элементам
и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все
указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их,
безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точ-
ности методами численного интегрирования, как это приходится
делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных син-
гулярных решений с учетом их изменения по элементам с криво-
линейными границами. Используемые при этом численные квад-
ратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рас-
смотрены ниже.
В силу того что функции F, G и Н, фигурирующие в задачах
теории потенциала, особенно просто поддаются непосредственному
интегрированию по линейным и треугольным элементам, а также
того, что получаемые аналитические решения помогают глубже
понять проблемы, связанные с наличием у функций особенностей,
в настоящем разделе мы в явном виде найдем все выписанные выше
вспомогательные интегралы.
Во всех случаях мы будем пользоваться локальной системой
координат (рис. 3.6, а) с началом, как правило, в нашей точке наб-
людения хр. При введении единичного вектора пг(х) мы каждый
раз будем предполагать, что он преобразован из глобальной систе-
зиы координат в локальную.
(a) j* G(xp, ^)dS(i^). Согласно уравнению (3.4), G(x, £) =
AS’
78 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях...
= —[1/(2тг/г)]|1п | г/г0 | ; поэтому, переходя к локальным коорди-
натам, имеем
. „ «в
J G (х, 5) dS -> I G (0, dri2 = С [—/г/(2лй)1 In | (й sec 0)/ro |sec26d6=
|as as'.
А
= — [й/(2тгй)] ftg0 fin | (Й sec 6)/r0 I — 1) + 6]®B.
6.
Таким образом,
j’ftfc.T’) dS« = J G(£«, xP) dS« =
AS AS
1
2~/г
4- 0й1бв’ rB (3.50)
rA"
Выражение (3.50) равно значению потенциала, создаваемого в
некоторой точке наблюдения хр равномерно распределенным вдоль
АВ источником единичной интенсивности. Точка наблюдения мо-
жет быть, скажем, серединой р-го граничного элемента хо, как это
требовалось в уравнении (3.15). При суммировании по всем гранич-
ным элементам всегда возникает ситуация, когда р = q (т. е. х₽
достигает середины q-ro граничного элемента: хр -+ х§, всегда
соответствующая тем диагональным элементам матриц G , кото-
рые должны вычисляться с надлежащей осторожностью, так как
ядра подынтегральных выражений имеют особенности при х, =
3.7. Вспомогательные интегралы
79
При подходе к х$ изнутри А (рис. 3.6, б) h~^0, GB =
- —6Л —л/2, гв = гА -+ AS/2 = Ь, и так как стоящая под
знаком одномерного интеграла функция G имеет лишь слабую осо-
бенность, из соотношения (З'.бО) мы без труда получаем требуемый
результат:
СО ( xg, ?9 dS ->--------— (2b (in — — 1
J 2nk L \ r0
b I. b
-----In — — 1 .
/ \ ro /
(3.51)
(6) J F (xp, 59 dS (59- Согласно уравнению (3.6), F (x, 5) =
bS9
— (x — £)ini (x)/(2№); следовательно, в локальной системе коорди-
нат
0в
Cf(x,5)dS-> = *sec226fl dB =
J J 2k J h2, sec2 в
AS AS 0Л
1 pB j г t, гв
=------1 (nx-hngitg G)dG =-----njG—/igln —J . (3.52)
2л i 2л L r 1-16.4, rA
ЕслиТмы снова устремим / к x? изнутри А, то гЛ —\гв, -+ О,
«1 1. • в В =;Нел "/2 и
f F(xg,^’) dS—ПЛ2")] «1 (ев — 6д) = — 1/2.
дз
(в) J F^9, xP)\dS(¥). TenepbJFG, х)!=[(5—^)г/(2№)]пг(9« и
дз’
мы имеем П1(т])= 1, и2(',1) = 0- Следовательно,
(5, x)dS -> f F (т], 0)d% = — f fe(fesec26) dGH= [—1 ®
J1 7 J ' ' '2 2л J ft2sec®fl " 2лJn
ДЗ ДЗ 0Л л
(3.53)
и 5
[Т(Т«Г4М= 1/2,
AS
если xP и xg совпадают. В этом особом случае, так же как и в ему
соответствующем, указанном в пункте (б), единственный ненуле-
вой вклад дает несобственный интеграл f*.
80 Гл.'3$иву мерные стационарные задачи о течениях
Пункты (б) и (в) должны внести ясность в понимание основных
различий между интегралами от F(x, g) и F(g, х), выражающимися
в виде (3.52) и (3.53) соответственно.
(г) J //(£’, xr)dS(&). Здесь для обозначения координат точки
наблюдения мы используем хг, чтобы подчеркнуть, что эти инте-
гралы появляются только в прямом МГЭ при вычислении потока
в точках, не принадлежащих границе 5. Согласно уравнению
(3.39),
Н (хЛ) = [Л/(2л:)] щ (х) [(«7 (£)/г2) (8г/ - 2yiyjlr^],
где yt — Xt—?г. В нашей локальной системе координат = 1,
пг (л) = 0, и это уравнение принимает вид
Я (0, т]) =
Таким образом, вспоминая, что drte/r2 = M/h, и обозначая
ni (х) — п1> в соответствии с рис. 3.5,а находим
С Н (х, ?) dS f Н (0, ц) — f ---------------[«J (1 — cos2 6) —
J J J 2яЯ
д3 AS 0^
— n2sin6 cosGjdG = [k/(8nh)] [^(26—sin2G) + n2cos2G]flB, (3.54)
4 • °A
Вычисление выражения (3.54) для любых точек наблюдения
внутри А уже не вызывает затруднений, а именно это нам и тре-
бовалось. Интересно, однако, отметить, что наличие у функции
Н сильной особенности порядка 1/г2 означает, что интеграл
f Н(х^, &)dS не может быть вычислен. Действительно, при хг ->
AS
-> xg значение выражения (3.54) стремится к k/(4h) и неограничен-
но возрастает при h -> 0. Это обстоятельство приводит к серьезным
вычислительным трудностям при реализации прямого метода для
точек, расположенных вблизи границы.
Соотношения (3.50) — (3.54) содержат аналитические выраже-
ния для всех интегралов по линейным элементам, требующихся
для формирования матриц Gp?hFm в уравнениях (3.17) и (3.18),
G<ip и Fw в уравнениях (3.42) и (3.47), а также матрицы Нг<7 в
уравнении (3.48). Теперь остается рассмотреть интегралы от F и G
по площадям внутренних ячеек. Эти интегралы желательно было
бы найти в аналитическом виде, особенно по ячейкам, содержа-
щим точки наблюдения. Их значения становятся элементами глав-
ных диагоналей (г = Z) матриц в уравнениях (3.47), (3.48) и др.,
и, хотя приведенные ниже выражения могут быть использованы
3.7. Вспомогательные интегралы
81
для вычисления всех элементов матриц, недиагональные элементы,
вероятно, проще находятся с помощью численных квадратур.
На рис. 3.7, а показано типичное положение точки хГ внутри
/-й ячейки, по площади которой равномерно распределены ис-
точники г1. Любую такую ячейку можно разбить на три тре-
Рис. 3.8.
4—356
82
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
угольника (рис. 3.7, а) с общей вершиной в точке хг, поэтому до-
статочно рассмотреть лишь один из них (рис. 3.7, б), после чего
искомый ответ будет получен простой суперпозицией. Более того,
если хг находится вне некоторой ячейки (рис. 3.7, в) или на гра-
нице ячейки, то результат находится с помощью того же самого
аналитического решения (рис. 3.7, б) путем применения метода
суперпозиции по схеме, изображенной на рис. 3.7, г. Таким обра-
зом, рассмотрев один треугольник АВС в локальной системе коор-
динат т) (рис. 3.8), мы сможем получить все подлежащие опре-
делению элементы матриц Gpl, Fp! в уравнениях (3.17) и (3.18),
а также матриц G!p, Frl в уравнениях (3.42) и (3.48).
(д) J G (xr, zl) dA (г1) = J G (zlt xr) dA (г1). Мы уже получили
АД АД
(соотношение (3.50)) интеграл от G по полосе ab (рис. 3.8) и те-
перь просто проинтегрируем это выражение по (0 < < й).
Имеем
[ G (х, z) dA -+ J G (0, -ц) di^dr^ =
дл АЛ
е гь> ев
= П— 1/(2яй)] [г sin 0 (1п | г/г0 | — 1)+ ^61 dr]i =
J вл
ft в
С [— 1/(2пй)] [ijjtg 6 (In | (^sec 9)/г0 | — 1) +^6]. d^=
J eA
= -[1/(2кй)]
[tg 9(^/2) (In | (r]isec6)/ro | —3/2)+
e +
+ Н/2)9]ев =
; A Jo
rB’ ®B
= - [й2/(4кй)] [tg e (In I r/r0 I - 3/2) + 6] B eB. (3.55)
Л * A
(e) У F(xr, zl)dA(zl). Снова путем обычного интегрирования,
АЛ
на этот раз выражения (3.52) по т^, получаем
У F(x, z)dA-+- У-Р(О, Tl) d^d-r]?, =
АЛ АЛ
'•о, %
= J [— 1 /(2тг)J [rtie — n2 In | тЛ1г | ]Гаг о d^ =
О
3.8. Зонально-однородные тела 83
=— (1/(2п)] f — Hg In (cos 6)]®^ =
о A
= — [й/(2п)1 (njc — n2 In | rAfrB J) . (3.56)
(Необходимо помнить, что компоненты единичного вектора п,(х)
преобразуются в соответствии с выбором локальной системы ко-
ординат таким образом, что ось т]2 параллельна АВ, и потому при-
нимают различные численные значения для каждого из треуголь-
ников.)
Аналогично для J F(zf, xr)dA(zr) из выражения (3.53) будем
АД
иметь
. ' h
f F (z, х) dA -> j F (т], 0) d^d-rh = f [6C /(2it)] = Mc /(2ir). (3.57)
ад лд ft
Итак, все требуемые вспомогательные интегралы найдены, и,
хотя в данном случае полученные результаты оказались весьма
простыми и поучительными, совершенно ясно, что при дальнейшем
усложнении, обусловленном либо сложностью сингулярных ре-
шений, либо геометрией элементов, либо, наконец, неоднород-
ностью распределений источников или граничных условий, ана-
литическое вычисление интегралов неизбежно должно будет
уступить место соответствующим процедурам численного интегриро-
вания. Применительно к задачам о потенциальных течениях полу-
ченные выше аналитические результаты открывают наиболее удоб-
ный путь для формирования элементов различных матриц; иллю-
стративные примеры их использования будут приведены в § 3.10.
3.8. Зонально-однородные тела
До сих пор мы имели дело исключительно с задачами для одной
однородной области изотропного илц анизотропного материала.
В большинстве практических ситуаций интересующие нас объекты
содержат зоны, прилегающие друг к другу и представленные ма-
териалами с различными, но однородными свойствами (т. е. яв-
ляются зонально- или кусочно-однородными телами). Ниже мы да-
дим непосредственное обобщение основного алгоритма МГЭ, по-
зволяющее решать задачи для составных тел, объединяющих не-
сколько однородных зон.
В то время как матрицы, входящие в основные уравнения^
(3.22), (3.45), заполнены, матрицы, получающиеся в задачах для
составных тел, как мы увидим в дальнейшем, имеют блочно-лен-
точную структуру с блоками, отвечающими отдельным зонам, и /
перекрестными элементами, соответствующими общим границам
зон. i
4**
»4
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
Пусть в общем случае имеется несколько зон Dm (m= 1, 2, ...),
каждая из которых ограничена поверхностью Sm. Там, где две зоны,
например зоны 1 и 2, имеют общую поверхность, мы должны обес-
печить равенство потенциалов в соответствующих точках границ
S1 и S2 и непрерывность потока через соответствующие элементы.
Таким образом, на общей границе
Р?2 --р21 = О И Ul2 + ufl — О,
(3.58)
где число компонент каждого
из этих векторов граничных
значений потенциала и пото-
ка равно выбранному числу
(скажем, 7?) граничных эле-
ментов на общей границе.
Для иллюстрации мы рас-
смотрим двухзональную за-
дачу (рис. 3.9), в которой,
например, зона 1 будет иметь
в общей сложности Ni и
граничных элементов и внут-
ренних ячеек соответствен-
но, причем Rt = R2 элементов будут принадлежать общей гра-
нице. Известные граничные значения потенциала и скорости
для зоны 1 будем обозначат^ pf H>uf соответственно; общее
число компонент этих векторов, очевидно, равно Ni — Ri.
. Теперь мы можем записать основную систему уравнений (3.22)
Зона 2
Зона 1
Рис. 3.9.
R внутренних
граничных
элементов
Г1
(3.59а)
ai
Р12
U12,
ГАХ
См
Lia
{<М;
(3.596)
уравнение (3.59а) отличается от (3.22) лишь тем, что в нем выделе-
ны члены, обусловленные границей раздела зон; в уравнении же
(3.596) эти члены объединены вместе с остальными в матрицы ai,
Ai, J( (матрица At имеет размер (/V4 — Ri + 1) X (N + 1)) и т. д.
3.8. Зонально-однородные тела
85
Точно такая же
зоны 2:
система уравнений может быть выписана для
аа
Psi
U21,
(3.60)
Уравнения совместности (3.58) на границе раздела позволяют нам
объединить (3.596) и (3.60) в одну систему уравнений
Я1
0
а2
0
ГА1
вм
о
Qa
(3.61)
относительно единственного неизвестного вектора (?i?2)r раз-
мерности ЛГ1+ЛГ2 + 2; постоянные С были включены в у в процессе
формирования системы (см. уравнения (3.59)).
Как только все векторы у найдены, все отдельные зоны после-
довательно рассматриваются как совершенно независимые* области,
для которых можно найти требующиеся значения на дополнитель-
ной границе раздела (например, из уравнения (3.60) непосредст-
венно находятся Р21 или u2i, если вектор у2 известен). Таким об-
разом, потенциалы и потоки в любых внутренних точках каждой
из областей могут быть вычислены точно так же, как и в случае
однозональной задачи.
Блочная структура матриц уравнения (3.61) выясняется доста-
точно просто, если заметить, что наличие нулевых блоков в левой
части обусловливается вклю-
чением в общую систему ус-
ловий (3.58) и подчицяется
следующему правилу: для
любых двух соседних зои
первый сверху нулевой блок
соответствует равенству по-
тенциалов, второй — равен-
ству потоков. Проиллюстри-
руем указанную процедуру
формирования матриц на при- рис 3 ю.
мере четырехзональной зада-
чи для области, изображен-
ной на рис. 3.10. Полная система уравнений относительно фиктив-
ных потенциалов у выписана ниже в такой форме, что уже не тре-
бует дополнительных пояснений:
1 2 4
3
86
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
О
О
"2
О
о
о
о
о
0_
о
о
Ясно, что ширина ленты определяется максимумом разности но-
меров смежных зон, а полный размер матрицы, которая должна
4
быть обращена для получения у, равен квадрату величины +
i=i
+ 1) i, причем в число N, соответствующее каждой зоне, включе-
ны граничные элементы как на внешних, так и на внутренних гра-
ницах.
В случае прямого МГЭ формирование матриц осуществляется
аналогично. Для этого уравнение (3.43) удобно переписать в виде
3.8. Зонально-однородные тела
87
{₽} = [FY1 ([Gs] {u} - [Gx ] {фл}),
или
{р} = [Ая]{и}-Юл]{фл}.
(3.63)
Снова на примере двухзональной задачи (рис. 3.8) мы можем
отделить, скажем, значения потенциала {pj и скорости {uj на
внешней границе зоны 1 от их значений {р12} и {tii2} на поверх-
ности раздела зон 1 и 2 и записать для зоны 1
ft 1 = [r1 Mfr 1 - In 1 WiW (3-64a)
IP12J LD12 v12jlu12J lA'nj
а для зоны 2
t Hi2 M fr 1 - [& 1(3-646)
IP21J L®2i v2iJ lu2iJ lA'aiJ
Используя условия совместности (3.58), снова можно исключить
значения потенциала на внутренних границах из уравнений (3.64)
и привести эти уравнения к следующему виду:
Если заданы, например, все граничные значения потенциала
Pi> Рг» то уравнение (3.65) позволяет нам найти поток через гра-
ницу, включая его значения на внутренних поверхностях и12.
В случае смешанной граничной задачи уравнение (3.65) предва-
рительно должно быть преобразовано относительно незаданных
граничных значений переменных. Как только и12 определены, из
уравнения (3.64а) могут быть найдены компоненты р12, после чего
все значения на границе зоны 1 известны и последняя может рас-
сматриваться совершенно независимо при определении с помощью
соотношений (3.47) и (3.48) потока или потенциала в интересующих
нас внутренних точках.
Четырехзональная задача (рис. 3.10) приводит к уравнению
(3.66), из которого должна быть ясна общая процедура формиро-
вания матриц для многозональных областей:
. \ -
г '
88
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
Форма уравнения (3.66) особенно удобна в случае задания на
границе значений потенциала; что же касается смешанных гра-
ничных условий, то это уравнение должно быть преобразовано
таким образом, чтобы все заданные на границе значения находи-
лись в его левой части.
3JS. Родственные задачи
89
3.9. Родственные задачи
3.9.1. Течение со свободной поверхностью
Постановка целого рада практических задач теории движения
подземных вод включает условия на свободной поверхности (Sf
на рис. 3.11, а). В таких задачах свободная поверхность явля-
ется границей, вдоль которой напор, приведенный к атмосферному
давлению, равен нулю, и поэтому потенциал в каждой точке St
просто совпадает с ее высотой h над некоторым произвольно вы-
бранным уровнем отсчета. На рис. 3.11, а показана типичная сво-
бодная поверхность при фильтрации жидкости через земляную
плотину, состоящая в данном случае из двух частей с несколько
различными граничными условиями на каждой из них. Вдоль всей
поверхности Sf(l, 2, 3) мы потребуем, чтобы р(Л) = Л, и так как
внутренняя поверхность Sf(l, 2) образуется линиями тока, то до-
полнительно и(й) = 0 вдоль (/, 2). На остальной ее части (2, 3)
(называемой интервалом высачивания), через которую вода вы-
ходит на наружную поверхность плотины, задается фиксированное
распределение напора Л и «(Л) =/= 0. Точное положение Sf(l, 2)
заранее не известно и должно определяться в процессе решения
96 Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
задачи итерационным методом. Подобная задача была решена Ни-
вой, Кобаяси и Фукуи [9] с использованием прямого МГЭ в следую-
щей простой итерационной схеме.
Сначала задается некоторое произвольное положение поверх-
ности Sf(l, 2, 3) и вдоль нее принимается р(й) = й. Затем задача
решается прямым МГЭ, и в результате автоматически находятся
значения и(й) вдоль Sj (при этом, вообще говоря, и(й) =f= 0). Полу-
ченные значения и(й) используются в качестве новых граничных
условий вдоль SA1, 2), и задача решается заново без дополнитель-
ных изменений. В итоге находится новое распределение р(й) = й'
вдоль Sy, по которому строится уточненное положение свободной
поверхности Sf, отвечающее напору й'. Итерации повторяются
до тех пор, пока hn и йп+1 не будут совпадать с требуемой точ-
ностью; в качестве примера на рис. 3.11, б показаны свободная по-
верхность и эквипотенциали, полученные указанным методом
Нивой с коллегами [9].
3.9.2. Кручение стержней
Применение «методов граничных интегралов» к задаче о круче-
нии стержней детально обсуждалось Мендельсоном [5]. Им были
рассмотрены непрямой, полупрямой и прямой методы их решения
с одновременным использованием функций кручения и функций
напряжений, а затем полученные для чисто упругих стержней ре-
зультаты были распространены на случай упругопластических
стержней. Ранее Джесуон и Понтер [4] получили решения задачи
об упругом кручении ряда сплошных и полых стержней с различ-
ной правильной формой поперечных сечений, опять используя
функцию кручения в прямом варианте МГЭ.
Ниже мы рассмотрим задачу о кручении однородного упругого
стержня произвольного поперечного сечения под действием крутя-
щего момента, создаваемого заданными распределениями касатель-
ных напряжений на свободных торцах стержня. Один из возможных
подходов состоит в трактовке этой задачи как плоской задачи дву-
мерной теории упругости (каковой она, очевидно, и является) и в
использовании алгоритмов, которые будут приведены в гл. 4.
Однако Сен-Венан показал, что задача о кручении стержня как
одна из простейших задач теории упругости может быть сведена
к одному гармоническому уравнению в отличие от обычно полу-
чающихся в (двумерной) теории упругости более сложных бигар-
монических уравнений.
Изложим алгоритм МГЭ для упругого стержня с поперечным
сечением А, ограниченным контуром S (рис. 3.12), применительно
к определенной ниже гармонической функции кручения р(х). Вра-
щающий момент т, действующий в каждом поперечном сечении,
вызывает поворот а = x/(GJ) на единицу длины стержня, где G —
модуль сдвига материала стержня и J — момент инерции сечения
3.9. Родственные задачи
91
А относительно продольной оси, проходящей через его центр масс.
Единственными ненулевыми напряжениями в стержне являются
касательные напряжения = оз1, действующие в плоскости
(xlt х3), и Огз = о32 в плоскости (х2, х3) (рис. 3.12), причем ось х3
Рис. 3.12;
направлена вдоль оси стержня. Если эти компоненты напряжений
выразить через функцию р(х) в виде
о13 = aG (др!дхг — х2), о23 = «О (др/дх2 + xj, (3.67)
то можно показать [5], что p(xf), i = 1, 2, должна удовлетворять
уравнению
д2р (x)/dxjdxi = 0, Xi £ A, S. (3.68а)
Определим v t(x) — —др/дх t и u(x) = v t(x)n f(x), где n ,(х) —
компоненты единичного вектора, заданного в точке xt. Значения
н(х0), где х0 принадлежит S, должны удовлетворять соотношению
. и (х) — щхг —x = x0£S, (3.686)
в котором rii и п2 — компоненты единичного вектора внешней нор-
мали nf(x0) к поверхности S.
Из уравнений (3.68) непосредственно следует, что сформули-
рованная таким образом задача в точности совпадает с двумерной
задачей о потенциальном течении при заданном на границе потоке
(величина а = x/(GJ) считается известной). Ее решение р(х) может
быть получено с помощью прямого или непрямого алгоритма МГЭ,
развитого в данной главе. Напряжения в любой точке определяются
через др/дхt, т. е. компоненты v ,(х), которые также находятся
посредством стандартных операций МГЭ.
92 - Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
-------------------.------------------,-----------------------
3.10. Примеры решенных задач
Чтобы продемонстрировать основные возможности и точность
МГЭ применительно к двумерным задачам о потенциальных тече-
ниях, мы завершим главу четырьмя примерами решений возрас-
тающей сложности.
Эти примеры взяты из работы Томлина [8], и первый из них от-
носится к тестовой задаче с хорошо известным аналитическим ре-
шением, а именно к задаче о течении под основанием непроницае-
мой плотины, находящейся на поверхности изотропного грунта,
при заданном перепаде гидравлического потенциала (напора) в
100 единиц. Линии тока, отвечающие решению,' являются дугами
эллипса, поэтому, если мы исказим одну из них путем линейного
растяжения в 2.5 раза вдоль некоторого направления, как пока-
зано на рис. 3.13, и используем ее в качестве внешней непроница-
емой границы, то получим очень удобную тестовую задачу для
анизотропного материала (скажем, kt — 25, k2 = 4), имеющую точ-
ное решение. Если затем разделить эту область произвольно, на-
пример, на пять зон, то сможем одновременно проверить точность
алгоритма для зонально-однородных сред, описанного в § 3.8.
Именно это и сделал Томлин; решения, полученные им непрямым
МГЭ при постоянном распределении <р вдоль каждого элемента, по-
казаны на рис. 3.14, а, б.
В одном случае (рис. 3.14, а) для определения эффекта от каж-
дого элементарного источника Томлин использовал значения по-
тенциала в средних точках каждого элемента наблюдения, как это
описано в настоящей главе, в другом (рис. 3.14, б) для этой цели
им была разработана методика использования средних значений
потенциала, создаваемого на каждом элементе. Сравнение двух
результатов показывает лишь незначительное увеличение точ-
3.10. Примеры решенных задач
93
Непроницаемая гранта
р=100 Уч
р=0
\ \ \ ч
к=25
$А 1V
то
Непроницаемая
граница
50
р=Ю0
%%%%
р~0
9OXs'\55%sb$
fe=4
F >»-к=25
Главные оси прониц аемости
......... Аналитическое решение
Решение методом граничных
элементов:
у——Линия тая
"ЗяК--ЭкттаюпрОм
^Мншсаменфмш
V- ^ь.5^
Непроницаемая 60 "W"
граница
’50’ '
6
?Н”Ч^ )м
Рис. 3.14.
ности за счет описанной модификации. В большей части области
расхождение между численным и аналитическим решениями для
потенциала составляет менее 1 % полного перепада напора на пло-
тине с максимальной погрешностью порядка 2% под ее основанием.
Томлин использовал восемь граничных элементов под основанием
плотины, а полное число элементов было равно 74, из которых
21 находился на внутренних границах, что привело к конечной
матрице коэффициентов размеров 100 х 100 и времени получения
решения на вычислительной машине ICL-1907 порядка 100 CPU;
при этом использовался объем оперативной памяти 25 К1)-
О CPU—единица времени центрального процессорного устройства; К —
килобайт. — Прим, перев. _
94
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях.
На рис. 3.15 показаны распределения потенциала под основа-
нием плотины, отвечающие четырем численным решениям и соот-
ветствующему аналитическому. Два решения, полученные МГЭ,
уже упоминались выше,; кроме того, приведены результаты реше-
Аналитическое решение
Конечно-разностное решение
' (метод верхней релаксации)
’О о Однородное распределение
источников (зарядов) по элемен-
там с использованием значенш
в средних точках
v v Однородное распределение
источников (зарядов) по элемен-
том с использованием средних
значений
а а Однородное распределение
потенциала по элементам
t-sA с использованием значений
к в средних точках
Ч
^6 0.2 I WZ
U/S
Ширина основания
0.6 1
D/S
Рис.. 3.15.
ния методом конечных разностей на треугольной сетке и решения,
полученного дальнейшей модификацией МГЭ с однородными рас-
пределениями потенциала вдоль каждого граничного элемента
(в противоположность однородным распределениям интенсивностей
источников). Таким образом Томлин решил несколько задач и по-
казал, что последняя модификация МГЭ (с однородными распре-
делениями потенциала) является менее удобной в использовании
и приводит к некоторому снижению в точности.
Третий и четвертый примеры этого раздела являются аналогич-
ными; оба они связаны с течением под основанием плотины в не-
однородных пластах из зонально-анизотропного материала. На
рис. 3.16 и 3.17 показаны распределения потенциала и направ-
ления линий тока, полученные непрямым МГЭ; для сравнения здесь
же пунктиром изображены эквипотенциали, получаемые с помощью
конечно-разностного метода Томлина для треугольной сетки. Снова
типичные расхождения между двумя решениями оказываются по-
рядка 1% полного перепада напора на плотине и возрастают при-
мерно до 4% вблизи особых точек, находящихся в углах основания
плотины и в концах шпунтов. Из всех рассмотренных нами реше-
ний двумерных задач о потенциальных течениях, полученных с
Помощью МГЭ, последние являются наиболее нетривиальными, тем
Непроницаемая граница
4- -Г -г -г -г V -г \ ^4'Й<О «А &1 ’ * ух «l^WW ? r t! К/ Рис. 3.16. ^0/ Ч^/ W k=4 « . / / J 4 / ^''t‘Z^--''/y — Главные значения ’ проницаемости
Экранирующие шпунты
Рис. 3.17.
3.11. Заключительные замечания 97
не менее соответствующие им вычислительные затраты оказыва-
ются весьма скромными. Для задачи, представленной на рис. 3.16,
был использован 131 линейный элемент, включая 77 на внутренних
границах двенадцати зон; полученная при этом матрица коэффи-
циентов имела размер 220 x220 и требовала объем памяти в 31 К»
а время расчета на ЭВМ ICL 1907 составляло порядка 150 CPU.
Для девятизональной задачи с экранирующими шпунтами
(рис. 3.17) соответствующие цифры были таковы: 105 элементов
с 43 на внутренних границах, размер матрицы 157Х157, объем па-
мяти 27 К и время порядка 110 CPU. Другие примеры можно найти
в работах [3, 4, 6—9, 14—17]; все они демонстрируют высокую
точность решений, полученных МГЭ, и их экономичность в вычис-
лительном отношении.
3.11. Заключительные замечания
В данной главе мы распространили идеи, лежащие в основе не-
прямого и прямого МГЭ и изложенные в гл. 2 для одномерных
задач, на двумерные задачи теории потенциальных течений. Од-
ной из наиболее замечательных особенностей рассмотренных ме-
тодов является то, что с увеличением размерности задач основные
шаги процедуры получения решения фактически остаются неиз-
менными. В дальнейшем, используя тензорные индексные обозна-
чения, введенные в настоящей главе, мы покажем, что алгоритмы
решения двумерных и трехмерных задач о потенциальном течении
в принципе действительно являются идентичными (см. гл. 5).
Снова стоит обратить внимание на то, что необходимые при этом
единичные решения для «неограниченного пространства# хорошо
известны для всех классических уравнений сплошной среды, точ-
но так же, как и связанные с ними интегральные тождества (напри-
мер, (3.37)), которые, следовательно, уже нет необходимости вы-
водить для того, чтобы можно было воспользоваться МГЭ. Фак-
тически, как только техническая сторона дела становится до конца
понятной, процедура решения сводится просто к последователь-
ному формированию матричных уравнений, таких, как (3.22) и
(3.44), их решению, а затем обратной подстановке результатов в
аналогичные уравнения (в данном случае (3.7), (3.8) и (3.30), (3.38))
для получения значений искомых переменных в некоторой выбран-
ной последовательности точек.
Матрицы, которые должны быть обращены, совершенно не свя-
заны с видом распределений внутренних источников, и коэффициен-
ты в полной системе уравнений, такой, как (3.22), (3.44) или (3.62),
(3.66), зависят лишь от геометрии области и свойств материала и,
следовательно, не зависят от типа заданных граничных условий.
Одним из следствий этого является то, что алгоритмы МГЭ, выра-
жаясь на языке метода конечных элементов (МКЭ), приводят к фик-
сированной «матрице жесткости» для однородной области некого-
98
Гл. 3. Двумерные стационарные задачи о течениях
рой произвольной формы, и в этом смысле каждую такую область
можно считать одним «суперэлементом» (см. уравнения (3.49) и
(3.19), (3.20)). Комбинирование МГЭ и МКЭ обсуждается в соот-
ветствующем параграфе гл. 14.
Выше мы стремились обратить особое внимание на «двухточеч-
ную» природу введенных сингулярных решений и, несмотря на то
что некоторые уравнения выглядели в связи с этим довольно гро-
моздко, настаивали на различении ролей каждого из двух аргу-
ментов в обеих процедурах непрямого и прямого МГЭ. После того
как важность упорядочения аргументов становится до конца по-
нятной, можно воспользоваться очень простой и компактной мат-
ричной формой записи дискретизированных интегральных урав-
нений.
Чтобы проиллюстрировать свойства сингулярных решений и
технику их интегрирования, мы, насколько это возможно, нашли
в конечном виде интегралы от этих фундаментальных решений по
линейным элементам и треугольным ячейкам. Соответствующие
выкладки, как может показаться на первый взгляд, являются не
более чем скучными упражнениями, однако вычисление подобных
вспомогательных интегралов (безразлично как — численными или
аналитическими методами) является неотъемлемой частью рассмот-
ренных методов и определяет в конечном счете их точность и эф-
фективность. Каждый из этих интегралов, безусловно, может быть
найден численно, а для самых общих процедур, в которых исполь-
зуются криволинейные элементы, численные квадратуры стано-
вятся уже совершенно неизбежными.
Некоторые из примеров «решенных задач», приведенных в § 3.10,
достаточно сложны; несмотря на наличие анизотропии, зональной
неоднородности, смешанных граничных условий и даже (в разд.
3.9.1) внутренней поверхности (положение которой заранее не из-
вестно), решения, полученные с помощью МГЭ, являются весьма
удовлетворительными с точки зрения как точности, так и вычис-
лительных затрат.
В заключение мы бы порекомендовали перед переходом к гл. 4
тщательно изучить содержание гл. 2 и 3 для достижения полной
ясности в основных технических операциях, так как они выпол-
няются аналогичным образом при решении задач теории упругости.
Тогда некоторое дополнительное усложнение, связанное с появле-
нием тензорных ядер более высокого порядка (обусловленных чет-
вертым порядком дифференциальных уравнений теории упругости),
уже не составит действительных трудностей при окончательном
формировании матричного уравнения, и оно в принципе будет осу-
ществляться точно так же, как и в рассмотренных выше случаях.
3.12. Литература
[1] Kellog О. D. Foundations of potential theory.—Berlin: Springer: New
York: Dover, 1953.
3.12. Литература
99
[2] JaswonM. A. Integral equation methods in potential theory I. Proc. Roy.
Soc., London, Ser. A., 1963, v. 275, p. 23—32.
[3] Symm G. T. Integral equation methods in potential theory II. — Proc.
Roy. Soc., London, Ser. A , 1963, v. 275, p. 33—46.
[4] Jawson M. A.,. Ponter A. R. An integral equation solution of the torsion
problem. —Proc. Roy. Soc., London, 1963, Ser. A v. 275, p. 237—246.
[5] Mendelson A. Boundary integral methods in elasticity and plasticity. —
NASA Tech. Note T. N. D.-7418, 1973.
{6] Butterfield R. The application of integral equation methods to continuum
problems in soil mechanics. — In: Stress strain behaviour of soils. Roscoe
Meml Symp. — Cambridge: Foulis, 1972, p. 573—587.
[7] Butterfield R., Tomlin G- R- Integral techniques for solving zoned aniso-
tropic continuum problems.—Int. Conf. Var. Meth, in Engng, Sout-
hampton Univ., 1972, p. 9/31—9/51.
[8] Tomlin G. R. Numerical analysis of continuum problems in zoned aniso-
tropic media. —Ph. D. thes. —Southampton Univ., 1972.
[9] Niwa Y., Kobayashi S., Fukui T. An application of the integral equation
method to seepage problems. —In: Proc. Twenty-fourth Jap. Natnl Conf,
for Appl. Meeh., 1974, p. 470—486.
[10] Chang Y. P., Kang C. S., Chen D. J. The use of fundamental Green’s
functions for the solution of problem of heat conduction in anisotropic
media. — Int. J. Heat and Mass Transfer, 1973, v. 16, p. 1905—1918.
[11] Cruse T. A.-, Snow D. W., Wilson R. B. Numerical solutions in axi-sym-
metric elasticity. — Int. J. Solids and Structures, 1977, v. 11, p. 493—
511.
[12] Cruse T. A. An improved boundary integral equation method for three-
dimensional elastic stress analysis. — Int. J. Computers and Structures,
1974, v. 4, p. 741—754.
[13] Lamb H. Hydrodynamics. —6th ed. — New York, Dover, 1932. [Имеет-
ся перевод: Ламб Г. Гидродинамика. —М.: ГТТИ, 1947.]
[14] Christiansen S., Ramussen J. Numerical solutions for two-dimensional
annular electro-chemical machining problems. —J. Inst. Math. Applic.,
1976, v. 18, p. 295—307.
[15] Christiansen S. A review of some integral equations for solving the Saint
Venant torsion problem.—J. Elasticity, 1978, v. 8, No. 1, p. 1—20.
[16] Liggett J. Location of free surface in porous media. —J. Hydraul Div.
ASCE, 1977, v. HY4, p. 353—365,
[17] Jaswon M. A., Symm G. T. Integral equation methods in potential theory
and elastostatics. — London: Academic Press, 1977.
Глава 4
ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
4.1. Введение
В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ-и его приме-
нение для численного решения двумерных задач теории упругости
в случае малых деформаций. Большая часть представленных в
данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3.
Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории
упругости близко связан с аналогичным выводом теории потен-
циала [1, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения
в теории упругости выражаются системой векторных уравнений
в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являю-
щихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории уп-
ругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала.
Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться си-
стемой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими
обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где при-
водятся необходимые пояснения.
4.2. Основные уравнения
Рассмотрим изотропное упругое тело и введем декартову си-
стему координат с осями хь х2, как показано на рис. 4.1. Диф-
ференциальные уравнения равновесия могут быть записаны как
doijldxj + ф{ = 0, i, j = 1, 2, (4.1)
т. е. как два уравнения вида
дсти/дх^ + да121дхя 4- фх = О,
где ot] — компоненты напряже-
ний, а ф, — компоненты объем-
ных сил, отнесенных к единице
объема. Закон Гука, связываю-
щий компоненты напряжений и
деформаций в изотропном упру-
гом теле, можно записать в
виде
аи — [2pv/(l —2v)] 4
Рис. 4.1. +2реу, (4.2)
3. Фундаментальные сингулярные решения
101
что дает
0Гц = [2|*v/(l — 2v)] (eu + et2)-Ь 2цеи и т. д. для 633 = 0,
где р, и v — упругие постоянные, абу — символ Кронекера. Де-
формации и смещения связаны зависимостью
ef/ = (1 /2) (dujdxj + dUjldXi). (4.3)
Подставляя (4,2) в (4.1) и используя (4.3), получаем уравнения
равновесия Навье относительно компонент смещений
[1/(1 —Z^d^j/dxtdxj + д2и{/дх}дХ] + = 0. (4.4)
Уравнения (4,4) являются дифференциальными уравнениями на-
шей задачи, которую следует решать при определенных граничных
условиях. Например, граничная задача с заданными смещениями
предполагает задание смещений на границе X, т. е.
&**(*) = &(*) 113 S. (4.5)
В граничной задаче с заданными усилиями считаются известными
величины
на X, (4.6)
т. е. функции gt(x) и Ь;(х) представляют собой заданные на гра-
нице условия.
4.3. Фундаментальные сингулярные решения
Фундаментальные сингулярные решения уравнений теории
упругости играют такую же важную роль в алгоритмах МГЭ, как
и их аналоги в рассмотренных ранее задачах о потенциальном те-
чении. Классическим результатом, составляющим основу всего
последующего анализа, является решение, которое определяет
поле смещений ut(x) при действии единичной сосредоточенной силы
еу(£) в упругом теле. В условиях плоской деформации [3]
Ui(x)=Gt]^x, Це,®, (4.7)
где
6ц(х» £) = С1(Ся8ц1ПГ —+ Ау,
причем Сз = — 1/[8тср.(1—v)], С2 — 3 — 4v, Ду— произвольный
постоянный тензор, компоненты которого можно определить
из условия, что на некотором расстоянии от точки приложения
нагрузки смещения равны нулю (т. е. уравнение (4.7) опреде-
ляет смещения только относительно ut(r0) = 0), yt = xt—
У1 = х} — ^, г' = у1У1.
Деформации, соответствующие описанному выше полю смеще-
102
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
ний, можно получить подстановкой выражения (4.7) в соотношение
(4.3), связывающее деформации и смещения, что дает
*ii(x) = Bitk(x, B)ek(a (4.8)
где
Bi}k(x, |) = (Cx/r«) [(1 -2v)(8^ + 8^) + 2yiy}yk/r*-bt}yk].
Соответствующие этим деформациям напряжения можно получить
из зависимости между напряжением и деформацией
°а(х) = Tiifl(x, (4.9)
где
Ti}k (х, $) = (Cs/rs) [С4 (8iftt/y + 8^ — 8yi/h) 4- 2yiyJyk/rs],
причем C3 = — l/[4u(1 —v)J и C4 = 1 — 2v.
Нам также понадобятся усилия ti(x) в точке хг поверхности
с внешней нормалью п}(х), которые вычисляются из соотношения
h (х) = GtJ (х) п} (х) = Fih (х, $) ek 0), (4.10)
где в нашем случае
Fth = (CSfr2) [С^п^ — ntyk) + (C48ih 4- 2yiyk/rs)yjn}]>
Уравнения (4.7) — (4.10) дают все требующиеся нам смещения,
напряжения, деформации и компоненты поверхностных усилий,
обусловленные действием сосредоточенной силы. Решение, со-
ответствующее условиям плоского напряженного состояния, мож-
но получить из приведенного выше решения для случая плоской
деформации, если ввести эффективный коэффициент Пуассона
V = v(l 4- v). V
Стоит отметить, что различные функции Gt}, B}ik, Tijh, Fik
являются сингулярными, когда точка приложения нагрузки и
точка наблюдения совпадают (xj = gi). Функция Gi} содержит
член 1пг (слабая особенность), а другие функции — члены порядка
1/г (сильная особенность). Интегралы от функций со слабой осо-
бенностью будут всегда существовать* как несобственные даже при
Х| = для интегралов же от функций с сильной особенностью
надо специально определить, как вычислять их предельные зна-
чения при стремлении точки наблюдения к точке приложения на-
грузки на границе. Эти свойства решений уравнений теории уп-
ругости совершенно аналогичны уже выявленным, свойствам ре-
шений уравнений, описывающих потенциальное течение.
Читателя может смутить, казалось бы, излишняя сложность
уравнения (4.7), но его в конце концов можно переписать в век-
торно-матричной форме как u = Ge. Поскольку вектор деформа-
ции е тоже можно представить в виде е = Lu, уравнение (4.8)
можно записать в виде
4.4. Непрямой метод граничных элементов
103
ен
е22
J12
е =
д!дхг 0
О д/дх2
д/дх2 д!дхг
«11 = Lu = LGe.
.«2j
Однако, для того чтобы пользоваться этим уравнением, нужно
проделать отдельно каждую из дифференциальных операций над
каждым членом в G, что не слишком просто, если G представляет
собой весьма сложную функцию. С другой стороны, после того как
читатель ознакомится с индексными обозначениями (см. начало
приложения Л), ему станет ясно, что выражения вида Bi]kek дей-
ствительно оказываются лаконичным представлением функций в
форме, удобной для программирования на ЭВМ.
4.4. Непрямой метод граничных элементов
4.4.1. Основные соотношения для однородной
изотропной области
Рассмотрим двумерную об-
ласть V, заполненную изот-
ропным линейно-упругим од-
нородным материалом и огра-
ниченную «поверхностью» S,
к которой приложены распре-
деленные по S усилия ф/Ё).
Смещения ut (х) любой внут-
ренней ТОЧКИ Xf (рис. 4;2),
обусловленные действием по-
верхностных усилий <р/Ё) и
известного распределения объ-
емных сил ф;(г), можно по-
лучить сверткой фундамен-
тальных решений с функция-
ми ф и ф по S и V соответ-
ственно:
Рис. 4.2.
ut(x) = Jgi7(x, QTH$)dS($) 4- JGt}(x, z)fy(z)dv(z) + Ct, (4.11)
S V
где dS(Z) и dv(z) означают, что интегрирование ведется по пере-
менным Ё и z соответственно. Величины С t представляют собой
неизвестные смещения тела как целого, возникающие из-за про-
извольности выбора г о в уравнении (4.7) [т. е. из-за того, что это
уравнение дает лишь относительные значения ut(x) аналогично
задачам, которые мы рассматривали в гл. 2 и 3].
Деформации можно получить из соотношения
104 Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
t
еи (х) = f Bijk (х, ?) <рь (5) dS (£) + f Bi}k (х, z) фл (z) dv (z). (4.12)
s V
Соответствующие напряжения ог/(х) в точке х{ и поверхностные
усилия ti(x) на проходящей через точку xt поверхности с внешней
нормалью л/х) выражаются формулой
М*) = f 7jA(x,?)<pft(5)dS(?)+ J TlJk(x, z)^h(z)dv(z), (4.13)
S V
откуда, используя соотношения tt(x) = Оц(х)п}(х), получаем
М*) = [рл(х, 5)<Рк(В)<й£) + $Ftb(x,zWk(z)dv(z).. (4.14)
S V
Перед тем как продолжить изложение, зададим себе следующие
вопросы:
1) Удовлетворяют ли интегралы, входящие в Соотношения
(4.11)— (4.14), дифференциальным .уравнениям задачи во всей
интересующей нас области?
2) Существуют ли эти интегралы во всей области V и на всей
поверхности S? Л
Очевидно, что поверхностные интегралы в (4.11) — (4.14) удов-
летворяют уравнениям равновесия и совместности во всей области
V, потому что фундаментальные решения, с помощью которых они
получены, удовлетворяю^ этим уравнениям. Эти интегралы содер-
жат также функции, непрерывные и определенные для всех поло-
жений xt в V. В отношении поведения объемных интегралов в об-
ласти V нужно отметить, что они содержат функции, обращающиеся
в бесконечность при xt = zt (т. е. при совпадении точки при-
ложения нагрузки и точки наблюдения). Тем не менее эти интегра-
лы действительно существуют в обычном смысле, поскольку в про-
цессе интегрирования по объему особенности пропадают (т. е. чле-
ны порядка 1/г являются слабой особенностью при интегрировании
по объему). Поэтому эти интегралы также удовлетворяют уравне-
ниям равновесия и совместности в V.
Условиям единственности решения, отражающим тот факт, что
влияние распределенных сил и усилий не должно распространяться
на бесконечность, удовлетворяют интегралы из уравнений (4.12) —
(4.14). Уравнение (4.11) будет удовлетворять этим условиям, если
потребовать, чтобы компоненты Сг смещения тела как твердого
целого принимали специальные значения, которые в точности ком-
пенсируют совместное влияние всех сил <р и усилий ф [4, 5] на бес-
конечности. Эти значения С, можно определить при помощи допол-
нительных уравнений, подобно тому как это делалось в гл. 2 и 3.
Однако нужно еще установить существование этих интегралов при
приближении точки х{ к некоторой точке границы, скажем к точке
Х01-
4.4. Непрямой метод граничных элементов
105
Устремляя точку наблюдения xt к поверхности, мы найдем,
что, хотя уравнение (4.11) дает непрерывные в любой точке поля
смещений, выражения (4.12) — (4.14) не определены на поверхно-
сти, если точка приложения нагрузки и точка наблюдения совпада-
ют. Используя стандартные методы теории потенциала (см. гл. 3),
можно получить, например,
Ui(x0)=\GtJ(x0, 5)<Pj($)dS($) +УОу(хо,г)фДг)&»(г)4-Сг, (4.15)
s v
^(х0) = ±(1/2)8<ьФь(х0)+ fru(x0, +
s
+ ,f Fih (%о> z) (г) do (г), (4.16)
v
если выполняются следующие условия 16, 71:
1) точка х0 расположена не на ребре и не в углу (т. е. в этой
точке существует единственная касательная плоскость);
2) поверхностный интеграл в (4.16) следует понимать в смысле
главного значения по Коши.
Выражение ± (l/2)8jft<ph(x 0) в (4.16) положительно, если х при-
ближается к х0 изнутри S, и отрицательно, если х приближается
к х0 извне S. Поэтому необходимо выбирать подходящий знак в
зависимости от того, какая область представляет для нас интерес:
внутри ^поверхности S или вне ее.
Итак, мы установили, что уравнения (4.15) и (4.16) являются
двумя граничными интегральными уравнениями, определяющими
решение любой корректно поставленной задачи при использовании
непрямого МГЭ. Например, если заданы смещения на S, то урав-
нение (4.15) позволяет получить значения Ф/£)! с другой стороны,
если на S заданы усилия, то для вычисления Фь(Е) используется
уравнение (4.16). В случае общей задачи со смешанными граничными
условиями уравнение (4.15) можно использовать для той части
границы, где задаются смещения, а уравнение (4.16) — для той
части границы, где задаются усилия. Результирующие уравнения
в этом случае объединяются и решаются совместно так, как это
описано в гл. 2 для одномерной задачи.
4.4.2. Дискретные представления поверхностных
и объемных интегралов
За исключением нескольких простых задач, найти аналитиче-
ское решение уравнений (4.15) и (4.16) невозможно, и поэтому нуж-
но было разработать численные метода решения. Подчеркнем, что
(4.15) и (4.16) являются точным представлением решения задачи.
При численном решении любая ошибка в конечном результате по-
106
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
Рис. 4.3.
лучается исключительно из-за дискретизации интегралов и после-
дующего решения алгебраических уравнений.
Алгоритм численного решения желательно сделать возможно
более точным, используя, например, параметрическое представле-
ние геометрии тела и функций (риф (см. гл. 8), здесь же мы рас-
смотрим только простейшие
возможные алгоритмы, которые
оказались эффективными и удоб-
ными для большинства практи-
ческих задач. Для этого исполь-
зуются линейные граничные
элементы и треугольные внут-
ренние ячейки. Например, мож-
но разбить нашу двумерную об-
ласть на М треугольных ячеек,
а границу области — на N пря-
молинейных отрезков. Можно
предположить, что неизвестные
функции <р/Е) и фг(х) являются
постоянными или линейно меня-
ются в пределах граничного элемента или треугольной ячейки.
На рис. 4.3 изображены детали такого разбиения.
Следует отметить, что, хотя внутренние ячейки имеют такой же
вид, как в схеме дискретизации, используемой в методе конечных
элементов, они представляют лишь удобный способ вычисления
влияния- распределенных по объему сил ф/z). Как было указано
ранее, порядок системы линейных алгебраических уравнений,
получающейся при численной реализации МГЭ, определяется лишь
количеством использованных граничных элементов (т. е. подоб-
ластей S) и совершенно не связан с количеством использованных
внутренних ячеек (т. е. подобластей V). Более того, дискретизация
объемными ячейками в МГЭ может быть совершенно произвольной
в том смысле, что она не обязательно соответствует поверхностной
дискретизации. Впрочем, для упрощения задачи (особенно с точки
зрения подготовки данных) обычно удобно согласовать разбиение
границы и внутренней области.
Если предположить, что в пределах каждого элемента q> и ф
имеют постоянные значения, то для p-го граничного элемента можно
написать
N
М4) = 2 J Gu ^)rfS(^) +
q=\ AS
М
+ f z‘)dvW)+ci> (4-17>
A=1 AV
4.4. Непрямой метод граничных элементов
107
N
М) = ±(1/2)Ф,(4) + f FM V)dS&) +
q~l AS
M
+ 2>(z') f (4.18)
1=1 ДУ
где Xq — координаты некоторой характерной точки р-го граничного
элемента, например его середины, AS — длина q-ro граничного
элемента, a AV— поверхность /-й ячейки. Используя матричные
обозначения, эти уравнения можно записать в более удобной фор-
ме:
up = / J <р9 4- f [ Gp'aA ф' + IC,
\дз / \ ДУ /
(4.19)
t₽ =
ф'±(1/2)1д>₽,
(4.20)
где q = 1,2,..., N и I = 1,2,...,Л1, причем эти индексы введены лишь
для удобства. Если необходимо ввести линейно меняющиеся в пре-
делах каждого граничного элемента ф и ф, то величины ’ф9 и фг
нельзя выносить из-под знака интеграла, как это было сделано в
(4.19) и (4.20). Однако если представить ф9 и фг в виде функции
узловых значений с использованием базисных функций N9 и М* [8],
Рис. 4.4.
приложения нагрузки
то, как показано на рис. 4.4, для q-ro граничного элемента с уз-
лами г и s и Z-й ячейки с узлами г, s и t можно написать
V = №<рузл = N9q)n, ф* = М'фузл = М'фп. (4.21)
Здесь
фузя — 4>п =<<М— четырехмерный вектор-столбец, составленный из
значений <рг и функции <р в узлах;
108
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
№ = ® ^02 2V ] — MaTPHI*a размером 2x4, причем 2VX =
= 1 — v;r/L, N2 = 1 — Tis/L, Лг и т]8 определяют, как показано вы-
ше, точку приложения мгновенной нагрузки, a L — длина гранич-
ного элемента;
4г]
ф8 — шестимерный вектор-столбец, составленный из зна-
ф( чений фг, ф„, ф( функции ф' в узлах;
м'= -к [ о1 Д Ло’ м, о’ л?,] - матрияа размером 2 х 6:
Л = площадь /-й
ячейки = (1/2) х det
1 4 4
1 4 А
1 4 4
1 Z1 Z2
= (i/2)[(44-4z0-(4zi-44) +(44-44),
/их = (4 4 - 4 4) +|4 (4 - 4) + 4(4- 4),
/И2 = (—4 Z2 + 4Z0 + zf ( Z2 — 4) + Z2 ( 4 — Z1) ,
Л43 = (44 — 44) + 2i (4 — z|) + z2 (4 — zi) •
Поэтому для лежащей на границе типичной узловой точки х?
уравнения (4.19) и (4.20) можно переписать в виде
U'; =
tP =
J G"'1WS| фп + J (HMQfol фп + IC,
AS
J F^WSI фЛ + Г f F^Mdo] фп + pq>₽,
AS
ДУ
ЛУ
(4.22)
(4.23)
где р — (1/2)1, если узловая точка не расположена в вершине угла.
К сожалению, при линейном изменении q> на граничных элементах
наиболее логичными для выбора точек поля представляются узло-
вые точки Хо, хотя некоторые из них могут оказаться вершинами
углов. В этом случае значение р, как и в гл. 3, зависит'от угла,
который противолежит данному граничному элементу. Эту труд-
ность можно обойти, взяв точку поля на малом расстоянии от угла
и тем самым представив угол с помощью двух отдельных узловых
точек, так что
V = J FwWSl Фп + Г F*M'<fol фп + (1/2) ф₽.
AS ДУ
(4.23а)
AS
Следует также учитывать, что если в физической задаче имеется
угол и смещения в угловом узле определяются однозначно, то эти
4.4. Непрямой метод граничных элементов
109
усилия определяются введением вблизи угла двух узловых точек,
взятых на произвольно близком расстоянии одна от другой (обычно
иа расстоянии, составляющем 0.05 длины элемента) и представляю-
щих в пределе крайние точки двух поверхностей (рис. 4.5). Некого -
Узловая точка
вблизи угла
Эля и
Две узловые
точки вблизи
угла для t
Рис. 4.5.
рые другие особенности решения задач для областей с ребрами и
узлами на границе приводятся в гл. 1.
Уравнения (4.22) и (4.23) можно использовать для получения
окончательной системы алгебраических уравнений, но сначала
нужно вычислить интегралы, стоящие в квадратных скобках. Если
точка поля Хо не лежит где-либо внутри нагруженного граничного
элемента (в противном случае интегралы становятся сингулярны-
ми), то это делается просто по формуле интегрирования Гаусса
(см. приложение В).
Если внимательно рассмотреть матрицу базисных функций
№, то ее можно представить в виде № = Ny + Ng, где N« содер-
жит члены, постоянные внутри элемента (и равные единице), а
NJ — члены, включающие переменную интегрирования. Отсюда
Следует, что поверхностные интегралы в (4.22) и (4.23)
писать в виде
f GWN’dS=
AS
можно за-
J F^N’dS =
AS
f nJ + f G^N&fS
AS
as
f P’dsl nJ + f F^NjdS.
AS
При помощи формулы интегрирования Гаусса вторые
в правой части написанных выше уравнений можно
достаточно точно. Первые интегралы вычисляются аналитически с
помощью введения локальной Системы координат yt на нагружен-
ном элементе, такой, что ось yi направлена по нормали к элементу,
а ось у2 — по положительному направлению касательной. Если
направляющие косинусы осей yt и yz в глобальной систем коорди-
нат даются тензором е1}, то
AS
интегралы
вычислить
и
по
Г л. 4. Двумерные задачи теории упругости
f Gi}dS = eriea} f G' dy2,
AS AS
(4.24)
j FikdS = eTie8k J* F'rsdy2,
AS AS
(4.25)
где G'g и F’rs— функции Grs
и Fra, выраженные в коорди-
натах yv y2.
В полярной системе коор-
динат (рис. 4.6) интегралы в
правой части (4.24) и (4.25)
легко вычислить точно.
Уравнения (4.24) и (4.25) можно записать следующим образом:
[ GudS = еи (evAGn + e2jAG{2) + e2i (e1}AG'2l 4- e2jAG2A,
AS
J FihdS = eu (eijAF,; + e2jAF’l2)+ e2t(ev^F’2l 4- e2?-AF^),
AS
где AGH, Af 'p AG]'2, AF'2 и t. д.—результаты интегрирования
jGndi/2, j F’ndy2 и т. д.
AS AS
Таким образом, получаем
J GtjdS = C.D [C2 {tg 0 (In r -1) 4- 0} Zt) - eue^ -
AS
6ft > rb
— + eaAj) In r — e2ie2>(tg 0 — 0)]^ Га + Ai}, (4.26)
J FtkdS = C3 [euelk {(C4 + 1) 0 + sin 0 cos 0} nt —
AS
— {C4 In r 4- cos2 0} +
+ elk(eun2 4- e2^)(C4in r — cos2 0) 4-
4- e^ik {(1 — G) 0 — cos 0 sin 0} n2 4- e2h (eljn24-e2lni) X
X {(C44- 1)® —cos 0 sin 0} 4-
4.4. Непрямой метод граничных элементов
111
- ГЬ
+ e2ie2h{(Ci + 2)\nr + cos2G}n2](.
va* та
(4-27)
где nx = е11п1 + е12п2, и2 = + е22п2; уравнения (4.26) и (4.27)
верны для любых точек xg, за исключением совпадающих точек
поля и точек приложения нагрузки (т. е. при D -+ 0 и 0О, 0Й ->
->Ч=я/2 соответственно, как на рис. 4.7, а). В этом случае вы-
числения можно провести двумя способами:
1. Поместить точку поля xg вблизи точки приложения нагрузки
с внутренней стороны S, как показано на рис. 4.7 (обычно D
равно 0.01 длины граничного элемента). В этом случае следует
отбросить член + (1/2)<р г(х0), так как он аппроксимируется непо-
средственно (из-за близости xg и хр).
2. Поместить точку поля хр на поверхности и затем вычислить
интегралы в соответствии с изложенным в гл. 3.
Разница в значениях коэффициентов, полученных в тестовых
расчетах обоими способами, оказалась совершенно незначительной.
В отношении членов в (4.22) и (4.23), содержащих объемные ин-
тегралы, следует отметить, что существует три типа интегралов,
которые нужно вычислять.
1. Интегралы, в которых точка поля не совпадает с вершиной
внутренней ячейки и не лежит на ее стороне (рис. 4.8, в), являются
интегралами от непрерывных функций и поэтому вычисляются
при помощи формулы Гаусса.
2. Интегралы, в которых точка поля совпадает с вершиной
внутренней ячейки, вычисляются с помощью четырехточечной фор-
мулы интегрирования Гаусса (рис. 4.8, а).
3. Если точка поля лежит на стороне треугольной ячейки, то
сначала ячейка делится на две части прямой, проходящей через
точку поля (рис. 4.8, б), и получающиеся интегралы вычисляются
по формуле интегрирования Гаусса.
112
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
а
• Точка поля • Точки Гаусса
Рис. 4.8.
Затем уравнения (4.22) и (4.23) применяются по очереди к каж-
дому узлу, Что при заданных граничных условиях приводит к сис-
теме линейных алгебраических уравнений для определения век-
торов в каждом узле (ниже этот процесс объясняется подробно).
Как только все значения <р„ найдены, смещения, деформации и
напряжения во внутренних точках вычисляются по следующим
формулам:
N Г
u(x) = 2 [ G(x, ^)№dS <рп +
<7=1 AS
G (х, zl) FA'dv
м
Фп + 1С,
(4-28)
N
•W = 2 f BC*U?)N’dS <Pn+2 f B(x,z‘)JAldv $n, (4.29)
9=1 L AS .......
1=1 AV
М
W = 2 f T(x,^)MdS <pn+ 2 J T(x,z‘)Wdv (4.30)
AS
Z=1 AV
«=1
Матрицы G, В и T имеют размеры 2x2, 3x2 и 3x2, а вектор-
столбцы и, е и а имеют размерность 2, 3 и 3 соответственно,
например
е =
еп
622
6Г2
•^221
^121
^112
^222
®122_
И T. Д.
Для получения системы уравнений интегралы в уравнениях
(4.28) — (4.30) можно вычислить по схеме, аналогичной предло-
женной выше.
Одна особенность НМГЭ заключается в том, что можно вычис-
лить тензор напряжений во внутренней точке, используя уравнение
(4.14) дважды [91. Сначала ядро Fy вычисляется при выборе внеш-
ней нормали rii(x) в виде единичного вектора в направлении оси
xt (т. е. nt(x) = б и), что дает аи(х) = Л(х), Оц(х) = tz(x). Затем,
выбирая rii(x) = Sf2 (единичная нормаль в направлении оси х2),
получаем ст21(х) = f,(x), or22(x) = t2(x).
4.4. Непрямой метод граничных элементов
113
Если необходимо вычислить напряжения и деформации для
большого числа внутренних точек, то для вычисления точных зна-
чений смещений в узловых точках внутренних ячеек более эффек-
тивно использовать уравнение (4.28). Это уравнение справедливо
во всех точках, включая граничные. Напряжения и деформации
вычисляются по смещениям при помощи процедуры, аналогичной
используемой в методе конечных элементов или в методе конеч-
ных разностей. Поэтому, если un — шестимерные векторы смеще-
ний в узлах некоторой внутренней треугольной ячейки, то вектор
смещений в любой точке этой внутренней ячейки записывается в
виде [см. (4.21)]
u = Mun. (4.31)
Деформации Вычисляются подстановкой (4.31) в (4.3) и могут быть
записаны в виде
е = Mun, (4.32)
где М — матрица размером 3X6. Соответствующие этим деформа-
циям напряжения получаются по формуле
а = DMun, (4.33)
где D — матрица упругих постоянных размером 3x3.
Главный недостаток такого алгоритма заключается в невозмож-
ности использования коэффициента Пуассона большего 0.49 для
представления несжимаемых материалов (у = 0.5). Основанная,
на уравнениях (4.28) — (4.30) полная процедура МГЭ позволяет
конечно, рассматривать любое допустимое значение у.
4.4.3. Численное решение
Описанный выше алгоритм включает данные, относящиеся к
дискретизации поверхности внутренней области. Метод получения
таких величин, который в общих чертах описан в гл. 15, связан
с программированием для ЭВМ. Как и прежде, на первом этапе
получается определенная система линейных алгебраических урав-
нений, учитывающих Граничные условия рассматриваемой задачи.
Поэтому уравнения (4.19) и (4.20) или (4.22) и (4.23) в случае N'
узлов на границе можно использовать для получения следующей
системы уравнений:
all5
Г
0 J
1° G“a
0 F"
0 bm
Gal I
<PJ
G^a
{$}
(4.34)
(2M'4-2)X1 (2M'-f-2)X(2M'-|-2) (2JV'+2)X1 (2W'+2)X2M' 2M'X1
Здесь индексы s и v означают, что соответствующие величины полу-
5—356
114
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
чаются на основе данных, относящихся только к точкам поверхности
(ss) или к точкам поверхности и объема (su); и4 есть 2т-мерный век-
тор-столбец, соответствующий числу (2m) компонент данных по-
верхностных смещений, которые обычно содержат известные гра-
ничные смещения в узлах границы; t4 есть 2п-мерный вектор-стол-
бец, соответствующий числу (2п) компонент данных поверхностных
усилий, которые могут включать известные усилия в п граничных
узлах; 0 — матрица нулей, связанная с условиями равновесия
(вспомогательное условие)';
1° — матрица размером 2m х 2 =
(Г
1
О
1
С — двумерный вектор - столбец с компонентами Ct и С2; матрицы
коэффициентов G44, F44, G4® и F4® имеют размеры 2m X 2N', 2п X
X 2N', 2tn X 2М' и 2л X 2М’ соответственно; векторы неизвест-
ных усилий <р и известных объемных сил ф имеют размерности
2N' и 2М' соответственно;
_ ГЬх О 0 .. .1 — Tq 0 с2 О
m |0 Ьг 0 62 ...J m [О С1 0 с2...
суть матрицы размером 2 х 2N' и 2 х 2ЛГ, включающие весовые
функции (длину и площадь) поверхностных элементов и внутрен-
них ячеек соответственно'; N', М' — полное число граничных уз-
лов и внутренних узлов соответственно; а — масштабирующий
коэффициент, на который уравнения для смещений умножаются
так, чтобы все коэффициенты в матрице оказались величинами од-
ного порядка.
Решение системы (4.34) даст значения ф и С для определенного
допустимого набора значений u, t и ф. Получив значения ф и С,
мы можем по формулам (4.28) — (4.30) вычислить смещения, де-
формации и напряжения во внутренних точках. .
4.5. Прямой метод граничных элементов
4.5.1. Основные соотношения для однородной
изотропной области
Соотношения прямого МГЭ наиболее удобно выводить, исполь-
зуя теорему взаимности [10—12]. Эта теорема формулируется сле-
дующим образом: если в области V, ограниченной поверхностью
S, заданы два различных состояния упругого равновесия ф* ,
t*, и* и ф{, ti, и г, то работа, совершенная силами первого сос-
4.5. Прямой метод граничных элементов
115
тояния на смещениях второго, равна работе, совершенной силами
второго состояния на смещениях первого. Поэтому
f Л (х) щ (х) dS (х) + J ф’ (z) ut (z) dv (z) = f tt (х)щ (x) dS (x) +
S V s
+ J <!>г (z) u* (z) dv (z), (4.35)
V
где x — точка на поверхности 5, a z — точка внутренней области
V- Ясно, что уравнение (4.35) представляет собой простое обоб-
щение уравнения (2.31), относящегося к случаю простой упругой
балки. Если в качестве одного состояния выбрать фактическое
распределение смещений, усилий и объемных сил uit tt и фг со-
ответственно, а в качестве другого состояния (*) упругое поле,
создаваемое сосредоточенной силой в безграничной упругой среде,
то, как описано в § 4.3, из уравнения (4.35) можно получить
f FiS (х, 5) щ (х) dS (х) + [ 8о-8 (z, 5) щ (z) dv (z) =
s v
= j tt (x) Gu (x, 5) dS (x) + [ фг (z) Gi j(z,5) dv (z). (4.36)
3 V
Записывая это уравнение, мы использовали (4.10) и т. д., равенство
/*(х) = Ftj(x, £)е*(£) и следующее преобразование сосредоточен-
ной силы ф’(г) = е*(г) во втором интеграле левой части этого
уравнения:
J е* (z) щ (z) dv (z) = J е* (5) 8 (z, 5) ut (z) dv (z)=
V V
' = fe* (S)M(z. 5)«f(z)dv(z).
v
Множитель e*(g) является общим для всех интегралов и выносится
за знак интеграла, что позволяет записать (4.36). Этот же интеграл
можно упростить далее, заметив, что
J 8гj8 (г, Ю (z) dv (z) = С Uj (z) 8 (z, Q dv (z) = p«7- (£),
v v
где p = 1 внутри V и P = 0 вне S. Следовательно, из (4.36) полу-
чаем
Щ (5) = j Hi (%) Gi3 (x, 5) - FiS (x, 5) ut (x)] dS (x) +
s
+ f qt(z)Gti(z,t)dv(z). (4.37)
v
5**
116 Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
Уравнение (4.37) позволяет получить смещения ы>(|) в любой
внутренней точке | при любой допустимой комбинации ti и и t
на S и данном распределении ф г в объеме — это уравнение факти-
чески представляет собой известное тождество Сомильяны для век-
тора смещений [11, 121. Функции Gy и Fопределяются уравне-
ниями (4.7) и (4.10), но их использование в теореме взаимности
приводит к трем довольно тонким изменениям в трактовке смысла
(х, Е) и (i, /*). Тщательное сравнение, скажем, (4.11) и (4.37) пока-
зывает, что для (4.37) характерны в обобщенном виде те же свой-
ства, которые обсуждались в связи с (3.29), а именно следующие:
1) первый аргумент (х) функции ядра оказывается теперь точ-
кой приложения нагрузки (не £, которая теперь представляет ко-
ординату точки поля), и интегрирование выполняется по х;
2) суммирование выполняется по i, а не по / (т. е. роли i и /
меняются);
3) вектор нормали и в Ftj теперь проводится в точке приложе-
ния нагрузки х.
На симметричные по i, j и х, £ функции, такие, как Gi7-(x, g)
[см. (4.7)], эти изменения не оказывают влияния, и все предыдущие
результаты интегрирования остаются справедливыми. Однако для
антисимметричных по г, / и х, Е функций, таких, как Fi}(x, g)
[см. (4.10)], эти изменения после интегрирования приводят к со-
вершенно другим результатам.
Устремляя точку поля (теперь Е) к точке х 0 на поверхности об-
ласти, получаем следующие результаты (в случае limB = х0):
ui G) = “i J tt (х) Gy (х, Е) dS (х) = [ if (х) GtJ (х, х0) dS (х),
S S
f* /у (х, Е) щ (х) dS (х) = ay ut (х0) + J Ftj (х, х0) щ (х) dS (х),
S S
где ау = —(1/2)бу для внутренней задачи, в которой V ограни-
чено гладкой границей S. Если же точка поля х0 является верши-
ной угла to, то разрывный член ау(х0) дается выражением [9, 131
«и = - 1 - С3 [(С4 + 1) о) + (sin 2ш)/2],
«22 = -1 - С3 [(С4 + 1) о) - (Sin 2ш)/2],
а12 = а21 = —sin2 о).
Следовательно, для точки х 0, лежащей на гладкой поверхности,
уравнение (4.37) можно представить в виде
(1 /2) Ui (х0) = f [tf (х) Gu (х, х0) — Fa (х, х0) ut (х)] dS (х) +
з
+ f It (z)Go-(z, x0)dv(z). (4.38)
v
4.5. Прямой метод граничных элементов
117
Уравнение (4.38) и является требуемым интегральным уравнением
для решения любой корректно поставленной краевой задачи. Урав-
нение (4.37) вместе с соотношениями между перемещениями и дефор-
мациями можно использовать для того, чтобы получить выражения
для деформаций
Sjfe G) = ( to И Biik (х> S) — Ciik (*» 0 «г (*)1 dS (х) +
s
+ J фг(2)В^(г, t)do(z), (4.39)
v
где
- В*ь (х, Е) = (1/2) (dGi}/dlk + dGik/d^, (4.39а
C*ijk (х, Е) = (I/2)(dFtJ/dlk + dFik/d^), (4.396)
а вместе с соотношениями между напряжениями и деформациями —
чтобы получить выражения для напряжений
(Q = fto W T'ijk (х, Е) - Eijk (X, Е) щ (X)] dS(х) +
+ [фг(2)Г*?>(г, E)dn(z), (4.40)
v
где
Т*}к(х, У= Г-^ + Н + ~^У|. (4.40а)
L 1 — 2v dlm \ dik dij /J
Eijh(x, £)= H (4-406)
L 1 — 2м dim \ dik di j J J
После упрощения формулы (4.40) принимают вид
T*jk (x,i$) = (Oi/r)[(a2/r)(8iAi/; + tjidJi — Мл) + 2yty}yk/ra], (4.41)
E*jk (x, ё) = (Cg/r2) [(n^/r2) {2a2^yk + 2v (biky} + 8^) —
— 8УгУ]Ук/г2} + nt (2vyjyh/r2 + a£jk) +
+ (2^ук/г2 + a28fft) + nk (2а2у^1г2 — аД;)], (4.42)
где ax = 1 /[4n (1 — v)], a2 = 1 — 2v, Og = р/[2п (1 — v)], n4 = 1 —4v,
a yi=xl — li. ’
118
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
4.5.2. Дискретные представления граничных
и объемных интегралов
Если разделить двумерную область на М треугольных ячеек
и границу области на N прямолинейных отрезков, то, как и ранее,
для вектора смещений характерной узловой точки р-ro граничного
элемента можно написать уравнение (4.38) при условии постоян-
ства ti, Ui и фг в пределах каждого элемента и каждой ячейки:
N
<?=1
(1/2) и} (4) = /г (Х<?) J G‘> < хЧ' dS ~
дэ
— Ui (х9) [ Fi} (х9, х§) dS (х9) +
AS
+ 2^(Z') f Gii(Z'’ Хо) dv(z!)-
1=1 &V
(4.43)
Это уравнение можно переписать в матричной форме:
N
(l/2)Iu₽ =
4=1
(4.44)
Если предположить, что известные и неизвестные значения усилий
и смещений, а также заданные объемные силы линейно меняются
в пределах каждого граничного элемента и каждой ячейки соот-
ветственно, то (4.44) принимает вид
N ГГ ЯГ
(l/2)Iu₽= 2j [G₽9N9dS tn— [ F*>9N9dS
I _AS _ _AS
M Г
+ 2 J G₽zM'dt> ф,
1=1 L AV
>n, (4.45)
где tn, u„ и — значения усилий, смещений и заданных объемных
сил в узлах соответственно, и₽ — вектор смещений в характерной
(не лежащей в углу) точке р-го граничного элемента, а № и М' —
базисные функции для q-ro граничного элемента и /-й ячейки соот-
ветственно.
Если в задаче имеются угловые точки, то (4.45) не справедливо
для точки поля, совпадающей с лежащим в углу узлом. Поэтому
в общем случае (4.45) принимает вид
4.5. Прямой метод граничных элементов
119
N
9=1
f un -Ь
_AS J
+ 2 f Gpl^‘dv ф
>n. (4.45a)
_ ЛИ
где ₽ — матрица размером 2x2, элементы которой являются
функциями величины угла, с вершиной которого совпадает узловая
точка.
Теперь, устремляя точку поля последовательно ко всем узловым
точкам на границе и включая матрицу (3 в соответствующие блоки
размером 2x2 коэффициентов [JF^WdS], мы можем написать
J* G™№dS
-AS
tn — f F^N’dS u,
-AS
M Г
+ f G"Wde Фп = 0,
IZ=1 AVJ
(4.46)
или — компактнее'—
Gt — Fu ф-[Сф = 0.
(4.47)
Если теперь осуществить перемещение тела как жесткого целого
[14] (это можно сделать с любой областью конечных размеров) в
случае объемных сил ф = 0, то усилия на границе при этом не воз*
никнут (т. е. t = 0). Поэтому (4.47) можно переписать следующим
образом:
Fu = 0. (4.48)
Легко видеть, что для справедливости написанных выше уравнений
для любой системы произвольных перемещений тела как жесткого
целого каждый коэффициент диагонального блока размером 2X2
должен быть равен взятой с обратным знаком сумме соответст-
вующих коэффициентов из всех недиагональных блоков. Так как
диагональные блоки размера 2x2 составлены из членов, включаю-
щих р и сингулярные интегралы, которые можно найти аналити-
чески (хотя это и затруднительно), эта возможность определения
компонент диагональных блоков при помощи значений недиаго-
нальных блоков является полезным свойством прямого метода
граничных элементов.
К сожалению, этот метод не срабатывает в ряде задач, где не-
диагональные блоки матрицы F равны нулю (например, в задачах
о нагружением лолупространстве). Сравнительно недавно Уотсон
[151 разработал модификацию этой процедуры, позволяющую поль-
зоваться ею в задачах для полубесконечных внешних областей.
120 Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
Другую возможность решения таких задач дает применение описан-
ного выше непрямого МГЭ. .
Все объемные и поверхностные интегралы, необходимые при
вычислении недиагональных блоков из уравнения (4.47), могут
быть определены при помощи различных формул численного ин-
тегрирования, рассмотренных ранее (см. разд. 4.4.2). Диагональные
блоки матрицы G, а в некоторых случаях (как указано в предыду-
щем параграфе) и матрицы F должны определяться при помощи
разбиения интегралов на две части, как показано в разд. 4.4.2.
Включающие постоянную часть базисной функции интегралы вы-
числяются с помощью введения локальной системы координат,
показанной на рис. 4.6, с последующим (описанным выше) преоб-
разованием результатов к глобальной системе координат. Поэтому
для точки поля внутри области (результаты для точки поля, как
угодно близкой к граничному узлу, получаются так, как показано
на рис. 4.7) имеем [13]
f [GtjdS = C.D [CJti{tg е (In г -1) +е} -е1геи9-
&s
e6tr6
—(eneaj- + e2ien) In г—eaieaj(tg 9 — 6)]^ + Ai}-, (4.49)
f Fi}dS = C3 [C48O-G + (6 + sin 6 cos 6) + (e1£ea; + eaieu) sin2 9+
AS
+ eaiea; (9 — sin 9 cos 9) + C4 (elfeaJ — eaieu) In rL6' (4.50)
Ta
Заметим, что, хотя (4.49) совпадает с (4.26), выражение (4.50) су-
щественно отличается от (4.27); в частности, компоненты тензора
efj зависят от вектора внешней нормали п, поскольку нормаль
теперь связывается с нагруженными элементами.
Получив неизвестные значения смещений и усилий вместе с
заданными значениями смещений и усилий, мы определяем смеще-
ния, деформации и напряжения внутри области по формулам
N (Г
J G(x?,g)N?dS
?=1 IL AS
[ F(x^)!WS
_ AS
un +
G(zz, £)M'<fo фп, (4.51)
s(g) = У | [B*(x*. g)№dS
9=1 IL AS
f C* (x’.g)N’dS
AS
B*(zz, g) M'do
(4.52)
u
4.5. Прямой метод граничных элементов
121
Т*(№, g)N«dS
E*(xM)N«dS un
Очевидно, что в ПМГЭ определение деформаций и напряжений во
внутренних точках связано со значительно большими вычислитель-
ными усилиями, чем в непрямом методе.
В случаях когда необходимо знать деформации и напряжения
во многих внутренних точках, удобнее вычислять точные значения
смещений в достаточном количестве внутренних узлов, а затем на-
ходить по ним напряжения и деформации описанным в разд. 4.4.2
методом.
4.5.3. Численное решение
Используя данные о геометрии поверхности и внутренних ячеек,
можно еще раз использовать уравнения (4.45) и (4.46) для вывода
системы уравнений, связывающей известные и неизвестные компо-
ненты усилий t и смещений и на границе области. Таким образом,
получаем
— (G“] {ts} +[[FSS] {и5} = [G^| {ф”}. (4.54)
Здесь, как и прежде, индексы s и v означают, что эти величины
были получены по значениям, заданным на поверхности и в объеме
соответственно; М. {ts} суть 2N'-мерные вектор-столбцы, состав-
ленные из значений смещений и усилий соответственно в N' узлах
на поверхностй; {фг} суть 2ЛГ-мерный вектор-столбец, составлен-
ный из значений известных объемных сил, взятых в М' внутренних
узловых точках; (Gss], [Fss] — матрицы коэффициентов размером
2N' X 27VZ; [Gso] — матрица коэффициентов размером 2N' X 2М',
а свободный член в (4.45), содержащий и*’, включен в диагональные
коэффициенты матрицы [Fss]. Если на границах определены усилия,
то (4.54) переписывается в виде
[Fss] {us} = [G^J {фг} + |G”| {t5},
где правая часть известна, и, следовательно, может быть вычисле-
но us. С другой стороны, если известны смещения, то
[GSSJ {ts} = [Fssj {us} —ffG”'] {ф/},
откуда можно вычислить усилия. Для более общей смешанной гра-
ничной задачи (4.54) удобнее представить в виде
— [aGSsJ{(l/«)ts} + [Fss]{us} = [Gst’]{i|)’'}, (4.55) '
где а — масштабирующий коэффициент, который преобразует ко-
122
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
эффициенты матрицы G таким образом, что они оказываются вели,
чинами того же порядка, что и коэффициенты матрицы F. Помещая
в левую часть уравнения (4.55) коэффициенты этих матриц, можно
написать
IKJ {X} + [L] {У} = {фи}. (4.56)
Здесь [/С] — матрица коэффициентов размером 2N' X 2N', {X}
есть 2N'-мерный вектор-столбец, составленный из компонент не-
известных усилий и смещений на границе, [L] — матрица коэффи-
циентов размером 2N' X 2N', {У} есть 27'/'-мерный вектор-стол-
бец, составленный из компонент известных усилий и смещений
на границе.
Из решения уравнения (4.56)' получаем неизвестные усилия и
смещения. После этого полный набор заданных и вычисленных
значений усилий и смещений на границе вместе с заданным распре-
делением объемных сил может использоваться для получения сме-
щений, деформаций и напряжений в любой из последовательно
выбранных внутренних точек при помощи (4.51), (4.52) и (4.53)
соответственно. Задачи со многими зонами могут быть решены при
помощи процедуры, описанной в гл. 3.
4.6. Объемные силы
Широкий класс граничных задач статической теории упругости
связан с учетом действия объемных сил, обусловленных либо стацио-
нарными температурными и фильтрационными градиентами, либо
гравитационным потенциалом. Во всех таких задачах объемные
силы ф t представляются в виде
Ф/ = dpldxit (4.57)
где р — некоторая скалярная функция, удовлетворяющая в обла-
сти D дифференциальному уравнению
d2pldx^xt = Q. (4.58)
В случае установившихся тепловых напряжений или постоянного
гравитационного потенциала Q = 0, а для центробежных сил,
возникающих при вращении вокруг неподвижной оси, Q = const.
Интеграл от объемных сил в (4.37) в этом частном случае
оказывается равным
J Оц (z. В) Фг (z) dv (z) = f GiS (z, I) (dp (z)/dzi) dv (z) (4.59)
v v
и, так как p удовлетворяет (4.58), может быть преобразован к по-
верхностным интегралам по X. В [ 16, 17] разработан способ выпол-
нения этих преобразований, которому мы следуем здесь.
4.6. Объемные силы
123
Применяя теорему Гаусса — Остроградского к правой части
(4.59), имеем
f Gu (z> Ю (др (z)/dzi) dv (z) = J p (x) Gu (x, g) nt (x) dS (x) —
V S
-$р(2)(дОи(г, l)/dZi)dv(z), (4.60)
v
где точка x принадлежит S, а точка z принадлежит V. Замечая,
что
30^(2, J)_ = _2|Л---<L(lnr) =-------2|Л----d_ lnr) (4 61)
dzt Л + 3|Л dzj ' Х + 3(Л
где % и p — постоянные Ламе, можно преобразовать объемный
интеграл в (4.60) следующим образом:
— |p(z) dGi'(z^)-eto(z) = -j— f/?(z)-^-(lnr)do(z) =
J dz, A + 3р. J tkj
V V
= -^7 J P (z) In rdv (z). (4.62)
Напомним теперь следующее свойство функции г2 In г:
V2 (г2 In г) = d2 (г2 In r)ldzhdzk = (1/r) (dldr) (rd/dr) (r2 In г) =
= 4(lnr+l) (4.63)
(это свойство легко доказать). Подставляя гармонические функции
<р ~р и <р* = (1/4) (г2 In г) в интегральное тождество теории по-
тенциала (см. гл. 3)
[ (<руАр* — <P*V2<P) dv(z) = f (<p<?cp*/dn — <p*d<p/dn) dS (x)
V s
и используя (4.58), получаем
J [(In г + 1) p (г) — (1/4) r2 In rQ] dv(z) =
v
= (1/4) (x) d (r2 In r)ldn (x) — r? In rdp/dn (x)] dS (x),
s
или
J p (z) In rdv (z) = (1 /4) J[p (x) d (r2 In r)/dn (x)—r2 In rdpldn (x)] dS(x)~
v s
— J p (z) dv (z) + (Q/4) J (r2 In r) dv (z). (4.64)
V V
124 Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
Подстановка (4.64) в (4.62) приводит к
-Д-£р(г)1пгЛ>(г) = -L-Л.
V s
—r»lnr dS;(x)-^-Cp(z)do(z) + 4^-f(r2lnr)Xz) =
= -J- f Ip W -4v ~~ In r) - r^T- (r* In r)l ds (X) -
4 J L dn(x) (fcj dn(x) dij J
s
— 0----— f —— (r2lnr)do(z), (4.65)
4 J dzj
v
причем в последнем интеграле использовалось равенство
(д/д%}) (г2 In г) = — (д/дг j) (г2 In г). Применяя теорему Гаусса — Ос-
троградского к последнему слагаемому в (4.65), имеем
f Gn (z, g) фг (z) dv (z) = f GiS (z, H) (dpldzi) dv (z) =
V V
= j Gij (x, 5) пг (x) p (x) dS (x) 4-
+ 2(х+зИ) a«(x) ln ~
-~~ (r2lnr) -Qr2lnm,(x)pS(x)}, (4.66)
где др/дп и p на границе S известны из предшествующего
решения (4.58). Тем самым эта задача сводится к-задаче, включа-
ющей только граничную дискретизацию.
В некоторых задачах оказывается возможным подобрать простое
полиномиальное решение, соответствующее полю объемных сил.
Прямое интегральное представление (4.38) для этого случая можно
записать в виде
(1 /2)ZijUi(х0) = [[Gi;(х, х0)tj(х) — FaQc, х0)us(х)]dS(х) + щ(х0),
S
(4.67)
где и t — простое полиномиальное представление поля смещений,
вызванного наличием полей гравитационных, центробежных и т. п.
сил. В качестве примера межно привести частное решение ut ддя
однородного поля напряжений Оц и и т. д., которое выражает-
ся формулой [18]
И1(Р)=ЬцХ;(Р),
(4.67а)
47. Анизотропные тела
125
где и}(Р) = 0 при х}(Р) = О [Х;(Р) означает /-ю координату,
описывающую положение точки Р] и ku = (1/Е')[оП — v'022] .
k22 = (1/F) [ с2“ - v'ofi], ^ = ^=[2(1+ v')/E'] o£; E' = E,
J = v для плоского напряженного состояния и £'=£/(! —vs),
/ = v (1 —v) для плоской деформации.
4.7. Анизотропные тела
4.7.1. Основные уравнения
В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным
решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве прак-
тических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно
анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и ар-
мированные материалы, а также большинство материалов естест-
венного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается
на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа
упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в
точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды пока-
зано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий
плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать
21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в
этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать,
записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений
для трехмерного случая в виде векторов а и е и заметив, что наибо-
лее общее линейное соотношение между ними представляется в
виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда
е=[С]а. (4.68)
Легко показать [21], что без потери общности можно представить
[С] в виде симметричной матрицы, которая поэтому имеет не более
21 независимого элемента. Мы рассмотрим решения, для которых
Рис. 4.9.
126
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
[С] имеет только девять элементов. Это означает, что материал
должен иметь три плоскости упругой симметрии (т. е. представлять
собой некоторый ортотропный упругий континуум; рис. 4.9, а).
Соотношение (4.68), записанное для этого случая в развернутой
форме, имеет вид
е22
£33
£12
£23
L Е31 J
1
Et
Ъ.
~Et
Ъ1
Et
О
О
~е2
1
Ег
*32
Ег
О
О
О
(4.69)
О
(здесь предполагается, что оси координат перпендикулярны плос-
костям упругой симметрии). В (4.69) Е± и р23 — модуль Юнга для
направления по нормали к плоскостям упругой симметрии х( =
= const и модуль сдвига для направления по касательной к тем
же плоскостям соответственно, a v23 — коэффициент Пуассона,
определяющий деформации растяжения в направлении х2, вызван-
ные единичным сжимающим напряжением в направлении х3. Дру-
гие элементы [С] определяются аналогично при помощи цикли-
ческой перестановки индексов. Для симметричной матрицы ICJ
мы получаем, что у13/Е3 = ^JEi и т. д. (т. е. = v(/i)/£'i)1).
Это означает, что (4.69) содержит лишь девять независимых
элементов. Более того, чтобы функция упругой энергии ат е была
положительно определенной, необходимо ввести следующие огра-
ничения на отдельные упругие постоянные 122):
Др Дг> Е3, р12» 9гз> Нз1 --> О,
(1 V12V21)« (1 V23V32)» (1 -V31Vls) (4-70)
1 - ^12V21 v23v32 v31v13--2v12'V23V31 > 0.
Эти неравенства оказываются полезными при проверке пригодности
как найденных экспериментально, так и произвольно принятых
в качестве приближения значений упругих постоянных. Они гаран-
тируют также, что все вычисленные напряжения, деформации и
О к индексам, заключенным в скобки, соглашение о суммировании не при-
меняется; см. приложение А. — Прим, перев.
47. Анизотропные тела
127
включающие корни выражения в функциях податливости явля-
ются действительными числами.
Аналогом соотношений (4.70) для изотропного тела являются
известные неравенства Е, р >0 и —1 < v < 1/2, хотя стоит от-
метить, что имеются ортотропные материалы с коэффициентом
Пуассона, выходящим далеко за пределы этой области. Лемприер
[22] описывает композиты с перекрестной армировкой, у которых
одна компонента v равна 1.97.
Уравнение (4.69) приводит к системе уравнений, эквивалентных
(4.2); это изотропный случай, когда Et — Е2 = Е3 — Е, р12 =
= Раз = Цз1 = Ц и все коэффициенты Пуассона совпадают с v,
а эти три параметра сводятся к двум независимым параметрам
с помощью соотношения Е = 2р(1 +v). Если наложить на упру-
гие параметры другое условие (рис. 4.9, б), а именно условие упру-
гой симметрии по отношению к повороту, скажем Et = Е3, р12 =
= Ргз> то (4.69) будет связывать компоненты напряжений и дефор-
мации в трансверсально изотропном материальном элементе. Легко
видеть, что такая симметрия [С] приводит к соотношениям
Е1/Е2 — ''*21/V12 = V2s/V32» VJ3 = V3P V23 = V2P .
(4.71)
Ei = 2p31(l + v31) в плоскости (xlf x3).
В результате трансверсально изотропное упругое тело можно пол-
ностью задать при помощи пяти упругих параметров (например,
Ei, Е2, Ц12» v12 И Vis).
Фундаментальное сингулярное аналитическое решение задачи
о нагрузке, действующей вдоль прямой в безграничном ортотроп-
ном упругом пространстве, получил Томлин [4]. Если использовать
это решение, а не его аналог для простого изотропного случая для
получения функций ядра при построении соотношений МГЭ, то
можно решать двумерные задачи и для ортотропной, и для транс-
версально изотропной среды. Единственное необходимое изменение
в процедуре решения, описанной выше в этой главе, заключается
в том, что новое сингулярное решение должно использоваться для
вычисления элементов всех матриц F, G и т. д.
4.7.2. Фундаментальное сингулярное решение
Выписанное ниже решение для напряжений и смещений в без-
граничном упругом пространстве в условиях плоского напряжен-
ного состояния или плоской деформации, вызванных действую-
щей вдоль прямой нагрузкой, получил Томлин [4,231 на основе
более ранней работы Лехницкого 1201.
Пусть, как изображено на рис. 4.9, а, координатные плоскости
совпадают с плоскостями упругой симметрии. Тогда для плоского
напряженного состояния, при котором в плоскостях, нормальных
128
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
оси х3, напряжения нулевые, уравнение (4.69) (при напряжениях
о83, Наг и о31, равных нулю) будет в любой точке давать связь между
компонентами напряжений и деформаций. Удобнее переписать
вти уравнения. так:
е(«) = ^а°(аа)’ * = 1 > 2, 3; а = 1,2; соглашение о суммировании
по повторяющимся индексам здесь не применяется,
(4-72)
е12 ~ [1/(2р12)] 012.
Легко показать, что в случае плоской деформации компоненты С/а
заменяются компонентами В по формулам
Bi^C^ — CaCJC^. (4.73)
Фундаментальное сингулярное решение для нагрузки, действую-
ющей в направлении оси х2 и распределенной с единичной интен-
сивностью по оси х3, дает следующие компоненты напряжений и
смещений в плоскости (хь х2):
<ти [(Ь2 + с) /ВцВ22 — 2 (а2 + с) b2] х*{ + В22 (fe2 — с)л£
х2 2 /2 itmb уГ Ви
_ о <4-74)
а2а в а12 = (б2 —c)-^ + /g^G>2 + c)xj
х2 Х1 2 /2 -mb
где с = 1/(2р12), а ~ — Л1а— с) I, b = [)^£ц£22-}-£12
+t),/2 и tn = jBuXi + 2 (512 + с) х? xl + В22х2. Величина b всегда
действительная, а величина а может принимать действительные
или мнимые значения либо обращаться в нуль, что приводит к раз-
ным выражениям для компонент смещений:
а действительное и± — _(£ +с2) in(—1 д/1-^,
&nab \ 1 — alt )
сЧ
а равно нулю их = ——, (4.75)
д2А2 I с2
а мнимое их —-----—— Arc igfialx);
4я (fa) b
а действительное u2 = U-----------------— Arctg(a/2).
4/2 Jta/Вц
С2/
а равно нулю ца = LJ -]-----------—, (4.76)
4/2 л/В^
а мнимое u2 — U-------------------—— In (J-i^2-'),
8 /2 яЬ /Ви V 1 — ial2 '
4.7. Анизотропные тела
129
В которых 1г = /2" х1х2/(угв71 х2 + K-S22 4), /2 = Ьх2/[Впх2 +
+ (-В12с)xf], п= (Ь2— с)а2 — (а2 + с)с и U =— [(&2—с)с +
+ (а2 4- с) b2] In (т/ВпЛ4)/(8 /2 г.Ь .
Отметим еще раз, что смещения, параллельные линии действия
нагрузки и обозначенные здесь через и2, имеют смысл относитель-
ных значений смещений. Член, содержащий А, появляется в 17,
а следовательно, и в и2 из-за того, что (4.76) дает значения и2 от-
носительно их значений в произвольных точках ±(Л, 0).
Компоненты напряжений и смещений, соответствующие нагруз-
ке единичной интенсивности, действующей вдоль оси х3 в направ-
лении xlt получаются при перестановке индексов 1 и 2 во всех
уравнениях (4.74) — (4.76).
При вычислении значений арктангенсов в приведенных выраже- '
ниях необходима известная осторожность. Обычно используется
главное значение, лежащее в пределах (—л/2, л/2), но возможен
случай, когда Z2 становится бесконечным, что приводит к разрыву
в ы2. Томлин [4] преодолевает эту трудность, прибавляя лк величине
arc tg (aZ2), когда знаменатель 12 становится отрицательным.
4.7.3. Численное решение
По мере того как усложняются исходные уравнения, учитыва-
ется анизотропия и т. д., аналитическое интегрирование уравне-
ний, подобных (4.74).— (4.76), вдоль линейных граничных элемен-
тов [24J и по внутренним ячейкам неизбежно становится затрудни-
тельным и следует использовать схемы численного интегрирования.
Таким образом, решение двумерных задач теории упругости
для ортотропных и трансверсально изотропных тел (однородных
или кусочно-однородных) в точности следует описанным выше
процедурам, включая схемы численного выполнения квадратур и
даже введение в соотношения непрямого метода двумерного век-
тора смещений тела как жесткого целого для того, чтобы можно
было удовлетворить условиям убывания решения на бесконечности.
Имеются только два различия: (1) использованные фундаменталь-
ные решения являются решениями уравнений (4.74)—(4.76), а не
(4.7), (4.9); (2) в любой выделенной зоне оси локальных координат
-Ч, удобнее всего направлять вдоль осей упругой симметрии
этой зоны. Все граничные условия сначала следует преобразовы-
вать к этим осям.
Томлин использовал приведенное выше фундаментальное син-
гулярное решение в непрямом МГЭ в предположении, что искомые
функции постоянны вдоль каждого элемента при решении ряда
задач для ортотропной среды; две из этих задач описаны в § 4.8..
130
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
4.8. Типичные примеры
(а) Задача о толстостенном цилиндре. Рассмотрим длинный тол-
стостенный круговой цилиндр под действием внутреннего давления,
находящийся в условиях плоской деформации и установившегося
Рис. 4.10. Внутренняя поверх-
ность: давление равно pt, тем-
пература равна Т[. Внешняя
поверхность: давление и тем-
пература равны нулю
в радиальном направлении градиента
температур. Эта задача обычно встре-
чается при рассмотрении напряжен-
ного состояния труб теплообменников
и сосудов высокого давления, таких,
как паровые котлы й сосуды, исполь-
зуемые в химической технологии. На
рис. 4.10 изображены эта задача и
схема дискретизации для программи-
рования на ЭВМ в ПМГЭ; принято,
что и t и ti линейно меняются в пре-
лах каждого элемента. Граничные
значения Т и дТ!дп были определены
при помощи алгоритма ПМГЭ, при-
мененного в задаче о потенциальном
течении жидкости с той же схемой
дискретизации, но в предположении
о постоянстве Значений Т и дТ1дп в
пределах каждого граничного эле-
мента.
Здесь приводятся два решения этой задачи с различными гра-
ничными условиями. В первом предполагается, что температурные
деформации равны нулю, а во втором нулю приравниваются при-
ложенное внутреннее и внешнее давления. На рис. 4.11 и 4.12 по-
казаны значения напряжений, вычисленные в отмеченных на
рис. 4.10 точках. Радиальные и азимутальные напряжения вы-
числяются при помощи простого преобразования их декартовых
компонент.
(б) Задача о нагруженной консоли. На рис. 4.13 изображается
задача о нагруженной консоли с искусственно введенными поверх-
ностями раздела. Это искусственное разделение длинной и тонкой
конструкции не только уменьшает время счета, но и улучшает
точность решения примерно на 3% по сравнению с решением без
этого разделения.
Вертикальные смещения вдоль средней линии консоли показа-
ны на рис. 4.14, а соответствующие изгибающие напряжения —
на рис. 4.15. Напряжения аи представлены в безразмерном виде
как отношение где сь — изгибающее напряжение в балоч-
ном приближении. Вычисленные напряжения, как правило, на
5% меньше напряжений, полученных в балочном приближении.
Это необычно большое расхождение получается из-за того, что на-
пряжения сравниваются с напряжениями в граничных точках, где
4.8. Типичные примеры
131
’ 1
И
А
Ч, Е=ЮО, V=0.3 ,,
3 ^Ширина равна еди- <
S, .нице,использовался,,
* ПМГЭ
Рис. 4.13.
Вертикальные смещения
132
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
Рис. 4.16. Граничные условия: на АЕ и = 0; АВ, DE — жесткие гладкие
границы; BCD — ненагруженная граница, <рх = 0, =? кН/м3, =
— 0.5, р-г/Р-х = 2.
погрешности численного решения всегда максимальны. Задача о
консоли, хотя и тривиальная, представляет интерес, поскольку
геометрия этой задачи делает ее особенно неудобной для решения
методом конечных элементов с невысоким порядком дискретизации.
(в) Задача о дамбе, расположенной на более жестком основании.
На рис. 4.16 представлена типичная схема дамбы, расположенной
на основании в виде слоя более жесткого материала (p2^i = 2).
Напряжения и смещения, возникающие под действием дамбы, вы-
числяются на первоначальной поверхности основания; они по-
казаны на рис. 4.17.
(г) Задача о кусочно-однородной ортотропной среде. Следующие
два примера взяты из работы [23]. Векторы смещений и главные
напряжения на рис. 4.18а получены непосредственно из аналити-
ческого решения [4] для нагрузки, распределенной по границе
ортотропной полуплоскости. На рис. 4.186 изображаются анало-
b
Нормальная нагрузка 1
• j еш|шч^й и^пживн^ст^---^
f
. Область "вблизи приложенной нагрузки
1<—А-*| ^Нормальная нагрузка
Константы упругой ---------
ортотропии.. . ..
Модули Юнга (х10в):
Е,=3, Е2=1, Е3=2
i
Коэффициенты Пуассона:
v23=ae, v3l=a6„v12=o.i \ \
_____□___'
Модули сдвига (x 10е): .
Gjj 1 L «к..*. —
GS1J не используются
G«=3 ;
Главные оси ортотропии
Ось 11
e плоской зоЭоче f
(ОсьЛендикулярно' р^евО всей области
плоскости рисунка)
, Q5 1 ISfexlO4
Полная облает*—i—i—i
। Полная область
Аналитическое решение задачи о нагруженной по границе
Вектор смещения •—
Масштаб вектора смещения
Область вблизи _ И 5ЬхЮ Б
приложенной •
нагрузки
полуплоскости
нормальная нагрузка
единичной интенсивности
Рис. 4.18 а. Векторы смещений в нагруженной по границе ортотропной полуплоскости.
4.8. Типичные примеры
Нормальная нагрузка *i
^^еоиничной интенсивности.___
___i t t f t I t t
"Область вблизи приложенной нагрузки ~
I*— Ь-»1 Нормальная нагрузка
i-т-тТ^' единичной интенсивности
Ь
нормальная нагрузка
единичной интенсивна
I” ^Область Ызи^ло^щкрузки''
Константы упругой
ортотропии
Модули Юнга (х106):
F1 =3,Е2=1,Е3=2
Коэффициенты Пуассона:
v23=°-6- Sr0-6-vi2=°-1
Гпоеные оси ортотропии
Ось 2
(Ось 3 перпендикулярна
плоскости рисунка)
\ \ \ \ s ч
\ \ ' ч ч ч
\ \ \ X \ Ч
\ \ X X X Ч
\ X X X X ч
\ \ \ х \ х
Решение во всей области
Векторы главных Г_22
напряжений ' 32
. Напряжение является сжимающим,
когда вектор направлен в сторону пер-_
вого и четвертого квадрантов, и растя-
гивающим,когда вектор направлен в
сторону второго и третьего квадран- ~~
тов; например: <' -оба сжимающие:
>4- одно сжимающее, о другое рас- .
тягиваюшее
Масштабы векторов напряжении ,
Область вблизи, I ? ? I
приложенной
нагрузки
Полная
область
12 3 4
-Ь-^-^Нормальноя нагрузка
единичной интенсивности
\
\
\
( । Полная область
Аналитическое решение задачи о нагруженной по границе
полуплоскости
Рнс. 4.186. Векторы главных напряжений в нагруженной по границе ортотропной полуплоскости.
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
4.8. Типичные примеры
135
гичные данные, полученные из решения НМГЭ, при построении
которого для отработки алгоритма, учитывающего кусочную не-
однородность среды, полуплоскость представлялась в виде двух-
зонной системы с одинаковыми в обоих зонах упругими свойствами.
Граница раздела зон на рисунках изображена в виде прямоуголь-
ника, очерченного штриховыми линиями. На внешних границах
задавались взятые из аналитического решения смещения. На
рис. 4.186 приводятся полученные при помощи МГЭ результаты
для задачи о двухзонной ортотропной среде. Использовалась сле-
дующая схема дискретизации: пять граничных элементов на полу-
ширине основания; полное число элементов, включая и поверх-
ность раздела, равнялось 42. Как показано в табл. 4.1, соответ-
ствие этих двух решений очень хорошее, кроме точек, располо-
женных вблизи концов участка приложения нагрузки.
Таблица 4.1
Расстояние по вертикали от конца участка приложения нагрузки1) Смещение, fe-10-e Наибольшее из главных напряжений
Решение при помощи МГЭ Аналитичес- кое решение для полу- плоскости Раз- ница, % Решение при помощи МГЭ Аналитичес- кое решение для полу- плоскости Раз- ница, %
0.56 0.476 0.516 8 0.958 0.997 4
1.56 0.304 0.317 4 0.548 0.566 3
2.56 0.132 0.134 1.5 0.295 0.298 1
ж) Здесь b—половина ширины области приложения нагрузки.
Второе иллюстративное решение (рис. 4.19) приведено для
демонстрации гораздо более сложной многозонной задачи. На-
правления главных осей упругой анизотропии показаны на рисун-
Таблица 4.2
Константы упругой ортотропии
Зона Модули Юнга Коэффициенты Пуассоиа > Модули сдвига
Ег (s-10«) Е, »»» Саз, Gsi 8-10« &12
1 1 0.25 1 0.6 0.3 0.15 В плоской 0.5
2 3 0.5 2 0.6 0.45 0.1 задаче не 1
3 10 2 8 1.6 0.3 0.15 использу- 3
4 15 2 15 0.75 0.5 0.25 ются 5
136
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
Линейно меняющиеся
заданные нормальные
напряжения.заданные
постоянные касатель-
ные смещения
-D.2b=10-6J,S||UU'''s
10 Ь
Гладкая жесткая граница, нор-
мальная нагрузка имоменщ.заоан-.
ныенулевые тангенциальные ., '•
_ напряжения S-D 1
Граница,жесткая в
направлении касательной
заданные постоянные нор-
мальные напряжения,
заданная тангенциа
наянагр1"^
-ЗЬ-
Заданные постоянные нор-
мальныенапряжения,нулевые
oistVi'x тангенциальньк напряжения
° * . НННН*_______
I1
I
k-i.ib*
Зона!
Свободная
граница.
1
ЗонаЗ
павныеосиор/ттропии
(осьЗ перпендикулярна
плоскости рисунка)
Свободная
Зона 2
0.5b
1
2
граница
1
S'
&
ё
01
2*\ ЗонаЬ
Нулевые нормальный
смещения, заданные
постоянные танген-
циальные напряжения
Нулевые смещения на границе
а
f f ?
11 Ч Г ? S
ч ч ч
Вектор смещения f 1 2 34 5Ь *10~G
Масштаб вектора)^} ' 15ЬхЮ'6
смещения [г, 3,4 о—J
Рис. 4.19. а — граничные условия и упругие характеристики материала^
б — векторы смещений.
4.8. Типичные примеры
137
Расстояние, м
Рис. 4.21. Геометрия задачи о выработке.
138
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
40
35
О МКЭ
Д МГЭ
О
а
8
о
30
с
а
С.
25
ь'
20
о
о6
д
О
Ь'
-15
ю
5 -
6
О
ЭД Д а
?о°о
6
Q1
е
о,
Целик 1
*--------------5"
Ь----Q-----к----1Д.
10 20 30 40 50 60 ТО
Расстояние вдоль оси х2 , м
Рис. 4.22. Главные напряжения в сечении
Бесконечная
область
0l----1---L
-20 -10 0
О
Бесконечная область
80 90 100
АА.
ке; значения упругих постоянных для различных
в табл. 4.2. Особый интерес представляет набор
граничных условий.
(д) Круговое включение в безграничной упругой среде [ 18]. На
рис. 4.20 приводятся и сравниваются с аналитическим решением
результаты, полученные при помощи ПМГЭ для задачи о круговом
включении в безграничной упругой среде. В этом решении один
зон приведены
рассмотренных
50
40
о мкэ
Д МГЭ
30
ЬГ
ьГ
20
10 -
Зона раскрытия
Целик 1
Зона раскры
* тая *
о Й
О
j-----1----1----1——к-----------к—d-й^—1-------
5» 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Расстояние вдоль оси :ct, м
Рис. 4.23. Главные напряжения в сечении ВВ.
4.8. Типичные примеры
139
35
30
25
20
О МКЭ
А МГЭ
15
10
5Н
Бесконечная область
Целик 2
А
Э
о
о
Бесконечная область
01------1______L
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70
Расстояние вдоль оси х2,м
Ри£ 4.24. Главные напряжения в сечении СС.
50
40
О МКЭ
д МГЭ
30
20
10
Зона
раскрытия
Целик 2
Зона
раскрытия
О
О
6 Ъ
О
А | °_6
01----1----L4O-L-
50 55 60 65
6 6
о_1___:__i_
70 75 80 85 90 95 100
Расстояние вдоль оси , м
Рис. 4.25. Главные напряжения в сечении DD.
140
Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
квадрант моделировался 20 граничными элементами и предпола-
галось, что и и t линейно меняются в пределах каждого элемента.
Численные и аналитические результаты совпадают с точностью
до четырех значащих цифр.
(е) Типичная задача о выработке [ 18]. На рис. 4.21 приводится
типичная задача о выработке, в которой предполагается, что мо-
дуль упругости месторождения (Е = 20 ГПа) отличается от мо-
дуля вмещающей породы (Е = 35 ГПа). Предполагается, что коэф-
фициент Пуассона равен 0.15 для обоих материалов. Геостатические
напряжения, измеренные на большом расстоянии от месторожде-
ния, составляли сщ = 12.4 МПа, с%2 = 18-6 МПа и о12 —
= с>21 = 0.
Задача решалась при помощи ПМГЭ. Общее число граничных
узлов—114, число неизвестных — 256. Результаты сравнивались
с решением, полученным методом конечных элементов с исполь-
зованием 855 четырехугольных элементов, в пределах которых де-
формации считались постоянными.
Главные напряжения в сечениях А А, ВВ, СС и DD (см. рис. 4.21),
рассчитанные обоими методами, сравниваются на рис. 4.22 —
— 4.25 соответственно. Результаты, как правило, отличаются
не более чем на 7%.
(ж) Прочие применения. В литературе приводится много других
решений двумерных задач теории упругости при помощи МГЭ
[24—35]. Этот метод вследствие непрерывности получающихся ре-
шений стал популярен в механике разрушения, и в работах [24—28]
даются примеры вычисления коэффициентов интенсивности на-
пряжений вблизи концов трещины.
4.9. Заключительные замечания
В этой главе мы совершенно намеренно использовали простей-
шие возможные схемы численной реализации МГЭ, которые, как
оказалось, можно с успехом применять для решения стандартных
прикладных задач теории упругости. Одна из важных особенностей
этих методов заключается в том, что степень сложности процедуры
численного решения можно варьировать по желанию исследова-
теля. Например, поверхности и функции можно задавать парамет-
рически, тем самым значительно точнее моделируя задачу. (Такие
процедуры будут рассмотрены в гл. 8.) Однако и в рамках описан-
ной здесь схемы можно улучшить точность результатов, если '
удовлетворять граничным условиям на элементах в среднем, а не
только в одной выбранной в пределах каждого элемента точке (см.
гл. 14). Для этого нужно не только вычислять узловые значения
смещений и усилий, но и находить их средние (с тем или иным ве-
сом) в пределах элемента значения.
4.10. Литература
141
4.10. Литература
[1] Lauricella С. — Atti della Reale Academia dei Licei, 1906, t. 16, No. 1,
p. 426—432.
[2] Fredholm I. Solution of fundamental problems in theory of elasticity. —
Ark. Mat., Astr. och. Fys., 1905, t. 2, No. 28, p. 1—8.
[3] Sokolnikoff 1. Mathematical theory of elasticity. — New York: McGraw-
Hill, 1956.
[4] Tomlin G. R. Numerical analysis of continuum problems of zoned aniso-
tropic media. —Ph. D. thes. —Southampton Univ.,' 1972.
[5] Banerjee P. K-, Butterfield R. Boundary element method in geomecha-
nics. — In: Finite element in geomechanics. Ed. by G. Gudehus. Ch. 16.—
London: Wiley, 1977.
[6] Купрадзе В. Д- Методы потенциала в теории упругости. —М.: Физ-
матгиз, 1963.
[7] Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
уравнения. —М.: Физматгиз, 1962.
[8] Zienkiewicz О. С. Finite element method in engineering science. — Lon-
don: McGraw-Hill, 1971. [Имеетсяперевод: Зенкевич О. Метод конечных
элементов в технике. —М.: Мир, 1975.]
[9] Mustoe G. С. A combination of the finite element method and the boundary
solution procedure for continuum problems. — Ph. D. thes. — Univ, of
Wales, University College, Swansea, 1979.
[10] Betti E. Teori-a della elasticita. —11 Nuovo Ciemento, 1872, t. 7—10.
[11] Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics..—
Int. J. Solids and Structs, 1969, v. 5, p. 1259—1274.
[12] Rizzo F. J. An integral equation approach to boundary value problems of
classical elastostatics. —Q. Appl. Math., 1967, v- 25, p. 83.
[13] Ricardella P. An implementation of the boundary integral techniques for
plane problems in elasticity and elasto-plasticity. —Ph. D. thes. —
Carnegie Mellon Univ. Pittsburg, 1973.
[14 ] Cruse T. A. An improved boundary integral equation method for three
dimensional stress analysis. — Int. J. Computers and Structs, 1974,
v. 4, p. 741—757.
[15] Watson J. O. Advanced implementation of the boundary element method
in two and three dimensional elasto-statics. — In: Developments in boun-
dary element methods. Ed. by Banerjee P. K., Butterfield R. Ch. III. —
London: Applied Science Publishers, 1979.
[16] Rizzo F. J. — Частное сообщение, 1979.
[17] Stippes M., Rizzo F. J. A note on the body force integral of classical elasto-
statics. — ZAMP, 1977, Bd 28, S. 339—341.
[18] Wardle L. J., Crotty J. M. Two dimensional boundary integral equation
analysis for nonhomogeneous mining applications. — In: Proc. Recent
Dev. in Boundary Element Methods, Southampton Univ., 1978.
[19] Hearmon R. F. S. An introduction to applied anisotropic elasticity. —
Oxford: University Press, 1961.
[20] Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: ОГИЗ,
1950.
[21] Love А. Е. Н. A treatise on the mathematical theory of elasticity. Cam-
bridge Univ. Press, 1927. [Имеется перевод: Ляв А. Математическая
теория упругости. —М.: ОНТИ, 1935.]
[22] Lempriere В. М. Poisson’s ratio in orthotropic materials. —J. Amer.
Inst. Aeronaut, and Astronaut., 1968, v. 6, p. 2226—-2227.
[23] Tomlin G. R., Butterfield R. Elastic analysis of zoned orthotropic con-
tinua. — Proc. ASCE, 1974, v. EM3, p. 511—529.
[24] Snyder M. D., Cruse T. A. Boundary integral equation analysis of cracked
anisotropic plates. —Int. J. Fracture Meeh., 1975, v. II, p. 315—-328.
[25] Boundary integral equation methods: computational applications in app-
lied mechanics. Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME,
142 Гл. 4. Двумерные задачи теории упругости
1975. 1Имеется перевод: Метод граничных интегральных уравнений.
Вычислительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза
и Ф. Риццо. —М.: Мир, 1978.]
[26] Cruse Т. A. Application of the boundary integral equation method for
solid mechanics. — In: Proc. Var. Meth, in Engng. — Southampton
Univ. Press, 1973.
[27] Cruse T. A. Two-dimensional BIE fracture mechanics analysis. — Appl.
Math. Modelling, 1978, v. 3, p. 287—293.
[28] Cruse T. A. Two and three-dimensional problems of fracture mechanics. —
In: Developments in boundary element methods. Ed. by Banerjee P. K.,
Butterfield R. Vol. 1. Ch. V. — London: Applied Science Publishers,
1979.
[29] Christiansen S., Hansen E. A direct integral equation method for comput-
ing the hoop stress at holes in plane isotropic sheets. — J. Elasticity,
1975, v. 5, No. 1, p. 1—14.
[30] Rudolphi T. J., Ashbaugh N. E. An integral equation solution for a boun-
ded elastic body containing a crack: mode 1 deformation. — Int. J.
Fracture, 1978, v. 14, No. 5, p. 527—541.
[31] Krenk S. Stress concentration around holes in anisotropic sheets. — Rep.
No. 138, Techn. Univ, of Denmark, 1978; Appl. Math. Modelling, July
1978.
[32] Heise U- Application of the singularity method for the formulation of
plane elasto-statical boundary value problems as integral equations. —
Acta Mec., 1978, v. 31, p. 33—69.
[33] Brady В. H. G., Bray J. W. The boundary element method for determin-
ing stresses and displacements around long openings in a triaxial stress
field. —Int. J. Rock Meeh., 1978, v. 15, p. 21—28.
[34] Brady В. H. G., Bray J. W. The boundary element method for elastic
analysis of tubular ore body extraction assuming complete plane strain. —
Int. J. Rock Meeh., 1978, v. 15, p. 29—37.
[35] Brady В. H. G. A direct formulation of the boundary element method
of stress analysis for complete plane strain. — Int. J. Rock Meeh., 1979,
v. 1.6, p. 235—244.
Глава 5
ТРЕХМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
О ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
5.1. Введение
Множество инженерных задач, связанных, в частности, с мед-
ленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной
фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электро-
магнита, а также стационарного электрического поля в окрестнос-
ти фарфорового изолятора или заглубленного в землю электриче-
ского кабеля переменного поперечного сечения, сводится к реше-
нию трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Соответствую-
щее дифференциальное уравнение в системе координат xt с осями,
направленными вдоль главных осей «тензора проводимости», в
случае однородной среды принимает вид
k^pix)!dxi + k2d2p(x)/дх% &3д2р(х)/дхз = — ф, (5.1а)
или в общем случае анизотропного тела
ktjd2p (x)/dxtdx} = — ф. (5.1 б)
При отсутствии источников и стоков уравнение (5.1а) можно
свести к уравнению (3.1). Соответствующие выражения для век-
тора потока, его -нормальной составляющей и преобразования сис-
темы к системе для эквивалентного изотропного тела аналогичны
указанным в § 3.2, за тем лишь исключением, что масштабирую-
щие множители для главных значений проводимости k (1, а, Р)
равны, скажем, (1, 1/а1/2, 1/Р1/2), а полученная при этом изотропная
проницаемость составляет #(оф)1/2.
Для задач, рассмотренных в гл. 3 и 4, главные преимущества
МГЭ не являются столь уж очевидными по сравнению со стандарт-
ной техникой метода конечных элементов, при помощи которой
также удается алгоритмизовать подобные задачи и получить их
решения.
Однако уже в данной главе и в гл. 6, посвященной трехмерным
задачам теории упругости, будет убедительно показано, что в этих
случаях МГЭ представляет собой, по-видимому, наиболее реа-
листичный подход для получения достаточно точных результатов
при умеренных затратах.
144 Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
5.2. Сингулярные решения: непрямая и прямая
формулировки
Фундаментальное сингулярное решение для потенциала р(х)
«эквивалентного изотропного тела с проводимостью k» в точке х;,
обусловленного действием единичного источника интенсивности
е(|) в точке £, можно записать в виде
p(x)^G(x,l)e®, (5.2)
где G(x, g) = [l/(4nfe)](l/r), г3 = (х-^(х-^.
Сравнивая выражения (3.4) и (5.2), мы замечаем, что если вы-
ражение (3.4) дает относительные значения потенциала р(х), то
выражение (5.2) определяет его абсолютные значения и условия
на бесконечности оказываются выполненными автоматически. От-
сюда следует, что в непрямом варианте МГЭ не требуются допол-
нительные уравнения для удовлетворения условий единственнос-
ти решения.
Отвечающий потенциалу р(х) вектор потока (скорости) дается
выражением
ц (х) = — k = __L_ JL е (g)= _EL_ e ©, (5.3)
' dxt 4w» dxi W 4xr3 W V ’
где yt = xt —
При этом соответствующая нормальная составляющая скорости
на границе равна
и (х) = Vi (х) nt (х) = [^иг/(4№)] е (£),
или
ы(х) = Г(х, |)е(В), (5.4)
где F (х, |) = угпг/(4№).
Вывод соотношений непрямого МГЭ при помощи этих сингу-
лярных решений осуществляется по аналогии с соотношениями
(3.7) — (3.12), за исключением того, что в трехмерных задачах кон-
станта С в соотношении (3.7), как было объяснено выше, равна
нулю.
Умножая уравнение (5.1а) на функцию G и интегрируя по час-
тям так же, как в гл. 3, мы получим соотношение взаимности (3.28),
которое можно использовать при формулировке соответствующего
прямого метода для получения выражений вида (3.37) и (3.38).
Ядро Н(х, g), которое необходимо для нахождения скорости в
произвольном направлении п во внутренней точке 5, теперь при-
нимает вид
Я(х, l)=-k [dF(x, g)/^J щ ©=- [fe/(4n)J nt ®п}(х)д(У]1г3)/д&=
= — [ A7(4irr3) ] (Зу^г* — 8a) nt (£) tij (x). (5.5
5.4. Численное решение
145
5.3. Интегрируемость ядер
Если мы сравним особенности ядер, получающиеся в двумер-
ном случае, с полученными выше, то обнаружим, что последние по
крайней мере на один порядок выше. Это обстоятельство естествен-
но может вызвать сомнение в существовании входящих в формулы
интегралов в тех случаях, когда местоположение источника сов-
падает с точкой наблюдения.
Данный вопрос рассматривался Михлиным [1], который пока-
зал, что для интегралов по m-мерному пространству Ет особенности
порядка 1/г"1"1 являются слабыми, и, следовательно, эти интегралы
существуют в обычном смысле. Интегралы же с особенностями по-
рядка 1/г”1 существуют только при определенных условиях (боль-
шая часть которых здесь выполняется) в смысле главного значения
по Коши. Особенности порядка выше Цгт не интегрируются.
На основании этих результатов мы можем убедиться, что при
х = £ поверхностные и объемные интегралы, содержащие функцию
G(x, £), и (только в случае непрямого метода) объемные интегралы,
содержащие функцию F(x, £), являются интегралами от функций
со слабыми особенностями и поэтому вычисляются обычным об-
разом. Когда точка £ стремится к точке х на границе области, по-
верхностные интегралы, содержащие функцию F(x, £), существуют
только в смысле главного значения по Коши, а интегралы, содер-
жащие Н(х, |), не существуют вообще. Стоит отметить, что пове-
дение этих интегралов совпадает с поведением рассмотренных в
гл. 3 соответствующих интегралов в двумерном случае.
5.4. Численное решение
5.4.1. Локальные координаты
Будем предполагать (ради простоты алгебраических выкладок),
что внутри области отсутствуют источники (т. е. ф = 0). Поверх-
ность S можно аппроксимировать набором плоских треугольных
элементов, как показано на рис. 5.1. Такая схема дискретизации,
по существу, аналогична представлению оболочек в виде набора
плоских элементов в методе конечных элементов (см. Зенкевич [2]).
Если мы рассмотрим отдельный q-й треугольный элемент с вер-
шинами г, s и /и введем локальную ортогональную систему коор-
динат zt таким образом, что ось zt будет совпадать со стороной
rs, a z3 направлена по нормали к плоскости треугольника (рис. 5.2),
то компоненты векторов А и В, определяющих стороны rs и rt,
будут равны
Xi —X]
Х-2 — %2
4 — Хз.
(5.6)
6—356
146
Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
а их длины составят
/а = 1'Аг-А и /6 = квт-В. (5.7)
Вектор нормали С определяется векторным произведением А и
В, т. е. С = А X В. Легко показать, что длина С должна быть
равна удвоенной площади треугольника (т. е. 2Д). Единичный
вектор нормали (оси z3) ес определяется как
ес = п = [1/(2Д)]С. (5.8)
Соотношения (5.6) — (5.8) позволяют нам построить локальную
систему координат на любом элементе поверхности (см. также
гл. 8).
5.4. Численное решение 147
5.4.2. Базисные функции
В гл. 3 мы привели простейшую схему численного решения
задач о потенциальных течениях, использующую кусочно-постоян-
ные распределения <р, р и и по граничным элементам. Хотя такой
простой подход позволил нам продемонстрировать все принципи-
альные особенности техники построения решения, более эффек-
тивным оказывается алгоритм, в котором указанные выше вели-
чины изменяются по крайней мере линейно в пределах каждого
граничного элемента. Кроме того, в некоторых задачах теории уп-
ругости (таких, как задача об изгибе балки) кусочно-постоянная
аппроксимация не обеспечивает правильного распределения ка-
сательного напряжения в поперечном сечении балки, и поэтому
в гл. 4 было необходимо использовать кусочно-линейные функции
t И U.
Если мы введем локальные координаты zt и г2 в плоскости эле-
мента так, как это показано на рис. 5.2, то в случае линейного из-
менения, например, <р по каждому ?-му элементу будем иметь
Ф = №фп,
где <р — фиктивный потенциал в некоторой внутренней точке эле-
мента, № —матрица размером 1 X 3, а <рп —трехмерный век-
тор-столбец узловых значений с компонентами <рг, ср, и <р(.
Элементы N2 и N3 матрицы базисных функций могут быть
получены соответственно из Л4Ь М2 и Л43, заданных соотношения-
ми (4.21), с учетом того обстоятельства, что начало системы коор-
динат в данном случае находится в вершине г (см. рис. 4.4 и 5.2,
а также гл. 8).
Таким образом, мы можем представить (при ф = 0) дискретную
форму граничных интегралов для непрямого метода в виде
х 7 г \
р(4)= У J 0(4, <р’, (5.9)
9=1 \Д5’ )
«(х5)-?ф(х’)+ 2
9=1
f F(4, S)N’(?)dS] <р’
as’ /
(5.10)
где р = 1/2, если граничная точка х? не принадлежит ребру или
углу, а матрица базисных функций N’ является функцией пере-
менной интегрирования
Для прямого метода дискретизация граничного интеграла при-
водит к соотношению
мю = 2|Г
9=1 IL
[ F(x, $)Nq(x)dS
Pn
6**
148 Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
J G(x, $)№(*) dS
AS9
Q
“n
(5.П)
где матрица № теперь уже является функцией переменной интег-
рирования х.
Соотношения (5.9) и (5.10) для непрямого МГЭ и уравнение (5.11)
для прямого МГЭ могут быть использованы для формирования
окончательной системы уравнений точно так же, как это обсужда-
лось в гл. 3 и 4.
5.4.3. Численное интегрирование
Методы и приемы, используемые для вычисления различных
интегралов, рассматривались в гл. 4. При этом изучался характер
особенностей произведений ядер на базисные функции. Если по-
следние остаются ограниченными во всей области интегрирования,
то их можно проинтегрировать численно. Методы численного ин-
тегрирования и соответствующие квадратурные формулы приве-
дены в приложении В. Для получения эффективного алгоритма
необходимо варьировать число узловых точек в зависимости от
расстояния между вершиной р и <?-м элементом.
5.4.4. Точное интегрирование
Если произведение ядра на базисную функцию становится не-
ограниченным где-нибудь внутри интервала интегрирования, то
численное интегрирование невозможно. Хотя при этом иногда
можно слегка сместить точку
наблюдения внутрь области,
так что подынтегральное вы-
ражение останется ограни-
ченным и соответствующее
непрерывное (быстро меняю-
щееся) произведение ядра на
базисную функцию можно
будет проинтегрировать с по-
мощью квадратурной форму-
лы более высокого порядка
точности, подобные процеду-
ры применять не рекоменду-
ется. Такие интегралы пред-
почтительнее всего вычислять аналитически.
Мы можем проделать это путем описанного в гл. 4 явного
выделения особенности в произведении ядра на базисную функ-
цию; соответствующие сингулярные части интегралов вычислены
ниже.
5.4. Численное решение
149
(а) . Вычисление j G(x 0, £)dS(£) или ]G(x, Z0)dS(x). В силу СИМ-
AS AS
метричности функции G по аргументам х и £ результаты интегри-
рования по любому из них будут совпадать, и, следовательно,
достаточно рассмотреть лишь один из интегралов.
Вводя локальную полярную систему координат, связанную с
<?-м элементом, как показано на рис. 5.3, мы можем представить
интеграл в виде
6 В г (8J 6в
j G (х0, I) dS=[ 1 /(4nk)] J J — rdrdf) = [ 1 /(4^)] J r (9) =
as вл ° ел
e
,.в e
= [1/(4п/г)] J Dsec6d9 = [D/(4r/e)][ln{tg(Tr/4 + 6/2)}]6c. (5.12)
% A
(б) Вычисление j F(x0, g)dS(g) и J F (x, dS (x). Оба этих
AS AS
интеграла содержат сильные особенности и поэтому существуют
только в смысле главного значения по Коши. Они могут быть
вычислены путем исключения из области интегрирования про-
извольной малой окрестности ASe вокруг особой точки и после-
дующего перехода к пределу при ASE 0, т. е.
J F(x0,l)dS= f F(x0, g)dS+ f F(x0,$dS, limASE =0.
AS AS—ASe ASe
(5.13)
Легко показать, что первый интеграл в правой части уравне-
ния (5.13) не дает вклада в систему уравнений, тогда как второй
Рис. 5.4.
150 Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
интеграл определяет разрывный член р и равен (о/(4л), где <о —
величина телесного угла с вершиной в узле (см. гл. 3).
С другой стороны, если мы слегка сместим точку наблюдения
внутрь области в узел, показанный на рис. 5.4, то интегралы су-
ществуют в обычном смысле, и, следовательно, р = 0 в формуле
(5.10) и Р = 1 в формуле (5.11) (так как точка наблюдения нахо-
дится уже внутри области, хотя и очень близко к поверхности).
Снова введем локальную систему координат zit связанную с
узловой точкой г рассматриваемого элемента (рис. 5.4) таким об-
разом, что Zi и z2 направлены так, как показано на рис. 5.4, а
z3 — по нормали к поверхности элемента. Для произвольной точ-
ки наблюдения (xt, хг, х3) эти интегралы можно вычислить аналити-
чески. Прежде всего заметим, что интеграл
AF = (*F(x, i.)dS(B) = - -L f =
J 4л J ojq V r )
bS AS
-[н4/(4к)]|(1/г)^С,
c
(5.14)
где et — глобальные компоненты нормали к контуру С, окружаю-
щему область AS.
Вдоль стороны rs мы имеем
AF = — [пг/(4я)] Еи [In (zx + г)]',
(5.15)
где Еи = dzjdxt-
Окончательный результат получается такой переориентацией
локальной системы координат, что ось Zj поочередно совпадает со
сторонами st и tr треугольника. Значение каждого из интегралов
выражается при этом через координаты точки наблюдения и соот-
ветствующего узла.
Выражение (5.15) сходным образом, очевидно, может быть ис-
пользовано также для вычисления интеграла по плоскому четырех-
угольному элементу. Хесс и Смит [31 вычислили также контурный
интеграл в формуле (5.14) и получили точное аналитическое выра-
жение для AF.
Для того чтобы вычислить интеграл
jF(x,£)dS(x),
заметим, что:
1) для плоских элементов нормаль п в этом ядре может быть
вынесена из-под знака интеграла;
2) при перемене мест аргументов х и g ядро лишь меняет знак.
Следовательно,
f F(x, $dS(x) = - f F (х, $dS®.
AS AS
(5.16)
5.5. Осесимметричное течение
151
Результат интегрирования этого простого выражения является
чрезвычайно важным. В гл. 8 и 15 мы увидим, что даже в тех слу-
чаях, когда для геометрических и граничных параметров приме-
няются представления более высокого порядка, всегда можно вос-
пользоваться этим решением, выделив часть, отвечающую сильной
особенности. Оставшиеся интегралы, в которых учитываются из-
менения кривизны и значений функций <р, и и р на границе, могут
быть найдены численно.
В прямом методе в принципе можно вычислить полный вклад
в диагональные элементы матриц окончательной системы урав-
нений при условии постоянства потенциала на каждом элементе,
как это делалось в гл. 3 и 4.
5.5. Осесимметричное течение
5.5.1. Общие сведения
Многие задачи об осесимметричных потенциальных течениях
удобнее формулировать в цилиндрической системе координат г, г,
как показано на рис. 5.5. Хотя они и мо-
гут быть решены с помощью описанных в
предыдущих параграфам алгоритмов, ис-
пользование цилиндрических координат,
как правило, оказывается более эффектив-
ным, так как соответствующий алгоритм
при этом сразу же становится двумерным.
Подобные задачи об осесимметричных
потенциальных течениях рассматривались
Джесуоном и Симмом [41, а также Лен-
ноном, Лью и Лиггеттом [51 в работах,
посвященных проблемам электростатики и
течения грунтовых вод соответственно.
Приведенный ниже алгоритм решения осе-
симметричных задач основывается на этих
работах.
5.5.2. Осесимметричные сингулярные решения
Фундаментальное сингулярное решение, обусловленное дейст-
вием в точке Q осесимметричного источника интенсивности е, можно
записать в виде (рис. 5.6)
p(P) = G(P, Q)e(Q), (5.17)
где функция G(P, Q) находится путем перехода в выражении (5.2)
к координатам г, в, z и интегрирования результата по 6 от 0 до 2л,
что дает
152 Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
G(P, Q) ~ [1/(2 к k)] fd0//а —&cos0 , (5.18)
о
где а = г2 + г* + (z — z0)2 и b = 2гг0. Интеграл в уравне-
нии (5.18) не может быть вычислен точно, так как относится
к классу эллиптических интегралов, а именно
G (Р, Q) = [ 1 /№) ] (2/ К (т), (5.19)
где /<(т) — полный эллиптический интеграл первого рода с моду-
лем tn и дополнительным модулем т2 — 1 — т2. Таким образом,
К (т) = J dO/ К1—/nsin20 ,
о
0<т<1,
т2= (г — ГО)2 + (Z — г0)2
1 (r + rB)2 + (z-Zp)*
(5.20)
Иметь дело с полным и нте-
гралом (5.20) весьма неудоб но,
поэтому обычно пользуюгс я его
подходящими конечно-по лино-
миальными аппроксимац иями
(см. Хастингс [6] и Харт с соав-
торами [7]). Джесуон и Си мм [4]
рассмотрели ряд возможны х ап-
проксимаций для разли чных
значений модуля т. Типи чное
представление для К (tn) может
быть записано в виде [8]
(tn) = '^[aimt1 + bitn\ In (l/mx)] + &(т), (5-21)
i=0
где при п = 4 остаточный член е(т) 2 • 10~8, a a t и b t — кон-
станты.
Из выражения (5.21) видно, что особенность при Р = Q ана-
логична получающейся в двумерной задаче (т. е. является слабой
логарифмической).
Нормальная «скорость» в направлении п в точке Р может быть
получена из выражения (5.19)':
u(P) = F(P, Q)e(Q), (5.22)
где F(P, Q) = —k[(dG/dr) пГ + (dG/dz) nz], a nr и nz— компонен-
ты вектора n в направлении осей гиг соответственно.
Используя тожцествэ Е(т) = mL[2,ndK(m)/dm 4- К(т)[, где
Е(т) — полный эллиптический интеграл второго рода, мы можем
представить F(P,Q) в виде [8}
5.5. Осесимметричное течение
153
р tp, Q) = Пг (m) AlgOL + nr(r — r0) + nz(z — z9) Е (5 23)
кг У а + Ь 2л (а—Ь) У a-j-b
причем здесь Е(т) можно заменить аппроксимирующим полиномом
Е (т) = 1 + V [сгт{ + d£mj In (1/mJ] + е (m), (5.24)
i=l
где 0 s£ m < 1 и при п = 4 остаточный член е (т) <; 2 • 10~8, а с£
и di — константы.
5.5.3. Непрямой и прямой варианты метода
Потенциал р(Р) в точке P(r, г), обусловленный действием рас-
пределенного по поверхности источника интенсивности <p(Q), мо-
жет быть найден (при пренебрежении для простоты наличием ка-
ких бы то ни было внутренних источников) путем преобразования
интеграла, отвечающего трехмерной задаче, к виду, учитывающему
осесимметричность последней:
Р (Р) = J r0G (Р, Q) <р (Q) dr0 dz9, (5.25)
s
тогда нормальная скорость дается выражением
и (Р) = J r0 F (Р, Q) <р (Q) dre dze. (5.26)
s
Если теперь мы совместим точку Р с точкой Р 0 на поверхности, то,
как и ранее, получим два основных интегральных уравнения для
решения граничной задачи:
Р (Л>) = J G (Ро, Q) <р (Q) dr0 dz0,
s
и (Ро) = ₽Ф (Ро) + [ r0F (Ро> Q) Ф (Q) dro dzo.
s
Дискретизация границы в случае осесимметричной задачи фак-
тически осуществляется точно так же, как и в двумерном случае.
Заменим, например, границу (г = г 0, z = z 0) ломаной, состоящей
из прямолинейных отрезков, а распределение ф вдоль каждого
отрезка будем считать линейным (рис. 5.7), т. е.
<P(Q) = N4>B, (5.28)
(фД
где N = [Л\, АЛ,], фп = | k = 1 — ls/L, = ls/L. Тогда по-
1Ф*)
верхностные интегралы обычным образом перейдут в конечные
суммы.
154
Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
Однако из-за сложной формы ядер их произведения на базисные
функции каждый раз необходимо интегрировать численно, ис-
пользуя квадратурные формулы. Во всех случаях это может быть
выполнено с помощью обычной квадратурной формулы; исключе-
ние составляют интегралы, дающие вклад в элементы главной диа-
гонали матриц окончательной системы уравнений. Интегралы,
содержащие функции G, имеют логарифмическую особенность и
могут быть вычислены точно по специальной гауссовской квадра-
турной формуле, описанной в приложении В; интегралы же, со-
держащие функцию F, должны вычисляться аналитически. Мы мо-
жем сделать это рассмотренным в разд. 5.4.4 методом (т. е. выделяя
сингулярную часть интеграла вместе с дополнительным разрывным
слагаемым). Функция F в этом частном случае может быть приве-
дена к более простому виду.
Граничное интегральное уравнение, отвечающее прямому ме-
тоду, можно записать в виде
Р (Q) = f г [Г (Р, Q) р (Р) — G (Р, Q) и (Р) ] dr dz, (5.29)
s
где Q(r0, z0) — внутренняя точка области.
Для точки на границе мы имеем
РР (0>) = J г [Р (Р, Qo) р (Р) - G (Р, Qo) и (Р)] dr dz. (5.30)
s
5.6. Примеры
155
В случае корректно поставленной задачи это уравнение после
выполненной описанным выше образом дискретизации и вычисле-
ния различных интегралов может быть использовано для получе-
ния численного решения.
5.6. Примеры
В силу присущего МГЭ преимущества перед другими числен-
ными методами решения задач, связанных с медленными режимами
течения [9, 10], в настоящее время уже имеется очень много пуб-
ликаций, посвященных вопросам обтекания корпуса корабля, само-
лета или воздушного винта и, конечно, многочисленным задачам
подземной гидродинамики [3, 5, 11—211.
Если тело медленно движется в жидкости малой вязкости, то
результирующее течение можно считать безвихревым, поскольку
завихренность в данном случае переносится с жидкостью так, как
если бы она была связана с частицами жидкости. Завихренность
«диффундирует» в жидкости, что математически выражается урав-
нением диффузии с «проводимостью», равной коэффициенту кине-
матической вязкости.
Поэтому, если тело движется в жидкости, находящейся в со-
стоянии покоя, то оно не создает завихренности, и идеализиро-
ванное течение может быть описано в рамках рассмотренной выше
теории потенциальных течений (9, 10].
Хесс и Смит [3] впервые применили этот метод к крупномас-
штабным практическим задачам. На рис. 5.8 показано типичное
соотношение между аналитическими результатами и полученными
МГЭ (с использованием плоских четырехугольных элементов при
постоянных значениях интенсивностей источников <р на каждом
из них) для скоростей в точках поверхности эллипсоида. Число
уравнений было уменьшено путем учета квадрантной симметрии
(а именно коэффициенты для элементов с одинаковыми значения-
ми ф заранее суммировались). Численные результаты, как видно,
превосходно согласуются с точным решением. Проводилось также
сравнение вычисленных и экспериментальных распределений дав-
ления иа двух дельтаобразных крыльях. Пример подобного срав-
нения приведен на рис. 5.9 и убедительно показывает пригодность
МГЭ для анализа реальных задач полета на малой скорости.
Первоначально решения, полученные с использованием НМГЭ,
были применимы только к задачам обтекания при отсутствии подъ-
емной силы. Хесс [ 151 обобщил эти результаты, создав приближен-
ную методику решения задачи обтекания с подъемной силой по-
средством введения (в дополнение к поверхностным источникам)
создающих подъемную силу вихревых полосок на обеих частях
границ (рис. 5.10) и в присоединенном вихревом следе. Им также
было учтено влияние пограничного слоя при помощи принадлежа-
щей Лайтхиллу [23] аппроксимации вытеснения пограничного слоя.
156
Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
Рис. 5.8. Сравнение полученных аналитически и вычисленных при помощи
МГЭ распределений скорости на поверхности эллипсоида с отношением осей
1 : 2‘: 1/2 в направлениях х, у, г.
допускающей в силу вязкости жидкости диффузию вихрей в область
прилегающего к телу тонкого пограничного слоя и их конвектив^
ный перенос в следе обтекающей поверхность жидкостью. Он по-
казал , что эта дополнительная завихренность может быть должным
образом распределена (с постоянной интенсивностью, получающей-
ся из условия циркуляции. Жуковского — Кутты) по отдельным
вихревым полоскам и что наличие вихревого следа, слабо влия-
ет на величины коэффициентов подъемной силы. Используя эту
модифицированную форму НМГЭ, он получил много полезных
решений для режимов обтекания самолетов при малых скоростях,
•один из примеров которых показан на рис. 5.11 и 5.12. Для вы-
числения коэффициентов подъемной силы крыла были использо-
ваны граничные элементы изображенного на рис. 5.11 вида; на
рис. 5.12 вычисленные величины сопоставлены с эксперименталь-
ными данными, полученными для угла атаки около 7° при числе
Маха 0.5 и числе Рейнольдса 6.25- 10е. Численные результаты были
5.6. Примеры
157
Рис. 5.9. Сравнение вычисленных и экспериментальных изобар на симмет-
ричном дельта образном крыле заостренной формы в плайе при отсутствии
подъемной силы.
Рнс. 5.10. Вид граничных элементов для приближенного численного решения
задач об обтекании при наличии подъемной силы.
получены с использованием восьми вихревых полосок на каждом
крыле и в общей сложности 391 граничного элемента на крыльях
и фюзеляже.
158
Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
Рис. 5.11. Обычное крыло, низко установленное на фюзеляже, а — общий
вид; б — профиль крыла.
0.5 г-
0.4 -
03 -
г
0.2 -
0.1 -
. о
0.471 ----Расчет без учета вязкости
0.384 ----Расчет с учетом вязкости и вытеснения вихрей
0.421 ® Экспериментальныеданные,Ке=Ь.25-К6
_1_
40
Полуразмах,%
_1_____________I____________1
60 80 «О
Рис. 5.12. Сравнение вычисленных и экспериментальных распределений ко-
эффициента подъемной силы по размаху обычного стреловидного крыла, низ-
ко установленного на фюзеляже под углом атаки 6.9".
Другие примеры применения МГЭ к задачам гидродинамики
могут быть найдены в [17—21] и гл. 13.
На рис. 5.13 показан типичный пример [16] полученного ПМГЭ
решения осесимметричной задачи о мгновенном увеличении напора
5.7. Заключительные замечания
159
L_J____I_____I______i_____I______i_____1______I______I
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Рис. 5.13. Распределение напора вокруг осесимметричной скважины.
при радиальном притоке к насосной скважине. Различие между
решениями, полученными МКЭ [24] и МГЭ, незначительно. По-
добные примеры описаны также Киппом [26, 27].
Сравнительно недавно Риццо и Шиппи [28] предложили вари-
ант МГЭ для осесимметричных задач с граничными условиями очень
общего вида.
5.7. Заключительные замечания
Рассмотренные выше примеры ясно показывают качество ре-
зультатов и диапазон применимости МГЭ к трехмерным задачам.
Хотя дискретизация поверхности тела проводилась с использова-
нием треугольных элементов, алгоритм остается совершенно не-
изменным при переходе к четырехугольным элементам, в некото-
рых случаях приводящим к более точным и эффективным реше-
ниям.
5.8. Литература
[1] Михлин С. Г.. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
г ci Уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.
12] Zienkiewicz О..С. The finite element method.—3rd ed. —London:
McGraw-Hill, 1978.
13] Hess J. L., Smith A. M. O. Calculations of nonlifting potential flow about
arbitrary three-dimensional bodies. —J. Ship Res., 1964, v. 8, No. 2,
p. 22-44.
14J Jaswon M. A., Symm G. T. Integral equation methods in potential theory
rni ,and e'sstostatics. — London: Academic Press, 1977.
loJ Lennon G. P., Liu P. L. F., Liggett J. A. Boundary integral equation
160 Гл. 5. Трехмерные стационарные задачи о течениях
solution to axisymmetrical potential flow: I, basic formulations. —Не-
опубликованная работа, Dept, of Civil and Environmental Engineering,
Cornell Univ., Ithaca, 1979.
[6] Hastings C. Approximations for digital computers. — Princeton Univ.
Press, 1955.
[7] Hart J. F. et al. Computer approximations. — New York: Wiley, 1968.
[8] Abramowitz M-, Stegun I. A- (Eds). Handbook of mathematical functions. —
New Uork: Dover, 1974. [Имеется перевод: Справочник по специаль-
ным функциям. Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. —М.: Наука,
1979.]
[9] Milne-Thomson L. М. Theoretical hydrodynamics. — 5th ed. — London,
Macmillan, 1976. [Имеется перевод изд. 1960 г.: Милн-Томсон Л. Теоре-
тическая гидродинамика. —• М.: Мир, 1964.]
[10] Lamb Н. Hydrodynamics.—Cambridge Univ. Press, 1932. [Имеется
перевод: Ламб Г. Гидродинамика. —М.—Л.: ГИТТЛ, 1947.]
[11] Hess J. L. Smith А. М. О. Calculations of potential flow about arbitrary
bodies. — In: Progress in aeronautical sciences. Vol. 8. — New York:
Pergamon Press, 1966, p. 1—138-
[12] Hess J. L. The problem of three-dimensional lifting potential flow and
its solution by means of surface singularity distributions. — Computer
Meth, in Appl. Meeh. Engng, 1974, v. 4, p. 283—319.
[13] Hess J. L. Improved solution for potential flow about arbitrary axisym-
metric bodies by the use of a higher order surface source method. — Com-
puter Meth, in Appl. Meeh. Engng, 1975, v. 5, p. 297—308.
[14] Hess J. L. Consistent velocity and potential expansions for higher order
surface singularity method. — Rep. No. MDC J6911, McDonnell Doug-
las Corporation, 1975.
[15] Hess J. L. A fully automated combined potential flow boundary layer
procedure for calculating viscous effects on lifts and pressure distribution
of arbitrary three-dimensional configuration. — Rep. No. MDC J7491,
McDonnell Douglas Corporation, 1977.
[16] Lennon G. P., Liu P. L. F., Liggett J. A. Boundary integral] equation
solution to axisymmetric potential flows: II, recharge and well problems
in porous media. —Неопубликов. работа, Cornell Univ., Ithaca, 1979.
[17) Luu T. S., Coulmy G., Corniglion J. Technique effets elementaries de
singularites dans la resolution des problems d’hydro et d’aerodynamique.—
Ass. Technq. Marit. et Aeronaut., Session 1969, Paris; Etude des ecou-
lements instationnaires autour des ambes passantes par une theorie non
lineaire. —Ass. Technq. Marit. et Aeronaut., Session 1971, Paris.
[18] Luu T. S., Coulmy G., Sagnard J. Calcul non lineaire de 1’ecoulement
a potential autour d’une aile d’envergure finie de forme arbitraire. — Ass.
Technq. Marit. et Aeronaut., Session 1971, Paris.
[19] Luu T. S., Coulmy G., Dulieu A. Calcul de 1’ecoulement transsonique au-
tour d’un profil eu admettant la loi de compressibilite exacte. — Ass.
Technq. Marit. et Aeronaut., Session 1972, Paris.
[20] Luu T. S., Coulmy G. Calcul de 1’ecoulement transsonique avec choc a
traverse une goille d’anbes. — Ass. Technq. Marit. et Aeronaut., Session
1975, Paris.
[21] Luu T. S., Dulieu A. Calcul de 1’helice fonctionnaut en arriere d’une
corps a symmetrie axiale. — Ass. Technq. Marit. et Aeronaut., Session
1977, Paris.
[22] Peckham D. H. Low speed wind-tunnel tests on a series of uncambered
slender pointed wings with sharp edges. — British R and M, No. 3186,
1961.
[23] Lighthill M. J. On displacement thickness. —J. Fluid Meeh., 1958,
part 4.
[24] Neuman S. P., Witherspoon P. A. Analysis of поп-steady flow with
a free surface using the finite element method. —Wat. Resour. Res., 1971,
v. 7, No. 3, p. 611—623.
5.8. Литература
16)
[25] Hall Н. Р. Ап investigation of steady flow toward a gravity well. —La
Houille Blanche, 1955, t. 10, No. 8.
[26] Kipp K. L. Unsteady flow to a partially penetrating, finite radius welt
into an unconfined aquifer. — Wat. Resour. Res., 1973, v. 9, No. 2,
p. 448—462.
[27] Kipp K. L. Unsteady flow to a partially penetrating finite-radius welt
in an unconfined aquifer. — Ph. D. thes. — Univ, of Washington, Seattle,.
1971.
[28] Rizzo F. J., Shippy D. J. A boundary integral approach to potential and
elasticity problems for axi-symmetric bodies with arbitrary boundary
conditions. — Неопубликованный доклад, Dept Engng Meehs, Univ.
of Kentucky, 1979.
Глава 6
ТРЕХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
6.1. Введение
Построение алгоритмов решения трехмерных задач теории
упругости проводится аналогично тому, как это было описано
в гл. 4 и 5 применительно к алгоритмам решения двумерных задач
теории упругости и трехмерных задач о потенциальном течении,
хотя ядра полученных интегральных уравнений будут, конечно,
иными.
Большие потенциальные возможности МГЭ при решении трех-
мерных задач уже использовались рядом исследователей, которые
анализировали напряженное состояние сложных трехмерных тел
при помощи НМГЭ и ПМГЭ [1—11]. В настоящее время применя-
ется ряд коммерческих вычислительных программ, основанных
на этих алгоритмах.
6.2. Сингулярные решения
6.2.1. Решение для сосредоточенной силы
в изотропной среде
е . Полученное Кельвином
| [12] решение для сосредо-
► точенной силы, действую-
ег щей в трехмерной одно-
родной изотропной упру-
гой среде, имеет вид
ui(x) = GiJ(x, В)е,(В), (6.1)
где ву(|) — единичные си-
лы, приложенные в точке
£ t и направленные по осям
декартовой системы коор-
динат Xi (рис. 6.1), причем
Рис. 6.1.
Е>=t[(3-4v)8i'+^]; (6-2)
6.2. Сингулярные решения 163
здесь р и V—модуль сдвига и коэффициент Пуассона среды соот-
ветственно и уг = х( — Q, г2 = ум.
Тензор деформации eiy определяется как
4j = Biih(x, Qeft(Q, (6-3>
где
E> = -i^T^^[<1-2’>(8“V+S»7L)-
«/»*.!, (6.4)
г f2 I
а соответствующие напряжения равны
««(*) = TUk(x, Qeh(Q,
(6.5>
где
Е> = Я(8"Т-+8»'7-8«т)<1 -2” +
3yjyjyk 1
"Г /• Г
Усилия на проходящей через точку х поверхности с внешней нор-
малью пг вычисляются обычным образом: /,(х) = ац(х)п ;(х) ,
откуда
tt(x) = Fu(x, Q«j(Q, (6.6)
где
Fh (х, Q ----------- ((1 — 2v) (nj — nt +
8~(1 — ч) г2 V \ Г r J
+ + (1 - 2*)<|«^Ц. (6.7)
L г r /
Уравнения (6.1) — (6.7) дают нам все компоненты сингуляр-
ного или фундаментального решения и их производные, что позво-
ляет в принципе решить любую трехмерную задачу теории упру-
гости для изотропного тела.
6.2.2. Решение для сосредоточенной силы
в анизотропной среде
Существует целый ряд формальных решений задачи о сосредо-
точенной силе, действующей в анизотропных телах, но замкнутое
аналитическое решение имеется только в случае трансверсально
изотропного тела [13—15]. Большинство других решений не под-
ходят для построения общего алгоритма, хотя и могут быть полезны
в частных случаях.
164 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
В общем случае анизотропного тела ядро функции смещений
Gij(x, |) можно представить [16] в виде
Си(х, £) = [l/(8^r)J (£ K~'(X)ds, (6.8)
1М = 1
где контурный интеграл вычисляется по окружности единичного
радиуса в плоскости, нормальной к г и проходящей через х. Функ-
ция КГ/1 имеет вид
Л^1(Х) = [С<ЛтХкХтГ1, (6.9)
где CiJhm — набор упругих постоянных.
Ядро в выражении для смещений можно вычислить или при
помощи разложения в ряд (6.8), или прямым численным методом
{17, 18], но обе эти процедуры неудовлетворительны для обычного
численного расчета. В [16] приведено эффективное и изящное вы-
числение контурного интеграла в (6.8). Для этого вводится функция
Ml](v1,v2)= (f K.V'Wds, (6.10)
IM=i
где vt и v2 задают ориентацию вектора г. Тогда уравнение (6.8)
можно записать в виде
Gi} (х, 6) = [ 1 /((№)] Mti (vv v2). (6.11)
Не зависящая от г (расстояния между точкой приложения нагруз-
ки и точкой поля) функция Mu(vit v2) не имеет особенностей при
совпадении точки приложения нагрузки и точки поля и является
непрерывно дифференцируемой.
Для нахождения деформации в точке х необходимо продиффе-
ренцировать функцию Оу:
Эбп 1 Ун 1 дМцдо
—^ =----------—MiS4----------. (6.12)
dxk 8л2г2 г 8r.2r dva dxk
где производные Mi} не имеют особенностей и производные па мож-
но вычислить в явном виде.
Используя (6.12), можно вычислить все требуемые компоненты
решения задачи о сосредоточенной силе, помня о том, что при вы-
числении Л4г/,а необходимо избегать численного дифференциро-
вания. Другие особенности этого решения можно найти в работе
Уилсона и Круза [16].
6.3. Основные интегральные представления
Выведенные в гл. 4 прямое и непрямое интегральные представ-
ления равным образом применяются для анализа трехмерного на-
пряженного состояния при условии, что используются соответст-
6.4. Объемные силы
165
вующие трехмерному случаю ядра G, F, Т и т. д., введенные в
2. Более того, как и в задаче о трехмерном потенциальном те-
чении, функция G удовлетворяет граничным условиям на беско-
нечности автоматически и поэтому не требуется введенный для
двумерного представления НМГЭ вектор С смещений тела как це-
лого.
Порядок особенности равен 1/г для функции G и 1/г2 для функ-
ций F, В и Т. Существование и интегрируемость подобных осо-
бенностей рассматривались в § 5.3.
6.4. Объемные силы
Наличие объемных сил произвольной природы требует схемы
интегрирования по всему объему тела. Однако в случаях, когда
объемные силы либо обусловливаются установившимся полем тем-
пературных градиентов, либо являются фильтрационными или
центробежными силами, интегралы по объему от объемных сил мож-
но свести к эквивалентным интегралам по поверхности. Следова-
тельно, задача снова сводится лишь к интегрированию по границе.
6.4.1. Температурные деформации
или фильтрационные градиенты
Во многих случаях необходимо проводить трехмерный анализ
напряженного состояния тел с некоторым распределением темпе-
ратуры или гидравлического потенциала, который удовлетворяет
следующему уравнению установившегося потенциального течения:
d^pldxi дх{ = — q, (6.13)
где q либо равно нулю, либо постоянно по всей области. Полные
напряжения в этом случае имеют вид [19—21]
= —(6-14)
где а'7 = [2р/(1 —2v)J ^цдит!дхт + р(дщ!дх}-{-ди}!дх^, ар
и v — снова модуль сдвига и коэффициент Пуассона тела
(в случае пористого тела эти постоянные имеют тот же смысл для
скелета, а <з'ц соответствует тензору эффективных напряжений),
У = —1 для задачи фильтрации и -у = аЕ/(1 — 2v) в задачах о
распределении температурных напряжений, где а — коэффициент
теплового расширения и Е — модуль Юнга.
Полное поверхностное усилие записывается в виде
/. = а.р. = а'.. п} — чръ = /; — Трп,., (6.15)
а условия равновесия — в виде
д а1}! дх} = da'.jl дх} — ~[dpldxi = 0. (6.16)
166
Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
Теперь эти уравнения можно использовать для получения прямого
и непрямого интегральных представлений при решении краевой
задачи. Если заметить теперь, что второй член в (6.16) соответст-
вует эквивалентной объемной силе, то прямое интегральное пред-
ставление для смещений в любой внутренней точке можно записать
в виде
«;(*) = Q-ЛДх, t)ut(X)]dS-
-[7[ф(х)/дхг]Ог/(х, l)dv, (6.17)
V
где (х) = о'у (х) п} (х) = ti + ipnt. Используя теорему Гаусса —
Остроградского, объемный интеграл в (6.17) можно переписать
следующим образом:
— f Т Сц (х, Е) dv = — [трпг (х) Gw (х, Е) dS +
J dxt J
V s
+ \ip(x)^^-dv. (6.18)
J dxt
S
Подставляя (6.18) в (6.17) и используя (6.15) для исключения t;
(видоизмененного усилия), получаем
(В) = f ft (*) Gu (x, E) - Fi} (x, 5) щ (x)] dS +
+ [ TP W -- dv. (6.19)
J dxt
Для аналогичной задачи о температурных напряжениях подста-
новка ядра функции смещений Gy из (6.2) позволяет переписать
объемный интеграл так:
f dGy(x, Е) a(l-H) fd 1
J J ~₽ (x>dv- ()
где г — расстояние между точками хи?.
Для того чтобы преобразовать объемный интеграл в (6.19) и
(6.20), отметим следующее свойство трехмерного оператора Лапла-
са [22]:
V’r = 2/r. (6.21)
Используя (6.13) с q = 0 и (6.21), можно переписать (6.20) в виде
[22]
6.4. Объемные силы
167
(/-— Р(№ = ±Цу'^р(х)-£-у*р(х) Ido. (6.22)
J дх, г 2 J дх, дх,
v v J
Теорема Гаусса — Остроградского, примененная к правой части
(6.22), приводит к равенству
С A ±p(x)dv = — f f— —— —V(x) _Л ds,
\ дх, г ' 2 J г I 3 дх, дп Г дх, дп
v ' S \
и поэтому (6.19) сводится к выражению
«/(В) = |кг(х)Со(х, e)-Fo(x, 5)ui(x)JdS +
s
«(! + *) 1
8я (1—v) J I г
S 1
. , дг дг
П.Х---------
3 3 дх.дп
Р{х)
dr dp^}\dSj '^23)
в котором все объемные интегралы преобразованы к эквивалент-
ным интегралам по границе.
После этого (6.23) обычным способом переписывается для точки
£ на границе. Для решения этого уравнения надо знать на границе
потенциал р(х) и его нормальную производную др(х)1дп, которые
могут быть получены из предыдущего решения основной задачи
о потенциальном течении, рассмотренной в гл. 5. Эти замечания
относятся также к случаю пористого тела, и различными будут
только константы, стоящие перед вторым поверхностным инте-
гралом в (6.23).
Ясно, что производные поля смещений, задаваемого уравнением
(6.23), при подстановке в (6.14) приведут к напряжениям oi} [22,
23):
G) = а'у (£) - Р (6) = J [DM (х, Е) th (х) - Skij (х,$) Wft(x)] dS +
s
+ f J ^1(х, l)p(x)-V„(x, dS —&,р(1), (6.24)
где
1 (1 ~~2v) —»yr.h) + ^,ir,yr,ft
ra, 4raz0(l—\)
Shti=~2v) 8u r,k+v (8ift r,i+8л +
+ (nt r,j r,h + nj rH r,h) + (1 — 2v) (₽nft rti rtJ + n} 8ift 4- n,8A) —
— (1 —4v)nk8Ml/ [4rax0(l — v)J.
168 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
Для рассматриваемого здесь трехмерного случая а0=2, р=3 и ф=5г
тогда как в двумерном случае, рассмотренном в гл. 4, а0=1, р=2
и ф=4. Для трехмерного случая
с* аЕ 1 1 й дг , / , „ дг\1
S" = ~ +(’>l'.1 + nIr„-3r„r,, -)],
V‘,=------—-------- (——
J 8х(1— ч) г ^1— 2» 11 1 7
В этих уравнениях дифференцирование проводится по переменной
Е, а нормаль вычисляется в точке х.
Используя эквивалентность прямого и непрямого представле-
ний МГЭ, рассмотренную в разд. 3.6, получим из (6.19) эквивалент-
ный интеграл смещений для непрямого представления
- (х) = J Gi} (х, О <р, 0) dS 4- [ т р (Q [dGi} (X, E)/ft,J dv, (6.25)
s V
где объемный интеграл можно преобразовать к поверхностному
указанным выше способом. Отсюда находим
M*) = fGo-(x, E)<P;(E)dS +
s
+ ° (1+7 f (J_ Г __ дг_ dr_ 1 ф _ дг_ dS (6 26>
Ml-7 J I' L йСуЗп ' dij dn ) ' '
Подставляя выражения (6.26) в соотношения между деформация-
ми и смещениями и используя зависимость между напряжениями
и деформациями, получаем «псевдонапряжения»
a'.(x) = ^Tijh(x, V<f>k(l)dS+$[S’tj(x, Е)р(Е)-
S s
— Vii(x, Е) др (1)/дп] dS, (6.27)
где S'tl(x, g) и Vij(x, E) совпадают с определенными рыше Sif
и V*h за исключением того, что дифференцирование проводится
по х, а нормаль вычисляется в точке £.
Полное усилие h(x) на проходящей через точку х поверхности
с внешней нормалью п(х) дается выражением
Л- (х) = а и (х) п}(х) = а'ц (х) (х) — (х) н,- (х),
или
tt (х) = f Fi} (X, В) ф,- (^) dS + f [S'. (х, Е) nj (х) р (Е) -
S S 1
—V'..(x,' I) tij (х) др (l)ldn\dS~-ip (х) tit (х).
(6.28)
6.4. Объемные силы
169
Устремляя в (6.26) и (6.28) х к точке границы х0, как показано
в гл. 4, можно получить два граничных интегральных уравнения,
позволяющих при помощи непрямого МГЭ найти решение любой
корректно поставленной краевой задачи.
6.4.2. Механические объемные силы
Риццо и Шиппи [7, 8, 24) рассмотрели случай объемных сил,
являющихся градиентами скалярного потенциала, и разработали
представление ПМГЭ, учитывающее комбинированное действие
температурного поля и механических объемных сил.
Если температурное поле удовлетворяет уравнению
dfip (x)/dx£ dxt = 0 (6.29)
и механические объемные силы можно задать в виде
ф; (х) = df (x)/dxit d2f (x)/dXi dxt = q, (6.30)
где q постоянно по всей области, то при решении (6.29) и (6.30) для
значений (р, др/дп) и (f, df/dri), заданных на поверхности, можно ис-
пользовать любой из двух вариантов МГЭ. Вывод НМГЭ следует
выводу, рассмотренному в предыдущем разделе и в гл. 4, причем
на этот раз смещения в любой внутренней точке задаются выра-
жением [8]
ui G) = j {I f. (х) — f (х) nt (х)] Gy (х, £) — щ (х) Fи (х, Е)} dS +
s
+ J{If (х) + тР (х)]Дй/ (x, l)/dXj —
s
— (d[f (x) + TP (x) ]/dn) dw (x, tydXj ) dS + q fa (x) w (x, 5) dS, (6.31)
s
которое (отметим еще раз) содержит только поверхностные ин-
тегралы.
Для двумерных задач (плоская деформация)
w = — {(1 — 2v) (1 + v)/[8ttE (1 — v)J} г® (In г — 1), w' = dw/dn,
а для трех измерений
w = ((1 —2v) (1 4- v)/[8kE(1 — v)]} r, w' = dwldn.
Для решения любой корректно поставленной задачи уравнение
(6.31), как и выше, рассматривается для точки границы £0-
170 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
6.5. Начальные напряжения и начальные деформации
Начальные напряжения и начальные деформации появляются
в теле благодаря целому ряду эффектов. Например, давление жид-
кости в пористом упругом теле может рассматриваться как началь-
ное напряжение, а недостатки подгонки изделий, температурные
деформации, ползучесть и т. д. — как источники начальных де-
формаций. Понятие начального напряжения (Eigenspannungen)
было впервые введено Рейснером [251.
Если начальные деформации или начальные напряжения а°;-
известны, то истинные напряжения можно представить в виде
aij — ^likl (Kkl — )» или °ij = Dijkl еы — • (6.32 а, б)
Уравнения (6.32) очень похожи на уравнения (6.14), и поэтому
для получения представлений ПМГЭ и НМГЭ можно применять
развитую в разд. 6.4.1 технику [см. (6.14) — (6.19)]. Однако по-
учительно познакомиться с альтернативным подходом [26, 27],
использующим принцип виртуальной работы.
Известно [21], что поле смещений uit соответствующее произ-
вольной задаче, можно представить в виде
Щ = Ut -)- tit, (6.33)
где ut — решение однородных дифференциальных уравнений (без
объемных сгл или начальных градиентов напряжений и т. д.),
удовлетворяющее граничным условиям, а и{ — частное решение
неоднородных дифференциальных уравнений (т. е. уравнений с
объемными силами и градиентами начальных напряжений).
По аналогии со стандартным методом решения неоднородных
дифференциальных уравнений можно рассматривать u't как до-
полнительную функцию, а и{ — как частный интеграл; следо-
вательно,
tf) = f ft (X)Gti (х, 5) -FtJ(x, a) ut (x)] dS. (6.34)
s
Чтобы получить частный интеграл, рассмотрим уравнение для вир-
туальной работы
f t* (х) и\ (х) dS-ь J f* (х) и’ (х) dS= f а* (х) е° (х) dv, (6.35)
s s v г
где /Дх), /Дх) и о£/(х) соответствуют виртуальному состоянию,
не связанному с истинным состоянием uj(x) и е°/(х).
Если в качестве системы, отмеченной звездочкой, выбрать со-
стояние, вызываемое сосредоточенной силой, приложенной в не-
которой точке безграничной упругой среды, а в качестве иДх),
6.5. Начальные напряжения и начальные деформации
171
£°j(x) — истинные смещения и начальные деформации, то (6.35)
приводит к
= \TiJh(X, ^^ (X)dv, (б.зб)
где тензор TiJk(x, £) соответствует напряжениям сг’Дх), обус-
ловленным единичной сосредоточенной силой ек(£) [уравнение
(6.5)1- Соотношение (6.36) фактически представляет собой обобщен-
ный вариант известного выражения Майзеля [28, 29] для смещений,
вызываемых установившимся температурным полем, в котором
начальная деформация равна просто = 6г-/хр, где а — коэф-
фициент теплового расширения (заметим, что условия плоского
напряженного состояния сводятся к использованию модифициро-
ванного а) и р — температурное поле. Читатель может проверить,
что в задаче о температурных деформациях правые части (6.20)
и (6.36) тождественны.
Используя соотношения
f < (X) $(х) dv = e*z (х) е« (х) dv = J е (х) (х) dv,
V V V
можно переписать (6.36) в эквивалентном виде
fw* D^dv, (6.37)
k
где тензор BiJk(x, £) соответствует деформациям е’Дх), обус-
ловленным единичной сосредоточенной силой ек(%) [уравнение
(6.3)].
Соотношения (6.36) и (6.37) дают частные интегралы, которые
требуются в задачах с начальными деформациями или начальными
напряжениями соответственно. Поэтому в случае известных началь-
ных напряжений смещения в любой внутренней точке £ вычисля-
ются по формуле
Ms) = «) — Fu(x> £) Ui(x)]dS +
s
+ \BihJ(x, l)a^(x)dv. (6.38)'
v
Граничные уравнения могут быть получены из (6.38) обычным спо-
собом.
Соответствующее непрямое представление для смещений имеет
вид
ц(х)= [сг7(х, g)<P;(B)dS+f ВЛ1(Е, x)^)dv, (6.39)
s V
172 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
а истинные напряжения равны
°mn (х) = (х) — а°тп (х) = [ Tmnh (х, 0 фй (I) dS+
S
+ f L}hmn & X) (?) dv - <£„(x), (6.40)
V
где
Lihmn (B, x) = - W *mn f Bjhi (|, x) dv +
1 — 2v dx[ J
v
+ H /- f Bjhm (£, x) d v + и ~ f Bjhn (E, X) dv. (6.41)
vXn J UXm J
V V
Причина вынесения производной за знак интеграла становится
ясной, если посмотреть на функцию Bjhi из (6.39). Порядок особен-
ностей в функции Bjhi равен 1/г для двумерных задач и 1/г2 для
трехмерных, поэтому объемный интеграл существует в обычном
смысле. Однако если дифференцировать под знаком интеграла
(что допускается, так как интегрирование проводится по £), то
возникающие при совпадении х и | особенности будут порядка
1/г2 и I//*3 в дву- и трехмерном случаях соответственно и при этом
объемный интеграл в формуле (6.40) теряет смысл. Поэтому, как
показано в гл. 3, необходимо аналитически интегрировать (6.41)
при х = £ и затем вычислять производные. Это не является харак-
терной особенностью непрямого представления, так как при вы-
числении внутренних напряжений, основанном на (6.40), возни-
кали бы такие же трудности. Их можно преодолеть при помощи
вычисления вкладов в поле смещений, даваемых объемными инте-
гралами (6.39) и (6.40), и использования конечно-разностной ап-
проксимации уравнения (6.41) вблизи особенности.
Поверхностные усилия /г(х) на проходящей через точку х по-
верхности с внешней нормалью п,(х) вычисляются с учетом (6.40)
по формуле
Л- (X) = [ Л , (X, Е) Ф,- (Е) dS + f Мм (Е, X) (Й dv -
S V
— ^(х)Пу(х),
где
^jhi = Ljhtmfa х)птМ- (642)
Уравнения (6.39) и (6.42) снова можно записать для точки границы
х0 и использовать при решении граничной задачи.
6.6. Дискретизация
173
6.6. Дискретизация
6.6.1. Общие положения
Мы можем разделить поверхность тела на плоские треугольные
элементы, построить локальную систему координат, как описано
в гл. 5 (разд. 5.4.1), и предположить, что на каждом элементе пара-
метры и it ti и <р t меняются линейно. Поэтому основной алгоритм
идентичен рассмотренному в гл. 5 алгоритму решения трехмерной
задачи о потенциальном течении. Для простоты будем предпола-
гать, что объемные силы, начальные напряжения и т. п. отсутст-
вуют.
6.6.2. Линейные базисные функции
Если предположить, что на ty-м (например) граничном элементе
неизвестные фиктивные интенсивности меняются линейно, то имеем
[30]
<р(|) = №(Е)<рп, (6.43)
гдеф(^) — трехмерный вектор фиктивных усилий в произвольной
точке внутри элемента, имеющий компоненты ®г(|) по осям xt:
Ч’(^)=[<Р1(5). «Ъ®. Ф8(0Ь
N7 (Е) — матрица размером 3x9:
0 0 Л'2 0 0 Нз 0 о-
0 0 0 ^2 0 0 0
_0 0 Л/1 0 0 0 0 Л^З_
а <рп—девятимерный вектор-столбец узловых значений ср. Тогда
дискретизованные формы соответствующих граничных интегралов
можно получить рассмотренным в гл. 4 способом.
6.6.3. Вычисление некоторых интегралов
Схемы интегрирования функций, не обладающих особенностями
и обладающих ими, будут идентичны схемам, рассмотренным в
предыдущих главах. В случае когда подынтегральные выражения
остаются конечными на всем интервале интегрирования, приме-
няются формулы численного интегрирования. Сингулярный слу-
чай, когда точка поля совпадает с узлом, в котором базисная функ-
ция стремится к единице, следует выделить особо; в этом случае
интегрирование должно проводиться аналитически (см. разд. 4.4.2
и 5.4.4).
(а) Вычисление [бн(х0, £) dS® или 1сг,(х, g0)dS(x). Вве-
дя дя
174
Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
Рис. 6.2.
дем локальную систему коорди-
нат (рис. 6.2): оси Zi и z2 в плос-
кости элемента и ось г3 по на-
правлению нормали в рассмат-
риваемом узле [5]; тогда
tjtlr — drldxi = sin 6 dz-Jdxi 4-
+ cos 6 dzjdxi — sin 6e1£ 4-
+ cos 6e2£,
где еи и e2j —соответственно
направляющие косинусы осей Zj
и z2 в глобальной системе коор-
динат.
Перепишем интеграл в виде
е^г(в)
f Gi}(x, |)dS(x)= [ С Л(1/г)[8у(3-4*) + ^/г]г4г48-
AS — 0f 0
6,
= Ar (6) [8£j (3 — 4v) 4- (sin 6elt 4- cos 6e2i)(sin 6ew + cos 6e2;)]d6,
где Л = 1/[16яр(1—v)] и r(6) = D/cos6. Поэтому
J G0-(x, ®dS(x)= f GtJ(x, t)dS(V=
AS AS
= DA [8O (3 — 4v)ln(tg6 4- sec 6) 4- О-ц {In (tg 6 4- sec 6) — sin 6) 4-
4- btj cos 6 4- ci3 sin 9 , (6.44)
где fljj = вц 6jjt bij = (s2£ Cj j 4" Сц c^j — e2£ e2y.
(б) Вычисление j Fij(x, E)dS(g) или J Рц(х, QdS(x). Здесь
AS AS
мы в точности следуем методу вычисления этих интегралов, пред-
ложенному Крузом [5]. Для плоского элемента yhnk = 0; поэтому
функция Fij(X, Е) сводится к
Гг/(х, 0 = 5(1/г®)[п^г/г-пг^/г], B = -(1-2v)/[8k(1-v)J.
Используя тождества
д 1 1 / дг дг \
еШегвй«г —-------= -г «у -------—th =
dxs г г* dxi dxj J
6.6. Дискретизация
175
где eiJk— перестановочный тензор (тензор Леви-Чивиты, см. при-
ложение А):
О, когда I = /, или / = k, или k = i,
1, когда i, j и k образуют циклическую подстановку,
— 1, когда I, j и k образуют антициклическую подста-
новку,
мы можем записать интеграл J Fu (х, g) dS (х) в виде
ДЗ
f t)dS(x) =Beijk $ ersknr[d(l/r)/dxs]dS(x).
AS AS
Используя теорему Стокса, преобразуем этот интеграл в контур-
ный:
AF,7 = BeUft^(l/r)dxft. (6.45)
Вводя вдоль стороны rs локальные переменные dxh = ё1к dzx -|-
+ e2ft dzv имеем
Af a = B4jh elk [In (z± + r)]’. (6.46)
Окончательный результат получается такой переориентацией
локальной системы координат, что zt-поочередно совпадает со
сторонами st и tr треугольника. Эти результаты затем выражаются
через координаты точки поля и координаты узлов. Ясно, что (6.46)
можно использовать для аналогичного вычисления интеграла в
случае плоского четырехугольного элемента.
Так как нормаль п не меняет направления на нашем плоском
элементе (т. е. не существенно, берется ли нормаль в точке прило-
жения нагрузки или в точке поля) и dr/dxt = —дг/д£г, легко пока-
зать, что для этого локального элемента
f Fo(x, i)ds(x) = - f Fo(x, g)dS(e).
AS AS
Поэтому в НМГЭ можно использовать тот же результат для эле-
мента, изменив знак.
Если в (6.46) точка поля берется внутри области, то разрывные
члены, возникающие из-за рассмотрения этого интеграла как не-
собственного, получаются автоматически.
Читатель должен отметить, что интегралы в (5.14) и (6.45) по-
добны.
176 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
<>.7. Анализ осесимметричного напряженного состояния
Во многих практических случаях, включающих исследование
упругих напряжений трехмерных тел, геометрия и система нагру-
жения таковы, что могут быть разумно аппроксимированы трех-
q концентрических колец
2
3
&
Рис. 6.3. Свая под действием аксиальной нагрузки.
мерной осесимметричной системой. Конечно, существует много
действительно осесимметричных задач, подобных, например, пред-
ставленной на рис. 6.3. В этой задаче рассматривается погружен-
ная в упругий грунт аксиально нагруженная свая, диаметр осно-
вания которой больше диаметра основной цилиндрической части.
Граница разбивается на ряд кольцевых элементов, показанных на
рисунке. Использование осевой симметрии приводит поэтому к
существенному уменьшению затрат труда на аналитическое реше-
ние задачи по сравнению с обычным трехмерным анализом. Авторы
исследовали подобные задачи при помощи НМГЭ 131] почтидесять
лет назад. Керманидис опубликовал [32, 33] общее непрямое пред-
ставление для осесимметричных задач, тогда как Круз, Сноу и
Уилсон [34] при помощи ПМГЭ провели анализ совершенно общего
случая, включающего температурные и центробежные нагрузки.
6.7. Осесимметричное напряженное состояние
177
6.7.1- Фундаментальные решения
Необходимые для дальнейшего анализа фундаментальные син-
гулярные решения могут быть получены преобразованием решения,
соответствующего общему трехмерному случаю, рассмотренному
в § 6.2, к цилиндрической системе координат (см. разд. 5.5.2) и
Рис. 6.4.
интегрированием различных функций вдоль кольца, как показано
на рис. 6.4. Этот подход был использован некоторыми исследова-
телями [31, 33].
С другой стороны, Круз, Сноу и Уилсон [34] использовали век-
торное представление Галёркина сосредоточенной силы в цилин-
дрической системе координат. Для сохранения связи с осесиммет-
ричными анализом гл. 5 мы будем использовать первый подход
(т. е. прямое интегрирование решения задачи о сосредоточенной
силе в трехмерном случае из § 6.2).
Поле смещений, обусловленное радиальным кольцевым нагру-
жением интенсивности 2пгоег, можно получить из (6.1) в виде [33]
«г
ег
4п(Х (1 — м)
[4(1-)(^ m) -
3'5~4v р>_____ei~zl___\е(ъ!2, m)
2г 4г£3(1—m2)J
er z
uz = —------------
4n(x[l —v)
(e2 + z2) £ (r./2, tn)
2£3(1—m2)
Kfr/2, m)
2R
(6.47a)
(6.476)
соответствующее поле, обусловленное аксиальным кольцевым наг-
ружением интенсивности 2irr0e2, дается выражением
ег r0 z
4л(Х (1 — м)
—— Е (ir/2, т) + Л(я/2,т)1 ’
2г£3(1—m2) ' 2rR J
(6.47в)
7—356
178 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
uz =-----------[3_11К (я/2, т) + г2Е(я/2' /») 1. (6.47г)
4it(x (1 — v) L R /?3 (1—m2) J
Здесь р2 = г2 + Го, е2 = г2 — /о, R = (г + ro)2 + z2 и г =
= z — z0, а К и Е — полные эллиптические интегралы первого
и второго рода соответственно с модулем m = 1/4/То^2, О < /и2 <
< 1, и дополнительным модулем /щ = ]Л1 — /и2. Как было упомя-
нуто в гл. 5, такие интегралы можно аппроксимировать полино-
мами. Мы можем переписать систему (6.47) в матричной форме:
«г
’ Grr Grz
. Gzr Gzz
e.
или u = Ge,
(6.48)
Cz
Частные производные эллиптических интегралов, необходимые
для вычисления деформаций, напряжений и усилий, представля-
ются в виде
дЕ!да = (Е — К)/(2а), дК/да = El[2a (1 — а)] — К7(2а), (6.49)
где а = /и2. Используя (6.48) и (6.49), можно вычислить дефор-
мации:
*г " dGrr!dr dGrz/dr
ев Grr/r Grz/r
$z = dGJdz dGzJdz | Gr I, или e = Be, (6.50) И J
trz d@rr । dGzr _ dz dr dGrz . dGzz dz dr _
а из соотношений между напряжениями и деформациями найти
напряжения:
или а = De,
(6.51)
Усилия на проходящей через точку (г, z) поверхности с внешней
нормалью п (компоненты пГ и п2 направлены по осям гиг) вычис-
ляются по формулам [34]
6.7. Осесимметричное напряженное состояние
179
где
Frr Frz
Fzr Fzz
ег
ег
или t = Fe,
(6.52)
z
Г. О (I dGrr 1 j/^rr I dGzi
Frr = 2P c-^ + dl-^ +
(L dr \ r dz
Grr , dG„
. r dr
+ т (dGrr
( dz
+-I (dGrr
' 2 1 dz
'dGrz
+ 2 1 ; dz
+т (&Grz
\ dz
Лг=2(Х С
F„ = 2p[[C^ + d
U.
F„ = 2p [k^ + d
IL
с = (1 — v)/(l —2v), d = v/(l —2v).
Уравнения (6.48) — (6.52) дают нам все необходимые компоненты
сингулярного фундаментального решения.
6.7.2. Прямое и непрямое представления
И прямое, и непрямое представления МГЭ следуют из решения
о сосредоточенной силе. Например, непрямое представление во
внутренней точке Р можно переписать в виде [заметим, что теперь
(г, г) —координаты точки Р, а (г 0, z0) — координаты точки Q]
U (Р) = J G (Р, Q) <р (Q) dr0 dz0,
s
t(P) = $F(P, Q)4>(Q)dr0dz0,
s
(6.53)
(6.54)
где <p (Q) = {<pr, <p2] и нормаль для F вычисляется в точке Р.
Аналогично непрямое представление во внутренней точке Q (r0, г0)
принимает вид
u (Q) = J [ FT(P, Q) u (Р) - Gr( Р, Q) t (Р)] drdz, (6.55)
з
где Fr и Gr — транспонированные матрицы F и G.
Мы можем снова использовать (6.53) и (6.54) или (6.55) для
построения численного алгоритма решения краевой задачи, уст-
ремляя к границе точку поля Р в (6.53) и (6.54) или точку Q в
(6.55). Вывод этого алгоритма в основном совпадает с выводом,
предложенным в разд. 5.5.3 и работах [31, 34].
7*
180 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
-------------i------------------- .а ------ -
6.7.3. Объемные силы
Во многих прикладных задачах механики требуется исследо-
вать трехмерное осесимметричное напряженное состояние с учетом
стационарных температурных и центробежных сил; подобные за-
дачи возникают в разных областях техники. Простейший подход
вновь' заключается в преобразовании интегралов, выведенных в
§ 6.4, к их эквивалентной осесимметричной форме по указанной
выше схеме. (Соответствующий осесимметричный анализ при помо-
щи векторного представления Галёркина можно найти в 134].)
6.8. Примеры
Удобства, присущие МГЭ при исследовании трехмерного напря-
женного состояния в инженерных задачах, привели к появлению
обширной литературы, демонстрирующей полезность этого метода
в обычном анализе. Для громоздких тел это, по-видимому, единст-
венный в настоящее время надежный метод, позволяющий получать
подробные результаты за разумную плату. Кроме того, МГЭ дает
возможность пользоваться теорией сингулярных решений, пред-
ставлений граничной геометрии, анизотропии и т. д. перед выпол-
нением численных расчетов. В этом параграфе представлены не-
сколько решенных задач и дана оценка точности полученных ре-
зультатов.
(а) Задача о нагруженном кубе 1111. Дискретизация границы
и приложенные нагрузки показаны на рис. 6.5. В задаче 1 смеще-
ния их линейно изменяются в конце консоли (рис. 6.5,в).
На рис. 6.6, а изображено напряжение ах в различных местах,
включая внутренние и граничные точки; видно, что рассчитанные
изгибающие напряжения находятся в прекрасном соответствии
с точным решением. На рис. 6.6, б показаны распределения изги-
бающих и сдвиговых напряжений вдоль вертикальной линии, про-
ходящей через центр образца от его середины, для задач 2 и 3. Для
сравнения приведены результаты трехмерного анализа, использую-
щего предположение о равномерном распределении усилий и смеще-
ний в задаче 3. Ясно, что в этой задаче результаты трехмерного
анализа весьма неудовлетворительны и что для тел с преобладанием
изгибающих напряжений на границе необходимо рассматривать
функции, меняющиеся вдоль границы по меньшей мере линейно.
(б) Трехмерная задача о выработке (101. Для непосредственного
сравнения метода конечных элементов и МГЭ при анализе трехмер-
ного напряженного состояния была выбрана структура типа выра-
ботки с крепью для поддержания кровли в угольной шахте. Гео-
метрия этой задачи, дискретизация с помощью конечных элемен-
тов и две системы граничных ячеек показаны на рис. 6.7. На
рис. 6.7, а изображена часть структуры (плоскости ху и хг явля-
ются плоскостями симметрии); на поверхностях 1, 2 и 3 нормаль-
Рис. 6.5. а — геометрия тестовой задачи; б — граничные сегменты в тестовой
задаче; в — граничные условия для тестовой задачи в балочном приближении.
в
Рис. 6.6. а — изгибающие напряжения — задача 1; б — изгибающие и сдви-
говые напряжения — задачи 2 и 3.
182
Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
Рис. 6.7. а —форма выработки; б — моделирование выработки при помощи
МКЭ; в — моделирование выработки при помощи МГЭ-001; г— моделирование
выработки при помощи МГЭ-003.
ные и сдвиговые смещения равны нулю, к поверхности 4 приложена
нормальная нагрузка.
Круз 1101 использовал кусочно-постоянную аппроксимацию
Ut и tt для решения этой задачи и выяснения следующих вопро-
сов:
1) Дают ли МКЭ и МГЭ сравнимые значения для внутренних
напряжений?
2) Каковы относительные размерности задачи и время счета
в обоих методах?
3) Как в этих двух методах решается задача о концентрации
напряжений в месте соединения выработки и крепи?
В анализе при помощи МКЭ использовались модифицирован-
ные гексаэдры Айронса — Зенкевича (Irons — Zienkiewicz hexa-
hedra). Было показано, что во всех внутренних точках напряже-
ния, полученные при помощи МКЭ, отличаются на 10—15% от
напряжений, полученных при помощи МГЭ-001 (рис. 6.7, в) и на
5% при использовании МГЭ-003 (рис. 6.7, г).
6.8. Примеры
183
Рис. 6.8. Напряжения вблиаи места соединения кровли й крепи.
В табл. 6.1 суммируются численные результаты, использую-
щие раннюю версию программы МГЭ, разработанную Крузом. На
рис. 6.8 изображены вычисленные при помощи МГЭ напряжения
Таблица 6.1
Результаты МКЭ и МГЭ в трехмерной задаче о выработке
МКЭ МГЭ-001 МГЭ-003
Размерность задачи Время работы цент- рального процессор- ного устройства!) Ширина ленты матрицы 92 Число степеней свободы 274 Число коэффици- ентов масси- ва 24 208 Полное 50 с Число граничных сегментов 16 48 2304 Решение на гра- нице 34 с Решение в каждой внутренней точ- ке 7 с Число граничных сегментов 44 132 19044 Решение на гра- нице 315 с Решение в каждой внутренней точ- ке 19 с
’) Время указано для CDC 6400.
184
Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
вблизи места соединения кровли и крепи. Дискретизация конеч-
ными элементами слишком груба, чтобы дать детальное описание
напряжений; ясно, что результаты, полученные при помощи МКЭ,
не применимы и требуется гораздо более точная дискретизация в
углах, которая в свою очередь приводит к увеличению времени
счета. Поэтому полное сравнение не так точно, как того можно
было бы желать.
(в) Трехмерный анализ напряженного состояния группы погру-
женных в грунт свай [351. На рис. 6.9, а изображена группа свай
3x3, погруженных в многослойный грунт, а на рис. 6.9, б —
принятая схема дискретизации. Среднее вертикальное напряже-
ние по сечению свай показано на рис. 6.10, где отчетливо видно,
чтоуцентральная свая несет наименьшую нагрузку, а четыре уг-
ловые сваи — почти половину нагрузки и что доля нагрузки, при-
ходящаяся непосредственно на верхнюю плиту, незначительна.
Ер/Е5=ЮОО, рр =0.15.vs= 0.5
d=l<pym
Es=3000 фунт/дюйм2
Рис. 6.9. Геометрия и способ дискретизации задачи о группе свай.
6.8. Примеры
185
Рис. 6.10. Распределение вертикальных напряжений в сваях.
Рис. 6.11 объединяет результаты, полученные при помощи трех-
мерного анализа смещений под нагрузкой для погруженной в изо-
тропный упругий грунт группы жестких свай как с жесткой верх-
ней плитой, так и без плиты. (Относительная осадка определяется1
как отношение осадки группы N свай к осадке одной сваи при ус-
ловии, что все сваи несут одинаковые средние нагрузки.)
Эту задачу решили при помощи НМГЭ Бенерджи и Баттерфилд
[36], использовавшие для получения ядер решение Миндлина [37?
задачи о сосредоточенной силе внутри полупространства. Так как:
это частное решение задачи о сосредоточенной силе автоматически1
удовлетворяет граничным условиям на свободной от напряжений'
поверхности полупространства, нужно дискретизовать только*
поверхности соприкосновения плиты и грунта, а также сваи и грун-
та. Имеется дополненная коммерческая версия [38] этой программы:
(PGROUP), позволяющая учитывать деформируемость и наклон
свай, боковое нагружение, неоднородности и проскальзывания,
поверхности сваи по грунту.
(г) Анализ осесимметричного напряженного состояния трех-
мерных тел. Круз, Сноу и Уилсон [341 провели анализ осесиммет-
ричного напряженного состояния диска под воздействием гранич-
ных стационарных температурных и центробежных нагрузок.
Так как в осесимметричном случае ядра имеют сложный вид и свя-
занные с ними вычисления трудоемки, авторы избрали представ-
186
Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
Рис. 6.11- а — геометрия группы жестких свай с верхней плитой; б —отно-
сительная осадка, вычисленная для различных групп свай.
188 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
ление границы в виде простых линейных и дуговых элементов.
Как показано на рис. 6.12, было принято параболическое измене-
ние искомых функций в пределах каждого элемента. На рис. 6.13
изображена дискретизация границы диска толщиной 1 дюйм с
внутренним радиуеом 2 дюйма и внешним радиусом 10 дюймов.
Задача исследовалась в трех тестовых случаях:
1) радиальное нагружение по ободу, ог = 300;
2) нагружение центробежными силами;
3) стационарное неоднородное распределение температуры.
В табл. 6.2—6.4 результаты расчетов сравниваются с точным реше-
нием Тимошенко и Гудьера [39]. Соответствие очень хорошее, и
погрешность составляет менее 2%.
Таблица 6.2
Диск с нагрузкой, приложенной к ободу
Г и г СТ г ав
МГЭХЮ4 1 очно е X104 МГЭ Точное МГЭ Точное
2 0.417 0.417 4 0 626 625
3 0.408 0.408 176 174 452 451
4 0.443 0.443 235 234 391 391
5 0.495 0.495 263 263 363 363
6 0.556 0.556 278 278 347 347
7 0.621 0.621 287 287 338 338
8 0.690 0.690 293 293 332 332
9 0.761 0.761 297 297 328 328
10 0.833 0.833 300 300 325 325
В работе [34] рассматривался также цилиндрический образец
с кольцевым вырезом, обычно использующийся при испытании на
усталость. Дискретизация МГЭ показана на рис. 6.14 в случае
большого количества элементов, использованных для получения
детальной картины концентрации напряжений в окрестности вы-
реза. Номинальный коэффициент концентрации напряжений Кт
быстро меняется при изменении радиуса выреза, и поэтому тре-
буется высокая точность вблизи вершины выреза.
В этой работе проведен также анализ напряженного состояния
цилиндрического образца с кольцевым вырезом методом конечных
элементов на основе пакета NASTRAN с использованием коль-
цевых элементов в предположении о линейном изменении дефор-
мации. Использованная дискретизация (рис. 6.15) включает 750
6.8. Примеры
189
Диск под действием центробежных сил
Таблица 6.3
Г и г сх г °е
мгэхю* ТочноеХЮ4 МГЭ Точное МГЭ Точное
2 0.547 0.547 5 0 821 820
3 0.532 0.532 209 205 584 583
4 0.566 .0.567 257 256 489 489
5 0.614 0.615 256 256 433 433
6 0.662 0.662 231 231 389 389
7 0.701 0.702 190 190 348 348
8 0.729 0.730 137 137 308 308
9 0.740 0.741 73 73 265 265
10 0.732 0.733 0 0 220 220
Таблица 6.4
Диск со стационарным одномерным распределением температуры
Г и г а г °е
МГЭ Точное МГЭ Точное МГЭ Точное
2 0.577Х Ю“2 0.588х 10“2 921 0 86 827 88 237
3 0.627Х 10“2 О.бЗбх Ю“2 21 046 19 722 37 552 38 105
4 0.818ХЮ-2 0.824Х Ю“2 21 719 21 158 14 702 15 093
5 0.108Х10’1 0.109X10“! 18 851 18449 893 1 067
6 0.139X10-1 0.140хЮ“1 14 996 14 685 —8 920 —8 844
7 0.174x10'1 0.175 X Ю“1 И 013 10 758 —16 500 —16 478
8 0.212хЮ“1 0.212x10“! 7 136 6 953 —22 727 —22 688
9 0.252X10“! 0.252x10“! 3 497 3 361 —27 970 —27 930
10 0.294x10“! 0.294хЮ“1 88 0 —32 562 —32 471
узлов и 300 элементов по сравнению с 70 узлами и 35 граничными
элементами, показанными на рис. 6.14. Время счета на машине
IBM 360/168 для МКЭ и МГЭ составило соответственно 3 и 1 мин.
190
Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
Рис. 6.15. Дискретизация конечными элементами для цилиндрического об
разца с кольцевым вырезом.
В табл. 6.5 приведены коэффициенты концентрации напряжений,
полученные обоими методами при различных формах выреза. Стоит
Таблица 6.5
Коэффициент концентрации напряжений
для образца, используемого при испыта-
ниях на усталость
Номинальная геометрия об- разца NASTRAN МГЭ
Кт =2 2.18 2.15
Кт =3 3.30 3.36
7<г=4 4.43 4.45
подчеркнуть также, что время подготовки данных для анализа МГЭ
значительно меньше, чем время, требуемое пакетом NASTRAN.
Другие примеры могут быть найдены в работах [1—11, 22—24,
31—36, 38, 40—47].
6.9. Заключительные замечания
Мы надеемся, что примеры, приведенные в этой главе, убедят
читателя в полезности и многогранности МГЭ как инструмента
решения задач. Так как описанные здесь в общих чертах численные
схемы разработаны для первого поколения программ МГЭ, их
эффективность будет улучшаться. Тем не менее алгоритмы, пред-
ставленные в гл. 2—6, действительно демонстрируют основные эта-
пы, из которых состоит процесс решения.
Решения МГЭ алгебраически сложны; возможно, что более эф-
фективная их реализация будет достигнута использованием аппро-
ксимаций высшего порядка для геометрии и искомых функций,
так что число необходимых для описания граничных данных эле-
ментов, по которым выполняется интегрирование, уменьшится.
6.10. Литература
191
Такие схемы ьысшего порядка будут рассмотрены в гл. 8, ибо мы
верим, что будущие успехи МГЭ в конечном итоге связаны с точ-
ным моделированием граничных данных.
6.10. Литература
[1] Banerjee Р. К- Integral equation methods for analysis of piece-wise non-
homogeneous three-dimensional elastic solids of arbitrary shape. — Int.
J. Meeh. Sci., 1976, v. 18, p. 293—303.
[2] Banerjee P. K., Davies P. G. The behavior and axially and laterally loaded
single piles embedded in nonhomogeneous soils. —Geotechnq., 1978,
t. 28, No. 3, p. 309—326.
[3] Cruse T. A. Two and three dimensional problems of fracture mechanics. —
In: Developments in boundary element methods. Ed; by P. K. Banerjee,
R. Batterfield. Vol. 1, Ch. V. — London: Applied Science Publishers
1979.
[4] Banerjee P. K- Foundations within a finite elastic layer — application
of the integral equation method. —Civ. Engng, 1971, p. 1197— 1202.
[5] Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elasto-statics. —
Int. J. Solids and Structs, 1969, v. 5, p. 1259—1274.
[6] Boundary integral equation method: computational applications in applied
mechanics. Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975.
[Имеется перевод: Метод граничных интегральных уравнений. Вычис-
лительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и
Ф. Риццо. —М.: Мир, 1978.]
[7] Rizzo F. J., Shippy D. J. An advanced boundary integral equation method
for three-dimensional thermo-elasticity. — Int. J. Num. Meth, in Engng,
1977, v. 11, pl 1753.
[8] RizzoF. J., Shippy D. J. Recent advances of the boundary element me-
thod in thermoelasticity. — In: Developments in boundary element me-
thods. Ed. by P. K. Banerjee, R. Batterfield. Vol. 1, Ch. VI. —London:
Applied Science Publishers, 1979.
[9] Lachat J. C., Watson J. O. Effective numerical treatment of boundary in-
tegral equations: a formulation for three-dimensional elasto-statics. —
Int. J. Num. Meth, in Engng, 1976, v. 10, p. 991—1005.
[10] Cruse T. A. Application of the boundary integral equation method, to
three-dimensional stress analysis. — Int. J. Computer and Structs, 1973,
v. 3, p. 509—527.
[11] Cruse T. A. An improved boundary integral equation method for three-
dimensional elastic stress analysis. — Computer and Structs, 1974, v. 4,
p. 741—754.
[12] Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. — New
York: Dover, 1944. [Имеется перевод изд. 1931 г.: Ляв А. Математичес-
кая теория упругости. — М. ОНТИ, 1935.]
[13] Willis J. R. The elastic interaction energy of dislocation loops in anisotro-
pic media. —Q. Meeh, and Appl. Math., 1965, v. 18, p. 419—433.
[14] Lifschitz I. M., Rozenweig L. N. —J. Exp. Theor. Physics, 1974, v. 17,
p. 783.
[15] Pan Y. C., Chou T. W. Point force solution for an infinite transversely
isotropic solid. — J. Appl. Meeh. Trans. ASME, 1976, v. 98(E), p. 608 —
612.
[16] Wilson R. B., Cruse T. A. Efficient.implementation of anisotropic three-
dimensional boundary integral equation stress analysis. — Int. J. Num.
Meth, in Engng, 1978, v. 12, p. 1383—1397.
[17] Kinoshita M-,Mura T. Green’s function for anisotropic elasticity. — AEC
contract report C00-2034-5, North-Western Univ., Illinois, 1975.
192 Гл. 6. Трехмерные задачи теории упругости
[181 Vogel S. М., Rizzo F. J. An integral equation formulation of three-dimen-
sional anisotropic elastostatic boundary value problems. — J. Elasticity,
1973, v. 3, p. 203—216.
[191 GoodierJ. N.Integration of thermo-elastic equations. —Phil. Mag., 1-937,
v. 23.
[201 Terzaghi K. Theoretical soil mechanics. — New York: Wiley, 1943.
[21] Fung Y. C. Foundations of solid mechanics. — Englewood Cliffs: Prentice-
Hall, 1965.
[22] Cruse T. A. Boundary integral equation method for three-dimensional
elastic fracture mechanics. —AR OSR-TR-75-0813, ADA 011660, Pratt
and Whitney Aircraft, Connecticut, 1975.
[23] Cruse T. A. Mathematical foundations of the boundary integral equation
method in solid mechanics. — AF OSR-TR-77-1002, Pratt and Whitney
Aircraft, Connecticut, 1975.
[24] RizzoF. J., Shippy D. J. Thermomechanical stress analysis of an advanced
turbine blade cooling configuration. — US-AFOSR Interim Science Re-
port, 1976.
[25] Reisner H. Initial stresses and sources of initial stresses (на немецком).—
ZAMP, 1931, Bd 11, S. 1—8.
[26] Banerjee P. K-, Mustoe G. G. W. Boundary element methods for two-
dimensional problems of elasto-plasticity. —In: Proc. Int. Conf, on
Recent Developments of Boundary Element Methods, Southampton
Univ. — London: Pentec Press, 1978, p. 283—300.
[27] Banerjee P. K-, Cathie D. N., Davies T. G. Two and three-dimensional
problems of elasto-plasticity. — In: Developments in boundary element
methods. Ed. by P. K. Banerjee, R. Batterfield. Vol. 1, Ch. IV. —Lon-
don: Applied Science Publishers, 1979.
[28] Lin T. Y. Reciprocal theorem for displacements in inelastic bodies. —
J. Composite Mater., 1969, v. 1, p. 144—151.
[29] Lin T. Y. Theory of inelastic structures. — New York: Wiley, 1968.
[30] Zienkiewicz О. C. The finite element method. — London: McGraw-Hill,
1977.
[31] Butterfield R., Banerjee P. K. The elastic analysis of compressible piles
and pile groups. — Geotechnq., 1971, v. 21, No. 1, p. 43—60.
[32] Kermanidis Th. Eine Integralgleichungsmethode zur Losung des Umdre-
hungskorpers. —Acta Meeh., 1973, v. 16, p. 175.
[33] Kermanidis Th. A numerical solution for axially symmetrical elasticity
problems. — Int. J. Solids and .Structs, 1975, v. 11, p. 493—500.
[34] Cruse T. A., Snow D. W., Wilson R. B. Numerical solutions in axi-sym-
metric elasticity. — Computers and Structs, 1977, v. 7, p. 445—451.
[35] Banerjee P. K., Butterfield R. Boundary element methods in geomecha-
nics. — In: Finite elements in geomechanies. Ed. by G. Gudehus. Ch.
16. — London: Wiley, 1977.
[36] Butterfield R., Banerjee P. K. The problem of pile cap, pile group interac-
tion. — Geotechnq., 1971, v. 21, No. 2, p. 135—141.
[37] Mindlin R. D. A point force in the interior of a semi-infinite solid. — Phy-
sics, 1935, v. 7, p. 195—202.
[38] Banerjee P. K-, Driscoll R. M. <3., Davies T. G. A computer programme
for the analysis of pile groups of any geometry and subjected to any boun-
dary conditions. — Program PGROUP, Highways Engineering Computer
Division, Dept, of Transport, London, 1978.
139] Timoshenko S., Goodier J. N. Theory of elasticity. —2nd ed. —New
York: McGraw-Hill, 1951. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудь-
ер Дж. Н. Теория упругости. — М.: Наука, 1975.]
[40] Cruse Т. A., Van Bauren W. Three-dimensional elastic stress analysis of
fracture specimen with an edge crack. —Int. J. Fracture Meeh., 1971,
v. 7, p. 1—15.
[41] Cruse T. A., Meyers G. J. Three-dimensional elastic fracture mechanics
analysis. — J. of Struct. Div., ASCE, 1977, v. 103 (ST2), p. 309—320.
6.10. Литература
193
[42] Cruse Т. A. Some classical elastic sphere probleme solved numerically by
integral equations. —J. Appl. Meeh., 1972, v. 39, No. 3, p. 272—274.
[Имеется перевод: Прикладная механика. —М.: Мир, 1972, т. 39,
№ 3.]
[43] Dominguez J. A. Calculations of stresses due to an anchor by elements on
contours. — Ph. D. thes. — Univ, of Sevilla, Spain, 1977.
[44] Paris F. C. A method of element on contours for elasticity and potential
theory. — Ph. D. thes. — Tech. Univ. Madrid, Spain, 1979.
[45] Alarcon E., Brebbia C., Dominguez J. The boundary element method in>
elasticity. — Int. J. Meeh. Sci., September, 1978.
[46] Davies T. G. Linear and nonlinear analysis of pile groups.—Ph. D. thes.—
Univ, of Wales, Cardiff, 1979.
[47] Mustoe G. G. W. A combination of the finite element and boundary solu-
tion procedure for continuum problems. — Ph. D. thes. — Univ, oF
Wales, Swansea, 1979.
Глава 7
ЗАДАЧИ О РЕБРАХ И УГЛАХ
7.1. Введение
В предшествующих главах мы совершенно намеренно исключа-
ли какое-либо детальное рассмотрение разрывов1) в геометрии и
граничных условиях, хотя в большинстве практических задач
эти особенности появляются в виде ребер и углов.
Один очевидный подход к рассмотрению этих задач может сос-
тоять в том, чтобы закруглить ребра и углы. Мы можем ожидать,
что получающиеся при этом результаты будут точными вдали от
областей закругления и не столь точными вблизи них. Этот под-
ход действительно был реализован в первом поколении программ
для ЭВМ, разработанных с использованием непрямой формули-
ровки МГЭ (см. работу Джесуона и Симма [1]).
Хотя не всегда необходимо получать точные результаты на раз-
рыве на границе или около него, процедура «закругления» не может
считаться удовлетворительным способом решения задачи, так
как она должна приводить к искажению результатов даже на неко-
тором удалении от закругленных ребер или углов. Более того, су-
ществует обширный класс задач с входящими углами и т. п., где
важнее всего знать решение на геометрическом разрыве или вблизи
него.
В этой главе мы обсудим различные процедуры, уже разрабо-
танные к настоящему времени для моделирования таких разрывов
с использованием как прямого, так и непрямого методов.
7.2. Прямые методы
7.2.1. Постановка задачи
В задаче о потенциальном течении потенциал определен одно-
значно, но его нормальные производные в угловом узле многознач-
ны. Аналогичным образом в задаче теории упругости смещения
определены однозначно, но поверхностные усилия в угловом узле
многозначны. Поэтому, если мы хотим записать уравнение (для
задачи теории упругости)
•) В этой главе всюду, где речь идет о «непрерывности» и «разрывности»
границы, имеется в виду ее гладкость и иегладкость соответственно; послед-
няя может приводить к особенностям полей на границе. — Прим. ред.
7.2. Прямые методы
195
для m граничных узлов, включая один действительно угловой узел,
то получающаяся окончательная система уравнений будет иметь
ВИД
(7-1)
Gt — Fu = 0,
(7.2)
где F — матрица размером 2m X 2m или 3m X 3m для дву- и трех-
мерных задач соответственно, a G — матрица размером 2m X
X (2m + 2) или 3m X (3 m + 4) для дву- и трехмерных задач со-
ответственно.
Дополнительные столбцы в G появляются из-за многозначно-
сти усилий в угловом узле. Если эти усилия заданы, то решение
системы (7.2) не представляет трудности. При надлежащем сочета-
а 6 в
Рис. 7.1. Граничные условия в окрестности угловой точки.
нии граничных условий с заданными смещениями и с заданными
усилиями (рис. 7.1, а, б) в угловой точке также не возникает труд-.
ностей, если окончательная матрица системы, включающая все не-
известные, является квадратной (2m X 2/п для двумерных задач
и 3m X 3m для трехмерных). Если в угловой точке заданы только
смещения (рис. 7.1, в), то решить систему (7.2) невозможно, и дол-
жен быть найден альтернативный подход.
Следует обратить внимание на то, что предыдущие замечания
применимы только к острому углу, который действительно сущест-
вует в рассматриваемой задаче. Дискретизация гладкой поверх-
ности плоскими граничными элементами также приводит к разры-
вам на границе, но для того, чтобы получить правильные резуль-
таты, их нужно рассматривать так, как будто граница является
непрерывной.
7.2.2. Использование одного узла
Одна очевидная возможность обойти трудность, возникающую
в том случае, когда в угловом узле задан потенциал или смеще-
ние, — предположить, что соответствующие (неизвестные) много-
196 Гл. 7. Задачи о ребрах и углах
значные нормальные производные потенциала или неизвестные
многозначные усилия равны. Например, если t“ и t6 — предельные
значения усилий в угловом узле (рис. 7.1), то
tai = = tbi = (7.3)
где п“ и п6 — векторы внешних нормалей к поверхностям, встре-
чающимся в угловом узле. Лаша и Уотсон [2—4] использовали этот
простой в своей основе метод и обнаружили, что получающиеся
ошибки в основном ограничены углом и незначительны даже в
близких к нему точках.
7.2.3. Концепция независимых кратных узлов
Чтобы исключить неоднозначность, вызываемую угловым уз-
лом, Рикарделла [5] ввел концепцию двойного узла (для двумер-
ных задач). Она предусматривает запись подобных (7.1) уравнений
во введенных рядом с угловой точкой кратных узлах (в двух или
трех узлах соответственно в зависимости от того, какая задача ре-
шается— двумерная или трехмерная). Это должно привести к
тому, что в случае, показанном на рис. 7.1, в, матрицы G и F в окон-
чательной системе уравнений (7.2) остаются квадратными.
Основной недостаток этого подхода при использовании схемы
ПМГЭ состоит в том, что он является потенциальным источником
неустойчивости, если не оставлен достаточный зазор между угло-
выми узлами, такой, что записанные для них уравнения вида (7.1)
действительно независимы.
7.2.4. Концепция кратных узлов с дополнительными
соотношениями
Несколько иная концепция кратного узла была предложена
Шодонре [6] для задач теории упругости и Аларконом, Мартином
и Пэрисом [7] для задач о потенциальном течении. Они вывели в
добавление к (7.1) систему дополнительных уравнений, записан-
ных для углового узла, где граничные условия принадлежат к
типу, показанному на рисунке 7.1, в.
Задачи о потенциальном течении. В угловом узле нормальные
производные потенциала р могут быть записаны как
иа = (др/дх^ п° — и cos а“, иь = (др/дх^ п^ = и cos а6, (7.4)
где и — модуль градиента в угловой точке, а а" и с? — углы меж-
ду и и соответствующими нормалями к границе.
Направляющие косинусы mt этого «искусственно введенно-
го» градиента, очевидно, равны
m _ др!дхг, др/дхг (7
. V (ар/Эхг)2+ (Эр/Эх2)2 V (dp/dxj)2 + (др/дх^2
7.2. Прямые методы
197
j|a основе известного распределения потенциала р мы можем вы-
числить величины в правой части равенства (7.5), используя, на-
пример, конечно-разностную формулу. Значение m и известные
нормали к границе п" и п6 дают нам возможность вычислить cos а“
и cos а*. В результате получается корректно поставленная зада-
ча, включающая только одну искусственную переменную и в углу.
Задачи статической теории упругости. В работе Шодонре [6]
выведены два вспомогательных соотношения для точек в окрест-
ности угла, основанные на инвариантности тензора напряжений
и инвариантности следа тензора деформаций.
Усилия на поверхности tf и tb{ , соответствующие однозначно
определенным компонентам поля напряжений в окрестности
угла, даются выражениями
= $=0^. (7.6)
Можно разрешить эти уравнения относительно компонент напря-
жения и выразить решение через tb, п“ и n?_
Учитывая симметрию тензора напряжений, можно записать
a .Ь а ,Ь Ь id /п
«1/1 — «1 t\ — п2 t2 — п2 t2 . (7.7)
Чтобы вывести второе до-
полнительное соотноше-
ние, рассмотрим ортого-
нальные системы коорди-
нат (рис. 7.2) с началом в
угловой точке. Из инва-
риантности следа тензора
деформаций в углу мы име-
ем
Ехх £уу ~ ezz £тт •
(7.8)
Смещения и и2, отнесен-
ные к осям Охх и 0х2 эта-
лонной системы координат,
предполагаются линейно
изменяющимися вдоль О А
и ОВ. Поэтому мы имеем
Рис. 7.2. Ортогональные системы ко-
ординат в окрестности угловой точки.
щ — щ (О) н---------т------
ПА
Компонента смещения вдоль Ох равна
cos а + «2 sin а«
198
Гл. 7. Задачи о ребрах и углах
И поэтому
е = = .“dd) -“i(0) cos а + sin а (7 9|
дх пА hA
Аналогично мы можем получить
ди, и, (В) — и, (О) о . и, (В)—и, (О) - о ,п.
ezz = —- = 14 ’ —5-5—5-cos Р 4-----smp. (7.10)
дг пв ив
Рассматривая оси Оу и ОТ, имеем
ауу = t\ sin а — tz cos а, атт = cos Р — sin р,
а в силу закона Гука
сг^ — (я 4~ р) е.уу (а р) ежас, Oj.j. = (а ~Г р) бу?- 4~ (я р) £zz,
где а = к + р. Отсюда мы можем вывести равенства
(а + р) еуу + (я — р) ежх = t° sin а — cos а,
(а + р) гтт (а — р) ezz — /|cos р —1\sin р.
Теперь, подставив в (7.11) выражения (7.8) — (7.10), мы имеем
t° sin а 4- ti sin Р — /2 cos а — tz cos P =
cos ft
ftB
sin ft
“V
(7.11)
) «i(O) + -5Lcos₽u1(B) —
/ "в
-ka(O)4-^sin₽«a(B).
/ пв
(7.12)
2u , - V . п / cos а
cos aux (А) + 2р -г---
пА \ пА
sinaua(A) + 2р
пА \ ЙЛ
Используя уравнения (7.7) и (7.12), мы теперь можем исключить
одну из совокупностей усилий в угловом узле, преобразуя таким
образом задачу в корректно поставленную.
Описанную выше процедуру можно распространить на трехмер-
ный случай, если рассмотреть тройную точку в углу, чтобы предста-
вить разрыв усилий. Для граничной задачи с заданными смеще-
ниями в угловом узле мы будем иметь три уравнения, содержащие
девять неизвестных (в противоположность двум уравнениям с че-
тырьмя неизвестными для обсужденного выше двумерного случая).
Из шести требующихся дополнительных соотношений три могут
быть получены из условия симметрии тензора напряжений (сг12 =
= O21, Я1з = °з1 и о23 = сг32), а три остальные следуют из инвари-
антности следа тензора деформаций и соотношений между дефор-
мациями и смещениями на поверхностных элементах, сходящихся
в угловом узле.
Более простой подход, использующий в основном тот же прин-
цип, был разработан Мусто [8], который рассмотрел полиномиаль-
7.3. Непрямые методы .
199
ную интерполяцию для поля смещений в треугольной области (для
двумерных задач), включающей два смежных граничных элемента.
Поэтому для точки внутри треугольника
u = Ми”,
(7.13)
ije М — базисная функция, а и” — смещения в локальных гранич-
ных узлах. Тогда деформации в точке треугольной области равны
е = Lu — LMu” , где L =
д/дхг
О
д!дх2
О
д/<5х2
д!дхг
(7-14)
а напряжения получаются из закона Гука:
a = De = DLMu”.
(7.15)
Усилие на поверхности t в любой точке с внешней нормалью п да-
ется выражением
t = Та,
(7.16)
где Т = F"1 0 Пг1.
[0 n2 nJ
Поэтому мы можем выразить усилия t через узловые смещения и”:
t = TDLMu”. (7.17)
Уравнение (7.17) может быть использовано в угловой точке для
получения двух добавочных соотношений. Вектор нормали п, вхо-
дящий в (7.17), можно выбрать равным или пв, или п*. Дальнейшие
подробности содержатся в работе [8].
7.3. Непрямые методы
7.3.1. Концепция независимых кратных узлов
Основным источником затруднений в непрямом методе являет-
ся бесконечная величина распределения источников <р в угловом
узле; поэтому для углов должна использоваться концепция крат-
ных независимых узлов, описанная в разд. 7.2.3. Она должна быть
использована для всех типов граничных условий, но в тех случаях,
когда в угловом узле заданы или р (для задач о потенциальном те-
чении), или щ (для задач теории упругости), обычно получаются
неудовлетворительные численные результаты для др/дп или о1}
В близких к углу точках.
Распределение источников должно быть разрывно в том
узле на гладком участке границы, о котором известно, что в нем
200
Г л. 7. Задачи о ребрах и углах
имеется разрыв напряжений (например, в вершине трещины в
задаче о краевой трещине1).
7.3.2. Другие методы
Некоторые исследователи [9—11] предложили использовать
специальный набор ядер, заранее удовлетворяющих дифферен-
Рис. 7.3. L-образная область с входящим углом, а — граничные условия;
б — дискретизация МГЭ.
циальным уравнениям и определенным граничным условиям в
угловой точке. Например, в окрестности входящего угла L-образ-
ной области, показанной на рис. 7.3, мы имеем
р(г, 6) = Во + B1rK,a cos [(tv/cc) 6] -|- Birxla cos [(2ir/a) 0] -|- • • •, (7.18)
где a — внутренний угол, в настоящем случае равный Зл/2.
Каждый из членов разложения (7.18) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению д2р!дхДхг = 0, и поэтому (7.18) можно ис-
пользовать для дополнения непрямой формулировки, которая,
если использовать ее отдельно, может дать неприемлемые резуль-
таты вблизи угла, которому соответствует особенность решения.
Исследование такого типа можно осуществить, записав интег-
ральное представление потенциала р в виде
Р(Х) = f G(x, В)<₽a)dS +р*: (7.19)
з
^Имеются в виду те случаи, когда в силу симметрии области с трещиной
относительно линии трещины можно решать задачу для половины области.
При этом точка, соответствующая вершине трещины, становится точкой глад-
кости новой границы, но разрыв напряжения при переходе через эту точку
сохраняется. — Прим. ред.
7.4. Задачи с несколькими зонами 201
здесь р* —дополнительное решение (7.18) в окрестности углового
узла, где фиктивная плотность <р(£) предполагается равной нулю.
7.4. Задачи с несколькими зонами
Если углы представлены
процесс стыковки для
процессом, описанным
задач
в гл.
кратными независимыми узлами, то
с несколькими зонами совпадает с
3. Однако результаты вблизи углов
Зона 1
Зона 3
Зона 2
6
Рис. 7.4. Задача об угловой точке на границе раздела между зонами.
зон могут быть неточны, но, вероятно, приемлемы, если только
целью исследования не является получение специальной информа-
ции об области соединения.
С другой стороны, если используется концепция кратных узлов
с дополнительными соотношениями, то необходимы некоторые до-
полнительные предосторожности. Рассмотрим поверхность раздела
между двумя зонами, как показано на рис. 7.4, а, и используем
двойные узлы для представления разрывных усилий. После нало-
жения условий равновесия и совместности на поверхности разде-
ла остается шесть неизвестных в угловой точке. Только четыре не-
зависимых уравнения (по два для каждой зоны) вносятся в оконча-
тельную систему при помощи дискретного представления гранич-
ных интегралов для двух зон. Уравнения (7.7) и (7.12) дают два
нужных нам дополнительных уравнения. Для каждой зоны уравнение
(7.7) может быть записано через усилия и нормали, но уравнение
(7.12) не может удовлетворяться одновременно для обеих зон, если
они имеют различные модули сдвига р. В случае, показанном на
рис. 7.4, а, условие (7.12) следует записывать [ 12] для зоны 1, по-
скольку тензор напряжений в окрестности входящего угла в зоне
2 имеет, вероятно, сингулярное поведение.
Когда в точке сходятся три зоны, как показано на рис. 7.4, б,
после наложения обычных условий равновесия ш совместности на
поверхности раздела остается восемь граничных переменных: две
202
Гл. 7. Задачи о ребрах и углах
компоненты смещения и шесть компонент усилий, соответствующих
- трем различным граничным нормалям, имеющимся в точке. В окон-
чательную систему вносятся шесть независимых уравнений для
трех имеющихся зон. Два дополнительных уравнения и в этом слу-
чае дают уравнения (7.7) и (7.12), которые теперь могут быть запи-
саны только для одной из зон. Интуитивно ясно, что уравнения
(7.7) и (7.12) следует, вероятно, записывать для той зоны, в кото-
рой угол, меньший 180°, имеет наибольшую величину (зона 1 на
рис. 7.4, б) [12].
7.5. Заключительные замечания
В этой главе мы попытались осветить некоторые трудности,
возникающие при моделировании ребер и углов, которые встре-
чаютсяв практических задачах, и обсудили современное состояние
дел в этой области. Очевидно, что для окончательного разрешения
всех проблем, связанных с ребрами и углами, требуется проделать
значительную работу (особенно для непрямого метода).
7.6. Литература
[1] JaswonM. A., Symm G. Т. Integral equation methods in potential theory
and elastostatics. — London: Academic Press, 1977.
[2] Lachat J. C. Further development of the boundary integral techniques
for elasto-statics. — Ph. D. thes. —Southampton Univ., 1975.
[3] Lachat J. C., Watson J. O. A second generation boundary integral equa-
tion programm for three-dimensional stress analysis. — In: Boundary in-
tegral equation method: Computational applications in applied mechanics.
Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975. [Имеется
перевод: В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. Вычисли-
тельные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риц-
цо. — М.: Мир, 1978.]
[4] Lachat J. С., Watson J. О- Effective numerical treatment of boundary
integral equation. — Int. J. Num. Meth. Ehgng, 1976, v. 10, p. 991 —1005.
[5] Ricardella P. An implementation of the boundary integral techniques
for plane problems in elasticity and elasto-plasticity. — Ph. D. thes. —
Carnegie Mellon Univ., Pittsburgh, 1973.
[6] Chaudonneret M. Resolution of traction discontinuity problem in bounda-
ry integral equation method applied to stress analysis (на французском).—
C.r. Acad, de Sci., Ser. A, Math., 1977, t. 284, No. 8, p. 463—466.
[7] Alarcon A..Martin A., Paris F. Improved boundary elements in torsion
problems. — In: Proc. Int. Conf, on Recent Advances in Boundary Ele-
ment Methods, Southampton Univ., 1978, p. 149—165.
[8] Mustoe G. G. W. A combination of the finite element method and bounda-
ry integral procedure for continuum problems. — Ph. D thes. — Univ, of
Wales, University College, Swansea, 1980.
[9] Kermanidis T. Kupradze functional equation for the torsion problem of
prismatic bars — part 2. — Comp. Meth, in Appl. Meeh. Engng, 1975.
v. 7, p. 249—259.
[10] Symm G. T. Treatment of singularities in the solution of Laplace equa-
tion. — NPL Rep. NAC31, Teddington, 1973.
[ 11] Kelly D. W., Mustoe G. G. W., Zienkiewicz О. C. On an hierarchical order
76. Литература
203
for trial functions in numerical procedures based on satisfaction of the
governing differential equations. —In: Proc. Int. Conf, on Recent Advan-
ces in Boundary Element Methods, Southampton Univ., 1978, p. 359—373.
J12] Wardle L. J., Crotty J. M. Two-dimensional boundary integral equation
analysis for non-homogeneous mining applications. — In: Proc. Int. Conf,
on Recent Advances in Boundary Element Methods, Southampton Univ-,
1978, p. 233—251.
Глава 8
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИИ
8.1. Введение
При построении методов граничных элементов мы столкнулись
с необходимостью решения граничных интегральных уравнений,
одним из типичных представителей которых при произвольном
числе пространственных переменных является уравнение (4.38),
полученное для статических задач теории упругости:
(х0) = [ [/г (х) Gu (х, х0) — ut (х) Fu (х, х0)] dS (х) +
s
Ф; (z)Gi}(zt x0)dv(z),
(8-1)
где — разрывный коэффициент в произвольном узле х0 на гра
нице. Так как аналогичное уравнение для задачи о потенциальном
течении (уравнение (3.37)) проще уравнения (8.1), мы можем ис-
пользовать выписанное выше граничное интегральное уравнение
в качестве более общего примера для иллюстрации и пояснения
основного назначения данной главы.
В силу того что мы не в состоянии решить уравнение (8.1) ана-
литически, разобьем S и V соответственно на п элементов и т ячеек
и запишем эквивалентное матричное уравнение относительно век-
тора граничных смещений для р-го узла на границе:
Суть нашей задачи состоит в вычислении интегралов вида
Ksq fo.
Выше уже рассматривались частные случаи, в которых функции
и'7 на каждом элементе (или ячейке) принимались постоянными или
линейно меняющимися. Обсудим теперь более сложную ситуацию,
когда используется квадратичное (второго порядка) или кубичес-
8.1. Введение
205
кое (третьего порядка) изменение и (или t, или ф) в пределах ди-
скретного элемента. Это может быть достигнуто путем использо-
вания большего числа узлов на каждом элементе, скажем р, и
установления для каждого элемента некоторых общих соотноше-
ний между компонентами смещений w,(x) в произвольной внут-
ренней точке элемента и полным набором смещений в узлах U ia
относительно глобальных координат xt.
Здесь U ia — типичный элемент матрицы узловых смещений;
соответствующие узлы, число которых для каждого элемента равно
р (т. е. а = 1, 2, ..., р), называются функциональными и на всем
протяжении этой главы обозначаются греческими индексами. Ла-
тинскими буквами i, j, k обозначаются размерности локальной
(криволинейной) и глобальной (декартовой) систем координат.
Таким образом, в общем случае имеем
Ui = U^Na, (8.3)
где компоненты вектора Na , называемые базисными функциями,
выражаются через локальные (т. е. относящиеся к индивидуально-
му элементу) координаты, скажем С,. Очевидно, скалярная величи-
на может быть представлена аналогично в виде произведения
вектор-строки своих узловых значений на Na .
Здесь можно заметить, что в предыдущих главах, следующих
ранней работе авторов, уравнение (8.3) было записано иначе (но
в эквивалентной форме ) через компоненты вектора un полных сме-
щений в узлах элемента, а именно
u = Nun,
где, например, в уравнение (6.43) входили три базисные функции
Nv N2 и Ns, соответствующие Na (р = 3) в случае треугольных
элементов с тремя узлами в вершинах каждого из них.
Поскольку мы собираемся использовать нелинейные распреде-
ления u, t, ф и т. д. по элементам, целесообразно одновременно
исследовать элементы криволинейной формы. Причина их введения
станет ясна, если параллельно рассмотреть описание геометрии
наших элементов путем задания множества узлов (геометрических
узлов), число которых равно т для каждого элемента и которые ха-
рактеризуются, например, матрицей Х,-р (Р = 1, 2, ..., т) коорди-
нат геометрических узлов. Мы убедимся, что глобальные коорди-
наты Xi произвольной внутренней точки элемента можно выразить
через Хг₽ . > .. .
Г Xi = УJ ' (8.4)
Компоненты вектора Л4р естественно снова называть базисными
функциями, которые в данном случае связывают глобальные коор-
динаты Xi произвольной точки внутри элемента с матрицей X
координат его геометрических узлов.
206
Гл. 8. Параметрические представления
Если геометрические и функциональные узлы совпадают и,
следовательно, системы базисных функций являются тождествен-
ными (т. е. N = М), то такие элементы называются изопарамет-
рическими (Зенкевич [1]).
Введенная выше терминология известна читателям, знакомым
с методом конечных элементов; действительно, базисные функции,
которые мы далее рассмотрим, общеприняты в обоих методах —
и МКЭ, и МГЭ. Однако наше изложение материала несколько от-
личается от привычного, и мы надеемся, что оно окажется одно-
временно полезным и интересным даже для тех, кто уже усвоил
основные идеи.
8.2. Геометрические преобразования
Изучение криволинейных граничных элементов, неплоских
поверхностных и объемных ячеек и т. д., видимо, лучше всего на-
чать с развития некоторых геометрических идей, основанных на
преобразованиях координат. Идея, лежащая в основе всего по-
следующего анализа, может быть понята с помощью диаграмм,
представленных на рис. 8.1, часть которых очень похожа на со-
держащиеся в известной книге Д’Арси Томпсона «Рост и форма»
[2]. Ее автора заинтересовал вопрос о том, какой вид примут изоб-
ражения различных представителей животного мира (например,
рыбы на рис. 8.1, а, б) при достаточно простом регулярном отобра-
Рис. 8.1. Преобразование криволинейных координат.
8.2. Геометрические преобразования
207
жении ортогональной декартовой системы координат хг в криво-
линейную систему т|г. Для нас особый интерес представляет сле-
дующее; как на этих двух рисунках криволинейные координатные
линии т} i и ограниченные ими площади (рис. 8.1, а) переходят в
прямые линии и прямоугольники соответственно в плоскости т] г
на рис. 8.1, б (очевидно, такое же отображение возможно и в слу-
чае трех измерений, когда i пробегает значения 1, 2, 3).
Однако вместо того, чтобы произвольным образом взять в ка-
честве т}г- какие-либо простые линии типа показанных здесь эллип-
сов и гипербол, мы могли бы в принципе найти и более «хитрую»
систему координат С, (рис. 8.1, в), в которой «граница» нашей рыбы
перешла бы в прямоугольник (рис. 8.1, г) и одновременно криволи-
нейные внутренние ячейки перешли бы в квадраты. Очевидно, что
дальнейшие математические операции в случае прямолинейных
границ и прямоугольных ячеек, показанных на рис. 8.1, г, будут
проще, чем в случае криволинейных элементов рис. 8.1, в. Поэтому
выгоднее будет строить базисные функции и все остальное в коор -
динатах С; (рис. 8.1, г), помня, что мы всегда сможем преобразо-
вать их снова в плоскость хг (при помощи обратного преобразо-
вания С{-*-х,-).
Набор диаграмм на рис. 8.1 заслуживает пристального изуче-
ния, так как он ясно показывает, как, например, прямые линии
на одном рисунке после преобразования могут превратиться в кри-
вые и наоборот; плоское (и объемное) преобразование может изме-
нить одновременно форму и размер; когда координатные линии
или С,- переводятся в ортогональные декартовы оси, координат-
ные линии хг становятся криволинейными.
Так как вряд ли удастся подобрать подходящую функцию ука-
занного выше преобразования всей нашей «рыбы», мы вынуждены
иметь дело с последовательностью произвольно малых «элементов»
нашей системы, криволинейные границы которых локально аппрок-
симируются линейными, квадратичными или кубическими базис-
ными функциями.
Если мы рассмотрим точки, заданные их координатами х, в гло-
бальном декартовом пространстве (X) и координатами С,- в локаль-
ной криволинейной системе координат, связанной с пространством
(Z) той же самой размерности, то хг будут функциями Ср xt =
= Л(Сь С2, Сз) и, наоборот, С,- = gi(xt, х2, х3). Подобные урав-
нения преобразований записываются обычно в сокращенной фор-
ме; хг = хг(С) и С, = С,-(х); при этом дифференциальные компо-
ненты линейных элементов в X и Z будут связаны соотно-
шениями
dxf = (dft/dZj) d£} = (dxt/d^j) &}, dx = (8.5)
Матрица J называется матрицей Якоби преобразования
J = [dXf/dCj. (8.6)
208 Гл. 8. Параметрические представления
Обратный оператор, если он существует, определяется как
= J“Mx, или Лг = {d^ldx^dXj, (8.7)
где
J-i = [d^./dxj. (8.8)
Детерминант J = || J || матрицы J называется якобианом пре-
образования. Для определения якобиана можно в равной мере
пользоваться либо преобразованием (8.5), либо (8.7), однако при
чтении других работ (например, книги Фына [3]) важно знать со-
отношения, принятые автором за основу.
Для того чтобы некоторое преобразование х—>-С было.обрати-
мым (т. е. имело бы обратное) и между точками (х;, СО существо-
вало взаимно однозначное соответствие в некоторой интересующей
нас области R (т. е. любой набор чисел х; определял бы единствен-
ным образом набор чисел Сг в R и наоборот), достаточно, чтобы
выполнялись следующие требования [3]:
1) функции ft являются однозначными непрерывными функ-
циями х{ с непрерывными первыми частными производными в /?;
2) якобиан 7 #= 0 должен быть конечен (т. е. 1/J 0) в любой
точке внутри R.
Именно эти условия гарантируют, что преобразование явля-
ется допустимым. Если мы потребуем также, чтобы после преоб-
разования правая система координат оставалась правой, т. е. наше
преобразование было бы также соответственным, то для этого J
должен быть всюду положительным (например, для простейших
преобразований между ортогональными декартовыми системами
координат 7 = 4-1). Далее мы регулярно будем использовать
лишь несколько основных операторов преобразований; они при-
ведены ниже, причем символы со штрихами относятся к функциям
в пространстве Z, а без штрихов — в X.
(а) Скалярные поля. Скалярное поле ф(х) в X преобразуется
тождественно к ф'(Ц в Z в соответствующих точках (xit С,). Таким
образом,
ф(хп х2, х3) = ф'(Ср С2, С3), или ф(х) = ф' (С), или ф = ф'- (8.9)
(б) Векторные поля. Градиент скалярного поля dty/dxt = vit
скажем, в X преобразуется по правилу дифференцирования слож-
ной функции к виду dty/dxi = (дф/дС7-)(дС7-/дхг), т. е.
v = J-V, v' = Jv, (8.10)
тогда как компоненты поля бесконечно малых смещений преобра-
зуются по правилу и i(x) = (дхг/сК ;)«'.(£), т. е.
u — Ju', u' = J-1u. (8-11)
8.3. Преобразование дифференциальных элементов 2 09
Указанные правила преобразований могут быть последова-
тельно распространены на тензорные величины более высокого ран-
га; очень ясное описание этого аппарата можно найти вкнигеФына
[3] (см. также приложение А). Якобиан матрицы преобразования
играет фундаментальную роль как при построении геометрических
отображений, так и при определении изменений компонент тензо-
ров в системах координат х( и С/.
8.3. Преобразование дифференциальных элементов объема,
площади и линии
8.3.1. Внутренние ячейки
На \рис. 8.2 показано преобразование некоторых дифферен-
циальных элементов линии, площади и объема при переходе от
одного из пространств X и Z к другому. Так как в Z все эти элемен-
ты имеют более простую геометрическую форму, удобнее вместо
величин dV(x) (а также dA(x), dS(x) и т. д.), входящих в основные
соотношения МГЭ, использовать их отображения в Z, в качестве
которых всегда могут быть выбраны одинаковые «единичные» эле-
менты независимо от размера их прообразов в X. Хот^я именно не-
плоские поверхностные ячейки (в трехмерном случае) и граничные
линейные элементы (в двумерном) определяют главные индивиду-
альные черты МГЭ, проще все-таки иметь дело с ними после соот-
ветствующего преобразования ячеек объема (в трехмерном случае)
и площади (в двумерном). Рассмотрим в Z объемный дифференци-
dV(Q
Рис . 8.2. Отображение элементов из X в Z.
8—356
210
Гл. 8. Параметрические представления
альный элемент (рис. 8.2,а), который переходит в эле-
ментарную криволинейную ячейку объема dV(x) в X. Согласно
рис. 8.2, б,
ej = + Ьъдхг/д"^ + Ь3дх3/д^, (8.12)
где е и b — единичные базисные векторы в Z и X соответственно.
В соответствии с правилами векторной алгебры найдем объем эле-
ментарной ячейки:
dV (х) = (е2 х е3) - e^^d^d^.
Подставляя сюда соотношение (8.12) и эквивалентные выраже-
ния для е2 и е3, получим
dV(x) =
bi b2 b3
dxjff^ дх2!д"-.2 дх3/д'^2
дх./д'-.3 дх2/д",3 dxJdL,
так что
dV(x) =
дх^д^ dxjdt2
дх21д^ дх21д\
дх3!д'-Л бх3/<5'2
dx/dUI
dx2/dd <и^а:3 = jv de д2ск3, (8.13)
Эх3/дС3
где индекс V, добавленный к якобиану J, означает, что последний
относится к преобразованию объема. Если мы рассмотрим в Z пло-
скую двумерную элементарную ячейку площади d^d^ (рис. 8.2, в),
то соответствующее правило преобразования приведет нас к ре-
зультату
dA (х) = || dxtld^j || d&T2 = JA (d^dZ2), i, / = 1,2, (8.14)
отличающемуся от (8.13) лишь заменой индекса.
8.3.2. Граничные поверхностные ячейки ~
Граничную поверхностную ячейку (в трехмерном пространстве)
элемента площади dS(x) следует каждый раз отличать от двумерной
ячейки (элемента <М(х)), так как dS(x) не является плоским в X,
хотя является плоским и ограниченным ортами (Ci, С2) в Z
(рис. 8.2, в). Снова используя известное соотношение векторной
алгебры
dS (х) = | ei х е2 | d^dt^,
в соответствии с (8.13) получаем
dS (х) = / d^+dl + dl d^2 = Js
(8.15)
где
8.4. «Линейные» ячейки и граничные элементы
211
di = (дх2/д-.3) (дх3/д~2)—(дх3/д',3) (дх21дг,2),
а и d3 являются остальными минорами второго порядка основной
матрицы Якоби [J] (т. е. теми, которые содержат производные
лишь по Ci, Сз и Сь Сг) соответственно.
Уравнение (8.15), как видно, существенно отличается от (8.14)
и сводится к нему лишь в том случае, когда все производные по х3
равны нулк), так что снова dS(x) = dad^d^ — J^d^d^-
8.3.3. Линейные сегменты
Преобразование произвольного элемента длины dl(x) при пере-
ходе из X в Z непосредственно находится из соотношения (8.5):
dl{x) = Jtdl(q. (8.16)
При вычислении линейных интегралов от ядер и базисных функ-
ций, зависящих от С, мы должны будем по аналогии с преобразо-
ванием (8.15) выбрать направление элемента d/(Q в пространстве
Z. Поэтому, если d/(Q будет направлен, например, вдоль Ci, то
J, = [(dXi/cQ* 4- (^2/а:г)2]'/2 • (8.17)
8.4. «Линейные» ячейки и граничные элементы
Теперь мы можем применить изложенные выше идеи к преобра-
зованиям ортогональной декартовой системы координат X в косо-
угольную декартову систему Z, что позволит нам определить ба-
зисные функции для целого класса элементов, вдоль границ кото-
рых изучаемые параметры изменяются линейно (так называемых
«линейных» элементов).
Чтобы подчеркнуть простоту применения указанных идей к
«линейным» элементам, мы начнем с рассмотрения двумерного
случая, когда оси косоугольной декартовой системы координат
С i (i = 1, 2) определяются тремя точками Хь Х2, Х3 (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Преобразование косоугольных декартовых координат. а! =
= arc cos X.u, а2 — arc cos Х12. *
212
Гл. 8. Параметрические представления
Правцло преобразования С,—для произвольной точки
Р(хи х2) или P(Ci, С2) (рис. 8.3, а, б) находится при помощи про-
стейших тригонометрических формул и имеет вид
Х1 -*13 = COSъ + Саcos<х2 - + Хм-Ху,,
*1 *2
(8.18)
х2 - Х23 = Sin <4 + sin а2 = q Хм- + *22 -*23 ,
*1 *2
а с использованием направляющих косинусов осей С/ —
= cos(x£ j)) — вид
х = [2<+|Х3. (8.19)
Следовательно, для dx = JdC. мы имеем [J] = [А], где элементы
матриц находятся из уравнений (8.18) и выражаются через пара-
метры Хи/. Последние будут представлять для нас особый ин-
терес, так как мы всегда будем определять и граничные, и внут-
ренние элементы через координаты их узлов.
С учетом этого обстоятельства оказывается полезным введение
нормированных локальных криволинейных координат ц г; здесь под
локальностью мы подразумеваем такой выбор пространства, свя-
занного с каждым рассматриваемым элементом, при котором
направления осей т] t в основном диктуются удобством изучения
данного элемента, а под нормированностью — соответствующее мас-
штабирование уже преобразованного элемента таким образом, что-
бы его размеры было удобно использовать в арифметических вы-
кладках (например, отрезки единичной длины, треугольники с еди-
ничной стороной, квадраты 2 X 2 и т. п.).
Определяя т]г = мы можем упростить (и обобщить) урав-
нения,-’(8.18) так:
N = [Хх4Х2] f М + (1 - Th - %) х3;
(8.20)
(8.21)
это соответствует
И = [х1-х3, х2-х3],
так что после преобразования, треугольника (1, 2, 3) к системе ц,
он имеет теперь единичные стороны вдоль осей тц и т]2 (рис. 8.3, в).
С другой стороны, мы можем получить более симметричные со-
отношения, если перейдем к однородным координатам, техника
использования которых хорошо разработана в аналитической гео-
метрии [4], а именно введем в х и ц по одной дополнительной (за-
висимой) координате х3 и т]3 соответственно. Действительно, мы
можем взять х3 = 1 и т]3 = 1 — Ц1 — ц2, и тогда (8.20) будет иметь
вид
8.4. *Линейные» ячейки и граничные элементы
213
(8.22)
Заметим, что если написать просто
то матрица преобразования размером (2 X 3) не будет иметь об-
ратной и, следовательно, J-1 будет неопределенным.
Путем простого обобщения полученных выше результатов могут
быть выведены соответствующие соотношения для трехмерной
Рис. 8.4. Отображение «линейного» тетраэдра.
ячейки в виде тетраэдра (рис. 8.4, а). Легко убедиться в том, что
при указанной на рисунке нумерации узлов уравнения (8.20) —
(8.22) переходят в следующие:
х=[Щ + Х4, (8.23)
*1
х2
Хз,
%
*Ь
*1з1
+ (1 — *11 — Па— *1з)Х4,
[J] = [X1 —Х4, Х2—Х4, Х3-Х4].
(8.24)
(8.25)
— [\t« Х2, Х3]
Если мы, как и выше, введем однородные координаты так, что
Л4 = 1 и ТЦ + Т]2 + Т]3 + *14 = 1, то получим Либо
*1
Х2
.х3,
= [Хр Х2, Х3, Х4]
*11
*1а
*1з
*14
(8.26)
либо (что предпочтительнее)
214
Гл. 8. Параметрические представления
ХП
х2
х3
J
ГХг Х2 Х3 Х41
[1 1 1 1 J
(8.27)
Вид нормированных координат r]f (i = 1, 2, 3) изображен на
рис. 8.4, б.
Другая интерпретация симметричных однородных координат
т]а (а = 1, 2, 3 в двумерном случае и а = 1,2, 3, 4 в трехмерном)
показана на рис. 8.5. Первая диаграмма (рис. 8.5, а) определяет
2 (0.1.0) = а2
У'О)
Л1+Я2 +А$~А
ai=At/A и т.д.
<Ч+а2+аз=1
®’(о,о,1)=а3
“Л
Рис. 8.5. Координаты «в площадях» и «в объемах»
1
то, что обычно называется координатами «в площадях» аа (а =
= 1,2, 3) для треугольника, где сц = AJA, А — полная площадь
треугольника, а Л( — площадь меньшего треугольника, находя-
щегося напротив узла 1. Очевидно, что ai + а2 + а3 = 1, и произ-
вольная точка Х{ может быть однозначно определена через аа.
Требуя, чтобы точка Xi преобразовывалась в точку (1,0, 0)г в
системе координат мы получим линейно меняющееся поле зна-
чений Х(, заданное соотношением
Х1
,х%
«1
б/2
«3
(8.28)
XiaGa г
следовательно, аа и совпадают.
Если мы определим координаты «в объемах» va (a = 1,2, 3, 4)
для тетраэдра (рис. 8.5,6), так что по аналогии с треугольником
vt = Vt/V, то последние члены аа в (8.28) следует заменить на va
и принять i = 1, 2, 3. Следовательно, для «линейного» тетраэдра
Va = ТЬ •
Эта идея с тем же успехом могла бы быть применена к линей-
ному элементу, определенному соотношением Z1 + /2 = 1 (тогда
(А 1
х = [Xj, Х2] 1 j |), или к четырехугольнику, заданному четырьмя
координатами площадей треугольников, например к параллело-
8.4. «Линейные» ячейки и граничные элементы
215
грамму, изображенному на рис. 8.7, в, at + а3 — 1, а2 + а4 = 1,
= 2At/A и т. д.
Таким образом, фактически рассмотрев лишь преобразование
плоской треугольной ячейки (1, 2, 3) (рис. 8.3) при переходе из
системы координат х в систему т], мы достигли существенного про-
гресса в описании дифференциальных элементов площади. Ясно,
что в соответствии с (8.4) соотношение (8.28) также может быть
записано в виде xt = ' X Afj, где геометрические базисные
функции просто совпадают с т)з . Аналогично мы можем определить
линейно меняющееся поле смещений в треугольнике путем введе-
ния, скажем, U —матрицы узловых смещений, так что ut =
= U ta Na (см. соотношение (8.3)), или некоторой скалярной пе-
ременной ф со значениями ЧС в узлах 1,2, 3, так что ф = Ч*',, /Na.
Совершенно очевидно, что Na = Ма = т]а .
Последним и наиболее общим «линейным» элементом, исполь-
зующимся в МГЭ, является треугольная поверхностная ячейка на
границе трехмерного тела. Один из таких граничных элементов
показан на рис. 8.6 и- фактически соответствует треугольнику
(1, 2, 4) на рис. 8.4, а, если не считать иной нумерации узлов (уз-
лы 3 и 4 совпадают и имеют номер 3).
Формулы геометрического преобразования следуют из (8.23)
и (8.24):
х = [X, - Х3, Х2 - Х8] (М + Х3 (8.29)
U12)
Рис. 8.6. Отображение граничных элементов.
216
Гл. 8. Параметрические представления
последнее соотношение отличается от (8.28) лишь тем, что теперь
все векторы х и X имеют по три компоненты.
Согласно всему изложенному выше, для «линейных» элементов
(с треугольными гранями), заданных координатами своих узлов,
элементы матрицы Якоби преобразования являются константами
и соответствующие базисные функции;,тесно связаны с однородны-
ми координатами элементов.
8.5. Интерполяционные функции
Интерполяционные функции являются^аппаратом для построе-
ния весьма полезных «криволинейных» базисных функций. Снова
простейшим введением в технику их применения может быть ис-
следование линейных внутренних ячеек, на этот раз параллело-
граммов (в двумерном случае) и параллелепипедов (в трехмерном).
Рассмотрим ячейку в виде обычного параллелограмма
(рис. 8.7, а). Будем искать набор функций f( Ф,) (где Фа — зна-
чения некоторой функции <р в каждом из узлов а = 1,2, 3, 4 в X),
таких, что на квадрате в системе координат т] функция ср выража-
ется следующим образом:
<Р = f0 + /АН /2»12 + /А’К. (8-31)
тогда <р будет изменяться линейно вдоль каждой стороны квадрата
Рис. 8.7. Ячейка в форме параллелограмма.
d
8.5. Интерполяционные функции
217
11 г = ±1» при этом для удовлетворения условию ф = Фа в каж-
дом узле а нам необходимо будет определить четыре функции ft.
Эта интерполяционная функция ф может быть использована
для построения базисных функций для так называемых «линей-
ных» прямоугольных элементов. Для построения большинства ба-
зисных функций более общего вида, используемых в методах ко-
нечных элементов, прибегают к выражениям более высокого по-
рядка (1,5, 6]. Так как в каждом узле в координатах т] f мы имеем
по одному узловому значению Ф„ (Ф1 отвечает узлу 1 и т. д.;
см. рис. 8.7,6), то, очевидно, можно найти четыре функции из
уравнений вида (например, для узла 1) Ф1 =/о + Л +/г +/з
и т. д. После отыскания f = f (Фп) соотношение (8.31) можно пере-
писать в виде
ф = ф(ч) = фв , (8.32)
где каждая из базисных функций /Уп (т|) будет теперь функцией ц t.
В результате выполнения этих операций будем иметь
4Л^1 = (1 + 111)(1+112).
47V2 = (1 — 7^(1 + i)2),
4^3 = (1-^)(1-112),
47V3 = (1 + ^(1-т?2),
или 4N« = (1 + Sal’ll) (1 + <s«2T]2), (8.33)
где второе (обобщенное) выражение представляет собой наиболее
удобную и полезную форму записи всего набора функций Na;
sai (всегда равно +1) совпадает со знаком координаты тц в узле
а и т. д. (рис. 8.7,6). Ни в одном из этих выражений суммирова-
ние по а не производится.
Отметим два важных свойства (8.33), присущие всем подобным
базисным функциям.
1. Каждая функция Na принимает единичное значение в узле
а и равна нулю во всех остальных узлах (т. е. влияние всех Фа
проявляется независимо).
4
2. Сумма значений базисных функций 2^ = 1 в любой внут-
а=1
ренней точке элемента. Это гарантирует «полноту» полинома, от-
вечающего интерполяционной функции, что в свою очередь явля-
ется необходимым условием допустимости преобразования для
такой базисной функции.
Если вместо ф мы имеем поле смещений Ui, заданное своими
узловыми значениями Ua , т. е.
Ui = Ui (х) = UiaNa, u = [U] N,
(8.34)
то у нас появляется возможность использовать более сложные
криволинейные элементы в X, так как мы можем в принципе взять
в (8.31) более сложный полином, обладающий свойством полноты,
подобрать число членов а в соответствии с числом узловых значе-
218
Гл. 8. Параметрические представления
ний Фа , а затем выписать уравнения для базисных функций, от-
вечающие соотношению (8.34) в пространстве любой размерности.
Уравнения, соответствующие (8.31) и (8.33) в случае преобра-
зования трехмерного параллелепипеда, показанного на рис. 8.8, а,
и связанные с ними «линейные» базисные функции можно легко
Рис. 8.8. Ячейка в форме параллелепипеда.
получить при помощи следующей интерполяционной функции,
содержащей восемь требующихся для этой цели членов:
<Р = А) + fl’ll + fa’la + fab + ftWli + fe^a^s +
+ fee’ll + fjWz'b- (8-35)
Тогда базисные функции имеют вид
8Na = (1 + SalTJi) (1 S„2^2) (1 "Ь 5а39з)> (8.36)
где знаки sa{ совпадают со знаками компоненты т] г вектора коор -
динат узлов в принятой схеме их нумерации (рис. 8.8,6) (напри-
мер, узлу 2 отвечает s2i =(—1, -|-1, +1) и т. д.). Снова Na = 1
в узле с номером а и Na — 0 в остальных узлах, а также всегда
8
2^=1.
«=1
8.6. Резюме
Прежде чем перейти к криволинейным элементам, вероятно,
будет полезно кратко остановиться на том, как техника, развитая
в данной главе, используется при вычислении элементов матрицы
итоговой системы уравнений типа (8.2), (4.19), (4.20) и т. д. для
каждого граничного элемента.
Как установлено в § 8.1, основная задача состоит в интегриро-
вании (возможно, по треугольной поверхностной ячейке AS(x))
набора известных функции F(x, х0), умноженных на вектор
8.7. Криволинейные преобразования
219
с известными (или неизвестными) компонентами, скажем на и(х).
Мы можем записать это в виде
f F (х, x0)u(x)dS (х) = [ J
AS(x) LaS(t,)
&S(x)
F (х (т;), х0) N (л) Js dS (ц) U,
(8.37)
где U — константы, равные компонентам узловых смещений и
связанные с и(х) посредством базисных функций Nfq), Js — детер-
минант матрицы Якоби J (см. формулу (8.15)), преобразующей
dS(i]) в dS(x). Элементы матрицы J в случае изопараметрических
элементов, очевидно, даются выражениями
J.. = дх^ = XiadNa (8.38)
а интегрирование по rji и Лг в интеграле в правой части (8.37) про-
водится по единичным интервалам (см. гл. 15).
8.7. Криволинейные преобразования
и базисные функции
8.7.1. Линейные элементы
Рассмотрим в качестве примера преобразование вектора коор-
динат Xi (i = 1, 2), заданного своими компонентами: Х« = {Ха1}
в некотором числе геометрических узлов а вдоль каждого линей-
ного элемента; это число узлов должно быть достаточным для опи-
сания порядка изменения хг посредством полной полиномиальной
интерполяционной функции. Последнее означает, что для произ-
вольного линейного элемента мы должны иметь на нем: два узла —
в случае линейного изменения каждой компоненты хг, три — в слу-
чае квадратичного, четыре — в случае кубического, пять — в слу-
чае изменения четвертого порядка и т. д. Так, для С, вдоль эле-
мента, показанного на рис. 8.9, а, в случае квадратичного изменения
подходящей интерполяционной функцией может быть ш = /„ -|-
-4- f^i + /гСр.в случае изменения третьего порядка к ней надо
Рис. 8.9. Линейные элементы.
220
Гл. 8. Параметрические представления
добавить /3С1 и т. д. Повторяя те же выкладки, что и при выводе
уравнения (8.32), мы придем к следующему набору базисных функ-
ций Ма (т. е. xt = X ia Ма или к = [Х]М). Ниже приводятся их
выражения одновременно через нормированные координаты гц =
и однородные линейные координаты (§ 8.4; Ц + 4 — 1)
для равномерного распределения узлов вдоль элемента длины /,
занумерованных, как показано на рис. 8.9 (на рис. 8.9, б начало
отсчета тц берется в центре элемента).
Линейное изменение (а = 1, 2)
Л11 = (1/2)(1 + т!1) = /1,|
м2 = (1/2)(1 -П1) = 4.)
мв =(l/2)(l+snlvil).
(8.39)
Квадратичное (второго порядка) изменение (а=1,2,3)
Ali = (1/2)т21(1+vJ1) = Z1(Z1 —/2), |
М2 = - (1/2) П1 (1 - %) = /2 (Za - 4), )
= (1/2) 8^(1 + sal7j1), (8.40)
М3 = (1 + ъ) (1 - nJ = 1 - П? = 4ZxZa.
Кубическое (третьего порядка) изменение (<х=1,2,3,4)
Мг =;(1 /16) (1 + TjJfl + 3Л1)(Зга - 1) =
=1(1/2) 4 (24-4) (4-24),
= (1/16)(Ц-п1)(1 + 3^(371!- 1) =
= (1/2) 4 (24-4) (4-24).
/И3 = (9/16)(1-т11)(1-711)(1 +373!) =
г= (9/2)44(24—4),
М4 =(9/16)(1 + 71J (1 — 7,!) (1 -Зги) =
= (9/2)44(24-4).
= (1/16) (9^-1)(1 +
+ 5а1П1)>
(8.41)
= (9/16)(1 -7j!)(l +
+s«ini)(l+3saiT]i).
Для каждого из этих преобразований может быть вычислена
матрица Якоби, однако для криволинейных элементов элементы
матрицы уже не будут постоянными. При использовании однород-
ных линейных координат (4 = Пь 4 = 1 — П1) элементы матрицы
J имеют вид
Jl} = Xia(dMa/dlr)(dlr/d-q}), г = 1,2; /=1. (8.42)
8.7.2. Плоские треугольные ячейки
Так как в этом случае вывод формул почти не отличается от толь-
ко что приведенного, ниже будут просто представлены результаты,
выраженные через координаты «в площадях» (<4 = tjj, а2 = tj2 и
о3 = 1 — П1 — Пг)-
8.7. Криволинейные преобразования
221
Рис. 8.10. Плоские ячейки.
Линейное изменение (§ 8.4) (а = 1, 2, 3)
М, = . (8.43)
Квадратичное изменение Полная полиномиальная ин-
терполяционная функция имеет в этом случае шесть членов, и
потому требуется шесть узлов, показанных на рис. 8.10, а:
<Р = /о + Mh + fzb + fsWz + frfi + fsW
отсюда находим для (а = 1, 2, ..., 6)
Мг={с1(2с1 — 1), а2(2а2— 1), а3(2с3— 1), 4а2<%, 4^3^}.
(8.44)
Кубическое изменение Полная полиномиальная интер-
поляционная функция имеет десять членов, и, следовательно, чис-
ло узлов также должно быть равно десяти; на рис. 8.10, а по че-
тыре узла находятся на каждой стороне треугольника (чтобы обе-
спечить кубическое изменение) и один — в его центре тяжести.
Базисные функции имеют вид
222
Гл. 8. Параметрические представления
М1 = (1/2) — 0(3^—2) (аналогично Л42 и Л43),
= ((9/2)2Й((з2з — 1)’} <"™4H0 М’и М«’
М10 = <Пауа2аъ. (8.45)
Все приведенные выше формулы заимствованы из книги Зенке-
вича (1), где для «треугольных» элементов выведено рекуррентное
соотношение, связывающее А4"+* (для элемента (п + 1)-го поряд-
ка) и А4" (для элемента п-го порядка), что позволяет строить
«треугольные» элементы любого порядка.
8.7.3. Плоские четырехугольные ячейки
Хотя в МГЭ внутренние ячейки менее важны, чем граничные,
проще, не делая исключений, завершить уже начатое их исследо-
вание.
В нашей схеме расположения узлов для обеспечения изменения
второго порядка (рис. 8.11, а) требуется по три узла на каждой
Рис. 8.11. Четырехугольные ячейки.
стороне (полное их число равно восьми) ,и, следовательно, интер-
поляционная функция должна иметь вид, скажем,
Ф = А> + flrtl + f2rt2 + + firf + fbrf + f erf'112 +
что при равномерном (как и ранее) распределении узлов на сторо-
нах четырехугольника приводит к следующим базисным функциям.
8.7. Криволинейные преобразования
223
Линглизе изменение (а = 1, 2, 3, 4)
V, (1/4)(1 + TjJO 4-7j2) = й1а2
312=(l/4)(l-7(1)(l+7j2) = fl4fll,
Л13 = (1/4)(1-т]1)(1-712)=Оза4,
Л14 = (1/4) (i + rd)(l — п2) = а2Оз.
Ма =(1/4)(1 H-SaPh) X
х (1 + sa2T]2).
(8.46)
Здесь для параллелограмма координаты «в площадях» ао опреде-
ляются так же, как и в § 8.4 (а2 + = 1, fli + о3 = 1, т), =
— 1 — 2tz4, Лг = 1 — 2сг3). Следует отметить, что при помощи
(8.46) четырехугольник произвольного вида (рис. 8.11, в) также
может быть преобразован в квадрат в системе координат т] и, зна-
чит, наши результаты не ограничиваются ячейками, имеющими
формулу параллелограмма.
Квадратичное изменение (а = 1, 2,..., 8)
Mi = (1 /4) (1 Чз т(1) (1 + т]2) (П1 + Ъ - 1) =
= а4а2 (2а4 + 2а2 — 3),
М2 = (1/4) (1 — Л1) (1 + ^2) (—Л1 + ^2- 1) =
= а2Оз (2а2 + 2а3 — 3),
Мя =(1/4)(1 + т^) (1 + Заг'Чг) (Sai7}!+
+ «а2Т)2— О
(аналогично Л43, Л44),
(8.47)
Л15 = (1/2) (1 -rh)(l + тй)(1 + %) =
= 4а4а2а4 = (1 /2) (1 — т^) (14-s^),
Ме = (1 /2) (1 —%) (1 -j- 1j2) (1 —Т(2) = 4ai«3a4 —
= (1/2)(1 — 7,2) (1 + Sol7(2)
(аналогично М7,
М8).
Кубическое изменение (а = 1, 2,..., 12)
Afx = (1/32)(1 + Ti)(l + %) [9 (т)? + т,|) —10] =
= ар211 + (9/2) (а4а2 — а^)],
М2 = (1 /32) (1 -тл)(1 + *12) [9 (тд + ?2) - Ю] =
= а4а4 (1 + (9/2)(а4а2 — a-ft)],
И, = (1/32)(1 +SalT]1)(l +sa2T]2)[9 (Tjl + Tjl)—10]
(аналогично
М3, М4),
(8.48)
М6 = (9/32) (1 + tJ (1 - *ii) (1+*12) (1 + 3*Ji) =
= (9/2)fl2a3a! (2 — За4),
Мв = (9/32) (1 + 7d) (1 -tjJ (1 + 7i2) (1 -37)0 =
= (9/2) а^зй! (За4 — 1),
ма = (9/32) (1 —*10(1 + S°2*72)(l + Sal’ll)
(аналогично
М7,...,М12).
224
Гл. 8. Параметрические представления
8.7.4. Трехмерные ячейки
(а) Тетраэдральные ячейки. Содтношения для них получаются
путем непосредственного обобщения результатов для криволиней-
ных треугольников точно так же, как формулы преобразования
тетраэдров с прямолинейными ребрами в § 8.4 следуют из формул
для треугольников. Таким образом, в «объемных» координатах
Рис. 8.12. Тетраэдральные ячейки.
(Vj + v2 + v3 + == 1) (§ 8.4, рис. 8.5, б) при равномерном рас-
пределении узлов на ребрах тетраэдра (рис. 8.12) мы будем иметь
следующие соотношения.
Линейное изменение (а = 1, 2, 3, 4)
Ma = V« . (8.49)
Квадратичное изменение (а = 1, 2,..., 10)
/W1 = t^(2til— 1) (аналогично Л43, Л43, /И4),
Л15 = 4v,v2, ) . .. .. . (8.50)
6 18 I (аналогично /И7,.... Л41о). v '
М6 = 4v2v3 j
Кубическое изменение (а = 1, 2,..., 20)
Мг = (1 /2) I»! (Зог— 1)(3и!—2) (аналогично М2, М2, /И4),
M5 = (Q/2)v1v2(3v1 — 1), 1 (аналогично Л47, /И8, Мв, Л41о
Мя = (9/2) V1v2 (Зи, — 1) и для всех ДРУГИХ Узлов’лежа-
' ' ' щих на ребрах и не совпадаю-
щих с вершинами),
/Ии = (аналогично для всех других
узлов в центрах граней).
(б) Гексаэдральные ячейки. Они являются обобщением четырех-
угольных ячеек, рассмотренных в разд. 8.7.3. Обозначения узлов
показаны на рис. 8.13.
8.7. Криволинейные преобразования
225
Рис. 8.13. Гексаэдральные ячейки.
Линейное изменение (а = 1, 2, .... 8)
Ма = (1 /8) (1 + SeiTji) (1 + Sa2^2) (1 + 5«3%)- (8-51)
Квадратичное изменение (а = 1, 2, ..., 20)
Узлы 1, 2,..., 8:
Ма = (1/8) (1 + 5а17]г) (1 + Sa2Ti2) (1 4- ХаЗПз) Х
х (Sal'll + Здз + 8аЩ3 — 2),
Узлы 9, 10, 11, 12:
Ма = (1 /4) (1 - т]2) (1 + Sa27j2) (1 + Sa37j3), (8.52)
Узлы 13, 14, 15, 16:
= (1/4) (1 - 7j22)(l + Sei7]1)(l + sa3^3),
Узлы 17, 18, 19, 20:
Ма = (1/4) (1 - 7,1) (1 4-Sal^) (1 +So2%).
8.7.5. Общие замечания о базисных
функциях для ячеек
Для удобства дальнейших ссылок были последовательно выпи-
саны все рассматриваемые базисные функции, хотя, возвращаясь
назад, можно заметить следующее.
I. Подстановка 5п3г]з = т]3 = 1 в формулы (8.51), (8.52) для
гексаэдральных базисных функций приводит к соотношениям (8.46),
(8.47) для базисных функций четырехугольных элементов, а замена
va на ао в формулах (8.49), (8.50) и т. д. для тетраэдральных бази-
226
Гл. 8. Параметрические представления
сных функций приводит к соотношениям для треугольников (8.43)—
(8.45).
2. Возможна другая форма упрощения соотношений для эле-
ментов большей размерности, позволяющая перейти от них к соот-
ветствующим соотношениям для элементов меньшей размерности.
Так, Уотсон [7] показал, что совмещение узлов 2, 3 и 6 четырех-
угольного элемента второго порядка в один узел (рис. 8.11, а)
позволяет получить квадратичные базисные функции для треуголь-
а
Рис. 8.14. Отображение трехгранной призмы.
б
лика. Соответствующие оси, конечно, будут совпадать с С,, пока-
занными на рис. 8.11, а, но уже не будут направлены вдоль сторон
«треугольника». В случае гексаэдра (рис. 8.13) аналогичный прием
.можно использовать для получения «треугольных» призм, хотя,
наверное, удобнее объединить треугольные базисные функции
в плоскости (Ci, Сз), скажем, с функциями для гексаэдральной ячей-
ки вдоль Сг- Например, на рис. 8.14 призма с линейным треуголь-
ным поперечным сечением и квадратичным изменением вдоль ребер
будет описываться соотношениями
Узлы 1, 2,..., 6: Ма = (1/2)Оа (1 + s,2ti}2) s,#^, (8.53)
Узлы 7, 8, 9: Ж = (1 /2)аа (1 —rj).
Все наши предыдущие замечания относительно выбора функ-
циональных и геометрических узлов, а также Na и Ма остаются
в силе для всех без исключения базисных функций, рассматривае-
мых в данной главе.
8.8. Криволинейные граничные элементы
227
8.8. Криволинейные граничные элементы
Большая часть приведенных выше сведений о базисных функ-
циях была заимствована из литературы по методу конечных эле-
ментов [1], в которой основное внимание уделяется схемам внут-
ренней (ячейки), а не поверхностной дискретизации. Мы уже об-
Рис. 8.15. Криволинейные граничные элементы.
суждали, к чему приводят криволинейные границы в двумерных
задачах (разд. 8.7.1),и теперь нам остается рассмотреть присущие
трехмерным ситуациям неплоские поверхностные граничные эле-
менты, подобные изображенным на рис. 8.15.
Базисные функции для неплоского криволинейного (второго
порядка) треугольника на рис. 8.15, а могут быть построены путем
«стягивания» тетраэдра второго порядка (рис. 8.12, а), как это
объяснялось выше, а именно узлы 3, 10 и 4 объединяются в один
(т. е. имеют одинаковые координаты), скажем узел с номером 3'.
Тогда базисная функция М3 для этого узла будет суммой М3 4~
— 7И1о + при г]3 = v3 = 0. Вспоминая, что vt = v2 = г]2,
Цз = 1]з, но v4 =1 — щ — ц2 — Цз, и используя из соотноше-
ний (8.50), мы получим, что при ц3 = 0
Мз = (1 — 7J1 — т(2)(1 —2га —2ц2).
Базисные функции Mt, М2 и /И5 = Л14 остаются неизменными,
но /VI --- А46 ~f A4g и A4g = /VI? -Mg*
Если мы вычислим все Ма и заметим, что на криволинейном
поверхностном элементе ц, = аа (а = 1, 2, 3), где «( + +
— а3 = 1, то обнаружим, что нужные нам базисные функции
(рис. 8.15, а) оказываются идентичными базисным функциям для
двумерного (плоского) треугольника второго порядка (8.44)! Оче-
видно, этого и следовало ожидать, и при обращении с подобными
криволинейными поверхностными элементами необходимо помнить
лишь о том, что (1) суммирование х, = XiaMa проводится для i =
228
Гл. 8. Параметрические представления
= 1, 2, 3 (т. е. Ма. оказывает влияние на все три координатные ком-
поненты); (2) якобиан преобразования dS(x) = JsdS(n\) должен
быть таким, как указывалось в § 8.3 (см. соотношение (8.15)).
Совершенно аналогичным образом, очевидно, могут быть рас-
смотрены криволинейные четырехугольные элементы. Соответст-
вующие им базисные функции поэтому можно найти в разд. 8.7.2
и 8.7.3.
8.9. Бесконечные граничные элементы
Хотя МГЭ позволяет учитывать границы, целиком находящиеся
в бесконечности, без какой бы то ни было их дискретизации, для
поверхностей, продолжающихся из области, представляющей
Рис. 8.16. Дискретизация поверхности полупространства.
•основной интерес, в бесконечность, дискретизация должна закан-
чиваться на некотором произвольном расстоянии. При этом пред-
полагается, что вне полученной таким образом границы рассмат-
риваемая область остается связанной с безграничным простран-
ством.
Для того чтобы исключить подобного рода трудности, Уотсон
(7] предложил использовать бесконечные граничные элементы.
Типичный пример введения таких элементов приводится на
рис. 8.16 [7], где показана дискретизация для задачи о полупро-
странстве, однородно нагруженном по прямоугольной области.
Для моделирования каждого квадранта поверхности были исполь-
зованы по три граничных элемента конечного размера и два бес-
конечных граничных элемента.
Для бесконечных линейных элементов предполагалось, что
изменения ut и tt описываются соотношениями (рис. 8.17, а)
Щ = « Й (z, х0)/г (х, х0)], tt (т?) = t\ [г (z, х0)/г(х, х0)]а, (8.54)
8.9. Бесконечные граничные элементы
229
Рис. 8.17. Асимптотические функции на бесконечном элементе, а — плоская
задача; б — трехмерная задача.
где z — положение узла 1, г (г, х0) — расстояние от этого узла до
произвольно выбранной точки х0, г(х, х0) — расстояние между х
их0 и и^, t] — значения^ и tt в узле 1. Ясно, что формулы (8.54)
определяют величины, асимптотически стремящиеся к нулю на
бесконечности.
Аналогично для бесконечного поверхностного элемента
(рис. 8.17,6) предполагались следующие изменения переменных:
Щ ('<!• %) = “г (1. %) [ 7Z> ] *
L r(x, xe) J (8 55)
№. = %)[-7^Г'
L r (X, xB) J
где z соответствует точке (1, Th)-
Выражения, стоящие в квадратных скобках, играют роль базис-
ных функций для смещений и сил на этих элементах.
Для того чтобы при вычислении интегралов по бесконечным
элементам можно было бы воспользоваться квадратурной форму-
лой для конечного интервала (-1. 1). эти элементы необходимо
230
Гл. 8. Параметрические представления
преобразовать. Для линейных интегралов это может быть достиг-
нуто путем перехода к переменной £ [7]:
7j = (3g-l)/(l + с). (8.56)
Тогда якобиан дается выражением
J, = dvj/dS = 4/(1 + S)2. Д8.57)
Для бесконечных поверхностных элементов в трехмерном случае
преобразование имеет вид
^1 = (3$1-1)/(1+и, г2 = ^2, (8.58)
а соответствующий ему якобиан —вид
^=^/^ = 4/(1 + У2. (8.59)
Формулы (8.56) — (8.59) позволяют нам выполнить преобразо-
вание. Для приложений НМГЭ изменения <рг по данным бесконеч-
ным граничным элементам могут быть приняты такими же, как и
изменения tif определенные соотношениями (8.54) и (8.55).
8.10. Интегрирование произведений ядер
на базисные функции
За какую бы задачу мы не взялись, независимо от того, насколь-
ко просто или сложно мы сумели представить изменения геометри-
ческих характеристик и других распределенных параметров, рано
или поздно нам придется столкнуться с необходимостью решения
уравнения, сходного с (8.1). Все, что мы уже сделали в данной гла-
ве, относится к средствам сведения как поверхностных, так и объ-
емных интегралов к виду
J ui(x)Fij(x, x0)dS(x) =
AS(*)
= J Fp-fa xJN^JsWdS^, (8.60)
AS0J)
где t
1) значения Uia в функциональных узлах теперь могут быть
вынесены из под знака интеграла;
2) Na —базисные функции, введенные в данной главе;
3) Js — якобиан, соответствующий геометрическим базисным
функциям Ма , который должен определяться преобразованиями
длины, площади или объема, как это объяснялось выше;
4) пределы интегрирования для г] теперь чрезвычайно просты
(0, 1 или —1, +1 и т. д.).
Для того чтобы вычислить эти интегралы, необходимо исследо-
вать поведение подчеркнутого в (8.60) члена, который должен быть
8.11. Примеры
231
проинтегрирован по некоторому элементу. Если он остается огра-
ниченным внутри соответствующего интервала, то интегрирова-
ние может быть выполнено численно; если нет, то тогда следует
либо воспользоваться приемом регуляризации, описанным в гл. 3
и 4, а также в [7—11] и состоящим в учете перемещений тела как
единого жесткого, либо явно выделить из подынтегрального выра-
жения сингулярную часть, которая может быть проинтегрирована
аналитически, и непрерывную часть, интеграл от которой может
быть найден с помощью численных квадратур. Детальное обсуж-
дение этих вопросов будет проведено в гл. 15.
8.11. Примеры
В течение последних пяти лет рядом специалистов на основе
МГЭ были разработаны программы второго поколения для вы
числительных машин. Это очень отчетливо показывает, что значи
тельная часть потенциальных возможностей МГЭ в настоящее
время уже реализована. Примеры, приведенные ниже, послужат,
как мы надеемся, убедительной иллюстрацией данной точки зрения.
(а) Пластинка с краевым надрезом («компактный образец») 19,
12]. Образец схематически изображен на рис. 8.18. Сосредоточен-
ные нагрузки прикладываются через отверстия в направлении, пер-
пендикулярном надрезу; величина нагрузок составляет 20 кН.
Предполагается, что в образце имеет место плоская деформация;
модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала равны 210 кН/мм2
и 0.3 соответственно.
Коэффициент интенсивности напряжений Ki для трещины нор-
мального отрыва в задачах теории упругости при плоской дефор-
мации может быть записан в виде [12]
К, = {РЦВ /F)] Y (a/W), (8.61)
где Y(a/W) = (В/Р) [(£7(1 —42))dL//d(a/W)\'^i U — потенциальная
энергия на единицу толщины, Р — нагрузка.
На рис. 8.19 показана дискретизация конечными элементами,
включающая 223 треугольных элемента (шестиузловых изопара-
метрических), и дискретизация МГЭ, состоящая во введении 28
кубических граничных линейных элементов.
Как время подготовки данных, так и стоимость вычислитель-
ных работ для решения задачи МГЭ были значительно ниже, чем
при использовании метода конечных элементов. Полученные чис-
ленные значения потенциальной энергии на единицу толщины
U для обоих методов приведены на рис. 8.20. Результаты фактиче-
ски неразличимы во всем интервале значений a! W.
(б) Образец для испытаний на малоцикловую усталость [13,14].
Поперечное сечение образца показано на рис. 8.21. Наличие криво-
232
Гл. 8. Параметрические представления
Рис. 8.18. Компактный образец для определения трещиностойкости.
Рис. 8.19. а — сетка конечных элементов; б — дискретизация МГЭ.
8.11. Примеры
233
Рис. 8.20. Изменение потенциальной
энергии на единицу толщины, под-
считанное по МКЭ и МГЭ.
линейных поверхностей, концентрация напряжений и трехмерные
эффекты позволяют считать эту задачу типичной практической
задачей. Образец нагружался через пальцы в точках А' и В. Сплош-
ной линией показана упрощенная форма, принятая для исследо-
вания двумя методами: МГЭ (с
использованием программы
BASQUE [9]) и МКЭ (с использо-
ванием программы NASTRAN).
Разработке окончательного ва-
рианта программы BASQUE,
обладающей при минимальных
затратах достаточной универ-
сальностью и позволяющей по-
лучать удовлетворительные ре-
зультаты, предшествовали весь-
ма тонкие исследования МГЭ, в
ходе которых было получено эта-
лонное решение и обоснованы
требования, предъявляемые к
«разумному» решению.
Схемы дискретизации, ис-
пользованные , для указанных
двух методов, представлены на
рис. 8.22. Стоит отметить, что
из-за большого отношения пло-
щади поверхности к объему об-
разца данная задача не слиш-
ком подходит для МГЭ.
Схема расположения узлов в
МГЭ, показанная на рис. 8.22,а,
соответствует свободной поверхности и срединной плоскости сим-
метрии? при этом всюду, за исключением непосредственной окрест-
ности выреза, на полутолщину образца приходился лишь один
слой поверхностных элементов. В результате дискретизации было
получено 28 граничных элементов с квадратично меняющимися
геометрическими и функциональными параметрами в 84 узлах.
Время расчета составляло 65 CPU (единиц времени центрального
процессорного устройства) на ЭВМ IBM 360/168; для нахожде-
ния эталонного численного решения время, конечно, было сущест-
венно больше.
При расчете по программе NASTRAN использовались два слоя
элементов на полутолщине образца. Дискретизация состояла в
построении 16 гексаэдральных элементов (по 20 узлов в каждом)
и включала в общей сложности 141 узел; при этом время расчета
составляло 48 CPU. Однако точность результатов программы
NASTRAN была значительно ниже, чем программы BASQUE, как
это можно видеть на рис. 8.23 и 8.24. Поэтому был выполнен также
234
Гл. 8. Параметрические представления
Рис. 8.21. Малоцикловое усталостное испытание образца. Полная толщина
образца t = 2.7,дюйма. Нагружение (1900 фунт) реального образца осущест-
вляется через пальцы, вставляемые в отверстия. Форма исследуемого образ-
ца (с учетом штриховой линии) упрощена (она показана сплошной линией);
к поверхностям АА' и ВВ' прикладывались касательные нагрузки. Все разме-
ры указаны в дюймах.
вторичный расчет по программе NASTRAN, в котором использо-
вались четыре слоя элементов на полутолщине образца. При этом
всего было 32 элемента и 245 узлов, а время расчетов равнялось
85 CPU. Вблизи выреза результаты существенно не улучшились,
но точность решения по толщине образца стала несколько выше.
(в) Образец с двумя краевыми надрезами 1131. Схема дискрети-
зации образцов с двумя краевыми надрезами, изготавливаемых
для малоцикловых усталостных испытаний различных анизотроп-
ных сплавов, используемых в турбостроении, показана на рис. 8.25.
Для моделирования 1/8 части образца использовалось 26 поверх-
ностных элементов, образованных 93 узлами, с квадратичным из-
менением на них геометрии и функций. Исследование выполнялось
как для изотропных, так и для трансверсально изотропных мате-
риалов, нагруженных в направлении оси Z.
На рис. 8.26 показано изменение oz по основанию надреза для
этих двух материалов. В обоих случаях максимальное напряже-
ние возникает в центре образца и лишь незначительно меняется
Рис. 8.22. Дискретизация образца для испытаний. Моделировалась четверть образца (Y > О, Z > 0). а — расчет МГЭ
(BASQUE); б - расчет МКЭ (NASTRAN).
Улучшенная схема дискретизации образца
по его толщине вблизи выреза
300
Расстояние по толщине (нормированное) 7,2/t
Рис. 8.23.
Рис. 8.24.
Рис. 8.25.
8.11. Примеры
2.5г
□ Изотропный материал
о Трансверсально изотроп-
ный материал
_____1_____1_____|_____।
О 1 2 3 4Y?R
Рис. 8.26. G — среднее напряжение в сечении по основанию надреза, И —
радиус надреза.
в центральной части, составляющей 50—75% толщины образца,
но резко убывает при приближении к свободной поверхности. Ра-
счет в анизотропном случае был выполнен с использованием про-
цедуры численного построения фундаментального решения, пред-
ложенной Уилсоном и Крузом [15, 16] и описанной в гл. 6. На
рис. 8.26 представлены также значения, соответствующие услови-
ям плоской’ деформации.
(г) Исследование диска турбины с краевой прорезью [141. Крае-
вые прорези в диске турбины, служащие для закрепления лопа-
ток рабочих колес газовой турбины, приводят к концентрациям
напряжений в краевой части диска в результате инерционного
нагружения диска и прикрепленных к нему лопаток. Для подвода
охлаждающего воздуха к-лопаткам турбины в краевой части диска
Рис. 8.27.
238
Гл. 8. Параметрические представления
Симметричная четверть модели Зля
испытания диска
Радиальная нагрузка
делаются отверстия для охлаждения, выходящие в краевые про-
рези диска. Исследование поля напряжений в области пересечения
краевых прорезей с отверстиями для охлаждения необходимо для
предсказания усталостной долговечности диска турбины при цикли-
ческом нагружении, а также для оптимизации формы отверстий
для охлаждения и краевых прорезей. В подобных задачах наи-
большую важность представляют трехмерные эффекты, проявляю-
щиеся в данном случае вблизи пересечений краевых прорезей с
отверстиями для охлаждения.
На рис. 8.27 показана модель диска для испытаний в сечениях,
параллельных краевым прорезям, и в поперечном сечении, а так-
же геометрия радиальных отверстий для охлаждения. Поскольку
8.11. Примеры
239
в этой модели удлинение лопаток не приводит к возникновению
трансверсального напряжения, с помощью гидравлических дом-
кратов в радиальном и тангенциальном направлениях приклады-
вались независимые нагрузки, позволяющие в результате их су-
перпозиции моделировать реальное состояние нагружения диска.
С обеих сторон в центре краевой прорези и отверстия для охлаж-
дения была установлена измерительная аппаратура, и замеренные
результаты были осреднены (модель была симметричной).
На рис. 8.28 показана трехмерная дискретизация конечными
элементами геометрии четверти краевой прорези с отверстием для
охлаждения, выполненная с использованием восьмиузловых изо-
параметрических элементов. Это привело к очень грубому моде-
лированию задачи и потребовало 1.5 ч времени для расчета на
ЭВМ IBM 370/168. Для того чтобы получить более детальное
представление о поведении решения в краевой прорези и отверстии
для охлаждения, были проведены дискретизации МГЭ (рис. 8-29)
области ABCD (рис. 8.28). В первой из них использовались
436 плоских треугольных элементов с линейными изменениями на
них сил и смещений (BINTEQ), в то время как во второй — 97 изо-
параметрических поверхностных элементов с квадратичными из-
менениями (BASQUE). Смещения, полученные методом конечных
элементов, были использованы в качестве граничных условий на
верхней и нижней поверхностях моделей МГЭ.
Значения коэффициента концентрации деформаций (определен-
ного как отношение локальных деформаций к номинальным) в от-
верстии для охлаждения, полученные путем натурных испытаний
и моделирования МГЭ (рис. 8.29), приведены на рис. 8.30. Мак-
симум деформации, предсказываемый программой BINTEQ, при-
мерно на 8% ниже, чем по данным испытаний, тогда как для про-
граммы BASQUE занижение составляет всего 1%.
Время расчета для программы BINTEQ было порядка 1 ч; по
сравнению с 11 мин, требуемыми для программы BASQUE, это
убедительно доказывает преимущества моделирования с исполь-
зованием дискретных элементов высшего порядка.
(д) Поле внутри сердечника трансформатора 1171. Ток плот-
ностью J, текущий по спирали, является источником магнитного
потенциала р, удовлетворяющего уравнению Пуассона
V2/’ = —М
всюду в спирали, где р0 — магнитная проницаемость свободного
пространства. В воздухе, окружающем спираль, мы имеем
V2/7 — о,
причем магнитная проницаемость сердечника считается равной
бесконечности.
В силу симметрии задачи относительно обеих осей (рис. 8.31)
достаточно рассмотреть лишь один квадрант, показанный
240
Гл. 8. Параметрические представления
Рис. 8.29. а — модель, использующая 436 плоских треугольных элементов
(BINTEQ); б — модель, использующая 97 квадратичных изопараметричес-
ких элементов (BASQUE).
Рис. 8.30.
8.11. Примеры
241
на рис. 8.32, где области А1г А2 соответствуют сечениям спиралей
с плотностями тока и J2 соответственно, удовлетворяющими ус-
ловию JiAi + J2A2 = 0, так как суммарный ток равен нулю.
Область А3 соответствует части сечения, не занятой спиралями.
Таким образом, может быть поставлена следующая задача: найти
решение уравнения
v* 8p = j—1
А1/Аг
в А3,
в Av
в А2,
О
удовлетворяющее граничному условию дрТдп. = 0 всюду на внеш-
ней границе прямоугольника.
На внутренних границах между \ п
областями должны выполняться у
обычные условия непрерывности
р и dpldn.
Данная задача была решена
МГЭ при трех различных схемах
дискретизации. В МГЭ-1 и МГЭ-2
использовались квадратичные
Рис, 8.32.
Ж///////////////
Рис. 8.31.
граничные и внутренние граничные элементы с общим числом узлов
26 и 38 соответственно, тогда как дискретизации МГЭ-С соответст-
вовали 47 граничных и внутренних граничных элементов, на кото-
рых переменные имели кусочно-постоянные значения. Схемы ди-
скретизации МГЭ-1 и МГЭ-2 показаны на рис. 8.33 и 8.34 соответ-
ственно; при дискретизации МГЭ-2 было на 12 узлов больше, чем
в случае МГЭ-1, т. е. еще по два на каждой вертикальной стороне.
В табл. 8.1 сопоставляются результаты численных и аналити-
ческого решений [ 18] для компонент действующей на каждый про-
водник силы F вдоль осей х и у (в расчете на единицу длины в на-
правлении г). Компоненты этой силы могут быть получены путем
непосредственного применения теоремы Грина к соотношению
9—356
242
Гл. 8. Параметрические представления
Таблица 8.1
Сравнение результатов различных расчетов МГЭ
с аналитическим решением
МГЭ-1 МГЭ-2 мгэ-с Аналитическое решение
Максимальная погрешность для значений р в узлах, % 13.7 2.4 4.5 —
Средняя погрешность для зна- чений р в узлах, % 5.5 0.7 2.0 —
Fx в Аг, Н/м 4.83 4.43 4.46 4.46
Fy в А1г Н/м 1.17 1.41 1.34 1.42
Fx в Д, Н/м 5.50 4.84 4.71 4.76
Fy в А2, Н/м 2.29 2.55 2.48 2.54
между силой и grad р в плоскости ху. Так, для площади спирали
Ац мы имеем
(Fx)h = h\p (<2) «X (Q) dS (Q), (Fy)k = Jh$P (Q) ny (Q) dS (Q),
sk sk
где означает границу Ah-
Значения силы для всех трех схем дискретизации очень хорошо
согласуются с аналитическими результатами. Хотя в данной кни-
ге мы не рассматриваем специально применение МГЭ к задачам
теории электромагнитного поля, по этому вопросу имеется доволь-
но обширная литература, обзор которой содержится в книге Лина,
Фридмана и Векслера ]19].
Другие примеры успешных приложений МГЭ могут быть най-
дены в (20—31].
3. Литература
243
8.12. Заключительные замечания
Мы показали, что с помощью параметрических представлений
вдоль границы могут быть разработаны весьма элегантные алго-
ритмы, пригодные в случае непрерывно меняющихся граничных
условий, объемных сил и геометрии. Множество граничных эле-
ментов и используемых в настоящее время, и более сложных, кото-
рые могут потребоваться в дальнейшем, не столь уж велико. По-
этому для обеспечения окончательной коммерческой конкуренто-
способности МГЭ совершенно необходимо построить численные
квадратурные формулы, специально приспособленные к различным
типам ядер, возникающим при реализации МГЭ.
Хотя примеры, представленные в этой главе, вполне могли бы
убедить читателя в том, что уже сейчас МГЭ является полезным,
мощным и эффективным с точки зрения затрат орудием в руках
исследователя, использование обычных гауссовых квадратурных
формул является, по-видимому, главным препятствием, ограничи-
вающим в настоящее время диапазон его приложений.
8.13. Литература
hl Zienkiewicz О. С. The finite element method in engineering science. —
London: McGraw-Hill, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О. Метод ко-
нечных элементов в технике. —М.: Мир, 1975.]
[2] Thompson D’Arcy W. Growth and form. — Cambridge Univ. Press, 1917;
2nd ed., 1942.
[3] Fung Y. C. Foundations of solid mechanics. — Englewood Cliffs: Prentice-
Hall, 1965.
[4] McCrea W. H. Analytical geometry of three-dimensions. — Edinburgh,
London: Oliver and Boys; New York: Interscience, 1953.
[5] Ergatoudis J. G. Isoparametric finite elements in two and three-dimensional
stress analysis. -— Ph. D. thes. — Univ, of Wales, University College,-
Swansea; M. Sc. thes. — Univ, of Wales, 1968.
[6] Norrie H. N., Vires G. de. The finite element method. — London: Acade-
mic Press, 1973.
[7] Watson J. O. Advanced implementation of the boundary element method
for two and three-dimensional elasto-statics. — In: Developments in boun-
dary element methods. Ed. by P. K- Banerjee, R. Butterfield. Ch. III. —
London: Applied Science Publishers, 1979.
[8] Lachat J. C. Further developments of the boundary integral technique for
elasto-statics. —Ph. D. thes. —Southampton Univ., 1975.
[9] Lachat J. C., Watson J. O. Effective numerical treatment of boundary in-
tegral equations: a formulation for three-dimensional elasto-statics. —Int.
J. Num. Meth, in Engng, 1976, v. 10, p. 991—1005.
[10] Cruse T. A. An improved boundary integral equation method for three-
dimensional elastic stress analysis. — Computers and Structs, 1974,
v. 4, p. 741—754.
[11] Rizzo F. J., Shippy D. J. An advanced boundary integral equation method
for three-dimensional thermo-elasticity. — Int. J. Num. Meth, in Engng,
1977, v. 11, p. 1753—1768.
[12] Boissenot J. M., Lachat J. C., Watson J. O. Etude par equations integrals
9*
244 Гл. 8. Параметрические представления
d’une eprouvette С. Т. 15. — Revue de Physique Appliq., 1974, t. 9,
p. 611—651.
[13] Wilson R. B., Potter R. G., Cruse T. A. Calculations of three-dimensional
concentrated stress fields by boundary integral method. —.Paper presen-
ted to a symposium at Univ, of Connecticut, USA, 1978.
[14] Wilson R. B., Potter R. G., Wong J. K- Boundary integral equation ana-
lysis of an advanced turbine disk rim-slot. — Paper No. 14, Proc. AGARD
Conf., USA, 1978.
[15] Cruse T. A., Wilson R. B. Advanced applications of boundary integral
equation methods. — Nucl. Engng and Des., 1978, v. 46, p. 223—234.
[16] Wilson R. B., Cruse T. A. Efficient implementation of anisotropic three-
dimensional boundary integral equation stress analysis. — Int. J. Num.
Meth, in Engng, 1978, v. 12, p. 1383—1397.
[17] Wu Y. S., RizzoF. J., Shippy D. J., Wagner J. A. An advanced boundary
integral equation method for two-dimensional electro-magnetic field prob-
lems. — Electromech., 1977, V. 1, p. 301—303.
[18] Binns K- J., Lawrenson P. L. Analysis and computation of electric and
magnetic field problems. — New York: Macmillan, 1963.
[19] Lean M. H., Friedman M., Wexler A. Advances in application of the boun-
dary element method in electric engineering problems. — In: Developments
in boundary element methods. Ed. by P. K, Banerjee, R. Butterfield. Ch.
IX. — London: Applied Science Publishers, 1979.
[20] Patterson R. E. Stress concentration design factors. — New York:Wiley,
1963.
[21] Hess J. L. Higher order numerical solutions of the integral equation for
the two-dimensional Neumann problem. — Comp. Meth, in Appl. Meeh.
Engng, 1973, v. 2, p. 1—15.
[22] Hess J. L. The use of higher order surface singularity distributions to ob-
tain improved potential flow solutions for two-dimensional lifting airfo-
ils. — Comp. Meth, in Appl. Meeh. Engng, 1975, v. 5, p. 11—35.
[23] Hess J. L. Improved solutions for. potential flow about arbitrary axi-
symmetric bodies by the use of a higher order surface source method. —
Comp. Meth, in Appl. Meeh. Engng, 1975, v. 5, p. 297—308.
[24] Hess J. L. Consistent velocity and potential expansions for higher order
surface singularity method. — Rep. MDC J6911, McDonnel Douglas Air-
craft Corp., Long Beach, 1975.
[25] Banerjee P. K., Cathie D. N. An advanced boundary element algorithm
for two-dimensional elasticity and elasto-plasticity, 1981 (в печати).
[26] Banerjee P. K., Davies T. G. An advanced boundary element algorithm for
three dimensional elasticity and elasto-plasticity, 1981 (в печати).
[27] Rizzo F. J., Shippy D. J. Recent advances of the boundary element method
in thermo-elasticity. — In: Development in boundary element methods.
Ed. by P. K. Banerjee, R. Butterfield. Ch. VI. — London: Applied Sci-
ence Publishers, 1979.
[28] Grodtjaer E. A direct integral equation method for potential flow about
arbitrary bodies. — Int. J. Num. Meth, in Engng, 1973, v. 6, p. 253—264.
[29] Nedelec J. C. Curved finite element method for the solution of singular
integral equations on surfaces in R3.— Comp. Meth, in Appl. Meeh. Engng,
1976; v. 8, p. frl—80.
[30] Argyris J. H., Scharpf D. W. Two and three-dimensional potential flow
by the method of singularities. —Aero. J. of the Roy. Aero. Soc., 1969,
v. 73, No. 11, p. 959—961.
[31] Baratanow T., Speheit T. Hydrodynamics of ice resistance, part 1: founda-
tion of the method of analysis. — Tech. Rep. ENG 76-00354, Nat. Sci.
Foundation, Grantro, 1977.
Глава 9
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ О ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
ТЕЧЕНИЯХ (ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ)
9.1. Введение
Во всех предыдущих главах мы имели дело со стационарными
системами, т. е. с такими, в которых ни искомые переменные, ни
граничные условия не изменялись со временем. Однако очень мно-
гие практически важные задачи в действительности включают
«переходные» (или нестационарные) явления, простейшими из
которых являются многочисленные процессы, описываемые линей-
ным уравнением «диффузии». Помимо классической диффузии
газов и жидкостей наибольший интерес для инженера-исследова-
теля могут представлять такие процессы, как нагрев и охлаждение
тел, консолидация материалов типа грунтов под нагрузкой, а так-
же электрические и гидравлические диффузионные явления.
Основным библиографическим источником аналитических ре-
шений, функций Грина и т. д. для уравнения диффузии (называе-
мого также уравнением теплопроводности) является известная книга
Карслоу и Егера [1]. Существует также обширная литература
по численным решениям, которая может быть классифицирована
(безотносительно к использованному при этом методу решения:
МГЭ,-МДЭ, метод конечных разностей и т. д.) по принципу, осно-
ванному на обращении с зависящим от времени членом, входящим
в уравнение.
Используются в основном два метода: либо (1) пошаговый про-
цесс изменения времени, в котором решение находится, последо-
вательно через определенные временные интервалы, отсчитываемые
от первоначально заданного состояния, либо (2) преобразование
Лапласа по времени, переводящее уравнение диффузии (парабо-
лическое) в эллиптическое, сходное с уравнением Пуассона, кото-
рое может быть решено в пространстве изображений при помощи
техники, описанной в гл. 3 и 5.
Опубликованные ранее работы, посвященные применению гра-
ничных интегральных уравнений к решению уравнения диффузии
[2—5, 9—11] (из которых наиболее плодотворной была работа Том-
лина [2], решившего при помощи НМГЭ ряд задач о консолидации
общих анизотропных кусочно-однородных грунтовых систем), ог-
раничивались главным образом задачами, в которых отсутствовали
распределенные по объему тела зависящие от времени источники.
Настоящая глава представляет собой обобщение наших более ран-
них результатов, учитывающее все подобные эффекты [6, 11].
246 ' Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
9.2. Основные уравнения
Уравнение, которое нам предстоит решить, может быть записано
в виде
Сцд2Н {y^ldijidijj = дН (y7t)/d7—Q(y,7), (9.1)
где, например, для задачи теплопроводности скалярное поле
определяет температуру в произвольной точке yt области V в мо-
мент времени f,Cy — тензор коэффициентов температуропроводно-
сти, a Q(y,t) — заданная интенсивность зависящих от времени
источников и стоков, распределенных по всей области V.
Как было указано выше (§ 5.1), уравнение (9.1) может быть
сведено к эквивалентному изотропному виду (с коэффициентом
диффузии С) путем выбора направления осей у t вдоль главных осей
тензора Ci} и подходящего геометрического масштабирования
задачи. Кроме того, всегда полезно представить исходное уравне-
ние в безразмерной форме, позволяющей помимо большей общности
решения выбрать диапазон изменения безразмерных переменных
таким образом, чтобы улучшить обусловленность различных мат-
риц за счет сужения диапазона значений их элементов. В данном
случае мы будем использовать, скажем, р = Н1Н0 (Но — произ-
вольное значение Н) и разделим наши преобразованные коорди-
наты на некоторый характерный размер L, так что в результате
они перейдут в безразмерные координаты хг. Тогда безразмерное
время находится как t = Ct/L2. Теперь наши обозначения соот-
ветствуют использованным в главах, посвященных стационарным
течениям, и уравнение (9.1) можно переписать в виде
д2р (х, t)ldxi дх; —др (x,t)/dt = —ф (х,/), или у2р =dpldt—ф. (9.2)
Для компонент вектора скорости v t в произвольной точке имеем
выражения
vi (х> 0 — — др (х, t)/dxt, (9.3)
и, следовательно, поток и через некоторую границу, заданную
положением своей внешней нормали nt(x), равен
u (х, t) = vini — — (dp/dxt) (j?.4)
В корректно поставленной задаче граничные условия задаются
соотношениями
1) р(х, 0) = f(x), скажем, везде в V при ? = 0;
2) р (х0, t) = g (х0, t) на части границы S при всех значе-
ниях времени (х0 £ Sx);
3) и(х0, t) = h(x0, t) на остальной части S2 границы S (x0gS2).
Кроме того, на части границы S или на всей этой границе может
быть задана линейная комбинация и и р (так называемое конвек-
тивное граничное условие)
9.4. Соотношения прямого МГЭ
247
Ир(х0, /) + Ви(х0, t) = q(x0, t). (9.5)
Условия 2 и 3, очевидно, являются частными случаями (9.5).
Наша задача состоит в построении алгоритмов МГЭ для отыска-
ния решений уравнения (9.2), удовлетворяющих указанным выше
граничным условиям в области V при всех значениях времени t.
9.3. Фундаментальное сингулярное решение
Требующееся нам фундаментальное решение описывает реак-
цию в точке xt в момент времени t на действие единичного сосредо-
точенного источника, помещенного в точку Ег неограниченной об-
ласти в момент времени т. «Мгновенный» единичный точечный ис-
точник снова описывается при помощи импульсной функции
Дирака, записываемой теперь полностью в виде б(х, /; J-, т); такое
обозначение, кажущееся на первый взгляд громоздким, сохраня-
ется далее для того, чтобы проследить роль каждого из аргументов
в проводимых ниже преобразованиях. Если снова ввести функцию
Грина G(x, t\ Е, т) для неограниченного пространства, то в соответ-
ствии с (9.2) она должна быть решением уравнения
d^GIdxidXi — dGIdt = —8(х, t\ I, т), или = dGIdt — 8. (9.6)
Решение последнего уравнения известно и имеет вид [1]
G (х, t\ Е, т) = ехр {— г2/[4 (/ — ?)]} [4к (t — -с)]~т, (9.7)
где г2 = ZjZi, zt = xi — Е г и 2m — число пространственных изме-
рений задачи. Мы будем иметь дело в основном с плоскими случая-
ми (i = 1, 2; т = 1), хотя проведенный анализ остается справед-
ливым при любом значении I.
«Направленный» поток F, обусловленный G, дается выраже-
нием
F (х, t\ Е, т) = — (dGldxt)nt = (G/2) [z( ntl(t — ?)]. (9.8)
Интегрирование указанных выше решений по отрезкам прямых
и по треугольным площадкам оказывается весьма поучительным;
этому посвящен § 9.7.
9.4. Соотношения прямого МГЭ
Хотя соотношения прямого МГЭ могут быть получены непо-
средственно с помощью тождеств Грина [11, 12], вероятно, полез-
нее воспользоваться незначительным обобщением процедуры ин-
тегрирования по частям, описанной в § 3.5, чтобы пояснить новые,
возникающие при этом операции интегрирования по времени.
Во всей рассматриваемой области нужно умножить уравнение
(9.2) на G и проинтегрировать по частям дважды по х и один раз
по времени т. Интегрирование по пространственным переменным
248
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
выполняется точно так же, как и ранее, и в плоском случае, разоб-
ранном в § 3.5, снова приводит к уравнению (3.28), которое с уче-
том (9.4) и (9.8) принимает вид
f G\ppdA — [ (pF,.— Gu) dS + [ ру2 GdA.
as л
Подставляя сюда vzp и y2G из (9.2) и (9.6), мы будем иметь
f G(dp/dt — ф)dA = f (pF —Gu)dS+\p(dG/dt — Z)dA. (9.9)
"A S A
Следует иметь в виду, что в этом уравнении член типа $pFdS
s
является сокращенной записью Jp(x, t)F(x, t; g, x)dS(x). Мы можем
s
отметить также тесную связь между появлением таких членов,
как (х — |) i и t — т в G (формула (9.7)) и F. В самом деле, мы мог-
ли бы ввести вспомогательные координаты, скажем х4 = t и =
= тв случае трех измерений, и учесть зависимости от времени
просто путем увеличения размерности нашей основной задачи,
всегда помня при этом, что источники, введенные в момент вре-
мени т, могут оказывать влияние лишь на события, происходя-
щие в более поздние моменты времени (т. е. дискретные события
вдоль оси времени не оказывают влияния на предыдущие). Отсю-
да следует, что для получения соотношений ПМГЭ уравнение (9.9)
надо проинтегрировать еще раз — на этот раз по времени. Рисунок
9.1 поясняет, почему для суммирования эффектов от мгновенных
источников, действующих во все моменты времени 0^’т<оо,
Рис. 9.1. Пространственная и временная области в случае плоской задачи
диффузии.
9.4. Соотношения прямого МГЭ
249
мы должны положить t = т во всех членах (9.9), содержащих
р(х, t), и(х, t) и др(х, t)ldt, а затем проинтегрировать по т от
т = 0 до т = t.
Удобным обозначением, применяемым для этой операции, яв-
ляется свертка Римана, которая записывается в виде [29]
t
[ф(х, /—т)х(х, т)Л=(ф*х)(х, t), (9.10)
о
где <р определена при 0< t оо и ф(х,Г) = 0. Этому условию
удовлетворяют функции G и F при стремлении t к границе по t,
как и ранее, «изнутри» области при т — t~ и т — 0+соответственно.
Свертка (ф * х) обладает всеми групповыми свойствами: комму-
тативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью.
С использованием этого обозначения интегрирование урав-
нения (9.9) по т приводит к соотношению
{t
[Gplo — f Р (dG/дт) dx — (G* ф)
о
dA =
t
= J (F*p —G*u)dS~F fj p(dG/dt)dAdz — ap(Sj, t).
S 0 A
Последний член получается- с учетом следующего свойства дельта-
функции:
t
т)8(х, t\ Е, т) dA dt — ар (Ё, /),
О А
где а = 1 для %} внутри V и а = 0, если |г находится вне V. По-
скольку G(x, G £, Г) = 0, как упоминалось выше, р(х, 0) =f (х)
и dGIdt = — dGJdr, то окончательно мы имеем
ap(t, t) = ^F*p — G*u)dS+ J(G*ф +fG)dA, (9.11)
S A
где член G в обычном произведении fG равен G(x, t; E, 0).
Соотношение (9.11) представляет собой выражение для потен-
циала р(£, t) в произвольный момент времени t, обусловленного
начальными источниками /(х), зависящими от времени источниками
Ф(х, t) внутри V и всеми (как известными, так и неизвестными)
граничными значениями потенциала и потока на поверхности S.
Отметим, что ядра, содержащие G и F, имеют особенности при £->-
х и т-> t. Тем не менее, как было выяснено в гл. 7, интегралы
от них существуют в обычном смысле и в смысле главного значения
по Коши соответственно. Ядра, кроме того, «обладают хорошим
поведением» на всех бесконечно удаленных границах, и, следова-
тельно, в отличие от плоских стационарных задач в данном случае
250
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
не потребуется вводить дополнительные члены. Первоначально
неизвестные граничные данные можно вычислить при помощи те-
перь уже стандартного приема устремления g к граничной точке
£0; при этом (9.11) принимает вид
«Р(?о» = 0+ ( (F*p— G* u)dS +
+ f (G * + fG)dA, (9.12)
A
где а» — телесный угол, образуемый границей в точке £0. Если
граница гладкая (т. е. имеет единственную касательную плос-
кость), то со = 2л.
Соотношения (9.11) и (9.12) составляют полную систему соот-
ношений ПМГЭ для решения задачи диффузии. Все выкладки ос-
таются справедливыми для объема V, ограниченного поверхностью
S; для этого достаточно в уравнениях просто увеличить простран-
ственные размерности А и S.
9.5. Соотношения непрямого МГЭ
Соотношения НМГЭ могут быть получены из соотношений
ПМГЭ, что можно строго обосновать при помощи приема, впервые
предложенного Ламбом [8].
Рассмотрим дополнительную
область V+, внешнюю к V, имею-
щую с ней общую границу 5, но
не содержащую внутренних ис-
точников (ф+ = 0), в которой
начальные значения р равны ну-
Рис. 9.2. Внутренняя и внешняя об-
ласти и нормали к их границе.
лю (т. е. [+ = 0; рис. 9.2). Если
граничные распределения р и и
на общей поверхности S облас-
тей V и V+ обозначить, ска-
жем, через р+ и и+, то в V+,
согласно (9.11), будем иметь
а+р (g, t) = J (— F *p+ — G * u+) dS,
s
(9.13)
где изменение знака перед F обусловлено противоположностью
направлений внешней нормали к S в V и V+ (рис. 9.2). Записывая
одновременно (9.13) и (9.11) для произвольной внутренней точки
V, получаем
0 = [ (— F * р+ — G * u+)dS,
(9.14а)
9.5. Соотношения непрямого МГЭ
251
р(Ъ t) = J( F * р — G *u)dS+ $(G*ty + fG)dV. (9.146)
s v
Теперь мы можем выбрать р+ и и+ таким образом, что р = р+,
и ввести новую плотность распределения граничных источников
и + н+ = —<р; после суммирования уравнений (9.14) это дает
p(g, /)= J (G*q>) dS+,$(G*$ + fG)dV. (9.15)
s v
Так как G симметрична относительно х и g, можно поменять их
местами; при этом интегрирование будет проводиться по J и т,
и уравнение (9.15) в развернутой записи будет иметь вид
р(х, t)— J[G(x, t; Е, т)*<р(Е, T)]dS +
s
+ f[G(x, f, g, т)*ф(Е, T) + f(g, r)G(x, t- g, 0)]dV. (9.16)
v
Дифференцируя (9.16) по x и учитывая (9.4), мы можем вычис-
лить компоненты потока в направлении п в точке х'.
и(х, t)= \(F*<p)dS + \(F*ty + fF)dV. (9.17>
s V
Здесь аргументы такие же, как и в (9.16).
Окончательные соотношения НМГЭ получаются при устремлении
х к х0 на границе S изнутри V, а именно
р(х0, t)= J (G*q>)dS + f (G*ф + fG)dV,
s v
c (9-18)
u(x0, t) = [u>/(4T:)]<p (x0, t) + I (F * <p)dS +
s
+ $(F*^ + fF)dV.
v
Отличие соотношений прямого и непрямого МГЭ от аналогич-
ных соотношений для стационарного случая состоит только в сле-
дующем:
1) появляется интегрирование, обусловленное одним допол-
нительным измерением (временем) (что выражается свертками
(F*(p), ...);
2) соответствующим образом увеличивается размерность син-
гулярного решения;
3) в правой части окончательных уравнений появляются допол-
нительные слагаемые, порождаемые заданными внутри области
начальными значениями потенциала р(х, 0) = f(x).
252 Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
В принципе решение теперь строится так же, как и ранее, за
исключением того, что с тем слагаемым в исходном уравнении, ко-
торое обусловливает зависимость от времени и переводит уравне-
ние из эллиптичёского в параболическое, можно обращаться нес-
колькими различными способами.
9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ
9.6.1. Решение при помощи преобразования Лапласа
Наиболее мощные аналитические методы решения уравнения
диффузии (а также и других классов задач, в которых появляются
интегралы типа свертки, в частности задач вязкоупругости; см.
гл. 10) основаны на применении преобразования Лапласа по вре-
мени [1,13]. Некоторые авторы, главным образом Риццо и Шиппи
[5, 9], предложили использовать эту технику совместно с МГЭ, и,
хотя мы считаем, что вряд ли это приводит к сколько-нибудь су-
щественному преимуществу по сравнению с иными численными
процедурами, на главных особенностях этого метода стоит остано-
виться.
Основная привлекательная его особенность состоит в том, что
после выполнения преобразования по времени размерность диффе-
ренциального оператора уменьшается на единицу и параболическое
уравнение переходит в эквивалентное эллиптическое. Мы уже убе-
дились в чрезвычайной эффективности МГЭ применительно к ре-
шению эллиптических (стационарных) задач, и поэтому целесо-
образно выяснить, имеются или нет преимущества в комбинирова-
нии МГЭ с преобразованием Лапласа.
Метод решения состоит из следующих основных этапов.
1. Преобразование по Лапласу функции р(х, f), результат кото-
рого затем обозначается через р* (х, s):j
ГР* (х, s) = X [р (х,Ц/)] = J p\x,\t) e~si dt. (9.19)
о
Уравнение диффузии (9.2) и граничные условия (9.5) в результате
преобразования £ переходят (при нулевых начальных условиях) в
d2p* (x,r s)!dXi дхД+ sp* (х, s) = —ф* (х, s) |(9.20а)
и
Ар* + Ви* = С*. (9.206)
Можно показать, что вычисление преобразования ф(х, t) связа-
но с серьезными трудностями, и поэтому Риццо и Шиппи ограничи-
лись случаем ф = 0.
2. Построение фундаментального решения G* уравнения (9.20а);
так как, очевидно, G* = ^f(G), где G определено формулой (9.7),то
9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ 253
С* = (1/2)т<0(/Г/г), (9.21)
где г2 = (х — £) i(x — Е)г и Ко — модифицированная функция Бес-
селя второго рода нулевого порядка.
3. Решение задачи относительно р* в области V, что достига-
ется применением ПМГЭ к уравнению (9.20а) с использованием
G* (и соответственно F*), а именно
р* (В, s) = J (p*F* — u*G*) dS.
s
Главная трудность состоит в вычислении/ХЕ, t) по /;*(Е, s), (т. е.
в получении обратного преобразования функции р*). Для этого,
однако, до сих пор не существует универсального численного мето-
да; в тех же, которые используются в настоящее время, требуется
сначала найти />*(|, s) для некоторой последовательности действи-
тельных значений параметра s, и только после этого по таким об-
разом полученной последовательности Значений р*(Е, з) можно
вычислить р(В, t) [5]. Так как вид преобразованных ядер становит-
ся более сложным, а ф вообще исключается из задачи, то более
многообещающим кажется использование соотношений МГЭ (со-
отношений (9.11), (9.12) и (9.16)—(9.18)) одновременно с пошаговой
процедурой увеличения времени t (а не параметра s).
9.6.2. Пошаговые процессы изменения времени
Суть подобных процессов состоит в последовательном увеличе-
нии времени «шагами» на величину приращения Ат от t — 0 до
заданного значения т = Л/Ат за N таких шагов. При этом немед-
ленно возникает следующий основной вопрос: существуют ли огра-
ничения на величину Ат, поскольку с точки зрения вычислительной
эффективности несколько крупных шагов могут быть более,
предпочтительными, чем большое число мелких?
Опубликованные результаты, касающиеся допустимых значе-
ний приращения (безразмерного времени) Ат, связаны главным
образом с методами конечных разностей (очень хороший обзор
основных проблем сделан Кренделлом [14]) и методами конечных
элементов, для которых Смит [15] получил очень интересные резуль-
таты об использовании аппроксимаций более высокого порядка
при экспоненциальном изменении р со временем, позволяющих
проводить расчеты с более крупными шагами. При использовании
схем с дискретизацией всей области в сочетании с обычной явной
разностной схемой по времени сходимость гарантируется, если отно-
шение Ат/(Ах)2 не превышает 1/2, где Ах — пространственный шаг
сетки или размер элементов 128). Так, в типичном случае, скажем,
Ах = L/10, и, следовательно, Ат С 0.005. Хотя, как упоминалось
выше, применительно к МГЭ эти вопросы не являются столь же
детально изученными, Томлин [2], например, успешно применял
254
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
подобную пошаговую схему с Ат = 0.04 0.005 для прямоуголь-
ной области и Ат = 0.05 для полого цилиндра (см. ниже в разд. 9.8
примеры 1 и 2), а Шоу [ 16] использовал Ат = 0.05 0.002 при
изучении процесса нестационарного охлаждения плоской области.
Анализ уравнений (9.12) и (9.18) в то же время показывает, что
соотношения МГЭ являются неявными по времени (т. е. различные
величины в момент времени t = N&t выражаются через интегралы
по границе, содержащие как известные, так и неизвестные гранич-
ные значения переменных и заданные вплоть до момента времени
t интенсивности внутренних источников). Поэтому, если в дискре-
тизированной системе не вводится грубых аппроксимаций в об-
ласти изменения времени, то критерий, гарантирующий устойчи-
вость, должен быть менее ограничительным, чем указанный
выше.
В основном используются два различных пошаговых процесса
изменения времени, оба приводящие к системам уравнений отно-
сительно мгновенных значений переменных в пространстве, но в
последовательные моменты времени.
Метод I. В установленных выше соотношениях прямого и не-
прямого методов временная переменная трактуется фактически
точно так же, как и пространственные. Поэтому плоскую задачу
диффузии в соответствии с рис. 9.1 можно рассматривать как «трех-
мерную», где третьей пространственной переменной является вре-
мя, и строить решение ее непосредственно в момент времени t. «Гра-
ницы», образованные прямыми, параллельными оси времени, можно
разбить на элементы, размеры которых, вероятно, могут увеличи-
ваться со временем (например, логарифмически [17]) по мере при-
ближения к стационарному решению. Основная идея метода гранич-
ных элементов сводится к полной дискретизации пространственных
и временных границ (рис. 9.1) и определению всех неизвестных ве-
личин на границе, по которой могут быть вычислены любые значе-
Время
Рис. 9.3. Определение областей и граничных условий «в одномерном» случае.
9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ
255
ния р(£, t), и других переменных с учетом того, что источники,
введенные при т > t, не оказывают обратного влияния при т < t.
Все основные особенности этого алгоритма мы продемонстри-
руем на примере решения общей одномерной задачи при помощи
ПМГЭ. Рассмотрим плоскость х, t на рис. 9.3 и однородную одно-
мерную область, простирающуюся от х = 0 до х = 1 (L = 1),
с заданным вдоль нее начальным распределением потенциала f(x, 0).
Другими границами в нашей задаче являются прямые, парал-
лельные оси времени, вдоль которых мы можем считать заданными,
например, постоянные значения потенциала pt и р2. При этом мы
немедленно придем к выводу, что в результате оба граничных пото-
ка ut и и2 будут неизвестными функциями времени. По аналогии
с уравнением (2.24) соотношение (9.11) ПМГЭ будет теперь иметь
вид (заметим, что в одномерном случае и = v)
L
P&t) = -[G*u-F*p]L+ \(fG + G*^dx, (9.22)
о
где в соответствии с (9.7) и (9.8)
с = ехР F = -_^-rSgnr, r=x-l (9.23)
2 У X (t — т) 2 (t — т)
Так как pt и р2— константы, свертки F * р{ и F * р2 можно
вычислить аналитически. Имеем
t
/Г \ Г ехр {—г2/[4(< — т)]} ,
(F * ft) •= ptr sgn г —dr =
J 4 1/
°
= -y- (sgn r) erfc
(9.23а)
где erfc (z) = 1 — erf (2), a erf (z) — функция ошибок, определяе-
мая как
p _ 2
erf (z) = (2/yл) j e dt.
0
Если бы вместо px — const было задано ft = const, то свертки
типа G*ux также можно было бы вычислить аналитически:
f exp {— r2/[4 (7 — т)]} _
J 2^-^
= WtR exp [— r2/(4/)l — (I r |/2) erfc | r/(2 yF) | ]. (9.236)
Рассмотрим для простоты случай ф = 0 и f — const = G, когда
Ifi * ft
256 Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
последний член в (9.22) с учетом выражения для G(x, t; 5, 0) из
(9.23) принимает вид
f GGdx = f 6--p[~£2/(4/)1 & = 20 [erf frH erf(—^гУ1 • (9.24)
J J 2 /к t'/2 L \2 yT 1 \2 yt /J
Тогда, устремляя в (9.22), (9.23a), (9.24) | поочередно к гра-
ницам L~ и 0+, получаем
Г-Gx
G2
g2'
Gx.
(1/2) erf (0.5L//F) '
1/2
J erf —"zr »
( \2 И /
I = (Px
J iPa
1/2
(1/2) erf (0.5L//T)
*
4-20
(9.25)
где G{ = G(L, t', L~, t), G2 = G (0, t', L~, т), и в силу симметрич-
ности G они совпадают с G(0, t', 0+, т) и G(L, V, 0+, т) соответст-
венно.
Теперь мы можем отметить одно существенное обстоятельство:
хотя формула (9.25) (включая и коэффициенты 1/2 при /?f и />2) ана-
логична соответствующей формуле для стационарной задачи,
произведения Gnu являются свертками. Следовательно, мы долж-
> ны, как и следовало ожидать, провести дискретизацию оси времени
таким образом, чтобы каждый из членов типа G* и выражался,
скажем, через п дискретных значений обеих функций ui и и2 на
интересующем нас временном интервале (0, /).
На N-м шаге по времени члены типа G* и можно записать в
виде
6=МД-с (N— 1)Д-
[ G(x, t; 5, т) и (х, t)dt = [ G (х, /; g, т) и (х, x)dx 4-
о 6
МДт
4- G(x, t; 5, т) и (х, x)dx, (9.26)
{N—1)Д»
где первый интеграл в правой части содержит известную инфор-
мацию о решении за предыдущие N — 1 шагов по времени. Поэто-
му, если мы предположим, что ut и и2 остаются постоянными в те-
чение интервала Ат, соответствующего шагу по времени, то урав
нения (9.25) перейдут в следующие:
МДг
(М-1)Дт
G2 Gx
01 ~°21 dx
H V 4-
1&2J J
9.6. Решение уравнений прямого, и непрямого МГЭ
257
Г —1/2 (1/2) erfc (0.5L//7)! (рО
+ [(1/2) erfc (O.5L//7) —1/2 (р2) +
+2’{!}ег,Нт)’ (9-27)
Теперь уравнения (9.27) можно разрешить относительно значе-
ний щ и и2 в момент времени Г, так как их правые части содержат
лишь известные величины. Важно отметить также, что при наличии
решения на Л/-м шаге по времени (N = 1,2, ...) для получения ре-
шения на (N + 1)-м шаге к правой части (9.27) требуется просто
добавить новые члены, содержащие свертки F * р и G * и по
временным интервалам {jVAt, (Л/ + 1)Ат} и {(Л/ — 1)Ат, NАт}
соответственно.
Описанный выше процесс пошагового изменения времени, пред-
ложенный Шоу [16] и другими авторами, является, вероятно, наи-
более эффективным при использовании как прямого, так и непря-
мого МГЭ. Однако для связанных задач диффузии и теории упру-
гости, относящихся, например, к нестационарным теориям термо-
упругости и консолидаций, описанная выше процедура не явля-
ется достаточно общей и предпочтительнее оказывается метод,
излагаемый ниже.
Метод 2. В гл. 12 будет показано, что наличие нелинейностей
в исходном дифференциальном уравнении при формулировке
МГЭ можно преодолеть посредством модификации члена Q в урав-
нении (9.11), отвечающего действию внутренних источников. Та-
ким образом, в самом общем алгоритме решения задач диффузии,
учитывающем возможность изменения со временем и граничных
условий, и интенсивностей внутренних источников, которые к тому
же определяются только в результате решения связанных систем
дифференциальных уравнений (как в теории консолидации или
термоупругости), удобнее следующий процесс пошагового изме-
нения времени.
Для простоты представления р и и их значения будут считаться
постоянными на любом временном шаге Ат, a Q(x, т) будет заменять-
ся своими средними значениями на каждом шаге. Значения
р и и на произвольном граничном элементе могут быть представле-
ны в виде р(х, т) = N(x)p и и(х, т) = N(x)u, где N(x) — изопарамет-
рические базисные функции, арии — векторы узловых значе-
ний р и и. Естественно, что на элементах Ат вдоль оси времени так-
же можно было бы ввести некоторые базисные функции. Однако,
насколько нам известно, этого еще никто не делал, хотя работа
Смита [15], касающаяся аппроксимаций Паде и Нёрсетта экспонен-
циальных функций, нашла бы здесь свое прйменение [26].
В соответствии с изложенным выше запишем соотношение (9.12)
для р-го граничного узла на гладкой части границы:
258
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
(1 /2) р (W>, t) = ^(F^p’—Gwu?) + У(С* 4»z + fz),
<7=1 /=1
где
At
Fw= ^dt f F'(x9, t; &>, z)N(xi)dSQ,
b \sQ
Дт
G«= рт f G(x", t; W, i)N(x«)dSq,
6 AS?
At
</z= pT f G(xz, t\ T)M(xz)dVz,
0 AV,
(9.28)
(9.29)
DpZ = J G(xz, t; ¥, O)M(xz)dVz,
AVZ
причем M(xz) — базисная функция для /-й ячейки. В силу пред-
положений о постоянстве р и и на Ат слагаемые первой суммы в
правой части уравнения (9.28) могут быть вычислены при помощи
соотношений (9.23 а, б). Если дополнительно предположить посто-
янство р и и на AS, то элементы матриц Р"7 и Gpi будут соответст-
вовать функциям влияния для линейного источника, заданного па
(Ат, AS) [2]. Аналогично в случае плоского тела, разделенного на
треугольные ячейки, элементы матриц О’ и DP1 могут быть вычис-
лены аналитически [2]. Все эти результаты собраны в § 9.7.
Записывая соотношение (9.28) для каждого граничного узла
и выбранного момента времени и включая члены ар(|₽, f) в диаго-
нальные элементы матрицы FP9, мы получим следующее матричное
уравнение, например, при t = т:
[G] {«} - [F] {р} = [С] {ф} + [D] {/}. (9.30)
Непрямой метод. В непрямом методе мы будем считать, что
тр изменяется линейно вдоль граничных элементов, т. е.
(|, т) = N(g)<p,
где у — узловые значения <р, а также будем использовать, как и
раньше, линейно меняющиеся функции Q и f.
Подстановка <р, Q и f в соотношения (9.17) и (9.18) для р-го
граничного элемента дает
р(лЛ t) = Ql + Dp‘f!) (9.31)
?=i i=i
и
9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ
259
и (Хр, 0 = 2 + 2(Е₽? +FPlfl>+1<с/(4тс) 1 ф(х₽’z)> (9-32)
«=1 1=1
где
№= G(xp, t; T)N(^)dS?,
6 As?
Ат
Bw= рт f F(xp, t; 1ч, x)W№)dSq,
b ksq
At
V>l = ^dx f G(xp, t\ V, t)Mtfz)dVz,
0 AV,
(9.33)
Dp'= f G(xp, t\ £z, 0)M(£z)dVz,
AVZ
EPZ = jdT f F(xp, /; Sz, t)M0z)dV„
0 AV,
F₽z = f F (xp, о V, 0)M(£z)dVz.
Xvz
Мы можем выбрать из (9.31) и (9.32) уравнения, отвечающие
граничным условиям, заданным в каждой узловой точке границы;
в результате получим следующую систему:
{*} = [X] {<₽} + [У] {Q} + [Z] {/},
или
[X] {<р} = {6} — [У] {Q} — [Z] {/}. (9.34)
Как обычно, правые части уравнений (9.30) известны вместе с
половиной граничных значений (и, р) при t = 0. Решение этих
уравнений позволяет получить отсутствующие граничные значе-
ния, которые затем могут быть использованы в матричном экви-
валенте соотношения (9.11) для вычисления р(£, Дт) в достаточном
числе узлов, чтобы определитьf(х, Дт). Функция ф (х, Дт) должна
быть известна, и, следовательно, эти значения (/, ф) могут быть
снова подставлены в (9.30) для определения (используя лишь опе-
рации матричного умножения) не заданных на границе величин
при t = 2Дт. Повторяя этот процесс (для ПМГЭ или НМГЭ), мы
получаем минимальный набор значений р(£, /) до момента времени,
скажем t — N&x, и (если потребуется) очень детальную информа-
цию при t = NAx. Таким образом, плоскость (х, t) на рис. 9.3 по-
следовательно «покрывается» решениями [27].
260
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
а
Рис. 9.4. а — схема дискретизации для плоских задач диффузии; б — вре-
менная последовательность введения фиктивных источников.
Главная трудность применения всех пошаговых методов этого
типа заключается в том, что решения, получаемые для первых
временных шагов, как правило, имеют погрешность примерно
7 4- Ю% (см. ниже), если начальные временные интервалы не
являются очень малыми. Это связано частично с использованием
9.7. Вычисление интегралов
261
аппроксимации правыми разностями, например номинальных зна-
чений р и и при t = 0 для вычисления f(x, Ат) и т. п., и частично
с приближенностью, присущей математическому описанию реак-
ции системы на скачкообразное внешнее воздействие при помощи
уравнения диффузии [7]. Кроме цитированной выше работы Смита
[15], посвященной одномерным задачам, другое и единственное
обнадеживающее улучшение точности результатов расчетов на
первых шагах, по-видимому, было достигнуто Томлином [2, 6],
которому принадлежит идея введения фиктивных источников,
схематично изображенных на рис. 9.4, вместе с НМГЭ.
Для того чтобы удовлетворить граничным условиям на S
(рис. 9.4, а) при / — О, Томлин ввел дополнительные ячейки
внешние по отношению к S и являющиеся зеркальными отображе-
ниями прилегающих к границе внутренних ячеек I. Если распре-
деления источников по V и I совпадают, то реализуется граничное
условие с нулевым начальным потоком (в противном случае состав-
ляющая начального градиента потенциала в направлении, перпен-
дикулярном любой из сторон открытых треугольных ячеек, неогра-
ниченна! — см. § 9.7). Если интенсивности источников в I и I'
равны по величине, но противоположны по знаку, то граничное
значение потенциала равно нулю.
Томлин использовал прямолинейные граничные элементы и
треугольные ячейки с постоянными или линейными распределе-
ниями по ним интенсивностей источников для решения разнообраз-
ных двумерных задач, в том числе для кусочно-однородных анизо-
тропных сред. Как будет указано в примерах в § 9.8, он добился
таким образом существенного повышения точности на ранних ста-
диях диффузионного процесса, вводя мгновенные треугольные ис-
точники (это означает, что уравнение (9.7) интегрировалось по
треугольной ячейке) для моделирования распределенных внутрен-
них источников Q и непрерывные «линейные» источники (т. е. урав-
нение (9.7) интегрировалось при этом одновременно по линейному
элементу и времени) на их граничных элементах.
Последний прием приводил к тому, что на каждом шаге по вре-
мени фиктивные значения потенциала просто увеличивались на
Аф (рис. 9.4, б) в отличие от импульсного изменения от нуля в
каждый момент времени. Хотя все эти нововведения основывались
на чисто физических соображениях, они оказались, безусловно,
работоспособными. Более подробное описание алгоритма НМГЭ
Томлина, использующего неявную процедуру пошагового измене-
ния времени, можно найти в работе [6].
9.7. Вычисление интегралов ' ’ !
Для того чтобы сформировать матрицы окончательной системы
Уравнений (9.30) или 1(9.34), необходимо вычислить (причем с тре-
буемой точностью) входящие в них интегралы. Так как интегри-
262
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
ровать при этом следует одновременно по пространству и по вре-
мени, то на первый взгляд может показаться, что число арифме-
тических операций, которые необходимо выполнить, угрожающе
велико. Однако более внимательный анализ этих интегралов пока-
зывает, что
1) источники, введенные в момент времени т, оказывают влия-
ние лишь на события в более поздние моменты времени (т. е. дис-
кретные события вдоль оси времени не являются обратимыми);
2) на потенциал и скорость течения в некоторой точке не ока-
зывает влияния источник, введенный в какой-либо другой точке
в тот же самый момент времени; поэтому, если приращение времени
выбрано малым, a i-fi и j-й элементы находятся на некотором рас-
стоянии друг от друга, то влияние источника, введенного в i-м
элементе, на /-й элемент в течение времени АТ пренебрежимо мало.
Тем не менее необходимо вычислить ряд сложных интегралов.
Для подавляющего их большинства | =£х и t =£ т; поэтому соот-
ветствующие подынтегральные выражения содержат лишь гладкие
функции, и интегралы можно вычислить при помощи обычной квад-
ратурной формулы Гаусса. В сингулярных случаях (т. е. когда
точка приложения нагрузки и точка наблюдения, принадлежащие
граничному элементу или объему ячейки, совпадают) интегралы
нужно вычислять аналитически. Приведенные ниже результаты
[2] позволяют вычислить все слагаемые, обусловленные сингуляр-
ными интегралами.
Базисные функции в различных интегралах могут быть пред-
ставлены в виде суммы некоторой константы и переменного сла-
гаемого, зависящего от переменной интегрирования. Интегралы от
константы могут быть вычислены аналитически, а от переменного
слагаемого — численно по пространственным переменным и ана-
литически по времени.
Все приведенные ниже резуль-
таты [2] получены путем интегри-
рования основной двумерной функ-
ции Грина для неограниченного
пространства (ср. соотношение
(9.7)). Используемые переменные
не являются безразмерными, с —
коэффициент диффузии; кроме то-
го, используются некоторые стан-
дартные математические функции
[2,18].
Переходя к локальной системе
координат с началом в точке наб-
людения , как показано на рис. 9.5,
и интегрируя уравнение(9.7),нахо-
дим реакцию, обусловленную дей-
ствием источника интенсивности <70;
Рис. 9.5. Потенциал в начале ко-
ординат, обусловленный однород-
ным источником в виде отрезка
9.7. Вычисление интегралов
263
6 = [dr [ G(0, t; Н, x)qodS =
о AS
= g°_ /Li£i (tf) + L2E. (7?f)—2P [erf Xpc(±,P} +
2л \r ct I L \P )
+ erf xpc , Pjj + e P (erf Lx 4- erf L2)j, (9.35)
где P = h/(2Vd), Lt = Zx/(2 У7Г), L2 = Z2/(2 V~ct), Rl = P2 +
4- L], Rl = P2 4- Lf, функция ошибок erf (x) определяется соотно-
шениями
X
2 C —A2 2
erf(x) = —\e dk = —
Л J Л
О
X»
X-------
, H3
X7
2! 5 3!7
erf xpc (a, b) = arc tg a — erf xp (a, b),
{£2
arc tg a 4—— (arc tg a — a) 4-
+ — arctga-a- —) + •• } ( I a [ < 1),
2. I [ \ О j J )
&Лхр(а, b) = (a/| a |) (r/4) (erf b)2 ( [ a | =1),
erf xp (a, b) = (r/2) erf (b) erf (ab) — arc ctg a 4-
, °2fc! ( l . a2b2 I , 1 \ ,
4- e I arc ctg a 4----arc ctg a------j 4-
l 11 \ a j
. а*ь1 Г + /1 1 Yl > 1 / i । i \
4- ~ arcctga—--------------— 4-------- ( I a | > 1),
2 ! \ ci 3ci j | j
a Ex (x) = — 0,5772 — In x + x/( 1 ! 1) — x2/(2 ! 2) 4- x3/(3! 3) (x > 0).
Соответствующая функция F = dGIdn может быть получена
непосредственно из (9.35) и имеет вид
~ {Iei*f xpc (LJP, Р) 4- erf xpc (LJP, P)J cos 9 —
-(1/2) [Ex(P?) - Ex(/?§)] sin 6}, (9.36)
где 0 — угол между нормалью к границе элемента и направлением
п, как показано на рис. 9.5.
Для того чтобы учесть начальные условия, заданные в объеме,
необходимо проинтегрировать фундаментальные решения по тре-
угольной ячейке. Если мы зададим мгновенный треугольный ис-
точник вершинами (—/х, й), (/2, й) и (0,0), как показано на рис. 9.6,
то сможем проинтегрировать уравнение (9.7) и найти потенциал в
точке наблюдения (0,0) в момент времени t, обусловленный дейст-
264
Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
Рис. 9.6. Мгновенный тре-
угольный источник с верши-
ной в начале координат.
вием введенного при т = 0 источника с линейно меняющейся по
треугольнику интенсивностью q0 + (где q0, qi и q2 —
константы). Таким образом, имеем
G(0,17) = [<70/(2n)J [erf хр (LJP^P) + erf хр (L2/P, Р)] +
+ (l/2f VTtk {[(gxP+ q^W erf [(foP - g2L2)/₽2] erf R2} -g
- (q2/2) V7ijTe~p' (erf LJ+ erf £a). (9.37)
В более общем случае, когда точка наблюдения лежит внутри
треугольника, потенциал G может быть получен суммированием
эффектов от трех вложенных в ячейку треугольников с общей вер-
шиной в рассматриваемой точке. Используя соотношение (9.37)
и обозначения рис. 9.7, находим
Рис. 9.7. Мгновенный треу-
гольный источник с линейно
меняющейся интенсивностью.
£1Г = /1Г/(2 ct), L2r — l2r!
j(2Vct), Pr=hrl(2Vct),R\r =
= L\r + P2, R22r =L22r + P2
(r = 1, 2, 3).
9.8. Типичные приложения
265
з
Q (Р>, t) = |<2/(2п)] 2 lerf ХР (.LirlpT, Рг) + erf хр (L2rIPr, Р,)] —
Г=1
3
- [ Vc t/(2 /Г)] 2 qr exp (- (erf Lu + erf Lir), (9.38)
r=l
где Llr, Рг и т. д. — величины Llt P и т. д., относящиеся к г-му
треугольнику, qr — производные интенсивности источника в направ-
лениях нормалей к внешним сторонам r-го треугольника, a Q —
интенсивность источника в точке наблюдения Р'. Величина сос-
тавляющей скорости в направлении п в точке Р', обусловленной
действием этого треугольного источника, дается выражением
Р„(Р', /)]= —[1/(4 ]/~п с/)] 2 fir exp (—(erf £lr+erf£2r) cos 6,+
r—1
3
+ [<7n/(2n)] lerf XP (Lir/pr> pr) +'erf xp(LuIPr, P,)][+
r=l
.3
+ [ 1 /(2n)] qr [exp (—P?r) — exp (— Pi)] sin 6r, (9.39)
r=l
где Qr = Q -j- qrhr (t. e. Qr — плотность распределения источни-
ков в точке, являющейся проекцией Р’ на r-ю сторону, a qn— про-
изводная плотности распределения источников в направлении п.
Для мгновенного (т. е. введенного в момент времени т = 0)
источника в виде отрезка прямой с линейно меняющейся интенсив-
ностью q — q0 -j- qpct потенциал в начале координат (рис. 9.5)
равен
G (0.J/), = —?0 е Р (erf Lt + erf £2)+ [exp (— P?) +
4 p"r.ct 2л
+ exp (-$)]. (9.40)
Заменяя время / на t— т и интегрируя (9.40) по т, можно полу-
чить формулы, аналогичные (9.35) и (9.36), для случая линейного
изменения интенсивностей источников вдоль элементов.
9-8. Типичные приложения
Следующие четыре примера заимствованы из работы Томлина
12]. Первый из них (рис. 9.8) не требует пояснений и иллюстрирует
порядок ожидаемых погрешностей в простейшем «одномерном»
случае при использовании и без использования внешних фиктив-
ных источников в НМГЭ для разных значений приращения вре-
Рис. 9.8. Одномерная задача консолидации (диффузии); влияние внешних источников.
9.8. Типичные приложения
267
7=0.1 Т = 0.2
Рис. 9.9. Диффузия в случае плоско-радиальной симметрии.
мени АТ. Характерные особенности полученных решений таковы.
При отсутствии фиктивных источников максимальные погрешности
результатов при AT = 0.002 и 0.005 составляют соответственно
около 3 и 5% при значениях времени Т = 0.05 и 0.1, но пол-
ностью исчезают при значениях времени Т = 0.2. С подключени-
ем фиктивных источников максимальная ошибка даже при Т = 0.05
и А71 = 0.025 составляет около 1 % (тогда как для этого значения
т
Т =0,16
——Аналитическое
решение [30]
, Граничные
условия
р(Т)=0(Т>0)
Решение МГЭ
Направление
Р(О)=О
(однородное
распределение)
(Т>0)
\ Направление
эквипотенциали
Значение
потенциала
р(Т)=100(Т>0)
Т=^.ДТ=0.02
9.8. Типичные приложения 269
ДТ при отсутствии фиктивных источников погрешности равны
13 и 10% при Т = 0.05 и 0.1 соответственно).
Второй пример (рис. 9.9) демонстрирует превосходное совпаде-
ние численного и аналитического [22] решений осесимметричной
задачи диффузии. При использовании двух фиктивных круговых
источников (внутреннего и внешнего) вместе с начальным мгновен-
ным кольцевым источником матрицы задачи имеют размер лишь
2x2, однако их элементы содержат бесселевы функции (см. [2]).
Следующая тестовая задача представлена на рис. 9.10, где про-
слежено возрастание со временем температуры внутри однородной
прямоугольной области, подогреваемой с одной из сторон. Соот-
ветствие между результатами, полученными НМГЭ, и аналитиче-
ским решением [30] снова очень хорошее: максимальные погрешно-
сти на границах не превышают 2—3% и возрастают примерно до
7% вблизи особенности, находящейся в левом нижнем углу. Здесь
были использованы внешние фиктивные источники, но вдоль мень-
шей и большей сторон прямоугольника было лишь по пять и шесть
граничных элементов соответственно и два мгновенных треугольных
источника внутри прямоугольника, образованных его диагональю
(АТ = 0.02). Та же самая задача была решена [11] при помощи
алгоритма ПМГЭ, описанного в этой главе, с использованием лишь
четырех элементов на каждой стороне прямоугольника, но большего
числа (а именно четырех) внутренних треугольных ячеек. При
7’;>0.04 полученные результаты неотличимы от аналитических.
Наконец, рис. 9.11 иллюстрирует изменение вероятного распре-
деления перепада порового давления воды под фундаментом соору-
жения на водонасыщенном глинистом грунте. Основная особенность,
представляющая здесь интерес, состоит в том, что плоское
тело включает четыре соприкасающиеся зоны различного анизо-
тропного материала, в которых давление воды «диффундирует»
к поверхности «дренируемого» грунта. Эквипотенциали получены
путем интерполяции численных результатов, приведенных в от-
дельных точках.
Множество инженерных проблем связано с плавлением и за-
твердеванием материалов. Задачи образования и таяния льда воз-
никают в связи с проблемами охраны окружающей среды, а за-
твердевание слитков и плавление металлического лома являются
важнейшими металлургическими процессами.
В этих так называемых задачах с подвижными границами опре-
деление положения границы в зависимости от времени является
главной составной частью решения. Так как МГЭ в основном имеет
дело с границами, потенциально он является весьма эффективным
средством решения подобных задач. На рис. 9.12 [20] показаны не-
Рис. 9.10. Распространение тепла в прямоугольной области.
Т=0.0125
9.8. Типичные приложения
271
Рис. 9.11. Перепад порового давления в кусочно-однородном анизотропном
грунте теория Терцаги — Рендулика) (начало на с. 270).
которые результаты, относящиеся к плавлению стального сляба.
В начальный момент времени (t = 0) сляб при постоянной темпе-
ратуре был погружен в хорошо перемешанный чистый расплав
железа, находящийся при температуре выше точки плавления.
Пентр Поверхность Центр Поверхность
Координата границы плавления х, дюймы
а 6
Рис. 9.12. а — нестационарные температурные профили в твердом слябе до
начала плавления; б — график зависимости положения границы плавления
от времени.
272 Гл. 9. Нестационарные задачи о течениях
На рис. 9.12, а приведено распределение температуры в сечении
сляба при различных значениях времени до начала плавления, а
на рис. 9.12, б — положение линии плавления в зависимости от
времени.
Впервые в этой области МГЭ был применен в работах [20, 21],
где было получено описанное выше решение при помощи ПМГЭ,
который был распространен на задачи с зависимостью температуры
плавления от массопереноса (диффузия углерода).
Подробные описания алгоритмов МГЭ применительно к зада-
чам диффузии и родственным проблемам можно найти в работах
J2—6, 9—11, 16 , 23—25 , 31].
9.9. Заключительные замечания
В данной главе мы привели новые алгоритмы ПМГЭ и НМГЭ,
позволяющие строить решения классических задач диффузии
в областях с произвольным числом пространственных измерений.
Один из положительных результатов состоит в том, что при исполь-
зовании специальных обозначений для интегралов типа свертки
Римана окончательные соотношения лишь незначительно отлича-
ются по виду от соответствующих соотношений для стационарных
задач о потенциальном течении; сравните уравнения (9.11) (а также
(9.16). и (9.17)) с соотношениями (3.30) (а также (3.7) и (3.8)).
Специалисты, занимающиеся МГЭ, уделяли значительно меньше
внимания нестационарным задачам рассмотренного выше типа, чем
другим областям, и вопросы, связанные с выбором оптимальных
значений шагов по времени и точности на начальных стадиях диф-
фузионного процесса, еще ожидают своего решения. Тем не менее
совершенно ясно, что алгоритмы, основанные на применении пре-
образования Лапласа, вообще не представляются перспективными
по сравнению с развитыми алгоритмами пошагового изменения
времени, успешно проверенными на весьма общих задачах диффу-
зии.
9.10. Литература
[1] Carslaw Н. S., Jaeger J. С. Conduction of heat in solids. —2nd ed. —
Oxford Univ. Press, 1959. [Имеется перевод: Карслоу Г., Егер Д. Теп-
лопроводность твердых тел. —М.: Наука, 1964.]
[2] Tomlin G. R. Numerical analysis of continuum problems in zoned aniso-
tropic media. —Ph. D. thes. —Southampton Univ., 1973.
[3] Cruse T- A. Application of the boundary integral equation method for
solid mechanics. — In: Proc. Variational Meth, in Engng. — Southamp-
ton Univ. Press, 1973.
[4] Chang Y. P., Kang C. S., Chen D. J. The use of fundamental Green func-
tions for solution of problems of heat conduction in anisotropic media. —
Int. J. Heat and Mass Transfer, 1973, v. 16, p. 1905—1918.
[5] Rizzo F. J., Shippy D. J. A method of solution for certain problems of
transient heat conduction. — AIAA J., 1970, v. 8, p. 2004. [Имеется пере-
9.10. Литература 273
вод: Ракетная техника и Космонавтика. —М.: Мир, 1970, т. 8, № 11.]
Гб1 Banerjee Р. К., Butterfield R. Boundary element methods in geomecha-
nics — in: Finite elements in geomechanics. Ed. by G. Gudehus. Ch. 16.
__ London: Wiley, 1977.
[71 Morse P., Feshbach H. Methods of theoretical physics. Vol. II. New York:
McGraw-Hill, 1953. [Имеется перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы
теоретической физики- Том 2. —М.: ИЛ, 1958.]'
18] Lamb Н. Hydrodynamics. — 6th ed. — Cambridge Univ. Press, 1932.
1 [Имеется перевод: Ламб Г. Гидродинамика. —М. —Л.: ГИТТЛ, 1947.]
[9] Shippy D. J. Application of the boundary integral equations method to
transient phenomenon in solids. — In: Boundary integral equation method:
computational applications in applied mechanics. Ed. by T. Cruse, F.
Rizzo. — New York: ASME, 1975. [Имеется перевод: В кн.: Метод гра-
ничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложе-
ния в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. —М.: Мир, 1978.]
[10] Butterfield R-, Tomlin G. R. Integral technique for solving zoned aniso-
tropic continuum problems. — In: Proc. Int. Conf. Variational Meth, in
Engng, Southampton Univ., 1972, p. 9/31—9/51.
[11] Banerjee P. K-, Butterfield R., Tomlin G- R. Boundary element methods
for two-dimensional problems of transient ground-water flow. — Int. J.
Num. Meth, in Geomech., 1981, v. 5, p. 15—31.
[12] Fung Y. G Foundations of solid mechanics. — Englewood Cliffs: Prenti-
ce-Hall, 1965.
[13] Van der Pol B., Bremmer H. Operational calculus based on the two sided
Laplace integral. —Cambridge Univ. Press, 1959.
[14] Crandall S. H. Engineering analysis. — New York: McGraw-Hill, 1956.
[15] Smith I. M. Some time-dependent soil-structure interaction problems.—
In: Finite elements in geomechanics. Ed. by G. Gudehus. Ch. 8. —
London: Wiley, 1977.
[16] Shaw R. P. An Integral equation approach to diffusion. —Int. J. Heat
and Mass Transfer, 1974, v. 17, p. 693—699.
[17] Hwang С. T., Morgenstern N. R. et al. On solutions of plane strain consoli-
dation problems by finite element methods. —Can. Geotech. J., 1971,
v. 8, p. 109—118.
[18] Abramowicz M., Stegun I. A. (eds.). Handbook of mathematical function.
— New York: Dover, 1965. [Имеется перевод: Справочник по специаль-
ным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука,
1979.].
[19] Johnston I. W. Electro-osmosis and pore pressures; their effect on the stre-
sses acting on driven piles. — Ph. D. thes. — Univ. Southampton, 1972.
[20] Chuang Y. K-, Szekely J. On the use of Green’s function for solving mel-
ting or solidification problems. —Int. J. Heat and Mass Transfer, 1971,
v. 14, p. 1285—1294.
121] Chuang Y. K. The melting and dissolution of a solid in a liquid with a
strong exothermic head of solution. —Ph. D. thes. —State Univ, of
New York, Buffalo, 1971.
122] Chuang Y. K., Szekely J. The use of Green’s functions for solving melting
or solidification problems in cylindrical coordinates system. — Int. J.
Heat and Mass Transfer, 1972, v. 15, p. 1171—1174.
123] DeMey G. Numerical solution of a drift-diffusion problem. — Comp. Phy-
sics Comm., 1977, v. 13, p. 81—88.
124] DeMey G. An integral equation method to calculate the transient behaviour
of a photovoltaic solar cell. —Solid. State Electronics, 1978, v. 21, p.
, 595-596.
I2oj DeMey G. An integral equation approach to a. c. diffusion. — Int. J.
Heat and Mass Transfer, 1976, v. 19, p. 702—704.
I2o] Zienkiewicz О. C. The finite element method in engineering science. —
London: McGraw-Hill, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О. Метод ко-
нечных элементов в технике. —М.: Мир, 1975.]
Ю—356
[27] Mitchell A. R. Computational methods in partial differential equations.
— New York: Wiley, 1971.
[28] Desai C. S., Johnson L. D. Evaluation of some numerical schemes for con-
solidation. — Int. J. Num. Meth, in Engng, 1973, v. 7, p. 243—254.
[29] Gurtin M. E., Sternberg E. On the linear theory of viscoelasticity. — Arch.
Rational Meeh. Anal., 1962, v. II, No. 4, p. 291—356.
[301 Sneddon I. N. Fourier transforms. — London: McGraw-Hill, 1951. [Име-
ется перевод: Снеддон И. Преобразования Фурье. —М.: ИЛ, 1955.]
[31] Chuang Y. К., Ehrich О. On the integral technique for spherical growth
problems. — Int. J. Heat and Mass Transfer, 1974, v. 17, p. 945—953.
Глава 10
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
10.1. Введение
Может показаться неожиданным, что использование интеграль-
ных представлений для анализа нестационарных процессов в твер-
дых телах и жидкостях имеет длинную историю. В большинстве
таких задач часть границы уходит на бесконечность; в этом случае
интегральные представления особенно удобны и методы граничных
элементов используются чрезвычайно широко. В работах [1—12]
дается хороший обзор классических работ по динамической теории
упругости и близким к ней вопросам. Хотя основные интегральные
представления в динамической теории упругости и задачах распро-
странения волн известны значительно более ста лет, для разработки
численных алгоритмов при решении граничных задач они начали
применяться сравнительно недавно. В начале шестидесятых годов
появились первые примеры численных решений, например [13—16],
за которыми последовали другие [17—38]. Связанные с этим задачи
квазистатической вязкоупругости исследовались в работах [20,
39—41], в которых использовался прямой МГЭ.
10.2. Вязкоупругость
10.2.1. Основные уравнения
Изложенный здесь подход относится к линейным однородным
вязкоупругим материалам. За исключением соотношений, связан-
ных с историей нагружения, все другие полевые уравнения следу-
ют непосредственно из линейной теории упругости с учетом-зави-
симости всех переменных задачи от времени. Таким образом, урав-
нения равновесия в смещениях|имеют вид
р (/) d^UjldXidxi +[[Л'(0 +’р (tyid^ujdxtdxj = 0, [(10.1)
где u.i(x,t)—вектор смещения, а р(£) и Х(/)—аналоги упругих посто-
янных Ламе, причем обе они зависят от времени.
Рассматривается только квазистатическая теория. Начальные
условия, соответствующие начальному состоянию без напряже-
ний, и граничные условия берутся в виде
щ (х, t) = 0 при t < 0,
Ut(x, t) =ft(x, t), x£Sv (10.2)
tt (x, t) = ai} (x, t) n'j (x)=gj (x, t), xQ S2,
10*
27в
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
где Si + S2 = 5, а п t — компоненты единичного вектора внешней
нормали к границе тела, которая по предположению не меняется
со временем.
Тензор напряжений otJ теперь определяется временной зави-
симостью градиента смещений, подобной той, которая имеет место
в соответствующих уравнениях теории упругости (гл. 4):
t
Оц(х, t) = у-(/ —i)(dei}(x, т)/дт)йт +
0
t
+ 8y [ X (t -t) (deM (x, T)/dz)di, (10.3)
6
где ey (x, t) = (1/2) [du, (x, t)/dx} + du}(x, t)/dXi].
10.2.2. Основное интегральное соотношение
Выведем еще раз интегральное соотношение для поставленной
выше задачи, используя теорему взаимности (на этот раз для изо-
тропного вязкоупругого тела). Для такого тела, на которое дей-
ствуют две различные системы нагружения (цг, /г и гр,-) и (ur ,tr
и гр* ), мы можем написать [40, 41]
П tt(x, t — т)(dui(х, т)/дт)dxdS + J j'чрг(х, t — т) X
so vo
t
X (д«‘ (х, т)/дт) dxdv = J j" Ui (х, t — т) {dt\ (х, tj/d^didS +
S о
t
+ | J ut (x, t — r) (dip* (x, T)/dT)dvdv. (10.4)
Заметим, что буква t обозначает время, а векторная величина tt
всегда обозначает компоненты вектора поверхностных усилий.
Если дополнительная система, отмеченная звездочкой, выби-
рается в виде сосредоточенной силы (т. е. в виде решения Кельвина)
Ф‘ =8ог(х —В)Д(/ —т)еп
где б — дельта-функция Дирака, а Д(/— т) — единичная функция
Хевисайда (их комбинация дает единичную силу в], приложенную
в точке х = В в момент времени t = т), то уравнение (10.4) (для
х внутри V) приводит к соотношению
Uj(l, t) = {ti(x, T)dGi}(x, B; t — т)/дт —
so
10.2. Вязкоупругость
277
— щ(х, х)дРи(х, В; t—т)/с?т] dxdS 4-
+ J J "Ф;(^ x)(dGu(x, В; t — x)/dxdv.
vo
(10.5)
Устремляя 5 в соотношении (10.5) к границе, как и прежде полу-
чаем граничное интегральное уравнение. Эквивалентный непрямой
вариант МГЭ может быть выведен при помощи принципов, в общих
чертах описанных в гл. 3 и 6.
10.2.3. Численное решение
Граничное уравнение, соответствующее (10.5), можно решить
или методом интегральных преобразований [20, 39], или пошаго-
вым методом [42, 43].
Пошаговый метод. Смещения и усилия в момент времени t могут
быть аппроксимированы с помощью дискретизации по времени сле-
дующей неявной процедурой:
Ых, t) = [ 1/(AZ)J |(/r — t)ut(x, *r_i) + (* —Ub
(Ю.6)
h (x, /) = [ 1 /(A/)] !(C -1) tt (x, t^) + (t -tt (x, /r)],
где А / — просто приращение времени, At — tr — tr—\, ar nr — 1—
последовательные шаги по времени.
Мы можем теперь написать уравнение (10.5) с ч|)г(х, т) = 0
для точки границы § в момент времени t = tm в следующем виде:
₽ «А (Ь tm) = f [G7/ (х, Е) tt (х, tm) - F™ (х, Е) ut (х, Q] dS +
s
+ R}(l,tm), (10.7)
tm
где
Gil (x, g) = [ 1 /(A/)] j (t — /m_j) (dGi} (x, E; tm — x)/dx) dx,
tm-i
f71(x, B)-[1/(A/)] j” (t-t^)(dFtJ(x^ tm-x)/dx)dx,
tm-i
tm)=
s
tm
pt (x, /m_i) J (tm — t) (dGi} (x, H; tm — т)/<Эт) dx —
tm-l
— щ (x, tm_^ J (tm — t) (dFi} (x, i; tm—т)/йт)4т] dS+
tm-i
278 Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
m—1 tr
+ 2 f j — т) —
r=i S
~-(dFu(x, g; tm— x)ldx)ut(x, x)]dxdS.
Уравнение (10.7) можно стандартным способом свести к системе
алгебраических уравнений. В результате в момент времени t — tm
решается обычная задача теории упругости, что приводит к полно-
му решению с момента времени t = 0. Вязкоупругий характер рас-
сматриваемой системы особенно ясен в содержащем сумму члене в
7? j(g, /m), входящем в правую часть уравнения (10.7) и, очевидно,
включающем всю предысторию до момента времени t = tm. Необ-
ходимо, следовательно, очень большое количество вычислений,
относящихся ко всем шагам по времени (см. гл. 9). Можно, однако,
воспользоваться экспоненциальной природой функций Z(7) и ц(/)
[41], характеризующих свойства материала, и использовать только
ближайшую к моменту tm предысторию для аппроксимации силового
члена Rfe tm). Описанный выше метод был использован рядом ав-
торов [40, 42] для решения весьма сложных задач вязкоупругости.
Методы интегральных преобразований. Довольно часто удается
использовать метод интегральных преобразований для приведе-
ния основных уравнений и граничных условий в пространстве
трансформант к форме, не зависящей от времени. Эта задача может
быть решена для ряда значений параметров преобразования, после
чего численно выполняется обращение преобразования Лапласа
(переход к временной переменной). Примеры таких решений можно
найти в работах Риццо и Шиппи [20,39], которым мы следуем здесь.
Определяющие соотношения для линейных изотропных вязко-
упругих материалов можно переписать в виде
о.. = 2GX *det-y, = 3G2*dekk» (10.8)
гдеot7 и е\. — компоненты девиаторов, oftft — гидростатические
(объемные) компоненты полных тензоров напряжений и деформаций
и соответственно (т. е. ai} — о'.. + oKkbi}), a Gt и G2 —
функции релаксации для сдвига и изотропного сжатия соответст-
венно. В (10.8) мы использовали обозначение Стилтьеса для свертки
(следуя на этот раз работе [44]):
t
g*dh = j* g (х, t — т) (dh (х, т)/дт) dx + g (x, t) h (x, 0), (10.9)
о
где h(x, 0) — предельное значение h(x, t) при t-+- +0.
Если мы предположим, что граничные условия не зависят от
времени, то можно взять преобразование Лапласа граничных зна-
чений Ui(x, t) и ti(x, t), обозначив их u*(x,s) и f(x, s) соответст-
венно. Преобразование Лапласа скаляра, вектора или любой тен-
зорной функции координат и времени определяется как
10.2. Вязкоупругость
279
S£f (х, t) = f* (x, s) = f f (x, t) e stdt, (10.10)
о
где s — параметр преобразования.
При помощи этого преобразования (10.8) приводится к следую-
щему виду:
о-J = 2sGj (s)<?'’ = 3sG2(s)4h. (10.11)
а уравнения равновесия и тензор деформаций соответственно упро-
щаются:
do*j/dxy = 0 и = dui/дхj }-dtijldxt. (10.12)
Подстановка в (10.12) выражений (10.11) дает
(К* + р*) d^-ldxjdxi + vfdWjdXjdXj = 0, (10.13>
где 1* = —(2s/3)GJ + sG* и р* = sG*. Полученные уравнения
тождественны основным уравнениям статической теории упругости,
записанным в преобразованных переменных. Следовательно, заме-
нив X и р на X* и р*,а uitti и ai} на трансформанты Лапласа
соответствующих вязкоупругих переменных (и*, Г. и о*.), можно
использовать стандартный алгоритм теории упругости для решения
любой задачи в пространстве трансформант при дискретных значе-
ниях параметра преобразования s. Прямой граничный интеграл для
такого случая перепишется так:
a, s) = $ [Gy (х, s)Z* (х, s) - F* (X, g; s)ut (x, s)]dS, (10.14)
s
где функции 6 и F идентичны соответствующим функциям в стати-
ческой теории упругости, за исключением того, что параметры
X* и р* зависят теперь от параметра преобразования s. Выбрав
некоторое значение s, а следовательно, и значения А* и р*, мы мо-
жем решить уравнение (10.14).
Получив Г. и и*, на S, обычным способом можем вычислить
трансформанты Лапласа напряжений и смещений и* внутри
области. Необходимые для этого интегралы должны вычисляться,
конечно, в пространстве трансформант (т. е. функции ядра выража-
ются через А* и р*). Соответствующие этим трансформантам выраже-
ния (т. е. Ut, ti, ог] и т. д.) как функции времени могут в принципе
быть получены в результате численного обращения преобразования
Лапласа.
Этот метод численного обращения преобразования Лапласа,
описанный здесь в общих чертах, был предложен Шепери [45] и
успешно использовался Риццо и Шиппи [20, 39] (см. также [44]).
Предположим, что функцию f(x, t) в пространстве (х, f) можно
представить в виде
m —ь t
f(x,t) = A + Bt+^aae а, (10.15)
а== I
где А, В, аа , Ьа не зависят от времени, a tri— произвольное целое
число.
Выполнив преобразование Лапласа уравнения (10.15) и умно-
жив обе его части на параметр преобразования s, получим
т
sf* (х, s) = А + B/s + 2 V(1 + М4 (Ю.16)
а=1
Величина т и последовательность значений s выбираются отчасти
произвольно
s = Sp s2, s3,... > Sm-v •••» sM, (10,17)
где M = tn + 2. Теперь выберем т значений Ьа равными первым т
значениям sa , т. е.
b —S, а = I,..., т.
а а
Для каждого выбранного дискретного значения s, скажем Sp , из
(10.16) имеем
т
sj*(* М = А+B/s₽ + + s«/s₽)’ Р = м, (юле)
где /*(х, Sp) вычисляется в дискретной точке х на границе или внут-
ри области для конкретного значения параметра преобразования s₽ .
Уравнение (10.18) приводит к М уравнениям для определения
значений А,Ви аа (а = 1, т). Было найдено, что шесть значений s
обеспечивают достаточно точные результаты для практических
целей. Для получения оптимальных результатов важно выбирать
«подходящую» последовательность значений s. К сожалению, эта
последовательность, по-видимому, изменяется с типом задачи и с
поведением неустановившейся части решения. До сих пор не уда-
лось сформулировать какое-либо общее правило.
Метод обращения в действительности представляет собой про-
цесс подгонки, в котором коэффициенты определяются из условия
лучшей аппроксимации кривой выбранной функцией. В описанном
выше методе коэффициенты выбираются так, что кривая проходит
через точки, количество которых равно количеству коэффициен-
тов. Очевидно, что можно было бы использовать более сложный
метод наименьших квадратов, но такое усложнение было бы беспо-
лезно, если бы выбранная форма функции (10.15) в действительности
не представляла физическое поведение искомых переменных.
10.2. Вязкоупругость
281
10.2.4. Примеры
Единственный пример приве-
ден Риццо и Шиппи [20,39], ко-
торые рассмотрели задачу о тол-
стостенном полом цилиндре, зак-
люченном внутри тонкого упру-
гого кольца, как показано на
рис. 10.1. Предполагается, что
вязкоупругий материал ведет
себя как упругий по отношению
к радиальному давлению (объ-
емный модуль /С) и как линей-
ное вязкоупругое тело при сдви-
ге, т. е.
G1(0 = G[a + (l-a)e-x<],
Тонкое
Рис. 10.1. Полый вязкоупругий ци-
линдр,
g2(0=k,
где a,?.,G и Д' — постоянные. Преобразованные функции релакса-
ции имеют вид
G* = (G/s)(s|+[aX)/(s + X), G* =K/s.
Для вычисления использовались значения G//C = 0.6 и rjro =
= 0.3 (рис. 10.1) и кольцо характеризовалось величиной,
С =1Ш[(Ц~ V»)ro],
где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, а b —.’толщина
кольца. Отношение С//< принималось равным единице.
Вначале предполагалось, что или усилия равны нулю, или име-
ется зазор между цилиндром и кольцом; затем к внутренней границе
Li прикладывалось однородное давление р0 в момент t = 0. Поэто-
му смешанные граничные условия имеют вид
Cur(x, s)7r0,'’ xQL0,
p0/s, xQLlt
7e(x,s) = 0, xQLa, Lv
где t* и tJ — радиальные и окружные усилия, а иг — радиаль-
ные смещения на границе.
На рис. 10.2 показана зависимость радиальных и окружных
напряжений от времени kt (кружки) по сравнению с аналитическим
решением той же задачи (сплошные линии).
i*(x, s) =
282
Гл. Ю. Нестационарные задачи теории упругости
О 1
6
2 3 4 5 6
Время ЛЛ
Рис. 10.2. Зависимость напря-
жений аг и ов в вязкоупругом
цилиндре от «времени.
10.3. Термоупругость и консолидация
10.3.1. Основные уравнения
Основные уравнения для неустановившегося процесса в порис-
том упругом теле (консолидация) и уравнения термоупругости очень
похожи [46, 47]; поэтому в этом разделе мы рассмотрим лишь пер-
вые.
Как и в гл. 3 и 5, скорость поровой жидкости определяется вы-
ражением
= ~ kdhldxi, (10.19)
где k — изотропная проницаемость и h — полный напор.
Я? Скорость потока жидкости из единицы объема пористого тела
равна dvjdxi. Если поры заполнены несжимаемой жидкостью, то
эта скорость должна быть равна скорости уменьшения объема, кото-
рая в свою очередь равна и противоположна по знаку скорости объ-
емной деформации; поэтому
10.3. Термоупругость и консолидация
.283
dejdt'i— k d4ildxtdxi, е0 = ен — объемная деформация. (10.20)
Полный напор h складывается из избыточного напора Ие и гидроди-
намического напора hp = —plyw (где р— давление в жидкости, а
— удельный вес жидкости).
Так как д^/дх^^ = 0, мы имеем
dtjdt ~ — (klyw) д2р1дхрдх1- (10.21 j
Используя представления об эффективных напряжениях (о^ —
= о'.. + Ъцр), мы можем легко показать, что
dejdt = (1 IK') da0/dt = (1 /К'} (da0/dt — dp/dt), (j q.22)
где К' — объемный модуль скелета, = о'./З — среднее эффек-
тивное напряжение, о0 = o;i/3 — среднее полное напряжение.
Комбинируя (10.21) и (10.22), получаем уравнение
(kK'l 7Ш) d^pIdXjdxi = dpldt — dajdt, (10.23)
которое описывает течение жидкости в пористой среде.
Уравнение (10.23) может быть решено для любой комбинации
граничных условий, которые выражены через р или др/дп, вместе
с начальными условиями для р при t = 0, как обсуждалось в гл. 9,
при условии что мы априори знаем величину dajdt (зависящую от
времени) из решения уравнений, определяющих деформирование
твердого скелета.
Уравнение (10.23) можно переписать в виде
Сд2р (хГ t)ldxidx^ др (х, t)ldt + q (х, t). (10.24)
Для того чтобы определить деформирование твердого скелета, мы
можем преобразовать уравнения равновесия, записанные через
функцию полного напряжения, т. е.
да1}1дх} = 0,1
к форме, включающей эффективные напряжения и градиенты давле-
ния поровой жидкости, т. е.
ди-./дх, + ^ifipldxj = 0. (Ю.25)
Соотношения между напряжениями и деформациями, как и прежде,
таковы:
о'ц = [2pV/(l — 2»')] ^}-дит/дхт + р' (дщ!дх} + dtijldxt), (10.26)
где р/ и / — модуль сдвига и коэффициент Пуассона скелета соот-
ветственно.
Используя (10.26) и соотношения между напряжениями и дефор-
мациями, получаем дифференциальные уравнения, определяющие
поведение тела:
284 Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
[р.7(1 —2v')] d4it (х, t)ldxtdx} 4- р/д2«г (х, f)/dxjdxj 4-
+ 8^р (х, t)ldXj = 0, (10.27)
где ut и р — функции координат и времени.
При сформулированных граничных условиях можно решить
уравнение (10.27) относительно ut и tt = ai}tij (полного усилия),
если величина др!дх} известна из решения уравнения (10.24).
Очевидно, что уравнения (10.24) и (10.27) образуют систему и в
общем случае должны решаться одновременно. В простой теории
консолидации уравнения разделяются, если принять dao/dt=O
(это может быть предположение или реальное условие) и решать
(10.23), как объясняется в гл. 9.
Согласно гл. 9 можно записать прямое интегральное пред-
ставление уравнения (10.24):
аР& 1*4*0— F♦ р]dS+ [q*G + fGjdv, (10.28)
где vn — др/дп — нормальная скорость на границе, F и G — ядра,
f — начальное распределение р(х, t) при t — 0r а* означает
свертку.
В случае установившегося термоупругого состояния интеграль-
ное представление для (10.22) в силу (6.19) принимает вид
(В) = j [*1 (*) Gil (X, В) -Д, (х, В) щ (х)] dS:~
s
-^p(x)(dG„(x, l)/dXi)dv £(10.29)
для любого t >0.
Соответствующие уравнения непрямого МГЭ имеют вид
р (х, t) = f G * <pdS 4- J [q * G -h fGj dvt (10.30a)
S V
vn (x> 0 = а'Ф + f F * <pdS 4- i У lq * F 4- fF] dv (10.306)
si
для жидкости и
Щ(х) = УGi}{x, l)^dS~\(dGi}(x, Q/d^p^dv, (10.31a)
S V»
ti W = М/ W + f Fi}(x, Э <P;(|) dS -
s
- J(3F„ (x,^)/^f) p (I) dv 4- Zi}p (X) n} (10.316)
10.3. Тёрмоупругость и консолидация 285
для скелета.
Дополнительное слагаемое &цр(х)п} появляется из-за того, что
мы можем вычислить только эффективные напряжения из (10.31а),
которые должны быть поэтому записаны через полные напряжения
и полные усилия. Граничные условия всегда выражаются через
полные усилия.
Одна из многих привлекательных особенностей МГЭ заключает-
ся в том, что можно рассматривать тела, не сжимаемые при t = 0.
Замечая, что v = 1/2 для несжимаемого тела и что модуль сдвига
объемной системы жидкость — деформируемое твердое тело должен
быть равен модулю сдвига скелета (так как предполагается, что
жидкость не сопротивляется сдвигу), мы можем записать (10.28)
для t — 0:
au7(g) = f [/, (х) G'it- (x, g) - F'u (x, H) Ui (x)] dS, (10.32)
s
где G’.j и F'.. вычисляются при v — 1/2 и p = p'.
Решение уравнения (10.32) позволит нам вычислить полные
напряжения oi7- в любой внутренней точке при t = 0. Эффективные
напряжения а'., при t = 0 могут затем быть получены из (10.26),
и легко показать, что избыток давления поровой жидкости р при
/= 0
М = —(10.33)
должен быть равен он/3.
Ниже развита схема численного решения, основанного на пред-
положении, что-величины vn, р, tt и и г остаются постоянными в те-
чение конечного интервала времени Д/.
1. Решаем (10.32) и получаем распределение давления поровой
жидкости р при t = 0.
2. Приняв q — 0 и начальное условие в виде f = р, решаем
(10.28), откуда получаем распределение р(х, Д/). Это можно сделать
при помощи алгоритма, описанного в гл. 9.
3. Используем значения р(х, Д/) чтобы решить (10.29), замечая,
что функции Ft} и Gi} теперь должны вычисляться с использовани-
ем модулей скелета. Определяем uit о'., и величину q(x, t) =
= (ОоЬ=д< — Со!?=о)/Д/ для выбранного интервала.
Это завершает решение для шага по времени от t = 0 до t =
= Д/. Для следующего шага по времени (т. е. от t = Д/ до t =
= 2Д/) мы используем р(х, Д/) и q(x, t) из первого шага схемы как
начальное условие для f и для функции источника q в объеме соот-
ветственно и решаем (10.28), чтобы найти значение р(х, 2Д/). Затем
мы возвращаемся к (10.29) для определения ult u'if и величины
q(x, I) снова — на этот раз для t = 2Д/. Эта процедура может быть
повторена для каждого последующего интервала времени.
286 Гл. 16. Нестационарные задачи теории упругости
10.3.2. Примеры
Типичный пример решенной задачи, который относится к консо-
лидации (изменению во времени осадки) основания в виде полосы
(плоская деформация) на пористом водонасыщенном сжимаемом
упругом полупространстве, приведен на рис. 10.3 вместе с использо-
ванной схемой дискретизации. Эта задача симметрична относительно
центральной линии, и поэтому внутренняя ячейка интегрирования
была выбрана, как показано, равной 4В от середины основания.
На рис. 10.4 и 10.5 соответственно показаны рассчитанная сте-
пень консолидации U под основанием и изменение вертикального
напряжения в точке А под основанием как функции безразмерного
времени Т = Ct/(4BZ).
10.4. Применение к динамическим задачам
теории упругости
10.4.1. Основные уравнения
Динамическое поле малых смещений и f(x, t) в изотропном одно-
родном упругом теле определяется уравнениями Навье
(X[Tf^uJdXidXj 4-y&UjldXidXi 4-р(фу— и,) = 0, (10.34)
где X и р — упругие постоянные, р — плотность деформируемого
тела, — объемная сила, действующая на единицу массы, и й} =
= д2и jjdt2 — ускорение.
В области V, ограниченной поверхностью S, задаются; началь-
- ные условия при t = 0
щ t) = «г (*)» дщ (x, t)/dt = ut (x, /) = V- (x> [(10.35)
и граничные условия на S, которые [в общем случае имеют вид
Щ (x,t) = ft (х, t), x£Slt
(10.36)
tt (x, t) = Oij (x, t) fij (x) = gt (x, t), x e S2,
где Sj 4-[S2 = S. Напряжения ol7 определяются соотношениями
41 = P(CP- 2CS) S£jdum/dxm\+ 9Cl (dujdxj 4- dujtdxi), (10.37)
где Cp = [(X 4- 2p)/p]’/2, Ca = , так что (Cs / Crf =
= (1—2v)/[2(l—v)]. Постоянные Cp и Ca представляют со-
бой скорости продольных и поперечных волн соответственно; их
называют также дилатационной и сдвиговой скоростями (или прос-
то скоростями P-волн и S-волн).
Рис. 10.3. Схема дискретиза-
ции в задаче консолидации
Ь' = 0.3, ц' = 1000, В = 1,
12 граничных элементов (квад-
ратичных), 19 внутренних яче-
ек (линейных)].
Рис. 10.4. Поведение основания полосы при консолидации.
Рис. 10.5. Изменение полного вертикального напряжения в точке А под
основанием полосы.
288
Гл. 10. Нестационарные задачи трории упругости
10.4.2. Сингулярное решение Стокса
Фундаментальное решение динамической задачи было впервые
получено Стоксом в 1849 г., хотя некоторые свойства решения
были рассмотрены Пуассоном еще в 1829 г.; подробности см. в рабо-
тах [1, 3 и 48].
Для того чтобы наиболее просто продемонстрировать различные
свойства этого решения, удобно переписать (10.34) в векторных обо-
значениях:
[|*V • VU + (>• 4- р-) VV • U 4- РЯ> = pdWdft (10.38)
Используя теорему Стокса — Гельмгольца [1], которая утверждает,
что достаточно гладкое векторное поле может быть разложено на
безвихревую и соленоидальную части, ty(x, t) можно представить в
виде
ф = Vf 4- V х F. (10.39)
Аналогично для вектора)(смещений имеем
u = vl7 4- V х V, (10.40)
где f(x, t) и V(x, t) — скалярные, a F(x, t) и V(x, t) — векторные
функции координат и времени.
Используя (10.39) и (10.40) и полагая уа = у ‘ V» перепишем
(10.38) в виде
V (CpV27 4- f — FV/dt*) 4- V X (CsV2V 4- F — d2V/dtz) = 0. (10.41)
Это уравнение удовлетворяется тождественно, если в качестве V и V
мы возьмем решения неоднородных волновых уравнений
C₽v2V 4* f = d2Vldt2 и dv2V 4- F = d2\]dt2. (10.42a, 6)
Теперь можно решить (10.42a, б) и, используя (10.40), получить
полное поле смещений
0 = ^4-^, (10.43)
где и1 — решение уравнения (10.42а), а и2-— решение уравнения
(10.426). Ясно, что первой части (и1) соответствует нулевой вихрь,
тогда как для второй части (и2) обращается в нуль дивергенция, т. е.
у X и1 = 0 и y • и2 = 0.
Решение, которое нам требуется, т. е. сингулярное фундамен-
тальное решение динамических уравнений теории упругости, пред-
ставляет собой решение для безграничной среды, в точке £ которой
приложена объемная сила с постоянным направлением ej, но с за-
висящей от времени величиной f(t). Таким образом, нам требуется
решение динамических уравнений для объемной силы вида
= . (10.44)
10.4. Применение к динамическим задачам
289
Смещение в точке х в момент времени t, вызываемое силой величины
f(t), приложенной в точке £ в направлении xit дается выраже-
нием [3]
«г (х, /) = Gi?- (х, f, & f) е} ©, (10.45)
где Gu = G*/ + G?y, причем
1
1
4ярг
_(3e_So)J +
0 P ' v
kf(t~kr)dk
--^Lf^—L\ +
V csr
cs /
Компоненты Gj. и G?j соответственно образуют части тензора
Стокса Gi}, описывающие безвихревое движение и движение с со-
хранением объема. Функция f обращается в нуль при отрицательном
значении аргумента; "это отражает тот факт, что продольная и попе-
речная части волны, вызываемой действующей в точке £ силой f(t),
должны достигать точки х через время г/Ср и г/Св соответственно.
Напряжения в точке х в момент времени t имеют вид [3]
GiJ ~ Р Г(Ср ; 2С^) Gmk. rnfiij 4* С? (Gik. j 4~1|Сд, /)] Сд =
= Tiik(x,f,b (10.46)
где Ctk, j обозначает dGtk!dx} и т. n., a Ti]k — Тц + причем
-U =_______1_
i/й 4W2
' о
__1—(&У1У}УЪ. _______ ЪцУь + huyj + *ПУ1 flf_________M
1—1» V r» r )'{ Cp)
1 ytyjyh
C
1 f
6Cs
C7l
^yiyiVk ^ijyk + \kyj + ^ihyi^ J Xr)dZ+
o
290
Гл. tO. Нестационарные задачи ^теории упругости
| 2 Д^НУтУк _ ^ИУк + ^1кУ] + {f _ г \ _|_
к Г3 Г ) \ ,cj
[ ЧУгУзУк i Л___£_\ _ *1кУ} + ЧкУ1 Г с ___I
r*Cs 1 \ Csj г L \ Cs Г
Усилия в точке х в момент времени t могут быть получены из соот-
ношения
tiix, t)==Fih(x,^f)ek^, (10.47)
где FiK = Tijhn}{x) = T}jkn(x) + Т?мпу(х).
Уравнения (10.45)—(10.47) верны также для импульсной силы
F(t— т), действующей в момент т, т. е. для
/(/) = §(/_ т). (10.48)
Поэтому решение для единичного импульса, приложенного в точке
£ в момент т, получается заменой f на 6 и t на t — т. Для этого
случая смещения, например, даются выражением
щ (х, t) = Gu(x, t\ I, т)еД£), (10.49)
a усилия ti находятся из соотношения
tt{x, t) — Fih(x, t; I, (10.50)
Используя (10.48), можно получить функции Gi7, Tijh и Fi} в
более удобной форме (подробности см. у Эрингена и Сухуби [3]).
Можно также вывести^эквивалентное двумерное решение. К сожале-
нию, это не приводит к значительному упрощению, и поэтому дву-
мерные нестационарные динамические задачи теории упругости
можно с тем же успехом рассматривать как частный класс трехмер-
ных задач.
10.4.3. Динамическая теорема взаимности
Так же как и в статическом случае, который обсуждался в гл. 4
и 6, из динамической теоремы взаимности могут быть получены
динамические интегральные уравнения теории упругости. Динами-
ческая теорема взаимности [3, 48—51] фактически является непо-
средственным обобщением классической теоремы Бетти в статичес-
кой теории упругости и может быть сформулирована следующим
образом.
Если существуют два независимых динамических состояния
упругой среды, соответствующие определенным объемным силам,
граничным усилиям, граничным смещениям, начальным смещениям
и начальным скоростям, например (ф/, tif ult и'., V.) и (ф*, t*.,
10.4. Применение к динамическим задачам
291
и*., и*.', V*,'), и определенные в одной области V, ограниченной
i’ll
поверхностью S, то для любого t > О
f & * «/] (х, 0 dS + J р |[ф£ * и'] (х, 0 + Vi (х) щ (х, t) +
S V
+ u'i (х)
(х’ 1 .1 Г г Z
-----—} dv = I [ ti *
ut J J
z S
w,](x, t)dS 4- I pl [%
* Uil (x, t) +
v
+ V- (x) Ui (x, t) + ui (x) dUi^’ ft) dv, (10.51)
ut J
где (см. гл. 9)
[f*gl(x, 0 =
t
J7(X, t — x)g(x, x)dx
0
0
при t > 0,
при t <z 0.
10.4.4. Прямой и непрямой методы
В качестве первого динамического состояния (ф£,1£, ил, и. V')
можно взять состояние, соответствующее физической задаче,
а в качестве второго — состояние, обусловленное единичной сосре-
доточенной силой 8(t — т)6(х — £)6г?е£ в безграничной среде. Пред-
полагая без потери общности, что начальные смещения и*' и ско-
рости V*.' равны нулю, можно подставить в (10.51) компоненты
фундаментального решения (10.49) и (10.50) и получить для внутрен-
ней точки g
и1 (Ь 0 = f * ti— Рц * “J dS (х)4- f Р * 'Фг 1 dv (х) +
s v
4- J р [Vi (x)Gu(x, t; g, 0) 4- u'i (x)dGtj(x, /; g, 0)/dt]dv(x). (10.52)
v
Можно теперь использовать это прямое интегральное тождество,
чтобы получить необходимое уравнение для точки на границе,
что в свою очередь, как и прежде, приводит к алгоритму решения
полной задачи с заданными граничными и начальными условиями.
Для произвольной точки !;0 на границе имеем
[8У — С£?] ut (g0, t) J [Gi?- * tt — Fa * Ui] dS (x) 4-
s
4- f P [Gf j * фг] dv (x) 4- f P [Vi (x) Gi j(x, 0) 4-
V V
292
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
+ и. (х) dGu(х, t; go, 0)/й]dv(х), (10.53)
причем член Си представляет собой главное значение, получающее г
ся при рассмотрении несобственного поверхностного интеграла,
включающего F ц. Если в точке g0 граница гладкая (т. е. имеет
единственную касательную плоскость), то С= 6у/2.
Используя технику гл. 3, в которой продемонстрирована фор-
мальная эквивалентность прямого и непрямого методов, легко пока-
зать, что в непрямом методе иг во внутренней точке g оказывается
равным
и1 & 0 = f I Git * Vil(*) + j P [Gfj * 4ildv (x) +
s v
+ f p [Vi (x) Gy (x, t; g, 0) + u'i (x) dGu (x, t; g, O)/aZ] dv (x); (10.54)
v
здесь индексы i и j и аргументы x и g могут быть переставлены, так
как Gi} симметрична и по индексам, и по аргументам. Соответствую-
щие им усилия tt(x, t) на поверхности с нормалью п Дх), проходящей
через внутреннюю точку х, имеют вид
ti (х, 0 = f [Fy * <р?] dS (?) + J р (Fy * ф?] dv (?) +
S V
+ f Р [К(?) Fy (х, t; g, 0) + и (х) dFy (х, t; ?., O)/c)/J dv(?). (10.55)
v
Уравнения (10.54) и (10.55) можно теперь обычным образом исполь-
зовать для получения дискретных уравнений непрямого метода
граничных элементов.
Хотя описанный выше метод интегральных представлений дает
изящный подход к решению любой нестационарной динамической
задачи, вычислительные усилия, необходимые для полного решения
такой задачи с граничными и начальными условиями, весьма зна-
чительны, несмотря на то что методы дискретизации по пространст-
ву и времени довольно похожи на методы, описанные в гл. 9 для
задач о нестационарном потенциальном течении жидкости.
Часто удается сократить вычисления, учитывая некоторые осо-
бенности распространения возмущений. Возмущения из некоторой
точки распространяются как две независимые сферические волны,
движущиеся с постоянными скоростями Ср и Cs. Возмущение в
любой точке g, вызванное волной, движущейся со скоростью Ср,
в момент t определяется источниками, которые возбудили волну в
момент t — Г/Ср. Аналогично для волны, движущейся со скоростью
Са, возмущение в момент t определяется источниками, которые воз-
будили волну в момент t — r/Cs. В дальнейшем мы подробно иссле-
дуем эти особенности решения в связи с некоторыми частными клас-
сами задач о распространении волн.
10.4. Применение к динамическим задачам -293
Можно показать также [3, 52], что поверхностные интегралы в
выведенных выше граничных интегральных уравнениях можно раз-
делить на две части. Одна связана со скоростью Ср (Р-волны), а
другая —• со скоростью Cs (S-волны). В безграничной среде Р- и
S-волны продолжают распространяться как Р- и S-волны, но на
поверхности разрыва, например на поверхности раздела двух сред,
происходит превращение мод, т. е. Р-волны превращаются в S-
волны и.наоборот. В некоторых практических приложениях можно
использовать такое упрощенное разделение решений, но в общем
случае разделение на Р- и S-волны не приносит пользы.
10.4.5. Стационарные задачи динамической
теории упругости
Если выбрать момент наблюдения через достаточно длительное
время после зарождения возмущения, то можно предположить,
что физические величины гармонически меняются со временем с уг-
ловой частотой со (т. е. мы имеем дело с задачей об установившихся
колебаниях). После этого анализ сильно упрощается, так как тем
самым переменная времени исключается из дифференциальных
уравнений и граничная задача с начальными условиями сводится
просто к граничной задаче.
Поэтому предположим, что
Фс (*» 0 = ф| (х, w)/"**, Ut (х, /) = ut (х, <о)е_,т#,
tt (*» 0 = h (.х, ю) е ial, (10.56)
где фг(х, со), щ(х, со) и ti(x, со) — комплексные амплитуды объем-
ных сил, смещений и усилий соответственно.
Подставляя (10.56) в (10.38), получаем
[pVa + (х + g) VV • ] и (х, о) 4- р«оа и (х, со) = — рф (х, <о), (10.57)
т. е. дифференциальное уравнение установившихся колебаний в
теории упругости. Фундаментальное решение уравнения (10.57)
для единичной сосредоточенной силы, меняющейся по гармоничес-
кому закону, т. е. решение уравнения
[pVa + 0- + H)VV ]G(*> Ь со) + р«>аG(х, |, со) = —8(х, I),
определяется выражением [3, 12, 52]
G(x, В, ш)=:-бтп(х, ы) =
[1/(4^] [8ron£ee'^tr-д* (eikPr lr-eiks'lr)ldxmdxn\
__ для трехмерных задач, (10.58а)
[i/(4p)] [(1/^)8га„Яо(М -(1/<оа)да{Я0(М-^о(М}/^т^1
для двумерных задач, (10.586)
294
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
где kp = ы/Ср, ks = a/Cs, а Н0(т)) —функция Ганкеля первого
рода нулевого порядка от аргумента т).
Уравнение (10.57), известное под названием уравнения Гельм-
гольца, можно использовать для вывода тождества взаимности в
случае установившихся колебаний. Если и,-(х, <в), «*(х, со) —
два решения приведенных динамических уравнений, то
f tt (х, <о) ut(x, u)dS J рфг (х, <о) и.(х, <u) dv =
3 V
— [ u))Ui(x, со) dS 4- J рф* (x, ш)иГ(х, co) du (10.59)
s. к
Выражая и, при помощи (10.58), «разу получаем следующую яв-
ную формулу для смещений во внутренней точке
ui G’ “) = J И/ (х, со) Gy (х, £, <«) — Fi} (х, со) н, (х, со)] dS 4-
з
+ У Рф£ (х» ш)Оц(х» ««) dv, (10.60)
V
где Fi} — поверхностное усилие в точке х, обусловленное единич-
ной сосредоточенной силой.
Характер сингулярностей при х->£ аналогичен уже обсуждав-
шемуся выше статическому случаю.
Уравнение (10.60) можно использовать как основу получения
обычным образом алгоритмов прямого и непрямого МГЭ. В резуль-
тате решается целый ряд статических задач для каждого значения
частотного параметра со.
Решение уравнения -(10.60) единственно для любой внутренней
области V, ограниченной поверхностью S, при условии что со2
не равно ни одному из собственных значений однородной части диф-
ференциального уравнения (10.57) для граничных условий исходной
задачи. Для внешней области, конечно, нет таких собственных зна-
чений, и поэтому можно было бы ожидать, что решение возможно
при всех значениях <о2,если выполняются условия излучения и регу-
лярности на бесконечности. К сожалению, это не всегда имеет мес-
то, как указано в работах [5, 10, 22—24].
Выше мы сводили нестационарную задачу к задаче об установив-
шихся колебаниях, рассматривая процесс в момент времени, доста-
точно удаленный от момента первоначального возбуждения. Можно
применить обратную процедуру и получить решение нестационар-
ной задачи из стационарных решений, используя метод суперпози-
ции, что возможно в силу линейности исходных дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим интеграл
u4(x, t) = J«i(x, <о)е—tu>l d<u (10.61)
10.4. Применение к динамическим задачам
295
для всех возможных частот <о.
Это выражение представляет собой решение динамического урав-
нения (10.38) для подобным же образом определенной граничной
задачи в случае воздействия
Ф*(ЛГ, 0= рЖх, w)K‘wd«>. (10.62)
—оо
Легко видеть, что 2лфг(х, со) является фурье-преобразованием объ-
емной силы ф i(x, t) по времени, и, следовательно, 2ли4(х, со) есть
решение уравнений, получившихся прямым фурье-преобразованием
исходных динамических уравнений. Поэтому мы можем построить
общее решение динамических уравнений при помощи решения
ut(x, со), известного для всего спектра частот.
К решению и г(х, t) можно прийти и при помощи преобразования
Лапласа полевых уравнений. Как и ранее, преобразование Лапласа
функции ф j(x, t) определяется формулой
оо
Ф> (х, S) = х [ф j(x, t)]= j Ф, (х, t) e~^dt. (10.63)
о
Можно преобразовать дифференциальные уравнения (10.34) к
форме, подобной (10.57), где вместо со стоит is, а вместо объемной си-
лы — выражение ф }(х, s) + V'(x) + su'fx). Тем самым задача сво-
дится к решению статической задачи для каждого значения парамет-
ра преобразования Лапласа s. Основная трудность, конечно, состоит
в том, чтобы эффективно выполнить обратное преобразование к
пространству (х, t) некоторым численным способом [64]. Важный
вклад в эту область внесли работы [25,26,53,54].
10.4.6. Распространение волн
Введение. В очень многих задачах акустики, теории электро-
магнитного поля и гидродинамики дифференциальные уравнения,
описывающие распространение волн, очень похожи на приведенные
выше динамические уравнения теории упругости. Однако вследствие
понижения порядка уравнений в этих задачах аналитические свой-
ства ядра становятся менее сложными.
Рассмотрим распространение акустических волн малой амплиту-
ды в невязком газе. Обозначая скорость частицы и отклонение давле-
ния от равновесного через и t и р соответственно и определяя по-
тенциал ф так, что ut = д^/дх, и р — —родф/д/ (р0 — плотность
газа в состоянии покоя), можно свести основные дифференциаль-
ные уравнения к уравнению
д2ф(х, t^dxtdxi— (1/С8)52ф/^а = 0, (Ю.64)
где С2 — некоторая постоянная.
296 Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
В теории электромагнитного поля уравнения Максвелла для
линейной однородной изотропной среды с электрической проводи-
мостью е и магнитной проницаемостью р, имеют вид
у?хН = едЕ/д/, vxE = —рдН/д/, v-E = V H = 0» (Ю.65а, б, в),
где Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного
полей в момент времени I.
Вычисляя ротор от правой и левой части (10.65а) и используя
(10.656), имеем _
V X v X Н = — ред2Н/д/2,
что при помощи^ ^тождества у X у X Н = у(у * Н) — у2Н и
(10.65в) можно привести к виду
V2H — ре<32Н/д/2 = 0, (10.65г)
аналогичному (10.64).
Дифференциальное уравнение, описывающее распространение
волн малой амплитуды в идеальной жидкости, также подобно
(10.64), и видно, что различия носят физический, а не математичес-
кий характер. Поэтому ниже мы подробно опишем решение уравне-
ния
д2иг (х, t)ldt* = C2d2ut (х, t)!dx} дх} + (х, t) (10.66)
и его аналога для установившихся колебаний. Соответствующий
анализ скалярного волнового уравнения (10.64) не представляет
трудности. Интересующиеся читатели могут обратиться к работам
[3—5, 8, 13—19], где рассмотрено распространение волн в скаляр-
ном случае.
Нестационарное движение. Тождество взаимности, соответствую-
щее уравнению (10.66), можно записать следующим образом [31:
С2 J * и. j(x, t)dS +Д Гф, * и. ](х, t).+ v'.(x)u*(x, 0 +
, tow. (х, t)) , , 7 Г1 „
4- “«• W — Idv =f С2 J *Ui +
Of J s ип .
+ J(1ФГ *“il (х>*о+ У-'(х) ut(X, 0+ (X)((10.67)
у I * ot f
где u' (x) = ut (xJ’O), и** (x)'= и* (x, 0), V' (x) =дщ (x, O)/dt,
y;{x)^dut(x, O)/dt.
Уравнение (10.67), как и (10.51), является соотношением взаим-
ности двух решений уравнения (10.66), т. е. и*(х, 0 - и и,(х, 0,
для тела объема V, ограниченного поверхностью S с внешней нор-
малью пг(х).
10.4. Применение к динамическим задачам 297
Фундаментальное решение уравнения (10.66) для вектора u'(x,t),
обусловленного единичной импульсной силой ф*(х, t) = 6(/~
— т)6(х, ^)е4, представляется в виде
и\(х, t) = Gi}(x, t\ В, (10.68)
где Gi} =[l/(4iCCV)]8„5(f —r/C —т).
e Аналогично имеем
du.(x, t)/dn = (du.(x, f)/dxh)nh = Fi}(x, t\ В. т)ер (10.69)
где '
Подставляя (10.68) и (10.69) в (10.67), получаем
Uj (В, /) — С2 [ [Gjj * duildn — иг] dS (х) +
s
+ f [Gy * W<Mx) + J [V;(x)G,Xx, /; B. 0)+
V V
+ и.(х)дОи(х, t; B, 0)/dt]dv(x). (10.70)
Предполагая для удобства, что V'. (х) =|u' (х) = 0, и замечая,
что [3]
t
GtJ * dutldri = J Gi}(x, t; g, t) (du, (x, iy/driydt =
о
= [l/(4itC2r)J ди}(х, t — r/Q/дп = [ 1 /(4тиС2г)] [dUj/dn]
и
t
Fa * щ = J Fi} (x, t; B, t) ut (x, t) dt =
о
= [1/(4kC2)J {[5 (1 /r)ldn] u} (x, t—r/C) —
— [l/(Cr)J(dr/dri)duj(x, t — r/C)/dt} = [1/(4«C2)J {[0(1 /r)ldn] [U]] —
— (1/(0)] (drldn) [duj/dt]},
можно представить (10.70) в более удобной форме. Известно, что
[duj/dn], («у] и [duj/dt] представляют собой значения этих функций
в точке i в запаздывающий момент времени t — г/С. Понятие запаз-
дывающего времени связано с тем, что возникшее в точке х в момент
t возмущение доходит до точки | только к моменту t + г/С.
Используя приведенные выше уравнения, уравнение (10.70) при
ф, = 0 можно записать в виде
«,(В, 0 = Г—— (—) + —— Г—у])dS, (10.71)
4л J ( г |_дл J J дп \ г ) Сг дп I dt JJ v '
s
т. е. в виде известного интегрального уравнения Кирхгофа с запаз-
дывающим временем для и&, t). К сожалению, для двумерных
нестационарных задач уравнение (10.71) упростить нельзя; поэтому
двумерные задачи можно рассматривать как частный класс общих
трехмерных задач.
Уравнение (10.71) можно использовать для получения обычным
способом соотношений прямого и непрямого МГЭ. Численному ре-
шению (10.71) уделяется значительное внимание в литературе, и
читатель может ознакомиться с подробностями в прекрасных стать-
ях [5, 13, 14, 17, 18].
Стационарное движение. Если предположить гармоническую
зависимость от времени функций фг(х, t) = фг(х, <o)e~iu>t и иг(х, t)—
= ut(x, a)e-Ca,t, то уравнение (10.66), как и прежде, можно запи-
сать в виде
(х, io)/dxjdxj + k2ut(x, <«) = —(1/С2)ф, (х, ы), (10.72)
где k = w/С = 2лД, а X — длина волны.
Дифференциальное уравнение (10.72) представляет собой урав-
нение Гельмгольца, описывающее рассеяние гармонической волны.
В задачах рассеяния полную волну и в каждой точке удобно разде-
лять на две части: (1) известная падающая волна и‘ и (2) волна рас-
сеяния и4, которую нужно определить, т. е.
u=u/4-irs. (10.73)
Падающая волна определяется волновой функцией, которая
имелась бы при отсутствии рассеивающей поверхности, а волна рас-
сеяния представляет собой волну, расходящуюся от рассеивающей
области. Очевидно, необходимо, чтобы н4 удовлетворяла условиям
излучения на бесконечности (это гарантирует отсутствие волн,
идущих из бесконечности). Эти ограничения равным образом отно-
сятся к нестационарной задаче, обсуждавшейся в.предыдущих раз-
делах. Например, когда уравнение Кирхгофа с запаздывающим
временем применяется во внешней задаче рассеяния, оно должно
быть выражено через переменные волны рассеяния, которая обра-
щается в нуль на больших расстояниях от области, вызывающей
рассеяние. При этом условия излучения удовлетворяются полем
рассеяния (т. е. полным полем за вычетом падающей волны). По-
этому граничные условия могут быть выражены через поле рассея-
ния, хотя существуют другие возможности, обсуждавшиеся в обзо-
ре Шоу [5].
10.4. Применение к динамическим задачам
299
Фундаментальное решение уравнения (10.72) имеет вид
Gmn(x> t <о) =
[1/(4я)](е‘*г/г)8тп
(i/i) H0(kr)bmn
для трехмерных задач,
(10.74)
для двумерных задач,
где H0(kr) — функция Ганкеля первого рода нулевого порядка от
аргумента kr, и
Fmn(x, Z, = dGmn/dn. (10.75)
Во внутренней точке § прямой метод дает
Uj(^, ш) — ui (%, w) = j [Gu(x, Z, u>)dut(xt ш)/дп —
s
— Ft} (x, 5, и) (x, w)J dS 4- (1 /С2) jGf/x, E, <j>) фг (x, w) dv. (10.76)
v-
В произвольной точке g0 границы (принимая для удобства ф ; = 0)
имеем
^ij)Wi(^0’ ш) Ulj (Ео, «>) —
= J|G;J(x, Ёо, <a)dui{x, <о)/дп — Р1}(х, Eo, w) uf (х, <»)] dS, (10.77)
s
где член Ci} появляется при рассмотрении несобственного интегра-
ла, включающего Ftj.
Внутренняя задача о распространении гармонической волны
имеет единственное решение, если со2 не является одним из собствен-
ных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности
в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено
уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным
условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконеч-
ности. Имеется бесконечная последовательность значений со, сов-
падающих с соответствующими «резонансными» волновыми числами
или собственными значениями соответствующей внутренней задачи,
при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому ре-
шение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха
при волновых числах, отвечающих собственным значениям внут-
ренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физичес-
кая трудность, присущая внешней задаче, так как для внешних
задач не существует собственных значений; трудность неединствен-
ности полностью обусловлена формулировкой задачи через гра-
ничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь
трудностей можно найти в работах [5, 10 , 21, 23 , 24 , 55—57], где
для преодоления этих трудностей предложены модификации как
прямого, так и непрямого методов.
300
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
10.5. Типичные применения
Благодаря присущим МГЭ преимуществам при получении чис-
ленного решения внешней задачи в литературе имеется много при-
меров их применения; некоторые из них будут описаны ниже,-
Рис. 10.6. Окружные напряжения на границе полости, обусловленные про-
хождением продольной синусоидальной волны, по сравнению ^результата-
ми Бао (случай плоского напряженного состояния).
10.5. Типичные применения
301
(а) Стационарное распределение напряжений вокруг полостей
произвольной формы, обусловленное прохождением продольной и
поперечной волн. Нива, Кобаяси и Адзума f381 использовали для
этой задачи прямой алгоритм метода граничных элементов для ис-
следования точности метода по сравнению с альтернативным реше-
нием, полученным Бао [58]. Рассматривалась падающая продоль»
ная волна вида
и = Ае1Ье,~^\ k = w/C = 2-пЦ, (10.78)
где A, k, to и I — амплитуда, волновое число, круговая частота и
длина волны соответственно. Численные результаты, полученные с
использованием 24 граничных элементов с постоянными усилиями
и смещениями на них, показаны в сравнении с результатами Бао
на рис. 10.6. Здесь а — радиус полости (а = 1), коэффициент Пуас-
сона v = 0.35, а (Те/о о — отношение окружных напряжений к
приложенным напряжениям.
По мере того как длина волны увеличивается, распределение
напряжений стремится к статическому, тогда как при уменьшении
длины волны рассеяние последней уменьшает полную концентрацию
напряжений. Аналогичные результаты для случая плоской деформа-
ции (с v = 0.25) представлены на рис. 10.7. Точность численных ре-
зультатов естественно уменьшается для меньших длин волн, по-
скольку используется более грубая дискретизация границы.
Напряжения в условиях плоской деформации на границе полос-
Рнс. 10.7. Окружные напряжения натранице полости, обусловленные про-
хождением продольной синусоидальной волны (случай плоской деформации).
302
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
Рис. 10.8. Окружные напряжения на границе полости, обусловленные про-
хождением поперечной синусоидальной волны.
ти, обусловленные прохождением поперечной волны смещений
вида (10.78), приведены на рис. 10.8, где т0 — напряжения сдвига,
переносимые падающей волной. Численные результаты были полу-
чены при использовании 48 граничных элементов с постоянной ин-
тенсивностью на них ( v= 0.25).
Еще раз отметим, что, по мере того как длина волны растет,
распределение напряжений стремится к статическому, но достигает
несколько больших значений (этого и можно было ожидать). Эффек-
ты рассеяния становятся доминирующими при уменьшении длины
волны, хотя, когда длина волны становится величиной порядка дли-
ны граничных элементов, точность результатов может оказаться
сомнительной.
(б) Нестационарные распределения напряжений вокруг полостей
произвольной формы. Нива, Кобаяси и Адзума [381 рассмотрели
также задачу о нестационарном поле напряжений вокруг полости
произвольной формы, обусловленном прохождением волны, произ-
вольно зависящей от времени, при помощи суперпозиции соответст-
вующих стационарных решений [59]. Этот метод решения может
быть разделен на три стадии. Первый шаг заключается в аппрокси-
мации нестационарных поперечных и продольных волн с произволь-
ной зависимостью напряжений от времени рядом Фурье
Е(х)= 1/2+ (2/^)2 [e/(2m —l)Jsin(2m —1)х (10.79)
т=1
10.5. Типичные применения
303
Рис. 10.10. Зависимость от времени окружных напряжений в точке 0 = 90°
на границе полости, обусловленных прохождением продольной ступенчатой
волны. Отсчет времени начинается в момент достижения фронтом волны ле-
вой границы полости.
дит
Тл7~1иг~нёстационаряь1е оаааяи теории упругиста
Рис. 10.11. Зависимость от времени окружных напряжений в точке 6 = 0° на
границе полости, обусловленных прохождением продольной ступенчатой вол-
ны. Отсчет времени начинается в момент достижения фронтом волны левой
границы полости.
Рис. 10.12. Нестационарные окружные напряжения иа границе подковооб
разной полости, обусловленные прохождением ступенчатой продольной вол
ны и соответствующие указанным в верхней части рисунка положениям вол
нового фронта.
Рис. 10.13. Сравнение теоретической и экспериментальной частотных харак-
теристик для полностью открытой гавани.
с коэффициентом Ланцоша
ст — sin {[(2m —;l)/(2n)]ir}/[[(2m — l)/(2n)]«}.
Второй шаг заключается в получении стационарного решения для
соответствующих синусоидальных волн, в котором используется
описанный выше метод граничных элементов. Третий и последний
шаг заключается в суперпозиции этих решений для восстановления
распространяющейся волны, хотя очевидна важность наличия дос-
таточного времени между импульсами, чтобы поверхностная энер-
гия успевала рассеиваться в окружающую среду.
На рис. 10.9 приведен наиболее убедительный пример — точ-
ность аппроксимации ступенчатой волны рядом Фурье с п = 10.
Результирующее решение для окружного напряжения при 6 = 90°
(рис. 10.10), обусловленного прохождением такой падающей про-
дольной волны, сравнивается с решением Гарнета и Паскаля [59],
в котором отсчет времени начинается в момент достижения фронтом
волны левой границы полости. Максимальное значение окружного
напряжения равно примерно —2.98 для безразмерного момента
времени 3.5 в отличие от значения —2.67 для статического случая.
11—356
306
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
Соответствующие результаты для 0 = 0 приведены на рис. 10.11,
где максимальная концентрация напряжения равна примерно 0.22
в сравнении с нулем для статического случая. Правда, в этом случае
результаты, полученные при помощи МГЭ, значительно отличаются
от результатов работы [59].
В [38] авторы рассмотрели задачу о вычислении нестационарного
поля напряжений на границе подковообразной полости во время
прохождения ступенчатой продольной волны, распространяющейся
в горизонтальном направлении. Их результаты изображены на
рис. 10.12, на котором видно, что высокая концентрация напряже-
ний имеет место на нижних углах с малым радиусом закругления
0.2а, где а — радиус верхней части полости.
(в) Колебания в гавани произвольной формы. Задачи о колеба-
ниях жидкости в гавани сводятся к решению скалярного уравнения
Гельмгольца
d2^/dxi dxt + = 0
Рис. 10.14. Акустическое излучение в воде от подкрепленной цилиндрической
оболочки.
10.5. Типичные применения
307
и поэтому естественно относятся к классу задач, обсуждаемых в дан-
ной главе.
В работах [28—31] рассмотрены решения этого уравнения для
задач распространения волн в жидкости. На рис. 10.13 приведено
типичное решение, полученное Хуаном и Туком [29] для задачи о
прямоугольной гавани, связанной с открытым морем. Численное
решение сравнивается здесь с экспериментальными результатами и
найденным ранее приближенным аналитическим решением Иппена
и Годы [60]. Все результаты измерений и вычислений относятся к
точке А, изображенной на врезке к рис. 10.13. В непосредственной
окрестности основного периода колебаний результаты, полученные
непрямым МГЭ, немного превосходят результаты Иппена и Годы,
что вполне объясняется сделанными ими допущениями.
(г) Некоторые применения в акустике. Большинство особен-
ностей интегральных методов, описанных в этой главе, на протя-
жении многих лет были известны акустикам. Но лишь совсем недав-
но появились работы, в которых численно исследовались скалярные
волновые уравнения для стационарного и нестационарного случаев
(см. [4—6, 10, 13—19, 21—24]).
На рис. 10.14 приведены результаты из работы [16], в которой
исследовалось акустическое излучение в воде от подкрепленной
цилиндрической оболочки, представленной дискретными массами.
Эти результаты были получены решением задачи о гармонических
колебаниях непрямым МГЭ [16].
В работе [17] рассматривалась задача рассеяния расположенной
Рис. 10.15. Полное давление, индуцированное на поверхности твердой сферы
импульсом в форме гауссовой кривой (амплитуда импульса, радиус сферы и
скорость звука приведены к единице; ширина импульса равна диаметру
сферы).
11*
308
Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
в начале координат сферой радиусом а = 1 импульса в форме гаус-
совой кривой
и0 = ехр [— (t — Z/c)2/2],
распространяющегося со скоростью с — 1. Для решения использо-
вался прямой МГЭ (который в этой работе рассматривался как вари-
ант метода запаздывающего потенциала). Результаты сравнивались
с решением, полученным методом разделения переменных, как пока-
зано на рис. 10.15.
Другие впечатляющие примеры применения МГЭ к задачам рас-
пространения стационарных и нестационарных скалярных и век-
торных волн можно найти в работах [4, 8, 13—15, 18, 61—72].
В [63] авторы объединили свои ранние работы по вязкоупругости и
динамике нестационарных волн и разработали метод решения задач
о распространении волн в вязкоупругих телах.
10.6. Заключительные замечания
В этой главе мы описали алгоритмы МГЭ для задач о распро-
странении стационарных и нестационарных волн. Хотя некоторые
интегральные представления известны уже почти 150 лет, их чис-
ленная реализация в инженерном деле все еще находится в младен-
честве. Мы надеемся, что включили сюда достаточно материала,
показывающего, что разработка практического применения этих
методов может заслуживать внимания.
10.7. Литература
[1] Morse Р. М., Feshbach Н. Methods of theoretical physics. —Part 2. —
New York: McGraw-Hill, 1953. [Имеется перевод: Морс Ф. Фешбах Г.
Методы теоретической физики. Том 2. — М.: ИЛ, I960.]
[2] Graff К. F. Wave motion in elastic solids. — Oxford: Clarendon Press,
1975.
[3] Eringen A. C., Suhubi E. S. Elasto-dynamics. Vol. 2. Linear theory. —
New York: Academic Press, 1975.
[4] Shaw R. P. An integral equation approach to acoustic radiation and scatte-
ring. — Topics in Ocean Engng, 1970, v. II, p. 143—163.
[5] Shaw R. P. Boundary integral equation methods applied to wave problems.
— In: Developments in boundary element methods. Ed. by P. K. Bane-
rjee, R. Butterfield. Vol. 1. —London: Applied Science Publishers, 1979.
[6] Kanwal R. P. Linear integral equations, theory and technique. — New
York, London: Academic Press, 1971.
[7] Alawneh A. D., Kanwal R. P. Singularity methods in mathematical phy-
sics. — SIAM Rev., 1972, v. 19, No. 3, p. 437—471.
[8] Lean M. H., Friedman M., Wexler A. Advances in application of the boun-
dary element method in electrical engineering problems. — In: Develop-
ments in boundary element methods. Ed. by P. K« Banerjee, R. Butter-
field. Chap. IX. —London: Applied Science Publishers, 1979.
[9] Baker В. B., Copson E. T. The mathematical theory of Huygen’s princip-
le. — Oxford Univ. Press, 1939.
10.7. Литература
309
[ 10] Burton A. J. The solution of Hemholtz equation in exterior domains using
integral equations.— NPL Rep. NAC 30, January 1973.
[11] Boundary integral equation method: computational applications in appli-
ed mechanics. Ed. by T A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975.
[Имеется перевод: Метод граничных интегральных уравнений. Вычис-
лительные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф.
Риццо. —М.: Мир, 1978.]
[12] Kupradze V. D. —In: Progress in solid mechanics. Ed. by I. N. Sneddon,
R. Hill. Vol. 3. — North Holland, 1963.
[13] Shaw R. P., Friedman M. B. Diffraction of a plane shock wave by a free
cylindrical obstacle at a free surface. In: Proc. Fourh U. S. Natn Congr. on
Appl. Meeh. Vol. 2, 1962, p. 371—379.
[14] Friedman M. B., Shaw R. P. Diffraction of a plane shock wave by an arbi-
trary rigid cylindrical obstacle. —J. Appl. Meeh., 1962, v. 29, No. 1,
p. 40—46. [Имеется перевод: Прикладная механика. —М.: Мир, 1962,
т. 29, № 1.]
[15] Banaugh R. Р., Goldsmith W. Diffraction of steady acoustic waves by
surfaces of arbitrary shape. —J. Acoust. Soc. Amer., 1963, v. 35, No.
10, p. 1590—1601.
[16] Chen L. H., Schweikert J. Sound radiation from an arbitrary body. — J.
Acoust. Soc. Amer., 1963, v. 35, p. 1626—1632. s
[17] Mitzner К- M. Numerical solution for transient scattering from a hard
surface of arbitrary shape — retarded potential technique. — J. Acoust.
Soc. Amer., 1967, v. 42, No. 2, p. 391—397.
[18] Shaw R. P. Diffraction of acoustic pulses by obstacles of arbitrary shape
with a robin boundary condition.— part A. —J. Acoust. Soc. Amer.,
1966, v. 41, No. 4, p. 855—859.
[19] Shaw R. P. Diffraction of pulses by obstacles of arbitrary shape with an
impedance boundary condition. —J. Acoust. Soc. Amer., 1969, v. 44,
No. 4, p. 1962—1968.
[20] Shippy D. J. Application of the boundary integral equation method to
transient phenomenon in solids. — In: Boundary integral equation method:
computational applications in applied mechanics. Ed. by T. A. Cruse,
F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975. [Имеется перевод: В кн. [11].]
[21] Burton A. J., Miller G. F. The application of integral equation methods to
the numerical solution of some exterior boundary value problems. — Proc.
Roy. Soc., London, Ser. A, 1971, v. 323, p. 201—210.'
[22] Greenspan D., Werner P. A numerical method for the exterior Dirichlet
problem for the reduced wave equation. —Arch. Rational Meeh. Anal.,
1966, v. 23, p. 288—316.
[23] Jones D. S. Integral equations for the exterior acoustic problems. — Q. J.
Meeh. Appl. Math., 1974, v. 27, No. 1, p. 129—142.
[24] Schenck H. A. Improved integral formulation for acoustic radiation prob-
lems. — J. Acoust. Soc. Amer., 1966, v. 44, No. 1, p. 41—58.
[25] Cruse T. A., Rizzo F. J. A direct formulation and numerical solution
of the general transient elasto-dynamic problem. I. —J. Math. Anal. Appl.,
1968, v. 22, No. 1, p. 244—259.
[26] Cruse T. A. A direct formulation and numerical solution of the general
transient elasto-dynamic problem. II. —J. Math. Anal. Appl., 1968, v. 22,
No. 2, p. 341—355.
[27] Jain D. L., Kanwal R. P. Scattering of P and S waves by spherical in-
clusions and cavities. — J. Sound and Vibration, 1978, v. 57, No.2, p.
171—202.
[28] Garrison C. J., Chow P. Y. Wave forces on submerged bodies. — ASCE,
1972, v. 98(WW3), p. 357—392.
[29] Hwang L. S., Tuck E. O. On the oscillations of harbours of arbitrary shape.
— J. Fluid Meeh., 1970, v. 42, p. 447—464.
[30] Lee J. J. Wave induced oscillations in harbours of arbitrary shape. —
I. Fluid Meeh., 1971, v. 45, p. 375—394.
310 Гл. 10. Нестационарные задачи теории упругости
[31] Shaw R. Р. Boundary integral equation methods applied to water waves.
— In: Boundary integral equation method: computational applications
in applied mechanics. Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York:
ASME, 1975. [Имеется перевод: В кн. [И].]
[32] Morita N. Surface integral representations for electro-magnetic scattering
from dielectric cylinders. — IEEE Trans. Antennas and Prop., 1978, v.
AP26, No. 2, p. 261—266.
[33] De-Mey G. Calculation of eigenvalues of the Helmholtz equation by an
integral equation. — Int. J. Num. Meth, in Engng; 1976, v. 10, p. 59—
66.
[34] Tai G- R. C., Shaw R. P. Helmholtz equation eigenvalues and eigenmodes
for arbitrary domains. —J. Acoust. Soc. Amer., 1974, v. 56, No. 3, p.
796—804.
[35] Eatock Taylor R., Waite J. B., The dynamics of offshore structures evalua-
ted by boundary integral techniques. — Int. J. Num. Meth, in Engng, 1978,
v. 13, p. 73—92.
[36] Eatock Taylor R., Dolla J. P. Hydrodynamics loads on vertical bodies of
revolution. —Rep. OFG/78/8, Dep. of Meeh. Eng., University College,
London, December 1978.
[37] Kobayashi S., Fukui T., Azuma N. An analysis of transient stresses produ-
ced around a tunnel by the integral equation method. — In: Proc. Symp.
Earthquake Engng, Japan, 1975, p. 631—638.
[38] Niwa Y., Kobayashi S., Azuma N. An analysis of transient stresses produ-
ced around cavities of arbitrary shape during the passage of travelling wa-
ves. — Memo. Faculty of Engng, Kyoto University, Japan, 1975, v. 36,
p. 1—2, p. 28—46.-
[39] Rizzo F. J., Shippy D. J. An application of the correspondence principle
of linear visco-elasticity theory. — SIAM J. Appl. Math., 1971, v. 21, No.
h' 2, p. 321—330.
[40] Cristensen R. M. Theory of visco-elasticity. — New York and London:
Academic Press, 1971. [Имеется перевод: Кристенсен P. Введение в тео-
рию вязкоупругости. —М.: Мир, 1974.]
[41] Deak A. L. Numerical solution of three-dimensional elasticity problems
of solid rocket grains based on integral equations. — AFSC Rep. No.
AFRPL-TR-71-140-Vol. 1, 1972.
[42] Noble B. The numerical solution of non-linear integral equations and rela-
ted topics. — In: Nonlinear integral equations. Ed. by P. M. Anselone.
Univ, of Wisconsin Press, 1964.
[43] Buckner H. Die praktische Behandlung von Integralgleichungen. —Ber-
lin: Springer, 1952.
[ 44] Gurtin M. E., Sternberg E. On the linear theory of viscoelasticity. — Arch.
Rational Meeh. Anal., 1962, v. 11, No. 4, p. 291—384.
(45] Schapery R. A. Approximate methods of transform inversion for visco-
elastic stress analysis. — In: Proc. Fourth U. S. Natn. Congr. on Appl.
Meeh. Vol. 2, 1962, p. 1065—1085.
[ 46] Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation. — J. Appl.
Phys., 1941, v. 12, p. 155—164.
[47] Fung Y. C. Foundations of solid mechanics. — Englewood Cliffs: Prentice
Hall, 1965.
[48] Love A E. H. A treatise on mathematical theory of elasticity. — Oxford
Univ. Press, 1931. [Имеется перевод: Ляв А. Математическая теория
упругости. —М.: ОНТИ, 1935.]
[49] Gurtin М. Е. Variational principles for linear elastodynamics. — Arch.
Rational Meeh. Anal., 1964, v. 16, p. 34—50.
[50] Gurtin M. E. The linear theory of elasticity. — In: Handbuch der Physik.
Vol. VIa/2. Ed. by C. Truesdell. — Berlin and New York: Springer,
1972, S. 1—295.
[51] Wheeler L. T., Sternberg E. Some theories in classical elasto-dynamics: —
Arch. Rational Meeh. Anal., 1968, v. 31, p. 51—90.
10.7. Литература
311
[52] Рао Y. Н., Varatharajulu V. Huygens’ principle, radiation conditions and
integral formulae for the scattering of elastic waves. — Rep, No. 2994,
Material Science Center, Cornell Univ., Ithaca, 1975.
[53] De Hoop A- T. Representations theorems for the displacement in an elas-
tic solid and their application to elasto-dynamic diffraction theory. —
Doct. Diss. — Tech. Hogeschole, Delft, 1958.
[54] Doyle J. M. Integration of the Laplace transformed equations of classical
elasto-kinetics. —J. Math. Anal. Appl., 1966, v. 13, p. 118—131.
[551 Chertock G. Integral equation methods in sound radiation and scattering
from arbitrary surfaces. — NSRDC Rep. No. 3538, Washington, 1971.
[56] Ursell F. On exterior problems of acoustics. —Proc. Camb. Phil. Soc.,
1973, v. 74, p. 117—125.
[57] Kleinmann R. E., Roach G. F. Boundary integral equations for the three-
dimensional Helmholtz equations. —SIAM Rev., 1974, v. 16, p. 214—236.
[581 Pao Y. H. Dynamic stress concentration in an elastic plate. —J. Appl.
Meeh., 1962, v. 29, p. 299—305. [Имеется перевод: Прикладная механика.
— М.: Мир, 1962, т. 29, № 2.]
[59] Garnet Н., Pascal J. С. Transient response of circular cylinder of arbitrary
thickness in an elastic medium to a plane dilatational wave. — J. Appl.
Meeh., 1966, v. 33, p. 521—531. [Имеется перевод: Прикладная механика.
— М.: Мир, 1966, т. 33, № 3.]
[60] Ippen А. Т., Goda Y. Wave induced oscillations in harbours: the solution
for a rectangular harbour connected to open sea. — Res. Rep., Hydro
Laboratory, MIT, Cambridge, 1963.
[61] Chen L. H. Projections for the near terms —application of approaches to
real submersibles. — In: Proc. Acoust. of Submerged Structs, Vol. II,
15—17 Feb., Office of Naval Research, Washington, 1967.
[62| Dominguez J., Roesset J. Dynamic stiffness of rectangular foundations.—
Rep. on Grant NSF-RANN-ENV-77-18339, Dept, of Civil Engineering,
MIT, Cambridge, 1978.
[63] Shippy D. J., Rizzo F. J. Solutions of problems of dynamic visco-elasti-
city by the boundary integral equation method. — Internal report, Dept,
of Engineering Mechanics, Univ, of Kentucky, 1975.
[64] Papoulis A. A new method for inversion of Laplace transform. — Q. Appl.
Math., 1957, v. 14, p. 405—414.
[65] Banaugh R. P., Goldsmith W. Diffraction of steady elastic waves by
surfaces of arbitrary shape. —J. Appl. Meeh., 1963, v. 30, p. 589
— 597. [ Имеется перевод: Прикладная механика. — М.: Мир,
1963, т. 30, № 4.J
[66| Cole D. М., Kosloff D. D., Minster J. В. A numerical boundary integral
equation method for elastodynamics. I. — Bull. Seism. Soc. Amer., 1978,
v. 68, p. 1331 — 1357.
[67] Manolis G. D., Bescos D. E. Dynamic stress concentration studies by the
boundary integral equation method. — In: Proc. 2nd Int. Symp. Innov.
Num. Analysis in Appl. Engng Sci. Ed. by R. P. Shaw et al. — Virginia,
1980, p. 459—463.
[68] Manolis G. D. Dynamic response of underground structures. — Ph. D.
thes. —Univ, of Minn., Minneapolis, 1980.
[69] Apsel R. J. Dynamic Green’s functions for layered media and applications
to boundary-value problems. — Ph. D. thes. — Univ, of Calif., San Diego,
1979.
170] Wong H. L., Jennings P. C. Effects of canyon topography on strong gro-
und motion. — Bull. Seism. Soc. Amer., 1975, v. 65, p. 1239—1257.
[71 ] Wong H. L., Trifunac M. D., Westermo B. Effects of surface, and subsurfa-
ce irregularities on the amplitudes of monochromatic waves. — Bull.
Seism. Soc. Amer., 1977, v. 67, p. 353—368.
1'2] Toki K. , Sato T. Seismic response analysis of surface layer with irregular
boundaries. — In: Proc. 6th WCEE, N. Delhi, India, 1977, p. 409—415.
Глава 11
ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛАСТИН
11.1. Введение
Теория изгиба тонких пластин Кирхгофа при отсутствии мем-
бранных сил представляет собой естественное двумерное обобщение
простой теории изгиба стержней Бернулли, изложенной в гл. 2. Обе
теории основаны на предположении, что «плоские сечения остаются
плоскими» в процессе изгиба и что смещения достаточно малы — это
позволяет пренебрегать изменениями в геометрии и поэтому приме-
нять теорию малых деформаций.
Несмотря на очень широкое применение теории изгиба пластин
в инженерном деле, имеется, как оказывается, сравнительно мало
работ, в которых разрабатывались бы алгоритмы, основанные на
интегральных уравнениях [1—7]. Можно указать работу [1], по-
явившуюся в начале 60-х годов, где использовались теорема взаим-
ности и однородные решения; работу [2] по алгоритму НМГЭ; ра-
боты [3,6], где предложена иная форма НМГЭ; работу [8], в которой
обсуждался алгоритм ПМГЭ для пластины с входящим углом.
Данное ниже представление МГЭ следует духу статьи [1] и обоб-
щает эту работу на случаи пластин на упругом основании (включая
и непрерывное). причем более простым способом, чем в большинстве
упомянутых работ.
11.2. Постановка задачи и основные дифференциальные
уравнения
Элемент упругой пластины толщиной h и жесткостью D =
— £7i3/[12(l —v2)] показан на рис. 11.1,а,б вместе с принятым со-
глашением о знаке краевых моментов mi} и перерезывающих сил
qi, отнесенных к единице длины края; смещения пластины w и углы
наклона 0 t отнесены к серединной поверхности пластины; прило-
женные поверхностные нагрузки обозначены через ф, а внешние
моменты — через ггц. Соглашение о знаках состоит в том, что
компоненты момента и угла наклона, обозначенные двойной стрел-
кой, выбираются по закону правого винта, движущегося вдоль
стрелки [2].
Соотношения теории тонких пластин, связывающие эти величи-
ны, известны:
6г = dwldxt — WJ
(H.la)
11.2. Постановка задачи и основные уравнения
313
(здесь запятая обозначает частное дифференцирование по Xt (см.
приложение A), a I принимает только значения 1 и 2),
тц = "1ц =£>[(1 — v)a\i,+ (11.16)
(это уравнение несколько упрощается в случаях, когда можно поло-
жить v = 0),
314
Гл. It. Задачи изгиба пластин
Qi~~ mi}J — т] = — Dw.khi — tri.. (11.1 в)
[Заметим, что, так как различные величины отнесены к единице дли-
ны (или площади), величина mi} имеет размерность силы и т. д.[
Наконец, подставляя в проекцию уравнения равновесия на верти-
каль qiti + ф = 0 результат дифференцирования соотношения
(Н.1в), мы приходим к бигармоническому уравнению "7
Ф — т'.л =Dw,iij}.l
(11.1г)
Читателю, не знакомому с теорией изгиба пластин, будет поучитель-
но сравнить уравнения (11.1) с соответствующими уравнениями
(2.11), (2.12) для простого стержня.
Как и прежде, нам будут нужны компоненты (т, 0, q), «разре-
шенные» вдоль внешней нормали п t в некоторой точке поверхности
5, ограничивающей область А пластины произвольной формы (рис.
11.1,в), а именно
И М. = mijflj-, (11-2)
смысл компонент М t и соответствующих компонент 0 , показан на
рисунке. Немедленный, но ошибочный вывод заключается в том,
что в любой точке число независимых граничных переменных равно
шести (Q, w, МI, 0 t). Мы должны уменьшить их число до четырех,
так как уравнение (11.1г) имеет четвертый порядок. Чтобы сделать
это, нужно учесть следующие факты.
1. Вектор Mt удобно выразить через граничную нормальную
и касательную компоненты (Мп, Ms) (рис. 11.1,г)
miinj = Mi =—Mntii + Msst\ (П-З)
здесь Si — единичный вектор касательной к границе, такой, что
s = k X п, где к — единичный вектор, направленный по оси х3
(рис. 11.1,г).
/..s, dMs ,\
.Q ds Xм + ds)
2. Краевой крутящий момент ЛК можно объединить с Q (рис.
11.2,а) для получения результирующей граничной перерезывающей
силы
V = Q — дМЧдз.
(11.4)
11.3. Сингулярные решения 315
3. Углы наклона, соответствующие Mt, будут связаны с нормаль-
ной и касательной компонентами угла наклона, скажем б" и б6
(рис, 11.1,а) соотношением, эквивалентным (11.3), а именно
бг =—блп£ 0ssit (11.5а)
откуда
6£и£ =—бл и Qisi = Bs = dw/ds. (11.56)
Таким образом, положив М == Мп и © = бл, мы уменьшили число
граничных переменных до четырех (V, w, М, Q).
Однако, включая Ms в V при помощи соотношения (11.4) (рис.
11.2, а), мы затем обязаны рассматривать так называемые угловые
силы Qc (рис. 11.2,6), которые порождаются Ms в тех точках грани-
цы, где направление касательной к ней претерпевает разрыв.
Из соглашения о знаках (рис. 11.1,г) видно, что действие Ms
на разные стороны любого угла С будет разнонаправленным, и по-
этому, если (ЛР)С_ и (Л1')с+ относятся к границе с разных сторон
угла, то мы имеем
сс=(Л1г--т+. (и.б)
Эти угловые силы более подробно исследуются в § 11.5, в котором
выводятся уравнения ПМГЭ.
11.3. Сингулярные решения
В нашем случае фундаментальное решение соответствует смеще-
нию ш°(х) некоторой точки х безграничной пластины, вызванному
действием единичной нагрузки, приложенной в точке g (рис. 11.1 ,а).
w°(x) = [1/(8гсВ)]г21п(г/г0) = 6°(х, Е), (11-7)
где г = угуг ,yt = (х — £)г, а г° определяет местоположение окруж-
ности произвольного радиуса, на которой смещения обращаются в
нуль (иначе говоря, смещения отсчитываются от уровня смещений
при г = г°, и поэтому следует вводить вспомогательные члены при
выводе соотношений НМГЭ для исключения «реакций» на бесконеч-
ности подобно тому, как это было сделано в гл. 4). Вводя р =
= г/г° и дифференцируя (11.7), в соответствии с (11.1) получаем
углы наклона, моменты и перерезывающие силы, соответствующие
(11-7) , скажем S
б?(х) = (у£ 1пр)/(4кН),
откуда
©«(x) = -0?(x)nf(x) = F’(x, £),
(11.8а)
m°U W = — 11 /(4к)1 ((1 — v) yiVj/r2 + ((1 + v) In Р + V]).
316
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
Учитывая равенство ^1?(х) =/иу(х)п;(х) и равенство (11.3), имеем
= —МЧщ = — т°ц tiifij = Е° (х, g) (11.86)
ЛИ = М°5. = С°(х, g).
Наконец, из равенства q°t(x) — —[1/(2п)]у£/г2 следует, что
V0 (х) = ц°(х) nt (х) —dMsQ (x)/ds = D° (х, g), (11.8в)
где, вообще говоря, s определяет любую кривую, проходящую через
точку х.
Нам также потребуется решение, соответствующее действующему
в точке g моменту, который удобнее всего ввести при помощи двух
Рис. 11.3.
«равных и противоположно направленных сил», т. е. пары сил (ф,
-—ф), приложенных в точках g, и (g -(- dty, (см. рис. 11.3, где р; —
единичный вектор в направлении d^t).
Приложенные силы определяют пару с# величины
И| = ф|^|, с< = ф^, (11.9)
и, используя верхний индекс 1 (да1(х) и т. д.) для обозначения смеще-
ний, углов наклона и т. д., обусловленных моментом «первого по-
рядка» еЯ , получаем
w1 (х) = фС» (х, g) — фО’ (х, g + d§ = — ф (дОЧдЪ) d£t =
= -(Ф1^|)(д(У’адр{,
т. е.
w1 (х) = оЛ (g) р; (g) (d№/dx;) (х, g) = Л р; G.°t. (11.1 Oa)
Если, в частности, <М— сосредоточенный момент, а р, направлен
по нормали к S, то решение для сосредоточенного «нормального»
граничного момента имеет вид
11.4. Формулировка НМГЭ для тонких пластин
3’7
иЛ(х)= J1,G°£ == G1 (х, |), (11.106)
и для направления п г в точке х имеем
= — б/i,- = — wl.п} = — p; п}(Р{. = F1 (х, g).
Выполняя соответствующее дифференцирование, из (11.106) и
(11.1) можно получить полный набор функций С1, Dl, Е1, F1 [все
в точках (х, |)], соответствующих набору С°, ..., F°. Тоттенхем [1]
указывает, что при помощи перехода от (11.9) к (11.106) можно по-
лучить иерархию решений для сосредоточенных моментов «высших
порядков». Например, рассматривая две «равные и противоположно
направленные» пары {JU,—JU} вместосил (ф,—ф) на рис. 11.3 и оп-
ределяя момент «второго порядка» JfT как
JT = JUdl, (11.11)
получаем пу8(х) = ^(^^(^(dG1/дх;)(х, g) =^p;Gj, т. е.
^(х) = ^ГИургС?|£/. (11.12а)
и если р; снова нормален S, то для |.#*| — 1
(*) = & Р; = G2 (х, g)
и
@2(х) = -рг Р; рА Q\Ik = F2(x, g) (11.126)
и т. п., и аналогично для моментов более высокого порядка, порож-
дающих &у3(х) = G3(x, g) и т. д. Тоттенхем [1] решал задачи об изги-
бе пластин, используя различные комбинации моментов высших по-
рядков (так же как и Нива, Кобаяси и Фукуи [2]), в зависимости от
способа задания граничных условий. Преимущества и ограничения,
связанные с использованием моментов высоких порядков, по-види-
мому, не исследовались систематически несмотря на то, что такие
моменты могут найти важные приложения, выходящие далеко за
рамки теории изгиба пластин.
11.4. Формулировка непрямого метода граничных
элементов для тонких пластин
Распределяя «фиктивные» краевые нагрузки <p°(g) и нормальные
граничные моменты, скажем 'р1®, где g — точка границы, и следуя
стандартному выводу, изложенному в гл. 2 (в частности, в связи с
задачей об изгибе балки), получаем (для А4 == М.п и т'( = 0)
уравнения
щ(х)= f {<p0©G°(x, g) + Ф1 (Е) G1(x, g)}rfs(g) +
318
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
+ J {<|>:(z)G»(x, z)}dA(l) + c°,Z
А
0 (х) = [{ф0/70;+ фЧ71} ds + J {фр0} dA + с\ tij
S A
M (x) = f {<p°E° + Ф1 E^ds^+S {^E°}dA,
s л
V (x) = f {«pODo + ф1 D1} ds +; J (фР°) dA,
S A
(11.13)
в которых аргументы выписаны полностью только в первом уравне-
нии.
Если реальная (в противоположность фиктивной) граница плас-
тины имеет углы, то в дискретизованный вектор <р° могут быть вклю-
чены дополнительные компоненты «угловой силы» <р°, по одной на
угол [1, 2, 6, 7, 10]. Направление нормали в угловых точках для
Ф* не определено, но кажется разумным выбрать в качестве такого
направления биссектрису этого угла [1].
Три постоянные (с°, cj) соответствуют трем условиям, которым
должны удовлетворять ф° и ф1 Для того, чтобы система находилась
в равновесии без воздействия на бесконечности, а именно
J фМз + J qdA = 0, ((ф1«г) ds = ОД (П.14)
3 A S;
Решение с помощью НМГЭ можно получить, устремляя х к точ-
ке границы х0 с учетом того, что при предельном переходе сильные
особенности возникают как в граничном интеграле для перерезыва-
ющей силы (из-за ф°), так и в граничном интеграле для момента (из-
за ф1), которые поэтому следует, как и прежде, понимать в смыс-
ле главного значения по Коши.
Поэтому в первых двух уравнениях (11.13) достаточно заменить
х на х0, тогда как последние два принимают вид
М (х0) = [М/(4К)] ф1 (х0) + ( {ф° © (х0, g) + ф1 © Е1 (х0, §} ds © 4-
s
+ J [ф(2)ЕО(х0, ®}dA(z),
А
(11.15)
V (х0) = [ш/(4к)] ф° (х0) + J {фООв 4- ф^1} ds 4- J {фО°} dA,
S А
где (я — угол, образованный линиями границы пластины в точке
х0 (т. е. <о = 2п для гладкой границы).
11.5. Уравнения прямого МГЭ
319
В корректно поставленной задаче всегда имеется достаточно
данных на границе, позволяющих найти распределения <р° и <р*
на S и три постоянные с°, с\ из дискретизированных уравнений
(11.13), (11.15), с известными левыми частями (т. е. известными w,
М или V в х0) и из уравнений (11.14). Решения во внутренней
точке х, как обычно, получаются из (11.13).
11.5. Уравнения прямого метода граничных элементов
Эти уравнения можно сразу написать
при помощи соотношений взаимности Мак-
свелла — Бетти для двух различных со-
стояний равновесия упругого тела. Ясно,
что, рассматривая сначала только нагруз-
ку гр, нормальную поверхности, и взяв в
качестве первого такого состояния (ay, 6if
Л4 j, Q, гр), а в качестве второго аналогич-
ный набор, помеченный звездочкой, полу-
чаем
f (Q*w 4- М*бг) ds + J (гр*о>) dA = [ (Qw* + Л4г0.) ds+
S AS
+ f (фш*) dA. (11.16)
A
Однако в действительности мы хотим работать с уравнениями, запи-
санными для граничной перерезывающей силы V [уравнение (11.4)]
и компонент граничных нормальных моментов Мп, чтобы число не-
известных соответствовало уравнению четвертого порядка. Мы
можем добиться этого, замечая, что в силу (Н.З)
J M;6‘dS = f (Л4" nt — (0п nt — G* sf)ds =
s 1 s
= У 04" e"* + Msf)ds = f (Л4" 6* + MWIds) ds. (11.17)
s s
Еели частная производная dF/ds любой непрерывной функции F
интегрируется вдоль гладкой кривой S между двумя точками а и Ь,
то
ь
I = [ (dF!ds)ds = pF = F(b) — F(a)
S a
и для замкнутой S будет a = b и I = 0. Однако если в точке с вво-
дится угол (рис. 11.4), то мы имеем
320
Г л. 11. Задачи изгиба пластин
I = [Fla + [F]? == F (С-) - F (с+). (11.18а)
Поэтому [7] вдоль такой границы AS
J [Э (ЛРш*)/дз] ds = j (ЛР (dw*lds) 4- (dMs/ds) a;*] ds —
AS £s
= JI 1.186)
Если граница имеет N углов, то угловые силы действуют в каждом
из них, и в силу (11.6) правая часть (11.186) принимает вид Qcw" с
с =1,2, ..., N.
Поэтому, подразумевая суммирование по с, можно переписать
(11.17) так:
J AljG'ds = J [Л4Л 0* — (dMs/ds) оЛ] ds 4- Qcw*, (11.19а)
s s
и аналогично
J М*0^5 = У [Мп 0 —(дМ* Ids) ю] ds -р Q‘wc. (11.196)
s s
Замечая, что V = Q — dMs/ds и V* = Q* — dMs*/ds, подставляем
(11.19) в (11.16) и получаем (М = Мп)
У (V*a>'+ M*0)ds 4- У (ф* w)dA 4- Q*wc = У (Vtw* 4- MG*)ds 4-
s a s
+ У (ф№*)//Л 4- QCW*. (11.20)
A
Если в качестве помеченных звездочкой величин мы возьмем фун-
даментальное решение (11.7), (11.8), то из (11.20) следует уравнение
-J aw (g) — C°cwe = У (VG° 4- MF° - GE° — wD°) ds 4-
j s
+йУ(фО°)йЛ4-Оси, (11.21)
A
где a = 1/2 для на S и a = 0(1) для | снаружи (внутри) поверх-
ности S, а С? — разность значений С° на разных сторонах угла с.
В дальнейшем уравнение (11.21) следует дополнить уравнением
0(1) = —чтобы в том случае, когда g берется в точ-
ке границы £0, можно было определить все неизвестные величины
(V, M,Q,w,wc,QJ.
Записывая выражения G1 = [дб°(х,£)/д|г]пг, F1 = и
т. д., которые легко вычислить из (11.7) и (11.8), получаем дополни-
тельное уравнение в виде
11.6. Пластины и балки на винклеровском основании
321
а© (В) + c'wc = J (VG1 + MP — QE1 — wD1) ds +
s
+ ^(фС1)йД+^Ое. (11.22)
A
Для выяснения роли угловых сил и соответствующих смещений
в (11.21) и (11.22) стоит перечислить обычные граничные условия,
встречающиеся в задачах об изгибе пластин:
1) защемленный край: w = 0 = О, Qc = а/с = 0 на S;
2) свободно опертый край: ву=М = 0, wc=0, Q^OnaS;
3) свободный край: у=М = 0, Qc=0, wc¥=0 на 5.
При включении в вектор нагрузки внешнего момента т' ^уравнения
(11.21) и (11.22) дополнились бы соответственно членами !
J {- mJ [5G« (х, g)/dxf]} dA и f {- m'( [&\dG<> (x, ^/dx^n/g)]} dA.
A A
Теперь точно так же, как в процессе решения других задач при по- ]
мощи ПМГЭ, можно сначала использовать дискретизованную форму
этих уравнений для определения неизвестных значений на границе,
а затем при помощи (11.21) и (11.22) вычислить величины
0(g), M(g), V(g) в любой внутренней точке g.
Методы интегрирования функций нагружения (фО, фв1 и т. д.)
по внутренним ячейкам пластины, по существу, тождественны мето-
дам, подробно описанным в гл. 3 и 4; см. также работу [1].
11.6. Пластины и балки на винклеровском основании
Простейшая применяемая на практике форма упругого основа-
ния балки и пластин представляет собой винклеровское основание,
т. е. ряд тождественных близко расположенных линейных пружин
без какой-либо сдвиговой связи между ними. Такое упрощение ре-
ального непрерывного упругого основания точно реализуется в
случае пластин, плавающих на поверхности жидкости, и в случае
Довольно широкого класса оснований в виде ортотропных полупро-
странств, в которых модули возрастают линейно с глубиной от нуля
на поверхности основания [11]. Такое приближение используется
также для аппроксимации многих других типов структур, особенно
в строительной механике 112].
Если жесткость пружин на единицу площади основания равна k,
то основное уравнение получается из (11.1г) добавлением нового
члена:
(ф + m'[() = DW'Hjj 4- kw. (11.23)
322
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
Единственная модификация, требующаяся для алгоритмов НМГЭ и
ПМГЭ, заключается в использовании отличающегося от прежнего
и несколько более сложного фундаментального решения. Но даже
это частично компенсируется тем, что такое решение позволяет по-
лучать абсолютную величину смещений, хорошо ведет себя на бес-
конечности и не требует вспомогательных параметров с в НМГЭ.
Поэтому (11.13) и (11.15) без с° и с\ дают формулировку НМГЭ,
а (11.21) и (11.22) — формулировку ПМГЭ.
Перед получением фундаментального решения для случая вин-
клеровского основания может быть полезно вернуться к другому
примеру «одномерной» системы — обобщению модели балки из гл.
2 на случай наличия винклеровского основания. Этот вопрос об-
суждается довольно подробно в работе [13], и здесь приведены толь-
ко основные результаты.
Прежде всего, следуя структуре первого уравнения (11.13) и
гл. 2, уравнения НМГЭ можно сразу записать в виде
W (х) = [ф« (В) G° (х, В) + Ф1 (В) G1 (х, В)] ££ +
+ J [ф (z) G° (х, z) + tn (z) G1 (x, z)] dL, (11.24)
L
з также соответствующие уравнения для 0, М и V, где L —длина
балки. Немедленно получаются четыре уравнения, соответствующие
(11.15), из которых можно найти четыре неизвестных [ф0(£~), ф°(0+),
фДЕ-), фДО*)]. Уравнения ПМГЭ формулируются столь же просто и
включают только замену в (11.21) и (11.22) |'( )ds на [ ]£ и §(')dA на
J( )dL и исключение членов, соответствующих угловым силам. Ниже
приводится перечень соответствующих фундаментальных решений
основного уравнения балки на винклеровском основании
ф (х) -|- dm' (x)/dx~ Eld* wldx? + kw, (11.25)
который даст читателю возможность легко решить все такие задачи
[₽ = ¥k/(4EI), г = х~1].
Для ф — 1:
w° (х) = G° (х, В) = [₽/(2£)1 e-i3r(cos фг + sin ]3г),
6° (х) = ©° (х) = F9 (х, В) = (₽2/£) ё~?г (sin ₽r) sgn (В — х),
М° (х) = т° (х) = Е° (х, В) = [е~?r /(4₽)] (cos ₽r— sin ₽г),
[/о (х) = Q° (х) = q° (х) = D° (х, В) = (e“₽72)(cos $r) sgn (В — х).
Для m' = 1:
w1 (х) = G1 (х, В) = Е° (х> В)»
11.7. Пластины на упругом полупространстве 323
01 (х) = F1 (х, В) = — (4₽4/£) Е° (х, Е),
Afi(x) = £1(x, l) = D°(x, Е),
yi (х) = D1 (х, ?) = (fe/₽) 6° (х, g).
Соответствующие решения для пластины на винклеровском основа-
нии рассматривались Герцем в 1884 г. и впервые были выражены
через функции Бесселя Слейхером в 1926 г. (см. работу [9]). Фунда-
ментальное решение для единичной вертикальной нагрузки, прило-
женной к бесконечной пластине на винклеровском основании, при-
водится Тоттенхемом [1]:
(х) = G° (х, g) = [1 /(4p2D)] Но (Pr), (11.26а)
и, следовательно, из (11.106) для сосредоточенного нормального
краевого момента получаем
W1 (х) = n^i = G1 (х, g) = [п^/(4₽Ог)] дН0/дг = F0 (х, Е), (11.266)
v—
где, как и прежде, г2 = yjyi, yt = (х — £);, но р = у k/D и
Я0(Рг) — действительная часть функции Ганкеля первого рода от
аргумента Р'ИТ.
Еще раз используя уравнения (11.1) и (11.2), можно вычислить,
хотя и с некоторыми аналитическими сложностями, функции G0,...
...,D° и G1,..... D1. В следующем параграфе описывается альтерна-
тивный подход, применимый и к пластинам на винклеровском осно-
вании.
11.7. Пластины на упругом полупространстве
Тимошенко и Войновский-Кригер [9], следуя Холлу (1938 г.),
рассмотрели решение в виде интегралов с бесконечными пределами
для нагруженной пластины на произвольном упругом основании.
Для основания в виде упругого полупространства это решение сво-
дится к
а
w° (х) = [/3/(2^)1 f{jo («г)/[ 1 + (а/)3]} da = G° (х, g), (11.27)
о
где J0(ar) — функция Бесселя нулевого порядка, Z3 = 20(1 —
— vo)/£o. а Е о и м0 — модуль Юнга и коэффициент Пуассона
полупространства соответственно. В принципе мы можем найти из
(11.27) функции G0, ..., O°hG1,...,O1 и использовать их непосредст-
венно в формулировке НМГЭ (11.14) или ПМГЭ (11.21), (11.22), но
при этом возникают весьма значительные трудности; более привле-
кательной представляется описанная ниже процедура.
Основное различие заключается в том, что пластина и полупрост-
ранство рассматриваются раздельно как компоненты «двухзонной»
324
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
задачи с условиями совместимости на поверхности раздела пласти-
на — основание.
В качестве примера рассмотрим представление ПМГЭ для вер-
тикально нагруженной пластины с простейшим требованием непре-
рывности при переходе через гладкую поверхность раздела, относя-
щимся только к вертикальным смещениям. (Заметим, что для непре-
рывности локальных поворотов дополнительно потребовались бы
пары сил на поверхности раздела, а в случае полностью соединенной
пластины возникали бы поверхностные усилия и, следовательно,
мембранные силы.) Окончательная дискретизованная форма мат-
ричных уравнений ПМГЭ “только для пластины будет иметь вид
m М + [X] (в} + [Г] {М} + [Z] {V} = [Л] (ф} - [В] {Ру, (11.28)
здесь все коэффициенты матриц W, ...,Z, А, В, вектор нагрузки ф и
половина полного числа компонент векторов ш, 0, М, V известны.
Скажем, п различных значений каждой граничной переменной в ле-
вой части (11.28) будут составлять матрицу размером (2n х 2м)X
Х(2л X 1) и вектор, члену [Л ]{ф} соответствует произведение разме-
ром (2n х Z)(Z X 1), где Z — число нагруженных элементов, а по-
следний член [В] {р} размером (2n X m)(mX 1) представляет вектор
реакции основания {р}, действующий на всей разделенной на ячей-
ки поверхности пластины, что приводит к наличию m различных
членов.
Такая же нагрузка {р}, действующая на полупространство, рас-
пределяется по системе идентичных поверхностных ячеек и приводит
к вектору смещений {w} размерности m X 1, причем
{p)=[QM- (11.29)
Если основание моделируется набором пружин, то С будет диаго-
нальной матрицей; в другом случае матрица будет заполнена пол-
ностью. Элементы матрицы вычисляются при помощи решения Бус-
синеска, проинтегрированного по всем ячейкам (в случае однород-
ного полупространства), или при помощи любого другого решения,
соответствующего распределенной по поверхности анизотропного
или неоднородного полупространства нагрузки. _
При помощи уравнений ПМГЭ компоненты вектора {w} также
можно выразить через функции (w, 0, М, Г,ф, р)-
* {«>} +Й {©} +[Й{М} + [Z]{V} +
+ М]{ф}]-[В]{р}. <1L3°)
Подстановка (11.29) в (11.30) приводит к уравнению, связывающему
{р} с (о), 0, М., Г,ф). Затем можно исключить {/?} из этого уравнения
и уравнения (11.28) и получить 2п уравнений для неизвестных ком-
понент (да,0, М, V). После этого (11.28) приводит к {/?}, а (11.29) —
к {ну}. Это, конечно, известная процедура решения задач о взаимо-
11.8. Примеры
325
действии основания и сооружения, снова иллюстрирующая преиму-
щества МГЭ, который позволяет очень удобно рассматривать по-
верхности раздела, на этот раз связывая границу одной зоны с
внутренними ячейками другой.
11.8. Примеры
Все приведенные ниже примеры относятся к пластинам без уп-
ругого основания.
(а) Однородно нагруженная квадратная пластина с центральным
квадратным отверстием. Тоттенхем 111 решал эту задачу при по-
мощи прямого и непрямого МГЭ. Внешние края пластины свобод-
но оперты, а внутренние края свободны. В решении при помощи
НМГЭ угловые силы не учитывались и фиктивные моменты в углах
были приложены к одной четверти симметричной системы (рис. 11.5)
с узлами в четырех точках с каждой стороны. При прямом методе
решения на границе, внешней к s, было принято, что параметры ли-
нейно менялись в пределах элемента. Общее число узлов составля-
ло 64, в 56 из которых имелись по две узловые неизвестные, а в
восьми угловых узлах — по три. Вследствие симметрии окончатель-
ное число неизвестных было уменьшено до 20.
В табл. 11.1 сравниваются значения смещения в типичных точ-
ках, вычисленные методом граничных элементов, методом конечных
элементов и конечно-разностным методом, причем в последних двух
методах размер ячейки составлял а! 16 (v =; 0.25). В работе [1]
приведены и другие примеры, в одном из которых уравнения МГЭ
были симметризованы с помощью метода наименьших квадратов.
(б) Решение непрямым методом задачи о защемленной пластине.
Алтиеро и Сикарски [3] привели решение задачи о защемленной по
контуру пластине. Рассматривались прямоугольная пластина с
Рис. 11.5. Однородно нагруженная квадратная пластина с квадратным отверс
таем в центре.
326
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
Таблица 11.1
Смещение, qa*/(lOOD)
Точка (на рже. 11.5) Метод граничных элементов Метод конечных элементов Конечно- разностный метод
непрямой прямой
А 0.2188 0.2188 0.2185 0.2174
В 0.3107 0.3141 0.3156 0.3006
с 0.1558 0.1565 • . . 0.1541
отношением сторон 2 : 1, а также квадратная, треугольная и полу-
круглая пластины. Применялась форма НМГЭ, в которой для полу-
чения ядер различных интегралов использовалось решение задачи о
защемленной круговой пластине с единичной нагрузкой. Эта форма
единичного решения является интересной иллюстрацией альтерна-
тивного представления, значительно более громоздкого, чем исполь-
зованное выше. В табл. 11.2 сравниваются значения различных мо-
ментов и смещений, вычисленные при помощи НМГЭ и аналитически.
Таблица 11.2
Сравнение внутренних прогибов и изгибающих моментов
в некоторых точках с точным решением
Форма пластины Изгибающие моменты Интегральный метод Точное решение [9] Разница, %
Прямоугольник (точечная нагрузка) « (0, 0) 0.00179 0.00180 —0.56
Прямоугольник (однородная) <о (0, 0) 0.000311 0.000317 —1.89
Прямоугольник (однородная) мж(о, 0) 0.0197 0.0206 —4.37
Прямоугольник (однородная) Му (0, 0) 0.0073 0.0079 —7.59
Треугольник мх (0, 0) 0.0179 0.0196 —8.67
Треугольник Му (0, 0) 0.0180 0.0191 —5.76
Полукруг <0 (0, 0.406) 0.00128 0.00129 —0.78
Полукруг Мх (0, 0.525) 0.01219 0.01235 -1.30
Полукруг Му (0, 0.483) 0.0222 0.0226 —1.77
(в) Решение задачи о защемленной круговой пластине с цент-
ральной нагрузкой, использующее НМГЭ и дополнительную границу.
Нива, Кобаяси и Фукуи [2] при решении этой задачи использовали
представление НМГЭ с вспомогательной границей, расположенной
11.8. Примеры
327
снаружи на расстоянии Ыа от края круговой пластины радиусом а.
Используется N прямолинейных граничных элементов, располо-
женных по периферии пластины, с однородным распределением
источников (как простых поперечных сил, так и моментов более вы-
сокого порядка) на каждом из элементов. В табл. 11.3 вычисленные
значения смещений и компонент радиального и тангенциального
моментов в некотором интервале изменения величин N, 8/а и г/а
сравниваются с аналитическим решением. В работе [2] аналогичное
сравнение проводится и для свободно опертых и однородно нагру-
Таблица 11.3
Прогибы и радиальные и тангенциальные моменты в задаче о
круговой защемленной пластине, в центре которой приложена
сосредоточенная нагрузка, вычисленные методом граничных
элементов и сопоставленные с точным решением
к)(Х-Р«г/(8тШ))
N г!а Ъ/а 'Х 0.02 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.05 0.502 0.420 0.277 0.140 0.040 ' 0.0
12 0.2 0.490 0.407 0.267 0.132 0.035 0.0
94 0.05 0.495 0.412 0.271 0.134 0.036 0.0
0.2 0.497 0.414 0.272 0.135 0.037 0.0
48 0.05 0.497 0.414 0.272 0.135 0.037 0.0
0.2 0.498 0.416 0.273 0.136 0.037 0.0
Точное 0.498 0.416 0.273 0.136 0.037 0.0
Л4гг(ХР/(4к))
N г/а 8/а X. 0.02 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
12 0.05 4.085 1.092 0.191 —0.332 —0.691 —1.761
0.2 4.071 1;077 0.176 —0.349 —0.711 —1.024
24 0.05 4.080 1.087 0.186 —0.342 —0.713 —1.202
0.2 4.084 1.091 0.189 —0.338 —0.711 —0.990
48 0.05 4.083 1.090 0.189 —0.338 —0.712 —1.010
0.2 4.086 1.092 0.191 —0.336 —0.710 —1.000
Точное 4.086 1.092 0.191 —0.336 —0.710 —1.000.
328
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
Мю(ХР/(4т.))
г/а S/a X, 0.02 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.05 4.785 1.792 0.891 . 0.358 0.094 1.412
12 0.2 4.771 1.777 0.876 0.347 —0.052 —0.522
0.05 4.780 1.787 0.886 0.358 —0.021 —0.758
24 0.2 4.784 1.791 0.889 0.362 —0.012 —0.334
ЛQ 0.05 4.783 1.790 0.889 0.362 —0.012 —0:443
4о 0.2 4.786 1.792 0.891 0.364 —0.010 —0.301
Точное 4.786 1.792 0.891 0.364 —0.010 —0.300
женных круговой и прямоугольной пластин. Максимальная по-
грешность всегда приходится на окружные компоненты момента
(r/a = 1) и в этих примерах, по-видимому, зависит от М, а не от
6/а (0.05 <6/а< 0.2).
Недавно появились две работы [14, 15], описывающие примене-
ние ПМГЭ к задачам изгиба пластин, в которых рассматриваются
свободно опертые пластины. В первой из них во всех деталях выпи-
саны уравнения, необходимые для вычисления элементов матриц,
входящих в уравнения, аналогичные уравнению (11.28). Наконец,
в работе [16] представления ПМГЭ для задач упругого изгиба тон-
ких пластин были распространены на случай нелинейного изгиба.
11.9. Заключительные замечания
Исследование задач о пластинах (и балках на упругом основа-
нии), проведенное в этой главе, следует установленной схеме пред-
ставлений НМГЭ и ПМГЭ и до некоторой степени обладает преиму-
ществами по сравнению с применимыми к данному случаю методами,
опубликованными в других работах. Задачи изгиба тонкой пластины
не только представляют значительный практический интерес, но и
показывают, как при помощи МГЭ учитываются известные огра-
ничения двумерной теории, аппроксимирующей трехмерные задачи.
Кроме того, обобщение, позволяющее исследовать пластины на
упругом основании, дает примеры фундаментальных решений все
возрастающей сложности, так что привлекательность использования
стандартного для всех этих задач алгоритма в некотором отношении
утрачивается из-за необозримости самого фундаментального реше-
ния. Пластины и упругое основание поэтому лучше разделять и рас-
сматривать как «двухзонную» задачу специального вида, в которой
11.10. Литература
329
поверхность раздела связывает границу одной зоны с внутренними
ячейками другой. Видно, что это весьма легко достигается при помо-
щи МГЭ и открывает путь к решению целого ряда задач, в том числе
задач о неоднородных плитах на континуальных основаниях различ-
ных типов. Другой интересный вопрос касается возможности исполь-
зования более простых фундаментальных решений, например фун-
даментального решения для свободной однородной пластины приме-
нительно к случаю неоднородной пластины на упругом основании.
Обсуждение таких вопросов в связи с задачей о балке на упругом
основании и задачей о потенциальном течении можно найти в рабо-
тах [13] и [17].
Задача о плоской тонкой пластине на винклеровском основа-
нии тесно связана с задачей о тонкой пологой оболочке. В работах
[1] и [18] эти задачи решаются при помощи метода граничных эле-
ментов.
11.10 Литература
[1] Tottenham Н. The boundary element method for plates and shells. —
- In: Developments in boundary element methods. Ed. by P. K. Banerjee,
R. Batterfield. — London: Applied Science Publishers, 1979.
[2] Niwa Y., Kobayashi S., Fukui T- An application of the integral equation
method 'to plate bending — Memo. Faculty of Eng. Kyoto University,
1974, v. 36, pt. 2, p. 140—158.
[3] Altiero N. J., Sikarskie D. L. A boundary integral method applied to pla-
tes of arbitrary plan form. — Composition and Structures, 1978, v. 9,
p. 163—168.
[4] Jaswon M. A., Maiti M. An integral formulation of plate bending problems.
— J. Eng. Math., 1968, v. 2, p. 83—93.
[5] Jaswon M. A., Symm G. T. Integral methods in potential theory and elas-
tostatics. — London: Academic Press, 1977.
[6] Bezine G. P., Gamby D. A. A new integral.equation formulation for plate
bending problems. — In: Recent advances in boundary element methods.
Ed. by C. A. Brebbia. — London: Pentech Press, 1978.
[7] Bezine G. P. Boundary integral formulation for plate flexure with arbitra-
ry boundary conditions. — Meeh. Res. Commun., 1979, v. 5, No. 4.
[8] Segdin С. M., Bricknell G. A. Integral equation method for a corner plate.
— J. Struct. Div., ASCE, 1968, v. ST. 1, p. 43—51.
[9] Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S. Theory of plates and shells. New
York: McGraw Hill, 1959 [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Войновс-
кий-Кригер С. Пластинки и оболочки. —М.: Наука, 1963.]
[10] Bergman S., Schiffer М. Kernel functions and elliptic differential equations
in mathematical physics. — New York, 1953.
[11] Butterfield R. Simple potential solution for a class of normally loaded in-
homogeneous anisotropic elastic half spaces. — 1980 (в печати).
[12] Hetenyi M. Beams on elastic foundation.— Univ, of Michigan Press, 1946.
[13] Developments in boundary elements methods. Ed. by P. K. Banerjee,
R. Butterfield. Vol. I. — London: Applied Science Publishers, 1979.
[14] Danson D. J. Analysis of plate bending problems by the direct boundary
element method. — M. Sc. diss. — Univ, of Southampton, 1979.
[15] Stern M. A general boundary integral formulation for the numerical solu-
tion of plate bending problems. — Int. J. Solid Structs, 1979, v. 15, p.
769—782.
330
Гл. 11. Задачи изгиба пластин
]16] Morjaria М., Mukherjee S. Inelastic analysis of transverse deflection of
plates by the boundary element method. — DOE Rept. No. COO-2733-24,
1979, Dept theor. and appl. mech. Cornell Univ.
[17] Butterfield R. An application of boundary element method to potential
flow problems in generally inhomogeneous bodies. — In: Recent advances
in boundary element methods. Ed. by C. A. Brebbia. — London: Pentech
Press, 1978.
[18] Newton D. A., Tottenham H. Boundary value problems in thin shallow
shells of arbitrary plan form. —J. Eng. Math., 1968, v. 2, No. 3, p.
211—224.
Глава 12
УПРУГОПЛАСТИЧНОСТЬ
12.1. Введение
В предыдущих главах мы имели дело с задачами, которые опи-
сываются линейными дифференциальными уравнениями, и исследо-
вали основные свойства алгоритмов МГЭ, основанных на граничных
интегральных уравнениях, выведенных из этих дифференциаль-
ных уравнений. Но чтобы можно было считать МГЭ вполне универ-
сальным средством решения задач, необходимо доказать, что он
приложим к нелинейным системам: нелинейности возникают почти
в каждой реалистической идеализации практических задач.
Как любой другой общий численный метод, такой, как методы
конечных элементов или конечных разностей, МГЭ вполне годится
для решения нелинейных дифференциальных уравнений при помо-
щи инкрементальных или итеративных процедур (которые в данном
случае можно проводить, используя значения объемного интеграла
по той области, в которой возникают нелинейности). Для подавляю-
щего большинства таких задач области нелинейности ограниче-
ны главным образом малыми подобластями системы, и, как будет
показано, МГЭ представляется весьма привлекательным для реше-
ния нелинейных задач, особенно трехмерных. Действительно, по-
хоже, что для большого класса задач этот метод оказывается единст-
венным надежным средством получения достаточно подробных
результатов при разумных затратах. Уже доказано, что МГЭ дает
численные решения линейных задач очень эффективно, и поэтому
не следует ожидать, что введение дополнительного объемного интег-
рала по части тела серьезно повлияет на эффективность. Это и будет
показано в настоящей главе.
12.2. Определяющие соотношения для деформируемых
твердых тел
Чтобы представить себе существенные стороны процесса реше-
ния, важно исследовать сначала поведение бесконечно малого эле-
мента области. Оно описывается определяющими соотношениями
рассматриваемого материала. Чтобы охватить широкий круг мате-
риалов, с которыми приходится иметь дело инженерам, было пред-
ложено много таких моделей, и детальное их обсуждение в этой кни-
ге было бы неуместно. Поэтому ниже мы кратко опишем только три
хорошо проверенные теории, моделирующие основные нелинейные
свойства определенных классов деформируемых твердых тел.
332
Гл. 12. Упругопластичность
12.2.1. Инкрементальная теория пластичности^
Необходимые составные части инкрементальной зависимости
напряжения — деформации в рамках теории пластичности, предпо-
лагающей «независимость от траектории нагружения в малом»
(инкрементальная теория пластичности), таковы:
1) функция текучести, определяющая пределы упругого поведе-
ния;
2) закон течения, связывающий необратимую пластическую часть
скорости деформации с напряженным состоянием материала;
3) закон упрочнения, определяющий поверхности текучести,
возникающие вследствие непрерывного пластического деформирова-
ния.
Вид поверхности текучести и параметров упрочнения, очевидно,
зависит от типа материала. Поэтому нам надо вывести зависимости
Рис. 12.1. Изотропное упроч-
нение.
между напряжениями и деформация-
ми для довольно общих случаев (а)
изотропного и (б) кинематического
упрочнения.
(а) Изотропное упрочнение. В этой
теории предполагается, что во время
пластического течения поверхность
текучести равномерно расширяется
относительно начала координат в
пространстве напряжений,, сохраняя
форму, центр и ориентацию, как по-
казано на рис. 12.1. Например, тра-
ектория О А упругая; в точке А ма-
териал находится в состоянии началь-
ного течения, и при дальнейшем на-
гружении поверхность текучести
расширяется так, что точка А пере-
ходит в точку В. Траектория АВ описывает изотропное дефор-
мационное упрочнение. Если мы осуществим разгрузку вдоль ВС,
то деформирование будет происходить упруго, пока не будет до-
стигнута точка С и материал снова не начнет пластически деформи-
роваться. Если мы предположим, что непрерывно изменяющиеся
поверхности текучести могут быть представлены функцией нагру-
жения типа
= О,
(12-1)
где h — параметр упрочнения, е₽. — текущее значение полных
пластических деформаций элемента материала, и для пластических
1)В оригинале incremental theory of plasticity. В отечественной литературе
используют также термин «теория течения». — Прим. ред.
12.2. Определяющие соотношения 333
состояний F = 0,’то для упругих состояний F <Z 0, a F >0 не
имеет смысла.
Поскольку в процессе пластического деформирования точка,
изображающая новое напряженное состояние, должна принадле-
жать вновь сформированной поверхности текучести, характеризуе-
мой новым значением параметра упрочнения (Л + h) (где точка
сверху будет использована для обозначения приращения', h =
= dh и т. п.), мы имеем
dF = (dF/dai})ai}+ (dF/defotf + (dF/dh)h = 0. (12.2)
Используя постулат Друккера, мы получим ассоциированный
закон пластического течения [1]
е₽. = i(dF/dau), (12.3)
где X — неотрицательная скалярная переменная.
Поскольку параметр упрочнения h является функцией пласти-
ческой деформации, мы можем записать уравнение (12.2) как
(dF/doi})oi} 4- (dF/dz^Pj +(dF/dh)(dh/d$)e рц = 0. (12.4)
Подставляя, (12.3) в (12.4) и разрешая полученное уравнение
относительно X, мы получаем
________________(6F/дамУ^м_______ (12 5)
[dF/d.pmn+(dF/dh)(dh/dePmr)]dF/damn ’
Поэтому приращение пластической деформации может быть полу-
чено из соотношения [2
ё рц = G (dF/do^dF/da^) akt, (12.6)
где
_____________1 __________________
= ~ [dFld.pmn + (dF/dh)(dh/dzPmn)] dF/damn ’
Выражение (12.6) вместе с упругой компонентой приращения де-
формации ге.. может быть записано как
eij — е ц + &ii —Cijki °hi> (12.7)
или
Оц = D?jkl'ehl, (12.8)
где D‘pkt — тензор четвертого ранга инкрементальных упругоплас-
тических модулей материала. Уравнения (12.7) и (12.8) дают необ-
ходимые инкрементальные соотношения между напряжением и
334
Гл. 12. Упругопластичность
деформацией для общего случая изотропного упрочнения. В част-
ном случае, когда материал описывается теорией изотропного де-
формационного упрочнения Мизеса, уравнение (12.8) можно запи-
сать в явном виде:
3StjSkl
— 2р Bfj ф
(12.9)
Рис. 12.2. Кинематическое
упрочнение. ОО'= ац.
1—2v 2а*(1 + Я/(3|1))£fc/ ’
где р — упругий модуль сдвига, о0 — интенсивность напряжений
(°b= V73/2)Si7-So-), Su—девиатор напряжений (Si7- = cri7-—
— (l/3)6i7-oftft), Н — модуль пластического упрочнения, характери-
зующий текущий наклон пластической кривой напряжение — де-
формация при одноосном деформировании.
При подходящем выборе функции текучести F и параметра упроч-
нения h в уравнении (12.2) мы можем вывести уравнения, подобные
(12.9), для изотропного течения и упрочнения любого материала
(3-5).
(б) Кинематическое упрочнение. В теории пластичности с кине-
матическим упрочнением, первоначально разработанной Прагером
[6], предполагается, что во время
пластического деформирования по-
верхность нагружения (или поверх-
ность текучести) переносится как
жесткое тело в пространстве напря-
жений. При создании этой теории
преследовалась цель дать описание
эффекта Баушингера, который про-
является при циклическом нагруже-
нии металлов.
На рис. 12.2 показано типичное
поведение материала при кинемати-
ческом упрочнении. Траектории на-
гружения ОА отвечает упругое де-
формирование. В точке А начинается
пластическое деформирование, и тра-
ектории нагружения АВ соответству-
ет упругопластическое кинематическое упрочнение. Перенос по-
верхности текучести во время этого нагружения приводит к пере-
мещению ее центра из О в О'. Любая разгрузка из В вдоль ВС
приводит к чисто упругому деформированию, пока траектория на-
гружения не достигнет С и материал снова не станет пластиче-
ски деформироваться — теперь уже при меньшем пределе теку-
чести.
Если предположить, что перенос центра поверхности текучести
может быть представлен тензором ai}, то функцию нагружения мож-
но записать в следующем виде:
F(oih a,j),= 0,
(12.10)
12.2. Определяющие соотношения
335
и (при предположении, что переносатп является функцией пласти-
ческой деформации) условие непрерывности изменения функции F
при нагружении принимает вид
dF = (dF/двц) и и + (дР/д^пп)(дт.тп/д^ )6 =0. (12.11)
Уравнение (12.11) соответствует теории кинематического упроч-
нения Прагера, в которой постулируется, что перенос поверхности
нагружения aiz в девятимерном пространстве напряжений проис-
ходит в направлении внешней нормали к поверхности текучести,
отвечающей текущему напряженному состоянию, и поэтому
«i>=Ce?/, (12.12)
где С теперь заменяет параметр упрочнения Н в уравнении (12.9).
Подставляя выражения (12.3) и (12.12) в уравнение (12.11),
мы можем найти множитель X, описывающий пластическое течение,
и таким образом вывести инкрементальную зависимость между на-
пряжением и деформацией тем способом, который применялся для
изотропного упрочнения.
Эта теория первоначально предложена Прагером. Если изучить
ее следствия в некоторых подпространствах пространства напряже-
ний, то, как.указывали Шилдс и Циглер [7], обнаруживаются неко-
торые противоречия. Чтобы исключить эти трудности, Циглер [8]
предложил модификацию правила упрочнения Прагера, а именно
вместо уравнения (12.12) предложил уравнение
aij ==*Р'О (°ij |агу)> (12.13)
где р0 — положительный скалярный параметр.
На рис. 12.3 показаны различия между постулатами Циглера и
Прагера. Приращение переноса aiz в теории Циглера коллинеарно
радиусу-вектору, проведенному из центра поверхности текучести
О' к изображающей точке в пространстве напряжений. Скалярная
функция р0 может быть определена с использованием «условия не-
прерывности», заключающегося в том, что
dF (pi}) = 0, где ai} = ay — alh
т. е.
(дР/дЪц)( — ам) = 0.
Подстановка сюда выражения (12.13) дает
Но =
(dFIdatj) aij
— akd dF/dzkl
(12.14)
Рис. 12.3. Законы упрочнения Циглера и Прагера.
Чтобы определить пластическую деформацию, мы должны най-
ти 1 в законе течения (12.3). Циглер допустил, что вектор С№.
есть проекция ai} на внешнюю нормаль, проведенную через точку,
изображающую мгновенное
напряженное состояние, как
показано на рис. 12.4. Это
предположение согласуется с
теорией пластичности, пред-
полагающей «независимость
от траектории нагружения в
малом», и поэтому мы можем
записать
Рис. 12.4. Закон кинематического уп-
рочнения.
(ai}-Ce?i)(dF/douy^O.
Подставляя сюда выражение
(12.3), мы имеем
(dF/datj) а1}
* С (dFld<Shi)(dF/daiii) '
Поэтому приращения пласти-
ческой деформации даются
формулой
е&
С
(dF/datj)(dF/damn) атп
^dFldakt)(dFld^kl)
(12.15)
12.2. Определяющие соотношения 337
Можно сложить компоненты упругой и пластической деформа-
ции, чтобы получить полную зависимость напряжений от деформа-
ций (уравнения (12.7) или (12.8)). В частном случае, если выбрать
критерий текучести Мизеса, т.е. положить
г=(1/2)ад^-(1/3)5? = о,
где St] = оц — (1 /3) ohk, = atj — (что можно назвать
приведенным напряженным состоянием) и а 0 = ]Л(3/2)5у5у
(приведенная интенсивность напряжений), мы можем записать
явные соотношения между напряжениями и деформациями:
= + —2L.5l7efch-----ekJ (12.16)
L l-2v 2а2(1+С/(2И)) J
и
aU = ~ [3SijS/tZ/(2oo)] oht.
Интересно заметить, что, поскольку нормаль к поверхности теку-
чести Мизеса коллинеарна линии, соединяющей центр поверхности
текучести и текущую точку, соотношения между напряженйями и
деформациями, выведенные из правил упрочнения Прагера и Цигле-
ра, становятся идентичными.
Исследуя случай одноосного нагружения, легко заметить, что
соотношение между С и Н имеет вид С = 2Н>3. Уравнения (12.9)
и (12.16) суть зависимости. напряжений от деформаций, которые
нужны нам для проведения нелинейного анализа напряжений для
материала Мизеса. Сходные зависимости напряжений от деформа-
ций могут быть выведены [9] для любого материала, чтобы описать
его поведение при монотонных и циклических нагружениях, если
на основе опытных данных сделан надлежащий выбор функций те-
кучести F и параметров упрочнения. Интересная альтернативная
модель кинематического упрочнения была предложена Мрузом [9].
Уравнения (12.9) и (12.16) можно проинтегрировать вдоль заданной
траектории нагружения, что позволяет получить текущие состоя-
ния как напряжений, так и деформаций.
12.2.2. Вязкопластичность
Вязкопластическая модель часто используется для описания
развивающегося во времени неупругого деформирования твердых
тел. Одной из наиболее привлекательных особенностей этой модели
является то, что установившееся вязкопластическое течение ока-
зывается альтернативным, описанием упругопластического пове-
дения.
12—356
338
Гл. 12. Упругопластичность
В такой модели в дополнение к упругим деформациям е'у есть
вязкопластические деформации 8°р. Как только превосходится оп-
ределенное пороговое значение напряжений (такое, как предел те-
кучести), возникает ненулевое значение s"/. (Подробное описание
текущего состояния вязкопластичности может быть найдено в об-
зоре Пэжины [10].) Вязкопластическая модель была использована
Зенкевичем и Кормо [11—13] в весьма эффективном алгоритме
МКЭ для анализа нелинейного деформирования.
В вязкопластичности точка, изображающая напряженное состоя -
ние, может находиться вне поверхности текучести, но тогда возни-
кает ползучесть. Когда ползучесть прекращается, точка, изображаю-
щая напряженное состояние, возвращается на текущую поверхность
текучести, тем самым реализуется некоторое упругопластиче-
ское решение, и поэтому зачастую можно использовать вязкоплас-
тичность как чисто фиктивное средство получения упругопласти-
ческих решений. Кроме того, существует, конечно, много задач, в
которых вязкопластическая модель используется, чтобы описать
процесс деформирования во времени.
Вязкопластические деформации могут быть определены, если
условие текучести имеет вид
F(оц, h) = F°(<iih h)-Y(h) = 0, (12.17)
где У (ft) — предел текучести, который в свою очередь является
функцией упрочнения h, a F < 0 соответствует чисто упругому де-
формированию. Если ввести пластический потенциал Q(Ojj), то
можно получить скорость вязкопластической деформации [12]
д^/dt = $ = <?(F))dQ/dai}, (12.18)
где (<р(Е)) описывает вязкопластическое течение и может зависеть
от определенных параметров состояния, таких, как время, инвари-
анты тензора деформаций и т. п.
Чтобы обеспечить отсутствие вязкопластической деформации в
упругом режиме, мы можем потребовать, чтобы функция удовлетво-
ряла следующим условиям:
(<р) = 0, если F 0 (в упругой области);
(12.19)
(у (F)) = <?(F), если F > 0 (в вязкопластической области).
Достаточно общим для наших целей выражением для скорости
пластической деформации является [12]
<p(F) = ^F", (12.20)
где у — параметр течения, который снова может быть функцией
времени, инвариантой^тензора деформаций и т. п., а п — соответст-
вующий параметр материала.
12.2. Определяющие соотношения
ЗЗ9
Если предполагается, что пластическое течение описывается ас-
социированным законом течения (т. е. вектор приращения пласти-
ческой деформации нормален к поверхности текучести в текущей
точке), то Q = F; с другой стороны, если при течении ассоциирован-
ный закон не выполняется, то функция пластического потенциала
Q может быть" выбрана отличной от F [5, 10, 12].
Путем определения поверхностей Q и (или) F для данного мате-
риала и использования уравнений (12.19) и (12.20) мы можем запи-
сать уравнение (12.18) следующим образом [10, 12]:
eo?=C^ow. (12.21)
Уравнение (12.21) отличается от уравнения, полученного для
инкрементальной упругопластичности, в одном наиболее важном
отношении — оно задает скорость вязкопластической деформации
(или нелинейной деформации) как функцию текущего напряженного
состояния. В инкрементальной теории пластичности тот факт, что
скорости деформаций являются функциями не только текущего
уровня напряжений, но также и приращений напряжений, является
основным источником трудностей в процессе решения задач (ср.
уравнения (12.21) и (12.7)).
12.2.3. Теории неупругого деформирования металлов,
основанные на введении внутренних параметров состояния
Хотя инкрементальная теория пластичности представляет собой
достаточно общую теорию неупругого деформирования широкого
класса материала, она, в сущности, применима только к упрочняю-
щимся и упруго-идеальнопластическим материалам (прежде всего
из-за принятия постулата Друккера). Поведение металлов при по-
вышенных температурах и некоторых геологических материалов
может не.соответствовать этому постулату и поэтому не может быть
вполне удовлетворительно описано такой теорией.
В последние годы значительные усилия были направлены на
развитие так называемых «теорий, основанных на введении внутрен-
них параметров состояния». Многие модели такого типа имеют мате-
матическую структуру, подобную структуре описанной выше вяз-
копластической модели (т. е. скорость неупругой деформации в лю-
бой момент времени считается функцией напряжений и внутренних
параметров, но не скоростей изменения напряжений).
Поскольку в таких теориях не появляются характерные поверх-
ности текучести или специальные критерии нагружения в смысле
классической пластичности, учет разупрочнения не представляет
никаких трудностей.
В теориях, основанных на концепции внутренних параметров,
предполагается, что упругие и неупругие деформации имеют место
на каждом этапе нагружения, разгрузки и повторного нагружения,
12*»
340 Гл. 12. Упругопластичность
и учитываются такие особенности процесса деформирования, как
чувствительность к скорости деформации, упрочнение, эффект Бау-
шингера, зависимость от истории нагружения, обратная ползучесть,
разупрочнение и т. п., которые могут иметь место при деформирова-
нии металлов при повышенных температурах и т. д.
Согласно этим моделям, тензор скорости полной деформации
в любой момент времени t есть сумма упругой части неупру-
гой части еп.. и скорости температурной деформации , т. е.
= Ч + ео; + ец> <12-22)
где точка обозначает теперь дифференцирование по истинной вре-
менной переменной t (в противоположность любому подобному
времени монотонно возрастающему параметру в упругопластичнос-
ти). Упругая деформация связана с тензором напряжения ai} зако-
ном Гука, и еГ. = 6оаТ, где а — коэффициент температурного
расширения. Скорости неупругих деформаций е" даются выраже-
нием
=Л4и(оу, qi}, Т), (12.23)
где qtj — входящие в модель внутренние параметры, причем
Ча = Ni}(Gih qijt Т) (12.24)
и
= 0 (12.25)
(т. е. неупругая деформация — девиаторная деформация, и поэтому
материал при изотропном сжатии ведет себя упруго).
Предполагается, что внутренние параметры qi} полностью ха-
рактеризуют текущее деформированное состояние материала. Они
изменяются вдоль траектории деформирования по определенным
законам, и их значения в некоторый момент времени t зависят от
истории деформирования до этого времени. Кроме того, зависимость
скорости неупругой деформации от истории деформирования до
момента времени t учитывается полностью при помощи значений
qi} в момент времени t, и никакой дальнейшей информации о пред-
шествовавшей истории деформирования не требуется. Количество
внутренних параметров qi} различно для разных моделей, и они
могут быть или скалярными, или векторными величинами; напри-
мер:
1) Миллер [14, 15] использует скалярное «напряжение сопротив-
ления» В,;и тензор «запаздывающего напряжения»
2) Харт и его сотрудники [16,17] используют тензор деформаций
и скалярную твердость а*;
12.3. Основные уравнения упругопластичности
341
3) Лагнеборг [18] и Робинсон [19] используют внутренние напря-
жения текучести Stf,
4) Боднер и Пертом [20] используют пластическую работу Wp.
Мухерджи и его сотрудники [21—24] использовали модель Харта
и развили алгоритм ПМГЭ, описывающий зависящее от времени не-
упругое деформирование металлов.
12.3. Основные дифференциальные уравнения
упругопластичности
Для упругопластического материала должны быть справедливы
уравнения равновесия для скоростей (приращений) напряжения,
которые при отсутствии зависящих от времени объемных сил имеют
вид
дац1дХ) = 0, (12.26)
где точка обозначает приращение. Соотношения между деформация-
ми и смещениями могут быть записаны так:
ео- = (1/2)(дн(/дх> 4- dtij/dxt). (12.27)
Скорость полной деформации 8У может быть разложена на упру-
гую и пластическую части:
+ 6П- <12'28>
Напряжения связаны с упругими деформациями соотношением
(12.29)
где X и |i — упругие константы. С учетом уравнения (12.28) это со-
отношение можно записать в виде
otj = ~ %) + 2l4eW - efp. (12.30)
Подставляя уравнение (12.30) в (12.26) и используя соотноше-
ния между деформациями и смещениями (12.27) , мы получим основ-
ные дифференциальные уравнения упругопластического течения
(см. работы Линя [25, 26], а также Сведлоу и Круза [27]):
.lA-KX+p) d2uJ. — 0. Н2.
дх.-‘‘ dxfixj \ dxJ дх1 /»
При отсутствии пластической деформации два последних члена
обращаются в нуль, и уравнение (12.31) становится уравнением
теории упругости Навье в инкрементальной форме. Поэтому реше-
ние упругопластической задачи может быть рассмотрено как реше-
342
'Гл. 12. Упругопластичность
ние упругой задачи, описываемой дифференциальным уравнением
рЭ2«г/дх? -Ь 0- + i1) d2Uj/dxidXj + ft — 0 (12.32)
в объеме тела и подчиненной граничному условию
= о/Л- - 2° (12.33)
на поверхности, где
А = — ^ij^kkldxj+^^jldxj),
t^ = -^k + 2^.)^-
и п} — внешняя нормаль к границе.
Теперь мы видим, что уравнение (12.32) совпадает с инкремен-
тальным уравнением Навье при соответственно измененных объем-
ных силах ft, порожденных необратимой компонентой поля дефор-
мации. Кроме того, нелинейности появляются только в члене неод-
нородного дифференциального уравнения, учитывающем объемную
силу. Поэтому уравнение (12.32) имеет квазилинейный характер.
Мы можем представить себе воображаемое упругое тело, для кото-
рого объемные силы и граничные условия при задании усилий мо-
дифицированы согласно уравнениям (12.32) и (12.33). Поле смеще-
ний, полученное из решения уравнения (12.32), будет поэтому
верным для реального упругопластического тела. Напряжения, со-
ответствующие этому полю смещений, должны определяться соотно-
шениями между напряжениями и деформациями, присущими теории
упругости в упругих областях и упругопластической теории в упру-
гопластических областях.
Эта процедура решения упругопластической задачи при помощи
модифицированной упругой задачи не нова. Рейснер [28] предло-
жил, в сущности, эту же схему, используя интуитивные рассужде-
ния, и назвал ее методом начальных напряжений (Eigenspannungen)-
Зенкевич и его сотрудники [29, 30] также разработали алгоритм ме-
тода начальных напряжений для.решения упругопластических за-
дач методом конечных элементов.
Основные дифференциальные уравнения для вязкопластических
моделей и моделей, основанных на введении внутренних параметров,
в сущности подобны описанным’выше уравнениям для упругоплас-
тического случая. Однако изменения во времени таких величин, как
смещения, напряжения и т. п., приводят к системам дифференци-
альных уравнений, таким, как [13, 24]
day/Л = f (<уо, 0. (12.34)
Поэтому важно выбрать правильный автоматический временной
шаг в схеме интегрирования по времени. Такая схема интегрирова-
ния обсуждается в § 12.7.
12.4. Соотношения ПМГЭ и НМГЭ для нелинейных сред 343
12.4. Соотношения прямого и непрямого МГЭ
для нелинейных сред
После обсуждения, проведенного в предыдущем параграфе, оче-
видно, что соотношения прямого и непрямого МГЭ, полученные в
гл. 6 и учитывающие внутреннее распределение объемных сил, на-
чальных деформаций и начальных напряжений, могут быть непос-
редственно применены в рассматриваемом случае. Поэтому в зависи-
мости от типа используемого соотношения алгоритмы МГЭ для не-
линейных сред могут быть классифицированы так: (а) алгоритм,
основанный на введении модифицированных объемных сил и моди-
фицированных усилий на поверхности, (б) алгоритм, основанный
на введении начальных напряжений (метод начальных напряжений),
и (в) алгоритм, основанный на введении начальных деформаций
(метод начальных деформаций).
(а) Алгоритм, основанный на введении модифицированных объ-
емных сил и усилий на поверхности. Для подхода, использующего
модифицированные объемные силы и усилия на поверхности, мы
можем вывести следующие интегральные соотношения в произволь-
ной точке границы |0 на основе уравнений (12.32) и (12.33):
Ру—«/(%)= [[?(х)Со-(х, Ео) — Fl}(x, E0K(x)]dS +
s
* * * •
+ (12.35)
v
в случае ПМГЭ. Для точки границы х0 в НМГЭ имеем
«,(Хо) = fai(x0, Е) Ъ(Е)dS+ f Gtj(x0, E)'fj (E)dV, (12.36)
s v
t'i (x0) = Dtffj (x0) 4- f Fo(x0 Д) (E) ds+ f Ftj (x0, tyf, (E) dV,
S V
(12.37)
где t’( — модифицированное усилие на поверхности:
it0. — tt ’tf,
$ = -(XV₽fc+ 2^.)П;,
a ft — модифицированная объемная сила:
ft = — (X8y 2р.деР. /дх}).
Алгоритм, основанный на этих соотношениях, развит Бенерджи и
Мусто [31], хотя сходимость и точность решения не вполне удовлет-
344
Гл. 12. Упругопластичность
ворительны. Одна из основных привлекательных черт этого метода
по сравнению сдругими — то, что интегральные уравнения (12.35)—
(12.37) приводят к более простым выражениям для напряжений
внутри тела.
(б) Метод начальных напряжений. При постановке задачи в
начальных напряжениях скорости начальных напряжений опреде-
ляются так:
по = — ojp (12.38)
где
°eiPi=De^i
и Deijkl, DeP.kl — тензоры упругих и упругопластических констант
соответственно.
Уравнения равновесия принимают вид
d&P/dXj— 0, или dof./dx,- —defiJdxs — 0. (12.39)
Сразу видно, что член —дс^.1дх} эквивалентен объемной силе и
усилие на границе дается формулой
— a°jni = t't — О2*40)
Итак, может быть получена система граничных интегральных
уравнений, сходная с уравнениями (12.35)—(12.37). Единственная
разница между ними заключается в объемных интегралах, включаю-
щих член с объемными силами. Например, в уравнении (12.35) ин-
теграл с объемными силами принимает вид
f Gu(x, l0)ft (x)dV =- f Gi} (x, Ы(дЩдхк) dV. (12.41)
V V
Используя теорему Гаусса — Остроградского, объемный интеграл
в правой части этого уравнения можно записать так:
[бу (х, Во) (dcfydxj dV=- J @Gu(x, l0)fdxk) (х) dV±
V V
+ Q<#k(x)nk(x)dS =
S
= - J(dGy (х, l0)/dxk) tyx)dV + Jgm (хЛо) <?(X) ds. (12.42)
V s
Итак, подставляя уравнения (12.40)—(12.42) в уравнение (12.35),
мы получаем соотношения ПМГЭ, использующие начальные на-
пряжения:
12.4. Соотношения ПМГЭ и НМГЭ для нелинейных сред 345
[8гу - С..7.]иХе0)= f(t^G^x, и - Ftj(x, dS+
s
+ fBfW (x,^(x)dV, (12.43)
v
где усилия на границе — реальные усилия и
Biki(x, t0) = dGiS(x, Q/dxh.
Соответствующие соотношения непрямого метода могут быть вы-
ведены из уравнений (12.36) и (12.37) заменой объемных сил f/E) на
-д<Ъ
\Gu(x0, ?) <р,-(?) dS— §Gt] (x0, Z)(do°/d£h)dV =
S V
s , s
+ f(5GW(*0. ^/dM(i)dV =
v
= f СгД^0.?)[?^)-о^(?К(?)]^+|(аСо/д?А)аУА(?)^. (12.44)
s v
Замечая, что dGjJd^ = dGi}ldl,k — —dGijldxh и что <p? — o«ft nk мо-
жет быть заменено другим фиктивным усилием <pj, уравнение (12.44)
может быть записано иначе:
«i(®o) = Jg.-X*o. №&)dS - f В]и (х0, (?) dV, (12.45)
s v
где для удобства мы опустили штрих у <р. Читатель должен обратить
внимание на то, что уравнения (6.39) и (12.45) совпадают, посколь-
ку В Jhi(g,x) = —В jki(x,l).
Соответствующее уравнение длй усилий на поверхности ti(x0)
можно вывести или прямо из уравнения (12.45), как показано в
гл.6, или из уравнения (12.37) описанным выше способом. Это дает
4 (*о) = А/рХ*®) + |ЛХ*оЛ)'Р/СДО —
• — [ ^Wa:»,?) OjffidV— о° (жв) п/х0). (12.46)
V
Уравнения (12.45) и (12.46) могут быть использованы теперь для
решения корректно поставленных граничных задач.
Эти соотношения, использующие начальные напряжения, были
выведены и реализованы многими исследователями [32—37], кото-
346
Гл. 12. Упругопластичность
рые применили их для решения разнообразных дву- и трехмерных
задач.
(в) Метод начальных деформаций. При постановке задачи в
начальных деформациях скорости начальных деформаций определя-
ются так:
е» = Бу— Б*., (12.47)
где Ец — скорость полных деформаций, = Cei}kl оы — ско-
рость упругих деформаций, — тензор упругой податливости,
oki — скорости изменения напряжений.
В упругопластичности начальная деформация есть просто при-
ращение пластической деформации, но в теории вязкопластичности
и в теориях, основанных на введении внутренних параметров, ско-
рость начальной деформации играет роль скорости вязкопластичес-
кой деформации или скорости неупругой деформации соответствен-
но. Следовательно, основные уравнения для задачи с начальными
деформациями совпадают с уравнениями (12.32) и (12.33). Поэтому,
следуя описанной выше процедуре, мы получаем следующую за-
пись ПМГЭ для граничной точки g0:
[BtJ — Си]г/Я«0)= f[i,(x)Gtl{x, £) — Ри (x, ОиХ®)]<&+
s
+ ^Tikj(x,Q^k(x) dV, (12.48)
v
где Tih/(x,|) — напряжение в точке x, обусловленное действием
единичной силы еу, приложенной в точке
Хотя уравнения (12.43) и (12.48) выглядят очень похоже, их
реализация в виде процесса пошагового решения включает разра-
ботку довольно сильно различающихся алгоритмов, как показано
ниже. Эквивалентная формулировка алгоритма начальных деформа-
ций при помощи НМГЭ может быть получена аналогично. Уравнение
(12.48) было впервые получено Сведлоу и Крузом [27}. Рикарделла
[38],Мендельсон [39, 40] и Мухерджи [21—24] с сотрудниками раз-
работали численные алгоритмы, основанные на этой формулировке.
12. 5. Пошаговые алгоритмы в упругопластичности
Если известны начальные напряжения и деформации, то выве-
денные выше уравнения дают точную формулировку любой коррект-
но поставленной краевой задачи, и неточности решения возникают
только из-за последующей дискретизации этих уравнений. Такие
неточности могут быть минимизированы при помощи реализации
усовершенствованной схемы численного решения, подобной описан-
ной в гл. 8.
12.5. Пошаговые алгоритмы в упругопластичности 347
Для наших целей мы будем аппроксимировать границы при по-
мощи прямолинейных отрезков — для двумерных задач и при по-
мощи треугольников или четырехугольников — для трехмерных
задач. Внутренняя область, в которой в результате нагружения
ожидается течение, разбивается затем на соответствующее число тре-
угольных или четырехугольных ячеек -— для двумерных задач и
тетраэдров или параллелепипедов — для трехмерных задач. Хотя
такая дискретизация похожа на применяемую в методе конечных
элементов, здесь ячейки используются лишь для вычисления раз-
личных объемных интегралов посредством конечных сумм. Поэтому
формирование дискретизированной системы уравнений, в сущности,
такое же, как описано в гл. 3—8. Так, например, уравнение (12.43)
можно записать в следующем виде:
Gt — Fu = Ва°. (12.49)
Если известны приращения начальных напряжений, то из уравне-
ния (12.49) можно найти неизвестные на границе. Определение на-
чальных напряжений обсуждается ниже.
Если определены неизвестные компоненты смещений и усилий
на границе, то при помощи соответствующих соотношений МГЭ
можно вычислить смещения и напряжения во внутренних точках.
Однако часто выгоднее вычислить смещения в достаточном количест-
ве внутренних узлов и, исходя из этого, определить деформации,
используя или конечноэлементное, или конечноразностное представ-
ления, скажем
е= Mun, (12.50)
где н„ — узловые значения смещений. Матрица М зависит от по-
рядка восполнения смещений (т. е. линейное, квадратичное или ку-
бическое) между узлами.
Напряжения, соответствующие этим деформациям, могут быть
вычислены по следующим формула^:
0е = 0е е в упругой области,
дер f)epe в упругопластической области,
где 0е — матрица констант упругости, a De₽ — матрица характе-
ристик упругопластичности, вычисленная с использованием соот-
ветственно прослеженной истории изменения напряжений.
Проведенный выше анализ требует полного знания распределе-
ния начальных напряжений в пластической области, которое
для конкретного приращения нагрузки заранее неизвестно. Оно
должно быть получено из описанного ниже итерационного процесса.
Для этой цели удобно записать уравнение (12.49) в виде
(12.51)
348
Гл. 12. Упругопластичность
Ax = b+Ba, (12.52)
где х — вектор неизвестных усилий и смещений на границе,
Ь — матрица, полученная умножением соответствующих столбцов
G и F на заданные приращения усилий и смещений на границе.
Тепёрь этапы пошагового решения могут быть описаны следую-
щим образом.
1. Дадим приращение нагрузки Ь, предполагая а° равным нулю.
Вычислим х, деформации е и приращения упругих напряжений а.
Промасштабируем решение так, чтобы ячейка, в которой напряже-
ние максимально, попала в точку текучести. Запомним текущие зна-
чения напряжений
. 2. Дадим малое приращение нагрузки. Вычислим приращения
напряжения во всех ячейках с использованием соотношения между
напряжением и деформацией, в рамках теории упругости, т. е.
= Des. Вычислим значения эквивалентных напряжений а0
с использованием выражения а2 = + ае в качестве истории из-
менения напряжений и составим список пластических ячеек. Вы-
числим правильные напряжения в упругопластических ячейках,
используя упругопластическую зависимость между напряжением и
деформацией аер — D^e и (в качестве первого приближения) упру-
гие приращения деформаций. Полученные начальные напряжения
а0 = ае — аер являются первым приближением. Модифицируем
историю изменения напряжений для пластических ячеек, приняв
а2 = + аеР, и положим = а2.
3. Положим b = 0 и но полученным начальным напряжениям
а0 вычислим при помощи уравнения (12.52) новый вектор х, а также
приращения узловых смещений и„, приращения деформаций е и
приращения напряжений с учетом упругой зависимости между
напряжениями и деформациями ае= Dee. Используя соотношение
«2 = ®i + 0е, вычислим эквивалентные напряжения и составим
список пластических ячеек. Для упругопластических ячеек вычис-
лим правильные напряжения аер — Depe. Полученные начальные
напряжения суть ст® = ае — а'*’. Модифицируем историю изменения
напряжений для пластических ячеек, приняв а2 = + а®’, и поло-
жим <т1 = а2.
4. Проверим, являются ли начальные напряжения а0 меньшими
допустимой величины; если да, то перейдем к шагу 2; если нет, то
вернемся к шагу 3. Если число итераций превышает, скажем, 50,
то разумно предположить, что наступило «разрушение».
12.6. Пошаговые алгоритмы в вязкопластичности
349
В рамках этого алгоритма возможно несколько усовершенство-
ваний. Например, некоторая степень экстраполяции вперед может
привести к более быстрой сходимости. Точность может быть улуч-
шена, если производится проверка знака скорости рассеянной плас-
тической работы, чтобы убедиться в том, что все пластические ячей-
ки действительно являются пластическими. Описанный выше поша-
говый алгоритм, по существу, сходен с алгоритмом, описанным Зен-
кевичем [30].
Алгоритм, основанный на формулировке, использующей на-
чальные деформации, в некоторой степени отличается от рассмот-
ренного выше; детальное описание его читатель найдет в работе
Мендельсона и Алберса [39]. Представляется, однако, что для обыч-
ных упругопластических моделей метод начальных напряжений,
который мы описали выше, приводит к более широко применимой
процедуре.
12. 6. Пошаговые алгоритмы в вязкопластичности
Вязкопластический алгоритм [11,12] есть, в сущности, алгоритм
метода начальных деформаций, и мы можем записать окончатель-
ную систему уравнений для (12.48) в форме, сходной с (12.52), т. е.
ААХ|= ДЬЦ-Т.Де^, (12.53)
где мы обозначили величины приращений через А, поскольку в
вязкопластичности точка сверху обозначает истинную скорость во
времени, и траектория нагружения разбита на произвольное число
приращений Ab. В предположении о том, что у нас есть полная ин-
формация о напряжениях а”, смещениях и", вязкопластических
деформациях (Де»₽)я и о (АЬ)Я на n-м шаге по времени t, простейший
алгоритм для получения полей на (п + 1)-м шаге в момент времени
t + А/ может быть сформулирован следующим образом.
1. Считая известными значения внутренних параметров состоя-
ния на п-м шаге, вычислим скорость вязкопластических деформаций
е®^ из уравнения (12.21), т. е.
( ё®₽)л= CWn. (12.54)
2. Найдем изменение вязкопластической деформации ez'p'
(Ве®/')л » (ё®9^Д/. (12.55)
3. Используя известные значения (Ab)"+1 (т. е. граничной на-
грузки, зависящей от времени) и (Ае®^)я+1 = (Ае®₽)я 4- (бе®/')", вы-
числим новую правую часть уравнения (12.53), решим его, получим
новое значение (ДХ)"+1 и затем вычислим (Ди)я+1, (Ае)я+1 и (Ла)я+1
из уравнения (Aa)”+1 = D^(Ae — Ae®/')”+1.
4. Скорректируем напряжения и начнем новый, (л + 2)-й шаг по
времени.
350
Гл. 12. Упругопластичность
Следует отметить, что уравнение (12.53) не обязательно записы-
вать через ДХ, ЛЬ и Ле®*’. Поскольку посредством уравнения (12; 18)
теория учитывает зависимость упругопластического течения от
траектории нагружения, можно записать (12.53) через текущие зна-
чения X, b и е®*’ в момент времени Л Однако если мы хотим решать
Рис. 12.5. Схематическое представ-
ление используемого в упругоплас-
тичности итерационного алгоритма
перехода из точки А в точку В по
методу начальных напряжений.
ности).
упругопластические задачи с
использованием вязкопластиче-
ского подхода, то мы обязаны
вводить в уравнение прираще-
ния рассматриваемых величин.
В таком алгоритме точный вид
параметров вязкопластического
течения п (часто п — 1) и у в
уравнении (12.20) не существен
и время играет роль фиктивной
переменной [12]. Для каждого
приращения нагрузки ДЬ упру-
гое решение сопровождается
процессом релаксации (во време-
ни), при котором осуществляет-
ся возврат к установившемуся
равновесному состоянию. Шаги
по времени прекращаются, ког-
да напряжения достигают доста-
точно близкой к поверхности те-
кучести точки (т. е. когда дости-
гается состояние, соответствую-
щее установившемуся решению
задачи в рамках вязкопластич-
разницу между методом на-
Рис. 12.5 и 12.6 показывают
Рис. 12.6. Схематичес-
кое представление ите-
рационного алгоритма,
использующего вязко-
пластическую модель
для анализа упруго-
пластического деформи-
рования.
12.7. Численный алгоритм расчета деформирования
351
чальных напряжений и методом, использующим вязкопластичес-
кую модель, при анализе упругопластического деформирования тел.
Основная проблема, связанная с этим подходом, состоит в том,
что величина временного шага А/, которую можно использовать,
сильно ограничивается требованиями устойчивости и сходимости
[12, 13]. Эти требования обсуждаются ниже в связи с теорией, осно-
ванной на введении внутренних параметров, где возникают анало-
гичные проблемы; подробности можно найти в работах [13] и [24].
12. 7. Численный алгоритм расчета неупругого деформирования
металлов с учетом зависимости от времени
Численный алгоритм расчета неупругого деформирования ме-
таллов, использующий модели, основанные на введении внутренних
параметров, также опирается на метод начальных деформаций.
Поэтому окончательная система может быть записана так:
АХ (0 = Ь (0+ Те" (0, (12.56)
где точки сверху указывают на истинные скорости изменения пере-
менных во времени t. Алгоритм определения значений переменных
в момент времени t = А / на основе известных значений напряже-
ний, деформаций и т. п. при t = 0 (которые можно получить из ре-
шения линейной задачи с заданными начальными условиями) можно
сформулировать следующим образом [23, 24].
1. По значениям параметров при t = 0 из уравнения (12.23) на-
ходится величина е", которая может быть использована для полу-
чения граничных значений t и и из уравнения(12.56) и, следователь-
но, значений и, а и е во внутренних точках.
2. Смещения, напряжения и деформации в момент времени
t = &t определяются выражениями и = и|/=о + и|ь=одЛ ® = ®|/=о +
+ 4=0Af и т. д.
3. Напряжения а и внутренние параметры q корректируются так,
чтобы они являлись теперь текущими значениями в момент времени
/=АЛ
Описанный выше шаг 2 является, в сущности, процедурой интег-
рирования по времени, близкой к используемой в методе Эйлера.
Поэтому важно принять эффективную схему интегрирования с авто-
матическим выбором шага по времени, чтобы обеспечить как устой-
чивость, так и сходимость решения. В литературе можно найти боль-
шое количество таких методов [13], и мы изложим простой, недавно
разработанный метод [24] в приложении к дифференциальному урав-
нению типа (12.34), т. е. к уравнению
dy/dt—f{jj,t). (12.57)
352
Гл. 12. Упругопластичность
Значение y{t + kt) выражается через y(f) так:
у (t + Д/) = y(t) + f (у,. t) Д/, (12.58)
а ошибка на этом шаге может быть определена как
£ = Advf|/|i/(Ol. (12.59)
где vf = f(y, f) — f(y,t— kt) — разность назад.
Две границы для ошибки £тах и £min могут быть зацаны заранее,
и алгоритм выбора шага состоит в следующем:
Д>£'тах: заменить Д/ на 0.5Д/ и пересчитать Е',
Е < £’тах: принять Д/ и вычислить у(/-|-Д/) при помощи (12.58).
Следующий временной шаг Д/След выбирается так:
Дпах Е Дщ1п* ^слеД
Дщ1п Е'. Д*слеД ’ 2Д/.
В реальной задаче в качестве величины у будут, конечно фигу-
рировать компоненты напряжений в граничных и внутренних точ-
ках. Поэтому ошибка для г-й переменной определяется так:
а=д/2^ /21Л01. (12.60)
где суммирование распространяется на значение г-й переменной во
всех узлах, и ошибка Е становится равной
jE=max|jEi|. (12.61)
12. 8. Приложения к другим сходным системам
В технических науках существует много задач [41—46], где вхо-
дящие в основные дифференциальные уравнения нелинейности по-
добны исследованным в предыдущих параграфах. К ним относятся
задачи о фильтрационных течениях в пористых средах, когда не
соблюдается закон Дарси [41, 42], задачи о течении сжимаемых и
нелинейно вязких жидкостей и ,газов, задачи о магнитном насыще-
нии [43—46] и т. д., где при помощи рассмотренного в этой главе
способа может быть введен объемный интеграл по области нелиней-
ности в дополнение к граничным интегралам. Некоторые из этих
приложений обсуждены в недавней статье Б енерджи [46].
Методы граничных элементов, применяемые к таким задачам,
широко используют тот факт, что область, в которой существуют
нелинейности, обычно довольно мала, и поэтому могут быть разра-
ботаны очень эффективные методы численного решения с использо-
ванием МГЭ. *
12. 9. Примеры
(а) Круговое 'кольцо под действием внутреннего давления [241.
Численные результаты для задачи о деформировании кругового
------Прямое численное интегрирование
------МГЭ (линейное восполнение)
Внутренняя окружная деформация u(a,f)/a, %
Рис. 12.7. Сравнение результата прямого численного интегрирования и ре-
шения МГЭ задачи о круговом кольце под действием возрастающего с постоян-
ной скоростью внутреннего давления (нержавеющая сталь марки 304 при
200° С).
7^=0
»= 0
Рис. 12.8. Граничная и внутренняя дискретизации в задаче о круговом кольце
под действием внутреннего давления (30 граничных элементов и 20 виутрен-
' них ячеек).
<354 Гл. 12. Упругопластичность
кольца при возрастающем с постоянной скоростью внутреннем дав-
лении представлены на рис. 12.7. В работе [24] эта задача была ре-
шена на основании модели Харта, упомянутой выше. На рис. 12.8
показано разбиение на граничные элементы и внутренние ячейки.
Для скорости неупругой деформации принималось линейное и ку-
сочно-постоянное восполнение в пределах граничных элементов и
во внутренних ячейках соответственно.
(б) Круговой цилиндр под действием внутреннего давления
132]. Были получены два решения этой задачи, использующие
грубую и мелкую граничную и внутреннюю дискретизации. Гру-
бая дискретизация была подобна показанной на рис. 12.8, в мелкой
имелось вдвое больше граничных элементов и внутренних ячеек.
Предполагалось, что деформирование материала описывается упру-
го-идеальнопластической моделью Мизеса, и при решении исполь-
зовался алгоритм метода начальных напряжений.
Вычисленные перемещения внешней поверхности цилиндра при
постепенно увеличивающемся внутреннем давлении вместе с анали-
Рис. 12.9. Толстостенный круговой цилиндр под действием внутреннего дав-
ления; сравнение аналитических результатов и результатов, полученных МГЭ.
Использовались приращения нагрузки переменной величины. Нанесены не
все результаты.
12.9. Примеры
355
Рис. 12.10. Распределение окружных напряжений в толстостенном цилиндре*
аналитические результаты и результаты, полученные МГЭ.
Рис. 12.11. Граничная дискретизация и геометрия ячеек для решения задачи
о пластине с отверстием.
356 Гл. 12. Упругопластичность
тическими результатами показаны на рис. 12.9. Следует ожидать
небольших различий между двумя численными решениями при на-
чальном течении, поскольку на них сильно влияет размер ячеек,
которые используются около внутренней границы. Однако согласо-
вание аналитических и численных значений все же очень хорошее,
и результаты, полученные на основе двух различных схем дискре-
тизации, показывают устойчивость и сходимость примененного ме-
тода решения.
Типичные окружные напряжения на начальной стадии течения
и окружные напряжения в момент времени, когда граница пласти-
ческой зоны проходит при г = 1.6а, полученные с использованием
мелкой дискретизации, показаны на рис. 12.10. Снова численные ре-
зультаты и аналитическое решение находятся в хорошем соответст-
вии. Решения, полученные с использованием приращений нагрузки,
составляющих 5 и 7.5% нагрузки, при которой начинается течение,
в сущности, совпадают при заданном уровне нагрузки.
(в) Пластина с отверстием при растяжении [331. Теокарис
иМаркетос (см. [30]) экспериментально исследовали деформирование
алюминиевых пластин с отверстиями в условиях одноосного растя-
жения. Граничная и внутренняя дискретизации, использованные
для решения МГЭ задачи, моделирующей эксперимент, показаны
на рис. 12.11. Интересно отметить, что внутренняя дискретизация
умышленно ограничивается областью, которая при возрастании
нагрузки, вероятно, станет упругопластической. Учитывая геомет-
рию задачи и условия нагружения, опытные инженеры обычно мо-
гут правильно определить такие области и за счет этого.существенно
уменьшить стоимость вычислений и подготовки данных.
Экспериментальная и расчетная зависимости между нагрузкой и
максимальной деформацией в точке начала течения представлены
в безразмерном виде на рис. 12.12 вместе с результатами расчета
МКЭ с использованием начальных' напряжений. Согласование ре-
шений вполне удовлетворительное. Рассчитанные и измеренные на-
пряжения ах в ослабленном сечении пластины (т. е. в ее сечении
прямой, проходящей через центр отверстия перпендикулярно на-
правлению растяжения) при нагрузке, несколько меньшей разруша-
ющей, представлены на рис. 12.13.
(г) Квадратная пластина с эллиптическим отверстием [241.
Квадратная пластина с эллиптическим отверстием недавно исследо-
валась Морджариа и Мухерджи с использованием модели Харта.
На рис. 12.14 показана выбранная ими схема граничной и внутрен-
ней дискретизации. Область ABCD впоследствии разбивалась на
значительно более мелкие ячейки. Интересно отметить произволь-
ность внутренней дискретизации, которая возможна при использо-
вании МГЭ (т. е. ее не обязательно согласовывать с дискретизацией,
принятой на границе области).
Рассчитанные напряжения <тж в сечении пластины по продолже-
нию большой оси отверстия в различные моменты времени показаны
12.9. Примеры
357
Рис. 12.12. Пластина с отверстием; развитие максимальной деформации в
. точке начального течения.
Рис. 12.13. Измеренные н вычисленные напряжения в ослабленном сечении
пластины с отверстием при нагрузке, близкой к разрушающей.
358
Гл. 12. Упругопластичность
Рис. 12.14. Граничные и внут-
ренние элементы для пласти-
ны с эллиптическим отверсти-
ем при одноосном растяжении
(38 граничных элементов и 30
внутренних ячеек).
Рис. 12.15. Перераспре-
деление напряжений на
прямой AJ рис. 12.14 в
квадратной пластине из
отожженной нержавею-
щей стали марки 304 с
эллиптическим отверс-
тием при одноосном рас-
тяжении при 400°С (<Т„=
= 281.22 кгс/см2).
123. Примеры
359
на рис. 12.15. В примере эллиптическое отверстие имело отношение
осей, равное 4, что приводит к высокому (около 10) коэффициенту
концентрации упругих напряжений в точке А. Поэтому вначале
имеет место резкий пространственный градиент напряжений, и
пластическое течение вызывает очень быструю релаксацию напряже-
ний около выреза. Вблизи концентратора напряжений упругое ре-
шение отклоняется от точного не более чем на 4%.
(д) Действие нагрузки на упругопластическую полуплоскость [32,
33]. Для приведенных ранее примеров стоимость вычислений
по программе МГЭ первого поколения была примерно на 50%
выше, чем для соответствующего решения с использованием метода
конечных элементов. В то же время МГЭ особенно привлекателен
для задач, где упругая область простирается до бесконечности, а
пластическая область ограничена окрестностью загруженной пло-
щадки. Бесконечно удаленная граница упругой области учитыва-
ется автоматически, без дискретизации. Эго свойство присуще толь-
ко МГЭ. s
Чтобы решить задачу об упругопластической полуплоскости,
нагруженной постепенно возрастающим давлением на границе (в
условиях плоской деформации), использовалась симметрия относи-
тельно прямой, проходящей через середину участка приложения
нагрузки перпендикулярно границе. Четверть плоскости представ-
лялась затем 40 граничными элементами и 64 треугольными ячей-
ками, расположенными в окрестности участка нагружения.
600
500
&
0 0.04 , 0.08 .0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32
Вертикальные смещения на оси симметрии, м
Рис. 12.16. Зависимость нагрузки от смещения при действии нагрузки на уп-
ру Гонла стическую-полуплоскость.
360
Гл. 12. Упругопластичность
Задача решалась для упрочняющегося (Н >0), упруго-идеально-
пластического (Я = 0) и разупрочнякмцегося (Я < 0 ограничено
по абсолютной величине) материалов. Рассчитанные для этих трех
случаев соотношения между нагрузкой и смещением границы в се-
редине участка приложения нагрузки графически представлены на
рис. 12.16.
Интересно отметить, что для упруго-идеальнопластического
случая наименьшая нагрузка, при которой не удается добиться
сходимости метода, примерно на 3% ниже точного аналитически
найденного значения разрушающей нагрузки, составляющего
514 кПа. Решение для случая разупрочнения не может, конечно,
иметь смысл при произвольном выборе параметра разупрочнения
(Я < 0), поскольку во время пошагового процесса может возникнуть
возможность появления неединственного решения. Кроме того,
критерии нагружения и разгрузки в инкрементальной теории
пластичности не допускают разупрочнения.
(е) Смещения границы упругого полупространства, обуслов-
ленное пластическими деформациями расположенного внутри него
куба [32, 351. Чтобы проверить точность метода при решении трех-
мерных упругопластических задач, была рассмотрена недавно ре-
шенная задача (Цзю [47]) об определении поля смещений, обус-
ловленного пластическими деформациями куба, находящегося внут-
ри упругого полупространства. Цзю представил очень точное реше-
ние этой задачи, полученное методом интегральных преобразований,
и построил график зависимости вертикальных смещений точ-
ки поверхности, находящейся над кубом, от глубины, на которой
куб находится под поверхностью, для трех различных распределе-
ний пластической деформации в кубе:
1) только вертикальная скорость пластической деформации
вр — const =£ 0;
2) только горизонтальная скорость пластической деформации
= const О;
3) во всех трех направлениях скорости пластической деформации
равны
еп = Еи = еР = const ^=0.
Чтобы воспроизвести результаты Цзю, свободная от усилий
поверхность дискретизировалась с использованием 34 квадратных
граничных элементов. Симметрия задачи учитывалась тем, что ис-
пользовались неизвестные только для одного квадранта и предпо-
лагались те же самые распределения в оставшихся квадрантах.
Построена зависимость рассчитанных значений вертикальных сме-
щений точки свободной поверхности, находящейся над кубом, обус-
ловленных начальными напряжениями и соответствующих трем
значениям пластической деформации, от расстояния куба от поверх-
ности (рис. 12.17). Можно видеть, что численное решение находится
Рис., 12.17. Вертикальное смещение поверхности, обусловленное начальными
деформациями куба.
в превосходном соответствии с результатами Цзю, за исключением
того случая, когда куб очень близок к поверхности. Это происходит
из-за трудностей, возникающих при численном нахождении слабо
сингулярного объемного интеграла. Максимальная ошибка тем не
менее составляет только около 4%.
(ж) Задача о вдавливании жесткого квадратного штампа в по-
лупространство [32, 35]. На рис. 12.18 показана кривая нагрузка—
осадка при вдавливании квадратного штампа в поверхность упруго-
Рис. 12.18. Зависимость нагрузка—осадка для жесткого квадратнго
штампа.
Рис. 12.19. Поведение горизонтально нагруженной сваи при нагрузке и
разгрузке.
Рис. 12.20. Распределение изгибающего момента.
12.10. Заключительные замечания
363
идеальнопластического полупространства. Точное решение этой
задачи неизвестно, но разрушающая нагрузка для жесткого круго-
вого штампа дается формулой Р = 6лт2си, где г — радиус штампа и
си — Разрушающая нагрузка для кругового штампа, име-
ющего ту же площадь контакта, что и квадратный штамп, для срав-
нения показана на рис. 12.18 штрихпунктирной линией. Проведен-
ные расчеты дают разрушающую нагрузку, несколько большую,
чем 6си62, как и следовало ожидать.
Стоит отметить, что начальное течение под углом штампа возни-
кает на очень ранней стадии нагружения. Дискретизация поверх-
ности, использованная для этой задачи, та же, что и в предыдущем
примере; вдобавок использовались 60 кубических ячеек для вычис-
ления вкладов от возникших начальных напряжений. Время счета
на ЭВМ CDC 7600 составило около 6 мин.
(з) Задача о горизонтально нагруженной свае при воздействии
циклической нагрузки [32, 351. В то время как все предшествую-
щие примеры были решены общим методом с использованием (1)
ядер, полученных из решения Кельвина, и (2) упругопластической
модели & изотропным упрочнением, данная задача исследовалась с
использованием решения Миндлина и модели с кинематическим
упрочнением. Граничное условие отсутствия напряжения на поверх-
ности полупространства автоматически учитывается решением
Миндлина; поэтому необходима только дискретизация поверхности
раздела свая — грунт. Свая представляется как линейный конст-
рукционный элемент (см. Бенерджи и Дрисколл [48], Бенерджи [49],
а также Бенерджи и Девис [50]).
Хотя материал предполагался однородным в смысле упругих
свойств, принималось, что предел текучести си— а0/]/3 линейно
изменяется с глубиной. Параметр упрочнения для модели с кинема-
тическим упрочнением принимался равным С — 0.00IES, где Es —
«модуль Юнга» для грунта.
На рис. 12.19 показаны кривые нагрузки, разгрузки и повтор-
ного нагружения для сваи, а на рис. 12.20 — распределения упру-
гого изгибающего момента в начальный момент и в конце каждого
повторного нагружения. Такого рода анализ, очевидно, применим
для исследования любого возможного случая действия неразрушаю-
щей нагрузки для циклически нагружаемых конструкций.
12.10. Заключительные замечания
В этой главе мы попытались продемонстрировать, что МГЭ —
полезное средство для решения нелинейных задач механики дефор-
мируемого твердого тела и что при достаточном воображении опи-
санные здесь принципы и методология'могут быть применены ко
многим областям техники.
Представленные здесь численные результаты были получены
364 Гл. 12. Упругопластичность
при помощи программ «первого поколения» МГЭ с использованием
или кусочно-постоянного или линейного восполнения функций
на границе и кусочно-постоянной аппроксимации нелинейных ком-
понент в объеме. Поэтому имеются значительные возможности повы-
шения как эффективности, так и точности всех этих программ.
12.11. Литература
[1] Drucker D. С. A more fundamental approach to plastic stress-strain solu-
tions. — In: Proc. First U. S. Nat. Congr. Appl. Meeh., 1951, p. 487—491.
[2] Fung Y. C. Foundations of solid mechanics. — Englewood Cliffs: Prentice-
Hall, 1965.
[3] Chen W. F. Limit analysis and soil plasticity. — New York: Elsevier,
1975.
[4] Zienkiewicz О. C., Naylor D. J. The adoption of critical state soil mecha-
nics for use in finite element. — In: Proc. Roscoe Meml Symp. — Cambrid-
ge Univ., Foulis, 1971, p. 537—547.
(5] Banerjee P. K., Stipho A. S. Associated and non-associated constitutive
relations for undrained behaviour of isotropic soft clay. — Int. J. Num.
Anal. Meth, in Geomech., 1978, v. 2, No. 1, p. 35—56.
[6] Prager W. Theory of plasticity — a survey of recent achievement (James
Clayton Lecture). — Proc. Inst. Meeh. Engrs, 1955, v. 169, p. 41—57.
[7] Shields R. T., Ziegler H. On Prager’s hardening rule. — ZAMP, 1958, Bd
9a, S. 260—276.
[8] Ziegler H. A modification of Prager’s hardening rule. — Q. Appl. Math.,
1959, v. 17, No. 1, p. 55—65.
[9] Mroz Z. An attempt to describe the behaviour of metals under cyclic loads
using a more general work hardening model. —Act. Meeh., 1969, v. 7,
p. 199—212.
[10] Perzyna P. Fundamental problems in visco-plasticity. In: Advances in app-
lied mechanics. Vol. 9 — New York: Academic Press, 1966, p. 243—277.
[Имеется перевод: Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности.—
М.: Мир, 1968.]
[11] Zienkiewicz-О. С., Cormeau I. С. Visco-plasticity solution by finite ele-
ment process. —Arch. Meeh., 1972, v. 24, No. 5—6, p. 873—888.
[12] Zienkiewicz О. C., Cormeau I. C. Visco-plasticity, plasticity and creep in
elastic solids — a unified numerical solution approach. — Int. J. Num.
Meth', in Engng, 1974, v. 8, p. 821—845.
[13] Cormeau I. C. Numerical stability in quasi-static elasto-visco-plasticity .—
Int. J. Num. Meth, in Engng, 1975, v. 9, p. 109—128.
[14] Miller A. An inelastic constitutive model for monotonic, cyclic and creep
deformation: Part 1 — equations development and analytical procedu-
res. — J. Engrs Mat. Tech., ASME, 1976, v. 98, p. 97—105.
[15] Miller A. An inelastic constitutive model for monotonic, cyclic and creep
deformation: Part 2 — applications to type 304 stainless steel. — J.
Engrs Mat. Tech., ASME, 1976, v. 98, p. 106—113.
[ 16] Hart E. W., Li C. Y., Yamada H. Phenomenological theory — a guide to
constitutive relations and fundamental deformation properties. — In:
Constitutive equations in plasticity. Ed. by A. S. Argon. — Cambridge:
MIT Press, 1976, 149—197.
[17] Hart E. W. Constitutive relations for nonelastic deformation of metals. —
J. Engrs Mat. Tech., ASME, 1976, v. 98, No. 3, p. 193—202.
[18] Lagneborg R. A modified recovery-creep model and its evaluation. — Metal
Sci. J., 1972, v. 6, p. 127—133.
[19] Robinson D. N. A candidate creep-recovery model of 2x/2 Cr-IMO steel and
12.11. Литература
365
its experimental implementation. —Rep. No. ORNL-TM-5110. —Oak
Ridge National Laboratory, 1975.
[20] Bodner S. R., Partom Y. Constitutive equations for elastic visco-plastic
strain-hardening materials. —J. Appl. Meeh., ASME, 1975, v. 42, No. 2,
p. 385—389.
[21] Kumar V..Mukherjee S. A boundary-integral equation formulation for
time-dependent inelastic deformation in metals. — Int. J. Meeh. Sei.,
1977, v. 19, No. 12, p. 713—724.
[22] MukherjeeS. Corrected boundary integral equations in planar thermoelas-
toplasticity. — Int. J. Solids and Structures, 1977, v. 13, No. 4, p. 331 —
336.
[23] Mukherjee S., Kumar V. Numerical analysis of time dependent inelastic
deformation in metallic media using boundary integral equation method.—
J. Appl. Meeh., ASME, 1978, v. 45, No. 4, p. 785—790.
[24] Morjaria M., Mukherjee S. Improved boundary integral equation method
for time-dependent inelastic deformation in metals. — Int. J. Num. Meth,
in Engng, 1979, v. 15, p. 97—111.
[25] Lin T. Y. Reciprocal theorem for displacements in inelastic bodies. — J.
Comp. Mater., 1967, v. 1, p. 144—151.
[26] Lin T. Y. Theory of inelastic structures. — Chichester: Wiley, 1969.
[27] Swedlow J. L., Cruse T. A. Formulation of boundary integral equations for
three-dimensional elasto-plastic flow. — Int. J. Solids and Structures,
1971, v. 7, p. 144—151- [Имеется перевод: Механика (сб. переводов),
1972, № 4(134).]
[28] Reisner Н. Initial stresses and sources of initial stresses (на немецком) —
ZAMM, 1931, Bd. 11, S. 1—8.
[29] Zienkiewicz О. C., Valliappan S., King I. P. Elasto-plastic solution of
engineering problems by initial stress, finite element approach. — Int. J.
Num. Meth, in Engng, 1969, v. 1, p. 75—100.
[30] Zienkiewicz О. C. Finite element method in engineering science. —Mc-
Graw-Hill, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О. Метод конечных эле-
ментов в технике. —М.: Мир, 1975.]
[31] Banerjee Р. К-, Mustoe G. G. W. The boundary element method for two-
dimensional problems of elasto-plasticity. — In: Proc. Int. Conf. Rec.
Adv. in Boundary Element Meth. — London: Pentech Press, 1978, p.
283—300.
[32] Banerjee P. K-, Cathie D. N., Davies T. G. Two and three-dimensional
problems of elasto-plasticity. — In: Developments in boundary element
methods. Ed. by P. K. Banerjee, R. Butterfield. — London: Applied Sci-
ence Publishers, 1979.
[33] Banerjee P. K-, Cathie D. N. A direct formulation and numerical imple-
mentation of the boundary element method for two-dimensional problems
of elasto-plasticity. — Int. J. Meeh. Sci., 1979, v.' 22, p. 233—245.
[34] Banerjee P. K., Davies T. G. Analysis of some case histories of laterally
loaded pile groups. — In: Proc. Int. Conf. Num. Meth, in Offshore Piling.
— London: Institution of Civil Engineers, 1979.
[35] Davies T. G. Linear and nonlinear analysis of pile groups. — Ph. D. thes.
— Univ, of Wales, University College, Cardiff, 1979.
[36] Chaudonneret M. Boundary integral equation method for visco-plasticity
analysis (на французском). —J. de Mec. Appliq., 1977, t. 1, No. 2, p.
113—131.
[37] Chaudonneret M. Calcul des concentrations de contrainte en elasto-visco-
plasticite (на французском). — Ph. D. thes.; ONER A Publication No.
1978-1, 1978.
[38] Riccardella P. An implementation of the boundary integral technique for
plane problems of elasticity and elasto-plasticity. — Ph. D. thes. — Carne-
gie Mellon Univ., Pittsburg, 1973.
[39] Mendelson A., Albers L. U. Application of boundary integral equation met-
hod to elasto-plastic problems. — In: Boundary integral equation method:
•366 Гл. 12. Упругопластичность
--------------------------------------------,---------------------------
computational applications in applied mechanics. Ed. by T. A. Cruse,
F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975. [Имеется перевод: В кн.: Метод
граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и при-
ложения в механике. Под ред. Т. Круза и Ф. Риццо. — М.: Мир, 1978.]
140] Rzasnicki W-, Mendelson A. Application of boundary integral equation
method to elasto-plastic analysis of V-notched beams. — NASA Tech. Rep.
TMX-71472, 1975.
(41] Volker R. E. Nonlinear flow in porous media by finite elements. — Proc.
Amer. Soc. С. E-, 1969, v. 95, No. H76, p. 2093—2114.
[42] Ahmed H., Suneda D. K- Nonlinear flow in porous media. — Proc. Amer.
Soc. С. E., 1969, v. 95, No. H76, p. 1847—1859.
[43] Winslow A. M. Numerical solution of quasi-linear Poissons equation in
non-uniform triangle mesh. — J. Comp. Physics, 1967, v. 1, p. 149—172.
[44] Luu T. S., Coulmy G. Method of calculating the compressible flow round
an aerofoil or a cascade up to the shockfree transonic range. — Computers
and Fluids, 1977, v. 5, p. 261—275.
[45] Karmaker H. C., Robertson S. D. T. An integral equation formulation for
electro-magnetic field analysis in electrical apparatus. — Presented at
the IEEE PES Summer meeting, Los Angeles, 16—21 July 1978.
146] Banerjee P. K- Nonlinear problems of potential flow. — In: Developments
in boundary element methods. Ed. by P. K. Banerjee, R. Butterfield. Ch.
II.— London: Applied Science Publishers, 1979.
147] Chiu Y. On the stress field and surface deformation in a half space with a
cuboidal zone in which initial strains are uniform. — J. Appl. Meeh., 1978,
v. 45, p. 302—306.
[48] Banerjee P. K-, Driscoll R. M. C. Three-dimensional analysis of raked pile
groups. —Proc. Inst. Civ. Engrs., 1976, v. 61, p. 653—670.
149] Banerjee P. K. Analysis of axially and laterally loaded pile groups. —
In: Developments in soil mechanics. Ed. by C. R. Scott. Ch. 9. — Lon-
don: Applied Science Publishers, 1978, p. 317—340.
50] Banerjee P. K-, Davies T. G. Behaviour of axially and laterally loaded
single piles embedded in non-homogeneous soils. — Geotechnique, 1978,
v- 28, No. 3, p. 309—326.
Глава ГЗ
ПРИМЕРЫ ИЗ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ
13.1. Введение
Большинство исследователей, занимающихся механикой жид-
кости, хорошо знают и широко используют сходство основных урав-
нений задач механики деформируемого твердого тела и механики
жидкости [1, 2]. Так, развитие метода конечных элементов именно
применительно к сложным задачам механики деформируемого твер-
дого тела стимулировало параллельные разработки в механике жид-
кости. Поэтому мы полагаем, что развернутый анализ МГЭ в линей-
ных и нелинейных, стационарных и нестационарных задачах меха-
ники деформируемого твердого тела, проведенный в предыдущих
главах, мог бы убедить читателя в целесообразности применения
МГЭ к проблемам механики жидкости.
Подавляющее большинство задач гидромеханики относится к
большим, а очень часто и к простирающимся до бесконечности об-
ластям течения жидкости. И хотя основные дифференциальные
уравнения, как правило, существенно нелинейны, их можно пре-
образовать так, чтобы нелинейные члены относились только к
некоторой локализованной части области течения. Примеры такого
преобразования уже были описаны в гл. 12; в них не требовалось
проведения «внутренней» дискретизации в пределах преобладающих
по размеру «линейных» областей. Методы граничных элементов явля-
ются в этом отношении единственными из численных методов, поз-
воляющими учитывать бесконечно удаленные границы без какой-
бы то ни было дополнительной дискретизации.
Вслед за пионерской работой Хесса и Смита (см. гл. 5) был до-
стигнут (особенно в течение последних пяти лет) значительный про-
гресс в развитии возможностей МГЭ применительно к проблемам
механики жидкости. Большинство этих исследований нашло отра-
жение в настоящей главе.
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма
Вывод основных уравнений механики жидкости с исчерпываю-
щей ясностью и мастерством изложен в ряде прекрасных книг и
монографий [3—6], знакомство с одной (или несколькими) из которых
будет предполагаться в данном разделе. Ниже мы просто выпишем
основные дифференциальные уравнения для каждого рассмат-
риваемого класса задач и обсудим интегральные соотношения, ко-
торые можно получить из них.
368 Гл. 13. Примеры из механики жидкости
13:2.1. Уравнения Навье — Стокса движения вязкой
сжимаемой и несжимаемой жидкостей
В эйлеровой ортогональной декартовой системе координат основ-
ные уравнения, определяющие движение сжимаемой жидкости,
имеют вид
(dui дил др d2ui д2иг
р hr т =-г- + р1 ~rh+ +F‘« <131>
\ dt dxjj dxi dxfiXj dxfdxj
где p — плотность, t—время, ut — скорость в направлении оси
xt, Р — давление, р — коэффициент вязкости, Л — коэффициент
второй вязкости (Z = 2р/3 для одноатомного газа), Ft — плотность
объемных сил.
Если мы сравним уравнение (13.1) в случае стационарного тече-
ния (т. е. при dujdt = 0) с соответствующим уравнением механики
деформируемого твердого тела (уравнением (4.4)), то увидим, что
основное различие между ними связано с наличием конвективного
члена iijdujdxj. Предполагая, что этот член может быть представ-
лен фиктивной плотностью массовых сил xt, можно получить ин-
тегральную форму (13.1).
В случае несжимаемой жидкости (13.1) упрощается:
Р (dut/dt + UjduJdXj} — — dp/dxt ydPuJdXjdxj 4- Ft, (13.2)
так что при стационарном (dutldt = 0) медленном (ujdujdxj « 0)
движении жидкости левая часть уравнения (13.2) стремится к нулю
и оно становится идентичным уравнению, описывающему поле сме-
щений в несжимаемом деформируемом твердом теле. Поэтому раз-
личные решения задач механики деформируемого твердого тела,
полученные в предыдущих главах, непосредственно переносятся на
рассматриваемую ситуацию.
Введя понятие завихренности, можно привести уравнение (13.2)
к более удобной форме, позволяющей построить для него весьма
полезные соотношения МГЭ. Для того чтобы проще и удобнее всего
продемонстрировать это, следует переписать (13.2) в векторных обо-
значениях:
р [du/d/ + (u- v)и] = — VP + Р¥®и + Е- (13.3)
13.2.2. Уравнения движения в терминах завихренности
Завихренность определяется как
w = vxu. (13-4)
Применяя оператор rot к обеим частям уравнения (13.3), а также
используя соотношение (13.4) и уравнение неразрывности
V-u = 0, (13.5)
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма
369
мы можем получить уравнение переноса завихренности
dvi/dt — v X (uxw) + vV2w, (13.6)
где v — коэффициент кинематической вязкости.
Таким образом, система уравнений (13.4) — (13.6) относительно
переменных и и w эквивалентна системе (13.3) и (13.5) относительно
и и р.
Вычисляя ротор от обеих частей уравнения (13.4) и используя
(13.5), мы получим векторную форму уравнения Пуассона относи-
тельно и
V2u = — v X w. (13.7)
Из уравнений (13.6) и (13.7) уже можно получить соотноше-
ния МГЭ для решения любых нестационарных задач течения вяз-
кой несжимаемости жидкости. Так и было сделано By с соавторами
[7—14]; соответствующий вывод приводится ниже.
В силу солебоидальности вектора скорости и можно определить
векторный потенциал (см. гл. 10) следующим образом:
u = v X ф. (13.8)
Подставляя (13.8) в (13.4), получаем
V X v X ф = w. (13.9)
Если теперь А и В — две однозначные векторные функции, име-
ющие непрерывные вторые производные, то, согласно векторной
форме теоремы Грина ([1,7], см. также приложение Б), имеет место
тождество
JtA-(v X v X В) — B-(v X v X A)]dV =
v
= J(BxvxA—AxvxB).ndS, ' (13.10)
s
где n — вектор единичной нормали к S.
Далее в качестве вектора В мы можем взять векторный потенциал
ф, удовлетворяющий уравнению (13.9), а в качестве А — фундамен-
тальное решение векторного уравнения
V X V X А = 0
в трехмерном случае, так что
А = v |1/(4~г')] х е = vX [с/(4~г')], (13.11)
где е — единичный вектор и
г' = |г0 — г], (r^=>yai, (13.12)
Подставляя в (13.10) ф вместо В и фундаментальное решение
(13.11) вместо А и используя уравнения (13.8) и (13.9), приходим к
соотношению
13-356
370
Гл. 13. Примеры из механики жидкости
f(G х e)-wdV = [ [ф + v(e-G)-n — (Gxe) x u-n] dS, (13.13)
v s
где
G = v[1/(4™-')], (13.14)
которое можно переписать в виде
fe-(w х G)dV= j{(e-G)u-n—e-[(uxn)xG]}dS. (13.15)
v s
Поверхностный интеграл в уравнении (13.15) является несобст-
венным, так как компоненты G неограниченно возрастают, когда
г' = |г0 — г| -> 0 (т. е. когда точка наблюдения приближается
к точке приложения нагрузки).
Рассматривая малую окрестность особой точки, устремляя ее
размер к нулю и исключая из (13.15) произвольный единичный век-
тор , получаем
₽u(r0)= JwxGdV — J[(u-n)G— (uXn) x G] dS, (13.16)
v s
где
В __ f 1, если г0 находится в области течения,
[ 1/2, если г0 находится на гладкой границе.
Уравнение (13.16) справедливо также и в двумерном случае;
при этом вместо (13.14) должно использоваться фундаментальное
решение
G = v {[1/(2“)] In (1/г')}, (13.17)
где снова г' = |г0 — г|.
Уравнение (13.16) можно переписать также в виде, учитывающем
скорость набегающего'потока [7]:
₽и(г0) = (l/m)J [wx (г0—г)/|г0—гН]dV— [ [(u-n)(r0 — г)/|г0—г|'! —
V S
— (uxn)x(ro—г)]/|г0—r|qdS + u°°, (13.18)
где и°° — скорость набегающего потока (рис. 13.1) и для трехмерных
задач m = 4л,d = 3, а для двумерных ш = 2л, d = 2.
Уравнение (13.18) уже имеет нужную форму и может быть ис-
пользовано для решения корректно поставленных граничных за-
дач.
Кроме того, можно заметить, что на самом деле условие у-и=0
не является необходимым для вывода уравнения (13.15); действи-
тельно, если бы вместо него мы имели v-u=«f, то в итоге получили
бы [12]
₽u(r0)=J(g-]- w x)GdV— f [u-n — (uxn)x]GdS. (13.19)
v s
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма
371
Важно отметить также, что при вычислении объемного интегра-
ла радиус-вектор г пробегает точки пространства, а при вычислении
поверхностного интеграла — точки поверхности.
Относительно уравнения переноса завихренности заметим, что
в гл. 9 мы уже имели дело с уравнением вида (см. (9.1))
с v2<p = d^/dt—q (13.20)
и соответствующим ему уравнением ПМГЭ (9.11), т. е.
(Р, 0= f (G*d<p/dn — F*<p) dS + f (G*q+fG)dV. (13.21)
S V
Функции G и F определены формулами (9.7) и (9.8), f соответству-
ет значениям функции ф в области V в момент времени t = 0, а
символ * между величинами означает свертку (см. (9.10)).
Замечая сходство уравнений (13.6) и (13.20), а затем используя
(13.21), мы можем получить интегральную форму уравнения перено-
са завихренности.
С учетом условия прилипания на невращающейся поверхности S
искомые интегральные представления в случае двумерного течения
упрощаются и принимают вид [13]
₽ц(г0, 0 = [ВД f (№=, е X (г0—г)/|r0-r|2)dV + и» (13.22)
'v
и (для переноса завихренности)
t
₽ш (г0, 0= f [Gw]t=odV + Jdt J&y lu-yG] dV +
V 0 V
t
4- v f dt J [Gyw—u^Gpru/S. (13.23)
о s
13’
372 Гл. 13. Примеры из механики жидкости
Уравнение (13.22) представляет собой не что иное, как закон
Био—Савара [15—17] для вихревых линий. Объемный интеграл в
(13.23) показывает, что распределение завихренности изменяется в
результате конвективного переноса, который непрерывно оказывает
обратное воздействие на последующее распределение завихренности
в жидкости. Поверхностный интеграл в (13.23) отражает непрерыв-
ное возникновение (или исчезновение) завихренности на твердой
границе S. Поскольку скорость и(г о,0 на S равна нулю (условие
прилипания), возникающие вихри могут покидать границу S лишь
посредством диффузии.
Численное решение [13] системы уравнений (13.22) и (13.23),
очевидно, может быть получено при помощи пошаговой (относитель-
но времени) схемы, для которой дискретизация выполняется так
же, как это описано в предыдущих главах. При этом значения ско-
рости и завихренности, известные в момент времени /—'А/, при-
нимаемый за начальный временной слой для уравнения (13.23),
используются для вычисления нового набора значений завихреннос-
ти в момент времени t. Эти значения w(r, f) в вихревых объемных
ячейках затем используются для вычисления при помощи уравне-
ния (13.22) скорости и(г0, t) в произвольных точках области. Далее
численное решение задачи продолжается таким же образов, т. е.
повторением подобных циклов, моделирующих физические процес-
сы диффузии, конвекции и образования вихрей. Этот алгоритм,
разработанный By, позволяет рассчитывать нестационарные реше-
ния наряду со стационарными или периодическими (вихревые
дорожки) решениями на более поздних стадиях.
Необходимо отметить, что вихревые ячейки внутри объема сле-
- дует вводить лишь в характерных областях, где завихренность от-
лична от нуля. Для задачи, представленной на рис. 13.1, вихревые
ячейки необходимо ввести лишь в непосредственной близости от
поверхности S. Поэтому такой алгоритм является, вероятно, более
эффективным, чем те, которые строятся с использованием методов
конечных элементов или конечных разностей.
13.2.3 . Функция тока и потенциал скорости
Двумерное течение может быть описано при помощи функции
тока ф. Физический смысл функции тока состоит в том, что она по-
стоянна вдоль линий тока и расход между двумя любыми линиями
тока пропорционален разности соответствующих значений ф.
Для двумерного течения несжимаемой жидкости функция тока
вводится соотношениями
иг = —dty/dx2, и2 = d'\i/dxl, (13.24)
где «j и и2 — скорости в направлениях осей хх и х2 соответственно.
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма
373
В случае двумерного течения сжимаемой жидкости [6]
«! = — (Ро/р)дф/д*2. «а = (р07р) dty/dxlt (13.25)
где Ро и р — произвольная «отсчетная» плотность и текущая плот-
ность жидкости соответственно.
Потенциал скорости ф можно ввести в том случае, когда поле
скоростей является безвихревым (т.е.уХи=0,) и, следовательно,
в ортогональной декартовой системе координат вдоль каждой из
осей мы будем иметь
ui = —d^ldxi. (13.26)
13.2.4 . Уравнения движения в терминах функции тока
при малых числах Рейнольдса
При малых числах Рейнольдса конвективные члены в уравнени-
ях (13.1), (13.2) и т. д. становятся пренебрежимо малыми, а сами
основные уравнения становятся линейными. Таким образом, в слу-
чае двумерного стационарного течения функция тока удовлетворяет
уравнению
^4ф = 0. (13.27)
В более общем случае, а именно при промежуточных значениях
числа Рейнольдса, основное уравнение стационарного течения вяз-
кой несжимаемой жидкости можно записать в виде [18]
^4ф = д(ф, v2<p). (13.28)
Ясно, что уравнение (13.28) является нелинейным, так как его
правая часть зависит одновременно от двух функций ф и у2ф, ни
одна из которых заранее не известна.
Совершенно очевидно (см. гл. 11), что при помощи известного
тождества Релея—Грина [1] для двух бигармонических функций ф
и х, определенных внутри области V, ограниченной поверхностью
S с внешней нормалью п,
J (Ф¥4Х~Х?4Ф) dV = J Гф -7- (v2x) — V2X +
v s L дп дп
(?2Ф)М5 (13.28а)
дп дп
можно построить интегральное соотношение, отвечающее уравне-
нию (13.28).
Действительно, если выбрать в качестве G решение бигармони-
ческого уравнения
уЧ} = Цх, |)
и подставить это фундаментальное решение в уравнение (13.28а)
374 Гл. 13. Примеры из механики жидкости
________________________________________1______________________
вместо функции у (см. гл. 11), то получится интегральное уравнение
₽Ф(0 = f I Ф (V2^) — V2^ -77- + ?®ф -----------
£ L дп дп дп
~ G~d^ <^2Ф)] + \qGdV' (13.29)
где
{1, если находится в области течения,
О, если £ находится вне области течения,
1/2, если 5 находится на границе.
Интегрирование в (13.29) выполняется по переменной х,опреде-
ляющей направление внешней нормали. В линейном случае, кото-
рый соответствует уравнению (13.27), объемный интеграл в (13.29)
обращается в нуль и при решении задачи требуется лишь провести
дискретизацию границы. Однако при решении задач для уравнения
(13.28) необходимо вводить объемные ячейки подобно тому, как это
делалось в гл. 12.
13.2.5 . Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости
В случае стационарного безвихревого течения идеальной (не-
вязкой) несжимаемой жидкости основные уравнения можно запи-
сать через потенциал скорости
V2? — Я- (13.30)
Задачи, в которых получается это уравнение, обсуждались на
протяжении гл. 3 и 5, где это уравнение использовалось в качестве
основной модели для первоначального знакомства с МГЭ.
Мы можем, однако, рассмотреть здесь еще один класс родствен-
ных задач, связанный с волнами на воде [19]. Двумерное движение
воды в канале переменной глубины может быть описано уравнения-
ми
V?tf> — 0, = do/dxv и2 = д^/дх2, (13.31)
справедливыми в области, занятой жидкостью.
Поверхность воды
Дно
Рис. 13.2. Типичная задача о волнах на воде.
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма
375
Если поверхность воды параметрически задана длиной дуги s,
отсчитываемой против часовой стрелки из правого верхнего угла
рис. 13.2, то координаты точек поверхности хх(/, s), x2(t, s) удовлет-
воряют уравнениям
dxjdt — (dx2/ds) ду/дп — 0, dx2/dt + (dxjds)ду/дп = 0, (13.32)
где ds2 = dx2 4- dx2, t —время и
д ___ dx2 д ____ dXj д
1Г--5Г а. <ч ’
д____dxt д , dx2 д
“ ' ~' J- ---- --- в
ds ds dx1 ds dx2
Эти уравнения означают просто, что точка х все время остается
на свободной поверхности. При постоянном атмосферном давлении
уравнение Бернулли принимает вид
dy/dt + (1/2) [(dy/dri)2 + (д<р/ед+ gx2 = f(f), (13.34)
где g — ускорение силы тяжести, а функция f(t) не зависит от про-
странственных переменных и обычно принимается постоянной.
Задача состоит в решении уравнения (13.31) с граничными усло-
виями (13.32) и (13.34) и заданной начальной геометрией границы.
Так как интерес представляет лишь форма границы в различные мо-
менты времени, имеются все основания обратиться к МГЭ; соответ-
ствующий алгоритм разработал Мардер [19], описавший решения
ряда задач, в том числе задачи о распространении поверхностных
возмущений, а также о течении над препятствиями, вызванном им-
пульсивным воздействием.
Вообще говоря, МГЭ представляет собой высокоэффективную
технику численного решения широкого класса задач с движущимися
границами; это его достоинство уже использовалось рядом специа-
листов [20—25].
13.2.6 . Безвихревое течение идеальной сжимаемой
жидкости
Безвихревое стационарное течение идеальной сжимаемой жид-
кости можно описать [26—28] уравнением
V2<p = M2du/ds = q (Л4, и), (13.35)
где s отвечает тангенциальному направлению по отношению к линии
тока, и — скорость, а М — локальное число Маха.
Очевидно, уравнение (13.35) можно использовать для получения
соответствующих соотношений МГЭ точно так же, как это описано
376
Гл. 13. Примеры из механики жидкости
в гл. 3 и 12, а следовательно, и разработки алгоритма численного
решения, включая схемы дискретизации границы и выделения объ-
емных ячеек [26—30] в областях с ненулевыми значениями q.
13.2.7 . Нестационарные и стационарные волновые
уравнения движения жидкостей
Эти уравнения очень похожи на уравнения распространения
продольных и поперечных волн в упругих телах, соотношения МГЭ
для которых были выведены и описаны в гл. 10
13.3. Примеры
(а) Потенциальное течение в осесимметричном заборнике тур-
бомашины [311. На рис. 13.3 схематично показаны виды заборни-
ков и используемая дискретизация границ области течения, а на
рис. 13.4 — экспериментально найденные и рассчитанные распре-
деления скоростей в аксиальном заборнике при наличии втулки и
при ее отсутствии. Соответствие результатов в общем является удов-
летворительным, хотя при отсутствии втулки в окрестности перехо-
да входного участка в прямой отсек экспериментальные значения
несколько выше расчетных (возможно, из-за отрыва потока). Вы-
численная толщина поверхностного пограничного слоя и предска-
зываемое положение точки отрыва приведены на рис. 13.4, б.
Численные распределения скорости по поверхности согласуются
с экспериментальными данными до точки отрыва на поверхности
кожуха и до положения максимума скорости на диске. На рис. 13.5
построены профили скорости и направления течения в поперечных
сечениях 1 и 2, указанных на рис. 13.3, в передней части аксиального
и радиального заборника соответственно. Значительный интерес
представляет то обстоятельство, что экспериментальные и расчетные
данные, относящиеся к передней части радиального заборника, хо-
рошо согласуются, несмотря на полностью развитый отрыв внутрен-
него течения.
(б) Течение в решетке вплоть до околозвуковых скоростей при
отсутствии ударных волн [26, 271. Решения задач о потенциальном
течении сжимаемой жидкости можно использовать для исследования
распределения давления на поверхности решетки вплоть до около-
звуковых скоростей при отсутствии ударных волн. На рис. 13.6
приведена типичная схема разбиения на ячейки области, окружаю-
щей решетку турбины, а на рис. 13.7 — распределение давления на
одном профиле при различных значениях числа Маха набегающего
потока. Дальнейшее увеличение числа Маха набегающего потока
приводит к сверхкритическому режиму течения с образованием
ударной волны, для которого решение, полученное в рамках модели
потенциального течения сжимаемой жидкости, уже не является спра-
ведливым.
Рис. 13.3. a — схема аксиального заборника; б — схема радиального заборника.
0.1S
13.3. Примеры
У
378
Гл. IS. Примеры из механику, жидкости
а
и 11 11 пни ill........I I I I I—|-1----1-------1----
21 27 АО нумерация узлов на кожухе
Hi I I I I 1J I I I I I I I-1-1-----1-----
2+9 1 Нумерация узлов на диске
6
Рис. 13.4. а — распределение скорости по поверхности аксиального забор-
ника; б — распределение скорости по поверхности радиального заборника
(6 — толщина пограничного слоя).
Таким образом,рассмотренная задача очень похожа на задачу о
разрушающей нагрузке в механике деформируемого твердого тела
(см. примеры (д) и (ж) в § 12.9).
(в) Медленное течение вязкой жидкости в круговой области
[ 181. Типичное решение задачи о гидромониторной струе приведе-
но на рис. 13.8. При нулевом значении числа Рейнольдса Rf цир-
13.3. Примеры
379
куляции не возникает (рис. 13.8,а), и первый вихрь появляется при
значении числа'Рейнольдса между 3 и 3.1. Эти решения получил
Миллс [18] при помощи МГЭ; он использовал фундаментальные реше-
ния, уже удовлетворяющие граничным условиям. Вообще гово-
ря, в этом, очевидно, нет необходимости, хотя в некоторых задачах
такой прием позволяет получать хорошие результаты при сущест-
венном сокращении стоимости расчетов. Миллс указал, что его ите-
____ Теория
_ . Поперечное zm
• ж сечение '^'[Эксперимент
о д Поперечное (5)1
сечение
0.5
-100
0.25
-1.0 -0.5 0 0.5
Поперечной коорЭиношо
1.0
Скорость
Направление
б
Рис. 13.5. а — профиль скорости и направление потока в передней части
аксиального заборника; б — профиль скорости и направление потока в пе-
редней части радиального заборника.
380
Гл. 13. Примеры из механики жидкости
Рис. 13.6. Типичная схема разбиения
иа ячейки области, окружающей ре-
шетку.
рационный алгоритм стано-
вился неустойчивым при чис-
лах Рейнольдса Rj порядка
15.
(г) Обтекание тела произ-
вольной формы при сдвиговом
(стоксовском) течении [32].
Задачу об обтекании тела
произвольной формы стоксов-
ским потоком, в частности
трехмерное обтекание ци-
линдра конечной длины, рас-
сматривали Янгрен и Акри-
вос [32]. Последняя задача
неоднократно исследовалась
экспериментально, й поэтому
ее решение представляет зна-
чительный практический ин-
терес. Угловая скорость об-
текаемого цилиндра при ли-
нейном сдвиговом течении об-
щего вида, связана с единст-
венным неизвестным скаляр-
ным параметром — эквива-
лентным отношением осей ге,
определяемым как отношение
осей сфероида, который, бу-
дучи свободно подвешен в
потоке с тем же самым полем
скоростей на бесконечности,
совершает то же самое перио-
дическое движение, что и ци-
линдр (рис. 13.9).
В работе [32] эта задача
была решена при помощи
ПМГЭ и результаты сопостав-
лены с экспериментальными данными, полученными другими ав-
торами. Как можно видеть на рис. 13.9, хорошее согласование с
экспериментальными данными имеет место при L!D<Z 100; при
L/D> 100 экспериментальные результаты существенно отличаются
от численных значений, хотя в этой области их разброс также
весьма велик.
(д) Обтекание цилиндра вязкой жидкостью [131. Линии тока
и контуры равной завихренности, найденные численно для об-
текания цилиндра при числе Рейнольдса (подсчитанном по ско-
рости потока и диаметру цилиндра), равном 40, приведены на рис.
13.10. Показанный тип течения соответствует предельному устано-
13.3. Примеры
381
Рис. 13.7. Распределение давления при различных значениях числа Маха
набегающего потока.
вившемуся процессу. Вычисленные значения коэффициента давления,
отнесенного к кинетической энергии жидкости на поверхности ци-
линдра, приведены на рис. 13.11, а, где угол б измеряется от ради-
уса, проведенного в критическую точку на лобовой части цилиндра.
На рис. 13.11, б показано распределение градиента нормальной
составляющей завихренности на поверхности цилиндра, получаю-
щееся автоматически при использовании МГЭ, но требующее до-
полнительных вычислений при обращении к большинству других
методов, использующих конечно-разностные соотношения с одно-
сторонними разностями различного порядка.
Другие примеры применения МГЭ к задачам механики жидкости
можно найти в работах [7—14,19—27, 29,31—52], а также в гл. Зи 5.
382
Гл. 13. Примеры из механики жидкости
Рис. 13.8. Задача о гидромониторной струе для внутренности круга.
13.3. Примеры
383
Рис. 13.9. Эквивалентное отношение осей ге для цилиндра конечной длины,
свободно подвешенного в сдвиговом потоке.
Рнс. 13.10. Схема обтекания кругового цилиндра.
384
Гл. 13. Примеры из механики жидкости
Рис. 13.11. а — распределение давления на круговом цилиндре; б — градиент
нормальной составляющей завихренности на поверхности кругового цилиндра.
13.4. Заключительные замечания
Мы надеемся, что в данной главе нам удалось в достаточной мере
продемонстрировать большие возможности применения МГЭ к
задачам механики жидкости; некоторые из этих возможностей уже
широко используются. Мы склонны полагать, что МГЭ очень скоро
будет главенствовать над другими численными методами в широкой
области проблем механики жидкостей, ожидающих своего исследо-
вания.
Хотя мы описали в этой главе лишь ПМГЭ, для всех рассмотрен-
ных задач могут быть построены эквивалентные алгоритмы НМГЭ.
13.5. Литература
[1] Morse Р. М., Feshbach Н. Methods of theoretical physics. Vol. 1. — New
York: McGraw-Hill, 1953. [Имеется перевод: Морс Ф. М., Фешбах Г.
Методы теоретической физики. Том 1. —М.: ИЛ, 1958.]
[2] Zienkiewicz О. С. The finite element method. — 3rd ed. — London: Mc-
Graw-Hill, 1977.
[3] Lamb H. Hydrodynamics. — 6th ed. — New York: Dover, 1932. [Имеется
перевод: Ламб Г. Гидродинамика.'"—М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.]
[4] White F. М. Viscous fluid flow. — New York: McGraw-Hill, 1974.
[5] Yih C. S. Fluid mechanics. — New York: McGraw-Hill, 1969.
[6] Hughs W. F-, Gaylord E. W. Basic equations of engineering science. —
New York: Schaum, 1964.
[7] Wu J. C., Thompson J. F. Numerical solution of time dependent incompres-
sible Navier — Stokes equations using an integro-differential formulation.
— J. Comp. Fluids, 1973, v- 1, No. 2, p. 197—215.
[8] Wu J. C., Sankar N. L., Sampath S. A numerical study of unsteady viscous
flows around airfoil. —AGARD Conf. Proc., v. 227, 24-1-18, 1978.
[9] Wu J. C., Spring A. H., Sankar N. L. A flow field segmentation method
13.5. Литература
385
for numerical solution of viscous flow problems. — In: Lecture Notes in
Physics. Vol. 35. — Berlin, New York: Springer, 1974, p. 452—457.
[10] Wu J. C., WahbahM. M. Numerical solutions of viscous flow equations
using integral representations. — In: Lecture Notes in Physics. Vol. 59. —
Berlin, New York: Springer, 1976, p. 448—453.
[11] Wahbah M. M. Computation of internal flows with arbitrary boundaries
using integral representation methods. — Report, School of Aerospace,
Georgia Inst. Technol., 1978.
[12] Wu J. C. Finite element solution of flow problems using integral represen-
tations. — In: Proc. Second Int. Symp. on Finite Element Meth, in Engng,
Internat. Centre for Computer Aided Design, Conf. Series No. 2/76, 1976,
p. 205—216.
[13] Wu J. C., Rizk Y. M. Integral representation approach to time-dependent
viscous flows. — Rep. Grant No. DAAG-29-75-G-0147, US Army Research
Office, Dept. Aerospace Engng, Georgia Inst. Technol., 1976.
[14] Sankar N. L., Wu J. C. Viscous flow around oscillating airfoil — a nume-
rical study. — AIAA Eleventh Fluid and Plasma Dynamics Conf., Seatt-
le, 1978.
[15] Karmakar H. C., Robertson S. D. T. An integral equation formulation for
electromagnetic field analysis in electrical apparatus. — IEEE PES
Summer Meeting, Los Angeles, 16—21 July, 1978.
[16] Zaky S. G-, Robertson S. D. T. Integral equation formulations for the
solution of magnetic field problems. Part I and II. — IEEE Trans.,
1973, v. 2 (PAS-92), p. 808—823.
[17] Lean M. H., Friedman M-, Wexler A-, Advances in application in boundary
element method in electrical engineering problems. — In: Developments in
boundary element methods. Ed. by P. K. Banerjee, R. Butterfield. Ch.
IX. —London: Applied Science Publishers, 1979.
[18] Mills R. D. Computing internal viscous flow problems for the circle by
integral methods. — J. Fluid Meeh., 1977, v. 79, No. 3, p. 609—624.
[19] Marder B. Computing water waves without solving Laplaces equation. —
Report Sandia Lab., Division 2642, Albuquerque, 1979.
[20] Banerjee P. K- Nonlinear problems of potential flow. — In: Developments
in boundary element methods. Ed. by P. K- Banerjee, R. Butterfield. Ch.
II. — London: Applied Science Publishers, 1979.
[21] Liggett J. Location of free surface in porous media. — J. Hydrauls Div.,
ASCE, 1977, v. HY4, p. 353—365.
[22] Liu P. L. F., Liggett J. Boundary integral solutions to ground water prob-
lems. — In: Proc. Int. Conf. Appl. Num. Modelling, Southampton Univ.,
1977, p. 559—569.
[23] Liggett J. A., Liu P. L. F. Boundary solutions to two problems in porous
media. —J. Hydrauls Div. ASCE, 1979, v. HY3, p. 171—183.
[24] Liu P. L. F., Liggett J. A., An efficient numerical method of two-dimensio-
nal steady ground water problems. — Water Resources Res., 1978, v. 14,
No. 3, p. 385—390.
[25] Niwa Y., Kobayashi S., Fukui T. An application of the integral equation
method to seepage problems.— In: Proc. Twenty-fourth Nat. Congr. on
Appl. Meeh., 1974, p. 479—486.
[26] Coulmy G. The calculation of flow field by means of the panel methods.—
Paper presented at Euromech Colloquium 75, Braunschweig/Rhode, 10—13
May 1976.
[27] Luu T. S., Coulmy G. Method of calculating the compressible flow round
an aerofoil or a cascade up to the shockfree transonic range. — Computers
and Fluids, 1977, v. 5, p. 261—275.
[28] Ogana W., Sprieter J. R. Derivation of an integral equation for transonic
flows. —AIAA J., 1977, v. 15, p. 281—283. [Имеется перевод: Ракетная
техника и космонавтика. — М: Мир, 1977, т. 15, № 2.J
[29] Ogana W. Numerical solutions for subcritical flow by a transonic integral
386
Гл. 13. Примеры из механики жидкости
equation mpthod.— AIAA J., 1977, v. 15, p. 444—446. [Имеется перевод:
Ракетная техника и космонавтика. —М.: Мир, 1977, т. 15, № 3.J
[30] Ogana W. Derivation of an integral equation for threedimensional transo-
nic flows. — AIAA J., 1979, v. 17, No. 3, p. 305—307. [Имеется перевод:
Ракетная техника и космонавтика. —М.: Мир, 1979, т. 7, № 3.]
[31] Inoue М., Kuroumaru М., Yamaguchi S. A solution of Fredholm integral
equation by means of spline fit approximation. — Computers and Fluids,
1979, v. 7, p. 33—46.
[32] Youngren G. K-, Acrivos A. Stokes flow past a particle of arbitrary shape:
a numerical method of solution. —J. Fluid Meeh., 1975, v. 69, No. 2,
p. 377—403.
[33] Banerjee P. K-, Bate C. J. Laminar flow measurements in square ducts
using laser doppler anemometry. —In: Proc. Symp. on Laminar and tur-
bulent flow, University College, Swansea, 1978, p. 191—199.
[34] Zaroodny S. J., Greenberg M. D. On vortex sheet approach to the numeri-
cal calculation of water waves. —J. Gomp. Physics., 1973, v. 11, No.
3, p. 440—446.
[35] Coulmy G., Luu T. S., Malavard L. Aerodynamique des systems portante et
propulsifs en regime de fonctionnement periodique optimisation de leurs
performances. —In: AAAF Eleventh Colloque D’Aerodyn. Appliq., Fa-
culte des Science de Bordeaux, Talence, 6—8 Nov. 1974.
[36] Luu T. S., Coulmy G. Methode des singularites repartion discretisee dans
le domaine de 1’hydro et de Гaerodynamique. — Rep. Lab. d’Informatique
pour la Mechanique et les Sciences, Orsay, 1975.
[37] Hunt B. Relationships between volume, surface and line distributions of
vorticity source and doublicity. — ВАС (MAD) Rep. Ae/308, November
1977.
[38] Semple W. G. A note on the relationship of the influence of sources and
vortices in incompressible and linearised compressible flow.— ВАС (MAD)
Rep. Ae/A/541, October 1977.
[39] Morino L., KuoC. C. Subsonic potential aerodynamics for complex configu-
rations: a general theory. —AIAA J., 1974, v. 12, No. 2, p. 191—197.
[Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика. — М.: Мир, 1974,
т. 12, № 2.J
[40] Johnson F. Т., Ehlers F. Е., Rubbert Р. Е-, A higher order panel method
for general analysis and design applications in subsonic flow.. — In: Proc.
Fifth Int. Conf. Num. Meth, in Fluid Dynamics. Twente University, Ent-
schede, Holland; Lecture Notes in Physics. Vol. 59. — Berlin and New
York: Springer, 1976.
[41] Rubbert P. E., Saaris G. R. et al. A general method for determining the
aerodynamic characteristics of fan-in-wing configurations. Vol. 1. — Theory
and Application USAAVLABS Techn. Rep. 67—61A, 1967.
[42] Labrujere Th. E-, Loeve W., Slodff J. W. An approximate method for the
calculation of the pressure distribution on wing-body combinations at sub-
critical speeds. — AGARD Conf. Proc., No. 71, NLR MP 70014U, Sep-
tember 1970. _
[43] Roberts A., Rundle K- Computation of incompressible flow about bodies
and thick wings using the spline mode system. — ВАС (CAD) Rep. Aero
MA19, 1972.
[44] Johnson F. T., Rubbet P. E. Advanced panel-type influence coefficient
methods applied to subsonic flows. —AIAA Paper No. 75-50, January
1975.
[45] Hess J. L. Calculation of potential flow about arbitrary 3-D lifting bodi-
es: final technical report. —McDonnell Douglas, Rep. No. NDC J5679-01,
October 1962.
[46] Labrujere Th. E. A survey of current collocation methods in inviscid sub-
sonic lifting surface theory. Part 1: numerical aspects. — VKI Lecture
Series 44, February 1972.
[47] Hess J. L. The problem of 3-D lifting potential flow and its solution by
13.5. Литература - 387
means of surface singularity distributions. — Computer Meth, in Appl.
Meeh. Engng, 1974, v. 4, p. 283—319.
[48] Hunt B., Semple W. G. Economic improvements to the mathematical model
in a plane/constant strength panel method. — Paper presented at Euro-
mech. Colloquium 76, Braunschweig/Rhade, 10—13 May 1976-
[49] Kraus W. Panel methods in aerodynamics. — Paper given at VKI Lecture
Series, 87, 15—19 March 1976.
[50] Smith P. D. An integral prediction method for threedimensional com-
pressible turbulent boundary layers. — ARC R and M, No. 3739, 1974.
[51] Hunt B. The prediction of external store characteristics by means of the
panel method. — ВАС Rep. Ae/372, January 1977.
[52] Bristow D. R. A new surface singularity method for multielement airfoil
analysis and design. — AIAA Pap. 76-20, January 1976.
Глава 14
КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
€ ДРУГИМИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
14.1. Введение
Мы полагаем, что в предыдущих главах нам удалось продемонст -
рировать, сколь эффективным вычислительным аппаратом для ре-
шения задач в дву- и трехмерных областях сложной формы являет-
ся МГЭ. С другой стороны, такие методы, как метод конечных эле-
ментов или конечных разностей, обладают несомненной привлека-
тельностью в случае ограниченных областей и областей с сильно не-
линейными геометрическими или материальными характеристика-
ми. Таким образом, для некоторых задач может оказаться весьма
плодотворным использование комбинированных методов; решения,
получаемые при помощи этих методов, часто называются гибридными
решениями.
Действительно, многие задачи механики деформируемого твердо-
го тела и гидромеханики попадают в особую категорию, для которой
нецелесообразно проводить дискретизацию лишь внутри области
(что осуществляется методами конечных элементов либо конечных
разностей) или же лишь на ее границе. Такие задачи, как
1) взаимодействие между конструкцией конечного размера и
массивным деформируемым твердым телом, играющим роль основа-
ния (например, задачи взаимодействия конструкций с грунтом),
2) задачи механики разрушения,
3) взаимодействие между конструкцией и жидкостью, в которую
юна погружена, и т. д.,
постоянно привлекают внимание многих специалистов, которые и
разработали алгоритмы комбинированных дифференциальных и
интегральных методов. Например, Круз, Шоу, Сильвестер, Век-
слер, Зенкевич и другие [1—13] предложили методы решения,
основанные на комбинировании метода конечных элементов с МГЭ,
а Бенерджи, Баттерфилд, By и другие [14—24] осуществили ком-
бинирование методов конечных разностей с МГЭ.
В отличие от методов конечных элементов, для которых матрицы
систем линейных алгебраических уравнений обычно являются сим-
метричными , алгоритмы МГЭ, описанные в предыдущих главах, при-
водят к несимметричным матрицам. Поэтому, если небольшая систе-
ма уравнений МГЭ должна быть объединена с большой системой ме-
тода конечных элементов, то для получения эффективного решения
МГЭ необходимо модифицировать таким образом, чтобы соответст-
вующие ему матрицы были симметричны. В противоположном слу-
чае, т. е. когда размер матрицы МГЭ велик по сравнению с разме-
14.2. Построение решений энергетическим методом
389
ром матрицы МКЭ, ее несимметричность не приводит к потере эф-
фективности решения, так как любая несимметричная, но достаточ-
но большая система МГЭ может быть увязана с симметричной систе-
мой метода конечных элементов. В любом случае две системы могут
быть объединены лишь при удовлетворении условий совместности
на внутренних границах.
Система уравнений МГЭ может быть сделана симметричной путем
перехода от точечной пошаговой схемы, использованной для ее
получения в предшествующих главах, к схеме, основанной на ми-
нимизации функционала энергии. Побочным результатом этого
перехода является уменьшение вычислительных погрешностей вбли-
зи ребер и углов, по крайней мере для непрямого метода, что обыч-
но позволяет точнее прогнозировать погрешности расчетов. Однако
такие решения оказываются существенно «дороже» решений, полу-
чаемых при помощи точечных пошаговых схем, и поэтому следует,
насколько это возможно, стремиться к использованию несимметрич-
ных систем МГЭ, записанных для граничных переменных.
14.2. Построение решений с использованием
граничных элементов энергетическим методом
14.2.1. Введение
В настоящее время имеется уже значительное число опублико-
ванных работ [1—8 , 24—32], в которых граничные интегральные
соотношения выводятся из энергетических соображений; при этом,
в частности, используются метод моментов, метод Галёркина или
метод Релея — Ритца. Хотя каждый из этих методой позволяет полу-
чать симметричные матрицы линейных систем, с инженерной точ-
ки зрения более предпочтительным, вероятно, является подход, ос-
нованный на минимизации суммы взвешенных невязок, так как он
приводит .к более глубокому пониманию физической сущности изу-
чаемых процессов.
14.2.2. Общая теория метода взвешенных невязок
Для иллюстрации идеи метода взвешенных невязок рассмотрим
задачу определения функции и (значения которой могут быть как
скалярными, так и векторными величинами), удовлетворяющей
внутри области V с границей S уравнению общего вида
L(u) = 0 bV (14.1)
и граничным условиям
А(и)—f =0 на Sj, В(и)—g = 0 на S2, (14.2)
где функции f и g заданы на соответствующих частях границы S =
= + S2.
390
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
Операторы L, А и В могут быть как дифференциальными, так и
интегральными, как линейными, так и нелинейными.
Если и° — некоторое приближение решения и, то, очевидно,
уравнения (14.1) и (14.2) не будут удовлетворяться точно. Обозна-
чим отклонения их правых частей от нуля через
L(u«) = E1, Д(ц°) —f = E2. B(u°) — g=E3, (14.3)
где функции Еп Е2 и Е3 называются невязками.
Для определения приближенного решения и° потребуем, чтобы
интеграл от взвешенной суммы невязок, заданных соотношениями
(14.3), был равен нулю, а именно [5—7] чтобы
fWkL (и°) dV+ \wk[A(u°)—f]dS + (u°) — g] dS=0, (14.4)
V __ 3, s,
где Wk, Wk и Wk — набор независимых весовых функций (k =
= 1, 2, 3, .... /п).
Уравнение (14.4) и является основным соотношением метода
взвешенных невязок для нашей задачи. Детальное изложение этой
процедуры можно найти в статье Зенкевича с соавторами [5].
14.2.3. НМГЭ как вариант метода взвешенных невязок
Рассмотрим задачу о потенциальном течении в области V’-
d^p/dxjdxi = 0 в V, (14.5)
р = f на Sj и (др/дх^ п{ = др/дп\= g на S2.
Основное соотношение метода взвешенных невязок для (14.5)
можно записать в виде
дУ+^р-пdS +i (W* (-г-И ^=o. (14.6)
v s, s, ' n '
Замечая, что
_JFP_ __ d \________dWk dp , (14.7)
dxtdxi dxi \ dxj) dxt dxi
и используя теорему Гаусса — Остроградского для преобразования
объемного интеграла в (14.6), получим [7]
— С ew^dp_dv^cWh d^dS^Cw^fjj—fjdS +
J dxi dxi J dn J
v s s,
(——g]dS = 0.
Un ё
s.
Еще раз используя соотношение (14.7), в котором Wk и р перестав*
14.2. Построение решений энергетическим методом _
391
лены местами, и применяя теорему Гаусса — Остроградского,бу-
дем иметь
[ pdV~ f р — dS + dS +
J dxidxi J dn J dn
V S S
S |dS = 0.
(14-9)
Следует подчеркнуть, что все интегрирования в этих уравнениях
выполняются по xt и все переменные являются функциями только от
xt (xi € xt € S).
Распределение p(x) можно выразить через распределение поверх-
ностных источников <р(Ю: '
р = J Gq>dS = NV» (14.10)
где — узловые значения <р на поверхности, причем переменной
интегрирования здесь является £г. Аналогично др/дп можно пред-
ставить, например, в виде
др/дп = f[F<pdS = (dNr/dri) <р' = Ж (14.11)
s
Если теперь мы выберем весовые функции Wk ,Wkn Wk таким
образом, что [7, 8]
Wb == — (1/2)Nh, xtQV и S,
№* = —/№, (14.12)
Wh = at*, xt e s2,
то немедленно заметим, что объемный интеграл в (14.9) исчезнет,
так как Wk (т. е. Nk) удовлетворяет основному дифференциальному
уравнению. Поэтому, подставляя (14.10) — (14,12) в (14.9), полу-
чим [7, 8]
Fkr jpr + Fk = о, (14.13)
где
= (1/2) [ \(MkNr 4- NkMr) dS — \ (MkNr+NkMr) dS 1 ,
s, s, J
r Fb= { MkfdS — J NkgdS.
St S,
Следует отдавать себе отчет в том, что коэффициенты системы
уравнений (14.13) получаются двукратным интегрированием: одно
392
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
(внутренний интеграл) проводится по переменной £г (см. уравнения
(14.10) и (14.11)), а другое (внешний интеграл) — по хг. Матрица К
системы (14.13) является симметричной и может быть скомбинирова-
на с любой симметричной матрицей системы метода конечных эле-
ментов. Оригинальный способ получения симметричных соотноше-
ний непрямого метода, приводящей в итоге к точно такой же системе
уравнений, принадлежит Мусто [7], который занимался его разра-
боткой применительно к двумерным статическим задачам теории
упругости.
Хотя подобный симметричный алгоритм НМГЭ, по-видимому,
является несколько более дорогим (в смысле вычислительных зат-
рат), чем его. стандартный несимметричный вариант, он приводит к
более точным решениям, особенно вблизи мест нарушения гладкос-
ти границы [6—8].
14.2.4. Симметричный ПМГЭ для задач теории упругости
Очевидно, что вывод соотношений ПМГЭ не основан на проце-
дуре использования базисных функций, описанной в предыдущем
разделе, и поэтому метод взвешенных невязок не может быть ис-
пользован для того, чтобы получить в этом случае симметричную
систему уравнений. Тем не менее для упругой системы (гл. 4) мы
можем рассмотреть функционал полной энергии
П = (1 /2 JaifijdV - JuigidS. (14.14)
V vs,
При помощи соотношений между деформациями и смещениями
объемный интеграл может быть выражен через смещения:
(1/2) J oij4jdV= (1/4)J + Wi'i) dV =
V V
= (1/4) J [(ад)./ +(OijUj),i — oij-,Jut—oij,iUj]dV. (14.15
v
Применяя теорему Гаусса — Остроградского и используя в
(14.15) уравнения равновесия в напряжениях, получаем
(1/2) f oljSiJdV= (1/2)$ UittdS — (1/2) J u^dV. (14.16)
V s v
Подставляя (14.16) в (14.14) и полагая фг = 0, приведем функ-
ционал полной энергии к виду [7]
П=(1/2) f u^dS — $ ulgidS (14.17)
s s
или — в матричных обозначениях — к виду
14.2. Построение решений энергетическим методом 393
П=(1/2) [ ur tdS — furgdS. (14.18)
s s
Задаваясь подходящей аппроксимацией и и t
u = Nun, t = (14.19)
где N и М— базисные функции, мы можем записать (14.18) в виде
П = (l/2)(u")r (J NrMdS)t" —(u")rJ NrgdS. (14.20)
S s
Следует отметить, что базисные функции N и М, вообще говоря,
не обязательно должны быть одинаковыми.
Рассмотрим теперь граничное интегральное уравнение, соответ-
ствующее прямому методу
Mi© = J ft (x)Gi}(x, 0Ui(x)] dS, (14.21)
s
которое, следуя обычной процедуреМГЭ, можно записать в матоич-
ной форме:
Au" = Bt"; (14.22)
здесь изменения и и t на граничных элементах совпадают с измене-
ниями, заданными соотношениями (14.19), но М = N (для того что-
бы обе матрицы А и В были квадратными). Если мы перепишем
уравнение (14.22) в виде
t" = B-1Au", (14.23)
то оно уже может быть использовано для исключения Р из (14.20).
Однако если это соотношение используется, то из-за ошибок округ-
ления результат может не удовлетворять уравнениям равновесия с
достаточной степенью точности [7]. Это затруднение преодолевается
путем введения вспомогательного уравнения равновесия
ftdS=Q, (14.24)
s
дискретная форма^которого имеет вид
([MdS) tn = Qt" = 0. (14.25)
s
Узловые значения сил t" находятся из комбинации этого урав-
нения и уравнения (14.22), т. е. из уравнения
Au" =Bt” + QrX, (14.26)
где X (для двумерных задач) —двухкомпонентный вектор множите-
лей Лагранжа. В данном случае роль этих множителей сводится к
394 Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
введению ограниченных возмущений в каждое из уравнений (14.22),
так что (14.25) может быть удовлетворено сколь угодно точно.
Уравнения (14.25) и (14.26) теперь можно переписать в виде
системы
г<14-27>
из которой узловые значения сил t" могут быть найдены с помощью
обычной матричной алгебры:
t" = Ей". (14.28)
Если теперь мы подставим (14.28) в (14.20), то получим следу-
ющее выражение для функционала:
П = (и")г Ku" + (ип)т F, (14.29)
где
К = (1/2) (|*Nr MdS) Е и F = — f Nr gdS.
s s,
Условия минимума функционала П сводятся к равенству
8П = (<ЗП/дцп)г 8и" = 0,
и так как это равенство должно выполняться при произвольных ва-
риациях 6ил, то
дШдип = 0, (14.30)
что в свою очередь приводит к окончательной системе уравнений
K°un + F = 0,_ (14.31)
где
К0 = (1/2) {(fNrMds) Е + [( [рГ MdS ) е]Г) .
s s
Уравнение (14.31) является уже симметричной формой основно-
го соотношения ПМГЭ [7, 8].
Интересно отметить, что другое симметричное соотношение
ПМГЭ может быть получено при помощи очень простого приема.
Действительно, узловые значения сил F, соответствующих поверх-
ностным воздействиям t на границе, даются выражениями
F = J Nr tdS, (14.32)
s
где N — матрица базисных функций для смещений.
Подставляя граничные базисные функции (14.19) и соотношение
(14.28) между узловыми значениями нагрузок и смещений в (14.32),
получаем связь между силами и смещениями
14.2. Построение решений энергетическим, методом 395
F = (fNrMdS ) Eu" = К'и". (14.33)
Матрица К' в общем случае является несимметричной, и, следо-
вательно, условия теоремы взаимности Максвелла — Бетти не вы-
полняются. Для получения симметричных уравнений матрицу К'
можно заменить на
К° = (1/2)(К' + К'Г), (14.34)
что приводит к соотношению, внешне сходному с (14.31). Однако
(14.34) является чисто интуитивной модификацией (14.33), и его
единственное обоснование состоит в том, что оно приводит к тому же
самому уравнению, что и при использовании энергетического ме-
тода [7].
14.2.5. Иной энергетический подход, приводящий
к симметричным соотношениям МГЭ
Рассмотрим интегральное уравнение
Кф = g, (14.35)
где К — интегральный оператор, <р — неизвестная функция и g —
заданные граничные значения.
Для самосопряженного оператора /С мы можем записать функ-
ционал П:
П = (Лф, <р) — 2<ф, g}, (14.36)
где ( ,) обозначает скалярное произведение, Определенное форму-
лой
{и, v)=[uvdS. (14.37)
з
Если распределение <р представить в виде _
Ф = МГфп, (14.38)
где ф0 — узловые значения ф, то вместо (14.36) будем иметь
4 П = Фл < KN, Nr > Ф„-2ф£ <N, g).
Находя вариацию функционала относительно фп и приравнивая
дП/дфл к нулю, получаем
(KN,Nr)q>n = (N, g>, (14.39)
или
Аф = Ь-
396
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
Заметим, что в подробной записи уравнение (14.39) принимает
вид
[ J N(ar) J К(х, £)N40dS©dS(*)]<Pn =
S(x) S(E)
= J N (x)g (ж) dS (x) (14.40>
S(x)
и совпадает с соотношением метода Галёркина для исходного гра-
ничного интегрального уравнения . приводящим к симметричной мат-
рице А системы.
Описанный выше метод развивался и использовался рядом спе-
циалистов, главным образом в задачах электротехники [3,4, 17, 26,
33, 34]. Несколько иной подход к получению матриц систем МГЭ,
основанный на использовании на границе метода наименьших
квадратов, описан Тоттенхемом [35].
14.3. Примеры задач, решенных с использованием
энергетического подхода
(а) Потенциальное течение в L-образной области [81. На рис.
14.1 показана L-образная область, разделенная на три подобласти,
для которой были реализованы описанные выше симметричные про-
цедуры ПМГЭ и НМГЭ. Задача состояла в отыскании решения урав-
нения v2P = О ПРИ следующих граничных условиях: на ABYD
др/дп. = 0, на DE р = 0, на EZF др/дп = 0 и на AF задан потенци-
ал р = 1. Из табл. 14.1 видно, что оба симметричных варианта
Таблица 14.1
Сравнение значений р, вычисленных симметричными
трехзонными МГЭ
Узел Точное решение НМГЭ ПМГЭ
1 0.8640 0.8644 0.8587
2 р.6667 0.6733 0.6667
3 0.2972 0.2997 0.3023
4 0.2881 0.2883 0.2875
5 0.5680 0.5692 0.5706
6 0.8081 0.8039 0.8040
7 0.8514 0.8478 0.8488
8 0.9109 0.9063 0.9085
Максимальная погрешность, % 0.85 1.6
14.3. Примеры задач, решенных энергетическим подходом
397
Рис. 14.1. Дискретизация при ис-
пользовании многозонной симмет-
ричной процедуры МГЭ.
МГЭ приводят к результатам,
очень хорошо согласующимся с
точным решением, полученным
Джесуоном и Симмом [36], тогда
как в случае несимметричного
НМГЭ ошибки вблизи негладких
участков границы существенно
выше. В табл. 14.2 приведены
узловые значения производной
dpldn на внутренних границах, т. е. вдоль отрезков XY и YZ. Из
нее следует, что условия равновесия на внутренних границах
выполняются в смысле очень точного равенства соответству-
ющих узловых значений противоположных сил (т. е. др/дп),
но абсолютные значения др/дп, полученные разными методами, не-
Таблица 14.2
Значения dpldn на внутренних границах в задаче для
L-образнои области, полученные симметричными МГЭ
при многозонной дискретизации
Узел Симметричный ПМГЭ (квадратичная аппрокси- мация р; др/дп разрывна) Симметричный НМГЭ
др/дщ. др/дп. др/дп. др/дп.
X —0.0030 —0.0111 0.0043 0.0J19 —0.0052 0.0052
—0.0237 —0.0280 0.0170 0.0362 —0.0180 0.0180
—0.0452 0.0555 —0.0296 0.0296
Y —0.0990 —0.1095 0.0692 0.1480 —0.1111 0.1111
-0.1198 —0.1115 0.1075 0.1012 -0.1616 0.1616
—0.0994 0.1077 —0.0984 0.0984
-0.1045 0.1022 —0.0978 0.0978
Z —0.1030 0.1015 —0.1088 0.1088
398
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
сколько отличаются друг от друга». Отличаются также и значения
потенциала с разных сторон внутренних границ (табл. 14.3).
Таблица 14.3
Значения потенциала на внутренних границах, полу-
ченные симметричным НГМЭ при многозонной
дискретизации
Узел Р1 ₽«
X 0.9752 0.9700
0.8888 0.8850
0.8104 0.8073
Y 0.7439 0.7456
0.6247 0.6234
0.5792 0.5795
0.5588 0.5590
Z 0.5617 0.5562
(б) Обтекание эллиптического цилиндра однородным потоком
[26]. На рис. 14.2 показана скорость сходимости численного реше-
ния задачи, полученного Фридом [26], который воспользовался га-
лёркинским соотношением НМГЭ (см. разд. 14.2.5) при квадратич-
ном представлении функций и геометрии. Хесс и Смит (см. гл. 5)
Рис. 14.2. Обтекание эллиптического цилиндра потенциальным потоком.
(По оси абсцисс откладывается общее число граничных элементов.)
14.4. Комбинирование МКЭ и МГЭ
399
решили эту задачу очень точно методом точечной коллокации при
использовании 180 узлов. Решение Фрида сходится с точностью
до трех значащих цифр, причем потребовалось лишь 16 узлов.
14.4. Комбинирование методов конечных
и граничных элементов
14.4.1. Получение соотношений метода конечных элементов
методом взвешенных невязок
Для всех задач теории упругости соотношения метода взвешен-
ных невязок (14.4) принимают вид
^)dV+ (14.41)
V S, S,
Для преобразования объемного интеграла мы снова можем восполь-
зоваться теоремой Гаусса — Остроградского, которая дает
№ OijjdV =- f Wl^dV + fW4ttdS. (14,42)
V vs,
Подставляя (14.42) в (14.41) и полагая для удобства = 0,
получаем так называемую слабую формулировку
- f OijdV + + $W*(ut-ft)dS +
V s s,
+ ^(ti-gl)dS = 0. (14.43)
s,
Если учесть симметричность тензора напряжений Оу, а также
связь между напряжениями и деформациями и соотношения между
деформациями и смещениями, то объемный интеграл в (14.43) можно
преобразовать к виду
[w^dV = (1/2) , + W^t)atjdV =
= J р (Г*4+ Wkj.i)г + (1/2) 1 + О4-44)
где и — модуль сдвига и а = v/(l — 2v).
Интерполируя смещения по их узловым значениям и„ (где k —
номер узла)
Ui=N*ukn (14.45)
и подставляя результат в уравнение (14.44), получаем [7]
(1/2) ,. + ,-)<hidV ={jp (П/ + x
x НЛ* ,+(1/2) (/vt- + Л dv\ <14-46)
400
' Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
Отсюда сразу следует, что если W* выбрать равным У*, то урав-
нение (14.46) станет симметричным относительно индексов i и
Поэтому, взяв в качестве весовых функций [7, 37)
IR = | В ~ 0 на $1» (14.47)
1 10 на Sj, Wk. =Nk. на S2
и подставив (14.44) с учетом (14.46) в (14.43) можно получить сим-
метричную систему линейных уравнений
{Ь(*£/+ Nki.) 1А-Л‘г+(1/2)(^ №д)1 -
— Jw*&dS = O, (14.48а)
s, 1
или просто
Ku„ + F = 0; (14.486)
это окончательная форма соотношений метода конечных элементов
относительно смещений [37].
14.4.2. Симметричное объединение ПМГЭ и МК.Э
Если область конечных элементов обозначить через Уд, а об-
ласть МГЭ — через VB , то систему уравнений для двух областей
можно записать (например, для задач теории упругости) в виде
КлЧ. +рл =°- KsuB+Fa=0. (14.49а,б)
где ид и Fx — векторы узловых смещений и сил внутри области Уд,
включая узлы, принадлежащие ее границе, а ив и Ffi —векторы
смещений и сил в узлах на границе области VB.
Уравнение (14.496), очевидно, имеет тот же самый вид, что и лю-
бое уравнение, полученное при дополнении системы конечных
элементов новыми элементами. Следовательно, уравнения (14.49а, б)
могут быть объединены путем удовлетворения обычным образом
условиям совместности смещений на внутренних границах. Выпол-
нение последних может быть обеспечено лишь в том случае, когда
граничные базисные функции для смещений совпадают с изменения-
ми смещений в примыкающих конечных элементах. При этом условие
равновесия удовлетворяется в дискретном смысле, а именно сумма
узловых значений сил в каждом узле равна результирующей внеш-
них сил, приложенных к этому узлу.
14.4. Комбинирование МКЭ и МГЭ
401
14.4.3. Симметричное объединение НМГЭ и МКЭ
Для применения симметричного НМГЭ к области Vs и МКЭ
к области VA их общую внутреннюю границу необходимо рас-
сматривать (например, в задаче о потенциальном течении) как
часть поверхности Sx, на которой задан потенциал р.
Эквивалентную (14.13) систему уравнений для области Ув можно
преобразовать к виду
где К, К и Кг очевидным образом определяются так же, как и в
уравнении (14.13). Второе матричное уравнение в (14.50) просто оз-
начает, что интеграл от <р по границе области Ув равен нулю (т. е.
выполняется дополнительное условие единственности, обсуждавшее-
ся в гл. 2—4).
Уравнение (14.50) теперь может быть включено в систему урав-
нений метода конечных элементов для области Va в качестве урав-
нения, отвечающего новому элементу Ув с неузловыми переменными
ф и узловыми переменными f. Дальнейшие подробности этой проце-
дуры изложены Келли, Мусто и Зенкевичем [6, 8], а также Мусто
[7].
14.4.4. Примеры
(а) Задача о детали машины (81. На рис. 14.3 показана гео-
метрия детали, исследованной Келли, Мусто и Зенкевичем [8]
ЛЕ: р-0
EF: 0р/0л=О
ГН: р =1
HU: др/дп=0
Рис. 14.3. Задача о детали машины, исследованная МКЭ (а), комбинацией
- симметричного ПМГЭ и МКЭ (б), симметричным ПМГЭ (в).
14—356
Рис. 14.4. Распределение потенциала вдоль границы НТ в задаче о детали
машины, полученное комбинацией симметричного ПМГЭ (с квадратичной
аппроксимацией) и МКЭ.
Рис. 14.5. Цилиндрическая опора с пористой защитной стенкой (а) и схема
дискретизации (6).
14.4. Комбинирование МКЭ и МГЭ
403
тремя методами: 1) методом конечных элементов с использованием
95 восьмиузловых изопараметрических элементов, содержащих в
общей сложности 366 узлов, 140 из которых находились на границе;
2) комбинацией ПМГЭ и МКЭ и 3) симметричным ПМГЭ. В случае
ПМГЭ граница моделировалась путем квадратичной аппроксимации
граничных значений потенциала и разбиения исходной области
на шесть подобластей для удобства формирования ленточной матри-
цы системы. Следует отметить, что для задач со столь большим отно-
шением поверхности области к ее объему этот тип МГЭ не является
вполне подходящим методом.
На рис. 14.4 показаны распределения потенциала вдоль границ,
полученные тремя методами. При этом для получения решения мето-
дом конечных элементов требовалось втрое меньше машинного вре-
мени, чем при использовании симметричного ПМГЭ. Этот факт обус-
ловлен в основном двумя обстоятельствами: 1) симметричный вариант
метода в два раза дороже (в вычислительном отношении) несим-
метричного и 2) для областей подобной формы представляются
предпочтительными схемы дискретизации самой области, а не ее
границы.
(б) Дифракция волн на цилиндрической опоре с пористой за-
щитной стенкой 18]. Схема дискретизации для данной задачи пока-
зана на рис. 14.5. Область между цилиндрической опорой'и порис-
той защитной стенкой, а также некоторая ее наружная окрестность
моделировались МКЭ; в остальной части внешней области использо-
вался симметричный ПМГЭ. Сама пористая стенка моделировалась
шестиузловым конечным элементом, учитывающим условия проте-
кания через стенку, а именно дц/дп = К(<р2 — <Pi), где <pi и <р2 —
потенциалы скорости соответственно с внутренней и наружной
Рис. 14.6. Силы, дейст-
вующие на опору с за-
щитной стенкой.
14**
404
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
Рис. 14.7. Эквипотенциали в окрестнос-
ти квадратного проводника, параллель-.
ного брусу из диэлектрика с относи-
тельной диэлектрической проницаемос-
тью, равной 6.
г>
стороны пористой поверхно-
сти. Силы воздействия волн
на опору и пористую стенку
приведены на рис. 14.6 для
различных значений приве-
денного коэффициента прони-
цаемости Р/Ркр.
(в) Экранирование квад-
ратного проводника брусом
из диэлектрика 111. В работе
[11 предлагалось объединить
НМГЭ и МКЭ для моделиро-
вания внешней области этой
задачи. На рис. 14.7 показа-
ны эквипотенциали электри-
ческого поля заряженного квадратного металлического проводни-
ка, помещенного вблизи параллельного ему прямоугольного бруса
из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью >
равной 6. В области, ограниченной штриховыми линиями, исполь-
зовался МКЭ, а во внешней по отношению к ней области —га-
лёркинский вариант НМГЭ.
14.5. Примеры задач, решенных комбинированием метода
конечных разностей и МГЭ
(а) Задача о свайной конструкции в неоднородном упругом грун-
те [ 16, 171. В середине 60-х годов специалисты стали интересо-
ваться возможностью комбинирования метода внутренней дискре-
тизации областей с НМГЭ для решения задач о взаимодействии
грунта с сооружением. В самом деле, Методы граничных элементов
выглядят не слишком привлекательными для моделирования тон-
ких элементов конструкций, работающих на изгиб, тогда как мето-
ды внутренней дискретизации, наоборот, являются весьма непри-
влекательными для массивных трехмерных тел. Поэтому приме-
нительно к задачам указанного типа комбинирование этих двух под-
ходов было логически полностью оправданным.
На рис. 14.8 приведены решения для нескольких трехмерных
конструкций («кустов» свай, содержащих вертикальные и наклон-
ные сваи), помещенных в трехмерную среду (грунт) с линейно воз-
растающими по глубине модулями упругости, и численные резуль-
таты сопоставлены с данными, полученными в серии полномасштаб-
ных натурных испытаний. В данном случае конструкция из
свай моделировалась при помощи конечно-разностной схемы, а
массивное деформируемое твердое тело (грунт) — при помощи
НМГЭ. Приближенное решение [171 задачи о сосредоточенной силе
в неоднородном деформируемом теле строилось таким образом, что-
бы оно автоматически удовлетворяло граничным условиям на по-
14.5. Примеры задач, решенных комбинированием МКР и МГЭ 405
Номер опыта Схема Боковоя нагрузка при степени откло нения 1/4 боковое отклонение, обусловленное вераклс нагрузкой 20г но свою
Bud сверху Вид сбоку
Опыт Теория Опыт Теория
1 <4— 4.8 48 0.0 0.0
о И О О 00 О о ' |о о
ю
2 5.8 5.3 0.0 0.6'
о о о с о о о с ю
, 12 _
3 7.0 7.3 0.04 0.06
4 • ООО • о о с ю J-I 1 1
^_12 э 1 1
4 СП ООО • • • ООО [t 16 ^1 м— 7.1 6.8 0.06 0.08
”1 д
5 7.3 8.1 0;05 , '-0.-07
CD •.о о • о о J-1 1 4—
t 9 , 1
6 9.0 8.4 0.07 0.11
"1 • • о о • • о о * ю. //II 4—
_ 12 . //II
7 9.0 82 0.21 0.27
ю • • • • • • • • 1111 4—
12
8 15.8 11.7 0.0 0.0
UP • • • • ◄— //XX .4—
- 12 г //XX
Рис. 14.8. Сопоставления результатов расчетов и полномасштабных испыта-
ний (все размеры указаны в футах).
406
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
Рис. 14.9. Расположение волновых датчиков в заливе Keauhou Вау (Гавайи)
с примерным указанием соединяющих кабелей (все глубины даны в футах),
i
Рис. 14.10. Распределение коэффициента усиления воли, вычисленное с по-
мощью комбинированного алгоритма при 2nl!L = 0.2 (о) и 2nl/L = 0.4 (б).
14.5. Примеры задач, решенных комбинированием МКР и МГЭ • 407
Рис. 14.11. Сравнение замеренных и вычисленных спектральных энергети-
ческих характеристик воли 5(f) на станции № 3. При вычислении спектра
использовались данные измерений (входной спектр) на глубоководной стан-
ции № 16, находящейся в 3.5 км от гавани.
верхности земли, и поэтому дискретизацию необходимо было прово-
дить только на поверхностях контакта свай с грунтом.
(б)^(олебания в заливе (231. Ольсен и Хуан 123] изучали при-
ливные колебания в заливе, используя комбинированную конечно-
разностную схему, включающую МГЭ. Переменная по глубине об-
ласть залива моделировалась с помощью конечных разностей, а
внешняя по отношению к ней область (до бесконечности) — с ис-
пользованием вычислительной схемы МГЭ. На рис. 14.9 показан изу-
чавшийся ими залив, а на рис. 14.10 и 14.11—распределение
коэффициента усиления волн и волновой спектр соответственно.
(в) Задача упругогидродинамической теории смазки [38—40].
Решение задач упругогидродинамической теории смазки предпола-
гает решение уравнения Рейнольдса
— ( р Ж _|_ р Ж = 12н , (14.51)
дх \ дх ) ду \ ду ) дх
где р = ph3/r\, ц — коэффициент вязкости, h — толщина смазоч-
ного слоя, р — плотность, р—давление, и— гидродинамическая
скорость.
Давление р в уравнении (14.51) влияет на толщину смазочного
слоя h и коэффициент вязкости ц. Уравнение (14.51), очевидно, яв-
ляется сильно нелинейным; более того, упругая деформация облас-
ти контакта, которая может быть найдена МГЭ, также влияет на
толщину смазочного слоя h.
Данная задача была решена Снайдлом и другими [38—40] при
408
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
Рис. 14.12. Типичное ре-
шение задачи упругогид-
родинамической теории
смазки (прн контакте
сферы с полупростран-
ством).
помощи метода, объединяющего разностную аппроксимацию урав-
нения (14.51) с МГЭ, который использовался для вычисления упру-
гих деформаций твердого тела, возникающих под действием заранее
неизвестного распределения давления. Окончательное решение по-
лучалось путем чередующихся итераций МГЭ и решения конечно-
разностных уравнений. Было установлено, что уравнение (14.51)
удобно преобразовать к виду
V2 (рЛ’д) = ??2(рЛ3) —р//3у2<7 ф- 24т}оыЭ(рЛ)/дя (14.52)
относительно новой переменной q = (1/а)(1 —[ет^Р).
14.5. Примеры задач, решенных комбинированием МКР и МГЭ t 409
На рис. 14.12,а показано распределение давления по площадке
контакта между сферой и полупространством. Соответствующие
данные были таковы: гидродинамическая скорость и = 0.5 м/с,
нагрузка на сферу W — 120 Н, а = 10~8 м2/Н, радиус сферы R =
*= 0,0254 м, модуль Юнга Е = 10.80-1010 Н/м2 и т]0 = 0.52 Н-с/м2
Распределение давления приведено в виде безразмерных значений
р!р0, где рв — соответствующее максимальное герцевское давление
в случае контакта без смазки, а круг, показанный штриховой ли-
нией, отвечает герцевской площадке контакта при сухом трении.
На рис. 14.12,6 приведены контуры равной толщины смазочного
слоя hlh0, где/г0 — толщина слоя в центре площадки контакта.
t = 0,04, в = 3.2°
Рис. 14.13. Линии тока во
вращающейся системе коор-
динат в отдельные момен-
ты времени для колеблю-
щегося крыла Жуковского
относительной толщины
12%.
410 Гл. 14. Комбинирование МГЭ с дрдгими методами
(г) Обтекание колеблющегося крыла вязкой жидкостью (21].
Санкар и By [21] описали численный алгоритм решения данной
задачи, в котором для уравнения переноса завихренности исполь-
зовалась конечно-разностная схема, а для кинематического уравне-
ния завихренности — ПМГЭ [см. гл. 13, где объясняется также, по-
чему на самом деле нет необходимости в использовании конечно-
разностной схемы для уравнения переноса завихренности, так как
подобные задачи с начальными данными для параболического урав-
нения (уравнения диффузии) могут быть столь же успешно решены
МГЭ].
На рис. 14.13 показано решение задачи обтекания вязкой жид-
костью колеблющегося крыла Жуковского относительной толщины
12% в случае большой амплитуды и высокой частоты, а именно для
следующей зависимости мгновенного угла атаки а от времени:
а = 9° — 6° cos(6/).
Другие примеры гибридных решений, полученных комбинирова-
нием метода конечных разностей и МГЭ, можно найти в работах
[15—24], а комбинированием метода конечных элементов и МГЭ —
в работах [1—13].
14.6. Заключительные замечания
Мы надеемся, что в этой главе нам удалось показать, как можно
использовать главные достоинства различных численных методов,
чтобы построить оптимальный в некотором смысле алгоритм реше-
ния многих практических задач. Поэтому опытный специалист бу-
дет стремиться использовать наиболее выгодные черты каждого из
методов, а не превозносить безоговорочно достоинства какого-либо
одного из них.
14.7. Литература
[1] Silvester Р. Р., Hsieh М. S. Finite element solution of two-dimensional
exterior field problem. —Proc.IEE, 1971, v. 118, No. 12, p. 1743—1747.
[2] Silvester P. P., Carpenter C. J., Wyatt E. A. Exterior finite elements for
two-dimensional field problems, with open boundaries. —Proc. IEE, 1977,
v. 124, No. 12, p. 1267—1270.
(3] Lean M. H., Friedman M., Wexler A., Advances in application of the boun-
dary element method in electrical engineering. — In: Developments in
boundary element methods. Ed. by P. K- Banerjee, R. Butterfield. Ch.
IX. — London: Applied Science Publishers, 1979.
]4] McDonald В. H., Wexler A. Finite element solution of unbounded field
problems. — IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1972,
v. MTT-20, No. 12, p. 841—847.
[5] Zienkiewicz О. C., Kelly D. W., Bettess P. The coupling of the finite ele-
ment method and boundary solution procedure. — Int. J. Num. Meth, in
Engng, 1977, v. 11, No. 12, p. 355—-375.
[6] Kelly D. W., Mustoe G. G. W., Zienkiewicz О. C. On hierarchical order
for trial functions based on the satisfaction of the governing equations. —
In: Proc. Int. Symp. on Rec. Adv. in Boundary Element Methods, Sout-
hampton Univ., 1978.
(7] Mustoe G. G. W. Coupling of boundary solution procedures and finite
14.7. Литература
411
elements for continuum problems. — Ph. D. thes. — Univ, of Wales, Uni-
versity College, Swansea, 1979.
[8] Kelly D. W., Mustoe G. G. W., Zienkiewicz О. C. Coupling of boundary
element methods with other numerical methods. — In: Developments in
boundary element methods. Ed. byP. K. Banerjee, R. Butterfield. Ch.X.—
London: Applied Science Publishers, 1979.
[9] Shaw R. P., Falby W. FE-B1E combination of the finite element and boun-
dary integral method. — J. Computers and Fluids, 1978, v. 6, p. 153—160.
[10] Cruse T. A., Wilson R. B. Advanced application of boundary integral equa-
tion methods. — Nucl. Engng Des., 1978, v. 46, p. 223 —234.
[11] Cruse T. A. .OsiasJ. R., Wilson R. B. Boundary integral equation method
for elastic fracture mechanics analysis. — Rep. AFOSR-TR-76-0878, Pratt
and Whitney Aircraft, Connecticut, 1976.
[12] Wilton D. R. Acoustic radiation and scattering from elastic structures.—
Int. J. Num. Meth, in Engng, 1978, v. 13, p. 123—138.
[13] Patel J. S. Radiation and scattering from an arbitrary elastic structure
using consistent fluid structure formulation. —Computers and Structures,
1978, v. 9, p. 287—291.
[14] Banerjee P. K-, Butterfield R. The problem of pile-cap group interac-
tion. — Geotechnq., 1971, t. 21, No. 3, p. 135—142.
[15] Banerjee P. K., Driscoll R. M. C. Three-dimensional analysis of raked pile
groups. —Proc. Inst, of Civ. Engrs, Res. and Theory, 1976, v. 61,
p. 653—671.
16] Banerjee P. K., Davies T. G. Analysis of some reported case histories of
laterally loaded pile groups.— Int. Conf. Num. Meth, in Offshore Piling,
Inst, of Civil Engineers, London, 1979.
[17] Davies T. G. Linear and nonlinear analysis of pile groups.— Ph. D. thes.—
Univ, of Wales, University College, Cardiff, 1979.
[18] Wu J. C, Thompson J. F. Numerical solutions , of time-dependent incom-
pressible Navier—Stokes equations using an integro-differential formula-
tion. — Computers and Fluids, 1973, v. 1, p. 197—215.
[19] Wu J. C. Numerical boundary conditions for viscous flow problems. —
AIAA J., 1976, v. 14, No. 8,-p. 1042—1049. [Имеется перевод: Ракетная
техника и космонавтика. —М.: Мир, 1976, т. 14, № 8.]
[20] Wu J. С., Sugavanam A. Method of numerical solution of turbulent flow
problems. —AIAA J., 1978, v. 16, p. 948—955. [Имеется перевод: Ра-
кетная техника и космонавтика. —М.: Мир, 1978, т. 16, № 9.]
[21] Sankar N. L., Wu J. С. Viscous flow around oscillating airfoil — a nume-
rical study. — AIAA Eleventh Fluid and Plasma Dynamics Conf. Seattle,
Washington, 1978.
[22] Coulmy G., Luu T. S. Solution of the Navier — Stokes equation for an
incompressible flow by an integro-differential method (на французском). —
In: Proc. Int. Symp. on Innovative Num. Analysis in Appl. Engng Sci.,
Versailles, France, 1977.
[23] Olsen K., Hwang L. S., Oscillations in a bay of arbitrary shape and vari-
able depth. —J. Geophys. Res., 1971, v. 76, No. 21, p. 5048—5064.
[24] Cermak I. A., Silvester P. P. Solution of two-dimensional field problems
by boundary relaxation. — Proc. IEEE, 1968, v. 155, No. 9, p. 1341 —
1348.
[25] Poggio A. T., Miller E. K- Integral equation solutions of three-dimensio-
nal scattering problems. — In: Computers in Electromagnetics. Ed. by
R. Mittra. Ch. III. — Oxford: Pergamon Press, 1973.
[26] Fried I. Finite element analysis of problems formulated by an integral equ-
ation, application to potential flow. — Rep., University of Stuttgart,
October 1968.
[27] Collatz L. The numerical treatment of differential equations. — 3rd ed.—
Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1966.
[28] Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. —Изд.
2-е. —М.: Наука, 197_0.
412
Гл. 14. Комбинирование МГЭ с другими методами
[29] Ames W. F. Nonlinear partial differential equations in engineering. —
London: Academic Press, 1963.
[30] Silvester P., Hsieh M. S. Projective solution of integral equations arising
in electric and magnetic field problems. —J. Comp. Physics, 1971, v-8,
p. .73—82.
[31] Hassan M.A., Silvester P. Radiation and scattering by wire antenna struc-
tures near a rectangular plate reflector. — Proc. IEE, 1977, v. 124, No.
5, p.429—435.
[32] Gopinath A., Silvester P. Calculation of inductance of finite length strips
and its variation with frequency. —IEEE Trans, on Microwave Theory
and Techniques, 1973, v. MTT-21, No. 6, p. 380—386.
[33] Jeng G., Wexler A. Isoparametric, finite element variational solution of
integral equations for threedimensional fields. — Int. J. Num. Meth, in
Engng, 1977, v. 11, p- 455—471.
[34] Jeng G., Wexler A. Self-adjoint variational formulation of problems ha-
ving a non-self adjoint operator. — IEEE Trans, on Microwave Iheory and
Techniques, 1978, v. MTT-26, p. 91—94.
[35] Tottenham H. The boundary element method for plates and shells. — In:
Developments in boundary element methods. Ed. by P. K. Banerjee, R.
Butterfield. Ch. VIII. — London: Applied Science Publishers, 1979.
[36] Jaswan M. A., Symm G. T. Integral equation methods in potential theory
and elastostatics. — London: Academic Press, 1977.
[37] Zienkiewicz О. C. The finite element method. — London: McGraw-Hill,
1977.
[38] Biswas S., Snidle R. W. Calculation of surface deformation in point con-
tact elastohydrodynamics. —J. Lubrication Technol.; 1977, v. 99, p. 313.
[39] Evans H. P., Snidle R. W. Towards a refined solution of the isothermal
point contact elasto-hydrodynamics problem. — Rep. No. 409, Meeh. Eng.
Dept., Univ, of Wales, University College, Cardiff; presented at the Int.
Conf.of Fundamentals of Tribology, MIT, Cambridge, 1978.
[40] Snidle R. W. — Частное сообщение, 1979. -
Глава 15
РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ГРАНИЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ НА ЭВМ
15.1. Введение
Независимо от того, сколь мощным или элегантным является
численный метод, его потенциальные возможности могут быть реа-
лизованы полностью только в том случае, когда он хорошо запро-
граммирован. В этом отношении МГЭ, по-видимому, требуют не-
сколько больших усилий от программиста и меньших от будущего
пользователя, чем методы конечных элементов.-Программы первого
поколения МГЭ были не очень эффективными потому, что занимаю-
щиеся их составлением специалисты относились к ним главным об-
разом лишь как к промежуточным этапам процесса исследования
самих методов. За последние годы ситуация несколько изменилась,
и результатом оригинальных исследований, выполненных в этой
области, явилось создание так называемых машинных программ
второго поколения, таких, как BASQUE [1—41, BINTEQ [51,
PESTIE [6], PGROUP [7—10] и других. Нет сомнения в том, что
дальнейшее развитие МГЭ в течение ближайшего десятилетия при-
ведет к появлению программ, сопоставимых с такими хорошо извест-
• ными пакетами программ МКЭ, как NASTRAN, ASKA, MARC и т. д.
В данной главе мы кратко коснемся основных принципов состав-
ления простейших программ МГЭ; овладев ими, читатель, обладаю-
щий достаточным опытом программирования, сможет перейти к
разработке своих собственных вычислительных программ.
15.2. Структура программы МГЭ
-Для всех случаев использования МГЭ основная логическая по-
следовательность действий складывается из следующих шагов.
1. Формирование входных данных, определяемых геометрией
поверхностных элементов.
2. Интегрирование произведений ядер на базисные функции
для получения матриц систем линейных алгебраических уравнений.
3. Составление уравнений для'каждой из подобластей.
4. Решение системы уравнений относительно неизвестных гра-
ничных значений.
5. Подстановка граничных значений в соответствующие интег-
ралы, определяющие решение-во внутренних точках, для вычисле-
ния значений неизвестных функций во внутренних точках области.
414
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
При этом задача разработки программы МГЭ облегчается, если
ее модульная структура выбирается в соответствии с указанными
выше основными этапами построения решения.
15.3. Задание и формирование входных данных
Границы могут быть представлены линейными элементами в дву-
мерном случае и поверхностными элементами в трехмерном, опре-
деленными координатами своих узлов и некоторым заданным харак-
тером изменения геометрии поверхности. Необходимо также ввести
глобальную нумерацию элементов и узлов таким образом, чтобы по
ней можно было указать положение каждого поверхностного эле-
мента и его связь (через общие узлы) с прилегающими к нему сосед-
ними элементами. Номера узлов для каждого элемента должны
быть заданы в соответствии с направлением обхода узлов либо по
часовой стрелке, либо против нее, если смотреть в направлении век-
тора внешней по отношению к данному элементу нормали. Так, для
плоского треугольного элемента, определенного тремя узлами (рис.
15.1, а), имеем
Номер элемента Номера узлов . #
2 2 4 3
3 3 4 5
и т. д.
Таблица показывает, что элементы с номерами 2 и 3 связаны по-
средством общих узлов 3 и 4, и, следовательно, после выполнения
интегрирования по этим элементам коэффициенты, отвечающие зна-
чениям функции в указанных узлах, суммируются в процессе фор-
мирования матрицы системы линейных уравнений. Это означает, что
каждому узлу соответствует лишь одно неизвестное значение (т. е.
15.4. Интегрирование произведений
415
распределения функций по узлам являются «гладкими»). Разрыв-
ность либо геометрии, либо самих функций может быть учтена вве-
дением различных номеров у совпадающих узлов. Например, введе-
ние узлов, занумерованных цифрами 5, 6 и 7 для элемента 3, озна-
чает, что значения функций в узлах 3 и 4 отличны от их значений со-
ответственно в узлах 5 и 6, несмотря на то что глобальные коорди-
наты xt узлов 3 и 5, а также 4 и 6 совпадают (рис. 15.1,6).
При введении нумерации узлов желательно, чтобы максималь-
ная разность их номеров для каждого элемента была минимальной.
Это улучшает обусловленность матрицы линейной системы, так как
большие коэффициенты оказываются ближе к главной диагонали.
Матрица глобальных граничных условий должна быть определе-
на для каждого узла на поверхности так, чтобы легко было постро-
ить указатель типа граничных условий для поверхностных узлов.
Аналогичная матрица необходима также для задания значений
функций в узлах, расположенных на внутренней границе между дву-
мя областями.
Хорошая программа должна, кроме того, обеспечивать возмож-
ность оценки качества исходных данных, с тем чтобы вычисления
начинались только в случае правильного их задания.
15.4. Интегрирование произведений ядер
на базисные функции
15.4.1. Введение
Для того чтобы сформировать матрицу линейной системы, не-
обходимо вычислить интегралы, входящие в дискретизированные
граничные интегральные уравнения (здесь для удобства считается,
что'объемные силы отсутствуют), т. е. для МГЭ имеем систему
N п
^(Bs)«i(B₽0)= 2(J{go.[x(7j), ед 2 ^fth)/h) ад} *\-
— f {Fu
AS,
(vj)J(7j)dS(7j)}l/*),
(15.1)
где N — общее число граничных элементов, an — общее число уз-
лов в q-м граничном элементе. Для непрямого метода аналогичная
дискретизированная система уравнений имеет вид
N п
<жо) = 2( f {Gfy [ ^]2 (15.2а)
А = Ра (4)<₽j +
N n
+ 2( J 2ад^)ад}ч*).
<7=1 fe=l
(15.26)
416
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
В уравнениях (15.1) предполагается, что декартовы координаты
xt (или Ь в уравнениях (15.2) для непрямого метода) в произволь-
ной точке, принадлежащей q-му граничному элементу, выражаются
через декартовы координаты х* узлов (например, k — 1, 2, ..., п)
и базисные функции ЛГ*(т]):
= (15.3)
где базисные функции N6(i]) могут быть линейными (плоские эле-
менты), квадратичными, кубическими и т. д. (см. гл. 8).
Дифференцируя (15.3) по ц (в двумерном случае эта ось локаль-
ных координат направлена вдоль элемента), мы получим вектор,
касательный к элементу в точке tj:
st 01) — dxt/dq —(dNb('q)ld’t^ х%. (15.4)
. Якобиан J(r]) равен (dx i/dr])(dxi/dr\), а нормаль совпадает с од-
ним из векторов (s2, —Sj) или (—s2, в зависимости от того, с
какой стероны от элемента находится упругое тело.
Для поверхностного граничного элемента в трехмерном прост-
ранстве мы можем аналогичным образом ввести оси локальной сис-
темы координат T)j(/ = 1, 2) и, дифференцируя (15.3) по т);, полу-
чить векторы, касательные к координатным линиям:
Stfa) = = (дМ'М/д'ъ) а£. (15.5)
Вектор нормали к поверхности элемента в точке ц может быть
найден путем построения векторного произведения двух векторов с
координатами (15.5); модуль полученного таким образом вектора
будет совпадать с якобианом. Зная якобиан /(т;) и нормаль п г(т]), мы
можем приступить к интегрированию выражений, стоящих в фи-
гурных скобках в соотношениях (15.1) и (15.2).
15.4.2. Вычисление несингулярных интегралов
Когда точка наблюдения £о в подынтегральном выражении в
(15.1) не совпадает с узлом k, произведение ядра на базисную
функцию и якобиан остается ограниченным и, следовательно, может
быть проинтегрировано численно с помощью обычных гауссовских
квадратурных формул с единичной весовой функцией, а именно
формул
. (15.6а)
О /у г=1 .
1 1 fmiYm,
f f У E ls) (15.66)
—1 —1 i=l 7=1
15.4. Интегрирование произведений
417
для линейной и поверхностной областей интегрирования соответст-
венно. Детальное описание подобных квадратурных формул можно
найти в приложении В. Ясно, что перед их использованием для вы-
числения интегралов от произведений ядер на базисные функции
соответствующие граничные элементы необходимо преобразовать в
канонические с единичными пределами интегрирования.
Поскольку на вычисление несингулярных интегралов тратится
значительная часть машинного времени,эта процедура должна быть
. по возможности оптимизирована. Последнее может быть достигнуто
(как сделали, например, Лаша и Уотсон [1—4] в программе для трех- [
мерной задачи теории упругости) путем задания максимальной /
верхней границы погрешности численного интегрирования. По- / И
просту говоря, это означает, что порядок квадратурных формул дол- j
жен меняться в зависимости от отношения расстояния между «на- '
груженным» граничным элементом и точкой наблюдения к харак*"
терному размеру «нагруженного» элемента, а также от того, на-
- сколько сильной является особенность.
Подробное обсуждение приближенных формул, предложенных
для определения необходимого порядка квадратурных формул ин-
тегрирования, содержится в работах Лаша и Уотсона [1—4, П]
и Мусто [121; Уотсон [1 Г] рассматривает дополнительно схемы интег-
рирования по бесконечным граничным элементам (см. также гл. 8).
15.4.3. Вычисление сингулярных интегралов
Если точка наблюдения go (или х? в подынтегральном выраже-
нии (15.2)) совпадает с узлом k, то описанная выше схема интегриро-
* вания не может быть использована.
В двумерном случае интеграл от Gi} может быть разбит на две
части — сингулярную и несингулярную:
J [GtiN* WWidS t* = Л8г J [In г dS t* +
AS AS
+ J (15.7)
AS
где A — константа, а второй интеграл, содержащий G°f, несингу-
лярен и поэтому может быть вычислен так же, как это указывалось
выше. Первый интеграл, однако, имеет логарифмическую особен-
г ность и требует специального рассмотрения.
Сингулярный интеграл рассматриваемого в (15.7) вида может быть
вычислен при помощи квадратурной формулы, принадлежащей
' Строуду и Секресту [13] (см. приложение В):
1 m
j iog(i/g)f (^dg = (15.8)
о iS
418
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
и являющейся точной, если функция /(£)— полином степени .не
выше 2m — 1.
Для использования этой формулы каждый граничный элемент
разбивается на несколько подэлементов так, чтобы особая точка в
формуле (15.8) всегда находилась в начале координат 0.
К сожалению, сингулярные интегралы от функции Fi} не могут
быть вычислены подобным образом. Однако, замечая, что базисная
функция равна единице в особом узле (скажем, в узле 1), мы можем
записать для (15.26) выражение
f {F^v}dS<p; = j{F„(i-^)j}ds<p;- f (Fi}j)ds^..
AS AS AS
(15.9)
Здесь первый интеграл, являющийся несингулярным в силу того,
что 1 — N1 обращается в нуль в особой точке и подынтегральное
выражение ведет себя достаточно хорошо в окрестности этой точки,
может быть найден численно; второй же интеграл должен вычис-
ляться аналитически. Для плоских граничных элементов эти ин-
тегралы вычисляются просто. Для квадратичных и кубических, гра-
ничных элементов (т. еч искривленных граничных элементов) ука-
занный выше второй интеграл приходится разбивать на два, один
из которых отвечает интегрированию по плоскости, касательной к
элементу и проходящей^через особую точку, и может быть вычислен
аналитически, а другой — интегрированию по искривленной по-
верхности граничного элемента и может быть найден численно.
Добавляемое к полученным коэффициентам разрывное слагаемое
Ри приводит к диагональному преобладанию коэффициентов блоков
итоговой матрицы. Указанная выше процедура, безусловно, может
быть использована и для вычисления интегралов от Gf/.
Несмотря на то что весьма тщательно разработанная техника
описанная выше, может быть использована и в прямом методе, наи-
более элегантный путь вычисления вкладов от этих интегралов и
свободных членов Су состоит в рассмотрении смещений твердого тела
как единого целого (см. гл. 3 и 4, а также работы [1—5, 11, 12]).
Очень ясное изложение этой идеи применительно к вычислению
сингулярных составляющих интегралов по бесконечным граничным
элементам принадлежит Уотсону [11] (см. гл. 8).
В трехмерном случае дЛя вычисления интегралов от F^ можно
воспользоваться любым из описанных выше методов, т. е. либо соот-
ношениями типа (15.9), либо путем анализа смещений тела как аб-
солютно жесткого. Если при вычислении интегралов от Gi3 особая
точка совпадает с вершиной треугольного (вырожденного четырех-
угольного) элемента (рис. 15.2,а), то интегрирование может быть вы-
полнено по переменным тц и к]2. Заметим, что, так как линии T)t —
= 4-1 и т]2 = —1 сходятся в точке наблюдения, при приближении к
15.5. Формирование системы уравнений
419
Рис. 15.2. Подразделе-
ние элементов для инте-
грирования по гранич-
ным элементам.
6
этой точке произведение Gi}NJ стремится к конечному пределу, и,
следовательно, можно пользоваться формулой (15.66). Если точка
наблюдения находится в угловом узле прямоугольника или в сре-
динном узле на его боковой стороне (рис. 15.2,6), то элемент должен
быть подразделен на треугольные подэлементы и интегрирование по
каждому подэлементу должно проводиться в координатах, показан-
ных на рис. 15.2,а. Дальнейшие обсуждения этих схем интегрирова-
ния содержатся в работах [1, 11, 12, 14, 15].
15.5. Формирование системы уравнений
Так как граничные узлы могут принадлежать нескольким эле-
ментам, необходимо иметь матрицу связей элементов, содержащую
указатель узловых связей и позволяющую после интегрирования по
индивидуальным элементам суммировать коэффициенты, относящие-
ся к общим узлам; полученные таким образом коэффициенты затем
могут быть помещены в отведенные для них позиции в матрице систе-
мы для каждой области. Например, смещения в узле 1 на рис. 15.1,а
при использовании непрямого МГЭ могут быть записаны в виде
и = (а1^1 -|- Ь1^2 + сЧр3) 4~ (а2^2 4- Ь2^3 4- с2^>4) 4-
4- (а3<р3 4- Ь3«р4 4- с3ф5) 4- (а4ф4 4- Ь4ф5 4- с'Чр6), (15.10)
где ф'— неизвестный вектор ф в i-м узле, а а7, Ь7 и с7’ — подматри-
цы коэффициентов, полученных путем интегрирования по /-му эле-
менту. В силу наличия у элементов общих узлов мы можем восполь-
зоваться указателем, как это обсуждалось в § 15.3, и вместо (15.10)
непосредственно записать следующее соотношение:
420 Гл. 15. Реализация на ЭВМ
и1 = аЧр1 + (Ь1 + а2)<р2 + (с1 + Ь2 + as) <р8 4\(сг 4- Ь8 + а4)ср4 4-
+ (с8 + Ь4) <р5 + с4ф«. ‘ (15.11)
Подобный процесс составления уравнений предполагает непре
рывность,.ф^ааданногов-узлах, по поверхности элементов. 6п сов-
падает с хорошо известной процедурой в методах конечных элемен-
тов.
При наличии системы уравнений для каждой подобласти матрица
полной системы для многозонной области может быть построена
так, как это обсуждалось в гл. 3 и в работах [1,3, 4, 16, 17]..С точки
зрения эффективности программирования желательно объединить
такой процесс составления уравнений для многозонных областей с
алгоритмом решения получающихся при этом систем уравнений с
блочно-ленточными матрицами, как это обсуждалось Томлином [1(й.
Очевидно, что это требует определенного искусства от программиста.
15.6. Решение системы уравнений
До тех пор пока не используется какой-нибудь специальный при-
ем при проведении дискретизации (см. гл. 14), МГЭ приводит к не-
симметричной полностью заполненной матрице для единственной
области и несимметричной блочно-ленточной матрице системы для
многозонных областей. Лишь изредка время, требуемое для реше-
ния такой системы уравнений, превышает время, требуемое для фор-
мирования матриц системы.
Численное решение n-зонной задачи мы проиллюстрируем на
примере системы уравнений, записанной, как это обычно делается,
в блочном виде (см. гл. 3), где каждая строка блоков отвечает от-
дельной зоне. Данная матрица является более плотно заполненной,
чем это обычно требуется для применения итерационных методов;
кроме того, хотя все ее диагональные элементы больше остальных
в каждой строке, она не обязательно имеет диагональное преоблада-
ние, и поэтому сходимость итераций не может быть гарантирована.
Такую систему уравнений, следовательно, лучше всего решать ме-
тодом непосредственного исключения.
Для фиксированного числа уравнений требуемые вычислитель-
ные затраты тем меньше, чем меньше ширина ленты, независимо от
того, имеют ли уравнения блочно-ленточную структуру. Минимуму
ширины ленты блочной матрицы коэффициентов уравнения (15.12)
(см. с. 421) отвечает упорядочение зон таким образом, чтобы макси-
мальная разность между порядковыми номерами любых двух сосед-
них зон была минимальной. Этот факт используется в методе ко-
нечных элементов при выборе схемы упорядочения элементов.
В матрице уравнения (15.12) эта максимальная разность номеров
соседних зон равна q.
Эффективная процедура решения системы уравнений (15.12
с блочно-ленточной матрицей была разработана Томлином [ 161
15-.6. Решение
421
Он получил решения ряда многозонных задач с помощью НМГЭ;
при этом использовалась процедура, основанная на гауссовском
методе исключения и аналогичная известному приему, применяемо-
му для решения систем с ленточными матрицами,— треугольному
разложению матрицы; ее главное отличие состояло в том, чтовмес-
то умножения и перестановки отдельных стрЪк элементов операции
умножения и перестановки выполнялись сразу над строками бло-
ков (матрицами). Сравнение этой процедуры с обычной техникой ре-
шения ленточных систем приводит к следующим выводам.
1. Блочная форма матрицы коэффициентов обладает тем преиму-
ществом, что позволяет избежать бесполезных затрат памяти на
хранение нулевых элементов, которые неизбежно возникают при
использовании обычной поэлементной записи ленточных матриц.
' 2. Соответствие между реальными и программными переменными
является более удобным; действительно, при этом сохраняется иден-
тификация положения каждой строки внутри блока, тогда как в
противном случае она должна быть видоизменена таким образом,
чтобы указать ее положение относительно полной матрицы.
3. Поскольку на каждой стадии в операциях участвуют лишь \
четыре блока, а остальные блоки хранятся в основной памяти, до- '
стигается существенная экономия требуемой оперативной памяти.
На рис. 15.3 приведен алгоритм решения системы уравнений
(15.12) в виде последовательности операций над матрицами (обра-
щений, перемножений и т. д.) [16]. Так же как и в других методах
решения линейных систем, основанных на треугольном разложении,
здесь предусмотрена возможность решения системы для нескольких
векторов правых частей и при этом разложение матрицы выполни-
422
Гл. 15. Реализация на рВМ
Каждое из приведенных ниже соотношений означает, что после выполнения
операций над матрицами, стоящими справа от знака равенства, результат
записывается иа место матрицы, стоящей в левой части; например, в первом
соотношении обращенная матрица Ая записывается на место матрицы Ап и
последующее обращение к Ап будет давать уже матрицу, обратную первона-
чальной матрице Ап. Некоторые дополнительные сведения можно найти в
предпоследнем абзаце этого параграфа.
------Циклов 30 Зля п'=п, л-1,...,1 < '
Ап.=А-‘,
---Цикл Оо 30 Зля q =1,2,..., q; n'-q'>l С
Un'- q'.q'~ ^n'-q', q'^ n’
U=30.A,
— Если q'*2, то цикл do 10 Эля q"=l,2,...,q'-l
^n'-q',q'-q" ~ ^n'-q'.q'-q" ^n'-q',q' ^n'-q"q"
— Если q'tq-l,mo цикл Bo 20 для q"=q'+l,q'+2,...,q: n-q"» 1
20- ^n’-q" q"-q'~ ’-q",q"-q' ^n'-q'.q'^n'-q".q"
— Для случаев, когда имеется лишь один вектор правых частей,
"^n'-q'~^n'-q* ^n'-q',q'^n'
~А — и I
n'-q' n'-q' ^n'-q^q' ^n'-q'qr
Треугольное разложение уже выполнено. Начинается обратная подстановка.
------Если имеется несколько векторов правых частей, то цикл до 80 Эля
каждого нового вектора в правой части. ~
-----Если имеется лишь один вектор правых частей, то переход к 50 и
однократное выполнение цикла Во 80.
----Чикл Зо4О для гГ=п, л-1,..., 1
I— Цикл За 40 для ц' =1.2....,q; л'+дЧ л
Lao d ,=d и, ,d , , 4
*- • п' n' n,q' n'+q'
4=50. Цикл do 70 Эля n'=l,2,...,n
।— Цикл do 60 для q'=q , q-1......
L60.dn,=dn,-Ln,_q,rdn^,
L70. dn,=An,dn-
—80. Массив {d1,dz.
,dn j7 теперь содержит вектор решения [Q ].
Рис. 15.3. Алгоритм решения линейной системы с блочно-ленточной матри-
цей.
ется лишь один раз. С использованием этой процедуры были получе-
ны решения МГЭ задач диффузии и упругопластичности (см. гл. 9 и
12).
Алгоритм, представленный на рис. 15.3, может быть применен к
любой невырожденной линейной блочно-ленточной системе, в кото-
рой все ленточные блоки полностью заполнены. Для рассмотренных
15.7. Вычисление решения во внутренних точках
423
здесь матриц коэффициентов блоки Ьи U являются разреженными
или равны нулю с самого начала процесса исключения, если зоны,
представленные матрицами А на главной диагонали, не имеют со-
седних. Ненулевые значения появляются в виде целых строк. За-
полненность матриц изменяется в процессе исключения, поэтому
значительное сокращение объема вычислений может быть достигну-
то путем выявления нулевых блоков и строк, с тем чтобы избежать
действий над ними.
Сходная техника обращения с блочно-ленточными системами
уравнений, получающимися при использовании МГЭ, была развита
Лаша [1], Лаша и Уотсоном [31, Мусто [12], Дасом [18] и Девисом
[19].
15.7. Вычисление решения во внутренних точках
Напряжения и смещения в выбранных внутренних точках об-
ласти могут быть найдены из интегральных тождеств вида (15.1) и
(15.2), правые части которых определяются путем численного ин-
тегрирования. Стоимость вычисления таких интегралов для .внут-
ренних точек высока. Например, стоимость вычисления коэффици-
ентов системы для некоторого граничного узла при помощи соотно-
шения (15.1) почти совпадает с затратами на вычисление интегралов
для любой внутренней точки.
При использовании ПМГЭ более эффективным подчас оказыва-
ется искусственное разбиение исходной однородной области на не-
которое число подобластей, с тем чтобы получаемое решение систе-
мы уравнений сразу бы давало смещения и усилия в нужном числе
специальным образом выбранных внутренних точек. Лаша и Уот-
сон [2] с успехом использовали эту идею и получили решения ряда
трёхмерных задач с достаточно сложной геометрией. Напряжения в
точках поверхности могут быть вычислены с помощью следующих
соотношений [1, 20].
1. Для двумерных задач
«11 = П/(1-*')] {1£7(1 +*')>!! + v'M.
(15.13)
«22 = ^22» ®12= °21 ~ *1»
где бц и /1 — деформация и напряжение в тангенциальном направ-
лении соответственно; /2 — нормальное напряжение в точке грани-
цы; Е' = Е и / = v для случая плоской деформации; Е' = £(1—
— v'2), / = v/(l + v) для плоского напряженного состояния.
2. Для трехмерных задач
Оц =[*/(1—*)] 4 + [£*/(1 — *а)1 (еп + М +
+ [£/(1+ v)]eu, (15.14а)
V ' * /
424
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
°12 —CT2i—{£/[2(1 + *)]) Е1г>
О22 = [V(l—*)]73 4- [Ev/(1—>2)] (Ёц -J- 7^) -j.
, _ (15.146)
+ [£/(1 + v)]e22, ’
°33 ~ ^3» ®32 = ®23 ~ tv ®31 ~ °13 ~ Ч-
Следует отметить, что величины, входящие в соотношения (15.13)
и (15.14), определены относительно локальных координат, связан-
ных с точкой, в которой требуется найти напряжения (рис. 15.4).
Компоненты деформации и напряжения в тангенциальном и нормаль-
ном направлениях, используемые в указанных выше соотношениях,
легко вычисляются по узловым значениям напряжений и смещений.
Рис. !5.4. Оси локальной системы координат, связанной с точкой А границы.
При’ применении непрямых методов соотношение (15.26) мо-
жет быть ^использовано дважды для вычисления компонент тензора
напряжений во внутренней точке xt [12]. Сначала при вычислении
ядра FtJ в качестве внешней нормали выбираем единичный век-
тор, направленный вдоль оси 1 глобальной системы координат, что
дает пг(х) — 8fl, и из (15.26) находим
Он (х) = Цх), &12 (х) = t^x).
(15.15)
Затем, выбирая пДх) = 6i2 (т. е. единичный вектор, направленный
вдоль оси 2 глобальной системы координат), получаем
°2i (х) = t^x), о22 (х)]= t2(x).
(15.16)
Очевидно, что о21 = <т12.
Часто оказывается предпочтительным сразу подразделить об-
ласть, ограниченную поверхностью сложной формы, на некоторое
число подобластей. Это не только повышает точность , (особенно
для НМГЭ), но и является выгодным в вычислительном отношении,
как это отмечалось ранее, особенно если требуется найти решение в
большом числе внутренних точек.
15.8. Программа ПМГЭ для задач теории упругости 425
15.8. Программа ПМГЭ для двумерных статических
задач теории упругости
Ниже приведены описание и распечатка программы ПМГЭ для
двумерных задач статики упругого тела. В программе предусмотре-
ны квадратичные изменения геометрии и функций и и t в пределах
каждого граничного элемента. Смещения на границах считаются не-
прерывными, у напряжений допустимы разрывы в угловых узлах.
15.8.1. Описание и распечатка программы^
Основная часть программы, которой присвоено название DBEM,
содержит подпрограммы GAUSS, INPUT, BELMAT, BISOLV и
BIPTS. Программа написана на стандартном варианте языка Форт-
ран и рассчитана на достаточно произвольную вычислительную сис-
тему. Ее единственная особенность, связанная с машиной, состоит
в использовании двух временных дисковых файлов с присвоенными
им логическими номерами NDISKA = 17 и NDISKB = 18. Две
соответствующие карты выбираются в зависимости от типа вычис-
лительной системы пользователя.
Входные данные считываются в основной программе DBEM и в
подпрограммах INPUT и BIPTS. В DBEM считывается информация,
относящаяся к номеру задачи и названию задания, а также целочис-
ленный массив JBUG, управляющий выдачей промежуточной ин-
формации. Эта информация может помочь новому пользователю по-
нять принципы работы программы. Подпрограмма INPUT считывает
данные, относящиеся к геометрии, граничным условиям и свойствам
среды. В ней происходит обращение к подпрограмме NODEXY ин-
терполяции координат узлов, совпадающих с серединами сторон
различных элементов, если это не было сделано пользователем.
Координаты внутренних точек, в которых должны быть вычислены
напряжения и смещения, считываются в подпрограмме BIPTS.
Подпрограмма BELMAT формирует координаты граничных уз-
лов для поточечной коллокации и вызывает подпрограмму INTAB,
в которой вычисляются матрицы F и G для каждой граничной точки
коллокации. Их элементы передаются затем в два последовательных
файла прямого доступа — NDISKA и NDISKB. В углах или в из-
вестных точках разрывностй нагрузок напряжения t считаются
разрывными. Подпрограмма INTAB строит локальную систему ко-
ординат на каждом граничном элементе, .вычисляет порядок квад-
ратурной формулы интегрирования и якобиан, а затем интегрирует
произведения ядер на базисные функции; в результате находятся
элементы матриц F и G для заданных граничных или внутренних
точек области.
>> Распечатка программы ПМГЭ (как и в оригинале) по техническим
причинам помещена после § 15.9; см. с. 431—449. — Прим. ред.
426
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
Подпрограмма BISOLV вызывает матрицы F и G (переменные
АМТ и ВМТ) назад в оперативную память и формирует окончатель-
ную систему уравнений для заданных граничных условий. Система
уравнений затем преобразуется (если это необходимо) для получе-
ния хорошо обусловленной матрицы, которая обращается для за-
данной правой части в подпрограмме SIME. Значения напряжений и
смещений на границах вычисляются и выводятся на печать.
Подпрограмма BIPTS вычисляет смещения во внутренних точ-
ках путем умножения матриц F и G (полученных в подпрограмме
INTAB) на и и t. Переменные JSING и XSI равны нулю, если точ-
ка наблюдения является внутренней точкой. Для граничной точки
JSING должна совпадать с номером граничного элемента, a XSI—
с локальной координатой точки наблюдения. Так, если точка наб-
людения находится в первом узле (в случае нумерации узлов при
обходе против часовой стрелки) граничного элемента 3,то JSING =
= 3 и XSI = 0; для срединного узла 3-го элемента имеем JSING=
~ 3, XSI = 0.5 и т. д.
В приводимой ниже программе прямого МГЭ не предусмотрено
вычисление напряжений во внутренних точках. Для того что^ы
реализовать такую возможность, необходимо составить новую под-
программу, скажем INTABS; она должна будет содержать операто-
ры подпрограммы INTAB, подлежащие выполнению при XSI=0 и
JSING = 0 с заменой в них ядер смещений и напряжений на ядра
напряжений Diik и Siik более высокого ранга. Подпрограмму
INTABS можно будет вызывать в подпрограмме BIPTS для вычис-
ления напряжений во внутренних точках.
Описание^, входных данных
(a) TITLE (1-8А4)
Название задачи.
(б) JBUG (I), I = 1 (8011)
Целочисленный массив, управляющий выдачей промежу-
точной информации. Его элементы принимают значения 0
илй 1 в зависимости от того, не требуется или требуется
выдача промежуточных результатов.
(в) NVFIX, NOTRBC, NTYPE, NOEQ (415)
NVFIX — общее число граничных узлов, в которых заданы
граничные условия для смещений,
NOTRBC — общее число граничных элементов, на кото-
рых заданы граничные условия для напряже-
ний,
NTYPE = 1 в случае плоской деформации и = 0 в случае
плоского напряженного состояния,
NOEQ = 1 при автоматическом выборе порядка гауссовс-
ких квадратурных формул и = 0 при фиксиро-
ванном значении порядка квадратурных формул.
(г) NBDATA (1, 3) (315)
15.8. Программа ПМГЭ для задач теории упругости 427
NBDATA(l.l)— число граничных узлов, используемых
для задания геометрии,
NBDATA(1,2) = 0 для внутренней задачи и = 1 для внеш-
ней задачи,
NBDATA(1,3) — фактическое значение порядка гауссов-
ской квадратурной формулы (2, 4, 8 или
12), используемой повсюду.
Если NOEQ — 1, то программа оптимизирует пра-
вило интегрирования.
(д)1Р0Ш, COORD (IPOIN, IDIME) (15, 2F10.5)
Число узлов, их координаты х и у. Первый узел должен
находиться в нижнем левом углу, и нумерация узлов долж-
на возрастать при их обходе против часовой стрелки.
(е) NOFIX (IVFIX), IFPRE (IVFIX, IDOFN), PRESC (IVFIX,
IDOFN) (IX, 14, ЗХ, 211, 2F10.6)
NOFIX (IVFIX) — номер узла, в котором заданы гра-
ничные условия для смещения,
IFPRE (IVFIX,1) — 1, если задано смещение в направлении
оси х; в остальных случаях = О,
IFPRE (IVFIX, 2) = 1, если задано смещение в направ-
лении оси у, в остальных случаях = О,
PR ESC (IVFIX, 1) — заданное значение смещения, в на-
правлении оси х; остается неприсвоен-
ным в случае других граничных условий,
PRESC(IVFIX,2) —заданное значение смещения в направ-
лении оси у, остается неприсвоенным в
случае других граничных условий.
(ж) NUMAT, PROPS (NUMAT, IPROP) (15, 2F 10.5)
NUMAT — номер материала = 1,
PROPS(1,1) — модуль Юнга,
PROPS(1,2) — коэффициент Пуассона.
(з) NSEG, NTRKBC (1, NSEG), (TRX(I), TRY(I), I = 1,3) (15, 4Х,
11, 6F10.4)
NSEG — номер граничного элемента,
NTRK.BC (l.NSEG) = 1, если задано только tx,
= 2, если задано только ty,
= 3, если заданы одновременно txii ty,
TRX(I), TRY(I) — значения tx и ty соответственно в ло-
кальном узле с номером I фиксирован-
ного граничного элемента (1 = 1 для
левого узла, 1 = 2 для узла на середи-
не стороны и I = 3 для правого узла
в случае нумерации узлов при их об-
ходе против часовой стрелки).
(и) NOINPT (15)
Число внутренних узлов, в которых требуется знать реше-
ние.
428
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
(к) JSING, XIN, YIN, XSI (15, 3F10.3)
JSING = 0 для внутренних точек и совпадает с номером
граничного элемента для точек границы,
XSI = 0 для внутренних точек и совпадает с локальной
координатой точки границы (например, для левой
конечной точки XSI = 0, для средней точки XSI =
= 0.5 и для правой конечной точки XSI = 1.0).
Ограничения на задаваемые величины
(а) Одна граница охватывает одну область.
(б) Максимальное число граничных элементов равно 30.
(в) Максимальное число неизвестных граничных смещений и напря-
_ жений равно 120 (что соответствует 60 граничным узлам).
(г) Граничные условия только для смещения не могут быть заданы
лишь на двух граничных элементах, которые имеют общий узел,
являющийся угловой точкой (см. гл. 7).
15.8.2. Модельная задача, входные данные
и выдача результатов
При помощи данной программы была решена задача о консоли,
изображенной на рис. 15.5. На рис. 15.6 показаны узлы, значения
смещений и граничных напряжений в которых были напечатаны при
пробной выдаче.
Рис. 15.5. Дискретизация при применении метода граиичнйх элементов к
задаче о консоли.
15.9. Программа НМГЭ для двумерных статических задач
теории упругости
Простейшая программа НМГЭ для двумерных задач статики уп-
ругого тела также приводится вместе с описанием входных данных.
В программе реализуются квадратичные изменения геометрии и
15.9. Программа НМГЭ для задач теории упругости
429
Узлы,0ля которых печатаются напряжения
Рис. 15.6. Нумерация граничных узлов для смещений и напряжений при
пробной выдаче результатов.
фиктивных воздействий в пределах каждого граничного элемен-
та. Вообще говоря, <ру- считаются непрерывными в^оль границ эле-
ментов везде, за исключением участков нарушения гладкости гра-
ниц, таких, как угловые точки и концы трещин, а также мест, где
приложенные нагрузки претерпевают разрыв.
15.9.1. Описание и распечатка программы^
Основной части программы присвоено название IBEM. Общая
структура программы, а также названия и функции ее различных
подпрограмм такие же, как и в программе DBEM, описанной в разд.
15.8.2. Поскольку подпрограммы IBEM, NODEXY, INTAB, SIME
и GAUSS частично или полностью совпадают с имеющимися в опи-
санной выше программе DBEM, оии здесь опущены, и потому поль-
зователь должен отдублировать соответствующие части программы
DBEM и поместить их в указанные для них места.
Описание входных данных
Назначения карт, перечисленных в (а) и (б), точно такие же, как и
в программе DBEM.
(в) NVFIX, NTYPE, NOEQ (315)
NVFIX — общее число граничных узлов, в которых зада-
ны граничные условия,
NTYPE = 1 в случае плоской деформации и = 0 в слу-
чае плоского напряженного состояния,
NOEQ = 1 при автоматическом выборе порядка квадра-
турных формул и = 0 при фиксированном по-
рядке квадратурных формул (а именно 2, 4, 8
или 12).
О Распечатка программы НМГЭ приведена на с. 449—458 (см. примеча-
ние на с. 425).— Прим. ред.
430
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
Назначение карты (г) такое жр, как и в DBEM.
(д) INTYPE (1, ISEG) (1615)
Для каждого граничного элемента (ISEG изменяется от 1
до NSEG, где NSEG — общее число, граничных элементов)
INTYPE принимает значения 1 или 0 в зависимости от
того, совпадает или нет конец граничного элемента с угло-
вой точкой или точкой разрыва нагрузки. Элементы долж-
ны быть пронумерованы в порядке возрастания номеров
при их обходе в направлении против часовой стрелки, начи-
ная с элемента в нижнем левом углу.
Назначение карты (е) совпадает с назначением карты (д) программы
DBEM.
(ж) NOFIX (IVFIX), IFPRE (IVFIX, IDOFN), PRESC (IVFIX,
IDOFN)(IX, 14, 3X, 211, 2F10.6)
Для каждого граничного узла, в котором заданы гранич-
ные условия (IVFIX меняется от 1 до NVFIX): NOFIX
(IVFIX) — номер узла, a IFPRE (IVFIX, 1) и IFPRE
(IVFIX, 2) — индексы, указывающие, какие из составляю-
щих вдоль осей х и у заданы в граничных условиях. Ин-
декс IFPRE = 1 отвечает заданию граничных условий
для смещений, a IFPRE = 2 — заданию граничных ус-
ловий для напряжений. PRESC (IVFIX, 1) и PRESC
(IVFIX,2) — заданные значения смещений и напряжений
в направлениях осей х и у соответственно.
Назначение карты (з) совпадает с назначением карты (ж) программы
DBEM.
Карта (и) такая же, как и в DBEM.
(к) JSING, XIN, YIN, XNP, YNP, XSI (15, 5F10.3)
См. пояснения к переменным с теми же названиями для
карты (к) программы DBEM.
XIN, YIN — координаты х и у точки,
XNP, YNP = 1 или 0 соответственно, если требуется вычис-
лить ои и о12, и
= 0 или 1 соответственно, если требуется вы-
числить О22 и О21.
Ограничения на задаваемые величины
(а) Одна граница охватывает одну область,
(б) Максимальное число граничных элементов примерно равно 25.
(в) Максимальное число узлов, в которых могут быть заданы гра-
ничные условия, равно 60.
Распечатка программы ПМГЭ
431
00000100 PROGRAM DBEM
00000200 DIMENSION TITLE(12>
00000300 COMMON/DBUG/JBUGCBO)
00000400 C0MM0N/GSPWT/GSP(3>,GSPW(3>
00000500 CONHOH/SOLV/RLHS(120<121),UF1X(120>ITFIX(120>,NUFIX(120),
00000600 .NTFIXd20>,NUPOS(120>.NTPOS(120),RHS(120>.BCBARC120>
00000700 COHMON/CONTRO/NP01N.NNOOE,NDOFN,NTVPE.NGAUS.NPROP,NMATS,NVFIX
00000800 9^NPROB.NTCOMP.NCALCD
00000900 COMHON/LGDATA/COOR0(6O,2>>PROPS(1,5>.NOFIx(6O>.IFPRE(60,2>.
00001000 • MATNOd).PRESC(60.2) '
00001100 COHMON/BMATS/NBDATA(1,4).LNODBI(1.60I.NBIREG,TRXBCd ,90) ,TRYBC
00001200 .(1,90).XCRDBI(61>,YCRDBI<61I.BIDIS1120),TRACT(180),
00001300 •NTRKBCC1,30),CNRT0L,INTYPC1.61)
00001400 C0HM0N/HATC0N/RNU,C0NS1,C0NS2,C0NS4,6MAX,NGPaNGGP.GP(12,12>
00001500 . ,GPW(12,12) 1 SUPS.NBB, NBfiM, C0NS3.IIAXSZ• NB62.NBB2P
00001600 . ,NCOHP,NCLPT,RMAXL,NUN1T,NOEQ.GLP(12•12),GLPW(12,12)
00001700 COMMON /LDISK/ NDISKA,NDISKB
00001800 NOISKA«17
' 00001900 NOISKB*18
00002000 MAXSZ*120
00002100 call gauss
00002200 NPr0B«1
00002300 WRITEC6.905) NPROB
00002400 DO 20 IPR0B*1.NPROB
00002500 REWIND NDISKA
00002600 REWIND NDISKB
00002700 READ(5,910> TITLE
00002800 WRITE(6,915> IPROB.TITLE
0002900 READCS,901)(JBUG(I),1*1,80)
00003000 WRITE(6,901)(JBUG(I),1*1,80>
оооозюо CALL INPUT
00003200 CALL BELMAT(1,1)
00003300 CALL BISOLV
00003400 call BIPTS
00003500 20 CONTINUE
00003600 900 FORMAT(1615)
00003700 905 F0RMAT(1ND,5X,23HT0TAL NO. of PROBLEMS = ,I5)
00003800 910 FORMAT(18A4)
00003900 . 915 FORMATC/////.6X,12HPR00lEm NO. , 13,10X.18AO
00004000 901 FORMATC80I1)
00004100 STOP
00004200 END
00004300 SUBROUTINE INPUT
00004400 DIMENSION TRX(3),STR(3),TRV(3)
00004500 С ***IHCLUDE COMMON BLOCKS *******
00004600 С ** * MATCON CONTRO LGDATA BMATS ****
00005500 REAO(5,900) NVFIX.NOTRBC.HTTPE.NOEQ
00005600 NUMBI«1
00005700 NELEM*1
00005800 NOOFNs?
00005900 NMATsI
00006000 NPR0P»2
00006100 NDIME=2
00006200 WRITE<6,905) NVFIX.NOTRBC.NTVPE.NOEa
00006300 READC5.900) (NBDATA(NUHBI.J).J=1.3)
00006400 WRITE(6,900)(NBDATA(NUMBI,J).J*1.3)
00006500 NBB = NBDATA(NUMBI, 1 )
00006600 NPOIN=NBB
00006700 NBBM«NBB
00006800 CNRT0L=0.0
OF quadratic segs.••••«.......
00007000 NBBQ=NBBM/2
00007100 MATNOd ) = 1
00007200 DO 10 1=1,NBB
00007300 10 LNODBI (NUMBI,D = I
00007400 CSET UP DEFAULT PARAMETERS
00007500 IF((CNRTOL-1.0E-06).LT.O.O) cnrtol=3o.o
00007600 NREG=NUMBI
00007700 NOdPT=NPOIN
432
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
00007800
00007900
00008000
00008100
00008200
ООООВЗОО
00008400
00008500
00008600
00008700
00008800
00008900
00009000
00009100
00009200
00009300
00009400
00009500
00009600
00009700
00009800
00009900
00010000
00010100
00010200
00010300
00010400
00010500
00010600
00010700
00010800
00010900
00011000
00011100
00011200
00011300
00011400
00011500
00011600
00011700
00011800
00011900
00012000
00012100
00012200
00012300
00012400
00012500
00012600
00012700
00012800
00012900
00013000
00013100
00013200
00013300
00013400
00013500
00013600
00013700
00014300
00014400
00014500
00014600
00014700
00014800
00014900
00015000
00015100
00 20 IP0IN«1,HP0IN
00 20 IDIME=1.ND1HE
20 COORD!IPOIN,I0IHE>«0.0
C*** READ SOME NODAL COORDINATES, FINISHING WITH THE LAST NODE OF ALL
WRITEC6.920)
WRITET6.925)
30 REACTS.9301 IPOIN,TCOORD!IPOIN.I DIME).10IHE*1.NDIHE)
iftipoin.ne.npoin) go to 30
C*** INTERPOLATE COORDINATES OF H1D-S1DE NODES
call nodexy
40 CONTINUE
DO SO IPOIN>1,NPOIN
50 WRTTET6.935) IPOIN,(COORDTIPOIN,IDIME),IDIHE*1.ND1HE)
C*** READ THE FIXED VALUES.
WR1TET6.940I
WRTTE(6,945)
DO 60 IVFIX«1,NVFIX
REACTS,950) NOFIX(IVFIX),(]FPpE(IVFIX,IDOFN),ID0FN=1, HDOFN1,
. (PRESC!IVFIX.ID0FN),ID0FN=1.ND0FN)
66 WRITE(6.950) NOFIXTIVFIX),IIFPRECIVFIX,IDOFN),ID0FN*1.HDOFN).
. TpRESCCtVFJX,IDOFN),1DOFN*1,NDOFN)
WRITET6.960)
WRITET6,965I
REACTS.9301 NUHAT,TPROPSTNUHAT,IPROP»,1PRO₽=1,NPROP>
WRITE<6,970) HUMAT.(PROPSTNUHAT,I PROP),IPR0P»1.hFROP)
C read traction d.c.
WRITET6,1020) NdlRBC
WRITET6.1040)
DO 120 IBC»1,NOTRBC
REACTS.1030) NSEG,HTRKBCT1,HSEG),(TRXTI)•TRY(I),IZ1,3)
DO 110 1*1,3
1P>3*TNSEG-1)*I
TRXBCTNREG,IP).TRX11)
110 t'rybctnreg.ipi.trttd
WRITET6.10311 NSEG,NTRKBC(1,NSEG),TTRX!I),TRY(I>,T *1 ,3)~
120 CONTINUE
. 903 F0RHATT4l5,Fl0.4l
900 F0RHATI6IS)
905 F0RHATT//8H NVFIX ».I4.4X,8H NOTRBC*,14,4X.8H HTYPE *,I4,
.4X.8H NOEO'I4,/7)
904 F0RHATT1615)
920 F0RMATT//2SH NODAL POINT COORDINATES)
925 F0RHATC6H N0DE,7X,1HX,9X,1NY)
930 FORMAT!IS,2F10.5)
935 FORMAT!1X,15,3F10.31
940 F0RMATC//17H RESTRAINED NODES)
945 F0RHATT5H N0DE.1X.4HC0DE,6X,12HFIXED VALUFS)
950 FO'RHATTI X, 14,3X,211,2F10.6)
960 F0RMATT//21H MATERIAL PROPERTIES)
965 F0RMATT8H NUMBER,7X,11H PROPERTIES)
1020 FORMATTER,'NUMBER OF TRACTION B.CS a ’.151'
1040 F0RMATT6X,' TRACI ION BOUNDARY CONDITIONS')
1030 FORMAT! IS, 4.X, II .6F10.4) „
1031 F0RHATT1X,15,4X,Il.6F10.4)
$70 F0RNATT1X,I5,7X,5E14.6>
RETURN
______END_____________________________________
SUBROUTINE NODEXY
C *** INCLUDE COMMON BLOCKS *****
C *** OH ATS LGDATA CONTRO ****
IELB!*O
NBIR=1
DO 30 IELEH=1,NBIR
22 IELBI*IELBI*1
NODB1.NBDATA<IELBt,1)
DO 26 IN-1.NODBI.2
NST=LNODBITIELBI•IN)
INP«IN*2
IF(INP.CI.NOOBI) INP*1 c
Распечатка программы ПМГЭ
433
00015200 00015300 00015400 00015500 00015600 00015700 00015800 00015900 00016000 00016100 00016200 NFN=LN0PBI(IЕLB 1,INPI NHID=LNODBI(1ELBI,IN*T » TOT*ABS(COORDCNMID,11>*АВ$(COOROCHHID»2)) IFITOT.GT.O.O) GO TO 25 COORd(NMIDi1>=0.5*(COORD(NST«1>*COORD<NFN,1>> COORDCNMID.2>=0.5*(COORD(NST»2»*C00RD(NFH,2)I 25 CONTINUE 26 CONTINUE 30 CONTINUE RETURN END
00016300 00016400 00016500 00016600 00017700 00017800 00017900 00013000 00018100 00018200 00013300 00018400 00018500 00018600 00018700 00018800 0001В900 00019000 00019100 00019200 00019300 00019400 00019500 00019600 00019700 00019800 00019900 00020000 00020100 00020200 00020300 00020400 00020500 00020600 00020700 00020800 00020900 00021000 00021100 00021200 00021300 00021400 00021500 00021600 00021700 00021800 00021900 00022000 00022100 00022200 00022300 00022400 00022500 00022600 00022700 00022800 00022900 00023000 SUBROUTINE BELMATCM,NBBlI DIMENSION AMT(2.120I>BHt<2,180>.ISING<40).SC0l<3> C **** INCLUDE COMMON BLOCKS **** c c **** DBUG MATCON CONIRO LGOATA BHATS LDISK **** SHNl(S)= 2.0MS-0.5I* (S-1.01 SHN2<S)=-4.0*S*(S-1.01 SHN3(S>= 2.0*S*(S-0.5> NBB=NBDATA(NBBl, 1) NBB2=2*NBB NBB3=3*NBB ’ CCORN=COS(.D1745329«CNRtOL> ISUP$=NBDATA(NBBt ,2) NGP=NBDATA(NBBI,3> NBBM=NBB HT=MATNO<H) Pl=3.14159 IFtNTVPE.EO.il GOTO 1 RNU=PR0PS<HT,2> RNU=RHU/C1•O+RNU) ES=PROPS<MT,11 ES«ES/(1.0-RNU*RHU) " PROPStHT•21=RNU PROPS<MT,‘11-ES 1 CONTINUE RNU=PR0PS<MT,2> C0NS1=-1.0/<8.0*PI*(1.O-RNUI> C0nSZ=3.0-4.0*rNu 1 C0NS3=-1.0/4.0/P1/(1.O-RNUI C0NS4=1.0-2.0*RNU JF(JBUG(70I.HE.O| WR1TE(6,1004) C0NS1.CQNS2,C0NS3,C0NS4 2=0 DO 2 1 = 1,NBB 2=2*1 NUHC=LNODBI(NBBl, I ) XCRDB1(2I«COORD(NUHC»1) YCRDBKJ1=COORD(NUHC<2) 2 CONTINUE NBBP=NBB*1 XCRDBI(NBBP)=XCRDBI(1> YCRDBI(NBBP1=YCRDBI(1> C FINO MAX ELEMENT LENGTH RHAXL=0.0 NBB0=NBB/2 DO 3 I=1,NBB0 3 1NTYP<NBBI,I>=0 NCOMP-NBB DO 5 I=1,NBB0 11=2*1-1 12=2*1*1 IP=11»1 1M=I1-1 IFII.EO.il 1И-НВВ TFII.EO.NBBOl 12=1 RL=SORT(IXCRDBI<I2)-XCROBI(I1>)**2 * . IYCRDBI(I2)-YCRDBI (I1»**2> IFCRL.GT.RMAXLI RMAXL=R4, xa=xcrdbi(ii>-xcrdbi<iH) ya«ycrdbicii>-ycrdbi<ih»
15—356
434 Гл. IS. Реализация на ЭВМ
00023100 00023200 00023300 00023400 00023500 00023000 00023700 00023800 00023900 00024000 00024100 00024200 00024300 00024400 . 00024500 00024600 00024700 00024800 00024900 00025000 00025100 00025200 00025300 00025400 00025500 00025600 00025700 00025800 00025900 00026000 00026100 00026200 00026300 00026400 00026500 00026600 00026700 00026800 ' 00026900 00027000 00027100 00027200 00027300 00027400 00027500 00027600 00027700 00027800 00027900 00028000 00028100 00028200 00028300 00028400 0002850*0 00028600 00028700 00028800 00028900 00029000 00029100 00029200 00029300 00029400 00029500 00029600 00029700 00029800 00029900 XB«XCRDBICIP>-XCRDBI<I1) YB=YCR0BI(1P1-YCRDBI(И) D0T»XA*XB*YA*.YB RA=X А*ХА* YA* YA RA«SORTCRA> RB»SORT<XB*Xa*YS‘YB) D0T=D0T/RA/RB ' 1F(DOT.LT.CCORN) INTY₽(NBBI.I)=1 C ANGLE L.£ 30 DEGREES NO CORNER NCOHP=NCOMP*INTYPCNBBI. I) 5 CONTINUE 1F<JBUG(7O).NE.O) WRITEC6.2004)CXCRDBI(I).YCRDBICI)tI»1.NBBP> NC0MP=2*NC0HP IF(JBUG(7O>.NE.O) URIT£<6,10Ю) (INI YPCNBBI. I), I?1. NBBQ) NBBIF»NBB I FCJ BUG<70).NE.O) WRITEC6,1000)CLNOOBICHBBl.I).1=1.NBBif) C PERFORM BOUNDARY COLLOCATION NCLPT=0 NCOl=Z SCoLC1)=0.5 SC0LCZ)«1.0 00 70 ISEG«1,NBB0 C SET UP 3 NODAL COOROS ON AsEC ' ISA=2*ISEG-1 ISB«ISA*1 ISC»ISB+1 IFCISEG.EO.NBBQI ISCSI XA=XCRDBICISA) YA=YCRDBICISA1 XB=XCRDBI С I SB) YB=YCRDBICISB) XC=XCRDBICISC) YC=YCROBICISC) C NULL SINGULARITY FLAG..* ... DO 25 1=1.NBBQ 25 ISINGC1)«O ISINGCISEG)=1 DO 60 IC»1.NC0L С PINO * AND В MATRICES. .Lxsi=s<oi.c.io J -XPT=5RN1CXSI)*XAfSHN2CXSI)*XB)SHN3CXSI)*XC YPT=SHN1CXSi)*YA*SNN2CXSl>*YB+SHN3CXSI)*YC < CALL INTABCXPT.YPT.XSI. ISTNG.AFtT.'BMfTH'BBI) f C UPDATE ТОТА1ПГО-0Т C0LL0CA1 IONS NCL₽T=NCLPT+1 DO 50 1=1.2 WRITE CNOISKA) CAHTCI.J).J=1.NBB2) '• WRITE CNDISKB) CBHTCI.0)rJ=1.NBB3) 50 CONTINUE 60 CONTINUE IFCJBUGC70).EO.O) GO TO 69 WRITEC6.1011) 00 61 1=1.2 61 WRITEC6.2004) САНТИ, J)»J=1,NBB2) DO 62 1=1.2 62 WRITEC6,2004)CBNTCI.J).0=1,KBB3) 69 CONTINUE 70 CONTINUE 20 RETURN 1004 F0rHAT(1X,'C’1,CZ,CJ.C4 »,4F12.6) 1000 FOliHATClX.17HREDUCE0 B.I NODES./.1X.16I5) 1010 F0RHATC1X.16I5) 1011 F0RMATC6X,’ A AND В MATRICES ') 2004 FORMATC1X.10E12.4) ENO . V ....... . SUBROUTINE IHTAB(XPT.YPT.XSI,ISING,AHT,BHT.NBBI) DIMENSION ANT(2.120).BMTC2.180)»ISInGC40).SGPC12) DIMENSION ISNGSGC3).AlI(3).В11(3),SlGPC12).GLWPJ(3) DIMENSION AH3) .BIC3) .Al 11 (3) ,BII I (3). SUP (3). AAI (3). BBK3>
Распечатка программы ПМГЭ
435
00030000 DIMENSION GNPJI3)
00030100 C **** INCLUDE COMMON BLOCKS *•**
00030200 C **** GSPWT OBUG BMATS MATCdH ***•
*00030300 C THIS ROUTINE CALCULATES THE DISPLACEMENT ANO TRACTION MATRICES
00030400 C LOCAL FUNCTIONS,SHAPE FUNCTIONS AND DERIVATIVES
00030300 SHH1(S)> 2.0*<S-0.5)*CS-1.0)
00030600 SHH2(S)>-4.0*S*($-1.0)
00030700 SHN3(S» 2.0*S*($-0.5)
00030800 DSH1(S)> 4.0*$ -3.0
00030900 DSH2(S>s-8.0*S 64.0
00031000 DSH3(S)a 4.0*S -1.0
О0031100 JSING-0
00031200 C CHANGE DIRECTION OF THE NORMAL EXT PROBLEM
00031300 RFACT-1.0
00031400 IF(H8DATAtN8BI,2).Ea.1> RFACT>-1.0
Г- 00031500 DO 5 J«1,3
:00031600 AIII<J).0.0
00031700 5 BIII(J)«0.0
00031800 C SET UP ORDER FOR LOG RULE.....
00031900 T13-1./3. .
00032000 T23»2./3.
00032100 C INITIALISE A AHO В MATRICES
00032200 NBB2»2*HBB _ 7)
00032300 NBB3»3*NBB ~
и 00032400 RAT«0.0
00032500 SLMG-0.0
00032600 SLNGS»0.0
00032700 DO at I»1,2
00032800 DO 20 jBt'.NBBZ
00032900 20 ANTCI,4)«0.0
00033000 DO 2t J»1,NBB3
. 00033100 21 BHT(I,J)«0.0 _
00033200 С QUADRATIC SEGMENT LOOP
00033300 NQSEG» NBB/2
00033400 IFCNODCNBB,2).NE.O) NqSEG»(NBB-1)/2
- 00033500 c SET UP TRANS VARIABLES FOR SINGULAR CASE.......
00033600 C NODAL COLLOCATION.
00033700 IF<ABS(XSI-O.5).GT.O.00l) GOTO 22
00033800 AI(1)«0.0
00033900 AI(2>»0.5
00034000 BICD-O.S
00034100 В112 i
00034200 AII<1)».5
00034300 AII<2)«.5
00034400 Bild)»-.5
00034500 BII<2)».5
00034600 тпгез5ттг«т—
00034700 .— ISHGSG(2)«1
00034800 GOTO 26
00034900- 22 CONTINUE
00035000 IF(ABStXSI).GT.0.001.ANO.ABSCxSI-1.0).6T.0.001) GOTO 15
000351-DD
00035200 > AI(1)»0.0
00035300 AI(2)»T13
00035400 A1(3)»T23
00035500 BU1XT13
00035600 8I(2)«T13
00035700 BI<3>«T1S _
00035800 DO 10 I«1,5
00035900 AII(I)«0.0
00036000 BIICI)«0.0
00036100 10 ISHGSGCD-O
00036200 IFCABSCXSI).GT.0.001) GOTO 12
00036300 C XSI»O«O «•••••
0003640b ISNGSG<1>»1
00036500 AIKD-0.0
00036600 BI1<1)»T13
00036700 C SET UP NEIGHBOURING SINGULAR INTEGRATION PARAMETERS
00036800 AI1I(3)b1.0
15**
436
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
0003(900' 00037000 BI1I(3>«-T13 GOTO 26
00037100 12 CONTINUE
00037200 С XSI«1.0
00037300 ISNGSG(3>=1
00037400 AII(3)»1.O
00037500 BII(3>=-T13
00037600 С HIEGHB0URIK6 INTEGRATION PARAMETERS
00037700 AIH(1)*0«0
00037800 BIII(1)=T13
«0037900 СОТО 26 - ~
00038000 15 CONTINUE
00038100 1F(XSI.GT.0.5) GOTO 23
ОООЗЯ2ПП Г RETwEFN NODFS 1 AND 2 -
00033300 AI(1)»0.0
00038400 AI(2)=XSI
00033500 AI(3)=2.0*XSI
00038600 BI(1)»XSI
00038700 BI(2)«XSI
00038800 BI(3>=1.0-2.O*XSI
00038900 AII(1)=XSI
00039003 AII(2)»XSI
00039100 AII(3»=0.0
00039200 BII(1)=-XSI
00039300 BII(2>=XS1
00039400 bii(3>=o.o
00039500 TSNGSGC1)«1
00039600 ISNGSG(2)«1
00039700 ISNGSC(3)=0
00339800 GOTO 26
00039900 23 CONTINUE
00040000 AI(1)«0.0
00043100 AI(21=2.O‘XS1-1.0
00040200 AI(3)=XSI
00040300 BI(1)«2.0*XS)-1.0
00040400 BI(2)«1.0-XSI
00040500 BI(3)«ni(2>
00040600 AII(1)=0.0
00040700 AH (?)«XSl
00040800 AII(3)=XSI
00040900 Bii(i>«o.o
00041000 BI I(2)«XSl-1.0
•00041100 bii(3>=i.o-xsi
00041200 ISNGSG(1>=0
00041300 ISNGSG(2)»1
00041400 ISNGSG(3)«1
00041500 26 CONTINUE .
00*141600 MPOS«0 * \
00041700 DO 200 IS«1.NOSES <
00041900 NGP»N0DATA(NBBI,3>
00042000 ISM4S-1
00042100 ISP»IS*1
00042200 IFdS.FO.1> ISM=SOSEG
00042300 IF(IS•EQ.NQSEG> ISP=1
.00042400 ITP«INTYPCNBBI,IS»
00042500 IF(IS.NE.I) NPOS«:iPOS*2*ITP
00042700 TRANSl«1.0
00042800 Is6=6*ds-1>
00042900 IS44=4MS-4
00043000 C SET UP COORDS OF 3 NODES ON SEGMENT (A,B,C>
00043100 ISA"2*IS-1
00043200 1SB=ISA*1
00043300 ISC"ISB*1
00043400 1F(IS.EO.NOSEG> ISC«1
00043500 XA=XCRDBI(ISA>
0’0043630 YA«VCRO'ei (ISA)
00043700 XB«XCR9BI(ISB)
Распечатка программы ПМГЭ 437
00043800 00043900 00044000 00044100 С 00044200 00044300 20044433 .'0044530 С 00344600 20044700 С -00044800 00044900 30045030 30045100 00043209 00045300 С. 000454-30 00045500 00045600 С. 00045700 00045830 30-345900 00046000 00046100 00046200 00046300 00046400 00046500 00046600 00046730 00046800 00046930 00047000 С 00047100 00047200 00047300 00047400 000475-30 00047600 <10047700 С 00047800 00047900 .90048000 00048100 00048200 00043300 00043400 00048500 00048600 00048700 U0048800 00048900 00049000 00049190 00049200 00049300 00049400 00049500 00049600 ' 00049700 00049800 00049900 С 00053000 С 00050100 00050200 00050300 00050400 00050500 90051609 YB*YCRDB1(ISB) XC*XCR0BICISC) YC*YCRDBICISC) fl.40 APPROX LENGTH OF SEGMENT ABC ! RR1«S0RTCCXB-XA)*(XB-XA)FCYB-YA)*<YB-YA)) t RR2*S0PTCСХС-ХВ)*(XC*XB)+(YC-YB)*CYC-YB)) RABCsRRI.RRE TFST FOR SINGULAR CASE ISU3SC.«r NIEGHBOURIKG SEGF'ENTSREFINEO .INTEGRATION IF(ISING<ISM).F0.1.0R.ISI4G<ISP).E0.1) NS.JBSG.3 IFCABSCXSI). LT. 0.0001. Alia. I SINGCISM)«ЕО.1) GOTO 34 IF<ABS(XSI-1.0).LT.0.0001.AND.ISING(ISP).EO.1) NSUBSO1 IF(ABS(xSI).GT.0.O0l.AN0.ABS(XSI-1.0>.GT.0.001) GOTO 29 ” IF(ABsCxSI) • LT.0.001)' GOTO 33 ,...XSI«0.0 I FC I S.E0.1 .AND. ISIN'G'(ISM).EO.I) GOTO 34 - IFCIS I NGCIS).NE.1) GOTO 29 >...XSIs1.0 ISING >1 GOTO 34 33 CONTINUE IF(ISIKG(ISP).NE'.1> goto 29 34 IS0«2*ISP-1 IFCISIHG(.ISM).EQ.I) ISD«=2*ISM-1 ISE=lS0.1 ISFMSE.I XAA«XCROBICI90) YAA=YCRDBI(ISO) XBB*XCRDBI(ISE) • YBB*YCR0BI(ISE) XCC>XCR0BI(I$F> YCC'YCPDBI(ISF) DEFAULT PARAMS FOR INTONATION OF NEIGHBOURING SEGS AAKDsO.O AAI(2)=T13 AAI(3)»T23 ТмТГГжгГГ' BBI(2)«T13 bbi<3)«ti3 FIND LENGTHS OF .SEGS ABC .AND DEF. SLNGS«0.0 SLNGsO.0 DO 35 IG=1,3 S*GSP(IG) D1«0SH1(S) D2«DSN2(S) D3.0SH3CS) 0XIS.O1*XA*D2*XB*03*XC OYISsDI*YA+02*YB+D3*YC Y)XIbD1*XAA*D2*XBB+D3*XCC DYI«01*yAA«D2‘YBB*D3‘YCC RJ'ACS>=SQRT(0X1S*DXIS*DYiS.|1YIS) RJACkSORTCOXI*0XI40YI*OYI) SLNGS*SLNGS*GSPW(IG)*RJACS 35 SLNG>SLNG*GSPW(IG)*RJAC 1F(ISING СISM).HE.1) GOTO 31 • THPL«5LNG SLNG«SL'1GS SLNGS>T>!PL 31 CONTINUE IF(SLNGS.tE.SLNG) GOTO 37 IFNGTH OF SINGULAR SEG IS LARGER.. .. ADJUST SINGULAR INTEGRATION RAT*SLNG/SLNGS/3. if(Agscxsi).le.0.001) сото 36 AI(1>«0. AI(?)=<1.-RAT>*0.5 AI(3)«1.-RAT . BI(1)=AI(?>
438
Гл. 15. Реализация ria ЭВМ
03*1537)0 SI C?)«AI C2J
03050800 000509'00 00051000. 00151130 00051200 00051300 00051400 00051500 BIC3>»RAT AlI-C1)»0.О АИС2)«0.О ЛИ С3)«1.0 ВИС1>=0.0 ВПС2)ж0.0 BIIC3)—RAT С NIEtHBOURING INTCRATION PARAMETERS
00051600 00051700 00*351800 00051900 00052000 AIIIC1)«0.0 B1IIC1)«113 СОТО 29 36 CONTINL'F е singular sec is smaller......
00052100 C ADJUST NEIGHBOURING SEG INTEGRATION...........
00052200 000523.03 00052400 00052500 00052600 00052700 00052800 AAICD-O.O aai(2)«C1.-RAT)*0.5 AAIC3)=1.-RAT BBlC1)«AAIC2) BBIC2)«AAIC2) •BBIC3).«AT' C NIEGHBO'JRINC INTEGRATION PARAMS ’
00052900 00053000 00053100 0005320-1 00053305 00053403 00053500 AI1IC3)»1.U BIII(3)ae-RAT GOTO 29 37 CONTINUE RAT«SLHGS/SLNC/3. IFCAbscxSD.LE.0.001) GOTO 38 c xsi»i.o .............
00053600 00053700 00053800 00053900 00054000 00054100 00054200 AAlC1>=0.0 AAIC2)>RAT A-AIC3) C1 •+RAT) *0.5 BBlCDsRAT BBIC?)«C1.-RAT)*O.S BBlC3)»BBlC2) C KIEGHBOURING INTEGRATION PARAMS
0005-4300 00054400 00054500 00054600 00054700 AIIIC11.0.0 BIIICDaRAT L GOTO 29 38 CONTINUE C XSI«0.0
00054800 00054900 00555000 00*155100 00055200 00055300 00055400 00055500 00055605 00055700 00055800 00055900 00056000 *1(11=0.0 ’ AIC2)«PAT AIC3).(1.tRAT)*0.5 bic1)*rat 3IC2)«(1.-RAT)*0,S BIC3)»BIC2) AIICDxO.O AllC2)>0.0 AIlC3)<=0.0 UIKDxRAT BIH2W.0 bii<3)«o.o ° C MEGHBO'IRING INTAGRA110N PARAMS
00056130 00056200 «0056300 00356400 00056503 O0W6600 00056703 00056800 00056900 00057000 00057100 00057200 00057300 00357400 00057503 A111 (3>.1.0 BIIIC3)«-T13 29 CONTINUE IFCAbsCXSI).LT.0.001.AN9.I$INGCIS<4).£0.1> GOTO 39 IFCABSCXSI-].).LT.0.001.ANO.ISING(ISP).rO.I) GOTO 39 IFCA8SCXSI-0.5).LT.0.499) GOTO 39 GOTO 41 39 AAlCDxO.O AAlC2)xT13 AAlC3)«T2S BBIC11.T13 BBIC2)«T13 BBIC3)>T13 «1 CONTINUE IFC1$INGCI$).EQ.C) GOTO 32
439
Распечатка программы ПМГЭ
00057600 4SUBSG*3
0005770-9 00057809 00057900 00058000 00058100 00058200 00058300 00058400 00058500 00058600 00058730 00058800 00058900 С005?000 00059100 00059200 00059300 00059400 00059500 00059600 00059700 00059800 60059900 00060000 00060100 00060200 00060300 00060400 00060500 00060600 00060700 09060800 00060900 . 00061000 00061100 00061200 00061300 00061400 00061500 00061600 00061700 00061800 00061900 000'62000 00062100 00062200 00062309 0096240) 00062500 00062600 00062700 Г-0062800 00062900 00063000 00063130 00063230 6.0063339 00063400 30663500 00063609 00063700 00063800 90063900 00064000 00064100 00064200 00064300 00064400 С С С с с с с с с с JS1NG*IS IF(A8S(XSI«0.5>.LT.0.0001) NSUBSG*2 32 CONTINUE SINGULA* SEGMENT INTEGRATED IN 2 PARTS SET UP GUASS PTS AUTOMATIC SELECTION OF INTEGRATION ORDER RY APPROX ERROR CONSIDERATION *
IFCNOEO.EO.0) GOTO- 54 1F(NSUBSG-.NE.1I GOTO 54 EROR*.00001 . «MIN1»SOR-TICXA-XPTJ**2*(YA-YPTJ**2> RHIN2»SORTCCXB-XPT>**2»(VB-VPT1**2> RHIN3«S0RTC(XC-XPT)**2*(VC-YPT)**2> RtIINN»RHIN1 1 IF(RM1N2;LT;RNIN1) RMINN>RHIN2 IF(RMTNN.GT.RMlN3> RM1Nn>R4LN3 RJACX.RABC RJC*0.25‘RJACX/RNINN IF(ABSCRJC-1.0).lT.1i0E-05) RJC«RJC*.00001 ALG1*ALOG(E«OR*0.12S) ALG2»AL0GCRJC) RORDN*0.5*AbSCALG17ALG2«1.0> NOROalFIX(RORON) *1 IF(NORO.GT.8> NORO*12 NGP«NORD 1F(JBUG(9).EG.1) URITEC6.1008) RORDN .IS,NORD 54 CONTINUE SET UP GAUSS PTS AND NTS ACCORDINGLY ..... DO 40 Tai.NGP . SLGP(I)*GLP(NGP.!> 40 SGP(I)*GPCNGP,I) DO 150 ISB»1,NSUBSG TFCNSUOSG.EO.1) GOTO 70 TRANSL*BICISB) IFCISING(IS).EO.O) TRANSL*DBI(I$B) DO 50 1*1,NGP SlGPCI)*AIICiSB)»BII(ISB>*GLPCNGP, I) I FC ISING CIS).KF.1) SLGP(D*AIII(ISB)*81II(ISB)*GLPCNGP<I> SGP(I)*AlClSB)+BI(ISB)*GP(NGP,I) . IF(ISINGCIS).EQ.O) SGPCI)=AAICISB)»BBICISB>*GP(NGP,I) 50 CONTINUE 70 CONTINUE START guassian integration LOOP Db 130 1G*1,NGP FINO X.Y COORDS OF G-PT S«SGPCIG) SL*SLGP(IG1 XGP*SHM (S)*XA- ♦SHN2CS>*XB +SHH3CS)*XC YGP*SHN1(S)*YA *SHN?CS)*YB *SHN3CS)»YC XLGP«SHN1CSL)*XA+SHN2CSL)*XB+SHN3CSL)*XC YLGP*SHN1(SLj*YA»SHN2(SL)*YB»s8N3CSL>*YC IFCJBUGC1S).EQ.1) WRITE(6,1027)XGP,YGP.XIGP,YLGP FIND 1-6 JACOBIAN (SCALE FACTOR 3 OXIS* DSII1CS)*XA *0SH2Cs)*XB ♦ DS<t3(S)*XC DYIS* DSH1(S)*YA ♦DSH2Cs)‘VB ♦ 0SH3CS)‘YC DLXIS*PSH1(SL)*XA*DSH2CSI)*XB*OSH3CSL)*XC DLYIS*DSH1CSL)‘YA*0SH2CsL)*YB*0SH3CSL)‘YC RLJAC«SQRTCOLXIS*DLXIS*OLYIS*DLYIS) pjac.sqrtcoxis.oxis ♦ dyis.dyis) COORDS OF VECTOR BETWEEN GUASS ANO FIELD PTS XPG * XGP -XPT YPG * TCP -YPT xlpG*xlgp-xpt YLP6»YIGP-YPT • OUTWARD NORMAL AT GUASS PT XNGP * RFACT*DYIS/RJAC yngp **rfact*dxis/rjac RPG *SQRT(XPG*XPG ♦YPG*YPG)
440
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
00064500
00064600
00064700
00064800
00064900
00065000
00065100
00065200
00065300
00065400
00065500
00065600
00065700
00065800
00065900
00066000
00066100
00066200
00066300
00066400
00066500
00066600
00066700
00066800
00066900
00067000
00067100
00067200
00067300
00067400
00067500“
00067600
00067700
00067800
00067900
00068000
00068100
00068209
00068300
00068400
00068590
00068690
00063700
00068809
“10068900
00069000
00069100
00069200
00069300
00069400
00069500
00069600
00069700
00069.800
00069900
00070000
00070100
00070200
00070300
00070400
000705О0
00070603
00070700
00070800
00070900'
00071000
00071100
00071200
00071300
RPG2.1.O/RPG7RPG
XRP « XPG*XPG*RPG2
YRP • YPG*YPG*RPG2
XYRP« XPG*YPG*RP62
RNXY« XNGP*XPG ♦ YNGP*YpG
integration kernels
glpwj»glpw<ngp,ig)*rLjac*transl
GLWPJC1)*SBK1(SL)*GLPMJ
GLWPJ(2)«SHN2(SL)»GLPNJ
GLWPJ(3)»SBN3(SL)*GLPWJ
GPWJ«GPN<N6p,IG)*RJAC*TRANSL
GUPJ(1)«SBNl<S)*GPWJ
GWPJ(2)«SHN2(S)*GPWJ
GWPJ(3>=SHN3(S)*GPWJ
RTERM = C0NS1*CDNS2**L0g(RP6)
DO 80 K«1,3
K2«2*K«IS44.MP0S
IF(K2.GT.NBB2.AND.INTYP(NBBl.1).E0.0) K2»k2-NBB2
XM«K2-1
rterhg=consi»cons2*glqpj<k)
ВЧТ(1 , KM) «BMTt 1 , KM)-GUPJ < К )*C0NS1 *XRP ' s.
BMT(2.K2)«BMT<?,K2>-GWPjIk)*C0NS1*YRP
IF<ISING(IS).EO.1.AND.ISNGSG(ISB).EQ.1) GOTO 71
IFI I.S INGI ISM).'EO.I.AND.ISa.EO.I.ANO.ABSIXSI-l.). LT. 0.0001) GOTO 7
iFtistoctisp).eq.i.and.isb.eq.3'.and.abs(xsi>.lt«o.0001) goto 71
GOTO 72
SINGULAR integration OF LOG TERMS
71 CONTINUE
RBI«Bl(ISB)‘RABC
IF11SING(IS>•E0.1) GOTO 73 .
IFII SB.EQ.1) RBI»ABSIBlIKD)*SLNG
IFIISB.EQ.3) RBI=ABS(В111(3))*SLNGS
73 CONTINUE
IFIABSIRBI).LT.0.00001) PHtIE(6.8061) GLNG.SLNGS.BI USB) ,B 11KIS8
•>ISING(IS).ISB
• STERM«-RTERHG»CONS1*COHS2**L0G(RBI>*GtPJ<K>
BUT<11 KM)xBMTI1,KM)♦STERM
BMT(2.K2)«BMT42,K2)*ST£PM
GOTO 76
72 CONTINUE
BMTC1,K4)»BMT(i;XM)»CrfPJ(K)*RTERM
BMT(2,K2)=B.4T(2,K2)iGWPJ(K)‘RTERM
76 CONTINUE
BtlrC1,K2)NBtlTt1,K27 -GUPJ (K)*CONS1*XVRP
80 B4T<2,rM)»BHTC1,K2>
SET NUMBER OF TRACTION COMPONENTS »NCOMP.........
NC0MP»K2
GUPJI1)» SHNKS)*.G₽HJ
6WPJ(?)a SHN2(S)*GPWJ
GWPJ(3)x SBN3(s)*GPWJ
RNYXx YNGP‘XPG -XNGP»YPC
09 1o0 K«1.S
K2»2*K»TS44 «.
IF(K.E0.3.ANO.tS,Eo.«aS£6) K2«K2-NBB2
кмжкг-i
GTL'RM«GWPJCK)‘C0NS3*RPG2
AMTCI,КЧ)жАИТ(Т,КМ)+ GTERM*(C0NS4 »2..O*XRP)‘RNX*
AMT<2,K2)»AMT(2,K2)4 GTERM*(C0NS4 *2.0*YRP)*RNXY
АМТ<2.КЧ)«А1:т(2.КЧ)* GTERM*CC0NS4*RNYX ♦2.0*XYRP*RNXT)“
100 АПТ<Т.К2)«ЛНТ (1 ,J(2)*GTCRM«(’CONS4*RNYX*2,*XYRP*RNXY)
130 CONTINUE
150 CONTINUE.
INSERT A AND B' TEMP MATRICES INTO GLOBAL MATRiCFS
200 CONTINUE .
calculation OF DIAGONAL TERNS Of MATRIX AMT
I F( JBUG (10) .EQ.O) GOTO 207.
WRITE<6,1009>
MRirE<6,1010)<(AMT(I.J>.J«1.NBB2),I«1.2)
MRITEC6.1010) CIBMTCI.J).J«1.NBB3),I«1,2)
Распечатка программы ПМГЭ
441
00071400 207 CONTINUE
00371500 JS4=4»JSING«6
00071600 С IF PT IS INTERIOR TO REGION SINGULAR TERM IS NOT ADJUSTED
00071700 IF(JSIHG.EO.O) СОТО 255
00071800 SUM11=0.0
00071900 SUM?2«0.0
00072009 . SUH12=P.O
00072100 SUH21=0.0
00072200 C ADJUST SINGULAR TEDRS FOB EXTERIOR PR08lf«S «•••
00072300 IF(N4DATA(NBBI,2).EO.0> GOTO 227
00072400 SUH11=-1.0
00072500 SUH22«-1.0
00072600 227 CONTINUE
00072700 C FIND CQEFF SUMS •
00072800 DO 236 1=1 ЛОВ
00072900 12=2*1*
00073000 IH=I2-1 : :
00073100 SU411>SUH11«AMT(1,IM)
00073230 5UH12=SU>I12*AHT£1,X2)
00073300 SUM21=SUM21*AMT(2,I4)
00073400’ 230 SUM22«SU422*ANT(2,I2> '
00073500 JS4=4*(JSING-1)
00073600 SRPC1)=SHN1CXSI3
00073700 SHP<2)=SHN2(XSI)
00073800 SRBC3).=SHN3(XSI> ?
00373930 DO 250 1=1,3
00074000 12=2*1*JS4
00074100 111=12-1
00074209 XFCI2.GT.UBB2) I2=I2-NBB2
00074300 IF(I».GT.N8B2) IPelM-NBB?
. V0074440 AMTC1,I4>=APTC1,I4)iSUMT1»SHP<£> 7
00074500 AI!I(2,I2)«A«T(2,r2)-SUM22*$HP£D
00074600 AHTtZ».I4).=ftl',T(2,rO-,SU.421‘SHP(l) .~
00074700 250 A4TC1.I2>=AMT£1,IZ)-SUM1Z*SHF£I>
30074830 255 CONTINUE
00074903 XF(JBIir,(10).tQ,0.0> GOTO 300
00075003 MRITEC6.1000)' .
00075100 MRITFC6,10ie.)«AMT(I,J),J=1<№B2), 1=1,23 7 . 1 v .
90075200 riRITFC6,1010) (CBt'Td . J), J=1,NBB3>, 1=1,23
00075300 SOO CONTINUE
00075400 1008 FORHATCIX.’AUTO INTEGRATION ORDER = ••FIS.S, tSES NO =M5,
Х00755Э0 . ’NFW ORDER =»,I5 >
00075600. 1027 FORMAT(1X»’ORDINARY G PTSt,2E1?.4,•LOG G PTS',2E12.4)
00075700 8061 FOR4AT<1X,*RBI=0’:,:4F1(1.5,ZI15.>.
00075800 1009 FORNATCIX, • A ANU В AFTER 200. ’.CONTINUE *)
00075900 1000 FORNAT(6X,*A AND MATRICES*! >
00076000 1010 F0RHAT£1X,10E10.3> ’ >
00076100 RETURN I
100076200 END ....
00076300 SUBROUTINE STMTC A.M,N»H1 ) ’,
00076400 DIMENSION A£M<121) . . j
00076500 4PN1 = 4 + 111 ’>
00076600 Ct : .. адтч. MAX. DI AGO, TERM FOR SING. CJtECK
• 00076700 RMAX«0. j
00076800 DO 70 1=1,N t
00076900 70 IF(ABS(AC.I,I>).GT,ABS(R'.!AX).)RMAX=A(I,I)
00077000 DO 25 J=1»N
00077100 z=a(j.j) >
00077200 IF(ABS(Z/RMAX).LT.1.0t«08> GO to 30 i
00077300 DO 10 LSJ(NPH1 .
00077400 10 A(j,t! ,« ACJ,L) ./ ,Z
00077500 DO 20 I = 1 • N
00077600 IFCI.EO.J .OR. ACltJl.Ea.O.O) GOTO 19
00077700 Z « A(I,J)
.00077800 DO 15 L-J.NPN1 .7
00077900 15 ACI.L) = A(I,L) - г * A(J,l>
00078000 19 CONTINUE ?
00078100 20 CONTINUE ;
00078200 25 CONTINUE
442
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
•RETURN
30 NRITEC6, 35) i
35. fprmrtciho.WHSINGULAR.VATRI». fOLUMW.I33s
STOP \ .
END__________~______________________
SUBROUTINE BI SOL V
DIMENSION AMT<2,120).BMT(2,180)»U0(2).TR(2>
**** INCLUDE COMMON BLOCKS ****
t
с
00078300
00078400
00078500
00078609
00078700
00078800
00078900
00079000 C -----------
00079100 C. ****:PBUG SOLV COHTROjCGPaIA;BMATS МАТСОН LDISK ***•
00079200 " '
00079300
0007940.0
00079500
00079600
00079790
00079800
•00079900
000800Э0
00080100
00080200
00C80300
COC80400
00080500
00080633
00080700
00083800
00080900
00081000
00081100
00081200
00081300
00081400
00081500
00081600
00081700
00081800
00081900
00082000 C
00082100
C0082200
00082300 t
00082400
00082100 '
00082600
«0082700
00082800
00082900
00083000
00083100
00083200
00083300
«0083400
00083300 t
90081600
«0083700
90983800
•9.083900
00084000
00984100
90084200
00984300
•0084480
00084500
•0084800
08084700
00384R00
••604990
«8083В90
00085W9
HREG.1 <
riBB«NBD*T*<tlREC.1)
NBBD«K0B/2
нвв2»г*мвп
NBB3M3*NBB .............. .
CU0O«O.5‘PRO₽S(1,1)/(1.n+PB0f$(1,2))
NCL₽T2«2*«CLPT
SETUP BC FLAGS
00 5 I>1.NB82
NUP0S(I>*0
UFIXCIIsO.O
5 NUF1X(1)«O
DO 10 I»1.NBfl3
NTPOs(i>«o
TFIXCDbD.O -i ’ ’
10 NTFIX(I>«0 . ’
MPOSxO
DO 100 IS«1,NHB0
IS3»3*(1S-1)
IS4«4*(IS-1)
IS64S4
ITP>INTTPCNREG,tS)
IFCIS.NE.1) MP0S«MP0S.2*lTP
TEST IF 1ST 2 WOOES OH SEGMENT HAVE 8G8-
DO 40 I»1.2
IPP«2*(I-1)
IP«2*CIS-1)»T
INOO«INODBI(HREG,IP)
SET UR BfSP FLAGS IK «ECTOR FORM
0030 IF«1»NVFIX
1F(LH0D.NE.N0FIX(IF>) Go TO 29
LOOP OVER DEG OF FREEDOM
DO ?0 IF0«1>2
. IFP.IFD.1PP.IS4
IF CIFPRECIF.IFDI.NE.I) GO TO 19
-HUFIX(IFP»1
UFIXCIFD)*PRE$CClFtIF0bGH08
" CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
DO So 1*1.3
> OR 3 TRACTION NODES ON A SEGMENT......
NTRK>NTRKOC(NREG.!S3
IFCNTRK.EO.O)
IF(NTRK.EO.I)
IFINTRK.EO.E)
1F(NTRK.EO«3>
ISS>IS3*1
1FCNTRK.E0.1) TFIXCIP)»TRXBC(XRE«,BS1
IF<NTRK.E0.2> TFIX(lP)»TRT8COtREG,lS$)
MTFIX<IP>«1
SO CONTINUE
•OTO 9«
«0 CONTINUE
I3«3,
I6»«
IFCIS.HE.NOSEGISOTO S8
IfdNTTPINRCe.D.Nr.OISora s?
19
20
29
30
40
2
GOTO 90
i9»2*i-i»ii6*npos
IPs2*I*XS6*NP0S
GOTO 60
Распечатка программы ПМГЭ 443
00085200 00085300 ОООВ5400 00085500 00085600 00085700 00085800 00085900 00086000 00086100 00086200 00086300 00086400 60086590 00086630 00986700 90086800 00086900 00087000 00387309 00087200 00087300 00087430ч 00087590 00087600 00087700 00087800 00087900 С00880Э0 00088130 00088200 60088300 00088400 00388500 00088603 00088700 00038830 00088900 00089000 60089100 00089200 00089300 00089406 00089500 00089600 00389700 00089890 00089903 00090000 00090100 00090200 00090300 00090400 00090500 00090600 00090700 00090800 00090900 00091000 00091100 00091200 00091300 00091400 00991500 00091600 00091700 00091800 00091900 0009ZOOO 13*2 16*4 $9 CONTINUE 00 70 1*1,16 IP«I*TS6*NP0'S 70 NTflX(IP>»1 00 80 I«1,13 I1*2*t-1*IS6*MPDS 12*11*1 ISS*IS3*I TFIX(I1>«TRXBC(NREG,SSS) NO TFIX(I2)*TRYBC(NREG,ISS) 90 CONTINUE IF(JBUG(43>.EO.n WRITEC6,3000J (NTFIXCDtt«1. 100 CONTINUE IF(J8UG(40).E0.0)' GOTO 104 C WRITE FLAGS HCS VECTORS WRITE(6,3000) (NUFIX(l),I*1,NBfl2) WRITf (6,3000) (NTF!X(I).,I*1,HBB3) WRITE(6,3001) URITE(6,3002>(UFIX(I)>l«1,HBB2> WRITE(6,3002XTFI*(I)tI«1,NBB3) 104 CONTINUE C LOOP OVER COLLOCATION PTS C AND SET UP MATRIX EONS REWIND NDISKA REWIND NDISKB DO 200 ICP*1.,NCLPT ICP2«2*(ICP-1) DO 110 1*1,2 READ (NDISKA) (A4T(IfJ),J«1.NBB2) READ (NDISKB) (BMT(I,J),J»1,HBB3> 110 CONTINUE C FIND R.H.S VECTOR DO 140 1*1,2( IP«ICP2*I RNS(IP)*0.0 DO 120 J®1,NBB2 120 RH$(IP)*RH$(iP)-A4T(ItJ)«UfIXU) DO 130 J«1,HBB3 130 RNS(IP)«RHS(lP)*B4T(l,J)*THXU> C" RNS IS DUE TO BOUNDARY CONDITIONS ONLY 140 CONTINUE 1DST*O C SET UP final EONS NP0S«0 NSU4«0 NTCOMPeO DO 190 ISEG«1,NBBQ NC0HPT*6 IF(ISEG.E0.1) GOTO. 145 ITP*INTTP(NAEC,ISEE) IF(Itp.EQ.O) HC0NPT«4 NP0S«NP0S*2*ITP 145 CONTINUE NTCOMP*NTC0Mp*NC0NPT IS4»4*(ISE4-1) 1S6«4‘(1SEG~1) C LOOP OVER 4 CURRENT DISP COMPONENTS DO 160 1*1,4 IP*I*IS4 1F(:WFIX(IP).E?.1) GO TO 159 IDST«IOSr*1 DO 150 IR«1,2 .IROW«IP*1CP2 NUPOS(IP)*IDST 150 RLHS(lROWaID$T)«AMT(IRtIP> 159 CONTINUE 160 CONTINUE
(dT)SUdnN*dON
00£ оюэ (gah'io'MDii
f+21*dF
2'l*f 02£ 00
(l-NI)»2»21
dHOOlH* 1*1.1 0££ 00
0*2S0df
O=isOdf
SNDIISVH ON* SlN3h33VldSI0 30 100 Halid ino лэ$ 3
(0002'9)31140
: ЭП.Ч11Н03 0Z2
(1S0I'1*1’(itOdf*IJSHId)<0201'9)311If
''Ч ISOdf'lSOI ($888'9)311811
(0101'9)31(811
022 0100 <0’03'<19)ЭЛвГ)3(
(I'lsoi'ZsuvH'SHiaia.Jis ii»o
ЗИМ UNDO £82
(dl'l*f'(r'I)SH3d)(a20l‘9)31I«r 082
218138^1*1 082 00
(t£0l'9)31l8H
£$2 0109 <0‘03'<19)ЭЛ8Г)Л
ЗПН1180Э 092
m*<x'«oai)SHi« 0£2
(Х'ПСИ()$Н38«(Х'Г)5Н18
j . . evriSHiaziivA
d('l*X 082 00
2«X»H8 <XVHH*19*ZHI
апминрэ йгг
3AUI1H03 612
8«rt08I
((Г‘1)$йЗа)$в»*2
612 01 09 (Z*n;<(r'X)SM1ll)Sev)dI
21dl3N'C*X 022 00
0'0*2
:< r*noai
; lSOI*t*rj092'00’
o'o*x»Hd
smavaon. элю$ о
21d13N«lS0I (OOOl'9)3111N <21d13Ht3811S01)3i;
2/dH031N«dd031N
ЭПН11Н0Э $12
(41 'l»f’cr • I)$81»)(0201 '9)31186 112
21d13N'l»l Ц? 00
(0£0i'9>3imw
812 0109 <0'вГ(1))№ГИ1
' 1 lSOdC*dI
ЗЛМ1180Э 012
ci)$Hi*(i$a«r*i>sHiv
. l$ej*l*« 012 00
t»isai»isadr
30011803 002
ЭПН11Ы0Э Z61
(£l«N'l«I‘<I)S0dlUl(a0u£'9)31lar
<20«N' l»I' CDSOdrifi) (00C£'9)3118K
261 0109 {0*03'<И)9ПОНЦ
ЗП81180Э 061
dI*»nSH
;ЗПЧ116ОЗ 081
ЭПМИМОЭ 6ZI
(di‘ai)ih8-«(isai'.-oai)sH3d ozi
-> l$al*(dl >S0dlN
2d31*dI*rO8I
2'1*81 OZI 00
l*isal»isei
ill 01 09 U'bl'CdDXIUMdl
nnsw»l«dl
, ldH03N*L*l 0»< 00
SIMlOdUOO iiOUSVHl 9 80 9 1К388ПЗ 31Л0 dOOl
00696000
00826000
CCZ86000
60986000
00986000
C09S6C00
C0£86000
00286000
00186000
00086000
006Z6000
008Z6000
cozzecdto
009Z6C00
00S26O00
009Z6000
00£Z6000
00226000
00126000
00026000
00696000
00896000
00296000
00996000
00S96000
00996000
00896000
00296800
CCL96C00
COQ96000
00636000
008S6000
00ZS6000
009S6000
003S6000
009S6000
008S6000
00286000
001S6000
00086000
00696000
00896000
00296000
00996000
00896600
00996000
00896000
00296000
00196000
(.0096000
00686000
00886000
OOZ86UOO
00986000
00886000
00986000
00886000
00286000
00186000
000869CC-
00626000
U0826000
00226900
0092600-3
00826000
00926000
00826000
00226000
00126000
W9€ m vnUDenvmj ~si 'vj
Распечатка программы ПМГЭ
445
00099000 iFINUP.EO.O) СОТО 290
00099100 00099200 00099300 00099400 00099500 00099600 00099700 00099800 00099900 00100000 ооюоюо 00100200 00100300 00100400 00100500 00100600 00100700 00100800 00100900 ооююоо ©0101100 00101200 00101300 00101400 00101500 00101600 00101700 00101800 00101900 00102000 00102100 00102200 00102300 00102400 00102500 00102600 OOmZfilL 290 295 300 310 319 320 311 325 329 330 -3000 3001 '3002 1030 1000 1031 1010 8885 1020 2000 2010 2011 UO(J)»RLHS(NUP. JPDST) ... ' UFIX(JP)sUOtJ) GOTO 295 ; UD<J>=UPIX(JP) BtDtS(JP)>UD(J> continue NUT=NTPOSCJP) IF(NUT.EO.O) GOTO 310 TR(J)>RLHS(NUT,JPDST) TFIXIJP)*TRIJ> GO TO 319 IR(J)«TFIX(JP> CONTINUE TRACT<JP)*TR(J) IKIN.ET.NBB> GOTO 325 DO 311 I»1,2 J UDIt>*UD(I>ZCMOD 1, URITE(6.2010> IN.(Ud(I)»1*1.2).(TRIJ).J*1.2) GO TO 329 URITEI6.2011) PH.(TR(J>»J«12) CONTINUE CONTINUE RETURN FORMAT (1X..'BC FLAGS *.6011) F0RMATI6X.* VECTOR OF BCS ’> FORMATI1X.10E12.4) r F0RMATI6X.'FINAL SYSTEM OF EONS'»/) FORHAT(1X,'***ERROR eon SET not. souare***- no of cols »'.2I5) formation.'rearranged matrix •> FORMAT 11X.'BOUNDARY DISPLACEMENTSAND TRACTIONS') F0RMATI1X,'IDST,JPDST ='.2l5). . FORMAT 11X .10E12.4) FORMAT<5X,'NODE',3X,'DISPLACEHENTS*(15Х(•TRACTIONS ') FORMAT<3X.15.2I2E12.4.2x)) FORMAT(3X.I5,26X.2E12.4) end
00102800 00102900 00103000 00103100 00103200 00103300 00103400 00103500 00103600 00103700 00103800 O0l03900 00104000 00104100 00104200 00104300 08104400 00104500 00104600 00104700 *00104800 00104900 00105000 00105100 00165200 00105300 00105400 00105500 00105600 00105700 00105800 . SUBROUTINE BIPTS DIMENSION OPHAT<2.120),SRMAT(2,120),TRHAT(2,180).UIN<2).T!N(2) DIMENSION SPTT3).ISING(40) t ***» INCLUDE COMMON BLOCKS ♦ *** C t»** DBUG CONTRO LGDATA BMATS MAtCON C THIS ROUTINE FINDS DISPS AND TRACTIONS IN AHO ON C A BI REGION..............
INBI«1 HBB»NB0ATA(IHBI,1) HGP«NB0ATA(INBI,3> , noseg«nbb’/2 ISUPS»NB0ATA(INBI,2> GMODb0.5*PROPS<1.1)/<1.0*PR0PS(1<2)) C FIND NO OF TRACTION COMPONENTS' NTBB*NBB DO 15 I>1.HqSEG 15 NTBB»NTBB+1NTYPCINBI•I) . NBB3«2*NTBB NBBZ*2*NB8
READI5.1020) NOINPT WRITEI6.1025) NOINPT 102S F0RHATI20H NO OF INTERIOR PTS«,I5> IFINOINPT.EO.O) GOTO 400 WRITEI6.1040) 1040 FORHATTIX.'INTERIOR DISpLACEMENfS') * WRITE<6.1029> . 1029 F0RMRT(5X,3H ID.5X.2H X.7X.2H Y.6X.3H UX.6X.3H UY /1 DO '250 IP’I.HOINPT XSI«0.0 - READ(5,lO3O) JSING.XlN.YlN.XSI
446 Гл. 15. Реализация на ЭВМ
«0105900 WRITE<6,10301 JSING,XIN.VIN
«0106000 С SET UP COOROS OF BI REGION......
«0106100 J»0
00106200 00 80 X»1,NBB
«0106300 J»J*1
00106400 NUHCaLNOOBICINBI.il
00106500 XCRDBICJ)*C00RDCNUMC,1)
О0106600 VCRDBICJ.1>COORD(NUHC,2)
00106700 80 CONTINUE
00106000 NBBPsNBB+1
00106900 XCRDBICNBBP1«XCROBIC11
<00107000 VCRDbICNB8P1»YCRDBI(11
00107100 00 85 I»1,N0SEG
00107200 85 ISINGCDpO
00107300 IF(JSING.NE.O) ISINGCJSING)*1
00107400 CALL IHTABCXIH,YIN,XSI,ISIHG,DPMAT,TRHAT,INBI)
00107500 1FCJBUGC331.EO.01 GOTO 95
«0107600 WRITEC6.30051
00107700 00 91 T»1,2
00107800 91 WRITEC6.20301COPNATCI*JitJ*1*NBB2I
00107900 DO 92 I»1,2
00108000 92 WRiTeC6,2030)(TRMAT(T.J),J«1,NBB3)
00108100 95 CONTINUE
00108200 00 230 I»1,2
00108300 UINCI)»0.0
00108400 TINCn»0.0
00108500 00 225 J»1,NBB2
00108600 225 UINCI)»UINCD-0PMATCbJ)*BlDISCJ1
00108700 00 226 J»1.NBB3
00108800 226 UIN<I)«UIN<I>*tRHATCI.J)*TRACTCJ)
00108900 230 CONTINUE ,
00109000 00 244 K»1,2 j ,
00109100 244 UINCKlaULNCKl/GHOD — 1/
00109200 VRITEC6,10501 CUINCL1,Ls1,2> *
00109300 250 CONTINUE .
00109400 400 CONTINUE
00109500 300 CONTINUE
00109600 RETURN
00109700 1020 FORMAT Cl615)
00109800 1030 FORHATCIS.3T10.3)
00109900 30t)5 FORMATC6X', ’ A AND В MATRICES TN BIPTS *1
00110000 2030 F0RMATC1X.8E12.4)
OOtfOlOO 001Л020П 1050 FORMAT(25X«2E1J2.,4> END - Г-: ' - - - ,
00110300 SUBROUTINE GAUSS
00110400 DIMENSION A8C8),AWC12),вв(8).BUC12),C5C5),C6<6),C7C71.C8<6)»CT<10>
00110500 DIMENSION CWC12),05(5),06C6).D7C7);08(8),0TC10).DUC12)
00110600 DIMENSION A4C4),B4C4),C4C4),D4C4),GSPC3)>GSPUC3>
00110700 COMMON /GSPWTZ ZGSPC3),ZGSPWC3)
00110800 COMMON /МАТСОН/ RACS),!AC2)«GPC12.121,CPWC12.12),IBC3>,RB,TC(5),RC
00110900 1 .IDC2)fGLPC12.12).GLPWC12.12)
00111 000 OATA GSP/O.1127017 , .5, .8872983 /
00111100 DATA CSPW/ .27777778. .44444444, .27777778 /
00111200 DATA А4/ .3834641.' .3868753. .1904351, .03922549 /
«0111300 DATA А8/.1644166, .2375256, .2268420. .1757541, .1129240, .0578722
00111400 1 . .0209791, .0036864 /
00111500 DATA AU/ .09319269, .14975183, .16655745. .15963356, .13842483,
00111600 1 .11001657, .07996182, .05240695. .03007109, .01424924,
00111700 2 .004899924, .000834029 /
«0111800 DATA В4/ .0414485, .2452749, .5561653, .8489824 /
00111900 DATA В8/ .0133202, .0797504, .1978710, .3541540, .5294586,
00112000 1 .7018145, .8493793, .9533264 / DATA BW/ .006548722, .03894680, .09815026, .18113858, .28322007,
00112100
00112200 1 .39843444, .51995263, .64051092, .75286501, ,85024002,
00112300 2 .92674968, .97775613 /
00112400 DATA С4/ .0'6943184, .33000948, .66999052, .93056816 /
00112500 DATA С5/.0469101, .2307654, .5000000, .7692347, .9530899 /
«0112600 data С6/ .0337653, .1693954, .3806905, .6193096,;.8306047,
«0112700 1 .9662348 / .
«0112800 OATA С7/ .0254461, .1292345, .2970775, .5OO0000. .7029226,
00112900 1 .8707656, .9745540 /
Распечатка программы ПМГЭ
447
00113000 ВАТА С8/ .0198550, .1016670, .2372340, .4082825, .5917175,
00113100 1 .7627660, .8983330, .9801450 / *
00113200 DATA СТ/ .0130468, .06.74684, .1602953, .2833023, .4255629,
00113300 1 .5744372, .7166977, .8397048, .9325317, .9869533 /
00113400 DATA СУ/ .0092197, .0479414, .1150487, .2063411, .3160843,
00113500 1 .4373833, .5626167, .6839157,' .7936590, .8849513,
00113600 2 .9520586. .9907803 /
00113700 DATA D4/ .17392742, .32607258, .32607258, .17392742 /
00113800 DATA 05/ .1184634, 42393U3,' .2844444, .2393143, .1184634 t
00113900 DATA 06/ .0856622, .1803808, .2339570 , .2339570, .1803808,
00114000 1 .0856622 /
00114100 DATA D7/ .0647425, .1398527, .1909150, .2089796, .1909150,
00114200 1 .1398527, .0647425 /
00114300 BATA 08/ .0506140, .1111905, .1568533, .1813419, ,1813419,
00114400 1 ,1568533, .1111905, .0506140 /
00114500 DATA DT/ .0333357, .0747257, .'1Q95432, .1346334, .1477621,
00114600 1 .1477621, .1346334, -.1095432, .0747257, .0333357 f
00114700 DATA DW/ .0235877, .0534697, .0800392, .1015837, ,1167463.,
0^114800 1 .1245735, .1245735, .1167463, .1015837, ,0800392,
00114900 2 .0534697, .0235877 /'
00115000 DO 20 1,1,12
00115100 DO 20 J«1,12
00115200 GP (T,J>«0.0
00115300 GPU (I,J)«0.0
С-0115400 GLP (I,J)»0.0
СО-115500 20 GLPWCI,J>«0.0
00115600 GP (1,1>«0.5
00115700 GPW(1,1)*1.0
00115800 GP(2,1)«0.2113249
00115900 GP(2,2>«0.7886751
00116000 CPU(2,1>«0*5
00116103 GPU(2,2)«0.5
00116200 GLP(2.1)«0.1120088
00116300 GLP(2,2)«0.602276.9
00116400 GLPW(2,1)«.7185393
00116500 GLPU(Z,2)«.2814607
00116600 DO 3 J»1,3
00116700 ZGSP(J)«GSP(J1
00116800 ZGSPU(J)«GSPW(J>
00116900 K«4-J
00117000 GPU(3,J>=GSPW(J>
00117100 3 GP (3,J>«GSP (K)
00117200 DO 4 J«1,4
00117300 GLPU(4,J>«A4(J)
00117400 GLP (4,J>»B4(J>
00117500 GP (4,J)«C4<J>
00117600 4 GPU (4,J>«D4(J)
00117700 DO 5 J»1,5
00117800 GP (S,J)«C5(J)
00117900 5 GPW(5,J>»D5(J>
00118000 DO *6 J»1,6
00118100 GP (6,J)«C6(3>
00118200 6 GPU(6,J)«D6(J)
00118300 DO 7 J»1,'7
00118400 GP (7,J)«C7(J)
00118500 7 GPU(7,J)«07(J)
00118600 DO 8 J«1.8
00118700 GLPWC8,j)«A8(J>
00118800 CLP (8,J)«B8(J)
00118900 GP (8,J>«C8(J>
00119000 8 GPU (8,J>«D8(J)
00119100 00 Ю J«1,10
00119200 GP (10,J>«CT(J)
00119300 10 GPU(10,J)«DTXJ)
00119400 DO 12 J«1,12
00119500 GLPW(12,J)«AW(J)
0011960» CLP (12,J>«BU(J>
00119700 GP (12,J)=CW(J>
00119800 12 GPU (12,J)«DW(J>
00119900 RETURN
00120000 END
44 8
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
TOTAL NO, OF PROBLEMS a
PROBLEM NO, • 1 CANTILEVER
•веввеоооовееееоооаеаеееееееаввеоееееееоееовеееееевевеееоееоееевеееееееевввееова
NVFIX 5 NOTRBC» 6 NTYPE ж 1 NOEQ « 1
IB a a
NOOAL NODE I 2 3 4 S 6 7 a л» la U 12 13 1« 13 IB POINT COORDINATES * Y o.aee в.вае 8,500 0,008 1,000 e.000 1,580 0,000 2.080 8,000 2,000 a,258 2,080 0,500 2,000 0,758 2,obb i.aaa 1,500 1,000 1,0B0 1,000 e,5oe 1,000 0,000 1,000 8,000 0,750 0,000 0,508 B,BB0 0.250
restrained nodes
NODE code FIXED VALUES
1 11 B.000000 0,000000
13 11 0,000000 0,000000
14 11 0.000000 0.000000
15 11 0.000000 0.000000
16 11 0,000000 0,600000
MATERIAL PROPERTIES
NUMBER PROPERTIES
i о.гзвеоое m о.зееоовЕ ей
NUMBER OF TRACTION B.CS = 6
TRACTION BOUNDARY CONDITIONS
1 з а.овеа - e.oaee 0.0000 0,600В • 0,0000 0.0000
2 з в.оиеи о,0000 е.ееее е.ееее 0.0000 0,0000
3 з о.веов -1.0000 0,0060 -1.0000 е.веее -1.00Й0
4 з е.овое -i.eeeB 0.0000 -1.000В 0,0660 •1.0000
5 з a,0OBB е.ееее 0,0000 0.0000 е.0000 0,0000
6 3 0,000В 0,0000 В.0000 0,6000 е.0000 е.ееее
NODE DISPLACEMENTS TRACTIONS
1 0.00О0Е 00 0.0000Е 00 0.0000Е ев в.ееввЕ 00
2 >0,2843Е 01 -0.1В66Е 01 0.0000Е 00 0.0000Е 00
3 -0.3481Е 01 -0.5139Е 01 0.0000Е ев е.ееаеЕ 00
4 -0,4348Е 81 -0.9556Е 01 0.0000Е ее 0.0000Е 00
5 -В.46В1Е 01 -0,1467Е 02 0.0000Е ее е.ееееЕ ее
В *0,22106 Bl -0.1458Е 02 0.0000Е 00 -0.1000Е 01
7 e,1516E-04 -0,14516 02 0.0000Е 06 -0.1300Е 01 »
8 е.гаюЕ 01 -b.iasbe 02 0.0000Е 00 -0.1000Е 01
S а,4бВ1Е 01 -0.1467Е 02 0.0000Е 00 -0.100»Е 01
10 0,4340Е 01 -0.955ВЕ В1 0.0000Е ее -0.100ВЕ В1
и 0.34В1Е 01 -0.5139Е 01 И.0000Е 60 0.0000Е 00
12 О,2043Е В1 -0.1В66Е 01 0.0000Е ее 0,е»00Е 00 *
Распечатка программы НМГЭ
449
13 и.оаеоЕ ое о.оосве ае
1* е.еаааЕ ее о.еаееЕ ае
is e.oeeot ев о.еаееЕ ев
I» е.еааеЕ ее а.ееееЕ ее
17
1В
19
ге
в.ееаеЕ во а.оеовЕ еа
а.ееееЕ еи а.ееееЕ ее
а.ееееЕ ае о.еаеоЕ ее
-B.U17E на н.еяаое at
>а.4ЫВЕ ci >a,3i46L«et
»0,9276Е»Вб 0,304/Е ВО
a.eaiBE at «e,3i4PE-ai
e.i4t7E ег о.goose at
NO OF INTERIOR РТЗе 1
INTERIOR DISPLACEMENTS
ID X Y UX
UY
0 a.ase 0.586
0 a, see 0,506
a a,7se 0,580
a i.aae a.see
0 1.288 . 0,800
0 i.sae 8,500
0 1.750 0.580
0.3735£«85 -0.4H4E >e
o,5?63E-»5 и.казе at
е,б05бе»е5 •a.ietaE at
e.oiME-es -'о,4вЯ4Е ei
е.аззвЕ-а» •O.tosie at
0,7291E.05 •В.Я443Е Щ
a,517EE.es •(.1197E 42
«'<’‘>03100
согопгоо c-
ГОЗОЭЗЭО c
CO300430
(,0300500
00'909600
09000793
>30000800
03000900
00001000
00501100
C0301200
00301300
00001400
00001500
СОП016ЭО
00001700
00301800
00001900
00002000
00002100 C
00002200 t
00002300
0000240.0
00002500
progpa" iBEit
INDIRECT BCM : QUADRATIC BOUHOARV.SEGMENTS. DISCONTINUOUS
SOURCES *f CORKERS AHO LOADING niJCONTUUlTIES
DIMENSION TITLE(12>.
C0M4O>t/D4>jCiJBUG<10)
coh4ou/rspnt/gsp(3>.gspu(3)
COHGON/COtiTRO/MPO IN, NHOOE, NB0F4.NTVPE.NGA»S, NpROF.hMATS.NVPIX
..NpROB.HTCOHP.HCALCO
COMMON/LGDATA/.CODRD(60,2> .PROPSd .51/МОГ! v(60) .IFPRE(60,2>«
. .M»T1IO(1>.PRESC(6O,2) .
C0H40N/eMATS/NBtATA<1.4>.L<00BI(1,60.).IJ₽lREG,XCRDDK61).
.YCRDNl(e1>,CNRT0L,INTVP(1.61> f '
.COMM0N/HAT,CON/RYU, CONST, CONS2,CONS4,OMAX,uGP,NGGP,6P(12.17>
. .СРМ(1г.12ы$ир|.мев.мввм,сони(:1Ах32«чваг.нв»гр
. .11COMP,NCLPT.RHAXL.NUNIF.NOEO.GLP(.12.12).GLPW(12.12>
COMMON/SOLV/ RLHS(122.1Z3),UFIX(12O>,RHS(122).TF1X(12O>
COM40N 7L0ISK/ NOISKA.NOTSKB
N0lSXA«17
NDISKB*18
MAXSZM22 ’
**** include FOLLOWING LINES FROM PROGRAM DBEM
♦♦♦• LINE NO 2100 TO 4000 -
STOP
ENO
SUBROUTINE INPUT
INCLUDE COMMON BLOCKS
•*** MATCON CONTRO LGOATA BMATS *•**
00002600
00002730
00002800
09002900
C0003000 • 900 F0RMATC16I5)
С0003Ю0 ----------
00503200
00003300
C9OO3409
00003500
00003600
00003700
00003800
СОЮ3900
00004000
00004100
00004200
c __________________ ____________
C*** READ THE FIRST DATA CARB. AND ECHO IT IHMEOlATELV.
.REA0C5.900) NVFIX.NTVPC.NOCO
905
WRITE(6,905) NOEO,NVFIX.MTVPE
FORMAT(//8N NOEO >.I4.4X,7H NVFIRp,I4U.4X.8M ИТТРС «,141
HDI.ME«2
N00FH«2
HHATS«1
NUHBIal
NUMELal
NPROP.2
NRES«1
READ(5,900) (NOOATA(NUMIU>,J|a1.3>
WRITE (6.900) (HODATA(NuMBl.J>Ua1.3)
NeB«NB0ATA(NUMBl.1)
450 Гл. 15. Реализация на ЭВМ
00004300 00004400 00004500 00004600 00004700 /0004800 00004900 00005000 00005100 00005200 00005300 *'0005400 •>0005500 «0005600 ЭО0057Э0 00*>05800 О0*>05900 309D6090 00006130 •30306200 ооэобзоа 00306400 УС00650Э •'оооббоо 90096700 гоз06800 50306900 30007000 30007100 50007200 •>0307360 00007400 *0007500 00307600 90307700 00007800 00007900 гсоовооэ 00008100 00008200 ооооззоа 090084DO 30608500 00008600 30008700 00008800 00008900 00009000 00099100 90009200 90009300 00009400 00309500 00909600 90009700 09009800 090099/0 coolоо5о 00010100 00010209 •30310300 00010400 00010500 00910600 90019700 00010800 90010900 00011000 00311100 npoih.hbb hoseg«'13b/2 MATNOd )х1 DO 10 ГхЪИВВ 10 LNOdBKN'JMBI. t)*I 88X0(5.9031 (INTYP(NUMBT.I).Ix1,NBB> ЫВ1ТЕЕ6.900) CINTYP(NUMHI.I).I>1.4BB) C*** ZERO ALL THE 1)00AL COORDINATES. PRIOR TO READING SOME OF THEM. DO 20 IP0IN*1.NPOIN _ DO 20 101ЧЕ>1.Ч01ЧБ 20 COORDEIPOIN.IDTMEjxO.O C**» READ SO"E NODAL COORDINATES. FINISHING UIT.I THE LAST NDOFOF ALL WRITE<6.920> 920 F0P4ATE//25H NODAL POINT COORDINATES) WRITEE6.925) 925 F0R4ATI6H >I0DE,7X,1HX.9X,1HY>’ 33 READES.*>301 IPOIN. ECOOROE 1PQIU. ID I IE) • IdI->ES1 .NOIUE) 930 FORMATdS.SFlD.S) IFdpniM.'lE.KPOINI GO TO 30 C*A* INTERPOLATE COORDINATES DE UIO-StDE LODES CALL 1,'ODEXY 40 COtiTP'UE DO 50 IP0IN.1 .Е1Р01П z 50 WR1TE(6,935) IPOIu. ECOOROdPOIN. IDII’E), IOI'IE.1 .NDIBE) 935 FORVATdX.I5.3F10.31 C BOUNDARY CONDITIONS URITEEA,94*0) 940 FOR4ATE//20H BOUNDARY CONDITIONS) WRITEE6.945) 945 FORMATESH NODE,1X.4hCODE,6X.12H VALUES) DO 60 IVFIX*1«NVFIX READES.950) NOF IJ(.( IVFIX), EIFPRE ГIVFIX. IDOFN) , I00FN=1. NDOFN) . , • (PRESCCIVFIX.IflDFN)»ID0FN=1.N90FN) 60 WRITEE6.950) HdtlX(IVFIX>.(IFPRE(IVFIX.I0i>F»).I90FUx1,ND0FK). « (PRESC<IVfIXrIDOFN>.IDoFu>1.NDOF»> 950 FORUATE1X.14.3X,211.ZFlO.61 C**» READ THE AVAILABLE SELECTION OF ELEMENT PROPERTIES. WRITEE6.960) 960 F0RMAT(//21B MATERIAL PROPERTIES) URITEC6,965) 965 F0R4AT(8H NUMBER.7X.10HPRnPERTIES> READES,930) NUHAT,EPROPSENUMAT,1PROP),IPROPxl,NPROP) 4RITEE6.930) HUHAT,(PROPS(NUMAT,IPROP).IPROPxl.NPROP) RETURN- END SUBROUTINE NOOEXT C **** INCLUDE COMMON BLOCKS ***» c **»* LGDATA CONTRO PRATS *••• C INCLUDE FOLLOWING STATEMENTS FROM PROGRA DBEM **•* c **** lines 14300 TO 16000 RETURN END SUBROUTINE BELUATIM.NBBI) DIMENSION AMT(2,120),BMTE2,120),ISINGd20),SC0L(3) C **** include common blocks *»m C *»** NATCOU CONTRO LGDATA BmATS LDISK DBUG **** $HN1(S>> 2.0*(S-0.5)*(S-1.0) SHH2(S>x-4.0*S*ES-1.0) SHN3(S)x 2.0»S»(S-0.5) 0SH1(S)x4.«S-3. DSH2(S)x-8.*S+4. 0SH3(S)x4.*S-1. NBBxNBOATA(NBBT.I) ISUPS>NB0ATA(KBBI,2) NGpxnbdaTA(NBBI,3) NBBMxi'BB c Set up material constants.. ’ITsilATNO(l') PJ»3.14159
Распечатка программы НМГЭ
451
00311200 гэсизоо 9001140п 90911509 00911600 00011700 С 0011800 00911090 00912000 00112109 30012200 00012300 00912405 00912500 10012600 90012709 00012800 90012900 00013000 Г0013100 09013200 90013300 90013400 '0013500 IFC'ITYPE.EO.I) GOTO 1 RNU»PR0PS(MT,2> RNU=RKU/<1.0*R'iU> ESxPROPSCRT.I) ES»ES7 <1.0-RNU*RNU) PROPSCPT.2)=RNU PPOPSCT. 1 )=ES 1 CONTINUE RNU=PR9PS(MTf2) C0HS1=-1.0/(8.-9»PI*Cl.0-»NU>> CCNS2«3.C-4.0*PMU C04S3»-1.0/4.0/PI/(1.0'-RNU) CONS4«1.0-2.0*R4V J«0 DO 2 1=1.NBB J«J»1 4U4C«LN0D9I(NBBl,I) XCRPBIC J )=CO0RD CN'JMC. 1) YCRDBICJ)=C00RD<NUHC.2> ? CONTINUE • NBBP»NBB+1 XCRDBI(NBRP)=XCRDBI(1) YCRDBIC4B"P)»YCRDBI(1) C FIND ИАХ ELEMENT LENGTH .........
99013690 00013790 00913800 09013900 00014000 09014109 00014290 РО014300 09914400 00014500 00014600 ООП14700 00014800 00014900 39015000 00915100 00015295 00015309 00015490 90015500 00015600 00015700 00015800 30015900 00016000 09016100 00016200 000.16300 00016400 00016590 00016600 00016700 00016800 *0016900 00017000 00017100 00017200 50017300 00017400 00017500 00017600 00017700 00017800 00017900 00018009 R»AXL«0.0 ’ 4BB0»NDB/2 BO 3 I«1,NBB0 3 INTYPlNBBI.I>=0 DO 5 IbI.NBOO I1>2*I>1 ' 12=2*1+1 IP*I1+1 !Чж11-1 IF<I.E0.1)I4=NBB IFCI.EO.NBBC) 12=1 RL=SCRT< <XCRDBI<I2)-XCRDBI(I1) )**2 * . (YCRDBI(I2)-YCRDBI(I1))**2) IF(RL.GT.RMAXL) R4AXLBRL XAsXCRDBHID-XCRDBICIV) YA=YC«DBI(I1>-YCR9BI(IM) xb=xcfobi(ip)-xcrobi(iij ¥8=YCP.0BI(IP)-YCR0Bl(I1) DOT=XA*XB+YA*YB ra=sortcxa*xa*ya*ya) RB=SORT(XB*XB+YB*YB) DOT»DOT/RA/RB IFCDOT.LT.0.86666) IHTTP(NBBl,I)»1 C IF ANGLE.LT.30 DES. NO CORNERS 5 CONTINUE IF(JBUG(5).EO.O) GOTO 77 WR1TEC6.2904)(XCRDBIII),YCROBI(I).Isl.NOBpl 2004 FOP.'IATC1X,10E12.4) 77 CONTINUE C PERFORM BOUNDARY COLLOCATION •ICLPT=O C FIND NO. OF COMP. IN A AND 8 1ATRICFS NCOMptfcBB DO 10 I al.NUBQ 10 NCOMP=NCOMP+INTYPCHBBI<I) NC04P2=2*NFOMP DO 70 ISEG=1>!IBBC1 C SFT UP 3 NODAL COORDS Oh ASEG-••
ISA»2*tSEG-1 ISB=ISA*1 isc=isb*i ifciscg.ed.nbbc) isc«1 XAbXCRDRKISA) YAmYCROBICISA) XBaXCPDBICISB)
452
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
0001В100 V.B*VCRDBI<ISB>i'
00018200 00018300 00018400 00018500 00018600 00018700 00018800 00018900 00019000 00019100 00019200 00019300 00019400 00019500 00019600 00019700 00019800 00019900 00020000 00020100 00020200 00020300 00020400 00020506 00020600 00020700 00020800 00020900 00021000 00021100 00021200 00021300 00021400 00021500 00021600 00021700 00021800 00021900 00022000 00022100 00022200 00022300 00022400 00022500 00022600 00022700 00022800 00022900 00023000 00023100. 00023200' 00023300 00023400 00023500 00023600 00023700 00023800 00023900 00024000 00024103 О0П242-»0- 00024300 00024400 00*24590 00024600 00024700 00024800 00024900 С с XCsXCRDBlIISO VC*TCRDBIIISC> SET UP COLLOCATION POINTS IBEGP*ISEG*1 IFIISEG.EO.NBBO> ISEGP*1 ITTP1*1NTVP(NBBI,ISEG> ITYP24NTVPINBDI, ISEGP> IFIITYP1.NE.1) GO TO 15 NC0l*3 - SC0LI1>*1.0/6.0 SC0L<2»0.5 SC0L<3>«1.0 IFIITYP2.E0.1} SCOL<3>«5.0/6.8 GO TO 16 • 15 NC0L*2 SC0LI1>*0.5 SC0Lt2)*1.0 IFIITYP2.E0.1) Sc0L<2)*5.0/6.0 16 CONTINUE
г DO 25 I*1,NBB0 25 ISINGtI>*0. ISINGtTSEG)*1 DO 60 IC«1.NC0L
XSI*SCOLUC> XPT*SKN1 ( XS I ) *XA*SHN2(XS I >,*XB*SHN3 (XS 1 >*ХС VPT*SHN11XSI>•YA.SNH2CXSI)•YB.SNN3СXSI)♦VC DXN«DSH1(XSI>*XA*DSH2<XSI>*XB*DSH3(XS1>«XC DYN«OSH1(XSl>*VA*0SH2(XSl>*V8*DSH3<XSI>*YC RPX«SORTIDXN*OXH*OYN*OY4> XNP*DYN/RPN VNP*“DXN/RPN IF(JBIIG(10>.E0.0> GOTO 40 WRITE<6,41> XSI.XPT.YPT.XHP.YNP 41 FORMXTIEX^’FIELD PTS’.5e12.4> 40 CONTInot' ' CALL Intabixpt.ypt,xsi,ising,amt.вит,xnp,ynp> C UPDATE TOTAL NO OF COLLOCATIONS NCLPT«NCLPT*1 c write a ano b matrices to disk NBD2*N.COMP2 ’ NBB3*NCOMP2 do SO 1*1.2 WRITE(N01SKA>(ANTII.J>,J«1,NBB2> SO WRITEINOISKBl(BMTII,Л,J*1,N083> 60 CONTINUE IF(JBUG(15>.EO.O>' GOTO 65- WRITE16.1010> 1010 -FORMATION,’ A ANO В MATRICES •> 00 61 1*1,2 61 WRITEI6.2004)IAMIII,J>.J«1,NBB2> 00 62 1*1.2 62 UNITE 16.2004)lONTII,J>,J*1,NBB3/ 70 CONTINUE '65 CONTINUE RETURN ENO SUBROUTINE INTAB<XPT»TPT,XS1,ISING,AMT,BMt,XHR,YNP} DIMENSION A>-TC2,120).D!T(2.120).ISlHG<12r.> DIMENSION SGPII/I.GWPJ I3>. ISNGSGISI.At U3>.BII(3> DIMENSION SLGP(12>,GLWPj(3>,AI(3),BI(3),S4P(3>,AAI< DIMENSION Al 11<3».В11113> C *•* INCLUDE COMMON BLOCKS **** C *••• lEAI'G gspwt bmats matcon *»*♦ HRBI*1 RAT"0.0 SLNG«0.0
,ВВ!(3>
Распечатка программы НМГЭ
453
50525030 00325«00 оосазго*» 00025330 С0025*00 *20 21 SL46S«0.0' 00 21 1*1.2 DO 21 3*1.120 Awt(I,J>«0.<' BP.T(I.J>*0.0
30325500 •00025600 *00025709 0002580-3 00025900 00026000 00026100 -50026200 00026330 00026400 00026503 00026600 00026700 <>0026800 00026900 •30327000 <0027100 оосгзгоо 00027300 €0027400 00027500 €0027600 00027700 00027800 00027900 С0028000 00028109 *30028200 •00028300 00028400 00028500 €0028600 «0028700 «0028800 ооогвФоо 00029000 0.0029103 €0029200 00029300 00329400 €0029530 ооогтб-ээ 00029700 00029803 «0029900 00033000. •00030133 •30030200 00030300 €9030400 С053п500 00.030609 00030700 00030890 C0C3090Q «0031000 00031100- 00031200 00031300 09931400 , 00331500 00031600 00031700 0003189.3 С *♦** INCLUDE LINES 30400 ТО 32000 ЕЯОМ ©ЭЕ»! ♦***
с с с с с с I 4 4# •••* INCLUDE FOLLOWING LINES FROM’ ODEM PROGRAM »**• ' **** LINES 33200 TO 63500 COORDS OF VECTOR BETWEEN GUASS AND FIELD PTS XPG »- XGP *XPT YPG »-YGP <YPT XLPC*-XLGP*XPT YIPG»-VLGP+YPT OUT'JARD NORMAL AT FIELD PT PPG «S9RT(XP6*XPG ♦VPG»YPG) XNGPaXNP YNGP«YNP RPG2*1.O/RPG/RP6 XRp XpG*XPG*RDG2 YR» ж YPG*YPG»RPG2 XYRP» XPG*YPG*RPG2 RNXY* XNGP*XPG ♦.YNG₽*YpG INTEGRATION KERNELS GLPUJ*GLPU(4GP.IG)aRLJAc«TRANSL GLWPJ<1>»5HN1(SL>*GLPW4 GLNPJ <2>*SHN2-(SL»*GLPWJ GiwPJ (3>a$Ht!3(SL>*GLPVJ GPWJ*G₽W(NGP.IG»*RJAC*TRAHSL GUPJ<1)«SHN1(S)a6PW3 l GWPJ<2)*SHN2(S)*gPW3 ' GWPJ<3)«SHN3(S1*GPWJ •RTERM ж C0NS1*C0NS2*AL0G<RPW- 00 80- K«1.3 K2*2*K • IS44 + 4P0S -• K‘:*K2->1 . RTERMG*C0HS1*C0NS2«GLWPjCX> ВМГ(1,КЧ)«ВМТ<1,КН>-6МРЗ<К)*С0Н51*ХАР c ' B>T<2,K2)«B4T(2,K2J-GWPJ(K)*CONS1*Y«P * IF(ISING<IS).E0.1.AND.TSNGSG<ISB).E0.1) GOTO /1 IF<ISING(ISM).E0.1•AND.ISB.EO.T.ANO.ABS(XSI-1.1.LT.3.0001» GOTO 71 IF(1SI NG(ISP)•EQ.1.AND.ISB.E0.3•ANOABS(XSI)•LT.0.0001> GOTO 71 GOTO 72 71 CONTINUE SINGULAR INTEGRATION OF LOG .TERMS RBI«BI (ISBWRAOC IF(ISING<IS>.EQ.1) GOTO 73 IF(ISB.E3.1) R3I«ABS(BIII(1]>aSLNG ; ' IF(ISB.E0.3> R9I*ABSCBI11(3»>ASLNGS . , 73 CONTINUE STERV«-RTERMG+CONSl*COKS2*AL0G(RBI>6GaPj(K> S!iT<1 ,кч»«в:>т(1 ,k4>+ST£ru ; ВЯТС2, K2)»m<2,K2»*SrtM GOTO 76 72 CONTIHUE B,IT(1.K«»«BNT(1.K!<HGUPJ(K)*RTER4 BMT(2,K2)«B4T(2tK2>»GMPJ(K>*RTERM 76 CONTINUE BMT(1.K2>«BMT(1,K2> -GWPJCK)*CONS1*XYRP 80 BNT<2>KM>"BMT(1,K2> GWPJCDsSHNICSXGPWJ * GUPJC2)«SHN2(S»AGRWJ G’4PJ(3>>S!>N3<S)*G₽WJ RNYXa YNGPAXPG -XNGP*YPG DO 100 K>1.3 K2»2*K ♦ IS44 ♦ sipos ККЖК2-1 GTERM>GWPJ<K)ACONS3*RPG2 А.ЧТ(1,КМ)ЖАЧГС1,КЧ>+ GTERM4IC0NS4 ♦2.0*XRp)<RNXY
454
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
40031900
00032000
00032100
00032200
00032300
00032400
00032500
00032600
00032700
00032800
00032900
00033000
00033100
00033200
00033300
00О334О0
00033500
00033600
00033700
00033800
00033900
00034000
00034100
00034200
00034300
00034430
©0034500
00034600
00034700
00034800
40034900
40035000
40035100
00035200
00035300
©0035400
©0035500
©0035600
©0035700
©0035800
40035900
40036000
©003610*)
40036230
40036303
40936400
40036500
40336603
©0036700
©0С368Э0
40036900
40037000
<*0337130
©0037200
©0037330
©0037400
©0037500
©0037600
©0037700
©0037800
©0037930
©0038000
©0038100
00038203
00038300
40038400
00038500-
00038600
©0038700
АЧТ(2,Х2)«АЧТ(2,К2)* GTtR>!*<C0NS4 +?.6*YRPHRNX7
ANT(1,K2)«AI<TC1,K2) + GTERM*CC0NS4*RNYX -»2.0*XYRP*RNXY>
130 A4T<2,K4)«AHT (2,KM)*CTERM*C-C0HS4*RNYX*2.*XYRP*RNXY)
130 CONTINUE
150 CONTINUE /
C ENO.OF INTEGRATION I
200 CONTINUE
C CALCULATION Of DIAGONAL TERMS OF MATRIX A«T
IFUSIHG.EO.O) GOTO 253
NCOMpxKZ
SUM11X-0.5
5ин22»-0Г5
SUMI2«3.0
SUM21=0.0
M>!POS«O
DO 205 I=1.JSIi,’G
ITP»IHTYP(NREG,I>
IF(I.HE.1> MMPOS=HMpOS +2*ITP
205 CONTINUE
JS4»4*< JSING-1)’*** HMPO?
SHP(1)«SHN1(XSI)
SHp(2)»SHN2(XSI)
SHP(3)»SHN3(\si)
DO 250 I»1,3
I2»2*I+JS4
I4»I2-1
A4TC1.IM)«A4T(1,I4)-SU411*SHP(I)
AHT(2,I2>«AUT<2,I2)-Su422*sH₽(I)
A4T(2,l4)«A4T(2,IMJ-SUM21AjpPII)
A4T(1,I2)«AMTC1,I2)-SU412*SKP(I>
250 CONTINUE
253 CONTINUE
IF(JBUGC10).EQ.O> ©OTO 300
WRITEC6.1000)
1000 FORMAT(6X.*A AND 8 MATRICES')
UHTE<6,1010) C(AMT<T,J),J=1.NC0MP),I«1,2)
WRITEC6.101O) <<B«T<I.J)tJ»1.NC04P),I=1|2)
340 CONTINUE
C ***» INCLUDE FOLLOWING SA1EMENTS FROM PROGRAM OBEH •*»*
C •*** LINE NOS .75400 тЬ 76000 ****
RETURN
end • •
SUBROUTINE SIHEC A.M.Nihl >
DIMENSION AIM,123)
C *»**. INCLUDE FOLLOWING LINES FROM PROGRAM DBEM **♦*
C •*** LINES 76500 TO 78500 ****
STOP
END
SUBROUTINE BISOLV
DIMENSION A'4T(2,120)tBHH2-,120)
t *** INCLUDE COMMON BLOCKS ****
C *** DRUG CONTRO LGDATA- BMATS HATCO-I SOLV LDlSK *»**
CMOD«0.5*PROPSt1,1>I(1.OAPROPS C1> 2))
NREGsl
4BB«KBDATA(HREG,1)
NBBOsNBB/2
NDBSsRBB
C FIND THE NUMBER OF SOURCES
DO 10 X sl.tlBBQ
10 NBBS»NBBS*INTYP(NREG>I>
HBBS2=NBBS*2
NBB2«NBBS2
NBB3«NBBS2
IRANGMl
C LOOP OVER COLLOCATION PTS
C AND SET UP MATRIX EONS
REWIND NOLSKA
REWIND NDISKB
IDST«O
Распечатка программы НМГЭ
455
00038860 С LOOP OVER SOURCE NODES ...........
00038900 00 200 ICP«1.NBBS
00039000 ICP2*2*<ICP-1>
00039100 C HEAD A AND в HATRICES
00039200 DO 110 I«1,2
00039300 READ<N0ISKA>(AHTCT»J>,J»1,N8B2>
00039*00 110 RE*D(NDISKB)<BMT(I,'j),J«1,NBB3>
00039500* C SET UP EONS ANO RHSIDES.......
00039600 C LOOP OVER X.T COMPONENTS ............
00039700 DO 180 1XV>1.2
00039800 IDST»IDST*1
00039900 RLH$<IDST.NBB3*1)*0.0
000*0000 RLHS(IDST,NBB3*2)=0.0
000*0100 IF(IFPRE(ICP.IXY>.EG.2> GOTO 150
000*0200 IFCIFPRECICP.IXYI.NE.H WRITE(6.4000>
000*0300 *000 F0RMATC1X.’ERROR NODE BC FLAG HAS INCORRECT VAL*>
000*0*00 c 00040500 DISP CONDITION ......... DO 130 J«1,NBB3
00040600 130 RLHS(IOST,J)«BMT(IXY.JJ
000*0700 NBB3XV«NBB3*IXV
000*0800 RLHSjtIDST.NBB3XYIB1.0
SET UP RHS...»...»
000*1000 RHS<IDST)>PRESC(ICP.IXY)*GMOD
000*1100 GOTO 180
000*1200 150 CONTINUE
'000*1*00 DO 170 J*1.NBB3
00041500 170 RLNS(IDST.J>®AHT(tXY.JJ
000*1600 RHS(IOST)*PRESCCICP.IXY)
000*1700 180 CONTINUE
00041800 200 CONTINUE
000*1900 C IMPOSE INTCRAl OF SOURCES >0.8.......
000*2000 4₽«I0ST»2
00042100 DO 202 I»1.2
00042200 IIDST«I*IOST-
O00423OO DO 202 JM.JP
000*2400 202 RLHSCriDST.J)«B.O
00042600 JPoSxO
000*2700 DO 20* IS=1,NBBQ
000*2800’ IS1»2*IS-1
000*2900 IS2«IS1*1
00043000 IS3>IS2*1
000*3100 IFCIS.EO.NBBOI IS3«1
00043200 xa»xcrdbhisi>
000*3309 YA«YCRPBICIS1>
000*3400 XOXCRDBI(IS3>
000*3500 YCxYCRDBI(IS3>
000*3600 RLxS0RT((XC-XAJR*2f(YC-YA)**2)
00043700 IS6*4*(IS~1>
00043800 IF(IS.HE.I) JP0S»JP0S*2»!HTYP(NRE6«ISl
00043900 DO 203 1>1.2
0004*000 I1«I*JPOS+IS6
0004*100 I2»I1+2
000*4200 I3.I2+2
0004*300 IDSTII»IOST+I
000**400 RLHS(I0STII.I1}sRLHS(IDSTII.I1>FRL/6.0
000*4500 RLHS(IDSTII.I2)«RLHS<ID$TII.I2>*2.0*RLZ3.0
0004*600 203 RtHS<IOsni.I3>*RLNS(IDSTII.I3HRL/6.0
000*4700 204 CONTINUE
0004*800 RHS(!OST*11«0.0
000**90'0 RHS(IDST*2>*0.0
00045000 IDSTsIDST*Z
00045100 DO 210 TM.IDST
00045200 RLHS(i,IDST»1>»RHS(I>
00045300 210 CONTINUE
00045*00 IP=IDST+1
000*5500 NCLPT2*2*NBBS*2
000*5600 XFCJBUGCZOJ.EO.Q} GOTO 215
456
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
00045700 WRI ТЕ<6,1039) , ' ‘
00045800 1030 FORMAT(6XFINAL SYSTEM OF EONS',/)
00045900 00'211 I»1,HCLPT2
00046000 211 NR1TE<6,10281 (RLHS<1,J),J>1,IP>
00046100 1028 FORMAT(1X,12E1O.3>
00046200 215 CONTINUE
00046300 IFCI0ST.UE.NCLOT2) WRITeC6,1000) I0ST,NCLpT2
00046400 1000 FORMATdX,'***ERROR EON SET NOT SQUARE»*»- NO OF COLS
00046500 . «'.гея
00046600 С SOLVE LINEAR EONS
00046709 Е ROW interchange»»»».
00046830 RMAX«0.0
С-0046900 С SKIP ROJ INTERCHALf.FS
00047000 IFCIRANG.EO.0) GOTO 251
00047100 DO 240 J=1,I0ST
00047200 IR0M«J Г
00047390 Z«0.0
00047403 DO 22C K>J>NCLPT2
00047500 IF(ABS<RLHS<K,J)).LT.Z> GOTO 220
00047600 Z«A9S(RLHS<K,JJ)
00047700 IROW«K
00047800 220 CONTINUE
€904/900 IFCZ.GT.RI'RX) R’IAX=Z
00043090 DO 230 K=1,IP
00048100 VAR«RLHS(JfR)
€0048200 rlhscj,k)»rlhs(irow.k>
00048300 230 RLHS(1rOW,K)«VAR
00048400 240 CONTINUE
00048500 IFCJBUGего».E0.01 GOTO 251
00048600 WRITE<6.1031)
00048700 1031 FORMATC6X,'REARRANGED -MATRIX ')
00048800 DO 250 i»1,NClf»T2
00048900 250 WRITE(6,1O28) (RLHS(I,J),J«1,IP)
,00049000 251 CONTINUE)
00049100 MAXSZ«122
00049200 CALL SIMECRLHS,MAXS2>IOST.1)
00049300 C WRITE RESULTS
00049400 wRitE(6,1010)
00049500 1010 FORMATC1X**BOUNDARY FICTITIOUS TRACTIONS1)
00049600 INODEsIOST/2
00049700 DO 401 JK«1.INODE
00049800 IJ«<JK-1>*2
00049900 WRITE<6.1020) JK,RLmS<Ij+1,IDST+1),RLHSC1j*2,IdST+1)
00050000 401 CONTINUE
00050100 1020 FORMATCIS,2E12.4)
00050200 C FINO BOUNDARY DISPS AND TRACTIONS: 4'’'
00050300 REWIND NOISKB
00050400 REWIND-NDISKA
00050500 DO 270 1=1,IDST
00050600 UFIXCD-0.0
00050700 TFlXCl)«0.0
00050800 270 rhs(i)»rlhsii,idst»i)
00050900 DO 300 IS>1.NBBS
00051000 IS2«2*(IS-1)
00051100 00 280 I«1,2
00051200 READCNDISKA)(AMTCI,J),J=1,NBB3)
00051300 220 READCNDISKB)CBMTCI,J),J=1.NBB3)
00051400 DO 291 I«1,2 .
00051500 IP"IS2*I
00051600 IQ»IDST-2*I
00051700 DO 290 J»1,NBB3
00051800 TFIXCIP)eTFIX С IP)*AMTС I•J)*RHSCJ>
00051900 290 UF1X(IP)«UFIX<IP)♦BMT(I,J)*RHSCJ> (
00052000 291 UFIX(IP)«UF!X(IP)»RHS(IO)
00052100 300 CONTINUE
00052200 DO 311 I«1,NBB3
00052300 311 UFIX<l)=UFIX<I)ZGMOO
00052400 WRITEC6,1-032) ’
09052500 1032 F0RMATC1X,* BOUNDARY DISPLACEMENTS')
Распечатка программы НМГЭ
457
00052600 INODE*NBB3/2
00052700 00052800 00052900 00053000 402 DO 402 JK«1,INODE IJ«(JK-1)*2 wRITE(6,1020) JK,UFIX(IJ*1),UF!X(IJ*2> CONTINUE
00053100 00053200 1040 WRlT£(6,1040) F0RMATC1X,' BOUNDARY TRACTIONS')
00053300 0Э0534Э0 00053500 00053600 403 DO 403 J№1, INODE IJ«(JK-1)*2 WRITE(6,1020) JK,TFIX(IJ*1)<TF1X(IJ42) CONTINUE
00053700 00053800 00053909 00054000 03054194 C0C542-30 09054309 C * NUNIT*NBB3 RETURN END SUBROUTINE BIPTS DIMENSION DP-4AT(2,12O),TR41AT<2,12'>),'JI'I<2),TI::(2> DIMENSION SOT(3),ISING(40) *** INCLUDE FOLLOWING COMMON BLOCKS ****
00054400 C DFI.'G SOLV-CONTRO LGDATA BHATS VATCON ****
C3554500-C THIS .ROUTINE FINOS DISRS AND TFACt)ONS IN AND Oh
С05566ЛП 5ЛС547ЭО CAM
00054890 NB8*NNCATA(INBI,1)
00054900 ISUPS=l.'B0ATA(1'IBI,2)
ooossooo NGP>N8DATA(INBI,3)
00055100 FiOSEG*NBB/2
00055200 G'IOD«0.5*PROPS(1,1)/(1.0*PROPS(1,2))
00055300 C NUMBER OF FICTITIOUS TRACTION COMPONENTS
C0<'554J0 NBB2*KUNIT
00955500 N*B3»NUNIT
00055700 READ(5,1020) NOINPT
30055800 WRITE(6,1C25) NOINPT
Э0055900 1025 F0R4ATI20H NO OF INTERIOR PTS*,I5>
10056000 IF(*.'OI’1PT.EO.O) GOTO 400
СЭЭ56100 WRITE(6,1328>
U0O56200 1028 F0R4ATC1X.'INTERIOR DISPLACEMENTS AND STRESSES')
90056300 DO 250 IP=1,NOINPT
0005640» xsx»o.o
00056500 READ(5.1030) JSING,XI»,YIN,XNP.YNP,XSI
00056600 WRITE<6,1029)
00056700 1029 FORMAT<5X,3H ID.5X.2H X,7X,2H Y.6X.3H UX.SX.3H UY
90056800 ..6Х.ЗИ TX.6X.3H TV/)
00056900 write(6,1030> jsing,xt::,vp:
СОЭ57000 1030 FORMATCIS,5F10.3)
*10^57100 C SET UP COORDS CF Rf RFGIПН.•..••
30057200 J«0
00057300 DO 80
C0n574-)0
00057503 »W.MCsL40DBl (INDI. I)
00057600 XCROBI(J>*COORJCUOMC,1>
30057730 YCRDRI(J)bC00RD(NUMC,2)
00057800 80 CONTINUE
30057900 NBBP«%RB*1
00058009 XCR9BI(NBBP)>XCRDBI<1)
0905810'’ YCROBI p'BBPl-YCRDBl(1)
00053209 DO 85 Isl.NOSEG
30958330 85 lSI'.'G(I)«n
*0058400 IF(JSING.NE.O) ISING(JSlNG)£1
<•0058500 CALL tt.'TABtXIN.VIH.XSt.rSING.TRMAl.OPMAT.XNP.YNP)
30С5860Э 1F'(JBUG(33).EO.O) GOTO 95
30058790 WRITE<6,3005)
30058800 DO 91 1*1,2
00053900 91 UPlTEtЛ,2030 (ЗРМАТСI,J) , J«1,6BB2)
30C59000 DO 92 I«1.2
•90359100 92 WRITE (6.2030) (TRMATI I, J),J»1 tNBBJ)
00959200 95 CONTINUE
0Р05930П DO 230 t«1.2
00059400 UIN(l)>0.0
458
Гл. 15. Реализация на ЭВМ
00059500
00059600
00059700
00059800
00059900
00060000
00060100
00060200
00060500
00060400
00060500
00060600
00060700
00060800
00060900
00061000
00061100
00061200
00061500
00061400
Т1НШ«0.0
00 225 JM.NBB2
225 UlN<lJ«UlN<I>*DPMAT<TtJ>*RHSCj>
<00 226 4«1.ИВВ5 *'
226 TIN<I»TIN(I)*TRMAT(I*j>>>RHS(J>
250 CONTINUE
UINCn«urN<1>*RN$(NBB2*1>
UIN(2>«UIN<2>*RNS(HB82*2>
ВО 244 K*1.2
244 UIN<K>«UIH<K>76MDB
URITE(6.10S0> <UIN<L).L«1.2>,(TIH<l>.L-1,2>
250 CONTINUE
400 CONTINUE
RETURN
1020 F0RHAK1615)
500$ F0RMAT<6X.*A MB B’ MATRICES IN BIPTS. *>
2050 F0RHAT(1X*8E12.4>
1050 Е0ВЙАТ(25Х'4Е12.4>
ENV
C ••*** SUBROUTINE GAUSS IS IDENTICAL TO THAT OF DBEM
15.10. Литература
(1] Lachat J. C. Further developments of the boundary integral technique for
elasto-statics. — Ph. D. thes. — Southampton Univ. 1975.
12] Lachat J. C., Watson J. O. Effective numerical treatment of boundary in-
tegral equations: a formulation for three-dimensional elastostatics. — Int.
J. Num. Meth, in Engng, 1976, v. 10, p. 991—1005.
-[3] Lachat J. C., Watson J. O. Progress in the use of boundary integral equ-
ations, illustrated by examples. — Comp. Meth, in Appl. Meeh. Engng*
1975, v. 10, p. 273—289.
[4] Lachat J. C., Watson J. O. A second generation of boundary integral equa-
tion programs for three-dimensional elastic analysis. — In: Boundary in-
tegral equation method: computational applications in applied mechanics.
Ed. by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975. [Имеется
перевод: В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. Вычисли-
тельные аспекты и приложения в механике. Под ред. Т. Круаа, Ф. Риц-
цо. -М-: Мир, 1978.] * >
[5] Cruse Т. A. An improved boundary integral equation method for three-
dimensional elastic stress analysis — Int. J. Computers and Structs, 1974*
v. 4, p. 741—757.
[6] Besuner P. M., Snow D. W. Application of two-dimensional boundary integ-
ral equation method to engineering problems. — In: Boundary integral
equation method: computational applications in applied mechanics. Ed.
by T. A. Cruse, F. J. Rizzo. — New York: ASME, 1975. [Имеется перевод
в кн.: [4].J
[7] Butterfield R., Banerjee P. K. The problem of pile cap-pile group inte-
raction. — Geotechnq., 1971, t. 21, No. 2, p. 135—142.
[8] Banerjee P. K-. Driscoll R. M. Three-dimensional analysis of raked pile
groups. — Proc. Inst. Civ. Engrs, Res. and Theory, 1976, v. 61, p. 653—
671.
[9] Banerjee P. K., Davies T. G. The behaviour of axially and laterally loaded
single piles embedded in nonhomogeneous soils. — Geotechnq., 1978,
t. 28, No. 3, p. 309—326.
[ 10] Banerjee P. K., Davies T. G. Analysis of some reported case histories of
laterally loaded pile groups. — In: Proc. Int. Conf. Num. Meth, in Offsho-
re Piling, Institute of Civil, Engineers, London, 1979, p. 83—90.
[11] Watson J. O. Advanced implementation of boundary element method
in two and three-dimensional elasto-statics. — In: Developments in boun-
dary element methods. Ed. bylP. K- Banerjee, R. Butterfield. Ch. III.
— London: Applied Science Publishers, 1979.
15.10. Литература
459
[12] Mustoe G. G. W. A combination of the finite element method and bounda-
ry solutionjprocedure for continuum problems. — Ph. D. thes. — Univ.
of Wales, University College, Swansea, 1979.
[13] Stroud/A. H., Secrest D. Gaussian quadrature formulae.— Englewood
Cliffs: Prentice-Hall, 1966.
[14] RizzoF. J., Shippy D. J. An advanced boundary integral equation method
for three-dimensional thermo-elasticity. — Int. J. Num. Meth, in Engng,
1976, v. 11, p. 1753.
[15] Rizzo F. J., Shippy D. J. Boundary element methods in thermo-elasticity.
—In: Developments in boundary element methods. Ed. by P. K- Banerjee,
R. Butterfield. Ch. VII. — London: Applied Science Publishers, 1979.
[16] Tomlin G. R. Numerical analysis ofjcontinuum problems in zoned aniso-
tropic media. —Ph. D. thes. —Southampton Univ., 1972.
[17] Butterfield R., Tomlin G. R. Integral techniques for solving zoned ani-
sotropic continuum problems. — In: Proc. Int. Conf, on Variational Meth,
in Engng, Southampton Univ., 1971, p. 9/31—9/51.
[18] Das P. C. A disc based block elimination technique used for the solution
of non-symmetrical fully populated matrix systems encountered in the
boundary element method. —In: Proc. Int. Symp. on Rec. Dev. in Boun-
dary Element Meth., Southampton Univ., 1978, p. 391—404.
[19] Davies T G. Linear and nonlinear analysis of pile groups.—Ph. D. thes.—
Univ, of Wales, University College, Cardiff, 1979.
[20] Cruse T. A. Mathematical foundations of the boundary integral equation
method in solid mechanics. —AFOSR-TR-77-1002, Pratt and Whitney
Aircraft, Connecticut, 1977.
Приложение А
ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ,
СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ,
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ТЕНЗОРЫ
А.1. Введение
Читатель, не знакомый с индексными обозначениями, соглаше-
нием о суммировании и элементарными законами преобразований
тензоров, обнаружит, что в начальных главах перечисленные идеи
почти не используются. В остальных главах этой книги встречаются
выражения со многими индексами, имеющие значительно более
страшный вид. Переход этот представляется неизбежным, посколь-
ку приходится работать с выражениями, состоящими из многих
компонент, которые комбинируются в соответствии с точными за-
конами.
В этом приложении излагаются основные свойства индексных
обозначений и соглашение о суммировании Эйнштейна, что позволя-
ет обращаться с наборами величин идеально приспособленным к
вычислениям на ЭВМ способом. Некоторые фундаментальные идеи,
связанные с тензорной алгеброй в криволинейных координатах,
приводятся в § А.6. Этот последний вопрос находится довольно да-
леко от, того, что нам обычно требуется, однако поскольку концеп-
ция МГЭ основывается на геометрическом описании границ и внут-
ренних ячеек, а также распределении по ним некоторых функций,
то для дальнейшего продвижения на этом пути требуется анализ в
криволинейных координатах, для которого тензорный аппарат ока-
зывается удобным. Возможно, некоторые читатели найдут простоту
и красоту этого представления привлекательными и будут изучать
его дальше, что позволит им значительно усовершенствовать метод
нашего анализа.
А.2. Индексные обозначения
Основная идея заключается в том, что все величины, которые оп-
ределяются набором компонент, следует обозначать при помощи
нижних (или верхних) индексов, что показывает сразу и количест-
во компонент, и их вид- Так, например, компоненты радиуса-векто-
ра (координаты) точки обозначаются через х t, что в случае трех из-
мерений означает набор xit х2, х3. В этом случае i = 1, 2, 3, а в дву-
мерном случае i = 1, 2, что соответствует компонентам хъ х2.
Аналогично компоненты произвольного вектора и можно обозначить
через щ, что соответствует набору ult и2, и3. Заметим, что (1) ин-
дексы I, /, k могут принимать любые значения из области их оп-
Индексные обозначения, преобразования, тензоры 461
ределения и (2) мы больше не используем другую форму записи для
обозначения того же набора компонент (т. е. х, у, z или и, v, w и т. д.).
Более сложные величины можно вводить с помощью нескольких
индексов, например <rw, TiJk, Ci]M и т. д. Первая из них компактно
выражает значения в точке всех девяти компонент тензора напряже-
ний путем перебора всех комбинаций индексов i, j= 1, 2, 3
(оц. 012, •••» °2з> °зз)- Хорошо известная симметрия atJ — aJt оз-
начает, что только шесть компонент из девяти независимы. IB дву-
мерном случае, конечно, тому же обозначению oi} (i, j — 1, 2) со-
ответствуют просто Оц, <т12, o2i> O22-I Эти идеи уже известны боль-
шинству ученых-прикладников благодаря матричной алгебре. Воз-
можности этого метода можно неограниченно расширять и далее для
получения удобного способа обращения с величинами типа Ti]k (для '
трех измерений количество компонент равно З3) и тензором упругих
податливостей Ct3kl с количеством компонент З4, особенно если эти
обозначения используются совместно с соглашением о суммирова-
нии.
А.З. Соглашение о суммировании для индексов
Мы будем здесь предполагать (если не оговорено противное),
что I, /, k = 1, 2, 3. Рассмотрим сначала свойства (внешнего) произ-
ведения символов с индексами (например, ир}, или о^пк, или
otj8w). Ясно, что имеется девять комбинаций произведений компо-
нент Ut И Vj и
= Vjut = wijf (A.l)
в которых порядок символов и, v не имеет значения. Аналогично для
oonft = si]k и aweftz = Ei]kl и т. д. Однако часто приходится стал-
киваться с другим (внутренним) произведением, в котором некото-
рые индексы повторяются. Примером может служить скалярное
произведение и и и, где
з
<P==U.V =;«!»! 4-«2^2+ «3^3» т- е- = ф’ ^А’2^
£=1
или выражение для энергии деформации i/(ew — компоненты дефор-
мации)
U = (1/2) (апеп -|- а1ге12 + ... + °2зе23 + °йзезз) =
3 3
=(i/2)2 2 g»s«’ (А-3)
<=1 /=1
или произведение, обычное для системы линейных уравнений с
матрицей коэффициентов размером п X п
462
Приложение А
^Atpc^yt. (А.4)
/=i
Если в каждом таком примере предполагать суммирование по пов-
торяющимся индексам во всей области их изменения, то можно сразу
написать ср = щс\, 2U = оу8у и AtJXj = yt. Неясностей не бу-
дет при условии, что в любом выражении не более двух повторяю-
щихся индексов. Индексы суммирования называют немыми индек-
сами, так как используемые для них символы можно заменять, по-
этому
= Atjut + BijUf, (A. 5)
Уравнения (А.4) и (А.5) важны и тем, что они показывают, в каком
соответствии должны находиться «свободные» индексы в каждой
части выписанных выше соотношений. Более сложные выражения
подчиняются тем же законам. Так, например, линейная связь меж-
ду тензорами напряжений и деформаций принимает вид
aij = CijklPkl’ (А.6)
а уравнение Лапласа — вид
дг(р/дх1 +' д^/дх^ + д'^/дх^ = д2ф/дхгдхг = ф,« =0; (А.7)
при этом максимальное сокращение записи часто достигается ис-
пользованием запятой для обозначения частного дифференцирова-
ния, как это сделано выше, т. е. dq!dxt = ф,у дщ/дх] — iiltJ и
т. д. Заметим, что ДУВИ == ВМА1} и т. д., и в этих выражениях
последовательность в написании Л и В не имеет значения. Если мат-
рица At] не является симметричной по i и j, то At] ф AtJ.
Два символа играют важную роль при обращении с индексными
величинами.
. 1. Дельта Кронекера (или единичный тензор)
8увЦ при*-/,
” (О при ij
имеет по определению следующие свойства:
uf8y = ujt = uhvf.
ulVfilJ = uiui» °ifhl^ik^lj = aiJsiJ и T Д. (A.9)
Последние два выражения «сокращаются» при умножении на 8У
(т. е. при каждом умножении их ранг уменьшается на два). Скаляр-
ные величины <р имеют ранг 0; «векторы»'и, —ранг 1 и т. д.;тензор
CtJhl имеет ранг 4. Поэтому последнее выражение в (А.9) — произве-
дение тензоров напряжений и деформаций — из тензора четвер-
того ранга превращается в скалярную величину (энергию).
Индексные обозначения, преобразования, тензоры
463
2. Тензор перестановок (тензор Леви-Чивиты)
еш —
О, если любые два индекса равны,
1 для циклического порядка индексов 1,2,3,1,2,
1 для антициклического порядка индексов 3, 2, 1,
3, 2Д..
несколько менее удобен при вычислениях, чем 8У; он появляется
при вычислении определителей:
det Ц Jfj || = erstJlrJ2s^3t>
или компонент векторного произведения W = U X V:
^=е1]ки3Ук. (А.11)
(АЛО)
Результат Ь{{ — ,3 является очевидным, но проверка равенства
eiki ~ 6 является полезным упражнением.
В большинстве учебников подразумевается суммирование по ин-
дексам, если оно не «подавлено»; например, запись А ((() означает
любой из элементов Аи, А22, а не их сумму.
А.4. Декартовы тензоры и законы преобразования
Если мы временно введем ортогональную декартову систему
координат yt, которая получается из системы координат xt парал-
лельным переносом (на ht) и поворотом, и если направляющие ко-
синусы поворота обозначить (Л12 = cos^, х2) и т. д.), то имеет
место закон преобразования
= (А. 12)
или
dyt — \jdXj = (dyt/dxj) dxj = (dxjldyi) dx p (A.13)
так как в случае декартовых ортогональных координат будет
htJ = dytldXj = dxjldyi. Заметим (для сравнения с§ А.6 и как
пример обращения с индексными величинами), что длина ds линей-
ного элемента в системе у{ записывается в виде
ds2 = dytdyt = ((dyi/dXj) dx^dxjdyt) dxh) =
= ^>jhdxjdxh = dxjdxj,
как и следовало ожидать.
Определим теперь декартов тензор как величину, которая, пре-
образуется при изменении системы координат (штрихованные сим-
волы означают компоненты тензора в системе у, нештрихованные —
в х) по следующему закону:
464
Приложение А
1) нулевой ранг (скаляры)
<₽'(«/) = ф(х);
2) первый ранг (векторы, силы, смещения, градиенты
скаляров и т. д.)
V, = = (dytldxjWi = (dxjldyt) Vfi
3) второй ранг (напряжения, деформации, проводимость
' и т. д.)
° а ~
4) четвертый ранг (матрица упругих податливостей
и т. д.)
С цы —
(А.14)
Заметим, что dxt представляет собой тензор первого ранга, но
ни компоненты координат, ни матрица направляющих косинусов
Хг;, вообще говоря, не являются тензорными величинами. Поэтому,
хотя всегда можно записать компоненты вектора в виде матрицы-
столбца и тензора второго ранга в виде прямоугольной матрицы,
обратное утверждение не всегда верно.
В качестве упражнения полезно показать инвариантность энер-
гии деформации при преобразовании координат:
2^ ац ^ц jn^mn r^lnPkl^mn
— amnemn —
Заметим также, что здесь || Xu|| = J = 1, [J] = [X] и [J]"1 =
= [X]-i = [Xf.
A.5. Полезные упражнения
Эти подходящие в данном случае иллюстративные примеры взяты
из работы [13] в списке литературы к гл. 11.
Рассмотрим еще раз задачу о потенциальном течении жидкости в
случае, когда анизотропная и неоднородная проницаемость системы
имеет вид &г/х(х), где кц — постоянная матрица, а параметр а
непрерывно меняется известным образом при изменении х, Основные
уравнения записываются так:
и = vtni = — (kiftp,!) nt (А. 15)
и
(kipP.i),i = ktj (ар.и 4- a.ip.y) = — ф. (A. 16)
Нам потребуются также функции Грина G(x, £) и G*(x, |) для
однородного и неоднородного пространств, удовлетворяющие сле-
дующим уравнениям:
Индексные обозначения, преобразования, тензоры
465
ktfii.j = — 8(х, I) = — 8 (АЛ 7)
и
(fet/xG;z),t=-8. (А.18)
Если бы мы знали значение G*, то, просто заменяя (G, F) на (G*,
F*), могли бы применить стандартное уравнение (3.30) МГЭ, однако
эта функция, по-видимому, никогда не будет известна в общем слу-
чае. Мы сейчас займемся изучением следствий попытки вывести ре-
шение ПМГЭ из (А. 16) с помощью стандартной процедуры интегри-
рования по частям произведения G на выражение (А. 16):
— f G(a.kt]p,j),tdV=[Gktj{ap,]t 4- a,tpt])dV =
v v v
= ^Gfey (ap,t -|- a,tp) n jdS —
— §[(Gaki}),}p,t + (Окуляр] dV =
v
= ^[(GakiJ)p,l+(Gkl}afi)p—(Gaki}),ip]nJdS +
s
+ dV =
v
= J P] njdS 4-
+ f P + Ga.tikijj,]— (Gfeyatl) j] dV,
v
и если
F = —kt/j.jfii,
TO
— [C'^dV— f[— uG+aFp]dS 4~ J p[(G>jya^z) 4- (G,ja,^fey)J dVi
VS V
поэтому
ap (g)= f (apF—uG)dS 4- fG’}dV+ f (pa,AjG.i) dV. (A.19)
S V V
Это уравнение дает обобщенное представление ПМГЭ для случая
неоднородной анизотропной области, в которой направления глав-
ных осей проницаемости постоянны.
Получение этого решения без использования индексных обозна-
16—356
466
Приложение А?
чений оказывается весьма громоздким. Окончательное выражение
показывает, что за счет дополнительного интеграла в правой части
уравнения (А. 19) функция Грина для однородного случая может
использоваться при решении анизотропной и неоднородной задачи.
В указанной выше работе объясняется, как использовать этот ре-
зультат, и доказывается, что такой анализ оказывается невозмож-
ным, если направления главных осей меняются от точки к точке
внутри области.
В качестве второго иллюстративного примера рассмотрим вывод
введенной в гл. 4 функции деформации (ядра). Поле смещений
щ(х), обусловленное сосредоточенной силой q(|), выражается фор-
мулой
Щ (х) = q (q1пг8и — у{ук№)ек(1)
где Vi = (х—|)р г2 = ytyt. Отсюда получаем
dut
dxj
(А.20)
= «1 f -f- (In r)— -^p-1 eh
1 dxj dxj r2 J
s, ' d , , . dr d , .
Wik -7-(ln r) 7“------ViVh —
dr dXj dr \ r
У1 дУь Ук dyi
г*
dr
dxj
, eft(g).
dx.
Замечая, что здесь дук/дх} = 8Л и ду Jdxj = 8О, перепишем (А.21)
в виде
dui
= С1
1
Г2
дХ: Г2
(А.21)
dXj
— q q8ift
1
У] (—2) y} Vi s
-------УгУк —3------
1 eh(l) ( с&к JL +
г J г \ Г
. ^У1У]Ук Vi ук ?.
r3 r2 Vjk г2 Ч
Меняя индексы i и j местами, имеем
dui ci /еч ( । 2У1У)Уь
-d^= — ( c^jk — +-------------
(А.22)
_ У] s У к а 1
°ih — •
Используя (А.22) и (А.23)> получаем поле деформаций
еп = (l/2)(5ut/5x; -|- dUjldxi) =
= ек{1) [0.5 (q - 1) ( Ъ1к^~ 4-8,,
S. Ук , ^У1У]Ук 1
+ ——J.
(А.23)
(А.24)
Индексные обозначения, преобразования, тензоры
467
А.6. Общие тензорные преобразования;
контравариантность и ковариантность
Если мы хотим рассматривать более общие преобразования,
как, например, использованные в гл. 8 преобразования декартовых
координат в криволинейные, то, к сожалению, из правил (А. 14)
остается совершенно неизменным только правило преобразования
скаляров. Остальные правила изменяются из-за перехода к новым
координатам, которые оказываются либо неортогональными, либо
неоднородными по размерности, либо и теми и другими одновремен-
но. В гл. 8 мы имели дело лишь со скалярами и со случаями геомет-
рического изменения масштаба, но другие, более сложные преобра-
зования лучше всего проводить при помощи общего тензорного
анализа (который для этого и был разработан). Мы надеемся, что
приведенное ниже весьма краткое описание основных свойств этого
подхода окажется и несложным для понимания, и полезным.
Рассмотрим некоторое допустимое и соответственное (см. гл. 8)
преобразование координат х, = xf(Ci, С2. С3 ) в координаты С t —
— 4i(Xi, х2, х3), для которого по аналогии с (А. 13) имеем
d^^^t/dx^dxJ. (А. 25)
Заметим, что индексы в dt? и dxi написаны сверху (по причинам,
которые будут объяснены впоследствии) и что, как и прежде, [JJ =
= [(Kf/dx,]. Играющий в дальнейшем важную роль метрический
тензор gtj = (dxhld(,i)(dxhliX.j) в пространстве Z определяется из
рассмотрения длины дифференциального линейного элемента ds
в х/‘и Ср
(ds)2 = dxldxJit} = dxldxl = ((dx^d^d^ddx^d^d^j) =
= (dXk/dC.t)(dxh/d^) dV dU = dtW gtj, (A. 26)
и мы видим, что gy является «метрикой» в пространстве Z, a —
«метрикой» в пространстве X.
Оказывается, что [§•] диагоналей для ортогональных систем ко-
ординат и что в декартовых прямолинейных координатах компонен-
ты gjj постоянны.
Так как двумерные косоугольные декартовы координаты были
введены в гл. 8, весьма простым и поучительным примером может
быть введение обобщенных тензорных обозначений для этого слу-
чая. Из предыдущих замечаний можно было бы ожидать, что [gl
должен иметь размер 2 X 2 и что компоненты его постоянны. Сле-
дует добавить, что характерная черта тензорного анализа за-
ключается в том, что соответствующим образом построенные тен-
зорные соотношения оказываются верными во всех системах коор-
динат, и поэтому теоремы, доказанные в X, верны во всех Z.
На рис. А.1,а изображаются вектор V в Z с тензорными компо-
нентами V1, V2 и базисные векторы ei, е2, которые определяют сос-
16**
468
Приложение А,
Рис. АЛ.
тавляющие eiV1, e2V2 вектора V. Компоненты V1 с верхними индек-
сами называются контравариантными тензорными компонентами
V; е i — соответствующие базисные векторы в Z. Легко показать,
что S и ~ е f' е j> и поскольку из рис. А. 1 ,а следует, что’ правилом
преобразования dx1 -> dX.1 является просто
{dx1 | _ Г cosc^ cosaalj dX.1 |
dxs ) [ sin 04 sin a8 1 dCa J ’
то из (A.26)| получаем
[!&,!!-[ cob “V -• <A-27)
Если, однако, рассмотреть преобразование даже для простой поляр-
ной системы координат г, б (Ci = г, С2 = 6). то
Индексные обозначения, преобразования, тензоры 469
Г dx1 1 _ Г cos С2 —Ci sin С2 1 ( dC1 1
I dx2 J [ sinC2 Acosta J [ dCa J’
r„ i _ Г 1 0 1
ted - [ 0 (ri)2 J •
<- Теперь видно, что ei (направленный по г) остается постоянным
единичным вектором, а |е2| = = г не равен единице и изменяется
от точки к точке. [Заметим, что, так как координаты г, б ортогональ-
ны» gtj = 0 (i =/= /); кроме того, |е2| выражается в единицах, кото-
рые сглаживают неоднородность по размерности, свойственную сис-
теме г, б, в членах вида dC2e2.l &
Рассмотрим теперь изображенный на рис. А. 1,6 тот же вектор V
в Z для осей, перпендикулярных Ср С2 и определенных при помощи
базисных векторов е1 и е2. В общем трехмерном случае е1 ортогона-
лен плоскости (е2, е^) и т. д. Компоненты вектора V, построенные по
правилу параллелограмма (в этом случае они фактически являются
компонентами разложения вектора V по осям и С2‘> рис. А. 1,6),
обозначаются через (e’Vi, е2У2); величины V± и V2 называются ко-
вариантными тензорными компонентами V. Ясно, что в ортогональ-
ных декартовых координатах Уг = У, и различия между ко- и
контравариантными компонентами нет, тогда как в общей системе
координат оно обязательно имеется.
Вместе с (А. 25) определим ковариантные элементы dCt вдоль
новых осей по формулам
dCt = (dx,/dQid*y (dxz=dxi).
и аналогично
(ds)2 = dxldx‘ = (dCt/dxft) (d^j/dx^d^j^g^d^d^ (A.29)
Совокупность величин giJ также представляет собой тензор^второго
ранга и называется ассоциированным метрическим тензором в Z.
Легко показать, что gtkgkj' = (т. е. teyl = teyi *)•
Возвращаясь к нашему примеру косоугольных декартовых ко-
ординат, получаем
оЧ = 1 -Г 1 — cos ₽]
е sin2₽ [. —cos[₽ 1 J’
Поэтому Je1! = |е2| = cosec 0, так что в! и е2 больше не являются
единичными векторами. Аналогично обстоит дело и в полярных
координатах: хотя оси d<? и dCj совпадают, но [е1] = 1, |е2| = 1/Ci и
контравариантные и ковариантные компоненты различны (|ej| = 1,
|е2| = СО-
Одно из следствий неединичности базисных векторов заключает-
ся в том, что следует проводить различие между физическими
компонентами тензора (которые обязательно однородны по раз-
мерности) и тензорными компонентами (которые могут не быть од-
470
Приложение А
нородными). Рассмотрим, скажем, вектор 1/2е2; если |е2| =/= 1, то
физическая компонента вектора будет не V2, а У2Уg22, так как |е2| =
= Уg22- Этот закон легко обобщается на случай, когда физические
компоненты V равны U1 и Ut', тогда
и Ut^Viyg^ (А.30)
(суммирование по i не производится).
Например, если |V| = 10 для полярных координат (5, 0), то
]/'g2, = 5 и контравариантная компонента V2 равна 2, тогда как 1/г=
= 10.
Для согласования контравариантных и ковариантных компонент
правило суммирования несколько меняется, и теперь подразумева-
ется суммирование по верхнему и нижнему (или по нижнему и верх-
нему) индексам. Поэтому
V = Vlet = Vtel
и
I V |2= У‘ег Vie} = P’W (ef. e>) = VlV’gl}
или = Vte‘-= VjVjgV
или =ylefV V‘Vj(et-e')=VlVjgl
=VlVt. (A.31)
Соотношения (A.31) позволяют сделать три важных вывода:
1) могут возникать смешанные тензоры (например, g>_, TQ, EQ и
т. д.);
2) g{ = ^}1дхп)(дхк1д^) = { J’ J j =f8y всегда,
откуда
| V р = = viVt-, (А.32)
в декартовом пространстве X это совпадает с V t V t, а в общем случае
| V|2 = V^Vi + V2V2 + V3V3 и, как легко видеть из рис. А. 1,6,
вычисляется просто по теореме косинусов;
3) в тензорах giJ, gtJ индексы могут подниматься или опускаться,
т. е. Vt = V'gtj, V‘ — V}gij\ аналогично обстоит дело с тензора-
ми второго и более высокого рангов, например <ту = ohtgikgJl и
7. д.
Подобно тому как мы различали физические и тензорные компо-
ненты векторов (первый ранг), следует различать их и для тензоров
второго и более высокого рангов. Здесь уместно задать следующий
вопрос: какова (кроме общей координатной инвариантности упомя-
нутых ранее тензорных уравнений) практическая ценность всех
подобных величин? Ответ заключается в том, что перечисленные ни-
Индексные обозначения, преобразования, тензоры 471
же общие правила преобразования тензоров применимы ко всем
допустимым преобразованиям тензорных (не физических) компонент
тензоров (таких, как смещения, напряжения, деформации, упругие
податливости, градиенты скаляров и т. д.).
Преобразование скаляров вполне соответствует (А. 14), но для
тензоров первого и второго ранга теперь имеем
1) первый ранг:
(У? = (dCj/ax,) УЛ (У')г = (dx^Wi, (А.ЗЗ)
2) второй ранг:
W = (O^dxk)(&}/dxt) а«, (o')u = (дхк/^1)(дх1/^)'ры
с очевидным обобщением для смешанных тензоров и тензоров более
высокого ранга. Например, обычный дифференциальный элемент
= (дЧ^дх^х^ преобразуется как контравариантный вектор, а
градиенты скаляров преобразуются ковариантно:
dql&i = (dx}ld^i)(d^ldxj).
В обычном выражении для энергии деформации U = (l/2)o‘-z’ey
подразумевается, что тензоры напряжений и деформаций должны
быть противоположной вариантности. Заметим, что все описанные
выше операции становятся чисто «механическими», как только зада-
ется закон преобразования координат и, следовательно, метрика.
Каждому, кто желает изучить этот подход более глубоко, мы совету-
ем посмотреть его описание в книгах Фына (Fung Y. С. Foundations
of solid mechanics. — Prentice-Hall, 1965) и Сокольникова (Sokolni-
koff I. S. Tensor analysis theory and applications to geometry and me-
chanics of continua. — Wiley, 1964. [Имеется перевод: Сокольни-
ков И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии
и в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1971.]).
Приложение Б
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Б.1. Общая форма теоремы Гаусса
Рассмотрим функцию F, которая является типичной скалярной
компонентой общего тензорного поля Fпроизвольного ранга.
Все компоненты этого поля представляют собой непрерывные и не-
обходимое число раз дифференцируемые й области V и на ее грани-
Рис. БЛ. Параллельный оси х} элемент объема и значения векторного поля F на
элементах поверхности dS* и dS**.
це S функции координат. Рассматривая изображенный на рис. Б.1
элемент объема с осью, параллельной оси xit имеем
f (dF/dxJdV^ f (Г* — Г**) dx2dx3. (Б. 1)
V S
Здесь и в дальнейшем одной звездочкой помечены значения соот-
ветствующих величин на правом конце элемента объема, а двумя
звездочками — на левом конце этого элемента. Для внешней единич-
ной нормали п и элементов площади dS имеем
dx^dxs = n'dS* = —ri*dS**,
Интегральные тождества 473
и поэтому
fop/dxj dV— { (F*n' dS* + F**n“dS**) = ^FnjdS,
vs s
откуда
$(dF/dx$dy= | Fn^dS
й аналогично[для всех др угих^ компонент F jki..., что дает окончатель-
но
^дР11и..л/дх^ = (Б.2)
V s
Это соотношение и представляет собой общую форму теоремы Гаус-
са [1].
Из уравнения (Б.2), которое применимо для любого числа изме-
рений, непосредственно следует много классических’-интегральных
теорем и выражений для законов сохранения [1,2].
1. Для скалярной функции F:
\F,{dy= f FntdS, [grad FdV=J’FndS. (Б.З)
V S V 5
2. Для векторной функции F:
(а) Теорема о дивергенции:
j‘Fi>idV=f FititdS, f div FdV = Jf-ndS. (Б.4)
V Sj VJ s
Если положить Fi = vi = —kpи = пгпг и Flif = kptii = ф, что
соответствует уравнениям потенциального течения жидкости (гл. 3),
то
— p,itdy = J<pdV= [ninJdS=J udS,
V vs s
т. e.
J tydV — §udS,
V s
что выражает закон сохранения массы при потенциальном течении
жидкости.
(б) Теорема Стокса:
fcijkFk.ldV = J rotFdV = [(nxF)dS. (Б.5)
V S V s
3. Для тензорных компонент Fti тензора второго ранга:
474
Приложение Б
Если Fi} равны (т. е. компонентам напряжений), aj{ij + Ф,- = О
и tt = ai)nj (уравнения равновесия), то
+ [ М$ = 0, (Б.6)
V S
что можно рассматривать или как уравнение сохранения потока
напряжений, или как условие общего равновесия.
Б.2. Формулы Грина
Они следуют непосредственно из (Б .4). Если векторное поле F
связано с двумя скалярными полями ф и у формулами
F = <pgradx, или Г, = фХ>(,
то
Fi.t = ФлХ.г + ФХ.и» = ФХ.;«г.
Подстановка этих выражений в (Б.4) приводит к первой формуле
Грина:
J(<PX.u+<P.«X.1)dV = {(ФХ.г«г)^> (Б.7)
v s
или
J (ф?2 х+ grad ф • grad y)dV = [ Ф(<Эх/дп) dS.
V s
Меняя <р и ф местами и вычитая полученный результат из (Б.7),
мы исключаем член grad ф • grad ф и получаем вторую формулу
Грина:
J(ФХ.о — Х'Р.иИ' = [ (ФХл ~ХФл) «j dS, (Б.8)
V s
или
f (ф?2Х — Х?2Ф) dv = \ (tpdyjdn —ydq/dri)dS.
v s
Б.З. Формулы для прямого метода граничных элементов
Последним выражением можно воспользоваться при получении
основного тождества для уравнения Лапласа, что прямо ведет к
стандартному соотношению ПМГЭ.
Если считать, что в безразмерных переменных потенциал р =
= Ф (т. е. = —ф), поток и = vtnt — —рлпг - —др/дп, х =
= G(x, |) — введенная в гл. 3 функция Грина для безграничной сре-
*
Интегральные тождества 475
ды, dyjdn = = —F(x, 5), и подставить эти выражения в
(Б.8), то мы получим соотношение ПМГЭ (3.30):
Р© - fG'ydr = f (pF—Gu)dS (geV). (Б.9)
V s
Действительно, если в качестве G и F взять выражения, соответст-"
вующие источнику в трехмерной среде, и положить ф = 0, то из
полученного уравнения немедленно будет следовать третья формула
Грине (1828 г.). С другой стороны, идея представления Гг в виде
произведения двух функций, использованная при выводе формул
Грина, может пригодиться для вывода аналогичных соотношений
для произведения тензорных величин более высокого ранга [31.
Например, полагая F} = и&ц и Fj— UiGi}, где («/, и
(Up Ор) — дифференцируемые поля смещений и напряжений в
упругом теле соответственно, и используя, как при выводе (Б.7),
уравнение (Б.4), получаем
[(««./</ + f f (««Q dS (Б. 10)
V s s
и
J К jGu + u*ptj,})dy = j (uJosjUj) dS = (Ц7г) dS.
V s s
Если вычесть одно уравнение из другого, то первые члены в левой
части взаимно уничтожатся, так как
= (1/2) Cijta (иии^ + ич u]k)
и
= (1 /2) Uk,l + ui,j Ul-k)
оказываются тождественными из-за симметрии Суы по различным
индексам. Поэтому получаем
J (“<%• / — tyif,f)dV= J (иА — u*tt) dS.
v s
В случае равновесия . + фг = 0 и т. д. Таким образом, это
уравнение представляет собой тождество Бетти — Максвелла
f (u*^i - UiVJdV = f (u{/; — u'ti) dS.- (Б. 11)
V s
Отметим еще раз, что соотношение ПМГЭ для теории упругости
оказывается следствием специального выбора состояния со звездоч-
кой, т. е. функции Грина (фундаментального решения) для безгра-
ничной среды [гл. 4, уравнения (4.35) и (4.37)1.
Мы видим, что для всех упомянутых здесь дифференциальных
476
Приложение Б
операторов выполняются два условия, позволяющие получать тож-
дества, из которых вытекает соотношение ПМГЭ:
1) симметрия различных членов в этих тождествах [см. (Б.7),
(Б.9) и (Б. 10)];
2) теорема о дивергенции Гаусса и ее справедливость в V + S.
Б.4. Интегрирование дифференциальных операторов
Изложенный выше подход связан с дифференциальными опера-
торами специального типа (самосопряженными операторами), кото-
рые входили во все наши уравнения. В начальных главах мы выво-
дили уравнения ПМГЭ, используя процедуру интегрирования по
частям. Такой подход является более общим, чем представление F i
в виде симметричного произведения, что приводит к (Б.6) и (Б.9).
Пусть общее дифференциальное уравнение представляется в виде
L(u) = ф (Б.12)
и мы проводим интегрирование по частям произведения (Б.12) на
некоторую нужное число раз дифференцируемую и непрерывную
функцию v в V. Мы будем шаг за шагом переносить наш дифферен-
циальный оператор с и на и и одновременно проводить интегрирова--
ние функций и и v на S [см., например, (2.20), (2.28) — (2.32) и
2.36)—(2.39)]. Общая форма полученных соотношений всегда
удет следующей:
JvL(u)dV = J uL*(v)dV +jf [M*(v)N(u) —M(u)N*(v)] dS;
здесь оператор L* называется сопряженным к L. Дифференциальные
операторы М, N, М*, N* появляются вследствие процедуры интег-
рирования по частям.
Во всех рассмотренных случаях L = L*, М = М*, N = N*,
и поэтому все операторы являются самосопряженными. Например,
в задачах о потенциальном течении жидкости процедура инте-
грирования по частям дает
j (Gp.ajdV == ^pG.H)dV+ J (Gp.^ — pG,tn,)dS =
V vs
- J (pG,u) dV 4- J (GdpIdn—pdGIdn) dS} (Б. 13)
[трехмерную форму уравнений (3.28), (3.30)J, откуда видно, что опе-
ратор Лапласа V3 является самосопряженным и М* = М, N* =
= IV. Этот результат получается, если в качестве функции о исполь-
зовать функцию Грина для безграничной среды.
Второй пример относится к одномерной задаче изгиба балки
Интегральные тождества
477
уравнение (2.30], для которой эквивалентное уравнение представ-
ляется в виде (здесь используется обозначение Dmw = dmwldxm)
J (GD>w)dL = J (wD4J) dL +
L L
+ [(GD8^ — DGD*w) — (wEFG — DwD^Gjft. (Б. 14)
Отсюда следует, что бигармоиические операторы тоже являются
самосопряженными.
Отметим, что в таких случаях заданные наборы М(и) называются
существенными граничными условиями и N(u) — естественными
граничными условиями. На поверхности S могут задаваться произ-
вольные граничные условия, но для того чтобы решение было един-
ственным , хотя бы в одной точке должны быть заданы существенные
граничные условия [4]. Так, в задаче о потенциальном течении жид-
кости потенциал р из (Б. 13) соответствует существенным гранич-
ным условиям, а поток —k(dpldn} — естественным. В случае бигар-
монического оператора (Б. 14), когда четыре граничных оператора
были взяты в симметричной форме, мы видим, что смещения и гра-
диенты смещений (углы наклона) относятся к существенным гра-
ничным условиям, а моменты и перерезывающие силы — к естест-
венным. Ясно, что в теории упругости этими двумя группами
величин будут граничные смещения и усилия соответственно.
Введенные выше операторы являются не только самосопряжен-
ными, но и положительно определенными, т. е. удовлетворяют ус-
ловию
J«L(«)dV>0 (Б. 15)
v
для всех и , причем равенство имеет место только при и = 0. Зада-
чи, в которые входят операторы, обладающие этими свойствами,
могут быть решены описанными в этой книге методами; для диффе-
ренциальных операторов других типов это еще не доказано
Б.5. Литература
(1] Fung Y. С. Foundations of solid mechanics. — Englewood Cliffs: Prenti-
ce-Hall, 1965.
[2] Milne-Thomson L. M. Theoretical hydrodynamics. — 4th ed. — London:
Macmillan, 1960. [Имеется перевод: Милн-Томсон Л. Теоретическая гид-
родинамика. — М.: Мир, 1964.]
13] Watson J. Advanced implementation of the boundary element method
for two and three-dimensional elastostatics. — In: Developments in boun-
dary element methods. Ed. by P. K- Banerjee, R. Butterfield. Ch. IIL —
London: Applied Science Publishers, 1979.
f41 Tottenham H. The boundary element method for plates and shells. — In:
Developments in boundary element methods. Ed. by JP. K- Banerjee,
R. Butterfield. Ch. VIII. — London: Applied Science Publishers, 1979.
Приложение В
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА
В.1. Введение
Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить
квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответст-
вующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной
в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячей-
кам. Главное преимущество метода численного интегрирования
Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом
трапеций Симпсона и т. д.) заключается в том, что определенная
точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при
использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа орди-
нат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра
не только соответствующего каждой ординате весового множителя,
но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из об-
ласти интегрирования ординатам (рис. В.1).
Таким образом, для того чтобы аппроксимировать суммой приве-
денный ниже интеграл по одномерной области, будем изменять не
только соответствующие этим ординатам весовые множители A t,
но и координаты узлов хг, которые будут выбираться оптимальным
способом:
1
Рис. В.1. а — ординаты, расположенные на одинаковом расстоянии (1/3), и весо-
вые множители, соответст ую Щие формуле Симпсона; б — формула Гаусса, три
узла, точная ф ормула для полинома пятого порядка.
Квадратурная формула Гаусса
479
В качестве примера рассмотрим три узла (I = 3). Пусть они распо-
лагаются в точках xt (О, +]Л 15/5) области интегрирования и имеют
весовые множители At (8/9, 5/9, 5/9); см. рис. В.1. В формулах, по-
добных (В.1), подразумевается суммирование по индексу I. Такая
формула Гаусса дает точные значения интегралов от полиномов сте-
пени 2/ — 1 (т. е. формула с i = 3 точна для полинома пятой сте-
пенями, следовательно, ошибки будут величинами порядка d2lfldx2i.
Математическое обоснование этого вывода можно найти в [1] и
(2]. Все таблицы этого приложения были взяты из работ [2, 3).
В.2. Основная формула численного интегрирования
Повторное применение (В.1) позволяет использовать основные
весовые множители и узлы из табл. В.1 (см. ниже) для дву- и трех-
мерного интегрирования в случаях квадрата:
1 1
/2 = j* f f(xv X2)dXjdx2 « 22 AiAif(Xi’ xj) (B-2)
—i—i 1 i
и куба:
i i i
/3 = J J J f(xv xv x^dxjdx^dxsftt
—1 —1 —1
«222 ^Ам(х» xj> **) (в-3)
i j k
для схемы суммирования, в точности похожей на объясненную в
приложении А схему.
Таблицы В.2 и В.З (см. ниже) взяты из [3] (а также из [4])
и содержат результаты, полученные по предложенному Радо [5]
варианту квадратурной формулы Гаусса для ячеек в форме треуголь-
ника и тетраэдра. Ясно, что, комбинируя треугольную и линейную
схемы, можно вывести схему интегрирования для трехгранных
призматических элементов почти так же, как было введено похожее
параметрическое представление в гл, 8.
Наконец, в табл. В.4 [2] приводятся весовые множители и коор -
динаты узлов для специальной формулы вида (В.1), особенно полез-
ной в двумерных задачах МГЭ, а именно
1
Л = f In (1 /х) f(x) dx « 2 AMxi)- (В-4)
с
Поскольку все фундаментальные решения в двумерных задачах
содержат логарифмические члены, формула (В.4) оказывается полез-
ной при интегрировании выражений, в которых точка приложения
нагрузки и точка наблюдения находятся в одном элементе. Заметим-
что областью интегрирования является (0, 1) и поэтому для исполь-
зования (В.4) граничный элемент следует разделить на две части
подобно тому, как это делалось в гл. 15.
480
Приложение В
В.З. Таблицы
Таблица В.1
КоординатьГузлов и весовые множители для
§f(x)dx «2 Aif(xi>
— 1
41
0.5773502691 8962576450 9148780502
1=3
0.7745966692 4148337703 5853079956
0.0000000000 0000000000 0000000000
1 = 4
0.8611363115 9405257522 3946488893
O.339981O435 8485626480 2665759103
i=5
0.9061798459 3866399279 7626878299
(15384693101 0568309103 6314420700
0.0000000000 0000000000 0000000000
1 = 6
0.9324695142 0315202781 2301554494
0.6612093864 6626451366 1399595020
0.2386191860 8319690863 0501721681
1 = 7
0.9491079123 4275852452 6189684048
0.7415311855 9939443986 3864773281
0.4058451513 7739716690 6606412077
0.0000000000 0000000000 0000000000
1 = 8
0.9602898564 9753623168 3560868569
0.7966664774 1362673959 1553936476
0.5255324099 1632898581 7739049189
0.1834346424 9564980493 9476142360
i = 9
0.9681602395 0762608983 5576202904
08360311073 2663579429 9429788070
06133714327 0059039730 8702039341
0.3242534234 0380892903 8538014643
0.0000000000 0000000000 000000000
(1) 0.1000000000 0000000000 0000000000
0.5555555555 5555555555 5555555556
0.8888888888 8888888888 8888888889
0.3478548451 3745385737 3063949222
0.6521451548 6254614262 6936050778
0.2369268850 5618908751 4264040720
0.4786286704 9936646804 1291514836
0.5688888888, $$8888888 8888888889
0.1713244923 7917034504 0296142173
0.3607615730 4813860756 9833513838
0.4679139345 7269104738 9870343990
0.1294849661 6886969327 0611432679
0.2797053914 8927666790 1467771424
0.3818300505 0511894495 0369775489
0.4179591836 7346938775 5102040816
0.1012285362 .9037625915 2531354310
0.2223810344 5337447054 4355994426
0.3137066458 7788728733 7962201987
0.3626837833 7836198296 5150449277
(-1) 0.8127438836 1574411971 8921581105
0.1806481606 9485740405 8472031243
0.2606106964 0293546231 8742869419
0.3123470770 4000284006 8630406584
0.3302393550 0125976316 4525069287
Квадратная формула Гаусса
481
0.9739065285 1717172007 7964012084
0.8650633666 8898451073 2096688423
0.6794095682 9902440623 4327365115
0.4333953941 2924719079 9265943166
0.1488743389 8163121088 4826001130
0.9782286581 4605699280 3938001123
0.8870625997 6809529907 5157769304
0.7301520055 7404932409 3416252031
0.5190961292 0681181592 5725669459
0.2695431559 5234497233 1531985401
0.0000000000 0000000000 0000000000
(-1) 0.6667134430 8688137593 5688098933
0.1494513491 5058059314 5776339658
0.2190863625 1598204399 5534934228
0.2692667193 0999635509 1226921569
0.2955242247 1475287017 3892994651
(-1) 0.5566856711 6173666482 7537204425
0.1255803694 6490462463 4694299224
0.1862902109 2773425142 6097641432
0.2331937645 9199047991 8523704843
№2628045445 '1024666218 0688869891
0.2729250867 7790063071 4483528336-
482
Приложение В
Таблица В.2
Схемы численного интегрирования для треугольников
Эта формула не рекомендуется из-за отрицательного веса и ошибки округления
Кубическое
° Ш
Ь Т’У’О
с о,
R=0(h4) d T'°.f
е 1,0.0
f 0,1.0
о 0,0,1
Ь “i.Pi.Pi
С Р1.“1.Р1
К=ОСН*) d /5i.Pi.Oi
е о2,^г.₽х
f Р2-“гЛ
g рг,р2.«г
0.225
0.13239415
0.12593918
<^ = 0.05971587
/3,= 0.47014206
аг= 0.79742699
Рг=010128651
Квадратурная формула Гаусса
483
Таблица В.З
Схемы численного интегрирования для тетраэдров
Восполнение Ячейка Пог₽еш- Точка ' множ»
Hocfflb KuopouHuiiibi множит
484
Приложение В .
Таблица В.4
Координаты узлов и весовые множители
1
для | 1п(1/х)/(х) dx
о
0.7185393190 3038444066 5510200891
0.2814606809 6961555933 4489799109
O.5134O45522 3236332512 9300497567
03919800412 0148755480 6287180966
(-1) 0.9461540656 6149120064 4123214672
0.3834640681 4513512485 0046522343
0.3868753177 7476262733 6008234554
0.1904351269 5014241536 1360014547
(-1) 0.3922548712 9959832452 5852285552
0.2978934717 8289445727 2257877888
0.3497762265-1322418037 5071870307
0.2344882900 4405241888 6906857943
(-1) 0.9893045951 6633146976 1807114404
(-1) 01891155214 3195796489 5826824218
0.2387636625 7854756972 2268303330
0.3082865732 7394679296 9383109211
0.2453174265 6321038598 4932540188
0.1420087565 6647668542 1345576030
(-1) 0.5545462232 4886290015 1353549662
(-1) 0.1016895869 2932275886 9351.162755
0.1961693894 2524820752 5427377585
0.2703026442 4727298214 5271719533
0.2396818730 0769094830 8072785252
0.1657757748 1043290656 0869687736
(-1) 0.8894322713 7657964435 7238403458
(-1) O.331943O435 6571067025 4494111034
(—2) 05932787015 1259239991 -8517844468
0.1644166047 2800288683 1472568326
0.2375256100 2330602050 1348561960
0.2268419844 3191912636 8780402936
0.1757540790 0607024498 8056212006
0.1129240302 4675905185 5000442086
(-1) 0.5787221071 7782072398 5279672940
(-1) 0.2097907374 2132978043 4615241150
(-2) 0.3686407104 0276190133 5232127647
0.1120088061 6697618295 7205488948
0.6022769081 1873810275 7080225338
(-1) 0.6389079308 7325404996 1166031363
0.3689970637 1561876554 6197645857
0.7668803039 3894145542 3682659817
i = 4
(-1) 0.4144848019 9383220803 3213101564
0.2452749143 2060225193 9675759523
0.5561654535 6027583718 0184354376
0.8489823945 3298517464 7849188085 '
1 = 5
(-1) 0.291344721^-1972053303 7267621154
0.1739772133 2089762870 1139710829’
0.4117025202 8490204317 4931924646
0,6773141745 8282038070 1802667998
0,8947713610 3100828363 8886204455
i = 6
(-1) 0.2163400584 4116948995 6958558537
0.1295833911 5495079613 1158505009
0.3140204499 1476550879 8248188420
0.5386572173 5180214454 8941893993
0.7569153373 7740285216 4544156139
0.9226688513 7212023733 3873231507
(-1) 0.1671935540 8258515941 6673609320
0.1001856779 1567512158 6885031757
0,2462942462 0793059904 6668547239
0.4334634932 5703310583 2882482601
0.6323509880 4776608846 1805812245
0.8111186267 4010557652 6226796782
' 0.9408481667 4334772176 0134113379
(-1) 0.1332024416 0892465012 2526725243
(-1) 0.7975042901 3894938409 8277291424
0,1978710293 2618805379 4476159516
0.3541539943 5190941967 1463603538
0.5294585752 3491727770 6149699996
0.7018145299 3909996383 7152670310
0.8493793204 4110667604 830920230Г
•0.9533264500 5635978876 7379678514
Квадратурная формула Гаусса 48
В.4. Литература
П1 Lanczos С. Linear differential operators. —New York, London: Van
Nostrand, 1961.
]2] Stroud A. H., Secrest D. Gaussian quadrature formulas. — Englewood
Cliffs: Prentice-Hall, 1966-
13] Hammer P. C., Marlowe О. P., Stroud A. H. Numerical integration over
simplexes and cones. — Math. Tables Aids Comp., 1956, v. 10, p. 130 —
14] Zienkiewicz О. C. The finite element method in engineering science. —
2nd ed, — London: McGraw-Hill, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О.
Метод конечных элементов в технике. — М.: Мнр, 1975.]
f5I Radau G. — J. de Math., 1880, t. 3, p. 283.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акустики задачи 295, 307—308
Анизотропная пористая среда 92—95
— упругая среда 125—129, 163—164
Базисные функции 107, 109, 147—148,
173
----для элементов бесконечных 229
----------криволинейных гранич-
ных 227—228
----------линейных 220
-------ячеек гексаэдральных 224—
225
----------тетраэдральных 224
----------треугольных 215, 221—
222
----------четырехугольных 217,
222—224
----, интерполяционные функции
для пих 216—218
----«криволинейные» 216
----, определение 205
Безвихревое течение 374—376
Бесконечные граничные элементы
228—230
Блочно-линейные матрицы 83—88,
420—421
Вдавлйвание жесткого квадратного
штампа в упругопластическое полу-
пространство 361—363
Взаимности теорема 46, 114—115, 276,
290-291
Волновые уравнения 295, 296
Вязкопластичность 337—339
Вязкоупругость 275—282
Галёркина метод 389, 396
Гаусса квадратурная формула 478—•
479
— метод исключения 421—422
— теорема 472—473
Гельмгольца уравнение 293—294, 298
Граничные условия естественные 477
----существенные 477
Грина формула 474
Действие нагрузки на упрутопласти-
ческую полуплоскость 359—360
Динамические задачи1 терии упруго-
сти 286, 288—289, 300-305
Диск турбины с краевой прорезью
237—239
Дифракция волн на цилиндрической
опоре с пористой защитной стен-
кой 402—404
Диффузии задача 265
----осесимметричная 267, 269
— уравнение 245
Завихренность 368
Задача консолидации одномерная
при наличии внешних источников
265—266
— о балке 34—40, 44—50
----выработке 137—140
-------трехмерная 180, 182—184
----гидромониторной струе 378—
380, 382
----дамбе на жестком основании
132
----нагруженной консоли 130—132
----нагруженном кубе 180—181
----обтекании крыла 155—158
•— радиальном притоке к насос-
ной скважине 158—159
----цилиндре полом вязкоупругом
281—282
----------упругом 130—131
— упрутогидродинамической теории
смазки 407—409
Задачи для многозональных облас-
тей 201—202
— кручения стержней 53, 90—91
— о плавлений и затвердевании ма-
териалов 269, 271—272
----электромагнитном поле 295,
296
— с подвижными границами 269
— фильтрации 53, 89—90, 165, 269—
271
Закон течения пластический 332,333
Зонально-однородные тела 83—88
Изгиб тонких упругих пластйн 312
Изопараметрические элементы 206
Предметный указатель
487
Интегрирование дифференциальных
уравнений 40, 44, 65—67, 247, 464—
465, 476
— произведений ядер на базисные
функции 415—419
Кельвина решение 101, 162, 276
Кирхгофа Интегральное уравнение с
запаздывающим временем 298
Колебания воды в гавани (заливе)
305—306, 406—407
Консолидация 282—288
Комбинирование метода конечных
разностей и МГЭ 404—410
— МКЭ и МГЭ 399—401
Координаты «в объемах» 214
— «в площадях» 214
— криволинейные 207—211, 219—
228, 467—471
----локальные 212
---- нормированные 212
Коэффициент интенсивности напря-
жений 231
— концентрации деформаций 239
----напряжений 188, 190
Круговое включение в безграничной
упругой среде 137, 139, 140
Лагранжа множители 393
Лапласа уравнение 54, 75, 143
Линейные алгебраические уравнения
32, 39, 43, 48, 49, 419-420 '
Магнитное поле внутри сердечника
трансформатора 239, 241—242
МГЭ вариант непрямой 15
----полупрямой 15
'---прямой 15
Метод взвешенных невязок 389—390
— функций влияния 24—27
Механика разрушения 140, 231—239
Многозонные области 83—88, 420
Навье — Стокса уравнения движения
вязкой жидкости 368
Навье уравнения теории упругости
101, 286, 341
Начальные деформации в нелиней-
ных задачах 346
-------упругом анализе 170—172
— напряжения в нелинейных зада-
чах 344—345
-------упругом анализе 170—172
Нелинейных задач методы реше-
ния 346—351
Области с границей, содержащей
углы, в задачах о потенциальном
течении 196—197
---------------- — статической те-
ории упругости 197—198
Область изменения времени в плос-
кой задаче диффузии 248
Образец для испытаний на уста-
лость 188—190, 231—236
— с двумя краевыми надрезами 234,
236, 237
Обтекание крыла безвихревое 155—
158
----колеблющегося вязкой жидко-
стью 409, 410
— тела произвольной формы сток-
совскйм потоком 380, 383
— цилиндра кругового вязкой жид-
костью 380, Й1, 383, 385
----• эллиптического однородным
потоком 398—399
Объемные силы механические 122,
169
----обусловленные градиентом
температуры 122,165—169
----• — необратимыми деформация-
ми 342
----потенциальные 122—125
----фильтрационные 122, 165—169
Одномерные задачи 24—51
Оптимизация вычисления несингу-
лярных интегралов 417
Осесимметричное трехмерное напря-
женное состояние 176—180, 185,
187—190
----стационарное течение 151—155
Перепад порового давления в анизо-
тропном грунте 269—271
Пластинка с краевым надрезом
(«компактный образец») 231—233
Пластины с отверстием при растя-
жении 356—358
Пластический куб внутри упругого
полупространства 360—361
Пластических деформаций зависи-
мость от времени 338
Поровое давление 282
Потенциал скорости 373
Пошаговые алгоритмы в вязкоплас-
тичности 349—351
-------упругопластичности 346—
349
Преобразование координат 145—146,
206—211, 467—471
----допустимое 208
— — соответственное 208
488
Предметный указатель
Принцип виртуальных перемещений
46
Прямых и непрямых методов срав-
нений 50—51
---------формальная эквивалент-
ность 75—76
Пуассона уравнение 53, 143
Реализация МГЭ на ЭВМ 84—88,
413—458
Рейнольдса уравнение 407
Самосопряженные операторы 476—
477
Свай группа, погруженная в грунт
184-186
-------------- неоднородный 404,
' 405, 407
Свая под действием горизонтальной
циклической нагрузки 362, 363
Сен-Венана принцип 38
Собственные значения 294, 299
Сравнение МКЭ и МГЭ 16—19
Стокса —Гельмгольца теорема 288
Стокса теорема 473
Схемы численного Интегрирования
для ячеек тетраэдральных 483
------------треугольных 482
Температурные деформации 165
Тепла распространение в прямо-
угольной области 268, 269
Теплопроводности уравнение 245
Течение безвихревое 374—376
— в заборнике турбины 376—379
----решетке турбины 376, 378, 380,
381
— вязкой жидкости 367—374
— вязкопластическое 337
— под основанием непроницаемой
плотины 92—97
— потенциальное в L-образной обла-
сти 396—398
---одномерное 24—34, 40—44
— со свободной поверхностью 89—90
Узлы геометрические 205
— функциональные 205
Упрочнение изотропное 332—334
— кинематическое 334—337
Упругая среда анизотропная 125—
129, 163—164
---кусочно-однородная ортотроп-
ная 132—136, 138
Упругопластический круговой ци-
линдр под действием внутреннего
давления 353—356
Упругопластическое круговое коль-
цо под действием внутреннего
давления 353, 354
Фильтрация жидкости через земля-
ную плотину 89—90
Функция тока 372—373
Экранирование квадратного провод-
. ника брусом из диэлектрика 404
Якоби матрица 207
Якобиан 208
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ... ................................ 5
Предисловие . .............................,....................... 9
Глава 1. Введение в методы граничных элементов ................... 12
1.1. Общие положения . . . . - . . -......................... 12
1.2. Альтернативный подход .................................... 13
1.3. Исторический обзор развития методов граничных элементов 14
1.4. Область применения ....................................... 16
1.5. Сравнение особенностей методов конечных элементов м гранич-
ных элементов .........................................- . 16
1.5.1. Применимость ............................ .... 16
1.5.2. Размерность задачи................................. 17
1.5.3. Непрерывное моделирование полей внутри области 18
Г.5.4. Точность и распределение погрешности .... -19
1.6. Заключительные замечания .......... 19
1.7. Литература ......................................... 20
1.8. Дополнительная литература ............................... 22
Глава 2. Некоторые одномерные задачи.............................. 24
2.1. Введение ................................................. 24
2.2. Метод функций влияния . ................................. 24
2.2.1. Одномерное потенциальное течение................... 24
2.3. Применение непрямого метода граничных элементов . . 27
2.3.1. Одномерное потенциальное течение................... 28
2.3.2. Задача о балке ................................... 34
2.4. Применение прямого метода граничных элементов ... 40
2.4.1. Одномерное потенциальное течение .................. 40
2.4.2. Задача о балке .................................... 44
2.5. Сравнение прямого и непрямого методов граничных элементов 50
2.6. Заключительные замечания............................. 51
2.7. Литература ............................................. 52
Глава 3. Двумерные стационарные задачи о потенциальных течениях 53
3.1. Введение ................................. ... 53
3.2. Основные уравнения ................................... 54
3.3. Сингулярные решения .................................. 56
3.4. Непрямой МГЭ для однородной области................... 57
3.4.1. Дискретизация поверхностных и объемных интегралов 60
3.4.2. Формирование матриц системы .................... 62
3.4.3. Вычисление значений потенциала и скорости во внутрен-
них точках ............................................ 64
- 3.5. Прямой метод граничных элементов для однородной области 65
490
Оглавление *
3.5.1. Дискретизация поверхностных и объемных интегралов
н формирование матриц систем .....................71
3.5.2. Вычисление значений потенциала и скорости во внут-
ренних точках ................................... 74
3.6. Эквивалентность непрямого и прямого методов граничных
элементов ................................................. 75
3.7. Вспомогательные интегралы по граничным элементам и внут-
ренним ячейкам ............................................ 76
3.8. Зонально-однородные тела ............................. 83
3.9. Родственные задачи ................................... 89
3.9.1. Течение со свободной поверхностью............... 89
3.9.2. Кручение стержней .............................. 90
3.10. Примеры решенных задач .............................. 92
3.11. Заключительные замечайия' ........................... 97
3.12. Литература .......................................... 98
Глава 4. Двумерные-задачи теории упругости ........ 100
4.1. Введение ............................................. 100
' 4.2. Основные уравнения ................................... 100
4.3. Фундаментальные сингулярные решения ................. 101
4.4. Непрямой метод граничных элементов .................. 103
4.4.1. Основные соотношения для однородной изотропной
области . . . . . .................................... 103
4.4.2. Дискретные представления поверхностных и объемных
интегралов ....................................... . 105
4.4.3. Численное решение ......................... . 113
4.5. Прямой метод граничных элементов . ... . . . . . 114
4.5.1. Основные соотношения для однородной изотропной об-
ласти . ... . ... . . .'.............................. 114
4.5.2. Дискретные представления граничных и объемных ин-
тегралов ............................................. 118
4.5.3. Численное решение ............................. 121
4.6. Объемные силы . . . •................................ 122
4.7. Анизотропные тела ................................... 125
4.7.1. Основные уравнения .* . . ’ . ‘ ............. 125
4.7.2. Фундаментальное сингулярное решение .... 127
4.7.3. Численное решение ............................. 129
4.8. Типичные примеры ................................... 130
4.9. Заключительные замечания ........................ . 140
4.10. Литература ....................................- 141
Глава 5. Трехмерные стационарные задачи о потенциальных течениях 143
5.1. Введение .................................
5.2. Сингулярные решения: непрямая и прямая"формулировки
5.3. Интегрируемость ядер . . .' .....................
5.4. Численное решение ...............................
5.4.1. Локальные координаты .....................
5.4.2. Базисные функции ..........................
5.4.3. Численное интегрирование ..................
5.4.4. Точное интегрирование......................
5.5. Осесимметричное течение ........................
5.5.1. Общие сведения ............................
5.5.2. Осесимметричные сингулярные решения . - .
5.5.3. Непрямой и прямой варианты метода . . . .
5.6. Примеры .........................................
5.7. Заключительные замечания ........................
5.8. Литература ......................................
143
144
145
145
145
147
148
148
151
151
151
153
155
159
159
Оглавление
491
Глава 6. Трехмерные задачи теории упругости.................. 162
,6.1. Введение ........................................... 162
6.2. Сингулярные решения ................................. 162
6.2.1. Решение для сосредоточенной силы в изотропной сре-
де .................................................. 162
6.2.2. Решение для сосредоточенной силы в анизотропной среде 163
6.3. Основные интегральные представления ................. 164
6.4. Объемные силы, ..................................... 165
6.4.1. Температурные деформации или фильтрационные гра-
диенты .........................•..................... 165
6.4.2. Механические объемные силы .................... 16J
6.5. Начальные напряжения и начальные деформации . . . 170
6.6. Дискретизация ....................................... 173
6.6.1. Общие положения .............................. 173
6.6.2. Линейные базисные функции ..................... 173
6.6.3. Вычисление некоторых интегралов ............... 173
6.7. Анализ осесимметричного напряженного состояния . . . 176
6.7.1. Фундаментальные решения ....................... 177
6.7.2. Прямое и непрямое представления...............- 179
6.7.3. Объемные силы ................................. 180
6.8. Примеры ............................................ 180
6.9. Заключительные замечания ............................ 190
6.10. Литература. ........................................ 191
Глава 7. Задачи о ребрах и углах . . . . . . . 194
7.1. Введение ........................................... 194
7.2. Прямые методы ....................................... 194
7.2.1. Постановка задачи ...................... .... 194
7.2.2. Использование одного узла .................... 195
7.2.3. Концепция независимых кратных узлов .... 196
7.2.4. Концепция кратных узлов с дополнительными соотно-
шениями .............................................. 196
7.3. Непрямые методы ..................................... 199
7.3.1. Концепция независимых кратных узлов .... 199
7.3.2. Другие методы ................................. 200
7.4. Задачи с несколькими зонами .................... 201
7.5. Заключительные замечания .................... 202
7.6. Литература .......................................... 202
Глава 8. Параметрические представления функций и геометрии 204
8.1. Введение ............................................ 204
8.2. Геометрические преобразования • ......... 206
8.3. Преобразование дифференциальных элементов объема, площа
ди и линии ............................................... 209
8.3.1. Внутренние ячейки ..............................209
8.3.2. Граничные поверхностные ячейки .................210
8.3.3. Линейные сегменты ............................. 211
8.4. «Линейные» ячейки и граничные элементы .............. 211
8.5. Интерполяционные функции ............................ 216
8.6. Резюме .............................................. 218
8.7. Криволинейные преобразования и базисные функции . . 219
8.7.1. Линейные элементы ............................. 219
8.7.2. Плоские треугольные ячейки ...........220
8.7.3. Плоские четырехугольные ячейки ................ 222
8.7.4. Трехмерные ячейки ............................. 224
8.7.5. Общие замечания о базисных функциях для ячеек . 225
492 Оглавление »
-----------------------------------------------------------т------
8.8. Криволинейные граничные элементы ....... •» 227
8.9. Бесконечные граничные элементы ..............-. . . 228
- 8.10. Интегрирование произведений ядер на базисные функции 230
8.11. Примеры .............................................. 231
8.12. Заключительные замечания ............................. 243
8.13. Литература ....................................... 243
Глава 9. Нестационарные задачи о потенциальных течениях (задачи
диффузии).................................................• . 245
9.1. Введение .............................................. 245
9.2. Основные уравнения .................................... 246
9.3. Фундаментальное сингулярное решение ....................247
9.4. Соотношения прямого МГЭ . . . ............. 247
9.5. Соотношения непрямого МГЭ ................... 250
9.6. Решение уравнений прямого и непрямого МГЭ .... 252
9.6.1. Решение при помощи преобразования Лапласа . . 252
9.6.2. Пошаговые процессы изменения времени .... 253
9.7. Вычисление интегралов ..................................261
9.8. Типичные приложения ................................... 265
9.9. Заключительные замечания 272
9.10. Литература ........................................... 272
Глава 10. Нестационарные задачи теории упругости ..... 275
10.1. Введение 275
10.2. Вязкоупругость . . . . -................... . 275
10.2.1. Основные уравнения ........................... 275
10.2.2. Основное интегральное соотношение .... 276
10.2.3. Численное решение ............................ 277
10.2.4. Примеры .................................... 281
10.3. Термоупругость и консолидация ........................ 282
10.3.1. Основные уравнения .................... . 282
10.3.2. Примеры ...................................... 286
10.4. Применение к динамическим задачам теории упругости . . 286
10.4.1. Основные уравнения ................. . . 286
10.4.2. Сингулярное решение Стокса ................... 288
10.4.3. Динамическая теорема взаимности ............... 290
10.4.4. Прямой и непрямой методы....................... 291
10.4.5. Стационарные задачи динамической теории упругос-
ти .................................................... 293
10.4.6. Распространение волн . . ............. 295
10.5. Типичные Применения .................................. 300
10.6. Заключительные замечания ............................. 308
10.7. Литература ........................................... 308
Глава 11. Задачи изгиба пластин .............................. 312
11.1. Введение ............................................. 312
11.2. Постановка задачи и основные дифференциальные уравнения 312
11.3. Сингулярные решения .................................. 315
11.4. Формулировка непрямого метода граничных элементов для
тонких пластин .................................. 317
11.5. Уравнения прямого метода граничных элементов . . . 319
11.6. Пластины н балки на винклеровском основании . . . 321
11.7. Пластины на упругом полупространстве ..................323
11.8. Примеры ...............................................325
11.9. Заключительные замечания ..............................328
11.10. Литература .................................. 329
Оглавление 493
Глава 12. Упругопластичность .................................331
12.1. Введение ............................................331
12.2. Определяющие соотношения для деформируемых твердых тел 331
‘12.2.1. Инкрементальная теория пластичности . . . . 332
12.2.2. Вязкопластичность ..........................’ 337
12.2.3. Теории неупругого деформирования металлов, осно-
ванные на введении внутренних параметров состояния 339
12.3. Основные дифференциальные уравнения упругопластичности 341
12.4. Соотношения прямого и непрямого МГЭ для нелинейных сред 343
12.5. Пошаговые алгоритмы в упругопластичности.............346
12.6. Пошаговые алгоритмы в вязкопластичности..............349
12.7. Численный алгоритм расчета неупругого деформирования ме-
таллов с учетом зависимости от времени.....................351
12.8. Приложения к другим сходным системам ...... 352
12.9. Примеры ............................................ 352
12.10. Заключительные замечания . . . '....................363
12.11. Литература .........................................364
Глава 13. Примеры из механики жидкости...................... 367
13.1. Введение ........................................... 367
13.2. Основные уравнения и их интегральная форма . . . . 367
13.2.1. Уравнения Навье—Стокса движения вязкой сжимае-
мой н несжимаемой жидкостей...........................368
13.2.2. Уравнения движения в терминах завихренностн . 368
13.2.3. Функция тока и потенциал скорости ....’. 372
13.2.4. Уравнения движения в терминах функции тока при
малых числах Рейнольдса ...... .................373
13.2.5. Безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости 374
13.2.6. Безвихревое течение идеальной сжимаемой жидкости 375
13.2.7. Нестационарные н стационарные волновые уравнения
движения жидкостей ............................376
13.3. Примеры .............................................376
13.4. Заключительные замечания ............................384
13.5. Литература ........................................ 384
Глава 14. Комбинирование метода граничных элементов с другими
численными методами ..........................................388
14.1. Введение .......................................... 388
14.2. Построение решений с использованием граничных элементов
энергетическим методом ................................... 389
14.2.1. Введение .....................................389
14.2.2. Общая теория метода взвешенных невязок . . . 389
14.2.3. НМГЭ как вариант метода взвешенных невязок . 390
14.2.4. Симметричный ПМГЭ для задач теории упругости 392
14.2.5. Иной энергетический подход, приводящий к симмет-
ричным соотношениям МГЭ...............................395
14.3. Примеры задач, решенных с использованием энергетического
подхода ...................................................396
14.4. Комбинирование методов конечных и граничных элементов 399
14.4. Г. Получение соотношений метода конечных элементов
методом взвешенных иевязок ...........................399
14.4.2. Симметричное объединение ПМГЭ и МКЭ . . . 400
14.4.3. Симметричное объединение НМГЭ и МКЭ . . 401
14.4.4. Примеры ...................................... 401
14.5. Примеры задач, решенных комбинированием метода конеч-
ных разностей и МГЭ....................................... 404
494
Оглавление
14.6. Заключительные замечания........................... 410
14.7. Литература ........................................ 410
Глава 15. Реализация методов граничных элементов иа ЭВМ ... 413
15.1. Введение ........................................... 413
15.2. Структура программы МГЭ ............................ 413
15.3. Задание и формирование входных данных......... 414
15.4. Интегрирование произведений ядер на базисные функции 415
15.4.1. Введение ..................................... 415
15.4.2. Вычисление несингулярных интегралов .... 416
15.4.3. Вычисление сингулярных интегралов .... 417
15.5. Формирование системы уравнений ......................419
15.6. Решение системы уравнений ...........................420
15.7. Вычисление решения во внутренних точках ............ 423
15.8. Программа ПМГЭ для двумерных статических задач теории
упругости....................................... 425
15.8.1. Описание и распечатка программы ...............425
15.8<2. Модельная задача, входные данные и выдача резуль-
татов ............... 429
15.9. Программа НМГЭ для двумерных статических задач теории
упругости ........................................... 429
15.9.1. Описание и распечатка программы .............. 429
15.10. Литература ........................................ 458
Приложение А. Индексные^ обозиачеиия, соглашение о суммировании,
преобразования, тензоры ...................................... 460
А.1. Введение ..... ....................... 460
А.2. Индексные обозначения . ....................... 460
А.З. Соглашение о суммировании для индексов................ 461
А.4. Декартовы тензоры и законы преобразования .... 463
А.5. Полезные упражнения .................................. 464
А.6. Общие тензорные преобразования; контравариантность и кова»
риа-'тность ....................................... 467
Приложение Б. Интегральные тождества ...................... . 472
Б.1. Общая форма теоремы Гаусса ................. 472
Б.2. Формулы Грина ....................................... 474
Б.З. Формулы для прямого метода граничных элементов . . 474
Б.4. Интегрирование дифференциальных операторов ... 476
Б.5. Литература ........................................... 477
Приложение В. Квадратурная формула^Гаусса ....... 478
В.1. Введение ........................................... 478
В.2. Основная формула численного интегрирования .... 479
В.З. Таблицы ............................................. 480
В.4. Литература .......................................... 485
Предметный указатель...........................................486