/
Author: Орловский С.А.
Tags: вычислительная математика численный анализ математика прикладная математика
Year: 1981
Text
ОПТИ ИЗ ИЛ
иееЛЕ ОБ
ОПЕР ий
Редак.то р серии
Н. Н. МОИСЕЕВ
& .
2&
...
МОСКВА .НАУКА.
r ЛАВИАН РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕР АТУР ыI
1981
с. А. ОРJIОВСRИЙ
.
.
-
.
.
.
МОСКВА «HAVKA»
rЛАВНАЯ РЕДАКЦИИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ литЕрАт1'рыI
1981
.
22.18
0-66
УДК 5f9.6
с. А. О Р n о в с R И й. Проблеиы привя'l'ИЯ решений при
етвойисходвоi информации. · М.: Наука. rлавная редакцпя
ф:
ико-матемаТlAесхой литературы, 1. 981 t 208 с.
В квиrе ИЗJIarаются способы математпчеСRоrо.. ОПIIсаНliЯ п
анализа разнообразных задач ПРIШЯТИЯ решении на основе
иовоrо подхода, опирающеrося на введенное л. А. Заде ПОНRтие
вечеткоrо множества. НечеТКlfе множества ИСПОЛЬЗyIОТСЯ ДЛП
математической форы1лизациии ИСХОДНОЙ ивфОРАlации об IIссле-
u
""
lyeMOK реапьвои ситуации плп процесса ПрИВЯТJIЯ решении,
иоторая может носить субъективный и потому нечеткий ха рак-
,ер. В рамках предлаrае)'Iоrо в кпиrе едивоrо подхода анализи-
руются аадачи К8тематичеСRоrо проrраммировавия с нечеТl{О
описаииымп lШожестваии допустимых выборов и фУНКЦИЯМИ
цепи, иекоторые типы иrр в вечетко определенной обстановке,
а также аадачи привятия решений с одпи1tl И несколькими отно-
DIевияии предпочтения на множестве альтернатив.
Rииrа раСС1Dlтаиа иа широкий Kpyr читателей, вкmочающи:i
в себя специапиетов ПО прикладвой матеllатике инженеров
а также JlИЦ "
, иитересующихся вопросами иатеиатичес:кой а:ко-
ВОКИКБИ б , теории Систем п оБЩИlfП вопросами прииятия решени:i.
и л. 43. Ипп. 14.
. 2 0204-067
5 З( О 2)-8t ' КБ-2-33-81.
1702070000
о ИОltатеп'JСТВО
HaYKao.
rпаОП8А 'P8nal(..n
ФИвино-математической
питературы, 1081
оrЛАВЛЕНИЕ
Преди:словие редактора серии . . . . . . . .
Предисловие автора ........... It .
. . . . .
. . . . .
r л а в а 1. Нечеткие множества п нечеТl\пе отношения
1.1. НечеТКIi:е мно}кества .. . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.. Определенпе печеткоrо 1IIreCTBa n Tep:мnнo-
л о rия . . . . . . . . . . .. . . : . . . . .. . . .
1.1.2. ОпераЦИII над нечеТКПl\IП l\lножества?\111 ...
1.1.3. Мнол{ества уровня 1I деНО}IПОЗПЦIIЯ нечетноrо
множества ........................
f .1.4. Нечеткие тополоruчеекие пространства ....
{.2. Нечеткие отношения . . . . . . . . . . . . . . .
{.2.1. Свойства обычных отношений п операции над
ними ...........................
{.2.2. Определение нечеткоrо отношения .....
1.2.3. Операции над нечеТRИМИ отноmеВИИl\III .. . . .
1.2.4. Свойства вечеТRИХ отношении ..........
f .3. Отображения печетких множеств . . . . . . . . .
1.3.1. Принцип обобщения .. . . . . .. . . . . ..
1.3.2. Прообраа вечеТl\оrо множества ........
i .4. Соотношение двух ПОДХОДОВ R определению нечетких
...
1dIIожеств и отношении . . . . . . . . . . . . . .
f..4.t. Нечеткие множества .. . .. . . . . .. . . .
t .4.2. Нечеткпе отношения . . . . . . . . . . . .
r JI а в а 2. Задачи маТellатичеСRоrо проrраммвРОВ8ВВJl
в иrрьr орр ве'lетких исходвых YCJIOBIIJIX . .
2.1. Введение ............,.........
2.2. Задача достижении иечетко опредеJIеивой цеJIИ (под-
ход БепЛИ8U8 . Заде) .... . · · · · · · · · ·
2.2.1. ФО МУJ1ИРОВRа и определение решения задачи
2.2.2. Миоrовтапиые процессы ПРИИЯТИJl решений
при ие1l8ТКИХ ИСХОДНЫХ УСJIО ИJlХ . · . · · · · · · ·
.
8
15
19
19
19
23
28
30
36
37
O
(4
49
52
52
56
58
58
63
67
67
69
69
75
()rЛАВЛ НU
в
о математпчееКоrо
задач ве-qетко r
2.3. Классификация . . . . . . . . . . . . . . .
проrpаммвровав ия . проrраъlИИРОВавия пр 11 не-
'J'eкатичесиоrо
2 6 Зада..а мв ев ий ..........
.. .. стие оrравич ·
четкоМ llИоже юnтeеся иа множества уровнн
t Р евие {. оппра '
2.4.. em раипч евий . . . . . . . . .
lПIожества or u "
Jl811еткоro пвалевтвостъ решении 000 их
2.4.2. Решение 2 и эка ............
. . .
типов ., п е елевиой обстановке . . . . . .
2.5. Иrр& в иече . _ . . _; . . . . . . . . . .
,r 2.5.t. Введеиие ....... .
". · 2 5 2' Описаиие иrрьt ..............
· · · сииanьвые rарантиро е Bbl rpblmII
2.5.3. Мак _,_0_.- О' .. ..' - вптересами иrроков
· J 2.5:4.- Иrры с противоположиыии
.; l 2.5.5, Нечеткое раввовесвое решекие: .иrры · · · .. ·
. .
.. ..
-
. .
r .л. а в . · 3. П реш" при вечетв.ОIl отношении
.' _ ЦJМЩIIО1lТelllUl на IDIОzeeтвe. aJIЬтерватив . .
r о
.....
.
3. i . Вве.tV!вие .......... · · · · · .. · · · ·
3.2. Нечеткие отношения предпочтевl!R . . _.8 . . . . .
3.2.f. НеЧеткие ЬтиоlПеиии безразличия, J(ваЗliЗКВИ-
.
валеитвоств и cTpororo предпочтения . . . . . . .
. U
3.2.2. ЛввеЬость вечетких отношении .. . . . .
3..2.3. Нечеткое ПОАИ80жество иедомивируемых алъ-
... ..
-rерватив ....................
. 3.2.4. Четко ведомивируемые альтернативы и их
'.. 111. .# ... . "'_
свойства .. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. У С1IОВIUI существования четКо иедоиипируе-
.. J ...._
" .
.
м.ых lJIыериатив . . . . . . . . . . . . . . . . .
. r.
3.2.6. Сиemавиое расширеНие заД&'Чи 'прпятия ре-
melniri :.' · · ..
-.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
З. !IеСКОJlЬ](О отиоmевий предпочтения ва мВо)кестие
8JIЪ .. ...
. lfeрватив.......... . .. .. . . .. . . .
.4. ОтвоmеJПJe предпочтения иа вечетком множестве
lUIыерватив
· -.... ,... 1. _... ..,. . - ! .8 _ . _, _. . . . . . . . . . . . . .,
,&. .. - . ... ,Jr ... _ .. . .....
..
. ,
r"JI а в а 4:'01_ вад.."-' йёЧеТВoro "i1атематИЧескоrо
. 'ПРОrp .. .
. . . . . .
..1. Введен.е' . . .. . - _ . а . . . L
L · · · .
'111.2. Обобщение и-- · · · · · · о · ',. .. ..0 ., . ":. .
.... · · - .,.."_ .i'l\oro отношения иа класс вечетких
МВОЖetТ8 . - . . . . '. . 10 .
, - . . . . .
..... . , . . .
t П.. · '. ... · · - . · · · · · · · · · · ·
· .. остроеаие общеивоrо отношения' . - · . . ..
. .'.1 . .. .. 111_
. · .... .. .. .' _. - .. . .. 41
". .
81
(j
НIi
2
9в
96
99
101
104
110
115
115
119
119
125
128
132
137
141
144
151
153
153
155
155
-
оrЛАВЛЕНИЕ
4.2.2. Некоторые свойства ивдуцпроваиноrо отноше-
ния предпочтения ..................
4.3. Недомивируемые альтернативы в общей задаче ве-
четкоrо математичеекоrо проrраммироваиии ..
4.3.1. Нечеткое множество ведоминируемых альтер-
натив . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . .
4.3.2. Выбор альтернатив в случае числовых оценок
альтернатив . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
';4. Задачи математичеехоrо проrрaмJd.ИРОВания с ве-
_. четко описанными- пара"fетраlfИ . . . . . . . . . .
- ... .4.4-.1. Б веАевие ...................
4..4.2.- Формулировка исходной задачи и сведение
." ее к общей задаче вечеткоrо ].!атематичеСRоrо про-
" . r'рШlмирования ..... · · · · · ... · · · · ·
.. .4.4.3. Недоминируемые альтернативы в задаче с ве-
fI ..: четко описаНИЪThlИ пара11етрами ... · · · .. · · · · ·
4.5. Задачи упорядочения при вечеткой исходноii ипфор-
· . I маЦlfИ . . . · · · · · · · · · · · · · · · ., · · ·
. .. .4.5.1. Введение .................
4.5.2. Рациональный выбор альтернатив с учетои
.. . набора. приапаков .................
..' 4.5.3. "Упорядочение объеНТО8 по набору прпаВ8ХОВ
.
Литература ......................
.
.. ..
Предметным указатель .................
. .. ..
.Список обоввачении и сокращении · · · · · · · · · · ·
. 1. ..
.
. .
.
.. . .
.
.,..,....
.
.. ,.
- f "
-.. ..
, -. .
.' .
.
1,......
"
I
.
. . ..
I .
. .
. I
.
.....
. .
.. , , .. I
.. .
-- ..
7
15
164
164
168
170
170
174
177
188
188
189
194
200
203
205
т
- _.
..... -.r ..: ,.
-
. .
.
..
.
..,. ..r.l :.1-.
- '1:
.
..: ..
t.
.
.
.
.
.
. ,. ,
.... .. ,,1'
s .. .
,. ,'.
..
- , t'
-z-.-, II!.
-1" ... r
.. r..:"
-'
- .
.
. . ..
.
.r- r-.. .#.
,. ..... 111 .
L
.
.
.-'1'-1. r ('.
f , - - , r
.....
.
. .
.
.
п облема ПрИВJlТИЯ решений или робле:м выбора
р . O может быть, самыи расupостраиен-
альтернатиВ r 0& t .
... задач с которыми сталкивается ие только ис-
выи ипасС , ..
ль ВО и иижев:ер-коистру:ктор, ХОЗJlИствеп-
слеДОВ8те ,
вЫЙ руководитель и т. п. И математика, в ужеввая:
современныМИ средствами вычислительнои . теХВИКИ,
В аваJIИВ0 втих"проБJIем: может cыrpaTЬ выдающуюс.я
РОJIЬ, .ИО ЛИШЬ В ТО1& случае, если примеиять ее «пра-
ВИЛЬRоt, т. е. использовать математические средства
соответственно их возможноСТЯМ, не переоцевивая. и ие
умаляЯ роп математикИ и математика в процессе_.при-
..
ВJlТИЯ решении.
Внедрение математики, расширение пруrа :вопр.осов
человеческой практиКИ, в которых математика оказы-
вается. вффеRТИВИОЙ, часто тормозятся рядом иллюзий.
Люди, ие IIладеющие профес овальпо мате:матичеСRИМИ
методами, ипоrда думают, что любая проблема :может
быть переведева па ЯЗЫК математики и, следовательно,
решева. ее - средствами. Часто высказывается - и в точ-
ности противоположная точка зрения. Действитель-
ность ropaaAo сложнее таких крайних утверждений.
Л ые ситуации, т еб щие ПрИВЯ:ТИJl решевий,
!i' · . ц. _ авИJ.I.Q., _ _ ос «m !по _ Q. чество пеопре-
дех тей. Их ПРИ1lЯТО разделять и аi -т:Ри .-КЛ8. 8.
Прежде Bcero.... это «веопределе:нвости природы» ·
факторы вам просто не И8вестные. Затем «веопре-
делениость противника». Человек всеrда существует
в усповиях, при ноторых результаты ero решенИЙ не
CTporo однозначны, они ваВИСJlТ ОТ действий друrих
лиц (партнеров, nPОТИВПИRОВ и Т. п.) действия которых
ОП ие может полностью учесть или редс.казать...и "'на'"
коиец, сйуществуют таи Н8аываемые «неопрепепеввосТИ
желави » иии nелей В м
· самом деле пе ед иссле ОБ --
Т er а с оит пес а u '
. ..,. - 'J\ОnЬJCО цедеи, JIисат 1tIЖ ОДJl:JIМ
-
"
nр:тДИСЛОВИЕ РЕДАНТОРА СЕрий
9
покавателе:м: (критерием) яеВО8МОUll''I'''I'О КОВ
LЦD.. . структору
самолета, например, необходимо обеспечить ив только
безопасность пассаЖИРQ о и !4инимаnъвую стоимость
пер лета. _K !! E Yy.н шио пост оить такой плав,
что ы _ _ . ( l\!ЧЦМ Ю4 _!-f! ат до иться MaR _
п:у а пр,.од1?tции» и т ....!!.1 рич ти Т:Rе боваиия, ках
в димL част п}от!!о еЧаi шr ,ДРРХ; -, .
. . ""Л"еr о повять, что свести подобные вадачи с иеопре-
l' делеиноетями к точно поетавпе:ниым :математическим
j задачам нельзя в принципе для 8тoro надо тек
l или ин м образом «снять» пеопределевности,( т. е. вве-
сти какие-либо rипотевы. Но формирование rипотез
ЭТО уже прероrатива содержательиоrо аиалива, ото
формализация вефор:м:альвых ситуаЦИЙ.
. Таким обравом, анализ вадач: ПрИНЯТИЯ решеНИЙ
в условиях. .иеOnР8Аел-еВИОGТИ не 14ожет _ БЧ 1? аверiiiёЙ --
ИJI.аМILОДП А.жахеи.аm - е «вкспё"-ш» ..
т: . .;Профессионала в анной КОJ.Ш,IШтвой о_б ТИL_ бц . .
иае:r fl . ОАИ -L .. ча ь _.Rещаю .
НО ЭТО вовсе не умаляет впачевия :математики и м:а"
тематических исследоваНИЙ. Прежде Bcero, ситуации
с проблемами принятия решений типична ДJIЯ любых
научных проблем. Сначала идет формироваlПI8 rипо-
тез акт иеформ:альнЬ1Й в привципе, опирающийся
на ОПЫТ. Та:к обстоит дело и в физике, да и в самой ма-
тематике · вспомним арrумеиты Пойа в ero превосхо,ц-
ной книrе «Правдоподобные рассуждения).
Но вот rипотезы сформ:улировавы, и матеиатичеСRая
модель rOTOBa. И здесь, если В8дачи, которые решаются
с ее по:мощью, достаточно сложные, беа математики
уже обойтись не удается. По существу, любая постав-
ленная задача, отвечающая тем или иным rипотевам,
представляет собой закодированную информацию о свой-
ствах И8учаемоrо явления, о ревупьтатах принятия
Toro или ииоrо решения. И извлечь вту информацию,
u
раскодировать ее, представить ее оперирующеи стороне
в том виде, который ей доступен, помочь избежать
ошибок и преодолеть веопределенвоети может только
.маorематик. Танов афористичный смысл этой форш:
деятельности математи:ка: проблема принятИlI реmеиив
Jt условиях пеопределенвости ве ЯВJU[ется матеиа "
к61, во 'l'опыto математик может И8У1DlТЪ вое миоrо-
10
r;
nFЕдltсJtо. . f .AR,!,pP:A Р Й
а. .
.. J L. " 4 .
во.стей эТОЙ пРcWле , создать системы
<! e " х' -р"еmе.пиii "n которых OH .деиетвителыlоo
к вариаиry те ". .L. J. I . 'j.. ;. ....; i 1...
. ..'
ЖДв' e CJl.., вl.п..о' ле е' а'десятD:летия .эта пробле-
. от почему _' M . . · -- ....
L - J "и t вл" -eK ae T к себе vсilJIИ 1\Ш9r математиков
матика пр 1. "j t j А . ю В' r u
как' у'иаё ii c'Tp J;le;. T 1! 8:.. р:у' еж . . · · ермеиер,
Р. БеJIJIИaII, .Л aд . ЭТ :лищь. а;и:.БОJI е ЯрRие имена
из -roro д.пИнitО,rо е е1JВЯ . раб"о. OTOPЫX внесли
и ЦОВЫЕ; Jlдеи, и B Bыe TP . ре УЛJ:» а ы в теорию
.... ..: . ' - v
Пр.Jlrи еше . . . ." ; .. . '-
'. ", cJPf: pe e . а ся у лоп н определен-
.восТи, еСJIИ. Ba l! eJJi J . не з ае ОЧВ:О. воеи цели и
peaYJlЬT8T опера о еви jа ТС!I ОI'ИЪ:fИ: критериями,
ТО и само реmеп е беСС СJIеlЩ ТQЧЦО ф ксировать.
- - ..... . .:11- . U
МОЖНО rоворить.о классе «ПО ' 4 ЯЩ ? р!Зшении . - не
б JI еt."Эi Ф , ет о; .п и; пеЦ1Jалистами,
И, , O. СfЩе тву он y Д ; СП Ь;3 e ПРIJ анализе
альтернатив ВОЗМОЖllЬ1X рещевJЩ. ерв щм ero доста-
1I ..;......... I ....J
ТО'ПIО четко сформ.улИровал итальянский ЗКОI-Iомиет
Парето еще в "{"904 roдy Форме.rак азblii емоrо ПрИR-
циiIа Парето. ! o,. тПil.R Т2-,,- !! 2- E!. .-"c решения
CJf L ! . _ !.Ц1.. ... 1JlUl1b_ -c.P-i}llц_- __I! у у m е I?! , PJ!!».TepIIa-
T !_!:__e:_44 P. B,.. X Y_ p'}Jle" K 9 9PЦ пс? ОДI-IJIТ\J
критери RИ!'.2ди.т - К-. ,,. УХ)l ше ю П€? друrим KpII-
J' и. $ Рри п ЭТ Т, достаточно очев дпый и очеНl>
ВI1.ЖПЫИ с чисто прикладио ТQЧ И" "зре ия: 011 пq воляет,
о-пеl?ВЬ1Х, сжать множество ал терпат , O-BTOPЫX,
оп дeM :вc.тp pyeT те потери, которые м:e T о ерирую-
Щ " сторОна ,по.. тем иJlи иным окааателям: тремясь
у учmить Itакои- о редеJ1енвый показатель. Умелая
работ, ,мвожесТвом: Парето Позволяет сделать наrляд-
JJ n MHo e особенности изучаемой операции.
· oaД1l e B CH еще целый ряд подкопов позво-
JIВЮЩИх. отбра · 1:-\- ,
· . КОВывать заведомо неприемпемые аль-
тернативы' 1..,.
ТО 'в' 'М' t cya TЬ Множество анализируемых BapIIaII-
· поrие иа эт' '. . ..
прitццип · · и поДхоДов, таких, Н,априuер, Hal(
в: струме:=Dесия Нэша, ВЛIJЮТСЯ сеЙЧflС а)ЮIЫМll
оп' Й "'.,. 8,налиаа принлади.ых задач
. I<O цьm ю. Б. r " .' ..
в ' 'p !} МJX ц р .1,... ,е"рМ ..Р J! РМ.._ <!АчеРКI! ЧТО
B9 1' ,МQЖJТ. ы'· Я-l1е ИR J1epPD Ae eH:
, .. .. · ... ,_!!И'Л. .9АИ ...<; О I1 Ъf: те;l( _ТИ С:КИИ
],
-
ПРЕДИСЛОВIIЕ РЕДАН ТО РА СЕРlfИ
11
1..:1' (-" 1.... ..
з .ль! _ _ .. _э?-,о. оценка, полученная на основе прин-
ипа максимина. rарантир- ован Q
,._..-4._ - ___. - . выи результат зто
единственная ОПОРIIая точка.. Дальше л
,. .: . . ' .', Э.. ежат rипотезы
.< ИСК:. . то утверждение совершенно не означает что
вы ирать нужно именно ту аJ8.ьтернативу, ту страт rИЮ1
которая реализует этот rарантированный р"езулътат.
9 Mo eT б ыть и очень хорошим, и совершенно непри-
MЫM это Bcero лишь репер, информация, которая
,:П:ОJщзна субъекту (оп рирующей стороне). В конечном
!e .НИRоrда НИRакои математический анализ не может
:ь cT ororo точ:ноrо результата выбора альтернатив
в условиях неопределевноети..
..,... Именно с этих позиций надо оценивать и попытку
?ro urИ3 известных современных специалистов в при-
Rладнои матемаТИRе л. Заде, который предложил ОТ-
.
казаться от наноrо-либо четкоrо описания в задачах
.... .. u
припятия решении.
,.1 13 основе теории Л. Заде лежит тоже достаточно
.очевидный фаRТ субъективные представления о цели
.всеrда нечеТRИ. 110 оп делает и следующий mar он
iIолаrает, что и все оценки субъеRта и оrраничения,
.с которыми он работает, таRже, как правило, нечеТRИ,
'а ивоrда и в.ооБIЦе лишены в своем начальном виде
.к6личеетвенных характеристик. Так оп приходит к по-
; u. u
НЛТИЮ линrвистичеСI\ОИ перемеинои RpaCHoe, не очень
красное, совсем не красное и т. п. - а затем вводит
iiе-ноторую функцию принадлежности как способ фор-
'МRлизаI(ИИ субъективноrо смысла этих качественных
i п оt$8.зателей. ТОТ же прием позволяет охара:ктеризовать
1Iр.ипадлежпоеть какому-либо множеству. Характери-
'с ической функцией множества ОRазывается тоrда H
'разрывная фувItция .
. . . .
, .. ". ,1 . - на множестве,.О вне ero,
.. .
,а некоторое распределение, l;I:апомива ще ИНТУИТИВ-
'iitI'e :вероятностные расirредеJI НИЯ. Заде развивает
rtе itИку использования подобных цeBOK и опре е н-
.tiЬiй' формализм, дающ по ое о и .аRИе мо е :и. I p -
Jitkriiя' реmепd в 'условиях. !'Iечеткои инФО ,а . H
мве' кйжеiся, осно в:ая чw.r . o o <:Л Д? . ,:
sз' ЧИ't ЬС II 'йз' в.ле R ать н .11 9" To r C? п !? :коrо. саи
равил d i i uoBpa iльfе р:ia т1i ii.Р-JfЧ = !Е 8ВИ1IО т
.-. "",,'" .. _------.".,.. ...-......_" --.t' ...........-........ ...,.. .......... .... - .............--.
-.,...... --_._ .
fJ
е иеТJ(иi ха актер. Оно также ДОЛЖНО
о посать в - u
Д -i"'оват:ься в терМIПI8Х ункции принадлеЖIIОСТИ,
фоРМУЛ р фф ктавиых RОМ:ПРОМИССОВ Парето, rapaH-
И пеВ 3 в - r s.-
o:aвma oцeBO . 10. Н. .еркеиера, идеи выбора
тир. еииi на осв: ове ече:r писания л. Заде - - ..все
.. ре..IП .._ . св. по существу, к одному Kpyry идеи
oВ1l отНОСЯТ, ---- -- - ._.-- u
. '- '--' iЦИпЫ и создать аппарат, позволяющии по
р азвить при ,. -
вОзможности суви ть o e BO допустимых алътеРна-
1'ИII. Ма1ема'iИ К8 не может дать окоичательноrо КРите-
_.- - --- бора есJПI на самоМ деле их несколько! Если
рвя от ,
такова природа конфликтаl Но отбросить неконкуренто-
способные,- выделить наиболее перспективвые множества
варианТоВ зто уже задача математики и :матемаТИIЮВ.
И все вти идеи следуют току естественному ходу че-
.. u
J10вечеекой МЫСЛИ, которЫII своиствен человеку, анали-
811рующеиу более или кеиее сложную ситуацию. Эти
кдеи восходят еще R А. А. Маркову, положившему
иаЧ8JIО формализации процесса ПОСJIедовательноrо анв-
пива. Зто направление, траисфор:мируясь через работы
Вапьда и Айаекса, привело к появлению динамичеСRоrо
проrраиуироваНИJl Р. Беллмава и R методу ветвей и
rраииц. В Советском Союае В. с. Михалевичем была
дана на сеrодияшвий день, вероятно, наиболее общая
схема фОРМ8nиаованиоrо описания последователъноrо
. анализа, включающая в себя и схему динамическоrо
проrраимиро:ваНИJl, и метод ветвей и rраниц.
Цент ! " oцeдypa этоrо общеrо подхода :к про-
:мe вы QPa. .P: i! !! iB опирается на различные
пРЩl Ц Щi о;rбр ЦOjSВИ. Й "8 'этом контексте прИИЦИПЫ
арето, rаравтировапиоrо peayJIЪTaTa формализм Заде
ван.кают свое '
ВПОJIне определенное место Я думаIО,
ваПР1Dlер ЧТО ·
В ,раВВlIтие процедур типа ветвей и rраниц
а осиове вече
веСьма се Ь88 ТRИХ апrоритмов в смысле Заде будет
Iloro 8lIа р выи развитием методов последо:вателъ-
JIJla8.
О-qеиь 1IВЖИое }f U
ааВlIкает анапе ,сто в РФБJIеllах привятия ретеll В 1!
"UЮТСIi не ситуации, в которых опредеЛЯIOЩJlNJI
тер_стих. = х .'lIс'!Вевн:wе, а качественные xapaJ(:
ИJl. красный т Дныи, ие очеиь холодный, теплы il
ИОВ8ЧR:О, в н;ж.:::о-храсиый, почти Rраспы.й и Т. д.
nllX ПОR8эатеJIеii КОПвретuо)( случае для «:R&чеетвев-
· .. МОЖно ввести определенную J<оли'Че-
С ОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
JIРЕДИ ..
ПРЕДliСЛОВI-IЕ РЕДАНТОр А СЕРИI1
11
ственную шпалу YPOBe ь тепла характеРИЗ0вать тра-
дусами, а цвет ДЛНI-IОИ волны линий поrлощенив.
,l-Io подобная «метрпзацию) далеRО не всетда nOMoraeT
делу, ибо, во-первых, она вообще не всетда возможна
а :во-вторых, II дает достаточно адекватното представ
ленил исходнои JПIформацпп. Начав еще в mестидеся-
T X rодах занимаТЬ !l пробле:\шып нечетких Множеств
инечетких описапии, л. Заде обратил Внимание на
тот факт, что этот сп соб описания особенно удобен
при аналиве ситуации с величина!\IП, оцениваеМЫ1IИ
ственными хараI{теРИСТИI{аl\IИ. Так возникла ero
теория линrви.етичеСRИХ переменных, теория, lюторая
существеШIО расширяет область традиционных опера-
't.J
ционалиеТСRИХ исследовании.
До работ Л. Заде подобная качественная информа-
ЦИЯ, по существу, просто терялась - было непонятно,
. у
как ее использовать в qJОР lальных cxe lax анализа
альтернатив. ПОЗТОl\IУ тат, I\ОТОРЫЙ сделал л. Заде,
носит действительно прппцпппальпый характер. 1-10
в связи с ЭТИl\1 Я XOTe..1J бы еще раз подчеРКJIУТЬ, что
теХНИRа, раавпnае1\lая л. Заде, ОСIIовываетея IIa псполь
зов аliии фУНI\ЦИЙ' прпнадлел(ноетп. ЭТII ф ТНRЦIIП явля-
ются, всеrда ЯВЛЯЮТСЯ, rипотеЗЗ!\JII' 01111 даIОТ субъектив-
ное представленпе ЭRсперта (ПСС ТIедователя) об особен-
u '""
ностих ИССЛС.цуемои операЦПII, о XapaI{Tepe оrраllпченип п
целей исследования. Это ncero ЛIIIllЬ новая фОРl\lа утвер-
ждения rипотез, но она ОТl\рывает п Il0DLle B03f\IOi-I\НОСТИ..
Имея в своеь{ раСПОРЯjI еI-IИИ ФУПIiЦIIП прпнадлеrI\ИОСТИ,
u
исследователь получает в свои РУI{П П определеНПЫII ап-
парат, ПОЭВОЛЯЮП{ИЙ строить оцеIII{П для а.ТIьтернаТИБ.
ИтаI{, в cxe 1ax aI-lалnзз, развпвае II)IХ л. Заде,
та}{ )i{e кан и в траДИЦI-IОIIIIЫХ l\lетодах иеС..ледuвания
операций, строится неI{оторая C, CTe!\la rппотез, ТОЛЬКО
теперь они ФОР1\fУЛИРУIОТСЯ n теРl\fинах «субъек-
ТИВНОЙ>} принадлеlI(II()СТII. Далее, в рез)тльтате апалиаа,
TaI, же нак и в оБЫЧJIЫХ задачах с неопределенпоетями,
мы полу аем результат снова в нечеТRОЙ ФРj>ме -
в форме фУНКЦИИ прина]Jлежноетп некоторому мно-
жеству. Значит, техника ?аде,__ подобно ПРU:;В:ДИIIIЦd
Парето или ПРИIIЦИПУ JrIаRСПl\-I3ЛЬRоrо rара.нтц.роваи-
J.i:oro результата, позволяет сжать 1t:Iножество ВОВМОЖИ !
альтерватип. .
- ... ..
,.
- I
14
.
ПРЕДИсЛовИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
'.0 Б ее" покажет, наскоЯЬКО подобный Подход сде-
удущ 3В nI для решения прИRладиых задач. Под-
лается поле б
ТОЛЬКО ЧТО вопрос о удущпости Bcero ЭТОI""О
еркием ия р шаеТСJl не столько математичеСI(Им
lIаправлен .. б
совершенствоМ развиваемои теории, КОЛЬRО удо СТВОМ,
которов обеспечивается оперирующеи СТОрОlШ при ана-
лиае и выборе альтернатив.
Теория л. Заде еще не получила достаточно широ-
кой известности' в вашей стране, и публикации па рус-
сиам языке оrраничиваются пока в осиовном ТОЛЬRО
переводами двух КlIиr. Поэт му поя ение первой оте-
чественной мопоrрафии, посвящевнои изложению ос-
новных положенИЙ теории Л. Заде и e развитию, пред-
ста Jlяетс не ТОЛЬКО, поп;езиым и В ЖНЫМ, НО И своевре-
мвннъiи. Rпиrа с. А. ОРЛОВСRоrо ОТНЮДЬ не пересказ
схемы л. Заде. В ней сдела а ПОПЫТК еще одноrо mara
в дaшrом: напр.авлепии. .'!.I: .. д. __ПQ азаЛt .каким образом
!. eт.K \ К :':IеСТ ЩJlп;оrQ xa.P > .'t6 _иоJ;tФ9р ацию можно
ис ол ъзов ать в формаJI зС?ванвых процедурах анализа.
!BY;:. ']. !!! ._.! .._p !1?_e e ЯЗыка
ItI !. ... , KO! 2P . 1!f?!! 2 . .X ! !!! . # в ечеткостъ
ЙСХОДИОИ ии l' !l" J- ема 'I;Q {' iИ& , М ЛЯХ.
, _"_о IJ lедуioiци и' mar это. проблема математической
i обработки той печеткой информации, Rоторая введена
! в модель, и прежде Bcero проблема ужения MIIO-
о же тва альтернатив на основе этой информ ции. Пер-
ВЫИ mar на этом пути - последовательваJ;[ перефор-
М:Улировка всех вадач математическоrо проrр ммиро-
ванил. Эта проблема далеко не тривиальна, :коrда целе-
вые функции и оrраиичепия записаны вечетким: обра-
ЗОМ. Еще сложнее проблемы теории иrр, KorAa субъект
пытается выбрать стратеrию при нечеткой информации
о поведении друrих субъектов (друrих иrроков), да
e в условиях, коrда множество собственных страте-
rиипопределено печетко.
редлаrаеМ8И Юlиrа как раа и посвящена обсужде-
нию подобных Вопросов и предлаrает определенные
приемы обработки иечеткой информации заданной
ОРМУЛИРОВRам оптпмизац оппых и иrропых задач.
1979
Н. Н. Моисеев
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Для настоящеrо времени характерно стремление
:ко все более широкому прим:енению математических
методов для описания и анализа сложных ЭКОномиче-
СRИХ, социальных, Эl\олоrических и друrих систем.
Отличительная особенность МНоrих из этих систем
в ТОМ, что помимо объективных законов в ИХ функцио-
нировании существенную роль Ilrрают субъективные
представления, суждения и даже эмоции людей.
- Анализируя конкретную систему, мы Фактически
расематривае:rtl выделеI-IIlУIО наlIИ часть более ПОЛI-IОЙ
СЛОЖНОЙ системы. Само это выделение мы ПРОИЗВОДИМ ,
ПОСИОЛЬRУ не в состоянии охватить и достаточно КОМ-
пактно математически описать и исследовать все Ьfноrо-
образие свойств полной системы. То, Rакую часть 60-
u
лее полнои системы l\fы выделяе I, определяется целями
u
исследования и наШИ IИ предетавлеI-Iия?tIИ о полнои
системе.
Выделяя подсистему , А'IЫ фаl\тичеСI\11 в в о ДI'Il\I rpa-
ПИЦЫ, ноторых на C8Jrl0l\{ деле Jle существует. ПОЛIIRЯ
система не есть ДИСRретпая сово:купность подсистеltl,
а скорее CBoero рода «КОНТИНУУ?\I), в !{ОТОРОМ подсистемы
в пеRОТОРО)I Сl\.fысле «ПРОПIof:кают) ДР '1' D др тrа. Переход от
подсистеl\IЫ :к подсистеме происходит не СI\ачкообразно
через четную rраницу, а плаВIIО, непрерывно. ПОЗТО)IУ 11
rраниц в оБЫЧlfОМ смысле между ними установить нельзя.
Анализируя :выделенную подсистему , мы не можем
иrнорировать ее связи с остальной частью более пол-
пой системы. Не Иl\fея ВОЗМОЖНОСТИ и средств точно
описать Bce l эти связи, мы используеl\{ либо CBOII соб-
ственные представления об этих связях, либо обра-
щаемси 88 ПО IОЩЬЮ ){ экспертам, которые этими пред-
етавпениями об.nадают. Важно то, что эти предеТаВJIе....
ива' в.пв, ИНЫМИ СJ10вами, информация о rравицах
'l{а.ttВ8Jt,.re мой подспстемы чвще Bcero бывает Вllтраж&па
16
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
..,
в понитиях, KOTOPЫ :имеют неч:еткии смысл с ТОЧIЩ
8 ввив кnассическои математики..
р Вместе с тем qеловек, моделируя реальность в тадnх
ПОНJlТIIЯХ, часто находит пусть не на лучmее, ПО ПРQ-
емлемое для Bero поведение в сложнеиmих с точки зре-
ния возможнОСТИ иатематичеекоrо описания реальных
ситуациях. В связи с этим можно rоворить... О том, ЧТО
язы« традициоин й математики, опирающеися па тео-
рию множеств и двузначную лоrику, недостаточно rп-
бок ДЛЯ моделирования реальных сложных систе1\i,
поскольку в нем нет средств. достаточно аД Rватноrо
описания ПОВЯТИЙ, которыми пользуется человек и
u
которые имеют неопредепеиныи смысл.
Простейший пример классификаЦия объектов ПО
цвету. Пусть цели исследования жаковы, что достаточно
различать лишь красные, желтые и зеленые объекты.
В традициовной математике RлассифИRация это раз-
биение заданной совокупности объектов на три непере-
секающихся подмножества, Т. е. введение четких rpa-
ниц, отделяющих объекты одноrо цвета от объектов
дрyrоrо цвета. Однако подобная классификация мало
соответствует нашему предетавлению о цвете объектор
На саМОМ деле мы не в сос.тоянии обоснованно провести
'1еткую rравицу между :классами, например, красных
и желтых объектов. В нашем понимавии переход от
ирасноrо R желтому непрерывен. Мы допуснаем, что
некоторые объекты MoryT в той ИЛИ иной степени отно-
ситься R раали1JВЫМ классам одновременно, Т. е. что
rравицы ежду зтиыи классами нечеткие.
'" Д .! ОВ _ Й остроевия математичесRИХ
. 1tIоделеи.... peaJIЪH X систем .найти способ -. обработки
_ :иеЮЩ И Я___ Ф Р_f\Iа Д iiя_ а ;;..ра ци ональных
б::НИ: ПlfОВ УПR _е и .c J)1JeHL часто, и осо-
при исследоваu:йй ЭКОномических социальныХ
и друrих систем, в функционировании OTOPЫX уча-
ствует человек, значительное количество информации
О ОпьrситстеМбе может быть получено от людей имеIОЩИХ
ра ОТЫ с Д .., ,
аннои системой и ЗН8IОЩИХ ее особен-
воtти, от ЛIодей им
фувкциоииров ' еющих представление о целяХ
Восит субъек НИЯu Системы и т. п. Эта информация
т.еJlВ:ОЫ 118Ы НЫИ характер, и ее представление в есте-
ке, как правило, содержит большое число
.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
17
u
неопределен осте! типа {(МНОТOJ), (tМал Ш), «СИЛЬНО уве--
JIИЧИТЫ), «высокии), {(очень эффективный» и Т. п., ко-
торые не имеют ав:алотов в языке традиционной мате-
маТИRИ. Поэтому и ОПисание подобной инфОРМ8ЦИ
1 u И на
языке традиционнои математики обедняет математиче-
скую модель исследуемой реальной системы и делает
е.е слишком rрубой. Вместе с тем наличие математи-
еских средств отражения нечеткости исходной ивфор-
ма и позволило бы, по-видимому, Построить модель,
более адекватную реальности.
ТаRИМ образом, для дальнейmеrо успеmноrо при-
:менения математических методов в качестве мощноrо
инструмента для анализа все более сложных систем
веобходимо, по-видимому, создание средств более точ-
Horo учета нечеТRИХ представлевий и суждений людей
о ре-айьном мире в математических моделях.
ОДНИМ из начальных marOB на этом пути можно
u
считать новое направление в ПРИRладнои математике,
связанное с именем видноrо американекоrо математика
Л А. Заде и получившее название теории печеТRИХ
множеств. Лежащее в освове этой теории понитие не-
четкоrо. множества преДJIаrается в качестве среДСТ8а
математическоrо моделирования неопределенных поня-
"
ТИИ, которыми оперирует человек при описании своих
W"II" U
представлении о реальнои системе, своих желании,
целей и Т. п. Нечеткое множество это математиче-
ская модель класса с нечеткими ИЛИ, иначе, размытыми
rраницами. В этом попитии учитывается возможность
Постепенноrо перехода от принадлежности к непри-
иадлежности элемента множеству. ИНЫМИ словами,
элемент может, вообще rоворя, иметь степень ПРИН8Д-
v
лежности множеству I промежуточную между полнои
принадлежностью и полной иепривадлежвостью.
Основополаrающа.я работа л. А. Заде «Fuzzy
Sets)} [1] была опубликована в i 965 roдy. К настоящему
яремеви работы, посвященные мноrообраавым: аспек-
там этой теории и ее ПРИJlОжений, исчисляются сот-
нями. Свидетельством растущеrо интереса к атому на..
правлению в прикпадвой IfатемаТИRе может служить
и орrанизация в 1978 roAY пециа ноrо Международ-
иоrо журнала «Int. J ournal of Fuzzy Sets and Systema.. ..
Пn-g:мевению языка и меТОДОJIоrJlIJ вечетких МII0жеСТ8
2 с. А. Оl'пО.СRи:l
{
ПРЕдисЛОВИЕ АвтоРА
-
11 . ы.цЕ! ирс?вави:и JI апа из СЛО НЫХ _ истеы были по-
cpтцe . lЩIО IfJЩ: семивары и Rонференции
в' :Ра.QЛИ. !JХ CTpaB X, в том исле в СССР.
· Даиная книrа посв ва. o y ив важных направ-
пе""' и. прiмвие .fl ВО В or«? ,! oдa А проблеме приня-
ТИЯ,. , рiЩIеиий при.. е ет ои. исходнои информации.
Ц . YT дела, в пеи анаJIИ8ИVУЮ'fСЯ. р.а,3JJ чные классы
математических 8мач ПJ?иия;rJ;lЯ реп:r и, в !(ОТОРЫХ
исхdдН8Я ' 1Щф QРшЩия' оп:иш: а В терминах нечетких
мНожеств и. о.rпоmенИЙ в СИЬ1сле л. А. Заде. В наше !
u .
поиимавии матеиатичеСRИИ анализ задачи или ситуа-
и" приППТ .fl J»еше й заКJJюч еrr:ся в «.отбраковке)
иеl!ациОВ JIЫI Х. а ьт рвати или вариантов, Т. е.
в том, 1J'Iобы, ИС ОЛЬЗ0вав математические средства ДЛЯ
обработки всеЙ' iшеющейся ивформации, сузить мно-
жеств-о возмоЖнЫХ вариантов ИЛИ альтернатив, отбро-
сив те иа ЩlХ, для KO OPЫX имеются заведомо более
приеМJIеиые. варицты ИЛИ альтернативы. Этот подход
- :... _ . 8- .,... 'L- ...
Ifспо ьэуется во всех !l'Qделях, рассмотренных в КIIиrе.
· · Освовная цель квиrи стимулировать 'Jmтерес к НО-
rf , . . I
BO Y аправлению в области математичеекоrо модели-
«? ЩlИ и анализа сложных реальных систем. Быть
. .
мрщет, .дa e иал пе отмечать здесь, что изложенные
в кпиr е постановки задач и подходы R их анализу
...,. .
ЛИW С;>ДИН иа возмОжных путеи использования матема-
ТИ ИХ. средств для обрабОТRИ нечетной ИСХОДIlоiI
формации. Но B eCTe с. тем столь же излишне, по
H!1дIeMY ъmени..ю f(ОRазывать необходимость ПОИСI{ОВ
и . ;исследо ании в ЭТОМ напр влении'.
. В свое,: ра ще в ЭТОЙ области, а таI{же в работе
над .:ЮlиrQ . Я ПОСТО lmо пользовался вниманием и
ЩJдц ржкои Н. Н.. Моисеева. За все это я. припошу
ему СВ Ю, искреннюю БJiаrодарноеть.
Ij; опец, я хотел бы вырази ь свою надежду па
:рит у Bcero. излотевиоrо в этой книrе. Появление
Р тпки СВИД 1едрствовапо бы о DЫПОJШении одной
ИЗ; , B;Н: X задач, СТОЯВШИХ передо МНОЙ при ее В8-
писр.ИIJJJ.
.
t979
.
.. .
с. А. ОрАовский
.
,
.. . ,. .
. . .
-
I
. . .
.
.. .
. -, . .
,
.
.
.
,, . ..
.
.
I
.
. .
r
.01'... ..
.
.
rЛАВЛ-' 1
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
И НЕЧЕТRИЕ ОТНОШЕНИЯ
. .. п реж е чем пуиступит.ь I{ описанию и анализу
ЛИЧНЫХ м.?делеи принят я решений с учетом нечет-
ои исходнои информации, мы ИЗЛОЖИМ.В этой r.л8.iJе
?СНОВЫ матема ичеСR rо аппарата теории нечеТI\ИХ
":Iножеств и отно евии, опираясь rлавпым образом на
аботы Л. А. Заде [1 5J. Вводимые здесь определения,
о ера ии над нечетки:м:и :м:ножест ами, отображения
нечетких множеств и их свойства составляют матема-
.1 r .
тическую основу раСС},fатривающихся ниже способов
I .
построения таI(ИХ моделей и обрабОТRИ нечеТRОЙ исход-
ной информации.
. Отметим, что в эту rлаву включены rлаВНЫl\1 образом
.пить те сведения, которые потребуются в дальнейшем
при формулировке и анализе задач принятия- решений
Более полное предстаЕление о тепереnrнем состоянии
u
теории нечетких множеств и отношении можно получить;
u ....
08паl\ОМИВmись с цитируемои ниже литературои.
. .. J
.
1.1. IIечеткие множества
,
1.1.1. Определение вечеТКОI'О множества н терми о-
JlоrиJi. В траД И(jIrвой прикладной. математике мпо-
Ж8СТВО п()нимается как совокуnность-о.nемеПТGВ. (объек-
тов), обладающих векоторым общим. ClВойством. .- Нц-
.примеРt .множество чисел.. не меньших задцннр.rо числа.
множество ;В KTOPOB, сумма о по , Н к ждоrр. 'И" б О.-
торых не превосходит единицы. и т. П. ;Д lIJ .ЛI9.
элемента при Э,ТОМ расс аI:Рт щ r Щ . ,д,J}!( 1\9. "IOЖ-
. б' . д-"ежит данномv мно-
:QО ТИ: п,и. ,О этот.. э.дем т - p ица; · T ..: ,.;:. ;" . - '1' .. : t ..., б" '1 Z ..
принадлежит дапирму мнржест у 'r:- . е..! ! це . R. .Л!!J!..' .Т
. ) т КИ'" образом в описаНИИ r }dПО-
данным СВОNС ТВОМ. 1 _ . t , I J' I : · .. ... II . ,. u
жества в объtЧВОМ Cl4bl JIE} .дoп; . со е.ржр.Т1f II. '1 -';
кр' втер' ий позволяюЩИЙ СУДИТЬ о припад:rrежвости ИЛИ
, 2*
zo
IlEЧЕТRИЕ мноЖЕсТВА
t
ости moбоrо элемента данному l\ПIOiНе-
вепрИВ8длежв
ству. уже rоворипо сь ВО введении, при по-
ОДИ81(0, кар.
матем:ат:е:чеекоrо ОIIисания сложных систем
пыткаХб х множеств может оказаться недостаточно
:;:;. и=:'ющаЯ СJI информация о системе Mo} eT быть
сформулированной на языке печефтких понятии, кото-
В 1i .ОЖНО математически ормаЛИЗ0вать с по-
рыв иево .-
моЩЬЮ обьrчвых ъmo ecтв.
ПОИJlТ@.__lI.е ! _<! <!. 2Ю!О 2!\ а. v попытка ма теМа-
ти ческоЙ - Ф р_ - !t ечеt!<QИ информации с целью
ее ис по льзования при построении математических мо-
делей СJlоЖвь1:х е:иете .. В оепоис 9Тоrо понятия лежит
Представление о тои, что составляющие aHHoe множе-
ство влеиевты обладающие общим евоиством, MoryT
, u
u
обладать BTIIМ евоиетвом в рааличнои степени и, сле-
довательно, привадлежать данному множеству с раз-
ЛИЧНОЙ степенью. При таком подходе высказывания
типа «элемент ж принадлежит данному множеству)}
теряют смыл,' поскольку необходимо укавать «насколько
u ...
сильно. или с каков степенью данныи элемент принад-
.пежит данному ив:ожеетву.
Одии иа проетейших способов :математичеекоrо опи-
сания вечеткоrо множества - характеривация степени
принадлежности элемента множеству ЧИСЛОМ, например,
ив интервала [О, 1]. Пусть Х некоторое множество
(В обычном смысле) элементов. Б Дальнейшем мы будем
рассиатривать подмножества BToro множества.
П и . Н ечетJtuж жиожеством С
8 Х B8aъmaeTCH СОВОКУПИОСТЬ пар вида (х, Р-о (х», rде
ж Е.. Х, а Р-о · функция Х -+ [О, 1], называемая ФУНI\-
цвеи приваДJlежвоети вечеткоrо множества С 3наче-
вие tl. () .. ф ·
rc Ж 8ТОИ увкции дия ROBKpeTHorO х называется
степенью принадлежности aToro элемента вечеТ1(ОМУ
мио_ест:ву с.
кости П6 не ОП1lсывает(',я своей 1iуйКitией принадл еж -
фУВКЦJh:) = оrже МЬ1 1JaCTO будем использовать эту
'м ... . означение вечеткоrо множества.
оЖио . опреnепить -' .. . "-1
общеrо.. т,.., вечеТRие множества :и более
. a. IR, папример, в)tииrе [5] Л. А. Заде
f.11
НЕЧЕТRИЕ МНОЖЕСТВА
2!
вводит в рассмотрение нечеткие МножееТtlа с фуикциJQOl
ринаДJIежности, значениями воторых являются ве-
четкие подмножества интервала [О, 1), и пазшае'l _Х
ивчеткими множествами типа 2. Обычные печеткие
множества, соответствующие определению 1.1.1, на-
зываются при ВТОМ нечеТRИМИ :множествами типа f.
Продолжая зто обобщение, Л. А. Заде приходит R сле-
дующему определению.
О п р в Д е л е н и е 1.1.2. НечеТRое множество есть
.множество типа n, п - 1,2, 3, . . ., еСJlИ значениями ero
функции принадлежности являются нечетиие множе-
ства типа n 1. ФУПНЦИЯ принадлежности He'leTKoro
множества типа 1 принимает значения И8 IIнтервала
[О, 1].
в работах Дж. roreHa [6, 7) рассматриваются не-
четкие множества, функции принадлежности Hoтopыx
представляют собой отображения Х -+ L, rде L
проиsвольная структура типа решетки.
Всюду в этой кииrе рассматриваются нечеТRие мно-
жества, соответствующие определению 1.1.f, Т. 8. по
термивопоrии Л.. А. Заде нечеткие множества типа {.
Обычные множества составляют подкласс :класса
вечеТRИХ множеств. Действительно, функцией ПРllнад-
лежности обычноrо множества В С Х является ero
араRтеристическая функция
1, если хЕВ,
О, если хЕВ,
I-LB (х)
.,.
.
и в соответствии с определением f . f .1 обычиое JlВO-
жество В :можно также определить вак совоиупность
пар вида (х, Р*В (х». Таким образом, вечеТRое uноже-
ет:во преД.С.тавпяет соБОЙ БОJIее широкое попятие, чек
02м,н.9tэ .. .ш li'р,t._ _! !d _!' _ '!! ФJ g!l _ .
вадпежвпсти вечетноrо мн о жест ва может. U !'_ -ol_ 'QQ .
rob opji ;-' -пр оиввольно qуикци ё" Й 'И JIИ - да же Про ! ь-
вЫЯ ОТббражеиием:. - . - -..r_ -
· - При N е р t . t . t Да сравнения раССJlОТРJDI обlПllО8
llИоасество чисе.п- В= (%10 < s =s; 2} и ве'lеткое JUlOJReCr80 ..сеж
С== {:81 «ввачевие ж близко к t.}. Фувхци. ПрВIIIДJIе..аe-r8
BТIIX JOIожеств представпевы на рис. t. t. f. BaxITIOr. 11'10 а__
фуикции прив&дпежиоети 1-'0 ие1fеткоrо IQtОJRееПI С ....0....
22
НЕЧЕТRИЕ .мНОЖЕСТВА
lI'JI. f
oro В ПО1lЯтиё с1>лiШКО» в ROBTeRcTe 8П8-
11 "falВаеи , .
." JПlCJUl; fJ #mfIjo1'
'''''''''11 ...... .
..... ri1........'
9-ВЦ!a!В .п fт-- .м" еСДII ero
ик - _11;j] F _:
шеС:ХII.в. 8. · Т.. _е & .v _
· , .М': ' ' . _ .o . , . ,\f е..л.
r \!'fIJ
IКПши Вf! J a,,,(). QЖно, описать
VпgВАПС kПР 'rrt"""ff'fM .
r rrr.. ,. 'I1ПrА.7r/WЖ1IОСТ. ида
jx1WUl.eJJ.. дlI " _, _ . . '. ,
'P-.i(z) '" 4 r'Yz'f.'tfl
В NШ ..1I&'Je'l-к&rQ " BfJIBa .4":>(о_ озвачение
впрр А) с ..J)УНRци еи принадлежности p-' ,...<x) назыаетсяя
.J
,
J.
f
I
.
f
I1
.
!1
- -.
с.
,.
... J
l' 'i {
.
,(
.
I
. r
-р
. ! /
.
.
rJ
'Xf .. 1 .0
1.;1
т iвz' -
t
... .
. .Z
Рис. f.f.1-. J
-
.,
множество {В оБЫ {Цо,[.t '.'. O)J ...., Aa . .
suppA f"- (.z ,.:1; Е iX f J.L A (:с) > О).
. , . I
'! !J< -.M 4 .1!!.ё! , ! ' н()р OitЬ Ь1пМ, если
вьmолвеио ра еиство
вор 11.. (i' -' '. 1'.
Er. 4, il
п иВИОJl сп: чае J:Iеч:еткое МlIожеС1'ВQ lIаВывается
ё ff()it ь :. . '. аnример . I 'нёчеткое Мв:dжееrво с
.. JШере t f.{' nОрмальiIо. Сt б iIОР И 8nЬВьiм:' 'Чаёто o a-
< !,Тc , Jiе» с евие 'вечетi(их, idkожест . Субuорм ль-
Вое ifi! 0 1ReCTВO М()жhо" п.РеОбрааоil i , , . 1 B a ь o y
(JJОР 8JIиаова7'Ь), РаЗделив ФУНКЦИЮ ПРиiа.ц.nt\жвоети
JLJ:!t' !? "' !> ::1!.аIЬеttnIЧ'ИJiV вир f.I: (:t)."@ IJI(, ..? e-
-. ," - .,. :ll:E%' ", "", , ,
· '1':"ее'1'Б;::'I i"nРJtМеIlЛJt такое' 'ПреобраВ-ОВ8Н'И6 в 1\08-
.. .t Рй', уе6 Хcii(iihf6-hр'ё ёТiiiJ1iЯi'.ь' сёбе "fji'lJ «фи-
3 l1 чеС}(иА ClfЪJCn».... ""', '." " ,- """",:, """",1 ..... :!'
1..11
t .. ..1
IIЕЧЕТRllЕ Ml-l0Ж сr.r1зА
23
IfB{ ) ИХ фУНRЦИИ принадлежности 'c eTCT HH:
rоворят, что А 61i../tючает в себя В ( В
ДЛЯ любоrо х Е х Т. е. С А), если
ВЫПолнено неравенство р. в (х) р. (х).
МНО)l{ества А и В совпадают ( А
"( ) ( ) эквивалентны) еСЛl1
P-ji -3; Р. А Х при любом х Е х. Если нечеТRИ мно';'
жества А и В таковы "ITO В С А
J ,TOII
S11pp В с:; supp А.
При м ер 1.1.2. РаССМОТРИlf не 1 Iеткие множества
А {х 1 величина х близка к 1}.
в · - {х I величина х очень близка l\ 1} .
Лено, что В С А, Т. е. функции nр надлежности этих ЫНО-
жеств l1A и fLB должны удовлетворять нерапенству Р-В (х) f1A (х)
. . .
I
р
1 --.-----------
I
.
.
РI}
I
I
I
I
(J
1
х
. . .
-
.
.
Рлс. 1.1.2.
при' ЛJобо}t[ х Е x. rрафИl.lеСИI-1 ЗТI'I ф)rНКI.( 1I1I r.fn[ " r ПЫ rЛJ)r еть.
ННПРllмер, как "ОК8зано Н8 pIIC. 1.1.2.
1.1.2. ОпераЦИl1 над нечеТRПМ11 МllожестваМII. Опе-
рации над !lечеТI{ИМИ МIlожеетваМII, такие, наПРИl\f Р,
I\ K I объединение и пересечение, ыI}I<ноo определить
раШiи'Diыми способаМи. Ниже будет дано несколько
таRИХ определеiIйй. Выбор' KOHRpeTHoro ИЗ них зависит'
от смщслц, RJ1адываемоrо в соотвеТСТВУlощие операцип
.
U I
В рамках рассматриваемои задаЧJI. · r ·
Вводя :операции. дад ,.вечет.кимп МНОfflестваlfiи; не-
обходимо помнить, что класс нечетких множеств ОХВ8-
тывае!' :-.И множества в обычном смысле. П ЭТОJ( }i B 9-
ДВШIе определения в traCTHC?M' СЗIуч в',?б 'ЩЬ1 'If".О 1Щ:
д, п :a тв 'tё оiJ.Ф.: 0'6::. · ;< '..-. I:'П "
8 теории УПQЖеств. Разумеется, это ив ОТПОСИТСIl J( тем I
24
ВЕЧЕТi{ИЕ мноЖЕсТВА
Сrл.. f
ий которые ДЛЯ обычных
И8 ВВоДИМЫХ Нllже опера п Ц а апример, к операциям
е имеют смыс , u б
множеств н стяжения и выпуклои КОМ и-
концентрировании, ра
нации. t А 3 Об'Ьсдинепием нечетпuх
О Д е л е в и е .J...
D Р е В Х называется нечеткое множество
AtЖJжестs А и 8
А U В с функц ией принадлежности вида
Если {А} конечное или бесв:онечвое семейство
вечетких N ожеств с фУНКЦИЯМИ принадлежности
:l
Рис. t.t.3.
fI' (z, у), rдв у Е у - параметр семейства, то объедине-
А,
:uием С U А. МНожеств этоrо семейства является пс-
1
четкое множество с фушщией принадлежности вида
""0 (z) - вир р..А (х, у), Х Е х.
"ЕУ 11
О пр е Д е n е в и е 1.1.3а. Объединение н,ечетпux .мно-
жеств А и В 8 Х можво определить и через алrебраи-
чесхуJO СУММУ их ФУНКЦИЙ принадлежности:
1 при Р- А (ж) + Р-В (ж) > 1,
fl'A (z) + f.LB{:t) В противном случае.
P."UB(X)
п р В)I е р 1.1.3. Пусть вечеткие множества А и В в чиспо-
801 оси ОПисываются функциями принадпежности ПОRававныии
ва рВС. 1.1.3. ЖИРuоi пИВией на рис.. t.t.3 пок аана функция
ираaдJlе_ости объедииеВИJl 8ТИХ Шlожеств по опредепевИ1О
1.1.3.
{.1]
НЕЧЕТНИЕ МНОЖЕСТВА
25
о п р е Д е л е п и е 1.1.4. П е ресечеUuе.м нечет1tuж .JI.НD-
жеств А и В u в Х :наЗывается печеТRое МНОжество
А n в с фуmщиеи принадлежности Вида
P-А/lв(х) -- miП{I-LА(х), (1в(Х)}, хЕХ.
Если {Ау} бесконечное или конечное семейство
нечетних множеств с функциями принадлеЖНОСТII
р. (Ж t У), rде у Е у . параметр семейства, то пересече-
вием С n Ау множеств этоro семейства является
у
нечеmое множество с функцией принадлежности вида
Р-С (х) · il1f (1 А (х, у), Х Е х.
уЕУ 11
О П Р е Д е л е н и е 1.1.4а. Еще один способ опреде-
ления пересечения нечетких множеств А и В испоnь-
3Ов ние алrебраичеСRоrо произведения их фУНКЦИЙ при-
Н8длел<ности:
р. АnВ (х) . - (1 А (х) f-I- я (х), х Е х.
Пожалуй, Б наибольшей степени отличие 8ТИХ
u
определении друr от друrа проявпяетея в случае не--
четких множеств А и В таких, что В С А, Т. 8.
f1 в (х) С fJ- А (х) при любом х Е х. По первому из этих
. u
определении
Р- АnВ (Х) P-В(Х), Х Е к,
Т. 8. фУНRЦИЯ принадлежности множества А фактиче-
ски «не участвует» в атом определении в результирую-
щей функции принадлежности J тоrда как по определе-
нию {.1.4а функция принадлежности всеrда содержит
фУНRЦИИ принадлежности обоих множеств.
ПОЛ88НЫМ может оказаться следующее СВОЙСТ80
v
носитепеи вечеТRИХ множеств:
вирр (А U В) . - (вирр А) U (supp В),
supp (А n В) (вирр А) n (supp В).
Леrко пр ов ерить, ЧТО 8ТИ равенства спраВ!ДJIИВЫ дпlI
JIюбоrо из приведенвых выше опредепеJJИИ оБЪ8ДИJ.JО.
РИЯ JI _ пересе'lеаИЯt
-
6
. '. ", r ..
J ". r
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
[I'Л. I
_... iI!I I ,
I !"'n р' :в и'е р' 1: . _ rt т .; и прииадлежнос1'И вечетRИж
Ы1I0жеtltti',jf «В 'йJlеm ВИД, ПОК8З8ВИЫИ на рис. 1.1.4.. ЖIIрноii
линией 88 атом .РИС7Вне ПОХ8sапа. 'фуи:кция привадлеil\ПОСТП
пересечения множеств А и В по определению 1.1.4.
, .'1... J. - "
. р : I .
r
.
.
.... ... - :
.
.
..1. ,.'..4....
- . -
.,. r .,........... ..
... ,.... о..
...
".';. ",1'.,,,.,.,
. - .
.
А.
." ....
,." -t r t ·
.
f' 8. .
......
. .. l'
. .
. ...!'.. j7/
.,. ...,<t, :",
.. .
... ...._ а..
. i .
. t . .
.
. .
. . .7:
...., I ..; ...,
Рис_ {.1.4..
r.! ". ... . '11 "'€ f
. .
..
" I 1 "
,,:1'
.
. :........
.
,-.j0iil' 'ед е*8Rие.' -t.1".5. . Д'ополлеиаем, 1-lече" коео
,мн,ожества А в Х называется нечеткое МПО)l{ество А I
С фувнцией ПРИlfадле J:I Т.и вида ,
.
Р-А' (х) 1 . f1A (Х), Х Е х.
И р d:'._ о _: ри,' . a!( ', е е:ц и · ДQполнения,
вообще. .ro JI'r'tAnA ";='0 (цо 'оБQWl приведенным
..,,, ".. '.. J": _. . ; 1 выше. оцре,цепеJilИЯМ пере-
, r сечения), в о ич е от
- - .. - ....,: - - - - обычных множеств.
. . \, W'''''' _' .
. .
, . t
, - При и е р t.f.5. Рас-
, "', . ОТрlЩ. . Щ! еткое . J4ИожеСТIJО
, ... А . _ { "f C lI!" !1' e-!" вораадо
>1, ' I " >...., .... . > -' z 66Аьшиж "УЛА}. Й пусть. Фувк-
. . . : . . - Я ПРlUМпJkежnоети . этоrо
.,.,'" :.. f. J . Ри i ".1..5. . r r ' f мвожеfIJВ8J имеет ВИД, ПОВR-
"1 : ','\ -. -" -., ., . вааиыii (на .рис., 1 ! .5. (сплош-
lil*' Й " k в'" " '. . на!! КРИВ )... T9 a УВJ(ТИР-
кости I а a'ttiъl исуике cooneтctByerf ySRЦИR IIрипадnе,п-
С д ПОпвеиия А множества А в 'миожестве" BteX чисел.
nовами ,
Н r РВвдо. ОJ1ЬDIИМИ В J!Я i I '.
епустое Р <fече,м ·
СТ&В.1lЯет собой ё\j 1tt... жес'.fВ А, И А' . .Э <Щ ррвиере пред-
IУдЯ ,1/J..QJJ.U,. в ет tle множество чисел, «rорввдо больШИХ
'r tIye oia 8T t ' ве J1JJIQ ,СЯ J'qрааДQ бqJlЬШВ вyJIJlI>
Сiiitб ! поiiИtи" ' БЪtТЬ' ': ж с а .Р п.<а . _'J'o ф ?;, ч'l'О
СТВве "iero некото РЬ3Ао большим. Оm1:С8ИО 'аечеtно, всп:ед-
npивадаежать op.кJ:1 }f:uCJla :иоrут с опре епeтrtJй · 'стt!певьЮ
р lПIо и тому и друrому мвожесnу. В ве-
, · r.. I
- .
. ;
.
1.11
lIEt.IE1'I{IIE 1I-IO;HEC1'BA
27
& ..
-
.,...:.... ...'
.
iJ. А (х) tJ. n (х)
О
Прll r-. (X) P.B(X),
в противном случае.
.
... .
'1J'1,B(X} :' ·
......f:...iI
...
....4:. "..-..........
..1.р еТЩd., ЧТО. приведенное выше определение допоr.;
пениЯ нечетноrо множества вытенает из данноI'О опре-
делении 1. t .6.
· "'J? .pe д'е л е н и е 1.1.7. Декартово произведение
41X:' 4t1.нечетких множеств А, в Х" i 1,2,..., n,
О р' е я.. кан нечеткое множество А в декарТОВО 1
н де ии Х · х 1 х... XXfl с функциеfl при н ад-
?!щf?qти.. вида .
Р'А (х) ч min {P-.t\ (х 1 ), .. ., Р-А,! (Х п )},
X --= (X 1 ,". .,х,)ЕХ.
... о n р 'е' д е л е н 11 е t .1.8. Выпуклоfl Rомбинациеi'I пе-
ЧМRИХ' 'множеств А 1 ,."", А n в Х называется. нечеткое
множество А с фун!щией принадлеЖНQСТИ вида
. ...... .8i.":' ,..
J .
'" .. . .
'4I.r.8 I
_ . f&.
Р. А (х) -; Л.Р-, (х),
i l
.. ,8 .. -. . ... · · ...
--
I
I
11 .. ". ...
.
... ....
. fI.
2, . . .. 1l, .л, .:: 1.
_=1
.. ..
-... I. ..
rде. '>"I' 'O" .i .. " .1,
.
Вьmyкзiьt комбинации нечеткиХ множестВ Moryr
найти применввие, например, в вада чах :принятия. реПl&'
пиЙ с песколы(мII неЧ6ТJ{ИМП. оrраниче\lИJI . Заме-
тим, что для 'обы чнЫХ множеств эта операцИЯ нв имеет
" _.. - ...... ._8.
смысла. · · _.., . . , . .. . . . .' .
..0 п'р.е A.fJ ;п..в.н 1t.e...1 t.9. .ОперациИ lЮ,щ.еН1n1'ир
8ан.uл.(СОN и растяжения. (D-IL}"нечет7СО "H
CJ1L84 А..оnpеДQЯВlОТ'СЯ .следующИМ .обрв.В8V:-' .....; .,....,....
. . ., . ..,..... ...1
. .. ... ........ .
: . . .. . .. ; . i(t А' ... "i. . 'D-'" 8 yL ' - I А ..... 8 АО 5
, . .. .' со 1 , = А , .1 - . t, t ,..;' - н .. .......
J:ДQ . pi A1I.(a:) . . p..j (Il)i ..11 €.x; .а > O . .' ...,.' ;. :,:.,:. .-: : __ " ".;.j
. . . ....... . ...
. & .
.. J ,...., ....
.
. .
.
28
НЕЧЕ'1':н:в мнОЖЕСТВА
[I'JI. 1
п оевевие операции концентрирования н вадан-
КОМ р иеf(еткому lШожеству означает, ПО сути дела,
1 е «иеqвткосТИ» aтoro МIIожеСТВ8. В реальной
vvевъшеви ....
:- ..8 8ТО может о,:mаrmть поступление вовои ипфор-
ад ПО8ВОJIJlЮЩеи более точно (более четко) описать
;= Н8четкое 1d1Iожество. АвалоrиEJIIыM обраЗОМ 1
операция растяжения может ..примевять я ДЛфЯ Модели-
ОI8JIJIВ ситуации, евяванноИ с потереи ин Ормации.
& JODI1'8 л. А. Заде [5] обсуждается применение Этих
операций для. представления JIивrвистичеСRИХ неОПре-
u
Д8J1еввостви.
й. t .3. Мвоасества )]ЮВИJl и декомпозиции вечеТRоrо
lI.ВожесТВ8. Множеством уровн,я а вечеТRоrо МНол,е-
соа .А в Х называется множество в обычном СМЫсле,
соетавпеввое иа элементов ж Е Х, степени принадлеж-
ности которых вечеТRОМ:У множеству А не меНьше
числа 4. Таким образом, есJ1И А. JШожество УРОВНЯ
а ие'lsтиоfО lOIожества А I ТО
А. {ж I % Е х, р. А (х) > а}.
Как будет видно ниже, vножествами уровня удобно
ПОJlьаоваТЬСR при формулировке и анализе некоторых
.ада. ПРИИJlТИII еmевий.
Пусn (А U >. и (А n В)а. МJlожества уровня а.
оheдвиевия и пересечения вечетиих множеств А и В
соот.етствевво. Рассмотрим СВЯ8Ь ЭТИХ множеств
о IIвожестваии уровня А. и B _ Если ДЛЯ опера-
цd об'Ъ8дивевил и пересечеНИJl прИНЯТЬ определения
t.t.4 и {.1.3, то, как иетрудВо видеть, эта связь такова:
(AUB). - A.UB., (АПВ). - А.П В._
в СЛучае же определений 1.1.38 и 1.1.4а имеем лишь
(AUB).::J A.UB. t (АПВ). с А.ПВ".8
Заметим, что D правы:х: Ч8СТЯХ всех этих четырех со-
О'l'Вошевd используются оБЫ1JIlые операции объедине-
В.JI в переС8 wy ев
МОжно '"& ИЯ множеств, каждую иа которЫХ
во nюб:ассмаТР8вать и вак частный случай операциИ
..Ьх . 1 твеТСТDУIOЩИХ определений, приве-
ВОJlJr (А Х ХА )
арО....д. 1l ... .. 11 = множество урОВПR« декартоВ8
вечетких МИожеств А А "'О ив опре-
11 · · ., "'.&
t .1]
НЕЧЕТ!\ИЕ МНОЖЕСТВА
29
деления 1.1. 7 департова npоизведения лепю видеть, что
( А 1 х · · · ХАn)а (A 1 ) Clt x · · · х (АJI)II'
.
Т. е. ипожест!о уровня CL декартова произведения преА-
ставляет собои декартово проиэведевие множеств уровня
а рассматриваемых печетких множеств.
Множество (Ао;) уровня а любой выпуклой комБИН8-
ЦИИ нечеТRИХ МНОII,еств (п. 1.1.2) А 1 ,.. _, А,. содержит
пересечение множеств уровня а всех этих множеств, Т. е.
n
n (А')а сА а .
.
'=1
в некоторых случаях (СМ., наПРИhlер, работу [8])
удобно пользоваться разложение i нечеткоrо множества
по ero мнол-сествам уровня, Т. е. представлением зтоrо
множества в виде
А U aA lI ,
а
rде f1d« (а::) "" [X(1.A CIt (х), а объединение нечeтRИХ мио-
жеств аА« берется в соответствии с определением по
всем а от О до 1.
При м е р 1.1.6. Пусть Х {1, 2, .. _, 5}. а функция ри-
В8.длежвости иечеткоrо множества А в Х вад&ва таблицеи
:t 1012 3 456
Р-А (х) О 0,1 0,.3 0.5 0,7 0.9 t
Тоrда для А можно выписать следующие множества уровня:
А о ,l {1, 2, ..., 6}, А о ._ {2. 3. 4. 5. 6}.
А О . 5 {З. 4. 5. 6}. А о . т {4. 5. 6},
А о" {5, 6}, A 1 . o . {6}
и представить вечеткое множество А в виде
А 0.1 {1. 2. З. 4, 5. 6} U о,ЗJ : 7Зi4 '5 ' 6 }tYO 85{ . 61'Ji t
Смысл проивведений типа czА. повсвяеТСR вьппе.
В книrе [5] равложение по множествам уровни
испольвуется для обобщения раали'ШЬ1Х поиJlТllЙ тво-
рии обычных множеств на нечеткие множества.
за
r ВЕчеТI\И :мн ЖЕСfВА
(rJl. 1
_ f . f .4. He _ .топ. !I rв ес uе_ пр трааства. По-
ОJlеиие "BoBoro ПОИЯТИЯ ие'1еткоrо мвожества стиму-
лировало раоскотревие .так ИЗВJlвавмык неч.етхuz то:
поАОВU'IeC1СШ; пространств (В. Т. п.), 8лемевты топопоrии
которых СУТЬ' и&четne - мпожества. Имеется уже до-
воа:ьв:о "ввачитвnьвое -тело работ иа эту тему (см., на-
пример. работы-[9 - 171. ив Koтopыx ВИД1IО, ЧТО В. Т. п.
обваД81O'I' миоrимИ' своеобраэПlaIШl свойствами, I(OTO ЫX
lreY -В оБЫ'lВЫХ топопотических простравствах. 1ео-
рия B; ". п. В ее- настоящем виде представляет интерес
v
лишь с 1JИСТО математическои сторовы, поскольку пона
еще вет примеров использования ее аппарата для ре-
шения хоикретвыx задач.
, . L- _ Одной..аз ивrrересиых особвввостей В. Т. п. Я-ВJIJlеТСJI
rQ. ЧТО, JIOИIIТВ8 .ТОЧКИ JI ВИ ив ЯВlIяется столь ТрИВИ8JIЬ-
, .... в обы'IIIНХ ТОПОJ10rичесиих простравствах.
Обычиое 1dII0жество всеrда можно представить в виде
об'Ъ8дииеВИR составляющих ero одвотоr.ечвых мно-
жесТВ. В случав же ие'lеткоrо множества подобные
ОДВОТОJl8uые МВОЖКIJВ8 t вообще rоворя, JlВJIJПOТСЯ
8.:4lJ:fit И -t:ребую особоrо определения. Внекотором
сJlыJlеe роль «вечеТRИХ точек. в п. Т. п. MoryT иrрать
ВВОДВМЫ8 в же элементарные вечеткие множества.
По в. .е TO .. В Н. Т. п. обсуждается . в р"боте
К. 1'0вr , [13].
В атои разделе иал rаЮТСJl лишь I[екот рые сведе...
во И8 рии 11. т. п.. С eM чтобы дать 1JИтатето пред-
ставJIеиве об этом иитересном направлении раавития
теории ве'lетких МНожеств.
.. о Пр е д'е JI е и и е 1.1.10. Семейство т вечетких
lUIожест .. YllИJJерсальвои МНожестве Х вавывается
нечет1СОU топОJЮэией,. всJIИ
. ХЕТ. !дЕТ. _
жеств в х !raкoro, что {А } С Т
.-. 3 А Т ,.
, · " МИОЖ8C'rВО Х . . ·
I'вей -1. В83IiIВае JlС введеви'Ой в веи вечеткоi ТОПОJ10-
I нечетlCUAt; тOпOAOZ
етвож \-11...,. -11.)"(06038 ичесхи.. простран-
аЧ811Ие (Х, Т». Элементы семей-
.. У;.'
t.1 ]
J I Е II! 'l'I t II] М J-I UiH {:'l'] Л
; 1
ства Т Н8,эываются oпиCPblтЬZJtf,U пeTLelll.....U "IU
Н .r&i -"].о MILOЗICf-
cтвaJН,и. ечеткое множество, ЯnЛяющессл ДОПQJШС1I11СМ
В Х (СМ. определение n п. 1.t.2) I{ oТl'IH,J'rOMy щ чеТ1СОМу
множеству t lIRзывается ааЖJi.Jtут'1l,Jtt. ·
Приведенное опредслшш.о 'fОlIOЛОПIIf ЮШ.ТЮI'ИЧJЮ
обычному опредеJIСIlИЮ, о'rмстим ЛlШП., II1'() ОПО{)DЧ И II
объедивения и пересечения J1еЧСТJШХ 1IfJfШIЮСТВ ПOJIИ-
маются вдесь в СООТnСТСТIНШ с ОПРСДСJНШИЯМI11.1.а 11 1.1А,
привятыми в п. ! .1.2 ДnJIJI(JЙ )\JIиrll.
За-мыкание.л" 11 IЮЧСТ1ШI'О MllO Hcr,TBa А 11 11. 'f. 11.
(Х, Т) назовем (<JlВИ:МШIЫНf!(Н) апмюrутос Iш'teтшю 1.1110-
жество, содеР)IШlцсе 11. П YCTJ. ( JJ,J ' СI юi1с.тп{) J)(:I!X
S8MJ(uy-rblХ нечеТI(liХ MJJ(jiI(OCTJJ ТИJ\11 Х, ЧТ() J1 С /) о' 'r. . .
р.А (х) Р-В« (х) при Jlюбо:\[ х Е Х, ТОI'Л,а /1 =-: В.. иш'[
r-A(x) iпf 1 1 П а (х), хЕХ.
ct
В, р
А · А (х) -< р..4 (х), ПОЭТ(J IУ П2 81 . и,
Далее, 1 С 2 Р- .4, {" Е х т е А С ,12-
( ) ../ ft (х) У Х , · · 1
сп еДОВ8теnьпо, р. А ж r А,
. -
4. -41 U А ; - .. .111 U А 2 .
ока88тепьетво. 8) Пок&жем,
С tUJf 2 8 Допустим противное, Т. е.
х Е х, для Koтoporo
(Z)4
f1 A;UA. ( > I1J,UJ. I
что A 1 U A ;C
lЖТО найдется
. .
.
12
нВЧЕТВИЕ мнОЖЕСТВА
Сrл. t
'. е. . f (!»тах{infР-в!Х), il1ff1 B (x)},
ID РВ В 1 В 2
В {BlpB(Z) max{f1AJx)t Р-А 2 (Х)}}.
'I1 найдутсЯ В' Е В 1 И В" Е B:i) такие, что ДЛЯ
тобо ДВ В выполняются р. в ($) > р- В' (х) и f1 в (х) >
(!) отсюда следует, что найдется такое fj Е В,
РОв (z) > (10 (х).
б) Покажем, что A 1 U A a ::> A 1 U A 2" Допустим про-
тивное, Т. е. что найдется fl Е х, ДЛЯ KOToporo
P'1.U1. (х) > f1A.UA 2 (Х).
Отоюда заключаем, что найдетоя 11 Е в TaROO, что ДЛЯ
тобоrо В Е В 1 (ипи В Е В 2 ) выполняетоя РОв (х) > (J. п (х).
Но 11 Е в, и потому по.следиее неравеи ство невозмол{но.
Ив 8) И б) S8IШЮчаем, ЧТО A 1 UA 2 -- A 1 UA 2 o
Э п е м е и т а р и ы е и е ч е т R И е м н о iR е с т в а. [} ле-
мeнтapuыI, нечет"им м,н,О3fсествоJ;t E:I; (для фиксиро-
В8ииоrо % Е Х) назовем пересечение всех замкнутых
иечетких множеств В а таких, что РОВ а (х) > о. Рассмот-
рlDl иекоторые свойства элементарных иечетких множеств.
1. p..s (ZI) > О=> E s . С E z .
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. По определению ДЛЯ любоrо
f Е х вьmолнево равенство
f1Jr. (ж) - f Р-В (х), В · {В I РО В (х) > о}.
Дапее,
11.. (%1) с inf РОВ (х.) > о => Р- в (х 1 ) > 0- v в Е в,
в
ЕХ ВЫПОЛняется перавевство Р- Е (х) < f1 (х), ЧТО 1-1
08вачает Е С Е .1:1 Вэ:
:1'. "z8
есечеНlJе -МКВУТЦХ цеЧ6'!'КИХ множе;тв.
.
1.1 ]
НЕЧЕ'rI{ИЕ MIIO}l,ECT1tA
33
П о с л е Д о в а т е л Т> Н О С Т I1 1-1 е '(1 е т }, и х I Н О -
Ж е с т В. Пусть {А а } пос.ледuватеЛЬНОСТJ нечетких
множеств в Н. Т. п. РаСС '[ОТРИ l совокупность всевоз-
можных подпоследоnательноетеii {Aa} этоii последова-
тельНосТИ, каждая из поторых получена выбрасывание 1
из {А а } пекотороrо Rопеt.Iноrо числа члеIIОВ. Пусть
В, =-- UA - замьmание объединения всех членов под-
по следовательности {A,J . Нечеткое MHOiI-(:ество В о -
· B назовем llреде.лД!ft последовательности {AQ.}'
R о м п а R т Н о е т ь. Систе Jа {A rx } нечетких 1нол{еств
в Н. Т. п. (Х, Т) называется 110Kpь тueM '1lечеткоео
МНО3lсества А, если А С U А а или
.
tJ-,А(Х)<SUРР-z1а.(Х) VxE.X.
а
He eTKoe множество называется к,о.мnактпь},м, если
ив JIюбоrо ОТl{рытоrо покрытия этоrо множества можно
выделить ero конечное подпокрытие.
Для компактных Н. т. п. справедливо утверждение,
авалоrичное соответствующему утверждению для обыч-
ных тополоrичееких проетраlIСТВ.
. т е о р е м а 1.1.1 [101. Для тоео чтобы n. т. n.
бь1пltо по.мnаптnы.м" nеобходи.мо и достаточпо, чтобы
0""0 удовлетворяло условию: паждая центрированная
систе.ма еей ааЖl(н,утых uечетпих ,м,ножеств имеет
nеnустое nересечеnие.
т е о р е м а 1.1.2. Если п. т. n. кожnактно, то
любая последовательность еей нечет'fi,их подмножеств
UJ,f,eeт н'еnустой предел.
Этот факт леrко следует из определения предела и
теоремы 1.1.1.
т е о р е м а 1.1.3. В 1i:о.м.nак,т1ЮМ н. т. n. любое эле-
.1rWnтap"Oe иечетоое жnожество Е;е н,еnусто (т. е.
E z + Ф для любово хЕх).
Д о R: а s а т е л ь с т в о. Система замкнутых вечетких
u
множеотв {В: I tJ-в са (Х) > О} является центрирован ноя
для любоrо х Е х. Следова'tельно, в силу компакТНОСТИ
и. Т. п. она Иllfеет иепустое пересечепие (теорема 1.1.1), Т. е.
Е з; n В:=I=Ф УХЕХ.
а
3 С1l А. О!JЛОDСНИЙ
I
з4
ВВЧЕТКИЕ мНОЖЕСТВА
lrл.. t
Назовем В. Т. п. отделимым, если ДЛЯ любых х Е х
в 9 Е х найдется такое замкнутое иечеткое множество
В,ЧТО
а) f1s(:I:) > О и б) РОВ (у) ': о.
Теорема f.f.4. В отдеJШм,ож, н. т. n. любое эле-
ментарное нечет7'ое ЖJl,о:неество JШбо пусто, либо
06тдает .свойство"":
. >0 при ж' :l: t
p..s (:1:') О в п РО11Ш8НOAf, случае.
u
Этот фaRТ С очевидностью следует из определеl[ИИ
отделимости и злемевтариоrо нечеткоrо множества.
Теорема 1.1.5. Если В ааж"иутое ШJЧеткое
nодмножество отделuмово Н. т. n., то для л.юбоео
непустоао E s выполнено одно иа УСJЮвий: Е а С В или
E.nB ф.
Довавательетво. Пусть E:z;fkB, Т. е. P-В.-а:(Х»
> f-Ls (ж). При этом не может быть Р-В (3:) > О, так RaR
в 8ТОМ случае В ЯВJIНЛОСЬ бы членом семейства замкну-
тых вечетких множеств, пересечевием котор:ых является
Е., иеравевство P-. s (ж) > ""в (х) -было бы невозмОжно.
Отсюда в сипу отделимости Н. Т. п. И теоремы _1.1.4
ПOJIуча8М Е.П В (о.
К. Чаиr [10] ввел следующее определение онрест-
JlОС7И иечеткоrо множества в Н. Т. п.
Определение 1.1.11. Нечеткое множество и
в Н. т. п. (Х, Т) называется оr:ресmuостью нечеткоео
Af,ножества А, если существует такое открытое нечет-
кое множество А, что А С А с и .
т е о р е м а 1.1.6 [10]. Нечетr:ое жножество А
отпрыто тоеда и только тоеда, коада" оно является
охрестностью ltюБО20 своеео нечет1Соео подAtножества.
Пусть А и В два нечетких множества и. Т. п.
(Х, Т), и пусть А :J В. Тоrда В BaaыaeTcJI ввутрен-
ним ПОДШIожествои А, если А есть окрестиость В.
ОБЪ8J1;ивеВИ8 всех внутренних подмножеств нечеткоrо
миожества А вааывается впутреввостью А и оБО8В8-
чается А О .
т е о р е м а 1.1.7 [1-0]. Пусть А . :множество
в n. т. n. (Х t Т). Тоеда печеткое .миожестоо А о откры,то
.
t.1 ]
НЕЧЕТRИЕ МНОЖЕСТВА
35
и есть наибольшее открытое nодALножестео жкоже-
ства А. Н ечетхое ;н,н,ожество А открыто тоzда и только
товда, коеда А . А о ..
_ д о к а 8 а т е л ь с т в о. Поскольку А О ВИУТ-
реннее печеткое подмножество А, то по определению
найдется такое открытое множество А, что А о С А с А.
Но с А О, и, следовательно, А А О. Поэтому А с
наибольшее открытое подмножество множества А .
Если А открыто, ТО А С А О, поскольку В этом случае
А внутреннее открытое подмножество А . Отсюда
А . . А О. Обратное утверждепие очевидно. Теорема до-
казана.
К. Уопr [13] ввел определение нечеткой точки и
а.
исследовал с ero помощью локальные своиства Н. Т. и.
Н ечетпой точкой р в множестве Х оп паивал нечеткое
множеСТ80 с функцией принадлежности вида
у при х Х О '
О при х =1= Х О '
Р- р (х)
- rAe О < У < 1. Элемент 3:0 Е х назыаетсяя носителеы
u
нечеТRОИ точки р.
Пусть р - нечетная точка в х. Тоrда rоворят [13],
что .р принадлежит нечеТRОМУ множеству А (р Е А), если
р., (ж) < Р-А (ж) ДЛЯ любоrо х Е х.
Теорема 1.1.8 [13]. Еии А - UA" еде 1 про-
'E.l
ивводьн,ое Jl,1f,ожество индексов, то р Е А тоzда u тОАЬКО
тоада, поада найдется uн,де1re i Е 1 та"ой, что р Е A i .
Доказательство. 1. ЯСНО, ЧТО если рЕА,., то
р Е А. -
2. Обратно, пусть Р Е А и
четкой ТОЧRИ р. ТоrД8 р.А (:со)
пусть :со
sop P,i (zo).
iE.l
носитель ве-
Возможны два .случая: ,
а) либо 3 i Е 1 t для Roтoporo выполнено
р. А, (:':0) - (1 А (х о );
б) либо р. А, (3:0> < tJO А: (жо) ДЛЯ moбоrо i Е 1.
3.
"
36
ВЕЧЕТRИЕ мноЖЕСТВА
Сrл. 1
в сп чае 8) имеем Р Е А., т. е. утверждение
ремы. В У СnУЧ88 б) ив i'oro, что рЕА, получаем
u. (х..) < 11'.4 (хо); . вир Р-АI (Х о )'
r, 4EI
И, следовательно, найдется i o Е 1, ДЛЯ Koтoporo
fL p (Х о ) < p..j. (Х о )'
10
тео-
Т. е. РЕА,о. Теорема доказана. u
Опираясь на :введенное определение вечет:кои ТОЧКИ,
К. Уоиr (13] предлаrает следующее понитие сходи-
мости в Н. Т. п. Пусть Р,., n .. 1, 2, . . -, последователь-
ность нечетких точек в Н. Т. п. (Х, Т) с носителями
%.' n=1, 2 . . . Пусть р не че 1 н ая точка с носителем
Ж+Zn для всех n >. по, rде ПО некоторое натуральное
IJИСJIО. ТоrД8 rоворят, что Р" сходится R Pt ИЛИ р" -+ р,
если для JIюбоrо отирытоrо множества А TaKoro, что
р Е А, найдется натуральное число т такое, что
р" Е А при всех п > т.
С помощью введенных определенИЙ к. Уоиr [13]
U u
исследовал такие своиства В. Т. П., как наличие счетпои
базы, сепарабепьиость, локальная компактность и др.
Во миоrих работах, посвященных Н. Т. п., :исследу-
ЮТСJl также ТОПОJ10rичеСRие свойства отображеllИЙ,
изучаются проиаведения Н. Т. п. И друrие их особен-
НОСТИ, которые В8частую не имеют прямых авалоrОIJ
в обычных тополоrичееких пространствах.
f .2. Нечеткие отношения
Как будет видно 113 последующих rлав зтой Rниrи,
нечеткое отношение представляет собой важное мате-
матическое _попятие, позволяющее формулировать и
анализировать математические модели реальных задач
принятия решений. Отпошение на множестве альтер- J
ватив, объектов и Т. п. В таких задачах выявляется
обычно путем консультаций с лицом, прииимающим
решения (л. п. р.), ИЛИ С экспертами, Которые зачастую
не имеют ВПолне четкоrо суждения об 8ТОМ отношении.
В подо ных случаях нечеткое отноmение.может слун(ить
у обнои И более адекватной реальности формой пред-
t.2]
НЕЧЕТRИЕОТНОШЕНИЯ
37
ставпения ИСХОДНОЙ информации, чем обычное отно-
шение.
В данном разделе нечеткое отношение выступает
как.. чисто математический объект. Описываемые здесь
своиства и особенности печетких отношений исполь-
зуются в даJIЫIейmе?w1 ПрI." анализе раЗЛliЧПЫХ моделей
ПрИI-IЯ'fИЯ решении. -
:rvlLI IIачнем llзложеllllе с KpaTKoro 0знаКО)Iлеппя
со свойствами оБыIныыx отношений.. Обычное ОТIIОlпе-
иие · - более ПрllВЫЧНЪТЙ математический объект, и IIa}1
u u
казалось, что своиства Jlечетких отношении (и..ТII-I, снn-
рее, своиства отра}каеl\'[ЫХ ими реальных ОТНОlпеIIIIЙ)
леrче ПОНЯТЬ, JfСПОЛЬ3УЯ ]iX авалоrию со сво.йства 'lll
обычных ОТflоmений..
Исходя Ii3 потребllоетей задач, анализируемых в по-
следующих r лавах, мы оrрапичимся paCCMOTpeHlle1\1
лишь бинарных обычных и нечетких отношений, Т. е.
отношений, связывающих друr с друrОhl два объекта,
элемента и Т. п. Поэтому всюду ниже бинарное ОТ-
ношение мы называем просто отноmение I. Пе-
u
реидем теперь 1\ точному определеНИIО этоrо поня-
"
тин.
t .2.1. Свойства обычных отвоmеНllЙ 11 операции над
вими. Отпошеnиеж R па множестве Х называется
подмножество декартова произведения Х х Х ·
в соответствии с этим определениеl\l задать отноше-
ние на множестве Х означает указать все пары элемен-
тов, х, у Е х та:кие, что х и у связаны отношением R.
- Для обозначения Toro, что элементы х п у связаны от-
ношением R, мы будем пользоваться ДВУ fЯ эквивалент- -
ными записями: хЯу или (х, у) Е R.
Простым ПРИl\fером отношения l\южет служить отно-
шение «н,е .мен,ьше) на Иliтервале [О, 11. На приведенном
эдесь рис. 1. .2.1 это отношение (т. е. все пары %, У Е
Е 10, {], связанные этим отношеlIием) предетаВJl6ВО за-
штрихованной областью. Нетрудно. видеть, что от-
пошению «равно» в этом примере соответствует по-
казанная на рис. '.2.1 диаrональ еДИНИ1JНоrо нвад-
рата.
Если мно)кеотво Х, на котором задано отношение R,
конечно, то зто отношение удобно описывать М8ТрИ-
цeit 1I r i} 11, предеТ8впяющей собой характериотическую
.
.
ЗВ
-
НЕЧЕТ1<ИЕ мноЖЕсТВА.
[rЛ. 1
R С Х Х х. Элементы этой :матрицы
фу ВIЩIfЮ МDожества
я. слепуюlЦИМ образом:
определяютс ,...
1, еслИ (ж" :tj) Е R (или x,R:tJ)'
...
r 'j О в противном случае.
отношение в конечиОМ множестве Х ОЖ О описать
ваннЫМ rрафоМ. вершинЫ KOToporo ооответ-
и орвевтиРО Х ra ОТ вершины Х.
ствуют элементам fdножееТlUl ,а ду ·
R вершине ZJ прОВОДИТСЯ в ТОМ
в ТОЛЬКО в там случае, если
ж,RХ J (или (:с.. xJ) Е R).
Пусть на одв:ом и том же
множестве Х заданы два отно-
шения А и В, Т. е. в деХ8р-
товом проиsведевии Х Х Х за-
даны два подмножества А и
В. М иожества С - А U В и
D А n в называются соответ-
. ствевво объединением и пер
сечением отношений А _ и В.
Нетрудво ПОК8S8ТЬ, что если
С ;" I С,} , D · I d' J 11 и А
: la./I, в Ib.JI матрицы этих отношениЙ в случае
ковечвоrо множества Х., '10
""
.
.
1
и
о
Рис. 1.2.1.
С, } : шах {a. l . b. J }, аlj · min {a'J' Ь ц }.
rоворят, что отношение В вк.дючает в себя отноше-
ние А, если для. соответствующих множеств А Х Х Х
и В ь; Х Х Х ВЬ1полнено А В. Так, например, если
А «> и в ( ) отношения на ОДНОМ и том же
множестве чисел, то А С В. Заметим, что из А В
и жАу вcerAa следует жВу.
Если А отношение на ltlножестве Х t то 06pa'.rHblM
к А отвошением В88ывается отношение А -1 на Х такое,
что жА-l у TorAa и TOnЬKO TorA8. Rоrда уАх. Если А -
a'J' и A-l . a'J' матрицы этих отношений (В слу-
чае конечиоrо множества Х), то элементы этих матриц
связаны соотношением a' J a- J " Т. е. матрица А-l полу-
tJвется путем транспонирования матрицы А.
1.2]
НЕЧЕТJ<IIЕ ОТНОШЕНlfЯ
39
-
д ОnО./l,н,еnие,м, отн,ошеnия R н,а Af,Uожесmве Х нааы-
вается множество, ЯВляющееся Дополнением множе-
ства R в декартовом ПРоизведении Х Х Х. Матрица
дополнения ОТношения R ПОлучается из матрицы ОТ-
ношения путем замевы нулевых элементов единич-
ными, а единиЧIlЫх нулевыми.
Произ едение (или композиция) А оВ отношений
А и В на множестве Х определяется следуЮЩИМ обра-
зом: хА аВу тоrда и только тотда, Rоrда найдется эле-
мент z Е х, для KOToporo выполнены отношения
xAz и zBy. Элементы матриц Отношений С АоВ, А
и В связаны СООтношением
9"
. .
С.. ..
1.1
шах min {a'k' bkJJ,
k
т. е. матрица ОТношения С равна максминяому про-
изведению *) матриц отношений А и В.
Перейдем к описанию основных свойств отношений.
Отношение R на множестве Х называется рефдек-
сивпыж, если (х, х) Е R (или xRx) для JIюбоrо х Е х.
в матрице рефле:нсивноrо отношения все элементы
rлавной диаrопали равны единице. Примером рефлеR-
сивноrо Отношения может'Тслужить отношение R (»
_...
на множестве чисел.
Отношение R на Х называется ан'тирефдексU81ШЖ,
еени ив Toro, что жRу, следует чу. Все элементы rлав-
. u
нои диаrонали матрицы T8Koro отношения равны нулю.
Отношение R на Х называется си.м.м,етри'l,nы.м"
если из Toro, что xRy, следует упх. Матрица симметрич-
поrо отношения симметричная, т. е. rij - r j ,. rраф
.....
T8Koro ОТIlоmевия неориентированныи.
Отношение R на Х называется аnтисижметри'l,nы.м"
еСJIИ ив Toro, что хВу и уЛх, следует х у. М..атрица
· T8Koro отношения обладает следующим евоиетвом:
если i=l=k, то a 4k a". .. о.
Отношение R на Х -называется (трauaитивны.м.,
еСJIИ ив I'oro что :сЯ. и zRy, следует zRy. ИСПОJIЬ8УJI
, о
определение проивведеиии отношении, иетрудно пр -
R .
.
.) в М8RСМИНIIОМ праИ8ведении матриц ВИ8СТО аРRф ети-
(leCKIIX операций сложения и умножения испоnьаУIОТСR опера-
I,ИИ ща R щill- соответственно,
40
НЕЧЕтНИЕ МНОЖЕС1 1 ВА
[rJI. t
я - RUR.URsU...U....
ва "'rLткапие МОЖRО неформально опреде-
ТраR8итивиоеD .х
евьшее)) транзитивное отношение на ,
лить вак «В8.п.LU.
ВICJ1ючающее в себя отношение R. Математически CTporo
'.этот факт МОЖНО выравить так: ДЛЯ любоrо отношения
R ero транзитивное В8l't1Ь1Rа..ние равно пересечению
исех тран8итивJlыx отноmввии, содержащих R.
Можно ПОК8вать (СМ., например, [18]), что R
траввитивное отношение 'l"оrда и Т9ЛЬ:КО тоrда, коrда
ОВО совпадает со своим транзитивным замыканием,
Т. е. Rоrда я . R.
Этим мы В8вершаем краткий обзор свойств обычных
отношениИ и переходим к в:ечетким отношенИЯМ. Чи-
тателю, желающему rлубжв ра JOбратьси в свойствах
обыqвых отношеНий и поанакомиться с отношениями
равл1pIвых ВИДОВ, мы рекомеllДуеи обратиться к Rниrе
ю. А. Шрейдера [18].
1.2.2. Определение нечеткоrо отношения. В данном
и"дв)'х последующих равделах описываются лишь об-
щие свойства иечетки.х отношенИЙ и операции над ними.
При формулировке задач привятия решений :в rл. 3
мы"'будеи опираться иа вечеткие отношения предпочте-
ния. Н 8ТИМ отношениям применимы все вводимые здесь
операции, и они обладают описываемыми вАесь свой:"
СТВ8МИ. Вместе с тем, составляя отдельный класс,
не'lеткие отношения характеРИВУIОТСЯ рядом особен-
востей, которые делают их удобным инструментом для
ан аlIИВ а задач привятия решений. ПредстаВJIЯется
более целесообраавыи описьшать характерные свой-
ства веllетких отношений предпочтении в .... контексте
В8дач ПРИВRТИЛ решений, и поэтому мы отпожипи их
р'ассмотреиие до rlI. 3.
Ивп:ожение мы будем вести примерно в том же
порядке, что и выше в рввделе, посвященном обычным
отношениям, ио несколько подробнее. При ЭТОМ пеrче
сопоставлять Apyr С друrом свойства тех и друrих от-
ноеть отношения R ЭКВИIIRлептна
верить, что трапзиRтив - RI С R
СJ10ВИIO R оЯ с или : R Х
У '11 'Uы"аниеж R отношения на
ТрапаuтШJНЬUf, 8LWJ1/ R
оmеви е полученное ив следующим
иа8ЬПIвеТСJI оти ,
обравом:
i.2]
I-IЕЧЕТНИЕ ОТНОШЕНИЯ
41
.
u
ношении и JIеrче понять смысл операции над нечеткими
отношениями.
Если вспомнить, ч.то обычное Отношение определя-
ется как ПОДМНОiкество декартова произведения, то
становится ясным, что переход (обобщение) от обычиоrо
отношения R нечеткому в принципе тот же, что и пере-
ход ОТ обычноrо множества 1( нечеткому . Описание ве-
четкоrо отношения должно включать в себя не только
укавание всех пар элементов исходноrо множества,
связанных этим отношением, но и числа из интервала
[О, 1 ], отражающие степени выполнения нечеткоrо
отношения для этих пар. Для описания отношения
необходимо указывать и множество, на котором оно
определено. Само ЭТО множество может быть нечеТRИМ
(описано нечетко), причем в нечетком множестве может
быть определено и обычное отношение. В данном и
двух последующих разделах мы оrраничимся рассмот-
рением нечеТRИХ отношений в обычном 1\fH ожеств е .
О п р е Д е л е н и е 1.2.1. Нечет1'lUЖ отnoшепuеJtt
R па ЖUО3ICестве Х называется нечеТRое подмножество
декартова произведения Х Х Х, хараRтеризующееся
функцией. принадлежности Р-в: Х Х Х [О, 1] *. Зна-
чение f-I-R (х, у) этой функции понимается как субъек-
тивная мера или степень выполнения отношения xRy.
Обычное отношение можно рассматривать как ча-
стный случай нечеткоrо отношения, функция принад-
лежности KOToporo принимает лишь значения О или 1.
Здесь представляется уместным привести пример,
иллюстрирующий принципиалъное различие обычных
и вечетких отношений. Для aToro лучше Bcero рассмот-
реть два «ПОХОЖИХ) отношения на ОДНОМ и том же
интервале [О. 1], причем одно из этих отношений обыч-
вое (четкое). а дрyrое нечеткое. В качестве обычноrо
отношения возьмем отношение R - ( ), а в качестве
нечеткоrо отношения ВО8ьмем отношение !J. (»
( «миоrо больше»).
На приведепиом здесь рис. 1.2.2, а пары (х, у) из
интервала [О, 1], связанные отношением R (Т. е. х. у ·
такие, что :с > у), образуют множество, ПОП8В8виое
'v
*) Нечетное отношение может описываТЬCfI и фУПRцией при-
Н8длеЖIЮСТ}{ более общеl'О вида. По этому поводу СМ. п. 1.1.1.
42
Н ЧЕ'I'1(ИЕ мtlоЖЕсТВА
[rл. 1
аль едиви'Шоrо квадрата ЯВJlяется
штриХоВКОИ. Диаroв 'Ul'eC"'BS 8 все пары (х, у), находя-
i 8Toro МIIO .&, · ... б )
rравице u пью (вие mтриховаивои о пасти ,
щиеся 88 ЗТОИ диаrоиа
ивьiм: отношением.
ив ев.ванн да оше .JI R ситуация сложнее
В е 1I'VUse же ОТИ.о..а
. IlAJ ... тие «миоrо больше» является нечет-
ИВ"В8 'lп оrо , что ПпОоВсЯтроить соответствующее отношению
кии ытаясь б
!J п nмвожество едивичноrо квадрата, мы о наружим,
,..,. ры (х у) которые мы опре-
что в атом квадрате есть па. , ,
g r. 9
1
.
о
1 z
о
-
1
.
.
.
я
R
:с
.
11)
О)
Рис. {.2.2.
.
деленно ОТИОСIIМ. к ПОДЪПlожеству!J. (Т. е. считаем пары
(ж, у) связанными отношением В), и пары, которые мы
считаем определенно не входящими в это подмножество
(Т. е. счиtаем ие свнааннЪ1МИ отношением R). Так, на-
пример, можно считать, что ж 1 --- О,9 определенно MBoro
боJIЬше IIl=O,OOf, т. е. %1 >- Уl. С дрyrой стороны,
иено, ЧТО ДЛЯ Ха=О,8 и Yt - 0,6 МОЖНО етопь же опре-
деленно записать х. > и2. Однако подобной определен-
ности вет в отношении, скажем, пары Ха 0,9, Уа - 0,2.
Вместе с тем, если сравнить пару %8 - 0,9, Уа . 0,2 с парой
:1:, - 0,9, 11,=0,3, то можно скавать, что отношение <»
в бопьшей степени припожимо к паре (Ха, Уа), чем к паре
(ж" yJ.
Таким образом, существует векоторая про:межуточ-
ная область перехода от пар, ДЛЯ которых отношение
(») опредеnевио выпоnняется, к парам, ДJIa которых &ТО
отвоmевие определенио не выполняется, причем парам
(ж, у) иа втой обпасти можно приписать степени выпол-
нения давиоl'C? отвошения ИJIИ субъеR'l'IIввыe оцевlШ,
а&виеищие от смысла, вкпадываемоrо в ПОВJlтие _uoro
боnьmеt в контексте той или ивой ситуации.
,
.
"
"
'. 1.2]
.
.
-
[iЕЧЕТRИЕ ОТНОШЕНIIН
43
На рис. 1.2.2, б отсутствие четкой rраницы миожест:ва
В показано изменением плотности штриховки.
Если множество Х 1 на котором задано нечеткое ОТ-
ношение R, конечно, то функция принадлежности ft
этоrо отношения представляет собой квадратную ма;
рицу. По смыслу эта матрицы аналоrична матрице
обычноrо отношения, но элементами ее MoryT быть
не ТОЛЬКО ч сла О или 1, но и произвольные числа из
интервала [О, 11. Если эле 1ент r;j этой матрицы
равен а, то это означает, что степень выполнения ОТ-
ношения xjRX j равна а.
По аналоrии с обычдым отношением вечеткое ОТ-
ношение можно описать и ориентированным rрафом
(нечетким rрафом), каждой дуrе KOToporo приписапо
число из интервала [О, 1 J. с некоторыми свойствами
нечеТRИХ rрафов можно озпакомиться по книrе А. Rоф-
мана [19].
Н осите.мж Ш!Четnоw отн,ОULеuия R па жuожестве Х
называется подмножество декартова произведения
ХхХ вида
supp R {(х, .у) I (х, у) Е х х Х, tJ-R(Х, у) > О).
.
Носитель нечеткоrо отношения можно понимать как
обычное отношение на множестве Х , связывающее
все пары (х, у), ДЛЯ которых степень выполнения дап-
Horo нечеТRоrо отношения не равна нулю. В случае
коиечноrо множества Х матрицу носителя можно полу-
ЧИТЬ, заменив в матрице исходноrо нечеткоrо отноше-
ния единицами все венулевые элементы.
u
При анализе задач принятия решении снечеткими
отношениями удобно пользоваться множествами уровня
нечеТRоrо отношения. ПОСКОЛЬНУ печеткое отношение
определяется как нечеТlюе множестВО, то и ero множе-
ства уровня определяютсЯ нан в п. 1. t .2, Т. е.
R II :. _ {(ж, у) I(х, у) Е х х Х, Р-В (х, у) а}.
Нетрудпо видеть, что множество уровня 4 вечеТJ(оrо
отношении R на Х представляет собой об ое QТИО-
шевие па Х, связывающее все пары (:r, у), для которЫХ
степень lIыполнения отношения R e мевьroе 4. МатриЦУ
множества уровня (t МОЖIIо полуЧИТЬ, заменив в :мат-
"
НЕЧЕТRИЕ мноЖЕсТВА
[rл. t
ия R единицами все ап:ементы,
рице ие'leтRо rо отпошев ЛЯМИ все остальные эле-
ие меньшие 1Jисп8 а, и ву
иевты. oro отношениЯ по множествам
Разложение нечета же "ан разложение иечет-
уровня определяется так t
Koro множества (п. 1.1.3).
1 21 Пусть матрица вечеткоrо отношения R
П РИJ(е р .. 8 } имеет вид
ка множестве X={Zlt %.' -Жв, .ж.
J Z l %s Zs %".
%) 1 0,5 О 0,2
0,4
zз 0.3 1 t
%3 О 0.6 0,5 0,1
Жj 1 0,7 О,З О
...
Torдa матрица обычв:оrо отношения, являющеrося МIIo eCTBoM
уроввя 0,5 3Toro вечеткоrо отношения, выrлядит так.
I %1
%2
%3
%4
%1 I
%2 О
Жа О
Жt t
1
1
1
1
о
1
1
О
о
о
о
о
t .2.3. Операции над нечеткими отношениями.
Перейдем теперь R рассмотрению операций над нечет-
киии отношениями. Некоторые И8 этих операций ЯВ-
ляются аиалоrами соответствующих операций ДЛЯ обыч-
u
иых отношении, однако, как и в случае вечетких мно-
жеств, существуют операции, характерные лишь для
нечетких отношений. 3аметим, что так же, как и
в СJ1'Yчае печетких множеств, операции объединения и
пересечения иечетких отношений (и операцию ПрОИ3-
ведении) можно определить раапичными способами.
Пусть на м:вожестве Х заданы два вечетких отноше-
иии А и В J Т. е. в декартовом проиаведении Х Х Х за-
даны два нечетких множества А и В. Нечеткие мно-
жества С =А U В и D A n в вавываются соответ-
ственно об-ьедикекие.м и nересечение.м нечет:киж отноше-
пий А и В ка жножестве х. Если воспо.лъаоватьс.R ·
НЕЧЕТRИЕ ОТНОШЕНИЯ
45
.
\
первыми из приведенных в п. 1.1.2 определений объеди-
не ия и пересечения нечетких множеств, то для функ-
ции принадлежности отношений С и D получаем
lJ. c (х, у) тах {!-1 А (х. у), :.1 в (х, у)},
lJ. п (х, у) -..:- mil1 {rJ. А (х, у), f1 B (х. у)}.
rоворят, чrо nечетк,ое отnошен.uе В 8n.лючае"1, в себя
нечеткое опtношепuе А, если ДЛЯ нечетких fножеств А
и В выполнено А С В. ДЛЯ функций принадлежности
этих l\iHOH<eCTB IIеравепство (..L A (х, у) f.LB(X, у) выпол-
няет я при любых х, у Е х. в paCCltIOTpeHHO { выше при-
мере отношений ( ) и ( ) нечеТRое отношение lJ содер-
- жится В отношении В, Т. е. ДОЛЛ-(:НО быть f1 R (х, у) <
f1R (х, у) для любых чисел х, у 113 Ilптервала [О, 1 J.
Если R нечет:кое ОТНОIllеflие на Iножестве Х, то
нечеткое отношение R, харантеРfIзующееся функцией
при надлеЛ<IIОСТИ
[.1 в , (х, у) . 1 P.R (х, -у), Х, у Е Х,
называется дополнением в Хотношения R. Дополне-
ние имеет смысл отрицания исходноrо отношения.
Например, ДЛЯ нечеткоrо отношения R == (лучше) ero
дополнение R' (не лучше).
Обратное n R печеткое отношение R-l на множестве
Х определяется следующим образом:
xR-lу <=> yRx ", х , у Е х,
или с ПОМОЩЬЮ функций принадлежности;
. J1Jr1 (х, у) Р-В (у, х) 'r/x, у Е х.
Важное ввачеяие в ПрИRладвых задачах имеет про-
изведение или :КОМПОЗИЦИЯ нечет}(их отношений. В ОТ-
личие от обычных отношений, произведевие нечетких
отношений можно определить различными способами.
Здесь мы приведем некоторые ив возможных определе-
ний 8ТОЙ 'операции. .
. о п р в-д е JI е п и е 1.2.2. Маr:с.кинн,ое проиаве-
де",u:е А о В вечеТRИХ отношений А и В на МВ'ожес:rRВ Х
хараl<терй.з.уется фУJШцией принадлежности вида . _
· · fJ-А.В(Ж'.У) miП{fJ-А(:t, Z), fJ-в(Z, I/)J. .'
46
НЕЧЕТКИЕ мНоЖЕСТВА
J
(rЛ./t
в CJIучае :коиечноro квожества Х матрица пе1Jет-
Koro отвоmеиИJ1' А о В равна :макемиивоку ПРОИ8ведввию
МАТРИЦ отношений А иВ, Т. е. получаеТСJl с по щью
тех же операций, что и матрица проивведеИИJl обli1ЧНЫХ
отношений (см. п. f.2.f).
'о п р е Д е л е R и е t .2.28. М ин.м.ахспое nроиаве-
дение иечетких отношений А и В на Х определяется
фymщией принадлежности вида
JLA.B (ж, у) fImax {Р'А (ж, z), fiB(Z, у)}.
OткeTlDl, что интересиое сравнение свойств вечет-
к_ж автоматов, ОСИОВ8IПIЬtХ на М8КС:МИИИОМ: и миниак-
...
спои ПРОИ8ведениях иечетких отношении, им:еет я в ра-
боте У. Ун . К. Фу (20).
О п р е Д е JI е R и е 1.2.26. Ма1reAf,ульmUnJl,u"атuв-
ное проивведение вечетких отношенИЙ А и В определя-
ется функцией ПРJЩ8ДJl8ЖВОСТИ вида
р.А.В (ж, у) " sup {Р- А (ж, :) Х P-B(Z, у)}.
.ЕХ
Дп:я сравнения дрyr с дрyrо:м введеиных операций
проивведения приведем простой прииер проиав.едения
отвomеииi: А и В на конечном множестве Х, состоящем
иа двух элементов.
При 11 В Р 1.2.2.
А
в
о 0,5 0.7
0,3 1
0.2 0,6
0.5 0,8
.
1. 1
НЕЧЕТНИЕ ОТНОШЕНИй
47
ыберем некоторое число у и рассмотрим МIIожес,тво
все чисел ж ив интервала [О, 1] таких, что ж у
(рис. \ 1.2.3), Т. е. множество вида R (у) {х' х у}.
ДJМ фиксированноrо у Е (О, {] множество R (у)
обра80 аио всеми числами из интервала 10, 1], не
меньшИМи у. Объединение всех
таких мв:ожеств по всем у Е
Е (О, 1 } на8ывается первой 1
nроехцией R (l) отношения R t
Т. е.
R(!J}
/
R(l) то U R (у).
"Е[О.1]
Множество R(l) обладает тем
u
своиством, ЧТО для :каждоrо
u
ero 8JIеиевта ж ваидется та- О у 1 g
кой 8пе:м:ент у, ЧТО xRy (В дан- Рис. 1.2.3.
вам примере х # у). .
Если авалоrичиым образом ввести множества вида
R (х) {у I xRy}
I
I
I
I
f
-
и взять их объединение по всем х Е х, то получим
.
I
.....+....
I
,
R(f)
.
.
/ln)
Рвс. {.2.4.
9
втоРIIЮ nРОВIJЦUЮ R(!j) от:н.ошtШUSI R:
Я(I) ._ U R (z).
.sE%
ДЛЯ пюбоrо элемента у Е R'IJ R8йдеТСR такой
х Е х, что :r:Ry (В данном примере ж, у).
элемент
.
I
,
48
НЕЧЕТI<ИЕ МНОЖЕСТВА
!
!
[rл.
.
f
В приведениои примере первая и вторая проеRЦ и
отношения R (» совпадают со всем интервалом СО,,' J,
т. 8. RШ R'I) L0 1 1 J. Более общий случай ИJIЛЮС;РИ-
руется рис. f .2.4. . /
Лвrко проверитъ, что декартово ПрО 8ведение
R t lJ xR(I) представляет собой И8имевыпее npямоуrоль-
ное lfВожество, содержащее В. I
Вервемея R иечетки:м: отношениям. Пусть /l ие-
четкое отношение па множестве Х с ФУНRцией принад-
лежноСТИ fJoя (3:, у). Для проиsвольноro у Е х нечет-
кое Множество R (у) представляет собой пеqеТRое мно-
жество впементов % множества Х, связанных с выбран-
II.ым у отношением В. Функция принадлежности этоrо
множества имеет вид f1R (х, у), rAe у фиксированнЫЙ
,
элемент :ивожества х.
Например, для ие1lеткоrо отношения R - (близко Н),
вадаивоrо на числовой оси, :множество R (у) МОЖНО
повииать квн вечеткое :множество чисел, близких R вы-
браввоиу числу у.
Объединение нечетних :ииожеств R (у) по всем
у Е Д называется первой nрое"цией В(1 ) нечетХО20
отношения R.
COrJI8CBO определению (первому) операции объеди-
нения ве"lетких множеств функция ПрШIадлежвоети ftR(I)
имеет вид
fJ-R(J) (ж) - sup f1 B (ж, у), х Е х.
t/EX
.
Вторая п роекция В(21 нечетхоео отношения R опре-
деляется аналоrичuым образом:
f1 R (2) (у) · вор !-L R (3:, у), У Е х.
жЕХ
Если R R(lJ Х R(2J
Й - · Д8партово проивведение пер-
во R и второй проекций нечеТRОro ОТНОП1енил R, ТО R с
с · ЭТОТ факт следует из определения функции при-
жеств п. 1.1. 2):
IJ-a (ж, у) .: min {BUp f1п (ж, у'), вор IL (ж' у)}
,'ЕЖ 'exrR , ·
1.2]
J-IЕt.lЕТRИЕ ОТfIОШЕНИя
'а:9
При м е р 1.2.3. Пусть матрица вечеткоrо отношения R
ив\миожестве X={Xl' %2' Ха, Х4} имеет ВИД
, I Х1 Х ! Ха Х 4
-
\ 2"1 0.3 0,2 0,1 0,6
Х2 О 0,5 0,4 0.1
t
Х З 0,5 0,4 0.6 0:.2
0,3 0,7 0.5 0.1
Х4
TorAa функции принадлежности первой и второй проекЦИЙ aToro
отношения таковы:
z I
Р-л(l) (ж) 0,6
fL R (2) (х) 0,5
Ow 5
0,7
O 6
0.6
0,7
0,6
1.2.4. Свойства нечетких отношений.
р е Ф л е к с и в н о с т ь. Нечеткое отношение R
на множестве Х называется рефлексивным, если ДЛЯ
любоrо х Е х выполнено равенство
f-LB(X, х) 1.
В случае конечноrо множества Х r лавная диаrоваль
матрицы рефлексивноrо' нечеткоrо отношения R со-
стоит целиком из единиц. ПримеРОlt-! рефлексивноrо
нечеткоrо отношения может СЛУЛ(ИТЬ отношение «nри-
жерн,о равн,ы& в ыв:ожестве чисел.
А н т и р е Ф л е к с и в н о с т ь. Функция при-
надлежности аптирефле сивн,оео вечеткоrо отношения
обладает свойством
f1R (х, х) О
при ЛIобом: х Е х. АнтирефлеRСИВНО, например, отно-
шение <<.М,н,оао больше) в мнон(естве чисел. ЯСНО, что
дополнение рефп:ексивпоrо отношения антирефлексивно.
С и :м: :м: е т р и ч н о с т ь. НечеТRое отношение R
]Ia множестве Х на8ывается сzи,uc,eтричн,'Ы.'4f" есJIИ для
любых х, у Е х выполнено равенство
Р-В (3:, у) - РОВ (у, ж).
Матрица симметричноrо нечетноrо отношения, 8ВДан-
Horo в конечном мво)нестве, симметричная. Пример
4 с. А. ОРЛОВСRИЙ
НЕЧВТЕ<ИЕ мНОЖЕСТВА
j
.50
[rл. t
I
пsтиоrо отношения · ОТlIошени,
СlUfметрич.uоrо Be _ !
- 6 и ». .
"сu.л,ьн-о рааличаmw:я по Br;..I" Ф К ия п ;и-
А в т и (} и м м е т р и ч н о с т ь. ун Ц
И а итисим,.м,етричн,оео иечеТRоrо откаше ия
вадпежноет П' .... i
обладает следующим СВ ОИСТВ ОМ. 1.
РОВ (z, у) > о РОв (у, %) о. , I
;
Это СВОЙСТВО МОЖНО описать и следующими двумя вини..
валентв и способами:
РОВ (х, у) Х (-LB (у., х) - О
miп (РОВ (z, у), Р-В (11, %) J
о
v ж , у ЕХ,
ух, у Е х.
.
Автисимметриqным, например, л.ВlIЯ8ТСЯ нечеТRое отно-
тение «МltО20 больше».
Заметим, что ие всякое верефпексивное (несимме- .
тричное) отношение является антирефлексивиым (ВВТИ-
симметРИЧНЫМ).
т р 8 В 3 и т и в н о с т ь. Нечетное отношение R на мио-
жестве Х называется тpaHauти8HЬ м" если НоВ с в.
Из aToro определения видно, ЧТО свойство транзи-
тивности нечеткоrо отношения зависит от способа опре-
деления произведевия вечетких отношений. Если обо-
значить через B . л: и H максмивиое, МИВМ8Rсвое
и макеМУЛЬТИПЛИRативиое произведеНИII отношения В'
само па себя (см. п. 1.2.3), то нетрудно убедиться в том,
что Щ С R С в:. Действительно, при любых х, у, z Е х
выполняются веравеиства -
.
тах {""п (ж, z), РОв (z, у)} min {fLB (х, z), РОВ (z, у)}
р'в (х, z) Х ....В (z, у),
.
иа «отарых и вытекают соответствующие ВКJlючения.
Если к слову транзитивность пРиписыва'l'Ь назва-
пие соответствующей операции проиаввдевия R8Ч8ТI<ИХ
отношений, то ПОлучаем: (жuпжаJCСная транаитив-
ШJсть R) => (.м.апс,м,uН,ная траnaитшmость R) => (жа-
пс.ку,д,ьтuпд,ихаmивная трапаитивн.ость R). ИmnrИ спо-
вами, 1!.еЧ8Ткое отношение, обладающее свойством м:ии-
манекон траивитивиости, обладает транвитиввостью и
двух дрyrих типов, а отношение, обладающее максыупь-
.
....
.
1.2]
-..
\.
\
...
JI) 1.] Е1.'!{ 11 Е 0'1' 11 О 111 Е 11}fl J-1
51
\
\
\
'1J1Ппикативнои транзитивностью Mo-t' б
б ' ,!<ет, воа ще ro
воря, И не ыть транзитивным в двух Д -
Д б руrих СМыслах
ля о ычноrо отношения т е в случае ·
, · · , коrда ФУНR-
цИЯ f1B принимает Лишь 8начения О и 1, маRсминная и
м.аксмультипликативная транsитивноети K
б u "LJ' вивалентны
о ычиии транзитивности отношения.
Всюду ниже под транзитивностью нечеткоrо отно-
шения мы будем понимать мапсминную транзитивность
. т. е. считать, что при любых х, у Е х фУНКЦИЯ при
В8ДJIежноети транаитивноrо нечеткоrо отношения R
на JlНOiКeCTBe )( удовлетворяет веравенству
l1 B (х, у) вир min {flR (х, z), 11 (z у)\
zEX R ' J.
Транзитивным, Н8ПРИltfер, является paCCl\18TPIIB8B-
mееся выше нечеТRое отношение В ( ).
в начеетве упражнения можно проверить траНЗI{ТИВ-
OCTЬ нечеткоrо.отношения с матрицей вида
0..2 j 0.4 0,4
. R о 096 0,3 О
-- О 1 0,3 О
0.1 1 1 0,1
. т р а н з и т и. в н о е з а :м ы к а н и е R вечет-
. Koro отношения R определяется по аналоrии с обыч-
ными отношениями:
11 ' RUR 2 U...U R "...
Вводя транзитивное замыкание, необходимо, как и
выше, указать способ определения операции произ-
u
ведения нечеТRИХ отношении.
Нетрудно пр оверить , что транзитивное замыкание
представляет собой транзитивное нечеткое отношение
и YJТO транвитивиое вечеткое отношение совпадает 00
своим траивитиввым s8мыRвием..
Вычисление траввитивноrо замыкания вечеткоrо
отношения . " ДОВОЛЬНО утомительное дело, даже если
lIIВожество Х состоит ив небольmоrо числа элементов.
u
При:меры"'твких вычислений :можно наити в Ю1иrе
А. Rофмана [19).
.
4-
52
НЕЧЕТRИЕ МНОЖЕсrl ВА
[rл. 1
1.3. Отображения seчеТКIIХ множеств
1.3.1. ПрJlВЦИП обобщениЯ. Во мноrих задачах
JJPИИЯ ТИII решений возникает необходимость расши-
ИТЬ область определения Х задавноrо отобрал<ения
ли отношения, включив в вее наряду с элементами
множества Х произвоnъные н чеТRие подмножества
этоrо множества. u
Пусть, например, па множестве управлении и за-
дано отображение ': и -+ У, описывающее функцио-
нирование управляемоi системы. Обраа v - f (и) управ-
леJUIЯ и Е и есть реаIЩИЯ данной системы на выбор
этоrо управления. Если выбранное управление описано
. нечетко, например, в форме нечеткоrо подмножества
р. (и) множества управлений и, то ДЛЯ нахождения
реакции системы на такое .управление необходимо опре-
- делить образ р. (и) при отображении f. Иными словами,
необходимо расширить область определения этоrо ото-
бражеиия на класс всех нечетких подмножеств мно-
жества и.
Как будет видно иа дальнейmеrо, аналоrичная про-
блема ра mирепия области определения иечеткоrо ОТ-
ношения возникает в анализе общей задачи нечеткоrо
математичеекоrо проrраммирования.
..Способ ра mирения области определения отображе-
нии на класс нечетних МНожеств и называется ниже
nршщиnоJН, обобщения. Важное 8вачение припципа
обобщения еще и в ТОМ, что оп позволяет обобщить опе-
рации, введенные ДЛЯ неч:еТRИХ множеств типа 1. на
л. А. Заде [5] предлт:кип следующий привцип 0606-
Н Щеения, в основе J(OToporo лежит определение образа
чеТкоrо :множества б
отображении. П p ,о ычном (чет:ко писаввом)
иие и пусть l СТ Ь C{I. -+ у - заданное отображе-
)[Ho eCTBa Х с а Ф HeKoтo oe печетное подмножество
В уикциеи привадпежноети р. (х). f#
соответствии с А
образ А при Отеб uрииципо:м обобщения л. А. Заде
ПОДмножество м:: жеиии ч> определяется J(8.R нечеткое
СОВОКУПность пар TBa У, представллющее собой
(у, Il s (Y») · - (,(а:), [-LJ (а:», а: Е Х,
\
'L
..
f. ]
.
U F 1'ОБРАЖЕНJI11 ИI ЧЕТI{IIХ 1\1нотЕСТВ
53
тде tJ. B : у , [О, 1] -- ФУНRЦИЯ принадлежности оБРВ38.
Нетрудно попять, что ФУНКЦИЮ принадлежности 118
МО>КНО записать н виде
1.1 в (у) 8111) 1.1.1 (Х), У Е У, (1.3.1)
х Е rr- J (1/)
rде множество ер-l (у) для любоrо фИRсированноrо
у Е у имеет вид
ер -1 (у) . {х I х Е х, ер (х) у } ,
Т. е. представляет собой множество всех элеАfевтов
:J: Е Х, образом наждоrо ИЗ ноторых при отображении
ер является элемент у. В работе [5] демонстрируются
р,аsиообразпые примеры использования принципа обоб-
щения в форме (1.3.1).
Применим теперь принцип обобщения в форме
(f.З.1) ДЛЯ расширения области определения нечетноrо
отображения. Необходимость в рассмотрении нечеТRИХ
отображений может воапи:кать, например, при анализе
задач принятия решений, в ноторых результат выбора
ROBKpeTHoro элемента из множества альтернатив изве-
стен нечеТRО, Т. е., например, описан нечетким множе-
ством в универсальном множестве ИСХОДОВ. В задаче
...
управления этому соответствует случаи, коrда нечетко
описано фУИRциопирование управляемой систе fЫ.
Нечеткое отображение можно описать как отобра-
жение, при котором элементу х Е х ставится в СООТ-
ветствие не кои:Кретный элемент множества У, а, во-
обще rоворя, нечеТRое подмножество множества У.
Описывается нечеткое отображение функцией вида
Р-,: Х Х У -io- [О, 1] так, что функция f1Ч' (х о , у) (при фИR-
сироваивом х - 3:0) есть фУНI\ЦИЯ принадлежности нечет-
Koro :множества в У, представляющеrо собой нечеткий
образ элемента 3:0 при данном отображении.
Например, вспучае упраВJIяемой системы нечеткое
мвожест:ро Р-, (хо, у) можно попимать как почетное
описание реанции этой системы П8 воздействие (ynрав-
пение) ХО_8
ИтаR, пусть P-rp: Х Х У -io- [0-, f J заданное печет-
ное отображение, и пусть fLA (ж) заданное печетное
множество в х. Если применить принцип обобщеп_л
5.1
нgЧВТ:КИЕ мНОЖЕСТВА
ll JJ. 1
в форме (1.3.f) для нахождения образа 3Toro нечеткоrо
JdВожеr,твв при отображении fL,. то получим совонуп-
пасть пар вида
(р.,,{х, у), f-LA{X»)' хЕХ,
rде fJ; (х, у) при каждом фиксированном х Е х (Т. е.
) б u
в каждой такои паре представляет со ои нечеткое
подмножество множества У. В результате получаем,
что образ нечеткоrо Wlожества ftA в данном случае
представляет собой весьма сложный объект: нечеткий
подкласс класса всех вечетких подмножеств множества
У. Яево, что использование подобвых объектов в ана-
пизе реальных систем весьма затруднительно.
Имея это ввиду, мы введем здесь приицип обобще-
ния в друrой форме, положив в ero освову опр' деление
образа печеткоrо множества при, :вообще rов'оря, не-
четком отображении.
О п р е Д е п и и е 1.3.1. Об разом В печетJli,О20 мно-
жества А (J Х при нечет1W.м, отоб ражен1Ш t-'-rp: Х Х у
...... [О, 1] называется ве'lеткое множество с функцией
. принадлежности вида
"'в (у) BUp mill {р. А (х), 11" (х, у)}. (1.3.2)
zex
Заметим, что если повимать р. А как вечеткое унар-
ное отношение на множестве Х, то пеrио видеть что
. t
В основе 3Toro определения образа лежит введенное
выше (п. 1.2.3) м:аRсминиое проuаведеиие (но:мпоаиция)
вечетких отношений fJ. А И fJ.'P.
Нетрудво проверить, ЧТО в частном случае, KorAa
Р', обычное отображение вида : к -+ у {Т. е. р. (х, у) .
. 1 01)0 У " ,(х) и Р', (х, у) - о ДЛЛ остальных ap-'x, У)'
ОПI)едеJJение 1.3.1 дает
, J.L B (у) -- sup р. (х),
:r; ,-1 (у) А
что COOТ TeTByeT приведенному выше определению об-
раза . при обычном отображении, лежащему в основе
принципа обобщения Л. А. 3аде.
Во мноrих случаях заданное t-lечеТROе отобрв){(ение р.
Мон(ет зависеть ОТ '
n пер.емениых, Т. е. иметь вид (-1-,:
.
t.зl
ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЧЕТНИХ МНОЖЕСТВ
55
х х у ---+ [О. 1 J, .'де Х - х( 1 )( .. · .< Х п декартово про-
изведение соответствующих множеств Пусть в
· III()-
жестве Х задано нечеткое ПОДl\fНО;I\ество (.1 В 0'0 '
. .:1- щеl.,,1
луч:ае функция принадлежности этоrо ПОД IIЮiI'\ества
имеет ВИД
.
fL А (3:1' ..., %,,)
"
mj 11 {, L 1 (х 1 ).. · · · (.1 п (X'I'II)' "J (1\'" Х )}
r I - П 8.t11' · · ., n ,
(1.3.3)
rде Р-. (i 1 t · · .. п), и 'у заданные нечеткие подмно-
жеСТВ8 соотвеТСТВУЮЩIfХ множеств Х, (i - 1,..., n) 11 х.
Запись (1.3.3) 0значает. по сути дела, tlTO l\IHOII<eCTBO
есть «СОВОRУПНОСТЬ» всех наборов X 1 , ... Х п Т3I\ИХ, ЧТО
· ж. «(принадлежит» нечеткому lножеству (.1, (i - 1,..., n)
и (х 1 , .. · J Х n ) «принадлежит») нечетко {у (ножеству V.
Применяя в этом случае принцип обобщеНliЯ в фор {е
(1..3.2), получим следующее выражение для ФУНКЦIIII
принадлежности образа нечеткоrо 'Iножества :.t А:
f-LB (у)
sup mil1 (f-11 (х 1 ), ...., f-1 n (Х,,),
(Sll .. .ж,,) ЕХ
'у (х 1 , · · .. х n ), р,Ip (х 1 , · · ., Х", у)}.
("1.3.4)
Приведем приыlрp применения принципа обобщеНJIЯ
в форме (1.3.4) ДЛЯ расширения облаеТ)1 определеlIllЯ
арифметической операции сложения на класс «пеtlеТRlI:
чисел), Т. е. на Rласс нечетких ПОДАfножеств ЧИСЛОВОJI
оси.
Операция сложения в множестве чисел Rl предст ав-
ляет собой отображение <р: В 1 Х Rl -+ R 1 , Ч' (Т l' r 2) r
- Т 1 +r s . Пусть P-l t fJ'2: Rl .. [О, 1] два (шечеТRИХ
числа). Суммой Р-Е - Р-l + р-2 назовем образ пары (P-l' Р'З)
при отображении ,. С помощью равенства (1.3.4) полу-
чаем
.
Р-» (Т) . вор min {fll (Т 1)' fJ-:а (r 2)}.
F.. r 2 ERI
r.+r'l=r
(1.3.5)
..
б .. интер
В частности, если 1-11 и P-t преДСТ8ВЛЯЮТ со 011 -
валы [а 11 ] и [а,а. Ь,а), ТО из (1.3.5) получаем
[411 Ь 1 ] + [a. 1 bs.l - [а 1 + 1 Ь 1 + Ь:! 1.
.
56
ВЕЧЕТRИЕ МНОЖЕСТВА
[rл. f
в п. 3.8.2 подробво обсуждается оБQБщение на класс
иечетких множеств 98даивоrо И8IJеткоrо отношения пред-
почтения.
t .3.2. Прообраs sечеткоrо lIВожесТВ8. Введем теперь
определение прообраза нечеТRоrо мвожест:ва при нечет-
БОМ отображении, а затем. используя привцип обобще-
ния (j .3.2), найдем явное выражение для ero ФУНКЦИII
принадлежности.
Определение 1.3.2 [21]. Прообраао.м А нечет-
1Соео Ж1tо:нсества В в У при печетROМ отображении f.L'I':
Х Х у ....... [О, 1 J называется объединение всех нечеТRИХ
м ножест.в, образы которых при этом отображении при-
надлежат (являются подмножествами) иечеТRОМУ МВО-
жеству В.
Если образ иечеткоrо множества а при отображе-
нии Р-, обозначать как аор-", то в соответствии с опре-
делением 1.3.2 прооБР8S0М иечеткоrо множества В
является объединение всех множеств а, удовлетворяю-
щих условию
aOf1" С В
или, COl'пaCHO принципу обобщения (1.3.2), условию
впр min {р.. (3:), Р-, (3:, у)} fLB (у) ",у Е У. (1.3.6)
zEX
явное выражение ДЛЯ ФУНКЦИИ принадлежности про-
образа определяется приведенной ниже теоремой 1.3.1.
Введем множества
N {(ж, у) Нх, у) Е х х У, 11, (ж, у) > f1B (у)},
N -- {YIYEY, (х, Y)EN),
N tI {х I z Е х, (ж, у) Е N},
ХО _ {:clxEX. Nz=F }.
Т е о р е N 8 1.3.1. Но введенных въzше обоан.ач.еш/,ях
1tечетпое .м.Ho ec;т80 А (n рооб раз жпожества В) onucы
вается yн цueй n puнадлеJlCНOcтu
.
inf f1B (у)
IJЕN ж
1
nplt жЕ х о ,
Р- А (х) ==
при жЕХ"Х О .
t ..З]
01. 1 ОБРАЖЕНI1J1 IiЕЧЕтиих М .-
. :.J Л Н () II\E(:l'fB
57
д о к а 3 а т е л h С Т В О 1 rJ()I. .ve
· \n'n I Сначала ЧТ
четкое множество А, определенное в тве.' о не-
ремы, удовлетворяет УСловию А о 11. С У В рждении тео-
( 1 3 6) '9 ' Т. е. что нера-
веиствО .. ВЫПОлняется при люБО!\f У Е у
а) Пусть элемент fi Е у Т8НОВ что N -L d. .д
Й -' fj 'р · ОПУСТI[
что на дется элемент х Е N 9 тавой, ЧТО - 1
min { il1f f1 B (у), f-l (х у--)) > u (у-) 1 3
11 EN х '" п. ( ...7)
Поскольку х Е N " '1'0 И fj Е N х, и следовательно, пе-
равенство
illf f-1 я (у) > '.! (у-)
?I El\ fi В
невоsможно Т. :. неВО3 IОЖНО неравенство (1.3.7).
б) Для :r и у Т8НИХ, (ITO N 9 =1= 0 и х N У' неравен-
ство (1.3. 7) также невозможно. ПОСRОЛЬRУ при ЭТО I
(53, fj) СЕ N и, слеДОВ8ТeJII,НО (СМ. определение ШОiRе-
СТВ8 N),
P-'f (х, у) < f1B (У).
В) Если у Е у таково, что N!J ,TO ДЛЯ любоrо
х Е х выполнено (х, у) (Е N , и вновь, KaR п в п. б).
неравенство (1.3.7) не выполняется HII ПI)И !{8ХО:\{ Х Е х.
Таким обраSО11, получаеАI, что
mill {(J- А (х), Р-,:, (х, у)} < РОВ (у)
для всех пар (х, у) Е J\ Х У, откуда следует, что нера-
папство (1.3.6) выполняется ПllИ люБО 1 11 Е У.
2.-ПОR8жем, что.(4 . объеДI,неlllIе всех неtJетких l\IHO-
жестп а, удовлетворяющих lIepHrn'HCTBY ('1.3.6). Пусть
Р ве1\оторое нечеТRое множество в Х такое, что Р Q: А.
Это означает, что IIЗЙДется эле ..ент i Е )(0, для ROToporo
выполняется неравенетво
f1p (х) > ро... (х). (1.3.8)
При ЭТОМ из определения 1.3.2 следует. что множество
N !i: =1= и ЧТО веравенетво (1.3.8) можно записать в виде
f1p (х) > jllf [Joв (у).
,eN
.
.
58
НЕЧЕТI\IIЕ мнОЖЕСТВА
[r..1]. I
.
пр и некотоРОМ 9 Е N!j выолнQвоo
Следовательно,
- (J-p (Х) > I1B(Y). - (1.3.й)
Далее, поскольку fi Е N s, ТО (х, fl) Е N, откуда
11, (х, у) > РОВ (11). (1.3.1 О)
Из (1.3.9) и (1.3.10) вы1'иает,. ЧТО ·
· min{l1p(x), Р-,(х, и)}>р-в(и)
., следовательно, иеравеиство
вир min {l1p (х); Р', (%, iJ)} JLB(D)
аЕ%
невозможно, Т. е. Рор., В. Teope a доказана.
Нетрудио проверить, ЧТО если отображение Р-,, ' чет-
кое, Т. е. Р-, (ж, у) & 1 при у - f (х) в р., (z, у) О ДЛЯ
- всех ocT8nьBыx пар ж, УЕХ, rде" отображение (обыч..
-
вое) Х -+ У, то
f1A(Z) (1в('(Ж» VжЕХ.
Введенное здесь определение прооБР8З8 при иечеТКО 1
отображении используется виже в анализе задачи ВЫ-
попнения иечетко определенной цели. (п. 2.2.1).
.
,
1.4. СоОТВОlПевие двух ПОДХОДОВ
. u
К опредепевию нечет множеств и отношении
До сих пор мы опирались на определение иечеТROJ'О
множества как функции р.: Х -+ [О, 1]. Используя это
определение, мы ввели операции над вечеткими мно-
жествами и O'1'1IоmеНИRМИ. В данном разделе мы обра-
Тимся R друrОNУ определению иечеткоrо множества и
ПОR8жем. что зто определение в определенном смысле
.
ВВВИВ8левтно предыдущему.
t.4.1. Нечетвве множества. Пусть Хнекоторое
МIfOЖество в обычиом смысле, и пусть 2% класс всех
О ЫЧНЫХ ПОДМНОЖ8Сn х. ПУСТJ) Ф нпасс функций
вида р,: Х -+ [О, 1], Т. . Rпacc вс.ех нечетних подмво-
жеств Х по определению 1.1.1. Н оконец, обозначим Ф.
кпасс 01'обl)8К<etIИЙ [О, 1 J -+ 2 К . JIlOбuй элемент BTO,ro
.
1.61
СООТНОШЕНИЕ ДВУ Х ОDРЕДЕЛЕRllfr
59
кпасса - ставит в соответствие любому числу а Е [О 11
векоторое подмножество множества Х. Буде 1 полаl' ТL
кроме TorO, что люБОl" ЭI[е 1еIIТ р.. * I\JlaCCa ф* обл '
.. адает
следующими СВОI1стnа IИ:
1. , Е [О, 1], (11 > (12 => р.* (0:1) С р.«- (!J_:!).
2. р,- (О) х.
в даПНОftl разделе t.lbI BBeдe [ UIJe[>aI 1111 в I{ла.rrе (1)*,
соответствующие уже Еведе]fI-IЫ l Быше операЦIIЛ 1
в впассе Ф, и покал<е l что эти Rлассы И30 IОРфНЫ отно-
сительно этих операциi'т. Фаl\тичеСRII это бvдет означать
,. ,
'ITO определения нечетких l\iножеств 1\81\ эле IеНТОD
'Класса Ф и кан элементов Rласса ф* равноправны, Т. t'.
при формализации нечетких ПОНЯТIIII в Iате [атическпх
,..
моделях в принципе f\IОЖНО пользоватьс.я ЛЮI1Ы [ из ЭТIIХ
определений.
Рассмотрим отобраiI<еНllе 1: Ф >- ф* BII да
/(р.) {р.*(р.*ЕФ*, р.*(а) :: {xJxEX. !-,-(X) (7.}. аЕ[О, '1П
,
и покаже:м, что э то отоораiI{ение ВЗ8111If[О однозна l lНО.
Действительно, однозначность ПРЯI\lоrо отобl)8жеНIIJI оче-
видна и достаточно ПОItаЗ8ТЬ ОДНО3Iiё.1ЧНОСТЬ соответ-
ствующеrо 06paTHoro отображеНIIЯ, т. е. отображеЮIЯ
/-1: ф. -+ Ф вида
/-1 (р. *) {р. I r- Е Ф, / «(1) р.. *} ·
Допустим противное, т. е. ЧТО наiiдутсп такие fJ'I' 1-'--.1 Е Ф.
что р'1 +- р.з и р.l Е /-1 (р.'), Р-з Е /-1 «(1*). Ilнымп словами,
мы допустили, что 1 (f11) - 1 (р.2) 1-1*' Т. е. что lНожества .
, A :. {х I х Е Х, (11 (х) а),
А; {xlxEX, р.з(х) а}
ЭRВивапентны при любом а Е [О, 1]. т u
ПОСRОЛЬКУ Р-l -+ РО2' то сvществует х О Е х такои. ЧТО
11. (:е О ) ::/: Р-I (:еО). Положим · для определен:ости, (1:
J.Ll (ж О ) > tL (%0) И обозначим 1-'-1 (х О ) 1' fl2 (х) · 2' т.
rl , {} Е Art ж О 1ft A I Т е "IOO-
1 > f31. Отсюда получаем, что :t 11, 2 ' · · с е
жества A АР. не )Rвивалентны, ЧТО противоречит 111-
I , 3 ельно 1 взаиМНО
ланному выше допущениЮ, и" спедоват . ·
ОДНОЗН8 1 1ное (1т()бражеНltlе. r
60
НЕЧЕТНИЕ мноЖЕСТВА
[rл. I
ЛелЮ видеть, ЧТО отображение 1 цаждоii ФУНI\ЦИИ
прииаДJIежноети нечеткоrо множества (Т. е. Н8ЖДОМУ
елеыеиту масса Ф) ставит во взаимно однозначное со-
отвеТС1'вие совокупность множеств уровня этоrо нечет-
КОro множества (Т. е. элемент класса Ф*). Далее для
каждой из введенных в Ф операций мы определим СОО'!'-
ветствующую операцию в ф.., причем так, 'Iтобы ото-
бражение 1 было изоморфизмом относительно катдо п
такой пары операции.
Пусть 111' ., Е Ф и р.;, ....; Е ф'''' причем (1 - 1 «(11) и
р.; · 1 (f1J. Будем последовательно рассматривать введен-
ные ранее операции над иечeтRИМИ множествами и вво-
ДИТЬ СООТВ8Тс!вующие им операции в классе ф.".
1. Отношение вложенности.
Р'1 (12.:.... p. (а) С (1-; (а) Уа Е [О, 1],
rAe fLt C ., означает, ЧТО-1Jol(Х)<Р-t(:С) У:СЕХ. Доказа-
тельство 8Toro факта не представляет труда и здесь не
приводитси.
П 2. Операция пересечен,uя (по определению 1.1.4).
усть 118 Е Ф такова, что
111 (х) · · min {р.l (ж), 112 (х)} У:С Е х.
BeдeM р,:: [О, 1] 2'Х следующим образом:
1'-: (а) - : p. (о) n р.; (<<1) Уа Е [О, 1].
Нетрудво покаЗ8ТЬ что
) . ф. t
а РОа Е ,т. е. 1"; удовлетворяет свойствам 1 и 2
в определении клас.са ф-.
б) р.: - 1 (1-'-з). '
з. Опе рация пе nесечепия ( д 1 1 4 )
Пуст Е Ф r ПО оп ре еле",ию · · а.
Ь t-Lз такова, что
tL8 (х) - (11 (х) 112 (х) УХ Е х.
Введем '1.*. [О 1] 2Х'
rs. , -. вида
р.:(а) ;-' .. '"
I 2 ot
а) Поиажем что · (О) ,,.
n. II.-ЕФ. т t Р-з :- - д. Действительно так нак
r}' r2 , О '
13 « p. ( 1) n 1-'-; ( 2) - p. (О) n v-; (О) ::. - х.
..
"а Е [О, 1].
t.l]
СООТНОШЕНИЕ ДВУХ ОllРЕДЕЛЕНI'Й
61
6) Покажем, что р.; (а 1 ) С (-1* (о.) для любых IX Е
Е [О, 1], (11 > <12- Деиствителъ о, 2 еСЛИ!Z2 О, T ' и: 2 а)
и Toro, что p. , (J-; Е Ф., следует t:t: (a l ) с (-1; (а 2 ). Если
а,2>О, то
(1;(a i ) -. u (!;( )n ;(ai/ ), ; -- 1,2.
(3Е(О, 1]
1'оrда при люБОf\1 Е (), 11 ПОЛУIJае 1
( ) n [ ; (al/ ) С t.1-; ( ) n р.; (a2/ ),
-
следовательно, fI В ЭТО J СЛУ'Iае р.; ( 1) С .1; (а 2 ). T8I II 1
образом, мы показали, что р-; Е (р*. Пока;l{е [ теперь, JTO
(J-; 1«(-1з), Т. е. lITO
11; (а) {х I х Е Х, t.L: J (х) а) 'Уа Е [О, 1].
Пусть х' Е 1-'-; (а), Т. е. х' Е U J. ( l) n (-1.; (Р2). ЭТО 0311а-
1 2;:;!.t
чает, что наидутся @1' 2 Е [О, 1], 1 2 rJ. таБ Iе, ITO
х' Е tJ. ( 1) n I.L; ( 2)'
Т. е.
х' Е p. ( 1) или (1.1 (х') > 11
х' Е r-; ( 2) или IJ"2 (х') > :!.
Но тоrда 1-'-1 (х') (-12 (х') > 1 :!. а, Т. е. (-'-3 (3:') а.
Обратно, пусть х' Е {х I х Е Х, (-'-3 (х) а}. Т. е.
f1s (х') <1. Покажем, ЧТО х' Е р.: ( ). ПУСТЬ (-11 (х') l И
Р-2 (х') 2' так ЧТО 1 2 а. НО ТО;Д8 '* х' Е p. ( 1)' n
ж' Е р.; ( 2) и 1 2 !1, следовательно, х Е f-Lз (а).
Т8RИМ образом,!J'; 1 (r-s).
4. Операция об'ЬедuнетlЯ (110 оп ределендю 1.1.3).
Пусть з Е Ф такова, tlTO
Р-з (х) . . тах {f-'-l (х), 1'-2 (х)}
Введем fJ-:: [О, 11 . 2 Х вида (J-; (а)
ТРУДНО ПОRазатъ, что
а) tJO: Е ф* 11 6) 1-1-; · 1 (р.з).
5. Операция об'Ьединеll,llЯ (по определению 1.1.38).
Пусть fJ-а Е ф такова, что
. т (х) .' Р-! ( ) + 1'-2 (х), еслИ т (ж) < 1,
(18 (х) · t. :в протИJЩОl\f случ.ае.
'УхЕХ.
р.; (а) U р.; (а).
Не-
62
НЕ1JЕТJ(ИЕ мнОЖЕСТВ
[rл. t
Нведем Р:= (о, 1]--+ 2% вида
1-": (а) , - U р.1 (1) n р.; ( 2) Уа Е [О, 1].
.. E[O.l]
f:i.+ 2
а) Леска видеть, что р.: (О) . х.
б) Покажем, что -р.: (а 1 ) с р.; (а,) для любых ан «2 Е
f (О, t J, (11 > . д ейс'l'ВИТельпо , K K нетрудно виде1'Ь,
(1* ( ) р.; (<<1) U U J-L ( 1) n (1: ( 2) ,
3 Cft=' 1+ 2<rll
Т. е. ,.,.; (а 1 ) с р,; (aJ. Таким образом, fJO: Е ф-.
ПОК8)кем теперь, что р.; 1 «(18)' Т. е. что
р';(I1) . {жlхЕХ, p.a(x) a} УаЕ[О, 1].
..
Пусть х' Е 1-"; (а), Т. е. найдутся 1' 2 Е [О, 1], 1 + 2 с(
такие, что
и
х' Е (1; (PJ ИЛИ р1. (х') 1
Ж' Е 11; «(\) или f12 (х') 2'
.
Отсюда, из определения fJ'э и Toro, что 1 + 2 ((., сле-
дует, что 118 (х') а.
Обратно, ПУС7Ь Р,в(Z');?: а. Покажем, что х' Е р.; (а).
О,боз ачим 111 (х') - 1 И f.L (х') 3. Тоrда х' Е I-'- ( 1) И
Х Е Р-l ( ) и, кроме Toro, 1 + 2 «, следовательно,
з;' Е fLэ ( а ). Таким образом, 1-': 1 (p. ).
6. Доnо,,:иен.ие множества. Пусть р,в Е ф танОВ8, ЧТО
Р-в (х) 1 - 111 (х) ".х Е х.
Введем р.;: .[0, 1] 2 ХХ % вида
...;(а) " . х", U f1 (1 Р) УаЕ(О, 1],
'Е[О,II)
р.:(О) х.
) t П ОR8 "iкем, 'Что p.:( ) P,:<aJ для л юбых «1' (Х2 Е
з 2 · ус ть t1 1 > О, 'l or Aa
е о...] Cle [а,. се.]
-
.
1.6]
-
СООТНОШЕНИЕ дВ1' Х ОПРЕДЕЛЕНИй
63
.
Т Отсюда и из определения Р-а следует что 11-'" (2: ) С j!r ( )
8КИМ образом, f1: Е Ф.. 'з -. з 2 .-
б) Покажем теперь, что f-L: 1 (р.), т. е. ЧТО
р.;(а) - {xJxEX, (La(x) a} Vo.E[O, 1].
ПУСТЬ а > О и х' Е [.1.: (а), Т. е.
х' Е х" U tJ- (1 ).
E [о, ")
Это означает, что x'E(L (1 ) ни при каком E[O, al.
Т. е. при любом Е [О, а] Выполнено
Р-l (х') < 1 или 1 f-Ll (х') > .
.
ДОПУСТИМ, что 1 fll (х') < 0.. Тш'да найдется Т8ное
' < а, что 1 -(11 (х') < ', а это невозмолmо. Следова-
тельно, 1 111 (х') > а, Т. е. (1з (х') 0..
Обратно, пусть
x'E{xfxEX. р.з(х) а}, а>О,
Т. е. J1a (х') > а или Р1 (х') 1 - 0., но тоrда при люБО!\1
Е [О, а) выполнено f11 (х') < 1 , Т. е.
з:' Е n х" (17 (1 -- ) х" u р.; (1 ) р.; (а).
' e[o, а) РЕ [О, «)
Если же а . О и х' Е {х f х Е Х, ""3 (х) а} Х, то
ж' Е ,.,; (О) · х.
Таким образом, мы ПОR8зали, что 11: 1 «(18).
f.4.2. Нечеткие отношения. СИМВОЛОМ Фп будем
обозначать класс фУНRЦИЙ v: Х Х Х [О, 1], а СИМВО-
лом Ф:; о класс отображений v*: [О, 1 J -+ zrxx со свой-
С7вами, авапоrичными с.вОЙСТВ8АI элементов введенноrо
выше класса ф*.
АвалоrRЧНО предыдущему введем взаимно однознач-
вое отображение 1: ФВ--+- Фil вида
1 (v) - {у. , у. Е Фв. у. (а) ·
{(ж, y)J(z, У)ЕХ х Х, у (ж. y) a}, аЕ(О. 1J}.
I
Выше в п. 1.2.3 мы определили операцию компози-
ItИl1 I:lечеТRИХ отношений паи операцию в RЛ8ссе фл.
64
НJ<;ЧЕТl\ИJ мноЖЕсТВА
[1"JI. 1
соответствующуЮ операцию в I,лассе Фn
Введем теперЬ 1 - _ изоморфИЗМ относительно этих опе-
и ПОJ(зж е f\f, ЧТО
* *
P8Ц K пусть '111' "2 Е Фп И";, "; Е фв, причем '\11 . ] ('\11)'
, П сть v Е фп такова, что v з (х, у) -
= : вир ШID "1' , 2 '
'БЕК Я ... [О 1] 2 Х 'ХХ введем следующие обозна-
ОТО ражени 'У. ,
чеНИll:
'11*1 (а) :. ; {xlxEX, (х, y)Ev*(a)} "аЕ[О, 1],
'11:2 (а) _ {ylyEX, (х, y)Ev*(a» "аЕ[О, 1].
РассмОТРИМ отображение '11:: [О, 1] -+ 2 ХХХ вида
". (а) n u {v7 ( ) х '11: ( » "а Е (О, 1],
з PE[O.a.)zEX
v;(O) ххх.
Покажем, ЧТО ,,; (':t 1 ) с: '1; (1Z 2 ) для любых (.(1' 'р.2 Е [О, 1 J,
(11 > (12. В случае а 2 О этот фант достаточно очевиден.
ПУСТI) rL z > о. Тоrда, как нетрудпо видеть,
n u Y ( ) Х '11;; ( )
РЕ [О, «1) zEX
n u " ( ) х y: ( ) n У; «.(2)
Е [«2' «.) ЕЕХ
И, следовательно, '11; (а 1 ) С ": (а,2). Отсюда ааключаем, [lТО
v: Е Ф л .
ПОК8жем, что "; - 1 ("з)' т. е. ЧТО
": (а) - {(х, у) I(х, у) Е х х Х, \/з (х, у) > о.) "а Е [О, 1].
В случае rJ, _ u этот факт с очевидностыо следует из
определеllИН \/: и '/з. Пусть (J. > О, и ПУСТJ,) (х', у') E" (а),
т. е. ДЛЯ пюБО1 О Е [О, а) найдется .i Е х, при I<OTOpOM
х' Е v l ( ) или V 1 (х' 1 z) > ,
х' Е ,, } ( ) или '12 (z, у') > .
Отсюда получаем, ЧТО при любом Е [О, а)
mill {"1 (х', z), У 2 (z, у'») > ,
а 3ТО (,,)31i8 i 18eT, Ч'f() ". (х' ') .............
3 ,у р а.
1. ]
СООТНОШЕНИЕ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
65
Обратно, пусть 'Уз (х', у') а, Т. е.
: min {V 1 (х', z), "2 (z, у')} а.
Это означает, что ДЛЯ любоrо Е [О, а) найдется z Е х,
при котором
-
"1 (х', z) > или х' Е 'Y }@),
\/2 (z, у') > или у' Е v;j ( ).
I-Io тоrда при любом Е [О, а)
(х', у') Е u .... ( ) х ....;: ( )
zEX
и, следовательно, (х', у') Е 'У; (а).
Таким образом, мы покавали, что v; 1 ('1з), а это и
означает ИЗ0МОРФность Rлассов фв и Ф относительно
_ u
введенных в них операции RОМПОЗИЦИИ.
Польsунсь этим ИЗ0морфизмо r и определением свой-
ства транзитивности нечеткоrо отношения (Т. е.
в Rлассе ФR), можно с ледующиl\1 обраЗОl\1 определить
свойство транsитивности в ф : элемент v* Е фв назы-
вается транзитивным, если
n u ,,;1 ( ) Х \1:2 ( ) с v* (а)
E [О, а) вЕХ
Va Е [О, 1].
..
в заключение этоrо раздела выпишем пары соответ-
ствующих друr друrу операций в массах Ф и ф*, от-
носительно которых эти классы изоморфны при изо-
. 1vIорфиsме 1.
НЛАСС Ф
КЛ14\СС ф.
1. Отношение 8ложенности
1 (ж) 2 (:v) V z Е х
p.i (а) fL; (а) Уа Е [О, 1)
8) ""8 (ж)
б) fJ-з (х)
2. Пересечение .множ(!ств
min {""1 (ж), ""1 (ж)} fJO: (а) : ,...! (а)П,...; (4)
f11 (ж) (ж) ,...; (а) U (11 (Рl)П (Р.»
f31 2 CI
5 с.. А. ОРЛОDСRИЙ
.. .
· .iS6
НЕЧЕТRИЕ МНОЖЕС1'Вz\
[rл. t
р.l (х) + fLB (х),
т(х) < 1
т (z) t
з. Об"6еаинеlluе множеств
,.,. ; ( а) - tJ,! (а) U tJ-: (а)
ftз (а) - R lJ (p.t ( 1) п (J. ( '2))
P'1+(12 a
. а) Р-. (х) - щах {р.l (х), lJ'z (х) J
б) р., (х) :-
. . - т (:с)
.
.
-
-
1
f,
.
4. POпO./LHeHue Аtl-l0.жеспzва
р. (х) - . 1 - f.i (х)
ll* (а) Х "' U t-L* (1 )
13е [O 0;) 1
aE(O,1J, 11*(0) Х
5. Ко.мпоаUlfltя отl-l0шений
-
.
у;(а) - n u v!}(Ю Х
ВЕ[О,а) zEX
Х "' (р), а> О. ...; (О) _ _ х
Va (х. у)
)1 ': supmin {Уl (Х1 z).
zEX
.
'У2 (z, у)}
. .
.
.
.
.
.
..
.
I
.
...1
. .
.
rЛАВА 2
ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСRоrо проrрАММЙРОВАНИЯ
и иrрыI ПРИ НЕЧЕТКИХ
исходныlx УСЛОВИЯХ
,
.
2.1. Введение
Во :мноrих случаях задача принятия решений в 06-_
щем виде математически может быть описана множе-
ством допустимых выборов (альтернатив) и заданным
на этом множестве отношением предпочтения, которое
отражает интересы лица, припимающеrо решения
(л; п. р.). Как правило, это отношение бинарное, Т. е.
позволяет сравнивать друr с друrом лиmъ две альтер-
нативы, хотя возможны постановки задач и с териар-
. ными отношениями. Собственно задача принятия реше--
пий заКЛjOчается при ЭТОlf В выборе допустимой аль
тернативы, ноторая лучше или не хуже всех остальных
.
альтернатив :в смысле заданпоrо отношения предпочте-
вия.
Бинарное отношение предпочтения на множестве
альтернатив может быть описано двумя способами:
в виде подмножества декартова произведения множества.
альтернатив само на себя (Т. е. как отношение в п. 1.2.1)
или в форме так называемой фУНI\ЦИИ полезност .
Фупиция полезности обычно имеет вид отображепи
множества альтернатив в числовую ось. Иными СЛ.9-
вами, наждой альтернативе эта функция ставит в СООТ-.
ветствие "1.ИСЛО (оценку альтернативы), причем так,:
ЧТО ЭКВIIвалентным альтернативам соответствуют .ОДИ:.
наковые числа (значения функции полеsности), а . из:
каждых двух неэквивалентных альтернатив л ей;
приписывается большее число. .'
Следует отметить, что не всякое отношение пред-
почтения и не на ВСЯRО 1 множестве альтернатив МОЖЦО.
описать функцией полезности. В некоторых С1!учая
отношение удается описать не одной, а лишь конечпым
IIабором функций полезности, причем COOTBeTQT
щие задачи принятия решений обычно называют ltIBPf O -:
5*
88
МАТ8ъиТI!ЧJl\сltоа ttPоrРАММИРОВАНйЕ
[rJ1. 2
8 вопросам описааия ОТНОШении пред-
J(рвтервалфьн:ц JlМИ полезноСТИ посвящен специаль-
почтенИЯ У иклаДНОЙ математики теория попев-
вый pa OB e результаты этой теории достаточно
ноСТИ. вы например, в Rниrе п. ФИ1II-
ПОЛНО изложе ,
борна ;j. прИНЯТИIl решений, в которых отношение
ЗаД ия описано в форме фУННЦИИ полезности,
предпочтен
зад ачами математичеСI\оrо про:rраммиропа-
называют
р иовальныМ решением в та их задачах явля-
нин. а ц бор допустимой альтернативы, на которой
етСЯ ВЫ
ФУВКЦИЯ полезности принимает по возможности боль-
шее значение.
Нечеткость в поетаНО:ВRе задачи математичеСRоrо
проrраммирования :может содержаться кан в описании
:множества альтернатив, так и в описании функции
полезности. В данной rлаве обсуждаются задачи, в 1\0-
торых нечетко описано множество альтернатив 11
четко с фУНRЦИЯ полезности. Такие зада мы IЦlЗЫ-
ваем ниже задачами иечеТRоrо математич:еСRоrо про-
rраммировавия (н.м.п.). Анализ более общих задач
с вечетко описанной функцией полезности опирается
u
на аппарат нечетких отношении предпочтения, и мы
ОТЛОЖИЛИ их рассмотрение до rл. 3.
Анализируя задачи н.м.п. в данной rлаве, мы будем
опираться на два подхода к определеlIИIО реmеIIИЯ за-
дачи. По первому из этих ПОДХОДОВ а8дача н.м.п. фор-
мулируется как задача выполнения нечетко определеI:I-
.
.,
иои цели. причем решением задачи считается пересече-
ние вечетких множеств цели и оrраничений (допусти-
мых альтернатив). Работа Р. Беллмана и л. Заде [23],
в которой был иаложен этот подход, замечатеЛЫIR еще
и тем, что в ней была впервые сформулирована задача
u
привятия решении на языке нечетких MIIO)-I,еств.
В неи же впер»ые аналиаировались MHoro этапные (ди-
намические) задачи принятия решений при нечеТI<ИХ
ИСХОДНЫХ условиях методом динамичеСI,оrо проrрам-
мироваВИII. В Данной Rниrе этот подход достаточно под-
робно излаrается в пп. 2.2.1 и 2.2.2. В п. 2.2.1 обсужда-
ется и некоторое обобщение этоrо подхода на задачи
управления системами, ФУНRционирование I<:OTOPЬYX
описано нечетко.
.
.21
н ч:тrr:kо ОПРЕnЕJt itНАЯ: n"kЗ1Ь
6\1
Интересным и прантиttес1tй ваЖllLIМ предстаВJ1Яется
применение подхода Беллмана Заде R анаЛИ8У и p
mению задач печеТRоrо линейноrо пр,рrраммирования.
Эти задачи впервые анализировалисъ в работах
К. Неrойты и СоТр. [8, 24, 25], а также r. Циммер-
MalIli а и сотр. [26, 27] & И1\1 П осnящеIl 2.3.
В друrом излаrаеJrrIОl\1 здесь подходе к задачам Н.l\f.П.
предполаI'ается, Ч'l'О решеIIИЯ должны выбираться
подобно }ому, нан ЭТ() делается н задачах мноrокрите-
риалънои ОПТIIмивации. 11pJ} ЭТО1\I считается, что в ре-
...
шении исходнои задачи ДОЛrl'НЫ присутетвовать все те
и только те альтерна'l'ИВЫ (не сравнимые между собой
в рамках данной задачи), которые не доминируются
CTporo никакими друrими альтернативами. При подоб-
ном понимании реmеlIИЯ л.п.р. имеет возможность
в большей мере использовать свои субъективные пред-
ставления о реаЛЬJIОЙ ситуации, которые не бы.ли
формализованы в математичесиой постановне исход-
ной задачи. Подробнее этот подход излаrается в 2.4
u
даинои rлавы..
Особый Rласс задач принятия решений составляют
таи называемые иrровые задачи, в которых результат
принятия решений определяется IIe только выборами
самото л.п.р., но и выбораlVlИ_ ero разумных партнеров.
Математич:еСI<ая фОРМУЛИРОВI<а подобной задачи опре-
...
деляется в пеРВУIО очередь заЛО;I{еI-IJIЫ I n I-Iеи ПРИНЦИ-
пои припятия решений. I-IIi}I-\е в 2.5 раСС.:rd8триваются
постаIIОВI{И иrровых задач при нечетких ИСХОДНЫХ ус-
ОВИЯХ, соотnеТСТВУIОЩIfе ДВУl\{ УПОМЯП}ТТЫМ выше под-
ходам I{ реmеlIИЮ задач lI.1\rf.П. АнаЛИЗИРУIОТСЯ два ос-
IIOBIIblX teOpeTIII\O-IIrрОВblХ принципа: ПрИНЦИП наилуч-
ПIеrо rарантированноrо результата с учетом ииформи-
pobaI-IIIОСТИ IIrpOI<OB 11: ПРИIIЦИП равновесия Нэmа.
u
2.2. Задача ДОСТllжеIIИЯ нечетко опред еннои цели
(подход БеЛЛМ8118 Заде)
2.2.1. ФОРl\lулировка и определеВJlе решения З8-
дачи. OCI-IОПIiI М D даНIIОМ подходе к реluению рас-
сматриваемой задачи является то J что цели принятия
решеlIИЙ и MIIO;I,eCTBO альтернатив рассматриваются
1(ан paBI-IопраВflые IlечеТRие подмножества ие:котороrо
.
70
ldА'1'i!:l4Атй сt<ОЕ nPorp АМ:М:ИРОВАtI
.
trл. 2
уииверС8JIьвоrо множества альтернатив. Это поаВОJIяе
определить решение задачи в относительно простоя
форме.
Пусть Х · универсальное множество альтернатив.
е универсальная сово:купностъ всевозможных вы-
pdB лица, принимающеrо решения (л. п.р.). НечетRой
целью в Х является нечеткое подмножество Х, ВОТорое
МЫ будем обозначать с. Описывается нечеткая цель
функцией принадлежности llc: Х ;. [О, 1].
Допустим, например, что х . :псловая ось. Тоrда
вечеткой целью принятия решении может быть нечет-
кое множество типа «величина х должна быть примерно
равна 5 или «желаme,л,ъпо, чтобы величина х была
значитед,ьnо больше 10» и Т. п. Будем полаrать, что
присутствующие в подобных описаниях неч:еткие поня-
тия вроде выделенных курсивом в предыдущих при-
:керах вполне точно описаны функциями принадлеж-
ности соответствующих нечетких множеств.
Чем больше степень принадлежности альтернативы
ж веч:етко:му множеству цели f1 u ' Т. е. чем больше зна-
чение o (х), тем больше степень достижения этой цели
при выборе альтернативы х в качестве решения. В этом
сиылеe нечеТRИИ описанием цели в рампах давноrо
подхода можно считать и функцию полезности в задаче
Н.МIIП., если нормировать 1\ единице значения ЭТОЙ
функции (см., например, [25]).
Нечеткие оrраничения или множества допустимых
альтернатив также описываются нечеткими подмноже-
ствами множества х. в приведенном выше примере
с Х . Rl нечеткие оrраничепия MoryT иметь, например,
такой вид: «Х должно быть н,е слишкоJИ, БQльшим)} , «Х не
должно быть 20раадо большим зо» и т. п. :Каи и прел{де,
здесь полаrается, что выделенные курсивом понятия
описаны функциями принадлежности соответствую-
ЩИХ иечетних множеств, I(оторые мы будем обозна-
чать f.L O .
н Более общей является постаНОВRа задачи, в которой
еч:еткие цели и оrраничевия представляют собой под-
МНОжеСтва рааличных УIIиверсальных множеств Пусть,
как и выше Х ·
, с универсальное множество альтер-
натив, и пусть задано однозначное отобра I<ение
2.2]
НЕЧЕТl-\О ОllРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
71
€p: Х -+ У, значения ROToporo (
можно нонимать как реак ии элементы ожества 11
входные воздействия х Е х ц некоторои системы на
(эффекты) выборов COOT:В:Т B;= некоторые оценRИ
Нечеткая цель при этом задается X альтернатив.
подмножества универсальиоrо ми виде нечеткоrо
( оцев К) У ожества реакцИЙ
о , т. е. в виде функции р- с : У -+ [О, 1].
Задача при ЭТОМ СВОДИТСЯ К преж u
( неи постановке
Т. е. к случаю, коrда цель ZL печеткое ПОДМНожество
Х) следующим приемом. Определим нечеткое множество
альтернатив Р- С ' обеспечивающих достижение заданной
цели Р- С . ЭТО множество представляет собой прообраз
нечеткоrо множества при отображении Ф т е (
G I , · . СМ.
определение прообраза в 1.3)
i1 G (х) . f-Lc (ер (х)), х Е х.
После этоrо исходная вадача рассматривается иак за-
дача достижения нечеткой цели f1 0 при заданных вечет-
RИХ оrраничеииях.
Перейдем теперь к определению решения задачи
достижения нечеТRОЙ цели.. rрубо rоворя, решить за-
дачу означает доетиrнуть цели и удовлетворить orpa-
v v
ничениям, причем в даннои нечет:кои постановке сле-
дует rоворить не просто о достижении цели, а о ее до-
u u
стяжении с тои или инои степенью, причем следует
учитывать и степень въmолнения оrраниченИЙ. В под-
ходе Беллмана . Заде оба этих фактора учитываются
следующим образом. Пусть, например, неRоторая. аль-
тернатива х обеспечивает достижение цели (или соот-
ветствует цели) со степенью f-LG (х), удовлетворяет orpa-
ничениям (или является допустимой) со степенью
РОС (х). Тоrда полаrается, ЧТО степень принадлежности
этой альтернативы решению задачи равна минимаJIЬ
ному из этих чисел. Иными слова {и, альтерн тива, до-
пустимая со степенью, например, 0,3, с тои же сте-
пенью принадлежит нечеткому решению, н смотря на
то, ЧТО она обеспечивает достижение цели со степенью,
равной, например, 0,8.
Таким образом, печеТRИl\:r решением задачи дости'"
щелия нечеТRОЙ цели называется пересечение нечеТRИЖ
72
МАТЕМАТИЧЕСRОЕ проrРАММИРОВАНlfЕ
[1"Л. 2
множеств цели и оrраничени й , Т. е. функция принад-
лежноСти решений D имеет вид
f1D(X) . min{f'-G(x), (J-(J(x)}. (2.2.1)
u
При наличИИ нескольких целеи и неСКОЛЬRИХ о!рани-
ч:епий иечеТRое решение описывается фУНRциеи при-
наДJlежности
р. D (Х) · {Р-с. (х), · · ., fJ'G" (х), (1с. (х),. · ., (10'1& (х)}.
Если различные цели и оrраничения различаются ПО
важноСти и заданы соответствующие Rоэффициенты
относительной важности целей ; и оrраничений V j'
ТО функция принадлежности решения задачи опреде-
ляется выражением
.
!J'D(X) - .
min {л1(-Lс (х), · · .: Л 7l (J-С (х), v1f-Lc (Х), · · ., V,nf-L O (х)}.
1 п I т
В отмеченном выше случае, RОl'да задано отобра,I{е-
ние f множества альтернатив Х в мнол<ество реаRЦИЙ
или оценон У, а нечеТI,ЗЯ цель задана в MHO}I<eCTBe У,
нам понадобится и следуюrцее эквивалентное приведен-
ному Быте определение печет:коrо решеНJ!IЛ.
Пусть G и С нечеткие множества цели (В У) и
оrраничений (В Х).. Нечет1i,UЖ решеnием задачи дости-
жения цели G при оrраничениях С называется макси-
мальное по отношению вложенности нечеткое мно}не-
етво п, обладающее свойствами:
1. D С С (допустимость решеНИfJ).
2. ер (п) С G (достижение нечеТRОЙ цели), {'де !f (п) - .
образ D при отображении .
При 11 е р 2.2.1. РаССИОТРИ"1 очень lJРОСТОЙ пример, n ко-
тором Х = { 1, 2, . . ., 1 О}, а нечеткие цель G 1{ два or раПJJче-
вин C 1 И С" ваданы таблицей
а: I 1
2 З
4 5
6 7
8
9 {О
-
р.; (х) О О, 1 0,4
""0. (ж) 0,3 0,6 0.9
fL C (ж) -0.2 0,4 0.6
2 I
0,8
1,0
0,7
{. О
I
Ot8
0,9
0.7
0.7
1,0
0,4
0,5
О,8
0,2
013
06
I
о
0,2
О l
1
о
о
0.2
.
2.2]
IiEt.IETI{O ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
73
TorAa для решеИI.IЯ D ПОJlучаем
х 11 2 3 4 5
6 7
8
9 10
.
,.,. J) (х) О 0.1 0,4 О. 7 0.8 0.7 0,4 0.2 О О
Словами цель и оrраничения МОЖНО выразить, например, так:
G=«X доJtз/сеи 6ы,ъъ БЯU8КUЖ к 5»
C1=«X доя:псеn быть бяuвкu},f, Jt 4)'
С 2 =«Х дОЯ'lCеи бьtть БЛllзк,UJ,t к 6»:
Тоrда решение
D=«x дояже", быть 6JLUSltuAf. " 5)}.
.
Определенное таким образом решение можно -рас-
сматривать как нечетко сформулированную ИНСТРУК-
ЦИЮ, исполнение :которой обеспечивает достижение
нечетко поставленной цели. Нечеткость полученноrо
решения еть следствие нечеткости самой ИСХОДНОЙ
задачи. При таЕОМ представлении решения остается
неопределенность, связанная со способом исполнения
подобной нечеткой ИНСТРУКЦИИ, Т. е. с тем, накую аль-
тернативу выбрать. Различные способы разрешения
...
-ЭТОИ неопределенности предполаrаются, например, в ра-
боте л. Заде [28].
Один из наиболее распространенных в литературе
способов состоит в выборе альтернативы, имеющей
максимальную степень принадлежности нечеткому ре-
u
mению, Т. е. альтернативы, реализующеи
шах ....D (х) шах mil1 { G (х), Р'о (х)}.
:сЕХ а;ЕХ
ТаRие альтернативы IIа ывают .ма си,м,иаирующu.ми
решениями. Отметим, что вопрос о выборе конкретных
альтернатив при решении задачи н.м.п. заслуживает
отдельноrо обсуждения, и мы вернемся 1\ нему в 2.4.
В заключение данноrо раздела мы обсудим приме-
нение подхода Беллмана Заде к задачам н.м.п. с за-
данным нечетким отображением из множества альтер-
натив в множество реакций или оценок [21]. При этом
мы будем опираться на введенное в п. 1.1.6 определе-
ние прообраза нечеткоl'О множества при нечетком
отобраil,ении.
74
МАТЕМАтиЧЕС1\ОЕ проrРАММИРОВАНИЕ
[rл. 2
Пусть Х универсальное множеств.? альтернатив,
у _ yllИверсаЛЪJIое множество реаRЦИИ ИЛИ оцено:к,
в пусть задано нечеткое отображение из Х вУ, описы-
ваемое фyIШцией Р-, : ХХУ [О, 1] (см. 1.3). Rаж-
дой альтернативе БТО отображение ставит в соответ-
ствие ее нечеТRУЮ оценку.
По 8вапоrии с приведенным выше определением реше-
нием та:кой задачи достижения нечеткой цели G будем
считать :максимальное по отношению вложенности нечет-
кое множество п, обладающее свойствами:
1. D С С (допустимость решения).
2. DO(1, C G (достижение нечеткой цели), rде DOJ1,
образ D при вечетном отображении (-L,.
Выше в 1.3 максимальное по отношению вложен-
ности нечеткое множество jj такое, что jj о J1 f С G, было
определено как прообраз множества G при отображе-
нии (1,. Для Toro чтобы выписать функцию принадлел<-
-
ноети .множества п, введем множества (СМ. 1.3)
N . {(:х,у)J{ж,У)ЕХХ У, p-f(x, у»р-с(у)},
Ng; - {у I у Е У, (х, у) Е N}, ХО - {х I х Е х, N:li=F 0}.
Во введенных обозначениях эта фУННЦИЯ принадлеж-
ности имеет вид
.
inf Р- С (у) - при
tlEN:c
1
х Е ХО,
fiп(X)
при жЕ ХО.
Далее, в соответствии с определением получаем что
нечеткое решение р ". u '
, ассматриваемои задачи имеет вид
Р-.п (х) min {Р-п (х), РОС (х)} ,
Т. 8.
р- 1J (ж)
mjn {f-Lc (:с), il1f f-L c (:с)} IIрИ х Е Х О
,ЕН:х; ,
о(ж)
(2.2.2)
при ж Е Х"'Х О .
ражеВИ8, '1'. е.' (1, ' · обычное (четкое) оТО-
(1rp (х, у) --
1 при у ' ер (х),
О при y::f=cp(x),
.
\
".
\
\
2.2] \
.
.
,
\
,
НЕЧЕТI\О ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
75
rде \ ОДНозначное отображение Х -)о У, то реlПение .
(2.2.2) РИFIимает обычный вид (2.2.1). Действительно.
в этом Случае (1)> (х) f.l c ( (x» и, следовательно,
.
fl п (х) min (f-'-c (х), Р"О (ер (х»}.
При необходимости выбора конкретной альтерна-
тивы :в качестве решения задачи можно, например,
выбрать ту, которая с максимальной степенью при-
надлежит нечеткому решению f1 D , Т. е. альтернативу,
реалиsующую величину шах f1 D (х). Однано, как уже
хЕХ
отмечалось выше, тапой способ выбора нельзя СЧИТать
достаточно обоснованным. Ниже в rл. 3 мы вернемся
..
R анализу этои задачи кан чаетноrо случая более общей
u
задачи ПРИНЯТИЯ решении при нечетком: отношении
предпочтения и укажем друrой способ выбора альтер-
натив, который представляется наиболее обоснованным.
2.2.2. Мноrоэтаппые процессы' привятия решений
.
при вечет:ких исходных условиях. В этом разделе мы
....
ИЗJIОЖИМ постановну и анализ мноrоэтапнои задачи
принятия решений, описанный Р. Ееллманом и л. Заде
в работе [23 J.
Рассмотрим задачу УП}Jавлепия динамичеСRОЙ си-
стемой. Пусть Х нонечное множество возможных со-
стояний этой системы и и :конечное множество воз-
можных значений управляющеrо параметра. Состоя
НИЯ системы и значение управления в момент времени
t, t О, 1, . . ., N 1, будем обозначать X t и U t соответ-
ственно. Фупнциоиирование системы, Т. е. ее переходы
из состояния в состояние, ОПIIсывается системои урав-
u
певии СОСТОЯНИЯ
х t -1-1 - . f (.'!: f , II t ) t t () , 1 t .. ., N .. ",- . (2. 2. 3)
Тип системы определяется типом заданпоrо отобра...
женин f. ЕСЛIi f - . однозначное отображение Хх и ;.
-+ Х, Т. е. состояние системы в 1\lомепт времени
t+1 однозначно определяется ее состоянием и значе-
нием управления в момент t, ТО мы имеем дело с детер-
жuнuроваН1tОЙ системой. Если f отображение Х х и
-. !с rде!l' . :класс нечетких -подмножеств множества
Х, T мы имеем дело с системой. функционирование ко-
76
r {ЧЕСRОЕ 1IРОl'РАММИРОВАIiИЕ
МАТЕМАТк J
I
[rlI. 2
.
u но IlечетНО, Т. е. lIечеТRО описана реакция
торои описа правление и,. Если же f отоб:рал"\ение
сиетеиr ;В р : rде р _ класс распределений вероят-
Х Х жестве Х то система называется стОха-
НОСТИ на МНО ,
...
стичеспоu.
Ниже МЫ рассматриваем лишь детерМИНI1роваНные
Т е системы для которых отобрш.н:ение f
системы, · · ,
Д Хх U -+ Х Нас будет интересовать аадач-а
имеет ви · U
ленин такой системои при нечеТRИХ ИСХОДIIЫХ
управ б
условиях. Будем считать, что в лю ои момент времени
t значение управления U t ДОЛЖНО ПОДЧИНЯТЬСЯ задан-
ному нечет.кому оrраничению с." которое описывается
н етким подмножеством множества и с ФУНI{цией
принадлежности f!t (и,). Выше в п. 2.2.1 уже rовори-
лось о возможных интерпретациях нечетких оrраIIИ-
...
чепии.
.., ....
Рассмотрим управление этои системои на интервале
времени от О до N 1. Пусть задана неч:еткая цель уп-
равления в виде нечеТ.I\оrо подмножества G N мнон,\ества
Х, представляющая собой нечеткое оrраничение на
состояние системы ХА" в последний момент времени Н.
3aдa'la, таким образом, занлючается в том, чтобы выб-
u
рать последовательность управлении и о , U 1 , . . ., UN-I,
которая «удовлетворяет» нечеТRИМ оrраничениям и
«обеспечивает» Достижение печеткой цели C N . Началь-
ное состояние системы Ха полаrаем заданным.
Заметим, что нечеткую цель G N l\1ШННО Считать не-
четким ПОдмножеством Множества их. . . )< и, посRолы<y
..
v-
-'
N
СОСТОЛkие ХВ можно выразить в виде XN (Х О ' и о, . . ., llN-l)
T oM 1реmения системы уравнений состояния (2.2.3) для
t ,..., N - 1. После ЭТоrо в соответствии с ПОД
ходом Белпмана 3 .
аде исrlеткое fJепrение задачи можr-ю
представить в Виде
.
(-10N(X N )},
Т. е. в Виде lIечет1I'
· · · Х у. oro ПОДМножества МНОЖества их...
- Будем liскать
'1'. е. ПоспеДОват максимизирующее решение задачи,
еЛЬНОСТEJ УправлеНиi1 а и- имею"
О' · · ., N-II
2.2]
щую мв сималыIюю степень при
D надлежности нечеткому
решению ,Т. е.
Р-» (Й о , .. ."- H-l)
- шах '.. { ( )
- ln (.Lo и о ' · · · J N-J (U N _ 1 ) '1 (х)) (2 2 4)
и о' .... и /\r -1 1 r G N N '" ..
НЕЧЕТ:Ио ОПРЕДЕЛЕННАЯ ЦЕЛЬ
77
тах min 110 (и о ), · · ., (.LN-2 (и и _ 2 ),
1l0 ..., fl Н-2
тах min {11n-l (и и _ 1 ), (1on(f(x N - 1 , U N _ 1 ))}
иН-l
и введем обозначение
f10H_1 (х и _ 1 ) -" тах nriп {(1Н-l (U N _ 1 ), f.L CN (1 (X N _ 1 , U N _ 1 ))}.
иН-l
. m.ax шах mjn {'L (и)
ro О' ...
eo' ...., tt N-2 tJ. N-l
· · ., I-'-N-l (U N _ 1 ), f1 cn (1 (Х и _ 1 , и и _ 1 ))). (2.2.5)
Имеет место следующее просто проверяемое равенство.
Пусть l' величина, не зависящая от UN-l, И g (UN-l)
ПРОИЗВОЛЬН8Я функция UN-l- Тоrда
тах min {y,g(UN-l)} - шiп {у, maxg(UN_t)}.
uN-l "'N-l
С помощью этоrо равенства запишем (2.2.5) в следую-
щей форме:
Р-» (й о ' · · ., U N _ 1 )
Воспользуемся для этоrо обычной процедурой динамиче-
CKoro проrраммирования. Запишем (2.2.4) Б следующей
форме:
f'-»(U o ;...' U N _ 1 )
Фуннцил P-GN_l (X N _ 1 ) представляет собой фуннцию
u
принадлежности нечеТRОИ цели для задачи управления
на интервале времеЯl1 от О до N 2, соответствующую
заданной цели G N управления на интер.вале от О до
N -- 1. Смысл ЭТОЙ функции l\fОЖНО пояснить следую-
щим образом. ДОПУСТИL\i, что В результате выбора наких-
либо управлений l o' · · .. UN-2 система перейдет из соетоя-
u
НИЛ Х О в состояние XN-I, определяемое системои урав-
нений (2.2.3). Тоrда, как не труд но понять, выбором
управления UN-l можно добиться максимальной степени
достижения звданной цели, равной f10 N _ 1 (X N _ 1 ). Твким
78
ИАТЕМАТИЧЕСRОЕ проrРАмМИРОВАНИЕ
f[rл. 2
I
r
образом и' I . ) есть максимальная степень достиже-
, 1 1 ·
пил цели СН в случае, коrда на N 2 шаre система
ока8влась в СОСТОЯНИИ :LN-I.
Далее, поскольку X,V-l f (ХН-21 иН-2) , то ясно, что
величина Р-" Н-l (1 (х Н-2' и Н-2) есть максимальная степеНI
достижения цели G N в случае, косда система оказалась
(после N 2 maroB управления) в состоЯНИИ ХН-2 И на
N 1 шаrе было выбрано управление иН-2. Н етрудно
понять, что выбор иН-2 на N 1 шаrе следует сделать
так, чтобы обеспечить (с учетом иечеткоrо оrраничения
на иН-2) по возможности большее значение величины
min (f1N-2(U N -J. (10и_l (f(X N - 2 , и а _ 2 ))).
Введем соо тв етствующее обозначение
Р-'и_2 (х и _ 2 ) - mэп {P- JV - 2 (и н _ 2 ), (1GN_l (f (X Il - 2t и и _ 2 ))}.
Величина (10 Н-2 (з: Н-2) - максимальная степень
нии заданной цели G N в случае, I\оrда на N
система оказалась в состоянии ХН-2-
Продолжая эти раССУ}Rдения для t N 3,. . ., О,
получим с ис тему рекуррентных соотношений
f1 BN _ y (хн_у) шах min {f.1N-rv(U N _) f.L. (х )}
*Н-.. V. СА-У+l N-v+l t
"
ДОСТИ)I{е-
2 mare
ZN_"+l f (x N _ Vt U N _,,). (2.2.6)
С ПО ОЩЬЮ ЗАТИХ соотношений
телыiо (начиная с \1 1) Ф мы получаем последова-
Х: (XN-2), '.., а (х) ункции aH-I (XN-I), aH-2 Х
СОстоянию и п лъ:' а затем по заданному начальному
( 2 2 3) вы уясь уравнениями состояния системы
· ., чиспяем в обратн
щие реmенил ом ПОрядке максимизирую-
О' О t 1'. · ·
_ Для иллюстрации описавв
ttример-ив работы (23]. Рассм;Й процедуры mевия приведем
Ц1ШЦi Т. е.-прииеи, что N=2 вРем Т:Еехэтапвыи процесс управ-
е14ВИ система МОжет Ва....о · любов момент времени упраВJIII-
о а .А. ДИТЬСЯ В ОДНО
2- а, а параметр Управления и м па трех СОСТОЯНИЙ 01'
I кои<ет принимать пишь два
2.2]
I-IЕЧЕ"-rI{О ОПРЕДЕЛЕНН.АЯ ЦЕЛЬ
79
звач:евInJ. СХl И cx.J. Нечеткая цель управления (оrраничение на х )
описываerСJI таолицей _ 2'.
Zz 01 02 Оа
r-tО 2 0.3 1 0,8
Нечеткие оrраиичевия на управления в моменты t= О -и t= 1
имеют вид
и о
al
а2
Ul
al
а2
t - . О:
t
t 1:
f10 (ио) 0.7 1,0
f11 (Ul) 1,0 0,8
Переходы системы из состояния в состояние описываются матри-
цей (отображение '):
Ut"
z
01
а2
0з
аl
01
аз
°1
az
0'2
О)
аа
.
Примепии теперь рекуррентные соотиошения (2.2.6) для ре-
шения аадачи. Для t 1 получаем
%1 01 а2 аз
р' О l (Хl) 0.6 0.8 0.6
а соответствующая М8ксимиsирующа& фунКЦИЯ имеет ВИД
%1
О)
й!
О,
s _!
.
.
"1 (Ж1) а2
аl
(12
"
во
ИЧ ЕсноЕ проrРАММI1]JОВАНИЕ
МАТЕ МАТ
I
JТЛ. 2
(
I
.
.
,
In'VW\щеи шзrе ,=о получаем
Д8JIее, иа CJle .1"'"
I
f
I
%0
01
01
а.
Оо(Жо) 0,8 0.6 0,6
.
ltl8ксимизирующан ФУНКЦИЯ имеет вид
а соответеТВYJOIЦая
а й2 аз
Х О 1
ио (хо) а2 аl ИЛИ а! аl или й2
Допустии теперь, что начальное состояние системы (Т. е. состоя-
ние при '=О) %0=01- Тоrда соответст ующее _Jtfаксимиа рующее
решение ИСХОДНОЙ вадачи имеет ВИД ио= а2, и 1 == аl, причем это
решение обеспечивает выполнение цели G 2 со степенью 0,8.
В работе (23) описапJIый подход I!рименяет я также R ана- .
ливуаадач управления стохастическои системои с фикс рован-
ВШI Rовечиыи моментои времени N и детермииированнои систе.=-
мой с B8Дamrым множеством допустимых конечных состоянии
системы.
Подход Беллмана Заде опирается на возмож-
ность симметричноrо описания множеств цели и orpa-
u
вичепии в виде нечетких подмножеств одноrо и Toro же
уииверсальноrо множества альтернатив. Это позволяет
определить решение задачи n ДОВОЛЬНО простой форме,
I(aR описано выше. Однако в дальнейшем мы увидим,
что ие всякую задачу принятия решений удается сфор-
мулировать в виде задачи достижения нечетко опреде- .
ленной цели, описанной в форме нечеткоrо множества,
в связи с чем Виже рассматриваются и дрyrие подходы
и поетановки задач принятия решений.
В последующих разделах этой rлавы мы рассмотрим
задачи, которые Можно классифицировать как задачи
вечеткоrо математическоrо проrраммирования. Некото-
рые иа ЭТИХ задач удается рассмотреть в рамках подхода
БеЛJIМа а - Заде, друrие свести к задачам в более
ШИРокои постановке, рассматриваемым в I'л. 4 ЭТОЙ
RввrИа
.
'-
2.3]
I{ЛАССИФИНАЦИЯ ЗАДАЧ
Хl
,
.
\
1
П ре чем перейти 1\ рассмотрению различных
задач четкоrо математичеСRоrо проrраммирования
:МЫ ирине ем в следующем разделе их краткую _
фикацию. кнасси
\.
\
\
2.3. Клас ификация задач
нечеткоrо математичеекоrо проrраммирования
Стандартная задача математическоrо проrрамми-
рования формулируется обычно RaK задача максими-
зации (или минимизации) заданной функции иа задан-
ном :множестве Д ПУСТИМЫХ альтернатив, которое опи-
сывается системои равенств или неравенств. Например,
t (х) m.ax, Ч'i (х) о, i 1, · · . т, х Е Х,
rде Х заданное множество альтернатив, j: Х :. Rl И ер:
Х -+ R 1 заданные функции.
При моделировании в такой форме реальных задач
..
припятия решении в распоряжении исследователя-ма-
тематика MoryT оказаться лишь нечеТRие описания
функцИЙ f и ер, параметров,. от ноторых зависят эти
функции, да и caMoro множества х. Подобное нечеткое
u
описание ситуации принятия решении может, например 1
отражать недостаточность информации об этой ситуа-
ЦИИ или служить формой приближенноrо описания си-
...
туации, доетаточноrо для решения поставлепнои задачи..
Более Toro, в некоторых случаях точно описанное мно-
жество оrраничений (допустимых альтернатив) может
оказаться лить приближениеl\{ реальности в том смысле,
что в реальной задаче, лел{ащей в основе математиче-
u U
СКОИ модели, альтернативы вне множества оrраничении
u U
MoryT быть не допустимыми, а лишь в тои ИЛИ инои сте-
пени менее }I,елательными для лица, прииимающеrо
решения, чем альтернативы внутри этоrо множества.
В Rачестве примера можно рассмотреть ситуацию,
в RОТОРОЙ множество допустимых альтернатив пред-
ставляет собой СОВОRУПНОСТЬ всевозможных способов
распределения ресурсов, ноторые л. п. р. собирается
вложить в данную операцию. В этом случае, по-види-
мому, нецелесообразно заранее вводить четкую rpa-
ницу множества допустимых альтернатив (распределе-
ний), ПОСRОЛЬRУ .может случиться так, что распределе-
6 с. А. ОРЛОВСRИЙ
82
МАТЕМАТИЧЕСRОЕ проrРАММИРОВАJНШ
"
I
rfл. :!
I
I
".
нил ресурсов, лежащие за эТОЙ I'раницей (Т... е. вце orpu-
ничений), дадут эффект, «перевеmивающии» меньшую
желательность этих распределений для л.п.р. Твиим
образом, нечеткое описание может оказат
ся бол
е
адеRватпым реальности, чем в определенном смысле
произвольно принятое четное описание.
Формы нечеткоrо описания исходной информации
в задачах принятия решений мотут быть различными;
отсюда и различИЯ в математических формулировках
соответствующих задач нечеТRоrо математическоrо про-
rраммировавия (Н. М. п.).
Перечислим некоторые из таких постановок.
3 а д а ч а 1. «МаБСu.мuаацuя)} заданной обычной
фун,1i.цuu f : Х
Rl на заданном печетlWЖ .мН,ожестве
доnустuJttых альтернатив f1 c : Х
[О, 1].
Для решения подобной задачи Н. Неrойта и Д. Ра-
леску [25] предлаrают рассматривать функцию f (х)
f (х)/ sup f (х) (нормировка к 1) l(aK функцию при-
жЕSUРРJLо
ваДJIежноети вечеткоrо множества цели л.п.р. Значе-
ние I (ж) ЭТОЙ функции рассматривается как степень
выполнения цели при выборе альтернативы х Е х. Это
позволяет непосредственно применить к решению ЭТОЙ
задачи подход Беллмана 3аде. Рациональным
:в квиrе 125] преДЛ;lrается считать выбор альтернативы,
имеющеи максимальную степень принадлежности не-
четному решению, Т. е. альтернативу реализующую
величину ,
:
min {р- с (х), f (х)}.
Нетрудно проверить, что задачу отыскания такой аль-
тернативы можно сформулировать следующим обравом:
л-.+шах, р.о(х)
л, f(х)
л, хЕХ.
Ниже предлаrается иной подход R решению этой
аадачи. Он иалаrается в S 2.4.
3 а д а ч а 11 Н .,
д · еч.етltuu вариа",т стаядарт",ой
за апчи жатематичес"ово nроераж.мировапuя
усть определена сnед ·
CRoro проrраММировапия: ующая вадача матеыатиче-
j(z)-+max, ,(х)<О, хЕК.
2.з1
RЛАССИФИRАЦИЯ ЗАдАЧ
A
Н:ечет:кий вариант этой задачи получается, если «Сl\lяr.
ЧИТЪ» оrраничения, Т. е. допустить возможность и
u Х
I-Iаруmения с тои ИЛИ иной степенью. Кроме Toro..
вместо ма'Rсимизации функции f (х) можно стремиться
к достижению lIeI{OTOpOro задаНIIоrо значения ЭТОЙ
фУII:КЦИИ, причем различпым ОТRлонениям значения
f (х) ОТ этой величины приписывать различные сте-
пени допустимости (например, чем больше отклонение,
тем меньше степень ero допустимости). 3адачу при этом
МОrItпо зап.исать таи:
f (х) ZO' ч> (х) О, х Е х,
rде волнистая линия свидетельствует о нечеткости СООТ-
ветствующих неравенств.
Один ИВ возможных ПОДХОДОВ к формализации по-
добных нечетко сформулированных задач анализиру-
ется в работах [26, 27]. 3анлючается он в следующем.
Пусть Zo заданная величина фуннции цели f (х),
u
достижение которои считается достаточным для выпол-
нения цели принятия решений, и пусть имеются (за-
даны л. п. р.) два пороrовых уровня а и Ь такие, что
неравепства f (х) < Zo а и ер (х) > ь означают сильное
нарушение соответствующих неравенств f (х) > Zo и
ер (х) < о. Можно следующим образом ввести нечеrnие
u
МПОiкества цели и оrраничеIIИИ:
О, если f (х) < Zo 0.,
f1 (х, а), если Zo а <! (х) < zo'
1, если f (х) > ZO'
О, еСЛlf tp (х) > ь,
v (х, Ь), если О < fP (х) < ь,
1, если tp (х) < О,
rде r-.t. и \1 некоторые фУЯRЦИИ Х -+ [О, 1), описы-
вающие степени выполнения соответствующИХ нера-
венств с точки зрения л.п.р.
В результате исходная задача оказывае'rся сфсрму-
ЛИрОВ8ННОЙ В форме задачи выполнения печевтко опред е-
ленной цели, к IC:отороЙ прЮlевим подход еЛJIмана
Заде.
.
f10 (х) _.
(.1 (:' (.1:)
68
84
МАТЕМАТИЧЕСJ\ОЕ проrРАММИРОБАНИЕ
[rл.. 2
в аботах [26, 27] описанныМ ..здесь способом Qвали-
ся задачи нечеткоrо липеиноrо npOrpaM !pOBa-
зиру e'l.l' работа [27] интересна тем, что в неи фор-
пия, прпч
лsруется соответствующая двоиственная задача :и
e помощьЮ ПРО80ДИТСЯ анализ чувствительности ре-
шения исходной задачи по отношению u R вафриация
пороrовых уровней и параметров линеиных ун RЦИИ
р. (х, а) и v (х, Ь).
3 а д а ч а 111. Нечетli,О описана «мапсижuаuруежая»
ФУН1'i,ЦUЯ. т. е. задано отображение fJ-ср : Х х Rl -)о
-+ [О, 1 J, еде Х универсальное ж1tожество альтерна-
тив, Rl числоваJL ось.
В этом случае фУННЦИЯ f'-", (х о , r) при наждом фикси-
рованном х о Е х представляет собой нечетное описание
оценки результата выбора альтернативы Х О (нечеткую
оценку альтернативы Ха) или нечеТRО известную реак-
ЦИЮ управляемой системы на управление х о . Задано
также печеткое множество допустимых альтернатив
f1c : Х --. [О, 1 J.
Как будет видно из дальнейmеrо (rл. 3), R такой по-
становне СВОДИТСЯ ШИрОRИЙ класс задач Н. М. п. Проб-
лема рациональноrо выбора альтернатив при данном спо-
собе Описания нечеТRОЙ исходной информации оБСу}I{-
дается в 4.3.
3 а д а ч а IV . Заданы обычная .макси:миаи Р1jем,ая
ФУ КЦ Я f: Х -+ Вl и система 02раnuчenlfU вида ер,"(х) <
1l "' 1,..., т. причем параметры в описаниях
фу ции <р, (х) заданы нечетко в форме н,ечет'К,uх мно-
жеств.
Например, в линейном случае (Х " R 'Z ) фуннции cPj(X)
имеют вид
11.
. (х) · UajX J ., i =- 1, . . ., 111.,
;=1
а R8iRДЫЙ параметр Ь
нечеТRИми а ц и i описаны соотвеТСТВУЮЩI4:МИ:
. МНОжествами (l." (а..) v (Ь.). Об интерпрета-
ции T8Koro способ .. J "J' f I
В 4.3. а заданип параметров rоворится НИ){<е
Один И3 ПОДХод . ..
1Ioro nporp ОБ к решению задач нечет:коrо ли:в:еg-
М. СУJIариа а i21j Р н aIIИЯ ОПисан в работе с. неrойты и
· ИЖе в t 4.3 предлаrаем друrой более
2.6]
НЕЧЕТНDЕ МНОЖЕСТВО оrРАНИЧЕНИй
85
общий Щ>ДХОД, RОТОрЫЙ ва:ключается в с
. ведевии этой
задачи J( постановке задачи типа 1 оп u
нам разделе. ' исаннои в дан-
3 а д а ч а v. fIечетко описаиы, как парамет ы, Ф 1i _
ции, оnределяющuх оера1-tuчеuuя задачи та р у х
сим,иаируе,м,ой фун,кцuu. ' К U саltЮи .мйп-
Ниже в 2.6 предлаrается способ сведения этой
задачи R задаче 111, описанной в данном разделе.
· В, последующих разделах данной :книrи мы рассмо-
трим- п.еречисленные вьппе постановки задач Н. }I.. п. И
предложим способы их решения.
2.4. Задача l\lатематическоro проrраммирования
при нечетком множестве оrрапичении
. Пусть lf · универсальное множество альтернатив,
и .пусть ер функция Х Вl, значения},{и RОТОрОЙ
оцениваются результаты выбора 8.lIьтернатив из )IHO-
j-I<ества х. в l\1ножестве Х задано нечеткое подмно"нество
110 : Х -+- [О, 1], ноторое мы называем нечетRИМ множе-
.
C1:BQl\r[ допустимых а.ТIьтернатив. 3адача заRлючается
в «маКСИМИЗ8ЦИИ» в JIeKOTOpOl\{ С1tfысле фУНRЦИИ ер
на неч;е.ТКОl\1 множестве C.
Последнее общее предложение можно понимать
ДВОЯКО. Под «маRсимизацией» МОЖНО пони}rать выбор
нечеТRоrо подмпо}:кества множества I-tc (нечеТl\оrо ре-
шения), которому соответствует в не:котором смысле
наилучшее нечеткое значение функции ер. Разумеется,
представление решения в форме нечеткоrо множеьтва
имеет смысл, Rоrда такая форма содержательно понятна
ЛIIЦу, ПРI1:I-Iимающему решения (Т. е. Rоrда .ТI. п. р. поня-
тен язык нечет:коrо описания). l\aK бы то ни было,
подобноо нечеткое описание столь же информативно,
как и нечеткое описание исходпоrо мпо)кества допусти-
МЫХ альтерJIаТI1:В.
Если же л. п. р. не приемлет нечеткоrо описания
решения задачи то под «(максимизацией» ФУНКЦИИ
следует понима;ь рациональный выбор новкретнои ·
альтернативы или множества альтернат.ЦВ. Рациональ-
Ность при этом ПОflимается в том смысле, что при выборе
;конкретной альтернативы л. п. р. должно :JiIСХОДИТЬ из
эв
АтИ ЧЕСJ(ОЕ проrРАММИРОБАНИЕ
1\IATEM
[rЛ4 2
бхоДВМОСТИ J(омпромисса межДУ желание ПОJIУЧIt:Ть
вео ....ожиости большее значение фУННЦИИ ер И жеЛа-
по ВО8ш. б
ивы выбрать по возможности олее ДОПУСТИМуIO
:льтерпативу (Т. е. желанием получить по ВОЗМОЖНости
большее значение фУПRЦИИ принадлежности нечеТRоrо
множества допустимых альтернатив).
В даннОМ разделе рассматриваются два подхода
Р ешенИЮ этой задачи п. М. п. Один ИЗ них Опирается
к u
на разложение печеТRоrо множества оrран-ичении ПО
множествам уровня, а в друrом явно учитывается не-
обхоДИМОСТЬ указаппоrо Bыme но:мпром:исса. Оба этих
подхода описаны в работе [30 ].
'2'.4. _. Решение 1, опирающееся на множества УРОВilЯ
неЧe'l'Rоrо множества оrраиичений. Рассматриваемый
здесь подход, по сути дела, состоит в ТОМ, что ИСХодная
задача п.и.п. представляется в виде совоиуппоети
оББf1ШЫХ задач маRСИШIвации функции ер па всевозмож-
ных множествах уровня множества допустимых аль-
тернатив. Если альтернатива %0 Е х есть решение за-
дачи ер (x) шах на множестве уровня Л, то, rрубо
rоворя, мы считаем, что число А есть степень принад-
лежности альтернативы %0 печеТRОМУ множеству реше-
нИЙ исходной задачи Н. М. п. Перебр.ав таким образом
вс_еВО8можпые аначения А, мы получим функцию при-
наДJlежности нечеткоrо решения.
Перейдем f( более подробному' описанИIO и анализу
этоrо подхода. Будем обозначать С'l 'Множество уровия
А ие1JеТRоrо множества допустимых альтернатив Р-С.
Таиuм образом (си. п.1. {. 3),
. С 1 {zlжЕХ, f1с(z»л}.
дли пюбоrо л > о T8кoro что С -L f?(
жество '1 -r- >и, введем МНО-
..
N (л) . = (z r 3: Е х, ,(z) вир ер (ж')} ,
ж' е с).
предетаВJIяющее б й ..
вадачи со о множество решений обычнои
аJlьтерн :СИМИ8ацu! фУИRЦИИ {f на множестве тех
дОПУСТIDI ' КОТорые со степенью не менее: А считаются
Д ЫМИ 8 Исходной вадаче и .... п
ЛЯ ПО . . ·
Koro м:пожес:оевил ФУНКЦИИ ПРИВ8дпежпt?сти нечет-
:ва решений необходимо К8ЖДОЙ апьтер-
2.4 ]
I-IЕЧЕТI{ОЕ МI-IОЖI СТВО оrl АНI?IЧЕI1IIЙ
87
яативе ж Е х приписа-ть степень принадлежности этому
м:в:о,"кествУ. Сделаем это следующим образом. Степенью
пр:ив:ад ежности альтернативы х о нечеткому множеству
решении будем считать максимальное (точнее, верхнюю
rран ь ) из чисел Л, для иоторых ХО Е N (л). Более CTporo
ЭТО выражается следующим определением.
О n р е Д е л е н и е 2.4.1. Решением 1 8адачи н. м. п.
называется нечеТRое подмножество :множества (J-c 1 опи-
сываемое функцией принадлежности вида
(J-1 (х) sup л.
: zEN(l)
Следующее предложение дает ВОЗМОЖНОСТЬ выразить
решение 1- в более простой форме.
Предложение 2.4.1. ЕСЛlt Х Е SUPP(11(X), то
111 (х) - р.с (х) *).
Д О К а з а т е л ь с т в о. а) Если х Е supp 1-'-1 (х) И 1-'-1(X) >
> I1c (х), ТО sup л > Р-С (х) И, следовательно, найдется
л: xEN (1)
такое число Л, что л > I"c (х) и х Е N ( ). Но по опреде-
лению 2.4.1 хЕС5:, и поэтому fJ-с(Х»Л' т. е. неравен-
ство л > Р-с (х) невозможно.
б) Если х Е supp р.l (х) И р.l (х) < (1с (х) или
.
sup л < {J-c (Х) ",
л: $ЕН (А)
то для любоrо числа л T8Roro, ЧТО х Е N (л), :выполнено
х Е С 11 С С)... Броме тoro, х Е N (л), так нан в противном
случае из (2.4..1) следовало бы невозможное неравенство
v <v. Отсюда
_ ер (х) < вир ер (х') вир ер (х') - - ер (х).
,3;' Е C<v ,ж' Е C
(2.4.1)
Это противоречие и завершает доказательство предложе-
ния 2.4.1.
I rz
( ) определяется так:
*) Напомним. что мu:ожество supp f1 х
supp f1 (х) . {х I хе х. f1 (Х) > о}.
.
88
АТИЧ ЕСI(ОЕ проrРАММI1РОВАНИЕ
МАТЕМ.
frл. 2
Из предложения 2.4.1 и определения 2.4.1 нетрудно
то Р ешение 1 предетапимо в виде
заключить, ч
.1. ':с) при:.се U N (л),
rc \' >->0
,..,1 (ж) р .
о в остальных случаях,
И, таким образом, _supp fJ-l (:с) · ). o N (л).
Будем rоворить, что решение 1 существует, если
р,1(х} О на множестве х. Из определuения 2.4.1 полу-
чаем, что решение 1 рассматриваемои за ачи Н. М. п.
существует тоrда и только тоrД8, Rоrда ваидется TaRoe
число л> О, что N (л) =1= 0.
Нечеткому решению 1 соответствует нечеткое «M8R-
симальное» значение f1cp (Т) функции <р (х), представляю-
щее собой образ нечеткоrо множества р.l (х) при отобра-
жении ер. Соrласно определению образа ( 1.3) получаем
fL (7) вир р.l (х) аир sup л, (2 4 2)
" а:Е !р-' (r) zEcp-J (r) >.: .жЕN О.) · ·
rде ч>-1 (Т) · {х, Х Е х, ер (х) . - Т}.
Если в задаче и. М. п. решения 1 не существует, то
.можно Iюспользоватьсн е-оптимальным нечеТRИМ реше-
нием, которое ДЛЯ задапноrо е > О можно определить
следующим образом;
p. (ж) - sup л,
1: ЖЕN(е, )
N(e, л) {xJxEX, (x» вир f(X') е}.
Zl Е О).
Соответствующее нечеТRое значение фУНRЦИИ €f описы-
:вается Фун:кцией принадлежности fJ. (х) .- В1lр p. (х).
П а; Е T- J ( )
редел p. при е -. О МОжно попимать .как верхнюю
вечеТRУю rраиь фун
3 RЦИИ ер на нечеТRОМ множестве (.'ос-
&Метим что ПОПЯТ
не толь ие e-ОПТимальноrо решения полезно
110 и В T xB с,:учае, 1(оrда р.l (х) О при любом х Е Х,
далее У ст ан8ВЛИв
:которые ПОЗВОляют аются неКОТорые свойства решения 1,
дать этому решению наrЛЯДIIУЮ пнтер-
-
2.4]
НЕЧЕТНОЕ МНОЩЕСтво orp
А II:ИЧЕ В:Ий
(2.4.3)
Иll.Ы.ми словами, для дюБО80 r тa"lL'0"!.30 (
О п , что р. r) >0,
паидется та1Шя адътерnатива х Е х ч f ( )
и !i Е N (л) при 1lе1roторож л> о. ' то ff Х · r o
Д о R а з а т е л Ь С т в о. СоrлаСIIО определению (
f .. полу-
чаем
89
npеТ8ЦИЮ. МЫ СфОРМУЛируем эти cBoiic
дующих трех преДЛожений. тва в Форме СЛ&-
Пр еДЛОжени е 2.4.2.
r o Е supp fJ-, => >.. o N (А) n <р-l (r o ) ==F 13.
Т. е.
вир вир Л>О,
zEf- 1 (r o ) л: ЖЕN(t)
U I
наидется такая альтернатива х Е ер-l (r o )' для кото-
u
рои
.
вир л >0"
: х' E1V{l)
а ЭТО в СВОЮ очередь означает, что найдется такое число
л> О, что :1/ Е N (л). Отсюда получаем х' Е Ч'-1 (ro)n N (л),
что- и доказывает (2.4.3).
Пр едл ол, е н и е 2.4.3.
То Е БUрр f1'i' => вир f-I-l (х) вир (1-0 (х).
ZEf- 1 (r o ) :cE'f- J (r o )
Д О R а 3 а т е л ь с т в о. ПОСКОЛЬКУ из определения 2.4.1
следует, что (11 (х) < f1c (х) при любом х Е х, то
вир (11 (х) < вир Р-о (х). (2.4.4)
.xE«P-' (r o ) Z€,-I (r o )
Допустим, ЧТО при некртором т о Е supp f1cp в (2.4.4)
IJНПолнено cтporoe неравенство. Тотда ДЛЯ леКDтороrо
Х О Е 'е-I (То) неравенство
(11 (х) < Р-о (х о ) (2.4.5)
ВЫПОЛняется при люБО I Х Е p-l (r o ).
Д алее ПОСНОЛЬRУ 1. Е supp , то соrлаено предложе--
, · о f ,
IIИЮ 2.4.2 IIаiiдутся такие х' Е х и А> О, ЧТО Z Е
Е -l {То> n N (л). Из TOro, ЧТО х' Е л: (A и А> О; сле ует
соrлаСНQ ОIIределеIlliЮ 2.4..1, "([ТО Р. (3:) Р-с (х ) > И,
.
.
90
АтИЧ ЕСI{ОЕ проrРАММИРОВАНИЕ
MATE}',I.
Сrл. 2
НО из (2.4.5) получаем, что р,(] (х о ) > л
следователь , '
Т. е. х о Е С).. , Е N (л) и х' Е т- 1 (r), Т. е. т (х') - .: r
Из тoro, ЧТО х т О т О'
получаем
f (х') - Sup ,(х) · r о rp (х о )'
жЕС)..
"". Е m- 1 (Т) Отсюда х о Е N (>..) и, соrласпо опре-
так как 81.'0 т О ·
делениЮ 2.4.1, р.l(х о ) . Р-с (х о )' что противоречит (2.4.5).
Это противоречие завершает доказательство преДЛоще-
ния 2.4.3.
П р е Д л о ж е н и е 2.4.4. ФУIlк,цuя (-'-ер (Т) .млн,отоняо
убывает па множестве supp (1".
Доказательство. Достаточно показать, что f1tp(rJ<
<р-,(т 2 ) ДЛЯ любых Т 1' 7 2 EsupP-(1, таких, что 71>72'
Допустим противное, т. е. что для некоторых r 1 > r 2
ИЗ множества supp Р-, выполнено неравенство (1ср (r 1) >
> I1!f (т 2 ). Тоrдз, соrлаеио предложению 2.4.3, получаем
sup Р-с (:.с) > sup I-'-(] (:.с),
.zE т- 1 (r.) zЕч>-J (r 2 )
_ т. е. найдется %1 Е чI-I (r J такой, что неравенство
(-Lc (х 1 ) > Р-С (х) (2.4.6)
выполняется при любом х Е х .
Далее, ПОСКОЛЬRy r 2 Е supp Р-Ч" то из предложения 2.4.2
заключаем, ЧТО найдутся такие Х 2 Е с:р-l(т 2 ) и >..>0,
что Х 2 Е N (л), т. е. r 2 - -: (х 2 ) · sup rp (х). ·
.хЕе).
:Кроме ТОl'О, отсюда и из (2.4.6) заключаем, что X 1 Е С).,
следовательно, .
r 2 " Ч'(х 2 ) · suprp(X» (Xl) r 11
:t Е с).
ИЛИ ' 2 > Т 11 а это противоречит допущению о ТОМ, чТО
' 1 > r 2 . Полученное противоречие завершает ДОК8ва-
тe.JIoTBO предложения 2.4.4.
бсудии теперь несколько подробнее свойства ре-
иения 1, Которое установлено в предложении 2.4.4.
eTpyД1lo видеть, 'Что функция Р. (r) определена T8IO'lM
оБРВ80М ЧТО ер
1 ее значение для дапноrо r Е Rl есть макСИ-
-
2..J
иJtчgrrl{ОЕ- МНОЖЕСТЙО 'hp А. ..'
V.L .n.НИЧЕний
9!
мапьная степень ПРинадлежности
:МНОжеств
(Т) монотонно убывает на ЮЮжест .. YIOщия
f ве supp f.1. Это
означает, в частности, что в МНожеСтве Хн!
u ет таков аЗIЬ-
тернативы, для которои одновременно ВЫnОJПiЯлись
неравенства РОС (х) > fJ. (r) > О и [{] (х) > r бы
f т J Т. е. вет
TaKoro элемента х Е Х, Rоторый имел бы боль
( ) тую, чем
f"cg r, степень принадлежности множеству IL и
'..: давал
бы большее, чем r, значение максимивируемо"
фуниции. и
Если л. п. р. предпочитает :выбрать в Rачестве реше-
ПИЯ конкретную альтернативу х Е х, то ero выбор ДОll-
же опираться не только на степень принадлежности
атои альтернативы цечеТRОМУ множеству Р-с (х), но и на
соответствующее звачение функции ер (х). Вак следует
из предложения 2.4.4, чем -4i больше значение т О, тем
:меньше степень принадлежности f1c (х) той альтерна-
тивы, которая дает значение ер (х) то. Поэтому л. п. р.
ДОЛЖНО сначала обратиться R нечеТRОМУ «максималь-
ному) значению fL, (r) фyнRЦИИ ер (х) и выбрать пару
(r o , f'-, (r o », которая соrласуется с ero желанием полу-
чить ПО возможности большее вначение r o и в то же
время по возможности большую степень принадлеж-
ности Быбранноrо То множеству Р-ср (r). После выбора
тапой пары имеет смысл выбрать так тю альтернативу
х о Е rp -1 (r o ) , Rоторая имеет наибольшую степень при-
надлежности множеству Р- С (х) (или альтернативу, ко-
Торая в некотором смысле близка к хо).
Изложенный здесь подход к определению решения
задачи н. М. п. неудобен в двух отношениях. Во-первых,
в полученном решении недостаточно явно учитывается
необходимость при выборе альтернатив Rомпромисса
между значениями маRсимизируемой функции и зна-
чениями степени допустимости альтернатив. Во-вто-
рых это решение неудобно для вычислений. В следую-
щем' разделе вводится дpyroe определение решения,
I(OTopoe не обладает уRвванпыми :н:едостаТRЗМИ и в то же
время ЭRвивалентно решению 1 в ТО}! смысле, что дает
U2
А ж....tч сJ{ОЕ проrРА:М:МЙРО1JАНЙ
МАТЕМ -J,6.L
Lrл. 2
qB'1'}(oe Dначвttйе максиыйзируемоi ФУIlIt-
то же самое не
дии tp. 2 Р otеНllе 2 и эgвиваJlентпость реmеlIИй оБОl1X
2.4. В и:лаrаем:о м здесь -подходе R определенИIО ре....
ТИПОВ. в м п ЯВНО с caMoro начала УЧИтывается
m ния задачи · · ·
е ЧТО при выбре альтернаТIIВ л. п. р. ДОЛЖНО РУI{ОВОД-
ТО, желанием получить возмшнно большие зна-
ствоватьсЯ u Ф Ф
чениЯ как мансимизируемои УНRЦИИ, так и УН:КЦии
".J..1'ноети нечеткоrо мнон{ества допустимых аль-
припадлеп,
Для этоrо 11 определение решения ВI{ЛIоча-
тернатив.
ются лишь те альтернативы, ноторые в задачах MHoro-
Rритериальной оптимизации называются эффеRТИВНЫМD
или МaR:симаЛЫIЫМИ ПО Парето.
Альтернатива х о Е х называется эффективной при
двух функциях 'Р(х) и f1 c (х), если для любой друrой
ал тернативы х' Е х из неравенств ер (х') ер (х о ) и f-Lc (х')
Р-с (х о ) следуЮТ равенства ер (х') ер (х о ) и РО(! (х') Р-с (х о ).
Иными словами, если Х О эффективная альтернатива
ДЛЯ фуmщий qJ (х), (.J. c (х) на множестве Х, то выбором
любой друrой альтернативы I'i3 Х неВО31УI0Н<НО увели-
чить (по сравнению с ер (х о ) ИЛll f-1o (х о ») значение одной
фУНКЦИИ, не уменьшив при ЭТО l значеНJrIЯ ДРУI ОЙ.
В задачах ПрИНЯТИЯ решений с вееКОЛЬRИМИ Rрите-
риями множество эффективных альтерJlатив предлаrа-
ется л. п. р. в качестве множества ero B03MO'-ItНЫХ ра-
циональных выборов. (О задачах принятия решений
при нескольких I\ритериях см., например, RВиrу [31 J.)
Итак, пусть Р · множество всех эффеRТИВНЫХ аль-
тернатив ДЛЯ рассматриваемых в задаче Н. М. п. фУПR-
ЦИЙ ч' (х) и (J-c (х).
О п р е Д е л е н и е 2.4.2. РешеН,ие.м 2 аадачи Н,. м. n.
навывается нечеткое МlIOжество с ФУНRцией принадлеж-
НОСТИ вида
1-"0 (х) ПIJИ хЕР,
о в остальных случаях.
В этом Определении явно предполаrается что л. п. р.
ДОЛЖно ИСПОJIЬ '
Зовать в Своем решении лишь те альтер-
нативы упи'
О версаЛЬноrо МНОr!,естиа Х !{оторые даIОТ
двовремепно н '...
еу.лУЧ1Паемые значения фУНRЦИИ ер И f1 c .
(12(х)
8.,.1
1ijtЧЁl1tО1!\ 1vlНОЖЁСТВО оrРАlIИЧЕilЙЙ
З
СоотвеТстйующее ре11IGНnЮ 2 nечетиое
ц значеНИе
фуНКЦИИ , записывается Е виде
J1 (Т) · BUp р.2 (х), r Е Rl.
з;Е'Р- 1 (t")
Покажем теперь, что при неноторых npеДПОJ10жепию{
решения 1 и 2 дают одно и ТО i-IШ нечеТRое значение
фУННЦИИ ер.
Т е о р е м а 2. 4.1. Если .м.1Южество Х компа1;;тnо
,
фуnк,цuя ff nепрерывnа па Х, а функцuя IfJ-С пОАуне-
прерьюuа сверху па Х, то при любом rERl выnол-
nяется равеиство
p. (Т) p. (Т).
Д о R а 3 а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что в усло-
виях теоремы множество 'P- 1 (r) заМRПУТО в Х при лю-
бом r Е Rl И, следовательно, для любоrо r Е Rl най-
дется :со Е ep-l (r) такое, что
Допустим, что
> [-'-; (r о) или
sup (11 (х) t-L 1 (х о ).
ХtЧ'-I (r)
найдется r о Е Вl, для ЕОТОРОТО
(2.4.7)
(J-; (То) >
.
sup [11 (х) > sup r- 2 (х).
ж Еер-! (r о) zEf-' (r о)
В силу (2.4. 7) и в УСЛОВИЯХ теоремы выражение (2.4.8)
МОЛ<НО записать в следующей фОРl\lе:
р. (х) шах р. (х) вир [1-1 (х) > вор [1-2 (х),
G О $E'f'-l(ro) G же,-I(r D ) з;Еер-' (r o )
(2.4.9)
(2.4.8)
отнуда следует, что
иеиотороrо х Е ep-l(r o )' то
а)
1J.2(X)
Если (12 (х) > О ДЛЯ
- Р-с (х) и получаем
ер (х о ) ч' (х) То'
Р-с (Хо) > [1-с (х).
НО зто противоречит тому, ЧТО
тернатива для фУНRЦИЙ ер ) fLC.
,
х . - эффективная аль-
.. . + :iI :dроriJAitМИРОВАititЕ [rп 2
g4 Ш1ЕМАТИЧЕСtI\О
О 11 любоrо х Е ,-1 (r O )' то любая
x .- ДЛ
ДЛЯ любоrо :с Е f о ,
( ') - р. (з:»,...о(х), (2.4.11)
f (Z) f :t r о. (J
или
f (3:) > f (х') r o , (10 (х) > Р-С (х').
, -1 N ),) ДЛЯ иеRотороrо
предложение 2.4. ), то и
и, следовательно,
(2.4.12)
л > о (см.
ЧТО хЕС'А
'f (х) r o ([' (х'),
что противоречит неравевствам (2.4.12).
Что касается неравенств (2.4.11), то они не выпол-
няются для х' -: Х о , поскольку х Е f?-l (r o ) и
Р- с (х о ) шах Р-с (х).
.zE,-'('о)
Отсюда получаем, что p. (r) - fL: (r) Vr Е Rl. Теорема
доназана.
Итак, ПРИНятие решений по первому и второму из
ОПисанных ПОДходов ПРИВОДИТ R одному И тому же
результату.
COfnaCBO Определению 2.4.2 нахождение решения
2 СВодится R определению множества р эффентиввых
8JIЬтерватив для функций ер и РОс. Одпано это множество
содержит, вообще rоворя, бесконечное число элемен-
тов, причем вет эффективноrо СПособа ero описания.
Вместе с тем ДЛя получения решения 2 в ноннретной
задаче праКТически достаточно указания конечноrо
ЧИспа вффеRтиввыx апьтерв:атив, Достаточно равномерно
выбранJIых иа :МНОжеСтва Р.
ДЛЯ ваХОЖДения таких альтернатив MOJ-KHO ВОС-
Еольаоваться следующим почти очевидным фактом.
спи Длл иеноторых чисел "1 > О, "2 > О альтернатива
:1:0 ДОСТ88Jlяет lrt:&Rc1UIyМ ФУНКЦИИ
- L (z) - "'1' (z) + "2110 (z)
I!a llНожеств
дл УUJ(ЦJlИ 11 ....0. Действительно, из
2.4 ]
НЕЧЕr"f'НОЕ МfIОЖЕСТВО оrРАНИЧЕНИй
95
допущения о ТОМ, что упомянутая въnпе альтернатива
не является эффективной, вытенает существование
альтернативы х' Е х, ДЛЯ которой выполняются либо
неравенства
(х') > (х о ), (-1-0 (х') > (-1-0 (х о )'
либо
(х') ч> (ха), t-'-o (х') > (10 (х о ),
противоречащие тому, что Х О доставляет максимум ФУНК-
ЦИИ_ L (х).
ТаRИМ образом, придавая различные положитель-
ные веса фУННЦИЯМ ер И fJ-о И МaIЮИМИ3ИРУЯ соответ-
ствующие фУПRЦИИ L (х), можно определить любое тре-
бующееся число эффеR'ХИВНЫХ альтернатив.
Полученные при этом альтернативы вместе с СООТ-
ветствующими им значениями функций ер и !-Lo пред-
ставляются л. п. р., ноторое и делает ОRончательныи
выбор из них, ИСХОДЯ ИЗ своих субъективных представ-
ленИЙ (или пользуясь ИНфОР1\lацией, не учтенной в дан-
ной математической модели) об относительной важности
значения фУНRЦИИ ЧJ И степени допустимости (.lc альтер-
натив.
В ванлючевие этоrо раздела мы нратко обсудим
подход R задачам H. . п., предложенный в книrе К. Не-
rойты и Д. РалеСRУ [25 ].
Суть BToro подхода за:ключается в ТОМ, что задача
«максимизации» фУНRЦИИ на нечет:ком множестве фор-
мулируется как задача достижения нечетко определен-
u U
нои цели типа рассмотреннои в предыдуще l разделе.
Заданная фУНRЦИЯ ер (х) (НОрМllрованная к 1) пони-
мается при атом как фУНRЦИЯ принадлежности пе ет-
Roro множества цели, а решение задачи определяется
как пересечение нечетких множеств цели и допустимых
альтернатив. Иными словами, решение имеет вид
р. (х) . m in { (x), 110 (х)}.
u
При веобхо.цимости выбора конкретнои альтерна-
тивы предпаrается выбирать ту, которая имеет макси-
l\f8ЛЬНУЮ степень принадлежности этому решению, Т. е.
доставляет максимум функции r.t (х).
96
E CI\OE проrРАмМИРОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧ
[rл. 2
ь эту рекомендацию с тем, кан опре-
сравВИМ тe:: задачи п. м. п. по описанному в ЭТОМ
деляеТСЯ ре nr : м ПОДХОДУ (решение 2). Нетрудно убе-
разделе втор У то альтернатива, Мa.RСИМИЗИРУЮЩая
дитъся в ТО() Чявляется оДНОЙ из эффеRТИВНЫХ аль-
ФyJlКЦИЮ р. Х ф ' :ElI\ЦИЙ ер И f-LC на м:вожестве х. в рам-
териатив для у ф
руем ой математичеСI{ОИ модели э ФеI{-
х же аналИЗИ
ка те нативЫ не сравнимы друr с ДРуrом, таи
тинные аЛЬ Р И нет информации, пользуясь которой
каК в :моден фф
б бь ;r судить о ТОМ, ЧТО одна э ективная
моЖНО ЫЛО ) u б u
а Л ,romе (или не хуже какои-ли о друrои
альтернатив J б
о тж альтернативы. Это означает, что вы ор
эффективН .u
ффекти вных альтернатив может сделать лишь
среди э " u (
О бладающее :какоя-либо информациеи или сооб-
л.п.р., u
ратениями), внешней по отношению к даннои матема-
тической модели. u
Таким образом, решение рассматриваемои матема-
тической задачи должно ВRлючать в себя все множество
u U
зффективпых альтернатив или по нраинеи мере доста-
точнО большую выборку из 9Toro множества. Выбор же
конкретной альтернативы из 9Toro множества следует
оставить на усмотрение л. п. р.
2.5. Иrpы в нечетко определенной обстановке
2.5.1. Введение. До сих пор мы рассматривали
задачи принятия решений, в ноторых результат (значе-
ние функции ер) однозначно определялся деiствиями
л. п. р. Такие задачи широко распространены в праl\-
тике.
Вместе с тем в ЭRопомике, военном деле и мноrих
друrих областях человеческой деятельности часто
встречаются ситуации, в которых выполнение цели
или результаты ПрШIЯТИЯ решений одним лицом (или
rруппой ЛИЦ) вависят не только от действий этоrо лица.
но и от Действий (решений) друrоrо лица или rруппы
лиц, преслеДУIОЩИХ свои собственные цели.
В связи с ЭТИМ при анализе подобных СИ'l'уацИЙ
с цепью определить рациональный способ поведениЯ
необходимо учитывать и возможные ДflЙСТВИЯ партне-
ров. В военном целе, например, успех проведепия:
операции невоаможен без учета возмояmых действий
2.5] иrры в НЕЧЕТRО ОПРЕДЕЛЕНIiОй ОБСТАНОВНЕ 97
противника. При управлении экономической сиСтемой
необходимо учитывать, что поведение подсистем (на-
пример, отдельных предп иятий). определяется
не только физичеСRИМИ или иными объеRТИВНЫМИ за-
ковомерностями, но и интересами участвующих в этих
u
подсистемах люде и , ноторые MoryT не совпадать с ИН-
тересами ynравляющеrо орrапа. Ясво, ЧТО подобных
примеров можно привести очень MHoro.
Ситуации этоrо типа принято называть иrровыми
(иrрами). Математические модели таких ситуаций изу-
чает теория иrр р ДОВОЛЬНО обширнЫЙ отдел ПРИRлад-
ной математи и. (СМ., например, Rниrи [32 35].) Ос-
новное направление в теории иrр связано с вырцбот-
u
КОИ И анализом ПрИПЦИПОВ рациональноrо поведения
иrроков в различных УСЛОБIIЯХ.
Пожалуй, наибольшее внимание исследователей
в теории иrр привлекают два теоретико-иrровых прин-
ципа рациональности: принцип наилyчmеrо rаранти-
v
роиаиноrо результата и принцип, опирающиися на по-
Бятие равновесия. Оба этих принципа используются
ниже в анализе иrр в нечетко определенной обстановке.
3десь мы кратко обсудим эти принципы, считая для
простоты, ЧТО В иrре участвуют лишь два партнера.
В соответствии с приnцunо,м наилучше20 еараnтu-
рован,пО20 результата иrровая ситуация рассматри-
u
вается Rаи задача принятия решении ОДНИМ из иrро-
ков (ДЛЯ определенности назовем ero иrроком 1). Вы-
боры друrоrо иrрона (иrрока 2) считаются неопре-
деленными фанторами. Эта неопределенность может
заключаться, например, в ТОМ, что иrрОRУ 1 в момент
принятия решения известна не конкретная реакция
(выбор) иrрона 2, а лишь некоторое множество ero
nозможных реаRЦИЙ. Чем больше известно иrрон:у f
об интересах J{ оrраничениях иrрока 2, тем «уже) это
множество, Т. е. тем meI-Iьmе неопределенность в ero
поведении с точки зрения иrропа 1.
В основе принципа наилучшеrо rараптировавноrо
результата лежит положение о ТОМ, что рациональным
является такой способ оценки иrропом 1 своих выбо-
ров, при :котором ои рассчитывает на наихудшую для
пеrо реаRЦИIО иrрока 2 ив множества :возможных реак-
ций ПОС.ТIеднеrо. Наилучшей при этом естественно счи-
7 с. А. ОI)ЛОПСI<ИЙ
98
АтИЧЕ СИDЕ проrРАММI1РОВАНIIЕ
МАТЕМ
[rл. 2
тратеrий (выборов) иrрока 1, которой СООТ-
тать ту из с
наилучшая оценка.
ветсвтвует в применении этоrо принципа является
a}КH б 2
u учет всей информации о иrроке , RОТОРУю
точнЪ1И
иr оК 1 будет иметь в момент припятия решения, по-
р именно эта информация позволяет этому
екоЛЬRУ
I'I"tТДИТЬ о возможныx реанциях партнера FIa ero
иrроКУ VJI
выборы. U
Столь rибко понимаемыи принцип наилучmеrо
арантированноrо результата был впервые СФОРМУЛИ-
OBaн ю. Б. fермейером. Подробное обсужде ие этоrо
принципв, в та:кже анализ принятия решении на ero
основе разнообразных ситуациях, имеется в Rниrах
ю. Б. fермейера [33, 341.
u
Еще один припцип рациональности, RОТОрЫИ ис-
пользуется ниже в анализе иrр с ПРОТИБОПОЛОН,НЫМИ
интересами (целями) иrроиов, опирается IIa ПОНЯТI1е
ситуации равllOвесия ПО Нэmу. Он применим в тех
случаях, коrда иrроки имеют возможность доrовари-
ваться друr с друrом с целью выработки COBMeCTHoro
в некотором смысле взаимовыrодноrо поведения.
В соответствии с этим принципом рациональным
считается выбор иrроками неноторой пары етратеrий
Хо, Уо (по ОДНОЙ каждым и.rРОКОМ), обладающей устой-
чивостью в следующем смысле: одностороннее IIapyтe-
нив доrоворенноети не выrодпо ни одному ив иrрОRОВ.
ИНЫМИ словами, если например, иrрок 1 выберет
етратеrию х вместо Х о , а иrрок 2 останется «верен»
етратеrии Уо, то выиrрыm иrРОRа 1 в лучшем случае
не измеп!'тся. Обладающая такой устойчивостью пара
стратеrии (ха. Уа) IIазывается ситуацией равновесия
по Нашу.
При всей своей привлекальности этот принцип имеет
два немалован<ных недостатка. Во-первых ситуации
Р авно '
весил, RaR правило, пеустойчивы по отношению
. ( изменению стратеrий обоими иrроками одновремев:нО
например, оба иrрока MoryT получить б6льшие выиr-
рыmи.. в наНой-либо друrой вообще rоворя неравнО-
веснои ситуа ) в' ,
ции.. О-Вторых в иrре оБIJlЧНО имеетсЯ
ШИрОкое МПО 8L u t
rI(eCTBO ситуации равноnесия причем 011.-
П У ив иrро ·
ПЗ КОВ MoryT быть предпочтителыIыы одНИ
Q этих ситуац u -
ии, а друrому - друrие. Это препя тет -
2.&1 иrрьi в НЁЧЕтItо ОПi? nЕЛЕННОЙ ОБСТЛНОВi<E 9
вует достижеllЙЮ доrоворевноети между иrроками
о выборе КОНRретной ситуации равновесия. Подроб-
нее о ситуациях равновесия :можно прочесть в цити-
рованных Bыme Rниrах по теории иrр 11
Наиболее «удачны» ситуации (иrры двух лиц),
в которых имеются стратетии иrРОRС!В, рациональные
одновременно по обоим описанным вьппе принципам.
Таким СВОЙСТВОltrl обладают мноrие иrры двух лиц
с пулевой СУМArIОЙ (антаrопиетичеСRие иrры). Ниже мы
покажем, что в определенной степени это свойство при-
cyrцe и иекоторьuм иrрам с ПРОТИВОПОЛОiRН И целями
в нечетко определенной 'Обстановке.
В данном разделе описываются иrры в нечеТRО опре-
деленной обстановке [30, 36], Т. е. иrры, в ноторых
цели и допустимые выборы (етратеrии) участников
описаны в форме нечеТRИХ множеств. При анализе
таких иrр мы будем пользоваться подходами к задачам
Н. М. П., описанными в двух предыдущих разделах.
Иаложение оrраничивается лишь иrрами двух ЛИЦ,
однако мноrие из приведенных ни}ке результатов не-
ТРУДНО распространить и на случай больmеrо числа
участников.
2.5.2. Описание иrры. Пусть Х и У унинерсаль-
v
вые множества етратеrии, которые в принципе MoryT
выбирать иrроКИ 1 и 2 соответственно. Допустимые
етратеrии иrроиов описываются нечеТRИМИ множест-
вами p.l: Х -+ [О, 1] и f12: Х [О, 1]. Выше в 2.2
уже rоворилось о возможных интерпретациях этих
нечетких множеств. Заданы функции!!, 12: ХхУ -+ Rl,
причем значение f i (х, у), i 1, 2, ИRтерпретируетс
:как оценка иrро:ком i ситуации (х, у). Множество R
(числовая ось) интерпретируется при этом нак универ-
.
сальное MIIO)«eCTBO оцеНОR.
...
I\аждый из иrроков стремится к достижению своеи
нечетко описанной цели. Будем считать, что цель
иr-рОRR i описывается нечеТRИМ: множеством G; в уни-
версальном множестве оцеПОR Вl с ФУНRцией принад-
лежности f1b: Rl [О, 1]. Об интерпретации такои цели
rоворилось в 2.2. Заметим лить, что цель, постав-
лепная перед I'1rpOROM, l\{ожет Оl(аsаться плохо или во-
обще несовместимой с ero возможностями,.. Т. е. напри-
мер, с MI10ilieCTBOl\[ ero ДОПУСТИl\IЫХ CTpaTerIilI ИЛJI с имею-
.-.
I
!ОО
itАТВЫАТИ'С{!!:СJCОВ проrРА.1biИРОВАни:Е
rл. 2
еЙСЯ У иеro информацией об интересах и оrраНиче
:СЯк друТОТО иrро:ка. Подробнее втот вопрос раСсмат-
ривается ниже. - Ф
Для анализа поведения иrРОI\ОВ в с ОРМУJIИРован_
вой иере мы воспользуемся подходом, описаННЫl\f
в I 2.2. В соответствии С ЭТИМ подходом цель иrРОRа i
мы будем описывать нечеТRИМ подмножеством МНОн{е-
u
ства ситуации вида
р.Ъ(х, у) P. (fl(X, у», (х, У)ЕХхУ.
Нетрудно видеть, что заданное нечеткое мцожество
таково, что ero образом в Rl при отображении /i ЯВ-
ляется заданное в Rl нечеткое мнш-нество цели G;
(СМ. I 1.3).
Если бы, например, цель иrрока i была четко опре-
деленной, Т. е. описывалась бы функцией принаДле}R-
НОСТИ, ПРJlНимающей лишь значения О и 1, то иrРОR i
стремился бы к реализации в иrре ка.к.ой-либо ситуа-
ции (х, у), для которой fJ-Ь (х, у) 1.
Введем теперь нечеткие множества п 1 и п 2 В х х У
следующим образом:
I'-D (х, у) · min {fll (х), JJ-Ъ (х, у)},
1
....D z (х, у) · min {fl2 (у), JJ- (х, у)}.
Иначе rоворя, вечетние множества D it i 1, 2, суть
пересеqевия соответствующих нечеткоrо MHOiKeCTBa до-
ПУСТИМЫХ стратеrий и нечет:коrо множества цели.
Смысл множеств п 1 и п 2 можно пояснить следую-
ЩIDt: обра ом. Если, например, иrрону 1 , известен
:он.кретвыи выбор fi Е у иrро:ком 2, то перед пим (иrро-
ОМ 1) стоит Описанная в п. 2.2.1 задача достижения
вечет.кой цели р.Ъ (х, у) при множестве ДОПУСТИМЫХ
альтернатив р.l (х). В Соответствии с используемым
адесь подходом Беллмана Заде решение п 1 таl\ОЙ
3 Д8ЧII] определяется как пересеtJение неiJеТRИХ множеств
р. и tJra (ж, О),
IJO D. (Х, у) v m i 11 {!J.l (х), !-'-Ь (х, у)}.
Т8J\ИМ: обра
30 , нечеткое Мlюжество !-'- (х у) l\IQ}I<flO
рассмаТРивать.., D. ' ,
квк семеиство (по параметру у) решении
I.,j airpЬt в НЕчЕТRо ()ПРЕДЕJ1ЁНиоА ОВСТАНОЙ1\Е Ни
sадач ДОС'1'ИжеltИя uечеtких цепей p. (ж, у). АВ8JtоrltЧ-
ВЫЙ смысл можно придать и множеству р. D .
Для дальнейmеrо анализа иrры необх димо уточ-
НИТЬ, какие выборы иrроков СЧитать допустимыми.
При наиболее общей постановке допустимыми нужно
считать выборы иrроками произволъных нечетких под-
множеств множеств их допустимых етратеrИЙ и вести
анализ иrры в классах подобных печетких етратеrИЙ.
- Мы.. же остановимся з д есь на более узкой (и более про-
стои) постановке задачи, в которой выборами иrроков
MoryT быть лишь стратеrии-элементы соответствующих
универсальных множеств Х и-У. При'это}..! будем счи-
тать, что при каждом фиксированном выборе одноrо
иrрока второй выбирает етратеrию, которая максим:и-
зирует соответствующую ему функцию f-L D . (х, у), Т. е.
j.
етратеrию, Rоторая имеет максимальную степень при-
надлежности нечеТRОМУ множеству D ,-
Имея это в виду, можно более точно сформулировать
цели иrроков в рассматриваемой иrре. Можно пола-
rатъ, что иrрок i I (i 1 , 2) стремится R достижению
по возможности большеrо значения функции f.L.D 4 (х, у).
I
Рассматриваемая иrровая ситуация фор}{улируетсн при
этом следующим (чеТRИ {) образоы: Х и У множества
етратеrий иrрОКDВ 1 и 2, !-LD 1 И f1D: ИХ функции ВЫ-
иrрыmей.
2.5.3. Максимальные rарантированные выIrрыыи.·
Если иrрок целиком полаrается лишь на свои возмож-
НОСТИ, то естественной представляется ero ориента-
ЦИЯ на получение наибольmеrо rарантированноrо выиr-
рыша. При этом, как уже rоворилось выше, важную
роль иrрает имеющаяся в ero распоряжении информа-
ция об интересах и оrраничениях друrоrо иrрока.
От этой информации существенно зависит величина
выиrрыmа, которЫЙ иrрок может себе rараптир.?вать.
Вопросы информированности и связанные", с неи раз-
личные постановки задач припятия решении в условиях
неопределенности (и иrровых задач в частности) под-
робно описаны Ю. Б. fермейером [33, 34].
Пусть, например, иrрОI( 1 имеет возможность пе -
ВЫМ выбрать свою стратеrию и сообщить ее иrрОRУ ·
{О2
. .
МА gМА иqgС ОЕ проrРА ИРОВАНЙЕ
rrJi.
Тоrда наuБО,А,ьшии еарантирован,н,ыи выиерыш иrрока t
. равен
М тах min f.L (х, у) тах min {tJ-l (х), min IJ-b (х, у)}.
1 zEX иЕУ(ж) D 1 хЕХ g€F(з::)
(Для простоты изложения будем считат , ЧТО всюду
ниже, rде ИСПОЛЬЗyIOтся операции тах и mln, соответст-
вующие максимальные и минимальные звачения до-
стиrаюТСя на указанных множествах.)
· Присутствующее в этом выражении множество У (х),
зависящее от х (и известное иrроку 1), есть множество
возможных реакций (ответов) иrРОRа 2" на сообщенный
ему иrрОll:ОМ 1 выбор х. В этом смысле зависимость
у (х) отражает степень информированности иrРОRа 1
об интересах и оrравич:епиях иrрока 2.
Если иrРОRУ 1 известно об иrроке 2 лишь множе-
ство У, то ero вечеткое множество выборов имеет вид
fi (х) min {f11 (х), min р.! (х, у)}.
уЕУ
Конкретным выбором иrрона 1 будет при этом страте-
rИJl, :ма:ксимиаирующая эту функцию на мнох<естве х.
Если иrрок 1 имеет больше информации о своем
партнере (Т. е. в случае У (х) С У), то нечеТl\ое мно-
жество ero выборов имеет вид
p. (х) - min {J-Ll (х), min р.Ъ (х, у)}.
уЕУ(ж)
Нетрудно видеть, что при этом ii" (х) -, ( )
JIюбоrо z Е х rl -::r (.11 х для
, Т. е. при бопьmеи информированности
- иrрок: 1 ero нечеткое множество выборов оказыва-
:ТСII олее тироним. В этом смысле можно rоворить
ТОМ, что имея боль Ф
иrрок 1 ' б те ин ормации о партнере
имеет ольте вовмож" '
достижение своей цели. постеи rарантировать
Если величина Af
что цель, R достиже СЛишком ..мала, то это значит,
СЛИШком В8вышен ию котороя стремится иrроК 1,
связи естествеlПlЫ: (с lчетом ero возможностей). В этой
дача Пусть сф о разом возникает следующая З8-
в B дe нечетvоормулирована нечеткая.цель иrрока 1
б д ro :множества 111. Rl l..P
Ъ1ТЬ вечеТRое Множест rG В · наково должно
ТИровало бы ему (п :0 ero стр теrий, которое rapaH-
р задапнои ИНФОРМИРОnВI'IНОСТli
2.5] иrры в НЕЧЕТIiО ОflРЕДЕЛЕНf-IОЙ ОБСТАI-IОВНЕ tОЗ
об иrроке 2) достижение цели со степенью, не меньшей
ueKOToporo sаданноrо числа а? Иными словами, какова
должна быть фУНRЦИЯ IJ-l (х), Описывающая нечеТRое
множество етратеrий иrропа 1 , чтобы ВЫПОЛИЯЛОСЬ
перавенство
М 1 шах min {Р'l (Х), min р.Ъ (х, у)} а?
:l;EX 21 ЕУ (х)
u
этои задачи введем множество
{х I min I.LЪ (х, у) а} С х.
t/ЕУ(ж)
Если Ха t то, как леrко видеть, М 1 <а, и следова-
тельно, иrро 1 не может rарантировать достижение
своей цели со степенью большей или равной а незави-
u
симо от Toro, Rаиое множество етратеrии находится
в ero раСПОРЯ}I{ении (например, в силу недостаточной
информированности об интересах и оrраничениях
иrроRа 2, которая определяется харантером отображе-
ния у (х)).
Пусть X a =l=95 , тоrда нетрудпо заКЛIОЧИТЬ что rараи-
тировать достижение цели со степенью не менее а
МОЖНО тотда и ТОЛЬКО тоrда, !{оrда 1..t 1 (х) > а при не-
:котором х Е ;{а.
. . Имеет смысл и обратная задача: имеется нечеТRое
множество допустимых етратеrИЙ иrрока 1 р1. (ж).
Ка:кие цели иrрок 1 может rарантированно доетиrнуть
со степенью не менее аР
Для решения этой эадачи введем множество
х; {х 1 р.l (х) а).
Для
решеlIИЯ
Ха
ЯСНО, ЧТО ДJIЯ дости;кения цели со степеныоне менее а
необходимо 11: достаточно, чтобы наmлась такая стра-
теrия х Е X , для RDТОрОЙ ВЫПОЛНЯ.lIОСЬ неравенство
lnill 1 1 Ъ (х, у) а
!/EY(x)
или
р.Ъ (х, у) > а Уу Е у (х). (2.5.1)
Пусть ,""Ъ: Rl > [О, 11 _ пекоторая фУНRЦИЯ цели иrРОRа 1.
Введем I\fножество
Z о - (z I р.Ъ (z) > а} С Rl.
f04
АтИ ЧЕС:ИОЕ проrРАММИРОВАНИЕ
МАТЕМ
[rл. 2
8ЯСЬ на (2.5.1), заключаем, что для дости
ТьrД8 t ОПИР Ъ ИЕРОКОМ 1 со степенью не менее а в:е-
жениЯ цел; ;остаточно, чтобы пamлась такая CTpaTe
. оБХО ЁОх" ЧТО f (х, у) Е Za при всех у Е у (х), rде
I'JIЯ фуНКЦИЯ оценки, введенная выше.
.р. · чие в интересах иrроков означает, что раз-
КОВ. авли
личнъr отношения предпочтения этих иrРОRОВ НО? Мно-
жестве ситуаций ВЕРЫ. Напомним, что ситуациеи иrры
Т ItЯ любой элемент множества ХхУ, rде Х
В88ывав v u т б
и у . множества етратеrии. аким о разом 7 любая
ситуация иrpы имеет вИД 8 (х, у), Еде х . стратеrия
иrрока {, а у иrрока 2. Если для иrрока ситуация
'1 ие хуже (ие менее .предпочтительна) ситуации 82,
ТО мв будем писать 81 > 82.
Несовпадепие интересов иrроКоВ 1\lожет означать,
например, что для каких-либо ситуаций 81' 82' SЗ7 84
ВЫПОJIВевы предпочтения
1 2 1 2
'1 >- 82' 81 > 82' 8з >= 84' 84 >= 8 з ,
Т. е. предпочтения НЕрОКОВ MOryT быть одина:ковыми
ДЛЯ ОДНИХ пар ситуацИЙ (81 и 82) и ПрОТИВОПОЛОЖНЫМИ
ДЛЯ друrих пар (8з И 84).
СЛИ же предпочтения иrроиов противоположны
., -
ДЛИ всех пар ситуации иrры, то иrра называется uерои
с протиsопО/ЮЖ1tыжu unтересажи иrроков. ИНЫМИ сло-
вами, противоположность интересов иrроКов 1 и 2
08начает, что для любой пары ситуаций в, q справед-
пиво утверждение:
.
1 2
либо s > q, и тоrда q > 8,
1 2
либо q > s, и тоrда 8 'r q.
Если, например, иrро:ки 1 и 2 сравнивают ситуации
УХ и СРа (z, у), причем CfI! (Ж t у) +СР2 (х, у) О при любых
( t у) Е х х У, то интересы этих иrpоков противопо-
JlОЖН Иrру в этом случае называют U2рОЙ с нулевой
су.м.жои ипи 4нтаеОJ1,uстичес1Wй. НомпаКТllое пзлоп,е-
... ... - .
2.5] иrры в НЕЧЕТIЮ ОПРЕДЕЛЕнIiой ОБСТАНОВIШ 105
иве теории антаrониетических иrр имеется, например,
в книrе . Партхасаратхи и Т. РаrхаваИ8 [35].
и 8рои с nротuвоnо.л,О:JlCnЫJ,tu иnтересам,и 8 иечетпо
опреде.л.еu,!ой обстаnО8r;,е мы будем называть иrру,
в которои ФУ I{ЦИИ принадлежности р.ь (z) и функции
/. (Х , у), описывающие цели иrроков, таковы, что
p. (Zl) > р.Ъ (Z2) <:> p. (Zl) < (J. (Z2)' (2.5.2)
р.Ъ (Zl) · р.Ъ (Z2) <=> jl (Zl) р.Ь (Z2)' (2.5.3)
/1 (х, у) /2 (х, у) V (х, у) Е хх У. (2.5.4)
-
Б этом определении предnолаrается, 'Что иrРОRИ одина-
«ОВО оценивают ситуации иrры (равенство (2.5.4»,
но цели их противоположны. Действительно, из H
равенств (2.5.2) следует, что если при nыиrрышe
(оценке) zt степень достижения цели иrрока 1 больше,
чем при .выиrрыmе Z2 (Т. е. Zl предпочтительнее для иr-
рона 1 в смысле достижения ero цели), то степень до-
Сq'ижения цели иrрока 2 при выиrрыше Zl l\rlеньmе,
чем при выиrрыmе Z2 (т. е. для иrрОН8 2 выиrрыrn Z2
предпочтительнее выиrрыша Zl).
Если воспользоваться ПОДХОДОl'tI Беллмана Заде
(f 2.2), то нечеткую цель иrроиа i следует записать
в виде
f-1b (х, у) r-b (!i (х, у)),
Т. е. как нечеТRое ПОДl'vIножеетво !\Iпожества всех ситуа-
ций иrры ХХ У. Цель в этом случае зависит как от
вида фУНRЦИИ ilbJ так и от вида функции f s. И lея
зто ввиду, противоположноеТJ) интересов иrрои:ов IОЖНО
сформулировать в следующем более общем виде:. инте-
ресы иrроков противоположны, если функции р.1: и f.,
i 1, 2, Т8НОВЫ, ЧТО для любых (x 1 , Уl)' (Х 2, У2) ИЗ
Iножества ХХ У выполнено одно из УСЛОВIIИ
r-Ъ (х 1 , Уl) > r-Ъ (х 2 , У2) <::> f1 (х 1 , Уl) < f1 {Х;з, y.J,
р.Ь (х 1 , Yl) r-A (Х 2 ' У2) <:> f1Ъ (х 1 , Уl) f1Ь (х 2, YiJ.
Так же, как и в предыдущем разделе, мы сформу-
лируем рассматриваемую IП'РУ в форме Иl'РЫ с ФУНК-
циями выиrрышей вида
. Р-.ю (х, У) : mill {P-l (х), J1b (х, у)},
(-L.ю: (:с, у) шill {р..з (х), fl (х, у)}
J06
ИЧ Ес:f\ОЕ проrРАММИРОВАIiJiIЕ
МАТЕМАТ
[rJI 2
етратеrий Х и У. Напомним, что
множествами
и и описывают нечеТRие множесТва стра-
фуввции (1-1 2 И 2 в исходной иrре.
'ler r :еrий (Х О ' Уо) называется ситуацией рав1l0-
р й иrры еслИ для любых хЕХ и УЕ у вы-
весuя Т8КО ,
полнЯЮТСЯ неравепствв
fJoл. (х о , Уо) f1D, (х, Уо)'
f.LЛ 2 (х о ' Уо) f1 Л2 (х о ' у).
..:J
Ниже рассматриваются некоторые СБО СТБа ситуаций
р авновесия с учетом Toro, ЧТО интересы иrро:ко:в про-
тивоположнЫ в описанном выше смысле. Введем мпо-
жества
С ! {(х, у) I(х, у) Е хх У, f11 (х) р.ь (:с, у)},
С 2 {(х, у) I (х, у) Е ХХ У. f12 (у) > p. (х, у)}.
Пусть, например, ситуация равновесия (х о , Уо) Е С 2 .
Это означает, что множество
С2$о {у J у Е У, (х о , у) Е С 2 }
(2.5.5)
(2.5.6)
непусто. Из определения множества С 2 следует, что
""2 (у) : f-L (Х О ' у) при любом у Е С 2ХО И, следовательно,
при любом у Е с 2х о выполняются равенства
min {р.2 (у), p. (х о , у)} p. (:.со, у).
Но Torдa из (2.5.5) вытекает, что при любом у Е С2:/;о
выполнено неравенство ( A (х о ' Уо) p. (:.со' у).
Отсюда, в силу противоположности интересов иrро-
ков, получаем, что (J-A (х о , уо) =< р-Ъ (х о , у) при любом
у Е C2 o И, следовательно,
min {P-l (х о ), Р-Ь (Х о , уо)} < min {р.l (х о )' r-A (:.со' у)},
т. е. Р-п. (Х о , уо) Р- п (х о , у).
Кроме Toro, (2.5.5) можно за исать в виде
t.L D (:со, Уо) >: Р- п . (Х, уо) ух Е С 2Уо '
неравенства -
(.LЛ 1 (х о , УО) > Р'Ю а (х, Уо) ух Е c 2t / u ,
1-'- Ь а (х о , уо) (.LD, (х о , у) Уу Е с 2х и .
ttlbL по-
2.5] иrры в НЕЧЕТl\О ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОБСТАНОВКЕ 107
Нак нетРУДНО видеть, эти неравенства означают,
ЧТО рассматриваемая ситуация равновесия ИСХОДНОЙ
иrры (ха, Уа) Е q2 представляет собой ситуацию равно-
весня неRОТОРОИ иrры иrрOlЮБ 1 и 2 с нулевой СУМl\ЮЙ
(fJoD 1 функция выиrрьппей иrРОRа 1, tJ. D I!}TpORa 2,
f1 D 1 + ( fJO пJ О), в :которой допустимыыи dчитаются не
все ситуации множества ХХ У, а лишь ситуации, со-
ставляющие подмножество этоrо множества C X Х У*).
Аналоrичным образом :можно исследовать и случай,
Rоrда ситуация равновесия (х о , Уо) Е С 1 .
Выше уже rоворилось о том, что обычные иrры
с противоположными интересами характерны тем,
что в НИХ в любой ситуации равновесия иrрОRИ полу-
чают СВОЦ максимальные rарантированные выиrрыmи,
соответствующие их информированности лишь о мно-
жествах стратеrий партнера. Имея это в виду, интересно
рассмотреть связь между наибольшими rарантирован-
вымя выиrрышами иrроков 11: их выиrрыmами в ситуа-
циях равновесия в иrрах в нечетно определенной об-
о.
становке.
При вычислении наибольших ra рантированныx вы-
иrрыmей будем полаrать, что наЖДОl\fУ из иrроков И3-
u
вестен ЛИШЬ носитель нечеткоrо }\fножества етратеrии
партнера. Нетрудно видеть, что при этом наибольшие
rарантированвые выиrрьппи записываются в виде
М 1 - Пl8Х m.iI} f1п (х, у),
EX y€Y 1
М 2 тах min f.J.D (х, у).
уЕУ x€K I
Представим веЛIiЧИНУ М 1 в С.'1едующей форltrJе:
Jl 1 - тах {шах (-1-1 (х), шах шil1 f1b(x, у)}, (2.5.7)
жЕХ;' .хЕХ о t/E(! I:C o
-
rде
yo
- {х I х Е х, С 1 з:+ 0}, X Х"Х О '
С 1 з: · {у I у Е У, (х, у) Е C t },
с 1 введено выше.
а множество
111) Иrры на проиаВОЛЬНОl\f l"Iодмножеетве множества BC X CII-
u ре енными ситуациями.
туации иrры нааЫВ8ЮТСЯ I'Irр8МИ с 88П Щ б [34 37 38]
Об особенноотях таких иrр СМ.. например, р8. ОТЫ I I ·
108
МАТЕМАТИЧЕСIЮЕ проrРАммИРОВАНИЕ
[rл. 2
Будем рассматривать случай, коrда С 1
п ( у ) ситуация равновесия иrры,
усть %0' О
(%0' уо)ЕС. ./ ( ) д й
1. ПОR8жем, что М 1 fLЛ 1 Х О ' Уо · е ствительно,
ДЛЯ nюбых (ж, у) выполнено неравенство
min fL1) (ж, у') < р-л. (Х, У)
,'Е}' ·
И В частности, min?D (х, у') < 1-'(1)1 (х, Уо). Отсюда
t у'ЕУ - I
М 1 шах min Р-п (х, у) < шах I-'-.D (х, Уо) ' : t-L.D а (Х о ' Уо),
seX уЕУ J з:ЕХ I
С 2 . с.
причем
Т. е.
M 1 (-Lп (х о ' Уо).
I
(2.5.8)
2. Покажем теперь, что M 1 f1D (х о , УО). Действи-
1
тепьно, для пюбоrо у Е С жо {yly Е У, (Ж о ' у) Е С} (С хо =!=0,
так как по предположению (х о , Уо) Е С) выполнено нера-
вевство f1 (%0' Уо) > p. (х о ' у). Отсюда, в силу ПРОТИВО-
попожвости интересов иrроков (СМ. выте), получаем,
ЧТО ДЛЯ тобоro у Е С.1: 0 справедливо неравенство I-'-b (Х о ' Уо) <
, р.Ь (%0' у) и, следовательно,
min {1I1 (%0)' p, (х о ' уо)} < min {р'1 (х о )' fJ-Ь (х о ' У)},
Т. е. II lJC (3:0' Уо) min Р-п (Х О ' у)
t/ЕО жо I
Далее, JIеrио видеть, ЧТО
E X n II lJ ,<X, у) min РОп (Х о ' у) fJ-1)1 (Х О ' Уа).
о 1/1.; :z IIЕО I
o
Отсюда и И8 (2.5. 7) получаем
М 1 РОЛ 1 (Х о ' Уо)' (2.5.9)
АН8Лоrичвым б 1 п 1 О' О
11 ( ) о разом МОЖНО ПОК8зать, что и М:I :
rlJ l Же, УО ·
Тахим образом -
в сФОрмупи ован' мы пришли к выводу о том, что
интересами ыиr ной Здесь иrре с противоположными
на' Множества С РЬUПи иrРОКО8 в ситуации равновесия
IIВПЯЮТСЛ их максимальными rap8HTIf-
min f1b (%0' у).
t/EC zo
2.5] иrры в НЕЧЕТНО ОПРЕДЕЛЕННОй ОБСТАНОВRЕ 109
рованпыми выиrрышами (при заданной выше инфор-
f\lировавноети и:rроков). Это значит, в частности, что
все ситуации равновеси н из множества С эквивалентны
друr друrу, пос-:колысу во всех них иrроки получают
оДНИ и те же Быиrрыmи.. 3амеТИ1\I, что этот случай
типичен ДЛЯ обычных иrр с противоположными инте-
ресами иrроков. ,
ОбраТItlМСЯ теперь R случаю, коrда ситуация равно-
весия не принадлежит множеству С, т. е. (х о ' Уо)ЕС.
rде С . (ХХ у)"с. Наl{ следует из определения мно-
жества, при ЭТО [ выполняются равенства
tJr». (х о ' уо) min {(11 (Х о )' (х о ' Уо)} (11 (х о )'
(1п (х о , Уо) шill {11 (Уо) , p. (х о , Уо)} r-2 (Уо)'
2
НРО)1e Toro, по определению с.итуации равновес.ия
имеет место равенство
i.LD (х о , Уо) : шах 11 D (х, Уо).
I I
ПоеКОЛЬRУ CYoUCllo · Х, то (2.5.12) можно зanиса.ть
в виде (СМ. (2.5.10)
1-'-» (х о ' Уо) : - шах {SUJ> Р-п (Х, уо)' БНр P-D 1 (Х, уо)}
1 ' :сЕО ]/0 1 хЕе 1/0
- шах {sup 1-'-1 (х), sup р.Ъ (х, Уо)} - Р-l (х о )' (2.5.13)
:сЕё 110 з;ЕV 1/0
Допустим,
.
(2.5.10)
(2.5.11)
(2.5.12)
ЧТО
sup Р.l (х) < sup p. (х, уо).
ХЕС уо ECyo
Тоrда из (2.5.10) и (2.5.13) получаем
sup fJ-l (Х) < fJ-l (Х о )'
ЖЕё уо
что невозможно, IIОСRОЛЬRУ по предположению (Х о ' уо) Е С
И t следовательно, Х о Е С Уо . Отсюда и из (2.5.13) сле-
дует, что
tJ-l (:со) - шах (11 (:с).
sEC z10
АН8лоrичным
образом получаем .
tJ-з (Уо) = шаХ?2 (У).
,EC o
.
"'
110
ти ЧЕСJ\ОЕ проrр АММИРО ВАННЕ
МАТЕМА
[rJI. 2
. е vaH И D случае (Х О ' Уо) Е С, ВЫПОЛ-
. В данНОМ случа ,
нены неравеНСТВ8
Лf 1 < t-'-D, (Х о , Уо), м з :( Р-Л 2 (Х О ' Уо).
О ако обратные неравенства, вообще I'оворя, не Mel0T
дн упитывая это и результат, полученныи для
места. б
(ХО' Уо) Е с I можнО утверждать, ЧТО деЛЯ о оих иrРОRО
ситуация равновесия из множества не хуже любои
ситуациИ равновесия из :множества С, которая обеспе-
ае т иrРОl\ам получение лишь их максимальных
чии uM М
: rаравтированн ых выиrрыmеи 1 и 2.
, В заRлючевие этоrо раздела отметим, что форму-
. ЛИРОВl\а рассмотренных выше иrр опиралась на под-
ход Беллмапа Заде к задачам принятия решений
при нечеткиХ условиях. Мы полаrали при ЭТОМ, что
на основе зтоrо подхода иrрокИ приним:ают решения
о выборе своих стратеrий. Это позволило сформулиро-
вать иrру в нечеТRО определенной обстановке в форме
обычной иrры с чеТRо описанными фУIШЦИЯМИ выиr-
рышей l.L п и р. D И множествами стратеrий Х и У.
t 1
Для анализа таl\ИМ образом сформулированных
иrр в нечетко определенной обетаНОВRе применим ап-
парат теории иrр. Было бы интересным, в частноСТИ,
исследовать вопрос о существовании и способах па-
и
хождения ситуации равновесия в таких иrрах и свя-
u
занныи с ЭТИМ вопрос о возможности (и смысле) исполь-
З0вани иrроками смешанных стратеrий, т. е. распре-
делении вероятности на множествах Х и У. Интересным
и практичеСRИ вал,ныM представляется та:кже исследо-
BaH e влияния различных способов обмена Шlформа-
циеи между иrроками на величины их максимальнЫХ
rаравтированных выиrрышей.
2.5.5. Нечеткое равновесное реUJение иrры. l{ю{
уже rоворилось выше, формулировка и аналиЗ иrрЫ
в нечетко определенной обстановке зависяТ от Toro,
:0 какому принципу иrроки прииимают решения о вы-
оре своих с,тратеrий. Подход Беллмана Заде при-
водит к формулировкам, описанным в двух предыду-
ia ИХ о ра8 елах. В данном разделе мы остановиМСЯ еще
ДНОИ формулировке, опирающейся на припциП
ПРИнятия решеций, описанный в I 2.4 Для упроще"
2.5] IIrры в I-IE IETRO РПРЕДЕЛЕННО11 ОЕСТАнаВНЕ 111
ния изложения МЫ, :как прежде, будем рассматри-
вать лишь иrры двух лиц; распространение приведен-
ных выше рассуждений на случай больmеrо числа
участников не представляет труда.
ИтаR, пусть Х и У универсальные множества
. етратеrий иrроков 1, 2, а fJ-l: Х [О, 1] и f.12: У [О,
1 ] - их нечеткие мно}!-\ества допустимых етратеrий.
Функции выиrрыmей иrрОRОВ будем, вак и выте, обо-
значать 11 (х, у) и 12 (х, у). В отличие от предыдущеrо,
будем считать, что наждый из иrрОRОВ стремится. по-
лучить ПО возможности большее значение своей ФУВК-
..,
ции выиrрыmеи.
Ниже мы попытаемся ввести неноторое поиятие
нечеткоrо paBHOBeCHoro решения иrры, которое может
u
служить ОСПОБОИ для достижения доrоворенноети
между иrроками о выборе их COBMeCTHoro поведения
в иrре.
Заметим, что при любой фиксированной (и извест-
ной иrроку 1) етратеrии у Е у иrрока 2 перед иrроком 1
стоит pacemotpeI-Iная в 2.4 задача принятия реше-
ния о «максимизации» ero фУНRЦИИ Быиrрыmей на не-
четком множестве ero допустимых етратеrИЙ. В СООТ-
u
ветствии с описанным в 2.4 подходом решением такои
задачи считается нечеткое множество вида
I1п (х, у) при х Е U N (л, у),
I А>О
f-LD (х, у)
I
--
о в остальных случаях,
-
rде
N (л, у)
{х I 11 (Х , у) St1p 11 (х' J
$' Eci
- {хlхЕХ, fJI(Х»Л}.
у)},
С 1
1
Зависимость множест:ва Р-п от У отражает тот фант, что
это мнш-кеетво является не еТIПI:М ответом иrрока 1 па
выбор иrроком 2 стратеrии у. б
Апалоrичным образом, отве1'ОМ иrроRа 1 на вы ор
иrрокоы 2 стратеl'ИИ х Е х следует считать нечеткое
множество вида
P-D.(X, у) -
..
112 (у) при у Е U Лf (р, х),
р>О
О Б остальныХ случаях,
.
112
ИЧЕ СIЮЕ llРОfРАММИРО ВАНИЕ
МАТЕМАТ
rrл. 2
{у 1/2 (х, у) = ВОР, /2 (х, у')},
М (Р. х) v'ElJ,
С 2 _ {ylyEY,11'2(Y»P}.
р
.
ды ваеЫЬ1Й :в так определенные решения,
сБмыл,, вкла в 1: 2 4 и поэтому здесь мы на этом во-
О суждапся J .,
просе не остававливаемсЯ.
Введем теперь формальное опреде ение нечеткоrо
paBBOBecBoro решения рассмаТI!.иваемои иrры, а затем
установиМ некоторые ero своиства, которые прояс-
вяЮТ ero смысл.
а п р е Д е 11 е н и е 2.5.f. Нечетк,uм paвиoвecиьtM
решеnиеж рассматриваемой иrры двух лиц называется
иечеткОО ПОДШIожество множества Х Х У вида
р" (х, у) · min {Р-п 1 (х, У), р. пJx, у)}.
rAe
Иными словами, нечеткое равновесиое решение
uпределяется как пересечевие нечетких множеств п 1
и п 2 -
ПОХ8жем теперь, что множество р." обладает следую-
u
щими важныМИ своиствами:
1. Если (хо, Yo)Esuppp.., Т. е. р."(Х о , уо»О, то
найдутся такие числа ЛО>О и рО>О, что ХоЕN(л О , Уо)
и УоЕМ(рО, $0). Нан нетрудно видеть (СМ. определение
ситуации равновесия в п. 2.5.1), последнее означает,
что пара етратеrий (х о , Уо) представляет собой ситуацию
равновесия исходной иrры, в которой IНО;I,ествами до-
ПУСТИМЫХ етратеrий являются обычные мно}кества (мно-
жества уровня) Clo и с:о. Действительно из Toro чТО
%оЕ N (л О , Уо) и УО Е м (рО, ж о ), и из определения' мно-
жеств N (л, у) и М (р, Х) следует
/1 (:со. Уо) /1 (z, Уо) УХ Е С{о,
/2 (:со. Уо) /2 (:со, у) Vy Е с:о.
Такая ситуация равновесия соответствует тому слу-
ча1О, коrда иrpOR 1 считает допустимыми в одинаковой
степени все CTpaTer
жеств ии, ПРИН8длежащие нечеткому миО-
с У (11 со степенью, не меньшей л о а иrрок 2 -
тратеrии принадлеж '
степевъю ' 8щие нечеткому множеству IJ'2 СО
, не меньшей рО.
.
-
2.5] иrры в нЕЧЕТRО ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОВСТАНОВIШ 113
Из свойства 1 вытекает, что Лlобая пара (х, у) ив
носителя нечеткоrо ...множес,тва р.1I является ситуацией
равновесия подобнои: иrры при некоторых ПОJЮrовых
уровнях л и р. Справедливо и обратное утверждение.
2. Если при некоторых дО>О, рО>О пара (х о , Уо)
естЬ ситуация равновесия в иrре с функциями ВЫИТ-
рышей f l' f 2 И множеством ситуаций C o Х С 2 0 ТО
(х о ' Уо) Е supp p.et, т. е. р." (х о , Уо) > о. р ,
Действительно, если (х о , Уо) ситуация равновесия
в множестве ситуаций ClO Х C o, то
/1 (х о ' Уо) sup 11 (х, Уо).
з;Е.оlо
- /2 (х о , Уо) sup /2 (х о , у).
YEO O
ЭТО В свою очередь означает, что xoEN()..O, Уо)' УоЕ
Е м (рО, Хо) и, следовательно,
fJ'D 1 (Х о ' уо) > о, р. п (х о , Уо) > о,
откуда р.- (хо, Уо) > о, т. е. (х о ' уо) Е supp r- fJ .
Из свойств 1 и 2 вытекает, ЧТО Rос,w.rель нечеткоrо
paBHOBecHoro решения. Р. е содержит все такие и толыШ
такие пары (х, у), каждая из которых является сит уа-
u
диеи равно.весия иrры на некоторых множествах уровня
u
нечетких множеств страт rии иrроков.
Нечеткому равновесному решению соответстВуЮТ
следующие нечеткие выиrрыши иrроков:
P-Jl (Т) - sup .,.е (х, у) Vr Е R 1 1
(z, 1/) E.'i 1 (r)
p.JJr) sup tJ. s (х, у) Vr Е В 1 ,
(x у) Efi] (.-)
rде
f-;l (r) _ {(х, у) I (х, у) Е х х У, /, (х, у) - т},
(при этом IIолаrается, что sup ПО пустому множеству
равен нулю).
НечеТRое равновесное решение может служить ос-
новой для достижения доrоворенности междУ rро:кам:и
о выборе конкретной пары (хо, Уо) висходнои нечетко
определенной иrре. Заметим, что ситуация здесь ана-
8 с. А. ОрпОВСJ(ИЙ
· 1?
- - , ......
114
МАТЕМАТИ:ЧЕClЮЕ проrРАМ:МИРО ВАНИЕ
[rл. 9
-
....
лоrичва ситуации, тиnИЧНОИ для задач принятия реШе-
ний по иескоЛЬКИМ критериям, в которых лицу, При-
ииающеиу решения, предлаrается набор не сраВRИ-
:Ых междУ собой недоминируемых решений (вместе
со значениЯМИ критериев) для осуществления ОRОНЧЗ-
тельноrо выбора. В данном случае, например, иrРОRИ
иоrут выбрать ситуацию вида
(Х О ' Уо) ' - arg шах fJ-. (х, у),
ХхУ
Т. е. ситуацию, имеющую максимальную степень при-
надлежности равновесному решению. Разумеется, это
ие едивственио возможный способ выбора .компромис-
CBoro, решения.
В втой rлаве мы имели дело с задачами принятия
решенИЙ, в которых нечетко были описаны лишь мно-
жества альтернатив. Для анализа более сложных
задач нам потребуется аппарат нечетких ОТЯDПIений
предпочтения, с изложения ROToporo мы и начнем сле-
дующую rлаву. .
rЛАВА 3
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИИ
ПРИ НЕЧЕТ КОМ ОТНОШЕНИИ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
ПА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
3.1. Введение
При исследовании реальной ситуации или процесса
с цел.ью принятия рациональноrо решения естественно
ва:ать с выявления множества всех допустимых реше-
нии или альтернатив. В зависимости от имеющейся
информации ЭТО множество удается описать с той или
, ...
инои степенью четкости. Пу ть, например, Х не-
которое универсальное множество альтернатив и
f1(J (х) нечеТRое описание ero подмножества допусти-
мых альтернатив. 3начения функции fLC описывают
степени допустимости соответствующих альтернатив
u
в даннои задаче.
Если кроме эr ой фУНRЦИИ нет друrой информации
об исследуемой реальной ситуации, то рациональным
остается считать выбор любой альтернативы из мно-
жества
ХВ - {хlхЕХ, f-LO.(X)
sup f1c (у)},
UЕХ
Т. е. любой альтернативы, имеющей максимальную
u
степень допустимости, поскольку нет основании пред-
почесть R8кую-либо из этих альтернатив остальным.
При введении в модель дополнительной информа-
ции рациональным может оказаться выбор альтерна-
тив из более УЗRоrо подмножества множества Хп или
ка:ких-либо альтернатив, не принадлежащих ЗТО У
. множеству. Эта информация может оказаться такои,
в частности, что на ее основе удастся выявить единст-
венную наилучшую ив всех альтернативу, как, напри:
мер, ПрИ выборе альтернативы, маКСИМ 8ирующеи
функцию, достиrающую максимума в однои точке.
Информация о реальной ситуации или процессе
ПрИНЯТИЯ решений, на освове которой одни альтерв -
11.
{16 ПРЕдпоЧТЕНИЯ НА мНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [!'л. 3
О преппочесть друrим, может Быьь задана
тивы можп 2
'l'-Т'-IИ способами В rл. мы рассмотрели задачи
Р а8ЛИЧН . ,
Х эта информация предетаВЛЯJIась в ФОРме
в которы
функций полезности, по значениям . которых альтерна_
ТИВЫ сравнивались друr с друrом. Но, RaR ,"уже ОТме-
чалось выше, такой способ описания реальнои ИНфОрма-
ции возможен не всеrда. Более универсальным явля-
ется описание информации в форме отношения пред-
почтения в ldПожестве альтернатив.
Один из способов выявления ОТПОIПения предпоч-
тения в множестве альтернатив при построении матема-
тич:еской .модели реальной ситуации или процесса при-
пятия решений · консультации с л. Н. р. или с ЗRспер-
тllИИ. При ЭТОМ имеется ввиду, что л. п. р. или энсперты
обладают знапиями или представлениями об исследуе-
мом объекте, которые не были формализованы в мо-
дели в сипу чрезмерной сложности таной формализа-
ЦИИ или по друrим: причинам.
Допустим, что с помощью л. П. р. или ЭRспеРТОБ
'выявлено четкое отношение пестроrоrо предпочтения *)
R в множестве допуСтимых альтернатив Х . Это
значит, что относительно любой пары альтернатив
х, у Е х высказано одно из следующих утверждений:
1. «(Х ие :tyже У)}, Т. е. х >= у или (х, у) Е R.
2. «У ие хуже Х)}, Т. е. У > х ИЛИ (у, х) Е R.
З. «Х u у не cpaвnuМbZ между собой)}, т. е. (х, у) fE R
и (у, х)ЕВ.
.
Ин!рормацил :в такой форме ПОЗВоляет сузить Rласс ра-
циональных Быборов, включив В пеrо лишь те альтер-
вати ;ы, КОторые не ДО:мипируются ни Одной альтерна-
тивои Множества х.
. Для Toro чтобы ПОЯСнить нание альтернативы
Считаются пеrrомин '
1-\ ируемым,, выделим соответст:вую-
щие отвоmенuю пре R
. д · ДПочтения, от.иОшен,uе строеО80
nре почтения R. .. .
· . И отиошеnuе безnааличия RI В"дем
I'ОВОРИТЬ 'Что- ал :r · J:
тиhы:- '. ' ьтеРнаТива х CTporo лучше альтерна-
и (у, ес.пи,.одиовременио х у и у ";J:. %, т. е.' (%, у) Е R
· ) Е. · СО :ВОRупиоеть всех TaRUX пар (%, у) И па-
о .- *) Напомиl[М что опреде
и вечеТRих От.аоmевий певия и иеКОТОрые Свойства четкиХ
'. · рас с :иаТРИВ8J!ИСЬ в I 1.2 (си. также [З9}).
.
.
3.1 ]
ВВЕДЕНИЕ
117
зовем отношением CTpororo предцочтени R'
жестве Х . я на мно-
Для более номпактной записи опред
R 8 еления ОТНоше-
НИЯ воспользуемся определением от -1
обратвоrо R R (СМ. 1.2): ношения R ,
(х, у) Е R-l эквивалентно (у, х) Е R,
или
(х, Y)ER-l (y, x)ER.
Отношение cTpororo предпочтения В' можно записать
теперь в следующей форме:
R B _ R '" R-l.
Соответствующее R отношение безразличия RI в Х
определяется следующим образом. Пара (х, у) Е RI
тоrда и ТОЛЬRО тоrда, Rоrда либо не выполнено ни пред-
почтение х >= у, ни предпочтение у х, либо оба эти
предпочтения выполнены одновременно. Иными сдо-
вами, (х, у) Е RI, Rоrда имеющаяся информация в форме
отношения предпочтения недостаточна для Toro,
чтобы сделать выбор между альтернативами х и у.
Нетрудно проверить, что отношение RI можно записать
в виде
RI .. «Х х Х) ". (R U R-l» U (R n R-l).
,
.
.
Если (х, у) Е R8, то будем rоворить, что а.цьтерна-
тива х доминирует альтернативу у (х у). Альтерна-
тиву х Е Хназовем ведоминируемой в множестве (Х,
Я), если (у, х) E-R8 дЛЯ любой альтернативы УЕХ.
Иными словами, если х недоминируемая альтерна-
. тина, то в множестве Х нет ни одной альтернативы,
ноторая бы доминировала х. Недоминируемые альтер-
нативы являются в определенном смысле неулyчmае-
МЫМи в множестве (Х, R), и их выбор в задаче приня-
тин решений естественно считать рациональIlыM в пре-
делах имеющейся информации.
Таким образом, информация в форме отношения
предпочтения R позволяет сузить класс рациональ:-
вых выборов в Х до множества недоминируемых
(Н. д.) альтернатив вида
х".1I.. . {xlxEX, (у, x)(fR".R- 1 УиЕХ}.
IfB
.я НА l\':[HOiI<EC'l.BE r\ ТIЪТЕРIiА'I J1В [rл" з
JIРЕдпо ч 'rЕНIJ. . .
больше имеется информации о реальной
Яr,но, что :;; процессе, тем уже отношение бевраЗJIII_
ситуации иожествО декартова произведения Х Х Х)
чия (1(8!\ ПОДИ ,
ТВО Х П.Де И следовательно, меньше неОпре-
'же множес '
у в рациональном .выборе альтернатив.
делеино еть
При моделировании реальных систем MoryT встре-
титься такие ситуации (являющиеся, скорее, прави-
М Ч ем исключением), КОFда у л. п. р. или у энспер-
ло ,
тон вет четкоrо представления о предпочтениях между
вr,еми или не.RОТОРЫМИ ИВ альтернатив. В TaK случаях
л: п. р. или эксперты затрудняютс с полиои опреде-
ленностью утверждать, ЧТО, например, альтернатива
х не хуже альтернативы У (Т. е. что х >: у). Если же эRс-
перт поставлен перед необходимостью ВЫСRазывать
четкие r,уждеиия о предпочтениях, то при ЭТОМ он будет
вынужден в векотором смысле (юrрубляты> имеющиеся
у иеrо знания и представления, 8. математичеСRая
модель опажется менее адеRватвой I реальной ситуа-
ции.
Более rибним способом формализации имеющихся
u ...
у экспертов знании о реальнаи ситуации представля-
u
ется танои, при нотором они имеют возможность опи-
сывать степень своей убежденности в предпочтениях
между альтернативами числа из интервала [О, 1 J.
в результате с помощью ЭRспертов выявляется, вообще
rоворя, нечет:кое отношение предпочтения в множестве
альтернатив, в котором :каждой паре альтернатив
(х, у) соответствует Т:lИCJIо, описывающее степень вы-
полнения предпочтения ж)= у.
Этот способ описания отношения позволяет в более
..,
попнои мере ввести в математическую модель знания и
представления экспертов и тем самым сделать модель
в определенном смысле более адеRватной реальности.
Задача при этом заRлючается в том RaK ис.пользовать
информацию в тапой форме для ра ональноrо выбора
альтернатив. Таним задачам и посвящена данная rлава.
Иаложение материала rлавы мы начнем с обсужде-
ния и анапиза Свойств нечетких отношений предпочте-
ния, на КОторые опираются рассматриваемые ниже
подход R решениЮ соответствующих задач ПрИНЯТИЯ
решении. При атом мы будем ссылаться на общие свой-
ства нечеТRИХ отношений, Изложенные выше в i 1.2.
з.2]
1:IЕЧЕТRИЕ ОТНОШ НИЯ ПРЕДп
ОЧТЕНИn
lt9
3.2.НечеТRие ОТНОшения преДпочтения
Пусть Х заданное множество альтернатив. Н е-
четпи.м отnошеuuем, nестрО2080 nредnочте-п (
Х б м н б ия Н. о. п.)
на уде авывать лю ое заданное па этом множестве
рефлексивное нечеткое отношение Нак уже .
1 2 · rовори-
лось в ., нечеТRое отношение можно повимать как
нечеткое подмножество декартова произведения Х Х Х .
Имея это в виду, нечеткое отношение преДпочтения
R на множестве Х будем описывать функцией принад-
лежности вида fLR: Х Х Х -+- [О, 1], обладающей свой-
ством рефленсивноети, Т. е. (-1R (х, х) 1 при люБоы
хЕХ.
Если ttn Н. о. п. на множестве альтернатив Х J
то для любой пары альтернатив х, у Е Х значение
t-LR (х, у) понимается KaR степень выполнении предпоч-
тения «Х не хуже У» ИЛИ х у. Равенство f-L R (х, у) О
может оsиачать либо то, что с положительной степенью
выполнено обратное предпочтение у Х, Т. е. что
fJ'R (у, х) > О, либо то, что альтернативы х и у не
сравнимы между собой ни с какой положительной
степенью, т. е. что и t-'-R (у, х) о.
Рефлексивность Н. о. п. отражает ТОТ естественныii
факт, что любая альтернатива х Е х не хуже самой себя.
3.2.1. НечеТRие отношения безразличия, Rвази..
эквивалентности и CTpororo преДПОЧ'J;'ения. По задан-
ному на множестве Х Н. о. п. R можно однозначно
определить три соответствующих ему нечетких отно-
шения: 6езраЗ.l1п,чия Вl (p. ), вазuэквlzвалenтиости
R fJ (t-'-R) и стРО8080 предпочтения R S (!J' ), которые исn.?ль-
sуются в дальнейшем длл определения и анализа своистВ
множества недоминируемых альтернатив в задачах при-
ПЯТИЯ решений [39].
По аН8лоrии с обы1.JНЫМИ отношенИЯМИ предпочтения
эти три отношения можно определить слеДуЮЩИ J
00 paSOl\r1 :
RI (Х Х Х" R U R-l) U (R n R- 1 ),
R" . RПR- 1 ,
R' - R"R- 1 ,
120 ПРЕдПОЧТЕНИЯ НА МfЮЖЕСТDF. АЛьТЕРНNfИВ [rЛ.:J
Ir 1 обратное J( R отношение, описываемое ФУНR-
;й привадлежвости (СМ. 1.2)
Р-В-! (ох, у) ' I!B (у, х) V (х, у) Е х х х.
Используя определения пересечения, объединения
и развости ве1Jвтких множеств (п. 1.2.2), получаем
следующие выражения для функции принадлежности
8ТИХ отиошений:
1. Н ечет1Wе отношение без разJtu1ШЯ:
",'(.2:, у) : тах{1 тах{р-в(х, у), P-в(У, х)},
miП{Р-в(х, у), P-в(У, х)}}
max{min{1 p-в(Ж, у), 1 · Р-В(У' Х)},
miп{Р-в(х, у), Р-В(У, х)}}.
2. Н ечет"ое отношение "вааuэпвивален,тnосrrш *):
p,1t(x, у) min {P-в(Х' у), Р-В(У' х)}.
.
,
.) По сути депа
ВВJlеитвость на:ми · это отношевие описывает иечеткую окви-
иие 8квивапевтвосожестве Х, во мы оетавпие:и термин (<отвоше-
IОТСИ реФпеJ(СИВВЫ . длл вечетких отношений, которые явля-
t симметРичными и траввитивными.
3.2] НЕЧЕТRИЕ ОТНОШЕНИя
ПРЕДПОЧТЕНий 121
ааметии, что при таком от
жестве Х MoryT быть не сравнноmении преДПочтения ь
( В об имые между б ь .D Мно-
Т. е.. о ще rOBOpfJ, R U R-l =# Х Х Х) .. СО 011 альтернативы
ТИВbl %. У Е х. Длл ROTOPLlX ВЫПОлнен .( т. е. такие 81IЬтерпа-
t Mep('t) 8<ЛЪ,те(рп)ативы х, У, для "КOTOPЫ ;.'(y)} RtUR-l. . вапри-
i o Ж '() У · I Х ::;;- t (у) V l =F i o и
С помощью введенных Быте определ u
ении Полуqаем
, 1)) f ( )
p.1l(x, у) . ри i Х · - fi(У) Vi 1, .... n,
О в остальных СЛучаях,
р.k(ж. у) _ 1 пРиfi(х) fi(У}, i 1,....п. 3i o :f i .{x»f i (У).
О в остальных случаях. о D
Отме'lИМ, что альтернативы недомип
здесь отношении предпочте ия, иазы:;мые при описав:нои
оnти.м.ад.ьн.ы,м,и по Парето для набора Ф .J.Ф/ е(,,)т ы.м,и или
ункц . х, t-1, \8 <8 ., n.
Рассмотрим теперь неноторые свойства введенных
нечетких отношений f-1п и 11В-
I Нетрудно убедиться Б том, что нечеткие отношения
f1R и f1B рефлеRСИБНЫ и симметричны (см. определение
этих свойств в п. 1.2'.4). Действительно
1. fJ-В (х, х) · p-i (х, х) - р-в (Х, х) , 1, поскольку
исходное Н. о. п. t-tR рефлексивно по определению.
2. СИМl\tlетричность обоих отношений следует из саl\.fИХ
их определений.
Столь же просто поназать, что Н. о. п. f1.k антирефлеR-
сивпо и аНТИСИl\I IеТРI1:ЧНО. Действительно,
1. fLR (х, х) О, тап нак исходное Н. о. п. I1в реф-
пеRСИВНо, Т. е. rJ. п (х, х) . 1 при любом х Е х.
2. Пусть pl(x, у»О, Т. е. fJ.л(Х. у) (J.R(Y' х»о.
Тоrда k (у, х) = · О, а это и означает аНТИСИМltfеТРIfЧ-
ность 9Toro отношения.
Помажем теперь, 1:1TO есЛИ IIсходное Н. о. п. [J,R на
множестве Х транsитивно, то тем же свойством обладают
« в
соответствующие нечетние отношения р.в и (LB.
Т е о р е м а 3.2.1. Если н,. о. n. 11, па Х траяаuтив'Н,D, то
tI
транвитиВ1l0 и соответствующее 'IlечетlWе от1l0шепuе (1В.
Заметим, ({ТО ИЗ ЭТОЙ теоремы и из рассмотреиныx
выше свойств отношеН:ЕIЯ (:L вытекает, TO в условиях
теоремы fJ-1l представляет собой нечеткое отношение ЭКВИВIl-
дентности (рефлеRтивное, симметричное и транзитивное).
122 I1РЕДnОЧТЕНИЯ НА мноЖЕсТВЕ АльТЕРНАТИВ [rл. з
Д 8 3 8 Т е л Ь с т в О. Допустим, ЧТО в уеЛОБИЯХ
ок ,
per.t:Ы отношение р.п не является транзитивным. По
определению ТРВ!3ИТИS НОСТИ (п. 1.2.4) это допущение
означает, ЧТО наидУТС Я такие х, у, z Е х, для которых
выполнено иеравенеТБО
p.1l(X, y)<min{p.1l(X, z), p.ll(Z, у)}. (3.2.1)
Допустим теперь, ЧТО р.в (х, у) > Р-В (у, х) (В против-
поЫ случае доказательство совершенно аналоrично).
Тотда из определения p. получаем, что r-1l (х, у) :.. '
;= p.в(y, х). пользуясь этим равенством, запишем неравен-
етВО (3.2.1) в виде
Р'В(У' х) < min {p.fl (х, z), p.1t (z, у)}. (3.2.2)
поскольку p. симметричнО, то из (3.2.2) получаем
Р-В (у, х) < min {РОВ (у, z), p. (z, х)}. (3.2.3)
Далее, из определения р.' следует, что
p.1t(y, Z)<P-R(Y' z), p.fl(Z, X)<I1R(Z, х),
'1'. е.
mill{p. (y, z), P-B(Z, x)}<min(flR(Y' z), P'R(Z, х)}.
(3.2.4)
Из неравенств (3.2.3) и (3.2.4) заRпючае l, ЧТО
Р'в(У, х)<miП{V-R(У' z), I'-R(Z, х)}.
Последнее неравенство противоречит условию тра1l3ИТИВ-
насти исходиоrо Н. о. п. р-я. Этим противоречием З8вер-
ll1ае сн доказательство теоремы. '
е о р е м а 3.2.2. Если JI,. о. n. р. lиt Х траuзU-
тивн,о та тра R
, Н,зитивио и соотв.етствующее иечетп ое от-
ношение, строаО20 nредnочтеnия 1-'-п8
означает еиие РОП не является траН3ИТИВIIЬ1М. ЭТО
нено неvа:::с:::ДУТСЯ х, у, Z Е х, для I{OТOPbtX :nып оп -
p. (х, у) < min {р.п (х, z), р.n (z, у)}.
(3.2.5)
tij
нkЧЕтi<ИЕ отиоttIkttия ПРЕДnО"tI'1'Еitйй
12З
поскольку fJ.1l (ж, у):> о npи Jlюбых % у Е х то, пот,..
вуясь определением p. , получаем ив (3.2.5) ,
p.1l (х, z) tJ.п (х, z) tJ. п (z, х) > о, (3.2.6)
fJ-k(z, у) tJ.n(z, у) (J-R(Y' z»o. (3.2.7)
а) Допустим, что (1п (х, у) (18 (у, х). Тотда, учиты-
вая транзитивность I-1B' можно заПllсать неравенство
f1B (у, х) > Р- В (Х, у) > min {I-'-R (х, z), (1n (z, У)}. (3.2.8)
Из транзитивности f1R инеравенства (3.2.6) следует, что
P-в(Х' z»l-1n(z, х»miП{I-'-R(z, У), I-'-n(У' х)}. (3.2.9)
Из (3.2.8) и (3.2.9) получаем
(J-п(Х' z»miП{I-'-R(z, У), I-'-R(X, z)}, (3.2.10)
Т. е.
fln (х, z) > Р-В (z, У),
(3.2.11)
..
из (3.2.8) JОЖНО заключить, что
Р-В (х, у) > Р-В (z, У). (3.2.12)
и, следовательно,
Далее, поскольку f.18 траНЗИТИБПО, то
....п (у, z) min {(1п (у, х), 1-'-8 (х, z)}.
Отсюда, учитъmая нера:вепство (3.2.11) и принятое Bыme
допущение о ТОМ, что (1п(Х' Y)<P-п(У' х), получаем
tJ-R (у, z) > min {f-I-x (у, х), flB (z, у)}
>miП{I-'-R(х, у), I-'-R{Z, у)}.
Из последнеrо неравенства инеравенства (3.2.12) сле-
дует неравенство 1J-8 (у, z) Р-в (Z, у), которое противо-
речит (3.2.7). (3 2 5) т
Таким образом мы показали, что из .. следуе
невозможность неравенства IJ-R (х, у) < Р-п (у, :.:).
б) Допустим, ЧТО РОв (х, у) > 1"8 (у, х). Тоrда
fJ-п (х, у) . РОв (х, у) 1-'-8 (у, Х) > О
{ . ПРВДDо1tТJНИЯ нА 'МИОЖЕсti"ВЕ АЛЬТЕРНАТИв trJi. а
. аеравеНСТ80 (8.2.5) можно вапнсать :8 ваде
J111 (х, у) fLB (у, х) <
< min {[P-в(:С' z) Р-В (Z, х)],
[f1R(Z, у) fJ'n(Y, z)]}. (3.2.13)
Допустим, ЧТО Р-В (У, z) > f.1R (у, х). Тоrда в (3.2.13)
величину f1B (у, z) МОЖНО заменить на величину I..I. R (у, х):
fJoB(X, У) - Р-В(У' х)<miП{[Р-R(х, z) f.Ln(Z, х)],
[p-п(z' у) I1B(y, х)]}. (3.2.14)
.
Прибавив РОВ (у, х) к обеим частям этоrо неравеНСТБа,
получим
11в (Х, у) < min {[ f1 B (х, z) +
+(P-в(У, х) " P.R(Z, Х»)], I'-n(Z' у)}.
(3.2.15)
Здесь следует рассмотреть две ВО3МО НОСТИ:
1. Если P-п(У' х) P-R(Z, х) < О, то из (3.2.15) по-
пучаем веравевство
IJ'R(X, y)<min{p-n(x, z), P-n(z, у)},
,
которое противореЧИТ транзитивности f.1 Я '
2. Если fJo n (у, х) р- в (z, х) > О, ТО, учитывая тран-
зитивность Р-п, Можно записать
P-В(У, X»I-LB(Z, x»min{p-n(z, у), f-1B(Y' х)},
ОТкуда сразу следует неравенство (.1 (у, х) > РОв (z, у),
p.п(Y, ж), инеравенству (3.2.7).
Твким образом, мы ПОR8З8ЛИ что при услОВИИ
Р- В (ж, у) > IJ- п (у, Х) иа неравевств '(3.2.6) и (3.2.7) Bы-
тевает веравенетво
Р- л (у, z) < (1он (у, х).
(з.2.16)
8.8j
ИВЧЕТitи! ОТНОПtЕItИR ЬРЕ" Д-h ·
JlоttТЕНий
126
Рассуждал 8uапоrйt.lllыM об аЗа
вытекает неравенство ) и (3.2.7)
f1л (z, х) < r- л (у, х).
(3.2.17)
Далее, пользуясь J:[еравенства IИ
P-в(У, z) mill {r- R (у, Х), (-Lл(х, z)},
fJ.B(Z, x»min{f-LR(z, у), fJ-R(У, х)},
из (3.2.16) и (3.2.17) получаем неравенства
I-'-B (у, z) > J-I-п (х, Z), flR (Z, х) f1 n (z, у),
-
которые, 1I:8К нетРУДНО видеть, противоречат неравен-
ствам (З.2.6) И (3.2.7). Этим противоречием завершается
ДОRвзательетво TeOpel\tIbl 3.2.2.
Напомним, что обычное рефленсивное и транзитив-
ное отношение на множестве Х называется квазипоряд-
ВОМ на Х, а антирефлективное, антисимметричное и
транзитивное отношение называется етроrим ПОРЯДНОlt!
на Х (СМ. Rвиrу (18]). Польэуясь этой терминолоrией
· и проводя авалоrию с обычными отношениями, Teopelrlbl
3.2.1 и 3.2.2 МОЖНО сформулировать следующим обравом.
т е о р е м а 3.2.3. Если fJ'R · uечеткuй пвааuпорядОR
на Ж1l0жестве Х, то fl - соответствующее н,ечеткое
отношение эквивалентности, а f.L' - соответствУЮЩllЙ
нечеткий ст ровий по рядок, па х.
3.2.2. Линейность нечетRИX отношений. важныыI
СВОЙСТВОМ заданноrо на множестве Х отношения пред-
Почтения является ero линейность. Отношение R на
Х называется J1,u1tеЙJi,Ь JН,t если ЭТИ?I отношением или
обратным к нему отношением связаны любые две аль-
тернативы данпоrо множества. Иными словами, при
линейном отношении на l\fHOiI,eCTBe Х нет не сравни-
мых между собой по предпочтению альтернатив.
Нетрудно понять, что линейность обычноrо ОТНО-
.шения ЗR8ивалентна условию
R U п- 1 :..: Х Х Х,
128 пРкдnоta'rЕиlili iiA Ш!ОЖЕСТВЕ АnЬТЕРНАТИП trл. j
rдв я.- 1 обратное 1( R ОТllоmеs:ие. Иначе 8ТО УСЛоВие
можно записать в следующем виде:
xRy yRx,
l'де R дополнение R в Х Х Х t ИЛИ С помощью харак-
теристических функций
п (х, у) О => п (у, х) 1.
в случае нечеткоrо отношени я одпозна но МОЖНО
определить лишь полное отсутствие л!неиности: не-
четкое отношение f1R не является ливеиным тоrда и
u
тоЛЬКО тоrда, коrда паидутся такие альтернативы
х, у Е х, для которых выполнено равенство
fJ'R (х, у) f1R (у, х) - О,
rAe [ п (х, у) функция принадлежности данноrо нечет-
Koro отношения.
.
Свойство же линейности нечеткоrо отношения можно
попимать более ШИрОНО, чем в случае обычноrо отноше-
ния, в силу Toro, что функция принадлежности TaKoro
отношения может принимать кроме О и 1 любые про-
иежуточные значения. Польвуясь ЭТИМ, можно ввести
u
повятие степени линеиности отношения.
О п р е Д е л е н и е 3.2.1 [39]. Пусть л r неноторое
число из интервала [О, 1 J. Нечеткое отношение fJ-Л
называется A-линейныl,' если ero функция принадлеж-
ности удовлетворяет условию
тах {tJ- R (х, у), (1п (У, х)} > Л
при любых х, УЕ х.
Таким обраэом, если Н. о. п. является например
О 7 .. "
, u-линеиным, то из каждых двух альтернатив по край-
неи мере одна не хуже друrой СО степенью, большей 0,7.
Рассмотрим еще один вид линейности нечеткоrо
от нъшеиил, которым будем пользоваться в дальнейшем.
п р е Д е л е н и е 3.2.2 [39]. НечеТRое Отношение I-"п
называется. СUЛЫlО лuн,ейnым., если ero функция при-
надлежности удовлетворяет условию
шах {(ln (х, у), fJo R (у, х)} . 1
при любых х, у Е х.
з.2]
127
Иначе свойство сильной лин u
лИТЬ следующим образом: еипости можно опреде-
(-1в (х, у) > iLB (у, х) :> iL R (х, у) 1
при любых х, у ЕХ.
Чтобы пояснить смысл свойства силь u "
нои линеиности
покаже:м, что оно эквивалентно условию '
(-1в(Х, у) . . 1 1l (Y, х) VxYEX, (321(\
. . и)
rде p. - соответствующее нечеТRое отноmени
е CTpororo
предпочтения. Действительно, если выполнено (3.2.18),
то по определению (.LR B получаеf\.I ,t' (у х) О т
rR' ,. е. уело-
вие (3.2.19) также выполнено. Обратно, если выполнено
(3.2.19) и (-1в (х, у) > IlB (у, х), то Il (у, х) , О и
1-"в (х, у) 1, т. е. выполнено (3.2.18).
Обратимся теперь R условию сильной линейности
в форме (3.2.19). Нетрудно попять, что ero можнО запи-
сать в виде
НЕЧЕТRИЕ ОТНОШЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИй
(3.2.18)
R- 1 (Х Х Х) 'R', 3 2 2
" ( . . О)
rде R-l . - обратное :к R нечеткое отношение, а R' соот-
ветствующее R нечеткое отношение CTpororo предпо-
чтения.
Смысл же (3.2.20) можно пояснить следующим обра-
ЗОМ. Если, например, альтернативы х и у таковы, что х
cTporo лучше (предпочтительнее) у (х у) со степенью 1,
то (у, х) (f R- 1 , т. е. у);;: х ни с какой положительной
степенью. Если же хн-.у, то (у, x)EB-!' Т. е. y';rx
со степенью 1. Если, наl\.онец, х t- у со степенью а, то
со степенью 1 . r:1. выполнено пр дпочтение у ';r х. Таким
образом, по своему смыслу сильная линейносТЬ Б наи-
большей степени аналоrична СБОfiетву линейносТИ обыч-
JIOrO отношения.
... t:.
Лепю видеть, что из определения сильноИ линеll-
ности следует, что при сиЛЬНО линеi ном нечеткОМ отно-
шении R на множестве Х для люоыХ двух альтерна-
тив Х 1 ' Х 2 выполнено по крайней мере одно из равенстВ
(-1в (х 1 , xJ : 1, (-1в (х 2 , Х 1 ) . 1.
u нечеТКОI'О отно-
Еще одно свойство сильно линеИIlоrо
шенин состоит 1J TOl\I, что соответствующие ему вечет-
228 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА мноЖЕсТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [rл. д
lСИВ отношениЯ Rl и R- совпадают. Действительно,
опустим, что для некоторОЙ пары (х, у) Е х ВЫпол-
:ено "'в(Х' у) "'B (у, х). Тоrда из определения 3.2.2
следует, что Р-В (х, у) . 1, а из определения p. полу-
чаем ,.. (х, у) - · f-LR (у, х). В силу симметричности p.
в случае Р-В (Х, у) Р-В (у, х) имеем f1 (х, у) Р-П (х, у)
и, следовательно,
P- (х, у) min {JJon (х, у), Р-В (у, х)} . f1л (х, у).
В дальнейшем мы будем пользоваться двумя типами
линейноСТИ He1JeTRorO отношения: О-линейностыо, 1<0-
торую будем называть слабой, и сильвой лииейностыо.
I{aR следует из определения 3.2.1, слабую линейность
МОЖНО определить и следующим образом: Н. о. п. Р- п
118 Х называется слабо линейным, если оно обладает
свойством
Р-В (х, у) О => РОВ (у, х) > О
ПIJИ любых Ж, у Е х.
в заключение данноrо раздела приведем для ИЛJIIО-
страции прос е прим:еры IIечеТRИХ отпошеНИЙ1 обла-
Д810ЩИХ линеиностью различных ТИПОВ. Будем считаТJ>
что множество Х состоит иа четырех элементов '
1. О,5-лunейн,ое neчeткое отШJшеnие: ·
1 0,55 0,6 О
'1. (х х) ас _.. О 1 0.3 1
rn 4' J 0,2 0,6 1 0.4 ·
0,8 1 0,7 1
2. Сильно линейное отношение:
1 0,2 1 О
P.R ($,. X J ) t t 1 0,5
О 0,8 1 1 ·
1 1 0,3 1
3.2.3. Нечеткое поди'
терВ8ТИВ. Обратимся тевожество ведомипируемых 8J1Ь-
выбора альтернатив иа 1\1 перь I( задаче рациональноrо
нечеткое отношепие пр HO)ICeCTBa Х, на котором задано
"ан уасе rОВОРИJlОСЬ в едпочтепия f.Lч: Х Х Х [О, 1].
чае, коrда ИВФормаци в:едевии 1( данной rлаве, в слу-
ситуации прииятия решений
з.21
НЕЧЕТl\ИЕ ОТНОШЕI-II-Ifl IIРЕТJ,ПО
,. ЧТЕIIИй
129
.
описана в форме обычноI'О ОТношения
рациональным естественно СЧИтать выбор 1I : п::еRИЯ,
:мЫХ альтернатив. МатематичеСRИ така Д цируе-
я задача Сво-
ДИТСЯ R выделению в заданном МножеСтве Х по
)иества педоминируемых альтернатив. дмно-
В этом разделе мы сделаем попытку прим
б u енить по-
дО НЫИ подход R задаче принятия решений при нечетко
описанном ОТIIоmении предпочтения }Ia множестве аль-
тернатив. При этом мы рассмотрим сначала задачи
в нотОрЫХ само мношеСТБО альтернатив Описано четко:
Т. в. на" обычное МНШ-I-\ество, а затем обратимся к более
общему случаю с вечет:ким множеством альтернатив.
Итак, пусть Х - обычное (четно описанное) МНО-
;кеетво альтернатив и f.L n задаНI-Iое на нем нечеткое
отношение пестроrоrо предпочтения. Пусть, RрОЬiе
Toro, f.1 соответеТВУIощее f-t п tlечеткое отношение
CTpororo предпочтения, введеПIlое в п. 3..2.1. Попытаемся
определить ПОДМIIО)-Rество I-Iедоминируе1\tIЫХ альтерна-
ТИВ множества (Х, ,....8). Заметим, что поскольку исход-
ное othomeI-Iие предпочтения IIечеткое, то естествеИIIО
Оi«идать, что и соответствующее подмно)нество недо-
минируемых альтернаТI1D окаiI\ется IIечеТI\ИМ.
Предполаrаемое ПI }I\е определение ПОДl\IНОil\ества
llеДОМИIIируемых альтерIIRТИВ опирается на слеДУIО-
щие р ассу>(,деI-I ия . СоrЛ8СНО определеlIIIЮ отношеНllЛ
f1 п , для любых альтернатив х, у Е х величина fl (х, у)
есть степеlIЬ, с I{ОТОРОЙ альтернатива У ДОJttIИНIlруется
альтернативой х. Следовательно, при фИI\сироваНlIОМ
у Е х определенную на Х ФУНИЦJfЮ f1 (у, х) АIO}I(НО рас-
емаТрИJзать }(8.I, ФУНI{ЦИЮ ПРI11-Iадлеil\l!ОСТI'I IIечеткоrо
МIIОiI(естпа «всех» альтерI-Iатив Х, ](оторые строто ДО1\fИ-
J!ИруIOТСН альтернативой у. Пусть, например, степень
принадлежности альтернативы ХО ЭТОМУ множеству
(соотnеТСТВУIОlцему I1еноторому фиксированному у)
равна 0,3. Это означает, 'Что ХО ДОМИlIируется альтерна-
ТИВОЙ у СО етепеIIЫО 0,3..
НвтруДно ПОIlЯТЬ, ЧТО множество «всею) !льтерна-
ТИВ х, которые не ДОМИ]{ИРУIOтся альтернативои у, пред-
ставляет собой дополнеlIие в Х введеНl-Iоrо множества
f-L (у, х). СоrЛnС1l0 определению дополнения (п. 1.1.2)
i} с. А. ОРЛОПСlfиft
130 ПРЕдпоЧТЕНИЯ НА мноЖЕстВЕ АЛЬТЕРНАТИ1З [rл. з
получаем, что это новое нечеТRОО множество описыва-
етсЯ фyuвциеi принадлежносТИ вида
1 . - p. (у, ж), х Е х. (3.2.21)
Если, например, РОВ (у, ж) - - 0,3, то со степенью 0,7
u
альтернатива :е не домииируется альтернативои у.
Теперь ясво, ЧТО дЛЯ выделения- в Х подмножества
«всех» альтернатив, :каждая из ноторЫХ не домипиру-
етеn ни одной альтернативой из )(, НУЖНО взять пере-
сечение нечеТRИХ множеств вида (3.2.21) по всем у Е х ·
Это пересечение мы и назовем нечетIШМ подмножеством
недоминируемых альтернатив и обозначим ero p. 1I;..
Соrлаеио определению пересечения нечетвих мно-
жеств (п. 1.1.2) получаем следующее выражение для
функции принадлежностИ этоrо множества:
p. .Д. (х) - inf [1 fJ- (у, х)], х Е Х,
уЕХ
или
p. .l1. (ж) 1 . sup JJ- (у, х),
gEX
Опр еделение 3.2.3 [39]. Пусть Х множество
альтернатив и Р-В заданное на нем нечеТRое отношение
предпочтения. Нечеткое под.мnожество nедо.:мО:llи руе.мых
альтерпатшJ множества (Х, Р-В) описывается ФУНRцией
принадлежности (3.2.22).
Значение p- .Д. (х) представляет собой степень, с ROTO-
рой альтернатива ж не домииируется ни ОДНОЙ из альтер-
натив множества Х. Пусть p- .Д. (ж о ) а. для некоторой
альтернативы ж Тоrда а;
О. о может домииироваться дру-
rдИМйИ альтернативами, но со степенью не выше 1 а.
в ствительво, при этом
еир p. (у, Ха) :' 1 - о:
IIЕХ
И, следовательно .t 8 (у \./' 1
'rR , Х О } а для любой альтерна-
тивы УЕХ.
Польsуясь определением иечеткоrо
ветрудно повазать, чт о отношения f-LB,
жЕХ.
(3.2.22)
(3.2.23)
В.I]
SJ!:ЧЕТНИЕ ОТНОШВния ЦРЕДпочтений
131
при любом :z Е х. Дейс.твительно, пусть а: е х _
ВОJIЫIО выбраниая альтернаТива BBe" 1 - ПРОИ8
· Ш МИо ества
Уl ( ) - & {у I у Е Х, (-LB (у, а:) > fJo в (:t, у)}.
(х) {у I у Е Х, (-1в (у, х) < (-1в (ж, у)}.
tIользунсь тем, что Yl (х) U у2 (х) . с Х при любом х Е Х.
запишем (3.2.23) в слеДующей форме: '
вир f-L (у, х)
,еж
_..: шах { вир p. (у, х), sup p. (у, х)}. (3.2.24)
иЕ Yl(.z) УЕР(:С)
Далее, опираясь на определение f1 , получаем из
(3.2.24)
вир fL (у, х) -
уЕХ
:. шах { вир [f1 R (у, х) - f1 (ж, у)], О}
UEYJ(z) R
шах { sup [Р- В (у, х) Р- В (х, у)],
УЕ J1($}
вир [f1 B (у, х) (-LB (х, у)]} _
J'EJ72{z)
- · sup [(J-R (у, х) ('-в (х, у)].
уЕХ
Равенство (3.2.23) позволяет описать подмножество
недомипируемых альтернатив функцией принадлеж-
НОСТИ вида
f1:. Д . (х) - I 1
sup [Р-В (у, х) - Р- В (ж, у)], (3.2.25)
иЕХ
rде f1 B . исходное Н. о. п. на мвол<естве х. Выражение
(3.2.25) можно рассматривать как способ обработки исход-
ной нечет:кой информации, заданной в форме Н. о. п. (-LB,
ДЛЯ выделения в Х ПОДl\fножества недоминируемых
альтернатив.
ПОClЮЛЬRУ величина ('- .Д. (х) есть степень «недомини-
руеАfОСТИ» альтернативы %, то рациональным при задан-
Ной нечеткой информации естественно считать выбор
альтернатив, имеющих по возможности б6льшую сте-
ПеI-Ir принадлежности нечеТRОМУ множеству р.:-Д., Т. е. тех
.
9*
..
fЗ2 ПРЕДIIочтgSIiЯ НА мноЖЕсТВЕ АЛЬ'l"ЕРИА'l'Ив [rп. э
anьtepua'1'10J, tWТOpьte даюТ зв:ачеltltе фУН:КЦЙИ IJ-='A, (х),
ПО возможuости более близкое к величине
sup р.в.д. (х) - 1 - - inf sup [f-LR (у, х) - fJoп (х, у)].
EX R $ЕХуЕХ
АльтернатиВЫ, дающие в точности эту величину,
т. е. элементЫ множества
х н . д . - {х I х Е х, р.:.Д. (х) р.:'Д. (z)},
мы будем называть аксимальными недоминируемыми
альтернативами множе тва (Х, РОв).
при} :&1 е р 3.2.1. Пусть в Rонечном множестве Х {Хl1
%и, Хв, Х4 задано П. о. п. вида
I Хl
%2
Ха
Х4-
v
f..LЯ(Хit Zj)
Хl 1 0,2 0,3 0.1
Xz 0,5 1 0,2 0,6
Ха 0,1 0,6 1 0,3
Х4 0.6 0,1 0,5 1
Польвуясь введенIIыми выше определениями, получаем
I Хl
Х2
Ха
Х&
.. rzz
p. (Zi' Xj)
Хl О
Х2 0.3
Ха О
х, 0,5
о 0,2 О
О О 0,5
0,4 О О
О 0,2 О
и
%1
Х2
Ха
х"
р.И' д. (х,) - 0.5 0,6 0,8 О 5.
Отсюда видно, что паибо.л ·
рав ую 0,8, имеет альте па ъmую степень недоминируемости,
решения следует счита тива Ха, поэтому выбор ее в Rачестве
BReMoro подхода. рациональным в paМRax рассматри-
3.2.4. Четко не о
свойСтва. В этом С минируемые 8Jlьтернативы и их
циопальноrо выбора8вделе мы рассмотрим задачи ра-
альтернатив., в которых MHO'-!-te-
9.2)
НЁЧЕТ1\ИЕ ОТНО1ПЕНИ'" n .
п РЕДПОЧТЕRИn
iЗЗ
етво недоминируемых альтерnа'I'
1tормальное нечеТRое ПОДмнож :ив представляет собой
ФУНl{ЦИЯ принадлежности этоr ество множества Х, Т. е.
свойством о ПОДмножества обладает
sup r- И . Д. (х) - 1.
хЕХ R
В ЭТОl'fl случае ДЛЯ любой альтерн
Х Н д ативы х ИЗ множе-
ства .. маКС.,Iмальных неДО lинируеЬ:IЫ
выполнено f-1И. д. (х) __ '1 х альтернатив
......В , т. е. степень недоминируе:мости
любои такои альтернативы равна 1 И
б .. · ными словами
ДЛЯ лю ои х Е ХН. д. 11 любой альтернативы Е х п
ЭТО I выполнено равенство ,t S (у х) О т у р
r Н' ,. е. ни одна
альтернатива не ДО II1НИРJтет с полол-сительной степенью
данную альтернативу х.
Имел это в виду, тав:ие альтернативы мы буде (
называть чеТRО неДО IинируеftlЫ IИ (Т. е. со степенью 1
н едоминируеы1ми)) ИЛИ, СОRращенно, ч. Н. д. альтерна-
тивами, а MHOi-I<ество ч. Н. д.. альтернатив будеl\I обозна-
чать Хч. Н. д.. ТаRИl\i обра30 f,
ХЧ.Н.Д.
{х I х Е х, f1 .Д' (х) 1 }.
Отметим, что ч. Н. д. альтернативы представляют осо-
бый интерес в анализируемых здесь задачах рациональ-
Horo выбора, поскольку шожес.тво х ч . }[.;II;. можно рас-
.
сматривать как в не:которо:м смысле четкое решение
нечеТRО поставленной задачи. Разумеется, не всякая
задача имеет такое решение; некоторые достаточньrе
условия ето существования будут сформулированы
в следующем разделе. Здесь же мы изучим некоторые
u
полезные своиства ч. Н. д. альтернатив.
Рассмотрим сначала вопрос об эквивалентносТИ
'Ч. н. д. альтернатив. Отметим прежде Бсеrо, ЧТО ЭТОТ
вопрос весьма важен в задаче рациональноrо выбора.
Как следует ив приведенноrо ниже равенства (3.2.26),
ч. н. Д. альтернативы мотут быть сравнимЫМИ лишь
по отношению кваЗИЭRвивалентноСТИ. Если они не экви-
валентны друr друrу, то для обосиованноrо выбора
конкретной альтернативы необходимо привлеRать до-
полнительную информацию, внешНЮЮ по отношению
к изучаемой математическоЙ модели.
!З4 ttр1tДnОЧfЁsJtIt НА АШошвствв АJ11Ir.8РiiАТЙ:В !rJl. j
.
с друroй сторопы. если вее ч. 11. д. аJIЪтер:в тивы
8lCВИВ8лввmы друт друту со степенью 1. t ТО такои ин...
формации ие требуется и босповаввШl (р!циопа.пь--
ПШl) является выбор любои иа них. В деиствитепь-
ПаСТИ этот случай означает, что в рассматриваемои
модели уже имеетСя ивфориацж я , достаточная ДЛЯ
рациоиалъпоrо выбора конкретной альтернативы.
Эквивалентность ч. Н. д. альтернатив с попожитеJIЬ",
вой степенью, :меньшей 1, проиежуто'ЧНая си уа..
ЦИН, в которой для обосноваввоI'О выбора НОПRрет:в:ой
альтернативы требуется привле:кать меньше дополни-
тельной информации по сравнению со случаем полной
веаквивалевтиости ч. Н. д. альтернатив. Заметим, что
11 этом смысле минимальную степень ЭRвивалентноети
"l. В. д. альтернатив МОЖНО рассматривать :как некоторую
херу ROlIJrleCTBa имеющейся в задаче информации, не-
обходвиой ДЛЯ рациональноrо выбора коикретной
аJlьтернативы.
Квв следует из определений множеотв ХЧ.В. д. И 'Lв.д.
б rR ,
ДЛЯ пю ой ч. Н. д. альтернативы (любоI'О - Х Е Хч. Н. д.)
выполняется равенство
sup и в в (у, х) ' О, (3 2 26)
IIЕ.I' r · ·
в котором p. соответствующее Р- в печеТRое отношение
CTpororo предпочтения. Отсюда можно заключить, что
для любых 2:1' Ж 2 Е х.,. В. д. выполнено
РОВ (Х 1 , Ха) · РОВ (Ха' xJ =. о.
Иа определения f-L B следует, что равенство
эквивалентно равенству
f-L B (%1' :&2) ' · f-LB (Zi' Х 1 ),
(3.2.27)
(3.2.27)
80 тоrда
p. (Zt, Ж.) тах 1 .
2'. е. любые две п и
б . · д. 8nьтеРП8Т
Вием еаразпичил со сте ИВЫ свяваны отпоте-
По определению неч: енью , не меньшей 0,5.
ТRoro ОТНошения и" получаем
р.' (а: % . rR
ДМ любых Х 1 ' %2 Е Хч. В. д. .
3.2]
НЕЧЕТ:КИЕ ОТНОШЕНия ПРЕДПО'ЧТЕНИй
135
При произвольном Н. о. п 11. МОЖ8'" oи8.
· 'п .... '" аа'lЬС8 , Ч!О
Р-в (:1:1' :/;2) о при Х 1 , Е х ч . 11. Ц., Т. е. ч. н. д. альтер-
натИВЫ MoryT не быть ЭRвивалеНТНЫftiИ ни с RОVJОЙ
U 3 OO
ительнои 1степенью. аметим, что в ЭТОМ случае
Р-В (3;., Х 2 ) · , т. е. Х 1 и Х 2 определенно не сравнимы
друr с дpyroM. Однано это не так, если р. обладает
u u ( В
СВОИСТБОМ .. линеиности см. п. 3.2.2). Рассмотрим два
типа ливеииоети Н. о. П., введенные в п. 3.2.2.
1. л -л и н е й ное н. о. п. РОВ. Если i1п л-линейно
и Х 1 ' Х 2 Е х ч . В. д., то иs определения л линейности и из
равенства (3.2.28) следует, что
f1 R (X 1 , Х 2 ) > J..
иныии словами, при л-линейном Н. о. П. Р-В любые две
IJ. Н. д. альтернативы эквивалентны со степенью, боль-
шей л. В частности, при слабо линейном н. о. П. (1н любые
две ч. Н. д. альтернативы ЭRвивалентны с положительной
степенью.
Как уже отмечалось выше, величину
l ; inf P (X 1 , Х 2 )
ZIJ $:zf=Х Ч . Н. д.
u
l\1.0ЖНО рассматривать как меру количества имеющеИСR
в задаче ИНфОР Iации, необходимой для однозиачвоrо
выбора альтернатив. 3амеТИ I, ЧТО эту же величину
u '-'
можно считать и мерои линеиности Н. о. п. (.LR' ПОСRОЛЬКУ,
:как будет ВИДНО ниже, ДЛЯ сильно линейноrо Р-В она
равна 1, Т. е. своему максимальному значению.
2. С и л ь н о л и н е й н о е Н. о. п. f-'-R. Если Н. о. п. r-s
сильно линейно и Х 1 ' Х 2 Е х ч . Н. Д", ТО из определения
сильной линейности и из равенства (3.2.28) следует, что
r-;l (Х 11 Х 2 ) = 1,
т. е. любые две ч. н. д. альтернативы эквивалеНТl1Ы со
степенью 1 (т. е. определенно ЭRвивалентны). Это озна-
чает t что выбор любой из НИХ ЯВ'плетел обоснованным
в данной задаче.
Таним образом, сильно линейное Н. о. п. 1-'-8. такое,
что в МНQжестве (Х, f-'-п) имеются ч. н. д. &nьтернаТИQ1;d J
136 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ Сrл. з
содержит в себе всю информацию, достаточную ДЛЯ
РlЩИОН8.nьноrо выбора нопнретвой альтернативы.
ч. Н. д.. альтернативы, соответствующие сильно ли-
нейному Н. о. п. fL R , обладают еще и следующими важ-
u
ными своиствами.
т е о р е м а 3.2.4. Если Р-В - СUЛЫlО .линейное н,. о. п.
на .множестве х, то для любой альтеРllа1ТШвы х о Е Хч:.u.д.
равенство P-н(Х о ' х) - 1 выпОЛ1lяется для дюбой альтер-
uaтaвьt z Е х.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Допустим, что при некотором
х' Е х выполнено неравенство
l1л (3:0' х') < 1.
Тоrда из определения сильной линейности (п. 3.2.2)
получаем, что f1 R (x', .то) 1. Из этих двух неравенств
заключаем, что fL (х', .то) > О, а это невозможно, по-
СRопыrу :СО Е Хч. Н. д..
Теорема 3.2.5. Если Р- В - CUЛЫlО Лunейnое тра1l-
зuтштое Н. о. п. па МНожестве Х и у ff Хч. В. д. то
11; (.т, у) > о для любой альтернативы х. 1
Доказательство. Если у(fХ Ч . н . д ., то r- .Д.(У)<1.
Отсюда, пользулсъ определением fl:. Д ., l\fОЖНо заклю-
чить, что найдется таная альтернатива z Е х u
, для .кОТорои
fl (z, у) > о. (3.2.29)
Допустим, что ДЛЯ некоторото х Е Хч. Н. д.
равенство ВЫПОлнено
p. (3:, у) , = о. (3.2.30)
Кроме тoro, ПО определению ч
место равенство 'L8 (у ) о. Ни. д. аЛьтеРнативы имеет
rл , Х . 3 ЭТИХ Д
из определения ОТНОшения 8 вух равенств,
линейности З8НЛЮчв f1 л И при условии сильной
ем, что
fJ.H(Y, 3:) - - f1 (a:, y) - 1.
ПОСRОЛЬRУ f1 R траН3ИТlfВЛО ПО
ОТНОшевие J1" ТОЖе Тр УСЛОВию теоремы, то
R ав:зитивно (теорема 3 2 2) О
.. · ТСЮД8,
(3.2.31)
з.2]
НЕ"LIЕТl\ИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕ
ДПОЧТЕНИИ
131
uольsуясь допущением (3.2.30) и не
получаем равенством (3.2.29),
O m in {I1 (x, z), p. (z, у)} vzEX,
Т. е. p. (z, у) О при любом z ЕХ, а это противоречит
(3.2.29).
По сути u дела, теорема 3.2.5 утве-рждает, что и
сиЛЬНО линеином транзитивном н о п tt Л 6 пр
· · · ' H Ю ал ч. Н. д.
альтернаТбва CTporo с положительной степенью домини-
рует nю ую альтернативу, не входящую в множе-
ство х ч . и. д. .
с л е Д с т и е и з т е о р е м ы 3.2.5. ЕсJШ п. о. n. tJoB
сильu? лииеuио и траизитивuо, х о Е х ч . и. д. и для nеко-
то рои альтернативы х Е х вы.nолnяeтся условие
t-'- (х, :'Со) . 1, то х Е х ч . в. Д. ·
Доказательство. Из Toro, что P-В(Х, х()) ' 1,
вытекает, что f1 (Х О ' х) - О. Отсюда получаем, ЧТО
х Е х ч . В. Д,, поскольку в противном случае из теоремы 3.2.5
следовало бы p. (:СО' х) > о.
Это следствие и теорема 3.2.5 позволяют утверждать,
u
что при силЬНО линеином транзитивНОМ н. О. п. r-B на
множестве Х ч.н.д. альтернативы составляют класс
эквивалентноСТИ со. степенью 1, причем любой эле-
u
мент ЭТОI'о класса доминирует с положительнои сте-
пенью любую альтернативу, не :входящую в этот
класс.
3.2.5. У словил существоваНIIЯ четко ведомииируе-
мых аЛЬ'I'ериатив. l\rlbl сформулируем здесь условия
существования ч. Н. д. альтернатив двух типов. В усло-
виях первоrо типа заданное н. о. п. не предполаrается
транзитивным, однако на фуНI{цию принадлежности
ЭТОI'о Н. о. п. и на само МlIол{ествО альтернатив Х наRла-
дываются некоторые тополоrические условия и требо-
вания выпУКЛОСТИ. -Условия BToporo типа будут сфор-
мулированы лишь для копечноrо множества Х и тран-
8итивиоrо Н. о. п. f1R 8
U
Прежде чем переходить R обсуждению условии
nepBoro типа, введем некоторые вспомоrательные опре-
деления.
Н НА мнОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ [rл. з
138 првдпо ЧТЕН l'1
( ZO О) Е х называется седJl,080и mочпой фУВН-
Пара , аI(СИМУМ по Z, минимум по у), если при
любых %, У о
f (:1:0, у) f (жО, уО) fP (z, у). (3.2.32)
п, ЕCJIИ (:сО, уО) и (zl, yl) две седловые точки ФУIШ-
и ,(:с, у), то (х О , yl) И (x 1 , уО) тоже седловые ТОЧRИ
8ТОЙ функции И, кроме Toro,
,,(х О , уХ) . f (%0, уО) f (з:1, yl) - ер (з:1, уО). (3.2.33)
Это равенство непосредственно вытекает из определе-
....
пия седловои то'Ши.
Функцию fP (:с, у) будем называть аnтисu.м,.метрuчnой,
если при любых :е, у Е х выполняется равенство
f (:е, у) ;-. f (у, :с).
Ниже мы будем опираi'ЬСЯ на следующие свойства
8втисимметричиой Функции.
Если (ж О , уО) с едлова я точна аитисимметричной
функции f(:C, 1/), то (з:0, х О ) и (уО, уО) тоже седловые
rочки 8ТОЙ функции. Действительно, по определению
седповОЙ !ОЧRИ имеют место неравенства
,(:сО, zO) ;;;нр (:сО, уО) ер (уО, у"). (3.2.34)
. С ,цруrой сторопы, используя это определение и анти-
сим:метричность функции ,(:с, у), МОЖно записать
f (:сО, :сО) -< f (у О , х О ) ч> (УО, уО). (3.2.35)
ИЗ (3.2.34) и (3.2.35) следует, что
ff (хО, а: 0 ) ,(а: О , уО) ч> (УО, уО),
а конец , поскольку фуВRЦИ () , ·
и то же зuачение во я , Х, у принимает одно
Получаем всех своих седловых точках,
ер (zO, х О ) - - = Ч' (хО,:сО) О,
Т. 8. В любой седловой точ
вой ФУИВЦJlИ равно и Re ЗначеНие антисимметрич-
Об улю.
раТИNСЯ теперь R с
альтернатив в МlIожеств ;овилм существования ч. н. д.
с заданным в нем Н. о. п. (JoR.
..
3.2]
НЕЧЕТ}{ИЕ ОТНОIIIЕНия ПРЕДПОЧТЕНИй
139
Пусть х Е х Ч. Н. д. альтернатива в МножестВ9 (Х _ \
Со . , P- lU -
rласuо опр еде лению зто означает, что
,...:.д. (х) 1 - : [р,в (у, х) · Р- П (ж, у)] -= 1,
Т. е.
: [Р- В (у, х) Р-В (х, у)] О Р- В (х х) РОв (х, х).
Отсюда получаем
Р- В (у, х) f1 п (х, у) < о (3.2.3В)
при люБО 1 У Е Х. ПОСRОЛЬКУ [fl R (у, х) f1 R (х, у)]
антисимметричная функция, то из (3.2.36) можно заклю-
. чить, что пара (х, х) - седловая точна этой фynRЦИИ
(максимум по у, минимум по х).
Верно и леrко проверяемое обvатное утверждение:
если пара (х, х) . седло ван точка ФУНRЦИИ [f1R (у, 'х) .
(-'-в (х, у)] на множестве Х Х х, то х - Ч. Н. д. альтер-
натива в множестве (Х, Р- n ).
Таким образом, справедлива следующая
т е о р е м а 3.2.6. Ес.л;и Р- п : Х Х Х ---+ [О, 1] М.. о. п.
па оМ,uожестве альте рпатив Х, то Ха f х ч. 1/,. д.
аАьтерuаrrшва в .мпО.жестве (Х, !..L R ) тО2да l тОАЬКО
тО2да, li,oeaa пара (Х О ' Х О ) седловая тОЧ1f,а' фуuхцuи
[Р- В (х, у) f-1B (у, х)] (.маКСll.;м,у:м по Х, MllUUlttYM по у).
Из этой теоремы и отмеченных выше свойств апти-
симметричной функции непосредственно вытенает сле-
дующее
С л е Д с т в и е. ЭлеJtf.епты 3 O' У О Е х являются ч. u.-д.
альтер1tа тZlBaЖll в .;киожест,ве (Х, f1R) товда и только
тоеда, 1toeaa пара (3:0' уо) седловая точка фуикцlШ
rP-n (х, у) - f-1n (у, х)] (.ма1\Сll.му.м по х, .мипимум, по у)
е мuожестве Х Х х. _
118 теоремы 8.2.6 следует, что любые условия, доста-
точные для существования седловой: ТОЧ функции
[РОВ (х, у) I1в (у, х)) на множестве Х Х Х, \;- достаточны
и для существования ч. Н. д. альтернатив в fножестве
(Х, (.18). Различные достаточные условия существования
седповой точки иsлаrаются во мпоrих моиоrрафИJlХ по
140
ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА мнОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
Сrл. з..
I
J
I
теории иrр (см., например, [35]). Для иллюстрации при-
ведем здесь следующие относительно простые условия.
т е о р е м а 3.2.7. Если -множество Х выпукло и кО.м.-
пaKтH0 1 фуихция fJ'B (х, у) непрерьzвна на тихоновеко:м
проиаведeuии ХХ Х, к,вазuвоzнута по х при любо-м у Е х
и квазивыпУ1f,ла по У при любо,м х Е Х, то эта фУ1-l ция
имеет по крайней .мере одну сед.ловую точку в :М1l0же-
стве Х Х Х и, следовательно, в -множестве ( Х , f1 B )
имеется по крайней .мере одна ч. п. д. альтерпатива.
Напомним, что фуннция ер (х) называется RваSИВОI'НУ-
той, если множество {xfxEX, {х»л} выпукло в Х
при любом л > О, и Rвазивыпуплой, если множество
(z I z Е х, (х) < л) ВЫПУRЛО при любом л > о.
в заключение этоrо раздела сформулируем простое
достаточное условие существования ч. Н. д. альтернатив
в множестве Х с заданным на нем транзитивным н. о. п.
f1п (условия второто типа). Для этоrо введем в мно-
жестве Х обычное отношение вида
S {(х, y)Jx, УЕХ, f1 (x, у»О}.
Летко убедиться в том, что если н. о. п. f1п транsи-
ТВВНО, то S антирефлексивно и транзитивно И, следо-
вательно, конечное множество (Х, S) содержит альтер-
ДЛЯ ЭТОЙ альтернативы получаем
f1 (у, х о ) о
при любом у Е х, и поэтому х Е X'J. П. д. т
мы получили слеДУЮщее о · аким образом,
т е о р е м а 3 2 8 В достаточное условие.
'Ны.м на нем тp и u u 1r. 1tеч1tом, м,1l0жестве Х с аадан,-
.., 81lЫМ 1l. о. п rL u.ме ...
неи .мере одна ч д · r R ется п.о ", раи-
3 · Н. · альтернатива
8метим, ЧТО из ЭТОЙ ·
следует, что транзитивнос::оремы и из теоремы 3.2.6
J Н. о. п. f.L ' доста
УОЛовие с уществова u п . точное
[ '1. (х) ( нил седлонои ТОЧ:ки Ф
rR t у Р-В у, :с)] в :нонечном УНRJ ИИ
При МНОН,8стве Х Х Х
ведем иллюстративный п ·
Н. о. п. в КОНОчном МНожеСтве Х. p Mep траJl3ИТИВНOl О
\
3.
\
JJ р и м е р 3.2.2.
из ПЦТИ алементов:
L
имеет J,ид
,
нЕЧЕТRИЕ ОТНОШЕНИя ПРЕД
ПОЧТЕНИй
141
Пусть множество альтернатив Х
х х СОСТОИТ
1 2, Хз, Х41 Xfj. Матрица Н. о. п. (J-п
t 1 0,7 0,8
0,5 0,5
О О 013 О 0,2
lLп (Х" Х j)
о 0,7 1 О 0,2
0,6 1 019 .
1 0,6
О О О О 1
Построим ма трицу соответетвующеrо He leTKoro отношения
OTpororo предпочтения:
о 017 0,8 О 0,5
. О О О О 0,2
f-L1l (Х, t Х j) .. о 0,4 О О 0,2
0,1 .
1 0,9 О 0,6
О О О О О
ФУНКЦИЯ принадлежности вечеткоrо множества
руемых альтернатив имеет вид
недомиви-
%1
%2
Ха
х,
Х6
.
f1 R <I д. (х) 0,9 О
0,1
1
0,4
Таким образом, в рассматриваемом множестве (Х, f-Ln) имееrrСfl
единственная Ч. Н. д. альтернатива Х4 (,....:. д. (Х4) 1). Заметим.
что эта ВJIьтернат.ива доминирует с положительной степенью
все остальные альтернативы, Т. е. ""'n (Х4' Xj) >0. j 1. 2.3,5.
3.2.6. СмеПI8нвое раСIПирение задачи ПРИВJlТИJl ре-
шений. Если требующиеся в теореме 3.2.7 условия
воrнутости-выпуклости функции I1R (х, у) не выполнены,
ТО в MHOiReCTBe (Х, Р-В) может, вообще rоворя, не б ть.
НИ ОДНОЙ Ч. Н. д. альтернативы или, что ЭIшивалентнО.-
предыдущему, функция [р.в(Х' у) ....В(у' х)] может
не иметь HII ОДtIОЙ седловой ТОЧRИ.
В этих случаях в теории иrр используется следую-
щий прием. Вместо множества Х рассмат:ривае я ero
раСUIирение ( (<выпуклая оБОЛОЧRЮ> ): :множество Х Бсе-
,
I
А мноЖЕстВЕ АлЬТЕРНАТИВ [1' · З
f 42 ПРЕДПОЧТЕНИЯ в /
(
ве оятпоети (смешанных ,стр в-
rеrи на , {
фунКЦИЯ ./
(P, Q)
,(:с, у) dP (х) dQ (у).
:хх
определеНН8Я на множестве Х Х Х.
Значение Ер (Р t Q) новой фупвции при фиксирован.:-
ра спреwеJIениях Р (х) и Q (у) представляет собои
иых А 4 "ф ()
математическое ожидание значении унRЦИИ ер Х, у.
Интерпретировать такое расширение :можно, например,
следующим образом: величина ер (Р, u Q) представляет
собой среднИЙ «в иrрыm», получаемыи при MHorORpaT-
вых выборах етратеrий с вероятностями, соответствую-
щими распределениям р и Q.
«МатематическИЙ выиrрыш» от TaKoro раСПIирения
заRлючаеТСJl в ТОМ, ЧТО фУНRЦИЯ ер (Р, Q) билинейна на
множестве g Х Х и, следов.атепьно, ВОfПУТО- выпукла
и ]J том случае, нотда исходная функция ер (х, у) не
ЯВJIЯется таковой, и множество выпукло. Поэтому
... ..,
ДЛЯ существования седловои точии расmиреннои
функции Ф (Р, Q) на исходное МНбжество Х и исход-
ную функцию rp (х, у) достаточно 113ЛОЖИТЬ лишь то-
полоrичеСRие требования типа приведенных в теоре-
ме 3.2.7.
Мы JJОСпользуемся здесь этим приемом в задаче
выбора альтернатив. Пусть 1t множество всевоз-
можных распределений вероятности (смешанных альтер-
натив), предеJIенных па исходном множестве альтер-
натив х. Выбор распределения р Е х Mы будем ин-
TepпpeTиpoBaTь нан процесс мноrонратноrо выбора
альтернатив из множества Х с соответствующими ве-
рОятностями.
Если Р, Q Е 1t., то будем считать, что «8 среднем»
предпочтение р Q выполнеио со степенью
.
Р,в(Р, Q) - А f1л(х, Y)dP(x)dQ(y).
хх.
..
ФУПКЦИЯ f1 R . представляет. Собой расширение исходноrо
Н. о. п. РОв' на множество смешавllыx альтернатив х.
.
.
ОЛЬSУflОЬ теЬiИ же рассуждениями что 323
, и в п. . .
нетр но получить, что нече7кое множество не '
домини-
руем . смешанных альтернатив ОПИСJ:-1вается Ф ией
ирина лежностИ вида утщ
\
\
tIЕ"t.lЕТRИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
143
З.
p. ' Д. (Р) 1 Stlp [t-L R (у, х) t-LR (х, у) j dP (х) dQ (у).
QEr xx
Так же, как и в п. 3.2.3, пределим множество ч. п. д.
альтернатив Б множестве (Х, ii B ):
х ч . н . д . {Р I РЕ х, ii .A, (Р) 1}.
Теорему 3.2.7 ДЛЯ подобной расширенной задачи
можно выразить в следующей форме.
т е о р е м: а 3.2.9. Если :м.пожество Х ко.мnактnо,
фуn-,;,цuя f1R (3:, у) пеnрерывnа па тихоповСКDм. проuзве-
деnuи Х Х Х, то в .мuожестве (Х, Р-п) имеется по край-
ней мере одnа ч. n. д. аАьтерnатuва.
По отношению R исходной задаче смысл подобной
...
смешаннои ч. п. д. альтернативы можно пояснить сле-
дующим образом. Из определения ч. н. д. альтернативы
ветРУДИО ВRНЛЮЧИТЬ, что
[(1л (у, х) f1R (х, У)] dpo (х) О
хх
при любых у Е х и ро Е Xv.. П. д.. Это,- означает, что ВИ-
RаRая альтернатива У Е х не доминирует с положитель-
ной степеныо смешанную ч. Н. д. альтернативу. Иными
словами, в MBoromarOBOM (формально беСRонеlJНоmаrо-
ВОМ) процессе выбора альтернативы из множества Х
в соответствИИ с распределением ро (х) «средняя» (:м:а-
тематичес:кое ОJI{идание) степень доминирования выби-
раемых альтернатив альтернативой у Е х равпа нулю.
С л е Д с т в и е и в т е о р е м Ы 3.2.9. В nон,ечnом
.множестве альтернатuв Х с аадан,1f,ЫЖ па нем 1/,. о. n.
Р-В: Х Х Х -. [О, 1] (пeтpauвитиBпы,м" вообще еоворя)
u.м.еется по прайnей ;и,ере одиа с.мешаl/,Uая 'I{,. н,. д. аАьтер-
Н,атива.
..
,
144 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА мноЖЕсТВЕ .АЛЬТЕРНАТИВ
I
.
3.3. Несколько отношений предпочтения /
на миожестве 8дьтериатив I
РаССМОТРИМ теперь следующую задачу. Пурть за-
дано множество альтернатив Х и каждая альтернатива
характериsуется :несколькиМИ признаками с номерами
j {,..., т. Информация о попарном равнении аль-
тернатив по каждому из призпаRОВ J предстs.влена
в форме отношения предпочтения R j. Таким образом,
имеется т отношений предпочтения R j на множестве х.
Задача заключается в том, чтобы по данной информации
сделать рациональный выбор альтернатив из множества
(Х, R 1 ,..., R m ).
Обратимся сначала к проетейmей ситуации, Rоrда
отношения R j описываются заданными фУНRЦИЯМИ
полезности f j: Х --+- Rl, rде Rl = числовая ось. Зна-
чение фyпRции/ j (х) можно понимать нак числовую оценну
альтернативы х по прианаку j. Альтернатива с боль-
шей оцеНRОЙ f j (Х) полаrается более предпочтительной
по признаку j. Задача заключается в том, чтобы выбрать
альтернативу, имеющую по ВО8МОЖВОСТИ 66льшие
оцении по всем признакам.
Рациональным в этом случае естественно считать
выбор альтернативы хо Е х , обладающей свойством
fJ(Y»fJ(x o ), j . 1,..., т=>fj(Y) fj(x o ),
j 1,...,m. (3.3.1)
Тание альтернативы обычно называют эффективными.
решением же даиной задачи выбора является множе
ств н всех эффентивных альтернатив.
етрудно попять, что каждая иа фУНКЦИИ U f
вает о описы-
R J . " {(Х, y)I:c, УЕХ, fJ(x»fj(Y)}.
tn
Пусть Qt : n R n
J=1 J. ОЕажем, что множество всех эффек-
ТИВНЫХ (недомини емы
набора ФУИ!щИЙ f. J. 1 ективных альтернатив для
J' , · · ., т.
\
3. ]
НЕСRОЛЬНО ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
1! D
усть х о недоминируе:rvr8Я альтернатива в м но-
жест е (Х, Ql). Это Означает (СМ. п. 3.2.3) tIТO для
любо у Е х выполнено 1
\ (у, 3:0) tE Q , (3.3.2)
rде Q -\ соответствующее Ql отношение .стротото пред-
почтения, имеющее вид (см. п. 3.2.1)
Q {(х, уНх, УЕХ, fj(x) /J(Y)' j 1,...,т,
3jo: f 1 Jx»l io (Y)}.
Отсюда и из (3.3.2)
f j (у) f i (х о )' j
.
1 .
заключаем, что
. 1, ..., т f i (у) r
1, ..., т,
I j (х о )'
т. е. 3:0 эффективная альтернатива дЛЯ ФУНl\ЦИЙ 11'
j - 1,..., т.
Столь же просто ПОRаsать и обратное, Т. е. ТО, что
любая эффеRтивнал альтернатива для функций f j (Х),
j . I 1, . . ., т, является неДО lинируемой в множестве
(Х, Ql).
Таким образом, для нахождения l\fножества эффеR-
тивных альтернатив можно вместо набора отношений R l'
j 1,. . ., т, ввить пересечение этих отношений Ql
и найти множество ведоминируемых альтернатив в мно-
жестве (Х, Ql).
Представим теперь пересечение отношений R j в не-
СКОЛЬRО иной фОРlvlе. Пусть
.
P-j (3: t у) -
1 при (х) у) Е R i ,
О при (х, у) {tR j ,
(3.3 3)
фУНRЦИЯ принадлежности отношения R p Тоrда пере-
сечению этих отноmеНI1:Й соответствует функция при-
надлежности
P- Q1 (х, у) mil1 {f11 (х, у),. · ., ('-,n (х, у)}, (3.3.4)
аналоrичная свертке критериев f j вида
F (х) - min лjf j ,
i - l ..., ,п
10 с. А. ОРЛОВСRИЙ
/
246 ПРЕдпОЧТЕНИЯ НА мноЖЕсТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
отношений R.
J
п).
С нозффициентами Л. такими что i. · 1 '\ О
J ' I\) - , I\,. ,
. J=l J
J 1,. · ., т, получаем фуmщию ПРИН8длел-сноети вида
P-Qa (х, у) min {Л l 111 (:с, у), · . ", ЛтР-m (:с, у)}, (3.3.5)
т. е. функцию принад
предпочтения Н лежности нечеТRоrо отношения
.. ,800 ще rоворя не Ф
т. с. не является отн ' ре лексивно,
определения в п 3 2 1 пеннем предпочтения в смысле
при веобходим с;и. · e :TOМY CBep Ka (3.3.5) неудобна
важности заданных BO ра8 ИЧИИ в относительной
Ввепем шении.
'I-'t теперь свертну
roro вида: ИСХодных отношений дру-
применяе:м:ой в мноrокритеРИaJIЬ:НЫХ задачах при тия
решений (СМ., например, книrи (31, 33, 341). иела
А. в ЭТОЙ свертке иrраIOТ роль коэффициентов qrноси-
отношении (3.3.4»).} 1, J . 1,..., т, это соотв/тствует
тому, что все заданные отношения одинако:qЬ важно
учитывать при выборе альтернатив.
Если заданные отношения R J различаются по важ-
НОСТИ, Т. е. различаются по важности соответствующие
при паки, по которым нужно сравнивать альтернативы,
то в cBepTRe (3.3.4) можно, вообще rоворя, использовать
раВJIичные по величине коэффициенты А j" Однако при
...
ЭТОМ рассматриваемые в исходнои задаче отношения
предпочтения необходимо поrрузить в более широкий
Бласе вечет:ких отношений. Иными словами, в опреде-
лении функций принадлежности (3.3.3) числа О и 1
следует понимать не как значения булевой перемен-
v U
НОИ, сиrнализирующеи о принадлежности или непри-
Н8Длежпости элемента множеству R l' а как крайние
точки единичноrо интервала возможных значений сте-
пени принадлежности.
В результате свертки исходных
tn
Q2(X, у) ' Лj J(:С' у)
J==l
(3.3.6)
.
I-IЕС:НОЛЬRО ОТНОШЕНИй ПРЕДПОЧТЕRIiЯ 1.4;
r
И об удим ее роль в сформулированной задаче рацио-
нальв ro выбора альтернатив. Заметим, что результирую-
щее \чеТRое отношение I1 Q27 полученное в реsультате
сверткЩ исходных обычных отношений R jt 'Рефлексивпо,
так как \рефлексивны ИСХодные отношения R J.
Пусть, R8R И прежде, все исходные отношения пред-
почтения одинановы по важности. В (3.3.6) это соответ-
ствует ТОМУ) ЧТО Л j 11т, j 1, . · ., т. Построим нечет
ное подмножество недоминируеlvlЫХ альтернатив IHo-
}иества (Х, P-Q), пользуясь определениями, введенными
в п. 3.2.3:
т.
1
т вир [P-j (у, х)
иЕХ · 1
}=
р.И' д.. (х) _ ... 1
"2
; (х, у)],
L
х Е х.
(3.3.7)
-
.-
.
Обозначим Xi. B. д. ПОД1vlпожеетво ч. Н. д. альтернатив
множества (Х, p-QJ (т. е. x .H.д. . множество эффентив-
ных альтернатив для набора функций f j (х), j -; 1, · · .., т)
и х:.н.д. соответствующее :множество в (Х, P-Q). Пока-
жем, что Хi. В . Д . С Хi. И . Д ..
Деиствителъно, ПУСТЬ х о Е х .н.п-. Соrласно определе-
нию ч. Н. д. альтернативы (п. 3.2.4) и (3.3.7) зто озна-
чает, что
.
т
sup [V-j(У' Х а ) - I-'-j(x o ' у}] - о
уЕХ J=l
или
m
[f-LJ (у, х о ) r-j (Х О ' у)] о (3.3.8)
J=l
при любом У Е х. (3 3'1)
Допустим, что Х О Е Хч.н.д.. ТШ'Д8, соrласио u · ·
и (3.3.3), получаем, ЧТО найдется У Е Х. т ои, что
,'- (y ) 1 J8 1, т и при неНОТОРОМJ ]0 выпол-
rJ ,,,,, . , , · .., , -
( ) О Но тоrда при этом у не выпол-
нено р.. :СО' У ·
влетел JOHepaBeHcmo (З.3.8). Отсюда заключаем, что
х Е хч.н.д. Т е х ч . и . д . С Xi. н.д-. х Д
о 1 ,.. 2 - ТВО ч. В. .. не
Заметим что вообще rQВОРЯ, lпожес 2 :' -
охватывает 'все 'эффективные альтернативы дЛЯ ФУНК-
10.
t 8
ПРЕдпОЧТЕНИЯ НА мНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ
[rл. :1
.к. f .. 1 т т е. не совпадает с множе-
,{Ии j' ] ,. · ., , ·
Vч. Н.;I. Однако можно покззать, ЧТО любая эффек-
етвом ... J · б ,. Е ХЧ 1-1 Д
тинная альтернатива, Т. е. лю ои элемент ...Х 1"..'
принадлежит множеству р.Q Д' с положитеЛЬfIОИ степенrJЮ,
Т. е. ЧТО
Xr.r. Н.Д. С SUpp f1 Н . Д -.
1 · Q1
Действительно, если для некоторой альтернативы х Е !-
выполнено fl Q : Д . (х) О, то из (3.3.7) получаем, что наи-
детея у Е х, для ROToporo
f'- j (у, х) f'- j (Х, у) 1 , j - 1, · · · 1 т,
т. е. f1J{Y' х) 1 Иf1j(Х' у) Опри всех j:. 1,...,т.
:i TO означает, ЧТО аЛI>тернаТliва у ДО IИIlирует альтерна-
тиву Х, Т. е. fj(y»fj(x), j 1, ..., т, и, следова-
тельно, х не I\fOil\eT БЫТJ эффективной альтернативой
ДЛЯ набора функций f j'
Обсудим теперJ-I CBoj:icTH3 альтернатив из множества
supp p.Q n" Т. е. аЛJлернатив х Е х, для которых f1Q Д' (х) >0.
Нетрудно видеть, что функция f-lZ: Д . (х) при.нимает ЛИШЬ
значения вида kjт, rде k - натуральное число, и k т.
Пусть для некоторой альтернативы х' Е supp р.Н. Д
I1 v : n , (х') kJт. Соrласно (3.3.7) это означает, что Q2
т
впр [р.} (у, х') - (1;- (х', у)] - . т k
УЕХ j=l
{3.3.9)
или
т
l[P'J(Y' х') _. lJ.j(X', YH т . k (3.3.10)
III.JИ любом У Е х.
IIОСIЮЛЫiУ ЧJlены СУММЫ n (3.3.10) ПРИflимают лишь
Зl18чения О и -1-1 И' (3 3 10)
.. ._, .) 1.,.. следует ЧТО раЗJ-IОСТJ->
меJIЩУ Числом членов этой СУММЫ, P8B;-IhI +1 И числом
'ишеНОБ равных - 1, не ПIЮВышает 1 - k при любом у Е х.
Н8че этот фант MO;I<IIO .
П IIОЯСНИТ(;J следующим образом.
усть р (у, х) · lIИСЛО функций f J ив ваД8нноrо набора
по каждой ИЗ KOTOI)blX алт)теРН8ТИВВ у cTporo ЛУ[Iше х:
"0-
'.
3.3]
НЕСRОЛЬНО ОТНОШЕНlilй ПРЕДПОЧТЕНИЯ
149
.
11 q (у, зt) число фУНRЦИЙ, по ЕОТОРЫМ х строто лучше у.
Тоrда, если P'Q A. (х') k/т, то
р(у, х') . q(y, х')<т k
при люБОl\f У Е х.
ТаRИМ образом, функция Р-Z: Д . упорядочивает альтер-
нативы по степени их lIеДО Jиuируемости. НаПрИАIер
если f1Z: Д . (х о ) -. 3/4 (Т. е. т k 1) и некоторая альтер
натина у Е х етрото лучше альтернативы х о по каRИМ-
либо двум RритерИЯ f (призна:кам), то не !\[епее че f по
ОДНО IУ И3 остальных ПРl13IIаRОВ альтернатива х о CTporo
лучше альтеРI:l8ТfIВЫ у.
Если ВЗЯТJ) пересечеНltJе l\IHO}I<eCTB Хч.н.д. и tLп.д.
1 rQz '
то ПОЛУ'-IИ1\I соответствующее. упорядочение на 1\IHO}ReCTBe
эффективных альтернатив, пользуясь ROTOI)bl 1 {OiI<IIO
осуществить выбор среди HI1X.
Если же в свертке (3.3.6) веса )\j неодинаRОВЫ, то
кал-(дая из введенных Быше хараRтериетик р (у, х') и
q (у, х') будет представлять собой не число соответ-
u U
ствующих признаков, а I:fX СУМl\lарныи относительныи
вес (важность)..
Итак, применение свертки (3.3.6) исходных обыч-
ных отношений предпочтения в задаче ПрИНЯТJIЯ реше-
ний по набору функций позволяет получить дополни-
тельную информацию об относите.льной степени недоми-
нируемости эффентивных альтернатив и тем самым
сузить !{ласс рациональных выборов до множества
ХЧ.Н.Д8 :--..:- {хlхЕХ, р.Q Д.(Х) SllP flQ:Ao(x')}.
..., Е т- Ч .. Н. Д ..
;,t; ..1. ., .
...
в общей задаче, I{оrда на l\нюжестве альтернатив
заданы т неч:етких отношений предпочтения R j
i 1,..., 11 , И заданы RоэффИЦll"енты )..j относительнои
важности эТИХ отношениЙ, MO;I,HO поступать аналоrич
БЫМ образом.
1. Строим нечетное отношение Ql (пересечение исход-
ных ОТIIОПlеНIIЙ):
р. ( х , у) -' ш i II {''''1 (х, у ) t · · ., (1-1/1 (х t у)}
Qr
j50
MHO'I\Et TBE А.пъrrЕРНАТlIВ [r.п. 3
ПРЕДПОЧТЕНlf:Я ).) А
IIодмножеетво пеДОМИНИ'РУВl\fЫХ
и определяем нечеткое )8
альтернатив в множестве (Х, Р-е. ·
п В ' Д ' (х) - 1 А вир rl-'-QI (у, х) [J. Q1 (х, у)].
rQl !/ЕХ
ое отношение Q2 (свертка отношений
2. СтроИМ нечеТR
типа (3.3.6)):
fJ. Q2 (х, у)
'1'
ЛjfJ-j(Х' у)
j=1
нем нечетное подмножество недоминируемых
и определ
альтернатив в множестве (Х, P-QJ:
р.н,д'(х) 1 sup[p- Q (у, х) flQ2(X, у)].
еЕХ 2
3. Находим пересечение множеств p-Z: д. и (-1Q д.:
р.В'Д'(х) min{f1Q;A'(X), f1Q :(x)}.
4. РационаЛЬНЫ lИ считаем выборы альтернатив ив
Jвожества
ХИ д. · {х f х Е Х, f1 Н. д. (х)
эир -р.Н. Д. (х')}.
,х' ЕЖ
Эдесь следует ОТ lетить, что в зависимости от типа задачи
рациональными l\10rYT считаться выборы не ТОЛЬRО альтер-
натив из множества ХН. д.., но и в том ИЛИ пирм смысле
слабо доминируемых альтернатив (или не очень сильно
недоминируемых), т. е. альтернатив, ноторые принад е-
жат мнол<еству f.1 ll . д. со степен.ью не ниже некоторой
заданной.
Примвр 3.3.1. ПУСТI:. Х {Жl. Х2. Ха} и Н8 Х а8Д8НЫ
три ОДИН8КОВО В8ЖIIЫХ ОТJIоmения предпочтеllИЯ:
R,
.[:1 1:,
Х,
:E j
I :1'] :1:1 Ж. I :1'1 :1:. Ж. I %1 %2 Х8
.
d .
.
Х) 1 1 О %1 1 1 1 О
%1 1 1
:1:1 1 1 О
3:1 О 1 1
:1:1 1 1 О
ж. О О 1
8 О О 1
Ж. 1 О 1
\
,
,
\
,
3.4J .
..
.
,
НЕЧЕТВОЕ MH01-НЕСТво АЛЬ
ТЕРНАТИВ
151
1. Gтроим отношение Ql В 1 n В 2 n R з :
1 1 О
f1Q. (х. , Xj) - О 1 О
О О 1
и нахор.им подмножество недоминируемых альтернатив в .....Но-
жест е (Х, l-L().): 1\"J.
2. Строим
+ fLa (Х4. Жj)}:
Х 1 Х2 Х З
.
р.п. д. (х-) 1 О 1
Ql ·
отношение Q2 1
3 (Р-l (xi' Xj) + fl2 (Xi1 Жj)+
I %1
Х2
Х З
f1Q2 (Жi1 Xj)
Х 1 1
%2 2/3
Х З 1/3
1
1
О
1/3
2fЗ
1
и находим подмножество недоминируемых аЛЬ'l'ерватив в мно-
жестве (Х , I1Q2):
Хl
Х2
Х З
.
f1Q . (Х,) . 1 2/3 1/3
3. Ревульrrирующее множество ведоминируемых альтернатив
есть пересечение множеств р.Н. д. И р.Н. д-:
Q. Qz
%1
%2
Х З
.
f1И. д. (Х.) .. 1
о
1/3
ОТСIода заключаеА1:. что в данном ПРIIмере рационаЛЬНЫ},l
следует считать выбор альтернативы Xt t llме[ОJ1 ей маКСJ.IМ8ЛЪ-
ИУIО степень недоминируемооти.
..
3.4. ОТПОПIение предпочтеНllЯ
на иечетком множестве 8льтернаТIIВ
До сих пор в этой rлаве мы обсуждали задачи рацио-
наJtьноrо выбора альтернатив, в которых множество
Х допустимых альтернатив было описано чети о , т. е.
в виде множества в обычном смысле. Однаио нечеТRоеть
исходной информации в задаче может относиться 11
152 ПРЕДПОЧТЕНИЯ НА мНШIшстВЕ АJlь'ТЕРНАТ:Иn [ТЛ. з
R описаниЮ caMoro МlIШJ{ества Х в том смысле, что аль-
тернативы MoryT различатьсЯ по степени допуетимос.ти
(или желательноСТИ их использования лицом. прини-
маюЩИМ решения). В дaIIНOM разделе мы о б,? УДИМ под-
ход :к подобным задачам принятия решении.
Итак, пусть Х у:ниверсальное множество альтер-
натиВ. В Х задано нечеТRое подмножество допустимых
альтернатив ": Х [О, 1 ]. Смысл функции v (х) тот же,
например, что и в обсуждавmихСЯ в i 2.4 задачах не-
чет:коrо м:атематичеСRоrо проrрамм:ировавия. Заданное
на Х нечет:кое отношение предпочтения будем по-преж-
нему обозначать f-LR (х, у).
отличие этой задачи от рассматривавmихся выше
состоит в следующем. В задачах с обычным :множеством
допустимых альтернатив рациональный выбор опреде-
лялс.я лишь заданныМИ па множестве Х нечеТRИМИ от-
ношениями предпочтения. Теперь же в данной задаче,
v
нром:е предпочтении между альтернативами, описывае-
мыми отношением р.в, нужно учитывать еще и различия
в степени допустимости этих альтернатив. Более пред-
почтительными, кроме Bcero прочето, естественно счи-
тать альтернативы, имеющие по возможности б6льшую
степень допустимости, т. е. альтернативы, которым
соответствует по возможности большее зпачение фуНК-
ции (х).
Иными словами, если rоворить о рациональном
выборе альтерна1'Иn в данной вадаче, то необхоДИМО
учитывать еще и следующее отношение предпочтения,
индуцируемое на Х ФУВRцией ":
1 при v (х) > v (у),
Р-А (х, у) --=
о в остальных случаях.
Введением 8ТОТО дополиитеЛЫlоrо О'1'ноmения предпоч-
тения даиная вадача с нечеТRО описанным MHOil{eCTBOM
допустимых алътернати
6 в сводится к постановке :КОТО-
Рm 8 е Я в о суждалас.ъ в предыдущем равделе и для' ее ре-
ия можно ИСПОЛЬ80 n Q 1
.u тъ описанную там процедуру.
rЛАВА 4
ОБЩАЯ ЗАДА ЧА НЕЧЕТRоrо
МАТЕМАТИЧЕс«оrо проrРАММИРОВАНИЯ
&
4.1. Введение
-
Задачи математическоrо проrраммирования СОстав-
u
ляют практически важныи ПОДRласс задач рациональ-
Horo выбора альтернатив. RaK уже отмечалось в rл. 2,
характерным для этих задач является то, что Отноше-
ние предпочтения в них описано с помощью некоторой
функции (полезности), заданной на множестве альтер-
натив таи, что более преДПочтительным альтернативам
соответствуют большие значения этой фуннции. ФаRТИ-
чески с помощью тапой ФУНRции исходная задача вы-
бора альтернатив сводится к, вообще rоворя:, более
простой задаче выбора чисел из HeRoToporo подмноже-
U u
Ства естественно упорядоченнои числовои оси.
ФУНlЩия полезности ИЛИ, кан ее часто называют,
функция цели обычно составляет основу мате1\taтиче-
СIЮй модели реальной системы. Значения этой функции
описывают эффеI{Т от выбора Toro или иноrо способа
действий (альтернативы). В экономических задачах,
например, эти значения Moryт отражать величину при-
были, получаемой при тех ИЛИ иных способах орrани-
зации пр оивв одетва , в r.fодели реrулирования речноrо
СТона выработ:ку элентроэперrии при различных ре-
,{,имах пропуска ВОДЫ через турбины rидроэлеRтроетан-
ЦИЙ и т. п. По сути дела, аденватность тапой модели
реальности в большой мере определяется тем, на-
СКОЛЬКО правильно отражены в этой фУНI\ЦИИ взаимо-
связи различных фаI<ТОрОВ реальноrо процесса или
СИстемы.
...
При математичеСRО1\{ моделировании сложнои си-
стемы неВОЗ1\fО)I<НО учесть достаточно большое число
реальных факторов, ПОСRОЛЪКУ это привело бы R чрез-
мерному УСЛО'I\IIеIIИIО 1\fодели. ПОЭТО1'rrу в l\{одель при-
ХОДится вводить лишь оrраниченное ЧИСЛО таких фан-
f54
ЕЧЕ ТRоrо ПРОТРАММИРОВАНИЯ [rл. 4
ОБЩАЯ 3АДАЧr\ I-J
тем или иным соображениям счи-
торов которые по П
' б существенными. ри ЭТОМ во8можны
таютея паи олее Ф
flеу чтенные в описании модели акторы
Д ва подхода.
бсолю тнО несущественными и пОлностью
мО'КНО считать а _
при принятии реIПении с ИСПОЛЬ80В8-
их иrnорировать
пием ЭТОЙ модели. С друrой стороны, при В1'ОРО:М под-
явно не ВБОПИТЬ «несущественные ФаRТОРЫ»
ходе МОЛ НО
.тrттесvую модель но учитывать их влияние,
в .мaTeMaTLI ц' u
ЧТО ОТ RЛИК модели на то или иное воадеи-
допустив,
ствие (выбор альтернативы) может быть известным
лишь приближенно, нечетко.
Для описания нечеТl\оrо ОТl\лика можно пр еrнуть
R помощи экспертов, I\оторые представляют собои влил-
о вие на функционирование системы неучтенных в мо-
дели фаRТОрОВ. Разумеется, степень нечеткости ОПИС8-
u
I НИЛ ОТКЛИRОВ системы на воздеиствия тем меньше, чем
большее число фанторов явно участвует в описании
..,
математическои модели.
Таним образом, при втором подходе сложная сц-
стема описывается некоторой нечеТRОЙ ФУНRцией цели,
которая каждой альтернативе (воздействию на си-
стему) ставит в соответствие некоторый нечеТI{ИЙ ОТRЛИК
системы па выбор этой альтернативы.
Если, IIапример, отклики системы описываются
в форме неч:етиих подмножеств ун:иверсальноrо мно-
жества отклинов У, то отражающая функционирование
системы нечетнан фуниция цели имеет вид ер: Х Х У --.
[О, 1], rде Х мпо}иество альтернатив. Если х О
альтернатива, то определенная на У ФУНRЦИЯ ч> (х О , у)
представляет собой ФУПI\ЦИIO принадлежности соответ-
ствующеrо нечеТl\оrо от:клика системы на выбор х О .
В задаче рациональпоrо выбора альтернатив при
подобном нечетком описании системы (функции цели)
альтернативы требуется сравнивать друr с друrом ПО
соответствуIOЩИМ им нечеТI\ИМ значениям фУНI\ЦИИ
цели: более «предпочтительным» нечеТI\ИМ откликам
соответствуют БОJlее предпочтительные альтернативы.
Та!(им образом, необходимым этапом в анализе подоб-
нои задачи выбора является построение отношения пред-
почтения в классе вечетких ОТКЛИКОВ. Этому вопросу и
посвящен следующий параl раф.
&.21-
ОБОЕЩЕ}НИЕ НЕЧЕТkоrо O f'HO -
.L ШЕНин
1.55
4.2. Обобщение иеqеТкоrо ОТ1l0mеиия
ив 1Ш8СС вечетких Множеств
4.2.1. fiОС'lроевие обобщевноl'О О'l'иО....,.. - р
...... h a.uений ас -
с:матриваепJ.yIO ,Р ЭТОМ разделе ос.новную ва · -
сформулировать следующим обраэом На дачу можно
У · универсаль-
ВОМ множестве задано н.о.п. R с фун:кциеи
принадлеж-
носТИ Р-.в: УхУ [О, 1]. Пус.тъ fI класс всех не-
четКИХ подмножеств множества )7 т е Rла
u у , .. се всех
функции вида '\1: [О, 1]. Какое нечеткое отноше-
ние преrочтения индуцирует на класс cv исходное
н.о.п. В.
Для решения этой задачи мы воспользуемся прин-
цИПОМ обобщения, введенным в 1.3 (СМ. также [40]).
Нетрудно попять, что заданное на множестве У
в.о.п. !1 можно рассматривать кап нечеткое отобра-
)кепие у -+ r;. Образ JIюбоrо элемента уО Е у при этом
отображении есть нечеткое подмножество }.шожества
у с функцией принадлежности fl R (уО, у). По сути дела,
функция РОв (уО, у) описывает н ечеТR О е множеетво
-
В (уО) элементов У, связанных с уО отношением В,
Т. е. таких у Е У, что уОВу.
Пусть 'У: У > [0, 1] некоторое нечеТRое подмншке
етво множества -У. Тоrда соrласно принципу обобщения
образ v при вечетком отображении flE есть нечеткое под
множество У с ФУНRцией принадле}I<ноети вида
'yj ('\1, у) _" Sllp min {'\I (z), flE (z, у)}.
zEY
.
(4.2.1)
Построенная таким образом фУНRЦИЯ оnи ывает
иечетное отображение fI fI и представляет собои обоб-
щение исходноrо нечеТlюrо отображения f1E: У -+ 1/.
щение R' исходноrо Н. о. п. l! на А{ножество pj Х ·
Иными -словами, для ФIlRсированноrо "'о Е 11 ФУНКЦИЯ
:;) (v у) описывает nечеТRое множество элементОв у,
., О' В' т е такиХ
связанных с v обобщенным отпошением ...,' · ·
степень, с R ОРОЙ нечеТRое множество 'У о ире
тельнее элемента у.
J56 оБЩАЯ ЗАДАЧА UЕЧЕТRоrо nроrРАММ:иРОВАlIИЯ [rJI.
Рассуждая аналоrичпым образом, получаем, чТо вели-
чина
il (х, '110) - sup min {v (z), f-1n (у, z)}
еЕ'
(4.2.2)
есть степень обратноrо предпочтения У >= '110'
Рассмотрим простой иллюстративный пример.
При мер 4.2.1. Пусть У числовая ось и и. о. п. l-Lя
естественный порядок ( ) на У. Тоrда. как нетрудно Видеть
равенства (4.2.1) и (4.2.2) запишутся в Биде ·
il (v, у) . вир v (z), (4.2.3)
., уЕ У
Z !I
ij (у I v) вир v (z).
1, gE у
lI Z
Пусть иечеткое множество v имеет ВИД, покааанный на
рис. 4.2.f.
(4.2.4)
IJ
.
1
0.7 ---- ---
!i, !/z
Рис. 4.2.1.
ПО Ь8УЯСЪ (4.2.3) И (4.2.4). Получаем
"l ('11. Уl) - ;НУ2. '11) - 1. (v, У2) il (У!. v)
Заметим. что иа оп u
чаем. в частности ределении. приведенных В П.
t
о
!I
.; О, 7.
3.2.1, полу-
\1 эквивалентно Уl со степ О 7
енью
v cTporo лучше Уl со степень ю 01 з'
v эквивалентно У2 1 ,
СО степень 10 О 7
У2 Стросо лучш t ·
е 'J СО степеныо 0,3.
Продолжим процесс 060б
Будем рассматривать по щения ИСХодноrо Н. о. п. В.
иечеткое отображе улуче.!ную функцию iJ (4.2.1) «3'1\
ине r
ласса
rv I ...,. [О 1] , Т. е. всех ФУННЦИЙ вида
>1 " и пусть
о · ПРОИSВольный элемент у. Со-
6.21
ОSОБЩ111НИЕ НЕЧЕТl\ОVо О'I'1iОПIЕt!ИЯ:
{57
rпaCHO прйнд..иnу обобщения образом \10 при ttеч.еТRОМ
отображении 1) является нечеТRИЙ подкласс Rласса 'v
с функцией прина дл ежности f/-+ ер:
'Jl (V t v o ) min {v o (у), 11 (v, у)}, (4.2.5)
причем ero можно поиимать R8R подкласс нечетких под-
мноя<еСТБ v тав:их, что 'J >= V O . ИНЫAtIИ словаI\lИ, ФУНI\-
ДИЯ "'l описывает обобщение н. о. п. В' на множество
1/ Х f/' а следовательно, и соответствующее обобщение
исходноrо Н. о. п. Е. Величина 11 (v 1 , V 2 ) есть степень
выполнения предпочтения V 1 >= '\12-
Ив (4.2.1) и (4.2.5) получаем следующее выражеНllе
ДЛЯ функции принадлежности обобщенноrо отношения
предпочтения:
"f1(V 1t "2) supmin{"l(Y)' supmin{v 2 (z), P-R(Y'Z») ·
уЕУ zEY -
вир mill{"l(Y)' v 2 (z), Р-В(У' z)}. (4.2.6)
E 'U Е у
Аналоrичным образом IОЖНО прийти К ВЫВОДУ О TO l,
ЧТО обратное предпочтение (V 2 > V 1 ) выполняется со сте-
u
пенью, р8ВНОИ веЛИЧliне
"'l ('.12' Vl) вир min {V 1 (у), V 2 (z), t-Ll.l (z, у)}. (4.2.7)
z, yEZ
При м е р 4.2.2. Пусть, как и в примере 4.2.1, У . Ч С
вая ось и R естественный порядок ( ) на У. paCCM 12
два печ:еткиХ подмножества У: V 1 и V 2 , покаэанвые на рис. · · ·
l'
1
0.5
!I
Рис. 4.2.2.
2 6) ( 4 2 7) получ:аем "1 (v 1 , v liI )=O,6
Попьвуясь выражениями (4.. и.. ,
И (v 2 , Vl) 11 Т. е. ю О 6
\11 эквивалентнО \12 со степень О 14 '
"2 CTporo лучше '\11 со степеНЪ10 1.
ROro tiРОrPАММИ ОВАНИЯ [rл.
{&8 оsЩАЯ зАдАЧА HE'1ST
йсТВ8 USдYЦ8POB8S BOrO OTBO
4.2.2. Несоторы е С с.еледуем теперь некоторые свой-
JDеВИll предпочтения. которые опредепто тся с})ой-
etrD8 BBeAeH Horo IJ. О. п. , и классоМ нечетких МН()оо
ствВМИ IIСХОДНОСО Н. о. п. IJ'B
_ tl'nиваеТсЯ индуцированное Н. о. п.
)1(ес1В на котором расСМ8... у
J 4 2 1 Если Н. о. n. [J. па у реф.леКСU8н,о,
Теорема .., R
· '1.1 О n 6ft реmлексивпо иа плиссе
д JJ-U руе;м,ое им п-. · · '. '01'
то и ин. У"Т ет,;,иа; подмножеств 1ttн,ожества У.
вса по р.маЛЬ1tЫХ н,еч
Т во Если ';Е6)! нормально, Т. е.
ДокаЗ8тельс. ;t
sup v (у) 1, '1'0 из (4.2.6) получаем
,е У
sup min {" (у), v (z), РОв (у, z)}
Z, еЕ f
sup min {" (у), v (у)}
уЕТ
11 (У, v)
_ supv(y) - 1.
уЕУ
Поскольку 1l (v, ,,) < 1 при любом v Е Т1' ТО из Э'.rоrо
неравевства заключаем, ЧТО "1 (v, У) - 1 при любом v Е yt,
что и означает рефлексивность .
В следующиХ двух теоремах изучается вопрос о ли-
нейносТИ Н. о. п.
т е о р е м а 4.2.2. Если n. о. n. РОВ па у сUЛЫ-l,о ди-
nеипо, то и иnдуч и руем.ое им n. о. n. 11 сиJ1,ЬnО лunейnо
н.а классе всех по р.ма.льnы:с nечетnuх подМ1tожеств у ·
д о к а з а т е л ъ с т в о. ПоеКОЛЬRУ по условиям тео-
ремы Н. о. п. Р-В СИЛЬНО линейно, то, как следует из
определения сильной линейности, достаточно показать,
что для любых двух нормальных нечетких подмножеств
множества У выполнено по крайней мере одно из
равенств
11 ("1' "2) 1, 11 ("2' \/1) - -: 1.
Допустим противное, Т. е. что для иеRОТОРЫХ нор-
мальных V 1 И V одновременно выполнены неравенства
'1{У 1 ' "1) a-. Е;nin{Vl (z), "2(У)' P-а(Z' у)} - ; a 1 < 1,
11 ("21 \'1) - - вир min {\'1 (z). V 2 (у) u. (у z)} _. "'.. а < 1
..,ЕУ , rR' · ·
(4.2.8)
(4.2.9)
.2)
ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТRоrо ОТliОШЕНИя
159
Выберем произвольно число . из ИlIтервала О < е <
< mil1 {(1 - a 1 ), (1 а 2 )} и введем шожества
У: ' . {yIYEY, Vi(Y»SUpVi(Z) С " 1 е} 1 2
ЕЕ у , i ,.
JlОСRОЛЬКУ [-1n сильно линейно, то ДЛЯ любых двух эле-
i\ШНТОБ Уl Е y и У2 Е У: выполнепо ОДНО из равенств:
а) P-n-(Yl' У2) 1; б) Р-п (У2' У!) 1.
В случае а) получаем
7j (',11' ',12) . Sup rnin {V 1 (z), v 2 _(y), fLп (z, у)} >
t/J ЕЕ У
> min {v 1 (у!), ',12 (У2)' Р-п (Yl' yJ} > 1 е > а 1 .
Аналоrичным образом Б случае б) получаем 'q (',12' V 1 ) > а 2 .
Отсюда заключаем, что неравенства (4.2.8) и (4.2.9)
.
не MoryT выполняться одновре fенно И, следовательно,
u
Н. о. п. 7l сильно линеино.
т е о р е м а 4.2.3. Если 1/.. о. п. Р-В па у л-дuнейnо
(л > О), то и ин,дуцируемое им 1/'е о. n. 1} л-линейн,О"1lа
пдассе всех nечетхих пoalYt7i03lcecтe .,'tпожества У, обла-
даЮЩltх свойством sup v (у) > л.
flEY
ДОR8вательс.тво. Пусть 'J 1 11: '\12 " два нечеТRИХ
ПОД fножества, удовлетворяющие условиям теоре fЫ.
Введем множества
у' · {у I у Е у, ", (у) > А}, i . 1, 2.
Выберем произвольно У1 Е уl И У2 Е у2. Из л-линейности
З8Rлючаем, что выполнено ОДНО из HepaBeH TB:
. а) 1-'-8 (У1' У2) > Л или б) Р-n (У2' Уl) > л.
в сЛуtlае а) получаем
("1' ',12) > min {v 1 (У!), ',12 (У2)' Р-В (У1' У2)} > А.
Аналоrично, в случае б) получаем 11 ("2' Vi)"> л.
Из двух последних неравенств заключаем, что
тах { (v1' "У 2 ), 11 ("21 "t)} > л,
Т. е. что Н. о. п. '11 л-линейно.
160 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТlю rо ПРОrPАмМИРОВАНИЯ [rл. 4
u
Таким образом, своиство линеИRОСТИ ИСХОДНОl'О
Н. о. п. р.в переносиТСЯ на индуцируемое им Н. о. п. "fj на
классе соответствуЮЩИХ печеТJ{И::Х: подмнш.кеетв мно-
жества У. Однако из транзитивЯОСТИ Н. о. II. fJ-я, вообще
rоворЯ, не вытекает транзитивность индуцированноrо
н. о. п. 1J. Этот факт иллюстрируется, в частности, при-
мер ом , приведеН1IЫМ в конце дапноrо равдела.
Обратимся теперь J{ случаю, котда исходное н. о. п.
f.Lл на у представляет собой обычное отношение пред-
почтения R, Т. е. описывается функцией принадлен{-
ности, принимающей лишь вначения О и 1. Из приве-
деннотО выше выражения (4.2.6) получаем, что отно-
шение R индуцирует Н. о. п. следующеrо вида:
11 ("1' \'2) sup min {"1' (z), "'2 (у)}. (4.2.6а)
., уЕУ
ЕВУ
Нетрудно убедиться в том, что обычное линейное
отношение R (см. п.1.2.1) является сильно линейным
в смысле определения, данното в п. 3.2.2. Отсюда и ив
теоремы 4.2.2 вытекает следующая.
т е о р е м а 4.2.4. Н. о. n. "q, uuдуцuруежое зада1/,-
пыж на У обы,JI, l,.м, Аинейnы.м, отnоше1tuе.м, предпочтен,uя
R 'acиAbItO лuuеиnо на классе всех пормаJ1,ЬnЪЪХ печетКZlХ
по множеств множества У.
С друrой TOPOHЫ, нан было поRазано в п. 3.2.1 для
сильно линеиноrо н о '
. . п. 1l выполняются равенства
rде 71' - соответствую
roro предпочтения О щее 1J нечеткое отношение стро-
суждений получае ТСlOда и из приведенных выше рас-
рованното обычны что д я любоrо н. о. п. 1l, ипдуци-
тенил R для любых н линеиныM отношением предпоч-
'У 1 , 'У 2 множества У рмальвыx нечетких подмножеств
, ы полняется равенство
(1/, z) ER l' 2 ·
Если У · ЧИСловая
ДОК ( ) па У то н о ось и R естественный поря-
форме, правд , на e :; ОПИсывается в более простой
I\ИХ подмножеств у В ы\o более узком классе нечет-
· ведем следующее
4.2]
ОБОБЩЕНИЕ RЕЧЕТRоrо ОТIIОJ1IEнил
161
о n р е Д е л е в и е 4.2.1. Нечетное ПОДlЩОжество
"множества У наЗывается вы,y"nдьмf.,' ecJI.II Любое _
жество вида Мно
У« = - {уIУЕУ, У(У»о:}, 0<0:<1,
выпукло в J7*).
Докажем теперь следуIOЩУЮ теорему.
т е р е м а 4.2.5. Естествеuный порядоn, (» на
числовои оси У индУцирует М.о.п. 11иа пдассе всех нечет-
пих подмножеств У, обладающее с.ледующu.м, свой-
ством; для любых двух 1{,()р.мадън,ых выnуШLЫх н,ечет-
1'ШХ Ж1Южеств '\11' \12 выполнено одно из равеиств
1J ('011' '012) 1, 1J ('011' '112) ' - sup min {Y 1 (у), '012 (у)}.
. уЕУ
Д О R а 3 а т е л ь с т в о. Введем обозначение
А ('111' У 2 ) , sup min {У 1 (у), \12 (у)}.
gEY
ПоеКОЛЪR:У (у, у) Е л, то для любых У 1 , \12 выполнено
11 (У 1 , \12) > А ('1'1' '1'2)' 1J ('1'2' \11) > А ('111' '112).
Отсюда, опиралсь на теорему (4.2.4), МОЖНО заключить,
что для ДОRазательства теоремы 4.2.5 достаточно Пока-
вать, что ДЛЯ любых У 1 и У 2 неравенеТБа
1}{Уl' 'У2»А("'1' "'2)' 11('1'2' \/1»A(v 1 ,V 2 )
.
не MoryT ВЫПОЛняться одновременно.
Допустим противное, Т. е. что для некоторых '111'
'\12 Е одновременно выполнены неравенства
вир mil1 {"1 ( ), "2 (у)} > А ("1' "2)'
E ?I
вир mil1 {Уl (z), \12 (у)} > А ("1' "2).
tI z
ЭТО означает, что найдутся такие ZO, уО, z', у' Е У, ДЛЯ
которых
а) ZO>yO, z' <у';
б) "1 (ZO) > А (\/1' "'2)' "'2 (уО) > А (v 1 , \/2)'
\11 (z') > А (\/1' "'2)' ',12 (у') > А (Уl' ',12).
· - Т О У sамниуто
*) при атом предполarа ется, что МНО :жеВИR и уиио-
относительно определенных в не)1 операции
жения на число.
11 с. А. ОРЛО8СRИЙ
162 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТl\оrо проrРАММИРОВАВИЯ [rл. ,
Нетрудно провери'l'Ь, что из условия а) БытеRает непу-
стота :множества
1 - Соп (ZO, z')n Con (уО, у'),
u
тде Сап (3:1' 3:2) отрезон, звключенныи между ТОЧRами
%1 и %2- Далее, поскольку 'У 1 И V 2 выпуклы ПО YC-!lОВИЮ
теоремы, то из условия б) следует, что для любоrо
g Е 1 =1=0 выполняются перавенства
"1 (11) > А (v 1 , v 2 ), У 2 (у) > А ("1' у 2 ),
min {У 1 (Ю, У 2 (у)) >А (V l , V 2 ) вир min {V l (у), "2 (у)}.
уЕУ
Утверждение теоремы 4.2.5 вытеRает из невозможности
последнеrо неравенства.
Если вечеткие 1tfножества \'1 и \12 неВЫПУRЛЫ, то
теорема 4.2.5 неверна. Понажем: это на слеДующем
простом при.мере.
При м е р 4.2...8. Пусть веqеТRие множества "1 и "2 имеют
ВИД, ПОR8За.ввый на рис. 4.2.3 (У числовая ось). Леrко про-
v
V ,
о .
I
I
.
.
.
!/
"' -
.
Рис. 4.2.3.
верить, 1iTO В ЭТОМ при ' (
< t. мере YJ '\111 "112)= YJ (ОУ 2 , '\11)= 1, НО А (v 1t "II s ) <
В заКЛючение данн
замечаний о oro раздела мы сделаем нес:колько
некоторых СВОЙСтвах
1J на кпассе нечет:ких ввеДенноrо н.о.п.
них МНожества v МНожеств. aCCMOTp M три нечет-
е ПО l' "2' \1з ЧИСJIОВОИ ОСИ (рис 4 2 4)
МО ЩЬю ПИВе · .. ...
l' "1 1l (У v) 1 . (
2' 3 , V V v) О ' (' ) 1
Т l' 3 , 1'J 8' У 1 . ·
аким образом, МНожест
пенью 1 (Т е Опре ва "1 и "1 ЭКВивалентны со сте-
.. еJIенпо эквивалентны). Этот факт
lI.2]
ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕтноrо ОТНОШЕНИя
163
может ПОRаэатьсн несколько Странны'! пас
. , Кольку 1tIHO-
жество У 2 расположено на "ЧИсловой оси правее МIlOже-
ства \11' Т. е. (<смещенш> отноСительно '\1 в сторон б _
тих значенИЙ у. 1 У оль
Однано даДИ1\f: '\11' \12 И \1з следующую интерпретацию.
Пусть ТОЧRН ОСИ У D.редставляют собой знаqения ДЛИНЫ,
а 1tШOiнество У;. (у), l - 1, 2, 3, представляет собой ре-
зультат измерения длины neRoToporo стержпя i, при-
11
1.\ 03'
1
..л.
1 / \ r ,J'. 7'
---.--..- - -- .
1 =с :: [
а ) I
1
I t1 z I I
. I . I
I I .
. I I .
I I
I I I I .
I I
I I I I
I I
r I I !
I .
. I I I I
I
. I I t
.
t
. r . .
I
1 I I
I I I
I I I
I .
. .
I . I . I I
I
I r I I I
I I I
I , I
О 01 I}'( 111 и з b 1 Ь з I !I
I
PIIC. 4.2.4.
чем «ширина» (а., b i ) множества 'У. (у) отражает точ-
ность этоrо измерения. Нетрудно попять, что при задан-
ной здесь точности (см. рис. 4.2.4) нет OClIований утвер-
ждать о ТОМ, что стержень 2 длиннее стержня 1 (и Te !
более утверждать обратное). ТаRИМ образом, при дан-
ной здесь точности стержни 1 и 2 нераЗЛИЧИ1\fЫ по
длине, и именно этот факт отражается равенеТВОА)
ТJ fJ (\l 1 , V 2 ) 1.
с друrой сторовы, данной эдесь точности достаточно
ДЛЯ утверждения о ТОМ, что стержень 3 длиннее стеР1I\НЯ
1., чему и соответствует равенство Тj- ('J Зt V 1 ) 1.
Иа данноrQ примера ВИДНО Tal\iKe, что ив транзитив-
ности исходвоrо отношения ( ) на У не следует тран-
зитивность иидуцированноrо отношения 11. Действи-
тельп О, посколы\y 1J. (V 1 , \1з) - О, ТО из 71. (v 1 , \'2) 1 и
ТJ tJ (\12' vз) 1 не вытепает ТJ (\11' v з ) 1, как это ДОЛЖНО
было бы быть при транзитивном н.о.п. ТJ (см.. п. 1.2.4).
В следующем разделе мы ПРИАfениl\tI полученные
здесь результаты для анализа общей задачи нечеткоrо
иатематичееноrо проrра1\I?tlирования.
11*
.
164
А ТТА НЕЧЕткоrо проrРАММИРОВАНИЛ [rл. "
оБЩАЯ зАД -...
4.3. НеДОlИинируемые альтернативы
в общей задаче нечеткоrо
математичеекоrо проrраммироваНИJl
4.3.1. Нечеткое множество недоминируемых альтер-
натив. Обратимся теперь непосредственно к задаче,
которая обсуждалась в 4.1. ПОJIЬ3УЯСЬ аппаратом:, раз-
витым в предыдущем разделе, мы CBe eM ее: к рассмотрен-
ной в 3.2 задаче прииятия решении при нечетком ОТ-
ношении предпочтения на множестве альтернатив.
Формально общая задача нечеткоrо иатем:атическоrо
проrрамм:ировапия описывается следуIOЩ образом.
Пусть Х . универсальное :множество альтернатив и
f-J-A: Х --J1' [О, 1] . заданное нечеткое подмножество
допустимых альтернатив. Пусть У универсальное
множество оцепон результатов выборов альтернатив из
множества Х и f-J-B: УхУ -+ [О, 1.] заданное на
множестве у нечеткое отношение предпочтения. Выборы
альтернатив оцениваются нечеткими значениями задан-
НОЙ иечеткой функции цели ер: ХхУ -+ [О, 1] (смысл
этой функции обсуждался в ! 4.1).' Задача заключается
в рациональном выборе альтернатив на основе инфор-
мации, заданной в описанной выше форме.
При анализе этой задачи в данном разделе иы будем
считать ДЛЯ простоты изложения, что множество допу-
стимых альтернатив описано четко, и будем обозначать
зто множество тем же символом Х, что И введенное выше
универсальное множество альтернатив. В к.овце раз-
дела мы кратко остановимся и на задачах снечетким
множеством допустимых альтернатив. .
Для решения поставленной задачи иы построим на
множестве альтернатив Хнечеткое отношение предпоч-
тения, -индуцированное ИСХОДНЫМ п.о.п. !-L R И нечеТRОЙ
Фуннцией цели ер, а затем выделим в Х. печеткое под-
множество недомивируемых альтернатив.
Любой альтернативе х О заданная функция ер ставит
в соответствие нечеткую оценну этой альтернативы
в форме иечеткоrо подмножества ер (х О у) множества
оцепок У. Пусть вечеткое отноше ие предпочте-
ПIUJ, ИНдУцированное н.о.п. ""в на классе 'fI всех нечет-
ких подм:иожеств множества у (1 4.2). Пользуясь этим
4.З]
НЕДОМИИИРУЕМЫЕ АЛЬТЕРНАТИВЫ
165
-
отношением, :можно сравнивать друr с друrом по пред-
почтению иечеТRие оценки альтернатив, а следова-
тельно, и сами альтернативы. Иными словами, степенью
предпочтения альтернативы Х 1 Е Х альтернативе Х 2 Е Х
:мы будем считать степень предпочтения нечеткой
оценки ер (х 1 , у) нечеТRОЙ оценне ер (Х 2, у), т. е. положим
11 (Х 1 , х 2 ) . iJ (ер (х 1, у), ер (Х 2 , у»,
тде ер (X 1 , у) И ер (х 2 , у) соответствующие Х 1 и Х 2 не-
чеТRие подмножества (оценки) множества У.
Таким образом, используя определение Н. о. п. ii
(п. 4.2.1), мы получаем н. о. п. 71 на множестве альтер-
натив Х следующеrо вида:
11 (X 1 , Х 2 ) sup min{ep(x 1 , z), ер (Х 2 , у), f1R(Z, у)}. (4.3.1)
в, уЕУ
Заметим, что в аналоrичной задаче с чеТRО описан-
ной фУНRцией цели j: Х у (У - числовая ось) опре-
деление (4.3.1) сводится R обычному:
Х 1 <:> f (х 1 ) > t (Х 2 ).
Действительно,
ер (х, у)
в ЭТО1\1 случае
1 при /(х) у,
О в остальных случаях,
и
I"B (z, у) .
1 при z>y,
о в остальных случаях,
а равенство (4.3.1) принимает вид
1 при f (x 1 ) > f (х 2 ),
1] (x 1 , Х 2 ) - о в остальных случаях.
После в :множестве альтернатив введено
Toro как и aCC IO-
Н. О. П. 1], исходная задача сводится к sадаче IIВ Х
тренной в 3 2' имеется :мно}кество альтер
с заданным на. eM Н. о. п. . Нетрудно убедиться
в том, что если фУНRЦИЯ ер обладает своЙСТВОМ
Bl.1P (X, у) 1 "хЕХ,
уЕУ
166
АЧА НЕЧЕТRоrо проrРАММИРОВАНИЯ: [rл.
ОБЩАЯ ЗАД
енка любой альтернативы НОРl\rальное
Т. е. если оц флеl\СИВНО, Т. е.
нечеТRое 1\lноже с ТВО , то Н. о. п. ре
(х х) 1 при любом х Е х.
11 Выде им: теперь в множестве (Х, -q) нечеткое под-
недо ,w"инируеi\tlЫХ альтернатив. Соrлаепо опре-
множество :l.YJ.
делеНIfЮ ( 3.2) ОНО имеет вид
H.д. (х) 1 . sup [-q (х', х) 1j (х, х')]. (4.3.2)
ж'ЕЖ
.
Отсюда п из (4.3.1) получаеl\1
. ijВ.Д' (х) 1 вир [Бир min { (x', z), ff' (х, у), f1п (z, у)}
z'EX .. уЕУ
Бир mil1 { (x', z), (х, у), f1п (У. z))]. (4.3.3)
1, ,ЕУ
НеоБХОДИl\IО ОТАfетить, что если функция 'Р (х, у)
такова, что для некоторой альтернативы :СО выполнено
вир (х О , у) .. а < 1,
уЕУ
то значение 1J B ..,.. (х О ) может не отражать фактической
степени недоминируемости этой альтернативы. Для
ИЛЛIострации рассмотрим крайний случай, коrда а . 0.
В исходной задаче это соответствует тому, что оценка
альтернативы 3fJ неизвестна или не определена (или не-
u
известна реакция управляемои системы на управле-
ние х О ). В то же время, как нетрудно убедиться по вы-
ражениям (4.3.1) и (4.3.2), для этой альтернативы
"l (х О , х О ) О и iJИ. Д ' (х О ) 1,
Т. е. альтернатива ХО оказывается определенно недоми-
u
нируе юи, причем ИСRлючительно ввиду отсутствия
информации о ней. Поэтому величину iJB.lfo. (х О ) необхо-
димо скорректировать, с тем чтобы Исключить такие
«патолоrические» случаи.
В терминах нечетких Множеств равенство
sup rp (х О , у) _ · О
lIЕУ
означает, что множество оценок (ипи реакций), соот-
:етствующее альтернативе х О , пусто. Если величина
> О, но мала, то это множество можно понимать
как «почти пустое)} и т. п. в соответствии с величиной
.
.з 1
НЕДОМИНI1РУЕМЫЕ АЛЬТЕРНА
TIIBbI
167
а, которая, таким образом, характеризует
ЛИЧИН информации об альтернативе х О ,т степень па-
· ,у ЧИтывая что
малые значения а MoryT приводить к иск '
вьппеяныМ значениям функции и. . для усственно 38-
соответствую-
ЩИХ альтернатив, ДЛЯ корректировки этой функции ее
вначения нужно сопоставлять с соответствую
чениЯМИ а. щими ша-
Опираясь на эти рассул,дения реmение l u
б ' n исходнои
дачи удем считать не. функцию принадлежности
'lJ .Д., а скорректированную фуНIЩИЮ вида
71 В . Д . (х) min {ijП.Д. (х), sup ер (х, у)}. (4.3.2а)
уЕУ
Нетрудно ПОН8зать, что ДЛЯ любоrо х выполнено ра-
венство
sup rp (х, у) . тl (х, х),
уЕУ'
rде 11 - . индуцированное отношение (4.3.1).
рюr<ение (4.3.2а) :можно записать в виде
"11 В .11.. (х) mil1 {l1 П . Д . (х), 11 (х, х)}.
Тоrда вы-
.
(4.3.26)
Если отношение 11 рефлексивно, т. е. 11 (х, х) - 1 при
.любом х Е х, ТО, :как следует из (4.3.2б), функции :ч п . д .
и Тl я . д . совпадают друr с друrО I.
Для paCCMOTpeHHoro выше Rрайнеrо случая получаем
т,Р .1(. (х О ) ". О,
Т. е. альтернатива х О исключается из решения задачи.
По сути дела, выражепия (4.3.3) и (4.3.2а) описы-
вают способ обработки исходной информации для полу-
чения нечеткоrо множества недо:м:инируемых альтер-
натив. Рациональным в данной задаче естественно счи-
тать выбор альтернатив, для которыХ функция 1JИ.11..
(скорректированная) принимает по возможности боль-
Шие значения.
Если в общей задаче печеткоrо математическоrо
проrраммирования множество допустимыХ альтернатив
Описано нечетко, то выбор альтернатив следует осуще-
СТВлять с учетом двух отношениЙ предпочтения: по-
лученноrо выше индуцированноrо Н.О.П. 1J и отношения
168 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТRоrо проrРАМ:МИРОВАНИЯ [rл. "'
.
предпочтения, отражающеrо степени допустимости аль-
тернатив. Более подробно этот вопрос обсуждается
выше в 3.3., тде была предложена возможная про-
цедура решения подобной задачи.
4.3.2. Выбор альтернатив в случае ЧИСЛО ЫХ оце-
нок альтернатив. Обратимся R более простои, но тем
u
не менее практически важнои задаче, Rоrда множество
оценок У числовая ось. В этом случае выражение
(4.3.1) ПРИНИl\fает ВИД
-q (х 1 , х 2 ) вир min {f (Х 1 , z), f (х 2 , у)}, (4.3.4)
., уЕУ
' II
u
8 решением соответствующеи задачи нечеткоrо мате-
матичес:коrо проrраммирования является нечеткое под-
t
множество ведоминируемых альтернатив вида
ТJB.1.. (х) ___ min {.:qB.A. (х), "q (х, х)},
rде
iJИ.Д' (х) 1 вир [Бир min {f (х', z), ер (х, у)}
ж'Е'х Е;::У
вир min {ер (х, z), ер (х', у))]. (4.3.5)
E !I
Иак уже rоворилось в 3.2, величина "qВ'Д. (х) есть
степень ведоминируемости альтернативы х. Если
1J u .1I.. (:.с) > а, то в множестве Х нет ни одной альтерна-
тивы, RОТОРая доминировала бы альтернативу х со
степенью, большей, чем 1 а.
Покаже , что ДЛЯ нахождения альтернативы, недо-
минируемои со степенью, не меньшей а, достаточно
решить следующую задачу математичеекоrо nporpaM-
мированил:
у -+ тах, f (х, у) > а, :.с Е Х, у Е У. (4.3.6)
Х -+ [О, 1] та 11, ова , что эир ер (х, у) > а при любом
хЕХ y
t и пусть 1J н.о.п. на Х, индуцированное
уnхциеи 4р. Если (:.сО, уО) решение аадачи (4.3.6),
.з]
НЕДОМИНИРУЕМЫЕ АЛЬТ
ЕРНАТИВы
169
-
то Тl П .1I.. (х О ) > а, еде ТJB.д. (х) 1lечет1tо
дОJ,Шuи руе.мьzх альте риатие в Jltп е МНожество Ие-
Дока 3 а те ль етво. Пусть п ж:ств: ( ' "l).
решение задачи (4.3.6). Тоrда Raк c (х, у) Е ХХ у -
доказательства теоремы доста очно п едует из (4.3.5), для
оказать, что
sup [вир min {ер (х', z), ер (х О , у)} _
.:r;'EX z lI
min {ер (х О , z), ер (х', у)}] 1 а.
Допустим противное, т. е. что найдутся Е х и
s > О, для nОТОРЯХ
-
sup min {Ф (х о z)
1"
2 y
ер (3:, у)} 1 а + Е. (4.3.7)
Выберем _ fl Е У, так, что ер (х, 11) > а е (существование
TaKoro у следует из предположений о фУНRЦИИ ер
В условиях теоремы). Поскольку пара (х О , уО) решение
задачи (4.3.6), то уО у И, кроме Toro, ер (х О , уО) ;;;цс.
Отсюда получаем
вир min. {ер (х О , Z), ер (х, у)} > а е,
z g
вир min {ер (х, z), ер (х О , у)}
' Y
,
но тоrда неравеНСТБО (4.3. 7) невозможно, поскольку
левое слаrаемое в ero левой части не превышает 1.
Из доказанной теоремы вытекает, что любые усло-
вия, достаточные для существования решения sадачи
(4.3.6), достаточны и для существования соответствующих
uедомивируемых альтернатив в множестве (Х, 1J).
в частности, справедлива следующая.
т е о р е м а 4.3.2. Если .множества Х и У хомnахтllЫ,
приче.м у поджnожеСnl,во числовой оси, функция ер:
ХХ у + [О, 1] nолуneпрерывllа сверху на тl хоnовС1'i,ОJt
пРОИ8ведении ХХ У, Sl1p q> (х, у) >- а при любом х Е Х и
уЕУ
II · и.о.п. на Х, индуцированное естествеnnЬМt , nо-
рядхо.м, на у u фупхцuей <р, то в жnожестве (Х, -ч)
Uмеется по прайnей },еере одна алътерnатива, для
воторой 1JD.д. (х) > а.
170 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТlюrо ПРОI'РАММИРОВАНИЯ [I'Л.4
.
4.4. Задачи математическоrо проrраммирования
с нечетко описанными параметрамв
4.4.1. Введение. В даннОМ разделе обсуждаются
задачи в:ечеткоrо lt'Iaтематическоrо проrраммирования,
которые описываются постановками IV ..и V в 2.3.:
Обратимся для примера к следующеи упрощеннои
ltIодели распределения ВОДЫ ДЛЯ орошения сельсио:
хозяйственных нультур. Допустим, что на землях общеи
площадью Х требуется раВl\fестить посевы т культур..
Урожайность j-й культуры обозначим C j так, что если
ПОД культуру j отведена площадь посевов х i' ТО полныи
урожай этой нультур_ы будет равен CjX j . Для обеспече-
u ·
пия урожаиности С ; земли, отведенные под пультуру ],
необходимо орошать. Пусть для ороmения единицы пло-
щади земли, занятой под культуру j, требуется Ш.; еди-
ниц объема воды (за весь период роста культуры). Та-
ким образом, для орошения замель .. площадью х j тре-
буется Шj.Х j единиц объема воды. Величину W j назы-
вают нормой полива. Полное количество воды, которое
можно использовать для орошения всех т культур,
обозначим w. Наконец, пусть Рр j = 1,..., т,
ДОХОД от реализации на рынне единицы урожая куль-
.
туры ].
Задача заключается в том, чтобы определить распре-
деление земель общей площадью Х под т культур,
обеспечивающее по возможности больший доход от реа-
лизации урожая на рынке. При ятом необходимо учи-
тывать оrраниченное количество имеющейся ВОДЫ для
орошения. Математически эта задача описывается как
стандартная задача линейноI'О проrраммирования.
т
3 а д а ч а 1. М a cи.миaи ровать ве.лuчuпу р с ох
-1 J J J
при оераuичеuиях J-
т "1
асемотрим теперь более Внимательно параметры
атои задачи с и w Н
J j- етрудпо попять, что величины этих
параметров зависят от мноrих факторов реальноrо про-
.
,.6]
НЕЧЕТ:КО ОПИСАННЫЕ пАрАмЕтры
171
Ц есса, не учтенных в приведенной здесь мод "'(7
ели. J ро-
жаЙlIОСТЬ, например, зависит, и ДОВОЛЬно слощным
образ М, от таких факторов, как наЛИчие Б ПОЧВе тех
IJЛИ ИНЫХ питательных веществ, сроков и техполоrии
обработки почвы и внесения удобрений, Солнечной
аКТИВНОСТИ и мноrих дрyrих. То же самое ОТНОсится и
К парам:етру W j.
Если, желая сделать модель более адекватной реаль-
ности, внести в нее эти эависим:оети, то зто приведет
к значительному ее усложнению и ПQВЫСИТ размер-
НОСТЬ задачи. Кроме Toro, Может оказаться при-
чем часто на это не обращают должноrо внимания _
ЧТО уточнение модели таким путем на праRтике сведется
на нет из..:за невозможности измерить или измерить:с до-
статочнои ТОЧИ.ОСТЬЮ величины введенных в модель
факторов.
С друrой стороны, модель с фиксированными зна-
чениями параметров (например, С } и Ш } в данной мо-
дели) может оказаться слишком «трубой», поскольку
часто эти" эна 'lения выбираются весьма произволь-
ным образом. На самом деле следует, по-видимому,
уmтывать по крайней мере тот факт, что известными
бывают не сами значения параметров, а множества их
возможных значений. Модель, в которой параlYIетра 1
приписаны не нонкретные числа, а, например, интер-
валы возможных значений, более точно соответствует
реальности.
На этом пути МЫ от задачи 1 приходит к следующеffIУ
ее уточненному варианту.
3 а Д а q а 11. Требуется определить рациоnалыwе
расnредед,еnuе .ае,медъ общей площадью Х под nocевы, т
пу.яьтур, есд,и доход от распределения х (Хl'...' Х т )
ОnUСIJtвается в виде
и дОJlЖ",Ьl,
"1-
p;.tjXj
J.=l
вь nол1tяться 08 раНllчен,uя
-
.
т
х.й) .EW,
· 1 .1 3
J=
4
,п
Xi<Xt Xj O, j _ 1,...,Тn.
.1=1
172 ОБЩАЯ ЗАДА ЧА ПЕЧЕТlюrо проrРАММИРОВАНИН [rл. 4
3 - J. 1 т - множество ВО3МОН(НЫХ зна ТТ е_
десь с.., J · · ., ,
пий . у;ожайности культуры j; iJ) jt j = 1, =-. ., тп, -
множество возможных значений норм полива; W - мно-
жество значений имеющеrосл полноrо количества воды
для орошения культур. ..
Задачу TaKoro типа :можно назвать задачеи липеи-
Horo проrраммирования с множествев о-з ачными RОЭф-
фициентами. Ясво, что в рамках этои вадачи не имеет
смысла rовоРИТЬ о максимивации фУНRЦИИ цели (до-
хода), поскольку знаlIения этой функции - не числа,
а множества чисел. В этом СЛУlIае необходимо выяспить,
на кое отношение предпочтения в множестве альтерна-
тив (Т. е. в множестве возможных распределений пло-
щади земель) порождает эта функция, а затем исследо-
вать вопрос о ТОМ, какие выборы считать рациональ-
НЫМИ в смысле этоrо отношения предпочтения. . Задачи
TaHoro типа анализируются ниже.
Более простая задача этоrо типа с обычным манси-
u
мизируемым JIинеипым Rритерием и с множествевно-
8начными параметрами в оrравичениях рассматрива-
ется в работе А. Сойстера [41 J. Эта задача описывается
следуюIЦИИ образом: .
т
j
1, . . . t т,
-
(4.4.1)
тде :t Е R т , а К l' j 1, · . ., т, и К {у I у Е R п ,
у < g} заданные выпуклые подмножества простран-
ства R п . Сумма произведений в (4.4.1) повимаетсл при
этом следующим образом:
m
Х JK J = У I у Е в п ,
J=1
т
у - Х ;.(/,j'
з=1
aJEKJCR n ,
j 1, . . -., т ,
..
тде Х Ja J обычное произведение BeRTopa а J Е R 1I на
число х '" В работе [41] похазано, что эта задача сво-
дится R следующей зад u
аче пинеиноrо проrраммировавия:
ЬХ;. шах, 'Ах <g, х> О,
,. ]
НЕЧЕТНО ОПИСАННЫЕ ПАРАМЕТры
173
У1'оторой. матрица А определяется ПО
в К К заданным м
)l(ecTBaM j и : но-
А . - 11 li'J ' а,} : sup а" i --; 11 · · " п'}. 1
аЕК j " .. · .., т,
а. _- компонента вектора а.
t СледУЮЩИМ marOM на пути уточнения раСсматривае-
МОЙ эдесь модели является описание параметров задачи
в форме нечетких множеств. I!Ри этом, кроме задания
множеств возможных значении параметров, в модель
вводится дополнительная информация в виде функций
принадлежности этих нечеТRИХ множеств. Эти Функ-
ции можно рассматривать как способ приближенноrо
отражения экспертом в аrреrированном виде имею-
щеrося у пеrо неформаЛИЗ0ванноrо представления
u
О реальнои величине данноrо параметра. 3на ения ФУНК-
ЦИИ принадлежности суть весовые коэффициенты, кото-
рые эксперт приписывает различным возможным зна-
ченияМ зтоrо пар аметр а.
Несомненно, что учет подобной дополнительной
информации усложняет исходную математическую
.
модель, но тем не менее она может ОRазаться проще
(и вместе с тем приемлемо точной) модели, учитываю-
щей мноrообразие дополнительных факторов, о которой
rоворилось выше.
Итак, мы пришли к постановке задачи нечеТRоrо
u
математичеекоrо проrраммировапия, описаннои в задаче
V 2.3.
Задана «максимизируемая)} линейная форма вида
-
tn
ajx J ,
j=1
в которой значения коэффициентов а j описаны иечетко
в форме печ:еТl\ИЖ; подмножеств соответствующих уни-
версальных множеств, Т. е. заданы функции принад-
лежности Х ; (a j ), j 1,..., т. Кроме Toro, задавыоrра-
иичения (для проетоты изложения одно)
' &-
c.x. b,
. J J
}=1
.
f74 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕт:иоrо DроrРАММJIРОВАНI'IЯ IrJI.
причем значения I\оэффициентов с 1 и Ь описаны Т8I\Же
11 форме нечеТI\ИХ подмножеств 'Y J (сД И 1] (Ь) СОот:вет_
Щ их универсальных множеств. Требу..ется ОСУще_
ствую б ERт
ствить рациояаJIЬНЫИ вы ор вептора х , RОТОРЫЙ"
В некотором смысле «М8КСИМИ8ирует» заданную не-
четко линейную форму. v
Анализу задач принятия решении TaKoro типа и по....
свящеиы последующие разделы. u
'.4.2. ФоРМУJIИровка ИСХОДВОИ задачи и сведение
ее R общей задаче вечеткоrо математичеСкоrо Про-
rраммирования. В данном раэделе мы СФОРМУЛИруем
задачу математичеСRоrо проrраммирования с нечеТRо
описанными параметрами и сведеJ\i1 ее R общей задаче
нечеткоrо математичеСl\оrо проrраммирования, с тем
чтобы воспользоваться результатами, полученными
в 4.3, для построения 1\fножества неДОМИНИруемых
альтернатив.
Пусть Х - заданное универсальное Множество
альтернатив. Подмножество допустимых альтернатив
описывается неравенствами вида
фj(Х' b 1jt ..., Ь,I) ::(0, j - 1,..., n,
(4.4.2)
rдеФJ sаданныефУНRЦИИ XXRP -+ Rl; Ь ц , i 1,. · .J Р;
j . 1,..., п, · числовые параметры, значения ноторых
описаны нечет.ко в форме нечетких подмножеств число-
ВОЙ оси; пусть '1'1 (b'j)' i . 1,.. ., р; j 1, . . ., т, .
заданные функции принадлежности этих нечетких lvIHO-
жеств соответственно.
Выборы альтернатив оцениваются значениями З8-
данной фУНIЩИИ f: Х Х RfJ -+ Rl вида
f (х, а 1 , · · ., ag)t (4.4.3)
в КОторой a i , i - 1, ..., q, числовые пар аметры ,
апачеН1IЯ которых танще Описаны нечетко в форме не-
!етtких - ПОДМножеств ЧИсловой оси. пусть к. (а.),
1= '" ·
, · · ., q, - ааданпые функции принадлежности этих
нечетких МНОжеств. Заметим что в силу нечеткости опи-
сания параметр , u Е х
( ов 41 оценна любои альтернативы х
Т. е. значение фУНКЦИИ ') представляет собой печеТJ{ое
ПОдмножество числовой оси.
А.']
НЕЧЕТIЮ ОПИСА1iНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
175
Для завершения фоРмулировки задачи
описать отношение предпочтения в Увиве :неоБХОДИ IО
реальноь! мно-
жестве оценок альтернатив (иными слов
u ами, в Универ-
салЬНОМ множестве значеНЮI ФУНRЦИИ f). в данном
сл чае ЗТО унивеРRс льное множество преДставляет со-
бои числовую ось и мы будем СЧИтать "ТО
, ИСходное
отношение предпочтения Совпадает с естес
порЯДКОМ <» на Rl. твенвым
. Приведенную формулировку заДачи следует рас-
сматривать K K описание ИСходной информации, на
основе которои должен осуществляться выбор альтер-
натив из универсальноrо множества х.
Далее мы сформулируем эту задачу в форме общей
задачи нечеткоrо математичеСRоrо проrраммировавия
( 4.2, 4.3). Это позволит построить в множестве Х не-
четкое ОТНО1Пение предпочтения, соответствующее ис-
ходной нечеТRОЙ информации. Затем, пользуясь ре-
аультатами, полученными в предыдущих разделах, ыIы
сможем выделить в множестве Х подмножество неДО}IИ-
нируемых альтернатив, которое и будет служить осно-
вой ДЛЯ рациональноrо выбора альтернатив.
Для формулировки соответствующей общей задачи
можно непосредственно применить ПРИНЦИП обобще-
ния (9 1.3) ДЛЯ определения нечеТRИХ значений (образов)
.-функций Ф j и " соответствующих нечетким значениям
ВХОДЯЩИХ в них параметров. Мы же восполъзуе IСЯ здесь
друrи:м приемом, который представляется Ha { более
I .
ваrлядным.
Обратимся сначала :{\ нечетким оrраничениям (4.4.2)
и построим соответствующее Иl\'I нечеткое ПОД}.-Iножество
допустимых альтернатив, ФУНRЦИЮ принадлежности
ROToporo будем обозначать РОС (х). При ЗТОМ МЫ будем
опираться на следующие рассуждения.
Пусть ., i - - 1, . .о .о, р; j - 1,..", n, не:которые-
'}
IЮНRретные числовые значения соответствующих пара-
метров в оrраничениях (4.4.2);. степени их пр:инадле -
IЮСТи заданным не'lетким :м ноже с тва"l равны '" соотве -
Ственно \1 ij (lfJ J ), i 1, . .. ., р; j 1, .. · ., n. о 003 Н аЧIн,r
J.L 0 МИIfИl\f8льное ив ЭТI,fХ tIIIсел, Т. е.
. 1-'- о . min V Ij (b i).
i=l, ..., р
j=l, .. -, "
176 ОБЩАЯ зАДАЧА НЕЧЕТ1\оrо проrРАМ:М:ИРОВАНИЯ [rJI. 4
Если пекоторaJI альтернатива х Е х УДО8леТВОРнет
неравевствам
фj(Х' Ь P...» b;j) <О» j : 1» .. ., п,
ТО естественно считать, что эта альтернатива ПРинад-
лежиТ множеству допуСТИМЫХ ьт:рнатив (т. е. ДОпу-
стима) со степенью, не меньm и р., Т. е. считать, Что
Р-с (х) > ,....0. Этим, собственно rоворя, уже и ОПреде-
ляется нечеткое множество допустимых альтернатив.
Для удобства записИ ero функции принадлежности
введем спедую е обозначения:
v (В) mil1 v4j (Ьц), В Ьц 11,
_=1, ..., р
1=1, ..., n
Р(х) {В ' JlbijJl, i - 1,..., р;
j 1,... пfфj(Х' Ьц'.. ., b pj ) <'0,
.
J
1, . ..., п }.
в этих обозначениях получаем
РОС (х) sup v (В). (4.4.4)
в Е Р(ж)
Каждой альтернативе функция р,о ставит в соответ-
u
ствие степень допустимости этои альтернативы с уче-
том исходной нечеткой информации опараметрах orpa-
..
пичении.
Обратимся теперь к заданной вечетко «максимизи-
руемой& функции (4.4.3) и представим ее в виде нечет-
кой функции цели вида ер: Х Х Rl -+ [О, 1]. Рассуж-
дения адесь во мпоrом аналоrичны предыдущим.
Пусть а2, i - 1,..., q, некоторые lюнкретные чи-
словые 3В8чеI!ИЯ параметров функции (4.4.3); степени
их принадлежности заданным нечеТRИМ множествам
равны соответственно 3!, (a ), i 1,..., q. Пусть rpO _
минимальноо- из этих чисел, Т. е. & --
О · ( О)
ч' ШIП Х, а, .
4=1, ..., q
Пусть, наконец, х Е Хнекоторая альтернатива, а число
rO - f (х, аУ, . .., а:)
представляет собой соответствующее альтернативе э; и
аначениям парам:етров a значение фУПI\ЦИИ (4.4.3).
4.4]
IiЕЧЕТRО ОПИС.А.ННы
Е ПАРАМЕТРЫ
177
Естественно считать, Что это зн
надлежит нечеТIЮЙ оценке аль ачеНие (число ,.о) при-
не меньшей f.f'O. Отсюда мы по р:ативы х со степенью,
четкая функция цели СП (х r) у аем, что ИСКО Iая не-
т , имеет вид
ер (х, r) sup х (а),
aEQ(x, Т)
I'де
х (а) - m in х. (а.) а (а )
i -1 1-"! , - 1,....., а n 1
- ."., lj
Q (х, r) {а I а Е RЧ, f (
Х, a 1 , . . .., а q) r } .
Окончательно получае?\{ что исходная
... J задача с не-
четко описанными параметраl\IИ фОР!twlулируе Ф
u б u - · теш в орме
следующеи о щеи задачи нечеткоrо ьtатеhJатическоrо
npоrраммирования: «1\-I8КСИМИЗировать» нечеТRУЮ Ф НR-
дИЮ цели у
ер (х, r)
sup х (а) (4.4.5)
aEQ(zJ r)
на нечеТКОhf 1\iножестве
допустимых альтернатив вида
sup v (В). (4.4.6)
ВЕР(х)
Следующий этап нахон<дение неДОi\fИНliруемых
альтернатив для сфорыIлированнойй общеiI задачи.
4.4.3. Недомиппруеl\fые альтернативы в задаче с пе-
четко ОПIIсапвыми параметраl\IП. РаССl\fОТРПАf сначала
более простую задачу с нечеТRОЙ функцией цели (4.4.5)
и обычным (чеТI\О ОПIlсаННЫ1\I) l\lножеСТВОhI допуетимых
альтернатив, эадаННЫl\1 нераБенс.тва IИ
фj(Х' b 1J ,...., b pj ) <'0, j 1'.... п,
o (х)
с точно иsвеСТНЫМI1 значения. II'I пара Iетров.
Функция fP (х, r) и естественный ПорНДОR (» на
числовой оси (универсальном множестве значений фУНR-
ции f) индуцируют ( 4.2) на множестве Х нечетJtое
отношение предпочтеНfIЯ вида
(ж 1 , Х 2 ) · sup min {fP (X 1 , z), Ч' (Х З ' у)} ="'=
2, "ЕВ.
. tI
_ Sl1p lllio { sпр х (a)t sup х (а)}.
6";!;!/ aEQ(a l' "') aEQ(x 2 . у)
12 с. А.. О pJIOtlCl(11 i \
178 оБЩАJl зАДАЧА НЕЧЕТIЮ ТО ПРОТРАмМИРОВАНИН [rл. 4
Пусть 1),1. д. (х) _ - соответствующее печеТI{ое множество
недомИНИI}уемых альтернатИВ Б мпш!<естве (Х, "'Ij). Вы-
берем некоторое число а ИЗ интервала О < cl 1 и
рассмотРИМ задачу нахожден( я. алътернативы, сте-
пень недоминируемости которОfl не меньше а, или
1j"' ;1. (х) а.
Буде}1 предп лаl'ать, ЧТО все исходные нечеТRие
J\.lfIOi."[{eCTBB Х. (а.), L 1, . . '; q, таIЮВЫ, ЧТО sup "i (a i ) а..
l i " а. Е пl
,.
Пока;.I{е I, ЧТО в этОМ случае функцИЯ (4.4.5) обладает
--'"
CBOlfICTBOi\{
sup ер (х, r) а.
УЕВ!
при люБО 1 Х Е х. Допустим, чТО найдетсЯ !i Е х, для
ROTOPOl"O
su р <р (х, ,.) - d < а..
rERl
(4.4.7)
это означает (см. (4.4.5»), ЧТО при любом r Е R 1 И любом
а Е Q (х, Т) выполняется неравенство
,,(а) d < а. (4.4.8)
Выберем произвольно число в ИЗ интервала О < 6 <
< а. d, и пусть а,р i 1, . · ., q, таковы, ЧТО
". (а,) > 1 в
(существование таких а, следует из
о функциях х,). в результате получаем
х (й) . min )(.. (а.) > 1
. ,.
,=::1, . . ., 9
I.J
предположении
- €.
_ BM CTe с Tel\l длн f - f (х, а 1 , ..., il q ) выполнено
а Е Q (х, F). Однако в силу выбора в неравенство (4.4.8)
не выполняется для F Е Вl И iL Е Q (х, r) и, следова-
тельно, не выполняется ие-равеис.rво (4.4.7).
Итак, если все заданные неLIeткие мнш-нества х. n:м.еlО1'
вые t
оту, не меньшую а, то выполнены все уел овИ» тео-
ремы 4.3.1 и поэтому для haXOl-I<депия альт ер Н8тНБI
степень IlедоминируеМОСТIJ !ШТОРЫХ lJe меlJьще а, 13 ,Э6 С '-
4.'1
1:I:ЕЧЕТRо ОfIИСАIПIЫЕ НАР АмЕтрыI
t7 '
сматри.ваемом случае ДОстаточно !:>еlIII1Ть
задачу ма1'ематичеСRоrо проrрам:мирова:вия:
r > тах,
<р (:с, Т) > а.,
ф.f (х, Ьц,".' b pj ) О, j . 1,. .., п. (4.4.9)
rER\ хЕХ.
следующую
Предположим для ПРОСТОТЫ, что МНожество Х ROM-
пакт о, все функции i (a j ), i 1, · . ., q, непрерывны
на В, а ФУНКЦИЯ f {х, а 1 ,..., a g } llеnpеРЫвна на ТИХО-
НОВСНОМ произведении Х Х RfJ.. Нетрудно показать, что
в этих условиях задача (4.4.9) ЭкВивалентна слеДУющей
задаче:
f(x, а 1 ,..., a .) шах
при оrравичениях
X t (a i ) > а, а, Е R\
Фi(Х' b 1i ,..., b pi > <:О,
i 1, . . " q,
.
]
. 1, . . .., п.
(4.4.1 О)
Действительно, пусть пара (х О , ТО) ЕХ Х Rl _. реше-
вие задачи (4.4.9). В npинлтых выше предположениях
ФУНI\,цин )(а) непрерывна на Ш, а множество Q(x, r)
замкнуто в R1a Пусть вектор а О Е Q (х, 1') такой, что
х (а О ) а.. Тоrда по определению множества Q (х, r) по-
Лучаем ,(х О , U 1 ,..., a g ) 1.0.
Допустим, ЧТО (х О , аО) не является решением звдачи
(4.4 а 10), Т. е. найдутся x 1 , аl, уДовлетворяющие or pa-
Пиченилм задачи (4.4.10), таRие, tITO j(xt, аl, . '., а:) -
r 1 > rO. Это означает, что а 1 Е Q (хl, r 1 ) и ер (x 1 , r 1 ) > 0:,
Т. е. пара (х\ 1.1) удовлетворяет оrрв.НIIчеНИЯl\1 за-
дачи (4.4.9). Но тоrда не может быть r 1 > 1.0, поспольку
(:t 0 , rO) · ТОл,е решение задачи (4.4.9).
Столь же просто пОlщзатъ, что любое решение З8-
дачи (4.4.1 О) есть решение задачи (4.4.9).
Р u четко описаны
асс.мотрим теперь задачу J в НОТОрОIf u ЯН ии
параметры а z. 1 q IВRСИАfизируеl\.JОlf фу Ц
., , · · .. , · 1 п
и llечет.l{О - apaMeTpы b iP i 1, . . " Р; 1 , · · ., ,
оrР8ничений (4.4.2).
12.
180 ОБЩАЯ:ЗАДАЧА НЕЧЕТRоrо ТIроrРАММИРОВАliИя [rл. 4
в ЭТОМ случае нечет.кое множество ДОПУСТимых аль-
тернатив описывается функцией принадлежности вида
(4.4.4):
f-Lc (х) - - вир V (В),
ВЕР(.$)
rде
В .. bц ' i
v (В) -
1 . Р . /. 1, · · .. п,
, ..., , ,
miп Vjj (b;'j)'
i=l, ..., р
j=l, .... 1I
{В 11 Ь_ } 11, i - - 1, · · ., р;
1, . . ., п I Ф j (х, ь 1р ..., b pj ) <. О, j
р (х) .
.
]
1, . · ., п}.
Таким образом, данная задача представляет собой
задачу «максимизации» обычной фУННЦИИ f: Х -')о Rl
на нечеТRОМ множестве [.10 (СМ. 2.4). Выборы альтер-
...
ватив в такои задаче оцениваются значеНИЯIVIИ двух
функций (критериев): /-«эффективноетью» альтерна-
тивы и fLcr-етепенью ее допустимости, причем рацио-
нально так выбирать альтернативы, чтобы значения
обеих функций были ПО возможности большими. Иными
GlIовами, данная задача свелась к задаче принятия
решений по двум нритериям: f и Р-С.
Нетрудно проверить, что ч. Н. д. альтернативами
в рассматриваемом случае являются паретомаI{сималь-
вые альтернативы ДЛЯ пары фуп:кций f и fJ-С. ДЛЯ на-
хождения таких альтернатив достаточно, например,
найти мансимум следующей свертки этих фУНIЩИЙ:
L (х) -- л1f (х, а 1 ,..., a q ) + Л 2 Р-а (х),
rAe А 1 > О, 1.2 > О, Л 1 + Л 2 1.
Пользуясь выражением (4.4.4) ДЛЯ функции 110 (х) и
сделанными выше предположениями, запишем фУНRЦИIО
L (х) в виде
L (х) - - тах min {л1f (х, а 1 ,..., a q ) + Л 2 Vlj (Ь.Ij)} ,
ВЕР(ЖJ '1=1,..., Р
J=l, ..., n
rде
в - 11 Ъ,} 11, i -- 1, . н, р; j -. 1,..., п.
'.4]
НЕЧЕТНо 01111CAIIHbIE
l1АР АМЕТры
181
Б результате эадачу макси
можно СФормулировать слеДУI:r ции функции L (х)
определение МНожеСтва р (х»:щ обраяом (СМ. также
с > тах
,
фJ (х, b 1i ,..., b pi ) < о,
Ь. . Е Rl i 1 .
t J , , · · ., р., J 1
,.. , 1t,
л 1 f(х, а 1 ,..., а..)+Л 2 V..(Ь..):&:С
:11 "}") ,
i 1, · · · J PJ- J. - - 1 n
, · · -, J
хЕХ.
Любое решени.? з;0 Е х этой задачи ч.и.д. альтер-
натива в исходнои задаче.
Любая дОпустимая алътернатива,';доставляющая
максимум функции L (х) иа множестве Х является
u ,
паретомаксималънои для функции j и Р- с ' а :потому и
ч.н.д. альтернативой для исходной задачи. Выбирая
различные коэффициенты свертки А 1 > О n А 2 > 01
МОЖНО получить достаточное мноrооБР8вие ч. Н. д.
альтернатив.
Каждая из ч. Н. д. альтернатив х О хараItтеризуется
двумя числами: соответеТВУIОЩИМ ей значение { ФУНК-
цИИ f (х О ) и степенью ДОПУСТИl\IОСТИ этой альтернативы-
ft c (х О ). При выборе конкретной альтернативы л.п.р.
должно ИСХОДИТЬ иа Rомпромисса l\fежду желание?vI вы-
брать по возможности более ДОПУСТИl\fУЮ альтернативу
и желанием получить по возможности большее значе-
ние фУНRЦИИ j. (Подробнее об этом см. в п. 2.4.2).
О б щ а я 3 а Д а q а. Обратимся, ПRRонец, I{ об-
щей задаче в КО'fОРОЙ иечеТI\:О описаны вак параl\1етры
а, функции' /, так и параметры b'j оrраничений (4.4.2).
Нан показано выше, эту задачу можно сформулировать
в виде общей задачи (4.4.5) (4.4.6).
Заметим прежде Bcero ЧТО в данной задаче выбор
, двух
альтернатив ДОЛ1-кен осуществляться с учетом
отношений предпочтения па множестве a ЬTepHaT B
х : нечеТI(оrо индуцированноrо фун:кциеи (х, )
(4.4.5), и че коrо, индуцированноrо функциеи fJ'c и
естественным порядком на Яl.
.
182 оБЩАЯ 3АДА'(.IА НЕЧЕ r rI{ОI 1 О l11 J OI'PAMMfII J OBAI-II1я [rл. '-
ИаК было поназапо в 4.2, фУНКЦИЯ ч' (х, 1") И есте-
ственнЫЙ ПОРЯДОК (» на Rl инДуцируют на Х нечет-
кое отношение предпочтения вида
'll1(X 1 , Х 2 ) -- sпр min{'P(x 1 , У), (X2' z)}. (4.4.11)
21, ЕЕпl
?I z
Второе отношение предпочтения на Х определяется
тем, что более предпочтительны альтернативы, имею-
щие большую степень дОПУСТИМОСТИ, Т. е. те, KOTOPЫ I
соответствуют большие значения функции f.lC' Таким
образом,
1J2 (х 1 , Х 2 ) ·
1 при (.tc (х 1 ) > (-Lc (Х 2 ),
о при fJ'o (х 1 ) < {10 (х 2 ).
(4.4.12)
Задачи TaKoro типа (с несколькими ОТIlоmеНИЯМJ:I
предпочтения) обсуждалисъ выше в 3.3, rде была пред-
ложена процедура построения нечеткоrо ПОДМНО}I,еетва
веДО1\JIинируемых альтернатив. В соответствии с этой
процедурой требуется построить две свертки исходных
Н. о. п. ТJl И 112: их пересечевие и взвешенную сумму.
Пересечение 'YJl и 2 имеет вид
i J l (х 1 , Х 2 ) -- min { 1 (Х 11 х 2 ), 1}2 (х 1 , х 2 )}, (4.4.13)
а вsвешенная CYl\tMB при условии ОДliIlаковых :коэффи-
циентов ваЖJlоети ИСХОДНЫХ JI. о. п. 1Jl И '"q2 ИIvtеет ВИД
"'2 ( ) _ _ 1 [ 1 ( ) + 2 )
11 Х 1 , Х 2 2' 11 Х 1 ' 3:2 (Х 1 ' х 2 ]. (4.4.14)
Пусть fJ1И. д. И iJ2 lr . д. Jlечеткие ПОДМНОrнества недо-
минируемых альтернатив MHOj-неств (Х, l) И (Х, fJ2)
соответствеИIIО. "J оrда, соrлаено ПIJоцедуре 3.3, ревуль-
ТИРУЮIцее ПОД1\rfI-lОtI-(ество IiеДОIvlИНItIруе!\(ых аЛfэтеРIlаТlfВ
имеет ВИД
1j11. ". (х) min {iJIП. д. (х), . 2П. д. (х)}. (4.4.15)
Функция принадлежности "'fJП' п. служит основой для.
выбора ноннретвых альтернатив в исходной общей за-
даче нечеткоrо математичеекоrо проrраммироваииЯ.
Нан и прежде, в данной :задаче представляет инте-
рес вопрос о нахождении альтернатив х Е х, для КОТО-
'. I
НЕЧЕТI{О опfIсАнныE ПАР
АМЕТРы
183
ры:х. "tJИ.)I;. (х) ;:::: а., rде а. . некоторое
ИЗ интервала "[О, 1], т. е. альтернатив ::дапное Число
JlИруемости которых не меньше а Од' епевь недоми-
:ПИЯ изложения ниже мы расемо рим нако для упроще-
ния Ч. Н. Д. альтернатив, т. е. таRиххЕ адачу :ахожде-
(случай а. " 1). Рассуждения для более' ЧБТО '"q "д. (х)==l
< 1 о щеrо случая
(J., И во МIIОТОМ аналоrичны приведепным ниже <:
так, paCCMOTp M задачу определения альте ·
Х Е х, для коТОроИ ТjH. д. (х) . 1. Из (4 4 1 ) рнативы
б.' OJ получае:\l.
ЧТО ДЛ ЭТОI'О нео ходимо и достаточно выполне я
условии
fJI П . д. (х) 1, ifИ. д. (х) 1,
т. е. чтобы х была., ч. н. д. альтернативой одновре),leННО
в мнок<ествах (Х J 1) И (Х, i-J2.).
ВЫЯСНИЬi сначала условия, при которых х есть ч. Н. д.
альтернатива в множестве (Х, -Ч), т. е. ij1И. д. (х) 1.
Для ЭТОrО обсудим прежде Бсеrо вопрос о линейности
Н. о. п. il 1 .
Если исходные нечеТRие Ьiножества х, (a i ), i
_ 1,..., q, нормальны, т. е. sup x i (a i ) 1, i - 1,...
а. ЕНI
t.
. . ., q, то, кав: покаsано выше (а 1 ), функция
ер (х, r) (4.4.5) обладает свойством
Бир ер (х, r) 1
УЕНI
при любом х Е х. Отсюда и из теоремы 4.2.2 следует,
что Н. о. п. 711 СI[ЛЬНО линейное отношеНliе.
Нетрудно видеть, что Yj'J тоже сильно линейное
отиошение. Однако пересечение f( (4.4.13) этих отно-
шений этим: свойством, вообще rОБОрЯ, не обладает.
Пусть, например, 711 (х 2 , Х 1 ) 1, 1jl(X 1 , х 2 ) а (О < а< 1),
-q2 (х 2 , Х 1 ) О, 112 (Х 1 ' Х 2 ) _ 1. В Эl'ОМ случае l (х 1 , Х 2 )
:: : а < 1 и iJ.l (Х 2 ' Х 1 ) ; о, т. е. fJl (x 1f ) > fJl (х 2 , x 1 ).
ПО iJl (Х 1 ' 3:2) =F 1. u
Пос:копы-(у Н. о. П. fJl не является сильве линеИНЫl\I,
то для нахождения ч. н. д. альтернатив в множестве
(Х, 1).1) мы не можем воспользоваться теоремой 4.3.1
при а , 1.
ПУСТI:) X . в. д. подмножество всех ч. н. д. 8 Te -
Натив множества (Х, 1')2), Т. е. .мНШI{ествО всех х Е х,
ДЛЯ ноторых р8пеПС1 ВО -q2 (xO, ) · 1 1Jыполвяется прu:
184
АДАЧ А НЕЧЕТRоrо проrРАММИРОВАНИя [rll ,.
ОБЩАЯ 3 ·
любом х Е х. Покажем, ЧТО ч. н. д. альтернативы. мно-
(Х ,у.l) (Т е. ч. Н. д. альтернативы ПО Н. о. п. 1)
жесТВ8 ,.. · х .,
О ИСI{ать среди элеftfептов мнол<ества i. Н. ц.
достаточн ·
Пусть fJI B _ нечеткое отношен : (CTPoro преДПОчте--
соответеТВУIощее Н. о. п.. 1'1 СМ. определение
НИЯ, 3 2 1) и пусть х О Е X . Н. Де. ПОRВ,I-сем, 'tITO
в п. .., д
.,]. (х х О ) = О при любом х Е х:. и. Д.. опустим ПРотивное,
11 е 'что найдется альтернатива х 1 СЕ Xi' и. д. t дЛЯ IЮТО-
й .iJIB (х!, х О ) > О, т. е. (СМ. определение fJl (4.4.13) И
iJIB (п. 3.2.1»
min {"fJl (х 1 , хО), Тj2 (Х 1 ' х О )}
min {Тjl (:.сО, х 1 ), 712 (х О , х 1 )} > о. (4.4.16)
Но поскольку хlЕХ 'И'Д., хОЕХi' Н ' Д . и '1Jl(X 1 , »o
при любых Х 1 ' Х 2 Е Х, то -q2 (Хl, хО) О инеравенство
(4.4.16) невозможно, т. е. выполнено 1" ( , хО) _ О.
Таким образом, ни одна альтернатива х f:E Xi' в. д. не до-
tJ
:минирует строто с попожительнои степенью альтерна-
ТИВЫ из tиожества Х;. Н. д..
Поквжем теперь, что если х 1 ч. Н. д. альтернатива
в множестве (х;- Н. Д., Т'Jl), то она является таковой
и в множестве (Х, l). Действительно, }Сак ПОRавано
выше, при ЭТОМ .".18 (х, х 1 ) . . о ДЛЯ любоrо :z: Е х ч . п. д. С Х.
Пусть х Е X . В. Д., тоrда из Toro, что х 1 - ч. Н. д. аль-
тернатива в Мllожестве (X . Н. Д., 1) И 1]1 · СИЛЬНО ли-
нейное Н. о. п., получаем (теорема 3.2.4), что 711 (х!, х) 1.
Кроме Toro, 11 2 (х 1 , х) ; 1, ПОСRОЛЬКУ х1 Е х;. Н. Д.. Отсюда
заключаем, что перавенство
11 8 (х, х 1 ) min {Тjl (55, х 1 ), 112 (х, :z:l)}
- min { 1 (х!, Х), Тj2 (х1, х)} > о
неИО3МО)I(НО.
ИТ8К, мы показали, что если х 1 выбрано описаннЫМ
Bьnne способом, то равенство 1118 (х, х 1 ) . О выполняетсЯ
при любом х Е Х, Т. е. что x 1 - ч. Н. д. альтернатива
в множестве (Х, 1).
ТaI{ИМ обршюм, для наХО)'Rдения Ч. Н. д. альтерна-
ТИВЫ в Множестве (Х, 1) Достаточно найти ч. 8. д.
альтернативу в множестве (X . и. Д., 1l 1 ). Пусть исходные
нечеТRие мнон<ества v (Ь ) .; 1 р. J. 1 .. I 11"
1.) lJ' 11 , · · .', . , ·
'f3R08bТ t 1._ТО с"у еС R Ю'l' Ь2р АЛЯ ,\Оторьтх УО (b ) ' . 1,
. ..
&. ]
нЕЧ .l'l-{О 0111ICA1-IНЫЕ lIАlJi\.rй rl.РЫ
185
I\aR: нетрудно видеть, при } TOi\l множес:rво .\ . 11. д. со-
ставлЯЮТ альтернаТИJЗЫ х Е х удовлеТВОlJ<=JЮ ...
, .. F. Щlilе УСЛОВИН l
фj(Х' b 1i ,. -., bpj)<O, j :: 1,..., п,
.J.(bij) - 1, ЪцЕВ\ i 1,..., р,. J. - 1
, · · .) n.
Задача нахождения ч. Н. д. альтернативы в мно-
жеG'I1Jе (Х, i)1) аналоrична задаче, рассмотренной в на-
чале u дав:ноrо раздела. Если выполнены все введенные
в тои sадаче предположения о множестве Х и функции
f t ТО получаем следующую sадачу для нахо»:<дения
ч. Н. д. альтернативы в множестве (Х, fjl):
f(x, а 1 ,..., a q ) > шах (4.4.17)
при оrраничениях
Фi(Х' Ь 1i "'" b pj ) <О,
vjj(b ij ) 1, i 1,..., р; j
x.(a j ) . 1, aiER 1 , i
хЕХ.
Любое решение х О Е х задачи (4.4.17) (4.4.18) есть
ч. Н. д. альтернатива в множестве (Х, 111) И В то }не
время ч. н. д. аЛЬ'l'ерн:атива в множествах (Х, 111) И
(Х, 2).
u
ПОRажем теперь, ЧТО любое решение этои зада qи -
ч. н. д. альтернатива и в множестве (Х, :1). Действи-
тельно, нечеrnое подмножество недоминируемых альтер-
JIатив множества (Х, -q2) имеет вид (см. (4.4.14»
211. д. (х) 1 sup ( 1jl (у, х) 1j1 (х, у)) +
gEX
+ (1i 2 (у, х) - - Тj2 (х, у»]. (4.4.19)
Пусть x(J I)еmение З8дачи (4.4.17) - (4.4.1 ). Тотда,
посколы{у хО ч. Н. д. альтернатива в (Х, 11), ТО прll
любом У Е х выполнено
1]18 (у, а;О) О
bijER1,
1, . . ... n,
- 1,...., q,
(4.4:18)
.
или
111 (у, х О ) 711 (х О , у) о.
186
ЧА Н ЕЧ1IOТ1<оrо nPOrPAMMIIPOBAH11fI [rJl l
оБЩАЯ ЗАДА i
о _ ч. Н. д. альтернз.тива в l\fJIол<еСтве
Ol\fe TOrO, х
Из двух последниХ неравенсТВ следует, что В (4.4.19)
sup [(1Jl (у, х О ). 1Jl (х О , у» + (1J2 (у, хО) 2( хО, у»)] - - О,
t/EX
Т. е.
fJ2И. ж. (х О ) 1.
Итак, любое решение задачи (4.4.17)
петворяет условиям
"'111 · (-'1) 1 2B. . ( O)
1l . .;t;- .. ,.., а(,
· (4.4.1 В) УДОВ-
1,
JI поэтому (см. (4.4.15»
11 и . д. (х О ) ' 1,
о
Т. е. .-х
ч. Н. д. альтернатива для ИСХОДНОЙ общей
задачи.
Наличие в полученных выше задачах :матеМ8тиче-
eHoro проrраммировапия оrраничений вида V,j (b,j) 1
и Х 4 (а 4 ) - 1 rоворит о ТОМ, что для нахождения ч. Н. д.
.,
альтернатив висходнои аадаче достаточно 7читмвать
пишь те значения параметров, которые заведомо, Т. е. во
отепенью 1, принадлежат соответствующим нечеткик
множествам аначений параметров. Поэтому, если инте-
ресоваться лишь ч. Н. д. альтернативами, то при форму-
лировке исходной задачи можно не требовать полноrо
описания нечетких множеств значений параметров,
u
оrраничиться лишь указанием интервалов их вначении,
со степенью 1 принадлежащих этим множествам. За-
дача при этом авалоrичиа той, в которой в виде интер
валов заданы результаты иамерений значениЙ пара-
метров с определенной степенью точности.
АвапоrичнliШИ рассуждениями можно прийтиI к ВЫ-
BO Y о том, что для нахождения альтернативы, имею-
щеи с:епень ведоминируемости, не меньшую sадаПll оrо
'lИСJI&J.,tl ( B.;W;. (ж) > а.), достаточно решить следУЮЩУЮ
задачу математичеСRоrо проrрамм:ирования:
f (х, а 11 ..., a q ) шах (4.4.20)
6.4]
НЕЧЕТНО ОПИСАННЫЕ ПАР
АМЕТры
187
при оrраничениях
фj (х, b 1j ,.... b pj ) о,
Уц (b ij ) > а, i 1, . . " р;
х,(а,»а, а,ЕВ\ i
хЕХ.
Нужно отметить, что Формулировка получаемой
задачи для нахождения ч. н. д. альтернативы зависит
от прmlя оrОl спосо 2 ба свертки (типа (4.4.14)) нечетких
отношении -q и 1l (см. выше). При рассмотренном
здесь способе свертки с одинаковыми коэффициентами
...
:важности этих отношении для нахождения ч.н.д.
альтернатив достаточно учитывать лишь значения па-
- раметров, входящие в соответствующие нечеткие MHO
жества со степенью, не меньшей а. (В задаче (4.4.20) .
(4.4.21». При друrих способах свертRИ (с различными
:коэффициентами важности) может потребоваться пол-
ное описание этих нечетких множеств, что можно видеть,
u
наПРИ1\1:ер, в описаннои выше задаче с чеТКИ IИ значе-
ниями параметров a i - Выбор KOHKpeTHoro способа
u
свертки рассматриваемых нечетких отношении дол-
жен быть сделан с учетом особенностей расс rатрива-
u U
емои задачи принятия решении.
Решение задачи типа (4.4.20) - (4.4.21) повволяет
определить лишь некоторые из недомипируемых аль
тернатив (с соответствующей степенью а) для исходнои
общей задачи. Можно ПОRаэатъ, что еще один способ
нахождения недоминируемых со степенью а алътерна-
u .
тин заключается в решении следующеи задачи.
mill f (х, a 1 ,..", a f ) шах
а l . .. 8. ОЧ
ъ. Е Rl
'3 ,
j 1 t · · ., n,
1, · .., q,
(4.4.21)
при оrравичениях
фj (х, b 1jJ ..., b pj ) < О,
v'J (ыj) > (х, b'i Е R 1 , i 1, · . ., р; j 1, · · ., n,
(а ) IY а Е R 1 i .. 1,..., q,
)(4 i?' \011-, i )
хЕХ.
3аметим что получаемое в последней задаче зна-
чение ФУПК ИИ / представляет собой наиболее оетороЖ-
.
188
ЗАДА ЧА НЕЧЕТRоrо проrРАММИРОВАН{lIЯ [rл
ОБIЦАЯ ·
( сим пстическую») оценку альтернатив, недо-
пр еше ю v
мых со степенью, не меньшеи а, 8 соответствую_
=:::чение f в задаче (4.4.20) (4.4.21) наименее
IUJtпую «(оптимистическую)) оценку · 3аключен-
OCTOPOIJ1.D.
нЫЙ между этИМИ оценками интервал позволяет СУДить
о возможныx значениях функции f при выборе альтер-
натив, недомипируемых со степенью а.
ЭТИМ МЫ завершаем обсуждение задач нечеткоrо
матема тичес 1\ oro проrраммирования. Все сказаННое
выше, несомненно, нуждается в Rоп:кретизации и
развитии, причем описанные выше подходы c eдyeт
рассматривать ЛИШЬ как один из ВОЗ ОЖНЫХ путеи фор-
мализации и использования не1Jеткои информации при
постановке и аналиве реальных задач привятия решении.
IU
4.5. Задачи упорядочения при иечеткои
исходной информации
4.5.1. Введение. По сути дела, в данном разделе
описываются подходы к решению задач принятия ре-
и -
тении при нескольких отношениях предпочтения на
множестве альтернатив. Подобные задачи уже рассма-
тривались в 3.3 данной книrи. Там предполаrалось,
что информация об относительной важности отношений
предпочтения задана в форме соответствующих коэф-
фициентов :важности. Это поаволяло выбирать альтер-
u
нативы, опираясь на свертку исходных отношении
в виде ВБвешенной суммы их функций принадлеж-
ности.
Здесь же нас будут интересовать ситуации, в которыХ
отпос тельпая важность заданных отношений пред-
почтения (ПРИБнаков) описывается не коэффициен-
тами важности, как в 3.3, а, вообще rоворя, печет-
ким отношением типа «не "менее важно» на множестве
прианаков. ·
Заметим, что известные ко ффициевты важнОСТИ
приаиаков однозначно определяют отношение «не менее
ва)I(НО) на множестве призпаков. Поэтому описываемыЙ
ниже подход Применим и к решению эадач" рассмотреп-
ЯЫ в 3.3. Однако набор Rоэффициенто относитеЛ1,-
пои важности содержит в себе БОJlьше информации, чем
соответствующее ему Отношение «ве менее важно», JI
.
I
.,
.
\
\
\..5 ]
ЗАдАЧи "УПОРЯДОЧЕНИя
189
.
поэтому для решения задач с задаНR
там,и более подходит процедура ОП ыми коэффициен-
Н ' J!сапная в 3 3
ужно Отметить еще и ТОт факт "
ситуациях относительную важность' очтто В реuалъных
( ношении пред-
почтения или ПРизна:ков по Которым ОЦ
) , еВиваютея аль-
тернативы не всеrда Можно аДекватно оп
исать СООТ-
ветствующими RОЭФФициентами. (Иными Словами, не
всякое ОТНошение МОЖНО описать функцией полезности) о
Это особенно .?ТJIОСИТСЯ R случаю, коrда :информация об
относительнои .. важности ОТНошений предпочтения
имеет нечеТRИИ характер. Поэтому рассматриваемые
ниже задачи, вообще rо:воря, не Сводятся к а ада-
чам 3.3.
4.5.2. Рациональный выбор альтернатив с учетОМ
набора npизнаков. Пусть задано АШОЖество альтернаnm
(или объеRТОВ) Х и аадано множество признаков (или
экспертов) Р. :Каждой аJIЬтернативе :J; Е х в той ИЛИ
u
инои степени присущ каждыи ив ПРИ8наков I\шожества
Р. ДЛЯ Rаждоrо фИI\сированноrо признаRа р Е р из-
вестно нечеткое отношение предпочтения ер на множе-
стве альтернатив Х ИЛИ, иными словами, известна
фУНRЦИЯ принадлежности ер: Х Х Х х Р [О, 1], зна-
чение ер (Х 1, Х 2! р) которой1 понимается ка« степень
предпочтительности альтернативы Х 1 альтернативе Х2 по
npианаRУ р. Если Р множество экспертов, то
ер (хн 3:2' р) отношение предпочтения на множестве
альтернатив, предлаrаемое экспертом р. Таким образом.!
функция ер описывает семейство нечеТRИХ отношении
предпочтения Ha множестве Х по параметру р.
Элементы множества р, вообще rоворя, раsличны по
важности. Пусть р.: рхр -+ [О, 1] заданное П
четное отноmение-(важноети прианаков (экспертов).!
величина fJ- (Рl' Р2) попимается как степень, с котс:о:
Признак Pl считается не менее важным, чем р-
внак Р2 0 - "JF аль
Задача заключается в рациональном Bыoope ... -
Х описаннои выше
терватив ИВ множества с учетом
И l\I ОДИН ИЗ 803:-
информации Ниже мы .кратко очерт u
· еНИIО этои задачи
можDыx вариантов применения к реш ятие
еrося на поп
rp8ввитоrо выше подхода, опирающ х а льтерв В-
1 8 'lе тк О 1'0 множества недом:ивируемы .
rИВ.
190
АДАЧА Н ЕЧЕтноrо проrРАММИРОВАНИя [rл 4
ОБЩАЯ 3 .
Пусть ерИ.1J;. (х, р) нечет:кое подмножество ведо-
мых альтернатив, соответствующее Н. о. n
минируе Е р ( 3 h ·
( р) при фиксированном Р , Т. е. СМ. п. .z.3)
се :&1' XS'
,ПО ж. (х, р) . 1 sup [ср (у, х, р) f (х, у, р)].
!/ЕХ
Если бы выбор альтернатив осуществлялся лишь с уче-
ТОМ одноrо призпана р, то рациональным следовало бы
считать выбор альтернатив, доставляющих по возмож-
нОСТИ большее значение функции принадлежности
CfИ' ' (х, р) (степени недоминируемости) на множестве х.
В данном же случае требуется осуществить выбор с уче-
том совокупности призпаков, раэличающихся по важ-
ности.
Нетрудно попять, что при фиксированном х О Е х
функция ери. д . (х О , р) описывает нечеткое подмножество
привианов, по которым альтернатива х О является недо-
минируемой. ЯСНО, ЧТО если для двух альтернатив
Х 1 и Х 2 нечетное множество признаков ерИ. д. (X 1 , р) «не
менее важно), чем нечеткое множество ПРИЗН8.I{ОВ
ерИ. n:.(x 2 , р), то и альтернативу Х 1 следует считать не
менее предпочтительной, чем альтернатива Х 2 . Таким
обрааом, ситуация в данном случае аналоrична ТОЙ,
которая рассматривалась в п. 4.3.1 при анализе общей
задачи нечеткоrо математичеекоrо проrраммирования.
Итак, в данном случае нужно обобщить заданное
нечеткое отношение lL (Рl' Р2) на множестве приапанов
р на класс нечетких подмножеств множества Р и счи-
тать полученное нечетное отношение результирующим
Н. о. п. па множестве альтернатив х.
Полъзуясъ рассуждениями и результатами, приве-
денными в ип.4.2.1 и 4.3.1, получаем следующее Н. о.:п.
на множестве Х, ИНДуцированное функцией ерИ.;II;. (х, р)
и вечетким отношением fL:
1J (ж 1 . 3: 2) -=
· "1 feP min {,и. д. (ж 1 , Р1)' ,-. JI;. (3:2' Ра)' Р. (Р1' P\I)}.
Зто . о. п. можно рассматривать кан'результат «свертки»
семеИства IIечетких отношений u'} (х ж р) в единое
реэуза:ь т l' 2'
'ТИРУlOщее П. о. п. с учетом информации об OTRQ-
ЗАДАЧи "УПОРЯДОЧЕНия
191
....
сИ елънои важности признаков, заданнои в форме не-
чет oro отношения.
I\fостроением Н. о. п. 11 исходная задача выбора све-
дев.а\к задаче выбора с единственным отношением пред-
почтения. Для ее решения достаточно определить соот-
ветствующее отношение 1), скорректированное нечет-
кое множество недоминируемых альтернатив. (СМ.
в. 4.3.1) и выбрать альтернативы, доставляющие макси-
мум функции 7i И . -д. (х).
Для иллюстрации описанноrо подхода рассмотрим
два простых примера.
При м е р 4.5.1 (четкие отношения). Пусть Х={ЖIJ Х21
Х х.} заданное :множество альтернатив. Альтернативы срав-
в аются друr с друrом по трем привпанам А, В. с. Пусть ре-
8уЛЬ1'аты сравнения альтернатив по каждому ив ПРИВИa.RОВ
В отдельности описываются следующими матрицами отношения
иестроrоrо предпочтения:
ПО признаку А:
, Х]
Х2
ХЗ
Х4
.
с
Хl 1
Х2 1
Х! О
Х, 1
о
1
О
О
1
t
-1
t
1
1
О
1
по прианаку В:
I Хl
%2
:t u
Х,
..
%1 1
Х2 О
х. О
Же О
1
1
О
1
о
1
1
1
1
О
О
1
.
по привваку С:
I Хl Х2 ХЗ Х4
.
.
-
1 О 1 1
Хl
О 1
О 1
%2
1 1
1 О
:Са
О О 1
О
.2:4
192
. ДАЧА liE(!ETJ{OrO 111:JО1 1 1 J АММI'IРОВАНИл [rJI 1.
UБЩАЯ зА · ,.
v важности прианаков ОПИСывается
отиосиreльвОИ
OTBomelQ1e
матрицей ' А в с
.
А 1 1 1
В 1 1 1
С О О 1
.
ИЗ которой следует 7 ЧТО призпа А и В ЭRвивалентны: друr
r (одинаковО важны) и Rаждыи ИЗ них важнее ПРИВRана С.
дру Й соответствии с описанным выше ПОДХОДОМ определим
множество иедомииируеиых альтернатив по каждому иа ПРИ8иа-
КОВ. В результате получаем
Хl Х2 Ха х.
.
.
,В. д. (Ж-i' А)
о
1
о
О,
%1 . %2
Ха
3:4
.
ff. д. (ж;1 В)
1
о
о
О,
3:1
%2
Ха
Х4
..
tpИ-,.. (ж" С) == 1
1
1
о.
ИIШМИ словами, иедомииируемыми ЯВЛЯЮТСЯ альтернативы:
8) по приаваку А . альтернатива Х2;
б) по приаваку В альтернатива %1;
В) по приаиаку С альтернативы Хl' Х.2' Ха.
Далее, ИСПОЛЬЗУЯ выражение (4.3.1), получаем :матрицу
ипдуцированвоrо отношения предпочтения на множестве аль-
'lерватив:
I Х1
Х2
х.
X
.
.
Zl 1 1
1] (%4. Жj) %2 1 1
-
.
Ха О О
3:, О О
1
1
1
О
о
о
о ·
.
о
.
:0:) : жевию (4.3.2) соответствующее (веСRорреRтировав-
жество веДОиинируемых альтернатив:
Ж 1
%2
%а
Же
.
.
.-. .
i)В.Д.(ж,) · 1 1 О 1.
Нвковец. по формупе (п. 4.З.t)
1JB. д. (з:,) =.5 min { .. д. (%,), "l (%" а:,)}
\
.
5]
ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИи
193
.
,
.
.
..
,
S - ОАИИ скорректированное пече.ткое Ш
..., ожество иедомииируе-
IIы.,' aJIьтериатив: .,
.
,
Жl
Х2
Х В
3:4
.
п. д. (Х ,) : 1 1 Q О
ТаКП 1 образом, приходим R ВЫВОДУ О ТО11 1 3:ТО рациональным
в давво и sаДR-че следует считать выбор альтернатив Хl или Х2.
Заметим, что эти альтернативы недомипируемые по призиа-
хам А и В, которые являются наиболее (одинаково) важными.
При Mue р 4.5.2. (нечеткие отношения). Обратrnrся теперь
:к следующеи ситуации. Некто (л. п. р.) должен остановить свой
выбор на одной из четырех моделей l\IУЖСRОFО костюма А, Б, В
ИJIИ Р. Не полаrаясь цеЛИКО1\{ па свой вкус, он приrласил четы-
рех советчиков (экспертов) 91, Э2, 83 и 94, приче I к мнениям
различных СQветчиков л. п. р. относится (ценит) по-раБ ОМУ:
К мнению одиоrо советчика прислушивается в некоторои сте-
пени больше, чем R мненцю друrоrо.. Пусть относительные B -
..,
воети мнении советчиков л. п. р.. описывает с помощью матрицы
вечеткоrо отношения «не менее важно) (Н. о. II. р,) следующеrо
вида:
, 91
82
93
94
8' v
.., ..
81 1 0,4 016 О
92 1 1 0,8 1
8З 02 1 1 i
,
9 '1 0,8 О 1 L
По hшению советчиков, нечеткие отношения предпо:т
между моделями костюма описываются следующиМИ матр Ц ·
Э1: Э2:
r
в r I А В В
I А В
.
.
018 1 О А 1 011 015 0,3
А 1 0,8 0,8
Б 0,8 1
0,2 1
В О 1
1 О
0,5 0,.3
В
В О 0,8 1 О
О 1
r 018 о
1
r о о о
Э3: 94:
I А В В r
I А В В r «
-
. 019 О
А 1 1
О
О 0.8
А 1 1 1 1
Б О
. О О
Б О 1 0,4 О 1 О
В
О 1 094 1
В 0,1 О О О
r
1 1
r 1 1
13 с. А. ОрлоВСКИЙ
194
ETRoro l1роrРАММИРОВАНИл [rл. 4
ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧ
I
u
В П 3.2.3 определением, ваидем СООТ-
П ьвуясь приведениым 1'Ba недомипируемых альтерва.тив:
ол вечеТRие мпоте
ветствующие I А В В r
reП. . ( · I 91 ) 1 0,2 О О
0;3 1 0.5 012
,Н. д. ( .. 82) 1
О О. 0,3
fB. д. (., 83) 1 О О О
<рВ. д. ( ., 84 )
индуцированное па :множестве ФУНR-
Д aJIее находии и. о. п. 7J, .
и. . И иечетним отношением р.,.
цияииер А В В r
,
"
-
А 1
В 1
В 0,5
r 1
0,4
1
0,5
1
014
0,5
0,5
0,5
1
0,8
0,5
1
Наконец, иаходии соответствующее отношению 11 нечетко
Подив:ожество веДО:МИВируемьrx альтернатив (иоделеи Rостю:ма).
А Б В r
ijJr. д. 1 0,4 0,9
и иорреКтируем ero с учеток вн:ражевил
А В В
0,8
(4.3.26):
r
s .
.
ТJп. д. . 1
0,4
0,5
0,8
Наибольшую степень принадлежности этому нечеткому
lrПIожеству (Т. е. ваиболыую степень недоминируемости) имеет
модель А, ПОЭтому, в Соответствии с преДJIаrаемы:м подходом,
выбор 8тоI :модели и следует считать рациональным.
Есл:и ваиболыпУ1О степень иеДОМИнируемости имеет не одна,
а веекопыro апьтернатив, то л. п. р. Может либо сам выбрать
одну ив вих, исходи ив каRИХ-пибо дОПолнительных своих со-
ображений, пибо расширить Kpyr своих советчиков и вновь
найти llИожество ц. д., наи зто описано выше.
4.5.3. УПОРJlдоч:еиие объектов по набору ПРИ3Н8КОВ.
ocBoBвыM ЭJIементом ИЗJIаrаемоrо здесь подхода можно
С1lИтать Способ решения задачи УПОрядочения объекто
по важности (весам) при заданной матрице отношенИИ
весов этих Объектов, ПОскольку именно на этот способ
,5] ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ
\ 195
ОIl ается предложенный в работе [42.1
зад чи упорядочения по набо метод решения
освове BToro способа ру признаков.
П лежат следу
жения. усть имеется n объектов А ющие сообра-
00 " «(1)1'...' (оп) - вектор относите 1 ' · · ., А 1I , И ПУСТЬ
n л.ьных весов ЭТИХ
объектов, причем (J) 1.
таты попарноrо сравнения объектов
юТСЯ ОТНОJllениями весов этих об по весвам описыва-
ъектов" этом
чае результаты TaRoro попарноrо с СЛУ-
можнО представить в форме следу:ав!ения объектов
мером n Х n: щеи матрицы раз-
А 1
А 2 ... А
fl
001/ Ы2 ... Ы}! WfJ
ы2/ Ы 2 ... Ы2/ Ы п
А 1
А 2
Ыl/ ы l
Ы2/ Ы l
. . .
. . . .
.... ...
. . . .
A JJl ы п /ыl bl 1z /Ы2... W n /W1J
!IетРУДНО убедиться в том, что матрица А обладает
СБОИСТВО f
Аю ПФ
или
(А n .1) ф О,
(4.5.1)
rде 1 единичная матрица, а (J) вектор относитель-
ных весов рассматриваемых объектОВ.
Допустим теперь, что вектор весов w неизвестен,
а известна лишь матрица А. Тоrда, как нетруДНО видеть,
ДЛЯ нахождениЯ вектора весов (j) по матрице А доста-
точно решить уравнение (4.5.1). Поскольку рапr ма-
трицы А равен 1, то n - единственное собственное
. число этой матРИЦЫ и, следовательно, уравнение
(4.5.1) имеет вевулевое решение. Более Toro, ОНО имеет
fJ
единственное решение, обладающее свойстВОМ (l)i - 1.
1
Это решение и есть искоМЫЙ вeRТop отвосmелыIхx ве-
,СОВ объеRТОВ.
Допустим теперь, что элементы ао матРИЦЫ А пред-
u
,ставляют собой не точные значениЯ отпо mеnиИ весов
оОбъектов, а их оценки, предложеввые экспертамИ, при-
13.
196 ОБЩАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТRоrо проrРАММИРОВАНИЯ (rл. 4
I
.
чем по-прежнему выполнено a. j 1laJ.. Ясно, что для
такоЙ матрицЫ оценок, вообще rоворя, не выполнено
u "'ВО а а а необходимое для существования
СВОИС.& ij Jk ik'
иетривиальноrо решения уравнения (4.5.1). Вместо
этоrо уравнения следует рассматривать более общее
уравнение вида
(А
лmахI) w О,
собственное
(4.5.2)
rде Л таХ маКСИ fальное
А (Лmвх п).
Опираясь на приведенные Быте рассуждеlIИЯ, IIe-
трудно понять, что СЛИШRО сильное ТЛИ'Iие Л mах ОТ
п сиrнализирует о некоторои впутреннеи несоrласован-
u
ности оценок экспертом значении элементов матрицы
А и о необходимости их пересмотра, уточнения. С дру-
rой стороны, если значение Лmв.х достаточно близко к n,
то нормированный к 1 вектор w решение уравнения
(4.5.2) можно принять в качестве приемлемой оценки
относительных весов рассматриваемых объектов, вос-
становленных по матрице оценок А.
Опишем теперь предложенный в работе L 42] способ
упорядочения объектов по набору признаков. Восполь-
зуемся ДЛЯ этоrо ОДНИМ из примеров, приведенных в ра-
боте [42].
Человеку необходимо остановить свой выбор па од-
ном ив предлаrаемых ему мест работы А t В И с. Каж-
дое из них он оценивает по шести признакам: возмож-
НОСТЬ научной работы (п. р.), возможности роста (в. р.),
материальные выrоды (М.В.), коллектив (Н.), местополо-
жение (М.), репутация (р.), причем эти признаки разли-
чаются по важности. Пусть результаты попарноrо срав-
нения пр'!знаков дрyr с друrом по важности (матрица
отношении весов приаваков) имеет вид
I Н. р. В. р. М. В. Н. м. р.
число
матрицы
.
&
п. р. 1 1 1 4 1 1/2
В. р. 1 1 2 4 t 1/2
А п -
М. В. 1 1/2 1 5 3 1/2
К. 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
М. 1 1 1/3 3 t t
р. 2 2 2 3 3 t
Первый этап решения задачи упорядочения мест
работы восстановление относительных весов (в аж-
ностей) привI:iаков по заданной матрице А п , Т. е. на-
хождение нормированноrо к 1 собетвенноrо вектора
этой матрицы, соответетвующеrо максимальному соб-
ственному числу, nYTe1\JI решения уравнения типа (4.5.2).
В .резулътате получаем
п. р. В. р. м. В. К. м. р.
"
т ..
ЫП 0,16
0119
0,19 0105 0,12 0,30
Затем авалоrичным образом наХОДИfrI относительные
веса мест работы по каЖДОl\1:У призиаку в отдельности:
( п. р. :н. р. м. Е. К. М. р.
.
А 0,14
В L В 0.63
С 0.24
0,10 0,32 0128 0,47 0,77
0,33 0,22 0.65 0.47 0.17
0,57 0.46 0,07 0,07 0.05
u указаны относитель-
В каждо)! столбце этои "lатриЦ ы
Т вующе fУ IeCTY ра-
вые веса, приписываемые соответс
боты по соответствующе1\IУ призпаку · .... r
-.. б ющее больmИ1v1 ве-
ПОСRопьку место работы, о лада _rII еле-
.. I ТО аспред
пие весов мест работы для д.аиuоI'О
.
198
а ЗАДАЧА НЕЧЕТI{СJrо JIроrРАММIIl)ОВi\lfl[Л [rJI l
ОБЩАп . l
матрицы В) МОЖНО рассматривать нан ФУНRЦИЮ цели,
соответствуюЩУЮ этому приапаRУ. Таким образом,
на данном этапе исходная задача формулируется Ral\
задаqа выбора альтернатив (мест работы) с учетом шеСТII
фунКЦИЙ цели, причем заданы.. Rоэффициенты ОТноси-
тельноЙ важностИ этих функции.
Для решения такоЙ задачи в работе [42] предлаrа-
ется оБЫЧllЫЙ прием: строится взвешенная YMMa за-
данных функций цели с эадаНI-IЫМИ Rоэффициентами
важнОСТИ и выбирается та альтернатива, I\ОТОРОЙ:
u
соответствует наибольшее 3IIa чение построеннои взвеси.
ИНЫМИ словами, для получения результирующеrо на-
бора весов мест работы А 1 В И С достаточно УМIIОЖИТЬ
fатрицу В на вектор-столбец ып- В результате полу-
чаеl\f слеДУIОЩJlе относительные веса мест работы:
А
в
с
.
0,4
0.34
0,26
Наибольшим весом обладает место работы А I И потому
ero выбор следует считать рациональным.
Сравним теперь описанную здесь задачу с задачами
прииятия решений, рассмотренными выше в 9 3.3.
Заметим прежде Bcero, что информация в форме ма-
трицы А отношений весов альтернатив содержит в себе
четкое описание отношения предпочтения на множестве
альтернатив. Действительно, если некоторый элемент
а,! этой матрицы больше или равен 1, ТО это овна чает,
что вес альтернативы i не меньше веса альтернативы
j, т. е. ЧТО альтернатива i определенно (со степенью 1)
не менее важна, чем альтернатива j. Таким образом,
матрица А одиозна ЧlIО определяет матрицу соответ-
ствующеrо четкоrо отношепия предпочтения. Поэтому
описанная здесь задача ОТНосится к классу задач при-
вятия решений при нескольких четких отношенияХ
предпочтения. '
Помимо этоrо, в матрице. А с.одержится и дополни-
тельн!'я количественная информация о величинах отно-
шепии весов альтернатив, которая позволяет ОДIIО-
зпачно восстановить neI(TOp весов. ИIIЫМИ словами,
маТрИЦа А представляет собой описание в определеп-
4.,5 j
3АДАЧ1I JI101-)flДО IЕflIIН
199
ной форме фунн.ЦИИ ПОлезности на МНожестве альтер-
натив, по ноторому эту ФУПНЦШО Можно восстановить,
решив уравнение типа (4.5.2). При этом полаrается,
что при решении практических задач экспертам леrче
более адекватно отравить свои представления об отно-
сительной важности альтернатив в форме :матрицы А,
чем путем непосредственното задания величин этих
весов.
ШJТЕРАТУРА
-
{. z а d е h L. А. Fuzzy sets. . Inf. Contr., 1 65, 8, р. 338 - 353.
2. Z а d е h L. А. Fuzzy оrdеrшgs. - Inf. SCl., 1971, 3, р. 177-
200. f f Р Ь
3 Z а d е h L. А. Shadows о uzzy sets. ro · in Trans.
· of Informat., 1966, 2, р. 37 44.
4. 8 а д е л. А. Осиовы HOBoro подхода к анализу сложных
систем и процессов привятия решений. - Б сб. «Матема-
тина сеrодияt. М.: Энаиие, 1974, с. 5 49.
5. 3 а Д е л. А. Повятие nИRrвиетичеекой переменной и ero
npииеиепие R принятию приближенных решений. М.:
Мир, {976.
6. G о g u е n 1. А. L-fuzzy sets. х. Math. Anal. Appl.,
1967, 18, р. 145 174.
7. G о g u е n J. А. ТЬе fuzzy Tychonoff theorem. х. Math.
Anal. Appl., 1973, 43, р. 734 - 742.
8. N е g о i t а с. V., м i n о u S., S t а n Е. Оп considering
imprecision in dynamic linear programming. - ECEESR ,
1976, 3, р. 83 . 95.
я. В r о w n 1. G. А note on fuzzy sets. . Inf. Contr., 18,
р. 32-39.
10. С h а n g С. L. Fuzzy topological spaces. - ]". Math. Anal.
Appl., 1968, 24, р. 182 190.
1 f. W о n g с. К. Covering properties of fuzzy topological вра-
сев. J. Math. Anal. Appl., {974, 46, р. 697 704.
12. W о n g С. К. Fuzzy topology: product and quotient theo-
t rеmз. - 1. Math. Anal. Appl., 1974, 5, р. 512 . 521.
3. W 10 n g С. К. Fuzzy points and local properties of fuzzy to-
14 [О ogy. - 1. Math. Anal., Appl., 1974, 6, р. 316 328.
· . 0fW е n R. А comparison of different compactness notions
6 , ; zI4J oP' 4!ical 8расез. - :J. Math. Aoal. Appl., 1978,
15. W е i 8 8 М D F- d · 1
gies f f · · lxe pOlnts, separation and induced topo 0-
150. or uzzyeets. J. Math. Anal. Appl., 1975,50, р. 142-
t6. М i с h а 1 е k 1 F 75
Н, N! 5, р. 345 - .354 zZY topologies. Kybernetika, 19 ,
17. Kramosil 1 м. h
tistical metric ., 1 С 8 1 е k J. Fuzzy metrics апd sta-
3 5. врасез. - Kyhernetika, 1975, 11, ](е 5, р. 336-
18. m рей Д ерю А
Наука, 1971. · · Равенство, сходство, порядоК. М.:
ЛИТЕРАТУРА
201
{9. К а u f m а n А. Introduction to the th
N. У.: Acad. Press, 1975. - v 1 eoryoffuzzysubsets._
20. W е е w. G., F u К. В. А f r ul t.
and its application as а model о! le:r l >n о! fuzzy automata
Trans., 1969, BpC-6, р. 215-223. шпg systems. - IEEE
2t. О Р л о в с !{ И И с. А. Об одной за
в нечетко определенноii обстановк:а ри пя решений
прикладнои матемаТИRИ». ИРКУТСR 1976 С .. «Проблемы
22. Ф I m б о р н п. Теория полезноr.ти' .
пии. М.: I-IаУI{а, 1978. для ПРИНЯтия реше-
23. Z а d е Ь L. А., В е 11 m а n R Е De.. ak- .
f 6 . · ClSIOn-m Ing ln
а uzzy enVII.onment. - Managem. Sci. 1970 17 1"1
24 N · t С V S 1 ' 1, р. -164
· е g о 1 . а.., u а r i а М. Оп fuzzy mathematicai
рrоgrаmmшg and tolerances in planning. - ECEESR 1
19761 р. 3 14. ' ,
25. N е g о i t а С. V., R а ! е s с u D. А. Application о! fuzzy
sets to systems analysls. Basel: Birkhauser Verlag
1975. '
26. Z m !fi е r m a.n n H.-J. Fuzzy programming wit.h several
Ob]ectlve functlons. Fuzzy Sets and Systems 1978 1
р. 46 55. ' "
27. Н а m а с h е r 1-1. t L е Ь е х 1 i n g Н. t Z i m m е r-
m а n n H.-:J.. 8ensititivy analysis in fuzzy linear program-
ming. Fuzzy Sets and Systems, 1978, 1, р. 269-281..
28 Z а d е h L. А. Fuzzy algorithms. - Inf. Contr., 1968, 12,
р. 94 102.
29. Б е п л м а н Р. , r л и R С б е р r 11., r р о с с о. Нево-
торые вопросы теории процессов управления. М.: ИЛ
1.962.
30. О r 1 о v s k у s. А. Оп programming with fuzzy constraint
sets. КуЬеrnеtеs, 1977, 1, р. 197 201.
31. Multiple Critel 9 ia Decision-making. Lect. Notes Есоп.
Math. Syst., 1976, 130.
32. М а к - I{ 11 Н С 11 Дн\. ВведеНllе в теорию пrр.. - М.: Физ-
MaTrIIS, 1960.
33. r е р м е й е р 10. Б. Введение в теОрJIЮ исследования
операций. М.: flaYKa, 1971.
34. r е р м е й е р 10. Б. Иrры с веПРОТloJБОПОЛОЖВЫМИ интере-
сами. М.: Наука, 1978. т Н е
35. Пар т х а с а р а т х и Т., р а r х а в а в · екоторы
вопросы теории иrр двух лиц. М.: Мир, 1974. .. б
36 О р С А Иrры внечетко определевнои о ста-
· р п о в с к и И.. Ф 1976 М 16
новке. ж. ВЫЧIIСЛ. l\f8Teltl. I1 l\fатеи. ИВ.. t ,ОЙ,
с. 1427 1435. х лиц с вапре-
37. О Р JI О В С К И Й С. А. БеСl<онечные ur е ВУи матем. фив.,
щеипыми СI,туаЦI-IJlМlf. - ж. вычвсл. М ·
1973 ."М 13 е. 775 - 781. бескоали-
38 О ' - , .. с А СlfтуаЦJfll равновесия в
· р л о n с !( 1'1 И.. il\ llЫЧИСЛ. М'8'lем.
ЦИОННЫХ llrpax с оrраНJl IеПllяlt[ll. - .. ·
197 f-: ' 15 с 1597 i60I.
и М8те1\[. ф113., · ;Э, ..' '. k .11g wit,h 8 fuzzy preference
Ш. О r I о v s }{ У Б. А. Dе( ISJОll-Inа 1 В f 3 Р t55-t67.
f t tf0I4. .- l llzzy Sel.s l\пd Srste111s, {97 , , , ·
202
JJИТЕРАТVРА
40. О r 1 о v s k у В. А. О!1 formalization of а general Iuzz
mathematical рrоgrаmmшg prohIem. Fuzzy Sets and S у
stems f980, 3, 3, р. 3! j -321. у-
4,. S о у; t е r А. L.. Co vex pr.ogrammi!1.g with set inclusi\7
constraints and appllcatlons to шехасt lшезr programrning е
Operat. Нез., f97З, 2f,_ р. Jf5 1157. · --
42. S а а t у Т. L. Explonng the lnterface between hierarchi
multiple objectives and fuzzy sets. Fuzzy Sets and Syster: s .
{978, f, р. 57-68. в,
43. Т а m u r а В., н i g u с h i В. , т а n а k а К. Pattern.
classification based оп fuzzy rеlаtiопз. - IEEE Trans.,
f97i, SMC-f, р. 61 66.
ПРЕДМЕТНЫй Уl\А3АТЕЛь
.
Альтернатива максимаЛьная
ведоминируемая 132
. маКСИМизирующая 73
.. четко неДОМивируемая 1ЗЗ
. эффективная 92
Выбор по набору Призпаков
189
Быпу:клая комбинация нечет-
пих JvJножеетв 27
rраф вечетноrо ОТношения 38
Дека ртово прОIIвведевпе нечет-
ких множеств 27
Декомповиция нечеткоrо мно-
x eCTBa 28
Динамич:еСRО проrраммирова-
ние 77
Дополнение нечеткоrо АШО-
жества 26
- отношения 45
3аМЫRанпе нечеТI<оrо !\fПО-
жества 31
Иrра в нечет:кой обстановне 96
.. а втаrониеТIlче с-
!<ая 104
-
. с запрещеННЫ [II
ситуация JvIJ1 107
- L r С ПРОТIIВОIJОЛОil,-
ВЫМЯ интереС8l\fП 105
Изоморфизм классов нечеТI\ПХ
Множеств 59
пе1JеТRIfХ отпоmен([й 63
.
:КОМПОЗИЦИЯ отпоmеНIIЙ 39
· И8четких 45
R ОПЦевтрироваНliе псчеТJ\оrо
МНожества 27
1\1 аКСИМИБИРующее решеlIИе 75
Матрица Отвоmевия 37
- - вечеткоrо 43
l ножество 19
- альтернаТИII пеДОМИRируе-
мых 128
- . - четко 132
- вечеТКое 20
- - DЫпуплое 161
- зааIКН 7тое 31
- - Номпантное 33
-- нормальное 22
- - Открытое 31
-- пустое 22
- - решений 72
- . -- суБНОРАlзлъное 22
типа 1 21
- - типа п 21
-- универсальное 22
эле [ента рное 32
- уровня деиартова произве-
девил 28
нечеТRоrо l\шожества 28
.
-
-
11 ечеТI{ая rраНIIца 1\шожеств 27
- тополоrпя 30
- цель 70
Нечетко описанные параметры
170
I-IечеТRое ltI3:КСJl1\lальное зна-" ...
чеНtIе 88
Iате1\lаТIlчеСJ-\ое lIроrратlИ-
роnаlIпе 81
lfIHO)l(eCTBO 20
-- -- альтерпатпв 82
- - оrраппчеНI:lЙ 86
решеНIrе 72
- равновесное f 12
- тополоrпчеСlCое простран-
{ 'BO 30
- - - I<Оl\Iпантное 33
_ - - отделимое 34
.,.
...
ПРЕДМЕТНЫЙ У:КА3АТ Ль
204
Носитель иечеткоrо множества
22
_ _ отношениЯ 43
Образ вечеТl\оrо множества 54
QJ<рествость нечеткоrо мво-
жества 34
Отношение 37
- нечеткое 41
_ = аитирефJIексивное 49
_ _ аитисимиетричвое 50
- - безразличия 119
__ -- квааивквивапевтвоети
f19
- - обратное 45
- - преДПОЧ'fевии 119
- - ИlIдуцированвое 158
- - иеетроrоrо 119
- - - сильно линеЙНое {26
- слабо линейное 128
- - CTpororo 119
-- -- рефлексивное 49
- - сииметричвое 49
- траваитивное 50
- - - A-линеЙSое 126
- обьtЧВое 37
_. автирефлексивиое 39
r - автисимметричное 39
· - беарааличия 117
_ . линеЙНое 125
- - обратное 38
- предпочтения 116
- - - иестроrоrо 116
- - cTpororo t 16
r. рефлексивное 39
· · симметричное 39
траП8итиввое 89
- -- ЭR8ипалентиости {17
ОтобрВ)I(евие печеrrкоrо мно-
жества 52
Пересечевие вечеТRИХ
жеств 26 Мио-
- отношений 44
ПОCJIедовательность печетних
МНожеств 33
ПроеНЦИJl отношения 46
П РОИ8ведевие вечетких
mен ий 45 отно-
- -. М81'смиииое 45
.
Пll0изведеlJ(rJе l-IвчеТИllХ o.a'f.l'
..
шепии маКСМУЛЬТИПЛIiкатив_
вое 46
- мипмаксное 46
Прообраз нечеткоrо МНожеСтва
56
}Jаапость нечетких АIНожеств
27
РастяжеНllе печеТкРrо МНО-
жества 27
Решение задачи нечеткоrо про-
rраf,Il\Iuровавия 87
CBep'1'l\a отвоmениii 146
Седловая точка 138
Ситуация равновесия 98
Степень иедомииируе!\iОСТИ 131
принадлежности 20
TeOpel\f8 о компактности 20
..
о линеивости иидуцирован-
Horo отношения 158
о нахождении не до миви-
руемых альтернатив 168
о прообраве нечеткоrо мно-
жества 56
о рефлеItсивиоети ипдуци-
ровапноrо отношения 158
о седловой точке 140
о смешаННО"1 расmиреНJIИ
143
о существовании недомипи-
руемых альтернатив 140
о транзитивности нечеткоrО
отношения 121
. об 3КВIIвалевтности реше-
пий 93
ТраН311тивное В8мыкаПllе 40
. печеткоrо отношения 51
обычвоrо отвошеНI.IЯ 40
Упорядочение объентоn 194
ФУНКЦИЯ
138
выиrрышей 104
- принадлежности 20
нечеткоrо мио)кества 20
. отношения 41
цепи 1.72
антисимметричная
.
-
СПИСОК ОБО3НА ЧЕНИn И Соир
А\ АЩЕНИЙ
=>
(:)о
eJ
V
3
хЕХ
xtE X
АсВ
АсВ
..
u
n
"
A 1 x...XA 11
supp А
CON А
DIL А
A CIL
fJ'A
..4'
А
n
{=
11-11
R-l
Л 1 0 R 1
Н(I)
Н В
81
В8
- l\lа'l'рIlца
обратное ]( R 01'иоmеli е
КОМПОЗИЦI"{Я отношеНИll
. "торан l1РОШЩИЛ отношеюlЯ.
ОТВО1пепие сТIЮl'оrо ltредпочтеНI[Я
отношеВll(\ бсзра3JII:lЧИЯ
отношение Э:КВl1валентНОСТII
.
лучше
не хуже
влечет
эквивалентно
пустое Itlиожество
ДЛЯ всех
существует
.
эле1\fевт х принадлеЖIIТ MHoп: eCTBY Х
элемент х не принадле>кит ,mожеству Х
мнол{ество А собственное подъшожество шо-
жества В
множество А - по шожество .mожества В
объединение MHOiI{eCTB
пересечеиие :множеств
разность множеств
дека ртово произведепие l\lножеств
ПОСliтель нечет]{оrо hfножества А
lюпцеПТРJ-lровапие нечеткOI'О ынжестваa А
растяжеШlе нечеткоrо l\шожества А
множество уровня а нечеТlюrо I\шожества А
ФУВIЩИЯ принадлежности неЧСТRоrо множества А
дополнеНliе l\IHOi-и:естпа
за IЫI(а]I]]е Al110il\C'CTDH
CYM la 110 i ОТ 1 до 1l.
206
С1Пlfсо1< ОБоЗНАЧЕНИЙ И COl-\РАЩЕНIfl
p.
p.
функция принадлежности нечет.коrо ОТПОII1еяиn
CTpororo предпочтения
. функция предпочтения вечеткоrо Отношения без-
различия
функция принадлежности нечеткоrо ОТношения
КВ8зиэнвивалентности
u
недомивируе {ыи
'-8
- четко недоминируемыи
функция принадлежности нечеТl\оrо МВо}кеСтва
недоминируемых альтернатив
функция принадлежности нечеткой цели
образ множества D при отображении tp
множество Х с тополоrией Т
печеткое отношение предпочтения
· Ilечеткое тополоrичеекое пространство
класс печетких подмножеств
.., -
вечеТRИИ подкласс класса нечетких подмножеств
п. д.
Ч.. В. д.
p.'1l. д.
Р-й
f (D)
(Х, Т)
и. о. П..
В. Т. п.
f
f
Cepzel1 Алехсеевu'Ч oРJtовС?iUЙ
Проблемы принятия решений
при нечеТRОЙ исходной ИНФОРмации
(Серил: «(ОПТимизация И нес
ледовавие операций»)
М., 1981 r., 208 стр. с ИЛЛ.
Редаl\ТОр М. М. rорячая
Тех:н. редантор л. В. Лихачева
Норрентор л. Н. Боровuна
.
ИБ М 11645
Сдано в набор 20.06.80. Подписано и печати 11.03.81.
т-О5723.. БУl\farа 8' Х 108 1 / З2J тип. М 1.
ОБЫl\новенная rарнитура. Высонал печать.
УСЛОВН. печ.. л. 10,92.. УЧ.-ПЗД. л. 10,'2. Тираж 7600 зиз.
3аназ;Ni! 1626. Цена I(Ниrи i р. 20 1\.
.,
I1::здателъство «Наука)
rлавнан редаНЦI'IЯ ФИЭИНО-1\{ате lатичеСIiОЙ литературы
117071 t МОСНВ8, В-71 t Ленинсний проспеНТ t 15
. .
Ордена Трудовоrо RpaCHoro 3Н3I\iеЯII
первая Тliпоrрафl-IЛ и:здателъства «Н ауна)
199034. л eH1IHrp ад. В-З4. 9 J1IIНlfП. 12
..