/
Author: Заде Л.
Text
6
к русскому uзданuю
менные составляют основу нечеткой лоrики и приближенных спо-
собов рассуждений, Koтopbie Moryт оказаться более созвучными
сложности инеточности rуманистических систем, чем обычные
численные методы анализа.
Советские ученые внесли большой вклад в развитие количест-
венных и качественных методов анализа систем, Автор высоко
ценит возможность представить свои идеи в этом издании и на-
деется, что они явятся вкладом в дело международноro сотруд-
ничества в области научных исследований.
Л, А, Заде
Беркли, КалиdJODНИЯ
Март 1975 r.
ПРЕДИСЛОВИЕ 1-)
ЛUН28ucтuческоа мы называем переменную. значениями oro..
ро й являются с лов а или предложени я eCTecTвeHHoro или искусст-
вeHHoro языка апример, Возраст инrвистическая пере-
менная.L есл и он а принимаеТ линrвистические, а не числовые
зд ия, т. е. значения .молодой, не .молодой, очень .моло д о й ,
вполне .мО/IOдой. старый. не очень старый и не очень
.молодой и т. п., а не 20, 21, 22 и т. д.
Более точно лин'rвистическая переменная описывается набо-
ром (.2', Т (%), и, а, М), в котором !с.....,... название этой перемен-
ной; т (%) терм-множество .2', т. е. совокупность ее линrви-
стических значений; и универсальное множество; а син-
таксическое правило, порождающее термы множества Т (%);
М семантическое правило, которое каждому линrвистическому
значению Х ставит в соответствие ero смысл М (Х), причем М (Х)
обозначает нечеткое подмножество множества и.
Смысл линrвистическоrо значения Х характеризуется
пией совместимости с: и --+ [0,11, которая каждому элементу
и Е u ставит в соо тв етствие з начение совместимости этоro эле-
мента с Х. Так например, совместимость возраста 27 лет со
значе ние М:М'олодой может бьtть раtша 0.7,8 возраста 35 лет
0.2. Назначение семантическоro правила связать совмести-
мости так называемых первичных термов в составном линrвисти-
ческом значении с совместимостью cocTaBHoro значения, например,
первичных термов .м'олодой и старый в составном линrвисти-
ческом значении не очень молодой и не очень старый. Не-
определенности, такие, как 'очень. вполне, чрезвычайно и т. п.,
а также союзы и и или пони маются при этом как иелииейные
операторы, преобразующие смысл соответствующих термов.
1) Эту работу финансироnаЛIi t10дразделение элеkтронных сиctем Воен-
но-морских СИл США по контракту Noo039.71 C.0255, Отдел исследований
Вооруженных сил США в Дерэме, сев. Каролина, по соrлашению ОА-
АRО.О.31 124.71-GI74 и Национальный научный фонд США по соrлашению
ОК-I0656Х3. Написание этой книrи было закончено в период участия
автора в Совместной проrрамме Отдела исследования систем и Исследова.
тельской лаборатории фирмы 18М в Сан-Жозе, Калифорния, США.
8
п peaueA()8и
с помощью линrвистических переменных можно приближенно
описывать явления, которые настолыro:сложны или плохо опре-
делены, что не поддаются описанию в общепрйнятых количест-
венных терминах. В частности, если понимать ИСТИННОСТЬ как
линrвистическую переменную со значениями истинно, очень
истинно, совершенно истинно, не очень истинно, не истин-
но и т. п., то мы ПРИХОДИ:м К так называемой нечеткой лоrике.
На такуюлоrику MorYT опираться приближенные (т. е. не строrие,
но и не очень нестроrие) рассуждения, и она, таким образом,
может служить более реалистической схемой человеческих рас-
сужденйй, чем траДИЦИО,нная двузначная лоrика.
, Показано, что вероятности тоже можно считать линrвисти-
чески ми переменными со значениям вероятно, очень вepo
ятно, невероятно и т. п. Вычисления с линrвистическими 'ве-
роятностями сводятся, как правило, к решению задач нелинейноro
проrраммирования и дают результаты столь же неточные, чТQ и
исходные значения вероятностей.
основные приложения рассматриваемоro линrвистическоro
Подхода находятся в' сфере rуманистических систем, особенно
в таких областях, как искусственный разум, линrвистика, про-
цессы принятия решений человеком, распозu ание образо ,
п ихолоrия,право,медицинскаядиаrностика,поискинформации.
8КDномика. и связанных с НИМИ областях.
1. ВВЕДЕНИЕ
Один из фупдамецтаJIЬНЫХ принципов современной пауки
состоит в том, что ЯJшение нельзя считать хорошо понятым до
тех пор, пока оно не описано посредством количественных харак-
теристик 1 ).
С этой точки зрения MHoroe из тoro, что составляет сущность
научноro знания, можно рассматривать как совокупность прин-
ципов И методов, необходимых для конструирования математи-
ческих моделей различных систем, позволяющих получать коли-
чественную информацию об их поведении. При существующем
уважении ко всему точному, CTporoMY и количественному и пре-
небрежении ко всему неточному, HecTporoMY и качественному
неудивительно, что появление вычислительных машин вызвало
широкое распространение количественных методов во мноrих
областях человеческоro знания. НеСомненно, вычислиreльные
машины оказались высокоэффективными при работе с .механи-
стическими системами, т. е. с системами, поведение которых опре-
деляется законами механики, физики, химии и электромаrнетизма.
1( сожалению, то же самое нельзя сказать о еу.манистических
системах 2), которые, по крайней мере до сих пор, оказывали
ВeCЪM стойкое сопротивление математическому анализу и моде.
лированию с применением ЭВМ. В самом деле, мноrими приз-
нается, что использование вычислительных машин не ПрОЛИJIО
1) в 1883 r. Лорд Кельвин писал [1]: (В физической науке при изу
чении любоrо объекта первый и наиболее существенный шаr состоит в том,
чтобы найти принципы численной оценки и практические методы измере-
ния HeKoтoporo' качества, присущеrо этому объекту. Я часто rоворю, что
коrда вы можете измерить то, о чем вы rоворите, и выразить это в числах,
вы уже знаете кое-что об этом, но KorAa вы не можете измерить это, коrда
вы не можете выразить это в числах, ваше знаНие недостаточно и неудов-
летворительно: оно может быть началом знания, но вы лишь слеrка,
мысленно, продвинулись к научному пониманию вопроса, о чем бы ни шла
речь).
2) .rумахucтачее'i.U !СМЫ называем такие '!E ,тeM на поведение кото-
рых сильное влияние окаЗывают суждения, восприятия или эмоции чело--
века. Примеры rуманистических СИстем: экономические системы, политиче-
ские системы, правовые системы, общеобразовательные системы и т, п. Сам
человек (индивидуум) и ero мыслительные ПDоцессы также Moryт раССМЗТРIf-
vaTL>cп как rумаНИСТИ'l ские CIfCТ 1>I11I
10
1. Введение
MHOro света на основные проблемы, возникающие в философии,
психолоrии, литературе, праве, политике, социолоrии и в дру-
rих rуманитарных областях знаний. Вычислительные машины не
продвинули нас сколько нибудь значительно в понимании про-
цесса мышления, за исключением, быть может, некоторых при-
меров из области искусственноro интеллекта и смежных об-
ластей.
Можно утверждать, как мы делали в работах [6] и [7], что
неэффективность вычислительных машин в изучении rуманисти-
ческих систем является подтверждением Toro, что может быть
названо принципом н есовмести мости принципом, утверждаю-
щим, чт6Высо кая тОЧНО сть несовмecrима с большой сложностью 1)
системы. Таким образом, быть может именно по этой причине
обычные методы' анализа систем и моделирования на ЭВМ,
основанные на точной обработке численных данных, по существу
не способны охватить оrромную сложность процессов челове-
ческоro мышления и принятия решений. Отсюда напрашивается
вывод о том, что для получения существенных выводов о поведе-
нии rуманистических систем придется, по-видимому, отказаться
от высоких стандартов точности и строroсти, которые мы, как
правило, ожидаем при математическом анализе четко опр.еде-
ленных механистических систем, и относиться более терпимо
к иным подходам, которые являются приближенными по своей
природе. Вполне возможно, что лишь при использовании таких
подходов моделирование на ЭВМ станет действительно эффектив-
ным методом анализа систем, которые настолько сложны или
некорректно определены, что не помаются обычному количес!:,
венному анализу.
Жертвуя точностью перед лицом ошеломляющей сложности,
естественно изучить возможность использования так называемых
ЛИНЕв стических переменных, т. е. переменных, значениями
которых являются не числа, а слова или предложения в естест-
венном или формальном языке.
Использование слов и предложений, а не ЧИсел, мотивирова-
но тем, что линrвистическое описание, как правило, менее }{Ol!-
IW I l!0, че ,Qписание числами. Например, фраза «Джон молод»
менее конкретна, чем фраза «Джону 25 лет». В этом смысле
слово .молодой можно рассматривать как лuн.z8uстичес кое....ш:ш:
ченue переменной Возраст, имея в виду при эТО м, что ЛЮ frn исти-
...............
ческое значение иrрает таIS:УЮ же роль, как и численное значение
25, но является менее точным и, следовательно, менее информа-
тивным. То же самое можно сказать о линrвистических значениях
очень .молодой, не .молодой, чрезвычайно .молодои, не
l) Более конкретно, сложность системы и ТОЧНОСТg, С которой ее можно
аЦIЩЦЗl:lро ат , обратно пропор ционалыiы В. первом приближенйи.
'/. Вве'дение
11
очень AIOлoiJоu И Т, Д, если их сопоставить с численными зна-
чениями 20, 21, 22, 23.
Если значения численной переменной изображают rpафически
roчками на пласкасти, то значения линrвистической переменной
мажно изабразить rрафически как плаiцадки снечетка ачерчен-
ными rраницами. ИменнО' блаroдаря такай цнтерпретации
испальзаванию плащадак, а не точек линrвистические пере-
менные MarYT служить средствам приближеннаro аписания
явлений, каторые настолькО' слажны или некарректно апреде-
лены, что не паДДаются точнаму аписанию.
Следует атметить также, что блаroдаря испальзаванию так
Н8зываемоro д{!инципа обобщен!Ш.. большая часть существующеro
математическаrа аппарата, применяющеroся для анализа систем,
мажет быть приспосаблена к линrвистическим переменным.
Таким абразам, имеется вазмажнасть развивать приближеннае
исчисление линrвистических переменных, каторае, па-видимаму,
найдет ширакае практическае применение.
Совакупнасть значений линrвистическай переменнай састав-
ляет meом-множест!!!2. этой переменнай. Эта мнажества мажет
иметь, ваабще ro во ря, бесканечнае числа элементав. Например,
терм-мнажества линrВистическай переменнаft Возраст мажна
записать так:
т (Возраст) == ,-,«модой + не молодой + очень молодой +
+ не очень молодой + очень очень
молодой +. . . + старый + не старый +
+ очень старый + не очень старый +
+не очень молодой и не очень старый + ...
...+среднеzо возраста+не среднеzо
возраста +... + не старый и не cpeд
незо возраста+. ..+чрезвычайно старый.
Знак + абозначает здесь абъединение, а не арифметическа(.
суммирование. Аналаrично, терм-множество линrвистическай
переменной Наружность мажна записать следующим образом:
т (Наружность) == nреllрасная + хорошеныlяя + .миловид
ная + Ilрасивая + привлеllательная +
+не преllрасная + очеНiJ хорошеныlяя +
+ очень очень "Рilсивая + более или
менее хоfюшеныlяя + (ои:мьно хоро-
шеныlяя + довольно Ilрасивая + бе з
условно Ilрасивая + не очень привле-
llательная, но и не очень непривле-
llательная + . . .
в случае линrвистической переменной Возраст числавая
переменная возраст, принимающая значения О, 1, 2, 3, ..., 100,
12
1. Ввеоение
является так называемой базовой переме1ШОЙ линrвистической
переменной Возраст. При это , линrвистическое
зн чение, как .молодой, можно интерпретировать как название
HeKoтoporo !J!:!:!!/1],I5Q?!2..Qй2 аничен. ия на значения базовой п ремен-
.!!2!. Именно это оrраничен е мыи СЧИТiiёI>;f f. t.!!>! МQМ линrвисти-
чеСК..9IQ.,:ща ЩI .молодоа.
'-1=Iе четкое оrраничение на значения базовой перененной харак-
теризуется ФУ'!:!!:!1ue й совместимост и, которая каждому значению
базовой переменнои ставит в со от ветствие число из интервала
[0,1), символизирующее совместимость этоro значения с нечет
ким оrраничением. Например, значения функции совместимости
co8MecтlLMor:тh
о.
/ ммо90и
0.2
I
I
+
L
28
оазо8ая
переменнал
...
возрасm
Рис. 1.1. Функция совместимости для значения
.молодой.
таких численных значений переменной возрас.т, как 22, 28 и 35
снечетким оrраничением .молодой, MorYT быть 1,0.7 и 0.2 соот-
ветственно. В этом случае смысл линrвистической величины
.молодой можно представить кривой (рис. 1.1), являющейся
rрафиком функции совместимости линrвистическоrо значения
.молодой относительно базовой переменной возраст.
Обычная интерпретация высказывания «Джон молод» состоит
В том, что Джан принадлежит' классу молодых людей. Однако,
принимая во внимание, что класс молодых людей нечеткое
множество, т. е.ЧТО не существует резкоrо перехода от молодости
к «немолодости», утверждение о том, ЧТО Джон принадлежит
классу молодых людей, не соответствует точному математическому
определению понятия «принадлежит». Концепция линrвисти-
ческой переменной позволяет обойти эту трудность следующим
образом.
рассматривается как з ван и составной л r.
ской пер'еменно компонентами которой являкпся ли -
rвистические переменные Возраст, Рост, Вес, Внешность и т. п.
1. SseaeHue
13
MOдo80iJ ниакиiJ
//lLHZ8lLCтlL'IecHoe
3Ha'leHlLe
Возраст (Ажо = м(и09"iJ
()) маЛ6/й ........... R(.:r:) == маЛ6/;;
l оараНl1ченце на {»'
Рис. 1.2. Назначение линrвистичесkих значенИЙ
характерным признакам Джона и х
АЦН8dш)тЦ'llJснал
пеРlJменнал
Ht1'1t1тHOt1 оtраНlL'IВНШ!
2(1
50 55 60 65 Возраст
азо8ая переменная J
Рис. 1.3. Иерархическая, структура линrвистической переменной.
25
30
Тоrда высказывание «Джон молод» интерпретируется как
УР Нш! назначения (рис. 1.2)
Возраст == .молодой,
которое предписывает значение .молодой линrвистической пере-
менной Возраст. В свою очередь значение .молодой интерпрети-
руется как название HeKOТOporo нечеткоro оrраничения на базо-
вую переменную возраст, причем смысл этоro оrраничения опре-
деляется ero функцией совместимости. Для тoro чтобы лучше
&4
1. Bвe eHиe
понять, что такое линrвистическая переменная, можно обратиться
к рис. 1.3, на котором изображена иерархическая структура
связи между линrвистической переменной Возраст, нечеткими
оrраничениями, представляющими смысл ее значений, и значе-
ниями базовой переменной возраст.
Существует несколько основных аспектов понятия линrвисти-
ческой переменной, которые нуждаются в уточнении.
Во-первых, важно уяснить, что понятие совместимости отлич-
но от понятия ,вероятности. Так, высказывание о том, что сов-
местимость, скажем, численноro значения 28 с линrвистическим
значением молодой равна 0.7, не имеет никакоrо отношения
к вероятности тoro, что значение переменной возраст равно 28.
П равильная инте р претация ЗЮIЦРНИЯ ('()R ТИМОСТИ, paBHoro 0.7,
состоит в том, что оно есть лишь бъективная мера TOro , IШ ь-
ко возJШC.:t .1! T с )Ответств}'еLВ,nPfДС:ПШ,.1Jении субъекта слову
«Молодо.й». Как мы увидим в последующих параrр аqiах, MaT eMa
тические операции, применяемые к значениям совместимости,
отличны от операций, применяемых к значениям вероятностей,
хотя между ними и существует некоторая аналоrия.
BO BТOpЫX, мы будем обычно предполаrать, что линrвисти-
ческа я переменная имеет структуру в том смысле, что она свя-
зана с двумя правилами: первое синтаксичесте правило
определяет способ' порождения линrВистических, значений, при-
надлежащих терм множеству этой переменной. При этом мы
будем обычно предполаrать, что элементы терм-множества порож-
даются 6есконтеКСТRОЙ rрамматикой.
Второе семантичесте правило определяет способ вы-
числения смысла любой линrвистической переМенной. Отметим
в связи с этим, что типичное значение линrвистической перемен-
ной, например не очень молодой и не очень старый, включа
ет в себя то, что можно было бы назвать первUЧflblМU термами,
например молодой и старый, смысл которых субъективен и
зависит от контекста. Предполаrается, что смысл таких термов
определен заранее.
Кроме первичных термов линrвистиt:еское значение может
включать в себя связки, такие, как и, или, ..., ни и т. п.; отри-
цание не, такие неопределенности, как очень, более или м,енее,
совершенно, совсем, безусловно, чрезвычайно, отчасти и
т. п. Как мы увидим далее, связки, неопределенности и ОТрИIlа-
ние можно трактовать как операторы, которые видоизменяют
смысл первичных термов особым, независимым от контекста об
разом. Так, если ФУНКIlИЯ совместимости линrвистическоro зна-
чения .молодой изображается кривой, показанной на рис. 1.1, то
смысл линrвистическоro значения очень молодой может быть
получен возведением в квадрат значений функции совместимости
линrвистическоro значения молодой, Смысл линrвистическоro
1. Введение
15
значения не .молодой можно получить, вычитая из 1 значения
этой функции совместимости (рис. 1.4). Приведенные два правила
являются частными случаями более общеro семантическоro пра-
вила, описанноrо в 5.
В третьих. коrда мы roворим о линrвистической переменной,
такой, как Возраст, соответствующая базовая переменная воз-
раст является по своей природе 1lCJ!. j!. neQе еl!ll() Й .. В этом
случае мы можем определить смысл линrвистическоro значения,
та Koro, как .молодой, функцией совместимости, которая ставит
в соответствие каждому значению базовой переменноЙ' из интер-
вала [О, 100] число из интервала [0,0. представляющее совмести-
мость данноro возраста с понятием молодой.
ао6местимость
молодои
/ '"
н.е МОАоаои
очеНh Mo//olJoli
. возраст
Рис. 1.4. Функции совместимости значений .молодой,
не .молодой, O'leHb .молодой.
с друroй стороны, для линrвистической переменной Виеш-
!Шf'rь мы Hel!MeeM че'i''кQ. опреАеленной базовой переменной , т. е.
не знаем, как выразить степень красоты в форме функции тех или
иных физических величин. Мы моrли бы и в этом случае припи-
сать каждой женщине из рассматриваемой rруппы степень при-
надлежности классу прекрасных женщин, например Фэй
степень 0.9, Адели 0.7, Кетти 0.8 и Вере 0.9. Но эти
ЗJIа9еJ!!:IS! ФУl! кЦ!! мес :rиМQ.CТИ были бы Q. HoBaHbI лишь на,
н 'рих в ча,!: ниях , K p e 9lIf 1!. <?'I'.о !l]!н,:rй-. н.() !l .!!.-
З0вать.
,.' Друrими словами, мы определяем функцию совместимости
не на множестве математически точно определенных объектов,
а на множестве обозначенных некими символами впечатлений.
Такие определения имеют смысл для человека, но не, по крайней
мере непосредственно, для вычислительной машины. 1 ).
1) Основная проблема, возникающая здесь, проблема абстр аrирова.
ния от множества выборок элементов нечеткоrо множества Обсуждение
9ТОЙ ПDоблемы можно найти в [8].
16
,1. Введение
Как мы УВИДИМ в последующих параrрафах, В , в!? сл учае,
коrда б !! е ЩJaЯ ЧIf5=ЛJ!НН Я по природе, линrвис-
тическими переменными можно оперировать некоторым доста-
точно точно определенным способом, а имеННО JIУ М И СПОЛЬЗ9ва-
ния ПРИН,lJ.!ш оJk>БШ II.иll для нечетких множеств. -<) втором слу-
чае способ обраrцения с линrвистическими переменныминосит
р'
очень малый
малый
не очень малый
и не очень tfольшой
большой
очень большоiJ
1
а
х
J1
(f
Рис. I.Б. а. ФУНКЦИИ совместимости значений
малый, оч.ень .малый, большой, оч.ень боль-
шой и не оч.ень .малы'й и не оч.ень большой.
5. Задача линrвистическоrо приближения это за-
Ilача нахождения приближенноrо линrвистическоrо
описания l{анной функции совместимости,
болеекачественн!>ф хара m . Однако в обоих случаях, в боль-
шей ил и меньшей степени, присутствуют вычиl' ления. Итак,
сле ует понимать, что линrвистический подход не является по
своей природе целиком качественным. Bep ee, tJ:ислен -
!Ц!ЮТСЯ «за кулисами» , а затем уже используется JШневuc. muщс
nрu q ЛUJlf.ен1U! ДЛЯ П1>еоб р ания ЧИ .J ова (рис. 1.5).
Особенно важной облаСТblоприложения понятия линrвисти-
ческой переменной является Qбласть nрuб.(lUженных ра.ct ужденuй,
Т. е. рассуждений, которые не являются ни очень точными, HJf
'1. Введение
17
очень неточными. В качестве иллюстрации приведем следуюшую
цепочку приближенных рассуждений:
х мало,
х и у примерно paBH .
Следовательно,
у более или менее мало.
Понятие линrвистической переменной появляется в прибли-
женных рассуждениях в результате толкования понятия Истин.:-
OCTb КЗ I{ JIинr:В.!IСТ!fч к.Q!.!! ,Q М, IIO , значения которой обра:
зуЮi такое терм-множество:
т (ИСТIIННОСТЬ) =::: истинный + не истинный + очень
истинный + полностью истинный +
+ более или .менее истинный +
+ соверщенно истинный + существен-
но истинный +. .. + ложный + очень
.ложный + ни истинный, ни .лож-
ный+... .
Предполаrается, что соответствующая "б 30!Iая переменная
я вл я ет<: лом из ИН J?!! а [Q,..!h а смысл первичноro терма,
такOi'o, как истинный, отождествляется снечетким оrраничени-
ем на значения базовой переменной. Как обычно, такое оrрани-
чение характеризуется функцией совместимости, которая каж-
дому численному значению истинности ставит в соответствие
число из интервала [0,1). Например, совместимость численноro
значения истинности 0.7 с линrвистическим значением истинности
очень истинный может быть равна 0.6. Таким образом, в случае
значений истинности функция совместимости является отображе-
нием единичноro интервала в себя (рис. 6.1).
Трактование ист нности как .IlliнrВRстиче<: 9i!. рем!:нно
приводит к .!!.ечет КQ1LДQfИ!Щ, которая вполне может оказаться
лучшим приближением к лоrике, управляющей принятием реше-
ний человеком, чем классическая двузначная лоrика 1). В нечет-
кой лоrике вполне может иметь смысл то, что в классической
лоrике является недопустимо неопределенным, например:
значением истинности высказывания «Беркли близок к Сан-
Франциско», является совершенно истинно,
значением истинности высказывания illало Алто близок к
Сан-Франциско» является BeCb,М,Q истинно.
1) Описание друrих ПОДХО40В ЩШЯТИЮ неопределенноcr MO?fЦJO
{f<lЙТИ в работах [9 181.
18
1. Введение
Следовательно, значением истинности высказывания «Поло
Алто более или менее близок к Беркли» является более или ме-
нее истинно.
Друrая важная область приложения понятия линrвистической
переменной теория вероятностей. Если т!!I.I ОСТЬ рассмат-
риват линrвистическую переменную , то ее терм-множество
моrло бы, например, иметь следующий вид:
т (Вероятность) ::;; nравдоnодобно + очень nравдоnодобно +
+ неnравдоnодобно + чрезвычайно
nравдоnодобно + весьма nравдоnодобно+
. . . + вероятно + невероятно + более или
.менее вероятно +. " .
Допустив использование линrвистических значений оят-
!IОСТИL,М Ы получаем возможность на вопрос: «Какова вероятность
TOro, что ровно через неделю будет теплый день?» ответить сле-
дующим образом: «весьма высокая», вместо, например, «0.8».
Линr.вистически ответ, вообще rоворя, более реалистичен,
ПрИНИМая во внимание, во-первых, что теплый день нечеткое
событие,' и, во-вторых, что мы еще недостаточно понимаем дина-
мику поrоды и не можем делать определенных выводов о значе-
ниях, вероятностей подобных событий.
Более подробно понятие линrвистической переменной и ее
приложения обсуждаются в последующих параrрафах. Чтобы
представить понятие линrвистической переменной в должной
перспективе, мы начнем изложение с формализации понятия
обычной (не нечеткой) переменной. Нам будет полезно уподобить
такую переменную саквояжу с жесткими стенками (рис. 2.1)
с прикрепленным к нему ярлыком. Поместить некоторый пред-
мет в саквояж означает приписать соответствующей переменной
определенное значение, а оrраниченное множество предметов,
которые MO HO поместить в саквояж, соответствует подмножеству
полноro множества, содержащему те элементы, которые MorYT
быть использованы в качестве значений данной переменной.
, Аналоrично нечеткую переменнц ю, определение которой дано
в 4, можно уподо б ить вояж у не с твердыми, а яrкими стенка -
M!f (рис. 4.1). В этом случае t.!!!0 QЛl!еА Т2В, которые можно
поместить в этот саквояж, является нечетким по своей природе
и o.rm .м ."ФЗ !IК Ц!I, ей совмести ос! и, которая ставит в соот-
ветствие каждому предмету число из интервала [0,1], символи-
зирующее : uе.!IЬJl IКО Щ, с которой эtoт предм т QЖ!l f!.0M C-
тить В саквояж. Пусть, например, имеется саквояж Х; совмести-
мость пальто с"Х может быть равна 1, Тоrда как совместимость
проиrрывателя с Х может быть равна 0.7.
Как будет показано в 4, существенным при рассмотрении
нечетких переменных является понятие невзаuмодействия, aHa
'1. Введение
19
лоrичное понятию независимости для случайных переменных.
Необходимость в этом понятии возникает, коrда мы имеем дело
с двумя или большим числом нечетких переменных, каждую
из которых можно уподобить отделению в мяrком саквояже.
Нечеткие переменные являются взаимодействующими, если при
своение значения одной из них влияет на нечеткие оrраничения,
налаrаемые на друrие переменные. Этот случай можно уподобить
взаимодействию между предметами, помещенными в различные
отделения саквояжа (рис. 4.3).
Линrвистическая переменная определяется в 5 как пере-
менная, значениями которой являются нечеткие переменные.
Пользуясь все той же аналоrией, уподобим линrвистическую
переменную твердому саквояжу, в который можно поместить
мяrкие саквояжи с ярлыками. На каждом из этих ярлыков
приведено описание нечеткоrо оrраничения на множество пред-
метов, которые можно поместить в соответствующий мяrкий
саквояж (рис. 5.2).
Применение понятия линrвистической переменной для опи-
сания «истинности» обсуждается в 6. описыlаютсяя метоДЫ
вычисления линrвистических значений истинности для конъюн-
кций, дизъюнкций и отрицаний и закладываются основы нечеткой
лоrики.
В 7 понятие линrвистической переменной применяется
к вероятностям и показывается, что с линrвистическими ве-
роятностями можно производить вычисления. Однако из за
Toro, что численные значения вероятностей в сумме должны
давать 1, вычисления с линrвистическими переменными свя.
заны с решением задач нелинейноrо проrраммирования и, сле-
довательно, не так просты, как вычисления с численными зна.
чениями ' вероятностей.
Последний параrраф посвящен обсуждению так называемоrо
ко.мnозиционносо правила вывода и ero применения в приближен-
ных рассуждениях. Это правило вывода интерпретируется как
процесс решения системы уравнений назначения в отношениях,
в которых нечетким оrраничениям назначаются линrвистические
значения. Так, если высказывание «х малый» интерпрети-
руется как назначение линrвистическоrо значения малый не-
четкому оrранич€нию на х, а высказывание «х и у приближенно
равны» интерпретируется как назначение нечеткоrо отношения
приближенно равны нечеткому оrраничению на упорядочен-
ную пару (х, у), то вывод «у более или менее малый» можно рас-
сматривать как линrвистическое приближение 'решения сле-
дующей системы уравнений:
R (х) == малый,
R (х, у) == приб-лиженно равны,
20
1. 8eaeпи
в которой R(x) и R(x, у) обозначают оrраничения на х и (х, у)
соответственно (рис. 8.3).
Композиционное правило вывода приводит к обобщенному
правилу modus ропеns, причем ero можно рассматривать как
обобщение известноro правила вывода: если А -истинно 11 А вле-
чет в, то В истинно. Параrраф заканчивается Примером нечеткой
теоремы из элементарной reометрии и коротким обсуждением
использования нечетких блок-схем для представления нечетких
алroритмов определения.
Материал 2.-...4 предназначен ДЛЯ тoro, чтобы заложить
математическую основу понятия линrвистической переменной,
вводимоrО В 5.
Те читатели, которых, возможно, не интересуют математи.
ческие аспекты этой теории, MorYT сразу перейти к 95 и по мере
надобности обращаться к предыдущим параrрафам за необходи.
мыми определениями и результатами.
.2. ПОНЯТИЕ ПЕРЕМЕННОЙ
Обсуждение понятия линrвистической переменной в пре-
дыдущем параrрафе носило неформальный характер. Чтобы
подrотовить почву для формальноrо определения, сконцентри-
руем внимание в этом параrрафе на понятии обычной (не не-
четкой) переменной. После этоrо в 3 мы обобщим понятие
переменной на случай нечеткой переменной и определим линrви-
стическую переменную как переменную, значениями которой
являются нечеткие переменные. Хотя понятие обычной (не
нечеткой) переменной элементарно по сути, оно ни в коем слу-
чае не тривиально.
В дальнейшем нам будет удобно пользоваться следующей
формализацией понятия обычной переменной.
Оп р е Д е л е н и е 2.1. Обычная (не нечеткая) переменная
характеризуется тройкой (Х, и, R (Х; и», rде
Х название переменной,
и универсальное множество (конечное или беск ечное),
и общее название 1) элементов множества и,
R (Х; и) подмножество множества и, представляющее
собой раниченue 2) на значения элементов и, обусловленное
названием Х.
ДЛЯ удобства будем вместо R (Х; и) писать сокращенно
R (Х), R (и) или R (х), rде х обозначает общее название зна-
чений переменной Х, и называть R (Х) просто оераниченueм на и
или оераничением, обусловленным переменной Х.
Кроме тата, переменной соответствует уравнение назначения
х::;;;; и: R (Х), (2.1)
или, что эквивалентно,
х==и, и eR (Х).
(2.2)
1) Общее название это название, единое для всех элементов множе-
ства. Для простоты мы будем часто пользоваться одним и тем же симво-
лом для обозначения множества и общеrо названия ero элементОв, пола-
rаясь в спорных случаях на контекст.
2) В О'5ще терминолоrии R (Х) об т н ний Х . И ПОJl.ь
зование нами термина р аtiiiчеltue объясняется тои ролью, которую l((X)
иrрает в случае нечетких переменных.
22
1. Пон.ятие пepeAleHпoll
Это уравнение отражает тот факт, что переменной Х назна-
чено значение и с учетом оrраничения R (Х). Таким образом,
уравнение назначения удовлетворяется тоrда и только тоrда,
коrда и Е R (Х).
При м е р 2.2. Проиллюстрируем сказанное
переменной возраст. В этом случае в качестве U
множество целых чисел О, 1, 2, 3, ..., а R (Х)
подмножеством О, 1, 2, ..., 100.
Вообще пусть Х 1 ,..., Х N переменные с соответствую-
щими универсальными множествами U 1 , ..., U n' Упорядочен-
ный набор Х == (Х 1 , ..., Х n ) будем называть п-арной составной
neре нной. Универсальным множеством для Х является де-
картово произведение
, U==U 1 хU 2 Х...хU nr
на примере
можно взять
может быть
(2.3)
а оrраничением R (Х 1 , ..., Х n ) является п-арное отношение
в U 1 х...хи n , Это отношение можно определить характеристи-
ческой функцией (функцией принадлежности) f1R: U 1 Х. . . х U n -+
-+ {О, l}, причем
{ 1, если (и1,..., u n )ER(X 1 ,,,.,X n ),
f1R <jt, ..., и n ) ::::: О ( ) d R (Х Х ) (2.4)
, если и1,...' и n "'F 1, ..., n'
а иl общее название элементов множества U l , i == 1, ..., n.
Соответственно этому п-арное уравнение назначения имеет вид
(Х1, ..., Х n ) == (И1' ..., иn): R (Х 1 , ..., Х n ), (2.5)
которое следует пони мать как
XI==Uj, i== 1, '''' n,
(2.6)
при оrраничении (Щ, ..., и n ) Е R (Х 1 , ..., Х n ), rде Xl, i ==
== 1, ..., п, общее название значений переменной X l .
При м ер 2.3. Предположим, что Х 1 Бозраст' отца 1),
X2 возраст сына, и Ul U2=={1, 2, ..., 100}. Далее предпо-
ложим, что Х1? Х2 + 20 (Х1 и Х2 общие названия значений
переменных Х 1 и Х 2 ). Тоrда R (Х 1 , Х 2 ) можно определить так:
, { 1 при 21 и1 100, и1:;?:: и2 + 20,
f1R (Щ, и2) == О в остальных случаях. (2.7)
1) Символ употребляется в смысле «обозначаеп или «равно по опре-
делению,.
МарZUНtiльные u условные 02раниченuя
2э
МАрrИНАЛЬНЫЕ И УСЛОВНЫЕ orp АНИЧЕНИЯ
Подобно вероятностным распределениям, оrраничение
R(X 1 , "', Х n ), обусловленное набором (Х 1 , .... Х n ), инду-
цирует .марzин,альные оrраничения R (X/ 1 . .'.., к/ н ), обуслов-
ленные наборами вида (X/ l , ..., к/ н ), rде последовательность
индексов q == иl' ..., i k ) есть подпоследовательность послед..ова-
'Feльности индексов (1, 2. ..., пр). В сущностиR(Х/ 1 , ..., X/H)
минимальное (т. е. наиболее «оrраничительное») оrраничение,
обусловленное набором (X'l' ..., X'k)' которое удовлетворяет
импликации
(иl, ..., u n )eR(X 1 . ..." Х n )=>
=> (U/ l , .... Ut k ) Е R (X/ 1 , ..., X/ k ).
(2.8)
Так, данный набор Щq) (U/ l , ..., U'k) есть элемент оrрани -
пия R (X/ l ; ..., X/ k ) тоrда и только тоrда, коrда существует
п-набор и (Щ, ..., и n ) е R (Х 1 , ..., Х n ), i 1 -я, ..., ik-я компо-
ненты KOToporo равны U/ l , .. ',' Ut k соответственно. В терминах
характеристических функций оrраничений R (Х 1 , ..., х n ) и
R (X/ l , ..., X/ k ) это утверждение можно выразить следующим
равенством:
f.-tR (X i1 , ..., X i /» (U/ l , ...,
U/ k )== V f.-tR(Хf....,Хn)(ul'...'un),
u(q')
(2.9)
или более компактно:
f.-tR(Х(q»( и (q» == V f.-tR (Х) (и),
, u(q')
(2.10)
rде q' дополнение последовательности индексов q == (i 1 , ..., ii.)
до (1, ..., п), U(q,) дополнение k-набора U(q) (Utl' ..., и/ н )
до п-набора и (иl' ..., и n ), X(q) (X/l' ..., Х/ Т } а V обо-
U(q')
значает операцию взятия sup по и из Щq')' Всюду в этой
работе символы V и Л обозначают операции взятия тах и
1) в случае бинарноrо отношення R (X l , Х 2 ) множества R (X l ) и R (Х 2 )
обычно называют областью определения и областью значений отношення
R (X l , Х 2 ) соответственно. [Здесь уместно отметить, что отношение
R (X l , Х 2 ) можно понимать как соответствие или (мноrозначную) функ-
цию, которая любому элементу х Е R (X 1 ) сопоставляет элементы (значе-
IffIЯ) !J Е R (Х,), такие, что xR!J. Peд.]
24
2. Понятие nервмвнной
.........
min соответственно; так, для любых дейстпительныx
{ а, если a b,
а V Ь z:;;;; тах (а, Ь) z;;:: Ь <Ь
, если а , ,
{ а, если а";;;;Ь,
а ЛЬ""" min (а, Ь).... Ь > Ь
,если а .
В соответствии с ЭТЦМИ обозначениями символ
а, Ь
(2,11)
V следует
z
читать как sup. ТаК как f1R может принимать лишь два зна"
t
чения О или 1, выражение (2.10) означает, что f1R (X(q» (Щq» == 1
тоrда и только тоrда, коrда существует такое U(q') , что
f1R (Х) (и) == 1.
3 а м е ч а н и е 2.4. Существует простая аналоrия, которая
помоrает уяснцть смысл переменной и связанных с ней поня-
тий. А именно, обычную (не нечеткую) переменную, в смысле
определения 2.1, можно уподобить саквояжу С ярлыком, имею-
щему твердые стенки. В этом случае Lcoo eT ,!ByeT Ba-
HI:UQ... имеющемуся 2!1ы!ык.e, списку предметов,ХО ОР I>.Iе
в принципе умещаются в саквоя}Ке" а R (Х) части 9Toro
списка, 8Кото рой перечиСЛ ё-Ны' чпедметы, обычно поме lIf.
в саквояж. (Например, такой предмет, как лодка , не МОЖе1
быть 'всписке и, такой предмет, как пишущая машинка,
может быть в и, но не быть в R (Х), а такой предмет, Kal<
пачка сиrарет или пара ботинок, может быть в R (Х),)
В такой нтерпретации уравнение назначения
х=== и: R (Х)
соответствует тому, что предмет и, удовлетворяющий оrрание
чению R (Х) (т. е. находящиЙСЯ в списке предметов, которы-
помещают в саквояж Х), помещен в саквояж Х (рис. 2.1).
Некоторая n-арная составная переменная Х (Х 1 , ..., Х n )
соответствует саквояжу с ярлыком Х, имеющему потделений,
обозначенных Х 1 , ..., Х n , причем переrородки между этими
отделениями можно устанавливать по своему усмотрению.
Оrраничение R (Х 1 . ..., Х n ) соответствует списку из n-набо-
ров предметов (иl' ..., и n ), таких, что иl можно поместить
в отделение Х 1 , из в отделение Х з , . . . и и n в отделение Х п
одновременно (рис. 2.2). При этом следует учесть, что различ-
ные наборы этоrо списка можно связать с различными распо-
ложениями переrородок между отделениями. Например, если
n == 2, то при заданном положении переrородок мы можем пс
местить пальто в отделение Х 1 , а костюм в отделение Х з ,
в то время как при друrом положении переrородок мы можем
поместить пальто в отделение Х 2 , а коробку с туфлями
D 9ТАмение Х 1 , В этом случае OQe пары (палI;oТО, КQCтюм)
Мареuшцьнш и условные оераничения
25
(туфли, пальто) окажутся в списке R (Х 1 , Xz) предметов, ко-
торые умещаются в саквояже Х о В терминах проводимоА ана-
лоrии с саквояжем n-арное уравнение назначения
(Хl, 0'0' Х п ) == (иl' о о о, и п ): R (X 1 , "0' Х п )
соответствует помещению предметов "l в Х 1 , . о о, " п В Х п одно-
временно ПJ}И условии, что n-набор предметов (иl' . о о, и п )
/' nреU",8т
/"'" СIIОН
жеаткиli
сакВояж
стул
GJ
(J
'L,Я(х)
/(Hae
nреамет
Рис. 2.1. Иллюстрация авалоrии с саквояжем' для унарной
обычной (не нечеткой) переменной.
имеется в списке R (Х 1 , о. о, Хп)о Более Toro, марrИН8ЛЬ.
'ное оrраничение вида R (X i1 , о. о, X ik ) можно интерпретировать
как - список k-наборов предметов, которые можно поместить
HaJdllH118
переJ8l1жнаi
ilepe'gopOdKf!
жесткци
с(Jкd{JRН(
I1ре3мет
Рис. 2.2 АilалоrllЯ с сзkllOяжем ДЛя бинар-
ной обычной (не нечеткой) переменной.
в оТдеЛения X i , о о о, Х/ одновременно при условИЙ, что
1 k
В остальные отделения можно при TOM поместить любые И:3
ДОПУСТИМЫХ предметов.
2. Понятuе перем.енной
26
. 3'а м е ч а н и е 2.5. Следует отметить, что выражение (2;9)
аиалоrично выражению для марrинальноrо распределения веро-
ятностей, при этом символ V соответствует операции сумми-
рования (или интеrрирования). Однако эту аналоrию не сле-
дует истолковывать так, что R (X i1 , ..., Xik) действительно
марrииальное распределение вероятностей.
Правую часl'Ь уравнеиия (2.9) удобно рассматривать как
характеристическую функцию проекции 1) отношения R (X 1 , ...
..., х n ) на U i1 X...XU ik . Таким образом,
R(X/l' ..., Xik)==ProjR(X 1 , .... Х n ) на Uj1X...XU/ k , (2.12)
или сокращенно
R (X i1 . .... X ik ) == PqR (X 1 , .... Х n ).
rде Pq обозначает операцию проектирования на U/1X...XU ik .
q == (i 1 , . н, i k ).
При М ер 2.6. Для примера 2.3 получаем
R (X 1 ) == P 1 R (X 1 , Х 2 ) == {21, .... 100}
R (Х 2 ) == P 2 R (X 1 , Х 2 ) == , ..., 80}.
При М ер 2.7. На рис. 2.3 показаны оrраничения на Ul
и и 2 , индуцированные оrраничением R (X 1 , Х 2 ).
Друrой способ описания проекций состоит В следующем.
Будем рассматривать оrраничение R (X 1 , ..., Х п ) как отноше-
ние В U1X...xU n , И пусть Q'=:(jl, ..., jт) дополнительная
К q::=; (i 1 , ..., i k ) последовательность индексов. Пусть
R (X i1 , ..., X jk I UJ 1 , ..., Иj т ), или В более компактной записи
R (X(q) !U(q')' оrраничение В U/ 1 х...хи/ я при условии щl'...
.... Иj т . Характеристическая функция этоrо условноrо orpa-
ничения определяется выражением
JA.R(X/, ...,Х; l uj.....u / . ) ( и/, ..., U/ k ) ==
1 11 1 т 1
:::: JA.R (X 1 ...., Х n ) (Ul, .... и n ), (2.13)
или сокращенно [см. (2.10)]
JA.R (x(q) I иЩI) (U(q) == JA.R (Х) (и),
1) Применяемый в литературе термин «проекция» несКОЛЬКО двусмыс-
лен, поскольку он может означать либо операцию проектирования, либо
результат этой операции. ЧТобы избежать подобной неоднозначности в слу
Чае нечетких отношений, мы будем иноrда пользоваться термином mf{l.b
[l9) для обозначения отношения, являющеrося результатом применения
операции проектирования к друrоМу отношению.
Мареuнальные ц условные оераНUчеНUЯ
тl
причем aprYMeHTbl UJ 1 , ..., Иj m входят В правую часть этоrо
выражения как параметры. Тоrда, несмотря на то, что харак-
теристическая функция условноrо оrраничения численно равна
характерцстической функции оrраничения R (Х 1 , ..., Х n ), она
определяет отношение в U/1X...XU/ k , а не в и 1 х",хи n .
lL z
Я(r,) {
, R(X1'XZ)
, I
I
I
I I
I
I I
I I
I I
I I
.
R(X I ) ,
U t
РИс. 2.3. Марrинальные оrраничения, индуциро-
ванные оrраничением R (Х l' XJ. '
Учитывая (2.9), (2.12) и (2.13), проеlЩИЮ R (Х 1 , ..., Х n )
па и/ X ...XU/ k можно записать в виде
. 1
P q R(X 1 , ..., Х n )== U R(X/l' ..., Х/k!Щl' ..., Иj m ), (2.14)
u(q')'
причем знак U обозначает' объединение семейства оrраниче-
u(q')
ний R(X/l' ..., Х/k!Щl' ..., Щm)' rде U(q') (Ujl' ..., UJm)
иабор параметров. Следовательно, (2.14) означает, что мар-
rинальное оrраничение R (X/ 1 , ..., X/ k ) в U i1 х... х U/ k можно
выразить как объединение условных оrраничений R (X/ 1 , ...
00', Х/k)!Щl' ..., UJ m )' т. е.
R(X/l' ..., X/ k )== U R(X/l' ..., X/kIUJ 1 , ..., 'И1 т ), (2.15)
U(q')
ИЛИ сокращенно
R (Хш) == U R (Х(q) I Щq'»'
U(q')
Пример 2.8. Пусть иl==и2 {3' 5, 7, 9}, И.пусть отио-
DIeние"R (Х 1 , Х 2 ) характеризуется следующей матрицей. (В этой
"трице элемент (i. i) равен 1 Torдa и только тorдa. Korдil
28
2. ПОNятuе nерем.ен.н.оа
упорядоченная пара (l-й элемеит из и 1 , j-й элемент из и а )
принадлежит R (Х 1 . XJ. В сущиости матрица отношения R
представляет собой таблицу значений характеристической функ-
ции R.)
R I 3
5
7'
9
3
5
7
9
о
1
I
1
о
'О
О
О
1 О
1 О
1 '1
О 1
В этом случае
R (Х 1 , Хаl иl == 3) == {7},
R (Х 1 , Хаl иl == 5) == {3, 7},
R (X1,Xal иl == 7) == {З. 7, 9},
R (Х 1 , Х В I Иl == 9) == {З, 9},
и, следовательно,
R (Х 2 ) ='"' {7} U {З, 7} U {3. 7, 9} U{З, 9} ==
о:;;: {3, 7, 9}.
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ И НЕВ3АИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ
ПЕРЕМЕННЫЕ _
Основным понятием, которое нам понадобится в дальней-
шем, является понятие взаимодейсmвия двух или бальшеrо
числа переменных понятие, аналоrичное понятию завuсимо-
сти случайных величин. Пусть переменная Х == (Х 1 , .", Х п )
связана с оrраничением R (Х 1 , . ., Х п ), которое индуцирует
оrраничения R (Х 1 ), ..., R (Х п ) на щ. ..., И п соответственно.
Введем
Оп р е Д е л е н и е 2.9. Переменные Х 1 , ..., Х п называются
невзаиlrtодейсmвующими при оеранuченuи R (Х 1 , ..., Х п ) Torдa
й только тоrда, коrда R (Х 1 . ..., Х п ) сепара6ельно, т. е.
R(X 1 , ..., X n )==R(X1)x...xR(X n ), (2.16)
rде для 1 === 1, ..., п
R (Хд == Proj R (Х 1 , ..., Х п ) на U l ==
== U R (X i I U(Q'»; (2.17)
U(q')
здесь Щq) u, и U(q,) дополнеиие U, в (Иl' ..., и п ).
При М е р 2.10. На рис. 2.4,а представлены rрафически
две невзаимодействующие переменные Х 1 и Ха,оrраничениями
(X и, R (Х.) дЛЯ которых являются интервалы; в этом слу-
Взаuмодейетвующие и невзаuмодействующие nеремеННЫе 29
J:< (Х 1 , Ха) есть декартово произведение этих интервалов.
рис. 2.4, б оrраничение R (Х 1 , Х.) собственное подмноже-
множества R(X 1 )xR(X.) и, следовательно, Х 1 и X.
1IМодействующие переменные. Orметим, что в примере 2.3
lIIRQeМeHHыe Х 1 и Х З взаимодействующие.
ui
R(X 2 )1
R(X1t"l)- Я(Х 1 ) xR(X z )
а
Я(Х 1 )
и1
R()('1) {
и
== R(X" X,)cR(x, )xR(X,)
и,
R(X 1 )
6
Рис. 2.4. а. X 1 и Х, невзаимодействующие переменные.
, б Х 1 И Х, взаимодействующие переменные
,.' Как будет показано в 4 в более общем случае, если
.!i.. ..., Х п невзаимодействующие переменные, ТО n-арное
jpавнение назначения
(Хl' ..., Х п )== (иl' ..., и п ): R (Х 1 , ..., Х,,) (2.18)
HO разложить в последовательность n унарных уравнений
_иачения:
Хl == иl: R (Х 1 ),
==и2: R (Ха),
(2.19)
. . . . . . . . . .
Х ,. ==и п : R (Х п ),
, R (Х , ), i == 1, ..., п;.,.... проекция оrраничения R (Х 1 , ..., Х,.)
:. и " причем по определению 2.9
R(X 1 , .... X,.)--=R(ХJх...хR(Х,.). (2.20)
30
2. Понятuе tiеременной
в случае взаимодействующих переменных Х 1 , ..., Х п по-
следовательность n унарных уравнений назначения принимает
следующий вид [см. также (4.34)]:
Xl == Ul: R (Х 1 ),
Х2==и2: R(X 2 !Ul),
(2.21)
Х п == и п : R (Х п I иl. ..., ип 1)'
[де R (Х/\ иl, ..., ин) обозначает индуцированное оrраничение
на и/ при данных иl, ..., Щ l' Характеристическая, функция
Ut,
*'I { ::: : Ш
,
R <х..)
Рис. 2.5. R (Х 2 1 Ut) оrраничение на и2 при условии Ui.
и1
этоrо услЬвноrо' оrраничения выражается следующ.им образом
[см. (2.13)]:
R(Х/IUi,...,и/ i)(Ut) R(Хi;"'.Хд(Ul' ..., ид, (2.22)
причем aprYMeHTbl иl, ..., ин В правой части этоrо выраже.
ния иrрают .роль параметров.
Замечание 2.10. Система (2.21) означает, что в случае
взаимодействующих переменных, как только переменной Xl
назначено значение иl, оrраничение на и2 становится зависи-
мым от Щ. Оrраничение на uз становится зависимым от зна-
чений, назначенных переменным Хl и Х2, и, наконец, оrрани-
чейие на и п становится зависимым от Ul. ..., aп 1. Более Toro,
из (2.22) следует, что оrраничение на и/ при заданных иl, ...
. . " ин по существу то же, что и марrиналъное оrраничение
на иl, ..., Щ, при условии, что иl, ..., UI l рассматриваются
как параметры. Иллюстрацией этоrо служит рис. 2.5.
В аналоrии с саквояжем (см. замечание 2.4). X 1 , . .. , Х п
невзаимодействуюшие переменные. если переrородки между
Взаимодействующие lllteвзаUAlод йеТ8ующие ttepeMeHlible Зr
отделениями саквояжа, обозначеииыми через Х 1 , ..., Х п , не
подаТЛИВl?Iе. В этом случае то, что помещено в одном отделе-
нии; ие влияет на предметы, которые можно поместить в дру-
rие отделения.
Если же переrородКИ между отделениями податливые, то
переменные Х 1 , ..., Х п становятся взаимодействующими в том
смысле, что помещение какоrо-либо предмета, скажем Щ, в X i
влияет на то, что можно поместить в остальные отделения.
с этой точки зрения последовательность унарных уравнений
(2.21) есть описание Toro, каким образом помещение предме-
тов иl, ..., Щ l В отделения Х 1 , ..., Xi l влияет на оrрани-
чение для отделения X i .
Определяя понятия невзаимодействия, марrинальноrо orpa-
ничения, условноro оrраничения и т. п. для обычиых (не не-
четких) переменных, мы ставили своей целью а) показать, что
понятия, аналоrичные понятиям статистической независимости,
марrlfНi!.льноrо распределени , условноrо распределения и т. п.
примеи"П'мы также к неслучаиным, не нечетким переменным; и
б) получить основу для введения подобн х понятий В случае
нечетких переменных.
Прежде чем перейти к этим понятиям, мы рассмотрим неко.
торые свойства нечетких множеств и сформулируем принцип
обобщения, который будет иrрать важную роль в дальнейшем
изложении.
З. НЕчЕtИИЕ МНОЖЕСТВА
И ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ
Как мы увидим в 4, нечеткая переменная Х отличается
от Переменной в обычном смысле (не нечеткой) тем, что ей
'Соответствует некоторое оrраничение R (Х), представляющее
собой нечеткое подмножество универсальноrо множества. По-
этому, прежде чем приступить к обсуждению понятия нечеткой
переменной, рассмотрим некоторые характерные свойства нечет-
кнх множеств н сформулируем принцип обобщения, который
позволяет расширить область определения преобразования или
отношения в и, вкщочнв В нее наряду с точками из U произ-
вольные нечеткие подмножества множества и.
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕрминолоrия 1)
Нечеткое подмиожество А универсальноrо множества и
характеризуется фУН1Щuей nе инадлеЖНОСff!: и I1А: U -+ [О, 1], кото-
рая ставит в соотf3етствие каждому элементу u Е U число I1А (и)
нз интервала [О, 1], характеризующее fU!1/, b. nш!н,czдлежносmи
элемента u подмножеству АВ).
Носителем нечеткоrо множества А называется множество
таких точек в и, для которых величина I1А (и) положителJ>на.
Высоmoй нечеткоrо множества А называется величина sup I1А (и).
и
Точкой neрехода нечеткоrо множества А называется такой
элемент множества и, степень принадлежности Koтoporo мно"
жеству А paBH 0.5.
При м е р 3.1. Пусть универсальное множеСТво U пред"
C'l'авnяет собой ннтервал [0,100], и переменная и, принимающаst
значения из зтоrо интервала, интерпретируется как «воэраС1'J.
1) Более подробное обсуждение нечетких множеств И их свойств можно
найти в работах, приведенных в списке литературы. (Подробный анализ
основных понятий, а тахже MHoro ИЛJlЮCтративны)[ примеров имеются
8 работе [20].)
') В более общем случае значеииями J1 А Moryr быть злементы частично
ynорядочеиноrо МИОЖес'1'В8 (см. (211, (22]) или ие'lеткне множества. ПОСJ1fA.
иаА случаА ПОАробно 06сужАаетсв » S Q.
Нечеmие множества. ОБOЭlCаченuя и tерМUliОАО2UЯ 33
Нечеткое подмножество универсальноrо множества и, обозна-
чаемое термином «старый». можно определить функцией при-
надлежности вида
A(и) { (1 +( и 50 п '
при O и 50,
при 50 и 100.
(3.1 )
в этом qpимере носителем нечеткоrо множества старый
;вляе1'Ся t'fнтервал [50, 100], высота множества старый близка
[( 1, а точкой перехода является значение U == 55.
Чтобы упростить представление нечетких множеств, мы
yдeM использовать следующие обозначения.
Обычное (не нечеткое) конечное множество
U == {Ul' ..., и п }
будем записывать в виде
U == Ut + . .. + и п ,
(3.2)
(3.3)
или
n
и== Ul.
1 1
rДе знак + обозначает объединение, а не арифметическое сум-
мирование. Таким образом, запись (3.3) можно рассматривать
как представление множества U в виде объединения составляю.
щих ero одноточечных множеств.
Обобщая (3.3), нечеткое подмножество А универсальноrо
множества U будем записывать следующим образом:
А ::% ""lUl + ... + ""пип, (3.5)
(3.4)
lIJIИ
n
А == ""iUl.
' I
rде !А,. 1 == 1, .... n, Степень принадлежности элемента Ul
нечеткому множеству А. .в случаях коrда Щ числа, может
}юзникнуть двоякое толкование записи ""IUl, связанное с невоз-
ожностъю различить компоненты ""1 и Ul. Чтобы избежать
r:o, будем разделять такие значения ""1 и и, чертой:
(3.6)
А == ""l/Ul + . .. + !An!u п ,
(3.1)
IIЛИ
n
А == fAl/UI.
i;;;;al
(3.8)
2 л. Заде-
34
$, Ifечетк«е .множество « nршщип обобщения
При м е р 3.2. Пусть и == {а, Ь, с, d}, или в принятых
обозначениях
и ==a+h+c+d.
(3.9)
в этом случае нечеткое подмножество А универсальноrо мно-
жества и можно записать в виде
А ==0.3а+Ь +0.9c+0.5d,
(з.1 О)
причем эта запись понимается вполне однозначщ>. С друrой
стороны, если
и == 1 + 2 + ... + 100,
(3.11 )
то во избежание неопределенностей А следует записать в виде
А == 0.3/25 + 0.9/3.
(3.12)
При м е р 3.3. Если универсальное множество состоит И3
чисел от 1 до 10, т. е.
и==1+...+10,
(3.13)
то ero нечеткое подмножество, обозначаемое словом несколько,
можно определить следующим образом:
несколько== 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8;7 + 0.5/8. (3.14)
При м ер 3.4. В случае счетноrо универсальноrо множества
и==О+I+2+ ...
(3.15)
нечеткое множество, обозначаемое словом .малый, можно запи-
сать так:
00
.малый== 2:( 1 +( п ll и.
о
(3.16)
Подобно записи (3.3), запись (3.5) можно интерпретировать
как представление нечеткоrо множества' в виде объединения
составляющих ero нечетких одноточечных множеств iUi (или
i/Щ), Из определения операции объединения нечетких множеС1'в
[см. (3.34)] следует, что в случае, коrда Щ == и/, запись нечет-,
Koro множества А можно преобразоsать следующим образом:
iUi + /Ui == (JA., v /) Ui. (3.17)
Так, например, запись
А ==0.3а+0.8а+О.5Ь
можно преобразовать в
А == (0.3 V 0.8) а + 0.5Ь == О.8а + О.5Ь.
(3.18)
(3,19)
н ечет"це множества. Обозначения и терAtUНО.llО'zuя з5
Если носитель нечеткоrо множества А имеет мощность кон-
HY'yMa, то будем использовать такую запись:
А == A (и)/и,
и
имея в виду, что llА (и) степень принадлежности элемента u
IНОЖеству А, а знак обозначает объединение нечетких
uдноточечных множеств A (и)/и, и Е U.
При м е р 3.5. Пусть универсальное множество представляет
собой интервал [0,100], а переменная и, принимающая значения
ИЗ этоrо интервала, интерпретируется как возраст. Тоrда
Jiечеткое подмножество, определяемое словом старый (функция
ринадлежности KOToporo дается формулой (3.1», можно запи-
еать как
(3.20)
'r ( ( и БО ) II ) 1 1
старыи == 1 + б------ и.
50
(3.21)
()тметим, Что точкой перехода для этоrо нечеткоrо
'1'. е. значением и, для KOToporo
cтapый (и) == 0.5,
миожества,
(3.22)
И6ляется, и == 55.
Будем rоворить, что нечеткое множество А нормально, если
ero высота равна единице, т. е.
sup llА (и) == 1.
11
(3.23)
в противном случае нечеткое подмножество А субнормально. Так,
четкое множество старый, определяемое формулой (3.21),
нормальио 1), нормальио и иечеткое множество несколько,
пределяемое формулой (3.14). С друrой стороны, нечеткое
fiодмножество не маме u не большое универсальноrо мно-
жества и == 1 + 2 + . " + 1 О, имеющее вид:
"е малое u не большое == 0.2/2 + 0.3/3 +
+ 0.4/4 + 0.5/5 + 0.4/6 + 0.3/7 + 0.2/8 (3.24)
уонормально. Следует отметить, что субнормальное нечеткое
множество можно нормировать, поделив функцию A иа вели-
llИНУ sup A (и).
11
1) CTporo rоворя, нечеткое множество старый с функцией принадлеж-
Ности (3.21) на и;= [0,100] ие являеreя нормальным. Здесь, по-видимому,
JlМеется в виду, что высота зтоrо множества близка к 1. ПриAl.. pe
Q*
86
3. Нецеткие множества и nринциn обобщения
Нечеткое подмножество универсальноrо множества и может
быть подмножеством друrоrо нечеткоrо или оБЫЧНОI'О ПQДМНО-
жества 1) множества А. Более точно, А есть подмножество В
или содержится в В Torдa и только Torдa, коrда 1L:A (и) ILB (и)
для любоrо и Е и, т. е. '
А с В <=> ILA (и) t-t-B (и), и Е U. (3.25)
При м е р 3.6. Если
и ==a+b+c+d,
А == 0.5а+О.8Ь +0.3d, (3.26)
в == 0.7а+ Ь+0.3с+ d,
то А с В.
МНОЖЕСТВА УРОВНЯ НЕЧЕткоrо ПОДМНОЖЕСТВА
УНИВЕРСАльноrо МНОЖЕСТВА
Множеством r:x уровня нечеткоrо множества А является мно-
жество (в обычном смысле) Аа всех таких элементов универ-
сальноrо множества и, степень принадлежности которых нечет.
кому множеству А больше или равна а:
.4 а == {и IILA (и);:=: а}. (3.27)
Нечеткое множество, А можно следующим образом разло-
жить по ero множествам уровня 2):
1 ,
А == аАа, (3.28)
о
или
А == aAa'
а
(3.29)
rде аАа произведение числа r:x на множество Аа (в смысле
(3.39», а i (или ) знак объединения множеств Аа по r:x
от О до 1.
Разложение (3.28) или (3.29) можно рассматривать как
результат rруппирования членов выражения (3.5) по подмио-
жествам, каждое из которых соответствует определенному MHQ-
жеству уровня. Допустим, например, что нечеткое множество А
имеет вид
А ==0.1/2+0.3/1 +0.5/7 +0.9/6 + 1/9.
(3.30)
1) То есть нечеткоrо подмножества с функцией принадлежности, при-
иимающей значения О или 1, П рим, ред.
2) Подробнее рз3JIwкeиJIe (3.28) (з.29) И ero прииевение обсуждается
работах [6J, {241.
Операции над Ileчеткu.мu JШожеетва.мu
37
Тоrда, используя (3.17), А можно представить следующим
образом:
А ==0.1/2+0.1/1 +0.1;7 +0.1/6+0.1/9+
+0.3/1 +0.3;7 +0.3/6+0.3/9+
+0.5;7 + 0.516 + 0.5/9 +
+0.9/6+0.9/9+
+ 1/9,
JiЛИ
А ==0.1 (1/2+ 1/1 + 1/7 + 1/6+ 1/9) +
+ 0.3 (1/1 + 1;7 + 1/6 + 1/9) +
+0.5 (1/7 + 1/6+ 1/9) +
+0.9 (1/6 + 1/9) +
+ 1 (1/9),
r. е. в виде (3.29) с множествами уровня [см. (з.27)]
AO.l ==2+ 1 +7 +6+9,
А о . з == 1 +7 +6+9,
Ао.5==7+6+9,
AO.D==6+9,
Al == 9.
(3.31)
(3.32)
будет показано в последующих параrра<рах, разложение
чо множествам уровня в комбинации с принципом обобщения
HO для обобщения различных понятий теории обычных
ожеств на нечеткие множества. Такое обобщение лежит
в основе мноrих из приведенных ниже определений.
ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ
Ниже приведены некоторые из основных операций, которые
жно осуществлять над нечеткими множествами.
1. Дополнение нечеткоrо множества А обозначается симво-
IЮМ l А (или иноrда А') и определяется следующим образом:
l А == (1 ILA (и»/и.
и
(3.33)
Операция дополнения соответствует лоrическому отрицанию.
Так, например, если А название нечеткоrо множества, то
«Не А» понимается как l А (см. пример 3.8). '
, 2. Объединение нечетких множеств А и В обозначается
А + В (или, что более Привычно, А U В) и определяетеа ,СЛ
38
9, Нечеткие множества и nрU1щиn обобЩения
ДУЮЩИМ образом:
А + в == (/1А (и) V /18 (и»/и.
и
Объединение соответствует лоrическои связке «или». Так, если,
например, А и В названия нечетких множеств, то запись
«А или В» понимается как А + В.
3. Пересечен.ue А и В обозначается А n в и определяется
следуюLЦИМ образом:
А n в == (/1А (и) Л /18 (и»/и. (3.35)
и
(3.34)
Пересечение соответствует лоrическои связке «И», т. е.
А и В==АnВ. (3.36)
Замечание 3.7. Следует иметь в виду, что
V ( тax) и Л ( min)
не единственные операции, посредством которых можно
опредеЛl:IТЬ операции объединения и пересечения (по этому
вопросу см. [25] и [26]). В связи с этим важно отметить, что
если операция' «и» определяется с ПОМОLЦью операции min, как
в (3.36), то она является «жесткои» в том смысле, что в ней
недостаточно учитываются функции принадлежности обоих мно-
жеств 1). В противоположность этому операция «И», определяемая
с ПОМОLЦью арифметическоrо произведения, как в (3.37), является
«мяrкои». Какое из этих двух, а возможно, и друrих
определении является наибо-лее ПОДХОДЯLЦИМ, зависит от смысла,
вкладываемоrо в эту операцию в каждом конкретном случае.
4. Произведен.ue А и В обозначается АВ и определяется
формулой '
АВ == /1А (и) /18 (и)/и.
и
Таким образом, любое нечеткое множество A , rде а поло-
жительное число, следует понимать так:
Аа , (/1А (и»а/и. (3.38)
и
(3.37)
1) Кра ним случаем TaKoro определения является пересечение печеЦИ1l
множеств А и В, таких, что А с: В, т. е.
J.l.A(X) < J.l.B (х) УХЕХ.
При этом
J.l.A пв (x)==J.l.A (х) V Х Е В,
т. е. функция принадлежности множества В фактически не участвует в этом
определении. ПрUAC. ,реО.
Операции над нечеткими .М1южествамu
S9
'!uiзлоrично, если а любое неотрицательное число, такое, что
sup ILA (и) :о::;; 1, то
"
аА == alLA (и)/u.
и
(3.39)
., Частными случаями операции возведения в степень [см. (3.38)]
,вляются операция концентрирования, определяемая следующим
t6разом
CON (А)::= А2,
(3.40)
, операция раст енuя
DIL (А) == Ао.5. (3.41)
"-эк будет показано в 9 6, операции концеНТРИРОВaI{ИЯ и растя-
leния полезны в представлении линrвистических неопределен'
focтей. . '
Пр им ер 3.8. Если
и == 1 + 2 + ... + 1 О,
А == 0.8/3 + 1/5 + 0.6/6, (3.42)
В == 0.7/3 + 1/4 + 0.5/6,
l А == 1/1 + 1/2 + 0.2/3 + 1/4 + 0.4/6 + 1/7 +
+ 1/8+ 1/9+ 1/10,
А +В ==0.8/3 + 1/4+ 1/5+0.6/6,
А Л В == 0.7/3 + 0.5/6,
АВ == 0.56/3 + 0.3/6, (3.43)
А2 == 0.64/3 + 1/5 + 0.36/6,
О.4А == 0.32/3 + 0.4/5 + 0.24/6,
CON (В) == 0.49/3 + 1/4 + 0.2516,
DIL (В) == 0.84/3 + 1/4 +0.7/6.
5. Если Аl'...' Аn нечеткие подмножества универсаль-
O множества и, а Wl,..., Wn неотрицательные весовые
: ициенты, сумма которых равна 1, то выпуклой КQмбина-
й нечетких множеств Аl' ..., Аn называется нечеткое мно-
8ество А с функцией принадлежности вида
ILA::= W1ILA, + . " + WnlLAn, (3.44)
ре знак + означает арифметическое суммирование. Понятие
-Пуклой комбинации полезно в представлении таких линrви-
40
9. НечеТlCие AUtожеетва и nринциn обобщения
стических неопределенностей, как существенно, типично
и т. п. [27].
6. Пусть Al' ..., А" нечеткие подмножества универсаль-
ных множеств U 1 , ..., и" соответственно. Декартово проuзве-
денue этих подмножеств обозначается Al Х '" Х А" и опреде-
ляется как нечеткое подмножество множества U 1 Х ... х и"
с функцией принадле ности
I1Al х ... ХА" (Ul' ..., и,,) == I1Al (Ul) Л ... л I1А" (и,,). (3.45)
Таким образом [см. (3.52)],
Al Х ... хА" == (I1At (и 1 ) Л ... л I1А" (и,,»/(иl' ..., и,,).
UiX ... хи"
(3,46)
Пр име р 3.9. Если U 1 == и 2 == 3+5+ 7, Al == 0.5/3+ 1/5 +
+ 0.677 и А 2 == 1/3 + 0.6/5, то
Al Х А 2 == 0.5/(3,3) + 1/(5,3) + 0.6/(7,3) + 0.5/(3,5) +
+ 0.6/(5,5) + 0.6/(7,5). (З.47)
7. Оператор увеличения нечеткости используется обычно
для преобразования обычноrо (не нечеткоrо) множества в нечет-
кое или для увеличения нечеткости нечеткоrо множества. Так,
результатом действия оператора увеличения нечеткости F на
нечеткое подмножество А множества U является нечеткое под'
множество F (А; к) вида
F (А; к) == I1А (и) К (и), (З.48)
u
rде нечеткое множество К (и) является ядром оператора Р, т. е.
результатом действия оператора F на одноточечное множестве
l/и:
К. (и) == F (l/и; к); (З.49]
I1А (и) К (и) произведение (в смысле определения (3.39» чисш
I1А (и) и нечеткоrо множества К (и), а знак объединениs
u
семейства нечетких множеств I1А (и) К (и), и Е и. в СУЩНОСТI
выражение (3.48) аналоrично интеrральному представлении
линейноrо оператора, в котором К (и) иrрает роль импульсноi
переходной функции.
При ме р 3.10. Пусть и, А и К (и) определены следующий
образом:
и==1+2+3+4,
А == 0.8/1 + 0.6/2,
к. (1) == 1/1 +0.4/2,
К (2) == 1/2+0.4/1 +0.4/3,
(3.50
Нечетuе отношенuя
41
Тоrда
F (А; к) == 0.8 (1/1 + 0.4/2) + 0.6 (1/2 + 0.4/1 + 0.4/3) ==
:::0.8/1 +0.6/2+0.24/3. (3.51)
Операция увеличения нечеткости иrрает важную роль в опре-
делении таких линrвистических неопределенностей, как более
или .менее, слеz"а, нес"олько (8 1Ш"ой то степени),
MHOZO и т. д. Например, если класс положительных чисел
обозначить символом: А положительный, тоrда словосоче.
тание слеz"а положительный является названием нечет.
Kora подмножества множества действительных чисе.n, функция
Прu.наiJ//ежност6
ЛО/!ОЖШ!?е/!6Ныа
{f
Рис 3 1. Функции принадлежности значе
ний положительный и слеzка полОжи-
тельный.
принадлежности KOToporo имеет вид, показанный на рис. 3.1.
В этом случае нечеткое понятие леz"а есть оператор увели-
чения нечеткости, который преобразует нечеткое множество
положительный в нечеткое множество слеz"а noложи
тельный. Однако не всеrда возможно выразить результат
действия оператора увеличения нечеткости в форме (3.48),
причем оператор слеz"а как раз и представляет такой случай.
Более подробное обсуждение этоrо и друrих вопросов, связан-
ных с этим оператором, можно найти в [27].
НЕЧЕТКИЕ ОТНОUJЕНИЯ
Если и декартово произведение п универсальных множеств
и 1 , .... и n, ТО п apHoe нечеmкое 011lltошенue R в и определяется
как нечеткое подмножество универсальноrо множества U. Как
и в (3.20), R можно представить в форме объединения со"
ставляющих ero нечетких одноточечных множеств I1R (иl' ...
..., и n )/(иl' ..., и n ), т. е.
R== I1R(Ul' ..., и n )/(иl, .... и n ), (3.52)
U1X ". ха n
rде 11 функция принадлежности нечеткоrо множества !
42
8. Нечеткие множества и nрuнцun обобщения
Распространенными примерами (бинарных) нечетких отно-
шений являются MHOZO больше че'м', имеет сходство, имеет
отношение, близ"о " и т. д. Например, если и 1 == и. ==
:::::: ( oo, 00), то отношение близ"о " можно определить сле-
дующим образом:
близ"о ,, e a I и, и.I/(Ul' ), (3.53)
и,хи,
rде.а масштабный коэффициент. Аналоrично, если и 1 == и. ==
== 1 + 2 + 3 + 4, то отношение MHOZO больше чем можно
определить матрицей отношения
R 2 8 4
1 О 0.3 0.8 1 (3.54)
2 о О о 0.8
3 О О О 0.3
4 О О О О
(i, j) й элемент которой есть значение ftR (иl' и2) для i ro зна-
чения иl и j-ro значения и2'
Если R отношение U V (или, что то же самое, отноше-
ние в l.! х V), а S отношение V W, то композицией R и S
является нечеткое отношение U W, обозначаемое R. S и опре-
деляемое формулой 1)
R. S == V (ftR (и, v) Л fts (v, ш»/(и, ш). (3.55)
UXW v
Если и, V и W конечные множества, то матрица отно-
шения R. S есть маКСМИННQе произведение .) матриц отношений
R и S. Пример TaKoro максминноrо произведения:
R S R.S
[ 0.3 0.8 ] . [ 0.5 0.9 ] ==r0.4 0.8 ] (3.56)
0.6 0.9 0.4 1 lO.5 0.9
пРОЕКЦИИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Если R есть n-а рное нечеткое отношение в U 1 Х ... х U п,
то ero nроекцuя (тень) на и'1 х ... х U/ k есть k apHoe нечеткое
отношение R q в и, которое определяется следующим образом
1) Выражение (3.55) определяет mахmiп-композицню R н s; аналоrнчно
определяется mах-компознция, только в ней вместо операцни минимизации
производнтся арифметическое умножение. Более подробное обсуждение этих
композиций имеется в работе [24].
2) В максминном произведении матриц вместо операций сложения 11
умножения нспользуютс!! операции V и Л COOTJ!eTp13elJ!JO.
fj роекции и цилинiJричееtше нечетkие м.ноЖеctва
4Э
tcp. с (:l.12»:
" Ptoj RlIa И 1t Х ... Х И 1k (3.57)
PqR
( V I1R(Ul. ..., U;,» ) /(Uil...., Uik).
u j1 x",xu ik "(q') ,
rде q последовательность индексов (/1'... I I k ); U(q) (U;I' ...
. . ., U;k); q' --- дополнение q; а
V I1R (иl. ..., и n ) == sup I1R (иl. ..., и n ).
"(q')
rде верхняя rpaHb берется по зцачениям всех тех Иj, которые
входят в Щq')' Следует отметить, что если R обычное (не
нечеткое) отношение. то (3.57) сводится к (2.9).
При м е р 3.11. Для нечеткоrо отношения, определенноrо
матрицей отношения (3.54), имеем
R 1 =-= 1/1 + 0.8/2 + 0.3/3
и
R" == 0.3/2 + 0.8/3 + 1/4.
Ясно. что различные нечеткие отношения в И 1 х. . . х И п MorYT
иметь идентичные проекции на И i , х... х И ik . Однако для дан-
Horo HetIeтKoro отношения R" в И i , х.. .ХИ j существует един-
k
ственное наибольшее 1) отношение R q в И 1 х. . . х И п, проекция
Koтoporo на И i , х.. 'ХИ ik есть Rq. Из (3.57) следует. что функ-
ция принадлежности отношения R" имеет вид
I1kq (иl. .... и п ) == I1Rq (Щl' ..., щk)' ' (3.58)
при этом следует учитывать. что равенство (3.58) справедливо
для всех иl, .... и n . таких, что 11 Й, ..., Ik-й aprYMeHTbl
I1k равны соответственно первому, второму.... k-MY aprYMeHTY
I1R ". Отсюда следует. что значение функции I1k в точке
q , q
(иl, ..., и n ) равно значению этой функции в точке (иl, ...
' ) , , И
..., и п . если только щ, Иi,...., U;k == Ui k . сходя из этоrо
будем называть отношение R q цилиндрическим продолжен.ием
отно ения R q , причем само R q является осн.ован.ием отноше-
ния R" (см. рис. 3.2).
1) То есть отношение, содержащее все lIPуrие Отношении, проекции
которых на U j . X...XU jJ1 равны Rq.
44
8. НечеТlШе множества и nршщuп обобще. нuJi
Предположим, что R есть n apHoe отношение в U 1 Х ,...
...хи n , Rq ero 'проекция на U i , x...xU i , а Rq ЦИЛИНДРИ-
"
ческое продолжение отношения Rq. Поскольку R q наиболь-
шее отношение в U 1 Х . . . х U n, проекция KOToporo равна R q ,
то R q удовлетворяет оmНОlиению 8ложенносmи
RcR q
(з.59)
для всех q и, следовательно,
R с R q , n R q , n . . . n R q
r
(з.60)
для произвольных ql, ..., qr (подпоследовательностеи индексов
из (1, ..., n».
U'l.
R R(X1'X'l.)
я ,
, J
А ' ...
Я , = осно6ание Я,
Рис. 3.2. Rl основание цилиндрическоrо множества Rl.
в частносТи, если положить ql == 1, ..., qr == n, то выраже.
ние (3.60) примет вид
R с R 1 nR 2 n...nRn, (3.61:
rде Rl' ..., Rn проекции R на U 1 . ..., U n соответственно
а Rl' ..., Rn их цилиндрические продолжения. Но из опре
деления дe apTOBa произведения [см. (3.45)] следует, что
Rln...nRn==R1х...хRя, (3.62
откуда вытекает
П р е Д л о ж е н и е 3.12. Если R есть п-арное нечеmко
оmношение в U1X...xU n и ,Rl, ..., Rn eeo nроекциu н
U t , ..., и n, та (см. рис.3.3)
R cR1X...XRn. (3.6
С помощью понятия цилиндрическоrо продолжения можн
дать интуитивную ицтерпретацию композицИИ нечетких отщ
шении. Так, предположим, что R и S бинарные нечетКF
п роеlЩUU и цшинiJрuiiее"ШI нe 8Т"иe AtН.ожееrва
45
.отношения в И 1 ХИ 2 и И 2 хИ з соответственно. Пусть R и S
цилиндрические продолжения R и S в И 1 Х И 2 Х Ив. Тоrда из
определения композиции R о S (см. (3.55» следует, что
R.S==Proj RnS на И 1 хИ з . (3.64)
Если R и S таковы, что
Proj R на И 2 == Proj S на И 2 , (3.65)
то RnS становится соединением 1) R и S. Основное свойство
соединения R и S можно сформулировать следующим образом.
l4
Д!
Я 1 х R'l.=R1 п R2,
R{
R;:R(X 1 ,X'l.)
81
Я 1
Декартово произведение и пересечение цилин-
дрических множесТВ.
q
Рис. 3.3.
ПредложеН,ие 3.13. Если R и S нечеmкш отношения
в И 1 Х И 2 и И" Х ИЗ соответственно, а R n S coeдинeн.ue R и S,
та
R == Proj R n S на И 1 Х И 2 (3.66)
S == Proj R n S на И" Х ИЗ. (3.67)
,TaKUМ образом, R и S МQЖНО восстановить, зная соединенш R
и S.
и
д о к а з а т е ль с т в о. Пусть ILR И ILS обозначают функции
nринадлежностй нечетких .отношений R и S соответственно.
Тоrда правые части выражений -(3.66) и (3.67) можно записать
в виде
v (ILR (и1' U2J Л ILs (и 2 , из»,
".
V (I-LR (и1' и2) Л I-Ls (и2' из».
и,
(3.68)
(3.69)
1) Понятие соединения (join) обычных, (не нечетких) отношеНИЙ введено
в работе [28].
46
8. Нечеткие множества и nринцun ойоощенuя
в силу дистрибутивности и коммутативности операций V и Л.
(3.68) и (3.69) можно переписать в виде
R (иl' и2) Л (Уз S (и2' из») (з.70)
и
S (и2' из) Л (У, R (иl' и 2 »)'
(з.71)
Более Toro, из определения соединения следует равенство
(3.65) и, значит,
v R (иl, и;) == V S (и2' из).
а. из
(3.72)
Из этоrо равенства и определения операции V получаем
R (иl' и2)'::;;:;' V R (иl' и2) == V !ls (и2' из) (з.73)
"1 и8
и
s (и2' из)'::;;:;' V !ls (и2' из) == V !lR (иl' и2)'
и, а.
(з.74)
С.дедовательно,
R (иl' и2) Л (Уз !ls (и2' из») == R (иl. и2)
(3.75)
и
!lS(U2. из) Л (У, !lR(Щ. U;))==!ls(U2' из). (з.76)
что и означает выполнение (3.66) и (3.67). Предложение
доказано.
основное свойство проекций, которое нам понадобится
в 4, следующее.
Пр е Д л о ж е н и е 3.14. Если R нормальное отношение
(см. (3.23». то и каждая из еёО nроекцUЙ нормальное отношение.
, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R есть n-арное отношение
в иlХ,.. хи n, И пусть Rq ero проекция (тень) на U i , х...
.. . х Ui k , rде q == (il. ..., i k ). Поскольку R нормально, то.
соrласно (3.23), имеем
V R(Ul' ..., и n )==1, (3.77)
(и,. ... , ап>
ИЛИ В сокращенной записи
V R (и) == 1.
u
С друrой стороны, по определению R q [см. (3.57)]
R (Иi , ..., Ui k )== V !lR(Ul' ..... и n ).
q 1 ' (а ' а . \
11' ..., lтJ
п pиHЦuп обобщения
47
или
!-tRq (Щq» == V !-tR (и).
"(q')
и, следовательно, высота R q равна
V !-tR q (Щq» == V V!-tR (и)
"(q) "(q) "(q')
== V !-tR (и) == 1.
"
(3.78)
Предложение доказано.
ПРИНЦИП ОБОБLЦЕНИЯ
П ринцип обобщения для нечетких множеств представляет
собо й в сущности OBHoe равенст во, позволяющее расши-
рить область определения и отображения или отношения,
включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие под-
множества множества U. Более конкретно, предположим, что
t отображение и --+ v, а А нечеткое подмножество вида
А ==.!-t1U1 +... + ""пип' (3.79)
Тоrда принцип обобщения утверждает, что 1)
f (А) == f (!-tl U l +...+ ""пип) ==!-tJ (иl) +...+!-tJ (и п ). (3.80)
'Итак, образ множества А при отображении f можно получить,
зная образы элементов иl, ..., и п при этом отображении.
Пр име р 3.15. Пусть
и == 1 +2+...+ 10,
и пусть f операция возведения в квадрат. Пусть .малыli
нечеткое подмножество множества и вида
.малый== 111 + 1/2+0.8/3+0.6/4+0.4/5. (3.81)
Тоrда, учитывая (3.80), имеем 2)
.малый 2 == 111 + 1/4+0.8/9+0.6116+0.4/25. (3.82)
Если носитель подмножества А имеет мощность конти
1 YYMa, т. е.
А == ""А (и)/и,
и
(3.83)
1) Принцип обобщения не явно присутствует в одном из результатов
f bl [29] В теории вероятностей принцип обобщения аналоrичен выра-
ию для распределения вероятностей, индуцированноrо отображением
. В частном случае интервалов применение принципа обобщения сво-
. ся к анализу интервалов [31]. , '
1) Заметим, что зто определение lje'JeT 9ro множества ...,ал (t2 0ТJIII-
" Я Q'J' определе!l"Я (3.38). '
8. Нечеткие множества и nринциn обобщения
48
ТО принцип обобщения принимает следующий вид
f (А) == f О A (и)/и) == A (и)/' (и);
при этом необходимо учитывать, что f (и) точка множества V,
а A (и) степень принадлежности f (и) нечеткому подмножеству
f (А) множества V.
в некоторых случаях удобно использовать принцип обоб
щения в друrой форме, которая получается из выражеuия
(3.84) путем разложения А не на одноточечные нечеткие
множества, а на соответствующие ему множества уровня [см.
разложение (3.28)]. Таким образом, написав
1
f1 == аАа, (3.85)
о
(3.84)
rде Аа соотв тствующее А множество а, уровня, получим
пniнПlUП МnnПН:>J.1'ия В следующей форме:
f (А) == f ( СХА а ) == а,' (Аа),
(3.86)
еСJIИ носитель А континуум, или
f (А) f ( a,Aa) == а,' (Аа),
(3.87)
если либо носитель множества А счетное множество, либо
множества уровня, соответствующие А, образуют счетное
семейство.
3 а м е ч а н и е 3.16. Принцип обобщения в форме (3.84)
позволяет расширить область определения и отображения "
включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие под
множества множества U. Принцип обобщения в форме (3.86)
позволяет расширить область определения отображения "
включив в нее наряду с обычными (не нечеткими) подмножест-
вами и произвольные нечеткие подмножества U. Следует под-
черкнуть, что выражения (3.84) и (3.86) эквивалентны,
поскольку (3.86) вытекает из (.3.84), если переrруппировать
члены в разложении множества А.
3 а м е ч а н и е 3.17. Принцип обобщения аналоrичен прин
циiIу суперпозиции для лин йных систем. Соrласно послед-
нему, если L линейная система и иl, .. ., и п входные
сиrналы, то откликом системы L на любую линейную комби-
нацию
и == W1Ul +. . . + WIfU".
(3.88)
п рuнциn обобщения
49
rде Wi постоянные коэффициенты, является
L (и) ==L (W1Ul +.. .+WnU n ) == W1L (щ) +.. .+wnL (и n ). (3.89)
Сj'Щественное различие между (3.89) и (3.80) состоит в том,
что в (3.80) знак + обозначает объединение, а не арифмети-
ческую сумму, и f не оrраничивается 'Юлько линейными ото-
бражениями.
х 1 2 '3 4 1V2 2V4
1 1 2 3 4 1V2 2V4
2 Z 4 6 8 2V4 4V8
3 3 б 9 12 ЗVб БV1Z
4 1 8 12 16 4VB 8V16
1У2 1У2 2У4 ЗVб 4Vd 1V2V4 2V4V8
3У5У6
х
2V4V6
6V10 V12
12 VZO У24
18V30V36
6V10V12V18 V20V24V30V36
Рис. 3,4. Обобщение таблицы умножения на
множества целых чисел; I V2 обозначает 1
или 2.
3 а м е ч а н и е 3.18. Следует заметить, что, коrда А ==
== иl + . . . + и n , результат применения принципа обобщения
аналоrичен результату образования n-краТIfоrо декартова
произведения алrебраической системы (и, f) самой на себя.
Обобщение таблицы умножения на подмножества чисел пока-
зано на рис. 3.4.'
Во мноrих приложениях принципа обобщения возникает
следующая проблема. Имеется функция n перемеНRЫХ f: и 1 х...
...хи n --+ V И нечеткое множество (отношение) А в и 1 х...хи",
характеризующееся функцией принадлежности fA-А (Щ, ..., и n /,
50
8. Н ечет"uе .множества и пршщU!' обобщения
rде и, Е U" i == 1, ..., n. Непосредственное прим нение прин-
ципа обобщения (3.84) в этом случае дает
, , .
f (А) == f ( ""А (Иl' ..., И n )/(Иl' ..., И n » ) ==
u1x...xu n '
== !-tА (Иl' ..., иn)Jf (Иl, ..., И n ); (3.90)
v
однако во мноrих случаях нам известно не само множество А,
а ero проекции Аl' ..., Аn H U 1 , ..., U n соответственно
(см. (3.57». в связи с этим возникает вопрос: какое выраже-
ние для ""А следует использовать в (3.90)?
В таких случаях, если особо не oroBopeHo, будем предпо-
лаrать, что функция принадлежности отношения А имеет вид
""А (Иl' ..., И n ) ,== ""А, (Иl) Л ""А, (из) Л.. .Л ""Аn (И n ), (3.91)
rде ""А., i == 1, ..., n функция принадлежности отношения А,.
I
Если учесть равенство (3.45), то (3.91) эквивалентно предпо-
ложению о том, что А декартово произведение своих npo-
екций, т. е.
А == А 1 х...х Аn,
откуда в свою очередь следует, что А наибольшее множество,
проекции KOToporo на U 1 , ..., U n суть Аl' ..., Аn соответ-
ственно (см. (3.63».
При м е р 3.19., Предположим, что, как и в примере 3.15,
U 1 ==U з == 1 +2+3+...+ 10
и
А 1 == при.м.ерно 2 == 1/2 +0.6/1 +0.8/3, (3.92)
A2== примерно 6== 1/6+0.8/5+0.7;7, (3.93)
f (Иl. из) == Иl Х ИЗ == арифметическое произведение Иl и Из.
Используя (3.91) и применяя принцип обобщения в форме
(3.90), имеем
Х == (1/2+ 0.6/1 + 0.8/3) х (1/6 + 0.8/5+ 0.7/1):;:;
== 1/12+0.8/10+0.7/14+0.6/6+0.6/5+
+ 0.617 + 0.8/18 + 0.8/15 + 0.7/21 ==
== 0.6/5+0.6/6+0.6;7 +0.8110+ 1/12+
+ 0.7/14 +0.8/15+ 0.8i18 + 0.7/21. (3.94)
Таким образом, арифметическое произведение нечетких
чисел при.м.ерно 2 и при.м.еРfЩ 9 e rp flеЧеТJ5 ЧflСЛ(>, выра-
ж нное формулой (3.94). '
, ..."".... .'",;.;,<t. ""<.:J:Ii''' '''''':'I\.:''.'.'' ' '' \
n рU1ЩUn обобщения
'61
Вообще пусть символ * обозначает некоторую бинарную
операцию, определенную на их v, со значениями в ,W. Так,
если U Е и и V Е V, то
w==u*v, w Е W.
Предположим теперь, что А и В нечеткие ПОщ.1ножества
множеств и и v соответственно, причем
А == ""lиl +.. .+!-tnun
и
(3.95) .
В =="lVl +.. '+"тvт'
Используя принцип обобщения и предполаrая, что выполняется
:равенство (3;91), операцию * можно обобщить на нечеткие
JПодмножества множеств и и V, определив отношение
А *В == ( !-tIUt ) * ( "tVt ) == (!-tl Л "t) (Щ * Vj). (3.96)
1 f 1. j'
,JIerKo проверить, что в случае, коrда А == 2, В ==6 и * == х ,
как в примере 3.19, применение выражения (3.96) приводит
.t{ в ражению для х?
З а м е ч ан и е 3.20. Важно отметить, что применимость
(3.96) зависит существенным образом от предположения (3.91),
т. е. от тoro, верно ли равенство '
""А.в(и, V)==!-tА(U) Л !-tв(V),
Следствием этоrо равенства является то, что U и V невзаимо-
действующие переменные в смысле определения 2.9. Если же
существует оrраничение на (и, v), которое выражаеТся отно-
шением R с функцией принадлежности !-tR, то выражение для
А * В имеет вид
А * В==(( !-tIUI) * ( "/ /))nR ==
== (!-tl Л "1 Л !-tR (UI, vl» (щ * VI)'
i. 1
(3.97)
Заметим, что если R --- обычное (не нечеткое) отношение, то
правая часть (3.97) будет содержать только те члены, которые
удовлетворя оrраничению R.
, ,
Простой иллюстрацией случая, в котором U и V взаимо-
.действующие переменные, служит выражение
w == z Х (х+ у), (3.98)
в котором арифметическое суммирование обозначено знаком +,
а арифметическое произведение --- знаком х. Если х, У и z
52
3. Нечеткие множества и nринциn обобщения
невзаимодействующие, то мы можем применить принцип обоб-
щения в форме (3.96) для вычисления Ах(В+С), rде А, В
и С нечеткие подмножества действительной прямой. С дру'
rой стороны, если (3.98) переписать в виде
w==zxx+zxy,
то члены z Х х и z Х у взаимодействующие блаrодаря наличию
в них общеrо множителя z и, следовательно,
Ах(В+С)*А хВ+АхС.
(3.99)
Из этоrо факта можно сделать важный вывод о том, что
произведение нечетких чисел не дистрибутивно, если оно
вычисляется по формуле (3.96). Чтобы получить равенство
в (3.99), мы можем применить принцип обобщения в форме
(3.96) к левой части (3.99) и должны применить ero обяза-
тельно в форме (3.97) к правой части (3.99).
3 а м е ч а н и е 3.21. Принцип обобщения можно применять
не только к функциям, но также и к отношениям, или, что
эквивалентно, J{ предикатам. Мы не будем останавливаться
здесь на этом вопросе, так как применение Принципа обобще-
ния к отношениям не иrрает значительной роли в , той работе.
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА С НЕЧЕТКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Причиной рассмотрения нечетких множеств снечеткими
функциями принадлежности служит близкая связь, которая
существует между понятием линrвистической истинности
с такими значениями, как истинно, вполне истинно,
очень истинно, более или .менее истинно и т. п.,
С одной стороны, и нечеткими множествами, степень принад-
лежности которым описьшается такими линrвистическими
терминами, как низкий, средний, высокий" очень низкий,
не низкий и не высокий и т. п. С друrой.
. Итак, предположим, что А нечеткое подмножество уни-
версальноrо множества и, а значениями ф)'нкции принадлеж-
ности MorYT быть нечеткие подмножества интервала [О, 1 j.
Чтобы ОТЛичить такие нечеткие множества от нечетких под-
множеств, рассмотренных ранее, будем называть их нечеткими
множествами типа 2, а нечеткие множества, функции принад-
лежности которым являются отображениями и -+ [О, lJ, нечет-
кими множествами типа 1. Введем более общее
Оп р е де л е н и е 3.22. НечетlCое -множество есть множество
типа n, n == 2, 3, ..., если значениями ero функции принад-
лежности являются нечеткие множества типа n 1. Функция
Нечеткuе множества с нечеткими функциями принадлежности 53
принадлежности нечеткоrо множества типа 1 принимает зна
чения из интервала [О, 1].
Чтобы определить такие операции, как дополнение, объеди
нение, пересечение и т. п. для нечетких множеств типа 2,
естественно использовать принцип обобщения. Удобно, однако,
выполнить это в два этапа: сначала обобщить соответствующие
определения для множеств типа 1 на нечеткие множества
с функциями принадлежности, значениями которых являются
интервалы, а затем, используя принцип обобщения в форме
множеств уровня (3.86), перейти от интервалов к нечетким
множествам 1).
Ниже этот метод иллюстрируется на прим ре обобщения
на нечеткие множества типа 2, понятия пересечения, которое
определено выше (см. (3.35» для нечетких множеств типа 1.
Отправной точкой является выражение для функции при-
надлежности пересечения А и В, rде А и В нечеткие под.
множества типа 1 множества и,
IlАПВ (и) == IlA (и) Л IlB (и), u Е U.
Если IlA (и) И IlB (и) интервалы в [О, 1], а не точки в [О, 1],
т. е. если для фиксированноrо u
IlA (и) == [аl' а2]'
IlB (и) == [Ь 1 , Ь 2 ],
rде аl, а2, Ь 1 , Ь 2 зависят от и, то, применив принцип обобще-
ния (3.86) к функции Л (min), получаем 2)
[аl' а2] Л [Ь 1 , Ь 2 ] == [аl Л Ь 1 , а2 Л Ь 2 ]. (3.100)
Таким образом, если значения функций принадлежности под-
множеств А и В интервалы в [О, 1], как показано на рис. 3.5,
то пересечение этих множеств описывается функцией при
надлежности, значения J{()1'()П()Й (ИН1'епвалы) для каждоrо u
даются формулой (3.100)
1) Мы молчаливо предполаrаем, что рассматриваемые нечerкие мно-
жества выпуклы и, следовательно, их множества уровня суть интервалы
[29]. В случае невыпуклых множеств требуются лишь незначительные
изменения в этой процедуре.
2) PaBt'HCTBO (3,100) можно получить, используя принцип обобщения
'и 8 форме (3.90), если рассматривать функцию Л (min) как отображение
[О, 1] Х [О, 1] -+ [О, 1}. Учитывая, что значения функций принадлежности
для всех точек интервалов [аl' а2} и [b 1 , Ь 2 ], рассматриваемых как нечеткие
множества, равны 1, и применяя (3.90}, получаем '
[al' } Л [Ь 1 , b2}== [х Л у] == [аl Л Ь 1 , Л Ь 2 ],
поскольку знак J обозначает здесь объединение' всех точек 8ИJ1,В [х Л у},
r.l(e х Е [al' }, /J Е [b 1 , Ь а ]. ПрuJt. ред.
а
64
8. Нечеткие МЖJжееtSll и tiриrщиr
Рассмотрим теперь случай, коrда )1
ства J.tA (и) и J.tB (и) нечеткие ПОДМНОЖI
ДЛЯ простоты предположим, что эти
т. е. множест8а уровня интервалы. д:
ПР(//lfJD.lJежност6
1
tI
Рис; 3.5. Пересечение нечетких множестIY, значениями
функций принадлежности которых ЯвJlЯЮТСЯ интервалы.
Прано!Jt7ежноот6
1.1
Рис. 3.6 Множества уровня нечетких функций принадлеж-
ности 11 А В I-LB'
предполаrать, что для каждоrо а Е (О, 1] множества a yp(
нечетких подмножеств А я В описываются функциями при
лежности J.t , J.t , значениями которых являются интерJ
(см. рис. 3.6)1).
1) Точное определение функций 11 и 110 привеАено ниже [см. (3.101)
в (3.102)}. При",. ред.
/
н ечеткuе множеС7'8а с нечеткuми ФУНКЦUЯ..,U принадлежности 55
Применяя принцип обобщения в ф-рме (3.86) к множествам
а уровня нечетких подмножеств А и В, придем к следующему
определению пересечения нечетких :множеств типа 2,
Оп Р е Д е л е н и е 3.23. Пусть А и В нечеткие подмно-,
жества типа 2 множества и, такие, что для каждоrо и Е и
множества A (и) и B (и) выпуклые нечеткие подмножества
типа 1 интервала [О, 1], т. е. для каждоrо а Е (О, 1] мно-
жества tt УРовня нечетких функций принадлежностИ A (и) и
J1B (и) 'описываются функциями принадлежности и , зна-
чения которых суть интервалы.
Обозначим множество tt урОВНЯ нечеткой функции при-
н длежности пересечения А и В через пB, причем множества
а: а:
а-уровня A и B определяются для каждоrо и следующим
образом:
{VIVA (v) a},
{vl " в (v) a},
(3.1 01)
(3.1 02)
rде V А (v) (VB (v» обозначает степень принадлежности точки
V Е[О, 1] нечеткому множест A (и) ( B (и». Тоrда, для
( аждоrо u
; ,
пв== л '
(з.103)
,
' Друrими словами, множество а-уровня нечеткой функции
m-ринадлежности пересечения А и В есть минимум (в смысле
j>пределения (3.100» множеств а уровня. нечетких функций
I!ринадлежности подмножеств А и В. Используя разло-
Itение (3.28), AnB можно выразить в виде
1
A nB == a( Л ).
о
(з.104)
!taссмотрим случай, коrда носители нечетких множеств A,
. конечные множества, т. е. A и ILB представимы в виде
1A==ttlvl+...+a n v n , VIE[O,I], i==l; ..., n (3.105)
1== lWl+...+ тWт, WjE[O, 1],. j==I, ..."n. (3.106)
t " , :есь ttl и j степени принадлежности VI и Wj множествам A
" B соответственно. Применяя принцип обобщения в форме
.96) к операции 1\ (miп), получим требуеМое выра еIЩ
56
8. НечеТlCuе множества u nринциn обобщенuя
дЛЯ f.LA ПВ 1):
/-tАПВ == f.LA Л f.LB == (а1 и l + .., +аnи n ) Л ( !Ш! + .., + mШm)
== (а/ Л ;) (и/ Л ш;). (3.107)
(, i
При м е р 3.24. Проиллюстрируем равенство (3.104), предпо-
ложив, что в точке u степени принадлежности u множествам А
и В обозначаются как высокий и средний соответственно,
причем термины высокий и средний определяются как нечет
кие подмножества множества V == 0+ 0.1 + 0.2 + . .. + 1 выра-
жениями:
высокий == 0.8;0.8 +0.8;0.9 + 1;1 (3.108)
средний == 0.6;0.4 + 1;0.5 + 0.6;0.6. (3.109)
Множества уровня нечетких подмножеств высокий и средний
выражаются следующим образом:
высо"иЙО.6 == 0.8 + 0.9+ 1,
высокийО.8 == 0.9+ 1,
высокий! ==1,
средниЙо.6 == 0.4 + 0.5 + 0.6,
средниЙt ==0.5
и, следовательно, множества а уровня пересечения А n в
имеют вид
f.L;4пв (и) == 8ысоки й О.6 Л сред ний о.6
==(0.8+0.9+1) Л (0.4+0.5+0.6)==
==0.4+0.5+0.6, (3.110)
f.L nB (и) == высоки й О.8 Л сред ниЙ о.8 ==
== (0.8 +0.9 + 1) Л 0.5 ==
==0.5 (3.111)
и
!A- ПВ (и) == высокий! Л средний! ==
== 1 Л 0.5==
==0.5.
Комбинируя (3.110), (3.111) и (3.112), получаем
для нечеткоrо множества, описывающеrо степень
ности точки u пересечению подмножеств А и В:
f.tA ПВ (и) == 0.6;(0.4 + 0.5 + 0.6) + 1;0.5 ==
== средний,
что эквивалентно утверждению
высокий Л средний == средний.
(3.112)
выражение
принадлеж-
(3.113)
(3.114)
l На самом деле определение (з.107) можно вывести и из (3.90).
НечеттСие },/1l0жеетва с нечеткими-- функциями nринаалежноети 57
,
Этот же результат можно получить\ более коротким способом,
используя равенство (3.107):
высокий Л средний == (0.8/0.8+0.8/0.9+ 111) Л
Л (0.6/0.4 + 1/0.5 + 0.6/0.6) ==
== 0.6/0,4 + 1/0.5 + 0.6/0.6 == (3.115)
== средний.
Аналоrичным образом можно обобщить на случай нечетких
множеств типа 2 операции дополнения, объединения, концент-
рирования и т. п. Это сделано в 9 6 при обсуждении нечеткой
лоrики, в которой значения истинности являются линrвисти-
ческими по своей природе.
3 а м е ч а н и е 3.25. Результаты, полученные в примере 3.24,
можно рассматривать как частный случай общеrо вывода, кото-
рый можно пол учить из (3.1 СО), об обобщении неравенства
на случай нечетких подмножеств числовой оси. В частности,
в случае действительных чисел а и Ь имеем
a b<;::>a Л Ь==а. (3.116)
На основе этой эквивалентности, учитывая выражение (3.100),
получаем для И!fтервалов:
[аl, а2] [Ь 1 , Ь 2 ] <;::> аl Ь 1 и a2; Ь 2 . (3.117)
ОТсюда в свою очередь следует
Оп р е Д е л е н и е 3.26. Пусть А и Б выпуклые нечет1<ие
подмножества числовой оси, и пусть Аа и Ба множества
а-уровня этих подмножеств соответственно. Тоrда обобщение
неравенства на выпуклые нечеткие подмножества действи-
тельных чисел выражается 1) В виде
А Б<;::>АЛБ==А<;::>
<;::> Аа Л Б а == Аа для всех а Е [О, 1],
(3.118)
(3.119)
rде множество Аа Л Ба определяется соrласно (3.100).
В случае, рассмотренном в примере 3.24, леrко проверить,
ЧТО
средниЙ а вы.сокиЙ а для всех а
(3.120)
в смысле (3.119), откуда мы сразу приходим к выражению
средний Л высо"ий == средний,
которое полностью соrласуется с (3.114).
1) Леrко проверить, что отношение , определенное в (3.117), является
частичным УПОРЯJlочением.
4. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теперь мы можем обобщить понятия, введенные в Э 2,
на так называемые нечеmкuе переменные. Нам будет удобно
формализовать понятие нечеткой переменной аналоrично тому,
как это было сделано в определении 2.1 понятия обычной
(не нечеткой) переменной.
О п р е Д е л е н и е 4.1. Н ечеmк.aя пере,М,енная ха рактер изу-
ется тройкой (Х, и, R (Х; и», rде Х название переменной,
и универсальнОе множество (конечное или бесконечное),
U общее название элементов множества и, R (Х, и)
нечеткое подмножество множества и, представляющее
собой нечетко е Оёраничение на значения переменной и,
обуслов.IiёННOe Х. [Как и в случае обычных (не нечетких)
переменных, вместо R (Х; и) мы будем, как правило, писать
сокращенно R (Х), R (и) или R (х), rде x общее название
значений переменной Х, и будем называть R (Х; и) оrраниче
нием на и или о rраничением, !lEJJ словленны,М, Х.] Неоrраничен-
ная обычная ,( не нечеткая) пе ременна является для Х
б а пере.менной.
J1 равнение назначения для Х имеет вид
х== и: R (Х)
(4.1)
и отражает то, что элементу х назначается значение и с уче-
том оrраничения R (Х).
Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство, будем
называть срв.месmи,М,осmью знлчения и с R (Х) и обозначать ее
через с (и). П о определению
с (и) == /A-R (Х) (и), и Е и, (4.2)
rде /A-R (Х) (и) степень принадлежности и оrраничению R (Х).
3 а м е ч а н и'е 4.2. Важно отметить, что совместимость
значения и не есть то же самое, что вероятность значения и.
9>вместимость и с R (Х) это лишьм р а Toro, насколько а
ч.еI!!:!. довл о.2 } оrраничению дm она не имеет ника
Koro отно шени я к тому, насколько вероятно или невероятно
это значение.
4. Пон.ЯТU8' н.ечеТlCоа переменн.оа
59
3 а м е ч а н и е 4.3. полъзуя аналоrию с саквояжем (см.
замечание 2:4), нечеткую переменную можно уподобить сак-
вояжу с ярлыком, имеющему .4tЯ2кuе стенки. Тоrда Х надпись
на ярлыке (название сакво'яжа), и список предметов, кото-
рые в принципе можно поместить в саквояж, а R (Х) часть
этоrо списка, в которой для каждоrо предмета u указано
число с (и) ; характеризующее степень леrкоСти, с которой
предмет u можно помеr.тить в саквояж Х (р ис. 4.1) .
наа8ание
nреомет
R(X)
lJ. C(lJ.)
от!!/! О
лаl!ьто 0.6
тУфl!lJ 0.9
р!/tfашка 1
Рис. 4.1. Аналоrия с саквояжем для унарной нечеткой пере-
мен Ной
Чтобы упростить обозначеНИJ!, удобно использовать один
и тот же символ для Х и х и положиться на контекст для
разрешения возможных неопределенностей. Покажем это на
следующем примере.
При м е р 4.4. Рассмотрим нечеткую переменную, именуе-
мую бюджет. Пусть и == [О. 00). а R (х) определяется следую-
щим образом (см: рис. 4.2):
1000 00
R (бюджет) == \ l/u + \ (1 +( и ooo Y) l / и. (4.3)
I OO
Тоrда в уравнении назначения
бюджет == 1100: R (бюджет) (4.4)
совместимость значения 1100 с оrраничением R (бюджет) равна
с (1100) == f.tR (БЮДJI[ет) (1100) == 0.80. (4.5)
Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, если
Х 1 . ..., Х Л нечеткие переменные в И 1 , ..., ИЛ соответственно.
то Х @ (Х 1 , .... х л ) есть n арная составная neременная в И ==
:f. Понятие nечетICОЙ переменно4
60
==и 1 х.. .хи п , Соответственно этому в n-арно.м уравнении
lU13НClЧeНUЯ вида
(Хl' ..., Х n ) == (иl, ..., и п ): R (Х 1 , ..., Х n ) (4.6)
Xl, i::=: 1, ..., n, общее название, значений переменной X l ,
Uj общее название элементов множества U i ;
R(X) R{X.. ..., Xn) n-apHoe нечеткое отношение в и, пред-
ставляющее собой оzраничение, обусловленное переменной
X (Xl' ..., Хв),
Со8местцмость
0.80
R(БЮАжет)
1000 1100
f./,
Рис. .2. Функция совместимости нечеткой пере-
менной бюджеr.
Совместимость (Иl' ..., и п ) с R (Х 1 , ..., Х n ) определяется
так:
с(иt, ..., И n ) ==/l-R(X) (Иl' ..., и n ),(4.7)
rде ....R (х}.,.... функция принадлежности оrраничения на
И (Ul' ..., и n ).
При мер 4.5. Предположим, что иl==и2==( OO, (0);
Х 1 близость по rОРИЗ0НТа.ли; Х 2 близость по вертикали; и
оrраничение на и имеет вид
R (Х) == (l + и: + и ) 1/(иl' И2)'
lЛ,хи.
(4.8)
1qrда совместимость значеЩIЯ и == (2, 1) в уравнении назна-
чения
(Xt, Х2) == (2, 1): R (Х)
(4.9)
равна
с (2, 1) == I1R (Х) (2, 1) == 0.16. (4.10)
3 а м еч а н и е 4.6. В аналоrии с саквояжем (см. замеча-
ние 4.3) n-арную составную нечerКУI<J переменную можно упо.
Мар2шetlльные u !lСАО8ные оераlUlчеNUЯ
&1
добить мяrкому саквояжу Х, имеющему потделений Х 1 ,
..., Х Л ' Функция совместимости с(и., ..., u л ) характеризуеr
степень леrкос ти, с которой п едметы и1,. . . , U Л можно
по местить в соответств ие от еления 1. п ол н овр е-
ireHHO рис.
Мя каJl
переёороака
Мяzкшl
сакQояж
lIазОаНlJ.е 1
НазОаНlLе 2
R(X 1 ,X z )
а 1 lJ.z C(lJ. 1 ,U z 1
Па/1ьто «им tL 0.8
Па/1ьто Руtfашка 1 .
Па/1ьто П,а/1ьто 0.8
Рис. 4.3. Аналоrия с саквояжем для бинарной нечеткой
переменной.
Основной вопрос, который возникает при рассмотрении
-арноrо уравнения назначения, связан с разложением этоrо
(равнеЩlяна последовательность n унарных уравнений назна
,,*ия, как в {2;21). В. случае нечетких перемеlПl.blХ ,процесс
taзложeiWЯ н олько более сложен и мы займемся ям после
two, как определим марrинальные ,и условные orраничеиия.
МАРrИНАЛЬНЫЕ и YCJlOВНЫE оrРАНИЧЕНИЯ
в 2 понятия марrинальноrо и условноrо оrраниченййбыли
ЦЩlльно опред . ны та им образом, обы их u можно было
p1erKo обобщить на случац вечеткйх orраничении. Блаrодаря
62
4. ПОllятuе llечеткой переме1l1l0а
этому в более общем случае нечетких переменных эти поня-
тия можно сформулировать поqти так же, как эта было сде.
лана в Э 2.
3 а м е ч а н и е 4.7. Как мы уже видели в наших прежних
обсуждениях понятий марrинальноrо и условноrа оrраничений.
в целях упрощения удобно пользоваться следующими обозна-
чениями.
Пусть
q ({I' .... (k)
(4.11 )
упорядоченная подпоследовательность последовательности
индексов (1, ..., n). Например, q==(2, 4, 5) при n==7. Упо-
рядоченное дополнение подпоследовательности q обозначается
через
'6. ( ' . )
q = 11, ..., 1т .
(4.12)
Например, для q==(2, 4, 5) имеем q'==(I, 3, 6, 7).
Набор k переменных (v/ 1 ' ..., V/ k ) обозначается через V(q):
V(q) (Vtl' ..., V/ k ) (4.13)
и аналоrично
V(q') (Vll' ..., Vjm)'
(4.14)
Например, если
V(q) == (V2' V4, Vб)'
то
V(q') == (Vl' ,Vз, V6, V7)'
Если k == n, то будем писать просто
v == (Vl' ..., v n )'
(4.15)
в дальнейшем эти обозначения применяются без специальных
пояснений.
Определение 4.8. n apHoe оrраничение R(X 1 , ..., Х п )
в и 1 Х... Х U п индуцирует k-арное мареUflальное оераfluчеflue
R (Х/ 1 , ..., X/ k ), которое определяется как проекция (TelIb)
R (Х 1 , ..., Х п ) на U 11 Х. . . х U/ k . Используя определение про-
екции (см. (з.57» и применяя обозначения, введенные в заме
чании 4.7, функцию принадлежности марrинальноrа оrрани-
чения R (Х/ 1 , ..., Х /k) можно записать в виде
t-tR (Х (gl) (иш) == V f.tR (Х) (и).
"(q')
(4.16)
Мар2uнаЛЫlые u условные 02ранuченuЯ 63
При м е р 4.9. Для нечеткой бинарной переменной. опре-
еленной в примере 4.5. получаем
Rl R (X t ).
R 2 R (Х 2 ),
f.LR, (Ut) == V (1 + и + и 1 ==
u.
== (1 + и;) !,
f.LR. == f.LR, .
Пр им ер 4.10. Предположим,что
U 1 ==u 2 ==u в ==о+ 1 +2
и R(X 1 , Х 2 , Хв).,....тернарное нечеткое отношение в U 1 хU 2 хU з
вида
R (Х 1 , Х 2 , Хв) == 0,8/(0, О, О) + 0.6/(0, О, 1) + 0.2/(0, 1, О) +
+1/(.1, О, 2)+0.7/(1,1,0)+0.4/(0, 1,1) +
+0.9/(1, 2, О) +0.4/(2, 1, 1) +0.8/(1, 1. 2).
(4.17)
Применяя (4.16) к (4.17), получаем
R (Х 1 , Х 2 ) =; 0.8/(0, О) + 0.4/(0, 1) + 1/(1, О) +
+0.8/(1, 1)+0.9/(1,2)+0.4/(2, 1)
(4.18)
11
R (Х 1 ) 0.8/0+ 1/1 +0.4/2,
R (Х 2 ) == 1/0+8/1 +0.9/2.
(4.19)
Оп редел ен и 4.11. Пусть R (Х 1 , ..., х n ) оrраничение
на (иl, ..., иn), и пус.ть и1 1 , ..., u1k HeKoTopble значения
'переменных Щl' ..., U' k соответственно. Если в функции при-
надлежности оrраничения R (Х 1 , ..., Х n ) значения переменных
Иt1' ..., Щk положить равными и1 1 , ..., u1 k , то результирую-
щая функция aprYMeHToB Иi 1 ' ..., иt т , rде последовательность
индексов q' == иl' ..., jm) является дополнением последова-
тельности q == (i 1 , ..., i k ), определяется как функция принад-
пежности условflО О о ршtичеflия R (Х/ 1 , ..., Х/ т I и11' ... u1 k ), или
сокращенно R (X(/f') I u1q»)'
Таким образом,
!J.R(X/ 1 . .... x/ m /ul 1 ,.... uf k )(ut 1 , ..., иtт)
:O:;::f.LR(X 1 ,.... Хл,)(иl' .... U n !Ut 1 ==ul 1 , ..., u,,,==ul,,),
&i
4. n{!)нятue н.ечеткоiJ. пере.мен.н.оЬ.
или сокращенно
R ( X l uO ) (Щq'»== R(х)(uIЩq)==urq». (4.2u)
(q') (q)
Простота связи между условным и безусловным оrраниче-
ниями становится более ясной, если и2 записывать без верх-
Hero индекса. При этом выражен'Ие (4.20) примет вид
R(X/l' .... Хl m lщl'...' Щk)(Щl' ...,и fm) R(Xl"'" Х n )(и 1 '...,и 1l ),
или сокращенно
R(X(q') IU(q» (щq'» tR(Х) (и).
(4.21)
3 а м е ч а н и е 4.12. В некоторых случаях предпочтительно
использовать друrое обозначение для условных оrраничений.
Например, если n==4, q==(I, 3) и q'==(2, 4), то может ока-
заться проще писать R (uf, Ха, и , Х 4 ) вместо R (Ха. Х 4 1 uf, и ).
это особенно существенно, коrда в качестве aprYMeHToB с верх-
ними индексами используются числовые значения, например
5 и 2 вместо uf и и . В таких случаях, для Toro чтобы избе-
жать разночтений, приходится писать более подробно:
R (X , Х 4 1 uf == 5, и == 5), или проще R (5, Ха, 2, Х 4 ).
Пример 4.13. В примере 4.10 имее
R (Х 1 , Ха, О) == 0.8/(0, О) + 0.2/(0, 1) +
+0.7/(1, 1)+0.9/(1, 2), (4.:l:l)
R (Х 1 , Ха, 1)==0.6/(0,0)+0.4/(0, 1)+0.4/(2, 1),
R(X 1 , Ха, 2)==1/(1,0)+0.8/(1,1),
а, используя (4.16),
R (Х 1 , О) == 0.8/0 + 1/1,
R(X 1 , 1) == 0.4/0+ 0.8il +0.4/2, (4.23)
R (Х 1 , 2) ==0.9;1.
Полезно отметить, что из определений мартинальноr и услов-
Horo оrраничений немедленно вытекает
Предложение 4.14. Пусть R(X/l' ..., X'т) },(ap и-
нальное 02раничение, индуцированное о раничение},( R (Х 1 , ...
..., Х 1I ), и пусть R(X/l' ..., Х'mlщl' ..., Uik) или, БО/!1!е просто
R (X(q') I Щ » --- усл?Вное о раниченue .nри Фи,ксированнblX Иi" ...
..., Щk' те q == (ll' ..., lk) и q' == иl' ..., 1т) --- взаи},(но дOfWЛ-
ниmeЛЬНble nоследовательности индексов. T a, из (4.16), (4.21)
Сеnарабе.llыtоеть и невэаuмодейетвующuе nеременные 65
U из определения объединенuя (см. (3.34» следует, ц,m.o
R (X(q'» == R (X(q'yl u(Q»' (4.24)
u(ql
еде символ обозначает объедин.енue (а н.е арифметическую
u(q)
сумму) па значениям U(q)'
Пример 4.15. Принимая во внимание примеры 4.9 и
4.12, леrко проверить, что
R (Х 1 , Х 2 ) == R (Х 1 , Х 2 , О) + R (Х 1 , Х 2 , 1) + R (Х 1 , Х 2 , 2)
и
R(X 1 )==R(X 1 , 0)+R(X 1 , 1)+R(X 2 , 2).
СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ
И НЕВЗАИМОДЕИСТВУЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Определение 4.16. п-арное оrраничение R(X 1 , ..., х n )
сеnарабельно тоrда и только Torдa, коrда ero можно предстS;i-
вить в виде декартова произведения унарных оrраничений:
R(X 1 , ..., X,,)==R (Х 1 ) x...xR(X n ), (4.25)
или, что то же самое, как пересечение цилиндрических про-
должений [см. (3.62)]:
R (Х 1 , ..., Х n ) == R (Х 1 ) п... n R (Х n )' (4.26)
Спедует отметить, что если R (Х 1 , ..., Х n ) нормально, то
нормальны и соответствующие марrинальные оrраничения (см.
предложение 3.14). Отсюда вытекает, что множества. R (X i )
в выражении (4.25) марrинальные оrраничения, индуциро-
ванные оrраничением R (Х 1 , ..., Х n )' Действительно, из (4.25)
следует, что
f.tR(Xl' .... Х n ) (Щ, ..., и n ) ==f.tR(XJ (Ul)Л...Лf.t R (Х n )(U n ), (4.27)
и поэтому, используя (3.57), получаем
FiR (X 1 , ..., Х n ) == R (Хд, i == 1, ..., п. (4.28)
В дальнейщем, если не orOBopeHo противное, будем предпола-
raTb, что оrраничение R (Х 1 , ..., Х n ) нормально.
./
При М е р 4.17. Матрицу отношения оrраничения, "риве-
'денную ниже, можно представить как максминное произведе'
ние 1) вектор-столбца (унарное отношение) и веКТОР-СТРОКЕ
1) Определение максминноrо произвел;ения матриц прl:lвеJiеио в<
стр. 42. Прuм. ред.
З л. Заде
66
4. Понятие нече'I'1W4 переменнт2
(унарное отношение). Orcюда следует, что оrраничение, о кото-
ром идет речь, сепарабельно:
[ 0.3 0.8 0.8 0'1 ] [ 0.8 ]
0.3 0.8 1 0.1 1
0.2 0.2 0.2 0.1 , 0.2 [0.3 0.8 1 0.1]
0.3 0.6 0.6 0.1 0.6
При м е р 4.18. Оrраничения, определенные в примерах
4.8 и 4.9, не сепарабельны.
Прямьuм следствием сепарабельности является
Предложение 4.19. Еслu R(X t , ..., Х п ) сепарабелыщ
то сепарабельно U любое .мареuнальное оеранuченuе, индуциро-
ванное оеранuченuе..м R (Х 1 , ..., Х п ). '
Следствием соотношения (4.25) является также
Пр е Д л о ж е н и е 4.20. Сеnарабельное оеран.uченuе R (Х 1 ) х.,.
... xR (Х п ) наuбольшее 1) из оеран.uченuй, которы..м соответ-
сrrюуюm .мар2uнальные оеранuченШl R (Х 1 ), ..., R (Х п ).
Понятие сепарабельности тесно связано с понятием невзаu..мо-
дейсrrюuя нечетких переменных:
Оп редел ен и е, 4.21. Нечеткие переменные Х 1 , ..., Х п
являются ,невзаu.модейсrrюующu.мu TOrдa и только тоrда, коrда
оrраIlичение R (Х 1 , ..., Х п ) сепарабельно. ,
Напомним, что обычные (не нечеткие) переменные X 1 , ..., X
мы наэываем Ilевзаимодействующнми потому (ем. (2.18», что
при выполнении равенства
R(X 1 , ..., X n )=-R(Х 1 )х...хR(Х n ) (4;29)
n-арное уравнение назначения
(Хl, ..., Х п ) == (Ul' ..., ип): R (Х 1 , ..., Х п )
(4.30)
можно представить в виде последовательности n уIlарных урав-
нений назначения
Хl==Щ: R (Х 1 ),
. . . . . . . . .
(4,31)
Х п == и п : R (Х п ).
nривед м осноВное следствие невзаимодействия нечетких
переменных, частным случаем KOToporo является разложе-
ние (2.19).
1) Наибольшее по отношению ВКJIЮчения, есл" учec'I'Ь что R (X1)X...
...хR(Х,J нечеткое множество в иlх...хиn. Прим. ред.
Сеttарабе"' Nl)CТl> и неазаи.ноде4ствиющие neреAlеннш 67
Пр е Д л о же н и е 4.22. Если нечетк.tie перемеюше шшэаимо-
деiJm18ующие, т;) n.арное 1/patJ1Ш1ШI! ншшаченuл .(4.30) N.03/CНO
nредстовить IJ nocледoвame.llbНОСпщ n I/IШ.pJШX ypaвнeнuй
наан.ачения (4.31), uмея 8 виду, l4I1UJ если С (иl. .... и,,) C08J/le-
С11UМЮСtnb (Ut, .... и с R (Х 1 , .;.. Х.). а ct (и,). i;;;:: 1, ..... n,----
совмести,Мость "/ С t( (оХ,), 11w .
С (Щ, .... и n ) == C (щ) А . .. Ас ,. (и n ), ' (4.32)
Д о к а з а т е л ьс т в о. Из определений совместимости, невзаи-
модействия и сепарабельности сразу получаем
C(Ul. .... U n )==J.tR(Х 1 ....,Х,.)(Щ, ..., и п )==
== J.tR( Х 1 ) (ltl) 1\ ... А J.tR (Х п ) (и n ) ==
==Cl{U:t) А ... Ас. (и n ),
llредло>кение доказано.
3 а м е ч а н и е 4.23. Продол>кзя ащщрrию с саквоя>кем
(см. замечание 4.6). невзаимодействующие нечеткие переменные
х'(Х 1 ,А1)
..
(4.33)
сф)
НаэDан«е 1
МН8кца
сак60НЖ
Нaa6aHIJe'l
Рис. 4 .4. Аналоr'Ия с саквояжем для невзаимодеА-
ствующих нечетких переменных.
Xt., .... Х п можно уподобить n omделыш,М мяrким саквояжам
с ЯРJlЫками Х 1 . ..., ХN' Оrраничение. связанное с саквояжем
Х" характеризуется функцией совместимости С, (и,). Тоrда
полная функция совместнмосТи для саквоя>ксй Х 1 ,..., Х ,.
записывается в виде (4.32) (рис. 4.4).
3 а м е ч а н и е 4.24. (См. определение 4.1.) НеВЗ8имодей-
ствие пере енныx Х 1 . .... Х п подразумевает отсутствие
каких бы то ни было оrраничений. в которых присутствуют
все величины иl. ..., и n , rде и,.,.... базовая переменная для Х"
i:r= 1'...' n. Например, если и, св заны оrраничением
Ul+'''+ U Il==I,
то Х 1 . .... Х ,. 8ЭаU'модейсrrюующuе переменные, т. . перемен-
ны,' не являюtЦиеся невзаимодействующими (см. замечание 3.20).
з*
68
4. П он.ятце н.ечетк;ой nере.мен.н.ой
Если Х 1 , . о о, Х п взаимодействующие переменные, то по-
прежнему можно представить n-арное уравнение назначения
в виде последовательности n унарных уравнений назначения.
Однако в этом случае оrраничение на Ui, как правило, зави-
сит от значений переменных и1, ..., Ui l. Поэтому n уравне-
ний назначения принимают вид (см. (2.21))
Х1 == и1: R. (Х 1 ),
Х2 == и2: R. (Х 2 \ Щ),
Хз == из: R. (Хзl и1, и2),
(4.34)
хп==и п : R. (X п IU1' ..., ип l),
rде R. (Х ; I и1, ..., щ J оrраничение на Щ при фиксированных
"1' ..., Щ 1 (см. определение 4.11).
При м е р 4.25. Рассмотрим пример 4.1 О и положим и1 == 1,
"2 == 2 и из == О. Тоrда
R. (Х 1 ) ==0.8/0+ l/l +0.4/2,
R. (Х 2 ! и1 == 1) == 1/0 + 0.8/1 + 0.9/2, (4.35)
R (Хзl и1 == 1, и2 == 2) == 0.9/0,
так что .
Как и в случае системы
подтверждает
Пр е Д л о ж е н и е 4.26. Если Х 1 , ..., Х п вэаuм.одействую-
щue нечеткие neременные при оераничениu R. (Х 1 , ..., Х п ),
а Ci (Ui), i == 1, . о ., n, совместимость Щ с условным. оараниче-
нием R. (Х ; I и1' ..., Ui l) в (4.34), то '
с (и1о .. о, и п ) == С1 (и1) А ... АС п (и п ), (4.37)
аде с (Щ, ..., и,,) совместимость (и1"'" и п ) с R. (Х 1 , . о., Х п ).
Д О К а з а т е л ь с т в о. По определению условн:оrо оrрани-
чения [см. (4.20)] имеем для всех i, l i n,
flR(ХiIUl'...,иi 1)(Щ)==flR(Хl,...,Хj)(и1' ..., щ). (438)
С друrой стороны, из определения марrинальноrо оrраничения
(см. (4.16» следует, что для всех i й всех и1, о.., Ui выполнено
JLR(Xl, ...Xi)(U1, :'" иi) flR(Хl'''''Х'+ (Щ' ..., Щ+1), (4.39)
С1 (1) == 1,
Са (2) == 0.9,
Са (О) == Q.9.
(4.31), справедливость системы (4.34)
(4.36)
сеnарабе/l.ыiетьb и liевзаимодейетвующuе nеремеНliые 69
откуда следует, что
""R( Xi+11 а 1 , ...,"д (Щ+1) Л""R (X i I ai' '" '"i 1) (ид ==
:::t J.tR,(X i + 1 1 "1' .... ад (Щ+J. (4.40)
Объединяя (4.40) с определением
Ci (ид == ""R(X i / "i' .... Ui :t> (Щ), (4.41)
получаем
С (Ul' ..., и п ) == Cl (Ul) Л . .. ЛС п (и п ).
Предложение доказано.
(4.41)
На этом мы заканчиваем обсуждение некоторых свойств
нечетких переменных, имеющих отношение к понятию линr-
вистической переменной. В следующем параrрафе мы сформу-
лируем понятие линrвистической переменной и рассмотрим
пекоторые ее С1l0йства,
6. ПОНЯТИЕ линrВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
При неформаЛЬНDМ обсуждении понятия линrвистической
переменной в 1 мы сформулировали, что линrвистическая
переменная отличается от числовой переменной тем, что ее
значениями являются не числа, а слова или предложения в
естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем
менее точны, чем числа, понятие линrвистической переменной
дает возможность приближенно описывать явления, которые
настолько слож'нЫ, что ,не поддаются описанию в общеприия-
тых 'количественных минах. В частности, нечеткое множе-
ство, представляющее собой оrраничение, связанное со зна-
чениями линrвистической переменной, можно рассматривать
как совокупную характеристику разли:чных подклассов эле-
ментов универсальноrо множества. В этом смысле роль нечет-
ких множеств аналоrична той роли, которую иrрают слова и
предложения в естественном языке. Например, прилаrательное
"расивый отражает комплекс характеристик внешности инди-
видуума. Это прилаrательное можно также рассматривать как
название нечеткоrо множества, представляющеrо собой orpa-
ничение, обусловленное нечеткой переменной "расивый. С этой
точки зрения термины ()чень "расuвый, не"расивый, чрез-
вычайно "расивый, вполне "расивый и т. д. названия
нечетких множеств, образованных путем действия модифика-
торов очень, не, чрезвычайно, вполне и т. п. на нечеткое
множество "расивый. В сущности эти нечеткие множества
вместе с нечетким множеством "расuвый иrрают роль значе-
ний линrвистической переменной Внешность.
Важным аспектом понятия .1!!I.!!!:Ji!l СТИ JШ..il ле...Еемен
является то, что эта Ilеременная б Q(Q п ор а, чем
нечеткая переменная, в том смысле, что на!!е llilЯМJ! линrви-
стической переменной ляюТся ечет ие !! p eH..l! ' Напри-
мер, значениями линrвистическои переменнои Возраст MorYT
быть: .молодой, не.молодой, старый, очень старый, не
.молодой и не старый, вполне старый и т. п. Каждое
из этих значений является названием нечеткой переменной.
Если Х Щi...эJ! !!и н ечеткой переме!!!!ой , то <?!,раНl!.ч ние , обу-
словленное этим названием, можно интерпретировать как смысл
б. ltонятuе АUНZ8uеtuческоЙ пере енноЙ
11
н ()й п еFем енной Х. Так, если оrраничение, обу ловлен-
ное нечеткой переменной старый, представляет собои нечет-
кое подмножество множества и == [О, 100] вида
100
R (старый) == (1 + ( и 50 ) 2) 1/ и, u Е и, (5.1)
50
то это нечеткое множество можно считать смыслом нечеткоii
пер'еменной старый (рис. 5.1).
Друrой важный аспект понятия линrвистической перемен-
ной состоит в том, что линrвистической переменной соответ-
ствуют два правила: (1) синтаксическое правило, которое может
С06местимость
.R(OTapbIU
1
.R(очень стары,,'
.....:.....;;
0.5
'и.
Рис. 5.1. Фrнкции совмест1iМОСТИ для значениfl
старыfl,и O'tl!Hb старыа.
быть aДaHO в форме rрамма't'ики, порождаЮlцей наgвания зщl.:
ченiiй переменной; (2) сеМtжтиЧ!JСКое правило, которое опреде.
ляет алrоритмическую процедуру для вычисления смысла каЖ-
доrЬ значения. Эrи правила составляют существенную часть
описания структуры линrвистической переменной 1).
Поскольку линrвистичесkая переменная перемепная более
BbICOKoro порядка, чем нечеткая переменная, тои ее ОПИСЗltие
должltо быть сложнее даnнorо в определеItии 4.1 описания
нечеткой переменной.
Оп р е Д е л е н и е 5.1. Линrвистическая переменItая характе-
ризуetся набором (!J:, Т (!J:), и, а, М), в котором !J: назnЗние
переменн о.it. Т (%) (или просто Т) обозначает mepm-Aiн.ожес nttJo
iI1ф ёМе ннои %, т. е. мно.>К,ество на ва,НЯЙ линевистu.чес./f-У!i <!Шk..
чeнuiJ, ц.еремеН!l ОЙ %, причем каждое из таких значециii: является
нечет.!рй <:р' меIII:!ОЙ>J.. со значениями из' У !:I} р..s!!...Л.I?!!QI9
жества и с базовой переменной и; G синтаксическое nрaIJило
1) в первую очередь именно семантическое правило отличает линrви-
стическую переменную от более pacnpOCTpaHeHHoro понятия синтаксической
пр,nр.uр.нпnп. '
5. ПОliятuе ЛUlizвuетuчеекой nеремеliliO
72
(имеющее обычно форму rрамматики), порождающее названия
Х значений переменной !l", а М семантическое правило, KOTO
рое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной Х ее
смысл М (Х), т. е, нечеткое подмножество М (Х) универсаль
Horo множества U. К0нкретное название Х, порожденное син
таксическим правилом О, называется термом. Терм, состоящий
из одноrо слова или нескольких слов, всеrда фиrурирующих
вместе друr с друrом, называется атомарным термом. Терм,
состоящий из Dдноrо или более атомарных термов, называется
составны.м термом. Конкатенация некоторых компонент состав-
Horo терма 1) является мдтер.м,ом. Если Х 1 , Х 2 , . .. термы вТ,
то Т можно представить в виде объединения
Т==Х 1 +Х 2 + ...
(5.2)
При необходимости явно указать на то, что Т был порожден
rрамматикой О, будем писать Т (О).
Смысл М (Х) терма Х определяется как оrраничение R (Х)
на базовую переменную и, обусловленное нечеткой переменной Х:
м (Х) R (Х),
(5.3)
имея в виду, что R (Х) и, следовательно, М (х) можно рассмат-
ривать как нечеткое подмножество множества и, имеющее назва-
ние Х. Связь между !l", ее линrвистическим значением и базо-
вой переменной иллюстрируется на рис. 1.3.
3 а м е ч а н и е 5. 2. Для Toro чтобы избежать большоrо коли-
чества символов, целесообраЗНО,присваивать несколько значе-
ний некоторым символам, встречающимся в определении 5.1,
полаrаясь при этом на контекст для разрешения возможных
неопределенностей. В частности:
а) Символ !l" мы будем часто использовать для обозначения
RaK названия самой переменной, так и общеrо названия ее
зюiчений. Аналоrично, Х будет обозначать как общее название
значений переменной, так и название самой переменной.
б) Будем пользоваться одним и тем же символом для обо-
значения множества и ero названия. Так, символы Х, м (Х)
и R (Х) будут взаимозаменяемыми, хотя, cTporo rоворя, Х как
название М(Х) (или R (Х» не то же самое, что нечеткое мншке-
ство М (Х). Друrими словами, коrда мы rоворим, что терм Х
(например, .молодой) есть значение переменной !l" (например,
Возраст), то имеем в виду, что действительное значение есть
М (Х), а Х просто название этоrо значения.
1) То есть результат приnисываilия дpyr к .l!.pyry цепочек-компонент
COCTaBHoro терма. Прuм. ред. '
5. По1tЯ1uе .лultzвuетuчеекоtl nеремеltltоа
73
При м е р 5.3. Рассмотрим линrвистическую переменную
'Возраст, т. е. .2"== Возраст, и пусть U == [O,IOOJ. Линrвистиче-
ским значением переменной Возраст может быть, например,
старый, причем значение cniapblIi является атомарным тер-
мом. Друrим значением может быть очень старый, т. е. COCTaB
ной терм, в котором старый атомарный терм, а очень и
старый подтермы.
Значение более или .менее .молодой переменной Возраст
составной терм, в KQТopOMTepM .молод"й атомарный, а более
или .менее подтерм. Терм-множество переменной Возраст
можно записать следующим образом: '
т (Возраст) == старый + очень старый + не старьей +
+ более или .менее .молодой +
+ вполне .молодой + не очень старый
и не очень .молодой + . . . (5.4)
Здесь каждый терм является названием нечеткой перемен-
ной в универсальном множестве и == [О, lOOJ. Оrраничение,
обусловленное термом, скажем R (старый), есть смысл линr-
вистическоrо значения cтapь й. Таким образом, если R (ста-
рый) определяется соrласно (5.1), то смысл линrвистическоrо
значения старый определяется выражением
М (cтapыli) I" (1 +( ',50} 'n и, (5.5)
или проще (см. замечание 5.2)
100
старый== (1 + Cи 50 ) 2) 11ц. (5.6)
50
Аналоrичным образом смысл TaKoro линrвистическоrо значе-
ния, как очень старый, можно выразить так (см. рис. 5.1):
100
М (очень старый) == очень старый == ( 1 + ( и 50) 2) 21 Ц.
50
(5.7)
Уравнение на начения в случае линrвистической переменной
принимает вид
Х . терм в Т (.2") ==
== название, порожденное rрамматикой а, (5.8)
откуда следует, что смысл, назначенный терму Х, выражается
равенством
м (Х) == R (терм в Т (.2"».
(5.9)
5. ПОIlЯТue лuн.zвuетuчеекоlJ nepeAtellllolJ
74
Друrими словами, см.ы,сл терма Х получается путем пр »мене-
ния семантическоrо прщшла М к значению терма' Х, пазна-
ченному соrласно правой Чiiсти уравнения (5.8). Более Toro,
из определения (5.3) следует, что М (Х) Qдентичнооrраниче-
нию, обусловленному термом Х.
3 а м е ч а н и е 5.4. В соответствии с замечанием 5.2 (а)
уравнение назначения будет обычно записываться в виде
%;;;;: наащц:IИЯ в Т (%), (5.10)
а не в форме (5.8). Например, если fC == Возраст, а старый
терм в Т (%), мы напишем
Возраст == cmapwfi, (5.11)
понимая это так, что старый оrраничение на значения
базовой переменной и, определяемое (5.1), назначается линr-
вистической переменной Возраст. Важно отметить, что знак
равенства в (5.1 О) не. обрзначает симметрическоrо отношения,
как в случае арифметическоrо равенства. Так, бессмысленно
записывать (5.11) в виде
отарый :::>; возраст.
Чтобы проиллюстрировать понятие линrвистической пере-
менной, мы рассмотрим сначала очень простой пример, в като-
ром т (%) содержит лишь неБОЛЬРlOе число термов, а синтак-
сическое и семантическое правила тривиальны.
При м е р 5.б. Рассмотрим линrвистическую переменную
ЧJlCJIО, конечное терм-множество которой имеет вид
т (Число) == не.м.ноzо+ несколько+.мноzо, (б.12)
rде каждый терм представляет собой оrраничение на значения
базовой переменной u в универсальном множестве
U==I+2+3+... +10. (5.13)
Предполаrается, что эти оrраничения нечеткие подмножества
множества U и определяются они следующим образом:
не.м.ноzо ==0.4/1 +0.8/2+ 1/3+0.4/4, (5.14)
flec"O,llfJI(O == 0.б/3 + 0.8/4 + I/б + 1/6 + 0.8;7 + 0.б/8, (5.1р)
MHOZO :::; 0.4/6 +0.6;7 +0.8/8+ 0.9/9 + 1/10. (5.16)
Таким образом,
R (NeM1IOZO) == М (не.м.н()zо) == О.4Л + 0.8/2 + 1/3 + 0.4/4 (5.17)
и аиалоrично для друrflХ термов в Т. Смысл равенства (б.17)
в том, что HeMHOZO есть название нечеткой перемщщой,
оторая является ЗШlчени м: лиЩ'ви ти еской переменной IJИC.JIРr
6. ПОliмuе АUli28uеtuчеекоt2 nеременноа
15
Смысл линrвистическоrо значения не.мноzо или, что то же
самое, оr'раничение, обусловленное этим термом, есть нечеткое
подмножество универсалыюrо множества и и определяется
правой частью равенства (5.17).
Чтобы назначить такое значение, как не.мноzо. линrвисти-
ческой переменной Число, мы напишем
Число == не.мноzо. (5.18)
При м е pf>.6. В этом случае мы предполаrаем, что имеем
дело с составной линrвистической переменной 1) (.2", ),
которой поставлена в соответствие базовая переменная (и, v),
принимающая значения из универсальноrо множества их у,
rде
'их v == (1 +2+3+4) х(1 +2+3+4) ==
== (1,1) + (1,2) + (1,3) + (1,4) +
(5.19)
+ (4,1) + (4,2) + (4,3) + (4,4),
(5.20)
причем
i х j == (i, j), i, j == 1, 2, 3, 4.
(5.21)
Кроме Toro, мы предполаrаем, чtо терм-множество переменной
(.2", ) состоит лишь из двух термов:
т == приближенно равны + более или .менее равны, (5.22)
rде приближенно равны и более или .менее равны
названия бинарных нечетких отношений, определенных
матрицами
[ 1 0.6 0.4 0.2 1
0.6 1 0.6 0.4
приближенно равны == 0.4 0.6 1 0.6
0.2 0.4 0.6 1
(5.23)
и
[ 1 0.8 0.6 0.4 1
0.8 1 0.8 0.6
более или .менее равны == 0.6 0.8 1 0.8 (5.24)
0.4 0.6 0.8 1
в этих матрицах отношения (i, j)-й элемент есть значение
совместимости пары (i, Л с рассматриваемым оrраничением.
Например, элемент (2,3) в матрице приближенно равны,
1) Более подробио составны: lIинrвистические переменные обсуж.а.аютса
11 6 в связи е J1инrвистическими переменными истинности.
76.'
5. Понятuе ЛUН2вuетuчеекоil nеременноа
равный 0.6, есть значение совместимости упорядоченной пары
(2,3) с бинарным оrраничением приближенно равны.
Чтобы назначить значение, скажем, приближенно равны
линrвистической переменной (%, ), мы напишем
(%, == приближенно равны, (5.25)
rде, как и в (5.18), имеется в виду, что в качестве значения
переменной (%, ) назначается бинарное нечеткое отношение
НааВание
Жесткий
саl({Jояж
Мяекшi.
сакВОЯЖ
Лреомет
Рис. Б.2. Аналоrия с саквояжем для линrвистиче.
скоЙ переменной
nриблиJ!Cенно равны, являющееся бинарным оrраничением
на значения базовой переменной (а, v) в универсальном мно-
жестве (5.20).
3 а м е ч а н и е 5.7. Используя аналоrию с саквояжем (см.
замечание 4.3), линrвистическую переменную в смысле опре
деления 5.1 можно уподобить жесткому саквояжу, в который
можно помещать мяrкие саквояжи, как показано на рис. 5.2.
Мяrкий саквояж соответствует нечеткой переменной, которая
является линrвистическим значением переменной %, а Х
иrрает роль ярлыка на мяrком саквояже.
СТРУКТУРИРОВАННЫЕ
линrВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В обоих рассмотренных выше примерах терм-множество
состояло лишь из небольшоrо- числа термов, так что целесооб-
разно было просто перечислить элементы терм-множества
т (%) и установить прямое соответствие между каждым эле-
ментом и ero смыслом. В более общем случае, однако, число
элементов в Т (%) может быть бесконечным, и тоrда как для
порождения элементов множества Т (%), так и для вычисления
Структурированные лuнZВUеТUчеекuе переМенные
77
их смысла необходимо применять алrоритм, а не просто
процедуру просмотра элементов терм множества.
Будем rоворить, что JJинrRи('ти кая пРрРмеIП!' Я .2'
c/!!1!1L f!YlpufJQfJaнa, если ее те QМ tv!!I() жество Т lX) и .JQ М ,
которая ставит в соответствие каждому элементу терм-
множества ero смысл, мqяшо задаТЕ а лrоритмически. Из этих
соображений синтаксическое и семантическое правила, связан-
ные со ,структурированной линrвистической переменной, можно
рассматривать как алrоритмические проuедуры для порожле -
ния Э.1Iемен тов множества Т (.2) и вычисления смысла каждоrо
.
терма в Т (.2') соответственно. В дальнейшем, если не oroBo-
рено противное, будем считать, что рассматриваемые линrви-
стические переменные являются структурированными.
При м е р 5.8. В качестве очень простой иллюстрации
той роли, которую иrрают синтаксическое и семантическое
правила в случае структурированной линrвистической перемен-
ной, рассмотрим перем:енную Возраст, элементами терм-
множества которой являются термы типа старый, очень
старый, очень очень старый, очень очень очень старый
и т. п. Таким образом, терм-множество переменной Возраст
можно записать в виде
т (Возраст) == старый + очень старый + очень очень cтa
РЫЙ+ .... (5.26)
в этом простом случае леrко проверить, что каждый терм
множества Т (Возраст) имеет вид старый или очень
очень. .. очень старый. Чтобы вывести это правило в более
общем виде, поступим, следующим образом.
Пусть ху обозначает конкатенацию символьных цепочек Х
и у, например, х==очень, у==старый, ху==очень старый.
Если А и В множества цепочек, например
А == Хl + Х2 + . . . ,
в == Уl + У2 + ...,
(5.27)
(5.28)
rде Хl и у! символьные цепочки, то конкатенация А и В
обозначается АВ и определяется как мНожество цепочек вида
АВ == (Хl + Х2 + ...) (Уl + У2 + ...) == XIYj.
1, I
Например, если А == очень и В == старый + очень старый,
то
очень (старый + очень старый) ==
== очень старый + очень очень старый. (б.30)
(5.29)
78
5. ПОНJl.тuе JtUН28uе1'uчее"оt1 nеременяоl1
Используя эти обозначения, данное представление для
т (Возраст) можно рассматривать как решение уравнения 1)
Т==старый+очень Т, (5.31)
которое означает, что множество Т состоит из терма старый
и термов, состоящих из слова очень и HeKoToporo терма из Т.
Уравнение (5.31) можно решать итеративным способом,
используя рекуррентное соотношение
Тi+1==старый+очень Ti, i==O, 1, 2, ...,
и взяв пустое множество 6 в качестве начальноrо значения
Ti. Тоrда
то == 6,
Тl == старый,
Т2 == старый + очень старый,
тз == старый + очень старый + очень очень старый,
(5.32)
(5.33)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
и решение уравнения (5.31) имеет вид
т == ТОО == старый + очень старый + очень очень старый +
+ очень очень очень старый +. .. . (5.34)
Для рассматриваемоrо примера синтаксическое правило
выражается уравиением (5.31) и ero решением (5.34). Эквива-
лентным образом синтаксическое правило можно охарактери
зовать слеДУ1Ощей системой подстановок:
т --+ старый, (5.35)
т --+ очень Т, (5.36)
для которой (5.31) иrрает роль алrебраическоrо представле-
ния 2). В этом случае терм в Т может быть порожден при
помощи стандартной процедуры ([36], [37]), включающей в себя
последовательное применение правил (5.35) и (5.36), начиная
с символа Т. Таким образом, если Т заменить на очень Т
и затем Т в очень Т заменить на старый, мы получаем
терм очень старый. Аналоrично терм очень очень очень
1) Как хорошо известно из теории реrулярных представлений (см. (32]),
решение уравнения (5.31) можно представить в виде
т (л.+о.,ень+о.,ень2+ ...) старый,
rде л. нулевая цепочка. Это представление Т эквивалентно ttреДставле-
нию (Б.34).
2) Обсуждение алrебраическоrо представления контекстно свободных
rраммати можно найти в работах (33] (35J. Алrебраический подход
к нечетким языкам обсужлается в работах [6] и (58].
Булевы лrшевиетuчеекuе nеременные
79
старый можно получить из Т по следующей цепочке подста.
ново к:
т очень Т очень очень Т очень очень очень Т -+
очень очень очень старый. (?37)
Возвращаясь к семантическому прави.iIу для переменной
Возраст, отметим, что для вычисления ,смысла TaKoro терма,
как очень... очень старый требуется знать' смысл терма
старый и модификатора очень. Терм CтaplJlii иrрает роль
neрвUЧНО20 терма, т. е. терма, смысл KOTOpOro должен быть
задан заранее с тем, чтобы можно было вычислять смысл
составных термов в Т. Что касается модификатора 01leНb, то
он действует как лuневuстuческая неоnределенносmь, т. е. как мо'
дификатор смысла следующеrо за ним терМа. Если в качестве
очень простоrо приближения мы предположим, что модифика.
тор очень действует как оператор концентрирования (см. (3.40»,
то
очень старый == CQN (старыл) == cmapьeft1'. (5.38)
Следовательно, семантическое правило для переменной Возраст
можно записа1'Ь в виде
М (очень ... очень старый) == cmapьe/i,9n, (5,39)
rде n число вхождений слова очень в терм очень ... очень
старый, М (fJtU!Hb . ., очень старый) смысл терма. очень. . .
. . . очень старый. Далее, если определить первичный терм
старый по формуле
100
старый:=: (1+( U 50 ) I) l/u,
50
(5.40)
то получим
М (очень... оченьстарый)== I O (1 +( и 50 ) 2) 2п/и,
50
n== 1, 2, .... (5.41)
Это уравнение выражает в явном виде семантическое правило
для вычисления смысла составных термов, образованных по
формуле (5.31), если известны смысл первичноrо терма cтa
рый и смысл неопределенности очень.
БУЛЕВЫ линrВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Линrвистическая переменная, рассмотренная в примере 5.8,
является частным случаем тoro, что может быть названо буле-
й линевucmuческой neрем.енной. Обычно такой переменноjf
во
5. Понятue лuнzвuетuчеекой переменной
соответствует конечное число первичных термов, конечное
число неопределенностей, союзы и и или и отрицание не.
Например, терм-множество булевой переменной Возраст может
иметь вид
т (Возраст) == молодой + старый + не молодой +
+ не старый + очень молодой +
+ очень очень молодой +
+ не очень молодоЙ и не очень старый +
+ вполне молодой + более или .менее старый+
+ чрезвычайно старый + . . . (5.42)
Более формально булеву линrвистическую переменную
можно определить следующим образом.
ОП Р е Д е л е н,и е 5.9. Булевой лuневuсmuческой neременной
называется такая линrвистическая переменная, термы Х кото-
рой являются булевыми выражениями в переменных вида
Х р' hX!!! Х или hX, rде h линrвистическая неопределен-
ность, Х р первичный терм и hX название нечеткоrо мно-
жества, являющеrося результатом действия h на Х.
Например, в случае линrвистической переменной Возраст,
терм-множество которой определяется соотношением (5.42),
терм не очень молодой и не очень старый имеет вид
(5.9), rде h очень, Х р молодой и Х р старый. Ана-
лorично, в случае терма очень очень молодой, h очень
очень и Х р молодой. '
Булевы линrвистические переменные особенно удобны,
поскольку MHoroe из нашеrо опыта в обращении с булевыми
выражениями можно перенести на переменные этоrо типа.
Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим простой
пример , в котором участвуют два первичных терма и одна
неопределенностъ.
При м е р 5.10. Пусть Возраст булева линrвистическая
переменшiя с терм-множеством вида
т (Возраст) == молодой + не молодой + старый +
+ не старый + очень молодой +
+ не молодой ri не старый + молодой
или старый + молодой или (не очень
молодой и не очень старый) +. .. .
(5.43)
Если отождествить союз fl с операцией пересечения, или
с операцией объединения, отрицание не с операцией взятия
Дополнения lj: модификатор очень с r;юерацией концеНТРИРQ-
Булевы ЛWl2вuетuчеекие nеременные
81
вани я (см. (5.ЗВ», то нетрудно выписать смысл типичноrо
значения переменной Возраст. Например:
М (не молодой) == 1 молодой,
М (не очень .молодой) == 1 (молодой 2 ),
М (не очень молодой и не очень старый) == (5.44)
== 1 (.молодой 2 ) n 1 (старый 2 ) ,
М (молодой или старый) == молодой U старый.
Эти уравнения выражают, по сути дела, смысл cocTaBHoro
терма как функцию смысла составляющих ero первичных
термов. Так, если термы .молодой и старый определить в
виде
молодой == 5 l/u + I (1 +( и 525 п 1/и,
О 25
100
cтapый==, (1 +( и 50 ) 2) 1 /и,.
БО
то (см. рис. 5.3)
(5.45)
(5.46)
25 50
М (молодой или старый)== \ 1/и+ (1 +( и 25 )2) 1 /и+
25
НJO
+ (1 +( и 25 Y) ! V (1 +( и 50 ) 2) 1/и. (5.47)
50
Линrвистическая переменная, рассмотренная в этом при-
мере, включает в себя лишь один тип неопределенности,
а именно неопределенность очень. В общем же случае буле-
вой переменной может соответствовать конечное число неопре-
деленностей, как, например, в (5.42). Однако если операции,
соответствующие линrвистическим неопределенностям, опреде-
лены, то процедура вычисления смысла cocTaBHoro терма оста-
ется такой же. '
Вопрос о подходящем' представлении для той или иной
неопределенности, например, более или менее, вполне или
существенно ни в коем случае не является простым 1).
1) Более подробное обсуждение линrвистических неопределенностей
с точки зрения теории нечетких множеств можно найти в работах (27) и
[28J, Идея толкования различных типов линrвистических неопределенностей
как операторов, действующих на нечеткие множества, возникла в ходе
совместной работы автора с проф. [. Лак<>ффоЬJ.
82
5'. П оnятuе ЛUН2вuетuческоа nеремеnnой
в некоторых контекстах действие неопределенности бодее иди
.менее можно приближенно выразить следующим образом
(см. (3.41)):
м (бодее иди .менее Х) == DIL (Х) == хо.5.
(5.48)
Например, если Х == стары-й и терм старый определяется
выражением (5.46), то
100
v \ ( ( и 50 ) 2 ) o.5 /
бодее иди .менее стары и == j 1 + и. (5.49)
50
Во мноrих случаях, однако, неопределенность бодее иди
.менее действует как оператор увеличения нечеткости, соrласно
ооОместимость
1
/cra p 6iii
MOAoaoiJ
ЦАи rapblи
25
II
Рис. Б.3. ФУНКЦИЯ совместимости ДЛЯ значения .молодой или
старый.
формуле (3.48), а не как оператор растяжения. Предположим
для иллюстрации, что смысл первичноrо терма недавно опре-
деляется выражением
недавно == 1/1974 +0.8/1973 +0.7;1972
(5.50)
и что терм бодее иди .менее недавно определяется как
результат действия оператора увеличения нечеткости F на
терм недавно, т. е.
бодее иди .менее недавно == F (недавно; К), (5.51)
тде ядро К оператора F определяется следующим образом:
К (1974) == 1/1974 + 0.9/1973,
К (1973) == 1/1973+0.9;1972,
f( (972) == 1!l97 +o. п9п.
(5.52)
f)улевы ЛШI28uеtuчеекuе nеременные
ез
Подставив значение К в (3.48), получим смысл терма более
или .менее недавно, т. е:
более или .менее недавно ==
== 1/1974 +0.9/1973 + 0.72/1972 + 0.56/1971. (5.53)
С друrой стороны, если предположить, что неопределенность
более или .менее является оператором растяжения, то мы
получим
более или .менее недавно == (1/1974+0.8/197з+0.7/1972)0.5
== 1/1974 + 0.9/1973 + 0.84/1972,
(5.54)
ч'l'о О'l'личае'l'СЯ от (5.53) rлавным образом отсутствием члена
0.56/1971.
Таким образом, если бы этот член иrрал важную роль
в определении терма более или .менее недавно, то прибли-
жение неопределенности более или .менее оператором растя-
жения не было бы хорошим.
В примере 5.1 О при выводе семантичеСкоrо правила мы
воспользовались тем, что знаем, как обращаться с булевыми
выражениями. Чтобы ПРОИЛЛЮСТРJfровать более общий метод,
рассмотрим ту же линrвистическую переменную, что и в при
мере 5.1 О, но применим метод [39], который представляет
собой модификацию описанноrо 'Кнутом [40] подхода для опре
деления семантики контекстно свободных языков.
При м ер 5.11. Леrко проверить, что терм-множество в при-
мере 5.1 О порождается контекстно-свободной rрамматикой G ==
== (V Т, V N, Т. Р), в которой нетерминальные символы (синтак-
сические катеrории) обозначаются через Т, А, В, С, D,..., т. е.
VN==T+A+B+C+D+E, (5.55)
в то время как множество терминальных символов (компо-
ненты термов в Т) выражается в виде
V т == .молодой + старый + очень + не + и + или + (+),
(5.56)
а Система подстановок Р имеет вид
т --+ А,
Т--+Т или А,
А --+ В,
А--+А и В,
В --+ С,
В --+ не С,
С --+ (Т),
С --+D.
С--+Е,
D --+ очень D,
Е --+ очень Е,
D --+ .молодой,
Е --+ старый.
(5.57)
84
5. Понятuе линевuетuчеекой nеременltои
Систему Р можно представить и алrебраически в виде следую-
щей системы уравнений (см. сноску на стр. 78)
Т == А + Т или А,
А==В+А и B,
В==С+не С, (5.58)
D == очень D + молодой,
Е == очень Е + старый.
Решением этой системы уравнений относительно Т является
терм-множество Т, описываемое выражением (5.43). Анало-
rично, решениями системы (5.58) относительно А, В, С, D и
Е являются множества термов, которые составляют синтакси-
ческие катеrории, обозначаемые через А, В, С, D и Е соот-
ветственно. Решение системы (5.58) можно получить итера-
тивно, как в случае уравнения (5.31), используя рекуррент-
ное соотношение
(Т, А, В, С, D, E)i+1==f«T, А, В, С, D, E)i), i==O, 1,2, н.,
(5.59)
,и
(Т, А, В, С, D, Е)О == (в, ..., 8),
rде (Т, А, В, С, D, Е) набор нетерминальных символов системы
(5.58), t отображение, определяемое системой уравнений (5.58),
8 пустое множество, а (Т, А, В, С, D, Е)! i-я итерация дЛЯ
(Т, А, В, С, D, Е). Решение системы (5.58), представляющее
собой неподвижную точку отображения t, имеет вид (Т, А, В,
С, D, Е)оо. Однако для всех i выполняется
(Т, А, В, С, D, Е)! С (Т, А, В, С, D, Е), (5.60)
т. е. каждая компонента набора в левой части (5.60) является
подмножеством соответствующей компоненты в правой части
(5;БО).Смысл выражения (5.БО) состоит тоrда Б том, что ите-
рирование по i порождает все больше и больще термов в каж-
дой из синтаксических катеrорий Т, А, В, С, D, Е.
В более общепринятой процедуре терм в Т, скажем, не
очень молодой и не очень старый порождается rраммати-
кой G путем последовательных замен (подстановок) с исполЬ----
З0ванием системы Р, причем каждая цепочка подстановок
начинается с Т n: заканчивается термом, порожденным rpaM-
матикой О. Например, цепочка подстановок, для терма не очень
молодой и не очень старый имеет вид (см. также пример 5.8)
Т-+А-+А и В-+В и В-+ не С и В-+ не D и В-+
не очень D и В --+ не очень яолодой и В-+
-+ не очень молодой и не С -+ не очень молодой
и не Е --+ не очень молодой и не очень Е-+
-+ не очень молодой и не очень старый. (б.бl)
......
Еулевы ЛUkе8uеtuчеекие nеременны{!
85
Эту цепочку можно получить, используя синтаксическое дерево,
(рис. 5.4), представляющее структуру терма не ,очень .моло
дой и не очень старый с использованием синтаксических
катеrорий Т, А, В, С, Д, Е. В сущности описанная процедура
порождения термов в Т rрамматикой G составляет синтакси-
ческое правило для переменной Возраст.
семантическое пра ило для переменной Возраст индуцuру
еmcя описанным выше, синтаксическим правилом, в том смысле,
что смысл терма в Т частично определяется ero синтаксиче
ским деревом.
В частности, каждому праЮfЛУ подстановки в (5.57) ста-
8ИТСЯ в соответствие некоторое отношение между нечеткими
множествами, обозначенными соответствующими терминальными
и нетерминаJ]ЬНЫМИ символами. Результирующая двойственная
система подстановок и связанных с ней уравнений имеет вид
Т--+А TL==AR'
Т--+Т или A TL==TR+AR'
А --+ В A L == В R'
А--+В и В AL==ARnBR'
В--+С BL==CR,
В--+не С BL==lCR'
С --+ (Т) C L == TR'
C--+D CL==DR'
С--+Е CL ==ER'
D --+ очень D D L == (D R ) 2 ,
Е --+ очень Е E L == (E R )2,
D --+ молодой D L == молодой,
Е --+ старый E L == старый.
(5.62)
(5.63)
(5.64)
(5.65)
(5.66)
(5.67)
(5.68)
(5.69)
(5.70)
(5.71 )
(5.72)
(5.73)
(5.74)
Здесь нижние индексы L и R введены для различения симво-
лов в левой и правой частях подстановки (+ А объединение).
Эrа двойственная система используется для вычисления
смысла составных термов из Т следующим образом.
1. Рассматриваемый терм, например, не очень молодой
и не очень старый подверrается rрамматическому разбору
при помоши подходящеrо алrоритма rрамматическоrо разбора
для G [37], в результате чеrо получается синтаксическое
дерево типа показанноrо на рис. 5.5. Конечным вершинам
этоrо синтаксическоrо дерева соответствуют 1) первичные
термы, смысл которых определяется априори, 2) названия
модификаторов (т. е. неопределенностей, союзов, отрицания и
т. п.) И 3) маркеры, такие, как скобки, которые облеrчают
rрамматический разбор.
8G
6. поня'i'U лtlkzfJuеttlческоll nере.4l.енноа
2. Сначала первичным термам, соответСТВУЮLЦим конечным
вершинам дерева (рис. 5.4), назначается их смысл и затем
с ПОМОLЦью уравнений (5.62) (5.74) вычисляется CMblCJt бли-
жайших к ним нетерминальных символов. После этоrо дерево
урезают так, чтобы вычисленные терминальные символы ока-
зались конечными вершинами оставшеrося' поддерева. Этот
т
I
;1\
" и/\
/\ не "
не ,'/"\
/\очене 1"
очень О7 старый
J
МОАодои
т
I
Ji\
1 ";\
1\ не 1
не 1 /\
/\очень f
очень r ст:арыи
молодой
Рис. Б.4. СинтаКсиtJеское дерево
АЛя значения не o'ftesb. .иоло--
дой и не o'teHb стары.й.
Рис. Б.Б. Вычисление смысла
значения не o'teHb .иолодой и
не o'teHb стары.й.
процесс поиrоряется До тех пор, пока не будет вычислен смысл
терма, соответствующеrо корню исходноrо синтаксическоrо
дерева.
ПРlfменяя эту процедуру к синтаксическому дереву, пока-
занному на рис. 5.5, мы сначала при писываем термам АЮло
дой и старый смысл, выраженный формулами (5.45) и (5.46).
Затем, используя (5.73) и (5.74), находим
D7 ж:: .молодоЙ
IН
(5.75)
(5'.76)
далее IfO (5.71)
Е 11 == cmapbllJ..
и (5.72) получаем
D А == D ::;::: .молодой 2
(5.71)
Трафичеекое представление лuневuстичееКйll neремеННОll 87
}f
Е 10 :;: Щl ::Е cтapw"".
Следуя этой процедуре, получаем
Cr, == D6 == .молодой",
С 9 == Е 10 == старый 2 ,
84 == l C s =-= l (.молодой l ),
Е 8 == l C 9 s:: l (стары/Р),
Аз == В4 == l (.молодой в ),
Ав == Аз n В8 == l (.молодой!) n l (старый!)
И. следовательно,
не очень .молодой 1l не очень старый ==
:;:: l (.молодой!) n l(cmapblIi I ),
что соrласуется с ранее полученным выражением (5.44).
Основное назначение опи,санной выше процедуры состоит
в том, чтобы связать смысл cocTaBHoro терма ,со смыслом
составляющих ero первичных термов посредством системы
уравнений, определяемой rрамматикой, порождающей термы
в Т. В случае булевой линrвистической переменной при-
мера 5.10 это сделать довольно просто. В общем случае при-
рода неопределенностей в линrвистической переменной и ее
rраммаl'ика Moryт быть таковы, что вычисление смысла значе-
ний переменной окажется нетривиальной проблемой.
(5.78).
(5.79) ,
(5.80)
(5.81)
(5.82)
(5.83)
(5.84)
rРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
линrвистиЧЕСКОИ ПЕРЕМЕННОЙ
Линrвистическую переменную можно представить rрафи-
чески аналоrично rрафическому представлению объекта в вен-
Рис. 5.6. Представления линrвистической переменной
как объекта вeHCKoro языка.
СКОМ языке [41], [42], [43]. Переменная f);' при этом предстаn-
дяется кустом с корнем ,см. рис. 5.6), об();3ЩlчеJlндш.fl'f Jf
88
5. ПiJftятuе лuнzвuетuчеекой переменной
Возраст
'
l.t
'
(L
'tZ=
l!.
Рис. 5.7. Представление линrвистической переменной Возраст как объекта
BeHcкoro языка.
Внешность
.,реs66/чаино !/МН6/и
очеНh !JMHhlii
Высокии
очень Высокий
умный
3
Рис. 5.8, Представление линrвистической переменной Внешность с по-
мощью дерева,
ребрами, обозначенными названиями значении переменной ,
т. е. X 1 , Х 2 , ... . Объект, приписанныи ребру X i , есть смысл
значения X i . Например, в случае переменной Возраст ребра
можно обозначить как .молодой, старый, не .молодой и
Т. П., а смысл каждоrо TaKoro ,названия можно представить
в виде rрафика функции принадлежности нечеткоrо множества,
которая является смыслом этоrо названия (рис. 5.7). Важно
9тметить, что в случае структурироваННQЙ ,lJинrвистичеС QЙ
rрафичеекое представление лuневиетuчеекой переменной 89
переменной как названия ребер, так и названия приписанных
к ним объектов порождаются алrоритмически синтаксическим
и семантическим правилами. соответствующими этой переменной.
В более общем случае rраф линrвистической переменной
может иметь вид не одиночноrо куста, а более сложноrо
дерева (см. рис. 5.8). При этом название значения переменной
порождается путем последовательноrо приписывания (KOHKa
тенации) названий ребер, составляющих цепь, которая соеди
няет с корнем соответствующую, этому значению конечную
вершину дереВа. ,
Например, для дерева, изображенноrо на рис. 5.8, состав-
ным названием, соответствующим цепи от узла 3 к корию
дерева, является очень высокий, совсе.., толстый, очень
у.м.НЫЙ.
Этим мы заканчиваем обсуждение основных аспектов поня-
ТиЯ лииrвистической переменной. В следующих параrрафах
мы концентрируем наше Внимание на некоторых приложениях
этоrо понятия.
6. JJинrВИСТИЧЕСКИЕ: n pE:мtHHЫE истинноСiИ
и НЕЧЕТКДЯ лоrикд
в каЖДОДlIевных раэrоtюрах мы часто характеризуем сте-
nеиь истинности утверждения посредством таких выражений,
Юlk очень верно, совершенно верно, более или менее верно, ложно,
абсолютно ложно и т. д. Сходство между этими выражениями
и значениями линrвистической переменной наводит на мысль
о том, что в ситуациях, коrда истинность или ложносТ,ь утвер-
ЖДения определены не достаточно хорошо, может оказаться
целесообразным трактовать истинность как линrвистическую
переменную, для которой истинно и ложно лишь два пер-
вичных терма в терм-множестве этой переменной, а не пара
крайних точек в множестве значений истинности. Такую перемен
ную будем называть линzвистической переменной истинности,
а ее значения линzвистическими значениями истинности.
Трактовка истинности как линrвистической переменной
приводит к не четкой линzвистической лozике , или просто нечет
!$Q .дoiШКe, к оторая совершенно отлична от обычной дв узнач -
ной или даже мноrозначной лоrики. Эта нечеткая лоrика
является основой тото, что можно было бы назвать nриближен
IШми JlJ1,иуждениями, т. е. видом рассуждений, вкoropы x
значения истинности и правила вывода являются нечеткими,
а не точными. Приближенные рассуждения во MHoroM сродни
рассуждениям, которыми пользуются люди внекорректно
определенных или не поддающихся количественному описанию
ситуациях. В самом деле, вполне возможно, что мноrие, если
не большинство человеческих рассуждений по своей природе
приближенны, а не точны.
В дальнейшем будем пользоваться термином
для обозначения утверждений вида: «и есть А», rде и назва-
ние предмета, а А название нечеткоrо подмножества уни
версальноrо множества и, например «Джон молодой», «Х
малый», «яблоко красное» и т. п. Если интерпретировать А
как нечеткий 1), то утверждение «и есть А» можно
перефРа3iipOВaть как «и имеет свойство А». Эквивалентно этому
высказыва ние «и есть А» можно интерпретировать как урав-
1) Более точно, нечеткий предикат можно рассматривать i!K эквива
л н1', функции принадлежности нечеткоrо множес,!,в а. Чтобы упрос
минолоrilю, будем считать А и It A одним и тем же н чеТКIi п едикато м
6. Линевиетичеекие nеременные истинности инечеткая лоеuка 91
НЕЩИе назначения, в котором линrвистической переменной,
o.Щщuе.ЧРlOщей какое-либо с"войство элемента и, назначается
IJ качестье ЗJIзченпя «ечеткое множество А, например
Джан молодой ++ Возраст (Джон) :;:= АЮ.40iЮй;
K малый ++Величина (Х):.,: ,AltlЛblй;
яблоко красное ++ Цвет (яблоко) == Ilраснwй.
Будем предполаrать, что высказыванию типа «и есть АJI
соответствуют два нечетких подмножества: 1) М (А) смысл А.
т. е. нечеткое подмножество с названием А универсальноrо
множества и, и 2) значение истинности утверждения «и есть А».
или просто значение истинности А, которое обозначается как
и(А) и определяется как возможно нечеткое подмножество
универсальноrо множеСТва значений истинности У. в случае
двузначной лоrики V == Т + F (Т истинно, F ложно). В даль
ireйшем, если не будетоrоворено противное, будем предпола.
raTb, что V == [О, 1].
Значение истинности, являющееся числом в [О, 1], напри-
мер v (А) == 0.8, будем называть числовым з нности:
Числовые значения истинности иrраЮУ рОJrьmч ен и й азовой
п ременной линrвистической переменной Истинност ь. ЛИНI'-
вистические значения переменно й И стинlЮС'fЬ будем IJ азывать
..щН28истическими значениями истинности. Более точно будем
nредполаrать, что Истинность.,.... название булевой Лllнzвистu-
чkк.oйпеременной, для которой первичным является терм
qeтинный, а терм ложный определяется не как отрицание
pMa истинный, а как еrО JlbliQ.LО'!I)аж е относи-
JфНО точки 0.5 в [О, 1]1). Обычно будем полаrать, что терм-
HO»reCTBO переменной Истинность имеет вид
т (Истинность) == истинный + не истинный +
+ очень истинный +
+ более и.л.и .менее истинный +
+. очень OfteHb истинный +
+ сущеС11l8енно истинный +
+ очень (не истинный) +
+ не очень истинный +
+. . . + ./IOЖН Й + не ./Южныii +
+ очень ЛОЖНЫй +. ..
. ..+не очень истинный и не
очень ложнЫй+.... (6.1)
..rде термы являются названиями значений истинности.
, 1) 1\" будет видно из дальнейшеrо (см. (6.11», определение значеиия
.f41(C,ц,Ш как зеркальНоrо отрщкения значеНI:IЯ иетUNНWЙ ЩlJIЯется
СJIeдствием определения значения ложный как значения истинности BЫCKa
8Ь1J1aиия ,не А при предположении, ЧТО значением JlСТJfffНОСТИ &wcхазыа.
,.. А является истинны4.
92 б. ЛиН8виетичеекие nеременные истинности инечеткая лоеика
Предполаrается, что смысл первичноrо терма истинный
является нечетким подмножеством интервала V == [О, 1] с функ-
цией принадлежности типа показанной на рис. 6.1. Более
точно Терм истинный следует рассматривать как название
нечеткой переменной, оrраничением для которой является
нечеткое множество, изображенное на рис. 6.1.
JL
0.5
ЛОЖНblU
иcrUHHblU
и
т 1"а а
1+а 1
2
Рис. 6.1. Функции совместимости для линrвисти.
ческих значений истинности истинный и лож-
ный.
Одно ИЗ возможных приближений функции принадлежности
значения истинный определяется выражением
I О при О Е:; V <; а, ,
2 и a 1 а+l
J1"cт"HHNrf(V)== ( l a ) при a.se;;;;v ""'"'2""'
( и I ) 1I а+l
1 2 1 а при "'"'2 V 1.
(6.2)
Здесь точка V :::::: является точкой перехода. (Отметим, что
носителем нечеткоrо множества истинный является интервал
[а. 1].)CooTBeтCTBe Ho для терма ЛОЖНЫй имеем (см. рис. 6.1)
J1ЛОЖНNrf (v) == J1"Cт"HHN4 (1 v). О v 1.
В некоторых случаях проще полаrать, что терм истинный
является подмножеством конечноrо универсальноrо множества
знач ий истинности
v ....0+0.1 +0.2+...+0.9+ 1,
(6.3)
6. Линzвиетичеекие nеременные иетиннос.ти инечеткая /lOZUKa 93
а не единичноrо интервала V ""'" [О, 1]. При таком предполо-
жении нечеткое множество истинный можно определпть,
'например, так:
истинный::::: 0.5/0.7 + 0.7/0'.8 + 0.9/0.9 + 1/1,
rде такая пара, как, например, 0.5/0.7, означает, что СОВ-
местимость значения истинности 0.7 с термом истинный
равна 0.5.
, В последующем изложении мы будем интересоваться rлав-
ИЫМ образом общими соотношениями вида
,
и(и линrвистическое значенпе булевой линrвистической
. переменной %)
..линrвистическое значение
, булевой линrвистической переменной истинности r, (6.4)
как, например,
оаъкон 8blC01lua и темный и Ilрасивый) == .
== не очень истинный и не очень ложный,
rде BblCOllua и темный и Ilрасивый линrвистическое
Ii ачение переменной % Внешность, а не очень истинный
.не очень ложный линrвистическое значение переменной
lI,hинности r. Сокращенно (6.4) будем записывать в виде
fJ (Х) == Т,
t e Х линrвистическое значение перемеНRОЙ %, а Т.,.... линr-
Рстическое значение переменной r.
.....' Далее предположим, что X 1 . Ха и Х 1 * Ха, rде ... обозначает
Jtllарную связку, линrвистические значения перемеНЕ:ОЙ %
. значениями истинности rJ (X 1 ) , rJ (Ха) и rJ (Х 1 '" Ха) соответст-
@eRHO. Qf..новной ВОПРос , возникающий в связи с этим, состоит
'CJIедующем: можно ли выразить v (Х 1 '" Ха) как функцию v (XJ
. и(Х.), т е. можно ли писать
v (Х 1 * Ха) == V (X 1 )*' V (Ха),
(6.5)
tp,e *, обозначает бинарную связку, соответствующую линr-
истической переменной истинности riТ 1). Именно этот вопрос
T В основе последующеrо изложения.
, ' l) с алrебраической точки зрения а, можно раССWlтривать как rO},Jo.j
i,1loPФное отображение Т (%) т (1/), ['де Т (%), Т ($') терм-множества
; ующих переменных, а *1 обозначает операцию в множестве Т (lТ).
ррваннуюоперацией '.
94 б. Линzвиетичеекие nepeMf/HHbIe истинности инечеткая лоzuка
лоrИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ ВНЕЧЕТКОИ лоrИКЕ
Чтобы заложить основу для нечеткой лоrики, необходимо
расширить содержание таких лоrических операций, как отри
цание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно
к высказываниям, которые имеют не числовые, а линrвисти
ческие значения истинности. Друrими словами, мы должны
уметь вычислять значение истинности высказывания А и В,
зная лииrвистические значения истинности высказываний А иВ.
При рассмотрении этой проблемы полезно иметь ввиду, что
если А нечеткое подмножество универсальноrо множества U
и и Е и, то два следующих утверждения эквивалентны:
1) Степень принадлежности элемента u нечеткому
множеству А есть !J.A (и). (66)
2) Значение истинности нечеткоrо предиката А есть .
!J.A (и).
Таким образом, вопрос «Что является значением истинности
высказывания А и В, если заданы линrвистичеСКJ:lе значения
истинности А и В?» аналоrичен вопросу, который мы поста-
вили в 9 з: «Какова степень принадлежности элемента и мно-
жеству А n В, если заданы степени принадлежности элемента
u множествам А и В?»
Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали
принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры
для обобщения смысла отрицания не, а также связок и, или
и 8лечеm применительно к линrвистическим значениям истин-
ности.
В частности, если v (А) точка в V == [О, 1], представляю-
щая значение истинности высказывания «и есть А» (или про-
сто А), rде и элемент универсальноrо множества и, то зна-
чение истинности высказывания не А (или 1 А) определяется,
выражением
V (не А) == 1 V (А).
(6.7)
Предположим теперь, что V (А) не точка в [О, 1], а нечет-
кое подмножество интервала [О, 1], представленное в виде
V (А) == !J.l/Vl +.. .+!J.п/vп,
(6.8)
rде Vi ТОЧКИ В [О, 1], а tl их степени принадлежности мно-
жеству V (А). Тоrда, применяя принцип обобщения (З.80)
к (6.7), получим выражения для V (не А) как нечеткоrо под-
множества интервала [О, 1], т. е.
v (не А) == !J.l/(1 vJ +... + !J.,J(1 --- VfI)' (6.9)
Лоzичеекие связки внечеткой лоzике
95
в частности, если значение истинности А есть истинно, т. е.
v (А) == истинно, (6.1 О)
то значение истинности ложно можно записать в виде
ложный v (не А).
(6.11 )
Например, если
истинный == 0.5;7 + 0.7/0.8 + 0.9/0.9 + 1/1,
(6.12)
То значение истинности высказывания не А имеет вид
ложный == v (не А) == 0.5/0.3 + 0.7/0.2 + 0.9/0.1 + 1/0.
3'3. м е ч а н и е 6.1. Следует отметить, что если
истинный == /11/Vl +. . . + /1n/vn,
то соrлаСflО (3.33), имеем
не истинный == (1 !-tl)/Vl +.. . + (1 /1n)/V n .
Однако если
v (А) == истинный == /11/Vl +.. . + /1n/Vn,
(6.13)
(6.14)
(6.15)
ТО'
/l.ожный == v (не А) == /11/(1 Vl) +. .. + /1n/(1 v n ). (6.16)
'fp же самое относится и к линrвистическим неопределенностям.
"' пример, соrласно определению неопределенности очень
(СМ!' (б.38)),
очень истинный == /1иОl +. . . + /1 /on, (6.17)
С АРуrой стороны, значение истинности высказывания очень А
равно
v (очень А) == /11/V; + . . . + /1n/v , (6.18)
Перейдем к бинарным связкам. Пусть v (А) 11 v (8) линr-
вистические значения истинности высказываний А и 8 соот-
ветственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозна-
чеНИЯМИ', что и в случае, коrда v (А) и v (8) точки в [О, 1]:
v (А) Л v (8) вместо v (А и 8), (6.19)
v (А) V v(8) вместо v (А или В), (6.20)
v(A)===>v(8) вместо v(A===>B), (6.21)
l v(A) вместо v(He А), (6.22)
Я при этом ввиду, что в случае, коrда v (А) и v (В)
И в [О, 1],' операции V, 1\ и l сводятся к операци'ЯМ
.. (конъюнкция), тах (дизъюнкция) и вычитания из единицы
-Тветственно.
96 6. Линевис.тические nеремеННЫе истинности инечеткая лоеика
Далее, если V (А) и V (В) линrвистические значения истин
ности, заданные выражениями
V (А) == al/vl +. .. + ап/и no
V (В) == l/Wl +... + т/Шт,
(6.23)
(6.24)
rде и; и Ш} 10ЧКИ В [О, 1], а а; и ; соответствующие им
степени принадлежности множествам А и В, то, применяя
принци n сбоG'ЩEtIИЯ К V (А и В), получим
tJ (А и В) == L' (А; 1\ V (В) ==
== (ajtJl +. " + апи n ) 1\ ( l/Wl +... + m/Шm) ==
== (а; 1\ ;)/(иl 1\ ш,). (6.25)
i, j
Таким образом, значение истинности высказывания А и В
есть нечеткое подмножество интервала [О, 1], носитель KOTO
poro состоит из точек вида
иl 1\ ш" i == 1, ..., n, i == 1, ..., т,
с соответствующими степенями принадлежности (аl I\ J)' Отме-
тим, что выражение (6.25) эквивалентно выражению (3.107)
ДЛЯ функции принадлежности пересечения нечетких множеств,
имеющих нечеткие функции принадлежности.
При м е р 6.2. Предположим, что
tJ (А) == истинный == 0.5/0.7 + 0.7/0.8 + 0.9/0.9 + 1/1 (6.26)
и
tJ (В) == не истинный:s::
::: 1/0+ 1/0.1 + 1/0.2+ 1/0.3+ 1/0.4+ 1/0.5+
+ 1/0.6 + 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 0.1/0.9. (6.27)
Тоrда, используя (6.25), получаем
tJ (А и В) == истинный 1\ не истинный ==
== 1/(0+0.1 +0.2 +0.3 +0.4 +0.5+ 0.6) +
+ 0.5/0.7 + 0.3/0.8 + 0.1/0.9 ==
:t=: не истинный. (6.28)
Анаnоrично, для значения истинности высказывания А иди В
получим
v (А иди В) == V (А) V tJ (8) ==
== (al/vl +... + ап/иn) V ( l/Wl +. .. + тlwт)
== (аl V J)/(tJl V Wj). (6.29)
i. j
Лоеuческие связки в ltечеТКОЙ Л02ике
w
Значение истинности высказывания А => В зависит от Toro,
как определена связка => для числовых значений истинности.
Так, если для случая, коrда V (А) и V (В) точки в [О, 1], мы
положим (см. (8.24»
V (А => В) == l V (А) V V (А) 1\ V (В), (6.30)
то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20)
v (А => В) == «аl/иl +. . . + ап/и п ) => ( lWl +. .. + mwm» ==
"'" (а/ 1\ J)j(1 vд V (v/ 1\ Wj) (6.31)
/. j
для случая, коrда v (А) и v (В) нечеткие подмножества интер-
вала [О, 1].
З а м е ч а н и е 6.3. Важно четко понимать разницу между
вязкой и в терме, скажем, истинный и не очень истин-
ный и символом 1\ в высказывании истинный 1\ не иcтиH
ныа. В первом случае нас интересует смысл терма истинны.й
и 1ul истинны ii , и связка и определяется отношением
М (истинный и не истинный) ==
:::: М (истинный) n м (не истинный), (6.32)
rде М (А) СМысл терма А (см. определение 5.1). Напротив,
в случае терма истинный 1\ не ucmUHHblft, нас В основном
интересует значение истинности высказываниЯ истинный 1\
не истинный, которое получается из равеНСТJза (см. (6.19»
v (А и В) == v (А) 1\ v (В). (6.33)
Таким образом, в (6.32) символ обозначает one ацliю пере-
с чения нечетких множеств, а в .33 символ о означает
о'iiёpa@ю () ;' нкции '.l1POиллюстрируем ЗТо раЗЛИЧие Ha про
стом примере. Пусть V == О + 0.1 +. .. + 1, а Р и Q tIечеткие
подмножества множества V, определяемые следующим образом:
р == 0.5/0.3 + 0.8/0.7 + 0.6/1, (6.34)
Q == 0.1/0.3 + 0.6/0.7 + 1/1. (6.35)
Р n Q==O.1/0.3+0.6/0.7 +0.6/1, (6.36)
Тоrда
8ТО время как
р 1\ Q == 0.5/0.3 + 0.8/0.7 + 0.6/1.
(6.37)
9тметим, что такое же различие имеет место и в случае отри
nания не и операции l, как указывалось в замечании 6.1.
3 а м е ч а н и е 6.4. Следует отметить, что, применяя прин-
.АИЛ обобщения (3.96) к вычислению значений v (А и В),
4 Л. Заде
98 6. Лине8иети еекие nеременные истинности и' нечеткая .лоеика
v (А или 8) и v (А => В), мы молчаливо предполаrали, чт(,
v (А) и v (8) !lевзаимодейс.:rВУlOщие нечеткие переменные
в смысле замечания 3.20. Если v (Al и v (8) в аимодейств"у:
щие переменные, то необходимо применять принцип'Обобще-
ния не в форме (3.9р), а в форме (3.97). Интересно заметить,
что В9 ПРОС о возможном взаимодеЙЯ.1Щ!l между v (А) и v (8)
воз дaяrel)'ТОМслучае, оrда и(А) и v(8) точки в [0,1],
а не нечеткие переменные. , ,
3 а м е ч а н и е 6.5. Применяя принцип обобщения с целью
определения операций V , Л, => и 1 применительно клинr-
вистическим значениям истинности, мы в сущности рассматри-
Прuна811ежность
о!о
а1
а2.
и
Рио. 6.2. Множества уровня значений истинности вы.
сказываний А и В.
ваем неqеткую лоrику как обобщение мноrозначной лоrики.
В таком же смысле можно рассматривать классическую трех-
значную лоrику как обобщение двузначной лоrики (см. (6.64».
Приведенные выше выражения для v (не А), v (А и 8) и
v (А => 8) становятся более ясными, если мы сначала разложим
v (А) и v (8) по множествам уровня и затем применим принцип
обобщения в форме множеств уровня (см. (3.86» к операциям
l, Л, V и =>. Это дает нам простое rрафическое правило
вычисления значений истинности (см. рис. 6.2). Пусть интер-
валы [аl. ll2] и [Ь 1 , Ь 2 ] суть множества а-уровня для v (А) и
v (8). Тоrда. используя обобщения операций l, Л и V ЩI
интервалы (см. (3.100»
l [аl' ll2] == [1 а2, 1 аl],
[аl' а2] Л [Ь 1 , Ь 2 ] == [аl Л Ь 1 , ll2 Л Ь 2 ],
[аl' ll2] V [Ь 1 > Ь 2 ] == [щ V Ь 1 , ll2 V Ь 2 ],
(6.38)
(6.39)
(6.40)
Таблицы истинноети и линzвuетичеекая аnnро"еимация 99
можно леrко,найти множества а-уровня для v (не А), v (А и В)
и v (А иди В). После Toro как эти множества уровня найдены,
.яеrко определить v (не А), v (А и В) и v (А иди В), варьируя
(J 'от О до 1.
В качестве простой иллюстрации рассмотрим определение
конъюнкции линrвистических значений истинности v (А)
_ истинный и v (В) ДОЖНЫ.й, ФУНКЦИl! принадлежности
которых имеют вид, показанный на рис. 6.1.
ПРlJна!Jлежностh
..
uсruииlo'U
а 1 а2.
Рис. 6.3. Вычисления значения истинности КОЕ
юнкции значений истинный и л.ожный.
Видно (рис. 6.3), что для всех значений а
[аl' ll2] Л [Ь 1 , Ь 2 ] == [Ь 1 , Ь 2 ], (6.41)
\ПКуда следует, что (см. (3.118»
[Ь 1 , Ь 2 ]:;;;;;; [аl, ll2]. (6.42)
'{аким образом, зная лишь форму функций принадлежности
!Jначений истинный и ДОЖНЫЙ, можно заключить, что
и-стинный Л ДОЖНЫЙ == ДОЖНЫЙ, (6.43)
qтo соrласуется с (6.25).
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ
И линrВИСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
В двузначной, трехзначной и вообще n-значной лоrиках
бинарные связки Л, V и::::> обычно определяются таблицей
9начений истинности- высказываний А и В, А иди В илlf
А ==> В в терминах значений истинности высказываний А и В.
Поскольку внечеткой лоrике число значений истинности,
Вообще rоворя, бесконечно, операции Л, V и ::::> нельзя
Unределить табулированием. Однако может быть желательным
4*
lW Ь. JJинzвиетичеекие nеременные истинности инечеткая Л02uка
протабулировать, скажем, операцию 1\ для HeKoToporo пред-
ставляющеrо интерес конечноrо множества значений истинности:,
например: истинный, не истинный, ложный, очень
истинный, очень (не истинный), более или .менее истин-
ный и т. п. Если каждый элемент i й строки такой таблицы
соответствует, скажем, значению не иС"'''f:!НЫЙ,' каждый эле-
мент j ro столбца значению более иА менее истинный,
то
(i, п й элемент == значение элемента i-и строки ( He истин-
ный) 1\ значение элемента j-ro столбца ( более
или .менее истинный). (6.44)
При заданном определении первичноrо терма истинны,й и
определениях модификаторов не и более или .менее можно
вычислить правую часть выражения (6.44)
не истинный 1\ более или .менее истинный, (6.45)
используя (6.25). Однако трудность состоит в том, что в боль-
шинстве случаев результатом вычисления будет нечеткое под-
множество универсальноrо множества значений истинности,
которое может не соответствовать ни одному из значении
истинности в терм множестве переменной Истинность. Такиti
образом, если мы хотим иметь таблицу ЛИНJ1вистических зна.
чении истинности, нам придется довольствоваться приближен-
H ЫM значени. l Л ТО э л мента. таб лицы, .т выраже НИЯ
(элемент i-й строки 1\ эле мент l-rо'"СТОЛ бца). Такое при-
ближение будем называть лuневuстuческuм приближением (см.
рис. 1.5).
Предположим для иллюстрации, что универсаЛЬНое множе-
ство значений и стинности имеет вид
v ==0+0.1 +0.2+...+ 1
(6.46)
и что
истинный == 0.7/0.8 + 1/0.9 + 1/1,
более или .менее == 0.5/0.6+0.7/0.7 + 1/0.8+ 1/0.9+ 1/1,
почти истинный== 0.6/0.8+ 1/0.9+0.6/1.
(6.47)
(6.48)
(6.49)
Предположим, что в таблице истинности для связки V
i-й строке соответствует значение более или .менее истинный,
а j MY столбцу почти истинный. Тоrда для (i, n-ro эле-
мента таблицы получаем
более или .менее истинный V почти истинный ==
== (0.5/0.6 + 0.7/0.7 + 1/0.8 + 1/0.9 +
+ 1/1) V (0.6/0.8+ 1/0.9+0.6/1):::z
== 0.6/0.8 + 1/07.9 + 1/1. (6.БО)
Значения истинности неизвестно и не определено
101
Теперь видно что правая часть (6.50) приближенно. равна
значению истинный, определенному выращением (6.47). Сле-
довательно, в таблице истинности для связки V линrвисти-
ческим приближением (i, j) ro элемента будет значение истин-
ный.
ЗНАЧЕНИЯ ИСТИННОСТИ
неизвестно и не определено
Среди возможных значений истинности линrвистической
переменной Истинность два значения привлекают особое вни-
мание, а именно пустое множество е и единичный интервал
{О, 1], которые соответствуют наименьшему. и наибольшему
,элементам (по отношению. включения) решетки нечетких под-
множеств интервала [О, 1]. Важность именно этих значений истин-
ности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как зна
чения истинности не определено и неизвестно!) соответственно.
]Lля удобства будем обозначать эти значения истинности сим-
волами е и ?, понимая при этом, что е и ? определяются
рыражениями
1
fJ O/v
о
(6.51)
и
? V == универсальное множество значений истинности ==
== [О, 1] ==
1
== 1/ш. (6.52)
о
Значения неизвестно и не определено, интерпретируемые
как степени принадлежности, используются также в представ-
.nении нечетких множеств типа 1. В этом случае имеются три
возможности выражения степени принадлежности точки u в U:
1) число из интервала [О, 1]; 2) е (не определено); 3) ? (неиз-
вестно).
Рассмотрим
простой пример. Пусть
U ==a+b+c+d+e.
(6.53)
Возьмем нечеткое подмножество множества U вида
А == О.lа+0.9Ь+ ?с+ ed.
(6.54)
1) Понятие неизвестно связано С понятием безразлично в reории
eiillo.KoHTaKTHblX схем [44]. Друrое родственное Dонятие квазuиетин.-
НDCmxая функциональность 146).
102 6. Линzвиетические nеременные истинности инечеткая лоеuка
в этом случае степень принадлежности элемента с множеству А
есть неизвестно, а степень принадлежности d есть не опре-
делено. В более общем случае А может быть
А ==0.la+0.9b+0.8?c+6d, (6.55)
rде имеется ввиду, что степень принадлежности элемента с
множеству А частично неизвестна, причем член О.8? с интер-
претируется следуюпJ,ИМ образом:
o.8?c==( o.8/и)/ с.
(6.56)
Важно четко понимать разницу между О и 6. Коrда мы rOBO-
рим, что степень принадлежности точки и множеству А есть 6,
мы имеем в виду, что функция принадлежности !-tА: U--+[О, 1]
не определена в точке и. Предположим, например, что U
множество действительных чисел, а !-tА функция, определенная
на множестве целых чисел, причем !-tА (и) === 1, если и четное,
и !-tА (и) == О, если и нечетное. Тоrда степень принадлежности
числа и == 1.5 множеству А есть 6, а не О. С друrой сторсцы,
если бы !-tА была определена на множестве действительных
чисел и !-tА (и) == 1 тоrда и только тоrда, коrда и четное число,
то степень принадлежности числа 1.5 множеству А была бы
равна О. .
Поскольку мы умеем вычислять значения истинности выска-
зываний А и В, А или В и не В по заданным линrвисти-
ческим значениям истинности высказываний А и В, нетрудно
вычислить и значения v (А и В), v (А или В), v (не В), коrда
и(В)==? Предположим, например, что
1
V (А) == I-t (и)/и, (6.57)
О
1
V (В) ==? == 1/ш.
О
Применяя принцип обобщения, как в (6.25), получим
I 1 1 1
V (А) Л ? == !-t (и)/и Л 1/ш == !-t (v)j(v Л ш),
о О о О
rде
1 1
и
о О [О, l]х[О, 1]
ПQсле упрощения (6.59) сводится к выражению
I
v(А)Л?:;::S (V !-t(v»/w.
0[11>, 1]
(6.58)
f
\
(6.59)
(6.60)
(6.61)
3начен.uл истиННОсТи неиз8еетно и не определенО 103
'друrими словами, значение истинности высказывания А и В,
FJte v (В) == неизвестно, есть нечеткое подмножество интер-
вала [О, 1], степень принадлежности которому точки. w равна
suPJ.t(v) (функции принадлежности А) на интервале [w, 1].
ПРf.iнаQ/lежн ?
v(А)л?
Q(A)V?
tJ
Рис. 6.4. КОНЪЮНКЦИЯ и дизъюнкция значений ИСТИННОСТИ
высказывания А со значением ИСТИННОСТИ неизвестно
(-. ?).
, Аналоrично находим, что значение истинности высказывания
lt/ или' В выражается в виде
11 1
V (А или В) == И J.t (v)/(v V ШI) == (V J.t(v»/w. (6.62)
О О О [О, w]
Следует отметить, что выражения (6.61) и (6.62) леrко
tJoлучить с помощью описанной выше rрафической процедуры
(ем. (6.38) и далее). Пример, иллюстрирующий это, показан
па рис. 6.41).
Обращаясь к случаю v (В) == 6, находим
1 1 1
V (А) Л 6== И O/(v Л w) == O/w . 6 (6.63)
00 О
]1 аНаЛоrИtlНО для tI (А) V 6.
{ 1,
) V (А и В) s:: (
!t и),
{ /1 (О),
. (1 (А или В}>== 1,
O Q SUP!t М,
[О, 1]
(1 > sup !t (О),
[О, 1]
О О sup !t (о),
[О. 1]
О> sup ft (о).
[О. 1]
Прим. ред.
104 6. Лuне8иетические nеременные истинности u нечеткая ЛО2uка
Поучительно проследить, что происходит с приведенными
выше СООТlЮшениями, коrда мы применяем их к частному
случаю двхзначной лоrики, т. е. к случаю, коrда универсаль
ное множество имеет вид
V==O+l,
(6.64)
или в более привычном виде
V==T+F,
(6.65)
rде Т означает истинный, а F ЛОЖНЫй. Поскольку ?
есть V, мы можем отождествить значение истинности неиз-
вестно со значением истинный или ложный, т. е.
?==Т+Р. (6.66)
Результирующая лоrика имеет четыре значеНIIЯ истинности е,
Т, F и Т + F ( ?) и является обобщением двузначной лоrики
в смысле замечания 6.5. '
Поскольку универс льное множество ЗItачений ИСтинносТи
состоит лишь из двух элементов, целесообразно построить таблицы
истинности для операций V, 1\ и => в этой четырехзначной
лоrике непосредственно, т. е. без испо.льзоваItия общих формул
(6.25), (6.29) и (6.31). Так, применяя принцип обобщения
к операции 1\, сразу получаем
Т 1\ е == е, (6.67)
т 1\ (Т + Р) == Т 1\ F + Т 1\ F ==
== Т +Р, (6.68)
F 1\ (т+р)==р 1\ Т+Р I\Р=:
==р+р==
==Р, (6.69)'
+AI\ + ==TI\T+TI\P+PI\T+PI\P==
==Т+Р+Р+Р==
== Т +Р, (6.70)
u поэтому расширенная таблица истинносТи Для операции 1\
имеет следующий вид (см. табл. 6.5).
л I е
I
6 6
Т 6
F 6
t+F 6
т
F
Таблица 6.5
T+F
6
Т
F
т+р
6
F
F
F
6
т+р
F
т+р
Значения истинности неизвестно и,не onределенО 105
Выбросив из нее элементы е, получаем табл. 6.6.
Таблuца 6.6
л I т
т т F т+р
F F F F
т+р т+р F т+р
F
т+р
Аналоrично, для операции V получаем табл. 6.7.
Таблица 6.7
V 'Т F т+р
т т т т
F Т F т+р
т+р т т+р т+р
Как и следовало ОЖИДать, эти таблицы cor ласуются с табли-
nаМи истинности для операций А и V в обыqной трехзначной
JJОfике [46].
Описанный выше подход проливает некоторый свет на Qпре-
ение операции => в двузначной лоrике в некотором
lысле спорный вопрос, который мотивировал развитие модаль-
jQй / лоrики [45], [47]. В частности, вместо общепринятоrо
реде.ления связки => мы можем определить ее как связку
i трехзначной лоrике с помощью неполной таблицы истин-
ности (табл. 6.8), которая отражает интуитивно понятную
Таблица 6.8
=>' I т
F
т+р
т
F
т
F
т
Идею о том, что если А => В истинно и А oI"UJ'ИТ,U, 1v na-
-reние истинности высказывания В неизвестно. Теперь
Можно поставить вопрос: как следует заполнить пустые клетки
в табл. 6.8, чтобы в результате применения принципа обобще-
ия получить значение (2,3)-ro элемента, равное Т? Итак,
обозначая неизвеСТlIые (2,1)-й и (2,2)-й элементы через х и у
соответственно. мы должны получить
f => (Т + Р) == (Р => Т) + (Р => Р) ==
;;=х+у==Т,
(6.71)
106 6. ЛиН28истические nеременные истинности и нечеткая лотка
откуда с веобходимоСТЬЮ следует, что
х==у==Т.
(6.72)
На этом пути мы приходим К обычному определению
связки => в двузначной лоrике в виде следующей таблицы
истинности:
т
F
т
F
т
т
F
Т
Как показывает рассмотренный выше пример, понятие значе-
ния истинности неизвестно в сочетании с принципом обобще-
ния помоrает уяснить некоторые из понятий и соотношений
обычных двузначной и трехзначной лоrик. Эти лоrики, конечно,
можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой
лоrики, в которой значением истинности неизвестно является
весь едИНИЧНЫЙ интервал, а не множество 0+ 1.
сос Т А8НЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИСТИННОСТИ
И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ИСТИННОСТИ
В предыдущем изложении мы оrраничились рассмотрением
унарных в смысле определения 2.1 линrвистических перемен-
ных истинности. Ниже мы определим понятие составной
переменной истинности и коротко остановимСЯ на некоторых
ero свойствах.
Итак, пусть
tff' (&1'... , &n)
(6.73)
обозначает n-арную составную линrвистическую переменную
истинности, rде dТ'/, i == 1, . .., n, унарная линrвистическая
переменная истинности с TepM MH9*eCTBOM Т/, универсальным
множеством V/ и базовой перемеI(ной V/ (см. определение 5.1).
Для простоты будем иноrда пользоваться символом & / для
обозначения как названия i-й переменной в (6.73), так и
общеrо названия значений истинности переменной эr/. Кроме
Toro, будем предполаrать, что Т 1 == Т 2 == ... == Т n И V 1 ==
== V 2 == ... == V n == [О, 1]. Если рассматривать & как соетавную
переменную, компоненты которой переменные tff' 1, ... , & n
принимают значения из соответствующих множеств Т1, ... ,
Тn, то & является n арноЙ обычной (не нечеткой) перемен-
ной (см. (2.3) и далее). Таким образом, щраничение R (эr),
обусловленное переменной & , есть обычное (не нечеткое)
отнощение в декартовом произведении Т >:- ... х Т n' которое
СОСТЛ8ные nеременные иСТинности
107
'можно представить как неупорядоченный перечень упорядочен-
ных наборов вида
R (tff') == (истинный, очень истинный, лож-
ный, .. . ,вполне истинный) + (вполне
истинный, истинный, очень UCmtiH- (6.74)
ный, . . , очень истинный) + (иcтиH
ный, истинный, более или .менее
истинный, ..., истинный) + ....
Наборы из n термов в R (Gff'") будем называть списками назна-
ченН1JlX значений иcтtiнHocти, так как каждый такой набор
можно интерпретировать ка" результат назначения зна'чений
и тинности списку высказываний Аl, ... , Аn, причем
А (А 1 . ... . Аn)
(6.75)
представляет собой составное высказывание. Если, например,
А (Скотт высо"ий. Пэт те.мноволосый.
Тина очень хорошень"ая) ,
то тройка ЗJlачений в R (rff'"') вида (очень истинный, истин-
rlЫЙ, очень истинный) соответствует следующим уравнениям
назначения:
v (Скотт высо"ий) == очень истинно, (6.76)
v (Пэт те.мноволосый) == истинно, (6.77)
v (Тина очень хорошень"ая) == очень истинно. (6.78)
Основываясь на этой интерпретации наборов в R (rff'"').
мы будем часто называть R (rff'"') распределением значений
истинности. Соответственно этому оrраничение R (rff'"'il' ...
..., rff'"'i k ), обусловленное k арной переменной (rff'"'i 1 ' ... . rff'"'i k ), rде
q == (i 1 , ... , i k ) подпоследовательность последовательности
индексов (1, ... , n), будем называть мареинальным распреде-
лением значений истинности, индуцированным распределением
R (rff'"'1. ..., rff'"'n) (см. (2.8». Далее, используя обозначения,
принятые в 9 2 (см. также замечание 4.7), соотношение между
R(dT\, ... , eY ik ) и R (rff'"'l' ... , эrn)
сокращенно можно выразить формулой
. R (rff'"'(q) ==PqR (rff'"'),
(6.79)
rде Р q обозначает операцию проектирования на декартово
произведение Ti 1 Х ... х Ti k .
108 б. Лuне8uстuчеекuе nеременные истинности и нечетКдЯ лоеuка
При м е р 6.6. Предположим, что R (cff"') имеет вид
R (cff"') R (cff"' 1, cff"' 2, cff"' 3) ===
=== (истинный, вполне истинный, очень
истинный) + (очень истинный, иcтиH
ный, очень очень истинный) + (иcтиH
ный, ложный, вполне истинный) +
+ (ложный, ложный, очень иcтиH
ный).
Чтобы получить R (cff"'1'
В каждой тройке и получим
R (cff"'1' cff"'2) == (истинный, вполне истинный) +
+ (очень истинный, истинный) +
+ (истинный, ложный) + (лож
ный, ложный). (6.81)
, Аналоrичным образом, вычеркивая компоненты r 2 в R (cff"'1t
rfТ 2)' получим
R (cff"' 1) === истинный + очень истинный + ложный. (6.82)
Если рассматривать cff"' как n арную обычную (не нечеткую)
переменную, значениями которой являются линrвистические
значения истинности, то для случая линrвистических перемен-
ных истинности определение невзаимодействия (определение 2.9)
примет следующий вид.
а п р е Д е л е н и е 6.7. Компоненты n арнои линrВИСТИRеской
переменной истинности r === (cff"'1, ..., cff"' n) являются
л-невзаuмодейсmвующuмu (л обозначает «линrвистическии») Torдa
и только тоrда, коrда распределение значений истинности
R (cff"' 1, ... , cff"' n) сепарабельнов том смысле, что
(6.80)
#2), вычеркнем компоненту #3
R (cff"'1' ... , cff"'n) === R (cff"'1) х ... xR (rff'" n)'
(6.83)
Смысл этоrо определения в том, что' если #1' ... , rff'" n
суть л невзаимодеиствующие пере енные, то назяачен
конкретных линrвистических значении истинности переменным
cff"'j , ... ,cff"'i не влияет на значения истинности, кото р ые
1 k
MorYT быть назначены дополнительным компонентам в (@1,...
... ,@n),т.е.компонентам@j,...,@ / ".
1 т
Прежде чем иллюстрировать понятие л невзаимодействия
на примерах, определим друrой тип невзаимодействия, который
будем называть невзаuмодействuем ( означает базовую
переменную).
а п р е Д е л е н и е 6.8. Компоненты n арной линrвистической
переменной истинности cff"' === (@1, ... , df n ) являются -невза-
Составные переменные Истинно.стu
109
рмодейсmsующuмu Тоrда и только тоrда, коrда соответствующие
Itм базовые переменные Vl,..., V N невзаимодействующие
8 смысле определения 2.9, т. е. переменные Vi не связаны
общими оrраничениями.
Чтобы, проиллюстрировать определенные выше понятия
невзаимодействия, рассмотрим несколько простых примеров.
При м ер 6.9. Для распределения значений истинности
примера 6.6 имеем
R (cff"'I) == r:.стинный + очень истинный + ложный,
R (cff"'2) == вполне истинный + истинный + ложный, (6.84)
R (cff"'3) == очень истинный + очень очень иcтиH
ный + вполне истинный
и, таким образом,
R (cff"' 1) xR (cff"' 2) хЯ (r з ) == (истинный, вполне истинный,
очень истинный) +(очень истин-
ный, вполне истинный, очень
истинный) +
+ (ложный, ложный, вполне
истинный) * R (<ff'I' cff"' 2, <ff' 3)'
(6.85)
откуда следует, что R (rff"'I' rff"'2' rr 3) не сепарабельно и,
следовательно, r:>Т 1, rff"'2' cff"'3 суть л-взаимодействующие
переменные.
При м е р 6.10. Рассмотрим составное высказывание вида
(А, не А) и предположим для простоты, ЧТО Т (cff"') == истин-
ный + ложный. С точки зрения (6.11), если значение истин-
ности высказывания А есть истинно, то значение истинности
высказывания не А есть ложно, и обратно. Следовательно,
распределение значений истинности для рассматриваемоrо
высказывания должно иметь вид
R (r:>Т 1,cff"'2) == (истинный,ЛОЖНЫЙ) + (ложный, истинный).
(6.86)
Это распределение индуцирует марrинальные распределения
R (r 1 ) ==R (cff"'2) == исmинный + ложный. (6.87)
Далее,
R (cff"'I)xR (cff"'2) == (истинный + ложный) х ,(истинный +
+ложный) === (истинный, истинный) +
+ (истинный, ложный) + (ложный, ис-
тинный) + (ложный, ложный), (6.88)
IIи б. Линевиетuчеекuе nеременные иетинности U нечеткая лоеика
и поскольку
R (&"'1' rr 2) =l=R (&"'1) xR (er 2 ),
то отсюда следует, что er 1 и er 2 являются л взаимодейст-
ВУЮЩИМИ переменными.
Пример 6.11. Пример, рассмотренный выше, можно
использовать и ,в качестве иллюстрации взаимодействия.
В частности, независимо от значении истинности, назначенных
высказываниям А и не А, из определения отрицания не
(см. (3.33» следует, что базоцые переменные V1 и V2 связаны
между собой уравнением
v1+ V 2==1.
(6.89)
Друrими словами, в случае cocTaBHoro высказывания вида (А,
не А) сумма численных значений истинности высказываний А
И не А должна равняться единице.
3 а м е ч а н и е 6.12. Следует отметить, что в примере 6,.11
.взаимодействие является следствием Toro, что высказывание
А 2 связано с высказыванием А 1 отрицанием. Вообще же er 1 , ...
... ,r n MorYT быть л-взаимодействующими переменными, не бу-
дучи -взаимодействующими.
Полезное применение ПОНЯТия взаимодействия связано
со значением истинности неизвестно (см. (6.12». Полаrая
для, простоты V == т + Р, предположим, что
А 1 ПЭТ живет в Беркли,
А 2 ПЭТ живет в Сан-Франциска,
(6.90)
(6.91)
причем одно и только одно из этих высказываний истинно.
Отсюда вытекает, что хотя значения истинности высказывании
А 1 И А 2 суть неизвестно ( ? == Т + Р), т. е..
,,(А1)==Т+Р'
,,(А 2 ) == Т+Р,
(6.92)
ОНИ связаны между собой соотношениями
v (А 1 ) V V (А 2 ) == Т, (6.93)
v (А 1 ) Л V (А 2 ) == Р. (6.94)
Распределение значений истинности для соотношений (6.90) и
(6.91) можно рассматривать как решение системы уравнений
v(A.1)Vv(А 2 )==Т,
v(А 1 )Лv(А 2 )==F.
(6.95)
(6.96)
Составные переменные истинности
III
$ro реше ние имеет вид
(6.98)
(6.99)
что соrласуется с (6.92). Отметим также, что э'Т 1 и э'Т z суть
';'}JЭaимодействующие переменные в смысле определения 6.8,
rдe У==Т+Р:
Далее, если А 1 и А! заменить на
R (э'Т 1 , Э'Т 2 ) == (Т, Р) + (Р, Т).
(6.97) вытекает
и(A 1 )==R (э'Т 1 )==Т+F,
v (А 2 ) == R (rff""2) == Т +Р,
(6.97)
Отметим, что из
А 1 ПЭТ жил в. Беркли,
А 2 ПЭТ жил В Сан-Франциско
(6.100)
(6.101)
и допустить, что и Аl' И А 2 MorYT быть истинными, то мы по-
режнему бу дем иметь
и (А 1 ) ==? == Т + Р,
и (Az) == ? == Т + Р,
(6.102)
(6.103)
ПQ уравнение связи примет вид
и(А 1 ) V v (А 2 ) == Т.
(6.104)
в этом слуяае распределение значений истинности является
решением уравнения (6.104) и имеет вид
R{rff" 1, rff" 2) == (истинный, истинный) +
+ (истинный, ложный) + (ложный, UCmUHHNit). (6.105)
Важный вывод, который можно сделать из рассмотренных
выше примеров, состоит в том, что в некоторых случаях рас-
пределение значений исти и может быть задано внеявном
виде, например как решение системы уравнений, а не как список
упорядоченных наборов n значений истинности. Как правило,
Это бывает в том случае, коrда линrвистические значения наз-
начаются не каждому высказыванию Al в А == (Аl'...' А n )! а
булевым выражениям, содержащим две или большее число ком-
понент А.
Следует также отметить, что распределения значений истин-
ности Moryт быть вложенными. Так, в случае yHapHoro выска-
зывания мы можем иметь вложенную последовательность выска-
зываний вида
«««Вера очень очень умна» очень ист"нно» истинно».
(6.106)
!1t1 6. Линzвистuчеекие nеременные истинноети инечеткая лоzика
Оrраничения, Индуцированные высказываниями TaKoro типа,
можно вычислять следующим образом.
Пусть базовой переменной в (6.106) является КИ 1), и пусть
Ro ЩИ) обозначает оrраничение на переменную КИ. Тоrда вы-
сказывание «Вера очень очень, умна» означает, что
Ro (КИ) '== очень очень умна. (6.107)
Далее, утверждение ««Вера очень очень умна» очень истинно»
означает, что значение степени принадлежности Веры нечеткому
множеСТВ)L Ro (КИ) есть очень истинно (см. (6.6». Пусть
floJteHb истинно обозначает функцию принадлежности нечеткоrо
множества очень истинно (см. (6.17» и пусть flRo обозначает
функцию принадлежности Ro (КИ). Будем рассматривать flRo
как отношение 2): [область значений КИ] [О, 1], и пусть flR
обозначает обратное отношение. Тоrда flR ИНДуцирует нечеткое
множество R 1 (КИ), определяемое равенством
R 1 (КИ) == flR (очень истинно), (6.108)
причем R 1 (КИ) можно вычислить при Помощи принципа обоб-
щения в форме (3.80). Нечеткое множество R 1 ЩИ) представ-
ляет собой оrраничение на КИ, индуцированное высказыванием
««Вера очень очень умна» очень истинно».
Продолжая рассуждать аналоrичным образом, приходим к
выводу О том, что оrраничение на КИ, индуцированное выска-
зыванием «««Вера очень очень умна» очень истинно»
истинно», можно Выразить следующим образом:
R 2 (КИ) == flR: (истинно), (6.109)
rде flR обозначает отношение, обратное к flR, функции при-
нвдлежности оrраничения R 1 ЩИ), имеющеrо вид (6.108). Итак,
мы получили способ вычисления оrраничения, ИНДУцирован
Horo вложенной последовательностью высказывании типа (6.106).
Основная идея изложенноrо выше метода состоит в том, что
высказывание вида {«{и есть А» есть Т», rде А нечеткий пре-
дикат и Т линrвистическое значение истинности, ВИдоизr.,е-
няет оrраничение, связанное с А, в соответствии с выражением
А' == flA 1 (Т),
rде flA 1 функция, обратная функции принадлежности А, а
А' оrpаничение, индуцированное высказыванием ««и есть А»
есть Т».
ч КИ так называемый коэффициент интеллектуальности, определяе-
мый по специальной системе тестов (см., например, r, Айзенк, Проверьте
свои способности, «Мир», М., 1972). ПРUМ. ред.
2) В нашей литературе для таких объектов применяется термин сото-
бражеlIие». ПРUМ. ред.
7. линrВИСТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
И УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ
в классическом теоретико вероятностном подходе событие А
определяется как элемент О' поля eТf подмножеств пространства
элементарных событий Q. Так, если Р нормированная мера
над измеримым пространством (Q, d), то вероятность Р (А)
.события А определяется как мера множества А и является чис
лом из интервала [О, 1].
Существует MHoro реальных проблем, в которых нарушается
ОДНо или больше предположений, неявно присутствующих в при-
веденном выше определении. Во первых, часто бывает плохо
определено само событие А, как, например, в вопросе «Какова
вероятность Toro, чтр завтра будет теплый день?» В этом
случае событие теплый день нечеткое событие в том смысле,
что не существует резкой rрани между ero появлением и I! -
появлением. Как показано в [48], такое событие можно оха-
рактеризовать как нечеткое подмножество А пространства элемеВ-
тарных событий Q с измеримой функцией принадлежности /Ао А.
Во-вторых, даже если А вполне определенное обычное
(не нечеткое) событие, ero вероятность Р (А) может Быьь опре-
делена плохо. Например, на вопрос «Какова вероятность Toro,
ЧТО через месяц средняя цена на акции фирмы «Доу
Джанс» будет выше?» было бы, по видимому, неразумно OДHO
значно отвечать числом, например 0.7. В этом случае неопре-
деленный ответ типа «вполне БepQятно» более соответствовал
нашему нечеткому пониманию динамики цен на акции и,
следовательно, более реалистично, хотя и менее точно, харак-
теризовал бы рассматриваемую вероятность.
, ,Оrраничения, обусловленные предположением о том, что
А Вполне определенное событие, можно устранить по край
вей мере частично, если допустить, что А может быть нечет-
КИМ событием, как это было сделано в [48]. Друrой и, воз-
МОЖНо, более важный шаr, который можно предпринять с целью
сделать теорию вероятностей применимой к плохо определен-
uы ситуациям, состоит в допущении Toro, что вероятность Р
может быть линrвистической переменной в смысле определе-
НИЯ, даццоro в 6. Ниже мы IiЗJ10ЖИМ в общих чертах, какИМ
114
7. Лuнzвuетuческuе верОЯТНОСТtt u усредненuя
образом это можно сделать, и исследуем некоторые элементар-
ные следствия, вытекающие из тoro, что вероятность Р линr-
вистическая переменная.
линrВИСТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Чтобы упростить изложение, будем рассматривать перемен-
ную Х с конечным универсальным множеством
И ==иI +и 2 +. ..+и п . (7.1)
Кроме Toro, будем предполаrать, что оrраничение, обуслов-
ленное Х, совпадает с U. Иными словами, любая точка в и
может быть выбрана в качестве значения переменной Х.
Каждому элементу Иj, i == 1, ..., n, мы поставим в соо1'-
ветствие ЛUН28uстuческую вероятность ff"/, которая является
булевой линrвистической переменной в смысле определения 5.9;
р/, О PI 1, базовая переменная для ff"/. Для определенно-
сти предположим, что универсальное множество V, соответ-
ствующее ff"/, представляет собой либо единичный интервал
(О, 1), либо конечное множество
V === 0+0.1 +. ..+0.9+ 1. (7.2)
Будем употреблять ff" в качестве общеrо названия перемен-
ных fI'/; типичное терм-множество для ff" имеет такой вид:
т (ff") == правдоnодобно + не nравдоnодобно +
+ неnравдоnодобно +
+ очень nравдоnодобно + более или .менее
nравдоnодобно + очень неnравдоnодобно + . . .
. .. + вероятно + невероятно + очень вероятно +
+ ни очень вероятно, ни очень невероятно +. ..
...+близ"о"О+близ"о"О.1 +.. .+близ"о" 1 + ...
о . . + очень близ"о " О + очень близ"о " 0.1 +. . . ,
(7.3)
rде термы nраflдоnодобно, вероятно и близ"о " иrрают
роль первичных термов.
Будем считать, что функция принадлежности нечеткоrо
множества nравдоnодобно имеет тот же вид, что и функция
принадлежности нечеткоrо мНожества истинно. (см. (6.2»,
а. функции принадлежности нечетких множеств не npaвдono
добно и неnравдоnодобно определим следующим образом:
/А-не правдопОдобно (Р) == 1 /A-праВдоподобно (р), (7.4)
/А-неправдоподобно (Р) == /A-правдопОдобно (1 р), (7.5)
rде р Q()щее названце переменных р,.
Линzвиетичеекuе вероятности
115
"
При м е р 7.1. rрафический пример смысла, приписывае-
101'0 термам nравдоnодобно. не nравдоnодобно, очень
lJiaвдоподобнои неnравдоnoдобно, приведен на рис. 7.1.
J-L
неnра600пооо6но
не праВ80по80бно
пl!a8IJoпo8odHO
I
I
I
vочень
......---1 праВlJопоообнt1
I
1
1
I
I
1
р
Рис. 7.1. Функции совместимости значений nравдоno-
iJобно, Н8 nравдоnодо6но, Н8nравдоnодо6но и 0'l8H6
nравдоnодо6но.
Численное выражение первичноrо терма nравдоподо6но имеет
вид
. npавдоnoдобно == 0.5/0.6+0.7/0.7 +0.9/0.8+ 1/0.9+ 111. (7.6)
откуда
'Нe tiравдоnодоБНО:=t 1/(0+0.1 +0.2+0.3+0.4+0.5)+
+0.5/0.6+0.3/0.7 +0.1/0.8, (7.7)
i,',,,еnравдоnoдо6но== 1/0+ 1/0.1 +0.9/0.2+0.7/0.з+0.5/0.4.
(7.8)
..."NЪ nравдоnoдо6но == О.25/О.6 + 0.49f(J.N--
+0.81/0.8+ 1/0.9+ 1/1. (7.9)
Будем- предполаrать, что терм вероятно более или менее
I'liо вимичен терму nравдоnодобно. Терм близко к а, rде а
ело из интервала [О, 1], будем записывать сокращенно как
М.. са» 1), считая, что а «наилучший пример» нечеткоrо
, "!, ,, _. .-
1) В кекоторых случаях в связи с rипоrрафскими трудностями вместо
будет употребля ться символ «а».
Itg
7. Лuне8иетичеекuе вероятности и усреднения
множества «а». Имея это ввиду, можно записать
правдоподобно близко к 1 «1»,
'маловероятно близко к О «О»,
близко к 0.8 «0.8» == 0.6/0.7 + 1/0.8 + 0.6/0.9,
(7.10)
(7.11 )
(7.12)
отсюда следует, что
очень близко к 0.8 == очень «0.8» ==
== (<<0.8»)2 (в смысле (5.38» ==
== 0.36/0.7 + 1/0.8 + О. 36/0.9.
Терм в Т (ff') будем обозначать через Р} или PJi в случае,
коrда двойной индекс необходим. Так, если Р 4 очень прав-
доподобно, то Р 43 обозначает, что терм очень правдоподобно
назначен в качестве значения линrвистической переменной ff'3.
Введем n-арную линrвистическую переменную (Р}, . . . , Р n),
которая представляет собой список значений ЛИНС8истических
вероятностей, соответствующий Х. Саму переменную Х будем
называть при этом линсвистической случайной переменной.
По аналоrии с распределениями значений истинности (см. (6.74»
совокупность списков значений линrвистических веРОЯТНdстей
будем называть распределением линевистических вероятностей.
Назначение переменной ff'i значения Р; можно выразить
равенством
ff'i==P;, (7.13)
rде ff'l используется как общее название нечетких перемен-
ных, составляющих ff'i. Например, можно писать
ff'з===Р 4 ==очень правдоподобно, (7.14)
rде очень правдоподобно можно отождествить с Р 43 (т. е. со
значениеr.. Р 4 , назначенным переменной ff'3)'
Важное свойство линrвистических вероятностей Р}, ..., Р n
СОСТоит В том, что они являются -взаимодействующими в смысле
определения 6.8. Взаимодействие между Р ; есть следствие
оrраничения (+ арифметическая сумма)
РI +Р2+.. .+Рn== 1,
(7.15)
в котором Р; базовые переменные (т. е. числовые вероятно-
сти), связанные с P i .
Более конкретно, пусть R (Р} +. . . + Рn == 1) обозначает нечет-
кое n-арНое отношение в (О, l]х...х[О, 1], представляющее
(7.15). Пусть, кроме Toro, R (P i ) обозначает оrраничение на
значения переменной Pt. Тоrда оrраничение, обусловленное
пиневuетичеекuе верояТност/
Н7
Й нечеткой переменной (Р 1 , ..., 'Р n ), можно записать
fR(Pl' . ., Р n )==R(Р 1 )х...хR(Р n )ПR(Рl+'''+Рn== 1). (7.16)
fhкуда следует, что без оrраничения (7.15) нечеткие перемен-
sнe Рl" . .'., Рn были бы невзаимодействующими.
Пример 7.2. Допустим, что.
Р 1 == правдоnoдобно == 0.5/0.8 +0.8/0.9 + 1/1, (7.17)
Р'1.==неправдоnoдобно== 110+0.8/0.1 +0.5/0.2. (7.18)
Тоrда
R (Р 1 ) xR (Р 2 ) == правдоподобно х неправдоподобно ==
== (0.5/0.8 + 0.8/0.9 + 1/1) х
х (1/0 + 0.8/0.1 + 0.5/0.2) ==
== 0.5;(0.8, О) + 0.8/(0.9, О) + 1/(1, О) +
+0.5/(0.8, 0.1) + 0.8/(0.9,0.1) + 0.81(1, 0.1) +
+ 0.5/(0.8, 0.2) + 0.5/(0.9, 0.2) + 0.5/(1, 0.2).
(7.19)
'i,ТO касается отношения R (Рl +. . . + Рn == 1), то ero можно
ыразить виде
(Pl+p'1.==I)== I/(k, l k), k-=O, 0.1, ..., 0.9, 1, (7.20)
k
и; образуя пересечение (7.19) и .<7.20), получаем
R(P 1 , P 2 )==1/(I,O)+0.8/(0.9,:.l)+0.5/(0.8, 0.2), (7.21)
{e. выражение для оrраничения, обусловленноrо составной
ременной (P 1 , Р 2 ). Ясно, что R (Р 1 , Р 2 ) состоит из тех чле-
J6в выражения для R (P 1 ) xR (Р 2 ), которые удовлетворяют
PrPаничению (7.15).
З а м е ч а н и е 7.3. Следует отметить, что оrраничение
;(Pl' Р 2 ) вида (7.21) является нормальным оrраничением
. (3.23». Это справедливо также и в более обшем случае,
дa P i имеют вид
Pi==«Qi», i==I, ..., n, (7.22)
tltf'h+...+Qn==l. Заметим, что в примере 7.2 мы имеем
Р 1 == «1»,
Р 2 == «О»,
1+0==1.
(7.23)
(7.24)
(7.25)
118
7. Линевuетичеекuе вероятности и усреднения,
ВЫЧИСЛЕНИЯ С линrВИСТИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ
Во мноrих приложениях теории вероятностей, например,
при вычислении средНИХ значений, дисперсий и т. П., часто
встречаются линейные комбинации вида (+ арифметическая
сумма)
z == alPl +... +аnрn,
(7.26)
rде al действительные числа, а PI значения вероятностей
из интервала [О, 1]. Если РI числа из интервала [О, 1], то
вычисление значения комбинации z при заданных ai и Pi не
представляет труДа. Однако оно становится нетривиальным,
коrда рассматрива мые вероятности являются линrвистическими
по своей природе, т. е. коrда
Z ==аlРl +. ..+аnРn, (7.27)
rде P i такие линrвистические значения вероятностей, как
правдоподобно, неправдоподобно, очень правдоподобно,
близко к а: и т. п. Соответственно Z не действительное
число, как в' (7.26), а нечеткое подмножество действительной
оси W ( oo, 00), причем функция принадлежности подмно-
жества. Z зависит от функций принадлежности P 1 .
В предположении, что нечеткие переменные Р 1, ..., Р n
невзаимодействующие (не считая оrраничения (7.15», оrрани-
чение, обусловленное набором (Р 1 ,..., Р n ), принимает вид
(см. (7.16»
R (Рl' ..., Р п ) ==R (Рдх.. .xR (Рn) n R (Рl +... + Рn== 1). (7.28)
Пусть f.t (Рl' ..., Рn) функция принадлежности оrраниче-
ния R (Р1' ..., Р n ), и пусть f.ti (PI) функция принадлежнnсти
оrраничения R (Рд, i == 1, ..., n. Тоrда, применяя принцип
обобщения (3.90) к (7.26), можно выразить Z в ВИде нечет-
Koro множества (+ @ арифметическая сумма)
Z == f.t (Рl, ..., pn)/(a 1 Pl +:.. + аnрn), (7.29)
W .
которое с уче:rом (7.28) можно записать как
Z == 111 (Рl) Л.. . л Iln (pn)/(alPl +. . . + аnРп) ,
W . ,
(7.30)
понимая при этом, что PI В (7.30) удовлетворяют оrраничению
Рl+...+рn==1. (7.31)
:rаким 'образом мы можем представить линейную комбинацию
значений линrвистических вероятностей нечетким подмноже-
ством действительной оси.
Вычuсленuя J ЛUН28иетичеек.имu вероятностями
119
Выражение для Z можно записать друrим более уяобным
IЛЯ вычислении способом. Так, пусть f.L (z) обозначает функ
РIO принадлежности множества Z, причем z Е W. Тоrда из
,, .30) следует, что
f.L (z) == V f.Ll (Рl) Л. ..Лf.LlI (Р1l)
Pi' "., Р "
(7.32)
и оrраничениях
z == аlРl +.. .+апр".
Рl +. "+Р1I== 1.
(7.33)
(7.34)
В:этом случае вычисление Z сводится к решению задачи нели
hйио ro проrраммирования с линейными оrраничениями. Более
I ';,:' , c,, 80 эту задачу можно сформулировать следующим образом:
", симизировать z при следующих оrраничениях (+ ариф-
.с. ическая сумма):
f.Ll (Рl) z,
f.L1I (Р1I) z,
z==a1Pl +.. .+а п РlI'
Рl +.. .+Рп== 1.
11 р и м"е р 7.4. Проиллюстрируем изложенное
мень простым примером. Предпо,!lOЖИМ, что
Рl == правдоподобно,
Р2 == неправдоподобно,
(7.35)
следующим
(7.36)
(7.37)
1
правдоподобно == f.Lправдоподобно (р)/р
о
(7.38)
неправдоподобно == lправдоподобно.
(7.39) ,
.. [см. (7.5)]
1U.раВдО1l0дОБНО (Р) == f.LправдопОдОбно (1 р), о :;;;;;; Р :;;;;;; 1. (7.40)
Jlpeдположим, что мы хотим вычислить математическое
ние (+ арифметическая сумма) вида
Z ==аl правдоподобно+ неправдоподобно. (7.41)
-тооьзуя (7.23), получаем
(z) == V !tllравдОlllIOобно (рl) Л!tнепраВдопОдОБНО (p ) (7..42)
Рll О2
120
7, Лuневиетuчеекие вероятности и усреднения
z == аlРl + а2Р2,
Рl + Р2 == 1.
Теперь с учетом (7.40), если Рl + Р2 == 1, имеем
правдоподобно (Рl) == неправдоподОбно (Р2),
и, следовательно, (7.42) сводится к
(z) == правдоподОбно (Рl),
z == аlРl + а\\ (1 Рl)'
или, в более явной форме,
(z) == f.Lправдоподобно ( ;:= ) . (7.46)
Из этоrо результата следует, что нечеткость нашеrо знания
вероятности Рl приводит к соответствующей нечеткости мате-
матическоrо ожидания (см. рис. 7.2)
z == аlРl + а2Р2'
Если предположить, что универсальное множество значений
вероятности есть V == о + 0.1 +. .. + 0.9 + 1, То выражение для Z
J1-
при оrраничениях
а2.
о
р
(7.43)
(7.44)
(7.45)
р-
p-(z)
j-'- пpQ8illn1l8tJtlHv
р
Рис. 7.2. Вычисление линrвистическоrо значения пере-
менной а1Рl + a.JJ2"
можно получить непосредственно, используя принцип обобще-
ния в форме (3.97). В качестве иллюстрации предположим, что
Рl == «0.3» == 0.8/0.2+ 1/0.3 + 0.6/0.4, (7.47)
p == «0.7» == 0.8/0.6 + 1/0.7 + 0.6;0.8 (7.48)
Усреднения по нечетКим ножее1вам
121
(Ее арифметическая сумма)
Z == аl Р l Е9 P2'
(7.49)
ре символ Е9 используется во избежание путаницы со зна-
ioM объединения.
, Подставляя (7.47) и (7.48) в (7.49), получаем
Z ==,al (0.8/0.2+ 1/0.3+0.6/0.4) Е9 а2 (0.8/0.6+ 1/0.7 + 0.6/0.8) ==
;. ';о::: (0.8/0.2аl + 1/0. 3а l + 0.6/0.4аl) Е9
Е9 (0.8/0. 6а 2 + 1/0.7 а2 + 0.6/0 .8а2)' (7.50)
Раскрывая скобки в правой части (7.50), следует иметь в виду
t)rраничение Рl + Р2 == 1, которое означает, что член вида
!А-l/Рlаl Е9!А-2/Р2а2 (7.51)
родится к
llplal Ее 1l2/ P'lfl2 ==
== { fA.l Л !А-2/(Рl а l Ее Р2 а 2) , если Рl + Р2 == 1, (7.52)
О в противном случае.
Таким образом, мы получаем
IF 1 /(0. 3а l Ее 0,7 а2) + 0.6/(0. 2а l ЕВ 0. 8а 2) +
.' + 0.6/(0.4аl Е9 О.6а2)' (7.53)
\ ,
,.. е. выражение для Z как нечеткоrо подмножества действи'
Joeльной оси w == ( oo, 00).
УСРЕДНЕНИЯ по НЕЧЕТИИМ МНОЖЕСТВАМ
,r ;urправной ТОчкой предшествующеrо изложения было npeAllo'
ение о том, что каждому элементу Щ конечноrо 1) универ-
.льноrо множества и ставится в соответствие значение Pj
iO:\ '/-_ > > \ u
rвистической вероятности, ,являющееся компонентои списка
i8aчений линrвисtических вероятностей (Р 1 , ..., Р h)'
В данном контексте нечеткое подмножество А множества и
tQ>aeт роль нечеткосо события. Пусть !А-А (щ) степень при-
OCТH и, нодмножеству А. Torдa eCJIH р, обыqныe
". ятности Pi, O Pi 1, то вероятность Р(А) события А
" еляется как (см. [48]) (+ арифметическая сумма)
Р (А) == fA.A (иl) Рl + ... +!А-А (и п ) Рп' (7.54)
...
(.
, . " . , .Т -) Предположение о тОМ, что и конечное множество, делается искJIЮ-
,", О В ЦeJIЯХ упрощения изложения. Вообще же lJ может быть счетным
" " м или коитинуумом
12
7. ЛиН2вuеtичеекие вероятности и усреднения .
Естественно обобщить это определение a линrвистические
вероятности, определив линrвистическую вероятность 1) соБыI
тия А как
Р (А) ==!1А (щ) Р 1 + '" +!1А (и п ) Р п, (7.55)
понимая при этом правую часть выражения (7.55) как линейную
форму типа (7.27). В связи с выражением (7.55) необходимо
,отметить, что из оrраничения
Рl + .,. + Рп == 1
(7.56)
на рассматриваемые вероятности и Toro, что
О !1A (ид 1, i == 1, ..., n,
следует, что Р (А) нечеткое подмножество интервала [О, 1].
При м е р 7.5. Проиллюстрируем сказанное очень простым
примером. Предположим, что
и ==а+Ь+с,
А == О.4а + Ь + 0.8с,
Р а == «0.3» == 0.6/0.2 + 1/0.3 + 0.6/0.4,
Р ь == «0.6» == 0.6;0.5 + 1/0.6+0.6/0.7,
Ре == «0.1» == 0.6/0+ 1/0.1 +0.6/0.2.
Тоrда (Ее арифметическая сумма)
Р(А) == 0.4 (0.6/9.2 + 1/0.3 +0.6/0.4) ElЭ (0.6/0.5 +
+ 1/0.6+0.6/0.7) Ее 0.8 (0.6/0+ 1/0.1 +0.6/0.2) (7.62)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
(7.60)
(7.61)
при оrраничении
Pl+P2+Pa== 1.
Выбирая такие члены в (7.62), которые
получаем'
(7.63)
удовлетворяют (7.63),
Р (А) == 0.6/(0.4 х 0.2 Е9 0.6 ElЭ 0.8 х 0.2) +
+ 0.6/(0.4 х 0.2 Е9 0.7 Е9 0.8 х 0.1) +
+ 0.6/(0.4 х 0.3 Е9 0.5 Е9 0.8 х 0.2) +
+ 1/(0.4 х 0.3 Е9 0.6 Е9 0.8 х 0.1) +
+ 0.6/(0.4 х 0.3 Е9 0.7) +
+ 0.6/(0.4 х 0.4 ElЭ 0.5 Е9 0.8 х 0.1) +
+ 0.6/(0.4 х O. Е9 0.6), (7.64)
1) Следует отметить, что выражение (7.55) определяет Р (А) как нечет-
кое подмножество интервала [О, 1). В общем случае ДЛЯ тoro, чтобы выра-
зить Р (А) как значение линrвистической вероятности, требуется линrвисти-
ческав аип роксимаll.ИЯ.
Усреднения по нечетким множествам
123
1dJ.8
)Р:(А) == 0.6/(0.84 + 0.86 + 0.78 + 0.82 + 0.74) + 1/0.8. (7.65)
lIIItP8Жение (7.65) можно rрубо аппроксимировать равенством
Р (А) == «0.8». (7.66)
Линrвистическую вероятность нечеткоrо события, выражен-
IJW ( . " , ' , ' ., . , ..,... формулой (7.55), МОЖНо рассматривать как частный случай
06щеrо понятия, а именно лиНС8исmическоео среднесо, или,
10. ТО ,же самое, лWtевuсmическоео м,аmемаmическоео ожидания
",с ции (определенной на И) по нечеткому подмножеству MHO
ваи. Более конкретно, пусть f определенная на U функция,
нимающая .ц,ействительные значения; пусть А нечеткое под-
.еСТВО множества и, и пусть Р 1 , ..., Р n линrвистические
$rrности, соответствующие иl, ..., и n . Тоrда ЛUНС8исmическое
" функции f по А обозначается как Ср (f; А) и опреде
.,," следующим образом (+ арифметическая сумма):
Ср (f; А) == f (иl) fLA (иl) Р 1 + . .. + f (и n ) fLA (и n ) Р n' (7.67)
. им следующий конкретный пример выражения (7.67).
ожим, что люди С именами иl. ..., и n выбираются
'ствии с линrвистическими вероятностями Р 1 , ..., Р n ,
оrраничение иа р/, i == 1, ..., n. Предположим, что
Наклад вается штраф в размере f (ид, уменьшенном
онально степени принадлежности и, классу А. Тоrда
стический средний (ожидаемый) размер штрафа выра-
формулой (7.67).
еч а н и е 7.6. Отметим, что (7.67) по существу является
комбинацией вида (7.27), rде
. а/ == f (щ) fLA (ид. (7.68)
'. 06раэо , ЧТобы вычислить (7.67), Можно использовать
описанный ранее для вычисления линейных форм в линr-
их вероятностях. В частности, слеДУе'l' отметить, что,
Коrда f (и/) == 1, правая часть (7.67) имеет вид
fLA(Ul)P 1 + ... +fLA(Un)P n (7.69)
Л; А) сводится к Р (А).
IPoме выражеция для Р (А) выражение (7.67) содержит
, в качестве частных случаев и выражения для друrих
средних, встречающихся в различных приложениях.
'.них существуют два типа, которые можно рассматривать
рожденные формы (7.67) и которые часто встречаются
rих эадачах, представляющих практический интерес.
МЫ кратко остановимся на ЭТИХ типах средних н для
124
7. Линевиетичее"ие вероятности и уереонения
удобства сформулируем их определения в форме ответов
на вопросы.
В оп р о с 7.7. Каково число элементов в данном нечетком
множестве А? Очевидно, этот вопрос поставлен некорректно,
поскольку в случае нечеткоrо множества не eCTByeT четкой
rраницы между принадлежностью и непр.длежностью эле-
мента множеству. Тем не менее понятие .мощности нечеткоrо
множества [49], определяемое как
IA 1 А(ид,
i
(7.70)
является естественным обобщением понятия числа элементов А.
Для иллюстрации предположим, что U универсальное
множество жителей в rороде, а А нечеткое множество безра-
ботных в этом rороде. Если интерпретировать A (щ) как сте-
пень принадлежности человека и; классу безработных (напри-
мер, A (ид =::: 0.5, если и; занят половину рабочеrо времени и
ищет работу с полным рабочим днем), то I А I можно интерпре-
тировать как эквивалентное число полностью безработных.
В оп р о с 7.8. Предположим, что f функция, принимающая
действительные значения и определенная на и. Каково среднее
значение f на нечетком подмножестве А множества И?
Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в выра-
жении (7.67). Пусть Ср (f; А) обозначает среднее значение
функции f на А. Если бы А было обычным (не нечетким)
множеством, то Ср (f; А) выражалось бы формулой
Щ А f(щ)
Ср (f; А) == I А I ' (7.71)
rде обозначает суммирование по тем Щ, которые при.
ujEA
надлежат А, а I А I число этих элементов., Чтобы обобщить
(7.71) на нечеткие множества, заметим, что (7.71) можно пере-
писать так:
u}iuf(UдJ.LА(Uд
Ср ({; А) == 1: . (7.72)
u,еu ""А(ид
rде A характеристическая функция множества А. Тоrда (7.72)
можно принять в качестве определения Ср (f; А) дЛЯ неч.еткreо
множества А, если интерпретировать A (ид как степень при-
надлежности .щ множеству А. При этом мы ПрИХQДИМ К BЫp -
Уередненuя по нечет"uм множествам
12!
.т ю для Ср (f; А), которое можно рассматривать как частныi
8tiай выражения (7.67).
Проиллюстрируем (7.72) следующим примером. Предполо.
-М. что и полное множество жителей в rороде и А нечет.
. подмножество молодых жителей; кроме Toro, предположим,
.,1(ид аработок жителя Ui' Тоrда сре ний заработок моло-
I.IX жителе и rорода выражается формулои (7.72).
3 а м е ч а н и е 7.9. Поскольку выражение для I А I есть
Е ' ейная форма переменных IlА (Ui), мощность нечеТкоrо MHO
, ва типа 2 (см. определение 3.22) МОЖно леrко Подсчитать
' },Цом, которым мы Пользовались ранее для Вычисления Р (А).
::лучае Ср (f; А), однако, мы имеем дело с отношением
_йных форм,и, следовательно, вычисление Ср (f; А) дЛЯ
"""ких множеств типа 2 представляет собой более трудную
_чу. .
Целью предыдущеrо Изложения было показать, что понятие
.rвистической переменной служит основой для определения
lIoятностей и в сочетании с ПРинципом обобщения может
" , . ,. ,t) использовано для вычисления линейных комбинаций
.:' х вероятностей. Мы не будем больше останавливаться
этом вопросе и в последующем ИЗложении обратlЦ\f внима-
If: на ОСновное правило вывода внечеткой лоrике.
8. КОМПОЗИЦИОННОЕ ПР ДВИЛО ВЫВОДА
И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Основным правилом вывода в традиционной лоrике является
правило modus ponens, c6r ласно которому мы можем судить
об истинности высказывания В по истинности высказывания А
и импликации А=> В. Например, если А высказывание
«ДЖЩI В rоспитале», В высказывание «Джон болен», то если
истинно высказывание «Джон в rоспитале», то истинно и выска-
зывание «Джон болею>. /
Во мноrих привычных рассуждениях, однако, правило modus
ponens используется не в точной, а в приближенной форме.
Так, обычно мы знаем, что А истинно И j ТО А*=>В, rде А*
есть, в некотором смысле, приближение . Тоrда из А * ===> В
мы можем сделать вывод о том, что В приближенно истинно.
Ниже мы обрисуем способ формализации приближенных
рассуждений, основанный на понятиях, введенных в Предыду-
щих параrрафах. Однако в отличие от традиционной лоrики
нашим rлавным инструментом будет не правило modus ponens,
а так называемое композиционное правило вывода, весьма част-
ным случаем котороrо является правило modus ponens.
КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО ВЫВОДА
Композиционное правило вывода это Bcero лишь обобще-
иие следующей знакомой процедуры. Обращаясь к рис. 8.1,
предположим, что имеется кривая у == f (х) и задано значе-
ние х == а. Тоrда из тоrо,ЧТО у == f (х) и х == а, мы можем
заключить, что у ь == f (а).
Обобщим теперь этот процесс, предположив, что а ннтервал,
а f (х) функция, значения которой суть интервалы, как на
рис. 8.2. В этом случае, чтобы найти интервал y b, соответ-
ствующий интервалу а, мы сначала построим цилиндрическое
множество (i с ОСНОВflнием а (см. (3.58» и найдем ero пересе-
чение 1 с кривой, значення которой суть интервалы. Затем
спроектируем это пересечение на ось ОУ и получим желаемое
значение у в виде интервала Ь. .
Чтобы продвинуться еще на один шаr по пути обобщения,
предположим, что А нечеткое подмножество оси ОХ, а F
Композиционное правило вывооа
127
нечеткое отношение в QX х ОУ. Вновь образуя цилиндрическое
нечеткое множество А с основанием А и ero пересечение
с нечетким отношением F (см. рис. 8.3), мы получим нечеткое
у
f(x)
IJ
с
а
х
Рис. 8.1. ВЫВОД у==Ь из предпосЫJIОК х==а
и у,=,! (х).
множество А n Р, которое является аналоrом точки пересече-
ния 1 на рис. 8.1. Проектируязатем это множество на ось ОУ,
получим значение у в виде нечеткоrо подмцожества оси ОУ.
IТаким образом, из T6ro, что у == f (х) и x А == нечеткое под-
у
I
{
о
с1
х
Рис. 8.2. ИЛJIЮстрация КОМПОЗИЦИОdНОro правила вы.
вода в случае переменных со значениями-интервалами.
множество оси ОХ, мы получаем значеЮ.е у в виде нечеткоrо
подмножества В оси ОУ.
Б )Лее конкретно, пусть f.LA' ..А..4' f.Lp и f.L.d обозначают функ-
-пни принадлежности множеств А, А, F и В соответственно.
128 8. Комnозuциоююе nравuло вывода и приближенные рассуждения
Тоrда по определению множества А (см. (3.58»
f.LA (х, у) == f.LA (х)
и, следовательно,
f.LA nF (х, у) == f.LA (х, у) Л f.LF (х, у) ==
== f.LA (х) Л f.LF (х, у). (8.2)
Проектируя Iмножество А n F на ось ОУ, получаем из (8.2) и
(3.57):
(8.1)
f.LB (у) == V f.LA (х) Л f.LF(X, у),
х
(8.3)
т,! е. выражение для функции принадлежности проекции (тени)
А n F на ось, ОУ. Сравнивая это выражение с определением
{ ' ,У .,..... ....:.. . r --t':..... .
.",,
8 ,,' .-'-
. "
. ...., ... An'"
/ """ I I '
. I I
/ 1.....,....,
/ I I А
I I
о
х
,
А
Рис. 8.3. Иллюстрация композиционноrо правила
вывода для нечетких переменных.
компЬЗиции А и F (см. (3.55», видим, что множество В можно
представить как
В==АоР,
.(8.4)
rде знак о обозначает операцию композиции. Как утверждается
в 3, если нечеткие множества А и F имеют конечные носи-
тели, то операция композиции сводится к максминному про-
изведению матриц.
Пр}f м е р 8.1. ПредпоЛожим, чтЬ А и F имеI6т вид
А == 0.2/1 + 1/2 + 0.3/3
F == 0.8/ (1,1) + 0.9/ (1,2) + 0.2(1 ,3) +
+0.6/ (2,1) + 1/ (2,2) +0.4/ (2,3) +
+ 0.5/ (3.1)+ 0.8/ (3,2) + 1/ (3,3).
(8.5)
и
.:(8.6)
Кo.мnоэиЦU()н'1Iff1e пpaвuм> вывода
129
Выражая А и F с помощью матриц и образуя матричное
произведение (8.4), получаем
А [ 0.8 0.9 0.2 1 В
[0.2 1 0.3]. 0.6 1 0.4 == [0.6 1 0.4).
0.5 0.8 1 J
(8.7)
Вышеизложенные замечания и примеры помоrают обосновать
следующее правило Вывода.
Пр а в и л о 8.2. Пусть и и v два универсальных MHO
жества с базовыми переменными u и v соответственно. Пусть
R (и), R (и, а) и R (и) обозначают оrраничения на и, (и, и) и
v соответственно и представляют собой нечеткие отношения
в и, их v и v. Пусть А и Р нечеткие подмножества MH '
жеств и и их v. Тоrда композuцuонноеправuло вывода утвер-
ждает, что решение уравнений назначения
R(u)==A, (8.8)
R (и, и)==Р (8.9)
имеет вид
R(v)==A.F, (8.1 О)
rде А.Р композиция А и Р. В этом смысле мы можем
делать вывод R (и) == А.Р из Toro, что R (и) == А и R (и, а) ==Р.
В качестве простой иллюстрации применения этоrо правила
предположим, что
и == v == 1 +2+3+4,
А == .малый == 1/1 + 0.6/2 + 0.2/3
(8.11)
(8.12)
и
Р == при.мерно раВНЫ ==
== 1/ (1,1) + 1/ (2,2) + 1/ (3,3) + 1/ (4,4) +
+ 0.5/ « 1 ,2) + (2,1) + (2,3) + (3,2) + (3,4) + (4.3». (8.13)
Друrими словами, А унарное нечеткое отношение в И, наз-
ванное .малый, F бинарное нечеткое отношеиие в Их v,
:названное примерно равны.
у равнения назначения в этом случае имеют вид
R (и) == .малый,
R (и, а) == при.мерно равны.
(8.14)
(8. 15)
11.0 л. Заде
130 8. Композиционное nраВИАО вывода и nриБАиженные рассуждения
и, следовательно,
R (v) == ,м,алый. при,м,ерно равны ==
== [1 0.6 0.2 О] о l b.5 .5 ,5 ] == [1
О 0.5 1 0.5
О О 0.5 1
0.6 0.5 0.2],
(8.16)
что можно аппрокси:мировать следующим образом:
R (v) == более или ,м,енее ,м,алый,
если терм более или ,м,енее определяется как
увеличения нечеткос:ти (см. (3.48», rде
К (1):::: 1/1 + 0.7/2,
к (2) == 1/2 + 0.7/3,
К(3)== 1/3+0.7/4,
К (4) == 1/4.
Заметим, что применение этоrо оператора к R (и) дает
[1 0.7 0.42 0.14] (8.19)
в .качестве аппроксимации набора [1 0.6 0.5 0.2].
Итак, используя композиционное правило вывода, из Toro,
что R (и) == ,м,алый и R (и, v) == при,м,ер1Ю равны, мы вывели,
что
(8.17)
оператор
(8.18)
R (v) == [1 0.6 0.5 0.2] точно
(8.20)
и
R (v) == более или ,м,енее ,м,алый в качестве линr-
вистическоrо приближения. (8.21)
Словами этот приближенный вывод можно записать в виде
u ,м,алый . предпосылка
u и v при,м,ерно равны предпосылка
v более или ,м,енее ,м,алый приближенный вывод
Основная идея этоrо схематически описанноrо метода состоит
в следующем. Каждый факт или предпосылка записывается
в виде уравнения назначения в отношениях, содержащеrо
одно или большее число оrраничений на базовые переменные.
Эти уравнения решаются относительно желаемых оrраничений
при помощи композиции нечетких отношений. Получаемые
решения и представляют собой вывод из даННоrо набора
предпосылок.
(8.22)
Правило modus ponens
131
ПР АВИЛО MODUS PONENS КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАИ
композиционноrо ПРАВИЛА ВЫВОДА
Как мы увидим ниже, правило modus ponens можно рас-
сматривать как частный случай композиционноrо правила
вывода. Чтобы установить эту связь, мы сначала обобщим
понятие материальной импликации с пропозициональных пере-
менных на нечеткие множества.
В традиционной лоrике материальная импликация опре-
деляется как лоrическая связка для пропозициональных пере
менных. Так, если А и В пропозициональные переменные,
то таблица истинности для А В, или, что эквивалентно,
ЕСЛИ А, ТО В, записывается в таком виде (см. табл. 6.8):
Таблица 8.4
>z т F
Т Т F
F Т Т
В обычных рассуждениях, однако, выражение ЕCJIИ А,
ТО В употребляется в ситуациях, в которых А и В нечет-
кие множества (или нечеткие предикаты), а не пропозициональ-
ные переменные. Например, в случае высказывания ЕCJIИ
Джан болен, ТО Джон капризен, которое можно сокращенно
записать как болен капризен, болен и капризен в сущ-
ности названия нечетких множеств.
То же самое справедливо по отношению к высказыванию
ЕCJIИ яблоко красное, ТО яблоко спелое, rДе красное и
спелое иrрают роль нечетких множеств.
Чтобы обобщить понятие материальной импликации на нечет
кие множества, предположим, что и и v два возможно
различных универсальных множества, а А, В и С нечеткие
подмножества и, v и V соответственно. Сначала определим
смысл высказывания ЕCJIИ А, ТО В, ИНАчЕ С и затем опре
целим ЕСЛИ А, ТО В как частный случай высказывания
ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С.
Определение 8.3. Высказывание ЕCJIИ А, ТО В,
НАЧЕ С есть бинарное нечеткое отношение в ИХ V, оп ре-
целяемое следующим образом:
ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ C==AxB+1AxC. (8.23)
1125*
132 8. Композиционное nравиАО вЫ80да и 1ЦJuближенные рассуждения
Т о есть если А, В и С унарные нечеткие отношения в и,
v и V, тоrда ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С бинарное нечеткое
отношение в U Х У, которое является объединением декартова
произведения А и В (см. (3.45» и декартова произведения
отрицания А и С.
Далее высказывание ЕСЛИ А, ТО В можно рас матривать
как частный случай высказывания ЕСЛИ А, то В, ИНАЧЕ
С при допущении, что C полное множество V. Таким образом,
ЕСЛИ А, ТО B ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ V==
==AxB+lAxV. (8.24)
В сущности это равнозначно интерпретации высказывания
ЕСЛИ А, ТО В высказыванием ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ
безразлич1Ю 1). .
Полезно заметить, что в терминах матриц отнощения А,
В и С равенство (8.23) можно выразить как сумму. попар-
ных произведений, содержащих А и В (и l А и с) в виде
вектор столбца и вектор-строки соответственно. Так,
ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С {А][В]+ПА][С]. (8.25)
При м ер 8.4. Проиллюстрируем (8.23) и (8.24) следующим
примером. Предположим, что
и == v == 1 + 2 + 3,
А == .малый == 1/1 + 0.4/2,
в ==большой == 0,4/2+ 1/3,
С == не большой == 1/1 + 0.6/2.
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
Тоrда
ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ C==(I/1+0.4/2)x(G.4/2+1/3)+
+ (0.6/2 + 1/3) х (1/1 + 0.6/2) ==
==0.4/(1,2)+ 1/(1,3)+0.6/(2,1) +
+ 0.6/ (2,2) + 0.4/ (2,3) +
+ 1/ (3,1) + 0.6/ (3,2), (8.30)
ЧТО можно представить в виде матрицы отношения
[ О 0.4 1 ]
ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С== 0.6 0.6 0.4 .
, 1 0.6 О
(8.31)
1) Друrая ннтерпретация, которая соrласуется с определением импли-
кации Лукасевича [46}, имеет вид: ЕСЛИ А, ТО В l (А Х У) EiЭ (И х В),
rде операция EiЭ (оrраниченная сумма) так определяется ДЛЯ нечетких мно-
жеств Р, Q: !1 P(JJQ == 1 !\ (11 Р + !1Q)' rAe знак + обозначает арифметическую
сумму. В общем случае ЕСЛИ А, ТО В. ИНАЧЕ С П(АхV)Е9(UХВ»f1
n «Ах У) Ее (ИхС».
п РОдило 1п04lиs рмеns
1'33
Аналоrично
ЕСЛИ А, ТО В == (1/1 + 0.4/2) х (0.4/2 + 1/3) + (0.6/2 + 1/3) х
х (1/1 + 1/2+ 1/3) ==
== 0.4/ (1,2) + 1/ (1,3) +0.6/ (2,1) + 0.6/ (2,2)+
+0.6/ (2,3) + 1/ (3,1) + 1/ (3,2) + 1/ (3,3).
или, эквивалентно,
[ О 0.4 1 ]
ЕСЛИ А, ТО В == 0.6 0.6, 0.6 .
111
(8.32)
3 а м е ч а н и е 8.5. Следует отметить, что в определении
вы}казыыанияя ЕСЛИ А, ТО В мы неявно предполаrали, что
А и В невзаимодеиствующие в том смысле, что не сущест-
вует оrраничения, со ржащеrо одновременно базовые перемен
ные U и V. Этоrо не будет в случае обычноrо (не нечеткоrо)
высказывания ЕСЛИ U Е А, ТО U Е В, которое можно Bыpa
зить как ЕСЛИ U Е А, ТО V Е В при выполнении оrраниче-
ния U == V. Если обозначить это оrраничение через R (и == v), отно-
шение, представляющее рассматриваемое высказывание, будет
иметь вид
ЕСЛИ ИЕА, ТО uEB (AxB+l А xV) n (R(u==v». (8.33)
3 а м е ч а н и е 8.6. В определении отношения А В мы
полаrали, что ЕСЛИ А, ТО В есть 'частный случай высказы-
вания ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С при с== V. Если мы поло-
жим С равным в (пустое множество), а не V, то правая часть
(8.23) сведется к декартову произведению А х В, которое можно
интерпретировать как А СПАРЕННОЕ С В (а не А ВЛЕЧЕТ В).
Так, по определению
А СПА ЕННОЕ С В А х В (8.34)
и, следовательно,
А В А СПАРЕННОЕ С В плюс 1 А СПАРЕННОЕ С V
(8.35)
В общем случае выражение вида
А 1 хВ 1 + ... +АпХВ п
(8.36)
описывается словами следующим образом:
А 1 СПАРЕННОЕ С Вl, плюс... плюс А п СПАРЕННОЕ С В п .
(8.37)
Следует заметить, что выражение типа (8.37) можно исполь-
зовать для представления нечеткоrо rрафика как объединения
134 8. Композиционное правило вывода и приближенные раееуждепия
нечетких точек (см. рис. 8.4). Например, нечеткии rрафик G
можно представить в виде
G == «иl» Х «иl» + «и2» Х «и2» + .., + «и n » х «и n », (8.38)
rде и/ и и/ точки В U н V соответственно, а «и/» и «и/»,
i == 1, .... n, представляют собой нечеткие множества с назва-
ниями близко к и; и близко к v[ (см. (7.12».
v
и п
«и 1 »Х(Ф1»
\ «t.Ln»x«vп>
, .......\
= ...+-, J /'
I ' '1--/ ( ,
rl ) I \ )
'1-- I ....... ,
.j... r {.., J
I 1. ....j.,./
I I 1
I I I
1I
V 2
и 1
и 1
t.L z
t.L л
Рис. 8.4. Представление нечеткоrо rрафика
как объединения нечетких точе
3 а м е ч а н и е 8.7 Связь между выражением (8.24) и обще-
прннятым;определение материальной импликации становится
яснее, если учесть, что
l А х В с l А х V, (8.39)
и, следовательно, выражение (8.24) можно переписать в виде
ЕСЛИ А, ТО В == А х В + l А х В + l А х V /
==(A+lA)xB+lAxV. (8.40)
Далее, если А обычное (не нечеткое) подмножество и, то
A+lA==U, (8.41)
и, следовательно, ЕСЛИ А, ТО В сводится к
ЕСЛИ А, ТО В == U х В + l А х V.
(8.42)
Это выражение аналоrично по форме известному выраже
нию для А В в случае пропозициональных переменных, а
именно
A B==lAVB.
(8.43)
Переходя к 'рассмотрению связи между правилом modus
ponens и композиционным правилом вывода, определим сначала
обобщенное правило modus ponens.
Правило тodиs ponens
135
Оп р е Д е л н и е 8.8. Пусть А1, А 2 И В нечеткие подмно
жества множеств и, и и V COOTBeTCTB HHO. Предположим,
что значение А 1 назначено оrраничению R (и), а отношение
А 2 В (определенное по формуле (8.24» назначено оrрани
чению R (и, v), т. е. '
R (и) == А1'
R (и, v) == А 2 В.
(8.44)
(8.45)
Как было показано раньше, эти уравнения назначения в OTHO
шениях можно разрешить относительно оrраничения на v
следующим образом:
R (v) == А 1 о (А 2 В).
(8.46)
Выражение этоrо вывода в форме
А 1 предпосылка (8.47)
А 2 B импликация (8.48)
А 1 о (А 2 В) вывод (8.49)
и составляет формулировку обобщеftftоео правила modus ponens 1).
3 а м е ч а н и е 8.9. Приведенная формулировка отличается
от традиционной формулировки правила modus ponens в двух
отношениях: во-первых, здесь допускается, что А1, Аз и В
нечеткие множества, и, BO BTOpЫX, А 1 необязательно идентично
А 2 . Чтобы рассмотреть случай, коrда А 1 === А 2 === А и А не
нечеткое множество, подстзвим выражение дЛЯ А 2 В В урав-
нение (8.46). В результате получим
А о (А В) >= А . (А х В + lA х V) ===
===АrАсВr+АrПАс) V ro (8.50)
rде вместо обозначении строка и. столбец употребляются обо
значения r и с соответственно; Ar и Ас обозначают матрицы
отношения дЛЯ А, имеющие вид вектор строки и вектор-столбца
соответственно; произведение . матриц понимается как максмин-
ное произведение.
Далее, поскольку А обычное (не, нечеткое) множество, то
Ar пАс) === О,
и поскольку А нормальное множество (см. (3.23»,
ArAc === 1.
(8.51)
(8.52)
1) Обобщенное правило modus poпeпs, определение KOToporo дано
здесь, не имеет отношения к вероятностным правилам вывода. Обсуждение
,таких правил и связанных с Ю!МIl IЮПрОСОll можно найти в работе [50]
136 8. Композиционное правило вывода и приближенные рассуждения
Следовательно,
Ао(А=>В)==В,
(8.53)
что находится в соответствии с выводом, который получается
по праВИЛУ modus ропепs.
При м е р 8.10. Проиллюстрируем (8.49) простым примером.
Предположим, что
и == V == 1 +2+ 3, (8.54)
А 2 == малый == 1/1 + 0.4/2, (8.55)
.41 == более или менее малый == 1/1 + 0.4/2 + 0.2/3, (8.56)
В == большой == 0.4/2 + 1/3. (8.57)
Тоrда (см. (2.32»
малый=>большой [ .6 :: Н (8.58)
и
более или менее малый о (малый => большой) ==
== [1 0.4 0.2] о [ .6 : .6 ] == [0.4 0.4 1], :(8.59)
1 1 1
rрубым приближением KOToporo может быть более или менее
большой. Таким образом, в рассматриваемом случае обобщен-
ное правило modus ропепs дает
u более или менее малый предпосылка
если u малый, то v большой импликация
v более или менее большой приближенный вывод
(8.60)
3 а м е ч а н и е 8.11. Вследствие определения А => В в виде
А => В == А Х В + lA х V
степень принадлежности точки (и, v) нечеткому множеству
'А => В будет высокой, если мала степень принадлежности u
множеству А. Это приводит К тому, что если А нечеткое
множество, 'то множества А х В и lA х V перекрываются, при
чем вывод из предпосылок А и А => В есть не В, а 1)
Ao(A=>B)==B+Ao(lAXV), (8.61)
rде член А о ПА Х V) появляется в связи с этим перекрытием.
1) Мы предполаrаем, что А HOpMaJlbHO, так что ArAc == 1.
Нечеткие теоремы
137
Чтобы избежать этоrо явления, возможно придется опре-
делить А => В способом, при котором различаются численные
значения истинности из интервала [О, 1] и такое значение
истинности, как неизвестно (см. (6.52». Следует отметить
также, что для высказывания А СПАРЕННЫЙ С В (см. 8.34»,
мы имеем
А.(А СПАРЕННЫЙ С 8)==В,
(8.62)
если А нормальное нечеткое множество.
НЕЧЕТКИЕ ТЕОРЕМЫ
Под нечеткой теоремой или утверждением мы понимаем
утверждение общеrо вида ЕСЛИ А, ТО В, значение истинно-
сти KOToporo есть истинный в приближенном смысле и кото-
рое можно вывести из системы аксиом при помощи прибли-
женных рассуждений, например путем повторноrо применения
обобw.еННОI:О правила modus ponens или аналоrичных правил.
А
А
(]
с
8
8
М 1
М 1
Рис. 8.5. Теорема из эле-
ментарной rеометрии.
Рис. 8.6. Нечеlкая reометрическая
теорема.
в качестве неформальной иллюстрации понятия нечеткой
теоремы рассмотрим теорему элементарной rеометрии, которая
утверждает, что если Ml' М 2 и Мз середины сторон тре-
уrольника (I:M. рис. 8.5), то прямые AMl' ВМ 2 и СМ з пере-
се каются в одной точке.
Нечеткую модификацию зтой теоремы можно представить
следующим образом:
Нечеткая теорема 8.12. Пусть АВ, ВС и CA npи-
мерно прямые линии, которые образуют примерно paвHocтo
ронний треуеольник с вершинами А, В, С (см. рис. 8.6). Пусть
Ml' М 2 и МЗ примерно середины сmoрон ВС, СА и АВ
соответственно. Тоеда примерно прямые линии AMl' ВМ 2
и СМ з образуют примерно треуеольник TIT2Tз, который
138 8. Композиционное правило вывода и приближенные рассуждения
более или .менее (более или ..менее ..мал) относительно
треуеОЛЬ1lика Аве.
Прежде чем приступить к «доказательству» этой нечеткой
теоремы, мы должны уточнить смысл выражений примерно
прямая линия, примерно середина и т. п. Под примерно
прямой линией АВ мы будем понимать любую кривую, про-
ходящую через точки А и В, такую, что расстояние любой
точки кривой от прямой линии АВ мало по отношению к длине
АВ. Если обратиться к рис. 8.7, то сказанное означает, что
[' '
........, '-./ 8
Рис. 8.7. Опре.ll.еление примерно прямой линии.
А,
с
8
Рва. 8.8. Иплюстрация приближенноro .II.0каэатель.
ства нечеткой теореМЫ.
мы назначаем линrвистическое значение ..малый расстоянию а,
интерпретируя d как нечеткую переменную.
Пусть (АВ)О обозначает прямую линию АВ. Тоrда под
примерно средней точкой АВ мы понимаем точку на АВ, рас-
стояние которой от M середины (АВ)О ..мало.
Вернемся к формулировке нечеткой теоремы. Пусть o
пересечение прямых линий (AM )O и (BM )O (рис. 8.8). По-
скольку предполаrается, что M 1 примерно середина ве, то
расстояние от M 1 дО M ..мало. Следовательно, расстояние
от любой точки на (AM1)O дО (AM )O ..мало. Далее, так как
расстояние от любой точки на AM 1 дО (AM1)O ..мало, то рас-
стояние 01 любой точки на АМ 1 дО (AM )O более или ..менее
мало.
rрафичеекое представление блок-схемами
139
Те же рассуждения применимы к расстоянию от точек на
ВМ 2 дО (BM )O. Затем, принимая во внимание, что уrол между
(АМ 1 )О и (ВМ 2 )О составляет примерно 120°, заключаем, что
расстояние от точки пересечения линий АМ 1 и ВМ 2 ДО точки О
(более или менее)2 .мало (т. е. более или .менее (более
или .менее .мало». Отсюда следует, что расстояние между
moбой вершиной треуrольника Т 1 Т 2 Т З и точкой О (более или
.менее) 2 мало. Именно в этом смысле треуrольник Т 1 Т 2 Т З
(более или менее)2 мал по отношению к треуrОЛЬJ{ИКУ Аве.
Приведенное выше рассуждение является приближенным и
качественным по своей природе. В качестве отправной точки
в нем используется тот факт, что прямые АМ1' ВМ 2 и ем з
пересекаются в точке О, а рассуждение опирается на качествен-
ное представление о непрерывности. Ясно, что «доказательство»
было бы длиннее и сложнее, если бы нам пришлось начинать
с основных аксиом евклидовой reометрии, а не. с теоремы,
которая служила нам отправной точкой.
То, что мы на данном этапе в состоянии сказать о нечет-
ких теоремах, имеет весьма предварительный инезавершенный
характер. Тем не менее они представляются нам весьма заман
чивой областью исследований и MorYT оказаться полезными
в различноrо типа плохо определенных процессах приня-
тия решений.
rp АФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЛОК-СХЕМАМИ
Как отмечалось в работе [7], при описании и реализации
нечетких алrоритмов часто бывает очень удобно определять
отношения между переменными и при-
сваивать им конкретные значения с
помощью блок-схем.
В дальнейшем мы не будем каеаться
мноrих сложных вопросов, связанных
с описанием и реализацией нечетких
алrоритмов. Наша цель --- лишь уяснить
роль, которую иrрают блоки решений
IIрименительно не к обычным (не не-
четким), а нечетким предикатам, связав
их с назначением оrраничений на ба-
зовые переменные.
В обычной блок-схеме блок реше-
ния типа блока А на рис. 8.9 соответ-
ствует одноместному 1) предикату А (х). Рис. 8.9. Нечеткий блОВl
Так, переход из точки 1 в точку 2 решения.
1
.:с
Нет
.%
1) Для проототы МЫ не будем рассматривать блоки решеllиа более чем
. одним BX0.ll0M И .llВумя ВЫХО.llами. '
140 8. Комnозицион.н.ое правило вывода и nриближен.н.ые раееужден.ия
означает, что А (х) истинно, в то время как переход из
точки 1 в точку 3 означает, что А (х) ложно.
Понятия, введенные в предыдущих параrрафах, лежат
в основе обобщения понятия блока решений применительно
к нечетким множествам (или предикатам). В частности, имея
в виду рис. 8.9, предположим, что А нечеткое подмножество
множества и и что вопрос, соответствующий
блоку решения, имеет вид: «Является ли
Х А?», например «является ЛИ Х малым?»,
rде х общее на ание входной переменной.
Блок-схемы с блоками решения TaKoro типа
будем называть нечеmкими блок-схемами.
Если ответом является просто ДА, то мы
назначаем оrраничению на х значение А,
т. е. полаrаем
R (х) == А, (8.63)
и переводим х из 1 в 2.
I С друrой стороны, если ответом является
Да: НЕТ, мы полаrаем
I
I
Нет R (х) == lA (8.64)
и переводим х из 1 в 3.
Если, например, А t:,. малый, то урав-
Да нение (8.63) примет вид
п+1 R (х) == малый. (8.65)
1 1
Нет
Нет
Рио. 8.10. После-
довательное соеди-
нение блоков ре.
шения.
Если ответом является ДА/Jl, rде О Jl
1, то мы переводим х в точку 2, за-
ключив, что степень принадлежности х
множеству А равна Jl. Кроме Toro, мы пе-
реводим х в точку 3, заключив, что степень принадлеж-
ности х множеству lA равна 1 Jl. ,
Если степень принадлежности Jl принимает линrвистиче-
ские, а не числовые значения, то мы представляем эти значе-
ния как линrвистические значения истинности. В этих случаях
типичными будут ответы типа ДА/истинно, ДА/очень
истинно, ДА/более или менее истинно и т. п. Как и
раньше, мы будем полаrать, что степень принадлежности х
множеству А равна Jl, rде Jl линrвистическое значение истин-
ности, и переводить х в точку 3, заключив, что степень при-
надлежносТИ х множеству lA равна 1 Jl.
Если имеется цепочка блоков решений, как на рис. 8.10,
то последовательность ответо.в ДА переведет х из точки 1
в точку (п + 1) и результатом ее будет то, что оrраничению
rрафическое представление блок ехе.ма.ми
141
R (х) дано в качестве значения пересечение множеств А1' ... , Ал.
Таким образом, в этом случае
R (х) == А 1 П. '.' ПАп,
(8.66)
rде символ n обозначает пересечение нечетких множеств
(см. также рис. 8.11).
Для иллюстрации предположим, что х == Джон, А 1 == ВЫсо-
кий и А 2 == толстый. Тоrда, если ответом на вопрос «Высо-
кий ли Джон?» является ДА, и ответом на вопрос «Толстый
НЕТ
R(X)=iAп4t:1,
я(х) = IAI1't:1
ДА
НЕТ
RC.,x).=A п.,в
ДА
R(x)=AI18
Риа. 8.11. Оrраничения, соотвеТGтвующие различным
выходам нечеткой блок-схемы.
ли Джон?» является ДА, то оrраничение, обусловленное Пере-
менной Джон, выражается в виде
R (Джон) == высокий n толстый. (8.67)
Следует отметить, что «Джон» по сути дела, название
бинарной линrвистической переменной, имеющей две компо-
ненты Высота и Вес. Таким образом, выражение (8.67) экви-
валентно уравнениям назначения
Высота == высокий,
Вес == толстый.
(8.68)
(8.69)
Из (8.66) следует, что последовательное соединение блоков
решения соответствует пересечению нечетких множеств (или)
142 8. Композиционное правило вывода и приближенные рассуждения
что эквивалентно, конъюнкции нечетких предикатов), связан
ных с ними. В случае обычных (не нечетких) множеств объе-
динение можно представить схемой, показанной на рис. 8.12.
z
Рис. 8.12. fрафическое представление
дизъюнкции нечетких предикатов.
Ясно, что при таком расположении блоков решения переход
из 1 в 2 означает, что
R (и)... А + lA n В,
(8.70)
а поскольку
(8.71)
AnBc: А,
то (8.70) можно переписать в следующем виде:
R (и) == А + А n в + l А n в ==
==A+(A+lA)n B ==
....А+В.
(8.72)
так как
A+l А==и.
UnB==B.
(8.73)
(8.74)
Такая же схема не даст объединения нечетких множеств, так
как для таких множеств равенство
A+lA==U,
(8.75)
вообще rоворя, не выполняется. Тем не M Hee мы можем соrла.
ситься интерпретировать блок-схему на рис. 8.12 как схему,
соответствующую объединению множеств А и В. Блаrодаря
этому мы можем по-прежнему иметь дело со знакомыми нам
блок-схемами, содержащими обычные (не нечеткие) блоки
решения. Блок-схема, показанная на рис. 8.14. иллюстрирует
использование iТoro соrлашения в определении понятия Хиппи.
rрафичеекое представление блок-схемами
143
,Да
: 'Да
Да
Да
Нет
не 6ысокии
Нет
661сокиц и не очень
661сокии
Нет очень 8",оокиi1
и не очеН6 Оlfень )
8ысокии
Нет оуень очень
8ысокии
и не чрез6ычаино
6ысокии
чрез6ычайно 6",соки"
Рис. 8.13. Применение последовательноrо COejB-
нения блоков решения.
Соrлашения, описанные выше, можно использовать для
'представления в rрафической форме назначения линrвистиче-
tкoro значения линrвистической переменной, Особенно полезно
8 этой связи последовательное соединение блоков решения,
Которое соответствует последовательности уточняющuх вопро-
сов 1), предназначенных для сужения области возможных зна-
чений переменной. Для иллюстрации предположим, что
J) В авrлийск01lS тeKcтe bracketing questiопs. При..и. ,ед.
144 8. Композиционное правило вывода и nриближеН.ltые рассуждения
1С==Джон И (см. рис. 8.13)
А 1 == высокий,
А 2 == очень высокий,
Аз == очень очень высокий,
А4 == чрезвычайно в ысоkиЙ.J
(8.76)
Если ответ на первый вопрос ДА, то
R (х) == высокий.
(8.77)
Если ответ на второй вопрос ДА, а на третий вопрос
НЕТ, то
R (Джон) == очень высокий и не очень очень высокий,
(8.78)
т. е. значение высоты Джона заключено между значениями
очень высокий и не очень очень высокий.
При наличии механизма, TaKoro, как в случае уточняющих
вопросов, для назначения переменным линrвистических значе-
ний поэтапно, ане за один шаr нечеткие блок-схемы MorYT
оказаться весьма полезными для алrоритм:ических определений
нечетких понятий.
Основная идея при этом состоит в том, чтобы определить
сложное или новое нечеткое понятие посредством более про-
стых или более знакомых понятий. Поскольку нечеткое
понятие можно рассматривать как название HeKoToporo нечет-
Koro множества, то эта идея означает фактически разложение
нечеткоrо множества на комбинацию более простых нечетких
множеств.
Проиллюстрируем это следующим примером. Предположим
для иллюстрации, что мы хотим определить термин Хиппи,
который можно рассматривать как название нечеткоrо Подмно-
жества полноrо множества людей. Для этоrо мы воспользуемся
нечеткой блок-схемой, приведенной на рис. 8.141). В сущности
эта схема определяет нечеткое множество Хиппи в терминах
нечетких множеств, имеющих названия Длинноволосый, Лысый,
Бритый,' Работа и Наркотики. Более точно оно определяет
нечеткое множество Хиппи как (+ объединение).
Хиппи == (Длинноволосый + Лысый + Бритый) n
Наркотики n 1 Работа. (8.79)
1) Конечио, Э1'о сneрJtупрощеl!иое ОПреДeJIение следует понимать лишь
как ИЛJIюстрацию, не претендующую на CTporocть, полноту и реалистичность.
rрафичеекое представление блок ехема.ми
145
Предположим, что мы ставим следующие вопросы и полу-
чаем указанные ответы:
Длинные ли волосы у х?.,.... ДА.
Есть у х работа? НЕТ.
Употребляет ли х наркотики? ДА.
Тоrда мы налаrаем на переменную х оrраничение
R (х) == Длинноволосый n l Работа n Наркотики,
и поскольку 91'0 оrраничение содержится в правой части выра-
жения (8.79), мы заключаем, что x Xиnпu.
Нет
Хилли
не Хипли
Рис. 8.14. Алrоритмическое определение понятия Хиппи,
представленное в форме нечеткоii: мок-схемы.
Модифицируя нечеткие множества, входящие в определение
Хиппи, при помощи таких неопределенностей, как очень,
более или менее, чрезвычайно и т. п., И допуская ответы
Вида ДА/11 или НЕТ /11, rде 11 численное или линrвистическое
значение истинности, можно получить определение Х иnпи,
точнее отражающее наше понимание этоrо понятия. Более Toro,
146 8. Композиционное правило вывода и приближенные рассуждения
мы можем использовать мяrкое и (см. замечание 3.7) и допу-
стить тем самым некоторое взаимодействие между характе-
ристиками, которые определяют Хиппи. И наконец, мы можем
рассматривать блоки решения со мноrими входами и выходами.
Таким образом, понятие, такое, как Хиппи, можно определить
как уrодно полно в терминах еоставJJ'яющих понятий, каждое из
которых в свою очередь можно определить алrоритмичеСКlf.
Используя нечеткую блок-схему для определения TaKoro нечет-
Koro понятия, как Хиппи, мы в сущности разлаrаем выска-
зывания общеrо вида
v (и есть линrвистическое значение булевой
линrвистической переменной !l:) ==
== линrвистическое значение булевой
линrвистической переменной r!/ (8.80)
на уравнения назначения значений истинности TaKoro же вида,
но содержащие более простые или более знакомые переменные
в левой части.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этом и предыдущих параrрафах мы уделяли основное
внимание развитию понятий, лежащих в основе так называ.
eMoro лиНе8исmическоzо подхода к анализу сложных ИЛIf
плохо определенных систем и процессов принятия решений.
Существенные отличия этоrо подхода от обычных количествен-
ных методов системноrо анализа рождают MHoro вопросов If
проблем, которые являются новыми по своей природе и реше-
ние которых требует поэтому большоrо объема дополнитель-
ных исследований и экспериментирования. Это относится,
в частности, к основным аспектам понятия линrвистическои
переменной, на котором мы лишь коротко остановились в нашем
изложении: линrвистическим приближениям, представлению
линrвистических неопределенностей, нечисловым базовым пере-
менным, л и -взаимодействиям, нечетким теоремам, линrвис-
тическим вероятностным распределениям, нечетким блок-схе-
мам и др. .
Несмотря на то что' линrвистический подход является, по
сути дела, отказом от существующих позиций в научном
исследовании, он вполне может оказаться шаrом в нужном
направлении, т. е. в направлении меньшеrо увлечения точным
количественным анализом и большеrо допущения важной роли
неточности в мышлении и восприятиях человека. Мы убеждены
в том, что, приняв это направление, мы <;можем больше
продвинуться в понимании поведения rуманистических систем,
чем это возможно в рамках традиционных методов.
147
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Thomson W., Popular Lectures and Addresses, МсМШап апd, Со., Lon.
don, 1891.
[2] Feigenbaum В., Computers апd Thought, McGraw-НШ Book Со., New
York, 1963.
13) МИНСКИЙ М., Пейnерт С., Персептроны, «Мир», М., 1971.
,(4] ArbIb М., ТЬе Metaphorical Вrаiп, Wilеу Iпtеrsсiепсе, New Vork,
" 1972.
'(5] NeweH А. апd Simon Н., Ниmап ProbJem Solving, Prentice Hall, Engle-
wood Cliffs, N. J., 1972.
[6) Zadeh L. А., Fuzzy Languages and Their Rеlаtiоп to Нumап апd Масhiпе
Iпtеlligепсе, Proc. of Inter. Conference оп Man and Coтputer, Bordeau'x,
France, рр. 130 165, S. Karger, Base!, 1972.
(7) Заде Л. А., Основы HOBoro подхода К анализу сложных систем И ПРQ.
цессов принятия решений; в сб. «МатемаТИJ\:а сеrоДНЯ», «Знание», 1974,
стр. 5 49.
[8) Веllmап R. Е., Kalaba R. Е. and Zadeh L. А., AbStraction апd Pattern
СlassШсаtiоп, JQucn. Math. Analysis аnd Appl., 13, рр. 1 7, 1966.
(9) Black М., Reasoning with Loose Concepts, Dialogue, 2, рр. 1 12,
1963.
[10] Wittgепstеiп L., Logical Form, Ртос. 01' the Aristotelian Society, 9,
, рр. 162 17l, 1929.
lЩ Scriven М., ТЬе Logic of Criteria, Jour. 01 Pftilosophy, 56, рр. 857.,....
868, 1959.
(12) I<hаfсhаdоuriап Н, Vallueness, Меапiпg and Absurdity, Атет. Phil.
Quart.., 2, рр. 119 129, 1965.
113) Verma R. R' l Vagu ness and the Pr!nciple of Excluded Midd!e, Mind,
79, рр. 67 17, 1970.
114] Gоguеп J. А., ТЬе Logic of Inexact Concepts, Synthese, 19, рр. 325
373, 1969.
05] АdаfПS Е., ТЬе Logic of «Almost АН», Joиr. о{ Philosophical Logie, 3,
!' рр. 3 17, 1974.
I , 16] Fiпе К., Vallueness, Truth апd Logic, Oepartment of Philosopl1Y, Un!.
, . verslty of ЕdiщtЬurgh, 1973. '
l,J7) уап Frаsseп В. S., Presuppositions, Sup,ervaluations and Fre!! Logio,
у. ln the Logical Way of Ooing Things, 1<. Lambert, ed., Yale Unlv.
',.'. Press, New Наvеп, 1969.
(18) Lakoff О., Linguistics and Natural Logic, in Semапtiсs of Natural Lап-
"1 guages, О. Оаvidsoп апd О. Наrmап (eds.), Oordrecht, ТЬе Netherlands,
." О. Reidel, 1971.
119) Zadeh L. А., Shadows of Fuzzy Sets, Prob. [n Ттаns. о{ /nformation,
iIO)'Ra r a ' i ;y of Fuzzy Sets, Masson, Paris, 1972.
"J} Ooguen J., «L-Fuzzy Sets», Joиrn. Math. Analysis and Appl., 18,
,,' р. 145----174, 1967.
122] Кrowп J. О., А Note оп Fuzzy Sets, /nf. Control, 18, рр. 32 39, 1971.
f2З] Mizumoto М., Toyoda J. and Tanaka 1<., General Formulation of
" Formal Grammars, /nf. Sci., 4, рр. 87 100, 1972.
f24J Zadeh L. А., Similarity Relations апd Fuzzy Orderlngs, /nf. Sei., 3,
рр. 177.,....200' 1971.
(2БJ Веllmап R. Е. and Zadeh L. А., Оесlsiоп-Маkiщt in а Fuzzy Envi.
. ronment, Managerмnt Seience, 17, рр. B-141-B 164, 1970.
] в.llmап R. Е. апd Olertz М., оп the Analytic Formalism of the Theory
; 01 Fuzzy 8et8, /nf. Sel., 5, рр. 149"""'156, 1973.
l27] Zadeh L. А., А uzzy-Set-Theoretic Interpretation of Lingujs!ic Hedees,
Jour. of Cyber tlc" 2, РР. 34. 1972.
148
[28] Codd Е. F., Relational Completeness о! Data Base SubIanguages, in
Courant Computer Science, Symposia, 6, РrепLicе-Наll, Eng!ewood
Cliffs, N. J., 1971.
{29] Zadeh L. А., Fuzzy Sets, /nf. Control, 8, 338 353, 1965.
[30] Thomasian А., ТЬе Structure of Probability Tlleory With Applications,
McGraw-НiI1 Book Со., New York, 1969.
[31] Moore R. Е., Interva! Ana!ysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.,
1966.
(321 Brzozowski J. А., Regular Ехрrеssiопs for Linear Sеquепtiаl Circuits,
/ЕЕЕ Ттаns. оп Elee, Сотр., ЕС-14, рр. 14 156, 1965.
[33) Shamir Е., Algebraic, Rational and Сопtехt-Frее POWE'r Series iп Nоп-
commuting Variables, in М. Arbib's A!gebraic Theory of Machines, Lan
guages and Semigroups, рр 32 41. Academic Рrеsз, New York, 1968.
[34] Blik!e А., Equational Languages, /nf. Coпtrol, 21, рр. 134 147, 1972.
!35] Ros krantz D. J., Matrix Equation and Normal Forms for Context-Free
Grammars, Jour. Assoe. Сотр. Maeh., 14, рр. 501 507, 1967.
[36] Hopcroft J. Е. and Ullman J. О., Formal Languages al1d Their Rеlаtiопs
10 Automa.ta, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.
(37] Aho А. У. ard Ullman J. О., ТЬе Theory о! Parsing, Trans!ation апd
. Соmрiliпg, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1973.
[38] Lakoff О., Hedges: А Study in Меапiпg Criteria and the Logic of Fuzzy
Concepts, Proc. 8th Regional МееНng of Chicago Liпguistiс Society, Univ,
of Chicago Linguistics Dept., Apri11972.
[39] Zadeh L. А., Quапtitаtivе Fuzzy Semапtics, /nf. Sei., 3, рр 15 176,
1971.
140) I(пuth О., Sеmапtiсs of Context-Free Languages, Math. Sys/ems Theory,
2, рр. 127 145, 1968.
141] Lucas Р. et а!, Method and Notation for the Formal Dеfiпitiоп of
Prograтming Languages, Report TR 25.087, IBM Laboratory, Vienna,
1968.
1421 Wegner Р., ТЬе Viеппа Dеfiпitiоп Language, АС1И Computing Surveys,
, 4, рр. 5 3, 1972.
[43] Lee J. А., Computer Semantics, Vап Nоstrапd-Rеiпhоld, New York,
. 1972.
[44] I(ohavi Z., Switсhiпg апd Finite Automata Theory, McGraw.HilI Book
. Со., New York, 1970. '
[45] Hughes О. Е. апd Cresswell М. J., Ап Iпtrоduсtiоп t.O Moda! Logic,
Methuen, Lопdоп, 1968.
['46] Rescher N., Мапу-Vаluеd Logic, McGraw-НiII Book Со., New York,
1969.
[47] Barkan R., А Functional Ca!culus of First Order Based оп Strict Imlica-
. tion, Jour. Symbolie Logie, 11, рр. 1.,....16, 1946.
(48] Zadeh L. А., Probability Measures of Fuzzy Events, Jour. МаЙ. AnB/gsis
and Appl., 23, рр. 421 427, 1968.
149] ,DeLuca А. and Termini S., А Dеfiпitiоп of Non Probabilistic Entropy
iпthе Setting of Fuzzy Set Theory, /nf. Control, 20, рр. 201 312,
1972.
[50] Нiпtikkа J. and Suppes Р., eds., Aspects of Inductive Logic, North
Holland РиЫ. Со., Amsterdam, 1966. '
151] Winograd Т., Uпdеrstапdiпg Natural Lапguаge, Academic Press, New
York, 1972.
{521 DeLuca А. апd Termini S., Algebraic Properties of Fuzzy Sets, Joиr.
Math. Analysis and Appl., 40, рр. 373 , 1972.
[531 Rosenfeld А., Fuzzy Groups, Jour. Math. Analysis and Appl., 33,
рр. 5l2 17, 1971.
[541 Zadeh L. А., Fuzzy Algorithms, /nf. Coпtrol, J2, рр. 94 102, 1968.
[551 Santos Е., Fuzzy. AIgorithms, /nf. Control, 17, рр. 326 339, 1970. '
149
(56] Chang S. К., on the Ехесutiоп of Fuzzy Programs Usiпg Finite State
Machines, /ЕЕЕ Ттаns. Elee. Сотр., C-2t, рр. 241 253, 1972.
[57] Chang S. S. L апd Zadeh L. А., Fuzzy Маррiпg and Сопtrоl, /ЕЕЕ
, Trans. Systems, Маn and Cybernetics, SMC-2, рр. 3O 34, 1972.
158] Lee Е. Т., Fuzzy Lапguаges and Their Relation to Automata, Disser-
tation. Dept. of Elee Eng and Computer Sci, Univ. of СаШ., Berkeley,
. 1972.
59] Lee R. С. Т., Fuzzy Logic and the Resоlutiоп Рriпсiрlе, Jour. Assoc.
, Сотр. Mach., 19, рр. 109 119, 1972.
I6o] Colby 1(. М., Weber S. and НiIf F. О., Artificial Paranoia. Jour. Art.
, /ntelligence. 2, рр. 1.,....25' 1971.
ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ
взаимодействие 19
высказывание 90
значения истинности 91
линrвистические 90, 91
назначенные 107
компоненты . невзаимодействую.
щие 108
i..-невзаимодействующие 108
Jlинrвистическая вероятность 114
неопределенность 79
нечеткая лоrика 90
переменная 11, 71
:...... булева 80
истинности 90
случайная 116
структуриро.аинаll 77
линrвистическое значение 1 О, 71
математическое ОЖИдание (сред-
нее) 123
приближение 16" 100
множество а-УРО.ЮI 36
невзаИМОД8Йствие 18
неЧ8Ткая блок-схема 140
лоrика линrвистическая 90
переменная 18, 58
теорема 137
нечетких множеств выпуклая комби-
нация 39
.,.... объединение 37
перес.чение 38
произв.дение 38
декартово 40
иечеткоrо множества высота 32
ДОПOJIнение 37
мощность 124
носитель 32
нечеткое множество типа n 52
.,.... нормальное 35
.,.... субнормальное 35
.,.... оrраничение 12
отношение 41
.,.... событие 113
нечеткой переменной смысл 71" 72
область значений 23
.,.... определеНIfЯ 23
оrраничение 21
марrинальное 23; 62
нечеткое 58
.,.... сепарабельное 28, 65
условное 26, 63
оператор увеличения нечеткости 40
операция возвеl1ения в степень 39
концентрврования 39
.,.... растяжения 39
отношение вложенности 44
нечеткое 41
отношений соединение 45
отношения ОСнование 43
переменная базовая 12, 58" 71
Jlинrвистическая 11, 71
.,.... .,.... булева 80
.,.... .,.... истинности 90
.,.... структурированная 77
.,.... иечеткая 18, 58
.,.... обычная (не неЧlткая) 21
n-арная составная 22
переменные взаимодействующие 28,
67
.,.... невзаимодействующие 28, бб
подтер м 72
правило вывода композиционное 19.
126
семантическое 14, 71
.,.... синтаксическое 14, 71
modиs ропеns 131
.,.... обобщевflоо 20. 135
вжение JIинrвистическое 16, 100
. енные рассуЖАения 16,90
n обобщения 47
iPoiOпжение"ЦИJIиндрическое 43
Мм!nия (тень) 42 .
(' eJIение значеиий истинности
.;;. марrии3JIЬНое 107
. ... rвистических вероятностей 116
Е... . . . .. . . ' .. rуманистические 9
. S1il8ханистические 9
о" . ИJ4ОСТЬ 58
163
степень принадлежности 32
структура 14, 71
терм 72
атомарный 72
первичный 14
терм множесТlЮ 11, 71
Т?чка перехода 32
уравнения назначения 13, 21, 58
в отношениях 19
функция принадлежности 32
совместимости 12