Fuzzy-технология. Математические основы. Практика моделирования в экономике - Бочарников В.П.

Author: Бочарников В.П.
Tags: экономический анализ математика экономика
ISBN: 966-521-082-3
Year: 2001
Text
                    2
Fuzzy Technology
ББК 65.053
Рецензенты:
Академик международной академии компьютерных наук и систем,
заслуженный деятель науки и техники Украины доктор технических
наук, профессор, Б. М. Герасимов.
Доктор технических наук, профессор Ю. Н. Минаев.
Доктор технических наук, профессор А.А. Рось.
Б 77 Бочарников B.FL
Fuzzy-технология: Математические основы. Практика
моделирования в экономике. - Санкт-Петербург: «Наука»
РАН, 2001.-328 с.
ISBN 966-521-082-3
В книге рассмотрены ключевые вопросы математических основ
Fuzzy-технологии и конкретные примеры их практической
реализации в программных комплексах. Рассматриваются подходы и
примеры формализации нечетки данных на основе нечетких мер.
Развиваются основы нечетко-интегрального исчисления для обрабоки
нечетких данных. Сформулированы и решены аналитические задачи
оценки состояния, идентификации моделей и оптимизации
управления сложными динамическими системами. Описан ряд
программных комплексов, разработанных и успешно применяемых
компанией ИНЭКС (Украина) для решения конкретных
консалтинговых задач в маркетинге, логистике, валютном дилинге и
т.д. Особое внимание уделяется практической направленности Fuzzy-
технологии, ее математических основ и программного обеспечения
для решения аналитических задач в бизнесе в условиях реальной
неопределенности рынка.
Книга предназначена как для специалистов, занимающихся общими
вопросами моделирования и управления сложными динамическими
объектами, так и для практиков, фактически решающих задачи
логистики, маркетинга и рекламы, бизнес-планирования, задач
формирования спроса и стимулирования сбыта.
© Бочарников В.П., 2001 г.
© Консалтинговая компания «ИНЭКС».
Запрещается полное или частичное воспроизведение
данного издания любым способом без согласия
автора.
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
3
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение	16
1.	Анализ подходов к обработке нечетких данных в	21
аналитических задачах поддержки принятия решений
1.1.	Аналитические задачи поддержки принятия решения.	22
1.2.	Проблема обработки нечетких данных в аналитических 31
задачах поддержки принятия решения.
2.	Представление нечетких данных на основе теории	43
нечеткой меры.
2.1.	Определение и основные свойства нечеткой меры.	44
2.2.	Построение нечетких мер. Семантические модальности 46
нечетких мер.
2.3.	gA -меры Суджено и их свойства. Семантические спектры. 55
2.4.	Нечеткозначные нечеткие меры и их связь с	62
семантическими модальностями.
2.5.	Идентификация и аппроксимация gA - нечетких мер.	65
3.	Обработка нечетких данных на основе нечетко-	73
интегрального исчисления.
3.1.	Определение нечеткого интеграла.	74
3.2.	Основные свойства нечетких интегралов.	82
3.3.	Определение расширенной нечеткой меры.	87
3.4.	Основная теорема о нечетком интеграле по расширенной 91
нечеткой мере и ее следствия.
3.5.	Свойства нечеткого интеграла по расширенной нечеткой 97
мере.
3.6.	Интегрирование В - измеримых функций по	102
нечеткозначной нечеткой мере.
4.	Преобразования пространств с нечеткими мерами.	106
4.1.	Условные нечеткие меры и их свойства.	107
4.2.	Нечеткие меры на декартовых произведениях	112
пространств.
Бочарников В.П.
4
Fuzzy Technology
Стр.
4.3.	//-соответствия. Нечеткие меры доверия и правдоподобия 120
как //-соответствия.
4.4.	//-операции над нечеткими мерами.	127
4.5.	Нечетко-интегральные зависимости.	146
5.	Моделирование нечетких процессов.	154
5.1.	Нечеткие процессы и их представление через нечеткий	155
интеграл по расширенной нечеткой мере.
5.2.	Особенность непрерывных нечетких процессов. Нечетко-	163
дифференциальное представление нечетких процессов.
5.3.	Дискретные нечеткие процессы. Композиционные	166
нечеткие уравнения, как частный случай дискретных
нечетко-интегральных уравнений.
5.4.	Нечетко-интегральные уравнения непрерывных	172
управляемых нечетких процессов.
6.	Решение аналитических задач оценки состояния нечетких 179
процессов.
6.1.	Понятие нечеткого изображения. Оценка статического 180
состояния нечеткого процесса.
6.2.	Фильтрация статического состояния нечеткого процесса 184
на основе квантификации.
6.3.	Фильтрация нечетких процессов. Нечеткий наблюдатель. 190
6.4.	Оптимальный нечеткий наблюдатель.	206
6.5.	Дискретный нечеткий наблюдатель.	213
6.6.	Экстраполяция нечетких процессов.	217
7.	Идентификация нечетко-интегральных моделей нечетких	223
процессов.
7.1.	Задача идентификации моделей нечетких процессов.	224
7.2.	Идентификация моделей дискретных нечетких процессов.	226
7.3.	Идентификация моделей непрерывных нечетких	240
процессов.
7.4.	Оценка качества моделей нечетких процессов на основе	246
нечетко-интегральных зависимостей.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
5
	Стр.
7.5.	Декомпозиция моделей многомерных нечетких процессов. 249 Векторно-матричные нечетко-дифференциальные уравнения многомерных нечетких процессов.
8. 8.1. 8.2.	Оптимизация нечетких процессов и выбор решений.	258 Задача оптимизации нечетких процессов.	259 Метод нечеткого динамического программирования для	262 формирования управления непрерывными нечеткими динамическими системами.
8.3.	Определение функции потерь (выигрыша) при	269 оптимизации управления нечеткими динамическими системами.
9.	Комплекс программных продуктов	272 Fuzzy-технологии для моделирования в экономике.
9.1. 9.2.	Назначение программных продуктов Fuzzy-технологии	273 Программируемый нечеткий вычислитель	276 Fuzzy Calculator (FC), версия 2.1.
9.3.	Программа Fuzzy for Excel (FE)	282 для работы с нечеткими числами в среде MS Excel, версия 7 п
9.4.	Экспертно-аналитическая система	291 Expert Professional-2000 (ЕхРго-2000), версия 2.0
9.5.	Программа Fuzzy Estimation of Critical Messages (FECM) 298 для нечеткой оценки критических сообщений при проведении арбитражных валютных операций, версия 1.1.
9.6.	Приложение МаркетЭффект системы FinExpert для поиска 308 эффективных маркетинговых решений
9.7. 9.8.	Система анализа данных Data Engine, версия 2.1	319 Консалтинговая компания ИНЭКС	322 Литература	326
Бочарников В.П.
6
Fuzzy Technology
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕЦЕНЗЕНТА
Диалектика взаимодействия и взаимовлияния теории и практики
особенно ярко проявляется во взаимном обогащении и развитии
математики и экономического моделирования, техники. Очередное
яркое свидетельство тому возникновение теории нечетких множеств и
интенсивное применение ее достижений в новых информационных
технологиях, логистических и маркетинговых расчетах, решении
других прикладных задач.
Родоначальником теории нечетких множеств является американский
ученый Л. Заде, опубликовавший в 1965 году в журнале “Information
and Control” статью, которая называлась “Fuzzy Sets”. На русском языке
термин “Fuzzy” переводится как «нечеткий», «пушистый», «размытый»,
«расплывчатый». Наиболее распространенным узаконенным сегодня
является первая интерпретация перевода.
Как указывает академик Д. А. Поспелов «основная идея Заде состояла в
том, что человеческий способ рассуждений, опирающийся на
естественный язык, не может быть описан в рамках традиционных
математических формализмов. Этим формализмам присуща строгая
однозначность интерпретации, а все, что связано с использованием
естественного языка имеет многозначную интерпретацию....
Последовательно проводя идею нечеткости, по мнению Заде, можно
построить нечеткие аналоги всех основных математических понятий и
создать необходимый формальный аппарат для моделирования
человеческих рассуждений и человеческого способа решения задач».
Комментируя эту же основную идею Заде, профессор А. П. Ротштейн
указывает, что «человек ходит, плавает, водит автомобиль, узнает
знакомые объекты, улавливает закономерности, решает другие
сложнейшие с математической точки зрения задачи управления и
принятия решений, не прибегая к строгим количественным
соотношениям.»
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
7
Теория нечетких множеств в очередной раз подтвердила еще одну,
известную всем исследователям истину: применяемый формальный
аппарат по своим потенциальным возможностям должен быть
адекватным смысловому содержанию и точности исходных данных.
Поэтому методы математического анализа применяются эффективно
при точных исходных данных. Математическая статистика и теория
вероятностей используют экспериментальные данные, обладающие
строго определенной точностью. Теория нечетких множеств имеет дело
с «человеческими знаниями», которые принято называть «экспертной
информацией».
Эти возможности математического аппарата, развитого в рамках
теории нечетких множеств, позволяют решать широкий круг сугубо
прикладных задач, для решения которых единственно возможной
исходной информацией являются экспертные знания. Идеи Заде и его
последователей находят применение при управлении экономическими,
социальными и техническими системами, при решении задач
планирования в условиях неопределенности, в системах искусственного
интеллекта, робототехнических системах, системах распознавания и
Т.Д.
Рецензируемая монография занимает свое особое место в развитии
теории нечетких множеств и ее практических приложений. Автор
развивает важное направление теории, а именно теорию нечетких мер
для представления и обработки плохо определенных, нечетких
исходных данных. Использование нечетких мер позволяет перейти к
единому математическому описанию четких, статистически-
вероятностных и нечетких исходных данных, использовать при
моделировании сложных процессов всю доступную разнородную
информацию, что, несомненно, повышает достоверность и качество
принимаемых решений. Автор справедливо считает, что «наиболее
приемлемым для решения практических задач в условиях
неопределенности может быть подход, базирующийся на теории
нечетких мер и нечетко-интегрального исчисления, который в
значительной степени обобщает известные подходы к описанию
неопределенности и позволяет создать эффективное прикладное
математическое обеспечение в системах поддержки принятия
решений».
Бочарников ВЛ.
8
Fuzzy Technology
Содержание монографии полностью соответствует этим намерениям
автора. Наряду с приведенными новыми теоретическими результатами
монография содержит значительное количество практических
примеров.
Книга на наш взгляд будет весьма полезна как для более глубокого
знакомства с современной теорией нечетких множеств, так и для
практического применения в решении прикладных задач.
Рецензент
Академик международной академии компьютерных
наук и систем,
заслуженный деятель науки и техники Украины
доктор технических наук, профессор,
Б. М. Герасимов
27.06.2000
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕЦЕНЗЕНТА
Предлагаемая читателю монография Бочарникова В.П. представляет
собой яркое выражение того уровня и специфики научных
исследований в области теории и применения теории нечетких
множеств, нечеткой математики и нечеткой логики, который был
достигнут в бывшем СССР и ныне продолжается в России, Украине,
Грузии и других странах содружества. Начиная с пионерских работ
Айзенберга, советская школа (ныне украинская, российская и т.д.)
научных исследований в этой области была ориентирована на строгое
и корректное (по возможности) доказательство основных положений,
составляющих ядро нового направления в науке.
Исторически сложилось так, что Украина, как в прочем и другие
республики бывшего СССР, вынуждена была идти в русле научных
исследований, которые вела российская наука. Соответственно
"информационный голод" удовлетворялся только в той мере, какую
считала возможным допустить "большая" академия (АН СССР).
Существенный толчок к развитию научных исследований в области
нечетких множеств в Украине начинается с 1971 года, когда появилась
скромная (по размерам) монография Л. Заде "Понятие
лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений", изданная в издательстве "Мир".
В этой связи монография Бочарникова В.П. представляет счастливое
исключение, когда выбранная тема исследования не только не
дублирует исследования, начатые "большой" академией, но
практически уникальна. И эта уникальность, прежде всего в том плане,
что в условиях "информационного голода" было выполнено
полноценное научное исследование, показавшее уровень и
возможности украинской науки. Здесь весьма уместно вспомнить М.
Горького о молодом И. Бабеле, что он многого не знает, но о многом
догадывается.
Бочарников В.П.
pjvvMJH i / года; и советских научных школ,
автор постарался максимально строго представить результаты своих
научных исследований. Это, естественно, не является подарком для
широкого читателя, которому, читая книгу, придется буквально
продираться сквозь дебри доказанных теорем (нередко имеющих
вспомогательную направленность), для того, чтобы увидеть результат.
Но, полагаю, что эти усилия не будут напрасными и будут сторицей
вознаграждены.
Что же сделано автором и почему монография заслуживает такой
высокой оценки? Математический базис теории нечетких множеств
весьма многообразен, и одним из разделов этого базиса является
теория нечеткой меры. Здесь я не могу не отметить еще раз
уникальность этого исследования, сравнивая его с аналогичными
исследованиями за рубежом. Зарубежные исследования, посвященные
нечеткой мере (кстати, весьма интенсивные в настоящее время, о чем
говорит тот факт, что за последние 5 лет вышли два специальных
выпуска журнала "Fuzzy Sets and Systems") в основном направлены на
определение общих интегральных свойств этой меры. Подавляющее
большинство работ в той или иной мере связаны с исследованием
интеграла Шоке, для которого интеграл Суджено, рассматриваемый
автором, является частным случаем. Но автор поставил задачей
исследование частных (локальных) свойств нечетких мер и здесь
добился заметных успехов, позволивших успешно реализовать многие
технические приложения.
Не вдаваясь в подробный пересказ содержания монографии, отмечу,
что предлагаемая автором концепция обработки нечетких данных на
основе нечетко-интегральногно исчисления представляет собой новый
подход к принятию решений в условиях неопределенности, что
существенно пополняет арсенал лиц, принимающих решения.
Опуская теоретические особенности предлагаемых автором методов,
не могу не отметить той особенности предлагаемой идеологии, когда
рассмотрение и анализ локальных свойств объекта (в данном случае
нечетких мер) позволило получить определенные обобщения.
Например, удалось с единых методологических позиций
проанализировать моделирование недостаточно информационно
определенных процессов ("нечетких" процессов) и представить их как
нечеткий интеграл по расширенной нечеткой мере. В этом ряду
Бочарников В. П.
успешно решенных задач стоят идентифик*
аЦия нечетко-интегральных
моделей, оценка состояния и оптимизация
нечетких процессов, выбор
6 монографии приводится
использующихся для
Весьма отрадным является тот факт, что
описание программных продуктов,
моделирования сложных задач в том ЧИсг, '--э—м—
программные продукты разработаны под «Л И В экономике- Данные
основу положена рассмотренная в моного^°ВОДСТВОМ авТ0Ра' В
нечетких данных.	Фии концепция обработки
Возникает законный вопрос, - есть ли в
Безусловно, есть. Особенно это Монографии недостатки?
математической строгости излагаемых коц.ается„ целесообразности
лучшее - враг хорошего. Поэтому я вг епц1™‘ Во’ как известно>
практический и литературный уровешС°КО оценивая научный,
возможным опубликовать ее в представлю монографии, считаю
новизна работы, уровень изложения достой HllOM виде’ и®° научная
мог познакомиться широкий читатель. 1,1,1 того’ чт°бы с работой
Рецензент
Доктор технических наук, профессор
Н). Н. Минаев.
13.07.2000.
Бочарников В.п.
16
Fuzzy Technology
ВВЕДЕНИЕ
Принятие решения во всех без исключения областях деятельности
человека непременно связано со сбором и обработкой информации.
При этом значительная роль в процессе выработки обоснованных
решений отводится аналитическим задачам, которые позволяют
получить на базе исходной информации новые знания о ситуации,
обеспечить глубокое понимание происходящих процессов и тем самым
правильно принять решение.
Таким образом, достижение необходимого уровня эффективности при
принятии решений невозможно без опоры на результаты решения
аналитических задач, которые предполагают глубокую оценку
обстановки, точные расчегы, обоснованные решения, тщательное
планирование и достоверную оценку ожидаемых результатов. Чаще
всего принятие решения сопряжено с высоким уровнем
ответственности за конечные результаты. В тоже время, оно может
осложняется нестереотипностью, уникальностью складывающихся
обстоятельств, острым дефицитом времени на выработку решений. В
этих условиях необходимость поддержки принятия решений очевидно
должна реализовываться на базе компьютерной аналитической
поддержки.
Анализ показал, что для обеспечения эффективности принятия
решений в рамках компьютерных систем поддержки принятия
решений должны решаться аналитические задачи оценки состояния,
идентификации моделей и формирования управления сложными
динамическими системами, каковыми являются экономика
государства, его бюджет, инвестиционные проекты, коммерческие
операции и другие объекты.
Адекватные математические модели, эффективные методики и
расчетные задачи для решения указанных аналитических задач
требуют всестороннего учета влияния факторов неопределенности
связанных с особенностями:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
17
•	целевых условий (многокритериальность, наличие качественно
определенных целей принятия решений, психологические аспекты
принятия человеком предлагаемых решений);
•	моделируемых объектов и предметных областей (конфликтная
природа; игровая неопределенность; наличие лингвистической,
экспертной информации, описывающей объект; отсутствие
возможности статистического описания из-за уникальности и
нестереотипности ситуаций; имеющиеся ограничения на ресурсы
(деньги, время и т.д.);
•	исходной и текущей информации о происходящих процессах
(противоречивость, недоопределенность, неточность, нечеткость,
неоднозначность и др.).
Влияние данных факторов создает серьезную проблему в решении
аналитических задач и осложняет получение необходимых правильных
и обоснованных решений. Таким образом, с одной стороны существует
острая потребность, а с другой - проблема в решении аналитических
задач управления сложными динамическими системами из-за наличия
высокой степени неопределенности задач, моделируемых объектов,
предметных областей, нечеткости имеющихся данных. Это
подчеркивает практическую важность проблемы обработки нечетких
данных и необходимость проведения соответствующих исследований в
области создания соответствующей технологии, опирающейся на
использование прикладного математического и программного
обеспечения в автоматизированных систем аналитической поддержки
принятия решений. При этом данная технология должна эффективно
учитывать влияние факторов неопределенности.
Традиционно для решения аналитических задач в условиях
неопределенности применялись вероятностно-статистические методы.
Однако, как показала практика, использование только данных методов
для решения практических задач ограничивается следующими
обстоятельствами:
•	необходимостью учета факторов неопределенности, имеющих
не статистическую природу (субъективные оценки, экспертно-
лингвистическая неопределенность, игровая неопределенность и
т.д-)[1];
•	невозможностью получения вероятностно-статистических
данных о складывающихся ситуациях в сложных организационно-
технических системах [2];
Бочарников В.П
18
Fuzzy Technology
•	ограниченностью информации, приводящей к неустойчивости
получаемых распределений вероятности [3];
•	необходимостью учета большого объема разнородной и
противоречивой информации, приводящей к сложно преодолимым
математическим трудностям при формализации и решении
рассматриваемых задач [4];
•	психологическим неприятием лицом, принимающим решения в
реальных условиях, подсказок и решений, полученных на основе
только вероятностно-статистических методов [5].
Не учет этих ограничений приводит к неадекватным, заведомо не
приемлемым решениям. Причинами получения подобного рода
неприемлемых решений является не учет влияния разнородных
факторов неопределенности, неадекватная формализация и обработка
имеющихся нечетких данных.
В силу этого в трудах зарубежных исследователей Заде, Лукасевича,
Веллмана, Ягера, Суджено,. Прада,. Дюбуа, Макнила, Бездека,
Цукомото, Кофмана, Гупта и других, а также целого ряда
отечественных ученых Айзенберга, Орловского, Поспелова, Мелихова,
Аверкина, Минаева, Батыршина, Алиева, Герасимова, Ротштейна и
других была обоснована необходимость использования наряду с
вероятностно-статистическими подходами новых математических
подходов к моделированию и обработке нечетких данных на основе
экспертных оценок, нечетких множеств, логического подхода и т.д.
Последние годы для решения практических задач были предложены
различные подходы, базирующиеся на теории ошибок, субъективных
вероятностях, интервальных средних, модальной логики и других.
Исследования и опыт практического применения данных подходов
показали, что использование их наталкивается на трудности связанные
с:
•	отсутствием достаточной математической строгости и
обоснованности ряда эвристических методов, требующим
значительных дополнительных исследований в каждом конкретном
случае;
•	невозможностью учета различных семантических
модальностей нечетких данных;
•	невозможностью	унифицированного	описания
неопределенностей различной природы, количественно и
качественно выраженной информации и т.д.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
19
•	сложностью описания динамических процессов в условиях
неопределенности, имеющей различную природу, особенно в
непрерывном времени и многие другие.
Данные трудности осложняют непосредственное использование ранее
предложенных подходов для решения аналитических задач поддержки
принятия решений в условиях неопределенности. Это предопределило
необходимость разработки и развития технологии и специального
(специфического) математического аппарата, предназначенного для
решения слабо структурированных и неструктурированных
(качественно выраженных) задач, адекватно отражающих реально
происходящие процессы с учетом объективных и субъективных
характеристик ситуаций принятия решений, которые бы в
максимальной степени компенсировали недостатки существующих
подходов.	'
Исследования автора показали, что наиболее приемлемым для
решения практических задач в условиях неопределенности может
быть подход базирующийся на теории нечетких мер и нечетко-
интегрального исчисления, который в значительной степени
обобщает известные подходы к описанию неопределенности и
позволяет создавать эффективное прикладное математическое
обеспечение в системах поддержки принятия решений.
Использование данного подхода позволяет решать широкий круг
аналитических задач управления. При этом дает возможность с единых
позиций описать как количественно, так и качественно выраженную
информацию об объектах, учитывать семантические модальности
информационных единиц, нечеткость данных, мультипликативное
влияние факторов неопределенности, синергетические эффекты,
влияние рисков и субъективных решений и ряд других моментов
повышающих адекватность получаемых решений.
Приведенные в монографии теоретические положения, методы и
алгоритмы обработки нечетких данных являются развитием ранее
известных положений и значительно расширяют представление о
возможностях использования на практике нечетких мер и нечетко-
интегрального исчисления в аналитических задачах поддержки
принятия решений при управлении сложными динамическими
системами в условиях неопределенности.
Бочарников В.П.
20
Fuzzy Technology
Приведенные результаты по теории нечетких мер и нечетко-
интегральному исчислению легли в основу технологии обработки нечетких
данных или Fuzzy-технологии, которая в настоящее время успешно
применяется для решения широкого круга практических задач. Слово
Fuzzy с английского обозначает нечеткий, пушистый, размытый.
Использование нечетких данных значительно расширяет возможности
моделирования сложных предметных областей, объктов и процессов, что
является весьма актуальным в реальных условиях при отсутствии
достоверных данных, непольной статистике и других случаях.
Fuzzy-технология, как и любая другая технология, включает в себя
концептуальные, организационные, математические и
инструментальные (программные) основы. В данной монографии
будут рассмотрены, прежде всего, математические основы Fuzzy-
технологии, которые во многом определяют подходы к решению
практических задач, требующих аналитической поддержки принятия
решений. В последней главе кратко будет представленна информация
по ряду созданных и успешно используемых программных
комплексов, реализующих математические основы Fuzzy-технологии.
Автор выражает глубокую признательность своему наставнику,
Заслуженному деятелю науки и техники Украины, доктору технических
наук, профессору Прокофьеву Вадиму Павловичу, своим коллегам,
которые оказали существенную помощь при написании монографии. В
частности кандидату технических наук Свешникову Сергею Викторовичу,
который реализовал предложенные в монографии математические основы
Fuzzy-технологии в виде конкретных программных комплексов, кандидату
технических наук Цыганку Александру Владимировичу, Захарову
Константину Валентиновичу.
Особую благодарность автор выражает рецензентам работы Академику
международной академии компьютерных наук и систем, заслуженному
деятелю науки , и техники Украины доктору технических наук,
профессору, Борису Михайловичу Герасимову, доктору технических
наук, профессору Юрию Николаевичу Минаеву, доктору технических
наук, профессору Анатолию Александровичу Рось, которые на основе
своего опыта и глубокого знания рассматриваемого предмета сумели
тщательно разобраться в приведенном материале, дать ценные советы и
рекомендации по его улучшению и высоко оценили представленные
результаты труда автора.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
21
Глава 1
АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К
ОБРАБОТКЕ НЕЧЕТКИХ
ДАННЫХ В АНАЛИТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ ПОДДЕРЖКИ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Бочарников В.П.
22
Fuzzy Technology
1.1.	Аналитические задачи поддержки
принятия решения
Принятие решений, направленное на достижение жизненно необходимых
целей, во всех сферах человеческой деятельности связано, прежде всего, с
обработкой информации, доступной для анализа при решении
соответствующих задач. В этой связи принятое решение выступает в
качестве управляющего воздействия на некоторый анализируемый объект.
В качестве такого объекта могут выступать как масштабные глобальные
объекты, такие как государство, мировая финансовая система, система
международной безопасности, так и более локальные объекты, например
инвестиционный проект, коммерческая операция, структура предприятия и
многие другие объекты.
Очевидно, что достижение целей и принятие обоснованных решений
должно, прежде всего, опираться на всесторонний анализ внешних и
внутренних факторов, определяющих состояние анализируемого
объекта и перспективу его развития на ближайшее будущее. Как
показала практика решение выше указанных задач невозможно без
опоры на новые формы, методы и способы принятия решений и
формирования управления, широко использующие достижения
информатизации и автоматизации процессов управления, то есть
использующие современные компьютерные автоматизированные
системы поддержки принятия решений. Данные системы призваны
обеспечить повышение эффективности управленческой деятельности,
оперативности, полноты, обоснованности принимаемых по
разрешению проблемных ситуаций, требующих коллективного
обсуждения.
Следует отметить, что указанные выше задачи, возникающие в
процессе принятия ответственных решений, в основном носят
аналитический характер и направлены на получение оценок некоторых
ситуаций, планов проектов и т.д., а также на выработку предложений
по проведению мероприятий управляющего содержания. Значительная
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
23
доля этих задач является задачами комплексными, сложными и
требуют всестороннего привлечения специалистов-экспертов,
способных решать такого рода аналитические задачи в условиях
высокой степени исходной и текущей неопределенности. В связи с
этим данные задачи следует отнести к классу экспертно-аналитических
задач, решение которых должно базироваться на органическом
сочетании в рамках системного подхода экспертной методологии и
перспективных математических методов обработки данных,
представляющих собой некоторую научно-обоснованную технологию.
Исходя из сказанного, можно сделать вывод о том, что для решения
аналитических задач в процессе принятия решений с использованием
автоматизированных систем необходимо создание соответствующего
прикладного программного обеспечения, выступающего в качестве
инструментального базиса технологии решения экспертно-
аналитических задач. Такое обеспечение должно включать в себя
соответствующие математические модели и расчетные задачи, которые
условно можно разбить на два больших класса:
•	информационные модели и задачи;
•	аналитические модели и задачи.
К информационным задачам целесообразно отнести все задачи которые
Непосредственно связаны со сбором, хранением, отображением массивов и
потоков информации. Решение этих задач является весьма важным для
обеспечения эффективного принягия решения. Однако, главное назначение
математических моделей и методик расчетов все же обеспечение
оптимизации принимаемых решений, повышение их обоснованности, что
осуществляется решением совокупности аналитических задач оценки,
прогнозирования, оптимизации и других. Таким образом решение
аналитических задач поддержки принятия решений играет ключевую роль и
Именно на них должна ориентироваться соответствующая технология.
Опыт разработки прикладного программного обеспечения для решения
аналитических задач показывает, что решающим и во многом
определяющим облик и характер будущего программного комплекса
является обоснование и выбор эффективных математических
подходов, методов и алгоритмов, обеспечивающих приемлемую
формализацию информационных единиц и адекватную обработку
информации. Этап обоснования и выбора математического подхода,
методов, алгоритмов предшествует разработке конкретных расчетных
процедур задачи или модели. Необоснованный, не правильный выбор
Бочарников В.П.
24
Fuzzy Technology
математических методов, как правило, приводит к низкой
эффективности создаваемых задач и математических моделей, их
неадекватности, получению заведомо ложных результатов в процессе
их применения и как следствие недоверие к полученным результатам,
игнорирование получаемых подсказок и рекомендаций.
Обеспечение оптимизации, обоснованности и оперативности
принимаемых решений на основе математических моделей и методик
расчетов можно рассматривать в качестве главного результата, цели
функционирования автоматизированной системы поддержки принятия
решений и в этой связи данное обеспечение будет является ключевым,
системообразующим фактором целостности всей технологии
выработки решений. Исходя из этого, программный комплекс и
технология его использования для решения аналитических задач
поддержки принятия решений можно рассматривать как некоторую
функциональную систему, направленную на получение отмеченного
выше главного результата [6].
Изучение функциональных систем позволило выявить ряд их
важнейших системных свойств, одним из которых является свойство
внутренней и внешней симметрии [6, 7, 8]. Под симметрией
понимается категория, которая обозначает сохранение произвольного
множества признаков объектов относительно некоторых изменений
[6]. Системное свойство симметрии для функциональных систем (в том
числе и для всей технологии решения аналитических задач)
проявляется, прежде всего, в виде сохранения, как внутренней
структуры системы, так и сохранения возможных вариантов
(парадигм) взаимодействия ее со средой (Табл. LL)[6, 8]. Сохранение
этих свойств наблюдается для всех систем на любом из уровней
управления, что позволяет выявить ряд общих важнейших
особенностей создания прикладного программного обеспечения для
решения экспертно-аналитических задач принятия решений и
выработки управления.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
25
Таблица 1.1. - Структурные варианты взаимодействия со средой.
Структура					№ п.п	Внешняя структура	Обратная связь	Тип
		11	х 1		1.	0	0	Без информации
	т	и	F					
			О 1					
	X'	X |				2.	ГсХ	0	Частичная информация
	!F	и т	*F					
			О 1					
					3.	Х' = Х	0	Полная информация
		f т	х 1		4.	0	YcQ	Частичная выходная информация
	’F	и	'F					
	Y		О 1					
					5.	0	Y = Q	Полная выходная информация
	X'		^-1		6.	Х'сХ	Ycfi	Частичная входная/ выходная информация
	Ч-	и J	lF					
	Y	—	Q i					
и- ч					7.	Х' = Х	Yen	Полная входная / частичная выходная информация
					8.	ГсХ	Y = n	Частичная входная/ полная выходная информация
					9.	Х' = Х	Y = n	Полная входная / выходная информация
Бочарников В.П.
26
Fuzzy Technology
В табл. 1.5 приняты следующие обозначения:
’F - подсистема (элемент) реализующая цель, то есть подсистема,
описывающая конкретные процессы функционирования
анализируемого объекта;
2F - подсистема (элемент) выбора цели, в качестве которой выступает
технология решения экспертно-аналитических задач.
Состояния входных переменных во множестве X определяют так
называемые “естественные состояния” анализируемого объекта, а
состояния переменных Q представляют выходы, на которых
определена функция выгоды. Цель функционирования есть
максимизация функции выгоды с помощью выбора решения,
определенного состояния переменных U (переменных принятия
решений).
Процесс выработки решения происходит в рамках структуры
функциональной системы сохраняющей свой вид для всех уровней
управления в силу свойства ее внутренней симметрии.
Рисунок 1.1 - Структура функциональной системы принятия решений.
На рис. 1.1 [9], обозначено 1 - подсистема информационной подготовки
принятия решения, 2 - подсистема интерпретации по реализации
решений, 3 - подсистема принятия решений, 4 - объект действия.
Как видно из табл. 1.1 и рис. 1.1 для функционирования элемента 2F в
прикладном программном обеспечении необходимо использование
информации, прежде всего о состояниях подсистемы (элемента ’F)
реализующего цель, то есть объекта управления. Учитывая это,
остановимся на некоторых формальных моментах постановок
аналитических задач для поддержки принятия решения.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
27
Анализ показывает, что анализируемый объект, как объект управления,
для рассматриваемых аналитических задач может быть формально
описан в виде кортежа:
(Q, X, U, Т, Y, р, у, £),	(1.1)
где: Q * пространство состояний (объектов, исходов и т.д.), X -
множество характеристик, признаков, описывающих состояния из Q
объекта управления и принимающих свои значения каждый в своем
множестве значений {Vj}, U - пространство управлений
(организационных мероприятий, решений, проектов, планов и.д.), Т -
время (дискретное или непрерывное), Y - пространство выходных
значений (наблюдаемых проявлений, оценок и т.д.),
р: (Q х Т) х U х Т —> Q - отображение, описывающее динамику
изменения предметной области, состояния объекта, реакцию
динамической системы в конкретном состоянии на управляющие
воздействия, у: Q х Т—»Y - выходное отображение, описывающее
процесс наблюдения объекта управления (получения оценок, мнений и
Т.д.), £ - некоторые внешние неуправляемые факторы, условия и т.д.,
оказывающие влияние на динамику объекта управления (иногда могут
также описываться характеристиками из X).
Для объекта управления (1.1) аналитические задачи, необходимые для
принятия решений, не претендуя на полную общность классификации,
могут быть разбиты на три основных класса аналитических задач, как
приведено на рис. 1.2.
Данные аналитические задачи формально могут быть представлены в
ваде следующих общих постановок задач;
*
^Задачи оценки состояния объекта;
&) Задача оценки текущего состояния сое Q (задача фильтрации).
Дусть объект описывается в виде (1.1). Необходимо на основе
наблюдения динамики состояния объекта и имеющейся его модели в
условиях воздействия помех £ найти такое отображение
Q х Т —» Q’, Q = Q’ при котором оценочное состояние объекта со’
я; Q’ по критериям {К} максимально совпадает с истинным
^стоянием.
Бочарников В.П.
28
Fuzzy Technology
Рисунок 1.2 - Классы аналитических задач принятия решений
б)	Задача разбиения множества состояний Q на классы состояний
(задача кластеризации).
Пусть объект описывается в виде (1.1). Каждому состоянию we Q
соответствуют значения характеристик из X. Множество Q может быть
разбито на некоторое множество классов {К}. Необходимо определить
это множество классов {К} и найти отображение	<р: Q —> {К},
разбивающее все множество состояний объекта Q на классы {К}.
в)	Задача отнесения произвольного состояния сое £2 в один из классов
состояний {К} (задача классификации).
Пусть объект описывается в виде (1.1) и пусть определено множество
классов {К} состояний. Каждому классу состояний соответствуют
значения характеристик из X. Необходимо найти отображение a: Q
{К}, позволяющее отнести произвольное состояние со е Q,
описывающееся характеристиками X, в один из заданных классов
состояний {К}.
г)	Задача прогнозирования состояния сое £2 (задача экстраполяции).
Пусть динамика объекта описывается в виде (1.1). Необходимо на
основе наблюдения и имеющейся модели объекта управления найти
такое отображение P:(Q х Т) х U х Т1|р —> Q, которое позволяет
определить прогнозное состояние объекта, оптимально совпадающее с
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
29
истинным состоянием объекта через время прогноза с точки зрения
критериев оптимизации {К}.
2. Задачи идентификации математической модели объекта
управления.
Пусть объект описывается в виде (1.1). В результате наблюдения
имеется информация о значениях входных и выходных состояний
объекта в течение некоторого промежутка времени. Необходимо по
имеющейся информации о динамике объекта управления определить
такую его модель p’:(Q xT)xUxT—»Q (дискретную или
непрерывную), которая обеспечивает максимальное совпадение по
Некоторым критериям {К} выходных состояний модели и состояний
истинного процесса на фиксированном наборе входных воздействий.
3. Задачи формирования управления и выбора решений.
а)	Задача формирования оптимального управления.
Пусть объект описывается в виде (1.1) и пусть перевод объекта в
новое состояние оценивается с точки зрения совокупности критериев
{К}. На множестве {К} определена система предпочтений Р: К х К —»
L, где L - решётка. Необходимо найти такое управление ueU, которое
обеспечит перевод объекта в новое состояние с максимальной оценкой
предпочтения в решётке L.
б)	Задача ранжирования альтернатив и выбора решений.
Пусть объект описывается в виде (1.1) и пусть в качестве альтернатив
выступают элементы множества U, которые приводят к исходам из Q.
Исходы из Q оцениваются с точки зрения множества критериев {К}, на
котором определена система предпочтений Р: К х К -> L, где L -
решётка. Необходимо найти отображение у: U —> L, позволяющее
ранжировать элементы из U (альтернативы) с точки зрения системы
предпочтений Р и осуществить выбор приемлемого решения из
множества U.
Таким образом, рассмотренные выше формальные постановки
аналитических задач позволяют определить круг реальных
Математических подзадач, которые должны решаться прикладным
Программным обеспечением автоматизированной системы поддержки
Принятия в рамках соответствующей технологии. Однако на практике
руление указанных математических задач наталкивается на реальные
трудности, которые связаны в первую очередь с особенностями
Бочарников В.П.
30
Fuzzy Technology
исследуемых объектов, сложностью их математической формализации,
отсутствием четкой, достоверной информации о их
функционировании.
В дальнейших разделах монографии в основном будут
рассматриваться вопросы связанные с математическими основами
технологии решения экспертно-аналитических задач в условиях
неопределенности, получившей название Fuzzy-технологии.
Рассмотренные в данной монографии математические основы
послужили фундаментом для разработки и практического
использования целой серии программных комплексов Fuzzy-
технологии, краткое описание которых приводится в последней главе.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
31
1.2. Проблема обработки нечетких данных в
аналитических задачах поддержки принятия
решения.
В настоящее время существует множество подходов к решению
аналитических задач, возникающих в процессе формирования
управления сложными объектами. При этом в рамках данных подходов
для формализации описания объектов управления и самих процессов
управления Moiyr быть использованы различные математические
Модели, которые базируются на определенных математических
теориях позволяющих эффективно описывать и решать задачи
управления. Наиболее широко применяемые варианты подходов,
моделей, математических теорий для описания сложных, конфликтных
объектов приведены на рис. 1.3.
Каждый из приведенных классов аналитических задач обладает своими
особенностями, сложностью решения, подходами и т.д., однако, как
было отмечено ранее, во всех аналитических задачах для получения
эффективных результатов их решения необходимо всесторонне
учитывать свойства объекта управления или рассматриваемой
предметной области. (Объект 4 рис. 1.2).
Диализ свойств объектов и предметных областей, рассматриваемых
при решении аналитических задач принятия решения, а также
практический опыт создания прикладного математического и
программного обеспечения показал, что одним из основных системных
Свойств является конфликтная природа существования,
функционирования и развития моделируемых объектов. При этом,
конфликтующими сторонами, могут выступать не только действия
противоборствующих сил, но и широкий круг других конфликтующих
факторов, таких как многокритериальность, неопределенность
исходной и текущей информации, действие случайных, не
учитываемых факторов и т.д. приводящих к так называемым
проблемным (конфликтным) ситуациям [9].
Бочарникое В.П.
32
Fuzzy Technology
Рисунок 1.3 - Классификация существующих подходов.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
33
В настоящее время изучению конфликтных объектов и
складывающихся в процессе их функционирования конфликтных
ситуаций посвящено большое количество работ [5, 6, и др.]. Одним из
определений конфликтной ситуации является следующее.
Ситуация, возникающая в процессе управления сложной
организационной или технической системой при рассогласовании
действительного и желаемого состояния системы, в силу действия
факторов неопределенности вытекающих из конфликтной природы
самого объекта и связанной с необходимостью выбора лицом
принимающим решение (ЛПР) конкретной альтернативы управления
при наличии какой-либо информации о состоянии объекта и системы
управления, критериев, решающих правил, собственной системы
предпочтений.
Естественно, что причины возникновения конфликтных ситуаций при
выработке решений непосредственно связано с конфликтной природой
объекта управления. Данные причины могут быть разделены на пять
групп [9] (рис. 1.4).
Причины, порождающие конфликтные ситуации
H есовершенство Процесса управления, обусловленная неопределенностью информации об объекте, несовершенство м методов и алгоритмов, ошибками персонала ит.д.	Ненадеж- ность элементов системы управления	Ограни- ченные возможности системы управления (ограничения иа ресурсы)	Много- значность, многокри- териальность возникающая в процессе управления		Потеря способности системы управления решать возникшие задачи управления
Рисунок 1.4 Причины порождения конфликтных ситуаций.
Конфликтная природа объектов управления определяет то, что данные
объекты целесообразно рассматривать как сложные системы, имеющие
большое количество взаимосвязанных различных частей, структур или
элементов, аспектов, деталей, понятий затрудняющих не только их
изучение и моделирование, но и в целом понимание происходящих в
них процессов.
2 Зак 771
Бочарников В.П.
34
Fuzzy Technology
Сложные объекты, как объекты управления обладают рядом
отличительных особенностей [4]:
1.	Не все цели выбора управляющих решений и условия,
влияющие на этот выбор, могут быть выражены в виде
количественных соотношений. С точки зрения приведенных
формальных постановок задач плохо определенными,
нечеткими могут быть множество критериев {К} и заданная на
них система предпочтений Р, нечетко могут быть определены
также характеристики классов при решении задач
классификации.
2.	Отсутствует либо является неприемлемо сложным
формализованное описание объекта управления. То есть имеет
место сложность построения функции р, описывающей
динамику объекта управления и определения значений
переменных, входящих в неё. Формально функция р может
представлять собой нечеткое отображения входных
переменных в выходные.
3.	Значительная часть информации, необходимая для
математического описания объекта существует в форме
представлений и пожеланий специалистов-экспертов,
имеющих опыт работы с данным объектом. Это чаще всего
приводит к нечеткости описания элементов формального
представления объекта управления (1.1). В частности нечетким
может быть описание состояния объекта Q и его
характеристик X, описание времени (например, нечеткость
запаздывания действия управления, момента начала
воздействия внешнего фактора и т.д.), нечеткость процесса
наблюдения за объектом у и сами оценки его состояния Y
(например, выгодность сложившейся обстановки, степень
удовлетворения проекта целям и задачам программы, плана и
т.д.), а также могут наблюдаться различные сочетания
нечеткости в описании составляющих аналитических задач.
Таким образом, неопределенность, проводящая к значительным
трудностям в решении задач и моделировании объектов и процессов
управления сложными динамическими объектами, порождается
множеством факторов. В том числе кроме указанных факторов следует
учитывать неопределенность из-за многокритериальности задач,
невозможности учета всех взаимно влияющих факторов “природы”,
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
35
статистической неопределенности, наличия конфликтующих сторон,
Приводящего к игровой неопределенности хода и исхода (иногда
называющегося стратегической неопределенностью), ограниченности
и недостаточной достоверности исходной и текущей информации и
многие другие факторы.
Исследования последних лет показали, что неопределенность
присущая аналитическим задачам принятия решения имеет более
общую природу, а не только статистическую. Основные виды
неопределенности приведены в виде дерева на рис. 1.5. Некоторые
пояснения относительно классификации видов неопределенности
рассмотрены в работе [1].
Рисунок 1.5 - Основные виды неопределенности.
О-Т’
Стремление к решению указанных аналитических задач в условиях
Неопределенности на основе традиционных подходов заставляет
рассматривать две альтернативы.
Первая - постараться учесть все возможные факторы, влияющие на
Отведение объекта. К сожалению, в силу специфики сложных
Объектов, это попытка "объять необъятное". Если и можно построить
Жкую модель, используя традиционные методы, то она будет
Громоздкой и неприемлемой для практического использования, что
Обязано как с функциональными, так и экономическими аспектами.
Бочарников В.П.
36
Fuzzy Technology
Вторая альтернатива - упрощение модели в рамках традиционных
методов, что неминуемо приведет к неадекватности получаемых
управленческих решений в следствие недостаточно полного учета
факторов неопределенности.
Таким образом построение точных математических моделей сложных
объектов, пригодных для реализации в прикладном программном
обеспечении при решении аналитических задач принятия решения, на
основе использования традиционных, широко распространенных
вариантов формализации и представления объектов (см. рис. 1.3) либо
затруднительно, либо вообще невозможно. Более того в [5]
доказывается, что свести подобные аналитические задачи с
неопределенностями к точно поставленным (хорошо
структурированным, хорошо формализованным) математическими
задачами, использующим классические подходы, нельзя в принципе,
поскольку это требует “снятия” неопределенности.
При решении подобного класса задач мы неминуемо сталкиваемся с
проблемой выбора альтернатив, формализацией неопределенного
объекта в слабоструктурированных (плохо формализуемых) ситуациях,
основная особенность которых заключается в том, что их модель
может быть построена на основании дополнительной информации,
получаемой от специалистов, экспертов, лиц принимающих решения в
реальных условиях. Отсюда следует необходимость разработки
специального (специфического) математического аппарата,
предназначенного для решения слабо структурированных (смешанных)
и неструктурированных (качественно выраженных) аналитических
задач. Этот аппарат должен адекватно отражать реальную
действительность с учетом характеристик субъекта, принимающего
решение. В противном случае рекомендации, предлагаемые
управляющие решения, полученные с помощью математических
моделей, расчетных задач, могут игнорироваться либо превратно
пониматься конкретными ЛПР, поскольку часть сведений о
закономерностях развития сложных динамических объектов, которыми
они располагают, носят характер нечетких описаний на
лингвистическом уровне. Именно наличие качественных, нечетких
описаний позволяют ЛПР принимать удачные решения в конкретных
слабо структурированных ситуациях и не учет этого, в рамках
математических подходов при решении аналитических задач
поддержки принятия решений, не допустим.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
37
J» "	- - -	- ~ =
Альтернативным способом моделирования и работы с очень сложными
Системами, возможно самым важным, является допущение нечеткости
Цри описании данных [8, 13]. Это утверждение основывается на
принципе несовместимости. Говоря не формально, суть этого
1яринципа состоит в том, что с ростом сложности систем наша
Способность делать точные и содержательные утверждения об их
Поведении падает до определенного предела, за которыми такие
характеристики, как точность и содержательность (или реальность),
становится взаимоисключающими. В этом смысле абсолютно точный
количественный анализ реальных сложных объектов управления не
слишком подходит для решения.
Таким образом, подход к решению аналитических задач поддержки
Принятия решений должен опираться на то, что ключевыми
элементами являются не числа, а метки некоторых нечетких множеств,
то есть классов объектов, для элементов которых переход от
Принадлежности к не принадлежности классу является не резким, а
.Постепенным. В самом деле, "вездесущая" нечеткость человеческого
умышлен ия наводит на мысль, что логика рассуждений человека не
Является обычной двухзначной или даже многозначной логикой, но это
j логика с нечеткими истинами, нечеткими отношениями и правилами
вывода. Как ни странно, именно такая нечеткая и не вполне понятная
Логика является важнейшим компонентом одной из главных
Особенностей человеческого мышления, а именно способность
Обобщать информацию, выделять только необходимые данные для
^решения конкретной задачи. Эта ключевая способность человеческого
Мышления и позволяет принимать удачные решения командирами и
Начальниками, ЛПР в конкретных конфликтных ситуациях. Не учет
Этого фактора при создании прикладного математического и
программного обеспечения во многом определяет недостатки
современных технологий и систем поддержки принятия решений.
Исходя из сказанного выше для реализации эффективного прикладного
математического и программного обеспечения технолохии решения
аналитических задач поддержки принятия решений по управлению
сложными динамическими объектами необходимым условием,
позволяющим получить более или менее адекватные решения, является
всесторонний учет неопределенностей при формализации и обработке
информации. Учет неопределенности информации и его
Бочарников В.П.
38
Fuzzy Technology
эффективность на прямую зависят от выбора математического
фундамента, определяемого математической теорией (рис. 1.3).
На сегодняшний день можно выделить ряд математических теорий
предназначенных для формализации неопределенной информации:
1.	Многозначная логика;
2.	Теория вероятности;
3.	Теория ошибок (Интервальные модели);
4.	Теория интервальных средних;
5.	Теория субъективных вероятностей;
6.	Теория нечетких множеств;
7.	Теория нечетких мер и интегралов.
Результаты сравнения математических теорий, с точки зрения их
применимости для решения рассмотренных выше аналитических
задач, приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2 -Сравнительный анализ математических подходов.
№	Учитываемая характеристика	Подходы к учету факторов неопределенности						
		1	2	3	4	5	6	7
1.	Учет физической числовой неопределенности	-	+	+	4-	4-	4-	4-
2.	Учет физической нечисловой (событий) неопределенности	4-	4-	-	4-	4-	4-	4-
3.	Учет нечисловой лингвистической неопределенности	4-	-	-	-	+	4-	4-
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
39
№	Учитываемая характеристика	Подходы к учету факторов неопределенности						
		1	1 2 .1	Ьз	*1	5	6	7
4.	Зависимость ошибки конечного результата от точности задания исходных данных	не допус- тима	очень сильно растет		растет		не превосход ит ошибки иа входе	
5.	Возможность учета семантической модальности информации	4-	Рг	-	-	Рг	Poss	4-
6.	Возможность учета квалификации уровня (количественной оценки) неопредел.	-	4-	-	-	4-	4-	+
$ 7.	Учет квалификации (Более чем, значи- тельно, очень и т. д.)	4-	-	-	-	-	4-	4-
4	Возможность учета противоречия между точностью и неопределенностью	4-	-	-	4-	4-	4-	4-
^37	Эффективность формализации полного незнания	4-	-	4-	4-	4-	+	4-
	Отсутствие требования жесткого задания полного перечня событий	4-	-	4-	4-	-	4-	4-
1 ’ !* i • * 	Возможность эффективного учета взаимовлияния неопределенности при обработке	4-	-	-	-	-	-	+
	Возможность одновременного получения пессимистических и оптимистических оценок и уровня доверия к ним		-	4-	-	4-	4-	4-	4-
Бочарников В.П.
40
Fuzzy Technology
№	Учитываемая характеристика	Подходы к учету факторов неопределенности						
		1	2	3	4	5	6	7
13.	Единый подход к представлению точных, неопределенных, неполных, нечетких значений атрибутов	-	-	-	-	-	-	
14.	Возможность реализации алгорит- мов обработки информации			+	+			
15.	Возможность работы на профессиональном языке пользователя	+	-	-	-	-		
16.	Простота выявления экспертных знаний		-			-		
17.	Возможность работы с неопредел. информацией, основанной на малых статистич. выборках		-			-		
18.	Наглядность получаемых результатов расчета для оценки рисков	-	-	-	-	-		
Анализ полученных результатов исследований показал, что одной из
наиболее эффективных математических теорий, направленных на
формализацию и обработку неопределенной информации и во многом
интегрирующей известные подходы и методы, является теория
нечетких мер. Условные рейтинги рассмотренных подходов,
полученные на основе приведенной таблицы, приведены на рис. 1.6.
Данная математическая теория позволяет с единых позиций
рассмотреть различные виды неопределенности, учесть наилучшим
образом достижения и положительные свойства других теорий и
получить новый, качественно более высокий, результат.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
41

Рисунок 1.6 - Условные рейтинги подходов
^1|ким образом, для создания технологии решения рассмотренных
£feee классов аналитических задач в условиях неопределенности
^несообразно применение именно теории нечетких мер. При этом в
•гуде представления нечетких данных в виде распределений нечетких
Шер возникает ряд практических задач обработки такого рода данных,
Й^орые должны базироваться на сформулированных и доказанных
(•еретических положениях. Несмотря на значительное развитие в
•кледние годы теории нечетких множеств математические подходы,
•Июльзующие нечеткие меры еще развиты недостаточно и остается
большое количество вопросов их практического применения. С
момента первых публикаций по основам теории нечетких мер [10]
йрошло уже около 30 лет. Наибольшее распространение получили
Исследования и практическое применение меры возможности и
Необходимости [11, 12 и др.]. Работы по развитию всей теории
•ечетких мер представляют собой в основном статьи, которые
раскрывают отдельные аспекты применения нечетких мер и не
Позволяют решить полностью рассмотренные задачи.
Йсследования показали, что наиболее неизученными являются
Йоменты, связанные с моделированием, оценкой состояния и
управлением процессами, описывающими нечеткими данными, как в
Дискретном, так и в непрерывном времени. В имеющихся подходах
Наиболее часто используются для описания неопределенности
Нечеткие множества (могут трактоваться как распределение плотности
»вчеткой меры возможности - частный случай нечетких мер), что
Ограничивает имеющиеся возможности по моделированию и решению
Бочарников В.П.
42
Fuzzy Technology
аналитических задач. Исходя из сказанного выше, рассмотрение
дальнейшего материала будет проводиться с точки зрения
последовательного решения следующих четырех задач.
1.	Развитие унифицированного математического подхода к
представлению нечетких данных на основе теории нечетких мер.
2.	Развитие теоретических основ обработки и преобразования
данных в моделях нечетких процессов на основе нечеткого
интегрирования.
3.	Разработка математических моделей нечетких процессов.
4.	Разработка методов и алгоритмов оценки состояния,
идентификации, моделей, оптимизации управления и выбора
решений в аналитических задачах управления войсками
стратегического уровня.
Таким образом, прежде всего необходимым является систематизация и
развитие теоретических основ нечетких мер, множеств и интегралов,
которые могут быть эффективно применены для решения
аналитических задач поддержки принятия решений и являются
математической основой Fuzzy-технологии. Именно этим задачам и
будут посвящены следующие три главы. Далее будут рассмотрены
вопросы общих формулировок и решений аналитических задач
поддержки принятия решений в условиях неопределенности (задачи
оценки состояния, идентификации моделей объектов, формирования
управления сложными динамическими объектами).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
43
Глава 2
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ
ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ
НЕЧЕТКОЙ МЕРЫ
Бочарников В.П.
44
Fuzzy Technology
2.1.	Определение и основные свойства
нечеткой меры
Нечеткая мера может рассматриваться как обобщение понятия
вероятностной меры, свободное от ряда ограничений.
Как известно, мерой называется функция множества	р (х ) —> R
удовлетворяющая следующим трем аксиомам [14, 15]:
1)	A G X => т(А)> О;
2)/и(0) = О;
3)А, Be Р (Л), то/и (Аи В) = т(А) + т(В) - т (Л пВ) =
т(В) + т(А) -т(В п А).
Здесь Р (Л) - множество всех подмножеств X, R - множество
действительных чисел. При R ~ [01] эти аксиомы определяют
вероятностную меру. В отличии от вероятностной меры,
рассматриваемая нами в дальнейшем, нечеткая мера свободна от
весьма ограничительного требования аддитивности. Приведем
соответствующее определение нечеткой меры.
I Определение 2.1. Нечеткой мерой, заданной на пространстве (X,
В), где В - с- алгебра для X, называется не аддитивная функция
множества g(): В —> [01] удовлетворяющая следующим
свойствам:
1)	g (0) = 0, g (X) - 1. (ограниченности);
2)	Если А, В е В и А с В, то g (А) < g (В)
(монотонности);
3)	Если Fn е В, и	является монотонной
последовательностью множеств (возрастающая или убывающая),
то limg(F) = g(limF ) (непрерывности).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
45
Тройка (X, В, g) - называется пространством с нечеткой мерой. В
общем случае для нечеткой меры не должно выполняться условие
аддитивности:
g (А и В) / g (А) + g (В),	А, В g В, А п В = 0.
Нечеткую меру g(-) можно рассматривать как однопараметрическое
расширение вероятностной меры. С семантической точки зрения
выражение g(A) представляет собой меру, характеризующую степень
нечеткости события А, то есть оценку нечеткости суждения “х g А”.
* г и
Непосредственно из аксиомы монотонности вытекают следующие
неравенства, характеризующие объединение и пересечение множеств:
g (А и В) > max (g (A), g (В)),	(2.1)
%. g (А п В) < min (g (A), g (В)).
Предельным случаем (1) для нечетких мер оказываются функции
множества удовлетворяющие выражениям:
Poss (А и В) = max (Poss (A), Poss (В)),	(2.2)
Ness (А п В) = min (Ness (A), Ness (В)),	(2.3)
где Poss (possibility) - мера возможности, a Ness (nessesary) - мера
необходимости.
1)о аналогии с функцией распределения вероятности (если X = R) меру
g() можно определить с помощью непрерывной функции,
удовлетворяющей следующим свойствам:
1)	Если х < у, то h(x) < h (у), х, у g R;
2)	lim h(x) = h(a) »
х-*а
3)	lim h(x) - 0, lim h(x) - 1 •
Функция h(x) называется нечеткой функцией распределения. Значения
g(x) нечеткой меры, определенные на одноточечных подмножествах х
€ X называются плотностью нечеткой меры.
Бочарников В.П.
46
Fuzzy Technology
2.2.	Построение нечетких мер.
Семантические модальности нечетких мер
Вопросу построения и представления нечетких мер посвящено
большое количество работ [1, 10, 11, 12, 16] и др. Однако, наиболее
стройным построением нечетких мер можно считать построение на
основе функции меры фокальных элементов.
Определение 2.2,
Функцией меры фокальных элементов называется функция
определенная на подмножествах Ер, р Ер а X называемых
I фокальными элементами и удовлетворяющая условиям:
(2.4)
$>(£„) = 1;
^=1Л
V/7, т(Ер)>0-
Величина т(Ер) понимается как значение вероятности совокупности
элементарных событий, составляющих Ер, причем здесь не
оговаривается распределение величины т(Ер) по элементарным
событиям. Подмножества Ер, p~l,7V называются “фокальными
элементами” и могут отражать неточность наблюдений. Семантически
величина т(Ер) согласно [1] выражает степень уверенности,
отнесенную к множеству А в целом.
На основе функции т(-): Р(х) —» [01] могут быть построены различные
нечеткие меры.
Определение 2.3.
Мерой доверия (belief measure) называется функция множества
Bel(-): 2х —> [01], определяемая по распределению уверенности
т( ) как:
(2.5)
Ве1(А) = ^т(Ег)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
47
(2.6)
и удовлетворяющая следующим свойствам:
a)Bel(0) = O, Bel(X)=l
б)УЛ|,...,Л„аХ,и>0
Bel(A^...^An) > % (—l)|/|+,Be/fp| Л,
/с {!.-..«}	Me/
/*и
где |I| - мощность множества 1 (индексной последовательности).
Для двух множеств А, В с X имеем:
ВеЦА U В ) > Ве1(А ) + В el(B)- Bel (А П В )	(2-7)
Функция Bel семантически определяет тот факт, что степень доверия к
высказыванию А (А # 0), которое является истинным, не обязательно
равна 1. Это доказывает, что существует некоторое доверие к
высказыванию А определяемое внешними или внутренними
факторами. В то же время, отсюда следует, что сумма степеней
доверия к событию А и его отрицанию А также не обязательно равна
1, а может быть либо равной, либо меньше 1. Из (2.5) вытекает:
V/1 сХ:ВеЦА) + Ве1(А ) = 1 - ^т(ЕР) е [01)
(2.8)
В работах [1, 12] показано, что если множество фокальных элементов
{Ер} образует последовательность вложенных подмножеств, т.е. если
Ег £ Е2 G — С En, то функция доверия Ве1(А) может трактоваться как
нечеткая мера необходимости.
|Определени^2А
Мера доверия удовлетворяющая свойствам (2.6) и свойству (2.3)
называется нечеткой мерой необходимости. (Ness (•))
При этом выполняются условия:
min [Ness (A), Ness ( А )] = 0,	(2.9)
V А,В сХ, Ness(A и В) > max [Ness (A), Ness (В)].	(2.10)
Мера необходимости Ness(A) определяется фокальными элементами,
образующими вложенную последовательность подмножеств X,
Бочерникое В.П.
48
Fuzzy Technology
которые делают необходимым появление события А (влекут за собой
событие А).
(2Л1)
Определение 2,5
Нечеткой мерой правдоподобия (plausibility measure) называется
функция множества Р1(): 2х—> [01], определяемая по
распределению уверенности т( ) как:
VACX,P1(A) = Е т{Е }
f.rn.<*0
и удовлетворяющая следующим свойствам:
а)Р1 (0),Р1(Х) = 1;
б)	\/Ах,...,А„ сХ,н>0<
X}	/е/
(2.12)
Для двух множеств А, В с X выполняется:
Pl (А с\В) <Р1 (А)+ Р1 (В).
Мера Р1() выражает степень правдоподобности события А а X,
которая может быть и больше, чем 0 даже в случае ложности
высказывания Л. Согласно [1] между мерами доверия и правдоподобия
существует двойственная связь, определяемая следующими
соотношениями:
Pl(A)+Bel (А) = 1.	(2.13)
V А, В с X, Pl (А) > Bel (А).
В том случае, когда множество фокальных элементов является
вложенной последовательностью подмножеств, нечеткая мера
правдоподобия определяет нечеткую меру возможности.
Определение 2.6,
Нечеткой мерой возможности называется функция множества,
удовлетворяющая следующим условиям:
a)Poss(0) = O, Poss(X)=l.
б) Vie I, Ai а X, Poss ((J At )= sup Poss (Л,),	(2.14)
/е/	/6/
где I - множество натуральных чисел.
В случае вложенности множества фокальных элементов нечеткая мера
возможности может быть определена с помощью распределения
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
49
возможности л(х): X—» [01] (плотности нечеткой меры возможности)
такой, что
sup7t(x) = l.	(2.15)
XG X
При этом имеем:
Х/хеХ, я(х) =
(2.16)
0, хеХ\Ер
где Е, a Ei+|.
В силу того, что меры возможности являются нечеткими мерами
правдоподобия, а необходимости - мерами доверия, то для них
справедливо условие двойственности (2.13):
V А с X, Poss (А) = 1 - Ness (Х\А).	(2.17)
Соотношение (2.17) выражает численное соотношение двойственности
между семантическими модальностями “возможно” и “необходимо” (в
модальной логике), постулирующее тот факт, что некоторое событие
необходимо, когда противоположное событие невозможно. В силу
фтого всегда можно построить меру необходимости исходя из
распределения плотности нечеткой меры возможности с помощью
формулы:
r	Ness(A) = inf£1 - яг(х)| х £ /1}
точки зрения теории нечеткой меры возможно и представление
Нечетких множеств, нашедших широкое применение в прикладной
математике для описания сложно формализуемых объектов и систем.
При этом, задание нечеткой меры локализирует значение переменной
X, выражая для каждого подмножества А с X имеющуюся
Информацию об отношении х с А. Семейство подмножеств,
Подходящих для представления переменной х с X, будет индуцировать
обобщенную характеристическую функцию нечеткого множества. При
этом данное представление строго эквивалентно представлению через
функцию принадлежности ц(х): £	[01] [15] в случае использования
нечетких мер возможности. Нечеткое множество, в этом случае,
рассматривается как “след” меры возможности на одноточечных
Множествах в X. Если Е с X достоверное событие, то легко определить
Бочарников ВЛ.
50
Fuzzy Technology
функцию П co значениями {0,1}, удовлетворяющую условию (2.2)
вида:
П£(Л) =
1, Af]E*0-
0,
(2.19)
В этом контексте ПЕ(А) = 1 означает, что событие А возможно, а
следовательно функция П( ) = Poss( ). Если мера возможности
принимает значения в единичном интервале, то функцию плотности
нечеткой меры возможности л(х), определенную на одноточечных
подмножествах X, можно интерпретировать, как функцию
принадлежности четкого множества F, рассматриваемого как
достоверное событие, на котором сосредоточена мера Poss().
Действительно, обозначая F(X) множество нечетких подмножеств
универсума X, имеем:
VPoss(),3Fg F(X), VxgX, Poss ({х}) = л (х) — цх (х).	(2.20)
В то же время, задание нечеткого множества достаточно для описания
функции плотности нечеткой меры возможности при условии, что это
нечеткое множество нормально, то есть 3 х е X, pF (х) ~ 1.
Если же считать, что условие Poss (х) = 1 может не выполняться, то
имеем:
VF g F(X),3 Poss (), VxgX, Poss ({x}) = л (x) = px (x).	(2.21)
Величина Poss(x) — suppx(x) называется высотой нечеткого множества
F и обозначается hgt (ц). Легко видеть, что при определении функции
плотности нечеткой меры по мере фокальных элементов ш(«) сами
фокальные элементы образуют семейство
C(F) = {Fa | Fa = [х g X|pF(x)>ae [01]]}	(2.22)
а- срезов нечеткого множества F. (Множество Fa содержит все
элементы из X, для которых уровень совместимости F не меньше а е
[01]).
Семейство C(F) всех а-срезов ест£ монотонная последовательность
множеств, удовлетворяющая условию:
а, ₽ е [0,1], 0 < а< р < 1 => Fao Fp	(2.23)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
51
Тогда, если Fa совпадают с фокальными элементами Ер (определение
2.2) имеем:
Ер = F„p, где	(2.24)
<*Р= L т(Е j)
J = p...N
тогда: V х е X,	(2.25)
Это так называемый “вероятностный способ” представления нечеткого
множества.
Для представления четких данных, по которым имеется полная
уверенность в их значении, может использоваться примитивный класс
мер, а именно меры Дирака.
Определение 2,7.
Мера Дирака есть функция множества, определяемая
соотношением:
VAcX,
[1, х0 е Л;
=	4.	(226)
О, Xq <2 Л9,
где х0 - заданный элемент в X, на котором сосредоточена мера
Дирака.
?
г
*Как видно из определения мера Дирака есть частный случай
вероятностной меры, соответствующий детерминированной ситуации
(меры полной уверенности).
{Некоторые наиболее существенные соотношения нечетких мер,
Досмотренные ранее, приведены в табл. 2.1.
В заключение пункта продемонстрируем возможность представления
Нечетких данных для решения аналитических задач поддержки
Принятия решений на основе нечетких мер на простом примере
экспертной лингвистической оценки риска при реализации некоторого
инвестиционного проекта.
Бочарников В.П.
52
Fuzzy Technology
Таблица 2.1 - Соотношения нечетких мер.
№	Условие	Соотношения
1.	VAcX	Pl (A) + Bel(Z)= 1-
2.	VAcX X, й А,	Pos(A)= 1 -Nes(X\A) Nes(A)=mf(l- Pos ({x}))
3.	VAcX	Pos(A) > P1(A) > Bel(A) > Nes (A)
4.	VPos(), HFg F(X), VxeX,	Pos({x})= Pf(x). sup Pos({x})= 1. x 6 X
Пример 2.1.
Пусть оценка риска оценивается лингвистически на множестве
возможных значений: D — (1 -риск отсутствует, 2 - минимальный риск,
3 - допустимый, 4 - критический, 5 - недопустимый, 6 - неизвестно,
является ли это риском). В табл. 2.2 приведены варианты
формализации нечетких данных при решении задачи оценки уровня
риска реализации проекта.
Таблица 2.2 - Пример формализации нечетких данных.
№	Описание нечетких данных	Представление нечетких данных на основе НМ	
1	Неизвестно есть ли риск или нет, но если он есть, то неизвестно какой величины.	д(с/) = 	1,	д() = Poss(); 0,	д() = Ness().
2	Вполне возможно, что риска нет, тем не менее есть возможность Л, что риск есть и он оценивается не выше критического.		' — о >> X	<1 О. tx II IV Л W U
3	Есть полная уверенность, что риска нет.	M(d) = -	0, d е D\ {6}; 1, d = 6.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
53
№	Описание нечетких данных	Представление нечетких данных на основе НМ		
т	Вполне правдоподобно, что есть риск и достаточно высокого уровня, но имеется и не нулевая возможность X, что эта риска нет	= - Р1 - pacnpi понятия «]		Pl, d е D\ {6}; Z, d = 6. еделение меры правдоподобия для риск высокого уровня»
5	Есть полная уверенность, что риск есть, но тяжело оценить его значение.	/'(</) = •	1,	д() = Poss(-), d ф 6; Л е [01], д( ) = И(), &/(-), d ф 6; 0,	д(-)= №ss(-)v(d=6).	
6	Полная уверенность, что риск есть, и неполная информация о его значении. Однако известно, что значение риска от минимального до допустимого.			1, de [2,3]; 0, d й [2,3]; 0,	d = 6.
7	Полная уверенность, что риск есть и нечетко известно, что он небольшого размера.	д(Ф =  ф(й) - понятия < 2.1.		<p(d), d е D\ ]6}; 0, d = 6. распределение нечеткости для «риск небольшого размера», рис.
8	Полная уверенность, что есть допустимый риск.			0, d е D\ {3}; 1, d = 3.
Рисунок 2.1 - Распределение нечеткой меры оценки уровня риска
понятия «риск небольшого размера».
Очевидно, что приведенные в табл. 2.2. примеры формализации
нечетких данных не ограничивают всего спектра возможностей
Бочарников В.П.
54
Fuzzy Technology
подхода на основе нечетких мер. При необходимости в каждой
конкретной аналитической задаче могут использоваться
индивидуальные, наиболее подходящие варианты формализации
нечетких данных.
Приведенные определение и основные свойства нечеткой меры
позволяют констатировать, что использование формализма нечетких
мер дает возможность описать более широкий спектр разнородных,
плохо определенных данных, эффективно учесть различные
семантические модальности информации о событиях, более адекватно
описать реальные аналитические задачи поддержки принятия решения.
В частности, нечеткие множества и вероятностная мера могут
рассматриваться как частный случай нечетких мер.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
55
2.3.	gx - меры Суджено и их свойства.
Семантические спектры
При решении практических задач нашли широкое распространение
различные конструкции нечетких мер, удовлетворяющие свойствам
определения 2.1. Однако, наиболее широкое распространение нашли
так называемые gx - нечеткие меры введенные в рассмотрение в
работах [10,16] М. Суджено (М. Sugeno).
Для построения gx- мер используется следующее X- правило:
\ УА,ВаХ, АпВ-0,
gx(A иВ) = gx(A) + gx(B) + X - gx(A) - gx(B), X g [-1, + -[• (2.27)
В случае, когда А О В = X и gx (А О В) = 1 условие (2.27) является
условием нормировки gx - меры. Исходя из условия нормировки gx-
меры можно определить меру дополнения А - X \ А Ac X
/согласно выражения:
1 - gA(X) .	(2.28)
r+l-gAM);
[Формула (2.28) определяет класс Х-дополнений Суджено,
Определяемый генератором отрицания (монотонно возрастающий
^функцией) t: [01] —> R+, t (0) ~ 0, такой, что c(g) = Г!(1(1) -1 (g)) вида
i	1	(2.29)
|	=-a-ln(l + Ag).
Л
Все рассматриваемые gx-нечеткие меры в зависимости от параметра
формировки X могут быть разбиты на классы:
1)	супераддитивных нечетких мер (X > 0);
2)	субаддитивных нечетких мер (-1 < X < 0);
3)	вероятностных мер (X = 0).
Для супераддитивных мер справедливо выполнение условия:
V А, В с X, А п В = 0, gx(AoB)>gx(A) + gx(B). (2.30)
Бочарников ВЛ
56
Fuzzy Technology
При этом, если h(x) - есть функция распределения плотности нечеткой
меры, для супераддитивных нечетких gx- мер, X есть непрерывное
пространство, то выполняется и следующее условие:
^h(x)dx = N* < Г	( 3 )
х
где 1	f интеграл Лебега.
Nz=yln(l + A), Л е [-!,+-[, J-
Л	х
Как нетрудно заметить, что условия (2.30), (2.31) соответствуют
условиям (2.6), (2.7), определяющим нечеткие меры доверия
(определение 2.3). Отсюда следует, что любая gx - нечеткая мера
является по семантической модальности нечеткой мерой доверия тогда
и только тогда, когда X > 0.
Для субаддитивных нечетких мер условия (2.30), (2.31) принимают
следующий вид:
\/А,В с X, АПВ = 0, gi(AUB) < gA(A) + g^By (2.32)
fo)dx=h\>V	(233)
X
В этом случае выполняются условия (2.12) определения 2.5,
определяющего нечеткую меру правдоподобия. Следовательно, по
аналогии с нечеткими мерами доверия, любая gx - нечеткая мера
является нечеткой мерой правдоподобия тогда и только тогда, когда Z.
е [-1,0[. В случае, когда X = 0 мы имеем выполнение следующих
условий:
1) V АсХ, gx(A) е [01], gx(0)-0,gx(X) =1;
2)V AicX,	ie N, Vi^j, А5пА-0,то
&(U4)=Xa.(4)-
re7V	/eA
которые соответствуют аксиомам, определяющим вероятностную
меру.
В табл. 2.3 приведены классификация нечетких мер, их определения по
фокальным элементам, рассмотренные ранее, а также наиболее
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
57
*^ggSS	. —।   	 „.„Г - 	—
характерные зависимости, условия нормировки и соответствующий к-
параметр меры.
Таблица 2.3 - Классификация нечетких мер.
N®	Класс НМ	Семант. модальн	Определение по фокал. элемент.	Характерные зависимости	Условия нормировки	Зна- чен к
1	Супер адди- тив- ные	дове- рие (belief)	ВеЖ)=	ВеЖ1)В)>ВеЖ)+ +Ве1В)-Ве1йГ)В)	Ве2(А) + Ве2(А) = = 1- X™ ^Р)- KpttA Ер<£А Jh(x)dx	<1	о А
2		необхо- димости (nesse- saiy)	анологично Bel; Е|СЕ2с... cEn	Nes(AuB) > > Nes(A)vNes(B). Nes (AnB) = = Nes(A) л Nes(B),	Nes(A) а Nes(^)= = 0,	
3	Суб адди- тив- ные	правдо- подобие (plause- bility)	Р1(А) = L т (Ер . Ер П А *0	PI(AnB)<PI(A)+ +Р1(В).	PICA) + Р1(Л )> 1. Jhfccjdx = N; > 1 О	о V << у 
Г		возмож ность (posse- bility)	анологично Р1; EicEjC... сЕц	Pos(U Л) = де/ “sup Ро8^» <€/	sup Pos(xi) = 1 i	5
в	Адди- тив- ные	вероят- ность (proba- bility)	анологично Bel и Р1; Ер = {хр}	Pr(A и В) = Рг (А)- + Рг (В) - Рг (АпВ); Рг (А\В) = Рг (А) - -Рг(В).	ZPr(X|)=l i	X
	Ди- рака	чет- кость		VAcX [1, л0 е л д(Л)=к х0*4		Про- из- воле ное
Представление нечеткой gx - меры зависит от носителя меры -
пространства X на котором она задана. Когда X есть конечное
Бочарников В.П.
и
58
Fuzzy Technology
множество X = {xj, тогда нечеткая мера gx алгебры всех подмножеств
(X, 2х) строится следующим образом [12].
Пусть gx (х;) = g1 е [01], i= 1, п . Тогда условие нормировки будет:

Ле[-1,+оо[
(2.35)
Величина g‘ определяет нечеткую меру сосредоточенную на
одноточечном множестве {х.} с: X, i = 1, /V . и тем самым определяет к-
плотность нечеткой меры по Суджено. Тогда, при любом
подмножестве А с X можно получить удовлетворяющую 1-правилу
меру gx (А) по формуле:
gx(A)= 1
Л
(2.36)
х.еЛ
Из приведенных выражений следует:
gx({Xi}) = g'
gx({xi,Xj}) = g, + g’ + X g'g",	i*j.	(2.37)
В случае, когда пространство X, изоморфно множеству
действительных чисел R можно задать функцию Н(х) аналогичную
функции распределения вероятности (см. п. 2.1). Тогда с
использованием этой функции можно определить нечеткую меру для
любого интервала [a, b] с X следующим образом:
^bicX- <2J8)
Уравнение (2.38) непосредственно следует из условия 1-правила (2.27).
Согласно Суджено функция Н(х) называется функцией F-
распределения. Как показано в [12] для непрерывного X 1-мера
подмножества А с X может быть определена исходя из следующих
соотношений. Пусть h(x) есть плотность нечеткой меры на X. Тогда
согласно (2.31) имеем:
Ле[-1+~[ •
х	л
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
59
Если мы определяем меру g(A), А с X, тогда имеем:
JMXX/V.
х	Л
Выражая из этого равенства g(A) получим:
gx(A)= у
Л
ЛJ h(x)dx
< е л
(2.39)
Таким образом для определения gx - меры в (2.39) используется
интеграл Лебега, то есть X - нечеткая мера вводится как сумма
бесконечного числа интегралов Лебега функции плотности h(x) по А
G X. Следует отметить, что согласно теоремы Лопиталя [12]
вероятностный случай входит как частный случай в уравнение (2.39).
Данное уравнение можно представить в эквивалентной форме:
8х(>0={(1+Л>₽-1}';
pN
gx(A)=
о
р = | h(x}dx • < J h(x)dx >
Л	[x	J
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Легко показать, что функция gx( ) удовлетворяет Х-правилу (2.27).
Используя функцию (2.39) можно просмотреть изменение
Семантической модальности нечеткой меры при изменении X-
^араметра. Рассмотрим пример представления неосведомленности
В]-
Пример 2.2.
Пусть X = [02]. Неосведомленность с вероятностной точки зрения
Определяется равномерным распределением: V х е X, р (х) = 0,5.
В случае F-плотности, тот же случай неосведомленности определяется
выражением:
Бочарников В.П.
60
Fuzzy Technology
V x e X,
h(x) =
1П(1+Л)
2Л
Рассмотрим событие W с X, W - [01]. Тогда вероятность события W
будет:
1
Р(Ж) = jp(x)rfx = o,5.
о
Для нечеткого случая имеем:

[ 1п(1+Л)
, ! 2Л
______1
л/1 + Л +1
Рисунок 2.2. - Зависимость нечеткой меры от X.
Аналогичное выражение получаем для события П = [1,2]. Тогда, мы
можем получить зависимости распределения нечетких мер для случая
отсутствия сведений (рис. 2.2). Из анализа зависимости рис. 2.2. можно
сказать следующее. Возможность того, что W е [01] равна 1;
вероятность того, что We [01], равна 0.5, и необходимость того, что W
е [01] равна 0. Эти результаты интуитивно совершенно понятны.
®
Обобщая полученные в примере 2.2 результаты можно отметить, что
для фиксированного события W с X функция
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
61
gx(W) = sem^(A),	(2.43)
где	semti, (Л):[~1,+oo[—> [01] > определяет зависимость значения
нечеткой меры от семантической модальности события W с X.
Определение 2.8
Функция $елиДЛ):[-1,+оо[-^[01], определяющая для
фиксированного X значения нечеткой меры g(W) события W с X
называется семантическим спектром события W g X.
Функция semw{?C) есть функция не возрастающая для любого И7сX.
Построение, исследование и практическое применение зависимостей
семантической модальности gx - нечетких мер для семантического
спектра события jy х .является одним из наиболее интересных
направлений исследования нечетких мер и их применения.
Использование введенных понятий в реальных системах поддержки
Принятия решений раскрывает широкие горизонты для более полного
учета субъективных особенностей процессов принятия решений.
Однако, на сегодняшний день данные исследования еще находятся в
Начальной стадии.
<Гаким образом, сегодня одним из достаточно эффективных способов
Моделирования нечетких мер можно считать применение gx - мер
Суджено, строящихся на основе X - правила. Использование
алгоритмов построения gx - нечетких мер как для дискретного, так и
для непрерывного пространства X позволяют сделать эффективные
расчетные процедуры для прикладного программного обеспечения при
решении практических задач поддержки принятия решений в сложных
динамических системах.
Бочарников В.П.
62
Fuzzy Technology
2.4.	Нечеткозначные нечеткие меры и их
связь с семантическими модальностями.
Аналогично тому, как для нечетких множеств существует обобщение
функций принадлежности для их области определения [11, 15, 17]
можно рассмотреть некоторое обобщение и для нечетких мер.
Рассмотрим пространство X. Пусть F(x) определяет множество всех
возможных распределений нечетких мер на Х9 т.е.:
F(X)={g.()|g,():2' ->[01]}.	Р-44)
Для любой нечеткой меры gx (•) соответствует плотность
распределения нечеткой меры g(x) : X —> [01]. Тогда можем переписать
2.44 в виде:
Fт={s(xfe(x): X -> [01], Vx е X}	Р-4»
Нечеткозначная мера или нечеткая мера типа 2 может быть задана
рекурсивно следующим образом:
/^(Х) = Х;
F1 (X) = F (/Л (X)) = F (X);
(X) = F(F’ (X)) = {g2 (х) | g2 (x) : F (X) -» [01]}.	(2.46)
Нечеткая мера типа 2 может быть интерпретирована как нечеткое
высказывание вида “W есть ц, есть X", т.е. событие W имеет нечеткую
меруц с истинностью X.
Практически, для фиксированного значения х е X нечеткая мера g2(X)
задаем распределение плотности нечеткой меры на единичном
интервале L = [01]. Графически это представляется в виде (рис.2.3).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
63
b.
Рисунок 2.2 - Распределение нечеткой меры типа 2.
Нечеткая мера на L для каждого х g X может быть интерпретирована
"как условная нечеткая мера вида
£Д.) = адХ):2‘-»[01];
где 2l - булеан единичного интервала L = [01]. Если для каждого х g X
’Поставить в соответствие интервал А(х) = [0,г(х)] с [01], такой, что г g
j01], г = gL(A(x)lx) :*-»[01] - есть распределение плотности нечеткой
Мры g2(X) при фиксированной степени истинности г g [01].
Обозначим значение нечеткой меры события Wai X при уровне
истинности г g [01] как g2(W): 2х ->[01]. Мера gr2(W) события WcX
есть неубывающая функция степени истинности г е [01]. В силу того,
Что нечеткая мера определенная на L = [01] для фиксированного хе X
^сть функция не убывающая, то с увеличением г значение плотности
Нечеткой меры на х gL(A(x)\x) будет увеличиваться. Это равносильно
^ому, что значение Л параметра нечеткой меры gr(x) будет
Уменьшаться, что соответствует переходу к мерам правдоподобия
(возможности) события. Физически это означает следующее:
Истинность того, что мы определяем достоверно возможность события
Выше чем определение необходимости события в силу того, что
Бочарников ВЛ.
64
Fuzzy Technology
определение возможности менее “обременительно”, чем определение
необходимости события.
Таким образом, мы получаем некоторую зависимость функции gr2(W) и
semw (Л). То есть нечеткозначные нечеткие меры (нечеткие меры типа
2) могут быть определены для каждого события IV своим
семантическим спектром semw (к) в случае определения функции fjj) :
[01]-»[-1,+°°[-
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
65
2.5.	Идентификация и аппроксимация
gx - нечетких мер
Для решения практических задач и дальнейшего использования в
различного рода алгоритмах обработки нечеткой и слабо
структурированной информации очень важным является
идентификация нечеткой меры. В работе [15] предлагается следующий
подход к идентификации нечеткой меры. Предполагается, что
эксперимент должен дать оценки степени важности всех подмножеств
Из пространства X. При этом необходимо иметь субъективные оценки d
t^KHe, что d : 2х —» [01]. Тогда идентификация нечеткой меры
Заключается в минимизации функционала вида:
в у =,Цг £(<(£)-&,(£))’.	(2Л7)
YJZ |£e2*
В Card 2х - мощность множества 2х, a gxx (Е) - вычисляется по
формуле для нечетких gx - мер для подмножества Е сХ,
)м решения задачи идентификации является значение
X и нечетких плотностей gx/, gx2,... gx„, п = CardX.
г данного подхода к идентификации нечеткой gx - меры
т ряд недостатков:
Этот подход может быть использован лишь при не большой
эщности пространства X, иначе процедура оптимизации
/нкционала (2.47) оказывается весьма сложной.
С практической точки зрения при большом Card X
ачительно осложняется процедура выявления знаний у
сперта относительно субъективных оценок подмножеств из
разом, в реальных задачах использование этого метода
ся затруднительным.
Бочарников В.П.
66
Fuzzy Technology
Однако, использование свойств gA - меры позволяет упростить
процедуру ее идентификации по ответам экспертов (их субъективным
оценкам). Рассмотрим следующий подход к идентификации нечеткой
gA - меры.
Разобьем пространство X на три подмножества £4 }, z = 13 таким
чтобы Ai QAj = 0> иAj =Х1 А_ * Аi * J Обозначим
f
меру подмножества А< как g, . Эксперту предлагается оценить степень
предпочтения At- над А* (где - дополнение к Л, Д- = ДА Л,-), то
есть того, что, например, истинное значение нечеткой величины
находится в подмножестве Ai9 а не А; .Тогда из условия нормировки
имеем:
S + ^23 + ^й^23 “ 1;	(2.48)
- =а;
. &23
где G23 - мера подмножества А2 о А3, а а- степень предпочтения А / над
А2 о А3, L е [0,1]. В данном случае может быть использована
обоснованная Т. Саати [2] шкала субъективной оценки предпочтения
одного элемента над другим.
Преобразуем (2.48). Из второго уравнения G23 = gi а’1. Представив эго
выражение в первое уравнение, имеем:
Ag?+gi(l+a)-a = 0.	(2.49)
Данное уравнение определяет зависимость меры множества Л/ от Л-
параметра и субъективной оценки предпочтения. Используя
аналогичные рассуждения для подмножества А2 и определяя
АЛ
экспертное предпочтение Л/ над А2 в виде ----= у ,получим
g2
следующую систему уравнений:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
-W + g2(1+ «)-« = °
f	tel + S2 (1 + Д) - Д = 0	(2.50)
= ?ё2
#Jw имеем разрешимую систему уравнений относительно gb g2, X. В
результате решения (2.50) получим:
/2Д-а
j/	g2~r2(j8+l)-r(a+l)’
Ъ	у2Р-а
= (2Я)
_ она2 -аЬ(у2р+а)+Ь2у2р
t	' Л?р-а)2	;
где а=/2(Д+1), 6 = /(а+1).
Значение меры подмножества А3 легко находится из условия
нормировки:
Р - ]~С-г .	(2.52)
ГДе Ga = gt+gt+Ag,g2-
пким образом, в результате обработки трех ответов эксперта
Ягмосительно парного сравнения указанных выше подмножеств мы
Цкеем возможность определить их меры.
пример 2.3.
Пусть истинное значение нечетких плотностей меры на пространстве
ХСап/Х== 3 равны gi = 0.3, g2 = 0.2, g3 = 0.04 и параметр нормировки
5.В результате опроса эксперта имеем
-^-=1.07	—=0,5	^=1.5-
Gn	8г
1кпользуя выражения (2.51) мы получаем значения (Табл. 2.4):
Бочарников В.П.
68
Fuzzy Technology
Таблица 2.4. - Значения плотности нечеткой меры.
Параметр	gl	&	g3	1
Значение	0.3001	0.2033	0,0401	4,998
Таким образом, видим, что для множества X с Card X = 3
использование полученных зависимостей позволяет определить все
плотности и X- параметр нечеткой меры. Преимущество
предложенного метода идентификации заключается в возможности
построить итерационную процедуру построения нечеткой меры для
пространств X с Card Х> 3. Опишем эту процедуру.
Пусть в результате эксперимента получено, согласно приведенному
выше, распределение нечеткой меры gx( ) на трех подмножествах At
(Рис. 2.4):
|д|»=й4Г1Л=0, U4 =х> 4 *4»** -/J' (2‘53)
А2!	А22 А2з А24
Рисунок 2.4. - Распределение нечеткой меры.
Ступенчатая функция g^(x)	- есть первое приближение
распределения плотности нечеткой меры (где (%) - равномерна на
каждом Л,-).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
69
Дальнейшее уточнение функции gx(x) на 2-м шаге осуществляется
следующим образом. Эксперту предлагается оценить предпочтение
подмножества В cz X над В—Х\В. (Желательно, чтобы V/, В &
цначе информации для уточнения gxfx) не будет). В результате оценки
имеем уравнение:
tex(B)+gx(B)(l+a)-a=O.	(2.54)
При известном X (из предыдущего шага) с учетом того, что gx(B) е [01]
имеем:
-(1+а)±л/(1+а)2+4Ла	т ч
&(В)=--	'	'----- е[01].	(2.55)
В результате полученной от эксперта информации функция gx может
быть уточнена следующим образом. На втором шаге получаем
следующее множество подмножеств (см. рис. 2.3):
42/=1д	(2.56)
Значение функции g(9 на £=1,4 определяется из соотношений:
,,2. gAB-)-g(Al);
g(^2) = - . 77 “ к
l + Ag^,')
,,2. g(A})-g(Ab
В(А3) = -	;
1 + Zg(^2 )
. g(^) = g(^).
(2.57)
"Таким образом мы имеем возможность уточнить функцию gxfx).
* Обобщая данную процедуру для l-го шага будем иметь возможность
уточнения функции gx(x), при этом для l-го шага будем иметь значение
gjc(A1^ на /+2 непересекающихся подмножествах / — 1, / + 2  Учитывая
условия аналогичные (2.56) в пределе будем иметь при / —> непрерывную
функцию плотности нечеткой меры grfx): Х-ъ [01].
Бочарников В.П.
70
Fuzzy Technology
Однако, не является рациональным увеличивать количество q вопросов
к эксперту. На l-м шаге эксперту будет задано вопросов:
q-/ + 2.	(2.58)
Поэтому, после получения приближения функции распределения
плотности нечеткой меры на q подмножествах пространства X
целесообразно осуществить аппроксимацию функции плотности gx(x)
функцией (Ь-К)-типа.
Определение 2.9.
Функция, обозначаемая L (или R) является функцией
(L-R) типа тогда и только тогда, когда
1Vxg%=[0,4<x{: £(-х)=Дх); £(0)-1, £(•) - монотонно убывает
на множестве X.
В качестве таких функций могут выступать функции вида:
L(x) = max(o,l“|xp|);
, ' \	7	(2.59)
L(x) = exp(-|xp|J, p > 1
Для функции распределения gx() меры может быть использована такая
£(•) функция для которой:
g([0, х]) = £[(о - х) / 0 v 0],	(2.60)
где а - параметр, при котором g([0a]) = 1, Р - коэффициент
нечеткости.
Таким образом, определив функцию (L-R) типа аппроксимация
нечеткой меры может быть представлена в виде следующей
процедуры. Пусть в результате экспертной оценки имеем значение
нечеткой меры gx(Aj) = gl на подмножествах пространства X:
pj/ = 1,/+2,4 П4 = 0,U 4 = х}	<2-61)
Будем полагать, что для любого Л, ст X нечеткая мера gx()
сосредоточена в точке х, е Л, о X, такой, что:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
71
A _L _!41.л +!41]
4	 2" 2
lie Mf-| - длина интервала Ah Тогда мера подмножества Ai через (L-R)
функцию может быть представлена в виде:
(2.62)
&(4)=
2(а — X:)
Где ф = -—^—9а — inf X. Используя значения gx(Aj), полученные
от экспертов, задача (L-R) аппроксимация функции распределения
Нечеткости сводится к оценке параметров а и j3 (L-R) функции по
Минимуму функционала качества:
1
2
(2.63)
(2.64)
н= Z(gjr(S)-gl;(a))2
Л L/.g*	J
\Уаким образом, при минимизации функционала (2.62) мы получаем
удовлетворительное представление функции распределения нечеткой
.•Шры (L-R) - функцией.
Й рис. 2.5 приведен обобщенный алгоритм идентификации нечетких
Йр на основе предложенного выше подхода. Приведенный алгоритм
Идентификации по сравнению с подходом, основанным на методе
р|аги, а также с подходом прямого рейтингования является более
Цфективным. Например, в случае рассмотрения дискретного
(ространства X размерности CardX = 6, величины погрешности,
В^доемкости и сходимости оценок нечеткой меры приведены в табл.
Бочарников В.П.
72
Fuzzy Technology
Таблица 2.5 - Оценка эффективности алгоритма
Рисунок 2.5 - Алгоритм идентификации нечетких мер.
Синтезированный новый эффективный алгоритм идентификации
нечетких gx - мер является важным с практической точки зрения. Он
обеспечивает высокую степень адекватности оценок нечеткой меры,
снижает вычислительные затраты и обеспечивает итерационный
подход, учет внутренней структуры меры, снижение нагрузки на
экспертов (в случае их привлечения). Тем самым данный алгоритм
позволяет эффективно осуществлять формализацию нечетких данных
при описании аналитических задач поддержки принятия решений.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
73
Глава 3
ОБРАБОТКА НЕЧЕТКИХ
ДАННЫХ НА ОСНОВЕ
НЕЧЕТКО-ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ

Бочарников В.П.
74
Fuzzy Technology
3.1. Определение нечеткого интеграла
Для исчисления нечетких величин представленных нечеткими мерами
и множествами на пространстве с нечеткой мерой могут быть
использованы нечеткие интегралы, которые задаются согласно
следующего определения.
Определение 3.1
Нечеткий интеграл (НИ) от функции h(x) : X —» [01 ], измеримой
на пространстве (X, В) с нечеткой мерой g: 2х -> [01] на
множестве А о X по нечеткой мере g( ) определяется
выражением:
/ h(x) ° g() = sup {« л g(А ПЯа)},	(3.1)
А	ае[01]
где На — {х|А(х) > Cl], $ - нечеткий интеграл.
В литературе [15, 17] нечеткий интеграл называется также нечетким
ожидаемым значением (fuzzy expected value FEV). Кроме определения
нечеткого интеграла (3.1) может быть использовано следующее
выражение, определяющее нечеткий интеграл.
Теорема 3.1:
Пусть (Л В) измеримое пространство с заданной на нем
нечеткой мерой g(-) и пусть h(x) - В-измеримая функция.
Нечеткий интеграл от функции h(x) на множестве А с X по
нечеткой мере g( ) определяется выражением:
/ Л(х)о g, (•)=sup[inf А(х) Л g(A П £)]
(3.2)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
75
> '  --------------------------------- ---------------------
Доказательство.
Рассмотрим нечеткий интеграл на А с X. Согласно (3.1) имеем
За e[01],M(jc)og()=a’ Ag(^n//o.)=/; д™ выражения (3.2)
рассмотрим 2 случая:
1. Если Е э Нд., то имеем & > inf Л(х)н
g(AnE)>g(AoIIa’).
Тогда справедливо: р > jnf	>
д	хеЕ
2. Если Е cz Но*, то имеем & < jnf й(х) и
g(A n Е) < g(A п Нд*).
Тогда справедливо: р < jnf й(х) л Г\Е) 
] '	хеЕ
Отсюда видно, что V£tX sup[inf Л(х)л^(ЕпЯ)] = F,.
Следовательно выражение (3.2) справедливо.
Можно показать, что понятие НИ сходно с понятием интеграла
Дебета. Для этого рассмотрим разбиение множества X на
эдепересекающиеся подмножества Е, следующим образом:
X = Е, ПЕ = 0, i,J = 1,«, i Ф j. Представим
функцию h(x) в виде ступенчатой функции: h(x)=^(X.f (х) где
(Xi е[01], EjGjB,/^) е {01} - характеристическая функция множества
£{. Пусть на пространстве (X, В) задана мера Лебега /(•)- Интеграл
Лебега от функции h(x) по множеству АсХ определяется выражением:
$h(x)dl = ^a.l(AnE.),	at <a.+lJ- l,n- <3-3)
я
воспользовавшись разбиением множества X на подмножества Et
функция h(x) может быть переопределена в другом виде. Пусть
Бочарников В.П,
76
Fuzzy Technology
множество Ft определяется как F = E \JE U---U£ и a. < a , •
Тогда функция h(x) может быть представлена как:
h(x) = max min (ofe fR(x)),
f
где fn(x) - характеристическая функция множества Fw определенного
выше. Тогда нечеткий интеграл по аналогии с интегралом Лебега
может быть определен в виде:
! h(x) ° g = max minfagtAftFi)).	(3.4)
A	/=1,и
Сравнивая (3.3) и (3.4) можно обнаружить сходство между данными
интегралами (операции сложения и умножения замены для интеграла
(3.3) на операции max и min соответственно для НИ).
В случае интегрирования по вероятностной мере оба интеграла
Лебегов и нечеткий могут быть сравнены.
Теорема 3,2;
Пусть (X, В, Р) - вероятностное пространство, a h(x): X—»[01]
есть В - измеримая функция, то справедливо ограничивающее
неравенство:
(3.5)
где infh = inf /г(х), sup/г = sup/z(jc) -
хеХ	хеХ
Доказательство.
Пусть значение нечеткого интеграла будет:
j h°P = М е[О]]=М лР(НмУ’
X
где Нм ={л|й(х)> М}; Рассмотрим интеграл Лебега от функции
h(x):
jhdP = j hdP+ jhdP-
X	H„	X\HM
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
77
" .....................—----- =
Для нечеткого интеграла определим семейство функций	Для
которых выполняется условие Xf^x) / h (а)	= М ' Определим
мажоранту и миноранту этого семейства функций. Мажорирующая
функция семейства |7?(а)| определяется выражением:
Л’(х) =
supA,xeH„
м,хенм
Минорирующей функцией будет:
А»(х) =
М х^Нм
infA, х£Нм
'Подставим значения мажоранты и миноранты в интеграл Лебега. Для
функции h (х) будем иметь:
jhdP = J hdP+ j hdP< J supAdP + jMdP =
X	HM	X\HM	X\HU
= sup A • P(HM) + M(1 - P(HM)) = sup A • M+ M(l - M).
Дня функции h*(x) имеем:
' jMP= J hdP+ J hdP> J MdP+ hdP=
X HM X\HM	HM	X\HM
= M-P(HM)+inf A • (1 - Р(НМУ) = M2 + inf A  (1 - M).
рТаким образом справедливо:
M2 + inf й(1 - М)< \hdP < М(1 - M)+sup/z- М
Тогда разность интеграла Лебега и НИ будет ограничена
неравенствами:
>i/;=A/2+inf/i(l-AO-M<jAaP-/AoP<A/(l-AO+supAM-A/=^
1 -	г	А
Бочарников В.П.
78
Fuzzy Technology
Найдем максимальный диапазон неравенств по М. Для этого найдем
экстремумы функцией Fb i= 1,2 по значению НИ Л/:
dF	dF
- = 2A/-inf A-l;	—*- = -2M+supA-
dM	dM
Откуда максимальный	диапазон	неравенств	определяется при
д/ = *+ для нижнего ограничения и при д^ = —sunA для
2	2
верхнего ограничения. Тогда подставим значения М в функций Fb i =
1,2:
. „ fl + infа¥ .	( 1+infh\ 1 + infA
" ' V 2 J V 2 J 2
1 - 2inf h+(inf A)2 _ fl - inf h ¥
4	'1 2 J
„ supf, supM
maxF,= — 1------ +
w 1	2 V 2 )
(sup A)2 sup A
2	2~
Следовательно справедливо:
1-infAV
2 J
(\ 2
2 )
Что и требовалось доказать.
Следствие ЗЛ
Если (X, В, Р) - вероятностное пространство, h(x): X —» [01]
В-измеримая функция то:
\hdP-lh°P<-;
; х 4
(3.6)
Доказательство следствия тривиально, так как VxeX, h(x) е [01] и
подстановка предельных значений единичного интервала в
неравенство (3.5) дает величину по модулю равную 0.25. В противном
случае функции Fis i=l ,2 не превосходят по модулю 0.25.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
79
Определение нечеткого множества, фиксирующего степень
принадлежности элемента х е X подмножеству A G где F(X) -
множество всех нечетких подмножеств X, может быть представлено с
использованием нечеткого интеграла следующим образом.
Пусть необходимо оценить степень принадлежности элемента х g X
1 Множеству Е с X. Очевидно, что для пустого множества эта степень
гфинадлежности равна 0, а для х g F, где Е с F равна единице, то есть
| степень принадлежности для х g F будет больше, чем для хе Е, если
Если степень принадлежности х0 е Е равна g(xGfE)9 а вместо Е имеем
нечетное множество /1^ G F(X\ тогда:
g(x , А) = / /Л„ (х)° g(x ) =	(*)
(3.7)
1(Йто говорит, что степень нечеткости суждения е А ” равна степени
принадлежности х0 нечеткому подмножеству Таким образом, мы
Ё13 видим, что понятие степени нечеткости в теории нечетких мер
ает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких
;ств.
чески нечеткий интеграл можно представить согласно рис.3.1.
h(x)
f(x)
Рисунок 3.1 - Графическое представление нечеткого интеграла.
Бочарников В.П.
80
Fuzzy Technology
При этом НИ представлен в следующем виде:
I К*) ° 50 = sup {f;(а) Л Г2(а)}’
«401]
где /;(«)=«;
1
^(а)=^#2^)=^{^х)^а}Пл)=-Нехр Л -1к
ЛI L #,пл J
Л
где f(x) - распределение плотности нечеткой меры.
Рассмотрим пример вычисления нечеткого интеграла для дискретного
множествах
Пример 3.1.
Пусть задано пятиэлементное множество X =	= 195 на котором
заданы функция принадлежности нечеткого множества h(x) и
распределение плотности нечеткой меры g (•) (табл. 3.1).
Таблица 3.1 - Исходные данные.
i	1	2	3	4	5
h(x)	0,1	0,3	0.7	0,6	0.2
SL	0.143	0,4	0,261	0,350	0,131
Согласно условия нормировки параметр Л нечеткой меры равен:
X = -0.51. Тогда значение S НИ принимает значение:
S= sup {а Л ga],	(38)
ае[01]
Л\Л®О
ee={i|A(x,.)>a}-
Согласно приведенных формул значение НИ будет: S = 0.5645.
©
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
81
I Для непрерывного пространства X = R вычисление нечеткого
интеграла может быть упрощено и сведено к нахождению значения на
монограмме (или в таблице). Если h(x) есть отображение функции
принадлежит, то справедливо, что:
Va;, «| <«г,а, е[01],i = L2 => з ,{х|Л(х)>а,} = Fa
В этом случае согласно [12] справедливо следующее. Если f(x) -
: плотность нечеткой меры, значение НИ от h(x) по нечеткой мере равно
значению а е [01] для которого справедливо:
1п(1 + аЛ)
(3-9)
где
п-i
J f(x)dx- \f(x)dx 
....	". Lx J
t-
^Правая часть (3.9) зависит только от значений Л и а и может быть
^Получена заранее в числовом виде в форме таблицы или рафика.
Левая же часть (3.9) представляет собой отношение области
определяемой уровневым множеством На ко всей области определения
'функции плотности нечеткой меры f(x).
I i Использование (3.9), таким образом, может облегчить организацию
Вычисления нечеткого интеграла.
Бочарников В.П.
82
Fuzzy Technology
3.2.	Основные свойства
нечетких интегралов
Для дальнейшего рассмотрения нечетко-интегрального исчисления
целесообразно остановиться на основных свойствах нечеткого
интеграла.
Нечеткий интеграл на непрерывном пространстве X будет принимать
значение Л/ если будет выполняться условие:
f Л(х) о g = М = g(Hм),	<зл°)
где Нм = {х|й(х) > М е [01]}при этом выполняется то, что
где ={Х\Кх)> Ме[01]}. Если
4
обозначить pj „
тогда Н=ИтН • В
этом случае, значение нечеткого интеграла может рассматриваться как
предел:
М = |п1?к(Я ) = К(Я„)
В том случае, когда рассматривается интегрирование постоянной
функции h(x) = const = а е [01] нечеткий интеграл удовлетворяет
соотношению:
! Кх) °g= !a°g = a-
х	х
(З.Н)
Пусть h(x): X —> [01], аде [01] тогда согласно [10] удовлетворяются
следующие соотношения:
/ (fl v Л(х)) о g = a v / h(x) о g,
ЕсХ	Е
(3.12)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
83
/ (aAh(x))°g = aKl h(x)°g-	(3.13)
E
Аналогично тому, как для интеграла Лебега существует возможность
л нахождения интеграла по областям, для НИ справедливо следующее.
^Йусть Е, F е В, а (X, В, g) - пространство с нечеткой мерой. Тогда
справедливы согласно [10] следующие соотношения:
|.	I h(x)og> f h(x)ogv f h(x)og, (3.14)
EljF	E	F
I h(x)og< f h(x)og л! h(x)og.	(3.15)
EfiF	E	F
f Кроме того, если E c F то согласно [15] выполняется следующее
/неравенство:
//г(х) ° g < J Л(х) ° g.	(3.16)
Е	F
ГЕсли на пространстве (X, В, g) заданы две функции принадлежности
hi(x), г= 1,2 такие, что Vx g X, h|(x) < h2 (х), то для нечеткого интеграла
выполняется следующее соотношение [15]:
/^(x^g^/^^og-	<317)
Данный результат может быть расширен на случай рассмотрения
дересечения и объединения множества функций hj (х).
рассмотрим семейство функций //= { hj (х) | Ь,(х): X —» [01], i==l,N}.
Для данного семейства функций справедливым оказываются
ледующие неравенства [10]:
/ min ht (х) ° g < min / h. (х) ° g;	(318)
/maxA.(x)og> max/A.(x)og;	(3.19)
Ь том случае когда семейство функций Н является монотонной
'Последовательностью В - измеримых функций при увеличении i, то
Справедливым оказывается следующий предельный переход:
Бочарников В.П.
84
Fuzzy Technology
/ lim h. (x) о g = lim / h. (x) ° g •	(320)
*	i—><xj	*
Кроме того, если ht(x) - монотонно возрастающая (убывающая)
последовательность В - измеримых функций и {^} - монотонно
убывающая (возрастающая) последовательность вещественных чисел
ах е [01], то в работе [10] было показано, что выполняется тождество:
г	п
I у («,• л hi (х)) о g = у [Д/ Л f hi (х) о gJ;
(3-21)
В случае интегрирования нечетких отношений оказывается
возможным установить следующие важные соотношения.
Лемма_ЗЛ
Пусть задано пространство (Л В, g) с нечеткой мерой и
нечеткое отношение h(x,y) :Х х Y —> [01] тогда выполняются
неравенства:
sup J А(х,у ) о g< I sup h(x,y)о g >	(3.22)
yeY X	X yeY
inf jh(x,y)°g> f inf h(x,y) о g.	(3.23)
Доказательство.
Из определения проекции нечеткого отношения h(x,y) [18] следует,
что:
Vx,у, Projxh(x,y) = sup/z(x,у) > h(x,y).
уеУ
Для нижней грани нечеткого отношения выполняются условие:
Vx,y,inf h(x,y) < h(x,y)-
Тогда, исходя из свойства (3.17) можем записать:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	85
~~   — - — - ...
VyeZ, //<x,j)og</supA(x,j)og
L	-V	X yer
I h(x,У) ° g £ I inf h(x,y} ° g
что и требовалось доказать.
A
Согласно работы [12], если смягчить условие ограничения на значение
нечеткой меры полагая, что для Х= R выполняется условие:
1ш1Н.(х)=|1п(1 + Л).
Л
(3.24)
;где Ях(х) - функция F- распределения g* Q меры, то есть что мера
*>сего множества ограничивается нормирующим множителем
кл=41п(1+^) , то справедлива доказанная в [12] лемма:
Л

Лемма 3,2
Если функция плотности нечеткой меры, с помощью которой
строится мера gx одна и та же, то для пары
9 Л2 G [— 15-К>о[ такой, что X.) < Х2, справедливо неравенство:
lKx)°gK^lh{x)og^-
X	X
(3.25)
Г заключении рассмотрения основных свойств нечетких интегралов
{рквсдсм возможный вариант вычисления нечеткого интеграла для
Дискретного множествах
бгласно свойства (3.15) можем записать:
М(х) о g > гпах(е )
(3.26)
|в ej - нечеткий интеграл от функции h(x) по подмножеству At с X ,
рш LU. = Х,Д ПД = 0 ПРИ ’ * J- Однако, для любой
i
рвокупности подмножеств А, условие (3.26) выполняется, что следует
3 свойства (3.16).
Бочарников В.П.
86
Fuzzy Technology
Тогда, если переопределить функцию h(x) как не возрастающую, то
есть A(jc,)> й(л2)> ..> h(xn),h(x.)e [01], то множество а-срезов
h(x) будет удовлетворять при уменьшении а следующему условию: Ai
= Ai+1u{x(}, Aj-H={xI,...,xi_I}. Функция меры g, = g(Ai) будет функцией
Рисунок 3.2 - Определение нечеткого интеграла.
Тогда, нечеткий интеграл для каждого подмножества А, будет
удовлетворять:
е, = min(/?(xf),g(4)).
Следовательно, предельное значение последовательности нечетких
интегралов равное нечеткому интегралу от функции h(x) может быть
определено в виде:
J= J A(x)°g = sup(e.) = sup{min(/z(x),g(4))}-	(3-27)
д-	i=i.H	f=1,H
Формула (3.27) может быть использована для вычисления нечеткого
интеграла при дискретном множестве X.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
87
3.3.	Определение расширенной
нечеткой меры
Прежде чем приступить к рассмотрению расширенной нечеткой меры
дадим определение нечеткого интеграла на нечетком множестве [15].
Определение 3.2
Нечеткий интеграл от функции h(x): X -» [01] на нечетком
множестве Д^(х): X —> [01] по нечеткой мере g(-),
определенной на пространстве (А", В) находится как:
/ h(x)°g = 1[цА(х) лЛ(х)]оg().	(3.28)
д,(х)	X
“Таким образом, рассматривая обычное множество Е с X для нечеткого
Интеграла справедливым будет следующее выражение:
I h(x)°g = 1{хЕ(х) лЛ(х)}оg,	(3.29)
Е	X
Хе(х) : Х-»{0,1} - характеристическая функция подмножества
8сх.
сть (X, В, g) - пространство с нечеткой мерой. Обозначим через F(X)
ожество всех нечетких множеств на пространстве X. При этом,
✓видно, что В cz F(X), так как обычное множество можно
хматривать как частный случай нечеткого множества, для которого
нкция принадлежности совпадает с характеристической функцией
1ного множества. В этом смысле множество F(X) является
:ширением множества В. Определим нечеткую меру на всех
;ментах множества F (X).
Бочарников В.П.
88
Fuzzy Technology
Определение 33.
Функция множества g(-) определяемая в виде:
g(jh)=lvAx)°s
(3.30)
для нечеткого множества
А = {(*, (%))}, дл(х) е F(X)
называется расширенной нечеткой мерой на F (X).
Графически определение расширенной нечеткой меры приведено на
рис. 3.3.
Рисунок 3.3 - Определение расширенной нечеткой меры.
Расширенная нечеткая мера g(jU) позволяет определить нечеткую
меру для четких подмножеств Е с X с учетом ограничения заданного
нечетким множеством ц.
Теорема 33.
Пусть h(x): X —> [01] - произвольное нечеткое множество на
пространстве (X, В, g) с нечеткой мерой. Расширенная нечеткая
мера g (ti) для нечеткого множества h(x) определяет нечеткую
меру на (X В) для всех ЕсХ и удовлетворяет следующим
свойствам:
а)	& (0) = 0; g„ (X) = / h(x) о g, ограниченность;
б)	Х/а с gh(A) < монотонность;
в)	если А„е В и {Ап}- монотонная последовательность
множеств, то
) = g„(lim Л,)’ непрерывность.
limg
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
89
Доказательство.
E *
^Расширенная нечеткая мера g (•) для нечеткого множества h(x) и
произвольного подмножестваЕ сХопределяется как
* i
gh(E)= lh(x)og.	(3.31)
Е
Проверим выполнение свойств а, б, в.
£ а) g*(0)= f Kx)°g=xf[x0Ah(x')]°g= fO°g = O-
0	X
g,i(X)=fh(x)og^M,^ M = g(ffM).
б) Проверим выполнение свойства монотонности. Пусть
А с В тогда, согласно (3.16) имеем соотношение:
/ Ь(х) о g < / й(х) о g => gh (J) < gh (В).
в) Пусть {Яи|Л„еВ}- монотонная последовательность
Множеств, а %Ап: Х—> {01} - характеристическая функция множества
£ X. Тогда согласно (3.29) можем записать:
ЫЛ)= I h(x)°g= [1%А (х)л/г(х)1 оg.
делим функцию Л„(х) = %А (х) л й(х) •
Для монотонной последовательности множеств {Ап} будем иметь
Монотонную последовательность В - измеримых функций hn(x). Тогда
g»(A)=/A.W°g
 можем записать согласно свойства (3.20):
=	A>(*)°g= / Hm4(x)og= I lim[x((x)A/Xx)]og=
n-^x	х^-^°°	хи-эсо** «	J
l Л->оо "
°g= I Kx)°g=%h№nA,)
lim/L	/7->00
Бочарников В.П.

90
Fuzzy Technology
Что и требовалось доказать.
□
Таким образом, расширенная нечеткая мера gz(-):2A —> [01]
удовлетворяет свойствам нечеткой меры (см. определение 1.1) с такой
лишь разницей, что в свойстве ограниченности верхняя грань значения
нечеткой меры ограничивается величиной Л/ е [01],	g-
С учетом (3.27) расширенную нечеткую меру для нечеткого множества
h(x) можно рассматривать как сужение нечеткой меры g(-) на
подмножество Е с X такого, что Vx G £ С АЛ, h(x) > / А(л) о g.
То есть расширенная нечеткая мера g/f(-) определяется на множестве
нечетких подмножеств
Fft(X) = {л'(х)|Л'(х) = Л ХлЫ. УЛ с Е}.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
91
3.4. Основная теорема о нечетком интеграле
по расширенной нечеткой мере
и ее следствия
Прежде чем приступать к рассмотрению вопроса об интегрировании
функций вида й(х): X —> [01], заданных на измеримом пространстве
напомним, что согласно определения 33 по зависимости (330)
нечеткая расширенная мера определяется как:
g„()=/^Cy)°g’	(3-32)
Где g: 2г—>[01] - нечеткая мера заданная на пространстве У, а д (у) - g-
измеримая функция вида д(у): У—>[01].
$
Согласно теоремы 33 расширенная нечеткая мера g (.) обладает
всеми свойствами нечеткой меры: ограниченностью, монотонностью,
непрерывностью, с той лишь разницей, что g (У) < ] и может быть
определена как:
Ед(Г) = /д(г)°&	(333)
Н Y
Теперь рассмотрим следующую теорему.
Теорема ЗА
Пусть заданы пространства с нечеткими мерами (Л, /(•)) и (У,
g(-)), связанные между собой отображением ф: F(X) —> F(T), где
F() - множество всех нечетких подмножеств. Тогда, нечеткий
интеграл от f - измеримой функции Л(х): X —> [01] по
расширенной нечеткой мере gA(), где д(у) е F(Y) на
множестве Е с X определяется выражением:
I-----------------------------------------------------
Бочарников ВЛ
92
Fuzzy Technology
I ° £„( ) = sup(r л g(Mf Г)Фр(Яо n £))). (3 J4)
E	Y
1=алР, а,0е[О1], H„ ={х|Л(х)>а}
M„ = {>’i H (У) S P}, Ф„ = {ХМЧ. Л E) Й J3}.
Доказательство.
В силу того, что определено отображение (р расширенную нечеткую
меру можно представить в виде:
g/)= / Xy)°g()-
ф()
Подставим данное выражение в нечеткий интеграл от функции
A(x)eF(X).
/К*)о£д(-) = ih(*)° I v(y)°g(’) = sudax	I fi(x)og(-) >=
E	E (X)	a

= suJa A sup[/J A g{<i>p{Ha ПЕ)П Mp)]
a	p
= шр{гл8(Ф/,(Н(>ПЕ)П^)}
у=алр
Что и требовалось доказать.
Данная теорема имеет ряд интересных следствий, показывающих более
общий характер нечеткого интеграла по расширенной нечеткой мере.
Следствие 1.
Если отображение <р: F(X) —> F(Y) определяется через
условную нечеткую меру Gx(-1 у), то нечеткий интеграл по
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
93
расширенной нечеткой мере определяется соотношением (3.3),
где:
Ф0 =
l(x)oCT(.|j,)>^e[01]..
(3.35)

Доказательство следствия очевидно и оно следует из доказательства
теоремы.
Il Следствие 2,
Если отображение ср есть тождественное отображение
пространства X на себя такое, что g(-) = f( ), то нечеткий
интеграл по расширенной нечеткой мере определяется
соотношением:
I Нх) - g„ О = sup(/ А лП н„ п Е».	<3-36)
Е	Y
где
у = алР, а,Де[01], На ={л| й(х)>ос}
=Ы мОО-/^}-
I д(х) о /(•) = sup[ а Л sup[Р Л f(Ha п Е П Л^)] ►=
ПаС1Е
а
д
Доказательство.
(•) = I= IЦх)°1 ^(х)°/(•) =
>'-Е	Е	EX
=sup- ал
«
|&8ир{ул/(ЯаПЕПМэ)}.
7=«aJ3L
Что и требовалось доказать.
I
(Стметим, что в следствии 3 используются понятия и соотношения
Представленные в следующей главе. Данное следствие приведено здесь
сохранения общности изложения материала.
Бочарников В.П.
94
Fuzzy Technology
Если отображение <p есть отображение задающее 77-
соответствие между пространствами (X, /(•)) и (У, g(-)), где
Н с Ах У, то нечеткий интеграл по расширенной нечеткой мере
определяется через Н^- операцию над нечеткими мерами g( ) и
/(•) с бинарной операцией О) такой, что
Сар Р**а D Л] Mfr,
и находится согласно выражения:
° g„ (•) = sup{y Л Я, {g, /ус, ]}	(3-37)
где у = а л р е [01];
Г. =Мадаае[01]},
Ч = ЫдО)а^е[01]}.
Доказательство.
Согласно теоремы 3.4. можем записать:
M(x)og (.)=//г(х)о I Ц(У)О£’
А	Л	v(X)
где (р(х) есть функция ф: X —> [01] /7- соответствующая нечеткой мере
/(•), определяемая согласно (4.28):
«>(*ХЯ = / 1(х)"/().
Согласно теоремы 3.3. Н- соответствия определяет расширенную
нечеткую меру порожденную характеристической функцией

Исходя из сказанного выше, можем записать:
lh(x)°g„()=Wi«A / Mj)°g()
Л	Р	а I 0[^П/!](Я	J
Согласно (4.28) будем иметь:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
95
^вПЛ](у) = ( lnA^f^f(EMaFa[]A)).
e	Яу/ООГИ^ГЫ)
^дставим это выражение в нечеткий интеграл:
° £/•)=sup{« Л / Му) л ф[Лх	К>)] ° «(•)}=
 - • г I V > =
г «’Рт.ПлКу)
»sup5«a/p(j)
Is	"
Л ОТ
й=.вир]ал/Ку)°/p[Fcn/l](>>)og(-)l=
Ct I г	Г	J
os sup-a a sup /За / 0[Farb4](y)og(-) .=
а Р L	J.
I* sup-у л f /(£„&)(№№) ° g>= sup^AH^g/^C^)}
у=алр	/=ал/3
то и требовалось доказать
Д
графически нечеткий интеграл по расширенной нечеткой мере может
сыть проиллюстрирован, как приведено на рис. 3.5.
j Рисунок 3.5 - Нечеткий интеграл по расширенной нечеткой мере.
едует отметить, что предложенный в теореме 3.4 нечеткий интеграл
Ь расширенной нечеткой мере очень схож с рассматриваемым в
рычном интегральном исчислении интегралом Лебега - Стилтьеса.
----------------------------------------------------------
Бочарников В.П.
I
96
Fuzzy Technology
Ранее мы уже отмечали сходство (сравнимость) интеграла Лебега и
нечеткого интеграла по Суджено (теорема 3.2). Далее мы немного
остановимся на свойствах нечеткого интеграла по расширенной
нечеткой мере.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
97
J.5. Свойства нечеткого интеграла по
расширенной нечеткой мере
приведенного ранее материала видно, что основные свойства
четких интегралов во многом определяются свойствами нечеткой
шеры относительно которой осуществляется интегрирование.
ВДосмотренная нами ранее теорема 3.3 позволяет сделать вывод, что в
мем, расширенная нечеткая мера обладает всеми основными
Ьэйствами нечеткой меры, а именно свойствами непрерывности,
Ьриотонности, ограниченности. Единственное отличие расширенной
«четкой меры от обычной меры, данной в определении 2.1,
включается в том, что расширенная нечеткая мера g (•) на всем
Иножестве X может принимать значения меньше единицы, то есть
I.	g„(X)=/p(x)«g()<l,	(3-38)
fc/4x):X^[01],g(-):2x->[01].
Ярким образом имеем верхнее ограничения на значение функции
м жества В дальнейшем будем считать, что функция g (•)
НДаничена величиной Ме [01], то есть:
I	g„(JO=Me[01],	(3.39)
Всловие (3.39) будет определять некоторые отличия свойств нечеткого
писала по расширенной нечеткой мере от свойств интеграла
Наделенных в пункте 3.2
Н'силу совпадения свойств обычной и расширенной нечетких мер
Дйства нечетких интегралов не связанные с условием (свойством)
Н^шиченности нечеткой меры останутся без изменений в виде
Надставленном в пункте 3.2. В этом пункте мы рассмотрим лишь те
Бочарников В.П.
98
Fuzzy Technology
свойства нечетких интегралов, где условие ограниченности (3.39)
может оказать свое воздействие.
Лемма 3.3.
Нечеткий интеграл по расширенной нечеткой мере g (.) от
постоянной функции VxgX, Л(х) = а е[01] определяется
соотношением:
1а ° gu (•) = а л М'	(3-40)
х м
Доказательство.	*
/ l(x)°g=f[«Aju(x)]o/l(x)og=
XXX	X Д(х)	X	X
- 1[алр(х')]о§=ал f fj[x)°g=aA М.
X	X
Д
Лемма 3.4.
Для нечетких интегралов по расширенной нечеткой мере
справедливы следующие свойства:
f[алh(x)]og () = ал1 h(x)оg (•),	(3.41)
X	Д	X	д
a v й(х)] ° gp (•) = |а v / й(х) о g^ (-) j л М,
где ае [01], д(х), А(х): Jf—>[01 ], g:2x	[01].
Доказательство.
Сначала рассмотрим доказательство соотношения (3.41).
Бочарников В. Л.
Fuzzy Technology
99
/[л л й(х)] о g^ (•) = |[а а Л(х)] о / д(х) о g = / а о	g(x) о g =
& I a о J [Л(х) Л jU(x)] о g = а л / [Л(х) л д(х)] ° g =
t- X X	X
wa л I й(х) ° f д(х) о g = а л f h{x) о g ().
X X	Xй
«Я доказательства соотношения (3.42) рассмотрим функцию (q v й(х)).
(евидно, что при а<ае [01] а - уровень функции (а v А(х))
={x|ov/i(x)>aG[01]} = X. Исходя из этого можно
г^сдставить следующую зависимость:
. i / [« v h(*)] ° 8ц (•) = sup {а Л g (Ga )} =
№... х	ае[01]	J
= sup {aA^(Go)}v sup [a*g^(Ga)};
аб[0,о]	аф,1]
А
ели А > В, то:
f[avA(x)]og'p(-)= sup [ал%ц(£а)} = алМ;
L X	ае[О,а]
Ви А<В, тогда имеем:
/ [a v h(х)] о gp (•) = sup {а л gu (Ga )};
к	X	ссе(а,1]
j* Ga = {х|й(х)>а е(о,1]}, а следовательно:
l[avh(x)]° %ц()= I
X	X
с.
>сюда имеем:
/ [a v й(х)] о gfl (•) = [а л М] v / й(х) ° g^ (•) =
M > l Л(х) оg(), поэтому:
X	д
Бочарников В.П.
100
Fuzzy Technology
l[avh(x)]ogti(.) = [avf /г(х)о^( )]л M.
X	x
A
Рассмотрим следующую лемму, определяющую свойства нечетких
интегралов по расширенной нечеткой мере. Если Л^х) - монотонно
возрастающая (убывающая) последовательность g- измеримых
функций Z?i(x): X —> [01], а {о,} - монотонно убывающая
(возрастающая) последовательность вещественных чисел сгх g [01], то
справедлива лемма.
Лемма 3.5.
При указанных выше свойствах последовательностей функций
Ai(x) и чисел сгх для нечеткого интеграла по расширенной
нечеткой мере справедливо свойства:
/ v[<7, АЙ,(х)]о£0 = V а, Л I h,(x)°g ( ) • (3.43)
х/=г	J ** /=iL х	J
Доказательство.
В силу монотонности свойств функций Л,(х) для убывающей
последовательности Л,(х) справедливо соотношение FacEa, где:
Р'а = {*1^ *	= {х|Д > а}-
Для простоты будем рассматривать последовательность из 2-х
функций. Тогда:
2
/укл/ДО]о^(-)= sup {aAo^(Ec)}v sup {«л^(Гс)}.
<уе[0«( ]	(,я2 ]
С другой стороны имеем:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
101
/[ц aA;(x)]o^()v
= sup {aAg (Ej}v sup {алg (Ftt)}v
ae[0aJ	aG[0aJ
v sup {«Ag/Fj}.
ae[af,a2]
JHo, так как в силу монотонности	имеем
^венство:
'(a, л/%(х))о^д(-) = /[а, лЛ,(х)]£д(-) v l[a2 aA^x)]^-).
случая п > 2 доказательство аналогично. Тогда имеем:
I V(fl; А й,(х)) о g() = sup I[а, л й,(х)]о g ( •) =

jo и требовалось доказать.
Д
шеям образом приведенные свойства нечеткого интеграла по
^ширенной нечеткой мере позволяют использовать его на практике
|й моделировании и расчетах с нечеткими величинами, которые
|рдставлены в виде распределения нечетких мер.

Бочарников В.П.
102
Fuzzy Technology
3.6. Интегрирование В - измеримых
функций по нечеткозначной нечеткой мере
В пункте 2.4. нами было рассмотрено определение нечеткой меры
принимающей нечеткие значения в единичном интервале для
пространства (Х,В). Пусть h(x): X—>[01], В- измеримая функция.
Рассмотрим возможность применения конструкции нечеткого
интеграла для интегрирования таких функций.
Ранее отмечалось, что при фиксированном Х/х G X мы имеем
нечеткую меру на единичном интервале Ь=[01]. Обозначим ее
G(-|x), G(-|x): 2l —>[01], т.е. это нечеткая мера на единичном
интервале L. Для фиксированного уровня ас L соответствует
интервал [0,a]cz L. Тогда для Vx G X имеем: G([0cz|x) G [01] .
Если для Vx G X зафиксировать степень уверенности г с [01], тогда
для Vx Е X будем иметь значение <х(х) Е [01] для которого
выполняется условие:
с([0а(х)]|х) = г е [01].	(3.44)
Функция а(х) для которой выполняется условие (3.44) определяет
распределение плотности нечеткой меры на X для фиксированного
уровня гб[01] уверенности. При этом значение плотности меры
удовлетворяют соотношению:
gr (х) = а(х) = argmax|G([0,a]x) < г).	О-45)
а а
Для непрерывного пространства X=R нечеткая мера множества
А с X при фиксированном уровне уверенности г е [01] может быть
определена как:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
103
gr(A)= j exp ^fgr(x)dx -1 ,
(3-46)
A
ftp интеграл по А понимается в смысле интеграла Лебега, а К - есть 1-
вдяметр нечеткой меры, отражающей семантику индуцированной
^гчеткой меры на Xпри фиксированной степени ге [01].
<$ким образом для VAcX нечеткая мера типа 2 будет порождать
функцию F-распределения на L со значениями в единичном интервале.
фис.3.6).
Рисунок 3.6 - F-распределение порождаемое нечеткой мера типа 2.
Обозначим это F-распределения как F\ (•). При этом выполняется
тедующее. Переобозначим функцию gr (А)	(3.46) при
фиксированном А в функцию:
£7Л) = Рл(г):[01]-И01].
U	о
г	а
к
Тогда функция F^([0q]) является обратной функцией к функции
Ла (0»т.е. выполняется:
К	Рл2([0а]) = (РДг))-*,	(3.47)
Бочарников В.П.
104
Fuzzy Technology
где (-)’1- обратная функция к Рл (г). Исходя из сказанного определим
значение нечеткого интеграла от функции h(x) по нечеткой мере типа 2
в виде:
М(х)°£х() = ]г SUP [(«*№) k =
x	aefOl]	(3.48)
= {r i a = gr (Ha ), Ha = {x;/z(x) > a}} = FA2(x) ([0a]).
Т.е. нечеткий интеграл от В - измеримой функции h(x) есть F -
распределение на интервале L со значениями г в единичном интервале
(ге [01] ). Таким образом:
(М) = r = l° st ()»	(3-49)
где а = g\Ha),Ha = {х е ЛфНх) > а};
Введенная ранее функция F - распределения F\) соответствует
отображению:
F2(): [01] ->[01]	(3.50)
а г
Тогда обратная ей функция [F!(-)] будет соответствовать
отображению:
[^ОГ1: [01]->[01]	(3.51)
г а
В пункте 2.4. мы отметили, что если задана функция
[01]—»[—где 1 - есть параметр нормировки
г	А
нечеткой меры, то существует отображение ср при котором
Sw^')= зетф(Х) для фиксированного события W с X. Тогда
интересным является следующий результат:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	105
Г	semhM[/^(fa2(x) ([0,a]))j = [fa2(x) ([0,a])] ’ = a. (3.52)
FTo есть обратная функция от функции F - распределения на Ц
Полученная при интегрировании В - измеримой функции h(x)
(нечеткого события h(x)) по нечеткозначной нечеткой мере g2( )
определяет семантический спектр нечеткого события h(x) при
известной функции fw
В заключение отметим, что рассмотренные в данной главе вопросы,
^связанные с понятием нечеткого интеграла и основами нечетко-
£ интегрального исчисления, позволяют увидеть основные механизмы
обработки нечетких данных представленных с помощью формализма
^ечетких мер. Обоснованные свойства нечетких интегралов, позволяют
корректно обрабатывать нечеткие данные при моделировании
^реальных задач принятия решений в условиях неопределенности.
Особо следует отметить предложенный в главе нечеткий интеграл по
расширенной нечеткой мере, который является аналогом интеграла
Лебега-Стилтьеса. Полученный результат раскрывает возможности по
моделированию дискретных и непрерывных процессов
функционирования реальных объектов в задачах принятия решения в
условиях объективной и субъективной неопределенности.
Бочарников В.П.
106
Fuzzy Technology
Глава 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПРОСТРАНСТВ
С НЕЧЕТКИМИ МЕРАМИ
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
107
'«#.1. Условные нечеткие меры и их свойства
Ид основе приведенных ранее основных моментов теории нечетких
мер и нечетких интегралов, рассмотрим различного рода
Гфеобразования пространств с нечеткими мерами, необходимые для
моделирования в задачах поддержки принятия решения.
Пусть (X, Д gx) пространство с нечеткой мерой. Если рассмотреть
отображение <р: X—>У, где Y некоторое произвольное пространство, то
|орелевская о- алгебра В и нечеткая мера gx индуцируют на Y о-
|дгсбру Вф и нечеткую меру gy соответственно. При этом, если Fe Вф,
^справедливо соотношение:
[	УГсУ,3!<р-(Г)еВ^/Г) = ^(<р-(Г));	(4-D
Jo есть, если пространство ¥ связано с пространством X с помощью
Отображения <р, то на Y индуцируется нечеткая мера gy, с помощью
(которой измеряется степень нечеткости на У, связанная с нечеткой
Мерой на X.
Пусть Е с X, F с У. Рассмотрим все множество функций h(y)
Удовлетворяющих нечетко-интегральному соотношению:
Г	g(EO<p-'(F))=lh(yyg^.	(4.2)
к"
Все функции h(y) удовлетворяющие (4.2) образуют семейство функций
ЬУ—>[01], удовлетворяющих подмножеству Ес/и условию <р(х) = у.
начим данное семейство функций через O^2s|<p(.v) = у)• Тогда,
мотрев для всех множеств Е е В семейства <у^Е|ф(х) =	,
^эпучим некоторую меру сг(-|ф(л') = у}-
Определение 4.1
Функция множества Сг[|<р(%) = 2х —> [01] для которой
Бочарников В.П.
108
Fuzzy Technology
IVE g В выполняется условие (4.2) называется условной
нечеткой мерой при условии <р (х) = у.
В дальнейшем для простоты обозначений условную нечеткую меру на
X при фиксированном у g Yбудем обозначать как	—> [01]-
При Е g В нечеткая мера ох(Е | у) может быть интерпретирована как
степень нечеткости суждения “один из элементовЕсХ имеет место
при заданном значении у g У”. В том случае, когда в выражении (Б.42)
пространство Y не усекается до F с: Y будет иметь место следующее
соотношение:
gx(E)=/ajr(E|^)og/	(4-3)
Выражение (4.3) определяет связь нечеткой меры на X и
индуцированной отображением <р : X—>Y нечеткой меры gy() через
условную нечеткую меру ох(|у). Исходя из определения условной
нечеткой меры справедливы ее следующие свойства [15]:
1) Для любого фиксированного подмножества Е g В, условная
нечеткая мера Gx (#|j) есть В(ф) - измеримой функцией. То есть
V Е g В:
ох(Е\у\. Y ->[01].	(4.4)
2) Для любого фиксированного элемента jg Y9 функция ох(-|у)
является нечеткой мерой для пространства (X, В), то есть
Vy G Y,	<УХ (•	-> [01].	(4.5)
Рассматривая условную нечеткую меру для подмножества Е g В ее
можно определить согласно следующего выражения:
°х (я!> )=/10) ° °х (М	(4 6)
Е
где 1(х) определяется как функция полной неопределенности, то есть:
VxgX, 1(х)=1.	(4.7)
Выражение (4.6) может быть преобразовано согласно (3.29) к виду:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	1Q9
кСф) = h(x)°<7X ф) = /[%E(%) Л К*)] ° GX ф) =	(4 8)
fpe Xe(x)*^	{0,1}" характеристическая функция множества
|€ В.
Ц том случае когда вместо четкого множества Ее В рассматривается
произвольное нечеткое множество Д£(%) справедливо выражение
^алогичное (4.6):
= (49)
X _
ле Е- обозначает нечеткое подмножество на X.
графически определение условной нечеткой меры можно представить
виде, представленном на рис. 4.1.
Рисунок 4.1 - Определение условной нечеткой меры.
этого момента мы рассматривали лишь отображение <р : X—>К Если
фи этом существует произвольное отображение f: X—»У, то как
КЧсазано в [16] существует сопряженная условная нечеткая мера на У
фи фиксированных х g X такая, что при заданных gx(*)> gy(*)> °х('1у)
Ьполняется соотношение:
! (Уу (Г|х) о gx = / (Ух (Е\у) о gy ’	<4-1°)
Е	F
Бочарников В.П.
[ 10	Fuzzy Technology
где Оу(*|х) - сопряженная нечеткая мера. Равенство (4.10) можно
рассматривать как нечеткий аналог формулы Байеса определения
апостериорной вероятности. В этом смысле gx() может
рассматриваться как априорная нечеткая мера, a gx(-|y) - апостериорная
нечеткая мера. Учитывая соотношение (4.9), формула (4.10) может
быть распространена и на нечеткие подмножества £ и/Г, то есть:
/ стг(г|х)о£х= f	(411)
Возникает вопрос, каким образом определить апостериорную
нечеткую меру при известных априорных нечетких мерах и
сопряженной условной нечеткой мере.
Лемма 4.1.
Пусть заданы два пространства (X В, gx) и (У, Д gr) с нечеткими
мерами которые связаны между собой условной нечеткой мерой
ох(|у). Тогда сопряженная условная нечеткая мера oY(*|x)
удовлетворяет ограничениям:
L Если gA.({xJ)>то
<ry(F|x/) = /o’x({x/J^)ogy-	(4l2)
2. Если g¥({x/})=f<TA.({x/.}j;)ogy,To
F
(413)
где F g Е.
Доказательство.
Согласно (4.3) VxjG X справедливо соотношение:
gx (Ш)=° &(•)•
В то же время для произвольного F е Е используя (4.10) можем
записать:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	11 ]
F-	.........................
=<^№,)a £л ({*})•
r	l-Kf)
рассматривая полученное выражение получаем два случая:
а) Если g	то это равносильно тому, что:
£>({* })> IСГЛ&НУ)0Sr ’аследовягепьно:
o’.(Л* )= /o’XCUIj)0#. •
е V Если &({*.}><\№),
то
имеем
^*({М) = f <7x({x;}W°gr’
а следовательно:
(Л \,) > / ах.({*,} I у) ° S.•
|>ба случая доказывают соотношения (4.12), (3.51). Что и следовало
указать.
А
. г Следствие.
Используя полученные выражения для дискретных множеств X
1 и Y соотношения (4.12) (4.13) могут быть представлены в виде:
а) Если gx(x.) > <T%(x,.| Jy) A gr(yj), то
Ki	^0,,l^) = Ojr(x.|jy)Agr(j7.)-	(4-14)
6)Если gA.(x.) = CTA.(x.|j.)лёг(у}),то
J’	(4-15)
^этом для вычисления сопряженной условной нечеткой меры в
ie 6) можно использовать соотношение:
Г	=	(4.16)
fe,
Второе однозначно определяет значение условной нечеткой меры.
Ь
и
Бочарников В.П.
112
Fuzzy Technology
4.2. Нечеткие меры на декартовых
произведениях пространств
Пусть имеется два пространства с нечеткими мерами (Л В, gz) и
(У, By, g2). Подмножество Н с X х ¥ декартового произведения
пространств X и ¥ задает бинарное отношение между этими
пространствами. Пусть Z = X х У, тогда Н с Z Бинарное отношение Н
позволяет сопоставить каждому элементу х g X его образ в У
определяемый соотношением:
imHx=def {у g Y|(х,у) е Н} = F(x)-	(4-17)
Аналогично (4.17), каждому у g У сопоставляется прообраз в А" в виде:
coimHy=def {х g X| (у, х) е Н} = E(j ).	(4.18)
Используя данные соотношения, можно ввести отображение
индексирования.
Определение 4.2
Для произвольного бинарного отношения Ис Хх¥отображение
вида:
indn:XP(Y),
ind„(x)=itn„(x).
(4.19)
где P(Y) булеан множества У, называется индексированием
подмножеств множества У элементами из х g X, порожденным
отношением Н.
Исходя из этого определения очевидно, что произвольное отображение
<р:Х—>Р(¥) совпадает с индексированием, порожденным подходящим
отношением Д' = {(%,^)| у G <р(х) J ’ Следовательно, существует
биективное соответствие между множествами Р(Хх¥) и МарСУ^У))
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
113
-    —- ...... -
для любых двух множеств X и У, где обозначено: Р() - булеан
множества, а Мар(-,-) - множество всех отображений из первого
^множества во второе.
Используя отображение индексирования легко расширить его до
отображения из Р(А) в Р(1). Для этого рассмотрим отображение вида:
вд=пад=пдх)
r„(F)= Л ind„(y)= П E(y)
y^F	yeF
^еденные таким образом отображения, согласно соответствия Галуа,
переводят произвольные подмножества в замкнутые и тем самым
дедуцируют отображение между замкнутыми подмножествами в Р(Л)
Ьр«.
(веденные в рассмотрение выше понятия, позволяют представить
юизвольное отношение Н с (Хх У) в виде объединения декартовых
низведений подмножеств Е, и F,, связанных между собой
^Сражениями (4.20) и (4.21).
Е Лемма_4.2.,
Произвольное бинарное отношение Н с X х У можно представить
в виде:
t	h=|J[e/xf/],	<4-21>
К
Ггде^.еР^), /;.еР(Г), Г, = ГЯ(Е,).
Мотрим отображение (р : X —> Р(У) биективно связанное с
(рением Н такое, что:
Ф(х,)= im„x, = F(x.) е Р(У).
фажение ф есть индексирование множества У элементами из X,
тленное отношением Н с X х У. Определим отображение:
Бочарников В.П,
114
Fuzzy Technology
<Pi(x) =
<p(xj), i = j;
0, i*j.
Отображение <p:% -» P(Y) есть практически покомпонентное
представление отображения <р(х), то есть
ф(х) = « U <р,- (x)l i ~ 1,°° к.
/=0
В силу биективности множеств P(XxY) и Map(X,P(Y)) отображению <р,
(х) соответствует отношение вида:
Н. — х. X imnx.
Тогда справедливо представление отношения Н в виде:
Н - Ц[х; х
i=0*'
Для подмножества Et cz X отображение (4.20) ставит в соответствие
подмножество Fj=rH(Ei). Однако, отображение Гн(-)> являясь
элементом соответствия Галуа, обращает включения, то есть если
Es с Fj, то rH(Ei) □ rH(Ej) и следовательно
УхЛе£„ £J = rB(£,)CF(xJ)-
Тогда Va(oA';,	XimwXt]. причем, найдется
такое Ej, что будет выполняться равенство отношений. Следовательно
справедливо:
Я=й[Е/х^], F^r^Ei).
д
Используя полученный результат можно определить нечеткую меру на
декартовом произведении пространств с заданными на них нечеткими
мерами. Согласно [11] нечеткая мера декартового произведения двух
множеств определяется операцией min. Следовательно нечеткая мера
произвольного отношения Н будет.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
115
itf,. ----. .......... :===rr....	...--------....
Определение 4.3.
Нечеткая мера произвольного отношения HczXxY заданного на
декартовом произведении пространств (X, Вх ,gj) и (Y, Ву, g2)
определяется соотношением:
^И) = £{а(Е,)Л&(Г,)},
(4.23)
где Fj = rH(Ej), а Гн( ) - отображение вида (4.20) между Et	и Ft сК
Нечеткая мера произвольного отношения HcXxY заданного на
декартовом произведении представляется в виде поверхности, как
доказано на рис. 4.2.
[сунок 4.2 - Нечеткая мера на декартовом произведении пространств.
)ределение 4.3 позволяет связать меры gi и g2 с мерой на декартовом
низведении. Однако, непосредственное использование соответствия
луа для практического определения нечеткой меры подмножества
с; XxY затруднительно. Можно показать, что нечеткая мера g(/7)
позначно определяется через нечеткий интеграл Суджено (3.4).
Лемма 4,3
Для подмножества HcXxY нечеткая мера может быть
определена через нечеткий интеграл следующим образом:
gW) = ! &(ЕЫ) о &(•) = / &(F(x)) о g,(), (4.24)
¥	X
где gl:2^[01],g2:2^[01].
Бочарников В.П.
116	Fuzzy Technology
Доказательство.
В силу (4.17), (4.18) можем отметить, что F(x) е P(Y), а Е(у) е Р(х).
Отсюда следует, что gi(£(y)) - является Ву - измеримой функцией.
Аналогично g2(£(x)) является Вх - измеримой функцией. В силу этого
интеграл (4.24) существуют.
Для выполнения равенства в (4.24) достаточно доказать, что любой из
интегралов соответствует нечеткой мере отношения Н определенной в
(4.23). Для второго интеграла ситуация будет аналогичной. Интеграл
Суджено для первого из интегралов в (4.24) определяется выражением:
/gi(£’(j))og2()= sup {а л g2(Fa)},
Y	ae[01]
F«={y|g,(£W)£a,ae[01]}
Рассмотрим более детально определение а - уровневого множества Fa.
Если а = gi(En), то условие gi(E(y)) > gi(En) выполняется в случае если
Еп с:Е(у), что следует из условия монотонности нечеткой меры. Тогда
а - уровневое множество Fa можно переопределить в виде:
F„ = {r| £Ы = £„}-
Иначе, данное соотношение можно переписать как:
F«=jJn Е(у} = Е„-
Однако, р| Е(у) = Г' (F )’ гДе Г'(-) есть отображение (4.21).
Следовательно а - уровневое множество Fa является прообразом
множества ЕпсХ относительно отображения Г' 0 соответствия Галуа
и притом максимальным. В силу условия монотонности нечеткой
меры V F с Fc, g2(F)<g2(Fa). Тогда g2(Fa) являются максимальным
значением меры g2(-) для подмножества соответствующего Еп, а
следовательно и выбранному а - уровню для функции gi(E(y)). Исходя
из сказанного выше справедливо, что Fa — Fn = Г#(£*„)- В СИЛУ
однозначного соответствия а = gi(En) каждому Еп соответствует а, а
следовательно получаем:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
117
Igi(F(>)) ° g2() = sup{« A g2(Fa)} =
F r	°
sup{gi (En) A g2(T'H (£„))} = v{g, (gj A g2 (F„)},
p	n
jro соответствует определению 4.3. Для второго интеграла (4.24)
^осуждения и результат аналогичны. Следовательно лемма доказана.
А
|д|я дальнейшего рассмотрения материала приведем без
£>казательства теорему Суджено-Фубинн [15].
|
г;
Теорема 4.1.
Пусть (X, BXf gy) и (К Ву, gx) два пространства с нечеткими
мерами, и пусть gz = gx х gv - нечеткая мера заданная на Z=AxX
Тогда для gz -измеримой функции h(x,y): X х Y->[01]
справедливо соотношение:
/ Щх,у) og2= I [/ h(x,y) о gr ] о gx •
(4.25)
иная теорема является аналогом теоремы Фубини для обычных
пегралов.
гметим, что доказанная выше лемма 4.3 определяет нечеткую меру
i четком отношении Н с X х У. Однако в том случае, когда на X х У
дано нечеткое отношение, то оно определяет расширенную нечеткую
гру наХхУ.

Теорема 4.2.
Пусть h(x,y) : АхУ—>[01] - нечеткое отношение, а на X и У
заданы нечеткие меры gi и & соответственно. Тогда нечеткая
мера g на пространстве XxY является расширенной нечеткой
мерой, порожденной нечетким отношением Л(х,у) и
определяется как:
g(h)= / h(x,y)ogH( ) ,	(4.26)
где gw(')=/g1(F(y))°g2(),a Е(у) ' определяется
соотношением (4.18).
Бочарников В.П.
118
Fuzzy Technology
Доказательство.
Нечеткое отношение h(x,y) может быть представлено через свои а -
срезы в виде:
h(x,y) = y(ajA^H (х,>)\
I \	ai	/
где I — 1,°°, (х g [01], Хн (х, jj’ ~ характеристическая функция
множества На с X х Y a-уровня. Тогда для фиксированного а е [01]
выполняется условие (4.24) леммы 4.3 и можно записать:
gH.. = [ S, {Еа(у)) о g2(.) = / g2(Fa(x)) о gt (),
где при этом если ОС < ОС. то Е О Е F О F • Для второго
i	J	Oj — а 5 Ct, — Uj
интеграла формально имеем:
Vx gX, g2(Fa(x)) = / %ра(х)(у) °g2,
где	характеристическая функция на К для любого
фиксированного xgX. Рассмотрев совокупность всех таких функций
для всех хеХ получим характеристическую функцию отношения Еа:
(х,у) ~ Х/ ( )(У)” Следовательно, подставив это выражение в
зависимость для g2(Ft(х)) получим:
g2 (Fa (Х)) = J %ц (Х,у) о g2.
Г
Тогда нечеткая мера a-уровня определяется соотношением:
'а
= i IXfi„(x,y)og2 ogl-
Если теперь рассмотреть все а-уровни нечеткого отношения h(x,y), то
нечеткая Mepag(A) будет определяться соотношением:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
119
Цспользуя свойства нечеткого интеграла (3.12) (3.13) может
преобразовать это выражение к виду:
^согласно свойства (3.21) получим:
at Л
Гогда согласно теоремы Суджено-Фубини имеем:
j;	Л хУ
Со есть нечеткая мера на нечетком отношении пространств есть нечто
Юс как расширенная нечеткая мера на XxY порожденная нечетким
ношением ft(x,j). Что и требовалось доказать.
□
Бочарников В.П.
120
Fuzzy Technology
4.3.	//-соответствия.
Нечеткие меры доверия и правдоподобия
как //-соответствия
Будем полагать, что на пространстве (Л В) задана нечеткая мера
g:2x—>[()!].
Определение 4.4.
Если на X задано отношение НсХхХ', = X, то функция
называется //-соответствием по мере g, если
выполняется условие:
= «(£«(*)) <4-2”
где Е„(х)={х'^х,х'')еН^ХхХ'}-
Практически отношение Н CZ X X X' при известной нечеткой Mepeg
задает функцию ju() Н ~ соответствующую g, устанавливая
отображение	/?(Х), F(X) - множество всех нечетких
подмножеств множества X. Соотношение (4.27) может быть
представлено через нечеткий интеграл Суджено в виде:
М*)= //£„(,)(*’) ° g()= / l(x')°g()’ <428)
х*	£„(.г)
где	(х)(л;,)~ характеристическая функция множества
G X' индексированного значением xgX, 1(х') - функция
нео предел енности:
V/еГ, 1{х')-1.
Графически Н-соответствие может быть проиллюстрировано в виде
представленном на рис. 4.3.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
121
l том случае когда соответствие нечеткой мере g устанавливается
рчетким отношением й(х,х'): X х X —> [01] Н- соответствующая
фикция Д (х) определяется соотношением:
д(х)= J z?x(x')°g( )’
(4-29)

кедовательно, отображение фн, определяемое заданным отношением
Ь,¥хУ позволяет определить функцию принадлежности (степени
Четкости) Я- соответствующую нечеткой мере g:2x—>[01]. Кроме
рп, при определенных видах отображения <р можно получить
рчение функции Д(х) удовлетворяющей условиям плотности
(меткой меры Н - соответствующей нечеткой мере g.
хмотрим следующую теорему, определяющую преобразование
определения вероятности в распределение возможности на X как
^соответствие.
;
Теорема 4.3
Мера возможности, определяемая соотношением [11]:
д(*)= Цх*'),	(4’30)
Г: рСх*)<р(х)
является нечеткой мерой на X Н - соответствующей мере
1 вероятности	2х—>[01] с функцией плотности вероятности
: р(х): X—>[01] если отношение Н задается характеристической
Бочарников В.П.
122
Fuzzy Technology
функцией вида:
Хн(х^х') =
О,
р(х)>р(х')
р(х)<р(х')
(431)
Доказательство.
Прежде всего рассмотрим выражение (4.30). Для меры вероягности
Рх() справедливо соотношение:
^u)=x₽w-
хе Л
Тогда (4.30) можно переписать в виде:
Д(*) = ^Р(Х'У
где Ах = {х'|р(х) >р(х')}.-
Следовательно представляя множество Ах его характеристической
функцией, можем записать:
Д(*) = у р(х')= У/яа.(х,) р(^,) = Л'(Л) =
х'еЛх	х'бГ
I b.W'Mh I
х' х	лх
Данное выражение соответствует выражению (4.28) в случае когда
VxgX, Лх = Ен(х), где Ен(х) определяется согласно (4.18). Данное
условие будет выполняться когда отношение Н задается
характеристической функцией вида.
Хи(х,х') =
р(х)>р(х')
р(х)<р(х')
Что и требовалось доказать.
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology	123
Приведенная теорема показывает, что известные соотношения [1,4]
^увязывающие нечеткие меры вероятности и возможности являются
-частным случаем полученного соотношения для //-соответствия между
функциями распределения нечетких мер. Более того, указанная
конструкция //-соответствия нечетких мер на пространстве X
^^деоляет до некоторой степени обобщить результаты и предложения
Д1ейфера о порождении мер на основе так называемой базовой
^вероятности ш(>) определяемой выражениями (2.4):
тп:2х -» [01],
т(А) = \.
А^Х
Напомним, что множества А, с X для которого т(А,) > 0 называются
фокальными элементами. Согласно определений 2.3, 2.5 базовая
вероятность w( ) позволяет определить меру доверия и правдоподобия
Согласно следующих соотношений:
пел	(4.32)
р/(Л)= 1>(£).
z	вПл*0
Функция задает аддитивное распределение уверенности на
множестве фокальных элементов, что не всегда оправдано. В более
Дбщем случае следует предположить, что мера ги(-) обладает
Двойствами нечеткой меры (определение 2.1) заданной на степенном
|тожестве Р(Х) — 2х. В этом случае можно использовать предлагаемый
подход для построения функций распределения нечеткости
//-соответствующих заданной “базовой” нечеткой мере g:2x —>[01].
I
Рассмотрим эту конструкцию более подробно. Пусть задано
пространство (X, В) и нечеткая мера g:2x —>[01]. Зададим на
Пространстве X	отношение HczXxX' такое,	что
Vx^Xy е X, л,- Ф Xj => coirriffXj # соЬпи(ху), то есть для
VE(x/),E(xy) с X => Е(х,)* E(xj)	(4.33)
Таким образом отношение Н порождает множество подмножеств
{р(х)}сАГ|, f(x) €/’(Л4) индексированные элементами этого
Бочарников В.П.
124
Fuzzy Technology
же множества X (X=Jf*). При таком задании отношения Н
существует функциональное отношение между множеством X и его
степенным множеством 2х=Р(Х'), а следовательно на Р(Х')
индуцируется нечеткая мера фр^: РР(Х') —> [01]> где РР(Х') -
множество всех подмножеств множества Р(Х'), которая однозначно
соответствует нечеткой мере g(). То есть выполняется условие:
<Рр^(е(х)) = 8 x1х)
А кроме того справедливо соотношение:
0/V) ({£(*)}) = / U-0 ° g( ) ’
и
где {£(%)} с РР'(Х'), {%} а X.
(434)
(4.35)
В случае выполнения условия (4.33) множества Е(х) е Р(А") могут
рассматриваться как фокальные элементы на X = X' индексированные
элементами х е X, а построенная согласно (4.34), (4.35) мера
играет ту же роль, что и функция w(-) определенная согласно (2.4)
базовой вероятности в схеме Шейфера. Тогда имеется возможность
построить на основании базовой нечеткой меры g( ), выдерживая
логику построения мер по Шейферу, меры доверия и правдоподобия
Н- соответствующие мере g(-), а именно:
Bel„(A)= I I(x)»g().	<4“>
{х|£(х)сЛ}
Г1„(А)= I l(x)og(.).	(«7)
{х|£(х)ПЛ*0}
где А с X' = X -
Указанные зависимости являются обобщениями конструкций мер
доверия и правдоподобия (4.32). Используя приведенные выше
рассуждения легко доказывается следующая лемма.
Лемма 4.4
Если g( ):2x —>[01] есть вероятностная мера и для отношения И
выполняются условия (4.33), то мера правдоподобия и доверия
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
125
JU
//-соответствующие мере g(-) удовлетворяют соотношениям
(4.32).
Доказательство.
Пусть
%(x) = <
1, Е(х)сЛ;
О, Е(х) о А,
Тогда %(х) есть характеристическая функция множества {х| Е(х)сА} и
согласно (4.36) справедливо соотношение:
BelH(A) = I %(x)°g() = gx({xl£(x)c Л}) = ^gx(xY
Х	{х|£(Х)СЛ}
Но, в силу (4.34) и (4.35) существует однозначное соответствие между
Mepoii g( ) и (pPW(-) для которой (рР{Х)(Е(х)) - g(x) и
следовательно мера	является вероятностной и удовлетворяет
£(2.4). Тогда получаем:
Ве1н{А)~
В^А
р де В = Е(х) CZ X - Множества В играют роль фокальных элементов.
[Полученное выражение совпадает с выражением (4.32) для Ве1(А). Для
|йеры правдоподобия рассуждения аналогичны. Следовательно лемма
доказана.
Д
ЯВ заключении этого параграфа отметим, что определение
^/-соответствия между нечеткими мерами, заданными на пространстве
В) могут быть распространены и на случай произвольных бинарных
^отношений Н с X х У. В этом случае отображение фн определяет
Преобразование нечеткой меры на X в нечеткую меру на У, Я -
^соответствующую мере на Х\
Фн-Sxk} ДгОэ
Бочарников В.П.
126
Fuzzy Technology
ПК//,(•):?->[01]- есть функция //-соответствия:
§ЛеЛу))-
Фактически рассмотрев семейство М всех //-соответствий можно
записать М с F (Y), где F(Y) - множество функций распределения
нечеткости заданных на пространстве Y. Обозначив д"' (у) функцию
///-соответствия можно определить нечеткое отношение Т: Мх К—>[01]
с функцией определяемой соотношением:
Т(у,Н) = ^'(у).	(4.38)
В этом случае, исходя из результата доказанного в лемме 4.3, нечеткую
меру произвольного отношения Н, g М можно определить как:
8(Я,) = 1ЛьЯ,)«8г()-	<4-3”
Y
Таким, образом, используя //-соответствия можно определить
нечеткую меру отношения Н cz Хх Y.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
127
4.4.	//-операции над нечеткими мерами
j| предыдущем пункте было отмечено, что //-соответствие задает
-.Сражение, которое переводит одну нечеткую меру в другую заданную
дйбо на том же пространстве Х9 либо на пространстве Y X, что зависит
(гг характера заданного отношения Н. В том случае когда на X и У заданы
яИи нечеткие меры, то интересно рассмотреть случай композиции этих мер,
^результатом зафиксированным на множестве Z, которое может быть либо
1^Х,либо7= Г,либо7=//хК
В^сть, как и раньше зафиксированы два пространства (X, Вх, g) (К, BY,
с нечеткими мерами.
Г
* Лемма 4,5.
Lju- Нечеткая мера g/z(-) заданная на множестве X х К,
(ЯсХ X Y есть функция, задающая отображение вида:
Ь	g„():P(Jr)xP(F)->[01],	(4.40)
I где Р(Х) - степенное множество (множество всех подмножеств)
I'	множества X, P(Y) - то же для множества Y.
1ательство.
^четкая мера g.(-),z = 1.2 задается как функция множества
[01], (2х = Р(Х))- Согласно определения 4.3.
Мц жения (4.23) мера g (-) может быть представлена в виде:
'	g(W) = .v{a(E,)Ag2(j;.)}.
Е F-i е BY, Е\ е Вх. Согласно этого выражения для g(H) существуют
Ене подмножества В*еВх и F*e BY. что справедливо:
g(H) = g,(£’)Agl(r).
Бочарников В.П.
128
Fuzzy Technology
Ho £"* G P(>¥), a F* G Р(У) > следовательно для любого отношения
Н с X х Y мера g(H) есть функция удовлетворяющая соотношению
(4.40). Что и требовалось доказать.
А
Лемма 4.5. позволяет рассмотреть ее расширение на случай когда одно
из множеств X или У представляет из себя декартово произведение
других множест4. Тогда существуют некоторое отношение /? с [У х Z)
х У для которого нечеткая мера
g^)WO*.P(Z)]xP(n^[01].	(4.41)
Если на декартовом произведении булеанов произвольных множеств
Xs, S = 1, Ns задать отображение <у; р(Х} )х.. .хХ(XNg) -> Р(Х)
представляющее собой Ns -арную операцию, то мы имеем возможность
рассмотреть многоосновную алгебру заданную на семействе булеанов
множеств Xs. Рассмотрим этот момент подробнее. Пусть
Р = £Р(Х5)|5 g 5}- произвольное семейство булеанов множеств
Х^ индексированных элементами из S' множества сорто4. Обозначим
через (?р(Р) множество всех операций вида:
atP(XsJx...xP(XSii')->P(Xs')-	(4.42)
Тем самым определено отображение
t: OV(P) —>SxS.	(4.43)
Если О - {cd} - множество символов операций то исходя из (4.42)
определяется сигнатура алгебры над множеством сортов S как
отображение:
type: О S' х S'.	(4.44)
Теперь дадим определение многоосновной (много сортной) алгебры
над булеанами множеств P(XS).
Определение 4В5.
Семейство Р булеанов множеств Xs называется много сортной
универсальной алгеброй сигнатуры О, если задано такое
отображение 8: О —> СЦР), которое делает следующую
I диаграмму коммутативной:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
129
ft
в том смысле, что type ~t ° 8> где “ ° ” - операция композиции.
том случае, когда множество сортов оснований Q-алгебры
рождается до одного сорта (например, операции со заданы на
юане Р(Х), CD'.Ph{X} —> Р(Х)) мы рассматриваем одноосновную
ебру с сигнатурой Q.
метим, что если на Р(Х) задана бинарная операция
Р(Х) X Р(Х) —> Р(то множество Р(Х) называется
гппоидом, а действующая в Р(Х) бинарная операция со - законом
П7 енней композиции.
I Определение 4.6.
Бинарной //-операцией называется оператор, ставящий в
Iсоответствие нечетким мерам g}:2x —> [01] и g2^ —> [01)
заданным соответственно на пространствах X и У, нечеткую
меру g:2z -»[01] , такую, что выполняется:
VCcZ. g(C) = gH(wno>’'(C)).
где gz/() определяется согласно (4.23), Н с ЛхУ
I. йГ'(Ое ЦХхУ), <КР(Х)хР(У)->Р(2) - бинарная
f I операция в трехосновной алгебре реализующая такую функцию,
|что:
L I
АхВсА'^В' е P(X)xP(Y)^CcCe P(Z).
» К
со есть бинарная операция заданная на X. В качестве
Ий операции может выступать операция min, max, или
Мметические операции исчисления интервальной математики. Если
Ьчестве операции со используется операция max, то нечеткая мера
Г есть результат //-объединения нечетких мер gj и g2. Для
ерации введем следующие обозначения:
771	Бочарников В.П.
130
Fuzzy Technology
g()=Wfe,«®,}=».(&,&)•	<«5>
Графически Н-операция над нечеткими мерами может быть
представлена в виде рис 4.4.
Рисунок 4.4 - Н-операция над нечеткими мерами.
В том случае когда со определяет бинарную операцию в одноосновной
алгебре Н-операция представляет собой оператор вида:
H„:F(X)xF(X)	(4.46)
где F(X) - множество всех распределений нечетких мер на
пространстве X, и выступает в роли закона нечеткой внутренней
композиции.
Определение 4J.
Упорядоченная пара состоящая из F(X) и закона внутренней
нечеткой композиции на F(X) называется нечетким
группоидом (F(X), для нечетких мер.
Исходя из определения 4.6. результирующая нечеткая мера g(-)
операции может быть определена согласно следующей теоремы.
Теорема 4.4.
Нечеткая мера подмножества С с Z являющаяся результатом
- операции над нечеткими мерами g:2x—> [01], и
g2:2r —у [01], удовлетворяет соотношению:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
131
ft
«(С)=И.(».й) = 18(£ИП4"6 =
= /&(/?(х)Г1В)о&
A
гдеуеГ.хеЛ, CcZ, HcXxY, C= й)(А, B), A X, В сУ,
E(j), F(x) - определяются no (4.17), (4.18).
^азательство.
Согласно определения (4.6) нечеткая мера g(O определяется исходя из
ыражения:	g(Q = gH(H П«“'(С)). Так как
у-1 (С) G.P(X хУ), то на XxY существует отношение Q g X хУ ,
йое, что g = {(jc,y)Jx еА,у е в}-Тогда EQ(y) = {y|(x,y) е£>}.
'следовательно Vy g B,EQ(y) = 0, и Vy е B,EQ(y) = А.
Ъгда, можем записать g(c) = gH(HПО- Обозначим Н' = Hf\Q-
|ечеткая мера gH, согласно (4.24) определяется выражением:
g(c) = / gi {Ен\уУ) о g2 =	/ gl (ЕН\уУ) ^g2 =
Y	BU(HB)
[ /{[^в(у)х/Хв]Л§|(£;Н (y))}°g2»
R? Хв^Хв~ хаРактеристические функции множеств В и В =Y \В.
Ьсэсрывая квадратные скобки в подынтегральном выражении имеем:
ГО = /{(ZB (У) a g| (£"' (у))) v	(у) a gt (Еи' (у)))} ° g2 •
мотрим более детально выражение под интегралом.
р;
Ь1(£"'(у)) = й(^н(у)П£е(у)) =
g}(EH (у)Г\А),у G.B
&(Е//(у)П0) = О,уей.
Хв(у) л gi(EH (у)) = 0> а следовательно:
Бочарников В.П.
132
Fuzzy Technology
g(Q = Д/вСу) (>))}°g2 = / gl(EH (y))°g2 =
= lgi(EH (_у)Ги)°&-
В
Что и требовалось доказать. Для второго интеграла в (4.47)
рассуждения аналогичны. Следовательно теорема доказана.
□
Из теоремы 4.4. можно рассмотреть следующие важные следствия.
Следствие I.
Если пространства с нечеткими мерами (X, gj) и (Y, g2)
связаны отношением Н с ЛхУ, а на Р(Х) задана унарная
операция G):P(X) —У P(Z) со значением в Z, то - операция
над нечеткими мерами и g2 определяет меру g на Z согласно
зависимости:
g(Q = / g2(F(xy)og = f g,(E(y)QA)og <4-48)
A	Y
где C= a)(A)^Z.
Доказательство следствия следует из доказательства теоремы 4.4. при
замене множества В на все пространство У.
Следствие 2.
Если g| и g2 две нечеткие меры на X, а со бинарная операция на
Xудовлетворяющая соотношению:
0,СО(Л,В),В*В;
А9А=В
то результирующая На - операции нечеткая мера есть мера на
X, определяемая соотношением:
8(Л) = /г2№)ГМ)=й = Ig,(EWnA)»g2. <«’>
А	А
в)(А,В) = <
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
133
[ЬСТВО.
Согласно определения - операции имеем g(?4) — gH(H П^)’ где
С X XX- отношение порожденное бинарной операцией со на Р(Х).
|анное отношение определяется характеристической функцией:
1, хрх2еЛ;
О, (%j £ A) v (х2 g А).

^ледовательно:
t	g(A) = ! g,(EH (х2) п EQi (х2)) о g2,
Ф6 Ев* (х2) = {х||х2 е А } = А •
Diсюда следует доказательство следствия 2.
Г
осле того, как нами была определена возможность нахождения
^четкой меры результирующей Н& - операцию через нечеткие
йггегралы мы можем рассмотреть основные свойства нечеткого
цуппоида ( F(X), для нечетких мер.
^«чтгельство теоремы 4.4. показывают, что Н^-операция заданная над
ихсированной Q - алгеброй удовлетворяет операции коммутативности:
Н {&*& } = Н {&<*&}’	(4-50)
’ следовательно нечеткий группоид (F(X)y Н&) является
>ммутативным. Рассмотрим свойство ассоциативности операции.
Теорема 4,5.
Для нечеткого группоида (F(X)9Ha) закон нечеткой внутренней
композиции в виде - операции над фиксированной Q -
алгеброй с ассоциативной бинарной операцией
G):P(X)x Р(Х) —$Р(Х) в Р(Х) является ассоциативным, то
есть
(4-5!)
Бочарников В.П.
134
Fuzzy Technology
I а следовательно и нечеткий группоид (F(X)9H&) является
ассоциативным.
Доказательство.
Пусть для простоты дальнейшего рассмотрения будут определены
пространства Х= Y = Z с фиксированными нечеткими мерами gb g2, g3
на них соответственно. Кроме того, обозначим gj/-) - нечеткую меру
полученную в результате Н& - операции над нечеткими мерами g,, gy, а
g( ) - нечеткую меру результирующую после двух последовательных
- операций.
В дальнейшем будем полагать, что бинарная операция
СО:Р(%) X Р(Х) —> Р(Х) является ассоциативной. Обозначим А с X,
В сУ, Сс Z. Для со считаем, что (А соВ) = D,(B со С) -Р, К - (D со С )=
(А соР). Тогда имеем:
Согласно (4.47) можем записать:
= I g (К(х)ПВ)о& °! й(£,(у)П^)°йг’
А 2	В
где хе Х9уе Y,X=Y:dD. Тогда, для произвольного К с Z=X= Y для
результирующей нечеткой меры g(-) справедливо соотношение:
^) = Н<В{Й2(С),&(С)}.
Нам необходимо доказать, что
«(Х)=яа>{а(Л),&3(Р)},
r«ega(P)=^{g2(^s(C)}-
Для g(P) можем записать:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
135
<K)=U№)nQogI2=Jg3(F(z)riQAZD]on(z)ogl2(.)=
•?/№)АО°/^о°й2()=/&№)ПО°&2(^)=
*/й<(Н2)ЯС)о/й(£(7)Г|/1)о^2 = f s(F(y)n/4)ofg3(F(z)nC)oa =
&	В	z	“
^(адпл)оы^=/а(адп^о&(-)=яв>{а(4х&(^}=
ho и требовалось доказать.
^доказательства теоремы 4.5. можно сделать вывод о том, что если в Q-
дебре бинарная операция со является ассоциативной, то есть группоид
^А),£9) является ассоциативным, то фиксированная над этой алгеброй Н^-
Ькрация является ассоциативной, а следовательно и нечеткий группоид для
Вчетких мер (ДХ), Я©) является ассоциативным.
йсресным с практической точки зрения является вопрос
шествования дистрибутивных //^-операций в F(X). Раскрывая этот
трос рассмотрим теорему о дистрибутивности //^-операций.
Теорема 4,6.
Пусть в Р(Х) задана Q-алгебра с сигнатурой
Q = {tO1(2),tO2(2),} где СО/ и 6Q2 бинарные операции, и 0%
дистрибутивна относительно 69,- И пусть в F(X) определена
бинарная Н&- операция /у1 с фиксированной в Q-алгебре
G)j
операцией СО/. Тогда:
1. Существует такая //^-операция в F(X) f-J2 с
О)]
фиксированной в Q-алгебре операцией которая дистрибутивна
к операции, то есть выполняются:
н\ (&>&)}={н'а1 (gx,gO,H\ (g„g3)}.
(4.52)
Бочарников В.П.
136
Fuzzy Technology
2. Существует //^-операция /у1 с фиксированной в Q-алгебре
О)2
операций оъ дистрибутивная к операции которая заданна
на F(X), то есть

(4.53)
Доказательство.
Как и в доказательстве теоремы 4.5 сохраним обозначения для
результирующих нечетких мер. Для подмножеств из Р(Х) приведем
следующие соотношения:
X =y = z,a^x9b^y9c^z
Для доказательства предположения теоремы 4.6 обозначим:
(В СО/ С) = Р, (A cot В) = L, (А й); С) = D, (А Р) = (L cot D) = К.
Нечеткая результирующая мера множества К для выражения слева в
соотношении (4.52) может быть представлена в виде:
8(Л=/а(ЛЫПЛ)о&,
где нечеткая мера Ягз(') ДЛЯ подмножества Р будет определяться
выражением:
&(Р) = /в1(Л«П5)оа1-
Отметим, что индексы i множеств Ft(x) определяют номер отношения
фиксированного на XxY Преобразуем эту величину:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
137
LK)=/[Zp(*) лй№)П^)]°/1(х)ойз =lx&(Fi(x)r\A)og23(P)=
4й№)А^°к(^(х)ПВ)ой = /[й№)ПЛ)л^Х/?(х)ГХ4)]о
г
teWAB)°g=/[й№)ПЛ)л&(г2(х)Пв)]о/й№)а4)°й =
йз~(Ь1 ’
||й№)А^ай(Г2(х)АВ)]ойз(.).
|гсмотрим более подробно подынтегральное выражение. Обозначим
^как функцию^) =g1(7*J(x)rM) a g2(F2(x)AB)-
^гласно условия теоремы подмножества Fj(x) являются
аэрированными для /у1 -операции. Рассмотрим вспомогательное
ЙЙношение:
I g,(F,(’)fWg,= Me[oQ
Е»(х)ПВ	U
гда существует такое хеХ что выполняется согласно (3.10)
Отношение:
Г М = gt (/< (х*) п А) = g2(Ha ПГ2(х*)П).
X - множество tz-уровня функции ^(7^(%)ПЛ) на уровне
|кй(7^(х*)ПЛ)- Тогда, если На cF2(x)> то существует такое
Ьршение Н2 для которого справедливо:
кедгм)л8г(вдпв)= I g,(F,«n^)<>& =
F2(X)nB
|IXf2u) °/gi(^Wn^)°g2 = /Xf2(X) °gi2(£) =
В	X
K^F2(x) ° XdX)° Sl2 = ^[Xf2(x) aXl]°Si2 =g|2(^2(X)n^)-
X	X
Вставив это выражение в соотношение для g(K) получим:
мм образом, первое утверждение теоремы является доказанным.
Бочарников В.П.
138
Fuzzy Technology
Для доказательства второго утверждения мы можем воспользоваться
следующими соотношениями в Q-алгебре
(В 0)2 С) = Р, (А В) = L, (А сог С) = D, (A й){ Р) = (L со2 D) = К.
Тогда, для g(A), исходя из рассуждений приведенных выше, можем
записать выражение:
^)= /[£1(Г1СОПЛ)л£2(^(х)АВ)]о/£1(^(х)ПЛ)о£ •
X	с
Для выражения в квадратных скобках справедливо (исходя из
рассуждений доказательства по пункту 1 теоремы) соотношение:
[«(ВДГМ)л &(ВДПВ)]=г„(адП£).
где L — А0)1В. Тогда с учетом дистрибутивности операций ГА и в
Q -алгебре можем записать:
gw=w;{<{g,.g2}.<{g„g3i}.
что н требовалось доказать в теореме.
□
Используя основные свойства Н& - операции и ее определения через
нечеткие интегралы согласно теоремы 4.4 и ее следствий мы можем
определить расширенную нечеткую меру. При этом еще раз
подчеркнем необходимость отмеченной в определении 4.6
функциональной зависимости операции (п в трехосновной алгебре на
которой определена - операция.
Теорема 4.7.
Расширенная нечеткая мера подмножества С с Z, определяемая
функцией р (z) : Z—>[01] и нечеткой мерой g, результирующей
операцию нечетких мер gi и g2, заданных на пространствах
X, Y соответственно находится из соотношения:
£(Д)[С] = sup I [а Л g2 (F0O А Вв )] о g, ’	<4-54)
«е[01 ] 41
где: F(y) - определяется из (4.18), Аа(ОВа = МаГ\С,
Мо = {xjju(x) > а е [01]], Ва а Y, Аа с X-
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
139
IbCTBO.
Уширенная нечеткая мера g согласно определения (3.30)
Ыределяется через нечеткую меру g(-) на Z. Однако, исходя из условия
Нремы gQ = {gj^g2 }  Тогда можем записать:
► E«(c) = /M(z)oH<u{g,cog2 }= sup{tZAg(ManC)} =
L <	C	ae[OI]
К = SLip{(Z A H6){gl60g2 }[4zHC]}
a
^ди МаГ\С = AaCOBa тогда согласно теоремы (4.4) мы можем
Писать:
r(c)=sup|aA I g2(^’Wn^a)°g1] = si4>/[«Ag2(F(x)nBa)]ogi
К a L	J «
и требовалось доказать.
□
I том случае, когда со определяет унарную операций вида
I: Р(Х)—> P(Z) имеет место интересное следствие теоремы 4.7.
Следствие 1.
Если со - есть унарная операция такая, что VA с X,
бо(Л) = М n С с Z, то расширенная нечеткая мера (С)
подмножества С с Z определяется через нечеткую меру на X
gi(A) в виде:
(Q = sup /[a a g2(F(x))] о g, (А) •	(455)
а X
_„ „е„0„ адуст „3 _
риремы 4.7. В том случае когда унарная операция является
Ьждественным отображением X в X — Z следствие 1 приводит к
Ьедующему результату.
Следствие 2.
Пусть X = Z и со - унарная операция тождественного
Г
Бочарников В.П.
140
Fuzzy Technology
преобразования. Тогда расширенная нечеткая мера
подмножества Сс Zопределяется соотношением:
g/O = SUp[«A / g2(F(x))og(-)l=SUp[«Ag (М„ПС)]
«40111 Л/„Пс	J «401]<-	J
(4.56)
Доказательство следствия очевидно следует из доказательства теоремы
4.7.Следсгвие 2 устанавливает интересную взаимосвязь расширенных
нечетких мер, которая порождена - операцией над нечеткими
мерами.
Пусть задана Н^- операция такая, что СО] есть унарная операция, вида
ct)i: Р(Х) (Имеется ввиду, что НС(А есть операция над нечеткими
мерами gj:2x —> [01], g2:2Y —> [01] с результирующей мерой
g:2z —> [01].) Тогда согласно (4.28) может быть определена мера
g:2z —» [01]. Интересной оказывается возможность задания
сопряженной Я((й- операции над нечеткими мерами g] и g2, где &>> есть
унарная операция.
Лемма 4.6
Пусть goi‘-2z—>[01] есть результирующая нечеткая мера -
операции над нечеткими мерами gj и g2, заданными на X и Y
соответственно C0i'.P(X) ~^P(Z). Тогда существует такая унарная
операция (fy: P(Y) ~^P(Z) и такое отображение f. Р(Х) —> Р(У),
что для результирующей Н^-операции меры gw2 справедливо:
g(oi(C) g<o2(C).
(4.57)
или
I g2(F(*))	(£O)) ° g2’	(4'58)
A	В
где O((jf)=G^(B)=CcZ.,BcY,AcX.
Доказательство.
Для доказательства леммы используем тот факт, что если заданы две
функции монотонно убывающие и имеющие одинаковое начальное
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	14 j
|нение, то всегда можно задать такие аргументы этих функций, что
учения их будут равны рис. 4.5.
Рисунок 4.5 - К доказательству леммы 4.6.
г’’
Входя из условия и доказательства леммы 4.3 (4.24) имеем
|к(‘)=&сО ПРИ А~Х9 В ~¥- Согласно, свойства нечеткого интеграла
я А,, с Ai+} выполняются:
г I g2 (Т(хУ) ° Si I g2 (Н*))0 gi 
4	4+i
|гедовательно, функция g (-) есть убывающая функция для
L женной последовательности подмножеств Ait Аналогично, функция
(•) также является убывающей для последовательности
Ьдмножеств В <zBiU с..сВ,^ при п -> оо.
Ьгда, исходя из выше приведенной посылки и рис. 4.1. следует что
р любого можно найти такое Ву czK, что будет выполняться
шювие (4.58). Следовательно существует отображение /:Р(х)—>Р(У)
ЬЬвлетворяющие лемме 4.6.
А
Определенные в этом параграфе Н^- операции над нечеткими мерами
рзволяют рассмотреть нечеткий интеграл Суджено от функции
I (х) : X—>[01] по нечеткой мере gx (•) как частный случай
Ьо- операции над нечеткой мерой g и нечеткой мерой возможности
Ьответствующей функции р(х). В этой связи рассмотрим теорему
Ьтанавливающую интересную связь между расширенной нечеткой
Бочарников В.П.
142
Fuzzy Technology
мерой, соответствующего ей интеграла Суджено и Н&- операций над
нечеткими мерами.
Теорема 4.8.
Расширенная нечеткая мера gu (Л) подмножества АсХ,
порожденная нормированной функцией р (х) : X->[01] и
нечеткой мерой gx (•): 2х —>[01], равна нечеткой мере Х(Л)
подмножества А вида
Л(Л) =
’о, Л = 0,
At®,
(4.59)
где (n,g) - результирующая нечеткая мера полученная в
результате - операции между нечеткой мерой gx (•) и
нечеткой мерой возможности л(-) с функцией плотности
нечеткой меры равной р(х), а Н&- операция определяется
отношением Н с ХхХ с характеристической функцией вида:
1, д(Х|)^д(х2), хх,хгеХ (460)
0, д(х()<д(х2).
и бинарной операцией со:
[0, А* В;
VA,BcX, (О(А,В) = \
[А, А = В.
(4.61)
При этом справедливо соотношение:
=^(Л) = Л(>1) = /мЕя0')ПЛ)о&(.) =
а	а	(4.62)
= sup{zr(A4 ГМ) л gx (Ма ПЛ)},
ма
где
М„ = {л|Жх)> а е[01]}, »„ = (%\ M„)UCovM„
GtvA^- множество граничных точек множества Ма, Еи(у) -
определяется согласно (4.17).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	143
Ийласно теоремы 3.3. функция д(х) определяет расширенную
«четкую меру gp0 через нечеткий интеграл Суджено. Для
«пьнейшего доказательства теоремы рассмотрим Н&- операцию с
Ешкгсристиками, указанными в условии теоремы над нечеткими
Ерами g/') 11 мерой возможности дХ) с плотностью меры,
Еответствующей функции д(х). Согласно алгебры с операцией &>,
«данной как (4.61), множество АаХ образуется в случае а^АуА)~А.
Еедовательно отношение Н с: ХхХ должно быть рассмотрено
«гласно теоремы 4.4. на усеченном декартовом произведении
Ьх^Х) гу (ЛхЯ). В этом случае справедливо:
Л(Л)= /я(£,(у))ПЛ)«8,(),д«х
‘	А
йюзначим через Н- отношениеН-Нn Q, где QоХхХ,
)={(х,у)\хеА,уеА}. огда:
Л(А)=1л(Ен.(у})<^х.
А
Согласно определения (4.3.) нечеткая мера декартового произведения
•ер определяется по (4.23). Но, для усеченного отношения Н
щгведливо выражение:
Л(Л) = supCzrC^ п А) л gx(E„ П АУ),
п
fr-де £ = П£я(у) = r'(F ), Г' (•)- оператор преобразования (4.21).
п
^Отношение Н cz ХхХ, заданное как (4.60) для переупорядоченной по
убыванию функции ц(х), может быть представлено в виде рис. 4.6, где
^штрихованная часть есть область с единичной характеристической
функцией (xi, х2) = 1 -
Бочарников В.П.
144
Fuzzy Technology
Рисунок 4.6 - К доказательству теоремы 4.8.
В силу того, что мера возможности Лх(х) для подмножества Еп
определяется в виде: д (£ ) = maxjU(x) а также в СИЛУ
доказательства леммы 4.3 справедливо:
а также:
Тогда, согласно заданной характеристической функции (4.60) можем
записать:
Е. = Г1 0) = {j- е X|Vy s М„ иМ>цМ] 
Это условие можно переписать в виде:
X \ Ма U х min	=
’ CovMa
= Я-
Подставив данное соотношение в формулу для Л(Л) получим:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
145
/ л(Ен (у) n Л) о g = sup(flr( Ma n A) A gx ( Ma n A)) 
A	Ct
рфическое представление этого соотношение изображено на
йс. 4.6. Для доказательства тождества
I = Н„(гг(Л),®(Л)) = / л:(£иСу)Г)Л)«г.
I» А	А
цтаточно доказать, что
;	д(^) = яг(Ен(^)АЛ) = Я(Л/Г/ПЛ):
кя меры возможности л(х) справедливо:
^hCf)A^)= max д(х),
К Е„(у)Г\А = [х&А\11(у)>Ц(х)}- Учитывая отношение Н
созывается справедливым следующее (см. рис.4.2)
Sax д(х)= max д(х) = ц(у) или
инах Ц(х)= maxu(x)= U(v)- Отсюда следует, что теорема
f»O)TVr ' 7 хеЕ„(у^К 7	1
азана
□
I заключении отметим, что понятие //-операции над нечеткими
рами открывает возможности по обработке нечеткой числовой
формации в аналитических задачах поддержки принятия решений.
 сегодняшний день //-операции были использованы при создании
Ь* циального программного обеспечения для обработки нечеткой
еловой информации. В частности FC v. 2.1 (Fuzzy Calculator), ExPro-
b* v.1.0 (Expert Professional), FE v.2.0 (Fuzzy Excel). Применение
Много программного обеспечения позволяет уже сейчас на практике
вменять возможности Fuzzy-технологии для проведения
Изолирования и расчетов в условиях неопределенности.
Бочарникое В.П.
146
Fuzzy Technology
4.5. Нечетко-интегральные зависимости
В данном пункте мы рассмотрим ряд зависимостей между нечеткими
величинами (функциями принадлежности, нечеткими мерами и т.д.),
связанными через нечеткие интегралы. Данные зависимости могут
оказаться весьма полезными при решении практических задач. С этой
целью рассмотрим ряд лемм.
II Лемма 4,7
Пусть заданы три пространства с фиксированными на них
нечеткими мерами (X, g|), (Y, g2), (Z, g3) и задано отношение
H| g XxZ. Тогда существует такое отношение Н2 с: YxZ, что
результирующие нечеткие меры равны:
Х(Н|) — q(H2), или
I {&(^w,U))0g3=/g2(^Hj(^))0g3-	4-63)
Доказательство.
Рассмотрим подынтегральную функцию gi(-). В силу определения 4.4.
эта функция является Н- соответствием по мере g| и определяется
соотношением (4.28).
а(£„,(г))= i
Аналогичным образом может быть представлена и функция
Если Д™ Л1обого z* z gXEH^=SAEHi{zy), то
(4.63) является справедливым. При фиксированном отношении Н\
g,(£„U))e[01]. Тогда в силу монотонности функции
нечеткой меры на множества P(Y) может быть определено такое
множество AeP(Y), что
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
147
I Kx)°gi=il(y)og2-
ЕщЮ	A
|сли теперь положить A = E H (z)> T0 для всех zgZ, множества
ir# восстанавливают однозначно отношение H2 g Ух£. При этом
Исполняется равенство gl(En (z)) = ёЛЕн (z))’ а слеД°вательн0
:твует для меры g2 отношение Н2 для которого справедливо
юшение (4.63). Что и требовалось доказать.
Д
^данной лемме интегральная зависимость между нечеткими мерами
jg g2 и соответствующими им отношениями Н\ и Н2 определялись при
Йхггком равенстве подынтегральных функций. Однако,
дантегральные функции могут быть и не равными между собой, а а
М же время интегралы от этих функций будут иметь одинаковое
Качение. Рассмотрим лемму.
Лемма 4.8
fcju Пусть (X В, gi) - пространство с нечеткой мерой, a f -
IT измеримая функция, определенная на (Xt В,) со значениями в
И измеримом пространстве (У, ^). g2 - нечеткая мера,
индуцированная на (У, £) функцией
I f ( А) = 51 (/ ' ( А))> Ае£)’ тогда существует g2 -
g интегрируемая функция р(у) сопряженная g| - интегрируемой
функции h(x) для каждого Ле В, в том смысле что:
/^(j)og2(-)= I h(x)og}- (464)
А	Г'(А)
НйЙательство.
и доказательства рассмотрим второй интеграл соотношения (4.64):
L ! К*)° g, = sup(a A g, (Я„ п/ '(Я)))-
Г* (А)	а
ргласно равенства (4.2) существует такая функция г(у): У —> [01]
kn *рая удовлетворяет равенству:
Бочарников В.П.
148
Fuzzy Technology
g,(W« nf-'fA» = I l(y)°g2 = sup {/S л gjUnTj)},
A	£<=[01]
и кроме того, существует такое (3 *е [01], что
g,(H.n/-,U))=g!unr,.)= /
Для возрастающего ае[01] gt(H	- есть функция не
возрастающая. Тогда с увеличением а для сохранения выше
приведенного равенства необходимо уменьшение множество у . Если
теперь рассмотреть значение второго интеграла (4.64) в виде:
(X = g^H . ПУ^’(Л))> то любая последовательность множеств 7^
индексированных значениями а для которой
I Ky)°g2 = Р* =а*
Т .Пл
р
задает семейство вложенных подмножеств У, определяющих
соответственно [11] функцию д(у):У—»[01] Таким образом, отсюда
следует, что существует функция д(у) для которой соотношение (4.64)
удовлетворяется.
А
Функцию д(у) по аналогии с условным математическим ожиданием
случайной величины [19] можно назвать условным нечетким
ожиданием й(х) относительно функции f. В силу, того что функция д(у)
в общем случае не единственна, то любую функцию на Y,
удовлетворяющую соотношению (4.64), можно назвать вариантом
условного нечеткого ожидания функции h(x) (нечеткой величины А(х)).
Для леммы 4.8 существует следствие.
Следствие 1.
Пусть задано пространство (X В, g|). Если пространство К
совпадает сЛ’ а есть О’- подалгебра Ви/- есть тождественное
отображение на X, то g2 есть сужение меры gi на Тогда
условным нечетким ожиданием функции й(х) относительно £
является любая ^-измеримая функция д(у), которая для VA е £
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
149
удовлетворяет равенству
iKx)ogi = l ^y)og2, y,xeX-
A	A
(4.65)
жазательство следствия непосредственно вытекает из доказательства
ммы 4.8.
p(*)l
тельствс.
етко-интегральные зависимости можно наблюдать и в более
ложных случаях. В частности для двойных нечетких интегралов
но рассмотреть зависимость между функциями заданными на
ичных пространствах.
заданы два пространства с нечеткими мерами (X, g\) и (К g2 ) и
нечеткое отношение: й(х) X х Y—»[01]. И пусть на % определена
измеримая функция ф(х) X—>[01]. Тогда можем рассмотреть
щую лемму.
Лемма 4.9.
Для фиксированной функции ф(х) существует
измеримая функция l(y):Y—»[01] для которой
следующее соотношение:
такая g2 -
выполняется
ogl. (4.66)
XxY = Z. Тогда каждой паре (х, >) соответствует z е Z. Для
ий <р (х) и 1(у) определим цилиндрические продолжения как
кции
Vye Y,
ф(х,У) = <Р(х)’
Vx^X, Цх,у)=Цу).
кгда соотношение (4.66) можем переписать в виде:
у) А h(x, j)] °gz= IJl (А у) a h(x, j)] о gz >
Бочарников В.П.
150
Fuzzy Technology
где gz = gixg2 - Согласно теоремы 4-2. можем записать
I <p(x,y)°f h(x,y)ogz = I (p(x,y)o^h(^,,
z	z	z
и тогда:
/ ф(х, j)o g (•) = 11 (*,y)o &,()
z	z
В этом случае существование 1(х9у) для функции <р(х,у) следует
из следствия леммы 4.8. А так как цилиндрические продолжения
однозначно определяются исходными функциями можно сделать
вывод, что для функции ф(х) существует 1(у) такая, что выполняется
равенство (4.66).
А
В заключение главы отметим, что в приведенном выше материале
рассматриваются вопросы обработки нечетких данных на основе
нечетко-интегрального исчисления. В целом полученные результаты
обобщают существующие понятия нечетко-интегрального исчисления.
Кроме этого приведены новые понятия, соотношения и зависимости,
которые расширяют возможности по описанию преобразований
пространств с нечеткими мерами и тем самым позволяют повысить
адекватность и эффективность моделирования процессов принятия
решений в условиях неопределенности.
Для более систематического представления приведенных результатов
ниже в таблицах 4.1 и 4.2 даны основные понятия и соотношения
нечетко-интегрального исчисления, которые непосредственно
используются для моделирования и расчетов с неопределенными,
нечеткими величинами.
Бочарников В.П.
L		Fuzzy Technology	151
р 1	Таблица 4Л - Основные понятия.		
	Наименов.	Определение	Свойства
1	Г Нечеткий интеграл по НМ (НИ Суджено)	НИ от h(x):X—>[01], по НМ g: 2* —> [01] на АсХ определяется: 1 h(x)°gf) = sup {се лдйЛни)}, А	«е (013 Ha = {x|h(x)> Of},	Сходимость, ограниченность, монотонность, непрерывность, вынос за знак интеграла постоянных функций.
	Расширен- ная НМ	Расширенная НМ есть НМ на множестве нечетких подмножеств и определяется: д(дя) = / X	Ограниченность, монотонность, непреры вность
г =	Условная НМ	Семейство НМ на индексированных Vy е у, <р (х) = у для которого выполняется: 9х (Е) = Iax (Ejy)°g Y	l.VE^X <Ухе|у): 2. Vye Y, Сх(-|у)2х та-
К	Н- соответст- вие	Функция^ (.> [доказывается //-соответствием по мере g, если выполняется: д(х) = д(Ен М’ Е„ fc)={x| кУ)еНсххх'}’	В зависимости от НМ gH отношения И определяет все классы НМ
1л ±	1	НМ на отношении H-XxY	Для пространств (X,gi) (Y,g2) НМ на HaXxY есть: gti )= vJgitSi)Ag2 fj}, = fsrite (у))°д2 О Y = 1 g2(F (x))° gx f), где E, cX, F, = ГН(ЕО c)', а ГнС) " отображение соответствия Галуа	Ограничен., монотонность, непрерывность
Бочарников В.П.
152
Fuzzy Technology
№	Наименов.	Определение	Свойства
6.	/7-операции	Для (X,gj) и (Y, g2) бинарная //-операция над НМ есть оператор, задающий нм на Z такую НМ g, что VC с Z: д iJ ) — Н ш {j9i fgr2 } —» = дн где /7 с Ах У V ^HjcXx Y С,сС> Z. <о: Р(Х) х P(Y)P(Z).	l.(F(AV4>) группоид. 2-Не- коммутативна. 3-НЮ- ассоциативна. 4.НЮ- дистрибутивна
7.	Нечеткий интеграл по расширен- ной НМ	Пространства (А,Д-)) и (K,g( )), связанны отображением у. Е(А)->Е(У), НИ от Л(х):%->[01] по расширенной НМ д ), где р(У) е F(Y) на Ес А" есть: f hOt)og (u) = sup(/ а Е	У лдМрПФр (/„ПЕП), Где/ = а л	= {x|hfc) > a] Мр = {у}дИ^ Д}, Фр	Свойства аналогичны свойствам НИ Суджено за исключением свойств, связанных с условием ограниченности расширенной НМ.
Ниже приведены некоторые ключевые соотношения нечетко-
интегрального исчисления.
Таблица 4.2 - Соотношения нечетко-интегрального исчисления.
№	Наимен.	Основное выражение	Следствия
1.	Соотноше ние НИ и интеграла Лебега	 с, \2	Г	\2 fl- nfh ।	f, , f,	Л suph} - -	<|hdP-|hoP< - V 2 J	Jx	x	{ 2 J	'(MP-Zhop^1; ,x	x	i 4
2.	Аналог формулы Байеса	I cry (г|х)одх = f <Tx©jy)°gy Де <x j	~	tx)	Если EcX, FcY четкие,	то соотношение выполняется
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
153
Tl ы Наимен.	Основное выражение		Следствия
1 . Теорема К |Суджено- К. [фубини К	lhte,y)°gz = 1 1 h(x,y)ogr Z	xLv	J	°9X	—
ИЦ Определен V |ие НМ 1|черсз KJH- [соответст- Гфйя	Be^(A)= j l(x)°g() {x|E (x}£A} (A)=	1	l(x)°g() {x|E U)(W0}		Если g = Pr, HcXxX для которого EH(Xi) * EH(xj) имеем HM Nes(.), Pos(.) соответств.
К] Расширен ||ная НМ по I4HM, 1Трезульти- Т1рующей Кооперацию	g{u)t?]= sup /[алд2^)ГМ ote [oi] Ax АЖ = MOAC,	|°a	Даны следствия для случаев I. <о-унарная операц. 2. (0- унарная, тождеств, операция
ГСопряжен Юные Н- иоперавни	V Нщ! 3 H2wl - дистрибутивная; 3 Н’Ы2 - дистрибутивная;		-
Связь РПОНЯТИИ Имсчисле-	/ Р(*) ° gx = gu (^) = Ha (n, g)[A Ф 0] A = /я(£н(у)ПЛ)ояД.) = A = sup{jr(Mo A A) A gx (Ma A A)} Ma Ma=(X\Ma)uCovMa		
Связь удойных №1	1 fej)og2 pg, =Л 1 %X,y)°g2 <p(xly	J	°g	—
Бочарников В.П.
154
Fuzzy Technology
Глава 5
МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЧЕТКИХ ПРОЦЕССОВ
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
155
1. Моделирование нечетких процессов
основе нечеткого интеграла
расширенной нечеткой мере
ктическое решение аналитических задач предусматривает
Сходимость моделирования процессов функционирования сложных
жтов, их развития. Данные процессы могут быть представлены в
; динамической системы (1.1). Однако, анализ показал, что в силу
i причин, рассмотренных ранее, при моделировании сложных
;ктов необходимо всесторонний учет влияния факторов
пределенности, что приводит к наличию нечетких данных в
Сании задач. При этом данные объекты могут быть представлены в
е нечетких динамических систем (НДС). В работе [11]
сматривается следующее определение НДС.
I Определение 5.1
НДС есть система представляющаяся кортежем:
<Q, U, Т, Y, р, у, gp, Цу),	(5.1)
। где; О - пространство состояний, L - пространство управлений,
]т - время (дискретное или непрерывное), Y - пространство
। выходных значений, р: (Q хТ) х И х Т -> Q - отображение,
описывающее реакцию НДС и формализующееся функцией
вида:
Pp(<Wo,w,f,£D): (QxT)xUxTxf2 —>[01],	(5.2)
у: ОхТ->У - нечеткое выходное отображение с функцией:
р7:£1х7\Г->[01],	(5.3)
как правило характеризующее некоторое нечеткое наблюдение.
Сходя из определения 5.1. видно, что состояние НДС в каждый
□мент времени /е Т описывается некоторым распределением
Бочарников В.П.
156
Fuzzy Technology
нечеткости /л (<р) G F(Q) (например: распределением меры
вероятности, нечетким множеством, произвольной нечеткой мерой),
где F(Q) - множество всех функций распределения нечеткости на О.
Детальный анализ существующих подходов к формализации нечетких
данных (некоторые результаты приведены в табл. 1.6) показал, что
наиболее приемлемым является подход основанный на использовании
теории нечетких мер. Данный подход позволяет с единых позиций
представить разнородные данные о функционировании моделируемых
объектов, до некоторой степени обобщить другие подходы (теории
вероятности, ошибок, интервальных средних, нечетких множеств
субъективных вероятностей и т.д.) к формализации данных в условиях
неопределенности.
Для НДС, с помощью которой моделируется тот или иной объект
управления в аналитической задаче поддержки принятия решений,
последовательность {pt (со)} образует в пространстве F(Q)
некоторый процесс, который называется нечетким процессом (НП).
Определение 5.2.
Нечетким процессом (НП) называется процесс, состояние
которого в каждый момент времени t g Т описывается
некоторым распределением нечеткости |1г(й))бГ(й) на
пространстве состояний процесса Q.
Таким образом понимая под НП процесс, удовлетворяющий
определению 5.2 определение НДС может быть представлено в виде:
Определение 5,3-
Под нечеткой динамической системой понимается система,
динамика которой описывается нечетким процессом.
Описание систем, моделируемых в виде НДС оказывается весьма
полезным, а иногда и единственно возможным в ряде конкретных
прикладных задач [17]. В частности, целесообразно использование
НДС для описания реальных объектов возникает при решении задач
прогнозирования, принятия решений в крупномасштабных системах,
представления конфликтных систем и в других
слабоструктурированных задачах [12].
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
157
В настоящее время для представления НДС наибольшее
кспространение получили описания, основанные на теории нечетких
Вюжеств в виде нечетких композиционных уравнений, нечетких
Ьтностных уравнений, матрично-табличных представлений,
Кмонтированных на описание НДС в дискретном времени [20].
В работе [21] было предложено описание непрерывной динамики НДС
F виде нечетких дифференциальных включений, то есть
ЦКфференциальных включений в правой части соотношения которых
four нечеткое множество. Такой подход к представлению НП еще до
Йнца не исследован и требует дополнительного изучения. Однако, в
йлу ого, что изменение функции принадлежности по времени для
ыксированного не всегда является дифференцируемой функцией
Ьпользование подхода нечетких дифференциальных включений
вдается ограничительным и приемлемым лишь для определенного
Йсса НП.
Приведенных выше подходах нечеткие данные не представлялись с
1мощью нечетких мер, что ограничивало возможность решения
нкретных прикладных задач. Для описания и моделирования
кльных процессов при управлении сложными объектами на основе
^пользования нечетких данных, .представленных распределениями
Четких мер, необходимо применение нечетко-интегрального
числения [22, 23-25, 37, 39], которое позволяет определить
жбуемые зависимости между нечеткими мерами при преобразовании
ртветствующих пространств, что было рассмотрено в предыдущих
Ьвах *
I работе [31] автором было предложено описание НП при помощи
ReTKO-интегральных уравнений для дискретного времени. В этом
учае динамика НДС описывается следующим образом. Если на
Чхлранстве состояний Q определена нечеткая мера g(-): 2П—>[01],
исывающая некоторые ограничения на Q для НДС,	Q-~>[01 ]
стояние НДС в z-й момент времени, а преобразование состояния
схемы на i + 1 шаге определяется оператором /?i+](co,o):QxQ—>[01],
состояние НДС на i + 1 шаге будет описываться уравнением:
д.+1(<°)= I	(5-4)
*	P.(W)
U________________________________________________________________
Бочарников В.П.
158
Fuzzy Technology
Представленные в указанных выше работах описания НП
ориентируются в основном на случай нечеткой функции четкого
аргумента [1], то есть неопределенность состояния процесса
определяется неопределенностью связанной с пространством
состояний, а наблюдение времени является четким. Однако, практика
показывает, что неопределенность состояния НП, который описывает
динамику НДС, может быть вызвана и неопределенностью времени
наблюдения процесса [8, 13]. Исходя из этого в наиболее общем случае
НП целесообразно рассматривать как нечеткую функцию нечеткого
аргумента. При этом описание НП непосредственно может быть
представлено при непрерывном изменении нечеткого аргумента (то
есть при непрерывном изменении нечеткого времени). Для описания
нечеткости процесса по времени на Т целесообразно рассматривать
некоторую нечеткую меру 2Т [01] [23]. Обозначим F(t)
произвольный временной интервал, определяющийся функцией
T(t): Т —> [01]. Отметим, что частным случаем является четкий
временной интервал T(t) = [0,t]. В дальнейшем будем полагать, что
временное пространство Т и пространство состояний О для НДС
связаны через условную нечеткую меру ot0( lt), те есть справедливо
следующее соотношение:
т
Исходя из этого вытекает следующая лемма для представления
временных интервалов.
Лемма 5Л
Произвольный четкий или нечеткий временной интервал
reF(7) имеет нечеткое изображение в О, а непрерывная
последовательность интервалов {Гп} порождает в пространстве
Q непрерывный НП f(tob), соответствующий данной
последовательности.
Доказательство.
Пространства Q и Т связаны через условную нечеткую меру <з/*|/).
Согласно свойства нечеткого интеграла (3.11) справедливо
представление:
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
159
Q
Ьде \fco e Q, 1 (to) = 1. Тогда, для произвольного нечеткого множества
исходя из (4.9), справедливо:
О’ш(/М0= I 1(®) ° ^(10 =//(«) ° СТ.и( ;0-
/(«)	G
j^iметим, что функция Gw(f(to) 11) есть функция распределения
Нечеткости на /, то есть <7w(f(o))k): Т —> [01], а следовательно эта
Пункция может быть сопоставлена с некоторым временным
Интервалом Г(/): Т —» [01]. Таким образом для произвольного
'временного интервала Г(/) на пространстве (7, Л()) существует
^некоторое условное нечеткое ожидание д(/) такое, что:
>	УЛсТ, /г(/)еГг(.) = /М0°Л(-).
!?-	А	А
[Следовательно, если д(/) = сС0(Г(ш) 11), то существует нечеткое
[Изображение/(б?) на Q для временного интервала Г(/), то есть для
йобого Г(Г) можно поставить в соответствие нечеткое множество/Х^)-
Теперь рассмотрим последовательности временных интервалов. Пусть
{Гп} есть монотонно возрастающая последовательность временных
Интервалов и пусть Г(г) есть предел этой последовательности в момент
времени /е Т, (Л=1Ш1Г. о есть {Гп} есть непрерывный НП на Т.
Покажем, что в этом случае образованная в Q последовательность
также является непрерывным НП. Рассмотрим:
[	/ Г(0 ° F, (•) = ! lim Г„ о F, (•) = lim ! Г„ о F, ().
Однако, для Г существует такой /„((о), что выполняется:
1r(t)oF, (•)= Нт/<т„(Л(ю)Ю°Л0 = /	(•) =
т	тп-*х>
••=	° CT^ojo F, () = / а„[1т/и(т)к] o^Q.
Однако имеем:
Бочарников В.П.
160
Fuzzy Technology
/r(/)»F,() = f<7(/,(ra)|z)oF,(.).
T	T
Следовательно существует предел последовательности
lim/,(«) = /(«)’ то есть непрерывная монотонная
п—>•» п
последовательность временных интервалов {Гп} порождает в Q НП
такой, что для Г(7) существует/{($. Что и требовалось доказать.
А
Доказательство леммы 5.1 открывает возможность представления
непрерывного НП, описывающего динамику НДС в аналитических
задачах СМО, на основе нечеткого интеграла по расширенной
нечеткой мере.
I Теорема 5,1.
Пусть преобразование состояния НДС описывается нечетким
отношением вида: Л'(<0,<0|/):(ОхТ)хП-» [01]. Тогда
НП, описывающий динамику НДС через каждый интервал
времени Г(/) е F(T) может быть описан нечетко-интегральным
уравнением вида:
Дг (€0) = / Л(€0|/) О g(/r (to)),	(5.6)
W Л(со|/)= I A,(t0,/0|/)og(.)	- оператор
Plu(w)
преобразования состояния НДС с учетом начальных условий
п , Г(/) - интервал времени, 2П —» [01] - нечеткая мера
на Q fr(co): £1 —> [01 ] - НП на Q, порожденный возрастающей
последовательностью временных интервалов.
Доказательство.
Допустим, что на Т определена нечеткая мера Ft( ), задающая
нечеткость динамики НДС по времени. Тогда состояние НП можно
представить в виде:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
161
^(6У)= / ЛИГ) О/;(.)= I Л(й)к)о/1(0°Л( ) =
Г(0	гр)	т
= ЯА(®к)лГ(0]о/1(0°Л() = /ад0° I 1(0°^(-) =
’ Т	Т	Т	Г(/)
= М(«Ю°/ПОо^().
т т
Согласно леммы 5.1, расширенная нечеткая мера, порожденная
временным интервалом Г(/), может быть заменена расширенной
нечеткой мерой порожденной условным нечетким ожиданием
.ХТ®(/г(^)И)> то есть:
L	/Г(0 о Ft(t) = I ^(/гСНО о Л().
г	г
> Тогда:
Рг(^) = I Л(<о|/) о I аи(/г(<о)|0 о /г(.у
Г т
Обозначим через у/ (*|СУ) ' условную нечеткую меру, связывающую
'пространства Q и Г, и двойственную (сопряженную) мере Осо(-|/). Тогда
Согласно (В.П) справедливо соотношение:
/ о;№^)е7;()= /
; *	ио	лад)
где v(Z): Т—> [01]. В силу этого можем записать:
/1г((У)=81ф[аил I <т.(/г(<»)|0о^(-)1=
=sup(amA I ^,(//n(0l<»)og()}=si45{aMA	! /r(to)og()k
«w I Tr(w)	J aw [	J
где ЯД/)= {z|A(co|O> аш G [01]} - множество a-уровня при
фиксированном	сое Q.	В силу того, что
^(//„(0!®)= I 1(г)оТ/(», имеем следующее
"и(0
представление:
6 Зак. 771
Бочарникое В.П.
162
Fuzzy Technology
("«"«)))
Рг(<о) = sup-!aa л sup(j3 a g(Fp n Фр
Ц» I P '
=sup{/„
Zw
j3e[01], Та=аылР, Fp={co\fr(fi))> fi],
&p№w>)
=« / 1(о°т/»>0

Таким образом, полученное выражение соответствует выражению
(3.34) нечеткого интеграла по расширенной нечеткой мере и следствию
1 теоремы 3.4. Исходя из этого можем записать:
Дг(<°)=/адо ° ^(/г(®)) •
т
Что и требовалось доказать.
□
Таким образом, при помощи уравнения (5.6) может быть описан
непрерывный НП и определено его нечеткое состояние через
интересующий нас нечеткий интервал времени. Полученный результат
открывает возможности по моделированию динамики сложных
объектов, рассматриваемых в аналитических задачах. Далее будут
рассмотрены некоторые особенности НП описываемых уравнением
(5.6), а также показано, что представление НП через интеграл по
расширенной нечеткой мерой является наиболее общим для
представления НП.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
163
К.2. Особенность непрерывных нечетких
[Процессов. Нечетко-дифференциальное
^ представление нечетких процессов
^Прежде чем мы перейдем к рассмотрению нечетко-дифференциальной
записи НП остановимся немного на уравнении (5.6) и попробуем
г. отследить некоторые особенности НП описываемых таким
уравнением. В доказательстве теоремы 5.1. присутствует
[эквивалентная запись для состояния НП в виде:
Дг(<У) = о / Г(/) о F(J).
т	т
Последовательность Г (/) образует в Т непрерывный возрастающий
.процесс	Согласно леммы 4.8 существует такая
функция s(/) на Т что:
|r(t)oF(0= fs(/)oF(r) = S. <5-7)
т	т
При этом s(t) может быть отлична от Г(Г) (Рис 5.1).
Рисунок 5.1 - К представлению нечетких временных интервалов.
Соотношение (5.7) для функции s(t) будет выполняться если
? сГ, 5(/)>|5. Таким образом если приравнять
L	Бочарников В.П.
164
Fuzzy Technology
л(/)=сг<Х/К<у)10 можно наблюдать следующее. С увеличением времени
t g Т величина S интеграла от функции Г(г) увеличивается, а
следовательно увеличивается интервал А с Т, где функция
принимает значение не менее S е [01]. С увеличением Г(/) значение
интеграла определяющего рг(<у) будет увеличиваться. Так как функция
описывает степень приращения значения функции
принадлежности д(<у) по времени, то в силу наличия
вышеупомянутого свойства функции	мы будем наблюдать
следующий эффект. Функция рг(<у) с увеличением Г(7) будут иметь
возрастающий по времени уровень неопределенности ос[г) на фоне
которого будет наблюдаться НП. То есть НП /4(<у) может быть
представлен в виде двух составляющих изменяющихся по времени:
дг(ш)=аг(ш) V д'г(ш),	(5.8)
где аг(<у) - есть постоянная на Q функция уровня неопределенности
возрастающая по Г и являющаяся “диффузионной” составляющий НП;
- НП отражающий “содержание” изменения состояния
процесса и играющий роль “переносной” составляющей НП. Термины
“диффузионной” и “переносной” составляющих заимствованы из
представления стохастических процессов.
Теперь представим, что НП frffi)) задан на пространстве Q и
удовлетворяет условиям необходимым для представления НП через
уравнение (5.6). По аналогии с представлением стохастических
процессов определяемых интегралом Ито [26] в виде стохастических
дифференциальных уравнений мы можем рассмотреть символическую
запись “приращений” составляющих описания НП через, так
называемые, нечеткие дифференциалы. Будем полагать, что через
интервал времени Г(/) приращение времени определяется состоянием
нечеткого процесса f\ ((d). Пусть fd() - есть обозначение нечеткого
дифференциала. Тогда нечеткое приращение по времени будет
представляться символической записью fd По аналогии с выше
отмеченным, нечеткий дифференциал состояния НП будет
записываться в виде fd /^((0). Тогда символическая запись уравнения
(5.6) в виде нечеткого дифференциального уравнения примет вид:
fd д(ш) = Л(бУ|/) fdfao).	(5.9)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
165
—	- —-	- I	---- -----------
Уравнение (5.9) является символической записью, как и
стохастические дифференциальные уравнения, и отражает тот момент,
мто состояние НП может быть найдено при вычислении нечеткого
'интеграла по расширенной нечеткой мере порожденной НП Уг(<у),
Отражающим неопределенность процесса по времени.
Запись уравнения НП через нечеткие дифференциалы (5.9) несколько
1 упрощает запись уравнений динамики НДС. В дальнейшем мы будем
^использовать как интегральной записью уравнений динамики (5.6) так
се его дифференциальным аналогом (5.9).
Бочарников В.П.
166
Fuzzy Technology
5.3. Дискретные нечеткие процессы.
Композиционные нечеткие уравнения,
как частный случай дискретных
нечетко-интегральных уравнений
В ряде практических задач необходимо рассмотрение дискретных НП.
Прежде чем мы будем рассматривать нечетко-интегральное
представление дискретных НП целесообразно остановиться на
алгебраической структуре множества нечетких временных интервалов.
Временной интервал Т наблюдения НП можно отождествить с
множеством неотрицательных действительных чисел /?+. При этом
произвольный момент времени t g Т представляется неотрицательным
действительным числом. В случае, когда мы хотим отразить
нечеткость момента времени и определенного им интервала времени
наблюдения НП целесообразно использование нечетких
неотрицательных действительных чисел [12].
Определение 5.4.
Нечеткое неотрицательное действительное число определяется
как отображение р:/?+-> [01], удовлетворяющее условиям:
р(0)=0, /?7ах{р (г) ] ге/?+ }=1 , (ограниченность),
Vre/?+ :р(г) = шах{р (г ) | /е/?+, г'< г} , (непрерывность слева).
Таким образом, нечеткий момент времени	мы отождествляем
с нечетким неотрицательным действительным числом. При этом
t&F(T) может быть интерпретировано следующим образом. Функция
р(г) соответствующая /, p(t):T—>[01] понимается как степень
нечеткости принадлежности неясного момента времени t четкому
интервалу [0,/ [. Исходя из этого можно видеть, что функция р(/) есть
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
167
’неубывающая функция. А если установить однозначное соответствие
между t и [0,/ [, то функция р (/) будет удовлетворять свойствам
нечеткой меры заданной на Т. Если теперь использовать однозначность
соответствия момента времени t и определенного им интервала [О,Г [
дая случая нечеткого момента времени t мы можем определить
нечеткий интервал Г(Г)е F(T) фиксированный этим ( • Функция Г(г)
к отражает степень нечеткости того, что интервал [0,г[ не покрывает
нечеткий момент времени t определяемый функцией р (О-
Исходя из этого функция Г (г) может быть определена по функции р(г)
момента времени t как ее дополнение. При этом если p{t) есть
нечеткая мера удовлетворяющая правилу нормировки по Суджено, то
справедливо:
Г(/)=11~Г(/ле[01]‘	(510)
В том случае, когда р(/) есть мера возможности (функция
принадлежности) функция Г(г) может быть восстановлена как:
Г(0=1-р(0-	(5-11)
г -
Пусть Я(/?+) - множество всех неотрицательных действительных чисел.
..На Я(Л+) возможно задание частичного порядка:
р«р <=> Vr е/? цр(г)<р(г),	(512)
. легко видеть, что {//(/? )<| является решеткой. Следовательно
множество всех нечетких моментов времени Н(Т) обладает свойством
1 решетки. Если обозначить G(7) множество всех нечетких интервалов
Г(7), то между G(7) и Н(Т) существует изоморфизм, а следовательно
G(7) также как и Н(Т) обладает свойством решетки.
• На H(R+) может быть определена естественная алгебраическая
операция задаваемая соотношением:
;	{рФ^о}(г)=тах{р(/?)Аф(5)|/?,5е/?+,5+р = г}- (513)
I	Бочарников В.П.
168
Fuzzy Technology
Тогда (H(R ),<,©) образует частично упорядоченную
коммутативную полугруппу. Аналогично (5.13) на множестве G(7)
возможно задание алгебраической операции © и тогда G(7), будет
наделена структурой частично упорядоченной коммутативной
полугруппы. При этом справедливо:
Г] -< Г2 <=> V/ g Т: Г, (/) < Г2 (Г).
{Г| ФГ» — тах|Г1(/?)лГ2(л)| л;peT,s+р—
Определим в G(T) возрастающую последовательность нечетких
интервалов {ГКО1 /=1,1} определяемую рекуррентно:
ПО = Ги(0 ® ЛГ(0,	(5.16)
При этом ДГ(0 можно трактовать как нечеткую дискрету по времени, а
ГКО последовательность нечетких дискретных интервалов времени
через которые наблюдается НП.
В соответствии со структурой множества {ГКО I /=1 Л} мы можем
определить нечеткий дискретный процесс (НДП), как частный случай
непрерывного НП, определенного уравнением (5.6).
Теорема 5.2
Пусть непрерывный НП, описывающий динамику НДС,
представлен нечетко-интегральным уравнением (5.6). Тогда
НДП относительно последовательности моментов времени I
будет описываться дискретным нечетко-интегральным
уравнением вида:
Дж(©)=	(517)
где g(jU.((O)) - расширенная нечеткая мера, а	-
нечеткое отношение на пространстве состояний Q в i - й
дискретный момент времени, отражающее динамические
характеристики НП.
Доказательство.
Пусть в i - й дискретный момент времени НП наблюдался в течении
ГКО нечеткого временного интервала. При этом в конце ГКО НП имел
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology	169
состояние gi(6)): Q —» [01]. В (гЧ)-й момент времени интервал
[ наблюдения НП будет определяться функцией Г;+1(/) задаваемой в
-виде:
ri(t) = ri.I(t)®Air(t),
I где Д|Г(0 - есть нечеткий временной интервал определяющий
^дискретность наблюдения НП в /- й момент времени. Таким образом,
• на AfT(t) состояние р;(й)) можно расценивать как начальное условие
уравнения (5.6). Тогда справедливо:
^(№ = 1 I h'((0,0)]t)og(.) og(/ (©)).
,+1 ГЦМа)	J
Согласно свойств расширенной нечеткой меры и теоремы Суджено-
Фубини можем записать:
Дм(®) = I ГМЧ<а,М0°КЛг(п(<у))1°Ю-
A(®)Lr	J
Внутренний интеграл можно расценивать как интегральный оператор
преобразования состояния НДС на нечетком интервале А;Г(1), то есть:
!h'(co,ct)lt) о g(fA.r(/)((o)) = Ь,(а),С1)): Q х Q -> [01]-
т	‘
Тогда выражение для состояния ц-|+ j(<у) принимает вид:
Д (ю) = I	= j h(d),co)o /l(to)°g() =
«,(«)	й(®)	Я
= ! h,(G),(0) о I р.(а)) о g(.) = I ^{(0,(0) о g(p,(to))_
я	я	я
Что и требовалось доказать.
□
Следует отметить, что если за нечеткий интервал ГД) интегральный
оператор преобразования системы был йДдй)), а за ri+I(t) :
А|(Щй)) для всех zg/, то ДНП будет стационарным. В этом случае ДНП
будет описываться стационарным дискретным нечетко-интегральным
уравнением:
Бочарников В.П.
170
Fuzzy Technology
= / h(co,a) °ё(ц(w)) •	(5I8)
n
Полученное дискретное нечетко-интегральное уравнение
описывающее ДНП включает в себя, как частный случай, известное
нечеткое max-min композиционное уравнение, нашедшее широкое
распространение в решении практических задач управления нечеткими
системами [17]. Напомним, что нечеткое max-min композиционное
уравнение имеет вид:
А+1 (fi>9 = max min{A(co, со'), (fJ, (со)}.	(5-19)
где h(CO9CO'): QxQ—>[01] ~ стационарное нечеткое отношение
реализующее оператор преобразование состояние НДС.
Теорема 5,3,
Нечеткое max-min композиционное уравнение (5.19) является
частным случаем дискретного нечетко-интетрального уравнения
(5.18), если Q - множество равновозможных состояний НДС, т.е.
VcoeQ,^6))= I.
Доказательство.
Рассмотрим более подробно расширенную нечеткую меру в уравнении
(5.30) для Л с Q:
А
Так как согласно условия теоремы g(-) есть мера возможности такая,
что Vto g Q, g(ft>) = 1, то данное выражение можно представить в виде:
/ Д,(ю) ° g( ) = sup{a a g{Ma ГМ)}=supfa a max g(ct>)l,
я	fZ£]01|L	J
где	={<о|д,(co)>a e[01]}- Тогда, если Мв(\А*0, то
= 1 и следовательно:
{Д,(6О)°Ю= max//,(«)
Отсюда исходный интеграл можно представить в виде:
Бочарников В.П
Fuzzy Technology
171

A+I(«) = / h(o),co)og	= max] min h(co, co') л maxu.(to)k
П	' EcQ LtoeE	coeE J
где min hffiXO') определяет a - уровень нечеткого множества h((of co')
при фиксированном fi/eQ. Следует отметить, что для вложенной
последовательности множеств EjcE2 с... с Е&-» Vz £j с Q функция
min Й((0, CO') ПРИ фиксированном fi/eQ является не возрастающей,
fijeE
то есть если: Et с Ej с Q, то:
min й(со, со') > min й(су, (О') •
ogE,	cogEj
Следовательно, максимум по Е с Q в выражении для ц;+1(щ)
достигается при рассмотрении всех одноточечных подмножеств
Отсюда получаем:
/^(пХ)=max] пйпЛ(со,йХ) л тахд(со)
Ej^l | (a^Ej	(oeEj
>=так{л(соу .<*0 лм(Ч>}’
Полученное выражение есть ничто иное, как min-max композиционное
уравнение (5.19) определяющее динамику дискретной НДС. Что и
требовалось доказать.
□
Таким образом, из доказательства теоремы 5.3. следует, что
полученное нечетко-интегральное уравнение (5.30) для ДНП
охватывает известное и широко используемое min-max
композиционное уравнение как частный случай для распределения
нечеткой меры возможности на пространстве состояний НДС. Этот
факт позволяет использовать дискретное нечетко-интегральное
уравнение (5.18), моделирующие более широкий спектр
неопределенностей НП от возможности до необходимости появления
того или иного состояния НДС. При этом использование gx-мер
позволяет учитывать различные семантические модальности
неопределенности в НДС. Исходя из этого следует, что использование
уравнений типа (5.17) является более гибким инструментом
моделирования НДС в аналитических задачах, чем широко
применяемые сейчас композиционные уравнения типа (5.19).
Бочарников В.П.
172
Fuzzy Technology
5.4. Нечетко-интегральные уравнения
непрерывных управляемых
нечетких процессов
В предыдущих параграфах мы рассматривали НП в непрерывном и
дискретном времени, которые не учитывали возможное воздействие
управляющих факторов. При этом предполагалось, что оператор НДС,
определяющий ее динамику, описывается нечетким отношением
//(со,со k): (Q х Т) х Q -> [01 ],
не зависящим от внешних факторов, в том числе и от управляемых.
Такие НП могут характеризоваться как свободные НП. В настоящем
параграфе мы будем рассматривать динамику НДС при воздействии на
нее управляющих факторов или короче - управления. Моделирование
управляемых НДС наиболее актуально при решении задач
оптимизации управления, которые являются ключевыми для принятия
решений.
Пусть на НДС в каждый момент времени t е Т действует управляющее
воздействие и g U, где U - множество всех возможных управлений.
Тогда управление можно рассматривать как функцию времени u(t). В
том случае, когда мы хотим рассматривать нечеткое управление,
данная нечеткость может выражаться либо как нечеткость на
пространстве управлений U, либо как нечеткость на временном
пространстве Т. Последнее характерно для случая, когда точно
неизвестно начало действия управляющих факторов на НДС.
Например случай нечеткого запаздывания управления. Таким образом,
наиболее общим случаем является управление как нечеткая функция
нечеткого аргумента [5]. Исходя из сказанного управление может быть
представлено как НП характеризующийся функцией вида:
c(u11): UxT—>[01 ].	(5.20)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
173
Теперь рассмотрим следующую теорему о представлении
управляемого НП через нечетко-интегральное уравнение по
расширенной нечеткой мере.
Теорема 5 А
Пусть на НДС действует управление c(u|t): UxT—>[01] и оператор
преобразования состояния НДС с учетом начальных условий Цо(со)
описывается нечетким отношением h(u,co|t): (fix U)xT [01].
Тогда динамика непрерывной НДС с учетом процесса управления
описывается нечетко-интегральным уравнением вида:
дг(ю)= /	(/г(со))’
где T(t): Т [01] - нечеткий временной интервал наблюдения НП,
/г(со) - соответствующий T(t) НП на Q,
расширенная нечеткая мера, Н	1 со)} - Н-операция над
нечеткими мерами: vu( ) - ограничения на управления и ^(|со),
которая порождена отношением Н с U х Т возникающим при Р-
уровнях нечеткого отношения h(co,u|t) л c(u|t) и фиксированном
coeQ.
Доказательство.
Состояние НДС через интервал времени Г(/) может быть определен
согласно теоремы 5.1. следующим нечетко-интегральным уравнением:
Рг(и(0)= f A(w,co|z)oF,() =
гр)
= /ЛМ0° / 1(/)оГД.) = /Л(14й)|/)‘>/Г(0о/г(.),
Т	Г(1)	т	т
где pr(u, со) - состояние НДС зависящие от принятого на интервале Г(/)
управления. Согласно леммы 5.1 можем записать:
I Г(0 о Ft (0 = s aa(fr(0)) 10 о F,U,
т	т
Бочарников В.П.
174
Fuzzy Technology
/г(со) " соответствующий Г(0 НП на Q, а ош(|/) - условная нечеткая
мера связывающая пространства Т и Q. Следовательно:
ДгОа co) = lh(u,ci))°l ст^/гО0)!') ° Л().
т т
Для фиксированной на Г(г) последовательности управлений с(ц,/)
ограниченных на U нечеткой мерой vu( ): 2и -»[01 ], состояние НП Дг(со)
будет определяться соотношением:
Дг(^)= I рЛ(м,со,/)о/ст(В(/г(су)И)о/;(о]ог„().
c(wf)L7’	Т	J
Согласно теоремы Суджено-Фубини можем записать:
Дг(«) = / / Л(^й>,/)оу„() о/^(4(0)10°F,(t) =
J т
= /ГМА') Л<«,0]о v,()l» I а„(/г(«»)|О°ЗД.
t\ju	J т
Согласно теоремы 4.2 можем рассмотреть эквивалентное выше
приведенному выражение:
Дг(со)= I {АС)(ы,ОАс(м,/)}о/у„()х/(У(и(/г(со)|00Л()У
TX.U	\ Т
тр& hjut) = h(ua\t), а
(v„()xfa„(/r(<0)|<) = /- (•))= Р„(). -
\ т	/
декартово произведение нечетких мер заданных на U и на Т, при этом
H^UxT,	(•):2<7хГ —> [01] • Согласно определения 4.3 можем
записать:
ря(я)=supRceja /
E,Gl/l	Г//(Е<)
где Е. CZ UfV^E^C. Т, Гц (•) - отображение (4.20), входящее в
соответствие Галуа. Пусть У|(Ю - условная нечеткая мера
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
175
двойственная мере <тш(-|/). Тогда, приведенное выше выражение может
быть переписано в следующем виде:
Pw(//)=supjv„(E,.)A I	‘‘
В силу того, что для фиксированного Е; cU, vu (Е;) = const и исходя из
свойств соответствия Галуа согласно (3.21), (3.43) можем записать:
Рн(Н)= sup|v„(E.) а / у/'(Гн (E,)|to) О27г(0))()} =
= / sup{vtt(£;) a Vr(rK(£/)|a)}0 g/r(ta)() =
=/8ир{у„(£{)А f Zr„(E,.)(0o^(l«)JoSy, .(«)(•) =
= /nsupK^,.)а%Гл(£/)(/)}о^(-|со)1о? ^0.
n И £i
Т.« »к сргвс-да™, ™ 8цр{к(£/) Л X (I)} = V,(E«))-
£,
,гдеE(t) = {u |(u, Q G He UxT}, то имеем:
Согласно леммы 4.3 внутренний интеграл есть нечеткая мера
декартового произведения мер vu( ) и у/ (-|&)) на отношении HcUxT,
и в случае определения алгебры на UxTx Z, где Z —О) (Н), есть Н -
операцией над данными мерами и мы можем записать:
/v(£(O)°V<,(l«)=
Таким образом нечеткая мера Рн(Н) определяется соотношением;
г Тогда, согласно приведенным выше выражениям, состояние НДС
через интервал времени f(t) может быть определено как:
Бочарников В.П.
176
Fuzzy Technology
^((0)= I {^(w,0ac(w,0}oPh(.) =
TxU
=rL{h“M лс(и’г)ь / ^K’^ci60)}0^^)^=
= ! h{(D,ii\t)o I /r(G))°g0 =
c(v,n	w{v„,4',(|<a)}
= I h(co,u\t)ogH (fr(co)).
c(«,0
Что и требовалось доказать.
□
Теорема 5.4 позволяет описывать динамику управляемых НП для НДС,
моделирующих реальные объекты в аналитических задачах поддержки
принятия решений. Отметим, что практически нечетко-интегральные
уравнения описывающие управляемые и неуправляемые НП сходны
между собой и являются уравнениями с интегралом по расширенной
нечеткой мере. Отличием является то, что для управляемого НП связь
между пространствами Q и Т учитывает влияние на НП управляющих
факторов как через последовательность управлений c(u,t), так и через
учет нечетких ограничений на управление vu (•): 2и —> [01].
В заключении данной главы отметим, что как и для не управляемых
НП в случае наличия управления возможно рассмотреть нечетко-
дифференциальную запись уравнений в следующем виде:
/б/д(й>) = [Л((0>^)АС((0,Г/,0]Ж(й>),	<5-22)
где VtOGfi, c((O,u,f)= c(u,f) - цилиндрическое расширение
функции c(u,t);
/ДбО) = fT (to) А Н{V ,-	(5.23)
есть функция, учитывающая временную неопределенность (аналог
броуновского движения в стохастических дифференциальных
уравнениях) НП с учетом влияния управляющих факторов из
множества U.
В заключении главы преведем ее основные результаты в виде табл. 5.1.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
177
Таблица 5Л - Описания различных видов НП.
ВидНП	Математическая модель	Дополнительные данные
Непре- рывный неуправ- ляемый НП	Цг fc))= /hfc)|t)og (£ 4»)),где т hfc)|t)= / h'f»,CO|t)og()' /40fc>) оператор преобразования состояния НП с учетом НУ д ( Г(Г) - интервал времени, g(-)- НМ на Q, £(<о): Q [01] - НП на Q, порожденный возрастающей послед, временных интервалов.	Дифференциальная запись fd^-h^Dfd^ где fd{.) - обозначение нечеткого дифференциала (аналог стохастического дифференциала)
Непре- рывный управля- емый НП	prfcj)= / hfco,dt)ogH (£<»)) ит где h(u,co|t) - аналог, п.1 табл.6, c(u 11) - нечеткое управление, f f (co) - аналогично п. 1 табл.6, д"”(4,“,)=.к4м)*ь”оэ0 расширенная нм, h{vu,ViC Ito)} - 77- операция над НМ: vu( ) - огранич. на упр. и ^(-1 со), на отношении h с {(u,t) | h(co,u 11) л c(u 11) >P, co = const.}	Дифференциальная запись to) = [h to,d t) a c !cotut t)] fi^to), Vco E Q, C fcO,U,t) = cfa't) аналог броуновского движения в стохастических дифференциальных уравнениях
Бочарников В.П.
178
Fuzzy Technology
Вид НП	Математическая модель	Дополнительные данные
Дискрет- ный неуправ- ляемый НП	pi+i io) = / h, to, co) °g (/л. to)). n где 9	fe>)) " РасшиРенная HM, a <y) - нечеткое отношение на Q в i - й дискретный момент времени, отражающий динамич. хар-ки НП.	max-min композиционное уравнение есть частный случай модели дискретного неуправляемого НП
Дискрет- ный управля- емый НП	pi+1 to) = 1 1%4и,(о,и)о £2хи щм) - аналогично п.2, (• х •) - декартово произведение НМ.	Аналогично п.З табл.5.1
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
179
Глава 6
РЕШЕН ИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ
НЕЧЕТКИХ ПРОЦЕССОВ
й
I
Бочарников В.П.
180
Fuzzy Technology
6.1.	Понятие нечеткого изображения.
Оценка статического состояния
нечеткого процесса
Для представления нечеткой информации в реальных системах
обработки оказывается полезным использование дискретного
пространства состояний Q [3, 7, 8 и др.]. Это связано с удобством
представления сигналов в вычислительных машинах, сокращение
операций по обработке информации и другими моментами.
В том случае когда исходная информация носит четкий характер или
представляется непрерывным распределением нечеткости (например
непрерывной функции принадлежности (ФП) на пространстве
состояний, то для перехода к дискретному представлению
используется отображение в нечеткие изображения.
Под нечетким изображением понимается в общем случае следующее.
Входной информации и в виде точного значения или в виде
распределения нечеткости ставится в соответствие вектор м[?]],
называющийся нечетким изображением, элементы которого выражают
нечеткую меру соответствия входной информации и некоторой
совокупности заданных априорно нечетких мер Q(Q)cF(Q), где F(Q) -
множество всех возможных распределений нечеткости на Q. Каждая
мера q :2° —>[01] может определять некоторую нечеткую переменную
[27].
Определение 6.1.
Под нечеткой переменной понимается тройка	где: т] -
наименование нечеткой переменной; Q - область ее
определения или универсальное множество; #П:2П —> [01] -
распределение нечеткой меры на Q, соответствующее понятию
П-
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
181
? Для получения нечеткого изображения информации и семейство (?(Q)
^определяется конечным множеством мер таких, что:
(Vtye Q), 3 /е N, q^ (со) > 0,	(6.1)
L где N = Card Q(Q). То есть семейство Q(Q) обеспечивает некоторое
Покрытие пространства Q и для множества W = {т|} наименований
нечетких переменных определяет условную нечеткую меру
•Нечеткая или четкая входная информация и может быть
аппроксимирована в виде некоторой функции	—* [01] на
Пространстве состояний. Тогда вектор нечеткого изображения может
быть определен как:
U [П1 = / д1( ((О) О <7о(- 1л)-	(6.2)
! Если обозначить как U(W) множество всех возможных векторов м[т}]
L для фиксированного семейства мер Q(Q), то интегральная зависимость
*$6.2) определяет отображение вида:
F[T]]:F(Q)->	(6.3.)
Введенное таким образом понятие нечеткого изображения сходно с
Т рассмотренными в [4. 13] лингвистическими переменными. Если
р Множество W - есть терммножество нечеткой переменной, a wfrii]»
IG 1, N есть мера возможности принадлежности входной информации
£ к нечеткому понятию T]j е W, то нечеткое изображение wfq] есть
! нечеткое множество заданное на множестве термов лингвистической
[’переменной. При этом для функции принадлежности термов
| лингвистической переменной накладываются дополнительные к (6.1)
/ ограничения [4, 13]. В силу этого нечеткое изображение есть более
^широкое понятие, чем лингвистическая переменная, так как включает
' ее как частный случай.
Если входная информация и есть некоторый вектор признаков,
. описывающих некоторое понятие с N шкальными оценками, то
возникает проблема оценивания нечеткого изображения м[т]]
информации и по всему вектору признаков (характеристик). То есть
.необходимо нахождение такого вектора w[tj], который адекватно
описал бы отнесение входной информации о векторе признаков
Бочарников В.П
182
Fuzzy Technology
(характеристик) к множеству шкальных оценок рассматриваемого
понятия.
Отметим, что если множество нечетких переменных , / g 1,7V для
каждой переменой входного вектора и одно и тоже, то задача оценки
нечеткого изображения сходна с задачей многокритериального
оценивания объектов [II].
Если мы опишем состояние НП в фиксированный момент времени
t g Т в виде нечеткого изображения, то пространство состояний НДС
будет уже не Q, a W. В том случае, когда исходная информация
определена набором характеристик {z/j} j =	, каждая из которых
фиксирована на своем пространстве значений Ц , то задача оценки
нечеткого изображения м(п), Т) g W сводится к нахождению оператора:
F[T|] : F(Q,) х„.х F(Qj) ->L/(W).	(6.4)
Таким образом, нахождение оператора (6.4) позволяет найти оценку
статического состояния НП в случае «сложной» входной информации
U.
Рассмотрим формальное решение этой задачи. Пусть состояние НП
описывается на пространстве W = {'>!}» Z = !,?/• Для оценки
статического состояния НП на пространстве Ц компонент вектора и
входной информации должны быть определены семейства Q(Qj)
нечетких мер соответствующих W Vj Card Q(Dj) = N.
Обозначим <7j(ln) - условную нечеткую меру, порожденную
семейством Q(£2j). Все семейство условных нечетких мер {<7j( |n)} для
всех компонент вектора и входной информации будем обозначать как
tf( hb wj)> где i/j g U, / - й компонент вектора, a U - множество всех
компонент. Тогда, нечеткое изображение статического состояния НП
будет определяться соотношением:
и IA
(6.5)
где д (б))- функция принадлежности j-й компонент вектора входной
информации, a gu() - мера важности учета j - й компонент для оценки
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
183
по T] g W. В более общем случае gu(-) может иметь свое значение для
каждого состояния t]gW. В этом случае gu( fn) - является условной
нечеткой мерой и тогда имеем:
и |п7 7
(6.6)
где внешний интеграл берётся для соответствующих компонентами
Т] g W. Интегральные операторы (6.5) и (6.6) являются
соответствующими операторами вида F[t]] (6.4).
Таким образом для скалярных и векторных величин преобразования в
нечеткие изображения выполняются в соответствии с табл. 6.1.
Таблица 6.1 - Определение нечеткого изображения.
Вид входной информации	Отображение	Выражение для определения
Скалярная величина U g Q - четкая инф.; pu(«): Q —>[01] - нечеткая инф.	Ф[т}]: F(Q|) F(W). Tj i € W - множество наименований нечетких переменных	о #п(|т]) - условная НМ, индексированная элементами множества w
Векторная величина t/={guJ to)}e g F(nt)x..xF(Qi)	Ф[т|]: F(Q,)x...x x...xF(£2j)->F(W).	и &?] = /! 1	(), а|о,	JJ g„() ~ мера важности учета j - й компоненты для оценки по tjg W
Бочарников В.П.
184
Fuzzy Technology
6.2.	Фильтрация статического состояния
нечеткого процесса
на основе квантификации
В данном пункте будем полагать, что рассматривается состояние НП,
представленное нечетким изображением ц(ш):	[01] на
пространстве Q дискретных состояний процесса. В том случае, когда Q
имеет большую мощность возникает необходимость выделения
некоторого подмножества S(to) наиболее значимых состояний НП по
информации о распределении ц(бо). При этом, для математического
моделирования лингвистических термов, определяющих мощность
значимых состояний процесса типа “большинство”, “по меньшей мере
половина” и т.д. могут применяться нечеткие квантификаторы.
Нечеткий квантификатор Q на пространстве Q есть распределение
степеней нечеткости на множестве целых чисел {0,l,...,q,...}= R+.
Нечеткий квантификатор Q может быть задан как нечеткое
кардинальное число I Ц((У) I множества |1(ш) с конечным носителем
[Н]:
VnG R+’	(”) = sup{«»| КI > n],
где a e [01], Ma = {col |i(to) > а}. В этом случае имеем:
СО, , <(0) = 1, Vz>(), ср, , Ai)>(p. , (/+1).
Функция ср(-) моделирует семантическое высказывание “ц(со) содержит
по меньшей мере i элементов”. Если же наоборот, мы определяем
нечеткий квантификатор Q как “ц(со) содержит более р элементов”, то
функция Q(i) определяет собой степень необходимости того, что i > р:
«,) = inf {1 -	= I -	1).	<6.в>
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
185
' Для определения наиболее значимого подмножества элементов
(возможно нечеткого) определяющего по информации р(со) уточненное
, состояние НП необходимо найти такое подмножество S*(co) g F(Q) для
которого выполняется:
S,’(<o) = argrn^cFia/(S'|2,ju(fi))), (6.9)
где Val(S\Q,Ll(coy) - есть нечеткая мера истины того, что S содержит Q
^элементов со свойством ц(со). Данную меру будем определять из
условий:
•	в S(co) должно содержаться около Q элементов;
•	в S(w) содержаться не более “0” элементов не
удовлетворяющих свойству ц(со).
}Для моделирования первого условия будем использовать абсолютный
квантификатор [11] Q’(r):
е’(о=))я+ -»ton, <610>
где wi(ty) =
Для определения второго условия запишем функцию:
g(Q) = min(5(fi>),l-jU(fi>)).
и для нее найдем квантификатор Q2 “более 0 элементов”:
Q2 (0)=1 - <р^ (0+1) = 1 - sup{a|G„| > о} = 1 - max g(m)=
= 1 — max[S'(£o)A (1 — д(<о))].
(6.11)
Тогда мера Ия/() определяется соотношением:
г«/(яе,д(<у))=С' А02 =с'0А{1-п^[адА(1-^й)))]}=
= Q' (г) a max[ S(G)j а (1 - д(со))] = Q1 (г) а тт[5(т) а р(т)| =
= C'(r) a min[.S'(<D) v р(&>)].
Окончательно имеем:
Бочарников В.П.
186
Fuzzy Technology
(q	1	- -
^min(S((O, ),д(£Ц)) I л min[S(<y) v p(&>)].
/-I	/
(6.12)
На основании выражений (6.9), (6.12) можно выделить подмножество
S(&>) е F(f2) состоящее из Q элементов, определяющих состояние НП.
Данные выражения дают возможность фильтрации статического
состояния процесса с целью снижения размерности описания
состояния, уточнения состояния и т.д. В заключении отметим, что в
случае необходимости определения для выделенного состояния S(co)
некоторой нечеткой пропорции вида: “по меньшей мере х %”
целесообразно использование пропорционального квантификатора в
виде нечеткого числа из интервала [01] такое, что: Vx < у, Q(x) < Q(y),
Q(l) - 1. При этом, квантификатор определяется как функция:
q = CardQ..
Для иллюстрации фильтра статического состояния НП рассмотрим
следующий пример.
Пример 6.1 т
Пусть в i-й дискретный момент времени наблюдения НП
реализовалось состояние Ri(co), описываемое на дискретном
пространстве Q, Card Q - 4 следующим вектором R,(co) = (0.5/соь
0.8/оь, 03/tth, 07/(11;), (Рис. 6.1.)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
187
^Необходимо отфильтровать данное состояние с целью выделения
{^уточненного состояния Sj(w) содержащее "около двух элементов”
множества Q. (Рис. 6.2).
Рисунок 6.2 - Фильтрующая функция.
Для определения Sj(co) будем использовать соотношение (6.12). Для
ул го определим сначала значение квантификатора Qi(r) для
следующих подмножеств (для примера используем не все элементы
множества P(Q), а лишь те, которые возможно претендуют на
^стояние Sj(co):
г -s' ={ю2}У ={(O„CO2},S1 = {a)l,a)}},st ={а}„со4}
\ ss = {со2,(о,},з6={а)2,(о4}^ ={fi)3,<O4},S8 = {(0fi)2O)}}.
Рисунок 6.3 - Зависимость Q' (г).
>ик зависимости Q' (г) для Sj gQ представлен на рис. 6.3.
Бочарников В.П.
188
Fuzzy Technology
В результате расчета второй составляющей выражения (6.12) имеем
результат, представленный на рис. 6.4. Тогда мера Fh/(S/Q,P) имеет
значения рис. 6.5.
Рисунок 6.6. Фильтрованное состояние Sj(co)
Бочарников В.П.
I
Fuzzy Technology	189
Таким образом, отфильтрованным состоянием Sj(co) является
состояние Si(co) = К(со) л S6(co) представленное на рис. 6.6. Как видно
из примера в результате фильтрации осуществляется “отсечка” мало
‘значащих состояний на Q определенных в i-й момент времени
^наблюдения НП.
। резюмируя приведенное выше фильтрация статического состояния на
рсновс квантификации может быть представлена в виде алгоритма
^[Табл. 6.2).
Таблица 6.2 - Фильтрация статического состояния.

Задача	Критерий	Решение
Зайти ячейку S(6t?) ^стояния ш i-держащую коло q кчементов и йисималь- Iju удовле- Ьэряюших вй			ro/(5iex<»))= Qi (S)AQ2(S)-^max S Ид/(.) - НМ истины удовлетвор. оценки S(fi>) условию задачи. Qi: S(to) содержит q элементов. Q2: S(fi)) содержит не более «0» элементов не )Довл.	S* to) = ajgmaxVaj(s|Q to)), Ci =	))j 02 = mjrjs to) v д to)].
Бочарников В.П.
190
Fuzzy Technology
63. Фильтрация нечетких процессов.
Нечеткий наблюдатель
Ранее, в предыдущем параграфе, мы рассмотрели возможность
уточнения нечеткого состояния НП за счет фильтрации одного
состояния (“статическая” фильтрация), предполагающей выявление
наиболее значимого подмножества состояний НП. Однако при этом не
учитывалась предыдущая информация о НП, то есть не учитывались
динамические особенности процесса. В данном параграфе будет
рассматриваться возможность динамической фильтрации НП.
Из приведенного ранее материала известно, что НП формально может
быть описан нечетко-интегральным (нечетко-дифференциальным)
уравнением вида:
(6’3)
где h'(cot):£l X Т —»[01] - нечеткое отношение для НДС,
описывающее ее динамику при фиксированном начальном состоянии
su°(cy): Q -> [01]. Предполагаем, что данное нечеткое отношение нам
неизвестно. g(): 2П -» [01] - нечеткая мера на Q, fr(co)- НП -
аналогичный винеровскому процессу, задающий неопределенность НП
по времени. Пусть имеется модель НП описывающая динамику НДС
следующим уравнением:
°gfr (<u)(.),	(6-i4)
где h(co,t) - нечеткое отношение модели (переходная характеристика
НП) вообще то, отличающееся от истинного НП. Для истинного
НП уравнение (6.13) условно можно пере писать в виде:
= 7] * / h(CO,t)	(6J5)
Бочарников В. П.
Fuzzy Technology	j 91
k..u.=L.=.....=:„ =:/'	2
Г где Т] - некоторая составляющая НП, определяющая его вариацию,
j связанную с погрешностями объекта наблюдения, а (*) - неизвестный
t оператор, связывающий т] и уравнения модели.
! Истинное пространство состояний Q с заданной на нем нечеткой
мерой g() связано с пространством наблюдений Q' = Q через
условную нечеткую меру 7?Л(-1/?). Отображение пространства О в
L пространство наблюдений Q' определенное мерой Rs(- |р) индуцирует в
нечеткую меру Р, связанную с мерой g соотношением:
PO = lRP(\s)°g-	(6.16)
п
В силу того, что существует связь пространств Q и Q' истинному
’состоянию НП sjcb) в Q' соответствует образ, определенный
уравнением:
(6.17)
а(®)=(|р)=
^Однако, наблюдение НП осуществляется с некоторыми шумами £
яркими, что в результате вместо ри(со) имеем некоторое состояние вида:
А(®)== £*Я (5„(ю)|р),	(6.18)
г^це (*) - неизвестный оператор, определяющим характер влияющих
и* грешностей В соответствие с описанным выше, структурная схема
контуром наблюдения может быть
тинного НП вместе с
едставлена как на рис. 6.7.
£
• РЛ
। к Рисунок 6.7 - Структурная схема истинного НП с контуром
: I	наблюдения.
Таим образом, вместо истинного НП sl1(cd) мы наблюдаем некоторый
Процесс рл(со). Кроме этого, имеется возможность наблюдать
Ьклояние sw(co) НП модели, описываемой уравнением (6.14). Исходя
и этого, вообще то говоря, необходимо сформировать некоторую
Бочарников В.П.
192
Fuzzy Technology
оценку £(&)) НП максимально близкую к истинному состоянию %(со)
НП.
Если в качестве критерия совпадения s(co) и sJcd) выбрать меру
близости, определяемую как нечеткое ожидаемое значение (fazzy
expected value) пересечения s(co) и su(co). то критерий оптимизации
мы можем записать в виде:
J =	л su (со)] о g(-)	max •	(6-19)
Критерий (6.19) задает семейство оценок £>{£(&))} упорядоченных
по вложенности. Множество Е с оператором < вложенности
определяет нечеткий группоид (Е, -<). Если в качестве решения (оценки
£(&))) выбрать нижнюю грань (Е, -<), то степень размытости решения
5(&)) будет минимальна. В силу, этого наиболее целесообразным в
качестве оценки .?(&)) НП выбирать точную нижнюю грань семейства
(Е, -<) решений удовлетворяющих критерию оптимальности (6.19).
С физической точки зрения критерий (6.19) определяет степень
соответствия (покрытия) оценки состояния л(ш) НП и истинного
состояния su(to). Ранее уже отмечалось, что исходной информации для
формирования состоятельной оценки НП £(&)) являются информация
о наблюдаемом состоянии рЛ(со), а также состояние, полученное из
модели НП sw(co). В силу уравнения (6.16) нечеткое состояние модели и
оценки ,£(&)) может быть представлены в следующем виде:
s(co)= Rr(p((o)\s)= Iop((0)oR(.\s)
/?г(рЛ,(®)|5)=/ А,(®)о/гД 1^)
В силу двойственности условных нечетких мер наблюдение состояния
модели sw(co) и оценочного процесса £(&)) может быть представлено в
виде:
р(со) =	= к(а)о к (1р)
рм(<*>) = X (л,(<o)lp) =	(to)о R ( |р)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	193
Однако, условная нечеткая мера Rs(\p) нам неизвестна. Структурная
схема нечеткого наблюдателя может быть представлена в виде
приведенном на рис. 6.8.
На данной схеме оператор /(•) обеспечивает получение такой оценки
р(-) в пространстве наблюдений Q' по информации о рм и рА, которая
при известной условной нечеткой мере /?/?(|s) обеспечивает
выполнение критерия (6.19).
Рисунок 6.8 - Структурная схема нечеткого наблюдателя.
Практически можем обозначить:
1/7) = /?,( 1/7) * Л ),	(6.24)
где /?,*(• |р) - некоторая условная нечеткая мера определяемая
композицией меры Rs(\p) и оператора /•) и обеспечивающая
выполнение критерия (6.19), (*) - некоторая композиция.
Условная нечеткая мера /?/(-|р) должна обеспечить получение такого
/)(•)» что определенная с помощью него оценка s(co) стремится к
Su((o). Оказывается, что если обеспечить близость состояния НП
наблюдения истинного НП pL1(co) и наблюдения НП оценки /)(•), то
критерий (6.19) выполняется. Покажем это.
Лемма_6.1
Если обеспечить выполнение критерия
Л = I	А ри(со)) о р(.) -4 max,
то критерий (6.19) выполняется.
(6.25)
1ак 771
Бочарников В.П.
194
Fuzzy Technology
Доказательство.
Оптимальное значение критерия (6.19) определяется выражением:
J* ~	Л^)]° «0=
рассмотрим более детально выражение в квадратных скобках:
Rp(pu\s)aRpW = 1 л(^)°M IS)Л /	о7?р(’к)£
a A®)]o7?p(-|s)
Очевидно, что при максимизации правого интеграла левая часть
выражения также будет увеличиваться. Это следует из свойства
нечеткого интеграла. Следовательно модифицированный критерий
будет иметь вид:
J*=RP(№> Л Ж6#) ° Ю-
Подставив в это выражение уравнение обратное уравнению (6.16) для
меры g( ) имеем:
J* = л ₽«MS) ° I R*№ °р( ) =
=тах//? (йю)лд,(<ф)о I 1(ГУ)еР() =
= max / Я,[яДДй>) л p„(<y)ls)j р] о Р().
Исходя из свойств нечеткого интеграла очевидно, что при увеличении
функции ptj(cd) л р(со) будет расти значение условной нечеткой меры
Rp[p(co)Apti(CD)\sY а следовательно подынтегральная функция для
критерия J будет увеличиваться, что в целом максимизирует критерий
J.
Исходя из этого критерий оптимизации можно представить в виде:
J* = тахГри (<0) а X69)] °	) = тах Л -
P(G>) L	J	Р
Следовательно, если обеспечить максимизацию критерия вида
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
195
JP = I [p„(a) л P(to)]° P() -» max,
ft'	/>(«)
|то условие максимизации исходного критерия (6.19) будет
»выполняться, что и требовалось доказать.
Д
Истинное состояние pu(to) наблюдения нам не известно, однако оно
может быть восстановлено исходя из информации рЛ(со) и наблюдения
состояния модели рм(со). Согласно структурной схемы 6.8. рд(со)
отличается от ри(со) за счет погрешностей наблюдения а рм(со) - за
счет погрешностей объекта Т]. В силу того, что и рм(со) и рЛ((о) есть
некоторые приближения истинного (без искажений) наблюдения ри((о)
(наиболее целесообразным предположить, что pG(co) находится в
области близкой к пересечению Рл(ю)лры(со).
।
^Исходя из приведенных рассуждений критерий (6.25) может быть
‘^трансформирован к виду:
Jp = Цл(ю) А РмФ) A P(m)]o Рmax, <626>
Лемма 6,2,
Критерий (6.26) может быть трансформирован так, что
f оценочный НП §(со) удовлетворяющий критерию вида
/ {sw(m) л R(рА (co)|s)} о / £(ю) о g(-)	max, <6-27>
J	ftL	r	J ft
* будет оптимальным и обеспечивать максимизацию критерия
(6.26).
Ж: азателычво:
Рассмотрим более подробно критерий (6.26)
1[Рл(<°)АРл/(<о)Ар(т)]оР()= I [Рл(<°)аР(40)]оР() =
ft'
=	! [РД^(т)|р)А^(^(т)|р)]оР(.)
1 силу того, что для подынтегрального выражения справедливо
•равенство:
Бочарников В.П.
196
Fuzzy Technology
rs(sm\p)л ^№)Ip) /[M^) AS(to)]o Rs(]p),
то для максимизаций критерия (6.26) достаточно потребовать
максимизацию соотношения:
I р{^(й>)л^)}о^(.|р)1оР(.)= / ЦфМф)'®
рА<*>№	-J PziM
В силу свойств условных нечетких мер можем записать:
/ /?Д5Л/(®)А^)|р)оР(.)= I ^(p/®)|s)°g() =
Рл(«)	^л/(«)л5(«)
= /[лл/ («) л s(co) л Rp(pA (й>)|5)] о g(.) =
= /[Л Л/ (^) A Rp (рА (йф)] о / S((0) О g(-).
Полученное выражение соответствует выражению для критерий (6.27).
Что и требовалось доказать.
Д
Рассмотрим более подробно полученный результат. Критерий (6.27) с
физической точки зрения отражает необходимость нахождения оценки
состояния НП исходя из ограничений связанных со структурой
пространства состояний системы определяемой распределением
нечеткой меры g(-), а также ограничений определенных
характеристиками реально наблюдаемого НП. Последние связаны в
первую очередь с представлением о самой модели НП, ее точности
определяемой состоянием SM(co) и свойствами канала наблюдения НП,
то есть реально получаемыми значениями наблюдаемого НП рА(со).
Таким образом, найденный оценочной НП s(co) в каждый момент
времени удовлетворяющий критерию (6.27) будет учитывать всю
доступную нам информацию о нечетком процессе. При этом, исходя из
доказательств выше приведенных лемм данный оценочный процесс
обеспечивает оптимальную оценку, в смысле нечеткого ожидания
совпадения с истинным процессом.
Практически, нахождение оценочного НП связано с поиском такой
апостериорной нечеткой меры 7?*(-|р), которая после получения
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	j 97
информации о НП дает максимум совпадает оценочного и истинного
ЗИП по нечеткому ожидаемому значению.
Следует отметить, что доказанное в лемме 6.2. выражение для
рсритерия оптимизации оценки истинного НП включает в себя как
^частный случай уже известное ранее выражение для алгоритма
.обучения по нечеткой мере в дискретном времени предложенный
Суджено [15]. Покажем это, доказав следующую лемму.
Лемму 6,3,
В случае отсутствия ограничений в пространстве состояний
НДС, а именно У<цеО, g(G^)z О [01], g({o^}) =1 (мера
возможности), а также ограничений на оператор
преобразования состояния НДС в пространстве О в дискретные
моменты времени: hk(co,cp) :	[01], hk(G^,av) = 1,
g Q критерий оптимальности для получения оценки НП
определяется выражением:
/ R (р£ (ю)|S) о sK (со)	max •	<628)
Q г	«(ш)
Доказательство.
Согласно доказанной леммы 6.2. оптимальная оценка НП должна
удовлетворять соотношению
L
l[R„(рА k) A sм(€0)] о / s(co) о g() -» max.
•Исходя из доказательства теоремы 5.3. состояние дискретного
^нечеткого процесса для модели sM(to) определяется соотношением:
J Q
]Гаким образом для дискретной НДС критерий (6.27) примет вид:
/Г Rp(Pk (<u)k) л / hK(CDj,av) о g(.)l о / SK((O) о g().
QL	О	JO
Рассмотрим более подробно выражение в квадратных скобках:
Бочарников В.П.
198
Fuzzy Technology
F =	(^l*) л ° Ю =
=	Asup-fa,. A g(H (®v))j =
aj
= Rp(p«A supj a A max g({o}) к
aj L <**aj	J
Исходя из того, что 3Q, Ьк((О|,(д) = 1 и Vc^j, g({cq}) =1 имеем:
F = Кр(Рк(а>№ a supj maxft(m7-,ct)v) л l({my}) f =
(Oj I 0)j	J
= «,(Рк(Ф)аЦ®)=
Исходя из этого соотношение (6.27) примет вид:
/Л (p^(<0)|s)o/^(o)og(.) = SUlJ^A I SK(<O)°g()k
Q	Q	fi Fp
где
Рассмотрим более детально интеграл в фигурных скобках. Согласно
результата, доказанного в теореме 4.8. данный интеграл примет вид:
I = /	SUP(^(£an/>)Ag(£'on^)) =
Fp
= sup 5^(ЕаПГр),
где sk( ) - есть мера возможности.
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
199
ся данного выражения зависимость его от ос е [01] может быть
Сдставлена графиком рис. 6.9, где определяется соотношением:
^min
L
Рисунок 6.9 - Зависимость I от ос.
*
югично можно определить с^п.1Х. Последовательность (Ea(}Fp)
жеств является возрастающей при увеличении а. Следовательно
ует такое а е [01], что данная последовательность множеств
предел:
3«€[01] lim £ f|F«=F..
п=(а-а)	н и
sk(to) есть неубывающая функция множества. Следовательно, для
ывающей последовательности множеств (EaP{F^) можно
исать:
sup «к(^вПГ/|)= lim sK(Eaf}Fp) =
Ear\Fp=(5	"=(«-«)

— SK< ШТ
[«=(«-#)
из этого следует, что данный интеграл зависит лишь от
Исходя
функции sk(to) и критерий оптимизации определяется выражением:
/ ^п(Рк(®)15)°^(®)->таХ-
и
A
Бочарников В.П.
200
Fuzzy Technology
Таким образом, на основании критерия (6.27) может быть
сформирован нечеткий наблюдатель, позволяющий вычислять на
основе текущей информации о НП оценочный процесс £г(&>)
Информацией для данного наблюдателя являются измерения (ф) и
текущее состояние модели sM(w). Представим выражение (6.27) в
следующем виде:
j сг(со) ° ! $(со) cg—> max,	(6.29)
Q	Q
где функция о (со) определяется соотношением:
а(о) = sM(co) A Rp(pa(co)\s) 	(6.30)
Выражение (6.29) может быть преобразовано к виду:
I Ct((O)°jS((O)°g = f a(CO)AS(CO)og= I cr(ft>)og.
Q	Q	Q
To есть соотношение (6.29) определяет нечеткий интеграл от функции
G (со) по мере g, взятый на нечетком множестве определяющем
оценку НП. В случае упорядоченной по убыванию функции g(co)
значение нечеткого интеграла
!cy(co)og = j,	(6.31)
fl
определяется графически, как показано на рис.6.10.
Рисунок 6.10 - Графическое представление нечеткого интеграла.
Значение интеграла J определяет некоторое подмножество В(со)с О
при которых g(co) > J. Как показано на рис.6.10 пара (J, В(со))
Бочарников В.П.

Fuzzy Technology
201
определяет функцию ф(со), играющую роль фильтрующей функции,
которая задается выражением:
[[ 7,1], со е В(со') с Q;
0>
(6.32)
‘Смысл этой функции можно определить следующим образом. Для
:того, чтобы критерий (6.29) был максимальным (а самое большое
' значение критерия достигает величины Je[01]) необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие:
VtoeB(co)cQ,	0(a)) л $(а>) > <Pj(СО) -
(633)
^Значение функции 0(со) л S(<o) на со «г В(со) не влияют на значение
* критерия (6.29) и с точки зрения необходимости определения точной
нижней грани в группоиде (Е, -<) значения функции $ (а)),
определяющей оценку НП, целесообразно уменьшать от величины
<Pj(co). Таким образом, функция <pj(to) играет роль фильтрующей
функции. Следует отметать что функция (632) является “предельной”
^фильтрующей функцией. Можно определить целое семейство
фильтрующих функций {(р) в некотором смысле вложенных в область,
определенную функцией <р(со) (см. рис.6.11) <Pr(co) е {<р} -
Для каждой из функций (pR(co) из семейства {ср} необходимо
выполнение условий, аналогичных (633). Тогда критерий (6.29) будет
иметь значение R g[01], R < J. Исходя из выше приведенных
^рассуждений, структура нечеткого наблюдателя должна определяться
функцией вида:
S{CO) = f{S((O\G{(O),(pR{(O)}.	(634)
Так как фильтрующая функция <pR((j)) в основном определяет
подмножество Z?R(co) с О значимых состояний в пространстве Q после
получения информации с(со), то целесообразно структуру нечеткого
наблюдателя определить как функцию ^ , ) двух переменных в виде:
Бочарников В.П,
202
Fuzzy Technology
Рисунок 6.11 - Семейство фильтрующих
функций.
=	(6.35)
где
Фя(«) =
[Я,1],(О е BK(co),R< J е [01]
(р™,со <£ В(а)),(р^"' < R.
Для нахождения оценки НП £(ф) по информации о НП на
протяжении некоторого временного окна т с Т, такого, что sup тЧ, inf
Т = t - |xj можно в качестве функции /(-,*) в состоянии (6.35)
использовать нечеткий интеграл вида:
= (6’36)
г
гДе	2(ГхП)хГ —> [01] - условная нечеткая мера
определяющая величину доверия к состоянию оценки НП на
предыдущем моменте времени t' < t, t'etczT для фиксированного cogQ.
Практически, условная мера Эг(-|бО,/) определяет некоторое
временное окно на Т. (Рис.6.12)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
203
В (6.36) в качестве значения S(G),,f) выступает измерение в момент
t е Т, то есть:
S(co, t) = <7, (ft)) л<р'к(а)),
» где (to) определяется (6.30).
I.
Следует отметить, что момент времени t может быть и нечетким.
। Таким образом, выражение (6.36) определяет нечеткий наблюдатель
построенный на нечетком интеграле. В каждый момент t е Т
реализуется двухмерная фильтрующая функция, определенная
[декартовым произведением:
fV,(C0,T) = (p,R(C0)xdT(\C0,t)-	(6.37)
Фильтрующая функция Ц/(СО,Т) определяет в конкретный момент
16 Т некоторую подобласть в пространстве QxT. В том случае, когда в
оценке St(CD) НП учитывается только одно предыдущее значение
функции £(су), отстоящее от текущего t на некоторый временной
интервал т с Т, то нечеткий наблюдатель вида (6.36) может быть
преобразован к следующему виду.
\S,(co) = I £(co,tf) ° ^T(jco,t) =	a dT(t - T|f»,z)} v
’V {[«У, (ft)) A (p‘R (ft))] A	(/| CO, 0} v {$_, (ft)) A TO, (ft)) A (pR (ft))]}.
(6.38)
В этом случае нечеткий наблюдатель определяется нечетко-
дифференциальным уравнением представленном в следующей
Бочарников В.П.
204
Fuzzy Technology
! Теорема 6J.
Нечеткий наблюдатель, определяющий оценочный НП
। в случае учета одного предыдущего значения оценки
описывается нечетко-дифференциальным уравнением вида:
fdS(co) = {(S,_T(<0) A dT(t - Т|£О,0) V h(co,t')}fdf,F(co) >
(6.39)
где h(€Oyt')-нечеткое отношение (переходная характеристика)
модели НДС,
(6.40)
скорректированная нечеткая функция описывающая
временную неопределенность НДС (аналог броуновского
движения).
Доказательство.
Для простоты записи выкладок формульных зависимостей введем
следующее обозначения:
ах = Vr(w) а Эг(Г - т| со, I);
«2 =<(ю)Аата|юд);
О3=^_т(й?)АфД<У).
Тогда выражение для наблюдателя (6.38) принимает вид:
3,(со)=ах v(<Tr(fi>)A^)v(<yi(fi))Aa,)=aI v[<T,(to)л(а2 va3)].
Рассмотрим более детально функцию (у (б))» отражающую
имеющуюся информацию о НП на момент времени t е Т. Согласно
(6.30) имеем;
ст, (со)=s,M(co) а/?р(д>)|л)=IW)^) ^Rp(pf(co)\S).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
205
На момент времени te Т переменные а„ / = 1,3» и R (р4 (й9)|л)
принимают определенные значения и не зависят от переменной t'eT
<интегрирования. Исходя из этого справедливы следующие
преобразования:
$(ю) = ц vp?p(fl'4(£O)|.s)A(a2 v^) л J A((0,/9ogy((ft))(.)] =
rL	J % O')
= «i x/fh(a),t')° I {./,(w')a/?
r v.iWr	J
Рассмотрим подынтегральную функцию для второго интеграла:
'= Z(w') Л Rp(rf(co)\s) л^(<о) а{5,_г(о) V dT(t\co,f)}=fF(o№').
j Тогда для оценки получаем соотношение:
к S,(со) = a,vj h(co,f) о	/ fF(co\co') ° g() =
|	T	wO')
t J{(Vr(«)AaTG-T|£0,0)vA(G>,/,)}o / fF(co\co'yg(y
T	\yt (|й/)
Данное выражение в нечетко-дифференциальной записи приобретает
^следующий вид:
М(«) = A dT(t - т|£О,0) v h(co,t’)\fdftF (ю|й)Э-
Что и требовалось доказать.	А
Таким образом, доказанное выражение (6.39) определяет нечеткий
-наблюдатель. Для его физической реализации необходимо определение
двумерной фильтрующей функцией

Бочарников В.П.
206
Fuzzy Technology
6.4. Оптимальный нечеткий наблюдатель
Оптимальный нечеткий наблюдатель будем рассматривать для случая
учета одного предыдущего значения оценочного процесса. То есть
Cardx = 2. Как показано в п. 6.3. нечеткий наблюдатель определяется в
этом случае нечетко-дифференциальным уравнением (6.39). Данный
наблюдатель может эффективно применяться для оценки состояния
дискретного НП. В этом случае нечетко-дифференциальное уравнение
вырождается в рекуррентное соотношение для наблюдения.
Дискретный наблюдатель будет рассмотрен ниже.
В случае Cardx = 2 нечеткий наблюдатель построенный на основе
нечеткого интеграла (6.36) расписывается соотношением (6.38). В
данном выражении неизвестными являются функции
^ля дальнейшего изложения рассмотрим
вспомогательную лемму.
Лемма 6,4,
В случае, когда CardQ = 2 значение нечеткого интеграла вида:
у=/д(<о)°ап()
п
определяется величиной плотности нечеткой меры c?tl(-) в точке
для которой р(щ) > Ц((Ц)> j*i, то есть:
min(p(to,),p(coy)),	д(со{) < р(со});
ц(соj) < д(a)j)< ц(со,);
тах(ц(со^,ц(со})),	d(cof)>
(6-41)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology 207
, Доказательство.
j Распишем интеграл в следующем виде:
/=Ыо))оЭп(-)=(р(<Ц )л^<0,)) v(X<02) лд(®2) vGuC<q ЬЖ)).
Q
Пусть (д(й)( )> д(й)2)). Тогда имеем:
J = (д(®, ) А д(й),)) V (d(fi)2) л Д((О3)) V Д(<02) =
= (д(®,) а д(<о,))Vд(<о2), д((02)> ju(a2);
(К®,)Ад{(01))Vд(ю2), д(со2) <д(со2).
Таким образом, интеграл не зависит от значения плотности Э(<£>г) для
которой р(<Ог) < ц(<0|).
j=(^(<o1)Aa(wI))v^(«2).
Для функции J зависимость от ) представлена на рис. 6.13.
Рисунок 6.13 - Зависимость функции J.
Данная зависимость соответствует соотношению (6.41).Что и
требовалось доказать.
А
Как легко заметить, функция (6.41) однозначно аппроксимируется
соотношением:
J - (1 -а)д(й)^+ад(й)2),а е [01].	(6.42)
Коэффициент а определяет вклад каждой составляющей в значение
интеграла. Тогда, исходя из доказанной леммы следует, что значения
Бочврников В.П.
208
Fuzzy Technology
плотности меры фильтрующего временного окна в выражении (6.38)
целесообразно принять в следующем виде:
дт (t - Т[ СО, t) = dt (С|СО, t) = д, (со);	(6.43)
д, (со) = (1 - сс)$,_т(со) + а- [ст, (со) а	(6-44)
Таким образом, оценка нечеткого состояния НП будет определяться
соотношением (6.39) для которого	является нечеткой мерой
с равномерной плотностью для каждого сое Q определенной
соотношением (6.44).
Как видно из соотношения для 3t(co), мера Э зависит от осе [01]
и фильтрующей функции (р'Дй))- Для определения этих параметров
необходимо учитывать динамику нечеткого процесса. Так как согласно
критерия (6.29) он должен выполнятся для любого t е Т мы можем
записать:
min / <5е (ш) о / §, (ш) о g —> max ’	С6-44)
Т Q	Q	S, (<0)
где t'eTcT.
Для рассматриваемого случая Cardx = 2 соотношение имеет вид:
! а, (со) о / $, (со) ° g a f olCT(co) ° j S,_T(co) ° g -> max.	(6-45)
Q	Q	П	Q	^(<o)
Оптимальный нечеткий наблюдатель определяется следующей
теоремой.
Теорема 6,2,
Оптимальный нечеткий наблюдатель для НП при Cardx = 2
определяется нечетко-дифференциальным уравнением (6.39) для
которого двухмерная фильтрующая функция (6.37) Wt(avr)
определяется через функции:
dt (со) = (1 - а) • 5,_т(со)+а  [ст,(со) a <p‘R (со)], (6.46)
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology	209
[Т?,1],соеВя(со)£П (647)
* 7 |0,юёВдО)
[где осе [01] определяется из соотношения:
i min {(l-a)S._T(co) + czcrr(co)}-/?i—>min;	(6.48)
|<oe5/f(<o)L	I a
R= I a,(co)о / §'_т(со) og<j^ [01].	(6-49)
П	П
Доказательство.
Для доказательства теоремы определим прежде всего характеристики
фильтрующей функции	при ограничениях, сложившихся на
предыдущий момент времени, то есть согласно соотношения (6.45).
Представим нечеткий интеграл для момента времени teT в следующем
виде:
/ <Тг(СО)о/Vr(«)°g= I ^(<о)° / Vr(w)°gv«
no	Ln п	J
где а, ре [01] - являются неизвестными функциями. Подставим это
выражение в (6.45). Получим:
/ о. (со) о / $'_т ((О) о g V а 1АI а, (со) о Ц_т (со) о g Л /3 -> max.
.Q П	Jan
Так как для оптимальности оценки НП необходима максимизация
критерия (6.29) на каждом шаге, то справедливо соотношение:
Jcy,(C0)o/^_r(C0)og</3.-
п п
Тогда предыдущее соотношение примет вид:
/ <7/(С0)о (fij)og VCZ>A
Q	П	J
f <т,_т (co) ° / S,_T (co) ° g —> max.
n	Q	«
Преобразуем данное соотношение. Исходя из свойств нечеткого
интеграла (3.12), (3.18) справедливо:
Бочарников В.П.
210
Fuzzy Technology
I fa v a (co)l л a Аси) о / § (eu) ° g -»max;
n	o	a
/[a a a,_T(co)] v [a, (co) a ct,_t(co)]o Jsr_T(co) °g -> max.
Согласно свойства (3.19) можем преобразовать:
|fq^(co)o/sM(co)ogAa]vf[q_Xco)A^(co)]of^(m)og^max.
Ln Q	J n	n	a
Обозначим: J & o | $ o g — [ * значение критерия (6.29) на
n 1~т n f T / T
момент/-те T.
f[crz(co) A a,_T(co)]o I s,_t og=Kt-
Данная функция играет роль корреляционной функции наблюдаемого
НП. Тогда соотношение примет вид:
P = (/MAa)v^f —>тпах-
Как видно из графиков рис. 6.14 значение а целесообразно выбирать
из условия:
а>К,= I[ст,(со) асг,_т(со)]оf $	og.
П
Если в качестве а принять a ~ Kt тогда получим:
/ СТ,(С0)о / og= ! СТ((С0)о I	og\/Kt.
n	Q Q	n
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
211
Так как а > Кг можем записать:
/ СТ, (со) о Ц о g = /[(У, (СО) V (ст, (СО) А СТ,_Т (С0))]о h,_T о g =
= 1 a,(co)oj St_T og = R G [01].
Q	П
Исходя из этого фильтрующая функция примет вид, как на рис.
6.15:
Р?,1], со G Вя (СО), R < J G [01 >
О, соеВДсо).
Ф'Я(Ю) =
Рисунок 6.15 - Фильтрующая функция.
Для того, чтобы выполнялось равенство:
fa,(co)°jstog=R’	(*)
необходимо и достаточно выполнение условия:
Vco g Вя(со), s, (со) > R.
Но, так как согласно леммы 6.4 имеем:
(со)=5, (со) = (1 -а)-5м(с»)+а[ст,(<о)л^'я(<»)],
то для подмножества BR(co) при = 1 справедливо:
д, (со)=st (со) = (1 -	(со)+czct, (со) > R •
Отсюда для выполнения условия (*) необходимо а удовлетворяющее
соотношению:
Бочарников В.П.
212
Fuzzy Technology
min{(l - a)sM (<o)+cto, (<o)} - R —> min •
Таким образом, это определяет оптимальный нечеткий наблюдатель.
Полученные соотношения соответствуют приведенным в условии
теоремы. Следовательно теорема доказана.
□
Таким образом, мы получаем возможность осуществить оптимальную
в смысле (6.44) нечеткую фильтрацию. Физически уравнение
оптимального нечеткого наблюдателя может быть пояснено
следующим образом.
Величина коррекции состояния оценочного НП определяется в
зависимости от характера его наблюдения и поведения модели НП.
При этом вариация £ (со) зависит от корреляционной функции Kt НП
о;((о) зависящего от динамики наблюдаемого НП pt(co) и модели
4(«)-
Функция Ki определяет “степень доверия” к новому измерению и чем
выше корреляция измеряемого НП Ц(со), тем большее число элементов
§f(C0) корректируется в сторону увеличения к Ц(со) и на большую
величину Re [01].
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
213
6.5. Дискретный нечеткий наблюдатель
Цель этого параграфа показать, что те подходы к построению
нечеткого наблюдения, которые рассмотрены ранее, полностью
справедливы и для случая дискретных НП. При этом дискретность
может касаться как времени, так и пространства состояний Q.
Например, когда используются для описания состояния НП нечеткие
изображения, рассмотренные в пункте 6.1.
Для дискретного НП нечеткий наблюдатель также может быть
представлен в виде нечетко-интегральной свертки предыдущих
состояний оценочного процесса.
SK (СО) = I §((О, t') О Эт ( I СО, t').	(6,5°)
т
где $(й)Д/) - определяется как срез оценочного НП в дискретный
момент времени / = К-пД из интервала окна т, supx = К, а	“
дискретная нечеткая мера на временном интервале т. В случае учета
только £^((0) нечеткий наблюдатель имеет вид:
Vco) = {V1 (со) Л ак_,(со)} V {[стк (со) Л	(со)] Л дДсо)} v
(6.51)
Теорема 6.3,
Дискретный нечеткий наблюдатель, определяющий оценочный
НП при Card т = 2 описывается нечетко-интегральным
уравнением вида:
(«') = ((®') а <?(«')) V
(6.52)
Бочарников В.П.
214
Fuzzy Technology
где Rp(p£(CO)\s,CO') ~ цилиндрическое продолжение
функции /?р(р^(й))|л).
«(") = {<Pr (<»') А д(®)} V {^(й/) А ф£(о')}, (6 53)
d(co') = d^,(<o)=dh(co).
Доказательство.
Доказательство теоремы во многом сходно с доказательством теоремы
6.1. Введем обозначения:
«>(<») = W®) а
а2(й)) = <Рр(со)лдк(со)’,
«3(«) = Фя(«)А^_,(й)).
Исходя из этих обозначений оценочный процесс может быть описан
уравнением вида:
М®') = ах(со') v {<ТК(®') а (я2(й)') v «3(£0'))}-
Для дискретного НП сГк(Ф) описывается соотношением:
= (р^СсоХ^А / /г(й),С0/)оМ) =
SK-,(o>)
= I 1^р(Рк (®)1 л, СО') А й(й), йУ)10 g().
Подставив это уравнение в соотношение для ^(йУ) получим:
$к(а')=ах (со') V {<тк (со') А (а2 (со') v а3 («'))} =
= К-1 (®') А д(ю')} v {<ТК(®') А а(й),)| = К-1 (®Э А д(со')} v
V1 [#р(Рк(Ю)1^ЭаЙ(®,®Э]°Юа<7(®') ►.
К-1 (“Г	J
В силу того» что oc((jo') не зависит от g( ) согласно интеграла может
записать:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
215
SK_f (co') = K-, (<»') л d(co')} V
v !	[я„(рА^Э|яХ)лйк(й),йГ)1о£(.).
Jk-i (<o)a«(<o')l	j
(9(й/)= d*, ,(0)) = дк{С0} согласно леммы 6.4. Следовательно
теорема доказана.
□
Однако, уравнение нечеткого наблюдателя для дискретного НП при
Card т = 2 в виде (6.52) получается довольно таки сложным. Исходя из
свойства иечеткого интеграла для двухточечных функций (лемма 6.4.)
уравнение нечеткого наблюдателя целесообразно представить в виде:
5к(й>) = (1 - ау^ф) + а[стк (со) л <р“ (<о)|- (6-54)
В случае отсутствия ограничений в пространстве состояний НДС,
VcojeO, g({tOj}) = 1 и при отсутствии модели процесса функция 0к(со)
определяется лишь измерением, что доказано в лемме 6.3. Тогда:
S^(CO) =(l-CZ)^_,(C0) + Cz[/?p(p^(C0)|5)A^(C0)].	(6-55)
осе [01] - определяет скорость сходимости фильтра. Уравнение (6.55)
можно преобразовать к знакомому по фильтру Калмана
представлению:
^(со) = ^1(co)+a{[/?p(/^(«)|.s) А ср*	(656)
Структурная схема дискретного нечеткого наблюдателя, реализующего
соотношению (6.56) представлена на рис. 6.16.
Рисунок 6.16. Структурная схема дискретного нечеткого наблюдателя.
Бочарников В.П.
216
Fuzzy Technology
В заключение отметим, что фильтр (6.55), полученный нами как
частный случай из уравнения нечеткого наблюдателя для дискретного
НП при Card т = 2 является аналогом алгоритма обучения
предложенного Суджено и описанного в книге [22].
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
217
6.6. Экстраполяция нечетких процессов
Во многих прикладных задачах наибольший интерес представляет
решение задачи прогнозирования состояния какого либо процесса. При
этом на прогноз влияет целая совокупность различных внешних
факторов, приводящих к необходимости постановки задачи
прогнозирования состояния процесса в нечетких терминах. Ниже будет
рассмотрен один из возможных подходов прогнозирования состояния
динамического процесса в условиях неопределенности на основе
экстраполяции НП.
Допустим, что на пространстве состояний Q необходимо
спрогнозировать состояние некоторого процесса. На процесс действует
совокупность внешних факторов Х={х}, каждый из которых может
привести к определенной динамике процесса. При этом для фактора
хкеХ возможное состояние процесса ограничивается некоторым НП,
описывающимся нечетко-интегральным уравнением вида:
=	(со,/ )о I f(а)оgj.). <6-57)
где tnpGT, Т - временной интервал прогноза. Если в текущий момент
tmek влияние различных факторов определяется функцией важности
р(х):Х —> [01], то задача прогнозирования состояния процесса
заключается в нахождении такого нечеткого процесса, который бы
агрегировал НП (6.57) с учетом функции р(х), то есть:
<Ш) = F(axt (<»,	)» Р (*))•	(6 58)
Практически прогноз определяется некоторым оператором F
агрегирования функций (CD,f?p)- В качестве такого оператора
может выступать нечеткий интеграл на множестве X по некоторой
нечеткой мере G5X(): 2х—>[01], отражающей свойства оператора F.
Легко показать, что если рассмотреть функцию Е(х|щ такую, что
Бочарников В.П.
218
Fuzzy Technology
Дхл|й),Г„р) = СГ^(Ю,Г„р). то интегрирование этой функции по
нечеткой мере 65Х( ) удовлетворяет свойству:
min£(xJtM„p)< / Z(xJw,/rp)oG7A(-)^niaxZ(xJ(D,/„r).
Х£Л	X
(6.59)
Для этого докажем следующую вспомогательную лемму.
Лемма 6Л.
Для функции h(x): X -» [01] нечеткий интеграл по нечеткой
мере Шх():2х—>[01] является теоретико-множественной
операцией для которой выполняется
min й(х) < ! h(x) о (пх (•) < min Л(х)>	(6-6°)
для любой функции a Y (-) •
Доказательство.
Для доказательства леммы переупорядочим функцию й(х) в порядке
убывания, как показано на рис. 6.17.
Рисунок 6.17. К доказательству леммы 6.5.
Тогда, рассмотрев множество a-срезов функции й(х) будем иметь
возрастающую последовательность множеств А,(х) с X таких, что V z,
j, О>а^[01] At(x) g Л/х). Нечеткий интеграл для каждого из
подмножеств А,(х) с X будет определяться следующей зависимостью:
е, = тт(й(Х|), 67^(4))-
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
219
Следовательно интеграл от всей функции h(x) согласно (3.27)
удовлетворяет соотношению:
/ Л(х) = supe. = suppzOQ лСУх(Д)}.
Рассмотрим более подробно данное выражение. Значение его зависит
от выбранного распределения функции меры 67Л(А,).
а) если VxgX, х ф infX^ GJ* (х) = 0 и
х = infX, GJX (х) > й(х), (где х, > Xj, если h(xj) > h(xj)), то
/ h(x) ~ sup(/z(x));
X	x
б)еслих = supX* GJx(x) > й(х), VxФsupX9 GJx(x) = 0, to
/ h(x) о = min/z(x).
x	x
Данное условие иллюстрируются на рис. 6.17. Во всех промежуточных
значениях для интеграла выполняются условие (б.бО).Что и
требовалось доказать.
А
Таким образом, агрегирующие свойства нечеткого интеграла,
определяются распределением меры GJ# () и в зависимости от нее
нечеткий интеграл может выступать как операция со свойствами либо
объединения, либо пересечения нечетких множеств.
Для определения степени выполнения операции объединения qF можно
использовать следующую меру:
9г = /п(х)о®х0,	(66,)
X
где функция Г|(х) определяется соотношением для непрерывного X:
Л(х) = sup * - х,	<«2)
supX
или для дискретного X, Card X = п в виде:
Бочарников В.П.
220
Fuzzy Technology
77(X)=
J И-1
(6.63)
Величина, обратная q? будет определять меру выполнения операции
пересечения:
/>= 1 ~qF
(6.64)
Исходя из приведенных выше рассуждений для определения
экстраполированного нечеткого процесса £ будем использовать
в качестве оператора агрегирования НП (СО t } нечеткий
хк ’ «р7
интеграл по мере GJ/). Для учета информации о важности
действующих факторов р(х) можно использовать следующие функции:

Тогда для получения НП £ с^х можем использовать следующее
с>р 7
соотношение:
S (СО) = / Е(хЛ|со,/ ) о го%(-]го),	(6-66)
ир X	г
где ЯУх(-|б))- условная нечеткая мера оператора F,
= (fi)|fwp)» определяемой соотношением (6.65). В
этом случае, прогнозируемый нечеткий процесс будет представлять
собой нечеткую функцию на Q по времени прогноза.
В заключении отметим, что прогнозируемый процесс в виде £ (<у)
можно представить некоторой “трубкой” в пространстве QxT. При
этом, наиболее подходящим прогнозом процесса являлась бы такая
“трубка” для которой выполнялись два противоречивых условия:
а)	в каждый момент размытость состояния НП была
бы минимальной;
Ь)	реальное значение процесса через время прогноза в
максимальной степени совпало с прогнозированным.
Формально данные критерии можно записать в следующем виде:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
221
W,rH) -> max>
supta (ш) л -> max,
(6.67)
где Sp() - мера точности [11], stu((o)- истинное значение процесса через
время прогноза.
Критерии (6.67) определяют оптимизационную задачу для
экстраполяции нечеткого процесса £ (fi))’ который находится из
соотношения (6.66). При этом управляемым параметром является
функция распределения плотности меры бУЛ,(-|й)) по времени
прогноза. Выбор этой функции осуществляется из следующих
соображений.
В начальный момент времени, когда 0 выполнение критериев
(6.67) осуществляется при реализации в нечетком интеграле операции
пересечения, то есть rF —> 1. В процессе увеличения tnp для обеспечения
выполнения критерия б) необходимо «размывание» НП § (СО)* что
обеспечивается за счет плавного перехода от операции пересечения к
операции объединения. То есть реализуется нечеткий процесс:
/JG7x(x|W,f„p) = h(x,T)fdflnf (со),	(6-68)
где Ь(х,т) - есть функция, характеризующая динамику плотности
нечеткой меры	по времени прогноза и реализующая
такую динамику др(4»Д для которой выполняются (6.67) (Рис. 6.18).
Рисунок 6.18. Функция q[ (4,J.
Бочарников В.П.
222
Fuzzy Technology
При этом существует оптимальная функция qF которая зависит от
конкретных условий и конкретного прогнозируемого процесса. Задача
нахождения оптимального	является сложной и чаще
всего осуществляется экспериментальным путем.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
223
Глава 7
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
НЕЧЕТКО-ИНТЕГРАЛЬНЫХ
МОДЕЛЕЙ
НЕЧЕТКИХ ПРОЦЕССОВ
Бочарников В.П.
224
Fuzzy Technology
7.1.	Задача идентификации моделей
нечетких процессов
Использование нечетких моделей является одним из вариантов
исследования сложных систем. Использование нечеткости при
моделировании таких систем, позволяет нам, как это не звучит
парадоксально, повысить адекватность получаемых моделей.
Объясняется этот факт “принципом несовместимости” для сложных
систем, сформулированным еще Л. Заде в роботе [28]: чем ближе
мы подходим к рассмотрению проблем реального мира, тем очевиднее,
что при увеличении сложности системы наша способность делать
точные и уверенные заключения о ее поведении уменьшаются до
определенного порога, за которым точность и уверенность становятся
почти что взаимоисключающими характеристиками”.
В силу этого, для использования подходов описания неопределенности
через нечеткие множества и меры, используются различные алгоритмы
идентификации моделей. Но, все основные подходы, алгоритмы и
методы идентификации, разработанные на сегодняшний день,
ориентированны на модель НП, представленную в виде нечеткого
композиционного уравнения типа (5.19) или его модификаций. Для
идентификации данной модели, а именно нечеткого отношения,
связывающего пространство входов и выходов НДС, применяются
различные алгоритмы в основном ориентированные на построение
некоторой теоретико-множественной операции, обратной операции
композиции, с последующим сглаживанием результата [2, 3, 15, 27 и
др]-
Для идентификации моделей типа нечетких регрессий в работе [20]
предлагается итерационно-оптимизационной алгоритм определения
нечетких коэффициентов модели. В силу отсутствия, на сегодняшний
день, в широкой практике использования нечетко-интегральных и
дифференциальных уравнений описания сложных систем, методы
идентификации таких моделей отсутствуют. Поэтому, в этой главе
будут рассмотрены подходы к идентификации моделей в виде нечетко-
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
225
интегральных и дифференциальных уравнений для дискретных и
непрерывных НП.
Для описания дискретного НП будем рассматривать уравнение вида:
Цм(со) = / Й(Ю,(О') О / ц.(со) о g(),	(7J)
где Р/(<о) - функция, описывающая состояние НП в i-й момент времени,
hffiXti')- стационарное нечеткое отношение реализующее оператор
вход-выход, g(-) - нечеткая мера на пространстве состояний.
Для описания непрерывного НП в качестве модели рассматривается
нечетко-интегральное уравнение вида:
дт(а>) = / I ° I	(7 2)
Состояние НДС изменяется в нечеткие моменты времени те 7^(7),//со)
- НП - аналог броуновского движения, к(й)9й)',?)- нечеткое
отношение, являющееся оператором “вход-выход”.
Идентификация нечеткой модели НП в виде уравнений (7.1)* (7.2.)
предполагает определение оператора вход-выход (нечеткого
отношения) по информации о реализующихся или уже реализованных
пар входа /Л(со) и выхода д,+1((о) на некотором временном интервале
так, чтобы обеспечить некоторое “свойство хорошего отображения”
при котором выполняется
D = f	, (<о), Д («))	min,	(7-3)
где d(v) * функция расстояния между истинным состоянием НП и его
модели Д(б9) в виде нечетко-интегрального уравнения (Например
расстояние Хемминга). Ниже мы более подробно остановимся на
проблеме оценки адекватности модели НП.
1ак. 771
Бочарников В.П.
226
Fuzzy Technology
7.2.	Идентификация моделей дискретных
нечетких процессов
Рассмотрим модель дискретного НП (7.1). Данное уравнение может
быть переписано в следующем виде:
P,+i(^') =	а Ю-
В данном уравнении неизвестным является нечеткое отношение
Л(СОС//)- Подход к идентификации функции /?(C0&)'):QxQ —>£01]
строится на основе результатов приведенных в следующей лемме.
Лемма 7.1
Функция Л(й)й/) по информации (дХ(о),Д/+1((о)) на i+1-м шаге
определяется из условия
л Яя„) = дм«1>').	<«>
гае ={<,(	={<4 /},(<<>)> Д,Ч(<1Х)},
для фиксированного (й'еО'и задается минимальной функцией:
Л/(бХ0')=Дм(£0')А^ (СО)	(7-5)
|где % 1	- характеристическая функция множества а - среза
(со) для фиксированного cofeQ, полученного из условия
(7-4).
Доказательство.
Уравнение дискретного НП можно записать:
(О)') = 1[Ь(сосо') А д,(6У)] о g = sup[a a g( М (о>)П Н* (о))].
£!*	п
Бочерников В.П.
Fuzzy Technology
227
Согласно свойства нечеткого интеграла (3.10) имеем:
Рисунок 7.1 - К доказательству леммы 7.1.
Исходя из этого соотношения любая функция И^((о) имеющая на
уровне	такой а - срез, что выполняется условие равенства,
является вариантом решения задачи идентификации по /+1-му шагу. В
силу необходимости выполнения условия вложенности ос-срезов (2.23)
минимальное решение определяется соотношением (рис. 7.1):
(<у),
Что и требовалось доказать.
А
Для дальнейшего рассмотрения сделаем ряд замечаний.
а)	Условие (7.4) не обеспечивает единственности решения
задачи идентификации, а следовательно существует целое
семейство подмножеств На на уровне Ц;+1(<о) для которых
выполняется условие (7.4). И как следствие, определение
минимального решения (7.5) не обеспечивает однозначного
решения.
б)	Для восстановления функции h((D,co') по совокупности
наблюдений необходима организация некоторой процедуры
агрегирования А[ ] вариантов по всем i-м измерениям,
которая должна учитывать структуру решений на всех
Бочарников В.П.
228
Fuzzy Technology
уровнях |ij+i(coz), i = 1,1 и для всех наблюдений, даже при
равенстве (со') =	{со').
в)	Следует отметить, что условие (7.4) справедливо согласно
свойства (3.10), которое получено для случая непрерывного
носителя Q. Если же пространство Q является дискретным
условие (3.10) должно быть заменено на менее жесткое
условие вида
g(4„. («ОН H,..t (°о)	(«>')•	(7-6)
Таким образом, смягчение условия равенства (7.4.) приводит к еще
более не однозначному решению задачи идентификации и осложняет
поиск оценки функции h((D,co'}.
Приведенные выше замечания показывают, что идентификация
функции h((D,co') в нечетко-интегральном уравнении (7.1) для
дискретных НП есть задача не регулярная и требует предварительной
регуляризации, позволяющей найти некоторое квазиоптимальное
решение. Вариант решения задачи идентификации для дискретного Q
может быть получен в результате формирования процедуры агрегации
а - уровневых решений по каждой паре вход-выход построенной по
принципу приближения условия (7.6) к условию (7.4), то есть
обеспечивая минимизацию меры
g(Mf, (со)П («))-» min. (7.7)
Нахождение квазиоптимального
построенного на основе условия
теоремой.
решения для дискретного Q,
регуляризации (7.7), определяется
Теорема 7.1
Квазиоптимальное решение задачи идентификации модели
дискретного НП (7.1) определяется по информации о динамике
НДС до /-то шага рекуррентным соотношением при
фиксированном to'cQ:
hM (со, со') = [А (со, со') v рм (о/)] л h, (а>,а>'\ (7-8)
где й.(б9569/)= ЛД1пах(б9), определяется последовательно,
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
229
согласно соотношения:
(7-9)
А>(«у) = Х„"(«>), До > Д.И (<»') = Д, > Да >•••> Д,„. >
(ft)) ' характеристическая функция множества Hl+ f:
Hl+l = H,\J U р^,
Af,=l
(7-10)
где К ~l,N - количество выходов при которых
Д,+1 (ft)') = Д,, р; G MKi = {а>\/1' (С9) > Д,} ДЛЯ которого
выполняется:
{рк'} - семейство подмножеств рк' с: М Для которых
Jk	Jk — Ki
(7-Н)

(7.12)
Доказательство.
Пусть на i-м шаге модель НП определялась для фиксированного
сечения co'eQ функций	Если полагать, что на i-м шаге
реализовать значение gi+i(co'), на выходе, то согласно (7.6) изменения
оценки Л(й)й/) могут определять лишь те а- срезы для которых
а <|щ+1(со') (рис.7.2).
Бочарников В.П.
230
Fuzzy Technology
Рисунок 7.2 - К доказательству теоремы 7.1.
Следовательно, задача состоит в поиске некоторой функции hj(co),
которая изменяет оценку Л (ft)) для всех ю при которых
A.(ft)) < /Лм(ft)')- Условие изменения оценки h.(co) < Цм (ft))
можно представить в виде:
4+1 («) = [Й, («) А	(")] V h'i (®)>
где /?'. (ft)) некоторая функция. Так как вариации подлежат все
A.(ft))< jtZw(ft)), то функция //.(ft)) может быть представлена в
виде:
*'(<») = [Д(ю) v цм (to')] л [шХ(о)а цм («')]
где {о)|Д(о)) > Цм (ft)')} = {to|m,(o)) >jUw («')} •
Подставив это соотношение получим:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
231
^(№)=[A(«)vAtl(®r)]A{[A(O))AZ,^(£0)]v[^(£0)AjU„1(<W')]} =
={[Д(£0)VДм(<0')] a[^(£0)ax„m («О)]} V
v{[A(fi)) v дж(<о')] Af/n/to) А дм (fiX)]}=[A(fi>) v Дм (cX)] A
a|[A(<o)A/„ (fy)]vm(6y)|=pz/fy)Vа{(лД6у)v/w,(ft))ja
a(z„w t (fi>)vm(60))}=(/?(fi>) v ^(fiX)) a(/,^ (w) vm(w)).
Таким образом, если положить искомую функцию в виде:
hi(°^ = Xn^ (®М(4
то получим, что идентифицируемая функция будет определяться
соотношением (7.8). Для Vfi) е (й)), Л.(ю)=(со)
целесообразно принять Л0(бУ)= %	(ш). Функция т,((в) будет
О	",М
определяться a-уровнями для ct< |^+1(со')- Дл» упорядоченных
Ро	= gj > Ц2 > — >Цьтах рассмотрим произвольный /-уровень. На
/-1 уровне функция ht ,(<!)) имеет множество уровня:
н,..,(£0) = {to|A-i(a>)> А.,}.
Пусть на / - м уровне количество выходов НДС по координате co'eQ
равно N/. Для каждого выхода Ц;(о)) при котором Ц;-н(со') = Ц/
множество уровня Ц/ будет определяться соотношением:
vk, =!л. ч. =Ж'(“)а*4
Для каждого К/ должно выполняться условие (7.6). Пусть Ak/(Mkz) -
есть множество всех подмножеств МК/. Тогда существует семейство
подмножеств {Р^к/} с АкХМс/) такое, что выполняется условие
Р/' G Мк/, И g(PjkKZ) > М;+|(СО').
Для того, чтобы выполнялось условие (7.6) для каждого К/ необходимо
и достаточно выполнение (MKZ rx Нр1) 6 {PjkK/}, то есть пересечение Ц/ -
уровня функции h^uf) при фиксированном co'eQ с рг уровнем
Бочарников В.П.
232
Fuzzy Technology
входной функции Ц;(<о) принадлежал семейству {Pj^}. Для
восстановления подмножества (ф) с учетом условия вложенности
а - уровней (2.23) может быть использовано любое подмножество
вида:
w, = w,.,UUP?-
В этом случае условие (7.6) выполняется. Однако семейство решений
может быть сколь угодно велико, что определяется мощностью
семейств	С целью получения единственного решения
используем условие регуляризации (7.7). Получим:

Применив условие регуляризации ко всем входам где Pi+i(co') - Ц/
получим:
А / Мк, fl]H,_t и у Р* И -> min,
где минимизация осуществляется на множестве наборов для всех Ку.
Таким образом, решив задачу оптимизации приведенную выше для
всех /=l,Zmax функция h;((o) будет оцениваться в виде функции
h (со) рассчитанной согласно (7.9), так как выполняется условие
вложенности a-уравнений и Д ~	(&))• Следовательно, теорема
доказана.
□
Таким образом, доказанная теорема позволяет построить приемлемый
алгоритм идентификации, позволяющий получить квазиоптимальное
решение на основе условия регуляризации (7.7). Структура алгоритма
А1 имеет вид:
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
233
Алгоритм AL
1.	Для фиксированного o/eQ определяется убывающая
последовательность ос-уровней:
Mo>gl>g2>.. >HLmax, 1 = 0,L^-
2.	Для каждого входа, на каждом 1-м уровне определяются
семейства {Рк>}, удовлетворяющих условию теоремы 7.1.
3.	На уровне I множество уровня оценки функции й(ш)
находится согласно условий (7.10), (7.11).
4.	На 1+/ уровне вспомогательная функция й, (ф) находится
согласно (7.9).
5.	Пункты 2-4 выполняются до l-Lmax и уточняющая функция
hj((o) определяется как h(co) =	(fi))-
6.	Оценка функции нечеткого отношения для НДС для
фиксированного co'eQ по информации о i шагах строится
Согласно (7.8).
7.	Пункты 1-6 повторяются для всех о/еОи восстанавливается
оценка функции в виде: Vfi)' G Q h. (СОйУ) — h? (ft)).
8.	При поступлении новой информации на i+1 шаге пункты 1-7
повторяются для уточнения оценки оператора НДС.
Анализ приведенного алгоритма идентификации показывает, что данный
алгоритм критичен с точки зрения трудоемкости определения семейств
{Pjk1^} на каждом /-м уровне среза функции Ь(щоУ) и приемлем, в основном,
для НДС описывающихся на дискретном пространстве состояний Q с малой
мощностью. В то же время, точность идентификации функции И(щсо')
ожидается значительной. Однако, когда мощность Q более 100 и в пределе
при непрерывном Q данный алгоритм идентификации будет
малоэффективным. Для решения задачи идентификации в этом случае
целесообразно использовать упрощенный алгоритм идентификации. При
этом основное упрощение касается построения семейства {Р^}. Так как
существует всего три варианта пересечения множеств Щ(<о) и Мо(<о), а
именно:
а)	На(со) с Ма(со);
б)	На(со) о М„((0) с Ма(<о);
в)	На(со) □ Ма(со),
Бочарников В.П.
234
Fuzzy Technology
то справедливо соотношение:
(7J3)
Исходя из этого, в качестве наибольшей оценки подмножества Р* в
Ki
соответствующем семействе можно использовать подмножество Щ+|-
уровня от входной функции. Тогда, в качестве оценки подмножества /-
уровня для функции (fy) можно использовать единственное
соотношение:
н,„ = н,иим,.
А7=1
Условие построения множества (7.14) является условием
регуляризации максимизирующим меру
g(Mv 1(«о)Г1Я“1(С!)))-» max- <7J5>
Исходя из данного условия регуляризации алгоритм идентификации
функции h((o,o/) (Алгоритм А2) имеет вид аналогический алгоритму
А1 при изменении пунктов 2 и 3 пунктом:
• Множество уровня / для функции ht(co) определяется
соотношением (7.14).
В силу того, что выполняется условие
VjU,/, Р/'£{Р*'}, Р/'сМй
справедливо соотношение:
XfcoeO,	(7-Ю
где Al, А2 - соответствует оценкам полученным соответственно по
первому и второму алгоритмам. Исходя из этого, получаемые на
выходе модели состояния НП, согласно свойства нечеткого интеграла
(3.17) будут удовлетворять условно вложенности:
VtoeQ, цл' (to)< цл2 (to).	<7-17)
Бочарников В.П,
Fuzzy Technology
235
Таким образом, модель идентифицированная по алгоритму А2 будет
обладать больше чем для А1 уровнем неопределенности. В силу этого,
целесообразно, при использовании модели идентифицированной по
А2, проводить дополнительные исследования на степень адекватности.
В заключении отметим, что идентифицированные модели НП строятся
лишь на определенном наборе входной и выходной информации. В
силу этого, на других исходных входных сигналах модель может иметь
ошибки на выходе и в силу этого проверка адекватности модели для
использования ее в общем случае является обязательным условием.
Для иллюстрации работы алгоритмов рассмотрим численные примеры.
Пример 7.1.
Пусть Q - дискретное пространство состояния НДС Card Q = 5. На Q
задана нечеткая мера g( ) определяемая следующим распределением
плотности:
g( ) = {110.1,2| 0.2, 3| 0.35,4| 0.25, 5| 0.1}.
Истинное нечеткое отношение Ь((дсо') определяется матрицей
	' 1	0.8	05	0.4	0.Г
	0.7	0.9	0.8	0.4	0.3
h(axo') =	05	0.7	0.9	0.6	05
	0.4	0.6	0.8	1	0.4
	0.1	0.4	05	0.9	1
На вход НДС были поданы три входных сигнала:
а4(1Р-9	2|0,7	3|05	4|0.3	5Щ),
	2|0,4	3|0,8	4|0,5	5(0,1),
а£(1|о,1	2|03	3|0,5	4|0.7	5(0.8).
При этом выходная информация имела вид:
Бочарников В.П.
236
Fuzzy Technology
д4/1|0,5	2|0,5	3|0,5	4|0,4	5|0,35),
2|0,5	3|0,5	4|0,5	5|0.4),
2|0,5	3|0,5	4|0,5	5|0,45).
Необходимо по информации	i = l»3 восстановить
функцию h(a>»(o')- Для решения будем использовать алгоритм А. 1.
l.dof-l д' =0.5, ц2 =0,4, д3 =О,4Я,=0.
“вЫХ	’ ГвЫХ ’ ’ Г*вых ’	1
Определяем семейство множеств:
{P^IPkAAl. {ЛЙ4 = Й,^}
н„,, = И, и и р, = И, IIР23 = Ри; нм = «,|3 и U Р"‘.
X—1	к=\
Р* будет определяться согласно условия регуляризации (7.11) рис.
7.3.
g{(^UP'UP^)riK4}Ag{(^UP;U^)ri42J=0.6;
g{(4, и р; и P;s )П KJ A g{(H0 5 и Л', UP3;)n KJ=0.45;
g{(^OJup:4up3:)nK4}Ag{(HOJup'UP^nK4}=o.6;
g{(H(,5UP2,,UP3;)nK4}Ag{(H(i5UP2'4UP3;)AKJ=0.7
g{(HM U Р'ы U р: )П к.} A g{{H0S U р;4 U р: ) П к,}=ОД
g{(^o.s и Р' U Р3;)Л к4} A g{(H„_s и р; U Р^ )П ч2J=0-7;
Рисунок 7.3 - Определение семейства Р* согласно условия
регуляризации (7.11).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
237
На оси абсцисс приведены номера сочетания подмножеств из семейств
{Р'}*4Э к = 1,2 Отсюда Н0_4 = Но.зиР’гз иР352. Следовательно в
сечении af=l функция А(йхо[)= (1|0 2|0.5 3|0.5 4|0 5 0.4)
2.	Для ctf=2 д'9" = д^“ = д"" = 0.5
{рк.5=р', {p}2s=p>, {р};.5=р3;
= 0UP’= ^upm = P2M
Это решение единственное. Тогда для <о'=2:
Л(<ую') = (1|0 210.5 3|0.5 4|0.5 5|0).
3.	Для ю'=3 решение аналогично со'=2.
4.	Для ю'=4 и ю'=5. Процедура идентификации аналогична выше
приведенной и полученные значения функции h(fi)CO') имеют вид:
Л(60,604') = {1|0.4 2|0 3|0.5 4|0.5 5|0},
feo)5') = {l|0 2|0.4 3|0.45 4|0 5|0.45}.
При использовании полученной оценки функции hfjjJCO'} реакция на
выходе модели для фиксированных входов i —153 имеем:
£ыхМ = {1|0-5 2|0.5 3|0.5 4|0.4 5|0.4},
/4 ={1|0.4 2|0.53|054^ 5|0.4},
pL" = {!|0-4 2|0.5 3|054|0.5 5(0.45}.
Как видно решение расходится лишь по первому входу при <о'=5. Что
говорит о хорошей степени адекватности модели на рассматриваемом
семействе реализаций вход-выход.
Пример 7.2,
Рассмотрим пример применения алгоритма А2 идентификации
нечеткой модели дискретного НП.
Бочарников В.П.
238
Fuzzy Technology
Исходные данные для решения задачи аналогичны исходным данным
приведенным в примере 7.1.
1.	Для сечения 1:
= M'B.s=0,2,з}
Hm = HmU<4U4L = ^U{2,3,4}U{3,4,5,} = {1,2,3,4,5}.
2.	Для сечения <о'=2 и со'=3:
= К,и ={1,2,3}U{3,4}U{3,4,5}= {1,2,3,4,5}.
3.	Для сечения (в'=4:
Н05 = и Ml5 = {3,4} U {3,4} = {3,4}
Н0Л =Н051Ж4 = {1,2,3}U{3,4} = {1,2,3,4}.
4.	Для сечения со'=5:
= км ={3,4,5}
Нвл = Яс.45ик4 ={3,4,5} U {2,3,4} = {2,3,4,5}
ЯО35 = XJ5 ={2,3,4,5}U{1,2,3} = {1,2,3,4,5}.
5. Оценка модели, в силу этого, будет
	05	05	05	0.4	035
	05	05	05	0.4	0.4
	05	05	05	05	0.45
	0.4	05	05	05	0.45
	.°-4	05	05	0	0.45
6. На выходе модели для рассмотренных входов будем иметь:
it." = {1Р.5 2|0.5 3|0.54|0.4 5|0.4},
={1Р.4 2|0.5 3|0.54|0.5 5|0.45},
={1|0.4 2|0.5 3|0.54|0.5 5|0.45}.
Бочарников В.П
Fuzzy Technology
239
Выход модели в этом случае близок к выходу реального процесса.
Ошибки в сторону завышения значений наблюдаются в 1 и 2 выходном
множестве при со=5. Как видно из результатов при сравнении с
алгоритмом А1 (пример 7.1) выполняется условие (7.17), однако
вычислительные затраты при решении задачи идентификации
значительно ниже, что делает использование алгоритма А2 для
решения задачи идентификации весьма привлекательным.
Бочарников В.П.
240
Риггу Technology
7.3.	Идентификация моделей непрерывных
нечетких процессов
Идентификация моделей непрерывных НП валяется более
затруднительной, в силу значительной сложности разложения
нечеткого интеграла по расширенной нечеткой мере, через который
представляется соответствующая модель. Модель непрерывного
процесса описывается уравнением (7.2). Пусть в результате
наблюдения за НП мы имеем / — 1,7V измерений реализовавшихся пар
вход-выход. Пока будем считать, что идентификация осуществляется
по дискретным “срезам” НП. Однако, как будет видно дальше данный
алгоритм может быть без труда расширен на случай непрерывного
процесса идентификации модели НП. Таким образом, через нечеткий
интервал времени TjeF(Z) реализовывается пара
{д?(®). дП®')}' Необходимо по имеющейся информации о
мере 'Р1(-|<о), НП fx(ti) и накопившейся информации за i измерений
восстановить функцию И(од/,1), определяющую модель НП. Следует
отметить, что как и для дискретного, так и для непрерывного случая
задача восстановления НП имеем не однозначное решение. Для
получения приемлемого решения необходимо введение условий
регуляризации получаемых решений. В противном случае получение
единственного решения невозможно. Наиболее логичным, с точки
зрения практики, может являться условие регуляризации приводящее к
“покрывающему” решению, то есть получению такой оценки модели
НП, использование которой приводит к выполнению условия:
Ж„(<«)е/-’№),	<7IS>
где	нечеткое состояние истинного НП, (Ту) - нечеткое
состояние для модели НП. Исходя из этого, по аналогии с
дискретными НП, может быть использовано условие регуляризации
типа (7.13), (7.14), приводящее к максимизации оценки и получению
“покрывающего” решения.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
241
\
С учетом условия регуляризации (7.18) модель непрерывного НП
можсУ быть идентифицирована исходя из применения результатов
следующей теоремы:
Теорема 7,2
Модель непрерывного НП на основании / = ]?7У измерений
вхЬд-выход определяется с учетом условия регуляризации
(7.18) согласно следующего соотношения для фиксированного
cofeQ:
А(йМ) = ,У,[аС(ш'> л Хн, (о, О].	(7J9)
где Hj g ОхТ - четкое отношение на декартовом произведении
пространств QxT для /-го измерения определяемое как:
H.=£;xF\	(7.20)
где Е* =	= {^K(w) £ аС(о>')} £
Р* = F (Е* ) С Т9 такое, что
V(О (to) >W,(F*\(O)
Г( ) - соответствие Галуа (4.20).
Доказательство.
Уравнение описывающее динамику непрерывного НП имеет
следующий вид:
jU^(£y') = !	! h(a),a)',t) о g
/ /»<)•
V, О)
Преобразуем это уравнение к виду:


Бочарников В.П.
242
Fuzzy Technology
..............-	..... 	'''	'	----1-
где X/ZgT,	~p^x(tt)) - цилиндрическое продолжение.
Согласно теоремы 4.1, являющейся аналогом теоремы Фубини, можем
записать:
дГ“(О = I Ь(60,60',0адХ(®>01°\Юх / Л(«)°Ю).
7х£У-	j \	у,(>)	/
где \ g0X / f (&0° £0) ’ еСТЬ декаРТ0В0 произведение нечетких
мер, которое является нечеткой мерой на пространстве QxT.
Рассмотрим функцию в квадратных скобках при фиксированном co'gQ.
Данная функция является нечетким отношением на декартовом
произведении пространств QxT. Отсюда, для модели непрерывного
нечеткого процесса справедливо представление:
supJ«A(g(-)x / /T(fi))og)(77„)l
ае[01][	\ Ml®)	/
где (g()x /	' есть ФУНКЦИЯ ме₽ы от
\ iM4w) Т	/	°
подмножества a-среза нечеткого отношения (tt)/) Л	то
есть:
на = {(«>0 I М«М)Л>а е[01]}.
Рассматривая полученное выражение для i-ro измерения вход-выход
можем записать следующее условие:
/g()x /
\ м» /
Согласно определения 4.3 нечеткая мера отношения На определяется
выражением:
\ЮХ / 4(®)ogW)= v |g(£)A I /T(6y)og(.)L
\	V, (•!<“)	/	Ес«[ »г,(Г(Е)|й>)	J
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
243
где Г(Е) cz Г, Г( ) - функция (4.20) из соответствия Галуа,
порожденного отношением На. Тогда для Z-го измерения должно
выполняться:

I /,(«)»«(•)
у,(Г(£?)|<»)
Подмножество £*xF(£*)cQxT моделирует отношение Н( на
уровне Д^ых(со')е^^ в том смысле, что если

= Е* хГ(£Г*), то для /-го измеРения приведенное
выше
условие выполняется. В силу леммы 4.2 Е* ХГ(£*) - определяет
наименьшее решение, в смысле вложенности. Однако, остается
неизвестным из какого множества подмножеств множества Q
выбирать Е/ и какое окончательно отношение fj выбирать.
Возвратимся к условию регуляризации (7.18). Если выбрать
< =	= Н Д“(£0) - ТО УСЛ°ВИе
регуляризации будет выполняться. Тогда, остается определить такое
подмножество Г(Е,*) для которого условие для /-го измерения будет
выполняться. При выборе /7* = fyf имеем g(£**)> Д^ых(ш,)в
Тогда можем записать:
/	= дГ(®')= /[А(га)лу,(Г(£-)|а) og().
Исходя из условия регуляризации (7.18) для выполнения приведенного
равенства справедливо определить требование:
VtoeQ, юе{(^/Дю) *;£“(«/)},	(со').
Таким образом, для /-го измерения вариант функции h(a>»(o',t) при
фиксированном co'eQ и при выполнении условия регуляризации может
определяться соотношением:
Л (см),
Бочарников ВЛ.
244
Fuzzy Technology
гда н. = м f f ,АхГ(лл f ,j.
'	v /44(«r
Тогда, согласно условия регуляризации (7.18) в качестве оценочного
решения может быть принято решение:
4>'(<М = V [<“(«') Л %Hi (го,/)].
Таким образом, теорема является доказанной.
□
Приведенная теорема позволяет определить алгоритм идентификации
функции h(co,co',t) в модели непрерывного НП. Алгоритм будет иметь
следующий вид:
Алгоритм АЗ
1.	Для фиксированного co'eQ определяется убывающая
последовательность a-уровней по всем N измерениями
2.	Определяется для i-ro среза подмножество Е* — М
‘	$ГЧа)')
начиная i = 1.
3.	Определяется подмножество р* = р( Д/	)
4.	Строится решение
4(fi>,/) = А Л %Hi = ft
Пункты 2-4 выполняются для всех i =	.
5-	Строится оценочное решение
A	N А
6.	Пункты 1-5 повторяются для всех со' е О и восстанавливается
общее решение й(йХ07) в качестве оператора вход-выход.
Приведенный алгоритм позволяет получить оценочное решение для
построения модели НП. Наиболее трудоемким в реализации данного
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
245
алгоритма является определение подмножества F-, ~ Г(Е;*) при котором
выполняется условие
Vry е {гу|/т(<у) >	(«')}, у, (Л*|«) Ц™ (<»')-
Решение данной задачи не является единственным и здесь также
необходимо вводить условие регуляризации. При этом целесообразно
осуществлять поиск решения численными методами.
Бочарников В.П.
246
Fuzzy Technology
7.4.	Оценка качества моделей
нечетких процессов на основе
нечетко-интегральных зависимостей
Проверка адекватности идентифицированной модели является
принципиально важным при практическом использовании. Проблема
заключается в том, что модель должна удовлетворять свойству
“хорошего отображения” [12]. Практически это сводится к условию
полного равенства функций распределения нечеткости выхода
реальной системы и модели при любом входном воздействии. Ранее
было отмечено, что задача идентификации модели НП является не
регулярной. Условие же регуляризации чаще всего сводит задачу к
поиску квазиоптимального решения. В этом случае оценка модели с
точки зрения выполнения свойства “хорошего изображения” является
необходимой.
Рассмотрим пространство состояний НДС £1 Множество всех
нечетких состояний для НДС обозначим F(Q). На пространстве F(Q)
для каждой его точки (нечеткому состоянию НДС) соответствующей
истинному выходу нечеткой системы реализуется нечеткое состояние
(точка из F(Q)) модели НП. Модель обладает свойством “хорошего
отображения” если в каждой точке F(Q) истинного НП наблюдается
полное равенство с моделью НП. В общем случае, когда не все
состояния совпадают можно говорить о мере (степени) выполнения
свойства “хорошего отображения”. Чем выше значение, меры тем
более адекватно представляется истинный НП своей моделью. Данная
мера должна характеризовать степень удовлетворения свойства:
“динамика НП во всех точках F(D) хорошо представляется
моделью НП”.
Однако, проверка выполнения свойства “хорошего отображения” во
всех точках F(Q) затруднительно по той причине, что реальная
информация о состоянии НП ограничивается лишь счетным
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
247
количеством измерений N. При этом выполнение свойства “хорошего
отображения” может быть рассмотрено лишь “локально” по i-й точке
пространства F(Q). Общее свойство “хорошего отображения” для всего
F(Q) не может быть выведено из простого линейного объединения
частных (местных) оценок модели. Для общей оценки целесообразно
использовать понятие нечеткой меры измеряющей степень
адекватности модели.
Если состояние истинного НП описывается функцией Ци(<о) € F(Q), а
выход модели цм(со) € F(Q) в /-е измерение, то может быть определена
мера соответствия Цм(со) истинному состоянию НП. При этом для
оптимистической точки зрения степень соответствия и (р11 , рм)
определяется мерой возможности:
v (ji“, /1" ) = sup т1п{д"(й)),дЛ'(й))},	(7-21)
а при пессимистической - мерой необходимости:
и(д“, дЛ') = inf max [д" (to), 1 - д'(со)|.	(7-22)
Если на пространстве Q задано ограничение в виде распределения
нечеткой меры g: 2Q—> [01], то оно может быть продолжено на
пространстве F(Q) с помощью понятия расширенной нечеткой меры
рассмотренной в пункте 3.3. Тогда важность выполнения адекватности
модели в точке pL1(co)e F(Q) определяется как:
g(M") = /M”(«)°g(-)-	(723)
Для подмножества точек пространства F(Q) yj = |д"(ш)}£Г(О)
мера будет определяться как
/ V ^'(tO)og(.)=g(J).	(7-24)
Используя эти соотношения адекватность J модели может быть
определена через нечеткий интеграл вида:
J = I v( д', д") о g() - sup la л / у д" (to) ° g), <7-25>
{iji=ijv}	ае[0Ц I ПдГеЛ	J
Бочарников В.П.
248
Fuzzy Technology
где a = {д;(<о)|г)(д",д/)> a] 
Величина J определяет степень выполнения свойства “хорошего
отображения” для модели НП учитывая нелинейность оценки
адекватности модели НП на пространстве состояний £2.
Бочарников В.П
Fuzzy Technology
249
7.5.	Декомпозиция моделей многомерных
нечетких процессов. Векторно-матричные
нечетко-дифференциальные уравнения
многомерных нечетких процессов
До настоящего времени мы рассматривали нечеткие процессы на
унарном пространстве Q. В том случае, когда пространство состояний
НДС описывается как декартово произведение пространств, на
которых заданы значения компонент вектора состояния, возникают
сложности не только с представлением моделей НП, но и
принципиальные сложности при идентификации модели,
моделирование НДС в реальных вычислительных системах,
устройствах и т.д.
Кроме того, в некоторых случаях возникают трудности с физической
реализацией вычислительных процедур, использующих модели
многомерных НП. В этой связи возникает проблема декомпозиции
моделей многомерных НП, решение которой в свою очередь,
открывает новые возможности анализа сложных систем, их синтез [8].
Запишем нечетко-интегральное уравнение многомерного НП в виде:
T|pr(av<u„)	'	ч/]	1
(7.26)
где jUr(toi...C9f):Q|X...xQ„ [01] - многомерное нечеткое
состояние НП, ^g^ X...Xgn - декартово произведение нечетких мер,
gy «Д-) ‘ расширенная нечеткая мера порожденная процессом ^(со) на
пространстве О, которое может совпадать с Ц, z = 1, п или любым его
подмножеством. При этом
Бочарников ВЛ.
250
Fuzzy Technology
£л(ш)()= (
Отметим, что размерность нечеткого отношения h( ) в случае, когда
dim[ft] — q,, z = 1, п, ft - дискретное, составляет величину равную:
dim [/<)]=[fta
(7.27)
+ 1
При значительном увеличении размерности модели моделирование
отношения h( ) становится проблематичным. Однако, модель (7.26)
может быть декомпозирована.
Прежде чем мы перейдем к рассмотрению основной теоремы о
декомпозиции рассмотрим ряд вспомогательных положений и
утверждений. Пусть имеем нечеткое отношение h(cih...aQ заданное на
декартовом произведении ftx...xft.
Определение 7.1.
Проекцией нечеткого отношения	на множество ft,
i = 1, П называется функция вада:
proji	sup...sup sup...sup

Если имеем некоторую функцию р(сц) € F(ft), z —1?/7, то ее можно
расширить на универсум ftx...xQn.
Цилиндрическим продолжением нечеткого множества р(о>) на
универсум О|Х...хОп называется нечеткое множество
определенное в виде:
Vq, i=\,n CbJ_u+l=	(7.29)
Согласно [11] справедливы следующие положения. Декартово
произведение нечетких множеств |1(<ц) ... р(<Дп) может быть
представлено через цилиндрические продолжения этих множеств на
ftx...xft в следующем виде:
Бочарников BJ1.
Fuzzy Technology
251
д(<01)Х...ХД(<0„) = QC, ;_1 ,.+1 ,и(дИ)).	(730)
/=1
Кроме этого справедливо следующее соотношение:
е *proj( (h{a)v..G)ny).	<7-31)
1=1
Вложенность понимается в смысле вложенности нечетких множеств
[11]. Исходя из определения проекции и цилиндрического
продолжения нечеткого отношения оказываются очевидными
следующие соотношения:
Й((О|...<ОИ) £ (Н «„))) (732)
< n G \proj, (//((Ур-.со,,))]. <733>
/=1
Пусть h(cO|,Oh) и |1(ОьО>) - бинарные нечеткие отношения. Докажем
следующую лемму для проекций нечетких отношений.
Лемма 7.2,
Для проекций нечетких отношений h((£h,o>) и Ji((ObOh)
справедливо соотношение;
V/#z, z = u	(734)
< proj; h(a)x,со2) Aprojip(a)lf(O2).
Доказательство.
Согласно определения 7.1 справедливо соотношение:
V/ * z, pro/, К)	proj'iPQ) >
Согласно (7.32) имеем:
pro]; ^„(0^ л proji p(col,coz)=^oJi[Cj[i^(yihQ)]/\Cj[proji^^
Однако в силу (7.33) можем записать:
CjlprojihQ)] л CjlprojiPt)] > л p(a)i,ct)2).
Бочарников В.П.
252
Fuzzy Technology
Тогда, в силу определения 7.1 справедливо:
л Cj [рю/Х)]] projilK^t ,®г) А	.®г)}
Таким образом, исходя из выше отмеченного получаем, что отношение
(7.34) справедливо, что и требовалось доказать.
А
Учитывая сделанные выше замечания и введенные определения,
положения можем отметить, что многомерное нечеткое состояние
НДС можем оценивать в качестве вектора
Л/г(д(со)) = [д(ю1)д(®,)1..д(®л)]Г, элементами которого
являются нечеткие множества, заданные на унарных универсумах Ц ,
/=1,И- При этом, если V z = l,H = proj,	то
имеем оценочное решение вида:
/=1
Его можно использовать при описании состояния многомерного НП в
качестве наибольшего оценочного решения.Рассмотрим теорему о
декомпозиции модели многомерного НП.
Теорема 7..3
Модель НП (7.26) может быть представлена в виде:
д(<а,)=Л I.	I
д(<°.)=« /Л((»„ю(0о л / A(G>X0o&,loiMw,()
7 (Им,)
(7.35)
Доказательство.
Рассмотрим внутренний интеграл в соотношении (7.26):
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
253
£2| x„,x£2/}
Обозначим подынтегральное соотношение в виде функции
...Ю 9G)'...G)'9t}- Используя условие (7.32) и свойство
нечеткого интеграла (3.17) можем записать:
/	/ aCj-ц^
Ох...хП	£2x...xQi=l	’ L	J
°(fiX-Xg,) Sa
Это условие справедливо для любого фиксированного набора (Oj,...,GW.
Рассмотрим более подробно i-й интеграл. Можем записать:
£2| Х...Х12,,
=	/	/ Gu-u+Jp«ita;*01oSi °
121х...х£2/_1х£2/+1х...х£2и|_£2/	L	J
°(glX-X&-l xg/+lx..^g„)
Пусть интеграл в квадратных скобках принимает значение осе [01]. При
\fj^i подынтегральная функция является константой и согласно (3.11)
можем записать:
А / <b-U+l^[p%f^01°(gl><---><&)=A ! PrqfaJiQeg!.
Учитывая соотношение (7.34), доказанное в лемме 7.2. можем записать
следующее неравенство:
А / proj^li(-) о g.< Л	!	) о g.=
1=1 Ц	ргоыьиь-Щ,)
= л / Ргоуп;Л(®1...®Х-^.0°&-
'=Ч(Ч>
Бочарников В.П.
254
Fuzzy Technology
Напомним» что проекция proj^q бралась из учета фиксированного
набора (Оь.-сц,, А Исходя из приведенного выше можем записать:
pt(al...(on)<l A I proja,h((or..a)n,co;...a)^tygi

Рассмотрим проекции состояния многомерного нечеткого процесса.
Согласно определения 7.1, справедливо:
П
pr(a)J)=projJp[(a)l...ti)„)<proJnU л / projqhftogi

Согласно свойства (3.22) можем записать:
n
Л j.
/=1Дт(<Ч)
f proj^hi-yg. о^Л(о))(.).
Исходя из леммы (7.34) данное соотношение в ваде:
рт((О})<! /\ projn I projn,h()og. og (-) =
п.'=> J	J ’
= ! A f projn projahtfog.' og' (.) =
= I A / h(COj(O^ о g. о g().
T‘=inrM
Таким образом, V j el, Л2 мы получаем соотношение (7.35) при
условии принятия максимизирующего решения. Что и требовалось
доказать.
□
Таким образом, приведенная выше теорема позволяет осуществить
декомпозицию модели многомерного нечеткого процесса. При этом
модель, декомпозированная в соответствии с приведенными
соотношениями, приводится к композиции бинарных моделей по
каждому входу и каждому выходу. Из доказательства теоремы
очевидно то, что разрыв связей между отдельными компонентами
вектора состояния (исключения отдельных перекрестных связей,
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
255
представляющихся тернарными и более нечеткими отношениями)
приводит к огрублению модели. Это подтверждается наличием
нестрогого неравенства. Очевидно, что с физической точки зрения это
естественный, объективно существующий факт. При этом, если
“разрывается” значимая для сущности процесса связь между
компонентами, различие между исходным выходом модели и его
аппроксимацией после декомпозиции будет больше, чем в случае
“разрыва” менее значимой связи. Этот факт подтверждается в
результатах исследования в области системного анализа Дж. Клира [8]
по реконструктивному преобразованию систем.
Оценка искажений модели в результате реконструкции (разрыва
отдельных связей) согласно [8] целесообразно оценивать используя
понятие информационного расстояния.
Пусть Ь(о1...сц1,(йГ|...(о'п) исходное нечеткое отношение, описывающее
преобразование состояние НДС. Если в результате декомпозиции мы
получим множество подсистем hj(), то объединение их
цилиндрических продолжений на все пространство
Q|X...xQnxQI'x...xQn/xT даст нам оценку нечеткого отношения
системы ft(&)t.О)'...&/,/). Для оценки качества декомпозиции
системы информационное расстояние D(h9h) определяется
соотношением:
D(h, h)=—— / log,	da 
log2|C| о \c(h,a)\
где с(Л,Сб)" множество a-уровня функции ft(-),|С| - мощность
пространства фх. ..xQnXQ/x.. .xQ/xT.
Очевидно, если / = множество шагов, “разрыва связей” в системе,
то на /-м шаге можно разорвать различные, ранее не разорванные
связи. Если обозначить X/ - множество всех вариантов разрыва на
каждом /-м уровне декомпозиции и определить
Dt(h^ft)=minDx (ft,ft),	(7.37)
Бочарников В.П.
256
Fuzzy Technology
где D (h^h) - информационное расстояние для xl - варианта
декомпозиции на Z-м уровне, то для конкретной системы функция
Df(h,h) будет не убывающей (рис.7.4). Выбрав уровень адекватности
в виде порога 8е[01] в качестве наилучшего варианта декомпозиции
системы целесообразно выбрать А( ) для которой выполняется:
Рисунок 7.4 - Зависимость £) (#, //) .
Приведенное соотношение позволяет выбрать приемлемый вариант
декомпозиции модели многомерного НП. В том случае, когда
декомпозиция осуществляется до уровня представления системы в
виде набора бинарных соотношений мы можем упростить исходную
запись уравнений модели используя векторно-матричную запись
нечетко-интегральных и дифференциальных уравнений. Если
состояние НДС описать нечетким вектором Мт(со) = [ ц(сО|), Ц(оь),
Ц(<41)]Т» то уравнение модели примет вид:
Л/((О)=Я / tf(<0,CO\OoG()]og/(J.),	(7-39)
где GT() = [ gi( ), g2( ),gn( )]T - вектор нечетких мер,
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
257
		//(6O,,6O2',r)	 h{(o„(on',t)
H(co,co',t) =	h(co2,co,' ,t)	h(co2,co2,t)	h{(O2,(Dn',t)
матричная функш	w системы.	h{a„,a2',t}	•••
Используя символьную запись для нечетко-дифференциальных
уравнений можем записать:
fd M(cd) = H(io,t)fdffc),	(7..40)
где - матричная функция преобразования состояния системы
после учета текущего состояния (с учетом начальных условий).
Введеное понятие векторно-матричных нечетко-интегральных и
дифференциальных уравнений для описания моделей многомерных
НП, позволяет упростить аналитическую запись математических
моделей сложных процессов и сократить вычислительные затраты при
реализации алгоритмов в системах поддержки принятия решений.
Зак 771
Бочарников ВЛ.
258
Fuzzy Technology
Глава 8
ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЧЕТКИХ
ПРОЦЕССОВ
И ВЫБОР РЕШЕНИЙ
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
259
8.1 Задача оптимизации нечетких процессов
В данной главе рассмотрение задачи оптимизации начнем со случая,
когда модель НП на пространстве Q описывается нечетко-
< дифференциальным уравнением вида:
fd д(о)) = [й(б>г//)лс(о)г//)]7У //(&>)’	(8-0
где c((J)9u9t) = c(u,t)9 VfleQ - нечеткая функция управления,
•заданная на пространстве U - значений управляющего воздействия
(ue(J), h((D,z/,/) - оператор управляемой НДС, /7(Ф) - НП на О,
определяющий нечеткость процесса ио времени для управляемой НДС,
задаваемый соотношением (5.23).
Будем считать, что эффективность управления НДС определяется по
 множеству критериев 0{v} на котором задана нечеткая мера важности
этих критериев ge(-)- 2е—>{01J. В общем случае, потери по каждому из
показателей ve© зависят от выбора управления u е U, в конкретный
момент времени в конкретном состоянии НДС. Обозначим через
'функцию /(v, w): 0xU-> [04} потери по показателям vgG при выборе
управления u g U.
-3 общем случае управление не U, как было отмечено выше,
Определяется в. виде функции w(/,co). Нечеткое отношение /(co,w) можно
понимать как распределение меры возможности потерь по ve О при
выборе управления uc U. Для меры возможности дополнение [11]:
= 1 - I (у,и)	(8.2)
будет определять меру выгодности выбора управления u е U для
критерия v е 0, Согласно свойств распределения меры возможности,
Максимально возможная выгодность по критерию vgG при выборе
управления из подмножества Е с U будет определяться соотношением:
j — maxifl — Z(v, г/)].	(8.3)
Бочарников В.П.
260
Fuzzy Technology
В соответствии с этим минимально возможные потери о будут
вычисляться согласно выражения:
1 —У = 1 —max[l —Z(v,n)]= I —max[/£(v,w)A(l-Z(v,w))],
i/gE	i/gE l
(8.4)
где Vv, X	X E(u) " характеристическая функция множестваE
c U. Минимально возможные потери при выборе управления из
нечеткого подмножества <p(u): U -> [01], будут соответственно
определяться соотношением:
v(v) = 1 — тах[^(п) л (1 - /(у,п))].	(^.5)
i/gE
В основу формирования ‘управляющих воздействий для НДС положим
принцип оптимальности, который кратко можно сформулировать в
виде:
следует искать всегда оптимальное продолжение процесса
относительно того состояния, которое достигнуто в данный
момент.
Как известно данный принцип оптимальности был предложен Р.
Веллманом. На его базе им был построен метод динамического
программирования, который может быть эффективно “применен для
широкого круга систем (не только описываемых дифференциальными
уравнениями).
НДС (8.1) будем рассматривать на некотором нечетком интервале
времени T(t) : Т [01]. Так как функция Z'(vjz) определяет выигрыш
по критерию* у е л;€),' то по всем критериям выигрыш будет
определяться зависимостью:
1'в (и)=I Г-(у, и)° ge (•)	(8-6)
0
в текущий момент времени. Исходя из (8.6) и нечетко-интегрального
управления для представления НП (5.18) интегральный выигрыш будет
определяться функционалом:
J^/Z£(t/)° / -/г(^)°Ю’	(к7)
Бочарников В. П.
Fuzzy Technology
261
где g( ) : 2ft -+ [0,1], fv :Q—>[01] - нечеткий процесс на Q задающий
временную нечеткость динамики НДС.
Таким образом, далее будем рассматривать для объекта (8.1) задачу
формирования оптимального, в смысле максимизации функционала
(8.7), управления в соответствии с принятым принципом
оптимальности Веллмана.
Бочарников В.П.
262
Fuzzy Technology
8.2. Метод нечеткого динамического
программирования для формирования
управления непрерывными НДС
Прежде чем мы непосредственно приступим к рассмотрению метода
нечеткого динамического программирования (НДП) сделаем ряд
вспомогательных замечаний касающихся НП /ХФ)- Формально
функция/ХФ)» соответствующая нечеткому интервалу т(Г): Т —> [01]
может быть представлена согласно определения.
Определение 8.1.
Нечетким моментом остановки, соответствующим нечеткому
интервалу т(7), который определяет временной отрезок [0, р], где
р - нечеткое положительное действительное число (определение
5.4) называется нечеткое множество /Хо) удовлетворяющее
условию:
/T(<0) = v]/(C0)
I
Ч/(Л|(У)	А
(8.8)
Как видно из определения функция /ХФ) задает некоторую алгебру
нечетких множеств Дсо) относительно операции взятия максимума.
Согласно определения 8.1. функция /ХФ) является изоморфной
нечеткому интервалу т(/), который ограничен нечеткими
действительными числами 0 и р. В том случае, когда нам необходимо
определить произвольный нечеткий временной интервал [р0, р] будем
пользоваться следующим определением.
1 Определение 8,2.
Произвольный нечеткий временной интервал определяется двумя
нечеткими моментами остановки/Л(со) и/ХФ) согласно условия:
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
263
7	(8-9)
/^0^0= / 4(tw)og< / [4(a>)v/;.((0)]og<
A	4V|<u) *	4VI<o)L	J
£ I /т(®)о£=Ко/)()1
4V|<y)	A	J
(Индекс / соответствует нечетким множествам из определения
8.1).
Согласно определения и соотношения (8.9) можно сделать вывод, что
функция У|Ро, р1 (со) задает подалгебру в алгебре определенной функцией
/Х<°)- С учетом рассмотренных определений перейдем к выводу
функционального уравнения для определения оптимального
управления НДС.
Пусть динамика НДС рассматривалась на нечетком интервале
т=[р0,рк]. Тогда функциональное уравнение для определения
оптимального в смысле максимизации критерия (8.7) управления
может быть записано в виде:
J\u )=max J(u(p. У),
(8.10)
где р,е [ро,рк]. Для определения оптимального управления,
удовлетворяющего (8.10) рассмотрим следующую теорему.
Теорема 8.J
Оптимальное в смысле максимизации критерия (8.7) управление
находится из функционального неравенства вида:
J\u')>maxh'(uv)oge(-)	(8.11)
(Аналог уравнения Веллмана).
Доказательство.
Рассмотрим функциональное уравнение (8.10). В соответствии с
^определением 8.1. выражение для критерия J примет вид:
Бочарников В.П.
264
Fuzzy Technology
J(и) =max J Iq(u)
u^U т
° I fT(0})°S() = ^e(u)0 1 WH'O-
4'( -Ito)	т	T(|(y)Lf J
Будем рассматривать НДС на интервале [pf, pj. Согласно
приведенного ранее принципа оптимальности на данном интервале для
оптимального управления реализуется функционал J (и ) , который
задается соотношением:
./(//*> max//дао I ]g(-).
wet/ т ЧТ1<»)
Допустим, что на нечетком интервале [pf+Др, pj согласно принципа
оптимальности реализовалось оптимальное управление u g U.
Тогда согласно определения 8.2. и свойств нечеткого интеграла можем
записать:
J(w)=maxj^(n)o / f (ta)og(.) =
UEU t ЧХ»
=max/о J / /te,fi+M(60)°g(-)v 1 /й+^д]
ие1/ T	S-dru) и

=max
ueU
/ f[Pi,pi+^((0)og^lUu)0 1
Согласно определения 8.2 при Лр —> 0 функция yj	у^
При этом второй интеграл, в случае реализации принципа
оптимальности, является величиной не зависящий от u g U на
интервале |р, +Лр, pj и может быть вынесен за пределы операции
максимизации по и ( max X т° есть:
ueU
[Д.Р*]’- - иеи
-Telx[
С учетом малости А р можем записать:
да)>max/дао / f WJ(<0)og(.).
ueU т	^(-|(У)	' г
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
265
Используя соотношение (8.6) и теорему Суджено-Фубини (4.1) можем
записать:
J(zZ)>max<U //'(?/„v)о / /tftift+M(60)o.g(-) og ►-
Обозначим выигрыш на интервале [р, +Лр, рк] как f(u,v)
определяемый как:
/'(w,v) =//'(w„v)o I flPi,Pl+&p](a>)°£()
Тогда функциональное неравенство для определения оптимального
управления примет вид:
J(w’)^maxp'(w,v)°ge-
Что и требовалось доказать.
□
Рассмотренное в теореме 8.1 функциональное неравенство играет роль
уравнения Веллмана для метода нечеткого динамического
программирования (НДП) для непрерывных НДС.
Далее рассмотрим решение неравенства (8.11) (уравнения Веллмана)
для НДС в том случае, когда функционал J (8.7) зависит от
выбираемого управления ute U, которое, в свою очередь, не зависит от
Состояния О) е Q НДС. Данный случай можно рассматривать как
вариант формирования "программного" управления.
Теорема 8,2
Оптимальное нечеткое управление Ц*(и) для НДС (8.1) в смысле
максимума функционала (8.7), не зависящего от состояния НДС
может определяться нечетко-интегральным уравнением вида:
Д*(м) = J Г (и, v) о g •	(8-,2)
6
ИС 771
Бочарников В.П,
266
Fuzzy Technology
Доказательство.
Оптимальное управление в данной теореме будем искать в классе
нечетких управлений p(u): U —> [01]. В силу справедливости
выражения (8.11) и используя выражение (8.5) можем записать:
= / maxhf(w) Л Г(и,v)]o ge > max / l\u,v)о g •.
0 tieU L	J	ueU ©
В силу того, что справедливо неравенство
Vve©, maxp7zv)> maxfpXi?)
и согласно (3.17) можем записать:
/ max д'(а) о ge > | тах[д’(а) л l'(u, v)] о ge •
Исходя из данного неравенства с учетом выражения для J(p*(u))
справедливо следующее соотношение:
/ max^*(w)oge >тах/l'(u,v)°ge.
0 ueU	tteU ©
Или, так как в левой части неравенства подынтегральное уравнение не
зависит от ve<9, имеем:
max^(w)>mgxp/(M,v)°ge-
В случае д*(^)= |	v)°ge неравенство выполняется, а также
е	е
выполняется и условие (8.11). Следовательно выражение (8.12)
является вариантом решения неравенства (8.11) и определяет
оптимальное управление, в смысле максимизации (8.7). Теорема
доказана.
□
Следует отметить, что функцию выигрыша l'(u, v) можно рассматривать
как нечеткий аналог функции Веллмана.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда управление зависит
не только от времени t е Т, но и от состояния НДС (D g Q. Обозначим
как St(co):U х О —> [01] - нечеткую стратегию управления в момент
te Т.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
267
Пусть для каждого из критериев v g 0 нечеткий выигрыш зависит от
состояния со g Q. Нечеткий выигрыш при выборе стратегии St(co) будет
определяться нечетким отношением:
/(v, £(со)) : 0 x(UxQ) -->[01].
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 83.
Если для НДС (8.1) нечеткое управление и зависит от состояния
б) g О, то оптимальное нечеткое управление ф*(и), в смысле
максимизации критерия (8.7) (с учетом зависимости управления
от со) определяется соотношением:
^*(г/) = I	(8.13)
где Цт(ш) - текущее состояние НДС, а 6(и,со) нечеткое отношение
определяемое как:
Ци, (О) = J[1 - Ku, v)]o <7е( |(0) >	(8,4>
е
СГе(-|бО) ~ условная нечеткая мера определяющая важность
критериев v g 0 в состоянии со g Q.
4 Доказательство.
Определим нечеткий выигрыш /'(v, 5) с учетом состояния НДС:
! l'(v,S(a))) о (тД-lv) •	(815)
Условная нечеткая мера (У (-|v) учитывает важность состояния со с
точки зрения оценки по критерию vg 0. Тогда согласно теоремы 8.2
оптимальная нечеткая стратегия S определяется исходя из выражения:
е
’Подставив в это равенство (8.15) получим:
s ’ («) =	l'(v, S(co))° ош (1V)] о ge
*“— -
Бочарников В.П.
Z06
rt/zzy lecnnoiogy
Рассмотрим данное выражение при фиксированном состоянии (0 е Q.
St(co) будет определять лишь нечеткое управление, то есть Xw)=Si(co):
Uxco->[O1].
Совокупность д(«) для всех со g Q обозначим b(u9 со): U х Q -> [01].
Тогда при фиксированном со справедливо:
Z>(l/,60)=rfj/'(y,-S'(C0))oCTa,(-|v)loge= / /,(v,w)°(<T<J(|v)xge).
©La»	J	ехы
где u = Si(co) при фиксированном со е Q, а (-|г)Х^" декартово
произведение нечетких мер. Согласно леммы (4.3) соотношения (4.24)
при фиксированном сое Q можем записать
К(М X ge) = J CT(Jw|v) X ge-
0
А согласно выражений доказанных в лемме 4.1 справедливо
следующее преобразование:
Ь[и,(О) = f 1'(у, и) о J	(<у|| v) х g0 =
G	0
0	0
Для определения требуемого управления в нечеткий момент времени р
(через интервал тр) при условии реализации состояния Цт(со)
необходимо провести интегрирование по g() на нечетком
подмножестве Цт(со), то есть:
/ 6(w,to)°g( )
Следовательно теорема доказана.
□
Таким образом теоремы 8.2 и 8.3 позволяют найти оптимальное, в
смысле минимизации ожидаемых нечетких потерь (максимизации
ожидаемого выигрыша), нечеткое управление для случаев, когда
функционал качества зависит или не зависит от текущего состояния.
Управление (8.13) реализует принцип управления с обратной связью
по измерению нечетких координат состояния НДС.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
269
8.3. Определение функции потерь
(выигрыша) при оптимизации
управления НДС
Исходя из приведенных в предыдущем параграфе результатов по
выработке оптимального управления НДС видно, что это управление
определяется функцией потерь (или выигрыша) 1(у, и). Данная функции
нечеткого отношения, определенного на 0хС/ является аналогом
функции Веллмана в классическом методе динамического
программирования.
Таким образом, необходимо формирование функции /(v, и) на основе
обработки имеющейся информации о структуре и характеристиках
НДС. Множество 0 ={v} определяет множество критериальных оценок
v желаемого состояния НДС, a U - есть множество возможных
“ управляющих воздействий на систему. Для формирования функции
\/(v, w) рассмотрим дополнительно множество X - характеристик НДС
«(например характеристик состояния НДС, внешних возмущений,
дополнительных (внешних) ограничений и т.д.).
j
^Каждая характеристика xt е X принимает свои значения во множестве
jA;. Множество At может быть произвольным (числовым, номинальным,
'упорядоченным или нет и т.д.). при этом полагаем, что в конкретный
’момент времени для НДС характеристика может принимать
произвольное как четкое, так и нечеткое значение, то есть
Определяться функцией д* (#): Д. [01] -
В качестве характеристик X целесообразно выбирать такие, которые в
Максимальной степени определяют оценку по критерию v е 0 и зависят
от выбранного управления. Для определения функции /(v, w) для
.фиксированных ve0 сначала на основе различных методов
^экспертного оценивая, обработки имеющихся наблюдений и других)
Определяется условная нечеткая мера	задающая «степень
Бочарников ВЛ.
I
i
270
Fuzzy Technology
желаемости» значения at e Аг- характеристики x, g X для критерия v g 0
и нечеткая мера фл(-|г), определяющая важность учета значения
характеристики х, g X при оценки по критерию v. Функции <у (-|у) и
фл(К’) определяют некоторую базу знаний о предметной области НДС.
Формально база знаний определяется кортежем:
(0,С/,Х,{4},а (-|г),ф,(-|у))-	(8-16)
В выражении (8.16) все компоненты описаны ранее. Для определения
функции Г(у, и) в текущий момент необходимо измерить
(спрогнозировать, оценить) возможные значения (четкие или нечеткие)
характеристик из X при выборе управления wg U. Пусть в результате
измерения мы имеем нечеткую функцию h(xh ah и) : X х{А;}х U [01]
определяющую возможные значения а^е Л, для характеристики х,- при
выбранном уравнении не U. Тогда функция потерь (выигрыша) Г(у>и)
будет определяться двойным нечетким интегралом вида:
Г(у,и)=\ / h{xi,ai,u)o0x (-|v) офд-flv). <817)
V А	‘

После взятия первого интеграла мы имеем для фиксированного
критерия v g 6 выгодность выбора управления и е U по каждой из
характеристик из X. Второй интеграл позволяет получить обобщенную
степень выгодности выбора управления и для каждого из критериев
VG 6.
Функция (8.17) может быть использована как функция выигрыша для
выбора оптимального управления согласно (8.12) или (8.13), (8.14).
Использование (8.17) в случае (8.12) позволяет решать «статические»
задачи выбора в условиях неопределенности. Тогда характеристики из
X определяют показатели характеризующие объект выбора в качестве
которого выступают элементы множества не U.
Таким образом, задача многокритериальной 6 экспертной оценки
объектов из U, описывающихся набором своих характеристик из X
является частным случаем задачи оптимизации по методу нечеткого
динамического программирования для нечетких мер. Если оценки
объектов из U были получены каждым из группы экспертов Р, с
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
271
уровнем компетентности Рг(р), то интегральная оценка при групповой
экспертизе будет определяться соотношением:
V(u) = l Ц(и,р) ° V (•) ’	18>
р
yjxc ц(г/г р) - Цр(п) - оценка объекта п е U экспертом ре Р.
Данный подход был реализован для решения задач поддержки
принятия решений в сложных трудно формализуемых предметных
областях в программном продукте Expert Professional ExPro-2000
(экспертная оболочка оценки альтернате и выбора решений),
описанном в следующей главе и успешно применялся более чем в 30
предметных областях.
Бочарников В.П.
272
Fuzzy Technology
Глава 9
КОМПЛЕКС ПРОГРАММНЫХ
ПРОДУКТОВ
FUZZY-ТЕХНОЛОГИИ
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
273
9.1.	Назначение программных продуктов
Fuzzy-технологии
Приведенные в предыдущих главах математические основы
обрабротки нечетких данных, которые легли в основу Fuzzy-
технологии, были использованы при создании семейства программных
продуктов, которые в общем случае предназначены для аналитической
обработки информации в том числе и недостаточно определенной,
нечеткой.. Как уже отмечалось ранее «нечеткий» - это термин, который
соответствует термину fuzzy (англ. - пушистый, ворсистый, размытый)
и применительно к информации и данным обозначает их
неопределенность, неясность. Примеры нечетких величин: “прибыль
около 2 тыс. грн.”, “температура высокая” и др
Подобного рода информация, как было показано ранее возникает при
решении широкого круга практических задач и достаточно успешно
может формализовываться на основе использования нечетких мер. При
этом, в качестве основного инструмента обработки такого рода данных
достаточно эффективно может быть использовано нечетко-
интегральное исчисление.
В настоящее время, как у нас так и за рубежом, использование
нечетких множеств, мер и интегралов давно вышло за пределы «чистой
науки» и преобрело практическую направленность. При этом многие
алгоритмы обработки нечетких данных легли в основу создания
элементной базы новейших электронных систем оценки и управления.
Значительное практическое распространение алгоритмов Fuzzy-
технологии обусловлено применением их в автоматизированных
системах поддержки принятия решений в виде конкретных
программных средств. На принципах использования Fuzzy-технологии
создано несколько продуктов зарубежными фирмами Management
Intelligenter Technologien GmbH; GmbH, Fuzzy Logic Inc, Fuzzy Systems
Engineering и др.
Бочарников В.П.
274
Fuzzy Technology
Настоящая глава не ставит целью провести всесторонний обзор
программых продуктов использующих в той или иной форме
алгоритмы Fuzzy-технологии. Здесь лишь приводится информация по
программным продуктам непосредственно использующим нечеткие
меры для представления нечетких данных в аналитических задачах и
нечетко-интегральное исчисление в качестве механизмов обработки
такого рода информации. Данные программные продукты в основном
реализованы специалистами консалтинговой компании “ИНЭКС”
(Украина) и широко применяются для решения широкого круга
консалтинговых логистических задач внешнеэкономических операций,
оптимизации меропиятий формирования спроса и стимулирования
сбыта [29-31,39].
Областью применения рассматриваемых ниже программных продуктов
является проведение расчетов с числовыми данными и словесными
оценками в экономике, финансах, бизнесе, маркетинге, валютном
дилинге, везде, где в процессе поддержки принятия решений
приходится иметь дело с информационной неопределенностью, с
недостатком или недоверием к информации.
Применение комплекса программных продуктов наиболее эффективно,
когда:
•	недостаточно статистической информации, либо эта
информация не вызывает должного доверия;
•	проблематично или дорого получить достаточный объем и
качество потребной информации;
•	имеющаяся информация только или в основном словесная
(вербальная, экспертная);
•	информация разнородна по источникам и составу (словесная и
числовая);
•	необходимо делать прогнозы при недостаточно известных
факторах будущего;
•	предстоит анализировать риски.
В этой главе будут рассмотрены программные продукты двух типов.
Продукты первого типа это программные продукты универсального
применения, которые можно рассматривать как специализированные
программные среды, используя которые имеется возможность
моделирования различных предметных областей, сложных
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
275
динамических объектов и решения широкого круга экспертно-
аналитических задач. К данным программным продуктам относятся:
□	Fuzzy Calculator (FC) — нечеткий вычислитель;
□	Fuzzy for Excel (FE) - нечеткие электронные таблицы;
□	Expert Professional (ExPro) - экспертно-аналитическая
система;
□	Data Engine (DE) - система анализа сложных данных;
Продукты второго типа это специализированные программные
продукты, предназначенные для применения в конкретных областях и
для решения определенного круга экспертно-аналитических задач. К
данным программным продуктам относятся:
□	Fuzzy Estimation of Critical Messages (FECM) - программа
для нечеткой оценки критических сообщений при
проведении арбитражных валютных операций;
□	МаркетЭффект (МЭ) - приложение из состава системы
учета и управления предприятиями FinExpert,
предназначенное для поиска эффективных маркетинговых
решений.
Из отмеченных выше программных продуктов FC, FE, ЕхРго и FECM
являются продуктами разработки специалистов консалтинговой
компании “ИНЭКС” (Украина). Программный продукт DE является
разработкой партнера компании “ИНЭКС”, германской фирмы
Management Intelligenter Technologien GmbH. Приложение МЭ
разработано совместно украинской компанией 1DM Ltd Со и
компанией “ИНЭКС”.
Бочарников В.П.
276
Fuzzy Technology
9.2.	Программируемый нечеткий
вычислитель
Fuzzy Calculator (FC), версия 2.1
Проблема.
В ряде задач, связанных с проведением расчетов, например,
экономической эффективности сделок, их возможных издержек многие
числовые показатели могут быть определены только приблизительно,
неточно, описательно [35]. При этом количество таких показателей
часто бывает достаточно большим. Для расчетов с такими неточными,
нечетко определенными числами предназначен программируемый
нечеткий вычислитель Fuzzy Calculator (FC). Он позволяет, наряду с
обычными вычислениями над точными, четкими числами, производить
математические расчеты с размытыми, нечеткими числовыми
величинами.
В теории и в FC под нечетким числом подразумевается функция
распределения уверенности человека в истинности значения числа.
Такая уверенность, как уже ранее было показано, может эффективно
быть формализована в виде распределения нечеткой меры (см. главу
2). Само нечеткое число может быть описано словесно. Кроме того,
оно может быть представлено графически (реже таблично).
Горизонтальная ось такого графика — диапазон обычных чисел, а
вертикальная - степень уверенности в их истинности (от 0 до I).
Результирующий график - нечеткое число.
Реальные ситуации изобилуют множеством примеров необходимости
использования нечетких чисел, например, таких как: “около 5”, “от 3
до 2”, “10, а может быть 15”, “ожидаемая прибыль около 250 тыс.
грн.”, “спрос на этот вид напитков резко возрастет к июню месяцу до
800-900 шт./день, затем устойчиво продержится на этом уровне до
осени, после чего медленно упадет до 60-70 шт./день” и им подобных.
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
277
Очевидно, что вариант, когда имеется инструментальная возможность
использования нечетких чисел, является более информативным и
соответствующим действительности. В результате расчеты с
использованием таких нечетких чисел дадут более объективные
результаты, позволят принять более обоснованные, оперативные
решения. Именно в таких ситуациях необходимость использования
предлагаемого FC — налицо, а получаемые эффективность и выигрыш
по сравнению с традиционным расчетом - максимальны.
Назначение.
Программный продукт Fuzzy Calculator предназначен для выполнения
математических расчетов с числовыми данными, и в первую очередь, с
нечеткими и/или смешанными (нечеткими и обычными, четкими)
числами. Он предназначен для пользователей, сталкивающихся на
практике с необходимостью учета числовых величин, точные значения
которых не определены или неизвестны, но о которых все же
существуют некоторые соображения относительно их порядка и/или
характера.
Возможные области применения.
Традиционно “нечеткие” области:
□	анализ инвестиционных проектов, разработка и экспертиза
бизнес-планов, решение маркетинговых задач;
□	расчеты в бизнес-планировании, оценка выгодности
предстоящих сделок,
□	экспертиза проектов, оптимизация экономических,
коммерческих операций;
□	прогнозные расчеты, оценка и анализ рисков.
Исполнение.
FC - это компьютерная программа, реализованная как традиционное
Windows-приложение. На экране компьютера FC имеет вид обычного
калькулятора с добавлением некоторых специальных клавиш и
графического окна отображения результата ввода и вычисления чисел.
Вид главного окна FC показан на рис. 9.1 ниже.
Бочарников В.П.
278
Fuzzy Technology
Кнопка
установки
уровня
уверенности
в значении
числа
Кнопка
отмены
последней
введенной
цифры
Кнопка
включения
режима
обработки
нечетких
чисел
Кнопка
загрузки
программы
пользователя
на
трансляцию
Кнопка
включения
режима
ручного ввода
нечетких
чисел
Кнопка
ввода
результа-тов
расчета в
ячейки
памяти
Кнопки ввода
чисел в
выполняемую
программу и
продолжения
ее выполнения
Кнопки ввода,
извлечения и
сохранения
чисел в
ячейках
памяти
Кнопка
копирования
графика в
буфер обмена
Кнопка
перехода к
работе с
текстом
программы
пользователя
Рисунок 9.1 - Главная панель FC.
Функциональные возможности.
В FC обеспечивается возможность ввода пользователем, обработки и
вывода четких и нечетких чисел. Ввод нечетких чисел может
производиться как в автоматическом режиме, при котором числа
“размываются” собственно FC на основе зависимостей, определенных
ранее экспертно-теоретическим путем, так и в ручном режиме в
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
279
соответствии с индивидуальным представлением сущности чисел
пользователем.
Результат ввода чисел и их обработки отображается на обычном
числовом табло индикации и в графическом окне. При этом в качестве
результата используются среднее ожидаемое значение числа, число с
максимальной степенью уверенности и интервал значений числа на
заданном уровне уверенности. В графическом окне отображается
также и непосредственно сама функция распределения числа, как это
показано на рисунке выше.
В FC есть возможность построения и анализа риск-кривых. Данные
кривые определяются как соотношение нечетких мер превышения
(принижения) некоторого заданного значения числовой величины
значения нечеткого числа. Для анализа полученных результатов в FC
предусмотрены: возможность изменения используемого уровня
уверенности, возможность работы с памятью.
Расчеты в FC производятся непосредственно с интерфейса программы,
а также могут быть записаны как программа на встроенном, очень
простом и доступном языке программирования FuzzyBasic и
транслированы средствами самого FC.
FC оснащен стандартной системой Windows-помощи. Кроме того,
обеспечена выдача пользователю в процессе работы с FC текстовых
подсказок на числовое табло индикации.
Основные достоинства.
FC совмещает простоту обычного калькулятора и прекрасные
возможности по обработке приблизительной числовой информации,
нечетких, неточных, неопределенных данных. Его использование не
требует каких-либо особых знаний нечеткой математики.
Специфические понятия и правила FC скрыты от пользователя.
Необходимо лишь понимание того, что такое “нечеткое число” и как
оно может трактоваться. В FC, наряду с новыми возможностями по
вводу и обработке чисел, имеется также целый ряд возможностей (по
сравнению с обычными расчетами) в получении дополнительных,
более адекватных результатов, в более корректной интерпретации
(трактовке) полученных результатов.
Бочарников В.П.
280
Fuzzy Technology
Использованный подход.
В основу FC положены современные подходы искусственного
интеллекта к обработке неопределенной информации и
апробированная методика обработки нечетких чисел на основе теории
нечеткой меры и нечетко-интегрального исчисления.
Требования к вычислительной технике:
•	РС-компьютер;
•	Windows’9x.
Пример.
Применение Fuzzy Calculator для решения задачи планирования и
сравнительного анализа эффективности инвестиционных проектов:
“Разработка золоторудных месторождений Украины” и “Производство
хлеба на базе сети минипекарен”. В частности, для одной из
важнейших составных частей такой задачи - подзадачи экспертной
оценки риска потери вкладываемых средств. Более подробно описание
этой задачи приведено в [32].
В итоге были получены достаточно детальные результаты,
представленные в табл. 9.1 ниже.
Таблица 9.1 — Результаты анализа эффективности инвестиционных
проектов
Проект	Риск,/			-.А
	Мини- мальный	наиболее возможный	средне- взвешен-ный	Макси- мальный
"Разработка золоторудных месторождений Украины"	16,4	28-29,7	28,3	33
"Производство хлеба на базе сети минипекарен"	24,7	28,9-32,2	31,5	41,4
По имевшейся экспертной информации получено, что степень риска
(риска получения расчетных прибылей по этим проектам) у первого
проекта меньше, чем у второго. При этом оба проекта находятся, в
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
281
основном, в так называемой зоне повышенного риска (25-50%).
Абсолютные значения финансовых средств, планируемых к
инвестициям, и расчетных прибылей этих проектов различны и
определяются спецификой проектов.
Бочарников В.П.
282
Fuzzy Technology
9.3.	Программа Fuzzy for Excel (FE)
для работы с нечеткими числами
в среде MS Excel, версия 2.0
Назначение.
Очень часто при проведении финансовых расчетов, определении
экономической эффективности сделок используются программы
электронных таблиц типа Microsoft Excel. Однако далеко не всегда
числовые показатели могут быть определены точно, часто - только
приблизительно. Для расчетов с такими нечетко определенными
числами может применяться программа Fuzzy Calculator, описанная
ранее. Однако она не обеспечивает работу в среде MS Excel. Для этого
предназначена другая программа - Fuzzy for Excel (FE).
FE является второй версией программного продукта Fuzzy for Excel,
разработанного фирмой “ИНЭКС” и обеспечивающего возможность
простого и доступного использования технологии обработки нечетких
чисел в традиционной для пользователей среде MS Excel [30].
FE реализована в виде надстройки MS Excel, которая подключает к MS
Excel дополнительную панель инструментов Fuzzy Tools и меню Fuzzy
рис. 9.2.	।
FE, как и Fuzzy Calculator, позволяет, наряду с обычными числами,
работать с числовыми величинами, точные значения которых не
определены или неизвестны, но о которых все же существуют
некоторые соображения хотя бы относительно их порядка и/или
характера. При этом обеспечивается анализ чисел не в одном (что
свойственно традиционным числовым расчетам, в том числе и с
помощью обычных электронных таблиц), а в двух измерениях:
•	собственно на числовой оси;
•	и на оси уверенности (риска).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
283
Рисунок 9.2 - Панель инструментов Fuzzy Tools
FE выполнен в виде обычной надстройки MS ЕхсеГ97 и не требует
специальных знаний математики. Его специфические понятия и
правила скрыты от пользователя, которому требуется лишь понимание
физической природы неопределенности и навыков интерпретации
нечетких чисел. Простота работы обеспечивается за счет того, что FE
предоставляет ряд интуитивно понятных функций для задания
нечетких чисел и реализации традиционных арифметических
операций.
Большинство функций работает как с нечеткими, так и с обычными
числами. Правила вызова и использования функций FE традиционны,
как в Microsoft Excel. FE также предоставляет пользователю широкие
возможности по визуализации результатов расчетов как с помощью
традиционных средств Microsoft Excel, так и собственными,
встроенными средствами.
Понятие нечеткого числа в FE.
Если с обычной числовой осью (горизонтальная ось) связать ось
уверенности в значении числа (вертикальная ось, значение плотности
нечеткой меры) и каждому значению на горизонтальной оси
(носителю) присвоить некоторое значение уверенности (от 0 до 1), в
результате получится график, представляющий зависимость
уверенности в том, что рассматриваемая переменная (числовая
величина) примет то или иное значение. Этот график и называется
нечетким числом. Основное отличие числовых величин (например,
дохода или издержек), описываемых нечеткими числами, заключается
Бочарников В.П.
284
Fuzzy Technology
в том, что величина размыта на числовом интервале. Причинами этого
размытия являются факторы неопределенности (например, возможная
потеря/приобретение новых клиентов или ужесточение/ослабление
налогового пресса и т.д.). Эти факторы и приводят к тому, что
значение величины может оказаться левее или правее наиболее
ожидаемого четкого числа. Нечеткие числа имеют несколько
характеристик:
•	число с максимальной степенью уверенности;
•	число - центр тяжести графика нечеткого числа;
•	максимальное	значение	числа	по	заданному	уровню
уверенности;
•	минимальное	значение	числа	по	заданному	уровню
уверенности.
Представление нечетких чисел в FE.
В ячейке обычных Microsoft Excel может отображаться только одно
число, а в FE (по выбору пользователя) может использоваться одна из
четырех числовых характеристик нечетких чисел, каждая из которых в
зависимости от ситуации может оказаться наиболее полезной.
Кроме этого, имеется возможность представления нечетких чисел в
полном объеме - графическом виде. Для каждого нечеткого числа,
одна из характеристик которого отображается в ячейке электронных
таблиц, FE дополнительно предоставляет график этого числа. Исходя
из соображений рациональной дискретности, нечеткие числа в FE
представляются в виде двух массивов размерности 21 каждый:
•	носителя нечеткого числа, то есть массива последовательно
возрастающих чисел от минимального до максимального;
•	функции уверенности, то есть массива степеней уверенности,
соответствующих каждому из элементов носителя.
Для получения отдельных элементов этих массивов в FE имеются
соответствующие функции.
Обычные числа также могут быть представлены как нечеткие. Для
этого все элементы массива носителя числа приравниваются к
задаваемому числу, один из элементов функции уверенности
приравнивается к 1, а остальные - 0. В таком виде обычные числа
представляются как частный случай нечетких и с ними, как и с
нечеткими числами, работают функции FE.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
285
Использование FE.
Основные компоненты FE, которые определяют возможности
программного продукта:
□	функции задания нечетких чисел;
□	функция расчетов FuzzyFormula;
□	вспомогательные функции;
□ инструменты FE.
Функции задания нечетких чисел.
FE предоставляет пользователю следующий набор из 14 функций для
задания нечетких чисел различными способами - вручную,
полуавтоматически или по внешним статистическим данным. Их
перечень в алфавитном порядке:
FuzzyFigure - задание числа в виде геометрической фигуры;
FuzzyHand - задание числа из двух строк: последовательности
чисел и их степеней уверенности;
FuzzyHandFromCells — задание числа из двух последовательностей
ячеек, содержащих числа и их степени уверенности;
Fuzzylnterval - задание числа в виде интервала;
FuzzyLessThan - задание числа типа “меньше, чем
FuzzyLessThanTo - задание числа типа “меньше, чем... до ... ”;
FuzzyMakeFromStatistic - задание числа из набора статистических
реализаций;
FuzzyMoreThan — задание числа типа “больше, чем ...”;
FuzzyMoreThanTo - задание числа типа “больше, чем...до
FuzzyNear - задание числа типа “около ...”;
FuzzyNearAndLessTo - задание числа типа “около...и менее до ...”;
FuzzyNearAndMoreTo - задание числа типа “около ... и более до
»».
FuzzyNcarFirstOrSccond - задание числа типа “около (... или ...)”;
FuzzyNearFromTo - задание числа типа “около (от... до ...)”.
Пример задания нечеткого числа с помощью функции FuzzyFigure (в
виде геометрической фигуры) и представления его в FE показан на рис.
9.3 ниже.
Бочерников В.П.
286
Fuzzy Technology
Рисунок 9.3 - Задание нечеткого числа функцией FuzzyFigure
Автоматическое формирование нечетких чисел.
Некоторые функции FE автоматически формируют нечеткие числа
исходя из значения параметра, передаваемого в функцию. Прежде
всего это функции задания нечетких чисел типа: “около ...”
(FuzzyNear), “меньше, чем ...” (FuzzyLessThan) и некоторые другие.
Правила автоматического формирования чисел этими функциями
основаны на теоретически обоснованных и достаточно
апробированных на практике авторских алгоритмах.
Функция FuzzyFormula.
Функция FuzzyFormula выполняет арифметические расчеты с
нечеткими числами, которые предварительно сформированы в
ячейках. Функция имеет один параметр, представляющий собой
арифметическое выражение, которое должно состоять из имен ячеек и
обычных чисел. В ячейках, на которые ссылается функция, могут
находиться как нечеткие, так и обычные числа. Функция также
поддерживает тот случай, когда все числа в выражении обычные.
Функция поддерживает все традиционные правила выполнения
арифметических операций для обычных чисел. Для нечетких чисел
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
287
правила выполнения арифметических операций имеют следующие
особенности:
•	допускается деление числа на нечеткий ноль;
•	допускается возведение в нечеткую степень только целого
числа.
При успешном завершении функция формирует нечеткое число -
результат выполнения заданной последовательности арифметических
операций.
Вспомогательные функции.
FE предоставляет пользователю возможность воспользоваться
многими функциями, реализующими вспомогательные, но очень
полезные операции с нечеткими числами:
□	общсупотрсблясмые операции: вычисление суммы или
произведения нескольких нечетких чисел; вычисление
среднего из нескольких чисел; возведение в заданную степень
и др.;
□	специфические операции над нечеткими числами:
возвращение значения заданного параметра нечеткого числа;
возвращение пары обычных чисел, соответствующих
заданному уровню уверенности; вычисление пересечения или
объединения нескольких чисел; возвращение координаты
пересечения двух нечетких линий (аналог возможности,
присущей программному продукту МаркетЭффект) и т.д.;
□ операции над нечеткими числами для использования в
прикладных областях: вычисление ставки дисконта;
возвращение обычного числа, соответствующего заданному
уровню риска; возвращение риска того, что нечеткое число
окажется меньше или больше заданного и многие другие.
Перечень вспомогательных функций в алфавитном порядке:
Fuzzy Average — вычисляет среднее из нескольких чисел;
FuzzyComplementation - обращает функцию уверенности числа;
FuzzyConvolution - вычисляет свертку нескольких чисел с учетом
весовых коэффициентов;
FuzzyDegreeFunction - возводит функцию уверенности числа в
заданную степень;
FuzzyGetBearer - возвращает значение носителя числа по его
номеру;
Fuzzy Get Discount -- вычисляет ставку дисконта;
Бочарников В.П.
288
Fuzzy Technology
FuzzyGetLevel — возвращает значение уверенности носителя
числа;
FuzzyGetMembership - возвращает значение уверенности носителя
числа по его номеру;
FuzzyGetNumberForRisk - возвращает	обычное	число,
соответствующее заданному уровню риска;
FuzzyGetNumbers - возвращает пару	обычных	чисел,
соответствующих заданному уровню уверенности;
FuzzyGetParameter - возвращает значение заданного параметра
нечеткого числа;
FuzzyGetRiskLessThan - возвращает риск того, что нечеткое число
окажется меньше заданного;
FuzzyGetRiskMoreThan - возвращает риск того, что нечеткое
число окажется больше заданного;
Fuzzylntegral - возвращает значение нечеткого интеграла одного
числа по другому;
Fuzzylntersectioh - возвращает координаты пересечения двух
нечетких линий;
FuzzyMax - вычисляет объединение нескольких чисел;
FuzzyMin - вычисляет пересечение нескольких чисел;
FuzzyProduct- вычисляет произведение нескольких чисел;
Fuzzy Sum — вычисляет сумму нескольких чисел.
В FE имеется встроенная система контроля использования функций и
выдачи подсказок.
Инструменты FE.
В инструменты FE входит меню “Fuzzy” и панель "Fuzzy tools”,
которые автоматически подключаются к Microsoft Excel после
инсталляции FE.
Инструменты FE обеспечивают интерактивное задание, просмотр и
документирование нечетких чисел, а также доступ пользователя до
системы помощи и управление отображением характеристик нечетких
чисел в ячейках Excel.
Состав инструментов:
□	Show numbers (просмотр чисел);
□	Show 3D numbers (просмотр трехмерного изображения чисел);
□	Prepare excel diagram (подготовка диаграмм FE);
□	Options (опции);
□	Help и About (помощь и о программе).
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
289
Более детальное описание FE и правила работы с ним изложены во
встроенной системе Windows-помощи и соответствующем руководстве
пользователю этого программного продукта.
Пример.
Один из многочисленных возможных примеров - использование Fuzzy
for Excel для прогнозирования эффективности маркетинговых
мероприятий предприятия. После реализации в FE авторского подхода
к моделированию рынка и работы на нем предприятия, ввода в FE-
модель исходных данных (зачастую неопределенных) получена
исходная рыночная модель, достаточно адекватно описывающая
происходящие на рынке процессы с продвижением товара,
функционирующая в среде FE и графически представленная на первом
рис. 9.4.
Данная модель позволила оценивать влияние маркетинговых
мероприятий предприятия и других, недостаточно определенных,
внешних факторов на эффективность продвижения продукции этого
предприятия на рынке, а также прослеживать динамику продвижения с
течением времени.
В итоге были получены прогнозные cash flow, финансово-
экономические показатели работы предприятия и выработана наиболее
оптимальная его стратегия (в виде последовательности эффективных
мероприятий предприятия).
Бочарников В.П.
290
Fuzzy Technology
Рисунок 9.4 - Исходная модель рынка
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
291
9.4.	Экспертно-аналитическая система
Expert Professional-2000 (ExPro-2000),
версия 2.0
Проблема.
Деятельность государственных органов и учреждений, частных
компаний и отдельных должностных лиц различного уровня постоянно
связана с необходимостью решения задач оценки, выбора,
ранжирования и т.п. [36]. При решении задач оценки эффективности
экономических и коммерческих проектов, выбора приоритетов
деятельности предприятий, прогноза бизнеса или рисков необходимо
анализировать объекты или ситуации, описанные неточно,
ранжировать их или сопоставлять с идеальным вариантом по целому
ряду критериев и т.д,, используя при этом лингвистические
(словесные) описания и заключения специалистов.
Яркими примерами здесь могут быть задачи управления ресурсами
(запасами, закупками), прогнозирования общего состояния экономики
или предприятия, его частных составляющих (инвестиционного
климата, поступлений в бюджет, маркетинговой ситуации,
продвижения товаров и т.д.), оценки различных вариантов и схем
(внешнеэкономических операций, коммерческих сделок). Этот
перечень может быть продолжен и далее.
Несмотря на различия перечисленных задач, все они имеют одну
общую черту - это задачи аналитические. Для их решения имеющихся
четких данных, как правило, явно недостаточно, однако вместо
отсутствующих данных имеется неполная, неточная, словесная
информация. Не всегда при решении аналитических задач можно
привлечь достаточное количество информации, причем требуемого
качества. Это вызвано, например, или просто отсутствием физических
датчиков для измерения (например, уровня странового риска) или
неприемлемой ценой потребной информации. Вместо традиционных
источников информации в таких случаях может быть задействован
компетентный специалист, эксперт. Остается лишь правильно и
корректно обработать такую информацию.
Бочарников В.П.
292
Fuzzy Technology
Традиционные системы моделирования, работающие с числовыми
данными, при решении таких задач неэффективны. В этих случаях
весьма кстати оказывается использование экспертно-аналитической
системы Expert Professional-2000.
Назначение.
Система ЕхРго-2000 предназначена для решения экспертно-
аналитических задач оценки и прогнозирования состояния сложных
систем в условиях неопределенности (отсутствия приоритетов и
терминологии, которая устоялась; слабой структуризации решаемых
задач; неточности, нсдоопрсделснности, нечеткости исходной
информации). В первую очередь, в области экономики, бизнеса,
финансов, политике и социальной сфере.
ЕхРго-2000 - универсальная система компьютерного моделирования
для поддержки принятия решений, которая ориентирована на широкий
круг квалифицированных специалистов, исследующих состояние и
поведение сложных систем различной природы. Пользователи ЕхРго-
2000 — лица, подготавливающие и/или принимающие решения:
руководители, аналитики, эксперты, консультанты, советники,
менеджеры и другие специалисты.
Исполнение.
Система ЕхРго-2000 - новая, существенно расширенная, Windows-
версия компьютерной DOS-программы ExProV.3 (версии 3), по сути -
это новый программный продукт. Ее интерфейс приведен на рисунках
ниже. ЕхРго-2000 функционирует на IBM-совместимых РС-
компьютерах под управлением Windows’9x (NT) и выше.
В основу работы системы положена Fuzzy-технология решения
подобного рода экспертно-аналитических задач, являющаяся know-how
разработкой и собственностью компании “ИНЭКС”. ЕхРго-2000
является инструментом, который в доступной форме обеспечивает
строгую математическую формализацию решения задачи, выполнение
соответствующих расчетов и анализа получаемых решений.
Система ЕхРго-2000 по своим возможностям объединяет большинство
других продуктов - разработок компании “ИНЭКС”. Практически все
задачи, которые решаются ими, в том числе и с использованием
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
293
одновременно нескольких продуктов, могут быть решены с помощью
одной ЕхРго-2000.
Общая структура ЕхРго-2000.
Общая структура ЕхРго-2000 показана на рис. 9.5. Она включает в себя
четыре основные составляющие:
□	модель предметной области прикладной задачи, т.е. базу
знаний (зависимостей, связей, правил и т.п.);
□	оценки конкретных объектов из этой предметной области;
□	факторы, действующие на оцениваемые объекты;
□	расчетные алгоритмы, скрытые от обычного пользователя
системы ЕхРго-2000.
Оценки объектов из
предметной области
Рисунок 9.5 - Общая структура ЕхРго-2000.
Исходные данные.
База знаний является стержнем ЕхРго-2000. Она является
представлением пользователя-аналитика о предметной области, о
понятиях, о структуре задачи, взаимосвязях в ней и предпочтениях.
Совокупностью самых простых понятий пользователь характеризует
анализируемый объект и поэтому они называются характеристиками
объекта. Характеристики могут быть словесными либо числовыми,
последние - в виде нечетких чисел или обычных. Именно эти
характеристики по встроенным алгоритмам подлежат дальнейшей
обработке в ЕхРго-2000.
И база знаний, и оценки объектов находятся под влиянием внешних
факторов, сила и состав которых меняется во времени. Эти факторы
Бочарников В.П.
294
Fuzzy Technology
по отношению к текущему моменту времени разделяются на факторы
прошлого и будущего. Отображением факторов прошлого являются
различного рода статистические данные, которые могут
использоваться также для задания числовых характеристик объектов.
Факторы будущего отражают взгляды аналитика на динамику
процессов и оценок объектов. Факторы будущего могут иметь
различную физическую природу, но они могут быть описаны рядом
общих прогнозных параметров: временем существования, силой
проявления, своей важностью и возможность возникновения. Такое
представление позволяет моделировать достаточно широкий спектр
возможных вариаций факторов будущего. Таким образом, исходными
данными являются:
•	совокупность характеристик оцениваемых объектов;
•	система критериев оценки и предпочтений;
•	оценки частных характеристик конкретного объекта;
•	описание внешних факторов.
Порядок решения экспертно-аналитических задач.
Решение экспертно-аналитических задач осуществляется на основе
хорошо зарекомендовавших себя авторских алгоритмов представления
и обработки информации, заложенных в ЕхРго-2000. Их работа в
целом заключается в сведении частных характеристик каждого
объекта, оцененного пользователем, к системе интегральных понятий
базы знаний и получении, таким образом, обобщенных оценок этих
объектов. Если база знаний и оценки объектов статичны (нет факторов
будущего), имеем решение задачи оценки. Если задано влияние
факторов будущего на базу знаний или/и оценки объектов, имеем
решение задачи прогноза.
Решение задач и оценки, и прогнозирования осуществляется на единой
основе, по единой технологии, что упрощает задачу пользователя по
овладению и пользованию системой. Каждый шаг работы в системе
ЕхРго-2000 документируется и может быть использован для контроля,
анализа и пояснений.
Характеристики ЕхРго:
S характер исходной информации - лингвистическая, неточная,
неполная, а также обычная;
Бочарников ВЛ.
Fuzzy Technology
295
J поддерживается процедура групповой оценки объекта
несколькими специалистами;
J имеется возможность проведения анализа получаемых
результатов, их зависимости от исходных данных;
J теоретическая база системы - перспективный
математический аппарат теории нечетких мер и множеств.
Получаемые результаты.
На базе ЕхРго могут быть построены различные прикладные системы,
работоспособные в условиях информационной неопределенности.
Например:
□	экспертные системы анализа инвестиционных и других
коммерческих проектов, внешнеэкономических операций,
товарного маркетинга;
О системы ранжирования и выбора альтернатив;
□	системы расчета инвестиционных качеств ценных бумаг,
банковских кредитных рисков, анализа валютного рынка,
рейтингования банков;
□	системы выявления и расчета рисков в бизнесе, экономической
безопасности в целом;
□	системы классификации в экономике, политике, медицине и
ДР-
Многие из таких прикладных систем уже созданы и эффективно
функционируют, в том числе и в условиях информационной
неопределенности, когда другие аналогичные системы не работают.
Фрагмент интерфейса системы ЕхРго-2000 и примера получаемых
результатов, а также структуры использовавшейся базы знаний одной
из уже созданных специализированных систем представлены
соответственно на рис. 9.6 и рис. 9.7 (более темным цветом показаны
характеристики, которые числовые, светлым - словесные,
лингвистические).
Экспертно-аналитическая система ЕхРго-2000 и ее предшественница
ExProV.3 апробированы на решении более чем 40 конкретных задач из
самых различных предметных областей: от экономики до техники.
Использование этого универсального инструмента позволяет не только
получать решения сложных аналитических задач, но и
совершенствовать свой профессиональный уровень специалистам,
Бочарников В.П.
296
Fuzzy Technology
работающим с системой, глубже проникать в природу анализируемых
процессов.
Рисунок 9.6 - Фрагмент интерфейса системы ЕхРго-2000
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
297
Рисунок 9.7 - Фрагмент структуры базы знаний.
Зак. 771
Бочарников В.П.
298
Fuzzy Technology
9.5.	Программа Fuzzy Estimation of Critical
Messages (FECM) для нечеткой оценки
критических сообщений при проведении
арбитражных валютных операций,
версия 1.1.
Проблема.
Любой начинающий трейдер знает, что анализ цен на валютном рынке
FOREX покоится на двух китах: техническом и фундаментальном
анализе. Первый из них более формализован и легок в интерпретации,
поддерживается развитым программным обеспечением. В отличие от
технических, фундаментальные показатели (и их ожидания)
интерпретируются менее определенно, их влияние на динамику цен
носит зачастую непредсказуемый характер, что может приводить к
катастрофически большим денежным потерям и даже к разорению
трейдеров. Каждый участии!; торгов интерпретирует фундаментальные
факторы по своему и “на глазок”, может по-разному смотреть на их
влияние на динамику курса и с разной степенью доверять им. Новостей
фундаментального характера может быть много, они могут
наслаиваться, дополнять или отменять друг друга, между ними
возникают и исчезают многочисленные системные взаимосвязи, всю
совокупность которых не в состоянии учесть даже тренированный
человек. Успешный анализ подобной информации возможен с
помощью Fuzzy-технологии.
Именно для этих целей специалистами консалтинговой фирмы
“ИНЭКС” на основе современной технологии обработки нечетких
данных разработан программный продукт Fuzzy Estimation of Critical
Messages (FECM), позволяющий производить оценки критических
сообщений при проведении арбитражных валютных операций. FECM
осуществляет интегральную оценку влияния сообщений
фундаментального, технического и психологического характера,
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
299
поступающих в процессе торгов, на курсы валют и работает в
режиме, близком к режиму реального времени.
Основным вопросом для участников валютных торгов является вопрос
правильного прогноза: когда, в какой момент и насколько
“переломится” курс, чтобы изменить свою тактику или предпринять
меры предостережения. Для решения прогнозной задачи участники
валютного рынка (а также участники внешнеэкономической
деятельности) получают из различных источников, например, из
информационных финансовых систем типа Reuters Terminal в реальном
масштабе времени информацию двух принципиально различных
типов:
•	о котировках, курсах валют, количестве и суммах сделок по их
продаже/покупке;
•	о событиях и факторах, которые прямо или косвенно могут
влиять на курсы валют.
Информация первого типа представляет собой временную
последовательность исключительно цифровых данных. Они могут
быть легко отображены, проанализированы и обработаны
существующими программами финансового технического анализа
типа Trade Station. В содержательном плане они отражают только
предысторию изменения курсов валют и любые попытки
прогнозирования с помощью компьютера по этой информации не
могут быть построены по иному принципу, чем принцип “прошлое
определяет будущее”.
Однако на практике все происходит гораздо сложнее. Возникают и
исчезают события и факторы, на которые реагирует мировой рынок.
Сведения о них содержатся в информации второго типа, которую
участники торгов могут получать в виде текстовых сообщений. Эти
сообщения могут касаться и прошлого, и будущего. При этом каждый
участник торгов может по-разному смотреть на их влияние и с разной
степенью доверять им. Сообщений очень много, они наслаиваются,
дополняют или отменяют друг друга.
Однако человек в состоянии учесть действие всего до 5-7 факторов, а
хорошо тренированный - до 12-15. Дальше этого порога начинаются
ошибки, которые оплачиваются деньгами. К сожалению, большинство
Бочарников В.П.
326
Fuzzy Technology
ЛИТЕРАТУРА
1.	Обработка нечеткой информации в системах принятия решении/
А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, Г. В. Меркурьева и др. - М.: Радио и
связь, 1989. - 304 с.
2.	Т. Саати, К. Кернс. Аналитическое планирование. Организация
систем: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.
3.	Линник А.П., Климов С.А. Инвариантные выводы в статистике. -
М.: Радио и связь, 1986г. - 408 с.
4.	Мелихов А.Н., Берншейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные
советующие системы с нечеткой логикой. - М.: Наука, 1990. - 312
с.
5.	Понаморев Ю.П. Игровые модели: математические методы,
психологический анализ. - М.: Наука, 1991. - 160 с.
6.	Павлов В.В. Синтез стратегий в человеко-машинных системах. -
К.: Выща шк. Головное изд-во, 1989. - 162 с.
7.	Анохин П.К. Принципиальные вопросы общей теории систем. -
М.: Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы, 1971. - 40 с.
8.	Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных
задач.: Пер. с англ. - М.; Радио и связь, 1990. - 544 с.
9.	Б.М. Герасимов, В.А. Тарасов, И.В. Токарев. Человеко-машинные
системы принятия решений с элементами искусственного
интеллекта - К.: Наукова думка, 1993 г. 184 с.
10.	Sugeno М. Fuzzy Measure and Fuzzy Integral.// Transaction of the
Sosiety of Instrument and Control Engineers, Tokyo. - 1972. - v.8, № 2.
-pp. 218-226
И. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к
представлению знаний в информатике.: Пер. с фр. - М.: Радио и
связь, 1990. - 288 с.
12.	Нечеткие множества и теория возможностей. Последние
достижения.: Пер. с англ./ Под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь,
1986. - 408 с.
13.	Дмитриев А.К., Мальцев П.А.. Основы теории построения и
контроля сложных систем. - Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское
отд-ние, 1988. - 192 с.
14.	Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции
распределения. - К.: Наукова думка, 1992. - 207 с.
Бочарников В.П.
Fuzzy Technology
327
15.	Нечеткие множества в моделях управления и искусственного
интеллекта./ Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 396 с.
16.	Sugeno М. Fuzzy Decision Making Problems.// Transaction of the
Sosiety of Instrument and Control Engineers, Tokyo. - 1975. - v.l 1, №
6. - pp. 85-90.
17.	Прикладные нечеткие системы: Пер с япон./ К. Асаи, Д. Ватада,
С. Иван и др.; Под ред. Т. Терано, К. Асаи, М. Сугено, - М.: Мир,
1993 г. - 386 с.
18.	Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. -
М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
19.	Эллиот Р. Стохастический анализ и его приложения.: Пер. с англ. -
М.: Радио и связь, 1990. - 324 с.
20.	Алиев Р.А., Церковный А.Э., Мамедова Г.А. Управление
производством при нечеткой исходной информации. - М.:
Энергоатомиздат, 1991. - 240 с.
21.	Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных
систем управления./ Известия АН СССР. Техническая
кибернетика, № 3, 1991. - С 38 - 49.
22.	Бочарников В.П., Цыганок А.В., Свешников С.В. Fuzzy-технология
решения экспертно-аналитических задач оценки военно-
политических ситуаций в условиях неопределенности: Научно-
методическое пособие. - К.: в/ч А 4000, 1997. - 68 с.
23.	Бочарников В.П. Модель нечеткого процесса для задач управления
нечеткими динамическими системами.// Проблемы управления и
информатики. - 1996. - № 3. - С.61-66.
24.	Бочарников В.П. Обеспечение скрытности информации как
нечеткий динамический процесс.// Защита информации. - К.,
КМУГА, 1995.- С. 70-74.
25.	Бочарников В.П. Дискретная модель нечеткого процесса на основе
нечетко-интегрального уравнения.// Прикладные системы
искусственного интеллекта в задачах автоматизации, тестирования
программ и управления в технических системах. - К: КМУГА,
1998. С.
26.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. - М.: Наука. Главная редакция физ.-
матем. литературы, 1984. - 831 с.
27.	Перфильева И.Г. Приложение теории нечетких множеств./ Итоги
науки и техники. Серия: Теория вероятностей. Математическая
статистика. Теоретическая кибернетика. Том 29.// Под ред.
Гамкрелидзе. - М.: ВИНИТИ, 1990. - 150 с.
Бочарников В.П.
328
Fuzzy Technology
28.	Zadeh L. A. Toward a theory of fuzzy systems./ Aspects on Network
and System Theory. Holt, Rinehart, Winston, N.Y. - 1971, pp. 209 -
245.
29.	Риски во внешнеэкономической деятельности предприятий./ В.П.
Бочарников, С.М. Репецкий, К.В. Захаров и др. - К.: ООО
«Интергид», 1997. - 124 с.
30.	Бочарников В.П. Свешников С.В. ВознякС.Н. Прогнозные
коммерческие расчеты и анализ рисков на Fuzzy for Excel. - Санкт-
Петербург: «Наука» РАН, 2000. -159 с.
31.	Бочарников В.П. Захаров К.В. Цыганок А.В., Логистика,
эффективность и риски внешнеэкономических операций. - Санкт-
Петербург: «Наука» РАН, 2000. -237 с.
32.	Цыганок А.В. Шампанское без риска. И Бизнес. Бизнес компьютер
- 1997.-№4(211).-С.39.
33.	Садовский А.Л. Применение экспертных методов в задачах
принятия решений в условиях нечеткой информации./ Принятие
решений и анализ экспертной информации. Вопросы кибернетики.
-М.: 1989.-с.45-53.
34.	Зайченко Ю.П. Исследование операций: Нечеткая оптимизация:
Учеб, пособие. - К.: Выща шк., 1991. - 191 с.
35.	Если вы не уверены в числах, используйте Fuzzy Calculator./ В. П.
Бочарников, Ю.Н. Минаев, С. В. Свешников и др. Компьютерное
обозрение №12(36), 1996. - С. 20 - 21.
36.	Бочарников В.П. Свешников С.В. Цыганок А.В. Компьютер
помогает принять правильное решение./ Компьютер + программы.
№2(17), 1995.-С. 4-6.
37.	Bocharnikov V.P. Modeling of Fuzzy Processes on the Theoretical
Basis of the Fuzzy Measure and Integral / Proc. EUF1T’98 - Sixth
European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing -
Aachen, Germany: Elite-Foundation. - 1998. - P. 2234-2239.
38.	Bocharnikov V.P., Tsiganok A. V. Fuzzy Technology the Analysis and
Risk Menedgment / Proc. EUF1T’98 - Sixth European Congress on
Intelligent Techniques and Soft Computing - Aachen, Germany: Elite-
Foundation. - 1998. - P. 2541-2545.
39.	Бочарников В.П. Модель управляемого непрерывного нечеткого
процесса на основе нечетко-интегрального уравнения.// Проблемы
управления и информатики. - 1998. - № 5. - С. 72-77.
Бочарников В.П.
Издание осуществлено при участии
издательства «Алетейя» (СПб.)
ИЛ № 064366 от 26. 12. 1995 г.
Издательство «АлетеЙя»:
193019, Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, 13
Телефон издательства: (812) 567-2239
Факс: (812)567-2253
E-mail: aletheia@spb.cityline.ru
Сдано в набор 09.07.2000. Подписано в печать 26.02.2001.
Формат 60 х 88/16. 20,5 п. л. Тираж 1200. Заказ № 771
Отпечатано с готовых диапозитивов в Академической типографии
«Наука» РАН: 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, д. 12
Printed in Russia