СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Серия выпускается под общим руководством
редакционной коллегии журнала
<Успехи математических наук*
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969

А. П. МИШИНА, Л. А. СКОРНЯКОВ
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
И МОДУЛИ
издательство «наука»
главная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 1 в вв

517.1
М71
УДК 519.443
В монографии даются и исследуются
аксиоматические определения понятий чистоты, кручения и
полноты (делимости), играющих важную роль
в теории абелевых групп. В последнее время в
литературе появились различные обобщения этих
понятий на модули. Почти все эти обобщения
укладываются в предлагаемую в монографии
схему. Цель монографии — подытожить успехи п
атой' области и создать «трамплин» для
дальнейших исследований. В изложении широко
используются методы гомологической алгебри.
Монография представляет интерес для
научных работников, аспирантов и студентов,
специализирующихся в области алгебры.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Вспомогательные результаты 9
§ 1. Чистота 19
§ 2. Кручение 81
§ 3. Полнота 114
Добавление 131
Открытые вопросы 134
Литература 138
Указатель терминов 150

ПРЕДИСЛОВИЕ
Общеизвестна та важная роль, которую играют
в теории абелевых групп понятия чистоты (сервант-
ности), кручения и полноты (делимости). В связи
с развитием в последнее десятилетие теории
модулей предпринимались многочисленные попытки
приспособить к ней эти понятия. Да и в самой теории
абелевых групп известны различные обобщения
классического понятия чистоты. В настоящей
монографии предлагается аксиоматический подход к
определению указанных трех понятий. Эти определения
охватывают почти все их обобщения, встречавшиеся
в литературе. Среди исключений отметим
определения делимости, предложенные Хаттори и Леви.
Однако и для них находится место в общей схеме.
В случае абелевых групп аксиоматически описанные
кручение и делимость превращаются в весьма
естественные обобщения классических понятий.
Положение с чистотой несколько хуже, ибо найти описание
всех чистот в случае абелевых групп пока не
удалось. В связи с кручением излагаются основные
вопросы теории радикала в модулях.
В монографии широко используются понятия,
методы и результаты гомологической алгебры. В
частности, предполагается знакомство читателя с
функторами Нот, ®, Ext и Тог, а также умение вести
«диаграммный поиск». Те из относящихся сюда
результатов, которые можно найти в книгах Картана
и Эйленберга [б] или Маклейна [г], используются
со ссылкой на эти книги. Отсутствующие в них
сведения изложены во вспомогательном параграфе
настоящей монографии. В отдельных случаях в основном

изложении допущены ссылки на другие источники.
Во-первых, за определением сложения в группе Ext
читатель отсылается к книге Хилтона и Уайли [ж],
так как определение из книги Маклейна (разумеется,
эквивалентное рассматриваемому) не совсем
приспособлено к принятому в монографии изложению'). Во-
вторых, предлагается ознакомиться с понятием
прямого спектра по книге Стинрода и Эйленберга [е].
В-третьих, читатель отсылается к журнальным
статьям [5] или [31] в связи с рассмотрением
обобщенных колец частных. Наконец, при изложении
одного примера допускается ссылка на статью [131].
Помимо результатов, включенных в основное
изложение, приводятся без доказательства
многочисленные факты из теории групп или из теории модулей
над специальными классами колец, которые можно
надеяться перенести в общую теорию. Приведенную
в конце библиографию мы старались сделать по
возможности полной, однако факты из теории групп,
имеющиеся в книгах Куроша [в] и Фукса [и], как
правило, приводятся без ссылок на оригинальные
статьи. В тексте мы неоднократно обращаем
внимание читателя на нерешенные вопросы. Все эти
вопросы собраны в конце монографии в виде списка
проблем. Некоторые результаты, ставшие
известными авторам к моменту чтения корректур,
отражены в добавлении на стр. 131.
') См. также 1222], стр. 90-96.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этом параграфе собраны необходимые для
дальнейшего результаты, доказательства которых
отсутствуют в упоминаемых во введении
монографиях. Кроме того, приводятся постоянно
употребляемые обозначения.
На протяжении всей этой книги, если не
оговорено противное, все рассматриваемые кольца
предполагаются ассоциативными кольцами с единицей,
все рассматриваемые модули — левыми и
унитарными, а все. рассматриваемые группы —абелевыми.
Основное кольцо, как правило, обозначается через Л.
Символ еА означает тождественный автоморфизм
модуля А. Произведение гомоморфизмов f:A->B
и g: В->С обозначается через fg. Если В — Л-модуль,
А и Ш — его подмодуль и подмножество
соответственно, то полагаем
(А : ЯП) = {Я, | & е= Л, \х <= А для всех *<=ЭД}.
Заметим, что (А : Щ — левый идеал кольца Л. Если
В — Л-модуль, А — его подмодуль и / — левый идеал
кольца Л, то полагаем
В, 1Ь<=А).
Кроме того, используем обозначение
Как само кольцо целых чисел, так и его
аддитивную группу будем обозначать символом Z. Сумма
модулей обозначается через А+В или 2 Аа. Для
прямой суммы используются обозначения А + В

и 2 Аа, а для полной прямой суммы (прямого
произведения)- А + В и 2*А,. Под категорией
Л-модулей везде понимается категория всех Л-модулей.
Пусть # —категория Л-модулей. Модуль Qg?
назовем инъективным относительно гомоморфизма
f:A->B, если всякая диаграмма
Q
может быть дополнена до коммутативной некоторым
гомоморфизмом Л: B->Q. Если © и О. —некоторые
классы гомоморфизмов и объектов категории 8"
соответственно, то обозначим через Ф(<5) класс всех
Л-модулей, инъективных относительно всех
гомоморфизмов из класса @, а через ЧГ (О-) — класс всех
гомоморфизмов, относительно которых инъективны
все модули класса О..
Гомоморфизм <р: А->В, где А, В — Л-модули,
назовем ретракцией, если (р$ = еА для некоторого
ty:B->A. При этом будем говорить, что А — ретракт
в В.
(0.1) Для любого класса гомоморфизмов <5 и
любого класса Л-модулей О. имеет место
а) 2 Qae Ф (®) тогда и только тогда, когда
Qa e Ф (®) для всел: а;
б) всякая ретракция лежит в классе
) f 4f(U) f ¥(&)
рр
в) если f, fe4f(U), то
г) есугы fge^fQ), то f)
д) еслы ^^^(Cl) ы f — эпиморфизм,
е) если & — совокупность всех ретрактов всех
модулей класса St, то ¥ (Q) = ¥ (Я).
Для доказательства свойства а) положим Q = 2 Qa
и обозначим через ia и я„ естественные вложения Qa
в Q и проекции Q на Qa соответственно. Если
ЧФ(6) и дана диаграмма
Qa
10

где /ев, то <$ia = fh для подходящего Л: B->Q.
Отсюда ф = ф (4д) - f (Ля,,), т. е. Qa е= Ф (6).
Наоборот, из того, что Qa еФ((5) для всех а, и из
наличия диаграммы
(•)
вытекает существование таких гомоморфизмов
/ta:£->Qa, что qma = fha. Отсюда, в силу определения
полной прямой суммы, вытекает, что <f = fh для
подходящего гомоморфизма h: B->Q.
Пусть теперь f — ретракция, Qe& и дана
диаграмма (♦). Тогда <$ = еА<$ = f (h<f) для некоторого
h:B->A. А это и означает, что ^еЧ^О.).
Если f: A->B, g: B->C, f, gGf(a) и ф: A->Q,
где Q e Q, то для подходящих гомоморфизмов
^-.B-^Q и V. C->Q получаем равенства <f = ^hx =
ш
Если f: Л->В, g: B->C, fg<z=4(Zi), Q<z=£l и
ф:Л-><2, то y = (fg)h = f (gh), где Л: C->Q. Если же
f — эпиморфизм и i|>: B->Q, то из равенства fi|> =
= (fg)h' = f(gh') при некотором Л': C-+Q вытекает,
что ij = gA'.
Допустим, далее, что /еЧ'(Я), и рассмотрим
диаграмму
Q
где QeQ.. Найдется такая ретракция i: Q->K, что
/( еSt. Тогда <$i = fh, где h: B->K, и существует
гомоморфизм я: /(-> Q, для которого £я = е^. Поэтому
Ф = ф/я = /(Ля). т. е. f<=W(Q.). Таким образом,
Ч*1 (Я) ^ * (О.). Обратное включение очевидно.
Пусть ©иО-некоторые классы гомоморфизмов
и модулей из ^ соответственно. Пара 23 = (3, О.)
называется инъективной структурой, если
С2.
11

СЗ. Для всякого Л-модуля А найдутся модуль
Q из & и гомоморфизм f: A->Q, принадлежащий <».
Модули из D будем называть п$-инъективными.
Если инъективная структура 35 = (<5, О.) такова, что f
и Q, указанные в СЗ, всегда могут быть выбраны
так, что lmf плотен в Q 1), то эта инъективная
структура называется плотной. Инъективная структура
Я3 = (®, &) называется полной, если класс О.
замкнут относительно эпиморфных образов, и моноинъвк-
тивной, если класс © состоит из мономорфизмов.
Разумеется, инъективные модули ЯЗ-инъективны для
всякой моноинъективной структуры.
Имеет смысл рассматривать понятие,
двойственное понятию инъективной структуры. Однако в
дальнейшем будет использоваться только следующее
определение: модуль Р называется копроективным
относительно мономорфизма f: A->B, если всякая
диаграмма
Р
с точной строкой может быть дополнена до
коммутативной некоторым гомоморфизмом h: Р->В.
(0.2) Пусть '31-класс А-модулей, 6 = ^(5») и
О. — совокупность всех р^трактов модулей из 31.
Если для пары (©, 31) выполнено условие СЗ, то
1$ = (©, &) — инъективная структура.
В самом деле, справедливость свойств С2 и СЗ
сразу следует из предложения (0.1е). Далее, имеем
соотношения О.sФЧ(Q) = Ф(6). Если ЛеФ(6), то
для гомоморфизма <р: A->N, где фЕ@, N<^$1,
найдется такой гомоморфизм Л: N-+A, что <fh = eA.
Следовательно, <р — ретракция, а значит, модуль Лей.
Радикальным фильтром кольца Л называется
система ^ левых идеалов* кольца Л, обладающая
следующими свойствами:
G1. Если /е? и /s/, где / — левый идеал
кольца Л, то ^
') Будем говорить, что модуль А плотно вложен в модуль В,
если As В и А(]С Фй для всякого ненулевого подмодуля С
модуля В.

G2. Если /е^5, то для любого А,еЛ левый идеал
(/ : А) также принадлежит g3.
G3. Если /s/, где / — левый идеал кольца Л,
/eg3 и идеал (/^eg3 для любого £s/, то /s&\
(0.3) Если & — радикальный фильтр и I, /еёР,
то /Л/eg3.
Действительно, рассмотрим левый идеал (/ f) /• I),
где |е/. Если элемент Яе(/:^), то Л£е/Л/, т.е.
имеет место включение (/ : £)s(/ Л / : |). Из свойств
G2 и G1 вытекает, что (/ Л / : Е)^с?, и остается только
применить G3.
(0.4) Пусть с? — радикальный фильтр кольца А и
% — множество естественных вложений идеалов
системы W в кольцо А. Пусть ©jf — совокупность всех
мономорфизмов f: A->B, для каждого из которых
существует такой эпиморфизм g: В -> С, что fg —
мономорфизм и (lm fg : с)eg3 для всех с^С, и пусть
3Dj5 = Ф (2). Тогда 23g = (<5g, 3)g) — плотная моноинъ-
ективная структура.
Доказательство расчленим на несколько этапов.
Условимся писать А<\В, ее ни А^В и (Л:6)е^ для
всех Ь^В.
(а) £слы Л<В и В<С, го Л<С.
Действительно, пусть с^С. Положим 1 = (А'.с)
и J = (B:c). Ясно, что /Е/е?. Пусть, далее, £е/
и Л<=(Л:£с). Тогда (Л6)с-Л(Ес)еЛ, т.е. Л«=(/:£).
Таким образом, (Л .' |с) s (/ .* £). Но |сеВ, и из свойств
G1 и G3 вытекает, что /eg3. Следовательно, Л<С.
" (б) Всякий А-модуль А может быть плотно
вложен в А-модуль QeSgraK, что A<IQ.
Для доказательства возьмем инъективную
оболочку А модуля А ([г], стр. 138) и рассмотрим
множество $ = {Х\ А<\Х^ А]. Используя лемму Куратов-
ского — Цорна, нетрудно убедиться, что X содержит
максимальный элемент Q. Пусть теперь /eg3 и
<р: I->Q. Ввиду инъективности модуля А найдется
такой элемент с&А, что £<р=|с для всех £е/
([б], стр._24, теорема 3.2). Положим Q = Q + Ас.
Если xgQ, to x = q + Xc, где q^Q, ЛеЛ. Если
це(/:Л), то
с = nq + (цЛ) ф е Q.
13

Таким образом, (/ : A,)g(Q : л:). Применяя свойства G2
и G1, убеждаемся, что (Q'.x)^<?. Отсюда Q<iQ и,
в силу утверждения (a), Qg$. Так как Q
максимален, приходим к выводу, что c^Q. Поэтому
гомоморфизм г|): А-> Q, определяемый равенством ity = %c,
продолжает ф, и, следовательно, QeDg.
(в) Если А<\В, i: A-> В — естественное
вложение и QeDg, то модуль Q инъективен относительно
мономорфизма L
В самом деле, пусть ф: A-+Q. Повторяя
известные рассуждения Картана и Эйленберга ([б],
стр. 24), находим такой подмодуль D модуля В, что
AsD и существует гомоморфизм $:D->Q,
продолжающий ф, который уже нельзя распространить на
больший подмодуль. Если c^B\D, то рассмотрим
подмодуль D = D + Ac. Положим I = (D: с). Так как
идеал / содержит (А '. с), то ввиду свойства G1 он
принадлежит %". Определим гомоморфизм 6: I->Q,
положив E9=»(Ec)^- Поскольку модуль Qe% этот
гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма
о: A->Q. Пусть <7=1<й. Если x^D и АеЛ, то
положим
(л: + Хс) iji = лг-ф + Xq.
Если х + Хс = у + цс, где г/е/3, цеЛ, то X — |t€/.
Поэтому
*♦ - № = [(Ц - X) с] if = (ц - X) (о = (ц - X) q.
Таким образом, г|) — гомоморфизм модуля D в Q,
продолжающий ф. Это, однако, противоречит выбору ф.
Значит, D=B и, следовательно, модуль Q
инъективен относительно мономорфизма L
(г) Ф<®*)-Юя.
Действительно, из свойства G2 сразу следует, что
i&Sg. Поэтому, применив предложение (в) к
мономорфизму fg, легко вывести следующие соотношения:
(д) g) ?
В самом деле, утверждение (г) дает

Если /e4f(3)jj) и f: A->B, то, согласно
предложению (б), получаем A<IQ, где QeDg. Тогда найдется
такой гомоморфизм g: B->Q, что fg = i, где / —
естественное вложение модуля А в Q. Положив C = lmg,
убедимся, что fe<5?.
(е) 23 = (©if, ©jf) — плотная моноинъективная
структура.
Действительно, вложение, указанное в (б), плотно
и удовлетворяет требованиям свойства СЗ.
Справедливость свойств С1 и С2 вытекает из утверждений
(г) и (д).
Для построения радикальных фильтров полезно
предложение
(0.5) Система левых идеалов
Г={/|Ур<=Л\/ ЗаеЛ\(/:Р), (/: ар) плотен в А]
является радикальным фильтром.
В самом деле, пусть /е?, /£/ и р^/. Если
идеал (/: р) плотен в Л, то все доказано. В
противном случае A|f|(/:p) = O для некоторого ЦфО.
Конечно, 1р^/. Следовательно, существует такое
аф(Г.1р); что идеал (/: alp) плотен в Л. Но
(/ : a£p) s (/ : (at) p). Отсюда вытекает, что идеал
(/:(а|)р) плотен в Л, причем а|^(/:р), так как
Л1П(/:р) = 0 и а£р<£/. Если /<=£\ А,е=Ли р<£(1:\),
то р%ф1: Поэтому (/: арЯ,) плотен в Л для
некоторого а^(/:рА,). Остается заметить, что ((/:А,):р) =
=(/ : рЛ) и ((/ : А,): ар) = (/ : арА,). Пусть, наконец,
/s/gcT, (/:|)е=Г для всех |е=/ и р<£/. Если
ре/, то, поскольку l^/.'pje^, получаем, что
левый идеал ((/ .' р): а) плотен в Л для некоторого
а<£((/: р): 1) = (/: р). Но (/ : ор)-((/ : р): а), и,
следовательно, идеал (/: ар) плотен в Л. Если же р^/,
то найдем аф{1'. р), для которого (/:ар) плотен в Л.
Если (/: ар) = (/: ар), то все доказано. В противном
случае для г\ <= (/ : ар) \ (/: ар) имеем г\ар е / \ /. Таким
образом, 1 ф{1: цар). Поэтому ((/ : г\ар): |) плотен в Л
для некоторого %ф(1 :г\ар). Значит, левый идеал
(/: (Ъг\а) р) плотен в Л и %г\а ф. (I: р), что и требовалось.
Радикальные фильтры можно строить и с
помощью следующего результата:
(0.6) Пусть О — мультипликативно замкнутая
система двусторонних идеалов кольца Л, конечно-
16

порожденных как левые ^.-модули. Тогда множество (f
всех левых идеалов кольца Л, каждый из которых
содержит некоторый идеал из О, является
радикальным фильтром.
Действительно, выполнение G1 очевидно. Если
/е^, то найдется такой идеал ЯеО, что Яе/.
Но тогда для всякого АеЛ и цеЯ получим т^е
G/f£/. Таким образом, Я £ (/ : X) и, следовательно,
(/:Л)е=£\ Пусть /s/e^f, (/:|)e? для всех gs /
m
и Я —идеал из О, лежащий в /. Но Я = S %.
i-i
По условию, существуют такие идеалы Я^еО
(i=l, 2, .... га), что HtS={I:i\t). Идеал Нй = Нх...НтН
т
принадлежит О. Если £ е Я, то £ = 2 А/П/. Поскольку
при gj е Я/ (/ = 1, 2, ..., га) элемент £i ... £„А лежит
в идеале Я,, то элементы ^ ... £тМ*. а
следовательно, и g^ • •. £т£ принадлежат идеалу /. Таким
образом, Яое/, т. е. /eg3.
Из наличия изоморфизма Л®\А = А ([б], стр. 40;
[г], стр. 184) и перестановочности функтора ® с
прямой суммой ([б], стр. 129, предложение 9.2) вытекает
предложение
(0.7) Если 33 — база свободного правого
^--модуля F, Хх *me23, A — левый ^--модуль, aL^A
т
и 2 xi ® ai ■" 0» го а/ ■■ 0
Назовем подинъективными модулями фактор-
модули инъективных модулей'.
(0.8) Модуль А является подинъективным тогда
и только тогда, когда он инъективен относительно
вложений свободных модулей 1).
В самом деле, если модуль А инъективен
относительно вложений свободных модулей и я: F->A —
эпиморфизм, где У7 —свободный модуль, то А — эпи-
морфный образ инъективной оболочки F модуля F.
Наоборот, если модуль А подинъективен, существует
эпиморфизм g: Q->A, где Q — инъективный модуль.
Пусть F — свободный модуль,/: F-* В — мономорфизм
') Из доказательства этого предложения видно, что в его
формулировке свободные модули можно заменить на проективные.
15

и <р: F->A. Тогда ф = ф'£| ибо F проективен, и
у' = W> ибо Q инъективен. Положив я|> = 'ф'£, получим
равенства fty = Wg = <f'g = <f.
(0.9) Если F — свободный, a FJK — плоский' А-мо-
дули и ху хт е /С, то существует такой
гомоморфизм 6: F-+K, что xfi = xi для всех L
Доказательство будем вести по индукции. Пусть
га = 1 и хг = 2 Ки^ гДе {"i) — база модуля F. Поло-
i
жим Н = 2 Я./Л. Из точности последовательности
([г], стр. 212, теорема 8.6) вытекает, что 2^®
®(ыг + /С) = О в H<S)\FjK- Отсюда ввиду точности
последовательности
Н ®лА: -> Н ® KF -+ H ®kFIK -> 0
([г], стр. 194, теорема 5.1) получаем, что
2 А,,®ы,= 2 0/®а>/,
где Vj^H, Wj^K. Если шу=2ц/г«/1 то, учитывая
предложение (0.7), приходим к равенству
h = 2 ОуИул
Но 0/=2^ftvfc/- Определим гомоморфизм 8: F->K,
положив ы*6 = 2 VfcyWy. Тогда
^е = 2^(«йв)
= 2 (2 KvkjVji) "i = 2 (2 о/Ц/Л «/ = 2
Переходя к произвольному га, находим <р: F->K и
*l>: F->K такие, что
•«тф = Xmt
У1 (' = 1. 2 га-1),
где yi = xt — Х/ф. Положив 0 = ф + я|з — фф, получим
xmQ =• хт + л:тг|) - лг^-ф = xmt
а при «<га
xfi =>x,-y, + xfl - (х( -у()у = xt.
2 А. П. Мишина, Л. А. Скорняков ]7

Модуль А называется конечно-связанным, если
существует точная последовательность 0 ->К-*■ F ->
->Л->0, где К и F — конечно-порожденные модули,
причем F — свободный модуль.
(0.10) Конечно-связанный плоский А-модуль А
проект вен.
Для доказательства рассмотрим точную
последовательность q_>k_>f_>a.^q)
где F — конечно-порожден и свободен, а К — конечно-
порожден. Применяя (0.9), легко убедиться, что
К — ретракт, после чего проективность модуля А
очевидна ([б], стр. 21, теорема 2.2).
(0.11). Каждый А-модуль А является пределом
прямого спектра конечно-связанных А-модулей.
Действительно, ясно, что каждый Л-модуль
является пределом прямого спектра (даже суммой)
конечно-порожденных модулей 1). Поэтому
справедливость предложения (0.11) достаточно доказать для
случая, когда А конечно-порожден. С этой целью
представим А в форме A = F/K, где F — конечно-
порожденный свободный модуль. Ясно, что К= 2 Ка,
где Ка пробегает множество всех
конечно-порожденных подмодулей модуля К- Если Ка s /Cp, то
обозначим через Пар естественный гомоморфизм FIKa
в FIKa- Легко убедиться, что отображение
где xef, определяет изоморфизм модуля Л на
предел спектра (F/Ka> Лор)- Остается заметить, что все
модули FIKa конечно-связаны.
Понятие ииъективиой структуры ввел Мараида [154]. Им же
доказаны предложения (0.1) и (0.2). Радикальный фильтр почти
одновременно появился у Мараиды [154] и Габриэля [92] (см.
также [196]), а немного позже —у Рябухииа [22]. Правда,
свойство, указанное в предложении (0.3), входило у них в
определение. На справедливость предложения (0.3) указал Сендерсон [192],
ссылаясь на устное сообщение Чева (Chew). Предложения (0.4)
и (0.6) заимствованы у Мараиды. Второе из них доказал также
Штенштрем [196]. Предложение (0.7) имеется в книге Нор-
скотте [л], а предложения (0.9) и (0.10) —в статье Чейзе [58].
Другие доказательства предложения (0.10) имеются в работах
Хаттори [104] и Аусландера [34]. Предложение (0.5) доказали
Длаб ([70]—[73], [251]), а также Стефенсон.
1) Необходимые сведения о прямых спектрах и их пределах
можно иайти, напрямер, в [е], стр. 274—277.

§ 1. ЧИСТОТА
Скажем, что в категории Л-модулей задана
чистота о, если выделен класс фш мономорфизмов
со свойствами:
40. Всякая ретракция лежит в ф(0.
41. Если ф, я|зефш, то фя|зе§ш.
42. Если ф\|)ефш и я|з — мономорфизм, то фе§а.
43. Если строки и столбцы коммутативной
диаграммы
0 0
I I
0->К-!+А-?+С->0
е«[ *{ *|
0->/(-^В-^>/3->0
точнй и ф е фш, то ty е §ш.
44. Если в указанной выше диаграмме i, г|)ефв,
то (ре§щ.
Мономорфизмы из $а будем называть а-чистыми.
Если 42 выполняется в более сильной форме:
42. Если фя|)ефш, то (ре§щ,
чистоту (о будем называть треугольной, а класс фш —
треугольно чистым.
Если А — подмодуль модуля В и естественное
вложение А в В является ш-чистым, то будем писать
А^аВ. Нетрудно понять, что, используя это
обозначение, свойства 40 — 44 можно выразить так."
40'. Если А — ретракт в В, то А^аВ.
41'. Если Л£аВ и В£аС, то Л9аС.
42'. Если AsBsC и ЛешС, то ЛеД
Я* 19

43'. Если Л<=ШВ и /(<= А, то Л//<е
44'. Если K^AsB, Ks^B и AlKs^vBIK, то
Нетрудно проперить, что соотношения А (] ВЕщС и А + BsaC
влекут аа собой ^s/ (ср. [и], стр. 93, упражнение 14).
Ясно, что совокупность всех мономорфизмов
определяет чистоту, которую будем называть
абсолютной. Класс, состоящий из одних ретракций, тоже
определяет чистоту, которую будем называть
нулевой. Легко понять, далее, что для всякого семейства
чистот {(oj класс $ = f)$a>a также является чистым.
а
Отсюда вытекает, что для любого семейства
мономорфизмов найдется минимальный чистый класс,
содержащий его.
В случае абелевых групп свойствами Ч0/-Ч4/ обладают
вложения в качестве серпантной ([и], § 23; [в], стр. 159) или
слебо-сервантпой (neat) подгруппы ([и], § 28). Нетрудно
проверить, что обе эти чистоты япляются треугольными. Будем
называть их сервантной и слабо-сервантной соответственно. Ниже
будут приведены и другие примеры.
(1.1) Если А^^С и Bs^D, to A + BsaC + D.
Действительно, пусть <р: А->С и ty: B->D.
Допустим сначала, что \]р = ев. Тогда, согласно
свойствам 40' и 44', справедливость (1.1) легко следует
из коммутативности диаграммы
А + В
еА + 0
А —^> С.
Используя этот результат, в общем случае получаем,
что А + В £ ШС + В Е ШС + D, после чего остается
только применить 41'.
Пусть о — некоторая чистота. Точную
последовательность
назовем а-чистой, если (e$ffl.
(1.2) Если (о — чистота [треугольная чистота], то
(й-чистые последовательности образуют
подполугруппу [подгруппу] (uExtk(C, Л) в группе Extk(C, A).
20

В самом деле, ввиду свойства 40 (aExt\(C, А)
не пусто. Далее, суммой последовательностей
0 _>Л-%£"--> С->0
является нижняя строка коммутативной диаграммы
0 0
I I*
О —► Л —'-+В-+С^0
I I I
0 0 0,
где А' =А" = А,Н= {(&', Ь") \ (&', Ь") gB' + B"t 6V =
= Ъ"п"), К = {(а, - а) | а е= Л}, (&', Ь") ф = 6'я, (а', а") Ф =
= а' + а", а все остальные гомоморфизмы естественные
([ж], стр. 210, или [222], стр. 90-921)). Если /',
»""£=-&£,), то из предложения (1.1) и свойства 42
вытекает, что /ефш, после чего ясно, что /е§ш ввиду
свойства 43'. В случае треугольности чистоты <о
допустим, что i, Ге=-&ш, и рассмотрим коммутативную
диаграмму
a-Ub',
где (&', Ъ")\ = Ъ\ а |' —ограничение \ на К- Ввиду
свойств_ 40 и 41 k\ = |'i' e= §ш, после чего из
свойства 42 вытекает, что k e фш. Отсюда, применив 44',
') Определение сложеиия в группе Ext можно найти также
в книгах Фукса ([и], примечание на стр. 237) и Маклейна
([г], стр. 96). Приведение последнего определения к
рассматриваемой форме требует некоторых усилий.
21

получим, что /ефш. Положив (&', Ь")ч\ =Ь", где
(b\ 6")е#, придем к коммутативной диаграмме
где т)'— ограничение т) на А'4- А". При этом Кегт)=»Л',
(А' + А")т\ = А и Нх\ = В", откуда, согласно
свойству 43', вытекает, что Г'ефщ.
Если ф — класс мономорфизмов, то обозначим
через ф* класс всех таких эпиморфизмов а, что
естественное вложение Кега принадлежит ф. Если
о —чистота, то эпиморфизмы из фш назовем ш-ко-
чистыми. Нетрудно проверить, что свойства 43 и
44 равносильны следующим:
43*. Если атефщ и а —эпиморфизм, то te#V
44*. Если tf, те-%, то ахе%.
Для доказательства рассмотрим коммутативную
диаграмму
О О
\°к If
л IV- Л п £ » Л< w Л
|я It
Z3— ■> D
\ I
О О
с точными строками и столбцами. Если я = оте%
то /ефш. При выполнении свойства 43 отсюда
вытекает, что мономорфизм g^$o, т. е. те$'щ. Если
имеет место 43* и /ефш, то сразу получаем, что
#ефш, т. е. выполнено 43. Если а, теф^, то
Л, #ефш. Применяя свойство 44, получаем /еф„,
т. е. яефщ.Столь же просто 44 выводится из 44.
22

Чистоту о назовем котреугольной, если
свойство 43* выполнено в более сильной форме:
Ч3\ Если ат<=%, то те=ф*.
В этом случае класс <£>ш будем называть котреу-
гольно чистым.
Если чистота <о треугольна и котреугольна, то
назовем ее битреугольной.
Сервантная и слабо-сервантная чистоты битреугольны (см.
(1.3) Если f: A-+A', g: С'-*-С и о — треугольная
{котреугольная) чистота, то
a Extk (С, A) Ext (g, eA) = <й Extk (С, А) (•)
(соответственно
в» Extk (С, Л) Ext (ес, f)<=<oExtk(C, Л')). (**)
Если чистота о битреугольна, то для точной
последовательности
Е: 0-,
где фефш, имеют место точные последовательности
, С)—->
, С)
и
О -> Нотл (С, X) -+ Нотл (В, X) -+ Нотл (Л, X)
где X — любой ^-модуль.
В самом деле, рассмотрим коммутативные
диаграммы
0-*А-^В"—>С'->0 0->Л -^> В -*С-*0
е4 4
с точными строками, где фефв. Тогда яе^. Из
43* вытекает, что те§'щ) т. е. 1|>ефш, а из 42
вытекает, что х^фш. Таким образом, включения (♦) и (♦♦)
доказаны. Далее, вспомним, что ha=*EExt(h, eA)

для h «= НотЛ (X, С) и h'a' = E Ext (ес, Л') для
h'е= Нотл (Л, X) ([г], стр. 101-103). Поэтому
Im a s о Exty\. (X, А) и Ima'so Extk(C, X), а
последовательности (*♦*) и (****) точны до <uExtA.(A\ A)
и (uExtA.(C, X) соответственно. Кроме того,
очевидно, что (1у = 0 и PV = 0- Пусть точная
последовательность 0->£-£-> G->X->0 определяет элемент из
Кегу. Так как Exti. — полуточный функтор, то для
некоторого Л-модуля Н имеет место коммутативная
диаграмма
с точными строками. Так как <р, fee £>ш, то II = <р£е 4?ш,
по 41. Поскольку о — треугольная чистота, отсюда
следует, что /ефш. Таким образом, Кегу = 1тр.
Пусть теперь точная последовательность
0-+X-+G'— -»В->0 "
определяет элемент из Кегу'- Тогда для некоторого
Л-модуля Н' имеет место коммутативная диаграмма
с точными строками
0-+X-+H'— ->С->0.
Так как k', я <=$>*, то ^' = А'яе^, по 44*. Отсюда
и из котреугольности чистоты <о следует, что /'еф^
т. е.
(1.4) Пусть в каждой из групп Extl\(C, А)
выделена подгруппа Ф(С, А), причем
а) если f: A-+A', g'- C-+C, то
Ф(С, A)Ext(g, Л = Ф(С, А');
б) 5ля любой точной последовательности
24

определяющей элемент из Ф(С, А), имеют место
точные последовательности
, A) ^—'-»Нотл(Х, В) *-^->
, А) y-*—
Exile v.n\
Ф(Х, В) к-*—>'-+Ф(Х, С)
Нот/я, ev\ Hom(l,
0->Нотл(С, X) К-—^>НотА(В, X) к—
ЕхЦк,еЛ
, X) i—-+
, X) к—У+Ф(А, X),
где X —любой Л-модуль. Тогда существует такая
битреугольная чистота о, что Ф(С, A) = aExt\(C, A).
Будем считать, что <рефш, если точная
последовательность
определяет элемент из Ф(С, А). Тогда 40 выполнено
ввиду того, что нуль группы ExtA.(C, Л)_принадлежит
Ф(С, А). Для доказательства 41 и 42 рассмотрим
коммутативную диаграмму
Е: 0
1
Е: 0-+A-2-+B—+C-+Q
•4 •[ 4
Е: 0-+А-^+В—>С->0
D
I I
0 0
25

с точными строками и столбцами. Если фя|зефш, то
фе^и по условию а). Пусть теперь <р, я|)ефш. Из
естественности связывающего гомоморфизма ([г],
стр. 45) вытекает существование коммутативной
диаграммы
НотЛ(С, С)—* Ноша (С, D)
i 1
i '1
ExtA(C, Л)-6> ExtA(C, В)
([г], стр. 130). Отсюда е^а'^' = е-^а^, т. е.
£Ext(6, efl) = £Ext(eg-, ф)1).
Так как г|)е-£>ш, _то £еФ(Д В) и, следовательно,
£ Ext(е^-, ф)еФ(С, В). Из условия б), точности
поел едов ательности
и того, что фефш, следует, что точна
последовательность
Ф(С, Л) Ех"Г-ф)->Ф(С, В) Ех"^я)->Ф(С, С).
Кроме того, £Ext(e^-, ф)Ех1(е^-, л) = 0, так как
фя = 0. Поэтому существует такое £'еФ(С, А), что
E'Extfa, 9) = £Ext(eff, ф), т.е. (F-£)Ext(eg-, ф) =
= 0. Так как точна последовательность
НотЛ(С, C)-*ExtA(C, i4)-»Extk(C, В),
то £' — £ = £Ext(|, ед) при некотором |еНотл(С, С).
Так как фе-£>ш, то_ £ еФ(С, А), и, применяя а),
получаем, _что £'_-£<=Ф(С, Л). Но £'еФ(С, Л).
Поэтому £еФ(С, Л), т. е. ффе§ш. Для
доказательства справедливости свойств 43" и 44* проведем
двойственное рассуждение. С этой целью рассмотрим
') Напомним, что ЛР' =- Ё Ext (Л, ев) ([г], стр. 101-103}.
26

коммутативную диаграмму
Ё: О
(
В — +В
£: 0->Л—>В—-
'I 1 •«!
Е:
О
с точными строками и столбцами. Если (стефщ, то
яе^ благодаря условию а). Если же а, яеф^, то
из коммутативности диаграммы
НотЛ(Л", A) -i* Нотл (В, А)
-I 4
([г], стр. 130) следует, что ejofj = eja'(J'. Таким
образом, £Ext(efl, 6/) = £Ext(n, ej). Так как £е Ф(В, В),
то по а) £ЕхЦя, ej)eO(B, Л). Из условия б),
точности последовательности
и того, что я е -%, вытекает точность
последовательности
Ф(С, Л)->Ф(В, Л)->Ф(Л, Я).
Кроме того, £ Ext (я, ej) Ext (ф, ej) = 0, так как фя = 0.
Отсюда следует существование такого £'еФ(С, А),
что £'Ext(n, ej) — £ЕхЦя, ej). Таким образом,
27

(Е' — Ё) Ext (я, ej) = O. Но тогда из точности
последовательности
Ногти (Л, A)->Extlx(C, A)-+Extlx(B, A)
вытекает, что_ Е' — £r=£Ext(ec, |) при некотором
£еНотл(Л, А). Так как £еФ(С, А), отсюда,
используя условие а), получаем, что £'-£бФ(С, А).
Но Е' еФ(С, А). Поэтому £еФ(С, А), т. е. сше=ф* .
Мысль об аксиоматизации чистоты с помощью свойств
ЧС —44' возникает по существу в работе Мараиды [153].
Предложении (1.2)-(1.4) легко следуют из результатов Батлера
и Хоррокса [53]. Сама по себе идеи определения нового
функтора путем выделении подгруппы в группе Ext восходит к работе
Хохшнльда [116] (см. также [48], [218]). В случае групп, исходя
из нее, вводились и исследовались различные чистоты ([91], [101],
[103], [124], [169], [170], [234]). На некоторые нз относящихся сюда
проблем указал Фукс [90]. В этой связи интересно следующее
свойство слабо-серваитиой чистоты ([и], стр. 248,
упражнение 17): группа А слабо-серваитиа в В тогда и только тогда,
когда точная последовательность
прииадлежит подгруппе Фраттиии группы Ext (В/А, А). Отметим
также результаты Фукса ([85], ч. I; [87]), доказавшего, что
а В
если U — любая группа, а 0 -*■ А —■> В —► С -> 0 — точная
последовательность, где Аа серваитиа в В, то нндуцироваииые
гомоморфизмы а' и Р' отображают Нот (£/, А), Нот (С, U), Ext (U, А),
Ext (С, U), AS) U и Тог (U, А) иа серваитные подгруппы групп
Horn (U, В), Нот (В, U), Ext (U, В), Ext {В, U), В О U, Тог (U, В)
соответственно; обратно, если подгруппа Нот {U, А) а' (подгруппа
Нот (С, U) Р', подгруппа (А О U) а') сервантиа в Horn (U, В)
(в Нот (В, U), в В ® U) при любом U, то подгруппа Аа сер-
ваитна в В. Интересно, имеют д^ место аналогичные результаты
для модулей, а также для других чистот в группах.
Пусть опять (о —некоторая чистота. Назовем
Л-модуль (й-инъективным (<а-проективным), если он
инъективен (копроективен) относительно всех ш-чистых
мономорфизмов. Совокупность всех ш-инъективных
(©-проективных) Л-модулей обозначим через О.ш
(через ^о). Ясно, что инъективные (проективные)
модули (о-инъективны (ш-проективны) для всякой
ЧИСТОТЫ (0.
Классы серваитио-нпъективиых и слабо-серваитпо-ииъектнв-
иых групп совпадают соответственно с классом всех
алгебраически компактных групп ([и], § 26) и классом всех групп вида
28

D + 2 ^P' где -О ~Делимаи группа, рГр=>0, р пробегает все
Р
простые числа ([103], лемма 4). Класс всех алгебраически
компактных групп совпадает с классом всех групп вида
Л = £> + 2*£)р> гДе D~ делимаи группа, a Dp — модуль над
р
кольцом целых р-адических чисел, ие имеющий элементов
бесконечной высоты и полный в топологии с базой окрестностей
нули {pnDp | п = 1, 2,...} ([36]). Известно также, что группа А
алгебраически компактиа тогда и только тогда, когда она служит
прямым слагаемым дли некоторой группы, допускающей
бикомпактную топологию ([148]). Алгебраическое строение групп,
допускающих бикомпактную топологизацию, описал Хулиииц-
кий ([117], [118]"). Другие характеризации класса всех
алгебраически компактных групп можно найти в [и] (§ 26), [к] (§ 17),
[88], [98] (стр. 177), [119] [121], [148], [150], [152], [181].
Примерами алгебраически компактных групп служат группы Нот (и, У),
где U — периодически, а V — произвольная группа, и Ext (U, V),
где группа U произвольна, а V — группа без кручения ([85], ч. I,
теоремы 4.1 и 4.3; [102]), а также группа характеров любой
группы ([86]). Группы Нот (А, II) и Ext (Л, Н) алгебраически
компактны, если такова группа II ([90], стр. 11). Мадер [152]
выяснил, когда алгебраически компактная группа является
пополнением в n-адической топологии прямой суммы циклических
групп. Известно также, что дли произвольных групп А„
факторгруппа 2 Л>/2^я алгебраически компактна ([120]; см. также
[39], [75], [89], [98]). Интересен вопрос, для каких чистот и
каких колец этот последний результат остаетси справедливым
([90], стр. 12, проблема 2). С алгебраической компактностью
свизаиа также проблема 1 из [90]. Класс серваитио-проектив-
иых групп совпадает с классом всех прямых сумм циклических
групп ([153], стр. 2, теорема 1; [в], стр. 157, 162). Разумеетси,
слабо-серваитио-проективные группы будут лежать в этом классе.
Однако циклическая группа Zc поридка р*, где р —простое число
и k > 1, ие слабо-серваитно-проективиа, так как для иее ие
эамыкаетси диаграмма
Zc
где A = Z/pZ + Zlpk+iZ, B = Z{\+pZ,pk^+pk+lZ),
л-естественный эпиморфизм и сф = (0, 1)4- В. С другой стороны, бес-
коиечиаи циклическая группа и циклические группы простых
порядков, очевидно, копроективиы относительно слабо-серваитио-
чистых вложений (см. (1.48)). Таким образом, ввиду
предложении (1.5) слабо-серваитио-проективиыми окаэываютси все примые
суммы бесконечных циклических групп и циклических групп
простых поридков и только оии.
(1.5) Прямая сумма {полная прямая сумма) А-мо-
дулей а-проективна (а-инъекгивна) тогда и только
29

тогда, когда все слагаемые а-проективны (<а-инъек-
тивны).
Действительно, справедливость доказываемого
утверждения для полной прямой суммы сразу
следует из (0.1а), а для прямой суммы доказывается
двойственным рассуждением.
(1.6) Если © — битреугольная чистота, то
(й-инъективность А-модуля Q (а-проективность
А-модуля Р) равносильна равенству a>Extl\(X, Q) = 0
(равенству <aExtl\(P, Х) = 0) для всех А-модулей X.
Действительно, если Q — ©-инъективный модуль,
QcJ и YIQ = X, то, поскольку eQ можно
продолжить до гомоморфизма Y в Q, модуль Q оказывается
ретрактом в Y, т. е. oExt^X, Q) = 0. Если же
© ExtA (X, Q) = 0 для всех X, А £ ШВ и © —
битреугольная чистота, то из (1.3) легко вывести, что Hom(i, eQ),
где i: A -► В — естественное вложение, отображает
НотЛ(В, Q) на Нотл (A, Q). Но это и означает
возможность продолжить всякий гомоморфизм ф: A-+Q
до гомоморфизма я|з: B->Q. Второе утверждение
доказывается двойственным рассуждением.
Пусть о —некоторая чистота. Модуль А назовем
^-делимым, если всякий мономорфизм i: A ->■ В
является ©-чистым. Модуль С назовем ш-плоским,
если во всякой точной последовательности 0->Л— ->
—►£—>С—►О мономорфизм i является ©-чистым.
Другими словами, модуль D будет ©-делимым, если
© Exti (X, D) = ExtA (X, D) для всех X, а модуль
Е — ©-плоским, если © Ехй (Е, X) = ExtA (E, X) для
всех X. Из свойства 40 вытекает, что всякий инъек-
тивный модуль является ©-делимым, а всякий
проективный — ©-плоским.
Из предложения (1.53) вытекает, что как серваитио-дели-
мыми, так и слабо-серваитио-делимыми являются обычные
делимые группы ') и только оии. Группы без кручения и только они
являются ввиду предложения (1.54) как сервантио-, так и слабо-
серваитио-нлоскими.
(1.7) Модуль А является <а-делимым тогда и только
тогда, когда он а-чист в некотором инъективном модуле.
') Делимыми будем называть группы, которые в русской
литературе обычно иазываютси полными.
30

Действительно, пусть A s aQ, где Q — инъектив-
ный модуль. Из свойства 42' нетрудно вывести, что
A s ШЛ, где А — инъективная оболочка модуля А
([г], стр. ]138)хЕсли А. = В, то Л s В. Можно считать,
что А ^ А ^ В. Но В = А 4- С. Из свойств 40' и ЧГ
вытекает, что А ^ ШВ. Остается применить 42'.
Обратное очевидно.
(1.8) Если А^аВ и модуль В является ау-дели-
мым, то и модуль А будет ю-делимым.
Действительно, ввиду предложения (1.7) В s ^Q,
где модуль Q инъективен. Из свойства 41' вытекает,
что i4sBQ. Вторичное применение предложения (1.7)
завершает доказательство.
(1.9) Всякое расширение отделимого модуля с
помощью (^-делимого является ^-делимым модулем.
Действительно, пусть 0-*А ->£ ->С->0 — точная
последовательность, где А и С - ш-делимые модули,
и пусть flsD. Ясно, что AsaD и В/A s aDjA.
Ввиду свойства 44' Й2Д
(1.10) Прямая сумма S = A + B является <а-дели-
мым модулем тогда и только тогда, когда отделимы
оба прямых слагаемых.
Действительно, если S —ш-делимый модуль, то А
и В также ш-делимы по свойству 40' и
предложению (1.8). Обратное следует из (1.9).
(1.11) Лемма. Если O-^K-^+F -^B-*0 и
0-+L -?-+ А —-> В -► 0 — точные последовательности и
F — свободный модуль, то имеет место
коммутативна а диаграмма g
-0
-0
с точными строками и столбцами, причем
31

Действительно существует /: F-*A такой, что
я = /т. Определим р: F-\-L—>А, положив (х, у)р =
= xf + yj. Если а е А, то ат = л:я = л:/т, откуда
a — xf = yj. Таким образом, (х, у)р = а, т. е.
р—эпиморфизм. Пусть М=Кегр и а —естественное
вложение М в F -h L. Положим N = L и обозначим через (J
естественное вложение N в F + i, а через а
—проекцию F + L на F. Заметим еще, что (х, y)an = xfx=
= (xf + yj)x = (х, у)рт, т. е. ая = рт. Если «eL
и oeAf.TO «Pp = (O, u)p = uj и оаая = оарт=0. Отсюда
N$p=Lj и MaasKi- Кроме того, если (*, y)^Ma(]N$,
то х = 0 и yj = (х, у)р = О, т. е. Ма П Л/'Р = 0. Отсюда
вытекает, что ограничения р и а на N и М
соответственно являются мономорфизмами. Пусть x^Ki-
Тогда х = (х, 0)а. При этом (я, 0)рт=(л:, 6)ая=д:я=0,
т. е. (х, 0)р = yj. Отсюда (д:, -у)р = (х,0)р-(0, у)р = О,
т. е. (я, — у)^Ма. Но (я, — у)а = х, т. е. Maa=Ki.
(1.12) Модуль В является а-плоским тогда и только
тогда, когда В — эпиморфный образ некоторого
проективного модуля с (а-чистым ядром.
Действительно, из свойства 40', предложения (1.1)
и из [б], стр. 21, теорема 2.2, вытекает, что В
—эпиморфный образ некоторого проективного модуля
с ©-чистым ядром тогда и только тогда, когда В
—эпиморфный образ некоторого свободного модуля F
с ©-чистым ядром /С. Пусть т: А -*■ В — эпиморфизм и
L = Kerx. Рассмотрим диаграмму, построенную в (1.11).
Предположим, что /ефш. Так как (Ма + Лф)а= Ki и
N$s aF + L, согласно свойству Ч(У, то из 44'
вытекает, что Ма+ Лфе aF-i- L. Применив 43', получим
Кегт^шЛ, что и требовались. Обратное
утверждение очевидно.
(1.13) Если А является а-плоским модулем,
т: А ->■ В — эпиморфизм и Кегт^шЛ, то В —также
(а-плоский модуль.
Действительно, по (1.12), имеет место эпиморфизм
я: Р-+А, где Р — проективный модуль и Кегя^шР.
Из свойства 44' следует, что (Кегт)я"1 = аР. Но
(Кегт)я"1 = Кегят. Остается еще раз применить (1.12).
(1.14) Расширение ал-плоского модуля с помощью
а-плоского является ^-плоским модулем.
Действительно, пусть 0—>А —>В-+С-+0 — точная
последовательность, где А, С — ©-плоские модули.
32

Из точной последовательности 0 -► К. — -> D ->■ В
пегко получить коммутативную диаграмму
О О
i 1
о _► к —•> и —> л -> о
•J 'I I
V V V
с — >с
1 I
о о
с точными строками и столбцами. Из условия
вытекает, что /', /ефш. Согласно свойству 42 i = i'j e фш,
что и доказывает теорему.
(1.15) Прямая сумма S = A-i-B является а-пло-
ской тогда и только тогда, когда <а-плоскими являются
оба слагаемых.
Действительно, если S —ш-плоский модуль, то
А и В — также ш-плоские модули по свойству ЧО7
и предложению (1.13). Обратное следует из (1.14).
Рохлина заметила, что справедлив следующий результат:
Если Л— наследственное кольцо, то всякий подмодуль
ф-плоекого ^.-модуля является т-плоским, а всякий фактор-
модуль ш-делимого А.-модуля будет ш-делимым.
Это сразу следует из [б], стр. 30, теорема 5.4,
предложений (1.7), (1.12) и из свойств 43' и 42f.
(1.16) Если Sit —произвольный класс модулей, то
класс ф.м всех мономорфизмов, относительно которых
инъективны все модули из Ш, является треугольно
чистым.
Действительно, справедливость свойств 40, 41
и 42 сразу следует из предложений (0.16), (0.1 в) и
(0.1 г). Справедливость свойства 43 проверяется без
труда. Допустим теперь, что дана коммутативная
диаграмма, указанная в 44, Qe2# и a: A-+Q.
Тогда /а = 1$', где (!': В —► Q существует в силу того,
что is-Pw. Пусть теперь а" = а — <p(J'. Поскольку
3 Л. П. Мишина, Л. Л. Скорняков 33

/а" = 0, то а" = аа, где а: C-+Q. Отсюда а = -ф
где fl: £>->Q. Положив р = тР + Р', получим
аа + фР' = а" + фР' = а.
Таким образом, фефщ, т. е. свойство 44 также
выполнено.
Очевидно, что для всякой чистоты о имеет место
включение фш^фа . Чистоту ©, определяемую
классом О-а, назовем инъективным замыканием чистоты <о.
Если |?ш = Фош) то чистоту о будем называть инъек-
тивно замкнутой.
(1.17) Инъективное замыкание © чистоты <о
является инъективно замкнутой чистотой.
Для доказательства заметим, что, поскольку &ш
содержит все инъективные модули, класс ^(CL,) состоит
из мономорфизмов. Следовательно, фй = Ч"(С1Ш). Но
С1„ = Ф ($ А Отсюда Ci,;, =■ Ф (ф,ь) = Ф (V (фш)) =
= Ф(¥(Ф(фш)))=Ф(фш)=С1ш, поэтому Фсв-*о.-^Л.
Чистота о называется инъективной, если для
всякого модуля Л найдется ш-чистый мономорфизм
f: A->Q, где Q — ю-инъективный модуль.
Из предложения (1Л1) вытекает, что серваитиая и слабо-
сервантная чистоты ииъективиы.
(1.18) Всякая инъективная чистота инъективно
замкнута и треугольна.
Действительно, пусть <о — инъективная чистота и
мономорфизм i: Л->В лежит в <&q0)= ^(Сш).
Рассмотрим точные последовательности
где /ефш, QGUe. Тогда j = ih, где h: B->Q.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
где bg = {bn, bh), aj = (0,a). Из свойств 40, 41 н
34

предложения (1.1) вытекает, что ig = / (0 + /) е фш.
Но bg = 0 влечет Ьп = 0 и 6Л = 0. Отсюда 6 = at и
0= bh = alh = aj. Таким образом, а»-0, а значит,
6 = 0. Следовательно, g— мономорфизм и "/ефш
ввиду свойства 42. Треугольность инъективно
замкнутой чистоты вытекает из предложения (1.16).
(1.19) Чистота о инъективна тогда и только тогда,
когда пара 93 = (фш, &J является моноинъективнои
структурой.
В самом деле, если ю-инъективная чистота, то
свойства Cl, С2, СЗ очевидны, в силу (1.18).
Обратное сразу следует из СЗ.
Далее, справедливо такое утверждение
(1.20) Если ЗЯ —произвольный класс модулей, то
класс |>да всех мономорфизмов, относительно
которых копроективны все модули из ЗЯ, является ко-
треугольно чистым.
В самом деле, справедливость свойства 40
очевидна. Если естественные вложения i: A-+B, j: В-*-С
лежат в ф8", то рассмотрим коммутативную
диаграмму
В -*->С
i i
0 -> В\А -*-> С/Л -2> С IB -> 0,
где я, т, а — естественные эпиморфизмы. Если ЯеЭЙ
и <р:,Я->С/Л, то <ра = я|/та, где г|/: Р-+С, так как
/ е £*". Тогда Р (<р - я|з'т) £ (В/Л) fe. Поэтому можно
рассмотреть гомоморфизм ф' = (<р — г|/т)Л~',
отображающий Р в В/Л. Далее, ф' = 1|>"л, где г|)": Р->В.
Если tJj = Ч>"/ -*"Ч3'» то г|>т = г|)"/т + *|>'т = Vnk + tfx =
= ф —я|з'т + 'ф/т = ф. Следовательно, естественное
вложение Л в С лежит в $ш, т. е. 41 выполнено, Если
/: Л-*£, /: В-+С, i]^$® и /—мономорфизм, то
рассмотрим коммутативную диаграмму
0->Л— -
! i
где а, т—естественные эпиморфизмы, я —естествен-
3» 36

ное вложение. Если ф: P-+BJA, где Ре Эй, то фП —
=ч|)'т для некоторого i|/: Я->С. При х^Р имеем
хф'т = хщ = ban = bjx,
где бе В, т. е. jn|/= bj + alj, где ael Отсюда
jn|) Г' = b + ai и jn|) / а = 6а = д:ф, так как я —
мономорфизм, откуда (1ф'/"')а = ф, т. е. ie#'w и
свойство 42 справедливо. Если выполнены условия
свойств 43* или 44*, то имеет место коммутативная
диаграмма
О
4
L
-UB-г»
\, •-!
т
\
о
с точными строками и столбцом. Для доказательства
свойства 43* допустим, что ате [Фш]* и рассмотрим
гомоморфизм ф: P->Z), где Р е Ш. Тогда ф = Л(ат),
где Л: Р-+В. Отсюда (ha)x= Л(ат) = ф, т. е. те[§'№]*.
Для доказательства свойства 44* предположим, что
и,те [Ф^1]* и опять рассмотрим гомоморфизм
Ф'. Р -* D, где Ре Эй. Тогда ф = Л'т и Л' = h"a, где
Л': Я-*С, Л'': Р-+В, Следовательно, Л"(ат)=Л'т=ф,
т. е. ат е [ф«]*.
Штеиштрем [199] рассматривал чистоту о», определяемую
классом ф*' (см. 150), где 9JI — м'иожество всех конечно-связаи-
иых модулей. Среди его результатов следует отметить теорему
о том, что модуль М является со-плоским тогда и только тогда,
когда он есть предел прямого спектра ш-проективных модулей
(ср. [1], [3], [146]). С тем же классом Ш связаны исследования
Фильдхауза [82], рассматрипавшего универсальную чистоту
(см. стр. 40).
Вопрос о треугольное™ чистоты, определяемой
предложением (1.20), даже в случае групп пока
открыт.
36

Разумеется, <£>ш s ф4"05. Чистоту, определяемую
классом ^ш, назовем проективным замыканием
чистоты о. Естественным образом можно ввести
понятие проективно замкнутой чистоты.
Рассуждениями, аналогичными примененным для
доказательства предложения (1.17), устанавливается:
(1.21) Проективное замыкание <о чистоты <о
является проективно замкнутой чистотой.
Чистоту о назовем циклически проективно
замкнутой, если (о-чисты все мономорфизмы,
относительно которых копроективны все циклические
(о-проективные модули. Если для каждого Л-модуля Л
существует точная последовательность
где Р — (й-проективный модуль (прямая сумма
циклических (й-проективных модулей) и i е §ш, то чистота о
называется проективной (циклически проективной).
(1.22) Всякая (циклически) проективная чистота
(циклически) проективно замкнута и котреугольна.
Действительно, пусть все (циклические) (й-проек-
тивные модули копроективны относительно
мономорфизма i: А-*-В. Рассмотрим точные
последовательности
0->Л -^В — -»С->0
и
О->/(-£>/> -1* С-*•(),
где Р — (й-проективный модуль (прямая сумма
циклических (й-проективных модулей) и je§ffl. Тогда а =
= фя, где <р: Р->£. Рассмотрим коммутативную
диаграмму
АЛ-К—'-+АЛ-Р
A -U В ,
где f = eA + j, (a, x)g = ai — x(p, a gr — ограничение g
на АЛ-К. Если Ь^В, то Ьл = ха = хул, где х^Р,
откуда b — x<f = ai. Этим показано, что g и g'—
эпиморфизмы. Если (a,x)g = 0, то ха = хул = а1л = 0,
откуда Kerg.«=Imf. Ввиду (1.1) fe§B и из 43
37

вытекает, что i е §ш. Котреугольность проективно
замкнутой чистоты следует из (1.20).
Ввиду предложении (1.49) из (1.22) вытекает циклическаи
проективиаи замкнутость серваитиой и слабо-серваитиой чистот.
Важнейшим примером чистоты является Г-чистота.
Чтобы дать ее определение, зафиксируем некоторый
свободный Л-модуль F и отметим в нем подмодуль U.
Пусть х1. U->■ F — естественное вложение. Модуль А
назовем FU-чистым в В (в обозначениях А Е рцВ),
если Лей и для всякой коммутативной диаграммы
i 4
A-UB.
где i — естественное вложение, найдется такой
гомоморфизм if: F-+A, что ф = х'Ф-
Батлер и Хоррокс ([53], § 21) называют гомоморфизм
ф: U-ь-А Ff-системой лииейиых уравнений над модулем А.
Наличие указаииой выше коммутативиой диаграммы трактуетси
как разрешимость системы <р п модуле В. Тогда А = p(JB
означает, что всикаи FCZ-система иад А, разрешимаи в В, разрешима
и в А. Чтобы установить свизь этой терминологии с обычной,
обозначим через (дер | Р е Q} систему свободных образующих
модули F. Тогда каждый элемент из U имеет вид 2^ор*р> где
Хар г Л, причем почти все Яар при фиксированном а равны
нулю. Пусть
(2Я) - «а.
где аа s А. Разрешимость системы <р в В означает, что
h-aa
дли подходищего гомоморфизма Л: F->В. Положив Ь$~
получим равенство
Теперь исио, что если задана система уравнений
2 ^ap*p=-aa (<»e=S),
PQ
где fi и S — произвольные множества, A,ap s Л, аа s А и дли
каждого а почти все Я,„р обращаются в нуль, которая имеет
решение в В в обычном понимании, мы можем трактовать ее
как f {/-систему уравнений иад А, разрешимую в В. Дли этого
38

достаточно обозначить через F свободный Л-модуль со
свободными образующими {xpipefi}, а через f —его подмодуль,
порожденный левыми частими данной системы уравнений.
(1.23) Отношение ^ри обладает свойствами 40',
41', 42, 43* и 44'.
В самом деле, справедливость свойств 40', 4Г
и 42 очевидна. Для доказательства свойства 43*
рассмотрим коммутативную диаграмму
О О
с точными строками и столбцами, где п = ах и,
следовательно, М^РиВ. Поскольку модуль F свободен,
то Лт — h'n, где h'\ F-+B. Отсюда (Л — Л'а)т = 0,
т. е. lm(h-h'a)sLj. Далее,
%h'n = %hx = ф/т = 0,
что позволяет рассмотреть гомоморфизм у/гГ1: U-+M.
Так как %h' = {%tii~x) i и M^FUB, то xh'rl = x^', где
•ф': F-+M. Положим я|з = i|/</ + (h- h'a) /"'. Тогда
•ф отображает F в L. При этом
Отсюда
%h'a
т. е. Х'Ф1=Ф- Таким образом, L^PUC. Пусть теперь
А, В и К имеют смысл, указанный в условиях
свойства 44' (рис. 1). Пусть С-Л//С, D-B//C,
а: А-+С и т: Б -► D — естественные эпиморфизмы,
39

i: A-+B, j\ C-+D и k: /(->Л — естественные вложег
ния. Рассмотрим такие гомоморфизмы ф." U-+A и
Л: F-*-B, что ф/ = х^, где х ~ естественное вложение
U в F. Тогда
Ф"
Рис. 1
Поскольку C^PUD, то
4X7 = ХФ'. гДе Ф': F-+C.
Но У7 —свободный модуль.
Поэтому я|з'='ф//а, где
■ф": F-^-Л. Отсюда хФ"^
= Хф' = фа, т. е. 1т(хФ"-
-<р)£ Д Поэтому,
положив ф' = (х'Ф//^1
получим соотношение
Поскольку KsPUB, то ф' = хФ'". где я|з'": F->/C.
Положив я|з = я|з" —1|/"&, получим
Хф = хФ" - ХЧ>'"* = Х^" - ¥* = XV ~ XV + Ф = Ф.
т. е. Д%В.
Если Г = {(/7, У)} —система пар, где F —
свободный модуль, a U — его подмодуль, то будем говорить,
что модуль А Т-чист в В (в обозначениях: ЛЕгВ),
если А^рцВ для всех (F, (/)еГ. Ввиду
предложения (1.23) отношение Sr задает битреугольную
чистоту, которую будем называть Г-чистотой. Если Г
содержит всевозможные пары такого типа, то такая
Г-чистота называется универсальной.
Легко проверяются следующие два предложения:
(1.24) Если все подмодули U в системе Г конечно-
порожденные, а трансфинитная последовательность
такова, что Аа^гС для всех а и В = [) Аа, то В s гС.
(1.25) Если все модули F в системе Г конечно-
порожденные, а трансфинитная последовательность
А = Ай s А\ £ ... sAaS ... £ Ли = В
такова, что Аа^тАа+\ для всех аи Аа= (J/4р для
Р
всякого предельного а, то А £г В.
40

Будем говорить, что диаграмма
замыкается, если существует такой гомоморфизм
р: 0->Л, что f = jp. Диаграмму (*), где G
—свободный модуль, а / — мономорфизм, назовем
^-допустимой над А, если из наличия коммутативной диаграммы
£/-** F
v-Ug,
где (F, (/)еГ, вытекает, что kf = %Q для некоторого
6: F-+A.
(1.26) Диаграмма (*), где G — свободный модуль,
а } — мономорфизм, Т-допустима над А тогда и только
тогда, когда существуют модуль В, гомоморфизм
a: G -+В и Т-чистый мономорфизм I: А-*-В такие,
что диаграмма
а\ (***)
А-^В
коммутативна.
Действительно, пусть Диаграмма (*) Г-допустима
надЛ. ПоложимБ = (Л+О)/А:,гдеА: = {(1)/, -vj)\v^V).
Определим гомоморфизм i: A-+B и a: G->B, положив
ai = (a, 0) + К ч go = (0, g) + K. Таким образом,
возникает диаграмма (**♦). Поскольку
она коммутативна. Если ш = 0, то (а, 0)=(о/, — vj)
для некоторого о е V, откуда о = 0. Следовательно,
а —0, т. е. i— мономорфизм. Чтобы убедиться, что
этот мономорфизм Г-чист, рассмотрим
коммутативную диаграмму
U-Z+F
А—* В,
41

где (F, U) e Г. Ввиду проективности модуля F
существует гомоморфизм т: F->■ АЛ- G такой, что h = xa,
где а — естественный эпиморфизм А 4- G на В, т. е.
xh = xx + К- Обозначим через я/ и п" естественные
проекции А 4- G на Л и G соответственно. Из
коммутативности диаграммы (•••*) вытекает для ug(/,
что
(ыф, 0)-«хт = (о/, -о/),
где ogK. Отсюда uyxv." = vj и и<р — и%хп? — о/. Таким
образом, возникает коммутативная диаграмма (**),
где / = тп", а £ = хтл7~'- По условию, имеем kf = yjb,
где 6: F->-i4. Отсюда
= u%Q + u%xrf = «fe/ + «ф — о/.
Но
о// -■ vja = и%тл"а = ы%/а = ukja =» ы£Д\
Поэтому vf = ukf, и, следовательно, %( 0 ф
Таким образом, мономорфизм I действительно Г-чист.
Пусть теперь даны диаграммы (*) и (••) и существует
модуль В с указанными в формулировке теоремы
свойствами. Из соотношения А^гВ вытекает, что
А/ = Хб, где 0: F-уА, а это и требовалось.
(1.27). Если всякая Г-допустимая над А диаграмма,
где мощность базы модуля G равна кардинальному
числу ш, замыкается, то замыкается и всякая
диаграмма
i
А
где i — T-чистый мономорфизм, а модуль D/C
обладает системой образующих мощности ш.
Для доказательства рассмотрим диаграмму
G
0-*-С->£>— *£>/С->0
с точной строкой, где G — свободный модуль с базой
мощности т, а т — эпиморфизм. Поскольку модуль G
42

проективен, имеем х = ап, где a: (3->D. Пусть
V — полный прообраз подмодуля Ci ci D относительно
гомоморфизма а. Тогда получим коммута-тивную
диаграмму
I/ I ^ п
c-Ud.
Применив предложение (1.26), убедимся, что
диаграмма
V-+G
С
Г-допустима над С. Отсюда следует, что диаграмма
i
А
Г-допустима над А. Из условия предложения
вытекает, что /ф-=/"р, где р: G->A. Если, далее, de/3,
то dn = хх, где хеС Отсюда (d — ха)п = dm — хх = О,
т. е: d-wGlmi. Таким образом, D=lmi + lma.
Если d =• ci + ха =• c't + х/а, где c,cr^C, x, x/ e G,
то (с — с?) i = (xf — х) а. Но c — c'=vf для некоторого
v^V. Отсюда (х/—х)а = (с — с7)/" vfi = v}a. Поэтому
xf — x= vj + yj, где у/еКега. Отсюда (с — с7)/ —
= (о/ + У/)о~(° + У)/'. т- е- c-c' = (v + y)f. Далее,
имеем
(с - с')<р = (w + i/)fa = (w + у)/р - (х* - х)р.
Полученное равенство позволяет определить
гомоморфизм г|з: D->A, положив
^■ф = сф + хр,
где d = ci + ха. Ясно, что п|> = ф.

(1.28) Модуль А является t-инъективнын тогда
и только тогда, когда всякая Y-допустимая над А
диаграмма (*) замыкается.
В самом деле, предположим, что А — Г-инъектив-
ный модуль и диаграмма (*) Г-допустима над А.
Из предложения (1.26) вытекает существование
коммутативной диаграммы (***) с Г-чистым
мономорфизмом i. Ввиду утверждения (1.6) / — ретракция и
существует такое п, что (п = еА. Положив р = сгя,
получим равенство /—/р. Обратное утверждение
сразу следует из предложения (1.27).
(1.29). Если F —свободный А-модуль, U —
подмодуль из F и 0-*-А-^-*В — ->С->0 — точная
последовательность А-модулей, то эквивалентны
следующие свойства:
1) lmi<=FUB',
2) если %: U -*■ F — естественное вложение, то
Im Horn (x, i) = Im Horn (еи, i) ft Im Horn (x, eB);
3) Нот(е7?/у, я) — эпиморфизм;
4) модуль F/U копроективен относительно i.
В частности, всякая Т-чистота проективно замкнута.
Для доказательства равносильности свойств 1) и
2) рассмотрим о g Im Horn (ey, i) film Нот (х, ев).
Тогда а = ф! = хЛ, где <р: U->A, h: F->B. Если
выполнено 1), то ф-'Х'Ф" гДе 'Ф1 F->A. Следовательно,
а = xi|3t s= Im Horn (Xi /)• Таким образом,
рассматриваемое пересечение лежит в Im Horn (x, 0- Обратное
включение очевидно. Если справедливо свойство 2) и
дана коммутативная диаграмма
{ i
А -'•> В,
то
а = ф! — fh e= Im Horn (eUt i) ft Im Horn (%, eB) =
Л — Im Hom(x, /)•
Отсюда ф/ = ог = хф1". где г|з: F->i4 и, следовательно,
Ф = Х^. Таким образом, 1) и 2) эквивалентны.
44

Эквивалентность свойств 2) и 3) нетрудно вывести
из рассмотрения коммутативной диаграммы
' О
I
Нот 1ерп., я)
0->Нот . WIV, А) ► Нош . (FIV, В) \SIE—>+. Нот . (P/U.Q
Л Л Л
1
О -+ Нот. (F. А) >Hom.(F,B) >Hom . (F ,С)-»0
Л Л Л
HonWe , A
0->Hom. (U. А) ——--> Нош . <£/,В) >Нот. Ш,С).
Л Л Л
Эквивалентность свойств 3) и 4) очевидна.
Утверждение о том, что Г-чистота проективно
замкнута, непосредственно следует из
эквивалентности свойств 1) и 4).
Ввиду предложения (1.29) из рассмотрения точной
поел едов ател ьности
Ноша W, A)->Hom\(FIU, AIA)->ExtA(F/U, Л)->0,
где А —инъективная оболочка модуля А, вытекает
(1.30) Модуль А FU-чист в своей инъективной
оболочке тогда и только тогда, когда Ext^F/f/, Л)=0.
Из (1.7) и (1.30) получаем
(1.31) Следующие свойства модуля Q
эквивалентны:
1) Q является FV-делимым модулем;
2) ExtA(F/{/, Q)=»0;
3) модуль Q инъективен относительно
естественного вложения U в F.
Из предложений (1.10) и (1.31), ввиду [б], стр. 140,
предложение 1.2, вытекает
(1.32) Полная прямая сумма Т-делима тогда и
только тогда, когда Т-делимо каждое слагаемое.
(1.33) Если U — проективный подмодуль
свободного модуля F, то эпиморфный образ FU-делимого
модуля FU-делим.
Действительно, если {/ — проективный модуль,
модуль А ^(У-делим, последовательность А— ->В->0
45

точна и <р: U->B (рис. 2), то<р = <р'я, где <р': U->A;
Применяя предложение (1.31), получаем, что ф' = х1Ф'|
где il/: F->i4, a х ~ естественное вложение U в F.
Таким образом, <р — ф'п = х(|Ф'я). откуда ввиду
предложения (1.31) вытекает /-"{/-делимость модуля В.
(1.34) Если T = UFa, Ua)} и эпиморфный образ
Т-делимого модуля Т-делим, то все Ua проективны.
В самом деле, рассмотрим точную
последовательность
и пусть <р: Ua->B (рис. 3). Обозначим через А инъек-
тивную оболочку модуля А, а через /их естественные
Рис 2.
Рис. 3.
вложения А-*-А. и Ua-+Fa соответственно. Пусть
т —естественный эпиморфизм А на Ajlmij. Легко
видеть, что jx = nf, где f— мономорфизм В в Л/Im//.
Из предложения (1.31) легко вывести, что А — Г-де-
лимый модуль. Но тогда, по условию, модуль A/lmij
также Г>делнм н, применяя предложение (1.31),
получаем, что <pf — %g, где g: Fa->Ajlmij. Пусть g = g'x,
где g': Fa->A. Если ue Ua и «ф — an, где а е А, то
(a/ — «xg')T^anf — шр/= 0. Следовательно, a/ — «x£'e
elm//. Таким образом, u%g' e Im/. Положив г|з =
= Xgrl~\ получим г|зл/ = г|з/т-xg/>r = ХЯ = ф/. откуда
\)зя=ф. Этим доказана проективность {/„.

Систему 3 = {/4a|cteQ} подмодулей модуля А
назовем покрытием, если Л — 2 А»- Модуль А
называется компактным, если из всякого его счетного
покрытия можно выбрать конечное. Легко понять,
что всякий конечно-порожденный модуль компактен.
(1.35). Если модуль U компактен, то прямая
сумма любого числа FU-делимых модулей FU-делима.
Справедливость этого предложения вытекает из
(1.10), (1.31) и следующего факта:
Если ф — гомоморфизм компактного модуля А
в прямую сумму В = 2 Ва модулей Ва, то Im <p ^
sBa, + ... + Bam для некоторых индексов ctj ctm.
Для доказательства обозначим через л^ проекцию
модуля В на Ва и допустим, что существует счетное
множество индексов av о^, ... таких, что ЛфЯа, ф 0.
Положим Ak= [a\a еЛ, асряа^О при i^fej. Тогда
оо
А = 2 А* откуда, в силу компактности модуля А,
fc—i
Л = 2 Л*- Отсюда Л<рла —0, вопреки допущению.
ft-i "
(1.36) Если прямая сумма Г'-делимых модулей
Г-делима, (F, (/)еГ и модуль F конечно-порожден,
то U компактен.
оо
В самом деле, пусть U = 2 £^ Положим Лт =
ft—i
/ т
— £//2 Uk (m —1, 2, ...). Каждый из модулей Ат
1 ft-i
вложим в инъективный модуль Qm. Согласно
предложению (1.31) Qm — Г-делимый модуль. По условию,
Г-делимым является и модуль Q=«2Qm-
Отображение <р(ы) = 2"ят, где iig(/, а ят — естественный
эпиморфизм U на Лт, можно рассматривать как
гомоморфизм U в Q. Ввиду предложения (1.31)
ф = ^г|3> где х—естественное вложение U в F,
а г|з: F-+Q. Так как модуль F конечно-порожден,
то Im ф £ Л, 4- • • 4- Ап, откуда {/ = {/,+ ... + {/„+1.
Пусть теперь У7 — свободный Л-модуль с базой
Л}. Систему {ы0 — 2 Ащ*** |ое.й) элементов
47

из F назовем проекционно-конечной, если для
дого k лишь конечное число коэффициентов Я^
отлично от нуля. Подмодуль U из F назовем про-
екционно-конечным, если он допускает проекционно-
конечную систему образующих. Пару (F*, U*)
назовем сопряженной с парой (F, U), если F* — свободный
правый Л-модуль с базой |л:*|аеШ, a f/* — ero
подмодуль с образующими [и\ = 2 xahik I k e $}, где
{«а "* 2 ^aft^fc I a e Q} — проекционно-конечная система
образующих подмодуля U. Заметим, что всякая
пара {F, U), где F — правый свободный Л-модуль,
а О — его проекционно-конечный подмодуль, может
быть представлена в форме (F, U) = (F*, U%), где
U — проекционно-конечный подмодуль свободного
модуля F.
(1.37). Если F —свободный Л-модуль, U —
проекционно-конечный подмодуль в F, пара (F*, U*)
сопряжена с (F, U) и 0 -* А — -> В — ->С -> 0 — точная
последовательность Л-модулей, то ' эквивалентны
следующие свойства:
1) imi^puB;
2) если %*: U* ->■ F* — естественное вложение, то
Im (x* ® i) = Im (ер% ® I) Л Im (x* ® еа);
3) е^у, ® i — мономорфизм.
В самом деле, для доказательства
эквивалентности свойств 1) и 2) рассмотрим у е Im {eF» ® ij (]
П1т(х*®ев). Тогда
где а„еЛ, bk<^B. Отсюда, учитывая предложение
(0.7), получаем
Положив л:йЛ — bk, будем иметь гомоморфизм Л: F-+B.
Если ыаг f/, то ua%h - SЯ,ай(*ЙЛ) -2^^» - aai, т. е.
можно корректно определить отображение q>*-%hi~1:
U -> А. Если 1) справедливо, то ф =■ ЭСФ. ГДе ^: F-+A,
48

а х: U -> F — естественное вложение. Пусть
xk$ = а'к.
Тогда
2 Kka'k ™ "аХ^ = «аФ = «aX^t"1 - С»
откуда
У - 2 < ® a«i - 2 *Х, ® <# - 2 «J ® cji e Itn
a a. ft ft
Если справедливо 2) и дана коммутативная
диаграмма
U -*> F
2 < ® aj=2 <^ ® хЛл - 2«;
2 л£ ® aai = 2 «; ® afti - 2 < ® 2 ^cji.
a ft a A;
то ыахЛ - 2 KkXkh - aa/. Отсюда
2 < ® aj
Ввиду условия 2)
2 л£ ® aai =
a
Отсюда, в силу предложения (0.7), получаем
Положив jcftij3 = aj, получим соотношение
• UaXtyi = 2 Aaft^ft^' - 2 Kka'kl ™ aa' " «аХЛ " «аф'-
Т. е. Х^=-Ф-
Эквивалентность свойств 2) и 3) нетрудно вывести
из рассмотрения коммутативной диаграммы
f/*® А > f/*® В
F* ® А — > Г ® В
1 I
\
о
4 А. П. Мишина, Л. А. Скорняков 49

(1.38) Если U — проекционно-конечный подмодуль
свободного модуля F, то модуль С является FU-пло-
ским тогда и только тогда, когда Torf (F*IU*, С) —0.
Действительно, рассмотрим точную
последовательность
где Р — проективный модуль. Тогда имеет место
точная последовательность
0 -> Tor| (F'lU*, С) -> (F*IU*) ® К V/c/>8'-> (F*/U*)®P.
Если модуль С является ^{/-плоским, то, по
предложению (1.37), 1oTf(F*lU*, C) = 0. Обратно, если
Torf (F*/U*, С) = 0 и 0-*Л-'->В-*С->0 —точная
последовательность, то имеем точную
последовательность
Toif (F'lU*, С) -> (F'lU*) ® A V/t/<8<-> (F'lU*) ® В,
где е^у.® i —мономорфизм. Отсюда получаем,
используя снова предложение (1.37), что С —
F{/-плоский модуль.
Ввиду [б], стр. 140, предложение 1.2а, из
предложений (1.15) и (1.38) вытекает
(1.39) Если r=-{(F0, {/J} и все подмодули Ua
проекционно-конечны, то прямая сумма является
Т-плоским модулем тогда и только тогда, когда все
слагаемые Г-плоские.
(1.40) Если всякий подмодуль любого свободного
модуля является FU-плоским, то U* — плоский
модуль 1).
Действительно, пусть А произвольный Л-модуль.
Рассмотрим точную последовательность 0 -»•/( —■*■ G-+
->А-*-0, где G—свободный Л-модуль. Ввиду [б],
стр. 142, теорема 1.5а,
Toif (F'jU*, А) ^ Кег (%' ® /)•
') В предложениях (1.40)—(1.43) молчаливо предполагается,
что С/ —проекциоиио-коиечиый подмодуль модули F, а пара
(F*. U*) соприжева с (F, U).
50

Но
Так как К — /""{/-плоский модуль, то, согласно
предложению (1.38), Torf (F*IU*, /С) —0 и, следовательно,
X* ® ек — мономорфизм. Но eF* ® i — также
мономорфизм, ибо Tot*(F*, Л) = 0. Следовательно, %*®i —
мономорфизм и, значит,
Рассмотрев точную последовательность
Тот*(FIV, A)-*Tot*(V, A)->Tot*(F*, A),
легко понять, что Tor^(t/*, Л) = 0. Ввиду
произвольности А все доказано.
(1.41) Если U* — плоский модуль, то класс FU-пло-
ских модулей замкнут относительно подмодулей.
Действительно, пусть имеется точная
последовательность
где В — FtZ-плоский Л-моДуль. Из рассмотрения
точной последовательности
Тот*(Г, BIA)->7ot£(F'IU; BIA)-*Tot?(U; BIA)
видно, что
Tot*(F*IU*, BIA)-0.
Но тогда из точной последовательности
Тот*(ГIV, BIA)-*ToT*{riV, A)->Tot*(F*IU\ В),
учитывая (1.38), получаем
**!U', Л)-0.
Вторичное применение предложения (1.38) завершает
доказательство.
(1.42) Если U* — конечно-связанный правый А.-мо-
дуль, то класс FU-плоских модулей замкнут
относительно полных прямых сумм.
4* 51

Действительно, пусть А — 2*Лр, где Л-модули А^
являются F {/-плоскими. Если D — правый Л-модуль,
то положим
Если f: D-+D', то определим V (f): V(D)-*V(iy) и
t(D): D®A-+V(D), положив
(а) Если G — свободный правый Л.-модуль, то
t (G) — мономорфизм.
В самом деле, пусть ai/(G)=>0. Но
где gj — элементы базы модуля G, а (о|")еА Тогда
Отсюда
для каждого Р, и, следовательно, учитывая
предложение (0.7), получаем (а^ — О. Таким образом, w — 0.
(б) Если D — конечно-порожденный правый А-мо-
дуль, то t(D) — эпиморфизм.
m
Действительно, если /3 = 2 dtA. и (dp®ap) e V(D),
m
то dp — 2 ^Л/р. Отсюда
- ^ 2 d/ ® ^pflpj - 2 (dt ® ^,pa0) -
что и требовалось.
62

(в) Если х*: U* -> F* — естественное вложение, то
V (X*) ~ мономорфизм.
Пусть o*e=V(I/*) и v*V(x*)~O. Но «*-(*$, где
^ег/*®Л0, т. е.
Тогда
О - v'V (X*) - («;) V (х*) - (2 «;0 ® арг) V
Значит,
для каждого р.
Однако из предложения (1.38) ввиду точности
последовательности
и ^{/-плоскости модуля Л0 вытекает, что х*®еАп —
мономорфизм. Поэтому fp = 0 для всех р, откуда и* — 0.
(г) Если 0 -> К -*-»■ G —■> Z3 -> 0 — точная
последовательность конечно-порожденных правых ^-модулей,
то последовательность
также точна.
В самом деле, ясно, что Im V (i) г Ker V (п). Если
g =. (grp) s Кег У (я), то g& (п ® еА ) = 0 для каждого р.
А )
В силу точности последовательности
/( ® Л0 &> G ® Л0 ^> D ® Лр -»- 0
отсюда вытекает, что gp—k^(i ® e^ ). Следовательно,
g =. (ь ) V (t) g ImV (i), что и требовалось.
д) Если D—конечно-связанный правый А-модуль,
то t (D) — мономорфизм,
53

Для доказательства рассмотрим диаграмму
/С® А -+G&A
нк>\ /(0)1
V(K) -^> V(G)
где О и /С —конечно-порожденные правые Л-моду-
ли, причем G свободен. Непосредственным
подсчетом проверяем, что эта диаграмма коммутативна,
а ее строки точны, в силу (г) и [г], стр. 194,
теорема 1. Из (а) и (б) вытекает, что t(K) и t(D) —
эпиморфизмы, a t(G) — мономорфизм. По лемме о пяти
гомоморфизмах ([б], стр. 20, предложение 1.1),
/ (D) — мономорфизм.
Переходя к доказательству предложения (1.42),
заметим, что из (в) и (д) вытекает, что (х*®елЖ^*) "*
= t(U*) V(x*) — мономорфизм. Но тогда х*®ел~также
мономорфизм. Отсюда, используя точность
последовательности
0->Tot*(FIU; A)-*U*<8)A -+F*®A,
получаем, что ToTf(F*IU*, Л) —0, а это, в силу
предложения (1.38), и завершает доказательство.
(1.43) Если полная прямая сумма любого
множества экземпляров кольца Л является FU-плоским
А-модулем и модуль F конечно-порожден, то U* —
конечно-связанный правый А-модуль.
Для доказательства рассмотрим точную
последовательность правых Л-модулей
0->K->G-±*U*-*0,
где О — свободный модуль. Поскольку F конечно-
порожден, то U* также конечно-порожден. Поэтому
можно считать, что G конечно-порожден. Пусть
[gt gm}~QrQ база- причем gkn = и\ - S **Л*-
Пусть, далее, А= 2* Лх, где ЛХ=*Л, Л —левый
m
Л-модуль и х= 2g*£ftKSK- Конечно, ^„sA. Тогда
2;^2
54

откуда
т
ft-1
Положив
получим равенства
2 «®**)tf®eA) - 2 <®2 **А - 2 <®0 - 0.
д—1 а к а
Из предложения (1.38) вытекает, что х*®ед~
мономорфизм. Поэтому
2;4
ft-!
Ввиду точности последовательности
а:® л ->g ® л-> с/*® л -»о,
отсюда следует, что
2^*2
где zz е /(, а' е Л. Пусть
т
Согласно предложению (0.7),
Если а; = (£;„), то
п
6ftx ~ i
Но тогда
66

т. е. система гх, ..., гп является системой
образующих правого Л-модуля К, что и требовалось.
Обратим внимание на следующие пары
предложений: (1.29) и (1.37), (1.31) и (1.38), (1.33) и (1.41),
(1.34) и (1.40), (1.35) и (1.42), (1.36) и (1.43). Между
ними имеется определенная аналогия, особенно ярко
проявляющаяся в первых трех случаях. Чтобы
пролить некоторый свет на это явление, рассмотрим
для каждого Л-модуля А группу Л# = Нотг(/4, С),
где Z— кольцо целых чисел, а С — фактор-группа
аддитивной группы рациональных чисел по
подгруппе Z. Группу А* превратим в правый Л-модуль,
положив
«- (Ал) ф
для аеЛ, феЛ* А,еЛ. Из равенств
а [ф (Ац)] = [(А,ц) а] ф = [А, (ца)] ф - (ца) (фА,) - а [(ФА,) ц]
вытекает, что А* — действительно правый Л-модуль.
Интересным является следующий факт:
(1.44) Пусть U — проекционно-конечный подмодуль
свободного ^-модуля F. Для того чтобы А-модуль А
был FU-плоским, необходимо и достаточно, чтобы
правый ^-модуль А* был Р*11*-делимым.
Для доказательства примем во внимание
следующее соотношение:
Extlx{F*lu\ A*)^Homz{ioTt(F*lu', А), С)
([б], стр. 155, предложение 5.1). Если А — FU-пло-
ский модуль, то Р^'-делимость правого модуля А*
сразу следует из выписанного соотношения и
предложений (1.31) и (1.38). Применение тех же фактов
в случае, когда A* — F*U*-делимый правый модуль,
дает, что Hom2(Torf- (F*IU*, A), C) = 0. Но из
последнего равенства вытекает, что Т = lorf (F*jU*, А) =
= 0. В самом деле, группа С разлагается в
прямую сумму групп типа р°°, по одной для каждого
простого числа р. Если ТфрТ для некоторого
простого р, то сквозное отображение T—>TlpT->Za, где
0 Ф а е С, ра = 0, дает ненулевой гомоморфизм Г в С.

Если же О ф Т = рТ для всех р, то Т— прямая сумма
групп типа р°° и групп, изоморфных аддитивной
группе всех рациональных чисел ([в], стр. 149). Но
в этом случае существование ненулевого
гомоморфизма Т в С очевидно. В заключение еще раз
применим предложение (1.38).
Остановимся на некоторых свойствах
универсальной чистоты.
(1.45) Если
— точная последовательность А-модулей, то
эквивалентны следующие свойства:
1) подмодуль Imi универсально чист в В;
2) eD ® / является мономорфизмом для всякого
правого А-модуля D;
3) подмодуль Imi Т-чист в В, где T = {(Fa, Ka()}>
причем Fa пробегает все конечно-порожденные
свободные А-модули, а /Ц, — все конечно-порожденные
подмодули модуля Fa.
■ Действительно, эквивалентность свойств 1) и 2)
вытекает из предложения (1.37). Импликация 2)фЗ)
очевидна. Если справедливо 3), то из (1.37) и [г],
стр. 211, теорема 8.4, вытекает, что eD® l—
мономорфизм для всякого конечно-связанного правого
Л-модуля D. Применяя предложение (0.11) и [б],
стр. 131, предложение 9.2*, получаем, что eD®i —
мономорфизм для всех правых Л-модулей D, откуда
сразу вытекает 2).
Кроме того, из (1.31) и [б], стр. 24, теорема 3.2,
вытекает
(1.46) Если а — универсальная чистота, то всякий
(й-делимый модуль инъективен.
Далее, назовем подмножество 29 Л-модуля А
независимым, если сумма 2 Л-6 является прямой.
Независимую систему образующих назовем базой.
(1.47) Пусть о — универсальная чистота. Тогда
эквивалентны следующие свойства А-модуля А:
1) все подмодули модуля А ю-чисты в нем;
2) максимальная независимая система любого
подмодуля В модуля А является базой;
67

3) все подмодули модуля А являются ретрактами-
Действительно, если выполнено условие (1) и 93 —
максимальная независимая система подмодуля В,
то положим /3=2 Л&. Пусть 60еВ \ D и I=(D: b0).
бей
бей
Определим гомоморфизм Л: Л ->£, положив Xh = \b0.
Тогда /Л £ D. Но ввиду 42' Z3 = вВ. Поэтому
найдется такой гомоморфизм г|): Л-*Д что цг|)=-цЛ
для всех це/. Положим b'°*b0— 1г|з. Если А,&'е£>
для некоторого А,еЛ, то Я,60 = Я,6' — А/ф е Z3. Отсюда
Я.е/ и, следовательно,
"Kb' = А,60 - А/ф = ЯЛ - Ал|э - 0.
Таким образом, сумма D + Ab' оказывается прямой,
что противоречит максимальности системы Й.
Следовательно, B = D, т. е. свойство 2) справедливо.
Для доказательства импликации 2)#3) достаточно
выбрать максимальную независимую систему в
подмодуле и дополнить ее до максимальной
независимой системы во всем модуле. Справедливость
импликации 3)Ф1) сразу следует из 40'.
К определению Г-чистоты приходят Батлер и Хоррокс [53].
Оии подходят к нему с фуикториой точки зрения, хотя внешне
обобщают определении Кертеса [137], использующие язык
уравнений. В их работе содержится и предложение (1.29). Понятие
Г-чистоты использует также Щтеиштрём [197]. Однако он
ограничивается случаем, когда модуль F фиксирован. В его работе
по существу содержатся предложения (1.24), (1.31), (1.33), (1.34),
(1.44). Частным случаем предложения (1.44) является теорема
Ламбека [145]. Предложения (1.42) и (1.43) доказаны ЧейзоМ
[58] для универсальной чистоты. Предложения (1.26)— (1.28)
доказаны Кильпииским [140].
Из предложения (1.31) и результатов Кертеса [137]
вытекает, что для ниъективиостн модуля Q необходимо и
достаточно существование такого свободного модуля F, что Q
является ^£/-делимым для всех U^F.
Универсальную чистоту рассматривали Кертес ([135], [137]),
Кои [63], Кузьмииов [13] и Маддок [151]. В частности,
предложение (1.47) принадлежит Кертесу [137], а предложение (1.45)
обобщает одни из результатов Кона. Фельдхауз [82] доказал,
что в случае универсальной чистоты ш прямые суммы коиечио-
связаииых модулей и только оии являются а>-проективиыми.
Частным случаем Г-чистоты является чистота в группах ([и],
стр. 88, предложение Н), возникающая, если зафиксировать
свободную группу F ранга к и заставить Ua пробегать все
ее подгруппы. В частности, при к < к„ получаем серваитиую
чистоту (|и], стр. 82, теорема 25.5). Некоторые свойства Г-чистых
58

подгрупп, связанные с мощностью системы свободных
образующих свободных модулей, входящих в определение, рассмотрены
в книге Фукса ([н], § 27).
Если Г = {(Л, /„)} и & = {!<,}, то будем писать s
вместо =г, ^-инъективность вместо Г-инъективность
и т. д.
Можно дать следующую характеризацию ^-чи-
стоты:
(1.48) Пусть система & обладает свойством: если
I е £" и I ^ J, где J — левый идеал кольца А, то
/е?1). Тогда эквивалентны условия:
1) А^В;
2) если Ь^В и (А : Ь) <= ?, то (О: а - Ь) - (А : Ь)
для некоторого аеЛ;
3) А служит прямым слагаемым для всякого
подмодуля С такого, что А^С^В, С/,4 = 2Лс/ и
(0:с;)е^ при любом i;
4) А служит прямым слагаемым для всякого
подмодуля С такого, что А^С^В, CjA = A.c и(0:с)е^;
5) если Ad— циклический А-модуль и (6:d)^<f,
то Ad копроективен относительно естественного
вложения А в В.
Действительно, если А ^%В, бе В и (Л:6)е^>,
то построим гомоморфизм h: A->B, положив \h = b.
Ясно, что (A:b)h^A. Поскольку А^%В, найдется
гомоморфизм i|>: Л->Л такой, что Ал|> = А,Л для
A,s(/4:6). Если li|> = af то легко проверить, что
(О: а — Ь) = (А : Ь). Допустим теперь, что выполнено
условие 2) и /е#\ Рассмотрим коммутативную
диаграмму
i i
А-+В.
Пусть b=\h. Если Я,е/, то ХЬ = Я,(1Л) = kfji = h$,
т. е. / s {А '. Ь) (здесь А отождествлено с Ai). Ввиду
условия на $* (Л:б)е1Г. Пусть (0 : а — Ь) = {А '. Ь).
') Это условие используется только при доказательстве нм-
плнкацнн 2) ^ 1).
59

Положив 1г|з = а, для всякого А,е/=(Л : 6) = (0: а — Ь)
получим соотношение
А,#|) = Я, (1-ф> = Ха = Kb = А<р.
Таким образом, Х'Ф = ф| т-е- 2)=#1).
Пусть выполнено условие 2) и С удовлетворяет
условиям пункта 3). Тогда для всякого i существует
такое ct е cit что (0:с() = (0:с,). Ясно, что А П 2-Л-с( = О,
откуда С = Л + 2^с/. Таким образом, 2)фЗ).
Импликация 3)=^4) очевидна. Пусть выполнено 4), бе В
и (Л:6)е^. Положим С = Л5, где 5 = 6 +Д.
Определим С из равенства С = С1А. Тогда С = Л + С!.
Если при этом b = a + bu то, очевидно, (0:а— Ь) =
= (0 : 6,) = (А '■ Ь), т. е. выполнено 2).
Эквивалентность свойств 1) и 5) вытекает из
предложения (1.29).
Из предложения (1.48) нетрудно получить
(1.49) %-чистота, где % обладает свойством,
указанным в формулировке предложения (1.48),
циклически проективна.
Действительно, пусть А — Л-модуль и аеЛ.
Положим
а, если (0 : а) е У,
lA, если (0:а)9ёУ.
fl~
Далее, обозначим через па естественные
эпиморфизмы Ра на Ла, а через я—продолжающий их
эпиморфизм модуля Р= S Р,, на Л. Ввиду
предложена А
ния (1.48) циклические модули Ра являются
^-проективными. Пусть теперь О^реР, (Кегя:р)е^ и
п(р) = а. Тогда в Р существует элемент а, у которого
а-тая координата равна а, а остальные — нулю.
Поскольку р — а е Кег я, то соотношения (Кег п'. р) =
= (0 : а) = (0 : а) = (0 : (р — а) — р) позволяют
заключить с помощью предложения (1.48), что Кегя^^Р.
Из (1.6) и (1.49) вытекает
(1.50) Всякий с?-проективный модуль является
прямым слагаемым прямой суммы циклических
^-проективных модулей.
60

(1.51) Если 'У — некоторая система
конечно-порожденных левых идеалов кольца Л, то (f-чистота
инъективна.
Расчленим доказательство на ряд этапов. Кроме
того, введем обозначения: t—мощность кольца Л,
m = nK0, где п— мощность системы У, и fr = 2ml.
а) Если Л = В и мощность В/А не превосходит
Ь, то найдется такой модуль D, что А = D ^%В и
мощность D[A не превосходит Ь.
Для доказательства положим D0 = A и допустим,
что построена такая последовательность модулей
что мощность Di/A не превосходит b и для всякой
диаграммы
/ >Л
i
-в,
где /е^, а строки — естественные вложения,
найдется гомоморфизм gt: A-*-Dt, ограничение
которого на / совпадает с f. Пусть Н = Нот (Л/7, B/Z3rt_,).
Каждой коммутативной диаграмме
соответствует це/f. Для каждого т)еЯ выберем по
одной диаграмме A/v) (если она существует).
Обозначим через N, получившееся множество индексов v
и положим Dn = Dn_] + 2 Img<v). Если, далее,
дана диаграмма Л/1, то для некоторого veN; имеем
g^n = gf)n. Следовательно, [g^ — Igf) = di, где
d^Dn_v Положив li|3=l^v) — di, определим
гомоморфизм г|>: A-+Dn. Тогда для |е/ получаем |х'Ф =
— lg^}— ldi = ^gf). Мощность DJA не превосходит
61

nbb =b. Модуль D = \J Dt обладает нужными свой-
ствами, поскольку при любом отображении f: I-+D
подмодуль Im f принадлежит Dn для некоторого п
в силу конечно-порожденности идеала /е#\
б) Если Л = В и мощность В/А не превосходит
Ь, то найдется трансфинитный ряд
А = Ло s Л1 s ... сЛо£... = Ла = В
такой, чго Аа S «В для все* а > 0, Аа = (J Аь для
Р<а
предельных а ы мощность модуля Ла+1/Ла не пре-
восходит Ь для всех а>0.
Действительно, обозначим через Л, модуль D,
построенный в пункте а). Допустим, далее, что для
всех р<а модули А& построены. Если а предельное,
то положим Аа= U Лр. Ввиду предложения (1.24)
Аа^%В. Если а- 1 существует и Л„-1 ф В, то
выберем беВ\Ла.,. Применив а), найдем такой
модуль D, что Ла-i + Л6 s £> s^B и мощность DcMo.,
не превосходит Ь. Остается положить Ла =» D.
Из б) и 42' без труда выводится:
в) Если модуль Q инъективен относительно всех
таких чистых мономорфизмов i: A->B, что мощность
модуля BjA не превосходит Ь, то Q ^-инъективен.
г) (f-чистота инъективна.
Для доказательства обозначим через 5) (Л)
множество всех ^-допустимых над модулем Л диаграмм,
в которых мощность модуля G не превосходит Ь.
Положим Q0 = A и допустим, что построена
трансфинитная последовательность модулей
где QpS^Qa при р<б<а и для каждой диаграммы
V
1
из © (Qp) найдется такой гомоморфизм g:G->Qp+1
(р+1<а), ограничение которого на.И совпадает с/.
62

Если а предельное, полагаем Qa= \J Qp. По (1.25),
fl <a
Qp^gQa. Если a—1 существует, рассматриваем
диаграмму
()
Qa-i
где V=-2^v и G = 2gy —прямые суммы всех
соответствующих модулей Vy и GY, принадлежащих
диаграммам из 55(Qa-i). причем Vyj^GT Пусть
iy: Gy -> G и Пуш. G->Gy — естественные мономорфизмы
и эпиморфизмы соответственно. Если / е £* и имеется
коммутативная диаграмма
то из коммутативности диаграммы
y Шу\
вытекает, что fejtYiY/ = x9v для подходящего 0Y: Л->
->QO_,. Пусть 3={y! ИПуФО]. Ясно, что это
конечное- множество. Положив 9 = 2 6V> получим
хе - 2 x9v = 2 ЧУ = #•
Следовательно, диаграмма (♦) ^-допустима над Qa_!
и найдется ^-чистый мономорфизм t: Qa^->B,
указанный в предложении (1.26). Нетрудно проверить,
что можно положить Qa = B. Пусть Q — наименьший
трансфинит мощности, большей, чем 2Ь и Q = (J Qa.
Ввиду (1.25) A^%Q. Если диаграмма
V-+G
i («)
Q
63

«^-допустима над Q, где мощность модуля G не
превосходит Ь, то Im / ^ Qp для некоторого " ^ п
При этом можно считать, что диаграмма
V-+G
в»
допустима над Qp. В противном случае можно взять
такое б, где Р<б<й, что для Qft это уже
выполнено. Отсюда и из построения модуля Q следует,
что диаграмма (♦♦) замыкается. Поэтому из (1.27)
и в) вытекает, что модуль Q ^-инъективен.
(1.52) А ^ \\В тогда и только тогда, когда KB П А =
= КА.
Действительно, пусть KB f\A = KA. Рассмотрим
коммутативную диаграмму
ЛЯ-**Л
A -US.
Пусть 1Л — Ь. Отождествляя А с Ai, получаем
ХЬ^.ХВ{\А = %А. Отсюда %b = ha, где оеА
Полагая 1я|з = а, нетрудно проверить, что ф = Х'Ф-
Следовательно, А ^ а\В. Если, наоборот, Л ^ л^В и ^еЛ,
то, полагая [h = b, получаем ЯЛеЛ. Обозначив
через ф ограничение h на ЛА, найдем такой
гомоморфизм я|з: Л->Л, что ф — х^- Если 1я|з = а, то
Ахр = Я.Л — Kb.
Таким образом, Kb e Ы, что и требовалось.
Из (1.52) вытекает
(1.53) Для АК-делимости А-модуля Q необходимо
и достаточно, чтобы q e KQ, если (0: К) q = 0.
Действительно, допустим, что модуль Q обладает
указанным свойством. Пусть q e KQ П Q, т. е. ^ = Я,^,
где <7 принадлежит инъективной оболочке Q модуля Q
([г], стр. 138) и £е(0:Л). Тогда g^-g(^) = O.
По условию, q^KQ. Таким образом, KQ(]Q = KQ.
Из предложений (1.7) и (1.52) вытекает, что
модуль Q ЛЯ.-делим. Наоборот, если Q является
ЛЯ,-делимым модулем, q e Q и (0:Я)<7 = 0, то можно
64

определить гомоморфизм <р: AA,->Q, положив (|Я,)ф=
= |<7. Продолжая ф, согласно (1.31), до гомоморфизма
я|з: A.-+Q, получаем, что ц = уЦ) = Я,(1я|з)е XQ.
Выделим в кольце Л некоторое множество S
таких элементов s, что r(s) = 0. Пусть ^S = {As |'ss S].
Элемент а из Л-модуля А назовем S-периодическим,
если sa = 0 для некоторого ssS.
(1.54) А-модуль С является &5-плоским тогда и
только тогда, когда в С нет ненулевых S-nepuodu-
ческих элементов.
Действительно, допустим, что С есть ^-плоский
Л-модуль, с^С, sc = 0 и seS. Тогда в точной
последовательности 0 -> К -> F — ■> С -> 0, где F —
свободный модуль, должно быть /C^gsF. Если уп = с,
то ввиду (1.52) найдется такой элемент х^К, что
«л; = sy. Отсюда х = у, а значит, с = 0. Пусть теперь
из равенства sc = 0, где seS, c^C, всегда следует
с = 0. Рассмотрим точную последовательность
Если seS, b ^ В и s6 = а е Л, то легко видеть, что
бе Л. Таким образом, sBf\A = sA для всех seS.
Применяя предложение (1.52), получаем A = gsfi, что
и требовалось.
Остановимся теперь на исследовании ^-чистоты
для случая, когда ^ — радикальный фильтр.
Из (0.4) и (1.31) вытекает
(1.55) Если <? —радикальный фильтр, то
^"-делимые модули образуют класс инъективных объектов
плотной моноинъективной структуры.
Пусть ^ — система левых идеалов кольца Л и
А — подмодуль Л-модуля В. Мы скажем, что
модуль А %-плотен в В (или что В — ^"-существенное
расширение модуля А), если для всякого ненулевого
Ь(=В имеет место (Л:&)е^ и (А : Ь) Ь ф 0.
(1.56) Если & — радикальный фильтр, то модуль
А <?-плотен в В тогда и только тогда, когда А плотен
в В и "^-делимые модули инъективны относительно
естественного вложения А в В.
В доказательстве будем использовать обозначения
предложения (0.4). Пусть /: А -*В — естественное
вложение, Im/ плотен в В и /e8g (см. (1.31) и (0.4)).
5 А. П. Мишина. Л. А. Скорняков 65

Найдем эпиморфизм g: fi->C, указанный в
определении класса <5g. Если Kerg=^0, то, в силу
плотности А, Оф Kergf|Im/£(Ker/g)/, что невозможно.
Следовательно, g — изоморфизм. Поэтому (Im/ : b)^.&
для всех Ь^В. В силу плотности, имеем (lmf:b)b=£0.
Таким образом, модуль А ^-плотен в В. Обратное
утверждение сразу следует из предложения (0.4).
(1.57) Если У — радикальный фильтр, модуль А
cf-плотен в В, а В cf-плотен в С, то А
^-плотен в С.
Действительно, учитывая предложение (1.56),
нетрудно проверить, что А плотен в С, после чего
остается только трижды применить (1.56).
(1.58) Если & —радикальный фильтр, А^В^С,
модуль A cf-плотен в С и В (f-делим, то В=*С.
Действительно, если с^С\В, то 1 = (В:с)3
Э (А : с) и, следовательно, / е IP. Равенство Ахр = \с,
где Я.е/, определяет гомоморфизм <р: 1-*В, который,
в силу ^-делимости модуля В, можно продолжить
до гомоморфизма я|з: А-+В. Пусть 60=li|3. Если
Ъ + %с = Ь' + А/с, где Ь, Ь'^В, X, А/«=Л, то Ъ-Ъ' =
= (А.' — А.) с = (А/ — А.) Ьо. Поэтому можно определить
гомоморфизм ф: В+Ас-^-В, положив (Ь + Хс)у =
«=6 + А,й0. Так как 6ф = 6 для всех defi, то В
оказывается ретрактом модуля В + Ас. Это, однако,
противоречит плотности модуля В в В + Ас,
вытекающей из плотности Л в С.
(1.59) Если & — радикальный фильтр в кольце А,
В — А-модуль и Л — его подмодуль, то эквивалентны
следующие свойства модуля В:
1) В является максимальным ^-существенным
расширением подмодуля А;
2) В — минимальный (f-делимый модуль,
содержащий А;
3) В — cf-делимый модуль, являющийся ff-суще-
ственным расширением подмодуля А.
Докажем импликацию 1)#2). Из предложений
(1.55) и (1.56) вытекает существование такого
^-делимого модуля С, что В ^-плотен в С. Применяя (1.57),
убедимся, что В = С, т. е. В оказывается ^-делимым
модулем. Минимальность модуля В сразу следует
из (1.58). Если справедливо условие 2), то,
воспользовавшись предложениями (1.55) и (1.56), найдем
66

^-делимое ef-существенное расширение D модуля А.
Ввиду (1.56) естественное вложение А в В можно
продолжить до гомоморфизма g: D-+B. Так как
Кег^П^ = О, то g —мономорфизм. Ясно, что Img —
^-делимый модуль. Если lmg=£B, то мы вступаем
в противоречие с минимальностью В. Следовательно,
модуль А ^-плотен в В, т. е. В обладает
свойством 3). Справедливость импликации 3)#1) сразу
следует из предложения (1.58).
Разумеется, ^-чистота пользовалась наибольшим вниманием.
Маранда [153] рассматривал (f-чистоту в случае, когда Л
—коммутативная область главных идеалов. Частными случаями %-чи-
стоты являются уже упоминавшиеся слабо-сервантная чистота
([и], § 28) и серпантная чистота, возникающие, если %
пробегает все максимальные идеалы кольца целых чисел и все
ненулевые идеалы кольца целых чисел соответственно. Нетрудно
доказать, что в случае коммутативной области главных идеалов
для каждого набора % идеалов, порожденных степенями простых
элементов, существует ^-чистый мономорфизм, не являющийся
^'-чистым ни для какого отличного от % набора %' идеалов,
также порожденных степенями простых элементов. Мегиббен [161]
выяснил, для каких групп всякая слабо-сервантная подгруппа
сервантна в них. Для любого набора % идеалов кольца
целых " чисел, порожденных степенями простых чисел, Рохлина
нашла необходимые и достаточные условия, при которых всякая
g-чистая подгруппа данной группы служит для нее прямым
слагаемым. Аналогичные условия для сервантной чистоты были
ранее найдены Черниковым [26]. Однако эти условия связаны
со спецификой кольца целых чисел. Прохазка [176] рассмотрел
также вопрос, когда для любой сервантной подгруппы Я
группы G без кручения существует прямое разложение 0=-Л4--В,
где A sz H, BszG/H. Предложения (1.56) — (1.58) имеются
у Са'ндерсона [192], а (1.51)—у Кильпинского [140].
Предложение (1.59) доказано Марандой [154]. Доказательство,
изложенное в тексте, принадлежит Сандерсону [192]. Исследованию
#-чистоты посвящена статья Гельцера [ПО]. Им доказаны
частные случаи предложений (1.31) и (1.33). Основное содержание
его работы относится к случаю, когда S? — радикальный фильтр.
Для этого случая он выясняет, когда #-инъективность модуля
равносильна #'-инъективности, где %'— система, состоящая из
всех проективных конечно-порожденных левых идеалов из %.
Понятие ^-чистоты для случая, когда % — множество всех
главных левых идеалов, встречается у Хаттори [104] и Кертеса [135],
доказавших, среди прочего, частные случаи предложений (1.31),
(1.38) и (1.53). Левич [18] рассматривал <f-чистоту в случаях,
когда % состоит из одного главного левого идеала, или из
главных левых идеалов, порожденных степенями одного элемента,
или из всех главных идеалов. Капланский ([130], теорема 3)
доказал, что (f-чистый подмодуль В модуля А над дедекиндо-
вым кольцом Л, где % — совокупность всех его идеалов, выде-
ляетси прямым слагаемым, если А/В — примая сумма циклических
Б* 67

Л-модулей и конечно-порожденных модулей без кручения
ранга 1. Для случая модулей над коммутативной областью
главных идеалов некоторые результаты о разложениин ({-чистого
подмодуля модуля, разлагающегося в прямую сумму модулей
ранга 1, получили Бэр ([в], стр. 197-200; [и], стр. 164-165),
Эрдеш ([и], стр. 166), Колеттис [142] и Фукс ([85], ч. I). Ре-
нольт [186] использовал ^-чистоту в случае, когда Ч состоит нз
всех максимальных левых идеалов кольца А.
Пусть снова ^ — некоторая система левых
идеалов кольца Л и А — подмодуль Л-модуля В.
Положим А ^ $В, если 1В[\А = 1А для всех /е#\
(1.60) Отношение е ^ обладает свойствами 40',
41', 42, 43"' и 44'.
_ Действительно, справедливость свойств 40', 41',
42, 44' проверяется, как для обычной сервантности
([в], стр. 159). Для проверки свойства 43*
рассмотрим коммутативную диаграмму
0 0
I I
Ч I •!
1 I
о о
с точными строками и столбцами. Легко проверить,
что В *= Аа + М. Поэтому если m = 2 K^i, где «eJH,
bi^B, A,, e / е cf, то m = 2 К (а/0 + «/). где at e А,
ttii^M. При этом ^Xfl^L, и если Ls^/4, то
21^а/~21цЛ. гдец^е/, ij^L. Разумеется,/yoreM,
откуда m e IM, что и доказывает 43*.
Таким образом, отношение ^ ^ определяет би-
треугольную чистоту, которую будем называть
^-чистотой.
68

(1.61) Пусть §'={ЛАи}, причем все Ащ
принадлежат центру 6 кольца Л. Тогда соотношения А = sB
и Л s „/} равносильны.
В самом деле, пусть Я, е (5. Если Л ^ ^fi и ЛА. е £",
то рассмотрим коммутативную диаграмму
Если 1Л = 6, то А.& е ЛАЯ (] Ai = ЛАЖ Поэтому
Xb = 2 Ц*^л = Я, 2 ЦйаА, где aft e ЛЛ Следовательно,
АбАЛ/ и, согласно (1.52), А^%В. Наоборот, если
и а<=ЛА£ПЛ, то а-2ц*^* =
2ц** щеЛ, 6ftsfi, т. е. аеА^ПЛЛ Но,
в силу (1.52), а = Ха', где а'еА Таким образом,
ЛАВСН ЛАЛ т. е. А^%В.
Определение g-чистоты имеетси у Мараиды [154]. Басе
([42], стр. 477, предложение 4.7) установил связь между ?-чи-
стотой и замкнутостью подмодули'). Из одного результата
Нуике ([165], лемма 52) можно вывести, что в случае модулей
над дедекиидовым кольцом ^-чистота проективио замкнута.
В той же работе ([165], теорема 5.1) для дедекиидовых колец
установлены некоторые свойства, эквивалентные ^-чистоте.
Некоторые свойства g-чистоты в случае коммутативных колец
установили Бессер и Микали ([45], [46]).
Пусть © — некоторый класс модулей, замкнутый
относительно эпиморфных образов. Положим А^.<&В,
если А ^ В и А служит прямым слагаемым для
всякого подмодуля S, где A^S^B и S/A^®.
(1.652) Отношение <« обладает свойствами 40',
ЧГ, 42, 43*. 44'.
Действительно, свойство 40' очевидно. Пусть
теперь Л<<в£, В^<&С, A^S^C и S/A<=®. Из
') Если М = В, то положим АР - {<р | <р е Нот (В, Л), *<р =- 0
для всех хеМ) и М" =- {Ь \ Ъ е В, 6<р = 0 для всех ср е М'}.
Подмодуль М называется замкнутым, если М" = М. Заметим, что
замкнутость подмодуля М равносильна равенству М» (| Кег <р,
где Ф - (ф | Ф s Нош {В, Л), Мер - 0}.

существования естественного эпиморфизма ср: S/Л ->
->(S + fi)/fi вытекает, что (S + fi)/fis®, откуда
S + В = В 4- К. Пусть i: S -> Я +. /С и я: Я 4- /(-> В -
естественное вложение и проекция соответственно, и
пусть М = 1гп1я. Отображение in индуцирует
эпиморфизм г|): S/A-+MIA. Отсюда М|Ле® и,
следовательно, М = А + L. Но тогда S = М 4- K = A + L 4- К,
откуда S = i4 + Sf\(L 4-/С). Таким образом^
свойство 41' выполнено. Для доказательства 42
допустим, что А^В и для гомоморфизма г|): В-+С, где
Л П Кеп|> = 0, имеет место соотношение Лг|)<1 «С. Если
^l^SsB и S/Ле®, то S^/^e®, Отсюда Si|? =
= Ля|> + Л''ф1 где Ker^s^'sfi. Тогда 5 = Л + Л'.
Если о g Л П Л', то а е А П Кегя|з — 0, т. е.
Обратимся к доказательству свойства 43*. С этой
целью рассмотрим коммутативную диаграмму
О О
1 1
О-+К-+В—+С
О О
с точными строками и столбцами. Будем считать,
что LsB, MsC, Допустим, что L^«B. Тогда
требуется доказать, что М ^ «С. Пусть М = S = С и
S/Me@. Если S' = (Snima)a-', то L<=S'!=B и
существует естественный гомоморфизм р: S'IL-+S/M.
Если seS, то для некоторого 6sfi имеем st «=
= 6л = 6ат. Отсюда s — do e M s S, т. е. 6gS'. Но
(6 + L)р = 6а + М = s + М, т. е. р — эпиморфизм. Если
(s' + L)p = O, то s'n = s'aT = 0, т. е. s'eL. Поэтому
р—изоморфизм и, следовательно, S'/L^®. Отсюда
S'= L-\-Т и легко видеть, что S = М + Та. Если
70

/еГ и (аеМ, то Ы = tax = 0. Отсюда t e L П Г = 0.
Таким образом, S = М + Гст, т. е. М<^<$С.
Остается доказать 44'. Пусть К s Л s В, К^&В,
AlK^&BjK, A^S^B и S/;4<=©. Так" как
(SIK)I(AIK) = S/A^®, то SlK = AjK + L//C для
некоторого L. Но LIK^SIA(=®. Поэтому L = K~\-M.
Отсюда S = А + М иЛП М = А П L П Ms/C П М = 0, т. е.
Из предложения (1.62) вытекает, что отношение
^® определяет битреугольную чистоту, которую будем
называть ®-факторной.
(1.63) Пусть со — ®-факторная чистота. Тогда для
любого Л.-модуля А существует (а-кочистый
эпиморфизм <р: Р-*А, где P = F + 2Ga, F — свободный
модуль и Ga е © при всех а. Модуль Р а-проективен,
т. е. со — проективная чистота.
Действительно, пусть {Ga} — совокупность всех
подмодулей модуля А, принадлежащих классу ©, и
ia: Ga -> A — естественные вложения. Возьмем
эпиморфизм /: F-* А, где F — подходящий свободный
модуль, и положим Р = F ■+- 2 Ga. Далее, рассмотрим
эпиморфизм^: Р-*■ А, где i|> = / + 2*'a- Если К = Кегя|з,
К = S s Р и S//C е ©, то Si|) e © и, следовательно,
Si|) = Gp для подходящего индекса р. Пусть /: G^-^-P —
естественное вложение. Определив гомоморфизм
<р: S->P равенством sff = s — s^pj для всех seS,
получим равенства
) = sab — sab = 0.
Таким образом, <р можно считать гомоморфизмом
модуля S в К- Если х е /С, то л;ф = л; — гф/ = л;, т. е.
модуль /С оказывается ретрактом в S. Этим
доказано, что /С^®Р. Последнее утверждение
предложения (1.63) сразу следует из предложений (1.5) и (1.6).
(1.64) Пусть ю- ©-факторная чистота, А, В — А-мо-
дули, {Ва}— совокупность всех подмодулей модуля В,
лежащих в ©, и <pa: ExtlA(BIBa, A)-+Ext\(B, A) -
гомоморфизмы, индуцированные естественными
эпиморфизмами па: В-*В,1Ва. Тогда
ю Ext!v (В, А) = f| Im <pa.
а
71

В самом деле, для любого а из точности
последовательности
вытекает точность последовательности
Extk(£/Ba, Л)—a->Ex4(B, А)^з+ Extk(В«, А).
Расширение
Е: 0-+A-+G-+B-+Q (*)
лежит в со Extл (В, А) тогда и только тогда, когда
точная последовательность
>0 (**)
расщепляется для любого S s G, где А ^ S, S/A е ©.
Но если S/A е ©, то существует такой индекс а, что
SA^Ba. Ввиду коммутативности диаграммы
Е: 0-*A->G-*B-*0,
где i — естественное вложение, из [г], стр. 91, лемма
1.2, следует, что представителем^элемента £я|за группы
Ext\(Ba, А) можно считать последовательность (♦♦).
Эта последовательность расщепляется тогда и только
тогда, когда Е е Im фа. Следовательно, <о Extjv (В, А)=>
- П Im Фа-
а
Если SR — класс модулей, замкнутый относительно
подмодулей, то положим А^^В, если из S^A и
./I/Sejt всегда следует, что A/S служит прямым
слагаемым для B/S.
(1.65) Отношение <я обладает свойствами 40',
ЧГ, 42, 43*. 44'.
Действительно, свойство 40' очевидно. Пусть
А < *В, В < «С, S = А и A/S s 31. Тогда BIS = A/S +
+ Л'/5. Отсюда BIA'^(BlS)RA'IS)ezAIS<Bm.
Следовательно, С\А' = В\А' + В'1А\ Но тогда С/5 =
-B/S + В'IS + A'IS = A/S + В'!S. Пусть a + S = Ь' + S,
где as Л, Ь'^.В'. Тогда a = 6' + s, где seS,
72

откуда а+А' = Ь' + А\ Отсюда ае Л', т. е. a + S^
<=(A!S)()(A'IS) = O. Таким образом, свойство 41'
выполнено. _
Для доказательства 42 допустим, что А^ В,
-ф: В -> С — гомоморфизм, где ЛПКегя|з = О, Ля|><*"(?,
S^A и Л/SeSK. Тогда Л-ф/^-ф ^ A/S (=% откуда
CISy = AylSy + A'lSy. Положим А" = (А'(\ ГтцОцГ1.
Для Ь^В имеем 6г|) = a-ф + а', где аеД a' е= Л', т. е.
b = а + а" + х, где a" е A", х e Кег -ф. Следовательно,
B/S = i4/S+(i4w + Keri|))/S. Если а=а"+л: + 5, где
аеЛ, о"еЛ", л:еКегя|з, seS, то ая|з = а"
т. е.
О,
откуда aeS, Таким образом,
и 42 выполнено. _
Для доказательства 43* рассмотрим ту же
коммутативную диаграмму с точными строками и
столбцами, что и в (1.62). Допустим, что L^^B, и пусть
SsM, Af/SeSR. Если S' = (S f) Im a)о"1, то
существует гомоморфизм р: B/S' -+C/S, где (b + S)p =
= ba + S. Если ba^S, то b^S', т. е. р —
мономорфизм. Если l^L, то (l + S')p = lo + S ^M/S, откуда
L/S'.sS«. Следовательно, B/S'<= L/S'+ L'/S'. Для
любого с еС существует такое JeB, чтост = йя = бат.
Отсюда c — ba^M, c = ba + m' = la + l'a + т, где
/eL,/'eL',ra, и'еМ. Нотогда c + S = (/a+m + S) +
+ (/'a + S), где /a + га + S г Af/S, /'a + S = (/' + S') p,
т. e. C/S = M/S+(L7S')p. Если /'ei' и I'jeM, to
Ул = 1'от = 0, т. e. /'eL Но тогда f_eS'. Таким
образом, CIS=MlS+(Lr/S')p, т. е. 43* выполнено.
Обратимся к доказательству свойства 44'. Пусть
#с=Л<=В, ff<*fl, AIK<*BIK, S<=A и
Так как W(/cnS)s(/C + S)/Ss4/S, T° ()
-/C/(/CnS) + L/(/cnS), где ATnSsLsfi. Отсюда
B = K + L и /СП^ = /СП5, а также Л = ЛП(/С + ^) =
= K + A{]L. Если fe + / = fe' + /' + s + fe", где Л, *',
fe"e/<, /, ГеЛП^, seSn/., то l-l'-s~k' +
+ k"-k<^Kf\L sS. Следовательно, /-I'gS. Это
73

позволяет определить гомоморфизм <р: AI(S П L. + К)
->A/S, положив
где а = k +1, k^K, l^A[]L. Легко видеть, что <р —
мономорфизм. Отсюда следует, что (AIK)I[(S [\L + K)lK] ^
A/(SfL + K)^3l. Поэтому
где SftL + K^D^B. Отсюда D = D{\B = D f\(K + L) =
= К + D(]L и, следовательно,
Но
= Sf\L+Kf\L + SsS. Поэтому
т. е. А^В.
В силу (1.65), отношение ^я определяет битре-
угольную чистоту, которую будем называть Ш-ко-
факторной.
(1.66) Пусть со — 31-кофакторная чистота. Тогда для
любого А-модуля А существует (о-чистый
мономорфизм <р: /4->Q, где Q — (о-инъективный модуль, т. е.
со — инъективная чистота.
Для доказательства обозначим через А инъектив-
ную оболочку модуля А и рассмотрим множество {/(„}
всех таких подмодулей модуля А, что Л//Сае?{.
Пусть По: А-*А1Ка— естественные эпиморфизмы и
Q = А + 2* А/Ка- Равенства а<р = (а, (ап^)) определяют
мономорфизм <р: A-+Q, который индуцирует
мономорфизм <р: AIS-+ QlStp для всякого SsA Если
A/S^tR, то S = K* для некоторого индекса р. Опре.
делим эпиморфизм a: Q-+A/S, положив (а, (аая0))а =
= а„я;р. Так как S<pa = 0, то а индуцирует эпиморфизм
a: QlS<f-+ A/S. При этом (а + S)<pa = (a<p + 5ф)а = алр
для всякого оеД т. е. AjS — ретракт в Q/S<f. Этим
доказано, что ф —©-чистый мономорфизм. Из (1.5) и
(1.6) вытекает со-инъективность модуля Q.
Рассуждениями, двойственными проведенным при
доказательстве предложения (1.64), доказывается
74

(1.67) Пусть а> — У1-кофакторная чистота, А, В —
А-модули, {Ко} — совокупность всех таких подмодулей
модуля В, что В1Ка e«R, и <ра: Ех^(Л, Ка)-*
—>Ext\(A, В)— гомоморфизмы, индуцированные
естественными вложениями Ка в В. Тогда
uExVJA, fl)-f)lmq>e.
а
Понятие ©-факторной и 9?-кофакториой чистоты предложила
Уокер [205]. Ею доказаны предложения (1.62) - (1.67), а также
соответствующий частный случай предложения (1.3). Если
5 —класс всех конечных групп, то как ^-факторная, так к
g-кофакториая чистота совпадает с серваитиой чистотой. Первое
утверждение содержится в [и], стр. 82, следствие 25.4, для
доказательства второго достаточно провести рассуждения, совершенно
аналогичные доказательству теоремы 24.9 в [и], стр. 81. Тот же
результат получится, если в качестве g взять класс всех групп,
порядки элементов которых ограничены в совокупности ([и],
стр. 44, теорема 11.2; стр. 82, теорема 25.2 и следствие 25.4;
стр. 81, теорема 24.9). Отсюда, из (1.64) и леммы Бэра ([и],
стр. 244, лемма 63.1) можно получить следующий известный
результат ([и], стр. 246, предложение N): если а - сервантпая
чистота, то
щ Ext (В, А) =- f) n Ext (В, А).
Пусть Л —дедекиидово кольцо, Z— система его левых
идеалов, содержащая вместе с каждым идеалом все бблыпие, и
fj —класс всех Л-модулей А, для которых IA =»0 при некотором
/eg. Тогда как fj-факториая, так и Й-кофакториая чистота
совпадает с f-чистотой ([165], теорема 5.1).
Отношения, близкие к ©-факторной и 9?-кофакториой чистоте,
рассматривал Фукс [91]. Пусть А —некоторая группа. Обозначим
через ^д идеал в структуре всех ее подгрупп, а через Фд —
дуальный идеал (фильтр). Скажем, что А -^^ В (А <^i В), если А —
подгруппа в В и А выделяется прямым слагаемым из всякой
подгруппы Я со свойствами A^HsB и Н/А&$в/Л (если А/К —
прямое слагаемое для В/К при любом /СеЗ)^). Вопрос о том,
как нужно выбирать \$А и Фд, чтобы для отношений <8 и <э
были справедливы свойства 40' —44', в общем случае открыт.
Заметим, что отношение <3 дает сервантиую чистоту в группах,
если Зд Для любой группы А состоит из всех ее
конечно-порожденных подгрупп (см. (1.48)) или из всех ее подгрупп, порядки
элементов которых ограничены в совокупности (так как в этом
случае отношение -^ равносильно отношению 5=^, где 5 ~ класс
всех групп, порядки элементов которых в совокупности
ограничены). Отиошеине -(^ дает сервантную чистоту в группах,
75

если Фд состоит из всех подгрупп группы А, содержащих,
подгруппы вида пА, где п — натуральное число ([и], стр. 81,
теорема 24.9).
Пусть теперь <о— произвольная чистота. Положим
Л=шВВ, если существует такой подмодуль Н^В,
что (А + Н)/Н ^аВ1Н и подмодуль А является Я-вы-
соким'). Чтобы подчеркнуть использование
подмодуля Я, в некоторых случаях будем писать £Шв//
вместо ^шв.
(1.68) Пусть (о — некоторая чистота. Тогда
отношение =ш „ обладает свойствами 40', 41', 42, 43'. Если
о — ?'-чистота, то ^ав обладает свойствами 43* и 44*.
Действительно, справедливость свойства 40' для
=ав очевидна. Пусть, далее, А^ав0В и В^авНС.
Тогда, очевидно, A[\(G + H) = 0. Пусть хеС\Л.
Если *е=В, то ясно, что W = (A + Ax)f[(G +Н)=£ 0.
Если х&В, найдутся 6еВ и ^еА такие, что
ОФЬ + ХхеН. Если ЪеА, то опять W =^= 0. Если же
Ь&А, то 0=^=a + (i6sG, где оеЛ, цеЛ. Но
цб + цЪ: = АеЯ, откуда 0 =^= a + Л — цЪ: sGh,
следовательно, до = а — \ikx e W. Если ш = 0, то 0=^=Ле
еЯЛО^ЯП^=0- Таким образом, подмодуль Л
является (G + Я)-высоким. По условию, (Л + 0)/0е
Safi/G. Отсюда, применяя (1.1), 40' и 43',
последовательно получаем (A + G + H)!G^a(B +H)/G и
(Л + G + H)I(G + Я) <=JB + H)I(G + Я).
Кроме того, по условию, (В+ Я)/Я^а С/Я.
Применяя 43', будем иметь (В + Я)/(О + Я)^аС/(О + Я),
после чего 4 Г дает (Л + G+Я)/(О + Я) saC/(G + Я),
т. е. Лео» (о+и) С. Пусть теперь Л^швЯВ. и/CsA
Легко проверить, что А/К является (Я + /С).'/(-высоким.
Из {А + НуН^аВ/Н, применяя 43', нетрудно вывести,
что А1К^а>п(н+к>1кВ1К. Таким образом, показано,
что sae обладает свойствами 40', 4Г и 43'. _
Докажем теперь справедливость свойства 42.
Допустим, что /: Л->В, g: B-+C и Л/^^авЯС.
Положив G = (Bg П Я) g~\ нетрудно убедиться, что подмо-
') Говорят, что подмодуль А модуля В является Н-высоким
(или дополнительным для л), где Н — подмодуль из В, если
ЛГ)Я-=0, ио (А + АЬ)(\Нф0 для всякого 4еВ\Л.
76

дуль Af будет G-высоким в В. Если <р — естественное
вложение (Af + G)!G в B/G и (b + G)^= bg + H, то
[(Af + G)IG) qn|> = (Afg + H)lH =.(С + H)IN,
откуда ф!|зе§ш. Нетрудно проверить, что я|з —
мономорфизм. Поэтому фе^и и, следовательно, AfsaBB±
Далее установим справедливость свойства 43*,
если о — ^-чистота. С этой целью рассмотрим
коммутативную диаграмму
i
0
1 .
L—>
1
I
A—-■>
i
1
0
0
I
M
4-
В
X
1
0
с точными строками и столбцами и допустим, что
атефа„. Тогда LEe,//A. Кроме того, легко
проверить, что В =Ао+ М. Положим G = На. Ясно, что
M(]G=0. Если 6еВ \ М, то Ь = аа + т, где аеА \ L,
msM, Поэтому 0=^=Л = Ал + /, где h еЯ, /gL, ^gA.
Конечно, Л^/С, ибо /cnЯsLnЯ = 0. Но тогда
О ф ha = Я,й + (la — Km), т. е. М оказывается
G-высоким. Пусть m + Ge=/(fi/G)n[(M + G)/G], где /е=?.
Тогда m = 2iltb[ + g, где 6,е=В, ge=G, |,e=/. Но
bi"ata + mi, где а^еЛ, m,G=M, a g = ha, где Ле=Я.
Легко понять, что / = 2iiai + ^GHL. Отсюда,
поскольку (L + Н)Ш s? А\Н, вытекает, что / = 2 r\}l}
где /ye=L, A'gW, Л/е/- Но тогДа
га + G = /а + 2 hnii + G =
= 2 % (' *°) + 2 g,wi + G е= / [(Af
Таким образом, (M + G)IG^9B/G и, значит, те#ав.
77

Пусть, наконец, со — ^-чистота и в приведенной
выше диаграмме а, те$*В11. Тогда К^аввА и
М^авНВ. Пусть N = Gf]Ha~K Если x^Lf]N, то
хо<=М()Н = 0, т. е. x^K(]G=0. Если а<=Л\£,
то О Ф h = la + %aa, где АеЯ, /eL, А,еЛ. Отсюда
Ха + 1фК. Поэтому Оф g = k + \i()ui + l), где geG,
fee/С, цеЛ. Но ga = \ih^H. Таким образом,
О ^ g = (k + ц/) + цЯа е Af, т. е. модуль L будет Af-вы-
соким. Пусть, далее, х +N ^I(AlN)(][(L + N)/N], где
/eg1. Тогда л: = 2£га* + ", где xet, а;еЛ, n^N,
Ite /. Отсюда ха + H^I(В/Н) (] \(М + Н)\Н\ и,
следовательно, xa = ^ir\Jmj + h, где nij^M, АеЯ, Лу^/-
Но АеМПЯ = 0 и, значит, л; = 2 V/ + *• где hG^>
Ле/С. Отсюда Ц^^-^лЛ™*-". т. е. fc + Ge
/)[(/С + О)/О]. Поэтому *-2СЙ» где £.€=/,
, откуда л: + Л^е/[(L + N)lN]. Таким образом,
rAlN или
Из предложения (1.68) вытекает, что для
^-чистоты © отношение saB определяет битреугольную
чистоту, которую будем называть ^-высокой. Не ясно,
остается ли этот вывод справедливым для
произвольной битреугольной чистоты.
Штеиштрем [198] рассматривал ©-высокую чистоту для
случая, когда ф» состоит из всех мономорфизмов. Ои, в частности,
отмстил, что для коммутативных иетеровых колец, в которых
все ненулевые простые идеалы максимальны, такая ©-высокая
чистота совпадает с tf-чистотой, где SS — множество всех
максимальных идеалов ([198], стр. 175, следствие). В другой своей
работе [200] Штеиштрем решал для этих двух чистот следующую
задачу: когда все подмодули модуля А (о-чисты в ием?
Харрисои, Ирвии, Пирси и Уокер [103] рассматривали сер-
вантио-высокую и слабо-сервантно-высокую чистоты. В частности,
они доказали для этих чистот справедливость предложения (1.3).
Однако охарактеризовать сервантно-высоко-ииъективные и сер-
вантно-высоко-проективиые группы пока не удалось. То же самое
относится и к слабо-серваитио-высокой чистоте. Классы сер-
вантно-высоко-делимых и слабо-сервантно-высоко-делимых групп
совпадают с классом делимых групп. Это непосредственно
следует из того, что все сервантио-высокие и все слабо-сервантно-
высокие подгруппы слабо-серваитиы ([и], стр. 92,
предложение d). Отсюда же вытекает отсутствие кручения у сервантио-
высоко-плоских it слабо-серваитио-высоко-плоских групп.
Справедливо также утверждение:
78

если а — сервантно-высокая чистота, то (^-плоскими являются
свободные группы и только они.
Действительно, пусть Л — ю-плоская группа и 0 -> К -» F -»
-> Л -» 0 — точная последовательность, где F — свободная группа.
Тогда К— серваитио-высокая подгруппа группы F, т. е. в F
существует такая подгруппа_Я, что К дополнительна для Я,
а К" (К4- Щ_[Н серваитиа в F^F/H. Из первого условия
вытекает, что F/K ^периодическая группа^ Если Г —периодическая
часть группы F, то К()Т = 0, ибо К изоморфна группе К без
кручения. Пусть JceF и тх^а^К- Тогда а = тах для
некоторого п\^-К и т (х_— й|) =0, откуда х^К-\- Г. Таким образом,
F=-K+T. Пусть Г-Г/Я. Тогда ГПК-0 и F — /С 4- Г, откуда
AatFjKstT, т. е. Л—свободная группа. Обратное очевидпо.
Из проведеииого доказательства видио, что серваитио-высокие
подгруппы групп без кручения выделяются прямыми слагаемыми.
Для всякой чистоты ш можно ставить вопрос о
существовании для подмодуля А заданного модуля В минимального
содержащего его (В-чистого подмодуля, который естественно назвать
ю-чистой оболочкой подмодуля А. Если щ — слабо-серваптная
чистота, то всякая подгруппа любой группы имеет в этой группе
а-чистую оболочку ( [и], стр, 92, предложение i). Свойства
слабо-сервантных оболочек рассматривал Раигасвамн [177], [180]
(см. также Уокер [209]). Вопрос об условиях, при которых
любая подгруппа группы имеет сервантную оболочку,
рассматривался Хиллом и Мегиббеиом [113]. См. также работы Мегиб-
беиа [160], Хеда [106], Хилла ([111] [112]), Шарля [56].
Рассматривался вопрос о вложимости подгруппы в серваитиую
подгруппу или прямое слагаемое той же мощности, что и сама
подгруппа ([и], стр. 78, предложение N; [57], [123], [125], [126],
[189]).
Мегиббен [162] и Рангасвами [182] рассматривали подгруппы,
являющиеся пересечениями ссрваптиых или слабо-серваитпых
подгрупп. Этого же вопроса с более общих позиций касался
Штеиштрем [198].
Отметим еще такое определение. Группы Л и В назовем
сервантно-эквивалентными, если каждая из них изоморфна сер-
ваитпой подгруппе другой. Де Гроот [99] и Соисяда [194]
исследовали, когда из серваитной эквивалентности вытекает
изоморфизм групп (см. также [50]; [и], стр. 181, упражнение 27). Заметим,
что утверждения, содержащиеся в [и], стр. 181, упражнение 26, и
стр. 201, упражнение 10, ошибочны. Действительно, группы
Ч1 /?' -L V /?" и Z -5- V В' Л- Ч1 В"
f-1.2 t-!,2, ... (-1,2,... i-1.2, ...
где все R\ изоморфны .-руппе двоичных дробей, все R" изоморфны
группе троичных дробей, a Z — группа всех целых чисел, очевидно,
сервантно-эквивалентны, вполне разложимы, но ие изоморфны
между собой ([в], стр. 196). Этот пример дает также
отрицательное решение проблемы 28 книги [и].
79

Легко видеть, что группами, не содержащими нетривиальных
сервантных подгрупп, являются все подгруппы аддитивной группы
рациональных чисел, примарные циклические группы, группы
типа р°° и только они ([и], стр. 94, упражнение 18а). Ввиду
предложения (1.47) группами, в которых, наоборот, всякая
подгруппа сервантна, являются все прямые суммы циклических групп
простых порядков и только они. С этим же классом совпадает
класс всех групп, в которых любая конечная система элементов
порождает сервантную подгруппу (такие группы называются
локально сервантными, см. [47]). Группа называется почти
локально сервантной, если всякая ее конечная система элементов
содержится в конечно-порожденной сервантной подгруппе. Всякая
счетная почти локально сервантная группа является прямой
суммой циклических групп ( [47], теорема 6).
Некоторые обобщения понятия сервантности в группах
рассматривали также Абиан и Райнхарт ( [29] — честные подгруппы),
Ванг ([2101 — регулярные подгруппы), Куликов, Ирвин и Уокер
([14], [126] — нзотнпные подгруппы), Рангасвами ( [180]
—абсорбирующие подгруппы), Ричман и Уокер ( [188] — а-квази-слабо-
сервантные подгруппы), Робер ([189] — ct-сервантные подгруппы;
см. также [126]), Хед ( [108], [109] -р-подчнстота).
Сандомирский [193] исследовал модули, инъективные
относительно естественных вложений подмодулей фиксированного
модуля, а также модули, проективные относительно естественных
эпиморфизмов данного модуля.
Фукс ( [90], стр. 31, проблема 34) отмечает, что Нот (G, S),
где S —сервантная подгруппа группы G, является левым
идеалом кольца Нот (G, G), аддитивная группа которого служит
ретрактом аддитивной группы кольца Horn (G, G), н предлагает
исследовать возникающие связи. К этому кругу вопросов
относится также работа Рейда [185].
Заметим, наконец, что предпринимались попытки дать
определение чистоты в структурах ( [107] ) и универсальных алгебрах
([164]. [211]).

§ 2. КРУЧЕНИЕ
Аксиоматическое определение понятия кручения
разумно искать в связи с теорией радикала. Будем
говорить, что в категории Л-модулей задан радикал х,
если
К1. Каждому Л-модулю А поставлен в
соответствие его подмодуль г (Л).
К2. х(х(А)) = х(А).
КЗ. Если /: А->В, то f(i(A))st(B).
К4. г(Л/г(Л)) = 0.
Подмодуль с (Л) назовем х-радикалом модуля А.
Если х (А) = А или х (А) = О, то модуль А назовем х-ра-
дикальным или х-полу простым соответственно.
Радикал v назовем кручением, если требование К2
усилено:
•'К2'. Если А<=х(В), то х{А) = А.
В случае кручения вместо «г-радикальность» будем
говорить «х-периодичность». Если Л —коммутативная
область целостности и хо(А) — обычная периодическая
часть модуля А, то, как нетрудно проверить,
функция г0 оказывается кручением. Назовем
тривиальными кручения г(Л)=0 для всех А и х(А) = А для
всех А.
Из КЗ и К4 непосредственно следует
(2.1) Если х — радикал в категории А-модулей, то
К-модуль А является х-радикальным тогда и только
тогда, когда он не допускает ненулевых
х-полупростых эпиморфных образов.
Из условия КЗ вытекает также
(2.2) Если А<=В, то х(А)^А(]х(В)
В частности,
Q Л. П. Мишина, Л. А. Скорняков 81

(2.3) Подмодуль х-полупростого модуля х-полу-
прост.
Из предложения (2.1) получаем
(2.4) Если ^.-модуль А является х-радикальным
и х-полупростым, то А = 0.
(2.5) Фактор-модуль ^-радикального модуля х-ради-
кален.
Из (2.1) и (2.3) нетрудно вывести
(2.6) Полная прямая сумма и прямая сумма
х-полупростых модулей х-полупросты.
Далее, справедливо утверждение
(2.7) Прямая сумма х-радикальных модулей х-ра-
дикальна.
Действительно, если А = 2 А» гДе А, — г-радикаль-
ные Л-модули, и В — v-полупростой Л-модуль, то из
существования эпиморфизма £: А—>-В вытекает
существование гомоморфизмов £„: Ла-+В, где | = Sla-
Так как, в силу предложений (2.3) и (2.1), Im|a = 0
при любом а, то Im | = В = 0.
(2.8) Пусть х — радикал в категории ^модулей.
Тогда следующие свойства подмодуля Т ^-модуля А
эквивалентны:
1) Т = х(А);
2) Tsi(A) и х(А1Т) = 0;
3) Т — наибольший среди х-радикальных
подмодулей модуля А;
4) Т — максимальный среди х-радикальных
подмодулей модуля А;
5) Г= р| В, где 23 =
Действительно, импликация 1)=^>2) сразу следует
из свойства К4, а 2)=^>3)-из К2 и (2.3)-(2.5).
Импликация 3)=ф4) очевидна. Если справедливо
условие 4), то 1) сразу следует из свойства К2 и
включения Т^х(А), вытекающего из КЗ. Если Т= [\В,
то ввиду К4 Т^х(А). Поскольку Л/Ге2*AjB, то
из предложений (2.3) и (2.6) вытекает, что г(Л/Г) = 0.
Отсюда, учитывая, что г(Л)/Г£Л,Т и применяя К.2
и (2.3) —(2.5), получаем, что х(А)=Т. Наконец, для
всякого fisS ввиду предложения (2.3) из
соотношения г {А)1[В П t {A)] s [В + х {А)]1В = А\В следует,
88

что фактор-модуль х (А)/[В П г (Л)] r-полупрост.
Отсюда, в силу свойства К.2 и предложения (2.5), вытекает,
что х(А) = В[]х(А), т. е. х(А)^В. Так как г(Л)е2Э,
то импликация 1)=ф5) также доказана.
(2.9) Следующие свойства радикалах эквивалентны:
1) г — кручение;
2) х (А) = А П х (В) для всякого As В;
3) инъективная оболочка х-полупростого модуля
х-полупроста.
В самом деле, импликация 1)=ф2) легко выводится
из предложений (2.2) и (2.8). Импликация 2)^3)
очевидна. Если справедливо 3) и А^х(В), то
рассмотрим коммутативную диаграмму
А *t(B)
I {
Alt(A)-+Q,
где Q — инъективная оболочка модуля Л/г (А). Из
условия 3) и предложений (2.3) —(2.5) вытекает, что
Ф = 0, откуда А = х (А).
Ввиду предложения (2.8), для того чтобы задать
радикал г, достаточно указать класс г-радикальных
модулей. Последний описывается следующим
предложением:
(2.10) Радикальный класс 91J) обладает
следующими свойствами:
1) Ш замкнут относительно эпиморфных образов',
2) если всякий ненулевой эпиморфный образ
модуля А содержит ненулевой подмодуль из Ш, то А
лежит в Ш;
2') Ш замкнут относительно расширений и прямых
сумм;
2") если модуль А обладает возрастающим рядом
подмодулей
0-Л, s ... <=Аа<=Ам<= ... <=Ап = А,
где Ax+i/A«s!N nPu любом а и Ла— (J Лр для пре-
дельных а, то А е 91.
') Класс модулей условимся называть радикальным
(полупростым), если он совпадает с классом всех t-радикальных
(r-полупростых) модулей для некоторого радикала г.
6* 83

Если класс Ш обладает свойством 1) и одним иэ
свойств 2), 2'), 2"), то он радикален.
Сначала докажем, что при выполнении условия 1)
имеют место импликации 2)=ф2')=ф2").
Действительно, пусть имеет место условие 2). Если А = ^Аа,
Аа е SR, я: А -> В — ненулевой эпиморфизм и ia: Aa->А —
естественные вложения, то 1апф0 хотя бы при одном а.
Отсюда 0=тМггная^1тя, причем Imians9t в силу
условия 1). Следовательно, в силу 2), Aet. Пусть
теперь 0->Л->В->С->0 — точная
последовательность, где A, CsDi и я: В -> D — ненулевой
эпиморфизм. Если An Ф О, то О Ф An ^ Вп и An e Ш, в силу
условия 1). Если же Ля = 0, то О^Бя^СяеЯ.
Отсюда, согласно свойству 2), вытекает, что Бе9?.
Допустим теперь, что выполнено 2') и модуль А
удовлетворяет условию свойства 2"). Тогда 0 = А^Ш.
Пусть для всех (J<a уже доказано, что Лре91.
Если а— 1 существует, то Аа&Я, согласно свойству 2').
Если а предельное, то Ла = (2 АЛ/К^^ ввиду
\0<Р Р)!
условий 2') и 1). Так как A = Aq, to
справедливость 2") доказана.
Пусть теперь г —радикал и № — класс всех г-ра-
дикальных модулей. Справедливость свойства 1)
вытекает из предложения (2.5). Если, далее, модуль А
удовлетворяет условиям свойства 2) и Афх(А), то
фактор-модуль Alt (А) должен содержать ненулевой
r-радикальный подмодуль, что противоречит
предложениям (2.3) и (2.4). В силу доказанного выше, класс 9?
обладает свойствами 2') и 2").
Пусть, наконец, класс 5Н обладает свойством 1)
и одним из свойств 2), 2'), 2"). Тогда, как показано
выше, он обладает свойствами 1) и 2"). Если А —
некоторый модуль, то рассмотрим в нем частично
упорядоченное множество всех подмодулей,
принадлежащих классу №. Из свойств 1) и 2") нетрудно
вывести, что объединение возрастающей
последовательности таких подмодулей также принадлежит №.
Применяя лемму Куратовского —Цорна, найдем
максимальный подмодуль г(Л)е9?. Если В *= А и
В е SR, то, согласно свойству 1), получаем, что
[В + г(Л)]/г(Л)е&В:[В f\t(A)] еЯ. Применяя свой-
84

ство 1") к ряду Оег(Л)^В + г(Л), убедимся, что
B + t(i4)sSR. Ввиду максимальности х(А) получаем,
что Bsx(A). Очевидно, функция v обладает
свойствами К1 и К.2. Из условия 1) нетрудно-вывести
справедливость свойства КЗ. Пусть, наконец, В =
= г(Л/г(Л)). Тогда В ^DIx(А), где г(Л) = D S А.
Применение свойства 2") к ряду Оег(Л)£ Z3 дает, что
Z)e9t. Но тогда, как показано выше, /Зег(Л) и,
следовательно, В = 0. Таким образом, К4 также
справедливо, т. е. г—радикал. Ясно, что
относительно этого радикала класс 91 радикален.
(2.11) Пусть х — радикал, 91 и Ч$ —классы, х-ради-
кальных и х-полупростых модулей соответственно.
Тогда
()
(52) ffi замкнут относительно фактор-модулей;
(S2') 4$ замкнут относительно подмодулей;
(53) для всякого модуля А существует такая
точная последовательность 0-+R-+A-+B-->0, что V?e!)t,
В^Щ.
Наоборот, для каждой пары классов (9t, Щ),
обладающих свойствами SI, S2, S2', S3, существует
такой радикал г, что SR и Щ —классы х-радикальных
и х-полупростых модулей соответственно.
Действительно, первая часть предложения вытекает
из предложений (2.4), (2.5), (2.3) и свойств Kl, K.2
и К4. Пусть теперь (91, Щ обладает свойствами S1,
S?, S2', S3. Тогда Ш обладает свойством 1)
предложения (2.10) согласно S2. Пусть А удовлетворяет
условию свойства 2) предложения (2.10). Ввиду S3
существует точная последовательность
где R е Ш, В е $, Если В Ф 0, то 0 ф С = В, С е Ш.
Но С ^Щ ввиду S2'. Получили противоречие с S1.
Следовательно, В = 0, А = R е Ш. Согласно
предложению (2.10) отсюда следует, что существует
радикал с, для которого SR — класс всех г-радикальных
модулей. Далее, ввиду S1 и S2' модули из ^ являются
r-полупростыми. Наоборот, если г(Л) = 0, то Ле|
ввиду (2.3) и S3.
Полупростой класс описывается таким
предложением
85

(2.12) Полупростой класс $ обладает следующими
свойствами:
1) Щ замкнут относительно подмодулей;
2) если любой ненулевой подмодуль модуля А
имеет ненулевой эпиморфный образ,
принадлежащий Щ, то А е Щ;
2') Щ замкнут относительно расширений и полных
прямых сумм;
2") если модуль А обладает убывающим рядом
подмодулей
А = Аг а ... а Аа = Аа+\ а ... а Ап = О,
где AjAan e fy для всех аи Ла= f) A^ для
предки
дельных а, то А е ^5.
£слы класс Щ обладает свойством 1) ы одним из
свойств 2), 2Q, 2"). го он полупрост ').
Соответствующий радикал является кручением тогда и только
тогда, когда класс ty замкнут относительно перехода
к инъективным оболочкам.
Сначала докажем, что при выполнении
свойства 1) справедливы импликации 2)=Ф2'):Ф2"). В самом
деле, если имеет место свойство 2), Аа& ^, А = 2* Ai
и 0 ф В ^ А, то найдется такая проекция Яц.- А->Аа,
что Вяа^О. Ввиду 1) Дя^е^. Применяя 2),
убеждаемся, что А е S(J. Пусть, далее, имеется точная
последовательность 0 -► А -> В —-*• С -> 0, где Л, CsS(J,
и пусть Офй^В. Если /З^Л, то Z)e$, как сраз
следует из условия 1). Если же D&A, то О Ф /Зл %
ввиду 1). Применяя свойство 2), получаем, что
модуль В е 5£.
Допустим теперь, что выполнено свойство 2') и
модуль А удовлетворяет условиям свойства 2").
Тогда А/А1 = 0^Щ. Допустим, что для всех (J<ct
доказано, что Л/Лр е ф. Если а — 1 существует, то,
применяя свойство 2') к точной последовательности
О -> Ла_! /Ла -► А /Аа -+ А /Ла-! -> О,
') Свойство 1) в формулировке предложения (2.12) можно
заменить свойством: всякий ненулевой подмодуль модуля А
из $ имеет ненулевой эпиморфный образ, лежащий в ф ([17]
стр. 919-920).
86

получим, что Л/Лое5р. Если же а предельное,
то А/Аа оказывается подмодулем полной прямой суммы
2* А/Ал, и соотношение AIAa^ty вытекает из 2')
и 1). Так как А = А/Аа, то справедливость
свойства 2") доказана.
Пусть теперь г —радикал и ^ —класс всех г-полу-
простых модулей. Справедливость свойства 1)
вытекает из предложения (2.3). Если, далее, модуль А
удовлетворяет условиям свойства 2), то А лежит в Щ,
в силу предложения (2.1) и свойства К2, т. е.
свойство 2) выполнено. В силу доказанного выше, класс Ф
обладает также свойствами 20 и 2").
Если, далее, класс Щ обладает свойством 1)
и одним из свойств 2), 2'), 2"), то, как показано
выше, он обладает свойствами 1) и 2"). Пусть
Ш = [R | Нотл (R, Х) = 0 для всех X г Щ.
Пусть A^SR. Положим Ау = А и допустим, что для
всех р< а построены подмодули А^А, причем А^АУ
при P<y<o и ОФ Лр/Лр+1 е Щ, если р+1<а. Если
а—1 существует и Ло-1^91, то найдем такой
подмодуль Ла^Лц-!, что 0 ф Aa_JAa e ^. Если а
предельное, то положим Ло= ("IЛ р. Разумеется, най-
0<О
дется такой трансфинит й, что Ла е Ш. Поскольку
(Л0/Ла)/(Ла+1/Ла) = Ло/Ло+1 s 4$, то ввиду свойства 2")
получаем AjAa e *>$. Таким образом, пара (9?, ty)
обладает свойством S3 предложения (2.11). Поскольку
выполнение свойств SI, S2 и S2'очевидно, класс $
оказывается полупростым.
Справедливость последнего утверждения вытекает
из предложения (2.9).
С каждым радикалом можно связать два в
некотором смысле близких к нему кручения.
(2.13) Пусть г — некоторый радикал, 91 — класс
х-радикальных модулей,
V = {Л | все подмодули модуля Л принадлежат Щ
и
£" = {B|Hom(B, K) = 0, для всякого
инъективного r-полупростого модуля Y).
97

Тогда классы %' и %" являются классами х/- и
х" -периодических модулей для некоторых кручений х?
и г". При этом
V s 9* s V.
Если г0 — кручение и £0 — класс ^периодических
модулей, то 20^91 влечет J0£j', а из $ S £0
вытекает, что I" ^ 20.
Действительно, учитывая предложения (2.1) и (2.3),
нетрудно убедиться в справедливости соотношения
V s Ш.^%". Легко проверяется и первая часть
последнего утверждения. Для доказательства его
второй части достаточно заметить, что при сделанных
предположениях г„-полупростые модули г-полупросты,
и применить (2.1) и (2.9). Далее, заметим, что класс V
замкнут относительно подмодулей и обладает
свойством 1) предложения (2.10). Допустим теперь, что
всякий ненулевой эпиморфный образ модуля А
содержит ненулевой подмодуль из V. Пусть X s А
и х(Х)=£Х. Обозначим через В подмодуль модуля А,
являющийся максимальным среди удовлетворяющих
условию В f\X = х(Х). По условию, найдется такой
модуль С, что В^С^А и С/В е j'. Поскольку
(В + Х)1В е*Х!х(Х), модуль (В + Х)/В является г-полу-
простым. Ввиду предложений (2.3) и (2.4) из
определения класса I' вытекает
[(В + X) (]С + В]1В = (С/В) П [(В + Х)!В] = 0.
Следовательно, С (]Х^ С f\(B + X)^ В, откуда
В[\Х = х (X),
что противоречит выбору В. Наконец, очевидно,
что класс V удовлетворяет условию 1)
предложения (2.10). Справедливость свойства 2) сразу
следует из равенства Нотл(2^о' ^) = 2 Нотл(Ло, У)
([б], стр. 128, предложение 9.1) и полуточности
функтора Нот ([б], стр. 45, предложение 4.4). Если
ylsfleJ" и <р: A-+Y, где Y инъективен, то
гомоморфизм ф может быть продолжен до
гомоморфизма В в X. Следовательно, А е %". Таким образом,
класс 2" действительно является классом г"-перио-
дических модулей для некоторого кручения г",

(2.14) Пусть t—кручение, a Z и ty—классы х-перио-
дических и х-полупростых модулей соответственно.
Тогда найдутся такие модули XQ&Z и Уое$, что
ф = [А\Нотл(*0, А) = 0} и Z = [В|Нотл(В, YQ) = 0}.
При этом модуль Yo может быть выбран инъек-
тивным.
Действительно, пусть Zo и ^0 — множества всех
ненулевых циклических модулей, принадлежащих
классам Z и Щ соответственно. Пусть, далее, Хо =
= 2 X. Согласно предложению (2.7) модуль Хо при-
надлежит I. Положим Щ' = [А | НотЛ (Хо, Л) = 0]. Из
предложений (2.1) и (2.3) вытекает, что 5р s 5P'.
Допустим, что jWefs' \ %. Тогда найдется 0^(М)
Ввиду свойства К2'Лл:еЗ:о. Но тогда Нотл(Х0, )
Противоречие. Теперь обозначим через Уо инъек-
тнвную оболочку модуля 2* У и положим 2/ =
= {В|НотЛ(В, YQ) = 0). Из предложений (2.6), (2.9),
(2.3), (2.4) и (2.5) вытекает, что Z <= V. Если MsI'M,
то х(М)=£ М. Пусть я: M->Mlt(M) — естественный
эпиморфизм. Выбрав jGjH\t(M) и применив (2.3),
получаем, что (Лл:)яе5ро. Отсюда и из инъектив-
ности Ко вытекает, что Нотл(Л1, Ко)=т^О. Противо-
.речие.
Модули Хо и Ка, указанные в предложении (2.14). весьма
велики. В некоторых случаях их можно заменить меньшими.
(2.15) Для всякого кручения г совокупность У
всех левых идеалов, фактор-модули по которым
х-периодичны, является радикальным фильтром. При
этом
г (Л) = {а |(0: а) <=!?}.
Если г(Л) = 0, то г(С) = 0е том и только в том
случае, когда С является ^"-плоским модулем.
В самом деле, если /е£" и /S/, то
включение /eg5 вытекает из изоморфизма (Л//)/(///) ^ Л//
и предложения (2.5). Таким образом, ^ обладает
89

свойством G1. Если /s? и 1еЛ, то рассмотрим
последовательность
где £я —£А + /. Легко убедиться, что она точна.
Следовательно, Л/(/ : Я,) ^ (АХ+ 1)/1 = Л/7. Применяя К2',
убедимся, что (7: А.)е If. Таким образом, свойство G2
также справедливо. Пусть теперь/ s/ е^н(/ : g)e^
для всех gs/. Допустим, что Я,е/ и А, + /^г(//7).
Определим гомоморфизм а: Л-*///, положив £а =
= |Я + /. Ясно, что А, + /е 1та^Л/(/ : Я). Учитывая
предложение (2.8), получим H/sImast (///).
Противоречие. Следовательно, г(///) = //7. Но тогда,
рассматривая точную последовательность
О ->///-> Л/7 -> Л/7 -> О
и применяя предложения (2.10), убеждаемся, что
г (Л/7) = Л/7. Таким образом, выполнено условие G3.
Пусть теперь А' = {a|ae А, (0: a) eg3}. Если
ast(4 то ввиду К2' г(Ла) = Ла. Но Ла а Л/(0 : а),
и, следовательно, (0 : a)s g3. Таким образом, г(Л)^Л'.
Если же аеЛ', то из изоморфизма Ла s Л/(0: а)
следует равенство г(Ла) = Ла. Применяя
предложение (2.8), получаем включение Aast (A).
Пусть, наконец, г(Л) = 0. Согласно
предложению (2.6) г^) = 0 для всякого свободного Л-модуля F.
Предположим, что С является ^-плоским
модулем. Рассмотрим точную последовательность 0->/(-»•
-►Т7—^>С->0, где F — свободный модуль. Еслисег(С),
то, как только что показано, (0:с)е#\ Если с — хх,
то, поскольку модуль К ^-чист в F, из
предложения (1.48) вытекает, что (O'.x — y)^(f для
некоторого у е /С, т. е., в силу доказанного выше,
х — у ^ т (F) = 0. Следовательно, с = 0, т. е. С является
r-полупростым. Наоборот, если модуль С г-полупрост,
0->Л->£— ■>С->0 — точная последовательность и
(А:Ь)^^, то 6еЛ. Таким образом, (А : Ь) = Л =
= (0 : (— &) + 6). Применяя (1.48), убеждаемся, что
модуль А ef-чист в В.
(2.16) Если с? — радикальный фильтр, то функция
90

определяет кручение. При этом I е с? тогда и только
тогда, когда г (Л/7) = Л/7.
Для доказательства установим справедливость
свойств К1, К2', КЗ и К4. Если х, уе=х{А), то
(0:Лл:) = ((0:л:):Л)еаГ ввиду G2, а (0 : л: + г/) <= cf
ввиду G1 и предложения (0.3), поскольку (О'.х + у)^
— (0 : х) П (0 : у)- Таким образом, х (А) — подмодуль.
Справедливость свойства К2' очевидна, а свойство КЗ
сразу следует из G1. Если
а + г(Л)ег(Л/г(Л)), то (г(Л): а) е= 8\
Далее, для всякого£е(г(Л):а) имеем ((0:а):£) = (0:£а)е
е g3, так как £а е г (Л). Поскольку (0 : а) ^
^(х(А)'. а) и £ — любой элемент из (с (А)'.а), то
применение свойства G3 дает (0:а)е?, т. e. ast(A).
Этим доказана справедливость свойства К4. Из
свойства G1 вытекает, что /е? влечет г(Л/7)= Л/7. Если
г (Л/7) = Л/7, то (/: У е g5 для всех £еЛ. Применяя
свойства G1 и G3, убеждаемся, что 7eg3.
Теперь представляется возможным дать описание
всех кручений в категории абелевых групп. Пусть
Я—некоторое множество простых чисел, а О—система
идеалов кольца Z, порожденных всевозможными
произведениями степеней чисел из Р. Ввиду
предложения (0.6) множество О является радикальным
фильтром, который, согласно предложению (2.16),
определяет кручение. Обозначим это кручение через Хр.
. (2.17) Всякое нетривиальное кручение в категории
абелевых групп имеет вид tp, где Р— некоторое
множество простых чисел.
В самом деле, пусть г—нетривиальное кручение
в категории абелевых групп. Обозначим через £%
совокупность всех идеалов кольца Z, фактор-модули
по которым r-периодичны. Пусть Р — совокупность
всех простых чисел, входящих в разложения
образующих идеалов системы g%. В силу предложений
(2.15) и (0.3), efr — совокупность всех идеалов,
порожденных произведениями степеней простых чисел
из Р. Но тогда из предложений (2.15) и (2.16)
вытекает, что г(Л)=Гр(Л) для всякой группы А,
т. е. x=tp.
(2.18) Пусть % — радикальный фильтр,
содержащий наименьший левый идеал I, и х— соответствующее
91

кручение. Тогда I2=I,a t(A) = A в том и только
в том случае, когда 1А = 0.
В самом деле, если х(А) = А и IA ф О, то 1а Ф О
для некоторого а е А. Но 1а = ///. Учитывая
свойство К.2' и предложения (2.10) и (2.16), из
рассмотрения точной последовательности
0 -►///-► Л/7 -> Л/7 -> 0
получаем, что /е?. Это, однако, противоречит
минимальности левого идеала 7. Наоборот, если 7Л = 0,
то рассмотрим эпиморфизм я: F-+A, где F = 2jA.
Ясно, что 2j7^Kern. Поэтому А является эпиморф-
ным образом модуля 2 (Л/7). Но г (Л/7) = Л/7, и из
предложений (2.7) и (2.5) вытекает, что х(А) = А.
Наконец, рассмотрим точную последовательность
0->7/72->Л/72->Л/7->0.
Поскольку 7(7//2) = 0, то, в силу показанного выше,
i(7/72) = 7/72. Применяя предложения (2.10) и (2.16)
убеждаемся, что Яе?, откуда ввиду
минимальности 7 получаем, что 7 = 72.
Класс модулей назовем радикально-полупростым,
если он является радикальным и полупростым
одновременно (для некоторых радикалов г и г7). Легко
видеть, что в этом случае г обязательно оказывается
кручением.
(2.19). Пусть х—кручение, £ —соответствующий
радикальный фильтр (см. предложение (2.15)) и 2— класс
х-периодических модулей. Для того чтобы класс 2
был радикально-полупростым, необходимо и
достаточно, чтобы система <? содержала наименьший левый
идеал 70. При этом x/(A) = IQ, где х/ — радикал,
определяемый полупростым классом 2.
В самом деле, если класс 2 радикально-полупрост,
то, согласно предложению (2.6), он замкнут
относительно полных прямых сумм. Положив 70= Р) 7,
получим точную последовательность
92

Из К2' вытекает, что Л//Ое Z, после чего (2.16) дает,
что /ое?, Обратное утверждение без труда
выводится из (2.12) и (2.18). Наконец, если /^/0 и
^(V-O = ^> т0 V^s^- Но тогда, применяя (2.1-0) к
точной последовательности
0 -> /„// -> Л/7 -> Л//о -* 0,
убеждаемся, что Л//е1. Ввиду предложения (2.16)
/е^ к, следовательно, /0 = /. Из предложения (2.1)
вытекает, что /о-г'-радикальный модуль. Согласно (2.8)
/0^f(A). Но A//osJ. Поэтому г'(Л//0) = 0 и из
предложения (2.8) вытекает, что г'(Л) = /0.
Если 2 — радикально-полупростой класс, то он
определяет два радикала г и ? так, что j
совпадает с классом r-радикальных и с классом г'-полу-
простых модулей. Пусть ^ и Ш — классы г-полупро-
стых и г'-радикальных модулей соответственно.
Выясним, когда классы 4$ и 91 совпадают:
(2.20) Пусть Z —радикально-полупростой класс
А-модулей. Тогда эквивалентны следующие свойства:
1)$ Ю
)$
2)г(г'(Л)) = 0 и f(Л/t(Л))-Л/г(Л) для всякого
А-моду ля А;
3) Л = г(Л)+г'(Л) для всякого А-моду ля А;
4) Л = г(Л)+г'(Л).
Действительно, пусть $ = $. Из f (Л)е91 = ^
вытекает, что г(г/(Л)) = 0, а из Л/г(Л)е$~31 — что
xf{Ajt{A)) = Aji{A). Пусть теперь выполнено
свойство 2). Согласно К2' и предложению (2.3), г(Л)П
nf^Jsin*. т. е. по (2.4), г (Л)Пг/(Л) = 0. Далее,
ввиду свойства К4 модуль Л/г^Л) г'-полупрост и,
следовательно, r-радикален. Из предложения (2.5) и из
точности последовательности
Л/г'(Л)->Л/(г(Л)
вытекает, что Л/(г(Л) + rf(A))^.Z. Так как, по
условию, модуль Л/г(Л) t'-радикален, то из точности
последовательности
и из предложения (2.5) получаем, что Л/(г(Л)4-
+ г/(Л))еЮ. Следовательно, Л/(г(Л)+г'(Л))егП^-0,
т. е. Л =- v(Л) -4- ?(А). Импликация 3)=ф4) очевидна.
93

Докажем импликацию 4)=ф1). Из предложений (2.18)
и (2.19) вытекает, что 2 = {A\i'(A)A = 0}. Но из 4)
нетрудно вывести, что г'(Л) = Ле и г(Л) = Л6, где
с2 = е, б2 = 6, е6 = 6е = 0, е + 6=1 (см., например, [а],
стр. 79, предложение 2). Поэтому Z = {A\eA = 0}.
Ввиду (2.1)
9* = {Л|Нотл(Л, В) = 0 для всех В(=2).
Следовательно,
Если Лей и аег(Л), то, как только что показано,
еа = 0. Но а = еа', где а'еА Отсюда а = еа' = ееа' =
= еа = 0. Таким образом, 91^^. Если Ле*Р и аеЛ,
то Ле^(0:6а). Согласно предложению (2.15) бае
ei(i4) = 0. Поэтому а = еа + 6а = еа. Таким образом,
А = еА и, следовательно, ?Ps$.
Аксиоматическое исследование радикалов в алгебраических
системах началось с известных работ Куроша и Амицура. В этих
работах исследовались радикалы в кольцах. Но уже тогда было
ясно, что основные понятия сохраняют свою силу и для других
алгебраических объектов. Позже Курош ([16], [17]) исследовал
радикалы в группах. Им были доказаны предложения (2.10) и
частично (2.12). Для получения окончательной формулировки
последнего привлекаются результаты Чаи Ван Хао [25]. Некоторые
результаты о полупростых классах групп получил Шмелькии [27].
Диксон [66] изучал паименьший периодический класс,
содержащий данный простой левый модуль.
Радикал, радикальный класс которого состоит из всех
модулей, все ненулевые эпиморфные образы которых содержат
простые подмодули, рассматривал Алин [30]. Классы абелевых
групп, замкнутые относительно подгрупп, фактор-групп и
расширений (как показывает предложение (2.10), такими будут классы
периодических модулей), рассматривал Бальцежик ([38], [40]).
Батлер ([51], [248]) исследовал классы групп без кручения,
замкнутые относительно конечных прямых сумм, серваптцых
подгрупп и фактор-групп по сервантиым подгруппам. Позже [52] он
обобщил полученные результаты на случаи модулей иад
коммутативными областями целостности.
Специальное исследование кручения для случая модулей
осуществили Габриэль [92] и Маранда [154], а несколько позже—
Рябухии [22]. Ими были установлены связи кручения с
радикальным фильтром (см. предложения (2.15) и (2.16)). Далеко идущее
обобщение этих связей на теоретико-категориом языке
предложено супругами Уокер [206], а также Габриэлем и По-
песку [93]. Диксон [68] и Шульгейфер [28] описали радикал как
подфунктор тождественного функтора. Парежис [172] обобщил
на категории радикал, определенный как пересечение
максимальных подмодулей. Построение теории радикалов, основанное на
94

выделении пары классов (см. предложение 2.11), предложил
Диксон ([66]. [67]). Этот подход использовали Джанс [128] и
Уокер [205]. В частности, Джансу принадлежат предложения (2.14),
(2.18), (2.19) и (2.20). Он же ([128], стр. 1252, теорема 2.1)
показал, что наименьший левый идеал радикального фильтра является
двусторонним идеалом кольца Л. Описание всех кручений в абе-
левых группах (см. предложение (2.17)) имеется в работах
Куроша ([16], [17]), Диксона [64] и Рябухина [23]. Радикал,
построенный с помощью радикального фильтра, указанного в
предложении (0.5), исследовали Длаб ([70]-[73], [251]) и Стефепсоп.
Если г —радикал в категории Л-модулей, то
назовем Л-модуль В х-копериодическим, если г(Л) = 0
влечет за собой Ех1л(Л, В) = 0. Из известных свойств
функтора Ext ([г], стр. 103, теорема 3.4; стр. 101,
теорема 3.2; [б], стр. 140, предложение 1.2) сразу
следует, что класс r-копериодических модулей
замкнут относительно расширений и полных прямых сумм.
(2.21) Если В — х-копериодический А-модуль и
г(Л) = 0, то Ext\(A, В) = 0 для всех А-модулей А.
Действительно, рассмотрим точную
последовательность
0->/C->F->;4->0,
где F— свободный Л-модуль. Ввиду [г], стр. 131,
теорема 9.1, точна последовательность
В).
Но из предложений (2.3) и (2.6) вытекает, что г(/С)=О,
а в силу [б], стр. 144, следствие 2.2, и стр. 143,
предложение 2.1, имеем ExtA.(/\ B) = 0.' Следовательно,
( )
Пусть г — кручение в категории Л-модулей, г(Л)=0
и ^ — радикальный фильтр, соответствующий,
согласно предложению (2.15), кручению г. Эти
обозначения используем в рассматриваемых ниже
предложениях (2.22)— (2.24). Напомним, что, в силу (2.15),
классы r-полупростых и ^-плоских модулей совпадают.
(2.22) Для х-копериодичности А-модуля В
необходима и достаточна инъективность его относительно
всякого мономорфизма i: /С—►С, где r(C/Imi) = 0.
Для доказательства рассмотрим точную
последовательность
0-+К ЛсЛ C/Im/->0.
где r(C/Im/)=0.

Тогда получим точную последовательность
Нош (l,eD\
Нотл(С, В) У—У+ Ногтищ, В)-*
Ext (я, е )
-+ Exti (C/Im i, В) К—^-> Exti (С, В)
([г], стр. 101, теорема 3.2). Если В- г-копериоди-
ческий Л-модуль, то ExtifC/Imi, fl) = 0 и сразу
получается, что Нот(/, ев) — эпиморфизм. А это и
доказывает искомую инъективность. Чтобы доказать
обратное, возьмем произвольный r-полупростой
модуль А и представим его как А = C/Im i, где С —
свободный Л-модуль. Тогда Exti (С, В) = 0([б], стр. 144,
следствие 2.2), а из инъективности относительно i
вытекает, что Hom(i, ев) — эпиморфизм. Поэтому
ExtkC4, B) = 0,
что и требовалось.
(2.23) Всякий <?-инъективный А-модуль х-коперио-
дичен.
В самом деле, пусть В — ^-инъективиый Л-модуль.
Если г(Л) = 0, то модуль А является ^-плоским.
Отсюда Exti(i4, B) = ^ExtA(i4, В). Но равенство
последней группы нулю сразу следует из (1.6) и (1.23).
В некоторых случаях справедливо обратное.
(2.24) Всякий х-полупростой х-копериодический
модуль &-инъективен.
Действительно, пусть В — r-полупростой г-коперио-
дический, а А — r-периодический Л-модули. Пусть
Р= 2 Ла, я: Р—>А —естественный эпиморфизм
и /С=Кегл. Из свойства К2' и предложения (2.7)
вытекает, что х(Р) = Р. Применяя свойство 5)
предложения (1.48), нетрудно убедиться, что К^%Р и
что Ла — ^-проективные модули. Из
предложения (1.5) вытекает, что модуль/3 cf-проективен. Ввиду
предложения (1.23) ^-чистота битреугольна. Поэтому,
применяя (1.3) к точной последовательности
0-+К -'-►?->Л-*0,
получим точную последовательность
Ногпа(А:, B)-+f?Extl(A, B)-+efExtUP, В).
96

Но из предложений (1.6)' и (1.23) вытекает, что
УЕх^(Р, В) = 0, а НотЛ(/С, В) = 0 ввиду
свойства К2' и предложений (2.1) и (2.3). Следовательно,
cfExti(;4, £) = 0. Пусть теперь А — произвольный
Л-модуль. Из К.4 и (2.15) вытекает, что Л/г(Л) —
^-плоский модуль. Поэтому r(i4)Sgi4. Из
предложения (1.3) вытекает точность последовательности
), B)->gTExtk(i4, В) -» $ Erik (t (Л), В).
В силу доказанного выше, "£ Exti(rG4), В) = 0, а из К.4
и г-копериодичности В следует, что^Р Ех^(Л/г(Л), В) =
= 0. Таким образом, ^Ех^Л, В) = 0 для всех Л,
откуда ввиду предложений (1.6) и (1.23) вытекает
^-инъективность модуля В.
Из (2.24) следует, что всякая гл-копериодическая группа
без кручения (определение радикала гл см. стр. 105)
алгебраически компактна ([85], ч. II, стр. 123 предложение j). Заметим,
что тот же результат справедлив и для периодических Тл-копе-
риодических групп ([85], ч. II, стр. 123, предложение 1).
Последнее легко вывести также из [в], стр. 171, 151.
Так как существуют гл-копериодические (см.
стр. 105), но не алгебраически компактные (т. е. не
сервантно-инъективные) группы ([85], стр. 24), то
предложение (2.23) не допускает обращения. Однако
это можно исправить за счет другого выбора
чистоты. А именно, если Ш и $ —классы всех г-ради-
кальных и i-полупростых модулей соответственно, то
предложения (2.3), (2.5), (1.62) и (1.65) позволяют
определить Я-факторную и ^-кофакторную чистоты,
которые будем называть х-факторной и t-кофактор-
ной соответственно. Если г — кручение, то можно
определить и SR-кофакторную чистоту. При этих
определениях имеет место
(2.25) Если г — радикал и <о — t-факторная
чистота, то классы <а-инъективных и х-копериодических
модулей совпадают.
Действительно, если Q — ш-инъективный модуль,
то ввиду (1.6) и (1.62) (оЕх1л(Л, Q) = 0 для всякого
Л-модуля Л. Пусть г(Л) = О и B/Q^A. Согласно
предложению (2.8) нулевой подмодуль является
единственным r-радикальным подмодулем модуля Л.
7 А. П. Мишина, Л. А. Скоринков 97

Следовательно, соотношение Q^S^B, где S/Q r-ради-
кален, возможно лишь при S = Q. Отсюда Qs^B,
т. е. Extk(i4, Q) = о Extk (A, Q) = 0. Таким образом,
Q оказывается r-копериодическим модулем. Если,
далее, А — произвольный Л-модуль, то из определения
чистоты о сразу следует, что <о ExtA.(t(i4), Q) = 0 для
любого модуля Q. Если модуль Q г-копериодический,
то Ех1л(Л/г(Л), Q) = 0. Но из предложений (1.3)
и (1.62) вытекает точность последовательности
(uExtA(A/t(A), Q)-+<uExti(A, Q)-><o Exti(r {A), Q).
Отсюда (uExt!v(i4, Q) = 0 и, согласно
предложению (1.6), модуль Q является ш-инъективным.
Введем теперь понятие, двойственное г-коперио-
дичности. Именно, если г —некоторый радикал, то
назовем Л-модуль А х-бэровским, если Ext^H, B) = 0
для всех r-радикальных модулей В. Ясно, что из-за
предположения г(Л) = 0 предложения (2.21) —(2.24)
не могут быть дуализированы. Но этим недостатком
не страдает предложение (2.25). Двойственные
рассуждения позволяют получить следующий результат:
(2.26) Если г — радикал и ю — t-кофакторная
чистота, то классы а-проективных и х-бэровских
модулей совпадают.
Связь r-факторной чистоты с кручением г освещает
следующее предложение:
(2.27) Если х —кручение, то точная
последовательность
0->Л -U В -£> С->0 (•)
индуцирует точную последовательность
0->г(Л)->г(Я)->г(С). (••)
Последовательность
точна и расщепляема тогда и только тогда, когда i
является х-факторно~чистым мономорфизмом.
Действительно, ввиду свойства К.2 и
предложений (2.5), (2.8) и (2.9) для всякого кручения точная
последовательность (*) индуцирует точную
последовательность (**). Допустим, что последователь-
98

ность (***) точна и расщепляема. После
необходимых отождествлений будем иметь х(В) = г(Л)4- Н.
Если A^S^B и t(S.'A) = S!A, то 5<=г(В) + Л<=
<=А + Н. Отсюда S = S(](A + H) = A + S[]H. При
этом, учитывая (2.9), получаем, что A (]S [\H = A [\Н =
= Af\x(B)(]H = x(A)f\H = 0. Следовательно, Л t-фак-
торно-чист в В. Наоборот, если модуль А г-факторно-
чист в В, то из включений Лs [t(C)]ri~1^ В
вытекает, что [г(С)]я"1 = Л + Я. Отсюда Я^[г(С)]я"'/Л =
= г(С). Ввиду свойства К.2 и предложения (2.8)
Н^х(В). Поэтому, учитывая КЗ и (2.9), получаем
что и требовалось.
Справедливо и двойственное утверждение
(2.28) Если х —кручение, то точная
последовательность
0->Л -'-> В -?+ С->0
индуцирует точные последовательности
В It (В)—* С/г(С)-*О.
Последовательность
0->Л/г(Л) — -► В/r (В) — -► С/г(С)->0 (*)
точна ы расщепляема тогда и только тогда, когда
i — х-кофакторно-чистый мономорфизм.
В самом деле, из свойства КЗ следует, что я
индуцирует эпиморфизм я', а из (2.9) легко вывести, что
i'— мономорфизм. Допустим теперь, что
последовательность (♦) точна и расщепляема. Если S^A и
r(/4'S) = O, то x(A)^S согласно (2.8). Ясно, что
[Alt(A)] i' = [Л + r(B)]/t(B). Поэтому
[Л + х (В)]/х (В) + Я/г (В) = ВIX (В).
Отсюда А + Н = В и Aft H !=A{]x(B)Sx(A)!=S.
Следовательно, Л П (Я + S) = Л П Н + S S S, откуда
99

Этим доказано, что А r-кофакторно-чист в В.
Наоборот, если модуль А r-кофакторно-чист в В, то
A It (A) + H It (А) = В It (А).
Отсюда А + Н = В и Af\H^t(A). Допустим, что
йяег(С). Записав b = a + h, где as Л, h e H,
получим точную последовательность
О -> А П ЛЛ -> ЛЛ-> (ЛЛ)я-* 0.
Из свойства К2' и предложения (2.10) вытекает, что
г(ЛЛ) = ЛЛ. Применив (2.8), приходим к тому, что
Aet(B). Этим доказано, что [г(С)]я"1 = А + г(В),
откуда следует точность последовательности (♦).
Заметим, наконец, что из предложений (2.1) и (2.3)
нетрудно вывести соотношение г(£)/г(Л)£#/г(Л). Но
тогда
[A It (А)] Г + Н jt (В) = В It (В),
что и требовалось.
Понятие копериодической группы было введено в работе
Гаррисона [101]. Однако описание всех периодических коперио-
дических групп было независимо получено еще Бэром и
Фоминым ([и], стр. 187, теорема 50.3) Свойства копериодических групп
изучались в работах Фукса [85], Рангасвами ([178], [179], [181J),
Уокера ([207], [208]), Нунке [168]. В частности, Фукс ([85], ч.П,
предложение а) доказал, что группа А является
копериодической тогда и только тогда, когда Ext (/?, А) =- 0, где R —
аддитивная группа всех рациональных чисел. Исследование
т-копериодических и r-бэровских модулей проводили Капланский [133],
Матлис (158], (159], Раду (242], Чейз [58]. Для обычного
кручения г в группах r-бэровость рассматривали Бэр ([и], § 50),
Нунке [168], Ротман [191]. Из их результатов, в частности,
следует, что всякая r-бэровская группа являетси группой без кру-
чеиия, а всякая счетная t-бэровская группа свободна. К этому же
кругу вопросов относится и работа Сонсяды [194]. Но вопрос
о том, что представляют собой все r-бэровские группы, пока
ие решен. Близким к нему вопросом ивляется проблема Уайт-
хеда: каковы все группы А, для которых Ext (A, Z) =- 0? Рот-
маи [191] получил следующий результат: если Ext (Л, Z)=-0,
то А — сепарабельная ([в], стр. 185) узкаи ([и], стр. 169) группа
без кручения, вложимая в качестве сервантной подгруппы в
полную прямую сумму бесконечных циклических групп. Проблемой
Уайтхеда занимались также Гриффите [232], Нуике [168],
Чейз [60]-[62] и Вильоен [204].
Предложение (2.21) содержится в работе Штеиштрема [197].
На справедливость утверждения (2.22) указал Фукс [90].
Предложение (2.24) является обобщением результата Фукса [85].
Предложении (2.25) - (2.28) доказала Уокер [205].
100

Согласно предложению (2.15), для каждого
кручения г, для которого г(Л) = 0, найдется такая
чистота о, что классы r-полупростых и ш-плоских
модулей совпадают. Однако эта чистота не определяется
однозначно, даже если ограничиться ^-чистотами.
В самом деле, например, в случае обычного
кручения в группах как класс сервантно-плоских, так и
класс слабо-сервантно-плоских групп совпадает
с классом всех групп без кручения, в силу
предложения (1.54). Существуют также чистоты <о, отличные
от ^-чистот, для которых имеет место совпадение
класса ш-плоских модулей с классом г-полупростых
модулей для данного кручения г.
(2.29) Пусть кручение г таково, что г(Л) = 0.
Положим А^аВ, если As В и г (В) я = г (В/Л), где я—
естественный эпиморфизм В на В\А. Тогда
отношение £ш определяет чистоту <о, причем классы t-полу-
простых и ^-плоских модулей совпадают.
Для доказательства установим, что отношение ^ш
обладает свойствами 40' — 44'. Справедливость 40'
нетрудно вывести из предложения (2.27). Если Л £ШВ
и В=ШС, то положим я: В->ВМ, о:С-+С'А,
х: С-*С',В, f:CjA->C!B (я, а, т, / — естественные
эпиморфизмы). Тогда af = x. Отсюда
а значит, учитывая предложение (2.9), получаем
т. е. А £ш С. Пусть, далее, А^В^С, Л=ШС и
я: C-*CjA. Ясно, что [t(C)f\B] л = г(С)я|"|£я. Если
*я=йя, где xet(Q, 6sВ, то х — Ь = а^А, т. е.
*<=г(С)ПЯ. Таким образом, [t(C)[}B]n = г(С)яП Вп.
Отсюда
t(BjA) = г (С/Л) П (В/А) = г (С)я П Вп -
-[г(С)ПВ]я = г(В)я,
т. е. A s^B. Пусть теперь AsaB и К^А. Тогда
101

имеет место коммутативная диаграмма
В £-+ BIA
в/к -т
где Л— изоморфизм. Отсюда
t(B)nh
т. е. А/К^аВ/К- Пусть, наконец, /С = Л s В, /(s^B
и А/К^^В/К- Тогда в коммутативной диаграмме
В —-► в/л
в/а: -и (В1ЮКА1Ю
отображение h является изоморфизмом. Кроме того,
Поэтому
x(B/A)h = t((BlK)KAIK)) = t(B/K)r = t(B)gx = t (В) яЛ.
Отсюда г(В)я = г(В/Л), т. е. Asfflfl,
Пусть теперь г(В) = 0, и пусть 0->/С->Л —->
-> В -> 0 — точная последовательность. В силу
свойства А;3, t(A)n = 0 = t(A/K), т. е. модуль В ш-пло-
ский. Обратно, пусть В —ш-плоский модуль, и пусть
0-+K-+F — ■> В ->0 — точная последовательность,
где F — свободный модуль. Тогда t(B) = t(F)n = 0,
ибо r(F) = 0, в силу предложения (2.6).
В случае обычного кручения в группах чистота со,
построенная в предложении (2.29), очевидно, отлична
от любой ^-чистоты, так как все подгруппы
периодических групп оказываются ю-чистыми, в то время
как для всякой ^-чистоты можно указать при марную
циклическую группу, содержащую не ^-чистую
подгруппу. Например, если p'Zs?, то подгруппа
p*(Z/p*+1Z) не ^-чиста в Z/pk+lZ, в силу
предложения (1.52).
Пусть г —кручение и S —класс всех таких чи-
стот со, что классы ю-плоских и v-полупростых мо-
102

дулей совпадают. Как отмечалось в § 1, класс ф =
= П ^«> является чистым. Нетрудно проверить, что
0) s 2
чистота ©min, определяемая классом £), также
принадлежит классу S. Вопрос о явном описании
чистоты ©mln остается открытым. Однако описание
чистоты, определяемой классом Фо= П Ф«>» где "о
состоит из всех инъективно замкнутых чистот,
принадлежащих классу 3, дает следующее предложение:
(2.30) Пусть г — кручение, г(Л) = 0, &
—радикальный фильтр, отвечающий кручению х согласно
предложению (2.15), $ — класс х-копериодических модулей
и а0— чистота, отвечающая классу R согласно
предложению (1.16). Если (f-чистота инъективно
замкнута, то классы <а0-плоских и х-полупростых
модулей совпадают. Если а — такая инъективно замкнутая
чистота, что классы а-плоских и х-полупростых
модулей совпадают, то Ф^ S $а.
Действительно, согласно предложению (2.23),
Q.g ^ $. Поскольку, по условию, ^-чистота
инъективно замкнута, отсюда вытекает, что ф^ = Ч*1 (О^)а
э lF (Ж) = фш . Но тогда очевидно, что всякий ао-шю-
ский модуль является ^-плоским. Отсюда, учитывая
предложение (2.15), получаем, что всякий а0-плоский
модуль r-полупрост. Если г(С)=О и дана точная
последов ател ьность
0-»Л -> В-»С->0,
то, согласно (2.22), ie 4^(51) = ^. Это означает, что
С — а0-плоский модуль. Таким образом, совпадение
классов а0-плоских и r-полупростых модулей
доказано. Если, наконец, а —такая инъективно замкнутая
чистота, что классы а-плоских и r-полупростых
модулей совпадают, то во всякой точной
последовательности
о-»л --> в--»с-»о,
где г(С) = О, мономорфизм i а-чист. Если Q—
а-инъективный модуль, то Q инъективен
относительно всех таких мономорфизмов i и, согласно
предложению (2.22), Qe$. Таким образом, JXiES,
103

откуда, учитывая инъективную замкнутость чистоты а,
получаем, что §а = Ч? (&J э Ч? (ft) = £fflo.
В случае обычного кручения в группах чистота й)т|П инъек-
тивно замкнута. Действительно, &amln s 0^. откуда Offlmln э
э ^ау т. е. Offlm)n содержит все копериодические группы. Кроме
того, $ffl 1п содержит все вложения группы А в В, где В/А —
группа без кручения. Однако любую группу А можно вложить
в копериодическую группу Q так, чтобы Q/A была группой без
кручения (см. [178] или [90], стр. 13). Остается применить
предложение (1.18). Таким образом, в случае обычного кручения
в группах ©min = ©о- В случае произвольного кручения в
модулях, для которого соответствующая g-чистота инъективно
замкнута, .можно только утверждать, что классы инъективных
объектов для чистот cumin и а>0 совпадают, как следует из
предложения (2.22) и включения Offlmln 3 D,^.
Итак, каждому кручению г, для которого г(Л) = 0,
согласно предложению (2.30), соответствует некоторая
чистота. Естественна постановка обратной задачи:
для какой чистоты и класс и-плоских модулей является
полупростым? Частичный ответ содержится в
следующем предложении:
(2.31) Пусть r = {(Fa, Ua)} и все Ua проещионно-
конечны. Если все правые А-модули Ua проективны,
то класс всех Т-плоских модулей является классом
х-полупростых модулей для некоторого радикала г,
причем г(Л) = 0. Если все Fa конечно-порождены, то
справедливо и обратное.
Действительно, если все Ua проективны, то из
предложений (1.14), (1.41) и (1.42) вытекает
справедливость свойств 1) и 2') предложения (2.12) для класса
всех Г-плоских модулей. Ввиду предложения (1.38) и
[б], стр. 139, предложение 1.1а, г(Л) = 0. Для
доказательства обратного заметим, что из предложений
(2.12), (1.40) и (1.43) вытекает, что все модули И*а
являются плоскими и конечно-связанными. Согласно
предложению (0.10) все они проективны.
Как следствие предложения (2.31) получаем
(2.32) Для того чтобы класс всех cf-плоских Л-
модулей, где М" состоит из всех главных левых
идеалов кольца Л, был полупростым, необходимо и
достаточно, чтобы все главные правые идеалы кольца А
были проективными.
104

Из предложений (2.31), (1.45) и [б], стр. 32,
предложение 6.2, вытекает
(2.33) Для того чтобы класс всех плоских А-мо-
дулей являлся полупростым, необходимо и
достаточно, чтобы кольцо было полунаследственным справа.
На справедливость предложения (2.33) указал Койфман.
К рассматриваемому кругу вопросов примыкает и другой его
результат ([12], стр. 1204, теорема 1): класс проективных
А-модулей полупрост тогда и только тогда, когда кольцо А
наследственно слева, удовлетворяет условию минимальности для
главных правых идеалов, а все конечно-порожденные правые
идеалы кольца А конечно-связаны. Наконец: класс свободных
А-модулей полупрост тогда и только тогда, когда кольцо А
является телом.
Действительно, пусть класс свободных Л-модулей полупрост.
Тогда ввиду предложения (2.3) все левые идеалы кольца Л
свободны. Но тогда свободны и все проективные Л-модули ([б],
стр. 34, упражнение 7). Поэтому из предыдущей теоремы
вытекает, что л. удовлетворяет условию минимальности для главных
правых идеалов. Но тогда в нем нет делителей нуля ([24],
стр. 27, предложение 5.2). Отсюда, поскольку джекобсоновский
радикал кольца Л является пиль-идеалом, а фактор-кольцо по
нему классически полупросто ([42], стр. 467, теорема Р), пыте-
кает, что Л —тело. Так как над телом все модули свободны, то
второе утверждение доказываемого предложения тривиально.
Отметим еще результат Хилтона [114]: если А —кольцо без
делителей нуля и все его правые и левые идеалы являются
главными, то класс плоских А-модулей совпадает с классом
локально свободных модулей ').
Из (2.33) вытекает, что для указанного выше класса колец
класс локально свободных модулей полупрост. Будет ли он
полупрост для каких-либо других колец? Заметим еще, что
вопрос об условиях, при которых радикалы, указанные в теоремах
Койфмана, являются кручениями, остается открытым.
Выделим в кольце Л некоторое множество 5
таких элементов s, что г (s) = 0. Пусть l?s = {As | s e S).
Согласно предложению (2.31) существует такой
радикал is, что классы г5-полупростых и ^-плоских
модулей совпадают. Важные частные случаи
возникают, если 5 = 5и = {s | г (s) = 0} или 5 = 5л =
s= {s |r(s) = (0 : s) = 0}. Возникающие при этом
радикалы будем соответственно называть радикалами
Иоффе и Леей и обозначать через ги и гл. Ясно, что
(Л)е ги(/4) для всякого Л-модуля Л. В случае
') Модуль называется локально свободным, если свободен
каждый его конечно-порожденный подмодуль.
105

коммутативной области целостности как хц(А), так и
гл(Л) совпадает с обычной периодической частью,
а класс гл-полупростых модулей совпадает с классом
обычных модулей без кручения. Исследуем связь
между радикалами и кольцами частных 1).
(2.34). Если система S мультипликативно
замкнута kSs 5л, то эквивалентны следующие свойства:
1) Л обладает левым кольцом частных As
относительно системы S;
2) для всякого А-модуля А совокупность S-ne-
риодических элементов образует подмодуль;
3) для всякого А-модуля А совокупность его
S-периодических элементов совпадает с ts{A).
Действительно, для доказательства импликации
1)=ф2) допустим, что As существует. Тогда для
любых 1еЛ hsgS найдутся цбЛ и /eS, такие,
что tX = \is. Поэтому если sa = 0, где a^A, seS,
то t(Xa)=\x(sa)=0. Если s1a1 = s2a2=0, то ts1(ai + a2) =
= t(s1al) + n(s2a2) = 0, гДе ts1 = \is2. Если
справедливо 2), то используя предложения (1.54) и (2.1)
получаем, что множество Т всех S-периодических
элементов Л-модуля А является г5-радикальным
подмодулем модуля А. Если аф.Т, seS и saeT, то
s'sa = 0 для некоторого s'е5,т.е.аеГ. С помощью
предложения (1.54) отсюда выводим, что модуль
(Аа + Т)/Т г5-полупрост для любого а ф. Т и,
следовательно, модуль Аа+Т не может быть г5-радикаль-
ным. Таким образом, Т является максимальным
г5-радикальйым подмодулем модуля А и, согласно
предложению (2.8), совпадает с xs(A). Допустим, что
выполняется условие 3), и пусть ssS. Тогда Л-модуль
Л/As является г5-радикальным, ибо s(l +As) = 0.
По условию 3), для всякого АеЛ найдется такой
элемент /eS, что ДеЛ$, т. е. th=\is для
некоторого цеЛ. Отсюда нетрудно вывести существование
кольца As (см. [6] или [31]).
Если Л — кольцо без делителей нуля, то 5л = 5и =
= Л\0, и из предложения (2.34) сразу следует
') Кольцо As называется левым кольцом частных кольца Л
относительно системы S, если: а) Л s Л^; б) каждый элемент
из 5 имеет в Л^ двусторонний обратный; в) если х е Л^, то
х = s~% где а- е 5, X е Л.
106

(2.35) Если А —кольцо без делителей нуля и
5 = Л\0, то А обладает левым кольцом частных As
тогда и только тогда, когда гл«=ги является
кручением.
Некоторым уточнением предложения(2.34) является
следующее утверждение:
(2.36) Если S s 5л, 5 мультипликативно замкнута
и А обладает двусторонним кольцом частных As ')
относительно системы S, то ts(A) = Кег(<7&лед), где
q — естественное вложение А в As.
Действительно, если аег5(Л), то, согласно
предложению (2.34), sa = 0 для некоторого se S. Отсюда
(1 ® a)(g<B> eA) = s~1s<8> a = s~1<8> sa = 0, т. е. ts(A)^
s Кег («7 ® ед). Обратное включение устанавливается
в доказываемом ниже предложении д), которому
предпосылается несколько вспомогательных
утверждений.
а) Если кольцо А обладает левым [правым]
кольцом частных относительно системы S, то для
всякого набора элементов Xt Xm s Л и su ..., sm e 5
найдутся элемент ueS и элементы ци .... ц„еЛ
такие, что ukt = \itSt [kiu = s^^ (i = 1 m).
В самом деле, при m = 1 это очевидно. При пг = 2
найдем «!, и2 е5, так что uiXi = \xis1 и u2^2 = H2s2-
Но vu1 = Ки2, где aeS. Положив и = vuu получим
Далее по индукции.
б) Левое кольцо частных As кольца А
относительно системы S является правым плоским А-мо-
дулем.
Для доказательства рассмотрим точную
последовательность правых Л-модулей
где F — свободный правый Л-модуль с базой ф —
= {jtj seS} и xsn = s~K Пусть / — левый идеал
') Левое кольцо частных кольца Л относительно системы 5
называется двусторонним, если оно является правым кольцом
частных кольца Л относительно системы 5.
107

кольца Л. Ввиду результатов из [г\ (стр. 184,
.равенство (1.7), стр. 194, теорема 5,1, стр. 211, теорема
8.4) существует коммутативная диаграмма
О
(Л5, Л//)
К ® А/ J*!l+ F ® А/ J^> Л5 ® л/ -> О
с точными строками и столбцами, где (z ® A.) a = гА.
и (и» ® А.) р = и» А, Если tw еЛ5 ® /, то tw = 2 sjj1 ® Л^,
где sk^S, fa^I. Если шр = 0, то 2$*% = 0-
Согласно утверждению а), найдутся такие элементы
1*1. • • •> Чте-^, что u = |iftsft при некотором aeS,
Отсюда s"1 = ы"1^ и, следовательно, yk = xs — дсвцйеД7.
С другой стороны, 2 V-kKk = 2 «Sft'^ft = 0. Поэтому
2«/ftA.ft = 2^ft^ft- Но ст—мономорфизм ([б], стр. 139,
предложение 1.1а). Значит, 2 Ук ® ^ "= 2 *jft ® ^.ft.
Отсюда, поскольку yk^Ki, получаем tw = (2 ^ft®^.ft) X
X (л ® е/) = (2Ук ® Л*)(л ® е/) = 2//ft« ® Я* = 0. Таким
образом, р есть мономорфизм, и, следовательно,
Тог^ (As, Л//) = 0. Согласно [б], стр. 131,
предложение 9.2*, отсюда следует, что Torf-(AS, A) = 0 для
всех Л-модулей А.
Далее будем предполагать выполненными условия
предложения (2.36). Рассмотрим точную
последовательность
где G — свободный правый Л-модуль с базой {хи xs\
seS}, причем дсгя; = 1, xji = s~1.
в) Если wu..., wm^K, то
для некоторых kgS u iJ(eA.
108

Очевидно, что достаточно доказать это
утверждение для /га = 1, после чего нетрудно провести
индукцию. Если
то, согласно утверждению а), найдутся ке5 и
ц,еЛ такие, что |^ы = s\is для всех s e5'. Отсюда
ЙУМ - X&U + 2 ДС^Ц, = Хх (l,M + 2 Ц J - 2 (*, - *,фи
и так как (2 (*i - **s) |О л = 0, т. е. 2 (*i - **«) Ц,€=/С,
то Xj (liU + 2^)^ Я", а значит, 1]U + 2hj = 0.
г) Если А — инъективная оболочка модуля А, то
Действительно, из утверждения б) легко вывести,
что Кег(я® е$) = К® А. Поэтому если 1®а=«0
в As ® А, то хг <8> a s/C ® А Отсюда, учитывая в),
включение us5 и инъективность модуля А, получаем
xi ® а = 2 v»i ® а< = 2 Wt ® «fl« =
= 2 ву*« ® а' ■= 2 (*i - Де^) ® ftff -
= Xj ® 2 ft* - 2 X, ® Sft,,
Л. Применив утверждение (0.7),
2ft^. откуда й^ег(Л), а
знагде wt <= 1
получаем
чит, и ai
К, аг с
sbs =
=1(Л).
^;.ft,
0, о.
)
Поскольку, согласно утверждению б), As —
правый плоский Л-модуль, а из предложения (2.34)
вытекает, что t(A) = t(A)f\A, то справедливость д)
следует из г), в силу коммутативности диаграммы
0 -> Кег (q ® ел) -> А -> As ® Л
У У У
0 -> Кег (^ ® е^) -> Л -> As ® Л
с точными строками.
Связь между чистотой и кручением, исследованная в
предыдущих предложениях, имеет своим истоком совпадение
классов плоских групп и групп без кручения ( [б], стр. 171,
предложение 4.2). Этот факт можно получить как следствие
предложений (2.15) и (1.38) или (2.33). Частные случаи предложений
(2.34) и (2.35) получили Иоффе [9] и Леви [147] (см. также [ПО] ).
109

Предложение(2.32) принадлежит Хаттори [104], а предложение
(2.36) обобщает один из результатов Жантиля [94]. Гельцер
[ПО] исследовал кручение,определяемое классом £={.В|Нотл(В,
У) = 0, если Y ипъективен и гл-полупрост} (ср. (2.13)).
Он же занимался вопросами, примыкающими к
предложениям (2.34)—(2.36). Из предложения (2.36) видно, что радикал
Леви совпадает с радикалом Ляфона [127], рассматривавшего,
правда, только модули над коммутативными кольцами.
Обозначим через S£ класс всех таких Л-модулей Q, что для
всякого плотного мономорфизма А: А -> В из равенства hf = fig,
где f, g: В -> Q, вытекает, что f = g. Если Л — коммутативная
область целостности, то % совпадает с классом гл-полупростых
модулей. Это показал Плезант [173], предложивший в связи
с этим новое обобщение понятия модуля без кручения.
В некоторых случаях с дапггой чистотой можно связать
радикал еще одним способом (правда, этот радикал, как правило,
не оказывается кручением). В самом деле, из (2.10), (1.9), (1.33),
(1.34), (1.35), (1.36) вытекает:
Пусть Г = {(Fa, [/„)}. Если все модули £/ц проективны и
компактны, го Т-делимьш класс радикален. Если Т-делимый
класс радикален, то все модули (]а проективны, а для тех а,
для которых Fa конечно-порождены, модули Ua компактны.
Поскольку из компактности всех левых идеалов кольца Л
нетрудно вывести его нетеровость слева, из предыдущего
предложения ввиду (2.10), (1.31), (1.35), (1.36), (1.45), (1.46), [б], стр. 30,
теорема 5.4, и [б], стр. 32, предложение 7.1, следует:
Класс всех инъективных А-модулей радикален тогда и только
тогда, когда Л наследственно слева и нетерово слева.
Матлис ( [157], следствие 2.3) доказал радикальность класса
иодинъективных Л-модулей, если Л — коммутативная область
целостности, проективная размерность поля частных которой
над Л равна 1.
Отметим, что модули без кручения над кольцами без
делителей пуля привлекали внимание Вольфсона ([213], [214]),
Гевиртсмана [95], а также Феллера и Своковского [81] в связи
с известной задачей: когда изоморфизм колец эндоморфизмов
двух модулей влечет изоморфизм самих модулей? Для примар-
ных абелевых групп этот вопрос полностью решен ([и], § 56).
Кроме того, исследовалось кольцо эндоморфизмов модуля без
кручения над полупервичным кольцом ([219]), а также кольцо так
называемых квазиэндоморфизмов группы без кручения ([185]).
Пусть г —некоторый радикал. Модуль А назовем
т-расщепляемым, если расщепляема точная
последовательность
0->г(Л)->Л->Л/г(Л)-»0.
Если r-расщепляемы все Л-модули, то будем
говорить, что радикал г расщепляем. Из свойств К.2, К 4
и предложения (2.8) следует
(2.37) Радикал х расщепляем тогда и только
тогда, когда г (А) = 0 а г {В) = В влечет Extj^ (А, В) = 0.
ПО

Из предложения (2.37) сразу следует, что расщепляемость
радикала х равносильна r-копериодичности всех г-радикальных
модулей. Этот результат, впрочем, почти ничего не дает для
разыскания критериев расщеиляемости радикала. Заметим, что
критерий расщепляемое™ кручения, задаваемого раДикально-
иолунростым классом, содержится в предложении (2.20). Вполне
возможно, что в случае расщепляемое™ кручения г класс всех
v-радикальных модулей окажется радикально-полупростым.
Исследования в этом напраплении начал Длаб [74]. Несколько
общих достаточных условий для нерасщепляемости кручений
предложил Горбачук [4]. Из его результатов, в частности,
вытекает нерасщепляемость всех нетривиальных кручений в случае
абелевых групп. Этот же результат можно получить из теоремы
Бэра —Фомина ([и], стр. 187, теорема 50.3), а также изтеоремы
Ротмана [190], доказавшего, что из расщепляемости радикала
хл для модулей над коммутативной областью целостности Л
(ввиду предложения (2,35) этот радикал является Кручением)
вытекает, что Л — поле. Результат Ротмапа обобщила Иоффе
([9], стр. 820). Каплапский ([130], [132]) установил, что
коммутативная область целостности полунаследствеппа (т. е.
является прюферовым кольцоу) тогда и только тогда, когда над
ней всякий конечно-порожденный модуль гл-расщепляем, Леви
([147], стр. 149, теорема 6.1) доказал гл-расщепляемость всех
конечно-порожденных модулей над полуиаследственным слепа
кольцом, обладающим двусторонним кольцом частных,
полупростым в классическом смысле, Диксон [65] показал, что
расщепляемость радикала гл над нетеровой коммутативной
областью целостности влечет ее артииовость. Таким образом,
расщепляемость нетривиального кручения — явление довольно
редкое. Это конечно, не мешает расщепляемости отдельных
модулей. Например, гл-расщепляема всякая делимая группа
([в], стр. 139). Харада [100] перенес этот результат на случай
инъективиых модулей над коммутативными областями
целостности. Матлис [158] доказал, что подинъективные модули над
коммутативными областями целостности Гд-расщепляемы. Он же
исследовал гл-расщепляемость tx -делимых модулей над
коммутативной областью целостности. Леви ([147], стр. 149, теорема
6.1) доказал г^-расщепляемость всех конечно-порожденных
модулей над полунаследствепиым слева кольцом, обладающим
двусторонним кольцом частных, иолупростым в классическом
смысле. Для групп известны многочисленные критерии
расщепляемости. Однако большинство из них использует специфику
кольца целых чисел. Среди исключений укажем на результат Рейда
([184], предложение 5.1): группа А является т^-расщепляемой
тогда и только тогда, когда в Л существует сервантная подгруппа,
дополнительная к подгруппе гл(-4). Имеют смысл в случае
модулей также формулировки критериев, предложенных Ирвином,
Пирси, Уокером [122], Матлисом [158], Про>:азкой [175]иРуды-
ком [20]. Сюда же примыкают и некоторые результаты Нун-
ке [166].
111

Остановимся на совершенно ином подходе к
понятию кручения. Именно, назовем Л-модуль А модулем
без кручения в смысле Басса, если естественный
гомоморфизм модуля A в Ногти (Ногпл {А, Л), Л)1)
является мономорфизмом.
(2.38) Следующие свойства А-модуля А
эквивалентны:
1) А не имеет кручения в смысле Басса;
2) для всякого ненулевого элемента а из А найдется
такой гомоморфизм <ре Ногти (Д, Л), что ауФО;
3) А изоморфно вкладывается в полную прямую
сумму некоторого числа экземпляров кольца А.
Действительно, докажем импликацию 1)=ф2).
Пусть -афО и af = O для всех / е Ногти (Л, Л).
Тогда при естественном гомоморфизме элемент а
переходит в нуль. Ввиду свойства 1) а = 0.
Противоречие. Пусть теперь выполнено 2). Для каждого
О найдем такой гомомбрфизм фа: А-*-А, что
. Положив В = 2*Л,, где Лц^Л, заметим,
что гомоморфизм ф, заданный формулой xq ~
= (..., xq>a, ...)• является мономорфизмом А в В.
Следовательно, выполнено 3). Наконец, докажем
импликацию 3) =Ф 1). Пусть/: А ->В = 2 Л„—
мономорфизм, указанный в свойстве 3). Если Офа^А,
то найдется такой эпиморфизм Яц: В->Ла, что
а}пафО. Ясно, что /Я(,е Ногти(Д, Л). Если ф —образ
элемента а при естественном гомоморфизме, то
4>{fnii) = afna¥=0. Следовательно, естественный
гомоморфизм является мономорфизмом.
(2.39) Если инъективная оболочка кольца А ело-
жима в свободный А-модуль F (а частности, если А
самоинъективно слева), то класс ^ всех А-модулей
без кручения в смысле Басса является полупростым
и соответствующий радикал г является кручением.
Для доказательства установим:
а) Если As В, а^А, ф: Л->Л и ац>Ф0, то
существует ij>: В->Л, причем а0
г) При естественном гомоморфизме элемент а е А
отображается в элемент ф еНотЛ(НошЛ (Л, Л), Л), определяемый
условием <р (/) =» af для всякого / е НотЛ (А, Л).
112

Действительно, ясно, что отображение ф можно
продолжить до отображения it>': B—>F. Поэтому
найдется такая проекция л: F ->Л, что mJj'ii^O.
Далее, ввиду предложения (2.38) ясно, что класс 4$
замкнут относительно подмодулей и полных прямых
сумм. Пусть теперь дана точная
последовательность 0 ->Л-►/*->С ->О, где Л,Се=$. Если Ье=В\А,
то для него, очевидно, найдется указанное в
предложении (2.38) отображение В в Л. Если йеЛ, то
существование такого отображения вытекает из а).
Таким образом, В е % Согласно предложению (2.12),
класс $ полупрост. Если /4sv(B); ф': А->С, С е$
и у'фО, то существует ф = ф'ф"=т^0, где ф": С->Л.
Применив а), найдем 0=£ty: t(B)->A, что псвозмонию.
Используя (2.1), получаем, чтоЛ = г(Л).
Однако в общем случае класс модулей без
кручения в смысле Басса не замкнут относительно
расширений и, согласно предложению (2.12), не обязан
быть полупростым. Для доказательства рассмотрим
алгебру Л над полем Р с базой 1, е, 6, где 1
—единица и е2 = 62 = е6 = 6е= 0. Пусть А — Л-модуль с
образующими а, Ь, где ъЬ = Ьа, 66 = 0. Нетрудно
убедиться в точности последовательности
0-»Л->Л— -»Л6->0,
где 1/ = а, ап = 0, Ьп = 6. Ясно, что Ли Лб не имеют
кручения в смысле Басса. Допустим, что ф: А ->Ли (6а)ф=^=0.
Если йф = а + ре + \Ь, где а, р, Vе Р, то 0 = (66) ф = аб,
откуда а = 0. Но тогда (6а)ф = (ей)ф = ае = 0.
Противоречие.
Предложение (2.38) принадлежит Бассу [42]. Там же
показано ([42], стр. 477, предложение 4.7), что конечно-порожденные
модули над коммутативной областью целостности не имеют
кручения в классическом смысле тогда и только тогда, когда они не
имеют кручения в смысле Басса, Чейз ([58], стр. 468, теорема 4.1)
доказал, что всякий А-модуль без кручения в смысле Басса является
плоским тогда и только тогда, когда Л полунаследственно справа.
В указанных работах Чейза и Басса имеются и другие
результаты, относящиеся к рассматриваемому вопросу. Свойства
модулей без кручения в смысле Иасса над некоторыми классами
колец исследовали Аусландер [32], [33], Чейз [59], Джапс [127]
и Фогель [254]. Кольца эндоморфтмов модулей без кручения в
смысле Басса изучали Зельмапович [219] и Гевиртсман [961.
8 А. П. Мишина, Л. А. Скорнякст 1-J8

§ 3. ПОЛНОТА
К понятию делимости также можно подойти с
аксиоматической точки зрения. Именно, назовем
пополнением функцию 8, ставящую в соответствие каждому
Л-модулю А определенный на нем мономорфизм 8 (А),
причем
П1. Если /: А->В, то fQ(B) = Q(A)g для
некоторого гомоморфизма g.
П2. Если 8 (А): Л->В и /: В -> С — эпиморфизм,
то 8(С) = ес.
ПЗ. Если 8 (Л): Л->В, то 1т8(Л) плотен в В.
Легко понять, что ПЗ равносильно свойству
ПЗ'. Если 8 (A) g — мономорфизм, то g —
мономорфизм.
Если 8 (А): А—>В, то модуль В будем называть
8-пополнением модуля А и обозначать через Лв(Л)
или I (А). Модуль А назовем Q-полным, если А = fo (A).
Отметим, что из П2 вытекает в этом случае
равенство 8 (А) = еА. Пополнение 8 будем называть
правильным, если изоморфизм модулей А а В может быть
продолжен до изоморфизма модулей Je(^) и fa(B).
Пополнение 8 называется точным, если включение
Л SB SJe(.<4)> где модуль В 8-полон, возможно лишь
при В = 1в(А). Нетрудно проверить, что всякое точное
пополнение правильно. Примеры неточных (и тем более
неправильных) пополнений пока не известны. Однако
(3.1) Всякое пополнение в категории абелевых
групп является точным.
Действительно, пусть 4 s В £JOG4) и группа В
является 8-полной. Из 8-полноты группы В следует,
что тождественное отображение группы А на себя
можно продолжить до гомоморфного отображения ф
группы 1в(А) в В. Пусть теперь zefo(A). Так как А
114

плотно вложено в Ъв(А), то nz e А для некоторого
натурального числа п. Если п=1,то2еЛ£В. Пусть
п> 1, и пусть для всех т<п уже доказано, что если
ге}в(Д) и тгеЛ, то zeB. Предположим, что
nz = aS/4 и п = рт, где р — простое число. Тогда
р (mz) = а = шр = (nz) ф = р [(mz) ф],
т. е. р [mz — (mz)ф] = 0. Отсюда имеем или mz-
— (mz)cp = 0 или Z[mz — (mz) ф] Л А ф 0. В обоих
случаях, в силу простоты числа р, справедливо m(z—zq>)=
= тг-(тг)ф = а'еА. Однако т<п и, таким
образом, г-гф = 6еВ. Но zqieB и, следовательно,
г = гФ + йеВ, т. е. В = 5е(Л).
Скажем, что пополнения 8 и 8' равны, если для
каждого модуля А найдется такой изоморфизм а:
Ьо(А)->Ь(у{А), что диаграмма
коммутативна. Легко доказать, что равенство
пополнений рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Согласно [г], стр. 138, теорема 11.3, имеем
(3.2) При любом пополнении 8 модуль 1в(А) при-
надлежит инъективной оболочке модуля А.
Из свойства П2 и [б], стр. 30, теорема 5.4,
нетрудно вывести
(3.3) Естественное вложение А-модуля в его инъек-
тивную оболочку является пополнением тогда и только
тогда, когда кольцо Л наследственно слева.
В частности, в случае абелевых групп
пополнением будет функция, ставящая в соответствие каждой
группе ее естественное вложение в минимальную из
содержащих ее делимых групп.
(3.4) Если пополнения вив' таковы, что в —
точное и совокупности Q-полных и Q'-полных модулей
совпадают, то в = в'.
Действительно, пусть А — некоторый модуль. Так
как 1в(А) является в'-полным модулем, то ввиду
свойств П1 и П2 имеет место коммутативная

диаграмма „w
в'(Д)
Из ПЗ' вытекает, что g — мономорфизм. Так как
модуль Ьо,(А) 8-полон, то, ввиду П2 и точности
пополнения 8, Img = be(A).
Таким образом, для задания точного пополнения
достаточно указать класс полных модулей. Однако
внутренняя характеристика такого класса не найдена.
Для решения этой задачи может оказаться полезной
связь пополнений с моноинъективными структурами.
(3.5) Для всякого пополнения 8 совокупность всех
Q-полных модулей является классом Ъ-инъективных
модулей некоторой полной плотной моноинъективной
структуры Ъ (<S, Cl). При этом f: A->B принадлежит 3
тогда и только тогда, когда fg = Q{A) для
подходящего g: B->lo(A).
Действительно, справедливость первого
утверждения сразу следует из П1 —ПЗ и предложения (0.2).
Если, далее, /еб, то fg = Q{A), так как, в силу П2,
?В(Л)<=£1. Если же /# = 8(Л), то /е© ввиду (0.1 г).
Имеет место и обращение этого утверждения:
(3.6) Пусть S3 = (3, Q.) — полная плотная моноинъек-
тивная структура. Тогда существует такое
пополнение 9, что Q. совпадает с классом Q-полных модулей.
Действительно, ввиду плотности моноинъективной
структуры для каждого модуля А можно выбрать
мономорфизм 8 (А): А -Н(Л) так, что 9(Л)е®, $(Л)еО
и 1гп8(Л) плотен в l(A). Если Дей, то осуществим
этот выбор, положив Q(A) = eA. Это возможно, в силу
свойства (0.16). Если /: Л->В, то справедливость
свойства П1 вытекает из инъективности модуля }(В)
относительно 8 (Л). Справедливость свойств П2 и ПЗ
ясна из построения.
Далее, отметим
(3.7) Полная прямая сумма Q-полных модулей
в-полна. t
В самом деле, пусть Л = 2 Аа — полная прямая
сумма в-полных модулей Аа. Проекции А на Аа обо-
116

значим через j^. Ввиду свойства П2 8 (Лц) = еА
Поэтому, применяя П1, получаем
где ga: i(A)->Aa. Выберем g: 5(Л)->Л так, что
gib = ga. Если а е А, то
а6 (A) gna = а8 (Л) go = ana.
Отсюда aQ(A)g = a, т.е. g —эпиморфизм. Остается
применить П2.
(3.8) Пусть 6 — некоторое пополнение. Тогда
эквивалентны следующие свойства А-модуля Q:
1) модуль Q Q-полон;
2) модуль Q инъективен относительно Q(F) для
всякого свободного А-модуля F;
3) модуль Q — эпиморфный образ ^-пополнения
свободного А-модуля.
В самом деле, импликации 1)=ф2) и 3)=ф1)
очевидны. Если справедливо 2), то модуль Q инъективен
относительно 9(F), где F свободен и л: F-*-Q—
эпиморфизм. Но тогда Q оказывается эпиморфным
образом модуля %{F), т. е. выполнено 3).
Пополнение 8 называется аддитивным, если прямая
сумма 8-полпых модулей 8-полна.
(3.9) Следующие свойства точного пополнения 8
в категории А-модулей эквивалентны:
1) 8 аддитивно;
2) ie(S Ai^SfofAi). причем изоморфизм ср:
S?e(Ai)—>Se(S At) может быть выбран так, что
48 (2 At) = 6 Иа) /аФ> г^е 'а — естественное
вложение Аа в 2Ai> о. ]а — естественное вложение
3) Модуль Q, инъективный относительно
мономорфизма 8 (Л), в-полон.
Для доказательства импликации 1)=ф2) положим
Л = S Аа и В = 2*е(А«)- Из Ш и ПЗ' вытекает
существование таких мономорфизмов фо: Se(Ai)-*■ ^e(^). l'To
'обИ) = 6(Ai)Фо- Но тогда ф = Sфо— мономорфизм В
в ?еИ). причем Л8(Л)еВф. Поскольку Вф 8-полон, из
117

точности пополнения 9 вытекает, что <р — эпиморфизм.
Следовательно, ф —изоморфизм, причем
Если справедливо 2), то рассмотрим Л-модуль А,
инъективный относительно 6(Л), свободный Л-модуль F
с базой {Xgi и гомоморфизм /: F-+A. По условию 2)
существует изоморфизм ф: be(F)->^jle(Axa), причем
iaQ (F)1ф = В (Лдсц) /„, где /о: Аха-* F и /о: $0(Лхо)->
-> 2 ?е(Л*о) — естественные мономорфизмы. Пусть
/„—ограничение / на Аха. Тогда /о = В(Аха)ga, где
ga: 8е(Лл:о)->Л. Обозначим через g продолжение
системы {go} на 28е(Л*а)- Тогда
откуда
Таким образом, модуль А инъективен относительно
В (F) и ввиду предложения (3.8) 6-полон. Этим дока-
t зана справедливость свой-
- D ства 3).
п,«,1 ъ\ \ и.о. Для Доказательства им-
e<Aj| н\ \в(В) пликации 3)=^1)
рассмотрим прямую сумму Q =
1U>^|M*-^|U» =2Qa B-полныхмодулейQa.
Пусть ф: Л->Q. Тогда 1тф
принадлежит сумме
конечного числа модулей Qo.
Поэтому предложения (3.7)
Рис- 4. и (3.8) позволяют
продолжить ф до гомоморфизма
8(Л) в Q. Ввиду условия 3) модуль Q является
6-полным.
(3.10) Если В — точное пополнение, /: А-^В —
эпиморфизм, g: Je (Л) ~*" Зе (£f) и fQ(B) = Q(A) g, то
f)Q(A) = h (В) I + Кег g/(Ker f) 6 (Л),
где (— такой мономорфизм, что /В (В)/= 8 (Л) л, причем
л — естественный изоморфизм 1в{А) на зе(Л)/(Кег/)8(Л);
кроме того,
1в И)/Дв (Л) s* Je (fl)/flB (В) 4- Кег g/(Ker f) 6 (А).
118

Действительно, пусть g = gig2, где gi естественный
эпиморфизм $ (А) на jG4)/Kerg, a g2 — мономорфизм.
Положим /С = (Кег/)8(Л). Так как /(sKerg, то
g1 = лh, где Л —естественный эпиморфизм 8(Л)//( на
?(Л)/Кег#. Так как (Кег/) 6 (А)л = 0, то найдется
такой мономорфизм k: B->l(A)IK (рис. 4), что fk =
= 9 (Л) л. Тогда
/9 (В) = 9 (Л) £ = 9 (Л) g,g2 = в (A) nhg2 = fkhg2.
Отсюда, поскольку f — эпиморфизм, имеем в (В) = khg2.
Еще раз используя свойство Ш и полноту i(A)IK
найдем такой гомоморфизм i: ](B)->i(A)IK, что'
Q(B)i = k.
Отсюда Q(B) = Q(B)ihg2.
Согласно свойству ПЗ' ihg2, а значит и /, —
мономорфизмы. Применяя П2 и учитывая точность
пополнения 9, убеждаемся, что ihg2 — автоморфизм модуля
1(В). Отсюда
с [{hgj (ihgj-1] = e1(B).
Если х^1(А)!К, то х = ул, гяеу^1(А). Полагая
х = hg2(ihg2)~1, получаем равенство
(х - дет/) hg2 = yg-yg (Ifig2)~l (ihgj = 0.
Следовательно, х — xxi^ Ker/z = Kerg//(. Таким обра-
30M>
Если дсе?(В)/П (KerglK), то x = zi=yn, где
у е Кег g. Отсюда
2 = xx = (/jit = yg (ihgj'1 = 0.
Поскольку /9 (В) / = fk = 9 (А)л, это завершает
доказательство первого утверждения. Наконец, полагая
D = Ker g//(, приходим к соотношению
I (A)IAQ (A) s [j (Л),-/СШе (Л)//С] as
« [5 (В) I + D]/i4f6 (В) / ас j (B)/B9 (В) 4- D.
Модуль называется ^-редуцированным, если он
не содержит ненулевых 9-полных подмодулей.
(3.11) Класс ^-редуцированных модулей является
классом х-полупростых модулей для некоторого
радикала х, причем всякий Q-полный модуль
оказывается х-радикальным.
119

В самом деле, ясно, что класс $ 8-редуцирован-
ных модулей замкнут относительно подмодулей' и
полных прямых сумм. Если имеется точная
последовательность о-*Л-*В->С-*О,
где А, С е $, D с В и D Э-полон, то по свойству
П2 D Е А и, следовательно, D = 0. Остается применить
предложения (2.1) и (2.12).
Пополнение 8 назовем расширяемым, если 8-полно
всякое расширение 8-полного модуля с помощью
6-полного.
Из предложения (2.10) вытекает
(3.12) Класс Q-полных модулей является
радикальным тогда и только тогда, когда пополнение 8
аддитивно и расширяемо; при этом соответствующий
полупростой класс совпадает с классом всех
^-редуцированных модулей.
Расширяемые пополнения тесно связаны с чистотой,
(3.13) Пусть 8 — расширяемое пополнение, и
О. —класс всех в-полных модулей. Положим А^аВ,
если В = А + S, где А{] 5eQ. Тогда отношение sffl
обладает свойствами 40'— 44' и, следовательно,
определяет чистоту а. Совокупность at-делимых модулей
совпадает с &.
Докажем сначала:
а) Если А^В, g: B^-D, Кег# = Л и 5sВ, то
ArS) (A)(S)
Действительно, если х е g (А) Л g (S), то х = ag =
= sg, где аеД se 5. Отсюда s = а + k, где k^
eKergS^, т.е. s^A f]S. Таким образом, g(/iri"S)s
t=g(A)r\g(S)<=g(Ar\S).
Теперь проверим справедливость свойств 40' — 44'.
Действительно, 40' очевидно. Далее, если А^аВ и
В sffl С, то B = A + S, С = В + Т и A()S, В()Те=&.
Ясно, что A + (S + T) = C. Кроме того,
А П (S + Т) + S = (S + Т) П (А + S) =
Отсюда -(S + nnfl-S + flnr.
[А П (S + Т)] '(А П S) а [А П (5 + Г)] '[Л П (5 + Г) П S] а
as [А П (5 + Г) + 5]/5^(В П 74-S)/S = (fl П 7)/(fl П 5 П Т).
Поскольку
a as, (в п г)/(д n s n г) s а,
120

то Л П {S + Т) е О. и, следовательно, А sw С. Таким
образом, свойство 41' имеет место. Пусть теперь
/l£flsC и /lSfflC. Тогда A + S = C и /iflSeU
Отсюда
т. с. A sffl В, 42' доказано. Для доказательства
свойства 43' допустим, что Ля=аВ и К^А. Тогда
В = Л + 5иЛП5е&. Отсюда В,'К= AjK + (S + К)1К
и, согласно утверждению а),
(AlK) Л [(5 + ВД а (А П 5 + /0//С«
Таким образом, А!К^аВ1К. Пусть теперь /(S/4sB,
/С SfflB и Л 'К^аВ1К. Тогда Л//С + S.'/С = В//С, К + Т = В
()(5) ей Отсюда
Кроме того, применяя а), получаем
(А(]Т + К)1К = (А .70 П [(Г + К) !К] = (Л IK) [\{BjK) = A IK.
Отсюда, вторично применив а), приходим к
соотношениям
as [(Л Л Т + К)!К] Л (SIK) as (Л/Ю Л (SIK) e G.
Поскольку ЛЛ5Л71Л/С=71Л/Сеа, из
расширяемости пополнения 8 вытекает, что ЛЛО^ЛЛ^^-
Этим доказано, что А^аВ, т. е. установлена
справедливость свойства 44'. Если, далее, Лей и А^В,
то из соотношений А + В = В и ЛЛ# = Ле£1
вытекает, что ЛЕщВ. Допустим теперь, что модуль Л
а-делим. Тогда Л£<,,$е(Л), т. е. Л+ 5 — %о(А) и
Л Л 5eQ. Отсюда Л '(Л Л S) ss Se (Л)/5. Так как Л Л 5,
/leu, то Дей
Предложение (3.13), конечно, не допускает
обращения, ибо даже если ограничиться Г-чистотой, из
предложения (1.34) видно, что класс Г-делимых
модулей не всегда замкнут относительно эпиморфных
образов. Предложение (1.33), правда, позволяет
9 А. П. Мишина. Л. А. Скорняков 121

выяснить, когда это так. Однако и после этого не ясно,
составят ли Г-делимые модули класс инъективных
объектов моноинъективной структуры (а это
необходимо, в силу предложения (3.5)). Еще большие
трудности возникают при проверке плотности
получившейся моноинъективной структуры. Полная
ясность имеется лишь в случае ^-чистоты, где
^-радикальный фильтр.
(3.14) Если все левые идеалы радикального
фильтра <f проекгивны, то класс ё'-делимых
модулей совпадает с классом Q-полных модулей для
некоторого точного расширяемого пополнения 6. Это
пополнение аддитивно тогда и только тогда, когда
все идеалы из с? компактны.
Для доказательства достаточно принять во
внимание предложения (3.6), (1.55), (1.33), (1.56), (1.58),
(1.9), (1.35) и (1.36).
Пополнение, описанное в предложении (3.14),
будем называть ^-пополнением.
Разумеется, предложение (3.14) можно применить
для построения пополнений в абелевых группах.
При этом из (3.1) и (3.4) вытекает, что
соответствующее пополнение определяется фильтром однозначно.
Кроме того, учитывая (0.3) и свойства G1 и G3,
нетрудно понять, что система <f однозначно
определяется совокупностью Р% простых чисел,
порождающих идеалы, входящие в ef. Оказывается, что
в случае групп никаких других пополнений нет.
(3.15) Всякое пополнение 8 в категории абеле-
вых групп является <?-пополнением. При э?ом
и Q-полнота группы А равносильна равенству рА = А
для всех р е Р%.
Действительно, пусть 8 — некоторое пополнение
в категории групп. Построим указанную в
формулировке систему идеалов &. Если группа А 8-полна,
то ввиду предложения (3.8) она инъективна
относительно. 8 (Z). Отсюда нетрудно вывести, что рА = А
для всех р е Pg. Учитывая этот факт и
вытекающее из ПЗ включение $e(Z)s/?, где R — аддитивная
группа всех рациональных чисел, легко проверить,
что система в является радикальным фильтром. Со.
Ш

гласно предложению (3.14), существует ef-пополне-
ние Э'. Ввиду (1.53) класс 8'-полных групп
совпадает с классом групп, в которых возможно деление
на все р из Р%. В силу отмеченного выше,' отсюда
вытекает, что всякая 8-полная группа 8'-полна.
Отсюда, учитывая П1, ПЗ и включение Z^\q{Z),
получаем соотношение
Но, в силу сделанного выше замечания о 8'-полных
группах, из свойства П2 и предложения (3.1)
вытекает, что te,(Z) состоит из всех тех дробей,
знаменатели которых являются произведениями простых
чисел из Р%. Но тогда из определения Ы" легко
вывести, что je,(Z) = 5e(Z) и 8'(Z) = 8(Z). Положим,
далее, F = 2 Za и G = 2 $e(Za), где Za s& Z. Из
предложений (3.1), (3.9) и (3.12) вытекает существование
изоморфизма ф: $&№)-> G, причем iaQ'{F)y = В (Za) ja,
где /„: Za -> F и /a: Je (Za) --> G — естественные
мономорфизмы. Обозначим через % естественное
вложение G в Н = 2*5e(^a)- Из предложения (3.7) и
свойства ПЗ' вытекает существование такого
мономорфизма ij>: lo(F)-+H, что 6(F)rJ) = e'(F)9x. Пусть
% — естественная проекция Н на fa(Za). Допустим,
что гфЯат^О для бесконечного множества й
индексов а. Найдем такое целое число т, что Офтх =
= yQ(F). Пусть г» —естественная проекция F на Zp
Найдем такой индекс aosQ, что (/тПо = 0. Отсюда
S (УТ„) 'рб' (П ФЗРЧ = 2
Полученное противоречие показывает, что Im-ф s Imx-
Поэтому, принимая во внимание предложение (3.1),
легко понять, что •фх~1Ф~1 — изоморфизм ie(F) на 3e.(f),
причем
0 (П ^-'ф- = 0' (f) «naf V = 0' (П
Отсюда, применяя предложение (3.8), нетрудно
вывести, что классы 6-полных и 8'-полных групп
9* 123

совпадают, после чего остается только принять во
внимание предложения (3.1) и (3.4).
Как отмечено в предложении (3.3), инъективные
модули, вообще говоря, могут не образовывать класс
8-полных модулей, так как фактор-модуль инъек-
тивного модуля не обязан быть инъективным.
Естественно попытаться рассмотреть класс подинъек-
тивных модулей. Однако здесь возникают новые
осложнения. Проанализируем их. Если имеем цепочку
модулей А £ В г С, то подмодуль D модуля С
назовем наростом подмодуля А относительно пары
(В, С), если D[]B = A. Ясно, что среди наростов
подмодуля А относительно (В, С) существуют
максимальные. Кольцо Л назовем наростным, если для
всякого подмодуля К любого свободного Л-модуля F
найдется такой максимальный нарост L подмодуля К
относительно (F, F), где F — инъективная оболочка
модуля F, что F\K = (L\K) + H, причем F\K^H.
Пополнение 8 назовем подинъективным, если
класс 8-полных модулей совпадает с классом под-
инъективных модулей, а 6(/7) для свободных
модулей совпадает с естественным вложением модуля F
в его инъективную оболочку F.
(3.16) Если в категории А-модулей существует
точное подинъективное пополнение, то А является
наростным кольцом.
Действительно, пусть 8 —точное подинъективное
пополнение в категории Л-модулей. Рассмотрим
свободный Л-модуль F и его подмодуль К- Положим
B = FjK и обозначим через f естественный
эпиморфизм F на В. По определению \e(F)= F. Поэтому
ввиду предложения (3.10) имеем
где g: F-+le(B), fQ(B) = Q(F)g, K=№(F),
/-мономорфизм и fQ (В) i = Q (F)я, где л —естественный
эпиморфизм F на FjK. Если, далее х е Кег g Л ^в (F),
то x = yQ(F), где yef. Отсюда yfQ(B) = yQ(F)g =
= xg = 0, т. е. yf = 0 и х е К. Следовательно, Кег g —
нарост подмодуля Д" относительно (FQ(F), F). Если
х<£Кег#, т. e.'0=£xg£=le(B), то O^Kxg = bQ(B) для
124

некоторых А. е Л, iefl. Пусть b = yf. Ясно, что у ф.К.
Но
Поэтому
Таким образом, Кег#— максимальный нарост. Остается
заметить, что FQ(F)n = FfQ{B)i^ ie(B)i.
Из предложений (3.3) и (3.16) вытекает
(3.17) Всякое наследственное кольцо является на-
роспгным.
(3.18) Если А — наростное кольцо, то в категории
А-модулей существует подинъективное пополнение.
Для доказательства ввиду предложений (0.8), (0.2)
и (3.6) достаточно установить, что для каждого Л-мо-
дуля А найдется подинъективный модуль Q и
гомоморфизм f: A-*-Q такие, что подинъективные
модули инъективны относительно / и Imf плотен в Q.
С этой целью рассмотрим точную
последовательность
0 -> К -+F —*/!-► 0,
где F — свободный Л-модуль. Обозначим через L
максимальный нарост подмодуля К относительно
(F, F), указанный в определении наростного кольца.
Пусть Q = FjL и л: F—>Q —естественный
эпиморфизм. Тогда для естественного вложения I: F-+F
имеем /я = я/\ где f: Л->Q (рис. 5). Так как L —
нарост К1 относительно (Fi, F), то f — мономорфизм.
По условию, FIKi = (LIKi) + H, где FijKi^H. Пусть
/: Н-*-РЩ — мономорфизм, т: P/Ki-+ Я —
эпиморфизм и jx = eH. Ясно, что существует такой
мономорфизм g': С?->Я, что tig' = gx, где g —
естественный эпиморфизм F на РЩ- При этом ig = igxj.
Пусть теперь Q'eD и ф: A-*-Q'. Ввиду
предложения (0.8) лф = /1|/, где -ф': P->Q'- Если х е Ki, то
А-1|з/ = 0. Следовательно, ty'= gh, где h: F/Ki-^Q'-
Положив ty = g'jh, получим
nfi|3 = ing'jh = igxjh = igh = ii|/ = тар,
125

откуда ф=-/"Ф- Таким образом, /so. Заметим, что
QeD. Если 0=jt х е Q, то х = г/л, где у &L. Поэтому
найдутся такие Я,еЛ и zsL, что Ху + ге F/\ /С/.
Отсюда ty + z = ui, где и^ F\ К и
Ал = (Ал/) я = (Ал/ + z) я = шЛ =
Так как Ал = unf е Im f, то подмодуль Im / плотен в Q.
Рис. 5.
Примером наростного кольца служит алгебра Л
над полем из двух элементов с базой 1, е, 6, где
1—единица и е2=62 = е6 = 6е = 0. Действительно,
нетрудно проверить, что инъективной оболочкой Л
модуля Л является модуль с образующими а, Ь, с,
где ей = 6а, 66 = 0, 6с = еа, вс = 0. Нетрудно
проверить также, что еЛ, 6ЛеЛ. Пусть F = S Ла. гДе
Аа^А. Поскольку Л —нетерово кольцо, прямая
сумма 2 Л„ ииъективна ([б], стр. 34, упражнение 8).
Отсюда Fe^ да и> следовательно, XF s Fдля
всякого необратимого элемента А. из Л. Пусть теперь
К— подмодуль модуля F и L — максимальный нарост
подмодуля К относительно {F, F). Обозначим через л
естественный эпиморфизм F на FjK. Ясно, что
■n,(F)fln.(I.) = Q. Пусть Н — максимальный подмодуль
модуля///С, содержащий л (F) и имеющий нулевоепере-

сечение с я (Z,). Если дсеn(F)\ [ti(L) + Н], то ОфХх+
+ aeji(L), где 1еЛ, а е #, причем X необратим.
Но тогда Xx^n(F)s Н, т. е. Хх + ае= HC\n(L}.
Противоречие. Таким образом, n{F) = n{L)-i- H, причем
k{F)^H, т. е. Л —наростное кольцо. Заметим еще,
что Л —локальное кольцо. Поэтому каждый
проективный Л-модуль свободен ([131], теорема 2).
Следовательно, в Л нет нетривиальных проективных
идеалов. Поэтому Л не наследственно. Кроме того,
из предложения (1.34) вытекает, что подинъективпое
пополнение не является $-пополнением.
Заметим, что натостных колец не слишком много.
Кильп [11] доказал, что коммутативное кольцо с
однозначным разложением на множители наростно
тогда и только тогда, когда оно наследственно.
Так как класс делимых групп совпадает с классом ииъек-
тчвиых Z-модулей ([б], стр. 172, предложение 5.1), то для
обобщения понятия делимости открываются два направлении. Одним
из иих является введение понятия g-делимости, специально
рассматривавшейся Гельцером [ПО]. Хилтон и Яхья [115] изучали
^•делимые группы. Согласно предложению (1.53), особо близкое
обобщение понятия делимости в группах получается, если
система t состоит из главных левых идеалов. Случай, когда 5?
состоит из всех таких идеалов, исследовал Хаттори [104].
Леви [147] занимался случаем, когда % состоит из главных
левых идеалов, порожденных иеделителями нуля. Условимся
называть модули из соответствующих g-делимых классов
модулями, делимыми в смысле Хаттори и делимыми в смысле
Леви соответственно. Модули, делимые в смысле Леви,
использовал Левич [18]. Из (1.53) (а также из (1.33) ) сразу следует,
что класс модулей, делимых в смысле Леви, замкнут
относительно эпиморфных образов. Из предложений (1.33) и (1.34)
вытекает, что для класса модулей, делимых в смысле Хаттори,
это имеет место тогда и только тогда, когда все главные левые
идеалы кольца Л проективны. Отсюда видно, что в общем
случае класс модулей, делимых в смысле Хаттори, существенно
уже класса модулей, делимых в смысле Леви. Для кольца без
делителей нуля эти определения, разумеется, совпадают. Однако
и класс модулей, делимых в смысле Леви, ие обязан совпадать
с классом 6-полиых модулей для какого-либо пополнения 9.
Действительно, рассмотрим коммутативное кольцо многочленов
Р [х, у, г] от трех переменных над полем Р и обозначим через Q
множество многочленов из Р [х, у, г], отличных от коистаит и
не делящихся на х. Пусть Л' = Р [х, у, г, ир\ УеЙ] и Я — идеал
в Л', порожденный элементами upF и ир uQ. Положим Л = Л'/Я.
(а) Если ф — неделитель нуля из Л, то существуют такие
а е Я, i|> е Л и m ^ 0, что <pi|> = axm + Н.
127

Действительно, пусть ф =- дЛр, + ф2 + Н, где ф, е Р [х, ц, г\,
s 2 Л-'ир< Ф[ ^ ■^'■lf' « S* 0. Если ф! ф Р, то
Ф (иф] + //) = лЛр,^ + ф2//ф1 + Я = 0.
Если ф|=0, то ф (uz + II) =<pjuz + Я=0. Таким образом,
0=5*= ф] е Р Но тогда
ф|, ф
0=5*= ф] е Р. Но тогда
0) £сли хф = 0 в А, то ф = 0.
Действительно, если дсф=О п Л и Ф = Ф, + 2 ^fuF ~*~Я>
где ф еР [х, у, г] и Xf e Л', то в Л' имеет место
*4>i + 2 хХрир = 2 HpiipF+ 2 vfcuFuC
где fip<s P [к, у, г], vpa e Л'. Отсюда хф1 = 0, а значит, ф( =0.
Полагая х = 0, получаем
Отсюда ц£ = v^c = 0. Но тогда \iF = x\i'F и VjjC = xvpa, а
значит, 2 XFUF = S |lf "fF + S vfC"f"G e Я-
Из (а) и (б), ы силу (1.53), следует
(в) А-модуль А делим в смысле Леей тогда и только тогда,
когда хА= А.
(г) Если Ф + (/i|> е 2 ^ир " Ф не зависит от у, то ф е ^Лцр.
Действительно, из условия вытекает, что в Л' справедливо
равенство
Ф + И> = 2 &/=• V
где \р е Л'. Выбрав из всех \р члены, не зависящие от у,
придем к искомому соотношению.
Пусть А — Л-модуль с образующими е0, ех, ..., причем
хео = yeQ = zeo = upeQ = O для всех Уей, а при / > 0 </е( = 0,
дсе/ = et_y upel = 0, если FeQ. Переменив роли «/ и г,
получим модуль А'. Из (в) следует
(д) А и А' делимы в смысле Леей.
Пусть В — Л-модуль с образующим е0, причем хео = уе0**
= гео = и„ео = О при Уей. Конечно, можно считать, что В s A
(е) Если а ^ А и za = 0, то а е В.
Действительно, пусть а е Леп\Л/?п_[. Представим а в форме
a = <fen, где ф ф. Ах и ф не зависит от у. Допустим, что л==£0.
Тогда п свободном Л-модуле имеет место
(хе,„ - ет_,) +
, + 7.2<?п +2 2 tfupe,
причем можно считать, что tn^n, а ф( не зависят от у.
128

Поскольку // s 2 Лир, отсюда вытекает, что элементы
Хфт+УУт, Щт-\~<$т + Ут-\У, •... Л.фл+1 - фи+4 + УУп+l, *фл -
— фл+[ — ytyn — 2ф лежат в 2 ^"f Применяя (г),
последовательно полугим, что в 2^"/г лежат элементы дсфт, х2фт , ...
..., xm~nffn+i, хт~п (x(fi,-z<f). Переходя к равенству в кольце Л'
и собирая в фп и коэффициентах при ир члены, зависящие от z,
нетрудно убедиться, что ф = %xm~n+l + 2 ^ V Но тогДа
а = (fen = \хт~Пеп-\ е Ле„_|, вопреки условию.
Допустим теперь, что класс Л-модулей, делимых в смысле
Леви, й-полон для некоторого пополнения 9. Пусть D = jj (В).
Согласно (д) и свойствам П1 и ПЗ существуют мономорфизмы
f-.D^-А и /': D->A', тождественные па В. Так как хВ^ОФВ,
то \т?фВ. Пусть a'elm/'\B, причем a' = j'(d% где rf'eD.
Тогда za'=0, так как 2^'=0. Отсюда 2rf'=0, т. e. z/ (rf')=/ (zd')=O.
Из (е) стедует, что / (rf')eB, а значит, rf'eB. Но тогда а' =
= f (d')^B. Противоречие.
Если некоторая полнота 9 задана свойствами, не
использующими специфику кольца, то естественно постараться
выяснить, для каких колец все 9-полиые модули окажутся ииектив-
ными или подинъективными.
То же самое можно спросить и о модулях, полных в смысле
Леви или Хаттори.
Взаимоотношение между инъективиостью и делимостью
в смысле Левн исследовано для случая, когда основное кольцо Л
обладает двусторонним кольцом частных Q ([147], стр. 141,
теорема 3.4). Оказалось, что в этом случае для ипъектиБиости
каждого делимого в смысле Леви Л-модуля необходима и
достаточна классическая полупростота кольца Q и левая
наследственность кольца Л. При выполнении этих условий кольцо Л
является йетеровым слева. Матлис ([158], теорема 3.3) доказал
подинъективиость всякого делимого в смысле Леви Л-модуля
для случая, когда Л—иетерова коммутативная область
целостности и всякий ее ненулевой простой идеал максимален. Гель-
цер ([ПО], стр. 913, теорема 6.1) установил, что ииъектишюсть
всех Л-модулей, делимых в смысле Хаттори, имеет место тогда
и только тогда, когда Л наследственно слева и истерово слева.
Он же указал условия, цри которых оказывается ипъективпым
всякий делимый в смысле Леви гл-полупростой модуль. Если
кольцо Л обладает левым кольцом частных Q, то, как показал
Лепи ([147], стр. 140, теорема 3.3), ииъективпость всех гл-полу-
простых делимых в смысле Леви модулей равносильна
классической полупростоте кольца Q.
Можно ставить задачу н о взаимоотношениях между
классами ^-делимых и г-ипъективпых модулей.
Делимые группы изучены довольно хорошо. Известно
описание их строения ([в], стр. 149), Лови [147] обобщил эту теорему
иа случай наследственного слева кольца, обладающего
классическим полупростим двусторонним кольцом частных. Частный
случай его результата содержится в работе Поаеску н Радо [174].

Делимая группа обладает рядом характеристических свойств.
Именно, Длаб [69], Кёртес [134] и Селе [201] (см. также [и]
стр. 67, упражнение 2; стр. 69, упражнение 32) установили
эквивалентность следующих свойств группы А:
1) Л—делимая группа;
2) группа А не содержит истинных максимальных подгрупп;
3) группа А не имеет конечных ненулевых эпиморфных
образов;
4) группа А не содержит таких подгруппы НфА и элемента
а, что Я + Za = A;
5) группа А служит эндоморфным образом для всякой
группы, в которой она содержится;
6) А служит прямым слагаемым для всякой содержащей
ее группы, для которой она служит эидоморфным образом.
Интересно найти обобщение этого результата.
Интересна также связь делимых групп со слабой сервантно-
стью ([и], стр. 92, предложение п): если А — минимальная
делимая группа, содержащая заданную группу А, то подгруппа N
группы А слабо-сервант на в А тогда и только тогда, когда <V=
= Af\D для некоторой делимой подгруппы D группы А. Рангас-
вами [180] рассматривал вопрос, когда утверждение,
аналогичное этому предложению, справедливо для некоторой (ие
обязательно минимальной) делимой группы, содержащей А. Однако
в его работе есть ошибки (см. РЖ Мат., 1966, 2А228).
Помимо перечисленных, в литературе встречается и ряд
других понятий, напоминающих полноту: квазиииъективиость
([10], [54 , [801, [100], [129], [163], [183], [215]), малоииъектив-
ность ([2], [19]), рациональное расширение ([42]), модули
частных ([з], [5], [6], [49], [79], [203], [227], [225], [226]). Однако
все эти понятия в случае абелевых групп ие приводят к
пополнениям, описанным предложением (3.15).
Остановимся еще на одной задаче, связанной с
пополнением. Известно, что при некоторых условиях ииъективную
оболочку кольца можно превратить в кольцо ([144], [171]), которое
иногда совпадаете левым кольцом частных. Аналогичной
задачей для g-пополиения занимался Саидерсои [192]. Построение
кольца частных с использованием так называемых регулярных
инъективиых структур предложил Мараида ([154], § 5).
С делимыми группами связана также следующая проблема:
когда подгруппа делимой группы является пересечением
делимых подгрупп этой группы ([и], проблема 2)? Поставленный
войрос сохраняет смысл для любых 9-пополиеиий. Для групп
ответ получен Кхаббазом [139], Шарлем [55] и Раигасвами [182].
Однако найденное ими описание использует специфику кольца
целых чисел. Результат Кхабба.^а выведен из теоремы, более
перспективной для возможного обобщения.

ДОБАВЛЕНИЕ
Д1. Андруиакиевич и Рябухии [220] охарактеризовали
кольца, в категории модулей иад которыми существуют лишь трн-
виальиые радикалы.
Д2. На стр. 94 отмечалось, что радикал можно
рассматривать как подфуиктор тождественного функтора. Производные
этого функтора рассматривал Говоров [221], а еще раньше —
Диксон [68].
ДЗ. Фильдхауз [82], [228] установил, что регулярность
кольца Л равносильна тому, что все подмодули любого Л-модуля
универсально чисты в нем Кольца, не содержащие
нетривиальных универсально чистых левых идеалов, рассмотрены в другой
его заметке [229]. Раигасвами [244] доказал, что кольцо
эндоморфизмов абелсиой группы регулярно тогда и только тогда,
когда ядра и образы всех ее эндоморфизмов являются ретрак-
тами. Он же отметил, что кольцо эндоморфизмов аддитивной
группы регулярного кольца не всегда регулярно.
Д4. Като [236] отметил, что слабо-сервантность всех
подгрупп группы С равносильна тому, что порядки элементов
группы С свободны от кпадратов. Последнее, как показал Кертес
([и]; стр. 94, упражнение 27а), равносильно тому, что все
подгруппы С являются ретрактами. Рангасвами [244] исследоаал
группы, в которых образ любого эндоморфизма слабо-сервантеи
или серваитеи. Ои же (см. [243]) охарактеризовал группы, в
которых всякая слабо-серваитная подгруппа является абсолютным
прямым слагаемым. В той же работе рассматривается класс
групп, в которых сервантна данная группа. Мията [239]
показал, что универсально чистый конечно-порожденный модуль чад
коммутативным иетеровым кольцом является ретрактом.
Д5. Зафиксируем некоторую группу W и положим #с=Л и
//i+i = Hom(tfj, w). Группа А называется UP-периодической, если
aHom(A,W)=-Q влечет за собой а=0 и Нг^Нг+в для
некоторых г^О и s^l. Эта периодичность исследуется в работах
Гросса [233M^35] и Лювена [238].
Д6. Нунке [240] рассматривал на категории групп функтор
S(j4) = Im (Hom(t, ел)), где 0->Z—>G->H->0 — данная точная
последовательность, а затем определял чистоту ffl, полагая
<oExt=SExt (см. предложение (1.4)). Этот аппарат позволил
131

охарактеризовать прямые суммы редуцированных счетных р-
групп.
Д7. Ричман и Уокер [245] отметили позможность
определения для групп чистот, указанных в предложении (1.20). Если
Фт"5©^ гДе ^ — класс всех периодических групп, то класс
редуцированных u-инъективиых групп совпадает с классом реду-
циропатгых копериодических групп.
Д8. Голди [230] предложил следующее определение; если
А — подмодуль модуля В, то
clBA={b[bf= В, (А: В) плотей в Л).
Позже [97] ои обобщил это определение, заменив слооа «.{А : В)
плотей в Л» иа «(Л : 6) eg, где ? — некоторое множестоо ле-
иых идеалов». Алии н Диксои ([224], стр. 199, предложение
(2.1)) установили, что функтор t (А) =с1Ас1л0 является круче-
ннем — кручением Голди. Далее, положим
и обозначим через t радикальный фильтр, описанный в
предложении (0.5). Пусть /е5{', р^/нХ—смежный класс из Л//,
определяемый элементом Я,е Л. Если (/ . р) плотен в Л, то
(/:1р) плотей в Л, причем 1^/. В протиином случае Лц ("|
П(/:р)=О для некоторого 0ф\и^Л. ^Поскольку (с10~:р)
плотен в Л, существует О^аеЛцП (cl 0 : р). Следовательно, аф
^(/:р). Но apecl 0, т. е. (/ : сгр) плотен в Л. Таким образом,
j'Et Если, наоборот, /eif, р^/_и О^реЛ, то при jips/
имеем цр=»0ес10, т. е. це(сЮ:р) Если же цр ф.1, то (0:
: ацр) = (/ : ацр) плотен в Л для некоторого cr^J/: цр).
Отсюда ацр£1 и, _следовательио, 0^=ацеЛцП (ciO:p). Этим
доказано, что (cl 0 : р) плотен в Л, т. е. psclclO. Таким образом,
Ч S %', и, согласно предложению (2.16), радикалу Голди соот-
нетствует радикальный фильтр, указанный в предложении (0.5).
Алин и Диксои рассмотрели функтор Gold A=(A/t(A))/(Alt(A)),
где через В обозначена инъективная оболочка модуля В. Если
Goldi4=0 для всех А, то кручение Голди оказывается
расщепляемым ([224], стр. 201, следствие 3,3). Доказано также, что
точная последовательность 0->*4 —> В -> С->0 порождает
точную последовательность
0 -> t (A) -> t (fl) -> t (С) -> Gold A -» Gold В -> Gold С -> 0
([224], стр. 198, теорема 1.2). Тепли [246] выяснил, когда
оказывается инъектионой прямая сумма инъективных модулей с
нулевым кручением Голди.
Д9. Цукерман доказала, что модули бея кручения в смысле
Басса образуют г-полупростой класс для некоторого кручения
т тогда и только тогда, когда для всякого мономорфизма
f: j4->B и любого ненулевого гомоморфизма ф: А -> Л
найдутся эндоморфизм р : Л->Л и гомоморфизм <р : В -> Л такие, что
132

(fp¥=O и ограничение Ф на А совпадает с <рр. Как показали У,
Мохицуки и Джанс [247], для артпновых колец это условие
равносильно проективности инъектипной оболочки кольца. Като
[237] и Колби и Раттер [2501 исследовали, когда шгьсктпвная
оболочка модуля без кручения и смысле Басса также-не имеет
кручения. Из их результатов иытекает, в частности, что усло-
пия Цукерман равносильны отсутствию кручения в смысле
Басса у ипъективной оболочки кольца (ср. 2.29). Эгот факт
заметила и сама Цукерман. Стефснсон и Цукерман отметили, что
полупростота класса проективных модулей (см. стр. 105)
влечет за собой проективность всех модулей без кручения в
смысле Басса. Они же показали, что для полупростоты класса
проективных модулей достаточно первых двух условий, указанных
Койфманом.
ДЮ. Пусть Л—коновское кольцо (free ideal ring) (РЖ Мат.,
1965 4А226). Тогда для каждого Л-модуля М можно найти
точную последовательность вида
0->Л"->Лт
где Л'—Л-модуль (-мерных строк. Полагаем %(М)=°т — п.
Кон [249] назвал модуль М периодическим, если % (М) = 0 и
хШ')^0 для всех подмодулей M' s M. В случае
коммутативных областей главных идеалов это определение совпадает
с обычным. Доказывается, что категория всех периодических
модулей абелева, артинова и нетерова. Отмечается, что функтор
М->Ех{д (М, Л) осуществляет двойственность между
категориями правых и левых периодических Л-модулей.
Д11. Некоторые результаты и радикалах в категории
модулей над кольцом без единицы анонсировал Келлет [252].

ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ
1. Справедливы ли предложения (1.15) и (1.10)
для прямых и полных прямых сумм с бесконечным
числом слагаемых соответственно? Если нет, то
какие свойства чистоты или кольца обеспечивают их
справедливость? Обратить внимание на предложения
(1.39) и (1.32).
Рохлина заметила, что прямая сумма любого числа ш-пло-
ских модулей будет ш-плоским модулем, если объединение
возрастающей последовательности ш-чистых подмодулей всегда
является ш-чистым подмодулем. Это может быть выведено из (1.1) и (1.12).
2. Описать все чистоты в абелевых группах.
3. Какие свойства следует добавить к 40—44,
чтобы соответствующая чистота в случае групп
оказалась ^-чистотой?
4. Обобщить результаты Фукса ([85], [87]),
указанные на стр. 28.
5. Обобщить на модули теорему об
алгебраической компактности группы (2*Л()/(2^) (см. стр. 29;
[90], проблема 2).
6. Нельзя ли применить к исследованию ©-инъек-
тивных модулей топологические методы (см. [90],
проблема 1)?
7. При каких условиях чистоты, определенные
в предложениях (1.16) и (1.20), являются котреуголь-
ной и треугольной соответственно?
8. Для каких систем Г Г-чистота оказывается
инъективно замкнутой? инъективной? проективной?
(см. предложения (1.29), (1.49), (1.51)).
9. Нельзя ли всякий ©-плоский (в частности,
Г-плоский) модуль получить как предел прямого
спектра ©-проективных (Г-проективных) (см. стр. 36)?
10. При каких условиях фактор-модуль
©-делимого модуля по ©-чистому подмодулю ©-делим?
134

Тот же вопрос для Г-чистоты и ^-чистоты (см. (1.33),
(1.34) и стр. 33).
11. При каких условиях всякий ©-чистый
подмодуль ©-плоского модуля является ©-плоским?.Тот же
вопрос для Г-чистоты и ^-чистоты (см. (1.40), (1.41)
и стр. 33).
12. Исследовать взаимоотношение между ©-инъек-
тивностью и ©-делимостью (см. предложение (1.46) и
стр. 127—130).
13. Справедливо ли утверждение, обратное
предложению (1.55)?
14. Исследовать ©-инъективные кольца (в
частности, Г-инъективные и ^-инъективные).
15. При каких условиях всякий ©-чистый
подмодуль данного модуля выделяется прямым слагаемым
(см. стр. 67, 79, 80, а также Д4)?
16. Не будет ли ^-чистота совпадать с Г-чистотой
для некоторой системы Г?
17. При каком выборе идеалов Зд и £>д
отношения -<з и <^ш обладают свойствами Ч(У—44' (см.
стр. 75-76)?
18. Не будет ли отношение ^ао обладать
свойством 44' для произвольной чистоты (см.
предложение (1.68))?
19. Для каких чистот © класс £><,,„ состоит только
из ретракций?
20. Охарактеризовать ©-проективные и
©-инъективные группы, если ©—сервантно-высокая или слабо-
сервантно-высокая чистота (см. стр. 78—79).
21. Исследовать ©-чистые оболочки (см. стр. 130).
22. При каких условиях все подмодули данного
модуля ©-чисты в нем (см. стр. 80, а также Д4)?
23. Исследовать взаимоотношение между
©-чистыми подмодулями модуля А и идеалами кольца
НогплМ. А), в частности для сервантной чистоты
(см. стр. 80; [90], стр. 31, проблема 34).
24. При каких условиях оказываются кручениями
радикалы, описанные в (2.32) (2.33) и на стр. 105?
25. Описать те чистоты © в категории абелевых
групп, для которых класс ©-плоских групп
совпадает с классом r-полупростых групп для данного
кручения г (см. предложения (2.15), (2.29) и (2.30),
а также стр. 104).
135

26. Для каких колец являются полупростыми
классы локально проективных и локально свободных
модулей (см. стр. 105)?
27. В каких случаях инъективен радикал инъек-
тивного модуля?
28. При каких условиях r-периодический г-копе-
риодический модуль оказывается ё'-ипъективным (см.
стр. 97)?
29. Существенно ли в предложении (2.21)
предложение, что г (Л) ~0?
30. Будет ли справедливо равенство Ext^G4,B)=0,
если А — r-бэровский, а В— произвольный Л-модули?
31. Дать описание r-бэровских групп (см. стр. 100;
[и], стр. 203, проблема 30).
32. Охарактеризовать Л-модули, удовлетворяющие
соотношению Ех^(Л, Л) = 0, в частности для A = Z
(см. стр. 100: проблема Уайтхеда).
33. Существенна ли инъективная замкнутость
чистоты со для справедливости включения §fflns$>oo
в предложении (2.30)?
34. Существенна ли конечная порожденность
модуля Fa во втором утверждении предложения (2.31)?
Нельзя ли придать этому предложению форму,
не предполагающую проекционную конечность Ua.
35. При какихусловияхфунктор г(Л) = Кег(ф®ел),
где ф —гомоморфизм в обобщенное кольцо частных
(см. [5] и предложение (2.36)) является радикалом
(и, в частности, кручением)?
36. Будет ли всегда полупростым класс 2,
рассмотренный Плезантом (см. стр. ПО)?
37. Какие свойства r-иолупростого и г-радикаль-
ного класса равносильны расщепляемое™ кручения г?
38. Какими свойствами обладает кольцо, в
котором расщепляется кручение, определяемое данным
радикальным фильтром М" (в частности, для
радикальных фильтров, указанных в предложении (0.5)
и (0.6))? Те же вопросы сохраняют смысл для
расщепляемое™ всех конечно-порожденных
модулей (см. стр. 110—112, а также Д1 и Д8).
39. При каких условиях r-расщепляем г.сякий
^-делимый модуль, где ^-радикальный фильтр,
соответствующий кручению г?
186

Заметим, что в случае групп соответствующее расщепление
имеет место всегда.
40. Обобщить на случай модулей критерии
расщепления, упомянутые на стр. 111—112.
41. Охарактеризовать кольца, над которыми класс
модулей без кручения в смысле Басса является
полупростым (см. (2.39), а также Д9)?
42. Существуют ли неточные и неправильные
пополнения?
43. Охарактеризовать класс 8-полных модулей
(ср. предложения (2.10), (2.12)).
44. Найти характеризации 8-полных модулей,
аналогичные перечисленным на стр. 130. Тот же вопрос
для ю-делимых модулей, в частности для
<?-делимых.
45. Охарактеризовать класс 8-редуцированных
модулей.
46. Определяется ли полнота 8 классом 8-реду-
цированных модулей?
47. При каких условиях радикал, указанный
в предложении (3.11), оказывается кручением?
48. Описать все чистоты со в категории групп,
для которых класс со-делимых групп совпадает с
классом 6-полных групп для данного пополнения 8 (см.
предложения (3.13) и (3.15)).
49. Описать наростные кольца, отличные от
наследственных.
'50. При каких условиях класс модулей, делимых
в смысле Леви, совпадает с классом 8-полных
модулей для некоторого пополнения 8?
51. Для каких колец всякий модуль, делимый
в смысле Леви (соответственно в смысле Хаттори),
подинъективен (см. стр. 127—129)?
52. Какие условия надо наложить на кольцо Л и
пополнение G для того, чтобы Л-модуль 1в{Л) можно
было бы превратить в кольцо с сохранением
модульных операций (см. стр. 130)?
53. Для каких пополнений 8 отношение
в je(В)]
определяет чистоту (см. стр. 130)?
|0 А. П. Мишина, Л. А. Скорняков 137

[в]
[г]
[д]
ЛИТЕРАТУРА
книги
[а] Джекобсои Н., Строение колец, ИЛ, 1961.
[б] К а р т а и А., Э и л е и б е р г С, Гомологическая алгебра, ИЛ,
1960.
К у р о ш А. Г., Теория групп, «Наука», 1967.
] Мак лей и С, Гомология, «Мир», 1966. .
] Скорняков Л. А., Дедекиидовы структуры с
дополнениями и регулярные кольца, Физматгиз, 1961-
[е] С т и и р о д Н., Эйлеиберг С, Основания алгебраической
топологии, Физматгиз, 1958.
[ж] X и л т о н П., У а й л и С, Теория гомологии, «Мир», 1966.
ЙВоигЬак! N., Algebre commutative, Paris, Hermann, 1961.
F и с h s L., Abelian groups, Budapest, 1958.
[к] Kaplansky I., Infinite Abelian groups, Ann. Arbor, 1954.
[л] N о г t h с о 11 D. G., An introduction to homologrcal algebra,
Cambridge Univ. Press, 1960.
СТАТЬИ
1. Говоров В. Е., Кольца, над которыми плоские модули
являются свободными, ДАН СССР 144, № 2 (1962), 265—
267.
2. Г о в о р о в В. Е., Малоииъективиые модули, Алегебра и
логика (семинар) 2, № 6 (1963), 21—50.
3. Говоров В. Е., О плоских модулях, Сиб. матем. ж. в
(1965), 300—304.
4. Горбач у к Е. Л., Расщепляемость кручения в категории
правых Л-модулей, Матем. заметки 2 (1967), 681—в88.
5. Елизаров В. П.. О кольцах частных ассоциативных колец,
Изв. АН СССР (сер. матем.) 24 (1960), 153—170.
6. Елизаров В. П., О модулях частных, Сиб. матем. ж. 7
(1966), 221-226.
7. Ж у р а в с к и й В. С, Обобщение некоторых критериев
расщепления смешанных абелевых групп, Матем. сб. 51 (1960),
377—382.
8. Журавский В. С, К вопросу о расщеплении смешанных
абелевых групп, Уч. зап. Брестск. гос. пед. ии-та, вып. 3
(1960), 63—71, -
138

9. Иоффе Л. tii., Радикал модуля, Снб. матем. ж. 6 (1964),
820—826.
10. Кильп М. А., Квазнннъективпые группы, Вести. МГУ,
матем., мехаи., N» 3 (1967), 3—4.
11. Кильп М. А., О иаростиых кольцах. Снб. матем. ж. 8
(1967), 1193—1196.
12. Койфман Л. А., Радикал модуля, Сиб. матем. ж. 7
(1966), 1204—1207.
13. Куэьмииов В., О производных функторах проективного
предела. Сиб. матем. ж. 7 (1967), 333—345.
14. Кул и ко d Л. Я.. Обобщенные примарные группы, Тр. Мос-
ковск. матем. об-ва, 1, 1 (1952), 247—326; II, 2 (1953), 85—
167.
15. Куликов Л. Я., Универсально полные абелевы группы,
Тр. 111 Всесоюзного матем. съезда (Москва, 1956), 26—28.
16. Курош А. Г., Радикалы в теории групп, ДАН СССР 141
(1961), 789-791.
17. К у р о ш А. Г., Радикалы в теории групп, Сиб. матем.
ж. 3 (1962), 912—931; поправка: Сиб. матем. ж. в
(1965), 715.
18. Л е в и ч Е. М., Модули иад кольцом полиномов от
одного эндоморфизма, Латв. матем. ежегодник 2 (1966),
127—174.
19. Мишина А. П., Об автоморфизмах и эндоморфизмах абе-
левых групп, Вести. МГУ, матем., мехаи. № 4 (1962), 39—43.
20. Руды к Б. М., К теории расщепляемое™ смешанных абе-
левых групп. Вести. МГУ, сер. 1, 3 (1965), 20—27.
21. Рудык Б. М., Расширение модулей, ДАН СССР 179
(1968), 545—547.
22. Р я б у х и и Ю. М., Радикалы в категориях, Изв. АН Молд.
ССР, сер. физ.-матем. и техи. наук № 4 (1964), 58—74.
23. Р я б у х и и Ю. М., Классификация наследственных
радикалов абелевых групп, сб. «Материалы IV Конференции
молодых ученых Молдавии, 1964, секц. физ.-матем.», Кишинев,
1965, 74—75.
24.* С к о р и я к о в Л. А., О коиовских кольцах. Алгебра и
логика (семинар) 4, № 3 (1965). 5—30.
25. Ч а н Ван X а о, О полупростых классах групп, Сиб. матем.
ж. 3 (1962), 943-949.
26. Черников С. Н., Группы с системами дополняемых
подгрупп, Матем. сб. 35 (1954), 93—128.
27. Ш м е л ь к и и А. Л., Одно свойство полупростых классов
групп, Сиб. матем. ж. 3 (1962), 950—951.
28. Ill у л ь г е й ф е р Е. Г., Фуикторная характеризация
строгих радикалов в категориях, Сиб. матем. ж. 7 (1966),
1412—1421.
29. A b i а п A., R i п е h а г t D., Honest subgroups of abelian
groups, Rend. Circolo mat. Palermo 12 (1963), 353—356.
30. A1 f n J., Primary decomposition of modules, Notices Amer.
Math. Soc. 14 (1967), 529.
31. A s а п о К., Uber die Quotientenbildung von Schiefringen, J
Math. Soc. Japan 2 (1949), 73—79.
32. Auslander M., Modules over unramified regular local
rings, 111. J. Math, б (1961)\ 631-647.
10* 139

33. Auslander M., Modules over unramified regular local
rings, Proc. Intern. Congr, of Math., 1962, Uppsala, 1963,
230—233.
34. Auslander M., Coherent functors, Proc. of the conference
ol categorical algebra, La Jolla, 1965, Springer-Verlag,
Berlin—Heidelberg, № 9 (1966). 189—231.
35. Auslander M., Remarks on a theorem of Bourbaki, Na-
riya Math. J. 27 (1966), 361—369.
a 1 с е г z у к S., On algebraically compact groups of 1. Kap-
lansky, Fundam. math. 44 (1957), 91—93.
37. В a 1 с е г z у к S.( On factor groups of some subgroups of <a
complete direct sum of infinite cyclic groups. Bull. Acad. po-
lon. sci., ser. sci. math., astron. el phys. 7 (1959), 141—142.
38. Balcerzyk S., On classes of abelian groups, Bull. Acad.
polon. sci., ser. sci. math., astron. el phys. 9 (1961), 327—329.
39. Balcerzyk S., On groups of functions defined on Boolean
algebras, Fundam. nath. 50 (1962), 347—367.
40. Balcerzyk S., On classes of abelian groups. Fundam
math. 51 (1962), 149—179; поправка: Fundam. math. 56
(1964), 199-202.
41. Banaschewski В., Quotient extensions of modules, Math.
Nachr. 28 (1965), 245—255.
42. Bass H,, Finitistic homological dimension and a homolo-
§ical generalization of semi-primary ring, Trans. Amer. Math
oc. 95 (1960), 466—488.
43. Bass H., Torsion free and projective modules, Trans. Amer.
Math. Soc. 102 (1962), 319—327.
44. Beaumont R., Pierce R., Torsion-free rings. 111. J. Math.
5 (1961), 61-98.
45. В e s s e г e A., Quelques proprietes d'un couple de modules,
С. г. Acad. sci. 259 (1964), 22—23.
46. В e s s e г e A., M i с a 1 i A., Quelques resultats sur les alge-
braes universelles, С г. Acad. sci. 260 (1965), 2658—2659.
47. В о у е г D., Walker E., Almost locally pure abelian groups,
Pacif. J. Math. 9 (1959), 409—413.
48. Buchsbaum D., A note on homology in categories, Ann.
Math. 69 (1959), 66—74.
49. В u d а с h L., Zum Begriff des Modulquotienten, Monatsber.
Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. 6 (1964), 81—85.
50. В u m b у R. Т., Modules which are isomorphic to submodules
of each other, Arch. math. 16 (1965), 184—185.
51. Butler M. C. R., A class of torsion-free abelian groups of
finite rank, Proc. Lond Math. Soc. 15 (1965), 680—698
52. В u 11 e г M. C. R., Torsion-free modules and diagrams of
vector spaces, Proc. Lond. Math. Soc. 18 (1968), 635—652.
53. Butler M. C. R., H о г г о с k s G., Classes of extensions and
resolutions, Philos. Trans. Roy. Soc. London A254 (1961),
155—222.
54. С h a p t a 1 N., Sur les modules quasi-injectifs, С. г. Acad.
sci. 264, № 4 (1966), A173—A175.
55. Charles В., Une caracterisation des intersections de sous-
groupes divisibies, С, г. Acad. sci. 250 (i960), 256—257.
56. Charles В., Etude sur les sous-groupes d'un groupe abelien.
Bull. Soc. math. France 88 (1960), 217—227.
140

57. Charles В.,' Note sur la structure des groupes abelieiis pri-
maires, С. г. Acad. scl. 252 (1961), 1547—1548.
58. С h a s e S., Direct product of modules, Trans, Amer. Math.
Soc. 97 (1960), 457—473.
59. Chase S., Torsion-free modules over K[x, y], Pacif: J. Math.
12 (1962), 437—447.
60. Chase S., Locally free modules and a problem of Whitehead,
111. J. Math, в (1962), 682-699.
61. Chase S., Function topologies on abelian groups, 111. J.
Math. 7 (1963), 593—608.
62. Chase S., On group extensions and a problem of J. H. C.
Whitehead, Topics in Abelian groups, Proc. Symp. on Abelian
groups New Mexico state Univ., 4—8 June 1962, 1963, 173—
194.
63. С о h n P. M., On the free product of associative rings. Math.
Z. 71 (1959), 380—398.
64. D i с к s о n S. E. On torsion classes of Abelian groups. J.
Math. Soc. Japan 17 (1965), 30—35.
65. D i с к s о n S. E , Noetherian splitting rings are artinian, J.
Lond. Math. Soc. 42 (1967), 732—736.
66. Dick so n S. E., Decomposition of modules, I, Classical rings.
Math. Z. 90 (1965), 9—13. II, Rings without chain conditions
Math. Z. 104 (1968), 349—357.
67. D i с к s о п S. E., A torsion theory for Abelian categories,
Trans. Amer. Math. Soc. 121 (1966), 223—235.
68. D i с к s о п S. E., Direct decompositions of radicals, Proc.
of the conference of categorical algebra, La Jolla, 1965,
Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg, № 9, (1966), 366—374.
69. D 1 a b V., Заметка к теории полных абелепых групп, Чехо-
слов. матем. ж. 8 (1958), 54—61.
70. Dlab V., The concept of rank and some related questions in
the theory of modules, Comment. Math. Univ. Carolinae 8,
N 1 (1967), 39-47.
71. Dlab V., The structure of torsion-free rings, Comment. Math.
Uvin Carolinae 9 (1968), № 1, 41-45.
72" Dlab V., Distinguished sets of ideals of a ring, Чех. мат.
ж. 18 (1968), 560—567.
73. Dlab V., The concept of torsion module (препринт).
74. Dlab V., Rings over which every module splits (препринт).
75. D u b о i s D., Modules of sequences of elements of a ring,
J. Lond. Math, Soc. 41 (1966), 177—180.
76. D u b о i s D., Cohesive groups and p-adic integers, Publs
math. 12, N 1—4 (1965), 51—58.
77. E i 1 e n b e г g S., Moore J., Foundations of relative homolo-
gical algebra, Mem. Amer. Math. Soc. 55 (1964), 39 pp.
78. E n d о Sh., On semi-hereditary rings, J. Math. Soc. Japan 13
(1961), 109—119.
79. Enochs E., Torsion-free covering modules, Proc. Amer.
Math. Soc. 14 (1963), 884—889.
80. Faith C, Utumi Y., Quasl-injective modules and their
endomorphism rings, Arch. Math. 15 (1964), 166—174.
81. Feller E., Swokowskl E., The ring of endomorphisms
of a torsion-free module, J. Lond, Math. Soc. 39 (1964),
41-42.
141

82. f i e 1 d h о u s D., Pure projectivity. Notices Amer. Math. Soc.
14 (1967), 678.
83. Find lay G. D., Lambek J., A generalized ring of
quotients, 1, Canad. Math. Bull. 1 (1958). 77—85; 11, Canad. Math.
Bull. I (1958), 155—167.
84. F u с h s L., On generalized pure subgroups of abelian groups,
Ann. Univ. scient. Budapest, sec. math. 1 (1958), 41—47.
85. Fuchs L., Notes on Abelian groups, I, Ann. Univ. scient.
Budapest, sec. math. 2 (1959), 5—23; II, Acta math. Acad.
scient. hung. II (1960), 117—125.
86. Fuchs L., On character groups of discrete abelian groups,
Acta math. Acad. scient. hung. 10 (1959.), 133—140.
87. Fuchs L., Ober reine Untergruppen abelscher Gruppen, Atti
sestro corg. unione mat. ital. Tenuto Napoli 11—16 sett.
1959, Roma Ed. Cremonese, 1960, 249—250.
88. Fuchs L., On algebraically compact abelian groups, J. Na-
tur. Sci. and Math. 3 (1963), 73—82.
89. Fuchs L., Note on factor groups in complete direct sums,
Bull. Acad. polon. sci, ser. sci. math., astron. et phys. Il
(1963), 39—40.
90. Fuchs L, Recent results and problems on Abelian groups,
Topics in Abelian groups, Proc. Symp. on Abelian groups
New Mexico state Univ. 4—8 June 1962. 1963. 9—40.
91. Fuchs L.. Some generalizations of the exact sequences
concerning Horn ana Ext, Proc. colloq. on Abelian groups,
1963, Budapest, Hung. Acad. Sci., 1964, 57—76.
92. Gabriel P., Des categories abeliennes. Bull. Soc. Math.
France 90 (1962), 323^148.
93. Gabriel P., Popes cu N., Characterization dcs categories
abeliennes avec generateurs et limites inductives exactes, С. г.
Acad. Sci. Paris 258 (1964), 4188—4190.
94. G e n t i 1 e E., On rings with one sided field of quotients, Proc.
Amer. Math. Soc. 11 П960). 380—384.
95. Gewirtzman L., Anti-isomorphisms of the endomorphism
rings of a class of free modules. Math. Ann. 159 (1965),
278—284.
96. Gewirtzman L., Anti-isomorphisms of the endomorphism
rings of torsion-free modules, math. Z. 98 (1967), 391—400.
97. G о 1 d i e A. W., Localization in non-commutative Noetherien
gings, J. Algebra 5 (1967), 89—105.
98. Go 1 e m a K., H u 1 a n i с к i A,, The structure of the factor
group of the unrestricted sum by the restricted sum of
abelian groups, II, Fundam. math. 53 (1964), 177—185.
99. de G г о о t J., Equivalent abelian groups, Canad. J. Math. 9
(1957), 291-297.
100. Harada M., Note on quasi-injective modules, Osaka J.
Math. 2 (1965), 351—356.
101. Harrison D. K., Infinite abelian groups and homological
methods, Ann. Math. 69 (1959), 366—391.
102. Harrison D. K., Two problems of L, Fuchs, Publs Math.
Debrecen 7 (i960), 316—319.
103. Harrison D. K., I г win J. M., Peer с у С. L., Wal-
к е г Е. A., High extensions of Abelian groups, Acta math.
Acad. scient. hung. 14 (1963), 319—330.
;42

104. Hattori A., A foundation of torsion for modules over
general rings, Nagoya Math. J. 17 (1960), 147—158.
105. Head Т., Dense submodules, Proc. Amer. Math. Soc. 13
(1962), 197-199.
106. Head Т., Remarks on a problem in primary Abeliafi groups,
Bull. Soc. math. France 91 (1963), 109—112.
107. Head Т., Purity In compactly generated modular lattices,
Acta math. Acad. scient. hung. 17 (1966), 55—59.
108. Head Т., A direct limit representation for Abellan groups
with an application to tensor sequences, Acta math. Acad.
scient. Hung. 18 (1967), 231—234.
109. Head Т., Tensor sequence of Abelian groups, Notices Amer.
Malh. Soc. 14 (1967), 261.
110. Helzer G., On divisibility and injectivlty, Canad. J. Math.
18 (1966), 901-919.
111. Hill P. D., Quasi-closed primary groups Acta math. Acad.
scient. hung. 16 (1965), 271—274.
112. Hill P. D., Pure subgroups having prescribed socles, Bull.
Amer. Math. Soc. 71 (1965), 608—609.
113. Hill P. D., Megibben Ch., Minimal pure subgroups in
primary groups, Bull. Soc. math. France 92 (1964), 251—257.
114. Hilton P,, Remark on the tensor product ol modules, Bull.
Acad. polon. sci,, ser. sci. math., astron. et phys. 4 (1956),
225 328
115. Hilton P., Yah у a S., Unique divisibility In Abelian
groups, Acta math. Acad. scient. hung. 14 (1963), 229—239.
116. HochschildG., Relative homologlcal algebra, Trans. Amer.
Math. Soc. 82 (1956), 246—269.
117. H u 1 a n i с к i A., Algebraic characterization of abelian
divisible groups which admit compact topologies, Fundam. math.
44 (1957), 192—197.
118. Hulanicki A., Algebraic structure of compact abelian
groups, Bull. Acad. polon. sci., ser. sci. math., astron. et phys. в
(1958), 71—73.
119. Hulanicki A., On algebraically compact groups. Bull.
" Acad. polon. sci.. ser. sci. math., astron. et phys. 10 (1962),
71—75.
120. Hulanicki A., The structure of the factor group of the
unrestricted sum by the restricted sum of abellan groups,
Bull. Acad. polon. sci., ser. sci. math., astron. et phys. 10
(1962), 77—80.
121. Hulanicki A., Newman M., Existence of unrestricted
direct products with one amalgamated subgroup, J. Lond.
Math. Soc, 38 (1963), 169—175; поправка: J. Lond. Math.
Soc. 39 (1964), 672.
122. I г win J., Peer с у С, Walker E., Splitting properties
of high subgroups. Bull. Soc. math. France 90 (1962), 185—
192.
123. lrwin J., Rich man F., Direct sums of countable groups
and related concepts, J. Algebra 2 (1965), 443—450.
124. lrwin J., Walker C., Walker E., On /Лриге sequences
in Abelian proups. Topics in Abelian groups, Proc. Symp. on
Abelian groups New Mexico state Univ. 4—8 June 1962, 1963.
69—119-
J43

125. lrwin J., W a 1 к е г Е., On /V-hlgh subgroups of Abellan.
groups, Pacif. J. Math. II (1961), 1363-1374.
126. Irwln J., Walker E., On isolype subgroups of Abelian
groups, Bull. Soc. math. France 89 (1961), 451—460.
127. Jans J., On finitely generated modules over Noetherian
rings, Trans. Amer. Math. Soc. 106 (1963), 330—340.
128. Jans J., Some aspects of torsion, Pacif. J. Math. 15 (1965),
1249-1259.
129. Johnson R. E,, Wong E. Т., Quasi-injective modules and
irreducible rings, J. Lond. Math. Soc. 36 (1961), 260—
268.
130. Kaplansky I., Modules over Dedekind rings and valuation
rings, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 327—340.
131. Kaplansky I., Projective modules, Ann. Math. 68 (1958),
372-377.
132. Kaplansky I., A characterization of Prufer rings, J.
Indian Math. Soc. 24 (1960), 279-281.
133. Kaplansky I., The splitting of modules over integral
domains, Arch. Math. 13 (1962), 341—343.
134. Kertesz A.,On subgroups and homomorphic images, Publs
Math. Debrecen 3 (1953), 174—179.
135. Kerlesz A., Beitrage zur Theorie der Operatormoduln, Acta
math. Acad. scient. hung. 8 (1957), 235—257.
136. Kertesz A., Cber die allgemeine Theorie linearer Glei-
chungssysteme, Bull. math. Soc, sci. math, et phys. RPR I
(1957), 303—307.
137. Kertesz A., Systems of equations over modules. Лс1а scienl.
math. Szeged 18 (1957), 207—234; поправка: ibid 19 (1958),
251—252.
138. Kertesz A., Eine kennzeichnende Eigenschaft der injecti-
ven Moduln, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle—Wittenberg
Math.-Natur. Reihe II (1962), 737—739.
139. Khabbaz S., The subgroups of a divisible group G which
can be represented as intersections of divisible subgroups of
C, Pacif. J. Math. II (1961), 267—273.
140. Kielpirtski R., On Г-pure injective modules, Bull. Acad.
polon. sci., ser. sci. math., astron. et phys. 15 (1967), 127—
131.
141. Koehler J. E., The type set of a torsion-free group of finite
rank, 111. J. Math. 9 (1965), 66—86.
142. Kolettls W., A theorem op pure submodules, Canad. J.
Math. 12 (1960), 483-487.
143. Lafon J., Quelques resultats sur le dual d'un module de
type fini sur un anneau commutatif et applications a l'etude
des modules lels que leurs anneaux d'e.ndomorphismes soieni
commutatifs, С. г. Acad. sci. 249 (1959), 1849—1851.
144. Lambek J., On Utumi's ring of quotients, Canad. J. Math.
15 (1963), 363—370.
145. Lambek J., A module Is flat if and only If its character
module is injective, Canad Math. Bull. 7 (1964), 237—243.
146. L a z a r d D., Sur les modules plats, С. г. Acad. sci. 258,
N 26 (1964), 6313—6316.
147. Levy L.. Torsion-free and divisible modules over
non-integral-domains, Canad. 1. Math. 15 (1963), 132—151.
144

148. Los J., Abelian groups thai are direct suiiiiiiaiiils of eviTv
abelian group which contains them as pure subgroups, Fun
dam. math. 44 (1957), 84—90.
149. Los J., Linear equation and pure subgroups, Bull. Acad. po-
lon. sci., ser. sci. math., astron. et phys. 7 (1959), "13—18.
150. Los J., Generalized limits in algebraically compact groups,
Bull. Acad. polon. sci., ser. sci. math., aslron. el phys. 7
(1959), 19-21.
151. Mad d ox В., Absolutely pure modules, Proc. Amer. Math.
Soc. 18 (1967), 155—158.
152. Mader A., A characterization of completions of direct sums
of cyclic groups, Bull. Acad. polon. sci.. ser. sci. math., astron.
et phys. 15 (1967), 231—233.
153. Maranda J. M., On pure subgroups of Abelian groups,
Arch. Math. II (1960). 1—13.
154. Maranda J. M., Injective structures, Trans. Amer. Math.
Soc. 110 (1964), 98—135.
155. Maranda J. M., Completions of modules and rings Trans.
Roy. Soc. Canada. 1965. 271—291.
156. Matlis E., Injective modules over Noetherian rings, Pacif.
J. Math. 8 (1958), 511—528.
157. Matlis E., Injective modules over Prufer rings, Nagoya
Math. J. 15 (1959). 57-69.
158. Matlis E., Divisible modules. Proc. Amer. Math. Soc. II
(1960), 385—392.
159. Mat Ms E., Cotorsion modules. Mem. Amer. Math. Soc. 49
(1964), 66 pp.
160. M e g i b b e n Ch., A note on a paper of Bernard Charles
(Etude sur les sous-groupes d'un groupe abolien). Bull. Soc.
Math. France, 91 (1963), 453—454.
161. Meglbben Ch., Kernels of purity in Abellan groups, Publs
math.. II (1964), 160-164.
162. Megibben Ch., On subgroups of primary abelian groups,
Publs math. 12 (1965), 293-294.
163. Miyashita Y., On quasi-injective modules, A
generalization of the theory of completely reducible modules, J. Fac.
Sci. Hokkaido Univ. 18 (1964/65), 158—187.
164. M у с i el s к у J., Some compactifications of general
algebras, Colloq. Math. 13 (1964). 1—9.
165. N u п к e R.. Modules of extension over Dedekind rings. 111.
J. Math. 3 (1959), 222-241.
166. Nunke R., On the extensions of a torsion module, Pacif.
J. Math. 10 (1960), 597-606.
167. Nunke R., A note on abelian group extensions, Pacif. J.
Math. 12 (1962), 1401-1403.
168. Nunke R., Slender groups, Acta scient. math. 23 (1962).
67—73.
169. Nunke R., Purity and subfunctors of the identity, Topics
in Abellan groups, Proc. Symp, on Abelian groups New
Mexico stale Univ. 4—8 June 1962, 1963, 121—172.
170. Nunke R., On the structure of Тог, Ргог. colloq. on
abelian groups, 1963. Budapest. Hung. Acad. Sciont., 1964, 115—124.
171. Osofsky B. L., On ring properties of injective hulls,
Canad. Math. Bull. 7 (1964), 405-413.
145

172. Pareigis В., Radikale und kleine Moduln, Sltzungsber.
Bayer. Akad. Wiss. Munchen, math.-naturwiss. KL. 1965,
Munchen, 1966, 185-199.
173. P 1 e a s a n t J. C, Certain relations between objects and morp-
hisms In arbitrary categories and module categories, Doct.
diss. Univ. S. C, 1965, 51 pp.; Ref. Dissert. Abstrs 26 (1966),
4697.
174. Popescu N.. Radu A., La structure des modules injectifs
sur un anneau a ideal principal, Bull. math. Soc. sci. malh.
et phys. RPR 8, N 1—2 (1964), 67—73.
175. P г о с h a z к a L., О расщепляемое™ фактор-групп абеле-
вых групп без кручения конечного ранга, Чехослов. матем.
ж. II, № 4 (1961). 521—557.
176. Р го с h a z k a L, Cber eine Klasse torsionsfreier abelscher
Gruppen, Casop. pestov. mat. 90 (1965), 153—159.
177. Rangaswamy К. М., Neat subgroups of Abelian groups,
J. Madras Univ. B33 (1963), 129—135.
178. Rangaswamy К. М., Extension theory of abelian groups.
Math. Student 32 П964). 11—16.
179. Rangaswamy K. M., On 2-groups, Bull. Soc. math.
France 92 (1964). 259—262.
180. Rangaswamy К. М., Full subgroups of abelian groups.
Indian J. Math. 6 (1964), 21—27.
181. Rangaswamy K. M., A note on algebraic compact
groups, Bull. Acad. polon. sci., ser. sci. math., astron. et phys.
12 (1964), 369-371.
182. Rangaswamy K. M., Characterisation of intersections of
neat subgroups of Abelian groups, J. Indian Malh. Soc. 29
(1965), 31—36.
183. Ravel J., Extensions essentielles dans un module, С. г,
Acad. sci. 264 (1967), A657—A659.
184. Reid J., On subgroups of an abelian group maximal disjoint
from a given subgroup, Pacif. J. Math. 13 (1963). 657—664.
185. Reid J., On the ring of quasi-endomorphisms of a torsion
free group, Topics in Abelian groups, Proc. Symp. on Abelian
groups New Mexico State Univ. 4—8 June 1962, 1963,
51—68.
186. Renault Q., Etude de cerlains anneaux A liees aux sous-
modules complements d'un Л-module, С. г. Acad. sci. 259
(1964), 4203—4205.
187. Ribenboim P., A theorem on linear transformations of
torsionfree modules of infinite rank. Arch. Math. 14 (1963)\
353—358. ч
188. R i с h m a n F., W a 1 к е г С. P., On a certain purification
problem for primary abelian groups. Bull. Soc. math. France 94
(1966), 207-210.
189. Robert Ё., Generalisation d'un theoreme de T. Szele et
d'un probleme de L. Fuchs, С. г. Acad. sci. 263 (1966), A237—
A240.
190. Rot man J., A characterization of fields among integral
domains, Anais Acad. brasil. cienc. 32 (1960), 193 — 194.
191. Rot man J., On a problem of Baer and a problem of Whi-
lehead in abelian groups, Ada malh. Acad. scient. hung. 12
(1961), 245-254.
146

192. Sanderson D. F., A generalization of divisibility and in-
jectivity in modules, Canad. Math. Bull. 8 (1965), 505—513
193. Sandomirski F., Relative injectivity and projectivity, Docl.
diss. Pa State Unis., 1964, 67 pp., Dissert. Abstrs. 25 (1966).
6664.
194. S a s 1 a d a E., An application of Kulikov's basic subgroups in
the theory of abelian mixed groups, Bull. Acad. polon. sci.,
Cl. 3, 4 (1956). 411-413.
195. S a s i a d a E., Negative solution of 1. Kaplansky's first test
problem for abelian groups and a problem of K- Borsuk
concerning cohomology groups, Bull. Acad. polon. sci., ser. sci.
math., astron. et phys. 9 (1961), 331—334.
196. St3na$ila O.. Citeva observatii aspura topologizarii mo-
duleor, Studii si ceriet3ri mat. 18 (1966), 681—686.
197. S ten s trom В., Pure submodules, Arkiv Math. 7, N 10
(1967), 159—171.
198. Stenstrom В., High submodules and purity, Arkiv Math.
7. N 11 (1967), 173—176.
199. S te n stro m В., Purity in functor categories
(препринт).
200. Stenstrom В., Direct sum decompositions on Grothen-
dieck categories (препринт).
201. Szele Т., Ein Analogon der Korpertheorie fur abelsche
Gruppen, J. reine u, angew, Math. 188 (1950), 167—192.
202. Tel lman S., Images of induced endomorphisms in Ext
(ff. C), Acta scient. math, 23 (1962). 290—291.
203. Tiwary A. K-. On the quotients of indecomposable injective
modules, Canad. Math. Bull. 9 (1966). 187—190.
204. Viljoen Q., A contribution to the extensions of abelian
groups, Ann. Univ. scient. budapest., sec. math, в (1963),
125—132.
205. Walker C, Relative homological algebra and Abelian
groups, 111. J. Math. 10 (1966), 186-209.
206. Walker C. W a 1 к е г Е., Quotient categories of modules,
Proc. of the conference of categorical algebra, La Jolla. 1965.
Springer—Verlag. Berlin—Heidelberg, N 9, 1966. 404—420.
207. Walker E. A., Direct summands of direct products of
abelian groups, Arch. Math. II (1960). 241—243.
208. Walker E. A., Torsion endomorphlc images of mixed
Abelian groups. Pacif. J. Math. II (1961), 375—377
209. Walker E. A., On n-extensions of abelian groups, Ann.
Univ. scient. budapest., ser. math. 8 (1965), 71—74.
210. Wang J. S. P., On completely decomposable groups, Proc.
Amer. Math. Soc. 15 (1964), 184—186.
211. Wgglorz В., Compactness of algebraic systems. Bull. Acad.
polon. sci, ser. sci. math., astron. et phys. 13 (1965), 705—706.
212. Wgglorz В., Equationally compact algebras (1), Fundam
math. 59. N 3 (1966), 289—298.
213. Wo If son K., Isomorphisms of the endomorphism ring of
torsion free modules, Proc. Amer, Math. Soc, 13 (1962),
712—714.
214. Wolf son K.. Isomorphisms of the endomorphism ring of a
class of lorston free modules, Proc. Amer. Math. Soc. 14
(1963), 589-594.
147

215. Wong E., Atomic quasi-injective modules, J. Math. Kyoto
Univ. 3 (1964), 295—303.
216. Y a h у a S., /'•pure exact sequences and Ihe group of .P-pure
extensions, Ann. Univ. scient. budapest., sec. math. 5 (1962),
179—191.
217. Yoneda N.. On the homology theory of modules, J. Fac.
Sci. Univ. Tokyo 7 (1954), 193—227.
218. Yoneda N.. On Ext and exact sequences, J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo 8 (1960), 507—576.
219. ZelmanowiU J. M., Endomorphism rings of torsionless
modules, J. Algebra 5 (1967>, 325-341.
220').An др у и а к и е в и ч В. А, Ряб у хин Ю М., Надниль-
потентные и подидемпотентные радикалы алгебр и
радикалы модулей, Матем. исслед. 3, № 2 (1968), 5—15.
221. Говоров В. Е., Производные радикалов модулей, Матем.
заметки 3, № 6 (1968), 633—642.
222. Скорнякова Л. А., Лекции по гомологической алгебре,
Матем. вестник 5 (1968), 71—113.
223. А1 i п J., Structure of torson modules, Doct. diss. Univ.
Nebr., 1957, 59 pp., Dissert. Abstrs. B28, Ni 7 (1968), 2925—
2926.
224. A 1 i n J., D i с k s о п S., Qoldie's torsion theory and its
derived functor. Pacif. J. Math. 24, (1968), 195-203.
225. Chew Kim Lin, Extensions of rings and modules. Doct.
diss. Univ. Brit. Columbia, 1965, 129 pp.. Dissert. Abstrs. 26
(1966), 4681.
226. Chew Kim Lin, Closure operations in the study of rings
of quotients. Bull Math. Soc. Nanyang Univ., 1965." 1—20.
227. Endler O., Modules and rings of fractions, Summa Bra-
sil Math. 4 (1959), 149-182.
228. Fiel d house D., Regular modules, Notice Amer. Math.
Soc. 15, N° 1 (1968), 139.
229. Fieldhouse D., Pure simple and indecomposable rings,
Notice Amer. Math. Soc. 15, № 2 (1968), 376.
230. Go 1 die A. W., Torsion free modules and rings, J. Algebra
I (1964), 268—287.
231. Q о 1 d i e A. W., A note on noncommutative localization, J.
Algebra 8 (1968), 41—44.
232. Q г i И t h Ph., A counterexample to a theorem of Chase,
Proc, Amer. Math. Soc. 19 (1968), 923—924.
233. Gross e P., Periodizitat der iterlerten Homomorphismen-
gruppen, Arch. Math. 16 (1965), 393—406.
234. Grosse P., Maximale periodische Klassen Abelscher Qrup-
pen. Math. Z. 94 (1966), 235—255.
235. Grosse P., Homomorphismen endlicher Ordnung, Ann.
Univ. scient. budapest., Sec. math. 10 (1967), 31—35.
236. Kat6 K, On Abelian groups every subgroup of which is
a neat subgroup, Comment. Math. Univ. St. Pauli IS
(1966/67), 117-118.
') Работы [220]—[254] добавлены при корректурах.
148

237. Kato Т., Torsionless modules, Tohoku Math. J. 20 (1968),
234—243.
238. Leeuwen L., Л note on a maximal periodic class of Abe-
lian groups, Arch. Math. 18 (1967), 571—576.
239. M i у a t а Т., Nolc on direct summands of modules, J. Math.
Kyoto Univ. 7 (1967), 65—69.
240. N u n к e R., Homology and direct sums of countable abelian
groups, Math. Z. 101 (1967), 182—212.
241. Nunke R., On the structure of Tor, II, Pacif. J. Math. 22,
(1967), 453—464.
242. R a d u N.. Module de 5-cotorsiune. An. Univ. Bucure?ti, Ser.
stiint. natur. Mat. mecan. 15 (1966), 25—32.
243. Rangaswamy К. М., Groups with special properties.
Proc. Nat. Insl. Sci. India, part A, 31 (1965), 513—526
(1966).
244. Rangaswamy K. M., Abelian groups with endomorphic
images of special types, J. Algebra в (1967), 271—280.
245. Richman F., Walker E.. Cotorsion free, an example
of relative injectivity, Math. Z. 102 (1967), 115—117.
246. Teply M., Torsionfree injectlve modules, Notice AMS 15,
№ 1 (1968), 188—189.
247. W u L., M о с h i z u к i H., Jans J., A characterization of
QF-3 rings, Nagoya Math. J. 27 (1966), 7—13.
248. В a 11 e г M. C. R., Classes of extensions of lorsion-free
modules, J. Lond. Malh. Soc. 44 (1969), 229—235.
249. Cohn P. M., Torsion modules over free ideal rings, Proc.
bond. Math Soc. 17 (1967). 577—599.
250. Colby R., Rulter E.. Semi-primary QF-3 rings, Nagoya
Math. J. 32 (1968), 253—258.
251. Dlab V., Distinguished submodules, J. Austral. Math. Soc. 8
(1968), 661—670
252. К e 11 e t J. M.. A torsion theory for modules over rings
-without Identity. Notice Amer. Math. Soc. 15 (1968), № 6. 910.
253. К г e i n d 1 e г E.. Sur les objects libres dans une calegorie
abelienne avec objects principaux, С. г. Acad sci. 266 (1968),
№ 5, A268—A270.
254 Vogel W., Torsionsfreie Moduln iibcr rinpm regularen Slel-
lonring, Monatsber. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin 9 (1967), 393—
395.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Вложение плотное 12
— if-плотное 65
Группа алгебраически
компактная 28, 29
— делимая 30
— локально серпантная 80
— почти локально сервантная
80
Группы серпаитио-эквипалент-
иые 79
Диаграмма замыкаемая 41
— Г-допустимая 41
Инъективная структура 11
плотная 12
полная .12
Замыкание чистоты инъекгив-
ное 34
проективное 37
Класс котреугольно чистый 23
— полупростой 83
— радикально-полупростой 92
— радикальный 83
— треугольно чистый 19
Кольцо иаростное 124
— частных двустороннее 107
левое 106
Кручение 81
— Голди 132
— тривиальное 81
Модуль без кручения в смысле
Басса 112
—, делимый в смысле Леви 127
—, Хаттори 127
150
Модуль, инъективиый
относительно гомоморфизма 10
— компактный 47
— конечно-связанный 18
— копроективный относительно
гомоморфизма 12
— локально свободный 105
^- подииъективный 16
— FtZ-чистын 38
— t-бэровский 98
— t-копериодический 95
— t-периодический 81
— г-полупростой 81
— г-радикальный 81
— r-расщепляемый ПО
— 8 инъективный 12
— Г-чистый 40
— 0-полный 114
— 0-редуцированный 119
— ю-делимый 30
— ю-инъектппный 28
— ш-плоский 30
— (0-проективный 28
Мопоинъективная структура 12
Мономорфизм (0-чистый 19
Нарост 124
Подмодуль дополнительный 76
— замкнутый 69
— проекционно-конечиый 48
— //-высокий 76
Покрытие 47
Пополнение 114
— аддитивное 117
— подинъективное 124
— правильное 114
— расширяемое 120
— точное 114
Пополнения равные 115

Радикал 81
— Иоффе 105
— Леви 105
— расщепляемый 111
Радикальный фильтр 12
Расширение t-существенное 65
Ретракт 10
Ретракция 10
Система проекционно-конечная
48
Сопряженная пара 4Я
Чистота 19
— абсолютная 20
— битреугольная 23
— инъективная 34
— инъективно замкнутая 34
— котреугольная 23
— нулевая 20
— проективная 37
— проективно замкнутая 37
— сервантная 20
— слабо-сер вантная 20
— треугольная 19
— универсальная 40
— циклически проективная 37
— циклически проективно
замкнутая 37
— % -высокая 78
— ©-факторная 71
— St-кофакторпая 74
Чистота г-кофакториая 97
— г -факторная 97
Элемент 5-периодический 65
Эпиморфизм ш-кочистый 22
2-пополнение 122
<?-чистота 59
%■чистота 68
г-радикал модуля 81
Г-чистота 40
ш-чистая точная
последовательность 20
(А : Ш), (Л : /), г (Я) 9
Z, С, Р, R 9, 56, 91, 122
Ф(@), 'Р(П) 10
г S , <= <= <=~ <=
ffl' ft/' Г' —•? —%' — ов<
su>bH 19> 38> 4°. 59, 68, 76
<©, <и 71, 74
ш Ext, t Ext 20, 96
$«. »«. Ф». ^ 19, 22, 33, 35
£ш. *ffl 28
(F\ U*) 48
Vs 65, 105.
гл> ги- rs> 5и- 5л 105
0 (Л), 5Н(Л) 114

Анна Петровна Мишина,
Лев Анатольевич Скорняков
Абслевы группы н модули
(Серия: «Современные проблемы математики»)
М.. I960 г., 152 стр. с илл.
Редактор Г. М. Цукерман
Техн. редактор А. А. Благовещенская
Корректор Л. Н. Боровика
Сдано в набор 6/V1II 1968 г. Подписано к
печати 30/1 I9G9 г. Бумага 84ХШ8'/а2. Фнэ. иеч.
л. 4.75. Условн, печ. л. 7,98. Уч.-изд. л. 7,42.
Тираж 7000 экз. Т-02632. Цена книги 47 кон.
Заказ ДЬ 1429
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Еигснин СоколовоЛ Глапполиграфкрома
Комитета по печати при Сонете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29.