Абелевы группы и модули: Сборник статей. Выпуск 11, 12 - Крылов П.А., Михалев А.В., Беккер И.Х.

Author: Крылов П.А. Михалев А.В. Беккер И.Х.
Tags: алгебра математика монография естественные науки абелевы группы теория групп
Year: 1994
Text
                    Тешкий государстввнянй университет
Издательств» f омокогв университета "

Абелевы группы и модуля: Сборник статей/Иод ред.А.В.Михалева.
Вып.11Д2.-Томек:Йзд-во Толе.ун-таtI99«*.-268 с^500 экз .1602040000.
Публикуются работы,относящиеся к проблемам теорий абелевых групп»
колец и модулей. Представлены такггэ направления, как абелевы группы
без кручения и их кольца эцдоморфизмоа,абелевы группу,близкие к
алгебраически квмпактным.радикалы колец, полугруппе вые
кольца,вопросы гомологической алгебры»
Зля научных работников,аспирантов,студентов,интересующихся
вопросами соврэтдонной алгебры.
Редакционная коллегия:А#В#и1ихалвв (ответственный редактор),
В.А.А£тамоко1:,И.Х.Бвккер (зам.ответственного редактора),С.Ф.
Коз^ов,ПД.1фшюв$Л.Я.#И1шш,Ю^^
Фошш
Рецензент - С.К.Рооооек
(§) Томский государственны:! университет ;199Ц

. АЕЕЛЕШ ГРУПГО ЕЮ КРУЧЫШЯ,
БЛИЗКИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКИ КаЛШГОШ
И.Х. Ьеккер, П.А, Крыло», АЛ Чехлсв
Известно значение инъектидных объектов при изучении категорий
модулей. Плодотворными оказались различные обобщения понятия инъек-
. тивности, связанные с требованием сущэслэования у абелевой группы
(модуля) достаточного запаса эндоморфизмов. Так, фундаментальную
' роль в теории абелевых групп м других разделах математики играют
алгебраически компактные группы. Их открыл И„ Капланский, занимаясь
проблемой описания алгебраического строения компактных абелевых
групп; Класс алгебраически компактных абелевых груш совпадает с
классом сервантно инъективных групп, т.е. групп, инъективных
относительно всех сервантно точных последовательностей абелевых групп.
Сервантно инъективные группы применяются при решении многих задач
теории групп, они допускают рядЧихрактеризаций алгебраического,
топологического, гомологического характера. lix строение полностью
известно. Естественным обобщением сервантно инъективных групп являют-
- ся квазисёрвантно инъективнье группы (кратко #ЙГ-группы) » т.е.
такие группы. 6 , что всякий гомоморфизм А -*■ 6 , где 4 - серван-
тная подгруппа в в , можно продолжить до эндоморфизма группы G .
Изучение QPf-гттщ заявлено как проблема I? в книге Л. Фукса [22] .
Периодическая <3^-группа характеризуется тем, что любая прммарная
компонента её редуцированной части есть периодически полная
(замкнутая) группа. Таким образом» строение периодических fi^Z-групп
*' известно. Так как группы без кручения мало изучены, то особый
интерес вызывает исследование ДО/-групп без кручения. Усилиями ряда
математиков здесь был достигнут сначательный прогресс. Что касается
смешанных фЯГ-групп, то .работа Ю.Б. Добрусииа [б] показывает, что
даже изучение расщепляющихся смешанных фЯГ-групп весьма затруднено.
К <?$Г-групяам при?*ыкают тая называемые QlCfPT груспш * CS -группы,
3

введенные и рассматривавшиеся А Р. Чехловым/ . щ
Сервантно иньективные и кваэисервантно иньективные абелевы 1
группы - это непосредственное обобщение инъективных групп» С другой щ
стороны* давно были известны транзитивные и вполне транзитивные мо- '* 1
дуди над полным кольцом дискретного нормирования, введенные И» Кап* ' I
ланскям в Ю!иге [ 52] * Эти модули обладают достаточно большим числом 1
эндоморфизмов. Наибольшее внимание привлекали (вполне) транзитивные 1
примерные абелевы группы. В 1973 i\ Л.А. Крылов перенес определение I
Капланского (вполне) транзитивного модуля на абелевы группы без кру- _ Ц
ченил. Затем в работах разных авторов естественным образом были 1
предложены определения произвольной транзитивной н вполне транзитов- 1
ной абелевой группы/Они формулируются в терминах высотных матриц ; 1
элементов группы» так что в примерном случае можно ограничиться вы- .:' 1
сотными последовательностями, а в случае.без кручения - характерид- I
тиками элементов; Квазисервантно ииъективнке группы являются вполне 1
транзитивными. Однако последних групп намного больше, чем ^?ЛГ-групп. I
~ Например, вполне транзитивными будут однородные сепарабельнне группы. 1
Кроме того» многие подклассы вполне транзитивных групп оказываются . 1
весьма широкими и состоящими,, из групп/ранее не рассматривавшихся. \ Я
Если. ещё.учесть, что вполне транзитивные группы без кручения допус- , I
кают содержательное'изучение, то становится понятной целесообразность I
их изучения* Отметим,; что однородные транзитивные грушш-это в-точ- I
ности сильно однородные группы. Под таким названием однородные :*ран- I
зитивныел^руппы изучались давно. '" V-У*"•';^V.-vV. Н; >г •: 1
В этой работе мы даем обзор результатов о; 5ЙГтрруцпаас#QC&T- '■:•: 1
группах; С5 -группахбез кручения и (вполне) транзитивных группах >_ / I
без круче.кия^под^енных-к настоягпрму времени..Расфлатриваются также \ У I
некоторые^примыкающие вопроса., Основное внимание удеwor проблеме :\ ;; 1
строения этих групп. Таким образом^мы не .затрагиваем примерный cjjy- ^ I
чай, не обозреваем также"исследования &3; Гриншпона./и, B.Kv Мисякова: щ
по-смешанным вполне^транзитивным группа^* Jle рассматриваем ^aiqta st?c ; J I
результаты о вполне характеристически^ ч Я
произведениях вполне транзитивных,групп ;бёэ кручения/; Они facjr/жйва-1> ; я
ют отдельного, обзора. 3 выборе темы обзора безусловно сказались вку-: ;/; 1
сы авторов.. >г- * -- ''■- v.; /у.,'-у.,Л"'.~.->л'-/*'•*.. /':,<:.V-,,v.V;/->Ч •;~;';- ■■[ Я
Всё рассматриваемые ьф^альегр^хгАУу^^ьЦщ Трупповад термин/ ; 1
нология.и обозначения соответствуют 122] \ Так;* если $'- !групяа;-£ез .. 1
кручения;,"/)-простое чксло//то А^ С£) у^Рг]№*№/91£ф (О) ^ ха-/ 1
рактерйстика, £§ (O)-wn элементаd ь группе^<? . Индекс 6/иног- '/; 1
да опускается. Далее,' ~*Т($У * множество типов всех/ненулевых эле--"V Щ

ментов абеловой группы G без" кручения. Группа G без кручения, все
ненулевые элементы которой имеют один к тот же тип, называется
однородной. Этот общий тип называется типом однородной группы G и
обозначается t(S) . Тип называется ццемпотентным, лзсли он содержит
характеристику, состоящую из О и ** . <H>Jf ^'сервантная
подгруппа в группе G , порожденная ее подмножеством //* , р &- П р 6
я*4*
Если £- группа без кручения, Х- .-характеристика, то GiZ^^igeG}
%(£)>&}. ' E(G) -^кольцо ондоморзизыов группы G , %р (67-
её 0-ранг,^е. ранг фактор-группы G/pG } р - простое число,
/7(G) - множество всех простых чисел р со свойством pG f 6 , £~
кольцо целых чисел, Q - поле рациональных чисел, Н -
множество, натуральных чис^л, Q^ --.кольцо или группа целых />-адичес-
ких чисел, L® А - прямая сумма Ж копий группы А , Ж - кар-
динал. ' ;
Будем говорить, что груша £ без "ручення квазисодержится в
группе Н без кручения f^S//) , если tlG £ Н для некоторого -
Л€*уУ ; группа # квазираяна-группе ff (G =*Н *) , еслй^?^^ и
//S# ; грунпа# квазиизоморфна группе H(G**H) , если
существуют подгруппы fi и Н* к такие Н,}теМ , что tiG^G9jjnHGH'Q
S #~ и G & H \ Под (конечным) квазиразложением группы £ с^з
кручения понимается семейство групп Л/ (is/,...-,Л) таких, что,£» -
*2Г" Л^ . При этом группы At называются квазислагаемыми группы G -.
Группа G называется сильно неразложимой, если она не обладает
нетривиальными квазиразложениями. Группа G без кручения называется
квазиоднородной, если Л(Н)*П(6)для любой её ненулевой сервантной-
подгруппы //-; связной, если все её «фактор-группы по ненулевым сер-
вантным подгруппам делимы. Кольцо R называется £ -кольцом (см. § 4)у
если всякий эндоморфизм его аддитивной группы R совпадает с
умножением кольца R слева на некоторый элемент из Я . Сервантные зпол-.
не характеристические подгруппы будем кратко называть pfl
.-подгруппами! ' - .' ' у ' \ ' '
§ I. Квазирервантно инъективнке аболевл группы
Абелева группа G называется квазисервантно ииъективной
(сокращенно ##Г-грулпойу, если всякий гомоморфизм A ->G любой её
серванткой подгруппы А продолжается до эндоморфизма G . Q&I -
группы являются естественным-обобщением Ъ'ервантно инъективных
(алгебраически компактных) групп; Актуальность исследования свойств
OW-групп подчеркнута проблемой .'17. в t2Z] . ^#£"-гругшам поезя-.

щек цикл работ ряда авторов [4-6, 16-17, 31-32, 36-37, 40-41, 44-4б]
и др.» а также сбэоры [2l] . ч
Периодические #Я£группн характеризуются тем, что их
редуцированная часть есть периодически полная группа [4, 44, 4б] ♦
Изучение ЯЙР-групп без кручения оказалось связанным с
изучением кллссов групп, близких к #ЯГ-группам - сильно однородных,
транзитивных и вполне транзитивных групп без кручения (определения
зтих групп см» в § 4) . Используя инъективность делимых групп,
нетрудно показать, что изучение ЙЙГ-групп сводится к редуцированному
случаю» Б [4, 5] изучались #ЯГ-группы, принадлежащие классу X
групп - классу всех.редуцированных групп без кручения, укоторых
тип каждого ненулевого элемента меньше или равен некоторому
максимальному типу в множестве типов всех ненулевых элементов группы.
Класс X довольно широк. В него входят все редуцированные
однородные группы без кручения, все редуцированные группы без кручения
конечного ранга, все редуцированные алгебраически -компактные группы
и др. В частности^ в [4] получено описание ДЙГ-групп в следующих
классах групп без кручения: сепарабельных, векторньс . однородных и
групп конечного ранга. \ Независимо для вполне разложимых йЯГ-групп
без. кручения это было сделано в [45] , а для йЙГ-групп без
кручения конечного ранга - в [40] • Б [5] было завершено структурное
описание ^ЗЙГ-групп из класса X . В [lo] построен первый пример -
QPI-ryynm+ не обладающей ненулевыми элементами максимального
типа. В \jH\ изу^-чись. 5ЯГ-группы с циклическими р -базисными
подгруппами. В [3iJ показано, что абелева редуцированная группа^беэ
кручения является бЯ^-группой тогда и только тогда, когда она пре-
дставима в виде сервантной вполне характеристической межпрямой сум-
ми некоторого семейства однозначно определяемых квазиоднородных Q91-
групп, каждая из которых -г однородная группа или такая группа, все
сервантные подгруппы которой сильно неразложимы, в частности,
мощность её не превосходит мопдеости' континуума. В [32, Зб]
охарактеризованы Д#/^группк без кручения, все ненулевые эндоморфизмы
которых - мономорфизмы. В [37] показано, что редуцированная квааиодно-
родная Q&I-группа, множество типов всех ненулевых элементов
которой содержит максимальные элементы, лежит в классе £ •
Расцепляющиеся вР1-группы исследовались в [б] .
Перейдем к формулировке результатор. -
. , ТЬОРЙлА Ы Dj. Однородная группа/ является Q9I -группой
тзгда и только тогда, когда А - алгебраически компактна или
А =6 Ф^й f где & - группа ранга I того же тигш, что и группа
6

А)П,€Нj R - ассоциативное кольцо, о I, в котором любой элемент
есть целое кратное обратимого, #r &R )^ X , все сервантные под- .
группы 6 Ф R сильно неразложимы и,если Л&2 , то R
вкладывается в кольцо Qp как у0-сервантное подкольцо, содержащее I, при
любом р€П(А).
Как оказалось, всякая редуцированная АЛ/*-группа без кручения
содержит прямое слагаемое, все сервантные подгруппы которого сильно
неразложимы. Для ##Г-групп из X это доказано в [4 3 . В общем
случав #ЛГ-групп без кручения это установлено в £зх] . Отметим,
что сервантно неразложимая группа без кручения имеет мощность, не
превосходящую мощность- континуума [22] .
ТЕОГЗАА 1.2. [5, 8] . Для группы А&Х с сильно неразложимыми
сервантными подгруппами следующие утверждения эквивалентны:
1) А есть -группа;
2) А - -вполне транзитивная группа, множество типов всех
ненулевых элементов которой удовлетворяет условию максимальности;
3) А - транзитивная группа, тип любого ненулевого элемента^
которой максимален в множестве типов всех ее ненулевых элементов;
4) типы ненулевых элементов// максимальны в множестве типов
всех её ненулевых элементов, каждый эндоморфизм группы А есть
целое кратное её автоморфизма и для характеристики X любого
ненулевого элемента А аддитивная группа £(А*)* изоморфна А(Х) ;
5} А жваэиоднородна и существует область Целостности Я
характеристики нуль такая, что все элементы Я являются целыми
кратными обратимых, Л1Я)яЛ(А) и А является таким модулем без кручения
над кольцом R , что любые два линейно независимых над R элемеита А
имеют в группе А несравнимые тшш.
Следующие два результата описывают ^/-группы среди прямых
сумм (произведений) групп из теоремы 1.2.
4 TElCFiSMA 1.3 [b] ♦ Пусть А *£е Ai , где Aj(X и все
сервантные подгруппы Ai сильно неразложимы ( i€l) . Группа А является
<?АГ-группой тогда и только тогда, когда ^My^f 6j , где
n(Gpnn(6^*#(j*xjft€j)b^wGj является
^/-группой из X с сильно неразложимыми серия птными подгруппами или
конечной прямой суммой изоморфных^ однородных связных ^/-групп.
ТЕСРШ 1.4 [4] ♦ Цусть А^ПА^ , где А[€% и все сервантные
подгруппы A'L сильно неразложимы (&£) . Группа А является #^Tj
рруппой тогда и только тогда, когда ^9D%^j % где П(6рЛП(6к)*Ф
(jt*,j,#$)*i каждая Gj есть либо. Q?I-группа из X с сильно
неразложимыми сервантными подгруппами, либо конечное прямое произвела*
?

ние йзоморфншс однородных связных . фЯТ-групп, либо прямое произ*
ведение групп CfT при, некотором простом р . :
Все вполне разложимые редуцированные - QPI -группы без
кручения и редуцированные (?ЛГ-грушш без кручения конечного ранга
описываются теоремой 1.3, Сепарабелыше ##Г-группы без кручения
вполне разложимы \а\ • Частным случаем групп из теоремы 1.4.являют- .'-
ся редуцированные векторные группы без кручения. Для иллюстрации
приведем описание вполне разложимых и векторных ^ЙГ-групп без кру-.
чения. _ ';. : {.,'
СЛЕДСТВИЕ 1.5 [4J. Цусть редуцированная группа А* П A-t
(А*Л А^) $ где А} - прямое произведение (прямая сумма) групп
без кручения,ранга I типа jf£- . Группа'^ является Q9I-группой
тогда столько тогда, когда ПЩ) flflCAj) * ft (it/, l,j§I)n рангЛ-
конечен для каащогс^'б'/ . \ \: ' .'"• У
Основным результатом [б] является описание ##Г-групп из
класса ^? V * ' " ."' ' ;"' '.. t '•: ' * - -
ТЕСГШ 1.6 [б] . Группа А€£ является CfPl -группой тогда
и только тогда*- когда.^f Ai.s A £ /ZAi *S , где А - pft -
подгруппа в Sf /КА^У/ЮСА^У^у (ify'f ij€l) и каждая Ai является .
либо однородней #$Г-груйпо*;, либо #ЯГ„-группои из 4? .с сильно,
нераэло&имыми сервантными подгруппами. """V / :
Ъльнейшее продвижение в исследовании/ #ЯГ-групп без кроения
было осуществлено в-[Г6-17, 31 -32v 36-37] . В [id] впервые приведен _
пример ДЯГ-группы, :йе принадлежали, классу сР; . .
TEOPKv'iA 1.7 [l6J .-Существует счётная -группа, yf без кручения,
' имеющая следующие свойства:' *~ " "У' v; - -
I) А есть аддитивная группа некоторого £ -кольца,
являющегося коммутативной областью целостности;. v
2)" А - связная транзитивная и ЙЙГ-групла;
3) множество типов всех ненулевых олементо^групгш А ' щ имеет
максимальных, элементов. ' \- г -' / .'"",.
.Основным результатом [l7J яьляется' -, \? /' ''
ТЕОРШ I.B U7] ^ Редуцированнаягруппа Л ''без-круи<шия.с
циклическими А -базиеннми подррутшами является ##^-группой тогда"
и только тогда, жггл£ AjGASfflj SS , где Л - />А '-подгруп-
1с* • " . *—^ - ^ #
па в $,/r(Ai)n{7(A;) = 0 (ity',t,j€l) и каждая ^ яалявгод сеязной
#ЛГ-группой; ; ; ' _ ~. '..;, \ -, *
Следующий результат Обобщает теореш Г.6;. 1.8. ,.
ТЕОРЕМА 1*У (31] •-. I) Редуцировакная группа А без--кручения >

является ЛЛГ-группой тогда и только тогда» когда она предстаадма
в виде2£ ^£/4*^7^*5 , где А - pfi -подгруппа в£ 9 П -
некоторое множество различных простых чисел, (1(Ар)Л1ЦЛф)яФ(рЩ1<)€П)9
& Ар - квазиоднородные #^-группы.
2) Всякая квазиоднородная <?ЛГ-группа однородна или является
группой с сильно неразложимыми сервантными подгруппами.
Так как сервантно неразложимые группы без кручен *я имеют
мощность, не превосходящую мощность континуума, то из теорем 1.1, 1.9
следует, что всякая редуцированная кваэйодноррдная ДОГ-группа
мощности больше мощности континуума является однородной сервантно
инъективной группой. В редуцированной кваэиоднородной QPl -группе,
не принадлежащей X , все серпантине подгруппы сильно неразложимы»
. Чтобы сформулировать дальнейшие результаты, условимся говорить,
что кольцо Я обладает свойством (#) , ее* Я - коммутативная
область целостности, фактор-кольца Я/рЯ - области целостности для
bC6xP€fl(fi) , а Я* _- равуциодваиная кваэиодиородная группа. В § б
(16 J показано, что RmWa^Kia98€RfXfit<ay^X^(lly}
- такое подкольцо в поле частных Я кольца. I со свойством («) ,
что а * - вполне транзитивная и транзитивная группа.
ТЕОРЕМА 1Л0 [32, Зб] . Пусть А - редуцированная группа без
кручения, все ненулевые эндоморфизмы которой - мономорфизмы» Тогда
следующие уоловия эквивалентны:
1) А есть -группа;
2) А - вполне транзитивная группа, у которой все ненулевые
гомоморфизмы 6 -+А , где 6 - сервантная подгруппа в А ,
являются мономорфизмами;
3) все ненулевые гомоморфизмы £*М , где S -сервантная
подгруппа в А , являются мономорфизмами для любых <f€ Е(А)9р€/1(АУ%
если Ф повывает р -высот/ некоторого елемента группы А , то
f€pS(A)9 для характеристики # любого ненуле*' '.го елемента А
имеет место изоморфизм Е(А)* * А(%) р Е(А) - кольцо со
свойством <*) ж£(Л)*£<ЛУ% ,
4) все ненулевые гомоморфизмы. £ ~*А , где $ - сервантная
подгруппа э А , являются мономорфизмами, на А можно задать модуль
без кручения над таким Е -кольцом Я со свойством С*) , что
, для характеристики £ любого ненулевого
елемента Л имеет.место изомо^нэм Я* *А(Х) и любые два линейно
независимых над R елемента модуля А имеют несравнимые типы»
. Для всякой связной группы А группа ЕСАУ также связна, а
Е(А') есть Е -кольцо со свойством (*) . Поэтому справедливо

СЛЕДСТВИЕ I, II [32к 36] • Для редуцированной связной группы/f
эквивалентны следуюпвю условия:
1) А есть £ЛГ-группа;
2) А - вполне транзитивная группа;
3) для характеристики £ любого ненулевого элемента А имеет
место изоморфизм Е(А)*=А(Х)ъ Е(А)*Ш);
4) на Л можно задать модель без вручения "над таким кольцом Л\
что # • связная группе, R~R 9Л(А)ЯЛ(/?) и любые два линейно не-
завискюог над # элемента модуля А имеют несравнимые типы*
Дополнительно в свойствам ##f -групп^без кручения,
приведенных виде,, отметим еще, что.всё pfi-подгруппы вполне транзитивной
группы Л без кручения (в частности, QPI -группы без кручения)
имеют вид <J£Att)$ t где T*T(A\A(t)*taeAUA(a)>t) , а все
вполне характеристические подгруппы исчерпываются подгруппами, по-
рожденкнми(/ A(Z) , где Л** - некоторое множество характеристик .
элементов в группе А „ в редуцированных вполне транзитивных
группах без кручения можно выделить подмножества» на которых вполне
определяются гомоморфизмы этих групп в группы без кручения.
ЛЕЖА 1Л2 [о} . Пусть А - редуцированная вполне
транзитивная группа без кручения. Бели группа £ без кручения такова, что
доя 1иждо1Ч1^Л&}найдет0яуК^^^^со свойством d*fl", то каждый го-
момс %из*А ш$ полностью определяется своим действием на|£.Л^) »
Бодгруппы Ал редуцированной &^Г-грушш А без кручения
определяются Л однозначна (теорема 1.9) . Если каждая её такая под,г-
руппа^ однородна иди является группой, все ненулевые
эндоморфизмы которой - мономорфизмы, г&А- транзитивна. Все Q&I -группы
мз«Г таковы (теоремы 1*6, 1.2) . Поэтому* в частности, «ЛГ-группы
шХ транзитйвны £б] . Подгруппы^ #$Г-группыА из теорема.1.9,.
будем называть её квазиоднородиыми жомпонендюми, ,
Редуцированная $ЙГ-грушщЛ без кручения такая, 4To/f>2 ф /
л' - * " -' *
где «г/ - группы с сильно неразложимой сервантными подгруппами,
обладает свойством, что любое её прямое разложение можно
продолжить до разложения в npfciyio сумму групп с сильно неразложимыми
сервантными подгруппами, причем любые два. такие прямые разложения
А изоморфны. В случае, когдавсе&i €Xt это свойство доказано в [b].
Если 6 - разложимая одноропкая #ЯГ-группа, то£ сервантно
инъектквна, или £-2» А , гдеЛ*тУ,4 - связная транзитивная груп-
na,/t-t'(А)*£ д»я каждогбреЖА). Отметим, что если Л - однород-
10

нал транзитивная (сильно однородная) группа без кручения, то
&*£® А , где *#&- - произвольное кардинальное число, также яв-
ляется однородной транзитивной группой,свойства таких групп во
многом напоминают свойства однородных вполне разложимых групп
(см, § 4) . (
Подклассом класса^ групп являются все редуцированные
группы Л без кручения, у которых множество ПА) удовлетворяет условию
обрыва возрастающих цепей элементов. Интересным свойством QPl -
трупп из этого подкласса является такое свойство, что они
раскладываются в прямую сумму всех своих различных квазиоднородынх
компонент [b] . / ч
До сих пор неизвестно, существуют ли редуцированные кваэиод-
нородные 6$Г-группы с сильна неразложимыми сервантными
подгруппами, не все ненулевые эндоморфизмы которых являются мокоморфиз-
., мами. Бели они существуют, то их характеризация (в противном
случае - доказательство их несуществования) завершит решение задачи
описания ##Г-гру1ш;бсз кручения*
. ВОПРОС. Существуют ли кваэиоднородные <?ЯГ-группы с сильно
неразложимыми сервантными подгруппами, имеющие ненулевые
эндоморфизмы с ненулевыми ядрами?
. В [б«] изучается вопрос о Том, когда,прямая сумма #2£*групп
А и Г , где А - без кручения, Т - периодическая группа, будет
##Г-группой. Получен следующий критерий.*
ПРВДОйЕНЙЕ I.-I3 [б] . Пусть А есть *?#Г-группа без
кручения, Т - периодическая ф#Г-группа. Группа^©/ является<
группой тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм всякой
сервантной подгруппы А в группу Т может быть продолжен до
гомоморфизма А ъТ .
С помощью этого предложения в [б J получены следующие
результаты (напомним, что редуцированная периодическая группа является.
#ЛГ-грунпой тогда и только тогда, когда она-периодически полна).
ТЕСРША i.i4 [б].,Пусть Т - периодически полная группа,Л
есть <5$Г-группа без кручения и- множество fl(T%,flfl(Aj конечно.
Группа А Ф Г является (*ЙГ-группой тогда и только тогда, когда
выполняется условие: СО ;/>-компонента группы Т ограничена для
всех тех простых чисел/> , для которых ,р -ранг А бесконечен.
ТЕОРЕМА I.I5 [б] . Для периодически полной группы/" и
редуцированной #Л£гругашЛ без кручения справедливы утверждения:
I) если А репарабельна, ъоАФГ является Q&f -группой;
11
% \

' 2) есла А алгебраически компактна, то А ® Т является #^Г-
группой тогда и только тогда, когда множество
конечно .и выполнено условие (/) теорем*' 1ДЗ. ' /
Выяснено также, когда АФТ будет ч*Р1 -группой в случаях,
если А есть фЯГ-группа из X -, все неразложимые квазиоднород-
ные компоненты которой связны; если А - векторная группа и др.
§2. ^CfCtPl^ J-группы и CS -группы
Существенным для ряда разделов теории абелевых групп является
топологически? подход к рассмотрению различного рода задач этой
теории. Среди топологий, вводимых в абелевых группах, важными
являются Я -адическая и /?-адическая топологии. Редуцированные
алгебраически компактные группы и только они являются полными в их Я -
адической топологииI Одним из характеристических свойств
периодически полных групп является такое свойство, что замыкания в Я - /
адической топологии юс сервантных подгрупп выделяются •прямыми
слагаемыми в исходных Группах., Алгебраически компактные группы также
обладают этим свойством.
Абелеву группу А назовем QC!PI -группой, если* всякий
гомоморфизм каждой замкнутой в Я -адической топологии сервантной
подгруппы' группы А в саму группу продолжается до эндоморфизма А »
Подкласс в классе QGPI -групп образуют группы, в которых все
замкнутые в Я -адической топологии серванткые подгруппы выделяются
прямыми слагаемыми. Такге группы.назовем CS -группами.
Все QL&I-группы содержатся в классе QCIPI -групп. Класс С$'~
групп без кручения совпадает с классом абелевых групп без кручения,
в которых ядра эпиморфизмов в редуцированные группы без кручения
выделяются в исходных группах .прямыми слагаемыми. Алгебраически
компактные группы л периодически полные группы являются CS
-группами. К CS -группам относятся связные группы*, а также группы, в
которгч дополняемы все сервантные. подгруппы (последние группы
описаны в [23]). ^
Используя инъективность делимых групп, нетрудно показать, что
изучение QC$I -групп и тгрупп сводится к редуцированному
случаю. Эти группы введены и изучались в работах [24-30, 33-36 ] .
Основные результаты получены для групп без кручения. .
В исследовании
QC9I -групп и CS -групп без кручения
существенно использовались понятия ft -характеристики, [9 J и ft -типа J2£J
элемента группы без кручения, не имеющей ненулевых элементов
бесконечной р -высоты для данного простого числа ft (класс всех таких
абелевых групп обл'шачим через Rp ). Важным свойством y0-Tvna
12 '

7
является способность различать элементы с равными типами. Введем
эти понятия, EonnCteAefip, fatt0+%jf>+—.£-Q^ , то черезj»
обозначим элемент группы А , являющийся пределом в р ^адической
топологии последовательности JA(!>)&(i *09ty t где S^C^y есть
Л,-я частичная сумма числа J? '..Следуя Г9J , р •характеристикой
элемента й€А назовем множество Нр(&)* (f€ Qpl№ определено} •
Если а^А\рА yASRp и lp(A)sf , то любой о€А представим
в тдр*£*£й, для некоторого ]?£ Qp , кроме того, для любого-,
такого, что , существует гомоморфизм
flA*+6 со свойством /(&)*£ [9 J . Поскольку для любого Ot&GA
замыкание <&>f в р -адической топологии подгруппы <&># является
сервантной подгруппой в А р -ранга I, то из вышесказанного
следует» что QC$I -группа А€&р облад&ет следующим свойством: для
любых ее элементов #>^ условия Др(&}*Ар Со) и Нр(й)**Нр (о)
влекут существование feJF(A) со свойством J?(Ct)*6 . Группы с
последним свойством рассматривались в [25 J . ,Цве />-характеристики
HjrHi назовем эквивалентными; если существуют Н^пчеМ такие,
что Л Hji*HztJnHgGHi . Класс Эквивалентности в множестве р
-характеристик назовем р-типом [25 ] . р~тт элемента ДеА^Рробоо-
на^им через tp (&) • На множестве всех р -типов можно ввести
отношение частичного порядка: If&Tg означает,что существуют р
-характеристики Hj€ ?jpfy€?£ такие, что riffjCffg дош некоторого/^// *
Поэтому если , то существуют
fc€ti и гомоморфизм(:Ъй>~^-*<о>^ со свойством В
частности, для типов этих элементов имеем i^(u)^t^(Sl, Группу из Яр
назовем р -однородной, если все её ненулевые элементы имеют один
и тот же /J-тип.
a) QC&I -группы,
ТЕОРЕМА. 2.1 [зо] •. Если А есть QC&I -группа без кручения,
то для любого простого числа р £в фактор-груп.л А/р А квази-
однородна. г . ' • ' ' -
ЖРЕЙА 2.2 130 J. Всякая редуцированная* #^!Г-грулпа А
без кручения является сервантной подпря*6эй. суммой некоторых с точ-
,нос^ью до изоморфизма однозначно'определяемых группой А квазиод-
нородных групп HpGRp(p€/7), где /7 - некоторое множество
различных простых чисел р .
СЛВДРТЗИЕ 2.3 Гзо] . Цусть А - редуцированная UCSI-группа

без кручения такая, что Л(А/р А)*(р} для любого p€fl(A) 0 Тогда
$*Jfn Ар**А^ЛдНр *£ , где*? и А - - сервантные и плотные
подгруппы в А и 3 соответственно, /7 - некоторое множество
различных простых чисел, Ар * Нр€Йр , Ар*Нр и П(Ар)Чр).
ШРШ 2.4 [30] • Редуцированная QC9I -группа А без круче-\
ния содержит сервантную неплотную подгруппуЖ® Ар такую, что
П(Ар)ЛА(АуУ*0 иръ p+Cj, ; где /7 - некоторое множество различных
простых чисел, Ар - квазиоднородные замкнутые в % *адидес|с<>й ?о«
пологий подгруппы в А .
ПРШР [30] . Существует такая ($$>% -гдгппа. 4 беа кручена,
что/*£ ^Р^^Лп^Р " t где^ и <^0 - такце же, как в
теореме 2.4, /7 - бесконечное множество различных простых чисел, Ар ~
связные группы (р€/7) t причем А не является ни Q&J-группой,
ни CS -группой.
Перейдем к квазиоднородным QC&I -группам. Сначала отметим
следующий интересный факт. " *
ПРЩОШ1Ш 2.5 [25] . Цусть AtRp есть #Д£Г/-группа *ОЫ~
её элемент максимального р -типа Тр(*У*Т # Тогда Alt) *{й£А\
Tp(a)*Z] - однородная вполне транзитивная группа.
Цусть Jtp - класс всех групп A€Rp таких, что для каждого 0*й€А
найдется 0*6£А 9 зависящий от CL , со свойством %л (&)*Т* (в)
где ?#(*) - максимальный элемент в множестве р -типов всех
ненулевых элементов А . Поскольку для элементов 0*&4t&£,...€A€fip
таких, что Tp(&f)<-tp (йг)<.,. t следует их линейная независимость,
то все группы из Яр конечнбго ранга содержатся й £р . Если#Мр^>*
то />-тип# в группе <&>* (замыкание в I -адической топологии
подгруппы *&># ) будем называть его квази р -типом в группе 4 ,
ТЕОРЕМА 2.6 [34] . Следующие свойства группы А€Мл
эквивалентны: -
1) А есть. #££Г-группа из Хр с сильно неразложимыми сер*
вантными замкнутыми в р -адической топологии подгруппами;
2) все сервантные замкнутые в Л -адической тоиологиц подгрупп
лы в А сильно неразложимы, существует такое кольцо >? с единицей,
что все его идеалы исчерпываются идеалами В1<ца f&Ql**&At$... }
П(8)?Л(А) и на А можно задать 8 -модуль без кручения, любые два
линеьно независимые над Я элемента которого имеют несравнимые
квази р -типы в А .
Ш)РШ 2Л [?Л] . Группа А€Хр конечного р -ранга является
14

QCtI -группой тогда и только тогда, когда А - такая группа,
как в теореме 2.6, или А - однородная разложимая Q&% -группа
конечного р -ранга. >
TEOPfaMA 2*6 [35] • Дусть AtRp есть $&rl -группа такая, что
xAs6&£9 где 0*3,6 - сервантные подгруппы в А , X€Af # Тогда
И -' *
ъЪЛк%>*Ър(&)>£ ° , то А содержит алгебраически компактное
прямое слагаемое р -ранга Ж , где М ^Ц и fft^t^iS) .
ТЬХРЕМА 2.9 [35} . Пусть А*вФ$€## есть #УГ -группа»
Тогда если £ - алгебраически компактная группа» то fl(A)*{p}fA
содержит плотную сервантную подгруппу, являющуюся Qp -модулем, причем
всякая фс-лтор-группа гру!пш 6 иь Яр р -ранга Atpt8)*ft
алгебраически компактна, Q содержит алгебраически компактное прямое
слагаемое р-ранга ft . В частности, если &*t a и всякая счетная
подгруппа из 5 содержится в эндомор Jhom образе $ р -ранга * ft ' 9
то А алгебраически компактна»
Полученные результаты позволяют полностью описать QC&I -
; группы из ряда классов групп без кручения* Приведем некоторые из
них. .
ТЕОРЕМА 2.10 [35]-; Пусть А*#р есть $Ш -группа и
КА^ЙА^А i где /rtfjif ♦ jt( » сервантные подгруппы *А ♦
t€Z * ft
Тогда если для каждого it* tptAf) *^GL|«j^ ) » то ^
алгебраически компактна» ^ ^
Т£0РШ 2Л1 [34 ) ь Црт*> А-$ Afify » где Ш*#0 иди
каждая ^£. - такая группа> что лю6@й её Элемент содержится в прямом
слагаемом» являющемся прямым произведши -4 неразложимых групп,
причем хотя бы одна группа А( имеет Ненулевой .элемент максимального
р -типа| или вс« А{ cyfb ^-однородные группы. А является
(?£^/ -группой тогда й только тогда.* когда А **«£• Q л •
ШРй«!А 2*12 [291 34] v Ре^цированная группа А без кручения
конечного ранга является QCPI -группой тогда И только тогда,
когда Л*1®/*£ • где Ш< )ЛПЩ - 0 ft'V> V4./> Л* суть
^"ЗГ -группы из некоторых классов &р; (теорема 2#?) .
ТЕОРЕМА 2ЛЗ [34] * Цусть Л *§®*i <Я«^ «*/ > . v»Afifa >
все се{>вайтные замкнутые в £ -адической топологии подгруппы в Ai
сильно неразложимые А является QC&I -группой тогда и только
тогда* когда A *£®Aj (А *А Ар > где AjЖ£ФА1 * Яр.
15

причем йрй tl:l <&aA; есть QGPT -группа,, описанйая в теореме 2.7,
Частными случаями групп, рассматриваемых в теореме 2ЛЗ,
являются редуцированные вполне разложимые и векторные QCfiJ -группы
.без кручения ( QCPI -группы из этих двух классов групп являются^
(№1 -группами) '. Из полученных результатов вытекает описание ^
QC&I -групп и в ряде других классов групп. Так* можно показать,^
что хсепарабельные QC&I-группы без кручения вполне разложимы. .<
Приведем примеры групп, иллюстрирующие различия между
изучаемыми классами групп» Обозначим через R - некоторое множество
различных простых чисел. _ . • -< ,
ПРЩ2РН. I) Цусть А - однородная редуцированная вполне
разложимая группа без кручения. Тргда А вполне транзитивна* А является
QC&I -группой ( CffI-группой, CS ^группой) тогда и только*
тогда, когда рант А конечен. #
^2) Цусть Ар - серзантная подгруппа в flL такая, Ч!о1йр/Ар\<
<£ ° . Тогда Л^А0 к А Ар являются CS «-группами, но они не
реп Р р*П Г /ЗФТ
вполне транзитивнм и, следовательно, не чг" -группы.
3) lfyoTbAp*£eQp , где Яр. * карлдаальные числа (p€ft). .
Тогда А ?2Г Ар (A "ft Ар) являемся вполне транзитивной: /
группой; А, является CS -группой, Q&PX* -группой тогда и только
тогда, когда Ир*&0 для каждого p€fl \ А является ##Г-груп-
пой тогда и только тогда,, когда Я <Л^ для каждого рвП . • ~; . .
б) CS -Группы J ; Ч
Получена следующая структурная -;
ТЁОРЕ&А ,2.14 [28],. Редуцированная группа А без кручения
является CS -группой тогда и только^ тогда, когда она представима
в виде £-Ар в А в П Ар ^Л ; f где7' А - сёрвантн^я подгруп- -
па в 5 , инвариантная относительно её проекций, /7 - некоторое
множество различных простых "чисел, ПСАр)ПП(А^) *0,Р*9УР,$£Л,
а Ар - квазиоднородные 6? -группы из ^ конечного />-ранга,
либо 'Ар есть £«У -группа, являвшиеся /&5-модулями.
СЛЕДСТВИЕ 2. 15 [28] . Редуцирсйзанная ^ -группа А без
- — ' А - * * ' • ''' -
кручения мощности <^ ^ представима в виде прямой суммы всех своих
различных ^-компонент, являющихся прямыми суммами конечного чисг

ла. связных групп (здесь под ■ р -компонентами А понимается её * -
подгруппы Ар из теоремы 2Л4, они определяются группой А
однозначно). *-..."*
ТЕОРША. 2.16 [28] • I) CS -группа из Яр , имеющая
алгебраически компактное прямое слагаемое бесконечного у0-ранга, алгебра-'
ически компактна* . - й
2) CS -группа кз fy р -ранга &£ * алгебраически
компактна-.
^ Обозначим ^ерез Я класс всех редуцированна групп без круче*
ния А таких, что либо для некоторого простогоуР АсЯр и нножество
р -типов всех ненулевых элементов А содержит максимальные
элементы, либо дяя каждого pstf(A) р^А &Q и множество р-типов всех
-ненулевых элементов группы А/рРА содержит максимальные элементы*:
Класс Ж содержит все ^>адудирова:шые группы без кручения конечного,
ранга, все редуцированные алгебраически компактные группы, все
редуцированные однородные вполне транзитивные.группы без кручения и
ДР# - •' - / v •
ТОРОМ 2.1? [27 К Каждая р -компонента Ар CS -группы А*Я
является одной из следующих групп;
-./ I) Ар - связная rpynfta;
2) Ар есть однородная #$Г-группа конечного р -ранга;
3) 4р есть CS -группа (бесконечного р -ранга, язляюцаяся
G&I-модулем. . , > ~Я
СЛЕЙЯЗИБ 2.18 [27] . Группа yfe# мощности <£ °_ является
CS -группой тогда и только, тогда, когда она лредставнма в виде
прямой суммы всех своих различных />-компонент, а калдея её р-
компонента есть либо связная группа, либо есть однородная Q9I -
группа конечного р яранга. . --" /~~
Частным случаем групп из следствия 2.18 являются все
редуцированные группы без кручения конечного ранга»
В [36 ] получена характеризация CS -групп v&Rp конечного
\р -ранга. Всякая CS -группа из Яр мощности <£"* является
таковой (см. следствие 2.15) • . "/_-
: ЛЕММА 2.19 [36j . Группа А^Лр,конечного р -ранга !*>>£
является CS -группой тогда и только тогда, когда она представима в
веде AsJt®А[ 9 где А{ - связные группы, и всякое прямое
слагаемое в /vf у?-ранга 2 есть CS -группа. . VJ
"•* V; %дем говорить, что упорядоченная пара (Яу+ГдЭ P -типовtf9 %
удовлетворяет условию <*) . для простого числа 0 и целого ^сла
fl>0 /если существует piQi со свойствами
•-•--'. 17 '

где p ?»/(, Dm6 *{~йл]и , t,/n>0 - целые числа,
Здесь под 2/"^ (соответственно под t^Ut^ ) понимается /Р-
тип, содержащий HjftH^ (соответственно /J-сервантную подгруппу
в Q% , порожденную подгруппой Hi+Ht*'Q% >• Если ££<?*, ^ есть
Р -тип, то
'ТЕОРЕМА 2.20 [Зб] . Группа >fcfy р -ранга 2 является Л? -
группой тогда и только тогда, когда она представима в виде AmAfiAg
где А[ - связные группы и для любых O^CLi€Aifu(/1(A) {i* f,i)
следует, что если tf*'tp'(&t)f %* */>#**) и* сравнимы, vo(tf9
£)удовлетворяет условию ('*) для ^ и любого целого числа Л >0 , если
же t^^ttf , соответственно Г/ f % , то пара ££/,£/) •
соответственно (Г»; Г/) , удовлетворяет условию (*^ для (f и любогоЛ€Л^.
-В качестве следствия приведем такой результат;
г СЛЕДСТВИЕ 2.21 [Зб] Л)Лусть &€fip - связная группа такая»'fto
для любых р» ипов f, tf9-tz т множества р-типов всех ненулевых
элементов S l. T^tf9t^ следует сравнимость ♦?/**/ • Группа Ат
mZ At , где Aim69&*t, является Л? -группой, тогда и только
тогда, когда множество р -типов всех ненулевых элементов * линейно
упорядочено. 2)Существует CS-группаA*$Q$($, гдеBfiсвязны %$#& ♦
В [зь] показано существование связных групп с линейно упорядо**
ченнкми множествами р -типов всех ненулевых элементов групп*
Напомним, что разложимая $ЛГ-группа из Яр является однородной. Всякая
же однородная вполне транзитивная, группа А без кручения является
Р «однородной для каждого ре/1(А} .
* В |27j.рассматривались также некоторые классы групп, примыкаю*
щие к классу CS -групп*
ТЬЮРША 2*22 [%*? ] * Группа А*&р бесконечного р -ранга
обладает свойством, что дйя любого разложения &b6fiBi каждой её р -
базисной подгруппы В имеет место разложение A*Bj98j тогда и .
только тогда, когда А алгебраически компактна.
Здесь через 8" обозначено замыкание в />-адической топологии
группы А её подгруппы $ * Ранее подобного рода хебактеризация была
известна для периодически полных р -групп [53 ]. В [27] показано ;*
также, что инвариантные относительно проекций серваитные подгруппы
редуцированных алгебраически компакты х групп без кручения являются
такими €$ -группами, у которых каждая р-компонента есть либо
алгебраически компактная группа» либо изоморфна некоторой сервантной
18

подгруппе группы Qp . Класс таких групп интересен тем, что серван-
тные подгруппы CS -групп, инвариантные относительно проекций,, сами
являются CS -группами. Из полученного описания вытекает, „что класс
($ -групп шире класса таких подпэупп алгебраически компактных
Групп. Так, большинство вполне разложимых и ректорных CS -групп
без кручения, CS -групп без кручения конечного фанга, связных групп
не принадлежит к классу сервантных подгрупп алгебраически компактных
групп, инвариантных относительно проекций. В [24] доказано, что абе-
левм группы, выделяющиеся прямыми слагаемыми в каждой абелещ>8
группе, в которой они содержатся в качестве замкнутых в % *адИчеС:Ко$
топологии сервантных подгрупп, в точности являются алгебраичбох|1
компактными группами*
ВОПРОСЫ. I) Существуют ли не алгебраически компактные CS -
группы из fip счетного р -ранга, неизоморфные 2Г Qр ?
2) Существуют, ли не алгебраически компактные CS -группы А£#р
такие, что
3) Для каких кардинальных чисел ft существуют QC9I -группы ;
W Rp р -ранга it , не Являющиеся CS -группами?
4) Существуют ли не алгебраически компактные ^^Г-грушш из^> ,
имеющий алгебраически компактные прямые слагаемые бесконечного р -
ранга (ср. теоремы 2.9 и 2Л6 ) ?
5)Какими кардинальными числами могут быть мощности
неразложимых квазиоднородных QCPI -групп (неразложимые CS -группы бее
кручения связны ) * -
§ £. Группы без кручения й такие, что 6 *<Soc в
Доказательства основных теорем о строении вполне-транзитивных
групп без кручения существенно опираются на некоторое общие
результаты о группах, совпадающих со своим псевдоцоколем,и, в частности,
о неприводимых группах, истоки этих результатов лежат в известной
теорема Дж. Рейда о неприводимых группах конечного ранга..Поэтому
приведем кратко эти факты о группе 6 , совпадающей со своим псев-
доцоколём SocG .
. Всякая группа G без кручения может быть вложена в минимальную
делимую группу. Эту делимую группу можно получить, взяв Q
-пространство V*G&Q. Положим далее e(G)*£(G)GQ л &
«пространство V превращается в левый б Л?)-модуль, если положить
(сС 8t)(a0$)~c((a)®<lj,<<€£(Gi),a€G , %,S€<1 •'. Для каждого
такого cL® % действие его на V является линейным преобразованием
пространства V . Считаем, что 6(G) содержится в кольце LtV) всех
19

линейных преобразований пространства V . Тогда ё(6)аЫ*1-СУ)1
М€£(ву при некотором ле/f] . Кольцо 6(6} называют кольцом
(или алгеброй) йвазиэ'ндоморфиэмов группы 6 .
ЛЕША 3.1 [55 3 . Соответствия #"*#* (##— Q
-подпространство, порожденное Н в У) л V -* WA6 являются взаимно
обратными соответствиями мезду' pfi -подгруппами группы в и
подмодулями £$$)-модуля V . v
v Таким образом, минимальным подмодулям £<2&»модуля V
соответствуют минимальные /}£'-подгруппы группы 6 и наоборот*
ОГРЩЛБНШ 3.2 ^55} . I) Псевдоцоколем группы^ называется
сервантнад подь-рупла в £ , порожденная всеми её минимальными pfi -
. подгруппами» Обозначение: SffcG •
2) Группа tf называете^ неприводимой, если она не обладает
собственными pfi -подгруппами..
Из леммы и определения вытекает» что цоколю £($)~нодуля V
соответствует псевдоцоколь группы S • Кроме того, справедливо •
1РВДЛСШ№ 3.3. Группа 6 равна своему псевдоцоколю SOC 6
тогда и только тогда, когда £й?)-модуль V вполне приводим.
Неприводимость группы б равносильна неприводимости <£(#) -модуля Р .
. Цусть Д - груша без кручения. Фиксируем обозначения: Яв£($),
£~Ш}гР*£*в> X*E*d$ Г .Для подгруппы А*в
положим №A)*iX€StaC4&A}/M(Ay*f<teSf<*A = 0}.
/ Если Л - некоторый неприводимый подмодуль £ -модуля У ,tq
^f является точным неприводимым S -модулем. ?jj$&sS/Am M.
Далее по лемме Шура $s£luLM - тело,Л/ является векторным'
пространством над # , а по теореме плотности для неприводимых модулей
S - плотное кольцо линейных преобразований пространстваAf над.?,
Цусть Р - некоторое Я -подпространство в М размерности А<*> •'
* Запишем Р^Г^, г'де dim^fy-t, £*/,..., А . Положим W*PK и
W(* Р{£ -К -подмодули в Г f порожденные Я и ф
соответственно. Тогда W *£*•*€ • /Определим A*WQ6 и ^И#Л£ для/Ч-Ж
Цусть еще А^,-^" некоторые неприводимые попарно
неизоморфные подмодули ^ -модуля Г • Построим, исходя из них, некоторые
К -подмодули №до г- > Иод так, как построили выше W для М {tt
может быть.различным) .Положим ^*(*L ЩярЯб ^HmaW^uti
для /»-/,...,£ о Далее 2^ обозначает кольцо всех Лх/t матриц над
телом ^5 . • '
TECPfcMA 3.4 [13] . Цусть группа без кручения # *Soc Q .
20

Тогда в обозначениях, введенных выше, имеют место соотношения: •
1> Й(Л)//!(*)*&*}
3) Н±Н<®НЯ®.«®НК. ^ ' .
В теореме 3.4 й£ - циклический, a W - конечно порозданный
подмодули К -модуля V . Поэтому теореме можно придать другую форму,
удобную для применений.
СЛЕДСТВИЕ 3.5. Пусть группа S e &Й! $ . Тогда
1) Если и5'/,..., Кд, - циклические JST-подмодули в К ,
порожденные элементами из одного и того же неприводимого подмодуля S
-модуля V f причем система- £«*/>•..,#*! независима и A^ify ^l)^Sf
A:*№nG(i4r.,by ,тоА±А®А1 нА4*А£ А .
2) Пусть W - конечно -порожденный /Г -подмодуль в V % WmK®W^
- некоторое его прямое разложение и подгруппы >f| ^ - такие, как
в I . Тогда A =Z®A;
СД1ЭДЛВИ& 3.6. Цусть Q - неприводимая группа без крученияи
Тогда ]}*£/?cfsV~ тело и V является векторным пространством над If -.
Если W - -некоторое .# -подпространство в V размерности ft , то i-pyn-
паЛ*^/?5нелриводима и М(А}1ЩА)& Д^ % Далее, если ^eJ^to£
-Рассмотрим случай группы G конечного ранга. Во-первых, из
следствия 3,6 получается основная теорема о неприводимых группах
конечного ранга. /
'•СЛВДИВИК 3.? (Д«. Рейд) . Для группы $ без кручения>
конечного ранга эквивалентны утверждения:
1> в - неприводимая группа, т.е. К - неприводимый*?-модуль;
t л /л * -
2) &*£ Ai , где А^А^+'-^Аь и все л^ -
неприводимые сильно неразложимые группы. у »
СЛЕДСТВИЕ 3.8, Цусть группа без кручения конечного ранга
G*Soc$ . Тогда ,
I) Если V*Z® Vi - некоторое разложение ДГ-модуля V' \ то \
6^(7, ПвТ . ■',..,.
Z) £сли W - некоторый К •подмодуль, в К , то W П6 -квази-
елэи-гемое 'группы S •
о) Ксли G *£* Ai . - некоторое квазиразложение группы £ ,
то V Г2Г 6^ Ф Q )\ - прямое разложение ДГ -модуля Р .
21 .

, Применение теоремы 3.4 к группе £ конечного ранга,
совпадающей о $ОС £ » влечет, что сама группа $ обладает некоторым
каноническим квазиразложением. Кроме того, что важно, совпадение 6
с SOCS равносильно полупервичности кольца £(G) .
СЛЕ^РТВКЕ 3.9. Пусть Q - группа без кручения конечного ран-
• га. Следующие условия эквивалентны:
1) S9SqcS , т.е. 7 - вполне приводимый 3 -модуль;
2) S - классически полупростое кольцо; ,
- полупервичное кольцо;
4) 6 * A = Z ® A'L , где каждая группа А; вполне
характеристична в А \ А± иЖ А ц , A*j ~ AiK и *(dij) -
тело<г»/,...,л>; /,*»/,,..,/^). •-
СЛЕДСТВИЕ 3.10. Для группы $ из следствия 3.9 равносильны
утверждения:
I) V однородный вполне приводимый S -модуль;
Z) S - простое кольцо;
3) HG) - первичное кольцо;
/ 4) $*£ф Ai. ., где А^Ах+'-^Аь и e(AL) - тело.^
Сведения о неприводимой группе, содержащиеся а, следствии 3.6,
'часто оказываются недостаточными* Это следствие можно уточнить,
если предположить дополнительно, что 6 - эндоконечная группа. .
Далее буква С обозначает центр.кольца эндоморфизмов £($) группы
G * Бели Gr * неприЬодимая группа без, кручения, то в
обозначениях следствия S.6 С С Я • Поэтому С - область целостности, а
группа 5 является С -модулем без кручения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ З.П. Группа 6 называется эндоЦиклической (эн-
фдоконечной) , если£ есть циклический (конечно порожденный)/й*)-*
модуль.
ТЕОРЕМА 3.L2 [l5] . Пусть (fir - неприводимая эндоконечная
группа без кручения. Тогда каждый С -подмодуль в 6 конечного
С -ранга квазиизоморфен свободному С -модулю.
* СЛЕДСТВИЕ 3.13 [15, 51] . Пусть 6 - неприводимая
ендоконечная группа без кручения и центр С является кольцом главных идеа-
лов. Тогда в - Я/ -свободный С -модуль. В частности, если .
ta/ty£ & * °° 9.то $ - свободный С -модуль, ,
22
ш

' t i
§ 4. Однородные вполне транзитивные группы без кручения*
Наибольшее внимание специалистов привлекали однородные вполне
транзитивные группы и прежде всего сильно, однородные группы. В
1976 г. Д.М.Арнольд описал сильно однородные группы конечного
ранга, затем в 1983 г. П.А.Крылов распространил это описание на счет*
ные сильно однородные группы. Очень валена теорема Дугаса и Шелаха
(теорема 4.22) . Она сняла многие вопросы, позволила получить од*
• нородные вполне транзитивные и сильно однородные группы с
различными свойствами. Кроме того, стало ясным, что теорему П.А.Крылова
(теорема 4.12)'о произвольных однородных вполне транзитивных груп*
пах в определенном смысле нельзя усилить. Для удобства изложения
материала этот и следующие параграфы разобьем на пункты.
а) Определения и вспомогательные результаты
ЛЕММА 4.1. Следующие условия для группы без кручения 6
равносильны:
1) для любых двух элементов OtufeG таких, чъоХ(й)6 Z(8),' *
существует эндоморфизм группы 6 » переводящий d ъ о \
2) для любой сервантной подгруппы А ранга I гдоппы^
всякий гомоморфизм А -*■£ индуцируется эндоморфизмом группы 6 •
ШРЕдаЛШИЕ 4*2. I) Группа без кручения 6 называется вполне
транзитивной, если она удовлетворяет эквивалентным условиям 1,2
леммы 4.1.
2) .Группа 6 называется транзитивной, если для любых элеывн-'
ъоъдФй,о£(} таких, что£*а;я##,существует автоморфизм группы £ #
переводящий & в 6 ♦
Определение 4.2 появилось в работах ряда авторов [ 1,4,10 ] .
Видно, что й#Г-груплы вполне транзитданы. Сосредоточим далее
внимание на однородных вполне транзитивных группах,
ЛЕША 4.3* I) Однородная группа # без кручения вполне тран-
эитивна (транзитивна) тогда и только тогда, когда для любых двух
сервантных подгрупп А и 0 из $ ранга I существует такой
эндоморфизм* (автоморфизм) d группы Q , что d А * 3 •
2) Однородная" вполне" транзитивная группа $ без кручеьия явля- '
ется неприводимой. Если дополнительно 6 имеет вдемпотентнтлй тип,
то б - зндоциклическая группа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.4 [бО, 38] . Группа без кручения 6 называется
Е -транзитивной (сильно однородной) , если для любых двух
сервантных подгрупп А и б ранга I группы 6 существует эндоморфизм
(автоморфизм) <к группы 6 со свойством <аА « 3 .
Из леммы 4.3 и определения 4.4 вытекает, что сильно однородные
,23

(f -транзитивные) групш-это в точности однородные транзитивные
(вполне транзитивные) группы.
Однородная транзитивная группа вполне транзитивна. Обратное*
, как мы убедимся позже» неверно. Существует также (неоднородная)
транзитивная группа» не являющаяся вполне транзитивной. Таким
образом» хак и в примерном случае» понятия "транзитивность" и "впол-
. не транзитивность" доя групп без кручения независимы»
v Следуя сложившейся практике» за однородными транзитивными труп-*
пами сохраним их первоначальное название "сильно однородные
группы". Следующее предложение сводит изучение однороден* вполне
транзитивных групп к подобным группам» но идемпотёнтного типа» Ввиду I
леммы 4.3 к последним группам применима теорема 3.12 о неприводи- j
ыых эндоконечных группах. 1
v ПРЕДЯСЯШИЕ 4.5 (l2, 5б] . Однородная группа $ без кручения ]
вполне транэмтивна тогда и только тогда» когда!?^/'♦Д» где £ - I
однородная вполне транзитивная группа идемпотёнтного типа» А'.» i
группа ранга I» причем для всякого/» иэрА *А следуе* pf*f » |
В этом случаи отображение d<+d Ы>*€£(?) определяет кольцевой
изоморфизм\t(fy+EUfi. I
б) Однородные вполне транзитивные группы конечного ранга i
Результаты этого пункта принадлежат ДШ. Арнольду. В его |
статье [Зб] теорема 4.7 била доказана для сильно однородных групп. |
Мы формулируем её в более широком контексте и несколько в ином ай~ |
па ' . • ^ { 1
Введем два понятия» касаюциося колец. Все наши кольца - ассо- |
циативные с единицей. Групповые термины» примененные к кольцу» |
относятся к его аддитивной группе. ]
♦ • ОПРЕДЕЛИШЬ 4.6. I) Кольцо Г без кручения называется сильно
однородным, если каждый его элемент есть целое кратное некоторого J
\ обратимого в Г элемента.
2) [Э9] £ -кольцом называется кольцо» левое регулярное I
представление которого является изоморфизмом» ,т,е. любой
эндоморфизм группы Т* совпадает, с умножением кольца Г слева на неко- j
торый элемент из Г ♦ к ' ' <
Односторонние идеалы сильно однородного кол! ja Г исчерпыва- j
ются идеалами вида лГ,д»0 . Аддитивная группа Г* - сильно '
однородная группа, f -кольцо всегда коммутативно. Известно
строение £ -колец конечного ранга [39] . • *
ТЕСРШ 4.7 [зв] . Цусть $ - однородная группа без круче- ]
ния конечного ранга. Группа $ вполне транзитивна тогда и только
' ?Л

тогда, когда G ^ Т ФА (леА1) f щ Т • сильно однородное
В -кольцо без кручения конечного ранга, А - группа ранга 1,и
если рА*А \ то рТш- Т . В этом случае центр кольца £(£)
канонически изоморфен Г и группа £ сильно однородна. \
•СТДОТШ'4.8. Неразложимая однородная группа 6 конечного
ранга^ вполне транэитиьна тогда и только тогда, когда GsT0A% где
Т и А - такие, как в теореме 4.7. 8 этом случае канонически^^
Приведем основные свойства однородных вполне транзитивных
групп конечного ранга. ' \_ ' .
СЛЕДСТВИЕ 4.9. Пусть ^ - однородная вполне транзитивная
группа конечного ранга. Тогда
•; I) $*А .-; где А - неразложимая ьполне транзитивная группа.
2) Неразложимость Q равносильна её сильной неразложимости.
3) Рели б w прямое слагаемое группы 6 , то 6рА* 9 где «Л.
4) Если // •; другая однородная вполне транзитивная группа
конечного ранга, то G/^H, ■*■*■ £ «-Л"
Арнольд указал также,как можно получить все коммутативные
сильно однородные кольца без кручения конечного ранга»
* ПРЕДО8ЕНИЕ .4.10 [Зв] . Цусть R .- коммутативная область це;
достности такая, что поле частных4 А" кольца: £ есть некоторое поде
алгебраических чисел. Тогда. Й - сильно однородное кольцо в том и
только в том случае, цогдь ЯВЛ Jp t где J - кольцо целых ве-
личин поля К ;\-S - какое-то множество простых идеалов кольца J ,
J#>'.,- локализация J относительно А и если /> - простое число
г р р • ' р " ^ -
и pJ9P/P/ *•••* ^л* '• произведение степеней различных простых
идеалов.из J:, то самое большее один P^S±и ^££ влечет*/*/.
Какие кольца Я из' предложения 4Л0/ будут
f-кольцами,установлено БьшоЯтом и Пирсом, 142, следствие 2.1l] . Таким образом, ,
классификацию однородных вполне транзитивных групп конечного ран**
га можно считать завершенной./ ;^ ^ • ~
Как указывается в теореме 4.7, однородные вполне транзитивные
.группы конечного £.шга-зто в точности сильно однородные группылсо-
нечного ранга». Последние группы давно привлекали внимание специа- •
листов. В статье [38] Арнольд пишет: *Харрисон в неопубликованной
заметке определил р -специальную группу как сильно одно^ ,нух>
группу $ ^такую, что G/pG * 2/pI yi'pG^G для всех простых Мр ч
И охарактеризовал зти группы 'как- аддитивные' группы некоторых колец
нормирования в полях алгебраических чисел. Ричмен [57J дал
глобальную версию, этого^ результата. Он на?эал группу G специальной,
гъ .

если w - сильно однородная группа идемпотентного тт&,£/р$жО
или^/jb7*^2для всех р . Сильно^ однородные группы ранга 2
описаны в [41J **' Специальные группы называют сейчас специальными
группами Ричмена.
СЛЕДСТВИЕ 4.II [57] . Группа 6 без кручения конечного ранга
специальна тогда и только тогда, когда G3jg£LJp (J} $, Р"
TaKHi, как в предложении 4. Ю),и если pJsPi1 Р% \. ' Рл к f
то самое большее один P^S и P^GS влечет £z*/ и3/Р± 32/р2 *
в) Однородные вполне транзитивные группы произвольного ранга
ТЕОРШйА 4.12 [12, 15] . Пусть £ - однородная вполне
транзитивная группа без кручения. Тогда центр/? кольца£(&)является
сильно однородным кольцом и G&F&A % где F - Л/ -свободный
С -модуль, А - группа ранга I.
. Теорема 4Л2 сначала, была доказана П.А. Крыловым для сильно
однородных групп.Ц2] . Затем Хауэен и он заметили, что эта
теорема и её доказательство без изменений справедливы для однородных
вполне транрчтивных групп [l5. 50] . Теорема 4.12 имеет различные
следствия и применения»
• (УЩДРТВИЕ 4.13. Если G - однородная вполне транзитивная
группа и , где F- свободный С
-модуль. Если дополнительно 6 имеет идемпотентннй тип, то £ -
свободный С -модуль.
ОЛЩУШШ 4.14. Следующие свойства счетной группы Q без
кручения равносильны:
1) G - сильно однородная группа;
2) G - однородная вполне транзитивная группа;
3) (г*ЕФА , где F - конечно или счетно порожденный
свободный модуль над некоторым счетным- сильно однородным £ -кольцом
Т без кручения, /f- группа ранга 1,и если рА»А 9 to pF»F .
В этом случае центр- кольца £(&) канонически изоморфен Т ;
4) G ^ L H (ft < ,Н0 ) _ f где Н - неразложимая
л
сильно однородная группа.
СЛЕДСТВИЕ 4.15. Следующие свойства счетной неразложимой
группы 6 без кру^ния эквивалентны:
1) G* • - сильно однородная группа;
2) G . - однородная вполне транзитивная группа;
3) G * Т $А > где Г - некоторое счетное сильно
однородное £ -кольцо без кручения, А - группа ранга 1,и если рА *А f
?6

*орГаГ . Причем £(G)* Т .
Замечательный класс групп составляют группы G без кручения
такие, что I (G)*1 при всех р . Сильно однородные группы из этсго
класса полностью описываются (о т.^ких группах конечного ранга и
идемпотентного типа см. следствие 4.II) .
ОПРВДРЛЬЗШЕ 4.16. Сильно однородное кольцо без кручения на-
зывается специальным, если для всякого р с 7V/> Т выполняется %^£.
СЛЕДСТВИЕ 4.17. Следующие свойства группы G с tp((r)*t, Ур
равносильны:
1)_5 - однородная Q&I-группа; ^
2) 6 - сильно однородная группа;
3) G - неприводимая группа;
4) 6*Г& А $ где Г - некоторое специальное кольцо, А -
такая группа ранга I, что если рАs A , то рТшТ «
Представление счетной однородной вполне транзитивной группы,
полученное в следствиях 4.14 и 4,15, дает весьма полную информацию
о таких группах, Оно позволяет решить практически любой вопрос,
касающийся их, или, по крайней мере, свести его к некоторому
вопросу о счетном сильно однородном £-кольце. Так как группа
конечного ранга счетна, то следствие 4.14 включает теорему Арнольда
(теорема 4.7) . Теорема Арнольда содержится также в книгах [39, 43].
Из следствий 4.14, 4. lb можно вывест.и и такие утверждения.
СЛЕДСТВИЙ 4Л8. Счетная однородная вполне транзитивная группа
S без кручения равна прямой сумме некоторых своих неразложимых .
подгрупп Bi(i6I), Ш«Ко: G^eBL , причем &^Bj
и £(3i) - сильно однородное кольцо при любых i,j€l . .
СЛВДСТВЛЙ 4.19. I) Пусть $ - счетная вполне транзитивная
группа и 4? «2* 5 , где 3 - неразложимая группа. Если Н -
ненулевое прямое слагаемое группы G , то
сильно однородная груипа..
<1) Если $ и ^ - счетные однородные вполне транзитивные
группы, С и Cf - центры колец £(&) и £(64) , то G^Gi<:>
**t(S)-t(G,), C*Cf и um.Ac$ *wnlCi6i
иолученных фактов о счетных однородных вполне тран,-, дивных
группах оказывается достаточно для построения конкретных полужест- -
ких сисгем групп и, следовательно, для получения обобщений теоремы
&\ра-Куликова-КйПланского о прямых слагаемых вполне разложимой
группы, Систс-уа wjwv. < AL lt€l> называется полужесткой, если мно-
десгао ичабксоь / мсжно так упорядочить, 4To^^y<s> Hom(ALtAj)i*0
27

для любых ttj€l . ^ - ..
СЛЕДСТВИЕ 4.20. 1) Цусть«^в {ALlLel} - система попарно
неизоморфных счетных однородных неразложимых вполне транзитивных
групп/ Тогда Ф т полужесткая система групп.
2} Обозначим через </£■ класс всех прямых сумм групп А^Ф.
Тогда деэке дье группы из^ обладают изоморфными уплотнениями.
В частности, прямое слагаемое группы ил 9д принадлежит «^ . Для
группы из &£, справедлива теорема Крулля-Шшщта об изоморфизме -
прямых разложений. . ' ^
Пусть Г- некоторое сильно однородное кольцо без кручения.
7-модуль М называется сепарабельный, если всякое конечное
семейство его элементов можно вложить в свободное прямое слагаемое
, модуля М . Сепарабельный Т -модуль М является сильно
однородной группок. "*" •
СЛЕДСТВИЕ 4.21 [15, 50] . Пусть & - сильно однородная груп- .
па без кручения идомпотентного типа, Q - центр кольца £ (G)
Следующие утверждения эквивалентны^
1) Q - сепарабельный С -модуль;
2) G - проективный, £ СЮ -модуль; -
. 3) кольцо 6(6) обладает минимальным левым идеалом;
4) группа & имеет сндоморфный рбраз не более чем счетного
"Т?-ранга;
5) существует сильно однородное Е -кольцо Т без кручения
и сепарабельный Т -модуль М такой, что$«А/Д В этом случае
С ~ Т канонически. " у
Теорема 4.12 и приведенные после неё следствия вызывают много
вопросов. (&и формулировались в[ $.13,15,50 ] . Один из
возникающих вопросов имеет принципиальный характер. Сепарабельный мо-
* дуль над сильпо однородным кольцом как группа является сильно
однородной группой. Не будет ли всякая сильно однородная или
даже однородная вполне транзитивная группа сепарабельный модулем
над некоторым»таким кольцом? Ответ на этот и другие вопросы дает
теорема (её можно назвать терремой существования) f докас>анная
Дугасом и Шелахом в предпол^^сении справедливости аксиомы
конструктивности Геделя. Через Zi#) обозначим центр кольца /? .
ТЕОРШ. 4*22 [481 (V*L). Пусть к - регулярный не слабо
компактный кардинал и Г "- коммутативное сильно однородное кольцо
"без кокручения с \Т\ < * # Тогда
1) Существует неразложимая однородная вполне транзитивная^
•группа £ без кокручения с ZCECGty^T , не являющаяся сильно
28 ""

однородной. ^Кроме того, JlvtG ШШТ)- группа единиц кольца Т •
и igi -I,.; \- ;
2) Существует неразложимая сильно однородная группа 6 без
кокручения с Z(E(S}) s Г . ~
Г'ложиз в теореме 4.22 Г8£, в' п. 2 имеем, ^что сильно
однородная группа Q не является сепарабельннм модулем ни для какого
кольца главных идеалов (см. [48 ] ) . Подобный пример построен так?
же в [47]-. Затем ясно, что центр кольца эндоморфизмов сильно
однородной группы не обязательно является £ -кольцом. Видно также,, что
неразложимая сильно однородная, группа не обязательно > как в счетном
случае, имеет вид Г 9 А .
г) Применения к сильно однородным "группам
Рассмотрим ещё некоторые приложения к сильно однородным
группам. Оказывается'сильно однородная группа обладает одним
интересным свойством групп ранга I. Пусть 6 и А - группы. Группу &
называют А -свободной," если $Я£^А для некоторого кардинала 1ft .
ТЕОРЕМА 4.23 [l9] . Пусть А - сильно однородная^группа без
кручения, а й -А -свободная группа. Всякий элемзнт группы G
можно вложить в её прямое слагаемое, изоморфное А • Причем
дополнительное слагаемое является А -свободной группой.
. СЛВДСТВИ& 4.24* 1) Прямая сумма любого числа копий сильно
однородной группы А является сильно однородной группой.
2) Лусгъ А - сильно однородная группа идемпотентного типа,
$ - прямое произведение некоторого числа копий группы А . Тогда
всякий алемент группы ^ можно рложить в её прямое слагаемое, изо-»
морфвое А • Группа Q сильно-однородна.
Кажется интересным выяснить, когда другие конструкции приводят
к сильно однородным группам/
; ВОПРОСИ. I) Замкнут ли класс сильно однородных групп
относительно взятия прямых слагаемых? ;/ .,
2)! Пусть S ytj И - сильно однородные rpynrj;: Являются ли
группы 6[ &G , $ QfCtHOm. (S,Gy и JtQtnQCfi) сильно одкородт
нымй ( 'X - произвольная группа) ? ; ,
Прямые суммы и произведения вполне транзитивных групп
исследовались гв цикле работ С.Я;Гринспона и В^К.Мисякова [2-3, "О] .
Для однородной вполне транзитивной группы дарны аналоги следствия
4.24. VV-'/Л - ' ,v.v.""'**v<;/".. V;.\."*/"_-.'V .\: • -- / ; '
.. "V-. А) Кольца: эндо!*орфизмов7одаоро|Дных .
/:> вполне транзитивных групп . %
: Для однородных вполне, транзитивных групп решается классичес-
29 •;-;-;;

-кая проблема Бэра-Каллаиского об изоморфизмах колец эндоморфизмов,
ТЕСРЕЬ'А 4.25 [12. 15] • Если £ и ##- однородные-вполне
транзитивные группы без кручения, кольца эндоморфизмов которых
топологически изоморфны, то tf® 3 * ft ® А , где Ь и А - группы
ранга I утовНН) ъ'й(6) соответственно* Более точно* Если
группы 6 и ft записаны,как в теореме 4.12: G*FfQA ИН*Ь*& 9 Гдв
Ff л Рд - однородные вполне транзитивные группы идемпотентных
типов, то кольца £ Off) и £(%) топологически изоморфны и всякий
топологический изоморфизм Y:£(Ff) ^Е(Р^)индуцируется некото-,
рым группогым изоморфизмом f:f/ ~*p£f т.е. Yl%m*'f$4irllltE(Fri).
Под топологическим изоморфизмом колец эндоморфизмов понимаем
их изоморфизм относительно конечных топологий этих колец*
Требование непрерывности изоморфизма {Г в теореме 4,25 является
необходимым в том смысле, что любой изоморфизм Q + Н произвольных групп
(модулей) Q и# индуцирует непрерывный изоморфизм колец
эндоморфизмов £(G) -+RH\
СЛЕДСТВИЕ 4.26* I) Если $ и И - однородные вполне
транзитивные группы идемпотентных или равных типов, чьи
кольца.эндоморфизмов топологически изоморфны, то всякий топологический
изоморфизм между £(S) и £(И) индуцируется некоторым групповым
изоморфизмом между $ и И .
2) Всякий топологический автоморфизм кольца эндоморфизмов
однородной вполне транзитивной группы является внутренним.
ВОПРОС, Б/дет ли каздый автоморфизм кольца эндоморфизмов
однородной вполне транзитивной группы непрерывным в конечной
топологии (или, что то «а, внутренним) ?
Привлекали внимание вполне характеристические подгруппы -
вполне транзитивных групп. Систематически они изучались С.Я.Грин-
.шпбном [i] • В частности, имеется простое описание вполне
характеристических подгрупп однородны:: вполне транзитивных групп. -
е) Одно обобщение сильно однородных групп
Рассмотрим кратко группы, являющиеся неоднородным аналогом
сильно однородных групп. Имеется в виду, ччо.JviG действует
транэитивно на множестве не ьчех сервантных подгрупп ранга I
группы fir , а на множестве всех сервантных подгрупп ранга I
некоторой минимально** pfi -подгруппы группы 6 . Такие группы
появляются, например,при исследовании неоднородных вполне транзитивных
груш (теорэма 5.2) . v
ТЕОРЕМА 4.27 [l4] Пусть Q - группа без кручения с одно-
за

родным вполне приводимым Е(8)Фв -модулем $ Фй, A*£(G) .
Предположим» что выполняются следующие условия;
а) группа S порождается своими минимальными pfi -подгруппами;
б) группа AvtG действует транзитивно на множестве всех сер-
вантнг" подгрупп ранга I некоторой минимальной pfi -подгруппы
группы G •
Тогда существует циклический левый Л -модуль F такой, что
кольцо С* Eitd-f сильно однородно, a F - & -свободный правый £ -
модуль. Существует левый С -модуль А без кручения такой, что
кольца ZIC) и В ltdc А канонически изоморфны. Кроме тсго:
I)"G*F ?СА;
2) каноническое отображение колец R -*EtidcF есть
топологический изоморфизм, т.е. F - сбалансированный точный I-модуль.
3 определенном смысле теорема 4.27 сводит изучение группы &
к изучению сильно однородных групп. Другие результаты о группе tf
из теоремы 4.27 можно найти з [14] . В разных задачах появляются
группы конечного ранга, кольца эндоморфизмов которых являются
кольцами матриц над сильно однородными кольцами или произведениями
таких колец матриц (например, вполне, транзитивные группы, группы 6
с lp(Gi)<f9 Vp ) . Из теоремы 4.27 получается общая характери-
зация. таких групп.
(ЩАРТЕШ 4.28. Записанные ниже утверждения о группе G без -
кручения конечного ранга с первичным кольцом-£{£) ^эквивалентны:
1) группа G А -свободна для некоторой группы А , причем
Е(А)~ сильно однородное кольцо;
2) £($) - кольцо матриц над некоторым сильно однородным
кольцом; " v л
3) а) группа S порождается своими минимальными р/с
-подгруппами я б) группа Jut 6 действует транзитивно на множестве
всех сервантннх подгрупп ранга I некоторой минимальной pfi
-подгруппы группы 6 ;
4) Е(6У~ наследственное справа кольцо и п.. 6" из 3 .
5 5. Произвольные вполне транзитивные
группы без кручения
Подход к исследованию неоднородных вполне транзитивн^х групп
бесконечного ранга, развитый в работах Л.А. Крылова, основан на
систематической использовании понятия псевдоцоколя. Рассматривают-
Ья группу или совпадающие с псевдоцоколем, или с достаточно
"большим" псевдоцоколем. Это позволяет охватить практически все интерес-
3!

пне ситуации. Существенную роль в доказательствах играет теорема
3.4. Кы ограничимся, вполне'транзитивными группами» Хотя
аналогичные результаты справедливы и для транзитивных групп.
а) Вполне транзитивные группы G такие, что 6(6) - тело -
Простейшие примеры вполне транзитивных групп» совпадающих
с псевдоцсколем, доставляют группы ^ , у которых.крдьцо кваэиэы-»
доморфизмоЕ £(&) ^есть тело. : ^
ПРЕДЛОШШ 5.1. Пусть £ - такая группа без кручекия,Ч1
- тело. Следующие утверждения эквивалентны:.; . ;"".*-._
1) группа. JutG действует транзитнвно на множестве всех сер-
вантных подгрупп ранга I некоторой минимальной у0//-подгруппы
группы $ ; . "■ --/ :'- " -\\^\ 'V.-'-"''- :v>. *У-%:.\..--;- •.; •.-."'-;
2) £(&)г,—.сильна однородное кольцо., л~
ТЕОРЕМА. 5.2 [ 8,13] . Пусть $ - группа без кручения такая,
что £(6) - тело. Равносильны следующие утверждения:
1) & - неоднородная вполне транзитивная группа;.
2) Выполняется одно из условий I - 2 предложения 5.1, /КА)*
я/7#) для любой-сервантной подгруппы Л* 0:i G , типы различных
минимальных />Д-подгрупп группы? несравнимы и / Т(6)1> Я0 ; •
' 3) Существует сильно однородное кольцо ^ такое, что a) G '
есть левый Г «модуль без кручения; б) если Л" и У -различные
сервантные Г-подмодули в 6 , Г-р&нга JyXoHomf(X,y)*0 \ .
в) П(А)*ШУ для всякой сервантной подгруппы 4*0 в G \ *)1Т(6)1*
>Х .В таком случае £(G) « Г канонически. Кроме того, та- .
кая группа $ транзитквна. ч ]}r tJ / ■ •-
Теорема 5.2 ке даёт метода построения груш,' о которых едет
речь» . . '•> ''--'"/"'.": :* /; ',/;:'.? . ■•-• /
ВОПРОС. Найти способ, с помощью которого можно получить все .
неоднородные вполне транзитивные группы (хотя бы конечного ранга)
. с телом в качестве кольца квазиэндоморфиэмов, -:
D.B. Дрбрусин построил пример неоднородной транзитивной
не вполне транзитивной группы конечного ранга. Кольцо квазиэндо-
морфизмов этой грушш является телом. Транзитивную не вполне
транзитивную группу 6 счетного р. яга такую, ^*р(6)*19 Vp ,
указал А.Р. Чехлов
4 б) Вполне транзитивные группы G ш$ОС$
Теорема 5.3 вместе с теоремой 5.9 составляю основные
структурные результаты о неоднородных вполне' транзитивных группах.
ТВДРЭДА, 5.3 [l3, 18] . Следующие свойства группы без кручения
32

, Ь.. эквивалентны: .
I) G - вполне транзитивная группа и 6 KSoc G ;
2)*G *£L Gp , где /7 - некоторое множество простых чисел,
П(6р)ЛП(§*) * Ф npviptp, pffifl и либо 6р - однородная
вполне транзитивная группа, либо Gp - такая неоднородная
вполне транзитивная группа, что £ (Gp) - тело.
СЛЕДСТВИЕ 5.4. Если G - вполне транзитивная гр4 шта без
кручения, то SOC& - вполне транзитивная группа и J>OCG*£®Gp 9
где £/>_- такие группы, как в теореме 5.3.
Группы 6р , появляющиеся в теореме 5.3, определяются
однозначно, подобно примерным компонентам периодической группы. Можно
утверждать, что изучение вполне транзитивных группе совпадающих
со своими псевдоцоколями, распадается на изучение однородных
вполне транзитивных групп и вполне транзитивных групп, у которых
кольцо квазиэндоморфизмов - тело* Последние группы имеют
удовлетворительное описание (теорема 5.2) .
в) Вполне транзитивные группы
с условием на типы элементов
Для вполне транзитивной группы G условие совпадения её с
SoC 6 при определенном ограничении можно заменить условием
максимальности в множестве Т(в) всех различных типов её ненулевых
элементов. Условие, максимальности в Г(#^традиционно в теории
групп без кручения. Обращает на себя внимание и то обстоятельство,
что формулировки и доказательства некоторых основных фактов о
-группах связаны с множеством в то время как в
теореме 5.3 фигурирует псевдоцоколь группы. Полезно сравнить в этом
плане теоремы 176 и 5.3. Возникает желание объединить эти подходы.
Это достигается в теореме 5.9 и следствии b.IO. Нам потребуется
следующее обобщение теоремы 4.12.
ПРВДЯОКЁНИЕ 5.5." Пусть G - вполне транзитивная группа бее -
кручения, Н - некоторая её минимальная ft/i -подгруппа и Са
*End £,~^Н # Тогда Г - сильно однородное кольцо viH*F(8A ,
где F - правый А^ -свободный € -модуль, А - группа ранга I.
Кроме того,X*Oi *Ъ > r№~Ua£»d£((;y0a(f/9Q)
Пусть G - вполне транзитивная группа. По следствию 5.4
SocG e2T Gp . Подгруппы Gp однозначно восстанавливаются
Р*" 1
по группе G . Назовем подгруппы Gp компонентами группы G .
33

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.6. Скажем, что группа без кручения G имеет
псеадоцоколь конечного типа, если любой неприводимый Е(6)&Ф »
модуль W в в & Q конечномерен i д телом д Ггде ВяМ-~. J&*
Цусть ** - вполне транзитивная группа, W - такой подмодуль,
как в определении 5.6. Тогда HWW - минимальная p/i -подгруппа.
По предложению 5.5 D"C#Q , где См£м/^% И . Отсюда *ШлАеН*
*uiMJrf , Ввдю*, что группа G имеет псевдоцоколь конечного типа
в том и только в том случае, если %СшЛсН < <*» для каждой мини- '
мальной p/i -подгруппы Н в G . Подгруппа И лежит в некоторой
компоненте 6р группы S . Если H^Gpu где Gp - неоднородная
труппа, .то %аь& H*i ,' поскольку SiSp) - тело. В связи с
этим полезно дать следующее
ОПРВДЕЖШБ 5.7, Будем говорить, что компонента Gp вполне
транзитивной группы S имеет конечный тип, если либо 4/> -
неоднородная группа, либо Щр - однородная группа и Ъ&лЛ^ Gp < °* ,
где С - £лс/£(6,} 6р.
Понятно, что если вполне транзитивная группа к; зет
псевдоцоколь конечного типа,, то всякая её компонента имеет конечный тип и
наоборот.
ШРШ 5.9 [18 J . Цусть G - вполне транзитивная группа без
кручения, Gp - её компонента конечного типа. Тогда GaBp$N
для некоторой p/i -подгруппы Н f причем Л(6р)/1П(Н) ш Ф и Н
определяется- одн^начно*
С помощью георемы 5.6 получается основной результат о вполне
транзитивной группе с псевдоцоколем конечного типа.
1ВДШ 5.9 {id ] • Приведенные ниже утверждения о вполне
транзитивной группе без кручения G с псевдоцоколем конечного типа
эквивалентны:
1) для всякого V€T(S) существует максимальный элемент М€Г($)
такой, что V*Vf и fl(S0C $ ) * lt(G) ;
2) подгруппа SocG плотна в G относительно 2 -адической
топологии; т
3) группа G представила в виде £ вл &J* S /7 <?* * гДе
рея Р рй/1 г
Q сервантна в П Gp 9 /7 - некоторое множество простых чисел,
1Н6р)ПП($А)*$ Щ>*рФ$9Р4СЛ * группы fy такие, как в
теореме 5.3. . _ >, . "
Теперь можно выяснить, когда справедливость равенства GsSccG
для вполне транзитивной группы G эквивалентна чисто групповому
34

условию максимальности в Т(в) .
СЛЬДОТШШ 5 Л О. Следующие свойства группы без кручения £
с псевдоцоколем конечного типа равносильны:
1) G " - вполне транзитивная группа и TCG) удовлетворяет
условию максимальности;
2) & - вполне транзитивная группа и $9£оС$ ;
3) справедлив- п. 2 теоремы 5*3.
СЛЕДСТВИЕ 5. II. Пусть 6 -вполне транзитивная группа без
кручения с псевдоцоколем конечного типа. Вели Г($) удовлетворяет
условию максимальности, *oGs£ &SD ®Аш^ §а t где ЛиПш
- некоторые множества простых чисел,
вполне транзитивная и <*р 9(&vCp)& Ар % где *tp€N fCp -
сильно однородное £-кольцо» являющееся центром кольца £{6р) %
Ар - группа ранга I типа t(6p) . Каждая группа &а(ф(Я£)~
неоднородная вполне транзитивная такая» что d(Sn) ~ тело.
Такие группы 6а характеризуются в теореме 5.2.
Следствие 5.11 указывает строение компоненты dp в теореме
5.8 и» в частности» строение каждой компоненты Sp в теореме 5.9,
Таким образом» строение вполне транзитивной группы &uSoc6 с
псевдоцоколем конечного типа полностью известно. Следствие б. II
включает теорему Ю.Б. Добрусина о вполне транзитивных группах
конечного ранга.
СЛВДСТВИБ 5Л2 |7, 8] . Группа без кручения 6 конечного
ранга вполне транэитивна тогда и только тогда» когда!?е£/Ф">
...Фбхе6жн в... Ф $^£ , где Щ) ПГЩ » Ф при £*/
(IfJ *f,£,..., К ft) . Для/*•,...,* группа** однородная вполне
транзитивная» а для i* ***,..., к+t группа £* неоднородная
вполне транзитивная и д(6р г тело. Строение тех и других
групп ($i известно (следствие 5. II) • Такая Группа £ транзитивна.
Следствие 5.10 и теорема 5.9 имеют намного большую область
применения«как показывает
ПРВДОШШЕ 5.13. Если 6 - вполне транзитивная группа без
кручения и tp($)<— для всех р » то£ имеет псевдоцоколь
конечного типа. N f
Вполне транзитивная группа без кручения может не иметь
псевдоцоколь конечного типа. Для такой группы вообще неверны теоремы
5.6» 5.9. Например, группа ir */М » где А - группа ранга I
35

неидемпотентного типа» вполне транзитивна» её псевдоцоколь состоит
из одной компоненты и равен подгруппе {f^fHt(^}>6(A)]^ Ясно, что
эта подгруппа не выделяется прямым f-агаемым в группе $ .
- Вполне транзитивные группы, совпадающие с псевдоцоколем, или
близкие к нему (например, в смысле теоремы 5.9) допускают
содержательное изучение. Возникает вопрос. Может ли вполне транзитивная
группа иметь нулевой псевдоцоколь? Нетрудно заметить, что это
равносильно такому вопросу. Существует ли вполне транзитивная группа
G такая^ что в Т($) отсутствуют максимальные элементы? Теорема 1.7
утверждает, что существует даже^ связная Qfil -группа с таким
свойством. А в § 6 приводится пример суперразложимой.вполне
транзитивной группы &. без максимальных элементов в Т(&) . Так что
вполне транзитивные группу могут быть самыми разнообразными.
Техника, использованная в настоящем параграфе, исчезает при
исследовании таких "нестандартных" вполне транзитивных групп.
ВОПРОС. Пусть $ - вполне транзитивная группа и множество Кб)
удовлетворяет условию максимальности. Когда G ■$ОС& ?
Q9I -группа вполне, транзитивна. Поэтому опйчшие Q&I -~
групп, изложенное в § 1, можно несколько в иной форме представить
и дополнить некоторыми характеризациями, использующими понятие
псевдоцоколя. ' , ,
. ВОПРОСИ. I) Является ли QtPl -группа" транзитивной?
2) Транзитивно ли прямое слагаемое -транзитивной группы?
§ 6. Группы G такие, что tp(G)<f 7 Vp ^
Рассмотрим редуцйрова1шые грушм $ без кручения такие, что
tp(ff)*i для всякого р (;см. следствие 4.17),.Класс всех таких
групгг обозначим через & . Мерли [54] исследойал группы конечного
ранга/из ё $ называемые теперь "группы .Керли". Две основные целя-
параграфа - применить результаты s 3 к группам из £ и дать
некоторые примеры. ~ ' '
Пусть & - множество всех простых чисел* Известно, что класс
6 совпадает с классом всех сервангных подгрупп группы ft Qp ,
где Qp - группа (кольцо) всех целых ^>-адических чисел. Сюда
попадают все' сервантнне подгруппы группы fLQp %■ где 6fpsf A^tfl
(tl,p) * f} . Всякое сервантное подкольцо в \Qp является £ -
.сольцом. • - - -
36

а) Труппы такме, что
Применение теоремы 3.4 к группам , совпадающим q'Soc6%
приводит к их .полному описанию. Напомним, что сильно однородное
кольцо R называется специальным, если для всякого/? с R^pR
выполняется R/pR Л Fp . .
ТЕСРШ 6.1 [1б] /Пусть группа£€£ и $ «SocQ л Тогда
5e2T4jLt где /?'- некоторое множество простых чисел и каждое
*** eta \ "- •
кольцо t Шр) специально. *
СЛЕДОТБИЕ 6.2 [54] . Группа$&ё конечного ранга равна£^,
где все кольца £($i) специальны.
_ (ДОДОТВИБ 6.3. Кольцо эндоморфизмов неразложимой группы S*6
специально тогда и только тогда, когда Q тоос£ . —
б) Пример суперразложимой вполне
транзитивной группы
Из теоремы 6.1 следует, что группе/4? 6 £ , равная Soc$ ,
является прямой суммой неразложимых групп* Оказывается,в классе
6 существует группа, вовсе не имевшая неразложимых прямых
слагаемых (такие группы называют суперраэложиыых.и) .
ТЁОРША 6.4 [lT, 16] . Существует счетная суперразложимая
группа 6 такая, что G - аддитивная группа некоторого £ -кольца,
являющегося сервантным лодкольцом ьП Ор .
СЛЕДОТБИЕ 6.5. Группа £ , построенная в теореме 0.4,
обладает следующими свойствами: ' /
1) 5 -ч транзитивная и вполне транзитивная группа и SdcG^Ox
2) замыкание в Л -адической топологии всякой сервантной
подгруппы конечного ранга из £ выделяется в G прямым слагаемым;
3) для любогоd€£(G) справедливо 6Ш *£t * Ф<с/п«С > * ■
Пункт 2 следствия полезно сравнись со следствием 2»15 о
строении £15 -группы мощности < & ° •
в) Некоторая конструкция
Приведем одну простую кольцевую конструкцию (она уже
применялась в § I) ♦ Это даст, во-первых, способ построения специальных
колец, а во-вторых, - способ построения связной 0PI -группы
без максимальных елементов в Т($) (он используется в теореме 1.7).
ИРВДЛОкЕНИЕ 6.6. Пусть R - коммутативная область целостности
без кручения такая, что все кольца R/pR -^бласти целостности,
a R - квазиоднородная группа, Обозначим R - поле частных
3? -

«ольцаЯ и положим Я а{%,*$10>, fefi , ZR* (CL)*XRti6)} .
Тогда Я - такое подКрльцо в Я , что Я ^ - вполне
транзитивная группа» а Я - сервантное подкольцо в Я . .
Обратимся теперь к определенным сервантным подкольцам в
№*р • • • ,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.7 [49 ]. Редуцированное кольцо без кручения
Я называется связным, если для любого />6jT либо Я*рЯ , либо
Я изоморфно некоторому р -сервантному подкольцу в (Цр ♦
Связность кольца £ равносильна связности группы Я* и
равносильна тому, что/? изоморфно некоторому сервантному.подкольцу
в7L Qp , причем для всякого/) либо Я*рЯ, либо р Я п О
(см. [49] )•
. ПРЕДЛОлЕНЩ 6.8. Связкбе кольцо Я удовлетворяет
всем-условиям предложений 6.6, Кролю того» Я - связное кольцо. Если Я*?
однородная группа» то Я ч - специальное кольцо* Если же Я* -
неоднородная группа, то Я -связная Q&I -группа, без
максимальных элементов в T(R f) ♦
Если Я - специальное кольцо, то Я*Я # Таким образом,
предложение 6.8 утверждает, что все специальные' кольца можно
получив из связных с помощью Конструкции из предложения 6.6. Ото
дает ответ на один вопрос Гарднера и Стхюрта [49] . Предложение
6,8 завершает описание сильно однородных групп S^C : » начатое
в следствии 4.17.- Оно также полезно для теоремы I.I об
однородных Q&1 -группах, поскольку в ней участвуют специальные
кольца. '
38

V *i. Зндотранзитивные ебедевн группы
без кручения
Абеневы группы, рассмотренные в Ь§ х-6, характеризуется тем
свойством, что те либо иные эндоморфизмы (автоморфизмы) сервант-
ных подгрупп групп продолжается до эндоморфизмов (автоморфизмов)
самих групп. Естественно,возникает вопрос: нельзя ли указать
некоторый общий подход изучения всех таких классов групп?
Определение 7.x. Абелеву группу (т оез кручения незовем зндо-
транзитивнои (или слабо транзитивной), если всякий сохраняли*
высоты элементов гомоморфизм •/• Н-~*(х ее сервантной подгруппы
И ранга 1 продолжается да эндоморфизма группы & *ч
Зндотранзитивные группы изучались (*£^обрусиным в [7] и [8].
Их изучение представляет определенный интерес, поскольку оно
позволяет выработать определенный подход х исследование квазиоерван-
тно иньективных, вполне транзитивных? транзитивных и других ебе-
левых групп, определяемых в терминах продолжаемости частичных
эндоморфизмов.
Очевидно, что прямое слагаемое эндотранаитивной группы
является эндотршэитивной группой* Нередуцированная группа «ндотрен-
зитивна тогда и только тогда, к^гд^ее редуцированная часть зндо-
транэитивна. Поэтому рассматриваеЛКалее только редуцированные
аоедевы группы вг оез кручения/
Пусть T(Gj - множество всех различных типов ненулевых эле-
ментов" группы вг,-7^(&). - множество воех типов, максимальных в
Т(&),Л(&)*{9еО/£(0чТ„(&)}.
Отметим сначала некоторые свойства групп, эквивалентные эндо-
трензитивности.
Лекма 7.1. Следующие свойства группы£* без кручения
эквивалентны:
х) группа б- эндотранэитивне;
г) всякий гомоморфизм раду любыми двумя изоморфными сорваятнн-
ми подгруппами ранга J группы б- продолжается /jo эндоморфизме Gr \.
3) дяя лебых а,в€бг таких, что Ц*)*Цё) и %(й)^Х(ё).
существует эндоморфизм, переводящий а. ь ё \ f
4) для лебых И.вёСг таких, что %ъ(&\=%а(6Х • существует
эндоморфизм группы (г , переводящий (I в о .
Из п. 4 леммы 7.1 вытекает, что всякая транзитивная и всякая
вполне транзитивная группа является эндотранаитивной.

Лемма 7.2« Пусть 6г ^Ф <% . или Gr* П вг€ -t аде <r,- -
такие квезиоднородане группы* что .Л($)пП(&[)«ф w* всех i.Ked.
Бели все группы ^ эндотранэитивны (транзитивны, либо вполне
транзит иены), то и группа 6г эндотранзитивна (соответственно грщ*
эитивна, либо вполне транзитивна). •-.
Зндотренэитивные группы без кручения, у которых все
н«улевые эндоморфизмы является мономорфизмами, име«т относительно про--
стое строение. Обозначим класс всех таких групп через df .Из
групп» принадлежащих классу-If, строятся более сложные андот^нэи^
тивные группы.
Леммма 7*3. Если Gr^J/l и Л(6)'+Ф9 то
1) кольцо £(&/=£ является сильно однородным и П(Я*)г:П(6) ;
2) либо /Г(ф/«/ , либо IT(6)fc<*>\- . - \ ш
3) группа^т квазиоднородеа;
<») если (т неоднородна, то, / П(&)1 = <>о ;
5) для всякого fiLT(6r) множество {$*•&! t(g)-f>lv{о}
является4 подгруппой группы 6*.
Теорема 7»4. /ля группы Gr без кручения» у которой все
ненулевые ундомоздизмы является мономорфизмами я ^/1(&)Ф ф 9 следующие
условия эквивалентны:'
к) группа &ъ J/I-\\~^^
2) группа С? транзитивта;
3) группа (г квеэиоднородна и существует такое сильно
однородное кольцо С » что /7{А.у=./7(<5-) и (г является таким-модулем
без кручения над кольцом " » что лгбые два линейно независимые
над £ элемента име*т в ^неравные типы» При атом £(&) — И
канонически. , ^
Эту теорему дополняет такие результаты.
Предложение 7.5. Пусть группой без кручения квазйоднородаа
к существует такое сильно однородное кольцо <- , что & является
Я -модулем без кручения, лгбые два линейно независимых над ^
элемента которого йме*т неравные типы в группе & • Тогда
О группа 0\ транзитиЕка; '- ^
2) есж# неоднородна и для каждого хЛеТ(О) существует -
у^ еТт(&) такой, что у ^jj* , то все ненулевые эндоморфизмы
группы G - мономорфизмы. '.. '
Следствие 7.6. для группы G без кручения следуддаё
утверждения эквивалентен: - 1
40

1) группа Gr одюредне it &£JH ;
Z) группа 6-однородна, трензитивие и все ее ненулевые
эндоморфизмы - мономорфизмы;
3) группа (г однородна,вполне транзитивна и все ее ненулевые
эндоморфизмы - мономорфизмы; . N ' "^ -
4) группа (г является модулем без кручения ранга 1 над таким
коммутативным' сильно однородным кольцом £ , что вое ненулевые
эндоморфизмы группы Ят - мономорфизмы;
', 5) группа &**Я®А'$ где Я «-некоторое сильно однородное
£ -кольцо, А - группа без кручения ранга 1,и,если рА=А $г
то />£=£,- . ■ . * *
Кроме того, если 4 и' Ь справедливы, то Е(&)~%
канонически. ' . X ~_
Рассмотрим далее вопрос об эндотранзитивности прямых оумм и
прямых произведений групп без крученым. . ^
Лемма 7.7. Боли А - сервентное квазислагаемое зндо транзит
йеной группы вг без кручений и все гомоморфизмы ^fiA-^Gr является
мономорфизмами, то А - группа эцдотранзитивиая.
Лемма 7.8. Пусть А 7г однородная транзитивная группа без
кручения, все ненулевые эндоморфизмы которой является мономорфизмами*
4 ~т^щ ^ ~ m ^ , где /£ - произвольный кардинал.
Тогда • , - . - $ , f
х) эндотрензитивная груша, квазиравкая А , изоморфна A i
2) группы А* и А вполне транзитивни.
Лемма 7.9; Пусть ^ - эндотрензитивная группа без кручения,
п&^АфВГ&С ««■*■,'-••.
i) А, В . - оервентные подгруппы группы & ;
~~ 2) все ненулевые гомоморфизмы групп А ЬВ в группу Gr
явлйгтея мономорфизмами;
У).Л1(А)Фф и Л(А) + ф.
Тогда либо П(А)пП(В)'ф , либо группы А,В однороден и
изоморфны. .
В'случае n=J предыдущее утверждение остается верным при
замене условия 2 на долее слабое условие о том, что все
ненулевые эндоморфизмы групп А.& являгтоя мономорфизмами.
С помощь* этих трех лемм можно докеэать основную теорему.
Теорема 7л0г41уеть S - произвольное множество
редуцированных групп без кручения*,таких, что все их ненулевые эндоморфизм
it

мн является мономорфизмами и « М{А)Фф для всех >ltS , (у -
текея группа без кручения, что всякая пара ее элементов
содержится в ее прямом слагаемом, разложи* ом в прямое произведение групп,
изоморфных некоторым группам из Ь , причем для л*бых A.&&S ,
гр>ппа # имеет прямое слагаемое, изоморфное А ©5 .
Тоща следующие утверждения эквивалентны:
i) группа (г эндотранзктиЕная; "
2) группа JB А эндотрензитивна;
3) группа ПА эндотрензитивна;
4) все группы А * S эндотранзитивны и выполняется такое
условие;
СО для л*бых Л. 6 * S таких, что
группы А и А изоморфны и однородны.
Иэ_ эток теоремы внтекегт полезные свойства прямых разложений
зндотранзитивннх групп»
Следствие 7 *хх. Бели зндотранзитивная группа (г бе^ кручения
удовлетворяет посылке теоремы 7.10, то
1) неразложимое прямое слагаемое 6 группы & с &ОМ{'С?)Фф
изоморфно одной из групп из множества S .
2) воля группа 6--&А 9 то лпбое ее прямое разложение продол-
жается до разложения в прямую суми^ групп, обладающих элементами
максимального типа и все ненулевые эндоморфизмы которых -
мономорфизмы; лгСые два разложения группы & последнего вида изоморфны.
йэ теоремы 7 .лС и следствия 7.1л вытекает также такой
содержательный результат о селерабёдьных, векторных группах без
кручения и аддитивных группах колец целых р -одических чисел;
Следствие 7♦12. 1) Сепарабельная, либо векторная группа без
кручения эндотрензитивна тогда и только тогда, когда Л(х)п/7(У)*ф
выполняется для любых друх ее цэизотлорфннх прямых слагаемых
ранга I X и У .
2) Если множество S состоит из групп, изоморфных аддитивным
группам-колец целых />~едических чисел, то группа &■ *
удовлетворяющая посылке теорема r; ,i0, всегда эндотранзитивн-а.
Энл> транзитивные группы без кручения конечного ранга
Для андотргнзитивнои группы От без кручения конечного ранга
всегда J-i(Gr;? Ф . СледоГательно, сформулирован чоГ. вше теоре-
\г

мы 7.4 и 7.10 характеризует такие эндотранзитквные группы.
Лемма 7.13. 1) Боли 6* ~ эндотранэитивная группа без
кручения и А - ее сильно неразложимое квазислегаемое конечного
ранга» то вое ненулевые гомоморфизмы у7-* A—»Gr является
мономорфизмами.
2) Если А - квазислагаемое эндотранзитивнои группы & без
кручения, то 1М(А) G* Jtf(Gr).
С помощью этой леммы доказывается основная теорема об эндо-
транзитивных группах* без кручшия конечного ранга.
Теорема 7.jA. 1) Группа Сг без кручения конечного ранга
является эндотранзитивнои тогда и только тогда, когда имеет место
одао из иких условии:
(О О- f® G: ; где fy - зндотранзитивная группа, однородная
или сильно неразложимая неоднородная группа и n(<rt)o/7(irk)-0
для г Ф к; *
(гг) ^*~^И » где S - конечное множество групп, удов-
л отворяющих условию теоремы 7.10 и утверждении 4 теоремы 7.10/
Z) Если группа Сг без кручения конечного ранга ондртранэк-
тивна, то указанное в (?) ее прямое разложение единственно о
точностью до порядка прямых слагаемых.
Следствие 7.15. для эндотранзитивнои группы & без кручения
конечного ранга такие свойства эквивалентны:
1) группа Ст±■ М\
2) группа (г сильно неразложима;
3) группа G неразложима.
Заметим также, что из теоремы 7.14 и следствий 7.15» 7.1л
следует аналог теоремы Крулля-Шмидта-для прямых разложений эндотран-
зитивных групп без кручения конечного ранга*
Следствие 7.х6. Л^бые два разложения эндотранзитивнои группу
без кручения конечного ранга в прямые суммы неразложимых групп
изоморфны.
Рассмотрим далее взаимосвязи между классом зндотранэитивных
групп без кручения и классами вполне транзитивных (транзитивных)
групп. —
" Теорема 7.17. Пусть Сг - группа без кручения, &;$ ненулевые
эндоморфизмы которой - мономорфизмы и
1) Группа Сг эндотранэитивна тогда и только тогда, когда она
транзитивна и & характеризуется п. 3 теоремы 7.4.
43

2) дня группы & следующие условия эквивалентны:
а) группа & вподае^транзитивна;
0) группа (т транзитиьна и Т(&) ~Tm(ir) ;
в) группа, &. квазиоднородна и существует такое сильно
однородное кольцо £ , что <7(/Г) = П(Хх) й ^является таким
ходулен без кручения над кольцом в , что лгбые два линейно
независимых над /С элемента име*т несравнимые типы в группе & . .
Если для неоднородной группы (т без кручения выполняется^ ','
то £ = £(&) и все ненулевые эндоморфизмы труппы 6- является
мономорфизмами*
Теоремы 7.4 и 7.17- полезно сравнить с теоремой 5.2 . В
конечном счете в теореме 5,2 и в п. Z теоремы 7.17 получается
одси и те^же вполне трензитивные группы, хотя предположения этих
теорем, по-видимому, рвзличн ыГ
Одной из основных теорем, устанавливающих взаимосвязи между
классами эндотракзитивных и вполне транзитивных (транзитивных)
групп без кручения является
Теорема 7.18. Пусть группа & без кручения такова, что всякая
паре ее элементов входит в прямое ее слагаемое, разложимое в
прямее про извел ение групп, изоморфных некоторым группам из S ( 3 -
такое же множество редуцированных групп без кручения, что и в
теореме 7 .10), причем для лгбых различных A.&&S группа &
име т прямое слагаемое, изоморфное AwS* То1да утверждения о
вполне транзитивности (транзитивности) групп Gr <ti A ./f, A
равносильны и эквивалентны тому, что все группы /$е S вполне
тр^.'иитивны (транзитивными для л*бых таких А .В £ I) , что
П(А)П П( Л)* 0 , группы А и 6 изоморфны и однороден.
Из отои теоремы и теорем 7.i7, 7лС непосредственно вытекает
Предложение 7.а9. 1м группы (г без кручения конечного
рг.лга свойство вполне транзитивности (транзитивности)
эквивалентно каждому из следующих утверждении:
1) группа Cr~&iTT , где СУ - .однородная или неоднородная
сильно неразложимая вполне трайЗитигная (транзитивная) группа и
n(Gi)pn(GK)-0 при всех r f к ; -'
2) группа (т - Ф^А , где 5 - конечное множество вполне
транзитивных (транзитивных) групп, все ненулевые эндоморфизмы
которых - мономорфизмы и для лфбых теких А ,& & $ ,. что
П(А)о П(Ъ) £ 0 , группы А .В изоморфны и однородаы.
44

Это предложение и следствие 7.6 позволяет оформулирожать
Сдедотзвие 7.20. Лля группы б- без кручения конечного ранга
оледугадие ожоьотоа равносильны:
1) группа & однородна и ондотранзитивне;
2) группа 6 однорога и вполне транэитквне;
3) группаtf однородна н трензйтивна;
4) (г яждяетоя однородным вполне разложимым модулем без
кручения конечного ранга над таким коммутативным сильно
огородным кольцом < , что жое ненулевые ч$ндомор*измы группы а^являгт-
оя мономорфизмами и при этом М совпадает о центром кольца »
е(&); /
5) C-&-F®А * где F - конечно порожденный егободнн*
модуль над некоторым сильно однородны* £ -кольцом /? dee круче*
имя конечного ранга, А - группа ранга X и -одиуй ~/4 # тр^/^А,
В таком олучае Я совпадает о центром кольца ё((г) .
Предложение 749 для олучая вполне транзитивных групп уже
формулировалось (оледотеие 5,12). Эквивалентность утверждений
2 «-5 оледствия 7,20 сохраняется для счетных групп (едедотзие
4.t4 )ф жив ива ленте ость же 3 ~ 5 -ото известная теорема
Арнольда (теорема 4Л )• , .
Следствие 7,2Ь Группе #dea кручения конечной» ранга, либо
группе Or щ удовлетворяящая посылке теоремы 7«Х6,9Йдотреноит1ане »
тогда и только тогда, когда оно трензитизне» Воли группа (г впрл-
ие транзнтнзна, то она трензитивне (обратное неверно).
Заметим, что группа без кручения ранга X, а также аддитивные
группы колец целых f> «одически* чисел является одновременно зндо~
транзитивными, вполне транзитивными и транзитивными• Это наиболее
простые примеры групп» обладали* токовыми свойствами.
Применяя теперь теорему 7„i8, получаем такое утверждение
дня групп в без кручения, удовлетворяющих ее посылке*
Теореме 1ЛЯ* а) Еоли S - множество групп без кручшия
ранга X (ж частности, в зтом олучае группа (V и>жет быть вполне раз*
ложимой. оепарабельной или иекторной группой), то свойства шдд~
трензитюжооти, вполне транзитивности и транзитивности рарноеихь-*
им и зививаленты тому, что (7(А)пП(&)?ф дяя лпбнх щп иеизе-
иорфних прямых олагаемых A ,S ранга X группы <г.
6) Холи 5 -' множеотжо групп# каждая из которых изоморфна
еддитижией группе одного из колец целых /э«чмзиеоких чисел по
различным простым числам *р , то группе Ф является одновременно
49

эн до транзитов ной, транзитивной и вполне транзитивной.
Из приведенных результатов можно заключить* что во всех
известных случаях эндотрекэитивнея г^'ппа является либо
транзитивной» либо вполне транзитивной*
Поэтому естественно сформулировать такой вопрос; существует
ли эндотранзитивная группа без кручения, не являгщаЛся ни
транзитивной, ни вполне транзитивной?
Для эндотранзитивнвх (транзитивных, вполне транзитивных)
групп легче реаагтся многие задачи (например» прямые суммы и
разложения» кольца эндоморфизмов и вполне характеристические
полгруппы и др.)* В заключение кратко рассмотрим вопрос о соверяен-
ностя голоморфов эндотраиэитивных групп.
Голоморфы, эддотранзитивных групп
Пусть Г -голоморф группы й-без кручение» т.е. полупрямое
расширение группы & о помощь* ее^группы автоморфизмов JuiCr > ч
Для групповых операций групп Г и & пользуемся ад/лтивнрй
записью, а для групповой операции груплн JfuiG- мультипликативной
запись*. Всякий элемент группы Г рассматриваем как пару ($-^ ),
Qt(rf fejut 6т * Груляову* операцию в Г определяем по правилу;
если (gS), (Sfy<) € Г .то ($У) + (§„ Ъ) - ($ + *?„ Щ). -
Элемент» группы Г вида ( д. 6 ) образует иорьальну" ьм
подгруппу, изоморфную группе & , отождествляем ее о Gr , а элементы
гида ( 0,<? У - подгруппу, изоморфную Jul (г, отождествляем ее
с JutCr . 0жешьчежьт,Г=6+Ж1(т, &nJtft&-<(Q,£)>, притом
& является максимальной абелевой нормальной подгруппой группы
Г . ч ' "- -
Рассмотрим .вопрос о совершенности голоморфов эндотранзитив-
ных группе без кручения• Пусть J (Г) , Л*(Г) - соответственно
группа всех, автоморфизмов, группа всех внутренних автоморфизмов
группы Г , Jq{H - группа всех автоморфизмов,группы Г » ото-
; брежа*щих Q на себя, a 3(f) - подгруппа всех автоморфизмов
из Jt(f) , индуцирующих тождественный автоморфизм на & .
Леем Jtn*jyn*JHry9A(n<9jH(n * $П*3(ПJ(Г).
Jpynna Г а^елевоп группы & без кручения - группа без центре.
Следовательно, для докез&тельстае совершенное» группы f недо
покезсть, что j'/П A^(f^fi{f).
46

s*
Заметим» что голоморф Г алгебраически компактаой трупом
6г без кручения совершенен тогда и только тогда, когда ее 2-ад-^
дическая компонента не изоморфна группе 7Х (аддитивной группе
целых 2-аддических чисел).
Предложение 7.23. Каждая из следующих групп G без кручения
характеристична в своем голоморфе Г :
1) неразложимая зндотранзитивная группа;
2) огородная эндотранзитивнея группа ;
У) зидотранзитивная группа конечного ранга;
4) сепарабельная андотранзитивная группа;
5) векторная зндотранзитивная группа.
Действительно» если & в J (Г) - такой автоморфизм группы
Г(Ф) • что G° = G , то &~&,Ф<£9(т*%*Ф£ .где
Gt 4- <(0,6)7 , <% - характеристическая подгруппа группы & и
Ф£*Нот(<%,&£) [». С. W].
Пусть G - эндотранзитивная группа конечного ранга. Тогда
(х =..ф 6: , где (^ « зн до транзитивные группы однородные
или неоднородные сильно неразложимые и П(&Т) О /7{G^) « #5
для г ^ ,*с . С точностью до порядка слагаемых это разложение
группа & является единственным (теорема 7.14)* Так как группа
гомоморфизмов р-делимой группы без кручения в группу без кручения
есть р-делимая группа,без кручения, то по теореме 7.JL4 получаем
Hc/r)(6ffGK)=0 для i t>c* Следовательно, Horn (Gr^Gi) ** Q •
что невозможно и £ характеристична в Г . /
ИЬ««о. что 4^>/>/у = Hnlj(r№r) **(***&
Поэтому выделим далее эн до транзитивные группы, для которых первая
группа когомологии
Лемма 7.24. Если группа G без кручения имеет хотя бы один
такой автоморфизм ? , что й±х:-(Лк+4)+ для некоторых feJvtdr,
/се Z , то //'(Мб,6-)я0.
Следствие 7.25. Для не 2-делимой группы £- без кручения с
сильно однородным кольцом эндоморфизмов В(&) группа
Н*(МИУ G) ф О тогда и только тогда, когда %$/ &¥^.
Предложение *i .26. Для-каждой из следуг^х не 2-делимых
групп Сг без кручения группа ^(JidS.Gj-O i
I) для всякой группы &€М с Jk(G)+0 Ь у которой
£(**)JlE(&\ не изоморфно F\ ;
4?

к) для всякой разложимой однородной мдотрензитивной группы;
3) для всякой эндотреизитивной группы Q*J%-&i конечного
ранга, у которой £^У^/(^) не Изоморфно F^ , где <% ~
неразложимая, однородная или неоднородная группа;
4 Мь воякой сепаребедьной аидотранзитивной группы (г иди
векторной эндотранзитивиой группы ft группа Н (Jui6r*6r)fQ.
Таким образом» из предложений 7.23, 7,26 вытекает, что
следующие не 2-додимые группы (г без кручения имегт совершенные
голоморфы; - \ ._-•''
1} разложимая однорогая эндотрензитивная, группе;
2) зндотранзитивная группа (г конечного ранга,
удовлетворяющая п. J предложения^? »2б. , '
Заметим, что аналоги предложений 7.23, 7*26 имеет места
текла для транзитивных и вполне транзитивных группе бее кручения»
Они име*т место также для относительных голоморфов Г(Ф) ондо»
транзитивных (транзитивных, вполне транзитивных) групп (г , где
<P<dui(r содержит все элементарные автоморфизмы группы jr ц
8 связи о изучением голоморфов зндотрензитивных групп интерес
представляет также такой вопрос; какие он до транзитивные
(транзитивные, вполне транзитивные) группы без кручения определяется
своими голоморфами в категории всех ебеяевых групп или в
категории абелевых групп без кручения.
ЛИТЕРАТУРА .
1. Гриншпон С. Я. О строении вполне характеристических подгрупп
абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули, Томск,
1982. С. 06-92.
2. Гриншпон С.Я.» Мисяков Б.М* О вполне транзитивных абелевмх
группах // Абелевы группы и модули» Томск, 1986. Ш 6. С*
12-27.
3. Гриншпон С,Я., Мисяков В.М. О некоторых классах вполне гран-
активных абедевих групп без кручения // .Абелевы группы и модули,
Томск. 1990. ГЪ. С 31-36.
4. Добрусин И.Б. Кзазисерпантно ииъективные группы // Абелевы
группы и модули. .Томск, 1979» С. 4Ь*6Э.
Ш

6* Добруоин D.B. Квазисервантно югьёктивные абелевы группы без
кручения // Абелевы группы и модули, Томск, 1980. С.< 45-69*
Ь. Добруоин 1)*В. О расщепляющихся квазисорваотно инъвктивнше
Группах // Абвлевы группы и подули. Томск, - 1984. * С. 11-23.
7# Добруоин Ю,Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абедезых
групп бее крученкя // Абелевы группы и модули. Томск, 1986.
Р4. С. 36-53.
8» Добруоин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых
групп без кручения» П // Абелевы группы к модули. Томск, 1985.
£ б. С, 31-41. -ч f , *
9. Иванов A.M. Сб одном свойстве ^-сервантннх подгрупп группы
целых ^«-одических чисел // Матем. заметки. I960/ Т. 27. -
. |* б. С. 859-867. ''
10. Крылов Д.А; 0 вполне характеристических подгруппах абелевых
групп без кручения // Сборник аспирантских работ по математике.
Томск* йзд-во Том . ун-та, 1973. С. 15-20.
П. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения с циклическими р *-
базисными подгруппами // Матем. заметки. iv76. Т. 20. 8* 6.
С.' 805-ЫЗ. .
12. Крылов П.А. Сильно однородные абелевы группы без кручения //
Сиб. матем. *урн, Iv83. Т. 24, IP 2. С 77-84.
13. Крылов П.А. Об абелевых группах без кручения, I // Абелевы
группы и модули. Томск, 1984Г С. 40-64.
14. Крылов П.А. Об абелевых группах без кручения, П // Абелевы
грушш н модули» Томск, 1985. 1° 5,. С. 56-79.
15. Крылов П.А. Неприводимые абелевы группы без кручения и их -
кольца эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. Томск, 1986.
£ 4. 6, 73-100. /
16. Крылов П.А. Некоторые примеры квазисервантно ииъективных и
транзитивных абелевых групп без кручения //, Абелевы группы и
модули, Томск, 1988» * 7. С. 8I-&9.
17. Крылов fUA, Об одном классе квазисервантно иньективных
абелевых групп // Матем. заметки. 1989. Т. 45. $4. С. 53-58.
18* Крылов П.А. Bnojme транзитивные абелевы группы без кручения
// Алгебра и логика. 1990. Т. 29. £ 5. С. 549-560.
J9* Крылов И,А. О прямых суммах сильно однородна lyyim // Изв.
вузов. Математика. H9I. И 2. С. 65-68.
20. Мисяков^В.М. О вполне транзитивных система* абелевых групп //
Абелевы группы и модуля* ТЬмск, 1990. # 9. С. 67-77.
21. Мивина А.П. Абелецы группы // Алгебра. Топология. Геометрия
49

(Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР) . Т. 17. С. 3-63. М., |
1979; '/. 23. С. 51-118. М., 1985.ч ' |
22. Фукс Л. Бесконечные абелевц группы. Т. I. М.; Мир, 1974. I
335 а; Т. 2. М.: Мир, 1977. 416 с. 1
23.' Черников С.Н. Группы с системами дополняемых подгрупп // 1
Ма*ей. сб. 1954. Т. 35» С. 93-128. 1
24. Чехлов А. Р. О некоторых классах абелевых групп //Абелевы I
группы и модули. Томск, 1984. С. 137-152. I
25s. Чехлов А.Р. О некоторых классах абелевых групп без кручения, 1
близких к квазисервантно инъективкым // Изв. вузов. Математика» < 1
1985. Р 8. С. $2-83. - . v - 1
26. Чехлов А.Р. Об абелевых группах без кручения, близких к квази- 1
сервантно инъективным // Абелевы группы и модули. Томск, 1985. ]
С. II7-I27. 1
27. Чехлов А.Р. Абелевы группы без-кручения, близкие к квазисер- j
вантно инъективиым: Кандидатская диссертация. Кишинев, 1985. 1
• 107 с. I
28. Чехлов А.Р. Абелевы CS -группы без кручения // Абелевы груп- щ
пы и модули. Томск, 1988. № 7. С. 131-147. I
29. Чехлов А.Р. О квазисервантно инъективных абелевых группах без V
кручения // Изв. вузов. Математика. 1988. IP 6. 0. 80-83. 1
30. Чехлов А.Р. О квазисервантно инъективных абелевых группах без 1
кручения // Абелевы группы и модули. Томск, .1989. № 8, С. - 1
139-153. { I
31. Чехлов А.Р. Квазисервантно инъективные абелевы группы без Ж
кручения // Матем. заметки. 1989. Т. 46. № 3. С. 93-99. Я
32. Чехлов А.Р. Связные квазисервантно инъективные абелевы группы м
// Изв. вузов. Математика. . 1989. «^ 10. С. 84-87. Ц
S3. Чехлор А.Р. Об абелевых CS -группах без кручения // Изв. ву-Я
зов. Математика. 1990. № 3. С. 84-87. Я
•34. Чехлов А.Р. О прямых, произведениях и прямых суммах абелевых Ц
QC&f -групп без кручения // Изв. вузов. Математика. 1990. IP Щ
С. 58-67. ' ^ 1
35. Чехлов А.Р. Об абелевых разложимых QC?I -группах беа круче-щ
я - К
нхя />-ранга > & ° II Абелевы группы и модули. Томск, 1990. ж
К? 9. С. 125-130.. -1
36. Чехлов А.Р. Абелевы группы без кручения конечного р -ранга с 3
дополняемыми зг>кнутыми сервантными подгруппами // Абелевы группы ||
и модули. Томск, 1991. 1* 10. С. 157-178.
50

37. Чехлов А.Р. Об абелевых QCS -группах без кручения //
Абелевы группы и модули. Тоыск, 1992. № П*1&С. 240-245*
38. Arnold д.М. Stxonatu Aomogeneous tatsion-kec oSeiian,
pjoups oipate *an£/Pw/fmet.AtotAJce. &&ГЖ PM-nt.
39. Avwcd Л М. Finite tank iotsion-ftee aSe&an otoups and
tings lectute fates Mctlk. f№. V. W. &*p>
40. A%HotdbM.f O'Btien, feidf.0. QvoM-pwe inpctitre and
/ywjeeutre totsian-Aee aSe&an, otcvas d finite tani//Ptcc.
London Math. Sac. WW. кД Я*з. РЖ-SM.
41. Atnotdd. M., VinsonAa&b CL, Wic&tess W.f. Quati-pute
fncjeetoe ana in/ectoe tatsion-fiee ageiian groups ottanl if
Rocfy Mountain f.Math. ms. V.6. P6f-fo.
42 BeaumontЯ\A.,Pietce/lS. SuStings d afgeSiaic numSex,
fietds/ActaJbi. Ataih. Szeged, W. Ш. P. №-**$.
43. BenaSdaffah K. вип/pes af&tiens sans totstot. Moattdair***.
44 BenaSdattak K., iawcke А. Sut й ptotieme Я de L. FucAsff
Am.Sci.Math.Quefec. mi V./. d*t. P.S3-6K .
45. BenaSdaltaA X., iawche A, les gtoupes aSe&ans qaasi-ptns
injeetifs sans tozsion, cmptietement dicomposcfStesjf/(end. ntath.
тцпт. к а. и/* *-я . л т-лк.
46. Вег&паШ£ W.t fad 2. Quasi -pirie-putieefid and infective
etovpsf Ptoc. Amet. Math, Sec. mf. V. €S: de. fi fM-№.
w.duQas #.,House*, p. Totsion-fiee Erunisetia£gutops ф
infinite tanlJfeoniemp.Mati. g». VJf. P. W-W.
48. Dagos M,\ ShttaK $, £~t%an$ititfe otoups in LgContemp,
Math, №9. V. 87. R m-№. я
АЯ.вгагс/ьег B.$.9&iewaifM. ZnJecuvesfct "tingtnonemotpkismsi
with accessiSfe imagesг11Сотпшп.А^антЛйгНЧгР0$'т.
bQ.Haus€n,& B-ixan&itive tu%sion.-fut atk&wv gu*fi$#f.
AfyiBta,. 'm*. tm. d*f* p.n-*t.
51. Hocasen f On, Siwngtg LvtedueiSU IcxsLoti'-ftee ale&an,
&ovpsff ASe&an gtoup йеаш, Sauton, cuat ВьемЛ, Alenct
TvStisfow, МопШи*. /т. P3ff-3S8.
Ь2. Kaptan,siy Л Snfinitt ЬВе&ал, fwups.-Anns.AtSov,
Michigan. t9S4 9{p.
53. foyamCL T gbWUuZ. On topotoaicaC methods in ASe&ouu-
pmps// Etudes atoupes aSe'fienS. /968. Р.Ш-Ш.
Ы. Muxtt^ C£. T*e classification- o$ eettcbbn, ctasses <#
51

buiujue ottfa* pcups/flacif. f. Matt,. $U. V.W. 4»,«ЛМ#
йв.ЛШ+Ж 0*Ш\1л$ $^i-eKdomoyAUmcf&totstoi-tttt
juupt Topics in, akfan. Sunfs, OUeaf? ДО, KS149.";
56. /W f Д 4fe£e» доДО сж&с от, Шь вмЬюглШщ,
%iwg lecture KoWMaik. 'Ш. V.m, Р.т-Ш, '.
w^lticimn, К Actas* atwiA'tteuiOb-ftte QwpsifSttidlcs
to* Шшл, фетр. SpUiyex, №. P. W-M9. '.,•
sz

ПЕРВЫЕ ГРУППЫ КОГОИОлОГИЙ НАД АБЕЛЕВЬ&Ш
ГРУППАМИ БЕЗ КРУЧЕНИЙ РАНГА 2 -
й.Х.Беккер, Е.В. шапоаникова
В данной статье изучаются первые группы когомояогна #?#*£)
над абелевыми группами & без кручения ранга 2, где Ф tf Aut в- ,
а также над Sd -сепарабельными. группами 6 , где S^ - система групп
ранга J или сильно неразложиыых групп ранга 2. Црк этом применяется
метод из [I], основанный на использовании взаимосвязей незду
свойствами абелевых групп без кручения и свойствами юс групп
автоморфизмов. Обозначения соответствуют принятым в fl].,Напомним некоторые
из них: ЕЧФ,(*}- группа всех скрещенных гомоморфизмов группы Ф
в группу & , в¥(ф ,в)~ подгруппа всех главных скрещенных гомомоть
физков группы £* в группу & , Jf¥(4^^)-Zf(^fff)/3/C^,S^-
первая группа когомологий над # .
Цусть S - не 2-делимая группа без кручения ранга 2, Г(6) ~
множество всех различных типов элементов группы & . По
классификации Д. Арнольда [2] & принадлежит одному Ъз следующих классов групп:
1) если \T(S)l - / , то aj либо 6 сильно неразложима и ее
кольцо квазиэндоморфизмов $£(£) есть квадратичное поле- (Si(Vd) ,
б) либо &*А ФЬ , где Ш)*МЗ)Г
2) если 1Т(в)1 »£- , то а) либо & сильно неразложима *4)фЕ(Ю*_
65 шт*)й£(6)*[ (их ) ; л,уе<И}) 6) тбо 6 ± А ® 6,
где UA)<U&); *
3 > если / Т($ )1а3 , "то а) либ о £ сильно неразложим а к ф £ffi) ~
66 , б) либо G почти вполне разложима и @£((х) - U х (Ц '
ч) если lTCG)i>3 , то $ _сильно неразложима и &£(&) & &<
При этом для сильно неразложимой группы £ без кручения ранга 2
кольцо ее эндоморфизмов £($) коммутативно ва всех перечисленных
53 ' ". ~
у .

случаях•
3 случаях 2а,Л, Да и ч действие всякого эндоморфизма группа 6}
нощо рассматривать как умножение & на некоторое рациональное
Число, цоэтому в каждом из этих трех случаев группы Н*(Ф,6) *0
fli С. 115]'. известно также, что в случаях ip H f(P,(r) яО ♦ 20
Н ЧФ^б*)* О при условии, что# содержит хотя бы один
регулярный автоморфизм из центра С(Ф) группы Ф fl. С. 119],
рассмотрим Сначала* случай 3,6 как наиболее простой, Цуоть $-
почти вполне разложимая группа, Г(6)9 { %i > ?л 9 */ П Z& J.
Согласно [2. С, 37J существуют 0 + *$$ и сервантные ранга I
подгруппа А и 5 группы # такие,~что К&£ А Ф& я G . Причем А9
sG(ti) , &*G(tg) 1 Следовательно, А и /5 - вполне характеристик
чеокие подгруппы группы £ . и вопрос о равенстве нулю группы
Н*(Ф£) легко сводится к вопросу о равенстве нулю одновременно
группНЧФ(а ,А) и НиФ/й ,6) щ действительно, легко проверить,
что всякий скрещенный гомоморфизм /€<*'(Ф,£) индуцирует скре~
щенные гомоморфизмы (Я
следующим образом: если /^*0; *f*e+f *?еФш йбА r te$ f
*°tdti9*t *м ft 9* * fA€ Ф/а > *?& € *v 6 • пусть
Н*(Ф*6)*0 . яо НЧФГа /U О . 1?л*ЗЧФ/а,А) . тогда
fCiUPtGll ♦ /¥*/* ?а RW любого у>е# не является
главным! тек как ь противном олучае в группе 6 существует элемент
9$А t *$*&+t , 6*0 такой, что f(f*(£-<f)Q для любого
Г*Ф • тогда Kff-(irY)Ut6) 9 A* (*?<f-(e-f)a) *
*(£~¥) fe & для любого *f€0> Значит, 6=0 .Противоречие.
Пусть теперь НЧФ/а >А}* Q и Hf(ty& ,&)*0 . Яокажеа, |
что Н*(Ф96)*0 «Пусть это не так и /ft 6 *(Ф,6 ) . если при ;
•том Ф/А **'<<?> и Ф/Л t < £> , то сразу получаем
*б т4о//*(Ф/Л,&)* & # таи как по крайней мере одна изотрут j
А и б не 2-дедима ft. С, ххзД. Пусть Ф/А f <<?> . а Ф/л *<<?>•. \
Имеем /Аеб1(Ф/А ,А) ♦ Следовательно, существует элемент ОФб0еА
для некоторого Ъ*Ф * t% *$* ,*#**&*+#„ . но тогда /
индуцирует ненулевой окрещенный гомоморфизм А * 2 НФ/& ,в)*0 .
Противоречие.
i I« Случай-однородной сильно неразложимой группы
Пусть $ - не к-делимая сильно нераздожимая однородная абелева
* групла без кручения ранга 2. имеем йШ) * Я ИЗ) -
квадратичное поде,и,так как <Ц£($) не содержит иильпотентных элементов, то
54

всякий эндоморфизм группы Q является мономорфизмом £33♦ Следова-
уельно, грулпа # является регулярно полной (т. е. всякий её
автоморфизм <f* 6 регулярен, и>$ А^ для любого элемента 0?4€$')1
ДалееЦ группа <P*AiitG изоморфна подгруппе группы чС^д)?
мультипликативной группы поля й (/сГ) . О мультипликативных
группах полей алгебраических чисел известно» что они изоморфны группе
1{ш)кП2 . где fit- четное число, 'Z(m) - группа обратимых
элементов максимального порядка поля [4. С. 368]. Согласно [5. С. 179]
для поля Ull/З) группа Z(/n)2Z(2) :,£(/п)*2(4) mmftn)*
&2(6) в зависимости от d .' значит, Ф^ £(а) *Д2 , >. где л*
* 2,3,4>6; 131 £ &й ♦ В случаях fi- 3,6 группа^ содержит
регулярный автоморфизм нечетного порядка, поэтому Н1 (Ф>&)*0 £1. С. 108].
Лемма I/ Пусть d - регулярно полная абелева группа без кручения
с коммутативным кольцом эндоморфизмов £($) , Ф*<^>ХД *¥{>**
^Zin)K^Z , nslfi ё группа-Н'(Ф,£)*& тогда # только Фогда,
когда существует такие ненулевые элементы Л , й- ё$ , что
g*tJm<*~Mr to
fits* се-ю; сю
доказательство* Щготь Н*(Ф>&) ±0 к>/ё&(&,&) . ?ак как
? tf{ , tef - Регулярные автоморфизмы й С(ф)*Ф ч то /& *
из коммутативности группы Uirftf следует» что /$ ft */ft ft
отсюда (£-%) $i *(£•*?{)§<, ~для любого i*£ ;
Обратно, если указанные в условиях М леммы 1 улекеиэд 4 ,$.
tW ., существуют, то отроим отображение / из Ф*<КЬ>*/7„<¥£> '
в группу tf , полагая /& я$0 > f¥t*$i * **? * Легко видеть,
что f является неглавным скрещенным гомоморфизмом группы Ф в
группу & .
Т.е. всякий неглавный окрещенный гомоморфизм из Ф*<¥д? к
*/7 <^> б # индуцирует неглавные скребенные гомоморфизмы из
t&3<%> в 6 и из < у* > ъ& » *'£/ . И наоборот, продолжая .
естественным образом (т«е. на основании определения скрещеяного
гомоморфизма и разложения всякого автоморфизма уеф в
произведение степеней % и .<fL , rtJ неглавные скрещенные гомоморфизмы
из < У£> в (J и из < ?/ > в# , удовлетворяющие равенству ОХ
получим неглавный скребенный гомоморфизм из <<^>>Jt/l *Vj> a 6.
f„ замечание к. При прочих условиях данной леммы, если Ф ~
конечная группа, то Н1(Ф>6) *0 тогда и только тогда, когда Ф*Н&\
ЪС* или ВТ [I. С. mj. В частности, НЧФ*Z(H) А)* О,
НЧФ~Кч),$ ) + 0 . ШопнжеФ»Л£ ,. мгруппа Н*(Ф,4)*0
тигда И только тогда, когда существуют такие ненулевые элементы
-55

ft.e$ ,i£7 . что g4$'УЛ(£- £•) для любого ie3 и
&~fy£f*(£~fj') 9i /' для любой пары элементов Л ,9; ijej
Рассмотри* теперь НЧ<Р,6» , где ф'< %> яП% f£yГ", v
Wtbjt:@£m>-»a(№y ,/!(%)• m^t ait 13 , Zm< ,2mteZ
jHfi)mbi*&i № ; в( . ${бЦ .При этом ъ случае <У£) -£
% =»-<? , так как $ - регулярно полная группа без кручения;, в
случае <*/,)«« «fo> -1% ,fS ^'е, К* — «& » f? "* i ,
Л4"^> mtat/ . Я — 1 • Пусть далее $1(6-%)* 1-ar6Lif3. «
число «/ является произведением степеней тех простцх чисел /> .
из канонического разлокения наименьшего общего кратного чиселt^fS£t
для которых p$*G , #i - произведение степеней тех простых чи- -*
сел f , для которых aQt(* . Обозначим П*М~Ъъ + £11В)е£(6).
Так как Ъ$*& , rofiet . Пусть f * {t/ief, (t-% )££№)}G .
&3 • AjMkfce 22 , ieJ . обозначим bi94f « Тогда £я s
••{f6&f*£$€'?* Vi , i€ $ } ' - .подгруппа группы & , возможно
нулевая* Заметим, что условие AJm 9i *Q (например, когда-^<
Теорема Э« Д>сть tf - ве 2-делимая сильно неразложимая однородна!
абелеве группа без кручения ранга 2, Ф* < Vp> *й < #> ~
*&*}*$? , ** г.*. ч *
I.B случае л»2 группе // (Ф,£)*0 тогда и только тогда,
когда foeZ2 для любого ief ъ &HtO .
2, В случае л-4 группа Н*(Ф,&) *О тогда и только тогда,
когда }fi *Ы дяя любого ie$ *(£+X)? t£(6).
•Доказательство. I. Пусть Н*(Ф,6У+0 Г По лемме I существуют
ненулевые элементы 9at9ie^ • t£t^ такие, что справедливо
<*i*tiff)U*M '*и~щ£—freZG . следовательно, -^А-у**
*2вг и УУ "ип *fi6ti г i€j . Покажем теперь, что'49**1. Ц
£#" . Следовательно, ОФ о9е <*н*
Обратно. Бсли^б^г , Л/ и &н*0 , то в качестве элемей
тов 0Р , tft- , £€# > для построения неглавного скрещенного гомо -
морфизма возьмем элементы O+fye GH » ^e# 4?^jf^o возможно ,
так как 5 не имеет 2-делииых подгруппой ^» * i e

K-i ^f „' «-год» <*-ъ)4>,& ■-■
ДЛЯ tej . ч
%. Пусть {4&ЧФ,&) . где Ф*£ {*)*££ - Тогда по лемме I
существуют ненулевые элементы #,#€#' , t*J . для которых
справедливы условия 1-3 леммы I. Так как эндоморфизм {£+/*)
является мономорфизмом, то из условия (3) получаем эквивалентное
условие * ft •/m'f(t*&X(f-*i)-fifiti f* ."3- <*>
Orma имеем и~'[(П ПХ('-*1)-М*ХЬ**€ЯУЗ*, -
иначе нарушается условие (2). Значит, V/ «/Vе** ' £е?- •
условие # *4£ )4 ££(6) очевидно выполняется, в противном
случае вновь нарушается условие (2)».
достаточность* Для построения неглавного скрещенного
гомоморфизма из Ф &Z(4)*jQ2 в бг необходим набор некулевых элементов
$0>9%€& • Z*J * для которых выполняется условия (1)#(2)»(*).
йокажен, что если все числа fi , <€$ четные и эндоморфизм
£ +¥* 9t*4l*~ У~() не делится на!» в кольце £(£) , те
эндоморфизм UtbM-ri)*/r<EvtfTX(t-*i>-b1:*')lr .
iej , сам делится на 2 в кольце £16) * Действительно* условия
(t<f0$ 2£(6) и Я&+& означают, что кольцо £(6) не ведер*
хит эндоморфизмов вида A "VfK># Iе?) .ff(f *-*f=7)i
?ZZ . To^j? *JtTFi*) = (1+lFn*{mf + *< ГТ > , w ,
M/ tn<€ £2 • Это влечет/*'*/* Iе? уе££(6щ> m zwm/tm<(f +
+tnFTe £($^ .v«fe£(&y ; ecnH/f-fa *£**)* Ж),
где /&tf-?£ , то /•*' V-e£«i) и (S^-iе£(&У . Далее,
?'^Я) ф<*г~Ь FT)]* jff^[(^t£oHiKf-£i)Y=f]
и условие Д * -*%*У ' £<?£ влечет ^ * /* ) , £t *t - <j )« £?,
**/ . Кроме того, (2, #£) «I. таким образом, эндоморфизм
/г'/Y/i Wya-b^-di-fDl делится на 2 в кольце £<£),
tfcj . Теперь дл;. построения неглавного.скрещенного гомоморфизма
достаточно, взях* элемент # ^ Л Ф Яь flmfU+ Iе?") и вычислить
•/f'Rt-di ->r*i ЮЗе •ee& » T0 ('* T*)§»e& ,
поскольку £ - y£ - вономорфизм. Следовательно. 90бУя/«'*({?■£?)
вопреки Bttdopy.
т

$ 2. Случай сильно неразложимой группы G с 1Г(в)Г^2
Пусть 6 - не 2-делимая сильно неразложимая аЗелева группа бе?
кручения ран*»а 2, ITY5) 1*2 и {&£«*)&& . напомним, что
кольцо квазиэндоморфизмов такой группы &Е(6)& ((%£ )}?
Х$У€&} • Пусть ffiffc} - максимальная линейно независима^
система элементов группы G и ^/)* £/*****<$*) • тогда
^ Si<9z>^ - вполне характеристическая подгруппа группы 6 и
^ *26 . Если #/<k I* <<f> , то #'<Г% , 6Л ) И 0 . Пусть,
/л#SUtyfafGi) . иостроим скребенный гомоморфизм /€#'(Ф,&)
следующим образом:/f» £ У/^ %ф$Ф . покажем, что /£ -
*В1Ф,&) . Предположим противное. Пусть f<f*(£-f)a, Аля
любого у>€^ , u*(al)e6 . <*• ,^£Й и Д,*0 , так как Я*&
далее, #-*>**/'-* * \/f*<W"~*;a' V <?*
Отсюда (1-х) di*Q , •* * / для любого у>^#. . противоречие.
Таким образом. //5'(Ф,6) и Н<(Ф9<*)*0 .
Пусть теперь ^% * 5/?* • <forAa всякий автоморфизм ^£ <Р
ДО # • Будем обозначать это
то для любого уеф имеем
f<f*(t-<f)a*(§S) (%) »($а,)'с4л • ™* **<&):# V^«J
Замечание 5. Вели /£ш0&) * ^ АЛЯ некоторого #*<» ,/е Я
й2*(Ф76) , то {*?*($) мм любого /<?# /Действительно, пустЦ
' Таким образом, для скребенного гомоморфизма / имеем
>\б* ih2'l<P,G) ; П • (i) , * * Of **9- * i
Рассмотрим множество скрещенных гомоморфизмов// . легкр видеть,
что А является подгруппой в 1НФ,6}
Лемма 6. А«бЧФ,й).
Доказательство. Покакем оныала, что для Is А отношение у""^/
явяяетоя константой, где ¥-*(£$) , /¥"(£) , Уеф.
тгь ъ-Ц0 f) .H*(p.y.*f fat ,£.$£
Для любого у-^ (fa f) . ?еФ . имеем V"1 — 6& /) . В том 4
числе для- <f6 имеем Т0 -+»(l f) • Тогда fe**(f"* . легко поли
чмть по индукции, что для любого V^tf* //?af/>*)» если
53

/л/|\ S*/lf . Тогда инеем /У **«/И* e (&*, ) ,
'шее в группе # имеется элемент <*«(£/) , так как t(eA*Zf.
J* дабето КФ имеем /Г»#) " *?*&'*)*>••($ $)(&)*
*(»)• ^так* ьсякий /е^ является главным,
'пеоейдеи х рассмотрении множества-скрещенных гомоморфизмов.
• (Ц - некоторые
только тогда, когда
ЪФ> w-ii 18) •где <хь^: *-
фуйкШги. #,сг# • W этом ^;-Д тогда и
U» О . Тогда из определения скрещенного гомоморфизма получаем
следующие условия: *(У*г) *<*($) + *(*) (2), jHy*£}m.
*р1у)+У*(Ъ) tfttzj (3). Предполагая функцию 4?IR -**$ .
всюду дифференцируемо^ интегрируемой, легко получить, что
Аф ж c*f %celR удовлетворяет условию (2). Тогда при тех же
предположениях относительно функции р<у) получаем fl(jf)m
*§У*+^У • ^ • ^^^ • Заметим, что полученные функции при
рациональных значениях аргумента и коэффициентов не выводят sa
пределы множества # > поэтому они удовлетврряют условиям (Х),(2) и
(I), (.^соответственно. Покажем теперь, что полученное решения
единственны. Для этого убедимся, что по заданному значению «(£/)»
*№&> d(y) удовлетворяет условию (2>, определяется значение *(i)
для любого и€ & . Действительно, M&)9*t(0 + М<) *&& .
Пусть для nelH din) *ль . имеем * (**0 * *t*) +*(0 m
•(п**)& . итак, 4(п) 'Ме для любого мМ . заметим,' что
МО) * U (О) , отсюда МО) - О . тогда МО9) ** С /- О "
*МО'*Н), d(-*)*-а, , <до)«-**> , пйН . далее. МО*
*(}*{*-* Г>**<0 • значите(})-f*, $*Л-
Таким образом, если «tfyj - произвольная функция,
удовлетворяющая условиям (I), (2), то можно утверждать, что 4(f)* оу f
Г*£ £'*(*) • Аналогично мокно утве^дать, что функция ft(#)m
*ti*ty ; с , deU является единственной функцией,
удовлетворяющей условиям (1),(2)*
_ Из приведенных выле рассуждений непосредственно следует '
Теорема 7. Пусть $ - не 2-делимая сильно неразложимая абедева
группа без кручения ранга 2. у которой 1Т($)1 *& , Uffl)*& ,
<P*Jut$ и Щ^ л <г> л в таком сяучае группа н'СФМ+О
**1АШ W/5KVor**' К0ГДа *ля некоторых Of С >d€0 элемент
«1 IV *№% *cL}f)9i. существует в группа Ф для любого
нап^ер, если типы tu *i * TCG) таковы , что tt : Г, й t4
И(гг-Г/Г<гг , to Н<(Ф,6)*0.
m

Цуоть Sj,m {&• } ceJ - система абелевых групп без кручения, " Я
где $i - группа ранга I или сильно неразложимая группа ранга 2;
У *• произвольное множество индексов; S® - класс всех групп, pas*
дожимых в прямые суммы групп, изоморфных группам из <^. Покажем,
что-jj^ замкнут.относительно прямых слагаемых. Группу £ без
кручения назовем «^-вполне разложимой, еоли она разлагается в прямую
сумму групп, изоморфных группам из $л • Группу £ назовем ^-сепа-
рабельной, есяи любое конечное множество ее элементов можно включить
в S/-вполне разложимое прямое слагаемое группы & . заметим, что не
всякая Sz ^селарабельная группа является «^-вполне разложимой,
например, пусть G* ~ не вполне разложимая однородная сепарабельна*
группа без кручения нулевого типа, $i - сильно неразложимая группа
ранга 2 из 5г . Яогда группа £ *&i Ф 6' является ф -однородном ~"
&ъ -оешфабедыюй {т.е. всякое прямое слагаемое группы 5 , изоморф-*
ное некоторой группе из Si » изоморфно 6ц ) , но не S^ -вполне
разложимой [€}• Заметим также, что всякое прямое слагаемое ^-сепара-
бельной группы является также ^сепарабельной группой* [7J.
Рассмотрим далее «^-сепарабельнуо группу И , обозначим через
Ql6) множество всех прямых слагаемых группы & , изоморфных группам ||
из $*. Назовем группу A&QG}) изолированной ъ£2(6) , если в
JQlG} пет такой группы В , что М/п,(А,В)* О . для группы $
назовем множество £}(&) бО-точным, если для неизолированной
группы 4е£Ц($) условие Нот,(А,5)?О , 6e£(G')
влечет существование хотя бы одного такого мономорфизма&'А>-*Ь9
что 9т Т1 является 2-сервантной подгруппой группы 6 . Систему групп
5д, обладающую таким же свойством, назовем £-£а-точной системой.
Используя лемму 2 из fe], можно строить различные £д-сепараоецьмые.
группы £ о £*£)-точными множествами <»2(#). ч
Пусть далее Ф^ЛиМ* , т£*Ф и Ф содержит все элементарны*
автоморфизмы группы # ♦
Обозначим через Фд подгруппу всех тех автоморфизмов подгруппы 71
группы S . которые индуцированы автоморфизмами из 4° .
Сильно неразложимую однородную не 2-делимую группу ранга 2 (*{€
eQCtr) назовем группой типа J^-', если Ф^ = XU) *Д2 и
НЧФе* i&l )*0 ?.е. нарушено хотя бы одно из условий теоремы 3
пункта*Ь - типа i><*>, если Фщ. * №) * Л 2 ж НЧФ^ ,.6{)-0;
~ типа D(g), если Ф§1 *Z(6)* £Z или Фа. » £(6).
Аналогично,как теорему 7 из £9Jmokho доказать такую теорему;
60

Теорема 8. Для «Sg-сепарабельной не 2-делимой группы $ о
поточным множеством £2(6) группа Н (Ф,$) *0 тогда и только
тогда, когда каждая изолированная^ не 2-делииая группа из Q(S)
является группой типа D i Л или Л(6*
Следствие 9. Для всякой не 2-делимой ^--однородной J[g-cena-
рабельной группы £ группа Н'(Ф,&)яО .
Следствие 10. Гв, теорема 3J . Для не 2-делимой сепарабельной
групп G группа НЧФ^&УО тогда и только тогда, когда. ^2^) не
содержит не-2-делимых изолированных групп.
для не 2-делимых менпрямых сумм G , построенных из групп &d , %
изоморфных группам из (-£*) -точной системы 5^ , имеет место такое
Предложение II. Пусть & есть не 2-делимая межпрямая сумма групп
&J, , изоморфных группам (*£ из 6£)~точной системы ^,и 4
2-сервантна в МФ* • Если среди групп 6* net изолированных не
2-делимых групп, отличных от групп типа Эи), Dm или Д{** 9 то
группа
Следствие 12. Пусть не 2-делимая группа GmdQfi< »W &л
изоморфны группам из Sz и S& х(вг^}^€^ -N (*£) -точная
система групп. Для такой группы G группа НЧФ,£)Я О тогда и только
тогда, когда в & нет изолированных групп, отличных от груш* \
типа Du> . D(tf> или /М*> .
Литература -
1. Бехкер И.Х., Кожухов С.Ф. Автоморфизмы абелевых групп без
вручения. Томск: Нзд-во Том. ун-та, 1986. 169 с.
2. Axnotd AM. Finite гал£ iotUon. fte* aSetian. quk/PS
W <unf*// LNttrmZ -V. M -ИЯр. * .
3. Reic/ J. 3. On. Ue ting of ftasl-Mdo/notpfusms of tettion-fue
qxovpstf Topict uf Jke&Qfb оюг/ps. CAieaja , WGB .
4. Фукс л. Бесконечные абелевы групиы. Т. 2. Мл йир, 1977» 416 с. .
5. Боревич з.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. И.: Наука, 1964. 566 с.
6. Fucks L., Uljden 6. A oenexd&iaUon of separatee Uttion,-
-jiet абе&сии qxtupsi2e*d'. 2*»>- Mai. ****** Pactoto,#*S.
v. ?S. P. ff-*t. - ,,
7. RatujcLSwQ/ny k.m. On C-sepaxaSCe абейап. guxjpsff
ч Comtn unccctt conS Uu QrCfjeuXCL., ' 498?. УУЗ, N$.
8. Беккер И.Х. 0 группах скребенных гомоморфизмов групп
автоморфизмов абелевих групп без кручения // Изв. вузов. Яатем. 1973* * 7.
С- 3-11.
61

9. бекхер И.Х., Шапошникова Е.В. Скрещенные гомоморфизмы в J -сепа-
рабел>лые абелевы группы без кручения // Абелевы группы и модули*
Томок: Иэд-во Том. ун-та, 1991. Вып. 10. С. 9-1$.
&

)
\
О ПУЧКАХ АЛГЕБР ФУНКЦИЙ, ШРОВДЕНШХ ОТОБРАЖЕНИЕМ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В.И.Варанкина, Е.М^Вечтомов
Введение
' в статье рассматривается определяемооть отображений
топологических пространств ассоциированными с ними пучками алгебр функций* Эта
задача имеет своими источниками тему определяемости топологических
пространств различными алгебрами функций на них /см» обзорную работ
Tjr Е.М*Вечтомова flj / и общую топологию отображений, развиваемую
Е.А.Пасыпковым, начиная с работы {£]. Первый результат в данном
направлении получил Б.А* Пасынков (3), перенеся на отображения
известную'теорему Ю.Нагаты /см. [I, С. 32 J / об определяемости любого
тихоновского пространства X топологическим кольцом Ср(Х) всех
непрерывных вещественных функций на X с топологией поточечной сходи-*
мости» йленно, в [3] анонсирована следующая теорема: произвольное
непрерывное отображение' f тихоновского пространства X в
^-пространство У определяется порожденным пучком топологических колец
Cp(f~ U) , U пробегает открытые множества в У с
гомоморфизмами ограничения.
Мы докажем теорему переноса /теорема I/, позволявшую, исходя из
определяемости топологических пространств различными алгебрами
функций на них, получать определяемооть отображений топологических
пространств пучками соответствующих алгебр функций. Результаты об
определимости отображений пероященными ими пучками алгебр функций ооб~
-раны в теорегле 2. Выделим результат об определяемости всякого
отображения произвольного тихоновского пространства в Т0-пространство
^соответствующим пучком модулей всех функций над кольцами непрерывных
63

функций» Последний результат обобщает на отображения теорему I [4]
об опрелл. кемости произвольного тихоновского пространства X
модулем R всех вещественных функций на X над кольцом С(X) всех
непрерывных вещественных функций, определенных на пространстве X ».
Приведен пример непрерывного отображения f .' X "*• #, компакта X
на связное двоеточие 04 с изолированной точкой I, не определяемого
/vir\ ,/»/>-//Л /IV .. rtr-lt4\\ '
пучком конец С(Х) 9C{fHQ> t)) и €(/'*(О) с естественнш
гомоморфизмом ограничения €(Х) —+-Clf~ (О) » с тождественными
изоморфизмами С(Х) —~С(Х) и С(/~'{4))~**С(ГиУ). Этот пример
указывает некоторые границы применимости теоремы переноса и показывает,
что теорема об определяемости компактов X кольцами С(Х) ,
доказанная впервые И.М.Гельфандом и А.Н.Колмогоровым [5], не
распространяется непосредственно на отображения компактных пространств.
f
Определения и обозначения
Пусть А0 - фиксированное множество с, выделенным элементом О •
И пусть на некоторых топологических пространствах 2 определены ал-,
гебры А (2) А± -значных функций, области определения которых яв-
ляжсяПкданожествами в Е . Под алгеброй А (2) мы понимаем
непустое множество функций из Л в А0 с фиксированным набором
действующих на этом множестве алгебраических операции. Все определенные
алгебры А (2) однотипны /имеют одинаковую сигнатуру/ и могут быть^
или дискретными, или топологическими. В конкретных ситуациях А0 -
топологическая алгебра и алгебры А (2) однотипны с ней.
Топологическое пространство X назовем А0 -отделимым, если для
любых различных его точек Х1 и xz найдется такая функция к из
А(X) , что A(xf'y«о tA(%)to или A(xfytо , А(*л)-0 .
Изоморфизм Л меаду алгебрами А (X). и А(Х() назовем
^-индуцированным, если существует такой гомеоморфизм / -пространств /
и X' t что я W *0 . равносильно (*Ау(?<Т) ~Р при любых
хеХ и АеА(Х) . . -
Для произвольного отображения / • X -** У топологических -
пространств через A(f) ~ обозначим пучок алгебр функций A(f~*U) у
U - открытые i .ожества в У , с гомоморфизмами ограничения ^цу'"
A(f~*V) mm*m(f'i W) • где ^U & V - открытые множества
в У . Шенно, du)(i) я Ajf-tu - ограничение функции А на
Г'« , а ЯЦ) - лредпучок на У , если говорить строго /см. £б.
С. II-I5J/. Мы,однако, употребляем термин "пучок" вместо^"предпучок"i
тем более, что в рассматриваемых ниже случаях и* тп непрерывных /
61

jf/f) действительно являются путами.
цуоть наряду с пучком М/} даны отображение Ui X*-~ У то-
^ _ jf^y алгебр фу-
ограничения
Пучки J(f}
Zu*XiQ) " называются'изшорфными, если существуют таки?
гомеоморфизмы 7: У Т *' и изоморризш алгебр /„ : A(f'U) ^MfHfU))
лдя открытых U в У , что для любых открытых tffiK« У ,
tt'»/U ъ V*~fV имеем {и**уу "AV */V
Отображения / • X j-~У и О: /#-** У' топологических про-
отранств называются гомооморяпшли, если существует пара
гомеоморфизмов f:X-^Х* ъ Ч* 1У — У9 , для которых
справедливо-равенство V * f л Я ° ¥ • Далее X и X' имеют один тип отделимости*
Скажем, что отображение / .' X -*" У .* топологических пространств
определяется пучком алгебр функций Aif) , если каждое
отображение д: X *-** У' топологических пространств, для которого пучок
алгебр функций Mf) изоморфен пучку J{f) , гомеоморфно / •
Теорема переноса -
Теорема I. Пусть / - произвольное отображение -Лф
«отделимого пространства X в Т0-прос?ранство У . Тогда, если
отображение g: X#-** У топологических пространств таково, что пучки ал*
гебр функций /(f) и Л(д) изоморфны, причем соответствущие
изоморфизмы алгебр fu для открытых It* У Онйвдуцяровашш,
то отображения / и й гсмеоморфны*
Следовательно, если все изоморфизмы алгебр X(Xf) ж я(Х^)
для А0 -отделимых пространств Xf и Xg 0 нивдуцированны, то
отображение /* определяется пучком алгебр хункций Jt(f) •
ЖокаааФел^фуц^-' Предположим, что отображения f Ц 9
удовлетворяют условиям теоремы и изоморфизмы fy : A (f4tl)~p* А\$~* &') »
гда U открыты в У , f): У У*- if* - гомеоморфизм из определения
0-индуцируются
г/ . Посколь-
X9 -
гомеоморфизм* (? -индуцируиций изоморфизм /V • Докажем, что пара го-
изоморфизмов У а Ц* осуществляет гомеоморфизм отображений / яб i
*»Чвыгомшяется равенство V*fm Q • f
Допустим от противного, что f(ftx))fiaiftty) для некоторой точки
изоморфизма пучков jftf/} и jto) и #'* jftf , 17.
соответствующими гомеоморфизмами <fa: f~'U~9~1 II*
Ь**'Г'И bX'*Q-*H> ,To/«y:JT^
вб

X из X . Положим у *fx t ц$ « fm , *'-?* ъ
У# *^Я* • ^°гда У** # • Црострав&тво 9* , будучи гоне*]
оглорфно Т0-пространству у , такие является ^-пространством, Анаио*]
гично, пространство /' А* -отделимо* Поэтому существует открытое
множество U в У , содержащее ровно одну из точек у, или у' ,.
Возможны дваедучая: Jfretf' *ft*4 в>* * j}f4&$ *#*€#'r;«
Мы разберем лишь первый случай» поскольку, в силу симметрии, второе
случай вытекает из первого, если отображения /ну поменять места?!
ми и вместо (f Hf рассмотреть гомеоморфизмы Ч~* и /~' соответствен f
нно* Т
Итак, пусть *, е а1 и ц94 #' ♦ Номам U - УУЯ - *
Тогда *4f~fVl> • изоморфизм алгебр^ ^ ^-ивдударуется
гомеоморфизме* *?и-{ч11-*$~'&* .Цусть *4*¥~J&' * f4 & v ;
В силу Д* -отделимости пространства /f существует функция £ из
4 (X) , принимающая в одной из точек Л или 4?/ значение С , а в
другой - другое значение /если оно вообще определено/. -
Далее, рассмотрим функцию А1д/у £ ^ А (X*) # Ограничения
&1р*ц и АЧд^ц,' Функций ^ и»' отвечают друг другу при
изоморфизме if а •Поскольку изоморфизмы алгебр /у и fa О
-индуцировании, то получаем следующую цепочку эквивалентностей:
Получили противоречие с выбором функции к* , Теорема доказана* ц
Определяемость отображений пучками алгебр функций
Рассмотрим теперь конкретные пучки алгебр, порожденные отображе
ниями топологических пространств и определяющие- эти отображения,
В качестве А0 будем брать связное двоеточие Х)1 * {07 1 ] с
изолированной точкой / и пространство ^ вещественных чисел," при*» /
чем выделенным элементом считается яисло О . <#у рассматривается I
как мультипликативная полугруппа. Для топологического пространства
2 положим:
С (2 , $4 ) - мультипликативная полугруппа всех непрерывных
Я{ -значных отображений на 2 ; .
С (2 j $1) mpfsg С ( Wt S)i ) - мультипликативная полугруппа
^6
ш

зсвх непрерывных частичных функций, действующих из iT в Я1 ;
Сgt (£) ^1) в топологическая полугруппа C(2}$j)& fO ,
досматриваемая как подпространство тихоновской степени дискретного
даоеточия #« ff,H .
Теорема 2. Произвольное отображение / топологического
пространства X в Т0-пространство У определяется пучком алгебр
функций Л If) в каждом из следующих случаев: - /щ/
I/ X - тихоновское и A(f~fil) - правый C(f~*U) -модуль Л
для любого открытого множества U в У ; -.,
2/ X - тихоновское и A(f~fU)~ правый полигон К над
моноидом
3/ X - тихоновское и A(f U)*Cp(f U) - топологическое
кольцо С({~*Юо топологией поточечной сходимости ; -
4/ X - тихоновское и A(f~fU)stCp(fmty- топологическая
мультипликативная полугруппа с топологией поточечной сходимости ;
5/ X - ^-пространство и A(f~'U) *C9(f~*U^<) ;
. . 6/ A(f-< U )»€'(/-'&,»< ) . —
Доказательство» Подчеркнем, что в случаях 1-4
подразумевается определяемость отображения / в классе отображений с
тихоновскими областями определения, а в случае 5 рассматриваются
отображения Tw-пространств* Теорема Z вытекает из теоремы I и
соответствующих результатов об определяемости топологических пространств
алгебрами функций. Случай-3 - теорема Б»А.Пасынкова f3] - следует из 4 ,
а 4 - из нашей теоремы 1 и теоремы 5.2 £7j. Случай 5 основывается
на определяемости Т0-пространств 2 топологическими полугруппами
С$ (£ 9 $j ) /теорема 3.4 из [I] /* Случай 6 вытекает из
определяемости произвольного пространства £ полугруппой С (£,&t)
/теорема 2 из fej /о Наконец» I следуе' из 2 » рассмотрим случай 2 Л
В силу теоремы 1 достаточно показать» что для произвольных тихоу
новских пространств X и X' каждай изоморфизм CtX) -полигона №
и С(Х*) -полигона Я* О -индуцирован; » Пусть яюлугрупповой
изоморфизм d •' С(Х)+С(Х9) и биекция fit Ж "* £ осуществляют
изоморфизм указанных полигонов, Это означает, что при любых А&С(Х)
и Л. €$ справедливо равенствоА/ЛГ * ) *Jb(Z) ^Ю •
Цуеть^ддя Х€Х. функция £ е№ такова, что Д №)»/
и я {X \ /*•*!)• {о] о Возшом точку ЯСХ и рассмотрим
максимальный идеал Mx*{Afifc •$ } кольца С0() • Так как

то g(A ) + 0 и существует такая точка я'€ X* ш в. которое
все функции из АСМ^) обращаются^ О # По следствию 4.0, *"""
А ( Мх ) является максимальным идеалом кольца С(Х')
тельно, JIM^)4Mxt 9 гричем это верно для "единственной _
я'еX' ..Полагая ф(х) "**' , по лемме 2 [7] получаем гомеоЛ
морфизм- ¥: X •*> X' , С -ю^дущрукпдай изоморфизм Л ♦ ДоказатёД
ство теоремы 2 завершено.
Замечание. I. Теорема 2 служит обобщением на отобраД
«ения соответствующих результатов об определяемости топологически!
пространств. Действительно, любое топологическое пространство мож|
быть рассмотрено как тождественное отображение на себя или как св|
отображение в одноточечное пространство.
Замечание 2. В условиях 1-4 теоремы 2 вместо Щ
может быть взято произвольное локально компактное тело F и ^-ре|
гулярное пространство X /см. [I] /.
Пример, Возьмем пространства
и W* ш'{610 * <&1 } эрдинальных чисел с интервальной дювд
логией, где Ф/ - первый несчетный ординал /см., например, ШГ/а
Пусть Xя W* V (р} с открыто-замкнутым подцрострШГством w*:i
Непрерывные отображения / и ^ компакта X на Af такие,-что,'.
-/- (О ~ W* и' 9~*(1) т W не гомеоморфны. Однако пучки &k
и t (д) колец IV(K),C(W)] и (С(Х), С(Ю) с естественными-
гомоморфизмами ограничения изоморфны. .
Литература
JL Вечтомов Е;М, Вопросы определяемости топологических
пространств алгебраическими система\з! непрерывных функций// Ито;
науки и техн. ВШШТИ. Алгебра. Топология. Гео;^тркя. 1990
28. С. 3-46. -
2. Пасынков Б.А. 0 распространен;!!: на отображения некоторое п<
нятий и утверждений, касающихся пространств//" С?6бракс1(ия Щ
функторы. М,:^1зд-во "юс . ун-гта, 1984. С. 72-102.
3. Пасынков В.А. 0.гомеоморфизм непрерывных отображении// №еж%
дународная конф. по алгебре. Алгебр. геом9трия; Тезисы до]
дов. Новосибирск: Изд-во Гшст. мате/ч;, 1989* С. 48,
4. Вечтомов Е.1Л. О модуле всех функций над кольцом неотрывных*
фузпащй// Мате:!, заметки. 1980. Т. 28. J* 4. С. 481-490.
68

Гвльфанд И.М., Колмогоров А.Е. 0 кольцах непрорывнгое функций
на топологических пространствах// Докл. АН СССР. Х939.„Т. 22.
* и G. 1Mb. -
Ь ^рвдон Г. Теория пучков, М.: Наука, 2988. 312 с.
# Вечтомов Е.М. Изоморфизм мульттшштгоннх полугрупп колец
# непрерывных функций// Сиб. матем. »♦ 2978. Т. 19. J& 4. С.
759^-771.
8 зечтомоз Б.М. Определяемость топологических пространств полу-
# группами непрерывных частичных функций/ - Кир. гос. пед. ин-т.
Киров, 1988. 20 с, Деп. в ВИНИТИ. # 256-В88.

РАДИКАЛ, ДОАЛШЙ КРУЧЕНИЮ ГОДЦИ
А.И,Генералов
Кручение Годди в категории Mod Я правых унитарных модулей I
над ассоциативным кольцом R с единицей можно определить как те- Ц
ори» кручения 0\ J) * для которой полупростой класс 9 - это
класс несишулярных модулой* Эта теория кручения была подробно
исследована в (6J , где, в частности, доказано, что она является *
наследственной* ^ настоявши работе мы в категории Mod R
дуальным образом строим идемпотентный радикал ^ , который,
вообще говоря, уже не является кокручением* Исследуются классы Ъг$ ~\
радикальных и t^ -полупростых модулей, даются необходимые и .]-
достаточные условия того* что Хс& является кокручением. Эти ус-\;
ловия выполняются, в частности, над еоверненным справа кольцом R Jf|
Под(}унктор S тождественного функтора Id * Mod R -*" Mod R |
называется идемпотентннм радикалом ГзЗ , если выполняются
условия:
I) $* *S , т.е. для любого Me Mod R <S(S(M)ys(M)^l
г > s{Mfs(M))»0 для .тпобого Me Mod R
Рассмотрим классы модулей 7(S) - {MeModRf $(M)= M] ;
5{S)zlMeM0dR IS(M)*0} , Модули из класса 9X-S) (соот-|
ветственно ?(•$) ) называются S -радикальными (соответственно*^
S -полупростыми). Пара(7(5)Д(5)) , соответствующая ;дампо-
тентному радикалу S t является теорией кручения в смысле Диксо-;
на [3, 4, 7 3 .
Идемпотентный радикал 5 называется ко'кручением, если класс
У (5) замкнут относ5!телько Фактор-модулей. Если «$ .- кокручсйие.
и I 'S(R-) , то 7(S)' [Me ModRI Ml »0j , T(S) *
*{MeModRJMi*M] ГзЗ. .-',
Подмодуль А/ модуля М называется м&лш, если из того, что,>
) 70 . ''■'•;

«дя некоторого подмодуля X в М вшолняется соотношение М ш
*Н+Х % следует, что X * At • Модуль/И называется малым, если
он вкладывается в качестве малого' подмодуля & некоторый модуль»
ttso равносильно тому, что М является малым подмодулей в .своей .
деьективной оболочке £Ш) ♦ Через J обозначим класс «алых/? -
модулей* Легко видеть, что ef замкнут относительно подмодулей и
фактор-модулей*
Для каждого Я «модуля т определим подмодуль
&ш • л/^с # /At /xej}
и рассмотрим цепь подмодулей/#' 0*0] в $ * определяемую с
помощь» транс^нитной индукции; e'fM ) * *f#) , d^'OO •*<***»,),
а для предельного ординала ■* fi MljlL * ^)f . Сущест-
эувт наименьший ординал /*/Ч df) такой, что & (Miytr (М) .
имии" ' Ч,<">-*'гдо, «,.,<*> .'
Теорема X. -^ является идемпотентным радикалом в категории
. Mod Я . ' . „
Доказательство» Для краткости будем писать t 6#) вместо
tcS(M}. Из определения /"Jf(Af) следует, что
ияотоиу 1(ЧЩ*Ш). ' - -
Проверяй теперь, что для любого тйНот.^ (MtN) /(UM))c
ctw) . если fitimyfff(-/o
, то существует подмодуль ' в
# такой* что N}*£$ /но J(t(M))4 У . Тогда
Так как класс «/ замкнут относительна подмодулей, то *{#) имеет
ненулевой гомомор<$ныЙ образ, принадлелаядай «Р , И потому 1б#)/*
ФЪ(гШУ) , что противоречит доказанн iy вше. Следовательно,
f(4N))c &Ut) ,_ и далее по индукции полуфш £(t(M))c*,(№)>
v Наконец, если Ш/Ш)>Х/%(М} г то /Г**60с *<*)•
ввиду следующего утвервдения*
Лемма 2* Пусть в короткой точной последовательности
Доказательство* Предположим для простом, ч*| * - вложение»
Дусть Х'с а к #/r* J . тЬк кан .М/(*+*0* * к •**•
tt{* X л Mf t поскольку Mft&tMf) . Следовательно, Д^* ,
а М*Х t Mj * X # ТЬким образом, 'Мт<9Г(М}*^Ш) %-
1й&

В дальне№ем всвду радикал 1С# обозначаем через ь > a
соответствующую теорию кручения - через (Т I) *
Модуль Mg называется слабо иньектйвяод если для любого моно- \ч]
морфизма i : А -+ 3 , любого ненулевого фактор-модуля Mi модуля г1
М и любого гомоморфизма f: А -*■ М $ существуют ненулевой фак«*
торкмодульА/^ модуля Л// и гомоморфизм 9 : & "**М& такие, что
# • р/ 9 V№ Р: М^ -** Mz - канонический эпиморфизм*
Введенное вше понятие дуально понятию слабо проективного моду*
ля, введенному вШ.
Предложение 3. Класс 7- г-радикальных модулей совпадает о
классом слабо ииъективных модулей.
«Доказательство. Пусть М^Т . Тогда М*6>(М*) , т.е. М
не допускает ненулевых малых фактор-модулей. Пусть ti А ~- &
некоторый монодорфизм, f: А *■*■ М j - некоторой гомоморфизм,'где
М1 - ненулевой Фактор-модуль модуля М . Построим следующий ко-
универсальный квадрат.*
Ц ,/'
т.е» Ж * М4 иА В - расслоенная сумма. Так, как i -
мономорфизм, то можно считать, что #/ вложен в К * Так как М^Т t
то А^ не мал в ИГ , т.е. X а Mj r Y для некоторого подмодуля,
Y £ X . Рассмотрим канонический эпиморфизм
!Вак как ^ л X/f t то имеется канонический эниморфнзм />';
X — М$ с *ерр'ш¥ . Тогда для гомоморфизма 0*p'f$ *
Ь -+ Mz имеем ft */>/ . . , " .
Обратно, пусть И» • сяабо_иньективный модуль, М - его
ненулевой факто1>-модуль. Так как М - слабо иньективный модуль 9 то
доя влезания / ; М ** Е (Й) наф*утся_ненулевой эпиморфизм р:
М -+> Mf_ и го)<омоР4кэм 9 ' £№)-> Mf так^е, что tfi */> . >.
Тбхда SIMX.* М * **t p , причем tetg *£(M) .
Следовательно, -М Ф$ » и потому бЧ^О г ^ •
Замечание, ibk как слабо проективные модули £1} , как легко
ввдеть,-это в точности несингулярные модули, то предложение 3 по* ;
каеывает, что радикал I - ьс~ действительно дуален кручению
Годди. , j
Кольцов называется правым V-кольцом, если любой простой
правый #-модуль инъективен f5. C.437J ... *
Предложение 4. # является правым г -кольцом тогда и
72

только тогда, когда Ь **>Id m0Cj%
Доказательство. Пусть R - г -кольцо. Так как для любого
Me Mod8 RacL М * Q f5j , то класс J состоит
только из нулевого модуля, и потому &(М) я At . Остается заметить,
что приведенное выше рассуждение обратимо*
Для подфунктороз Sj , Sg : Mod R -*• Mod % тождественного
функтора пишем «$/ * «S* ., если для любого Afe Mod 8 3^(Af)C
с З^ (Л/)
Класс М R -модулей называем нестабильным f3j , ©ели для
любого Me Mod Д? из того, «то М/*€JC , где X - малый
подмодуль в М 1 следует, что At€ Jli . Идемпотентннй радикал
S назниается'костабильншр если костабилен класс S-(S)
Предложение 5* I) Любой идемпотентний радикал S такой,, что
S «s ь , костабилен.
2 ) Класс * У ~ ЗЧг) костабилен.
Доказательство. I) Пусть для малого подмодуля Л модуля • М
M/Xef(S) . Так как $* г , то S(X) <: г(Х) - О , т.е.
Я с .?" (S) . Тогда M€?(S) , так как класс #W замкнут
относительно расширений,,
2) Пусть X ~ малый подмодуль модуля /У -, а Л//*? 6 ^Г „
Рассмотрите мономорфизм С'А "*** 3 и гомоморфизм /*А ~**_Мj f
где А/,* Mjt Ф О * Тогда Х+УФ М ,-и потому M](X + Y)
является ненулевым фактор-модулем слабо инъективного модуля М/X .
Следовательно, существуют ненулевой-эпиморфизм p^M/lX+Y)*** М£
и гомоморфизм Q ; 8 ~* Me такие, что & "pj Рг г > *да /!?•
/г?^ -** к /( Xif) ~ канонический "эпиморфизм. Тадсим образом, # -
слабо инъоктивный модуль, и остается воспользоваться ^предложение
ш2,
Предложение 6, Если I - правый идеал кольца R такой, что
1е 7 , то 2"**/ « В частности, t^/* i(^) • ^
Доказательство, Предположим, что Ха £ 1 ,.„ Так как I/f $J f
то i/i* не мал в /?//■* , и потому найдется правый идеал ^ Ф
t R , содержащий Iя , такой, что ' 1*~¥ * Л . Тогда Ic 81 e
= (1**К)2сК t и получаем противоречие.
Предложение 7. Для правого v R -модуля Л/ равносильны олодяэ~
идее условия:
X) М € ? ' 5 ~ -
2) любой ненулевой подмодуль в М имеет ненулевой фактор-мо-
Дуль, принадлелсащ11й «/ i .
S) существует вполне упорядоченная цепь подмодулей
0* А/jc...c Л^сгД^ -Л/
73

/ ^
такаяэ что О + Md /MMi € J , а для предельного ординала и
M<*JL Mfi *
Докаеательство. I) »=^ 2) . Пусс - О Ф К <=- М „ЗЬккак
UX) * 0ч » то б(К) Ф К , и потому существует ненулевой
эпиморфизм из if.» в некоторый А/€ J
2) => 3) • Пусть М * С . Тогда существует подмодуль М4 в
М такой* что О * M/Mf£ J . Если М^ уже построен и Md *
* 0 , то существует подмодуль M^tf в М4 такой, что 0*MJMM^
€ 3 0 Для предельного <* положим И^ *V? М\ . Т&к как
построенная цепь строго убывает, то существует.^ такое, что/Кц»&.
3) *=> I) . Пусть г(М)*0 . Тогда найдется наименьшее <с
такое, что г (/If) $ М& • Легко видеть, что << не предельный
ординал, при этом %(М)е М^-f • Тогда
/7 * г(М)/ь(Ю п М< *(г(А1) + М4 )/%с Md4/M^ ej :>
и потому ti (Z(M))* %(M) , что невозможно. Следовательно,
Следствие 8. В любом R -модуле М существует вполне
упорядоченная цепь подмодулей . '
UM)*MfiC ...с Mfc: M0 *М
такая, что Q tUf* /M^ff € J , а для предельного d
Для доказательства надо к модулю М * М/ЦМ) применить /
предложение ? и ;т;ш модулей из соответствующей цепи в М .
рассмотреть юс прообразы is M относительно канонического
отображения М -*> М. о :
Подмодуль N<z M% назквается козамкнутым f8j /если для *
любого подмодуля Х& // NfK не является малым подмодулем в
М {X . Подмодуль #сМд назквается ковысоким 12] , если
существует подмодуль &с М такой, что N+K » М ' , а
МЯК - малый подмодуль в N ♦
Лемма 9. Пусть /Y - козамкнутый подмодуль в М^ • Тогда:
1) любой подмодуль Кс N , являющийся малым в Д/v , мал и
в N ;
2) Rad N * Мп RadNl .
Доказательство. I) Предположим, что подмодуль К <z N мал в
М , но существует подмодуль X fs Af такой, что Х+К т М
Так как А//Х не мал в М/X , то существует подмодуль УФ
t М , содержащий X t такой, что N + У * М « Но тогда
K+Y * К + Х + Г - N* Y т М , и / » М . По-
?4 ^

г
лученное противоречие донизывает, two К мал в Л/ .
2)Яв»>, w RadM* MnRadM . Пусть JteJfnRadM
* 1&к как Аю # - суша малых в М подмодулей f9j , то <rR
нал в #х. йэ I следует, что *1 нал в Я t а тогда,вновь ис-
пользуя £9] , получаем *е Rad M .'
Предложение 10. I) Для любого * -модуля Ж подмодуль гЛГ)
козамкнут в М . В частности, Rad (t(M))* %Ш)пРъ1М ,
г) Если * - совершенное справа кольцо, то хШ) - ковнсокий
подмодуль в М.. •,
Доказательство» I) Пусть Хс t(Af) • подмодуль такой, что
f MF)// мал в М/Х . ТЮгда tflfj /JT* ? . С другой стороны,
%(М)/Х€ Т , и потому t(M)-X . Второе утвервдение следует
из леммы 9.
2) Это утверждение следует из того, что i зд совершенннм справа
кольцом понятия хозамввутого подмодуля и ковысокого подмодуля
совпадают ( см« f8, предложение 2,5 ; 10, лемма I.lJ ) .
Предложение. П. Предположим, что Z является искрученном.
Пусть Iя i -(Я;) , /* • левый аннулятой / в Я . Равносильны
следующие утверждения:
' I) для любого правого Я -модуля М t{M) невысок в М t
2) 8*1+1* .
Доказательство. I) «■**; 2) . Пусть I+%mR для некоторой
го правого идеала J* # такого, что IЛ X мал в / • Пак как
% - кокручение ъ I fi X G $ 9 то (I **Х)1 мО •
Следовательно, Xl*(XI)Ic(Xnj)I -О , X* & , и потому/ >-Г-* .
2>-*> I). Для М€ Mod Я имеем Я «if/ *Af/* , при
^ чв*МТ*г(М) , Ml*€2 . таскан г(М)п М1*еТ
является подмодулем £-радикального модуля г(М).% то
t<#) Я ДМ* мал в "tflTJ (см. ГЗ.С.86} )♦
Предложение 12, I) Если Я - коммутативная область целостно*
, сти, не являющаяся полем, то для любого Я «^модуля М
Ra(t(UM))*t(M) .
2) Пусть # - дедекиндрва область. Тогда для любого
^-модуля М 1 (МУ шибольший инъективный подмодуль в М . .
Доказательство. I) TSaK как любой простой Я -модуль мал, .то
t(M)c бШ) с Rcfd М , и требуемое утверждение следует из
предложения 9.
2) Следует из I , поскольку над собственной дедекиндовой
областью любой модуль Q иньективен тогда и только тогда, когда
^QL*RadQ [9].
Следствие 13. Над дедекиндовой областью понятия слабо иньек-
75

тивного модуля и инъективного модуля совпадают.
Замечания. I) Вообще говоря, радикал t не является кокруче*
нием0 Например, над кольцом Я ШЖ «лас© £* не замкнут относи*
тельно фактор-модулей, поскольку имеется эпиморфизм Ж.-'ЖТ ,
где г(2Ш) )~Q t t(Zpl^2f~ * Для этого же сдучая ясно,
что I не является кручением»
2) Эпиморфзы, указанный в предвдуярм замечании, показывает,
что 1} '4 J , хотя Z ^ $ , и потому класс / , вооб~.
ще говоря, не замкнут относительно произвольных прямых сумм ( а
тамад относительно прямых произведений) .
Предложение 14» Бели R ~ совершенное справа кольцо, то £~ -
кокруиение.
Доказательство* Так как класс Т нестабилен ( см»
предложение, 5 , то ввиду f 3, предложение 1.4*1 J над совершенным справа
кольцом это означает, что t - кокручение.
Замечание* Утверждение, обратное предложению 14, не выполняет*
ся ввиду предложений 4, поскольку правою У-кольцо. являющееся ;
совершенны* справа» должно быть классически полупростым»
Теорема 15* Для кольца R равносильны следующг^ утверждения:
1) % - кокручение в Mod R \
2) для любогб Me Mod R &{ltyfl (M) - малый
подмодуль в M/l{M}' t - "лм.
8) для любого М''€ ? tf(#) * «алый подмодуль в М ; **
Если эти условия выполняются, to t *<f * »
Доказательство. 1)«** 2) . Предположим, что 4Ш)* X • М , ;|
где Х(М)<:ХЩ М **Тогда *9*М/Я~ «№/*ЛЩ А К f |
при этом бШ) Л X -=» г / М) , и потому XI/Л является фаито^
модулем модуля <SlM)fttM)€ f . Так как t — кокручение, *Щ
то М/Х€$ / . Следовательно, d(NtfX) mMf;A , и найдет;- ;|
ся подмодуль У 9 М такой, что X*1 Y и N/f€ 2 . Но :^
тогда бШУ+Y -ж М , и одновременно dfW/ е У ч-* Полу- Ш
ченное противоречие доказывает, что
Ясно, что при этом <t(6(M)}m t(M") .
2) «■> 3) . Тривиально. ч «.
3)«> I) ♦ Пусть_#*£* */М—-М _-ненулевой эпи- ;
мор$язм такой, что М 4 $ « Дя* /V* f4(U*)) получаем \
эпиморрзм у.Д^ ^ , где Af€f t tf^'Z^cJ' v
По предположению 6(tf)+ Xet /. I*- *V , и потому X*
*ttJ(G(fi) + &lf ) *** Фактор-модуль модуля М/б(М) ;
должен иметь ненулевой малый фактор-модуль; С другой сторонне
X -фактор-модульМодуля N ~.N jKexf , итогда<?,МО* Ь
# /? 9. что невозможно» Таким образом, кл&се У* замкнут отно- ,;
76

В связи с теоремой 15 представляет иктере ^ хгледующая
Проблема. Дать внутреннюю характеризацию колец, над которыми
% . является кокрученкем.
Литература
I; Генералов А.й. Об аксиоматическом описании слабых чистот в
категории модулей // Матем.сбЛ979.Т.109. I» I. С. 80-92.
2. Генералов А.й. <^-ковысокая чистота в категории модулей ?/
Матем. заметки» 1983. Т. 33. Ш 5. С. 785-796.
3. Кату А.Й, Радикалы и кручения в модулях. Кишинев: Штииит.
1983. 154 с. •
4. Мишина А.Ш» Скорняков Л.А* Абелевы группы и модули. М.:
Наука, 1969.-" 152 с. •
5. 8ейе К. Алгебра: кольца, модули и категории. T.I. M.: Мир.
"^ 1977. 688 с. .
6. Atitt J.S.X Dickson £.£. Mdie's totsioft 4/иогу a/id Its
\ Attired' pnetots// Paelf. J. Matks me .?.£#. ft. fes^ £03. -
7. Dickson S.E A iotsion theoty рь АВе&сш. мПедогсец i
Han.%. A met. Math. Зое. №6. V. f£{ щ M/9 ft ££3 ~£3f.
8. 6o£a/i J.$r Quasi-perfect modules // Qvaxt.j. Math .
OxSotd. W/. *££. P.W-/S£.
9. Patents B. ftadikafe und k£eine Modue* 1/$игаф$сг.&жг
Acad. H/{$$. Miinchenpncrthrtiatuxwiss.Ke., №?. Muttcfett. №66 S&&-№.
10. Zosetiittqet H. Kompfementiextt Modu&i ufet Dedekiad-vlnge/t/f
J. AtpBvt.tm. *** ft W~66. *

Ы — Cok&i -ПОСВДОВШЛЬНОСЯЪ ДЛЯ ПРВДАБЕЛЕВЬК КАЯВГ0РИЙ
А.И, Генералов
В работах Сб, 6] предложены различные подхода к построению
гомологической алгебры в предабелевых категориях. В настоящей работе
мы развиваем основы относительной гомологической-алгебры в пред-
абелевой категории Л , несколько отличающиеся от [8] , и в
рамках этой теории4 получаем так называемую K&t - C&ktt
-последовательность, полезность которой для абелевых категорий хорошо
известна (.см., например, 133 ). В качестве приложения для некоторых
классов комплексов над Л получена длинная точная
когомологическая последовательность* '
§ I. Собственные классы
Предабелевой категорией называется аддитивная категория Л &
ядрами и коядрами. Аддитивность означает, что в Л существуют
коне^ше, прямые суммы и на множествах морфизмов Hom/X,Y)
имеется структура абелевой группы такая, что композиция мор#измов в
Л билинейна [IJ . Всякий морфизм f • X —* Y в предабелевой
категории Л допускает каноническое разложение
4: x-fci^w—*:w-^Y , (1)
где ceimJ~>C0kfr(fa>i4) - кообраз 4 t imf-fottcoktij) - s
образ / [I.C.IOlJ . Морфизм 4 называется строгим [6J , если в
"ого каноническом разложении (I ) / - изоморфизм.
Последовательность
называется точной, если faig**iffij- f или, равносильно, сатуру
соклл 4 . Последовательность (2 )называется короткой точной по-»;
78

следовательностью, если J « ъл/i о , g «• cokx/L <f9w
обозначается так; .
Полезно заметить, что для любого ядра i я любого коядра С в
Л имеем соотношения: £-Ьв»(С0Ь4 I) , б"—£»&»<Ы S).
Квадрат•
А —2-у В
„S: [г у <4)
A' -1U 8'
называется коуниверсальнш, если в последовательности
(o^-rO^Cflfe/t (J) . Дуально определяется универсальный квадрат.
Квадрат, универсальный и коуниверсальный одновременно, называется
биуниверсальным. Если квадрат <4 ) универсален (соответственно ко-
универсален ),. то объект А (соответственно 8 ) называется
расслоенным произведением (соответственно расслоенной
суммой)пары (6"yt') (соответственно (Т,б*) X,.
Лемма I. Пусть в предабелевой категории Л дан универсальный
квадрат ( 4 ) . *
а) Если в нем б' является ядром некоторого морфизма 4 , то и
ff- - ядро: 6--Ы0/.Г'). -
б) Если i'-~h#i б" ,' то ,£'—Гс , где !»Ьб' ..
Первое утверждение доказано в [8,теорема Ij , по поводу
второго см.[7,лемма I] ♦ Справедливы также дуальные утверждения.
Ядро 6": А —* В называется полустабз'лышм [8J , если для
любого морозна г : А —+ А* в коунизерсальном квадрате вида (4 )
мор^изм от' также является ядром. Дуально определяется понятие
полустабильного коядра. Полустабильное ядро б* называется
стабильным [8] , если whsi Ъ - полустабильное коядро. Дуально опт
ределяется понятие стабильного коядра. Короткая точная
последовательность вида (-3) называется стабильной, если f - стабильное
ядро( или,эквивалентно, у - стабильное коядро ) .
Пусть Л - предабелева категория. Класс ядер и) в Л
называется собственном, если *> удовлетворяет следующим условиям:
РО. Расщепляемые мономорфизмы лежат в 0> , т.е. если 6"Ч~ i*
для некоторого X € Л , то i zV)
Pi. Композиций ядер из cJ , если она определена, также лежит
во).-»-
Р2. Если дан коуниверсальный квадрат вида (4 ), в котором
&€Ю «о б"' б Сл> •
79

РЗ. Если j t € сО f a j - ядро, то Uu) ." .
Короткая точная последовательности вида ( 3 ) называется О ^
собственной, если «£ €<л) % Стм^-им, что в силу аксиомы Р2~
•любое ядро из собственного класса полустабильно. Дуальным
образом определяется понятие собственного класса коядер. Аксиомы,
дуальные РО - РЗ, обозначаем соответственно через РО* - Рз*£
Предложение 2. Пусть О - собственный класс ядер в предабе-
левой категории л . Тогда: - " -
а ) о) замкнут относительно прямой суммы;
б) если ji€(J , то U(*) ;
в ) пусть дана коммутативная диаграмма * ~
в которой jii — csfet t ,* если fc, j'e u>
Доказательство, а) Рассмотрим квадрат
! . Is
<S)f
то
j €0>
4"
А©Х-
В
<?ф±
ВФХ
где tA , ift " соответствующие вложения в качестве прямых
слагаемых, а ф с о) .Легко видеть, что этот квадрат коуниверса-;
лен, и потому на основании Р2 ч$> Ф'1х €и) • Теперь если ,
кр » i> € сО , то с использованием PI получаем, что фФ^ —-
б) Пусть композиция к: А —* о -*—* С принадлежи
(О , ju-o?fe*t I: В г-* в' . Докажем, что следующий квадрат ко-
универсален:
1
В
Ф
Х4 » ХА имеем соотношение X/i*
XA~\j)i — 0 , откуда получаем Xi-Xaj—Xlf/u №'Щ
Хд • Тогда для мор<1изма х'~(Х^, ХА) имеем: Х'^Х^Ш
Если для некоторых морцизмов
-Xj , то (X
некоторого
X'(j)e*A t и легко видеть, что морфизм X' , удовлетворяю^]
щий этим двум соотношениям, единствен •.
Теперь поскольку кеФ , то по Р2 (/ЬсО . Ввиду. Р0^
Pi и РЗ получаем: (ljf\ £ »i< Я с иУ, и {Ы .
в )*В части <f уже доказано, что
80

■•(f) j 1 и ввидуJl та р* j €сО ,
Замечание, "Свойство иб* из предложения 2, которое формально
сильнее аксиомы РЗ, будет обозначаться через Р%. Кроме" того,
для собственного класса коядер свойство, дуальное РЗ.
обозначаем через РЗ . Аналогичный факт для абелевых категории хорошо
известен [2,5] t Отметим также, что список аксиом собственного
класса для абелевых категорий обычно включает в себя утвервдение „в'
- из предложения 2 (см. [4] ).
- Предложение 3, а) Класс всех стабильных ядер предабелевой ка-
- тегории ** является собственным.
б )Класс всех полустабильных ядер.предабелевой категории Л .
является собственным. ~ — •
Доказательство, а)Свойства РО, Р2 следуют из определений,
Pi доказано в [8,теорема 9] . Проверим сразу РЗ. Пусть &« ji -
стабильное ядро, ju**coh/ii • Аналогично доказательству
предложения 2, б доказывается, что $} - стабильное ядро, а тогда с
использованием РО и PI получаем, что (#)i ~(±)fc
-стабильное ядро. Отекла на основании [8,теорема 1(3 следует, что' I -
Стабильное ядро.
б)Свойства РО, Р2 следуют из определений, Pi доказано в
16,теорема 2} . Для проверки аксиомы РЗ нам понадобится
следующая _ .
~ 1 Лемма 4. Если р~гл - ядро, a tr - мономорфизм, то X - ддра
Доказательство. Пусть ff-co&ea X , и построим коунивереальный
«радрат вида(4 ) . Тогда ввиду утверждения, дуального лемме I,а,,
f'~cofwi.p ♦ и следовательно, p~kyu$\ Если (Гх*0 для
некоторого морфизма X , то ffVx — r^x-O f и потому существует
V такой, что ГХ<-/>х' , т.е*г(Х-ХХ')~ 0 • Так как г -.
Мономорфизм, тс* Х-Х*Х* .
Продолжим доказательство предложения 3,6 . Пусть fc~j4 • по-
_ ^стабильнее ядро, и предположим сначала дополнительно, что ) -
|акже полустабильное ядро» По лемме 4 i - адро« Далее, построим
Последовательно коуниверсальные квадраты, входщие в следующую
Диаграмму: L j
(б)
I*'
сначала С - как расслоенную сумму пары <t;r) ♦ где т -
произвольный мор*изм, затем &' - как расслоенную сумму пары <|, X).
%? как ft-jl и J - полустабильнке ядра* то Jf'l' и /'
.' ' . 81

и тогда по леше 4 V - ядро, и таяим образом, i - нояусяаба-
, льное тдро. --
Пусть теперь &~ji - полустабильное ядро, a j - прризволь*'
ное ядро. Снова по лемме 4 I - ядро*. Аналогично предложению 2,6
доказывается, что (^) - полустабильное ядро, где ju**cokx/i i /'
С помощью Ро и PI получаем, что \f)i~\i)k - полустабильное. 1
ядро, и тогда по доказанному выше I - полустабильное ядро.
Замечание. Тот факт, что для стабильных ядер выполняется акси4
ома РЗ, является обобщением теоремы 10 из [8] .
В дальнейшем, через c*)*t обозначаем, собственный класс, состоя*||
щий из всех стабильных ядер категории Л .
Лемма 5. Пусть СО - собственный класс ядер в Л ив коунивещ
сальном квадрате (4 ) (Г - строгий морфизм' такой, что Lm 6 *u);$
Тогда и 6' - строгий морфкзм, a, im&'tu) . |
Доказательство. Пусть $•: А^-^С — ••"* В - каноническое раз-|
ложение морфизма 6" ; здесь J— tm£T e u> t i^Coifn 6" . Построй
им последовательно коуниверсалыше квадраты, входящие в диаграмму"
вида (б ). Ясно, что &'** j'V . По определению j'£ о) г а с ni
щью утверждения, дуального лемме%а . , получаем, что V - коядро]
Теперь легко проверить, что i'-£0tm <Т' , j «tm б" .
Предложение 6. Пусть to - собственный класс стабильных ядер $
А , т.е. u><= u)st . Через со* обозначим juiacc коядер & таки*,
что 6" »• a#et с , где U<j . Тогда с*)* - собственный класс стаг1
бильных коядер. ' ^ '
Доказательство. Проверим последовательно аксиомы собственного.^
класса коядер. _ ч
РО*. Очевидно. /
PI*. Пусть дана композиция р; С-^-*С- » D , где tr ,<ге
*€CJ . Введу утверждения, дуального теореме 9 из [8] , р - ста*
обильное коядро. Рассмотрим ^«Ие^б" , Д«- few.г ; по преддо<
ложению, f'9k е и) . Построим» используя лемму 1,6 ,
коммутативную диаграмму вида ( 5 ) , где правый квадрат универсален, а I ~
~>kvijU . Ввиду предложения 2,в j ЫО , а так как по лемме 1,а
j- Ы. р . , то p=*wfaft j e u>*. .
Pzt Пусть дан универсальный квадрат вида (4 > , в котором
ff'€ и)* . Ясло, что ОТ - стабильное коядро. Если L'*- fee/t б"'
t — Jbt С * , то по "лемме 1,6 i'*~rl . Так как 14 о) , то
свойству РЗ получаем, что с € и) и (Г € и)* *
РЗ*. Пусть f>~<5? t (О* и V - коядро. Рассмотрим k-k&iZ \
]^Ьгр ею, . Так как pft- о , то существует I такой, что
Jj«rj l . Определим Г ~ Я?#0Г I и построим коуниверсальный
82
•

кваЯ^ д т/ D
Ф
А'-^-* В'
По аксиоме Р2 £ с <J * С помощью утверзздения, дуального лемме
j а , получаем, что cL**cok&i]i™cohn k~V. При этом если у —
JcohM-P t то,пользуясь утверждением, дуальным лемме 1,6 ,
находим, что jt>«yr , и тогда fr-y^u)* . ' °
Замечание» Ввиду предложения 6, а также предложения Z и
дуального ему предложения, собственные классы, содержащиеся в и)ц t '
находятся во взаимно однозначном соответствии с собственники
классами коротких точных последовательностей из [8] .
§ 2. k&i-Coht -последовательность
Ч- *
Пусть А - фиксированная предабелева категория, СО -
собственный класс стабильных ядер в J , со* - соответствующий класс
стабильных коядер. Строгий морфизм f назвшаотря оО тсярогш,
если imfeu) , coimj е со* ; отметим, что в этом случае
Лемма 7* Пусть дана коммутативная диаграмма с точными строка-
1" I'" i'
(V)
в которой все морфизмы <«? -строгие, причем *j*' - Am. if'.
Тогда имеется точная последовательность, . • ' '■ .
в которой ^ - it; -строгий морфизм.
. Доказательство. Пусть а » Аи el , Ь*'$тр , С-fat у .
Ясно, что \р и у индуцируют однозначно определенные морфизмн
f «у такие, что получаем коммутативную диаграмму
д_£_в-£-*С
"ре^олоним сначала дополнительно, что ^ — fa/i if . Так как
Cvfy * <? , то ф£~0 . Если tf Х-0 для некоторого морфизма
83

X , то </>&Х -О ; и потому найдется х' такой, что &K ~«^х* *
ОтсиуиД f'aLX'~pfx'-0 и °сх/-~0 . Следовательно, существует *х/'
такой, что Х'~ах* , и получаем, что l>X<~fXi*~y>(ilL*~%fX"~ ,
Х~<^х" ♦ Таким^образом, ^~/ta:cf .Так как &$--*уаео) , то
по аксиоме РЗ ^€Ы .
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть f ■=/&/ V , где jw с u> Nj
SUuJ*. Существует морфизм 4 такой, что <f'f ~j3ytf , ^\)-сС.
Если # «^&l f , то по первой части доказательства существует мор-
физм JU такой, что iji **jLth , и при этом Ju^hi if € о) . Далее,
построим расслоенное произведение X пары (S), А) :
х—5—v
-.-■4,1'
С помощью леммы 1,а_ получаем, что /S-fet^vJ — ibw -a ,a тогда
/ИV*?'. При этом V"€a/* ввиду свойства Р2*, откуда^ следует, -
n'sojii^imf s, v-^eeim f ♦ В частности, imf~.hbt \f .
Лемма 8 (.лемма о двух квадратах ) . .Рассмотрим коммутативную
диаграмму *>ида ( 7 ) с точными строками, в которой у/' -
полустабильное ядро, ф - полустабильное коядро.* Пусть & - расслоен-
ная сумма пары О*, (/>) . Тогда одновременно & является
расслоенным произведением пары (. tp'» Jf) *
Замечание» Утверждение леммы В обобщает аналогичный факт из
[?] » полученный для абелевых категорий.
Доказательство леммы 8. Пусть коуниверсальный квадрат
<8)
определяет Q как расслоенную сумму. Из коммутативности левого ч
квадрата в диаграмме ( 7 ) следует существование морфизма 9 : А
Q—^ g' какого, что jf/'—Qv' , j5 *9t* . Так KaKjp'- полу- ?
стабильное ядро, то из предложения 3,6 и свойства РЗ следует, ^
что t'.- полустабильное ядро. Так как tpvp'~0 ~р*с<. , то с/~ *' |
ществует мор^изм ju: Q.—> С такой, чтр //г*ср , jat'^.Oj.
Ввццу утверг ;ения, дуального предложению 3,6 , и свойства РЗ*
Jit ~ полу стабильное коядро, Проверим, что fl*coh/i г' ♦ Если'
Яг'- 0 для некоторого морф$зма X , то\г^ ~ й , и найдет-
ся X' такой? что XT~*\f . Поскольку Хг'-ОСjw)t' и Xt*
~(Xjw)r -, то из коуниверсальности квадрата С 8 ) следует, что
X -x'jtf ,'Такыл образом, ju^wfot г1 , а так как X' - ядро, то
84

$зшее аналогично с использованием коуниверсальности квадрата
^доказывается, что у/*«*^'0 f и мы сейчас проверим, что
сопутствующий коммутативныйлсвадрат
универсален. Пусть у 6а ~<p'6i для некоторых морфизмов-^ , С£-.
Построим следующую коммутативную диаграмму, в которой.правый
квадрат универсален, а Г~ htp г
' . •' I ,.М"
Так icaK JU - полустабильноеjtoa^po, то jj? - полустабияьное кояд-
Г • расщепляемый мономорфизм. Так как p-tok&X ., то JS -
расщепляемый эпиморфизм,, т.е. существует мор^изм X , для
которого р\-1А. При атом X-te*£-1 {j-Ctf&i Л • Определим 5"-?Х.
Тогда» как легко проверить, ju (Г— 6£ ,0^^^ , Наконец, если для
некоторого -<г'„ так«е выполняются соотношения уЖТ—в* и ©$'-6* »
то найдется 6, такой, что $"-<Г~г'& * и тогда «рч;~9г?£»0«
Отсюда следует, что &~Q_ и б*'—(Г . '.
Теорема 9. Пусть в предабелевой категории J фиксирован
собственный класс стабильных ядер и) и дана коммутативная
диаграмма вцца ( 7 > , в которой все мор$измн W -стрбгие, a if»
-coke% у/ 9 у '-let у' • Тогда имеет место точная
последовательность . "^ - . _ *' " * \
в которой все морфязмы со -строгие.
Доказательство. е)Морфизмы у< и If , указанные в ( Щ),
построен*! в лемме 7, и тан же получена точность в члене Кмр
и то, что \р - о> -строгий морфизм. Пользуясь утвервдением, ду-
£льнш лемме 7, получаем мор^язмы у , Ф и точность в члене
Cch.it р , а тйкне то, что- Ср * о> -строгой морфизм.
8£ "\ Г"

б ) Построение морфизма S «Используем обозначения из леммы 8
и ее Доказательства. Так как квадрат S из ( 8 ) коуниверсален» /V
то с помощью утверждения» дуального лемме 1,6 f находим морфия!
£: Q—*&&*<*, дяя которого Str't-cafe* * , причем £-cote*t\'
Так как (cok^ff-j^Ot- 0 и (fl^jH?-<F5)*'-0 f то C0fa*j3'0-\
~f% . Аналогично, так как квадрат SA яэ<9)универсален, для ,
мор^иама %*Ьеп в: Кг/с у —» & имеем соотношения //5~ fa* У #•
ffa*>— Да ^Р .Определим /-£•£ •
- в > Точность в члене Км$ . Проверим сначала, что в квадрате
S из (8*) f - U) -строгий морфизм. Ввиду леммы 5 остается
только доказать, что coimtreut*. Построим следующую
коммутативную диаграмму, в которой левый квадрат коуниверсален, a oL~coimd t
Тогда ввиду утверждения, дуального лемме 1,6; $-cckex *',
Кроме того, если d"« im <*. , то очевидно, что Q. является корао- 7.
слоенной суммой пары (ос*, х1) , и потому для некоторого мор$изма
Ч: V'—* Q имеем соотношения tV-'frV" , it- J*. Так Kai
<** , t'so; , то по аксиомам PI и РЗ %'tu) f и в
частности, *'* fa* ^ • По аксиоме Р2 t б a> , и,таким образа», i-imt- $
"Г* count: • Применяя утверждение, дуальное предложению 2,в *
к диаграмме (II ), получаем, что t-coimr еа)* ♦
Теперь рассмотрим «следующую коммутативную диаграмму, в
которой две нижние строки точны: '".*""
Ке*р -*-•■ К** % -£*»£№* «с.
>i Iе 1
в'-А-**в' „о ,
Применяя к ней лемму 7, получаем, что верхняя строка этой дгтг-
раммн точна, а (j> - ьд -строгий морфом. *
г )Дуально в" доказывается, что последовательность (10 )точна
в члене Cqkei* , а $> - и) -строгий морфизм.
д) Проверим, что f - и> -строгий мор^зм. Так как J</>-0 ,
^ро существует ^«орфизм w такой, ч^э w-Coke^if^S . Поскольку
квадрат Sj из (9 ) универсален, аналогично чаоти^в* доказввает-
'ся, что 9 - и> -строгий морфизм. Так как coime'T'ke'ifc - 0 * -
то суцестзует мор#изм тГ такой, что &COimA-~coUnB • Т » а
86
J

тогда irr\9-&- Imp . Так как imp € о) , то ^*о> * Из того, •
#го Яр-о , следует, что $&1тЦ ~0 , а поскольку fe*/J«
^imf t то существует морфизм tf такой, что %imip«*imr-u \
^алее, так как coke^^OoimQ-r^O и cefobi?'-colrn9-imr ~0 ,
.то существуют мор<|мзмн б' и р , для которых Gf^eckftf-coimB
и tfp**coun9-im х • При этом б^со/ , и потому б" € <*->* .
Легко проверить, что p-coimt^Coimfi € со* , и по свойству РЗ*
рй со* • Непосредственно проверяется также, что-и~&е*]> •
Таким образом^ можно построить следующую коммутативную
диаграмму, в которой все строки, а также два левых столбца
представляют собой СО -собственные последовательности:
\eolm9 \s
bip-*-^ ImB ***** Cchx f
Теперь,применяя к этой диаграмме £8,теорема II] , получаем, что
W * fat ?* Ы ♦ Так как f-fi^w-cok't Ц , то f - и>
^строгий морфизм.
•I
V
1
§ 3. Длинная когомологическая последовательность
Пусть по-прежнему со - собственный класс стабильных ядер в
предабелевой категории Л , и)*- соответствующий собственный
класс стабильных коядер. ( Цепной) комплекс K/s-(Kn, d") называ
ется (О -строгим, если все дифференциалы d являются ю -
строгими. Для такого комплекса определены когомологии НЧЮ :
так как сid"'1 = 0 , то d"imd*'1 ~ 0 , ^следовательно,
существует морфизм /Г такой, что imd^-keid'-ti"} положим
Лемма 10. Пусть «'«(К^^Г) - bJ> -строгий комплекс с кого-
мологиями ЙП«НП(К#) « Тогда существует и) -строгий мор^зм
StCokiJ*' "Z—+ iCwd"1 , для которого Re* d*- Hrt ,
Ыта~н"1 . - ; п
Доказательство. Так
Дли некоторого морсизма ы • Но dAtijL>Ccice^t d*~ О Д тогда
сГмо( ~ 0 , и следовательно, существует морфизм d такой,
что ос -fa%d*n<d , Проверим» что d - и> -строгий морфизм.
Так как imd"cci№d"-d*mi -О , то coivdn^dn^ -0 , к потому
87

найдется морфйзм V такой/что cotrnd^St'Cokex dn'k . При; этой
^) € а ** , так как colm d *V ш* , Отсюда
а тогда ,d« £Г- tf . Так как lm d^hid^h^bl, то Vsu) /$ь
ким образом, d - и) -строгий морфизм. В частности, coke* h Tt»
~cektj ,*и:следоватально, Ccfat d « H n+i. . ".- 1
Таь- как Ье*с1~&е1 v> , тг осталось доказать, что Ке*^ Hn .-j
Построим следующий коуниверсальнкй квадрат; . 1
кп —£—* х .£
Так как ввиду утверждения, дуального лешеч1?а , t
то с помощью утверждения, дуального леше 1,6 , получаем, что 1
сокяьъ-о « coLmdn~v-cofa\,d*'\ и потому cokztt « %) « Так как ' '$.
faiotn£u) .(TO few • Тогда f-te'W и 1-Го«Кг*г>^Кег с[ £
Короткая точная последовательность |
0~^K'^L'-^M' ^0 С&Й
э категории ffcm Ы) комплексов над Я называется и) -собст- ??
' венной, если для любого п имеется ^ -собственная последова- ?{
телькоеть в ^ ; Q—^|<;^^-1^^~-^1*.^—"И) • •' 4
Отметил также, что для любого мор^изма'ф : X* г у а |
Кот(^) , где'Х*" ? Y* ~ "> -строгие комплексы, обнчнш J
образом строится ивдущфбванный морфизн кога&ологийг - ' Щ
H"(f):Hn(X-) —- H"(Y') fn«Z.,
Теорема II. Для и) -собственной последовательности в
Кот (jO вида (12) , состоящей из и) -строгих.комплексовt / .'&
имеет место длинная точная когомологическая последовательность:**" "'
Доказательство, Построим следующую диаграмму, в которой'^рит.;:^
зонтальнне стрелки изображают мор^измы, индуцированные морфизма-
ми / и Q соответственно; •
Calmd^-^—*&&?ъ <С' *->G>kei d«l ..ж
Легко проверяется ее коммутативность. Все морфизмн в этой днаг-
88 ^ ' -

рампе. <0 -строгие, поскольку для строк это следует из теоремн'9,
а для вертикальных: стрелок - из леммы 10. Кроме того, из
доказательства теоремы 9 водно, что сейчас, 4'** &* §' * Дуально о*—
*00#е4</у . Теперь требуемая когомологическая^ последовательность I
получа :ся с помопрью применения теоремы 9 к диаграмме (13 > с
^учетом леммы 10., v
Литература I t •
1. Вукур И., Деляну А, Введение в теорию категорий и функторов.
М.:Мир, 1972. 259 с.
2. Генералов А.И. К-определению чистоты модулей// Матек. заметки*'
1972. Т.П. £4. С.Э75-880.
3. Маклейн С. Гомология. М.:Мир, Х966. 543 с.
4. Мишина А.П., Скорняков Л.А« Абелевн группы и модули» М.}
Наука, . 1969. - 152 с*
5. Скляренко Е.Г« Относительная гомологическая алгебра в
категории модулей // Успехи мат.наув* [ 1978. Т.ЗЗ. IP 3* <U85-
120* • - ";.--.
6. Яковлев А*В« Гомологическая алгебра в прэдабелевых категориях*
// Зая.научн«сем.ЯШИ. 1979. s Т,94. C.I3I-I4I.
7. Fou Т. Н.у Ha^ie KM., Hitlvn P. 3. The iwo ttmmxjMlbbi.
(Batceuwa). .№. V.S3,s/l. Р.Ш- M.
8. Riefiman Я, Watte* E.A. Ы in pKtaieBian calegcbUs / .

*k BOiFQcy о вполне теднзйтшюсти прямых шШёщМ
г ОБОБЩЁННО СШАРАЬЕШЬНЫХ: АБВЯЕВЫХ ТРУПП
С#Я.Грикшпон
Вйяолучен критерий вполне транзитивности прямого пройзве-
дения обобщенно сепероОельаых абелевых групп. При доказательс**-
в# необходимости условия Z этого критерия используется лемма^--ll
11,. С* 3£} t в которой утверждается, что если вполне траиаи-
Ф^вная абелева группа вредставима в виде
4 s J Л Ач *$ &r 3t* ',0 0"*itemm
в^ряет условие монотонности* Однако в чести доказаяелыдаа ©том
леммы, касающегося выполнения условия мше^ннобт^ допущен* йе^
точность.. Здесь необоснован переход.от неравенства
^XlftfiGtyi*"^Ам^ььУ * «ик^отстау^чте обозначения вм« в
работе 1$ )•
Если отказаться от условия вполне тренэитиьноотй группы^ fv
то в общем случае переход от одного неравенства к другому иев*-
рек. Что же каеается вполне транзитивных абелевы* *$уяп, то'ве*^
можность такого перехода - пока открытый вопрос* бдееко основ*
но& результат роботы (l] - теорема Достается справедливым;
«О в доказательстве необходимости условия £ нужно применить
думцу* леммуf представля*ьу?»,и/ самостоятельный интерес, * <f
Лемма. Волн А^гАл ,,..9А& - прямые слагаемые абелево*
пн А , являющиеся, огородными группами без кручений о nsmjpjl
«неравными"типами» то
:*ш

i$*$fc!Wona групп»/4 , параден ноя яодуру племя
A$tA$ ••"•>A » является прямой суммой зтих псдгруп*^
?)Aj$Az '♦••• & An - прямое слагаемое группы ^ *
Доказательство* Проведем доказательство леммы методом
дедеатичеохой индукции. _ , v
Пуотъ Л*2 9 т.е* ^ Hjlg -прямые слагаемые ебелевой
группы А « являющиеся однородными группами без кручения и
ШАЛ * £(ЛЛУ • Ясно, что А,ЛАл*0 и, значит,
А4 *Ag *A$&Ag « Доложим для определенности i(A^A
fUAf) . >: -Имеем A*Ai0AliO> A*Az®A&li^
Jjyotb &&*А&* &%*& о Из прямого^ разложения (1) вытекает
% *#/ *л/ , где &feAiffrtGAf. Если бы элемент #у бы*
ненулевым, то имели бы £ДО*;} « iHtf} .ив силу одноро&г'
ности групп A fin А^ ЫА%) ^iCui) » чего быть не может»/
Значит, Gtj*0 и a^eAi • В салу произвольности элементе
.&г получаем А^сА} * Учитывая прямое разложение (2) и
fc. £. 50/свойство б J , получим Щ *A<>@(Af йА'г ).
Подставляя Л?£ jb-Ш# имеем такое ff&boe разложение группы ^ :
Л? * Ai®Az &(щ $AgJ .Итак» Af®Az « прямое слагаемое ^
группы Л ♦ \ .
.Пусть теперь для /2*£ утверждение леммы справедливо, и ч
пусть Лу, Az t„.*Al , A fa - яримые слагаемые группы A t .
являющиеся однородными группами без кручения с поперно нерйв-
нымм типами. Выберем в частично упорядоченном множестве -
i(Ai), £САЛУ 9.<+,i(AfftJ один из максимальных типов * Пусть
ото будет НА;}. По предложение индукции имеем
А*+Ае * — * Aj-f +AjH *•• -+At+t-Ai*А£*~*А^^***Ь,
и А-А/ФА* В,-~® Aj~i ® A&f Ф-**&Aiff &3.W)
По условие имеем также А *Aj Ф Aj?; (S). Пусть Ufed/ja/*&
Из прямого разложения (4) имеем Ctj-U^ •* &л + **л Uj-i +
~+ujHt...+a£f, +6 , iM*useAs(sefot9~,j4fj+t,„.9iHh.
'" *€$ . Если хотя бы для саного S выполнялось as * О (**</) t
то имели бы i(aj) < t(&$)- и поэтому t(Aj*) < i(As) /
чего быть не мокет в силу максимальности типа *М;) . Значит,
&€$ и, следовательно, А1;С 3 . Тогда 3 aAj GtS/tAj).
; Значит, А *(А{ & Аг ®.: ё Aj ® - Ф А£Н)ФСЗПА^.
91

1емма доказана*
_ Teitepb рассмотрим фрагмент доказательства теоремы 2 из
[1] ( необходимость условия 2 ), В котором утверждается, что
если Аь~ обобщенно сепарабельные группа* ^^iQ^i '-" вполне
транзитивная группа и 1И^;}^ jej ~ система всех однород-
ssx; прямых слагаемых гругш/^ ,-то для лпбой пары групп
&<Н40ЛЯ%*л№ Я(Ър * I p - простое чмолоДО^
* ^ у ЗУ-9- - . * ' ^
Докажет ато утверждение с помощь* вышеприведенной лемм**
Шуоть Я^£ й ^я, - произвольные группе из 1Яд] такие, что
^4%£ ?' &М*тУ* имеем в силу доказанной леммы #£l®Mm/i -
прямое слагаемое вполне транзитивной группы // и, значит,
Jfffg <© Ятп, ~ вполне транзитивная однородно разложимая абеле-
йа^группа. Теперь из &* С 70, предложение 2Л2] вытекает
Литераторе
I.Тринягаон С.Я., Нисяхов Б Л. О некоторых классах вполне
транзитивных абелевых груш без кручения // Дбедевы группы
и модули. Томск: йзд-во Ток# ун-*а, 1990. Зып.9. С. 31-36.
2. Фукс Л. Бесконечные ебелевы груши. Я.: Мир,, 1974». УЛ. 335
3. Гриншон С «В. О строении вполне характеристических подгрупп
абелевых груш без кручения •// Дбелевы группы и модули.
Томск: йзд-во Том. ун-та, 1982. & 56-92.

п -ГРЭТШОШ КОЛЬЦА И ИХ РАДИКАЛЫ /
Е*Зековкч, ВД.Артамонов
Под (2»&) -кольцом понимается мулы ио пера торнов кольцо в '
синоде А*Г*Куроша [х\ 0 одной, п -арной ассоциативной операцией
умножения, (2,я) «кольца являются частным случаен Ы,хх)
-колец в синело Чуповм [ 2J , В работе для ассоциативного кольца
В о единицей к п -полугруппы о строится п-ш>жр№рш*~
вое (2#д) -кольцо ВО ,В (2] покараш^что каждое (2,п) -
кольцо А вкладывается в универсальное иак±жвага«ё~
ассоциативное кольцо А ¥Ь статье отбывается строение накрывающего
кольца (в&) для v RQ ,В случае когда $
является а-группой,описан радикад Джвкоосона ВО 9
В качестве следствия получен аналог теоремы йавке,£се необходимее
определения можно'найти в £2 - б] .
Определение I .Пусть задано ассоциативное кольцо В о
единицей и п -полугруппа О .Под на понимается iz9n) ~
кольцо,каждый элемент которого однозначно представляется в виде
конечной суммы
Z *А . • **£ а • Ч^ а ♦
93

Сложение в в» сводится к сложению коэффициентов ^
Умножение задаётся но правилу '
Твореиа I/ Ш)* - (Вв*) [х]/ «Ж*-* - 1)
где О - универсальная накрываедая полугруппа для G » .
ДоказатедьствсПусть А - произвольное ассоциативное
кольцо и вадан гомоморфизм (2,ц) -колец a t т —* А .
Необходимо построить гомоморфизм С2,а) ««колец
f t Ей > (RG*) [х]/ {Х®*1 - 1 )
* sasol гоиоиорфиэы колец
- a» t <ао*>^х}/ (**** - t) у A ,
чго в = a'f .Похожим
Тоща
w

jaxfflt обравоы, t - гомоморфявж <а*л) -кожец.Зададим
гомоморфизм коаец а* » ВО* £ж[| —г> 4 * пожатая
где *' - яродолжевие а яа О* *8*о продолжение оуце<н
1вуе*,поокожзьку о 8fl n гомоморфизм а задаёт гомо- .
морфизм п -полугрупп а $ О * А ♦Непосредо«вен-
мая проверка показывает,что а1* является гомоморфизмом колея.
Воли r^R,g € e# fto
(A-2)<H-1)
поскольку а • гомоморфизм (2?д) -колецЛакил образом,
•* йвдуцирует гомоморфизм колец
»' i (1**)[ху (х*"1 - 1) > А ,
Покажем,что а * af>f ^ •Если r£-R , g £ G ,*о
a'f(rg) « аЧ rgl ♦ <Х*"1 ~ «) - a(1>n-2a(r)a<g> *
а-2
95

Теорема доказана.
Предположим теперь,что Q является . а-грушюй.В унжвер*
сальной накрывающей группе й* существует нормальная
подгруппа 0о состоящая ив всех произведений в1***вп-1 .
«i € О , [3 , 7] «При атом 0*/С0 - циклическая грув*
па порядка аИ \ с образующим о « gGQ , g € 0
Sea** того, 00 - ( **Ч » if 0 ) * где s - фнкснро-
ШШй элементне 4 .Сравним идеалы ва и Ев0
Лемма I «Пусть X - идеал в во «Тогда к"1* - идеал
в М0 ♦Здесь « - фиксированный элемент из 0 , и*1! »
» ( л*1» ♦ * €.х) во* «при этом ш*г ш «(«^«s-1- I»-1 /
Доказатедьство.Пусть «•* £ Q0 .Нужно показать,что
дли Kfttoro * € X элемент esw1xn лежит а
• X «Так как в i h ь «0 ,то фч^****,^* "•
li * Ц****^ для некоторых Bx>h$ € ° .Поэтому
******:• Ct'i'tW*!***2^ • •^«^••••v«^4#"Vi> • ~
В силу свойств идеала (ier.^n.2x>iliee*ton-i € x • -
Так как к € а **о *"1€ в^2 ,т«е. и"*1 .*«•♦.t^,
где «х <с О «Поэтому в силу определения идеала в X
лежит элемент вг..«п-2х« .откуда *~1*»
• (*1«««*п_2ж*)а~1 ^ X*"*1 «
* Лемма 2 «Пусть J - идеал в воо «причём J •
»sJ»~1 «где и - фиксированный элемент из о «Тогда
и* - идее? в во ^ «
Докавательство.Пусть в*)»"*»*!*^»*!*! »•*•*% ^ ^
к J «Тогда

Л(в1--в1-.1*в1+1##в^-1)Ча <* J*a * ^n2"1* " J* •
ибо en»"*1£ G0 .Кроме того,из условия леммы вытекает,что
j » gJg'"1 для 'всех s€" G .v
Теорема 2.дели J(HG) и J(RG0) - радикалы Джекоо-
сона в' BG и RGQ ,то J<RG) * zJ(RGQ) .
Доказательство*По леммам I и 2 существует ииективное
соответствие между идеалами в R0 и идеалами в RGQ ,
инвариантными относительно автоморфизма х г-> ах»*"1 кольца
BG0 < «Радикал J(RG0) инвариантен относительно
всех автоморфизмов RG0 ^
Модули над RG и BG0 [4] по теореме I
, одинаковы.Следовательно,совпадают их неприводимые модули и
аннудяторы Д'ак как радикал определяется через аннудяторы
неприводимых модулей,то в силу лемм I и 2 получаем требуемое утверх**
дение.
Следствие I«Пусть В - поле характеристики р> О и
О - конечная »-группа.Если р не делит порядок G ,то
*& полупросто»
Следствие 2»В условии следствия I J((RG) )^RG • о ♦
Следствие Злусть R - ассоциативное коммутативное
кольцо с единицей♦ G - конечная абелева п-группа. Тогда
<H»G) и tJ(RG0) т Rj(R) ♦(•I 1. **<«! " V > *-
P€P i
Здесь p - множество всех простых чисел, г - фиксированный
элемент из в f, u,v6 g ,причём
Для некоторого *£ 1 ' и некоторого ю г (1-рк) niod(n-i) ,
97

г €а ,причёы Р**$,€ J<R) для некоторого d£ О
Доказательство вытекает из творены 2 и леммы 4.10 [б] •
ЛИТЕРАТУРА
1. Курою А.Г.Мультиоператорные кольца и алгебры // УМН. 1969 .
24 Л° I. C.3-I6. ' ' .'J
2. Чупона Г. Об (m»n) -кольцах // Бтлвтен Друшт.матем.и фаа,"
СРМ. 1565.Т. 16. ^ G.5-ICU ~- '?
3. Курош А.Г. Общая алгебра (лекции 1969/1970 учеоного года). ^
М.: Наука, 1974. 159 с. * ^
4. Никитин А.Н. Радикал Дкекобсона артиновшс (2,а)-колвц // • .4
Вестник МГУ.СерД. 1984. te 4. C.I8-22." . - ;
5. Эекович Б. Универсальные накрывающие кольца и их радикалы
//Вестн.ИГУ.СерД. 1989. Ш 6. C.I4-I7,
~6» Karpilovsky С» Gi-oup and semigroup rtnga, Amsterdam i
- Borth-Hollend, 1986.
Щ
7. Артамонов В.А. Свободные а-группы // Мат.заметки. 1970.^1
-Т.8;*> 4. С.499-507, .' 4
щ
щ
v - • • - 44 \
'- "Л\
— • ^ Щ
щ
. ;. >„*[
98
:1
#1

РАДИКАЛ ДШЮВС0&1 КСШ#< «ВДШ»1ШВ;даШВ0в а,
. П ЖКрыяов^
В 1963 году Р.СЛирс в известной работе £ I ] поставил
проблему описания элементов из радикала Дусекобсона кольца эндомор*
' фшмов щжмартойабелевой группы по их действию на группе. Он
ввел идеал Hid) в<^ эндоморфизмов примарной абелевой группы
Q , повшаших высоты элементов цоколя группы $ t который,
оказался очень полезен при. решении указанной проблемы* Изучение
радикала Дкекобсриа кольца эндоморфизмов лримарной абелевой
группы в работе Пирса til ив последующих статьях других авторов
так или иначе касается связи между идеалом Н(<5) и радикалом; Эти
статьи освещены в обзорах 12 ] , [ 31 у укажем только более • •
поздние статьи [АХ -, [ 51 тг В работе [ 6 J ' автор по аналогии
о примерным случаем определил идеал //^б)^ всех эндоморфизме
абелевой группы без'кручения & \ повышающих ^ ^ -высоты ее
элементов для всех простых чисел р • 0 помошью этого идеала Н(й) в
[б] и [7] охарактеризован радикал ^екобсона кольца
эндоморфизмов группы без кручения конечного ранга и алгебраически компакт*»
ной< труппы без вручения;
В настоящей раооте получаются т)вью результаты о радикале
Дкекобсона кольца эндоморфизмов группы оез!фучения, а также сис-
♦вштизируртся факты, представленные в t6lis- t9l.
B.SIiизучается -радикал Дчвкобсонакольца^эндоморфизмаvflpymm без ^круче-
ни» конечногооранра*,Вместе ;с>[б], 5 I состааляет^вполне- закон-*
чвнную теорию.радикала <Д*екобсона кольца эндоморфизмов, группу без
кручения конечного-ранга» В, §2 убирается, предположение о
конечности рангам группы» Рассматриваются следующие вопросы: описание
99

радикала Дкекобсона кольца эндоморфизмов, связи между идеалом
H(G) и радикалом Дкекобсона, нильпотентность радикала. ,
Все рассматриваемые в работе группы - абелевы без кручения»
р обозначает всегда простое число* Если & - группа» то£Лг)
- ее кольцо эндоморфизмов,77(&)щ[р\Р6 Ф&] 9t(6f) - ран?
группы Gr . Группа G называется почти делимой, екни 14 \Ш)\<£ .
Напомним, что псевдоцоколь SoC в группы G- это^сервантная
подгруппа в S , порожденная семейством всех ее минимальных pfl -
подгрупп, т.е. серкантных вполне характеристических подгрупп [10],
Если xeG f то клх) J р -высота элеменла х ъ & . Для
некоторого гомоморфизма d через dfa обозначаем ограничение d на
годгрупцу А . Для квааира*снетва групп используем анак «■ .
№ f Z 9 Q - соответственно множество натуральных чисел,
группы целых и рационально чисел. ЛЯ)- радикал Дкекобсог* кольца
Я , Af(fi) - ниль-радикал, т.е. сумма всех ниль-цдеалов кольца
R .
§ I. Случай гругот без кручения конечного рачга
Пусть 6 - группа без кручения. Положим
- \ I
Н(6)* \*?€Е16\ I л*Я *—*? ?* * °Ф - делимая часть пугош<?;Ь|
Нетрудно убедиться, что Н(&) - идеал кольца fflr) , причем для , "*
яедуцированной группы $ f H(6) mff€£(A)l»eB'f А0(*У <<»
-* Ар W < Ар I <?*)> реЛШ } ^Д;>Ш).
Для полноты изложения и удобства ccjmok приведем главные
результаты работы [6] . ' / ;
Теорема I.I [б, теорема 2.4.1 . Пусть & - группа без ^
кручения конечного ранга. Тогда Н(&) £j(£(&)) и идеал
J(E(G))/H(6) нилнйотентен.
Следствие 1.2. Для группы G из теоремы 1.1 J(E(G))M
*{АеЕ(6)\, правый (левый) идеал ЛЕ($)(Е(6)Я) нилипотёнтен
по модулю Н(6)} , . ~.\ '.%
Теорема 1.3 бугсорема 2;8] . Пусть G - группа без
кручения конечного ранга. Равенство J(£(G)) * М(Е($У) справедливо ' f
тогда и вольно тогда, когда G не имеет ненулевых почти
делимых каазкедагаемых. Ь этом случае радикал J(£(G)) нильпотентен. #
Следствие 1.4. Для группы $ из теоремы I.I J(Е((£))*О
в том и только в том случае, когда S *Soc $ и $ не имеет
100

ненулевых почти делимых квазислагаемых.
i Следующая простая лемма будет часто при меняться.
Лемма 1.5. Пусть группа &~A®Bje:($-*'A- проекция, а
l:A-*G- вложение. I) Если c(eJ(£(S)) , то e<tieJ(£(A)) .
2) Если <*eJ(£(A)) , то oTeJ(£(G)) , где сГ совпадает с <<
на А к аннулирует В .
Дохсазательство получается из следующих фактов. Кольцо Е(А)
можно отождествить с. в£(6)е [И, С.256J . При этом
отождествлении еы1 *е<*е . Далее известно, i/(e£(G)e)s£J(£(G))e.
Оставшуюся часть параграфа разобьем на пункты А , Б , В и
А) Ът&ЛЕ(Ю)*Н(6)?
Определение Х.б [12] . Группа без кручения & конечного
ранга называется р -полупроотой, если £(6^/р£((г) -
полупростое кольцо, v*$.J(E(6)/p£(6)yO*
Теорема 1.7. Пусть 6г - группа без кручения конечного
ранга. Тогда JiECGtyxfjCG) в том и только в том случае, когда/?*
*АФЁ>®В , где А - почти делимая группа р -полупростая
для каждого р , группа В не имеет ненулевых почти делимых
кваэислагаемых и В -S0C В , Hom(A7B)*HQm(B,A)~0\ a
д - делимая группа.
Доказательство. Допустим, что J(£(&)) « Н(&) . Запишем
Gt*C ® 3 , где С - редуцированная, Л - делимая части
группы G . Тогда Л£(&У) ~ Н(С*) . Действительно, в
противном случае пусть <* . Рассматриваем <к
как эндоморфизм группы Q % полагая <к])*0 . Тогда <<€%/(£(£}})
(лемма 1.5) и А 4 Н(6) , что противоречит предположению,
Учитывая зто наблюдение, считаем, что & - редуцированная группа,
т.е. д~ О . Покажем, что & * А Ф 3 i где группы А и б
такие, как в теореме.
Покажем, что 6 = SoC & или, что равносильно, М(£((*У) * О
Г б, теорема 1.4 J . Если существует 0Ф*€А/(£(6У) , то для
некоторого реЛ(6) выберем У^/V так, 4*od*pffi , где^е£(5)и
ft4p£(G) (учесть, "что £(6)* - редуцированная группа). Тогда
В€#(£(6)) , но Jb4H(6) , поскольку &dp£($)
Итак, Щ£(6))*0 и &*S0C6r
Представим теперь группу & в виде & == А ® 3 , где А и 6
- сервантные подгруппы в 6г ♦ группа А почти делима, Л не -
имеет непулэвых почти делимых квазислагаемых. Из теоремы о
строении групп, совпадающих с псевдоцоколем [13, теорема. I] , получаем
101

Нопь(А,В)*Но/я(В,А)*0 и В'SOC в"
Покажем, что на самом деле & совпадает с А В В .
Предположим против ое. Пусть ПЬ - минимальное среди натуральных
чисел со свойством /п& G А ® в .. Если Л (А )*1р19~<>Рк] ,. то
все простые делители числа /ft принадлежат /1(A) . Пусть £
- произведение всех тех Д- , которые не делят ftu , причем £*/,
если таких чисел нет. Существует эндоморфизм<*€£(&) такой, что
*1а 9fn^U > &b * 0 [&t лемма 1.6J (он называется
квазипроекцией),, Убедимся, что <<€J(E(6)) . На основании след- -
ствия 1.2 достаточно проверить, что (d^)z e Н($) для любого
%е£{6) . Итак, пусть qe£(6) >£€& и р- некоторое
простое число с kpLQ)< °°
Имеем ftig*Cl+6 , т#ей€А,
Если hpia)* °~ , то ясно, что 'Ар(£)<*Ар(т£*(%*а$}'
Пусть Ар(а)<0* f тогда ре/7(A) . Обозначим через е
показатель р в каноническом разложении числа т, . Верно неравенство
tip(/wf)-hp(a)*e. Оно очевидно, если Ар(а)фАр(в) . Пусть
поэтому Ар (а)* Ар(#) * 4 . Тогда fip(/ny)>/ip(ci) и можно
записать tipШ$)*р%*\ , где %>0 . Имеем тузр}**ш3а*р**9
6*р*у . Следовательно,/>** * я* *f • Зд,ес*~2£А&В при 2>А
Действительно, если допустить %* xt*#{ * где *V6^>Jfi*B , то
будет рХ2лр%л4+рх%1 * Х+У и **рг#г , что невозможно
ввиду h.p(x)*0 . Таким образом, Я&АФВ при *><? и/)//гс по
выбору /я. . Значит, г* в . Отсюда hp(m<j)-kp(a)&e tAp(Q)-Jk(a)6
6 0 и hp(g)£Ap(a)<Ap(fo££(f*aii) . Пояучж&МЮ) ,
По предположению <к€ Н(&) ;. Выберем теперь элемент ^£# , для
которого /Л - минимальное среди натуральных чисел со свойством
/&^€Л 0 Л . иусчь/г?0*й+6 с #<£*Л , #^£ . Зафиксируем/)
со свойствами (p,i)*f и ре Л (А) . В частности,/)//?/ . Пэ
выбору /n , /(р#г) *0 . Теперь вычисляем d(m(j)*<iCL =mi a %
4Q*td и АрШ) - Ap(ta) *Ар (СС) * О . Следовательно,.
Ао(*0)*Ай(9) 9 что противоречит <<€{/($) . Итак, в самом де-,
Je<-AQP8 .
Осталось показать, что группа// /> -полупроста для всех/) .
Из </#Ю) « /MJ) получаем J(E(A))*H(A) . Так как
H(A)*fi pLE(A) , чоЕ(А)/Н(А) * £ е Е (А)/»£(А) . Этот
изоморфизм /'равенства J(£(A)/H(A)) ЯЖЁ'СА%/Я(А)в О влекут
полупростоту всех колец Е(А)/р^ £(А) . Следовательно, А - р
-полупростая rpyjLa для каждого р .
102

Обратно,, тдгсть $-Я&д®Т) , где группы А ,3,В -такие,
как в условии теоремы. Представим экдоморфиз л dC€J(E(&)) матрицей
(*Н О О \
[О *и О )
относительно разложения , учтя, что Но/п.(А±&) -
*Нот(5,А)*НотО},АФВ)*0. Здесь 2^/6f60), d^€j(£(By)t
*#*J(EClty) , *цеИот(Л,ШУ ,. ds^MomiAyD) 9
Так как В - делимая группа, то J(E(Dy)sO и *0з в О .В
силу условия на группу 3 и следствия 1.4 также ЛЕСВУ^^О и
' Ajti sO • Затем по условию кольца Е(А)/рЕ(А) ^толупросты для
любого рс ПСА} . Как и вше, имеем £(А)/МА)*£0£(А)/р;£(А)9
где //У*-'#1* } т'/!(А) .Значит, кольцо£^)у^М) полупрос-
то. Ш\ JttlA)JH(Al)*ti£(A))/H(A) получаем * ГЕ(А)) *Н(А} .
Следовательно, «f#€ //#) . Таким образом, матрица эндоморфизма U
имеет вид /-Jm 0 о\
0 0}
*ц. О/ >
причем JffG Н(АУ . Ъсзт де$ ,g*a + 6+d с аеА ?6e6fdeD f
чо*Q*d<tO,+(<*«&+ <tj£ S) f где <<*/#+ <л$г&е Я •
Поскольку J? - делимая группа и dH€H(A) , то-понятно, что
fy^ * ty*fi для любого /* °° свойством Лр(р< о» » Поэтому
АерЕШ) и <*€НС6) . Теорема доказана.
Следствие 1*8. Пусть £ "- редуцированная группа без кйгче-
ния конечного ранга. Тогда J(E($))* HtGr) в том и только в том
случае, если 6t uS()CGr и $ *А Ф. В , где А - почти делимая
группа р -полупростая для всех р , группа Ъ не имеет
ненулевых почти делимых квааислагаемых.
Доказательство. Пусть SSA Ф 5 • гДе группыЛ,^
удовлетворяют требованиям следствия. По теореме о строении групп,
совпадающих с псевдоцоколем [13, теорема ij, получаем В*SOC б* и
НоЫА,3)жШЫ8,А)*Рш Действитгльно, если HomlAfB)tO или
Нот (В, A)f Ф О , то группы А л В имеют квазиизомор^ше ква-
эислагаемые. Следовательно, В имеет ненулевое почти делимое
квазислагаемое, что противоречит условию следствия. По теореме
1«7 ЛЕШУ) * Н(6У . Обратное также содеркится в теореме 1.7.
Следствие 1.9. Для почти делимой группы 6 без кручения
конечного ранга справедливо равенство ЛЕШ))*Н(6) тогда и
только тогда, когда Gt -'р -полупростая для любого р группа*
103

Следствие I ДО. Пусть & - сильно неразложимая группа без
кручения конечного ранга. Тогда J(£(6)) *Н(в} в том и только в
том случае, сопи или Gt не почти делимая группа, или G - поч-'
ти делюлед /> -д^лупростая для любого р группа.
р -полупростые для каждого р группы коночного ранга
описаны в fl2j . По теореме I.I аэдеал J(£(6))/H(S') нильпотентен .
для группы 6 без кручения конечного ранга. Возникает следующий,
вопрос, частный ио отношению к ©тоцу факту, но более обший по^
сравнению с проблемой, исследованной в теореме 1.7: когда
радикал Л£(в)) расщепляется в сумму идеалов НС6) и Af(£(£)) ? Нам
потребуется известное понятие полужесткой системы групп. Пусть
JJ/,... , ift j - упорядоченное множество. Система гдупп
A si {/*/,...,*) называется полужесткой, если Нот (Aj. уАз;)Фр
ц*=>' *i ** */ • Элементы Jf,,..,J/^ !фонумеруем так, что
L<j <«** J[ и S; несравнимы, либо Si < Jj (это всегда
можно сделать). ата«гом случае всякий эндоморфизм 4€£(S)
представляется относительно разлог.^ния G *£® А&£ :«ижнетреуголь«.
ной матрицей. л
Предложение I.II. Пусть & ~ZL® А$£ , где A*f t.^f^Sn. -
полужесткая систем групп без кручения конечного ранге таких» ♦,.
что длг каждого I либо Ji£(Ai))«Nt£lА#)% либо^/^//))в^4&))*
Ъ<**4№) *№) + №*)) . • : ;
Доказательство, Считаем, что элементы Sf,..♦,**. пронуме- -
ровамы так» как указано перед предложением. Возьмем некоторый
эндоморфизм <t€J(£(6)) и представим его нижнетреугольной мат- ,
рицей Ыз£$;) относительно р'«сложения &*£f А 3£ * Запишем,
в* *р +{ , где Ь - диагональная матрица с элементами *ii$£ Ц
на тех местах ($; , J^) , для которых J[£(A цЯ'Шз/) и в
нулями на остальных местах. Эндоморфизм / полагаем равным <t~fi . [
Поскольку *$iSieJl£(A3i)) (лемма К5), то для <*3£*£ * вошед-
«их в ft , имеем по условию <*S£j£ *Н(Аз£) . Поэтоцу &€Н($)щ~ \
Убедимся, что j*c/!/(£($)) . Достаточно проверить, что элемент
J*%. нильпотентен при любом Ь^£(Ю . Для этого нужно учесть,
что на главной диагонали матрицы k стоят либо нули, либо в \•;^
соответствии & выбором jy и условием - элементы иэ М(£(А$£У)% -Щ
а также принять во внимание тот факт, что t представляется них- i|
нетреугольной,матрицей, предложение доказано. . **$[
Следствие 1.15. Пусть S - вполне,разложимая группа конеч-
иого ранга. Тогда J(E(6))* НШ)+НШ6Ъ . ^ ':
В) Когда О J(£l$))K =0?
104 • ' -ф\
.£"1

В следующей теореме полностью решается для наших колец
эндоморфизмов известный вопрос о пересечении степеней радикала.
Теорема I.I3. Пусть б - группа без кручения конечного
ранга. Тогда ЛJCECS^^O в том и только в том случае, когда
либо 6 - редуцированная группа, либо &- нередуцированная
группа и не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых.
Доказательство. Пусть # - редуцированная группа. По
теореме I.I существует ЫМ со свойством Л(6Ш)У*ен(6).ш Поэтому
достаточно показать, чтолЛ Н16)* = О . Имеем М£)*:£}(&ypE(ff)iA
Аддитивж х группа £Ш)* кольцаЕ(6) является редуцированной
группой и последнее пересечение равно О. Если группа d не
имеет ненулевых.почти делимых квазислагаемых, о по теореме 1.3
радикал J(E($i)) нильпотентен и утверждение очевидно.
Предположим теперь наоборот: что Л J(£(ff)) яО однако Сг
- нередуцированная группа и имеет ненулевое почти делимое квази-
• слагаемое. Можно написать &аА® д , где у группы А есть
ненулевое почти делимое квазислагаемое, скажем, В , а Л -
ненулевая делимая группа. В частности, Нот (В ,$*)+ 0 . Запишем
еше А ** б @ С , где подгруппы В к С сервантны в А .
ПустьА;й*.3 - некоторый гомоморфизм. Распространим^ на
группу B&C&J) , полагая Jr(CQD)*0 . Так как Л -делимая
группа, то fir однозначно продолжается до эндоморфизма группы
. $ , который также обозначим через fi . В таком смысле
понимаем ниже включение Нот(В9д)с Е(6) . Легко убедиться* что
Нот (69Я)е/*(№)). .
Построим вспомогательный эндоморфизм Ы , принадлежащий
радикалу J(£(G)) . Пусть/7^)г/д,...,д} ♦ Выберем минимальное
me/\f со свойством тА£д& С . Существует <*€£(&) ,
действующий как умножение на wzt на подгруппе В ,и аннулирующий £027.
t 6, лемма 1.5 J , где t - произведение всех простых /V ; не
делящих т, . Модификацией соответствующих рассуждений в
доказательстве теоремы 1.7 проверим, что dIA^J(£(A)) . Пусть ^?(tf) .
Покажем, что(%*)*€ Н(А) . ПустьдеА , р - некоторое простое
число с b>*(f) < °* . Нужно доказать, что Арф< 6р((?<*)*$) .
Инеем тф*а+6 \ гцеаеЗ, бе С, и также т(^а^л^64 ,
ai* *7 &1еС . Теперь b^^^YM(^f(mQHMWta*miM)(mu)^
•mttf**iaf) «m*t*(fa< *) и ^Щ к™№*(*[*}) г #
Если А л (а) ж о» 9ю Л>р(в/)а *• и требуемое неравенство
105

р -высот справедливо. Пусть п>р(ау< <*> . Тогда ре/7(3) и ,§
p*pi для некоторого I . Так же, как в теореме 1.7, находим |
&р($)*К(а) и &р(?а)*^р(а><) • Следовательно,/£>#;« §
* Ар (а) * Яр (?Ы * iz> Г^, >< */> Г'* * ^д*> ) при &рС&,) < *»
и подавно fip($)'<Apfa*£*fya,/)) при ^^/) - °° . Полу- ;|
чили нильпотентность по модулю #^Л) элемента £<</'f для всякого *
%еЕ(А) . По следствию 1.2 *h*J(E(A)) , а по лемме.1.5 %
БЛЕСНУ) . \ , : :1
С помоаьо построенного сС покажем* что HQfii(&,]))GJt£(6yfi':{
для любого neN .Это даст против оречнё с предположением и по- ::
зволит закокч/ть доказательство. Пусть fo€Hom(bfD) . Умноасе-::
ние wbih^t)""1 является изоморфизмом Ь~*-(тЧ)пЧ 5 . Сушест-^:
вует поэтому такой гомоморфизм^ i(m*'t)n4 S^-^r J) , что ; с;
/|з"Р*П]*д • Продолжим ^0 до гомоморфизма В —~ В .* Име«.;;;
ем Ь~р*-»ч , где ре Нот (д,Л)* #(E(6))gJ(E0})) , а Ь
. Следовательно,^ -Щг))*-. Теорема доказана. /,*■
Пример I.I4. Пусть группа G-Qp & Gt , где Qр - груп-1
па рациональны* чисел со знаменателями, взаимно простыми с р . fe
Тогда / • - ,4}
. мтНТ I), п ■***»*-(§ о)= "««>• :|
Справедлив более общий'факт. "'^ |;
Следствие I.I5. Пусть группа без кручения крнечного-ранг<а, ||
&~АФВ, где А - ненулевая редуцированная почти делимая Щ
группа, D - ненулевая делимая группа. Тогда Д4^(£(&У) " '4
-Hotn(A9l>)-ll(E(G)) • |
Доказательство, Заметим, что под Hom(A7S) понимаем идеал : %
ЫеБ($)ЫАеД, *Д ш о) .Имеем *
По теореме 1.7 П J(E(A)Y' *0 и поэтому Л
В) Фактор-кольцо c(G)/J(E(G))l " . 4
В- £б] получены следующие результаты о фактор-кольце . -&
£Ш)/J(£(G)) . Здесь Ер обозначает поле из р элементов. |
Теорема 1.16. I) Пусть G - редуцированная группа без крзК|
чения конечного ранга. Тогда фактор-кольцо E(G) /J(E(G)) изоморф^'Д
но подпрямой сумме полупростых конечномерных Ер -алгебр Ар -•*
(реПСб)) , причем cUmFAp*x«*lpG)* .
2) Если дополнительно'к условиям п. I G - почти делимая
106
\Ч л \ ><
^
/

яупп*. то ш)/шт» *ж* Ар.
Пункт Z теоремы I.I6 дотекает значите, ьное расширение*
Кольцо % называется- регулярным, если для любого й€8
найдется ДеЯ °° свойством CLOCL * Л . Кольцо R называется само-
иньективным справа (слева), если правый (левый) R -модуль/^/^/^)
инъвктивен.
Теорема I.I7. Приведенные ниже утверждения о редуцированной
группе 6 без кручения конечного ранга равносильны:
1) группа 6 почти делима;
2) nieJIEKx)) для некоторого net) ;
3) кольцо Е(6)/Л£(6У) классически полупросто;
4) кольцо£(&)/j(£(Q)) регулярно;
5) кольцо £(&)/J(E(G)) сакоикъектявно справа или слева.
Доказательство. 1)**р> £). Если.ЛИ£}*//, *~7р?) » «о
fi ••••aPs*t€H(4)GJ(E(6)) • *У **** V - ПУСТЬ л *«*!»«> так,
что &*1еДЕ(6У) \ По теореме I.I существует tceJt , для
которого (А*4)**Н,К*{€НСВ) . Из этого включения следует, что если
' pff**tPs ~ все реечные простые Целители числа А , то Я(&)&
*{Pif»tPii $ *•€>• G - почти делимая группа. Теперь 3
немедленно вытекает иа теоремы X .16.
j) -*>, 1) .Допустим напротив, что lff(4)lm &0 . Пув*Ь
n{6)*{Pifp&i"iPi >••• J • Обозначим через R фактор-кольцо
ЕШ)/J {£(&))• Рассмотрим следующую цепочку идеалов кольца R :
fyR2Piptk St,...-a/>/*•••"/>*&*— в c^y 3 сушестзуэт 5 с тем
у свойством, что /V \-.*ps/l MP*'"*mp&t R • Значат, для некоторого
** * будет pr—'Ps* fMPi W/W * t'где Г * / *'/( f # >) • Пусть
целые /Лил- таковы, что /я/)^ *ЛД '•"'/*$ я* ♦ Тогда /*л
"np„,-r*npf:.;ps • Г**/*,,, r+np<-..'*pBt1 **fa(»r+W..:fy*),
т.е. 7"€/>if ^ # . Переходя к кольцу £(S) , йодучаем
эндоморфизмы у/£Я&) и №(£($)) , для которых /-/>*, /f*P или i^%H Jtl *
Элемент /~V обратим в £Й£) ввиду VeJ(£($)) , поэтому найдет*
м%еЕ($) такой, что Ц-*) 9* (?*« mOlJ*t)'* t . Откуда/Ц-/
« обратимый элемент и />j„# *£ , что противоречит p$*J*M8) *
Следовательно r//JftJ)/< й0 * что есть I . Отметим, что
конечность ранга группы 6 здесь не использовалась. Таким образом,
Утверждения 1-3 равносильны» Справедливость^) «И0и<3)-*0
хорошо известна.
И) *е> 4) . Допустим, что группа & не почти делима.
Можно написать Gt «А Ф А , где группа А почти делима, а В
Не имеет ненулевых, почти делимых квазислагаемых, причем б * 0 .
t07

Будем считать, что А, б £& 7 А Об -О , подгруппы А «В сер-
вантны ъ d к А ®Взк& при некотором П€ М, . Пусть % -
максимальный порядок элементов Фактор-группы & / А @ б и
Л -некоторый элемент из /1(3) , причем (г',р)~4 (такое/)
найдется, так как /Л(б)/ в $0 )• Обозначим через У такой
эндоморфизм группы & , что <fА*'О и Ц>6=ърв,В£8 [6, лемма 1.5]
Ввиду регулярности фактор-кольца £(&)/J(£(6)) кажется lfP€£(G)
со свойством -^"^ТУё^СЕСбУ) • Считывая теорем I.I, выбе-
ргм ex№ffi6/\l так, что (У-ууу^ёЩбг). Рассмотрим теперь
эндоморфизм 1? ~ (flip)? • Ограничение (t<f -f(lf) <f)/£ его на
подгруппу Й является эндоморфизмом группы В (действительно,
(г 1f)Q £ А <$ 6 , a ip(A 0 В )£В ). Следовательно, ,на основании
еерванткости подгруппы В имеем {If ~ У ft f)<f)% s H(b)
Но идеал ИСВ) нильпотентен по выбору подгруппы В и-теореме
1.3а Поэтому Ц if- lf(tf)y>f*a я О для некоторого *£yV .
Бодее'того, поскольку у>3 = ipS, SeB , то(г-/-^г?0)^ = О
Таким образом, в итоге для определенного \zE(&) получаем
*LK{*l¥(rf))ifc - /£ , Но ото равенство невозможно, так
как (t/,0)*/ и, следовательно, i*B F рВ , С другой
стороны,^ t'z ^))/Bs /> $ * Противоречие. Так что I справедливо.
5)*>1). Положим R~£(&)/JIEL&7) . Пусть М самоинъектив- .
но справа СлевыЕ случай получается аналогично) . По теореме 1.16
кольцо R изоморфно подтлэямоЯ сумме конечномерных Fp -алгебр'
Ар , ре/1(G) . Полозам ^^М^Ар и отождествим кольцо Я с
-его образом при этом изоморфизме, из доказательства в [6]
теоремы 1Л видно, что все алгебры Ар естественным образом явля~ -
ются правыми ft -модулями. Значит, и К - правый $ -модуль.
Ввиду 5 джя некоторого # —подмодуля L в А' получаем K*R®L . ■
Обратимся теперь к аддитивным группам К*, R* и i!f этих мо- :
дулей. Для них имеем КГ*Я*Ф1+ . Группа %* алгебраически
компактна как произведение алгебраически компактных групп Ар -
Следовательно, алгебраически компактными будут и группы Я*яг£*
как прямые слагаемые алгебраически компактной группы. Поэтому
иыеем [14; ?§ 39^0] #*;Я^бр, 1^Ср , где группы Зр я Ср- '•<
таковы, что-для каждого^ **80ФС^*Ар • Покажем „ что на
самом деле все Ср s 0 . ПустС хй С& . По определению подпря-
мой'суммы в Я найдется элемент /fe, компонента которого равна
-£ • Но с другой стороны, # %9n/Q^p и все 4° ~ ^Р .Отсюда
-ЯяВп, и, следовательно, Х£ 5&П-Сп,=0 . Так что все Ср^-0т
Таким образом.ичеем R^K-fl AQ . Осталось заметить, что ' >||
108

означает почти делимость группы # » Теорек доказана.4 /
В конце пункта применим теорему 1Д6 к вопросу описания
абелевых групп, группы автоморфизмов которых аддитивно
порождают их кольца эндоморфизмов, поставленному в [ 15, проблема 31J ♦
Известно, что кольцо R с'единицей аддитивно порождается своими
обратимыми элементами тогда и только тогда, когда RJMR)
порождается своими обратимыми элементами.
Следствие I.I8. Пусть 6г - редуцированная почти делимая
группа без кручения конечного ранга, причем RG *& . Тогда
каждый эндоморфизм группы # есть суша двух ее автоморфизмов.
Докс*ательство. По теореме 1Л6Л
£<6)/J №»*&*/, -
где Ал - полупростая конечномерная гр «-а гебра (р?2).
Следовательно, Ap-Af® — ®Ab% где 4i >*"}Дъ - кольца матриц
над некоторыми Рр -алгебрами с делением» Ясно, что каждый
элемент из &i , а знауит, и из Ар есть сумма двух его
обратимых элементов. Осталось применить к кольцу Е(6) . з&мечание перед
^ следствием.
Пример I.I9. Кэ формулировки следствия вообще нельзя
убрать условие 2$ я& . Пусть кольцо RaQ& ® QzL . Тогда
RjzR ** Z& ® %г % откуда можно вывести, что кольцо R не
порождается своими обратимыми элементами. По известной теореме
Корнера существует группа без кручеккя $ конечного ранга с
кольцом эндоморфизмов E(&)St R . Дяя нее имеем р&9$ при
всех ptZ , nJliit Gr не порождает £($У .
Г) Аддитивные группы полупростых к^яец.
Опираясь на теорему Корнера, рассмотрим кратко радикал
Джекобсона колыта без кручения конечного ранга (не обязательна
с I). Затем ошгаем аддитивные группы таких подупростых колец.
Детальней эти вопросы разбираются в fi6§> . Для кольца R
положим F№)*nDR . Учитывая возможность ^стандартного
присоединения единицы к кольцу, считаем кольцо R в.следствии 1.20
имеющим единицу.
Следствие 1.20. Пусть Л - редуцированное кольцо без
кручения конечного ранга. Тогда
1) Р(Я)ЯЛЯ) и идеал J(*)/f(R) нильпотектеи.
2) Кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда /?
полупервично и FIR)-О .
3) Радикале) нильпотентен тогда и только тогда, когда
- P(RfN(R)y*0 . к»

Доказательство. X) По теореме Корнера £11, теорема ПО.ёД
существует редуцированная группа G 'без кручения коночного
рента такая, что с(&) = f? . При этрм изоморфизме Н(&) и F(A!) # ,
Теперь I сразу получается^ из теоремы 1Д, а утвервдения 2 и J
3 из I . ^ _ <.-.V.j§
Боли ^ - кольцо и группа /4 s R t то говорят, что Я - <
кольцо на А • Для удобства считаем, что А - аддитивная труп- |
на кольца ^ . Положим ^^A^jFj^^pA - подгруппа Фрамтни груп-Д'
пы А . Если /? / - кольцо на А , то, очевидно, F(A)UF(R) .<;%
Отсюда из следствия 1.20 поручается следующий факт, касавшийся М
проблемы 94 [Ц] . об "абсолотном" радикале Джекобсояа группы-/) ,J
Следствие 1.21. F(A)£J(R) . для каддох^-кольца Я на ре- |"
дуцированной группе А без 'кручения конечного ранга. — J
Бьшокт и Пирс описали аддитивные группы полупервичньсс ко- :v
лец и целых подкслец полей алгебраических чисел [17] , [18]/.^
В других терминах, используя [19] , теорему Быомонта и Пирса J
можно сформулировать так. ,;.|,
Теорема 1.22 [17 - 18] . На группе А без кручения конё^; #
ного ранга существует полупервичное кольцо тогда и только тогда, ':>
когда А кваэиизоморфна прямой сумме сильно, неприводимых групп. ^
Группа А называется сильно неприводимой, если любая ее Й
ненулевая вполне характеристическая подгруппа имеет в А конёч-g
ный индекс [19] . §
Теорема 1.23. Эквивалентны следующие свойства редуцирован* j|;
ной группы А без кручения конечного ранга:
1) А - аддитивная группа полупростого кольца; Jg
2) А = А1®»®АЛ9 где группы Л/ 9~$АЛ сильно неприво«й|
димы и F(Af) = ...=F(An)=0\ - |§
Z)A * Af®-«&A/if где группы Aj ,.., , А^ сильно неприво->
димы и Ш) - О ; ;^
4) , А - аддитивная группа полупервичного кольца и £(£)*P*:Jiy
Доказательство. 0*^^)51 /) *+£) . Так как F(A)^£ РСЛ^Щ
то 2 эквивалентно 3 . Пусть R - полупростое кольцо на А . .^
Тогда F(A)sF{R)-0 (следствие 1.20). Оставшееся утверждение о*-;^
носительно А , а такжеЗ)*8"^) содержатся в теореме 1.22. - (|;
4)***f).tiEi группе /4 существует полупервичное кольцо (теорема' f-
1.22). Обозначим его R .Затем F(R)*F(A)*0 И # подупросто ;^
по следствию 1.20. Получили R - лолупростое кольцо на А .'Teo-i*
рема доказана. ' *ф
В [20] , [21] группы, на которых существуют полупростыэ;1£
по . ' Zt
^ -я*
. ■ -*■ - >§

кольца, названы полупростыми* В этих статьях охарактеризованы
сильно неразложимые полупростые группы. Из теоремы 1.23 можно
'вывести другие характеризации таких групп.
Следствие 1.24. Для сильно, неразложимой группы А без
кручения конечного ранга эквивалентны следушие утверждения:
I) каждое ненулевое кольцо на А полупросто;
2} на А существует полупростое кольцо;
3) А сильно неприводимая группа и FiA) жО ;
4) А сильно неприводимая групп,* л1/КА)1яНс»
Доказательство. Справедливость 4)<=^<?) установлена в ,[20] „
[21] . Сильно неприводимая группа А однородна. Поэтому
НА)ш0 *=*> 1П(А)1 = #0 . Следовательно, J>*"* 4).
6 2. Произвольные группы без кручения
а) Характеризации радикала JCECG))
Для групп бесконечного ранга нет оснований надеяться на
описание радикала Джекобсона Кольца эндоморфизмов в общем случае»
В настоящее время имеются описания для некоторых специальных
классов групп. ,
Теорема 2.1 М «Пусть 6 -редуцированная алгебраически
компактная группа без кручения. Тогда J(£(4}J)mM6~) и
В [22] приведена формула для вычисления радикала
Джекобсона кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы без кручения.
Проверка ее*занимает много места и автор предполагает
опубликовать доказательство отдельно. Ограничимся кратким изложением»
Пусть G - группа без кручения. Эндоморфизм d&£(6) на-
эовем поэлементно нильпотентным, если для всякого &&(* есть
№Л/ (зависящее от d )такое, что с* п(&) * О * Обозначим через
N(G) наибольшй идеал кольца Е(&) , состоящий из поэлементно,
нильпотенткых эндоморфизмов группы * От „ Обозначим далее через
наибольший идеал кольца ECG) , состоящий из
эндоморфизма о( таких, что для всякого йвб сервантная подгруппа,
порожденная элементами ауЫС&)} <**(&),... f имеет конечный ранг.
ч Теорема 2.2 [22] . Пусть 6 - вполне разложимая группа
без кручения. Справедливо равенство Л£(6У)ЧН«х)ПЕ1($))+Ш\
Следствие 2.3. Для группы § из теоремы 2Л радикалJ(£(ffj)
tii"

поэлементно нильпотентен тогда й только тогда, когда # не
имеет почти делимых; прямых слагаемых ранга I.
/ 1
б) Соотношения меэду/Л? #г)) и НШ)
В обшом случае ки один из идеалов ЛЕШУ) ъНШ) не
содержится в другом.
' Предложение 2.4. Пусть S - редуцированная группа без
кручения. Включение H(6r)£J(£(6)) справедливо тогда и только тогда,
когда выполняется следующее условие (*) для идеала //ft?) : для
любых элементов '&€& ia<*€H(G) существует iifli 6л, (пределе
Z -адичзской топологии), где 6л =а +<£& + -<+<< &> *
Доказательство* Пусть Hl6)^J(E(6y) . Тогда элемент /-А ^
обратим вE(G)для любого А^И(&) . Если теперь &€$,d€H(G) ,
то пусть олемект бвйг таков, чяо(1-4)в s& . Имеем 6^**
Откуда Ь - 6$ V4 * • Поскольку *€НШ) , то * "^Д^ур"** .
Следовательно, S * &/п £#, и (*) выполняется.
Обратно. Пусть для идеала НШ) условие (*) выполняется. /
Достаточно показать, что элемент 1-Л обратим ь ЕШ) для
всякого &€Н{(х) ♦ £сли ОФй€& , то Лр(а)< оо для некоторого
р . Тогда Ар(й)<Лр(Ла)* Яр((Ы)й) ZAplu-JLAy-Apta^ <*> .
Отвода (/-Л)& Ф О т Итак, /-Л - мономорфизм. Возьмем теперь
некоторый элемент ие& и положим £* йт, 6» , где 6& в
-Я +Аа+~+Л* л. Имеем (t-Л)S*(f-A)(&m. б*уйт1ЫУ&л)*
-й/п(6л-А$п) » й/пса-А^й уа-йт>Я*а. ~а* г поскольку
^Ь*)иВ?*п'')РП^' и* 3HatWT» &п>Япа « О • Таким образом,
(f-X)S *Cl и, следовательно, олемЗнт /~Д обратим.
Предложение доказано* ^ . ;
Следствие 2.5. Для редуцированной группы без кручения Gt
всегда №) *?/«*)* ЛЕШ)) .
Доказательство. Из доказательства предложения 2.4 видно,
что достаточно проверить ьыполнекие условия (*) дяя идеала
НШ)ПР<Ш) . Пусть de&y ЛеШ)Щ(4) . Положим 4 s*
*<AHu\nGlW [())>+ - сервантная подгруппа в & , порожденная
элементами Лна, neliUio) . Тогда t(4)«*> и i/л * МО ♦ По тео^
реме I.I Н{А)&ЛЕСА)) , Следовательно, по предложению £.4
условие (*) для Н(А) выполняется, т.е, существует йт6л в
группе А , где 8п*£1+Аи + ~*+Апчй> . Поэтому существует^
UmB^ ив ^ , т.е. (*) для H($)/)fi(G) выполняется.
112

Каких-либо условий, эквивалентных выполнению включения
ЛЕ(6У)~ НС/5) , найти не удалось. Выделим два достаточно
больших класса групп, для которых рассматриваемое включение
справедливо. ^
Определение 2.6. Группа без :<ручения & называется вполне
транзитивной, если для любах ее элементов йtStO тачу;*, что
£р(й)*Ар(Я), лри'всех р суоюствует </££(&) со свойством1 fa*£*
Предложение £.7. Пусть Gr - одна из следуших
редуцированных групп бея кручения: . N . ч
1) Gr - однородная вполне транзитивная группа;
2) t(l*]pfx) ^ 4 для всякого р .
Тогда ЛтУ)£~НС&) . 7
Доказательство. I) РедикелЛЙЙг}) равен пересечению всех
примитивных идеален кольца £(&) ♦ Поэтому достаточно доказать,
что идеал р£(&) примитивен или, что равносильно, кольцо
примитивно длч каждого рёШ) . Пусть fe/J№).
Дужно доказать существование точного ^приводимого £((})/фЕ(&)
-модуля. Покажем, что £(6)/ф £(&) -модуль /*/<f Gr неприводим
(он, очевидно, точен). Его аапризодимость будет установлена^ если
для любых %9уе$- <р6 найдем такой эндоморфизм <pe£(G) % что
ifx-y€ Q>& т Звиду однородности группы & существуетOt&Z %
для которого lip(X) * fiр(ку) , p€fi($) . Так как &р(х)=Лл(р9
можно сметь» что (*,&)* / . Следовательно, имеем KS+ft^i 9
где S,i eZ • . Д^лее, так как Ар(*)* АрШ#),реЩ\ то есть
ifeECGt) со свойством <fx*X*y . Теперь У*~У'*Х-'?~У т
а-ftyeyG . 2) Очевидно, что Ш)/рШ) .-модуль/х/р/х
неприводим. Предложение доказано.
Следствие42.U. Пусть Gt - однородная сепарабельная группа
без кручения. Тогда Л£(0))&#(&) .
Замечание 2.9. Верно ли, что для сепарабельной групйы /г
без W4tHHfiJ(№))*(#(#)Off(6))+№)? В частности, воли
fee Gr - однородная группа» то верно ли, что ЛЕ($У)Ш#(&)Щ(&)
. т №*№№»*№)/If(6)? ъ»аь№>*{*е£аг)/гМ)*о*}
- идеал эндоморфизмов конечного ранга, Ясно, что f(G)£ft(&) .
« Дяя однородной вполне разложимой группы Gf это так. ^
в). Нильпотентность радикала J(£IG))
Осноачой результат пункта - теорема 2Д4. Она выделяет об-
ширнуй класс групп с нильпотентным радикалом кольца эндоморфиз-
113

мов. Если Q - группа и М&бг , то <М>+ обозначает даль- .,
те се^вантную подгруппу в Q , порожденную подмножеством М »
Элемент •?£# удобно называть почти делимым элементом, если
либо х»0 , либо <я>* - почти делимая группа. Тип группы А
ранга I обозначаем £(АУ9 a £fl© - тип элемента Я в группе Gr t
Лемма 2.10. Пусть £ - группа без кручения,&€&,4&1Ш0%
vl элементdK(&) не почти делим при некотором *># • Не
существует эндоморфизма JkeEiG) ^ обладающего следующими свойствами: >
для каких-то О ¥ neZ, &€& справедливо равенство^(4&)*йй+4%
причем d *{%&) =0 для любого £ £ Л5) .
Доказательство. Предположим^напротив, что ншьлсп #€£((}) ,
имеющий указанные в лемме свойства. Так как элемент М*(Л) не
почти делим, то для бесконечного множества простых чисел р
выполняется Лр(<(*а,)<°*. Поэтоцу можно выбрать р так, что
Ap(dMa} «*> и (л,р)=1 „ Пусть далее JP,/<?Z таковы» что . .
1 + SK*-pmt- * г&е/я€/¥ , причем m>Ap(***7 . Поскольку
SM€j(£(ir)) , то Sfld - яевоквазирегулярный элемент. Поэтоцу
*Jb*+f + f*JHmO . для определенного £€ ZY£) . Имеем
* МЛ*- £«/***УЬ)+(&МФ& й далее <*Ч/л4) &*Ш+*л)а)+
+*Ч<+уХ*6)=4ЧШ1+А*}([»**)аН Элемент **(»f)CJi)
равен, нулю по условию леммы. Получили cC*(J*ufc~<t*f((f*S£)a)m ;
~<l*Hpmta) . Так как (i/t,/>) ^ , чо АрЫ**лау* у
* Яр Wu)<nt , а с другой стороны,*p(A*fCpmiQ>})>'**' .
Противоречие приводит к выводу о справедливости леммы.
Следствие 2.II." Пусть Л. - не почти делимый элемент группы,
G,UeJ(№)) , причем ЛЯ *<? . Положим Л=<а^,4*<^. . -
Не существует реЕ(&) со* свойствами ^М^ Л к/3*0 ,
Доказательство. Если такой ^ найдется, tofttAty^A ,
следовательно, mkU4l)mnCu , где ОФ tft}neZ , что
невозможно по лемме 2.10#
Следствие 2Д2. Пусть # - группа без кручения, &€$,<{€ЛШ%
и для всех л^ элементы «f*6Q0 не почти делимы. Тогда I) Цепь
pfi '«подгрупп <Ra\ э<й№\ 3<IUza>п => ... строго убывав
ет. 2) Если ; я любых двух серванТных подгрупп А,3 группы &
ранга I равных типов существует <&€£(&) такой, чяоСеА&З
& А * О f го пель тагов t(a)<t(da)<t(ub)<.,t ctporo воз- ;
Доказательство* I) ДоцусТим, что vf < *U>4*-<*9* Я ># при
И4

*аком-тоЛ*^ • Тогда ^#д"л) «/«<*& , где t*lf,fire£«*) -
Но существование такого jf* противоречит следствию 2Д1« Точно
.так же в 2 по условию и следствию 2.II должно быть £(4*~'а)<
Из следствия 2.12 можно получить различные условия
поэлементной нильпотентности и нильпотентности элементов из*/(£(£)) #
Напомним определение обобщенных псевдоцоколей/£;/},... группы
G Гб] . Полагаем Pca09 P^Soc вг (см. введение). Если под-
. группы P0l,Pj ,.-.-, Рл-1 уже определены, то пусть Рл - сервант-
'- ная подгруппа в вг , порожденная семейством всех ее минимальных
по модулю Рлч pfL -подгрупп.
Теорема 2ДЗ Гб, теорема I.I3] . Если группа без кручения
&*Рпи Для некоторого тел/ э то' ЯШ67>яЫе£(а)\
*Р*и*рк >**0,1,...§пь-<}и #(£(£))"-О #
Теорема 2.14. Если группа без кручения£*в» для некоторого
тсН и $ не имеет ненулевых почти делимых элементов, то^ЛЙ))3
Доказательство. Убедимся, что<*%0 для любого 4$ЛЕШУ) .
^С этой целью покажем, что для всякого к*1,.*.,т, и любого
элемента Q>€fK - Р^, справедливо «<fa> *0 ♦ Пусть сначала ^^ -Рф ,
i.e.aeSoc 6r ъ a*Q . Можно считать, что ^ лежит в какой-
либо минимальной^/^i -подгруппе^ группы 6 « Допустим, что«^0.
По Г^, лемма 1Д] существуют j3e£6#) к 0*/#Z такие» что
£Ua\*tui, . На это противоречит следствию 2Д1. Значит,<&**о .
Предположим, что наше утверждение-верно для номеров /,..*,* .
Пусть &еРкн ~ /* . Можно считать, что элемент а
принадлежит некоторой минимальной по модулю Р* //г-подгруше группы 6г .
Если Аае Рк , то по предположению индукции d (^а)ш^х^(а)^о .
Если <*Я ^ Рк t- то по лемме 1Д1 [б] jj#a:)*/ufc*/ . для
некоторых fi е Е(&) % ОФпе1 % б€рк .Так квк%б€Рк при.
ч всех %$£($) , то по предположению индукции 4*lqS)*0. В силу
леммы 2.10 равенство J}(ACL) *па +б возможно лишь;- когда
4'(ау*0 . Тем более <*'н(ау *0 .
По индукции доказали, что для любого элемента йв& слра-
ведливо^Т^ЙГ)' О , т.е. 0*^*0 ; Ввиду произвольности л
заключаем, что J(£(6?) - ниль-идеял. Следовательно, J(£W)*/f(№J)
и« утверждение вытекает из теоремы 2.13. Теорема доказана.
Следствие 2Д5 [8] . Если группа без кручения Gr-SocGr
и б не имеет ненулевых почти делимых элементов, то7(£(&))*0.
1Т5

г) Нильпотентность радикала ЯЖВУ) 1^~ъвШф&&&жй1"
группы 6с
■ 4?
Выясним, когда сепарабельная группа совпадает с некоторы!*3
обойденным псездоцоколем/ - f^.
Определение 2.16. Будем говорить, что множество Т(Вг) тщк>|ь
всех прямых слагаемых ранга I сепарабельной группы без кручений
G удовлетворяет условию /fc-максимальности, где fit ~. фиксирё|;
ванное натуральное числе, если длины всех возрастающих цепочек^
элементов из ТЩ) ограничены а совокупности числом М. , лриче$5;
Ш - минимальное среди чисел с таким свойством, -;>-
Лемма 2.17 [9] . Пусть & - сепарабельная группа без '1*
кручения. Тогда Gt a Р^ для некоторого m в том и.только в, *>|
-том случае# если Т(&) удовлетворяет условию /а -максимальности^!
Лемма 2.18. Пусть & - сепарабельная группа без крученияЦ
I) Каждая цепочка tj<--<tti элементов щ T((k) дает нильпотён!^
ный степени /V идеал кольца £(&) • 2) Пусть J €л Л/(£(£)) - $А"^г
- прямое слагаемое ранга I группы 6 и бА&К ® Ai , где"\||
%(Ai)*(i L~4>...,K и jt Ai - прямое слагаемое группы G .J>
причем 4Аф.£@ A L при всяком $*1,.»<>К . Тогда t(A)<t(Ai)^
для любого IsУ,.,., К . ^ ч ^
Доказательство. I) Запишем 6SA i@'»®An + В , vp&t(Ai)*fJ>
и Wi)*ti , /■ /,...,#/ * Определим №£(6) , положив Д
$ :Ai~** A Lti - некоторый ненулевой гомоморфизм для С*1,.~,йЩ
и $(АпФЬ)*0 . Рассмотрим идеал £(6)9£(6) кольца £Ш)Х f no«ti|
рожденный V . Произвольный элемент Ц*е£(&) V £($) имеет вид &
f^ZLtli V fc , £/f fr^ECSr) . Теперь нетрудно убедиться, что (|
для произвольных -элементов ^ ,..,, fn €£(£}) $£(6) произведение^
ft '•••7л ~# • А1* этого нужно учесть определение 9 и тот хЩ£
рошо известный факт, что при гомоморфизме тип элемента или не'^
меняется или повышается. Заметим еше,.что $л~' ф О . Таким-Ц&0%
разом, £(/})$£($) является нильпотенгным. степени ft идеаломГ* ''щ1
.2) Очевидно, ££4J &t (Ai), поскольку есть ненулевой гомогй
^морфиэм f.A:A*+Ai (Fi - проекция G -*• /4t*. ) ♦ Допустим, ^||;
для некоторого sefff..,,*} будет t(A) = t(As) . Определим^Л?)чр
считая, что у .* Л5 —^ у4 - некоторый изоморфизм и и аннулиЕУ^Щ
дополнительное прямое слагаемое к Л$ . Тогда dft£//(£($)) , H0Ag|
<<#не нкльпот^нтный элемент^так v№\(4fi)ffi ¥0 при всяком l'f
<ve/\f . Противоречие. Следовательно, tlA^tCA^^t'U-^* №*$
доказана. ^б - / У
ша--

/
Следствие 2.19. Следующие утверждения о сепарабельной
группе d без кРУчения эквивалентны:
1) ниль- радикал N(E(GtT) нильпотентен;
2) Т(&) удовлетворяет условию tn, -максимальности для
некоторого ffteAf ;
3)бг=^) для некоторого. sneN*,
Доказательство. Импликация ^) «^ J) содержится б лемме 2.17,
а3)=^ У) - в теореме 2.13.0 •—»■*) . Имеем Н(Е($))т*0 для
какого-то теМ . Из пЛ леммы 2.13 следует, иго длиьа любой
эозрастаюшей цепочки элементов из Т(в) не превосходит tn. , что
есть 2 . •
Следующий результат содержит поэлементную характеризацию
ниль-радикала.
Следствие 2,20. Пусть Gt ~ сепарабельная группа без
кручения и &*Рт при некотором toeli% Тогда, если *€Е($) , то
^еН(ЕСб)) в том и только в том случае, когда выполняется еле-
дуюасе условие: если А ~ такое прямое слагаемое ранга I группы "
'£ i что5<Л*0,и еслиоМйД^ Ai , где t#t-)«/,*»/,...,* и
Д A i - прямое слагаемое группы <? ,, причем aAf^Ai для
$>бого i* /,..., * , то ПА) < T(Ai)% £*/,...,* ! "
Доказательство. Мокко проверить, что приведенное условие
эквивалентно такому: dPKfi£ Рк {><*0,1 ,*,< , /л-/) . После
этого остается сослаться на теорему 2.13.
Следствие 2.21. Следующие свойства сепарабельной группы &
эквивалентны: I) М(ЕС&У) * 0 ; 2) £(&) полупервично; Ъ)Т(6)
состоит из попарно несравнимых элементов; 4) &~ Р^ к 40С$
Следствие 2.22 Щ . Пусть & - сепарабельная группа без
кручения. Радикал Л£($У) нильпотентен тогда и только тогда,
когда кножество Г(&) удовлетворяет условию tn -максимальности
для некоторого tn и & не имеет почти делимых прямых слагаемых
ранга I,
Доказательство.,Пусть идеал J(EtGt)) нильпотентен. Тогда
нильпотентен идеал Н(Е(6У) и по следствию 2Л9 Т«£)
удовлетворяет условию m «максимальности. Пусть А - некоторое прямое
слагаемое ранга 1 группы & . На основании леммы 1.5 радикал.#¥ф
нильпотентен. По теореме 1.3 А не будет почти делимой группой.
Обратно, пусть выполнены условия следствия. -Бвнду следст-
вия 2.19 достаточно показать, что J(F(6))* H(E($)) .
Зафиксируем некоторый элемент <keJ{E{Gt)) * Убедимся, чтооС
удовлетворяет условию из следствия 2; 20.
117

i Пусть $ *A ФН , где %(А)Ж{,*AtO и пусть подгруппа
Л/ г*-1 А* - такие, как в<следствии 2.20. Покаяем, что все ':J
А[£Н . Обозначим через СО вложение А—• G , через£. проекций»
&-*>А . По лемме 1.5 JkCOeJ(£(A)) . Но J(£W)-0 в ciifc -&|
uy следствия 1.4. Значит, Xrfu> «0 ъ Ai& H ' . Отсюда получав
еи /ж*А ФА^ Ф*»0 Ак & F для некоторой подгруппы ^ ^
Допустим, что Т(А) ШТ(А^ для какого-то А . Положим~£*vM$j.
Пусть X: В-+> & и I :&•-** 3 -вложение и проекция соотве*4"~
ственно. По лемме 1.5 O^Zit&GJ(£CB)) . С другой сторон^
по следствию 1.4 и условию имеем J(E(6)) яО . Противоречие. Л
Таким образом, для каждого /*',--,* справедливо 7М}<ЛГ/#Д у
Значит, условие из следствия 2.20 выполняется» "^ ;.
Следствие 2.23. Кольцо эндоморфизмов сепарабельной группы щ,
полупросто тогда и только тогда, когда Т((х) состоит из попарно :
несравнимых элементов и £ не имеет почти делимых прямых
слагаемых ранга I.
ЛИНЗРАТУРА
1. PlevceR.S. Hdmomoy>hi»ms cf ргШац/ aSeticut, pwyot/
Topics иь J6eUcuv oicvpi, Chicago t 1983 .P. 2/8-ЗЮ
2. Михалев А .6. Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмо*
дулей (( Итоги науки и техники. Алгебра. Топологий*
Геометрия. 1974. T.I?. C.5U76. ^
3. Марков В.Т., Михалев А.Б., Скорняков Л.А., Туганбаев д.А*
Кольца эндоморфиэмоп модулей и структуры подмодулей /
Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1983» '
T.2I. С. 183^54. -
4. SatdsA.u. On the radical of the endo/hotphis/n,
Una of a, pUmati/ a8eUa/t Qtouptf Ptoc. tlditit
Cofy. ott J Bellafb tiumps and Modules ,
Spittget - Vet&uj. 1984. P. зог-з*ч.с. б
5. Яида$ м: On, Ш JacoSson xadicdt of зотг '.
enflomezphcsm tines/fitoc. Amet. Math. $oe;
1986. К U\ It к. Р. ИЗ-8*6.
6. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абедевых груш без
кручения//!^тем.сб. 1974» Т>95. * 2. С. 214-228.
<\
tia

7 «Крылов И. А. Суммы автоморфизмов абелевых групп и радикал *
1 Дкекобсона кольца эндоморфизкоь/ДЬв.вузов. Математика. 1976.
№ 4. С. ?б-66.
8, Крылов П.А. О полупростоте колец эндоморфизмов абелевых групп
без кручения// Группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та,
1976. С. 23-27.
9. Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов сепарабельных
абелевых групп без кручения// Группы и модули. Томск: Из^-во Том.
ун-та, 1976. С. 28-34. ' . ,
10. ReicL J.$D< On, the чипа о$ ресалс-еяЛсмогр/изк, cfx,
tozUotv-fitt cwxtp^pTopias in. ASeilafv 6-toups ,
Chicago . /m? P. 51-49.
П. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.:Мир, 1977.
12. Крылов П.А. Об одном классе абелевых групп с наследственными
кольцами эндоморфизмов//Сиб.мат..чогт>н. 1987. Т.28. № 6. С. 60-
65, ■ '
13. Крылов ПД. Абелевы группы без* кручения и их кольца'
эндоморфизмов// Изв« вузов. Математика. 1979. }Ь II. С.-26-33.
14. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.:Ыир, 1974. 335 с. .
15. FuchsL. Reseat гииЩапЛ p\o8£ems en абе&ал,-
(jtcupsjf Topics in A8etian, 6r%ovp$, Chicago. 1963. Р9-ЧО.
16. Крылов II.А. Подкольца конечномерных рациональных алгебр и их
аддитивные группы/Дбелевы группы и модули. Томск:Изд-во Том.
ун-та, 1932. С. 128-140.
17. Beaumont П.A., Pierce R.S. Tot$ion,-ftee *и*#*1Шпю1$
J, Math :<96i. V.S. PS1-Q8. * -
18. Beaumont RA.9 Puree R.&. SvBxlngs of aigeixaic
питбег fie&ts/Jeta 3d. Math, Jsteged . W1.
19. Held J. to. ASeiian. gw/ps finitely genetated otfet
tkelx, endomotpAism tongsl&cct/te /Votes
Mat/i. mi. view. p. ч<-ы.
20. Reed У. 0. On, Unas On gnoupsff Pacific J.
Math. тч. У.Я . /У/ . Р.Ш-&*.
21. beaumont R.A., ХаШгг Л A. Uxougfy зепи, -
зшрЕе aSeiian gwupiff Pacific У. Math. J&?£/.
V.?5. rt/> , Р.5ЯГ-536.
t19

22. Крылов П.А. Квазирегулярный радикал кольца эндоморфизмов
! 1-иолне разложимой абелевой группы// 6- й Всесооэн. -
симпозиум по теории колец» алгебр и модулей. Львоа, I99Q. С. 77*
120
щш
■т

- СТРОЕНИЕ СМЕШАННЫХ АБШШХ ГРУПП "
"* ' С НШРОШШ КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИ&ЮВ ч
П.А.Крылов» Е.И.Шдберезина
Известно строение периодических абелевых групп с нетеровш
справа или слева кольцом эндоморфизмов [1, предложение 111.4 J .
Такая группа является прямой суммой конечного числа копиклачвс-
ких групп. Напомним, что коциклическая группа -это или
циклическая р-группа, или квазицикдическая'груцна. Цель настоящей
заметки - свести изучение произвольных_абелевых групп с нетеро-
выми кольцами эндоморфизмов к изучению групп без кручения с
Нестеровыми кольцами эндоморфизмов.
Все встречающиеся в статье группы - абелевы. Для группы
Q через Е($) обозначаем ее кольцо эндоморфизмов, *#(<*)
р -ранг группы S . Далее 1(р*}< - циклическая группа'поряд-
ка р" f Z(p**)~ квазициюшческая l^pynna. Буква р обозначает
простое число, . Н - множество всех натуральных чисел. Будем
часто использовать следующий элементарный факт Г 2, лемма 1.1] .
Если группа G имеет нетерово справа < слева) кольцо
эндоморфизмов иД; - прямое слагаемое группы 6 , то кольцо £(А)
также нетерово.справа (слева). Группу гомоморфизмов Hom{V,W)
естественным образом рассматриваем как левый lfJty-модуль и
правый £(К>-модуль. Более точно: Hom{V}W) является E(W)~
^(^)-бШ40дулем.
Предположим теперь, что некоторая группа G имеет
нетерово (справа или слега) кольцо эндоморфизмов. Тогда, используя
Г1, §Ш, п. в ] и стандартные свойства групп, получаем G*
* Т © А , где Т - прямг: сумма конечного числа коцшишчес-
ю*х групп r A - группа без кручений с нетеровым кольцом эндог
орфизмов. Таким образом, решая нашу задачу, ш можем считать,
что группа G имеет вид б в Гв A t где- Т - прямая сумма
конечного числа коииклических групп, А - группа без кручения с
121 •'
\

нетеговым кольвом эндоморфизмов (заааетим, *чтоB-sausy «ft, Щ/ej^f
ложеьяе 111.4 J ксльио Е(в) также нетерово) . Когда кольцо Tj
эндоморфизмов Eld) такой группы £ нетерово? Для решения этск )
го вопроса представим кольцо ECS) кольцом матриц
(£(Т) Ноп(А,Т)\
\ О В(А /.
Согласно ГЗ. .С. 165, ущ .6 J и нашим предположениям кольд§
£(6) нетерово слева (соответственно справа ) тогда и толый
тогда, когда Нот(А}Т) является нетеровкм£(Т)-модулем
(соответственно натеровым Е(А)-модулем). В соответствии с arajt
в следующих двух параграфах исследуем вопрос о нетеровости эти
модулей Ham(A} T)
§1. Когда Нот(А)Т) - нетеров BIT) -модуль?
Если А - группа, хеА % то *\*> - циклическая под*
группа^ псротденная элементом X в А .1 Говорят, что простое,
число р относится к группе А , если группа А имеет ненулевую
р -компоненту.
. предложение 1.1. Для произвольной группы без кручения А
и делимой периодической группы Г £(Г)-модуль Нот(А7Т) нв
является ветеровым.
Доказательство. Обозначим кольцо £(Т) через/? • Прежде
заметим следующее. Цусть &, У - подгруппы группы Л $ причей
J? > У . Обозначим* через X - канонический эпиморфизм
А/у ■* А/х ; х(а + У) « a tj? , аеА # тохда
индуцированное отображение Xм «• Нот ( А/г ? Т) -+ Нот(А/у? Т)
является мономорфизмом ^-модулей. Будем отождествлять R -модуль
* Hom(Afx } Г) с его образом при этом мономорфизме. " ;
Выберем некоторое число р , относящееся к группе ^ .
Зафиксируем элемент О Ф d€ A , Запишем далее убывающую цепь
подаррунп группы А -'<ц> э<ра> э... э*р*си>э ..._ _■ \
В силу замечания имеем возрастающую цепь подмодулей Нот (А/а? »
Г)2 H*m(A/<pa>, Г )£..*£ Иот(А/<р^а> ,Г)^ • • ^ :
^ -модуля Нот (A ; Г) . Покажем, что всё включения в этой
цепи строгие* достаточно рассмотреть первое включение. Достроим '
следующий гомоморфизм * • А/<ра> "* ^ .~~Цусть «*: <9>/</ю> -+
-^ Г - неко* >>рый мономорфизм. В сллу инъективности группы Г.
гомоморфизм «( можно продолжить до гомоморфизма А/<ро> -+Т \ -
который также обозначим через 4 . Допустим, что Ue Нот(А/<са?$
Г) .Тогда А(а t<a> )*0 , а с другой: стороны f *(<*+
противоречие
подтверждает,, что рассг/атриш^ая ъепъяеул-.п.я ^грого еозрас-

ракшей цепью подмодулей R -модуля Нбт(А7Ту » Таким обра- .
зом, этот модуль не нётеров. Предложение доказано'*
Предложение 1.?« Пусть А - произвольная группа без
крученная» Т - прямая сумма конечного числа циклических /> -групп
* дня фиксированного'^ . Е(Т)-щ., /ль Нот(А9Т) нетеров
тогда и только тогда, когда р -ранг группы А конечен-. '
Доказательство. Цусть р* - порядок группы Т . Рассмотрим
последовательность 0-^рпА^А —»•х А/р*А -*• О , где
/'- вложение, # - канонический эпиморфизм. Ее трость влечет
точность последовательности 0->Нот(А/^А }Т)~+ Иот(А}
Г) & Нот(р"А} Г) , где $*(*) - <*# для ^ Но/пСА/р*А
* T);i*W*<*i дяя *еНот(А J) . v х ^
Покажем, что /* s0 . Поскольку с*СА)9€*1 9 то надо
доказать, что для любого JGHom (А ,Т) справедливо
«С/ f^ . Дусть я* Л . Тогда *Цр*& ) *<((fl"a) *
pn(Aia}) *Q 9 Так как />'*Г *tf . Итак, i*uQ . Та^им обра-
som. точна последовательность О** Нот (А/р"А, Т-) -*
—* Нет(А7Т)-*0 , откуда следует-, что-^"* является изо--'
морфизмом*
Покажем, что в действительности $* устанавливает.модуль- •
ный изоморфизм /ГП-модулей Нйт(А/р»А 7 7> и Hom(AJ) .
Црть Я€£(Т)7 уеНот(А/рл А ; \' ) . Надо доказать^
чю.$*(ЛГ)*Я(1*Ф) . В самом деле, тшве*#*СЯГ)~СЯГ)Ж*
*Я1гЖ)тЯ(Г*Г) .Итак, КТ)^щжНт(^Л9Г)%Н9т(А^
Р изоморфны. л/ ' «. ф
Имеем изоморфизм /Р^А^^у *((>*)• Рассмотрим теперь
изоморфизмы £(7)-модулей,,
^(A^Hom^AJ^Homif^ Z(p*),Г)*ЛНъ(1(р!),Т).
рз наличия изоморфизма Нот (А, Т)$ П Horn (2(p")f Г)
Ж конечности~группы Г и кольца ЕСТ) вытекает, что ЕСТ}
-модуль HomCAjT) нётеров тогда и только тогда, когда />-ранг
Ъ(А) конечен. Предложение-доказано.
Теорема 1.3. Цусть А - группа^без кручения, 7*- прямая '
румма конечного числа коциклических групп. иов&льНот (А ,Т)
нетероз тогда z только тогда, когда'Г - редуцированная группа
Ь йкя любого р , относящегося к Г ,р -ранг группы А конечен»
Доказательство. Запишем Г-Г» ф ->.Ф Трк , *TC3^py,..v
*РК - примарные компоненты группы Т . Поскольку эти компоненты
вполне характеристичны в Г > то подгруппы //о>» ^ ? М
группы Нот(АуТ) являются на самом деле подмодулями £(Т) -мо-
123

дуля Нот(А,Т'щ) .'по той же причине Но/п(А,Я) является
подмодулем £<7)-модуля Ист (А}Т) , где & - делимая часть
группы Т • Следует отметить еще, что группа Нот (А,7"р. )-
является также левым 5^0-модулем. Однако £(Т)-подмодули и £(fo}'-
подмодули в Нот(А} Гр-) - суть одно и то же. Аналогично Е(7) -
подмодули и £$У'-подмодули в HomCAfl) совпадают.
Необходимость.. Дусть ж туль £^ Нст(А7Т) нетеров, но
группа $*0 . Подмодуль Но/гг(А7$) £СТ) -модуля Нот(А7Т)
является в таком случае^ отличным от нуля нетеровым А7}-модулем.
Следовательно; Horn (A7 ft) _ нетеров Л^)-модуль, но это невоз-
можно ввиду предложения 1.1. Итак,#*# , то есть Г-
редуцированная группа. Каждый, из ЕСТ)-модулей Нст(А}Тр^) (Iй /,...,&)
нетеров как подмодуль нетерова модуля Нот(А 7Т) . Значит, Нош(А}
Тр.*)- кетеров £(Tpi) -модуль. До предложению 1,2 />/-ранг
группы А конечен при всех L ~/,..,,# . Таким образом, р -ранг
группы -А конечен^для любого р , относящегося к группе Т .
Достаточность. Имеем прямую сумму £(Т)-модулей: Нот(А7
Т) = Но>п (fi-Tfy )Ф ... © /fo*?#, 7^ ) . Так как по условию *д.<*)<
<ао t то на основании предложения 1.2 //£>р-модуль Hom(A?fp^
нетеров для /* /,...,* . Поэтому Hom(A7Tpi ),...? Ною(Ау Трк у
будут нетеровыми и как £^Г)-модули. Следовательно, HomfA77) --'
нетеров ~Е(Т)-модуль. Теорема доказана.
§2. Когда Нот (А,Г) - нетеров /W -модуль?
Пусть Л - группа без кручения, Т - прямая сумма конечного
числа коциклических групп. Вопрос о нетеровости правого Л#)-мо~
дуля Нот (А, Г) решить в общем случае не удалось. Ответ получен
при некоторых ограничениях на группу А . ~ •
Предложение 2.1. Пусть А - группа без кручения,р - простое ,
число, Я - делимая р -группа. Если А - либо не у0-делимая
группа, либо А - р -делимая группа и кольцо £(А) счетно, то
£(А) -модуль #0/п(А,8)') не является нетедовым.
Доказательство. Группа # является прямой суммой некоторого ,
числа экземпляров группы Z(p°°). Покажем сначала, что £(А)'-мо- .
дуль Ho/n(A,Z(P0')) не нетеров. Пусть группа А не р -делимая^-
то есть рА $А . Хорошо известно, что группа Z/p \ есть
объединение возрастающей цепи подг^/пп Z(p) }Z(p*) ,... .
Поскольку рА *А $ то Нот(А,г(рп)) *0 при любом А€А/ ,
примем существует эпиморфизм А -** Z(p") • если учесть, что
Afp*A *mZi*Z(p*\
Доэтоцу цепь Ham (А / /$)) с Нол, (#t г (р '*)) с , _ <цуме*"Сй

строго возрастающей цепью подмодулей Е(А)-йол$ля Нот (А,Чр**$
- поэтому этот модуль не нетеров. Предположим теперь» что рА =4
# Е(А)„ счэтное колыю. Из Г4, следствие 47,2 J получаем
* Hom(A,zip~))* QU , где г - ранг группы А (нужно
принять во внимание, что А. не имеет кручения и ^-базисная
подгруппа группы Л равна нулю) . Допустим, что ftom(A7z(p~$)-
яетеров Е(А)-модуль. Тогда он конечно порожден. Далее, учитывая
счвтность кольца £(А) • можно заключить, что группа Hom(A} if/P"))
также счетна. Но это невозможно ввиду записанного выше
изоморфизма. Ведь мощность произведения Ли не меньше мощности
континуума. Следовательно, £(А)-модуль HomlAfz(p->>) не нетероз.
- Вернувшись к £#)-модулю Нйт(А$) , выберем в группе 0
некоторую цодгрупцу Z(p-) . Тогда Нот(А9*(р**У) будет подмо-
» дулем Е(А)*шщт. "О/г?(А,Я) .Поскольку //о/п(4,г(р~У)т
является нетеров*»* ОД)~модулем, то,/йм*#>#) ^геы более не
будет нетеровым £#)-модуЛем» Предложение доказано.
Предложение 2.2. Пусть А - группа без кручения, Т -
конечная группа. Если *р1А)<** дяя каждого р ♦относящегося к Т 9
то ##}ниодуль Нот{А)Т) нетеров.
Доказательство. Цусть натуральное число л таково, что лТ*0 %
причем. Л- минимальное с таким свойством. Фактор-r^nnajJ^^
превращается в левый £(А) -модуль, если положить *# **<* для
d€Е(А)}аеА Стерта обозначает соответствующий смежный
класс относительно подгруппы пА) * Поэтому группа гомоморфизмов
Hom(AfnJI fT) оказывается правым /ЭД-модулем. Элементы
кольца/^) действуют на гомоморфизмах из Hom("/fiAf Г) согласно
формуле (Г*С)5 *Г(еС5) , где <f€Hom(*/*4$ Г),*е£(А),
аеА/„А. /^
Стандартная точная последовательность O+tL А*+А~* Л/лА-+0
индупирует точную последовательность абелевнх групп Q-+H?m(y/?A;
Т) %» Нот (Ау Т) ±*Нот (пА, Г) . Напомним, что J*/*c) **Г
для *€ Ham (А/л А , Т) , a*V *d& wsateHomtA >T)
Цусть *€ Horn (A,T)}€feA . Тогда #*(*)(/ta) *(**%*&) *
"* *<*(/!0)*П(ысГ) * о , так шк^оеГ и лГ*0 . Отсш* ***0
и, значит, J*- изоморфизм. Покажем, что«#* является
изоморфизмом ЕСА)-модулей. Цусть <?еЯот(А/лА,Г)}*€Е(А), аеА.
Справедливы равенства /&*(¥*)!(*> )*t{<f>d)23(u) *(p*)(a) *
*?(сса) . Следовательно, JF*(W)* (J*?) <* для любых ^
. Итак, £{А)-Ж)дут Нот (А,Т)
125

в Нет(f/пЛ)Т)изоморфны* Если **/>/ **••'/*$* '- каноническое .v
разложение числа л , то */лА ^ <£ Ф */р*£Я V
Поскольку числа Pfj~i,/>$ относятся к f. , то по условию всел*рул
ш А/р^А конечны» Следовательно ♦ конечна группа А/#А -, • Шб#с
му модули Н4*п(А/пАГТ)} Н6/ь(А)Т)> также конечны и» подавно*
нетеровы. Предложение доказгю* . i
В связи о предложениями 2» 1, 2^2 возникает следуюпШЙ ttfnpgc
Сусть /# -.^уши^без.кручения*.Когда £(А)^1цт Mfa(A>i(pP
и Hot*(A ,Z(pt}) .нетерова? Подставляют интерес- и друх^о зШ^
чи, касающиеся этих модулей» Например# когда эти модули артинои*.
кеприводимы?., ч ' '.- „
§3. Строение смешанных групп с нетеровыми кольцами
эндоморфизмов г
В этом заключительном параграфе получим описание смешанных
групп с нетеровыми слева кольцами эндоморфизмов» Исследование ~
смешанных групп с нетеровыми справа кольцами эндоморфизмов оста* .,
лось незавершенным,
Теорема 3.1* ЦусТь $ -группа; Кольцо £($) нетеровр слева
тогда и только тогда| койш* # **Г©Л' I где* 7\- конечная груп-,
на, А -группа без кручения такая,-wкольцо \£(АА не^ерово
слева и для любого £ * относящегося к группе Т 9 р -ранг г^ушшК^
Л , конечен* __ ^ * - -'- .
Доказательство» Необходимость; Цусть кольцо/fij) *нетероБо иоле*
ва.-Использ;уя* £l,-§lii^n*fc } и тот хорошо известные факт ь что
смешанная группа обладает ладшкличёским прямым Слагаемым» получав
ем, что б* *Х"Ф#~ , где >4 - группа безг кручения* Т ^ прямая с;
сумма коневого числа коцаклических групп. Гфедставим Аольдо £Й^
койьпом матриц
/£(Г) Но#(А,Г)\ -
\ъ : ту )..-
Ооеколыеу койьцо^Я?).нетерово. слева» то «согласно f3v C»16j5* <
ynp»'6j *-колыщ £f£) и £(А): нетеровы слева, а модуль^^^^^
нетеров» Отсада по. теореме 143 получаем, что группаТ,- являете^
прямой суммой конечного числа циклических . /^ «групп и дли
любого^ ,. отнсОящегося К группе Т , р-раят группы vf конечен»~ ~
Достаточность. Представим кольцо В (А) кольцом матриц •:
/£(Г) НоМА,Т)\
Л<Г £(А) ) >
126

Кольцо i(T) нётерово слева в силу Г1, предложение 111Л J f а
кольцо 1(A) нётерово слева по условию. Далее модуль втНот(А,Т)
нетеров по теореме 1.3. Отсюда 'на основании [3. С.165, ynp.6j
* долучаем, что кольцо Е($) нётерово слева. Теорема доказана.
Есда некоторая группа 0 имеет нётерово cnpssa кольцо
эндоморфизмов, то она? как указано во введении, имеет вид^г* Т&А ,
где А - груцпа 'без кручения-с нетеровым справа кольцом
эндоморфизмов, Т * прямая сумма конечного числа коцикяическах групп а
Hot* (A fT) - аетероз /£0-модуль. Поэтому, исследуя вопрос о -
правой нетеровости, кольт £(0) , можно считать, что группа &
' равна сумме Т@А , где Т и 4 - такие группы, как выше. Поскольку
вопрос о нетеровости $#)-модуля Нот(АгТ) решен в §2 не
полностью, то и проблема, описания групп G с нетеровым справа кольцом
ЕС&) .остается открытой.-Мокно сформулировать такие
результаты.
Следствие 3,2. Пусть группа $~Т® А ш ГДе А - группа :
без кручения с нетеровым спрэва кольцом Е(А) %-7- конечная ^
группа, причем tp(A)<°* для всякого/) f относящегося к^ ,
Тогда кольцо £(£) нетарозо* справа.
Доказательство. По предложению 2.2 Е(А) -модуль Horn (A, T)
нетеров. Нётерово также кольцо ЕСТ) в силу~конечности Г .
Поскольку ' \ ' ' ■
С \Л* Е(А) /,
то правая нетеровость кольва Е(6) вытекает из £3. С. 165, упр.6].
Следствие 3.3. Пусть группа S* Тф А , где А - группа без
кручения со счетным кольцом£#)^ например, А имеет конечный ранг),
Т - прямая сумма конечного числа коциюшческих: групп. Если
колыю %Е($) нётерово справа, то Г- редуцированная группа (или,
что здесь равносильно^ Т - конечная группа) ' •
Доказательство. Как уже отмечалось, в" нашей ситуации Е(А) -
Модуль ИатСАуТ) нетеров справа. Допустим, что Т - гередуцирован-
нал группа. Тогда можно записать Г~7}г ® 2(p**) для какого-то
Р и группы Tf . £(/1)члоя$ль Нот(А}г(р°*)) нетеров как
подмодуль нетерова модуля Нот(А}Т) . По предложению 2.1 группа Л
дол/на быть р -делимой. Ко ввиду счетности кольца ЕСАУэто не-
воаюяно* по тому, же предложению 2.1.
Следствие 3.4» Цусть <$ - смешанная грушта конечного ранга
без кручения. Кольсю Е($) нётерово справа в том и только в том
^хчае, когда /J - Г0 ^ » где А - группа оез кручения (конеч-
127

ш
щ
кого ранга) с нетеровым справа кольцом ЕСА) , Т - конечная груд^ Ч I
па. 1'1
Доказательство. Если кольцоЕ(6) нетерово справа, .то^*/^ Л
(9 А , где Г - прямая сумма конечного числа коциклических rpyim, : I
А ~ группа без кручения с нетеровым справа кольцом эндоморфизм . I
мов. Ло следствию 3.3 Т - конечная группа. Достаточность утверА- I
дения вытекает из следствия 3.2, если учесть, что группа конечно*- I
го ранга имеет конечные* р -ранги для всех/> . I
S
Литература ^ I
1, Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2, 416 Ь. I
2. Подберезина Б.И. Строение сепарабельных абелевых групп без I
кручения с нетеровыми кольцами эндоморфизмов / Абелевы группы , / I
и модули/. Томск: Изд-во Том. унчга, 1990. Вып. 9. С.7^-83. §
3, Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981. 368 с. ' I
4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т.1. 336 о* \J
128

ШРШЯЯШХПЪ BBKTOHiBX ГРУПП
СВОДКИ ПОХУГРУППАМИ ЗВДЭШРЙШШ
Л.Н.Макухина, А^М.Себельдкн
Вопросы об определяемости одной алгебраическое системы другой
рассматривались рядом авторов.Определённый лотерее представляет
собой задачи определяемости группы своим кольцом,группой или полу-
. группой эндоморфизмов в различных классах абедевых ipynn, поскольку
здесь изучается связи между свойствами грухшы^с одной сторон» ,и
1 .'её кольца,группы или полугруппы эндоморфизмов - с другой»
В данной работе рассматривается вопрос об определяемости
векторных групп [2.СД99} своими полугруппами эндоморфизмов*
Далее используется следующие определения,обозначения и
результаты! : \
У - класс всех векторных групп; [{ • '•
Р ~ множество всех простых чисел;
%(&)- ранг группы; ' .• ' ~] • ' . \
Щ) - тшГоднороднои абелёвои группы без кручения;
Rffi)~ редуцированная часть группы; »
ш ' - группа>ранга 1 типа; - * V " V .,
«?' - первый кардинал ненулевой меры . . * -
Определение 1.1огорят,чтоабелева группа 6 определяется своей
полугруппой Е*(6) (своим кольцом В(6) ) .эндоморфизмов в некотором
классе абелеьых групп, если для д«бои группы Н этого класса из
тог*,чт6 £'(6) *£.Ч*>(*«)* Ш) , ),следует,что G *** .
Определение 2* Тип *t называется почти делимым,если в д»>бой
.129

if
его характеристике символы»стличныё от ** ,стоят лишена конечно^
числе уест» . • ^. fl
Определение З.Абелеву группу $ • назовём,? - однородно*., если :1|
она разлагается в прямую сумму попарно изоморфных прямых слагаемых!
Лемма а [-3] . Пусть £ ft J* F») для ебелюэых группе к £ \ Щ
где б-^© £,- .Тогда ^ •?, и £К^)«П^>;<-44^.;|.
Предложение 1[3]. Кередуцирсьаннал абелева группа без кручещ^!
определяется свое* полугруппой эндоморфизмов г некотором классе . *J?
абелегых групп тогда и только тогда,когда её редуцированнал часть/I
определяется своей полугруппой эндоморфизмов в этом классе* ~\i /f
Предложение Яр]. Абелева группа без кручения ранга 1 опреде^' jf
ляется свое** полугруппой эндоморфизмов е некотором классе абелеёы*'*.
групп,содержащем класс групп без кручения ранге I тогда и только ^
тогда„кргда она делимая группа» -\ , .^1
Предложение 3[з].5 - о^норо^ная абелева группа определяется^
cpoet* полугруппой эндоморфизмов в некотором классе обелевых групя/^
если она определяется своим кольцом эндоморфизмов'в*"этом классе,•>
Предварительно докажем несколько результатов; _, *\ [•£
Пусть группа G принадлежит классу V ,т.ё,£в/7#; ,где« -:Г
6'i - абелева группа без кручения ранга 1* д5>
QfB)- множество всех различных типов групп »t# \.iG$ . - -\/ nj/£*
SztHGi*) - каноническое разложение группы # > . :vf\>
Лемме 2. Пусть группа А принадлежит классу V , :,-У
G*J1 (Цт Ш1Ш\ Ъ 2, тогда # -5 - однородная абелева группа.^;
Доказательство. Если множество Ж - конечно,то по определение;.
3(5 - 5 - однородная абелева группе>Если множество 7/L- -беско-'^
нечно,то разобьём его на два ненересека*чцихсн ,подмножества- *./\-
till а Щ таких,что/fft, J -/Я*//'и mft/mg«m .Тогда 4
6*G< ®G£ , .где ^в/7« ^ ,а £, -/7 #*' ,Бид*>, '1
что Gf —G& ,с летательного определению3£ -5 - однородная^
абелева группе •'Лемма доказана. •— „ " < - \' ., "}к
Следствие i. Если-группа G принадлежит классу ty и
(3я П <Ц(Г^ Jffil ^2,то $ определяется своей полугруппой;, •-. Ц
эндоморфизмов в классе всех векторных групп тогда и только тогда* (
когда Q определяется своим кольцом эндоморфизмов- в этом классе*-
130 - < '•

^; Доказательство следует из леммы 2 и предложения 3»
_ Следствие 2. Пусть E*IS)^E*(S)для некоторых абелевых групп /
6 » G и# -• 3 - однородная группа .Тогда ECS) &£(&) .
доказательство непосредственно следует из 3«
Теорема.1. Пусть группа б? принадлежит классу.W , Й?!*^ ,
-/37 > 2, J?$J)af£}.A6efleBa группа „$ определяется .:воеь полу-
'■*'группоь эндоморфизмов в классе всех векторных групп тогда и только
тогда,когда тип Т почти делим* ' - ,
Доказательство. Так как/£#)/= Г. то Ц-Дб^ф1*** Пй1*К
рассмотрим два случая:
а) & - редуцированная-группа.
Необходимость. Предположим,что,тип 2" к* почти делим гно тогда
по М существует такая группа Н^ПНу ^принадлежащая классу»
- я неизомор^ная G ,что кольца эндоморфизмов ЕЩ) V ЕСН) изо-
* морены,а следовательно,изоморфны и полугруппы эндоморфизмов £"<5) и
]E'{H) .По по условие группа & определяется своей полугруппой
эндоморфизмов в классе всех векторных групп Получили противоречие»
Следовательно,тип t почти дели*:, ~ _
.достаточность* Пусть тип' Г почти делим.ИспользуяМи тс,что
а&Ш)*!?} ,имеем:группа (щ определяется своим кольцом
эндоморфизмов в классе всех векторных групп.По следствие i получаем,что
группа G определяется своек полугруппок эадокорфизмоЕ^в классе w .
б) G ~ нвгедуцированная группа. ' v x '
доказательство очевидно,так как в это** случае G - делимая груп-
< па.Используя предложение 2,получаем иесб.чодИ1?ое»Теореме доказана».
Теорема £» Пусть группа 6 принадлежит классу
и для любого типа ТёисШ) IУ it) / » 2.Группе <3 определяется
cBoei4 полугруппой эндоморфизмов в классе всех векторных групп тогда
м* только тогда, когда каждый тип прямого слагаемого ранга i этой
у группычпочти далим.
доказательство. Согласно предложению I можно считать,что $ -
Редуцированная группа. - •
а) Необходимость. Предположим,что существует тип 2;Cj2Cu/ не
\ почти делимые,тогда пой существует такая группа "j/?^6* »HG изо-
. мореная группе G ,что кольца эндоморфизмов
изоморфны.Тогда и Е'{(*)£ £'(М) .Это противоречит условию.
б) Достаточность. Пусть ^ej7^£ # t(Sp ^ i, t(6i)*t'L и
73t

«ацдк* тип tL почти делим. Пусть Н* ПН; Л(НЛ*1.Т{НЬ%1
и £ (S) e £ЧН) .Представим группу G в виде прямой суммы:
($*$& е 51Г) ,где Т€&(6) .Тогда по лемме i имеем H*Hf9Hg
лЕХвП))* FCHi) .Гат)&£Щ) .Так ж1ЦП1*^Л
согласно л awe 2 группе G ' -S - однородная,и,применяя еледствив Т;
2,икеем: E(Q'*') s £(Hf) .Далее группу <» 7 представим в виде '•>*
«Й7-йда©^Я7 .Используя fe.C.257] ,и*сек; Н,*НН*НЛ и v- "
.Групга ## - неразложимая.Прим^яя £б|,долуч&ем,
что Л^ - векторная группа, следовательно, t(H#) 9 I.Tax kbk тип /v"I
по условие почти делим,то,применяя Ы ,получаем,что Нц " &*& --, f
т.е. %(Нд) ? f .Тип t€Si(6) ,следовательно, используяlJ:X.2CCj;::,
имеем: .Аналогично доказывается,что
Итак, Ш°Ш) . : : :i 3
Расположим типы Г^ в последовательность .Поскольку типы t^ "^[ ?4
почти делимы;то существует максимальные типы.Пусть "Zi .- один из у
них.Обозначим через •Фалеев £2j(G) берём ; >
один из максимальных типов £j .Через Q^(6) обозначим «Q/fif)/f%J \ 1'^
и так далее.Получим последовательность типоя Г/ ,^ ,...,где • •>
Г/ > tfoj ,либо f/ F^>/ Несравнимы).
Представим $ в виде суммы: G*^ © £ 'Г/) >де£^#«^v
Toi^a no лемме 1Н*Н<® Н* и. Нб^'Ь^М') .По [б] поду^;
чаем,что Я принадлежит классу v .По теореме 1 следует,что
//' в$<т<> . ; '4
Группу Н представим в виде прямой суммы: НШН <В Н ® Н ( Щ -^«
По условие существует f'E'CG) -** £'(Н) .Рассмотрим У [£$)+
-+EX(})Slq ле^.е ^учитывая разложениеМ .имеем: SS6C ^©б'©6*<-JL
и ГГ//0 Рг(вПА) , В'(НЛЦ * E'(G(Ti)e6') * .тек пк. группа//'^
-^ - о^норо^ная,следовательно,по следствия» 2 инеем: Л# *')81 -—/
иШ^Вб') .Согласно [5] получаем;
Следовательно, £'* ОС Г/ - махсииален) ,и #/в О.Таким образом,
получаем что И^ = Н v. G ^ Я - .Следовательно,5 '*# ♦
132

йоскольку Г(Жт) *Г(ЙЮ) ■ аналогично доказывается,что
b e п *' , и так лалеэ.
Следовательно,для любого типа t'L имеем: 6} * ** Н *'
.Следовательно, Q & Н .**то и требовалось доказать.
. , . лйЕРАТЯМ
L "2укс Л% Бесконечные абелевы группы. Кг Мир,В/4. T.I. С.^П-
2. Фуко Л# Бесконечные абелэва- группы. И.: *fap,«&?7^ -*2. С.В2-
го5.
3. Сэбельдин А^М* Об спределяемости абелезых групп своими
полугруппами эндоморфизмов //Абелевы группы и.модули. Тск.уЕ-т,1931
4. Себельдин А. К, Полные прямые суммы абелезых групп без кручения
, ранга I с изоморфными группами или кольцами эндоморфизмов * ft
Матем.заметку. j07'3L T#-ja.* б.С.867-678^
5. Себельдин А.М, Об определяемост;* аболевых групп без кручения
своими кольцами и группами эндоморфизмов*//Группы и модули. -., -
Том. ун-т, 1976,, £.78-85; " "
6. O'NelttZfr Шгг& svmmaads of vectot gtwps
llJctcu* *efit. .foy* ma ss, */m._ e. lar-tol ч :
t33

Щ]
I
О ВПОЛКЗ ТРАНЗРШШОСТй
РЕДУЩ1РСВШЫХ АБЕКЕЗЫХ ГРУПП
ВЛ^Мисяков •_
В даниой работе рассматриваются редугдарозанные вполне транзит ;- -V.
тивные абелэвк группы G : группы,в которых для любых элементов -f-^Vi"
ufeQ таких,что НШ) & Н($) следует существование Yg£(G) .; :<:::X£
переводящего & в элемент S ( здесь #<2г) обозначает высотную матри-:!
v$ элемента а в группе (}) . ,. ^ > /:. -- ;,С
- Основная часть работы свешана с ответом на вопрос: какие условия V?
являются необходимыми ц достаточными д*я вполне транзитивности грдаК,
пы#«Д£А- »яде ^ * to/ -произвольные редуцированные абед&^У
зы грушш?3 предложении I подзываются достаточные условия даа.бп&^г
не транзитивности такой группы,& в теореме 2 й следствиях 3,4^веде-* >
ляются классы групп,#1Я которых эти условия являются и необходимыми,^
Все рассматриваете группы - родуцировашЬш абелеэы*0боз1Швния';^
и торминалошя.если особо не оговорено,вз&гн из ЙЙ,и [12,1 • •'"::'': ?'.
Напомним ачедукшще понятия Сб1ч .которые будут использованы ниже?
Система абелевых групп ffyifej : называется вполпе транзитивной» /Д-
если для каждой парк групп Ify , $> )zj£j(iwx№t совпадать oj) вшоак
няэтея условие: из того,что Cte&L , te$: и Х(а)*Н(в) ,следуетк/£,гч
существование f&НотСб^Д-)со свойством fa;*£ ^. , Х:-;^\
Говорят,что система абелевых групп {&i}tej Удовлетворяетyo#CH;.v
в*ш монотонности, если. дяя'кагдоС гр^чты £у и дая любого элемента ч
ОФа:€&; f /€J ,из выполнения соотношений: : . , ". ^ •";.Г^^;' -
2) H(4A]£Hcai ) дая всех x*/,S ,<хиедуот существование элементов.^
I) *,, * .„* чу/т */ •' - " : ;
2^ддя каядогэ злеглеята; #£ {/* /,£/ найдется такой элемент а^Л:~-
(** /,S) .что Н<ус)*Н<аи). Г %
t34

Введем следующее •"" , < .
Определение I. ^дем гозорить,что сеиейотго групп fG/J/fj
удовлетворяет условию конечности .если для любой группы дедеД^г
я любого элемента # £% £,- такого,что с(&)шо° t^3 выполнения
условия: У /#;> £Aftoty)fct Ггде ///•/£, и /*J Л ,слздует
существование конечной подсистемы элементов ($ук}хл/Цу ** такой,
Предложение I. Группа £«*/7 #• вполне траязитивна,если семейство
'груш i^l) ief удовлетворяв? следующим условиям:
1) вполне транзитивности;
2) монотонности;
3) кбнечьостк.
Доказательство» Пусть Qt6e6[ и НСО) * #&)^ »гДб \
йа(-,й-,... ) .» 6*(—*,ti, ..."). *Яс «гаем, что для произволь-
ной координаты $j элемента $ наметен конечная подсистема
координа* {&ie}{* fjfy . элемента а такая,что М$)*^{Щ/)}{.ф *
Рассмотрим два случая;I) *(#)<** ; 2)*(&)* *>' ,дри этом будем счи-
}тать,что почти все координаты Л/, элемента л отличны от цря.
Цусть 0(f:) <** .Так как высотная матрица Н&) содержит
конечное число блК пордцковызс, чисел Отличных от ъо и так j^
HlSj)*inf iH(<*£)}i€y »то существует конечное подмножество
Wi-ffefaJicJ *««*'»*то Htyblnf C/t(aCe)}fu/гц .
Если */&; * <*> *,та из того,чаю высотная матрица МЛ^ содеркит
не более чем счетное число лорядковызс чисел к так та #(£} *#fa) ,
следует существование подсемейства {fyJreJ siautejf *VRQ fJftx&o, j
такого,что H(0j)*>ia6{M(a,^fttQ- /Гак как система {S^}^^ .
удовлетворяет условию конечности, то существуем конечное подсемейство ',
произвольной координаты *у элемента S существует конечная
система координат *aiJKug; £jc€j ^^чмШ/)^^т^Л^9<^ш
.Покажем, что существует^ *£($)'J такой,чтр га* о' .Для этого
достаточно заметить,что для произвольной координаты £• элемента
& найдется гомоморфизм fie#o/»t&,&/) такой,что Vf4*6f ,
тогда из /Дтеорема 8.2J будет следовать существование требуемого ,"
гомоморфизма. # .Пусть Н(В*)*'1л£{и(а^у}*•#?, ***s «где
£/£&; *aiice&ite «Так как система ffyj/ejr 'вполне транзитив-
на и удовлетворяет условию монотонности, то подсистема/ф,4>Л?«/^
также вполне транзитивна и удовлетворяет условию шаотонйостл,
оледовательно,гругаа ^'^^f, $£K .как вытекает из
£б,теорема^] ,вполне транзитивна, .Поэтому будет существовать гомоморфизм
Vjettom @',бр такой,что *//>'(aif*.-: % ) *В: №(>':ф$л+>6' -
Т35

влокениа, fjr 9Jf ?/>^j :& **fy - проекциям f"e£(6 ) ^причем;
IjfpЩ*"+%)яф% »рДв Pj ; &j~*A' \ - вложение.Так как в'
прямое слагаемое грушш $ ,то нетрудно продолжить гомоморфизм '
Vl-p* До гомоморфизма 9j$H0mlGf6rj} , переводящего элемент V1
Л в аибмент В: ' ' .,.
Если же группа 6tj совпадает с* одной из групп &£ , x*fpi • ,
то,проведя аналогичные рассуждешхя &пя подсистемы/^J^»^ ' , .
получим гомо^юрфизм Р/ *Нат (0,&) .который переводит &> в
элемент В/ •
Следувдий пример показывает »что существует вполне транзитивная
группа G */£L&l .такая,что система ($i]ieJ условию.'
конечности яеудовлетворяет.
Пусть Л*\^ 4^ \где Л0 - группа целых /> - одических,
чисея,а дся всех ***</>«£ ... /f/ - циклические группы лорддка
р ( здесь р - фиксированное простое число J .Так каккадцая
группа A-t- , i*D,/r.-:- алгебраически компактна,то 4 -алгеб-'
раическл компактная группа,а*значит,как следует..из f6J .вполне тран--
знтивна.Ргсмотрим элементы а^А^г'О, /,£,...) токие.что .' „I <
3 то я* время не существует конечного подмножества элементов
Рассмотрим класс групп 1-акой,что каэдэе прямое произведение его
представителей будет вполне транзитивной группой, тогда и только тог--
да,К01да выполнятся условия 1-3 предыдудего предчшения.
Определение 2. Будем говорить ,<что группа # - s - обобщ$нно
узкая,если каждый атемент $€ G "" такой,что °($)я °°, можно
вложить в обобщенно узкое прямое слагаемое группы & .ч ч * */ -
Ншюмним,что абелева группа * называется обобщенно узкой * [iO],
если она не содержи? неограниченных копериодичеоких подгрупп и
подгрупп, изоморфных группе ^ 2 . . "
Примерами обобщенно узких гфутт,как'отмочено в ffflj,являются
уз1сие группы, счетные абелевы груш1Ы,реду1^1ровалные периодические
Группы. ,
Класс S - обобщенно узких* групп шире класса обобщенно узких ' _
груйп.в частности,он содержит в себе сепарабельные группы {4] ,в
том числе и D Z ( ^
Действительно,пусть А - сепарабельная группа,покаяем,что она : •
136

S - обобщенно узкая группа.Пусть ore А % ца)*** ,тогда из
сепарабельности группы А следует,что элемент а, можно вложить во вполне
^разложимое прямое слагаемое 3 группы A ,где^яД,^ f &i *,
s'''l*4,& - группы .ранга I.Так как каздая Bg , /«/,л - обобщенно
узкая группа,то,как вытекает из /^предложение 3J , А - обобщенно
узкая группа.
Перейдем к рассмотрению одной из основных теорем з данной работе
для S - обобщенно узких групп.
* Теорема 2. .Группа #*^£Ф *ЭД9 &i $'е^ - «* - обощенно^
узкие группы,зполно транзитйвна тогда и только тогда,коэда оио.тема
ifyJieJ згдовлетворяет условиям:
1) вполне транзитивности;
2) монотонности; ' ч '
3) конечности. „ '
• Достаточность следует из предлокеюгя I.Докажем -необходимость.
Выполнение первых диух .условий следует из [б,предложение 4}
.Покажем справедшшость третьего.Рассмотрим произвольную груплу&€£ЗД^
и производный элемент й:е #-. такой,что 0(9;)*°* и
Пусть^ *t£L(*t к » -Jj&i •Т&кдак or - вполне
транзитивная группа,то оистегла *{6"*%Ga)} вполне трачзитивна.Возмошш
два-случая: i)j&ljt ют 2) je3 *
чТусть j€3\} и О(0*(..,&,.,.) € &ю *1*^г^АфЛ--)ш*¥
Так WRfitfh* Н(§(Ь , то существует ?£#№№%$*>} такой.что
обобщенно узкая группа,то существует, gaic следует из рр,црелояение LJ$
такое натуральное число Ж ,что Vi^ $?У - ограниченная группа.
Представим группу &"* в виде: $l^m$fB^0Sm^J! $Т »тогда
элемент >Q(i* перегоаается следующим образом: f "**&/'"+f/?.f+f $хя&
$ie$t > ts'**-*> Gte&*r}t~f,*,.„ *ie&&t .& того,что
- гомомср1гизм,получюл: Qj-fPG") *9t(ff+...i ~ "
где
что существует &олечная система координат {#1}л ~L * .
элемента f такая,чго "Г™(fte>k'65;*"*.*«,...'u&t)'™***
ш^Щ*~,?Г/*ч),*(Ь,),...,#0г«)}. *******
Доказательство случая 2 , когда ^^ лтюзодится аналогично.
Следствие 3* Группа $*£«$£ •*№ $/ . i€* - обобщение
V3Z

■Я
узкие группк,вполне транзитивна тогда и только тогда,когда для
системы f^iiicj выполняются условия 1-3 предыдущей теоремы. . :
Следствие 4. Вели группа $£ , iej удовлетворяет хотя бы одноцу
из следующих условий:
I) ^ - сепарабельная группа; -
2? Etg - счетная группа;
3? #. -г узкая группа;
*0& L • периодическая группа,тс
груша &*$&£ вполне транзитивна тогда п только тогда,когда
выполняются условия 1-3 теоремы 2. ^ .
Следствие 5 [6J. Группа £* П&^ ,где каздая fy ,*& - перио-'..
дическая группа,вполне транзитивна тогда и только тогда^кстда выпол-Д
няются условия 1-2 теоремы 2. . •г'-д
Следующие результаты поканут,что предыдущий критерий можно ynpq>-,f
тить. . „"•'"&
Лемма 6. Система {fy }^j- периодических групп удовлетворяет ' ' \
условию монотонности тогда л только тогда,когда для каждого простого^
' числа р система (S-Jf^j ' удовлетворяет условию монотонности v ^ ■*
/ где &i0 , l€J - р - компоненты группы &). ^ v ^ --. . ?;
Доказательство, Проверка необходимости непосредственно следует Vv,,
из определения.Докажем достаточность.Рассмотрим произвольную групцу.- ~4
$&{$i}iej л произвольный элемент а- & St: такой,что ' ' .,
Я&)*ЩЩ«й*Я.Ь** ^*™х1$ч*9ч •если /> <Ч -Пусть ^:|
Й($Л$Н(Ф ) для ^любого К*и$> .Представим элементы #• и.
{of } l ~в виде -суммы элементов,порядки которых, есть степени г
'п&<?тыГ4$ел,то есть А -&у * •» 'fa ш ftA *$% +■•■ +$£> ^лЛ
Тбгдо ^iuX^%)*^f^u)}.^'^{Htfm ^ ^^я ..;,)
любого V* /,* .Рассмотригл элементы а» ttf*ifF ' такие ,что . г
##. )£ tttefi) ДО* любого fi*ffi и. **£# .Если таких элементов * \"v
нет,*то условие монотонности тривиально выполняется. Тогда для каадого V
такого элемента^ найдутся зл^денты/я^ ,,.-/?
порядки которых являются степенями такого за простого чиЬла'что и :^;i
порядок элемента &, #1фичем/^)*^/#^*)/Гг/-£ .Так как для;
каждого простого числа /> система f&ip}£$j удовлетворяет усло^: \
вию монотонности,то существуют элементы $Ф 9...tStPe$*** та1«ие,что:^ •
&< +"*+$/, е fa tпричем для кавдого элемента /^ /' A/Jr* найдет-
т яттт ср > ?*/Ц тшсой,что#|[^£#Д?$ .Тогда
Л%р *##/* } д'ш нек?*°рого **/,* * *вде tfj? - одно из слагав-, V .
мнх ъ разло:лвшш элемертар^ .Далее,заменяя эти элементы Jr. '' их-'
разложением Ф- +*~То.у ,:.ш получим новое разложение элемента^ ,
котороа-будет удовлетворять условию i из определения монотонности. / ,
738

Самостоятельный интерес представляет следующая
Теорема 7. Система вполне транзитивных nei подаческих груш
удовлетворяет условию" монотонности.
Доказательство. Пусть /Si^j_ - система групп
.удовлетворяющая условию теоремы.Согласно лемме. 6,мояно считать,что каздая группа
g. %Ш -р- группа.Рассмотрел произвольную группу ^^$i'i/«7
к произвольный элемент 0*а/е£/ такой,что tytyy+^ty&^Jh/z»
причем для любогох*/,л i*tt£ ' при Xt( ^^i^i^r^J ,к
"piOj)'(**9~>°zt**>"* ) 'Тог;^ H^HKaT0P "р<*/? имеет,как
мшшмум,два скачка.Допустим противное,то есть пусть #/>(&,-) имеет
скачок тоаько после пордцкозого числа Ог , тогда среди элементов
а^ (*af,fi) , найдется элемент^ такои,что^^^.}^*/р^. %
Тогда Нр(ал&Нр (&iml »что противоречит .ыбору элементов
taijх*£Я шПУсть *tf >—> &ts £здесь> 4$ я^г ~ те порядковые
числа в Hp'lGj) ,после которых есть скачок*Следовательно,как
вытекает 343 Г|2»лв»\ма 65.3J ; ^ >..., <^« ~ е инварианты Ульма-Капланс-
>кого группы 4у отличны от нуля. Рассмотрим возрастающую
последовательность порадсовых чисел и сждволов^,-^^**"'•'•) ,так как
она имеет скачок только после порядкового числа otf ,ir 4?, - й
инвариант Ульма-Каяланского отличен от~ нуля,то,как следует из.
леммы 65.3|*f2j\s группе £/. будет существовать^элемент #i^ ,
для которого данная последовательность является щдикатдром,'тк как
Н/№и)>Нр№)>1#(Нр&1л)}Кя;£ ,то существует MemnvCefyJ'^
такой,чтоА* Q**c)$ iljfo%fiy4iQTj&L Hp(c)^Hp(atjf)) .Возможны
следующие варианты: I) ^ -предельное; 2) 6ц - изолированное
порядковое числа. Если выполняется случай I ,т«: при $ц *£0о I'pyima С- '
будет неограниченной,а значит,согласно£li .С. 142J ,она содержит
циклическое прямое слагаемое сколь угодно большого порядка. Отсхща
"следует,что инзарианты Ульма-Калланского в группе $; будут
ненулевыми дяя бесконечного числа порядковых чисел «меньших &о .Боли
$tz ?(*>* ,to,Kcuc вытекает из/2 .С. 32J,b группе- &; инварианты
Ульма-Капланского будут ненулевыми дяя бесконечного множества
порядковых чисед, расположенных меццу предельными порядковыми числами
h^^o и 4> * Так как любое а такое,что ^t ^0O<S <St^ ,
Яаляется изолированным, то существует изолированное порядковое число
«W ^ t**®** t&*i <^*л ) .которое удовлетворяет следующим
условиям: a)#fc) - д. инвариант Ульма-Халданслого в rpjime Gj отличен
от нуля; о} .возрастающая последовательность пордцксь&х чисел к
с*лоз ^lv^,/^;4,°° , ♦•♦ } *-содержит скачки только поело
139

(р*С)лЩ&а1Р^£к)}&г%*Тогда,но демыэ 65.3 Г# J ,в группе £
хется .элешнтяЗ? ' ,5ля которого последовательность
найде .._ _ ^
С&* 9V.$**?f ,£*£> *•*•••) будет язляться индккатором,причем
Яр(&$)*Нр(су .Бели выполняется условие 2 ,то рассмотрим
убывающую последовательность порядковых чисел ^fS^ ,.*., Sff** ,не
имеющую скачков,к такую,что т>с только при условии,если ij^ -
предельнее порядковое число.Пусть ю^о ,тогда возрастающая
последовательность порядковых чисел и символов «» (£ ,.../7*J?? Si /V^j)
будет являться индикатором некоторого элементаajfje $. .Причем, так
к^^^^>^^^^^^2^*/т?»то будет существовать элемент
Цусть л;>0 и ^*^ - предельнее порядковое число*Тогда.как сле-
дует из предыдущего случая I ,яа*щетея порядковое число f%*)f ,
удозлетворящее уоловилгл: а) $&*) - й инвариант Ульма-Кагшшского -
в группе & отличен от нуля} о> возрастающая последовательность *
ПОРЯДКОВЫХ ЧИСеЛ И ОП/.СВОЛ0В ** W*i.t..<fiK?« ^-'LA^L^0*..^
содержит скачки только
Тогд(а,согласно лемме 65.3 fj2J ^в группе $
яаидется элемент
£&' ,для. которого последовательность $> ^~->^ ^«,4*$°*•••• )
будет являться индикатором,причем Мр(йь*)> Halt) * !^
^ Рассматривая, таким образом, каждое из оставшихся порядковых, чисел
*t$ t <•• t 6*3 »лш наздем в группе $j элементы #Р 7„ йЮ > ,
индикаторы хсотошх будут соответственно равны (№' fW $. *> ,3»
.для любого элемента й™ ., f*f/, ^ найдется элемент afh fcijftf; -.
такбй.что Hp(8ft)&Hp\ait) .Тогда из вполне транзитивности группы
9/ . следует, существование f^ECQs) такого, что О/ - f^/^*.>#ffit
*ntf**~+9ujfj .Причем для любого элемента Щ$ ,t*£f?s. * най-3
дется элемент&Р* fai*}**%п *аяой,что Hf>(fa$)&Hp(&iT) .
из доказанной теоремы,следствия 5 и ffij вытекает такое v \
Следствие 8. Следующие условия .для периодических групп fy . , Ш
эквивалентны: 1).# &1 - вполне транзитивная группа; Z)$ &i '-
'вполне транзитивная группа; 3) i^iliej - вполне транзитивная сио^ :
тема.. *• >
Следующий результат показывает,что если в периодической группе ^
выделено сепарабельное пршое слагаемое А , то вопрос о вполне трая- ^\
зитивности всей группы $ сводится к исследованию вполне транзирв-;"'
нести группы 6г/Л . / '' с '&'
140 -\-

Предяшеииэ 9. Периодическая группа S *А 0 3 ,где А „ - -сваа-
рабельная группа .вполне транзитивна тогда и только тогда» когда
группа В вполпе транзитивна. ^
Доказательство.Применив следствие 8,поЛучлм необходимость.']]©
этому же следствию для доказательства достаточности проверим ,что сис-
тема .{А}3} злолне траизптивна.Для этого достаточно показать,что
для любого простого числа/* система fAp,Bp] (где Ар ,Вр -
р - компоненты групп А и В, соответственно) вполне
транзитивна.Труппы Ар , Вр - вполне транзитизны как пряладе слагаемые
вполне транзитивных групп, поэтому остается проверить ,что для любых элет
.ментов deAp и о&Зр таких, что" ###*,) ^HpCS4) или .
Нр(8} * Hfi (&), следует существование V€ Ha/n(A,B) такого,
что такого,что
Рассмотрим случаи I . Подгруппа <В>% не содержит элементов
бесконечно^ р- высоты в Вр i Тогда, элемент о мсшю вложить
в конечное прелое слагаемое Вр группы Вр £tiследствие 27.9 Д,
Так как Вр - сепарабельная группа, то Ар ® Вр v- также сепара-
бельна,а значит, вполне транзитивна, тогда, как вытекает из следствия 8,
существует f С Hunt (Ар, Вр ) .отобраааюций а в элемент / ,
если Hp(ct) * НрС$) ,но тогда fuHum(Ap ,Вр} .С другой сторо-
ны,будет существовать Ф'&Нот(Вр,Ал) такой,что, W£ s&* ,если
НрСбУ £ ftp (ay ,но тогда будет существовать и "РбНйю1Вр,АрУ \
такои,что (рв *OL ,где <Р *Ф']Г , I: Вр -*" Зр - проекция.
2 .Пусть <*> содержит элементы бесконечной высоты,тогда Hpt#}<
<Нр(б7 - единственное возможное - сравнение (высоты берутся в Ар
и Вр соответственно), я пусть $tu - наименьшее бесконечное
порядковое число^в Hpi*)*($,-/*,**, ... ) .Яусть'Аг) *р* и
кр(р fa) *5 .Если п ^О ,то из неограниченности^группы Вр
будет следовать существовало в неД даосических^ прямых слагаемых
сколь угодно больших порздсов.Пусть Fp - такое щшов слагаемое
пордгсса.не меньшего чем pttS jzq есть пусть lfplMp**S4mV 9vm
1 > О и f ' - образуюсь! группы Fp % тогда Нр(С()бНр(/?*г'£) .
Тогда,как следует т случай I .существует ^Лгл»6^>/^),отобраяа»-
ида*1 элемент & в/> fXI . .Так как Вр т вполне транзитивная
группа и так как 0(pStVfj**(f) , то существует №£(Вр) такой,что
V(pSft/)*S .Тогда Vf€HomUpfBp) отобразит с^ в элемент
S . г:усть /t +0 .тогда для ^зсех порядковых чисел fyo* с < л) ,
после которых есть екачки, $£ £ s инварианты Улкма-Капланского
. будут огличны ог нуля[Й|Ле-:л!са 65.oJ,a следовательно, возрастающая
последовательность (fy ,,.., оЛ-{, °°f..- ) будет индикатором
некоторого элемента S'^Bp .Тшс как подаруппа <В*> не содержит
141.

* ' ' ' , ' '-. - ; ' s * ' . 'V :;¥
элементы бесконечной высоты,то элемент 0 можно вложить в конечное ,.»•
прямое слагаемое Вр группы Вр >Шеет ВршВр Ф Вр .Так г ...
•как *?£ - неограниченная группа,!^ она; содержит циклические лря- -:Ч
мне слагаемые сколь угодно больших порядков.Значит, в Вр - существ"Д:
вует циклическое прямое слагаемое Ср пор^цка^ие меньшего чем "-/ i\
ptfS~ ,то есть пусть JC$t*p**St% где Ъ&0 и пусть сеСр -;£
ее образующий Лоща Нр{йУ<#р{$Ур *С}<#р(£)Л9&*в& v Л
Ар $ Вр & Ср является сепарабельным пря.шм слагаемым труп- ;*
т* & .,то,как вытекает из бедствия 8, существует Ф* #Шп(Ар,В'р&£р\f V
такой,что ¥#*6*+р***С :.В тоже время,и£ sriarae.транзитивности —v3
группы Вр следует существование №£(£#} ; такого,что
¥tf'+ps*%ClMt .Следовательно, **Уф * ^ «хда'^ПЙМИ
Значит,система групп {Ар , Вр} вполне транзитивная'; ; _; '•£?•}
Некоторые примеры вполне транзитивных периодических групп ошесыэд*%
ет следующее . ; .' _ <;.' -''--^S-i./*: ." *;~\ :/-:/- • .X' ./. <;;-:%!
Следствие 10. Если каэдая азГ периодически* груш '-. : - ^. /д- -!*';•
удовлетворяет хотя бы одному^ из следующих условий: .:':; -; г С^%У
IX &£ - сепарабельная Гррша; . Д;_ ч'^'-,.•;> ':*>Л/^^'-<'\^Уу:^Й$Ь
2) £* - тотально проективная группа,:}jj':y■. **'*///] ~/f/.'Л.:С ^J.;4<ih
*° $} **i *йз ®i ~ ^Я"* траизад:ивные irpynnk. w V'; -; " * f V\t;
(Здесь notf сопарабвльной ( тотально проектизной }, пвриодагёскЙ.Чу
группой 1юню*аем-периодическую группу,у itoToittii1^
та сепарабельная. ( тотально, проективная) гйдат). *:v* ^Ч'-:чY^r^^
Для удобства даказателг*етва дашлёйшнс результатов сфор^увдуем;, •!£
и докачем,слодз^щую. проста лтлу; ~\>: 'г^У;.'^- ^V'-'"' *>^.Ч' '"^Ef'~
Лемма U. Если в группе, £ ; оущоствует элемент порядка^ ' vVrlr^S
и обобщенной /У - вцсотыубольшей шш равной #{где/^ - неотрицатель^ ;J
ное целое число ) ,то в ней есть циклическое прямое слагаемое поряц-Ц
ка,не меньшего чем-р*?* '*/- • *]: • Ч; ;"^;P/-v^*V;",'''Ч•'T^'', лч^;^^&
Доказательство. Пусть, в группе $ /^существуетзяемешг^4tatt9t,J/i:J
что Цй) * р*/&кр {&) * ЛЬ ♦Боли;р « W)сЬ?лпонент^ ^> ШУ \ \йерио^1
дической 4jacra группы 0 , я^01рацйчена,тЬ язрй, С.'^^ллй^Тг^,^
тоТр{0} содержит гщкшч^скоепржк» слах«еь!бе сколь у!Ч>дао :б4и^'Й|
шого лордатса,которое,будучи4 ограниченной^ервантной, подгруппой rtyi^ :р„
пн ^ ,ввдвляется в ней прямим сла^аемнй.Ёсли TplS) охфеиш^^
на, то пусть -iijS (&) mft } ,где' ^г ■ - неотрицательное йелое число &'J$]
кът .Тогда^как следует из /^"1 i елементД^" ^ ма«но влоаить ?vXi?:
циклическое прямое слагаемое ^ >порядка /^* ^tK*p*?* ч .•'*;.*;*•• ; //Г;Г:^-
Ле*.олаД2. Пусть >f/-. группа: без кручения и tf *Jgj$i '•" вполне >.g:
транзитивная группа,где &i , А«^ - пе^шдичеокие трушш,тогда :длй> ■

любых.элементов &ёА и £€$ таких,что следует
* существование^ Нот (А,ЯГ) ,переводящего £..ллент CL в элемент^ .
Доказательство. Пусть элементы & и ^ такие,как в условии
" дешы и ЯН — ) Si '•" ) ,гдв Л" €$L ' •1ак кахс Д^1* «EKtaro.teJ
//#*) tfftyi) .то нам достаточно показать,что для произвольной
координаты fa f iej существует fye #от (А, &£- ) такой,что ^а *й£ ,
тогда»как следует из£Цтеот>ема 8.2jf будет существовать f^HamCAfi)
такой»что Фй *й ♦Рассмотрим произвольную координату #£€$1 и
обозначим ее через S ■ ,а группу RL - через ,3 .Зафиксируем
множество простых чисел />/,.,. , рк -,7&я которых кр.($) Ф °° и
пусть А^Й*)* #i ; i*jpi ..Так как элемент ^ .моано представить
в виде */в $ * **• * &*' *гДе 4' € ^4 » ^/- • ^в4ж - А' -
компонента iromiu- В ,то для любого элемента Si ,у которое °(^ур^1 >
и Ap.{Pj) >#j ,наДдется щкслпческое прямое слагаемое £/ такое,
что 'iC'it*pi****** (лемма 1L) .Пусть ^ - один из образующих
группы CL ,^/yF,тогда H(a)<H(piniCi )*//(%),* значит^,
НШ}<Ш/>рйг+~.+р£%УШВ) .Тек как для каждого г3/,* j* группе -
' <й>+ разрешимо уравнение/>-*4^*гг »то пусть *; ,/*/,* - решения
' этих уравнений и,сдедователько,Ал. {*/) sO ± Для -каждого Iе*/, К
построим гомомордам <# :<&># ~* &£ такой,что #£«#/ *С£ „Так
как <CL >^ - группа ранга 1,то для произвольного ае<а>^ оущеот-
^ вуют целые числа т я /t "такие, что Ст}пщ)»4 к/№&;"'%£
„Учитывая, что #£ в группе *#>„, имеет нулевую Д - высоту,
получаем {л ,/>/)^/ .Полагаем теперь,что fyd * jp Ci .Так как (*,/%')-/ i
то элементу 5. .отображение 0* ставит в соответствие однозначно
определенный элемент di^^Ci .Так как отображение Vi > £-£*
сохраняет операцию,то ^ ,*-/>* ~ г* юморфизм. Заменим также,
что гомоморфизм ¥**Pi + •* +- У к отобразит элемент & в элемент
Р?*С4 + ~<+р%*Сх .Действительно, рал[Щ+-» +?*)а*Ца+...+ 1&а*
:- rf'%ty~rfi?%*xapft/'-+^^^ icaK c*£4 ci » - алгебраически-
компактная группа и,следовательно,сервантно инъективная.то диаграмма
<а.7—L.
*
1
С*
9
где с - сложение,замыкается до коммутативной,то есть существует
я * " .Так как
' VeHanlA,C) такой,что Га*р1<С,+..+р%' Ск j
И1$с1*-*Р*£ск)*НИ)> и В - вполш траноитш
транзитивная группа, то
найдется iejEJB) такой,что t(pffC,+-m»+р"'См)я'ё .Тоада гомокор-
Физм s^xliifeMamCA>d) будет пэреводить л в элемент 6 .
143 — -

Предложение 13. Пусть система групп c&i}tej удовлетворяет--'
условию к --нечлости для высотных тто:щ.Ясли для простого числа р '
существует элемент $i€6j (JeJ) та:;ой,что *l$;)m °* u^ptfiffi)***
для любого кеА/ ,то Тр (gjfy) sj(Jj ТрС6£\
Доказательство. 3&\:етн?.:,что для хобого простого числа р всегда
Гр(Ц***)~ТР% ТР&i ft*^ -ЪУ°*ъаеГ/>(fjj$i ) •Тшс как порядок
элемента & есть степень простого числа р ,то и порядок его любой
координаты c^i является Taivie какой-то степенью простого числа р .
Откуда следует,что для любого i$J aie7p(**i ) *но тогда
ae7pt&Tp(ffity Лшч^^ГР%^РсГр%Гр(^У) .Обратив включение
очевидно,Пусть вшолкяе_тся условие предложения, то есть существует ''
элемент^ £6j , jeJ '^(fy)**" • для которого &p(p*f)?t°* яря
любого к£# и некоторого простого числа р .Пока*хэм,что
a fr) следует,что'^^7^^^^) *
) ,тс есть,что ^/J^ (fy)
периодическая трудна.Допустим противное,то есть #£^) не .
является перподическол. Рассмотрим элемент Д> группы ./7 £ 1$Л f
имещил бесконе гаыд порядок,тогда существу&т такие координаты (Х^
■ элемента,чэео Н^а)-Lnf {Н(а^)}^к , k^J ,/&**Х*<.
Тогда,как следует из лемш II,для любой координаты ^ ,<*#01
элемента г&, такой, что о(0^ )яр^найдется циклическое прямое слагаемое
%*& Тр ($* ) »У которого t&Jzp *ы1 .Пусть 8j - один из
образующих группы &4 , jefc t4QV№irffffp(h}heti*fO,f,...).r£Bi. как , „
^(fyybtjtffMpfyhtitS^Jjefr ,то из того,что система (SiJiej
удовлетворяет условно конечности,следует существование конечной
поцсистеш iCx}Tstf cfpfy, S^}^^ такой, что Нс$:) >ty{H(Ct)}t,ffbty
Еслиpg;Ф tCt}%9 f~£ ,то неравенство (**)
_незозмо;/ло.Действительно,в группе Л Tplifi) существует элемент / такол,что все его
ненулевие^коордицаты являются элементам ^ , T=/,/i .Так как
элемент В шлеет конечны:-! порядок и Н($) =iftf *^#a\)^f */J? »
то HtyjftoffHCCitft.tf .rijwbpfye{Ct}t*fr }ipfj*Cn .
Так как все элементы С^ ,где Ге//-/ ,имеют конечный порядок, '
то суцестзует tneN ,что рЛ*sтак i0(^t)^ r "jptt »тогда дося
любого £>>п HplpCQj)4i^{Hp(pcCt)}ts^Hff^
ИШ }Uif>fff(6r)Jt^ . '
I
Следствие 14. Пусть сиотема групп {$i } iej удовлетворяет ' ' '
условию конечности для высотных матриц. Если для HeKOToporoyVJ'
существует А/ '}- прямое елаг'аеше бьз кручения группы S/ ,то
для лобого реТ(А;) следует,что Тр (П $;) */7 Тр($£ ) .
Заме^алие.Лусть А - произвольная абелёва группа,тогда
144

S(A) * {p - простое число 1 />*# **#} .
Лемма 15* Пусть система {QJi^ct удовле зоряет услозикгконеч-
ности / причем,если С^ - смешанная группа, то Gf^ расщепляется/.
^Если группа ./7 &J. вполне транзиттана,то система {.flAl, fiLfyi
удовлетворяет^ условию монотонности / здесь &ос*Т(£^) '** *
&4u*&Ji/У($) Д^я любого **& ; ^^Я. /.
Доказательство/Пусть ^"^/£/1} и &"&$/ -.П-жагкем.что
система fAjSj удовлетворяет условия ьюкотонности.Рассмотрите
первые случай,Пусть а,се А , Se3 и H(a)zSrf {H(c),H&)} .
•Тогда,как вытекает из следствия 14,для кагэдого простого числа р
такого,что^0/tf f6 А, следует суде с твование леА/^ такого, что^/-^ .
Следовательно, Ир(рЪ)^1^{Яра>^)>Мр(рА8)}^рЪ)^ .
Рассмотрим второй случш1.Дусть^<^2* t аеА ц Ш)*1п$Шс),Н(с1)} ,
'\1шчтН(8)$>И(с) мЯ(В)^НСа) .Пусть Q*!f)<~, *(с)< ~ п
*B*fr/ltt **/V ,тде 8/>ре £рти Вр<£ , f»/,* ~/>~ колаюненты период
дической,части группы Л .Рассмотрим все такие {элементы /а€^ ,
4*of*ifr}tufZ *Щ**)*Нт ,H(&)tH(c) .Та/как
ад>**V*7//с;*, ##) i и ^;/w*; . ##0^ уи*; .то
l')ff(fyy% HqW) и 2'} //^й7) £ #л ^£> .Покажом.что выполняется
условие I' .Действительно,так как о(#)я °* ,*(8(f)<<* и H(8q)f>H(0) ,
то Ял(8л)%Нл(#) .Иокаяем справедливость условия 2х.Так как *(#)*&* ,
0#J < ©* , fi»(4)# <» и h^(c)+ «г*» ,то возмошш-только два варишь -
та: ^ftr) < ^ f<r; ели ^^7) £ #? fcj .Допустим,что Нр(с$у<Ну(с)*
тогда От/{//л (а) , ^^^/«^ЛУ;*/^й^),что «евоз.мо::до,та*с как
противоречит условии Г .Пусть для каждого такого £ ^e^^e(^^..,4i^^~)fr>
,то
А < Ш > /% (6а) >AZ (С) /то есть л W ^ <f<» * ^7 ; ' . т^ как
Я1(Оа)$ На(а)*'ю существует та-сое наименьшее целое неотрицательное
^/-СесЛ1: "РЭД"оло,.шть,чт6 Ж,,. «~ ,io /И£ )* *в.
тне)зоало}хно ? .Иокй,.;о?д,что мевду*>Д5», и O.JL.j есть скачок. Д<
ы- в индикаторе H^xfo*) хси^дЯЧи tfr7' - а инвариант Ульма
энского группы Л^ отличен от ь/ля,если мзддуЛ^ и ^/^
<fmty 8<> /илоот порядок ^И и в^;оту, 6ojill:,yj ilih равную # J/L)
то по ле:лмо iL следует суц^стзоваяие в гр^лиге Ла ци:-ушческого^
пря;.юго слагаемого /*к по;:ядха :и меньшего чем ф^П*
Так как /г 0^ }*л$**м(*)№ф*"(1)ф' 'fW+WfT+f .ilycrb /^ -один
115

из 0<5разу2щихгрутшн f^ ^огда элемент Cf "* /f будет иметь инда-
катор #ф1ф*^*)ш(Ъг.>*А*"гЬ^Л*мФ «Итак, ми нолучили.что
/&№t<fi*fyY)* вадю из строения
элемента **^f */£
7,НЩ*о»'Щ)4НШ .Так как Д^- ВИСЯ-
не транзитивная rovnna,To существует &*£г#л) такой,что
V? *#? /f } ш ^ •0Т1Суда ^*t * *&*%**% *Щ4>#<е> i
Н(?лр"оуа)>М0)>Ды&э>зже}1яя & равенстве.&*&р$ + — *48г* вое
элементы Itf со свойством tttfyf tfta) и JflBfip М(еу их-
разлокегааем^приведенаш выше,получим,что 8=8f +...+ /л ,где#^4- .
•Таким образом^ддя любого £ *• /,А найдется элемент &&{а,С} --
такой.что Н(&а) *#(€) •
2) Пусть °(В)< °* , *(П* *• и lcj}j€$ , f#iheJ - К0°Р~ *
динаты элементов ^ и ^ соответственно.Так как /•'*
И It) > i*f{ НЮ> Н(а )J ,то Hit) * ty{Mq)/tab>Ljji€J .Из того,
' что o(t)< <*> 1 следует существование конечногб числа элементов , •;
^^АЛ^^./^^ф^^уПр^гчем мвоав^/^О^д^,^. •
не может состоять только из элементов ^у * , х*/, * 'или только на '''
#/г ***№ .Действительно,если &i£s0 для любого €*/?£ ,то
ЯЮ> £*/№&/*)}*•{* >&/{Щ)£ф*М®,ч<20 невоз:ла2шо,таг. как по -
условию HL8)£ Же) . •Аналогично доказывается,если дая любого *:*£$ ^
CjK=0 .Пусть р:к -BjK ^3 (х*£г) *Pi£:Aie~*A (*•*,*) - влолкй'
ная,тогдаHtf)*t*f'iti(Pj,Cj4 +-+Р^%),Ф;,%+~+Р1&{)} .Так'как.эле-■
wws*Pj.Cjj+-+tyK Cjk имеет конечные порядок, то,как вытекает ■ _
из случая X существует конечнее .число эле?*зентов Вц~у&ше& : i
таких, что В -Sj + ••• + Вт .причем для каждого элемента В а \р*щ
долине выполняться хотя бы одно из*4 двуэГ неравенств: ' - ,:
дого ^ *£ю должно вшолнятьоя соответственно хотя бы одно из двух -'
неравенств Н(Ва ) *Н(с) или Н(Вр > > H(cty ^
3). Цдггь о($) = о* , о(о* о* ,тогда среди координат ify}jef •,
элемента S выберем только такие,для :соторых~##')^ ^О" (такие : ~
существуют,в поставном случае Н(В)^ИСс) ,что проз хзоречилогбы
предположению ^TJ 4 ##Л) Л'ак как "для любого /ej*(&) <*» »*b*
:сад следует из'случаев 1-2 , существуют элементы $£} х л р£ *
^/;^^3 таку!е,чтофф -Врь^+ф »*W*ej:6j-*6 ' -
вложение .причем для люоого к*4,ь должно выполняться хотя бы ;'
о,шо из двух неравенств: H(BW) > Н(с} .или ti(8jt)) > ^^ . ,
Пусть J. :& -*-3: - лрое/ецкя^тогда ^; *Т-&ч>...+Т; 6& ш/

дня любого **(7* #($*$*5>Ш или WjSf) >Н«*) .Тогда
каадый элемент А' мояно поставить в виде Ж 9jhf*&jz »r^e ^t
равен суше злемёнтов Jfr #р таких,что НЩ№у > ЯСС) »а
Л^ -суше элешнтов^^ ,для которых HlTjt$) ?ti(c) «Откуда .
получаем, что #/^ > > gfctf ;а Mffa ) > И(й) ЛЪгда/^-/^ rfa..) |
что mirfbttW ',а W0x)>ft&)
Teopeiia 16* Цуоть система. {б^леЛ Удовлетворяют условно
конечности / приче^ееда, &*, - смешанная группа, то G&
расщепляется Alfcyma # а /?4г*' вполне трацэипшна тогда и только тогда»
когда группы /$Д* ~ и . Д% вполн$ траязитадш /здесь
^ДоказательствоЛусть /f ^0^ ' » &m$t&J «тогда
. #• * Д 0#Л\\иукак следует и$ £6Д,груйгш # и 4 вполне
транзнтнвны.Чтоды доказать достаточйость,неооходймо показатй.как >
следует из ,|6Г'»что слетев;/^/4"!":' вполне транзитивна и
■ удовлетворяет условию ^оното;шооти,Пока^йм вполне транзитивность
данноД системы.Т^как группы А\ и Д вполне, транзитивны,то *.
\ дя^/впешё/^р^зитнвности сясуъш {#,&}. ^остается яоказать,что
лдля. люб,нх^ влеаейтов(i*4# >%/ Jjed\- у существует $ФШип(Л9ф) ,
! дереводящ^;^^ и наоборот»
: существует :'^Мт(4^4}у1ш^^ Щ$ ?в г\,если #f$)*Jt«*) .
: Так как систвАва;; $?^ |*де У j удовлетворяет условияконечности,
i то^как: замечено'з следствии ВД,да любого простого числа ре Ж (Л)
У:'Тр(&)Ч$%£^'хЩ '' 4fe - г/*£У [f fi ~ тюоявюн грунпф ,
тогда - даякодого/такото простого ^щт [fir следует, что.
i Mptyf rtfr<&) ;: ^откуда #££) & ЩЮ:;:< **о $о*ь возможно
, только одно сраьнеша: /¥&7) <Щ$\ >Т<$ца;как следует на лемш 12,
^существует ^^я^6^/3) такой,что *fa*8 •. ::• *
, Услбвде монотошости систем будет следовать из лемаы 15. .
; Следствие 17. Пусть /4fcJ*c^t --Срстеш расщепляв;.:;:,; групп,
* удовлетворяющая услов1ШГконёчнос?и»Групяа /# */?£«* ^впо.ше трая-
: зитивна тогда л только тогда,когда группы п ^TCG^, у к . .
2е#№* 1ТШ*У впода транзцтйзны.; **л \ ~
Критерием построения приборов -вполне транзитивных смешанных
расхцшадядлшх .rpyini может чхдуаать:." _л' -;,:
V Следствие 18. Расщепляеыпя группа "вполне транзитивна У " г
'V"'' ■ \'-% Л'1"/: ' -' < *:-:. Г4#'^"'-^' :':- : * ■■- 4 " ':

2)
3)
4)
5)
то
A
В
В
В
а
тогда и только тогда,когда ее периодическая часть и фактор-группа .!
по ней вполне трапзитивны.
• Некоторые примеры вполне транзлтиэ*тых расщепляемых групп покажем
в следующем следстшш.
Следствие. 19. Цусть 6 *А Ф д ,где В - периодическая
часть группы G .Если группы А и В удовлетворяют
хотя бк одному из следующих условий:
I ) А - сепарабельная группа такая, что для любых неизоморфных ;
пряг.шх слагаемых С и L ранга I из А , имеем
- алгебраичоскл компактная группа; v -- .
- тотально проективная группа; .». ,
- сепарабельная группа; ,
- прямая суша сепарабельной и тотально проективной групп, }
- вполне транзитивная группа.
Доказательство. Вполне транзитивность групп из I ,2 и 5 вытекает
соответственно из [$ J , f6] а предложения 9;вполне транзитивность \
групп из 3 л - 4 получаем пз£ц]. : >
• Интерес представляет следующая • J ,;;
Теорема 20. Цусть VG^htot -система £ - обобщенно узких
групп / причем.если G^ - смешанная группа,то G+ расщепляете!^"-";
Группа G9JTjG^ вполне транзитивиа тогда и только тогда,когда -/;• :\
выполняются следующие условия: -/*'■'-1;г^
Ij JJfAi - вполне ^рачэитивная группа /где А:% Gc/FCG;}, Ъ*м* /;;
2) /&jh*J • вполне транзитивная система /где Bi*T(&i), ?-*0С f\ 'j<
3) если для простого числа р существует группа А; - , i+&
такая,что реФ(ЛР .то 7}(Л &;)* ДЩ). : ;
Доказательство.Необходимость.Так как *с*(£ *ft(L, 9J7A/ 9/Z& . *•'
то из вполне транзитивности группы (, следует вполне транзитжвноотьу
грутат t(JAi и .(Lfy С 6] .Из £ в,предложение 43следует,,^
что система /$Д/*/ вполне трапзитивиа.Так как {Gtj}j.tct г / ^
система S - обобщенно узких групп и G - вполне транзитивная ,;'
группа,то,чах следует иэ теоремы 2,система {С^. }*.*л. удовлетвори-
ет условию конечности,тогда,по следствию 14,выполняется условие-3/. ;!;
достаточность.Из следствия 8 вытекает,что группа М Bj впблй^?
транзитивна. Покажем, что система / ы^/^ел. удовлетворяет условию- -< .
конечности. Рассмотрим произвольную группу без кручения Ai ,*ё?'':
и произвольным элемент й; * At такой,что- //Си;) ъс*/{ ff(fgt)h**'> Г
ОС'е 01 и / #7 ^ylf^ .Рассмотрим все такие простые числа ?"''■:-*.Г.-
что kp(&i)**> в группе Л; .тогда ТР(П 6j)'~flTplG:)
r W * Л</г '
148
и дая'

'* каждого такого .простого числа р будет существовать т(р)е /К такое,
4?o6/>(p^*&j)>&/>(p^fy)WR некоторого элемэнта бесконечзюго поряд-
*&fJr*f$b$*+Af *™Ю№ Hpfy) *ffp(ffi))wm zgwl таких /> а всех
таких элементов 'oJP) .Откуда следует,что H(&i )•»**/f#(f[f %&'/&• - ^
как система. {AiJi^3 состоит из S - обобщенно узких групп,и .
ft At ' - вполне транзитивная группа,то система fA^ief »как
- следует из теоремы 2,удовлетворяет условию конечности,тогда ее
подсистема i А* У lento также будет удовлетворять условию конечности.
Следовательно,среди элементов ffJ^Xteatoy найдется конечная подонс-
• тема элементов tf%l У <i*j$ TaKa*i*ro ti<&i)>tylH{$)}uff№sem
образом,показано,что система (в^У^еп удовлетворяет условию
конечности.А значит,как утверздаегся в теореме J6, группа £
вполне транзикшна.
Следующие две лешы будут полезны при доказательстве некоторых
нижеследующих утаервденьй.
Лэхягда 21. Система {А;}^ однородных групп без
крушения,удовлетворяет условию монотонности тогда и только тогда,чогда для любых
групп Aj f АМА^У^э таких,что^^Чг) *t(**\ следует,что
•ДоказательствоЛеобходимость.Допустим противное,то есть пусть
существуют группы А# >Af£fAj}f€j такие,что t(At)*t(Ap) и
$(А*)(1Ж(Ар)¥ф .Пусть.для определенности, t(A^)ff- t(Ap$ и р - '
такое простое число,что р^^(А^УРЖ(А^) .Тогда из гдутш Aj и
Ар выберем соответственно элементы &* и &/ь такие,что
^^>4>Гф)-Тогда .ГбЯк) >**£{Х (/&*)/«*&$ ,1фптемЛЧг>сДГ^;§
1 ъшт&кр(а*)н*кр(ра*)ъХ<а*) t Х(<*р) . .так кжЩу/tty)*
. Так как система {*i}iej удовлетворяет условию монотонности,то'
существуют элементы #«/*4/£/-,4!с/?'%< такие,чтоф •<k/*"*f'^«<* ,
, причем для любого **£* #ЗДж)>4гф>ш[ ЛвЬ^У+ЖрЪ) Лвк как
КА+)? i(Ар) ^дто для любого **£# ?№« )}X(Gm} . .Поэтому
для кадого **/,* ЛГфд,)>Д:да).Т1ах как ^Г*)>^Д^^^^
то #|й£< ) ^ Л* /^MTrf ) ,что невозможно.
Достаточность. Расоштрим произвольную группу A/^fA4Je^j и
произвольный элемент ОФО/шАг такой .что
Для любого K*i,S .Так как система £A/3jej состоит ь$ рохрщху*
ванных групп,то существует такое простое число р ,что реT(Aj) ,
*ак T^Ap(4j)>£tf{j>p(0^$t2g2 ,то найдется 9m&m0/je{*iJxsjj
^ такой,что6f(ctj) >fy (аги) .Тогда,как следует из условия; i(Ajyt(Au) •
Так как для почти всех простых чисел & hf(Qj)*/io(4iA} »т0 пу^ть
0V * • •• i tyn ~ всв такие простые числа, отличные от о ,дая
749

которых h* (&/) /* А^ (аиУ .Тогда для каждого простого числа fa '%\
<**/,л. г судет существовать элемент */*'€*^>J*e/j такой,что
AfaMJfb^Afa (&/) -II3 построешхя системы/&/* ybfthiQ оледуетгчто *
#яя любого элемента #/^ , £*/,/г// пз этой системы *й^*>Ла^> ;
дркчем XCCLj)*LtfiXtofy),Z(a'$b}^ -Так как СКС*0Ш%4>Л^#
состоит из групп одаого и того же тиш^то^как следует из ££, лемма 2,i§)
ока удовлетворяет условию монотонности,то есть существуют элементы-
"%
Mbje)>Xt0*i') *Так за* *^'> f°7'3**i&№ii$*'&*'*Q лемма доказана
Лемма 22. Если группы ф , Л\7 являются однородными прямыми' •
слагаемыми без кручешш -произвольной- редуцированной вполне транзит?©*
ной группы 6 ,то система' ffyfteJ удовлетворяет условию
монотонности. ~:[
Доказательство. Дусть выполняется условие-леммы,тогда,согласно.-.-;
лемме 21,нам нухшо показать,что для любых групп A.BGfGiiiez таких,
что tlA) * 1(3), следует,что JF(A) ЛЖ(3) * Ф .Пусть для
определенности t(A}$' iffi} .Если группы А и Й леаат в одном
-разложении 6 ,то утверждение леммы вытекает из теоремы 3 £Щ %
леммы-21.Дусть Л к 3 лелат в разных разложениях группы $ гто '-
есть A^A/^/S9 3 ® 3f .Рассмотрим произвольную группу Се{Аф} • /»•.
к произвольный ненулевой элемент сеС такой,чтоИ<с^Ыя£{Н(щН^ „
где аеА , &>£ долгом НЮ? НСй) ж НЮ £#($}, .т>щ~ '
жем,что элемент 6 принадлежит группе *А/ . Действительно, ?ак как,;
t(A)tt(B)f ж 6*0 ,to В$А '.пусть 4**'***. .где
Uf€A , uj€ А/ //рассматриваем разложение £ *А&А/У ,тоща - -:-- -
/«/; - Otf {№'),ЯСа})Ш(а'> .это противоречит чощ,чъо*(А)ё>:*М)л
Следовательно, ^Л/ ,.тогда Н(а+6) £ Н(С) и из вполне
транзитивности группы ~£ * следует существование ??£(&) такого,чточ - .'/
*j>ia+6)*C .Откуда получаем,что Уа + ФЯ-С js$№&&ti(tiBt) &#(<*). -■
и HIVS) & Н(в) т Значит, система {А , 3} удовлетворяет условию
монотонности,тогда по лемме 21 J°(A)/? J(3)- Ф •
Если «S - обобщенно узкая группа <?/ , £&J является смешан- .*
ной сепарабельной группой [4] ,то условия 1-3 теоремы 2,как * \
будет показано в следующем утверждения ,мо;шо заменить более наяэвдК*,-
ными. ;.\ 1,
Теорема 23. Дусть t®tile J - семейство сепарабельных групп.
Группа 6 *.'0г&1 * вполне транзитивна •"огда и только тогда,когда
выполняете* схеду«дав условия: * , *.
I) т если для простого числа /> найдется А - прямое слагаемое ■
баз кручения группы # такое,что ре-^(А) ^QTpCG^fljtpCGtJ 5
jj) для лю&ос иеизонорфных прямых слагаемых #£3 цручвнъя ранга'I .•:~-
150 . -: "

С И к ИЗ $ Ы1Ъ7ф&!*ЧХ0*?<С}ПЯСХ)*ф .
Доказательство.Необходимость.Так как сепарабелыше группы явдя-
, ются S - обобщенно- узкими,то из теоремы 2 следует*что система
' tfyfiej удовлетворяет условию конечности, тогда,.ло следствию 14 >
получаем выполнение условия I .й^аведливость условия 2 _ вытекает
из лемм 21_и 22.Докагкем достаточность.Пусть а}8е£ и HtQ^&HCS) , r
Г где &*С.., си i /... ) , 6s(.*., #1,... J .Так как для каддого ягЛ
элементы Я/ , ^3£ мхшо вложить в расщепляемое вполне разложимое
прямое слагаемое Q. группы £^ ,то есть Si s^i ® Bi ,где
АI - вполне разложимая группа без кручения конечного ранга, а ^. *
прямая сумма конечного числа циклических р -_групп,то элементы i* a,
^ будут принадлежать прямому слагаемому G 9£&^i^S^i ГРУ™** £ .
Поэтому дал существования ?€£(£) такогогчто <Рае8 ,достаточно
показать,что существует $€£(§*) ,переводящий & в элемент / >
который легко продолнается до эндоморфизма V «Другими
словами,докажем, что 6 - вполне транзитивная группа.Для зполне транзитивности
& ,как следует из теоремы 20,нам остается показать.чтоДЛ/- - ,
вполне транзитивная группа,a (BiJiej -.вполне транзитивная сие- \ >
тема.Вполне транзитивность системы {&j]fej вытекает из следствий 8 и \
Ю.Вполне транзитивность группы 77 Ai показывается в £ 7,теорема 4£'
Замечание.Яри доказательстве теоремы 4 из [7]использовался тот •
факт,что система ££,<?} ^состоящая, из однородных прямых
слагаемых, вполне транзитивной группы F, таких,что £(С)р£{£) ,удов- .
. летворяет условию шнотонности (это такке следует из лемм 21 ж 22) ,
Но в доказательстве более общего факта ^лемма 2 1, на который
делалась ссылка,позже была наДдена неточностъ,поэтому для справедливости
теоремы 4 из £Т J достаточно заметить.что система ££>$1. #как
'было отмечено выше,удовлетворяет условие шнотоннооти.
В следующей теореме будет установлена эквивалентность различных
свойств вполне транзитивной сепарабелгьной группы без' крученая. ,
' Теорема. 24. Дтя селорабельной группы без кручения следующие
Условия эквивалентны: ' '
1) $ — однородно ризлояимая грути^причем для любых однородных
иряшх слагаема А '' ;9 3 из. Л', такнх,что t(A)*£(3)
следует,что Я(А)ПЛй}~ф ;
2) Для лвбнх неизоыор^ных прямых' слагаемых ранга I С к К
*)система /^'//С7 всех прямых слагаемых ранга I грушш G
^'Удовлетворяет условию монотонности;
4Г в - вполне транзитивная группа. • /
К 51й^)1СазательствоЛто из уолоёия *I /следуем 4,,а из 4 зытекает 3 • • *
| 4 °*Учим соответстбонно из £5, следствие 2 Л31 jr леммы 22;эквива- ' *<

лвктность условий 2 и 3 устанавливается в лемме 21. Покажем, ч*о ^
из 2 следует I .Пусть t(G-) обозначает множество различных талое'...Л
всех прямых слагаемых ранга 1в S .Тогда для каждого % в Т(б) -J"'
рассмотрим подгруппы Q(r) ,сервантно порожденные всеми прямщод <
слагаемыми ранга I типа *С .Покажем,что &'г* - однородная груц^"
па типа Т ,то есть что произвольный элемент о £ &(Г> имеет -,'
тип Т в (г*** .Так как в-группе Q элемент а , . J*
решениэм некоторого уравнения nx-CLjf+ .-, + CLi^ ,где ■
о i • /;с Не 4fe . t (М)•** А?е Щи7 •
м аддукцией по /С ,что t ( (ц + ... * &д. } =
»Ш/,)/1... rttfc,J(*j.nycTb /0=2 .Тогда грзшпу . (? -
является
для" любого
то докажем
то i^ijni(ajz)H(ayajz)^^b для c~rn-i(m.>5)* рав&ство$
выполняется. Докааел: его для С-НЪ Л!меем t ^ +.,. * &* ) г ' ;
*£fyf*,%t*fye-i)Pf$/*).'* *так ка:с,п? ЗДДуктавнсйу предположению^
»ЧТО *>>
так как г
fi*Xt\A(t*>£{A\}i£3 ,и система (Aijiez удовлетворив^h;
условию 2 ,то &(&f*'l)nx((re**})s0* .Л
Покаяем,что .для произвольных ^С € T^fir) и дс э M#i &S£T(§) :^
(>j*A. при ИЛ следует.что GMft((*^ ..*+&&*)* Q \ у&
где оС f fi: для любого У - i,S «Допустим противное,то:ес*£' у
пусть существует элемент 0^6 £aty) (£^*+\.. +$№**) Лак какч J
6г - ре;1уцирозанншг группа,то существует простое число О ?Шв&
что Ь,р($)+*> в группе #*° | ,а значит,и в G ,6 другой^
сторонч,так как ъфЩпхфФ) *0 для любых )fitfe €Л(Ф) Ли
то я:(G^jfiX (QW+, „ +£Л^:»#,t0 есть kp (#) = " в ^РУ^пе. * >";
>GM+ ... + G^** ,а'значит^ з группе £ ,что противоречит\^
единственности высоты элемента в группе.Заметим,что группа; & • -Vq
равна сумма всех групп G >где %€ t(&) .Действительно»^}?'
пусть 0,6 G ,тогда из сепарабельности группы Q следу§т,что г}^
" элемент Q, молено влолять во вполне разложимое прямое слагаемо? ?С |
рг /^ «♦ *t. + F% группы (9 Лак как для каздого /- /у^ ^^ЯЙГ)
зует Т^ ё T^ffJ jчто /=; с ^ ^> ,то элемент Обв^Ь^'Ф^
Теорема 25. Группа G *JlGi *" вполне транзитщшая сепазяДОЯЩ-
группа тогда и только тогда,когда выполняются следующие услй^г'г>^
^ для лобого ie J -^ - се/тарабел^кая групаа;.- cV"

2) для любых однородных прямых слагаемых без кручения С \'^
из в таких,что t(C)f Ш\ сл^/ет,что^#? ПЖ(К) mW ;
Jif£ "" конечные поданошства такие,чте faff ■ <рс«м# 5
А* 7Иг*0~ ограниченная периодичоская группа; Ai^&i/T(G{) для
без кручения, причем если Для некото^хюу^/^^^^/^^Г.то.
Ему** ^i имеет, идехмпотентяый тип; f А£ ~ однородно
разложимая группа без кручения. **>
Доказательство. Необходимость.Условие 2 следует из лемм 21 и 22.
Выполнение условия I получаем из £ 3 J .Покажем оправадошость условия
j .Так как (Si - сепарабольная группа,то выпатлшотся условия 2 .
* и 3 изъ[9-1следствие з] .То есть существует конечное под?да>лсество
>. с J такое, что группы TCSi) **€J\<f{ в совокупности ограни-
и.Тогда GrMfti •JLgi *A£i еЛЛ°£ю, ПЫ •*** да
любого /£Я^, Ji*QifftSi) n2iisA ГЩУ " ограниченная
периодическая группа. Из выполнения. условия 2;данного следствия и условия
б.*4кз [9,следствие 3J получаем существование конечного подмножзст-
VAc'J// и **^ -таких.что./7 >f/sl^;^/7; ^ Л/ ,
множество типов прямых слагаемых без кручения раита I грушш 4/ *
Так как каддая группа А( , . » te9\tgf Vfa) является вполне
транзитивной сепарабельной группой «без кручения,то,как,вытекает из •
теореш 24,от однородно разлояодмая грушга.^гда^' . /^
_ >дншггшппа ицемпотентного типа.Одйороднад разложимость группы
& AL такие следует из ее вполне транзитивности и седара-,
бель1юстп.
. Достаточность.Так кате услов7Л теореьш 23 выполняются,то G
вполне транзитивная группа.Так как для любого, iej fy - cena-
Рабельная группа,то для сепарабельности группы $ достаточно
заметить,что для любого Js /^ /Д,*,»* <%А9* - сепарабельная группа,
последнее очевидно вытекает из выполнешхя условий I — 3
[3 ,следствие 3J.
Замечание. Если з предвдущетл следствии на группы $i » М
яалоздть условие счетнссти,то о группах в fy ф В /^ и А 9^ ,
!i?[(?< VJ*) >/*4* та условия 3 i;:o£{o получить дополнительную
^рмецпю: эти группы вполне раэдавкмы^З .следствие If6j .
ведущие два результата прх-зедош для того,чтобы показать как'*
ojuie транзитивность гдупяи&-Л$£ влияет на ее р&сщеиляемость.'
153

Так как смешанная трутшг распушается тезда я^твяько ^овда,ко1!да К
ее редуцированная часть расщепляется, то в следующих результатах . Г
буд$т рассматриваться свойство расщепляемости только для редуцирован*:
*ньк умешанных групп, ;.г*
Предложение 26. Цуеть $* >7 &i - смешанная хрушга.Группа 6 L _-• 'у
расщешхяотся тогда w только тохда,ко1да выполняются следующие условд!
I) если ф , &J - смешанная группа, то £; расщепляется; - '''
Доказательство. Яеобходймость.Выполненнв условия I следует из -.
£lZ" : Cv224 J.Докажем схфаведяпвость условия 2 .Допустим противное, {
то'есть пусть ?(£&&)^7 7Y<%) ,тогда группа./? Гйф) содержит
элемент g такой,что otg)*<*> , f*("m9 ft ~t~<j 2 Дйя любого \
,/£«/ <фх-^ * /^ , /^€// .Рассмотрим произвольную координату & *#-;-'
и пусть &i*p#*mi »где Д- - простое число такое,что#>/,/*£)*/ \- ;
Kl7mpjt.Тогда элементЛ^ й^ убудет иметь порядок />f' .Группа #<• :£
как следует из леммы II,будет содержать циклическое прямое слагаемое;.
Ai порадса,не меньшего р*£ .Так как °(f)m °° ,то найдется коордач
* яата &" элемента О и простое число A- (pj может совпадать;,
оЛ) т*ъое,юо*%)~/у-*£• **№{#/,/яг)*/ . **9пьел1 ,пртому
о-у>р*1 .Тогда, согласно лемме ТЕ,в группе <у наГдется цшсличес-
кое прямое слагаемое /у - порядка, не меньшего ' А# .Продолжая .;/:7
таким образом, мы получим систему групп {Aj}££# ,где VI &2 \ -к У}
Hit* if о *яорядки которых в совокупности ноограничены.Так как каадая^- .
группа Ai , £€At вьщеляется в группе &i прямым слагаемым, то /5^
ffil'Mfc ФШ%41 »аде-дая любых-/*# ф ^^ ,*Так как^^ 4f.;
расщепляется, то каждое прямое слагаемое этой группы "также расщепляет^ ^
ся,то еоть^^/*/ ФЦ31*1) . ,где А - группа без кручения.Заш*. 5*
чая, что группа ^£Л A-L ) алгебраически компактна как прямое' слагает;
мое-алгебраически ко?шактно&грушш,получаем,что она ограничена^, ^Л
следствие 4G€3j ,но это противоречит тому,что Т(П А.) содержит :;„
неограниченную подгруппу^ А{ . ** ^ ' '>"* ;*>
Достаточпость очевидна. ^ v Д /./
Следствие 27. Если^^^ ^смешанная грузша,где ф. , Л«7 -*v;\
периодические группы, то # - нерасщепляющаяея группа. , ~ л;, у.
" Следствие 28, йусть<5»*77#; - смешанная группа* {Ц^иУ .'**>..
•сиотема грутш,удо1 отворяющая-; условию конечнооти.Гру.-ша G /расщеЯг.;
ляатоя тохда и только тоэда,когда выполняются следующие условия: ;'";. *
1) если S( , l€j - смешанная группа, тс 6ц расщепляется; - \ ~\.
2) если для простого числа р найдется Ащ- - прямое слагаемое без *.
кручения группы "3 такое,ч*о>0Л *Л ,tq. ^^^s,>?^p^.) *
Доказательство. Необходимость следует из пре,д><й:ения 26.Докажи . •
доотяточность.Покажем.чтоГ///^;)»//^/) .Тг*UH { &};* у ^ yW>^9T-?/
■•>-
*'*?•"

воряет условию конечности,то,согласно следствию 14,для любого
простого числа' р ,для которого найдется l^J . такое,что грухшаф/Гй^)
^е р - делгма,следует,что tytRG;)*/?* Tb(Gi) .Тогда имеем:
„ „ ;*Щ)'$г(ы
Следствие 29..ВпЪлне^тра1х¥и,пшг*ая сйешанная группа,равная прямому
произведению $. - обобщенно узкиз групп 6; ., М , расщепляется
тогда и только тогда,когда.выполняется еледукяою условия:
1) если Gii . , £$J - смешанная группа,то Q расщепляется;
2) если для простого числа р найдется А - прямое слагаемое без
кручения груши,/?** такое,что рА * А ,то JpWfi^/l гл(6;),. ;
Доказательство -вытекает из теоремы 2 и предыдущего .следствия.
В заключение рассмотрим грушш,у которых некоторая оястома под-
V групп удовлетворяет условию монотонности*'
Теорема 30. Редуцированная группа без кручения # .является
.' однородной тогда и только тогда, когда система {AL ?iej всех ое
сервантных подгрупп ранга I удовлетворяет условию .монотонности.
Доказательство, Необходимость вытекает из леммы 21,Докажем доста-^
/точность. Допустим,противное,то.есть пусть . G - неодадродная группа»
;* тогда существуют элементы й,&€&(а,$£0У тшшэ.что^у.*^//
. Логда,как аяедует из лемма ZL97(<*b)rtf(<Sbt)mlt .Следовательно,-
t(at6)*t(d)nt(6) .откуда t(a+S)< Ш) и 1(<а+£ъУ*&№<т.
- Тогда,по лемме 21,скстегла £<сг+/>д ,<а\} не будет удовлетворять;
'условию монотонности, что противоречит накачу прздполокеншо. - ' •
Следствие ,31> Редухщрованная группа без кручения является одно-
сродной нулевого типа тогда:н только тогдй,когда систегла всех ее , ..,
.подгрупп ранга I удовлетворяет условию монотонности.
'". \ Доказательство вытекает из предощущай тёоремы.лемш 21 и из того,
,: что произвольная редуцированная группа без кручения содержит подгруп- :
';W*изоморфнуюZ . ' ; ' ' /• . ■
\'V: ' ' " /,: - /'. У-*'"' Литература" "
I. beanmont R\A> a note ott pboduats ?£ komoge/teovs ЩлОЬ
./'tec aftUarv оюир^//р^^^еь^1сЛк^с^,и1т9),Щ'^л
[i. top fo/ts4y?.Jn£t aite ctte&a/i groups .УпИГ.ф Michigan.
?£Press % toti й* fob, Atcekigad y&54. I f
~»%* toeaLBee/tC.t. Sepaiaect /ni*ecf qrot/pstf Comment
;Л-:лва; unitfJc&^mo.v.M.лф.Р; tss-ш
'"A. Ratb0Gt$uramu' A/Xf. ?Ae ZAeoyi of sepat<rite toixecf
' ?• Т&ишпоы. CJf. 0 строении вполне характ£ркетичес*сих m&vpyim -,
" " ' < "■■"."*•.- ""У Г55-У - - v .

абелевнх групп без кручения// Абелевы группы и модули.Томск: ^:::5
Изд-во Том.ун-та,1932.С.56-92. • . ^Л':>
8. 1фшшпон С.Я.,Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых гэдрь ч .
пах // Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том.ун-таД986.С12^^
7. Грашшпон С.Я.,Шсяков В.М. О некоторых классах вполне транзита©-ч,
ных абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Тсадф;:
Изд-во Том*.ун-таД?90.С.31-3^. . /;"
8. Куликов Л.Я. К теории абелевых груш произвольной мощности // :-. :\
Матем.сб.1945.ТД6.С.129-162. \ -,-. )<.
9. Мисяков В.М. О сепарабельности пряшго произведения произвольных,
абелевых груш //Абелевы группы и модули. Томск: йзд-зо Том.ун~д»а;
:19Я;С.&3-&5. - ^ :;:v
ЭД.Рычков СВ. 0.прямых произведениях,абелевых груш // Мат.об.1982;
:Т.П7(159}.Ш.С.266-278. ..:..• 'V'-Г
П.Фукс JL Бесконечные абелевы грушш.М.:МирД974.Т.1.335 с. > \я'
v Х2.фуке Л. Бесконечные абелевы грушш.М.:Мир,1977.Т.2.416 с. \i
156

О СЕРЗАНТНЫХ ШШШБ ХАРАКТЕРИСТИЧНОЙ; ПЭДГРУППАХ
К0П5Р1ЮДЙЧЕСК0Й ГРУППЫ ' .' -
А.И, Москаленко
В данной работе изучаются серваятные вполне харакгзристические
подгруппы копериодической оболочки Т* произвольной абелевой сепара-
. бельной у&-группы Т , содержащие Т . Интерес к таким объектам
мотивирован вопросом: каковы смешанные абелевы группы, в которчх каж-
дый эндоморфизм периодической части однозначно продолжается до пнцо-
морфизма всей группы (см. [2. С. 29lj ). В [з] показано, что в
редуцированной абелевой группе А с периодической частью Т любой
эндоморфизм Т однозначно продолжается до эндоморфизма А тогда и
только тогда, когда А - сзрвантная вполне характеристическая подгруппа
. копериодической оболочки Т*я £x£(QIZ, Т) группы. Т .
Решетка вполне характеристических подгрупп вполне транзитивной
примарной абелевой группы в терминах индикаторов элементов бала они-
' сана И. Капланским [2, теор. 67] . 3 [4] А. Мадер обобщил теорему
Кашфтского на случай модуля над коммутативным кольцом* если на
данном модуле может быть определена функция со свойствами,, аналогичными
свойствам индикатора элемента в ~ р -группе. При этом условие полной
транзитивности модуля, как я в теореме Капланского, играет ключевую
Если Т - р ~примарная абелева группа, то
и является р -адическим модулем. По аналогии с р -группами в
группе 7" мояно определить высоту и интасатор элемента [г. С. 9] .
В [ъ] доказано, что если Г - прямач суша' циклических р -групп,
то еэ копериодическая оболочка Г# вполне тгакзитивна и по теорзме
Талера рг^етка ее вполне характеристических подгрупп изоморфна решет-
ке всех дуальных идеалов частично упорядоченного множества всех инди-
157 \

* *л* - ,■
каторов элементов из Т' . В этой же работе показано, что. для произ-/
вольной сепарабелькой р -группы Г группа Г! , вообще говоря, не
является вполне транзитивной и, таким образом, теорема Мадера для \*tr- ^; j
описания ее вполне характеристических подгрупп не применима.
В данной работе показано, что в группе Т* имеет место условие,
"слабой транзитивности* (теорема I), которое позволяет получить, не-Y -"-
которую шформацию о^сервантныг вполне характеристических подгруппаз^ А
грушш Т* , содержащих Т . Наиболее законченные результаты получек -.
ны для случая, когда периодическая часть^группы* Т/Г изоморфна. . -
квазждаляческой группе Z(p**)9 здесь Г - р -одическое пополнев,
ние группы Т . Отменим, что класс таких групп Т достаточно широк; .
Так,в [б] доказано, что существует & неизоморфных групп Т мовк
яости С 9 обладающих указанным свойством и имеющих одну » ту жеГб&1
зисную подгруппу В ♦ . _
В дальнейшем рассматриваются только абелевы группы, и слово "абе-
лева" будет опускаться. Рассматривав гея неограниченная сепарабельная
р -примарная "рудпа Г * копериодичбекая оболочка группы Г обоэ^ \"
яачается Г % С. 239] %T^£xt(.a/ZtT)^Ext{Z(p^)J^ '-:\
Пополнение группы. Г в р -одической топологии обозначается Г я
Т рассматривается как серваятяая подгруппа группы / [i, теор» ■
39.5] . Порядок элемента & обозначается 0(a) ; есяя0№)*р*9 \,.
то eiCtl - & • Высота и индикатор элемента л* ^ обозначаются соответ-? - -. ^
отвеяно ktcu) и U(<t) . Если надо подчеркнуть, что индикатор вот»*; ;-
сляется в группе А' 9 то будем обозначать £^(&) . Периодическая*. ;
часть группы А обозначается tA i Qp - кольцо целых р -ади- _
ческих чисел; fa - аддигйвяая группа кольца Qp,., "'. V*"*''' ;
Теорема I. Пусть Л , я'*Г , V(a)*(40,i4,..m9£i9„^ ; *
причем все i^ - целые неотрицательные числа, lf(a')*(££j £},... )> *' v "
^ U(Ct>') и выполняется условие: ч ч ^ ~
Тогда существует эндоморфизм 4 группы 7" такой, что *И(ау~й,^ • ^
Доказательство * Как показано в {б], элемент & ■■*'•»;? \
Г* представим в ваде последовательности ч> Г \f ^
х*де (&0 % а,4 , '^.. , Д^ , ...• - элем-жты из / и для любого 2,
выполняется условие pC^i+j * Ту*й%+Т9 Пусть Л-Д <хх>' -баз*0"'
н£я подгруппа группа Т # Тогда любой элемент £ . из Т является г -
158

цределш (в ^>-адической топологии) последовательности Ксши эле»»
«екгоа из В \ т.е. С* um,(£fWQp Ss) f где S3 - элемент ъгЗ
,дпв любого $ . Элемент с будем записывать в, виде ряда ч
; ; c**sZ Р%-
. В [5> леша i] показано, что для любого элемента & из Тл существуе*
'- такая последовательность (fy) , is0,f,t.. элементов из В f что
' Д^Я-*,^/*^.-f B'i + T,... ) И ДЛЯ ЛЮбОГО l*Q,1 f.>,
: Такое представление элемента й> будем называть каноническим. Если
ffl;>Q » w будем говорить* что базисный элемент *д; вводит, в
элемент ^ ^. ■ . - *
. Пусть #*#*<>,Яу ~+ T,..i ) , ^W^,^* £...?- канонические
представления, элементов CL,t (i1 соответственно, ;
*o°ZsZp% ,*'0-zZ0pX.
' Так как все £< в последовательности UW) - целые нзотриаатель-
1 ные числа, то 0(Q>)* ^ и /7(&) содержит бесконечное число скач*
ков [5 J . Элемент &0 запишем в виде ~ " *
*».*pil(ttl +'+pturtl~1httriУ*ы-"4.*p\+»*pii*'i*") ,
где элементы tfe , tf, ,~... , ^ •, ... удовлетворяют условиям:
e(piUl.)s€iptiuL^tr>v..t. .
Таким образом, t^ , ^ .> ...» *g , ... -последовательность номе- .
.ров всех скачков в последовательности If(ctу , т.е. для_любого с
имеем ^ts^t^t * '
Запишем tf* ^в виде - " ' ' .

Из условий (I) следует, что для любого £ существует базисный але^ .„
Мбит *1 такой, что XL вгонит вЛ. и BiXp^^i^ti . Вели .
\*£(80У ж0 » то полагаем Хй * 0 и t0 жО . Обозначим *А
AsiX~ILnO,ir-.} ♦ Определим эндоморфизм f группы £ такой, ч?р
для любого базисного элемента Хд 9 не принадлежащего множеству 4 '
^ДГд) *0 . Для базисных элементов X; , принадлежащих множеству .
А ,. *tLXi> определяем индукцией по. £ . Положим VCX^^U^ , „.
Чтобы такое определение было корректным, следует проверить, что
e(lfp*e(Xc) . Действительно, A(puU>u)*t0+£f л Пусть
■ рЪ •/>*"&'•»,■ "*■(:/]
т* e(Sg}>t0*s . тогда kcpt*eu[)'^0*s-i,to * £t ,;.
Следовательно, S*tf . Это значит, что P**/f' + ...+pf,i'.'' .
Заметим, что из условий (I) следует, что в элемент ih могут : ,
входкть из множества А только элемента Х0 , ..., /у . Таким .
образом, если определены элементы Ф(Х0 ) , ♦.. * Ф(Х// t то опре~;
делен- и элемент ¥(Uj) . Допустил, что элементы ^м^ » •..» Л
ЭД/) уже определены и V(U;) ~ U; для любого j*l . Gnj>e&eV
еяем ¥(*;+*) таю, чтобы выполнялось условие ^(аы)'^1н • ОбОзн*»
ляэм
чш (Ъ. коэффициент, с которым базисный элемент XJ входит вЩ+{£-
Тогда должно выполняться равенство . г ' \ ?:
Мн " Г("и,)а?с *(*>)+"+% Wfa, ^„). Щ
Так к$к Xfa входит в 6цн t voCfy+tiP) *' • Следовательно, из i
равенства (2) элемент Ф(*1Н) определяется однозначно. Покажем, чю?.
еЩн )* eJxi*< 5 * Действительно, ОДу) * ^у, *i^t . Так :;
•как L(p iHap>k(p lH^^uiiHL t birtK , то при умножен
йии й'0 на />*'*' слагаемое piitf Ufa обращается в О , т.е'.
вЫм)* tiw + bltt • Таким образом, определен эндоморфизм 9 \xiWP-;'
пы 3 такой, что f(Ui)*u[ для любого *' .
Покажем, что f - малый, эндоморфизм ( [i* С. 228])* Для этого \"'
достаточно показать, что дяя любого *ъ найдется, такое J (л) , *ро . :
при любом i*JtM) выполняется условие В(Х£) *6(¥Х[) + п, •♦.;'
Зафиксируем К • Тогда существует такое Ю*. , что для любого *&*•#•
выполняется условие ^"^,*^t-^ - • Пусть £у »*fe . Пок&эм*
что для такого^* выполняется условие &(Xi) ~л *BlWi') ; . • J
Из равенства (2) следует, что $*#/) линейно выражается через , -;
#о • ...I UU , tf/ . Из условияЦ.*л >\~'1' следует, **°
160 Г

ft' "ft
Полученное условие означает» что при умножена*~&0 яар ' ' все
начальные слагаемые до^0 L I/; включительно обращаются в О .
Следовательно, в(ГХг)£(г£ -*) + t£ *e(Xi)-n,.
Эндоморфизм jf группы В однозначно продолжается до эндоморфиз-
. на 9' группы 8 °Т : если С€д и Ca£j£0 р"^ , где
dfiGb ' Для любого л- , то ¥С*££о Р*?dn. • Покажем,
что если СбТ , то IPCS/ # Пусть е(С)* fit . Существует
такой номер Н*м i что для любого Л» Н>т имеем*С( ?о/л)*€(ал)-*П> •
'ТогдаАдля-.любого /l »/t^ получаем HJf(pnd/l7) * e(p"cln )-*, f
т.е. гС^Вс Т m Эндоморфизм V индуцирует эндоморфизм ^*
группы Т\: есяж u*faofil/+r,...,ai+r,...\.w ¥'(&)*
*(¥&0 у Ч&4 * Tf» ) . Из определения эндоморфизма V ^едует,
что для Is /,£,... выполняются условия VQ'tfu'ii и *№>сп&4 »
' Учитывая, что . .
" Р(*>*н*Г)т&* + г, Р(<н>-П'й>г, »'0,1>-,
ч получаем: У&й-а,0 , Фсс^Ь^е Тf л« /,£,..., т.е. Ща^й.' ♦
Теорема доказана. '
Следствие I.. Пусть А - серваятяая вполне
характеристическая подгруппа группы Т' 9 содержащая Т * Пусть А содержит
7 элемент &Ч#*;#/* 7*,..., CLL + Ту„) , где 0((1С)*<*> . Тогда А
Содержит цодгруппу H*{(C0fCf+Tf„. )€ Т*{С0€ £ V} . группы 7" ,
в частности, А содержит первую ульмовскул подгруппу (Тл) *
группы Г . .
Доказательство. Как показано в [б] , Uf. (а) л
*Ц^ Ш0) *(&<>,*i /•••> *>tt *••*) i где все £л ~ целые
неотрицательные числа. Вели <€*(&, Ci +?,... ) , где C0et Т 9 то 17(C)m
*^С#- ;&i'f&*m9®+т+Ь-) 9 где ^ , ..., ii4 , л? -целые
неотрицательные^ числа, й> -первый бесконечный ординал, ^s W,}
Тогда &(р С)*((0+м,&+/п+1^„)ъ% как доказано в теореме I,
существует эндоморфизм <* группы Г* такой, что ^ */>'£ , т.е.
/> С^Л # лз условий сервантяоети А в 7" и 7"СЛ следует,
что ССА ,
В [5J показано, что первая ульмовская подгруппа^') группы Т"
состоит из элементов вида (&>&/ *"^,.,., а1 * Ъ—) • Следователь-
let l

Известно [lt лемма 52Л] f что Г' является ^-модулем. Взд^
элемент из Г* представлен в виде #*С£Л>Яу*Г,Л£+7]!...) • ^€filfX|
то ?й>ш(ТО>0,?Я'1 + Т,га,л+Ту...) # я свою очередь, если Д*,* '$|&
ж^**«о Я 4* » тс\ га^ол^^о P%"t^s • Вцолне характеристически
кая подгруппа группы Г' является Ф^, -подмодулем Т* . Пош^йутша. ^',
(Г*)^ изоморфна р -адическоыу пополнению группы ©^ ^ f еде ^
#*г(Г/Г)([1, пр^дл.. 56,5 и 44.3}). Следствие 2 дает некоторую ив-;1>;
формацию о фактор-группе А/(Т) „ если ^4 удовлетворяет условвяЛ^--
следствяя I. - с/
Следствие 2 . Пусть Л - подгруппа группы Т* V удов-^
летьоряюшая условиям следсгвия I. Torm 4/(747"'У) как ^ниюдуяг,"
имеет? ранг не меньший, чем- финальный ранг группы Т . :- • • ^
/Доказательство. Пусть & - нижняя базисная под-'-Х
группа группы Т , lQvj&^fin,t(T)*t(T/b') [i.v ;,. 177] . Пусть :!j|;
Г/5 *^6jr ZjCp00) - прямая сумма квазициклических /7-группе
illK#t> ,'з каждой группе ZA(p°°) „зафиксируем систем/порояща!';
mR $,* • Л,(7 • f * * ' — ■ твк'теф9с}м* •АДд^*Р
* 9л п w* любого У£ ♦ В силу сервантности £ в Г можно ука*5?
звть для каждого элемента ^.г его прообраз fan ь Г при^бтв^/Г
ственяом эпиморфизме Т на 7/5 так, чтобы *ф,л) ш i+t .,1^сту
как я в условии следствия 1/#в^,Яу*^Л/* Г;... ) 90(&ф}*ь**уг
U(<tJ*(£e,K4 ,.,., £± ,... ) /все *i - целые числа* v.* /Jfl
Пусть /^;/у; £*,.) - возрастающая посяедовательность ioem^
неотрицательных чисел, удовлетворяющая условию * , •/./ , ^
iMtfmK)(VL»ut) ^>1к-л< . ' ;/^Щ
Множество J* разбиваем на ^ попарно непересекающихся счетных Wte£'-
множеств: -Г" £^у i^ .->. Зсли J^ efAC9„.9Ai9...]- ОД«о из ?акя£; g^
подмножеств, то положим >. '>'«/v^:'
Тогда tf.e Г , и легко^вияэть, чго £^ ^ ) >U09i1,^, tL^yisдП
Если Лу ',-.«*, #>^ - произвольная конечная 1юдсистемал^сте«их;
{Uflf€ Г} я Тf , .... Тл _ произвольные целке уа-вдичебкя^,
числа, не равные (7 одновременно, то ?/ ^rf *•*• ** ^4 - элемент '№-.%:
конечного порядка в ' л 'ч '• -::'"'•* ~::<^
Рассмотрим эпиморфизм и: Тл -♦ Г » при котором^^Г^^/^;:.)*^?
и для каждого элемента ^ возьмем некоторый его прообраз ^/^ ^Гй-

f
стема {&j> l/Gf} независима над йр в f по модулю Т .
Следовательно, "система/#^//6/J независима над Qp в Т* до модулю
Т + (?')* • Следствие доказано.
Следствие 3' [з] . Пусть А - вполне
характеристическая *подгруппа группы Тщ f содержащая Т и не пересекаэдаяся с(т'У.
Тогда либо А ШТ , либо (Т*)* sO и, следовательно, 7" Ч Г .
Доказат-е л^ь с т в о ♦ Допустим, что А * Т ; л (Т') ФО .
Тогда существует такой элемент СС€ А , что а$Г . Пусть (t*
*(&* ia4 * Tf— ) . Так как АЛ(Т*)<*0 f то по теореме I
получаем, 4toO(a,)*p- \ пусть е(а0у*$ . тогда 0+р?аеЛП(Г)\
что невозможно, итак, если А Ф Т , тс(7"У аО . Так как (Тл)*ж
*{(Ct0 ,&, + Tf... )еП#о*0}х то дагавие (Г/*0 влечет Г»/5Я . В это*
случае T9*£rt(Z(p~),tr)* Г [i, лемма 56.в] .
4 Отметим,; что описание всех вполяа^характерястических подгрупп
алгебраически компактной группы имеется в [3] .
Полную информацию о сервантных вполне характеристических
подгруппах группы Г' » содержащих Г и содержащихся в подгруппе
Н*{(Я„8ч+Т9ы. )j8ce£r J , удалось получить в случае, когда
\'tflf*Z<p").-
Для доказательства следующей, теоремы приведем некоторые факты из
[б} . Периодическая часть группы Т% состоит из всех элементов вида
(U0)OfQ,t.. ) , где йй&Т , и отождествляется с Т ч Индикатор
произвольного элемента a9(Ct0CCf^T?.,t) из группы 7" вычисляется по
формуле _
10р (&,)* если 0(а9)-оо;
(h (a0),k (ра0 ),.Mp*\)f *> +"1, &шн9*>+т*ё,...\
если e(a.ey>H.t e(a0rT)-/t-/n ;
■<
Й&К
Теорема /2 . Пусть ' Т - сепарабельная р -группами
tilT*2(p°*)* Пусть А - вполне характеристическая -подгруппа Т* f
содержащая Г и содержащаяся в nonrpynue/fn{(C*,£f+'t--*)€Jr''/cuG£'}4
Тогда множество зГсех индикаторов элементов из А образует дуальный
идеал в решетке всех индикаторов элементов из Г* .
Г 163

Доказательство. Вели А «Т г то легко видатьЩ-
что утверждение теоремы выполняется. Пусть А + Т.^ v -<С§
. I0* Л^Г . Тогда Л* Г, и, следовательно, Л 7€Л . , . Л; с=
2°. йрг* . В этом случае элементы &9+Т %df*T ; .Л.пора^.-З
давт £Т/Г . Беля, начиная с некоторого номера, ^\ФТ » Ъе'.'Л'
&ФТ t 1о&о + Т 9 df + f \ ... также порождают ^^/^ /Йе^ :/
жем, что е(ао + Т)**(&'*+0. Щкяь£С&*+т')9* .е&М***'* W
eC*№,e(*l*T)*b • тогда №)*ti*>~Jm49to+(*~*£^:
Из условия U(£t)*U(a!y следует» что f*pi я &(Я*) m&t
вид <7#'; *(Ц,...,&,*>+&-*>,:,., *+&*№«Ф,£Л>^:
здесь i^ ~Ct>+CS-i)+(a~S> . Так как* # */<*-/) ***-/>> •;
»#*//*-/0, то л>* , т.е.em^tT-y>е(*!> +Г) л omm^m^^
ет# что существует такое целое //-адиче<асое число Г ;, ^0 дм»' •;
любого i выполняется условие *j * ^* Т&Ц +7) # *#е# a'-tCUT,
Так как »*Л ^ ^СЛ -.to^W,, . ■ '7*-VK§
3°, й# Т , й,€ Т л в этом случае можно «читать, что^^Ч
Действительно, &*<Ьр+(0>&г * г»»)*&* +С ♦ здесь МА , . Запи*' |
шем *' в виде Л'-Д,' +(0,й1*Г,„)*а1*е' . из условий ДО»ЙЙ;??|
и о** 7* следует, чтоЛ^еГ ш &(€) 4 ff{C} # так: im/^^'/f,-
#£ , Г£# , то для. того чтосы доказать, чтоЛ^М /достаточно " ;!«з
показать, что f *Л . Цусть U{£) "Ш+m, Ф+тн ,... > YT.e.V
получаем, что а/ , ....З^Г , т.е, V{№*W+t,&+iH^;) ^Щ
где ^ *Л . Далее рассуждения проходят так же, как в п^ 2°+ У\;";rv.
Итак, если «№)*##*') я **Л , то £&* /ТЬтф^да>4й
если Л ^ я^Л t то существует элемент/^ такой, что&Щ*~$$,.
. *U(&)A &(о), доказывается так же, как в £5. С. 224] „ ; v ;^!1Щ|
Следствие. Пусть tTfTZglp**) % цусть ТсА^М^Л^с
где Mni(CP}C1^T9^)€7*lC^tf]i .: Тойш Л являете*^щс^^
характеристической подгруппойгрупп* У*, тосда и талька тойда, '*Йр|12£
она имеет вид А ~{а€Т* I &(&)€$} '/Т*рЯъЩ\
альный идеал полурешетки С относительно пересечений) всех/такил ■***%*
катооов элементов из Т* , в которых лишь конечное^ ^число юэор^^?* ;|f
является яатурапьннми адслами. Г' \:* . - >V(vjV^$*|
Теорема з: Пусть i ?/Т*2(р~У , ^ * W^*^.^
вполне хаоактеристг?*ская"поягруопа группы Т* \ ^держ^Я ?.'?>?;;
содержащаяся в Н*{(С А *T>Cl+T^yri$fitT} ?9*#4>'M
либо совяаяаот с 7 f ли^0 совйаяает яН *•-, / : /к .- S';'^
.164 - " ч " ' ~'~ ''

Доказательство» Пусть A t Г » Покажем, то(Г)сА.
Пусть #*£#$,&/*• ?*,... ) - элемент из А ' , я принадяежадо* 7" f
, Таким образом, в Л
существует ненулевой'элемент из СТ'у . Покажем, что в А существует
ненулевой элемент из (Г*)', имеющий в (Г7' нулевую высоту•;Дэйствя-'
тельно^ так как (Г*)'- группа без элементов бесконечной высоты, то
~ д,*р*й>! , тже^к(ГчУ и#' имеет ъ(Т'У нулевую гчсоту. В си-
лу сервантностй А в Тч и услиьия ТС Л получаем, что &&А #
Тогда для любого элемента М€(?'У найдется такое целое р -адиче-
ское число t~ , что V* ?& , следовательно» U€A . Таким
образом» (Г)1 ел . Покажем теперь, что A *ti t Действительно»
если Л»(в0,&, + Г,*)€Н t £<&>*S ь то р*м(Г*Ус* .
Так как /f сервантна ъ Г* ъ Гс 4 t *»0 #£,4 ь
ЛИТВРАОТА
I. Фукс Л. бесконечные-абелевы группы» M.t Мир, 1974» Т. I* 835 е.
1 2. Фукс Д. Бесконечные абелевы группы* М.: Мир, 1977. Т* 2. 414 с.
3» May W., Toubassi Б. Endomorphisme of Abelian group» and the
theorem of Bear and Kaplansky//J. Algebra* 1976.V.43. P* 1-13»
4* Mader A. The fully invai'iant subgroups of reduced algebraically
» compaot groupe/ZPubl* Math. Debrecen. 1970.V.17. P. 299-306.
5. Москаленко А,И, О Апериодической оболочке сепарабельйой ^-гру*
,шш//Алгебра и логика. 1-989 . £♦ 28* № 2, С. 207-820.
> 6. Hill P.f Megibben С. Minimal pure subgroups in primary groupe//
Bull. Soe. Math. France. 1964*V.92. £.251-257.
T65

An*- КШГОРИЙ И КОГОМОЛОГЙЯ^КОДЩ МШВВКа-ВИОШ
Ш«увн Тиеа Нуанг
моноидальные категории и симметрические моноидальные катеру
рии впервые были исследованы С«Маклейном [в] , Ж.Бенабу [l] \ ]
Г.М.Келли [5] • Структура таких категорий определяется бифункто- 1
ром g> : ]l x A. —^А и системой изоморфизмов ассоциативности, 1
единиц (и коммутативности). Исследования категорий с операцией' ]
(иди ® -категорий) развиваются по различным направлениям, на* ]
пример .'замкнутые категории (С.Эйленберг и Г.М.Келли [2]}, -'d&f.>j
симметрические категории (Х.Хенке 141 ). Некоторые авторы рассмат- ]
ривали ©-категории с точки зрения их алгебраической структуры, 4
например, А.Солиал [15] t Хоанг Суан Шин [ 14 ] , К.Х.Ульбржс (№l j
рассматривали моноидальные категории е. обратными объектами. Поз- J
же з работах Хоанг Суан Шина f I4l и Б*Мвтчелла [ К) ] были полу- 1
чены глубокие результаты Q классификации структуризовакных кате- ]
горий при помощи когомодогии .групп* j
Другая проблема ••когерентности11 ( f.ofui'wtce) также играем;. \
важцую роль при изучении ® .категорий (см* 191 )• Например! |
М.Лаплаза 16} рассматривал когерентность дистрибутивности а к«#";;|
гории с двумя симметрическими мсноидальными операциями ф'^и в * |
Объединяя два указанных направления, мы предлагаем. paccMOTpdtb j
класс категорий с законом дистрибутивности для Рк^катесори^У V, I
т.е. для симметрических моноидальннх категорий с обратными o^ff* '
тами, в которых любой морфизм является изоморфизмом, и удаймфяфг:
ряющих системе аксиом, аналогичных аксиомам кольца. Во атойп^*
чине такие категории названы Ann -категориями* f , *\\?.У<У
Результаты о характерньк инвариантах Ann—категорий идйагай^,
§2, 4 (полные доказательства можно найти в flZ) \':^Щ^^у:'Д
ти, с помощью когомологин колец Маклейна-2!уклы 4шь t#ujf4^:**rt^;\
рема классификации для регулярных Ann-категорий. Этот_рвзу*ь№«<А
устанавливает связь мехру понятием Ann-категории, «юр!»й гуг; |
166 7/ у-у'У'У*^]

хронологии колец и задачей о расширении колец.
Новые результаты излагаются в 5 5, 6. Бода получена теорема
^ассификации для регулярных inn* функторов я теорема об вквя-
залеятности Апп~ категории почти строгой Аш*~ категория»
f#e. такой Ашысатегории, в которой изоморфизмы заменяются
Яствами.
Джя простоты во многих случаях вместо записи АвВ мн i
^ хотя тензорные произведения морфизмов f , 3. обозначаются
ро^иреянецу символом -f Ф^ ; чтобы отличать юс от
§ I. Определение Ann* категории
Напомним некоторые известные результаты. •
^потальная категория состоит по отделению из ( < )
рии £ * (*« ) бифунктора ®:АхА —>ja , t***)
объекта I категории .А • ( <* ) естественных изоморфизмов
л^<^вс: АфСЬФСУ—> (а*В>ФС >
Vsr 1^ ' : АЯ>Х э» А ,
4 « £А Ч ХФА » А _,
удовлетворяющих следующим аксиомам:
(а) Cx*V;
(б) идя любых объектов А, В, С» D сладуюцме диаграммы:
a i - J a4Dldp (1И>
(А®В)а<С«1>) . ; *-*- * «я*В)в>С)в>В ,
А#(Х®В) _*+ U€>I)€>B
«оычутативны* . ч
Сакиетряческой моновдальной категорией называется мономдадыиш
кмегория ^А с естественным изоморфизмом
CrVSA<d8 **** ' ^ ■
ДОвлетворяютим равенству сл&. с^. ж Ы> и условию немцу*
т**лвности следующей диаграммы:
сл*в)вс—*—► с&о&ь) —2^—^<cdA>ee .
Пара ( f./f ) называется & - функтором между в~ ка~
^°Ркями а,а' , если F. а.-* А' является функтором, а ?
^яется функторным изоморфизмом. .

т
Ач$уиктором (соответственно С - Функтором) называется ®-функ^ ^
*<>Р ( F>p )» Для которого имеет место коммутативная диаграмма $
, F4a6>G><S>C)) У » FA<S>F<&e') **** » f*<S<FA#FC) v С
F<«4 ^ - |«rf (1.4)?
F«A.<S>e)#C) *L» F<A<S>6)<S>FC Г^^> «V*<8>?6)#FC 4\у
(соотз. коммутативная диаграмма .
Р6А<8>&)_£ ^FA«>F& . -?
FC*H ^ 4 о'.* - (1.5) "
РСВФА* -£_^F&£FA). Д /;
® - функтор (FjF ) называется U- функтором, если существует >;"
изоморфизм F: FI „х' » удовлетворяющий двум условиям комму- I
^ативности: \ '§'''' ;V'^^f~-
x'AFA *L*FA FAfcl'—1—.PA 'Г ;:$;
FX^FA^L Ftt*AV, PAt&FX _E^F(A*I),. ; V ^
.Заметим» что из коммутативности диаграмм (1.2),: 4I«4)»/(t,e)V|
следует коммутативность (1,60 • <£>- морфизмом * * F~Mr ^ ;^
из ®- функтора Я « (Р,? ) в ®- iffcmttp ЧЗг* (Ф*^ 1*!
называется естественное преобразование <*: F—»<& , для «от<зК \
рого имеет место коммутативная диаграмма ; . С /
F<A^ft)-i^FA<»Fd V«i?^: ,
,е(Афв> *-£~* eA<8№8 . дг , . '.;>?;(":;::>-
Pfc - категорией называется симметрическая монйидадьная
категория, в которой всякий морфием является изоморфизмом и всякий
объект имеет обратный, - :--'V -\^Vf;V^c
Введем теюрь определение/ Ann- йатегории. ^r^'i^ff'^!
Оцределение 1Л/ ;Аш> категория состоит иа« -^Й^Г
( i ) группоида А вместе с двумя бифункторами, ©,<?>? £*Д-?^&-JiV
(<* ) ввделенного объекта 0€Д вместе е toRЮ«opя!Шщ^яao^'^^K,
морфиэмамя* в?, «-J J> d , превращающим* систему ( А Д6Ы?^*£,
*j(0,g>*l)) в .Re-категорию^ ;' U Лг.ч
(444) ввделенного объекта I £ А вместе с функториымн кзомор^- '
фиямами л,£#ъ , превращающими систему СА>Ф**ь> (*>*А)) ч;^
в моноцдальцую категорию ( *v ) фуккторных изоморфизмов '*,/_/■:\Л■*•:'.
^»Л'Л'Х АФ <ВФС) -^-> <АС9С) Ф <Аф9>, ""' -
)Хя \$с - саф6)фс —> (Авс)е <в*>с>, • :; ;
163 ''*::-''•

которые удовлетворяет следующим условиям. _, .^
( 4дах~ I) для каадого объекта А<£Д пары (lf\ 1^), (*А,ЯА),.
являются АС - функторами относительно ®
(.Ann- 2) для любых объектов А^х^у^ А следующие
диаграммы коммутативны:
A(B(X®Y)) *Л®* А(ВХаВЗГ) * » А(ВХ)@ A(BY)
a i 4 ft®e (1-в)
(AB)(X©Y) £ ь-*. (AB)Z©(AB)Yt
(ХФ«(АВ) *L ► Х(АВ)ф«АВ)
а | J a©a (1.8')
((ХФУ)А)В ,*Ц»Ч (XA©YA)B ^ > (ХА)Вф(УА)В ,
AC(X®Y)B) ***% ,A(2B©YB) •&!*. A(XB)©A(YB)
a J, 4а&* <1*9>
(A(X©Y))B 2£<Ё11 САХфАУ)В *Ч.> (АХ)Вф(А*)В,
(A©B)X©(A©B)Y Д.(А©В)(Х©У) ^А(ХеУ)ФВСХфУ)
(AX©BX)©(AY©BY) :—___! > (АГ©АУ)ф(ВХ©В«,
где v ss ^д,2,Ф * (*»▼)<© (2@Т) _ (и©2)ф(7фф) является
единственным морфизмом, который существует в { А >® ) в силу
(Ann. 3) для единичного объекта X £ Д следующие диаграммы
коммутативны:
. 1(х®у) * „ххоху , (xev)x-*-*кхфух.
• Ann - категория А, называется регулярной» если изморфиэм ком*
мутативности удовлетворяет условию сх ^^ 2А&' А*°^оъ^ * €А.
Из системы аксиом сразу вытекают следующие замечания.
I. В, определении Aim- категории достаточно требуется» чтобы
1^" и RA были А - функторами.
2* В Ann- категории, в которой существует более одного морфиэ-
ыа, объект I не изоморфен объекту (К
Ниже излагаются основные свойстве тензорного прЗжЗйедвнил
ч

для нулевого объекта. ~^1|Ш
с:
Предложение 1.2. (I) В to»- категории А, для каждого А^аФ^
существуют единственные изоморфизмы ^: АФО—*0 , :^|"
«Л: С®А —► о *aiaiet что tf\ R* являются iKSl - fei«fbpej^;:^
для сложения Ф .:>;;
( it ) Изоморфизмы I?, RA имеют следующие свойства:
а)4 семейства < 1^), А £ А (соответственно (RA) 1 является , J
функторным ©- морфиэмом из (R°/r0) f соответственно С^&Л]
в функтор (д^А^О^з?^)^ значит, следующие диаграммы ю^;
мутативнк: V
АО W*», 6Q < ОА *£±+ОЬ
б) для всяких XjV £А следующие диаграммы коммутативны:
Х(УО> iA*>LyXO Х(ОУ) Л *СХО)У
.r:S" *
<ху)о «-** о хо JL* о «*у оу
4> t*«e ', а?*чь
. ^^
'•&;:
§2. Первые инварианты Ann-категории '
Цусть А - Ann-категория.
тогда множество П0(А) классов изоморфных объектов из Д являй
ется кольцом относительна операций +-, * -#, юдацироваюоа'ояв^ ^ л
рациями Ф Г® на«£* иножество ПД(А) является абеяевой '^К% %
группой, в которой композиция тоже обозначается +/•'; ; Л §С:; j
Теперь мы построим действия кольца П0(А) на абелёву^ Р^яцуj^
П^(А) так, чтобы Т\(&) стала : Лв(д)-бимодул^м/--'"Г \;^v;
Теорема 2.1, Левое и правое действия кольца П0СА) .на л J;.^?
абелеву группу П5С£1 • определенные соотношениями-^."/;Д:>|^
превращают П£(А) в П0СА)- бимодуль, где ' Ъ^*%% ~?^Щ> \
отображения* заданные следующими коммутативными диаграммами*\<&-0l**yi
хо ■*<*>*> хо ^ох t^ii. ох - *--< ■. '*:?$£ - Чгi
'4

•> Доказательство приведено » (12j*
Определение 2.2. Цусть Д§ &' - ten-категории._
/ion- функтором из"А в Д' называется тройка О*,^,?) такая;
1 до пара £F/S) является АС - функтором для ф , пара
(ffi) является А - функтором для ® . a F,7
одновременно удовлетворяют коммутативным диаграммам; -
Р<Х(*Ф2)) —Н-*. F)C.F<yax> **»*, » FXCF*$FX>
р(Х V«XZ) —£-*> P6<V)eF0«) F*T > FX-РУ в FX.FZ ,
F<c*a:/)z) -JL* F(xey).pz Ji&idL* <F*apv)Fz.
F(xzeyz) JL* P0<z)e F{«) £22-* Px.Fie fy.rz ,
Тройка Cp^p) называется ten- эквивалентностью, если
tr - эквивалентность. Назовем Ы: P-+G Ann - морфиэмом,
если « одновременно является Ф - морфизмом и ® -' мор-
физжш.
Композиция двух Аап- функторов является Ann- функтором.
Считая Л&6&) кольцом с нулевым умножением, можно доказать
следующее утверждение.
Теорема 2.3. Цусть .A, a' - ten- категории. Тогда каждый
, Ахш- функтор , (F,?/£): А _* А? индуцирует пару кольцевик
гомоморфизмов.
WA> ^^(&'> , еЬХн-*cfcFX,
УДОВЛетворЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ f^<SU> a l*C5>fi(«) , ft (ttb) » F^Ci*> ?,><*>,
Кроме того, F является Ann- эквивалентностью тогда
* только тогда, когда f*01 FA - изоморфизмы.
Ташш образом, Ц><£) и 1\С А> являются двумя инвариантами
ton- категории. ~ - .
* 3. - ten - категории типа (. R, М) - и редуцированные
Ann- категории
^Лакированная ten- категория строится для определения
fc*bero инварианта.
Цусть ft. _ кольцо с единицей Лфо f М _ Я- бимодуль.

Рассмотрим категорию 19 объекты которой - элементы кольца R
и все морфкзмы - автоморфизмы» а именно, для х€ R
положим "
Композиция морфнзмоь в ,1 определятся сложением а И. Две операции
на Д. определяются следующем обрарои:
лФч * *-i*\f (сумма в кольце К .)»
жвчгг ?c<j." (произведение в кольце R ),
(*>«)«>($> v) = (5c^,xv+u^.) -.
Единичные изоморфизмы являются строгими в том смысле» что
Imte t%*i4tQmidj<im<4 . Изоморфизмы с,«?,л.,£,Л. .
являются функциями tj:***—»m » Х*>*>? *R*R*&^-*M>
,которые должны удовлетворять следующим соотношениям, вытекающим
из определения • Дш>- категории:
3. КодЬ^едоТ* ^x,y)t V)(x+y,j)-5Cx4b!)CV'3)r0'
4. ^(x,y)+5(y,x)=e. V
5. X5^j)-5(^'»x^)= X<x,y,^-X(^,v/). ' f \
6. . у(*>ч)у-У*}>чь)* 5<*ЗД- 5^,x, j.);
+ $ (xyttyxti**} - ^(xj,y5,x4-) _.
172

14. *&*$~*(х>ъ$ш«(х,ь1)жЬ.:
16. ^Co^p^^jc^o^jsrcKCx^o) *o/
Всякий набор функций Са\9,Ч>**$) задает на J, структур
• #lim- категории, если выполнены указанные выше условия. Такие
Aim- категории называются \ Ann - категориями типа С ft,/*) .
, Если функция *) дополнительно удовлетворяет условно регулярно-Ч
сад у(х>>*с)гйО, то набор <5>*ь**'~*'*^ является Э*-*
коциклом кольца Я с коэффициентами в R- бимодуле II
в смысле Маклейна-Шуклы (см.теорему 4Л). В частности, если воай
нем \sUf'Xs:U1 ^шЫ , то тогда подучим, что ^-«а, и
* Ос, у»И*)* *<*»* }> •* ^О?**) /
Эти соотношения показывает, что ос ^ является Ь-
коциклом нормалиэованности : Я - алгебры R. с коэффициентами в
R- бимодуле М в смысле Хохшильда {31 .
Каждое кольцо Я с единицей ± ф о можно считать Ann*
категорией типа (Я,о)ч , ~
Теорема 3.1. Для каждой А»* - категории Д можем построить *
Ann - категорию типа. С%(&)>Ъ±СА)) , которая Ann >
эквивалентна .Ann - категории^. (Такая Attn - категория
называется редуцированной ~
, А*п - категорией А). ,!•,..*. . .
Доказательство приведено в f 12}
173
1

ш
§ 4. Когомология ассоциативных алгебр и теорема
Основной результат этого параграфа - теорема классификации —\>
показывает, что третий-инвариант Ann- категории является эле- \
ментом когомологической группы" Н*(Я,М) некоторого кольца к, _■
с коэффициентами в R.'- бимодуле М в смысле Маклейка-Шуклы
Г?*131 . Из этой теоремы следует, что Aim -категория^А
полностью определяется тремя инвариантами: кольцом n^CAlj П*(Д1 .\
-бимодулйм nj.(£} и некоторым элементом {£ Н3(по{а)>п4(а)^ ,
Когомология Шуклы алгебры Л с коэффициентами в Л-бимоду-*.
ле М совпадает с когомологиёй кольца R Маклейна при ArRv
причем Д. рассматривается как Z- алгебра. Напомним, что
п^о 2: "
где Ц-градуированная дифференциальная 2Г -алгебра, которая
одновременно является свободной резольвентой над Z для R->' ,: -
Дифференциал £ на градуированном з?- модуле 2 Ною ( U* й)ч £;
определен соотношением Sf = ^+fy , где '-:;.;, <\
' . (см../{12,^А^1Л
Чтобы применить когомологки Маклейна-Шуклы для классификации,^
регулярных кап -категорий, мы строим свободную резольвенту "кйл^-ЯГ;
ца R » рассматриваемого как 2 - алгебра, отличающуюся от]\ ^;
резольвент маклейна и Щуклы. Сначала рассмотрим комплекс абелевых|;
групп - ^ _ _' *-" *-',-,. ._ . Ч:*7^?ч**й'!-3?
°—- **-^ *3^-Ч^ ati^BejL a-^^jlpp^:
• . ■ '-- '''.'•v'i.v'4':-'^?Hi'" 1
( 2(RW) > v * I, 2, 3, 4, обозначает еврбодную абелеву- .'^/С^

группу, порожденную множеством R.* ). В этом комплексе морфнз-
мы определяются следующим образом:
^Гх^З^ГуЗ-Сх+уЗ+ГхЗ,
d*&9rf^== fy,j3~tx+y,j3+rx,y+tf -Гх,уЗ,
ЦгСх^уЗ ss Сх,уЗ -Гу,хЗ, ^
+Г*л^3^
^fo*frj3»fey/j3-r*j.y3 + r^^^^
<d3 Сх,у J a ( х^З+Су>хЗ,
JaTx3 а Сх,х1,
J^e * - каноническое вложение.
Кроме этого, можно определить ассоциативное умножение в 8 »
- 2 В: так, чтобы & - стало градуированной
дифференциальной алгеброй над Ж (см, f 123 ). 3 - коцепь -р
является элементом прямой суммы
нош (бг,м> е Нот^е^е^м)® Нотг(&0в>в1>м)а
Отсюда вытекает, что «f определяется набором отображений;
Аналогично 2 -коцепь является парой отображений Cf*>>>)
175

'rm
'' Иэ'форцулы для дифференциала о* и соотношений из § 3 для регу^ Щ
лярной Ann,•категории типа СЯ,м) вытекает следующая теорема» rV\*|
Теорема 4.1. 3 - коцепь f=r <t»p/ec>^>J,> кольца R. ci5t
коэффициентами в R-бимодуле М является 3-коциклом тогда 1-С
и толысо тогда, когда семейство С $, у} *, -А^ ) задает стру*. \
lypy Ann-категории типа (R,M) .
• ч Определение 4.2. Пусть R. - кольцо с единицей, U - R-бимо- '.Vv
дуль, который рассматривается как кольцо с нз'левым умножением.-'\'j,fy
Говорят, что Ann -категория^ имеет склеивание типа <R,M) ,. Л^
если существует пара кольцевых изоморфизмов 6s(^,^), =; ^ '^'
совмещаемых с действиями бимодулей, т;е. ^
Где s^ft , vi€M» ' , - .;'л. г».;\ч
Иорфизм между двумя Ann -категориями _А, Jl , одновременно <;V^;X|.
имеющих склеивание типа Ся,м) , является Ann-функтором V!v\
(FyFj'p )"*~А. —^ /\' таким, что следующие диаг;аммы коммукатюк^
яы; ' - * '•..'■--.S :/А'1>^:
HJA) _6^^ П6( А') ; р4СА) ^- > П^) ;ШЙ|
где F0) f^ - кольцевые гомоморфизмы, индуцированные из CF> ?,£/•*;
Из определения сразу следует, что F является эквивалентностью; :/}$
Ann -категории А, А называются конгруэнтными, если между ни-;'*$:.:
ми существует морфизм (^,1?/?) . . ;.А^'
Из теории 4.1 и из вычисления" Н*<£>М> следует оеяовная ' ;-
теорема. ^ . '* 'л :'>V'-* ЛС.\'
Теорема 4.3. Существует^ биективное отображение между совояувк,";
ностью классов конгруэнтности регулярных Ann -категорий; имев-';>:/
щих склеивание типа (А/М), и когомологической группой *Р(%>**Х}:;
кольца R , с коэффициентами в R-бимодуле М. . ч{ГЙ
§ 5. Ann-функторы и низкие размерности когомологии -Л/ \ Ji
колец' , ; ' /&
В этом параграфе излагается задача о существовании Апп-функ_*
тора между двумя Ann -категориями и оценивается число решений * ^
этой задачи. Поскольку каждая Ann-категория Ann -эквйва- .--
лентна Ann-категории типа (Я,м) , , достаточно-рассмотрвт^щ
T7fr

эту задачу для класса Ana-категорий типа (&,му
Если "{«О,1),*, *>0 3 - коцикл в ЗГ3(Л,м},.
.то структура С^^сс, -Д, {) Ann-категории Jfc,M)
обозначается символом £ . Далее, если F« (f,F,f) *'
(&>м, .f)-* (R'/M1, jf/ ) - Ar»r\-функтор, то функтор
является парой кольцевых гомоморфизмов - CFolf:1') , совместимых с
действиями бимодулей. Поэтому иногда обозначаем Р как CF0>Pd)
М^ можно превратить в R-бимодуль с помощью гомоморфизма г0 :
Так как f€Z*(*,M) , f'€z4*',M') • ' -T0 F
индуцирует каноническим образом 3 - коциклы
f**f* £ Z5CR>MO, .
Например, ^**Я~* <*<W})»
Изоморфизмы Р, F являются отображениями Rxfc—?W
jva (x>v) = -Ц^ : FCx+v,) —* Fx+ Fj , .
Эти отображения,по определению,удовлетворяют диаграммам»(1.4),
(1,5), (2.2), (2.2'). С другой стороны, во fl2, 131 , дара
(ju,v) . является 2 - коцепью когомологии колец.-Из вычисления
группы H5CR,M) (cm. f 13 1 ) вытекает, что
Теорема 5Л. Цусть .X=*C*>™->f} > Г'жСл'м'Д')-
регулярные Ann-категории и Fs^tFi):j^—* I*-
функтор, удовлетворяющий условиям (4.1). Тогда F является ,
Ann-функтором в том и только том случае, ко где.
^ifrff)— W*(f') sxo * Н*(Я,М*) . (В'этом случае говорят,
что Ann-функтор (*&,*&) индуцирован фумктором F )•
Доказательство. Если ( F,^?*) Ann-функтор с Рам/р'ялг/
то соотношение (5.1) дает равенство " ^
H*ff)-H*(fOaO.
Обратно, равенство H^(f)_ H^Cf7) =.- о показывает, что
^-f,,r~ Гл где £s:(ju;v) - 2 - коцепь. Полагая,
^ .177.

:щ
F sa {* > *F =r v, получаем, no определению, A vw -функтор if*3*j£}\; Я
Определение 5.2. .Алn-функтор P:(ft%M,f) >(я',м',{-') .*:4?n
называется» регулярным, если F удовлетворяет уелозию .f^sa^*^
В случае, если существует Д»п -функтор^регулярный Р ^ имеем ?Г
следующую теорему.
Теорема 5.3. (1) Существует биективное отображение между coat
купностью клаосоз конгруэнтности регулярных Arm--функторов, / ,
индуцированных парой CF0>?a) • и когомологической группой " i
H?*ta,M) кольца R , с коэффициентами з &-бимодуле if.
( i'O Если Ft (R,M,f ) ^ (R'tM1,^1 ) Ann н&уадтор,?,
то существует биекгизное отображение 5
AuKF) » Х*С«>>™'> *
между группой автоморфизмов Avwv-функтора F и грушюй ZtyljH) -.
Доказательство. ' ~\
{ v) Пусть (F,Tf?1p ): (R>M,f) *. («.'.м',*') регулярный Д
Я fwt-функтор. Тогда . •_/•*
где- .F «|«. ) Р = V # Значит, < p.,V> является 2 - коциклом.
Теперь пусть (бг^З): Cft>M>f) -^ (*>M'»f ) - другойу
регулярный Ann-функтор и *<.*Г-><& ■ - Ann-морфизм» /;^ :
Тогда» по определению, следующие ,диаграммы коммутативны: ;-.: "^'Х'-'!
•W J v 4 ***** -:^У-:М
<*(%+a) _JEL_^ <5г*+<5гч ^\"-" '?cJ;-S i
Fcxy) —2—~ Fxf> ' /-,,: :V:*:SM
с*<ху) —5—» g*g^ / -> /:" ^ 4#£-
где ?зд€# . По определению, ''/•*' 'f|^:3
178 . ^fl

/Тйк как д»~ < Ъ F /' ; 3-,=s <6^ ' являются 2 - коцихт
яами и <* является I - коцепью, то по вычислению И (Я,М) :
[121 % имеем .
^'-^ r= £<* . (5^2)
равенство, (5.2) показывает существование отображения, кото-^
рое сопоставляет классу регулярного Апр -функтора cl$(F,F,P) -
когомологический, класс ^e^RjMf) , где ^~<1f/f>.
Далее, это отображение является инъективным. Теперь показываем,
ето онл является сюрпьективным. Действительно, грусть ^=</UL>^>>
есть любой ,2 - коцикл. Тогда можно непосредственно проверить,
что CP/f^i^) чвляется регулярным Аш-функтором из (R,,M,f)
в (Я',М,f') , соответствующим 2 -коциклу д..
(U) Пусть F=(F,/*,v): <R>M,f) * (R'jMVf'b
*** -функтор и рС€ Aiti(F) ' . Тогда равенство*(5.2)
превращается в S(o()zzp . Значив» rt€Z4ft.M')^«
41 ~ - • ' ' *
■ § 6. Переход связи Ana -категории^ к тождествам
\: Теорема 3.1 показывает, что каждая Аза»-категория
v А « (A >®}®><Z)b>(o,$A) >«>,<±А*>)>!С,К) ,
Ann- эквивалентна Ann-категории, в которой <^л£* ^cisUdj
lat^-lsMd . .Этот результат можно усилить.
Теорема 6.1. Каждая Ann -^категория А »**» --эквивалентна
почти строгой - Апп*-категории, т.е. Ann-категории, в
которой все связи, кроме связей коммутативности и левой дистрибутив*
ности, явлются , единичными.
; Дал доказательства прежде всего строим почти строгую Апп-нр*
*егЬрию £(£) -S [ 12) показано, чтс каждая Ann
^категория Ann-зйвивалентна : Anrv-категории, в которой <4#>е1-
Тождественные, морфизмн. Следовательно, можно считать, что в Ann-
-категории А «*=V<i/><£-.*<£, , ct^^ .
Определение в.2. М-функтор , (F,P,F): А-*Д состоит hs^
АС-функтора CP,f)- (см.§1) для @Г и изоморфизма f,
- ' V Л « : рСА#х) r> ОДвХ ?
я которого коммутативны диаграммы;
,. '--л • 179 * ■

Г»С*(&СУ> ! £_ * FA.(ec)
f(Cab-)с-) -р » f(a»).c Z*ii(РА.в).с. ■':'■:-Я'ф
и выполнены следующие условия: ( t ) семейство <>>х)ж явлц- ?
ется ©-морфиэмом из FoLA в lPa ♦ ( *С ) семейство --../'j:-*
^ х,*'* является, ®- морфиэмом из F.R в ЛрфЛЯ
Ц -» морфиэмом ив С?/?,?) в (<аг,2г,£) называется wr
ф - морфием cj> t р -^ б- . . , для которого коммутативны диаг-£
раимн • - ,- ^ ^ ' • - , . ( -.-,-: .Л^'"
f(Ag>X) * » FA&X ч'"' ^"Ч"
<ЗгСА€>Х> —к > бгАфх .
' % Ж
Например, (l^, i/,l*) является М-функтором, где х - ;П\г:
я каждый морфием и,: а —» & в .А. индуцирован М-морфизмом
Множество всего М-функторов Ann «категории А, вместе с множе-^
стаом всех Аморфизмов» обраэубт'категорию» обозначаемую € (^)л ;
Нетрудно проверить справедливость следующего утверждения гдЦ^Г
Предложение 6.3. £(А) является Ф-категорией с операцией/- 1
определенной соотношениями; 'ГЛЙЬ
... x,v *•*•* x>v'* ,-;;^'^;^ •
* <<r©v)x = ч^фчч • ' .4.;.;;;Vstft^
Предложение в.4. Категория e(A) являетоя AU- ctjxh jt д|г/
p£c - категорией, в которой: w v ' ' С ^;S-
( <• ) ЦулевоР объект o*x*(6>&,&) задается '. *;"'ч1"л^'•
соотношениями ' "/'-Г''-'; . ^ -.'
( <* коммутативность с* задается соотношением ^AkH;* '«
■--; 180 ■
■ж*

Предложение 6«S« Е(Л^ является <8> «-категорией с операцией
Ф, определенной соотношениями;
Р*бг » F-<fr (КОМПОЗИЦИЙ),
Предложение В.6. Для операции g> категория ВСД) Являет*
сЯ ди _ строгой категорией» в которой единичным объектом
являемся тождественный функтор x*s»<d^«
Предложение 6.7. В(£) является почти строгой , An*
-категорией, в которой дистрибутивности задастся соотношениями;
ъе я' id,
ИЬпзрь докажем теорему 6.1.
# Рассматриваем функторы ф:А—*е(А1 . и Л:Е(А>-*л;
определенные следующим образом:
А: CF^P)—* PI»
йкеек функторные изоморфизмы:
Ч . -т / "v _' • . * .
Щ. tFCx)= Ff^)e(Fr>x) . Следовательно, Ф и Л являет-
е^эхвивалек?ностями, ' <
'^ее, мсяио.проверить, что </> является А*>*-эквивалент-
?тыо вместе с <fi и ^ , определенными сооткодениями .
'. <Ч" ' . . •' ' 181 '

Теорема доказана.
Теорема 6.7. Условие <^*ш ** » для всякого Х€ ©ЬД
(условие.регулярности) являются необходимым и достаточным для
jroro» чтобы Ami ^категория ^бьгоа Aim-эквивалентна Аяа**
категории, в которой вое связи, хроме левой дистрибутивности» _
(fiuut тождественными.
Доказательство. Действительно, если «^а*М* для всякого .
Х<еЬА> ТО c*aicl- '*'' '; ...
Обратно, пэ коммутативности диаграмм»
'&
Где ^ - An»-эквивалентность, следует ^С<:^х)*4<£ • Отсф*
Г ." ' 7 ДИВРАТУРА
I. Benabou J. Categories avec nultiplioation/'C.r.Aoad. 3oi,
: Paris. I963,V.25e, * 9JJI887-I890r
, 2. Bilenberg 8. and Kelly O.tt» Closed categories. Jroc*oonf.
categorical Algebra. Springer-Vert ag<> 196ЗД 421-562. — ;^
3. Hochschild 6. On the oohomology theory for associative \M
algehrss^ Ann. of Math*V*47.A568-579,
< 4, Hoehnke H.J. On partial algebras. Collegia Math. Sooi.-':
;. JanosBolyai. 1977.V.29.P.373-412, /\/ -f*
5. Kelly G.MV (hi MacLanes conditions for coherence of natural-/^
associativities, coramuiatiyitiee, etc/' J. Algebra• t9tojtf;"\
1. N°4;ft 397-402. - . • "' . •;. -':i .ч'Ду?.
6» Lapleza K.I». Coherence for distributivity^ Sieot. tfotes. . .;
Math. 1972.V,281.ft 29-65. * f ... .;i
7* MacLane S. Homologie dee anneaux et des modules* Collogue -,
de Topologie algebrique. Louvainf1956Л>55-8$. ,4:4--
8. MacLane 3. Natural associativity and commutativity// Ri?* 'W
University Studies. 1963.V.49. Н03Л2В-46. / rfi
91 Mo/KAen>-v o. TTp«AAontcrvue -ксстегор.пои алле£рм// Vc*tex^<^j^
таг у
:«;'*■

four. Wjtu 1965X40. Н°4£1в9-75.
10» Uitchell В*-low dimensional group oohomology and mqnoldal
structural Amer. J. Math. .1983.V.105AW49-1066\ .
11.. Quang H.?.'Coherence In Ann-categories/' Фар chi 'Joan hob.
Ha: >i, 1988. №*Л17-2б.
12. Quang K,T. Ann-categories. Oheea» Hanoi, 1988*.
13. Shukla U. Cohomologie das algebras associatives. These.
Paris, 1960. . ^ ' ' ^ \
14. Sinn H.X. Or-cate'gories. Oheee. Paris, 1975. -
15. Soltal A. Group dans urie categorie// C.R.Aoad. Soi.1972.V.
275. *°3.P. 155-158.
16. Ulbrioh K.H. Koharenz un kategorlen mit Gruppen8truktur//
J. Algebra. 1981.V.72. Н°£.Й279-295*
1B3
^

ОБ ОПРВДШВШИ БПСЛ1Е РАЗШШХ АБЕЛШХ
ГРУПП ЫЗ КРУЧШИЬ ГРУППАМИ ПШХР^ИЗМС©
Е«Г.Пахсмова
Группы гомоморфизмов абелевых групп обладает многими замена*
тельными свойствами и могут быть использованы при решении
различных задач теории абелевых групп (.модуле*). Л.*уксом в книге
til сформулирован ряд проблем» связанных с группами
гомоморфизмов. В настоящее работе рассматривается следующая проблемаг су-,
щвствует ли множество X абелевых групп X таких, что для \\
л*бых абелевых групп А и 8 из условия Нот(А,Х)«Нот(В,Х)
для л*бои X* X вытекает, что А ^ 6 (^проблема 34) • Ъ '
таком виде она имеет отрицательное решение [33 • Однако если
ограничиваться некоторым специальным классом групп А и Ji ,,
то подобная задача гожет иметь положительное решение, Так,:дд4 '
лК>о^ вполне разложимо** ебелёвоь группы без кручения А , ко- :
нечного ранга существует такая вполне разложимая группа без
кручения С , что .из Нот (А,С)^ Нот (В., С) и «Чрт(А,А)» >
^6Нот(В>8) следует А« В для всякой вполне раэло-
иимои группа без кручения Ь ; А =В следует также. ,из
rl0m(A,C)»Hom(B,C) мя л*бои группы без кручения f;Ч ;
ранга i L41 .Ограничение на ренг группы А" существенно. Оч
В настоящее работе задаче фукса рассматривается для вполне/
разложимых почти делимых групп без кручения конечного.ранга.- ;•"
^ля этого класса групп искомая группа X существует. -Далее <.'-*<"
задача обобщается в нескольких направлениях. Вр-первых/ поквг: '
зано, что для изоморфизма вполне разложимых абелевых^ групп без ,
кручения конечного ранга А и В достаточно требовать ревен-:,.
ства ренгов групп Йст(А,Х) и Нот(в,)0 или равенства
*84 ■* ~*

их Р - рангов для всех простых р ( где группа X, пробегав*,
гсе множество X прямых слагаемых ранге I групп А и В )•
jjo-вторых, рассматривается двойственная ситуация, когда X в
. группе гомоморфизмов стоит на первом месте. В этом случае для
изоморфизма групп А и В также достаточно требовать равен-'
ства рангов С. р - рангов для всех простых р } указонних групп
гомоморфизмов.
Договоримся обозначать через t(G) ранг группы G , хД£) ->
; р - ранг группы G (где р - простое число), IP - множество
. всех простых чисел и t(G) - тип группы G . Все группы,
рассматриваемые в работе,- абелевы без кручения.
^ • - - , $1. Случай вполне разложимых почуй делимых
групп конечного ранга ' .
Пусть А - абелеве группа без. кручения конечного ранга» >/
Группу А будем называть почти делимок, если К -
редуцированная и рА -ф А лишь для конечного числе простых f> •; [
Для почти делймок группы рангЪ х это означает* что ее тип cor
стоит только из'нулем и символов , оо (причем нуле* конечное
/ число) < Используя это и тот ^акт», что tjfHomCAjBD^lKBJ-HA)
(если Не?т(А,8)^ 0 и 4(A)-^(8) -1 ), легко показать
.справедливость следующего утеерзадения»
; • ШЩ i.i« Пусть А/ и .6 - абелевы группы безкручения
.ранга 1ж Ист (А, 8)* О .
■ 1) Если 8; -, почти делимая* то How(A»B} ^ В «.
2) Ьсли А - почти делимая, то 6 - почти делимая к
- Нот(А^8} = 8.;• . - ;. '•/■
Из определения почти делимости очевидном обрезом получается
V и* дру го>*.результат.
V jiLi&iA i.e., Пусть1 А - абедево группа без кручения конечного
ранга, А ■*» "^ФА€ » Группа А - почти делимая тогда и только
/тогда, когда каждая А;/-группа почти делимая;
Следующая, теорема показывает, что в классе «полке разлг,яэ»мых
1 почти делимых групп без кручения конечного ранга проблем, по-
; ставленная 4^ксо.м, решается положительно. .
".;-"*, ТЮРЬМА ПЗ* Пусть А и 8 - вполне разлож1^ые ебелевы
.группы без кр$чейкя конечного ранга, А - печти делимея группа.
Ьсли Нот(ЛАФВ^Ф1)^Нот(В,Ае8ф(Ц> ^то А » В •
18&

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что
«**Ййп<8,АФв) . Пусть *t(A)~n \ t(8)rm .'Запювем группу 8 .
£ виде К(8) eV(B) , где RCB) - редуцированная масть груп-
№'В , a V'(B) - ее делимая часть» Тоща т— $ + t , хде
к> t(/?(B» и £-*(V(B)) .Ада групп- №m(A,A*B*CL).~ я'1
Нот (8^ А ©8$©) : верны следующие изоморфизмы:
Hom(A,A*6®©) ^Hcm(A,A)eHcw(A,R(e))<& ^Ф €1 , ,
ifcft Hom(A^A)«H6m(A9R(6)) - редуцированная часть группы
H«?rn(A, A«B®Q) . а 2£,ф <Ct - ее делимая честь; и
Нот (В, А«8 ® Q) в* Нот(К(В),А) <* Нот (ОД, V(B>) в
•Horn(V(eXV(B))e Ноет(8,©) — НапШВ).А) * Ham(«BMttB)) *
е H^ifm ft • «*• Нргп(ЯШЛА)«Нотамв».Ма>- редуциро- .'
ганнея часть группы Mam(B,A*Se Q ) . а Jfjk,*, ®- - ее
доимая часть* В силу изоморфизме групп Ноги (А, А« 8 •©) и
Ham(B,A«6«G) получаем: JS#CL — * JS^tCL . fa.
последнего изоморфизма следует равенства чисел
n (l*i) — t m + m ,
tt(l4) <-7»(t*i) . V
Так как l+{+ О , то из последнего равенства находим» что
Я ~» m , т.е. *(А)~ *(8) * Теперь из изоморфизмов
Hom(A,A«B*4*>» Ham (А.Лев) * Ж* & и
Нот(8,А«>В*©)»Н*т(в,А*в) * 31)*.& получаем.
wHcw(M«B)»Hom<e>A«B) .
Покажем» что В" - почти делимая группа. Рассмотрим группу
Hwn(A,A*8) . Hom(A,A^B)»Ham(A.A) *Нот<А,В) •, ^
Из пункта 1 леммы 1.« к леммы а.<: имеем: Иош(А,А),аь Щ А;_;~
почти делимая группа, гае З^ - некоторое конечное индексное
множество и А; - прямые слагаемые ранга I группы А .Из
Пункта Z леммы 1.x. имеем:' Нош (А, В) *■* 2£1 в 8$ , где
Ух -некоторое конечное индексное множество» Bj - пря-
{ше слагаемые ранга л группы 8 , причем Bj - почти
делимые для всех j"€ Д . Отсюда получаем, что Нот (А,В) -
почти делимая группа. Следовательно, и группа Нот (А, А* В)
является почти делимой. Ьре< половик теперь, что В не
является почти делимой группой. Тогда В можно представить в виде
8* • в* • г*е В| • - почти делимая группа и В* -не
почти делимая. Рассмотрим группу Ного(8,А«в) . Используя ^
двойства групп гомоморфизмов, мы можем записать Нот(8,А*В)^ -
.^С-* HamlB*,^) , где G - некоторая.группа. Так - ^
13в

$сак Нот(В4Д)^0 и НотСв*^) не является почти делимой
группой, то-и. Нст(8,А©В) почти делимой не является. Но это
противоречит условие Нот(А*А*В)~Шт(&,№Ъ) (тек как
Нот(А,Ае8) является почти делимой группок).* Следовательно,
в* *■» п и 8 ■ - почти делимая группа.
Перейдем теперь к доказательству того, что А„^* В • Пусть
Аг ^аА; , i(h)=i <i-lfr) и В-Ж*В, .
t(&ii~i (j- i9n) -Среди групп Aj;..MAll,ei>...fen.
выберем группу, тип которой минимален. Пусть для
определенности это будет группа А1 • Затем среди групп Ах,..., Ан
выберем все группы, изоморфные кх . Пусть для определенности ,
это будут группы Ajf..., Ак . Рассмотрим Нот ( А, А © В) *
и Нот(8, А Ф8) . Для этих групп верны следующие
изоморфизмы: Иот(А,АеВ)~А1Ф...фАкФ t^eA; ф Щ* В* ,
где Зх и /t - некоторые индексные множества; и
Hom(B,A*B)« <&* Аг Ф ffi? В* ' гле 7»ИЛТ
некоторые индексные* множества. Прич*ем заметим, что для всякого
i с 3S ' существует j такой, что f(fij) < т(А^) . В силу
изоморфизма групп НотСА^^В) и Нот(В*А®6) можно
утверждать следу»чцее. Для лк5ого т*£Я либо существует
J-* ^ такое, что Am^8jm # либо существует $*,€ Э3
такое, что Ат ^з А8<|и • ^° Е?ором случае в силу замечания
получаем, что существует im такое, что £(8tJ* t(AsJ**r(Aw).
Учитывая минимальность типа r(Am) (fTI-i^) среди типов
г(/0,/..д(А^г(ВЛ>..-\ tr(8„) , получаем. что_г(8*J~ r(Aw) и
An^Bi*» • В итоге находим, что существуй группы Ь}„...,в±.
такие, что At« 8j4 ~ ...— Bjt , причем среди оставшихся
групп Bj нет изоморфных А4 •
Покажем, что s — к . Имеем: Hom(A,A^B) S6 i&*AL Ф
#^в,>С/~ 2^0 ©.С, , . где 0-А1-,.С«ЖГМ
ф^ф В] и среди групп А: O'ejJ. и Bjtje/J нет
изоуор^ных А, •Аналогично Mom(8,A^B) GbS:#Al • *F**8|4*
•й «• =йр • с ,. «. сТ^fа, • £> .
и среди групп А; (tfcysJ и В* lj*ff) He* изоморфных D
В силу изоморфизма
выводим fc что 2^*к О « в^.Д D и далее приходим к р?рен-
^тв^к 4wcej| k*+s-k -S'4* 3* и ч/с » S .
Зьривем'гр;»'«Ь: А и В *ек A$D* и • В Ф О'
соответственно, где £/- jL-*A. — ±?%т^ s:* D . дли г^пл
Нот(А>А^8> и Нав(Ё,А9В) имеем: Нот(А,АФВ)«
- Нот(А', А'« В7 <? Нет(A; 1>V D') е Нет ( D',- А » 6 ) ,
~ W7

HWb,A<bB) а Н(?т(в;А#Ф8/) ф Нот (В', D'<b D') ф
ф Нет ( D, А © В) . Учитывая» что среди прямых слагаемых
групп А' и В' нет групп,изоморфных О, и Hom(A\D*Q')^
t^ ^* D , Hcm(8',D'*D') — '^Ф0 .получаем
НотСА^АЬвО'^НстСВ^А'фВ') • Следовательно, наши рассуждения
можно повторить для групп А' и 8' • Получим, чтоА^А'фО*,
В'«В*«0*и Hom(A* А*©В^»Ногп(В'А'вв^) . Теперь пов*ск -
ряем рассуждения для групп Д'и'в' и т.д. В итоге, так кйк
ранг групп А и 8 конечен, наш процесс закончится и мы по#у* >
чим, что группы А и 6 состоят из изоморфных прямых
слагаемых и, следовательно, изоморфны. Теорема доказана. v : .
$.2. Определяемость групп А и В рангами У
и р- рангами групп гомоморфизмов % '
Пусть А и В - вполне разложимые абелевы группы без. кручен -
ния конечного ранге» Для этого, класса" групп известно, что изо- *.
-морфизм А^В следует из Нот(А,С) = Нот(В,С) Д**^>\
л~бо*. группы С без кручения ранга l L41 (ограничение на//" f-\
ранг группы А и 8 существенно С33 ).Сяе^ющие две теорёмг '
показыва«та что это условие можно ослабить» ~ * ^
ТЕОРШ 2.1» Пусть А и В - вполне разложимые абелевы.
группы без кручения конечного ранга, X ~ множество прямых '; f.
слагаемых ранга i групп А и В . Если t(Hom(A,X)) -г -•--
ж t(Hom(B,X)) для л^бол группы Хс X , то А«*ЕУ;
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, доказательство будем проводить индукцией по J',
рангу группы А . Пусть ^(А),яв4« Покажем, что в этом случае
♦ *(8) »1 • Предположим противное, пусть >t(B) *- 1С > 1 > />;
В —#Ф Si . Так как *(Hom(8,%))¥-0 <j» i,jO . /»'•:
из условия >t(Hom(A,B,0)— t(Ham<B,By)) ( j ~ 4,/с)' v\ У;
получаем, что - -: «
тса) * г<ад . сi- i,k) , . Ci) ^-\
•Кб;) и 1?(Bj) несравнимы,'если i^j. . (&) ^ ;
Так как х(Нот(А,А)) — 4 , то из условия *(H(?/V?(AfА))**V
*-* 4{H0m(£,A)) получаем, что существует номер, S ;твкс*»;
что r(8s) * Г (А) .Учитывая (i) , получаем, что Г (БД-!" ,
— Г (А) • Поэтому условие (J.) мож^о записать в виде
^t(8j) Cj-4,ic). Но -это противоречит.(£) . Следовательно; на-/
. з:е предположение неверно и *(В),в i .

Тек какv*(B)~i , тс имеем следующие равенства: *(Нст(А,А^**
«** *(Hom(B,A)) и *(Ноет(АДЮ)—а(Но*п(8,8)) .Отсюда
находим, что г (А) •— т(В) и А ^ 8" .
Пусть утверздение теоремы верно для л»*бо* группы A t ранг
которо^ не превосходит я-i (п>1 ) . Пусть х(А) «а f "'
Д« Se Д. . Пусть группа А, такая, что ее тип * (А,}
минимален среди типов е(АА)f ...,*( А „) - . -Еудек-для
определенности считать S— i . Группу А запишем в виде'Ад ФА',
где А'— *|еА: • Тек как *(Нап(АЛ) >i и *(Нст(АА))~„
^ t(Hom(BA)) = -Jg ^(НотСвдА^) .то существует *
номер $ такой, что «(КолКв^А*) ~ А . , Откуда получаем> .
что Hom(8SfAi)# О и f (8,) < Г (А*) . Для пгостоты будем
считать S —1 • Покажем, что At » 8* . Предположим, что
8х ^ 'А*. . ToiTia -г(бх) <*(Ю , Так как Hotn(A, ВЛ » \,
s£ Ht?m(A1>Bi) Ф Нот(А', 8,) — Hom(A', В,) ев силу "::
Hom(Ai,BiJ=-0 )", Нот(В,8д)^0 , то из условия г(Нот(АД$-
<* t(Hom(bt6t1) получаем, что существует группа А- {1+ L)
такая, что ' *(Hwn(Ai,Bj) ** О * Следовательно, Нот(Л;Д)*1>
Я И А:) * ir(8i) . Поскольку. г(8*) < t"(A±), то получаем,
«то £\(А;) < Т (А*) • Но.это противоречит предполсяеки*\о -
Минимальности типа f (А4) , Следовательно, наше предположение :
неверно я А, » В4 . ■ , ' ■
Учитывая, что Hom(A4>X)^s Цот(В|,Х) для л^ой
'X * X , из уолови* ^(Hom(A,X))~ a(Hom(B,X*))
получаем, что .^(Шт(Л\1^^^от{В1^ для лшбой XVX ,..-.
^де 0'** j§^-Bj- и /tCAO-^K-i • Следовательно, по индук«*
денсму л$*едположеии»/ А' ** &' • Таким образрм, получили,
что, А ^ В • "Теорема доказана.' -• . '
СЛЕДСТВИЕ Z>Zp Если А и В - вполне разложимые абелбвы
уруппн без кручения конечного ранга, *(H(miA,C))m*(Hom(B^) ;
Аля лк>см* группы б$з кручения С ранга 1, то, А ^>& . ..,-, **'
Пусть-'*G * произгодьная абелева группе• Под р - рангом
Чууппы G будем дадамат*" t(%b) • г*е р г простое «исло#л
: р - ранг группы, & будем обозначать через %?(G ) .
ТХОРШ * Д. Ву,с*ъ А . и *6 -вполне разложите
редуцированные, ебелевн грувды б«з кручени/i конечного ранга, X - vhOt
жестко прямых слагаемых ранга i групп: А и В • Если дл>.
любого простого о и лгооь группы ХсХ fy(Hoffl(A,X)) "•
:^MHom<j»';X})..,;. ', то А ^ В ; .
АОДМТЕДОВО. Доказательство будем проводить индукцией no

■Ш
рангу группы А . Пусть *(А)-1 • Покажем, что в этом случае vf
tCB/ —• 1 . Предиоложим,напротив, что *(&)~-к>1 , В-j|j®B. ^
Так хак' к(А)~ ± , то *(Нот(А,А$ **4 ~ и, следовательно/ <
^ДЫотСА^А)) ^ i для любого ре Р • По условие "А - Pf«?w-*?'
цированная группа, поэтому группа Нот(А,А) также редуцированная:"
и, следовательно, существует р€ Р ♦ для которого *ДН0п?(А;А))4
— 1^ . Так как по условие \(Нот(А,М) — *р(Нот(в,А)) — Г
,=— |g ^(Hom(8ifA)) , то существует номер S такоь, что ^(HftnOJyik
«• i .. Следовательно, существует такое Bs . что Нот(В$,А$*пг
и v(&9) * 'ИА) . Редуцированность группы 6 влечет, что для /1
любого j » i,K группа Hom(8,Bp ягляется редуцйрованнок. Зна-f
чит, для каждого j**lfК, существует хотя бы одно р.^Р та-"/
кое, что аРд.(Нш(8,8,))^ 0 . Но %^(Нт(Щ1}^^рДот{кЛ))<1
< £ , следовательно, ^(Нот(В,в^)}«лР|(Нот(А,Вр) ~;1/Д
Откуда получаем, что г(А)4т(В,0 (j«2jk) .Так как, кроме.?
того, f(8,) ^jp-(A) , то t(B3) ■• г.(А) , и поэтому r^)«tr<6^'
для всех j *4,к ♦ ^ ;'^
Известно, что если & - группа без кручения ранга it то с
Н.е(!&)ф 0 тогда и только тогда, когда р е &(G) '_, где ',{(
P(G) «■».{ р€ Р 1 pG ^G J ' . Учитывая далее ,~что дели v"
Hom(C,D)^0(^(Cb^(D)«l) , то t(Hom(C,D))-r(D)-r(e)^;
получаем, что из Hom(C,D) =£»(? следует P(Hom(C>D)),*"P(&).i
Принимая во внимание эти ^акты, находим, что для всякого J4*»V
Откуда *р(Нот(б,В;$> X \ для всякого j Ф& и,рб7Р(^}|;
Нр это противоречит ^(Нот(8,В,-)) — %,(Нот(А,В*)) : :»:-Ч^
скольку ^(Нргп(А,8р) < i. ,- PfP • Следовательно k&Sv
предположение неверно и 1(8)*-1 « . . л \ ^
-Так как
при всех рсР и Ht?m(A,A) , Нот(й;В);^
редуцированные группы, то Нот(Ь,В)Ф0 и Hom(B>A)i^P;. PWf;4
да получаем, что WA)»f (В) и А в& В • - \/ s х^
Пусть утверждение теоремы верно для лк>оъ группы A *^S,
ранг §оторо* не превосходит п-£ < fl>i ) . Пусть ^(A)^j£.
А~^ФА* . Выберем ipynny As , име^у*|*шимальщ!й Ш%,*;
среди типов ^(Ai),.,^ ir(An) ♦ Для определенности nycTb^S^i J
Группу А запишем в виде AL © А' , где А'~ jfj^ A- •;i^A>;
как HomCA^Ai) - редуцированная группа/ то существует'■'№%?.
со свойством* *р(Нот(АлАд * i * Так как Hom(B,Aj) ^^ e
^Нст(В,А) и ^(HwaA^^MH^mCB^!)) :-ч|г I
190

jo 4P(Hom(A,Aj .— ]5 чДНот(8;,А,)) > 1
.Поэтому'имеется номер s такок, что ^ДНситКВ^А^-ч** О , откуда получаем.
Нот{В$Д)*0 и. tr(8s) «t^b 1удем считать длв простоты, что
S * 4. • Покажем, что Л Ад» 8Л . Представим группу В в виде
В, ф В'\, где 8 — ^x^Bj . Предположим, что А, З^В, . Тогда
г(в1)<г(АЛ* Так как Hom(B, Bs) - редуцированная группа и
Нот(А*Д)-0 , то из '(ДНртСАЗл^-^СИотЧВ.В^) для
zcex рсР получаем, что наьдется группа А; ( i * 1) такая,
что ^(Нот(Аг,Вх)) ~~ I для определенного реР .
Следовательно» Нот (А.,8,)^». О- и t(A;)*r(8i) . Так кок гС&И
^ r(Ai) , то" получаем, что г<А;) < r(Aj) '. 2то противоречит.,
предположение о минимальности типа tt(AA) . Следовательно,
А,^ВА . -
Так как АХ^ВХ , то кз ^ДНот(лД))—тДНот(8,Х.))
и Hom(A1,X) » Hom<Bi,X) выродим, что <ДНот(А'Х|~
. =-*'сДНс>т(8,Х)) для л*боь. ХсХ ч ptP . Откуда,
поскольку *(A')«n-i , по индуктивно»}' предположение имеем А^В *
В итоге получаем Л^ 8 • Теорема доказана/ .
СЛЕДСТВИЕ 2.4. Пусть А к В --вполне разложимые
редуцированные абелевы группы.без кручения конечного ранге. Если
для любого рс Р и лгбоь группы С без кручения ранга ±
пРШот{А,С)) — *P(IWB,C)) , то А & В .
. Известно, что между группами Hc*r>lA,X) и Нот^Х.А)
в общем случае не существует связи. Следующие ^ве георёмы
показывает, что полученные в этом параграфе результаты остается
верными, если вместо групп Нот(А,Х) и Нот(ВэХ)
ОРвть группы Нот(Х,М и Ногп(Хэ,В) . " .
ТЕОРЕМА 2.Ь. Пусть Ал Ф - вполне разложимее сбеле£ы
tгруппы без; кручения конечного ранга, X - множество прямых
, слагаемых, ранга х групп А. * и 8 • Бел и п. (Н ОпН X, А)^ *»
:, тт. * (Цот(Х,В)) для ягбок группы Хс JC , тоА~В.
Локеэательство зток теоремы проводится индукциеь по рангу
' группы А аналогично доказательству теоремы 2*1, с тоь лишь
разницей, что группа Ai выбирается как группе с максимальным
^ппом.
• ■; ТЕОРЕМА 2.6. Пусть А' к в - вполне разложимые редуни-
^овенные абьлевы группы оез хрученияг конечною ранга, X -
Множество прямых слагаемых ранга J групп А* п В . Если . •
$яя любого простого р и лсбой группы X £ X , ^- -,
4>(H*m(XrA)) .— ^(НотОС.б)) , то А ^ В
' - 791 ' '

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
творены 2*3, но только А± выбираем так, чтобы ее тип был макси-
кал ькым среди множестве типов прямых слагеемых ранга х. группы
А ; и используем тот ^акт, что если f(C) ^ tr(0^ , то
P(D)s P(C) и, следовательно, если Нот(А,С)^0 ,
Hom(A,D)^0 и psP(D) , то *,(Hom(AfCJ) — .
«* *r(Hom(A,D)) (где *(A)~*(C)-*(DW ). ;
Airop выражает благодарность П.А.Крылову, под руководством
которого была выполнена ата работа. ,
Литература
1. Фукс Л. Бесконечные ебелевы группы* М.: Мир, 1974» T.i. 335 с.
2. *>укс Ju Бесконечные абелевы группы. М.: Мир» 1977. Т.2. 416 о.
3. Себельдин А*М. О группах гомоморфизмов абелевых групп без .
кручения//Группы и модули. Томск: И*д-во Щ, 1976. С. 7&-8$;
k* Власова Л*Й. Об определяемости групп группами гомоморфна- ..
мов//Бе«;ЛЬ МГУ. Матм *ех. 19г/6. ЬЗ* С. 52-55.
192

ЩИНМ- РР - ОДРДЦЕЖ^ЫХ Ш№1'Р^Ш1
Г.В.Пунинский
Ь работе рассматриваются решетки определимых с помощью .
Г позитивно-примитивных) формул подгрупп модулей над кольцом К.
Такая решетка всегда, будет модулярной о наименьшим и наибольшим
элементом. Накладывая условия дистрибутивности (линейности) на
эту решетку, получаем рр -дистрибутивные (линейные) модули.^РР-
' дистрибутивность, в отличие от обычной
дистрибутивности,-достаточно частое явление - так, в статье доказано, что любой модуль над
прюфероЕым кольцом рр -дистрибутивен .Кроме того» в работе
описаны кольца, все модули над которыми* рр-данейны, а также теории
рр -линейных модулей над дедекиндовымя областями. -Приведен ряд
вопросов, ответы на которые автору неизвестны.
Все основные понятия, используемые в работе, например рр-
формула, рр -подгруппа, элементарная эквивалентность, можно
найти, в fll. ' h '
Пусть М-точный правый Я -модулей г { ft . Положим г*
) и Я- . [ff £п'4 Иг } найдется формула
^ (*,*), определяющая $ в кольце эндоморфизмов М как абеле-
вой группы]*
Д8ММА ' I . R - подкольцо в Е n cj И 2 • '
193

Доказательство. Если формулы- *t(у,у) и У7х#у) онред&Й^
ляют эндоморфизмы f и (•[ абелевой группы И 7 • » то формулд^ИЙ
определяет эндоморфизм -J - А , а формула - ~:*\
определяет эндоморфизм -j Oj ( эндоморфизмы абелевой группы пи-''-'
шем справа). " Л>г
XkdMk 2 . (R / ~ R и рр-определимые R-подгру^^:
ппы ,и Рч -подгруппы в М одни и те же.-ч ' >: . ■ - /;.>
доказательство. Очевидно, .- ^ ^ \>?sv
Через L<x+4 И рч обозначим решетку рр -определимых подгрущ.
мбдуля М , £i , С. 16].
£ з. Le.44 MR#= U-M >V(
CJi&lCTUiE ' ^ t& '^л - • — • ■ — - - —^
СЩСТБ»1Е 4 » Пусть Hjj точен и имеет двухэлементную реш&Ш -I
Уй: I
р d --* -:^/
тку рр-определимых.подгрупп. Тогда In - тело и . М -векторноеЭй
пространство над К •• ^ьолее того, если М £ неразложим, 'tq~£ «J
И-одномерное векторное пространство над К . -l/t®:
доказательство, иусть (/ ^ ^ 6 К • ^сли *"т1о1 * то?^ 1
1 - , • {'Л' 'ч
это* определимая R ♦ а тогда,по лемме 2 , и R -подгруппагф^' 1
между (О) и М . Ьтак,^»"^/о5 . Аналогично Mf * ИЛ'*^ j
гда ^ обратим как элемент кольца £ п с| М -я; иГ исподьзуя/lf 11
формулу - ц . , . :.;-л?$1? j
получаем г - с- (J< / - к . *гак, К -~ тело- дели f C|>j: I
неразложим, то М £с' неразложим» откуда Л«'лг И л «I * 3 v3/\
bOiiFGC 5 . ьусть М j^<l неразложим. Ьерно ли-, что ~ M.tf'^vf
неразложим? * "v"' •
194 -Л ^:^
^

•^ВОПРОС 6 . Описать модули Мл такие, что высота решетки
L А \ '*> ^ Я равняется 2 .
* ЗАМЕЧАНИЕ 7 . Если И Ъ А/ \ то La-f4 MS* LaH АЛ В
Частности^ Lo44 »И есть инвариант теории Т^М) .
ЯМА- 8 . Если «^ - произвольный кардинал, то La 4 4 MS
(•О
с [ а 44 И . Если М выделяется прямым слагаемым в Л/ ,
т0 La44 М есть гомоморфный образ La, +4 N . Если М*
- Ф М,«,'то' La. 44 И вкладкваетея в произведение П L<t44»Vj.
доказательство. Ьсе утверждения легко.вывести из соотношения
4Y© И; Л - #> ЧчМ/), выполненного для произвольной рр -
формулы f [* • C.30J.
• ЗАМЕЧАНИЕ 9 . L <t 44 М - модулярная решетка с наибольшим
элементом И и наименьшим ^0 \ . f -
доказательство [I • С. 16].
Назовем модуль И (теорию Т) р р -линейным (ной) , если
1а44 М ( La44 Т) ' есть линейный порядок. Аналогично
определяем рр -дистрибутивный модуль (теорию^ . ,
ЛЩ&. 10 * Цусть Т~ теория, все неразложимые компоненты йота-
рой [.1 t С. 102] , рр -линейнц. .Тогда \~ рр -дистрибутивна»
Доказательство» Следует из леммы 8 .
ЛМШ Щ . Пусть R - коммутативная область нормирования*
Ьгда любой R нуюдуль рр'^дистрибутивен*
Доказательство* Пусть Q, -поле частных кольца R . Любой
неразложимый чисто~инъективный модуль И [2 , С.402J имеет вид \
А /Ъ' ь где A /ijr & - дробные идеале в Q и " " обозначил- *
чисто йнъектйвное замыкание* Ясно, что все рр -определимые пзд-
^РУчпы в И являются дробными шкалами, причем последьие линией-
8& Упорядочены. Тогда модуль И рр -линеен и осталось применять*
**т ю * ,
195

ШДСТЬкВ 12.TjfycTb,1^г5Вюферово кольцо. ТЪгда любой £j-mo- S
дуль |> р-дистрибутивен. * "Г *~ * ~ " *• ;Г7**~*:1*?
Доказательство. Зсли М-неразложимыЙ R-модуль, то М есть . О
модуль над локализацией R (т ) для некоторого максимального иде~ У-
ала I в R u . f.ol\ , причем 'vjn -кольцо нормирования, /.
Далее дейетвуем^как в ле?л«з II . ,*.-- х
ВОПРОС 33 . Описать рр-линейные модули»
1ШОДШШ1иВ 14 . Пусть R-кольцо. шодуль R ,э .. рр -линеен ,,«.'
тогда и только тогда, когда & -цепное слева кольцо (все левые Ч;
идеалы в R линейно упорядочены') • , ; V .>
Доказательство. —> . Ьсе конечно порожденные левые идеалы в : )<
& рр~-определимы У * С19 J t а тогда, линейно.упорядочение v^
Поэтому и все левые идеалы линейно упорядочены. ;: :%х
4г . ^юбая рр-определимая подгруппа в R является летл;щЩ^
алом 1*1 . С. 19 J . ; уУ^
JJEMMA 15 . Пусть R-кольцо, 5, ^ £ R V Тогда следукедие^£|'
условия эквивалентны: ' - *^ч;^Ъ
1) для любого Ми либо И S £ "V, либо х г с M5-C^v|
2) либо <S г * о , либо Й«> г fc Э '1. ,\*.*Х*:ууЩ
доказательство. l)^2). Пусть £ г ф о , г необратим; сщ>а*^-
ва и И - E(R/SJ) в R/Vft f где 6 -знак ин^ктивной-f
оболочки. Тогда 0-/^*м$ , (i'f?>f г;, далее O^f^tf
откуда (о 1> С Ms . Итак,^$^V ft.^ £, ,/^; /i;i
fc)=>l). Если .Sr х о -и -w-'f.M's , то.го* иЧ^ТотТ^
r»vr ■- m's г г О . и M-s\£ *Г- . пусть R Ъ + г Ч v9^v5 .
Ю г и) . Тогда пая некоторых, "t'.a.f R имеем "U S, ttf:t' '*М
Теперь Ос т г *t -* «ч ( 4 - ц s) . »: откуда m = m ы У>'<"~^/й
ЛЕША 16 . Пусть гч-кольцо. Тогда сведущие условия, «нвива^^; «
196
jjfc

лентны:
1) для любого модуля М g , s 9 г £ R. либо М £ f M *,
либо Mr I Ms ;, .
2) й-цепное слева* кольцо.
Доказательство. l) ~>Ь) . Пусть s 4 Rr и г 4 R $ • Иоло-
^ И - R.fc R . Тогда <S//> f' Ms \ И г й (О,Л *- Мг\ Мз.
2) ~> l) . Пусть R х 2. R r t то есть ,S - t r & vn * Ms,
то есть ** ~ m; S # Тогда m •» tn '* г £ М г\
ЛЕММА £7 . Пусть Йч-кольцо, £ , г £- R . Тогда
эквивалентны следующие условия: у
1) для любого М £ либоХ г- С as . либо ХЬ £ Хг ;
2) s R 1 г R либо tr R £ si?,
',. Доказательство, *)^2). Пусть г 4 sR и М rR , Поло-
" жим М - R/Hl Ф l^/s R » считая, что г и ,s необратимы
справа. Тогда (i , о} £ ~ v V S . Аналогично ^0,1*)*- ~^Л f\
2) ->lh Пусть S «- г"Й . , то есть s - г % ^ щ £ г ^ w
есть по г г о , Тогда wS » mr-t.*0. * ,. ч
,^ TE0FBMA 18 . Пусть R - кольцо,не являющееся телом. Тогда
следящие условия эквивалентны: ^
1)все правые модули над R рР -линейны ^ * .
I ) все правые 2-порожденные модули лад Ц pf>-линейны^
2) все левые модули рр-линейны^ ;* шлх
% ) все.левые ^порожденные модули над R рр-ликейад;
> 3) 1\~ локальное кольцо с тремя идеалами (Ь £ Т ^& ; при-
. чем 3 * О. ' . V*" * ,\
, Доказательство.. lj->l'J, 2)->2 ) - очевидно.
Т97

4 ** Щ • Др лемме I? К имеет единственный максшальный правылЩ!!
идею: X • а по лемме £4-единственный максимальный левый идеал "X^'j
Вели. J-радикал Джекобсона кольца К, то имеем 1 ~ J ~ 3 :»йЙ*1
Пусть (*,i е 1 и & ^ Ф о • Тогда по Алемме 15 имеем £s i; § |
t ril - R ,1k, lU+rR sr + I-T .^ g, противоречив j
Итак' ,3 - О . Вели П J , то ,S обратим. Вели же S €~Т-_>:: i
то , Т"7 {-* u. (u обратим] . Жатому R имеет только три идеала; C^j
Ц -Му. Докажем вначале следующую лемму* - .- 1--~;£/(
ЛЕША £9 . Пусть Й. г цепное слева кольцо с единственным максима-ik4 \
льным правым идеалом. Тогда .любая формула Ч (х) над R эквив>Ленч%| *
тна булевой комбинации формул вида ^г,<, ^*)^ s \*r ( s делит ?*г)5?£*. -;
Доказательство, действительно, пусть ^Г*) - рр ^формула ; ;. Vj$|? ".S
'-- ' i.*xiv **/*: +... +<>Г-Ф1| ;
у • • • ■ • . . .._.,.>.
3 ' " **•
где \., д'с- Я. - . . : . -;■■-■/...■;,>&<'•
I случай. Идеал nf U; ) не совпадает с J?. Можно счййть^чтд^г!
он порожден элементом м ** . 1огда система (*) эквивалентна сис«й£
-* • - ./: *-' > ' - .* - *";Н'^"
ме вида . , • * V" " m iV''\:?*$^
'хеперь 4*6*) эквивалентна конъюнкции последних п-4л>п!оедлоке^|::^
ний .системы л формулы х Л^^ ^ М, и ^ . \ *. ? r^'v.'w
II случай. Идеал * (/л^-) совпадает с К . Тогда среди/''}у*1Хк '
198

есть обратимый слева элемент, скажем, /х , Тогда JX^ обратив и
справа: М^ и - i . Теперь j^- обратим слева,а-значит,и оправа.
Поэтому, домножая первую строчку системы (*)на J*- справа,
получаем эквивалентную систему; /
Исключая У^ из последнего столбца, имеем
• ^ '
; х*1+ ^Х'-1 ••
- *>>у1^' + ..
■+ О =0,
. j- 0 *■ 0
Ясно, что в последней .системе первое уравнение можно- отбросить.
.! Продолжим доказательство теоремы 18. Итак, достаточно рарсматри-
вать только формулы TrsYx) - s[ xr ( -S делит *r}' .
Пусть И £-правый модуль над 1^ . Так как & сам'оинъектявно(q
~ ' ' - Ы) (&*
имеет единственный идеал "J , то М = R б? П^/т) и проверка .
линейности для формул ^Г)$ ("*) не составляет труда.
Проверки импликаций 3J->2) и 2),i)=yb) проводятся аналогично.
В заключение мы опишем fp -линейные модули, над дедекиндовыми
областями. ' ;"
Г ТЕОРЕМА 20 . Пусть 1"-полная р'р -линейная теория модулей над-
дедекиндовой областью Я: ^ Q . Тогда либо < " -
а) Т- Т(( А/Г)"'® Ml** >(W Ф- ^) , где. I-
■Максимальный идеал в R , либо *
_ ' ' ft) ^ ^ _
- • б) 1 - 7(( Q/ Д&)) ® ^(Т) ) » где J f J - максимальные иде-.
t99

f
означает T -адичёс-
алы, К гх) - локализация ^ по X , *
кое пополнение, либо . .;
"' ■ в) Т< * есть теория степени неразложимого модуля £ / Т .'{.'-
a/*m > %)• - . - . :С:
СДЩСТИИ *1 . Если Т-полная рр -линейная теория абелевых "•■
грунп, то лкйо ^ .до ^£)> ' ■ "'.•"?.
• ) 7 » Т(7р* * Jf-и* $ & j, либо . .\ ,'■■;
*\ 7-Т(/р'% %£),**>■ f;:;:.
в) "Т есть аеория степени неразложимой абелевой группы -
Доказательстве теоремы 20 для простоты цроведем только для слу«
чая абелевых групп* В силу jl *. с.47-48"} любая ■ полная теория р;Й
абелевых групп, имеет вид ,^ ч ч ,, ^ ^
ПРШКР 2£ # Т- Ч#р®^р*л 5УДем штриховать pf -определив,'
мне подгруппы ла рисунках- Справа пишем формулу* определящу^.зтуу ,.
подгруппу; >. . \'*.'>";''''£''
п
>х-о
/>*Х =0. .:;:.
• И*
р I*.
20U

Нетрудно проверить» что шесте с ^б\ а £оеЦ группой мы
изобразили все рр -определимые подгруппы в / ф J t . Итак,
структура выглядит так: ,
I Vx-c»*
Y N /
и не является линейной. - '
Продолжим доказательство теоремы 20 . '.
Случай I . °^р,А"* о для некоторое f , *у^ и выберем {U
минимальным. Тогда» аналогично примеру 22 получаем
СЛЕДСТВИЙ 23 1 °^р;т. * О4 для всех m >/*-«*2, V
. Рассматривая формулы р х * о и *^ х * О др» р ^ л
получаем "•' '
СЛВДСШШ 24 . ^,ь>х * о t (Ь^ *-р для всех 7(,4 р.
Рассматривая формулы р < - О а р I * , имеем
(ЖИСТВИВ 25 . jb р - 0 . > {^ ^ О для всех 4 . ,' "*,
Итак, мы попадаем в случай ^а*, и решетка fp -определимых
подгрупп в этом случае - конечная цепь из. L п * tj^ элементов.
Случай ХГ ♦ df>*. ~ О для всех р » ъ. и |Ьр ^ О для
некоторого р •''
рассматривая формулы р х ^ О и fytf^O , получаем
20t

следствии . 26 : fc^ ~ o~ для всех <j, 4 />. . ^.;J
Оустъ JTft + О для некоторого ^ , где, возможно, <f * p.
Если ty i + ty, , то, рассматривая формулы ^ ) < и ^1<
получаем
СЛЕДСТВИЕ 27 . V\^ «О для всех ty±* ty.
Итак, удаляя, если нужно, w , попадаем в случай „б
.Решетке рр-определимых подгрупп в этом случае выглядит так:
. X * X ' ." " ; ' '
• ' I р<*°
является линейна и имв4зт тип "> **-ю
СЛЕДСТВИЙ 28 # Вели I - рр-линейная полная теория модулей ;;1 ■-■'
над дедекиндовой областью» то * L а 44 I есть либо к ,тйб *4V л--
и; , либо оо + со
bOfiPOC *Э # для фиксированного кольца R описать линейныеi яо^;.^
рядки, которые могут быть реализованы как порядки pj> -определимых" •
подгрупп модулей над R . •'."■;>.•,/';?
ЗОЙ

Литература , •
л, Prest U. Model theory and modules. Cambridge University $т*ъш%
1989. 484 p.
2. Faccini A. Relative" inactivity and pure injeptivit" module*
over Drufer rings //J«Algebra. 1987. Vol.110» P»380-406.
\
\
.203

OF УСЛОВИЯХ ИоШ0Рй!ЗМА HOfri (А, в) * А
А.М.Себелыцтн, Н.О.Антонова
Эта задача была реаена в работе [i] для вполне разложимых
абелевых групп без кручения А и Б, причем В - конечного ранга,.
Пусть А •вполне разложимая абелева группа без кручения,
& *» $ & " однородно разложимая абелева группа без кру-
7€я л - Т
ченяя, где W - множество различных типов, В - специального
вида однородная группа типа <С , / £* XL / . В работе^ [г]
были получены необходимые и достаточные условия изоморфизма
группы гомоморфизмов Иот(А,Ь) груйпы В для случая/J?/^ 2.
Б настоящей работе /теорема 2/ задача решена для случая, когда :
Л - произвольное конечное множество. - N
Все труппы, рассматриваемые в работе,абелевы и без кручения. '
Обозначим черс %($) тип однородной группы Q . Запись t^t^ ,.
будет означать, что типы tr к t^ несравнимые, -г
ипределеьие 1. Пусть *'"/•, # >..- ) , )**(-, Ур #-) - |
некоторые характеристики иг'^1^ . Тогда под разностью ха* , '
будем понимать характеристику г ' г
*•••! ул ^ *•••/# где ¥f ¥р % если ^
й соответственно, если Р *С Г, и Р*^ £ , тогда разностью
типов f- и ?4 будем называть тип £ - t1 , содержащий ха- " .'
рактеристику
Определение '6+ Тип Г будем называть чистым типом относи- ^ -
тельно Т' Г^сли существует характеристика 9*(..., ?р,..Зе* г-
такая, что для любой характеристики" .'/» . -
^ж0 щи ip <'<*> . гг.
Ь остальном будем придерживаться обозначений, принятые » *, V
Оледу&цие результаты получены в [2 J . /
ZOi " ' ' ' ' .

Предложение I. Пусть А,В - однородные группы и А - ранга I/
Тогда Нот (Л,В)?0<*>*(А)фГ(В) *
Г(Нот(А,3))* t(b) - t(A) , если UA)*t(B).
Предложение Z. Пусть А,Б • абелевы группы б&з крушения.
- T(A)S / t В - однородная группа, t(B) * Т .
Н01л(А]В) Sk 6 тогда и только тогда, когда тип 1(A) чист
. относительно f
Прежде чем перейдем к изложению основного результата, дока-
жем вспомогательную теорему, которая будет использоваться в
дальнейшем и представляет , на наш взгляд, самостоятельный
интерес.
Теорема I. Пусть В - абелева группа без кручения,
3 *3f Ф Bz Ф-- Зл , где Bi - однородные группы и все типы
UBi) • %i im t>tb л различны. Тогда в группе В не существует
однородного прямого слагаемого с типом, отличным от tf ,..., ?л.
Доказательство проводим индукцией по числу однородных прямых
.слагаемых в разложении группы Б.
Пусть В* 6f Ф В^ . Тогда если tf < tz или tt < tf t то в
группе В элементы могут иметь только тип Tf и tz и, очевидно,
теорема верна. Если Tf # tg , то в группе В элементы ьодт
быть трех типов Г/ , ?/'и ^"-Г/ О Tg . цредположим, что
существует разложение В *BjQC , i№ Bjf*0 ~ однородная группа
типа Tj . Так как t1 Ф tg , то Bf и Bg вполне
характеристические подгруппы группы В, и тогда из [3 .С.60 ]имееы
Bf^(b1nB3)®(BincyB1ncviel-(BtnB3^(BincyBinc.
. Откуда следует, что Bf СС и Bg€C , и%значит; В&С .
Получили противоречие*
Предположим теперь, что в случае, когда группа В есть прямая
** сумма к однородных слагаемых, теорема верна." й рассмотрим грул-
<пу 39 3f @ ... @ В* ® Вк+{ . Пусть существует разложение
6*3 (ВС , где З'ФО -однородная группа типа Т' и *'* ?у
для ьсех J * /,>*/ . И пусть T*L - максимальный тип во множестве
типов однородных прямых слагаемых группы В. Тогда Вг- является
.вполне характеристической подгруппой группы Ь и согласно fb .
С.ео] имеем 6j s (З^ПЗ') в (6; ПС) « Bt ПС , т.к. В и
Bj - сервантные однородные подгруппы группы В различных типов.
Отсюда следует, что В;* С , и,значит, С-З^ФС' . Таким
образом, имеем дна разложения группы Ъ \ В ш В}Ф В ФС и
А^З^Ф 3^ , откуда цолучаем,_что BAS В'ФС' , и,значит,В'
< 205 '

изоморфно прямому слагаемому, в Ък в ву Ф ••• ® 6^Ф ^tff ®---^£Г7 ^
Таким образом, по индуктивному предположению» Т(З') является *
одним на типов f ^- ,/> *, j я / **/<J ,. и теорема доказана. "
Переходив теперь к изложению основного результата.
Пусть 4Л $ ^1 - вполне разложимая абелева группе безкру- V
чения конечного ранга, 3 m §# А - однородно разложимая абе~.
лева группа оез кручения, где T(Bj)*fj , ус//и'{*9Л,...,л} f4 \
*~ - множество всех различных типов групп В; /j€ N / ,
Ьс - множество минимальных типов в J2 . /-
Теорема 2. Пусть для каждого j^k) Ь.^^^Ь- r i
и если *С^<^ / i.t\**j. Л то ^*\ • гДв ^«^ -^с* ; :."!
Цо«ч(ЛЬ)^Ъ тогда и^только тогда, когда :
i/ для любого типа t€J2 существует такая группа A-L /ЫЗ /, .•-'.'
что ТЩ)*Т;
£/ если t(A-)^ Т fi€j , ТеЛI% то типч?64£> чист относи- ^
тельно типа ?• ^ Гр-
^/ если для некоторых типов ?f \ t^Jc /Т^<Тг / существует ч>
группа А^ / feJ / такая, что {ОД>|& ?/ Tt не ^(Ai)^t£Cf > J
гогда Гг - f M;) ^Jl? \ . ' * , : .
" ^оказательстьо. Пусть условия 1-3 выполнены. : , ,ДД
© ... © Нот (А Л; , 3А ) * /<ля каждого ^>^ /5
Mom(@AitB: ) z&HomCA^Bj) , т.к./Я<£„ :. -1
используя предложения I и г, получаем, что для г^е J6
согласно ycj
Нот(
КОЙ, '— „ V ' г* ■ ----- „
ся такая группа A/ /if J /, тип которой t(A{) чист
относительно t* • и,значит,чист относительно типа Tj и, следователь^ '
но, получаем Hom(Ai>6j) - Л/ /Кроме того; если существует;,
такая группа A; /&J Л что Ш/)* Г,- /Г^Л/Л /^:^я:;[
некоторою 2^* Л такого, что ****} t t(*i)r ** » по .ус- v
левите, имеем ?;-Т(Aj)gJI и, следовательно,
гд.е t(6e)*tj -Ъ(А^ . Заметим также, что для всех hLJ t^J "^
таких, ч*о T(Ai)4t для л.сбого ?£ J? -, из предложения J сле-Д-
дует, / что Нот (AL- f3 ) -О . ^
Таким образом, учитывая,что для каждого/б/V £; © £~ "^А; '•
и /J К 10 , получав //"» (А, 6 ) - Л, * 3£ в .f.mSif * * - *
206
юльзуя предложения 1 и 2, получаем, что для ^^ . соглас-г
условилм 1,2 сугцествует такая группа A- /LcJ /, что_ v .^
т(А;,В/) ~3: . ^сли Г:«г ^/ ^ , то найдется t € Л\^;
», что j'<t , а для 7' согласно условиям i и %• H&p&f-;^.

Необходимость. Умееи Нот (А,В)* 5 . Обозначим через
JK -{LeJltjAi )itK) , где ?, e Л • Покажем, что ддя
всех t^€ £ J^ A 0 .От противного. Пусть существует тип
tM*€J[ такой, что^# * Ф . Тогда, согласно предложению I,
для любого ЫУ Hom(Ai, вк*)*0 . Прямые разложения групп
Иот(А}3) и 13 изоморфны, поэтому существуют группы 8*
/*,*< / и Ai4/ifeJ / такие, что Нот(А/4,6ж,) *.ГД* ' ,
причем t(6fj) > ?Y£^#), т.к. Зр в Ф . Тогда имеем t^ "
*Ъ~?М^) ♦ и, значит характеристики типов t^ и ?А» со -
держат символ °° на одних и тех же местах. Однако t^f *-***# »
поэтому не существует группы А^ /l€J / такой* что
Hont(Aif&f ^ a £г , т.к. в противном случае получаем, что
тип t(Aj) чист относительно Т# , и,значит чист относительно
%& • что невозможно, т.к. по предположению <?£* s ф .
Следовательно, существует группа Bg /%еМ/ такая, что tg >Г^ и
• для некоторой группы At fig*3 /Mam(At ,Зж ) *-&gf
Проведя аналогичные рассуждения для группы В- , получаем
группу В^ /***•£ / такую, что tM^> f^ и для некоторой группы Д^
/ifiJi Ham(Ai , 6# ) * 6g . Продолжая этот процебс,
получаем последовательность групп &х* >&м* , вж ,..., типы которых
строго возрастают Т^4 <tM < Тм < -< t^m « В этой
последовательности групп существует группа Ък с максимальным типом,
т.к. /АЛ < %-$ . Так как прямые разложения групп Нот(А,&) и
; Б "изоморфны, следовательно* существует"такая группа А^ Нтв3 Л
что Hom(Aim1 BKm) s ВКт .Откуда получаем, что тип tfrfa')
чист относительно tg f назначит, чист относительно ?м* и,
следовательно, ¥(^1т)*?** • Получили противоречие. Таким образом,
$кп $ г , и кеооходимость условия X доказана,
Докажем теперь необходимость условия ;*. От противного* Пусть
для некоторого l*J ?(Ai)*?K /t^Jl /, но W/) не
является чистым относительно Тк, . Тогда Z(//am(Aif3f))*tM~t(A{y*
* Т/ < ZK % откуда следует, что в разложении группы В есть
прямое слагаемое с типом tf , отличным от типов * / ,.,., ?л , что
противоречит теореме I.
Пусть теперь для некоторых типов Т, %Тд*Л ^1<^Z I
существует группа A-//6J / такая, что t(Aj)4 Tj , но *(Ai) 4Г&
Тогда имеем Hom(At,3<)*0 и T(Hm(Aitб£ ))*ТЯ~*(А1 )£ &
т.к. ;,31?еетно,- что Нот(А}б) ~& , и,значит,- по теореме ; в %
, разложении группы Нат(А,5) не &о*ет быть однородного пгяь-.ого
207

щи
слагаемого с типом» не принадлежащим множеству Л . й,таким 'i
образом, доказана Необходимость условия 3.
Замечание I. Формулировку теоремы можно усилить, если пред-
положить, что в р£Зло*ении группы А есть сколько угодно прямых
слагаемых А; таких, что t(Aj)4 t для любохч) tcKA \ Т;к^
для всех таких i€J Нот (А 1,8) *0
'£ Замечание 2. Доказанную теорему можно также усилить, если
считать, что однородно разложимая группа Б имеет произвольное
число однородных прямых слагаемых при условии, что множество
рсех различных типов однородных прямых слагаемых фиксированного *
разложения конечно и каждое однородное прямое слагаемое i
обладает свойством &/ Ф В.- ~ б/ к
ЛИТЕРАТОРА
1. Себельдин А. ;«й. Группы гомоморфизмов вполне разложимых абёле*
вых групп без кручения//Известия вузов. Математика-, 1973» Л7%;
С. 77-64 . , ' ;'
2. Себельдин a.m. , Антонова Н.а). Сб изоморфизме группы гомомор-;
физмов Нот (Арб) абелевых групп без кручения 1'доппе В. ..//f
,• ... в печати, 'Л'/"'^Й
Ь. 4ухс Л. Бесконечные абелевы группы. М*: Мир, 1974.. ТЛ» 335 ой
208
II ' I ГЖА-

ДБВДВЫ ГРУППЫ Ш КРУЧЕНИЯ КОНЕЧНОГО РЛНГА
С КОНЕЧНУЮ! ГРУППАМ! АВТ0М0Р*>ИЗЖШ
ИЛ.Синяк
Следуя Х'х) , будем говорить, что подгруппа Н вбелевои
группы (у без кручения конечного ранга кваэиравна группе 6г §
если Н имеет конечный индекс в & f т.е. 1г6& Н &6с
для некоторого натурального /t . Группа (} называется хвазя-
раз^ожимои, если она содержит в себе квазиравну* подгруппу» раз-*
ложиму» в прямую сумму ненулевых подгрупп, и & сильна нерве-
ложима в противном случае.
В данной работе доказывается, что группе Gr конечного ранга
имеет конечную группу автоморфизмов тогда и только тогда, когда '
группа автоморфизмов лобоД квазиревной подгруппы Н тоже**©-
нечна ( теорема ± ). Такик образом, свойство группы Jut 6 *
быть конечно* наследуется лч&бо* квезиравнои подгруппой Н . ""*
Естественно возникает вопрос: если группа Jvt& конечна, и Н
квазиревна G , то будет ли Лу£(* ^Jtft H V?B работе
показано ( теорема 5 .), что всякая квазиразложимая группа £
конечного-ран га с конечной группой Jvt.G ооладает такой
квьзиравноь подгруппой Н » что
Все обозначения и терминология в работе стандартна и взяты
из С23 . s ~
ТЕОРЕМА 1. Пусть G - группа без кручения конечного ранга,
" - произвольная квезиревнея ей подгруппа. Группа JlvtQr
конечна тогде и только тогда, когда Jlut И конечна..
v» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть П& & И и'группа автоморфизмов
гРУипы G( конечна. Али доказательства конечности группи
^остбточно доказать ее периодичность f3] . Допустим противное.
"Кть if - автоморфизм группы Н и его порядок бесконечен.
2С9 *

.осмотрим фактор-группу ^/лН . Так как ^/tiH конечна
•о на .гои фактор-группе У индуцирует автоморфизм конечного'
порядка. Это означает, что: существует таксе натуральное .tri, ( ft|
зависящее от У ), что Р**Л -ИегьН т* любого элемента <
h,€H . В таком случае для любого элемента O^Gt из pa- "-
венства /t^ « А. , h€H следует разрешимость в группе £
уравнения 1ьХ9¥т1ь . и самом деле, для элемента п> /как
только что показали, существует такой элемент ^/ , что^^-^..
«лЛ^ . Тогда элемент Ду*^*^у . является решением указанного -
уравнения. Действительно, пХд*ко+ ttlu1^fb*ifmk -Ит¥т/С ;
Положим Ф(ф)а хд • Тогда V - автоморфизм группы $ в*
Действительно, Р* сохраняет операциt»: r(Qii'9i')* ^9i+Q*m
т.е. Щ <?*)' Щ)>Щ) для *-бнх #,фв$ . Wjb» '
йз того, что frtfr* следует, что &f4 t 4&, , то W - ингек*
тивное отображение. Легко доказать, что w~~ - 6*>рьекция, т.е. CV
для любого элемента XqgSt существует й€ & такой, что *-•
Щ)**$- ' ¥.' - v, - t
Таким образом, мы доказали, что автоморфизм V группу Н ~ .
продолжается до автоморфизма V? группы- & . А так как по^ч
рядок ¥т был бесконечен, то и порядок Ф ^бесконечен, что ~,\
противоречит конечности группы Jvi& . Следовательно;" наше J '
предположение неверно, и группа Jut Н конечна. ~ л, Л'
Обратно, пусть конечна группа Aut Н . Рассмотрим вкл*\чв7х
ние nHSrisGr G Н -. Аналогично первому случая можно Доказать)
что группа евтоморфизмов группы tvGt конечна, а так как ' У-;
tiGr *Gr , то отсюда следует, что группа Jlv£6t конечна^ -
Теореме доказана. \ * '\\.-
Si - группа оез кручения, JuiGf конечна. Тогда -oqjjpacHoV
[d. С.315] Gf не имеет ненулевых нильпотентных эндоморфизмов? ",у
Такие группы в Ш называетсяч ^-группами. Каждая rpytfpaw '{ч: -
без кручения.конечного ранга обладает такой подгруппой-W*^л/>;;
что Ас сервантны в А . Следуя £il , n»6yv текуч подгрупп^
назовем полным квазиразложением группы & * В Til показано^
FA/ -группа обладает единственным полним квазиразложенйём 'л С.
А * &. AL и : зе A*L вполне характеристичны ка* в А * та* г.
и в & . - />\
Пусть Q - группа без кручения «гонечного ранге с конечной. .
группой автоморфизмов.- Будем говорить, что группа # обладав*;
свойством (*) , если для л^бом квазиравной подгруппы п"^
JLvt И * JLutG . ' ' < \ -
210

ЛБНМА 2. Боли & обладает свойством (*) , то и всякая
кяазиревиая ей подгруппа обладает свойством (*> •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, • Пусть 6 ооладает свойством £*> к
цОг йЙ £& , тН*Ь * И , . Очевидно,'что & квазиравна
Л , следовательно, Jvi 5 » viittQ m Так как
Jvt6 *JvtH %wJiitb&JviH .
ЛЕММА 3. Пусть Gf - группа без кручения конечного ренга о
v конечной группок автоморфизмов и А* $J Ai -ее полное квазй-^
разложение. Группы <AviG n'JIvt H изоморфны тогда и
только тогда, когда каждая автоморфизм -группы А' продолжаемся
до автоморфизма группы 6 • ' < / - ' "
' ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Jlvi& * Лиг А . % Рассмотрим
отооражение 8:JtutG -*JuiA . и& *пго$ что /fc£ s А ч для
, некоторого /t , следует, что в - мономорфизм. В самом деле, .
если &(¥)"£mC€f $*-,€*) , где ^i - тождественный автоморфизм^ ,
то <Л индуцирует на каждой подгруппе. Ai тождественные авто-'
иор<1изм. Поэтому, юк7)ф*а/+^+»-де*>4£*4,то JiV{f)mW*f)+ *
4-Шг)+-'+У&*кщ)*О.1+0>л+-"+а* . Отсюда следует, что ?-£ Ч
Тек кек группы *fc/<tf , в^г/М конечны и JuiG *JviA t то
\Jliit<* / " /*й/^ Л/ . Поэтому Q - изоморфизм.
Следовательно, . в - эпиморфизм. Это означает, чтсГ каждый автоморфизм
группы А" продолжается да автоморфизма группы Сг. ,
Обратно, каждый автоморфизм группы А продолжается до
автоморфизма группы 6 . Следовательно, S - эпиморфизм.
Поскольку 6 является мономорфизмом, то изоморфизм между грушам
ми JIutGi и Jlvl H существует. Лемма док&зена_.
\IEMMA ^ Пусть 6 - квазиразложимея группа конечного
ранга, А я щ A i - ее полное квазиразложение. Если д*бои
автоморфизм группы А продолжается до автоморфизма группы 6 ,
то 86 £ А . - / < : :
ДОКШТБШЛВО. Допустим противное. Пусть т$£А ъ-тт**т 9
где (nuZ)-i . Так как /^-минимально с таким сввкством, то
существует элемент QeG , для которого справедливо равенство
ty-а,♦*, + ... +CLK $ где а^Л- и kfiia^O, £•*,...,*.
Поскольку л«бой автоьсрфизм группы. А продолжается до
автоморфизма группы (г , то к автоморфизм Y~<f,£ ,...,£) ' продолжает^
ся до автоморфизма группы <? . Следовательно, существует Of
?aKoi» что т f1*-af+Q,z+-'1'a< >J"(?-$*)* *а 1 • Так как
ч^7, 2)*i 9 то Qj делится на т . Аналогичным образом до-
*взыЕбется, что и О;,#* *...»£* делятся на /я . Получили,, что
ЭДппе А -т -^елима. Но так как это .невозможно, то Аж1
211:

Пуоть 2*G *А . Тогда ity • щ+Оъ+... + CLk . Аналогично
предыдущему имеем £*($-#<) * 2&f . Отсюда следует, что ■
Ctt делится на<? " . Это справедливо и для ил ,...,#* m2sf.*£&&+..
+ 2$~'аг *-.* £ *~' & к , где a£eAd . Получаем, чтб
2д • &< +&м + ... + а к , т.е. SS * fff A i . Что и тре~
Оовалось доказать. . ■ ' \
ТЕОРЕМА 5. Пусть Gt - квазиразложимая группа конечного
рснго с конечно* группой автоморфизмов. Тогда существует квази- ]-
равная подгруппа В такая, что ЛиЪ В tfrJvtGr.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. t Предо о л ожим противное. Пуоть & обладает
свойством (*) и А * §>4Ai -ее полное хваз предложение. \
Следовательно, JvtG * Jut А . Ввиду леммы 3 каждый '
автоморфизм подгруппы А продолжается до автоморфизма группы £,
Согласно лемме 4 2& « А С Gr , ^е. группу 6 можноаа-\
писать в *im(**<fi&i%$i*™*Q*\tymfcty
Покажем» что можно так выорать элементы ^ >.-.<,§» и некоторой
простое р*& 9 ч^о /?-высоты элементов^ конечны. Поскольку
хгруппа Лот W - конечна, то и группы JutAi конечны, отсюда
следует, что рА£ Ф Ai для любого р и любого t . двд элементе
0,е<? имеем 8fy*dH+(L,& +--+ctfK # Ксли Д^ <£*) ■ «V'''V
/>*£ , то рассмотрим элемент dH*iAi фактор-гругашУi/M^
"""Тогда существует CL4€ А4 такой, что kp(ia4) *0 ♦ Через . *
&ц обозначим cifft£Ctt и рассмотрим его р -высоту. Согласно
выбору kpl&H)*min,(hpiau),hp(£ai))*Min(*~, О) *р. ; ц
Аналогично получим элементы О^ ,..., S^ , />-высоты которых joHetfi*
Тогда в группе # разрешено уравнение 2х = 3ц + — *•£'/* . 1^
И самом деле, так как £<£*£/{+£ff/ > /*/>•-, # , то£ф+а<*г
-..+aK)*aH+..+a4t +га4+-+£а,е*В4,**.*ь т.е.ft *?, **/*.и*%* ; \
является решением данного уравнения. Аналогичным образом выбираем;
элементы 5^ 9/*£9»., Ь t I* Ъ-, *т и- элементы ft ,£,..•> fп. *fiK*e»
что кр&п)ии$2%*&11 +щ%л&4к . • ь *аком слУчав Щ^&&
можно записать в в*де #**,?, ^ /£>& 9*»*5*U9i*&/*+''+*/*>
построим группу // следующим образом:Нж^^p^i fgf Q-ii'**
Легко доказать, что Ц } квазиравна Cjr • " ^ .
Покажем, чт' ф рА{ - полное К1«азираэложени1 группы # •-
Для этого неооходимо доказать, что />4/ сервантнн в Н . ЬоДве
того, додеаточнп покезеть /> -сервантность у&Л4- в И '• докажем
/^ -сервантност^ f Af . Пусть phe рА4, к*Н . покажем; ч*&
hepА4 . из строения // имеем к9ра4 *-+pa*+$<*#*
^Sa^-^sSf^.- Умножим это равенство на/? . Так ^KpAefAf*
212

^ pz^spau-of p% +sp&m*0,...tff*K ♦ spa,«-o w»
pai * Sbii* 0 для всех *-*,-,* . Поскольку *p <**)«0 t
fa отсюда поручаем,, что S * 5*/> -В таком случае Л ~p&t+...
.*.*ра'к + $Я'н + ~''*5ч* ^Pfy+S&H "Pfy+s'pa^ "Р^+з'&нУерА^
увким образом, &ерА4.к
Но построен** рН G fypA£f pt2 • Согласно лемме £ подгруппа
а^ооладает свойством *•) . В таком случае *?#* fy pAi f ц
авиду включения рН&щр Ai влечет равенство Лв^/>^/ .
Но это невозможно ввиду построения группы # . Значит,наше
предположение о том, что б обладает свойством (♦), неверно* Оле» .
доестельно, существует квазиравная подгруппа в такая», что *
Avi В Ф Jut б « # Теорема доказана.
' В связи с теоремой 5 представляет интерес следующая задача:
описоть те квазиравные подгруппы группы 6 ', которые гше*т ту же
группу автоморфизмов, что и сама группа G •
ЛИТЕРАТУРА
1. Беккер И.Х., Кожухов С.§. Автоморфизмы абелевых трупп без кру-
ч ченйя. Томок: Изд-во Том. ун-та, 1988. « 169о.
2. Фукс 1. Бесконечные абелевы группы, М.: Мир, iV77. Т. 2. *
416с.
3. илоткин Б Л» Группы автоморфизмов алгебраических систем. • К.:
Наука, 1966. 603с. '
,/*
•м 213
^Ш

О ЦЕПНЫХ КОЛЬЦАХ
А.А.Туганбаев
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей,
Модуль называется цешшм, если любые его два-подмодуля сравнимы по..
включению. Кольцо называется инвариантным справа (слева), если вое
его правые (левые) идеалы являются идеалами. Бели & ж о -об-./
ратимые элементы коладтативного кольца А , то через (&,6/Ау -v
обозначается обобщенная алгебра кватернионов над А , определяемая
как свободны** модуль над А со свободными образующими (> ^j/f'y /*'•'
на котором умножение задано так. что^У' - общая единига колеп# и.
(a,S/Ay.c^a ,j**S J**-at ,£/*-/*-* * *** i
*-ii * fy ,j£ в-lj * ~ Si . Если A - поле и cfiax(A*)*g t щ .•*
известно fa, С. 29j, что кольцо (a, 6/A ) является тейом тогда t
только тогда, когда а поле А равенство #*-&*/*-6& *0 аовт» *.
но только при я-у *& я О . Основным результатом данной работнг"
является теорема 1. ч V
Теорема 1. Пусть а и $ - обратимые элементы коммутативного' - ^
кольца А , содержащего £т \ Ол(Л,6/А^) - обобщенная алге- ,. %
бра кватернионов. Тогда равносильны условия:
(а) Q~ цепное справа кольцо; ^ ._ /
(б) « - цепное слева кольцо;
(в) « - инвариантное справа кольцо, А - цепное кольцо;
(г) Q - инвариантное слева кольцо, /4 - депное^кольцо; -^ ' v
(д) Д - цепное кольцо и дяя^любых его элементов <*>У>* вклю- -^
чение Я1'4$г-6гг€£(4Увозможно только при #,#,*€#(*) v,..!
Доказательство теоремы разобьем на ряд лемм. Чирез /60,^"Я ^
обозначаются радикал* Джекобсона и группа обратимых элементов кояйг;^
ца А . Если й. $ - элементы кольца А 9 то А будем называть '* ;
(CLfS) -кольцом, если в кольце А равенство лг-ау - б£ *0 ;
возможно только при л~* у =2 *0 . ' -
214 •- ч "..V*-

. Лемма 1. Цуоть А - унитарное подкольцо цепного оправа кольца
Q . Если модуль АА изоморфен прямому слагаемому-модуля*Q
(это так, например,- когда модуль А Q свободен), то А - цепное
справа кольцо.
Доказательство. Достаточно щл любых элементов аеА ,
Об А \&А найти такой элемент d^A- . я?ойя£с£ . Так как
Q - цепное справа кольцо, то либо О-ж ot для некоторого
элемента i$Q , либо ё *йлс ддя некоторого ugQ . ДуотьД*6// ,
AQ * а?® д & • где fiF' - свободный модуль со свободным образующим
f • &:Аи ^а? - естественная проекция, Q*^ 'т0тл^ ~ такой.
изоморфизм, что g(f) * / -, тьдке/ЬтЛй,^4) . Тогдал&*;*-£
для любого элемента яеА . Пусть d*0i(i) . Чотш&*01(4£)*№
ъ d ~ искомый элемент. Случай bsCLUs не-возможен, пооксльку
тогда 6*~иг(сис)=(ШШ)€аА
Лемма 2. Пусть £ и 6 - обратимые элементы коммутативного кольца
Л ; Q»(a,f/x ) ; 0* t*m.+nl+pj+s& % тьъ/п.,/и,х,уеА -9t d*
= тг>~ои1*-йр1+ав$*' , тогдаг
(а) для любого идеала 3 _холыщА ^кольцо &/QB изоморфно
кольцу (&,& / А ) , где A s А/3 , Л" и / - канонические образы
в /4 элементов Л и ^ ;
(б) если deU(A) %^ЫУСО) ;
(в) если mei/CA) , n,p,J€j(A") , то teU(Q) л
(г) если m,,/l,p,S€Jf(A) , vof-tet/CQ); ,
(е) если yj - 1&,S*) -кольцо, то а*0
Доказательство. Пункт (а) проверяется непосредственно. Пршст
(б) следует из того, что t£a ft*d , где/*/*-**."#" ••*£
Пунктов) вытекает из пункта (б) и того, что т fil/CA) t
следовательно, dfe #(А)Щ Цункт (г)
следует ш пункта (в), примененного к кватерниону /-£ ■ . Цуккт fa)
вытекает из пункта (г). Докажем пункт (о). Пусть £=Л1Л+6р$ 9
y*n2-6s* ,2 -ms +пр \ и* т* - 6р* . Допустим, что я * О /
Тогда 2У*я# и непосредственно проверяется, ччо я^-Яу* -б2г*0 4
Щ условию у*О , v*0 , Из этих равенств и условия снова внтег
*ает, что 0*/t*S , Oafff*p . Тогда /~0 и получено .лротиворе-.
Ч ~ ' - ■ v
«Лемма 3. Цусть CL и ^- - обратимые элементы поля/1" *T=l&?6/fy%
ЧРкчем chai(f)*Z . Тогда:
(а) Г - простое кольцо, причем 7" являемся телом тогда ж толь-
^ *огда, когда F - W,6>-кольцо; *
to) вели Г- либо цепное справа, либо "инвариантное справа
кольцо, то Т - толо к F- <#,£>-кольцо.
I 215

Доказательство. Пункт (а), доказан в fl. t\ 28,291* Пункт (б)
вытек; )т из пункта (а) и того, что простое кольцо, являющееся
либо цепным справа, либо инвариантным справа кольцом, должно оы$>
телом.
Лемма 4. Пусть й и 6 - обратимые элементы коммутативного локай
ного кольца А' 4Q«a9S/A) .M*f<4*> .F*A/M ,&:A + f Г*
канонический эпиморфизм,
'I'tfii-tjjttfi, где £]еА , причём ^р?£ и Г являетоя либо цепным
справа, либо инвариантным справа кольцом. Тогда:
(а) Т - тело, Р-(А(Ю}А(0)У -кольцо, Q - локальное кольцо,
(б) если хотя бы один из элементов is не ложит в М , то ,
<в) если найдется такой элемент feA , чтоЯ^б^А'бА, то
tUsQtmSQ - идеал кольца Q ;
(г) если А - цепное кольцо, то Q - инвариантное оправа и следа
цепное справа и слева кольцо.
Доказательство, (а) По лемме ^(о) Г - тело и F -Ша),/к6))*
кольцо. Так как р*£ гъо£А & М ,_откуда А*2А ,£Г&А .
Локальность кольца Q следует из ладдш 2£а), (д).
(б> Цусть dmt$-&&*~M&a*tj. Так как по пункту (а) ноле
F являетоя (А(а%Ш1) -кольцом и хотя бы один из коэффициентов
не равен нуя», то по лемме 2,(е> 6(d)* О . Поэтов de UtA) . •
Do леше 2,(б) £€U(G) . *
(в) Пусть S^f^itd; , timfyi , T}»d£lfi€A. Так как
&А + 6А1 , то хотя бы один из элементов d[ не лежит в М и
поэтому обратим в кольце А . _ Поэтому , где а -
кватернион, у которого хотя бы один из базисных канонических
коэффициентов обратим в кольце А • По пункту (б) кватернион // обратим
в кольце $ . Поэтому tQ ^SQ^Qt .
(г) Так как каждый конечнопороаденный идеал цепного кольца
является главным, идеалом, то утверждение следует из пункта (в).
Доказательство теоремы I. Пусть М*2(А) ,F*A/Af 9 А 'А^г
- естественный эпиморфизм, T*(h(u),A(&)/F) .'Кольцо Г изоморфно;,
цо лемме 2?(а) фактор-кольцу кольца Q .Фактор-кольцо цепного оцрава
(инвариантного лграва) кольца является цепным справа (инварианянн*
оправа) кольцом. Поле F является (А(а)> л(/)) -кольцом тогда *
только тогда, к:»гда для любых элементов *1%92£А включение
X*->njf-6£*eM равносильно включениям я9у,£еМ . Так как
условие (д) симметрично слева и справа, то достаточно доказать,**: ;
вивалентность условий. (а),(в),(д). Утверждение оледует теперь
216 , '

из лемм-3,(6) t <{*»)/ '.
Дистрибутивным модулем называется модуль с дастрибутивной
решеткпй подмодулей*
Следствие* I. ЦустьЯ*. п / - обратные элементы коммутативного
кольца A , содержащего 2"* , Qa(&,£/1)> Тогда равносильны
условия: __
(а) Q -дистрибутивное справа кольцо, А - локальное кольцо;
(б) А -"цепное кольцо й для любых его элементов -*>#>£
включение ^^Я^*"^*^/^) возможно только при^ifyXefCA4) .
Доказательство* Импликация (б)«>(а) следует из теоремы I.
(а)*>>(б). Цусть М *$(АУ , f*A/Af , k :А~>F «
естественный этморфизм, р=сАа%(/>1Т''(АЩЛа)//сХ Так как &ч* Л ,
то рф Я ♦ Так как все максимальные правые идеалы
дистрибутивного справа кольца являются идеалами [2?и по лемме 3,(а) кольцо ,
Г - просто, то Г - тело. По леммб. 4,(а) кольцо Q
локально. Дистрибутивное справа локальное Кольцов должно быть
цепным-справа кольцэм [2]* По теореме I получаем, что выполняется
условие (б), - .,
Литература .
I* Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.': Шр, 1966. 544 с.
2. Stephenson К ModaCes tfhML £аШы of $t/6moetu£e$ is
cUstu>S<dlire jf Ptoe-loncton. tfaiASoc. W4 V<2S .#£.
P.89t-J£0. :
2t?

®s
" О ПОЛУГРУППОВНХ КОЛЬЦАХ
А.А.Туганбаев - '!.';
Все кольца предполагаются ассоциативными и о ненулевой единицей*
Пусть А - коммутативное кольцо, G - моноид, R = А б - монридное . *. .,
кольце. В [ 1J получен критерий правой дистрибутивности кольца г~
в случае, когда G- моноид с сокращениями. В теореме I данной ра*.-*-
боты получен критерий правой дистрибутивности кольца R з случае, >\
кегда (т - строгая полурешетка моноидов с сокращениями, и регулы, -^
ных моноидор Приведем используемые в теореме I определения jzro6o~v
значения. Модуль называется дистрибутивным (цепным), если решеткач'
его подмодулей дистрибутивна (является цепью). Моноид (кольцо)\я£~\
зывается регулярным, если в нем для любого его элемента 4 найдетод
такой элемент Q , что $ * 4 $ «? • Моноид называется моноидом ,;■
с сокращениями, если-в-нем для любых элементов 4* %у&< любое из'- ''*
равенств «f & = Q& * Щ ~ ty влечет равенство 4 я % • Полу-;'
решеткой называется коммутативный моноид, все .элементы которого ;
идемпотентны* В полурешетке <£> задается естественный частичный
порядок так, что I ^j<~> ti - ft при t, j. € <£> , Пусть <§D -поду^г
решетка, <£ '- моноид,-являющийся объединением множества t£i};e£>>\
йапересекаю'дихся моноидов &; , причем:, (а) если I, j € &> , a *j\ »;>
то определены мсноидные гомоморфизмы *£.': &4-*-&- , тоадестзенные -\
при t =ft ; (о) 4Jn 41- = *С Щ>и~1 *'j * т. ; (в) если '§^.6^;
^ € 6j , if*<m. , *о fc ^ « |;C fr) ^ (^) . В этом слушав .;
б* называется строгой лолурешеткой моноидов &.- -. Если А - комму-*
тативная алгебра над нолем рациональных чисел Q , Q (£^) г??0?®'^
получаемоо присоединением к полю Q примитивного корня" из. единицу
цы &ъ степени п , то через А (6^) обозшчаетря кольцо /\V-*
А Ф ^Gt (£«,). Гамильтоновой группой называется неабелева группам '
у которой все 'Аодгруппы нормальны. Через T(G) обозначается мяог\
хество всех периодических элементов группы & . „ч
218 .

Теорема I. Цусть А - коммутативное кольцо» 6- .- монсид,
являющийся строгой полурэшсткой моноидов с сокращениями а регулярных
коноидов. Тогда правая (лзвая) дистрибутивность монолдного коль-— ,
да А б* равносильна томул что & - строгая полурешс,тка коноидов
G^ , j е£>, причем для любой лары (A.S-p выполняется одно из
следующих условий:
(1) А - дистрибутивное кольцо,.6v - периодическая абелеза
группа, причем если М - тксимал£иый идеал кольца А-» скаг (А/М) -
« р >0 и группа &-. содержит подгруппу Н порядка р ., то
локализация Ам является полем и в &1 «от подгрупп, изоморфных
группе Нх Н, ;
(2) А - регулярное кольца^СЗ^ - коммутативный моноид,
обладающий абелевой непериодической группой частных F; • к содержащий
T(F;) , порядки всех элементов из T(Fj) обратимы в кольце А ,
причем^ если ~ - контрящая на &j t определяемая правилом
g ~ ft, <~> $ - 4t , где t ^T(Fj)t то фактор-монояд ^/**
изоморфен либо подгруппе аддитивной группы рациональных чисел, либо ,
конусу нестрицательнкх элементов такой подгруппы; . - » ' ,
(3) А —дистрибутивная алгебра над полем рациональных чисел
Q , 6: - гашльтонова группа, причем если «ъ - люоое нечетное
число, 'являющееся порядком элемента из Gj , то А(£») - дастри-
бутивчое кольцо и для любого его максимального идеала М в поле
А (£*,)/М . уравнение, Jt^y^+a^C имеет едюгственное решение
Пусть~Е£~- кольцо, являнддееся аддитивной прямой суммой колец
R i , индексированных элементами иаяурететка , <© \ прячем,, если
t, j е 5), \t * \ , то определена, кольцевые гомоморфизмы 41 * &1~<~ %h
тождественные при * -^ - и удовлетворяющие условия;*, аналогичным
условиям ^6 * и^в'1 из определения строгой полурешетки шноидсв.
Тогда R называется строгой полурешвточной сумшй колец R • ч Если
& - строгая полурешетка моноадов ©> * то естественным образом
моноидное'яольцо, А в ^является строгой полурешеточной сушой
колец А в- .Через- К (А) обозначается алгебра кватернионов
(Нг*)/А) над комиутативккм кольцом А , то есть свободный мэ-
■ дуль над А со свободами образуюндаш 4" t, j } k ,' в котором ,
.ушюкение задается, так, что 1 - обшая единица колец А и К(А),
>f -t k ~ ^';.- Лсрез max ( N > обозначается гоюяестзо всех
максимальных лофюдулеД.модуля N /Если М --максимальный идеал
центрального унитарного подколы», & кольца А , то через Ам
^обозначается кольцо частных кольца А относительно Ь> М •
219

Лемма I. Для кольца А равносильны условия:'
(а) А - дистрибутивное справа "кольцо;
(о), для любых двух элементов т,гь кольца А найдутся такие ^
элементы а, 8, с, d € А , что i - а + €, ir-a - vie , *v£ * met j *
(в) для любых двух элементов кольца А найдется содержащее их
дистрибутивное справа унитарное подкелъцо кольца А ;
(г) все фактор-кольца кольца А дистрибутивны справа.
Доказательство/Эквивалентность условий (а),(б) следует из
теоремы 1.6' [2 J. Стскда вытекает эквивалентность условий (а) и
(в)у. Эквивалентность условий (а) и (г) очевидна.
Ломма 2 [2 J. Все идемпотенты дистрибутивного справа кольца
центральны.
Лемма 3. Пусть А - строгая полурешеточная сумма колец А г, ''
/ьч©- Тогда равносильны условия: *~ \
(а) А - дистрибутивное справа кольцо;
(б) все кольца Aj дистрибутивны справа. "< V,
Доказательство. (а)=>(б). Пусть je<£> f t - единица кольца; ,ч
А;* являющаяся по лемме 2.центральным идемпотентом кольца А , v
• Т~*£. А:. Тогда tA~ £. А.- , tA - дистрибутивное справа '/>■
кольпр,^Т - идеал кольца*НА i A: srtA/T . По лемме I Ay *:/
дистрибутивное справа кольцо. - < • I
(б)г=^(а). Пусть m,neA , б - такое конечное подмножество v"'
полурешетки &> , что т,пе Z>ee. А; > Е ~ конечная подполуре? ~; ;
шетка в с& , порожденная множеством G, 6=Z€E А.— строгав ''*"
полурешеточная сумма колец А: , д[6 Е • Так как В^П-^А/, ; j
то кольцо В дистрибутивно справа . Но лемме I кольцо А дастри- Ч
бутивно справа. -'[ :,'д
Лемма 4. Пусть А - кольцо, в - моноид, являющийся строгой полу^'
'решеткой моноидов &.* > ^ € $> . Тогда правая дистрибутивность кода i
ца А & равносильна правой дистрибутивности всех колец A&L .7 j
Лемма 4 следует из лемма 3. . . • * v" \V
Лемма 5. Цусть А - кольцо, 6 - регулярный моноид. Тогда равное :<\
сильны условия: .;■'--.. ■ '
(а) А& - дистрибутивное справа кольцо; •. ; -.-"♦"Vr!; -!
(б) 0 -строгая полурешетка групп G; и все кольца А©£ ' ":'*- '
дистрибутивны справа. * - ~ ...v'* ''
Доказательство. Йигашкапия (б)=£>(а) следует из леммы 4.^ --'','
(&)=*? (б), щ лемш 2 следует, чт> все идемпотенты рехуляраого .
моноида' G центральны в нем. Тогда О - инверсный моноид,- вое- \ • <
односторонние идеалы которого являются двусторонними» и, оладрва-
тельно, G - объединение групп f3. С. 1737* Тогда G -'ро^еда- .
220

I венке групп с коммутирующими вдемпотентами и* следовательно, &-
I строгая полурешетка групп /"3. С. 172./. По лемме 4 все кольца
! 9\ &: дистрибутивны справа.
I Лемма 6. Для кольца А и моноида G- равносильны условия*
(а) Аб- - дистрибутивное справа кольцо* в- - строгая полурешьтка
регулярных моноидов и моновдов с сокращениями;
I (б) & - строгая полурешетка моноидов с сокращениями <•** i^fy
1 и все кольца А& дистрибутивны справа. \ f
Так как группы является моноидами с сокращениями» то лемма 6
следует из лемм 4 и 5. }
Лемма 7* Цусть А - комцутативпое кольяр, & -моноид» Тогда.
I равносильны условия:
I- (а) AG - дистрибутивное справа кольцо, &- строгая лолуреше*-
] ка моноидов с сокращениями и регулярных моноидов;
1 (б) & - строгая полурешетка моноидов с сокращениями &. >j€<£»
1 причем для любой пары CA.Gj ) либо выполняется одно из условий
I (1)*(2) теоремы I» либо- А - дистрибутивная алгебра над полем ра*-
1 ционалышх чисел Q, &; - гамильтонова группа, причем доя любого
| нечетного чибла rv,; являющегося порядком элемента группы бу*; ай-ч
] гебра кватернионов над А(£*,) дистрибутивна справа.
Лемма 7 следует из леммы.6 и полученного в £lj для ковадута-
1 тивного кольца А я моноида с. сокращениями & критерия правой дис~
I трибутивности кольца А(Ьг . ,
I * Предложение I. Цуоть А - кольцо f <S - моноид г яьляишйся стро-
1 гой полурешеткой моноидов-с сокращениями <Э; , j с- & \ щ>ичем
1 'кольцо А& дистрибутивно спраьа..Тогда: '\"'\
1 (а) либо Сг - кощутативный моноид* либо А - алгебра над полем
I рациональных чисел* и среди всех Gv есть гамвльтонова группа;
| (б) если среди всех моноидов Gj есть моноид, не явдяшиАся ни
1 гамильтоновой гругаюй, на иердодичеокой абелевой группой* то А. *•
; коммутативное регулярное кольцо..
I ; Доказательство. В теореме,2 работы £lj доказано* что/если А *
I кольцо, & - моноид'с сокращениями, не являющийся периодической
| абелевой группой, причем кольцо А Сх дистрибутивно оправа*.то
1 -либо А > коммутативное -регулярное кольцо и&- коммутативный
I моноид, либо'А - алгебра нпд полем рациональных чисел я (у. -
| :га!.!ильтонова группа.: Отсюда & из лзмгды о следует предложение Г.
1 ;'•>„. Предлокение 2. ]^сть А - кольцо, Сг - моноид, язляюлийся стро^
1 Г4 Гой полурещеткой менолдов с сокращениями <3у ,"./*£> , причем все
j >. &l не являются периодическими абелевыш группами.^Тогяа правая
я , Дистрибутивность'кольца AG равносильна толу, что для любой
22t

пары CA,G") верно, что либо А - коммутативное регулярное кольцо '-
и для (А, <5^) выполнено условие (2) теоремы I, либо А - ддст-~ -
•рибутивная справа алгебра над полем рациональных чисел .Q ,
причем . 6: - гамклътонова группа и для любого нечетного числа п, 9 *
являющегося порядком элемента группы &,-, кольцо A <^/.K(Q(£llj)
дистрибутивно справа.- - -.
Лело/в 8 [2]. Класс дистрибутивных справа локальных колец
совпадает с кларсом цепных справа колец. * .
Лемма 9. Пусть А - такое унитарное подкольцо кольца R , что /
существует модульное разложение ДЯ * ДА Ф д М . Тогда: '*/
(а) если R - дистрибутивное справа кольцо, то А - дкстрибу-* ""
тивное справа кольцо;
(б) если R -локальное кольцо, то А - локальное кольцо;
(в) если R - цепное справа.кольцо, то А --цепное справа'
кольцо. - - " - /_
Доказательство. Дусть ■&: ДЯ—»-дА - естественная проекция,, v-
Тогда %*ti) ~1 , так как i £ А . .Вместо -il(t), ^при t £ R.
будем писат,ъ i . ^. ' - .» -/!-
(а) Пусть пг,п,£ А . По лемме I найдутся такие элементы ' ' • ?-
а,£, с, gIz ft_, что i -& + &, , гкия * лс , »г£ « игЛ ^ ;\
Тогда i = U + 4 , m,2l = *vC , rt& = m.ii .По лемме l к -*v'
дистрибутивное-справа кольцо. ' .. ,;? '-'
(б) "Пусть m*,rteA » m. + »v ={ . Достаточно доказать»-.чт4''.^
хотя бы один из элементов *vt,in,- обратим справа. Так как fit /??;•/-
локальное кольцо, то^ один из элементов пг, а , например *J*t.v'V'j .
обратим в кольце R • Пусть «fe ft , m.<f * 4 . Тогда т,,£'»2'ф'
и кольцо А локально.". v :*%,
Св) Утверждение следует из пунктов (а),(б) и леммы 8- ' ■-/%
Лемма 10. Пусть F- - группа обратимых-элементов юноидаЛб" jy^ *
• В - кольцо, R ~ Ьбг , А - &F , М ~ множество всех элемед~:^~
тов кольца R , в носители которых не входят элементы труощ^:г'у\ '
Тогда М„ является как левым, так и правым модулем над кольцом,:^ j
А, и имеют место разложения д£. - ДА фдМ , Яд« Ад.^Мдv^'/;;
Леьзла Ш прозеряетоя непосредственно. •.-.-'"■* .-I.'-.^
Предложение 3. Цуоть Ь - кольцо, & -.моноид,-F ~~?Р^^ЛШ?
обратишь алиментов моноида в , причем кольцо Ь& ^ листриоуг^^.
тивно справа.-Тогда либо F является периодической аоедевой v'^;;;
группой, либс>:Д- коммутативное регулярнее кольцо и F - Q&^&PiSL'.
непериодическая группа, либо 6 - дистрибутивная справа алгебрй^д
• над полем рациональных чисел и F - гамилътоыбва группа* №^%?$ -
того, кольца &F \ дистрибутивно справа* * ' У'Ъ&'; *
" ";' ' 222 - - " / -^f" •

Предложение 3 следует из лет 9(а),ГО # предложения 2. -
Через <f(R), &($>) » U(R) обозначается радикал Дкбкобсо-
.,на, центр и группа о братзмых-элементов кольца R . Кольцо
называется инвариантным справа (слева), если всё его правые (левые)
идеалы являются идеалами.4 Кольцо ;< называется» специальным, если *
в нем уравнение а^^и2-* 3LJ* = 0 .имеет единственное решение.
Лемма II. Цуеть F - поле, c<la*,(F)*<£ tT»K(F). Тогда:
- (а) Т - простое кольцо, причемТ является телом тогда и только
тогда,когда поле F специально; '
(б) если кольцо Т либо дистрибутивно справа, либо специально,
то X — тело, а поле F, специально- *
• Пункт (а) леммы II доказан в /"4. С. 28,29.7. Так как дистрибу*:
тивное справа простое кольцо является телом f2j, то пункт (б)
следует из пункта (а).
Лейка 32.* Пусть G ~ алгебра кватернионов над коммутативным
кольцом А о каноническим базисом { i, I; j Д} ,0*t »t0*tii+4,y*'^ici
где V^A , eL-tt + tt + tjHteA, -{- W- Ы- t3K. Тогда:
(аУ для любого идеала М кольца А кольцо ц/MQ изоморфно
алгебре кватернионов нед А/М i '
(б) для любого М * mai'(A) кольцо частных QM изоморфно ал-^
гебре кватернионов над кольцом частных А ^ _ ;
(в) -Ц - «ft = cl € А , и, следовательно," обратимость элемента Л"
в кольце А влечет обратимость элемента t. в кольце Q ;
Сг; если- ъп e
tt<A); ЪЛ^еЗ'СА), то teil(Q);
(д) если t. t±,U,t,€'3(A)> Ta;i-teU(GV
(е) QKA)6 Я 9(Ф; •■.•'.
(ж) если А - специальное кольцо,.то Ж ФО .
Доказательство, Пункты (а),(б),(в) проверяются непосредственно.
Пункт (г) следует из пункта (в) и включений tc^il(Mri\'¥tt^t\eK^\
Пункт (д) следует из пункта (г)t примененного к 1-t ? Дункт (е)
следует из пункта (д). Докажем пункт <»). Пусть xe^tj-^t^tfet^*
+iJ,5l«t.t5*tftjU^tt*iJ'+ti. Допустим,, что <£-0 ". Тогда ^~-£ л •
. непосредственно проверяется, что xt+y*- + £*V~0 . Так как кольцо— .
А специально, то 0«*у* tf ♦ t|,C« <*г tJ4**. 0^i~V ; *|
О = t0 = t^ 4 Тогда "t -О и получено противоречие, -'
Лемма 13, Пусть А - коммутативное локальное кольцо с обратишй
'двоякой, в-КСА). «»1(А>. F-A/M,T-K(F),0*/t = *o +
\"^+"У *"4Kt где ^£А, причем Т язляетея либо дистрибутивным
справа, либо инвариантным справа кольцом* То-пда: .•
' (а) Т - тело, c&atCF)* р*Х, поле F олецкально, кольцо Q
локально;- ,
(б) если хотя бн один из элементов "t^ не лежит в,М , то
223 ' - "

-';"#!
(в) если найдется такой элемент #€ А , что 5Г.в t-A --вA t
то +Q -Qt = 6Q - идеал кольца Q ;
(г) волк А - цепное кольцо» то Q .- цепное инвариантное кольцо%
- Доказательство, fa) Так как А * А,А , то р *Л '. По лемме ,
11(6) Т - тело» поле F специально. Локальность колыр. Q еле-V
дует из ляммы 12(a),(э). .%
(б) Пусть d - t *+*г ♦ tji ♦ ** • &: A—* F - естественный ешшор»
фигм. Тач как по пункту (а) доле F специально и хотя бы один аз -
элементов 4>И{\ на равен нулю, то по лемме 12(ж)А(с<ЬО.Доэтому
rf€ 11(A) . По лем^е 12(в) t € U«3) . <;
(в) Цготь -б*2^с*1<*,: , Ъ«% , где d^y{eAJ Так как;'\Ч")
-вА * SM , то хотя бы один из элементов Л\ не лежит в М а -'!
поэтому обратим в А . Поэтому i = U& -£и , где и - кватернион,
у которого хотя бы один из базисных канонических коэффициентов .
обратим в А . По цуккту (с) и * U(0) . Тогда tQ ш €Q »Qt - -f ]
(г) ; Пусть S.tfcQ . Достаточно доказать сравнимость по вклеь
чению цравых идеалов sC5 ytQ , поскольку инвариантность кольца
Q еяедуэт из гункта (в), Это вытекает из пункта (в) и того, чтр '/
все конечнопороаденные идеалы цепного кольца являются главными.
Лемма 14. Если М - идеал кольца А • то специальность кольца
А/М равносильна тому* что для любых элементов 4,^,3е А
включение а?>^Ча^е М равносильно включениям хе М ., « € М fа бМ ^,
Левша 14 проверяется непосредственно.^ . ч V; .,-.
Предложение 4. Цуоть А - комцутативнее кольцо о обратимой
двойкой, & - К (А) . Тогда равносильны условия: • "; v ;Л
(a)Q -денное справа кольцо; - -'ч;
(б) Q - дистрибутивное ецрава кольцо, А - локальнее кольцо; ; ;
* (в) Q - инвариантное справа кольцо, А - цепное кольцо fV~; '••-% ,
(г) А - цепное кольцо» причем дяя любых элементов ос.^аеА\Л\
включение л?-^*<£*еМ равносильно включениям лсеМ,Че№,£*^Г
(д) А - цепное кольце, а поле А/3(А) специально. ^
Доказательство. Цусть М ЖЗСА^ F * А/М.» Т* K(F) 1^^ Кб^ьцр :
Т изоморфно по лемме 12(a) фактор-кольцу кольоа Q, причем .фактор-
|юльца дистрибутивных оправа (инвариантных справа) колец даотрио^г-*
тиены ецрава (инвариантны справа). По леммам 9(в) и 8 можно без .v-
ограничения'общности считать, что А - цепное кольцо. Так к^к.;'• -\
А =АА f то c|a*.(F)#A. по леммам II и 14 можно считать, Щ
Т -тело. По лемме Й(а) кольцо & локально. Эквивалентность ус~
, ловий (а) и (6i, следует теперь из леммы 8» Эквивалентность уело-
вий (а),(в),(г),(д) олёдует из лемм 13(г) и 14.

Лемма 15 [bj. Правая дистрибутивность кольца К равносильна
тому, что для любого M€may(2(ft» кольцо £^ дистрибутивно справа.
Лемма 16- Пусть А - коммутативное кольцо с обратимой двойкой, *'
QSK(A^. Тогда равносильны условия: * ,
(a)Q - дистрибутивное.справа шШф;
(б) для любого М^пгЛЛ(А} кольцо К(АМ) дистрибутивно справа;
(в)К(А^) - цепное справа кольцо для любого М*млх(А) ;
(г) для любого М * max (А) верно, что А^ - цешюе кольцо, а
поле А м / ^ (А м) специально; - % '
(д) А - дистрибутивное кольцо и для любого Мё №&* (А) •■ поле.
А/М специально.' ' , ' . " ,~« ,
Доказательство. Кз обратимости двойки в кольце А следует
обратимость двойки в кольцах А ^ для всех MemaxCA)., Kpotoe того, все
кольца Ам локалыш и А/М * А^/ЧСА^). Теперь утверждение
следует из предложения 4 и,лемм 8.15.
Доказательство теоремы I; Утверждение следует из лемм 7 и 16.
Литература ,•'■"* ' ч '
I. туганбаев А.А. О моноидах кольцах // дбелевы груши* а
модули. Вып. 7. Томск: ПУ, 1983. С. 124-130. * ♦ ^
~2. Steptertsoiw W. M*fc*&4 wucse £аШ<* *( $«Amc^eu £ «tfrtit
4<*tttfL // ptcc;LoK^-t Watt. Soc. 49?V. V,48 »К*4.Р«а04-Д*О.
$♦ Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория шщгдуш.-ХЛ.
М»: Мир, 1972. 286 с< -- "*- - / '. . '"• : \; ^-~
4. Шрс Р. Ассоциативные алгебры. М.;: Шр, 1986/ 544 с\; ..'у ?
5. Туганбаев А.А. Кольца с дистрибутивной^ структурой идеалов //
Абелевн группы и модули. Вып.5. Тоглок: W* 1986. л
С.88-1Ю4. -
225

к шпросу о cbb^wi сально НсРАЗУЮ^аш //ю-г?лт ;;: '
Т.М.Флешер
, В работе "Об одном классе абелевюс гютпп без кручения конечно-
го ранга" [I] пои доказательства некоторых теорем были допущены
неточности. В настоящей статье эти погрешности исправлены. В рабо*
те приведены двз теоремы, в котошх изучаются строение и свойства
некоторого подкласса сильно неразложимых $р$ -групп. Они
являются исправленными вариантам*; теорем 3 и 5 из [I] . Все
определения и обозначения взяты из [Ij • Напомним лишь самые основные из
них.
Дусть 6 - абелева группа без кручения конечного ранга. Jvtfi-
ее группа автоморфизмов. Г & AvtG ^некоторая подгруппа груп?
пы с>зтсмор5измов. Назовем подгруппу Л ' гоуппы 6 Г
-максимальной, если она состоит из всех тех элементов леб ; для
которых" А(&) -О, при любом d€ Г,
Следуя fJ] , назовем последовательность 0яР0 к Pi<... *-Рлш6..
последовательностью обобщенных псевдсцоколей группы 6г •-'Здесь/
Рк - сервантная по.дгруппа. лорояденная всеми минимальными по .
модулю PXmf сервантными вполне характеристическими подгруппами.
(pfi -подгруппами ) [2*1 группы $. . ^
Группу вг # У которой обобщенные псевдоцоколи и только они
являются Г -максимальными подгруппами, назовем fpS -группой.
Следующая аеорема дает ответ на вопрос: всякий ли обобщенный
псевдоцоколь сильно неразложимой fps -группы реализуется как яч*
ро некоторого ее нкльпотзнтного эндоморфизма? ; .
Теореыа I. всякий обоб;ценный-тПсевдоцоколь сильно неразложимой-
fps -группы 6 с Рл является ядром некоторого ее нильпот^нтно*
го эндоморфизма.
<
226

Доказательство. I* Покажем сначала, что сильно неразложимая
fps -группа S" Рл имеет нильпотентный г доморйизм у с
ядром, равным Pj .
Действительно, пусть О + х^Р^ Р, • В £з) доказано» что
для любого #*$ ч Pf существует такой №£(6} 9 что №)*&*
еPf и Л to . Докажем» что в нашем случае Y* #(£(£)) ^Яаж
узе отмечалось в £Д » каждый эндоморфизм сильно неразложимой
группы либо нильпотектен, либо есть мономорфизм, а? значит,
квазиавтоморфизм. Если теперь предположить, что f$ fc(£(6r)) » то У-
квазиавтоморфизм, то есть существует f^&Q^n f~'(CL) *Ж . Ддя
некоторого целого числа л имеем Af~f€ £(6J и nf;f(a)*/tx.
Tax как ^ Р/ , то а ьхф Pf , Получим противоречив
с тем, что A- /j/i -подгруппа группы tf • Таким образом, 9&АШЛ
Tax шкШй£))*Ам&с£ , то Jfcl * «ft ^ . Очевидно,
хё Ket f , то есть ^е ^ *«• f7 # В силу предложения 2
Ш будет Keb<f*Pr.
2. Покажем* .что существует нильпотентный эвдомор&изм j? с ддром
Я^ | удовлетворяющий следующему условию:
(VxeGMxePi v^*> -*<Pfr>ePi4 * P£mJgy], ^7S. <#>
Дяя любого xePz \Pf и любого **е ЛШ?)) с **t f * Р,
имеем f(X)e Pf [21 и ?<*) *tf f так как 4Г^ *** Jf. .
Дусть К* 5 - такое целое число, что условие С*) справедливо
для всех i < А и всех нильпотеатных эндоморфизмов с ядром,
равным Pf • Из выше доказанного следует, что К по крайней маре
равно 3,
а) Предположим, что существует ^еР^\Ркч и f€Hi£(S)),
ддя которых условие if) не выполняется, то есть №Ое Р*{*Р*-11
и t >i . Покажем, что **2 , • Предположим противное, t*t . ТЪг-
да *-/ > / и -*-**/ «*-/ . имеем ¥**" сху « 0 . но y^fV
I6 .0 для любого jf€ Pjgmf v /Vje d силУ индуктивного пфдположе-
ния ?gm]fJtf> я° и зта степень минимальная . Таким образом,
Хег f' имеет ненулевое пересечение с Рк > А^., , но не
содержит Рхч , что противоречит определению ft>£-группы.
Следовательно,. t*Z.
Покажем топерь, что для любого ^РА s P*.f будет /^J*^***^-
Предположим противное> Wyjc/V* чЛг-*-/ * *+* $ например,
S >1 . Проводя для и *е же рассуздения, чро и для Л (см. пре-
'(X)
227

б) Предположим теперь ♦ что для любого ff€A((£(G)) будет JJ^x^
^^.^^'для" всех ХС Рк > Р#ч Z Рассмотрим подгруппу ~S -манн—
.малькую по 'модулюP^f p$L-подгруппу группы & . Цусть ^»<£*р V
..., Х0яХр*%-Г максимальная линейно независимая система эдеменн'
тов из J fpK^f % Тогда существуют такие мономорфизмы «(*>■•• &/Р£(6)-
что d^yV^a^^d^X^X^a^ , где a^PK47^^P',K^rJ
некоторые ыелке числа [2] . йсли теперь d - произвольный ,моно- :
морйизм; то d(X/)m viS^ А/если бы #€PK„f % то аналогично пЛ /
показывается, что 4еМ{Е\»Ь • Обозначим 6**1 ,К*К<*'Кр) к'**^^ % .
•иг^/ ••• А^ ^/ тьгда для некоторых целых чиоел fiijnit~.ttofi имеем ~f*
Зцесь а,б€ Ркч , K4*'i} b^Q-Zm^la^ или С**** -£т£ K\dL >(*,)*
я*£Рк-4 • Тогда аналогично началу доказательства!теоремы можно по4
хазать, что */7<* ~gf**i *[*i "feMffifa *"*d =£ mL к\ d) >
Рассмотрим подгруппу A*<P*r£,dj(x),...,d/,(x)%, гдеиге^'Л/^ Ч
некоторый элемент. Покажем, что А - минимальная по модулю Р^г
/V тподгрупиа группы 6 .А сервантна в 6 до-построению*;7.
Покажем, что,*] вполне характеристична в # \ Так как Рж;ж "fifte
подгруппа группы & ., то достаточно показать, ччх>/&/(*))€ Ab*J
для всех /е £($). ' ' ' . V^'v;^
Золи £*//(£($)) , то в силу предположения п.бн шеем/#/#))*
*4ае<^ • ^^^ (Г " мономорфизм, *Q'*fwft*£*i+f у тьО'#Луг£
целые числа, яе все равные нулю, %еМ(Е(&У) ♦ Имеем ^1^£Щ^^
*&Ь*;*£(*)» Так как d£fdj - мономорфизмы, Tfyd.,di ^. также. юю*.-:'
моюфизмы для всех J = /7p • То есть h^jd^xi^d^ +#,- V;*4F:W
**J ш t^fal1*»*** Следовательно, А - /# * - подгруппа группы £.»
Предположим, что Л «не минимальная по модулю Px„z pft-щяг, ,
группа группы Sr . Тогда существует минимальная по модулю Лъ$
/>/г -подгруппа А * А ± Очевидно,, Ar^ PK.Z 9 Пусть £<iM %^V**V
Тогда /па - zLn*iditx)+ 6 t где /М m,/nit...fmp - некоторае це^
лые числа» *6e0x-z ♦Очевидно, Хф А' , так как в^щютив!^ :
случад АЛ<Х),...^М)£А' и ^'•^^ . Заметим, что^>*/*#>**.
eAr(J$"i4i(*)sfa(l-f€Af)щ №лее, /-<£/**«</ - мономер|изм,,по>«^^
^ - квазиэзтлмечрфйзм г^уппы^ *Г Следовательно, с^ествуйу^ ;г
&£<&)* ДГ»^^#^)Ч Для некоторого целого л?*<? теек^^^^
пг*е £(£), m ^о /^яиворечит вполне характеристичности лодгрУ!^^
Д* » Таким образы, >1 - минимальная по модулю /^ *! ^ ^0ДГР!>*;.
бпа группы ^ .. Следовательно, по определению обоб^еанях псев^^
цоколей группы, G , >f^ />Хв/ ♦ С другой сторо?ГБг.- Д имез*
• -" й

левое пересечение с Рк N Р^., ' , что невозможно.
Следовательно, существуют такие ¥>еАГ(£(6У) и <*€Рл*РЛЧг что Ф(х)еРхчкРк<
в) Если Кеъ у* * Р, , то f удовлетворяет условию («•) для
всех £** . Покажем, что Р<У)еРпк%.£ ДО* «зех |^^ч/*-/.
Предположи» противное, 9<^)€:PK^s^PKwSm1 и **/ • Тогда #*
=Р<У)9 но P*'SH(x)4>Q , что противоречит определению//ы-
группы* Таким образом, J^ удовлетворяет .условию (*) для всех
. 1*К . Если Afrt ^ > Р. , то рассмотрим эндоморфизм ф+ ф.
Очевидно, Ket,t¥ + py* Pf . Следовательно9 f + V
удовлетворяет условию L*) для всех *** • Кроме того, (r+*p)ix)€
eP*iSfK-2 » так и»/*)*^/^^^/* 'V* \- Таким образом,
Vt я *t f V удовлетворяет условию £*) для всех /**.
Пусть Кi>K - такое целое число, что ifff удовлетворяет
условию {*) для всех /<л> , но Vt<*)€ рк,-t sp]c,-t-t №* некотоР°го
tePjcf NAy-/ и £ > / . Аналогично п.?" показызается, что
г) Предположим, что f ttjc Р* ^ >> P^.j для всех $еШ(&))
ъ всех яеРХ/ v р^ш/ " # Рассмотрим подгруппу 5*<Лг,-***/*0,...,<{Я£
для некоторого *€ PKf \ Р^ ч # Б силу строения 3 сервант-
на в (? . Покажем, что она вполне характеристична з 6 .Это
показывается аналогично гиб" . Получаем то же противоречие, что и в
п.,0" » Следовательно, существует такой Ре ft/(£(&)) , ч*го£(/с)€
^./^для некоторого хеР^ s /**,-/ • Рассмотрим эндоморфизм
<f/'f + * ♦ Если для некоторого V€PZ ** Pi meeu(p,*'f)(y)*0J
то рассмотрим эндоморфизм 2(pt*f . Тогда tefb+'fXf^CfttfW)*
' t^iy)* 0 . То есть Kettefy+f4) » Pt и 2^ +$
удовлетворяет условию (*) ^для всех с<К . Заметим, что тогда
Kettm<pf +jf)= Р^ для любого т > / и mff -с £ удовлетворяет
условию (*) для всех i< к.
Пусть **<**,, yePL * PL4 " . Тогда Р/*у)*ЗУ5*<**>Х
1biBm(2p,'lrXy)ePteKP&-tfcfiim'S'Z) ..Если *** , то
WftyePl-1, ч */•* -Если *-*, f то #V^^^
fiypP^b* и "»0 fWp*p«r( х рк,-г ДЛЯ нвК0Т°Р°Г0
/Я »J . Аналогична п.аГ показывается, что ^я^*-/» удовлетво-
ряет условию (*) для всех i*Xf и некоторого /Я£/.
Проводя такие рассуждения далее и учитывал9 что & имеет
конечное число обобщенных псевдоцоколей, получаем, что существ/от
эндоморфизм £ ° *ег? * Pi » удовлетворяющие условию (О.
Зс Рассмотрим теперь эндоморфизм я** • ^° условию (*) для
любого Л€Р£ n Р/-#/ имеем ^1(К)еР^ Р£.3 » .то есть Кег£*Рг.
%одолжая рассуждать так далее, получаем &ъ?** PL доя за°ат
бого Is i9fu . 1еорема доказана.
229

Рассмотрим строение одного из подклассов класса сильно
неразложимых fps -rpyna- Введем необходимые определения»
Ряд Af < Аг < ... < Ат pfl-подгрупп группы G назовем-
композиционным, если A i - минимальная по модулю А& pft -подгруп-
па группы & U *Я,/я).
Ряд Af < А#< ... <4* р/l -подгрупп группы 6г назовем рядом
с уплотнениями, если А[ не является минимальной" по модулю^/у,/у?-
подгруппой группы Qf хотя бы для одного 1*&Г* .
Пусть G-^P/t , А - ее произвольная подгруппа. Назовем
последовательность АпР0 $ А п Р1 * ... 4 An Ph строгой, если АпР^
<А nP-tf ддя всех / в 0, /r-V ^ и нестрогой в противном случае;
Заметим, что доя любой подгруппы Л группы # существует
такое nL *п> , что АпР0< А» Р< <...< №ni*A„Pni.(*-.~A„P„U]
Назовем последовательность An PQ< >. < An Pni максимальной
строгой последовательностью для подгруппы А .
Будем далее рассматривать подкласс сильно неразложимых fp$^ .
П'УПГЬ удовлетворяющих следующему условию Ц] • '
(I) пусть ^e^'^j/Cr). минимальная р/с -подгруппа группы £,
содержащая X * уеРк*Ркч(к&пу*ктъ элемент, ччъ f$+u>#Alt)
чля всех целых ju ? о и аеРкч , Асу) - минимальная р/С^
подгруппа, содержащая у . ТЪгда если АСх) п А(у)*0 ^ то
Асх)*А(уУ * *'
Укажем некоторые классы группf удовлетворяющих условию (I) •
а). Сильно неразложимые группы, совпадающие со своими
псевдоцоколями.
б) Сильно неразложимые группы ранга Z и 3.
Будем говорить, что псзвдоцоколь группы 6 * Рп имеет полное
покрытие, если дли любого Х€ Р< существуют такие убР^Ъ <
и <feNLEUi1)tKeif--f>% что (рсу) * кх да некоторого числа КФО-
Заметим, что понятие полного покрытия у псевдоцоколя группы в >
некотором смысле" аналогично понятию вполне транзитивности" (транэи-
тиьности) группы без кручения [Л] ..Действительно, у вполне
транзитивных iтранзитивных) групп имеется "достаточное числр"
эндоморфизмов (автоморфизмов) . Такл.е и у группы с полным покрытием псепдоцс-
холя имеется "достаточное число" иильпотентиых ондомор^.нзмсз. '
Теорема 2. Пусть Gt * РЛ - сильно неэаэлэьймая* fpS-pV™™* ; .
удовлетворяющая условию (I) . Тогда Grs<&®Ai>« ♦ где О* < "^ , j
некоторое цолое число и • ' J
1) все А £ - pfi -подгруппы группы Сг ; .'•„.„'- f
2) роли ALn Р, < ... ч Л; я рл .(**>- максимальная строгая позя*\ ^
деятельность для А; г то все А; одновременно удовлетворяют ЗЛ" |
1*оуу из следующих условий: ■ '.-.'.' *;|
230 ' v6-^1

ZL) ряд . С* *) композиционный;
2/i) еели Р/ имеет полное покрытие, то уществует такое целое
число t >4 , что между А^Л Р.ч и 4i Л Р; молено так вставить t '%•
~i /Л-подгрупп, что ряд (* *) будет композиционным ijs1,ni}-
Доказательство. Пусть Хл£ Рп ч Рл^1 - произвольный элемент и
^€^ (£($)) такой эндоморфизм, что Кеь% s Pt ъ <f, удовлетворяв
k ет условию (*) . Шеей Xz = <f "'*(*„)£ £[хф Отсюда следует* что^^>€/}
и %(xz)*0.
I. Построение подгруппы /f/ .
Рассмотрим подгруппу £f°- ^^(хл)Ме £(&)># . Очевидно, С(р-pfi-
подгруппа группы 6t1Cy^Pi . Покажем, что £*^' - минимальная
/J/Z-подгруппа группы G ,. Предположим противное, пусть S*0-
минимальная pfi -подгруппа и S < С/ ., ф-t %i c^4tfi^xz)€Sfm£i/^
mdz<ffCX£)eCp\S , где oti,<<i - некоторые монс юрфизмы группы 6;Щ,м£~
целые, числа, В силу теореш* о квазиразложении (3] оуществует A'futiS)
и -£^€£(6) для некоторого целого £*0 # Ямеем в^/^ЦбГ/)^/*
Зто противоречит тому,, что 0~ /fcft -
.подгруппа группы 6 , !Еаким образом, £^? - минимальная pfi
-подгруппа группы Q.
Пусть Ху f...,xf*' - максимальная линейно независимая система
• элементов группы £j? и «*/*£,«(£,..., ^j^£(G) - такие ^мономорфизмы,
что <Li(fp)*SjX"* для некоторые целых чисел $£(i*ifW) [2] .
Рассмотрим элементы ^с^л)'л^г • Покажем, что .они линейно не-
. зависимы по модулю Я/ . Предположим, что £ ^iX^^a^e P/ 9 где
if/ "- некоторые целые ч$сла, не равные нулю одновременно. Имеем
.Таким образом, X jp,.... xf*1) лийейно независимы по .модулю Р1%
.Строив подгруппу Cf-<C'}!,Jtlfc..,Xp * Если л>3 % то для
элемента Х$*</?*3(ХЛ) строим подгруппу С?*m<Cf}9*,t*3),~,*m <**>>**
Если Л*^ , то пусть ^*f$^fy,)H строим подгруппу C^'^f^tCx^
"^т(Хц)>4ь • Рассуждая так далее, получаем подгруппу С^»<С}^,
Возможны два случая:^') VI ff (*»))€ Cy Для любого 1/^/f&tS))
и для всех £9Г^пЧ ;УУ) существует такой feA'tfCj})) f что
для некоторого £а/,^Л
^Случай </) * Покажем, что подгруппа Л^СР удовлетворяет
условиям I , 2£ теоремы. Аналогично доказательству того, что
элементы ^i(X£) (i*ipn) линейно независимы по модулю Р/ ,
можно*показать, что элементы *{/#;} (/*/,#) линейно независим по модулю/^,
ДЭД всегг /*£а < Отсюда С1^ П А = <?/> для всех/*/,'».
23*

Пок&чем, что каждая подгруппа Cf С/- /,л ) вполне характера-?
стична в G . В силу условия J достаточно показать» что^ЧОч^
*С,Ф для любого мономорфизма £€£(6) • Vteeeufy(xp)*j5i/jx!9m
"g(i^iix?) для но2соторых целых чисел £,£,,.-.,£т . Или t1(£t:4^
-%ХХ'?)'0, о^/Да ф-2: 4^- ^ , где АеНШбГ) ".Зри*.
тим, что з силу строения подгруппы ^^ достаточно показать, что
Jfa(X;))eCf} для произвольных i**,"*} /Я*>Л. й*еем ty<*t(*j))*
m£L*f4ilXj)+hL*iLX:)) . Так как <*г«*/ - мономорфизм, ^/ff^fd^
(1£Уг£г+&'з ' гдз А'*>{? " целыв числа» Ху^»*Ш(6)У . Обозначим
для некоторн
?tt<l<**C? * Wot
Покажем, что £/' - минимальная по модулю с; /}в-подгруппа ..7^
группы & (jvfP*) • *Р^к как ъяъърнгл <*f(Xi)f.:.,*a(Xj) линейно не* ;
зависимы по модулю CJf~Q f 4ot{Yjk,fQ)****• Бслк теперь Cf* - не • ;
минимальная по модуля? С}*4* fi/i -подгруппа группы & , то пусть
М является таковой. Очевидно, C(/^<M<Cf' и */*/£,?•'>)<>*. \
Ото противоречит лемме 4 fl] , Таким образом, Cj . минимальная по,
модулюCf^ у*//-подгруппа группы £ для всеху*/7* nCp*Af-
подгруппа, удовлетворяющая условиям I ,22 теоремы. Заметим,
что всегда Л,«/г.
Зела G * Af , то построение закончено* Бели & * Aj t то
строим следую?^ подгруппу yf^ • Предварительно докажем такую лемму,"
Лзлма 3. ifycf J*€£(G) n Ketj>*fy(f*0,n-O • ТэгдаЛ»?^/)-
существенная подгруппа вС/*~^. - . ' \ / ; :•'- V
Доказательство, Покажем.прежде всего, что каздый эндоморфизм :V
с ASPt-fT » Р, группы, удовлетаортоцей условиям теоремы 2, удовле-
творлет и условию (*) . из док&эс.тельетаа теоремы I следует, что-
для.де/&1/>, будет №,<**) ,..*,У<*м(Ъ)€Ц. Покажем, "tab эти
элементы линейно независимы. Предположим противное: 2* Л" f/#**. л-
для некоторых целых чилел $* *0 . Отсюда ^(^S^(X£))»0*
Так как K*bp-Pf .f.a л^ё/>г \,/> ,,«> £м*М£1р$ У";
(см. начало доказательства теорем. I) . ото противоречит выфду."
эндоморфизмов rf/ • Таким образом, &щ(ф{С?*У существенна^ по^ ^
группа в С\У. -:->-,г
.Пусть Р* - максимальный обобщенный псевдоцоколь группы;^: % '.,
на котором V удовлетворяет услоЕйю £*) • Тогда аналргидшэл'Ф6'.,
днот0*г!У показывается, что элементы 1У(* < tit )),...,№*(**№ %1У** .^
и ллнейно независимы по дедулю Р^ • Здесь *£и¥*1*л}* Р*. ес^!
Ут(Ф1С14*) - существенная подгруппа в С/*Р. .. \ . l > v
Пусть теперь №*,)£ ^'> . Toi^a JfrfW"W' **£:
23Z.

feC/ ^ Ct ~ / и Л Ф О - некоторое целое число. Инеем
VI **»< -6)»0 и ХХКН~6*С?*Ъ \Cf*> (*>£) . Это
противоречит тому, что Кеырж /$ \ Таким образом, каждый эндоморфизм
группы & с ядром, равным Я/ , удовлетворяет на С?) условию
( *) # В силу n»|SLM теоремы I каждый тако** эндоморфизм
удовлетворяет условию (*) для всей группы 6 • Кроме того, для каждого
такого эндоморфизма ф будет ЗМф/АЦ- существенная пец^руппа ъС^Р
Теперь очевидно, что если для ^М(ЕШ)),^£Ь^Р^ выполнено
условие (*) , то ec^b(Vx€ff)[(xee,sPx.f)^(/(x)eP^sp^^f)}t
то для него выполнено и утверждение леммы* Покажем, что для любого
¥€п(£(6У) с Неъц sPi,lti>f) выгюлнено обобщенное условнее*),
то есть условие '(*') . Предположим, что для XgH*CfH)*CW
будет: ftx^-XtfiCWxC^'kii >П . Тогда £я ?€$ (№У) с
MetY'Pt имеем f*'+lXj»A**tf€C** \ С^'4\ \ В
силу [2 J существует такой fa€ EQSr) - мономсрфкзмЛчтоу^^,)в^**/^/
причем U*t$m1.
Ддлее, Т*.*С*1нй Ч, г
f ... M0H0M0I&K3MA, , 4W^^^
для некоторого целого 3**0 и ^еС^ьС}*94* (U *&-/) .
Следовательно, (/* ?*"'й - */, fA/^* -З^/Х**"') -6г .
Продолжая, аналогичные рассуждения и учитывая, что $ имеет
конечное число обобщенных псевдоцоколей, получаем (^* ^ifiiT '-tytytfft
для некоторых целых чисел S/ f $f& . Тогда по определению fps*
группы имеемД J^ YMH~t4c/»'Q*S[ICi(,fH\ (i) , Отметим, что. ..
числа ^ (*«/,£) образуют строго убывающую последовательность»
Следовательно, ядра>зндоморфизмов //ДУ^~ ' U*h£) образдтют.стро*
го возрастающую последовательность. Поэтому Ketju §ifii y**\ l"%tJi
"febSffatf 1<Pji • Это противоречит равенству (t) .
Аналогично показывается, что ftxrfePx-es P*-£-t ДО всох ^ */'*/, л%
Таким образом, для любых нильпотентных эндоморфизмов нашей
группы выполнено обобщенное условие 6t) , а" значит, и утверждение
' леммы» - < • • • „ : " .'. , *
2. &к5ор исходного элемента для построения подгруппы /4^.
а) Пусть /^ - минимальный обобп^енный псевдоцоколь со
свойством <А-19РЧ\ * £ '» КО <*/,4fr-/># *$ • ЙСЛИ **»/ f TO
пусть Pi* <С?Ф Агф .~Ф А * >т к , где /z - минимальные £#-
подгруппы группы^ St • Тогда iff »<^Г^^ и построение закончено,
так как подгруппы Aj,..., А к удовлетворяют условиям I , Z& .
Вели пг>\ , то выбирав pz€P«zK%-t та»03» То/У**0**/
Для любого 0€ PA±-f >и любого целого числа А*0.
. б). Покажем, что /(fa*)#A, ДО* любого ОФрс£{Ц\
ггг

действительно, предположим, что QfftWn^b Аг и Р{а№гл
(1'б,Ь-Ош Ъг№/($*л)еРпг-1П А, * Ci <fl*~l ) . В
силу_леммы 3 имеем t?m 1р /А/ П P/tz) - существенная подгруппа в С/Л*т1^[
Отсюда Afr(faz) a fi(6) №p- некоторого целого А и S^Af,
Следоватетхьно, A(A^z"£)*of то есть Лу/ьг * S tu где <0е/>#<# \
Это противоречит условиям, наложенным на #пг. ' - :'.
3. Построение подгруппы Ар„ дчя случая j .
Пусть # - % **'*(fy )epz)% f *< (У* > * У* и рассмотрим подеру.
ппу Q-^l&yueч£)>*, (% - минимальная ^-подгруппа -группы
6 i Ясли CfnCfiO , то С*р -С«> '. отсюда VfUfaW,,
что противоречит ранее доказанному, Следовательно, С(рпС(р*0. - -
Построим подгруппы £^,... , С^*) * Az % полагая
W*(Уъ)*-»>*т%\**)>** Аналогично доказательству п.1 теоремы имеем ..
Ац(1рС*С® для всех £* (,п& , . Покажем, что Аг удовлвд*
воряет условию J для элемента "Уц& , то есть jMfoz)e jf^ v/jpoT
любого Jb€#(£($)) • Предположим противное: fi(y/tz) 4 А& ♦ Пусть'
^V г/^ ,./ KweeM рилАМ^*»*)*1*»^ sp"A-t-t (Условие(#>);
Здесь ДГ/r.,* ^""^ (Гл) , Существует такой мономорфизм ?€£($)> что
WfWWW + f , где £„£ />^w fwe; i'B-сйлу выборе,
мономорфизмов ^ имеем *(*2а */«*/ *// • ГДе 0*'>*£ - некото-»,
рые целые числа, Jtetf{£($)y .Если //^ (унг)* Ах -, и.
(tffi'-lSptyjdfAi . Возшшш два случая: V) (*{4>}~*$№рг)£
*%-lk \~iy . Но тогда (tftfrtyXxntfe р»&-1-1 и аналогично •■'
доказательству теоремы I получаем противоречие с определением fp$-
группы. Следовательно, 2#4y/-fy>^
л Afcfc fVe ^/ (j%>0 л* Тогда рассматриваем эндоморфизмы^
к <Р/ ^ . Рассуждая аналогично предыдущему, получаем эндоморфизме
Ъ*№(41),№%*А$фп %(fa)£At. . Напомним, чго^ф^
€/4< , Так как этот процесс конечен, то получим &tf(f(6J),fify/t^ff
№>*)**i) A KetJя 'Чч. • Тог*а <'frrL-t/f )(*<u)*o
для некоторого мономорЬизма f и гюлых чисел 5^ с *0 •ША•*"
(tfr^-tsftfrra , так как Ч *?гЪп.)еАц &№+&-.
Если теперь €^^Ы^Л1 • Т(? так ^у'/?^»)^"''-
будет ^ у/ /ул/ )^ ^ и >fi?t/r/ «£ (/>/? • *пв»ь берем в ;:
качестве эндоморфизма ^ эндоморфизм л»/,* и получаем, то йё
противоречие. Таким образом, подгруппа 4^ удовлетворяет уейовшо/ -..
и, следовательне, ^^Г - минимальная по модул» ^ "'^/^ тй<да1*^1?',"
группы ^ , то есть ^ удовлетворяет условиям I ^* ^ ,TOopeto» - ;?
Заметим, что Л^ и А^ являются минимальными - pfi^p^P^^^
содержащжди элементы Хп и fa соетзетствегсно*; Следовательно»^b^o^v.
гз4

условия (1^ будет. А< л Йг 90.
Предположим, что уже построены подгруппы 4//...;^с ,
удовлетворяющие условиям I, , ZL ?и они образуют прямую сумму. Построим
подгруппу As+f . Пусть <А<, -f/ls,%f ft"** , 1»<А{9...,АЛ9Рл^Ъ+* •
Выбираем элемент *лл,с>л^/#л/.< такои» 1П0/****н +аф<Ah.../s>^ для ™»~
бых 0>еРц$ц-1 и любого целого' числа JUfi О # Строим A&f так
же, как Ai(i*i7$) • Заметим, что в '^илу выбора элемента Z/ts+/ и Ус~
лов^ия (I) A$H^Ai90 для всех * "Л-* . Предположи, что Ait^
/?2Г ф/fy "3*0 . Тогда 3 - /Л' "-подгруппа группы & из силу И
3*Л&(ЗПА1У* с Другой стороны, 3*ASH , следовательно, Д**
любого элемента S^SoAi существует такой 4&Е(6) , чтем?"*')*
*t$l дх! некоторого целого /*0 , Пол/чаем, что AStf nAi&0,
это противоречит предположению. Таким образом, подгруппы A/,..»t"S+t
образуют прямую сумму, а в силу конечности ;Чнга группы $ имеек v
$*<£& Ai>t и каждая Ai удовлетворяет условиям I , 21
что ?(**)* С}9* . Очевидно, Ketf* Pf • Если ^ не удовлет^оря-
Предположим сначала, что существует такой фйН(£(&\
ет условию (#) , то рассмотрим эндоморфизмы Sfff(f} для всех цель»
чисел $j*0 . Яст($?^р)0(г)йС/0 для некоторого*? , то ЩЬуеС?
так же, то есть (^^ tp)(xz)£ С(Р ДО* всех чисел ^ • Аналогично
доказательству п.в"теоремы I можно показать, что существует такое
целое число £ , что fzsS<ff +<p удовлетворяет условию/*).
Обозначим Cf*'Cf* • Строим минимальную' /># -подгруппу (j2?**fl£*%Y
<<€£($)>+ . Очевидно, £/*/) <?#' *# . Если существует, такой J^e
ЫНЕЩУ) , что У$(Ха)Ф<С®,С$\ » то выбираем в качестве ty
эндоморфизм, удовлетворяющий условию {*) , и строим минимальною /s/? •прд-
rpvnny С«}*<Л Ъ «л)!* * Щ)>«, С*? 1<С$1 С% >+ - О либо ^С ,
Продолжая далее такие построения,' получаем, что существует if
эндоморфизмов ft ,./. , ^ , удовлетворяющих условию (*} , и £,
минимальных /># -подгрупп cf*,..., Cf^ , калдая из которых не неР606*
кается с додгруппой, сервантно порожденной остальными, причем й^&Э6
ьС%и**,1<)ъ№я любого feN(im>9№tp"Pi буде* МьУ*<Су$'
Рассмотрим подгруппу С/ ^* <£f'* 4/1<Ъ) г-,*т Сх£)?, ..
Покажем, что £^>- минимальная по модулю £/** р/с -подгруппа^г^У1141111
<г ♦ Действительно, если ФбЩ£(6)), то f*ieH(£(6)) (.(•*<>»*}
«J3 силу (2; V*i(Xi)GCt(v , Если £ - мономорфизм, то ^^ ^
йЛЧ» гдв ^>^t * Челые числа, he#(£(&)) . Отсюда ^(X/f^^t и
cp-pfi -подгруппа. Заметим, что X(^P/Sp)shi, следовательно* Е
235

оилу^ леммы 4 Ш С*у- минимальная по модулю С\ё pfi-подгруппа
Группы £. _ -. "у,
Вели &•£ , то обозначим С,а)*А, . Очевидно, At удовлетворяет
условиям I , 2LI теоремы* Вели A>»J , то гассмотрим элемент*,.
*??(**)€ Ъ * ^ . Очевидно, /** 0,<ДО <?/*> 5
е) Покажем, что ^г1Х5уф£$ау « Предположим противное, тогда
Ъ<*зУ * Ъ{ + гг , где '%,*£!**€?, гле£^ # в сипу 0>] ^
явствует такой мономбрйдазм fr , что J* ft(*j) */(*?+*', где %*?£*>
С ifi - целоа число, ТЪгда AVfc/Я '^ i Рассмотрим #*1№$1
Элементы fHg(x*) a jb*t»(x*) попадают в непересекающиеся шь
нимальяые Oft -подгруппы С% и £,* соответственно,. Поетому А *
-*fet£rg -*fcj пСрЪ-МШзУ'РЪ -У€С* • в оилу строения
группы^ п№*(/ггж-/%№*> •%/>•?* *V*j> для некого;
Р«* // € *Y£> • '1Ъгда Лг ^ V МЪ ■ 2>< К П/Рз > *т*\
лени» fpS^rpyntm. Но ^1ЛД /^ р, >А£ • Получили пр>;.>
тиворечие. Следовательно, £(x3)jt Ctu)\ : ;.' - _ ~\■■'. '};
^) Покажем, что J* %(**>* Cf} для любого fie £16) тажрзрр^
что frYtlh) +0 • Пусть сначала у* - мономорфизм, ииеемув^е
еИШб)) и Xetfift * Pt • Аналогично п#е' показьйается требует
мое» Цусть теперь Jbe/\l{£(6)) • ♦ Тогда Keif* Pi f так как в
противном случае у* £ (!*У *ч0 ♦ Таким образом, flf£(**)€$.: *
Предположим, что a fz(xsye £fu) ♦Имеем ftf*/)-£e^v/> и Л
^frp* С/0 * Заметим, чтоуУ^'Я^ £?' f для всех *ePf -;
и чисел ftfO . Действительно, пусть ftg+^bj** ё Тмсда. \
мх*6-а, , где $еС^ * £,со • из строения i^ynranf^имеемi/*i'*
& Sttiiri\ak£?fS- целое число. От^ш/идо>^ОД
*£« />, , следорательно, /Mfx'fi 4i*i Vt+Км, МНШ$У1,*:
Пусть teiA*?! .В силу п.с* имеем *М/^ "S А" ** Д*я^9»°трг
рого целого *>## и мокомбрфизмоз^Д . Заметим, что^/1/АЛ§А8,
так как иначе 9А(Хэ)е-С*Р ; Следовательно,3**A$fi%f?;.[
и XfrtJ*/^ # Отсюда f/iSfJp^^l^dir^yf^p^.y^^^^;
ткворечит выбору эндоморфизмов V/ и /*' • Вели же ifet Л|;1тЛ. t: *Р .
fSfjt tPM *£ Si *i % I Рг . Подучаем то же лфотиворе^
Вели теперь А(Ь) -. минимальная gfi -подгр^па^ группы '$\\ § Ф~
держащая Xz , то, о'чевнщяо, SftnAlXiy+Q , но С,*41*гУ- r :/.t
Это противоречит условию (I) • ^ ,: ' V. ,s 'V
Продолжим построение подгруппы AtoPp% Берем элемент://^(*;) /
и строим подгруппяС!*<4Г'Ъ<Ь)ЫеМ)*\С2-<*^
*тъ ,.:./$*<щъix>me£(m, г^.<^,„.,-£% >,; ^^
Это бурут минимальные pfi -подгруппы группы ^ - ,; причем^ /»*"
Покажем, что на элементе $<*$> *^ Э1Щомор^)Измн f§ &*'>?£ у&*^~,'
ствуют так же, как и на элементе 4^г • Предположим, что ^/^. S-
236 - ; "•'.*■*-' ^'-'•^ "'"•

-<)*т1*Л£- Д8Лое число. Отсюда {*fi -Д% #>*£) «О , •• ко($£~
~&A'tffi*P * Это ПРОТИВОР0ЧИТ определению jJfcS -группы. Ясли су-'
- Чествует такой №/{(£($•$ , что P(&)&Cjz) , то для дан-
^ ного f mem SftjXilBjffiftarz) для не/соторкх\&г€£(й), S4<Q.
meevL(SV-fifiiK)lxS*0 , но (*1>-fi&$)(*!*О, ,
что противррёчит определений #>5 -группы.
- Аналогично доказательству, проведенному для С/г) ,
показывается, что Cjv - минимальная по модулю €%' pfc -подгруппа груп-
Берем теперь элементы ¥$1*})9...*¥*,1Х*) и строим аналогично пре-
дццущему\юдгруппы С$г} f..., с*} . Обозначим'Pf**<C?^.:.9CJg,
d,(Xj) ,...f <**<*>)>« . . .
q) 1^дположим, что существует такой VtppMM*)) f что #*%,*/<%>?
#C,(J) . Аналогично доказательству п./" показываемся, что«*^г/"
sJt/1У1Ц&&1*% для^ некоторых fieGfi) ' , целого числа s*0
vt* AiX})-Xt^P, (xt4 Cj*}) • Так как Pt имеет полное покрытие,
то существуют такие /геРг ч Pt и Х.еМСЕ(&У> , 4?bZ(jt2)*SXt
для некоторого целого *числа $ФО . Пусть А (Х£) - минимальная
p/i -подгруппа группы & , содержащая хг ..Покажем, что #xLt&ff
$С^ для всех CtePf ' к чисел ft tO * Действительно,
пусть f хе+а=6еС**} -для некоторых /и*О и aePt .
Очевидно, веРг^Р( . имеем Я(ftfyap/**&&£*> , ноХ№С«>
Получили'противоречие* Тогда А(х$> fiA(iz} *0 f v&e. А (*$)-.
минимальная , р/с -подгруппа группы G * W держащая ** . В _
силу предыдущих рассулдений Xg& A <*j) \ то есть A(X5}£A(xz)
и A(iti)Jfc Actj) щ Зто противоречив условию (I) . Таким сб-
-; разом, (Г7а- /)/t -подгруппа группы (Ц • Воли /z*3 , то С*Р =А4
\ ^ удовлетворяет условиям I , 2и : теоремы.
; к ). Пусть J1*** ♦_ Берем элемента У/Yjtv),;.. , ?6f (Xu) и строим
; . подгруппы 4?^ ,..'„, Ctf аналогично построению подгруппы С,.
Полагаем С?***?^,..,,??/, <<,<х«) ,..„*<*(*</)% /Аналогично n;j* по-
I называется,. что С1^- pfl -подгруппа, группы £ . Если Jt*y , то
1 С*** * At удовлетворяет условиям I , 2U.. теоремы.
J Если /t>V , то строим подгруппу А г далее. Получаем A,rC^s
1 *<^.,,***' *<<**>-ч*~<*~У>* • Всилуп.0' ArpU-
1 подгруппа группы '4г , а в силу строения Л/ удовлетворяет услови*
I ям I t ZLL теоремы, '-V- \
1 '4. Построение подгруппы Аг для случая JJ '-. ' л *
1 Выбираем элемент У^ аналогично п%а" . имеем ^ ^ (%i^i%€^i4-
J Строим подй^*,^^

Яаждая из них - p/i -подгруппа группы & • Покажем, что они
образуют прямую сумму. Предположим противное: существуют такие
мономорфизмы //,...,fti у ™Mpi*ity) mQ • Тогда %в
е**Ь£А'П • Но ^ $ Л*Д А Ъ • так как цементы Д jf С**) Ч
принадлежат непересекающимся миндальным я/*-подгруппам группы
£ • Это противоречит определению ,#?,$ -группы* Следовательно,
подгруппы **/ , .*., ^//^ образуют прямую сумму.
Предположим, что существует У^ё#(£(£)) такой, *™0$%н<&)4
f*$Z...,*%><• . Имеем ^9(ХЦ€<С^^.9С% >+ , ОТКУДА
s?tn l*z)*£/>ifl (*г* Для некоторых т^оноко^измов^^..^^^ ; я „
целого числа'£## , то есть Хге Atei-CS^, -ДД-VJ > V но^$?
^ ftiei(Sftp4m'£fiifi) » что невозможно,, ** ~' -V"".
Следовательно, i7 не зависит от выбора олемекта ж* , и подг Л
группа Лг строится так жз, как Af . Очеввдно, А& также удоЬле*-,.
воряэт условиям I , 2# теоремы. В силу условия СО будет A,nAfO.
Теперь индукцией по числу подгрупп Л/ , тале же как при
доказательстве случая 21 , показывается, что & Л<£^А& и каждая подг
группа Ag удовлетворяет условиям I , 2tf теоремы при том же ^, . ,
5. Предположим, что £^ ^/^-педгруппа группы # ' , но ^у! не
вполне характеристична в £ U>*) . Тогда, существует та^й£<Р/Й£>
что fzlXe)*x4e, • Если # - мономорфизм, ToS%*g%ffj+$*.
где OfS,Si - целые числа, АеЦШЪУ) 9 nsmevjLtfyt'tff^jdfcX,
€C(fr по построение Поэтому i vHe уменьшая общности рассуждений,'
можно считать* что %ё №£№>)), £nf^Ps (**С). Если 3<£-f j { ^
*°HfzlC1*4* * 4 <f .для некоторого и*£(6) vi qeaopopty
Это слезет из строения группы С}-. \Ъ f<f4 *4<f< ■ % откуда
/^ -*'/, +A у где X^/J- /£., 7Ai*c)4 С? > ЯстАсЩв, v
то для некоторого целого. 2/0 будет V/*ALXc)GPt. (условие^)/
Аналогично доказательству того, что At^Ai^Q , можно, показать'*
ч*о Vj*AQCg)4Сf ' . Так как /*/ имеет полное пок^тие, то;ан$-^
логично п. О* показывается противоречие с/ определением jf>S ~грУ-V.
ппы. Таким образом, у^ sq и теорема доказана. - .1 /"/ "'
Литер а т ура, ~, '' г/, {\- /.. '*'"/•' \-Ч :;
I» Флешер Т.М, Об одном классе абедэвых групп без кручения» кот >
нечного ранга//Абеловы группа и модели. Томск, 1984. СД25^13§.' " -
2. Крылов ЛЛш Рагикаль* колод эндоморфизмов абелевюс, групп без -, /
кпучения//Мат.сб. 1974- Т.95/137/. &2/Й/. ЛЯ14-228. /'''-•"' ,, ••
totsto/r-Jxez qwupstlTopics in A6e£to* $tQ^-/.&№№\ry~
238

4.Крылов П«А* Об абелевых группах без кручения/Абелевы группы
и модули* Томск,1984. (\40-64.
б.Фуко Л. Бесконечные абедевы ррупгш//М.:Ыир#1974. ТЛ. 335 с.
239

ОБ АЕЕЯЕВОС QCS-ТТУШШ БЕЗ КРУЧЕНИЙ ■'": '-Лг
, А.Р, Чехлов' - . "/.
Все группы предполагаются абелевыми ревизованными <&аз. вдт*4'-'
. ния. Группа называется ^-группой, если любая ее замкнутая сер- ;;'
вантаая подгруппа эьделяотся-в ней прямым слагаемым. CS -группа^:
А называется #£?-группой, если калдщй гомоморфизм объединения, /А
сметной возрастающей цепи прямых слагаемых А в cac/ группу про- >
долбается до эндоморфизма А0 ~ / . ^ ^- ; :;
Обозначим через Rp класс всех групп без ненулевых, элементов 'г/Ч
бесконечной р-тсоты, Ор - кольцо или группа, целых /0-адических/;
чисел."Если &^5§sl0+\pt.,% то через 4(^)°б°значим /t-ю часткч-"^
ную сумму % . Если Ot&eAeRp, то под^Я понимается элементна >f ^vU
являющийся пределов в /J-адической топологии последовательности . ^.
JA^^* ***>*>••* Множество И (а) *{§1$€вр} и £л определено „назы^
ьается /?-характеристикой [I] элемента Ct^A€Hp . Под ^-рангбм; л ^
группы А будем .понимать модазстьое бакто^грушш А/рА . k± (&У:0>
есть р-тсот&&44- *&%** Ъервшгё'ная подгруппа гтуппы А , ,порож%р
-денная некоторые подмножеством б элемэнтовЛ у £л v;; соответст* ^
венно £ Z ♦ есть замыкание в. 2 -адичёской, соответственно в р - ;
адической, топологий подгруплн S группы А ♦ Группа называется . * -;
связанной, если все ёз факторгруппы по ненулевым сёрваотнымпод- j
группам делит. Если- Н, - некоторая р -характеристика .(^-5fP"-- :•
в*штная подгруппа в Qp * соде^эжая*ая .!)> A$Rp ., то А{Щ*[&$А\ ; -
H^Hpla)]. Группа Л напвается квазиразложимой, если-для;не;ко--^;г
..тэрых ее подгрупп 5,6*4 * натурального Л /i/lsflfl?. В пробивном г ^
случаев называется сильнэ неразложимой. Грунта 4. иазыраегся.ква^,
зиоднородной, еолиЛбЯд для каждого простого уз со свойством-/>л£Л^
№Шк 1. CS -группа- As Яр бесконечного р -ранга является" Q /> ?/;
модулем. '••'...'_ . v ' >".. //-*-\ vV^-.'Vv'
—- - 240 "'"■' ' ; ' / *• '

Доказательство.Для определенности предположим, что А имеет **
счетный /7-ранг. В противном случае выделим - А прямое слагаемое
счетного р -ранга, содержащее фиксированный^ U6 А \рА, #в*#>еоть
неразложимое прямое слагаемое в А . Пбэтому Ю - связанная группа *
Заметив, что #вЛ#£/Д))также есть CS -группа. Действительно, если
Г - замкнутая сервглткая подгруппа в 6 , то /""как замыкание в/?~
адической топологии сервантной подгруппа есть серэан^ная .подсруп-
па в А . Поэтому А * Г~®К ♦ Так как 6 вполне характеристична в A t
Выделим в 6^ такую плотную в р -адической топологии серванткую
подгруппу 5*Ф 8> » что &4*<йП$% в,- связанные группы, и для каж-
дого номера ft & *(ф ^ ) ^ ^Л . Для Л^ существует ненулевой
гомоморфизм в #/ , образ которого есть р -сервантная подгруппа.
Действительно, если y€Gf\pG , то Нр(й*ру)£/ифиоътоиу существует
f^CL+pp^GjJCatpyyjj. Так как «*>+Рр~ есть прймое слагаемое£,
то можно считать, что f€E(6). Для проекции J' • группы # на tf/
имеем Xf(ei)G&f > и еслиЛГДя)*/?^» то yepGi , противоречие с
.! выбором у . Так как ^ связанна, 4?bJf(6f) /7-еервантна в <?^«
Следовательно, в 5 можно внделягь л -еервантную подгруппу/^ф F/
такую, что Fj *8f, F^&i 7 ^ » ^у # Так как Z7 плотна в $ , то ^
плотна в G , Напомним, что Fj мошо рассматривать как едцитшкую
группу кольца (отображение f -*^#г)осу^ествляет изоморфизм^) на
• Пусть§{€Qp spQp (<-а'А")~ произвольные элементы.' Рассмотрим
подкольцо^ в #^ , порожденное мяояествЪм i$i*?i , <tl<AeF(Ff),
lm1i&t:}. R является счётно^порожденнг1 Е(^) -модулем»
Поэтому существует эпиморфизм F'*fyFi~*R* с некоторым ядром K,Ff/K*
* Л . Если #**$ * то в силу плотности^ в # G/(Ff0H)
имеет /)-ранг » I и содер.*ит подгруппу, изоморфную R* ♦ Далее, *
&-F4e(H(BE) , где £ H/lFjGH).
Согласно построению Я* существует гомоморфизм F^R*f а так-,
как существует ненулевой гомоморфизм Ft*Fj t то найдемся otef (Ff)
такой, что rff/ • содержится в подгруппе, изоморфной &*. Напомним,
что кольца эндоморфизмоз связанных групп можно рассматривать как
подкольца ъ Qp *. #
Пусть jfGQZ^pQp • произвольный элемент. Выберем Jy^^L^рQp
(i*/,&>-)~ такие, чтобы каздая >£-^ содержалась в группе ^fe ^ ,
изоморфной аддит:!вной группе подкольца в Qp , в котором содержит*
"Ся £ « Согласно" выиедоказанному зто мозяно сделать, Цусть теперь»
241

• -ч#я
лак и витв9Ш[$)/&*№ изоморфна аддитивной группе подкольца вФ*
в котором обратимы все £ . Имеем (fo 3± t/C}/k* M . Откуда
ffai&i+XyX'CBi + KyKS M и, тьчпт ,3;Gf . Следовательно,
f6f£ &f • В силу произвольности!? и элементааеВ^ЯА группа А
является 0р -модулем,
&j леммы I и теоремы 2.1 [2] следует, что QC3 -группа A€fi
бесконечного р -ранга является алгебраически компактной. Класс
QCS -групп из ftp конечного р -ранга совпадает с классов €3"~ .
групп. С5-группы из^« конечного р -ранга описаны в f3j
.Поэтому теорема 2.13 из [43 дает следующее описание АС£-групп. л
ТЕСРШ. I f4] . Группа А являете* QC5 -группой тогда и только
тогда, когда ф Ар^А^ПАр , где/^ - сервантная вполне характер
ристическая подгруппа в пЯр * П -,некоторое множество
различных простых чюъя\П(Ар^)Пп(АржУ0щ>у>р^рг каждая АЛUp и есть
либо связанная группа, либо CS -группа, являющаяся конечной
прямой суммой связанных групп, либо алгебраически компактная
группа. ПСА) - множество всех простых чисел/) со свойством рА*А,
Группа А называется квазисервантно инъективной ( .окр&1цвннов#7-'
группой) , если всякий гомоморфизм &-*• А любой серзантной
подгруппы & в А продолжается до эндоморфизма А . В f!5] описаны Й^7-грутш
ич класса <Г . Классе- это класс всех групп, у которых тип каждого
ненулевого элемента меньше или равен некоторому максимальному типу
в множестве типов всех ненулевых элементов группы. В £6] получено-
описание Я£/-гру. . в в идее сервантных вполне характеристических *
уе¥.ирямых\сумм некоторых семейств квазйодночодных flPj-rpjynn, ка**л
дья из которых - однородная группа (описанная a f5] ) или группа *
с сильно неразложимыми сервантнйми подгруппами. В f?J описаны. ;У
Q$J-группы, все ненулевые эндоморфизмы которых - мономорфизмы* .'
Здесь приводится новое, более подробное доказательство того,.что;
квазиоднородааде (ЗЯГ-группы с кваэиразложкыыми сервантными подгруп*,
пам/ являются однородней.
ЛЕМК'А 2. Если & - квазиодаородаая ##-группа,
шещая-ненулевые элемент?; максимальных типов, тп б€Х . '.!.;.//
Доказательство. ПустьДОД£би £(а) - максимальный тип..
Воспользуемся доказательством теоремы 2.2 из Г5] . Рассмотрим мнокеЪтзаЛ
всех пар64,^), где А - сервантная подгруппа ъ $9йбА,$*™Ю1*г''
фа) sd , и каждый ненулевой гомоморфизм <^M>V*# 0С*Ь и01Т
морфизд*. Частично упорядочим Л* i(Af,#f)>(At,pe)3 если Л/ nv
?*/д *?г • ИиожвстРоА иыдухтивно и не пусто, поэтому оноч содер* ,
242 ^ '''''' '
,

максимальный элемент (H,<f). Существует ¥*£(&), Ф/„ e f . Так
<&, как в f5, теорема 2.2] , доказывается, чго в И'в<У/ГО>Л
любая сервантная подгруппа сильно неразложима.
Докажем теперь, что любой ненулевой эндоморфизм V есть
мономорфизм. Предположим противное, и пусть /€£(У), ketff О,
Согласно [о, лемма 1.5] / аннулирует'все элементы V*
максимального типа. Предположим, что ieV^pVи f(6)tO» Найдется де V*рУ
t(9) *Uf(&)) Kft#)tО . В самом деле, допустим, что для всякого
deT\pY9 £(al)*t(ftS)) следует Дд(н?. для А>Л>М(6У)
имеем
>Hp4*d) . откуда i(S)~tlp*S*d)* Пусть натуральное /г такое,
4<toUpl6+d)±Utie),in?py*t , и f€£(Gr)9 <f(pk8+d^n6.
Тогда n/(6)*p£fy(S)+№(d)-p*f?(fo (предполагаем, что /е
t£(6) )• Противоречие с выбором/ . Далее, для каждого
натурального к tipr6*a)*ilf(S))*Ug) . Так же, как и бышс, получаем
■ противоречие.
Так как ^tf)*fl, то(^ действует на К как -тождественный
гомоморфизм. Поэтому 6 *V&R, где Rmt%et f, Clu<p(&yff Гявляется ^-группой,
все ненулевые эндоморфизмы которой - мономорфизмы и а имеет
максимальней тип* Нетрудно .тогда показать, что типы ненулевых зле-
\ментов V являются максимальными f8, теорема 5,2] ♦ Ecxa,R*0 ,
то для m6$boy>*Xty66[ , где леТ, у*Я , t(p6t(X),t(ftm дщ 0*(/*R
существует гомоморфизм А!R**V94LflpO [6f лемма 1.2J , поэтому
тип любого элемента из fir меньше или равен типу некоторого
элемента из V f являющегося максимальным в мно:: -лстве типов во-зх
ненулевых элементов & . Следовательно, & €Х *
TL0P&1A 2. Если квазиоднородная flf/-rpynna А имеет квагираз-
ложимке сервантнне подгруппы, то А однородна.
Доказательство. Если А имеет квазиразловимую .сервантную
подгруппу, то она содержит сервантную подгруппу В* О со'свойством
П<а ,5>#в<а>^Г б ,~где /V -^натуральное число, QtdeA*
Зафиксируем Л и ь> • Множество М всех таких сервантных подгрупп Л
частично упорядочено относительно включения и индуктивно, поэто-
КУ оно содержит максимальный элемент Gf * Пусть А есть 2 ^адичес-
кое пополнение А \ имеемA*<F\eV, где F^<a>^e$> n<F>M£
*<a>teg*F;*AeFBr-Jt . отметим, что A(l<a>,~<a>*
и Afl§*& (в силу максимальности & ). Далее,*?жАПСбФУ)^
*М , поэтому АЛ(ё*ТГ)т6 .
213

Пусть Q - проекция Н на V . Тогда 6(9) ~ еервантная
подгруппа в Т , где %*АПН - еервантная" подгруппа в ^ . Действительно
если тх*ШВ№) f то £+V€U для некоторого fe/ . Так как ^ плотна
н^ . то $~demf яля некоторого d€F . Имеем {Аг^/гга^/?^^*
■** '. Ъсъшц {i-dytr*my f уеЯ . Откуда т$у*Х.
Согласно f5, теорема 5,1] АЯ7-групла из<£ с квазиразложимши
сервантныии подгруппой однорс;<на. Поэтому ввиду леммы 2
предположим, что А не имеет ненулевых элементов максимальных типов.
Пусть t - такой тип, ягоА(О*0 \\t>Ua)fUg\ vvpOtfeh ,
существует. Действительно, пусть простое р9рА *А » не делящее
it . Можно считать, ччоАрФУО. Так как £j(P*&f£)*ty№\ ^то.су-
щвстзуьтр€Ш1Р(рпа^)*/1(Ъ . Имеем 0fip(f)*M>-pf{A*)6-A;
Откуда i(1p(0))>tif)fi((l) .-В силу условия на типы элементов "Л- - *
такой £ существует. ^
Допустим, что Аи)П<&>9*0 . Если 5" - проекция/7 на<&£,;:т0 .
JT/t продолжается до/£/М), который в силу серваитной инъектив-
ности мО/*но считать эндоморфизмом Л* . Так как F плотна в / , то
ff^tf, а ка <л^ ^ действует как умно*оние на /i\ Поэтому если
4ft )* */>* , то 9(AUy)*A[i)n<u>* ~0 . Так же, кок в лемме 2/
получаем» что fi(l)*Q . Противоречие. Следовательно, ндйдегсяДО4«.
*$*о+1ГбЯи) t га* Se<*>i ,0€&,OtreV. Ест 4*0 , то^со;
c<G, gtp>u€M . Поэтому ^*0. Так какЛ*#))сервантна в V /то *
если ir'/r?^, г$*К, существует W, *& *фЯ{£). Омудь *-*ту» .
£*fltff и, значит ,i(tf>?W# Так кех<£^ сервантно иньективна,>л
то существует гомоморфизм /*У*-*<2^со. свойством /<*Л)*-^«> Тогда </
fcFeY, , где £♦№*', С9, лемма 9.5J . Откуда $с<6]л%€#,
что прогивосечит максимальности # . Итак» для всякого такого '
<0>>§ПАи) + 0 и $ПАЩ*0. -
Таким образов, найдутся 0*у€& и 0*Х€<а>+ со свойствами #*>>,
>tly)>t(a)t t(x)>l(y)>Zia). Рассмотрим подтипуf<<*,**/>#• ;
Име<ш ДО^ЗД vt&x-X+«l*y>" . Действительно, 1(*)*%е&У I
А £(Х)&Х#(Х) слецует из того, *:то для любнх простого числа:^:
и рационального t Л"(х+г(а+у))*Ау(%?), к^х+га) ; Поэтому
е^ли <Г.*£ -*~£/<а+ у >^ - естоетрен^ый эпиморфизм на группу .л ;
ранга 1, еа существует гомоморфизм <<: £/<а>+у>-**<#>+ ?°А
свойстве: «(<л)-х. Имеем 4&п(т)= п>& , где e(5/t:<ft£ ^*<*Vi.-
Следовательно, сущео?зует^€£(А) , продомсаадций rftft, ^ В oj*)^

связанности все ненулевне гомоморфизмы <а >* в редуцированные *
группы - мономорфизмы, позтому ft действует на ней как умножение
на/t . Из &*у£М^следует, чио^(а)^па^уВ(рЛ Откуда £(a>ytyj
&t(V) . Полученное противоречие доказывает однородность А •
Литература
1. Иванов A.M. Об одном свойстве р -сервактных подгрупп грушш
целых />-адических чисел // Матем. заметки. 1980. Т. 27. № 6
С. 859-867.
2. Чехлов А.Р. Об абелёьых группах без кручения,близких к ква*
сервантно инъективным// Абелевы группы и модули. Томск, К
Вып. 5. С. II7-I27..
3. Чехлов А.Р. Конечные .прямые суммн связанных групп с дополна
мыми замкнутыми сервантаыми подгруппами // Тез. coo6iq. Л
Зсесоюз. симп*. по теории колец, алгебр и модулей. Львов, 1<:
. С. 144-145,
4* Чехлов А.Р. Абелевы £«У-группы без кручения.// Абелевы гру::
и модули. Томск, 1988. Выл'. 8. С. I3I-I47.
5. Добрусин i), Б. К^эисервантно инъективные абелевы группы бег
кручения // Абелевы группы- и модули. Томск, 1980. С. 45-69*
6. Чехлов А.Р. Квазисерзантно инъективнне абелевк группы без
кручений'// Матем. заметки.. 1989. Т. 46. Р 3. С. 93-Я9.
7. Чехлов А.Р, Связные квазисервактио инъективные абелевы груг-
// Изв.-вузов. Матем.ч1989. # 10. С. 64-87.
8. Добрусин Ю.Б. О продолжениях чартичннх'эндоморфизмов абелевк
групп без кручения, В // Абелевы группы и модули. Томск, J9S
•Вкл. 5г-С. 31-41."~ \
9. Суке Л. Бесконечные абелевы группы. М.г&ир, 1974. Т. I. 33^
245 '

О СТРОГО pfl «КОРРЕКТНЫХ АБВЛЕВЬК ГРУППАХ
А. И. йапсшшков
В работах [1>2] рассматривались сервантно корректные
строго сервантно корректные и / .^.-корректные строго/ .*-♦-
корректные абелевы группы* В данной статье начато изучение
pfi -корректных строго ^«-корректных , абелевых.груши
Цриведё» необходимые определения.
Абея & группа 5 называется ^//^корректнок строго
/уу~корре: тной , если для любой сервантной вполне
характеристической подгруппы F группы 6 и лабон сервантной вполне харав*
теристкчесхой подгруппы И грушш F из того,. что>/-£ ояедует/^
(Н*6)? то есть строго pfi- корректная абелева группа не икеег
собственных изоморфных себе самой подгрупп* Ясно, что строго
^>/Ч~хорректная абелева группа pfi -корректна.
Теорема I. Абелева ^wrpynna строго pfi -корректна»
Это следует из того, что абелева р-группа не имеет других
собственных сервантных вполне характеристических подгрупп кроне,
делимой части; Значит, абелева ^-группа не .икеет собственных
; изоморфных себе сервантных вполне характеристических подгрупп.
Теорема 2. Абеяева группа без кручения конечного ранга «*,
строго pfi -корректна J *
,йто следует из того, что всякая собственная,сервантная
подгруппа группи без кручения конечного ранга ^ имеет ранг
меньше чем 1ь .♦ Значит, групаа без кручения конечного ранга не ми^ет
быть изоморфное собственной сервантной вполне характеристической
подгруппе;
Предложение 3. Пусть Q - сепарабельная абелева группа без
кручения, И ~ её подгруппа. И является сервантной вполне
характеристической подгруппой группы G тогда и только тогда, когда у.
246

HMJfe /j}S" • где ОФУ множество типов всех прямых слага- •
вмых ранга I группы G , содержащихся ъН 9Gtt)*{feG ;t(f)>t^
где tip- тиг элемента^/ ♦
Доказательство. Пусть И -сервантная вполне
характеристическая подгруппа группы G .Тогда очевидно ^%i^9&0-
Пусть heH s щаъА*А4®...®Ьп€$^..В4п-
вполне разложимее
прямое слагаемое группы б , причём "О+А^ € Q^ -. группа ранга I
для всякого i€{/ ,..,,&}. тогда64 9...,6ЛСН и типы групп Gf
i • • • t чь содержатся в
Пусть теперь ^:*£Lfx(0 »» Тогда// -.вполне характеристик
ческая подгруппа группы £ , так как все подгруппы типа £ (О
таковы. ПустьрОякеЯ для некоторого элемента££$ и проотого
числа р . Тогда А*А1фЩ9.фАл€$14...®$Ли„ вполне разложимое
прямое слагаемое ранга ^ группы $ ♦ Тогда it- *t($i)e,Q(H).
Следовательно,G[cGdi)c И для всякогогб; !,•••;/&} . Тогда
G&...&GHCH к9 следовательно, ^е#.
Теорема 4. Сепарабельная абелева группа без кручения 6 ■ -
строго /у/-корректна.
Доказательство. Пусть И - сервентная вполне
характеристическая подгруппа группы S и H*G # Согласно предложению 3
" /^г*/*' * ^сть *€&@) • F - прямое слагаемое ранга/
и типа £ группы <? tA€(f(f) t где f.' £■*■#.- изоморфизм.
Тогда keGi^...Фбн, - вполне разлош«мое рангам прямое
слагаемое группы G , причём проекции элемента А, на подгруппы <*/*—,&*-•
группы 6} ненулевые. Тогда £,,..., #л с//, то ecsbGf®»-® £лс#.
Так как G - группа без кручения, a *P(F) *> прямое слагаемое ^
ранга X, то ЩР}с$ Ф-ЯЬб^ Так как F - прямое слагаемое
грудям 6 , то <f(F) - прямое слагаемое группы Н ♦ Следовательно,
<f(F) - полмое слагаемое во вполне раз дожитой группе ралга А,
^€>...^бЛл Охс&ща попуциы., что тип -сотя бы одной из гругш
Gif-jGtt, равен* . То есть tf&W). Получили, что £«> К &?£//).
Следовательно,НЪ^№*£$$^ • Значит, £я* .
Теорема 5. Вполне транзитивная абелева группа без кручения £
ofrporo ^i -корректна. >
Доказательство. Пусть // - сервантная вполне
характеристическая подгрулпа группы G , ¥'-&-"Н - изоморфизм, ^е£ .♦ Тогда
Щ)еН • Так как // - сервантная подгруппа группы £ f то тит*
адюкснтаЩ) в группах £ и Я равны /^Я»))**ТKfb.'Тогда
тип элемента 0 в группеG tQ(put (Щ))*гЩ))> Значит,
существует эндоморфизм^ группы £ такой, что </>(<?($))*$ • То есть
Q€H' "• Следовательно,G*H .
247 '

Терейдём к рассмотрению смешанных абелевых групп*1
лудем говорить, что абелева группа имеет ранг 1, если
она является коциндической группой иди изоморфна некоторой под»
группе группы всех рациональных" чисел Q * Данное определение
группы ранга I позволяет естественным образом распространить'
определения вполне разложимой и сеаарабельноа групп на
смешанные аЗедевы группу*
Лемма 6; Пусть 61 - смешанная абедева группа, Н - её
сервантная вас^лне характеристическая подгруппа, F ~ прямое слагав
. емое группы & . Тогда ИПР ~ сервантная вполне характеристичен
кая^ подгруппа группы/7 .-
^ Доказательство, пусть 6aF® F -, где F* ~ дополнительное ч
в F прямое слагаемое группы б •• Тогда H*(FfiH)G>(F /)М) # о^
сюда FflH - сервантная подгруппа.группы Н .< Поскольку Н ~
сервантная подгруппа группы 6 , то FflH -сервантная подгруппа
группы 6 ,а значит, и группы/7»
_. Пусть ><€спс/ F „• тогда <* можно продолжить до эндоморфизма
А труппы в так, что ограничение^ не. F совпадает с «< ; До- .
пустим '„ что tieFHH. тогда <t(h)*J(k)Gfl ш так как Н -вполне-
характеристическая подгруппа группн F ч о другой стороны,Mli)kF т
Следовательно,at(k)eFnN . То есть FflH - сервантная вполне
характеристическая подгруппа группы F . ^
Следотвие ?♦ Дусть 6 - смешанная абелева группа, // > е§
сервантная вполне характеристическая подгруппа, F - прямое
слагаемое группы # . Тогда:
> I) подгруппа FfiH сервантка в группе6 ; !-
2) если F - группа ранга I, то FflH^O или Fcfl •
. 0) если 6 расщепляется и её периодическая часть ДО>*&£,
где Тр - /7-группз, J - множество всех простых чисел, то ле-/
риодическая часть группы Н 9 ЧН) ~Ц. , Тр ,-где Jr<zJ . , ^":
-Доказательство. I) следует из доказательства леммы :!♦
2) следует из того, что группа ранга I не имеет собственных
оервантнкх вполне характеристических подгрупп, йокааем <э *
Имеем для любого peF Тр - прямое слагаемое группы G . Слрдог
вательно, р-компонента группы Н - сервантная'в-'блне
характеристическая подгруппа грушш Тр ддя всякого р^Я . Но р~груй&*\
строго pfl -корректны- согласно теореме 1#* Пратому р •компонент* :
группы Н или- равна нулю, или совпадет о Тр для всякого pf* 4
3) следотвие 7 позволяет вопрос о строгой pfl кррреятноо- v
•ти расщепляющихся групп свести к вопросу о строгоЕ pfl- ткоррек*:
нооти абелевых групп без кручения* .... .. 'i!
248

. Теорема а* Смешанная сепарабельная абелева группа строго "
pfi -корректна. - . ,
Доказательство, пусть G - смешанная сепарабельная абелева
группа, Н - сервантная вполне характеристическая подгруппа
группы ^, Ч>'-6-+Н- изоморфизм, элемент де8\Н * Получаем
й€$10.:.Фвл _ вполне разложимое ранга ^ прямое слагаемое группы
в ? £ели допустить, что все £у ,... t S^ имеют ненулевые
пересечения с# /то по лемме '6 G/ ,...,£дС#. Тогда оеН -
противоречие с выбором П ; Значит, для некоторого i€ilr..n} «%/*#*&
Юбоэначим эту подгруппу 4/ через А * Итак,имеем: существует А - '.
прямое одагаемое рэяга J группы $ такое, что АПНт0 .» Возмозен *
один до двух олучаев; А «- периодическая группа, или А - группа
без вручения*' Рассмотрим едучай* когда группа А периодическая.
Если А делима* то очевидно существует гомоморфизм в~*А с
ненулевым образом любого заданного заранее элемента. Поэтому Ас// *
Воли А --' ограниченная. />-группа , то Ф(А)~ ограниченная сер- -
вантная подгруппа группы Н • А так как Н - сервантная подгруппа
.группы £ , то?(А)' является ограниченное сервантной подгруппой
^ группы 6 •• Отсюда в силу леммы Куликова следует, что VIA) . -
прямое слагаемое группы $ .- Значит, существует ненулевой
гомоморфизм Ч*(А)-*А > который можно продолжить до эндоморфизма ^
всей группке .Тогда, поскольку Ф(А) с Н » тоЛсЛ' ♦
Противоречие о тем, что А АН 90\-рассмотрим случай, когда А -группа \
i без кручения. Пусть ОФ&&А . №e&iWaye#iB»-&#A*# - вполне '
| разложимое прямое слагаемое ранга /I группы £ . Так как элемент
j • ¥(й) имеет бесконечный порядок, to можно считать,.что всеА^цА^ ,
,ч группы без кручения и проекции, элемента ?(А) на подгруппы Л,,-., М^
ненулевые. Тогда-Н^ЛНФв » и поэтому И^Н'Н^ для всех i€{f,„./r}*
Следовательно,Я содержится и выделяется прямым слагаемым в// .*
1 Пусть ^перьХ'Я"* V(A)r проекция,.^ ^-^^ - вложение. Тогда
| <^л *^ » та ecTbdjy*. * Имеем Н^Н^^фН/^ </>(Л) . па
j :- (?, лемма 96.ll имеем JJf ,*. гомоморфизм, И для некоторогок€{/г„9к)
1 tlf(A))^t(H/c) , где 1(?(ЛУ) , i(/fM) - типы соответствующих
I групп. Но Л »W) и t(A)*i(<f(Ay) *ilHx) •. Тогда сущест- .
1 Л вует ненулевой гомоморфизм Н^А t и его можно продолжить до
1 v эндоморфизма всей.группы $ . значит, поскольку Йкс// , то Ас// .<
| - Противоречие с условием А ПИ =0 » Получается, что группа ранга
] 1Л не йозсет быть яи периодической, mr группой без кручения.
] Таким образом ,]*меем/противоречие о выбором .элемента^ •* То есть
| . (*\Н-ф и $*Н •- Теорема доказана.
249 ,

Литература
I* Росошек С.К. Строго чисто корректные абедевы грушш
без кручения// Абелевы rpyrarafsr модулиJToiicKг ИзЖ-зсг Т1У,_1979. -.
С. 143-150.' " " ' ,
2* Гриншпок С.Д» / «?Z «-корректные абелевы группы// Абедевы
груши и подуди Томск; Изд-во T1Y, 1989 •* С# 65-79^
3» Фукс Л а бесконечные абедевы грушш г пл Ныр, 1977.; 416 <>4
ч
2SCJ

^ Содержание
И«Х*Ьек*:ер, П.А.Крылов, А.Р.Чехлов. Абелевы группы
без кручения, близкие * алгебраически компактные 3
И.Х.Беккер, Е.В.Шапошникова. Первые группы когоьологи**
над абелевыми группами без кручения ранга 2 53
В.Оаренкине; Б.МЛ^ечтомов. О пучках алгебр' функции,
порожденных отображением топологических пространств 63
А.И.Генералов* Радикал, дуальный кручению Голди 70
А.И.Генералов. Кег-Со&ег- последовательность для пред-
абелевых категорий ..,.. '. ._*... 78
С.Я.Гриняпон, К вопросу о вполне трензитивности
прямых произведений обобщенно сеперебельных обелевых групп ...90
Б.Зекович, Б .А .Артамонов, п -групповые кольца и их
радикалы 93
П.А.Крылов. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов
абелевой группы без кручения л .\ 99
П.А.Крылов. Е.И.Подберезкна. Строение смешанных абеле-
вых групп с нетеровыми кольцами эндоморфизмов 121
Л.Н.Н»хухина, А.М.Себельдин» Определяемоеть
векторных групп своими полугруппами эндоморфизмов .... 129
В*М.Мисяков. 0 вполне транзитивности редуцированных'
абелевых групп .,.., ..v 134
А .И «Москаленко. 0 сервентных вполне
характеристических подгруппах копериодической группы ..... 157
Нруен Тиен Куанг. . Jnn -категории и когомология
колец Маклейна-Иуклы 166
Е.Г.Пахомова. Об определи емости вполне разложимых
абелевых групп без кручения группами гомоморфизмов 16ft
Г.Е.Пунинсхий. Решетки рр-определимых подгрупп ... 193
А.М.Себельдин» Н^.Антонове. Об условиях
изоморфизма f/cm(A;&)^8 20*
И.Я.Синяк. /Абелевы группы без круиения конечного
ранга, с конечными группами автоморфизмов" ♦ »* 209 .
/А.А.Туганбаев. О цепных кольцах ~...< ?ЛЧ
. А .А>Туганба ев. О полугрупповых кольцах 218
. Т.М.Флевгер. К вопросу с строении сильно
неразложимых /р£. -групп *•*.."•.'.•;:...* 226
А.Р„Чехлов. Об абелевых GCS - группах бяз
кручения :•....; ч.... 240
251-

А •И.Шапошников. О строго р/с - корректных абелёвюс ^
гру цпо у • ч« •••••••*••••••• •»•» •»*••• •_»..,. •»•'.«•.»»»«»........ 24(6
АБЕЛЕЙ* ГР7ШШ И ЙОДЩ.
Вып. 11,12 \
Редактор В.Г.Лиха^вва
;^-^
Подписано к.печати 28.10.93 г*..Форма»!*60x34 Г/16 ; V^'-v-}'"'"
Бумага типографская #2.Печать офсвтнрй.Пв^л. I§$7bV Усл.'пвч.л* ;J5;|S.
Уч.~из,д*л. 13,£. ТЙвра»"500'эюг«-Заказ|5«<? ,.С 40* -•'' ^ V:>
Издательств «ОГУ,634029|¥о^к|ул*Н2Кй1!Рййа,4. (J, .
Рфталршг ТГУ. 634029,» WMuKi у#. НшЫтнщ, 4,'<„
X

; : / РЕФЕРАТЫ
''~ ужьгг.зы: ^ "-,.'- . •' •_ --"'•■ \ -
Беккер Й.Х.-, Крыло? П.А\, Чехлов А.Р* Абелевы грушш без
кручения, близкие к алгебраически компактным // Абелеен группы и
модули* Томск: Изл.-во Том. ун-та* 1991. Вып/11,12. С,3-52.
Дается обзор результатов, полученных к нестоящему времени
резными евтбреми, о явазиоервантно инъективных, вполне
транзитивных абелевых группах без кручения, а также QCtPP. -группах и \
CS *• группах без кручения. Основное внимание уделяется проблеме-
строения таких групп. Рассматриваются также некоторые примыхаюкке
/вопросы. Показе тельст» работа не содержит. -.-''• -
' Библ. 57. : ' ; >4': ;. :' . /; . - " ^
Беккер И.X., Шапошникова EJB. Первые группы «©гомологии над
а бел евыми Группами без кручения ранга 2 // Абелевы грушш и модуля^
ч Томск: йзд-во Том. ун-та,' 199%. Вып. 11,12. С. 53-63.
Изучаются первые группы когомологий над % белев ыми группами
без кручения ранга 2* Полные ответы, получены для не 2 -
делимых групп. Полученные результаты позволяют вычислить первые
группы хогомологиь над; Sg - сепаребельиыми группами без
кручения, где Sz - система групп без кручения ранга Л или сильно
неразложимых, групп ранга 2.
* -^ ' Библ. 9. -\'л . ;' -/ '-"*. т/''' ' ■.. , 1" \%.' " *•*»•' •'
\, \Г^ удк, 512.553.."';- '.->.:*. *;*': ;,>: /:.; \;'-.\' /'-;'.'■
Беранкина В.И., Бечтомов Б.М..0 пучках алгебр функций»
порождённых отображением топологических нространсте //Абелбвы группы и
модули. Томск: йзд-во Том. ун-те, 199*. Вып. IlfJ2. С. 63-69.
Ке отображения топологических пространств перенесены
некоторые результаты об определиемости пространств алгебраvm функций на -
них. В частности, доказано,.что любое отображение / тихоновского
пространства в Т0 - пространство У определяется предпулком
модулей всех вещественных функций на /*Ц над соояветстяуюи'ями коль-
wviiiC(f''tf) всех непрерывных вещественных функции, U пробегает
открытые множества в У , о естественными гомоморфизмами ограни-
: чения» ' -;.' ; • ; '- v . -t
Библ. в.*' ',''-.-' •'.-•-'
- 253.'

УДК 512.553 * , / ' N
Генералов Ал1. Радикал, дуальный кручению Голди //. Абелевы
группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-тег 199ч. Вып. ПД2.
С. 70^7. ' - ' \
В категории модулей дчальным по отношению к кручению Голди ,.
образом определяется некоторый идемпотентныи радикал 2С6> ,
который, вообже говоря, не является кокручением. Исоледуются
классы гс& - радикальных и гс^ -полупустых модулей, даются несбхо- .
димые и достаточные условия того, что t.^ является кокручением.,/
Библ. 10.
ш 512.66 \-;;
Генералов А.И. £ег-^^-последовательность для лредебеле-'
внх категории //Мбелевн группы и модули. Томск: ,йзд-во Том.
унте, 1994, Вып. 1±Д2. С. 78-89. ; _ '"'
Развиваются основы относительной гомологической алгебры в /
нредабелево'- категорииаДв рамках »*ой теории получена тек вазы-•*-
ваемая Ke&-Co£ez гпослёдойетельность» В качестве приложения для""
чекоторнх комплексов Над of „получена длинная точная когомологи- ,
ческа я последовательность» : -^
БИбл. 8. (.' •".'., /' *-,'"" •.. V(
ч ГМ 512.541 * ". " :- " ' . v " ":"'" г.
ГркншпонС.Нк К вопросу о вполне транзитивности прямых произг\.
ведений обобщенно 6 епа ре больных абелевых групп^// Абелевы группы, и
мсГдули. Томск: Изд^во Том. уннте, 199Н. Вып. ИД2. С, 90*92. /
1 , Доказывается, что, если /L.„-,Ап ~ прямые слагаемые абелевой;
группы Aj $ являющиеся однородными группами без кручения о попарно-
явраванма ДОФШ^то подгруппа |группы A , порожденная подгруппами
Ajf.An, » является прямой суммой зтих лодгрупп* и АгФА^Ф^]Щц
прямое слагаемое группы А . С Помощь» зтого.результате уточняется
доказательство критерия вполне транзитивности прямого произведи
кия обобщенно с ела ра бальных абелевых групп* полученное С.Я.Гринш--
лоном и В.М.М сяковым в статье и0 некоторых классах вполне'транши*
тивных абачевых групп без кручения" (Абелевы группы и модул».:,,г
Томск: Изд-во^Том. ун-те* 1990. Вып- 9, С, 31-36).
' ьибл, з. " '• : : • * ч
I "*^ ~' * -. • - .>.'

УДК 512.5
Зекович Б. , Артамонов В .А. // - групповые кольца и их ра-
'дикалы //Абелевы группы и ж>дули. Томск: Изд-во Том. ун-те, 1994,
Вып. 11,12. С. 93-98..
Для ассоциативного кольца & с единицей и п -полугруппы &
строится п. -полугрупповое (2, п ) - кольцо /£<*• . Под (2, п )-
кольцом понимается мкльтиоператорное кольцо в смысле А.Г.Куроше
с одной а - арной ассоциативной операцией умножения, известно,
что каждое (2, а ) - кольцо А вкладывается в универсальное
накрывающее ассоциативное кольцо А*. В работе описывается строение
накрывающего кольца ( R& )*'для~ Я Сг ^Находится радикал 7*екобоо-
на кольца £& в случае, когда & является а -группой.
Ьибл. 7.
УЖ 512.&1 + 512.552 .
Крылов П.А. Радикал &екобсоне кольца эндоморфизмов ебелевой
группы без кручения // Абелевы группы и модули. Томск: Кзд-во
Том. ун-та/1991/, Вып. пд2, С. 99-120.
В § 1 находятся условия совпадения радикала Зжекобсока J(£(&))
кольца эндоморфизмов абелевой,группы О- без кручения конечного
ранга с идеелом Н(&) всех эндоморфизмов группы & \-повышающих
р -^высоты элементов группы &. Рассматривается также пересечение
степеней радикала '*/(£(&)) , фактор-кольцо £(&)/j(£(&)).
Вместе с РЖМ ат,Л975, h А ,288 $ 1 дает весьма полную информацию
о радикале «йкекобсона кольца эндоморфизмов группы без кручения
конечного ранга. В & 2 изучается радикал J [£(&)) для произволь- '
ной группы 6г без кручения. Рассматриваются,следующие вопросы:
описание радикала </(£(&)) , связи между Н(&) и J{£'(6-)) ,
' нильпотентность радикала J(£(Gr)).
ч Библ. 22. . " . • ['' : ; . '
-• УДС 512.541 ■' •/',. - ;-'; ~
- Крылов П.А.,Подберез*ине Е.й. Строение смешанных абелевых:
групп о нетерогыми кольцами эндоморфизмов //Абелевы группк и
модули. Томск: "Лэд-во Том, ун-та, i99*i. Вып. 11,12. С. 121-125.
. -:, Исследование произвольной ебелегой группы с нетероьам слева
-. *2£ьцом экдомор$из>;ов ев едено к исследованию группы б ез- кручения
Y , -.г. - -- \ , v .' - /iuO - ,, •

с нете^овь'м слева кольцом андомор^измов^/Исслв^ваяде группы .
с нетсровым справа кольцом эндоморфизмов осталось незавершенным.
Маку хина JLH., Себельдин A.M. Определяемооть векторных групп
своими: полугруппами вндоиорфизмов //Абелевы группы и модули*
Томск: Изд-во Том. ун-те, 1994* Вып. 11,12. С. 129-133.
Установден критерий определяемое™ векторной абелевой rpytf;,-
пы своей лолугруипой эндоморфизмов в классе векторных ебелевых '
групп. . ' V - ;• ^. " :- V \\.;
* * Библ. 6. '-',.'.,' ' . . I
•УЖ 512.541 : ■'• *• '''''"'- V\ :/./,
Мисяков В.М. 0 вполне транзитивности редуцир/ованных-абелевых :
групп // Абелевы группы й модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 199*0;.
Вып. 11,12. <\ 134-156. , , / Л - ~ . ;rvV
, Найдены достаточные условия для вполне транзитивности.прямо- -
го произведения произвольных редуцированных абелевых групп.
Выделяется класс S -обобщенно узких групп, для вполне транзитивности V
прямого произведения представителей которого эти условия являютск.
, и необходимыми. Замечается, что класс -5 -ябобщейно узких групп; ',с
содержит в себе сепарабельнне группы. ^ /-
- Доказывается, что прямое произведение (прямая сумма) групп, ,.:/
каждая из которых является либо сеперабельной р -группой; либо.-
тотально проективной р -группой, либо их прямой суммой г вполне/"
.транзитивная группа. ; ; . , %
Доказывается,; что расщепляемая группа вполне траизитивна л\\;,:
.тогда к только тогда, когда*ее^периодическая чарть и
фактор-группа по ней вполне транзитивня. | .. ; v.; ",
Приводится критерий .расщепляемое™ прямого произведений рёд)к.
цированиых абелевнх групп* а ^кже показывается влияние вполне - ." '-
, транзитивности на расщепляемое» прямого произведения S* оврагу ■
шенно узких групп. ' ' " .-.\; ^:

УДС 512.541
Москаленко АЛ. О с/-рдонтных вполне характеристических
подгруппах копериодической группы //Абелегш Группы и модули. Томск:
Изд-во Том. ун-та, 199«<. Вып. 11,.12. С. 157-165.
Пусть 7" - сеперабельная />-группа, 7"*- копериодичесхея
оболочка Т , А - сервантная вполне характеристическая полдруппе Т'
содержащая Т ,jt - естественный эпиморфизм 7"*н? р -одическое
пополнение Г группы Т с ядром ( 7""/. Доказано, что если J*(A) содер-
жит~элемент бесконечного порядка, то А содержит j£*(i T) , в
' частности, СО с /\ и А/(Т+(ТШ)) ках модуль над кольцом ve-
лых уО-адических чисел имеет ранг, не меньший чем фикальнкй ранг
группы Т. Бели ju (А) - периодическая группа к tT/T *.2L(p°°)%
то либо. А - Т , либо A =ji4(tt).
Ьибл. 6.
УДС 512.66
Нгуен Тиен Ьуанг. А д/i-категории и когомология колец Me клейке -
Шуклы //1белевы группы и модули. Томск? Из£-во Том. ун-та, 1994.
Вып. 11,12. С. 166-а83. ^ . - ^ "
__ Ann-категорией называется группоид А * вместе с двумя
бифункторами Ф, 0 ; А* А ~~ А , причем А является Pic -
категорией относительно © , в бифункторы ф ,® связаны левым и
правым законами дистрибутивности, т.е. функторкымя изоморфизмами:
Х*ХА6с*А*(бФС)г-~(АФВ)Э(АФС)ь_^
1 £-/?/' :(АФА)ФС ~г~(АФС)Ф(ЗФС):
Эти морфизмм должны удовлетворять дополнительным аксиомам.
Каждая Аш. -категория определяется тремя инвариантами: кольцом
Ц , Ц -бийодулем М и, некоторым злементом ы.€ fj*(A9M) ко
гомологии колец в смысле Наклейнё-Яуклы. С помощь» понятия Arui -
функторе дается интерпретация нижних размерностей когомологии ко- '
/лец* Сказано, что каждая Алл-категория Ann - вквивелентне
почти строгой . Ann -категории, т.е. Ann -категории, в
которой ^сё канонические мор£измы/входящие в определения («роме
коммутативности и левой-дистрибутивности), являются тождественными.
Ьибл. 16. ','•*■" ''
25?

УЛК 512. 5*1 ^
Пахомова Е.Г. Об определяемости вполне разложимых а б елевых
групп без кручения группами гомоморфизмов // Абелевы группы. и
модули. Томск: йзд-во Том. ун-та. 199V. Вып. 11 Дг. С. 184-192.
Показано, что если А и В вполне разложимые 8 б ел ев ы группы
без кручения конечного ранга, то для изоморфизма А&В достаточно -
выполнения одного из следующих условий: *
1) А - почти делимая и Hom(AtA&e&Q)&Ногп(В7АФ&®0).
2) г(Нот(А,Ц= ъ(*/ат(В>Х)) или l(Hom(X,A)) = Z(H°<n(X>B))
для любой группы ХеХ , где X - множество всех прямых
слагаемых ранга I групп А и В .
- 3) группы А и В - редуцированные и Zp(HoM(AyX))^2p(//m(BtX)y
(или г^Нот(Х9А))^гр(Нот(Х}Ь)) для любой группы Jfe£ и простого
числа р . ' ' :\
Библ. 4. , , '
УЛК512*Г*1 « ; >
Пунинский Г.В. Р.егаетки рр - определимых подгрупп // Абелё-
вы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та\ 199^. Зып, 11,12.: -/
С. 193-203.
Рассматриваются решетки определимых с помощью
позитивно-примитивных формул подгрупп модулей над кольцом R . Накладывая
условия дистрибутивности (линейности) на эту решетку, получаем рр ^ \-
дкотрибутивнне (линейные) модули, доказывается, что любой модуль "
над прюферовым кольцом рр-дистрибутивен. Описываются кольца, вое
модули над* которыми рр -линейны. -
Библ/2-.
Ш 512 *5<И ■ • % : ;- •
С еб ель дин А»М., Антонова НД). Об условиях изоморфизма . i.
Нет(А,&)-& //Абелевы группы и модули. Томск: йзд-во Том, "\ -ч
ун-та, 19$. Вып. 11,12, С 204-208. * '- ' ч" '?' ;'.
В нестоящей статье рассматриваются условия изоморфизма \' '' I '
Ногп(А,Ь)~ & * где А - вполне разложимая абелева группа без .. \
кручеьия, В •- однородно разложимая абелева группа без кручения*;
со свойством & ъВ 2?& . J
Библ. 3. • ' • •'
25% . . •*'.'.
У

УДК 512.541
Синяк Й.Л» Абелер'ы группы без кручения конечного рент с
конечными группами автоморфизмов //Абелевы группы и модули. Томск:
Изд-во Том. ун-те, 199^. Бып. II,i2. С. 209-215,
Доказано, что для любок квазкразлбжимои группы & конечного
ранга с конечной группой автоморфизмов существует квазиревнвя
подгруппа В такая, что Jut& $* с#'Л&.
Библ, 3.
Тугенбее» 1,А, 0 цепных кольцах //Абелеаы группы и модули.
Томск; йзд-во Том» ун-та, 199**. Вып. 11,12» С. 214-217.
Модуль называется цепнам, если его подмодули линейно
упорядочены по включению* Пусть А - коммутативное кольцо с обратимой
двойкой, Q - обобщенная влгебра кватернионов над кольцом А %'
определенная с^помощью обратимых элементов а. и € кольца А , № -
.радикал Дхекобсона кольца А , Доказано» что Q является ценным
справа тогда и только тогда, когда А - цепное кольцо и для лхбых
элементов х,у,я кольца А включение х^а^-вжлеМ равносильно
включениям хеМ< 9£М, л е М.
Библ-, Z*
УМ 512.55 .
Туганбаев А .А. 0 полугрулповых кольцах //Абелевы группы и
модули. Томск: йзд-во Том. ун-та, 1994. Вып. 11Д2. С. 218-225.
Пусть-И - коммутативное кольцо, 7"- строгая полурешетка
моноидов с сокращениями и регулярных моноидов» Получен критерий
правой дистрибутивности моноидного ксяэдф AT р
Библ. 5. ^
УМ 512.553
^лешер Т.М. К вопросу о строении сильно керазлозкчмых fps -
групп //Абелевы группы и.моду ли. Томск: Изд-во Том, ун-та, 1994.
Вып. 11,12. С. 226-239.
Ресометривается класс сильно неразложимых групп без кручения
иг конечного ранга, ^у которых обобщенные псевдоцоколи Pt(6r) и
только они являются Г -максиме лышии подгр*;гпеми, т.е. Pt(&j-
_ 259

•=<д.€бг/ьЦ£)ж$* V*te r^Jut6r> . Такие группы называются-
fps -группами. Показано» что всякий обобщенный псевдоцоколь
fps -группы реализуется как ядро некоторого нильпотентного зндо-
моодиэма. >Ьно описание некоторого подклассе fps, -групп в терпи-.
нах их подгрупп особого вида. ^
Ьибл. 5. - <
JZ: 512.541 *
Чехлов А .Р. Об абелевых GCS -группах б.ез 1сручения-//Абеле- .
вы группы и модули. Томск: Нэд-во Том, ун-та, 199^. Вып. 11,12.
С. 240-2*5, • . . -
Рассматриваются редуцированные группы без кручения, в
которых замкнутые сервентаые подгруппы выделяются прямыми слагаемыми
к каждый гомоморфизм объединения счетной возрастающей цепи прямых
слагаемых в сему группу продолзка ется до ее эндоморфизма. Такие :
группы характеризуются как серЕантные вполне характеристические
межпрямые сукин некоторых семейств изученных ранее
квазиоднородных групп.
. Ьибл. 9. ..
УДК 512/541 *
Шапошников А.И. 0 строго р/с -корректных абелевых группах s
//Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том» ун-та-, 199**. .
Вып. 11Д2. С. 246-250: ' _ ,
Абелева группа & называется pfl-корректной (строго pfi -
корректной), если для любых ее оервантных вполне харектеристичес- ,
ких подгруип F и И таких, что HcF и Н&6г> всегда F&Gr (если
сна не ссдеркит собственных оервантных вполне характеристических
подгрупп).
Показано, что сеиьрабельные абелевы группы и вполне
транзитивные абелены группы без кручения являются строго pfi
-корректными. Рассмотрены смешанные расщепляющиеся абелевы группы.
Библ. 3. " • • к- ' _
Ш 512.66" '-' -.,' '
«кущев'А.О. Функтор^ для колец дифференциальных операторе*
// Абелевы группа и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 19941 -
3wn. il,'i,2. С. 251-257. , '• \':'«~
.' ""■ аса * '' -'<-'

• В'статье рассматривается строчки* кольдо^дя^едетдалынех
oiepa^opoB аффинных пространств положительно* характеристики *
одиЧгяяетоя функтор /^для этого кольца. <, ^,
Йбл. 5. ^ Z "
ш